Р. МИТТРА

С. ЛИ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЛНОВОДОВ

Перевод с английского

А. И. ПЛИСА

Под редакцией

Г. В. ВОСКРЕСЕНСКОГО

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва 1974

УДК ИМфШ

Книга посвящена разработке и обобщению методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики при помощи специальным образом построенных аналитических функций. Особенно мощным оказался здесь метод факторизации, с помощью которого были решены многие задачи электродинамики, теории упругости, статистической теории связи.

Приведенные в книге обобщения метода факторизации позволяют расширить круг краевых задач, поддающихся решению; описываются и другие аналитические методы. Несомненное достоинство книги — стремление авторов сравнить различные методы, выявить их достоинства и недостатки, наметить пути возможных обобщений.

Книга будет полезна как специалистам по математической физике, так и научным сотрудникам, работающим в различных областях физики и техники, которые получат мощный инструмент для решения прикладных задач.

Редакция литературы по математическим наукам

© Перевод на русский язык, «Мир», 1974

20203-027

М 041(01)-74

27—74

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Строгие аналитические методы решения краевых задач занимают особое место в математической физике. Хотя они и приложи* мы лишь к сравнительно узкому классу модельных задач, полученные с их помощью решения представляют большую ценность, так как могут служить надежной основой для развития численных или приближенных методов расчета.

Предлагаемая вниманию читателей книга посвящена в основном описанию и обобщению двух широко распространенных аналитических методов решения краевых задач математической физики. Один из них — метод факторизации — лишь сравнительно недавно стал популярным и успешно используется для нахождения точного решения важных и интересных краевых задач электродинамики, акустики и теории упругих волн. К настоящему времени круг задач, поддающихся решению этим методом в его обычном виде, существенно исчерпан. Второй метод — метод сшивания (или метод частичных областей), позволяющий получать решение краевых задач для сложных областей, состоящих из простых подобластей, — хотя и широко применяется, по-видимому, не полностью обоснован теоретически. В частности, до последнего времени не существовало ясных рекомендаций относительно численного решения бесконечных систем алгебраических уравнений, к которым приводит формулировка краевой задачи с помощью метода сшивания.

В книге Р. Миттры и С. Ли оба названных метода описаны весьма обстоятельно, причем особое внимание уделено выяснению «точек соприкосновения» этих методов. Особенность изложения состоит в подробном анализе нахождения решения на примере небольшого числа ключевых задач, таких, как задача о волноводном разветвлении или о периодической структуре из параллельных полуплоскостей. Решение одной и той же краевой задачи разными методами позволяет авторам выяснить их сравнительные достоинства. Большое число поучительных, а иногда и практически интересных задач, иллюстрирующих применения описываемых методов, даны в виде приложения к основному тексту.

Рассмотрение классического функционального уравнения Винера — Хопфа и бесконечных систем алгебраических уравнений,

допускающих построение строгого решения краевой задачи в аналитическом виде, служит основой для обобщения обоих методов. Прикладные задачи электродинамики, которые были решены в оригинальных работах авторов книги посредством развитых ими модифицированных методов вычетов и модифицированного метода Винера — Хопфа, более реалистичны и интересны. Многие из них рассмотрены в книге. Следует, однако, оговориться, что основная цель, которую преследуют авторы, состоит не в решении конкретных задач, а в изучении и развитии конструктивных методов решения краевых задач электродинамики. Можно надеяться, что многие читатели не только с интересом прочтут книгу, но и найдут в ней материал для самостоятельной творческой работы.

В оригинальной части книги излагаются в основном результаты, принадлежащие авторам. Для того чтобы у читателя не сложилось одностороннего взгляда на предмет исследования и, в частности, на развитие методов, основанных на факторизации, укажем, например, на монографии Л. А. Вайнштейна [8] и Е. И. Нефедова и А. Т. Фиалковского [57]. Эти книги содержат подробную библиографию и отражают некоторые иные возможные пути разработки упомянутых методов.

Г. В. Воскресенский

ПРЕДИСЛОВИЕ

В последнее время наблюдается значительный прогресс в развитии аналитических методов решения краевых задач теории вол* поводов. В этой книге предпринята попытка рассмотреть различные аналитические методы с единой точки зрения. Книга рассчитана на хорошо подготовленного читателя, и мы надеемся, что она окажется полезной научным работникам, специализирующимся в области электродинамики и акустики. При изложении материала основное внимание уделяется развитию принципов различных математических методов, а не решению большого числа частных задач. Поэтому в примерах, иллюстрирующих применение аналитических методов решения краевых задач, рассмотрение зачастую проводится для одной и той же структуры. Такой способ изложения представляется чрезвычайно удобным как для сравнения рассматриваемых методов, так и для сопоставления различных представлений решения, получаемых с их помощью. В книгу включено большое число задач с указанием способа их решения. В этих задачах описываются физические явления, связанные с исследованием неоднородностей в волноводах, излучением и дифракцией, а также с вопросами теории антенных решеток, и каждый раз дается ссылка на первоисточник.

Книга начинается с изложения некоторых предварительных и основополагающих сведений, сосредоточенных в гл. 1. Хотя часть этих сведений можно найти в других источниках, их включение в книгу целесообразно, так как облегчает чтение последующих глав. Следует также подчеркнуть, что часть материала первой главы довольно трудно найти в достаточно удобном виде в других книгах; это, в частности, касается § 3 гл. 1, содержащего изложение условий на ребре, и § 4 гл. 1, посвященного выводу полезных асимптотических соотношений.

В гл. 2 рассматривается метод частичных областей, или метод сшивания, чаще всего используемый при формулировке краевых задач в теории волноводов. В этой главе дан способ точного решения класса задач для волноводов и периодических структур с помощью прямого обращения алгебраической системы уравнений или методом вычетов.

В гл. 2 и 3 рассматриваются задачи, допускающие точное решение; сведения, полученные в этой части книги, очень важны и образуют основу для развития более сложных и эффективных методов,

обсуждаемых в последующих главах. С помощью этих новых методов удается получить приближенное решение для гораздо более широкого класса задач, не разрешимых точно.

Третья глава содержит довольно полное изложение метода Винера — Хопфа, основанного на использовании преобразования Фурье и теории аналитического продолжения функций комплексною переменного Во многих книгах по электродинамике метод Винера — Хопфа излагается, как правило, очень кратко или мимоходом, хотя этот метод является мощным средством решения краевых задач для тел специального вида Изложение материала у нас несколько отличается от принятого в монографии Нобла «Метод Винера — Хопфа», хотя в гл. 3 зачастую используются сведения из этой прекрасной книги. В гл. 3 приводятся также некоторые новые выражения для факторизуемых функций, что, по на* шему мнению, увеличивает область применения метода Винера — Хопфа. Еще одним важным моментом является установление связи между методом Винера — Хопфа и методом сшивания.

В гл. 4 и 5 рассматриваются обобщения метода сшивания и метода Винера — Хопфа с целью существенно расширить области их применения. Модифицированный метод вычетов, обсуждению которого посвящена гл. 4, был предложен совсем недавно, но уже неоднократно успешно применялся для анализа задач, связанных с рассмотрением неоднородностей в открытых и замкнутых волноводах, фазированных решеток и других периодических структур Этот метод становится особенно эффективным в сочетании с использованием обобщенной матрицы рассеяния, что также обсуждается в гл. 4. Еще один важный раздел гл. 4 посвящен обобщению метода сшивания для анализа краевых задач в открытых областях.

Заключительная, пятая глава посвящена изложению обобщенного метода Винера — Хопфа, пригодного для исследования более широкого класса объектов. В частности, это обобщение может быть применено в случае, когда волноводы заполнены неоднородной средой; рассмотрение подобных задач с помощью обычного метода Винера — Хопфа ренее не проводилось.

В книгу не включены два широко используемых метода — вариационный и квазистатический; подробное их изложение нетрудно найти во многих руководствах и справочниках.

В процессе подготовки книги авторы ощущали дружественную поддержку многих коллег из университета в Иллинойсе. В частности были учтены ценные замечания профессоров Дешампа и Ло и особенно Т. С. Ли. В книгу включено большое число резуль* татов из статей и диссертаций выпускников Иллинойсского университета. д-ров Пейса, Карьяла, Бэйтса, Ван-Бларикума (мл.), Итоха и др. Всем им авторы приносят глубокую благодарность.

Р. Миттра, С. В. Ли Урбана, Иллинойс.

ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

В книге используется система единиц MKS; зависимость от времени принята в виде е-шг (§12).

Символом тр (п, г) обычно обозначается составляющая магнитного поля Ну ^х, z), а символом ф (х, z) — составляющая электрического поля Еу (я, z) (§ 1.5).

7 = (а2 — fc2)1/2 = —i (к2 — а2)1/а, где а = о + it и к = = кг + гк^ (§ 1.6).

Прямое и обратное преобразования Фурье приняты в виде*

Н-00

V (ж, а) — j Ф (^ > 2)егах ^^*-ОО

ф (я, 2)ф (я, 2)= —f У (х, а) daУ2л J '= —f У (х, а) daУ2л J '

ф (я, 2)

ф (я, 2)

= —f У (х, а) da

У2л J '

= —f У (х, а) da

У2л J '

(I 3.2).

Постоянная Эйлера С = 0,57721 . . . (§ 1.4).

. Систему ссылок на параграфы и разделы, принятую в книге, поясним следующими примерами:

1.2 означает § 2 главы 1,

разд. 3.6.1 означает раздел 1 § 6 главы 3.

При ссылках внутри главы на параграфы и разделы той же главы ее номер опускается.— ПерееД

ГЛАВА 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Основная цель настоящей книги состоит в том, чтобы с единой точки зрения рассмотреть ряд аналитических методов, оказавшихся весьма эффективными при решении широкого класса краевых задач для открытых и замкнутых волноводных областей. В качестве предварительного шага в этой главе будут введены некоторые основные понятия и соотношения, к которым мы часто будем обращаться в последующем изложении. В § 2, 5, 6 и 7 содержится материал, известный по ряду учебников или монографий по электродинамике, и поэтому эти параграфы служат лишь для краткого напоминания материала. Обсуждение условия на ребре в § 3—4 проводится на основе оригинальных работ авторов; кроме того, изложенный в этих параграфах материал довольно трудно найти в других источниках. Хорошо подготовленный читатель может вначале полностью пропустить эту главу и обращаться к ней лишь в дальнейшем, когда появятся непосредственные ссылки на ее содержание.

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Поведение электромагнитных полей в непрерывных средах,

изотропных или анизотропных, однородных или неоднородных, определяется уравнениями Максвелла. В системе единиц MKS

уравнения Максвелла в дифференциальной форме имеют

ВИД

VxE=-^,

(1.2.1)

VxH = ^+J,

(1.2.2)

V-B = o,

(1.2.3)

V-D = p,

(1.2.4)

v.i=-2L vat 1

(1.2.5)

где

E — напряженность электрического поля (в вольтах на

метр),

Н — напряженность магнитного поля (в амперах на метр),

D — электрическая индукция (в кулонах на квадратный метр), В — магнитная индукция, и^и плотность магнитного потока (в веберах на квадратный метр),

J — плотность электрического тока (в амперах на квадратный метр),

р — плотность электрического заряда (в кулонах на кубический метр)

Нужно заметить, что пять приведенных уравнений (1.2.1) — (1.2.5) не являются независимыми Так, например, при подходящем выборе начальных условий можно, вычислив дивергенцию от (1.2.1), получить уравнение (1.2.3). Аналогичным образом, исходя из уравнения (1.2.2) и воспользовавшись соотношением (1.2.5) М подходящими начальными условиями, можно получить уравнение (1.2.4).

Во всей книге мы будем рассматривать лишь гармонически меняющиеся во времени электромагнитные поля и эту зависимость будем выражать множителем ехр (— ко^), где со — угловая частота в радианах. При этом предположении в уравнениях Максвелла можно заменить производные по времени на коэффициент (— ко) и опустить общий для всех членов сомножитель ехр (—ко£)- В результате уравнения (1.2.1) — (1.2.5) примут вид

VxE = koB,(1.2.6)

VXH= —icoD + J,(1-2.7)

V-B = o,(1.2.8)

V-D = p,(1.2.9)

V*J = Kop.(1.2.10)

Заметим, что жирными латинскими буквами обозначены теперь комплексные векторы, зависящие лишь от пространственных координат.

Система уравнений Максвелла (1.2.6) — (1.2.10) не определяет однозначным образом электромагнитные поля, порождаемые заданными распределениями плотностей тока и заряда. Эту систему необходимо дополнить соотношениями, устанавливающими связь между векторами напряженности полей (Е, Н), векторами индукции (D, В) и плотностью тока J. Эти соотношения определяются Свойствами материальной среды ) и обычно называются материальными уравнениями. Как правило, все среды подразделяют на две группы: изотропные и анизотропные.

Изотропные среды. Обычно среду называют изотропной, если ее физические свойства в окрестности любой внутренней точки одинаковы по всем направлениям. Материальные уравнения для большинства изотропных сред записываются в виде

D = еЕ, В = pH, J = оЕ.D = еЕ, В = pH, J = оЕ.(1.2.11)(1.2.11)

D = еЕ, В = pH, J = оЕ.

D = еЕ, В = pH, J = оЕ.

(1.2.11)

(1.2.11)

Если величины е, р и о не зависят от пространственны?: координат, среду называют однородной. Свободное пространство, или вакуум, является изотропной средой, характеризуемой следующими значениями постоянных:

(1.2.12а)(1.2.126)(1.2.12b)(1.2.12а)(1.2.126)(1.2.12b)8 = ео 36л х 10» */М’

(1.2.12а)

(1.2.126)

(1.2.12b)

(1.2.12а)

(1.2.126)

(1.2.12b)

р, = ц0 — 4л х Ю-7 генри/м,ст = 0.

Изотропные среды, отличающиеся от вакуума, принято характеризовать безразмерными отношениями:

8г = т-,=(1.2.13)

воР-0

которые называют соответственно относительной диэлектрической и магнитной проницаемостями.

Анизотропные среды. В анизотропных средах физические свойства в окрестности некоторой точки различны по разным направлениям. Типичным примером анизотропной среды могут служить кристаллы, намагниченные ферриты и плазма во внешнем статическом магнитном поле. Материальные уравнения в этом случае можно представить в виде

D = еЕ, В = pH, J = оЕ,(1.2.14)

где е, уь, а — тензоры второго ранга, или аффиноры. Как правило, мы не будем иметь дело с анизотропными средами, за исключением нескольких примеров; в последнем случае тензоры в, р и о, характеризующие анизотропную среду, будут заданы в явном виде.

При рассмотрении волноводных задач мы обычно имеем дело со случаем, когда физические свойства среды изменяются скачком ла одной или нескольких поверхностях. Поведение полей при на* личин таких поверхностей разрыва определяется граничными условиями, которым должны удовлетворять поля на этих поверхностях. Граничные условия можно вывести, применив уравнения Максвелла в бесконечно малой области, примыкающей к таким поверхностям. Приведем явные выражения для граничных условий.

На границе материальных сред (разрыв е и ц; см. рис. 1.1). Если проводимости сред в областях 1 и 2 конечны, на границе

Рис. 1.1. Граница двухсред.

должны быть непрерывны касательные составляющие векторов электрического и магнитного полей:

(1.2.15а)(1.2.156)(1.2.15а)(1.2.156)n х (Е(2) —Е(1)) = 0,nx^-Hd^O,

(1.2.15а)

(1.2.156)

(1.2.15а)

(1.2.156)

где п — единичный вектор, нормальный к границе и направленный из области 1 в область 2.

На идеально проводящей поверхности. Если среда в области 1 на рис. 1.1 идеально проводящая (т. е. ее проводимость о бесконечно велика), то граничные условия имеют вид

(1.2.16а)(1.2.166)(1.2.16а)(1.2.166)пхЕ<2) = 0,nx(H<2>-H<1>) = Js,где Js — поверхностная плотность тока.

(1.2.16а)

(1.2.166)

(1.2.16а)

(1.2.166)

§ 3. УСЛОВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ И УСЛОВИЕ НА РЕБРЕ

В ряде случаев, когда, например, границы рассматриваемой области уходят на бесконечность или когда граничная поверхность имеет геометрически сингулярные точки, можно получить несколько математически корректных решений уравнений Максвелла, среди которых лишь одно верно описывает исследуемое физическое явление. В таких случаях для обеспечения единственности решения оказывается необходимым ввести некоторые дополнительные физические ограничения.

При решении задачи для свободного пространства, когда все источники сосредоточены в конечной области, таким дополнительным ограничением, определяющим поведение полей на бесконечности, является условие излучения, которое можно сформулировать двумя различными способами. Если пространство заполнено поглощающей средой, следует потребовать, чтобы поля стремились к нулю на бесконечности. Для изотропной непоглощающей среды

поведение полей на бесконечности определяется условием излучения Зоммерфелъда, которое можно сформулировать следующим образом. Амплитуда поля на больших расстояниях т от источника должна убывать по крайней мере как г"1, а фаза поля должна быть такой же, как у уходящей на бесконечность волны. Или более точно: любая поперечная (относительно направления г) составляющая ф поля должна удовлетворять условию

^™г(5" ^)=0, (1.3.1)

где к = со/pie — постоянная распространения для среды, или волновое число.

Решение уравнений Максвелла не определяется однозначна также и в случае, когда рассматриваемые граничные поверхности имеют геометрические сингулярности, например острые ребра. Дополнительное физическое условие, необходимое для однозначного определения решения, в этом случае известно как условие на ребре. Оно заключается в требовании конечности энергии электромагнитного поля, запасенной в любом конечном объеме в окрестности ребра. Это равносильно требованию

j (e|E|2 + n|H|2)dv^0 (1.3.2) V

при стремлении к нулю объема V в окрестности ребра. Вели ребро представляет собой гладкую кривую, то в каждой точке ее можно заменить прямой и ввести локальные цилиндрические координаты на ребре (р, ф, и); элемент объема в интеграле (1.3.2) при этом равен du = р dp dtp dz. Как можно показать из условия (1.3.2), в окрестности ребра ни одна составляющая электромагнитного поля (Е, Н) не может возрастать быстрее, чем р"1+т (т > 0) при р -> 0. Строго говоря, для однозначного выбора решения уравнений Максвелла не обязательно априори знать величину т, а достаточно найти лишь положительную нижнюю границу этой величины. Однако во многих случаях полезно определить точное значение т. Сейчас мы покажем, как, основываясь на уравнениях Максвелла, можно вычислить значение т для различных заданных конфигураций острого края поверхности. Метод, которому мы будем здесь следовать, основан на работе Мейкснера [47]. Для задач, решаемых в нашей книге, достаточно показать, как определяется величина т для двумерного идеально проводящего клина, изображенного на рис. 1.2. Пусть ребро клина окружено тремя секториаль- ными областями, в каждой из которых среда характеризуется проницаемостями (р,1У ej, (pi2, е2) и (pt3, е3) соответственно. Значения углов фп ф2 и ф3 заключены между 0 и 2л. Уравнения Макс-

велла (1.2.6) — (1.2.7) и материальные уравнения (1.2.11) в цилиндрической системе координат (р, <р, г) принимают вид

эГ=^Не,эГ=^Не,(1.3.3)(1.3.3)1 8 . „ . pj др ^Е^1 авр . Р а<р= морЯ2,1 8HZанф= — гсоебр,Р 8<рdzанрднх _dzдр1 8 . „ . pj др ^Е^1 авр . Р а<р= морЯ2,1 8HZанф= — гсоебр,Р 8<рdzанрднх _dzдр1 8EZР »ф dSp dz1 8EZР »ф dSp dzЭВг тт-^- = 1^^ЭВг тт-^- = 1^^1 8 , „ .1 5Яр— — (рЯф) — •-= — 10)86.р др хг ф/ р дф41 8 , „ .1 5Яр— — (рЯф) — •-= — 10)86.р др хг ф/ р дф4(1.3.4)(1.3.4)

эГ=^Не,

эГ=^Не,

(1.3.3)

(1.3.3)

1 8 . „ . pj др ^Е^

1 авр . Р а<р

= морЯ2,

1 8HZ

анф

= — гсоебр,

Р 8<р

dz

анр

днх _

dz

др

1 8 . „ . pj др ^Е^

1 авр . Р а<р

= морЯ2,

1 8HZ

анф

= — гсоебр,

Р 8<р

dz

анр

днх _

dz

др

1 8EZ

Р »ф dSp dz

1 8EZ

Р »ф dSp dz

ЭВг тт

-^- = 1^^

ЭВг тт

-^- = 1^^

1 8 , „ .1 5Яр

— — (рЯф) — •-= — 10)86.

р др хг ф/ р дф4

1 8 , „ .1 5Яр

— — (рЯф) — •-= — 10)86.

р др хг ф/ р дф4

(1.3.4)

(1.3.4)

Основной интерес для нас представляет поле вблизи ребра (р = 0), поэтому все составляющие поля в различных угловых областях

Рис. 1.2. Идеально - пр сводящий клин и примыкающие к нему три секториальные области.Рис. 1.2. Идеально - пр сводящий клин и примыкающие к нему три секториальные области.

Рис. 1.2. Идеально - пр сводящий клин и примыкающие к нему три секториальные области.

Рис. 1.2. Идеально - пр сводящий клин и примыкающие к нему три секториальные области.

можно представить в виде разложений в ряды по степеням р. Напомним, что, как следует из условия на ребре, составляющие поля

не могут возрастать быстрее, чем р 1+т, где т > О. Имея это в виду, можно написать

Ер = Р" ^ [а^ + а^р + а^)р2 + ... ], z^-p"^^^ W+ • • а, (1.з.5) Ez = р-1+т [с^) + с^р + с^р2 +...],

Нр = р- ‘-И [Л^ + Л^р + Л^р2 +...], Яф-р^+чяоЧ^р+А’Ч • • а, (1.3.6) Я^р-^Ч^+^Р+^Ч- ...],

где индексом у = 1, 2 или 3 отмечено поле в трех областях на рис. 1.2. Коэффициенты в разложениях (1.3.5), (1.3.6) зависят лишь от координат ф и z. Подставляя разложения (1.3.5) — (1.3.6) в уравнения Максвелла (1.3.3) — (1.3.4) и приравнивая коэффициенты при равных степенях р, получаем ряд соотношений:

с^)(т—1)=0,

(1.3.7а)

дВ^

(1.3.76)

— icoe^) = -Г-— J иУф

dz *

ЭА^ ' 05z

-тС^,

(1.3.7b)

о=тв^-

дА<» дф ’

(1.3.7г)

С^ (т — 1) — 0,

(1.3.8а)

иоМо’- 4 -

аь^

dz ’

(1.3.86)

io)p,£O) = ^__

(1.3.8в)

О = тЬ^">—

а»^ дф *

(1.3.8г)

Соотношения (1.3.7а) и (1.3.8а) справедливы, если т —1 или с^ = С^ = 0. В любом из этих случаев касательные составляющие поля Ег и Hz вблизи ребра конечны.

Умножим (1.3.76) на т и продифференцируем соотношение (1.3.7в) по ф, а (1.3.7г) по z; сложив полученные уравнения. ПОЛУЧИМ (ДЛЯ (0^0)

^- + „$>=0. (1.8.9)

Подставив это соотношение в (1.3.8г), найдем дифференциальное уравнение для коэффициента а^:

d^ati^

-t4-+tW=o.(1.3.Ю)

Общее решение для а^ имеет вид

а^ - - //° sin тф 4- <7(,> c°s тер.(1.3.11а)

Аналогичным образом можно получить

Ло > = Р^ sin тф + Q^ cos тф.(1.3.116)

Так как т>0, из (1.3.7) и (1.3.8) следует, что

Ь^ «р^созтф—^зттф,(1.3.12а)

В$ = рм cos Тф—Q^ sin тф,’L(l .3.126)

^ = y ^ -^1 sin тф+--^— cos тф] — ^^ [Р^ cos тф—^ sin тф], (1.3.12b) С^ = y Г 9^П- зттф + ^У* cos тф] 4- -^L |р<3> cos тф — g(i) sin тф]. Т L ОйОйI т

(1.3.12г)

Индекс / принимает значения 1, 2, 3, и, таким образом, формулы (1.3.11) — (1.3.12) дают 18 уравнений для неизвестных коэффициентов {аО\ Ъ^. ^), Лр, В^, С^, р^, $\ РО\ QO>Y Дополнительные 12 уравнений можно получить, «сшивая» поля на поверхностях раздела при ф = 0, фь ф2 и ф3. Следует потребовать обращения в нуль касательных составляющих электрического поля при ф = 0 и ф = ф3 и непрерывности касательных составляющих электрического и магнитного полей при ф = фт и ф = ф2- Полученные при этом 12 уравнений и уравнения (1.3.11) — (1.3.12) образуют полную систему линейных уравнений для определения 30 неизвестных коэффициентов {я^, Ь^\ . . .}. Для существования нетривиального решения необходимо, чтобы эта система уравнений била совместной. После довольно утомительных, но очевидных выкладок, состоящих в последовательном исключении неизвестных^ было найдено, что система оказывается совместной при выполнении одного из двух приводимых ниже условий.

Условие А:

а^ = Ь^ = с^ = с№ = 0,(1.3.1 а)

^(т) = 0,(1.3.136)

1Д0

МЧ - ( t -Л) [sin тт, sin г (Ф. - ф,) - JS-aSlSEli 1 _

[tg Тф! 4--^- Ctg Тф1 J X

X [cos тф2 sin т (Фз—ф2) 4- ^ s№ ^ cos т(фз- ф2) ] (1.343^

Условие Б:

А^ = В^ = С^ = с^ = О, /=1,2,3,(1.3.14а)

F8(t) = 0,(1.3.146)

где Мх^-^ [cos тф2 cos т (Фз- ^) - ^*.W ^rN ]

(ctg Тф1 4- ^ tg Тф1) X ,

X [sin Тф2cos т (Фз- Фг) 4- 82 C0S Тфг 8^ Т (<Рз”ф2) ] • (1.3.Ш)

Относительно этих условий можно заметить следующее.

Характеристическое уравнение (1.3.13в) для т, a значив и представление поля (1.3.5) допускают несколько решений. Так как нас интересует верхняя граница порядка сингулярности поля вблизи ребра, в качестве т следует выбрать наименьшее поло* жительное решение характеристического уравнения. Аналогичное замечание можно сделать и о решении уравнения (1.3.14в).

При выполнении условия А из формул (1.3.13а), (1.3.5) ж (1.3.6) следует г)

Н( = 0(р-^Ц(1.3.15*

#z, Е = О(рт), JP(1.3.156)

х) Здесь и в дальнейшем используются обозначения 0 и о, имеющиеся^ дующий смысл:v

Так как t > 0, видно, что лишь касательные к ребру составляющие магнитного поля (в (1.3.15) они обозначены Н/) могут иметь сингулярность вблизи ребра; остальные составляющие поля регулярны везде. Совершенно аналогично при выполнении условия Б из (3.14а), (3.5) и (3.6) следует

(3.16а)(3.166)(3.16а)(3.166)Et = O(p-^), р

(3.16а)

(3.166)

(3.16а)

(3.166)

Ег1 Ht = O(p4, JP-^

и, таким образом, в этом случае касательные составляющие электрического поля могут иметь сингулярности вблизи ребра.

, 3. В общем случае при заданной геометрии поверхности поле вблизи ребра представляется суперпозицией полей обоих типов. Верхняя граница порядка сингулярности поля вблизи ребра определяется, очевидно, той доминирующей составляющей, которая имеет сингулярность более высокого порядка.

Изложенное выше можно представить в виде табл. 1.1.

Таблица 1.1

Условия на ребре для структур, изображенных на рис. 1.2

Поле

Группа условий 1)

Е^Н^Е , Н величина т 2)

А О (рт) О(р-1+т) О (рт) Уравн. (1.3.13b): ^(т) = 0

Б О(р-1+т)О(р’)0^ Уравн. (1.3.14b):

W=0

Для заданной структуры порядок сингулярности поля вблизи ребра определяется тдй группой условий (А или Б), которая приводит к сингулярности более высокого порядка.

Величина т совпадает с наименьшим положительным значением корня уравнения (1.3.1 Зв) или (1.3.14в).

Применим формулы этой таблицы и выпишем условия вблизи ребра для некоторых часто встречающихся структур, изображенных на рис. 1.3. Будем рассматривать лишь диэлектрические среды; решение для случая А легко найти, положив в (1.3.13в) ^ = ^2 = 113. При этом получаем

Яг, Е = О(р^»з),J Р"*0Яг, Е = О(р^»з),J Р"*0(1.3.17а)(1.3.176)(1.3.17а)(1.3.176)

Яг, Е = О(р^»з),J Р"*0

Яг, Е = О(р^»з),J Р"*0

(1.3.17а)

(1.3.176)

(1.3.17а)

(1.3.176)

< «равним эти решения с полученными для случая Б и выберем среди них доминирующее. Приведем окончательные результаты.

у

^ Проводник

а

(Яо >6о)

ввгг(Но < ^)®(Но < ^)®б

в

в

г

г

(Но < ^)®

(Но < ^)®

Рис. 1.3. Некоторые часто встречающиеся структуры с ребром.

Для идеально проводящего прямоугольного клина, изображенного на рис. 1.3, а, имеем

(1.3.18а)(1.3.186)(1.3.18а)(1.3.186)Ef, Н^Оф-^з), |

(1.3.18а)

(1.3.186)

(1.3.18а)

(1.3.186)

Ez, Нг = О(р4/»), J Р^°

Для изображенной на рис. 1.3, б — 1.3, д идеально проводящей полуплоскости, граничащей с диэлектрическими областями разного вида, получим

(1.3.19а)(1.3.196)(1.3.19b)(1.3.19а)(1.3.196)(1.3.19b)Et = O(p-^),

(1.3.19а)

(1.3.196)

(1.3.19b)

(1.3.19а)

(1.3.196)

(1.3.19b)

Н/ = О(р-1/г),Ех, Я2 = О(рш1п<1/2.т)))

(6)1 т~ т •(1.3.20a)(B)т = <г 1 . 1-Гт+ л arcsinL11.г9- — — arcsin8r—4 ■] 2(8r + l)Jl-8r 12(8r + l)Jпри e^ при i:>1,> St 2> 0,(1.3.206)(r)л-arcsin (—t\ 8г-|-1 jI1".(1.3.20b)(д)Л;. г Зег + 1 iVzrarCslnl2(8r + l)d *(1.3.20г)всех приведенных случаях значения ;арксинусазаключены(6)1 т~ т •(1.3.20a)(B)т = <г 1 . 1-Гт+ л arcsinL11.г9- — — arcsin8r—4 ■] 2(8r + l)Jl-8r 12(8r + l)Jпри e^ при i:>1,> St 2> 0,(1.3.206)(r)л-arcsin (—t\ 8г-|-1 jI1".(1.3.20b)(д)Л;. г Зег + 1 iVzrarCslnl2(8r + l)d *(1.3.20г)всех приведенных случаях значения ;арксинусазаключеныгде постоянная т в показателе степени для различных структур определяется следующим образом:где постоянная т в показателе степени для различных структур определяется следующим образом:Во . между 0 и л/2.Во . между 0 и л/2.

(6)

1 т~ т •

(1.3.20a)

(B)

т = <

г 1 . 1-Г

т+ л arcsinL

11.г

9- — — arcsin

8r—4 ■] 2(8r + l)J

l-8r 1

2(8r + l)J

при e^ при i:

>1,

> St 2> 0,

(1.3.206)

(r)

л

-arcsin (—

t\ 8г-|-1 j

I1".

(1.3.20b)

(д)

Л

;. г Зег + 1 iVz

rarCslnl2(8r + l)d *

(1.3.20г)

всех приведенных случаях значения ;

арксинуса

заключены

(6)

1 т~ т •

(1.3.20a)

(B)

т = <

г 1 . 1-Г

т+ л arcsinL

11.г

9- — — arcsin

8r—4 ■] 2(8r + l)J

l-8r 1

2(8r + l)J

при e^ при i:

>1,

> St 2> 0,

(1.3.206)

(r)

л

-arcsin (—

t\ 8г-|-1 j

I1".

(1.3.20b)

(д)

Л

;. г Зег + 1 iVz

rarCslnl2(8r + l)d *

(1.3.20г)

всех приведенных случаях значения ;

арксинуса

заключены

где постоянная т в показателе степени для различных структур определяется следующим образом:

где постоянная т в показателе степени для различных структур определяется следующим образом:

Во . между 0 и л/2.

Во . между 0 и л/2.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ

При использовании условий на ребре в большинстве задач, рассматриваемых в последующих главах книги, необходимо исследовать асимптотику некоторых рядов и интегралов. В этом параграфе будут приведены различные формулы, чрезвычайно полезные для установления асимптотического поведения функций вблизи ребра.

Пусть f^ = S я1^-^, причем z>0, — 1<р<0. Тогда справедлива оценка

/(z)^r(p+l)z-<P+1), z-^+0,(1.4.1)

где гамма-функция Г (де) определена выражениями

j f”-^* dt, Heu7>0,(1.4.2а)

О

дш j tw-1e~M dt, Reiy>0 и Re&>0,(1.4.26)

^we0» П [(1 +-£)}’\(1.4.2b)

n=l

4п£0+^-Г(*+^Г]- . n=l

Здесь степенная функция Zw-1 была представлена в виде < \р [(ш — 1) In Н; С = 0,57721. . . — постоянная Эйлера 1).

Доказательство. Напомним формулу суммирования Эйлера — Маклорена [13]:

NNN

^ £(")=( 5(a)da + l{^(l) + g(7V)} + j (a-[a]-i)-^^-da, 11 111

(1.4.3)

i де g (а) — функция, непрерывно дифференцируемая на интервале (1, N); символ [а] означает целую часть числа а. Воспользовавшись этой формулой, представим / (z) в виде

/(z)= j ape~iada-V-^e-z-V- ^ (а—[aj — ^) (ра-1— z)ape-z®da.

(1.4.4)

Рассмотрим первое интегральное слагаемое этого выражения

А= j а^-** da = z-tiH-D j tpe-tdt = 1xr

= z?^ [Г (p+ 1)-T (p+ 1, 2)1,M

где у (a, ж)— неполная гамма-функция, определяемая интегралсгЙ.

у (а, ж) = ( Za-1e~< dt, Rea>0.(1.4.6)

о

При малых х неполную гамма-функцию можно представить разложением

Используя выражения (1.4.5) и (1.4.7), получим при малых г

h ~ z-<₽+i)r (р +1)—^ •(1.4^

х) Можно привести также две сходные асимптотические формулы:

2 пР sin пх — tr^+^rtp+ljcos ^-^-) 1

2 nP COS па: — z~(p+1)r (р + 1) 8Ш (~у~) п—1

при х 0 и —1 < р < 0.

При оценке второго интегрального слагаемого в (1.4.4) заметим, что а — [а] — V2 по абсолютной величине не превосходит 1/2. Отсюда следует, что для второго слагаемого справедлива оценка 12 ~ о (1) при z-> +0. Подставляя (1.4.8) в (1.4.4), приходим к выражению (1.4.1), которое и требовалось доказать.

Пусть / (z) ~ А^ при z -> +0, причем — 1 < р < 0. Въедем функцию ^(а) следующим образом:

F+ (а) = j / (z) eiaz da. ’(1.4.9)

о

Тогда справедлива оценка

F+(a)^Ar(p + l)(-ia)_(p+1), |a|-»-oo, Ima>0. (1.4.10)

Этот результат следует из определения гамма-функции (1.4.2).

Пусть F (a) = JJ [1 + а/(ап + Ь)] «-«/«*, где а и Ь—постоян- П=1

ные, причем Rea>0. Асимптотическое выражение функции F (а) имеет вид

( Г [(6/а) + 1] ( а \ -[РАН-Ф/аЛ

У^ U / х Хехр{т[1-с-1п("т)]} ’ 1аН°°

(1.4.11а)(1.4.11а)(1.4.116)(1.4.116)и —л < Arg а < л,

(1.4.11а)

(1.4.11а)

(1.4.116)

(1.4.116)

У2Г[(6/а) + 1] . / ал Ьл \ / а \-(РАЖЬ/а)]

81П \ а а") \Х

ХИр{5[1-С-1п(-£)]},

|а]->оо и а=—|а|.

Доказательство. Получим предварительно следующее тож

дество:

П(нп=1П(нп=1—°L-\ e-a/an =an-y-b )—°L-\ e-a/an =an-y-b )е-С(а/а)Т [(Ь/Я)_|_1] Г[(а/а) + (6/а)4-1] 'е-С(а/а)Т [(Ь/Я)_|_1] Г[(а/а) + (6/а)4-1] '(1.4.12)(1.4.12)

П(н

п=1

П(н

п=1

—°L-\ e-a/an =an-y-b )

—°L-\ e-a/an =an-y-b )

е-С(а/а)Т [(Ь/Я)_|_1] Г[(а/а) + (6/а)4-1] '

е-С(а/а)Т [(Ь/Я)_|_1] Г[(а/а) + (6/а)4-1] '

(1.4.12)

(1.4.12)

Перепишем правую часть этого равенства с помощью определения гамма-функции (1.4.2г) в виде

= e-C(a/a) a+j+a ТТ (1 +1) а,а .С"^"^-®. . (1.4. п=1

Так как

N

П(1 + ^=244.....^.^±1-=» + 1, (1.4.14)

П=1

можно преобразовать (1.4.13) к виду

JV+1

/ = Ito [(JV+ Ц (И-^т)] =

П=1

JV-f-1N+1

--^te-ptTtST-W*)]} П (*+^)«-'".

"*°°П=1П=1

(1.4.15)

Используя определение постоянной Эйлера

N

С= lim ( yl-ln^v) ,(1.4.16)

получим из предыдущего соотношения

^=5(1+^)»АЛ1)

п=1

и таким образом равенство (1.4.12) доказано. Напомним формулу Стирлинга [1], дающую асимптотическое разложение гамма-функции:

Г (z) ~ (2л)1/е e^z1-^, z -> оо при — л < Arg z < л. (1.4.18)

Используя это выражение в (1.4.12), получаем

?(а)~™а. (^)~ир { ^ Г.-С-Ы^)]} ,

(1.4.19) совпадающее с требуемой оценкой (1.4.11а).

Заметим, что формула Стирлинга (1.4.18) не справедлива при z = — | z |, т. е. когда аргумент — отрицательное действительное число. Однако в этом случае можно воспользоваться формулой отражения для гамма-функций:

Г (z) Г (—z) =.(1.4.20)

' ''* zsmnz''

В результате при а=—|а| из (1.4.12) и (1.4.20) получим

F W = _е-с№>Г 4 +1) Д + ».+1) х

Х““[я(4 + 1 + 1)]г(1Т1Ч-1)-м-21)

Применяя теперь формулу Стирлинга, придем к выражению (1.4.116),

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНОВОДЫИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

Цилиндрическим волноводом обычно называют проводящую цилиндрическую трубу постоянного поперечного сечения.

Направление распространения волн в волноводе совпадает с осью цилиндра z. Каждый раз, когда это не оговорено особо, будем считать, что среда, заполняющая волновод, изотропна.

Поскольку исчерпывающее обсуждение свойств цилиндрических волноводов можно найти во многих учебниках ), мы ограни* чимся лишь перечислением некоторых основных свойств волн в таких волноводах.

Произвольное поле в цилиндрическом волноводе всегда можно представить в виде суперпозиции поперечно-электрических (Т£) и поперечно-магнитных (ТМ) волн, которые образуют полную систему.

Компоненты электромагнитного поля волн заданного типа (ТЕ или ТМ), для которых зависимость от продольной координаты принята в виде exp (± yz), могут быть выражены через электрический векторный потенциал F или магнитный векторный потенциал А по следующим формулам.

Г£-волны (или Я-волны):

Е = аДпе^

Я2=-е±тг7|П\(1.5.1)

Et = ± Хах х Н(,

Ех = 0,

Где аг — единичный вектор в направлении оси z и Z = topi'S — Импеданс рассматриваемой поперечно-электрической волны.

Of-волны (или £-волны):

A = aJIee±vz,

Et = ±Ye±vzV<ne,

Ех = — а^у^П®,(1.5.2)

Н( = Т Yax х Et,

Нх = 0,

Где Y = ©e/iy — адмитанс волны поперечно-магнитного типа. Одним из важных свойств собственных волн цилиндрического вол-

повода является их ортогональность. Обозначим через'Пп и Пт потенциалы собственных волн типа ТЕ или ТМ, характеризуемых

индексами п и т соответственно. Свойство ортогональности состоит в том, что

( nnnmds —0, т^п, (1.5.3) S

где интеграл берется по поперечному сечению 8 волновода. Соотношение (1.5.3) позволяет упростить выражение для произвольного ноля в цилиндрическом волноводе.

Рис* 1,4. Простейшие волноводы: (а) прямоугольный волновод;

плоский волновод; (в) круглый волновод.

Приведем явные выражения полей собственных типов волн для некоторых типичных волноводов.

Прямоугольный волновод (рис. 1.4, а).

Для ГЯ^-волн:#

IImn=cos (^ я) cos ^ у) е±*т»*,(1.5.4)

р ^Птп у i ^^Птп

р ^п^пу t ^5^s

дГ ’

Е--°.д>-^(-&+у)п1>";

для ТМ^-волн;

П^ = sin ( ~ х) sin ( ^- у) e±vm"z,(1.5.5)

Р * ^П^щцг дПтп

р _ i ^^тпусое ду dz ’

IT ^П^

иу~ дГ

г,=т(^+4а)п‘-А=°.

где Ттп = W^^MY + (пл/б)2 — Л2]1/2 и Л = со]Л|Ы^ = 2л/Х. Значение квадратного корня в постоянной распространения ^тк определяется здесь и в дальнейшем следующим образом:

I ч /" (тЛ\^ . / ПЛ \2/тл\2/ ПЛ \2 .

НтНт) п₽и (-) +(т) <№‘

(1.5.6)

При таком выборе ветви корня удовлетворяются условия излучения (§ 3).

Плоский волновод (рис. 1.4, б), Для этой простой структуры болеС удобно не вводить векторные потенциалы, а непосредственно использовать связь между составляющими поля. Можно написать для 7£'тО-волн:

Еу = <p = sin (-^ ж) e±vznz>

Яж = —(1.5.7) x сор, dzх '

‘ кор, дх

для ZM^o-волн:

(

тл \ ±YmZ е ’

х 1(08 dz\/

Ег = (08 дх т ’

где 7m = Цтл/ау — А2!1^,

Выше, в случае 7’£’-волн через ср обозначена величина Eyt а через -ф в случае 7М-волн — величина Ну1 что позволяет нам опустить индекс у у величин Еу и Ну.

Такое обозначение оказывается особенно удобным, в частности, при рассмотрении метода Винера — Хопфа в гл. 3, где эти величины будут обозначаться как Ф+ и Т_.

Круглый волновод (рис. 1.4, б). Для Т^тп-волн:

п* = Jm Z^S) rsinw<p~l e±Vmnz

mn m \ о / t cos тф / e’

(1.5.9)(1.5.9)p 1 ®mn p ®nn r, л

(1.5.9)

(1.5.9)

др7“^“’ ^ф--^-’ £z-o,

tt t в^Ппгп it ® 1 ^П^п tr ^ / ^ । м \ TT*

p top,' dpdz ’ ф юр. p дф dz ’2 a>p-\dz2 *) mn’

где Jm (x) — функция Бесселя тп-го порядка, ymn =[(тА-^Г- §тп —га-й нуль функции dJm(x)ldx;

для УЛ/тп-волн:

Пе =Jm( ™2 ) / sin тф ) e±VmnZ тп т\ а ) \ cos тф / с *

р & ^2Пйт р i 1 d2n^nр i / д^ .*2\

р©8 др дх’ ф©8 р дфдх ’ z©8 \ дх2 '/ тп’

(1.5.10)

ТТ 1 дЩптг ТТ ^ПщП Л

где 7тп = [(^)2-.й2]1/2, ^тп — П-И нуль функции Jm(xy

Помимо различных волноводов, упомянутых выше, мы будем часто обсуждать системы другого типа, а именно периодические структуры. Обычно поля в периодической структуре выражаются через волны Флоке, которые определяются следующим образом. Рассмотрим периодическую вдоль оси z структуру с периодом d, равным длине одной ячейки структуры. Волна Флоке в такой структуре удовлетворяет соотношению

F (ж, у, d) = F (ж, у, 0) eW,(1.5Д1а)

где функция F (х, у, 0) характеризует зависимость поля от поперечных координат в плоскости z = 0, а 0О — параметр, определяемый из решения краевой задачи для структуры. В общем случае справедливо представление

F ^х, у, z) = Fo (ж, у, z) е1^,(1.5.116)

где Fo (ж, у, z) — периодическая по z функция

Fo (х, у, nd 4- z) =; Fo (х, у, z), п = 0, ±1, ±2, . .

(1.5.12)

которую можно разложить в ряд Фурье

^(ж, у, z) = 5 /„ (ж, у) е4 <2nn/d)z#(1.5.13)

n=—СО

Подставляя (1.5.13) в (1.5.116), получим

F^x, у, z) = 2 fn (X, у) e*P"z,(1.5.14)

п=—ОО

где

Рп = Ро + ^-(1.5.15)

Таким образом, поле, описываемое выражением (1.5.14), представляется в виде суперпозиции бесконечного числа бегущих волн, которые обычно называются пространственными гармониками. Волновое число тг-й гармоники —- 0П, вообще говоря, может быть комплексным даже при отсутствии потерь в структуре. Важно подчеркнуть, что каждая пространственная гармоника является лишь фурье-составляющей поля собственной волны и не может существовать независимо; поэтому следует не путать эти гармоники 0 обсуждавшимися ранее собственными типами волн в цилиндрических волноводах.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛЕЙ В ОТКРЫТОЙ ОБЛАСТИ

Как отмечалось в предыдущем параграфе, решения уравнений Максвелла, определяющие электромагнитное поде в цилиндрических волноводах с поперечным сечением конечного размера, можно представить в виде разложения по собственным волнам волновода. Для этих волн характерен дискретный спектр собственных значений, число которых неограниченно велико. С ростом сечения волновода расстояние между соседними собственными значениями уменьшается. В предельном случае неограниченной области спектр собственных значений становится непрерывным; при этом представление для поля в виде ряда по нормальным собственным волнам принимает вид интеграла Фурье. В настоящем параграфе мы кратно обсудим некоторые свойства этого интегрального представления.

Так как в дальнейшем будут обсуждаться краевые задачи лишь для двумерных структур, мы ограничимся здесь рассмотрением интеграла Фурье для представления полей, однородных, например, по у. Пусть функция (р (х, z) — одна из составляющих электромагнитного поля в декартовой системе координат; она удовлетворяет двумерному волновому уравнению

(-д-+£+‘*ьс‘.‘)-о-t1-6-^

Решение уравнения (1.6.1) в области х > Отменено представить в виде

-1-00

ф (а:, z) = -~- J Ф(а)e-^e-v*da, ж>0,(1-6.2)

где Ф (а) — функция a, a

у = (а2 - А;2)1^.(1.6.3)

Непосредственной подстановкой можно проверить, что функция ф (^, 2)> определенная согласно (1.6.2), действительно удовлетворяет волновому уравнению (1.6.1). В области х < 0 можно написать аналогичное выражение для решения, но мы его не будем щесь приводить. При заданном а функцию ехр (— гаг — у#), описывающую зависимость от пространственных координат, можно рассматривать как двумерную плоскую волну. Функция Ф (а) имеет смысл спектральной амплитуды плоской волны с составляющими волнового вектора а и jу соответственно по осям z и х. Следует подчеркнуть, что, поскольку в представлении (1.6.2) а меняется от — оо до 4 оо, в разложении содержатся как однородные (у — мнимое), так и неоднородные (у — действительное) плоские волны.

Заметим также, что у, определенное выражением (L6.3)t является двузначной функцией переменной а. Поэтому необходимо выбрать ветвь функции у так, чтобы представление (1.6.3) определяло решение единственным образом. Этот выбор достигается - наложением условий излучения (см. § 3), которые выделяют уходящие и приходящие волны при больших р = (я2 4- z2)1^. Так как функция Ф (а) в (1.6.2) может быть произвольной, мы требуем, чтобы условие излучения выполнялось для каждой плоской волны непрерывного спектра. В частности, мы требуем, чтобы

Re у>0,(1.6.4а)

ImyCO.(1.6.46)

Чтобы выделить ветвь функции у, удовлетворяющую этим двум । ребованиям, следует провести более детальное рассмотрение аналитических свойств у.

Функция у = (а2 ~ fc2)1/2 имеет точки ветвления при а = ± К Предположим, что среда обладает небольшими потерями, т. е, А = ^ 4* ik^ гДе ^i и fc2 — положительные действительные числа, причем кг ^ к^. Предельному случаю среды без потерь соответ- ( । вует к^ -> 0. Для однозначного определения у можно рассматривать комплексную плоскость а = о 4- it Как двулистную поверхность, листы которой соединяются по берегам разрезов. Па каждом листе функция у однозначно определена как функций

переменной а. При непрерывном изменении а величина у меняется непрерывно, за исключением тех случаев, когда пересекается разрез на комплексной плоскости а; при этом скачком изменяется знак у. Выбор разрезов на комплексной плоскости а в значительной степени произволен, однако в конкретных задачах удачный выбор разреза позволяет существенно упростить решение. Обсуждаемый ниже выбор разрезов обеспечивает удовлетворение наложенных

Рис. 1.5. Области в комплексной плоскости а, ограниченные кривыми Rey2=0 и Im у2 = 0.

на у условий (1.6.4) и, кроме того, оказывается удобным для решения всех задач, рассматриваемых в этой книге. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться только этим способом выбора разрезов.

Проведем разрезы для функции у на комплексной плоскости а так, чтобы на одном из листов римановой поверхности, скажем на верхнем, выполнялось условие Re у > 0, а на нижнем листе было бы Re у < 0. Чтобы эти неравенства выполнялись, следует склеивать листы римановой поверхности вдоль кривой, заданной уравнением Re у = 0, которое и определяет требуемые линии ветвления. Попытаемся провести эти разрезы на комплексной плоскости а. Для этого запишем величину у2 в виде

у2 = [(а2 _ Т2) _ (£2 _ ^ + 2f (QT + fc^ (1.6.5)

Разделим плоскость а на области кривыми, на которых либо Re у2 = 0, либо Im у2 = 0, как показано на рис. 1.5. В областях.

.uulu рпхованных горизонтальными линиями, выполняется условие Неу- О, а в областях с вертикальной штриховкой Im у2 > 0. 11г ьнптрихованные области отвечают условиям Re у2 < 0 и Im у2< О

Для выполнения условия Rey>0 на верхнем листе римановом поверхности необходимо, чтобы на этом листе выполнялось

Рис. 1.6. Разрезы для функции у = (а8 — Л8)1/8.Рис. 1.6. Разрезы для функции у = (а8 — Л8)1/8.

Рис. 1.6. Разрезы для функции у = (а8 — Л8)1/8.

Рис. 1.6. Разрезы для функции у = (а8 — Л8)1/8.

неравенство | Arg у2 | < л. Отсюда в свою очередь следует, чтонеравенство | Arg у2 | < л. Отсюда в свою очередь следует, чтонужно выбирать разрез по линии, определяемой уравнениемнужно выбирать разрез по линии, определяемой уравнениемArg у2 = л или эквивалентными = 0. В результате мы однозначным образом определили положение разрезов, изображенных на рис. 1.6 извилис- гыми линиями. Распределение знаков действительной и мнимой частей функции у на двулистной римановой поверхности приведено в табл. 1.2; при этом области, отмеченные штриховкой,соответствуютзаштрихованным областям наArg у2 = л или эквивалентными = 0. В результате мы однозначным образом определили положение разрезов, изображенных на рис. 1.6 извилис- гыми линиями. Распределение знаков действительной и мнимой частей функции у на двулистной римановой поверхности приведено в табл. 1.2; при этом области, отмеченные штриховкой,соответствуютзаштрихованным областям науравнениями Re у2 < 0 и Im у2 =Таблица 1.2Значения функции у в областях,изображенных на рис. 1.6уравнениями Re у2 < 0 и Im у2 =Таблица 1.2Значения функции у в областях,изображенных на рис. 1.6Re уIm уВерхний+я +лист□ -Нижний—лист□ +Re уIm уВерхний+я +лист□ -Нижний—лист□ +выше способом, обратимся к развыше способом, обратимся к разрис. 1.6.Выбрав разрезы описаннымрис. 1.6.Выбрав разрезы описаннымложению по плоским волнам (1.6.2) и исследуем, выполняются ли условия излучения (1.6.4) для каждой из волн. Если считать, что путь интегрирования по а от —-оо до + оо в (1.6.2) проходит вдоль действительной оси на верхнем листе комплексной плоскости а.ложению по плоским волнам (1.6.2) и исследуем, выполняются ли условия излучения (1.6.4) для каждой из волн. Если считать, что путь интегрирования по а от —-оо до + оо в (1.6.2) проходит вдоль действительной оси на верхнем листе комплексной плоскости а.

неравенство | Arg у2 | < л. Отсюда в свою очередь следует, что

неравенство | Arg у2 | < л. Отсюда в свою очередь следует, что

нужно выбирать разрез по линии, определяемой уравнением

нужно выбирать разрез по линии, определяемой уравнением

Arg у2 = л или эквивалентными = 0. В результате мы однозначным образом определили положение разрезов, изображенных на рис. 1.6 извилис- гыми линиями. Распределение знаков действительной и мнимой частей функции у на двулистной римановой поверхности приведено в табл. 1.2; при этом области, отмеченные штриховкой,соответствуют

заштрихованным областям на

Arg у2 = л или эквивалентными = 0. В результате мы однозначным образом определили положение разрезов, изображенных на рис. 1.6 извилис- гыми линиями. Распределение знаков действительной и мнимой частей функции у на двулистной римановой поверхности приведено в табл. 1.2; при этом области, отмеченные штриховкой,соответствуют

заштрихованным областям на

уравнениями Re у2 < 0 и Im у2 =

Таблица 1.2

Значения функции у в областях,изображенных на рис. 1.6

уравнениями Re у2 < 0 и Im у2 =

Таблица 1.2

Значения функции у в областях,изображенных на рис. 1.6

Re у

Im у

Верхний

+

я +

лист

□ -

Нижний

—

лист

□ +

Re у

Im у

Верхний

+

я +

лист

□ -

Нижний

—

лист

□ +

выше способом, обратимся к раз

выше способом, обратимся к раз

рис. 1.6.

Выбрав разрезы описанным

рис. 1.6.

Выбрав разрезы описанным

ложению по плоским волнам (1.6.2) и исследуем, выполняются ли условия излучения (1.6.4) для каждой из волн. Если считать, что путь интегрирования по а от —-оо до + оо в (1.6.2) проходит вдоль действительной оси на верхнем листе комплексной плоскости а.

ложению по плоским волнам (1.6.2) и исследуем, выполняются ли условия излучения (1.6.4) для каждой из волн. Если считать, что путь интегрирования по а от —-оо до + оо в (1.6.2) проходит вдоль действительной оси на верхнем листе комплексной плоскости а.

!- 0367

то условия излучения выполняются для любого а на пути интегрирования и интегральное представление полностью определено.

Верхний лист определенной выше римановой поверхности мы иногда будем называть «подходящим листом» в связи с тем, что положительным значениям Re у на этом листе отвечают затухающие на бесконечности волны в разложении (1.6.2). На нижнем листе римановой поверхности Re у < 0 и условия излучения не выполняются; этот лист — «неподходящий». Заметим, что, выбрав контур интегрирования в разложении (1.6.2), как описано выше, мы можем в соответствии с теорией аналитических функций деформировать его произвольным образом на двулистной римановой поверхности.

МЕТОД ПЕРЕВАЛА

При рассмотрении краевых задач для открытых областей решение зачастую выражается интегралом типа (1.6.2), где функция Ф (а) известна. За исключением немногих частных случаев, интеграл по а при этом точно не вычисляется. Однако поле в дальней

Рис. 1.7. Полярные координаты.

зоне, которое, как правило, и представляет наибольший интерес в задачах для открытых областей, можно выразить в более простом виде, если применить для приближенного вычисления интеграла асимптотический метод перевала. В настоящем параграфе будет дано краткое описание этого метода.

Рассмотрим интеграл (1.6.2), который перепишем в виде

<р(р, 6) = —4= f ф(а)е-Р<{а81п6+^со8е>^а,|0|<л/2.(1.7.1)

1/2 л J

(1.7.2)(1.7.2)Здесь введены полярные координаты (рис. 1.7)

(1.7.2)

(1.7.2)

х = р cos 6, z — р sin 6.

Получим основной член разложения функции ф (р, 9), определенной интегралом (1.7.1), при ftp-> сю.

Предположим, что заданная аналитическая функция Ф (а) не имеет особенностей на двулистной поверхности, за исключением точек ветвления функции у = (а2 — к2)1^. Произведем замену переменных согласно соотношению

а = к sin w = к sin (u + in);(1.7.3)

обратное преобразование при этом имеет вид

w = arcsin (а/А:).(1.7.4а)

Заметим, что арксинус — многозначная функция. Для того чтобы обеспечить однозначное соответствие отображения комплексной

б

Рис. 1.8. Два листа римановой поверхности в комплексной плоскости а: (а) верхний лист (Re у > 0); (б) нижний лист (Re V < 0).

плоскости а на плоскость w, перепишем обратное преобразование в виде

w = -iln(i^)(1.7.46)

и будем понимать под In z главную ветвь логарифмической функции

In z = In | z | + i Arg z, — л < Arg z < л. (1.7.5)

Рассмотрим более подробно отображение комплексной плоскости а на плоскость w. Во избежание осложнений будем рассматривать случай среды с бесконечно малыми потерями, считая к^ -►• --> +0. На рис. 1.8 изображены два листа римановой поверхности

функции у, причем восемь пронумерованных областей разделяются вырожденными гиперболами: от = кгк^ к^ ->- +0. Соответствующие области на плоскости w нетрудно получить с помощью соотношения (1.7.46). В качестве примера рассмотрим бесконечно

Рис. 1.9. Плоскость комплексного переменного w после замены переменного (1.7.46).

удаленную точку на отрицательной действительной оси в области 3 на плоскости а. Соответствующее значение у оказывается равным

7 = Иш [(-|a|-i|T|)2-/c2]1/2 =

= lim[|o| (1-12L) + i|T|j ,(1.7.6)

где знак квадратного корня определяется согласно условию, указанному на рис. 1.8. Подставляя это значение в (1.7.46), находим

*=-1Иш[1п (^|4|)] = -’Ит [in (^-^)] = -^ + too.

(1.7.7)

Можно заметить, что соответствующая точка из области 7 (нижний лист римановой поверхности) получается изменением знака у в выражении (1.7.6) ц переходит в точку w = —• (л/2) — ioo комплексной плоскости w. Аналогично можно показать, что двулистная поверхность Римана отображается на плоскость w так, как это показано на рис. 1.9. Можно еще отметить, что на плоскости

ш области 6 и 8 не имеют общей границы, хотя на плоскости а у них есть общая точка а = 0. Объясняется это наличием логарифмической точки ветвления при z = 0 у функции In z, осуществляющей отображение (1.7.46).

Вернемся теперь к интегралу (1.7.1). Путь интегрирования, отвечающий действительной оси на плоскости а, обозначен буквой Р и изображен на рис. 1.9. На всем пути Р

у = У(к sin w) — к2 = — ik cos w. (1.7.8)

Подставляя (1.7.8) и (1.7.3) в (1.7.1), получаем

<р(р, 0) = А j Vkcosw Ф (ksinw)VkpgW dwt (1.7.9а) р

где

g^w^i cos (w + 0).(1.7.96)

Выражение (1.7.9) удобно для применения метода перевала.

Суть этого метода состоит в деформации контура Р, по которому берется интеграл (1.7.9а), в новый контур Р, на комплексной плоскости х) ws который выбирается так, чтобы на нем Im g (w) овевалась постоянной, a Re g (w) достигала максимума в некоторой j очке 2) w8 и монотонно убывала при удалении от w8. Точка wt называется седловой точкой или точкой перевала и определяется уравнением

11ри кр -> оо основной вклад в интеграл (1.7.9) по новому контуру /\ вносит лишь малая окрестность точки и?8г>) вследствие экспо- ।инициального убывания подинтегрального выражения, что обу- < ловлено множителем exp [ip Reg(ip)]. Это свойство подинтеграль- пого выражения в (1.7.9) дает возможность найти явный вид для приближенного значения рассматриваемого интеграла.

Начнем с определения контура Ps. В частном случае, когда функция g (ю) задана формулой (1.7.96), имеются следующие сед- иовые точки: ws = пл — 9, п = 0, ±1, ±2, . . . . Рассмотрим седловую точку w8 = —0; при этом g (w8) = 0 + i. Проведен- пыо через w8 контуры интегрирования, на которых g (w) постоянна, он р оделяются уравнением

Im g (w) = cos (и + 0) ch и = 1.(1.7.11)

Эти контуры SDP и SAP изображены на рис. 1.10. Для произвольной точки w^ ( ^ ws) контура SDP действительная часть Re g (w) монотонно убывает при удалении от седловой точки, и, следовательно, этот контур является линией наибыстрейшего спуска *). Для любой точки ш0 ( =^ш8) контура SAP справедливо неравенство Re g (w0)>Re g (ws) = 0, и, таким образом, SAP представляет собой линию наибыстрейшего возрастания. Очевидно, что

V

Рис. 1.10. Линия наибыстрейшего спуска в комплексной ПЛОСКОСТИ W.

контур Р в интеграле (1.7.9) следует деформировать в контур SDP (ранее названный Рз), и, таким образом, основной вклад в интеграл определяется малой окрестностью kP8 седловой точки ш8 = = —0. Важно отметить, что деформация контура Р в контур Р8

х) Аналитическая функция g (w) должна обладать следующими свойствами.

На контуре Ps, определенном условием Im g (ip) = const, Re g (w) строго монотонна между соседними седловыми точками. При наличии на Р8 лишь одной седловой точки Re g (ш) монотонна везде.

Среди всех контуров, проходящих через заданную точку м?0, независимо от того, является ли она седловой точкой или нет, лишь те, на которых выполняется условие Im g (w) = const, являются линиями наибыстрейшего изменения Re g (ш).

Для произвольной точки м>0, отличной от седловой точки, имеется лишь один контур, определенный условиями Im g (ш) = Im g (w0) — const.

проводится в предположении равенства нулю вклада в интеграл от лежащих на бесконечности отрезков АВ и CD. В справедливости последнего нетрудно убедиться, так как оба отрезка АВ и CD целиком лежат на верхнем листе римановой поверхности а, где подинтегральное выражение (1.7.9) экспоненциально убывает. Интеграл (1.7.9) по новому контуру Р8 можно аппроксимировать выражением

Ф (р, 0) ~ ^ j [fccos 1рФ (к sin u?)] eftp^<w> dws кр->- оо. (1.7.12) ар^

Так как функция Ф (к sin w) регулярна на контуре Р8 и в его окрестности, можно воспользоваться следующей приближенной оценкой, справедливой в пределах малого отрезка АР8:

к cos w Ф (к sin w) ^ к cos 0Ф (— к sin 0),ip С АР8. (1.7.13)

Функцию g (ip) также можно аппроксимировать первыми тремя членами разложения в ряд Тейлора в седловой точке:

g (w) = g (lPs) + g' (w8) (W — Ws) + J g" (IPs) (w — IPs)2 =

= 1 + О + 4(-О(^ + 0)г, w£bP„(1.7.14)

причем второй член ряда равен нулю в силу условия стационарности (1.7.10). Подстановка (1.7.13) и (1.7.14) в (1.7.12) дает

Ф (р, 0) ~ -^[А:со80Ф ( — Л:sin0)] eihp J е~^к^ (w+6)2dw. (1.7.15)

APS

Используем замену переменной w' = w + 6. Заметим, что контур Р8 проходит под углом Зл/4 к оси и в верхней полуплоскости (р> 0) и под углом — л/4 в нижней полуплоскости (рис. 1.10). Отсюда следует

t J | w’ | е*3л/4, w^APg и v>0, ш ~ | \wf \ e-iTt^1 u/^kPg и v<0,(1.7.16)

и, таким образом,

Ф (р, 0) ~ \к cos 0Ф (— к cos 0)] С^р—(^/4)J х

г

Х2 J e-^kPlwMji^], Др-^оо, (1.7.17) о

где Г — малое расстояние от точки ы8 до любого из краев отрезка АР8. Воспользовавшись следующей асимптотической оценкой

итеграла вероятности: г

^erf(^^r) ~ (Z^, 4р-оо, о

(1.7.18)

получим окончательный результат при | 01 < л/2

ф(р, 0) ~ j/"$^гг^Р-(л/4)1 [Acos 0Ф( —Asin 0)], Ар->оо.

(1.7.19)

Как следует из этого выражения, пола в дальней зоне имеет вид цилиндрической волны с угловым распределением

Р (0) = к cos 0 Ф (—к sin 0), (1.7.20) которое отличается от амплитуды плоской волны, распространяющейся в направлении, определяемом углом 0, в спектральном разложении (1.7.1) лишь множителем к cos 0.

Обратим внимание на выражение (1.7.19). Оно определяет главный член асимптотического разложения интеграла (1.7.1) в том случае, когда единственными особенностями подинтегральной функции Ф (а) являются точки ветвления корня у = (а2 — А2)1^. В ряде краевых задач электродинамики амплитудное распределение плоских волн Ф (а) может иметь и другие особенности, например полюсы на комплексной плоскости а. В случае когда эти полюсы расположены достаточно далеко от седловой точки w8 = В или а8 = — к sin 0, асимптотическое выражение (1.7.19) по-прежнему остается верным; при этом если в процессе деформации контура Р в контур Р8 пересекаются некоторые из полюсов, в окончательном значении интеграла необходимо учитывать вклад от вычетов в этих полюсах. Если же хотя бы один из полюсов расположен вблизи седловой точки, приближенное выражение (1.7.13) теряет силу и поэтому простая асимптотическая формула (1.7.19) должна быть модифицирована. Описание более точного рассмотрения, которое следует проводить в этом случае, можно найти, например, в [33] или в [24].

ГЛАВА 2

МЕТОД СШИВАНИЯ

$ 1. ВВЕДЕНИЕ

В этой главе мы обсудим метод частичных областей, или метод сшивания, наиболее распространенный при формулировке краевых задач. Этот метод удобно использовать для исследования структур сложного вида, распадающихся на две (или более) простые смежные области, для каждой из которых можно получить решение с помощью разделения переменных. Первый шаг при решении задачи методом сшивания состоит в представлении неизвестных полей в каждой из частичных областей в виде разложения по собственным функциям соответствующей области х).

Так как явный функциональный вид для взаимно ортогональных собственных функций известен, задача сводится к определению системы коэффициентов (или амплитуд) при собственных функциях в разложениях поля в каждой из частичных областей. Для полного решения задачи необходимо потребовать выполнения условий непрерывности полей на общих границах частичных областей. Это требование и использование свойств ортогональности собственных функций приводит обычно к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений для неизвестных амплитуд собственных волн. Найти точное решение бесконечной системы уравнений в общем случае невозможно, и обычно ограничиваются получением приближенного решения с помощью методов редукции или последовательных приближений. Существует, однако, целый класс краевых задач, для которых получающиеся бесконечные системы уравнений допускают точное решение. В этой главе на основе метода сшивания будет рассмотрена формулировка задач и последующее решение результирующей системы уравнений именно для такого класса задач. В дальнейшем в гл. 4 будут рассмотрены некоторые приближенные методы, пригодные для задач, которые не могут быть решены точно.

г) Здесь мы ограничимся рассмотрением лишь случая, когда система собственных функций характеризуется дискретным спектром Обобщение на случай непрерывного спектра собственных значений будет проведено в гд. 4.

РАЗВЕТВЛЕННЫЙ ВОЛНОВОД I.ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрение задач, допускающих точное решение, начнем о задачи о рассеянии поля в плоском волноводе идеально проводящей бесконечно тонкой полуплоскостью, параллельной стенкам волновода (рис. 2.1). Предположим, что из области А

Область ДОбласть ДРис. 2.1. Плоский разветвленный волновод.Рис. 2.1. Плоский разветвленный волновод.]

Область Д

Область Д

Рис. 2.1. Плоский разветвленный волновод.

Рис. 2.1. Плоский разветвленный волновод.

I Область С

Область В

надает собственная волна типа TEli0. Отличные от нуля составляющие электромагнитного поля падающей волны имеют вид

Е^ = ф«> = sin (^-) e-W,(2.2.1а)

<2-2Л«>

где Tia = 1(л/а)2 — А:2]^, к = о) VН8- Задача состоит в определении рассеянного поля во всех областях А, В и С.

Поскольку рассматриваемая структура однородна в направлении у, рассеянное поле состоит лишь из волн типа ТЕ. Так же как и для падающего поля, определяемого формулами (2.2.1), все составляющие рассеянного поля можно выразить через составляющую Еу = ф, причем функция ф удовлетворяет волновому уравнению’

(^- + -5- + У)».2)-0(2.2.2)

и следующим граничным условиям: -

ф удовлетворяет условию излучения при | z | -> оо.

ф = 0 при х = 0, а для всех z; ф = О при х = b, z > 0.

Касательная составляющая полного электрического поля ф<*> = ф(г> + ф и касательная составляющая полного магнитного дф<0 дф^) . дф поля, пропорциональная величине~—|-, должны

быть непрерывны в плоскости z = 0.

ф должна удовлетворять условию на остром ребре при х = b, z = 0 (см. (1.3.19)):1

Ф~р1/г, ;4г’1Г~Р“1/2 п₽и Р = №-6)2 + 22]1/2->0. (2.2.3)

Условия 1 и 2 будут выполняться, если представить ф в каждой из областей А, В и С в виде разложения по собственным волнам, уходящим от плоскости z = 0. Мы имеем, таким образом, следующие разложения:

при z < 0 (область Л)

Ф = 2 ^n sin (““- ^) е^м*;(2.2.4)

П=1

при 0<^<Ь, z>0 (область В)

Ф= 2 вп sin ^^- х) е~чп№(2.2.5)

при b<^<a, z>0 (область С)

Ф=2 ^дш^^-бф-гпс*,(2.2.6)

71=1

где {Тиа}, {*Упь} и {упс} — продольные волновые числа, или постоянные распространения собственных волн соответственно в областях Л, В и С, определяемые формулой1

Ynd = [(ял/d)2 — &2]1/2а d = а, b или с.

Как уже упоминалось в § 1.5, знак квадратного корня в постоянных распространения выбирается так, чтобы при действительном к результирующее у было отрицательным мнимым числом для свободно распространяющихся волн или положительным действительным числом для запредельных волн. (Напомним, что во всей книге множитель, выражающий зависимость от времени, принят в виде е"ш^

Наложение условия 3, т. е. сшивание различных разложений для поля при z = 0, приводит к следующим соотношениям:

при 0 < х < Ъ

^(у^ + З ^^^^^^ 2 Bnsin^^x^ , (2.2.7а) 71=171=1

ОООО

Via sin ^ ж) — 2 Ап^па sin ^^ ж) = 2 BnVnbSin (^- ж), (2.2.76) 71=171=1

при Ь<.х<.а

sin (у ж) + 2 ^nsin(-^ ж) = 2 c»sin (v-^—ь)) -П=1П=1

(2.2.8а)

Via sin (у ^) — 3 А^» sin ("^ ж) = 2 С"^с sin ("Г" (ж—^ П—1П=1

(2.2.86)

Воспользовавшись ортогональностью собственных функций (см. § 1.5), можно из (2.2.7) — (2.2.8) получить систему уравнений, содержащую лишь коэффициенты {Лп}. Для этого умножим уравнения (2.2.7) на sin (тпл/Ь) х и проинтегрируем по х от 0 до Ь. В результате получим

(-1)”62 “2^t(-1)”62 “2^t(2.2.9a)(2.2.9a)sin (л/а) b . 5п Лп sin (мл/а) Ъ

(-1)”62 “2^t

(-1)”62 “2^t

(2.2.9a)

(2.2.9a)

71а - ^тЪЧпа — ЧтЪ

п=1

sin (я/а) 6VleY?a—Ттьsin (я/а) 6VleY?a—ТтьЛпвт(»л/в)Ь( —1)тЬ2/О о пя\

sin (я/а) 6

VleY?a—Тть

sin (я/а) 6

VleY?a—Тть

“ ^-^ ■ =^ь-^гв- ^-2-^

При выводе полученных ранее уравнений предполагалось, что для Любых т и п величина (пл/a)2 не равна (тпл/b)2, т. е. отношение Ыа выражается иррациональным числом. Однако уравнения (2.2.9) и последующие остаются справедливыми и в этом предельном случае.

Аналогично, умножив (2.2.8) на sin [игл (х — Ь)/с] и произведя интегрирование от а до Ь, получим

sin (л/а) ЪVia Чтсsin (л/а) ЪVia ЧтсАп sin (пл/а) b ( — 1) с2Ап sin (пл/а) b ( — 1) с2Тпа Ттс п=1Тпа Ттс п=12тл2тлСт, (2.2.10а)Ст, (2.2.10а)

sin (л/а) Ъ

Via Чтс

sin (л/а) Ъ

Via Чтс

Ап sin (пл/а) b ( — 1) с2

Ап sin (пл/а) b ( — 1) с2

Тпа Ттс п=1

Тпа Ттс п=1

2тл

2тл

Ст, (2.2.10а)

Ст, (2.2.10а)

sin (я/а) 6^Лп81п(ял/а)6_(-1)с2_

VU Т?а-Т^ “ А Тп° Тйа-Y^ "Ттс 2тл С"- (2 2Л0б)

Последний этап в выводе системы уравнений для коэффициентов {Ап} состоит в исключении из (2.2.9)—(2.2.10) коэффициентов {SJ и (спу

Окончательно получаем

У — л; = —£—,(2.2Л 1а)

^ Tna ТтЪ Via ~Ь Vmb

m = 1, 2, 3, ... ,

У л; = ^—,(2.2.116)

Yna~Ymc Vla + Ymc

n=l

где An = An sin (плЬ/а), A' = sin (лЬ/а). Заметим, что система уравнений (2.2.11а) получена сшиванием полей на граничной поверхности z = О, 0 < х < Ъ, а система (2.2.116) — сшиванием на дополнительной поверхности z = О, Ъ < х < а. В результате система (2.2.11) представляет собой парную бесконечную систему уравнений, которые следует решать совместно. Приведем еще полезные соотношения, выражающие неизвестные амплитуды собственных волн {Вт}, {Ст} через коэффициенты {Ап}, отличные от (2.2.9) —- (2.2.10). Эти соотношения можно получить, умножая (2.2.9а) на ^тЪ и складывая полученное уравнение с (2.2.96); аналогичную операцию следует проделать с уравнениями (2.2.10). В результате получим

г-^ (^- 2•(2.2.12.)

П=1

т = 1, 2, 3, ... .

Ст = ЬД^ (—£у —£$—)(2.2.126)

С^тс м^а Что Tna Утс1

п=1

Системы уравнений (2.2.11) и соотношения (2.2.12) весьма удобны для решения методом вычетов, который будет подробно обсуждаться в § 2.4.

Исходя из (2.2.7) —- (2.2.8), можно получить систему для коэффициентов ^Вп) и {Сп}, сходную по характеру с уравнениями (2.2.11); эта новая система оказывается удобной для нахождения решения методом прямого обращения. Чтобы получить такую систему уравнений, нужно умножить (2.2.7) и (2.2.8) на sin (тлх/а) и провести интегрирование по всем х (0 х ^ а). В результате получим

l(«i.+4J=

=^(^ь)[2 n=l=^(^ь)[2 n=l(2.2.13)(2.2.13)(—1)п+1(Пл/6)Вп tn (пл/с) Сп 1

=^(^ь)[2 n=l

=^(^ь)[2 n=l

(2.2.13)

(2.2.13)

Tnb Yma^ Ync YmaJ ’

п=1

^ Ута (6^ Лт) —

= sin ( — b\ Г У V (-1)"+1 («"/») Sn у (пп(с) Сп -I \ « °) L2j Ьь 72ь-72,о+2j ^^-v’J ,

n=ln=l

(2.2.14) где

{

1 при т~=

О при т = О

— символ Кронекера. Исключая из (2.2.13) —(2.2.14) коэффициенты Ат, получаем требуемую систему уравнений относительно

№ и №

^ УпЬ~ Ута^1 Упс — УтаS-П (лб/а) m’’ ’ ’’

n—1n=l

(2.2.15) где

В; = (— l)n+1 (пл/5) Bn и С'п = (пп/с) Сп.

Суммируя полученные до сих пор результаты, можно сказать, что метод сшивания приводит к трем различным бесконечным системам алгебраических уравнений: (2.2.11), (2.2.12) и (2.2.15). В дальнейшем мы рассмотрим два пути решения этих уравнений. Будет показано, что для решения одной из этих систем уравнений наиболее подходящим оказывается метод прямого обращения, а в другом случае более удобно использовать метод вычетов.

Прежде чем перейти к описанию решения полученной бесконечной системы уравнений, сделаем небольшое отступление. Обратим внимание на то, что до сих пор мы использовали лишь первые три условия, входящие в формулировку граничной задачи, а условие 4 (определяемое соотношениями (2.2.3)), связанное с поведением поля вблизи острого ребра, пока не учитывалось. Могло бы показаться, что это последнее излишне. Однако, как мы вскоре убедимся, это условие необходимо при получении единственного решения бесконечных систем уравнений. Мы увидим, что системы уравнений (2.2.11), (2.2.12) и (2.2.15) допускают произвольное число решений, каждое из которых математически корректно. Однако лишь одно из этих решений удовлетворяет условию 4 и является, таким образом, истинным решением рассматриваемой физической задачи.

Покажем, что условие (2.2.3) на ребре определяет асимптотическое поведение коэффициентов {Лп}, {5П} и {Сп} при больших

п. Запишем выражения него поля в области А:п. Запишем выражения него поля в области А:для составляющих рассеянного магнит-

п. Запишем выражения него поля в области А:

п. Запишем выражения него поля в области А:

я.-^4г=^2 Т^Ч^1)8""' (2.2.16а) П=1

н J_8»J_ V J^ лпсо8(—аЛеТпаг. (2.2.166)

кор, Эх нор а\ a j'

Заметим, что ^па = О (п) при п -> оо, и предположим, что Ап = = О (тгт) при п -> оо, причем постоянную т требуется определить» Полагая в (2.2.16) х = Ъ, z -> —0, получаем

гдегдеg и ^ = 0^^,2^ + 0,(2.2.17а)

где

где

/i(z) = 2 n1+v-nl*i.(2.2.176)

п=1

Воспользовавшись оценкой (1.4.1), найдем h (z) = О (| z |"х"2) при | z | -*- +0. В соответствии с условием (2.2.3) на ребре получим

т==-|(22.18)

и, следовательно, Ап = О (^-3/2), пОО.(1.2.19а)

Аналогично можно показать, что Sn, Сп = О (гГ8/2), п -> оо.(2.2.196)

Соотношения (2.2.19) определяют асимптотическое поведение амплитуд собственных волн структуры, установленное с помощью условия на ребре. В следующем параграфе мы получим решение для неизвестных коэффициентов {An}, (5П) и {Сп}, удовлетворяющее этим соотношениям.

РАЗВЕТВЛЕННЫЙ ВОЛНОВОД II. РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ПРЯМОГО ОБРАЩЕНИЯ

Прежде всего мы получим решение задачи о разветвленном волноводе методом прямого обращения матрицы системы [49]; при этом будут использованы системы уравнений (2.2.11) и (2.2.15).

Обратимся сначала к парным бесконечным системам уравнений (2.2.11) относительно коэффициентов {Лп}. Решение проведем в два этапа. Вначале произведем редукцию бесконечной системы так, чтобы редуцированная система содержала Р уравнений (2.2.11а) и Q уравнений (2.2.116). Редуцированную систему уравнений решим с помощью правила Крамера. И наконец, перейдем к пределу при Р ->- оо, Q -> оо таким образом, чтобы выполнялись соотношения (2.2.19).

РЕШЕНИЕ РЕДУЦИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Редуцированная система уравнений (2.2,11) имеет вид

N

5 Л =—V- , Р = 1, 2, 3, Р, (2.3.1а)

Тпа-ТрЬ Yia + Vpb ’’’’’’'’

П=1

N

5^п=—^-—, 9 = 1, 2, 3, ...,Q,(2.3.16)

Тпа-Vgc Yia + Vge 47

n=l

где N = Р + Qi а относительные величины Р и Q пока произвольны. Систему линейных уравнений (2.3.1) можно представить в матричной форме

НА = В,(2,3.2)

где А = [Л', А2, . . ., AnAt — неизвестный TV-мерный вектор (индекс Т означает транспонирование), В — заданный вектор, определяемый правыми частями уравнений (2.3.1), Н — квадратная матрица порядка N X N, связывающая А и В согласно уравнениям (2.3.1).

Классический метод решения матричных уравнений типа (2.3.2) состоит в применении правила Крамера, согласно которому п-й элемент А^ вектора А определяется отношением А(П)/А, где А — определитель матрицы Н, А(П) — определитель, полученный из А заменой n-го столбца на В. Для получения полной системы коэффициентов {Лп} нужно повторить процесс вычисления N раз. Рассматриваемый метод не очень удобен для численного обращения матричного уравнения. Однако, как будет показано далее, специальный вид элементов Н, А и В позволяет с помощью правила Крамера получить решение для {Лп} в замкнутой форме.

Ключом к решению уравнения (2.3.2) служит то обстоятельство, ПТЛа ТГОМОТТТТЛ ПЯРРМЯТПППЯ ПМЛИ МЯТПИТШ ТГМАШТ ПТПШЯТтТШЙ

определителя приводится ниже:

1111

Yla Ylb ’ Y2a Ylb ’ Y3a Tib ’’ ViVa Ylb

1111

Yla — Y2b ’ Y2a ~ Y2b ’ Ysa™ Y2b ’ * * * ’ 4Na-y2b

A =

1

1

1

1

(2.3.3)

Yla—YPb’

Y2o- Ypb ’

Y3a— VPb ’ ‘ '

?№ —YPb

1

1

1

1

•

Yla-Ylc ’

Y2a — Yle ’

Y3a —Yle ’ *

* ’’ ^Na— Yle

1111

Yla —YQc’ Y2a-YQc’ Y3a - YQc ’ “ ‘ ’ YNo~YQc

Каждый элемент определителя выражается частным от деления единицы на разность двух величин, например упо и урЬ или у9С. Одна из этих величин ^па изменяется при движении вдоль строк, а YPb и Vас изменяются вдоль столбцов. Очевидно, что при yna ->

Ута \п ^ ^) определитель А имеет нуль первого порядка. Кроме того, знаменатель определителя А должен содержать множители ^па — урь) и (упа — удс) для различных комбинаций индексов. Основываясь на этих соображениях, можно получить следующее полное выражение определителя:

N N-lР Р-1

А = ( — 1) Д Ц (Yna ?та) Ц Ц (?pb Ysb) X n=m4-l m=lp=s+l в=1

Q Q-lРQ

П II (Ygc-Trc) П П (Ypb-Ygc)

(2.3.4)(2.3.4)9=r+l г=1р=19=1

(2.3.4)

(2.3.4)

А N РN Q

П П ^па— УрЬ) JJ Д (Yna Yqc)n=l р=1n=l 9=1

где индекс v, равный нулю или единице, зависит от значений Р и Q и пока не определен. Вообще говоря, нет необходимости уточнять значение v, так как вычисляются не величины определителей, а лишь отношения А(т)/А. При этом общие постоянные множители, входящие в определители, сокращаются. Находя решение системы (2.3.2) по правилу Крамера, с учетом частного вида правой части (2.3.1) получаем

Д = Sjn (^Z^) ^ (Ymg"»" Yla) (2 3 5) т sin (rnnb/a) A ’ \ • • /

где символом А ^та -*—у1а) обозначено значение определителя А, в котором ута заменено на — у1о.

Формулы (2.3.4) — (2.3.5) определяют искомое решение для {Лт}. Сокращая общие множители в числителе и знаменателе, окончательно получаем

РQN

д _. sin (лЬ/я) уу урь — ^та уу удс — Ута тт(7П) ^па + Vu /2 3 g\ т— 8Ш(771ЛЬ/а) 11 Vpb + Yla -*-1 Yqc + Via Vna”Vma ’ V *

P=1Q=1П=1

где индекс (m) в последнем произведении означает, что опущен множитель с п = т. Выражение (2.3.6) определяет точное решение редуцированной системы уравнений (2.3.1) относительно коэффициентов Ат.

РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Следующий этап решения, как отмечалось раньше, заключается в осуществлении предельного перехода при Роо, Q->- оо. Прежде чем перейти к пределу в (2.3.6), необходимо совершить некоторые преобразования. Связано это с тем, что произведения, входящие в (2.3.6), расходятся при устремлении верхнего предела к бесконечности. Для того чтобы обойти эту трудность, заметим, что произведение вида

р

Ц (1— j

Р=1

сходится равномерно при Р ->- оо (см. задачу 2.1). С помощью тождественных преобразований представим (2.3.6) в виде

р

^W^ 0„D Г (Yma + Tla\ /° \ 1 ТТ ^тпа^рЪ v

6ХР Ц л J m / J И 1 + Yla/V ь Х

Р=1

Х6ХР [+^™ + ?‘“)] П V^ ехР [+-^(Tma + Tlo)] X 9=1

N

где(2.3.7а)

NРQ

х-24-»2т-сЗт-(2.3.76)

Теперь можно найти предельные значения сомножителей в (2.3.7а) при неограниченном возрастании Р, Q и N. Во-первых, найдем

предельное значение %, определяемого согласно (2.3.76). Используя тождественное преобразование, можно написать

Nlim% = lim Г а ( 2 -Р-ооР-* оо I '"Q-*oo Q-*oon—1Nlim% = lim Г а ( 2 -Р-ооР-* оо I '"Q-*oo Q-*oon—1-1„№)-»(2 у-ШР)-P=1-1„№)-»(2 у-ШР)-P=1

N

lim% = lim Г а ( 2 -

Р-ооР-* оо I '"

Q-*oo Q-*oon—1

N

lim% = lim Г а ( 2 -

Р-ооР-* оо I '"

Q-*oo Q-*oon—1

-1„№)-»(2 у-ШР)-

P=1

-1„№)-»(2 у-ШР)-

P=1

Q

-c(2 -—lny)] + lim [aln^ —blnP —cln^J. (2.3.8) 9=1q2^

Вспомнив определение постоянной Эйлера

м

С = limС = lim(2.3.9)(2.3.9)(2 ^"—1пМ) =°,57721

С = lim

С = lim

(2.3.9)

(2.3.9)

771=1

мы убеждаемся, что предел первого слагаемого, заключенного в квадратные скобки в (2.3.8), равен нулю. В результате имеем

Ит%=Ит [fcln (1 + -2-) +cln (1+-L)] .(2.3.10)

Q->oo Q-*oo

Видно, что предельное значение % определяется пределом отношения Р/Q при неограниченном росте Р и Q. Другими словами, бесконечная система уравнений (2.2.11) обладает относительной сходимостью ч т. е. при неограниченном увеличении порядка редуцированной матрицы решение сходится к различным системам коэффициентов {Лп} при различных значениях отношения Р/Q. Такое поведение решения бесконечной системы уравнений (2.2.11) не является совершенно неожиданным, так как можно было ожидать, что выбор единственного решения возможен лишь при наложении условия на ребре.

Покажем теперь, как с помощью условия на ребре определить единственным образом предельное значение отношения P/Q.

Перепишем выражение (2.3.7а) для Ат в виде

где множители Ет, F и Gm определены следующим образом:

РQ

F = тт U — Yma/Yp&l [1 + Yia/(pn/b)J jj [1 — Yma/ygc] [1 + Yia/(gn/c)] m11 [1— Ута/(РЯ/Ъ)] [1 + Yla/Ypb] 11 [1 — Yma/(9n/c)| [1 + Yla/Ygc] *

Р=1д=1

N

П

№) [1 + у1о/упо] [1 — ^/(пл/а)]„ „ .„

,[l + Yla/^Wltl-Yma/Tnar ^d1^

n=?l

N,

F = ^-1 -Q—-,(2.3.13)

П (l + ^Yla/P^e Vla2Mt JJ (l + cYfa/gn)« 0410 9,1 _ p=fg=l

{1 —Yma/(m"/«)] [] (1 — bVma/pn) e^m»/P" J] (1 — c^/gn) eC?maM /2 _p=lq=l

[l + W(mn/a)] [J (1— аута1пя) e^™ ППn=l

(2.3.14)

Для того чтобы воспользоваться условием на ребре в виде (2.2.19), следует сначала установить асимптотику коэффициентов {Лт} при больших т. Заметим, что Ет стремится к постоянной при неограниченном возрастании Р hQ для любого фиксированного т (см. задачу 2.1). Множитель F при Р -^ сю, ф-> сю можно выразить через гамма-функции (см. (1.4.2в)):

р = ^с . У,а. ^ (^У1а/л:) Г (сТ1д/я)(2 3 15)

~ а * л * Г(ау1О/л) ’\)

и, таким образом, его предельное значение тоже константа. Остается рассмотреть множитель Gm. Воспользовавшись оценками (1.4.11), нетрудно убедиться, что асимптотическое значение Gm определяется соотношением

От ~ {m?^"!^111^г } sin (byma) sin (cyma) X

I [(6c/2a) yma] /28ш(аута) )

X exp { --^[bln (IJ+cln (7-)]} , m-*oo. (2.3.16)

Так как ^ma ^ (тП/а1) {1-—[fc/(mn/a)]2} при m->oo, асимптотика заключенного в скобки первого множителя в выражении (2.3.16) имеет вид О^т-3!^, или

^^уй^8™^»)8™^"*")6^ { —т[Мп (т) +

4-Cln(|)]}f т->оо. (2.3.17)

Для асимптотики коэффициентов {Лт} иЬ (2.3.11), (2.3.12), (2.3.15) и (2.3.17) получаем

Лт = О ^mr3l4WaW^ т -*• оо,(2.3.18)

«до«доQ—►ооQ—►оо1+Р/С14-6/с1+Р/С14-6/с(2.3.19)(2.3.19)

«до

«до

Q—►оо

Q—►оо

1+Р/С14-6/с

1+Р/С14-6/с

(2.3.19)

(2.3.19)

Если потребовать, чтобы найденное решение (2.3.18) удовлетворяло условию на ребре, определенному согласно (2.2.17а), то отношение PiQ должно быть выбрано единственным образом:

vРЬР-*ОО QСvРЬР-*ОО QС(2.3.20)(2.3.20)Q—>ооQ—>оо

vРЬ

Р-*ОО QС

vРЬ

Р-*ОО QС

(2.3.20)

(2.3.20)

Q—>оо

Q—>оо

Воспользовавшись этим результатом, можно теперь вычислить предел выражения (2.3.7а) при P-^oo^Q-^oo^ получить окончательное решение для Ат, удовлетворяющее всем граничным условиям, сформулированным в § 2:

Лго=-25Ц^ехр№^^

sin (тлЪ/а) г \ л I L \ b / 1\ с / J т ) /

у ТТ ^”4mah?nb /b/nn)(vmo4-Vlo) ТТ 1~ Yma/Ync »(c/wn)(Vy^+v^) v X И 1 + Yla/YnbH 1 + Yla/Ync

n=ln=l

X TT* 1 + Tla/Yna e-W"«)(Vroa+Vio)2, 3, .. (2.3.21)

1 —Yma/YnaX '

n=l

Мы определили амплитуды собственных волн для рассеянного поля лишь в области А. Бесконечная система уравнений относительно коэффициентов {5П}, {Сп} определяется согласно (2.2.15); для удобства чтения напомним ее здесь:

S

^ Rz 1 V ^ С* аУта si

УрЬ™ Ута РУде —Ута 4 ^{тяЬ/с)

p=iq=i

тп = 1, 2, 3, ... . (2.3.22)

Прежде всего обратим внимание на то, что левая часть этого уравнения при фиксированном т представляется суммой двух бесконечных рядов, индекс суммирования в одном из них — р, а в другом — q. При решении системы уравнений методом прямого обращения и в этом случае следует провести редукцию системы, положив, например, верхний предел в сумме с индексом р равным Р, а во второй сумме — Q. Затем нужно перейти к пределу при Р-> оо, Q->- оо. Предел решения оказывается зависящим от выбора величины отношения Р/Q. Исходя из условия на ребре, вновь получаем единственное правильное значение lim PIQ = ~ . Реше

Р -> оо, Q —► ооС

ние системы (2.3.22) проводится во многом аналогично рассмот-

ренному выше решению уравнений (2.2.11). Поэтому, не вдаваясь в подробности, мы предоставляем читателю самостоятельно получить решение в качестве упражнения (задача 2.2). Приведем лишь окончательный результат:

B^-^N- е («Г^/Щ^ /«ЯК тп sin (пЪ/а) г \ л L \ Ъ ) х \ с / J )

Хехр [^(Tmb-71o)(l_±)]X

у ТТ ^ Ymb/Yna (Vmь- V ja)a МлJ^^JYla/YnbZ^^у

1 Yio/yno1 Ут,ь1Утпс

n=2

У TT<m> —1J—LZlaZlzi^HlzZ^Аа"?тЬ)°/яя

m = 1,2,3, ..., (2.3.23а)

Ст = -.™тс x /МфптВ1п (±)l)x m mn sin (лЬ/a) ( л L X b I x X c / J )

xexp [^-(Ymc-Yla) (l-^)jx

у ТТ ^ Утс/Упа р^тпг-'^Хл^0'!^ ^ Tla/Tmb) (l-^Tla/Ymc) 4/

1 Yla/Tna1 Утс!УтЬ

n^

у П(т) (1 —Yla/Yn&)(l —Yla/Tnc) (Vla-Ттс)а/пл

•"(1 — Утс/УпЬ) (1 Ymc/Ync)’

m = l, 2, 3,. (2.3.236)

РАЗВЕТВЛЕННЫЙ ВОЛНОВОД III.АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ

Полезно с помощью полученного решения (2.3.21), (2.3.23) найти выражения для электромагнитного поля в разветвленном волноводе. При этом ограничимся лишь исследованием коэффициентов {Лт}, так как {Sm} и {Ст} анализируются сходным образом. Напомним, что вывод системы уравнений (2.2.9) был проведен в предположении иррациональности b/а. Однако окончательный результат сохраняет общность и силу при любом значении Ыа, если только удается вычислить необходимые пределы. Сейчас мы приведем типичный пример такого предельного процесса.

Пусть Ыа = q/p, где р и q — целые положительные числа. Очевидно, множитель sin (уплЬ/a) в выражении (2.3.21) для Лт обращается в нуль, если р кратно т. Для определенности рассмот-

рим случай т = р. В этом случае можно переписать выражение для Ар в виде

Ар = Ар W(р^Ъ/а)2 — (кЬ)2 — У(дл)2 — (/сЬ)2] х

1У(рЛС/а)2—(ке)2— У(р — д)2л2_(кс)2)

Х5т(рлЬ/а)’'

где Ар регулярно при Ыа = q/p. Переходя к пределу при Ыа-^ ->- q/p, вычислим значение коэффициента при Ар по правилу Ло- питаля; предел этого множителя оказывается равным нулю. Таким образом, в рассматриваемом случае Ар тождественно равно нулю.

Еще одним аспектом при исследовании/полученного решения является численная оценка коэффициентов/по выражениям (2.3.21) и (2.3.23). При выполнении вычислений бесконечные произведения, очевидно, должны быть заменены конечными. Поэтому интересно оценить ошибку, обусловленную редукцией. Для того чтобы это сделать, рассмотрим типичное для нашей задачи конечное произведение

N

= П (1 - ^) е(Ьа/пя)“.(2.4.2)

71—1

Определим относительную ошибку, обусловленную такой редукцией, с помощью соотношения

НтНЕ П(2«)

n=N+l

При больших N это выражение упрощается, если пренебречь членами, по порядку величины меньшими, чем О (ab/Nn) и О (kb/Nn):

И{ П М^ГЛ-Ч^Г 2 i- (2.4.4)

n=2V4-ln=N-H

Входящую в выражение сумму можно оценить мажорантой

5 -т<(4^=4--(2-4-5)

n=N^-l N

В результате получаем, что ошибка е^ редукции бесконечного произведения (2.4.2) не превосходит величины | ab/л | 2/N, если только | afc/л | W < 1. В качестве примера возьмем | ab/л | = = 0,5. Тогда sN меньше 1% при N = 25. Таким образом, для не очень больших значений | ab | бесконечные произведения в вы-

ражении (2.3.21) для {Лт} можно быстро и точно вычислить с помощью ЭВМ. Однако при больших значениях | ab | эти вычисления требуют большого количества машинного времени. В последнем случае более удобно преобразовать бесконечное произведение в быстро сходящийся интеграл. Детально такое преобразование будет рассмотрено в § 3.11.

Обычно в электродинамике СВЧ размеры а волновода выбираются таким образом, чтобы лишь один основной тип волны ТЕ1э 0 распространялся без затухания, а все собственные волны высшего порядка в области А затухали. Сейчас мы получим удобные замкнутые выражения для коэффициентов отражения и прохождения для случая, когда в разветвленном волноводе может распространяться лишь основная волна. При этом будут рассмотрены два возможных случая, определенных ниже.

Все типы волн в областях В и С затухающие. Для падающей волны единичной амплитуды коэффициент отражения В (отнесенный к плоскости z = 0) совпадает с Av Согласно (2.3.21), после ряда упрощений можно переписать В в виде

Я = ехр(2>{Л + 1^[1-|1п Ц)--^ (^ )] +

1, о)}), (2.4.6)

где функции 8 N (и; и, 0) т) представляют собой ряд

SN (и; р, 0) = 2 arcsinn=NSN (и; р, 0) = 2 arcsinn=NГJL—L"|/n2 — у2ГJL—L"|/n2 — у2UПUП(2.4.7)(2.4.7)

SN (и; р, 0) = 2 arcsinn=N

SN (и; р, 0) = 2 arcsinn=N

ГJL—

L"|/n2 — у2

ГJL—

L"|/n2 — у2

U

П

U

П

(2.4.7)

(2.4.7)

Как видно из (2.4.6), | В | = 1, т. е. плоскость z = 0 является полностью отражающей; этого следовало ожидать, исходя из предположения об отсутствии распространяющихся волн в областях В и С. Разветвление волновода приводит в этом случае просто к фазовому сдвигу, равному Arg В в (2.4.6).

В области В может распространяться волна ТЕЪ 0, а в области С все волны затухающие, В этом случае коэффициент отражения основной волны TElt 0 в области А равен

«-4^№р(Ч-^[>(т)+7>°(т)]+ ^^(^^^{^(-Ь^; т- °) + - +Д о)-32(-1^; 10)]}. (2.4.8)

х) Таблицу функций SN (и; и, 0) можно найти в [46].

Коэффициент прохождения основной волны в область В, определяемый значением ВХ1 имеет вид

т = J^^+L^VlsjjYlbl^zLYlaj/^^ / l + lTlal2/Tic \1/2 v

вnsin(ni/a)\ 1 + 1 Tib l2/?ic /

у /ТТ 1 + 1 Ylb |2/Vna l + hial2/Vnb 1 + 1 Vial2/Тпс \1/2 ~

Х ^Ц1 + 1Т1а12Ма 1 + 1Т1б12Мь 1 +1 У1Ь |2/Упс ' п=2

X exp (i { ,71+l71al [bln (y) + cln (v)] +

+ arClg(ti^.)-arctg(ISil) +

+ 2 [arelg (-l^L) - aretg (1Ы)+arctg (1BlL) - n=2

""cl« (+г) + “с1г (^+) -”ctg (^)]} )• (2A9)

Выражение для модуля Г в, определяемого этой формулой, может быть значительно упрощено. Для этого используем равенство

n / ^^IW/Y^X1/* Г nHWV/2 2 , .

п=2п=2

и известное разложение

++-П(2.4Л1а)

П=1

В результате получим

J2smj(a£t/d)V/24 ^g\

Р t (ал/д)[1 — (а/Ъ)Ц f *^.4.11 о;

Преобразуя аналогичным образом второе бесконечное произведение в (2.4.9), окончательно получаем

а1

Ь" 1 + 1 Tib 1/1 Vial '

С помощью выражений (2.4.8) и (2.4.12) легко убедиться, что | R | и | Т в | удовлетворяют соотношению

W+ttS"1 Гв|2 = 1-(2-4ЛЗ)

Напомним, что мощность, отраженная в область Л, равна а I Tia I I R |2/2(0|i, а мощность, прошедшая в область В, равна

b I Tib II Т в |2/2со|1. Соотношение (2.4.13) выражает, таким образом, закон сохранения энергии.

Сделаем еще одно замечание относительно выражений (2.3.21) и (2.3.23). Если скомбинировать три бесконечных произведения, входящих, например, в (2.3.21), и опустить экспоненциальные множители, выражение для Ат упрощается:

{^PM^n R)+nln (±)]} X

V ^ У та! У mb 1 Ута/Утс ^А~У laMmb 1~НТ1а/Т7ПС

(2.4.14)(2.4.14)(7П) Г (1 Ута/УпЪ) (1 Ута/Упс) (1+?1а/Тпа) 1• L (1+?1а/ТпЬ)(1+Т1а/Тпс)(1 — Ута/Упа)

(2.4.14)

(2.4.14)

Следует подчеркнуть, что последний множитель в (2.4.14), заключенный в скобки, следует всегда учитывать в целом, его нельзя разложить на отдельные сомножители, как например,

/ TT(m) 1 -УУта!УпЬ \ / ТТ^ 1 — Чта/Упс \ / тт<т) J^HMYna. \

1 + Vla/Ynb / \^+?1а/Тпс / \-*-*-1— Ута/Упа /

п=171=171=1

Как мы уже указывали ранее, отдельные бесконечные произведения в (2.4.15) расходятся, тогда как выражение (2.4.14) сходящееся.

РАЗВЕТВЛЕННЫЙ ВОЛНОВОД IV.РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ВЫЧЕТОВ

В этом параграфе будет рассмотрен совершенно иной метод решения бесконечной системы уравнений, описывающих задачу о разветвленном волноводе. Рассматриваемый метод основан на использовании теории функций комплексного переменного, причем решение системы уравнений производится посредством вычисления вычетов. /

Ключевым моментом метода вычетов [3, 66] является сведение интеграла по контуру в комплексной плоскости от мероморфной4) функции / (w) к сумме вычетов. Свойства функции / (it) определяются, конечно, расположением ее нулей и полюсов, выбранных так, чтобы ряды вычетов совпадали с системой уравнений, которую мы хотим решить. В ходе решения оказывается возможным отождествить неизвестные в системе уравнений с вычетами функции / (w) и тем самым выделить искомое решение. Детали описанной процедуры решения [71] бесконечной системы уравнений (2.2.11) будут изложены в дальнейшем. Для удобства воспроизведем здесь иссле-

х) Мероморфная функция есть отношение двух целых функций.

дуемую систему уравнений,

V 1 А' — - А'

^ Vna Ymb ПVla + Tmb.

тпХ1, 2, 3,.

У па Ymc Tia 4” Ymc n=l

Рассмотрим интегралы

и 1(2.5.1)

2лI J w УтЪ2л1 J w Уте

СС

где контур С есть окружность бесконечно большого радиуса в плоскости комплексного переменного w, проходимая в направлении против часовой стрелки. Пусть функция / (w) удовлетворяет следующим четырем условиям:

/ (н?) — аналитическая функция переменного w во всех точках, кроме полюсов первого порядка при ^па (п= 1» 2, 3, . . .) и w = — у1а.

/ (w) имеет прсотые нули в точках w — ^mb и w = чтс (т = 1, 2, 3, . . .).

Вычет функции / (zp) в точке w = — у1о, обозначаемый символом Res / (—yla), равен А* = sin (лЬ/a).

Поведение функции / (zp) на бесконечности имеет алгебраический характер. Более точно, / (z^) = О (w~8^) при | w | -> оо.

В силу условия 4 подинтегральное выражение в (2.5.1) на контуре интегрирования имеет порядок малости О (w^^). Выражая интегралы в виде сумм вычетов в полюсах функции / (zp) и приравнивая результаты нулю, получим

П=1

2 V"^Res/(Yn«)- v< L ■ ^' = 0(2.5.26)

Упа—УтеУ1а\Утс

n=l

длят = 1, 2, 3, . . .; здесь было учтено, что, согласно условию 3, Res / (—yla) = А'.

Сопоставляя (2.5.2) и (2.2.11), убеждаемся, что

Ап sin <плЬ/а) = Res / (yna).(2.5.3)

Таким образом, если удастся построить функцию / (zr), неизвестные {Лп} будут без труда определены. Тем самым построение функции / (w) является ключевым моментом метода вычетов.

Четыре условия, сформулированные выше, определяют функцию / (zp) единственным образом. Условия 1 и 2, определяющие расположение нулей и полюсов функции / (zp), будут выполняться, если функцию представить в общем виде

ПП (l—^/Ync)^71"

/= /о ^^=1,(2.5.4)

(l-Mlta) [] (1 — whna) eWa,U,t

где /0 (w) — целая функция переменного w. Обратим внимание, что для обеспечения сходимости бесконечных произведений в них введены экспоненциальные множители (см. §3). Из двух оставшихся условий 3 и 4 можно определить целую функцию /0 (zp), входящую в выражение (2.5.4). Для того чтобы это сделать, перепишем / (zp) в виде

Ц (1 — wbjn^ ewbln^ JJ (1 — wc/nn) e^l^

№ = Х> ^ f0 ^ ^^-^,(2.5.5)

(l + tP/Y1a) [J (1—ша/пл) ewo/n"n=l

где

П (1-“'/ТпЬ)еюЬ/ПЯ П (l-^/Ync)^”” П (1-^/лл)еЮ°/ПЯ

£ (to) = ^^^•

Ц (l-wb/nn)^6/"” Q (l-wc/n^e^™ Ц (l-w/Tna)^"" n=ln=ln=l

Функция £ (zp) ограничена при | zp | oo (см. задачу 2.1). Асимптотику бесконечных произведений, входящих в (2.5.5), можно оценить с помощью формулы (1.4.11). В результате при | zp | -> оо получаем

/M~£WoW/^^»p[-^ln(f)-^^^

если zp^=|zp|, (2.5.6а)

t^-mt^V^- 4- ^М!^мх,

' ' 7 ъ \ j и \ у ьс ^3/2sin (aw)

Хехр[ — ^-Ы^)—если u> = |w[. (2.5.66)

Так как, согласно условию 4, / (zp) — О (w-8^) при | zp | -^ оо, это соотношение будет выполнено, если доложить

f. W - к exp [ ^ In ( f) + 2- In (Л ) ] .(2.5.7)

Постоянная h в этом выражении может быть определена из условия 3. В итоге получаем

W-^i^P № [»" (т) +«1" (7)]} X

v II 1—^/УпЬ -(u’+Vto)b/nn тт 1—^Nne „(w+v, )с/пл v

Х 11 1 + Yla/Vnb11 l+?la/Ync*

n=ln—1

V TT l.±Tla/Yno e-(w+Vja)a/n« (2.5.8) AA 1-w/Yna''

n=l

Воспользовавшись этим выражением, нетрудно найти искомое решение для коэффициентов {Лп} с помощью соотношения (2.5.3). Полученное решение совпадает с решением, определяемым согласно (2.3.21), и, таким образом, два совершенно разных подхода приводят к тождественным результатам.

Здесь уместно вновь обратиться к четырем условиям, определяющим функцию / (zp), и рассмотреть причины, побудившие нас ввести эти условия. Расположение полюсов по условию 1 выбрано так, чтобы сумма вычетов в этих полюсах совпадала с левой частью уравнений (2.2.11); в то же время требуемое, согласно условию 2, распределение нулей функции / (zp) обеспечивает отсутствие вклада в контурные интегралы (2.5.1) вычетов в полюсах zp ^тъ и w = ^тс подинтегрального выражения. Условие 3 определяет зависимость решения от амплитуды падающего поля и является, таким образом, условием нормировки функции / (гр). Наконец, условие 4 определяет поведение поля вблизи острого ребра и требует, чтобы

Ап = [sin t^L^ J"1 Res / (Yno) = О (n-3^), n^oo. (2.5.9а)

Как легко показать с помощью соотношений (2.5.6) (см. задачу 2.3), равенство (2.5.9а) эквивалентно требованию

/ (zp) = О (zp~3/2),|zp|->oo,(2.5.96)

выражающему условие 4.

Определив амплитуды собственных волн для рассеянного поля В области Л, получим также решения для коэффициентов {Вп} и {Сп}. Если исходить из системы уравнений (2.2.15), метод вычетов, как и метод прямого обращения, приводит к решению, совпадающему с выражениями (2.3.23). Оказывается, проще получить выражения для {Sn} и {Сп}, исходя из соотношений (2.2.12) и вое* пользовавшись построенной выше функцией / (zp). Рассмотрим

интегралы

■ У dw, -4— ( —ffi - dw, m = 1,2, 3,(2.5.10)

2ш J w-V^mb2Л1 J'

Сс

где функция / (it) определена формулой (2.5.8). Выражая контурные интегралы (2.5.10) в виде суммы вычетов, получаем

У Res£(Tna)Resf(-Via)^ ( _= Q (2.5.1 la)

Vna + VmbVia — У mb' 1 V * 0/’ Х'

п=1

^ Res/ (Vna)— Ras/(Via) + ^ (_Tmc)=0.(2.5.116)

Yna + YmcTia Ymc

n=l

Вспоминая, что Res / (yno) = AV, a Res / (—ylo) = A’, и сопоставляя (2.5.11) и (2.2.12), получаем искомый результат

(2.5.12а)

,т = 1, 2, 3, ... ,

=(2.5.126)

Воспользовавшись соотношениями (2.5.8) и (2.5.12), получим следующие явные выражения для искомых коэффициентов:

вт=^т^ sinW) ехр(^=^ ГЬщ (")+с1п(^-)1)х

Ь^УтЬУ Ха" У mbГ I л I \ 6 /\ с / Л

у ТТ JJlVmb/V^ (V4a-Vmb)(b/nn) ТТ 1 + Vmb/Vnc p^Ya-ymb)4cl^

Х 11 1 + Vla/Ynb11 1 + Yla/VncX

n=ln=l

X TT4±Vla/2na_e(Vmb-Via)<°/"t) щ = 1, 2, 3,(2.5.13а)

A1 1+Vmb/Vna''

n=l

Cm = (=^LJto(^Mexp ( ^^-ГЫп (A)+Cln(^)l) X c2^mc Via—Vmc IL \ b J 1\ c / J J

v TT 1 + Ymc/Vnb „(V^-Vm^Xb/nn) TT _1+Vmc/Vnc_ (V|a-Vmc)(c/nn) y

X 11 l + vio/nb 6И 1+Vla/VncX

n=ln=l

x П .1+Ylg/ba e<vme-Via)W""> m = i 2, 3, ... . (2.5.136)

XX 1 + Vmc/Yna n=l

Преобразуя полученные выражения, можно показать их идентичность решению в виде (2.3.23), найденному ранее методом прямого обращения.

Сравнение метода прямого обращения системы уравнений с методом вычетов показывает, что в последнем решения {^п} и {Сп} находятся проще, так как в этом случае нет необходимости сводить задачу к бесконечной системе уравнений (2.2.15) относительна этих коэффициентов и решать полученную систему. Однако, как уже видно из названия, метод прямого обращения основан проста на использовании классического правила Крамера. Кроме того, при решении задачи этим методом ясно, какую роль играет относительная сходимость решения, что важно как для рассмотренной задачи, так и для некоторых подобных ей краевых задач.

§ 6. ИЗЛУЧЕНИЕ ИЗ БЕСКОНЕЧНОЙ ФАЗИРОВАННОЙ РЕШЕТКИ, ОБРАЗОВАННОЙ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫМИ ВОЛНОВОДАМИ, ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ

В § 2—5 мы подробно рассмотрели типичный пример использования метода сшивания при анализе задачи о неоднородности в волноводе. Покажем теперь, как с помощью метода сшивания можно

сформулировать краевую задачу электродинамики для открытой периодической структуры. Сделаем это на примере задачи о бесконечной фазированной решетке, образованной плоскими полуог- раниченными волноводами (рис. 2.2). Стенки волноводов считаются бесконечно тонкими, идеально проводящими; ширина волновода а. Падающее поле в каждом из волноводов имеет одинаковую амплитуду и для двух любых соседних волноводов сдвинуто по фазе на одинаковый угол (синфазное возбуждение). Если 0О — угол

наклона главного лепестка ) диаграммы направленности такой антенны, отсчитываемый от оси х, то фаза падающего поля в тп-м волноводе должна описываться множителем ехр ^ти^. где и = = ка sin 0О. Считая, что падающее поле в волноводной области состоит лишь из основной волны типа ТЕМ, для тп-го волновода имеем

Н^^^=егНхе1ти, ч(2.6.1а)

Е» = кое ~эГ^( *’* ж<0 и та< z< (т+ 1) а. (2-6.16)

J(2.6.1в)

Цель поставленной задачи — определить поле, излученное в свободное пространство и отраженное в волноводы.

Так как рассматриваемая структура однородна вдоль координаты у, отраженное поле состоит лишь из волн типа ТМп, 0. Таким образом, в волноводной области поле описывается функцией

ф= ^ ^n cos [-“— (z — та)^ е^пХ, х<0 и та<< z<< (m +1) а, п=0

(2.6.2)

где уп = [(пл/а)2 — Zc2]1^. В свободном полупространстве поле вследствие периодичности структуры представляется суммой пространственных гармоник вида

гр = 2 ВрегаРге-тРх, я>0,(2.6.3)

где ар = (2рл + и)1а и Гр = (ар — Zc2)1/2.

Используя условие непрерывности касательных составляющих поля на поверхности х = 0, определяющее сшивание функций гр и йгр/dx на этой поверхности, получим систему функциональных уравнений

eimu+ ^ Л” cos [^-(z-ma)j = 2 В^^,(2.6.4а)

n=0р=—оо

^u+ 2 Yn^cos[-7-(z-ma)]= 2 k-V^Bpe^, П=0p=—oo

ma < z < (m +1) a. (2,6.46)

Перепишем эту систему в виде

1+ 2 №~im“)cos [-^(2-та)] = 2 Bpel«p<z-m°), (2.6.5а) п=0р=—оо

ОООО

ik + 2 Vn ^е-1^ cos [-^- (2 - та) ] = 2 (~ гр) Вре^-^,

ma < z < (m + 1) а. (2.6.56) Если ввести обозначение z — та = z', то из приведенных уравнений сразу следует, что амплитуды собственных волн в разных волноводах связаны простым соотношением

A^ = AVmu^SS)

для п = 0, 1, 2, . . . и т = 0, ±1, ±2, ... . Полагая в (2.6.5) т = 0, получим

1+ 2^»cos(-^-z)= 2 Вр№\ ](2.6.7а)

П=0р=— ОО

(2.6.76)(2.6.76)ik-V 2 Tn^ncos (^s) = 2 (~гр)5pg^p^^

(2.6.76)

(2.6.76)

П=0p=—оо

Таким образом, задача сводится к рассмотрению лишь одного периода; в частности, уравнения (2.6.7) описывают поле на периоде т = 0.

Здесь уместно заметить, что возможен иной подход, в котором сведение общей задачи к рассмотрению лишь одного периода осуществляется на начальном этапе постановки краевой задачи. В частности, это оказывается полезным при использовании метода Винера — Хопфа, в котором не делается каких-либо прямых предположений о дискретности спектра собственных волн или пространственных гармоник. Мы вернемся к этому при более подробном рассмотрении в гл. 3.

Обратимся снова к системе уравнений (2.6.7) и получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов {Лп}. Для этого умножим обе части уравнений на е"гадг и проинтегрируем по z от 0 до а. В результате получим

01-g-^р

п ^~^q Vg-q iaq

(2.6.8)

g = 0, ±1, ±2, ...,(2.6.9)

5—0367

где учтено, что у0 = — гк. Умножая уравнения (2.6.8) на Г, и складывая с (2.6.9), окончательно имеем

” ^(-Цп^и_ 1-е-ги

^п Yn-ГдТо + Гд ’(2.6.10)

п=0

у Л=±=Ш£21 Л6 — —Вf2 6 1П

^ Yn + Гд л" Yo-Гд ~ ад В*’(2.6.11)

п=0

д = 0, ±1, ±2, ... .

Полученная система уравнений аналогична системам (2.2.11) — (2.2.12), описывающим задачу о разветвленном волноводе. Системы уравнений (2.6.8) и (2.6.9) можно решать как методом прямого обращения, так и методом вычетов. Мы получим решение систем (2.6.10) — (2.6.11) лишь методом вычетов, предоставляя читателю 1 качестве упражнения самому найти решение с помощью прямого обращения (задача 2.4).

Рассмотрим контурные интегралы

1 ф-Н^»-^,(2.6.12)

С

-^- $dw,(2.6.13)

С

где контур С — окружность бесконечно большого радиуса в комплексной плоскости w, проходимая в направлении против часовой стрелки, Пусть / (м?) удовлетворяет следующим условиям:

Функция / (и?) аналитична в плоскости w всюду, кроме точек w = уА (п = 0, 1, 2, . . .) и w = —?0, где она имеет полюсы первого порядка.

Функция / (w) имеет простые нули в точках w = Pq (q = 0, ± 1, ± 2).

Res / (-у») = 1 - е"ги.

/ (w) = О (w3^) при | w | oo.

Вследствие условия 4 подинтегральные выражения в (2.6.12) — (2.6.13) имеют на контуре С порядок малости О (w^), и, таким образом, оба интеграла равны нулю. Сводя эти интегралы к сумме вычетов в полюсах подинтегральной функции, получаем

(2.6.14)

п=0

2-J^R«-№a~4^+/(-r«)0.<2'615>

п=0

Сопоставляя эти равенства с уравнениями (2.6.10) — (2.6.11) приходим к соотношениям, выражающим неизвестные {Лп}, {5П через функцию / (w)

л«=—^21Ж>—и = 0 1 2, .(2.6.16)

l_(_l)ne-tu'1

в^-^^~т^ »=0’ ±1’ ±2> ••• • <2-617)

Способ построения функции / (ip) совершенно аналогичен описанному в § 5 и здесь повторяться не будет. Явное выражение для / (ip) имеет вид

/М = ±^ехрГ-6У^.1п21= - х

х 1I 51 J 1—м/Уо

у ТТ + Уо/Ут z>-(w+vo)aM« у

X ——ш^ ТТ - ^Г^ Ц“V^-m) е(ю+?0)аЛпя (2 6

Х 1+Уо/Го Ц (1 + То/Гт)(1+То/Г-т)*^*ЪЛ^

Используя это представление для /(jp) в выражениях (2.6.16) — (2.6.17), получаем окончательные выражения для искомых коэф» фициентов:

А» = ^^0/ 2^ 1п 2\ ц l±lo/Tm_e-2Voa/m« х

° То + ГоF \ л 1^1 1 — То/Тт

т=1

оо

X 11 (i+To/rm)(i+Y<l/r_m) еТ ’(^л»а)

m=f

l_(—l)n,-iuл \ n/J 1—v„/7o

v TT(n) * + Vo/Vm --(vn+Vn)°/m« 1—?п/Гр

X 11 i-ЧпПт1 + То/Го X

m=l

П

(1 —Yn/Гт) (1 — Уп/Г-тХ /,(?п+?0)«/тл4 9 о

, n-1, 2, d,

хПт=ЛхПт=Л

хП

т=Л

хП

т=Л

aq 1-e-iuг(То—Гд)а

- = 15г; ^=гГL—5—,п 2 Jх

VГТ 1 + Vo/Vm ATq-^^alnn 1 + Гд/ГО

1 + Гд/Уо 1 + Гд/ут1+То/Го]

д = О, ±1, ±2, ... .д = О, ±1, ±2, ... .(1 + Гд/Гт) (1 + Гд/Г-т) (7о-Г )а/тл(1 + ?0/Гт)(1 + Т0/Г-т)1

д = О, ±1, ±2, ... .

д = О, ±1, ±2, ... .

(2.6.19b)

Тем самым получено точное решение задачи о рассеянном поле в фазированной решетке из полуограниченных плоских волноводов при синфазном возбуждении.

$ 7. ИЗЛУЧЕНИЕ ИЗ БЕСКОНЕЧНОЙ ФАЗИРОВАННОЙ РЕШЕТКИ, ОБРАЗОВАННОЙ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫМИ ВОЛНОВОДАМИ, ПРИ АПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ

Рассмотрим теперь более общую задачу, когда падающее поле в волноводных элементах фазированной решетки не удовлетворяет

Рцс, 2.3. Бесконечная решетка из плоских полуограниченных волноводов, возбуждаемая волной типа ТЕМ, идущей только в центральном волноводе.

условию периодичности. В частности, интересно рассмотреть случай возбуждения лишь одного полуограниченного волновода бесконечной антенной решетки. Пусть, например, в волноводе с индексом т = 0 возбуждается основная волна типа ТЕМ (рис. 2.3),

Падающее поле можно описать магнитной составляющей Н^ = = гр(г>, равной

гр(*) = ^0о(^(2.7.1)

где 0т (г) — характеристическая функция волновода с индексом т:

{

1 при ж<0, ma<L z<. (m-V-1) а,

n-(2-7-2)

0 в остальной области.

Возбужденное в каждом из волноводов поле предс тавляется суперпозицией волн типа ТМм и может быть записано в виде

Ч> = 2 ©m(z) { 2^s[^(s-7na)p»*}, (2.7.3)

m=—oon=0

где Cn — неизвестные амплитуды собственных волн, возбужденных в тп-м волноводе при падении волны ТЕМ в волноводе т = 0. Напомним, что при периодическом возбуждении решетки, рассмотренном в предыдущем параграфе, коэффициенты разложения отраженного поля Л п отличались от коэффициентов Л™-? лишь постоянным множителем е"гри (ср. (2.6.6)). В рассматриваемом ниже случае подобных простых соотношений между коэффициентам^ не существует и необходимо искать решение для С? при произвольных значениях индексов тип. Помимо этого, возникает еще одно усложнение, связанное с тем, что рассеянное поле в свободном полупространстве нельзя представить в виде суперпозиции пространственных гармоник Флоке вследствие апериодического характера источника возбуждения. Поле в области х > 0 характеризуется теперь непрерывным спектром плоских волн, а функция гр в этой области описывается интегралом Фурье:

, 4-оо

гр (я, z)=-^- j В ^е-^ахе-^хйа. ж>>0, (2.7.4)

где у = (а2 — А2)1/2. Ветвь корня у выбирается при этом так, чтобы Re у > 0, в соответствии со сказанным в § 1.6. Неизвестную функцию В (а) в выражении (2.7.4) можно рассматривать как амплитуду спектрального разложения по плоским волнам.

Для отыскания коэффициентов {С™} и функции В (а) необхо- димр сшить поля, определяемые в разных областях выражениями (2.7.3) и (2.7.4), в плоскости раскрыва х = 0. Так как неизвестная функция В (а) входит в подинтегральное выражение в (2.7.4), можно было бы ожидать значительного усложнения процедуры сшивания по сравнению с задачами, рассмотренными до сих пор. К счастью, оказывается возможным [18, 17, 19] выразить решение

рассматриваемой краевой задачи через известное решение подобной ей задачи с периодическим возбуждением, полученное в § 2.6*

Как видно из сравнения рис. 2.2 и 2.3 структура обеих антенных решеток идентичны. Более того, как мы это сейчас покажем, несмотря на различие в условиях возбуждения, удается связать оба источника. Выразим функцию ф£>, определяющую падающее поле при периодическом возбуждении и заданную выражением (2.6.3), через характеристические функции плоских волноводов:

<> = 3 e,hVmu0m(z).(2.7.5)

т——оо

Сравнивая это выражение с выражением (2.7.1) для функции ф(г), определяющей падающее поле в отсутствие периодичности, находим, что

л

J ^^ = U^,(2.7.6)

— Л

где U — линейный оператор, действие которого состоит в интегрировании по переменной и. Таким образом, функция ф(г> для апериодического возбуждения представляет собой линейный функционал от функции ф^\ определяющей периодическое возбуждение. Из линейности уравнений Максвелла и принципа суперпозиции следует важный результат, что отраженное и прошедшее рассеянное доля, отвечающие двум рассматриваемым видам возбуждения, также должны быть связаны посредством линейного оператора U, т. е.

ф = U (фр) для всех значений х и z. (2.7.7)

Так как функция фр известна (см. решение в § 6), поле при апериодическом возбуждении можно найти с помощью соотношения (2.7.7).

Найдем вначале отраженное поле в волноводной области. Коэффициенты возбуждения собственных волн С™, согласно (2.7.7), связаны с Ап соотношениями

ял"

с”=4г J Л" йи=4г J A"eimu du- I2-7-8)-л-л

В последнем равенстве здесь учтено свойство (2.6.6). Явное выражение для Ап дается формулой (2.6.19), и тем самым определены коэффициенты {С^} для всех значений индексов т и п. Обратим внимание на следующее свойство коэффициентов Ап* Ап (и) = = Лп (—п) для четных п и Ап (и) = — Ап (—и) для нечетных п. Воспользовавшись этим свойством, можно представить интеграл

в более простом виде

-^ J Л® (zz) cos (mu) du при четных п,

С^=\°(2.7.9)

I -^- f Л„ (и) sin (mu) du при нечетных п.

I о

Хотя в общем случае нельзя получить замкнутое выражение для этих интегралов, удается найти асимптотическую оценку коэффициентов Со1, определяющих взаимную связь между волноводами, что представляет значительный практический интерес.

Предположим, что в волноводах может свободно распространяться лишь основная волна типа ТЕМ\ при этом yn = + I Ya I для п > 0 или л > ка. Коэффициент отражения основной волны типа ТЕМ в центральном волноводе Л^ определяется выражением (2.6.19а). При условии 0 ^ и < ка или эквивалентном условии О ^ sin 0О < 1, отвечающем сканированию лучом синфазной решетки во всем верхнем полупространстве, выражение для Л* принимает виц

Л = -^Ф1ге’х<Ч 0^и<ка,(2.7.10)

где

х (U) = 2 [ ^ arctg (^) - 2 arctg (А ) _ 1п 2] .

Р=-ООП—1

При условии ка < и ^ л или эквивалентном условии 1 < < sin 0о ^ (п/ка), выполняющемся при отсутствии распространяющихся гармоник в свободном полупространстве z > О, выражение для Л ° принимает вид

Ло = Hn+2&arctgKft^ да< и^Пе (2.7.11)

Отметим, что функция Л^ (и) непрерывна при и = ка. Первая производная Л 0, определяемая выражениями

Г2fcu/с—| Г о | 1а2|Го|[&Н-|Го1121 Н|Г0| *

х 2<0) г ^ . . le,x(tt\ о^и<ка,

d4„^ rp(2p« + «)J’’

п(2.7.12)

Г°“ Р^оо Гр (2P3l + U) J

х et[(n/2)+2arctg(kW+xW), ^а </ и^л,

имеет особенность при и = ка, так как Го —> О при и -> ка. Покажем, что характер особенности производной Л® определяет асимптотику коэффициентов С™ при больших | т |.

Согласно (2.7.9), коэффициенты связи С™ имеют вид

Col = -~ j ^о (u)cos (^^ ^+ ~ J ^2 (w)cos (^ы) du. (2.7.13) 0ha

Проведя интегрирование (2.7.13) по частям, получим

60*=— f -^-sin ^ти) du— Г -^-sin hnu\ du» (2.7.14)

u тил J du '• mu J du x ' v '

0ha

Заметим, что для любой ограниченной непрерывной функции / (^ справедлива оценка

ъ

f(x) sin pxdx = О (р~^, |р|->оо.(2.7.15)

о

Согласно этой оценке, из выражений (2.7.12) и (2.7.14) следует, что при больших | т [

ha

Со- f Vr^jSiiT^

u тп J «2 | Го | (&+1 Го| ]2

» 0

Л

^ ^L^Hl^l ei[(«/2)+2arctg№/r0)+x(u)]^_O (тП~2).(2.7.16)

ha

Первое интегральное слагаемое в этом выражении перепишем в виде

,1 С 1 Г 2киег^2 ,vfb„.l ,. ,

/1 1 ", „ , —9 ., , , „ },.е»Х(й«) sin (mu) du —

тп J (Го I I «2(^+|Г0|2)а 3х'

о

— eix(fe«) f -sin(znu)du.(2.7.17) тиа J I Го I х zz

0

Подинтегральное выражение в первом слагаемом в (2.7.17) ограничено при 0 < и ^ ка. Используя соотношение (2.7.15), получаем

Л =— е»х(М f —;... 1 , sin (ти\ du + O (m"2). (2.7.18) гола J у^2_(„/а)2\ I i \1\ I

С помощью замены переменной и = ka sin 90 перепишем это выражение в виде

—— eiX(ha) тл—— eiX(ha) тлл/2л/2л/2 егтка cos 6od9o— fОл/2 егтка cos 6od9o— fОg—гтка cosg—гтка coseodeo] + <?(m-2).eodeo] + <?(m-2).

—— eiX(ha) тл

—— eiX(ha) тл

л/2

л/2

л/2 егтка cos 6od9o— f

О

л/2 егтка cos 6od9o— f

О

g—гтка cos

g—гтка cos

eodeo] + <?(m-2).

eodeo] + <?(m-2).

(2.7.19)

Оценивая интегралы в этом выражении обычным методом перевала (§ 1.7), окончательно получаем

I*- 11 / Лe^xCha) | ег^тка-л[^^g-г(тка- л/4) 1

1тпУ2кта Lп

(2.7.20)

Совершенно аналогично можно вычислить асимптотическое выражение второго интеграла в (2.7.16):

л

Z2 = —^— егъ^ ( —/ 1 =- sin (пиА du + O (тп"2) ~

тлаy^)2Zjk2 хх '

~ ^—1/ —егх(ка> \ег<тка-п!^ _1_ е-г^тка-п!^ЛI т I _>. qq

тл У 2кта 111 1

(2.7.21)

Используя оценки (2.7.20) — (2.7.21), получаем окончательное асимптотическое выражение для коэффициентов С™:

c™~v3 ^^^^ЗЗ^ ’ 1 m 1 ^ °°* (2-7-22>

Таким образом, старшие коэффициенты связи асимптотически убывают обратно пропорционально расстоянию в степени 3/2 от возбуждающего элемента, а их фаза изменяется пропорциональна постоянной распространения, равной к — волновому числу в свободном пространстве.

Рассмотрим теперь излученное поле в свободном пространстве (2.7.4) в случае, когда возбуждается лишь центральный волновод. Полагая в (2.2.4)+ 0, имеем

4-00

1р(ж= 4-0, z) = ^- j B^e-^da. (2.7.23)

Это соотношение совпадает с преобразованием Фурье; поэтому можно написать

4-00

S(a)= ( ф(ж= 4-0, ^^е^ dzf.(2.7.24)

€ помощью соотношения (2.7.7) поле тр (я = + 0,z) в раскрыве ^ = + 0 можно связать с полем в раскрыве при периодическом возбуждении

Фл (^ = +0, и)= 2 Bq(u)eta9z, (2.7.25)

тде явное выражение В q (и) как функции и определяется согласно ■(2.6.20). Используя соотношение (2.7.7), получаем

•ф(;г= +0, z) = "^" j Вч (и) ега1гdu. (2.7.26) -Л

Подставляя (2.7.26) в (2.7.24), находим

4-оо 4-оо (ш4-1)ал

5(“) = ^Г 2 2 j dz' J duBq{u)e'&+<W, (2.7.27) m=-ooq=-oo та-л

тде интегрирование no z' при суммировании интегралов проводится по раскрыву каждого волновода. Вводя замену переменных У —> (z' + та), перепишем последнее выражение в виде

В(а) = -^- 2 ^duBq(u^ dz'e^w^' 2 егт(аа+и). (2.7.28) q=-eo —л0тп=-оо

Воспользовавшись определением дельта-функции

4-00

2 eim(“°+u) = 2n6(aa4-u),(2.7.29)

т—-оо

преобразуем (2.7.28) к более простому виду

В (а) = 2 Bq(u-^— аа) j e'^Wdz'.(2.7.30)

g= —ооО

Интеграл по z' равен аб^; таким образом получаем требуемый результат

В (а) = аВ0 ^и-> — аа).(2.7.31)

^Согласно этому соотношению, преобразование Фурье от поля в раскрыве т = 0 при апериодическом возбуждении (2.7.1) пропорционально коэффициенту прохождения основной пространственной гармоники для синфазной решетки, в выражении для которого следует произвести замену и = — аа. Зная В (а), можно определить поле излучения для изображенной на рис. 2.3 структуры, вычислив

обратное преобразование Фурье согласно (2.7.4):

"ф (ж, z) = -^- J Во (и -> — аа) е-гаге~чк da, ж>0.(2.7.32)

Получить замкнутое выражение для этого интеграла, определяющего ip ^ z), не удается. Однако наибольший интерес представляет знание диаграммы направленности или, как ее еще называют, диаграммы направленности активного элемента решетки. При больших р = (я + z2)1/2 можно с помощью (1.7.19) получить следующую оценку:

xp(.r, z) ~ ег<ьр-^>А:асо8 6В0р->-оо, (2.7.33)

где 9 = arctg (7) — угол наблюдения, отсчитываемый от нормали к решетке (см. рис. 2.3). Из выведенной формулы следует интересный результат: зависимость диаграммы активного элемента решетки от угла наблюдения 6 с точностью до множителя cos 0 определяется коэффициентом передачи основной пространственной гармоники для синфазной решетки, вычисленным как функция угла сканирования 0О. Если ограничиться вычислением лишь модуля диаграммы активного элемента и рассматривать случай, когда в плоских волноводах возможно распространение только основной волны типа ТЕМ, выражение (2.7.33) сильно упрощается. Как нетрудно показать (применяя подход, аналогичный использованному при выводе формулы (2.4.12)), в этом случае

ЗАДАЧИ

Показать, что

N

произведение Q (w) = jj (1 — w!^, где yn = [(пл/а)2 — А:2]1^, п=1

сходится при N -> оо;

N

P(w)=U (1~^/Yn) ewatnn при N -> оо сходится равно- п=1

мерно для любого id в ограниченной замкнутой области D на комплексной плоскости w.

Указание.

а) Переписать Q(w) в виде

NN

<>(")-П-£^еЧ>[21-(1--У]n=lп=1

и показать, что первый сомножитель сходится, а второй расходится. - б) Переписать Р (w) в виде

NЯ

р^=п -п—?”! Гп (1 -—) ewo/n”l •LV '(1 —wa/nn)X пп J J

п=1п=1

Можно следующим образом убедиться в равномерной сходимости второго сомножителя. Бесконечное произведение Д И — ип (я)] сходится равномерно и абсолютно в ограниченной замкнутой области D, если каждая из функций удовлетворяет неравенству I ип (^) I ^ Мп, где Ми не зависит от w, а сумма 2 Мп сходится.

п—О

В рассматриваемом случае

m=2

Заметим также, что

“"МК 2 1^2)Г ^Г= k^Y exp(Ra/n^, т=^

где R — постоянная, такая, что | w | ^ R для любогб w в области D. Отсюда следует, Что | ик (w) | ^ (Да/тгл)2 ехр (а/л) при п > R.

Показать методом прямого обращения, что решение бесконечной системы уравнений (2.3.22) определяется согласно (2.3.23).

Показать, что вычет функции / (w) (определенной согласно (2.5.8)) в точке w = ^та удовлетворяет соотношению

Res / ^та) ~ О (w3/2) при т -> оо.

Решить методом прямого обращения рассмотренную в § 6 задачу об излучении из бесконечной решетки, образованной системой плоских полуограниченных волноводов, при периодическом возбуждении.

Рассмотрим задачу о бесконечной решетке, изображенной на рис. 2.2, при синфазном возбуждении волноводов волной типа ТЕЬ 0 с единичной амплитудой. Выражение для рассеянного поля примем в виде

2 ^nSin^-^-(z—та^е^е1™'^ n=l

Еу (ж, z) = I ж<0 и ?na<z< (тп + 1) a, [[(2-1) §ж>0.

^ р=-оо

f а) Показать, что метод сшивания приводит к следующей бесконечной системе уравнений:

П=1

q = 0, ±1, ±2 (2.26)

Найти решение системы (2.2) методом вычетов и показать, что функция / (ш) определяется выражением

/М_Юр[^^1п2]-1±^Х

п (<+Ti/ti«'w'"to —Гр п=1Л Vi + Гр 00Х

Ц (1 —to/Yn) еюо/яя

П (l-to/rn) (l-to/T_n)

X .(2.3)

[J (l + Vi/Tn)(l+Tl/r-n)e-Via/””

Показать, что искомое решение имеет вид

АпАп_ Ни-н Тп_Го r(Y„+Y1)a , 2-1

Ап

Ап

~ п [!-(-!)" е-.«] 71 + г0 eX₽L л ID2JX

(2.4а)(2.4а)(2.46)(2.46)V ^ ” Уп)(Г-п — 7n) ТТ ^n) (Ym + vO (Гт—Уп) (Г-т—Уп) (Гп + У1)(Г-п + У1) 11(Ут-Уп)(Гт + Т1)(Г-т + У1)’

(2.4а)

(2.4а)

(2.46)

(2.46)

т=1

В —л(1 + е-1“)Го + ГрГ (71 —Гр) a i' о! х

2а2Гр (71 —Гр) Го+71 PL л m2JX

у ТТ (Ym + Vi) (Гт + Гр) (Г_т + Гр)(Тт + ТрНГт + ГО^ + ПЬ *т=1

(Полученное решение описывает также задачу об излучении из двумерной решетки, образованной прямоугольными волноводами, в случае Л-поляризации. См. работу Бу и Галиндо [16] )

В плоском симметрично разветвленном волноводе (Ъ = с на рис. 2.1) из области А набегает волна типа ТЕЪ 0. Пусть полуплоскость ж = Ъ, 0 •< z < оо не идеально проводящая, а описывается следующими граничными условиями:

а) Еу (|а-0, z) = ZHz(±a-Q, z) , 6)£р(1а + 0, z) = -Z^z(la + 0, z),

в)Ey ^"g"® 0, z) = Еу ^^-a-j-O, z) »

где Z —заданный постоянный импеданс. Запишем отраженное М прошедшие поля в.виде

в области А^в области Bvв области С,в области А^в области Bvв области С,2 Ап sin (^- ж) ev"z 71—1

в области А^

в области Bv

в области С,

в области А^

в области Bv

в области С,

Еу =Еу =нечетные

Еу =

Еу =

2 Bn sin (Лпх) е r"z

П=1

2 Сп sin Хп (а—х) e~r”z п—1

где уп = У(пп]а)2—№, Гп = У Хп—-^, а [Хп ^удовлетворяет характеристическому уравнению

sin (Xna/2)2^

^—K2L-L2- =cos (Xna/2).

(Xna/2)нора v и / /

Показать, что [28]

ео

\п Г п—72п-1 ТТ^ 72т-1Н”71 ^т У2п-1

Гп4"Т172т-1— 72п-1 Гт + Т1 ’

т=1

Л Ysn-i + Vi TTWjYsm^i+YiHTm^Yi).а^п 72п-1 + Г п А±(?2т-1 + Гп) (Гт — гп)

т=1

Указание. Вначале следует установить соотношение ортогональности а/2

j siuXnx sH\Xmx d,x— О, т^п. о

Затем, сшивая поля при z = О, получить бесконечную систему уравнений, которая решается методом прямого обращения:

”(-1)П+11

^ 72п-1™ Гт 2п 171 + Гт *

П=*1

т = 1, 2, 3, ... .

S

Xn cos (Xn°/2) n 1 ci Ym—Гп ^n“ 2 Yi^m, n=l

Рассмотрим задачу о распространении поверхностной волны типа ТМ вдоль бесконечной гофрированной поверхности, иэоб-

Рис.Рис.2.4. Гофрированная поверхность.2.4. Гофрированная поверхность.

Рис.

Рис.

2.4. Гофрированная поверхность.

2.4. Гофрированная поверхность.

раженной на рис. 2.4. Считаем, что зависимость от у отсутствует. Поле в свободном полупространстве ищем в виде

Яр= § B/iVA ж>0,

р=—ОО

где РР = р0 + (2лр/а), ур = (Рр — 1^у!г, а р0 — постоянная распространения основной пространственной гармоники. Поле в вол» новодной ячейке ищем в виде

Н^= 2 -4m ch От (ж + A) cos (-5—2) , —Н<.д,<_0 и 0<z<la, т=0

где ат = [(тпл/а)2 — F]1/2. Предположим, что

*а) в волноводной ячейке может распространяться лишь волна чипа ТЕМ\

б) отношение hla достаточно велико, так что 2 cham (ж + Л) « ехр ат (х + к) при т > 0.

Показать, что 0О удовлетворяет дисперсионному уравнению

M=J=^+^ln2_arctgQ+

+ 2 [агс8ш(^)-агС81п(-^)-.го5ш(-А. m=i

гдеji = 0, ± 1, ± 2, . . . . При К С 0,2 X это уравнение можно

х = ах = а

х = а

х = а

$ Рис. 2.5. Сочленение * Двух волноводов с импедансными стенками.

аппроксимировать следующим [70]:

То = к tg к [h — — In 2^ .

Указание. Получить методом сшивания систему уравнений:

‘VI -1 ц о _ каАйе^ ке■

‘Р^^

атА°° а

астате j _ VI 1 о о т — 0 1 2

2<[(-1)те«Р»-_1]Лт- 2j „т+7р ^Рр> т-°’ ^ 2’

Выразить коэффициенты {Вр} через Ло из первой системы уравнений, а затем найти самосогласованное решение для Ло из второй системы уравнений.

Рассмотрим задачу о рассеянии на стыке двух полубеско- иечных плоских волноводов с импедансными стенками (рис. 2.5) при падении волны ТЕК10 из области Л. Граничные условия на стенках волноводов заданы в виде

iZ< дЕу£ (-!)«/= _±»= о,у v z (op дх ’

где / = 1 при х = а, — оо < z < оо, / = 2 при ж = 0, — оо < < z < О, 7=3 при х = 0, 0 < z < оо. Покажем вначале, что собственные типы волн в областях А и В имеют вид

Е^ = Ап [sin Х^хЛЕ^ = Ап [sin Х^хЛИ^сор,И^сор,cos А« ^J е^" z,cos А« ^J е^" z,

Е^ = Ап [sin Х^хЛ

Е^ = Ап [sin Х^хЛ

И^сор,

И^сор,

cos А« ^J е^" z,

cos А« ^J е^" z,

где 7 = 2 для области А и j = 3 для области В, а у^) = V ^ -к? (п = 1, 2, 3). Собственные значения Х^ удовлетворяют уравнению

sin ^><1 +С08 ^а =ГС08 х«>а—^Lsin.

10)|171 icop LcopJ

При падении волны типа ТЕп, 0 единичной амплитуды коэффициенты возбуждения собственных волн отраженного и прошедшего полей оказываются равными

_ гад^Ч^-^ sin21^av , х2^IZa-Z^ Н2X^a )\ <W / X

/, ащ 2X^4 2iZ^ , j cos гХ^а, -.

\ + Zk^a /+ <WЧх^а 23^4 /JX

” ,„x v(2)_v(3> “ ,„xV(3)_v<2> TT rp Xm TT Xm) Xp Xn

X 11?(2)_ (2) 11„(3)_„(3) '

•p^=l*л p=i Vp Ym

(Изображенная на рис. 2.5 схема может служить приближенно! моделью для описания прохождения сверхдлинноволнового сигнала через береговую линию [27].)

Рассмотрим дифракцию плоской волны на изображенной на рис. 2.6 бесконечной периодической структуре, составленной из полуплоскостей, расположенных со сдвигом [66].

Падающее поле выбрано в виде

E^tx, z) = exp[i (—^x+aoz)],

где 6 = ц sec <р0 sin 90,

ар = У к2 — \^kb + 2рл)/а sec ф012-

Рассеянное поле в свободном полупространстве представимо суперпозицией пространственных гармоник и может быть записано

6-0367

в виде

В.^- 2'Л,ехр[г(^В.^- 2'Л,ехр[г(^X—apzj] ,X—apzj] ,z<0.z<0.(2.5)(2.5)

В.^- 2'Л,ехр[г(^

В.^- 2'Л,ехр[г(^

X—apzj] ,

X—apzj] ,

z<0.

z<0.

(2.5)

(2.5)

Поле, возбужденное в т-м волноводе (исключая треугольную

Рис. 2.6. Ступенчатая ре-шетка из плоских волно-водов.

область, скажем область ОДВ\ может быть выражено в виде

Еу^зс^ z)= 2 В„ sin ^-25. (u—ma)J exp [г^ (у—ma tgy0)],

n=l

ma< u<Z (m +1) а и (m4-l)atg(p0<y,(2.6)

где pn = Yk^ — (пл/а)2]1/2. Заметим, что в силу периодичности структуры справедливы соотношения

Д

т-гткЪ ро р пв= ои — Вп.

Показать, что коэффициенту {Лр} удовлетворяют системе уравнений

т = о, ±1, ±2,(2.7)

где к’ = Acos(0o — фо) и ур = Acos [ф0 +аге cos (ap/fc)], а коэффициенты {Вп} могут быть выражены в виде

Dпл[1—(—l)”exp(tto—гаРп tg<p0)l „

,2 та-}. "-0, ±1. ±2(2.8)

I * —PmYp + Pm J

Рвшейие для {Лр} и {Вп} получить методом вычетов.

Указание. При формулировке задачи необходимо записать в явном виде выражение для поля в треугольных областях (например, области О АВ). Сшивание полей можно осуществить, применяя вторую формулу Грина (см. (3.6.6)) к функциям Eti (х, z) и решению однородного волнового уравнения g (х, z). Как можно показать,

£,£)я-0.£,£)я-0.

£,£)я-0.

£,£)я-0.

где контур С проходит по сторонам треугольника О АВ. Чтобы получить соотношения (2.7) и (2.8), необходимо выбрать функцию в виде (см. [66])

g {х, Z) =g {х, Z) =(2.7),(2.8).(2.7),(2.8).sin ( -— ) е ра для \ а /

g {х, Z) =

g {х, Z) =

(2.7),

(2.8).

(2.7),

(2.8).

sin (-^-) е~г₽«° для

Рассмотрим задачу об излучении из полубесконечного цилиндрического волновода, расположенного соосно внутри

С

Рис. 2.7. Полубесконечная неоднородность в цилиндрическом волноводе.

цилиндрического волновода большего радиуса (рис. 2.7). Примем в качестве падающего поля в области В волну типа TMQtl (см. выражение (1.5.10)). Рассеянное поле представим в виде

2лл (^-р)« Vn°z

П=1

в области

А,

Нф^х, 2> '

2 BuJt (-^р) е^ъ»

П=1

в области

в.

Со -у e-tkz + 2 C*Z ("^ Р) e+VncZ .П=1

в области

С,

где {Son} — нули функции /0(ж),

Тпа = [(U/«)2-^1I/2,Ynb = [ (ion/b)2 - &2]1'2,

{Чоп} — корни уравнения

ь) у« (^")у- (-Т6) - °- и

Тпс = [(Поп/с)2 — ^11/2, Toe = — ik-

Показать, что процедура сшивания приводит к следующим системам уравнений:

2 Т^ГТ^-^Л^)^,т = 1, 2, 3,

" Yna — хтЪ

п=1

У —= 0, т = 0, 1, 2,

,Yna—Ymc

Ж

2 v " 2утьВт, т = 1, 2, 3, .. Yna + Ymb

п=1

2 Vna + Yme =^ = 0, 1, 2, . .

п=1

где

^;=л„^/0(-^ь), B^B^J.^-ьу

С* —С Г ®2 <гКпоп/с) Д]}2Ь >7 / Поп lAl 1п-Сп[26 2{(no„/c)a] а^Х с &jJ’

с;=с01п^у

п = 1, 2, 3,.

Показать, что решения приведенных выше уравнений имеют вид

Ля — Res/(упа), Вп = 2^ь / ( Упъ), ^'^ "5^^" ^ Т”с),

где

/ („) -М ^t^- exp {[6 In (-1) +

+-^)+»]}П-^^<*№’^

п—2

v ТТ 1—»/Ync (с/пл)(®-т1Ь)

ХЦ д:^^х

71—1

хц 1-Vlb/Vn;e * 71=1

причем

/(zz;) = 0(z^-1/2j ПрИ [^1 оо.

Рассмотрим собственные волны плоского волновода, заполненного анизотропной холодной плазмой в постоянном магнитном поле Во = ауВо- Можно показать [2], что для гармонически меняющихся во времени полей (в”ш1) в волноводе выполняются следую^ щие материальные соотношения:

D = 8o8»E,

В = ро*Н,

где е —тензор второго ранга, определяемый матрицей

• 81 О• 81 О8 =8 =О 83О 83ie2 Оie2 О— 182 *ОSi -— 182 *ОSi -

• 81 О

• 81 О

8 =

8 =

О 83

О 83

ie2 О

ie2 О

— 182 *

О

Si -

— 182 *

О

Si -

(Ор = ^82/7П8о,(Ор = ^82/7П8о,81 = 1 — ((Op/О))2 [1 — ((Ос/Co)2]”1, 82 = (й>р/со)2 [(О/(ОС — СОе/со]"1, е3 = 1 — (top/co)2,0)с = еВ^т,

(Ор = ^82/7П8о,

(Ор = ^82/7П8о,

где е — заряд электрона, т — масса электрона, N — среднее значение плотности электронов. Проверить следующие свойства собственных волн в волноводе:

Волны типа ТЕ (у которых отличны от нуля составляющие Е у, Ях, Н^) идентичны собственным волнам волновода» заполненного изотропной средой с относительной диэлектриче* ской постоянной е3. Таким образом^ волны типа ТЕ не взаимодействуют с анизотропной плазмой.

Для волн типа ТМ (у которых отличны от нуля составляющие Ну, Ех, Ех) магнитное поле Ну удовлетворяет волновому уравнению

("dz2+"di2' + fc2) Нв(х, Z) = 0,

где &2 = ^o(e, — е^/вр Составляющие электрического поля определяются соотношениями

г, —1/ d t 9 \ ГТ

Ех ~ Ъ^г (82 +161 »7) Я»’

~( — е2) Ну.

688963 \* 0Z *1 6х / и

Собственные волны типа ТМ в волноводе с анизотропным заполнением имеют вид [52]

Ну = А^г* (х) e-voz + 2 А^ (ж) е-7™2 4-

П=1

+ A;h; (ж) e+ve® + 2 A^hn (ж) eV,

71=1 где

то = + *о у-т;, Тпо = +)/ (-^)2-^,

А± (ж) = ехр (± к^х/ Уё^),

Заметим, что анизотропия плазмы приводит к различной зависимости поля от поперечных координат, определяемой функциями Л£ (я) и /^ (^ для волн, распространяющихся в положительном (+2) и отрицательном (— z) направлениях.

.12, Рассмотрим задачу о разветвленном волноводе (см. рис. 2.1), заполненном анизотропной плазмой, свойства которой описаны в предыдущей задаче. Структура возбуждается волной типа ТМЪ 0, падающей из области А:

H^^h^x, a)e~iaz.

Показать, что коэффициент отражения имеет вид

Л, _ ДЗу^/лЦа Ш а-Ы п Ь-с Ш с) 1 — (То/?1а)1 —(YlO/Ylb) 1 — (Vlc/Vla) v

l + (Vo/Vla) ‘ l + (Vla/Vlb) ’ l + (Vlc/Vla) Л

Указание. Как обычно, условия сшиванйя полей на поверхности z = О имеют вид ттА ттВ х

ИИА в I 0<х<Ь.

И

И

ттА ттС*\

Ь<.х<_а,Ь<.х<_а,Ну Ну.I

Ь<.х<_а,

Ь<.х<_а,

17Ат^СГ

&Х &Х1)

где верхний индекс у составляющих поля определяет принадлежность к соответствующей области. Можно показать, что функции из систем {Ап} и {еп} не образуют ортогональной последовательности и поэтому в данном рассмотрении неприменим обычный метод Фурье для вывода уравнений, которым удовлетворяют коэффициенты собственных волн. Однако, как можно доказать, рассматривая условие непрерывности в области 0 < х < b в виде

ъъ

J \Нувт^х. ЬНЕхМ^ b^dx = J \Нувт^х. b^^Exhm(x. b^dx. о0

справедливо свойство биортогональности собственных волн.

Показать, что правая часть приведенного уравнения тождественно равна нулю (биортогональность). Проведя аналогичное рассмотрение на отрезке Ъ •< х •< а. вывести следующие системы уравнений для коэффициентов {Лп}, описывающих амплитуды собственных волн в области Л:

2-^[(Д-та™(^»)]^-

2 V~^; [(т-- т» =1" (-^ ») ] -

-й^'а-^8‘п(ть)' т=1’2'3

2?^[«--«™ (^Ь)Р-

= т^[А-й181п(^г’)’ т = 1'2'3

Получить решение этих уравнений методом вычетов или с помощью прямого обращения.

ГЛАВА 3

МЕТОД ВИНЕРА —ХОПФА

ВВЕДЕНИЕ

В гл. 2 мы подробно рассмотрели формулировку краевых задач для неоднородных волноводов, основанную на сшивании полей. При этом способе формулировки задача обычно сводится к бесконечной системе уравнений, допускающей точное решение для некоторых структур специального вида, например для разветвленного волновода. В этой главе будет рассмотрен совершенно иной метод формулировки и решения краевых задач. Разумеется, и в этом случае точное решение задачи достигается лишь для структур специального вида. Эти структуры либо совпадают с теми, для которых можно получить точное решение задачи методом сшивания (гл. 2), либо являются их частными предельными случаями. Однако рассматриваемые в этой главе способ формулировки и решение задачи совершенно отличны от используемых в методе сшивания.

Основные различия между двумя возможными подходами обусловлены различием в использовании преобразования Фурье, составляющего основу описываемого в настоящей главе метода. Преобразование Фурье можно использовать двояко. Во-первых, при сведении краевой задачи к интегральному уравнению, которое затем преобразуется в уравнение на комплексной плоскости а, где а — переменная в преобразовании Фурье. Во-вторых, при использовании метода Джонса, где краевая задача формулируется в виде уравнения непосредственно для изображений Фурье. При этом в качестве отправного момента вычисляются изображения Фурье для полей, к которым затем применяются граничные условия непрерывности. Оба способа приводят к единственному уравнению в комплексной плоскости а для двух неизвестных функций, которые необходимо ввести в процессе формулировки задачи. Обе неизвестные функции определяются с помощью метода Винера— Хопфа, основанного на использовании аналитического продолжения в плоскости комплексного переменного а.

Хотя в этой главе мы ограничимся рассмотрением лишь тех задач, которые могут быть точно решены методом Винера—Хопфа, математическая техника, развитая здесь, послужит нам в дальнейшем (гл. 5) основой для построения некоторых приб-

*) В отечественной литературе этот метод принято называть методом Винера—Хопфа —Фока, поскольку В. А Фоку принадлежит одна из основополагающих работ в этой области [68]. — Прим. ред.

лишенных методов. Эти методы позволяют существенно расширить класс задач, для анализа которых применим метод Винера — Хопфа

5 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

При изучении метода Винера —- Хопфа необходимы некоторые сведения о свойствах преобразования Фурье. Детальное обсужде* ние преобразования Фурье выходит за рамки нашего изложения; интересующийся читатель может воспользоваться рядом превосходных книг, специально посвященных этому вопросу, например [64]. Полезно, однако, начать изложение со сводки свойств преоб* разования Фурье ), которые явственно выступают при описания метода Винера — Хопфа.

Преобразование Фурье функции / (z) определяется выражением

ОО

F(a)=P(/) = -A= f f^e^dt,(3.2.1)

—оо где а пока будем считать действительным.

Наряду с обозначением F (а), принятым для преобразования Фурье функции / (z), мы будем иногда использовать также символ F^.

Условия существования величины F (а), определенной согласия (3.2.1), зависят от того, в каком смысле понимается интеграл в правой части приведенного выше уравнения. Для наших целей обычно достаточно понимать этот интеграл в смысле Римана 2). Таким образом, преобразование Фурье F (а) существует, если существует интеграл (3.2,1) в смысле Римана. Для несобственных интегралов символ

j g^dz(3.2.2)

а

обычно понимается как предельное значение

н

lim ( g^dz*(3.2.3)

R->oo Ja

если предел существует. Кроме того, если g (z) неограниченно возрастает или осциллирует при z -> b* то по определению полагают bЪ-е

\g(z)dz = lim Г g^dz, b">a,$.2.^

если предел существует. Преобразование Фурье, определенное таким образом, существует даже в том случае, когда / (z) имеет несчетное число точек разрыва или даже если функция | / (z) е iaz | не интегрируема в неограниченной области.

Наиболее важным соотношением, связывающим функции F (а) и / (z), является теорема обращения* согласно которой

/ (г) = Г* ^ = -т= Г F (а) е"^ da. (3.2.5)

Обратим внимание на то, что мы ввели здесь обозначение F"1 для оператора обратного преобразования Фурье, определяемого интегралом (3.2.5). Второе важное свойство преобразования Фурье, часто используемое при решении интегральных уравнений, встречающихся в теории электромагнитных волн, описывается теоремой о свертке. Эта теорема выражается соотношением

J=F(a)G(a).(3.2.6)J=F(a)G(a).(3.2.6)Р|^=L VSiР|^=L VSij f^g^ — z^dz'

J=F(a)G(a).(3.2.6)

J=F(a)G(a).(3.2.6)

Р|^=

L VSi

Р|^=

L VSi

Теорему о свертке можно представить и в другом виде, одним из следующих равенств:

f /(z')g(z_z')dz'= <[ F(a)G(a)e~^dat (3.2.7)

j t^gkz^ = -A_ j F(p)G(a-P)dp. (3.2.8)

Доказательства формулы обращения и теоремы о свертке можно найти во многих руководствах по преобразованиям Фурье и здесь нами не приводите^

Интеграл, определяющий преобразование Фурье (3.2.1), часто выражают в видесуммы интегралов, каждый из которых определен

в полубесконечной области ^ («) =

: F+ (а) + F_ (а),

(3.2.9a)

где

—Г /(z)etadz. 1/2л J 7 V 7

(3.2.96)

0

J /И к— оо

(3.2.9в)

В зависимости от поведения функции / (z) при z -> + оо и z -> — оо может оказаться, что для действительных а существует лишь один из интегралов F-v (а) или F_ (а). В этом легко убедиться на примере функции

/ (z) =

где к = кг + гк^ причем кг, к2 > 0.

Для выяснения смысла интегралов F+ (а) и F_ (а) представим функцию / (z) в виде суммы двух функций т):

/(z) = /(+)(z) + A-)(z),

(3.2.10)

где

( /(z)при z>0,

Л«« = { 0при «<0,

(3.2.11a)

f 0при z>0,

A-)(z)- | ц^ЦрИ z<o.

(3.2.116)

Функции F±(a) можно рассматривать как преобразования Фурье для функций /± (z). Из теоремы обращения (2.5) получаем

, „ , Г / (z)

при О

>0,

(3.2.12a)

при z<

со.

f 0

при z:

>0,

(3.2.126)

при z<

со.

Обратим внимание на то, что мы обозначаем индексами (+) и (—) функции от z, равные нулю на полупрямой, соответственно в интервале (— оо, 0) или (0, + оо). Как будет показано в § 3, преобразования Фурье этих функций (обозначаемые теми же индексами без скобок) аналитичны соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной переменной а.

Заметим, что в выражениях (3.2.10)—(3.2.11) не определено явно значение / (z) при z = 0. Однако, в соответствии со свойствами интеграла Римана, наличие конечного числа точек разрыва первого рода у подинтегральной функции не приводит к нарушению интегрируемости или к изменению величины интеграла

§ 3. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕВ КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ а

В предыдущем параграфе мы определили преобразование Фурье, считая переменную интегрирования а действительной. В дальнейшем мы снимем это ограничение и установим некоторые важные свойства преобразования Фурье в комплексной области; эти свойства будут непосредственно использоваться при развитии метода Винера — Хопфа.

Попытаемся вначале унифицировать наш язык и напомним некоторые термины, принятые в теории функций комплексного переменного. Назовем функцию аналитической в точке комплексной плоскости, если она однозначно определена и дифференцируема в этой точке. Будем говорить, что функция аналитична в области D1 если она является аналитической в каждой точке этой области, за исключением, может быть, конечного числа точек. Эти выделенные точки назовем особыми точками, или точками сингулярности функции. Если аналитическая функция не имеет точек сингулярности в области D, говорят, что она регулярна ^ в этой области. Функция, регулярная в любой конечной области всей комплексной плоскости, называется целой функцией.

Сформулируем теперь без доказательства основную теорему, относящуюся к функциям комплексного переменного а, определенным интеграл ами( вида

G (а) = J / (z) h (z, а) da.(3.3.1)

а

Частным случаем этого интеграла является и преобразование Фурье (3.2.1). Нас интересуют условия, при которых функция G (а) регулярна при а, принадлежащем области D (открытая связная область, исключая границу).

Теорема I. Функция G (а), определенная интегралом (3.3.1), регулярна в области D, если выполнены следующие условиях

h ^z, а) — непрерывная функция двух переменных, если а принадлежит D, а а ^ z ^ R для любого конечного R;"

если а ^ z ^ Д, A (z, а) регулярна в D;

если а ^ z ^ R, f (z) имеет конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов*,

если а ^ z ^ R, / (z) ограничена всюду, за исключением конечного числа точек. Пусть z0 — одна из таких точек, так что

х) Иногда используют также термин «голоморфная» или «аналитическая» ункция.

/ (z) -> оо при z -> z0; тогда интеграл

G(a) = lim£j /(z) A(zf a)dz+ j f (z) h (z, a) dzJ0zo+6

должен существовать,

G (a) сходится равномерно x) для любого а в области D.

Общая идея этой теоремы первоначально была сформулирована Копсоном [34] и Титчмаршем [65], а в приведенной выше форме дана у Нобла [58]. В задачах, которые мы будем рассматривать, функция / (z) обычно связана с решением некоторой дифракционной задачи и, как можно будет показать, обычно удовлетворяет условиям (в) и (г). Предположив, что сформулированные выше условия выполнены, получим на оснований теоремы I некоторые важные свойства функций (a), F _ (а) и F (а). Первое из этих свойств можно сформулировать в виде следующей теоремы» ,

Теорема II. Если f (z) ^ Aex-Z при z->+oo, то, функция

F+^ =F+^ =-U- f f^e^dx-U- f f^e^dx(3.3.2)(3.3.2)

F+^ =

F+^ =

-U- f f^e^dx

-U- f f^e^dx

(3.3.2)

(3.3.2)

регулярна в полуплоскости т = Im а > т_.

Для доказательства воспользуемся теоремой I. Очевидно, Ито функция A (z, a) = е^2 удовлетворяет условиям (а) и (б). Остается, таким образом, показать, что условие (д) также выполнено. Для этого рассмотрим значение функции F^ (а) в фиксированной точке a = а0 = о0 + /т0, где т0 = т_ + е, е > 0. Интегра# F^ (a0) сходится, так как он отличается от ограниченной величины лишь на слагаемое

Ae-^e^dz, (3.3.3)

Простейшим условием равномерной сходимости интеграла является аналог признака Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Пусть g (z, a) — непрерывная функция z (а заключено в области D, а z > а), удовлетворяющая в каждой точке области D условию | g (я, ее) | ^ М (а), где М — положительная функция, не зависящая от а. Тогда, если J М (z) di а оо

сходится, ) g ^ a) dz сходится в D равномерно и абсолютно [34].

которое ограничено при е>0. Введем вспомогательную функцию

S'ИS'И1"1/2 л1"1/2 лXf(z)eia°zdz, оXf(z)eia°zdz, о(3.3.4}(3.3.4}

S'И

S'И

1

"1/2 л

1

"1/2 л

X

f(z)eia°zdz, о

X

f(z)eia°zdz, о

(3.3.4}

(3.3.4}

Заметим, что g (х) ограничена при всех значениях х, так как F+(a0) существует. Представим ^(а) в (3.3.2) в виде

(3.3.5)(3.3.5)_1 Г el(a-ao)zetaoz/ (2) дд.

(3.3.5)

(3.3.5)

У2я J

Проводя интегрирование по частям, получаем

F+ (а) = e^a”a^zg (z) |~ — i (а — а0) J g (z) е1^”^2 dz. (3.3.6) о

Так как g(0) = 0, a exp [i (а—а0)] g (z) -> 0 при z-> оо и т>т0, то получаем

F+ (а) = — t (а —а0) f g (2) е^а~а^хdz(3.3.7)

о

при т > т0 или т > т_, если е -> 0. Заметим, что В области т > т_ подинтегральное выражение в (3.3.7) всегда меньше М^ где М — верхняя граница g (z) и не зависит от а. По определению интеграл F^. (а) сходится равномерно для всех т > т_. Так как выполнены все пять условий, регулярность функции F^ (а) в верхней полуплоскости т > т_ комплексной плоскости а доказана.

Теорема III. Если f (z) ~ Вех+г при z-^ —оо, то функция о

ЕДа^-^ j f^e^dz(3.3.8)

*—ОО

регулярна в полуплоскости т< т+.

Эта теорема доказывается совершенно аналогично предыдущей. Напомним еще рай читателю, что индексы у функций F^ (а) и F_ (а) обозначают область регулярности этих функций на комплексной плоскости а.

Теорема IV. Если / (z) ~ Лет-2 при z ->- +оо и / (z) ^ Вех^х при z ->- —оо, причем т+ > т_, то преобразование Фурье

+ <Х>

F^ = -l= ( f^e^dz(3.3.9)

у 2Л •/

регулярно в полосе т_ < т < т+, а обратное преобразование дается интегралом

оо+гТ

f(^ = —7=- f F (a) e-iaz da, т_<т<т+.(3.340)

V2n J

— 004-гт

Представим F (а) в виде F (а) = F^ (а) + F_ (а), тогда из теорем I и II сразу следует регулярность интеграла (3.3.9). Полагая а = о + ir в (3.3.9), получаем

F (о + ^т) = ^ ■ ( \] ^ е-хг\егОх dz» (3.3.11) 2л J

Этот интеграл можно рассматривать как преобразование Фурье функции [/ (z) е-ТгА по действительной переменной о. Преобразование Фурье F (о + it) существует, если т_ < т < т+. Используя теорему обращения (3.2.5), получаем равенство

/(z) е*^/(z) е*^= —f F (а + е-гах da, т_<т<т+, (3.3.12) У 2л

/(z) е*^

/(z) е*^

которое, как можно показать с помощью простой замены переменных, совпадает с выражением (3.3.10).

§ 4. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ

Метод Винера — Хопфа пригоден для решения краевых задач в тех случаях, когда форма тела может быть определена как сочленение двух полубесконечных подобластей, принадлежащих некоторой области, являющейся координатной поверхностью в разделяющейся системе координат. С помощью функции Грина для поверхности такой формы можно получить неоднородное интегральное уравнение, определенное в полубесконечной области. Для задач дифракции электромагнитных волн, которым посвящена эта книга, интегральное уравнение имеет вид )

где ядро g (z — z0) и правая часть a (z) определяются соответственно известными функцией Грина и видом падающего поля (или источника). Неизвестным в интегральном уравнении (3.4.1) является функция <р (z0), которая обычно описывает распределение тока.

наведенного на поверхности полубесконечного рассеивающего препятствия, или распределение поля в полубесконечном раскрыве. Уравнение (3.4.1) в литературе принято называть интегральным уравнением Винера — Хопфа; его решение и составит основное содержание этого параграфа.

Прежде всего заметим, что интегральное уравнение (3.4.1) имело бы вид интеграла свертки (3.2.6), если бы интеграл имел бесконечные пределы, т. е. — оо < z0 < оо, а уравнение было бы справедливо для всех z. Так как мы имеем дело с интегралом типа свертки, можно применить для решения преобразование Фурье; результирующее уравнение в пространстве изображений будет при этом просто алгебраическим уравнением. Таким образом, первым шагом в решении является преобразование уравнения (3.4.1) к свертке. Для этого обозначим

(3.4.2)(3.4.2)f ф(z), z>0,v™« = { 0, i<0,

(3.4.2)

(3.4.2)

где в соответствии с обозначениями § 2 индекс (+) означает, что функция равна нулю при х < 0. Левую часть в (3.4.1) можно заменить на

<P<+>(zo)g(z — z0)dz0.<P<+>(zo)g(z — z0)dz0.(3.4.3)(3.4.3)

<P<+>(zo)g(z — z0)dz0.

<P<+>(zo)g(z — z0)dz0.

(3.4.3)

(3.4.3)

Для того чтобы расширить область определения уравнения (3.4.1) до всей прямой — оо < z < оо, проделаем аналогичную процедуру и для функции a (z), т. е. определим

a(z), z>0,a(z), z>0,»<+>(z)-{ 0,z<0»<+>(z)-{ 0,z<0(3.4.4)(3.4.4)

a(z), z>0,

a(z), z>0,

»<+>(z)-{ 0,z<0

»<+>(z)-{ 0,z<0

(3.4.4)

(3.4.4)

Теперь можно было бы переписать уравнение (3.4.1) в виде

Фен (М g(2 —20) d^ = а(+) (z),— оо <z< оо.

Однако полученное уравнение некорректно: оно подразумевает равенство нулю интеграла в левой части при z < z0, тогда как а^ (z) для всех отрицательных z равно нулю. Следует понимать, Что интеграл

y(Zo)g(z—z0)dz0

определен для всех z, в то время как неизвестная функция ф (z0) определена лишь для ze > 0.'

В результате при попытке расширить область определения уравнения (3 4 1) до всех z мы вынуждены ввести новую неизвестную функцию, скажем b^ (z), тождественно равную нулю для z > 0. Уравнение (3.4.1) можно теперь переписать в виде, допускающем применение преобразования Фурье:

-^ j v+(z0)g(z —z0)dz0 = a(+)(z) —^(z),— oo<z<oo.

(3.4.5)

В процессе преобразования уравнения (3.4.5) требуется знать асимптотику входящих в него функций для того, чтобы с помощью сформулированных в § 3 теорем определить область регулярности их преобразований Фурье. Функции g (z) и а^ (z) известны, поэтому области регулярности функций G (а) = F (g (z)) г) и Л+ (а) = F («+) на комплексной плоскости а легко установить. Поведение пока еще не известных функций ф(+) (z) и b^ (z) при z—>0 может быть определено априори из физических условий рассматриваемой задачи ). Таким образом, и области регулярности функции Ф+ (а) = F (ф(+)) и В_ (а) = F (Ь^) также можно установить. В правильно поставленной задаче функции G (а), Л+ (б&), Ф+ (а) и В_ (а) будут иметь общую полосу регулярности в комплексной плоскости а; обозначим эту полосу т_< т< т+. Применяя к (3 4.5) преобразование Фурье, приходим к уравнению

Ф+ (a) G (а) = Л+ (а) — В. (а), т_ < т < Т+,(3.4.6)

которое обычно называется уравнением Винера — Хопфа. Из (3 4.6) очевидна цена, которую нам пришлось заплатить за то, чтобы преобразовать интегральное уравнение (3.4.1) в алгебраическое: в то время как уравнение (3.4.1) содержит лишь одно неизвестное ф (z0) для z 0 > 0, в (3.4.6) две неизвестные функции — Ф+ (а) и В_ (а). На первый взгляд могло бы показаться, что определить два неизвестных из одного уравнения невозможно. Однако, как мы вскоре убедимся, метод Винера — Хопфа позволяет это сделать. Следует напомнить, что функции Ф+ (а) и В. (а) регулярны соответственно в верхней и нижней полуплоскостях. Это обстоятельство, как будет показано, имеет исключительно важное значение при отыскании двух неизвестных из одного уравнения (3.4.6).

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВИНЕРА - ХОПФА

В этом параграфе мы опишем формальную процедуру х) решения уравнения Винера — Хопфа, которое для удобства приведем еще раз:

Ф+ (a) G (а) = Л+ (а) - В. (^. т. < т < т+.(3.5.1)

Ключевым моментом решения уравнения (3.5.1) является факторизация функции G (а), т. е. представление ее в виде произведения двух функций:

G (а) = G+ (а) G. (а),(3.5.2)

где G+ (а) регулярна в верхней полуплоскости (т > т_), a G. (а) — в нижней полуплоскости (т < т+) комплексной плоскости а. Кроме этого потребуем также, чтобы функции G+ (а) и G_ (а) не имели нулей в областях регулярности ). В необходимости этих дополнительных условий мы убедимся при отыскании решения.

В некоторых простых случаях факторизация (3.5.2) может быть осуществлена достаточно просто по виду функции. В произвольном случае имеется формальный способ факторизации функции G (а). Детальное рассмотрение способа факторизации произвольной функции будет дано в § 9. Сейчас предположим, что факторизация (3.5.2) проведена. Подставив (3.5.2) в уравнение (3.5.1), получим

Ф+ (a) G+ (а) G„ (а) = Л+ (а) — В_ (а), т„ < т < т^.(3.5.3)

Так как G_ (а) отлична от нуля в полосе, можно разделить обе части уравнения на G_ (а). В результате получим

».(«)e.(«)-^-^l, t.<T<^(3.5.4)

В силу свойств функций Ф+ (а) и G+ (а) произведение Ф+ (а) G+ (а) регулярно в верхней полуплоскости; аналогично В_ (a)/GL (а) регулярно в нижней полуплоскости комплексного переменного а.

Следующим важным шагом в отыскании решения является разложение неизвестной функции на сумму двух функций

^ = S+(a) + 5_(a).(3.5.5)

ur+

Обратим внимание, что если представление данной функции в виде произведения функций, регулярных в верхней и нижней полуплоскостях, мы называли факторизацией, то представление функции в виде суммы (3.5.5) можно было бы назвать разложением. Рассмотрение способа разложения заданной функции мы также отложим до § 9, а здесь лишь предположим, что функция Л+ (a)/G_ (а) может быть представлена в виде (3.5.5). Используя это разложение в (3.5.4), получаем

Ф+(а)С+(а)-5+(а) = 54а)-^, т_<т<т+.(3.5.6)

Функция в правой части уравнения (3.5.6) регулярна в нижней полуплоскости (т < т+), а функция в левой части уравнения регулярна в верхней полуплоскости (т > т,). Обе полуплоскости перекрываются в полосе т_ < т < т+. Как можно показать с помощью аналитического продолжения х), обе части уравнения (3.5.6) должны быть равны целой функции Р (а). Введя функцию Р (а), мы обобщим уравнение (3.5.6) на всю комплексную плоскость а:

Р (а) = Ф+(а) G+(а) — 5+(а) — 5_ (а) — ^- ^ при всех а. (3.5.7)

Очевидно, что для однозначного решения задачи следует определить Р (а). Напомним, что целыми функциями мы называем функции, регулярные во всей комплексной плоскости | а | < оо. Такие функции могут быть рациональными, т. е. полиномами конечной степени, или трансцендентными. В качестве примера целой трансцендентной функции можно указать еа, sin а или любую функцию, представимую бесконечным степенным рядом, сходящимся для любого конечного значения а. Рациональные целые функции на бесконечности растут по алгебраическому закону, трансцендентные целые функции имеют на бесконечности существенно особую точку. В задачах электродинамики функции, входящие в уравнение (3.5.7), обычно при | а | -> оо растут алгебраически, а не экспоненциально. Это непосредственно связано с условием на ребре (§ 1.3, 1.4), согласно которому в окрестностях геометрических сингулярностей поверхности для поля допустим лишь алгебраический рост. Наложение условия на ребре в конкретных задачах обычно позволяет определить два положительных действительных числа р и q, таких, что

Ф+(а)£+(а) —S^a) = O(a"p), |а|->оои т>т_, (3.5.8а)ь

5_ (а) —= О (а”9), |а|->оо и т<т+. (3.5.8б)>

Как следует из соотношения (3.5.7), при этих условиях Р (а) -> 0, если | а | -> оо. На основании теоремы Лиувилля, согласно которой ограниченная целая функция постоянна, функция Р (а) тождественно равна нулю 2). Этот результат дает возможность одновременно определить Ф+ (а) и В_ (а):

Ф+ (а) = 5+ (a)/G+ (а),(3.5.9a)

В_ (а) = 5_ (а) G_ (а),(3.5.96)

и тем самым получить требуемые решения функционального уравнения Винера — Хопфа (3.5.1). Неизвестную функцию <р (z) в исходном интегральном уравнении (3.4.1) можно теперь определить с помощью обратного преобразования Фурье функции Ф+ (а). Как видно из описанного процесса решения, уравнение Винера — Хопфа (3.5.1) может быть решено лишь в случае, когда Р (а) — целая функция. Граничные условия задачи и условия возбуждения допускают лишь определение частного решения. Для однозначного определения Р (а) требуется дополнительное физическое ограничение. В задачах электродинамики, как мы увидим из рассматриваемых ниже примеров, таким физическим критерием является условие на ребре.

РАЗВЕТВЛЕННЫЙ ВОЛНОВОД

В § 4, 5 было дано описание вывода функционального уравнения Винера — Хопфа с помощью интегрального уравнения и его решения. Теперь желательно рассмотреть какой-либо характерный пример. Вернемся снова к задаче о разветвленном волноводе, которая была решена в гл. 2 методом сшивания. Рассмотрение этой задачи мы разобьем на несколько этапов. Вначале сформулируем задачу с помощью метода функции Грина, а результирующее Интегральное уравнение преобразуем в функциональное уравнение Винера — Хопфа в пространстве преобразований Фурье. Затем подробно проследим за процедурой нахождения решения уравнения Винера — Хопфа. Как мы увидим в рассматриваемом примере,

*) Вообще говоря, вместо (3.5.8) мы можем получить

O+t^G+Ca)—5+(а) = 0(аЛ1),|а|->оо и т > т„.

5_(а)|а|->а> и т<т+.

В этом случае можно воспользоваться следующим обобщением теоремы Лиувилля. Если / (а) — целая функция и | / (а) | < М | а |А при | а | -► со для фиксированных положительных М и h, то функция / (а) есть полином степени не выше [У, где [М — целая часть И. В результате получаем, что р (а) в (3.5.7) есть полином степени не выше min ([AJ, Vhj^.

необходимые по ходу решения факторизация и разложение функций достигаются очевидным образом. Основываясь на этом про- стом примере, мы опишем также общий метод факторизации произвольной мероморфной функции ^ Наконец проведем детальное исследование решения задачи о разветвленном волноводе.

ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ГРИНА

На рис. 3.1 изображен плоский разветвленный волновод. Как показано на рисунке, слева на разветвление набегает собственная

Рис. 3.1. Разветвленный волновод и контур интегрирования в формуле Грина (3.6.6).Рис. 3.1. Разветвленный волновод и контур интегрирования в формуле Грина (3.6.6).

Рис. 3.1. Разветвленный волновод и контур интегрирования в формуле Грина (3.6.6).

Рис. 3.1. Разветвленный волновод и контур интегрирования в формуле Грина (3.6.6).

волна типа ТЕЪ 0. Единственная отличная от нуля составляющая электрического поля у этой волны равна

Е^^ф^^зш (^ я) e-Y1°z, 0<<ж<а, —oo<z<oo. (3.6.1)

Заметим, что при решении методом сшивания падающее поле считалось отличным от нуля лишь в области Л (см. (2.2.1)). При решении задачи методом Винера — Хопфа удобно считать, что падаю* щее поле отлично от нуля во всех областях, хотя при зависимости поля от поперечной координаты sin (лж/а), очевидно, не удовлетворяется граничное условие при х = b, z > 0. Как мы убедимся в дальнейшем, конечные результаты для рассеянного поля в областях В и С содержат слагаемые, которые полностью компенси* руют падающее поле в этих областях, и, таким образом, полное поле везде совпадает с полем, найденным методом сшивания. Очевидная причина различия в определении падающего поля связана с тем, что в методе сшивания используется условие непрерывности полей 1Г поперечной плоскости при z = 0, а в методе Винера —- Хопфа, как мы скоро увидим, используется условие непрерывности поля в продольной плоскости при х = Ь.

х) Мероморфная функция есть отношение двух целых функции.

Задача состоит в отыскании рассеянного поля *), состоящего лишь из волн типа ТЕ и определяемого единственной составляющей Еу = ф. Скалярная функция ф удовлетворяет волновому уравнению

-^2-+^Г + Н<Р(Ж’) = 0(3-6-2)

и четырем условиям, определенным ранее в гл. 2 (см. (2.2.2)). Для вывода интегрального уравнения типа (3.4.1) введем функцию Грина 2), удовлетворяющую уравнению

V^-V^^^S^ z^x°’ z°^ = — y^^—^fitz —ZO),

(3.6.3)

где 6 — дельта-функция Дирака. Функция Грина удовлетворяет следующим граничным условиям:

g = 0 при х = 0 и х = а для всех z,(3.6.4а)

g удовлетворяет условию излучения при z = ± оо.

(3.6.46)

Введенная таким образом функция Грина зависит лишь от разности (z — z0), и, следовательно, можно написать:

g (я, z | х0, z0) = g (ж, х0; z — z0).(3.6.5)

Используем далее вторую теорему Грина

( ( (W2g—gV2^)dxdz=^ ^% — 8^V1’(-6-6)

sс

где область S ограничена стенками широкого плоского волновода и полубесконечной пластиной, разделяющей волновод (см. рис. 3.1), С — граница области 5, а д/дп — оператор дифференцирования в направлении внешней нормали. Как очевидно из (3.6.2) и (3.6.3), в левой части равенства (3.6.6) стоит величина (—1)}/г2лф (ж0, z0). Интеграл в правой части (3.6.6) можно разбить на несколько слагаемых:

Интегралы по Сг и С6 равны нулю, так как ф = 0 и g = 0 на этих отрезках*

Объединяя интегралы вдоль С3 и С4 и учитывая непрерыв- юсть ф (a*, z) на пластине, получим

j §ф, ж»; z —z0) j(+)(z)dz,(3.6.7)

о

де величина

7(+> ( ) дх |х==ь+ 9х |Х;=Ь_

। ропорциональна плотности поверхностного тока, наведенного ia пластине *).

Интегралы вдоль С^, С5 и Сч обращаются в нуль, так как функции ф и g удовлетворяют условию излучения; проверить это ложно непосредственно, проведя интегрирование и воспользо- швшись для ф и g их асимптотическими выражениями. Убедиться з справедливости этого можно и другим способом, допустив нали- тие малых потерь в среде; при этом условия излучения требуют, 1тобы функции ф и g убывали при z -> ± оо.

Суммируя вклады от интегралов по разным отрезкам контура, золучим результирующее уравнение

—= I g (b, х»; z — z0) ;<+) (z) dz = — <р (ж0, z0).(3.6.8)

у J

Осталось еще удовлетворить граничному условию на пластине ф4-ф(О —о, которое с учетом (3.6.1) дает

Ф=—sin e-viaz, x = b, z>0.(3.6.9)

Подставляя это значение в (3.6.8) и заменяя переменные х на х01 a z на z0, окончательно получаем требуемое интегральное уравнение

J j\+)(z0)g(z —z0)dz0 = sin (^)z>0, (3.6.10)

где для простоты g (х = Ь, х0 = Ь; z — z0) обозначена как g (z — z0). Заметим, что уравнение (3.6.10) совпадает по форме с (3.4.1), причем единственное неизвестное здесь /(+) (z0). Используемая в (3.6.10) функция Грина известна, и ее явное выражение можно найти, решив задачу, описываемую формулами (3.6.3) — (3.6.4) (см. задачу 3.2). Однако для решения уравнения ^3.6.10) методом Винера — Хопфа не требуется знать явное выражение для g (z — z0). Необходимо знать лишь преобразование Фурье от g, т. е. G = F [(g (z))], которое может быть легко вычислено.

х) Плотность наведенного на пластине поверхностного тока равна (i/cop) J(+) (z) ау»

При выводе уравнения (3.6.10) были использованы все граничные условия, перечисленные в § 2.2. Таким образом, вся информация, необходимая для однозначного определения функции ;(+) (z0), содержится в интегральном уравнении (3.6.10) и оставшемся условии на ребре (условие 4 в § 2.2).

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ВИНЕРА — ХОПФА

Слёдуя пути, намеченному в § 4, преобразуем интегральное уравнение (3.6.10) в функциональное уравнение Винера —- Хопфа. Для того чтобы иметь возможность использовать формулу для свертки (3.2.6), необходимо расширить область интегрирования в (3.6.10) до полной прямой — оо < z0 < оо. Заметим, что/(+) (z0) равно нулю при z0 < 0. Поэтому нет необходимости вводить новое обозначение, аналогичное соотношению (3.4.2), а можно сразу написать

-^2% f ^w ^°^ ^ (2 ” ^ ^Z° " а<+) ^ — ^(-) ^ ’

(3.6.11а)

где

(3.6.116)(3.6.116)(3.6.11b)(3.6.11b)J sin aw^ = \ х а 1

(3.6.116)

(3.6.116)

(3.6.11b)

(3.6.11b)

Ь(-) W =Ь(-) W =0,

Ь(-) W =

Ь(-) W =

( А+> (zo)g(z —z0)dz0,

Заметим здесь, что согласно (3.6.8)

b^ (z) = ф (х = &, z), z < 0.(3.6.11г)

Прежде чем вычислить преобразование Фурье функций (3.6.11), сделаем замечание о возможных свойствах среды.

Довольно очевидно, что любая физическая среда неизбежно должна обладать потерями. Поэтому отсутствие потерь в среде — идеализация, часто используемая при теоретическом анализе — на самом деле является предельным случаем бесконечно малых потерь. При решении уравнения (3.6.10) методом Винера — Хопфа удобно предположить, что среда обладает малыми потерями; при этом следует положить

Принятое допущение помогает избежать исследования корректности некоторых предельных переходов. Решение для случая отсутствия потерь при этом всегда можно получить, просто полагая к2 -> 0 в окончательном выражении.

Начнем с рассмотрения преобразования Фурье от функции aw (z). Так как aw (z) ~ exp (— toz) при z -^ + оо, где т0 = = Re у1о, то, согласно теореме II из § 3, функция Л+ (а) = = F (aw) регулярна в верхней полуплоскости (т > — т0) комплексной плоскости а; явное выражение для Л+ (а) имеет вид

А+ (а) =А+ (а) =sin ( —) f g-VlaZgtaz ^z =/2л \ а / J

А+ (а) =

А+ (а) =

Найдем теперь преобразование Фурье от /(+) (z). Эта функция пока не известна, но ее можно представить в виде линейной комбинации собственных волн областей В и С х):

Jw (z) = 3 <J\e-wz + Q^nczY г > 0. (3.6.13) n—1

Как можно показать (см. задачу 3.3),

Re упЬ>т0, Re ync > т0 для всех п. (3.6.14)

Физический смысл этих неравенств состоит в том, что в разветвленном волноводе все собственные волны затухают не медленнее, чем основная волна типа ТЕЪ 0 в волноводе А. Вследствие этого I 7(+> () I ^ Се"^х при z-> + оо. На основании теоремы II из § 3 можно утверждать, что J+ (a) = F (jw (z)) регулярно по крайней мере в полуплоскости т > — т0.

Найдем преобразование Фурье от функции g (z). Как уже отмечалось ранее, можно не определять явное выражение для функции g (х, х0; z), а искать ее преобразование Фурье

G (х, х0- а) = F \g (х, xQ; z)] (3.6.15)

непосредственно из уравнений (3.6.3) — (3.6.4). Применение преобразования Фурье к уравнению (3.6.3) и подстановка z0 = 0 8) дают

('^' —Y2) ^(^ ^о? «) = —6 (ж — Хо), (3.6.16)

х) Так как составляющие падающего поля (3.6.1) непрерывны'при х — Ъ^ приводимое выражение для /(+) (z) не должно содержать члена, соответствующего Н^.

где у = "j^a2 — /с2; выбор ветви квадратного корня подробно обсуждался в § 1.6. Так как функция g (х, х0; z) представляет собой линейную комбинацию собственных волн волновода А типа ТЕп, 0, то на основании теоремы IV § 3 можно утверждать, что функция G (х, х0; а) регулярна в полосе | т | < т0. Поэтому уравнение (3.6.16) справедливо для всех а в этой полосе. Решения однородного уравнения (3.6.16), удовлетворяющие граничным условиям (3.6.4а) при х = 0 и х = а, равны соответственно sh ух и sh у (а — х). Функция G (ж — х0; а) удовлетворяет однородному уравнению всюду, кроме точки х = х0; поэтому можно положить

( Dishyx , х<Ся0.

G(x,x0; = 1 ¥ (3.6.17) ' ( Z/2shy(a— х^ х>*х0) х

(3.6Л8а)(3.6.186)(3.6Л8а)(3.6.186)где Dx и D^ — неизвестные функции от х0 и а. Можно показать (задачу 3.1), что решение уравнения (3.6.16) с источником типа 6-функции в точке х = х0 должно удовлетворять условиям

(3.6Л8а)

(3.6.186)

(3.6Л8а)

(3.6.186)

G |х=хо+0 ^ |х=хо—О — 0,dG I ^g I _ _дх |х=хо+О дх |х=хо-о“

Эти условия позволяют легко определить ^ и У2 в (3.6.17). Окончательно имеем

G (гг, х^; а) = <G (гг, х^; а) = <sh у (а — я0) sh уху sh у аshyzgshy (а — х)у sh уаsh у (а — я0) sh уху sh у аshyzgshy (а — х)у sh уаx<xOlx<xOlХ>$0.Х>$0.[(3.6.19)[(3.6.19)

G (гг, х^; а) = <

G (гг, х^; а) = <

sh у (а — я0) sh уху sh у аshyzgshy (а — х)у sh уа

sh у (а — я0) sh уху sh у аshyzgshy (а — х)у sh уа

x<xOl

x<xOl

Х>$0.

Х>$0.

[(3.6.19)

[(3.6.19)

Заметим, что G (х, х0; а) — четная функция а, т. е.

G (ж, х0; а) = G (х, х0; —а).(3.6.20)

Это свойство является следствием зависимости g (х, xQ; z) лишь от модуля z (см. задачу 3.2). Оно справедливо, вообще говоря, для любой однородной и изотропной среды. Как мы увидим в дальнейшем, четность функции G (х, хь; а) имеет важное значение при осуществлении факторизации в методе Винера — Хопфа.

Полагая в (3.6.19) х = х0 = Ь, получаем требуемое преобразование Фурье функции g (z):

sh yb sh ycу sh yash yb sh ycу sh ya(3.6.21)(3.6.21)

sh yb sh ycу sh ya

sh yb sh ycу sh ya

(3.6.21)

(3.6.21)

Полученная функция G (а) регулярна в полосе | т | < т0, как и отмечалось выше.

Нам осталось найти преобразование Фурье ют* слагаемого b^ (z) в (3.6.11а). Как следует из (З.б.Нв),

6(_> (z) = ^= [ jw (z0) g (z—z0) dz0.

У 2л J

При z->— oo имеем |g(z— z0) | ^Bf^0^-20) и, таким образом, получаем

| b^ (z) | ^ Btex»z ^ j(+) (z0) c“To2° dz0 = B2eT°z, z-^- — oo. (3.6.22) о

Мы установили тем самым, что В_ (а) = F (b^ (z)) регулярна в нижней полуплоскости т < т0 комплексной переменной а, хотя явный вид функции b(-> (z) пока не известен.

Преобразования Фурье всех рассмотренных выше функций, входящих в „уравнение (3.6.11а), имеют общую область регулярности | т | < т0. Используя формулу свертки (3.2.6), получим из (3.6.11а)

G (a) J^ (а) = Л+ (а) — В_ (а), | т | < т0, (3.6,23) где явный вид Л+ (а) и G (а) определен соответственно выражениями (3.6.12) и (3.6.21).

факторизация МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ

В § 5 рассмотрено решение уравнения Винера — Хопфа, записанного в стандартном виде (3.6.23). Первый шаг при нахождении решения состоит в факторизации функции G (а), т. е. представлении ее в виде

G (“) = '^г = G+ (а) G-(а)’ (ЗА24> где G+ а) и G_ (а) регулярны и не обращаются в нуль соответственно в верхней и нижней полуплоскостях переменной а.

Заметим, что в (3.6.24) G (а) — мероморфная функция (отношение двух целых функций). Функцию G (а) можно представить как частное от деления (sh у& sh ус) на (у sh уа) или (sh уЬ/у) и (sh ус/у) на (sh уа/у); оба представления приводят к одинаковому окончательному результату. Воспользуемся вторым представлением как более симметричным. Любую целую функцию К (а) можно представить в виде произведения сомножителей типа (1 — а/ап). В случае полиномов произведение имеет конечное число сомножителей, а для целой трансцендентной функции число сомножителей бесконечно. Сейчас мы сформулируем без доказательства основную теорему о представлении целой (трансцендентной) функции, имеющей бесконечное число простых нулей, в виде бесконечного произведения [65].

Теорема I. Пусть целая функция К (а)

четна по а, т. е. К (а) = К (—а),

имеет простые нули при а = + tyn (п = 1, 2, . . .), причем Чп~^ ап + Ъ при п -> оо.

Тогда функция К (а) может быть представлена бесконечным произведением одного из следующих видов;

(3.6.25a)

j-^je+iwan, (3.6.256) 1?П /

Для функций, встречающихся в теории электромагнитного поля, Оба условия, накладываемых на К (а), обычно выполнены. Дополнительные экспоненциальные множители в выражении (3.6.256) введены для обеспечения сходимости бесконечных произведений; этот момент уже обсуждался нами в разд. 2.3.2.

В качестве примера применим теорему I к функции G^ (a) = = sh ya/y. Заметим, что, хотя у = V а2 — к2 имеет точку ветвления при а = к, функция G(h (а) аналитична всюду. Нули функции 6(1) (а) расположены в точках

a = ± iyna = ± i [(пл/a)2 — кЧ 1/2, п = 1, 2, . . ., причем уЛ -> пи!а при п оо. Согласно (3.6.25), имеем

G<i> («) = -^^.ТТ (1 —^- ) e-^/’W’TT (1 + ^) e+Wi« (3.6.26) п=1п=1

Совершенно аналогично можно показать, что функцию Грина (3.6.24) можно представить в виде.

G(a) =

П (1-«/<Тпб) е"^™ ff (l-a/iVM) е-^»

/ sin feb sin ко\ V2 n=l

\ Л sin Ла /*. ,

П ^-ali^e-'W

-n=l-

П ll-Va^nbV^™ ff (1 + а/^пс)е+1ас/пя

(

sin kb sin kc\ V2n=ln=l

к sin ka )~.1

Д (14-a/tTno)e+iao/"” -n=l-

(3.6.27)

Используя это выражение, нетрудно осуществить требуемую факторизацию.

Заметим, что функция G (а) не имеет нулей и полюсов в полосе | т | < т0. Обратим также внимание на то, что первый сомножитель в квадратных скобках содержит все нули и полюсы функции G (а), расположенные в верхней полуплоскости т > — т0 (напомним, что Re ynb > т0, Re ync > т0 для всех и), а второй сомножитель содержит все нули и полюсы G (а), расположенные в нижней полуплоскости т < т0. Очевидно, первый сомножитель пропорционален функции G_ (а), а второй — G+ (а). В результате имеем

sin kb sin кс\У2~ , xksinfo ) ^sin kb sin кс\У2~ , xksinfo ) ^П ^-Ы^пЬ) e»51 П d+a/iYnc) eX№ 71=171=1П ^-Ы^пЬ) e»51 П d+a/iYnc) eX№ 71=171=1[] d+ «/«?„«) eiao/n" 71=1[] d+ «/«?„«) eiao/n" 71=1

sin kb sin кс\У2~ , x

ksinfo ) ^

sin kb sin кс\У2~ , x

ksinfo ) ^

П ^-Ы^пЬ) e»51 П d+a/iYnc) eX№ 71=171=1

П ^-Ы^пЬ) e»51 П d+a/iYnc) eX№ 71=171=1

[] d+ «/«?„«) eiao/n" 71=1

[] d+ «/«?„«) eiao/n" 71=1

(3.6.28а)

6-(а)=

sin to sin кс\Л1гк sin ka )sin to sin кс\Л1гк sin ka )71=171=1Q (1 — a/iYnb) e’ab/n” (J (1 —a/iVnc)/ iac/nrt

sin to sin кс\Л1гк sin ka )

sin to sin кс\Л1гк sin ka )

71=1

71=1

[J (1 —a/i-yna)e iaa/””[J (1 —a/i-yna)e iaa/””71=1

[J (1 —a/i-yna)e iaa/””

[J (1 —a/i-yna)e iaa/””

(3.6.286)

где Q (a) — целая функция, не обращающаяся в нуль во всей плоскости а. Целая функция, не имеющая нулей, всегда может быть представлена в экспоненциальной форме:

(3.6.29)(3.6.29)Q (a) = ^

(3.6.29)

(3.6.29)

где х (а) — также целая функция. Здесь следует подчеркнуть, что выражения (3.6.28) — (3.6.29) определяют функции G^ (a) и G_ (а) в наиболее общем виде. Лишь определив функцию х(<х) *) мы проведем факторизацию G (а) единственным образом.

Для определения % (а) нам необходимо вновь обратиться к условиям на ребре. Как будет показано, условия излучения допускают лишь алгебраический рост функции /+ (а) в (3.6.23) при | а | -> оо в верхней полуплоскости. Отсюда в свою очередь следует, что G+ (а) и G_ (а) должны’ характеризоваться алгебраическим ростом при больших значениях а в областях регулярности этих функций.

х) Как будет видно из дальнейшего, % («) определяется с точностью до постоянной.

Асимптотику функций G+ (а) и G_ (а), определенных4 выражениями (3.6.28), можно определить, используя формулу (1.4.11). Фактически в гл. 2 мы уже установили асимптотику функции / (де), которая оказывается очень похожей4) на асимптотику G+ (а) или G_ (а). Сопоставляя (3.6.28) и (3.5.4) и используя (2.5.6), получаем

G+ (а) ~ U (а) ех № (а)-1/2 exp { - i ^- [б In (у ) + с In (-1) ] } ,

|а|->оо при т>—т0,(3.6.30a)

G_ (а) ~ Е_ (а) е-х W (а)-1/2 exp { +1 ^ [bln ^) + с In (у ) ] } ,

|а|->-оо при т<т0,(3.6.306)

где функции 5+ (а) и £_ (а) ограничены. Для того чтобы асимптотика функций G+ (а) и G_ (а) имела степенной характер, следует выбрать % (а) в виде

x(a) = ^[bln(|)+c1n(^)] + d, (3.6.30в)

где d — произвольная постоянная. Определять d нет необходимости, так как окончательное решение уравнения Винера — Хопфа (3.6.23) не зависит от d. Выбор d не отразится на окончательном решении. Итак, получаем

«хр { [Мп (+ , 1„)] } X

Д (l + a/i?nb) е’“Ь/пл [J (l + a/iYnc)eiac/njt

X ^—,(3.6.31а)

[J (l+a/iTna)eaa/n,t п=1

G_^ = G+( — a).(3.6.316)

В заключение можно заметить, что в выражениях (3.6.28) для G^ (а) и G_ (а) постоянный множитель (sin kb sin &c)/(iksin ka) введен симметричным образом. Эта симметрия позволяет выразить функцию G_ (а) через G^ (а), с помощью соотношения (3.6.316).

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВИНЕРА — ХОПФА

Проведя факторизацию функции G (ос) с помощью (3.6.31), перепишем уравнение Винера — Хопфа (3.6.23) в виде

^И-Ш-Ш1 М<’"-<ЗЛ32>

Следующим шагом в отыскании решения, согласно § 5, является разложение функции 4+ (a)/GL (а). Как следует из выражения (3.6.12), единственной особенностью функции

г 1a + W ^-(а)г 1a + W ^-(а)(3.6.33)(3.6.33)Л+ (a)1.

г 1

a + W ^-(а)

г 1

a + W ^-(а)

(3.6.33)

(3.6.33)

< = —;= sin

G- («)у2л

в нижней полуплоскости является полюс первого порядка в точке a = — г^щ- Требуемое разложение можно получить, выделяя полюс следующим образом:

А+ (а) f 1. /^\ i Г 1* 1"11 .

G_(a) |у2л8Ш \~ / а + ivia L^(a) G_( — iyla)J ) +

+ Г-4= sin (—) „ . \ -■ —4—1 = s_ (a)4-s+ (a). (3.6.34)

Ьд/2л \ " / G-(-ma) a+i7lo J \ / । +x / V /

Подставляя (3.6.34) в (3.6.32), получаем

J+ (a) G+ (a) - S+ (a) = S_ (a) - -^1, | T | < To. (3.6.35)

Все функции, входящие в левую часть уравнения (3.6.35), регулярны в верхней полуплоскости (т >> —т0), а функции правой части уравнения регулярны в цижней полуплоскости (т < т0). Так как обе полуплоскости перекрываются, то, воспользовавшись аналитическим продолжением можно утверждать, что уравнение (3.6.35) определено в полной плоскости переменной а, причем обе части его равны некоторой целой функции Р (а).

Функцию Р (а) можно определить, рассмотрев асимптотику всех функций, входящих в (3.6.35). Из выражений (3.6.30) и (3.6.34) получаем

G^^^O^a-1^ |S+(a) = O(a~1) J иG„ (a) = О (a-1^) |ЗДа^-О^аг1^ JG^^^O^a-1^ |S+(a) = O(a~1) J иG„ (a) = О (a-1^) |ЗДа^-О^аг1^ Jпри|а|->оо в области т> — т0,при|а|->оо в области т> — т0,при |а|->оо в области т<т0.при |а|->оо в области т<т0.(3.6.36)(3.6.37)(3.6.36)(3.6.37)

G^^^O^a-1^ |

S+(a) = O(a~1) J и

G„ (a) = О (a-1^) |

ЗДа^-О^аг1^ J

G^^^O^a-1^ |

S+(a) = O(a~1) J и

G„ (a) = О (a-1^) |

ЗДа^-О^аг1^ J

при|а|->оо в области т> — т0,

при|а|->оо в области т> — т0,

при |а|->оо в области т<т0.

при |а|->оо в области т<т0.

(3.6.36)

(3.6.37)

(3.6.36)

(3.6.37)

Хотя явное выражение J+ (а) пока не известно, его асимптотику можно установить, используя условие на ребре, определенное соотношением (2.2.3). Согласно условию на ребре,

jw^) = O^,Z-+0.jw^) = O^,Z-+0.(3.6.38)(3.6.38)

jw^) = O^,Z-+0.

jw^) = O^,Z-+0.

(3.6.38)

(3.6.38)

Из (1.4.10) для преобразования Фурье сразу получаем

J+ (a) = О (a~1/2),| а | -^- оо при т > — т0.(3.6.39)

Рассмотрим функцию В_ (а). Как следует из (3.6.11г), функция b^ (z) определяет составляющую поля Еу при х = Ь, z < 0. В силу ограниченности Еу, вблизи ребра Ь(„> (z) = о (z-8) при z0, е-> + 0. В результате на основании (1.4.10) получаем

В. (а) = о (а”).(3.6.40)

Из соотношений (3.6.36) — (3.6.40) следует, что функция Р (а) ограничена и равна нулю при | а | -> оо. Следовательно, согласно теореме Лиувилля, Р (а) тождественно равна нулю везде. Уравнение (3.6.35) в этом случае дает

В- (а) = S. (а) G_ (а)(3.6.42)

для всех а. Таким образом, решение уравнения Винера — Хопфа найдено.

ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЕЙ

Для отыскания зависимости наведенного тока ;(+) (z) от координат следует вычислить обратное преобразование Фурье от выражения (3.6.41) т):

<-6-43)

где явный вид функций G^ (а) и 5+ (а) определяется согласно (3.6.31) и (3.6.34). Подинтегральным выражением в (3.6.43) является мероморфная функция с полюсами первого порядка при а = = —i^mb и а = — 1^тс (тп = 1, 2, . . .), как показано на рис. 3.2. Полюс функции 5+ (а) при а = — iy10 компенсируется нулем функции 1/G+ (а) в той же точке, и, следовательно, подинтегральное выражение в этой точке регулярно. При z < 0 можно, не меняя величины интеграла, замкнуть контур в (3.6.43) полуокружностью бесконечного радиуса, лежащей в верхней полуплоскости. Так как внутри этого контура интегрирования нет особых точек, получаем

;(+) (z) = 0 при z < 0,(3.6.44)

как и следовало ожидать. При zl_> 0 контур интегрирования в (3.6.43) может быть замкнут полуокружностью бесконечного радиуса в нижней полуплоскости. Интеграл при этом можно

свести к вычислению вычетов в полюсах. Для того чтобы получить решение в виде, использованном в §’ 2.5, следует иемйого преобразовать (3.6.43), Воспользовавшись соотношением G+ (а) =

G (a)/G_ (а) и подставив явное выражение для S+ (а). В результате этого получим

/ . (zi = — sin (— \1 f G-^ Vsh^ e-i«zda z^o

^'З/2л/\ a / G_ ( —ryla) J а+^дзЬ-уббтус6 ’> ’

"(3:6.45)

i де C_ — контур интегрирования в нижней полуплоскости, показанный на рис. 3.2. Вклад В7(+) (z)

Рие. 3.2. Контур интегрирования для интеграла (3.6.45) и расположение полюсов подинтегральной функции.

от каждого полюса равен произведению — 2лг на вычет в этом полюсе ). В результате распределение тока получаем в виде

Л+)(2)= S (Pme-,$mbX + <?me_W), z>0,(3.6.46)

где

р = (^^Н£^^—1G- ( — ^mb)

т—Ь* T>nb(Yda —Тм)‘ ^-(~^1a) ’

(/пл/с)2 sin (лб/a) — 1 G_ (— гуте)тсYmc (Via—Чтс) G-k— ^Vla)

Перейти к обозначениям второй главы можно, использовав очевидные равенства Рт = (—1)™ (тпл/fe) Вт и Qm = (тпл/с) Ст1 где Вт и Ст определены выражениями (2.5.13).

Для того чтобы найти рассеянное поле в произвольной точке внутри волновода, можно использовать интеграл, входящий в (3.6.8). Однако вместо того, чтобы вычислять интеграл (3.6.8), в координатном пространстве гораздо более удобно воспользоваться теоремой о свертке (3.2.7) и преобразовать (3.6.8) к виду

С G^x.b; a^J+^e-^da, (3,6.47) 1/2 л J

где G(x1 b; а) легко определяется из (3.6.19) при х0 = Ь:

G (х, Ь; а) = <G (х, Ь; а) = <sh ус sh ^хsh уа у ’ shy 6 shy (а—ж) shya уsh ус sh ^хsh уа у ’ shy 6 shy (а—ж) shya ух<. Ь, х*>Ъ.х<. Ь, х*>Ъ.(3.6.48)(3.6.48)

G (х, Ь; а) = <

G (х, Ь; а) = <

sh ус sh ^х

sh уа у ’ shy 6 shy (а—ж) shya у

sh ус sh ^х

sh уа у ’ shy 6 shy (а—ж) shya у

х<. Ь, х*>Ъ.

х<. Ь, х*>Ъ.

(3.6.48)

(3.6.48)

Вычисление интеграла (3.6.47) совершенно аналогично вычислению (3.6.45) и приводит к следующему окончательному результату:

2 Лт8Ш ^^-Х^ eVmaz, m=l2 Лт8Ш ^^-Х^ eVmaz, m=lz<0,z<0,

2 Лт8Ш ^^-Х^ eVmaz, m=l

2 Лт8Ш ^^-Х^ eVmaz, m=l

z<0,

z<0,

<р (ж, z) =<р (ж, z) =—sin^a:)e v,°z + 2 Bm sin ^2^-x^ e ^^,771=1

<р (ж, z) =

<р (ж, z) =

x-<b и z>0,

— Sim (yz)e ?‘az+ 2 Cmsin[-^(x — &)p vmc,| 771=1

x*>b и z>0,

(3.6.49)

где коэффициенты {Лт}, {Bm} и {Ст} определены в § 2.5. Заметим, что первое слагаемое в выражении (3.6.49) для рассеянного поля при z > О взаимно уничтожается с падающим полем, определенным согласно (3.6.1).

В результате полное поле во всех областях совпадает с полем, найденным в гл. 2 методом сшивания. Сравнение метода Винера — Хопфа и метода сшивания будет проведено в § 13 настоящей главы.

§ 7. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ДЖОНСА

В этом параграфе мы рассмотрим еще один способ вывода функционального уравнения Винера — Хопфа (3.5.1). Обсуждаемый способ был предложен Джонсом [23], и преимуществом его является то, что в процессе вывода не составляется интегральное уравнение.

$ 7. Формулировка задачи методом Джонса 115

Принципиальная особенность метода Джонса состоит в применении преобразования Фурье непосредственно к волновому уравнению, причем граничные условия накладываются на преобразования Фурье, а не на сами функции. В рассмотренном же нами ранее способе формулировки с помощью интегрального уравнения граничные условия накладывались до применения преобразования Фурье. Нам представляется, что для большинства задач электродинамики вывод уравнения Винера — Хопфа методом Джонса проще и быстрее приводит к цели, чем с помощью интегрального» уравнения (хотя, конечно, это дело вкуса). Чтобы проиллюстрировать метод Джонса, рассмотрим вновь задачу о разветвлении плоского волновода.’

Будем исходить из скалярного волнового уравнения для составляющей рассеянного поля Еу = ф:

Применяя к (3.7.1) преобразование Фурье, получаем

(•£--Т)ф(ж’ «) = 0, |т|<т0.(3.7.2)

Так как ф (ж, z) = О (c”T°lzi) при | z | -> оо (ср. (3.6.14)), функция Ф (ж, а) регулярна в полосе | т | < т0 и в этой полосе справедливо уравнение (3.7.2). Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям при х = 0 и х = а, имеет вид

( С (a) shy (а — ж), а>х>Ь, Ф (ж, а) = Ф+ (я, а) +Ф_ (ж, а) = <

P(a)shyrr, b>x>0, .

(3.7.3)

Для того чтобы исключить коэффициенты С (а) и D (а) и полу* чить функциональное уравнение Винера — Хопфа, используем следующие граничные условия при х = Ь:

Ф (ж, а) — непрерывна при х = Ь; отсюда следует соотношение

С (a) sh ус = D (а) sh уЬ.(3.7.4)

Магнитная составляющая Hz рассеянного поля непрерывна лишь при z < 0. В результате имеем

дф (a?, z) I дф (ar, z) I /О’^’ /п q «х

дх |х=Ь+0 дх |x=b-0( /(+)(z), Z>0,' * * '

или для преобразований Фурье

^’-^l _дф I =/+(а).(3.7.8)

дх [х=Ь+0 дх |х=Ь-0 хх 9

Заметим, что J^ (а) регулярно в верхней полуплоскости т > —т0.

Подставив (3.7.3) в (3.7.8), получим

J^ (а) = -т [С (а) ch ус + D (а) ch уМ. (3.7.9)

Соотношения (3.7.9) и (3.7.4) позволяют выразить С (а) и D (а) через J+ (а):

(3-7л0а)

7)(а)=^г-/+(а)-(3-7.Ю6)

Полагая в (3.7.3) х = Ъ и используя (3.7.6) и (3.7.10), окончательно получаем

G (a) 7+ (а) = Л+ (а) - Ф_ (6, а),| т | > т0,(3.7.11)

гдё G (а) определена согласно (3.6.21). Полученное уравнение совладает с (3.6.23), так как В_ (а) = Ф_ (Ь, а) (ср. (3.6.11г)).

Исходя из решения (3.6.41) — (3.6.42) функционального уравнения Винера — Хопфа, нетрудно определить выражение для полного поля, используя процедуру, мало отличающуюся от описанной в разд. 6.5. При решении методом Джонса можно, подставив выражение (3.6.41) для J^ (а) в (3.7.10), определить коэффициенты С (а) и D (а); электрическое поле Еу (х, z) в любой точке ^ у) можно найти/ вычислив обратное преобразование Фурье функции Ф (х, а), определенной в (3.7.3).

Описанный выше метод Джонса весьма прост. Вывод уравнения Винера — Хопфа для типичных задач электродинамики методом Джонса более или менее стандартен г). Поэтому в оставшейся части Настоящей главы мы будем пользоваться исключительно методом Джонса.

Заметим, однако, что метод Джонса не может быть применен при рассмотрении некоторых более сложных задач, обсуждаемых в § 5.3, которые шриводят к модифицированному уравнений Винера — Хопфа.

§ 8. ИЗЛУЧЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ВОЛНОВОДНОЙ РЕШЕТКИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ

В этом параграфе мы применим метод Винера — Хопфа к решению задачи о периодической структуре. В качестве примера такой структуры рассмотрим бесконечную решетку, образованную из поду ограниченных плоских волноводов; в гл. 2 была решена задача для этой структуры при синфазном возбуждении волной типа ТЕМ. Здесь мы слегка изменим условия задач и рассмотрим

Рис. 3.3. Бесконечная решетка из плоских полуограниченных волноводов, синфазно возбуждаемая волнами типа ^1,0-

случай синфазного возбуждения волной типа ТЕМ. Изменении поляризации поля, разумеется, не отразится на аналитических аспектах задачи.

Общий вид исследуемой волноводной решетки изображен на рис. 3.3. 1). Каждый из волноводов возбуждается основной волной типа ТЕЪ 0, причем сдвиг фазы поля в соседних ячейках определяется углом наклона диаграммы направленности 90. Падающее поле в ш-й ячейке структуры имеет вид

S^^ ф(г) = sin ^~ (ж— ma)^ e-w егтпи, ma<.x<. (m + 1) «> — оо < z < оо,(3.8.1)

где ул = [(пл/а)2 — /с2]1/2, и = ka sin 90. Отметим, что определенное здесь падающее поле отлично от нуля для всех значений z.

Электрическая составляющая рассеянного поля Еу = ф удовлетворяет скалярному волновому уравнению

(^■+^-+н,’<1'2>=0'<3'8'2>

Заметим, что положение осей лиг здесь иное, чем на р^с. 2tg.

В силу периодичности структуры и источника возбуждения можно представить поле в виде суперпозиции гармоник Флоке. При этом мы воспользуемся не разложением (1.5.14), а более удобным для применения в методе Джонса выражением (1.5.11), или

ф (х + та, z) = егти ф (х, zY(3.8.3)

согласно которому рассеянное поле х) в (тп + п)-й ячейке отличается от поля в n-й ячейке лишь множителем егти.

В результате достаточно получить решение лишь для одной ячейки структуры, например при 0 < х < а. Приведем граничные условия для этой ячейки при х = 0 и х = а.

ф непрерывна при х = 0 и а, т. е.

ф(а + 0, я) = ф(а —0, z) )(3.8.4а)

ф( + 0, г) = ф( —0, z), J “(3.8.46)

В силу (3.8.3) этому условию можно придать вид

~е’“ ф (0, z) = ф (a, z) для всех z.(3.8.5)

ф обращается в нуль на стенках волновода:

Ф (0, z) = О, z < 0,(3.8.6)

дф^/дж = ^2^- 4- -^ непрерывна при х = 0 и х = а для z >0: ОХ ОХ

№1+ (i)«-™] е“=-Я+(i\(_1)e-w, а > о.

L 8х |я=+0\ а ) J дх |х=а-о 1 \ а / ''

(3.8.7)

К выписанным условиям следует, конечно, добавить условие на ребре (ср. (1.3.19)):

5„ = 0(z-1/z) )

Нг=о^и*и z-"°-(ЗЛ8>

Задача состоит в отыскании рассеянного поля ф, удовлетворяющего волновому уравнению (3.8.2) и граничным условиям (3.8.5) — (3.8.8).

Для удобства рассмотрения предположим, что среда обладает малыми потерями, т. е. к = кг + гк^, кг^ &2 > 0. Применив преобразование Фурье к уравнению (3.8.2), получим

(-£—?2)Ф(^“) = 0.(3.8.9)

Падающее поле, а следовательно, и полное поле также удовлетворяют соотношению (3.8.3).

Асимптотика рассеянного поля (см. задачу 3.3.) имеет вид

Г O^e-^Y z->+oo,

<р (ж, z) = | 0z ,

где т0 = Re ух. Согласно теореме IV из § 3, функция Ф (ж, а) регулярна в полосе (— Л2) < т < т0 комплексной плоскости а. Общее решение уравнения (3.8.9) имеет вид

Ф (ж, а) = Ф+ (а) + Ф_ (а) = С (а) &h уж + D (а) ch уж,

(3.8.10)

где Ф+ (а) и Ф_ (а) согласно теоремам II и III из § 3 регулярны соответственно в верхней и нижней полуплоскостях плоскости а.

Применяя к (3.8.10) условие 1, находим

а из условия 2 получаем

Л (а) = Ф+ (0, а).(3.8.12)

С помощью формул (3.8.10) — (3.8.12) можно получить преобразование Фурье для производной dyldx при ж =. +0 и ж = ц — 0:

Ф+(а-0, а) + Ф1(«-0, а) =^“^^-1^(0, а),(3.8.13)

ФИ + 0, а) + Ф1 ( + 0, а) = ^^ ?Ф+(0, а),(3.8.14)

где

«'W^^^W-(3-8-15)

Здесь и далее штрихом мы будем обозначать производную по х (поперечная пространственная координата). Умножая (3.8.14) на ew и вычитая полученное равенство из (3.8.13), а также используя уравнение (3.8.7), получаем

^ ХЛ7-^^6^)^^")’(3.8.16)

где

G ^ = ^7 Iе08 u—ch Vs) е*“-

/_(а) = е‘“Ф1(+0, а) —Ф'(а—0, а)=(3.8.17)

= eiu [Ф1 (+ 0, а) - Ф' (-0, а)].

Заметим, что величина J_ (а) пропорциональна току, наведенному па полуплоскостях. Полученное уравнение (3.8.16) представляет

собой типичное уравнение Винера — Хопфа, способ его решения подробно описан в § 5

Функция G (а), входящая в выражение (3 8 17), мероморфная и легко может быть факторизована. Согласно теореме I из § 3 6, G (а) можно выразить через комбинацию бесконечных произведений:

' 'sin&a\ ^Го / \ ~г 1Г0 /

П (1—а/»Гп)(1—аДГ_п) е~’“°^пя

X—х

n^l

Ц (1 + аЛГп)(1 + а/1Г_п)е+,а°/пя

X —« (3 8.18)

JJ (l+a/iVn)eiao/n”

П—1

где ^ = 1^^—А2, ₽л = -^^—• Потребовав, чцобы поведение функций 6+(а) и G_(—а) на бесконечности носило алгебраический характер, нетрудно получить окончательные выражения (ср. .разд. 6.3):

G+(y) = G_(-a) =

= pk(cosu- coska) е™ у/2 ^^ ln 2 ( 4a ) х

Ц (1+аЛГп) (1+аАГ_„) е,а°/пя

х .(3.8.19)

[] (14-аДтп) е’«а/пя

Используя полученные выражения в (3.8.16)' и выделяя полюс при а = — 1у1о, перепцщем это уравнение в виде

_ иг 2±£^_Г 11I_

a "V^ a+*Ti L G_ (a)G_ ( —t?i) J + G- (а) —

= G+ (а) Ф+ (0, а) + —,(3 8.20)

где левая и правая части регудярды соответственно в нижней и верхней полуплоскостях переменного а. Отсюда следует, что обе части уравнецця должны быть равны целой функции Р (а). Как

можно показать, исходя из выражений (3.8.19) и используя формулы (1 4.11), справедливы асимптотические оценки G+ (а) =

О (а1/2), G_ (а) = О (а1/2) при | а | -> оо. Условие на ребро (3 8.8) и соотношение (1.4 10) приводят к оценкам

/_(а) = О(а-1/2) при |а|->оо в полуплоскости т<т0, (3.8.21) Ф+ (0, а) = о (а-1) при | а | -> оо в полуплоскости т >> —&2- (3.8.22) В силу теоремы Лиувилля функция Р (а) должна тождественно равняться нулю, и, таким образом, искомое решение уравнения Винера—Хопфа (3.8.20) имеет виде

J_ («) = ■Г ——1—-1G. (а), (3.8.23)

' 1а"|/2л «+‘71 LG_(a) G-C-iyOJ ''*

Ф+ (0, а) =1±^ г, * ^ 7-г •(3.8.24)

' дУ2л a+m G_( —1^1?+(а)'’

Подставив выражения (3,8.24) и (3.8.11)—(3.8.12) в (3.8.40) и выполнив обратное преобразование Фурье, определим рассеянное поле:

<оzi = — 2L11±^L F e2Lte±5iy^ZZ5) е-to»= /а я 25аЪ

Ф'2д1 aGL(—zyi)J (а + ^1)^+ (a)shy»'*'

-оо+гт оо+гт

— л (1+еги) гу

“ 2лг о6-( — iyi) J(а + 1Т1)2уе1и(С08м — chya)

— оо+гт

X G_ (a) e-taz da, —А:г<т<То- (3.8.256) Подинтегральная функция в этих выражениях мероморфна и имеет полюсы в точках a=— iyi, { —гГр} и { + гуп}- Поэтому инте- тралы легко вычисляются с помощью теоремы о вычетах:

<р (ж, z) =<р (ж, z) =z<0,(3.8.26) z>0.z<0,(3.8.26) z>0.2 Ап sin (-^- х) ew, п=1

<р (ж, z) =

<р (ж, z) =

z<0,

(3.8.26) z>0.

z<0,

(3.8.26) z>0.

— sin ^ x^£~w+ 2 Врв^рке^Р2,

р=-оо

Здесь вычисления проведены для полосы 0<_х«<а, а явные выражения для амплитуд имеют вид

(1+^“) Т»-Госдр Г (Ул+71)« 1П 21 X

Н1 - (-1)” e-iuj ?1 + г„ ех₽ LS 1П 2 J Х

у ^ Тп/Гп) (1 Хтъ/^-п) ^n3 _(£+XlZ22LLlilZj^^£gi^^

<1 +^|/Гл) (1 + Yi/Г-п) (1 - Yn/¥m) (1 + Yi/Г^) iWflT_m> * m=l

л (1 + е-г«) (Г0 + Гр)г (?1 — Гр) ап

Вр2«2Гр (71-Гр) (Го+71) 6ХР L л In 2J X

X (1+Ti/Ym) (1 + Гр/Гт) (1 + Гр/Г_т)Х П (1 + Тр/Тт) (l+Vi/Гт) (1 + Т1/Г-т) *т=1

Задача о возбуждении решетки волной типа ТЕг, 0, таким образомд полностью решена.

§ 9. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФАКТОРИЗАЦИИ И РАЗЛОЖЕНИЯ

Как ясно видно из предшествующего обсуждения, решение задачи методом Винера — Хопфа существенно опирается на две важные операции.

Факторизация функции G (а), регулярной и не обращающейся в нуль в полосе т_ < т < т+, т. е. представление ее в виде произведения G (а) = G+ (а) G_ (а), где сомножители G-v (а) и G_ (а) регулярны и не обращаются в нуль соответственно в верхней (т > т_) и нижней (т < т+) полуплоскостях х).

Разложение функции S (а), регулярной в полосе т_ < т < < т+, т. е. представление ее в виде суммы 5 (а) = 5+ (а) + 8. (а), где слагаемые 5+ (а) и 8_ (а) регулярны соответственно в верхней (т > т_) и нижней (т < т+) полуплоскостях.

В приведенных в § 6 и § 8 примерах способ проведения этих операций был в значительной степени очевиден, так как мы имели дело с мероморфными функциями. В общем случае можно ожидать, что в уравнение войдут функции с другими особыми точками, например с точками ветвления. При этом не удается решить задачу с помощью сортировки дискретных нулей и полюсов, как было сделано В обоих рассмотренных примерах. Необходимо поэтому обобщить способ проведения факторизации и разложения для таких функций.

Небезынтересно подчеркнуть, что функция G (а) в краевых задачах для замкнутых областей всегда мероморфна), а для открытых областей обладает точками ветвления (ср. § 1.6). В частных случаях периодических открытых структур с возбуждением специального вида задача сводится к эквивалентной задаче для замкнутой области с периодическими граничными условиями. Это было показано в § 8 на примере задачи о решетке.

х) Отметим, что мы ослабили здесь условия убывания функций в+ (а) и G _ (а) на бесконечности. Пусть поведение найденных функций G+ (а) и G. (а) на бесконечности не алгебраическое. Тогда можно, не нарушая факторизации, заменить G+ (а) и G_ (а) на функции G+ (а) ер^ и G_ (а) е-Р^а\ где целая функция Р (а) выбрана так, чтобы модифицированные сомножители убывали на бесконечности по степенному закону.

Удобно несколько изменить порядок рассмотрения и начать с вывода общей формулы для разложения фунции 8 (а). Тогда фак- юризацию функции G (а) можно осуществить, проведя разложение для In G (а).

Начнем с общего описания процедуры разложения, которую мы собираемся разработать. Как известно, преобразование Фурье /г+ (а) функции /(+) (z), тождественно равной нулю при z < О, регулярно в верхней полуплоскости а (см. теоремы II и III ив § 3). Представим функцию / (z), как и в § 3.2, в виде суммы

/ (Z) = fw ^ + /<-) (z).(3.9.1)

Применяя преобразование Фурье4 получаем

F (а) = F+ (а) + F. (а).(3.9.2)

Пусть пара функций {/(z), F (а)} представляет собой прямое и обратное преобразования Фурье, тогда функции {/(+) (z), F* (а)} и {/(_> (z), F_ (а)} также составляют соответствующие дары. Если в качестве исходной функции выбрана не / (z), a F (а), то можно получить выражения для F^ (а) и F_ (а) простым обращением описанной процедуры; требуемый вывод сводится при этом к следующим операциям:

Применение обратного преобразования Фурье к F (а) й нахождение / (z).

Разложение / (z) на слагаемые /(+) (z) и fb> (z).

Применение преобразования Фурье к функциям fw (z) и /(_) (z) и нахождение F+ (а) и F_ (а).

Описанная процедура может быть несколько упрощена. Как будет подробно изложено ниже, комбинируя операции обратного и прямого преобразований Фурье, удается получить представления F^. (а) и F_ (а) в виде интегралов непосредственно от F (а).

Пусть 5 (а) — заданная функция переменного а, регулярная в полосе т _ < т < т+. Применим к ней обратное преобразование Фурье

оо+гс

s(z) = ^ ( S(P)e-*^dp, т_<с<т+,(3.9.3)

v2n _4ic

где переменная интегрирования временно обозначена через £. Постоянная с может принимать любое значение, лежащее в пределах от т_ до т+ (рис. 3.4). Представим s (z) в виде суммы

$ (z) = s(+) (z) + s^ (z),(3.9.4)

где s(+) (z) и s^ (z) определены аналогично соответствующим функциям /(+) (z) и /(_) (z) в (3.2.11). Так как 8 (а) регулярна

в полосе т_ < т_ < т+, из теоремы IV § 3 следует, что функция s(+) (z) не может возрастать на бесконечности (при z-> + оо) быстрее, чем exp (t_z). Преобразование Фурье функции s(+) (z) имеет вид

S+(a) = ^ j e^dz ( S^e-’^dp, т_<с<т+. (3.9.5) О-оо+гс

Выберем значение а (см. рис. 3.4) в этом интеграле таким, чтобы выполнялось условие т = Ima > Im 0 = с. Тогда интеграл по z

Im /3Im /3

Im /3

Im /3

Рис. 3.4. Контур интегрирования в комплексной плоскости 0.

в (3.9.5) сходится и после его вычисления имеем

оо-^-гс

т- < с < т < т+. (3.9.6а)т- < с < т < т+. (3.9.6а)т_ < т < d < т+.(3.9.66)т_ < т < d < т+.(3.9.66)8Да)-А- Г

т- < с < т < т+. (3.9.6а)

т- < с < т < т+. (3.9.6а)

т_ < т < d < т+.(3.9.66)

т_ < т < d < т+.(3.9.66)

+ к 72л1 J 0 —a

oo+ic

Сурордгенно аналогично получаем

oo+id

х 7 2ni J 0 —a

-oo+id

Следует еще показать, что сумма S+ (a) + 5_ (а) = S (а) определена для всех т в полосе т_ < т < т^. Чтобы обеспечить это, наложим на S (а) более жесткое условие. Пусть | S (а) | -> О при | а | -> оо для всех т в полосе т_ < т < т^. В этом случае с^уцму интегралов (3.9.6а) и (3.9.66) можно вычислить с помощью теоремы о вычетах, и тогда имеем

S+ (a) + £L (a) ss S (a), дг„ < т < ^+.

Полученный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема I. Пусть S (а) — аналитическая функция переменного а, регулярная в- полосе т_ < г < т+, причем в этой полосе | 5 (а) | -> 0 равномерно при | о | -> оо. Тогда S (а) можно представить в виде суммы

S (а) = S+ (а) + S- (а),(3.9.7a)

где функция

004-ic

S+(a)=2%r J ЙН₽’ т_<с<т<т+(3:9.76)

-оо+гс

регулярна в верхней полуплоскости т>т_, а функция

оо+id

S-to-^ $ ^Т»(3.9.7,)

оо 4-id

регулярна в нижней полуплоскости т < тц..

На основании установленной выше теоремы о разложении (теорема I) можно утверждать, что факторизация G (а) = = G^ (a) G_ (а) возможна, если осуществимо разложение In G (a) = In G+ (a) + In G_ (a). Поэтому можно просто приравнять In G (a) к S (a) и сформулировать следующую теорему.

Теорема II. Если G (а) — аналитическая функция а, регулярная и не обращающаяся в нуль в полосе т_ < т < тц., причем в этой полосе G (а) -> 1 равномерно при | о | -> оо, то возможна факторизация, т. е. существует представление

G (а) - G^. (a) G_ (а),(3.9.8а)

где функция

004-гс

G+(a) = exp[-A- j ^М], т_<С<т<т+(3.9.86)

-004-ic

регулярна и не имеет нулей в верхней полуплоскости т > т_, а функция

oo4-id

G_(a) = exp[-=^- j ^^ dp], %-<х<3<%+ (3-.9.8в)

oo+id

регулярна и не имеет Нулей в1 нижней полуплоскости т< Т4..

Принятое в теореме II условие G (а) -> 1 при | а | -> оо обеспечивает возможность вертикального смещения контура интегрирования в выражениях (3.9.86) (или (3.9.8в)) в полосе т_ < с < т (или т < d < т+): вклад в интеграл по вертикальным бесконечна удаленным отрезкам равен нулю. Если | G (а) | ~ | о | р при | а | -> оо в указанной полосе, можно применять формулы (3.9.8) к выражениям вида

<39'9>

где тх ^ т — О, т2 ^ т + О, a q — некоторая постоянная. Умножив определенные при этом функции Н^. (а) и Н- (а) соответственно на (а — ir1)p+9 и (а — /т2)“9, получим искомые G^ (а) и G_ (а).

Чтобы проиллюстрировать возможности описанных выше процедур, приведем несколько примеров.

Пример 1. Проведем разложение функции

5 (“) = -гДдг ' гДе Im k = fc2 > 0.(3.9.10)

Функция S (а) регулярна в полосе | т К кй, а | S (а) | ~ | а | ~а при | о | -> оо. Согласно (3.9.76), имеем

оо+гс

J 7^=$^) » -й,<«<г. (3.9.11) -оо+гс

Этот интеграл легко вычисляется с помощью теоремы о вычетах, если замкнуть контур интегрирования полуокружностью бесконечно большого радиуса в верхней или нижней полуплоскостях. Следует понимать, что расположение а в верхней полуплоскости не ограничивает нас выбором замыкающего контура лишь в верхней полуплоскости. Вычисление интеграла дает

(3.9.12)

Аналогичным образом, используя выражение (3.9.7в), получаем

<3'913>

Конечно, разложение такой простой функции, обладающей лишь дискретными полюсами, можно было просто угадать.

Пример 2. Проведем разложение функции

(3914)

где Im к = Im (^ + ik^ >> 0, а ветвь функции у выбирается так же, как в §1.6. Эта задача значительно сложнее предыдущей, и

на ее решении мы остановимся подробно. Согласно (3.9.7в), имеем

оо 4-id

Х I У 02 —*2 Р~« ^’

-oo+id v r

%<й<к^. (3.9.15)%<й<к^. (3.9.15)Деформируем путь интегрирования в верхней полуплоскости Р = Pi + + ф2 так, чтобы он охватывал разрез, проведенный из точки р = + к. Для того чтобы подинтегральное выражение принимало только действительные значения, рассмотрим предельный случай, когда затухание отсутствует, т. е. к2 -> + 0. Деформированный контур для этого случая изображен на рис. 3.5. Пусть вначале а расположено на верхней полуплоскости переменного Р вдали от разреза, как показано на рис. 3.5, а. Вычислим интеграл (3.9.15) по контуру, изображенному на рис. 3.5, а. Оценим вкладов (3.9.15) интеграла по пути Рх = Р' + Р". В соответствии с данным в § 1.6 определением ветви функции у имеем

%<й<к^. (3.9.15)

%<й<к^. (3.9.15)

Рис. 3.5. Деформация контуров для интеграла (3.9.15) в комплексной плоскости Р в случае кй -> +0.Рис. 3.5. Деформация контуров для интеграла (3.9.15) в комплексной плоскости Р в случае кй -> +0.УрГГр^ + i (А;2 _ р2)1/2

Рис. 3.5. Деформация контуров для интеграла (3.9.15) в комплексной плоскости Р в случае кй -> +0.

Рис. 3.5. Деформация контуров для интеграла (3.9.15) в комплексной плоскости Р в случае кй -> +0.

йа интервале Р\ и

/р2 - к4 = - t Уг1 - p=)V2 на интервале Р". В результате интеграл по Рг принимает вид

= ^- [ 1 dpb(3.9.16)

л (fo —а) У&2~№

Произведя замену переменной Pi = fcsin ф, получаем

Л/2

Л = — (•(3.9.17)

л J к sin ф — av '

О

€ помощью табличного интеграла [1]

Г Т-^лГ- =arctg Г ° ^^^l(3.9.18)

J ^81Пф + а(^„Ь^1^L (а2 —62)V2 J V'

приведем Д к виду

Д =2 — Гarctg (—arctg ( —1 , (3.9*. 19)

лУа2 —&2 L6 \ уа2_*2 / й \ уа2_/^2 J J ’ v '

где ветвь арктангенса выбирается следующим образом1):

arctgz = yln (7^7) •(5.9.20)

Напомним, что, как было условлено ранее, под логарифмической функцией понимается ее главное значение.

Оценим теперь вклад в (3.9.15) от интеграла по контуру Р2 = = Р' + Р"; он определяется

Z2 = ——dp2-(3.9.21)

Заменив переменную p2 = iA:sinq), перепишем Z2 в виде

Z2= — ( —(3.9.22) л J Азшф + а '

Этот интеграл вычисляется точно с помощью формулы (3.9.18):

1г = 2 - Гarctg (— arctg ( z fc.^—) ] . (3.9.23)

лУа2 — к^ L6 \ уа2_\Д/а^ — к^1А

Объединяя (3.9.19) и (3.9.23), окончательно получаем

S_ (а) - -A- „ctg [^&<] Щ [ 1^§±|] • л|/а2 — л2L у а2 —к2 J яг LJ

(3.9.24)

Хотя приведенный результат получен для контура, изображенного на рис. 3.5, а, в силу непрерывности он справедлив для любой области плоскости а в нижней полуплоскости, где функция 8_ (а) регулярна. Поэтому нет необходимости проводить вычисление интеграла для контура, изображенного на рис. 3.5, б.

Интересно проверить, действительно ли функция 8^ (а), определенная согласно (3.9.24), регулярна в нижней полуплоскости переменного а. Очевидно, единственной особой точкой можёт быть а — — к. Вычислим значение 8_ (а} в малой окрестности этой точки. Обозначим а + к = е, где | е | ->• + 0. С помощью формулы биномиального разложения в случае | е | -> + 0 находим

S-<“>= «(-,3/56=90^71п (1 У " ^ “

= ^7WpT (^Ч^^5) ■ <3.9.25)

Результат не зависит от выбора величины V6» и, таким образом, функция 8_ (а) действительно регулярна при а = — к.

Для нахождения функции S+ (а) можно провести вычисление интеграла (3.9.76); проще, однако, вычислить разность

S+(«) = S(a)-S_(a)=~* -фл4ап№-№И^

_—{in Г ^±^l±li —

лУа2-*2L(a + k)+?J"

-Ч1"[У7Чя] = s-(-a,•<3-9-26)

Задача полностью решена

Пример 3. Проведем факторизацию функции

ад=е-^^(3-9-27)

так, Чтобы асимптотика множителей G+(a) и GL(a) при |а|->од имела алгебраический характер. Факторизацию сомножителей е-чь и sh (yb)/yb проведем порознь. Факторизация экспоненты G(1) (a) =* = е~^ь может быть сведена к разложению функции

In G^ (a) = - yb = [ — b (a2— &2)] (a2 — kV42- (3.9.28)

Здесь в квадратные скобки заключена целая функция, и, таким образом, остается провести разложение лишь сомножителя (а2 —/с2)""1/2, что было сделано в предыдущем примере. Искомоё

разложение имеет вид

In G^ (^=^.^?-№fl f In №£^14-1п Г v"[a+^l ) , x' л '' ( LT — (a — k) JL ?+(« + &) J J ’

(3.9.29) откуда следует, что

G?’(«)-®’(-a) = «P {-?l-[ti^J} - (3.9.30а) = exp[+^l„(2=l)].(3.9.306)

Асимптотику функции Gy (а) можно определить, учитывая, что при | а | -> оо в верхней полуплоскости

f +а, если Rea>0,

Т~<п(3.9.31)

(—а, если Rea<0.х '

Следовательно,

Gy (а)~ ехр£—-^1п^^|а|->оо и т>0.(3.9.32)

Факторизация целой функции G(2) (a) = sh (уЬ)/уЬ была рассмотрена ранее в § 6. Согласно (3.6.26), имеем

G?(a) = G<» (-«) = "/^Д (^-^г)^”-(3-9-33>

П=1ч

где 7716 = [(ил/Ь)2 — к2^2. Асимптотику функции &+(а) можно установить с помощью соотношения (1.4.11). В результате для |а|->-оо и т>0 получаем

G+’ (а) ~ ^-i/agCciba/^gC-iba/niLi-ta (-W«)]t(3.9.34)

где С = 0,57721... — постоянная Эйлера. Перемножая (3.9.30) и (3.9.33), получаем

<М«)-^’^»[^И^)]П (*П=1<М«)-^’^»[^И^)]П (*П=1I a \ ^гаЬ/пл ЧпЪ /(3.9.35)I a \ ^гаЬ/пл ЧпЪ /(3.9.35)

<М«)-^’^»[^И^)]П (*

П=1

<М«)-^’^»[^И^)]П (*

П=1

I a \ ^гаЬ/пл ЧпЪ /

(3.9.35)

I a \ ^гаЬ/пл ЧпЪ /

(3.9.35)

где целая функция Р (а) добавлена для обеспечения алгебраического поведения функции G+(a) на бесконечности. Для нахождения явного вида Р (а), положив |aj->oo и т>0 в (3.9.35),

получим

G+ (а) - Ла - V2 ехр { —^ [ 1 - С + In ( ^ ) + i f ] + Р (а)}

(3.9.36)

Таким образом, выбираем Р (а) в виде

P^+^t-C + ln^-H-Z-] ,(3.9.37)

и окончательно имеем

с*(«)-6-(-") = /^=хр[^(1-С+1=(т)+^^

х ,хр[за щ (Ы.)] 5 (t +-^-)(3.9.38)

Эта функция ведет себя как оГ^ при | а | -> оо в верхней полуплоскости.

i 10, РАЗЛИЧНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

Здесь будут приведены несколько отличные от предыдущих формулы для факторизации ряда функций G (а), часто встречающихся в электродинамических задачах [5]. Новые формулы, вывод которых основан на исследовании интегралов (3.9.8), удобны для численных расчетов, а также оказываются чрезвычайно полезными при получении асимптотических выражений в волноводных задачах, когда размеры волновода становятся сравнимыми или даже много большими длины волны. Сначала сформулируем и докажем следующее положение, касающееся основного вида новых формул.

ново а. Выражения для (?+(а) и GL(a) имеют вид

СДа) = 6Д-а) = УЭД (1+.£)v/2x

Хехр[л+(а)4--^1п(Ы-)-^ , (3.10.2a)

где

oo^-id

jр(р—^«) ^Р’ т<^-<т+,(3.10.26)

F^ = ht — vlny — In У + 1пУ(а),(3.10.2в)

у = ]/а2 — А2, ветвь функции у выбрана так же, как в § 1.6, k = kt + ik2, ki>Q и /с2>т+.

Доказательство. Покажем, что выражение (3.10.2) удовлетворяет соотношению (3.10.1). Для этого перепишем выражение для АД—а) в виде

-оо+id

(3.10.3)

оо 4-id

к которому можно прийти с помощью замены а->— а, 0->— 0 в (3.10.2в) с учетом симметрии функции 6 (а). В результате получим

^W'^t-^-^J-^y»(3.10.4)

р

где контур Р = PQ + Pi + Рг + Рз в плоскости комплексного переменного 0 = 0Х + 102 показан на рис. 3.6. При выводе (3.10.4) учитывалось, что интегралы по отрезкам Ро и Р2 равны нулю, поскольку подинтегральная функция достаточно быстро стремится к нулю при |0! | -> оо.

Подинтегральная функция в (3.10.4) аналитична в области, ограниченной контуром Р, всюду, за исключением полюсов 0=0 и 0 = а, поскольку в этой области G (а) регулярна и не имеет нулей. Вычисляя вычеты в этих полюсах, получаем

Л. И• Л.(-а)-»т + ^[^^Х^сот! +(ЗЛ0'5)

Если теперь воспользоваться представлением

ехр[-&In (-Ы-) ] exp [^-ln ( ."«-.У ) ] = ехр (-fey), (3.10.6)

вытекающим из (3.9.30), то из (3.10.5) и (3.10.2а) получим £+(а) G_(a) = G (а).

Область регулярности G+ (а) легко установить, если известна область регулярности интеграла Л+(а), определенного согласно (3.10.26). Поскольку на контуре интегрирования при | Рх | -> оо подинтегральная функция в (3.10.26) достаточно быстро стремится к нулю, из теоремы I § 9 следует, что Л+(а) регулярна при

Рис. 3.6. контуры интегрирования в плоскости комплексного переменного р = Pi + ?р2.

т > — т+. Второе слагаемое в показателе экспоненты в (3.10.2а) регулярно в полуплоскости т > — &2, &2 > т+ (примеры 2 и 3, § 9). Следовательно, G+(a) действительно регулярна и не имеет нулей при т > — т+. Таким образом, положение (I) доказано.

При использовании метода Винера — Хопфа необходимо знать асимптотику функций G+(a) и 6L(a). Для функций G (а), удовлетворяющих условиям, перечисленным в (I), оказывается возможным получить общую формулу, описывающую асимптотику сомножителей G+(a) и GL(a). Заметим, что при | а | -> оо и т >

(3.10.7)

и, таким образом, функция Л+(а) ограничена, так как интеграл (3.10.26) сходится равномерно. В результате этого можно высказать следующее утверждение.

Асимптотика сомножителя G^ (a) = G_ (—а), определенного согласно (3.10.2а), имеет вид

G+(a)~av/2exp[—^-ln(^)](3.10.8)

при | а | —>- оо и т > — т+.

Основная факторизационная формула, приведенная в (I), может быть преобразована в несколько выражений, удобных при численных расчетах. Выведем одно из таких представлений, в котором | G+ (а) | при действительных а выражается через определенные интегралы с конечными пределами.

Чтобы преобразовать выражение для G+(a), обратимся к формуле (3.10.2). Интегрируя (3.10.26) по частям, получаем

со — idоо — id

^(“)-2НГ J '<В^- j <?Ф)1о(-^)<Ф.— оо-id—оо —id

(3.10.9а) где

V W2л (fc2_ рг//2 ^ 2л» (Л2_р2) -1- 2л»С (В) ’

ЗД-^ф).(3.10.96)

Заменяя 0 на —0 в (3.10.9а), получаем

ехр [Л (а)] = ехр Ц Q (-р) In ( ^) dp] , (3.10.10)

где контур РТ показан на рис. 3.6.

Сделаем теперь дополнительные предположения о наличии у G (а) нулей и особенностей в верхней полуплоскости, т. е. при т > — т+. Пусть G (а) имеет

конечное ^ число простых нулей в точках а = + £т, где 1т > т+, т = 1, 2, . . ., М;

конечное х) число простых полюсов в точках а = + т]п, где Im т)п > т+, п = 1, 2, . . ., N;

не более одной точки ветвления при а = + к, обусловленной наличием у G (а) сомножителя у = (а2 — k^h. При этом выбор ветви определяется условием Re (а2— Л2)1/2>0 и проводится так же, как и в § 1.6.

Тогда функция Л+ (а) может быть представлена в виде суммы Интеграла по контуру Р4 (рис. 3.6) и вычетов функции G'^/G (0) в полюсах, лежащих в верхней полуплоскости. Эти полюсы совпадают с полюсами и нулями функции G (0). Здесь важно отметить, что деформация контура Рг в Р4 в (3.10.10) возможна, если интеграл по полуокружности бесконечного радиуса Р<» равен нулю. Последнее обусловлено выбором ветви, при котором всюду Не У^2 — А:2 > 0 (на верхнем листе римановой поверхности).

г) Нетрудно распространить эту формулу и на случай бесконечного числа нулей и полюсов (см., например, задачу 3.4).

Выражение (3.10.10) может быть переписано при этом в виде

ехр [Л+(а)] = ехр [ —j Q ( — 0) In (^у^) <ф] X р*

МN

Интеграл по контуру Р4 в (3.10.11) может быть еще упрощен с помощью следующего преобразования. Введем новую переменную w = и\ + tw^ по формуле

w ^^k2 - p2)V2 = i (Р2 - /с2)1^.(3.10.12а)

Тогда Р = г (и?2 — к2)г\ где ветвь квадратного корня выбрана так, что (рис. 3.7; ср. § 1.6)

Re /it2 - Л2 > 0(3.10.126)

и интеграл принимает вид

I (а) = ехр [ - j Q (-р) In (£±« ) dp] =(3.10.13а)

Р4

= ехр { - j -fl^lnfl+^^-S^ (3.10.136) Р47

где

J (^ = 4—^ДД ’(3.10.13b)

в (w) = 4- In [G /^to2] = С™(№-^_ . (3.10.13г) v 7^1 r J gV^—w^7

Контур P4 охватывает разрез, проведенный в верхней полуплоскости р согласно условию Re (Р2 — й2)1^ = 0. Преобразование (3.10.12а) отображает Р4 в контур на плоскости w, параллельный действительной оси и огибающий полюс в начале координат (рис. 3.7) и остальные полюсы, расположенные на действительной оси; направление обхода контура справа налево. Изменим направление обхода контура и обозначим его Р4, как в формуле (3.10.136) и на рис. 3.7.

Вычислим сначала вклад интеграла по дуге окружности малого радиуса е. Второе слагаемое в J (w) в формуле (3.10.13b) имеет полюс в точке w = 0; возможно, что и третье слагаемое также имеет полюс. Введем обозначение

v0 = lim wB (w).(3.10.14)

w-*0

Значение интеграла по контуру Р6 при в -* + 0 найдем с помощью вычетов, оно оказывается равным

exp[l(v0-v)ln(l+-^)] .

G помощью замены переменной преобразуем интеграл по полупрямой Р4 от (—оо + гб) до (—0 + гб) в интеграл по полупрямой

Рис. 3.7. Контуры интегрирования в плоскости комплексного переменного w = wt + гш2^

от (0 — гб) до (оо — гб). Складывая преобразованный интеграл: с интегралом по контуру Р'4 и устремляя 6 —> 0, получаем

I (а) =ехр | К (щ) In [1 + у^=г]+ 1п (1 + f)<V°~V)/2 +

+ 2Яп(а). (3.10.15а> п

Сумма в (3.10.15а) дает вклад вычетов в полюсах функции В (де), расположенных на действительной оси, а

к (щ) = 4-2ЙГ [5 W + в (we*)].(3.10.156) •

Входящий в (3.10.15а) интеграл ^ понимается в смысле главного о

значения.

Подставляя (3.10.15) и (3.10.11) в (3.10.2а), получаем

G+ (а) G_ (- а) = / G(Oj (1 + -?-)Vo'2 Ц (1 + -^) Х

771=1 N

(3.10.16a) где

?(«) = £* (ip) In Г1dwe (3.10.166)

Используя соотношение G* (а) = G (а) G+ (a)/6L (a)t можно придать формуле (3.10.16а) более симметричную форму!

м

G.W-G_(-^-VGW ^у^ п H±3fe)‘,2x

771=1

N

П=1

X exp {1 рIn [-^^±2.] dw + Rn (а) - Я„ ( - а)}

(3.10.16b)

Формулы (3.10.16) дают искомые новые выражения для G^a) и G_ (а), если функция G (а) удовлетворяет трем сформулированным ранее условиям. В типичных задачах об излучении, в частности в задаче об открытом конце волновода, модуль функции непосредственно входит в выражение для углового распределения поля излучения в дальней зоне и мощности излучения.

Действительная часть интегралов, входящих в (3.10.16), выражается интегралом от 0 до к, если а действительно и Im к -> О (среда без потерь). Поэтому при определении названных выше физических характеристик с помощью этих выражений для G+(a) и G_(a) приходится вычислять интеграл в конечных пределах, что достаточно удобно.

Проиллюстрируем использование полученных выражений на нескольких примерах. Вообще говоря, при факторизации простых функций, таких, как отношение двух целых функций, нет необходимости применять формулы (3.10.2) и (3.10.16). Однако именно на примере простых функций удобно показать полезность этих формул. Мы приведем здесь два таких примера.

Пример 1. Рассмотрим факторизацию функции

п 2 - /7,2

=(3-10.17)

где Im а > т+ и Im d > т+. Прежде чем воспользоваться формулами (3.10.16), заметим, что

G (а) - 1, | а | ^ оо и | т | < т+,(3.10.18)

т. е. в этом случае v = 0 и А = 0. Функция G (а) имеет в верхней полуплоскости полюс при а = d и обращается в нуль при а = а. Из выражения (3.10.13г) в этом случае получаем

п-/,.лLIn Г+_ 2ш2w /Q 11

^Х^) — dw LnV-w^+^-d^J-w^-(k^~a^w^-^-d^Y

Из (3.10.14) и (3.10.156) следует, что

v0 = 0, К (и?) = 0.(3.10.20)

Подставляя эти величины в (3.10.16а), окончательно находим

G+(a) = G_(-a) = 4^±^..(3.10.21)

' 'd(14-a/d)х '

Правильность этих выражений ясна просто из вида функции

O^Y

Пример 2. Проведем факторизацию простой функции, имеющей точку ветвления:

G (а) = у = (а2 - к^(3.10.22)

где к2 > т+. В этом случае

G (а) ~ а, | а | -> оо, | т | < т+

и, следовательно, v = 1 и h = 0. Из (3.10.13г) легко также получить

Пример 3. Более интересный пример применения полученных выражений дает факторизация функции

G (а) - , , v ,, ,(3.10.25)

v ' V sn v'd+v ch V d ’v '

где у' = (а2 — Л'2)1^ и ft' = ггк. Необходимость факторизовать эту функцию возникает при решении методом Винера — Хоц- фа задачи о возбуждении диэлектрической пластины плоским волноводом с открытым концом (см. здадачу 3.12). В этом случае факторизация в замкнутой форме невозможна, но формула (3.10.16в) позволяет получить выражение, удобное для численных расчетов.

Заметим, что G (а) в (3.10.25) имеет точку ветвления при а =* к и не имеет особенности при а = ft', поэтому можно применить формулы (3.10.16). Как следует из (3.10.25),

G (а) ~ е”0^,| а | -> оо и | т | < т+,(3.10.20)

и, таким образом, v = 0 и И = d. G (а) не имеет нулей, но имеет полюсы в точках а = ± sn, п = 1, 2, . . . , N. Полюсы (sn) определяются из уравнения

у sh y'd + V ch ^'d | a=8n = 0(3.10.27)

(фактически совпадающего с дисперсионным уравнением для поверхностных волн электрического типа, " распространяю* щихся вдоль диэлектрической пластины, лежащей на заземленной металлической плоскости). Функцию В (w) вычислим с помощью (3.10.13г). В результате ряда стандартных алгебраических преобразований получаем■

у ,х —w [1 + d sin w'd cos w’d (w^jw' — w')\.

' '(wsinw'd-^W cosw'd) (wsinw'd—iw' cos w'd)

।i [w2d—cos w'd sin w'd ^w2(w' — w')^. w (3 IQ 28)

(w sin w'd + iw' cos w'd) (w sin w'd—iw' cos w'd) * (w')2 ’**'

где и/ = (u?2 + ft'2—k^2*. Как следует из (3.10.14) и (3.10.156), v0-0,(3.10.29)

dw2d—-cos w'd sin w'd ^w2/w'— w')/Q Щ

n(w2sin2w'd-Vw'2cos2w'd) e Подставляя найденные величины в (3.10.16b), получим

N

G+ (a) = G_ (—a) = ( -,r^V/2 TT ( [~4n V/2 X

+ x ' x '\—iksm k d+k'cosk'd) \ l + a/sn /

n=l

X exp ( J- {(2idy/n) In [(a—y)/A:] + yd} ) X

X exp [4 j К W In ( ^S±4) d„] . (3.10.30

Рдс. 3.8. Контуры интегрирования в комплексной плоскости w для примера 4.Рдс. 3.8. Контуры интегрирования в комплексной плоскости w для примера 4.Асимптотика' функции G+(a), согласно оценке (3.10.8), имеет вид G+(a) ~ exp [(i dahC) In (2a/&)], | a | -> oo и т > — т^. (3.10.32} Формула (3.10.31) особенноудобна для нахождения модуля функции G+(a) (а действительно) при действительных к и к1 ). Так как К (ш) — действительная функция, то действительная часть интеграла, входящего в GV(a), выражается интегралом в конечных пределах от w = 0 до w = к.

Рдс. 3.8. Контуры интегрирования в комплексной плоскости w для примера 4.

Рдс. 3.8. Контуры интегрирования в комплексной плоскости w для примера 4.

Пример 4. В § 9 мы рассматривали факторизацию функции

(?(a) = ^-e-vb.(3.10.33)

Покажем, что тот же результат можно получить с помощью формул (3.10.16). Однако прежде чем сделать это, выведем новое представление функции G+(a), удоб

ное для использования в квазиоптических приложениях. Подстав- ляя^ (3.10.9а) в (3.10.2а) и вводя новую переменную w согласно (3.10.12), получим

G+ (a) = G_ (-a) = ]^б) (1 + a/*)v/2 exp [^ In (-Ы) --^] x Xexpf-j^ + ^-^lnfl+^jj-^Jto}, (3.10.34) где P5 — контур, охватывающий разрез в верхней полуплоскости комплексной переменной w, изображенный на рис. 3.8. Асимптотика функции G (а) имеет вид

G (а) ~ а”1,| а | —> оо и ] т | < т+ = к^. (3.10.35)

Следовательно, v = —1 и h = 0. Таким образомд в соответствии с (3.10.13г) имеем

B^ = ib-A-v^$-.(з.ю.36)

х 'w sin woх '

Подставляя найденные величины в (3.10.34), получаем

G+ (a) = G_^—a^ = (sin to/to)1/2 [exp (ito/2)J [1 + а/Л]-1/2 x

X exp { j F^w, 6) In [1 +'—^vj du>y (3.10.37a)

(3.10.376)

Как будет показано в следующем параграфе, формула (3.10.37а) оказывается удобной при выделении главной части функции G (а) на оптических частотах, для которых справедливо условие kb ^ 1.

Теперь мы продолжим рассмотрение факторизации G (а) и по* лучим более простое представление этой функции в виде произведения Обратимся к (3.10.166) и воспользуемся формулами (3.10.156), (3.10.36); в результате находим

G+ (a) = G_ (-«) = ]/^ exp [Z(а)],(3.10.38)

-где

Z (а) = lim дм (а) + S Яп (а),(3.10.39)

М-*ооп=1

Мл/Ъ

Чм^ = ^- ( 1пГ1+-^=ри,=

-( Г1П (1 +«) _ («\ 1 dw_

я J L \"V к^ — м;2 '\ Vk^—w^ ' J

Мп/Ъ

•a Rn (а) — вклад вычетов в полюсах функции В (м), расположенных на Действительной оси (см. рис. 3.8). Оба интеграла, входящие в (3.10.40), могут быт^> вычислены в замкнутом виде (задача 3.5), Используя результаты этих вычислений в (3.10.39), получаем

/И=Юр[Д1„(^1) + ^_^] +

п=1п=1+^ [^‘"^-4+ 2 -(1+т4)] • <^м«)

п=1

п=1

Используя представление постоянной Эйлера м

С = lim 2 (1/п)-1пМ(3.10.42)

М-*со П=1 и предельное соотношение

Моо

lim exp[Si-t^^J^’l-nfi'+vr)etab/n"’ (310-43> n==inn=ln

получаем

/w = {^ln(s)_^+^[14a„(^)-C^

x П (1 +) e’ab/™. (3.10.44)

\ l4nb /'

n=l

Подставив (3.10.44) в (3.10.38), окончательно находим G.(=‘)-G-(-")-j/”«p[^(l-C + ln(^) + l^)]x

Xexp^tof^-JJn (‘+тУ cW"- <3.10-45) n—1

Как следует из (3.10.8), G+(a) ~ or1/2 при | a | -> оо в верхней полуплоскости. Эти результаты полностью согласуются с резуль татами, полученными на основе другого представления G+(a) в примере 3 из § 9,

Пример 5. В качестве последнего примера рассмотрим факторизацию модифицированной функции Бесселя )

G (а) = Ко (^а)9(3.10.46)

которая встречается в задачах о полубесконечном круглом волноводе (см. § 5.2). Факторизация функции G (а) обычными методами (см. § 9) рассмотрена в ряде работ [36;9;22]. Здесь мы применим для этой цели новое представление соотношения (3.10.16а).

Отметим, что при | а | -*> оо и | т | < &2

Ко (w) = <Ко (w) = <6 («)-/" i^a».(3.10.47)

Ко (w) = <

Ко (w) = <

Таким образом, согласно утверждению (I), v=—i-, h=a.(3.10.48)

Далее, из (3.10.13г), (3.10.14) и (3.10.156) находим, в(-")--М1" (^)н"^‘•^ёг ■ (ЗЛ0'49а>

<ЗЛ0'496>

К(т\— а Л. а V H^'W Н^Цша1) 1 л W — „ т 2Я1 [ Я^> (ша) Н^> (wa) J

= v[1 “ те^ * Д^+ПИ) J ’^3*10,49в)

Подстановка этих выражений в (3.10.16а) приводит к требуемой факторизации функции G(a):

G+ (a) = [^-Я“> (fca)]V2 exp [ —^- + -^In (Ы.) + q (a)J , (3.10.50а) где

ffM^T j Е1-"^' J^W+yg^J^E1"1" yj^^VW‘

(3.10.506)

Отсюда с помощью (3.10.8) можно получить асимптотику

G+(a)— a~V4exp£—"^"^("Т")] ’ |a|-^oo при т> —к^ (3.10.51)

что согласуется с асимптотикой функции G+(a), найденной ранее.

Интеграл q (а) не вычисляется в замкнутом виде и должен находиться численно. Однако при численном анализе этого интеграла необходимо проявлять известную осторожность, поскольку подинтегральная функция содержит особенности.

ИЗЛУЧЕНИЕ ИЗ ОТКРЫТОГО КОНЦА ВОЛНОВОДА

Теперь, когда мы познакомились с общими методами факторизации и разложения функций, встречающихся при применении метода Винера —- Хопфа, можно перейти к рассмотрению более сложных задач. В этом параграфе будут рассмотрены некоторые стороны задачи об излучении из открытого конца плоского волновода. Поле излучения и отраженное поле будут найдены методом

Джонса. Затем мы остановимся на исследовании решения в случае, когда размеры волновода очень велики по сравнению с длиной волны, т. е. в квазиоптической или оптической области. В конце параграфа будет предложен метод решения задачи для открытой

Рие. 3.9. Излучение из открытого конца плоского волновода.

области (открытый конец волновода), основанный на предельном переходе от решения задачи для некоторой сходной замкнутой области (разветвленный волновод).

Плоский волновод с открытым концом изображен на рис. 3.9. Пусть падающее поле представляет собой собственную волну волновода типа ТМьо имеющую вид

Я^ = ф(») = со8(-^)(г-Ь)е-^(3.11.1)

где yz = [(/л/2Ь)2 — /с2]1/2. Пусть падающее поле ф<г> определено в области | я: | < Ь и — оо < z < оо и равно нулю вне этой области. Задача состоит в нахождении рассеянного поля ф = ф^ —* — ф<г), которое удовлетворяет волновому уравнению

(т+^+^Ч-^ *)-»•<ЗЛ1-2)

а также граничным условийм й условию на рёбре.

Применим преобразоваййе Фурье к уравнению (3.11.2):

(-^-Т2)^(^ ^) = 0, М<*2,(З.Н.З)

где 7 = (а2 — А2)1/2. Отметим, что при 2 —> — оо рассеянное поле убывает внутри волновода по крайней мере как exp (— &2 | z I) (см. задачу 3.3). Рассеянное поле вне волновода, т. е. поле излучения в дальней зоне, представляет собой расходящуюся цилиндрическую волну, асимптотика которой имеет вид

ф^р-^ч^+г^Р^ р^оое(3.11.4)

Это поле убывает при | z | -> со по крайней мере как exp (— к^ | z|). Следовательно, волновое уравнение (3.11.3) в пространстве преобразований Фурье справедливо по крайней мере в полосе | т | < к^

комплексной плоскости а. Внутри этой полосы решение уравнения (3.11.3) может быть представлено в виде

' А (а)х^Ъ,

Y (я, а) = Т+ (х^ а) + ^- (х, а) = <Y (я, а) = Т+ (х^ а) + ^- (х, а) = <С^е-^Ща^ 1 ж | < Ь,С^е-^Ща^ 1 ж | < Ь,

Y (я, а) = Т+ (х^ а) + ^- (х, а) = <

Y (я, а) = Т+ (х^ а) + ^- (х, а) = <

С^е-^Ща^ 1 ж | < Ь,

С^е-^Ща^ 1 ж | < Ь,

x<. — b.x<. — b.В (а) e^S

x<. — b.

x<. — b.

(3.11.5)

(3.11.6a)(3.11.66)(3.11.6a)(3.11.66)Симметрия структуры и возбуждающего поля (3.11.1) позволяет установить дополнительные соотношения между коэффициентами А (.а), В (а), С (а) и D (а), зависящие от четности индекса I падающей волны:

(3.11.6a)

(3.11.66)

(3.11.6a)

(3.11.66)

В (а) = (—ЛуА (а),D (а) = ^1УС (а).

При четных I рассматриваемая задача эквивалентна задаче для структуры, изображенной на рис. 3.10, а; в этом случае в плоскости

Магнитная стенкаМагнитная стенка

Магнитная стенка

Магнитная стенка

Рис» 3.10. Структуры, эквивалентные изображенной на рис. 3.9 при возбуждении волной типа ТМЬ0; (а) I — четное; (б) I — нечетное.

х = 0 помещена идеально проводящая плоскость (электрическая стенка). При нечетных I структура эквивалентной задачи изображена на рис. 3.10, б; здесь в плоскости х = 0 помещена магнитная стенка гУ

Остановимся на случае четных I (случай нечетных I рассматривается в задачах 3.8. и 3.9). Для получения соотношений, связывающих Л (а) и С (а), проведем сшивание полей в плоскости х = Ъ. Полагая х = b в (3.11.5), получаем

Т+ (b + 0ft а) + 4L (Ы- 0, а) = А (а) е^ъ, (3.11.7a)

Ф+ (Ь - 0, а) + V_ (Ь - 0, а) = 2С (а) ch 7Ь. (3.11.76)

х) Граничное условие на магнитной стенке требует обращения в нуль касательной составляющей магнитного поля.

10-0367

Вычислим первые производные от V (х, а) по х с помощью (341.5) и положим х = Ъ:

^(б + О, aJ + ^L^ + O, а)=-T4(a)e-v^ (3.11.8a) V^(6-0, а) + VL (6 — 0, а) = 2уС (а) sh уб. (3.11.86)

Воспользуемся теперь граничными условиями, согласно которым касательная составляющая рассеянного электрического поля Ех (ж, я) должна обращаться в нуль на поверхности х = Ь, 2 < 0, Это дает

VI (6 + 0, а) = VI (6 - 0, а) = 0. (3.11.9)

Кроме того, составляющая Ez (х, z) должна быть непрерывна при переходе через поверхность х = b, z < 0. Отсюда получаем

v;(b + o, a) = V;(6-0, a) = V;(6, а),(3.11.10а)

— у4(а)в-7Ь —2уС(а) sh yb = V+(6, а).(3.11.106)

Вычитая (3.11.76) из (3.11.7а) и воспользовавшись условием

(3.11.11)(3.11.11)^(Ь-О, а) + -^=- J e-^e^dz = ¥+ (Ь + 0, а),

(3.11.11)

(3.11.11)

получаем

_^^—•+/.(„)=-П(6, а)^-, М<*„ (3.11.12а) где

У_(а) = Чг_(Ь + 0, а)—У.^-О, а),(3.11.126)

G^ = e-^^_(3.11.12b)

Уравнение (3.11.12а) — это искомое уравнение Винера — Хопфа. Факторизация входящей в него функции G (а) была проведена в примере 3 § 9 и в примере 4 § 10. В обозначениях настоящего параграфа результат факторизации записывается следующим образом:

- . .х sin кЪ f iab Г, л \ л / 2л \ , . л 1 )

G+ (a) = G_ («) = }/ -^-ехр{— [l-C + ln (-^)+ ^J ) х

Xexp[^ln(^)] П (l+^)e^/««. (3.11.12г) п=2 четн

Используя эти представления в (3.11.12а), после некоторых преобразований получаем

^7^^ [(а - Л) G_ (а) + (^ + k) G_ (- ty)] +

У 2л (а+гуО

+ J_ (а) (а — к) G_ (а) =

= <^^М> + У№7) (т+^ - ад, И < мз. и лзГ.

Рассуждая обычным образом, можно показать, что обе части (3.11.13) равны нулю при всех а. Таким образом,

^(Ь, а)^^"^ ^Й (a-Vk)G+(a).(3.11.14)?

|/ 2л (ос ~|~ tfi)

Из (3.11.106) и (3.11.6) следует, что

А^ = В (а) = -™^ ^ ^ ^ (« + к) G+ (а), (3.11.15) углСа+^о?6 7

С (а) = D (а)=-4т^^1^ (а + к) G+ (а).(3.11.16)

Таким образом, уравнение Винера — Хопфа полностью решено.

Для получения рассеянного поля следует подставить (3.11.15) и (3.11.16) в (3.11.5) и найти обратное преобразование Фурье. Рассмотрим сначала поле в области | ж | > 6:

4-00

^,z)=-ib(iVz + *)G+(iYz)X С ^^V^^^-

°°(3.11.17)

Рассмотрим явный вид функции G+(а) в (3.11.12г). Подинтегральное выражение в (3.11.17) имеет точки ветвления при а = ± ку и поэтому интеграл нельзя вычислить аналитически. Однако, если пас интересует лишь поле в дальней зоне, можно, воспользовавшись асимптотической формулой (1.7.19), получить приближенное выражение"

’I’ (ж, z) ~ Ь (iYz + к) G+ (tyi) t^^1/2 X

X ег(6р-л/4) ГG+ ( - к COS 6) L

L Acos 0—i^ + v'J

Ap->oo; |ж|>Ь и I—нечетное,(3.11.18)

। до 9 = arctg (x/z) *) (см. рис. 3.9).

x) Отметим, что углы 0 здесь и в формуле (1.7.19) отличаются на л/2.

Для определения поля в области | х | < Ъ подставим (3.11.16) в (3.11.5) и найдем обратное преобразование Фурье полученной функции:

(3.11.19а)

--(г^к^Дг^ j —k|<b.

(а _|_ ^^ (а _ &) e^°G_ (а)

(3.11.196) При z<0 контур интегрирования можно замкнуть в верхней полуплоскости, где подинтегральная функция имеет полюсы в точках а = { + г^* Вычисляя вычеты в этих полюсах, получаем

n=2четные

|#|<6, z<0 и I — четное. (3.11.20)

При z > 0 контур интегрирования можно деформировать в нижней полуплоскости а так, чтобы он охватывал полюс а — —i^L и разрез, проведенный из точки ветвления а = —к. Как и следовало ожидать, вклад полюса точно компенсирует падающее поле (3.11.1) (см. утверждение, непосредственно за формулой (3.6.1)). Интеграл по берегам разреза точно не вычисляется.

Однако нетрудно показать, что выражение для поля в дальней воне непрерывно переходит в выражение (3.11.18). Таким образом, ограничение | х [ > b в (3.11.18) может быть снято и эта формула описывает поле излучения всюду вне волновода.

ВЫЧИСЛЕНИЕ G* (а) ПРИ kb » 1

Решение рассматриваемой задачи, определяемое формулами (3.11.18) и (3.11.20), получено с помощью представления (3.11.12г) для функции G+(a). Как указывалось ранее в § 2.4, вычисление G+(a) становится чрезвычайно затруднительным при больших кЪ ввиду очень медленной сходимости бесконечного произведения, входящего в выражение для этой функции. Положение становится просто критическим для частот оптического или квазиоптического диапазонов, т. е. когда ширина волновода 26 превышает длину волны в несколько тысяч раз. Поэтому крайне важно найти другое представление функции G^a^ более пригодное для вычислений

при условии kb ^> 1, чем выражение, содержащее бесконечное произведение. С этой целью рассмотрим интегральное представление функции G+(a) (3.10.37), которое для удобства приведем здесь еще раз:

л г х ( sinkb/ ikb \ /А , a \-Vb

X exp { j f („, i>) In [1 + ;>2+° 2)W » ■(3.11.21,)

где'

Ь />2iwb

(3.11.216)

Контур интегрирования Ръ показан на рис. 3.8. Нетрудно видеть, почему в оптическом диапазоне интегральное представление (3.11.21) предпочтительнее представления, содержащего бесконечное произведение. Удобство представления (3.11.21) для нахождения асимптотического разложения и проведения численных расчетов связано с экспоненциальным убыванием подинтегральной функции на контуре Р5 (Im w > 0). Ниже мы подробно обсудим эти вопросы [51].

Асимптотическое приближение. Рассмотрим интеграл, входящий в (3.11.21а). Его можно тождественным образом представить в виде произведения

Z = exp{Jz^6)ln[l + ^=^]dw}=Z^(3.11.22)

где

(3.11.23)

/, = «p[jW) у=5-Ч(3.11.24)

Рък

Введем обозначение

2kb = л (g + 6),(3.11.25)

где q — очень большое четное ) целое число и 0 < | б | < 1. Мы не будем рассматривать случай 6=0, хотя эта величина

может быть бесконечно малой. Поскольку q ^> 1,

(3.11.26)(3.11.26)( — ik) V^lq, если 6>0,-H^V^Id)/#, если 6<0.

(3.11.26)

(3.11.26)

Таким образом, собственная волна с индексом q возбуждается в непосредственной близости пороговой частоты и может быть либо распространяющейся, либо затухающей.

Рис. 3.11. Контуры интегрированияв комплексной плоскости s.

Производя в (3.11.24) замену переменной

w = k-V^.(3.11.27)

получаем

Z2 = ехр Г— (1 ,(3.11.28)

PL л J y$(s — i4to) ехр(е—s) — 1 J’''

где e = шб, а контур Рь на плоскости комплексной переменной s показан на рис. 3.11 (см. задачу 3.6). G учетом экспоненциального убывания подинтегральной функции можно при больших kb приближенно заменить множитель Vs — i4kb на ^Vkb exp (—ш/4); при этом мы получаем приближенное аначение интеграла /2:

/2«/' = ехр («&^2 f. (3.11.29)

2 I 2л У to ^У$1ехр (8-4) —1] )

Интеграл Га можно также заменить на удвоенное значение интеграла по одному из берегов разреза Р'ь, пренебрегая вкладом окружности малого радиуса вокруг точки s = 0. Деформируя контур

А = ехрА = ехрУ^лб ^У^лб ^e-iW4) + <9(6)e-iW4) + <9(6)|6|<1. (3.11.33)|6|<1. (3.11.33)

А = ехр

А = ехр

У^лб ^

У^лб ^

e-iW4) + <9(6)

e-iW4) + <9(6)

|6|<1. (3.11.33)

|6|<1. (3.11.33)

Р' в отрезок действительной оси, получаем

(3.11.30)(3.11.30)Т, ( аЬе"г^ „ f е-»

(3.11.30)

(3.11.30)

12 = ехр <-т=—е6 \ -7=-—as } .

I л ^/kb jo^^^—гее~] /

Выражение для Г^ можно переписать в более компактном виде, выразив интеграл в (3.11.30) через функцию Ф *) [761:

^Ч^^(З.И.31)

В теории оптических резонаторов обычно наиболее интересен слу* чай е <^ 1. При этом удобно использовать представление функций Ф в виде ряда:

771=0

|lnz]<2n, u^l, 2, 3, р^О, — 1, — 2,(3.11.32)

где £ (и, р) — обобщенная дзета-функция, определяемая по формуле

^(и, р)=2 (v + n)“u, Reu>0, р^О, — 1, — 2, ... . п=0

Численное значение постоянной £ (у) приближенно равно - 0,824 Ул.

х) Интегральное представление функции Ф имеет вид

ф(^. и, ")=r(^j ГГ^Т^,о

Re v > 0 и либо | z | С1, г#=1, Re и > 0,либо z = l, Reu>l.

Перейдем теперь к рассмотрению интеграла 1и определяемого согласно (3.11.23). Этот интеграл можно преобразовать к представлению в виде ряда так же, как это было сделано при вычислении I (а) в (3.10.38). В результате получаем (задача 3.7)

т Г / а — Y \ deb . tab , , / л * a V/2 ап ^““Ч „ 1П( Л )—Г+~+1п(1+т) ~а]х

(3.11.34)(3.11.34)x«p{s М^^)--^-]}-

(3.11.34)

(3.11.34)

п=2четн

Во многих приложениях наибольший интерес представляет значение 1г для очень малых a/к (т. е. | а | <^ к). В этом случае* можно считать In (1 + a/iyn) ^ altyn ПРИ условии, что уп не слишком малы. Таким образом, главный вклад в сумму, входящую в (3.11.34), обусловлен несколькими членами ряда с номерами, близкими к п = q, где д, как и в (3.11.26),—номер собственной волны, ближайшей к порогу. Таким образом, можно получить приближенное значение* Zlf оставив в сумме из (3.11.34) только один ^член и пренебрегая-членами порядка a/к и выше:

/1ЖЮр[_-»+1п(1+^.)-^], !„,«„. (3.11.35)

Результирующее выражение для G+(a) с учетом оценок (3.11.34), (3.11.31) и (3.11.21а) принимает вид

п \ п ЛвхпкЬ Г iby ч / а—у \ , tab а .

V TexPhrln(^Tj+—~2Г +

+ 2»£^евф(ев) |а)1 д№>1. (3.11.36)

VTlkb'*' J ' lYn /

rn=2

четн

Последнее выражение сходится гораздо быстрее, чем представление (3.11.12г). Дело в том, что основной вклад в бесконечное произведение, входящее в (3.11.36), дают несколько сомножителей с номерами, близкими к п = q.

В теории оптических резонаторов (задача 3.11) обычно выполняются условия | 6 | <^ 1 и | а | <С ^» чт0 позволяет еще больше упростить выражение для G+(a). Из (3.11.35), (3.11.33) и (3.11.21а) получаем

6+(а)«1/111 + —=) exp Г-0,824,

+' ' F 5 \ ^ УкЬпб / LУш J

to^l, ] 61 <^ 1 и |a|<^&, q—четное. (3.11.37)

Рис. 3.12. Способ проведения разреза в комплексной плоскости s, отличающийся от принятого на рис. 3.11.Рис. 3.12. Способ проведения разреза в комплексной плоскости s, отличающийся от принятого на рис. 3.11.

Рис. 3.12. Способ проведения разреза в комплексной плоскости s, отличающийся от принятого на рис. 3.11.

Рис. 3.12. Способ проведения разреза в комплексной плоскости s, отличающийся от принятого на рис. 3.11.

Применим полученное выражение (3.11.37) для определения коэффициента отражения q-и волны от открытого конца волновода, изображенного на рис. 3.9.

Согласно (3.11.20), коэффициент отражения равен

^W=-^fШ-(3.11.38)

Подставляя (3.11.26) и (3.11.37) в (3.11.38), получаем Rqqw —exp [—0,824(1 — i) */2л6], kb>l, |в|<1, q — четное, (3.11.39) где в соответствии с (3.11.26) значение корня V2л6 выбирается так, что оно равно либо + }/2л6, либо + i ^2л | 6|. Отметим, что | Rqq | не зависит от q и очень близко к единице. Таким образом, мы приходим к выводу, что собственная волна, распространяющаяся в очень широком волноводе, на частоте, близкой к критической, излучается слабо и почти вся ее энергия отражается обратно в волновод. Это обстоятельство очень существенно для разработки открытых резонаторов оптического диапазона (задача 3.11).

Интегральное представление. Если бесконечное произведение в (3.11.36) сходит

ся медленно или же указан

ные в (3.11.37) условия не выполняются, можно провести числен

ное интегрирование, воспользовавшись непосредственно представлениями (3.11.21а) и (3.11.22).

Вводя замену переменной (3.11.27), получаем

1 = ехр (( In Г1Н—у::.- 1Ъе 8 ds ) . (3.11.40)

X 2л j LД/s (s — iAJcb') J ег2,кЬе~»— 1 J

Контур интегрирования РЬ1 показанный на рис. 3.11, переходит при этом в контур Р6, охватывающий разрез, который в данном случае определен иначе (рис. 3.12). Следует отметить, что подинтегральное выражение в (3.11.40) экспоненциально убывает на контуре интегрирования. Таким образом, интеграл в (3.11.40) в широком диапазоне частот без труда находится численными мето

дами.

СВЯЗЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОТКРЫТОЙИ ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТЕЙ

Рассмотрим две структуры, изображенные на рис. 3.13. Пусть обе структуры возбуждаются ТМь о-волной вида (3.11.1) с четным I. Естественно задаться вопросом, переходит ли решение для разветвленного волновода в решение для волновода с открытым концом в предельном случае а-^- оо.

Из физических соображений следует ожидать положительного ответа на этот вопрос, поскольку в любой реальной среде имеется механизм потерь, неизбежно приводящий к затуханию поля. Полное поле в каждой точке разветвленного волновода может быть

Рис. 3.13. Открытая и соответствующая ей замкнутая структуры: (а) волновод с открытым концом;

(б) волновод с разветвлением.

представлено в виде суперпозиции двух полей: поля первичной волны, которая существует и в случае волновода с открытым концом, и поля, обусловленного отражением первичной волны от верхней стенки волновода при ж = а. С учетом потерь в среде амплитуда первичной волны при х = а обращается в нуль, если п-^-оо, и, таким образом, отраженное поле в этом случае отсутствует.

К этому же выводу можно прийти и с помощью строгого математического рассмотрения [6], которое будет проведено ниже. Приведем для удобства функциональное уравнение Винера — Хопфа, возникающее в задаче об излучении из открытого конца волновода:

^^ + ^а)=_Т;(а)(^, W<^ (3.11.41а) где

= (3.11.416)

Можно показать ), что соответствующее уравнение в задаче о разветвленном волноводе имеет вид

^-s + 7,W^-T;MsijL_, |т|<^, (3.11.42а)

в» = ^-(3.11.426)

Величины J_ (а), Ч^ (а)иб (а), отмеченные сверху чертой, введены здесь для того, чтобы отличить их от сходных величин в уравнении (3.11.41). Отметим, что Re у > 0 для всех а в полосе | т | < < кй и, кроме того,

limа, с->оо а—с=Ьlimа, с->оо а—с=Ьshyc _ r evc_e-vc_ sh т« a, C^oo eV® — e"V° ~ a—c=bshyc _ r evc_e-vc_ sh т« a, C^oo eV® — e"V° ~ a—c=be~vb.e~vb.(3.11.43)(3.11.43)

lim

а, с->оо а—с=Ь

lim

а, с->оо а—с=Ь

shyc _ r evc_e-vc_ sh т« a, C^oo eV® — e"V° ~ a—c=b

shyc _ r evc_e-vc_ sh т« a, C^oo eV® — e"V° ~ a—c=b

e~vb.

e~vb.

(3.11.43)

(3.11.43)

(3.11.44)(3.11.44)Таким образом,

(3.11.44)

(3.11.44)

lim G(a) = £?(a) a, c-*oo a-c=b

и уравнение Винера — Хопфа (3.11.41) переходит в этом предельном случае в уравнение (3.11.42).

Решение уравнения (3.11.42) не вызывает затруднений и приводит к следующему окончательному выражению для поля;

' " 1 J <и 2п J(a + ПЧ) (V sh ус)

.xe-iazda, x">b,(3.11.45а)

1>(M =+=o

xe-ioczda, 0<_x<_b,(3.11.456)

где (см. (3.6.31))

я r xГ sin to sin tof . a Гн / a \ t i \ 11

^(“> = /тпИ5-мр{,т1Ь1п(т)+с1°(7)]}х

Ц (1+а/1Тпь)е,аЬ/пя Д (1 + аЛТпс) е*ас/п”

X ——.(3.11.45b)

II (H-a/«Yn«)eiao/n"

Сравнение (3.11.45) с (3.11.17) и (3.11.19) показывает, что выражения для рассеянного поля в обеих задачах совпадают в рассматриваемом предельном случае, если выполняется равенство

lim G+ (а) = G+ (а),(3.11.46)

а, с->-оо а-с=Ь

где функция G+(a) определена согласно (3.11.12г). Последнее предельное соотношение можно доказать, используя результаты факторизации из § 10 (ср. также § 4.5).*

Таким образом, мы приходим к возможности нахождения решения краевых задач для открытых областей посредством предельного перехода в решении краевых задач для соответствующих замкнутых областей; последние, как правило, решаются гораздо проще. В задачах для замкнутых областей, решаемых методом Винера — Хопфа, функций G (а) мероморфна и факторизацию ее можно легко осуществить с помощью теоремы I из § 6. С другой стороны, соответствующая функция G (а) в задачах для открытых областей имеет точки ветвления и поэтому факторизация ее сопряжена с трудностями. Следует еще отметить, что получение функции G+(a) из G+(a) с помощью предельного перехода (3.11.46) дает еще один новый способ факторизации функций в задачах для открытых областей.

Процедуру предельного перехода можно применять не только для нахождения факторизации. Фактически, полное решение краевой задачи для открытой области можно рассматривать как предел решения краевой задачи для соответствующей замкнутой области. Таким образом, процедура предельного перехода может применяться на самой последней стадии решения, т. е. после завершения решения задачи для замкнутой области. Более детально мы познакомимся с этой процедурой в § 4.5.

§ 12. ДИФРАКЦИЯ НА ОТКРЫТОМ КОНЦЕ ВОЛНОВОДА

С математической точки зрения задача о дифракции на открытом конце волновода мало отличается от рассмотренной в предыдущем параграфе задачи об излучении из полубесконечного волновода. Однако эта задача (наряду с задачей дифракции на полуплоскости, которую можно рассматривать как ее частный случай) служит одним из лучших примеров, позволяющих выяснить физические особенности явления дифракции. Таким образом, подробное рассмотрение этой задачи представляется оправданным.

Плоский полубесконечный волновод и принятые обозначения показаны на рис. 3.14. Пусть на раскрыв волновода падает плоская волна вида

Ц^ __ ^(О __ е-гкх sin eQ^kzcos во = ^-iApcos (0-0о).(3.12.1)

Для нахождения рассеянного поля мы можем пойти двумя путями.

Падающую волну (3.12.1) можно формально представить в виде суперпозиции четырех плоских падающих волн, показанных

Рис. 3.14. Дифракция на открытом конце плоского волновода.

Рис. 3.15. Структуры, эквивалентные изображенной на рис. 3.14:(а) симметричное возбуждение; (б) антисимметричное возбуждение;(в) структура, эквивалентная (а); (г) структура, эквивалентная (б).Рис. 3.15. Структуры, эквивалентные изображенной на рис. 3.14:(а) симметричное возбуждение; (б) антисимметричное возбуждение;(в) структура, эквивалентная (а); (г) структура, эквивалентная (б).на рис. 3.15, а и б, или эквивалентной суперпозиции волн на рис. 3.15, в и г. Краевые задачи для структур, показанных на рис. 3.15, в и а, очень похожи на задачи, рассмотренные в § 11,

Рис. 3.15. Структуры, эквивалентные изображенной на рис. 3.14:

(а) симметричное возбуждение; (б) антисимметричное возбуждение;

(в) структура, эквивалентная (а); (г) структура, эквивалентная (б).

Рис. 3.15. Структуры, эквивалентные изображенной на рис. 3.14:

(а) симметричное возбуждение; (б) антисимметричное возбуждение;

(в) структура, эквивалентная (а); (г) структура, эквивалентная (б).

и задачу 3.9. Таким образом, искомое решение краевой задачи с возбуждением (рис. 3.14) получается простым сложением решений задач для структур, изображенных на рис. 3.15, в и г. При таком подходе с самого начала происходит разделение поля на симметричную и антисимметричную части. Хотя такой подход требует довольно громоздких выкладок, вывод самого уравнения Винера— Хопфа осуществляется сравнительно легко.

Мы изберем другой способ формулировки задачи, в котором не требуется с самого начала проводить разделение падающего

ноля, хотя в последней стадии решения необходимо разложение поля на симметричную и антисимметричную части.

Вывод уравнения Винера — Хопфа в рассматриваемой задаче несколько различается в зависимости от того, принадлежит ли угол 60 диапазону 0 ^ 60 < л/2 или же л/2 < 0О < л т).

Для 0 ^ 0О < л/2 рассеянное поле можно определить из соотношения

(3.12.2а)(3.12.2а)ф<*> (ж, z) = ф(^ + ф для всех х и z.

(3.12.2а)

(3.12.2а)

Покажем теперь, что введенное таким образом рассеянное поле всюду ограничено. Это утверждение основывается на следующей совокупности фактов:

При заданном х и z-+ + оо рассеянное поле представляет собой дифрагированную волну (см. (3.11.4)) и, следовательно, затухает по крайней мере как exp (—&2z).

При заданном х 2> Ъ рассеянное поле состоит из отраженной и дифрагированной волн. Причем первая преобладает и, таким образом, ф (ж, z) ведет себя как exp (— fc2 cos 0О | z |) при z -> —оо и х > Ь.

При | х | < b полное поле ф^) состоит из собственных волн и, следовательно, убывает по крайней мере как exp (—к2 | z |) при z-> —оо (см. задачу 3.3). Так как ф = ф(О —ф<г>, то ф асимптотически ведет себя так же, как ф<г), т. е. убывает как ехр (— к^ cos 60 | z |) при z -> —оо и | х | < Ь.

При х < — b и z -> — оо полное поле ф<0 образовано только дифрагированными волнами, и, таким образом, ф ~ ф<г> ~ ~ ехр (— &2 cos 60 | z I) при z —>• — оо и x < — b.

Из сказанного выше заключаем, что при 0 ^ 0О < л/2 функция ф (ж, z), определенная согласно (3.12.2а), всюду ограничена и, в частности, при фиксированных х справедливы оценки

J O(e"ft2Z),z-^-f-oo,

^(^ Z) = I O^-hzCOSBolZI), 2^

Однако в другом случае, когда л/2 < 0О < л, функция ф (ж, z), определенная выражением (3.12.2а), не ограничена в области — л + 0О > 0 > —л, поскольку ф (ж, z) ведет себя как ф(*> при больших х или z. Можно избежать этой трудности, переопределив функцию ф (ж, z) при л/2 < 0О < л следующим образом:

г) Благодаря симметрии задачи достаточно рассмотреть лишь углы падения 0о в диапазоне 0 ^ 0е < л.

Различные определения функцииф (я:, z) в (3.12.2а) и (3.12.26) приводят к уравнениям Винера — Хопфа разного вида. Хотя в дальнейшем мы проведем выкладки только для случая 0 ^ 90 <1 < л/2, полученное решение будет справедливо при всех 9в.

Рассеянное поле ф (ж, z), определенное согласно (3.12.2а), удовлетворяет волновому уравнению (3.11.2). Применив к этому уравнению преобразование Фурье, получаем

^. — у2 J Т (х, а) = 0, — к2 < т < к^ cos 90.

Решение этого уравнения можно представить в виде

^(х. а)=<^(х. а)=<А ^ е^,С (а) e-^ + D^ е^.В (а) ev«,А ^ е^,С (а) e-^ + D^ е^.В (а) ev«,я>Ь,я>Ь,|®|<Ь.|®|<Ь.я<— Ъ.я<— Ъ.(3.12.3)(3.12.3)

^(х. а)=<

^(х. а)=<

А ^ е^,

С (а) e-^ + D^ е^.

В (а) ev«,

А ^ е^,

С (а) e-^ + D^ е^.

В (а) ev«,

я>Ь,

я>Ь,

|®|<Ь.

|®|<Ь.

я<— Ъ.

я<— Ъ.

(3.12.3)

(3.12.3)

Теперь необходимо сшить поля при ж = ± Ь. Удобно прежде всего исключить коэффициенты А (а) и В (а), воспользовавшись условием непрерывности касательной составляющей электрического поля, а следовательно, и дф (ж, а)/дж, на плоскостях х = ± 6. Это дает

A(a) = C(a)-.D(a)e2vb,A(a) = C(a)-.D(a)e2vb,(3.12.4a)(3.12.4a)В^= -С(а)е2ть + Р(а).В^= -С(а)е2ть + Р(а).(3.12.46)(3.12.46)

A(a) = C(a)-.D(a)e2vb,

A(a) = C(a)-.D(a)e2vb,

(3.12.4a)

(3.12.4a)

В^= -С(а)е2ть + Р(а).

В^= -С(а)е2ть + Р(а).

(3.12.46)

(3.12.46)

Для того чтобы удовлетворить оставшимся граничным условиям, целесообразно выписать явные выражения для касательной составляющей поля на поверхности х = ± Ъ\ из выражений (3.12.3) находим

¥+ (6 + 0, а) + Т_ (Ь + 0, а) = С (a) e^vb_ D ^ е»ь,(3.12.5а)

Т+(Ь-0, а) + Т_(Ь-0, a) = C(a)e-vb + £>(a)evb, (3.12.56) Т+ (-5 + 0, а) + Т_ (- 6 + 0, а) = С (a) evb + D (a) e-v»,(3.12.6а)

Т+(-Ь-0, а) + Т_(-Ь-0, а)= -C(a)evb + Z)(a)e-vb (3.12.66) и, продифференцировав (3.12.3), получаем

V; ф, а) + ¥1 (Ь, а) = — у [С (a) e-»b-D (a) e-vb],(3.12.7)

ф;( —b, о^ + ФК-б, а)= — Y[C(a)evb —Z)(a)e-vb](3.12.8)

Поскольку функция ф(ж, z) непрерывна при «=+& и z>0, то, вычитая (3.12.56) из (3.12.5а), получаем

J_ (Ъ, a) = —D (a) evb,(3.12.9)

где 2J_(b, a) = Y_(Z>+0, a) — Ч^ДЬ — 0, a) — величина, пропорциональная преобразованию Фурье тока, индуцированного на верхней стенке волновода х = +5. Аналогично- из (3.12.6)

получаемполучаем

получаем

получаем

(3.12.10)(3.12.10)/_( —Ь, а) = — С (а) ^уь,

(3.12.10)

(3.12.10)

тде 2/_(— Ъ.а^—^Д — b—0, а) — V_(— Ь + 0, а) — величина, пропорциональная преобразованию Фурье тока, индуцированного на нижней стенке волновода. И наконец, условие обращения в нуль тангенциальной компоненты полного электрического поля при х = ± Ъ дает

VI (± Ь, а) = fc sin Q^kb sin6<>VI (± Ь, а) = fc sin Q^kb sin6<>1/2л (а —Acos Оо)1/2л (а —Acos Оо)(3.12.11)(3.12.11)

VI (± Ь, а) = fc sin Q^kb sin6<>

VI (± Ь, а) = fc sin Q^kb sin6<>

1/2л (а —Acos Оо)

1/2л (а —Acos Оо)

(3.12.11)

(3.12.11)

Выведем теперь с помощью соотношений (3.12.7) —(3.12.11) два уравнения Винера — Хопфа. При этом необходимо исключить коэффициенты С (а) и О(а), выразив их через функции с известными областями регулярности (т. е. V^.(b, а), /_(&, а) и т. д.). В результате получаем

D^ ^ —^^a^V™^ = _2bfG (а) 8_ (а), (3.12.12) "1/2л (а—Acos Оо)

5;(а) + ^^^^Н^ = — 2yL(a)D_(a),(3.12.13)

"1/2л (a —A cos00)

тде G(a) и L(a) определены соответственно в (3.11.12в) и в задаче 3.8 и, кроме того, использованы следующие обозначения:

(3.12.14а) (3.12.146) (3.12.14в) (3.12.14г)(3.12.14а) (3.12.146) (3.12.14в) (3.12.14г)ад-^^-^'Л-ь.а),S_ (a) = J. (Ь, а) + J. ( — Ь, а),s;(«)=v;mh;^D_ (a) =J„(b. a) —J. ( — 6, а).

(3.12.14а) (3.12.146) (3.12.14в) (3.12.14г)

(3.12.14а) (3.12.146) (3.12.14в) (3.12.14г)

Интересно заметить, что величины D^ (а) и SL(a) определяют симметричные составляющие рассеянного поля х), а S'(a) и£)_(а) дают антисимметричные составляющие.

Более того, как нетрудно убедиться, уравнения (3.12.12) и (3.12.13) — суть функциональные уравнения Винера — Хопфа, -описывающие краевые задачи для конфигураций, изображенных соответственно на рис. 3.15, в и г. Таким образом, несмотря на то, что мы не разделяли с самого начала симметричную и антисимметричную части падающего поля, как показано на рис. 3.15, рто разделение имеет место в результирующих уравнениях Винера— Хопфа.

Поскольку факторизация функций G (а) и L (а) уже обсуждалась ранее, решения уравнений (3.12.12) и (3.12.13) находятся обычным образом и имеют вид

ik sin 0О sin (^ sin 0О)1

У2л Цк-\-к cos 0О) G+ (k cos 0O) (a — k) (a — k cos 0O) G_ (a) ’

(3.12.15а)

у , . _(— 1) k sin 0p cos (to sin 0O)

(3.12.156)(3.12.156)(a-k)1^ (a —k cos 0O) L_ (a) ’(a-k)1^ (a —k cos 0O) L_ (a) ’ф (#, z) =ф (#, z) =~"|/2л (k-[-k cos Oo)1/2 L+ (k cos 0O)

(3.12.156)

(3.12.156)

(a-k)1^ (a —k cos 0O) L_ (a) ’

(a-k)1^ (a —k cos 0O) L_ (a) ’

ф (#, z) =

ф (#, z) =

при Ь-> О х), а рассеянное поле (3.12.18) принимает вид

2л (к + к cos 0O)^ _ ^(« — Ю1 2 (а —к cos Оо)

*— к2 < т < &2 cos Оо. (3.12.19)

При больших кр интегралы такого типа можно оценить методом перевала. Мы обсуждали этот метод в § 1.7. Как будет показано

Рис. 3.16. Дифракция на полуплоскости.

ниже, применение этого метода к интегралу (3.12.19) позволяет выразить его через интегралы Френеля. Введем полярные координаты 2)

х — р sin 0, z = р cos 0.(3.12.20а)

Для удобства будем считать, что угол 0 удовлетворяет неравенствам

- л < 0 < л.(3.12.206)

Заменой переменных

а = — к cos w, w = ~ + arcsin ^^(3.12.21)

К этому же выводу можно прийти, рассматривая явные выражения для G+(a), G_(a), L+(a) и L_(a).

i|)<d>,i|)<d>,

i|)<d>,

i|)<d>,

(свойства арксинуса обсуждались в § 1.7) интеграл (3.12.19) приводится к виду

мо e) = ^i^^- f sin(e0/2)sin(uy2) ?fepcos<w-|ei) aWi (3.12.22) COS M>+cos00

p

где контур P изображен на рис. 3.17 (ср. рис. 1.9). Линия наибыстрейшего спуска Р81 проходящая через седловую точку w = = | 0 |, описывается уравнением

Im h cos ^w — I в 1)1 = 1, Re [г cos (ip — | 0 |)] ^ 0

(3.12.23)

и изображена на рис. 3.17. При деформации контура Р в Р8 вклад

Рис. 3.17. Контур Р и линия наибыстрейшего спуска Р8 для интеграла (3.12.22).

простого полюса необходимо учитывать тогда и только тогда, когда О < (л — 0О) < | 0 |. Таким образом, деформировав контур Р в Р81 имеем

•ф(Р, 0) =•ф(Р, 0) =(sign 9) e-’fcpcos (। е । +0О) _,_ ^(d,, 0 < (л — 0О) < 191 < л,

•ф(Р, 0) =

•ф(Р, 0) =

О < 191 < (л — 90) < л,

(3.12.24)

где

(d) = г Signe Г sin (0о/2) sin (^/2) e^pcos (w-161) ^(3.12.25)

Y Л JCOSU?4-COS0fl

Рз

Ниже мы покажем, что интеграл xp<d) определяет дифрагированное поле.

Перейдем к вычислению гр^\ Несмотря на возможность точного выражения ф^) через интегралы Френеля, желательно получить простое асимптотическое выражение для этого интеграла. С этой целью воспользуемся методом Перевала. Следуя процедуре, описанной в § 1.7, получаем *)

^(йр-л/А) 2isin(0/^8111(00/2)и |9|^(Л_0)2)

У2лкрcos0+cos0О* rI/

(3.12.26)

Как указывалось в §1.7, эта простая формула теряет смысл, если точка перевала w = | 0 | лежит вблизи полюса w = л — 90. Существует несколько методов получения оценки интеграла в этом случае 3), но мы здесь не будем их рассматривать.

Как мы уже отмечали, интеграл ф<й> в (3.12.25) можно выразить точно через интегралы Френеля. Отнеся подробные выкладки в задачу 3.13, приведем здесь только окончательный результат:

<p(d) = — (sign 9) е-^ cos 9 9Г+0о)

+ --™ { е-^рcos№+6o)F [/2*pcos ( Ц-^) ] -

_<,-«фсов(0-ео)^|у2&рСод (Ц^)]},(3.12.27)

где F (ж) — (комплексный) интеграл Френеля4):

F (ж) = j е»2 at.(3.12.28)

X

Подставляя (3.12.27) в (3.12.24), получаем точное1 выражение для рассеянного поля, которое можно' упростить, если воспользоваться соотношением

F ^ + р (— ж) = Ул W(3.12.29)

Пределы изменения 0 ограничены неравенствами (3.12.206), в противном случае функция sin (0/2) не является взаимно однозначной.

Знак ^ означает «не очень близко к».

См. прим, к § 1.7.

Используя стандартные обозначения для интегралов Френеля, можно написать

^>-/т{[М/4-)ММ/Я]Ь

= Jy^ ei(Il/4) erfc (хе-^л/4^).

Объединяя рассеянное поле с падающим, получаем окончательное выражение для полного поля:

HW (р, 0)-^) = ^ + ^ =

= g _^_— ^ ^-i^p cos (О-Оо)^£ „p^2A:pcos (~’°)] +

^e-iApcosce+eo^^ygApcos (Ц®»)]^

— л<0о<л, — л<0<л. (3.12.30)

Полученное выражение совпадает с классическим решением Зом- мерфельда задачи о дифракции на полуплоскости. Напомним еще раз, что выражение (3.12.30) справедливо при всех углах падения 0О, хотя оно было получено в предположении 0 < 0О < л/2. К этому же выводу можно прийти, замечая, что углы 0 и 0О входят в (3.12.30) симметричным образом.

12.2. АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ДИФРАКЦИИНА ПОЛУПЛОСКОСТИ

Как упоминалось ранее, решение задачи о дифракции на полу-1 плоскости (3.12.30) является хорошим иллюстративным примером для изучения свойств рассеяния на краю. Более того, асимптотическое выражение (3.12.30) составляет основу для расчета дифрагированных лучей в геометрической теории дифракции [30, 31]. Поэтому полезно более тщательно исследовать полученное решение (3.12.30).‘

Рассмотрим сначала поле вблизи ребра, т. е. при ftp <^ 1.

Используя разложение интеграла Френеля в ряд Тейлора

F^x^^e^W-x-VO^,(3.12.31)

получаем главный член полного поля при fcp->0:

*) Отметим, что*) Отметим, чтоЭA— = COS0 dz 9• n-— — sin 0OxЭA— = COS0 dz 9• n-— — sin 0OxЯ№ = 2 |/^e-W^ sin (^-) sin (у) /fcp + O^P)- (3.12.32а) Остальные составляющие поля имеют при этом вид1) (см. (1.5.8)) tV^-«""“sin (-r)sin (l)^-+°(1)' (3.12.326) B?> = /f / Jsin (A ) cos (4) _^- + О (1).(3.12.33)

*) Отметим, что

*) Отметим, что

ЭA

— = COS0 dz 9• n

-— — sin 0

Ox

ЭA

— = COS0 dz 9• n

-— — sin 0

Ox

dsin0d

dp p~”d0 ’

dcos0d

dp +pd0*

Интересно отметить, что при /ср -^ О параллельная ребру составляющая магнитного поля Ну) остается ограниченной, в то время как компоненты, перпендикулярные ребру, расходятся как (Ар)”1/2. Этот результат согласуется с условием на ребре (см. (1.3.19) и (1.3.20)). Поверхностная плотность тока, индуцированного на полуплоскости, равна скачку гкасательной составляющей магнитного поля, т. е. разности между Н^ при 0 = + ли0 = —л (ср. 1.2.166))

J^-4"^ ^-e-^^sin^^Vkp + OQcpy,(3.12.34)

эта величина ограничена при /ср 0.

Рассмотрим теперь поле в дальней зоне, т. е. при /ср ^ 1. Полное поле в этом случае удобно разложить на два слагаемых:

Н^ = Н^НН№.(3.12.35)

Слагаемое Н^ при этом равно сумме падающего поля и вклада вычета в (3.12.24) и может быть записано в виде

’ g-ifcpcos(6 — 6о)’ g-ifcpcos(6 — 6о)в области I,в области I,

’ g-ifcpcos(6 — 6о)

’ g-ifcpcos(6 — 6о)

в области I,

в области I,

е - гкр cos (0 - 6о) -j_ ^- гкр cos (04-0о) ?о,’е - гкр cos (0 - 6о) -j_ ^- гкр cos (04-0о) ?о,’в области II, в области III,в области II, в области III,(3.12.36)(3.12.36)

е - гкр cos (0 - 6о) -j_ ^- гкр cos (04-0о) ?

о,’

е - гкр cos (0 - 6о) -j_ ^- гкр cos (04-0о) ?

о,’

в области II, в области III,

в области II, в области III,

(3.12.36)

(3.12.36)

где области I, II и III определены, как на рис. 3.16. Поле Hyg^ можно найти по простым законам геометрической оптики; его обычно называют геометринооптическим полем. Второе слагаемое Н^ в (3.12.35) в точности совпадает с функцией ip(d>, определенной интегралом (3.12.25); оно называется дифрагированным полем и является той частью рассеянного поля, которую нельзя получить методами геометрической оптики. Точное выражение для Н^ через интеграл Френеля приведено в (3.12.27). При ^2 /ср cos [(0 zb 9q)/2)] ^> 1 можно воспользоваться асимптотическими формулами для F ^

Г-ГV^iW^IL-^Г-ГV^iW^IL-^х > 0.^<0,х > 0.^<0,(3.12.37)(3.12.37)

Г-Г

V^iW^IL-^

Г-Г

V^iW^IL-^

х > 0.

^<0,

х > 0.

^<0,

(3.12.37)

(3.12.37)

19| * л — 0О,19| * л — 0О,(3.12.38)(3.12.38)

19| * л — 0О,

19| * л — 0О,

(3.12.38)

(3.12.38)

и получить выражение

(d) /(Ьр-лА) 2tsin (9/2)sin(0o/2)0 Г 1 "I

v "|/2лкр cosO + cosOq ^ L^pj^J

которое, как и следовало ожидать, совпадает с асимптотической формулой (3.12.26), полученной методом перевала. В дальней зоне поле Н^ представляет собой цилиндрическую волну, амплитуда которой является малой порядка О (1/V&р) по сравнению с амплитудой геометрикооптического поля всюду, кроме области тени х) (см. рис. 3.16). Если не рассматривать углового распределения,

Рис. 3.18. Геометрикооптическая картина дифракции на полуплоскости: (а) геометрикооптическое поле; (б) дифракционное поле^Рис. 3.18. Геометрикооптическая картина дифракции на полуплоскости: (а) геометрикооптическое поле; (б) дифракционное поле^Дифрагированные лушДифрагированные луш

Рис. 3.18. Геометрикооптическая картина дифракции на полуплоскости: (а) геометрикооптическое поле; (б) дифракционное поле^

Рис. 3.18. Геометрикооптическая картина дифракции на полуплоскости: (а) геометрикооптическое поле; (б) дифракционное поле^

Дифрагированные луш

Дифрагированные луш

эта цилиндрическая волна имеет тот же вид, что и поле, создаваемое линейным магнитным источником, расположенным на краю полуплоскости (рис. 3.18, б). Выражение для плотности индуцированного тока на больших расстояниях от края полуплоскости можно получить из (3.12.36) и (3.12.38), если считать, что угол падения не очень близок к нулю. В результате имеем

jz = 2eiftP°oaeo + o(_^.) , /2fcpSin (А) ^>1, <3 12

что согласуется с распределением тока, найденным в приближении физической оптики ), которым иногда пользуются при расчетах рассеяния на больших хорошо проводящих телах.

Простая формула (3.12.38) перестает выполняться при 0 « « ± (л — 60). Заметим, что угол 9 = л — 90 определяет границу тени отраженного поля, а 0 = — (л — 90) — границу тени для

х) Границы области тени находятся из условия l/2Ap cos [(0 ± В0)/2] == = ±М, где М — настолько большое положительное число, что интеграл Френеля F (М) практически совпадает с первым слагаемым своего асимптотического разложения (3.12.37).

падающего поля (рис. 3.18, а). Для определения поля в этой зоне необходимо прибегнуть к точной форме Ну в (3.12.30). Воспользовавшись тем, что

F (0) = J е«2 At = J^- elW\о *

для 6 = + (л — Оо) получим

eihpcos2e0+1 eikp + o (_1 \ f е = л —Оо,21х укр /eihpcos2e0+1 eikp + o (_1 \ f е = л —Оо,21х укр /l8"’+0(w)’l8"’+0(w)’0=-(Л~0о).0=-(Л~0о).(3.12.40)(3.12.40)

eihpcos2e0+1 eikp + o (_1 \ f е = л —Оо,21х укр /

eihpcos2e0+1 eikp + o (_1 \ f е = л —Оо,21х укр /

l8"’+0(w)’

l8"’+0(w)’

0=-(Л~0о).

0=-(Л~0о).

(3.12.40)

(3.12.40)

Интересно отметить, что при Ар -> оо геометрикооптическое поле при 0 = ± (л — 0О) равно среднему арифметическому полей в соседних областях.

До сих пор мы рассматривали лишь поля с поперечно-магнитной (ТМ) поляризацией. Основные результаты для поляризации ТЕ суммируются в задаче 3.14.

12.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЛНОВОДЕ С ОТКРЫТЫМ КОНЦОМ

Обратимся снова к задаче о волноводе с открытым концом и займемся вычислением интегралов (3.12.17) и (3.12.18), необходимых для завершения решения. Рассмотрим сначала поле, прошедшее в волновод. При z < 0 контур интегрирования в интеграле (3.12.17) можно замкнуть полуокружностью бесконечно большого радиуса, лежащей в верхней полуплоскости а. Внутри контура интегрирования лежат следующие особые точки: простые полюсы функции S_(^ в точках а = A cos 0О и а = — 1^ п — 0, 2, 4, . . и простые полюсы функции 2>_(а) в точках а = A cos 0О и а = = — iyn, п = 1, 3, 5, . . . . Вычисляя вычеты, получаем

т р-гк sin Во»- iA cos Boz i sin ^kb sin Op) ^ .

e+ tosin0oG_ W G+ (k cos 00)e +

, \^ ( — I)2tosin0ocos(tosin0o) (к+’Тп)1/2 cos [(пл/26) (я — b)] cVnZ । ^* пл (&+ к cos 0O)^2 (’Tn — * cos 0O) L+ (k cos 0q) L- (i^n)

нечетн

, VI Sin 0O sin (to sin 0O) cos [(пл/2Ь) (s — b)I VnZ

* Zj b(l-f-cos0o) (*—’Vn) (fc cosOo—i^n) G+(*cos0o)G2 (iyn) ’ n=2

чети

|ж|<Ь и z<0, (3.12.41) где

Первое слагаемое в (3.12.41), как и следовало ожидать, гасит падающее поле.

Рассеянное поле вне волновода можно найти, следуя способу, описанному в разд. 12.1, и получить поле в дальней зоне из выражения (3.12.18). С этой целью перепишем это выражение в виде

ф (ж> я)ф (ж> я)=тЙн I [ЯДа)+£Ла)]е-?(ж-ь)-*“2^+

ф (ж> я)

ф (ж> я)

'— оо+гт

оо+гт н^([Z>_(a) —^.(^re-v^+b)-!^^

2 1/2л J"

—оо+гт

— &2<^<^2СО8 0О, х*>Ъ. (3.12.42)

Только в первом интеграле в (3.12.42) подинтегральная функция имеет полюс при a = k cos 0О. В этом нетрудно убедиться, рассмотрев поведение функций D_ и S_ в окрестности точки a = = к cos 0О:

S_(a), ZL(a)~S_(a), ZL(a)~е-гкЬ sin0Оi "|/2л(а — к cosOq)е-гкЬ sin0Оi "|/2л(а — к cosOq)

S_(a), ZL(a)~

S_(a), ZL(a)~

е-гкЬ sin0О

i "|/2л(а — к cosOq)

е-гкЬ sin0О

i "|/2л(а — к cosOq)

Введем две новые системы цилиндрических координат (р', О') и (р", 0"), начала которых помещаются соответственно в точках (х^-^-Ъ, z=0) и (х — — b, z —0) (рис. 3.14). Воспользовавшись методом перевала, получим окончательное выражение для полного поля

ф(^ (ж, z) = ф^) + ф^).ф(^ (ж, z) = ф^) + ф^).(3.12.43)(3.12.43)

ф(^ (ж, z) = ф^) + ф^).

ф(^ (ж, z) = ф^) + ф^).

(3.12.43)

(3.12.43)

ф(*) =ф(*) =Здесь ф^^ — геометрикооптическое поле. При О<0о<я g-ihsin eox-ifccosGoz,0 < 0'< Я0gy

ф(*) =

ф(*) =

^-iAsin Oox-ik cos 0oz ^_ ^+iksin 0q (x-2d)-ikcos Oqz ^0g < 0' <2 Я (3.12.44)

и состоит из падающего поля и поля, отраженного от верхней стенки волновода х = Ь. При больших кр дифрагированное поле ф<д> можно получить, применив к (3.12.42) оценку (1.7.19). В результате имеем

f ^(^Z^l 2[sin(0g/2)sin(072) j х

I У^тйср7 cosOg+cosO' / Х

Г cos (kb sin 0g).

* l2L+ (к COS 0g) L+ (k cos 0')

.sin (kb sin 0O)1 .

’ 4kb cos (0g/2) cos (0'/2) G+ (k cos 0O) G+ (& cos 0') J •

■ ( е«кР"-я/4) 2i sin (Ор/2) sin (672) ]

~* I У^лкр1 cos6o+cos0" J Х

xy Г cos (kb sin 60) I

X L2i+ (k cos 60) £+ (k cos 6")

sin (to sin О»)।-1 r.

4A& cos (Op/2) cos (072) G+ (k cos Oo) G^ (k cos 9") J ’ ^*

(3.12.45)

Следует отметить, что первое и второе слагаемые в (3.12.45) описывают дифрагированные волны, испускаемые соответственно острыми ребрами ^ = ^,z = 0, и^ - —Ь, z = 0.

Множители в фигурных скобках для каждой дифрагированной волны имеют тот же вид, что и в случае дифракции на полуплоскости, а множители в квадратных скобках описывают взаимодействие стенок волновода друг с другом х). Выражение (3.12.45) можно несколько упростить, если воспользоваться приближенными равенствами

0' « 0 « 0", р' + b sin 0 « р « р" - b sin 0, (3.12.46)

справедливыми при больших кр. В результате получаем выражение, в которое углы 0 и 0О входят симметричным образом:

thid) ~2isin(60/2) sin (0/2)1

V 1 У2якрcosOq + cosO7 A

[

cos (kb sin Oo) cos (kb sin 0)

L+ (k cos Op) L+ (k cos 0)

sin (kb sin 0O) sin (kb sin 0)"I

2kb cos (Op/2) cos (0/2) G+ (k cos 0O) G^ (k cos 0) J ’

/ср-^оо, 0^л —0O и 0>O. (3.12.47)

При x<. —b (3.12.18) можно переписать в виде

ip (я, z) = —^—-f [5_ (a) —Z>_(a)] e2^~v(l^l+b)-iaz^a—

2 Т/2л J .

-оо+гт

— —1— j [S-(a) + D_(a)]e-2vbe-vd«l-b)-^da.

— к^ < т < k2ws 0р, ж<—-Ъ. (3.12.48)

г) Более глубокое обсуждение этих вопросов можно найти в [41].

Аналогично можно показать, что при выполнении приближенных соотношений (3.12.46) справедлива формула

■ф(*> =■ф(*> =о,о,— л < 9<90 —л,— л < 9<90 —л,g-ik sin 9ох-гк cos 602^ QqЛ<2 9<^0,g-ik sin 9ох-гк cos 602^ QqЛ<2 9<^0,(3.12.49)(3.12.49)

■ф(*> =

■ф(*> =

о,

о,

— л < 9<90 —л,

— л < 9<90 —л,

g-ik sin 9ох-гк cos 602^ QqЛ<2 9<^0,

g-ik sin 9ох-гк cos 602^ QqЛ<2 9<^0,

(3.12.49)

(3.12.49)

а дифрагированное поле имеет вид

~ , ег(йр-л/4) 2i sin (60/2) sin (0/2) 1

~ 1 УЗлАр cos0o + cos0 / А

Г (— 1) cos (to sin 0р) cos (kb sin 0)

L L+ (k cos 0O) L+ (k cos 0)

sin (to sin 0O) sin (kb sin 0)1

2to cos (0q/2) cos (0/2) G+ (k cos 0O) G+ (k cos 0) J ’

kp-^oo, 9^90—л и 0<O (3.12.50)

и отличается от (3.12.47) только знаком «минус» перед первым слагаемым в квадратных скобках. Таким образом, задача о дифракции на открытом конце волновода полностью решена.

СОПОСТАВЛЕНИЕ МЕТОДА СШИВАНИЯИ МЕТОДА ВИНЕРА - ХОПФА

Прежде чем закончить эту главу, по-видимому, целесообразно обсудить вопрос о возможной эквивалентности метода сшивания и метода Винера — Хопфа. Можно утверждать, что по крайней мере в закрытых областях оба метода с одинаковым успехом могут применяться для решения краевых задач. В методе сшивания неизвестное поле разлагается по собственным волнам (или по пространственным гармоникам в случае периодических структур). Последующее сшивание полей приводит обычно к одной или нескольким системам линейных уравнений. В методе Винера — Хопфа отправной точкой является либо интегральное уравнение, либо уравнение в частных производных, которые преобразуются обычно в функциональное уравнение в пространстве преобразований Фурье, называемое уравнением Винера — Хопфа. Несомненно, что установление эквивалентности бесконечной системы линейных уравнений и соответствующего уравнения Винера — Хопфа, описывающих одну краевую задачу, представляет большой интерес.

В качестве примера рассмотрим задачу о фазированной решетке, решенную ранее в § 8 (методом Винера — Хопфа) и в задаче 2.5 (методом сшивания). Приведем здесь еще раз уравнение Винера — Хопфа (3.8.16) для этой задачи, полученное ранее:

-^-£^ + -McO = G(«)<MO,a), -^<T<ReY1, (3.13.1а)

гдегде

где

где

(3.13.16)(3.13.16)G ^ = 1Б^7 <cos u — ch Y«) eiu.

(3.13.16)

(3.13.16)

Напомним, что обычный путь решения уравнения (3.13.1) начинается с факторизации функции G(a), т. е. представления ее в виде произведения двух функций G+(a) и GL(a). Однако в нашем случае оказывается полезным привести разложение функции G (а) на два слагаемых. Так как G (а) имеет только простые полюсы при а = {± 1ЧтЛ> т0 указанное разложение G (а) заключается просто в разделении этих полюсов, в результате чего приходим к

G(a) =G(a) =(3.13.2)(3.13.2)^ Res G( — iyn) . у Res G(+iyn) ^«+<уп"^ Zj a—iyn

G(a) =

G(a) =

(3.13.2)

(3.13.2)

n=ln=l

Подставляя (3.13.2) в (3.13.1а), после некоторых преобразований получаем

J-(«)- 2 -™^S™ф+ (°- =

П=1

^ Л+^ + ф/р a)

a V2n «+’71' ’ ' — a+»Yn

n=l

+ 2 [Ф+(0, «)-Ф+(0, iVn)] Л^12±

П=1

— к^ < т < Re Yi. (3.13.3)

Следует обратить внимание на то, что левая и правая части (3.13.3) являются функциями, регулярными соответственно в нижней и верхней полуплоскостях комплексной переменной а. Пользуясь обычными в таких случаях рассуждениями, можно показать, что обе части (3.13.3) должны быть тождественно равны нулю во всей плоскости а, т. е.

2 ф+ (°’ ^=J- ^V(злз-4а)

П=1П

Ф+ (0, a) G (а) = —>+ У, ^^IsL ф (р ^пу (3.13.46) '1 х 1 аУ^. а+‘Т1 £J а—i?n'1 ' v '

Поскольку уравнения (3.13.4) справедливы при всех а, в (3.13.4а) можно положить а = + г Гд, а в (3.13.46) а = — H?q. Это дает

(3.13.5а)(3.13.5а)5 -^^- ф+ (0, *Тп) = и_ №).

(3.13.5а)

(3.13.5а)

Уп

Ф+(0, -iTg)G(-ir3)Ф+(0, -iTg)G(-ir3)л 1 + ^и а1/2л Гд-Yiл 1 + ^и а1/2л Гд-Yi

Ф+(0, -iTg)G(-ir3)

Ф+(0, -iTg)G(-ir3)

л 1 + ^и а1/2л Гд-Yi

л 1 + ^и а1/2л Гд-Yi

+ 2 с^тЬ®^0-*ti- ’-°' ±*' ±2<ЗЛЗ'56>

П=1

Сравним полученные уравнения (3.13.5) с системой уравнений

полученной методом сшивания в задаче 2.5.

Остановимся сначала на (3.13.5а). Так как а = + iTq является нулем функции G (а), то из (3.13.1a) следует, что

7-<+ir^ .^ г;;;,7-<+ir^ .^ г;;;,(3.13.6)(3.13.6)

7-<+ir^ .^ г;;;,

7-<+ir^ .^ г;;;,

(3.13.6)

(3.13.6)

Вернемся теперь к выражению рассеянного поля Еу(х, г) (3.8.256) и перепишем его с помощью (3.8.24) в виде

со+гт

®у кХ1 ^®у кХ1 ^e^^da,e^^da,2yeiu (cos и — ch ya)2yeiu (cos и — ch ya)Г Ф+(0, a) G (a) [e^sh y« + sh ? (а—«)]

®у кХ1 ^

®у кХ1 ^

e^^da,

e^^da,

2yeiu (cos и — ch ya)

2yeiu (cos и — ch ya)

где — &2 < т < Re 71. При z < 0 контур интегрирования можно замкнуть полуокружностью бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости переменного а. Суммируя вклады вычетов в точках а = { + ^7п}, получаем

Еу (х, z) = У ]/2^2±<2J^^. / пл, \(3.13.7)

У х ’ '^гпп [( —1)п — е^\ а )х 1

п=1

Из сравнения (3.13.7) с соотношением (2.1) для задачи 2.5 следует, что

д "V 2Л аФ+ (0? iyn) Res @ ^Уп)/п лэ о\

тл[(-1р — е^1*

Подстановка (3.13.6) и (3.13.8) в (3.13.5а) дает

2 К -'=(1 + «'“),

"д = 0, ±1, ±2(3.13.9)

Полученная система уравнений совпадает с системой (2.2а), выведенной методом сшивания. Теперь рассмотрим (3.13.56). Замечая, что G (а) = G+ (а) G_ (а), из (3.8.24) получаем

Ф^О.-^^-.Г.),^ ^". (3.13.10)

Принимая во внимание явное выражение для GL(a) (3.8.19), с помощью (3.13.10) можно показать, что

Ф+(0, -irq)G(-irq)=-}ZAae™rqBq.(3.13.11)

Подставляя (3.13.11) и (3.13.8) в (3.13.56), получаем

D _ л / V п[( — 1)пе-ш_-1^14-^-ги^

rQ + Vn

7-0, ±1, ±2,(3.13.12)

что совпадает с (2.26). Таким образом, мы показали, что функциональное уравнение Винера — Хопфа полностью эквивалентно двум бесконечным системам линейных уравнений, полученным на основе метода сшивания.

Интересно также отметить, что ключевой момент в методе Винера — Хопфа — это факторизация функции Грина G (а), тогда как метод вычетов основан на построении функции / (w"). Сравнивая G^ (а) и / (де), определенные соответственно соотношениями (3.8.19) и (3.2.3), находим

/ (w) |ш=га = 2±£_^_1^..(3.13.13)

Таким образом, функции (ta + yj / (га) и G^(a) фактически совпадают и отличаются только постоянным множителем. Таким образом, можно сделать вывод, что метод Винера — Хопфа и метод вычетов тесно связаны как при формулировке задачи, так и при нахождении решений.

ЗАДАЧИ

Показать, что если функция G удовлетворяет условиям (3.6.18), то она удовлетворяет уравнению (3.6.16) для функции Грина с точечным источником при х = хй.

Указание. Проинтегрировать обе части (3.6.16) по х от (гг0 — 0) до (гг0 + 0) и воспользоваться равенством

яоЧ*О

Г d^G , _ IdG I

J dx^dx |x=xo+O dx |x==3Co-O*

xo-0

Показать, что функция Грина, удовлетворяющая уравнению (3.6.3) и условиям (3.6.4), имеет вид

g(x, z|x0, 2<h = ^р- 2 ^^(^ТгЧ sin(-^s)e-V’»»H-*ol. т=1

Пусть упа = [(мл/а)2 — кЧ, где к = кх + ък^ кг > О и к^ -> + 0. Показать, что Re yno > Re у1о для п = 2, 3, 4, . . ., a Re ^nb > Re у1о для всех п, если а > Ь.

Вычислить контурный интеграл для SL(a) в (3.9.15) по контуру, изображенному на рис. 3.5, б, при условии к > a > 0. Показать, что полученный результат согласуется с (3.9.24).

Показать, что

— ( Г In ( 1 н1 ^w =

Л J L \ у^а — ^а /yk2__w2 J

=^г1п(т)+^Г-

Указание. Рассмотреть функцию

Q (a, w) = де In (1 Н7=^=-) —~1п—

v v\у^а — ^а /2\k—w)

'LУА2Т^г4-а J

и показать, что

9Q ]п / 4 1 a \ adw \ "'у^а—^а/y^_w2*

Показать, что изображенный на рис. 3.8 контур Рб на плоскости w при замене переменной w = к + is/2k переходит в контур на плоскости s, изображенный на рис. 3.11.

Указание. Рассмотреть сначала случай к^ -> + 0 и показать, что Re (де2 — /с2) = (l/4a2) {[s2 — ^kaYY — ^ — (2&a)2} и Im (z02 — k2) = (l/4a2) 2sx (4ka — s^). Напомним, что разрез в плоскости w проводится согласно условию Re (ip2 — к2) < О и Im (z02 — к2) = 0.

Вывести (3.11.34) из (3.11.23).

Указание. Для вычисления I (а) в (3.10.38) использовать тот же метод, что и в примере 4 § 10.

Показать, что факторизация функции L (а) = e_vb ch yh приводит к формулам

Z,+ (a) = L_(—a)==y^toexp{-^[l—С + ln (^-) + »у]} X

х ехР [-^1п (^т1) ] п 0 +-^)ег2аЬ/пя’

П=1

нечеты

где у,, = [ (пл/2Ь)2 — *2]1/2.

В задаче об излучении из открытого конца волновода (см. рис. 3.9) рассмотреть случай падения волны типа TMli0 с единичной амплитудой и нечетным индексом I. Показать, что отраженное поле внутри волновода дается выражением

Ф = 2 Rnt cos [-^- (ж — 6)] e-w, n=l нечеты

где

7п = [(ил/26)2 — кг\, -

Rni~L+ (lYn) L+

а функция L+ (а) приведена в задаче 3.8. Показать также, что рассеянное поле вне волновода дается выражением

Ф ~ i (iVz+ ^)1/2 ^+ (^Tz) ("2^)1/2 e^P-nW x

Г sin 6 е-гка 1 sin I (_к cos 0 + Zc)1/2 L+ ( — к cos 0) 17

xLiHW(-Acose+m)4’

Показать, что выражение (3.11.39) можно получить, применяя асимптотический метод вычисления интеграла непосредственно в формуле факторизации (3.9.8) [8].

Рассмотрим простейший оптический резонатор, образо- ванный^ двумя плоскими зеркалами ширины 2Z и высоты 26 (см.

21-

а кх

2Ь - z

1Рис. 3.19. Простейший оптический резонатор.

Указание, (а) q-я собственная волна характеризуется наименьшими потерями и, следовательно, наиболее сильным резонансом, (б) Рассмотреть падение слева на открытый конец волновода волны с индексом q единичной амплитуды при z = + Z. Амплитуда отраженной q-я волны оказывается равной Rqq exp [yg (z — Z)], | z | < < l. (в) Резонанс имеет место тогда, когда амплитуда этой отраженной волны равна единице у другого края резонатора, z = — Z,

Рассмотрим возбуждение диэлектрической пластины плоским волноводом с одной полуограниченной стенкой (рис. 3.20).

Рис. 3.20. Возбуждение диэлектрической пластины.

Показать, что при падении волны типа TEltQ уравнение Винера — Хопфа для этой задачи имеет вид

6(.)®.М-/ где

G М = v' Vshy'i+y'chy'b' * shy'6у'’

у' = /а2-А:'2, к' = к /£,

Отметим, что факторизация функции G (а) рассматривалась в примере 3 § 10. (Полное решение задачи можно найти в работе [7].)

Показать, что интеграл xp<d> в (3.12.25) выражается через

интеграл Френеля согласно соотношению (3.12.27).

Указание. Перепишем t|)(d> в виде

^ = ^ J [sec (^2-)-sec (^+®1)] e^^-iei)^.

Ps

Рассмотрим интеграл

J = j sec ( ^ 2е° ) e’ftPC°S (U’""16 ° ^ =

Рз(| 01)

=4 J [sec (— 9-+191) + sec ("+6--1«") ],»»~ - а» -

Ps(0)

11

COS у (®0 — I 0 I) COS у w

I :75—пгп— ei&P cos w dw.

J COS ш+COS (00—I 0 I)

Ps(0)'

Пусть t —У 2 е*<я/4> sin (zo/2), тогда

J =J =— 2е^я/4)е5,1Рт] j— 2е^я/4)е5,1Рт] je-ftpt2Z2— IT]2e-ftpt2Z2— IT]2dt,dt,

J =

J =

— 2е^я/4)е5,1Рт] j

— 2е^я/4)е5,1Рт] j

e-ftpt2

Z2— IT]2

e-ftpt2

Z2— IT]2

dt,

dt,

где т) = У 2 cos [ (0 — 10o |)/2]. Для вычисления J воспользуемся

хорошо известным результатом

Умножая обе части на exp (i^2) и интегрируя по £ от кр до бесконечности, получаем интеграл Френеля

=y5 ( e^d$-ihi j,_ IrilVAp=y5 ( e^d$-ihi j,_ IrilVApе^2 I Л .-т^ = Ул -^^d^

=y5 ( e^d$-

ihi j,_ IrilVAp

=y5 ( e^d$-

ihi j,_ IrilVAp

J t2—in2J Ve

-ООАр K b

Рассмотрим задачу о полуплоскости (рис. 3.16) при падении волны вида

Е^^е-^Р008 (0-0о).

Показать, что

(а) Полное поле дается выражением

= -^2^- { е-*Р =»= (0-0o>F [ - ]/2/ср cos (^^) ] -

_е-iftp cos (0+00)7? [ + у/ 2*р cos (Ц^-) ] },

— л <^ 0О <^ л, —л <^ 0 <^ л.

При /ср <^ 1

Еу} = 2 /^ e-W4) [cos (4р) cos [у j J V kp + О (/ср), H”=/4 /I«+-w‘’ [»s (4) ■»= (4) ] ^+0 <*)■

A - 2 /^ /I«- -»-'*>«== (I) ^ + О (1).

Геометрикооптическое поле имеет вид

в области I.в области II, в области III.в области I.в области II, в области III.' g-kp cos (6-6o)

в области I.

в области II, в области III.

в области I.

в области II, в области III.

E^y =E^y =e- гкр cos (6 - 6o)e- гкр cos (64-80)

E^y =

E^y =

0

При Лгр ^> 1 и ]0| ^ л — 0О дифрагированное поле [дается формулой

р^_ е^~п^ —2i cos(0/2)cos(0q/2) ^Г 1 Ч

у У2^ cose+cosOoL(Ap)3/2j-

Плотность наведенного поверхностного тока дается фор- мулой

/2/cpsin (-^j >1,/2/cpsin (-^j >1,

/2/cpsin (-^j >1,

/2/cpsin (-^j >1,

которая согласуется с приближением физической оптики, е) Поле в переходной области имеет вид

0 = л — 0О,0=—(л —0О).0 = л — 0О,0=—(л —0О).

0 = л — 0О,

0=—(л —0О).

0 = л — 0О,

0=—(л —0О).

Указание. Решение можно легко получить, применяя принцип Бабине (см., например [4]).

3.15. Полагая уп = — г | yn |, n^2N и -уп=+|уп|, n>2Nv показать с помощью (3.11.12г), что

| G+ (- к cos 0) |2 = GQe№ cos е х2NX П (in=2 четн| G+ (- к cos 0) |2 = GQe№ cos е х2NX П (in=2 четн/ccos6\2 ( sin (kb sin 6),kb sin 0( JJ (1 —[(/cb/mn)sin0]2) m—\/ccos6\2 ( sin (kb sin 6),kb sin 0( JJ (1 —[(/cb/mn)sin0]2) m—\

| G+ (- к cos 0) |2 = GQe№ cos е х

2N

X П (i

n=2 четн

| G+ (- к cos 0) |2 = GQe№ cos е х

2N

X П (i

n=2 четн

/ccos6\2 ( sin (kb sin 6),kb sin 0

( JJ (1 —[(/cb/mn)sin0]2) m—\

/ccos6\2 ( sin (kb sin 6),kb sin 0

( JJ (1 —[(/cb/mn)sin0]2) m—\

где Go не зависит от 6. Эта формула очень полезна при определении углового распределения излучения в дальней зоне (т. е. диаграммы направленности).

Указание. Воспользоваться формулой (2.4.11).

ЗЛ6. Пусть на открытый конец волновода (рис. 3.9) набегает волна типа TEltQ.

<р<4> = 8т[^-(я—а^е-^, l = i, 2, 3, ....

где ^-[(Zn^-fc2]172.

Показать, что отраженное поле имеет вид

2 Лп; sin^-^-(x—a) J ew, если I нечетное, П=1 нечетн

2 Rni sin l"^"^—a)JeV"z, если l четное, n=2 четн

где

1 пл *я^+ <7-*)Л ^^, если I нечетное,

д _ упа 2а 2а (Тп+ТЧ) VlYn + ^ V^l+k

A_J^^.£±1E<22^5±WLесли I четное,

Tn 2а 2а Tn+Yz

а поле йзлучения в дальней зоне дается выражениями

(—? \1/2 ei(hp-«/4) }" е-^ I sin 0 11 sin 0 I X

\ 2лЛр /2а1

L* U"»A L* (— йсоз0),

X — t Y -» если I нечетное,

ViYz + * Vfc—^ cos 0 [ — cos 9+i (Yj/fc)] ф =

( „---У/2ez<feP-«Z4) -£- e-tka 1 sm е i (_ ^а sin g) x

\ 2лАр J2a

(tvA G+( — k cos 9)7

X v ■■ k™;L, если l четное, — fccosO + iyt’

где G+(a) и L+(a) приведены соответственно в Г(3.10.12г) и задаче 3.8.

ГЛАВА 4

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД СШИВАНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

В этой главе мы рассмотрим некоторые возможности обобщения методов, использующих сшивание решений, с целью расширения границ их применимости и для решения более сложных краевых задач.

В § 2—3 будут решены краевые задачи для замкнутых структур *), которые можно условно назвать «структурами с модифицированной геометрией Винера — Хопфа». Применение в этих задачах сшива*нпя Приводит к бесконечной системе уравнений вида:

2 (Тп-Гт +7„ + Гт) Ап= п+Гт + Т1-тГт ’ т=1, 2’

П=1

(4.1.1)

где { Лп} — искомые коэффициенты. В общем случае система уравнений такого вида не может быть решена точно. В § 2—3 будут описаны два метода, которые позволяют получить либо решения системы (4.1.1) в виде ряда, либо асимптотическое выражение. Для многих практически важных задач главные члены найденного решения дают достаточно точный результат и могут считаться хорошими приближенными решениями.

В первых параграфах главы метод сшивания применяется для решения задач, в которых поля представлены суммой дискретных собственных волн или пространственных гармоник. В последующих параграфах развитый метод обобщается и для таких структур, в которых общее представление поля имеет непрерывный спектр и выражается через интегралы Фурье.

В заключительном параграфе обсуждается описание решения с помощью обобщенной матрицы рассеяния, которая может быть использована в сочетании с другими аналитическими методами, изученными в этой книге; в ряде случаев это позволяет существенно расширить область возможных приложений.

МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

Рассмотренные в гл. 2 и 3 краевые задачи показывают, что с помощью метода разложения определителя могут быть исследованы структуры со специфической геометрией Винера — Хопфа. Эти структуры представляют собой сочленение одной или более полубесконечных подобластей, принадлежащих к некоторой области, служащей координатной поверхностью в системе координат с разделяющимися переменными.

Поля в задачах о замкнутых структурах представляются в указанных частичных областях в виде суммы собственных волн или пространственных гармоник. Как показано в гл. 2, амплитуды собственных волн или пространственных гармоник {Лп} удовлетворяют бесконечной системе уравнений

У—Ц^Ап =—т= 1,2,3,....(4.2.1)

-Гт ” Yl + Гт> > »\/

П=1

Эту систему можно решйть, как будет показано в дальнейшем, с помощью прямого обращения, или же методом вычетов.

В этом и последующих параграфах нас будут интересовать такие структуры, которые могут рассматриваться как модификации описанных в гл. 2 основных видов геометрий, пригодных для исследования методом Винера — Хопфа. В качестве примера рассмотрим некоторые возможные модификации структуры разветвленного волновода, наиболее подробно исследовавшейся в гл. 2. Среди возможных модификаций этой структуры, решение для которых можно найти описываемыми ниже методами, отметим следующие: (а) пластина конечных размеров в волноводе, изображенная на рис. 4.1, б; (б) волновод с диэлектрическим заполнением (рис. 4.1, в); (в) скачкообразное изменение сечения волновода (уступ волновода) (рис. 4.1, г). Помимо этого мы рассмотрим также некоторые задачи, связанные со структурой, состоящей из бесконечного набора полуплоскостей (рис. 4.2, а): (а) решетка, запол- нЬнная диэлектриком (рис. 4.2, б); (б) решетка с экранизирующей диэлектрической пластиной (рис. 4.2, в) и (в) гофрированная структура (рис. 4.2, г). Как будет вскоре показано, применение к любой из этих задач метода сшивания приводит к бесконечной системе линейных уравнений относительно коэффициентов {Лп}:

П=1

Заметим, что при рт = О для всех т система уравнений (4.2.2) сводится к рассмотренной системе (4.2.1). Однако если {рт} не равны тождественно нулю, то ни один из описанных в гл. 2

вг

Рис. 4.1. Структуры, получающиеся при модификации разветвлен-ного волновода: (а) разветвленный волновод; (б) полоса конечнойширины; (в) волновод с диэлектриком; (г) ступенчатая неоднород-ность.

методов решения системы (4.2.1) нельзя непосредственно применить к системе (4.2.2) г). Поэтому, чтобы решить систему (4.2.2), необходим новый способ. В этом параграфе мы рассмотрим одну из двух модификаций методов решений бесконечных систем типа (4.2.2) — метод разложения определителя [38, 48].

Для иллюстрации метода рассмотрим бесконечную периодическую систему плоских волноводов с расположенной над ней диэлектрической пластиной ) (рис. 4.2, в).

Пусть все волноводы синфазно возбуждаются волной типа ТЕ1%й (см. § 2.6). Падающее поле в тп-м волноводе имеет вид ^^ = ф^1> = дш ^-^-(x—7na)J е~^^егти1

та<х< (m + l)a, z<0, (4.2.3) где уп = [(пл/а2) — fc2]1^, и = ка sin 60 и 60 — направление излучения луча (т. е. направление излучения главной простран

ененРис. 4.2. Структуры, получающиеся при модификации бесконечной решетки из плоских волноводов: (а) бесконечная решетка;(б) бесконечная решетка с диэлектрическим заполнением; (в) решетка с диэлектрической пластиной; (г) гофрированная поверхность.Рис. 4.2. Структуры, получающиеся при модификации бесконечной решетки из плоских волноводов: (а) бесконечная решетка;(б) бесконечная решетка с диэлектрическим заполнением; (в) решетка с диэлектрической пластиной; (г) гофрированная поверхность.гг

ен

ен

Рис. 4.2. Структуры, получающиеся при модификации бесконечной решетки из плоских волноводов: (а) бесконечная решетка;

(б) бесконечная решетка с диэлектрическим заполнением; (в) решетка с диэлектрической пластиной; (г) гофрированная поверхность.

Рис. 4.2. Структуры, получающиеся при модификации бесконечной решетки из плоских волноводов: (а) бесконечная решетка;

(б) бесконечная решетка с диэлектрическим заполнением; (в) решетка с диэлектрической пластиной; (г) гофрированная поверхность.

г

г

ственной гармоники в области z > с + т). Требуется найти рассеянное поле внутри волноводов и в свободном пространстве. В тп-м волноводе представим отраженное поле в виде

та < х < (т +1) a, z < 0.(4.2.4)та < х < (т +1) a, z < 0.(4.2.4)Ф = 2 ^n sin (ж — та) J e^nZeimu, П=1

та < х < (т +1) a, z < 0.(4.2.4)

та < х < (т +1) a, z < 0.(4.2.4)

Поля в свободном пространстве, согласно теореме Флоке, можно* представить в виде суперпозиции пространственных гармоник:

2 \Вре -ГР2 + ^ег?2] е’^®, О р=-оо

Ф =Ф =2 \РРе rpz + S^p2] е1"?®, c<z2 \РРе rpz + S^p2] е1"?®, c<z(4.2.5)(4.2.5), 2 ^е-Гр^^р”, Р=—ОО, 2 ^е-Гр^^р”, Р=—ООzz

Ф =

Ф =

2 \РРе rpz + S^p2] е1"?®, c<z

2 \РРе rpz + S^p2] е1"?®, c<z

(4.2.5)

(4.2.5)

, 2 ^е-Гр^^р”, Р=—ОО

, 2 ^е-Гр^^р”, Р=—ОО

z

z

где

^±1, Гр = (сй-^)1/2,

г; = (а2 - А'2)1/2, к1 = kV8r = 2яД'.

Неизвестные коэффициенты {Лп}, {5^} и т. д. должны определять ая из условий сшивания касательных составляющих полей Еу иНх на граничных поверхностях z = 0, z = с и z = с + т. Проводя^ сшивание так же, как в § 2.2, получцм следующую бесконечную1 систему линейных уравнений относительно неизвестных:

^\Г9-?П Гд + Т„ Р”- ( Гд + Yl Гд —Т1 7’ 71=1

д = 0, ±1, ±2, ...,(4.2.6)

где

Ап = пАп [(- 1)л^-1]/(1 +е-%

Рв = е-2Гдс _^)(^2

(Г^)2еГ*Т-(Гд-^

Заметим, что величина рде2г«с определяет коэффициент отражения пространственной гармоники TEqtQ от, поверхности диэлектрической пластины. Аналогичную систему уравнений можно получить и для амплитуд полей в области z > 0, но мы не будем здесь ее рассматривать.

Один из возможных подходов к исследованию системы (4.2.6) состоит в обобщении метода прямого обращения, рассмотренного в гл. 2. Так же, как и при прямом обращении, определение коэффициентов {Ап}, удовлетворяющих системе (4.2.6), основано на применении правила Крамера. При этом удается использовать специ-

-фический вид системы (4.2.6) и получить относительно простые выражения для определителей. Ниже мы более подробно остано-

вимся на описании этого метода.Выпишем в явном виде определитель основной матрицы системы (4.2.6)вимся на описании этого метода.Выпишем в явном виде определитель основной матрицы системы (4.2.6)1Ро1РоГо—71Го+Yi ’го —72Го + 72 ’1Pi1PiГо—Y1Г1 + 71 ’Г1~72Г1 + ?2 ’1р-11Р-1Г-1 - YiГ-1 + 71 ’Г-1—Y2Г-1 +72 ’1Ро1РоГо—71Го+Yi ’го —72Го + 72 ’1Pi1PiГо—Y1Г1 + 71 ’Г1~72Г1 + ?2 ’1р-11Р-1Г-1 - YiГ-1 + 71 ’Г-1—Y2Г-1 +72 ’(4.2.8)(4.2.8)Обратим внимание на то, что каждый столбец определителя образован суммой двух слагаемых. Это позволяет представить А в виде разложения в ряд. Для примера рассмотрим квадратную матрицу второго порядка М, которую можно представить в виде суммы двух матриц такого же порядка. ПустьОбратим внимание на то, что каждый столбец определителя образован суммой двух слагаемых. Это позволяет представить А в виде разложения в ряд. Для примера рассмотрим квадратную матрицу второго порядка М, которую можно представить в виде суммы двух матриц такого же порядка. ПустьгдегдеЛц + Ьц Д12 + 612_а21 + ^21 ^22 + ^22„Лц + Ьц Д12 + 612_а21 + ^21 ^22 + ^22„— Ма ~Y* М bi— Ма ~Y* М bi(4.2.9)(4.2.9)ан а12021 О22_ан а12021 О22_мь =мь =Определитель матрицы М можно разложить следующим образом:Определитель матрицы М можно разложить следующим образом:

вимся на описании этого метода.

Выпишем в явном виде определитель основной матрицы системы (4.2.6)

вимся на описании этого метода.

Выпишем в явном виде определитель основной матрицы системы (4.2.6)

1

Ро

1

Ро

Го—71

Го+Yi ’

го —72

Го + 72 ’

1

Pi

1

Pi

Го—Y1

Г1 + 71 ’

Г1~72

Г1 + ?2 ’

1

р-1

1

Р-1

Г-1 - Yi

Г-1 + 71 ’

Г-1—Y2

Г-1 +72 ’

1

Ро

1

Ро

Го—71

Го+Yi ’

го —72

Го + 72 ’

1

Pi

1

Pi

Го—Y1

Г1 + 71 ’

Г1~72

Г1 + ?2 ’

1

р-1

1

Р-1

Г-1 - Yi

Г-1 + 71 ’

Г-1—Y2

Г-1 +72 ’

(4.2.8)

(4.2.8)

Обратим внимание на то, что каждый столбец определителя образован суммой двух слагаемых. Это позволяет представить А в виде разложения в ряд. Для примера рассмотрим квадратную матрицу второго порядка М, которую можно представить в виде суммы двух матриц такого же порядка. Пусть

Обратим внимание на то, что каждый столбец определителя образован суммой двух слагаемых. Это позволяет представить А в виде разложения в ряд. Для примера рассмотрим квадратную матрицу второго порядка М, которую можно представить в виде суммы двух матриц такого же порядка. Пусть

где

где

Лц + Ьц Д12 + 612_а21 + ^21 ^22 + ^22„

Лц + Ьц Д12 + 612_а21 + ^21 ^22 + ^22„

— Ма ~Y* М bi

— Ма ~Y* М bi

(4.2.9)

(4.2.9)

ан а12

021 О22_

ан а12

021 О22_

мь =

мь =

Определитель матрицы М можно разложить следующим образом:

Определитель матрицы М можно разложить следующим образом:

Ьц Ь12021 022Ьц Ь12021 022det Л/ =det Л/ =йц Й12021 022йц Й12021 022(4.2.10)(4.2.10)аИ #12। ^И ^12

Ьц Ь12

021 022

Ьц Ь12

021 022

det Л/ =

det Л/ =

йц Й12

021 022

йц Й12

021 022

(4.2.10)

(4.2.10)

&21 ^22Ь21 Z>22

Разложение (4.2.10) показывает, что М можно представить в виде суммы четырех определителей, содержащих все различные комбинации строк х) приведенных выше матриц Ма и Мъ. Это правило очевидным образом переносится на определители произвольного

порядка.

Возвращаясь к системе (4.2.6), заметим, что ее матрица, назовем ее Я, также может быть выражена в виде суммы двух матриц:

- 1

1-

Го —?2 ’ - 1

1

" Ро

Ро

Го—Y1 ’ 1

— Го —71 ’

Pi

— Го—Y2 ’ '

Pi

н=

Г1 — 71 ’ 1

Г1—?2 ’ " '

1

+

— Г1—Y1 ’ Р-1

— Г1—Y2 ’

Р-1

Г-1—V1 ’

Г1 —?2 ’ ' " ‘

— Г-1 —Y1 ’

— Г-1 —Y2* '

= Яо + Яь(4.2.11)

1) Можно также получить разложение, основанное на различных комбинациях столбцов этих матриц.

Очевидно, что первая матрица Но совпадает с матрицей системы, полученной для структуры в отсутствие диэлектрической пластины (т. е. er = 1 и рп = 0). Ее определитель До может быть вычислен непосредственно (см. § 2.3) и оказывается равным

Ao = det Hq =

2М+12Мм

ПП(Vn-Ym) П (г0"Гп) (Г0—Г-л)

v m=n+lп=1п=1

12М+1М

(4.2.12)(4.2.12)II П ^п — Vm)(Г-п—Vm) m=l n=l

(4.2.12)

(4.2.12)

2МЧ-1

П (ro-Vm) m=l

Нетрудно убедиться, что при замене первой строки в Яо на первую строку из Нг определитель новой матрицы можно выразить с помощью следующего правила:

(4.2ЛЗ)(4.2ЛЗ)р0Д0 (Го —> — Г0) — роДЗ»-

(4.2ЛЗ)

(4.2ЛЗ)

Верхний индекс (0) в Д^ указывает на то, что знак Го в выражений для До изменен на обратный. По индукции можно получить следующее разложение для Д:

А = Ао [1 + 3 р„(АГО0)+ §3 р,рд(ДУ»‘«>/Д0) +...].

р=-оод=Р+1 р=-оо

(4.2.14)

Явные выражения для слагаемых вида (Д^/До) в U могут быть получены с помощью (4.2.12). Например, главные члены в (4.2.14) имеют вид

^- = ехр (-Е»11П2) Д^^ЦН^^(4.2.15)

Ао\ л / J-±(l — Го/Гт) (1 — 1 о/Г-m) (1 + Го/?т) ''

771=1

— РХП f — ^1 1П 2\ 1+]VE1 ^Гд/Г-д IzJVHll V

До ~ Р\ л 1—Гд/Г0 * 1—Гд/Г_д * 1 + Гд/Т|д| Х

-гт(1 9 1) l + l’g/I'm l + I’g/I'-m 1—Гд/?т

Х 11 1-Гд/Гт 1-Гд/Г_т * 1 + Гд/Тт ’

д = 0, ±1, ±2, ...,(4.2.16)

А^-ехр^^Г. + Г-.Ц^х

Н-Г^ 1+Г-1/Г! 1-Г_,/Т1 1—Го/У1 ^П/ГоЧ-Г^/гЛ+Г-^' l + r0/vi х

у п 1±£^ 1+г0/г_т 1+Г_!/Гт

11 1-Го/Гт‘1-Го/Г_т'1-Г_1/ГтХ т=2

у ^ + Г-1/Г-т ^ Г_)/ут 1 Гр/ут /А 9 4 7^ |1 + Г^^Ч + Го/Тт’

Формула (4.2.14) дает разложение определителя А в бесконечный ряд. Следует, однако, заметить, что, если параметр с!а не слишком мал, коэффициенты рд, определенные согласно (4.2.7), очень быстро убывают с ростом | q | из-за экспоненциальных множителей. Положим, йапример, а = 0,55% и с = 0,15%. Как нетрудно проверить, при таком выборе параметров порядок величин | %2/%0 I и | %_2/%0 I равен 10“3 во всей области изменения угла сканирования. Это позволяет во всех практически интересных случаях положить рд 0 при | q | > 2 и удерживать в рядах (4.2.14) лишь небольшое число членов. В общем случае в бесконечных рядах (4.2.14) необходимо учитывать 222У+1слагаемых, где N определяется из условия, что как рN, так и р_ N будут меньше некоторой наперед заданной величины. Пренебрежение величинами {рд} для | q | > N имеет простой физический смысл. Оно эквивалентно утверждению о том, что взаимодействие с диэлектрической пластиной всех, кроме первых 2N + 1 пространственных гармоник, исчезающе мало из-за скользящего падения их на экран.

Вернемся к рассмотрению системы (4.2.6); решая ее с помощью правила Крамера, получаем

к ( — 1)пеги_1 ПА L(_ l^tu—1 пД0 J U 1

(4.2.18)

где величина Uопределена в (4.2.14). Символом А(п) обозначен определитель матрицы Н, в котором п-й столбец заменен столбцом правых частей системы (4.2.6). Этот определитель можно получить из А заменой уп на — ут, как это указано в равенстве (4.2.18). Отношение Ао (уп-> — Ti)/A0 может быть получено, из (4.2.12) и оказывается равным

Ao(Yn^~Y1) Груп /(Yn+Yi)»! 1п о] 1 —Yn/Го 1~Тп/Гп 1—Yn/Г-п v До ~ LeXP | л J Ш 1 + Yi/Го * l+Yi/Гп HYi/T-n Х

VYn/Гт 1 Yn/Г-т 1 + Yl/Ym(Д о лих

Хl + Yl/Гт ’l + Yl/Г-т * 1-Yn/Ym *

Формулы (4 2.18), (4.2.14) и (4.2.19) определяют решение рассматриваемой системы уравнений для {Лп}. В отсутствие диэлектрической пластины, т. е. в предельном случае ег->1, мы получаем U -> 1 и точные выражения для Ап даются множителем в квадратных скобках в (4.2.18) ). Таким образом, функция U описывает возмущение, вносимое диэлектрической пластиной.

Мы видим, что предлагаемый метод решения системы уравнений (4.2 2) объединяет метод прямого обращения матрицы и разложения определителей типа (4.2.9) в ряды. Решение в виде бесконечного ряда, полученное этим способом, удобно для вычисления коэффициентов отражения лишь при условии достаточно быстрого убывания {рд} с ростом | q |. В таком случае бесконечные ряды заменяются конечными, учитывающими лишь малое число членов.

3. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ВЫЧЕТОВ

Как отмечалось в § 2, представление решения системы (4.2.2) в виде ряда (4.2.14) удобно лишь при условии достаточно быстрого убывания {рт} с ростом | т |. В противном случае вычисление сумм таких рядов становится очень трудоемким. В этом параграфе предлагается другой метод решения, в котором снимаются ограничения на {рт} и тем самым существенно расширяется область его применения.

Проиллюстрируем применение этого метода, который мы наэо* вем модифицированным методом вычетов [54], на примере задачи о разветвленном волноводе с диэлектрическим заполнением (рис. 4.1, вУ Пусть из области Л набегает волна типа ТМ {I = 1, 2, 3, . . .) единичной амплитуды:

Я<й = ■*<*> = cos (^) e-v<< z<0.(4.3.1)

Рассеянное поле представим в виде

V Л„ cos (^) e+w, z < О, п=0

2 5ncos(^)e-vnbz, 0<ж<Ь, z>0,(4.32)

п=0

Сп COS ^•^■(ж — &)J е-^пег^ Ъ<.х<_а, z>0, п=0

где Тпа = [(«л/а)2 —Л?)/2, ^ь = [пл/Ь)2—Д'2]1/2, упс = 1(«л/с)2 —^2)1/$ и Л' = А:]Лег. Производя сшивание (см. § 2.2), приходим к следующей бесконечной системе уравнений относительно коэффициентов {Лп}:

=МкАоб°т+у (— 1—)л;=

л-1 \упа Y^ Yna + Ymb/

п=1

= (—41тп = О, 1, 2, ..., (4.3.3а) XYla + Ymb Yla Уте/

^LkAA+ У "Л =!А', т = 0, 1, 2, ... , л^Yna-YmcYla + Ymc ’’ ’ ’’

(4.3.36)

где Лп — тгЛп sin (nubja) и Л' = I sin ^ЫЬ/а); кроме того, через рт обозначен коэффициент отражения волны типа ТМт,0 полу- бесконечной диэлектрической пластиной, расположенной в однородном волноводе:

Рт = ТЛ+^ъ •<4'3'4>

^гУтЪЛ'УтЬ

Следует отметить, что в данной задаче граница диэлектрика расположена в плоскости z = 0, которая совпадает также с плоскостью разветвления волновода. Выражения для коэффициентов (Pm} в (4.3.4) не содержат экспоненциально малых множителей, как в случае фазированной решетки с диэлектрическим экраном (см. (4.2.7)). Фактически, асимптотическое поведение {рт} определяется формулой

m-s-oo,(4.3.5)

и, таким образом, коэффициенты {рт} асимптотически стремятся к константе х). Это обстоятельство указывает на то, что метод разложения определителя мало пригоден для решения этой задачи и поэтому необходима разработка другого метода.

Обратимся вновь к решению системы (4.3.3), которое, конечно, должно проводиться с учетом условия на ребре. Напомним (см. § 1.3), что в отсутствие диэлектрического заполнения поле вблизи ребра имеет сингулярность вида

ЕХ1 ЕХ = О ^"*1/2^ х = Ъ и z—>0 при ег = 1. (4.3.6а)

Это условие приводит к требованию (см. § 2.2):

Лп = О (п“3/2), п~>оо и 8Г = 1.(4.3.66)

Величины, отмеченные чертой: ЕХ1 Ег и Лп, относятся к случаю» 8Г=1. В присутствии диэлектрика условие на ребре несколько изменяется и принимает вид

ЕХ1 Е^О^-^1^^ ж = ь и z->0,(4.3.7а)

где

А = ~- arcsin [(ег —1)/(2 /(ег +1))].(4.3.76)

Асимптотика коэффициентов {Лп} в этом случае выражается соотношением

Ап = О (л-гт+Д]), п^ оо.(4.3.7в)

Как показывает сравнение выражений (4.3.6) и (4.3.7), при нагрузке волновода диэлектриком уменьшается порядок сингулярности поля на ребре, что приводит к более быстрому убыванию коэффициентов {Ап}. Вскоре мы убедимся, что знание условий на ребре, выраженных в виде (4.3.6) иди (4.3.7), исключительно важно при разработке модифицированного метода вычетов.

РЕШЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ е » 1

Прежде чем переходить к описанию модифицированного метода вычетов, полезно привести в явном виде решение упрощенной задачи для случая (er = 1). Если ег = 1, то рт = О при всех тп, и система (4.3.3) сводится к следующей:

^кА^+^П=1^кА^+^П=111У па— УтЪУ па— УтЪЛ„ =^А', т = 0,1,2,...YZa + Ymb ’’’’Л„ =^А', т = 0,1,2,...YZa + Ymb ’’’’

^кА^+^

П=1

^кА^+^

П=1

1

1

У па— УтЪ

У па— УтЪ

Л„ =^А', т = 0,1,2,...

YZa + Ymb ’’’’

Л„ =^А', т = 0,1,2,...

YZa + Ymb ’’’’

(4.3.8а)

^кАД-V^П=1^кАД-V^П=111У па УтеУ па УтеА^ =гА’.У1аЛ~УтЬА^ =гА’.У1аЛ~УтЬ(4.3.86)(4.3.86)

^кАД-V^

П=1

^кАД-V^

П=1

1

1

У па Уте

У па Уте

А^ =гА’.

У1аЛ~УтЬ

А^ =гА’.

У1аЛ~УтЬ

(4.3.86)

(4.3.86)

(4.3.9а)(4.3.96)(4.3.9а)(4.3.96)

(4.3.9а)

(4.3.96)

(4.3.9а)

(4.3.96)

Обычный метод вычетов основан на рассмотрении контурных интегралов (см. § 2.5) вида

1 £_Ж_^,

2лI Л w — ^mb 1

С

2л1 j w Уте

где С— окружность бесконечно большого радиуса в комплексной плоскости ю. Функция / (zr) удовлетворяет следующим условиям:

/(ш)—аналитическая функция w всюду, за исключением _ простых полюсов w = ynQl м = 1, 2,3, ..., и w=—^la.

Цю) имеет простые нули при п; = утс, zn —1, 2, 3, ....

Res/(—у/а) = Л'.

Цю) имеет простые нули при w = ^mbl m=i, 2, 3, ....

Цю) — О (zz;-^) црИ l^i^oo1).

Выражая интегралы (4.3.9) в виде суммы вычетов и приравнивая эти суммы нулю, получим

H-ik^m+y, ^к^ =—1А', )(4.3.10а)

2[ m = 0, 1, 2, ...,

/(-^+2 ^^ =^4^^’ |(4.3.106)

У па Уте У1апг УтЪ

п=1V

где учтены равенства у0Ь = у0с = — ik. Сравнивая (4.3.10) с (4.3.8), получаем

Ап=п sin (плЬ/я) Ак = Res / (yna), 1(4.3.11)

—М0 = /( —1^)=—^0,J(4.3.12)

Из уравнения (4.3.12) следует, что Ао = 0, т. е. что при падении ТМ f^ моды с Z > 0 в рассеянном поле отсутствует волна типа ТЕМ. Кроме приведенных выше условий функция / (zz;) удовлетворяет добавочному условию

7 (-Z*) = 0.

Построение функции / (ю), удовлетворяющей условиям 1—6, проводится так же, как в § 2.5. Результирующая функция / (ю) имеет вид )

7(w)=hrin(^(£Ucln (-)Н X

Wa + “’^-Vl^lalk F I л L \b) 1\c/J/

v TT (1—»"/Tnb) (1 —ш/Тпс) (1+WVna) (А ч A 4\ 11 (1 + Yia/Ynb) (1 + YZa/Ync) (l-»/Yna) 'k ’

n=t

Выражения (4.3.11) с учетом (4.3.14) полностью определяют решение для {Лп} в предельном случае ег = 1.

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ВЫЧЕТОВ

Вернемся теперь к решению системы (4.3.3) в случае волновода с диэлектрическим заполнением. Рассмотрим два контурных интеграла

1 $ Г_^_ + рпг_Ш_1 dw,(4.3.15а)

2Ш J L^—ТтЬ Г U’+YmbJ

С

i^dM_dw,(4.3.156)

— утсх'

где функция / (it) удовлетворяет следующим условиям:

j Vw^—аналитическая функция переменного w всюду, за исключением точек ir = yna, п = 1, 2, 3, ..., и w= — у/о, где она имеет простые полюсы.

/(it) имеет простые нули в точках ir = ymc, тп = 1, 2, 3, ...

Res f( — yla) = Л'.

/(it) удовлетворяет уравнению

/(Vmb) + pm/( —Ymb)==0, Ш = 1, 2, 3, . . . .(4.3.16)

Из последнего уравнения следует, что нули функции /(&>), назовем их {ГтЬ}, сдвинуты относительно нулей {уть} функции Ци^.

/ (г/;) = 0 (w-W^H^ при |w|->oo. (Величина А определена согласно (4.3.76)).

Сводя, как и ранее, интегралы (4.3.15) к суммам вычетов, получаем

[/ (- Щ + Ро/ (- ^)] 6”. + 2 Lr-^- +) Res / (Yno) =

Чпа xmb хпапгхтЫ

п=1

<4-317»>

п"‘к№+2;^Л-ч^А'' (4-ЗЛ7б>

П=1

Сравнивая системы уравнений (4.3.3) и (4.3.17), устанавливаем, что

А'п = п sin (плЬ/а) Ап = Res / (тпо), п = 1, 2, 3, . . .

(4.3.18)

13-0367

Это выражение определяет амплитуды рассеянных волн типа ТМ^ а при п > 0. Из уравнения (4.3.17), отвечающего случаю тп = б, получаем выражение для коэффициента отражения основной волны типа ТЕМл

(4-зл9>

и соотношение

/(-^) + ро/( + ^) = -^^Ло.(4.3.20)

Из соотношений (4.3.19) и (4.3.20) вытекает добавочное условие на функцию / (zp):

at (-ik) + сРо/ (+ ik) = 0.(4.3.21)

Подчеркнем различие между (4.3.21) и (4.3.13).

Прежде чем перейти к построению функции / (zp), сделаем несколько замечаний о шести перечисленных выше условиях. Первые три условия, которым должна удовлетворять функция / (zp), совпадают с соответствующими условиями, наложенными на функцию / (zp), определяющую решение в предельном случае er = 1. Обусловлено это тем, что области Л и С, а также падающая волна в этих двух задачах выбраны одинаково. Смысл условия 4 состоит в том, что нули {Гт6} модифицированной функции / (zp) смещены относительно нулей {уть} функции / (zp). Это смещение должно быть таким, чтобы вклад в сумму вычетов, обусловленный членами вида [/ ^тЪ) + pmf (—утъ)\ обращался в нуль для всех т > 0. При er = 1 уравнение (4.3.16) переходит в / (утЬ) = 0, а нули {ГтЬ}, как и следовало ожидать, совпадают с невозмущенными нулями. Согласно условию 5, функция / (гр) должна стремиться к нулю быстрее, чем / (zp) при | zp | —^ оо, поскольку заполнение области В диэлектриком изменяет условие на ребре (см. (4.3.6) и (4.3.7)). Как будет показано позже, условия 4 и 5 не являются независимыми. Фактически мы воспользуемся условием 5 для нахождения асимптотики корней {ГтЬ} уравнения из условия 4.

ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ / (zp)

Как и в обычном методе вычетов, ключевым моментом получения решения является построение функции / (zp). С учетом описанного расположения нулей и полюсов можно представить / (zp) в виде

/ W =7 W Р И [1=^] П fe^ .(4.3.22)

п=1

где / (w) определена согласно (4.3.14). Множитель в квадратных скобках в (4.3.22) введен для того, чтобы удовлетворить условию нормировки 6, а бесконечное произведение описывает смещенные нули функции / (w). Для учета других возможных различий между / (w) и / (w) введена целая не равная нулю функция Р (w). Используя условие на ребре 5 и учитывая, что / (w) = = О (иг1^) при | w | -> оо, получаем следующие асимптотические разложения:

Р (и) = Ро (константа),Р (и) = Ро (константа),П1 — ю,ГпЪ^ — w/^nb n*lП1 — ю,ГпЪ^ — w/^nb n*lO^w^, |u>|->oo.O^w^, |u>|->oo.(4.3.23)(4.3.24)(4.3.23)(4.3.24)

Р (и) = Ро (константа),

Р (и) = Ро (константа),

П1 — ю,ГпЪ

^ — w/^nb n*l

П1 — ю,ГпЪ

^ — w/^nb n*l

O^w^, |u>|->oo.

O^w^, |u>|->oo.

(4.3.23)

(4.3.24)

(4.3.23)

(4.3.24)

Раскроем вначале смысл соотношения (4.3.24). Как можно показать, используя формулы (1.4.11), справедлива асимптотическая оценка

И ^®^^^ = о (w-Д), | ш |-*- со. (4.3.25)

1 — wl^nnlb) |\ л *\/

п=1

Из сопоставления обоих равенств следует, что

илиилиrnb~^(n-V^, п-+оо.rnb~^(n-V^, п-+оо.ГпЬ~?пЬ + ^, П-^ОО.ГпЬ~?пЬ + ^, П-^ОО.(4.3.26)(4.3.27)(4.3.26)(4.3.27)

или

или

rnb~^(n-V^, п-+оо.

rnb~^(n-V^, п-+оо.

ГпЬ~?пЬ + ^, П-^ОО.

ГпЬ~?пЬ + ^, П-^ОО.

(4.3.26)

(4.3.27)

(4.3.26)

(4.3.27)

Таким образом, смещенные нули {ГпЬ} асимптотически отличаются от {упь} на константу лА/Ь. Априорное знание асимптотики нулей {ГпЬ} будет существенным образом использовано в последующем изложении.

Подставляя (4.3.23) и (4.3.22) в условие Зг определяем норми* ровочную константу

(4.3.28)(4.3.28)р — l + iW& ТТ 1+WYnb° 1+Т1а/ГоьА1 1 + ?/а/ГпЬ’п=1

(4.3.28)

(4.3.28)

Для решения задачи нам осталось лишь определить систему смещенных нулей--{ГпЬ} из условий (4.3.16) и (4.3.21).

Подставляя (4.3.22) в (4.3.16) и (4.3.21), после некоторых преобразований получаем систему уравнений

1 YmbTob -pr 1 УтЬ/Гп^ гу^^Ь/пл

l + Vmb/ГоЬ^ + ТтЬ/ГпЪ

П=1

= (-1)(1_Аб«1)ртехр{^»ьГЫп (±)+cln(-)l)X^dzImbx

\ а Г ^1 л L \Ъ ) г \с )AMla-4mb

zn = o, 1, 2, ... . (4.3.29)zn = o, 1, 2, ... . (4.3.29)v ТТ ^ ~bYmb/Ync) (1 —Ymb/Yng) p2Vmbb/nn

zn = o, 1, 2, ... . (4.3.29)

zn = o, 1, 2, ... . (4.3.29)

11 (1—Ymb/YncMl+Ymb/Yng)’

n=l

На первый взгляд может показаться, что мы ничего не добились, поскольку задача снова свелась к решению бесконечной системы уравнений. Дело, однако, в том, что решение системы (4.3.29) сходится гораздо быстрее решения системы (4.3.3). Крометого, из условия на ребре заранее известна асимптотика {ГтЬ}, что также упрощает решение системы (4.3.29).

В последующем мы рассмотрим два метода решения системы (4.3.29).

Метод последовательных приближений. Удобно сначала ввести новое обозначение Дт, согласно формуле

Гть = Тть + —у2-, т = 0, 1,2, ....(4.3.30)

Тогда система (4.3.29) может быть переписана в виде

х[»ь(^)+с1„(Л)]}^х

v тт J^l^IZ*£L(l+£k/l2^^

ХЦ (l + zfc/Vnc)(l-tfc/Yna)[Ynb+(?tAn/6) + tk] ’

П=1

А™ - (-1) 4 р- (2т™» + ^) “Р { х

у IjzLiyzJi^lAo/y^byig^Al^х

[ — г& + (лАр/Ь) — Tmbl(l Ymb/Ymc) (1 "kYmb/Yma)

_-^(m) (Ij^Ymb/Vnc) (1—Ymb/Yng) [Ynb+(nAn/6)+Vmb]

•H- (1—Ymb/Ync) P+Ymb/Yng) [Ynb4~(nAn/6) Ymbl

m = l, 2, .... M, (4.3.31)

где М стремится к бесконечности в соответствии с (4.3.29). Полученные выражения для Ат достаточно сложны. Однако, как можно показать (см. задачу 4.2), асимптотическое значение Ат, не зависящее от индекса т,

Am A, т>1, (4.3.32) является решением уравнения (4.3.31). При этом величина А в соотношении (4.3.32) совпадает со значением А, полученным из условия на ребре и определяемым согласно (4.3.76). Поэтому при расчетах бесконечную систему уравнений (4.3.31) можно заменить системой из конечного числа М уравнений.

При заданной точности требуемый порядок системы М устанавливается сравнением значения Ам, определяемого из решения системы М уравнений, с известной величиной А. Зачастую результат с удовлетворительной точностью можно получить уже при М = 3 или М = 4, что делает численные расчеты относительно простыми.

После замены всех Ат с номерами т > М их асимптотическим значением А для определения (Ат), т = 0, 1, 2, . . ., М, из редуцированной системы (4.3.31) можно применить несколько различных методов. Остановимся сначала на итеративной процедуре определения величин Ат. Возможность применения метода итераций основайа на том, что в правой части уравнений (4.3.31) каждый член, зависящий от Ап, имеет вид D + Ап. Поскольку отношение An/D обычно мало по сравнению с единицей, мы не внесем существенной ошибки, если заменим (Ап) в правой части (4.3.31) их асимптотическим значением. Таким образом, величина А является хорошим первым приближением для Ап. Полная итерационная процедура может быть построена следующим образом.

Заменяем все {Ап} в правых частях (4.3.31) на А. Получающиеся при этом величины {Ат}, т = 0, . . ., М, дают приближение {Аш} первого порядка.

п-е приближение для {Ат} находится заменой (Ат) в правых частях (3.31) на {А^”11} для т М и на А для т > М.

Процесс повторяется до тех пор, пока результаты перестанут различаться в пределах заданной точности решения.

Для многих практически интересных задач уже небольшое число итераций дает хорошее приближение для {Ат}. Точность этих результатов всегда можно проверить подстановкой вычисленных величин {Дт} в (4.3.31), чтобы убедиться в выполнении условия 4.

С точки зрения численных расчетов итерационная процедура имеет ряд преимуществ.

Итерации, как правило, осуществляются быстро, так как для всех (Ат) известны достаточно точные начальные значения А.

Методу внутренне присущ способ проверки сходимости результатов. Это важное свойство, поскольку во многих итерационных процедурах осуществление такого независимого контроля конечного результата невозможно, что создает трудности при установлении точности результата вычислений. Напротив, в данном методе точность вычисления (Ат) можно проверить, а значение М можно выбрать на основе известной величины А.

Условие на ребре непосредственно включено в процедуру решения, что гарантирует его выполнение.

Вернемся к построению функции / (де), которая полностью определяется заданием величин (Ат) или {ГтЬ}. Из (4.3.22) и (4.3.23) имеем:

/(w) = W^.^^Г.^^

*71а + “> l+TZa/ГоЬ I Л L1\с)А)

v ТТ (1 —и>/Гпь) (1—Ю/Тпс) (1+VZa/Vna) / z q qqx X Ц (1 +71о/ГпЬ) (1 +Vto/Ync) (1 -ш/?„а) *

п=1

Выражения для коэффициентов {Лп}находятся с помощью (4.3.18), и, таким образом, решение задачи о разветвленном волноводе, нагруженном диэлектриком, можно считать полностью завершенным.

Здесь полезно обратить внимание читателя на возможность использования полученного решения в задаче о скачкообразном изменении сечения волновода (рис. 4.1, а). В этом случае следует для всех т произвести замену: pm -^ 1. Очевидно, при этом необходимо заново вычислить все {Ат} с учетом рт = 1; в остальном ход решения остается неизменным.

Если в качестве падающего поля выбраны не TMll0-, а ТЕц^- волна, коэффициенты отражения рт принимают вид

р Vmb^b(4.3.34)

и стремятся к нулю при т —> оо (сравните со случаем падения ТМц о-волны, когда асимптотика Ат дается согласно (4.3.5)). Из (4.3.31) следует, что асимптотическая величина А для этой поляризации равна нулю, что согласуется с условием на ребре. Действительно, вблизи ребра поле волн типа ТЕ имеет сингулярность вида р-1/2 независимо от того, присутствует в волноводе диэлектрик или нет (4.3.196). Важно в то же время отметить здесь, что величины рт, определяемые выражениями (4.3.34), гораздо медленнее стремятся к нулю с ростом ег. В пределе при ег —> оо ) (рис. 4.1, а) в случае скачкообразного изменения сечения волновода рт = — 1 для всех т. В этом случае А снова отлично от нуля, что вполне согласуется с условием на ребре (1.3.18).

Некоторые количественные характеристики результатов, полученных модифицированным методом вычетов, рассмотрим на примере задачи о разветвленном волноводе с диэлектрическим заполнением (рис. 4.1, в) и об уступе в волноводе (рис. 4.1, а). Рассчитаем рассеянное поле при падении ТЕМ-волны из области А. Вообще говоря, система (4.3.3) применима только при рассмотрении падающих волн типа TMli0 с Z > 0 ), но она может быть легко преобразована с учетом изменения характера падающего поля.

Параметры

Таблица 4.1

А

Б

В

Разветвленный волновод с ди-

,Ступенчатая

Ступенчатая

электриком

неоднородность

неоднородность

а^0,339

0,339

0,700

ЬД0,169

0,169

0,350

ет2,5

—

—

Таблица 4.2

Величины {А^} *) и

их асимптотические

значения А

А

Б

в

Д<3>0,0719

0,142

0,158— i 0,217

Д£3)0,0672

0,146

0,148— i 0,191

Д£3)0,0669

0,150

0,152— г 0,163

Д£3>0,0672

0,152

0,170— г 0,105

Д£3)0,0675

0,154

0,173 —г 0,079

Д£3>0,0679

0,156

0,174—i 0,063

Д$3)0,0681

0,158

0,174 —i 0,053

Д£3>0,0692

0,160

0,175— i 0,046

Д53>0,0703

0,163

0,176 —г 0,041

Д<3)0,0716

0,167

0,177— i 0,036

А0,0681

0,167

0,166

*) Приведенные значения получены тремя итерациями.

Все численные результаты приводятся для трех наборов параметров, указанных в табл. 4.1. Отвечающие этим параметрам величины {Д^} приведены в табл. 4.2. Величины {Лт} вычислялись по

описанной выше схеме последовательных приближений. Каждое из приведенных значений было вычислено за три итерации. Видно, что даже для не слишком больших т величины Ат весьма близки к своим асимптотическим значениям, вычисленным по фор - муле (4.3.76).

Вычисленные значения коэффициентов отражения приведены в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Коэффициенты отражения

м

А

Б

в

3

(0,1068; 185°,55)

(0,3936; 201°,60)

(0,5207; 182°,12)

4

(0,1068; 185°,56)

(0,3946; 201°,72)

(0,5208; 182°,07)

5

(0,1068; 185°,57)

(0,3951; 201°,79)

(0,5209; 182°,04)

6

(0,1069; 185°,57)

(0,3965; 201°,84)

(0,5209; 182°,02)

7

(0,1069; 185°,58)

(0,3958; 201°,88)

(0,5210; 182°,00)

8

(0,1069; 185°,58)

(0,3960; 201°,91)

(0,5210; 181°,99)

9

(0,1069; 185°,58)

(0,3962; 201°,93)

(0,5211; 181°,98)

10

(0,1069; 185°,58)

(0,3963; 201°,94)

(0,5211; 181°,98)

Следует подчеркнуть, что, как показывает расчет, коэффициент отражения основной волны мало чувствителен к ошибкам вычисления значений Ат для высоких порядков и достаточно точен уже при М = 3.

Матричные методы. Хотя итеративная схема определения первых М нулей (Гт6) очень полезна, желательно также разработать методы, основанные на линейных алгебраических операциях, подобные матричному исчислению. С этой целью преобразуем уравнения (4.3.29) к виду

м

УтЬ/^оЬ тт 1— УтЬ/^пЬ __

1+УтЬ/ГоЬ 1+ТтпЬ/ГпЬ п=1

-(-1) (1-4«Ь)р„ехр {_^[6ln(^)+cln (i)]} X

"м

х YZa + Ymb TT (Н^УтЬ/Ут^х

4la УтЬ (1 УтпЬ/Упс) (^ 4“ УтпЬ/Упа)

п=1

х ТТ У^^ЬТги^/УпсН^^^^ ^ "КУтЬ/ГнЬ

(1 — УтЬ/Упс) (14“УтЬ/Упа) 1—УтЬ/^пЬ * п=М 4-1

7П = О, 1, 2, ... , (4.3,35)

Выбрав достаточно большое М (зачастую значение 5 или 6 уже достаточно велико), можно заменить, с пренебрежимо малой ошибкой, все {Гдь} при п > М в правой части (4.3.35) их асимптотическими значениями (4.3.27). Проделав это, можно выразить первые М + 1 уравнений системы (4.3.35) следующим образом:

Sk."1-' "-0.1,2М, (4.3.36)

где Q (ш) — полином степени М вида

(4.3.37)(4.3.37)У^-П (1-1^)

(4.3.37)

(4.3.37)

a {Zm} известны из (4.3.35). Таким образом, задача свелась к нахождению полинома Q (w) по уравнениям (4.3.36).

Введем две различные формы представления полинома Q (w). Во-первых, можно записать Q (м;) в виде

М+1 №) = ! + 2 D^w"(4.3.38)

71=1

Подстановка (4.3.38) в (4.3.36) приводит к системе линейных уравнений относительно коэффициентов Dn м+1

2 7ть(1-(-1)п/тШп = ?т-1, т = 0, 1, 2, . . ., М. (4.3.39) п=1

Решение {Sn} может быть найдено обращением присоединенной матрицы системы (4.3.39). Численные примеры использования такого подхода можно найти в работе [44].

В ряде задач [И, 25] коэффициенты {Рп} в (4.3.39) могут принимать очень большие значения (главным образом благодаря ^ть)- В этих задачах удобно использовать другую форму для Q (и;):

[Мм

п=0п=0

где второй множитель учитывает возмущение, обусловленное смещением нулей из точек {уть} в {ГтЬ}. Подстановка выражений (4.3.40) в (4.3.36) приводит к системе линейных уравнений относительно коэффициентов {7^}:

м мм мMlMlт = 0,1, 2, М, (4.3.41)т = 0,1, 2, М, (4.3.41)м

м м

м м

Ml

Ml

т = 0,1, 2, М, (4.3.41)

т = 0,1, 2, М, (4.3.41)

р=0

1 + 'Vmb/'Vnb

Этот способ нахождения Q (ip) обладает рядом преимуществ. Во- первых, неизвестные ^Fn } являются величинами первого порядка, тогда как {Dn} в (4.3.39) — величины нулевого порядка. Во-вторых, асимптотические значения величин {Fn} могут быть заранее определены, если их связать со смещениями нулей {Ап} (см. задачу 4.5). В-третьих, в задачах с двумя модифицированными областями (например, разветвленный волновод с двойной нагрузкой диэлектриком в задаче 4.6), где приходится определять два набора смещенных нулей (т. е. {ymb} -> {Г^} и {утс} -> {Гтс}), использование (4.3.40) оказывается предпочтительнее двух предложенных ранее схем решения.

Определив полином Q (w) из (4.3.38) или (4.3.40), нетрудно построить функцию / (ip), воспользовавшись выражениями (4.3.33) и (4.3.37):

(I)+'1" (т)]} >< м

V Q ^ ТТ (IzJiyYneHl+WYna) VQ (— Via}11 (1 + Vla/Vnc} (1 — w/^na} An=l

v ТТ [1 —t»/(Vnb + nA/6)I (1 — ш/Тпс) (1 A-Vlahna}/z о zo\

A 4 [l+VZa/(Vnb + ^/6)](l+Vza/Yne)(l-^/Vna)*^^^^

n=M+l

Искомое решение для {4n} определяется при этом формулами (4.3.18).

СШИВАНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ

Общая задача об излучении из квазипериодических структур, в которых изменена геометрия одной или небольшого числа ячеек, оказывается значительно более трудной, чем задача для соответствующей периодической структуры. Обусловлено это в основном тем, что локальные изменения геометрий нарушают периодичность структуры. В этом разделе мы предложим метод, пригодный для решения некоторых задач указанного типа. Частный случай периодического возбуждения периодической системы плоских волноводов рассматривался в § 2.6, а апериодическое возбуждение периодической структуры — в § 2.7. В этом параграфе мы займемся исследованием структуры более общего вида, изображенной на рис. 4.3. Предлагаемый метод решения существенно отличается от рассмотренного в гл. 2 и основан на проведении сшивания для изображений Фурье [29]. Система уравнений, к которой сводится задача, в этом случае решается затем методом вычетов.

Структура, которую мы хотим рассмотреть, имеет периодически модулированную гребенчатую поверхность (см. рис. 4.3).

Глубины соседних ячеек структуры обозначены /^ и й2, а ячейка с нулевым номером представляет собой полубесконечный волно-

Рис. 4.3. Модулированная гофрированная поверхность, возбуждаемая одним волноводом.Рис. 4.3. Модулированная гофрированная поверхность, возбуждаемая одним волноводом.

Рис. 4.3. Модулированная гофрированная поверхность, возбуждаемая одним волноводом.

Рис. 4.3. Модулированная гофрированная поверхность, возбуждаемая одним волноводом.

вод ). Пусть падающее поле в нулевом (т = 0) волноводе имеет вид

HW = ^ = eth$, ж<0 и -±<z<±.(4.4.1)

Требуется найти решение скалярного волнового уравнения для рассеянного поля Яу = ф

(4.4.2)(4.4.2)

(4.4.2)

(4.4.2)

удовлетворяющее обычному граничному условию дф/д2 = 0 на идеально проводящих стенках структуры и условию на ребре

-g, ^ = 0(p-V2), рт^0, т = 0,±1,±2,..., (4.4.3) где

Рт = [Ж2 + (Z — ТПй/2)2]1/2.

Наметим дальнейший ход решения. Поля при х < 0 представимы в виде разложений по собственным волнам волноводов, образующих гофрированную поверхность. Ширина а каждого волновода считается такой, что в нем может распространяться только одна волна основного типа (т. е. волна типа ТЕМ), а все высшие типы волн затухают практически до нуля уже на меньшей из глубин ячеек 2АХ или 2Д2 (см. задачу 2.7). В области х > 0 поля представимы в виде обратного преобразования Фурье, которое обладает непрерывным спектром (ср. § 3.6). Условия сшивания на поверхности х = 0 накладываются не на составляющие полей, а на их преобразования Фурье. В результате получается бесконечная система уравнений, которую удается решить методом вычетов.

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ

Поля в волноводной области представим в виде разложения по собственным волнам плоских волноводов, образующих систему. Удобно занумеровать волноводы так, как показано на рис. 4.3. Следует различать три случая: т = 0, т — четное и т — нечетное. Для т = 0 полное поле записывается в виде

^° (х, z) = е-vo« + C°oewcsin () ev„« _|_

П=1нечетн

+ 2 C^cos (-^-) ev"x, т = 0,(4.4.4)

п=2

четные

где уп = [(мл/а)2 — А:2]1/2, и, в частности, у0 = — ik соответствует единственной распространяющейся собственной волне волновода. Заметим, что сумма по нечетным п включена в (4.4.4) только для более полной аналогии с последующими выражениями, так как в силу симметрии задачи С^ = 0 для всех нечетных п.

Для ячеек с нечетными номерами т полное поле можно записать в виде

ч|?т (ж, z) = <TchTo(^ + /n) + 2 ЗС^-^зт (^z) chyn(a:-|-/?i)+ n=l

нечеты

+ 2 2С„ e~VnA1cos (-^-z) chyn^-pfoi). m—нечетное. (4.4.5) четы

Для четных номеров ячеек т, заменяя hr на Д2 в (4.4.5), получаем

1Г (ж, z)=СТ ch То kxW + 2 ^е"^^ sin ( ^ z ) ch yn kxW + n=l

нечеты

4-2 2^n e~Vn,l2cos (~~z) chTn (ir+M, m—четное и m=/=0.

n=2 четы

(4.4.6)

В дальнейших выкладках нам понадобятся значения функций -фт (х, z) в плоскости раскрыва х = 0. Как упоминалось выше, мы введем ряд приближений. Точнее говоря, предположим, что все волны высшего порядка, за исключением основной ТЕМ-волны, затухают до нуля на расстоянии, равном min (2ЛЬ 2Д2), т. е.

e-2Vnh2) e-2Vnhl^lf n>0.e-2Vnh2) e-2Vnhl^lf n>0.(4.4.7)(4.4.7)

e-2Vnh2) e-2Vnhl^lf n>0.

e-2Vnh2) e-2Vnhl^lf n>0.

(4.4.7)

(4.4.7)

Учитывая это приближение, из выражений (4.4.4) — (4.4.6) получаем

^(* = 0, z) = Qm + 2 C”sin(-^z) + S ^cos(^z), (4.4.8)

n—1п=2

нечетычеты

где

(4.4.9)(4.4.9)

(4.4.9)

(4.4.9)

(i+a

<2m=< С^сЬ^Ь I С^сЬтЛ,

т = 0,

т— нечетное, т— четное, zn^O.

Принятое приближение (4.4.7) используется при вычислении других составляющих поля в раскрыве х = 0.

Для х > 0 полное поле гр (<r, z) представим в виде обратного преобразования Фурье от некоторой функции В (а):

гр(.г, z)=—^ J В (а) е-^х е-^ da, ж>0,(4.4.10)

где у = (а2 — к?^* При этом ветвь у выбирается так, что Re у > > 0 (так же, как в § 1.6). Интегральное представление (4.4.10) можно рассматривать как разложение полного поля по плоским волнам. Поскольку полупространство х > 0 является открытой областью, спектр плоских волн непрерывен и поле представимо в виде (4.4.10).

Для того чтобы удовлетворить условиям непрерывности на плоскости раскрыва х = 0, вычислим преобразования Фурье по переменной z функции гр:

(4.4.11)(4.4.11)(ж, а) = J гр (ж, z) е^ dz, — do

(4.4.11)

(4.4.11)

и производной d^Jdx, а затем потребуем непрерывности полученных преобразований при х = 0. В результате сшивания для Y получим

оо (2т+1)а/2

В (а) = 2 j Ф"* (0, z)eiaz ^z = т=-оо (2m- 1)а/2 2а sin (аа/2) , 2а sin (аа/2) ™ .

~?2_у2+V2_?2

нечетныенечетные(n+1 )/2 2га cos (аа/2)(n+1 )/2 2га cos (аа/2)Т2-?пТ2-?п

нечетные

нечетные

(n+1 )/2 2га cos (аа/2)

(n+1 )/2 2га cos (аа/2)

Т2-?п

Т2-?п

■ \п / л \п/2 2а sin (аа/2).

+у2_у2 СП±

п=2четные

+ 2 \_cMohi2-^^e^CT + m=-oo нечетные

оо

eimaapm^.eimaapm^.I К1 /Лх(п-1)/г21а cos (аа/2)

eimaapm^.

eimaapm^.

т Zj VV2_V2

нечетныенечетныеn=i

нечетные

нечетные

+ 2 (- l)n/2 ^^У е^С^] + п=2П

четные

+ 2 (0> [ch ^2^W1 eimaaCm + т=-оо четные

+ 2( — 1)(П+1 )/2eima«C™_|_

нечетные

+ 2 (i)n/2 2a ^n ^^ eim°aCn J •

п=2^Л

четные

(4.4.12)

Для упрощения записи положим

Do(«) = 2sin(^.) ,

(4.4.13а)

So (а) = 2 sin (y)q,

(4.4.136)

So (a) = 2 sin ( ^-) 2(0> e^C^*,

(4.4.13в)

m=-oo четные

SHa) = 2sin(f) 2 eimaa(T. m^=-oo нечетные

(4.4.13г)

F„=-

Тогда (4

2icos(y) 2 (-l)(2m+n+1)/2e^“C™, m=-oo

2sin(y) 2 (-l)n/2eimo“C^

^m=-oo

.4.12) можно переписать в виде

п—нечетное, п— четное.

(4.4.13д)

5(g) = £>о(д) , s0 (а)^(^(еУоЛ^.-у^)

а ?2_72 Т ?2_?2 Т2(^2—72)Т

2(72-y§)+ Zj Y2_y2* ^.ЧЛЧ)

п=1

Производя аналогичные действия над преобразованием Фурье производной d^Jdx в раскрыве ^ = 0, получаем

-Т^ («) = -Т(А (а) , То-Ер (а) То^ (а) ^-е~^ а Т2 —ТоТ2 — То2(т2 —То)

, То-Ер (а) ^ - е-voh2) ” ^ (а) (Д л АЧ\ +И+ 2"^Г- 0-4.15)

П=1

Исключая S (а) из (4.4.14) и (4.4.15), приходим к соотношению

где

Go (а) = Е» (а) + |^ (а) ^« + ± Ео (а) е^,(4.4.17a)

G„(a) = Fn(a), n = l, 2, 3, 4, ... ,(4.4.176)

Ко^ = Do (а) +1F' (a)+1Fo (а) е-^2.(4.4.17в)

у On (сх) ^о (а)

Тп — У Vo + Т ’ п=0

(4.4.16)

Умножая (4.4.14) на у и вычитая из него (4.4.15), получаем

— В (а) = — ^20) + у .(4.4.18)

а v ’ То —Т Тп + Тv

п=0

Формулы (4.4.16) и (4.4.18) дают требуемые бесконечные системы уравнений относительно неизвестных ^Gn (а)}. Решение этих уравнений проведем в следующих разделах.

МЕТОД РЕШЕНИЯ

Заметим сначала, что изображенная на рис. 4.3 структура является периодической с периодом 2а (если исключить волновод с т = 0). Этим свойством можно воспользоваться для вывода из (4.4.16) и (4.4.18) бесконечной системы уравнений. Из определений (4.4.13) следует, что

JD0(a +

2тл \ а )

= (-1)т£>0(а),

(4.4.19а)

Ео ^а-

2тл \

* а )

| = (-!№(«),

(4.4.196)

Е„ (а-

, 2тл \ ‘ а )

| = (—l)mFn(a)для всех п,

(4.4.19b)

^о(а"

2тк \

* а )

1 =( —l)mF'(a), m = 0, ±1, ± 2, ... ,

(4.4.19г)

A(a + ^-)=ctg(-^)£>o(a),(4.4.20а)

£o(a + -^) = ctg(^)so(a),(4.4.206)

Fo (a + £) = ctg (^) Fo (a),(4.4.20в)

(« + т) = ~с^ (?) W-(4.4.20г)

Для того чтобы воспользоваться перечисленными выше свойствами, введем новую переменную

y^^^a + ^j2-^]172, m = 0, ±1, ±2, ... . (4.4.21)

Разрезы комплексной плоскости а показаны на рис. 4.4, и верхний

(4.4.22)(4.4.22)лист римановой поверхности для у<т> выбран так, что Re у<т> > 0. Заметим, в частности, что

(4.4.22)

(4.4.22)

Т(0) = у = [а2 _ Д2]1/2 определена в (4.4.10).

Поскольку уравнения (4.4.16) и (4.4.18) справедливы при всех действительных а, положим в них а равным а + 2пш/а. С учетом соотношений (4.4.19) получаем следующие бесконечные системы уравнений:

У gtl (а) (а) т = 0+ 2

n=0

(4.4.23)

2( —l)mv<m>/ 2тл \ _ — g0 (g) у Gn (g)

а + (2тпл/а)\ * a /^0 — 4^ । Zj ^n^_^m^

n=0

m = 0, ±1, ±2, ... .(4.4.24)

Из уравнений (4.4.23) можно выразить Gn (а) как функцию Ко («), а затем с помощью (4.4.24) найти выражения для В (а + 2тпл/а) и, в частности, В (а). Это можно сделать методом прямого обращения, или методом вычетов. Приведем здесь только конечный результат:

Gn (а) = Д„ (а) Яо (а), п = 0, 1, 2, . . ., (4.4.25)

В (а) = А (а) Ко (а),(4.4.26)

где

Ап (а) = — е<2?оа/л) 1п 2То/у*0’ TT l+Yo/Ym е-2у0а/тл у

oWl + Yo/Y<O) 11 1-Yo/Ymх

т=1

(4.4.27a)(4.4.27a)T T H-Yo/Y*”*] [1—Yo/Y<-m>] е2Теа/тл11 [1 + Yo/Y(m,l I1 + Yo/Y<-m)l’

(4.4.27a)

(4.4.27a)

771—1

Д„ fa) = — e<vo+vn)(a/n)(in2-i/n)?x nV 11-Yn/Yo l+Yo/Y(O>

(”) l + Yo/Tm с-<ул+уп)л/тл у ■1 —Yn/Ym

x TT (klVnZailz^Z^. , (4.4.276)

11 (l+Yo/Y<m,)(l + Yo/Y(-m>)’ i, 4, o, .... ^.ч.^/о,

m=l

A(a) =A(a) =2ay(0) [Yo —Y(0)j2ay(0) [Yo —Y(0)j1[1+Y<°VYo1 [1+Yo/T(O)]1[1+Y<°VYo1 [1+Yo/T(O)]^[Vo-V(O)](a/«)ln2 ^^[Vo-V(O)](a/«)ln2 ^

A(a) =

A(a) =

2a

y(0) [Yo —Y(0)j

2a

y(0) [Yo —Y(0)j

1[1+Y<°VYo1 [1+Yo/T(O)]

1[1+Y<°VYo1 [1+Yo/T(O)]

^[Vo-V(O)](a/«)ln2 ^

^[Vo-V(O)](a/«)ln2 ^

xz TT _liYo/Ym_ р-(^0-у(0>)о/771Л xz

X 1+Y(°)/YmX

(4.4.28)(4.4.28)m=l

(4.4.28)

(4.4.28)

Поскольку Ап (а)—периодическая функция с периодом 2л/а, для р = 0, ±1, ±2, ... справедливы соотношения

Ап(а + -^-)=Ап(а), n = 0, 1, 2,(4.4.29)

Кроме того, так как ^т' [(2л/а)— а] = у(-т-1) (а), то

Дп (-^-а)=Дп(а), n = 0, 1, 2 (4.4.30)

Таким образом, Дп(а = а + гг) симметрична относительно <5 = п(а для любого фиксированного т. Соотношения (4.4.29) и (4.4.30) будут использованы в дальнейшем.

Выразим далее в явном виде введенные в (4.4.13) функции £0(a), F0(a) и т. д. через известную функцию D0(a), связанную с падающим полем в волноводе с номером т = 0. Рассмотрим прежде всего соотношение (4.4.25) для п = 0. Используя определения входящих в него функций и учитывая (4.4.17), имеем

Ео («) + 4-^0 (а) «Т°Л1 + 4 Fo (а)eVoA2 =

= До (а) [£>0(а) + 4 ^ («) е-^ + 4 Fp (a) е~М»] .(4.4.31)

Заменим в (4.4.31) а на а + (л/а) и воспользуемся соотношениями (4.4.20). Это приводит к

Ео (а) —^-Р; (a) evo/n + 4 ^о (а) е^г =

ВведемВведемследующие обозначения: М (a) = 1 — До (a) e-2vo*i, М'(а) = 1—Д' (a)e-2voAi, N (а) = 1 — До (a) е-2™^ TV' (а) = 1 — Д' (а) е~ ЗтоАг, £ (а) = М (a) N* {а) + М* (a) N (а).следующие обозначения: М (a) = 1 — До (a) e-2vo*i, М'(а) = 1—Д' (a)e-2voAi, N (а) = 1 — До (a) е-2™^ TV' (а) = 1 — Д' (а) е~ ЗтоАг, £ (а) = М (a) N* {а) + М* (a) N (а).= д; (a) [Do (a)-^F; (a) e-^i + ^-Fo (a) e-v.^, (4.4.32) где А*(а) = А0(а-}-л/а). Функции ^(а), ^o(a) и ^ (а) могут быть теперь найдены из уравнений (4.4.31) и (4.4.32).

Введем

Введем

следующие обозначения: М (a) = 1 — До (a) e-2vo*i, М'(а) = 1—Д' (a)e-2voAi, N (а) = 1 — До (a) е-2™^ TV' (а) = 1 — Д' (а) е~ ЗтоАг, £ (а) = М (a) N* {а) + М* (a) N (а).

следующие обозначения: М (a) = 1 — До (a) e-2vo*i, М'(а) = 1—Д' (a)e-2voAi, N (а) = 1 — До (a) е-2™^ TV' (а) = 1 — Д' (а) е~ ЗтоАг, £ (а) = М (a) N* {а) + М* (a) N (а).

(4.4.33а) (4.4.336) (4.4.33b) (4.4.33г) (4.4.33д)

Исключая получаемИсключая получаемиз (4.4.31) и (4.4.32) последовательно F'(a) и F0(a),

Исключая получаем

Исключая получаем

4■у Fo (a) ev«A* =4■у Fo (a) ev«A* =Dp (а) [Ас (а) М' (а) + Др (а) М (а)] — Ео (g) [М (а)+ЛГ (g)J

4

■у Fo (a) ev«A* =

4

■у Fo (a) ev«A* =

Е(а)

(4.4.34)

1 vi~\^iu_ So(a)[Ao(a)jV'(a)-AS(a)jV(a)]-Eo(a)[jV'(a)-Ar(a)l 2 E»\alew•

(4.4.35)

14*

Из (4.4.34) и (4.4.35) можно найти коэффициенты связи основной волны типа ТЕМ в волноводной области. Это будет сделано позднее.

При м^О из (4.4.25) вытекает соотношение

Fn (a) = kn (а) [Do (а) + -у ^' (а) e-voto 4--L Fo (а) e-vo^J , (4.4.36) откуда, используя (4.4.34) и (4.4.35), получаем

Fnдп (а).(4.4.37)

Это равенство позволяет получить выражения для коэффициентов связи для высших типов волн в волноводной области. Наконец, из (4.4.26) имеем

В (а) =д (а),(4.4.38)

Выражение (4.4.38) в сочетании с интегралом (4.4.10) определяет поле излученйя в открытом полупространстве, а выражения (4.4.34) — (4.4.38) содержат всю информацию, необходимую для полного решения рассматриваемой задачи. Завершение решения и обсуждение результатов будет описано ниже.

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ

Определив спектральную амплитуду плоских волн В (а) согласно (4.4.38), можно найти поле гр:

гр (<r, ^ = -^- J В (а) е~^хе~га2 da, х>0-(4.4.39)

Вклад поверхностных волн в поле излучения определяется полюсами функции В (а) на действительной оси плоскости а (предполагается, что потери в среде отсутствуют, т. е. &2->0). Обозначим систему этих полюсов через {ар}. Поля поверхностных волн затухают в направлении х, и, следовательно, ар > к для всех р. Из выражений (4.4.38) и (4.4.28) видно, что функция А (а) не содержит полюсов, соответствующих поверхностным волнам, так как (при данном выборе ветви) у<т) обладает или положительной действительной частью, или же отрицательной мнимой частью для любого действительного а. Следовательно, единственная возможность существования полюсов, порождающих поверхностные волны, состоит в обращении в нуль функции L (а).

Напомним, что из соотношений (4.4.29) и (4.4.33) следует периодичность с периодом 2л/а функции Ао (а) и, следовательно, и М (а)> М' (а), N (а) и N' (а) вдоль произвольной прямой, параллельной действительной оси в плоскости а. Функция L (а) также периодическая, но с периодом л/а, как следует из равенств

i(“ + l)=«(»+4)A"(“ + 4) + M'(“ + v)"(“ + v) =

- М' (a) N (а) + М (а) Nf ^ = L (а).(4.4.40)

Напомним также, что из (4.4.30) следует симметрия Ао (а) относительно прямой Кеа = л/а и, кроме того,

А;(а + ^) = А0(а + ^)=А0(а) = А0(^-а) =

= А'(^— а) .(4.4.41)

Из последнего соотношения следует симметрия функции L (а) относительно прямой Веа = л/2а; действительно:

LW-L(c« + ^)=M(a; + ^)»-(« + ^) +

+лП=-+тИ°=+т) = л,(т-")л" (т-=*) +

+m'(t-“)-v(t-“)-l(v-“)'<4'4'42>

С учетом симметрии и периодичности L (а) (см. (4.4.40) и (4.4.42)) для определения положения всех полюсов, ответственных за по-

Рис. 4.5. Дисперсионная кривая для собственных волн модулированной гофрированной поверхности.

явление поверхностных волн, достаточно определить расположение нулей в области 0 ^ а ^ л!2а. Полное численное исследование распределения нулей можно найти в работе Карьялы и Миттры [29]. На рис. 4.5 показан общий вид зависимости действительных корней уравнения L (а) = 0 от частоты — так называемая диспер-

сионная кривая модулированной гребенчатой поверхности. Видно, что данному значению ка отвечает корень а0 и корни ± оГо+ + пы/а, где п = О, ± 1, ± 2, . . . .По определению поверхностной волны точка а0 лежит всегда внутри треугольника, образованного прямыми к = а и к = — а + л.

После нахождения полюсов В (а) мы обратимся вновь к интегралу (4.4.39) и оценим вклад поверхностных волн. Путь интегрирования проходит вдоль действительной оси в плоскости а. В соответствии с рис. 4.5 при заданном к на пути интегрирования могут

Рис. 4.6. Расположение полюсов, соответствующих поверхностной волне: (а) среда без потерь; (б) среда с малыми потерями.

быть расположены полюсы подинтегральной функции. В этом случае (рис. 4.6, а) следует деформировать контур, чтобы обойти особенности подинтегральной функции. Способ обхода полюсов, как уже говорилось в § 3.6, можно определить, считая, что среда обладает бесконечно малыми потерями, т. е. полагая к = кг + гкг И 62^ + 0 и анализируя смещение полюсов. Рассмотрим, например, нуль а0, который соответствует волновому числу кх (рис. 4.5). В окрестности кг можно считать а0 аналитической функцией к и воспользоваться ее разложением в ряд Тейлора

^(&1 + 1Аъ) = а0(&1) + -^|Д1^+‘-* • (4.4.43)

Кроме того, из графика дисперсионной кривой видно, что dajdk Положительна при к = kv Поэтому мы приходим к выводу, что при наличии малых потерь в среде полюс а0 смещается в верхнюю полуплоскость. Точно так же можно убедиться, что полюсы <х0 + пл/a смещаются с действительной оси вверх, а полюсы — ай + пп./а — вниз, как показано на рис. 4.6, б, Установив способ

обхода полюсов для среды с малыми потерями и сохраняя его в предельном случае среды без потерь, приходим с окончательному виду контура интегрирования в (4.4.39), изображенному на рис. 4.7.

Для определения вклада поверхностных волн в поле при z > О замкнем контур интегрирования в нижней полуплоскости а (тот же результат можно было бы получить для z < 0, замыкая контур

Рис. 4.7. Контур интегрирования для интеграла (4.4.30) при наличии полюсов, соответствующих поверхностной волне.

интегрирования в верхней полуплоскости и заменяя z на —^ Интеграл (4.4.39) по контуру, изображенному на рис. 4.7, сводится к выражению

tp^ z) = 2 (~0Res5 ( —ап)егал2ехр ^ — Va^ — k^x^ +

П=-оо

+ ^-2 Г 5(а)e~v®e-,azda, z>0 и z>0,(4.4.44)

по разрезам Сь

где an = а0 + тгл/a, п = 0, ±1, ±2, . . ., а контур Сь охватывает рассматриваемый разрез. Поверхностные волны в (4.4.44) затухают с ростом х. По существу они представляют собой модификацию обычных пространственных гармоник, встречающихся при описании периодических структур. Они не ортогональны в в энергетическом смысле, т. е. общая энергия, переносимая поверхностными волнами, не равна сумме энергий, переносимых отдельными слагаемыми суммы. Слагаемые в (4.4.44), содержащие интегралы по разрезам, не могут быть вычислены в замкнутом виде. Эти волны иногда называют пространственными волнами; они определяют угловое распределение поля излучения в дальней зоне.

Следует сделать замечание об однородной гребенчатой структуре, для которой Кх — к^. Весь ход решения в этом случае остается прежним, но возникает некоторый вопрос относительно дисперсионной кривой. Можно было бы ожидать, что полюсы поверхностных волн должны быть расположены теперь с периодом 2л/я, а не л/аг поскольку период однородной структуры вдвое меньше периода структуры с модуляцией. В то же время период функции L (а) по-прежнему равен п/а. Эта трудность, однако, разрешается, так как множитель М' (а) в числителе В (а) обращается в нуль при а = = а0 + nnla для нечетных п и, таким образом, соответствующие поверхностные волны не возбуждаются. Возможен и иной подход к рассмотрению этой задачи. Действительно, при Ну = Д2 функции N’ (а) и М' (а) равны. Можно сократить общий множитель в выражении для В (а), и тогда полюсы, обусловливающие появление поверхностных волн, определяются нулями М (а), расположенными с периодом 2п/а. Этот результат получен в задаче 2.7.

ДИАГРАММА НАПРАВЛЕННОСТИ

Одной из интересных характеристик поля в открытом полупространстве х > 0 является угловое распределение излучения в дальней зоне или диаграмма направленности. Эта характеристика может быть получена из (4.4.44), если использовать асимптотическое значение интегралов по берегам разрезов для больших р = = }/ ж2 + z2. Нетрудно видеть, что при л/а > к основной вклад в поле в дальней зоне дает участок интеграла по контуру, охватывающему разрез, непосредственно примыкающий к точке а = к, а интегралы по остальной части контура экспоненциально малы. Главная часть вклада в интеграл может быть вычислена с помощью соотношения (1.7.19) и оказывается равной

ф (х, z) ~ j/" 2пкр" 1г(Ар-л/4) (Acos 6) В (а = —A sin 6), р^оо и |6|<л/2,(4.4.45)

где 6 = arctg (z/^) и отсчитывается от нормали к решетке (рис. 4.3).

Интересно применить выражение (4.4.45) в одном частном случае. Пусть HY и А2 стремятся к бесконечности и гофрированная структура на рис. 4.3 переходит в бесконечную систему плоских волноводов, изображенную на рис. 2.2. Полагая й1? й2 -> оо и считая, что среда обладает малыми потерями, из (4.4.26) и (4.4.17в) получаем

В (а) = Do (а) А (а).(4.4.46)

Воспользовавшись определениями (4.4.13а) и (4.4.28), для величин в правой части этого равенства нетрудно показать, что

В (а = - Аб sin 6) = ае^^ ™о (SO)0O^6,(4.4.47)

где величина Во определяется выражением (2.6.20) и имеет смысл коэффициента прохождения основной пространственной гармоники для бесконечной решетки из плоских волноводов с синфазным возбуждением. Экспоненциальный множитель в (4.4.47) обусловлен различием координат на рис. 4.3 и рис. 2.2. Сопоставление выражений (4.4.45) и (4.4.47) показывает, что диаграмма направленности решетки из плоских волноводов с единственным возбуждаемым элементом совпадает с точностью до множителя cos 6, с зависимостью коэффициента прохождения основной пространственной гармоники от угла сканирования 0О при синфазном возбуждении» Этот результат был получен в § 2.7 другим методом.

КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗИ

Коэффициент связи Со для волн типа ТЕМ в и-м волноводе можно найти из соотношений (4.4.34) и (4.4.35). Используя определения (4.4.13), можно переписать (4.4.34) в виде

е™'12 Z <°> ^„гтп^ Л» (а) М' (а) + Л; (а) М (а)

7П=-ОО четные

(4.4.48)(4.4.48)М^ + МЦа) ^0L(a)

(4.4.48)

(4.4.48)

Проинтегрируем обе части (4.4.48) по а в пределах от 0 до 2л/а. Поскольку Уо (= — гк) не зависит от а, интеграл в левой части равен нулю-, и мы получаем следующее выражение для коэффициента связи Т^Л^-волны в центральном (т = 0) волноводе:

2л/а

С До (a) М' (а) + АИа)М(а) ^

JЖ

(4.4.49)(4.4.49)ГО 0

(4.4.49)

(4.4.49)

о2л/а

С М(а)+М'(а) -

J Ь(а)

Это выражение можно упростить, если воспользоваться свойствами симметрии входящих в интеграл функций:

2л/а

JL (a)

о2л/а

2л . Г jMaM/4aH-A£(^^a JL(a)

о

Л/2

Г Д0(а)М'(а)+ДИ«)^(«) fe

JЬ(а)

^—^ .(4.4.50) и . е-2^н Г Ар (а) М' (а) + Ар (а) М (а) а ^ JL^

Интегралы в этом выражении должны быть найдены численно. Если вдоль структуры могут распространяться поверхностные волны, то подинтегральное выражение содержит сингулярности, обусловленные множителем L (а). На интервале 0 < а < -^- лежат самое большее два действительных корня L (а): а0 и (л/а) — а0. В соответствии с исследованным ранее смещением полюсов для среды с малыми потерями (рис. 4.6)^онтур интегрирования в интегралах (4.4.50) обходит точку а = а0 снизу, а точку а = (л/а) — — а0 — сверху. Следовательно, мы имеем

Др (а) М* (а)+д; (а) М (а) ^ г _

JМ«)

Ufa

L До (а) м* V^+До (а) М (а) , ,. До (а) М' (а) + Д; (а) М (а)

JЕмаа-ьш ar^jta

(4.4.51)(4.4.51)До(а)М'(а)+До(«)^(«) IdHaW|а=(л/а) —а.’

(4.4.51)

(4.4.51)

где знак j- означает, что интеграл берется в смысле главного значения х\ Различие в знаках перед вычетами обусловлено различным направлением обхода полюсов. С учетом свойств симметрии выражение для J можно упростить

Л/2а

da +da +fA0 (a) М’ (a) + А^ (a) Af (a) L(a)

da +

da +

-}- 2л&-}- 2л&Ao (a) М’ (a) + Ар (a) М ^dL (a)/daAo (a) М’ (a) + Ар (a) М ^dL (a)/daa=aoa=ao(4.4.52)(4.4.52)

-}- 2л&

-}- 2л&

Ao (a) М’ (a) + Ар (a) М ^dL (a)/da

Ao (a) М’ (a) + Ар (a) М ^dL (a)/da

a=ao

a=ao

(4.4.52)

(4.4.52)

Для получения коэффициентов связи в волноводах С™ воспользуемся соотношениями (4.4.48) и (4.4.35). Умножая обе части равенства (4.4.48) на е-шаа и интегрируя по а от 0 до 2л/а,

х) Например, Ъа-е

а

а

С№1, f С(Р)

а+е

ъ.

получаем

е-VoA» Тk^M (а) е_г1Юа(1а-_

лJL (а)

о

2л/а

(а) + У ^1 5-гпаа ^ап—ЧетНОО И П ф О,

л 0 J L (а)’

о

(4.4.53)

где С°о определяется согласно (4.4.50). Для вычисления Со с нечетными п можно аналогичным образом вычислить коэффициенты Фурье для (4.4.35):

2л/а ^=JLe-V0hi f лJL (а)

0

2л/а

—— е-то^о (в — нечетное*(4<4.54)

л° J L (а)х 1

о

Интегралы, входящие в выражения для 7, могут быть упрощены тем же способом, как и при получении (4.4.50). Как можно легко убедиться, в предельном случае J^, /^ -> оо решения (4.4.53) и (4.4.54) сводятся к решению, полученному в § 2.7.

Коэффициенты связи для высших типов волн {Сп } с и > 0 не представляют существенного интереса, если эти волны не могут распространяться. Выражения для них можно легко найти из (4.4,36) и (4.4.37), и мы не будем здесь на этом останавливаться.

$ 5. МЕТОД СШИВАНИЯ ДЛЯ ОТКРЫТЫХ СТРУКТУР

В гл. 2 и 3 мы рассмотрели два различных способа формулировки и решения краевых задач для полубесконечных структур. Один из них, основанный на сшивании, применялся при решении задач для закрытых структур, тогда как другой, метод Винера — Хопфа, может быть применен при исследовании как открытых, так и замкнутых структур. Основное различие между этими методами состоит в способе разбиения исследуемой структуры на частичные области и, следовательно, в способе представления полей в этих областях. Различие хорошо видно на примере разветвленного волновода, который подробно рассматривался обоими методами.

В методе сшивания в качестве частичных областей А, В ^ С выбираются три полубесконечных волновода (рис. 4.8, а), а поля представляются в виде разложений по собственным волнам соот-

ветствующих волноводов. В противоположность этому при выводе уравнения Винера—Хопфа методом Джонса структура разбивается на два волновода I и II, как показано на рис. 4.8, б. В этом случае поля представляются в виде преобразования Фурье по продольной координате z. При такой форме представления полей граничное условие на полубесконечной стенке, разделяющей волновод, не удовлетворяется, и в результате эта связь поля с собственными волнами волноводов в этом случае становится очевидной только после получения окончательного решения. Другими словами, при формулировке задачи в методе Винера — Хопфа

ааРис. 4.8. Выделение частичных областей в методе сшивания и методе Винера — Хопфа.Рис. 4.8. Выделение частичных областей в методе сшивания и методе Винера — Хопфа.

а

а

Рис. 4.8. Выделение частичных областей в методе сшивания и методе Винера — Хопфа.

Рис. 4.8. Выделение частичных областей в методе сшивания и методе Винера — Хопфа.

не используется непосредственное разложение поля по собственным волнам. В результате формулировка задачи в методе Винера— Хопфа остается в основном неизменной, даже если одна или ненесколько частичных областей имеют бесконечные поперечные размеры (вдоль координаты ж). В связи с этим возникает естественное желание задать вопрос, можно ли обобщить метод сшивания на задачи об открытых структурах. Ответ на этот вопрос утвердительный, и цель этого параграфа — проиллюстрировать применение метода сшивания для рассмотрения открытых структур.

В качестве примера рассмотрим задачу об излучении из открытого конца волновода (см. § 3.11), изображенную схематически на рис. 4.9. В качестве падающего поля рассматривается волна типа ТЕМ, вид которой дается формулой (3.11.1). При этом, как отмечалось в п. 3.6.1, в методе сшивания предполагается, что* падающее поле определено только в волноводной области | х | < Ъу 7 < 0; напротив, в (3.11.1) падающее поле определено для всех г. Наша задача — определить методом сшивания поле излучения в свободном пространстве и отраженное поле внутри волновода [50].

Удобно разделить все пространство на четыре области, обозначенные на рис. 4.9, как А, В, С и D. Отраженное поле в области В

Рис. 4.9. Волновод с открытым концом

можно представить разложением по нормальным волнам волновода

Ну^х, z)=^(x, ^ = 2 5nC0S[^^~6)] е^* в области В,п=0

(4.5.1)

где Ynb = [(пл/Ь)2 — Д2]1/2.

Вследствие симметрии структуры и поля возбуждения, в (4.5.1)

Рис. 4.10. Контур интегрирова-ния для интеграла (4.5.2).

входят только симметричные по х волны. Поле излучения в области А имеет непрерывный спектр и представимо следующим обра-

зом (§ 1.6):

гр (ж, z) = -~ j A (a) e”*vze*iax da в области А, (4.5.2)

где у = (а2 — й2)1/2, а контур интегрирования проходит вдоль действительной оси, как показано на рис. 4.10. С учетом условия симметрии ~

ф (ж, z) = ф (—ж, z),ф (ж, z) = ф (—ж, z),(4.5.3)(4.5.3)

ф (ж, z) = ф (—ж, z),

ф (ж, z) = ф (—ж, z),

(4.5.3)

(4.5.3)

из которого в свою очередь следует, что А (а) = А (— а), интеграл (4.5.2) можно записать в виде

ф(ж, z) = ^ А (а) в-^ cos ах da в области А. (4.5.4) о

Аналогично поля в областях С и D могут быть представлены выражениями

№ (ж, z) =№ (ж, z) =j С (р) еТх cos р (ж — р) dp в области С, (4.5.5а) о

№ (ж, z) =

№ (ж, z) =

j С (Р) еГх cos р (ж + Р) dp в области D, (4.5.56) о

где Г = (Р2 — fc2)1/2, а разрез в комплексной плоскости Р проведен так же, как для функции у в плоскости а (§ 1.6). Причина,, по которой мы пользуемся различными обозначениями переменных в формулах (4.5.4) и (4.5.5), станет ясна позднее.

Следуя обычной процедуре сшивания, потребуем непрерывности функции ф<^ = ф<4) + гр и ее производной dгp<^)/dz на плоскости раскрыва z = 0. Эти условия приводят к системе равенств:

( С (P)cosp (ж — Ь) dp = I A (a) cos аж da, x*>b,(4.5.6а)<

о 'о

1 + 2 Ви cos ^у- (ж—Ь) j = j A (a) cos аж da, | ж | < Ь, (4.5.66)^ п=00

ОО00

Г С (Р) cos р (ж 4-6) dp = ( А (^) cos ах da, х<_—Ъ (4.5.6в)я

И

f ГС (Р) cos р (ж — b)dp = — j уЛ(a)cosaa:da, х">Ъ, оо

(4.5.7а)

i&+ 2 Vn&5ncos[-^-(^—b)^j= — j уЛ (a) cos ax da, | a: | < 6, n=00

(4.5.76)

x<_ — b.(4,5.7b)x<_ — b.(4,5.7b)( ГС (P) cos p (ж + b) dp = — ( ^A (a) cos ax da, о0

x<_ — b.

(4,5.7b)

x<_ — b.

(4,5.7b)

РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ВЫЧЕТОВ

Требуется определить неизвестные А (а), {Вп} и С (а) из уравнений (4.5.6) и (4.5.7). Исключим из этих уравнений переменную х, умножив их на V2/л cos ах и проводя интегрирование по х от 0 до + оо. В результате получаем

2а sin abV2n(y2+k^)2а sin abV2n(y2+k^)V 5n2a sin ab„=0 "^ (72-?^)V 5n2a sin ab„=0 "^ (72-?^)~ С (a) cos ab —~ С (a) cos ab —

2а sin ab

V2n(y2+k^)

2а sin ab

V2n(y2+k^)

V 5n2a sin ab„=0 "^ (72-?^)

V 5n2a sin ab„=0 "^ (72-?^)

~ С (a) cos ab —

~ С (a) cos ab —

(4.5.8)(4.5.8)(4.5.9)(4.5.9)

(4.5.8)

(4.5.8)

(4.5.9)

(4.5.9)

2a sin ab f C (P)ys J у—r2

21kg sin abУ^(у2+А2)21kg sin abУ^(у2+А2)У Bn^nb2a sin abn=o ^ (Y2-?^,)

21kg sin abУ^(у2+А2)

21kg sin abУ^(у2+А2)

2a sin ab Г ГС (0)

где черта на знаке интеграла означает, что интеграл берется в в смысле главного значения. Исключив А (а) из (4.5.8) и (4.5.9), получим уравнение для известных коэффициентов {Вп} и неизвестной функции С (Р):

ние имеет вид

У дпУ Сп I /^ с \ лута ctg (тлй/а) gVpc

^ Ута — УпЪУта- Уис ' \ Л / mnja Ха

п=0п=0

Ч таГ^пс

= Y _lk. 771 = 0,1,2,...,(4.5.11)

где Yma = Цтпл/а)2 — /с2]1/2, ymc = [(тпл/с)2 — &2]1/2, {Cn} — ам- плитуды собственных волн, рассеянных в области С или D. Систему уравнений (4.5.11) можно вывести с помощью стандартной процедуры, описанной в § 2.2. По причине, которая станет ясна ниже

Рис. 4.11. Волновод с тройным разветвлением. .

в (4.5.11), специально предусмотрена возможность выполнения равенства ^та = урс (т. е. тп!а = рп/с) при некоторых значениях индексов т и р.

Уравнение (4.5.10) можно считать предельным случаем (4.5.11) в следующем смысле: при стремлении а и с к бесконечности так, чтобы разность а — с = Ъ оставалась неизменной, постоянные распространения ^та и утс становятся непрерывными, и сумма по нормальным волнам переходит в интеграл ) (см. §. 1.6). Отметим, что при рассмотрении задач об открытых структурах необходимо включить случай перекрытия спектра собственных волн для различных областей (т. е. случай a = 0 (в (4.5.8) и (4.5.9))). Этим объясняется включение случая ^та = ^рс в (4.5.11).

Обращаясь к решению уравнения (4.5.10), воспользуемся некоторым обобщением метода вычетов. Рассмотрим интеграл

1 Г l^Ldw-(4.5.12)

Р

Здесь аналитическая функция / (ip) выбирается так, что

/ (и?) имеет простые полюсы при w = + ik и w = ''{mb) т = 0, 1, 2, . . .;

/ (ip) имеет точку ветвления при w = — ik, обусловленную наличием корня (w + Z/с)1/2. Разрез на комплексной плоскости w проведен, как показано на рис. 4.12 (среда без потерь, т. е. к^-^-

+ 0), причем ветвь корня выбрана так, что (ip + ik)1^ нА/2 цри w -> + оо вдоль действительной оси Im w = 0;

Рис» 4.12. Контур Р дляинтеграла (4.5.12).

/ (ip) стремится к нулю по крайней мере как wv, v >> 0, при | w | —> оо;

Res / № = 1.

Контур интегрирования Р в (4.5.12) состоит из окружности бесконечного радиуса Р^, двух участков по берегам разреза Рг и Р2 и окружности бесконечно малого радиуса вокруг точки w = — гк, как показано на рис. 4.12. Точка w = у расположена вне замкнутого контура Р.

Функцию / (w) можно построить с помощью указанного выше предельного перехода из функции / (ш), являющейся решением системы уравнений (4.5.11). Отложим это построение до разд. 5.2, а здесь приведем окончательный результат:

f (w\ —тт/4 5 1 За\

IV")- w_ik w^lk11 (l-w/Ynb)ewd/njl ’ l /

где

ftM = exp{-^[l_C + ln(^.)+i "]-

Vu-Z + S In ( JIzJ^HiL) } ,(4.5.136)

и продолжим решение задачи.

Представим интеграл в (4.5.12) в виде суммы вычетов

1 [У J^!^M+ «.(4.5.14)

2ш J у — Wу — УтЪy — lk х '

Рm=i

Интеграл в левой части этого равенства можно упростить следующим образом. Во-первых, вклад интеграла по контуру Роо равен нулю в силу асимптотики / ^ш\ Во-вторых, вклад интеграла по контуру Ре при е -> 0 определяется вычетом в точке w — ik;

1 f Hw> д^^ (r-l)Res/(-^) _ (— 1) Res / (уоь)^ 5

2л t J T—wy + ikу — ум *\ • • /

Pe

В-третьих, рассмотрим интегралы вдоль разреза на рис. 4.12. Используя соотношение, связывающее значения функции f^w) на обоих берегах разреза,

Z^a._,xp{AV^+Pi„Z^a._,xp{AV^+Pi„W— У^Н^гкW— У^Н^гк_±/^+Pln (л-т^Й^2._±/^+Pln (л-т^Й^2.) |wGPi) |wGPi

Z^a._,xp{AV^+Pi„

Z^a._,xp{AV^+Pi„

W— У^Н^гк

W— У^Н^гк

_±/^+Pln (л-т^Й^2.

_±/^+Pln (л-т^Й^2.

) |wGPi

) |wGPi

= exp ^bi V w1^^ Ц^, (4.5.16)

получаем

f .1^ dw — -Z1L. £ J.$L егЪ Vw2+K2 s|n ^ у £2 w2\ ^w 2Я1 J y—wл J y — wx r 1''

P1+P2Pl

4- / (y) eiabcos ab. (4.5.17)

Введем новую переменную по формуле y^ti^.(4.5.18)

Тогда (4.5.17) можно переписать в виде

1f/ (w) ,IfегЪ^ (Г)sin 60хК

^_—IJ V/ . dw^11—2В dB + / (у)егаЬ cos ab.

2ni J у — wл J у- Г Г г г /

Р1+Р2О

(4.5.19)

Подставив это выражение в (4.5.14), приходим к искомому тождеству

2j l^r(^lПг^",tf, ^-/(TX-cosai-

n=0О

=,(4.5.20)

у — ik x '

Сравнивая (4.5.20) с (4.5.10), получаем выражения для R» и С (а):

Bn = Res/(?пЬ),(4.5.21)

С (а) = ±zll£2!Z(v)sinab_ ,(4.5.22)

которые определяют поля в областях В, С и D.

Для нахождения решения в области А воспользуемся обычном процедурой сшивания: умножим (4.5.8) на у и вычтем полученный результат из (4.5.9). В результате имеем

2j т+т^ь + т + ^J т + Г аР“ asinab *

m=D0

Интегрируя /(о?) из (4.5.13) по изображенному на рис. 4.12 контуру Р в плоскости переменного w, получим

it j ^^ - 2 4tSt- + 7Ft + И-* t4-5'24* РП=1

Интеграл в левой части (4.5.24) можно упростить тем же способом, что и интеграл в (4.5.14). А затем с помощью (4.5.21) и (4.5.22) соотношение (4.5.24) можно переписать в виде

2^+даЧж^~'Н). (45-25> 771=00

Сравнение (4.5.25) с (4.5.23) дает

A^=.-«^Lf^.(4.5.26)

Таким образом, задача решена полностью. Это решение, конечно, совпадает с тем, которое получено методом Винера — Хопфа в § 3.11.

5 2. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ / (ip)

Остановимся теперь на построении функции / (w), удовлетворяющей четырем условиям, перечисленным в разд. 5.1. Способ построения функции / (ш) основан на процедуре, использованной при решении краевой задачи для структуры, изображенной на рис. 4.10 (ср. разд. 3.11.2). Для решения системы уравнений (4.5.11) рассмотрим интеграл (ср. § 2.5):

12л1

У ma w

dw,

т = 0, 1, 2, ...,

(4.5.27)

ЯМ=ПП=1ЯМ=ПП=1{i-wlync)ew^ '{i-wlync)ew^ '(4.5.29b)(4.5.29b)

ЯМ=П

П=1

ЯМ=П

П=1

{i-wlync)ew^ '

{i-wlync)ew^ '

(4.5.29b)

(4.5.29b)

где Р — окружность бесконечно большого радиуса в комплексной плоскости w, а функция / (w) удовлетворяет следующим условиям:

/ (w) имеет простые полюсы при w = + ik, w = т = — 0, 1, 2, 3, . . ., и w = утс, т = 1, 2, 3, . . .;

tj^ имеет нули при w = yma, т = 1, 2, 3, . . .;

/ (ip) стремится к нулю по крайней мере как иг^ -7 > О, при | w | оо;

Res / (Z/c) = 1.

Функцию, удовлетворяющую этим условиям, нетрудно построить; она имеет вид

?W = .„{_^[cto(A)+Ha(.^

П (l-tf/Tna)^™ П (1-^/ТпЬ)^Ы’/пЯ И ^-N^e^i^

п=1п=1п=1

П ^-ЛЬьа^№ (^(l-^nb)^"" П U-^/Vnc)^"" n=ln=ln=i

(4.5.28)

Последнее выражение можно переписать следующим образом:

П (1-г&/Тпь)<ы,/пя

,гл n=i

I ~ (w+Л) (w—ik)“ Х

П (i-whnb)e^

П=1

х eix(«)-x(ifc)] ЛЖ- ,(4.5.29а)

где

—)»Vnc /(4.5.296)—)»Vnc /(4.5.296)хМ=^[с1п(т) + Ь1п(т)] + ш 5 (^г-^ п=1

—)»

Vnc /

(4.5.296)

—)»

Vnc /

(4.5.296)

Заметим, что в (4.5.29в) экспоненциальные множители ехр (юа/пл) и exp (jpc/мп?)обеспечивающие сходимость, заменены на ехр (ш/у„о) и ехр (^/у„с). Различие в этих множителях учитывается во втором слагаемом в (4.5.296). Такая замена позволяет

получить новое представление для RJw) J):

R (ц>) = exp ( lim -^-r ( Г1н (17==~ ) И7^ I ) X

lw-оо 2mt J, L \VP2 —*2 / ~ ур2_*2 J /

V Г-^L —5^11 ^R (A R qm

X L Fa (P) Fc tp) J dP’ (4.5.30) где

Fa (P) имеет простые полюсы при Р = пп/а, п^=Ч, 2, 3, . . .;

Fc (Р) имеет простые полюсы при р = пп/с, п = 1, 2, 3, . . .;

Fm (р) = dFm/d^, т = а, с;

S' —- замкнутый контур, показанный на рис. 4.13, где 8 < 6 < Л2 и Nn/c < d < (TV + \Nb!c\ + 1) (л/а); VNb/c\ обозначает целую часть величины Nb/c.

Функции Fa^) и Fc (Р) можно отождествить с функциями, входящими в характеристическое уравнение для поперечных волновых чисел в волноводных областях А и С (рис. 4.11)

Fa (Р) = sin ра,(4.5.31а)

Fc (Р) = sin Ре.(4.5.316)

х) Эта форма представления приведена в § 3.10.

В тождественности выражений (4.5.29в) и (4.5.30) для функции R (w) можно убедиться, вычислив интеграл в (4.5.30) с помощью теоремы о вычетах.

Аналогичным образом представим функцию % (ш), определенную согласно (4.5.296), в интегральной форме

Х^)=-Мс1п(т)+Мп(т)] + м

+ lim w Г 2 ~( —/ 1— "5" /ох ^0 +

М^оо L ^ гол 2Л1 J т/вг-^г ^о (0)т— 12" *

(4-5'32)

контур 2" совпадает с контуром 2' на рис. 4.13, за исключением того, что теперь Мп!a <d< (М + 1) (л/а); контур 2'" совпадает с 2', за исключением того, что Мп!с<< d< (М + 1) (л/с).

Как мы вскоре увидим, специальный вид функций R (w) и % (ip), определенных согласно (4.5.30) и (4.5.32), оказывается весьма удобным при нахождении / (w) с помощью предельного перехода lim / (w) = f ^.(4.5.33)

а, с-*ооа—с—Ъ

Точнее говоря, мы увидим, что в пределе при а, с^оо, а — с = Ь R^R (ц>) = exp [ - A /F + ^ In ( ^Х^”™") ~ 1Г~т] ’

.(4.5.34)

хМ-ч-хОу)-—Г?-1п (5') —i^-1 •(4.5.35)

Подставляя выражения (4.5.33) —(4.5.35) в (4.5.29а), получаем искомую функцию

/2Ж h (w) уу [1 — i (&/Упб)1 егНЪ^п е /А 5 361

— ik) h(ik) (1 -wlyn^)ewblnn ’' ’ ’

последняя формула совпадает с (4.5.13).

Докажем теперь, что предельное значение функции R (w) действительно равно функции R (w), определенной согласно (4.5.34). Доказательство аналогичного утверждения (4.5.35) о функции х(^) вынесено в задачу 4.10. Разобьем интеграл, входящий в выражение (4.5.30) для R (w), на несколько частей:

d+гб О+гб 04-г(б—е)0—гб d—гб

j = j + j + J + j + j + j •(4.5.37)

S' d-гб d+»60+«6s' 0-1(6—e) 0-16

В силу нечетности подинтегрального выражения но Р следует, что

О+г(д —е) О-гд

[+ J =0.(4.5.38)

О+гд О-г(д-е)

Кроме того, при

j = - ™ (Res при р = 0) = [in (1 + у - у (1 -1) = 0 (4.5.39) 2g

имеем

d+гб

j -V.(4-5Л)

d-гб

поскольку подинтегральная функция убывает как Р“2 при больших р. Следовательно, мы имеем

R (гу) = exp j [g (iy, pi — i6) p (pt — i6) — 0

— q ^w, Pi 4-16) p (Pi + i6)] dpi J , (4.5.41a) где

«(»,₽)_ In (1--=^=-)+-=^=,(4.5.416)

n /o\ F'a (P) ^c (P) a cos Pa ccosp^f A A 4

^a(P)^c(P) Sin Pa Sin Pc *

Функция q (w, Ь) регулярна в полосе | Im w | < k2 комплексной плоскости w и, следовательно, непрерывна на действительной оси. Это означает, что

lim \q (w, Pi — Z6) — q (w, Pi +z6) ] = 0(4.5.42)

6->0

и что

lim p (Pi =F i6) = ± ib.(4.5.43)

a, c-*oo a-c=b

Используя эти соотношения в выражениях (4.5.41) при 6—>0, получаем

7? (гу) = exp [-^- j q (w, Pi) dpi].(4.5.44)

0

Интеграл из (4.5.44) вычислен в задаче 3.5. Если воспользоваться этим значением интеграла, то функция R (w), определенная согласно (4.5.44), совпадает с выражением в (4.5.34), и, таким образом, доказательство можно считать завершенным.

5.3. КОММЕНТАРИИ К МЕТОДУ

В приведенном выше примере показано применение процедуры сшивания к краевой задаче для открытой структуры. Основным моментом является тот факт, что решение задачи для открытой структуры получается как результат предельного перехода решения задачи для сходной замкнутой структуры. В частности, при применении метода вычетов функция / (zp) определяется с помощью предельного перехода из соответствующей функции / (ip), построенной ранее для сходной замкнутой структуры. Эта процедура по существу эквивалентна способу нахождения функции G+ (а) в методе Винера — Хопфа (см. (3.11.46)), поскольку / (w = za) тесно связана с G+ (a) (см. § 3.13).

§ 6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБОБЩЕННОЙ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ

В этой и предшествующих главах было исследовано значительное число аналитических методов решения краевых задач теории волноводов. В настоящем параграфе мы опишем еще один способ

Рис. 4.14. РазветвленныйРис. 4.14. Разветвленныйволновод с диэлектриком и без диэлектрика.волновод с диэлектриком и без диэлектрика.

Рис. 4.14. Разветвленный

Рис. 4.14. Разветвленный

волновод с диэлектриком и без диэлектрика.

волновод с диэлектриком и без диэлектрика.

анализа таких задач, который можно использовать вместе с уже известными методами, что может существенно расширить их область применения. Этот способ основан на использовании понятия обобщенной матрицы рассеяния.

Обобщенная матрица рассеяния тесно связана с матрицей рассеяния, используемой в теории цепей [63] или в теории линий передач СВЧ [55]. Отличие от обычной матрицы рассеяния состоит в том, что это понятие применяется при рассмотрении не только распространяющихся собственных волн волновода, но может быть использовано и для затухающих волн [32, 61] при последовательном рассмотрении целого класса краевых задач теории волноводов.

Проиллюстрируем определение обобщенной матрицы рассеяния на примере подробно разобранной нами краевой задачи о разветвленном волноводе, показанном на рис. 4.14, а» Пусть п-я соб-

ственная волна типа ТЕ падает из области А; в области А возникает отраженное поле, а в областях В и С — прошедшее. Пусть амплитуда n-й волны, падающей из области Л, нормирована на единицу; обозначим амплитуду т-й отраженной моды как 8АА (т, и), а амплитуду m-й моды, прошедшей в область В, — как SBA (т, и). Величины SAA (m, п) и 8ВА (т, п) являются элементами матриц рассеяния 8АА и 8ВА. Другие матрицы рассеяния (SBB, 8ВС и т. д.) могут быть определены аналогично. Обычно при определении матрицы рассеяния предполагается такая нормировка собственных волн, что энергия, переносимая каждой распространяющейся волной, равна единице. Поскольку в обобщенной матрице рассеяния учитываются и затухающие волны, такая нормировка становится неприменимой. Это приводит к асимметрии матриц рассеяния.

Использование обобщенных матриц рассеяния особенно удобно в том случае, когда рассматриваемую структуру можно представить в виде последовательности двух или более элементов, каждый из которых достаточно просто описывается с помощью обобщенной матрицы рассеяния. Следующий шаг состоит в рассмотрении многократного рассеяния на двух сходных сочле- нериях элементов. В результате удается формально представить точное решение задачи в виде рядов Неймана, содержащих матрицы бесконечного порядка. Во многих практически важных задачах можно получить достаточно точное решение, заменив бесконечную матрицу матрицей с конечным числом элементов.

В качестве примера рассмотрим показанный на рис. 4.14, в разветвленный волновод, нагруженный диэлектриком. При формулировке задачи с помощью обобщенных матриц рассеяния предположим вначале, что диэлектрик смещен в глубь области В от плоскости z = 0 на бесконечно малое расстояние 6 (т. е. 6 -> 0). В результате мы приходим к задаче для структуры, состоящей из сочленения двух рассеивающих элементов (или неоднородностей): элемент 1 — волноводное разветвление, изображенное на рис. 4.14,а, элемент 2 — граница диэлектрика, разделяющая области В и В*. Задачи о рассеянии на каждом из этих элементов могут быть решены порознь и решение можно описать с помощью матриц рассеяния (5АС, SAB, SBA, Sfc, 8ВВ' и т.д.). Пусть волна типа ТЕ (или ТМ) набегает из области А на неоднородность 1. Эта волна полностью определяется заданием амплитуд собственных волн, входящих в падающее поле, и может быть описана вектором ф<г\ который удобно представить в виде столбца, причем n-й элемент столбца или компонента вектора ф<^ представляет собой амплитуду n-й собственной волны в падающем поле. Падающее поле рассеивается на неоднородности 1, т. е. отражается в область Л, и проходит в области В и С. При этом поле, отраженное в область Л, можно описать вектором 8АА ф(г), а поле, прошедшее

в область В,— вектором SBA ф<г\ Прошедшее в область В поле рассеивается на неоднородности 2. Часть поля, прошедшая в область В', описывается вектором SB'B SBA ф(7\ а часть, отраженная в область В,— вектором SBB SBA ф<г\ Отраженное поле вновь падает на неоднородность 1 и опять рассеивается на ней.

Неоднородность / Неоднородность 2 *7

Вис. 4.15. Многократное рассеяние на неоднородностях 1 и 2 в структуре, изображенной на рис. 4.14, в. Поля, прошедшие в область С, не изображены.

Этот процесс многократного рассеяния продолжается бесконечное число раз, как схематически изображено на рис. 4.15. Суммируя все вклады в области А, обусловленные многократным рассеянием, получаем следующее выражение для вектора ф(г), представляющего отраженное поле:

ф(г)=st4^+sfVst^st^w+st^s^s^s®8^^ +... =

= SfАф<*>4- 2 8flS2^S®Ts®BfCs^A<pW. (4.6.1) n=0

Сумму, входящую в правую часть этого выражения, следует понимать как ряд Неймана. Можно показать (см. приложение), что эти ряды сходятся. Таким образом, последнее выражение можно переписать в виде

ф(г) = stАф(*> + StTs!B (/ -^ffs^^-Ts®Аф<1>, (4.6.2) где I— единичная матрица. Аналогично можно получить выражение для поля, прошедшего в область С;

^1 = S^A<pW + S^S^® (I — st ®St V1 SfA<P(i>. (4.6.3)

и поля, прошедшего в область В:

4$ = SB-B ^_sBBsBByX gBA^(4.6.4)

Заметим, что формально выражения (4.6.2) — (4.6.4) определяют точное решение, если все матрицы рассеяния могут быть найдены точко. При практических вычислениях вместо матриц рассеяния ■бесконечного порядка можно ограничиться матрицами конечных размеров. К счастью, во многих прикладных задачах ряды в формулах (4.6.2) — (4.6.4) сходятся весьма быстро, что обеспечивает достаточную точность результатов вычислений при использовании матриц не слишком высокого порядка.

Для изображенного на рис. 4.14, б разветвленного волновода все матрицы рассеяния можно найти точно. Действительно, неоднородность 1 представляет собой плоскость разветвления, изображенного на рис. 4.14, а волновода (без диэлектрического заполнения). Характеристики рассеяния на неоднородности 1 могут быть получены из рассмотрения следующей задачи. В качестве примера возьмем волны с поперечно-электрической поляризацией. Пусть поле, падающее из области А (см. рис. 4.14, а), имеет вид

Е^ = ф(’) = 3 <> sin ^^ e-Vnaz,(4.6.5)

П=1

где Упа^ [(^зт/а)2 — ^2]1/2. Рассеянное поле в областях А, В и С можно представить в виде

<р<г> = ^ 2 Лппф^г) sin (-^я^ е^^ в области А, (4.6.6а) n=i т=1

Ф^^ 2 2 5тпф^1) sin ^-^-ж) e~vmbz в области В, (4.6.66) п=1 т=1

^>= 2 2 ^mn^ sin р^ (х —5)J e~VmcZ в области С. (4.6.6в) п=1 т=1

Коэффициенты {Атп}, {Втп) и {Стп} находятся методом вычетов, или методом Винера — Хопфа г). После этого матрицы рассеяния на неоднородности 1 определяются следующим образом:

SfА — (Лтп](^х^)» S®А = \Bmn\(NxN)i S^A = [CmnVNxN>* (4.6.6г) Порядок N матрицы определяется полным числом распространяющихся и затухающих собственных волн частичной области. Вообще говоря, в волноводе существует бесконечно много волн и поэто- ^— *-

"1) В частности, формулы (2.3.21) дают явные выражения для коэффициен

тов {Лт1}.

му для точного решения необходимо N -^ оо. Аналогично можно определить матрицы рассеяния для неоднородности 2.

Как упоминалось ранее, при практических расчетах бесконечные матрицы в соотношениях (4.6.2) — (4.6.4) должны быть заменены на матрицы конечного порядка N. Для того чтобы продемонстрировать сходимость решения при увеличении порядка N редуцированной матрицы, приведем пять результатов численного расчета.

Первый пример относится к разветвленному волноводу с диэлектриком (изображенному на рис. 4.14, б) при падении ТЕМ- волны. Параметры волновода приведены в табл. 4.1. Коэффициенты отражения, вычисленные с помощью выражения (4.6.2) при различных значениях порядка N матрицы рассеяния, представлены в табл. 4.4. Нетрудно убедиться в прекрасном согласии значений коэффициентов отражения, приведенных в табл. 4.4, с приведен

Таблица 4.4

Коэффициенты отражения

N

АБВ

1

2

3

4

5

(0,105; 185°,1) (0,379; 198°,8) (0,52; 184°,6) (0,107; 185°,4) (0,388; 200°,7) (0,52; 182°,8) (0,107; 185°,4) (0,391; 201°,1) (0,52; 182°,2) (0,107; 185°,4) (0,392; 201°,2) (0,52; 182°,2) (0,107; 185°,4) (0,392; 201°,3) (0,52; 182°,2)

ными в табл. 4.3 значениями этих же величин, вычисленными с помощью модифицированного метода вычетов ). Необходимо, однако, указать на то, что объем вычислений при решении модифицированным методом вычетов значительно меньше, чем при использовании обобщенных матриц рассеяния. Следовательно, последний метод разумно применять для анализа таких задач, которые не могут быть решены другими методами. Ниже мы приведем примеры нескольких задач такого рода.

Волновод с тройным разветвлением [62]. Волновод с тройным разветвлением схематически изображен на рис. 4.16, а. Для произвольных значений параметров Ъ, с и d эту задачу нельзя точно решить известными аналитическими методами. При решении с по-

мощью обобщенной матрицы рассеяния эту структуру удобно рассматривать как предельный случай структуры из двух последовательных неоднородностей (рис. 4.16, б) при стремлении к нулю расстояния 6 между ними. Каждая из неоднородностей представляет^ разветвление волновода, рассеивающие характеристики которого могут быть найдены точно. В табл. 4.5 приведены численные

Таблица 4.5

Коэффициенты отражения

N

Коэффициенты отражения

1

2

3

4

5

(0,500; 255°,5)

(0,470; 258°,4)

(0,470; 258°,9)

(0,470; 257°,9)

(0,470; 258°,1)

значения коэффициентов отражения в области В при падении из нее волны типа ТЕМ. Расчет проводился при следующих относительных размерах волновода: а/Х = 0,4 и Ыа = da = 0,25. Приведенные численные результаты получены для различных значений порядка N матрицы рассеяния. Из таблицы видна быстрая сходимость результатов.

Неоднородности:] 2Неоднородности:] 2Рис. 4 16. Волновод с тройным разветвлением и соответствующая последовательность неоднородностей в методе обобщенной матрицы рассеяния.Рис. 4 16. Волновод с тройным разветвлением и соответствующая последовательность неоднородностей в методе обобщенной матрицы рассеяния.

Неоднородности:] 2

Неоднородности:] 2

Рис. 4 16. Волновод с тройным разветвлением и соответствующая последовательность неоднородностей в методе обобщенной матрицы рассеяния.

Рис. 4 16. Волновод с тройным разветвлением и соответствующая последовательность неоднородностей в методе обобщенной матрицы рассеяния.

Интересно отметить, что в одном частном случае возможно точное решение задачи о волноводе с тройным разветвлением. Это позволяет проверить точность результатов, найденных с помощью обобщенных матриц рассеяния. Точное решение можно получить в случае, когда полубесконечные металлические плоскости расположены симметрично относительно оси волновода х = а/2 (в этом случае Ь = d на рис. 4.16, а). Пусть структура возбуждается вол-

ной типа ТЕМ, набегающей из области В. Формально можно разбить падающее поле на четную и нечетную части, как показано на рис. 4.17, а и б. В результате рассматриваемая задача сводится к двум эквивалентным задачам для структур, изображенных на рис. 4.17, в и г. Эти задачи допускают точное решение. Обозначим коэффициенты отражения в области В, полученные при решении этих двух задач, соответственно через В^ и Вв^. Тогда >

ббЭлектрическая стенкаЭлектрическая стенкаIIМагнитная стенкаXМагнитная стенкаX

б

б

Электрическая стенка

Электрическая стенка

I

I

Магнитная стенка

X

Магнитная стенка

X

г

Рис. 4.17. Структуры, эквивалентные симметричному волноводус тройным разветвлением: (а) симметричное возбуждение; (б) ан-тисимметричное возбуждение; (в) структура, эквивалентная V^JAструктура, эквивалентная (б)

согласно принципу суперпозиции, коэффициент отражения для волновода с тройным симметричным разветвлением равен

ЯвЦтВД.(4.6.7)

Пусть, например, а!Х = 0,3 и ЫХ = с/Х = d/X = O,l. Коэффициент отражения, вычисленный на основе точного решения по формуле (4.6.7), оказывается равным Нв = 0.646 exp (г 229°, 0). Использование обобщенных матриц рассеяния при N = 4 приводит к значению Вв = 0,643 ехр (1229°, 0), действительно близкому к точному решению.

Периодическая система плоских полубесконечных волноводов с толстыми стенками [И]. В § 2.6 и 3.8 рассматривалась задача об излучении из периодической системы плоских полубесконечных волноводов с бесконечно тонкими стенками. Однако практически стенки всегда имеют конечную толщину, и поэтому важно выяснить влияние толщины стенок на характеристики излучения такой структуры.

Толстостенная решетка с синфазным возбуждением схематически изображена на рис. 4.18, а. Эту задачу также нельзя решить

3—

аб

Рис. 4.18. Бесконечная решетка из плоских полубесконечныхволноводов с толстыми стенками.

каким-либо аналитическим методом ). При решении с помощью обобщенных матриц рассеяния можно представить себе, что одна из сторон такой стенки продлена и выступает на бесконечно малое расстояние 6, как показано на рис. 4.18, б; в результате оказывается, что неоднородный участок структуры состоит из последовательно расположенных неоднородностей: при z = Q и z = 6. Для описания рассеяния на неоднородности 2 должна решаться задача о периодической системе с тонкими стенками, точной решение которой приведено в § 2.6 и § 3.8. Рассеяние на неоднородности 1 описывается решением задачи о ступенчатой неоднородности в плоском волноводе; эта задача была решена модифицированным методом вычетов в § 3. Таким образом, полное решение задачи легко выражается в форме (4.6.2) и (4.6.4).

Коэффициенты отраженияКоэффициенты отражения

Коэффициенты отражения

Коэффициенты отражения

Решетка из вол- поводов с тонки- ми стенками (аД=0,6205)

Решетка из волноводов с толстыми стенками (аД = 0,6205, с/а = 0,0637)

N = 1N=3N = 5

0°(0,2561;147°,5)

10°(0,2490;144°,5)

20°(0,2268;133°,9)

30°(0,1878;109°,3)

40°(0,0525;32°,0)

50°(0,0021;32°,4)

■60°(0,0050;32°,4)

70°(0,0298;32°,1)

80°(0,0745;31°,8)

90°(0,1438;31°,7)

(0,2730; 149°,7)(0,2740;148°,6)(0,2743;148°,0)

(0,2656; 146°,8)(0,2665;145°,8)(0,2667;145°,2)

(0,2419; 137°,2)(0,2427;136°,3)(0,2428;135°,7)

(0,1974; 114°,9)(0,1978;114°,0)(0,1977;113°,4)

(0,0395; 51°2)(0,0393;49°,8)(0,0390;48°,9)

(0,0183; 167°,7)(0,0182;168°,6)(0,0182;169,°3)

(0,0164; 160°,6)(0,0162;161°,6)(0,0162;162°,4)

(0,0195; 73°,5)(0,0192;72°,1)(0,0188;71°,3)

(0,0608; 44°,3)(0,0608;43°,2)(0,0606;42°,4)

(0,1295; 37°,8)(0,1298;36°,8)(0,1297;)36°,1).

Таблица 4.6

Пример численного расчета зависимости коэффициента отражения падающей 77?Ь0-волны от угла падения 60 (см. § 2.6) представлен в табл. 4.6. Чтобы показать влияние толщины стенки, во

а б

Рис. 4.19е Бесконечная плоская решетка из прямоугольныхволноводов»

ътором столбце приведены значения коэффициента отражения для структуры из бесконечно тонких полуплоскостей (с/а = 0), полученные из результатов задачи 2.5. Следующие три столбца таблицы содержат результаты, полученные для структуры с толстыми стенками при использовании матриц рассеяния различных порядков, и показывают скорость сходимости решения.

Бесконечная плоская решетка, образованная из полубесконечных прямоугольных волноводов [45]. Плоская антенная решетка, образованная открытыми концами прямоугольных волноводов, изображена на рис. 4.19, а. Каждый из волноводов возбуждается основ-

ной волной типа ТЕ с одинаковой амплитудой; возбуждение синфазное, т. е. его фаза изменяется вдоль раскрыва структуры по линейному закону; при этом направление главного максимума излучения задается углами (60, ф0). В частном случае, когда сканирование главным лепестком диаграммы направленности производится лишь в плоскости хк (Я-плоскость) (т. е. направление максимума излучения изменяется в пределах 0 ^ 60 < л/2, ф0 = 0),

Рис. 4.20. Дифракция на открытом конце волновода с диэлектрическим заполнением.Рис. 4.20. Дифракция на открытом конце волновода с диэлектрическим заполнением.

Рис. 4.20. Дифракция на открытом конце волновода с диэлектрическим заполнением.

Рис. 4.20. Дифракция на открытом конце волновода с диэлектрическим заполнением.

можно, не изменив распределения поля, удалить стенки волноводов, параллельные жг-плоскости. В результате задача сводится к двумерной и может быть решена точно (см. задачу 2.5). Если направление главного максимума диаграммы излучения произвольно, задача становится очень сложной. Для ее решения можно, как показано на рис. 4.19, б, представить исследуемую структуру в виде последовательности двух неоднородностей: неоднородность 1 является раскрывом антенной решетки, образованной из параллельных полубесконечных пластин, а неоднородность 2 — периодическая последовательность полу ограниченных полос в плоском волноводе. Задачи для неоднородностей обоих типов двумерные и допускают точное решение.

Дифракция на открытом конце волновода, заполненного диэлектриком [43]. До сих пор рассмотрение, использующее обобщенные матрицы рассеяния, применялось нами для исследования замкнутых волноводных областей или периодических структур. Однако этот метод можно использовать и при решении целого класса задач об открытых структурах. Задача о дифракции на открытом конце волновода, заполненного диэлектриком (рис. 4.20, а) может служить примером задачи такого типа. Как обычно, представим себе, что диэлектрик сдвинут на бесконечно малое расстояние 6 вглубь от раскрыва волновода (рис. 4.20, б), и воспользуемся соотношениями (4.6.2) и (4.6.4). Ниже приводятся некоторые

16—036?

результаты численных расчетов, относящиеся к задаче о дифракции на толстой идеально проводящей полуплоскости (Im 8r -> оо) при 2кЬ = 3. Плоская электромагнитная волна с составляющей магнитного поля, параллельной оси у, падает под углом 60 = 30°

Рис. 4.21. Диаграмма направленности излучения, рассеянного толстой полуплоскостью, рассчитанная с помощью матриц порядка N = 1, 3, 5 и 7 (сплошная линия соответствует амплитуде Р (ф), а пунктирная — фазе Р (ф)).

к оси 2 (рис. 4.19, а). На рис. 4.21 изображены угловые распределения рассеянного поля в дальней зоне в диапазоне углов — л/2 ^ 6 < л/2, рассчитанные с использованием матриц рассеяния различных порядков (TV = 1, 3, 4 и 7). Отметим высокую скорость сходимости решений.

ЗАДАЧИ

Показать, что краевые задачи для структур, изображенных на рис. 4.1, б и г и рис. 4.2, б и г, сводятся к бесконечным системам уравнений типа (4.1.1).

Показать, что одно из решений (4.3.31) для больших т имеет вид Дт Д.

Указание. Заменить в (4.3.31) ymd на mnld. и, выразив результирующее бесконечное произведение через гамма-функции, показать, что при больших т выполняется соотношение 2 sin лАт => = Рт*

Рассмотрим периодическую структуру, образованную из плоских полубесконечных волноводов, заполненных диэлектриком, изображенную на рис. 4.2, б. Пусть структура синфазно возбуждается волнами типа TElt 0, набегающими на раскрыв из каждого волновода, и

S^ = sin £^ (^ — ma)J e-aiV^ та<х< (m + l)a и z<0, где an = [(пл/a)2 — A:2]1/2, и = ka sin 0O, 0O — направление главного максимума излучения. Запишем отраженное поле в видё

Z?y= ^ ^nsin ^^(я —ma)J еа^^ тпа<ж<(т + 1)а и z<CL

Показать, что неизвестные коэффициенты {Лп} удовлетво* ряют системе уравнений

П=1

где

^[(г^)2-^*'-,

Приведенная выше система уравнений может быть решена модифицированным методом вычетов. Показать, что функция / (ш), которую необходимо в этом случае построить, имеет вид

/ ^ = ехр Г^±^ In 21-ЫЦ1±£±) . roz±L х

' ' rL лJ u>+ai Го+ai

v тт JlzzJ^^HkLf!;/!^

Д1 U+ai/TnXl+ai^-nXl-w/an) •

где {Гп} — система смещенных нулей, определяемая из уравнения

/ (Vm) + Рт/ (—Ут) = 0, т = О, ±1, ±2, . . .,

. Показать с помощью условия на ребре, что Гт -> ^т при | т | -> оо [44].

Рассмотрим периодическую структуру, изображенную на рис. 4.2, 6. Пусть структура возбуждается волной типа TEXi 0 с единичной амплитудой, набегающей из одного волновода (возбуждение в остальных волноводах отсутствует):

Г sin ( —0<ж<а и

Е^ = {' а '

(Ов оставшейся области.

Показать, что поле излучения в дальней зоне определяется формулой

5у(р,9)-)/ ^e-’(*P-"/4)Cos0[Do(Oo)]eo^ ^Р^оо,

где Z)o (60) — диаграмма направленности излучения для периодической структуры, рассмотренной в задаче 4.3. Явная зависимость Do(^ от угла сканирования 0О дается формулой

Все использованные здесь обозначения определены в задаче 4.3.

Рассмотрим бесконечное произведение, типичное для модифицированного метода вычетов:

«Ы- ПО-Й)^- П (*-^Ьч )Ль'"“ п—1-п=1

Перепишем его в форме, удобной для применения теории возмущений:

^>-П(’-^)Л6'"”('+2г^)-

п=1т=1

Асимптотическое значение величин {Ап}, обозначаемое через А, можно определить из условия на ребре (см. разд. 4.3.3). Показать, что при больших т справедлива асимптотическая оценка

Fm ~ ± Г (1 + Л) sin (лА) т-<1+д).

Указание» Используя соотношение (1.4.11), показать, что

Ypb "1Tnb+(nAn/6)J РYpb "1Tnb+(nAn/6)J Р

Ypb "1

Tnb+(nAn/6)J Р

Ypb "1

Tnb+(nAn/6)J Р

^/"А г (1 -|- Д) e^-^f+P^Psin (рл — Дл) р-^^-А^

П=1П=1_ 2^) еь^рг>/пл ^ у/* JLe(C-i)p+pinp2L( —1)Р+1рУ2)_ 2^) еь^рг>/пл ^ у/* JLe(C-i)p+pinp2L( —1)Р+1рУ2)р—> оо.р—> оо.

П=1

П=1

_ 2^) еь^рг>/пл ^ у/* JLe(C-i)p+pinp2L( —1)Р+1рУ2)

_ 2^) еь^рг>/пл ^ у/* JLe(C-i)p+pinp2L( —1)Р+1рУ2)

р—> оо.

р—> оо.

ЕУ =ЕУ =2 Ап sin (-^ ж) е4"1^ п=12 Gn sin (-^- ж) е^пь171= 12 ^sinp^fc^Je-?^П=12 Ап sin (-^ ж) е4"1^ п=12 Gn sin (-^- ж) е^пь171= 12 ^sinp^fc^Je-?^П=1в области Л,в области Л,в области В,в области В,в области С,в области С,

ЕУ =

ЕУ =

2 Ап sin (-^ ж) е4"1^ п=1

2 Gn sin (-^- ж) е^пь1

71= 1

2 ^sinp^fc^Je-?^

П=1

2 Ап sin (-^ ж) е4"1^ п=1

2 Gn sin (-^- ж) е^пь1

71= 1

2 ^sinp^fc^Je-?^

П=1

в области Л,

в области Л,

в области В,

в области В,

в области С,

в области С,

Рассмотрим плоский разветвленный волновод, заполненный диэлектриком, как показано на рис. 4.22. Пусть из обла-

Рис. 4.22. Разветвленный волновод с двойным диэлектрическим заполнением.

сти Л (z < 0) набегает волна типа ТЕlt 0:

5yl) = sin (-—-^j е^1»2 в области А.

Представим рассеянное поле в виде

где

Vna= [(пл/a)2—&2]1/2, Tnt = [(пл/Ь)2— еьА^]1/2, Т^с = 1(«я/с)2 — ее*2!1'2.

Показать, что коэффициенты {Лп} удовлетворяют, следующей бесконечной системе уравнений:

2 (*+ р? "U„Sin(-^) =

\ Упа—Ymb Yna + Ymb /\ Д /

т = 1, 2, 3, ...,т = 1, 2, 3, ...,т — 1, 2, 3, ...,т — 1, 2, 3, ...,--) sin ( — ) ,

т = 1, 2, 3, ...,

т = 1, 2, 3, ...,

т — 1, 2, 3, ...,

т — 1, 2, 3, ...,

\Yia+Ymb ' Via — Vmb J\ а Г

У+-Р^)Л„81п(^) =

V?na Ymc Yna + Vтс /\ а /

п=1

= (-4—+-^-hinf-^), \ Ма + Ттс Via—Ymc /\ а Р

где

П(Ь) Ymb— Vmb n(c)Ymc 'Ymc~ ^mb + Ymb ’ PW "Ттс + Уж*

Решить эту систему модифицированным методом вычетов.

Указание. При построении функции / (и?) необходимо найти две последовательности смещенных нулей: {Гт&}, которые переходят в {уть} в предельном случае еь -^ 1, и {Гтс}, которые переходят в {утс} в предельном случае ес->1. Здесь целесообразно

Рис. 4.23. Зубчатая решетка (эшелетт).Рис. 4.23. Зубчатая решетка (эшелетт).

Рис. 4.23. Зубчатая решетка (эшелетт).

Рис. 4.23. Зубчатая решетка (эшелетт).

вместо (4.3.40) воспользоваться более общим представлением:

мум-[П(1-У(1-^п—0

мм

L1 + 2 (1—1У/7пь)+ 2 (1 —ш/тпс)п=0п=0

Рассмотрим дифракцию плоской волны на решетке, изображенной на рис. 4.23 (отражательную решетку, которая получается из изображенной на рисунке в случае d = 0, в оптике обычно

называют эшелеттом). Эта решетка представляет собой видоизменение гребенчатой структуры, рассмотренной в задаче 2.9. Пусть падающее поле имеет вид

Еу^ (х, z) = exp Yik (х sin 60 + z cos 60) ]•

Рассеянное поле в свободном полупространстве выразим в виде

E^X,Z)= 2 ЛРеХР[Ц-^Сфо *~М]’ Z<0’

Р=— со

где Ь = a sec фо sin 60 и

ар = У№ — [(Ю + 2рл)/а sec ф0]2.

Рассеянное поле в m-м волноводе (включая треугольную область) выражается в виде

ОО

Еу (ж, z) = 2 В^ ехр [фп (v — та tg ф0)] +

П=1

+ С^ exp [(— i) pn (у—та tg Фо)1 sin ^^- (и — та) ] , та<_и<_ (m +1) a, (?n +1) а tg ф0< v-< (m + 1) аtgфo + d, где рп = [^ —(пл/а)]1/». Показать, что коэффициенты В„ и С™ удовлетворяют соотношениям

<а) В^е-^ъ = В°и = Вп,

Qm^-imkb^о q

(б) Вп ехр [фп (a tg ф0 + d)] + Сп ехр [ — фп (а tg ф0 + d)] = О, а бесконечная система уравнений для неизвестных коэффициентов {Лп} имеет вид

Е

/ i। Pm \ л 11 Pm

\ Yp PmYp + Pm / Р A' + Pmк'—Pm 1 '

771 = 0, il, i 2,

где &'= fccos (0O —Фо), Yp = fccos^0 + arccos(ap/fc)J и

pm= - exp {i2pm (a tg фо + d)} ? ~! ~! С ^ !^ь 1 '1™ ^ Ф°! •

r x 6 M 1— (--l)rnexp(^A:b + lapmtgфo)

Найти решение этой системы уравнений модифицированным методом вычетов.

Указание. Получить бесконечную систему уравнений, следуя способу, предложенному ранее в задаче 2.9. Функция / (w;),

используемая в модифицированном методе вычетов, должна иметь нули {Рп}, причем при п -> оо должны удовлетворяться соотношения

(Рп-Рп) —(Рп-Рп) —/л 6а ’о,/л 6а ’о,если d = 0, если ds/=O,если d = 0, если ds/=O,

(Рп-Рп) —

(Рп-Рп) —

/л 6а ’

о,

/л 6а ’

о,

если d = 0, если ds/=O,

если d = 0, если ds/=O,

в соответствии с условием на ребре [25].

Рассмотрим апериодическую структуру, образованную волноводами, часть из которых закорочена на расстоянии h от открытого конца (рис. 4.24) [39]. Пусть в одном из незакороченных

Рис. 4.24. Апериодическая решетка из плоских волноводов.

волноводов возбуждается основная волна типа ТЕМ (единствен- йая распространяющаяся волна в волноводах). Найти поле излучения в дальней зоне в свободном полупространстве ж > 0 и отраженное поле внутри каждого волновода.

Указание. При формулировке этой задачи следовать схеме решения, напоминающей описанную в § 3. Однако из-за отсутствия у структуры периодичности при решении следует ограничиться конечной системой линейных уравнений, которая должна решаться численно [39].

Рассмотреть частный случай структуры, описанной в задаче 4.8. Пусть гребенчатая структура, изображенная на рис. 4.25, возбуждается конечным числом волноводов. Такая структура может быть использована для имитации конечной фазированной сканирующей решетки, и, следовательно, эта задача имеет практический интерес.

Установить соотношение (4.5.35) 'в предельном случае а, с -> оо и а — с — Ь.

Указание. Из (4.5.32) имеем м

’4 \ Тпа Тпс / (Мл/а)-гд

=[ I

О-гд

1

1

2 У(Мл/а)2—*2

1 П(Р)

Ур2 —№ ^„(Р)

1

2ni

(We)-<6

а!» VF

^(Р)

12-^2 Fc(5)

2 У(Мл/с)2 —А2

(Мл/а)+гд

Г « Я№ .

(Мл/с)+гб

_(1^(Р)

JУрг_*2 Fc (Р)

0+id v г

Пусть теперь а, с и М -> оо так, что М/а -> оо и М/с -> оо. С помощью соответствующих предельных переходов 'в приведенном:

Рис. 4.25. Структура, имитирующая решетку конечных размеров.Рис. 4.25. Структура, имитирующая решетку конечных размеров.

Рис. 4.25. Структура, имитирующая решетку конечных размеров.

Рис. 4.25. Структура, имитирующая решетку конечных размеров.

выражении показать, что м

П=1

Рассмотрим дифракцию плоской волны на периодической структуре, образованной из плоских волноводов с толстыми стенками, заполненных диэлектриком [11] (рис. 4.26). Используя обобщенные матрицы рассеяния, показать, что рассеянное поле в свободном пространстве задается формулой

яр = 5^° + st BrsPr (I-st Brsf вГ)-‘ sf А^<г),

где Г — матрица, которая описывает распространение волн между неоднородностями 1 и 2. Приведем явное выражение элементов матрицы 'Г:

Г (ап, п) = 6” exp { — d [(пл/Ь)2 — А?]1/2}.

Отметим, что SfB = ± /^ в случаях, когда граница диэлектрика заменяется стенкой из идеального проводника илу магнетика [11]. Большое число численных результатов для структуры с тонкими полуплоскостями (с = 0) можно найти в работе [73].

Рис. 4.26. Бесконечная решетка из заполненных диэлектриком плоских полубесконечных волноводов с толстыми стенками.

Рис. 4.27. Бесконечная плоская решетка из тонких лент*Рис. 4.27. Бесконечная плоская решетка из тонких лент*Показать, что решение задачи 4.11 можно использовать для рассмотрения дифракции плоской волны на бесконечной плоской решетке из тонких лент, показанной на рис. 4.27.

Рис. 4.27. Бесконечная плоская решетка из тонких лент*

Рис. 4.27. Бесконечная плоская решетка из тонких лент*

Указание. Разложить поле на симметричную и антисимметричную части относительно плоскости z = 0. Антисимметричная часть эквивалентна случаю, когда просветы между лентами заполнены идеальным магнетиком. Если составляющая магнитного поля в падающей плоской волне параллельна оси у, то задача становится идентичной задаче для структуры, изображенной на рис. 4.27, с d = 0 и SBB = - I.

ГЛАВА 5

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА МЕТОДЕ ВИНЕРА —ХОПФА

ВВЕДЕНИЕ

В гл. 3 мы рассматривали обычное функциональное уравнение Винера — Хопфа

G (а) Х+(а) 4-У-(а) +(а) = О, т_<т<т+,(5.1.1)

к которому удается привести целый класс краевых задач электродинамики для структур, образованных комбинацией полубесконеч- ных элементов. Функции, входящие в уравнение (5.1.1), обычно имеют следующий смысл: G (а) — преобразование Фурье функции Грина, W> (а) —- преобразование Фурье падающего поля. Неизвестные ) функции Х+ (а) и Y_ (а) регулярны в соответствующих полуплоскостях комплексной переменной а и обычно представляют собой преобразование Фурье искомого электрического или магнитного поля в полубесконечных областях решения уравнения (5.1.1), т. е. неизвестные функции Х^ (а) и Y_ (а) можно определить с помощью аналитического продолжения, как это было описано в гл. 3. Решение находится с точностью до целой функции Р (а), которая может быть однозначно определена только с помощью добавочного требования (условия на ребре) к асимптотике функции X-v (а) и Y_ (а) при больших а.

В настоящей главе рассмотрим два типа модифицированных функциональных уравнений Винера — Хопфа, к решению которых сводятся волноводные задачи. Модифицированные уравнения Винера — Хопфа, соответствующие несколько видоизмененным структурам, не решаются в замкнутом виде. Однако с помощью описанных ниже методов удается получить приближенное, но достаточно точное решение этих уравнений.

Модифицированное уравнение первого типа имеет следующий общий вид:

G (а) Х+ (а) + Я (а) Х+ (- а) + У. (а) + Ч^ (а) = 0, т_ < т < т+,

(5.1.2)

где Н (а) — известная функция. Сравнивая уравнения (5.1.1) и (5.1.2), мы видим, что в последнем присутствует дополнительное слагаемое# (а)Х+ (—а). Как правило, к уравнению (5.1.2) можно прийти при решении краевых задач для модифицированных структур, у которых один из полубесконечных элементов претерпел изменения в поперечном направлении. Примеры таких структур представлены на рис. 5.1: (а) периодическая система волноводов,

Рис. 5.1. Структуры, модифицированные в поперечном направлении.Рис. 5.1. Структуры, модифицированные в поперечном направлении.

Рис. 5.1. Структуры, модифицированные в поперечном направлении.

Рис. 5.1. Структуры, модифицированные в поперечном направлении.

заполненных диэлектриком, (б) толстая полуплоскость, (в) волновод с бесконечным фланцем. Аналитические свойства функции Н (а) зависят от вида модифицированной области и играют важную роль при выборе метода решения уравнения (5.1.2). При модификации замкнутых областей (когда поперечные размеры области конечны), как, например, в случаях а и б на рис. 5.1, функция Н ^ обладает только полюсами, которые соответствуют дискретным собственным значениям спектра модифицированной области ). В этом случае уравнение (5.1.2) можно решить с помощью метода, основанного на подборе сигнулярностей для приближенного решения [531. Этот метод подробно описан в § 2 и 3. При модификации открытых структур функция Н (а) обычно имеет точки ветвления.

Пример такой структуры — волновод с фланцем, показанный на рис. 5.1, в. Метод решения задач этого типа будет описан в § 6.

Модифицированное уравнение Винера — Хопфа второго типа имеет вид

У_(а) + С(а)Х1(а)+е’“Ч\(а)+¥^^т_<т<т+. (5.1.3)

Здесь У_ (а), Хг (а) и У+ (а) — неизвестные функции. К уравнениям этого типа, как правило, сводятся краевые задачи для структур, у которых полубесконечные элементы усечены в продольном направлении до конечной длины L. Типичные примеры структур

66Рис. 5.2. Структуры, модифицированные в продольном направлении.Рис. 5.2. Структуры, модифицированные в продольном направлении.

6

6

Рис. 5.2. Структуры, модифицированные в продольном направлении.

Рис. 5.2. Структуры, модифицированные в продольном направлении.

такого вида — волноводное разветвление конечной длины (рис. 5.2, а), два волновода с открытым концом (рис. 5.2, б), полоса (рис. 5.2, в). Неизвестная функция Хг (а) в (5.1.3) определяется конечным преобразованием Фурье

Xi (a) =Xi (a) =^=- f ф (z) eiaz dz, 2л *О^=- f ф (z) eiaz dz, 2л *О(5.1.4)(5.1.4)

Xi (a) =

Xi (a) =

^=- f ф (z) eiaz dz, 2л *

О

^=- f ф (z) eiaz dz, 2л *

О

(5.1.4)

(5.1.4)

где функция ф (z) обычно имеет смысл электрического или магнитного поля. Заметим, что в пределе при L -> оо функция Хх (а) переходит в (а) и exp (iaZ)0. При этом уравнение (5.1.3) переходит в обычное уравнение Винера — Хопфа (5.1.1). В краевых задачах для замкнутых структур (например, для структуры, изображенной на рис. 5.2, а) функция Грина G (а) в уравнении (5.1.3) обладает только особенностями типа полюсов. В задачах же для открытых областей (рис. 5.2, бив) функция G (а) имеет также и точки ветвления. В § 5 и 6 оба эти случая будут рассмат-

Рис. 5.3. По- лубесконечная штыревая антенна.Рис. 5.3. По- лубесконечная штыревая антенна.удобно разложитьудобно разложить

Рис. 5.3. По- лубесконечная штыревая антенна.

Рис. 5.3. По- лубесконечная штыревая антенна.

удобно разложить

удобно разложить

риваться с помощью развитого Джонсом [21] метода, приводящего* к интегральному уравнению специального типа. Это интегральной уравнение будет решаться как методом Джонса, так и с помощью модифицированного метода, описанного в § 2 и 3. В частности, будет показано, что в задачах для замкнутых областей модифицированный метод приводит к системе алгебраических уравнений, допускающих асимптотическое решение с помощью условия на ребре. Оказывается, что полученное таким образом решение тождественно решению, найденному модифицированным методом вычетов (§ 4.3).

ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ КРУГЛАЯШТЫРЕВАЯ АНТЕННА *)

В этом параграфе будет рассмотрено решение физической задачи, которую можно описать уравнением (5.1.2) с мероморфной функцией Н (а). Задача состоит в расчете входного* адмитанса полубесконечной штыревой антенны (или вибратора), изображенной на рис. 5.3. Предполагается, что вибратор возбуждается гипотетическим генератором с напряжением единичной амплитуды через бесконечно тонкий зазор, расположенный в плоскости z = —h. В этом случае приложенное (или падающее) электрическое поле задается в виде

£■<^ = 0 + 0,2) = б (2 +А), (5.2Л) где б (z + А) — дельта-функция. Полный ток , возбуждаемый в антенне источником (5.2.1), на две составляющие:

7(t)(2)^7(”)(2) + 7(r)(z),(5.2.2)

где 7(oo)(z)— ток, возбуждаемый источником (5.2.1) в бесконечно длинной антенне, а /(г) (z) — отраженный ток, возникающий при падении 7(оо) (z) на торец стержня z = 0.

РЕШЕНИЕ ДЛЯ l(°°) (z) 2)

Начнем с рассмотрения бесконечно длинного вибратора. Из уравнений Максвелла следует, что источник вида (5.2.1) возбуждает вдоль бесконечной цилиндрической структуры волну типа ТМ (см. (1.5.10)). С учетом азимутальной симметрии задачи

х) Аналогичная задача рассматривалась в работе [37].— Прим. ред.

2) Читатели, больше интересующиеся деталями модифицированного метода Винера — Хопфа, а не физическими свойствами антенн, могут пропустить этот раздел.

рассеянное поле можно выразить через вектор-потенциал А = аД по формулам

^(Р.^-^^ + У)(5.2.3а)

В, (р, г) - — Д ,(5.2.36)

^<p(p.z)=-V’(5-2-3в)

где (р, ср, z) — цилиндрические координаты, а функция ф удовлетворяет скалярному волновому уравнению

^(p^)+s+^-"-^(p^)+s+^-"-(5.2.4)(5.2.4)

^(p^)+s+^-"-

^(p^)+s+^-"-

(5.2.4)

(5.2.4)

Решение уравнения (5.2.4) при р > а можно представить в виде

^ (р>z)=i f ¥ ^ к° (ур) e"iaz da’^ (р>z)=i f ¥ ^ к° (ур) e"iaz da’p>a,p>a,(5.2.5)(5.2.5)

^ (р>z)=i f ¥ ^ к° (ур) e"iaz da’

^ (р>z)=i f ¥ ^ к° (ур) e"iaz da’

p>a,

p>a,

(5.2.5)

(5.2.5)

где К0 — модифицированная функция Бесселя г) и, как обычно, у = (a2 — fc2)1/2. Отметим, что интеграл (5.2.5) представляет собой суперпозицию цилиндрических волн (см. § 1.6). Для нахождения неизвестной функции V (а) потребуем равенства нулю тангенциальной компоненты электрического поля на поверхности вибратора:

^^(р, z)-f-Sz(p, z) = 0, для p = a4-0 и для всех z» (5.2.6)

Из определения (5.2.1) поля источника следует, что

£z(a + 0, z) = -6(z + /i)= -^ ( rtaWda. (5.2.7)

1) Приведем некоторые полезные соотношения для функций К^ (tv): К„ (ш) = (m-/2) eiv”/25v ’ (^л/2), —л < Arg и, < л/2, K„ (w) = -(ni/2) e-^^H^ (ше-^2), (-^/2) < w < Л.

-Lk0^=-khw^,

K^K^e"we"w(^(^4V2—14u>4V2—14u>, | w | -> oo и | Arg w | < Зл/2., | w | -> oo и | Arg w | < Зл/2.

K^

K^

e"w

e"w

(^

(^

4V2—1

4u>

4V2—1

4u>

, | w | -> oo и | Arg w | < Зл/2.

, | w | -> oo и | Arg w | < Зл/2.

Cm. также [1].

В то же время из выражений (5.2.5) и (5.2.3а) имеем

+<» ,

Ег {а + 0, ^ = - ^ J ^ ^ (®) К» ^d) е-^ da. (5.2,8)

Сравнивая (5.2.8) и (5.2.7); получаем

(5.2.9)(5.2.9)¥ («) = 2Л ^-iaft-

(5.2.9)

(5.2.9)

х 1 х^К^ ^а)

Подставляя это выражение в (5.2.5), получаем решение гр (р, z) в интегральной форме. Наведенный на вибраторе поверхностный ток определяется соотношением

Z(M) (z) = 2лаЯф (р = a+O, z), (5.2.10)

откуда при учете (5.2.Зв), (5.2.5) и (5.2.9) следует

/^(z)-^ ( ^M.e-ta<zWda, (5.2.11) 4 ' 20 J 7^0 (7a) v

где Zo ^ (рУе)1/2 _ волновое сопротивление или импеданс окружающей среды. Входящий в полученное выражение интеграл вычислить аналитически нельзя. Однако обычно интересуются поведением тока только в непосредственной близости или на больших расстояниях от зазора, к которому подключен источник питания.

В каждом из этих двух практически интересных случаев интеграл можно оценить с помощью различных методов приближенных вычислений. Поскольку эти способы приближенной оценки не связаны непосредственно с модифицированным методом Винера — Хопфа, приведем здесь только окончательные результаты.

В случае тонких антенн приближенное значение интеграла (5.2.11) при малых Az, (т. е. для точек, расположенных вблизи источника) определяется формулой

+ M^MWl, (5.2.12)

где С' = exp С = 1,78107. . ., а С — постоянная Эйлера. Отметим, что из-за наличия логарифмического слагаемого в (5.2.12) ток 7(ос) (z) бесконечно возрастает, когда | z + h ] стремится

к нулю. Таким образом, емкостная часть входного адмитанса бесконечно велика. Эта трудность является следствием предположения об идеализированном точечном (дельта-образном) источнике (5.2.1). Ее можно избежать, если считать, что вибратор возбуждается источником напряжения единичной амплитуды, приложенного к зазору конечной ширины (26), и определить входной адмитанс в виде

у(оо) = /»> (г = 6 _ Л).(5.2.13)

Используя приближенное выражение интеграла (5.2.11), можно получить для тока вдали от зазора следующее приближенное выражение:

^ (z) - и (z + A), k I z + h I > 1,(5.2.14а)

где

Uk\-^U0,5772_L31180,2523,9969-15 2 14

L^(z)<?2(z)Q3(z) + ^4(z) + Q5(Z) J ’(0.Z.140)

Q (z) = In \2ik I z Wka^Y(5.2.14b)

Сравнив результаты, полученные по этим формулам, и численно оценив интеграл (5.2.11), Кунц [35] показал, что приближенные выражения (5.2.14) обеспечивают удовлетворительную точность уже при к | z + h |, близких к единице.

ВЫВОД МОДИФИЦИРОВАННОГОУРАВНЕНИЯ ВИНЕРА — ХОПФА

Возвратимся к рассмотрению полубесконечного вибратора, изображенного на рис. 5.3. Интересно рассчитать ток, отраженный от конца вибратора (z = 0), при набегании на него тока J(oo) (z). Предположим теперь, что расстояние Н от источника до края антенны достаточно велико и, следовательно, в окрестности торца (z =0) ток 1^ (z) можно приближенно описать функцией U (z + ^), определенной согласно (5.2.14). Нетрудно убедиться, что амплитудный множитель, стоящий при экспоненте в выражении для функции U (z), является медленно меняющейся функцией z, особенно для малых ка. Таким образом, в качестве следующего приближения в задаче о полубесконечном вибраторе можно допустить, что ток, соответствующий падающему полю, представим в виде

/<г> (z) = U Q^ егКх для всех z.(5.2Л5)

Здесь, как обычно, предполагается, что ток набегающей волны определен при всех z.

Рассмотрим сначала рассеянное иоле в области р > а. Применяя к уравнению (5.2.14) преобразование Фурье, получаем

[|т(рт)—Г1] ^(р. =)-0.(5.2.16)

17—0367

Поскольку предполагается, что поля спадают по крайней мере как exp (— к2 | z |) при | z | -> оо, уравнение (5.2.16) справедливо в полосе | т | < ^2 комплексной плоскости а. Очевидно, это уравнение Бесселя и его решение может быть представлено в виде

Т(Р,а) = Т+(р,а) + Т_(р,а) = Л(а)^, р>а. (5.2.17)

Используя формулы (5.2.3), можно получить выражения для составляющих при р > а. В частности, при р = а + 0 получаем *)

Е+ (а + 0, а) + Е_ (а+ 0, а) = -^ А (а),(5.2.18a)

Я+ (а + 0, а)+Я_ (а+ 0, а) = ^g А (а),(5.2.186)

где Е (р, а) и Я" (р, а) — преобразования Фурье составляющих Ez (р, z) и Нф (р, z) поля.

Рассмотрим теперь поле в области р < а. Поскольку при всех z < О поле тождественно равно нулю, применим к уравнению (5.2.4) преобразование Фурье отг = 0дог = +<х>. Заметим, что при — А2 < т

f ^ е<- & = aW+'(p, a) + ia ^1^ - [^- e^t=Q.(5.2.19)

Из граничного условия на торце антенны

Ер (р, z = 0) = О, р < а,(5.2.20)

следует, что последнее слагаемое в (5.2.19) равно нулю. Применение преобразования Фурье к уравнению (5.2.4), с учетом соотношений (5.2.19) и (5.2.20), дает

(7^(р^)-Т2]^Р, «)=-М>(р, 3 = 0), -/^Ст. (5.2.21) Для того чтобы исключить из этого уравнения неоднородную правую часть, заменим в нем а на — а:

[|£ (p^)-V2]V+(P. -а)=+М(р,з = 0),т<^. (5.2.22)

Функция 4% (р, —а), очевидно, регулярна в нижней полуплоскости. Складывая почленно уравнения (5.2.21) и (5.2.22), приходим к уравнению Бесселя

[{£(р£)-<В*+(Р’“) + *+<* -а)] = 0, |т|<^, (5.2.23)

х) Жирным шрифтом обозначены здесь jae векторы, а преобразования Фурье'. '*

решение которого можно записать в виде

¥+(р,а) + ¥+(р, -a) = S(«)^, 0<p<a, (5.2.24)

где /0(^) — модифицированная функция Бесселя х). Используя это решение, с помощью формул (5.2.3) можно получить следующие соотношения для преобразований Фурье составляющих поля:

Е+ (а—-О, a) + S+ (а—О, -а) = ^В(a),(5.2.25a)

Н+ (а—0, а) + Н^ (а— 0, —а) = -^^ В (а).(5.2.256)

Для того чтобы получить уравнение Винера — Хопфа, воспользуемся оставшимися граничными условиями:

JEL(a+O, а) = 0,(5.2.26а)

JE7+(a4-O, a) = S+(a—0, a) = S+(a, a),(5.2.266)

2na [H+ (a+0, a)—H^a-0, a)] = U= Г ^ (z) e^ dz =

VW< VSt(a+*) ‘VW< VSt(a+*) ‘(5.2.26b)(5.2.26b)

VW

< VSt(a+*) ‘

VW

< VSt(a+*) ‘

(5.2.26b)

(5.2.26b)

Согласно последнему уравнению (5.2.26в), скачок касательной составляющей магнитного поля Яф на поверхности вибратора р = а, 0 < z < оо определяется током падающей волны № (z). Подставив значения (5.2.26) в соотношения (5.2.18) и (5.2.25), получаем

(5.2.27а)(5.2.276),(5.2.27а)(5.2.276),А^-^Е^а'),

(5.2.27а)

(5.2.276),

(5.2.27а)

(5.2.276),

В («) = -^ 1^+ (а, а) + Е+ (а, - а)]

1) Прйвёдеи некоторые полезные формулы для функций Zv (to): Iv (w)=e~iw,2Jv (toeilt/2),—я < Arg to < я/2,

Zv (u>)=e3iv^2Jv (toe- 8W2), — я/2 < Arg to < л,

-^-Z0(to) = I1(to),

Zv(to)-€м. также [1].Zv(to)-€м. также [1].V^l1&7-+---).M— IArg»4^/2

Zv(to)-

€м. также [1].

Zv(to)-

€м. также [1].

17*

и приходим к уравнению Винера — Хопфа

кое _Б+ (a, Ct)«7(h)s , х .

^а 10 (уа) Ко (уа) (2л)3/2 а (а+А)” ' "Г

+-T^w ^а' -а>=0’ 1ТК^ <5--28>

где S_ (сх) = Н _ (а + 0, а) — Н^ (а — 0, — а). Для определения тока, отраженного от края вибратора, необходимо решить уравнение (5.2.28) относительно JE7+ (а, а). Если Н^ (а, а) известна, отраженный ток можно найти с помощью соотношений (5.2.27а) и (5.2.186).

Полученное уравнение (5.2.18), очевидно, совпадает с модифицированным уравнением Винера — Хопфа (5.1.2), причем в данной задаче функция Н (а) имеет вид

H(a) = ^-^L(5.2.29)

' z V АЛТ»)v

и является мероморфной функцией. Метод решения модифицированного уравнения Винера — Хопфа (5.2.28), который будет описан ниже, существенно опирается на исследование распределения полюсов функции Н (а) (42).

РЕШЕНИЕ ОБЫЧНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯВИНЕРА — ХОПФА

Прежде чем перейти к решению уравнения (5.2.28), полезно провести решение обычного уравнения Винера — Хопфа, отвечающего случаю Н (а) = 0. Получающееся при этом уравнение описывает задачу о полубесконечном полом трубчатом вибраторе. Если падающая волна задается в виде (5.2.15), то, как можно убедиться с помощью стандартной процедуры, описанной в гл. 3, уравнение Винера — Хопфа для полубесконечного трубчатого вибратора имеет вид

^1^±^Ц+—= ^-(а), |т|<&2,(5.2.30)

Т2Д /о(2л)3/2а(а^\। I 2,\/

где J_ (а) = Н^ (а + 0, а) — Н_ (а — 0, а) пропорциональна наведенному поверхностному току в антенне х). Величины^ и Н_ здесь отмечены чертой, чтобы отличить их от соответствующих велцчин для сплошного вибратора. Для выделения единственного решения уравнения (5.2.30) необходимо использовать условие на ребре z = 0. Для полого вибратора условие на ребре имеет вид

(СМ. (1.3.19))

Ёг (р = a, z) ~ z-1^ z _> +0,(5.2.31)

откуда следует (см. (1.4.10))

E-v (а, а) ~ а-1/2,| а | -> оо при Im а > — Л2.(5.2.32)

Решение уравнения Винера — Хопфа (5.2.30) с учетом условия (5.2.32) можно найти методом, описанным в гл. 3, оно имеет вид

Ё+ (а, а) = ^Д L+ (Л) L+ (а).(5.2.33)

Входящая в это решение функция Л+ (а) получена в результате факторизации функции L (а):

L (а) = 70 (уа) Ко (уа) = L+ (а) L_ (а) = 1^ (а) £+ (—а).

(5.2.34)

Для проведения факторизации запишем L (а) в виде

L (а) = £( 11 (а) L( 2) (а),(5.2.35a)

где

£(1)(а) = Л(?»), £<2’(а)=^0(т®).(5.2.356)

Мераморфную функцию Ltti (й) можно факторизовать с помощью теоремы о бесконечном произведении из разд. 3.6.3. Ё результате получаем

L*^ (а) = ЬЗ» (-а) = /Л(М П (1 + 7^) е^"^,(5.2 36a)

m=l

где

Tm = [(? m/а)1 — yt18,(5.2.366)

^ = 7П-Ж нуль функции Jq^xY

Применение асимптотической (щенки дает

Ц|>М~а-,'‘ехр[^-[1-С-1в (^.))},

|а|-*оо прнт>—Лэ* (5^2.37)

П1>и получении асимптотики (5.2.37) мы воспользовались приближенным выражением

^m~(m —^л, т->-оо.(5.2.38)

Факторизация функции L(2) (а) обсуждалась в примере 5 из

3.10. Приведем полученное там выражение для L^ (а):

= [-у-Я™ н]1/2ехр[-4а+51п (т) +9(а)],(5.2.39a)

где

(а) ~ "л" j mwa JI (и?а) + У^ (ша)] ^n (^ "I” -р^г—^г) ^Ш* (5.2.396)

В соответствии с выражением (3.10.46) имеем

££“ (а) ^ а-х/«ехр ^-^-1п (™^)J» |а|->оо, при т>—А».

(5.2.40)

Объединяя результаты (5.2.36) и (5.2.39), можно написать

L+ (а) = е* WL™ (а) Ь?’ (а),(5.2.41)

где экспоненциальный множитель введен для обеспечения нужного алгебраического поведения функции L+ (а) при | а | -* оо в верхней полуплоскости. С учетом асимптотических выражений (5.2.37) и (5.2.40) функцию % (а) нужно выбрать следующим образом:

гИ —^[l-c+t-t^ + 'fl.(5-2-42>

И в результате L+ (а) ~ от1/2 при | а | -> оо в верхней полуплоскости.

2 4, РЕШЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯВИНЕРА —* ХОПФА

Обратимся теперь к функциональному уравнению (5.2.28)ж описывающему краевую задачу о полубесконечном цилиндрическом стержне. Ниже будет приведен метод решения этого уравнения, который обеспечивает быструю сходимость к точному решению и гарантирует выполнение условия на ребре. Полученное этим Методом первое приближение решения в случае тонких антенн является достаточно точным и может быть построено в замкнутом виде. Описываемый здесь метод отличается от обычного метода Винера — Хопфа. Отличие состоит в том, что в данном случае функция JB+ (а, а), удовлетворяющая уравнению (5.2.28), находится из анализа сингулярностей в нижней полуплоскости переменной а, тогда как в обычном методе Винера — Хопфа при

построении решения используется аналитичность ^+ (а, а) в верхней полуплоскости переменной а.

Перепишем (5.2.28) в виде

25LЕ^Дсц^, Ш (h)

W(а) ЦП (а) £(2) (а) £(2) (а) + а (2л)3/2 (а + к)

-S.(а) + К» [^] ^'^- о, НС»,, (5.2.43)

где ^п(а), L^ (a), L^(a) и Ll2)(a) определены формулами (5.2.36) и {5.2.39). Заметим, что функция F(a) регулярна и тождественно равна нулю в полосе | т | < fc2. Следовательно, F (а) тождественно равна нулю во всей комплексной плоскости а. В этом можно убедиться, разлагая F (а) на слагаемые F^. (а) и F_ (а) и применяя обычное аналитическое продолжение. Таким образом, уравнение (5.2.43) справедливо при всех а.

Поскольку функция F (а) равна нулю во всей плоскости, особенности всех входящих в (5.2.43) функций должны попарно взаимно уничтожать друг друга. Как мы вскоре покажем, решение для функции JE+ (а, а) можно^построить с помощью надлежащей группировки особенностей функций, входящих в (5.2.43), в нижней полуплоскости. С этой целью прежде всего обратим внимание на следующее.~

Функция L+2> (а) имеет только одну особенность: точку ветвления при a = — к. Эта особенность не может быть скомпенсирована за счет особенностей ни одной из входящих в (5.2.43) функций, кроме Е^ (а, а). Следовательно, искомая функция Е^ (а, а) должна содержать L^ (а) в качестве сомножителя.

Первый и второй члены в (5.2.43) имеют простые полюса в точке a = — к. Вклады от их вычетов должны взаимно уничтожать друг друга.

Первое и четвертое слагаемые в (5.2.43) содержат множитель {1/L^ly (а)} и, следовательно, имеют простые полюсы в точках a = ^Тп> п = 1, 2, 3, . . . . Сумма вычетов во всех этих полюсах должна быть тождественно равна нулю.

Функция 2?+ (а, а) не может иметь в нижней полуплоскости а никаких других особенностей, кроме описанной в п. 1, поскольку в противном случае их нельзя было бы скомпенсировать за счет других функций, входящих в уравнение (5.2.43).

Помимо перечисленных выше четырех условий, вытекающих из вида уравнения Винера — Хопфа (5.2.43), на Е^(а, а) накладывается еще одно ограничение, отвечающее условию на ребре и обеспечивающее должное поведение Ех (a, z) в окрестности края антенны, т. е. при z = + 0. В рассматриваемой задаче о полубеско- нечном сплошном вибраторе с торцом электрическое поле должно нарастать как (z)”1/» при z-> 0 (см § 1.3). Этому требованию отвечает следующее асимптотическое поведение преобразования Фурье

_Е+ (а, а) 1см. (1.4.10)]:

Е^. (а, а) ~ а“2/»,| а | -> оо при т >— к^.

(5.2.44)

Покажем, что приведенные пять условий определяют решение Е+ (а, а) единственным образом.

Согласно условиям 1 и 4, JE7+ (а> а) можно представить в виде

е* w=• ^ЯL* ^L*'(а) р (“} vt№ п (1+д)

П=1П

(5.2.45)

Здесь Р (а) — целая функция, которая будет определена позднее с помощью условия 5 асимптотики функции Е+ (а, а). Система постоянных {Гт} также пока не определена. Однако асимптотика величии {Гт} известна:

Гт~(/п—1)£+А, тп-^оо,(5.2.46)

где А — постоянная, меньшая чем л/а, и определяемая из условия на ребре. Асимптотическое выражение функции Е+(а, а) можно считать известным, если Р (а) и А однозначно определены. Для нахождения Р (а) и А представим _Е+ (а, а) в виде

Е+ (а, а) - Ё+ (а, а) Р (а) Д ^^; ,(5 2 47)

П=1

где Ё+ (а, а) — решение обычного уравнения Винера — Хопфа для полого трубчатого вибратора, определяемое согласно (5.2.33). Используя асимптотические оценки (5.2.32) и (5.2.46), можно показать (см. (1.4.11)), что при больших | а|

Е+ (а, а) ~ Р ^ а-1<1/2)+(Аа/л)]1 | а | -► со при 0 < arg а < л.

(5.2.48)

Сравнивая это соотношение с условием на ребре (5.2.44), получаем

Р(а) = Р0 (постоянная),(5.2.49)

А = £.(5.2.50)

Зная асимптотику функции Е^^а, а), перейдем теперь к определению (Гт), когда тп не велико.

С этой целью потребуем, чтобы функция jF(«) удовлетворяла условию 3, и приравняем нулю вычеты в точках а = — iyp. После

§ 2. Полу бесконечная круглая штыревая антенна 265 ряда преобразований получаем следующую систему уравнений:

п=1

X ■ 'V^a хТ* - О » Р = 1.2, 3,, (5.2.51)

11 l-Yp/(Ym + Am)JJ’’ ’ ’’4'

т=1

где Др = Гр — Чр, а верхний индекс (р) у знака бесконечного произведения означает, что сомножитель с т = р опущен. Заметим, что система уравнений (5.2.51) очень похожа на систему (4.3.31), полученную при рассмотрении модифицированного метода вычетов. Поэтому для ее решения можно воспользоваться одним из быстро сходящихся методов, описанных в гл. 4.

После определения {Гт} можно найти оставшуюся неизвестную постоянную Ро, приравнивая нулю вычет функции jP(a) в точке х = — к. В результате для нормирующего постоянного множителя, связанного с током падающей волны (5.2.15), получаем

^.= П. (5.2.52)

m=l

С учеТбм всех приведенных выше результатов находим окончательное выражение для Р* (а, а):

ЕД-, «)-В^, 4 fl [Щ^^Щ] *(5.2.53.)

т=1

Z<PW - /м г / \ тт pi + l Wym) 1 —i (®/Гт)1 /ко кбК4 -^^^^а) Ц Li+tiTO^J^rJ’ <5-2-53б> т=1

где {Гт} или соответствующие им {Ат} определены формулами (5.2.50)— (5.2.51). Интересно подчеркнуть, что, как Видно нВ (5.2.53), решение для Сплошного полубесконечного вибратора $+(«, а) отличается от решения для трубчатого вибратора X ^сц а) только множителем, представленным в виде бесконечного произведения. Первый сомножитель в этом произведении учитывает изменение масштаба относительно падающей волны. Второй сомножитель учитывает смещение нулей {ут}функции 5?+(а, а) в нули {Гт} функции J?+(a, а) ).

После нахождения функции J9+(a, а) определим распределение поверхностного тока на полубесконечном сплошном вибраторе. Подставляя (5.2.53) в (5.2.27) и (5.2.186), получаем выражение для преобразования Фурье рассеянного магнитного поля на поверхности вибратора. Вычисляя обратное преобразование Фурье, имеем

со+гт

Я.С+О.*)-^ j ^^^(-.«l»-”^. N<ii.

V—оо+гт

(5.2.54)

Распределение тока, обусловленное отражением от торца (z С 0), определяется соотношением

1^ ^ = 2лаЯф (а + 0, z), z < 0(5.2 55)

Используя выражения (5.2.54) и (5.2.536), получаем распределение тока для сплошного полубесконечного вибратора:

т=1

х 1 ——та*6"'"4а' i<0 “ 1т|<6г

-oo+iT

(5.2.56)

Это выражение справедливо при всех z < 0.

Для вычисления адмитанса необходимо найти значение отраженного тока вблизи зазора вибратора (z = — h). При этом можно воспользоваться приближенными методами оценки интеграла, входящего в (5.2.56). При z ^ — h деформируем контур интегрирования в (5.2.56) так, чтобы он охватывал разрез в верхней полуплоскости, тогда основной вклад в интеграл вносит окрестность точки ветвления а = к (подинтегральное выражение экспоненциально убывает из-за наличия exp (jafe)) х). Отметим, что в окрестности точки a = к входящие в подинтегральное выражение функция L+ (а) и бесконечное произведение меняются медленно. Поэтому № (z) при z « — h можно приближенно положить равным

со+гт

ЦП ~{к) S{к) Г^ ( ^М-е-^скД |т|<^,

-оо+гт

(5 2.57а)

Напомним, что здесь, как и в начале разд. 2.2, величина kh считается достаточно большой.

где

s W = П [гйгйг] •(5-2-57б>

т=1

Как нетрудно установить из сопоставления (5.2.57) и (5.2.11), выражение в квадратных скобках в (5.2.57а) определяет распределение тока вдоль бесконечной цилиндрической антенны,, возбуждаемой при z = 0. Поэтому на больших расстояниях от торца распределение отраженного тока определяется «универсальной» функцией Z7 (z), описываемой соотношением (5.2.14). Представим отраженный ток в виде

Pr> (z) ~ RU (h) U (z),z<0 и /c|z|>l.

(5.2.58)

Постоянная R в (5.2.58) имеет смысл коэффициента отражения по току от торца вибратора и оказывается равной

R = - ^_ L* Qt^ S (k) = RS (к),(5.2.59)

где R — коэффициент отражения от открытого конца трубчатого вибратора, который может быть получен *с помощью (5.2.33)^ В соответствии с (5.2.59) R отличается от R множителем S (к), который описывает влияние идеально проводящего торца.

В случае тонкой антенны, т. е. при ка ^ 1, выражение для коэффициента отражения R можно значительно упростить. В этом случае при вычислении {Ат} для всех т воспользуемся приближенными значениями

Ат«А = £.(5.2.60)

Используя биномиальное разложение в выражении (5.2.576) для 5(6), получаем

s^« пт=1s^« пт=1» П [1+т=1» П [1+т=1ikn/6a^"\ Г. 1 + iA/YmJLikn/6a^"\ Г. 1 + iA/YmJLгкп16а^ Il-WTm)Jгкп16а^ Il-WTm)J1 + W[Vm + я/6а]1 - .k/Vm~

s^« п

т=1

s^« п

т=1

» П [1+

т=1

» П [1+

т=1

ikn/6a^"\ Г. 1 + iA/YmJL

ikn/6a^"\ Г. 1 + iA/YmJL

гкп16а^ Il-WTm)J

гкп16а^ Il-WTm)J

«1+ 2 ^tSP-I + tS 2 *(5.261)

Применив тождество 2 ^т=~^ (см. [12]), окончательно имеем

S(k)wl + i^, ка«1.(5.2.62)

Функцию L^k) в случае тонкого вибратора можно представить в виде разложения по обратным степеням In (Ла); при этом главный член разложения имеет вид [69]

ь:(й) = ^-(1+^-й;Ч2,404Йв-3)-2, ка<11(5.2.63)

где £20 =—2 In (ка) — 2С 4- in и С = 0,57721 ... .

Подставив (5.2.62) — (5.2.63) в (5.2.59), найдем

R = ^ + i5§-^R, ка<1,(5.2.64а)

Где выражение для коэффициента отражения от трубчатого вибратора

R =^2^ (1 +^ Й;3+2.404Q;»)~2(5.2.646)

содержит только элементарные функции и, следовательно, весьма Удобно для вычислений. Отметим, Что | R | > | R |, т. е. отражение от торца сплошного вибратора сильнее, чем для соответствующей трубчатой антенны.

Полный ток на полубесконечном сплошном вибраторе, возбуждаемом источником (5.2.15), представляет собой сумму двух слагаемых J(w> (з) и Z<r> (а). В результате для адмитанса антейны получаем

Y = ZW (6 - К) = Y” + RU Qi) U (6 - А),

(5.2.65) где 6 — полуширина зазора, к которому подключен источник. Для тонкого вибратора значения У”, tJ (z) и R задаются соответственно выражениями (5.2.12), (5.2.14) и (5.2.64а). Йримейяя аппарат обобщенных матриц рассеяния (см. § 4.6), можно получить выражение для адмитанса длинного вибратора конечных размеров. Этот вывод отнесен в задачу 5.1.

$ 3. РАЗВЕТВЛЕННЫЙ ВОЛНОВОД С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМЗАПОЛНЕНИЕМ

В | 2 рассматривалась структура, краевая задача для которой сводится к модифицированному уравнению Винера — Хопфа, а именно полубесконечная круглая штыревая антенна. Рассмот-

ренный пример представляет собой частный случай из целого класса структур, для исследования которых применим модифицированный метод Винера — Хопфа, развитый в § 2. Более общий случай модификации исходной структуры (полубесконечный полый цилиндр) представляет собой волновод с открытым концом, заполненный диэлектриком. Решение задачи для этой структуры может

Рис. 5.4. Разветвленный волновод с диэлектриком.

быть найдено методом, описанным в § 2. Однако, в то время как в случае полубесконечного круглого штыря вывод функционального уравнения Винера — Хопфа удобно провести методом Джонса, для формулировки задачи о полубесконечном волноводе с неоднородно распределенным диэлектриком этот метод становится непригодным. В настоящем параграфе мы покажем, как можно обобщить метод функции Грина (ср. § 3.4), чтобы он стал пригоден для формулировки задач о структуре, в которой диэлектрическая среда претерпевает разрыв в продольном х) направлении.

Для иллюстрации сказанного рассмотрим задачу о разветвленном плоском волноводе, частично заполненном диэлектриком, как показано на рис. 5.4. Эта задача была решена в 4.3 модифицированным методом вычетов, и мы покажем, что тот же результат можно получить с помощью модифицированного метода Винера — Хопфа. Пусть падающее поле представляет собой волну типа TETi о, набегающую на разветвление из области I:

Е^ = ф<1> = sin (у ^) б-Vlaz дЛЯ вс@х ^(5.3.1)

*) Формулировка задачи для структуры, содержащей две материальные среды с границей, параллельной выделенному продольному направлению, намного легче (см., например, задачу 3.12).

где Yna = V^n^aY — &2]1/2. Полное поле tpU) определяется суммой падающего ф(г> и рассеянного ф полей.

Рассмотрим поле в области I, т. е. в полосе 5 < х <; а. Рассеянное поле удовлетворяет однородному волновому уравнению

[V2 + Л2} ф (х, z) = 0,(5.3.2)

где V2 = (d2/dx2) + (d2/dz2), и граничным условиям

Ф (х, z) = 0 при х = а и для всех z, (5.3.3а)

Ф (х, z) + ф*1’ (х, z) = О, х = Ь + 0 и z > О,

(5.3 36)

Ф (х, z) удовлетворяет условию излучения при |z | -> со

(5.3.3b)

Введем функцию Грина, удовлетворяющую уравнению

[V2 + Л21 g11’ (ж, ж0; z — z0) = — 6 (х — х0) 6 (z — z0)

(5 3.4)

и граничным условиям

g*1’ = G при х = 6 + 0и± = а,(5 3.5)

g*1’ удовлетворяет условию излучения при | z | -> со.

Такую функцию Грина можно записать в явном виде (см задачу 3.2):

gth (х, хь; z—zq) =

=4 S ^ sin [Т (Д^ь—ь)] sin р? (*—&)] e-vmdz-zoi. (5 з.б)

Применяя к функциям ф и g^ вторую формулу Грина, получаем ( Г (<PV2g“’ - g(1>V2<P) Дх& = 5 (ф ^— g<» ^ ) dl, (5 3.7) sр

где Р — граница области I, состоящая из отрезков Рь Ра, Р8 и Р4 (рис. 5.4), S — плоская область, ограниченная кривой Р, а д/дп — производная по внешней нормали. Левая часть соотношения (5.3.7) с учетом уравнений (5.3.2) и (5.3.4) оказывается равной (—1) ф (х0, z0). Интеграл в правой части (5.3.7) представим в вида суммы интегралов вдоль каждого из отрезков Рг . . . Р4. Интеграл вдоль Рг равен нулю, поскольку обе функции ф и g*1’ обращаются на Рх в нуль. Интегралы вдоль Ра и Р4 также равны нулю в силу условия излучения, так как функции ф и g(1) описывают

уходящие волны В результате получаем

-Ф(»о,2о)= Иф^?]^^(5.3.8)

Учитбтвая в э^ом равенстве граничные условия (5.3.36) и взаимно заменяя (х0, z0) и (я, z), находим выражения для поля в области I:

Ооо

ф(х, z) =( Гф-^—1dz0 + Г Гф^^т—! ^Zq,

т 47 J L ^о J«o=b+o ° 1 J L S^o J«o=6+o

— оо0

при а>х>Ь и любых z. (5.3.9)

Вывод интегрального уравнения в области II, т. е. в полосе Ь>ж>0, более сложен из-за неоднородного распределения диэлектрика. Полное поле ф«> = ф<*> 4- ф удовлетворяет уравнению

[У2+-К(з)й21Ф«> = 0, 6>х>0,(5.3.10)

где К (z)—ступенчатая функция вида

( 1, z<0,2>0.<5-ЗЛ1>

Полное поле ф<у должно удовлетворять системе граничных условий

ф(«) = 0, при ж = 0 и произвольных г, а также

при х=Ъ—0 и z>0, (5.3.12а)

Ф<*> удовлетворяет условию излучения при z-> + oo, а рассеянное ноле Ф (а не Ф^)) удовлетворяет условию излучения при z-»—оо,

(5.3.126)

ф(О и dq>№/dz непрерывны на границе диэлектрика 0<®<Ь, z = 0.(5.3.12в)

Введем функцию Грина g<2> (х, х0; z — z0), удовлетворяющую уравнению

tV2 — К (z) Я g<2> = - 6 (ж — ъ0) 6 (z — z0), 0 < ж < &,

(5.3.13)

где точечный источник расположен в области ПЛ, т. е. при z0 < 0. Функция ^ должна удовлетворять следующим граничным уело-

виям:виям:

виям:

виям:

(5.3.14а)(5.3.14а)^ = 0 при х = О и х = Ъ — О,

(5.3.14а)

(5.3.14а)

g*2’ удовлетворяет условию излучения при | z | -> до,

(5.3.146)

g<2> и d^ldz непрерывны при 0<ж<Ьиг = 0.

(5.3.14b)

Можно убедиться (задача 5.2), что для z0 < 0 искомая функция Грина задается формулой

{

g(3> (х, Zo; z, zo), z<0,

* )’(5.3Л5а)

g(4> (ж, ж0; z; zo), z>0,'

где

g<»> (ж, ж»; z, z0) = у [ sin (^ ж0) sin ^ ^j х т—1

X (e-Vmb|z-zol ^_pme-Vmb)z+zol)J #(5.3.156)

Pm-M^,(5.3.15b)

vmbnrvmb

^тЬ = У ^Y-к», ^-y^rf^^2- (5.3.15г)

Явное выражение для ^ не будет использоваться при выводе и поэтому здесь не приводится.

Применяя вторую формулу Грина (5.3.7) к функциям ф (ж, z) и g^ (х, х0; z — z0) в области II, и, пользуясь теми же соображениями, что и при выводе (5.3.9), получаем

о

ф(ж, z) = ( Гф^^-1 v dzo + q(x, z), при 0<ж<5 и z<0, J L v*0 Jxo=o—О

(5,3.16а) где

о

’ (I, «) - фЧ> («,.)+Ф<»+

+ $ [f<*’w-e,1’^]‘i*(5А16б)

Рз

Отметим, что интеграл по отрезку Р3 в выражении для д (ж, z) не обращается в нуль, поскольку ф^> не удовлетворяет условию излучения при z -> — оо. Получим теперь выражение д (ж, z)

через значения падающего поля на раскрыве х = Ь, z <0. Ниже мы подробно проведем этот вывод.

Напомним, что ф(1) удовлетворяет однородному волновому уравнению

#(А2 + &2) Ф(Ъ = 0.(5.3.17)

Для того чтобы получить новое представление интеграла

входящего в (5.3.166), применим формулу Грина к функциям ф<^ к g^. Сначала необходимо найти выражение для (V2 + ^2)g(3). Из (5.3.156) с помощью дифференцирования можно показать, что [V2 + &2] g^ = —6(я—#o)6(Z”2o) —6(z + z0) X

X Гу 2 PmSin (^Яо) sin (-^я)] , z0<0.(5.3.18)

m=i

Применяя вторую формулу Грина (5.3.7) к функциям ф<*> и g(8> в области II и взаимно заменяя (х0, Zo) и (х, z), получаем

— фО)(х, z) — Цх, — z)= У [ф<^#<3>"^^] ^0 +

=<°- <5-319-)

где

Цх, — z) = J [у 2 Pm Sin (-^y^o) sin (^х)] ф({>(х0, —z)dx0 = 0т—\

(5-3.196) т=\

Используя формулу (5.3.166), можно переписать (5.3.19а) в виде q^x, ^=-Цх,-^-| [фСО-^]^^, z<0.(5.3.20)

Подставляя это выражение в (5.3.16а), получаем искомое выражение для рассеянного поля в области ПА: 0ОО

v (z' z>=_[ [ф [ [ф(,> ^L,.,-s>’

.при 0<х<5 и z<0. (5.3.21)

18-0367

Используя выражения (5.3.9) и (5.3.21), потребуем выполнения граничных условий при x = b, z<0:

(5.3.22)(5.3.23)(5.3.22)(5.3.23)Ф(ж = Ь+0, 2) = ф(ж = Ь—О, z), z<0,*21=-^1z<0

(5.3.22)

(5.3.23)

(5.3.22)

(5.3.23)

Эх |х=Ы-0 Эх |x=b-'O ’

В результате получаем1)

о

j Ф(Ь» z0)[g(|z —Zo|) + A(|z + zo|)]dzo =

= J(рС*)^, z0)[g(|z—z0])+7i(|z + z0|)]dz0 — V (—z), 0

(5.3.24а)

^(|Z-Zo|)= {y^g^^Z-ZoH

х=ь ,(5.3.246)x0=b'х=ь ,(5.3.246)x0=b'+ т 2 ^Sin ("Т^) Sin ^ ж) e-Vmblz-zo|

х=ь ,(5.3.246)

x0=b'

х=ь ,(5.3.246)

x0=b'

771= 1

Ar (I Z + Zo |) =

= ( ' Ft ~ Гт 2 V2- sin (~7Г ж°) sin ( ТГ ж) e+vmblz+zoil |

771=1771=1\ Эх Эхй L 6 ^ ymb X Ъ 4)\ Ъ )J J х=ь

771=1

771=1

Х0=Ь

(5.3.24b)

771=1

(5.3.24г)

Уравнение (5.3.24a) представляет собой искомое интегральное уравнение, определяемое в полубесконечной области. Неизвестным в этом уравнении является поле ср (6, z) в раскрыве z < 0.

Перейдем к решению этого интегрального уравнения модифицированным методом Винера — Хопфа. Начнем с преобразования уравнения (5.3.24а) в функциональное модифицированное уравнение Винера — Хопфа. С этой целью применим к нему преобразование Фурье. Следуя способу вывода, описанному в разд. 3.6.2,

х) В используемом здесь способе формулировки краевой задачи условия непрерывности (5.3.22) выполняются автоматически (см. задачу 5.3),

приходим к следующему функциональному уравнению:

G (а) Ф- (а)—Я (а) Ф_ (— а) + J+ (а) =

= G (а) Ф^ (а) —Z7 (а) Ф^ (—а) —L_ (а), |T|<Reyla. (5.3.25)

Использованные здесь обозначения пояснены ниже. Выражение для G (а)—преобразования Фурье функции g(|z|), нетрудно получить, используя формулы (5.3.246) и (5.3.6):

G(a)=— У ( e^m^'e^dz- V 7 b 2J Vmb J m=A— oo

_£ уГ e_Vmclz,

С Уте J

m=l-oo

у (mn/b^ /11\

6 ^ Imb \a + n’mb a-i^mb) m=l

(5.3.26)

m=l

Воспользовавшись тождеством

/(«) = ? cth yb = 2 p^ti + ^g^] ,(5.3.27)

771=1

где

Не8/(Т*Тть) = Ту^(-тг) .

представим G(a) в виде

g(=)-T№-(5'328>

Функция H (а) в уравнении (5.3.24) представляет собой преобразование Фурье функции h (| z |) и задается формулой

Н(a) = 1 У — (-^V (—А — ) •(5.3.29)

ЬУтЪ \ Ь / \а+*ТтЬ а — 1УтЪ I'

771=1

Функция Ф^ (а) в (5.3.24) — это преобразование Фурье падающего

поля (5.3.1); она имеет вид

Ф<{) (a) = -4= sin ( — ) -т4—.(5.3.30)

' У2л \ о I a-HYia''

18*

Функция Ф_(а) является преобразованием Ф_(6, г), а

о

e^dz^

= 1 [2 sin (^) V pm±^1(5.3.31)

VStLb \ a ) 2-1 rm y?a—TmbJ «—lYto''

m=i

Наконец, J+ (a) в (5.3.24) — неизвестная функция, введенная при расширении области определения интегрального уравнения (5.3.24а) до полной прямой — оо < z < оо (см. § 3.6).

Прежде чем переходить к решению уравнения (5.3.25), полезно рассмотреть два частных случая. Если положить ег = 1 (т. е. рассматривать случай, когда диэлектрик отсутствует), то {рт} обращаются в нуль при всех т и уравнение (5.3.25) сводится к х)

^ J+ (a) = Ф({> (a) - Ф_ (a),(5.3.32)

т. е. совпадает с обычным уравнением Винера —- Хопфа (3.6.23) 2). Приведем здесь решение уравнения (5.3.32), поскольку оно понадобится нам в дальнейшем:

Ф_ (а) - Ф(0 (а) = Г-^= sin (— ) G_ (- iyla)1 ——1——.

х ' х 1 1у2л 1 х r (a-HVia)G-(a)

(5.3.33)

Во втором частном случае предположим, что диэлектрик заменен на идеальный проводник, т. е. рт = —1 при всех т. В этом случае все входящие в функциональное уравнение величины получаются в результате соответствующего предельного перехода, например:

lim L_ (а)-=^-—- х

У2л(а— ^1а)

xriSin/^\ у (11\(тлЖ1

XLbS™l а / 2j ^1а + Тть Vla-Ymb/ ^тЪ J

771=1

= ,— ~гX ((— 1) sin (-^) X

У2л(а —tyi„) 1\ а )

Гу /11\ i (тл/Ь)2!

L ^ \Р + ?ТтЬР—tymb' ^УтЪ Jp=ivicr

771=1

(5.3.34)(5.3.34)я/лЬ \ г

(5.3.34)

(5.3.34)

—= cos ( —) .

a"V^tV а * «—ПЧа

При получении окончательного выражения здесь было использовано тождество (5.3.27). Аналогичным образом получаем

lint Н (а) = у cthуЬ.(5.3.35)

Р/П-(- 1)

Подставляя выражения (5.3.34) и (5.3.35) в уравнение (5.3.25), получаем

j^ (Ф. w - Ф™ («)] - Т cth (Т6) (Ф_ (- «) - Ф™ (- «)] +

+ ^“>+гЙИт)^7=0. N<»-T- (5.3.38)

Уравнение Винера — Хопфа (5.3.36) можно вывести также методом Джонса, описанным в разд. 2.2 (задача 5.4). Однако, как уже упоминалось ранее, метод Джонса неприменим в общем случае произвольного заполнения разветвленного волновода диэлектриком.

Вернемся теперь к уравнению (5.3.25) и обсудим детали его рещения. Перепишем уравнение в виде

G (а) Х(-) (а) — Н (а) Х^) (-а) + J^ (а) + L_ (а) = О, | т I < Re V 1О,(5.3.37)

где функция Х^ (а) определена следующим образом:

Х^ (а) = ф_ (а) - Ф<5> (а) = Ф_ (а) -^ sin (^) -^_.

(5.3.38)

Индекс (—) у Х(__) (а) означает, что эта функция регулярна в нижней полуплоскости комплексного переменного а везде, кроме точки а = — i у1а, где она имеет полюс х). Отметим, что (5.3.37) несколько отличается по форме от (5.1.2) 2). Тем не менее и в этом случае можно применить метод, описанный в § 2.

Напомним, что уравнение (5.3.37) справедливо во всей комплексной плоскости а (см. § 2), т. е. можно отказаться от условия | т | <; Re у1а. Для нахождения Х^ (а) необходимо согласовать особенности всех функций, входящих в (5.3.37), в верхней полу-

плоскости. Перепишем это уравнение более подробно:

v ТТ (1 —«/*Упа)

11 (1-аАьь) (1-a/iVnc)

G_(a)

хГф-(а)i^W 1_

L V2n (a + iyia^-l

У P2L_(H^V (^)1 V

Z> ^ Ynb \ 6 / \a + iYnb a—гупь/J 71—1

X [ф- (- a) + zS^l + w +L^/ 2 л (ос $У1а)-*

X(->7~a)

yC^^sin — У ри-^т 1~4—= 0.(5.3.39)

1у2л b ° ^1Via —Ynb J °-YlaX ’

Как теперь видно,

функция Х^ (а) должна иметь нули в точках a = {+ гупс}, поскольку в (5.3.39) отсутствуют другие члены, которые могли бы скомпенсировать полюсы G_ (а) в этих точках;

Х^> (а) должна иметь нули в точках a = {+ 1Гпь}, причем вклады вычетов в точках a = + 1уть у первого и второго слагаемых в уравнении (5.3.39) должны взаимно уничтожаться при всех т. Таким образом, положение смещенных нулей {ГпЬ} определяется системой уравнений

[Res G (iymb)l Х^ (iymb) + [Res Н ^mb^ Х^ (—iymb) = 0.

m = 1, 2, 3, . . .;(5.3.40)

в силу условия на ребре т) (см. § 3.6) справедливы асимптотические оценки:

Ф(_) (а), Х^ (а) ~ О (а”1), | а | -^ оо при т > — Re ую- (5.3.41)

Функция X(_) (а) должна иметь бесконечное число полюсов (в этом можно убедиться из окончательного результата). Полюсы Х^ (а) должны совпадать с нулями G^ (а), и, таким образом, произве-

дение G_ (а) Х^ (а) является регулярной функцией в этих точках. Из (5.3.39) ясно, что функция Х^ (а) имеет полюсы в точках а = {iyno};

помимо указанных нулей и полюсов в верхней полуплоскости, функция Х^ (а) в соответствии с определением (5.3.38) имеет полюс в нижней полуплоскости при а = — 1^га. Вклады вычетов в точке а = — iyla обеих частей равенства (5.3.38) должны быть равны и, таким образом,

ResX(_>(-i?la) = -^-sin ^ ; (5.3.42)

вклады] вычетов функции Х^ (—a) Н (а) и последнего слагаемого в (5.3.39) в точках a = i^la взаимно уничтожают друг друга. Однако последнее обстоятельство является следствием нашего способа формулировки задачи и не накладывает на Х^ (а) никаких дополнительных ограничений.

Основываясь на перечисленных выше требованиях, можно построить функцию Х^ (а) следующим образом. Поскольку известно распределение нулей и полюсов функции Х^ (а), можно представить ее в виде

Хм (а) = г-тАттг-гч П • (5.3.43) (Н ' (а + iyla) G_ (а) А1 1—«ЛУпЬ v '

П=1

Это выражение отличается от решения задачи о разветвленном волноводе без диэлектрика только расположением нулей (нули V'Vnb^ заменены на {?ГпЬ}) и нормировочной постоянной Ро. Эту постоянную можно найти из условия (5.3.42); она оказывается равной

Г П=1

Для полного определения Хн (а) необходимо найти значения {ГпЬ} из системы уравнений (5.3.40). Подставляя (5.3.43) в (5.3.40), после некоторых преобразований получаем

Хм (iymb) + Pm Хм (—iymb) = 0, т = 1, 2, 3, . . . .

(5.3.45)

Система уравнений (5.3.45) по виду совпадаете системой (4.3.16), которая рассматривалась в связи с модифицированным методом вычетов. Она может быть решена методом последовательных приближений или матричными методами. Как и ранее, с помощью условия на ребре можно получить асимптотическое решение.

В рассматриваемом случае условие на ребре не зависит от присутствия диэлектрика в структуре и, следовательно,

ГтЬГтЬ~Ь~ при т -> оо.~Ь~ при т -> оо.(5.3.46)(5.3.46)

ГтЬ

ГтЬ

~Ь~ при т -> оо.

~Ь~ при т -> оо.

(5.3.46)

(5.3.46)

Остальные детали нахождения {ГтЬ} полностью определяются способом решения, подробно описанным в § 4.3, и здесь разбираться не будут.

ПЛОСКИЕ ВОЛНОВОДЫ, СВЯЗАННЫЕ ЩЕЛЬЮ

Краевые задачи для ряда структур, которые получаются при изменении исходной винер-хопфовской геометрии в продольном, а не в поперечном направлении, описываются модифицированным функциональным уравнением Винера — Хопфа (5.1.3).

Рис. 5.5. Плоские волноводы, связанные щелью»Рис. 5.5. Плоские волноводы, связанные щелью»

Рис. 5.5. Плоские волноводы, связанные щелью»

Рис. 5.5. Плоские волноводы, связанные щелью»

В качестве примера рассмотрим задачу о двух плоских волно*- водах, связанных щелью в общей стенке (рис. 5.5 ). Хотя, по-ви- димому, эта задача проще решается модифицированным методом вычетов (§ 4.3), она служит хорошим примером для описания еще одного метода, развитого Джонсом [24] ).

Следуя Джонсу, решение нашей задачи можно свести к рассмотрению интегрального уравнения специального вида. Мы приведем два метода решения этого интегрального уравнения: оригинальный метод Джонса и модифицированный метод, аналогичный использованным в § 2 и 3. В частности, будет показано, что последний метод приводит к решению, тождественному с полученным модифицированным методом вычетов.

Пусть волна типа ТЕ1%й набегает слева на неоднородность в нижнем волноводе:

Е^ = ф<г> (ж, z) = sin f-™ х\ е"^^ при 0 < х < Ъ и всех z. (5.4.1)

Найдем рассеянное поле в структуре, обусловленное этим падаю

щим полем.

Рассеянное поле удовлетворяет обычному скалярному волновому уравнению. В пространстве преобразований Фурье его решение, удовлетворяющее граничным условиям при х = 0 и х = а, имеет

вид

(5.4.2)(5.4.2){А (а) shy (а—х), а^х^Ъ,

(5.4.2)

(5.4.2)

Z?(a)shy# , Ь>ж>0,

где Ф(#, ^ — преобразование функции Еу(х, z):

Ф (ж, а)Ф (ж, а)(5.4.3)(5.4.3)

Ф (ж, а)

Ф (ж, а)

(5.4.3)

(5.4.3)

В данной задаче вместо разложения Ф (ж, а) на два слагаемых Ф+(ж, а) и ФДя, а), как это делалось в гл. 3, мы представим Ф (^, а) в виде суммы трех слагаемых:

гдегдеФ (ж, а) = Ф_ (ж, а) + Ф1 (ж, а) + ^аЬФ+ (х, а),(5.4.4)

где

где

о

Ф- (ж, а) = —f Еу (х, z) eiaz dz,(5.4.5a)

1/2л

L

Ф1 (ж, а) = ---^ f Ey (ж, z) eiaz dz,(5.4.56)

V 2 л Jv 0

Ф+ (ж, a) = —^ ( Ey (x, z) dz =

у 2 л J

(5.4.5b)(5.4.5b)= —7= [ Ey (ж, z' +L) ejaz' dz',У2л J

(5.4.5b)

(5.4.5b)

поскольку Ey (x, z) ^. A exp (—t0 | z |) при | z | -> oo, где т0 = = min (Re ylb, Re у1с). Функции Ф _ (ж, а), и Ф+ (x, а) регулярны соответственно в нижней (т < т0) и верхней (т > — т0) полуплоскостях комплексной переменной а. Функция Фх (ж, а) определяется интегралом по конечной области z. Поскольку Еу (ж, z) ограничена при 0 < z < L, Фх (ж, а) является целой функцией,

т. е. она регулярна в любой конечной части плоскости а. При | а | -> оо в верхней полуплоскости а экспонента exp (iaz) ограничена при положительных z, а при | а | -> оо в нижней полуплоскости она имеет существенную особенность. Поэтому можно сделать вывод, что целая функция Фх (а) алгебраически ведет себя на бесконечности, только когда | а | -> оо в верхней полуплоскости. Следовательно, Фх (а) может быть отнесена к «плюс»-функци- ям. Умножая Фх (я, а) на ехр (—iaLY получаем

L

е-га£ф1 (^ а) = __= 1 1/2де-га£ф1 (^ а) = __= 1 1/2дj Еу (х, z) eW-Ц dz = о

е-га£ф1 (^ а) = __

= 1 1/2д

е-га£ф1 (^ а) = __

= 1 1/2д

о

( Еу (х, z1 + L) е^1’ dz'. (5.4.6)

-L

Видно, что произведение exp (—tab) Фх (х, а) можно отнести к «минус»-функциям.

Применив условие непрерывности поля при х = 6, из (5.4.2) имеем

Ф_ (Ь + 0, а) + Фх (Ь + 0, а) + e^L Ф+ (Ь + 0, а) =

= А (а) sh ус,(5.4.7a)

ф (ь __ о, а) + Фх (6 — 0, а) + е^ь Ф+ (6 - 0, а) =

= В (а) sh yfc. (5.4.76)

Воспользовавшись граничным условием, согласно которому рассеянное поле Еу (х, z) обращается в нуль при х = b всюду, за исключением щели 0 < z < L, получаем

A (а) =^1Д±2^= ®11ML(5.4.8а)

х 7 snycshyeх 7

R (гЛ — Ф» (Ь~ °’ ”) — ФН^о)]г /с * осх

где также использовано условие непрерывности поля Еу (х, z) на раскрыве. С помощью выражений (5.4.2) вычислим производную по х от Ф (ж, а) и найдем ее значение при х = Ь:

Ф1(Ь + 0, а) + Ф^(5 + 0, а) + е*а1Ф+(Ь4-0, а)=—уЛ(а)сЬус,

(5.4.9a)

Ф1(Ь-0, а) + Ф;(Ь—0, а) + е<аЬФ;(Ь—0, а) = уВ (а) chуЬ.

(5.4.96)

Используя граничное условие непрерывности касательной составляющей Ну (х, z) полного поля на щели, приходим к соотношению

для преобразований Фурье

Ф;(&4-0, а) —Ф'(Ь —О, а)Ф;(&4-0, а) —Ф'(Ь —О, а)1"|/2л1"|/2лi ^<p<n I^ ьi ^<p<n I^ ьeia2dz =eia2dz =лb Д/2ллb Д/2ло(га-?1Ь)Ь--(5.4.10)Tib—*аv7о(га-?1Ь)Ь--(5.4.10)Tib—*аv7Входящая в подинтегральное выражение (5.4.10) функция Ф<^ (ж, z) определена согласно (5.4.1). Вычитая (5.4.96) из (5.4.9а) и используя (5.4.8) и (5.4.10), получаемВходящая в подинтегральное выражение (5.4.10) функция Ф<^ (ж, z) определена согласно (5.4.1). Вычитая (5.4.96) из (5.4.9а) и используя (5.4.8) и (5.4.10), получаемJ-^H-^^ + e^j^J-^H-^^ + e^j^to i-^ib*to i-^ib*ьУ2ла + ЙЧььУ2ла + ЙЧьI T I < To, (5.4.11)I T I < To, (5.4.11)

Ф;(&4-0, а) —Ф'(Ь —О, а)

Ф;(&4-0, а) —Ф'(Ь —О, а)

1

"|/2л

1

"|/2л

i ^<p<n I

^ ь

i ^<p<n I

^ ь

eia2dz =

eia2dz =

лb Д/2л

лb Д/2л

о

(га-?1Ь)Ь

--(5.4.10)

Tib—*аv7

о

(га-?1Ь)Ь

--(5.4.10)

Tib—*аv7

Входящая в подинтегральное выражение (5.4.10) функция Ф<^ (ж, z) определена согласно (5.4.1). Вычитая (5.4.96) из (5.4.9а) и используя (5.4.8) и (5.4.10), получаем

Входящая в подинтегральное выражение (5.4.10) функция Ф<^ (ж, z) определена согласно (5.4.1). Вычитая (5.4.96) из (5.4.9а) и используя (5.4.8) и (5.4.10), получаем

J-^H-^^ + e^j^

J-^H-^^ + e^j^

to i-^ib*

to i-^ib*

ьУ2ла + ЙЧь

ьУ2ла + ЙЧь

I T I < To, (5.4.11)

I T I < To, (5.4.11)

где

Л(а) = Ф1(Ь + 0, а) —Ф2(Ь—0, а), /+(а) = Ф;(Ь + 0, а)-Ф1(Ь-0, а)1), G (а) = sh yb sb ус/(у shya).

Уравнение (5.4.11) совпадает по форме с (5.4.3). Рассмотрим решение этого уравнения методом Джонса.

Решение проведем в два этапа. Вначале преобразуем уравнение (5.4.11) и для этого умножим его на функцию G_ (а), явное выражение которой определяется формулой (3.6.31):

J_ (a) G_ (а) 4J_ (a) G_ (а) 4Ф1 (6, а)G+ (а)Ф1 (6, а)G+ (а)inG„ (а)b V^H (a-HVib)inG„ (а)b V^H (a-HVib)— е^Чт, (а)— е^Чт, (а)ine ^lbLb V2n. (а+iyib)ine ^lbLb V2n. (а+iyib)■Ь J+ (а)■Ь J+ (а)|т|<т0.(5.4.12)|т|<т0.(5.4.12)

J_ (a) G_ (а) 4

J_ (a) G_ (а) 4

Ф1 (6, а)G+ (а)

Ф1 (6, а)G+ (а)

inG„ (а)b V^H (a-HVib)

inG„ (а)b V^H (a-HVib)

— е^Чт, (а)

— е^Чт, (а)

ine ^lbLb V2n. (а+iyib)

ine ^lbLb V2n. (а+iyib)

■Ь J+ (а)

■Ь J+ (а)

|т|<т0.(5.4.12)

|т|<т0.(5.4.12)

Левая часть полученного уравнения выражена суммой двух функций, одна из которых регулярна в нижней полуплоскости, а другая — в верхней полуплоскости. Однако слагаемые в правой части имеют особенности в обеих полуплоскостях комплексного переменного а. Поэтому в качестве следующего логического шага разложим каждое из этих двух слагаемых в правой части уравнения. Разложение первого члена легко провести, выделив полюс в точке а = — iylb. В результате получаем

шС_ (а)У 2л (а+ iyib)шС_ (а)У 2л (а+ iyib)1Лb У&Ца + ^ь)1Лb У&Ца + ^ь)[GL (а) — G_ (— iyib)] +■ inG_( —t-y16) b y2n(a+iyib) *[GL (а) — G_ (— iyib)] +■ inG_( —t-y16) b y2n(a+iyib) *(5.4.13)(5.4.13)

шС_ (а)

У 2л (а+ iyib)

шС_ (а)

У 2л (а+ iyib)

1Л

b У&Ца + ^ь)

1Л

b У&Ца + ^ь)

[GL (а) — G_ (— iyib)] +

■ inG_( —t-y16) b y2n(a+iyib) *

[GL (а) — G_ (— iyib)] +

■ inG_( —t-y16) b y2n(a+iyib) *

(5.4.13)

(5.4.13)

Второе слагаемое в правой части (5.4.12) включает неизвестную функцию 7+ (а), поэтому возможно лишь формальное разложение этого слагаемого с помощью интегрального представления (3.9.7). В результате получаем

„егаь^м 252hJ+(a) =

L & 1/2я(а+‘Т1ь)-

co-idoo+id

jp — osjp —- oc

—oo-id-004-id

— d<T<d<T0,(5.4.14a)

где

•"*'^15^'

Л/(а) = yA-J+(a).(5.4.146)

»У2л(а+^1Ь)+ v 'v ’

При использовании (3.9.7) в пределах интегрирования в (5.4.14а) следует положить с = —d по причинам, которые станут ясны в дальнейшем. Подставляя (5.4.13) и (5.4.14) в] (5.4.12), после некоторых преобразований представим функциональное уравнение в виде

^ОДа)-—^—- [G_(a)-G_(-iTlb)] +

b V2n(a+iyn>)oo+id.„.

, 1ГG(P)M(p)e^ , _

+ 2лгJ Р-a°Р~

-оо+id

_ Ф< (Ъ, а) .гл6^(—гу1Ь)|

G+ (а) "т ъ У2л (а+iylb)

^ j -™^, N<T„ (5.4.15)

-оо —id

Все функции в левой части уравнения (5.4.15) регулярны в верхней полуплоскости а (т >— т0), а все функции в правой части регулярны при т< т0, т. е. в нижней полуплоскости. С помощью условия на ребре можно обычным способом показать, что обе части (5.4.15) должны быть тождественно равны нулю, причем функциональное уравнение справедливо для всех а. Приравнивая нулю левую часть (5.4.15), получаем одно из уравнений, которое будет использовано в дальнейшем:

-^^^—H^(a)G_(a) +

(5.4Л6а)(5.4Л6а)+^Тс-т^"-^

(5.4Л6а)

(5.4Л6а)

**co+id’

где

N (а) = J_ (а)-=^.(5.4.166)

*' Ь У2^(а+<т1Ь)'

Выведем теперь уравнение, подобное (5.4.16а), но в котором функции М (а) и N (0) меняются ролями. С этой целью умножаем (5.4.11) на ехр(—ZaL)G+(a) и получаем

е-шЬф ^ j—ijte ^bL г , х

6' + Л (a) G+ (а = —____ G+ (а) -

wЪ у 2л (а + iyib)

-е-^Ч^ (a) N (а), [ т | < т0.(5.4Л7)

Поскольку произведение e^aL Фх (6, а) регулярно в нижней полуплоскости а, левая часть уравнения (5.4.17) представлена в нужной форме. Однако, как и раньше, необходимо разложить слагаемые из правой части (5.4.17). Проделав это и применив к полученному функциональному уравнению обычный метод Винера— Хопфа, приходим к уравнению

00-id ,ог

-оо-id

-d<TXd<T0. (5.4.18)

Система интегральных уравнений (5.4.16а) и (5.4.18) определяет неизвестные функции М (а) и N (а). Уравнения (5.4.16а) и (5.4.18) можно преобразовать следующим образом. Заменяя 0 на —0 в (5.4.16а) и а на —а в (5.4.18), имеем

—|-^(a)G_(a) —

b V2n(a4-iYib) oo-id

— oo - id oo -id.ar

«(-.JC.W-^;. j G*№^*"<f?-0,(5.4.196)

—oo —id

где было использовано равенство G_ (—a) = G+ (a) (cm. (3.6.31))» Складывая и вычитая почленно уравнения (5.4.19а) и (5.4.19б)д соответственно получаем

—^5 ^VS^G_^-

b V2”(a+^ib)4

ОО — idАСХТ

_ 1 Г(5.4.20а)

2я« Jр+a г > х /

-oo-id

—— + D (a) G_ (а) +

6"|/2n(a + iY16) 1XJ

ОО-id'ART

+ ^Г j -^Т^2d0 = 0’ -^<T<d<T0, (5.4.206)

-оо— id

где функции 5 (а) и D (а) определены следующим образом:

' '' J' bV^ \ a + lYiba-i?ib

+ [J_ (a) —J+(—а)],(5.4.21а)

D (a) = N (a) - M (- a) = ■—A— + -f ^ ) +

x 7 x 7 x 7 b 1/2л \ a+^ib

+ [/-(a) + /+(~a)].(5.4.216)

Отметим, что уравнения (5.4.20а) и (5.4.206) имеют одинаковый

RepRepImp

Rep

Rep

Рис. 5.6. Контур интегрирования для интеграла I в (5.4.22).

вид, причем каждое из них содержит^только одну неизвестную функцию. Мы рассмотрим два метода решения уравнения (5.4.20а).

Метод Джонса. Рассмотрим интегральный член уравнения (5.4.20а):

оо — idЛОТ

(=*№ 8 да,-»--

2ш J ^P + aг4'

Присутствие множителя ехр (—ъ^Ь) позволяет замкнуть контур интегрирования полуокружностью бесконечного радиуса в нижней полуплоскости переменного Р (рис. 5.6). Заключенные внутри

такого контура особенности — это полюс Р = — iylb функции S (Р) (см. (5.4.21а)) и полюсы р = {— /упо} функции G+ (Р) (см. (3.6.31)). По теореме о вычетах получаем

j _. —т G+ (—iY1&)e~71bL

6 У2л a—i?ib

00-V L

+ 2 (^-Т? п° Res<^(-W (5-4-23> а lYna

n—i

Используя это значение интеграла, перепишем уравнение (5.4.20а) в виде

- Г _ G^-i-^e ^1 s ^ G ^

6 У 2л L a+m&а—ПЧ»J ' 1'

00-7 L

+ ^^^^^-^^^(-«-O.(5.4.24)

a 4na

Уравнение (5.4.24) выражает функцию S (a) через бесконечную последовательность неизвестных постоянных {5 (— vtnafV Для получения системы алгебраических уравнений относительно этих неизвестных положим в (5.4.24) a = — iyma, т = 11 2, 3, . . . . В результате имеем

00 -V L.

G_ ( - iyma) 5 (- ^та) + 2 -L_s (- iVna) = n=l

ЛP&+GYlb) I^+ ( tylb) e^ "1^^ 9 q

—. I "—f—. I, tilt— 1, 4ц U, . . . e

b "|/2л L Tib —YmaYlb + YmaJ 1

(5.4.25)

Аналитический метод решения этой системы не известен. Приближенное решение можно найти методом редукции, т. е. заменой (5.4.25) системой конечных размеров с последующим применением численных методов обращения матрицы. Если L достаточно велико и размеры волновода таковы, что упо и ^пЬ действительны для всех n^l, то можно найти простое приближенное решение, используя в (5.4.23) приближенное выражение для Г.

— гл G+ (— iy^) е ^ibL b "|/2S a-^ib— гл G+ (— iy^) е ^ibL b "|/2S a-^iba-Wlaa-WlaRes G+( —iyia).Res G+( —iyia).(5.4.26)(5.4.26)

— гл G+ (— iy^) е ^ibL b "|/2S a-^ib

— гл G+ (— iy^) е ^ibL b "|/2S a-^ib

a-Wla

a-Wla

Res G+( —iyia).

Res G+( —iyia).

(5.4.26)

(5.4.26)

Здесь мы пренебрегли экспоненциально малыми членами, пропорциональными ехр (— Yna^) с п > 1- Физически это эквивалентно предположению, что лишь основная волна типа TElt 0 «чувствует»

второе разветвление при х = b, Z > L. Волны более высокого порядка в плоском волноводе с высотой а сильно затухают на расстоянии порядка L и, следовательно, не взаимодействуют со вторым волноводным разветвлением. Используя приближенное выражение (5.4.26), из (5.4.24) и (5.4.25) находим:

о (гЛ ~ —1 / _Jn_ Г G+ (lYlb) _ 6^1УЧь)£2^.1 ,

'G_(a) 1 6-|/2л 1а+ЗДa—iy16jT

+ResG+(-fylo)}, (5.4.27)

где

S (;v. \~ ^ Г G+ (‘Tib) । G+(—ИЧь)6 ?lb 1 x

'^ °' ЬУ2л LVtb—Tia Tlb + Yta JX

L^rlaJ

Выражение (5.4.27) дает приближенное решение, справедливое при больших L, в случае когда в волноводе высоты d распространяется лишь волна основного типа.

* Модифицированный метод. Иной метод определения функции S (а), удовлетворяющей уравнению (5.4.24), основан на методе подбора особенностей, аналогичном описанному в § 2 и 3. Уравнение (5.4.24) справедливо при всех а, поэтому особенности функций, входящих в его левую часть, должны попарно взаимно уничтожаться. Для нужного распределения особенностей полезно сначала провести решение в частном случае L-> оо, т. е. для задачи Ъ разветвлении в волноводе. В этом предельном случае уравнение {5.4.24) может быть легко решено:

&л^+ (lYib)

— iuG^^vb) / & sin ka \^* v

~ b 1/2л « + *716 \ sin kb sin кс /

х ех₽ {f V [Ь Ь ( f) + С.Ь (т) ] } х

П (1—a/£Tna)e"iao/n"

X —^—,(5.4.28)

П (1 —a/i?nb)e гаЬ/п" [] (1— а/<Тпс)е гае/пя П=1П=1

где явное выражение функцииG _ (а) дается в (3.6.31). Для обобщения решения на случай конечного L обратимся к уравнению (5.4.24) и заметим, что

8 (а) имеет полюсы в точках а = + г?1Ъ и а = — 1^1Ъ, Вклады вычетов в этих полюсах должны взаимно уничтожаться с вкладами первого слагаемого в (5.4.24);

8 (а) имеет бесконечное число нулей в точках а = {+ 1Гпа}. Расположение этих нулей определяется из условия взаимного уничтожения вкладов вычетов второго и третьего членов в (5.4.24) в точках а = + г^та. Это условие в явном виде записывается следующим образом:

8 (iTma) Res G_ (+ Vma) + 5 (—iyma) e-W- Res G+ (— 1-^=

= 0, m = 1, 2, 3 (5.4.29)

Поскольку Res G_ (+ iyma) = (—1) Res G+ (— iyma), последнее соотношение можно упростить

8 (iyma) — e-W- s (— iyma) = 0, m = 1, 2, 3, . . . .

(5.4.30)

Система уравнений (5.4.30) будет использована для определения смещенных нулей {Гпо};

поскольку условие на ребре, очевидно, не зависит от размера L, функции 8 (а) и 8 (а) должны иметь одинаковые асимптотики при | а | ~> оо в нижней полуплоскости. Следовательно, 8 (а) имеет полюсы в точках a = {+ iynb} и a = {+ iync}, совпадающие с нулями функции G_ (a).

В соответствии с распределением нулей и полюсов функции 5 (а) можно представить ее в виде

8^8^— гя_ Р^Л^ъ) тт / 1 — «ЛГПО \ 6 "|/2л (а + г?1б) ^_ (а) И ( 1—a/iyna /— гя_ Р^Л^ъ) тт / 1 — «ЛГПО \ 6 "|/2л (а + г?1б) ^_ (а) И ( 1—a/iyna /Pt а—гу1ь 'Pt а—гу1ь '(5.4.31)(5.4.31)

8^

8^

— гя_ Р^Л^ъ) тт / 1 — «ЛГПО \ 6 "|/2л (а + г?1б) ^_ (а) И ( 1—a/iyna /

— гя_ Р^Л^ъ) тт / 1 — «ЛГПО \ 6 "|/2л (а + г?1б) ^_ (а) И ( 1—a/iyna /

Pt а—гу1ь '

Pt а—гу1ь '

(5.4.31)

(5.4.31)

Постоянные Ро и РТ определяются из условий согласования вычетов в полюсах a = — iylb и a = + iylb в уравнении (5.4.24)* В результате имеем

(5.4.32)(5.4.33)(5.4.32)(5.4.33)DТТ l + Vlb/Yna

(5.4.32)

(5.4.33)

(5.4.32)

(5.4.33)

' °11 1+Т1б/Гп« ’

П=1

Р.=—^_e-VibL.b 1/2л

Остается определить последовательность чисел {Гпо}. Поскольку условия на ребре требуют одинаковой асимптотики функций 8 (а) и 8 (а), справедлива оценка

Гголпа~-^", П-*ОО.Гголпа~-^", П-*ОО.(5.4.34)(5.4.34)

Ггол

па~-^", П-*ОО.

Ггол

па~-^", П-*ОО.

(5.4.34)

(5.4.34)

1/2 19-0367

Значения нескольких первых корней {Гпо} могут быть найдены одним из методов, рассмотренных в § 4.3.

До сих пор мы рассматривали решение уравнения (5.4.20а). Совершенно аналогично можно получить и решение уравнения (5.4.206). Приближенное выражение для D (а), полученное методом Джонса, соответствующее выражению (5.4.27) для S (а), имеет вид

Г)/^ Г ^+ 0V^) I ^+ ( mb)Vf&b 1

--^=^^ResG+(-iTlo)}.(5.4.35a)

где

Г) <iM \ ~ я Г ^+^Vib) ^+( 'Yib)e ^ 1 v

X [g_(-iTla)- jM^^lpI^msLp1.(5.4.356)

Если применить модифицированный метод, решение Л(а) имеет вид

2) fax _ —toG* (i?lb)ТТ / 1 —“/гГпа l+Ytb/Тпа \ _

;6 V2n(a + tYtb)6L(a) ДМ l-a/HW l+Tib/F^ /

«ле,(5.4.36)

b "|/2л (а — iyib)

где по-прежнему асимптотическое значение нулей {Г^а} есть

п^оо,(5.4.37)

а первые нули, для которых асимптотическое выражение еще не применимо, можно найти из системы уравнений

D Ы + e'^D (- iVmo) = 0, ТП = 1, 2, 3, . . . . (5.4.38) Приведенные выражения полностью определяют решение системы интегральных уравнений (5.4.20). Для определения составляющих электромагнитного поля воспользуемся выражением функции Ф1(Ь, а) через найденные решения 5(a) и D (а), выведенным из соотношений (5.4.11) и (5.4.21):

Ф^Ь, a) = G(a) {4-е^[5(-а)-Р(-а)]-

-|-[5(а) + О(а)1}.(5.4.39)

Определяя с помощью выражений из (5.4.2) и (5.4.8) функцию Ф(^, а) и применяя к ней обратное преобразование Фурье, получаем рассеянное поле

хoo+it-

I 1( Ф1(Ь, ay^J^Y e-iaxda,

2л J 1 v / sh ус’

— оо + 1т

х>Ь, | т | < т0,(5.4.40а)

Ф ^ Z) =оо+Н

-у-( Ф1 (Ь, а) 8^^ e-iazda,

2лJ 1 v ’ 1 sh yb'

[ -oo+iT

,х<.Ъ, |т|<т0. (5.4.406)

В качестве примера воспользуемся выражениями функций S (а) и D(a^ полученными модифицированным методом, для нахождения по формулам (5.4.40) коэффициента отражения от рассматриваемой волноводной неоднородности. Из (5.4.36) и (5.4.31) имеем

S (а) + D (а) = -ЦЗ^^тМт^(5.4.41a)

S (—а) - D (- а) =_ ^"Л^ , (5.4.416)

'''’Ь^а—г^^С*^ Ма+пчь) ''

где

П (ct\ = — Г ТТ ^ ~ а^па^ ^ +Ylb/Yna) I

W 2 ^i (1-«ЛТпа)(1 + Т1Ь/Гпа) "t"

” (1-«ЛГ^)(1+Т1Ь/7по)п

+ 111(1 _ a/iYna) (1+Vlb/r^) J ’ IB) n=l

V ^ = — Г TT (1+«/trno) (1+Yl b/Yna) _

* Va) 2 LU (l + a/l7na)(l+Y16/rna) n=l

-pp (1 -|-а/1Гпо) (14“ yib/Упа) “|/r^ ^ Л4«\

-П <!+=.№„) <1 + 7,„/ГУ J- <54'41r> n=l

Подставив выражения (5.4.41) и (5.4.39) в (5.4.406), находим

<р Vx, z) = 7t + /2,^ < Ь,(5.4.42а)

где оо+гт

К”Ч^ 5 lS(-a)-D(-«)lx г _оо+гт

X ^^/"д sh ухега^ъ-^ da, | т | < т0, (5.4.426)

19*

оо+гХ

^"Т^ J № + с<“)1>< * —оо + гт

X -^^^|т|<т0.(5.4.42в)

При z < О контур интегрирования в выражениях (5.4.426) и (5.4.42в) можно замкнуть в верхней полуплоскости а, после чего вычисление интегралов сводится к нахождению вычетов в полюсах, расположенных в области внутри контура. В результате этих вычислений получаем

11 - 2 v^T »° (^И -‘^-D(~»">!х

X sin (-^- ж) e-vna(L-z) (5.4.43а)

А = { 2 гт/F""sin (^)[S+Dх

1“ V2л УпаХ а '

X sin я) e'V j +

+ уsin (™ X5А43б

^ ге(ТпЬ+Т1б) Res С-(г?пь)\ Ъ )''

71=1

В силу соотношений (5.4.30) и (5.4.38) слагаемое в фигурных скобках в 12 равно по величине и противоположно по знаку 1Х и, таким образом, отраженное поле определяется формулой

ф(^, 2)= 271=1ф(^, 2)= 271=1( —1)п+1 iG^^^U^^/ пл \ ^лЪг

ф(^, 2)= 2

71=1

ф(^, 2)= 2

71=1

n(ynb+y^KesG_^nb) b Ж)е ’

0<х<Ь и z<0,(5.4.44)

где выражение для U (а) приведено в (5.4.41в). Отметим еще, что в частном случае L -> оо обе найденные последовательности нулей {Гпо} и {Гпа} совпадают с {упа}, a U (а) -> 1. Следовательно, можно считать, что множители U (1упь) в (5.4.44) описывают влияние второго волноводного разветвления при L < z < оо. Как можно показать, полученный результат (5.4.44) совпадает с результатом, найденным модифицированным методом вычетов (§ 4.3).

§ 5 ДИФРАКЦИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВОЛНОВОДА

Для дальнейшей иллюстрации метода решения модифицированного уравнения Винера — Хопфа вида (5.1.3) рассмотрим задачу о дифракции на конечном отрезке плоского волновода х) (рис. 5.7). Хотя основные принципы решения этой задачи совпадают с изложенными в § 4, получение решения существенно усложняется

Рис. 5.7. Дифракция на отрезке плоского волновода конечной длины.

из-за того, что в данном случае функция Грина G (а) имеет точки ветвления; это характерно для краевых задач с открытыми структурами.

Пусть падающее поле имеет вид

Н^ = ф(О = ^-i^sineo+hzcoseo)^ о < 0О < л/2,(5.5.1)

где без ограничения общности предполагается, что угол падения лежит в первом квадранте. Уравнение Винера —- Хопфа нетрудно получить, если воспользоваться способом формулировки задачи, описанным в § 3.12 для полубесконечного волновода. Единственное различие состоит в том, что преобразование Фурье записывается теперь в виде трех слагаемых: Y_ ^х, а), ^ \х, а) и Т+ ^х, а), а не двух: Т_ (х, а) и Т+ (х, а), как в случае полубесконечной структуры.

Рассеянное поле ф (х, z) определяется всюду формулой ф = = -ф(О — ^(г) в пространстве преобразований Фурье решение волнового уравнения для рассеянного поля имеет вид

' Л (а)^-^,' Л (а)^-^,Т (ж, а) = С (a) e-^^D (а) е^Т (ж, а) = С (a) e-^^D (а) е^ИИЬ,Ь,(5.5.2)(5.5.2), В (а) е^,, В (а) е^,х<< — Ь.х<< — Ь.

' Л (а)^-^,

' Л (а)^-^,

Т (ж, а) = С (a) e-^^D (а) е^

Т (ж, а) = С (a) e-^^D (а) е^

И

И

Ь,

Ь,

(5.5.2)

(5.5.2)

, В (а) е^,

, В (а) е^,

х<< — Ь.

х<< — Ь.

г) Решение для поля электрической поляризации (падающее поле Е^ получено в [23], для волн магнитной поляризации — в [14].

Преобразование Фурье Т* (я, а) представляет собой сумму трех слагаемых:

(5.5.3а)(5.5.3а)¥ (ж, а) = е-^Т. (^ а) + Т, (ж, а) + Т+ (ж, а), где

(5.5.3а)

(5.5.3а)

Т_ (ж, а)Т_ (ж, а)Vi ^х, а) -Vi ^х, а) -^(^ а)^(^ а)1Д/2л11/2 л11Д/2л11/2 л1j гр (Ж, z) ^a(z+L) ^ОJ гр (ж, z^e^dz.j гр (Ж, z) ^a(z+L) ^ОJ гр (ж, z^e^dz.(5.5.36)(5.5.36)(5.5.Зв)(5.5.Зв)V2n JV2n Jeiaz dz.eiaz dz.(5.5.3г)(5.5.3г)

Т_ (ж, а)

Т_ (ж, а)

Vi ^х, а) -

Vi ^х, а) -

^(^ а)

^(^ а)

1Д/2л

11/2 л

1

1Д/2л

11/2 л

1

j гр (Ж, z) ^a(z+L) ^

О

J гр (ж, z^e^dz.

j гр (Ж, z) ^a(z+L) ^

О

J гр (ж, z^e^dz.

(5.5.36)

(5.5.36)

(5.5.Зв)

(5.5.Зв)

V2n J

V2n J

eiaz dz.

eiaz dz.

(5.5.3г)

(5.5.3г)

Поскольку рассеянное поле должно убывать при | z | -> оо по крайней мере как ехр (— Л2 cos 60 | 2 |), функции Т. (ж, а) и Y+ (ж, а) регулярны соответственно в нижней полуплоскости а (т < &2 cos ^о) и в верхней полуплоскости а (т > — Zc2 cos 60); Ti (х, а) — целая функция с алгебраическим ростом при | а | -> -> оо в нижней полуплоскости, и, следовательно, она может быть отнесена к «минус»-функциям. Произведение exp (jaL) грт (ж, а) имеет алгебраическое поведение на бесконечности при | а | -^ оо в верхней полуплоскости, следовательно, — это «плюс»-функция (§ 4).

Теперь необходимо сшить поля на поверхностях х = zb Ь» Следуя способу, описанному в § 3.12, можно получить искомые уравнения Винера — Хопфа. Оставляя подробные выкладки для самостоятельных упражнений (задача 5.7), приведем здесь лишь окончательные уравнения

л - г(а - к cos 0q)L

D'+ (а) — 2ik sin 0O sin (kb sin 0O) _ ,^-:— + e-'aLD'_ (a) =

' 7'' у 2л (a —/с cos 60)'

= — 2bfG (a) 5i (a),(5.5.4a)

4 _»-i(a-hcos0o)L

S'+ (a) + 2k sin 0O cos (kb sin 0O) 4;^;:т— + e ' iaLS'- (a) =

у 2л (a — к cos 60)

= — 2^L (a) Di (a), 111 •< &2 cos 0O,(5.5.4б)

где G (а) и L (a) — преобразования функций Грина соответственно в задачах с симметричным и антисимметричным возбуждением (см. § 3.12). Приведем явные выражения этих функций:

G (a) = e-fь (sh yb/yb),G (a) = e-fь (sh yb/yb),(5.5.5>(5.5.5>

G (a) = e-fь (sh yb/yb),

G (a) = e-fь (sh yb/yb),

(5.5.5>

(5.5.5>

(5.5.6)(5.5.6)L (а) = e~fb chy6.

(5.5.6)

(5.5.6)

Входящие в уравнения (5.5.4) функции ^ (а) и Dx (а) образованы линейными комбинациями функций ^ (6 ± 0, а) и ^ (— Ъ ± 0, а); поэтому их область регулярности на комплексной плоскости а совпадает с областью регулярности функции Yx (ж, а).

Если решения уравнений Винера — Хопфа (5.5.4) известны, рассеянные поля определяются по формулам (5.5.2) с учетом следующих соотношений:,

С^= -|[5i(a)-Pi(a)]e-vb,(5.5.7а)

D (а) = -1 [Si (а) + Dt (a)] ev»,(5.5.76)

Л(а) = С(а)—Z>(a)e-2vb,(5.5.7в)

В (а) = - С (а) е-^ъ + D {а).(5.5.7г)

УРАВНЕНИЯ ВИНЕРА — ХОПФА

Поскольку уравнения (5.5.4а) и (5.5.46) одного вида, мы подробно рассмотрим только первое уравнение. Умножая почленно уравнение (5.5.4а) на [l/(a + A) G+ (а)] и выделяя полюс в точке о. = k cos 0О, получаем

ДИа)Ро Г 111 _

(«+&) (г+(а) а — kcos0o L (a+k)G+ (а)к(1 + cos60)G+ (кcos0О) J

Ро , ,

k (1 + cos 0О) (а — к cos 0О) G+ (ксов 0О) '

, poe-i(a-hcose0)L ( D,^ e-iaL

"^ (а + к) (а — к cos 0о) G+(а) ' (a+k)G+(a)

= — 2Ь(а—fc)G_(a) 5i(a), | т | < кг cos 0О,(5.5.8а)

где Ро= [2iA:sin0oSin(Absin0o)/K2n;] постоянная, а явные выражения для G+(a) и G_(a) даются формулой (3.11.12г). В свою очередь, умножая уравнение (5.5.4а) на eiaL/[(a—&)G_(a)], получаем

_e^O£(a),

(a — Л) G_ (a)(a — к) (a — к cos Oq) G_ (a) ‘

Poeik cos e°LDL (a)

+ (a — k) (a — к cos 60) G_ (a) "^ (a — k) G_ (a) ~

= —26 (a + &) G+ (a) [eiaL5i (a)], [ т | < k2 cos 60.(5.5.86)

Введем обозначения

Mw (a) = D'+ (a),(5.5.9а)

w \+ \ / a_ & COSv '

n COS 6qL

Л/(_>(а) = В'_(а)+^ .■ -B ,(5.5.96)

1 '' '\ / 1 a —к cos 0O ’v '

где индекс у функции Mw (а) в круглых скобках означает, что М^ (а) регулярна в верхней полуплоскости а всюду, кроме точки а = к cos 0О, где она имеет простой полюс. Уравнения (5.5.8) можно переписать в виде

Г М^ (а)Ро1

1(а + А:) G+ (а) *" A:(l + cos 0О) (а—& cos 0О) G+ (кcos 0O)J

к (1 + cos 0О) (а — к cos 0О) G+ (к cos 0О) 1

+ 26 (=-t) G_ (а) 5, W- ^^"н -<5-5-Юа)

+ 26 <“ + Ч to l^S, И1 = V^'/c1^,

ITI < A2 cos 0O.(5.5.106)

Заметим, что все функции, входящие в левые части уравнений (5.5.10), регулярны или в верхней, или в нижней полуплоскости переменной а. Однако этого нельзя сказать о правых частях уравнений. Поэтому следует разложить функции, входящие в правые части уравнений (5.5.10). Это можно сделать с помощью формулы (3.9.7). В результате получаем

М_^е-гаЬ _ 1 Г Л/_(Р)е-’Рь ла (» + &)G+(a)2ni J^(p + /c)G+(0)№-cc)P

oo+id

2ni J (0+fc)G+(0)(0-a) P’

—co-V-id

где контуры интегрирования выбраны так, чтобы т удовлетворяло неравенствам

—d < т < d <к% cos 0О.

Аналогичное выражение получается для [Af(+)(a) е-^Ка — — к^ G_ (а)]. Подставим эти выражения в (5.5.10) и сгруппируем «плюс»-функции в одной части уравнений, а «минус»- функции — в другой. Применяя, как обычно, процедуру аналитического продолжения, можно показать, что обе части уравнений тождественно равны нулю, а уравнения справедливы при всех а.

Приравнивая нулю сумму всех «плюс»-функций в уравнении (5.5.10а), получаем ^(+) (а)।г

(а + к) G+ (а)к (1 + cos 0О) (а — к cos 0О) G+ (к cos 0О) "г

oo-id

+ 2л» J w (Р+^ G+ (0) (₽ - a)dp ~^'Ь

(5.5.106)(5.5.116)(5.5.106)(5.5.116)Аналогично равенство нулю суммы «минус»-функций в дает

(5.5.106)

(5.5.116)

(5.5.106)

(5.5.116)

oo+id

М-^L С№)е р ло А

(a—k)G_(a)2шJ(P-k) G_ (Р) (p-a) up и*

— oo+id

Уравнения (5.5.11), справедливые для всех а, представляют собой систему двух интегральных уравнений для неизвестных функций М(+) (а) и Af_(a). Эти уравнения можно упростить с помощью следующих преобразований. Заменим в (5.5.11а) р на — р, а в (5.5.116) а на — а:

М(+) (а).Ро.*

(а + k) G+ (а) ' Л (1 + cos Go) (а — & cos Go) G+ (к cos Go)

OO+id

+ 2нг J (р_^к(р)(р+5() dp = 0, (5-5Л2а) — oo+id

(a+k)G+(a) + 2л< J (р-k) G_ (Р) (р+а)“Р

-oo+id

Образуя сумму и разность этих уравнений, получаем

У<+)(а)।

(a + k)G+(a) 1

к (1 + cos 60) (а — kcosQp) G+ (A: cos Go) 1

°°+id

(5.5.13a)

1 2m J(P—fc) G_ (P) (P + a)— U’

-oo+id

Vw(a) ,

(a+fc)G+(a) 1

к (1 + cos Go) (a — к cos Go) G+ (k cos Go)

oo+id

L f _IWP)^_ dB - о

(5.5.136)

2ni J (p-*)G_(p)(p+a)ap-U’

- oo+id

где функции

17(+) (a) = M(+) (a) + M_ (— a),

(5.5.13b)

Vm (a) = Mm (a) - M_ (— a)

(5.5.13г)

регулярны в верхней полуплоскости переменного а везде, кроме точки a = Л cos 0О, где они имеют простой полюс.

РЕШЕНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ kL

Рассмотрим решение уравнения (5.5.13а) относительно неизвестной функции U^ (р). Преобразуем интеграл

oo+id'

Г— 1 Г ^(Р)^ ло' ~ 2Л1 _ J+w (Р - k) 6- (Р) (Р + «) Р

к более удобному виду. Для этого деформируем контур интегрирования для интеграла I в новый контур Р = Ре + Рх + Р^ лежащий в верхней полуплоскости 0, как показано на рис. 5.8. При указанной реформации контура пересекаются следующие сингулярности: (1) полюс функции С7(+) (0) в точке 0 = к cos 0О и (2) бесконечная последовательность нулей функции G_ (0) в точках 0 = = {+ ^Тп} (явное выражение для G_ (0) дается формулой (3.11.12г)).

1m Д1m ДРис. 5.8. Контур интегрирования для интеграла(5.5.14).Рис. 5.8. Контур интегрирования для интеграла(5.5.14).

1m Д

1m Д

Рис. 5.8. Контур интегрирования для интеграла

(5.5.14).

Рис. 5.8. Контур интегрирования для интеграла

(5.5.14).

Разрез, необходимый для однозначного определения функции GL (0), проведен здесь вдоль вертикальной прямой из точки ветвления 0 = к так, что подинтегральная функция в J монотонно убывает вдоль разреза. Учитывая сказанное, можно записать

P^AcosOqL

— /с (1 — cos 0О) G_ (к cos 60) (а + к cos Oq)

чета

^п—к) (а + г?п) Res G_ ^п)

1в.

(5.5.15а)

(5.5.156)(5.5.156)

(5.5.156)

(5.5.156)

где

__JWI^L_ aft

(p-*)G_ (₽)(₽+«) “₽*

При получении первого слагаемого в (5.5.15а) мы воспользовались тем, что Res Uw (/ccos60)^= — Ро согласно соотношениям (5.5.13в) и (5.5.9а). Для вычисления интеграла 1В удобно преобразовать его с помощью (5.5.5) к виду

_IW^_(P)_ (0-&)(0 + а)

Vp2_fc26Sh C|/p2-fc2b)

e’^L jp.

(5.5.16)

Вклад интеграла по окружности Ре радиуса е при е->0 равен вычету, умноженному на 2л i:

Zb= Uw^.^ вгнь1 6^о.(5.5.17)

Вклады интегралов по контурам Р^ и Р^ можно объединить, что дает,

Г* ^ f ^<+> (Р) ^+ (Р) /gl/p2-^6g-V^-^bX V^ — ^b рг^ьа^ — е ^shCVP^j^b) Р-

= А С UmWM^^^ ei₽LdB.(5.5.18)

"= J (Р+«) VF^''

При больших kL главный вклад в интеграл Гв вносит небольшой участок контура в окрестности точки Р = к. В пределах этого малого участка контура функции G+ (Р) ]/р + ^ и U^ (Р) в (5.5.18) можно заменить их приближенными значениями. Поскольку произведение G+ (Р) V р + к — регулярная и гладкая функция в окрестности точки р = к, можно приближенно положить G+ (Р) V¥Vk « G^ (fc) V2к. Функция и + (Р) имеет полюс в точке Р = к cos 60, которая может лежать вблизи точки ветвления Р = к. Однако этот полюс можно выделить с помощью преобразования

^.Ф)-[^>(Р) + ^7^]--рпЙй^ <5-5Л9>

Слагаемое в квадратных скобках в (5.5.19) является гладкой функцией в окрестности р = к. Поэтому можно приближенна положить

Um (Р) » [Uw (к) 4-к (1_ ”og 0о) J — p_fcc°og6o .(5.5.20)

Используя эти приближенные выражения в (5.5.18), имеем г. ~ £ К № + w5^ Gt W V2k ^-^^^ df -

to>1. (5.5.21)

Замена переменной вида ^—k)L — iu дает

Г» «УгИ. А[ит W +G. W X

о

X ( гу Д гidu.(5.5.22)

J [u — ik (1 — cos Oq) Ц [и — г (&4-а) L]х ’

О

Интегралы в (5.5.22) могут быть выражены через функцию Куммера U (a, b, z)) с помощью соотношения

ыН^=г1-+тМ-4-+г-). о

(n_|_|)>0 И Rez>0. (5,5.23)

Представим подинтегральную функцию во втором интеграле в (5.5.22) в виде разложения

[и —i^(l —cos 60) Ц [М — г (&4-а) Ь] ~

iL (а + к cos 60) Е и — i (k-V-a) Lи — ik (1 — cos Oo) l] *(5.5.24)

Теперь Гв можно выразить через функции Куммера

Г.»УЭ$^«^-’[к} + ^^ х

х G. W UI -i (4+«)У + ГМ^ =«*‘-«‘> ^4$^ X

X ^-iY — Hk + ^L^ — ^.iY — ik^l — cos^L^, kL^ 1.(5.5.25;

Подстановка соотношений (5.5.25) и (5.5.17) в (5.5.15а) дает окончательное выражение для интеграла I. Будем в дальнейшем предполагать, что в волноводе распространяется только основная волна типа ТЕМ. При больших kL можно пренебречь суммой в формуле (5.5.15а), в результате чего выражение для I принимает вид

^ ~ к (1 — cos 60) (а 4- к cos 60) G_ (к cos Оо) + ^(+) ^ ^* ^ + ^2 ^1 kL^i, (5.5.26а)

где

х* (а) =е*ь ^У^ыЛ e^L-№Q+ ^ ^[-Ц]^ а) £],

(5.5.266)

%2 (а) = V 2kL-%-е«^-зл/4)б+ ^ ро х

\ к(Д — cos Оо) ’а 4- A: cos 0О/ '

(5.5.26b) Подставляя (5.5.26) в (5.5.13а), получаем искомое выражение для С7(+)(а):

Uw (а)«(— 1) (а + к\ G+ (а) Гттглнт;г^—а хл "аал +

p0e^cose0L

• к (1 — cos 0q) (а + к cos Оо) G- (^ cos Оо)

+ t7<+>WXi(a) + X2(a)], kL>L (5.5.27) Постоянная t7(+>(fc), входящая в это выражение, определится, если положить а=/с, и, следовательно, может считаться известной. Так же, как мы определили У(+) (а) с помощью (5.5.13а), можно из (5.5.136) найти Uw (а). Приведем окончательный результат: У<+) (а) « (— 1) (а + fc) G+ (а) Г —

v х \\(14-cos 60) (а — к cos 60) G+ (к cos 60)

р05^ cos ®оЬ

к (1 — cos 60) (а 4- к cos 60) G_ (к cos 60)

-У(+)(к)Х1(а)-Х2(а)], kL>l. (5.5.28)

Подстановка решений (5.5.27) и (5.5.28) в формулы (5.5.13) и (5.5.9) дает окончательные выражения для D'+ (а) и D'_ (a)t

D* <“) ~ а-Лсо80пG* («) X

— Л/ vVd UQ

ХГ,

L к (14- cos 0О) (a — A: cos 60) G+ (к cos 60) ’

+ ^t> W-^^) WХ1 (а)],(5.5.29a)

n _ ih cos OqL

D- ^ * a fccoS0n + (“ - fc) G- («) X

К LUS UQ

роегк cos 0оЬ

к (1 — cos 0O) (а—к cos 60) G_ (k cos 60) "^"

+ -,+,-(^ tГ<+> (k) X1 (- a) + X2 (- a)], kL>L (5.5.296)

До сих пор мы рассматривали только решение одного из уравнений Винера — Хопфа (5.5.4а). Другое уравнение (5 5.46) при больших kL решается совершенно аналогичным образом. Опуская детали получения решения, приведем только окончательные результаты:

S* (а) * ^Й^К -К« + к ^+ («) X

(5.5.30a)(5.5.30a)(5.5.306)(5.5.306)(5.5.31а)(5.5.316)(5.5.31а)(5.5.316)X ГрI 3/2^ sin (0о/2> (а — k cos 60) L_ (к cos 60)

(5.5.30a)

(5.5.30a)

(5.5.306)

(5.5.306)

(5.5.31а)

(5.5.316)

(5.5.31а)

(5.5.316)

р^гк cos QqL

S'- (“) ~ "/Л—оГОЙГ« + ^М«)Х

cos 0qLt_5_f-V^k sm (60/2) (а — к cos 60) £- (^ °os 6g)

+ ^^^Хз(-<хНх^AL>1.

Здесь использованы следующие обозначения:

Р'о = —— sin 60 cos ^kb sin 60) = iPgJctg ^kb sin 60), у 2 л

Хз (а) = ^енкь-«1^ {k} ^ (_ t ^^ L]>

X4(a) = P; J^-^-n/4)L+(A)x

x t ^(1 — COS 6g)*a + &cos6g

(5.5.31b)

Явные выражения для функций L^ (а) и L_ (a) приведены в задаче 3.8. Входящие в формулы (5.5.30) постоянные t7(+) (fc) и У(+) (/с) т) можно определить, если положить a = к в следующих выражениях:

и^+)(«) — (—1) у а. 4- к L+ (a) £ ^y^^^^z^^^+

огк cos 6qL j£o£l

*1/2^ sin (0g/2) L_ (k sin 60) (a + к cos 60)

Ч-^+Д^Хз^ + хДа)], (5.5.32а)

x) Отметим, что штрихи у U\. (к) и У+ (к) не следует понимать как знак производной.

У? +) (а) = (-1) у а + к L+ (а) —

к м ' ' /r 4..y^cos(e0/2)(a-/ccoseo).Mfcco^

p^k cos 6qL

l/2fc sin (60/2) L_ (к sin 60) (а + Л: cos 60)

— ^(+)(*)Хз(а) —xU»)]-(5.5.326)

Подставляя (5.5.29) и (5.5 30) в (5 5.4), можно определить искомые функции ^ (а) и Dx (а) и, следовательно, найти полное поле с помощью (5.5.7). Мы не станем проводить здесь эти утомительные, но очевидные вычисления.

§ 6. ИЗЛУЧЕНИЕ ИЗ ВОЛНОВОДА G ФЛАНЦЕМ

В этом параграфе мы вернемся к модифицированному уравнению Винера — Хопфа типа (5.1.2) и опишем в общих чертах метод его решения в случае, когда функция Н (а) имеет точки ветвления» В качестве примера рассмотрим задачу об излучении из волновода с фланцем, показанного на рис. 5.1, в. Пусть в волноводе на его открытый конец набегает волна типа ТЕМ

Н^ =ф(г) =егк2 при | ж | < Ь и всех z. (5.6.1)

Тогда, как можно показать (задача 5.8), такая задача описывается следующим функциональным уравнением Винера — Хопфа:

G (а) Х+ (а) + Я (а) Х+ (- а) + У. (а) +

+ —7=^= 0, ItK^, (5.6.2a)

где

W = 7-(5.6.26)

Уравнение (5.6.2) того же вида, что и (5.1.2), причем функция Н (а) имеет точки ветвления при а = ± к. Факторизуем функцию G (а) (см. (3.9.38)):

G (а) = G+ (а) G_ (а) = G^ (а) G^ (-а),(5.6.3a)

где

£+(а) = "1/^е+*<«/2)—^expR^ (1-C + ln (^-)+i^l X

* ' 7 V sintoа+fc r L ni \1\ kb ) '2 J

X ехр Г ( — 1п|( “ . v ) 1 П гаЬ/пл ’(5.6.36)

Р1\Л1 Ц к / J Ы (1_|_а/,Тпь)егаЬ/пя’ к 7

Tnb = [(n»/b)2-^l1/2.(5.6.3b)

Разделив почленно (5.6.2а) на 6L(a), получим

С (гл X.У-(а)

(а)(а) ++

j—_JГ—1— 1 j=- о

У2л(а + &) LG. (а) 6+Ш 1 у2л G+ (к) (а + ^’

|т|<^,(5.6.4)

где с помощью тождественного преобразования произведено также выделение полюса при а = — к. Заметим, что все слагаемые в (5.6.4), за исключением второго, являются или «плюс»- или «мину с»-функциями. Разложение второго слагаемого в (5.6.4) можно формально произвести с помощью интегральной формулы (3.9.8): 1£(“Н±к^1 - 1 “?,d н^ х+(-р) ,R_

;с_(а)- 2ni J 6_(Р)(Р-а) “р

Г Н (Р) Х+ ( Р)к d т d к (5 6 51

2лГ J G_(p) (р-«Г Р’ 2< d<T<d</c2. (Ь-b.b)

— oo-J-id

Ж-»> ^+gtw^<«) +Ж-»> ^+gtw^<«) +Подставляя (5.6.5) в (5.6.4) и применяя обычную процедуру Винера — Хопфа, можно показать, что сумма слагаемых, регулярных в верхней полуплоскости («плюс»-функций), и сумма «минус»- функций должны тождественно равняться нулю. Приравнивая нулю сумму «плюс»-функций, имеем оо-id 1Гн

Ж-»> ^+gtw^<«) +

Ж-»> ^+gtw^<«) +

2ш JG.

-со-id

(5.6.6)(5.6.6)ч—=— -0,—£<т.

(5.6.6)

(5.6.6)

У2л G+ (к) (а + ^)

Интегральное уравнение для Х+ (а) легко получить, заменяя в (5.6.6) переменную интегрирования р на — р. Это дает

G+ (а) Х+ (а) = —=—!+ ^ ( ^^Л (? dp, (5.6.7)

W t V2"C+(fe)(«+fe) 2m J G+(P)(P+“) '

где контур Po изображен на рис 5.9. Как очевидно из (5.6.25), при | р | -> оо в верхней полуплоскости

Я (-Р)р-4(5.6.8а)

В то же время из (3.9.38) следует

G+ (р) - Р"1/2,(5.6.86)

а согласно условию на ребре т)

Х+ (?) - Р"2/3.(5.6.8в)

Следовательно, подинтегральная ^функция в (5.6.4) стремится к нулю как Р"13/6 при | Р | -> оо в верхней полуплоскости. Контур

Imp

-к

Рис. 5.9. Контуры интегрирования в комплексной плоскости 0.

интегрирования Ро, параллельный действительной оси, можно деформировать в контур по берегам разреза Рг и Р2. Введем также функций *

У(р) = Я(-Р)|Рер2-Я(-р)|рер1 = -7=|= , (5.6.9) 1/02 — рер2

скачок которой при переходе через разрез равен Н (— 0). В результате уравнение (5.6.7) сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с гладким ядром:

G* (а) Х+ (а) = —_ 1+ А С ^g^J . (5.6.10)

v i У2лб+(*)(«+&) 2raJ <?+(Р)(Р4-а) х '

Это уравнение можно решить итерациями, например, с использованием представления

1]/2л G+ (k)G+ (а) (а-Н)

(2л)3/2 G+ (fc) G+ (а) J2 ^ (0) (0 "b &) (0 + а) Р * * *

или другими численными методами.

г) Функция Х+ (а) может быть отождествлена с преобразованием Фурье от Ег (х = 6, z) в области 0 < z < оо (задача 5.8). Поскольку Ех — z*1/3 при z -> 0, асимптотика %+ (а) действительно задается формулой (5.6.8в).

Рис. 5.10. Вибратор конечной длины.Рис. 5.10. Вибратор конечной длины.

Рис. 5.10. Вибратор конечной длины.

Рис. 5.10. Вибратор конечной длины.

ЗАДАЧИ

Рассмотрим сплошной цилиндрический вибратор конечной длины, возбуждаемый идеализированным генератором вида (5.2.1) (рис. 5.10). При больших kh задачу можно решить методом обобщенных матриц рассеяния (§ 4.6). Показать, что выражение для

полного тока, полученное суммированием вкладов всех многократно отраженных волн, имеет вид

+ ^(z + M], (5.1)

если z расположено достаточно далеко от торцов вибратора. Использованные здесь обозначения совпадают с приведенными в § 2. Показать также, используя (5.2.65)л что для тонкой антенны влияние сплошных торцов на адмитанс эквивалентно изменению эффективной длины, так что

У^^У^Ч-^), Ла<1,(5.2)

где У (hy и 7 (А) —- адмитансы соответственно сплошной и трубчатой антенн длины 2h. Отметим, что У (А) можно также вычислить из (5.1), если заменить R на R из (5.2.646). Формула для наведенного тока (5.1) была получена различными методами Хал- леном [69], Ченем и Келлером [74] и Ли и Миттрой [42]. Различные выражения для функций U $) и 1^ (z) даны Шэнем, By и Кином в [75].

Найти функцию g^\ удовлетворяющую уравнению (5.3.13) и условиям (5.3.14).

Проверить, что если рассеянные поля представлены в виде (5.3.9) и (5.3.21), то при граничных условиях, накладываемых на g<b и g^ при х = b ± 0, условие непрерывности (5.3.22) удовлетворяется.

Рассмотрим плоский волновод, высота которого изменяется скачком (ступенчатая неоднородность, рис. 5.11). Пусть из области А падает волна типа

ф(1) = sin ^-^- ж У е”7^2.

Полное поле запишем в виде

{ф(Ъ+ф,Ф(1) + <р—sin 0,{ф(Ъ+ф,Ф(1) + <р—sin 0,Ж > 6,х < Ъ и z < 0,х < Ъ и 2 > О»Ж > 6,х < Ъ и z < 0,х < Ъ и 2 > О»

{ф(Ъ+ф,

Ф(1) + <р—sin 0,

{ф(Ъ+ф,

Ф(1) + <р—sin 0,

Ж > 6,

х < Ъ и z < 0,

х < Ъ и 2 > О»

Ж > 6,

х < Ъ и z < 0,

х < Ъ и 2 > О»

Следуя методу, описанному в §1.5, показать, что задача может

Рис. 5.11. Ступенчатая неоднород-ность в волноводе*

быть сведена к решению модифицированного уравнения Вине* ра — Хопфа (5.3.36).

Указание.

Ф+ (ж, а) + Ф. (ж, а) = Л (а) sh у (а — х), х> Ь,

Ф^. (ж, а) — Ф„ (ж, — а) = В (а) sh уж,ж < Ь.

Используя эти соотношения, получаем

— у [Ф+ (Ь + 0, а) + Ф„ (Ь + 0, а)] cth ^с = Ф^ (Ь + 0, а) +

+ Ф1(Ь + 0,а),

у 1Ф_ (Ь — 0, а) — Ф- (Ъ — 0, —а)] cth уб =

= Ф1 (Ь — 0, а) — Ф1 (Ь — 0г —а).

Наконец, применяя граничные условия

Ф+(Ь+0, а) = —J=-sin (—)—-—,

. х ' УОл V а ' !«—71а

Ф_(5 + 0, а) = Ф_(6 —0, а)l=-sin ( —)—^— ,

х 1 хУ2л \ а ) юс-т1а

Ф'_ (Ь + 0, а) = Ф'_ (Ь -0, а)—cos ( —)J,

х ’ 7 х '"}/2я а \ а I ‘а+?1о ’

выведем уравнение (5.3.36).

На примере уравнения (5.2.29) рассмотрим еще один метод решения модифицированного уравнения Винера — Хопфа типа (5.1.2), когда Н (а) — мероморфная функция. Умножив рассматриваемое уравнение на (а — ft) L_ (а) и выделив во втором слагаемом полюс в точке а = — /с, получим

т ^, ■ 5±^z®) +til[(а—A) L, (а) + 2kL_ (—к) ] —

—tilltiti-(а-к) L_ (а) SL (а) =

ла Д/2л (а + ^)'

= [ V^o'wl <a-^L-^ ЕДа, -а), ItK^. (5.3)

Заметим, что все члены уравнения в (5.3) могут быть отнесены к «плюс»-или «минус»-функциям, за исключением слагаемого, стоящего в правой части. Поскольку все особенности функции

Л»(а) = tit А£Ф(5.4)

7 zo W

лежащие в нижней полуплоскости а, — это простые полюсы а = = {— i^m} (см. (5.3.37a)), можно провести разбиение правой части (5.3), выделяя полюсы следующим образом:

-$,(«)- 2 ^+К)Ь,(.-^ЕДа, +iTm) —/yy , (5.5) 771=1

где В_ (а) — «минус»-функция, явное выражение которой нетрудно найти, хотя для дальнейших рассуждений оно не понадобится. Подставив (5.5) в (5.3), воспользовавшись обычной процедурой аналитического продолжения и приравняв сумму «плюс»-функций нулю, придем к уравнению, справедливому при всех а:

темы пока нет и ее приходится решать численно, методом редукции. Следовательно, этот метод не так эффективен, как описанный в § 2 (см. [20]).

Описанный в задаче 5.3 метод применялся при решении большого числа задач. Вот некоторые из них: а) ступенчатая неоднородность в плоском или круглом волноводе (рис. 5.12, а, [15, 60]); б) дифракция на полубесконечном цилиндрическом стержне (рис. 5.12, б, [22]); в) излучение из решетки, образованной

Рис 5.12. Структуры, модифицированные в попереч-ном направлении.

плоскими волноводами с толстыми стенками (рис. 5.12, в, [40]); г) дифракция поверхностной волны на толстой полуплоскости с импедансной поверхностью (рис. 5.12, а, [26]). Следует отметить, что все эти задачи могут быть эффективно решены методами, описанными в § 2 и 3. В частности, задача о ступенчатой неоднородности, изображенной на рис. 5.3, а, решена в § 5.3.

Вывести уравнение Винера — Хопфа (5.5.4) способом, описанным в § 3.12.

Рассмотрим задачу о волноводе с фланцем (рис. 5.1, в\ в случае когда на открытый конец набегает волна типа

^ = ^ = eUz.

Определим полное поле ^^ (я, z) = гр(г) + гр при | х | < b игр(<) (х, и) = гр при | х |>fe. Показать, что задачу можно свести к решению следующего уравнения Винера — Хопфа:

а) + - ^(Ь, -а)+ /_(«) +-—4= 0,

YshYb + it^ +v>к j-r у2я(а+Л) и»

где J_ (а) = Y+ (& + 0, -—а) — Т_ (Ь — 0, а). Это уравнение можно решить методом, описанным в § 6.

Указание. Выразим рассеянное поле в виде

^ (х, а) + Т+ (ж, — а) = Л (а) е-^,х*>Ъ,

Y+ (х, а) + ^_ ^х, а) = В (а) е-^-Ь С ^ е^, | х | < Ъ.

Используя симметрию задачи, получаем В = С. Граничные условия при х = Ъ дают

Л (а)5 (а)Л (а)5 (а)= ^-Щ(Ь,«) + П(Ь. -а)],П(Ь.«)

Л (а)

5 (а)

Л (а)

5 (а)

2у sh ^Ъ *

откуда получается искомое уравнение Винера — Хопфа.

Рассмотрим задачу о дифракции на ленте, изображенной на рис. 5.13, а, для падающего поля вида

Д^ = ф(Х) - ^ -г/цсов Oox+sm Boz).

Представим полное поле во всем пространстве в виде ф(Г) (х, z) = = ф<г> + гр. Следуя процедуре, описанной в § 5, показать, что задача может быть сведена к следующему функциональному уравнению* Винера — Хопфа:

^а£Ф+ (0, а) + ?Л (а) + е-^YL (0, а) =

— 2ksiB6o9in[(a--A:cos6o)^] t i 7^

у 2 л (а — k cos 0О)

где 2Ji (а) = ^ (+ 0, а) —- Ч^ (— 0, а). Рассматриваемая зада* ча является частным случаем (при Ъ ~> 0) задачи, обсуждав- шейся в § 5. Ее решение можно найти в книге Нобла [58]»

Можно с самого начала (см. §3.12) разделить полена симметричную и антисимметричную части. При этом задача 5.9 сводится к двум независимым функциональным уравнениям Винера — Хопфа. Рассмотреть задачу для структуры, изображенной на рис. 5.13, б, и показать, что для симметричной части поля урав—

нение Винера — Хопфа имеет вид

[е^П (0, «) +Т/,(а)-^.?"^ =

где 2JT (а) = Ч\ (+ О, а) — ^ (— О, а). Показать также, что

2»1^2»1^

2»1^

2»1^

Рис. 5.13. Дифракция на полосе.

соответствующее уравнение Винера — Хопфа для антисимметричной части имеет вид

[^ (0, О + тЛ (а)- 2-„^ад ] -

где 273 (а) = ^ (+ 0, а) — V (— О, а). Оба эти уравнения Винера — Хопфа могут быть решены методом, описанным в § 6.

Указание. Рассмотрим симметричную часть поля. Используя граничное условие

±Я^ 2) I _ /fcsin 0О н cos 0дъ |г=0-2’

приходим к уравнению

Л2\

5^—V2) Qkxi а) = —^sin0oe-lhcos6ox, |т[< к2,

где

Q (х, а) = [^i (z, а) + егаЬХ?+ (я, а) + Ч1*! (т, — а) + ^"^^ (.г, — а)].

Решение Q (ж, а) представим в виде

К? (ж, а) =К? (ж, а) =Л (а) ел^В (а) е** 4Л (а) ел^В (а) е** 4ik sin 0q^-\-k^ cos2 Одik sin Op72 + &2cos20o *ik sin 0q^-\-k^ cos2 Одik sin Op72 + &2cos20o *£ >0, £<0.£ >0, £<0.

К? (ж, а) =

К? (ж, а) =

Л (а) ел^

В (а) е** 4

Л (а) ел^

В (а) е** 4

ik sin 0q^-\-k^ cos2 Одik sin Op

72 + &2cos20o *

ik sin 0q^-\-k^ cos2 Одik sin Op

72 + &2cos20o *

£ >0, £<0.

£ >0, £<0.

Произведя сшивание полей при х = 0 и исключив коэффициенты А и В, получим искомое уравнение Винера — Хопфа.

Рассмотреть задачу о распространении поперечной волны типа ТЕМ в экранированной полосковой линии передачи, изобра

женной на рис 5.14 (структура считается однородной вдоль направления распространения волны, т. е. вдоль оси у). Если учитывать общий множитель exp (± iky), то часть потенциальной функции ф (х, z), описывающая зависимость от поперечных координат, должна удовлетворять уравнению Пуассона

(^ + ^)Ф(,,,)=-^. (5.7)

где функция р (л, z), описывающая распределение заряда, в нашем случае определяет поверхностную плотность заряда на ленте*

р (rr, z) = ps (z) б ^ — Ъ — с), | z | < L.

Потенциальная функция должна удовлетворять следующей системе граничных условий на проводящих поверхностях:

ср (ж = 0, z) = ф (ж = а, z) = О,

ф(я = 6 + с, z) = 1, ]z]<Zz,

\Ц<Ь.\Ц<Ь.дф Iдф I= р5 (z)

\Ц<Ь.

\Ц<Ь.

дх |х=(Ь+с)+0 дх |х=(Ь+с)-0Ео

Последнее условие можно вывести непосредственно из уравнения (5.7) и из условия непрерывности потенциала и нормальной составляющей потока индукции на границе диэлектрика

ф (я = 6 + 0, z) — ф (х = b— 0, z),дф Iдф I

80= 8г80.

дх х=Ь+0дх х=Ь-0

Показать, что в предельном с лучае с -> 0 задачу можно свести к уравнению Винера — Хопфа

G (a) Ft ^ = Ф1 (а) + егаЬФ+ (а) + е - 1аЬФ+ (— а),(5.8)

гдегдеLj ps(z)^Tazdz,Lj ps(z)^Tazdz,

где

где

L

j ps(z)^Tazdz,

L

j ps(z)^Tazdz,

ф*-(“)-ЧЯЕф*-(“)-ЧЯЕG^ =G^ =^ cp(x = h9 z) е^2-^ dz9 Lsh ab sh a (a—b)^ cp(x = h9 z) е^2-^ dz9 Lsh ab sh a (a—b)eoa [er sh a (a — b) ch ab+ch a (a—b) sh ab] ’ Leoa [er sh a (a — b) ch ab+ch a (a—b) sh ab] ’ L-L-Lл sinaL2 aл sinaL2 a

ф*-(“)-ЧЯЕ

ф*-(“)-ЧЯЕ

G^ =

G^ =

^ cp(x = h9 z) е^2-^ dz9 L

sh ab sh a (a—b)

^ cp(x = h9 z) е^2-^ dz9 L

sh ab sh a (a—b)

eoa [er sh a (a — b) ch ab+ch a (a—b) sh ab] ’ L

eoa [er sh a (a — b) ch ab+ch a (a—b) sh ab] ’ L

-L

-L

л sinaL

2 a

л sinaL

2 a

Решить это уравнение методом, описанным в § 5.4. Указание. Записать поле в виде

' A (a) sha(a —ж),' A (a) sha(a —ж),Ф (ж, а) = В ^ sh ах + С (a) ch ах9Ф (ж, а) = В ^ sh ах + С (a) ch ах9, D (a) sh ах9, D (a) sh ах9x^b-Yc, Ъ + с>ж>Ь, 6> ж>0x^b-Yc, Ъ + с>ж>Ь, 6> ж>0

' A (a) sha(a —ж),

' A (a) sha(a —ж),

Ф (ж, а) = В ^ sh ах + С (a) ch ах9

Ф (ж, а) = В ^ sh ах + С (a) ch ах9

, D (a) sh ах9

, D (a) sh ах9

x^b-Yc, Ъ + с>ж>Ь, 6> ж>0

x^b-Yc, Ъ + с>ж>Ь, 6> ж>0

и применить указанные выше граничные условия. 21—0367

Выразить функцию G (а) в задаче 5.11 в виде отношения бесконечных произведений и применим к (5.8) процедуру подбора особенностей. Показать, что Ф+ (а) должна иметь вид

Ф+(а) = УФ+(а) = УП=1П=1

Ф+(а) = У

Ф+(а) = У

П=1

П=1

(5.9a)m = l,2, ..., (5.96)(5.9a)m = l,2, ..., (5.96)где { ± ап} — полюсы функции G (а). Показать, что неизвестные {Лп} удовлетворяют бесконечной системе уравнений

(5.9a)

m = l,2, ..., (5.96)

(5.9a)

m = l,2, ..., (5.96)

П=1

” ,!ei2ymL .l_ei2ymL

*-* \ «п — Yman4~Ym /П ^Ym

n=l

где { ± pm} и {± ym} — нули функции G (а). Систему (5.9) можно решить модифицированным методом вычетов.

Рассмотрим задачу о полосковой линии, изображенной на рис. 5.14 в предельном случае а -> оо, т. е. когда верхняя часть экрана отсутствует. Показать, что в этом случае уравнение Винера — Хопфа также имеет вид (5.8), но с другой функцией

^(а)80 | а | (1 +ег cth | а | &) *

Решение можно получить методом, описанным в § 6.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СХОДИМОСТИ

РЯДОВ НЕЙМАНА

В приложении мы докажем сходимость рядов Неймана, входящих в формулы (4.6.1) и (4.6.2), и таким образом докажем, что

(1 - sPsf5')"1 = / + SBBSBB + sBBsBBsBBsBB +... . (П.1.1)

Покажем сначала, что сходятся ряды вида

‘(7-Sfs)-1 = / + SBS + SfBSfs+..., (П.1.2)

а затем, что из сходимости рядов (П.1.2.) следует сходимость рядов (П.1.1).

Пусть ап и Ьп — амплитуды тг-й падающей и отраженной собственных волн в области В (рис. 4.14, #), определенные в плоскости сочленения z = 0. Пусть еп и in — напряжение и ток, эквивалент* ные тг-й собственной волне для области В, определенные в плоскости сочленения z = 0. Для распространяющихся волн при Ьп = 0 имеем 4 eni* = 4^p)l an I 2, где Z^ = (&/2<ое) \№ - (nnlb)^ Аналогично для затухающих волн при Ъп — 0 справедливо 4 eni* = (i/2) Z^ | ап |2, где Z^ = (Ь/2Юе) [(пл/b)2 - №. Величины еп и in для распространяющихся волн в общем случае

выражаются через ап и Ьп следующим образом:

en = Z„p) (ап + Ьп),(П.1.3)

^п — ^п Ьп.(П.1.4)

Выражения еп и 1п для затухающих мод имеют вид

^п = + iZ^ (^п4"М’(П.1.5)

^п ” ^п — Ьп.(П.1.6)

При сделанном выборе плоскости отсчета (или входа) z = 0 для области В области А и С можно рассматривать как нагрузку, подключенную к этому входу. Входные напряжения, токи, запасенная энергия и мощность, подводимая ко входу, связаны следующим соотношением [55]:

у У eni£=-2i<o(WH-WE) + P, (П.1.7) п=0

где Wh — средняя магнитная энергия, запасенная в нагрузке, WE — средняя электрическая энергия, запасенная в нагрузке, а Р — средняя мощность, подводимая ко входу.

Для упрощения последующего изложения предположим, что в области В распространяется только волна типа ТЕМ. Подставляя выражения (П.1.3) — (П.1.6) в (П.1.7), получаем

Z^ (оо + ^ (4 -4)4-1 Д Z^ (ап 4- Ьп) (4 - Ь*') =

=-4io)(WH-WE) + 2P. (П.1.8)

Приравнивая действительные части в (П.1.8), находим

z^ (Ы2-1 fro I2) -Н S ^ №-<« = 2Р. (П.1.9) п=0

Приравнивая мнимые части в (ПЛ.8), находим

Z^^-a^-i § Z<te)(|’an|2-|M2) = -4i(l)(WE-WH). (П.1.10)

П=1

Положим b = SBBa, где а—собственный вектор матрицы 8ВВ, так •что если к—собственное значение, то

Ь = ка,(П.1.11)

Ьп = кап,(П.1.12)

Подставляя (П.1.12) в (П.1.9) и (П.1.10), имеем

Z^|a0|2(l-|X|2)-i § (X*-X)Z^|an|2 = 2P,(П.1.13)

П—1

z^ I а» |2 (X* — X) — i § (lHX|2)Z^|a„|2=-4i<D(WE-WH).n=l

(П.1.14)

Соотношения (П.1.13) и (П.1.14) могут рассматриваться как два уравнения относительно неизвестных (X* — X) и (1 —- | X |2). Решение этих уравнений дает следующее значение (1 — |Х |2):

2PZ^ | «о |2+4<о (We-Wh) J Z^> | ап p

1-|А|2=^ .(П.1.15)

(Z^|ao|2)2 + (2 ZkP)Un I2)2

n—1

Заметим, чю величины Z^ и Z^ положительны и действительны, а И^ > Wh в случае волн типа ТМ. Таким образом,

|Х |< 1. (п.1.16)

Необходимое и достаточное условие сходимости рядов Неймана вида I + М + 7I72 + • • • состоит в том, что собственные значения оператора М удовлетворяют неравенству | Л | < 1. Таким образом, сходимость ряда Неймана (7 + 8ВВ )"х доказана.

Доказательство сходимости ряда I + SBB + SBB S^B +• • • в случае Г^-волн формально совпадает с доказательством, приведенным выше для 07-волн. В этом случае WH > WE, но эквивалентное напряжение еп для тг-^й нераспространяющейся собственной волны нормировано по-другому. В этом случае еи — = - iZW (ап + b^, Z^ > 0.

Существует еще одно необходимое и достаточное условие сходимости рядов Неймана [67]. Если а' — произвольный вектор и У = Ма') то ряд Неймана сходится абсолютно, если ] Ь' | < < | а' |, где | а' | — конечен. Таким образом, из доказательства сходимости ряда I + 8ВВ + 8ВВ 8ВВ + • • • ясно, что если V = 8вва', то | Ь' | < | а' |. Положим а* = 8ВВ а”. Тогда если У = 8ВВ8ВВ а\ то | Ь" | < | 8ВВ ? |.

Для 8ВВ можно использовать тот же способ рассмотрения» который позволяет получить (П.1.15) для 8ВВ. Однако при это может оказаться, что Р = 0 и WE = WH> как в случае 8ВВ = = ± L Следовательно, если ц —- какое -либо собственное значение матрицы 8ВВ и | т] | ^ 1, то | 8ВВ а" | ^ | а” |. Таким образом, неравенство | Ь" | < I а" I показывает, что ряды Неймана I 4+ 8ВВ 8ВВ + 8ВВ 8ВВ 8ВВ 8ВВ + . . . сходятся и их сумма равна (7 — S^B S^y1. В случае когда возможно распространение нескольких собственных волн, доказательство по существу остается тем же.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1)

Абрамович и Стеган (Abramowitz М. and Stegun I. А,)

Handbook of mathematical functions, New York, Dover Publications, Inc., 1965.

Аллис, Бушбаум и Берс (Allis W. P., Buchsbaum S. J. and Bers A.) Waves in anisotropic plasma, Cambridge: M. I. T. Press, 1963.

Берц (Berz F.)

Reflection and refraction of microwaves at a set of parallel metallic plates, Proc. IEE (London), 98, Pt. Ill (1951), 47—55.

Борн и Вольф (Born M. and Wolf E.)

Principles of optics (2nd ed), New York: Pergamon Press, 1964. [Русский перевод: Борн M. и Вольф Э., Основы оптики, М., «Наука», 1970.] 5. Бэйтс и Миттра (Bates С. Р. and Mittra R.)

A factorization procedure for Wiener — Hopf kernels, IEEE Trans., AP17 (1969), 102-103.

Бэйтс и Миттра (Bates С. P. and Mittra R.)

A tecnique for solving certain Wiener — Hopf type boundary value problems, Tech. Rpt. AFCRL-^-S^. Urbana, Ill.: Dept. Electrical Engineering, University of Illinois, 1966.

Бэйтс и Миттра (Bates С. P. and Mittra R.)

Waveguide excitation of dielectric and plasma slabs, Radio science. 3 (1968), 251-266.

Вайнштейн JI. A.

Открытые резонаторы для лазеров, ЖЭТФ. 44 (1963), 1050—1062. 9. Вайнштейн Л. А.

Теория симметричных волн в цилиндрическом волноводе с открытым концом, Журнал технической физики. 18 (1948), 912—919.

10*.Вайнштейн Л. А.

Теория дифракции и метод факторизации, М., «Сов. радио», 1966.

Ван-Бларикум и Миттра (Van Blaricum G. F., Jr., and Mittra R.)

A modified residue calculus technique for solving a class of boundary value problems, Pts. I and II, IEEE Trans.. MTT17 (1969), 302—319. 12. Ватсон (Watson G. N.)

A treatise on the theory of Bessel functions (2nd ed.), Cambridge, England: Cambrige University Press, 1958. [Русский перевод 1-го издания: Ватсон Н. Г., Теория бесселевых функций, М., ИЛ, 1959.]

Вильф (Wilf S.)

Mathematics for the physical sciences, New York: John Wiley & Sons, 1962.

Вильямс (Williams W. E.)

Diffraction by two parallel planes of finite length, Proc. Camb. Phil. Soc.. 50 (1954), 309-319.

г) Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе.

Вильямс (Williams W. Е.)

Step discontinuities in waveguide, Tech. Rpt. EM-11, New York: Institute of Math. Sci., New York University, 1955.

By и Галиндо (Wu С. P. and Galindo V.)

Properties of a phased array of rectangular waveguides with thin walls, IEEE Trans., AP14 (1966), 163—173.

By и Галиндо (Wu С. P. and Galindo V.)

Asimptotic behavior of the coupling coefficients for an infinite array of thin-walled rectangular wave-guides, IEEE Trans., A Pl 4 (1966), 248— 249.

By и Галиндо (Wu С. P. and Galindo V.)

The relation between the far-zone pattern of the singly excited element and the transmission coefficients of the principal lobe in an infinite array, IEEE trans., AP14 (1966), 397—398.

Дафорт (Dufort E. C.)

Finite scattering matrix for an infinite antenna array, Radio Science, 2 (1967), 19—27.

Джонс (Jones D. S.)

Diffraction by a thick semi-infinite plate, Proc. Roy. Soc., A-217 (1953), 153—175.

Джонс (Jones D. S.)

Diffraction by a waveguide of finite length, Proc. Camb. Phil. Soc., 48 (1952), 118-134.

Джонс (Jones D. S.)

The scattering of a scalar wave by a semi-infinite rod of circular crosssection, Phil. Trans. Roy. Soc., A247 (1955), 499—528.

Джонс (Jones D. S.)

A simplifying technique in the solution of a class of diffraction problems, Quart. J. Math. (2), 3 (1952), 189—196.

Джонс (Jones D. S.)

The theory of electromagnetism, New York: Macmillan, 1964.

Итох и Миттра (Itoh T. and Mittra R.)

An analytical study of echelette grating with application to open resonators, IEEE Trans. MTT17 (1969), 319—327.

Иохансен (Johansen E. L.)

Surface wave radiation from a thick, semi-infinite plane with a reactive surface, IEEE Trans., AP16 (1968), 391—398.

Карьяла и Миттра (Karjala D. S. and Mittra R.)

Scattering at the junction of two semi-infinite parallel impedance plane waveguides, Can. J. Physics, 43 (1965), 849—854.

Карьяла и Миттра (Karjala D. S. and Mittra R.)

Scattering by a semi-infinite impedance strip in a waveguide, Appl. Sci. Res. (Sec. B.), 12 (1965), 157—164.

Карьяла и Миттра (Karjala D- S. and Mittra R.)

Radiation from a modulated corrugated surface excited by a waveguide, Proc. IEE (London), 113 (1966), 1143—1150.

Келлер (Keller J. B.)

Diffraction by an aperture, J. Appl. Physics, 28 (1957), 426—444.

Келлер (Keller J. B.)

The geometrical theory of diffraction, J. Optical. Soc. Amer., 52 (1962), 116—130.

Кернс (Kerns D. M.)

Basis of the application of network equations to waveguide problems, J. Res. Natl. Bur. Std., 42 (1949), 515—540.

Коллин (Collin R. E.)

Field theory of guided waves, New York: McGraw-Hill, 1960.

Копсон (Copson Е. Т.)

Theory of functions of a complex variable, New York: Oxford University Press, 1935.

Кунц (Kunz K. S.)

Asymptotic behavior of the current on an infinite cylindrical antenna, J. Res. Natl. Bur. Std., 67D (1963), 417—431.

Левин и Швингер (Levine H. and Schwinger J.)

On the radiation of sound waves from an unflanged circular pipe, Phys. Rev., 73 (1949), 383—406.

37*.Леонтович M. А. и Левин M. Л.

К теории возбуждения колебаний в вибраторах антенн, Журнал технической физики, 14 (1944), 481—490.

Ли (Lee S. W.)

Impedance matching of an infinite phased array by dielectric sheets, IFE Electronics Letters, 2 (1966), 366—368.

Ли (Lee S. W.)

Radiation from the infinite aperiodic array of parallel-plate waveguides, IEEE Trans., AP15 (1967), 598—606.

Ли (Lee S. W.)

Radiation from an infinite array of parallel-plate waveguides with thick walls, IEEE Trans., MTT15 (1967), 364—371.

Ли (Lee S. W.)

A ray theory of diffraction by open-ended waveguide, I: Field in waveguides, J. Math. Phys., 11 (1970), 2830—2850.

Ли и Миттра (Lee S. W. and Mittra R.)

Admittance of a solid cylindrical antenna, Can. J. Physics, 47 (1969), 1959—1970.

Ли и Миттра (Lee S. W. and Mittra R.)

Diffraction by thick conducting half-plane and a dielectric-loaded waveguide, IEEE Trans., AP16 (1968), 454—461.

Ли и Миттра (Lee S. W. and Mittra R.)

Radiation from dielectric-loaded array of parallel-plate waveguides, IEEE Trans., AP16 (1968), 513—519.

Ли, Вон и Тан (Lee S. W., Wong N. and Tang R.)

Analysis of infinite array of rectangular waveguides by generalized scattering matrix approach, Tech. Rpt. FR69-14-1344:, Fullerton, Calif.:

& Hughes Aircraft Company, 1969.

Маркуритц (Marcuritz N.)

Waveguide handbook, New York: Dover Publications, 1964.

Мейкснер (Mexiner J.)

The behavior of electromagnetic fields at edges, Tech. Rpt. EM-72, New York: Inst. Math. Sci., New York University, 1954.

Миттра (Mittra R.)

The finite range Wiener —Hopf integral equation and a boundary value problem in a waveguide, IRE Trans., AP7, Special supplement (1959), 244—254.

Миттра (Mittra R.)

Relative convergence of the solution of a doubly infinite set of equations, J. Res. Natl. Bur. Std., 67D (1963), 245—254.

Миттра и Бэйтс (Mittra R. and Bates С. P.)

An alternative approach to the solution of a class of Wiener — Hopf and related problems. Electromagnetic wave theory. Ed. by J., Brown, New York: Pergamon Press (1967), 261—275.

Миттра и Бэйтс (Mittra R. and Bates С. P.)

Qiiasi-optical theory of diffraction by a semi-infinite waveguide with applications to open resonators, URSI Symposium on electromagnetic waves, Alta frequenza, Special issue, 38 (1969), 339—344.

Миттра и Ли (Mittra R. and Lee S. W.)

Mode matching method for anisotropic guides, Radio Science, 2 (1967), 937—942.

Миттра и Ли (Mittra R. and Lee S. W.)

On the solution to a modified Wiener — Hopf equation, J. Math. Phys.., 11 (1970), 775—783.

Миттра, Ли иВан-Бларикум (Mittra R., Lee S. W. and Van'Blaricum G. F., Jr.)

A modified residue calculus technique, Int. J. Eng. Science, 6 (1968), 395—408.

Монтгомери, Дике и Парселл (ред.) (Montgomery С. G., Dicke R. Н. and Purcell E. M.)

Principles of microwave circuits, MIT Radiation Lab. Series, Vol. 8.

New York: McGraw-Hill, 1948.

Мюир (Muir T.)

A treatise on the theory of determinants, New York: Dover Publications, 1960.

57*.Нефедов E. И. и Фиалковский A. T.

Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах, М., «Наука», 1972.

Нобл (Noble В.)

Methods based on Wiener — Hopf technique, New-York: Pergamon Press, 1958. [Русский перевод: Нобл Б., Метод Винера — Хопфа,] ИЛГ М., 1962.]

Олмстед (Olmsted J. М. Н.)

Real variables, New York: Appleton — Century—Crofts, 1956.

Пападопулос (Papadopulos V. M.)

The scattering effect of a junction between two circular waveguides, Quart. J. Meeh. Appl. Math., 10 (1957), 191—209.

Пэйс и Миттра (Pace J. and Mittra R.)

Generalized scattering matrix analysis of waveguide discontinuity problems, Quasi-optics, XIV, New York: Polytechnic Institute of Brooklyn Press, 1964, 177—197.

Пэйс и Миттра (Pace J. and Mittra R.)

The trifurcated waveguide, Radio Science, 1 (1966), 117—121.

Сешу и Балабанян (Seshu S. and Balabanian N.)

Linear network analysis, New York: John Wiley & Sons, 1959.

Титчмарш (Titchmarsh E. C.)

Theory of Fourier integral, New York: Oxford University Press, 1937. [Русский перевод: Титчмарш Э., Введение в теорию интеграла [Фурье, М., ИЛ, 1948.]

Титчмарш (Titchmarsh Е. С.)

Theory of functions (2nd ed.), New York, Oxford University Press, 1939.

[Русский перевод: Титчмарш Э., Теория функций, М., ИЛ, 1951.) 66. Уайтхед (Whitehead Е. A. N.)

The theory of parallel plate media for microwave lenses, Proc. IEEE (London), 98, Pt. Ill (1951), 133—140.

Фридман (Friedman B.)

Principles and techniques of applied mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1956.

*. Фок В. A

О некоторых интегральных уравнениях математической физики, Математический сборник, 14(56), № 1 — 2, 1944.

Xаллен (Hallen Е.)

Electromagnetic theory, London: Chapman & Hall, 1962.

Хард (Hurd R. A.)

The propagation of an electromagnetic wave along an infinite corrugated surface, Can. J. Phys., 32 (1954), 727—734.

Хард и Грюнберг (Hurd R. A. and Gruenberg Н.)

H-plane bifurcation of rectangular waveguides, Can. J. Physics, 32 (1954), 694—701.

Харрингтон (Harrington R. F.) Time-harmonic electromagnetic fields, New York: McGraw-Hill, 1961, 127128

Цзен (Tseng D. Y.)

Guiding and scattering of electromagnetic fields by corrugated structures, Tech. Rpt. PI В M ri-4371-67, Farmingdale, N. Y.: Dept. Electrophysics, Polytechnic Institute of Brooklyn, 1967.

Чень и Келлер (Chen Y. M. and Keller J. B.)

Current on an input impedance of a cylindrical antenna, J. Res. Natl.

Bur. Std., 66D (1963), 417—431.

Шэнь, By и Кин (Shen L. C., Wu T. T. and King R. W. P.)

A simple formula of current in dipole antennas, I EE Trans., AP16 (1968), 542—547.

Эрдейи (Erdelyi A.)

Higher transcendental functions, Vol. 1, New York: McGraw-Hill, 1953. [Русский перевод: Бейтмен Г. и Эрдеии А., Высшие трансцендентные функции, М., «Наука», 1965.]

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Адмитанс 26

Активный элемент решетки 75

Аналитическое продолжение 99

Анизотропная среда 13

Антисимметричное возбуждение

160, 238, 250, 311

Апериодическая решетка из плоских волноводов 248

Апериодическое возбуждение решетки 68, 244

Асимптотические формулы для символов О и о 19

— — — факторизации функций 152

— — полученные методом перевала 39

Бесконечная система линейных уравнений 66

— — — геометрия Винера — Хопфа 182

— — — — — — модифицированная 182

— ______ разветвленный волновод 45

— — — — — — с диэлектрическим заполнением 190

— — — — решетка из волноводов 66

— — — — — — — с диэлектрической пластиной 185

Бесконечное произведение 24

— — асимптотическая формула 25

— — асимптотическое приближение при больших kb 149

— — компенсация экспоненциального множителя 58

— — ошибка редукции 55

— — равномерная сходимость 50, 76

Биортогональность собственных волн волновода с анизотропным заполнением 87

Введение потерь в методе Винера —- Хопфа 104

— при деформации контура интегрирования 214

Векторный потенциал 26

Возбуждение диэлектрической пластины 177

Волновод с открытым концом 126, 156, 176, 180'

— — — дифракция ТУИ-волны 156

— — — излучение антисимметричной ГМ-волны 176

— — — — — симметричной ТМ- волны 126

— — — — — Т^-волны 180

— — тройным разветвлением 237

— — фланцем 252, 303

Волновое уравнение 30

— число 43

Гамма-функция 22

— неполная 23

Геометрикооптическое поле 166

Геометрическая теория дифракции 165

Главный лепесток диаграммы направленности 63, 184

Гофрированная поверхность 79, 184 — — периодически модулированная 203

Граничные условия 14

Двойной альтернант 48

Дельта-функция 74, 254

Дзета-функция обобщенная 151

— Римана 151

Дифракция на конечном отрезке волновода 293

Дифракция на полосе 312

— — полуплоскости 162, 178

— — — решение Зоммерфельда 162, 178

Изотропная среда 13

Импеданс 26

Импедансные граничные условия в плоском волноводе 80

— — — — разветвленном волноводе 78

Интеграл вероятности 40, 300

— Френеля 164

— — асимптотические выражения 165, 166

Интегральное уравнение Винера — Хопфа 97

Коэффициенты связи в решетке 72

Линия наибыстрейшего спуска 38

Магнитная стенка 145, 157, 250

Материальные уравнения 12

— — для холодной анизотропной плазмы 85

Мероморфная функция 58

Метод Винера — Хопфа 252, 253

— — — вывод интегрального уравнения 270

— — — дифракция на конечном отрезке волновода 293

— — — — — полосе 312

— — — для волноводов, связанных щелью 280

— — — — плоско вой линии 312

— — — описание метода 281, 293

— — — полубесконечная штыревая антенна 254

— — — разветвленный волновод с диэлектрическим заполнением 268 — — — ступенчатая неоднородность в волноводе 307

— вычетов 58

— — гофрированная поверхность 79

— — — — периодически модулированная 209

— — заполненный анизотропной плазмой разветвленный волновод 86

Метод вычетов, фазированная решетка 63, 77

— — эшелетт 82

Джонса получения уравнения Винера — Хопфа 114, 257

— решения модифицированного уравнения Винера — Хопфа 270 — обобщенной матрицы рассеяния 323

— — — волновод с диэлектрическим заполнением 232

— — — — — открытым концом и диэлектрическим заполнением 241

— — — — — тройным разветвлением 238

— — — решетка из тонких лент 250

— — — — из прямоугольных волноводов 240

— — — цилиндрическая антенна 306

перевала 34, 147, 162, 168, 216

прямого обращения для волновода с импедансными стенками 78

— — — разветвленного волновода 47

сшивания в пространстве преобразований Фурье 202

— — — треугольной области 82

— — для открытых структур 219

— — описание 42

Мода волновода круглого 29

— — плоского 28

— — прямоугольного 27

— — цилиндрического 26

Модифицированный метод вычетов 189

— — — передающая полосковая линия 313

— — — разветвленный волновод с диэлектрическим заполнением 190, 245

— — — решетка из волноводов с диэлектрическим заполнением 243

— — — ступенчатая неоднородность в волноводе 198

— — — эшелетт 246

Обобщенная матрица рассеяния 232

Оптический резонатор 176

Особая точка функции 92

Относительная диэлектрическая

проницаемость 13

— сходимость 51

Поверхностная волна в гофрированной структуре 79, 212

— плотность тока 14

Полосковая линия 312

Постоянная Эйлера 23

Потери в среде 104

Представление полей асимптотическое 34

— — в дальней зоне 39

— — — открытой области 30

Преобразование Лапласа 89

— Фурье 89

— — в комплексной плоскости 92

— — — полубесконечной области 91

— — регулярность 93

— — теорема обращения 93

— — — свертки 94, 95

Признак сходимости Вейерштрасса 93

Разветвленный волновод 42

— — анализ решения 54

— — решение методом Винера — Хопфа 100

— — — — вычетов 58

— — — — прямого обращения 47

— — с диэлектрическим заполнением 198, 232, 268

— — — импедансными стенками 80

— — — конечной перегородкой 182

— — условия на ребре 43, 47, 51, 61

Разложение функции 99, 122

— — общие формулы 124

Редукция системы линейных уравнений 48, 53

Решетка из прямоугольных волноводов с произвольной плоскостью сканирования 240

— — тонких лент 250

Ряд Неймана *234

— — сходимость 315

— Тейлора 39, 214

Свертка 90

Седловая точка 37

Синфазное возбуждение 63, 183

Сочленение двух волноводов 78

Спектральная амплитуда разложения по плоским волнам 31, 69, 206, 222

Ступенчатая неоднородность в волноводе 183, 198, 276

Тензор 13, 85

Теорема Лиувилля 100

— обращения для преобразования Фурье 90

Теорема свертки 90, 95, 97

Точка перевала 37

Трансцендентная функция 99

Угол сканирования 63

Уравнение Винера — Хопфа 97

— — — модифицированное 251

— Пуассона 312

Уравнения Максвелла 15

Условие на ребре 17, 99, 102, 118, 120, 165, 190, 197, 202, 244, 245, 261, 263, 278

Условия излучения Зоммерфельда 15

Фазированная решетка 63

— — активный элемент 75

— —■ апериодическое возбуждение 68, 244

— — коэффициенты связи 72

— — с диэлектрическим заполнением 243

— — — толстыми стенками 239

Факторизация функции 98, 122, 131

— (cos и — ch уя) 120

— ch уР ехр (—уР) 175

— ехр (—уР) 129

— shya/ya 107

— sh уР/(уР ехр (—уР)) 129

— мероморфной 107

— стандартная формула 129

Формула Стирлинга 25

— суммирования Эйлера — Маклорена 23

Функция Бесселя 29, 83

— — модифицированная 142, 255, 259, 262

— Грина 95, 251

— — волновода с диэлектрическим заполнением 270

— — — плоского 102, 105, 270

— Куммера 151

Характеристическая функция волновода 69

Целая функция 92

Цилиндрическая антенна бесконечная 254

— — конечная 306

— — полубесконечная полая 257

— — — сплошная 254

Эшелетт 82, 246

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода

Предисловие .7

Основные допущения и обозначения . .9

Глава 1. Предварительные сведения.11

Введение .11

Уравнения Максвелла .11

Условие излучения и условие на ребре . .14

Формулы для асимптотических разложений 22

5Цилиндрические волноводы и периодические структуры28

Представление полей в открытой области10

Метод перевала .34

Глава 2 Метод сшивания. . .41

Введение .41

Разветвленный волновод I. Формулировка задачи ...42

Разветвленный волновод II. Решение методом прямого обращения . . . .47

Решение редуцированной системы уравнении48

Решение бесконечной системы уравнений50

Разветвленный волновод III Анализ решения 51

Разветвленный волновод IV Решение методом вычетов . . .58

Излучение из бесконечной фазированной решетки, образованной полуограниченными волноводами, при периодическом возбуждении (>1

Излучение из бесконечной фазированной решетки, образованной полуограниченными волноводами, при апериодическом возбуждении.08

Задачи .......78

Глава 3. Метод Винера — Хопфа

88

§ 1 Введение

.88

§ 2. Преобразование Фурье .. . .

89

§ 3. Свойства преобразования Фурье в комплексной плоскости а

92

§ 4. Формулировка задачи с помощью интегрального уравнения

95

§ 5. Решение уравнения Винера — Хопфа

98

§ 6. Разветвленный волновод

100

6 1 Формулировка задачи с помощью функции Грига

101

6 2 Вывод уравнения Винера — Хопфа

104

6 3 Факторизация мероморфной функции

107

6 4 Решение уравнения Винера — Хопфа

110

6 5 Выражения для полей

112

§ 7. Формулировка задачи методом Джонса

114

Излучение бесконечной волноводной решетки с периодическим возбуждением 117

Общие формулы для факторизации и разложения 122

Различные факторизационные формулы 131

Излучение из открытого конца волновода 143

Вычисление G+ (а) при kb » 1 148

Связь краевых задач для открытой и замкнутой областей 154

Дифракция на Открытом конце волновода 156

Дифракция на полуплоскости 161

Анализ решения задачи о дифракции на полуплоскости 165

Решение задачи о волноводе с открытым концом . . . .168

Сопоставление метода сшивания и метода Винера — Хопфа 171

Задачи 174

Глава 4. Обобщенный метод сшивания 181

Введение 181

Метод разложения определителя 182

Модифицированный метод вычетов 189

Решение для случая ег = 1 191

Модифицированный метод вычетов 193

Построение функции / (w) 194

Сшивание в пространстве преобразований Фурье 202

Вывод уравнений 204

Метод решения 208

Поверхностные волны 212

Диаграмма направленности 216

Коэффициенты связи 217

Метод сшивания для открытых структур 219

Решение методом вычетов 223

Построение функции / (w) 227

Комментарии к методу 232

Использование обобщенной матрицы рассеяния 232

Задачи 242

Глава 5. Приближенные методы, основанные на методе Винера — Хопфа 251

Введение 251

Полубесконечнаякруглая штыревая антенна 254

Решениедля1°°(z) 255

Вывод модифицированного уравнения Винера — Хопфа 257

Решение обычного функционального уравнения Винера — Хопфа 260

Решение модифицированного уравнения Винера — Хопфа 262

Разветвленный волновод с диэлектрическим заполнением . .268

Плоские волноводы, связанные щелью 280

Дифракция на конечном отрезке волновода 293

Уравнения, Винера — Хопфа 295

Решение при больших kL’297

Излучение из волновода с фланцем 303

Задачи ЗОВ

Приложение. Доказательство сходимостирядов Неймана 313

Список литературы 3|8

323323Предметный ука ia ммн.

323

323

1. / (х) = О (g (х)) при х -* х^ если функция / (ж) возрастает не быстрее1 чем g (х) при х х^ т. е. имеется постоянная Л» такая, что

I/(«)|<>1|8^)Г при

2. /(®) = о(g(г)) при ж-»-х0, если /(я) растет медленнее, чем gj^

при $->х0, т. е.

lim |/(x)/g(a:)|=0.

Х-*Хо

l) Деформация контура проводится, конечно, в соответствии с теорией функций комплексного переменного.

1Я«№^9)1 = Т+^-<2-7м>

Подставляя (2.7.34) в (2.7.33), получаем

^ 7+^ ’ р00 •(217'35)

В настоящем параграфе мы показали, как можно выразить решение задачи для бесконечной фазированной решетки, образо

ванной из плоских волноводов, при апериодическом возбуждении

через решение для той же структуры с периодически расположен

ными источниками. В гл. 4 мы рассмотрим более общий метод, дающий возможность получить решение непосредственно для случая апериодического источника, не используя при этом решения для случая с периодическим возбуждением.

х) Заметим, что G (а) — преобразование Фурье функции g (z), а не g - zoV

1) Эквивалентная, но несколько иная процедура решения будет описана в § 5.2.

1) Вследствие принятого определения падающего поля рассеянное поле ф будет отличаться от найденного в § 2.2 на величину падающего ноля в областях В и С.

&=±= к-^ —|- ik2l кг ^^ ^20.

Римана. По определению 6-функции ее преобразованием Фурье будет (2л)

в обратном преобразовании Фурье можно использовать любую прямую,

стоты выбрана действительная ось.

1

где G+(a) и 6L(a) приведены в (3.11.12г), а //^(a) и L_(a) — в задаче 3.8. Из (3.12.9), (3.12.10), (3.12.146) и (3.12.14г) имеем

С (а) = —1 [5_ (а) —Р_(а)] е-^,(3.12.16а)

P(a)= -l[S_(a) + Z)_(a)]e-vb.(3.12.166)

Подставив (3.12.15), (3.12.16) и (3.12.4) в (3.12.3), найдем рассеянное поле с помощью обратного преобразования Фурье:

—f [SL (a) ch ух + D_ (a) sh yx] e-vb-iaz ja?

2 лJ ,

-004-гт

|ж|<Ь, (3.12 сю+гт

—7=( [S_ (a) sh y& + (sign x) • D_ (a) ch yb] x

2л v ,

v -оо+гт

Xe-vl^i-^da, |x|>6, (3.12.18)

где — k^ < т < k^ cos 0O и sign x = +1, если x > 0, и sign x = = —1, если x < 0. Ниже мы вычислим эти интегралы и проанализируем полученные результаты.

12.1. ДИФРАКЦИЯ НА ПОЛУПЛОСКОСТИ

Рассмотрим частный случай b -> 0. В этом случае волновод переходит в бесконечно тонкую полуплоскость (рис. 3.16). Заметим, что G (a) -> 1 и L (а) -> 1 при Ъ -> 0. Отсюда следует, что функции G+(a), G_(a), Z/+(a) и L>(a) тоже стремятся к единице 14 — 0367

рис. 3.19). Размеры резонатора удовлетворяют условию Z > X и

х) Описанный в гл. 3 метод Винера — Хопфа также’неприменим при решении модифицированных задач. Соответствующее обобщение этого метода будет проведено в гл. 5.

мы видим, что в случае ТМ-волн у нее имеется еще один нуль при w = —ik.

" у —УпЪ J т —г г 1 V / а у—ik 4 z

п=0о

Здесь полезно отметить, что для родственной замкнутой структуры, изображенной на рис. 4.11, соответствующе^ уравне-

*) Функции J+ (а) и Ф_ (а) отмечены чертой для того, чтобы отличить их*от соответствующих величин при рт ^ 0.

- ~ 2) Функция G (а), используемая здесь, равна функции MG (а), использо- ванной в (3.6.23).

- 2 (i^ + ^ L- (^^-e-S —”7-'Е* (a, +^m). (5.6)

771=1

Таким образом, искомое решение Е^ (а, а) выражается через систему неизвестных постоянных {^+ (а, + iym)}. Для нахождения постоянных {S+ (а, + гу™)} положим в уравнении (5.6) а= {+ i?p} и получим бесконечную систему линейных уравнений. К сожалению, удобных аналитических методов решения этой сис-