Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
etudes et recherches en informatique
en
collection coordonnee par J.BERSTEL
Calcul formel
Systemes et algorithmes de manipulations algebriques
J. Davenport
Professeur d’informatique titulaire de la Chaire Hebron et Meddock a I'Universite de Bath
Y. Si ret
Directeur technique du Centre Interuniversitaire de Calcul de Grenoble
E. Tournier
Maitre de Conference en informatique a PUniversite scientifique et medicale de Grenoble
Introduction du Pr. D. Lazard
MASSON
Paris New York Barcelone Milan Mexico Sao Paulo
1987
Дж. Дэвенпорт, И.Сирэ, Э.Турнье
Компьютернаяалгебра
Системы и алгоритмыалгебраических вычислений
Перевод с французского
Е.В. Панкратьевапод редакциейА. В. Михалёва
Москва «Мир» 1991
ББК 22.14 + 22.19
Д13
УДК 512 + 519.9
Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э.
Д13 Компьютерная алгебра: Пер. с франц. - М.: Мир, 1991. - 352 с., ил.
ISBN 5-03-001658-9
Книга французских специалистов, охватывающая различные вопросы компьютерной алгебры: проблему представления данных, полиномиальное упрощение, современные алгоритмы вычисления НОД полиномов и разложения полиномов на множители, формальное интегрирование, применение систем компьютерной алгебры. Первый автор знаком читателю по переводу его книги "Интегрирование алгебраических функций" (М.: Мир, 1985).
Для математиков-прикладников, механиков, физиков, разработчиков и пользователей систем компьютерной алгебры.
Д 1602120000 278 2д—доББК 22 14 + 22 1д
041(01)—91
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-001658-9 (русск.)ISBN 2-225-80990-9 (франц.)ISBN 5-03-001658-9 (русск.)ISBN 2-225-80990-9 (франц.)© Masson, Paris, 1986© перевод на русский язык,Е. В. Панкратьев,1991© Masson, Paris, 1986© перевод на русский язык,Е. В. Панкратьев,1991
ISBN 5-03-001658-9 (русск.)
ISBN 2-225-80990-9 (франц.)
ISBN 5-03-001658-9 (русск.)
ISBN 2-225-80990-9 (франц.)
© Masson, Paris, 1986
© перевод на русский язык,Е. В. Панкратьев,
1991
© Masson, Paris, 1986
© перевод на русский язык,Е. В. Панкратьев,
1991
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА И ПЕРЕВОДЧИКА
Монография Дж. Дэвенпорта, И. Сирэ и Э. Турнье вышла на французском языке в издательстве Masson в 1987 г. и сразу же привлекла внимание специалистов в области компьютерной алгебры и большой армии пользователей систем символьных вычислений. Фактически это - одна из первых монографий по компьютерной алгебре, хотя в журнальной литературе данная область представлена весьма основательно. В книге удачно сочетаются алгоритмические аспекты основных задач компьютерной алгебры и инструкции по использованию наиболее распространенных систем символьных вычислений. Системы MACSYMA и REDUCE описаны достаточно подробно, чтобы начинающий пользователь мог составить представление о их возможностях и приобрел некоторые навыки работы с ними. Краткие сведения о других системах, прежде всего о системе SCRATCHPAD, дают представление о направлениях развития систем компьютерной алгебры и проблемах, связанных с их разработкой. Основные алгоритмы проанализированы достаточно глубоко, чтобы читатель мог освоиться с используемым математическим аппаратом. Формулировки новейших достижений и нерешенных проблем, приведенные в книге, будут, ио нашему мнению, стимулировать дальнейшие исследования.
В 1988 г. вышел перевод данной книги на английский язык. Его выполнили один из авторов, Дж. Дэвенпорт, и А. Дэвенпорт. Основные отличия английского издания от французского заключаются в следующем: добавлено несколько примечаний в тексте и полностью переработано приложение "Описание системы REDUCE" - это описание соответствует более поздней версии системы REDUCE-3.2. Все эти изменения учтены
в русском переводе. В русском издании добавлен также дополнительный список литературы, включающий отдельные работы, в основном монографии и тематические сборники, появившиеся за рубежом после выхода оригинала этой книги, а также литературу на русском языке, относящуюся к данному направлению и совершенно нс представленную в книге.
Системы компьютерной алгебры продолжают совершенствоваться. Увеличение мощностей вычислительной техники привело к более быстрому развитию больших систем аналитических вычислений с широкими графическими возможностями и развитым символьно-численным интерфейсом. Разработчик системы muMATH прекратил работу по се развитию, создав новую систему DERIVE. Активно развивается система SCRATCHPAD-2. Пополняются библиотеки системы REDUCE. Переносится на новые типы компьютеров и широко применяется система MACSYMA. Реализованы новые версии системы MAPLE. Вышло большое число новых систем: MATHEMATICA, СоСоа, AlPi и др., причем система МАТНЕ- MATICA быстро выдвинулась на ведущие позиции в области применений компьютерной алгебры. Появилось большое количество новых публикаций, включая монографии, учебные пособия, тематические сборники и многочисленные статьи. Частично это нашло отражение в списке дополнительной литературы, а также в примечаниях переводчика. Состоялись международные конференции EUROCAL-87, ISSAC-8, ISSAC-9, Computers and Mathematics [42], [46] - [47], [58] и др.
Первые работы по компьютерной алгебре в СССР появились примерно в то же время, что и за рубежом, более 30 лет назад - см., например, [27]. Вопросы аналитических вычислений на ЭВМ обсуждались на конференцях в Тбилиси в 1970 г., в Харькове в 1972 г. [9], в Новосибирске в 1980 г. и на многих других конференциях, симпозиумах, совещаниях. Среди них следует выделить Международные совещания по аналитическим вычислениям на ЭВМ и их применениям в теоретической физике, проводившиеся ОИЯИ в Дубне в 1980, 1983, 1985 и 1990 гг. [3-6], конференции 1984 г. в Вильнюсе [33] и Горьком [32], конференцию в Юрмале в 1987 г., школу по аналитическим вычислениям и их применению в механике, состоявшуюся в 1988 г.
на Клязьме, школы по компьютерной алгебре 1989 г. в Рахове. Несколько лет подряд в период зимних студенческих каникул семинар по компьютерной алгебре с участием специалистов из разных городов проводится на механико-математическом факультете МГУ. Секции компьютерной алгебры работали на многих всесоюзных и международных конференциях, в частности, на Всесоюзной алгебраической конференции в 1985 г. в Кишиневе, на Международной конференции по алгебре и логике в Новосибирске в 1989 г. и многих других. Координация деятельности ученых социалистических стран осуществляется рабочей группой 24 КНВВТ (Комиссия многостороннего сотрудничества академий наук социалистических стран по проблеме «Научные вопросы вычислительной техники») по компьютерной аналитике.
В своей деятельности советские специалисты активно используют как зарубежные системы компьютерной алгебры (REDUCE, SAC-2, muMATH и др.), так и отечественные разработки. Здесь в первую очередь следует отмстить язык для аналитических вычислений "Аналитик", разработанный в Институте Кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР [13] и системы, созданные на базе алгоритмического языка Рефал. Подробный обзор отечественных систем компьютерной алгебры выполнен в статье [19].
Советские ученые внесли также заметный вклад в разработку алгоритмов компьютерной алгебры. По вопросам, рассматриваемым в данной книге, следует упомянуть работы ленинградских математиков [14] - [17], [34] о разложении полиномов на множители и разрешимости теории вещественно замкнутых полей, и работы по теории базисов Грёбнсра, выполненные в Московском университете [24] - [26], [29]. Теория систем линейных уравнений, коэффициенты которых принадлежат коммутативному кольцу, рассматривается в [28]. В работах [1] - [2] предложен простой алгоритм нахождения рациональных и квазирациональных решений линейных дифференциальных и разностных уравнений. Обзор [И] даст более подробное представление о деятельности советских специалистов по разработке алгоритмов компьютерной алгебры.
Мы надеемся, что данная книга будет представлять интерес для широкого круга читателей. Выход ее активизирует деятельность в области, имеющей как теоретическое, так и практическое значение. Считаем, что книга окажется полезной как разработчикам алгоритмов и систем компьютерной алгебры, так и многочисленным пользователям, применяющим системы компьютерной алгебры в своей работе.
Пользуемся случаем выразить благодарность авторам за внимание к русскому изданию. Во время работы над переводом состоялась встреча с Дж. Дэвенпортом, где обсуждались отдельные места монографии. Дж. Дэвенпорт прислал также список опечаток, которые исправлены в настоящем издании.
Л. В. Михалёв, Е. В. Панкратьев
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Мы очень рады видеть русское издание нашей книги "Calcul Formel". В СССР имеются давние традиции в области компьютерной алгебры: среди систем мы назовем систему "АНАЛИТИК", реализованную на компьютере "МИР", - первую аппаратно- реализованную систему специального назначения. В области теории мы напомним о результатах А. О. Гельфонда; он первым получил n-мерное обобщение границы Ландау - Миньотта, значение которой демонстрируется в гл. 4. _ Но более всего известны разработанные в СССР применения компьютерной алгебры в физике - этот раздел гораздо значительнее, чем продемонстрировано в нашей книге.
Мы надеемся, что наша книга дополнит имеющуюся на русском языке литературу.
Дж. Дэвенпорт, И. Сирэ, Э. Турнье
ПРЕДИСЛОВИЕ
Один пример
Следующий пример представляет собой протокол работы на ЭВМ с использованием программного обеспечения MACSYMA. Команды пользователя расположены в строках, начинающихся с (ci). Здесь мы имеем дело с ограниченным разложением (в ряд Тейлора), вычислением первообразной и проверкой того, что после дифференцирования снова получаем исходную функцию.
(с2) taylor( sinh(sln(x))-sln(sinh(x)) ,х ,0 , 15); 7 И15
х х 5699 х
(d2)/T/ '+ . . .
4515751277025750
(сЗ) primitive:integrate( 1/(х**2 + 1)**4, х); 453
5 atan(x) 15 х + 40 х + 33 х (d3)+
16642
48 х + 144 х + 144 х + 48
(с4) derivative: diff (primitive, х).; 42
75 х + 120 х + 33 (d4)
642
48 х •+ 144 х + 144 х + 48
5353
(15 х + 40 х +33 х)(288 х + 576 х + 288 х) 5 +
64222
(48 х + 144 х + 144 х + 48)16(х +1)
(с5) factor(ratsimp(derivative));
(х + 1)
Все эти вычисления в принципе может выполнить студент первого курса, но они весьма трудоемки, и провести их с карандашом и бумагой без ошибок довольно трудно.
Далеко не все знают, что вычисления такого типа, так же как и численные расчеты, можно выполнить на компьютере. Цель данной книги состоит в том, чтобы продемонстрировать имеющиеся возможности, показать, как ими пользоваться, указать принципы, на которых базируются системы нечисленных вычислений, и показать трудности, которые приходится преодолевать разработчикам этих систем, - трудности, с которыми пользователь вскоре столкнется сам.
Но прежде чем мы попытаемся описать, как авторы надеются справиться с таким нетривиальным заданием, попробуем точнее определить предмет обсуждения.
Научные вычисления и алгебраические вычисления
С тех пор, как стали возможными вычисления на ЭВМ, одно из главных применений компьютеров заключалось в численных расчетах. Очень скоро начали доминировать (в смысле объема вычислений) приложения к задачам управления. Однако научные приложения остаются наиболее престижными, особенно если взглянуть на требуемую производительность компьютера: наиболее мощные компьютеры обычно предназначаются для научных исследований.
Важно отмстить, что в самом понятии "научные вычисления" содержится двусмысленность: прежде чем на сцене появился компьютер, вычисления представляли смесь численного счета с тем, что будем называть "алгебраическими вычислениями", т.е. с операциями над математическими формулами. Единственным примером чисто численных расчетов является, по-видимо- му, деятельность неординарных вычислителей, таких, как Ино- ди: авторы таблиц, в особенности логарифмических, выполняют огромный объем численных расчетов, но этим вычислениям предшествует доводка алгебраических формул и методов, необходимая для того, чтобы работа оказалась в пределах человеческих возможностей. Напротив, знаменитые великие вычисления XIX века содержат большое количество манипуляций с фор-
мужами. Наиболее известным является, несомненно, расчет Леверье орбиты Нептуна, который был основан на возмущениях орбиты Урана и привел к открытию Нептуна. Наиболее впечатляющие вычисления с карандашом и бумагой выполнены также в области астрономии: Делоне потребовалось 10 лет для вычисления орбиты Луны и еще 10 лет для ее проверки. Результат не является численным, поскольку он состоит в основном из формулы, которая сама по себе занимает 128 страниц 4-й главы его книги. •
Отмеченная выше двусмысленность заключается в следующем: с появлением компьютеров выполнять численные расчеты стало значительно проще и сделалось достаточно привычным выполнять огромные вычисления, которые в некоторых случаях давали возможность избежать трудоемких алгебраических выкладок. Это привело к тому, что для широкой публики и даже для большинства научных сотрудников численные расчеты стали синонимом научных вычислений. Когда в заголовках или в списке тем конгресса или конференции содержатся слова "научные вычисления", мы, как правило, можем быть уверены, что речь идет только о численных расчетах, даже если компьютерная алгебра также содержится в этом списке тем.
Однако численные расчеты не исключают алгебраических вычислений: написание простейших программ требует переписывания формул, на которых основан алгоритм. И мощности компьютеров далеко не решают всех проблем: расчет развития атмосферных процессов с точностью, необходимой метеорологам для 48-часового прогноза, на наиболее мощных компьютерах, доступных в настоящее время (типа CRAY), требует гораздо более 48 часов. Увеличение производительности в 10 раз едва ли улучшит ситуацию, поскольку одновременно с уточнением теории потребуется в 2 раза уменьшить размер сетки (чтобы отличать, например, погоду в Париже от погоды в Орлеане), а это потребует 8-кратного увеличения объема вычислений.
Компьютерная алгебра
Таким образом, алгебраические вычисления нс потеряли своей актуальности. Однако чаще всего они выполняются вруч-
ную, хотя первые логические устройства для их автоматизации появились достаточно давно ([Kahrimanian 1953], [Nolan 1953]). Очень скоро стало ясно, что программное обеспечение для использования в алгебраических вычислениях должно представлять собой полную систему, включающую метод представления нечисловых данных весьма специальной структуры, язык, позволяющий манипулировать с ними, и библиотеку эффективных функций для выполнения необходимых базисных алгебраических операций.
Таким образом, появились хорошо работающие системы; наиболее широко используемые из них описаны или упомянуты в этой книге. ,
Разработка, развитие и даже использование этих систем постепенно выделились в автономную научную дисциплину, относящуюся, очевидно, к информатике. Ес цели лежат в области искусственного интеллекта, несмотря на то что методы все более и более удаляются от нее. Кроме того, используемые алгоритмы вводят. в действие все менее элементарные математические средства. Таким образом, эта дисциплина лежит на стыке нескольких областей, что одновременно обогащает ее и делает более трудной в исследовательском плане.
Наименование этой дисциплины длительное время колебалось между "calcul symbol ique et formel" (французская аббревиатура - CALSYF), "manipulations symboliques ct formelles", и, наконец, стабилизировалось как "Calcul formel" во французском языке и "Computer algebra" - в английском \ Тогда же было создано несколько обществ, объединяющих исследователей и пользователей этой дисциплины: всемирной ассоциацией является группа SIGSAM^ при АСМ\ которая организует
конференции SYMSAC и EUROSAM и публикует бюллетень SIGSAM. Европейская группа называется SAME^ организуемые ею конференции называются EUROCAM, EUROSAM,...\ их труды приведены в списке литературы. Для французских исследователей в Национальном центре научных исследований CNRS имеется подразделение GRECO > компьютерной алгебры. Кроме того, начиная с 1985 г. издается специализированный Journal of Symbolic Computation.
Системы компьютерной алгебры
Системы компьютерной алгебры весьма многочисленны, но едва ли более десяти из них являются современными, общими и достаточно широко распространенными. В данной книге авторы остановились на четырех наиболее представительных из них:
MACSYMA, ■ наиболее развитая, но, к сожалению, доступная только йа очень ограниченном числе компьютеров.
REDUCE, наиболее широко распространенная из всех больших систем. •
muMATH, наиболее доступная на микрокомпьютерах, что означает ее очень широкое распространение, но одновременно ограничивает ее использование в основном начинающими.
SCRATCHPAD, совсем новая система с весьма ограниченным доступом, которая из-за своей совершенно оригинальной структуры может превзойти возможно,сти других систем и стать прототипом следующего поколения систем компьютерной алгебры.
За исключением SCRATCHPAD три упомянутые выше системы, так же как и большинство неупомянутых, являются весьма дру-
Компьютерная алгебра 15 жественными по отношению к пользователю; разумеется, синтаксис языка пользователя у них различный, разумеется, библиотека доступных функций может меняться от нескольких десятков до тысячи и более, разумеется, внутренние структуры этих систем значительно отличаются одна от другой, но все они обладают следующими общими свойствами:
Программирование в основном интерактивное: пользователь теоретически бне знает ни формы, ни размера результатов и поэтому должен иметь возможность вмешиваться в ход вычислений в любое время.
Большей частью используемые данные представляют собой математические выражения, у которых по крайней мере внешнее представление является таким, к какому все мы привыкли.
Язык пользователя "алголоподобен".
Языком реализации чаще всего является Лисп; во всяком случае данные имеют структуру списка или дерева, а управление памятью динамическое с автоматическим восстановлением доступного пространства.
Таким образом, после освоения одной из систем компьютерной алгебры переход к другой системе обычно нс ставит перед программистом сложных проблем, во всяком случае гораздо меньше, чем смена системы, связанная со сменой компьютера.
По этой причине авторы считают, что лучше написать общее введение в компьютерную алгебру, чем учебник по какой-либо частной системе.
Таким образом, вводная гл. 1 "Как пользоваться системой компьютерной алгебры" написана на основе системы MACSYMA, команды и результаты которой имеют легко читаемый и удобный для понимания вид. Но для детального описания выбрана система REDUCE из-за ее очень широкого распространения. В остальных главах обычно нет ссылок ни на какую частную систему.
Доступность систем компьютерной алгебры
Системы компьютерной алгебры используются практически только на достаточно больших ЭВМ, операционная система которых работает с виртуальной памятью: чтобы работать без
слишком больших сложностей, нужна, по-видимому, рабочая память не менее одного мегабайта. Самой экономичной системой является, очевидно, muMATH, самой расточительной по используемой памяти - SCRATCHPAD, для которой в настоящее время необходимо рабочее пространство в 8 мегабайт. Наибольшее количество дискового пространства требует, по-видимому, MACSYMA, скомпилированные коды которой занимают мегабайты и к ним следует добавить несколько мегабайт линейной документации.
Доступность систем в настоящее время такова: MACSYMA эксплуатируется на ЭВМ типов VAX, MULTICS (эта широко распространенная во Франции система, к сожалению, может скоро исчезнуть) и на некоторых персональных рабочих станциях (Symbolics, Sun). REDUCE может использоваться почти на всех основных моделях больших ЭВМ и мини-ЭВМ, хотя в некоторых случаях доступны только старые версии (Cyber, IBM серий 360, 370, ..., MULTICS, все ЭВМ, работающие под управлением системы UNIX, ...). muMATH может эксплуатироваться почти на любом микрокомпьютере. Что касается SCRATCHPAD, то она работает только на IBM под управлением системы VM/CMS, и в настоящее время планируется весьма ограниченное число пунктов ее реализации.
Использование систем компьютерной алгебры
Для новичка языки систем компьютерной алгебры - одни из наиболее простых для использования. Действительно, сначала ему требуется знать лишь несколько функций, которые позволят ему переписать рассматриваемую проблему в виде, очень похожем на се математическую формулировку. Даже если переписывание выполняется неуклюже или некорректно, интерактивный режим позволяет после нескольких шагов наощупь быстро получить результаты, которые нельзя получить с помощью карандаша и бумаги. А для очень многих приложений. этого достаточно.
Однако в отличие от языка программирования типа Фортран, в котором синтаксические тонкости требуют тщательного изучения, в то время как принципы работы компилятора можно
полностью игнорировать, здесь пользователь должен очень быстро разобраться, "как это работает", в частности, как представляются и обрабатываются данные.
В действительности, хотя обычно трудно предсказать время вычисления и размер результатов, знание принципов работы может дать представление о порядке их величины и при необходимости оптимизировать их. Эти оценки в действительности существенны: для большинства алгебраических вычислений результаты получаются почти моментально, и все идет отлично. Но если это не так, то требуемое время и память возрастают обычно экспоненциально. Таким образом, выполнимость данных вычислений не всегда очевидна, и глупо жертвовать значительными ресурсами, когда неудачу можно предсказать заранее.
Кроме того, квалифицированное моделирование задачи и программирование, приспособленное к структуре данных, могут позволить легко справиться с нерешаемой в противном случае задачей. Так, в гл. 1 приводятся две программы вычисления наибольшего коэффициента полинома; текст, кажущийся наиболее естественным для человека, привыкшего иметь дело с Фортраном, значительно сложнее второго, но, кроме того, он требует в 10 раз больше времени для полиномов степени 30. Если же перейти к полиномам 1000-й степени, т.е. примерно в 30 раз большей, то время вычислений по второй программе теоретически увеличится в 30 раз, тогда как для первой оно умножится примерно на 1000, что даст отношение времени работы двух программ, равное 300, а реальное время работы - приблизительно одна минута и пять часов.
Поэтому владение эффективным стилем программирования и способность предвидеть размер вычислений являются здесь значительно более весомыми, чем в численных расчетах, где возрастание обычно бывает линейным. К сожалению, это в значительной степени приобретается с опытом и трудно передается с помощью учебника. Однако знакомство с методами позволяет легче приобрести этот опыт; именно поэтому значительная часть нашей книги посвящена описанию математических принципов работы систем компьютерной алгебры. 176—2
План книги
Книгу можно разделить на четыре части.
Первая (гл. 1) - введение в компьютерную алгебру при помощи прокрмментированных примеров, большинство из которых написано в системе MACSYMA. Для их понимания обычно достаточно одного чтения. Тем не менее весьма полезно запрограммировать эти или подобные примеры в системе MACSYMA или в какой-либо другой. Очевидно, что для этого потребуется знакомство с соответствующим руководством для пользователя.
Вторая часть, состоящая из гл. 2, 3 и 4, описывает работу систем компьютерной алгебры. Описание проблем, требующих решения, и принципов используемых решений, интересное само по себе, может, кроме того, существенно помочь пользователю обходить проблемы "комбинаторного взрыва", с которыми ему придется столкнуться.
Глава 5 составляет третью часть, в которой представлены две проблемы компьютерной алгебры, находящиеся на стадии исследования, хотя описываемое программное обеспечение начинает распространяться достаточно широко. Это очень хорошие примеры, требующие всей мощи и всех возможностей систем компьютерной алгебры для решения трудных естественных задач; они хорошо иллюстрируют как возможности, так и сложности этой дисциплины.
Наконец, детальное описание системы REDUCE, выполненное в виде приложения, позволяет этой книге служить учебником, по крайней мере по наиболее распространенной из этих систем.
Имеется также обширная библиография, включающая значительно больше источников, чем явно упоминается в тексте, так что читатель имеет доступ к методам, результатам и алгоритмам, для которых нс нашлось места в книге.
В заключение позвольте выразить надежду, что эта книга, до настоящего времени нс имеющая аналогов в мировой литературе, поможет расширить использование инструмента, такого мощного и так мало известного, - компьютерной алгебры.
Даниэль Лазар Председатель группы компьютерной алгебры GRECO Профессор университета П. и М. Кюри (Париж VI)
БЛАГОДАРНОСТИ
Авторы хотели бы поблагодарить всех тех, кто читал различные варианты этой книги, в частности г-жу X. Дэвенпорт, Ж. Деллу Дора, Д. Дюваля, М. Жюсти, Д. Лцзара и Дж. К. Смита.
Эта книга была набрана с помощью системы ТgX. Автор системы ТgX Д. Е. Кнут несет ответственность за великолепное полиграфическое оформление книги, но, разумеется, не отвечает за возможные ошибки и неточности. Мы многим обязаны специалистам по системе ТgX: С. Гуторбу из Межуниверситетского вычислительного центра Гренобля1^ и С. Е. Томпсону из Кембриджского университета.
Работа была выполнена на оборудовании, принадлежащеем Межуниверситетскому вычислительному центру Гренобля. (Это все относится, разумеется, к французскому изданию. - Перее.).
Глава 1
КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СИСТЕМОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
ВВЕДЕНИЕ <
Идея использовать компьютер в алгебраических вычислениях нс нова. Начиная с 1960 г. появились многочисленные программы, призванные показать, что использование компьютеров в научной области может выйти за пределы чисто численных расчетов. В этот период возник язык Лисп, который и открыл путь к первым эффектным демонстрациям таких возможностей, — формальному интегрированию и доказательству теорем. К тому же некоторые специалисты очень быстро увидели, что на машину можно переложить алгебраические операции, хотя и трудоемкие, но весьма полезные для дальнейших расчетов: разложение полиномиальных выражений, формальное дифференцирование и т.д. Появление систем с распределением времени внесло существенный вклад в обобщение программ алгебраических вычислений, и они постепенно становились подлинными подсистемами, общение с которыми осуществлялось на языке, близком к обычным алгоритмическим языкам. Однако в отличие от этих языков при этом стандартизация отсутствовала, что объяснялось существенно большими размерами задачи, чем обычные численные расчеты или управление. Здесь кроется одна из причин, почему эти возможности так долго игнорировались научным и промышленным миром. В течение долгого времени использование этих систем ограничивалось определенными типами машин, и, очевидно, это ограничение не способствовало распространениям знаний о данных системах. Однако недавно произошли значительные перемены: язык Лисп снова обретает популярность, и многочисленность его диалектов и версий не мешает тому, чтобы такая система, как REDUCE, реализовывалась на большом числе компьютеров и рабочих станций. В не-
сколько меньшей степени адаптирована для коммерческого использования на некоторых компьютерах система MACSYMA, которую перестали считать недоступной. Еще позднее появились системы для микрокомпьютеров, которые, хотя и в ограниченной степени, наконец, дают нам возможность почувствовать предмет; к ним относится muMATH. Очень хорошо, что основные существующие системы - REDUCE, MACSYMA, muMATH и многообещающая система SCRATCHPAD, - написаны на языке Лисп. Знание этого языка, безусловно, поможет сделать алгебраические вычисления на ЭВМ более понятными и распространенными.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ
КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Наиболее интуитивный, хотя в чем-то ограниченный взгляд на системы компьютерной алгебры, - считать, что они созданы для повседневных манипуляций с формулами в научных и технических расчетах. Математическая формула, описанная на одном из обычных языков (Фортран, Паскаль, Бейсик, ...), предназначена только для численных расчетов, когда переменным и параметрам присвоены численные значения. В языке, допускающем алгебраические вычисления, для этой формулы также можно получить численное значение, но, кроме этого, она может стать объектом формальных преобразований: дифференцирования, разложения в ряд, различных других разложений и даже интегрирования.
Например, можно при помощи всего одной команды выполнить разложение на простейшие дроби выражения
х2-5х(х-1)4 ’'.
имеющее вид
_ 5 +55+6+4
х х-1(х-1)2(х-1)3(х-1)4 ’
которое, безусловно, нетрудно сделать вручную. Но гораздо приятнее выполнить с помощью машины разложение формулы
х+а"
х(х-Ь) (х2+с)
имеющее значительно более сложный вид:
_ а + а+Ь(c-ab^x+Cb+a^cbcx (bc+b3)(х-Ь) (с2 + Ь2с)(хг+с)
Как правило, системы компьютерной алгебры разрабатываются со следующими целями:
предложить пользователю набор базисных предпрограмми- рованных команд, которые будут передавать машине трудоемкие вычисления, встречающиеся в процессах, полностью выполняемых пользователем: это функции развитой конторской машины;
предложить язык программирования, позволяющий определять команды и процедуры высокого уровня, расширяющие исходное множество команд.
Мы видим, что здесь нет фундаментальных противоречий с целями таких языков, как Лисп или APL: тот же интерактивный подход, те же возможности определения процедур или функций и, значит, те же возможности расширения существующих библиотек по данной теме.
Разумеется, при соответствующем алгоритме вполне возможно использовать алгебраические вычисления в пакетном режиме. Это зависит только от вычислительного окружения, и пользователю нужно следить за тем, чтобы все данные к моменту вычисления были определены.
СИНТАКСИС АССОЦИИРОВАННЫХ ЯЗЫКОВ
Хотя между системами имеются различия, синтаксис - нс главная проблема компьютерной алгебры. В общем случае нескольких часов и небольшой практики вполне достаточно. Можно утверждать, что синтаксис систем компьютерной алгебры в значительной степени аналогичен синтаксису Паскаля. Обязательно имеются операторы присваивания, понятие вызывающей функции (команды), более или менее богатый выбор управляющих структур (if, do, while, repeat и т.д.), возможности определения процедур,... - одним словом, весь арсенал классических языков программирования, необходимый для записи алгоритмов.
ОБЛАСТИ, ОХВАТЫВАЕМЫЕ
СУЩЕСТВУЮЩИМИ СИСТЕМАМИ
Чтобы быть полезной и привлечь внимание пользователей, система компьютерной алгебры должна охватывать с помощью богатого набора команд области, естественно возникающие при желании выйти за рамки ограничений, налагаемых оборудованием и традиционными языками программирования. Следующие средства составляют часть необходимого снаряжения:
Операции с целыми, рациональными, вещественными и комплексными числами с неограниченной точностью. Важность их показана в гл. 2.
Операции с полиномами от одной или нескольких переменных и с рациональными дробями. Одним словом, очевидные рациональные операции, вычисление НОД, разложение на множители полиномов с целыми коэффициентами.
Вычисления с матрицами с численными и/или символьными элементами.
Простой математический анализ: дифференцирование, разложение в ряды, аппроксиманты Паде и т.д.
Преобразования формул: различные подстановки, выделение коэффициентов и частей формулы, нахождение численных значений, распознавание образов, управляемые упрощения и т.д.
Исходя из этой общей базы, система может предлагать другие возможности в специфических областях, возможности, которые до некоторой степени характеризуют степень ее развития. Например:
Решение уравнений.
Формальное интегрирование.
Вычисление пределов.
Тензорное исчисление.
Кроме того, пользователи имеют возможность расширять библиотеку функций, передавая в общее пользование работы, которые носят достаточно общий характер, чтобы представлять интерес для некоторой группы людей. Типичным примером может служить библиотека SHARE системы MACSYMA.
КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА НА ПРИМЕРЕ
Ниже мы выбрали для демонстрации с использованием системы MACSYMA серию примеров из различных упомянутых областей. Большинство этих примеров можно повторить с использованием других систем, особенно REDUCE, которая описывается в приложении. Очевидно, что мы не преследуем цель заменить пособие для программистов по системе MACSYMA, и временами читатель вынужден довольствоваться краткими разъяснениями, приведенными в виде комментариев. Примеры распечатаны так, как они давались машиной. Печать результатов не изменена. Строки, напечатанные пользователем, помечены символами (с.) и оканчиваются символом ";" или "$". Последний символ сообщает системе MACSYMA, что результат распечатывать не нужно. Таким образом экономится время, если распечатка результата несущественна. Результаты выполнения команд помечены символами (d.\ Символ %, используемый в командах, представляет собой значение, полученное в результате выполнения предыдущей команды. Константы я, е, I обозначаются %pi, %е, %L Символ присваивания - двоеточие.'
Простые операции с числами
(cl) пО : 123456789123456789 * 123456789
+ 98765.4321123456789;
(dl) •15241579753086420873647310
(с2) nl : 100! ;
(d2) 93326215443944152681699238856266700490715968264381621 46859296389521759999322991560894146397615651828625369 7920827223758251185210916864000000000000000000000000
(сЗ) 101! / % ;
(d3)101
В системе. MACSYMA имеются предикаты и функции, значения которых очевидны, но применение которых может требовать значительного времени. Это относится к предикату проверки простоты primep или к функции разложения на множители factor.
factor(b**6 + 3*a**6));factor(b**6 + 3*a**6));donedone
factor(b**6 + 3*a**6));
factor(b**6 + 3*a**6));
done
done
(с4) prlmep(12) (d4)false
(с5) primep(216091) (d5)true
(сб) factor(2**63-1); 2 (d6)7 73 127 337 92737 649657
(с7) large_prlme : 2**216091 - 1 $ Ниже приводится пример цикла с оператором for. Когда цикл закончен, MACSYMA печатает слово "done". Его можно рассматривать как значение (не представляющее интереса), соответствующее этой команде.
(с8) for а:1 thru 5 do
for b:1 thru 5 do
If gcd(a,b)=l
then print("a=",a,",b=",b.
2
a= 1 ,
b= 1 ,
2
a= 1 ,
b= 2 ,
67
2
a= 1 ,
b= 3 ,
2 3 61
a= 1 ,
b= 4 ,
4099
2
a= 1 ,
b= 5 ,
2 3907
a= 2 ,
b= 1 ,
193
a= 2 ,
b= 3 ,
3 307
a= 2 ,
b= 5 ,
15817 '
2
a= 3 ,
b= 1 ,
2 547
a= 3 ,
b= 2 ,
2251
a= 3 ,
b= 4 ,
61 103
2
a= 3 ,
b= 5 ,
2 61 73
•a= 4 ,
b= 1 ,
12289
a= 4 ,
b= 3 ,
3 4339
a= 4 ,
b= 5 ,
103 271
2
a= 5 ,
b= 1 ,
2 11719
a= 5 ,
b= 2 ,
73 643
2
a= 5 ,
b= 3 ,
2 3 3967
a= 5 ,
b= 4 ,
50971
(d8)
(с9) for р:2 thru 3600 do
If primep(p) and (remainder(2**(p-1), p**2) =1)
then display(p);
p = 1093
p = 3511
(d9)
done
(clO) for n:2-thru 100 do
for p:1 thru (n-1) do
(q: n-p, if (gcd(p,q)=l and integerp((4*p**3+27*q**2)**(l/2)))
^then display(p,q)
P = 1
q = 10
p = 13
q = 34
p = 33
q = 32
p = 69
q = 22
(diO)
done
Примеры вычислений с рациональными числами:
(ell) s:0 $
(с12) for i:1 thru 100 do s:s+l/i;
(dl2)done
(cl3) s;
14466636279520351160221518043104131447711
(dl3)
2788815009188499086581352357412492142272
(cl4) s: sum(l/i, i, 1, 100);
14466636279520351160221518043104131447711
(dl4)
2788815009188499086581352357412492142272
Очевидно, что MACSYMA может производить вычисления с вещественными числами с точностью, реализованной в ЭВМ:
(С15) 216091*0.69314718;
(dl5)149782.87
(С16) а:123.897 * 1234.6 /(1.0 -345.765е-03);
(dl6)233804.73
Однако благодаря функции bfloat. можно превзойти эту точность и .выйти за пределы границ для чисел, накладываемых аппаратурой. В системе MACSYMA такие большие вещественные числа записываются следующим образом: n.nnnnnnnbtnn. Точность, принимаемая по умолчанию, совпадает со значением символа fpprec.
(с17) fpprec;
(dl7)16
(с18) bfloat(%pi);
(dl8)•3.141592653589793b0
(cl9) big:1.123424213423452515135b53*2.23423458725412745
124523423544b64
(dl9)2.50999323378944Ы17
(c20) fpprec:36;
(d20)36
(c21) bfloat(%pi);
(d21)■3.14159265358979323846264338327950288b0
(c22) big:1.123424213423452515135b53*2.23423458725412745124 523423544b64
(d22)2.50999323378944021829124202358948023Ы17
(c23) bfloat(s);
(d23)5.18737751763962026080511767565825316b0
. Следующий пример демонстрирует медленную сходимость ряда 1л2
£ —z- к его сумме $ .
(с24)
s2: sum(l/l**2, 1, 1, 200)$
(с25)
float(%);
(d25)
1.6399465
(с26)
float(%pi**2/6);
(d26)
1.6449341
Мы можем воспользоваться этой классической задачей для демонстрации определения функций в системе MACSYMA. Будем вычислять к по формуле Мечина
|=4arctg|-arctg2^,
разложение которой в ряд имеет вид
п = 16 £ LlLLo—г - 4 2 —5—г .*
Р=0 (2p+l).52p+1Р=0 (2p+l).2392p+1
Входной параметр п этой функции - количество слагаемых, выбранных в первом ряду. Известно, что погрешность такого ряда меньше первого опущенного члена и имеет тот же знак. Вычисление второго ряда выполняется таким образом, чтобы ошибка была меньше, чем в первом ряду.
(с27) approx_pl (n) := block![si,s2,isgn,isgnl,errl, err2,err,i,j.savl, si: 0, Isgn: 1, sav: fpprec, fpprec: 3, for i:1 thru n do
( J: 2*1 -1,
si: si + isgn /(j * 5**j), isgn: - isgn), errl: 16/((2*n+l)»5**(2*n+l)),isgnl: isgn,. si: 16*sl, for 1:1 step 1 while true do ( j: 2*1-1, err2: l/(j * 239**j ), if (4*err2 - errl)<=0 then return(done), s2: s2 + isgn * err2, isgn: -isgn ), err:bfloat(lsgnl*(errl + 4* err2)), display(err), fpprec:sav, return (si - 4*s2) )$
Отметим большое сходство с алголоподобными языками прог- ' раммирования. Слева от символа := находится имя функции, за ■
которым следует список формальных параметров. Справа мы помещаем определение функции в виде простого выражения либо с использованием в более сложных случаях, таких, как приведен выше, символа block. Команда return, в зависимости от контекста, имеет различный смысл: в цикле for она заставляет выйти из цикла, в другом месте она приводит к выходу из функции, и значение ее аргумента совпадает с возвращаемым значением.-
(с28) approx_pi(12);
err = 2.15b-18
111648328176981713127224670033666469979152 (d28)
35538766634625558164751756191253662109375
(с29) bfloat(%);
(d29)3.1415926535897932363920156194308607b0
(сЗО) bfloat (%pi)- % ;
(d30)2.07062776384864218442817626002126774b-18
(c31) sqrt(3.0);
(d31)1.7320508
(c32) fpprec:45$
(c33) bfloat(sqrt(3));
(d33) 1.73205080756887729352744634150587236694280525b0
(C34) logl0_of_2: bfloat(log(2))/bfloat(log(10))$
(c35) integer(216091 * logl0_of_2);
(d35) '65049
(c36) bfloat(large_prime);-
(d36) 7.46093103064661343687339579400511489540228754 b65049
Закончим рядом примеров с комплексными числами. Причины использования функции expand будут объяснены позднее.
(с37) zl: 4 + %i*19;
(с38) z2: 3 + 17 * %1;
(d38)17 %i + 3
(c39) zl+z2;
(d39)36 %i + 7
(c40) zl*z2;
(d40)(17 7.1 + 3) ( 19 %i + 4)
(c41) expand(%);
(d41)125 %1 - 311
(c42) zl/z2;•
19 %i + 4 (d42)
.17 %i + 3
(c43) rectform(%);
33511 %1
(d43)+
298.298
Полиномы и рациональные функции
Здесь нет необходимости разъяснять значение полиномов и рациональных функций, настолько естественно они встречаются в алгебраических вычислениях. MACSYMA позволяет производить некоторые манипуляции с полиномами и рациональными функциями. Понять имена соответствующих команд не представляет труда.
(cl) р0:2*х**3 + 7*х +9;
3
(dl)2 х + 7 х + 9
(с2) pl: (a*x**2-y**3*z)*(y+b*z**2)*(x-y-2*z)-;
232
(d2)(- 2 z - у + х) (а х -у z) (b z + у)
Автоматически MACSYMA не разлагает в ряд произведения сумм. Однако пользователь может применять такие функции, как expand, ratexpand или rat. Последняя из них позволяет пользователю, среди прочего, расположить слагаемые в поли-
номе в нужном порядке. Символ "/R/" перед результатом указывает на специальную форму машинного представления, называемую рекурсивной. Разъяснения будут даны в следующей главе (см. параграф "Полиномы от нескольких переменных").
(сЗ) pl:expand(pl);
3 44 33 32 3
(d3) 2 b уz + bу z- b х уz- 2a b х z
4 2223254
+ 2 у z - а b х у z + а b х z + у z - х у z
52 23
2 а х у z - а х у + а х у
(с4) pll:rat(pl,x,y,z);
3 44323
(d4)/R/ 2 b у z + (b у - b x у - 2 a b x ) z
4232542
+ (2 у - a b x у + a b x ) z + (у - x у - 2 a x y) z
2 23
ax у + a x у
(c5) pl2:rat(pl,b,a,z,y,x);
2322
(d5)/R/ (a у + b a z ) x + (- a у + (- b a z - 2 a z) у
3243 35
2 b a z ) x + (- z у - b z у ) x + z у
3244 3
+ (b z + 2 z ) у + 2 b z у
(сб) p2:factor(pll);
322
(d6)(2 z + у - x) (y z - a x ) (b z + y)
(c7) yO: 7*x**3-3*x+a;
3
(d7)7 x - 3 x + a
(c8) yl: x**2-(a-l)*x +b;
2
(d8)x - (a - 1) x + b
(c9) ql:yO/yl;
3
7 х - 3 х + а
(d9)
2
х - (а - 1) х + b
(clO) quotient(уО,у1);
(diO)7 х + 7 а - 7
(ell) remainder(уО,yl);
2
(dll) (- 7 b + 7 а - 14 а + 4) х + (7 - 7 а) b + а
(с12) remainder(x**4-a*x**3+(a+l)*x**2-2*x+3*a-2, х**2 -3*х+2);
(dl2)(16 - 4 а) х + 7 а - 18
(с13) num(ql);
3
(dl3)7 х - 3 х + а
(с14) denom(ql);
'2
(dl4)х - (а - 1) х + b
(с15) у2: expand((x-a)**2*(y-b)*(z-c+l)**2);
222222 22
(dl5) х у z - 2 а х у z + а у z - b х z + 2 a b х z
2222
-a b z - 2 с х у z + 2 х yz + 4acxyz-4axyz
2222
-2а с у z + 2 а у z + 2 b с х z - 2 b х z
2'22 2
-4abcxz + 4abxz + 2a b с z - 2 a bz + c х у
222
2 с х у + х у - 2 а с ху + 4асху-2аху
2 2222 222
+ а с у - 2 а с у + а у - b с х + 2 b с х - b х
2222
+ 2 а b с x-4abcx + 2abx-a b с + 2 а b с
2
а b
(с16) уЗ: expand!(x-a)*(z-c+l));
(d!6)xz-az-cx + x + ac-a
(C17) gcd(y2,y3); (d!7)(x - a) z + (1 - c) x + a c - a
Мы видим, что функция gcd действительно находит НОД выписанных полиномов, не делая попыток разложить результат на множители.■
(с18) factor(%);
(d!8)(х - a) (z - с + 1)
Аналогично для рациональных функций, как правило, не производится сокращение числителя и знаменателя на их НОД. Чтобы выполнить это упрощение, нам следует, например, обратиться к команде.ratsimp.
(с!9) q3:y2/y3;
222222 22
(dl9)(x у z - 2 а х у z + а у z - b х z + 2 a b х z
2222
-a b z - 2 с х у z + 2 х yz + 4acxyz-4axyz
2222
-2а с у z + 2 а у z + 2 b с х z - 2 b х z
222 2
-4abcx/+4abxz + 2a b с z - 2 a b z + с x у
222'
- 2 с x у + х у - 2 а с ху + 4асху-2аху
2 2222 222
+ а с у - 2 а с у + а у - b с х + 2 b с х - b х
2222
+ 2 а b с x-4abcx + 2abx-a b с + 2 а b с
2
- a b)/(x z-az-cx+x+ac-a)
(с20) ratsimp(y2/y3);
(d20) ((х - а) у - b х + а Ы z + ((1 - с) х + а с - а) у
176—3
+(bc-b)x-abc+ab
Работая с полиномами, мы должны иметь возможность получить минимальную и максимальную степени переменной, а также коэффициенты при членах вида х1.
(с21) hipow(y2,'c);
(d21)
(с22) coeff(y2,z,1);
(d22) - 2 с x у + 2 х у + 4асху-4аху-2а су
+ 2 а у + 2 b с х - 2 b х -4abcx + 4abx
+ 2 а b с - 2 а b
Можно также выполнять исключение переменных из двух уравнений: уО = О, у1 = 0, по методу результанта (см. дополнение).
(с23) resultant(уО,у1,х);
(d23) 49 b + 42 b + а (63 b - 4) - 12 b + а (19 - 42 Ь)
43
+ 7 а - 21 а
Чтобы воспользоваться этими различными возможностями, выпишем функцию, которая позволит нам выражать симметрическую функцию (ограниченную здесь тремя переменными) через основные симметрические функции, обозначаемые pl, р2, рЗ. Будем пользоваться методом Баринга [Dubreuil 1963].
(с24) waring3(vs):=
block(Iса,cb,сс,ha,hb,he,vpl,vp2,vp3,sn,vpn],
vpl:a+b+c,
vp2:a*b+b*c+c*a,
vp3:a*b*c,
vpn: vs, sn:0,
wnile(not(vpn=0)) do
(not (integerp (ca)) (hb:hipow (ca,b), cb:coeff(ca,b**hb),(not (integerp (ca)) (hb:hipow (ca,b), cb:coeff(ca,b**hb),( ca: cb : cc : ha : hb : he : 0, ha : hipow (vpn,a), ca : coeff( vpn, a**ha), if (not (Integerp (ca))) then
(not (integerp (ca)) (hb:hipow (ca,b), cb:coeff(ca,b**hb),
(not (integerp (ca)) (hb:hipow (ca,b), cb:coeff(ca,b**hb),
if (not (integerp (cb))) then (hc:hipow (cb,c), cc: coeff (,cb,c**hc)) else cc:cb ) else cc:ca , ha:ha-hb, hb:hb-hc, vpn: expand(vpn - cc * vpl**ha * vp2**hb * vp3**hc), sn:sn + cc * pl**ha * p2**hb * p3**hc
return(rat(sn,p3,p2,pl)) ) $
Команда kill позволяет вернуть переменную в "атомное" состояние. Действительно в данный момент существенно, что символам pl, р2, рЗ не присвоены никакие значения. Во время выполнения программы значения этим символам не присваиваются. Поэтому нам требуется воспользоваться командой kill только один раз.
(с25) kill(pl,p2,p3);
(d25)done -
(с26) waring3(a**3+b**3+c**3);
3 (d26)/R/pl - 3 p2 pl + 3 p3
(c27) sl7: waring3(a**17+b**17+c**17);
171514213
(d27)/R/ pl - 17 p2 pl + 17 p3 pl + 119 p2 pl
123211
- 221 p3 p2 pl + (- 442 p2 + 102 p3 ) pl
210429
+ 1122 p3 p2 pl + (935 p2 - 935 p3 p2) pl
38
+ (- 2805 p3 p2 + 255 p3 ) pl
5227
+ (- 1122 p2 + 3060 p3 p2 ) pl
36
+ (3570 p3 p2 - 1428 p3 p2) pl'
62345
+ (714 p2 - 4284 p3 p2 + 238 p3 ) pl
324
+ (- 2142 p3 p2 + 2380 p3 p2 ) pl
72443
+ (- 204 р2 + 2380 рЗ р2 - 595 рЗ р2) pl
3352
+ (476 рЗ р2 - 1190 рЗ р2 + 51 рЗ ) pl
825427
+ (17 р2 - 357 рЗ р2 + 255 рЗ р2 ) pl - 17 рЗ р2'
345
+ 85 рЗ р2 - 17 рЗ р2
(с28) discrl3: waring3( expand((a-b)**2 * (a-c)**2
* (b-c)**2));
3223
(d28)/R/ - 4 p3 pl + p2 pl + 18 p3 p2 pl - 4 p2
2
- 27 p3
Предыдущий метод носит общий характер, однако он не самый эффективный, особенно для выражения сумм близких степеней. В рассматриваемом нами случае - только для трех переменных - как только мы получили
S0=3- Sl=Pv
мы можем вычислить s^ по следующей рекуррентной формуле: n+1 n r2 n-1n-2
Это позволяет нам ввести индексированные переменные, которые в данном простом случае можно использовать в системе MACSYMA без предварительного объявления. Вычисление $1? в строке (с27) занимает несколько минут на компьютере Honeywell DPS8-70. Вычисление же det[17] по предлагаемому методу занимает только несколько секунд.
(с29) detlOl: 3 $
(сЗО) det[1 ]: pl $
(с31) det(21: pl**2 - 2*р2 $
(с32) for n:3 thru 17 do det[nl:expand(pl*det[n-ll
- p2*detln-21 + p3*detln-31);
donedone(d32)
done
done
(сЗЗ) detl41;
224
(d33)- 2 pl рЗ + 2 р2 - 4 pl р2 + pl
(с34) expand(S17 -det[17]);
(d34)О
Использование такого типа индексированных переменных особенно эффективно в следующем рекурсивном механизме определения массива. Вычисление элемента выполняется всего один раз, а результат сохраняется в памяти.
(с35) detertnl := if n=0 then 3 else if n=l then pl else if n=2 then pl**2 - 2*p2 else
rat(pl*deter[ n-11-p2*deterIn-21
+p3*deter1n-31, p3, p2, pl) $
(c36) deter[31;
3 (d36)/R/pl - 3 p2 pl + 3 p3
(c37) deterl41;
422
(d37)/R/pl - 4 p2 pl + 4 p3 pl + 2 p2
(c38) sav7 : deter(71 $
(c39) deterlSl;
5322
(d39)/R/ pl - 5 p2 pl + 5 p3 pl + 5 p2 pl - 5 p3 p2
Мы закончим примером разложения на множители полинома от нескольких переменных. Следующий пример потребовал 4 минуты на компьютере Honeywell DPS8-70. Хотя алгоритмы разложения на множители будут обсуждаться только в гл. 4, читатель может уже сейчас убедиться, что разложение на множители является дорогой процедурой.
(с40) for n:2 thru 10 do print(factort (u~n+v~nKn
- (иЛп-уЛп)Лп));
2
4 u v•
66
2 v (v + 3 и )
488
8 u v (v + и )
2010 1020
2 v(v+ 10uv+5 и)
612121212
4 u v (v+ 3 и ) (3 v + и )
4214 2828 1442
2 v(v+ 21uv+35 uv+ 7 и )
816163216 1632
16 иV (V + и) (V+ 6 иV+ и )
181854183636 1854
2 v(v+ 3и ) (v+33 и v + 27и v + 3 и )
104020 20404020 20
4 иv(v + 10 иv + 5 и ) (5 v + 10 и v
40 + и )
(d40)done
5.3. Матричные вычисления
Векторы и матрицы, постоянно используемые в численных методах, необходимы, очевидно, и в компьютерной алгебре. В распоряжении пользователя имеется несколько способов определения этих объектов.
Явное объявление:
(cl) m0: matrixdl, 2, 3], [4, 5, 61, [7,8,91);
[12 3 1
[1
(dl)[4561
[1
[7 8 9 1
(с2) vl: [a, b, cl;
(d2)label
(сЗ) v2:transpose(vl);
[ а ]
(d3)(d3)[ b ]
(d3)
(d3)
[ с ]
Объявление с интерактивным присваиванием:
(с4) ml:entermatrix(3,3);
Is the matrix 1. Diagonal 2. Symmetric 3. Antisymmetric 4. General
Answer 1, 2, 3 or 4
2;
Row 1 Column 1: u;
Row 1 Column 2: v;
Row 1 Column 3: w;
Row 2 Column 2: x;
Row 2 Column 3: y;
Row 3 Column 3: z;
Matrix entered.
(d4)
[ w
Определение элементов с помощью порождающей функции:
(с5) Mi,j]:=l/(i+j-l)$ (сб) hilbert4: genmatrix(h,4,4);
111]
[ 1- --J
[2341
[J
[1111] [----] [2 3 4 5 ] (d6)[]
[1111] [ - - - - 1
[ 3 4 5 61
[1
[11111 [____] [4 5 6 71
Выбор элементов осуществляется просто:
(с7) s0: m0[l,21;
(d7)2
(с8) s0: mill,11 + vl[21 * hilbert4 [3,31 ;
b
(d8)u + -
5
(c9) v3: row(hllbert4, 3);
(clO) v4: col (hllbert4, 2);
[ 1 1
[ - 1
[ 2 1
[ 1
[ 1 1
[ - 1
[ 3 1
(diO)t 1
[ 1 1
[ - 1
[ 4 1
[1
[ 1 1
[ - 1
[ 5 1
Можно изменить один элемент матрицы и таким образы дифицировать матрицу.
(ell) т0[2,21 : х*у;
(dll)х у
(С12) тО;
[ 123 1
[1
(dl2)14 х у 61
[1
[ 789 1
(С13) m0[2»21: b$
метические операции (С14) р: v3 . v4;
(dl4)
(с15)
v6: mO
. v2;
1133Оператор матричного умножения - точка ” ". Обычные ариф- выполняются поэлементно.
1
1
3
3
(dl5)
1 3 c + 2 b + a
[
[ 6c + 5b + 4a
[
[ 9c + 8b + 7a
1
1
1
1
1
(C16)
m2: 2 * mO;
[ 24
6 1
[
1
(dl6)
[ 810
12 ]
[
1
[ 14 16
18 1
(cl7)
m22: mO * mO;
[ 14
9 1
[
1
(dl?)
[ 16 25
36 J
[
1
[49 64
81 ]
(cl8)
msquare: mO . mO;
.[ 30 36
42
[
(dl8)
■I 66 81
96
, [
[ 102 126
i 150
(c!9)
mpl: 1+ mO;
[234
1
[
1
(dl9)
[567
1
[
]
[ 8 9 IC
1 ]
Имеются также оператор возведения в степень ~" и функции для вычисления определителя и характеристического полинома матрицы.
(с20) invhllb4: hilbert4^(-l);
[*16- 120240 - 1401
['1
[-1201200-27001680]
(d20)[]
[240- 27006480 - 4200]
[1
[-1401680-42002800]
(с21) pole: rat(charpolytml,lambda),lambda);
32
(d21)/R/ - lambda + (z + x + u) lambda
2222
+ ((-x-u)z + y - u x + w + v ) lambda + (u x - v ) z
2 ’
- u у + 2 v w у - w x ■
Приведем несколько примеров возможностей системы MACSYMA при работе с матрицами, получаемыми циклическими перестановками элементов вектор-строки
(а, Ь, ...\
Мы проверим одно из свойств таких матриц. Рассмотрим биномиальное разложение (и + и)п. Если положить
a = un + yn, Ь=с'и.оп"\ с = С2и2.оп-2,...,пп
то определитель такой матрицы будет равен (ип-(-1)пуп)п
Это связано с тем, что определитель матрицы, получающейся циклической перестановкой элементов вектора (и, и, 0, 0,...), равен,
(«"-(-1)".у").
(с22) рЗ: matrix([a, b, с], [с, а,.Ы, lb, с, а));
label
[1
(d22)Icabl
[1
[bса]
(с23) determinant(рЗ);
(d23) с (с - a b) + а (а - b с) - b (а с - b ) (с24) ratsimp(%);
33
(d24) а + b + с - 3 а b с
Такой определитель очевидно делится на а + b+ с:
(с25) factor(d24);
222
(d25) (с + b + а) (с -bc-ac + b - a b + а )
Если для случаев 5, 7, 11 мы ограничимся тремя параметрами в исходном векторе, то получим следующие определители: а5 + 65 + с5 - Sabc^b2 - ас), а7 + б7 + с7 - 7abc(b2 - ас)2, а11 + Ь11 + с11 - ИаЬс(Ь2 - ас)(б6 - Заб4 с + 4а2Ь2с2 - а3с3).
Давайте вернемся к исходной (З.З)-матрице:
(с26) a:u**3+v**3$
(с27) b: 3*u**2*v$'
(с28) с: 3*u*v**2$
(с29) рЗ:. matrix(la,b,cl,[с,a,bl,lb,с,а));
(d29)(d29)[ 33[ v + и[ 33[ v + и23 u v23 u v3 u v3 u v[ 3 u v[ 3 u v33v + и33v + и23 u v23 u v[2I 3 u v[2I 3 u v3 u v3 u v3 13 1V + u JV + u J
(d29)
(d29)
[ 33
[ v + и
[ 33
[ v + и
2
3 u v
2
3 u v
3 u v
3 u v
[ 3 u v
[ 3 u v
33
v + и
33
v + и
2
3 u v
2
3 u v
[2
I 3 u v
[2
I 3 u v
3 u v
3 u v
3 1
3 1
V + u J
V + u J
(сЗО) factor(determinant(рЗ));
(d30)(d30)2 32 3(v + u) (v - U V + u )(v + u) (v - U V + u )
(d30)
(d30)
2 3
2 3
(v + u) (v - U V + u )
(v + u) (v - U V + u )
Следующие действия просто позволяют получить результат в нужном виде:
(с31) expand(% ** (1/3)) **3 ;
3 3
(d31)(v + и )
Рассмотрим поочередно случаи 4 и 5.
(с32) a: u**4+v**4$
(сЗЗ) b: 4*u**3*v$
(с34) с:6*u**2*v**2$
(с35) d:4*u*v**3$
(с36) р4: matrix(la,b,c,d], ld,a,b,c], [c,d,a,b], [b,c,d,a]) $
Вместо приема, примененного в строке с31, лучше воспользоваться функцией sqfr, которая аналогична функции factor, но выделяет только множители, общие для полинома и его производных.
(с37) sqfr(determinant(р4));
4 4
(d37)(v - u )
(с38) a:u**5 + v**5$
(c39) b:5*u**4*v$
(c40) c:10*u**3*v**2$
(c41) d:10*u**2*v**3$
(c42) e:5*u*v**4$
(c43) p5: matrix(la,b,c,d,el, le,a,b,c,dl, [d,e,a,b,c], [c,d,e,a,bl, lb,c,d,e,a]) $
(c44) sqfr(determinant(p5));
(d44)(d44)5 5
(d44)
(d44)
(v + u )
Закончим раздел, выписав функцию, которая вычисляет обратную матрицу по методу Сурио. Результат выдается в форме матрицы, присоединенной к исходной. Определитель - значение глобальной переменной det. Мы увидим, что в строках г48 и с49 значения переменной det различны. Пользователь должен тщательно контролировать этот так называемый, побочный эффект. •
(с45) souriau (а):=block([al,b,i,j,q,nJ, n:length(a),
■ al:copymatrix(a), ' for j:1 thru n do (
q:0,for i:1 thru n do q:q+al[i, i1,q:ratexpand(q/j), if j<n then (
for i:1 thru n do al[i,i1:ratexpand(al[i,i1-q), if j=(n-l) then b:copymatrix(al), al: ratexpand( a.al) •
)-
),
det: (-l)^(n+l)*q» return(b) ) $
(c46)
adjml: souriau(ml);
[21
[ x z - y.wy-vz v у - W X ]
[■]
(d46)
[2]
I w у - V zu z - wvw-uy]
[2 ]
[ v у - w xvw-uy u x - V 1
(c47)
det;
222
(d47)
u x z - v z - u у + 2 v w у - W X
(c48)
expand( det - determinant (ml.));
(d48)
0'
(c49)
invhilb4 - souriau(hilbert4) / det;
(0 0 0 0) [1
[0 0 0 0]
(d49)
[1
[0 0 0 0 1.
[1
[ 0 0 0 0 1
Для решения линейной системы мы можем воспользоваться командой solve в виде
solve^eq^, eq2,...], [^, х2.... ]), где eq. - уравнения (в которых правая часть, предполагаемая равной 0, может быть опущена), а х( - неизвестные. Ниже приведено несколько примеров численно неустойчивых систем. Результат функции solve приводится в векторной форме. Позже мы увидим, как извлекать интересующие нас значения. Читатель может заметить, как точные вычисления с рациональными числами могут помогать в случае неустойчивости.
(cl) eqll: 3*х+4*у-7;
(dl)4 у + 3 х - 7
(с2) eql2: 3*х+400001/100000 *у-700001/100000;
400001 у700001
(d2)+ 3 х
100000100000
(сЗ) solve( leqll,eql2], [x,yD;
(d3)Их = 1, у = 1]]
(с4) eql3: 3*х+399999/100000 *у-700004/100000;
(d4)
399999 у + 3 х -
100000
175001
25000
(с5)
solve(leqll,eql3], lx,у]);
(d5)
23 [[х = —, у =
3
- 4)1
(сб)
eql4: 3*х+3999992/1000000 *у .-
7000042/1000000;
(d6)
499999 у + 3 х -
125000
3500021
500000
(с7)
solve([eqll,eql41, [х,у]);
(d7)
28
Их = —, у = 3
21 - — 1 ]
4
Разумеется, можно также решать системы с символьными матрицами. Здесь уравнения выписаны в явном виде.
(с8) el: a*(r+s) +3*b*(r-s) = u+v;'
(d8)a(s+r)+3b(r-s)=u+v
(c9) e2: a*(r-s) -b*(r+s) = u-v;
(d9)-b(s+r)+a(r-s)=u-v
(clO) e3: l-3*w = u + v;
(diO)-3w+l = u + v
(ell) e4:a**2+3*b**2-3*z = r+s;
22
(dll)- 3 z + 3 b + a = г + s
(cl2) solve(Iel,e2,e3,e4],lu.v.r.s));
222
(dl2) [(u = - (- 3 a z + b (6a - 9 z) + b (9 w - 3)
44
+a(3w-l)+9b + a )/(6 b),
22
v = (- 3 a z + b (6a - 9 z) + a (3 w - 1) + b (3 - 9 w)
44
+ 9 b + a )/(6 b),
2323
r=(3 a z + b (3 a -9z)-3w+9b - 3 a b - a + 1)
/(6 b),
2323
s=( - 3 a z + b (3 a -9z)+3w+9b + 3 a b + a
- l)/(6 b)’
11
Дифференцирование - ряды Тейлора
Любая система компьютерной алгебры содержит более или менее полный набор команд, связанных с понятием дифференцирования. Эти операции тесно связаны с командами упрощения. Без хорошего аппарата упрощения мы рискуем очень быстро получить формулы, с которыми невозможно работать.
(cl) fl:2*(log(x**2-x+l)/6 + atan((2*x-l)/sqrt(3))/sqrt(3) -log(x+l)/3);'
2 х - 1
2atan()
log(x - x +• 1)sqrt(3) log(x + 1)
(dl) 2 (+)
6sqrt(3)3
(c2) dfl: diff(fl.x); 22 x - 11
(d2)2 (+)
223 (x + 1)
(2 x - 1)6 (x - x + 1)
(+ d
.3
(c3) dfl: ratsimp(dfl);
2 x
(d3)
3
x + 1
В системе MACSYMA есть также функция
taylor(function, variable, initial, order)
Символ "/T/" перед результатом указывает на то, что мы имеем дело с усеченным разложением. Операции с результатом такого вида принимают во внимание приписываемый ему порядок. В строке с! мы пользуемся функцией subst(х, у, z), которая вместо у в выражение г подставляет х. р
(с4) q: (1- sqrt(l-e**2))/е;
2
1 - sqrtd - е ) (d4)
е
(с5) taylor(q,е,0,10); 3579
ее е 5 е 7 е (d5)/T/- + „ + — +++ . . .
"2816128256
(сб) аЗ: (u-sin(u))/sin(u)**3;
и - sln(u) (d6) .
3sin (u)
(C7) a3: subst(2*t/(l+t**2), sln(u),a3)$
(c8) a3:subst(2*atan(t),u,a3)$ (c9) a3t: taylor(a3,t,0,10); 246810
13 t4 t4 t4 t4 t
(d9)/T/- ++++ . . .
6103531511553003
(clO) taylor(sqrt(l- (k*sln(x))**2),x,0,6); 2 2424
к x (3k - 4 к ) x
(dlO)/T/ 1
2"24
6426
(45 к - 60 к + 16 к ) x
720
(ell) %*%; 2 426
22 к x (2 к ) x
(dll)/T/ 1 - к х ++ . . .
’345
Можно также работать с оператором дифференцирования. В ;ервом примере мы показываем, как, исходя из неявной функ- 1ии g(x,y), получать последовательные производные у по х. Команда depends означает здесь, что g зависит от х и у, а у зависит от х. Функция part позволяет нам выделять часть формулы с помощью метода, основанного на представлении этой формулы в памяти в виде дерева. Мы видим, что MACSYMA использует один и тот же символ d как для полных, так и для частных производных.
(с12) depends(g, tx.yl.y,1x1); ,
(dl2)(g(x, у), у(х)]
(С13) diff(g.x);
176—4
(dl3)
dg dy dg dy dx dx
(cl4) solve(%,diff(y,x));
dg
dydx
(dl4)[— =]
dxdg
dy
(cl5) dydx:part(%,1,2);
dg
dx
(dl5)
dg
dy
(C16) diff(g,x,2);
22222
dg d уdyd g dy d g d g dyd g
(dl6)+ — (+) ++ —
dy 2dx 2 dxdx dydx dy dx 2
dxdydx
(cl7) subst(dydx,diff(y,x),%)$
(cl8) solve(%,diff(y,x,2))$
(C19) d2ydx2:part(%, 1,2);
222
dg 2 d g d g dg 2 dg d g dg
(--) — + — ( —) _ 2
dx 22 dy dx dx dy dy
dy
(c20) dlff(g,x,3)$
(c21) subst(dydx,diff(y,x),subst(d2ydx2,diff(y,x,2),%))$
(c22) solve(%,diff(y,x,3))$
(c23) d3ydx3:part(%,l,2);
32
(d23)(d23)dg 3 dg d g dg 3 d g 2
(d23)
(d23)
(( —)з ( —)(—)
dx dy 3 dx ,2
■ dydy
2223
dg 2 d g dgdg d gdg2 d gd gdg 4
+ (9 ( —) 3( —) )( —)
dx dx dy dydx 2dy 23dy
dxdy dx
322
dg d gd g d g dg 3
+ о+ з) ( —)•
dx 2dx dy 2 dy
dx dydx
32
dg 2 d g dg d g 2 dg 2 dg 5
+ (- 3 (--) 6 — () ) ( —) )/( —)
dx2 dx dx dy dy dy
dx dy
(c24) remove(lx,у1,dependency)®
Получив эти формулы, можно попытаться применить их к конкретному примеру. Сначала заменим g функцией ехр(^ + у), затем передадим весьма общей команде ev системы MACSYMA задание применить операторы дифференцирования. Очевидно, нам нужно найти производные, относящиеся к функции
х2 + у2 = constant.
(с25) fctO: subst(Xe**(x**2+y**2)-l,g,dydx);
22
(d25)(d25)У + х — (Хе dx
(d25)
(d25)
1с?^ ev(fctl,diff)$
(с29) ratexpand(%);
(d29)
У 3.
У
(сЗО) removedg], dependency)!
Следующий пример показывает, как получить производные "функции от функции", используя обозначение для композиции: gof. Мы искусственно используем оператор некоммутативного умножения, т.е. точку. Последовательные производные функции g будут обозначаться с помощью индексов.
(с31) depends(g,f,f,x);
(d31) 'Ig(f), Г(х)J
(с32) dl:diff(g,х);
df dg (d32)
dx df
(c33) subst(g[U.f ,diff(g,f),dl);‘
df.
(d33)(g . f) —
1 dx
(c34) d2:diff(g,x,2);
2
df 2 d g d f dg (d34)( —) — +
dx 22 df
df dx -
(c35) dd2:d2$
(c36) for i:1 thru 2 do dd2: subst(g[iLf,diff(g,f,I),dd2)$ (c37) dd2;
(d37)(d37)df 2df 22d f
(d37)
(d37)
df 2
df 2
dx
(с38) d3:dlff(g,x,3)$
(с39) dd3:d3$
(с40) for 1:1 thru 3 do dd3: subst(g[1]. f,diff(g.f,D,dd3)$
(c41) dd3;
2
d fdf d fdf 3
(d41) (g . f) — + 3 (g . f)+ (g . f) ( —) '132 dx 23 " dx
dxdx
(c42) d5:diff(g,x,5)$
(C43) dd5:d5$
(c44) for 1:1 thru 5 do dd5: subst(g[1J. f, diff(g, f, 1),dd5)$ (c45) dd5;
54
d fdf d f
23dx dx23dx dx(d45)(g . f) — + 5 (g . f)+ 10 (g . f) 152 • dx 42
23
dx dx
23
dx dx
dx.dx
2
df 2 d fdf d f 2
+ 10 (g . f) ( —) — + 15 (g . f) — ( —)
3 dx 33 dx 2
. dxdx
2df 3 d fdf 5
+ 10 (g . f) ( —) — + (g . f) ( —) 4 dx 25 dx
dx'
Упрощение формул
как мы особен- и пара-как мы особен- и пара-Проблема упрощения является сложной проблемой, убедимся далее в этой книге. Современные системы, в ности MACSYMA, предлагают пользователю набор ключей
как мы особен- и пара-
как мы особен- и пара-
метров, позволяющих управлять разложением формул и, таким образом, избегать того, чтобы грубое применение команд приводило к очень сложным результатам, в которых информация полностью "тонет". Мы уже встречались с употреблением функции expand. Наряду с ней имеется целый набор функций, поз-
воляющих выполнять более деликатные преобразования: разложение на множители, усеченное разложение в ряды, вычисления с сокращением на НОД или без такого сокращения, упорядочение переменных, раскрытие скобок в произведениях, вычисления с коммутативными или некоммутативными величинами и т.д. Навыки корректного использования этих ключей и команд приобретаются в результате практики. Ясно, что прямолинейная атака на настоящие проблемы может привести к неожиданностям: огромным разложениям, ограничениям по времени, недостатку памяти, ... . Трудно давать какие-либо общие рекомендации, кроме семь раз отмерь, один раз отрежь; советуем также просчитать какие-нибудь простые примеры, чтобы составить представление о размерах задачи. Несколько следующих простых примеров демонстрируют некоторые из возможностей системы. Заинтересованный читатель может обратиться к пособиям по системам REDUCE и MACSYMA.
Нам уже встречалась функция subst, которая выполняет чисто синтаксические подстановки. Таким образом, в строке с2 subst нс распознает в третьем аргументе выражение х + у. С другой стороны, функция ratsubst анализирует этот третий аргумент более подробно. Наконец, на примере определенной ниже функции fullsub видно, что процесс можно использовать рекурсивно.
(с2) subst(а,х+у,x+z+y);
(d2)(d2)z + у + х
(d2)
(d2)
(сЗ) ratsubst(а,х+у,y+z+x);
(d3)(d3)z + а
(d3)
(d3)
(c4) ratsubst(b*a,a**2,a**4);
2 2
(d4)a b
(c5) fullsub(u,v,w):= if w=(w2:ratsubst(u,v,w)) then w else fullsub(u,v,w2)$
(c6) fullsub(b*a,a**2,a**4);
(d6)a b
С помощью системных переменных maxposex и maxnegex можно управлять разложением выражений так, чтобы ограничить те из них, которые рискуют взорваться.
(с7) maxposex:4;
(d7)4
(с8) рО:(a+b)**2 +(а+Ь)**3 +(а+Ь)**5;
532
(d8)(b + а) + (Ь + а). + (Ь + а)
(с9) рО:expand(рО);
5322232
(d9) (b + а) + b + 3 a b + b + 3 а b + 2 а b + а + а
maxnegex:3;
(diO) (сП)(dll)(С12)(dl2)(diO) (сП)(dll)(С12)(dl2)3
(diO) (сП)
(dll)
(С12)
(dl2)
(diO) (сП)
(dll)
(С12)
(dl2)
р2: 1/(х-а)**2 + l/(x-b)**2 +a*b/(x-a-b)**4;
a b11
++
22
(х - b - а) (х - Ь) (х - а)
рЗ:expand(р2);
11а b
++
22224
х - 2 b х + b х - 2 а х + а (х - b - а)
Ключ булева типа exponent!alize, установленный в состояние true, позволяет приводить тригонометрические и гиперболические функции к экспоненциальному виду.
(с13) exponentialize:true;
(dl3)true
(C14) zl:cosh(x); x - x %e + %e (dl4)
2
(cl5) zO:tan(x);
%1 х - %! х
(d!5)(d!5)%1 х - %1 х %е + %е .%1 х - %1 х %е + %е .%1 (%е- %е )
(d!5)
(d!5)
%1 х - %1 х %е + %е .
%1 х - %1 х %е + %е .
Ключ exponentialize или функция, носящая то же имя, часто оказываются полезными при упрощении сложных тригонометрических выражений. Примером тому служит теорема Морли^ Пусть АВС - треугольник. Возьмем трисектрисы трех его углов. Две трисектрисы углов В и С, ближайшие, к стороне ВС, пересекаются в точке А^ Аналогично получаем точки В^ и С^. Треугольник А^В^С^ равносторонний. Достаточно доказать, что он равнобедренный, т.е. А1В1=А1СГ Пользуясь соотношениями
АВ = 2R sin С, ВС = 2R sin A, CA = 2Rsin В
(R - радиус описанного круга) и хорошо известными формулами для решения треугольников, можно выразить А^В^ и А1С1 как функции от R, В и С. Следующие команды учитывают однородность задачи относительно R и очевидных перестановок. Здесь видно, что функция ev допускает параллельные подстановки. Равенство двух длин доказывается за два шага. Сначала мы извлекаем числитель разности, затем применяем функцию общего упрощения radcan к экспоненциальной форме этого числителя. Устанавливая значение глобального параметра ratdenomdi- vide равным false, мы добиваемся того, что получающаяся в результате рациональная дробь остается в виде дроби, а не суммы дробей. Такие вычисления с помощью "грубой силы" достаточно длинны и трудны, и читатель, несомненно, предпочтет элегантное доказательство Коксетера [Coxeter 1961], но тем не менее это характерный пример помощи, которую можно получить от системы компьютерной алгебры.
(сЗ) bal: sin(a) * sin(c/3) / sin((b+c)/3); c "sin(a) sin(-)
‘ 3 (d3)
i)i)c + bsin()3
i)
i)
(с4) bcl: ev(bal,a=c,c=a);
аsin(-) sin(c)
3 (d4)
b + аsin()
3
(c5) bal: subst(%pi-b-c,a,bal);
■ c sin(-) sin(c + b) 3
(d5)-
c + b
sin()3
(c6) bcl: subst(%pi-b-c,a,bcl);
- c - b + %pi sin() sin(c)
3
(d6)
%pl - c
sin()3
(c7) alcl2: bal'''2+bcl~2-2»bal*bcl*cos(b/3)$
(c8) albl2:ev(alcl2,b=c,c=b)$
(c9) ratdenomdivide: false!
(clO) r:num(ratexpand(albl2-alcl2))$ Time= 922 msec.
(ell) radcan(exponentialize(r));
Time= 68948 msec.
(dll)0
С помощью функции map произвольный оператор может применяться к каждому элементу суммы. В следующем примере мы разлагаем дробь на простейшие дроби (после раскрытия в знаменателе скобок, чтобы несколько усложнить пример), а затем разлагаем каждый элемент результата на множители с помощью
функции тар.
(х + 3) (х + Ь) (х - с)(с2) el:ratsimp(el);43(d2) (х + 2)/(х +(-2c+b+3)x22+ (с + (- 2 b - 6) с + 3 Ь) х + ((Ь +2+ 3 Ь с )(сЗ) e2:partfrac(el,x);24(х + 3) (х + Ь) (х - с)(с2) el:ratsimp(el);43(d2) (х + 2)/(х +(-2c+b+3)x22+ (с + (- 2 b - 6) с + 3 Ь) х + ((Ь +2+ 3 Ь с )(сЗ) e2:partfrac(el,x);2423) с - 6 b с) х23) с - 6 b с) х(cl) el:(x+2)/((x+3)*(x+b)*(x-c)**2);
(х + 3) (х + Ь) (х - с)
(с2) el:ratsimp(el);
43
(d2) (х + 2)/(х +(-2c+b+3)x
22
+ (с + (- 2 b - 6) с + 3 Ь) х + ((Ь +
2
+ 3 Ь с )
(сЗ) e2:partfrac(el,x);
24
(х + 3) (х + Ь) (х - с)
(с2) el:ratsimp(el);
43
(d2) (х + 2)/(х +(-2c+b+3)x
22
+ (с + (- 2 b - 6) с + 3 Ь) х + ((Ь +
2
+ 3 Ь с )
(сЗ) e2:partfrac(el,x);
24
2
3) с - 6 b с) х
2
3) с - 6 b с) х
3
(d3) - (с + 4 с - b + 6)/((с + (2 b + 6) с
2222
+ (Ь + 12 b + 9) с + (6 b + 18 Ы с + 9 b ) (х - с))
с + 2+
22
(с + (Ь + 3) с + 3 Ь) (х - с)
b - 2
2232
((Ь - 3) с + (2 b - 6 b) с + b - 3 b ) (х + Ь)
1
2
((Ь - 3) с + (6 b - 18) с + 9 b - 27) (х + 3)
(с4) е2:map(factor,е2);
2
с + 4 с - b + 6с + 2
(d4) +
222
(с + 3) (с + Ь) (х - с) (с + 3) (с + Ь) (х - с)
b - 21
22
(Ь - 3) (с + Ь) (х + Ь) (Ь - 3) (с + 3) (х + 3)
Функция polydecomp для данного полинома выдает список
полиномов, которые после выполнения композиций дают исходный полином:
(с5) big:1769472*8**8 - 3538944*8**7 +3907584*8**6 -2764800*8**5 +1378560*6**4 -484608*s**3 +119520*8**2 -18768*s +1585$
(сб) polydecomp(big.s);
2
2s-132
(d6)[3 s - 2, , 6 s + 11, 4 s - 11
12
Наконец, можно определить правила упрощения с помощью
функции let, а затем применять их с помощью функции let- simp.
(cl) let(а*:2,%i);
2
(d2)a —> 7.1
(c3) eO: a**2*(a**4-a)- a**3 +1;
43
(d3) a (a - a) - a + 1
(c4) letsimp(eO);
(d4)- 2 Xi a - Xi + 1
(c5) let(om**3,l);
3
(d5)om —> 1
(c6) let(om**2, -l-om)$
(c7) pxyz: (x+y+z)*(x+om*y+om**2*z)*(x+om**2*y+om*z);
22
(d7) (z+y+x)(omz+om у + x) (om z + от у + x)
(c8) pxyz: letsimp(expand(X));
33
(d8) z - 3 x y, z + у + x
В конце этого раздела об упрощениях следует обратить внимание на стиль программирования. Использование доступной пользователю техники, инспирированной Лиспом, позволяет
экономить иногда значительное время. Продемонстрируем это явление на двух функциях, height 1 и height2, которые (первая в фортрановском стиле, а вторая - в лисповском) находят наибольший - по абсолютному значению - коэффициент полинома над Т. Функция construct используется для получения полинома данной степени с целыми коэффициентами, выбранными случайно из интервала между -235 и 235-1. Чтобы облегчить читателю понимание лисповской формы, мы добавили несколько коротких примеров, непосредственно использующих функции numfactor, maplist и apply. Для" более детального разбора читатель должен обратиться к пособию по системе MACSYMA. Время дается в миллисекундах. Вычисления проводились на компьютере Honeywell DPS8-70M.
(с29) height К poly, var):= blockUm, maxi, il, maxi:0 for i:0 thru hipow(poly,var) do ( m: abs(coeff(poly,var,i)), if m>maxi then maxi:m), return(maxi) )$
(c30) height2(poly):= applytmax,maplist(absfact,poly))$
(c31) absfact(z):= abs(numfactor(z)) $
(c32) construct (n):= block([pol,i)),
pol:0,
for i:1 thru n do pol:pol+random() * x^i, return (pol) );
(c33) pO:construct(10);
1098
(d33) -13379176882 x + 8895517289 x - 9101752241 x
765
426691508 x + 17446139911 x + 33598445718 x
432
+ 33193902370 x + 3493507944 x - 5008989035 x
17002352646 x
(c34) numfactor( -34*x**2);
(d34)-34
(c35) maplist(absfact.pO);
(d35) 113379176882, 8895517289, 9101752241, 426691508,
17446139911, 33598445718, 33193902370, 3493507944,
5008989035, 170023526461
(с36) apply(max,%);
(d36)33598445718
(с37) pl:construct (20)$
(с38) helghtl(pl.x);
Time= 851 msec.
(d38)33598445718
(c39) height2(pl);
Time= 272 msec.
(d39)33598445718
(c40) p2:construct (40)$
(c41) heightl(p2,x);
Time= 2268 msec.
(d41)32727645108
(c42) height2(p2); '
Time= 529 msec.
(d42)32727645108
(c43) plOO:construct (100)$
(c44) heightl(plOO.x);
Time= 12030 msec.
(d44)34073350797
(c45) height2(pl00);
Time= 1577 msec.
(d45)34073350797
1.5.6. Интегрирование
Автоматизация нахождения интегралов всегда представляла собой важную часть компьютерной алгебры из-за престижности
(cl)(dl)(c2)(d2)(c3)(d3)(cl)(dl)(c2)(d2)(c3)(d3)данной задачи. С практической точки зрения эффективность системы компьютерной алгебры при выполнении преобразований рациональных выражений более существенна, чем нахождение первообразных. Но данная задача привела к огромному продвижению в области использования компьютеров. С ней тесно связаны имена Слейгла, Мозеса, Риша. MACSYMA была одной из первых систем, получивших реальную пользу от тщательно проработанной команды интегрирования. В системе REDUCE использовались в дальнейшем новейшие достижения, полученные в работах Кембриджской группы (Великобритания).
(cl)
(dl)
(c2)
(d2)
(c3)
(d3)
(cl)
(dl)
(c2)
(d2)
(c3)
(d3)
Команда интегрирования в системе MACSYMA - Integrate. Видно, что результаты появляются в виде, который может потребовать переупорядочения (например, результат d2).
integrate(l/(l-x**4),x);
log(x + 1) atan(x) log(x - 1)
424
integrate(slnh(x)**4,x);
4 x- 4 x
%e2 x - 2 x %e
- 2 %e + 2 %e + 6 x 44
16
lntegrate(x**3*cos(x**2),x);
222
. x sin(x) + cos(x)
2
Иногда окончательная форма результата может выглядеть неожиданно:
(с4) Integrate(sln(a/x)-cos(х**2), х);
(d4) (sqrt(%pi) ((sqrt(2) %i - sqrt(2))
(sqrt(2) %i + sqrt(2)) x
erf()
2
(sqrt(2) %i - sqrt(2)) x + (sqrt(2) %i + sqrt(2)) erf())
а / cos(-)а / cos(-)а[ х
а / cos(-)
а / cos(-)
+ 8 sin(-) х + 8 а Idx)/8
X] X
/
Возможно выполнять также определенное интегрирование. Система MACSYMA резервирует символ inf для и. Если команде integrate требуется дополнительная информация, пользователю задается вопрос.
(с5) integrate(l/sqrt((1+х)**3 * (1+ 2*х)),х, 0,inf);
(d5)2 sqrt(2) - 2
(сб) integrate(l/sqrt((l+x)**3 * (1 + k*x)),x, O.inf);
Is k positive, negative, or zero?
positive;
Is k - 1 zero or nonzero?
nonzero;
Is k - 1 positive or negative?
positive;■
2 sqrt(k) 2
(c7) integrate(l/sqrt(x * (u-x)),x, 0,u);
Is u positive, negative, or zero?
positive
(d7)%pi
Наряду с определенным интегрированием ' следует упомянуть преобразование Лапласа, осуществляемое двумя командами laplace и ilt (обратное).
(с12) laplace(%e**(a*t)*(b*t**2+c*t-sin(d*t)),t,s);
32
(dl2) - ((d - c) s + (- 3 a d + 3 a c - 2 b) s
2222
+ (- с d + 3 a d - 3 a c+4ab)s+(ac-2b)d
33254223
-a d + ас - 2 ab)/(s- 5 a s+ (d+ 10 а ) s
2322 243 25
+ (- 3 a d - 10 а ) s + (3 a d + 5 а ) s - a d - а )
(с13) ilt(%,s,u);
Is d zero or nonzero?
nonzero;
a u2 a ua u
(dl3)- %e sin(d u) + b u %e + c u %e
Преобразование Лапласа может быть использовано для решения интегральных уравнений. В строке с15 отметим использование символа \ который запрещает вычисление значений. Здесь налицо аналогия с лисповской командой quote. Результат в строке dl5 показывает это в явном виде. Аналогично преобразование Лапласа неизвестной функции остается без численного значения.
(с15) ’integrate(cosh(a*x)*f(t-x),x,0,t) +b*f(t)=t**3;
t
/
[.3
(dl5) I f(t - x) cosh(a x) dx + b f(t) = t
] / 0 ..
(cl6) laplace(%,t,s);
s laplace(f(t), t, s) 6 (dl6) b laplace(f(t), t, s) += —
224
s - as
Решаем это линейное уравнение относительно переменной laplace(f(t),t,s)
(cl?) linsolve([%], [’laplace(f(t),t,s)]);
226 s -6а226 s -6а(dl7) llaplace(f(t), t, s)(dl7) llaplace(f(t), t, s)j
22
6 s -6а
22
6 s -6а
(dl7) llaplace(f(t), t, s)
(dl7) llaplace(f(t), t, s)
6524
(C18) formu:% $(C18) formu:% $Теперь нам нужно выделить интересующую нас часть, т.е. правую часть соотношения </17. Для этого воспользуемся функцией part, аргументы которой связаны со структурой обрабатываемой формулы. Кроме того, с помощью функции dpart мы можем заранее проверить, что выделяем требуемую часть формулы.Теперь нам нужно выделить интересующую нас часть, т.е. правую часть соотношения </17. Для этого воспользуемся функцией part, аргументы которой связаны со структурой обрабатываемой формулы. Кроме того, с помощью функции dpart мы можем заранее проверить, что выделяем требуемую часть формулы.(с19) dpart(formut11,2);(с19) dpart(formut11,2);(dl9)(dl9)laplace(f(t), t, s)laplace(f(t), t, s)(c20) res: part(formul11,2)$ (c21) ilt(res,s,t);(c20) res: part(formul11,2)$ (c21) ilt(res,s,t);226 s -6a226 s -6a6524bs + s - a b sII IIIIII II IIII IIII II IIII IIII II IIII II II6524bs + s - a b sII IIIIII II IIII IIII II IIII IIII II IIII II IIt- —2 22 22b 6 a b + 62 (12 a b + 6)(d21) %e(()6 36 3a ba bt- —2 22 22b 6 a b + 62 (12 a b + 6)(d21) %e(()6 36 3a ba b2 2 sqrt(4 a b + 1) t222 2 sqrt(4 a b + 1) t22sinh()/sqrt(4 a b + 1)2 bsinh()/sqrt(4 a b + 1)2 b2 22 2sqrt(4 a b + 1) t2 22 2sqrt(4 a b + 1) t(6 a b +6) cosh()32 bt)/b + — + 6 3ba b(6 a b +6) cosh()32 bt)/b + — + 6 3ba b2 3 t2 3 t2 2 a b2 2 a bb s + s - a b s
(C18) formu:% $
(C18) formu:% $
Теперь нам нужно выделить интересующую нас часть, т.е. правую часть соотношения </17. Для этого воспользуемся функцией part, аргументы которой связаны со структурой обрабатываемой формулы. Кроме того, с помощью функции dpart мы можем заранее проверить, что выделяем требуемую часть формулы.
Теперь нам нужно выделить интересующую нас часть, т.е. правую часть соотношения </17. Для этого воспользуемся функцией part, аргументы которой связаны со структурой обрабатываемой формулы. Кроме того, с помощью функции dpart мы можем заранее проверить, что выделяем требуемую часть формулы.
(с19) dpart(formut11,2);
(с19) dpart(formut11,2);
(dl9)
(dl9)
laplace(f(t), t, s)
laplace(f(t), t, s)
(c20) res: part(formul11,2)$ (c21) ilt(res,s,t);
(c20) res: part(formul11,2)$ (c21) ilt(res,s,t);
22
6 s -6a
22
6 s -6a
6524
bs + s - a b s
II IIIIII II IIII IIII II IIII IIII II IIII II II
6524
bs + s - a b s
II IIIIII II IIII IIII II IIII IIII II IIII II II
t
- —2 22 2
2b 6 a b + 62 (12 a b + 6)
(d21) %e(()
6 36 3
a ba b
t
- —2 22 2
2b 6 a b + 62 (12 a b + 6)
(d21) %e(()
6 36 3
a ba b
2 2 sqrt(4 a b + 1) t22
2 2 sqrt(4 a b + 1) t22
sinh()/sqrt(4 a b + 1)
2 b
sinh()/sqrt(4 a b + 1)
2 b
2 2
2 2sqrt(4 a b + 1) t
2 2
2 2sqrt(4 a b + 1) t
(6 a b +6) cosh()3
2 bt
)/b + — + 6 3b
a b
(6 a b +6) cosh()3
2 bt
)/b + — + 6 3b
a b
2 3 t
2 3 t
2 2 a b
2 2 a b
176—5
2 2
6 16 а b + 6
4 36 4*
a b а b
Закончим простым примером решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Мы хотим решить уравнение
Кх^) = х + Ax3 Jyf(yMdy + Ах2 Sy2f(yMdU + Ax Sy3t(yA)dy (1) ооо
с помощью следующего метода:
Положим•
АМ = J yf(yA)dyо
ВМ = J y2f(yMdyо
СМ = } у3КуМДуо
Уравнение (1) принимает вид
f(x,X) = х + Хх3АМ + ХхгВМ + ХхСМ(2)
В определениях для А, В и С заменим функцию КуЛ) ее значением, полученным из уравнения (2) с заменой х на у. После интегрирования получим 3 линейных уравнения с 3 неизвестными А, В и С.
Решим эту линейную систему и подставим полученные значения в (2). Таким образом мы получим требуемую функцию.
Решение с помощью системы MACSYMA непосредственно следует данному алгоритму. Для упрощения входных данных мы прежде всего определяем полезную функцию f(qVq^Y
(с2) f(ql,q2):= q2*a*ql/s3+q2*b*ql/s2+q2*c*ql+ql;
32
(d2) f(ql, q2) := q2 a ql + q2 b ql + q2 c ql + ql
(c3) eqa: a=integrate(y*f(у,l),y,0,1);
(20 с + 15 b + 12 а) 1 + 20
(d3)а =
60
(с4) eqb: b=integrate(yA2*f(у,1), у, 0,1); (15 с + 12 b + 10 а) 1+15
(d4)b =•
60
(с5) eqc: c=lntegrate(y^3*f(у,1),у,0,1);
(42 с + 35 b + 30 а) 1 + 42
(d5)с =
210
(сб) sol: solve((eqa.eqb.eqcl,(а,b,с]);
1575 1 - 126000 (d6) На =,
32
1 - 4140 1 - 226800 1 + 378000
2100 1 + 94500 b =,
32
1 - 4140 1 - 226800 1 + 378000
2 1 - 3510 1 - 75600 с =']]
32
1 - 4140 1 - 226800 1 + 378000
Теперь выделим полезные значения вектора-результата после проверки элемента а функцией dpart.
(с7) dpart(sol,l,l,2);
II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II IIII II II
"1575 1 - 126000"
(d6) Ila = "."
"32"
" 1 - 4140 1 - 226800 1 + 378000" II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II
2100 1 + 94500b =(
32
•1 - 4140 1 - 226800 1 + 378000
.
1 - 3510 1 - 75600'
c =J]
2
1 - 4140 1 - 226800 1 + 378000
(с8) a: part(sol,1,1,2) $
(с9) b: parttsol,1,2,2) $
(сЮ) с: part(sol, 1,3,2) $ (ell) ratdenomdivide:falseS
Далее нам нужно вычислить значение функции f(x,X) после подстановки вместо а, Ь и с их значений. Можно воспользоваться командой ev или ее разновидностью, как показано в строке с12..
(с12) f(x,l),eval;.
-3
•1 (1575 1 - 126000) х
(dl2)
32 -'
1 - 4140 1 - 226800 1 + 378000’2
1 (2100 1 + 94500) х
32’
- 4140 1 - 226800 1 + 378000
2
1 (1 - 3510 1 - 75600) х
■ + х
2
- 4140 1 - 226800 1 + 378000
Наконец, упорядочим и упростим результат, используя команды ratvars и ratsimp. В качестве последнего примера выполним также подстановку /= 1
(С13) ratvars(x,1);
(dl3)[х, 11
(с14) ratsimp(dl2);
32
(dl4) - (1 (1575 х - 2100 х + 630 х)'
2
+ 1 (- 126000 х - 94500 х + 151200 х) - 37800» х)
32
/(1 - 4140 1 - 226800 1 + 378000)
(С15) subst(1,1,%); 32
124425 х 96600 х 226170 х
(сП5)++
147061147061147061
ДОСТУПНОСТЬ СИСТЕМЫ MACSYMA
Предыдущие примеры дают только некоторое представление о возможностях системы MACSYMA. Заинтересованный читатель должен поупражняться на реальной системе. Он может рассматривать также аспекты, нс затронутые здесь: функции для изображения кривых и поверхностей и особенно громадные возможности библиотеки SHARE. Наилучшие версии системы MACSYMA установлены на компьютерах VAX, на Лисп-машинах фирм SYMBOLICS и LMI и на рабочих станциях SUN.
ДРУГИЕ СИСТЕМЫ
Описанные достоинства системы MACSYMA не должны заставить нас забыть о существовании других систем компьютерной алгебры. Система REDUCE, описанная ниже (см. приложение), очень быстро развивается в течение последних нескольких лет. В научном мире ее можно обнаружить почти на всех машинах. Препроцессор для Лиспа, RLISP, используемый для ее реализации, превращает ее в систему, легкую для понимания и адаптации. Следует также упомянуть систему MAPLE (написанную на языке Си и работающую под управлением операционной системы UNIX), достаточно широко распространенную наравне с SMP и АМР (написанными на языке ассемблера для машин серии IBM). В качестве системы для первого знакомства нужно упомянуть muMATH, работающую на микрокомпьютерах. В качестве примера ее использования вернемся к интегральному уравнению, которое мы уже рассматривали.
Как и в системе MACSYMA, можно определить вспомогательную функцию F. Заметим, что для получения FY требуется дважды обращаться к EVSUB. *
? F:Q2*A*Q1A3+Q2*B*Q1A2+Q2*C*Q1+Q1 ;
QI + A Q2 Q1A3 + В Q2 Q1A2 + С Q2 Q1
? FY:EVSUB(EVSUB(F,Q1,Y),Q2,L) ;
Y * A YA3 L + В YA2 L + С Y L
Определяем 3 уравнения, в которых присутствуют интегралы.
? EQA:DEFINT(Y*FY,Y,O,1) == А ;
1/3 + A L/5 + В L/4 + С L/3 == А
? EQB:DEFINT(YA2*FY,Y,0,l) == В ;
1/4 + A L/6 + В L/5 + С L/4 == В
? EQC:DEFINT(YA3*FY,Y,0,l) == С ;
1/5 + A L/7 + В L/6 + С L/5 == С.
Поскольку в muMATH нет функции, аналогичной команде solve в системе MACSYMA, мы вручную составляем матрицу МА линейной системы относительно неизвестных А, В и С. Подобным образом получив второй член МВ, решаем уравнение MA-V = = МВ.
? МА: { [ L/5-1, L/4, L/31,1 L/6, L/5-1, L/41,1 L/7, L/6, L/5-1 ]};
{[ (-5+D/5, L/4, L/3],
[L/6, (-5+D/5, L/41,
[L/7,L/6, (-5+D/5D
? MB:{[-1/3],[-1/4],[-1/51} ;
? V:MA \ MB $
Полагая L = 1 в решении V и вычисляя соответствующие значения, мы вновь находим коэффициенты окончательного полинома из примера для системы MACSYMA.
? L: 1 S
? EVAL(V) ;
@: <[124425/1470611,
[96600/1470611, [79109/147061]}
Наконец, мы не можем закончить этот раздел, не упомянув о новейшей системе компьютерной алгебры - SCRATCHPAD. Эта система написана на языке Лисп для IBM-совместимых компьютеров под управлением системы VM-CMS. Хотя она нс достигла степени развития систем REDUCE или MACSYMA по части команд и доступных библиотек для решения обычных задач, она отличается от этих классических систем новым подходом, который, по-видимому, особенно импонирует математикам. На миг вернемся к системе MACSYMA. Верно, что эта система может некоторым образом работать с алгебраическими числами. Однако результаты получаются за счет внутренних преобразований из рекурсивной формы в форму в виде дерева и обратно, и позже мы к этому вернемся. Этим обусловливается применение 'функции simplify в следующих примерах.
(cl) algebraic:true;
(dl)true
(c2) simplify(e):=ratdisrep(rat(e));
(d2)simplify(e) := ratdisrep(rat(e))
(сЗ) (5*(2—%i))/(3^(1/3)+%i);
(c4) simplify(%);
2/31/32/31/3
(3+73- 1) %i - 7 3+ 3+7
(d4)
2‘
Если мы присвоим в качестве значения глобальной переменной modulus простое число р, то будем работать над полем Z^, представление элементов которого симметрично относительно 0 (включая Z2!). Например,
Z? = (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3).
Значение переменной modulus по умолчанию равно false. Тогда мы работаем в Z, Q или R в зависимости от обстоятельств, как было во всех примерах данной главы.
(с5) modulus: 7;
(d5)7
(сб) рО: хЛ16+4;
16 (d6)х +4
(с7) factor(рО);
424242
(d7) (х - 2 х + 3) (х - х + 3) (х + х + 3)
42
(х + 2 х + 3)
(с8) ratexpand(X);
16 (d8)х - 3
(с9) modulus:2;
(d9)2
(clO) factor( (x~16-x)/(x~4-x));
443432
(diO) (x + x + 1) (x + x - 1) (x + x + x + x + 1)
(ell) simpllfy((хЛ16-х)/(хЛ4-х));
12963
(dll)x +x+x+x+l
(C12) factor(%);
443432
(dl2) (x + x + 1) (x + x - 1) (x + x + x + x + 1)
Мы можем также определить расширение основного поля. Эту роль выполняет функция tellrat. Проверка неприводимости определяющих полиномов не производится.
(С13) tellrat(1+а+аЛ2);
2
(dl3)
[a + a + 11
(cl4)
zO: 1+а+аЛ3+аЛ5+1/а; 531
(dl4)
a + a + a + - + 1 a
(cl5)
zO: simplify(zO);
(dl5)
a
(C16)
simpllfy((хЛ2+х+а)*(хЛ2+х+аЛ2));
4
(dl6)
x + x + 1
(cl7)
tellrat(Ь^З+Ь+а);
22
(dl7)
lb + b + a, a + a + 11
(cl8)
zl:a+b;
(dl8)
b + a
(cl9)
Izl: simpllfy(1/zl);
(dl9)
a b + 1
(c20)
simplify(zl*izl);
(d20)
1
(c21)
telIrat(g~2+b*g+a+l);
222
(d21)
[g + b g + a + 1, b + b + a, a + a + 11
(c22)
z2: a+b+g+1;
(d22)
g + b + a + 1
(c23)
iz2: simplify(l/z2);
(d23)
((a + 1) b + a) g + a b + 1
Вернемся в поле Q. У константы z2 остается формальное значение 1 + а + b + g.
(с24) modulus:false;
falsefalse(d24)
false
false
(с25) simplifу(l/z2);
((а + 3) b г 3 а - 2) g + (- 3 а - 2) b + 2 а - 1 (d25)
7
(с26) simplifyd/b);
(d26)(а + 1) b + а + 1
(с27) аО: a+6*b*g;
(d27)6 b g + a
(c28) al: simpllfy(1/aO);
(d28) - (((52422 a + 242820) b + 60084 a + 247536) g
+ (17676 a + 45972) b - 212117 a + 102415)71244803
(c29) simplify(1/al);
(d29)6 g b + a
К сожалению, как мы убедимся ниже, в системе MACSYMA иногда возникают проблемы с разложением на множители результатов в таких расширениях и даже при упрощении рациональных функций при помощи НОД.
(сЗО) рО: хА2 + 3*b*x +a*g+2;
2
(d30)х +3bx+ag+2
(с31) pl: (x-a)*(x-g);
(d31)(x -a) (x - g)
(c32) p3: simplify(pO*pl);
43
(d32) x + (- g + 3 b - a) x + ((2 a - 3 b) g - 3 a b + 2)
2
x + ((4 a b + a - 1) g - 2 a - 1) x + ((a + 1) b + 2 a) g + a
(c33) simplify(p3/pl);
43
(d33) (x + (- g + 3 b - a) x
2
+ ((2 а - 3 b) g - 3 а b + #2) х
+ ((4 a b + а - 1) g - 2 а - 1) х + ((а + 1) b + 2 a) g 2
+ а)/(х + (- g - а) х + a g)
(с34) factor(p3);
433222
(d34) х - g х + 3 b х -ax - 3 b g x + 2 a g x
2
- 3 a b x + 2 x + 4abgx + agx-gx-2ax-x
+ abg + bg + 2ag + a
Если такие применения системы MACSYMA и являются полезными, они нс полны и требуют некоторого знакомства с внутренним устройством системы. Пользователь может осознавать некоторую се неестественность, что может привести к хаккер- ству. Именно этого и хотели избежать авторы SCRATCHPAD, которые мыслили в терминах математических структур и общих операций. Полное изучение этой системы выходит за рамки, поставленные себе авторами данной книги. Читателю следует обратиться к документации по SCRATCHPAD, которая в настоящий момент является весьма краткой, но, несомненно, будет разрастаться одновременно с информацией о SCRATCHPAD, благодаря лекциям и демонстрациям. Тем нс менее ниже приводятся несколько маленьких примеров, дающих представление о том, как работает SCRATCHPAD. Мы хотим написать функцию v quotient, которая позволит нам делить два полинома, расположенных по возрастанию степеней переменной. Прежде всего нам нужно определить тип функции, указав, что два первых ее аргумента принадлежат области полиномов от х над рациональными числами (UP(x,RN)), третий берется из области неотрицательных целых чисел (NNI), а результат принадлежит области UP(x,RN) или является символом "failed". Настоящее определение функции quotient использует примитивные операции, которые аналогичны примитивным операциям, используемым в системе MACSYMA. Важно отмстить также описания типов всех переменных до их использования.
quotient: (UP(x,RN),UP(x,RN),NNI) -> Union("failed",UP(x,RN)) quotient(pl,p2,n) ==
mindeg(pl) < mindeg(p2) => "failed"
reste:UP(x,RN):=pl
degp2:mindeg(p2)
coefp2:coef(p2,degp2)
quot:UP(x,RN):=0
while degree(quot) < n repeat
deg:mindeg(reste)
mon:=monom(deg-degp2,coef(reste,deg)/coefp2)
reste:=reste-(mon*p2)
quot:=quot+mon
quot
0 total errors
Эту функцию теперь можно использовать, однако система SCRATCHPAD компилирует ее при первом обращении.
quotient(l,l+x,8)
compiling quotient with signature
(P[x]RN,P[x]RN,NNI) -> Union(failed,P(x]RN)
8765432
x - x + x - x + x - x + x - x + 1
Type: Union(failed,Plx]RN)
quotient(x**2-x+l,x**3-x-6/7,8)
(5)
847789678- 18089477722860956
()x + ()X + ()x
100776961679616279936
- 1660615- 8281444593- 8892
+ ()x + ()x + ()x + ()x
4665677761296216
91- 7
+ ()x + 366
Type: Union(failed,Plx]RN) quotient(x**2-x+l,x**3-x-6/7,8)
847789678- 18089477722860956
()X + ()X + ()X 100776961679616279936
- 1660615- 8281444593- 8892
+ ()х + ()х + ()х + ()х
4665677761296216
91- 7
+ ()х +
, 366
Возьмем теперь пример алгебраического расширения, в случае которого работа с системой MACSYMA не давала нам полного удовлетворения. Мы используем область SimpleAlgebraicEx- tension, выбрав поле, полиномиальную структуру и полином от параметра. Это позволит нам определить новый тип: extl.
extl:=SAE(RN,UP(a,RN),a**2+a+l)
loading SAE LISPLIB C for domain SimpleAlgebraicExtenslon loading MM LISPLIB C for domain ModMonic•
SAE(RN,P(a]RN,(a**2)+a+l)
Type: aCategory
e:ext1:=(3/4)*a**2-a+(7/4)
loading BMP LISPLIB C for domain
DistributedMultivariatePolynomlal
loading DP LISPLIB
C for domain DirectProduct
loading 0V LISPLIB
C for domain OrderedVarlist
loading MP LISPLIB
C for domain MultivariatePolynomial
loading RF LISPLIB
C for domain RationalFunction
loading NRATINT LISPLIB C for package NuRatint
loading IR LISPLIB
C for domain IntegrationResult
- 7
(8) ()a +
4
1
Type: SAE(RN,P[a]RN,(a**2)+a+l) — inversion of e recipSextl (e)
2844
()a +
9393.
Type: Union(SAE(RN,Pla]RN, (a**2)+a+l),failed) e**2
- 105- 33
()а +
1616
Type: SAE(RN,P[alRN,(а**2)+а+1) е:=а**2-1
- а - 2
Type: SAE(RN,P(alRN,(а**2)+а+1)
Возьмем два полинома pl и р2 с коэффициентами в этом расширении, равные (х2 - а2)(х2 + Зх + а) и х2 - а2 соответственно, расписанные по степеням х. Отметим, что система на этот раз правильно упрощает рациональную функцию р1/р2.
pl:UP(x,extl):=х**4+3*х**3+(2*а+1)*х**2+(3*а+3)*х-1 432
х + 3 х + (2 а + 1) х + (3 а + 3) х - 1
Type: P[x)SAE(RN,P[a]RN,(а**2)+а+1)
р2:UP(x,extl):= х**2+а+1
2
х + а + 1
Type: Plx]SAE(RN,P[a]RN,(а**2)+а+1)
р2/р1
2
х + Зх + а
Type: P[x)SAE(RN,P[a]RN,(а**2)+а+1)
Как новейшая система компьютерной алгебры, предлагаемая математикам и инженерам, несомненно, SCRATCHPAD будет иметь значительный спрос. Ее использование, как и использование других систем, приведет к ее развитию, и остается только пожелать, чтобы ее авторы сделали ее доступной как можно более широкому кругу людей повсюду.
Глава 2
ПРОБЛЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ
Эта глава посвящена фундаментальной задаче компьютерной алгебры - представлению математических объектов в ЭВМ. В ней рассматриваются вопросы типа: "Каким образом представляются данные в компьютере?"; "Я могу представить задачу несколькими способами - какой из них наиболее эффективен?" и т.д. Нс рассматриваются чисто технические вопросы систем REDUCE или MACSYMA, но разъясняются основные принципы и ловушки, в которые пользователь легко может попасть при выборе представления.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
"Бог создал целые числа, все остальное - дело рук человеческих", - сказал выдающийся алгебраист Кронекер. Тем не менее, у людей возникают кое-какие проблемы с представлением целых чисел. Большинство языков программирования рассматривают их как конечное множество, например {—231, ... ..., 231-1}. Весьма легко сказать "мои данные невелики, ответ получится маленький, значит, мне нс понадобятся большие целые числа, и этого конечного множества мне вполне хватит", но такое рассуждение совершенно неверно.
Предположим, что мы хотим вычислить НОД двух следующих полиномов ([Knuth 1969], [Brown 1971]):
А^ = х8+ х6- Зх4- Зх3+ 8х2+ 2х - 5;
_ В(х) = Зх6+5х4-4х2-9г + 21.
Начинаем вычисления, пользуясь алгоритмом Евклида (мы вернемся к этому примеру в разделе "НОД"). Последнее вычисляе-
мое целое число содержит 35 десятичных цифр, т.е. 117 бит, и поскольку результат является целым числом, получаем, что полиномы взаимно просты. Однако данные в задаче маленькие (наибольшее из чисел равно 21), результат "взаимно просты" является ответом типа да/нет и требует для записи всего один бит. Эта проблема разбухания промежуточных выражений представляет одну из наиболее серьезных проблем компьютерной алгебры. Такие проблемы возникают также в задаче интегрирования [Davenport 1981, с. 155-162] и в других ситуациях. В главе "Современные алгоритмы" представлен алгоритм вычисления НОД полиномов, который свободен от этого недостатка.
Также необходимо бывает рассматривать настоящие математические целые числа произвольной длины. Почти все системы компьютерной алгебры допускают работу с ними, и тривиальным тестом, которому можно подвергнуть систему компьютерной алгебры, является вычисление такого числа. Представление таких больших целых чисел (часто называемых по-английски "bignums") достаточно очевидно: выбирают в качестве основания некоторое число N таким же образом, как при обычном десятичном представлении используют в качестве основания число 10, после чего каждое число представляется своим знаком (+ или -) и последовательностью "цифр" (т.е. целых чисел от 0 до N -1) относительно этого основания. Наиболее часто в качестве основания используются степени 2 или 10: степени 10 облегчают ввод и вывод чисел (т.е. их преобразование из десятичной системы или в десятичную систему), в то время как степени 2 позволяют более эффективно выполнять некоторые промежуточные вычисления, поскольку умножение на основание или деление на него могут быть осуществлены путем простого сдвига. Этот вопрос рассматривается в работе [Davenport, Padget 1987]. Обычно целесообразно выбирать основание как можно большим (при условии, что "цифра" помещается в одном слове). Например, на 32-битовых ЭВМ (таких, как большие компьютеры IBM типа 43ХХ и ЗОХХ и Motorola 68020) можно выбрать в качестве десятичного основания 109, а в качестве двоичного основания 230 или 231. Как правило, 232
не используется, поскольку при этом возникают трудности при сложении двух цифр: знак переноса (если он имеется) нс может храниться в машинном слове, но должен быть получен способом, полностью зависящим от типа компьютера ("индикатор переполнения" и т.д.).
После выбора такого представления сложение, вычитание и умножение целых чисел становятся, по крайней мерс в принципе, довольно простыми, - достаточно воспользоваться теми алгоритмами, которые изучают в начальной школе для десятичных целых чисел. Умножение цифр приводит тем нс менее к некоторой проблеме. Для записи в память произведения двух чисел, каждое из которых содержится в одном слове, требуется два слова. У большинства компьютеров имеется для этого соответствующая команда, но языки "высокого уровня" не дают к ней доступа (единственное исключение - BCPL [Richards, Whitby - Strevens 1979] с операцией MULDIV). Следовательно, почти все системы, работающие с большими целыми числами, содержат написанную на машинном языке функцию для этого вычисления.
Деление представляет значительно более сложную задачу, поскольку метод, изучаемый в школе, нс является алгоритмом, так как он требует угадывания цифры частного. Кнут (см. [Knuth 1981]) детально описал эту проблему и предложил алгоритм такого угадывания, который почти всегда является правильным, никогда нс дает слишком маленького ответа и никогда не дает ответа, большего истинного более чем на единицу (в таком случае нужно для исправления ошибки вычесть делитель из делимого или же прибавить его). Для вычисления НОД имеется алгоритм Евклида, а также несколько других методов, которые могут оказаться более эффективными. Эта задача также рассматривалась Кнутом в работе [Knuth 1981].
Но из того, что системы позволяют работать с большими числами, не следует, что можно не обращать внимания на рост чисел. Если у нас есть два числа по п цифр, то для их сложения требуется время счета, пропорциональное л, или, более формально, время О^п\ Для их умножения требуется время 176—6 х
счета > 0(п ). Для вычисления НОД, основной операции при работе с рациональными числами, требуется время О(л), или О(л2), если проявить немного изобретательности2\ Из этого следует, что если целые числа становятся в 10 раз длиннее, то время счета возрастает в 10, или в 100, или в 1000 раз. Значит, всегда выгодно уменьшать размер чисел. Например, более эффективно интегрировать выражение l/x + 2/x2, чем выражение 12371265/(249912457*) + 24742530/(249912457*2 ).
Что касается разложения чисел на множители, то здесь ситуация гораздо менее ясная. Известный наивный алгоритм, состоящий в том, чтобы испытать все простые числа, меньшие N1/2, требует времени счета O^N1/2\o^2 NY где множитель \o^*N представляет размер рассматриваемых целых чисел. Если N - целое число, состоящее из п цифр, получаем О(Юп/2 л2), т.е. экспоненциальное по п время. Существуют (хотя и не встроены ни в одну достаточно распространенную систему компьютерной алгебры)3 > лучшие алгоритмы, время счета которых растет медленнее, чем экспоненциально, но быстрее, чем полиномиально, т.е. равно О(ехр((л log л)1/2). Для целых чисел реального размера получено [Wunderlich! 1979] время О(А0' 156), т.е. чуть меньше, . чем О(10п/6). Краткий обзор того, что понимается под "реальным" размером, дан в работе [Macmillan, Davenport. 1984]. Эта проблема активно исследуется, в первую очередь в связи с интересом, который она представляет для криптографии. В общем можно заметить, что подход "я вычислил целое число; теперь я собираюсь разложить его на множители" является очень опасным.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДРОБЕЙ
Дроби (т.е. рациональные числа) всегда можно представить довольно очевидным способом в виде отношения числителя и знаменателя. В общем случае их нс следует заменять числами с плавающей точкой, так как это приводит нс только к потере точности, но и к совершенно неверным результатам1 \ Например, НОД полиномов х3 - 8 и (1/3)х2 - (4/3) равен (1/3)х - (2/3), в то время как НОД полиномов х3 - 8 и 0.333333 х2 - 1.33333 равен 0.000001 из-за усечения.,
Все вычисления с рациональными числами требуют вычислений НОД, что приводит к большим затратам времени. Следовательно, если удается обходиться без них, то вычисления в общем случае выполняются значительно быстрее. Например, вместо приведенных выше вычислений можно вычислить НОД полиномов х3 - 8 и х2 - 4, не вычисляя НОД никаких целых чисел. То же самое можно сказать об отношениях полиномов - рациональных функциях, а в дальнейшем мы увидим алгоритм (алгоритм Барейса), который не требует обращения к дробям для процесса исключения в матрицах.
Алгоритмы сложения, умножения и т.д. дробей достаточно просты, но тем нс менее в них имеется возможность оптимизации. Рассмотрим, например, умножение
Наиболее очевидный способ заключается в вычислении р = ас, q - bd, а затем сокращении их на НОД этих .чисел. Однако, если предположить, что дроби а/b и с/d являются приведенными, то можно заключить, что
НОД(р,^) = НОД(а,4) НОД(*,с).
Тогда более эффективно вычислить два НОД в правой части равенства, чем один НОД в левой, поскольку аргументы у них меньше.
^ Например, в системе SMP возникли некоторые проблемы из-за использования такого представления рациональных чисел.
То же самое относится к сложению:
Здесь можно вычислить p-ad^bc и q - bd, но более эффективно вычислить q = М/НОД(6,г/) и
р = а+ с .
НОД(6,^) НОД(6,Л)
После этого необходимо добиться взаимной простоты чисел р и q, но таким методом получаются меньшие значения р и q, чем при использовании прямого метода.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛИНОМОВ
Сейчас мы рассмотрим основные вычисления любой системы компьютерной алгебры, которые отличают се от других систем, - полиномиальные вычисления. • Следует подчеркнуть, что прилагательное "полиномиальные" применяется к программным вычислениям, а нс просто к типам данных, над которыми производятся вычисления. Например, вычисление
(х - у)(х + у) = х2 - у2является полиномиальным вычислением, но им также является и(cos а - sin b)(cos а + sin b) = cos2a - sin2/?,
в действительности речь идет об одних и тех же вычислениях, в которых переменная х заменена на cos а, а переменная у заменена на sin b.
Все системы компьютерной алгебры могут работать с полиномами от нескольких переменных (обычно от произвольного их числа1 > ). Их можно складывать, вычитать, перемножать и делить (по крайней мере, как мы увидим ниже, если деление выполняется без остатка), но в действительности интересной операцией является упрощение. Запись произведения полиномов
1)
Система CAMAL требует, чтобы их число было объявлено, но на этом ограничении основана высокая скорость системы CAMAL.
х+1 и х—1 в виде (х+1)(х-1) не слишком интересна: ^запись вида х2 - 1 гораздо более полезна.
Слово "упрощение" допускает множество интерпретаций. Очевидно, что запись х-1 более "простая", чем (х2 - 1)/(х + 1), но является ли выражение х -х +х - ... - 1 более "простым", чем (х1000 - 1)/(х +1)? Для того чтобы разобраться с этим туманным понятием, уточним два связанных с ним термина, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Канонические и нормальные представления.
Представление математических объектов (в рассматриваемом случае это полиномы, но определение носит более общий характер) называется каноническим, если две различные записи соответствуют всегда двум различным объектам. Более формально, говорят, что соответствие f между классом объектов О и классом представителей R является представлением О в R, если каждый элемент, принадлежащий О, соответствует одному или нескольким элементам из R (иначе для него нет представления) и каждый элемент из R соответствует одному и только одному элементу из О (иначе неизвестно, какой элемент класса О он представляет). Представление называется каноническим, если отображение f взаимно однозначно. Таким, образом, можно заключить, что два элемента совокупности О равны, проверив, что равны их представления.
Если совокупность О обладает структурой моноида (а почти любая совокупность в компьютерной алгебре является по меньшей мере моноидом), то можно ввести другое определение. Представление называется нормальным, если нуль представляется единственным образом. (Можно задать вопрос: "Почему именно нуль?" Причина заключается в том, что нуль недопустим в качестве второго параметра в операции деления, и, следовательно, перед делением необходимо выполнить проверку. Если существуют другие исключительные значения, определение "нормальности" становится более сложным.) Любое каноническое представление является нормальным, но обратное нс имеет места (как мы убедимся в дальнейшем). Нормальное представление группы дает алгоритм для проверки того, явля-
ются ли два элемента а и b группы О равными: достаточно посмотреть, равна ли нулю разность а - Ь. Этот алгоритм, естественно, менее эффективен, чем алгоритм, основанный на каноническом представлении, где достаточно просто сравнить представления элементов а и Ь.
Таким образом, можно сказать, что упрощение должно давать представление, являющееся по крайней мере нормальным, а если ’ возможно, то и каноническим. Но хочется большего, и именно здесь включается в игру субъективность. Хочется, чтобы упрощающее представление было "регулярным", что исключает представления, подобные следующему (где полагается А = х2 + х и далее рассматриваются некоторые модификации объекта Л):
объект
:представление
А
:х(х+1)
Л + 1
.X3- 1
*х - Г
А - х
:х2
А + х + 1
:(х+1)2
Вопрос о регулярности возникает в связи с методом хранения, предложенным Брауном [Brown 1969]. Располагая нормальным представлением, попытаемся построить каноническое представление. Запоминаем все вычисленные к данному времени выражения: аг...,а . Когда вычисляется новое выражение Ь, проверяем, равно ли b какому-либо а. для некоторого / (проверяя для всех / на равенство нулю разность а .-Ь). Если Ь=а., заменяем b на а., иначе запоминаем новое выражение ап+^=Ь. Этот метод хранения даст каноническое представление, которое, однако, совсем нс регулярно, поскольку оно полностью зависит от порядка, в котором встречаются выражения. Кроме того, оно неэффективно, так как нужно хранить все эти выражения и сравнивать с ними каждый вычисляемый результат.
Хочется также, чтобы представление было "естественным" (то, чему по крайней мере сегодня противоречит римское представление целых чисел) и, по крайней мере в общем случае, "компактным" (что не позволяет нам изображать целые
числа цепочками из единиц, когда 7 принимает вид 1111111). К счастью, существует много представлений, отвечающих этим требованиям, и всякая система компьютерной алгебры располагает одним из них (по меньшей мере!). Большинство систем (в частности, REDUCE) всегда упрощают выражения (т.е. приводят их к каноническому виду); MACSYMA составляет исключение - она упрощает по запросу.
Для полиномов от одной переменной такие представления с математической точки зрения достаточно очевидны: каждая степень переменной х присутствует только один раз (нс более), и, стало быть, равенство полиномов сводится к равенству коэффициентов.
Плотные и разреженные представления
Теперь нужно различать два типа представлений: плотные и разреженные. Всякая система компьютерной алгебры имеет свое собственное представление (представления) полиномов, детали которого интересуют пользователя только тогда, когда нужно "расщепить" внутреннее представление, но различие плотное- разреженное является существенным. Представление называется разреженным, если нулевые члены явно в нем нс представляются. Соответственно представление называется плотным, если все члены (по крайней мере заключенные между мономом наиболее высокой степени и мономом наиболее низкой степени) явно в нем представлены, как ненулевые, так и нулевые. Обычное математическое представление является разреженным: мы пишем Зх2 + 1 вместо Зх2 + Ох + 1.
Наиболее очевидным компьютерным представлением полинома aQ + а^х + ... + апхп является его представление ’ таблицей коэффициентов [aQ, а^, ..., а^]. В ней записаны все а ., как ненулевые, так и нулевые, следовательно, такое представление является плотным. При таком представлении сложение двух полиномов степени п требует п +1 (т.е. О(и)) сложений коэффициентов, в то время как умножение с помощью наивного метода требует О(и2) умножений коэффициентов (можно ограничиться О^п log и) [Aho et al. 1974, гл. 8], но ни одна система этим в действительности нс пользуется, - приложения и обсуждение сложности см. в статье [Probst, Alagar 1982]):
Менее очевидным с точки зрения информатики, но более близким к математическому представлению является разреженное представление, когда для каждого ненулевого члена а ,х1 запоминают показатель степени и коэффициент, т.е. пару (i.a.). Таким образом, полином Зх2 + 1 может быть представлен в виде ((2,3), (0,1)). Конечно, такое представление довольно трудно .реализовать на Фортране, но оно является более естественным для языков типа Лисп (языка реализации для большинства разработчиков систем компьютерной алгебры). Мы настаиваем на том, чтобы показатели степеней были упорядочены (обычно в порядке убывания), так как иначе ((2,3), (0,1)) и ((0,1),(2,3)) были бы двумя различными представлениями одного и того же полинома. Для того чтобы показать, что по крайней мере на Лиспе такое представление нс является слишком сложным, приведем программы сложения и умножения полиномов, использующие это представление. Читатель, незнакомый с Лиспом, может пропустить этот кусок, не теряя нити рассуждений.
Воспользуемся представлением, в котором CAR от некоторого полинома является его членом, a CDR - новым полиномом, равным исходному полиному без члена, определяемого функцией CAR. Одночлен имеет тип CONS, его CAR равняется показателю степени, a CDR - коэффициенту. Таким образом, лисповская структура полинома Зх2 +1 имеет вид ((2 . 3) (0 . 1)), а список NIL представляет полином 0. Следует отмстить, что в таком представлении представление числа 1 отличается от представления полинома 1(т.е.((0 . 1))) и что способ
представления полинома 0 отличается от способа представления всех других полиномов.
(DE ADD-POLY (АВ)
(COND ((NULL А) В) ((NULL В) А) ((GREATERP (CAAR A) (CAAR В)) (CONS (CAR A) (ADD-POLY (CDR А) В))) ((GREATERP (CAAR В) (CAAR А)) (CONS (CAR В) (ADD-POLY A (CDR B)))) ((ZEROP (PLUS (CDAR A) (CDAR B)))
; Нс нужно создавать нулевой терм (ADD-POLY (CDR A) (CDR B))) (T (CONS (CONS (CAAR A) (PLUS (CDAR A) (CDAR B))) (ADD-POLY (CDR A) (CDR B))))))
(DE MULTIPLY-POLY (AB)
(COND ((OR (HULL A) (NULL B)) NIL) ; Если a = aO+al и b = bO+bl, to ab = ; aObO + aObl + alb (T (CONS (CONS (PLUS (CAAR A) (CAAR B)) (TIMES (CDAR A) (CDAR B))) (ADD-POLY (MULTIPLY-POLY (LIST (CAR A)) (CDR B)) (MULTIPLY-POLY (CDR A) B))))))
Если полином А содержит m членов, а полином В содержит п членов, то время счета (т.е. число лисповских операций) алгоритма ADD-POLY имеет порядок О^т + п), а время счета алгоритма MULTIPLY-POLY имеет порядок О(пг2п) (более точно, (m(m + 3)/2 - 1)п). Существуют алгоритмы умножения полиномов, более эффективные, чем приведенный выше: грубо говоря, нам нужно отсортировать члены произведения так, чтобы они появлялись в порядке убывания, и использование алгоритма ADD-POLY соответствует алгоритму сортировки вставкой ("insertion sort"). Естественно, что применение более эффективного метода сортировки (например, быстрой сортировки "quicksort") даст нам более эффективный алгоритм умножения сложности O^mn log m^ [Johnson 1974]. Однако большинство систем пользуется алгоритмом, аналогичным описанной выше процедуре.
При использовании этой процедуры возникает техническая трудность, обнаруженная недавно Абботом и др. ([Abbott et al. 1986]). Рассмотрим эту трудность, чтобы проиллюстрировать проблемы, которые могут возникнуть при преобразованиях математических формул в системах компьютерной алгебры. В алгоритме MULTIPLY-POLY нужно прибавить а0^ к а^Ь. Имеет значение порядок, в котором вычисляются эти два объекта. Очевидно, что от него не зависят ни результат, ни время счета. Но от него может зависеть размер памяти, используемой при вычислениях. Если и а, и b - плотные полиномы степени п, то при таком порядке вычислений, когда сначала вычисляется aQbp мы должны до самого окончания рекурсии хранить все промежуточные результаты. Таким образом, область памяти, которая может потребоваться, должна содержать О(п2) слов, так как существует п результатов, длина которых меняется от 1 до п. Другой порядок, при котором а^Ь вычисляется
до aQbv является значительно более эффективным, поскольку в любой момент ивпользуемое пространство нс превосходит О^п\ Это замечание нс является чисто теоретическим: Абботу и др. удалось разложить на множители полином х1155-1, используя REDUCE с 2 мегабайтами памяти, но они не. смогли перемножить полученные сомножители.
На первый взгляд может сложиться впечатление, что алгоритмы, основанные на разреженном представлении, являются менее эффективными, чем те, которые используют плотное представление: тгп операций вместо тп для наивного умножения или тп log т вместо max (т.п) log max (т.п) при использовании более хитрых методов умножения. Кажется, что имеется также большое различие в используемой памяти, так как при плотном представлении для хранения полинома степени п требуется п + 2 слов (п +1 коэффициентов и само число п). тогда как при разреженном представлении их необходимо как минимум ^п и даже 4л, если использовать естественный для Лиспа метод. Действительно, для полностью плотных полиномов эти сравнения справедливы. Однако большинство встречающихся полиномов нс являются плотными. Например, плотный метод потребует миллион умножений для проверки равенства
(х1000 + 1)(х1000 - 1) = х2000 - 1, в то время как при разреженном методе можно обойтись всего четырьмя, поскольку это тс же самые вычисления, что и в равенстве
(х+1)(х-1) = х2 - 1.
Когда же речь идет о полиномах от нескольких переменных, то всякий реальный полином должен быть разреженным, например плотное представление полинома а о с а е содержит 7776 членов.
Таким образом, время счета, по крайней мере для сложения и умножения, является скорее функцией количества членов, чем степени. Хорошо известны соотношения, ограничивающие степень результата, рассматриваемую как функцию от степеней аргументов, но соотношения для количества членов отличаются от них. Предположим, что Л и В - два полинома степеней пД и
пв, содержащие тд и тв членов. Тогда примитивные операции сложения, вычитания, умножения, деления, вычисления НОД и подстановки полинома вместо переменной в другой полином удовлетворяют следующим ограничениям:
Операция
Степень результата
Количество членов в результате
А + В
тах(пл> пв)
т л + тв
А-В
тах(«л, п5)
Щд + тв
А В
пА+пВ
тАтВ
А/В
ПА ” ПВ
ПА~ПВ^
НОД(Л, В)
пип(ил, П^
^min(n^, п^ + 1
subst(x = А, В)
пАПВ
ПАПВ*Х
Ограничение, данное для числа членов, получаемых в результате деления, является функцией степени и нс зависит от числа членов в аргументах. Это может показаться странным, но, учитывая равенство (хп - 1)/(х - 1) = хп~1 + хп-2+ ... + 1, мы видим, что полиномы, состоящие всего из двух слагаемых, могут дать в результате полином с как угодно большим количеством членов.
Проблема ограничения (нетривиальным образом) количества членов для НОД остается открытойт\ Что касается подстановки, то может случиться, что при разреженных аргументах результат оказывается полностью плотным. Из этого замечания вытекает очень важное наблюдение: время счета задачи, по-
^ Во время подготовки английского перевода авторам стало известно, что Трейгер и Шинцель показали, что полином р = (1 + 2 ♦ х - 2 * х2 + 4 * х3 + 4 * х4)
ставленной в терминах переменной х, может весьма значитель
но отличаться от времени счета той же задачи, если она сформулирована в терминах х -1 (или какой-либо другой подстановки).
Чтобы сделать это замечание более конкретным, рассмотрим
матрицу
А =Можно вычислитьА =Можно вычислить' 1 + 2хX + X4х+ х9А2 за 0.42' 1 + 2хX + X4х+ х9А2 за 0.421 + 2х4 .91 + 2х4 .9X + X * х4+ х9 1 + 2х9X + X * х4+ х9 1 + 2х9сек. (REDUCE на микроЭВМ Motoroсек. (REDUCE на микроЭВМ Motoro
А =
Можно вычислить
А =
Можно вычислить
' 1 + 2х
X + X4
х+ х9
А2 за 0.42
' 1 + 2х
X + X4
х+ х9
А2 за 0.42
1 + 2х4 .9
1 + 2х4 .9
X + X * х4+ х9 1 + 2х9
X + X * х4+ х9 1 + 2х9
сек. (REDUCE на микроЭВМ Motoro
сек. (REDUCE на микроЭВМ Motoro
la 68000), но если переписать ее в терминах у = х-1, то время счета станет 5.26 сек. - увеличится более чем в 10 раз. Эта проблема возникает также и при разложении на мно
жители, как показано в главе "Современные алгоритмы".
НОД
Как мы увидим в дальнейшем, при вычислениях с рациональными дробями требуется вычислять НОД числителя и знаменателя дроби. Эти вычисления менее очевидны, чем кажется с первого взгляда, и чтобы проиллюстрировать это замечание, рассмотрим НОД следующих двух полиномов (этот анализ в значительной степени заимствован у Брауна [Brown 1971]):
Л(х) = х8 + х6 - Зх4 - Зх3 + 8х2 + 2х - 5,В(х) = Зх6 + 5х4 - 4х2 - 9х + 21.
Первый шаг л-(^-|)5-те-Первый шаг л-(^-|)5-те-последующиепоследующиеэтапыэтапыисключения состоит в вычислении
Первый шаг л-(^-|)5-те-
Первый шаг л-(^-|)5-те-
последующие
последующие
этапы
этапы
-5*12 1
-^Х +gX -J ,
исключения приводят к выражениям
-117 2 о„ + 441ГИГ X - УХ + -тяг .
233150 v 102500
"БЕШ- 2197
и, наконец,
12887448211288744821543589225 •543589225 •
1288744821
1288744821
543589225 •
543589225 •
Очевидно, что такие действия над полиномами с рациональными коэффициентами требуют неоднократного вычисления НОД целых чисел и что целые числа, фигурирующие в этих вычислениях, не всегда являются маленькими.
Эти вычисления НОД можно исключить, если всегда работать с полиномами с целыми коэффициентами, что приводит к последовательностям полиномиальных остатков. Вместо того чтобы делить А на В в Q, можно домножить А на некоторую степень (а именно на разность степеней полиномов, увеличенную на 1) старшего коэффициента полинома В таким образом, чтобы это кратное полинома А можно было разделить на В в Z. Значит, получается такая последовательность:
-15л4+ Зл2- 9,15795л2 + 30375х - 59535,1254542875143750% - 1654608338437500
И
12593338795500743100931151992187500.
Эта последовательность называется последовательностью Евклида (хотя Евклид нс знал ни полиномов, ни алгебраических объектов). В общем случае длина коэффициентов такой последовательности имеет экспоненциальный рост (как функция от степеней исходных полиномов).
Очевидно, что можно упростить эту последовательность за счет общих множителей (такой алгоритм известен как алгоритм примитивных последовательностей), но для этого потребуется вычисление НОД, что снова заведет нас в дебри, из которых мы только что выбрались. К счастью, можно выбирать коэффициенты, на которые нужно домножать полином А, перед его делением на полином В и т.д. таким образом, чтобы рост коэффициентов был только линейным. Такая последовательность, полученная независимо Брауном и Коллинзом, называется последовательностью полиномиальных субрезультантов. Соответствующий алгоритм описан Брауном [Brown 1971] и Лоосом [Loos 1982], однако он является достаточно важным для того, чтобы привести его здесь, хотя доказательство будет опущено.
Предположим, что даны два полинома F и F2 с целыми коэффициентами. Вычислим их НОД с помощью последовательности полиномов Ру ... . Пусть д. - разность степеней полиномов F. и F. v а /. - старший коэффициент полинома F.. Тогда остаток от деления полинома f .1”на F. всегда явля
ется полиномом с целыми коэффициентами. Запишем его в виде 3/+1^/+Г где требуется определить коэффициент Р/+г Алгоритм, носящий имя Евклида, соответствует выбору 3f+1 = 1. Если положить
03 = (-1)1 •
2
где ф определяется формулами . ^3 =■
3. , 1-3. ,
тогда (по теореме о субрезультантах [Loos 1982]) все F. являются полиномами с целыми коэффициентами, и длина коэффициентов возрастает нс более чем линейным образом. Для той же самой задачи получаем последовательность
f3 = 15х4 - Зх2 + 9,
F4 = 65х2 + 125х - 245,
F5 = 9326х - 12300,
Fe = 260708, которая возрастает значительно медленнее, чем предыдущие последовательности.
Приведенный алгоритм является лучшим из известных методов вычисления НОД среди методов, основанных на применении к полиномам с целыми коэффициентами алгоритма Евклида. В главе "Современные алгоритмы" мы увидим, что если отказаться от этого условия, то можно получить лучшие алгоритмы для вычисления НОД.
ПОЛИНОМЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Как только мы начинаем вычисления с полиномами от нескольких переменных, возникает новая трудность: следует писать х+у или у+х? Математически мы имеем дело с одним и тем же объектом; поэтому если мы хотим, чтобы представление было каноническим, то должны пользоваться только одним из этих выражений. Но каким? Чтобы иметь возможность их различать, нам потребуется ввести новое понятие - порядка на множестве переменных. Мы уже пользовались неявно понятием порядка на множестве степеней переменных, поскольку 3210 вместо х + х + х + х мы пишем х+х+х+х, но этот порядок кажется "естественным" (Норман [Norman 1982] создал систему, которая нс упорядочивает мономы в соответствии с этим соглашением, но при этом возникло много нерешенных проблем). Понятие порядка на множестве переменных может показаться искусственным, но оно так же необходимо, как и многие другие понятия. Когда мы выбрали такой порядок, при котором "х более важен, чем у", мы знаем,- что х + у является каноническим представлением, а у + х - нет.
Когда речь идет о более сложных мономах (напомним, что моном - это произведение степеней переменных, например х2у3 или xxy2z3Y т0 имеются различные способы расширения этого порядка. Наиболее употребительными являются следующие:
Мы можем считать, что главная переменная (стоящая ранее всех остальных в нашем порядке) должна определять порядок настолько, насколько это возможно, и что нам следует рассматривать степени других переменных только в том случае, когда степени первой переменной равны. Эта система называется лексикографической, поскольку это та самая система, которая используется в словарях, где сначала смотрят* на первые буквы двух слов, и только если они совпадают, смотрят на вторые и т.д. В этой системе полином (х + у)2 + х + у + 1 записывается как х2 + 2ху ^-x-ty2-ty-t\ (х "старше", чем у\
Мы можем считать, что самым важным является суммарная степень монома (т.е. сумма степеней переменных) и что члены суммарной степени 2 должны появляться раньше всех членов суммарной степени 1 и т.д. Для различения членов од-
ной и той же степени мы пользуемся предыдущим методом. Эта система называется порядком общей степени, или, более точно, общей степени, затем лексикографическим. В этой системе полином (х + t/)2 + х + у + 1 записывается как х2 + 2ху + у2+ х + у+1 (х "старше", чем у).
Вместо лексикографического метода мы можем воспользоваться противоположным. Для полиномов от одной переменной это соответствует порядку возрастания степеней, что приводит к некоторым трудностям (по крайней мере с наивной точки зрения) при делении и вычислении НОД. Однако эта система вместе с методом общей степени, так называемый порядок общей степени, затем обратный лексикографический, имеет определенные преимущества. В этой системе полином (х + i/)2 + х + у + 1 записывается как у2 + 2ху +х2 + у+х+1 (х "старше", чем у).
Читателю может показаться, что системы (Ь) и (с) эквивалентны и отличаются только обратным порядком переменных. Это верно для случая двух переменных, но нс так, когда их больше двух. Чтобы подчеркнуть различие, посмотрим на разложение полинома (х + у + z)3. Прежде всего, используя порядок общей степени, затем лексикографический (х раньше у раньше z), получим
х3+ 3x2t/ + 3x2z + 3xt/2+ 6xt/z + 3xz2+ у3+ 3y2z + 3yz2+ z3.
При порядке общей степени, затем обратном лексикографическом (х раньше у раньше z), получим
х3+ Зх2у + 3xt/2+ у3+ 3x2z + 6xyz + 3y2z + 3xz2+ 3yz2+ z3.
При таком порядке мы выбираем все члены, нс включающие z, до того, как приступать к остальным, в7 то время как первый порядок выбирает все члены содержащие х2 (даже x2z), прежде чем переходить к остальным.
В действительности выбор того, какая из этих систем является лучшей для конкретных вычислений, не в’сегда очевиден, и у нас нет какого-либо приличного критерия для этого выбора (см., однако, [Buchberger 1981]). Большинство существующих систем использует лексикографический порядок, но каждая система имеет свои собственные методы. Лексикографическое представление имеет интересное следствие: если все
члены с хп сгруппировать вместе (предполагаем, что х - главная переменная), то мы можем рассматривать этот полином как полином от х, коэффициенты которого являются полиномами от остальных переменных. Таким образом, полином в случае (а) можно переписать в виде х2 + х^у а- 1) + (t/2 + у + 1). Эта форма называется рекурсивной в отличие от распределенной формы х2 + 2ху + х + у2 + у + 1. Рекурсивная форма используется в большинстве систем.
Эти рассуждения дают нам некоторое представление о поведении систем. Например, в системе MACSYMA функция INPART позволяет выбирать часть выражения, но она имеет дело с внутренним представлением, которое более или менее совпадает с обратным лексикографическим рекурсивным. Аналогично REDUCE имеет функцию. COEFF, которая выдаст коэффициенты выражения, рассматриваемого как полином от названной далее переменной. Так как внутреннее представление в системе REDUCE лексикографическое рекурсивное, то очевидно, что эта функция работает намного быстрее, когда названная переменная является старшей. Например, если мы возьмем (w + х + у + z)6, то время работы функции COEFF меняется от 0.50 сек (названа w) до 0.84 сек (названа z). В общем случае время счета (и рабочая память) могут весьма сильно меняться в зависимости от порядка переменных ([Pearce, Hicks 1981], [Pearce, Hicks 1982], [Pearce, Hicks 1983]), но причины этого не всегда очевидны. Нам нс известны какие-либо хорошие общие правила выбора порядка, поскольку он в значительной степени определяется желаемой формой выдачи результатов. Следует также отмстить, что изменение порядка весьма накладно, поскольку все результаты, вычисленные к этому моменту, должны быть выражены в соответствии с новым порядком.
Эти вопросы порядка не являются просто внутренними деталями, касающимися только программистов: они могут влиять на полученный результат. Например, предположим, что мы хотим разделить 2х - у на х + у. Если х - главная переменная, то частное равно 2, а остаток равен -2>у. Но если главной переменной является у, то частное равно -1, а остаток равен Зх.
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Большинство вычислений используют не только полиномы, но и их отношения, т.е. рациональные функции. Те же замечания, которые применялись к полиномиальному случаю, применяются и здесь: вычисление
11_ cos х + s i n х
sin X COS X COS X sin X является рациональным вычислением - фактически это то же самое вычисление, что и
1 + 1 = а + 6
Ъ a ab
Если представлять рациональную функцию как полином (числитель), деленный на другой полином (знаменатель), то, конечно, получится нормальное представление, поскольку функция представляет нуль тогда и только тогда, когда се числитель представляет нуль. В системе REDUCE имеется возможность нс пользоваться этим представлением (OFF MCD), но мы не советуем этого делать, поскольку мы более не знаем, представляет формула нуль или нет, и это является причиной значительных трудностей с гауссовым исключением, например для матрицы
V(x - 1) 1V<x+1) 1/(х2-1) J
Если мы хотим получить каноническое представление, то нам потребуется больше, чем просто выразить функцию в виде отношения двух полиномов. Например, формулы (х-1)/(х+1) и (х2 - 2х + 1)/(х2 - 1) представляют один и тот же элемент поля 0(х), но это разные формулы.
Здесь нам следует сказать несколько слов о различии между элементами поля 0(х) и функциями из (Q в себя, которые они представляют. Рассматриваемые как функции поля (D в себя f(x) = (х - 1)/(х + 1) и g(x) = (х2 - 2х + 1)/(х2 - 1) являются двумя различными функциями, так как первая определена при х = 1 (где она принимает значение 0), в то время как g(x) нс определена, так как она имеет вид 0/0. Но эта особенность
функция, определеннаяфункция, определеннаяне является внутренней , поскольку
функция, определенная
функция, определенная
правилом
х2 — 2х + 1х2 — 2х + 18 W =8 W =х2 - 1Ох2 - 1О(X * 1),(X * 1),U = 1),U = 1),
х2 — 2х + 1
х2 — 2х + 1
8 W =
8 W =
х2 - 1
О
х2 - 1
О
(X * 1),
(X * 1),
U = 1),
U = 1),
является непрерывной, дифференцируемой и т.д. при х=1. В общем случае нс слишком трудно проверить, что если fх = Р^Я^ ~ упрощение частного f-p/q (где р, q, р^ и q^ - полиномы), то при каждом значении xQ переменной х, где функция f определена, значение /1(^0) определено и равно f(^0), и, кроме того, если f(xx) нс определено, но f1(^1) определено, то функция
' hx) и * X ).gw = -
I f^x) кх = X )
непрерывна и т.д при х = х^ Таким образом, этот вид упрощения формул только изменяет функцию путем устранения таких особенностей1\
С алгебраической точки зрения, т.е. как элементы поля 0(х), выражения (х-1)/(х + 1) и (х2 - 2х + 1)/(х2 - 1) равны, поскольку разность между ними равна 0/(х2 - 1) = 0. Таким образом имеется некоторое различие между элементами поля 0(х) и функциями поля Q в себя, но с привычной неточностью мы называем элементы поля 0(х) рациональными функциями. (Бурбаки: "... неточности языка, без которых любой математический текст угрожает стать педантичным и даже нечитаемым".)
После этого короткого отступления мы возвращаемся к задаче канонического представления рациональных функций, т.е. элементов поля 0(х). Мы установили, что (х-1)/(х+1) и (х2 - 2х + 1)/(х2 - 1) - два различных представления одной
Т) Читатель, знакомый с теорией денотациональной семантики, может выразить это по-другому, заметив, что fT выше (в решетке частичных функций поля Q в себя), чем функция f.
и той же функции. Из определения канонического представления вытекает, что по крайней мере одно из них каноническим нс является. Естественно считать, что нс должно существовать какого-либо общего делителя числителя и знаменателя. Отсюда следует, что (х2 - 2х + 1)/(х2 - 1) не является каноническим представлением, поскольку НОД равен х -1 . Если мы удалим этот НОД, то вернемся к (х-1)/(х+1). В общем случае мы находим представление с минимальной возможной степенью числителя (то же верно и для знаменателя). Если бы существовало единственное такое представление, то это был бы хороший выбор канонического представления. К сожалению, условие, что степени числителя и знаменателя должны быть минимизированы, нс даст нам единственности, как следует из таких примеров:
-2х + 1 _ 2х - 1 _ 4х - 2 _ -х + 1/2 _ х г- 1/2 2х + 1-2х - 1-4х - 2 х + 1/2 -х - 1/2 *
Чтобы устранить эту неоднозначность, большинство существующих систем принимают во внимание следующие правила (для рациональных функций с коэффициентами из Q):
в выражении нет рациональных коэффициентов (что отбрасывает последние два выражения);
• (2) никакое целое число не может делить как числитель, так и знаменатель выражения (что отбрасывает (4х-2)/(-4х - 2));
старший коэффициент знаменателя выражения должен быть положительным (что отбрасывает второе выражение).
Имеется несколько других возможностей, но эти правила наиболее распространены и достаточны для получения канонической формы. Как мы уже видели на примере рациональных чисел, из факта, что можно производить вычисления с рациональными дробями, нс вытекает, что следует производить с ними вычисления. Когда удается найти алгоритм, избегающий таких вычислений, обычно оказывается, что этот алгоритм более эффективный. Ниже мы увидим, что алгоритм Барейса является вариацией гауссовского исключения, нс требующей использования дробей.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Под алгебраическими объектами (числами и функциями) понимают решения полиномиальных уравнений. Например, V2 - алгебраическое число, поскольку это одновременно число и решение алгебраического уравнения а2 - 2 = 0. Это уравнение имеет два корня, но в данном параграфе мы нс будем* их различать. В следующей главе мы увидим, как различать разные вещественные значения, которые удовлетворяют одному и тому же уравнению, но для многих приложений это различие несущественно. &2-1 - алгебраическая функция, поскольку это одновременно функция и решение уравнения 03 - х2 + 1 = 0. Большая часть этого параграфа применима как к функциям, так и к числам: в общем случае мы будем говорить об алгебраических функциях, хотя большую часть примеров будут составлять алгебраические числа. Каждый радикал является алгебраическим выражением, но обратное утверждение неверно, как доказал великий математик Абель. Болес точно, алгебраическое число у, являющееся решением уравнения у5 + у + 1 = 0, не может быть выражено в радикалах.
Поэтому можно различать три класса алгебраических выражений:
простые радикалы, такие, как V2 или ^х2-1;
простые или вложенные радикалы, которые включают также выражения вида vf+V2 или
общие алгебраические выражения, которые включают также такие выражения, как алгебраическое число у, определенное уравнением у5 + у + 1 = 0.
Каждый из перечисленных классов содержится в следующем.
Простые радикалы
Представление элементов для первого класса достаточно очевидно: каждый радикал мы рассматриваем как переменную, появляющуюся в полиномиальных или рациональных выражениях. Очевидно, если а - корень степени п, то используются только степени а от 0 до п-1, а более высокие степени заменяются более низкими степенями.
Это представление нс является каноническим по двум различным причинам. Во-первых, возникают проблемы с рациональными дробями, содержащими алгебраические выражения. В качестве примера рассмотрим выражения 1/(V2 -1) и V2 + 1. Эти два выражения нс равны тождественно, но они представляют одно и то же число, поскольку их разность равна нулю:
1 - (V2 + 1) =1 -t)^- 1) =
V2 - 1v^- 1- 1
= 1 - (V2)2 + 1 =0 = 0
V2- 1 V2 - 1
В качестве решения можно наложить требование, чтобы корни появлялись только в числителе: этим запрещается выражение 1/(V2-1). Для любого корня а можно добиться этого умножением числителя п и знаменателя d данного выражения на полином d^ такой, что алгебраическая величина а не появляется в произведении dd^. В этом случае
п _ndi.
5 dd^
и а исключается из знаменателя. Полином d^ может быть вычислен применением расширенного алгоритма Евклида (см. дополнение "Основные сведения из алгебры") к паре d и р, где р - определяющий а полином. Применение его позволяет получить два полинома dx и d^ такие, что dd^ + pd^ = с, где с не зависит от а, и тогда ddx = с.
С этим ограничением можно быть уверенным, что мы получим каноническую систему, если радикалы образуют независимую систему. Однако это • представление нс всегда достаточно эффективно: например, выражение принимает
V? + V? + V5 + V7 вид
22V3V5VT - 34V2V^V7 - 50V2V3V7 + 135V7 +
+ 62V2V?VS - 133VS - 145VJ + 185V2
2Т5*
Из-за такого разбухания часто ограничиваются нормальным представлением, задаваемым рациональными дробями, степени величины а в котором меньше п.
Но даже с таким ограничением на полиномы существует другая проблема: проблема взаимной зависимости радикалов. Очень простой пример проблем такого рода - мы нс должны конструировать vT, который равен 1. Аналогично, мы можем производить вычисления с V2 или с v^, но нс с обоими корнями одновременно, поскольку V? = 2V2 и получающееся представление не является не только каноническим, но даже нормальным. Аналогично, среди радикалов V2, V3 и ТБ для работы выбираются только два: если все три из них присутствуют, то имеет место соотношение V2V3 = ТБ. Все эти примеры достаточно "очевидны", и можно предположить, что достаточно обеспечить, чтобы все числа (или полиномы, или рациональные функции), появляющиеся под радикалами, были взаимно просты и чтобы радикалы нельзя было упростить. К сожалению, ситуация несколько сложнее. Рассмотрим 3е?. Можно предположить, что упрощение невозможно, но в действительности а2 = 2а - 2. Это следует из разложения на множители х4 + 4 = (х2 - 2х + + 2)(х2 + 2х + 2). Следуя Капелли [Capelli 1901], можно доказать, что нетривиальное упрощение допускает только этот пример (и его вариации вида ^4 *34). Этот вопрос изучался в работах [Najid-Zeili 1984], [Najid-Zeili 1985], где дан алгоритм для определения, имеется ли соотношение между невложенными радикалами.
Вложенные радикалы
Для второго класса, т.е. для вложенных радикалов, проблемы более сложные. Первая проблема - эквивалентность рациональных дробей, содержащих радикалы - имеет то ^се самое решение с теми же дефектами. Вторая проблема - соотношения между радикалами - к настоящему времени еще нс решена (удовлетворительным образом). Существует некоторое общее решение, но это то же самое решение, что и для алгебраических выражений общего вида, и мы его будем рассматривать ниже. Мы нс можем доказать, что это трудная проблема, но имеется много удивительных примеров. Приведем тождества
v6 + 4V2 = 1 + 2V2, (1)
Vs + 2VS + Vs - 2V5 = 2VT,(2)
I Г।~
NX + nx - i у ——2— + у ——2—,(о)
/fT-2v^9^23^5^= /2 + 2^- /ТТ2^211 + VS,(4)
= ^(1+^-^2),(5)
/(112 + 70V2) + (46 + 34V2)VS = (5 + 4V2) + (3 + V2)VS. (6)
Мы позаимствовали (1) у Дэвенпорта [Davenport 1981], (2) и (3) - у Зиппеля [Zippel 1985]. (4) - у Шанкса [Shanks 1974], (5) - у Рамануджана [Ramanujan 1927] и (6) - у Бородина и др. [Borodin el al. 1985]. Недавно Бородин и др. [Borodin et al. 1985] и Зиппель [Zippel 1985], изучая эту проблему, нашли алгоритмы, которые могут разрешать некоторые вложенные радикалы, либо представляя их в невложенном виде, либо доказав, что такого представления нет. Но эти алгоритмы действуют только в некоторых частных случаях, таких, как квадратные корни с двумя уровнями вложения. Общий случай, как выше упоминалось, остается нерешенным (удовлетворительным образом).
Алгебраические функции общего вида
Рассмотрим теперь алгебраические функции, определенные как корни некоторого полинома. Возможно, что для такой функции существует представление в радикалах, но, как говорилось выше, может случиться, что такого представления нс существует. Итак, пусть а - алгебраическая функция (или число), определенная как корень полинома р(а). Если полином р не является неприводимым, даже при простых вычислениях мы сталкиваемся со многими проблемами. Например, возьмем р(а) = а2 - За + 2. Тогда а - алгебраическое число степени 2. Числа а -1 и а - 2 a priori ненулевые. Но их произведение равно числу р(ос), т.с. сводится к нулю. Фактически это является обобщением проблемы, с которой мы уже сталки-
вались при рассмотрении простых радикалов, когда VT не являлся допустимым радикалом. В данном случае, рассматриваемом с этой новой точки зрения, проблема заключается в том, что полином, определяющий VT, т.е. а2 -1, нс является неприводимым, у него есть множитель а-1. Подобным же образом у нашего нового полинома есть множители а-1 и а - 2, поэтому одно из выражений а-1 и а - 2 обращается в нуль.
Даже если множители нс являются линейными, любые вычисления с корнями приводимого полинома могут завести в тупик, когда два выражения, кажущиеся ненулевыми, после перемножения дают нуль. Другая сложность, которая может возникнуть, - невозможность деления на ненулевое выражение, так как оно может иметь нетривиальный НОД с полиномом, определяющим а. Поэтому, вообще говоря, мы требуем, чтобы полиномы, определяющие алгебраические числа и функции, были неприводимыми, или же мы допускаем, что не можем гарантировать результаты, если полиномы не являются неприводимыми. (Однако заметим, что каждая "трудность", о которой мы упоминали ранее, приводит к разложению этих полиномов на множители, так что можно для реализации алгебраических расширений использовать приводимые полиномы. Детали см. в [Della Dora et al. 1985] и [Dicrcsccnzo, Duval 1985].)
Все примеры предыдущего раздела, в которых радикалы оказывались более простыми, чем предполагалось, имели то общее свойство, что рассматриваемые полиномы нс были неприводимыми. В частности, VI - просто целое число, поскольку полином, который как будто бы определяет его, т.е. а2 -1, разлагается на (а-1)(а+1). Аналогично, ^Г недопустим, так как его полином, а + 4, разлагается на множители (а - - 2а + 2) (а2 + 2а + 2).
То же справедливо для вложенных радикалов. Рассмотрим тождество (1) предыдущего раздела, в котором полином, определяющий v6+4V2, равен а2 - (9 + 4V2). Этот полином разлагается на множители (а - (1 + 2v7))(a + (1 + 2v7)), поэтому вложенные радикалы имеют более простой вид. Если мы хотим рассматривать только полиномы с целыми коэффициентами, то можем сказать, что a - корень полинома а4 - 18а2 + 49 (ко-
торый является нормой1^ приведенного выше полинома). Этот полином разлагается на множители (а2 - 2а - 7)(а2 + 2а - 7), и корни первого множителя суть 1 ± 2V2.
Таким образом, определение вида "а - корень полинома р(а)" допустимо тогда и только тогда, когда полином р неприводим. Здесь "допустимость" означает, что использование полиномов от а (степени которых меньше степени р) даст нам каноническое представление и что использование таких рациональных функций (которые нс содержат этого корня в знаменателе) также дает каноническое представление.
Когда появляются несколько корней, очевидно, что все определяющие их полиномы должны быть неприводимыми. Но нам требуется большее, в том смысле, что они должны быть неприводимыми не только раздельно, но и вместе. Пусть, например, а - корень полинома а5 - а -1, a Р - корень полинома р5 + 5р4 + Юр3 + Юр2 + 4р - 1. Эти два полинома неприводимы, если рассматривать их как полиномы с целыми коэффициентами. Но если мы рассмотрим полином, определяющий р, как полином, коэффициенты которого зависят от а, ситуация резко изменится. В действительности этот полином разлагается на множители
(р-а+1)-
• (р4+ р3(а + 4) + р2(а2+ За + 6) + р(а3+ 2а2 + За + 4) + а4+ а3+ а2+ а).
Это разложение не должно нас удивлять, поскольку Р - просто а-1, как видно из линейного множителя. (Другой множитель соответствует тому, что у полинома а5 - а -1 пять корней и р может быть выражено в терминах корня, отличного от корня, выбранного в качестве а.)
Таким образом, чтобы проверить, что система корней а. полиномов р. допустима, нам нужно разложить на множители р^ как полином с целыми коэффициентами, затем р2 как полином с коэффициентами в Z[a1], затем р3 как полином ' с коэффициентами в Z[a1,a2], затем ... . Если все коэффициенты всех р.
^ Эта норма может быть вычислена с использованием результантов - см. дополнение "Основные сведения из алгебры".
целые, то порядок р. не влияет на результат. Если некоторый полином р. зависит от а^, то полином р. должен быть разложен на множители раньше, чем р.. Заметим, что в действительности этот процесс может оказаться очень дорогим, поскольку выполнять разложение на множители над алгебраическими полями весьма сложно.
Примитивные элементы
Вместо того чтобы рассматривать несколько алгебраических чисел (или функций), таких, как V2 и V3, мы всегда1 > можем вернуться к случаю единственного алгебраического числа (или единственной алгебраической функции), в терминах которого (которой) могут быть выражены все остальные. Эта величина называется примитивным элементом поля, порожденного данными величинами, или, проще, примитивным элементом для самих этих величин.
Например, число а, определенное как корень полинома а4- 10а2 + 1, равно V2 + V5, и числа V2 - (а3 - 9)/2 и V3 = = (11а-а3)/2 можно выразить через а. Таким образом а - примитивный элемент поля Q[V2,V3], Такие примитивные элементы можно вычислять по полиномам, определяющим данные величины, пользуясь результантами (см. дополнение "Основные сведения из алгебры"). Например, а определяется результантом полиномов х2 - 3 и (х — t/)2 - 2. Мы уже могли убедиться, что соотношения между а и V2 и V3 нс совсем очевидны.
Примитивные элементы часто бывают весьма сложными. В работе [Najid—Zejli 1985] замечено, что примитивный элемент, соответствующий двум корням аир полинома х4 + 2х3 + + 5, равен (по крайней мерс если вычислять его хорошо известными алгоритмами [Trager 1976]) корню полинома
у12 + 18У11 + 132у10 + 504г9 +
+ 991у8 + 372/ - 3028у6 - 6720/ +
+11435у4+91650/+185400/ +194400г +164525.
Напомним, что мы работаем в поле нулевой характеристики, т.е. в расширении кольца целых чисел. Данная теорема неверна, если работать в расширении кольца целых чисел по модулю р, но в данный момент нас это не интересует.
Сам этот полином выглядит довольно обескураживающе, но в дополнение к этому выражение а и 3 в терминах у использует четырнадцатизначные числа. Если мы имеем дело с примитивным элементом для трех корней исходного полинома (который одновременно является примитивным элементом для всех его корней), то коэффициенты соответствующего полинома содержат более чем по 200 цифр.
Закончим замечанием, что хотя примитивные элементы широко используются в теории, вычислять их и использовать на практике весьма сложно.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Трансцендентные функции группируются в несколько классов функций, каждый из которых имеет свои собственные правила. Вообще функции вида sin х представляются в Лиспе структурами вида (SIN X) или "записями" в Паскале. Подобным образом могут также представляться числа вида sin 1 или sin 71. Следовательно, такая структура рассматривается как переменная и может появляться в полиномах или рациональных функциях. В системе REDUCE, например, такая структура называется ядром. Мы уже видели, что над переменными такого вида могут производиться полиномиальные и рациональные вычисления. Серьезной проблемой при этом становится упрощение этих переменных и их зависимость друг от друга. Нам известно множество правил упрощения, таких как
sin(x + у) = sin х cos у + cos х sin у.
(1)
sin X cos у = sin(x + .V) + sin(x-.V)
(2)
log Uy) = log X + log y.
(3)
log exp x = x,
(4)
exp(x + y) = exp x exp y,
(5)
sin 71 = 0.
(6)
Большинство систем компьютерной алгебры позволяет пользователю определять правила такого сорта, которые система
принимает во внимание. Например, в системе REDUCE правила [1)-(6) можно выразить следующим образом:
FOR ALL X,Y LET SIN(X+Y) = SIN(X)*COS(Y)+COS(X)*SIN(Y);
FOR ALL X,Y LET SIN(X)*COS(Y) = (SIN(X+Y)+SIN(X-Y))/2;
FOR ALL X,Y LET LOG(X*Y) = LOG(X) + LOG(Y);
FOR ALL X LET LOG(EXP(X)) = X;
FOR ALL X,Y LET EXP(X*Y) = EXP(X)*EXP(Y);.
LET SIN(PI)=O;
Между последним правилом и всеми остальными имеется различие: последнее применяется к некоторому числу, в то время как остальные применяются к любым возможным значениям X и Y, что выражается конструкцией FOR ALL.
Тем нс менее в этой области правил (точнее, правил перезаписи) остаются еще некоторые ловушки. Во-первых, мы видим, что из правила (1) следует sin 2х = 2 sin х cos х, в то время как для выражений на REDUCE это не действует, поскольку REDUCE нс видит, что 2х = х + х. Поэтому лучшим переводом первого правила было бы
FOR ALL X,Y LET SIN(X+Y) = SIN(X)*COS(Y)+COS(X)*SIN(Y);
FOR ALL X LET SIN(2*X) = 2*SIN(X)*C0S(Y);
но и этого оказывается недостаточно (из-за sin3x и т.д.), и нам нужно добавить правило вида
FOR ALL X,N SUCH THAT NUMBERP N AND N>1 LET
' SIN(N*X) = SIN((N-1)*X)*COS(X)+COS((N-1)*X)*SIN(X);
и соответствующее правило для cos.♦
Во-вторых, правила (1) и (2) взаимно обратны. Если мы попросим REDUCE применять их оба, то произойдет зациклива- ниех\ когда нам встретится sin(a + b), поскольку правило (1) перепишет его в виде sin a cos b + cos a sin b, а первое слагаемое отсюда перепишется по правилу (2) в виде
В принципе. В действительности современная версия системы REDUCE замечает, что она применила больше правил, чем позволяют пределы системы, останавливается и выдает сообщение об ошибке.
-(sin (а + b) + sin (а - Ь)), что содержит исходный член, к которому снова применяется правило (1).
В-третьих, такое упрощение с помощью правил перезаписи может быть очень дорогим. Каждая перезапись требует нового упрощения (с полиномиальной точки зрения) выражения, которое мы пытаемся упростить. Более того, только что выполненное нами упрощение пожет повлечь за собой другие упрощения.
В-четвертых, мы нс можем быть уверены, что дали все необходимые правила. Из-за интерактивной природы систем компьютерной алгебры это нс всегда представляет серьезную проблему, но зачастую мы хотим, чтобы все тригонометрические функции были линеаризованы или же все логарифмы были независимы и т.д.
Все эти проблемы могут быть связаны с тем фактом, что мы пользуемся общим методом, т.е. методом правил перезаписи, для решения гораздо менее общей задачи, такой, как упрощение логарифмических или тригонометрических функций. Если же мы имеем функцию, про которую мы не знаем ничего, кроме некоторых правил, то единственный возможный подход основан на правилах перезаписи.
Имеется различие между знанием некоторых возможных упрощений (которые могут быть правилами перезаписи) и знанием не только этих упрощений, но и того, что они являются единственно возможными. Например, нам знакомы правила:
log(fg) = log f + log g; exp(f + g) = exp f * exp g;
exp log f = log exp f = f;
но являются ли они единственно возможными упрощениями?
Имеются теоремы, которые точно описывают возможные упрощения. Первая из них, покрывающая наиболее важный случай, - структурная теорема Риша ([Risch 1979], [Rosenlicht 1976]) - утверждает в действительности, что правила (1) суть единственно возможные упрощения для функций, порожденных операторами ехр и log. Хотя мы ссылаемся на довольно свежую литературу, теорема (или, вернее, лежащие в ее основе принципы) известна с времен Лиувилля, но только компьютерной алгебре потребовались точные формулировки таких теорем.
Структурная теорема. Пусть К - поле констант и 0^ ...
0^ - алгебраические, экспоненциальные (что мы записываем в виде 6. = и. = ехр и.) или логарифмические (что мы записываем в виде 0. = и. = log и.) функции, где каждая функция 6. определена над К(х, 0 р ..., 0 ._ ^ и подполе констант поля К(х, 0^ ..., 0^) совпадает с К.
При этих условиях функция 6 , являющаяся экспонентой (6'. = и'.б .), трансцендентна над К(х, 0 р ..., 0 р тогда и только тогда, когда v. не может быть выражена в виде с + Е njVj’ г®е с пРинадлежит К, а п. - рациональные числа.
\b) Аналогично функция 0., являющаяся логарифмом (6^ = = и'./и.), трансцендентна над К(х, О р ..., 0 zl) тогда и только тогда, когда никакая степень ип элемента и. не может
i-A п. 1 1
быть выражена в виде с П и.1, где с принадлежит К, а п и п. - целые числа (причем п * 0).
Эта теорема может показаться весьма сложной, но ей можно неформально придать гораздо более простой вид:
Экспоненциальная функция нс зависит от экспонент и логарифмов, которые уже введены, тогда и только тогда, когда ее аргумент нс может быть представлен в виде линейной комбинации (с рациональными коэффициентами) логарифмов и аргументов экспонент, введенных ранее. Наличие такой комбинации означает, что новая экспонента является произведением степеней введенных ранее экспонент и аргументов логарифмов.
Логарифмическая функция не зависит от экспонент и логарифмов, которые уже введены, тогда и только тогда, когда ее аргумент не может быть представлен в виде произведения (с рациональными показателями) экспонент и аргументов логарифмов, введенных ранее. Наличие такого произведения означает, что новый логарифм - линейная комбинация (с рациональными коэффициентами) логарифмов и аргументов экспонент, введенных ранее.
Эта теорема применима только к функциям. Ситуация с числами, определенными экспонентами и логарифмами, гораздо менее ясна. Есть предположение, что данная теорема остается
верной, но мы не имеем понятия, как ее доказывать. Мы даже не знаем, являются ли независимыми числа е (= exp (1)) и к (=(1/0 log(-l)).
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТРИЦ
Имеется два стиля матричных вычислений, которые можно назвать неявными и явными. Пример неявного вычисления дает математическое выражение "Пусть А и В - две квадратные матрицы одинакового размера". Здесь мы не задаем явно размер матриц и ничего нс говорим об их элементах. С другой стороны, в явных вычислениях мы точно определяем все элементы матрицы, которые могут быть нс только числами, но также полиномами, рациональными функциями или любыми символьными объектами.
Фактически в неявных вычислениях А и В - переменные. Но мы уже видели, что полиномиальные и рациональные вычисления нельзя применять к таким переменным, поскольку это - неком- мутируюицие переменные. Например, АВ может отличаться от ВА. Некоторые системы компьютерной алгебры позволяют пользователю работать с такими переменными. Например, в системе MACSYMA, как мы видели в примере гл. 1, имеются два различных оператора для умножения: А*В для коммутативного умножения и А. В для некоммутативного умножения. Таким образом, А*В - В*А приводится к нулю, но А. В - В. А остается без изменения. В системе REDUCE (см. также описание операторов системы REDUCE в дополнении) возможности аналогичные, но способ их выражения иной. С того момента, как мы объявили NONCOM М, ядра, начинающиеся с М (такие, как М(1) или М(А,В)), будут некоммутативными ядрами и не будут коммутировать с другими некоммутативными ядрами, но будут коммутировать с обычными (коммутативными) ядрами. Можно воспользоваться правилами перезаписи, чтобы указать, что некоторые некоммутативные объекты удовлетворяют ряду ограничений.
В оставшейся части этого параграфа мы будем иметь дело с явными матричными вычислениями. Здесь, как и в случае полиномов, имеется различие плотный/разреженный.
Плотные матрицы
Очевидный способ представления явной матрицы - массив элементов матрицы (если в языке реализации нет массивов, что имеет место в некоторых диалектах Лиспа, можно воспользоваться вектором векторов или даже списком списков, но представление с помощью списков менее эффективно). Если знак <...> обозначает вектор, то матрица
аbс
def. ghi .
будет представлена как <<abc><def><ghi>>. Для плотных матриц этот метод работает весьма хорошо, и он используется большинством систем компьютерной алгебры. Алгоритмы для сложения и умножения таких матриц - тс же самые, что и для числовых матриц, следовательно, сложить две матрицы порядка п можно за О(л2) операций, а умножить - за О(л3) операций. Так же как и для числовых матриц, существуют "неочевидные" алгоритмы умножения, которые асимптотически эффективнее обычных алгоритмов, например, алгоритм Штрасссна [Strassen 1969] (дающий алгоритм сложности log 7
О(л )), Винограда [Winograd 1968], Копперсмита и Винограда [Coppersmith, Winograd 1982]. Для числовых матриц эти алгоритмы работают быстрее только при п > 20 и дают выигрыш нс более 18% при п = 100 [Brent 1970]. Весьма вероятно, что те же выводы остаются в значительной степени справедливыми для матриц в компьютерной алгебре. Нам не известно, чтобы какая-либо система использовала эти "быстрые" методы.
Когда речь идет об обращении матриц и связанных с ним задачах, таких, как решение систем линейных уравнений и вычисление определителей, алгоритмы численного анализа применять непосредственно не удается, поскольку трудности, возникающие в компьютерной алгебре и в численном анализе, весьма различны. Прежде всего, в компьютерной алгебре нет проблемы численной устойчивости, поэтому любой ненулевой элемент является хорошим ведущим элементом для гауссова 176—8
исключения. В этом отношении компьютерная алгебра проще численного анализа.
С другой стороны, имеется серьезная проблема разбухания данных, как промежуточных, так и окончательных. Например, если рассмотреть матрицу общего вида порядка три, т.е.
' аbс ‘
def. ghi _
то ее определитель равен
' ei-fh -di+fg _ dh-eg' ei-fh -di+fg _ dh-eg-bi+ch bf-ce' ai-cg -af+cd *-ah+bg ae-bd-bi+ch bf-ce' ai-cg -af+cd *-ah+bg ae-bdaei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg, а обратная к ней матрица равна
' ei-fh -di+fg _ dh-eg
' ei-fh -di+fg _ dh-eg
-bi+ch bf-ce' ai-cg -af+cd *
-ah+bg ae-bd
-bi+ch bf-ce' ai-cg -af+cd *
-ah+bg ae-bd
1
aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg
Для общей матрицы четвертого порядка определитель равен
afkp - aflo - agjp + agin + ahjo - ahkn - bekp + belo + + bgip - bglm - bhio + bhkm + cejp - celn - cfip + cflm +
+ chin - chjm - dejo + dehn + dfio - dfkm - dgin + dgjm,
а обратная матрица слишком большая, чтобы распечатать ее здесь. Поэтому в общем случае данные разбухают в огромной степени, если приходится обращать матрицу . общего вида, и то
же самое относится к определителям таких матриц или к решениям соответствующих линейных систем. Такие результаты мо
ях, окончательный результат которых невелик, например при Г М Мях, окончательный результат которых невелик, например при Г М Мгут появляться в качестве промежуточных данных в вычислени
ях, окончательный результат которых невелик, например при Г М М
ях, окончательный результат которых невелик, например при Г М М
М ММ Мвычислении определителя, равного 0, матрицы вида где М - матрица общего вида.
М М
М М
Другая серьезная проблема, особенно при вычислении определителей, - проблема деления. Согласно правилу Крамера, определитель матрицы - это сумма (возможно, со знаками минус) произведений элементов матрицы. Таким образом, если эти элементы принадлежат кольцу (например, кольцу целых чисел или полиномов), то определитель также принадлежит
этому кольцу. Но метод исключения требует выполнения деле
ний. Эти деления могут оказаться невыполнимыми (например,
нельзятем нелен, анельзятем нелен, аделить на 5 или 2 в кольце вычетов по модулю 10, но Г 5 2делить на 5 или 2 в кольце вычетов по модулю 10, но Г 5 2менее определитель матрицыменее определитель матрицы2 52 5корректно опреде-корректно опреде-именно равен 1). Даже если деление возможно, могутименно равен 1). Даже если деление возможно, могут
нельзя
тем не
лен, а
нельзя
тем не
лен, а
делить на 5 или 2 в кольце вычетов по модулю 10, но Г 5 2
делить на 5 или 2 в кольце вычетов по модулю 10, но Г 5 2
менее определитель матрицы
менее определитель матрицы
2 5
2 5
корректно опреде-
корректно опреде-
именно равен 1). Даже если деление возможно, могут
именно равен 1). Даже если деление возможно, могут
потребоваться вычисления с дробями; которые весьма трудоемки ввиду необходимости вычисления НОД (что часто нетривиально).
Барейс [Bareiss 1968] описал хитрую модификацию гауссова
исключения, в которой каждое деление в кольце должно давать
результат из того же кольца, а не дробь. Этот метод (описанный в следующем разделе) очень частб используется в компьютерной алгебре, если кольцо элементов допускает деление (точнее, если кольцо - область целостности). С другой стороны, имеется метод, предложенный Сасаки и Мюрао ([Sasaki, Murao 1981], [Sasaki, Murao 1982]), в котором к кольцу добавляют несколько переменных и сохраняют только несколько
членов, от этих переменных.
Метод Крамера, который записывает определитель матрицы порядка п в виде суммы п\ произведений по п элементов матрицы, численно очень неэффективен: число операций равно О(и(и!)) вместо О^п3) в алгоритме гауссова исключения. Но в компьютерной алгебре цена операции зависит от размера используемых данных. В этом разложении каждое промежуточное вычисление выполняется с данными, которые (по крайней м^ре, если нет сокращений) меньше, чем результат. Кажется, что для матриц полиномов от нескольких переменных, (эти полиномы должны быть разреженными, иначе сложность будет огромной) этот метод гораздо более быстрый, чем любой метод, основанный на гауссовом исключении. Для случая матриц целых чисел или полиномов от одной переменной наиболее эффективным представляется алгоритм Барейса. •
Алгоритм Барейса
Фактически Барейс предложил целое семейство методов исключения без использования дробей, т.е. таких, где все необходимые деления выполняются точно. Эти методы решают
проблему, поставленную в разделе "Представление дробей", -
проблему нахождения алгоритма, который нс требовал бы вы
числений с дробями. Простейший метод, называемый одношаго
вым и в действительности известный еще Жордану, основан навым и в действительности известный еще Жордану, основан наобобщении тождества Сильвестра.обобщении тождества Сильвестра.aW i.laW i.l- определитель- определитель°1,1°1,2а1,к°A.i°2, 1а2 2 • •' а2,кa2,jаМак,2 ••ак,к\lа. ,а. оа. .а. .1» 1г,2t,ki>i°1,1°1,2а1,к°A.i°2, 1а2 2 • •' а2,кa2,jаМак,2 ••ак,к\lа. ,а. оа. .а. .1» 1г,2t,ki>iПустьПусть
вым и в действительности известный еще Жордану, основан на
вым и в действительности известный еще Жордану, основан на
обобщении тождества Сильвестра.
обобщении тождества Сильвестра.
aW i.l
aW i.l
- определитель
- определитель
°1,1
°1,2
а1,к
°A.i
°2, 1
а2 2 • •
' а2,к
a2,j
аМ
ак,2 ••
ак,к
\l
а. ,
а. о
а. .
а. .
1» 1
г,2
t,k
i>i
°1,1
°1,2
а1,к
°A.i
°2, 1
а2 2 • •
' а2,к
a2,j
аМ
ак,2 ••
ак,к
\l
а. ,
а. о
а. .
а. .
1» 1
г,2
t,k
i>i
Пусть
Пусть
В частности, определитель матрицы порядка п (элементы которой суть а. .) равен а^"1^. Основное равенство имеет вид
к, к к,]
Другими словами, после исключения мы можем быть уверены, что сможем выполнить деление на ведущий элемент предыдущего исключения.
Для демонстрации метода Барейса рассмотрим матрицу третьего порядка общего вида, т.е.
1,1 *1,2 *1,з
2,1*2,2*2,3
*3,1*3,2*3,3
После исключения с помощью первой строки (без деления) получаем матрицу
*1,1О*1,1ООО*1,2*1,3
*1,1О
*1,1О
О
О
*2,2*1,1' *2,1*1,2. *2,3*1,1 ~ *2,1*1,3
*3,2*1,1~ *3,1*1,2*3,3*1,1 “ *3,1*1,3
Второе исключение дает нам матрицу
*1,1*1,2*1,3
*2,2*1,1~ *2,1*1,2*2,3*1,1 ~ *2,1*1,3
*1,1^*3,3*2,2*1,1*3,3*2, 1*1,2 ~’
0°" *3,2*2,3*1,1 + *3,2*2,1*1,3 +
+ *3,1*2, 3*1,2 “ *3, 1*2,2*1,з)-
и очевидно, что Ь^ х делит все элементы 'третьей строки. Общее соотношение имеет вид -
,(0о(0Z+1.Z+1'а1+1,ка^М+1' ак,кah.i(0QU)aU)М+1'i,ki.i,(0о(0Z+1.Z+1'а1+1,ка^М+1' ак,кah.i(0QU)aU)М+1'i,ki.i
,(0
о(0
Z+1.Z+1
'а1+1,к
а^
М+1
' ак,к
ah.i
(0
QU)
aU)
М+1
'i,k
i.i
,(0
о(0
Z+1.Z+1
'а1+1,к
а^
М+1
' ак,к
ah.i
(0
QU)
aU)
М+1
'i,k
i.i
из которого ранее цитированное равенство получается в качестве частного случая при / = к-\.
2.8.3. Разреженные матрицы
При работе с разреженными матрицами компьютерная алгебра приближается к методам численного анализа. Мы часто пользуемся представлениями, в которых каждая строка матрицы задастся списком ненулевых элементов строки, каждый из которых хранится в памяти вместе с указанием номера его столбца. * Можно использовать также метод запоминания по столбцам, а кроме того, существует несколько более сложных методов. . В этом случае сложение выполняется достаточно просто, но умножение становится более сложным, поскольку нам нужно пересечь левую матрицу строка за строкой, а правую - столбец за столбцом.
Для определителей основная идея - это разложение Крамера, но имеется несколько хитрых приемов выбора лучшего направления разложения и использования уже вычисленных значений вместо их повторного вычисления. Частично эта техника показана в работе Смита [Smit 1981].
Обратная матрица для разреженной обычно является плотной, поэтому ее вычислять нс следует. Таким образом, имеет-
ся три общих метода решения системы Ах = b линейных уравнений. Прежде всего, существует формула (принадлежащая, по- видимому, Лапласу), выражающая компоненты х. решения через Ь. и А. р миноры матрицы А, т.с. определители матрицы, получающейся вычеркиванием i-го столбца и /*-й строки матрицы А. Действительно,
и 1 1 Эти миноры можно вычислить по правилу Крамера, при этом достаточно хороши шансы повторного использования промежуточных результатов вычисления в последующих вычислениях. Смит [Smit 1981] описал несколько приемов, улучшающих этот алгоритм. Однако следует отмстить их дефект, состоящий в том, что для хранения повторно используемых результатов нужна память.
Второй путь - воспользоваться гауссовым исключением (или его вариацией, описанной для случая плотных матриц). Можно выбирать исключаемые строки (или столбцы) в соответствии с числом содержащихся в них ненулевых элементов (а для тех, которые содержат их одинаковое количество, можно попытаться минимизировать создание новых элементов и максимизировать пересечения положений ненулевых элементов при сложении строк или столбцов). Такое "интеллигентное исключение" написать довольно легко1? но в общем случае по мере выполнения этих операций матрица становится все менее и менее разреженной, и время вычислений остается порядка О^п3\ Этот метод использовался Копперсмитом и Дэвенпортом [Coppersmith, Davenport 1985] для решения системы 1061 уравнения от 739 переменных, и разбухание информации действительно произошло.
Совсем недавно несколько авторов применили итерационные методы численного анализа, такие, как метод Ланцоша и метод сопряженных градиентов, в компьютерной алгебре. По-видимо- му, эти методы для крупных задач заслуживают большего внимания, чем гауссово исключение, хотя для маленьких задач и
^ Для этого потребовалось менее ста строк на языке SCRATCHPAD-II [Jenks 1984].
даже для задачи Копперсмита и Дэвенпорта их скорость ниже. Эти методы обсуждаются в работе [Coppersmith et al. 1986].
2.9. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЯДОВ
Компьютерная алгебра нс ограничивается конечными объектами типа полиномов. Она позволяет работать с некоторыми типами бесконечных рядов. Разумеется, компьютер может иметь дело только с конечным числом объектов, т.с. первых членов ряда.
Ряды Тейлора: простой метод
Эти ряды весьма полезны для разных приложений, особенно когда речь идет о нелинейных задачах, которые становятся линейными при пренебрежении некоторыми малыми величинами. Здесь можно надеяться, что решение можно представить в виде ряда Тейлора и что для приложений (например, получения численного значения) достаточно небольшого числа членов.
Очень часто эти ряды можно вычислять по методу, называемому методом последовательных приближений. Например, возьмем уравнение у2 = 1 + е, где у - неизвестная, а е - малая величина, и найдем представление у в виде ряда Тейлора относительно е. Будем обозначать через у^ ряд, вычисленный с точностью до члена с^еп, где yQ = 1 (или -1, но мы будем разлагать первое решение). Исходя из у^ можно вычислить у г по следующему методу:
1 + е = у2+х + О^2) ="Л^ ^О(^+2) =
= у2 + 2у с ,еп+' + О(еп+2
= у2 + 2ус V1*1 + О(еп+2
п+1v *
Если dn+^ - коэффициент при еп+1 в 1 + е - у2^ то из этой формулы следует, что с^^ 1 = d^^ 1/2l/q. Таким образом, получаем довольно простую REDUCE-программу для вычисления у, ю например до степени е :
ARRAY TEMP(20);
Y:=l;
FOR N:=l:10 DO «
COEFF(1+E~Y**2,E, TEMP);
Y:=Y+TEMP(N)*(E**N)/2 »;
Недостаток этой программы заключается в том, что она явно вычисляет все члены у , даже тс, которые нс дают вклада в результат. REDUCE обладает механизмом, позволяющим избежать таких вычислений: это - использование WEIGHT и WTLEVEL. Подробности будут даны в приложении по системе REDUCE, а здесь приведем алгоритм, переписанный с использованием этой техники.
WEIGHT Е=1;
Y:=l;
FOR N:=l:10 DO «
WTLEVEL N;
Y:=Y+(l+E-Y**2)/2 »;
В данном случае существуют более простые методы, например биномиальная формула или непосредственное программирование, вычисляющее только члены от еп в выражении для уг, но эти методы довольно специфичны. Описанный метод последовательных приближений может применяться ко многим другим задачам - некоторые примеры приведены в работе [Pitch 1985].,
С рядами можно обращаться так же, как и с полиномами, - фактически большинство систем компьютерной алгебры нс проводят между ними различия. Вообще точность (т.с. наивысшая степень е в только что рассмотренном случае) результата - это минимум точности данных. Например, в сумме
п . m . min(m,n).
= Е (а ^Ь)е1
/=0 1/=0 11=011
члены результата при Z>min(/n,n) нельзя определить чисто как функцию данных - нам нужно знать больше членов а. или 6., чем нам дано. В частности, если все начальные данные /
имеют одну и ту же точность, то результат имеет ту же самую
точность - у нас не происходит накопления ошибки, что типично для численного анализа.
Тем не менее в некоторых случаях возможна потеря точности. Например, если мы будем делить один ряд на другой, начинающийся нс с члена нулевой степени, в частности для следующих рядов:
п .. m . mintm-],n).
M 1 x /=1 /(=01
обнаруживается потеря точности. (Заметим, что cQ = a^/bp более сложно вычислить другие с., но в таких вычислениях часто используется метод последовательных приближений.)
Это может произойти и при извлечении квадратного корня:
п . п .
I a(el = Е ЬА
4 Z=0 1/=0 1
если ^q*0 (в этом случае /?Q = Vo^, а остальные Ь. могут быть определены на основе этого значения методом последовательных приближений). С другой стороны, если aQ = 0, то ряд имеет совсем другой вид. Если а^О, то ряд нс может быть записан в виде ряда по е, ему - потребуются члены от Ve; получается ряд Пюизо. Если aQ = a1=0, но а^ * 0, то ряд остается рядом Тейлора:
п . п -1 .
Здесь в действительности происходит потеря точности, поскольку коэффициент Ь^ не определяется по коэффициентам а., но требует для своего определения знания коэффициента ^п+р
Чтобы избежать этой потери точности, нам следует принимать меры предосторожности, поскольку простое использование полиномиальных вычислений не предупредит нас о такой опасности. Однако ситуация значительно менее сложная, чем в численном анализе. Нет постепенной потери точности, такой, которая порождается численным округлением. Обстоятельства, приводящие к такой потере, хорошо известны, и можно писать программы так, чтобы выдавались соответствующие сообщения.
При необходимости можно работать с более высокой точностью и проверять, что получаются тс же результаты, но это - на крайний случай.
Ряды Тейлора: метод Нормана
Имеются приложения, в которых потеря точности, описанная в предыдущем разделе, встречается очень часто. Болес того, простой метод требует, чтобы все члены промежуточных результатов были вычислены до того, как появляется первый член окончательного результата. Норман [Norman 1975] поэтому предложил следующий метод: вместо вычисления всех членов cQ, ..., сп ряда до их использования мы формулируем общее правило, которое выражает с. через эти данные, и даем системе задание вычислять каждый член с. в тот момент, когда он требуется.-
Для нормальных операций эти общие правила не слишком сложны, как показывает следующая таблица (прописная буква обозначает ряд, а соответствующая строчная буква обозначает коэффициенты этого ряда):
С = А + В с.= а . + Ь. iii
С = А - В с.— а . — Ь. iIi
I С - Ах В с.- V а .Ь. .
С = А/В с^ — ™ ^рф)
(Последнее равенство выполняется только при Ь^ * 0 - равенство в общем случае чуть посложнее.) Норман показал также, что любая функция, определенная линейным дифференциальным уравнением, приводит к аналогичным уравнениям для коэффициентов ряда Тейлора.
Эти правила были реализованы Норманом [Norman 1975] в системе SCRATCHPAD-I [Griesmer et al. 1975], системе, автоматически вычисляющей значения, задаваемые данными правилами. Например, достаточно запросить значение с^, чтобы были выполнены все необходимые вычисления. Более того, система запоминает уже вычисленные значения, вместо того чтобы вы-
числить их снова. Последний штрих весьма существен для эффективности метода. Возьмем, например, случай деления (соотношение (D) выше). Вычисление каждого с. требует I сложений (или вычитаний), I умножений и одного деления, что составляет (я + 1)2 операций для вычисления cQ, ..., с^.
Однако, если предположить, что с. нс запоминаются, сложность вычислений сильно изменяется. Для вычисления cQ нужно деление. Для вычисления с^ требуется умножение, вычитание и деление, но требуется также вычисление cQ; в результате получаем одно сложение (или вычитание), одно умножение и два деления, что мы обозначаем [А = 1, М = 1, D = 2]. Для вычисления с2 требуются два сложения/вычитания, два умножения и одно деление плюс вычисление с^ и cQ1 что оценивается в [Л = 3, М = 3, D = 4]; цена получается уже выше, чем при методе с запоминанием, поскольку cQ вычисляется дважды. Вычисление с^ требует [Л = 3, М = 3, D = 1] плюс вычисление cQ, с^ с^ что оценивается * в [Л = 7, М = 7, D = 8]. Аналогично вычисление с^ стоит [Л = 15, М = 15, D = 16], а общая формула для с^ имеет вид [А = М = 2п - 1, D = 2п]. Ситуация была бы намного хуже, если бы данные а и Ь. требовали подобных вычислений до своего использования.
Такая система рекурсивных вычислений может быть реализована в других системах компьютерной алгебры: Дэвенпорт [Davenport 1981] построил в системе REDUCE подсистему, которая вычисляет ряды Пюизо (т.е. ряды с дробными показателями степеней) алгебраических функций. Внутреннее представление ряда - это список уже вычисленных коэффициентов, к которому добавлено общее правило вычисления остальных коэффициентов. Например, если Т1 и Т2 - два таких представления, то представление, соответствующее Т1*Т2, в котором уже вычислены 1У два коэффициента cQ и с, принимает вид :
(((О . с0) (1 . с^) TIMES Т1 Т2)
а команда для вычисления с2 превратит эту структуру в
^ По техническим причинам Дэвенпорт вместо TIMES использовал специальные символы, такие, как TAYLORTIMES.
(((О . с0) (1 . С1) (2 . с2)) TIMES Т1 Т2)
с возможным дополнительным разложением Т1 и Т2, если требуются дополнительные члены этих рядов.
Эта идея работы с бесконечным объектом, для которого вычислена только конечная часть, очень близка идее ленивых вычислений, которая используется в информатике. Достаточно просто (может быть, хватит сотни строк [Ehrhard 1986]) реализовать подобным образом ряды Тейлора в языке ленивых вычислений, таком, как "Lazy ML" [Mauny 1985].
Другие ряды
Кроме рядов Тейлора (и их вариаций типа рядов Лорана и Пюизо) существует несколько других типов рядов. Семейство рядов, весьма полезных в некоторых областях, - это ряды Фурье, т.е. п
f - а0+ Y ci .cos it + /rsin it.
Простая функция sin t (или cos /) представляет решение уравнения у” + у = 0, и некоторые возмущения этого уравнения могут быть представлены рядами Фурье, которые часто вычисляются с использованием метода последовательных приближений. Некоторые примеры приводятся в работе [Fitch 1985].
Для систем компьютерной алгебры, основанных на полиномиальных вычислениях, рассмотрение таких рядов представляет большую трудность, чем рассмотрение рядов Тейлора. Причина заключается в том, что произведение двух базовых членов нс является более базовым членом: е^е1 -е1*1, но cos it х х cos jt * cos (i+j)t. Можно, конечно, переписать это произведение в терминах базовых функций по правилам перезаписи, приведенным в параграфе "Представление трансцендентных функций", но (по причинам, приведенным в данном параграфе) это может оказаться весьма накладно. Если мы хотим рассматривать большие ряды такого типа, то более эффективным выглядит использование представления этих рядов, в котором умножение может выполняться непосредственно, например вектором коэффициентов ряда. Имеются системы, в которых для
рядов Фурье автоматически используется представление такого вида, - примером их служит система CAMAL [Pitch 1974].
Читатель может заметить, что соотношение между усечением и умножением таких рядов нс такое простое, как для рядов Тейлора. Если мы пользуемся обозначением L- Jn» чтобы показать, что выражение обрезано после члена с индексом п (например, еп или cos nt), то увидим, что
нонооо£<-0 ‘оо£<-0 ‘оо£ bf‘1=0 1оо£ bf‘1=0 1оо£ V/-о 'оо£ V/-о 'ппоо£ ь^ i-0 1оо£ ь^ i-0 1mmппсо£ a .cos it|у=0 1со£ a .cos it|у=0 100J b.cos it /=0 100J b.cos it /=0 1*n*nco^ a .cos it z=o 1co^ a .cos it z=o 1co2 b.cos itco2 b.cos it(F)(F)
но
но
оо
£
<-0 ‘
оо
£
<-0 ‘
оо
£ bf‘
1=0 1
оо
£ bf‘
1=0 1
оо
£ V
/-о '
оо
£ V
/-о '
п
п
оо
£ ь^ i-0 1
оо
£ ь^ i-0 1
m
m
п
п
со
£ a .cos it
|у=0 1
со
£ a .cos it
|у=0 1
00
J b.cos it /=0 1
00
J b.cos it /=0 1
*
n
*
n
co
^ a .cos it z=o 1
co
^ a .cos it z=o 1
co
2 b.cos it
co
2 b.cos it
(F)
(F)
По этой причине коэффициенты наших рядов Фурье должны стремиться к нулю контролируемым образом, например а. = О(е1), где е - предполагаемая малой величина. В этом случае соотношение (Р) становится верным равенством.
Читатель легко может найти другие ряды типа рядов Пуассона, которые можно обрабатывать подобным образом. Параграф о решениях линейных дифференциальных уравнений в форме рядов иллюстрирует некоторые из этих вопросов более подробно.
Глава 3
ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ УПРОЩЕНИЕ
УПРОЩЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Очень часто при изучении некоторой ситуации мы обнаруживаем, что она определена системой полиномиальных уравнений. Например, положение механической структуры, образованной двумя сегментами длин 1 и 2 соответственно, соединенными в одной точке, определяется девятью переменными (три точки по три координаты каждая), подчиненными соотношениям
(Х1 " X2^ + (У1 " У2)2 + <21 " Z2>2 =
222
+<21 " 2з) = 4- или, может быть, соотношениям
<Х1 - Х2>2 + ^1 " ^^ + <21 ” 22)2 =
(2хг - х2 - Х3^Х3 ~ х2> + (^l ’ ^2 ~ «з^з ~ «г^{Г)
+ (2zx - Z2 - 23)(z3 - Z2) = -3
(где второе уравнение мы заменили разностью этих двух уравнений), или, аналогичным образом, соотношениям
(2^1 ~ *2 ~ Х3^Х3 " *2> + <2^1 " ^2 " «3^3 "+
+ (2z - z - z )(z - z ) = -3, (1") (^ - x3)2 + (У1 - t/3)2 + Ux - z3)2 = 4,
или многим другим вариантам. Основной вопрос данного параграфа может быть выражен следующим образом: каким конечным списком соотношений мы должны пользоваться?
Любое вычисление движения этого объекта должно принимать во внимание эти соотношения или, более формально, происходить в идеале, порожденном этими образующими.
Определение. Идеал1? порожденный семейством образующих, состоит из множества линейных комбинаций этих образующих с полиномиальными коэффициентами.
Определение. Два полинома f и g эквивалентны относительно некоторого идеала, если их разность принадлежит этому идеалу.
Если мы рассматриваем образующие идеала как полиномы, которые мы приравниваем нулю, это определение утверждает, что рассматриваемые полиномы нс различаются.
Поэтому в данном параграфе мы исследуем такие вопросы:
Как мы определяем идеал?
Как мы выясняем, эквивалентны ли два полинома относительно данного идеала?
Редукция полиномов
Очевидно, у одного и того же идеала существует несколько систем образующих. Всегда можно добавить любую линейную комбинацию образующих или удалить одну из них, если она является линейной комбинацией остальных. Имеется ли простая система образующих? Разумеется, такой вопрос требует уточнить понятие "простоты". Оно зависит от порядка на мономах в наших полиномах (см. параграф "Полиномы от нескольких переменных"). .
Рассмотрим полиномы от переменных х^ х^, ..., х^, коэффициенты которых принадлежат полю к (т.с. можно их складывать, перемножать, делить и т.д.). Пусть < - порядок на мономах, удовлетворяющий следующим двум условиям:
Если а < Ь, то для любого монома с имеем ас < Ьс.
Для любых мономов а и Ь, если Ь*\, то а < ab.
Три z порядка - лексикографический; общей степени, затем лексикографический и общей степени, затем обратный лексикографический, - удовлетворяют этому критерию. Предположим, что любой (ненулевой) полином записывается в порядке убыва-
^ Это определение является общим определением из абстрактной алгебры, специализированным для случая полиномов.
ния (относительно < ) своих мономов: £”=1 & tX ^ где а(*0 и X. > X .^ для любого L Назовем Х^ старшим мономом, а а^Х^ - старшим членом полинома.
Пусть G - конечное множество полиномов и > - фиксированный порядок, удовлетворяющий сформулированным выше условиям.
Определение. Полином f редуцирован относительно G, если ни один старший моном элемента множества G нс делит старшего монома полинома f.
Другими словами, старший моном никакой из комбинаций f - - hg. полинома f и элемента множества G нс меньше (относительно порядка <) старшего монома полинома f. Если f нередуцирован, то из него можно вычесть кратное некоторого элемента множества G, чтобы исключить его старший моном (и получить новый старший моном, меньший, чем старший моном полинома f); этот новый полином эквивалентен f относительно идеала, порожденного множеством G. Этот процесс называется редукцией полинома f относительно G. Следует отметить, что полином может иметь несколько редукций относительно G (по одной для каждого элемента множества G, старший моном которого делит старший моном полинома /). Например, пусть G = {^1 = x-1, g2 = у - 2} и f = ху. Тогда имеются две возможные редукции полинома f: с помощью £1# которая дает f-yg^-y, и с помощью g2, которая дает f - xg2 = -2х. Полином f не может иметь бесконечной цепочки редукций: она должна заканчиваться редуцированным полиномом.
Определение редуцированного полинома включает в себя старший моном полинома f и требует, чтобы ни у какой линейной комбинации f - hgi старший моном нс был меньше, чем у f. Возможно, что в f существуют другие мономы, которые могут быть исключены, чтобы сделать линейную комбинацию "меньшей". Предположим, что переменные суть х и у, подчиненные лексикографическому порядку у < х, и что G = {</-!} Полином х + у2 + у редуцирован, поскольку его старший моном - это х. Тем нс менее можно исключить относительно G мономы у2 и у. Этот факт приводит к следующему определению, более сильному, чем определение редуцированности.
Определение. Полином f вполне редуцирован относительно G, если ни один моном полинома f не делится ни на один старший моном элемента множества G.
Стандартные базисы (базисы Грёбнера)
Определение. Система образующих (или базис) G идеала I называется стандартным базисом, или базисом Грёбнера (относительно порядка < ), если в результате любой редукции элемента f идеала / к редуцированному полиному относительно G всегда получается нуль.
Эквивалентное определение состоит в том, что любой полином f обладает единственной редуцированной относительно G формой. Другое, более эффективное определение будет приведено в разделе "Алгоритм Бухбергера". На языке информатики мы обычно говорим в этом случае, что редукция относительно G обладает свойством Чёрча - Россера. В общем случае стандартные базисы идеала дают нам гораздо больше информации об этом идеале, чем любые другие базисы.
Например, рассмотрим идеал, порожденный тремя полиномами
g = х° yz - xz ,
2g? = xy z - XyZ,g3 = ^y2 - z.
Очевидно, что при x = у = z = 0 все три полинома обращаются в нуль, - не очевидно, что есть другие решения. Стандартный базис этого идеала (относительно лексикографического порядка x>y>z^ образуют полиномы g2, g3 и три следующих полинома:
g4 = ^yz-z2, g5 = y^- Л g6 = ^-z3-
(Стандартный базис вполне может содержать больше полиномов, чем исходный базис, - к этому эффекту мы вернемся в конце раздела "Алгоритм Бухбергера".) Теперь очевидно, что имеет' ся две возможности: либо z = 0, либо z * 0. Если z = 0, то эти полиномы редуцируются к х2у2\ поэтому х = 0 или у = 0. Если 2*0, то эти полиномы редуцируются к у = 1 И X2 = Z. 176—9
Значит, множество общих нулей множества G состоит из двух прямых (x=z = 0 и у = z = 0) и параболы ((/=1, х2 = z).
Сформулируем сейчас несколько теорем о стандартных базисах. Мы нс будем их доказывать: читатель, интересующийся доказательствами, может найти их в работах Бухбсргсра [Buchberger 1970, 1976а, Ь, 1979, 1981, 1985].
Теорема 1. Любой идеал обладает стандартным базисом относительно любого порядка (удовлетворяющего сформулированным выше условиям (а) и (Ь)).
Теорема 2. Два идеала равны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же редуцированный стандартный базис (рдносительно одного и того же порядка).
Под редуцированным базисом подразумевается базис, каждый полином которого вполне редуцирован относительно всех остальных. Это ограничение необходимо, чтобы исключить тривиальности типа {х-1, (х-1)2}: этот базис, отличается от {х — 1}, но только потому, что он нсрсдуцирован. Фактически эта теорема даст каноническое представление идеалов (как только мы фиксируем порядок).
Теорема 3. Система полиномиальных уравнений несовместна (не может быть удовлетворена, даже если допустить алгебраические расширения, - например, над полем комплексных чисел С) тогда и только тогда, когда соответствующий стандартный базис (относительно любого порядка, который удовлетворяет сформулированным выше условиям (а) и (Ь)) содержит константу.
Решение системы полиномов
Теорема 4. Система полиномиальных уравнений имеет конечное число1^ решений над С тогда и. только тогда, когда каждая переменная появляется изолированно (например, как zn) в одном из старших членов соответствующего стандартного базиса относительно лексикографического порядка.
^В геометрии соответствующий идеал называется нульмерным.
В этом случае мы можем определить все решения при помощи следующего метода. Предположим, что переменные суть х^ х2, ..., х^, где х^ > х2 > ... > х^. Переменная х^ появляется одна в старшем члене некоторой образующей стандартного базиса. Но все остальные члены этой образующей меньше (в смысле <), чем этот член, и поэтому могут содержать только х , так как мы пользуемся лексикографическим порядком. Таким образом, у нас есть полином от х^ (причем только один, потому что при наличии двух полиномов мы всегда можем редуцировать один из них относительно другого), который имеет только конечное число корней. Переменная х появляется сама по себе (в степени /г, например) в старшем члене некоторой образующей стандартного базиса. Но все остальные члены этой образующей меньше (в смысле <), чем этот член, и поэтому могут содержать только х ^ (в степени меньшей, чем к) и, может быть, х^, так как мы пользуемся лексикографическим порядком. Для каждого возможного значения переменной х^ мы имеемк возможных значений переменной х • корни этого полинома от х Возможно, что имеются другие полиномы от х t и х^ и что некоторые комбинации значений хп_^ и х^ не удовлетворяют этим полиномам и потому должны быть отброшены, но наверняка у нас имеется только конечное число возможностей для х ^ и х^. Переменные хп_^ ..., х1 определяются аналогично.
Следует заметить, что мы предполагали, что каждая переменная появляется изолированно. Это предположение нельзя заменить более слабым предположением о том, что каждая переменная появляется в качестве старшей переменной, как можно убедиться на следующем примере. Рассмотрим две переменные х и у. где х>у. Наш идеал порожден полиномами (у - 1)х + (у - 1) и у - 1, образующими (по причинам, которые будут объяснены позже) стандартный базис, но базис, нс удовлетворяющий предположениям теоремы 4, поскольку х нс появляется изолированно. Для у имеется два возможных реше-
ния, т.е. 1 и -1. Если у = -Х, то вторая образующая принимает вид -2х - 2 и обращается в нуль при х = -1. Но если у-Х, то вторая образующая обращается в нуль тождественно, и значение х не определено.
Для теоремы 4 имеется очевидное обратное утверждение: идеал имеет размерность, отличную от нуля, тогда и только тогда, когда имеется переменная, которая нс появляется как единственная переменная ни в одном из старших членов стандартного базиса (относительно лексикографического порядка). В этом случае теория существенно сложнее (в работе [Giusti 1984] даются некоторые наброски, но алгоритмы в этой области находятся в стадии развития). Естественно предположить, что число таких переменных определяет размерность идеала (единица, если существует кривая, на которой обращаются в нуль все полиномы; два, если речь идет о поверхностях и т.д.), но эта гипотеза нс верна^ Возьмем, например, два следующих идеала:
/^{х2-!, (x-l)t/, (x+l)z}( /2 = {х2-1, (х-1){/, (x-l)z).
Их стандартные базисы относительно лексикографического порядка х > у > г суть •
/^{х2-!. (x-l)t/. (x+l)z, t/z}, /2 = {х2-1, (х-1){/. (x-l)z}.
11 В действительности размерность идеала не превосходит 1, если для любой пары переменных найдется элемент базиса Грёбнера, старший моном которого содержит только эти переменные, и в общем случае размерность идеала не превосходит к, если для любых к +1 переменных найдется элемент базиса Грёбнера, старший моном которого зависит только от этих переменных (см., например, [2о]). Более тонкой характеристикой размерности алгебраического многообразия является его функция (или полином) Гильберта, степень которого совпадает с размерностью многообразия. В работах [51], [25] излагаются различные ’алгоритмы вычисления полинома Гильберта по известному базису Грёбнера для упорядочения мономов с учетом их степени. Кроме того, в работе [25] предложен алгоритм вычисления степени полинома Гильберта (размерности многообразия), нс требующий вычисления всех коэффициентов этого полинома. Вопросы практического вычисления размерности обсуждаются в [44]. - Прим, перев.
В обоих переменная х появляется изолированно, но ни у, ни z изолированно нс появляются. Однако размерность идеала 1г равна 1, поскольку его решения суть две прямые х=1, z = 0 и х=-1, у=0, в то время как размерность идеала /2 равна 2, поскольку его решения - это плоскость х=1 и изолированная точка х = -1, y=z = 0.
Алгоритм Бухбергера
Теорема 1 предпоследнего раздела утверждает, что любой идеал обладает стандартным базисом - но как его вычислить? И обратно, как проверить, является базис стандартным или нет? В данном разделе мы разъясним алгоритм Бухбергера [Buchberger 1970], с помощью которого мы можем решить эти задачи. Предположим, что раз и навсегда мы выбрали порядок мономов, удовлетворяющий условиям (а) и (Ь) раздела "Редукция полиномов".
Определение. Пусть f и g - два ненулевых полинома со
старшими членами f и g^ a h - их НОК- S-полином полиномов f и g, S(f,g), определяется следующей формулой:
sw.g^f-^g.
Ip бр
Под НОК двух членов или мономов понимается произведение
всех переменных, каждая в степени, равной максимуму ее степеней в этих мономах1\ h/g? и h/f ? суть мономы, поэтому S(f,g) ~ линейная комбинация полиномов f и g с полиномиальными коэффициентами и принадлежит идеалу, порожденному f и g. Более того, старшие члены двух компонент полинома S(f,g) равны (= Л), поэтому они взаимно сокращаются. Заметим, что S(Lf) = O и что S(g,f) = -S(f,g). .
Теорема 5. Базис G является стандартным тогда и только тогда, когда для любой пары полиномов f и g из множества G их S-полином S(f,g) редуцируется к нулю относительно G.
> При вычислении НОК старших членов нужно перемножать нс только степени переменных, но и коэффициенты. Определение S-полинома выбирается таким образом, чтобы старшие члены уменьшаемого и вычитаемого взаимно уничтожились.-Прим, перев.
Эта теорема дает нам критерий проверки, является ли некоторый базис стандартным, - достаточно вычислить все S-полиномы и проверить, что все они редуцируются к нулю. Но если наш базис нс стандартный, то это в точности потому, что один из этих S-полиномов (например, S(f,g)) нс редуцируется к нулю. Поскольку его редукция является линейной комбинацией элементов множества G, можно добавить ее к G, не изменив при этом порождаемый идеал. После этого добавления S(f,g) редуцируется к нулю, но появляются новые S-поли- номы, которые также нужно рассматривать. Замечательный факт (также доказанный Бухбергером [Buchberger 1970]): этот процесс всегда оканчивается (и поэтому дает стандартный базис идеала).
Применим этот алгоритм к примеру {g1? g2, g3} раздела "Стандартные базисы". Нужно рассмотреть S-полиномы S(g^gA ^(g^gJ и S(g,gA Старшие члены полиномов g2 = xy2z- xyz и g^ = х2у2 - 2 суть ху2г и х2у2, их НОК равен х2у2г. Поэтому
S(g2.g3) = xg2 - zg3 = lx2y2z - x2yz) - (x2y2z - z2) = -x2yz + z2. Этот полином ненулевой и редуцирован относительно G, поэтому базис G нестандартный. Значит, можно добавить к G этот полином (или, чтобы сделать вычисления более читаемыми, противоположный ему), обозначим его g4. Теперь G состоит из
32
gt = X yz-xz , g2 = x^z - xyz, g3 =- z,
g4 = ?yz - z2, и нужно рассмотреть S-полиномы $^gvg^V S(gT,g3), S(gvg4), S(g2,g4) и S(g3,g4). К счастью, можно выполнить упрощение, заметив, что g^- xg4; поэтому идеал, порождаемый множеством G, нс изменится, если удалить g . После такого упрощения остается для рассмотрения только два S-полинома: S(g2,g4) и S(g3,g4). Далее,
S(g2,g4) = xg2 - yg4 = -x2yz + yz2,
и получившийся полином можно упростить (добавив g ), что 2 2m_4
приводит к yz - z . Так как это не нуль, то базис нестандартный, и нам нужно расширить G, добавив новую образующую, которую обозначим g5. Теперь G состоит из
g2 = ху2 z - xyz,g3 = ^У2 - z,g4 = x2yz - z2,. g5 = y^ - z2,
и нужно рассматривать S-полиномы S(g3,g4),S(g2,g5),
s(g3>g5) и S(g4,g5). Далее,
S(g3.g4) = zg3 - yg4 = —z2 + yz2, и этот полином можно редуцировать к нулю (прибавив g5) (в действительности эта редукция следует из третьего критерия Бухбергсра, который мы опишем позже).
S(gz,g5) = zg2 - xyg5 = -xy^ + xyz2 = 0.
Л re \ "ere2 22 23
S(^4,^5) = ^4-x g5 = -z +X z = x z -z , где при последнем переписывании мономы упорядочиваются по убыванию (относительно <). Этот полином уже редуцирован относительно G, поэтому G нс является стандартным базисом, и нам нужно добавить к множеству G этот новый полином - обозначим его g^. Теперь множество G состоит из g2 = xy2z - xyz, 2 2 g3 = x у -z, g4 = x2yz - z2, 'g5=y2?-2?,
и нужно рассматривать S-полиномы S(g3,g5),S(g2,g6),
S(g31g6)tS(g^g6) и S(g5,g6). Читатель может проверить,
что G редуцирует все эти S-полиномы к нулю, и, таким образом, G является стандартным базисом данного идеала.
Нужно отметить, что этот алгоритм может выиграть от использования некоторых методов оптимизации. Бухбергер [Buch- berger 1979] дал критерий (третий критерий Бухберге^ра), исключающий некоторые S-полиномы из рассмотрения. Он доказал, что если имеется элемент h этого базиса, такой, что его старший моном делит НОК старших мономов полиномов f и g, и если мы уже рассмотрели S-полиномы S(f,h) и S(A,g), то нс обязательно рассматривать S-полином S(f,g)t поскольку он будет редуцироваться к нулю.
Мы нс подчеркнули, что нужно принимать во внимание выбор S-полиномов. В общем случае существует несколько S-полиномов, которые нужно рассмотреть даже после применения критерия Бухбергера. При любом выборе алгоритм даст один и тот же результат, но время счета может быть различным. Бухбергер [Buchberger 1979] утверждает, что выбор S-полинома, НОК старших мономов которого имеет минимальную суммарную степень (среди всех S-полиномов, которые нужно рассмотреть), хорош и успешно согласуется с его критерием. Однако при этом все еще может оставаться несколько возможностей. Су-, ществует много эвристических методов, про которые утверждается, что они выбирают "хорошие" S-полиномы из списка S-полиномов, но это остается областью активных исследований.
Тем нс менее наличие алгоритма нс означает, что легко решить любую задачу. Хотя Бухбергер доказал, что его алгоритм конечен, он не дал каких-нибудь границ времени счета или числа полиномов в стандартном базисе. Действительно, эта проблема весьма сложна и активно изучается. Майр и Майер [Mayr, Мауег 1982] показали, что вычисление стандартного базиса требует в общем случае объема памяти, экспоненциально зависящего от числа переменных п. На практике встречались задачи, которые весьма легко были решены с использованием этого алгоритма [Gebauer, Kredel 1984], а также задачи, которые не удалось решить с использованием нескольких мегабайт памяти1>
Замечание, добавленное при корректуре: М.Жусти сообщил, что им совместно с Мора недавно получено общее ограничение.
Случай одной переменной тривиален. Для случая двух переменных Бухбергеру [Buchberger 1983] и Лазару [Lazard 1983] удалось показать, что если все данные имеют общую степень, ограниченную числом d, то общая степень элементов стандартного базиса ограничена числом 2d -1, если используется порядок "общей степени", и всегда ограничена числом d2. Более того, число элементов в стандартном базисе ограничено числом к +1, где к - минимум общих степеней старших мономов всех данных. Все эти границы являются лучшими из возможных.-
Случай, когда переменных больше двух, сложнее. Мора привел [Lazard 1983] пример кажущейся маленькой задачи
(х^1 - y^zt, xz^ - у\ хку - zkt^с порядком общей степени, затем обратным лексикографическимx>z>y>t, такой, что стандартный базис содержит ПОЛИ-12 «,2
ном у - z t, степень которого почти равна квадрату степени исходных данных.
Сравнения с другими методами
Алгоритм Бухбергера в действительности представляет собой комбинацию нескольких хорошо известных идей. Для случая одной переменной и двух полиномов он эквивалентен алгоритму Евклида нахождения НОД этих полиномов. Любой S-полином - это полином наивысшей степени минус (с некоторым множителем) второй полином, и после расширения базиса с помощью этого S-полинома полином более высокой степени можно отбросить, поскольку он редуцируется к нулю относительно остальных. Обобщение на случай нескольких полиномов тесно связано с соответствующим обобщением алгоритма Евклида.
Для случая нескольких переменных и линейных полиномов алгоритм Бухбергера соответствует исключению Гаусса, поскольку S(frf2) (в предположении, что f и f2 содержат одну и ту же старшую переменную, - иначе S(f 1,f.2) = 0) - это линейная комбинация (с постоянными коэффициентами) полиномов (г и f2, исключающая старшую переменную. Полином f2 редуцируется к нулю относительно f^ и S(f1,f2); поэтому он
может быть отброшен. Таким образом мы исключаем старшую переменную из всех полиномов, кроме fr а затем продолжаем вычисления со следующей переменной. Заканчиваем (если система - невырожденна) треугольной системой, т.е. такой, которая удовлетворяет предположениям теоремы 4, а алгоритм, указанный в ее доказательстве, эквивалентен использованию обратной подстановки для определения решения треугольной линейной системы.
Для общих систем имеется другой метод нахождения решения - метод повторного исключения [Moses 1966]. Например, для полиномов gr g2 и g3, которые мы использовали в качестве примера, можно исключить х из этих полиномов (пользуясь результантом относительно х\ Это приводит к полиномам вида
(у - \fybzc
(а, b и с - целые числа). По этим полиномам можно предположить, что существует три семейства решений: у = 1 с некоторой зависимостью между х и х (в действительности, как мы уже знаем, х2 = г\ у-^ с некоторой зависимостью между г и х (в действительности эта зависимость имеет весьма специальный вид 2 = 0) и 2 = 0 с некоторой зависимостью между у и х (здесь соотношение имеет вид х = 0).
В этом случае исключение даст тс же самые результаты, что и алгоритм Бухбергера, но в общем случае исключение может дать не только истинные решения, но и некоторые паразитические решения, т.е. решения редуцированной системы, не являющиеся решениями исходной системы. Возьмем достаточно простой пример: пример уравнений
(у- 1)* + (у- 1) = 0 и (у+1)х=0.
Исключив х из второго уравнения, получим систему (у - 1)х + (у - 1) = 0 и у2 - 1 = 0,
про которую мы уже знаем, что ее решения суть точка у = х = = -1 и прямая у = 1 с произвольным х. С другой стороны, исключив х из первого уравнения, получим систему
(у+1)х=0- и у2 -1=0,
решения которой суть прямая у = -Л с произвольным х и точка у = 1 при х = 0. Таким образом, мы видим, что исключение может дать даже несовместные результаты, зависящие от порядка исключения. Чтобы сделать исключение корректным, нам нужно проверить, что все решения удовлетворяют всем данным уравнениям. Если уравнения нс удовлетворяются, то еще остается возможность, что истинно некоторое подмножество решения, например подмножество у = х = -1 "решения" у = -1 и х произвольно, которое мы получили ранее.
Соответствующий стандартный базис - это 2х - у + 1и у2 - 1
с конечным множеством решений (теорема 4), которое явно задастся значениями у = ±1 с соответствующими значениями х: х=0 (когда у=1) и х = —1 (когда у = -1).
3.2. УПРОЩЕНИЕ СИСТЕМ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОЛИНОМОВ
В этом параграфе мы будем рассматривать задачу, которая кажется очень похожей на задачу, рассматривавшуюся в предыдущем параграфе. Там мы имели дело с упрощением системы полиномиальных уравнений над произвольным полем и указали алгоритм приведения уравнений к каноническому виду, чтобы определить, являются ли две системы эквивалентными и т.д. Теперь мы будем рассматривать те же самые вопросы, но ограничиваться вещественными значениями. В действительности именно в такой постановке возникает большинство задач в робототехнике, САПР (системах автоматизации проектирования) и т.д. Мы увидим, что эти две ситуации весьма различны.
Вещественные системы отличаются от остальных систем в двух отношениях:
можно добавлять неравенства, нечто, не имеющее смысла для комплексных чисел;
размерность пространства решений нс так очевидно, как прежде, задастся некоторыми уравнениями (или даже единственным уравнением).
Рассмотрим последний пункт более подробно. Предположим, что у нас есть две переменные, х и у. Добавив нетривиальное
уравнение, в случае комплексных чисел получаем одномерное пространство решений. В случае вещественных чисел положение более сложное.
Уравнениех2 + у2 = 1задастодномерноепространство,
т.с. окружность.
Уравнениех2 + у2 = 0задастнульмерноепространство,
т.е. точку х = у = 0.
Уравнение х2 + у2 = -1 задает пустое пространство, поскольку у этого уравнения нет вещественных решений.
Как мы уже отмечали, исследования проблем, перечисленных в предыдущем параграфе, продолжаются, и все еще остается масса нерешенных важных вопросов. Это тем более верно для данной проблемы; мы дадим только краткий обзор известных методов и алгоритмов.
Случай К1
Этот случай сравнительно прост. Мы рассматриваем несколько полиномиальных равенств и неравенств от одной переменной и спрашиваем, чему равно число вещественных решений. Мы будем всегда рассматривать случай, когда все коэффициенты суть рациональные числа. Достаточно, по крайней мере в принципе, рассмотреть случай системы вида
Р^ =... = рк^ = 0; q^x\> 0; ...; qfe(x) > 0, поскольку решение системы, содержащей неравенство вида <7z(x)^0, является объединением решений системы с q.(x) = 0 и решений системы с q.(x)>0. Более того, достаточно заменить р. на их НОД (обозначаемый р), поскольку общий корень непременно является корнем НОД.
Для решения этой системы достаточно знать все корни полиномов р и q где слово "знать" имеет некоторое специальное значение.
Определение. Корень а полинома р называется изолированным, если даны два рациональных числа а и Ь, такие, что а ^ а ^ b и на отрезке [а, 6] имеется только один корень полинома р. Этот отрезок называется изолирующим интервалом
элемента а.
Вырожденный случай этого определения - случай рационального корня, для которого достаточно выбрать а = а = b (но такой выбор нс обязателен).
Предложение. Для изолированного корня полинома существует сколь угодно малый изолирующий интервал.
Доказательство. Для простого корня процедура очевидна. В случае а-а (т.с. р(а) = 0) или а=Ь интервал может быть редуцирован к точке. В остальных случаях вычисляем с = = т^а + Ь) и определяем знаки чисел р(а), р(с) и р(Ь\ Знакичисел р(а)и р(Ь)обязательно различны,а знакчисла
р(с) равен одному из них. Отбрасываем интервал [а, с) (или (с, 6]), на котором знак нс меняется, и сохраняем оставшийся[с, 6] (или[а, с]),которому принадлежиткорень.Таким
образом, мы уменьшили размер интервала в два раза и можем продолжать подобным образом, пока интервал не станет достаточно малым.
Еслй мы рассматриваем полином с кратными корнями, то должны воспользоваться знаком свободной от квадратов части полинома р, т.е. р/НОД(р,р').
С помощью этих идей можно построить следующий алгоритм решения нашей задачи.
Изолировать все корни полиномов р и q..
Отбросить те корни полинома р, которые являются также корнями q., поскольку они не удовлетворяют неравенству р*.(а)>0. Другими словами:
р1 := р/НОД(р,р');
для всех / выполнять р1 := р1/НОД(р1,рр;
и сохранить только те корни полинома р, где р1 меняет знак на изолирующем интервале.
Редуцировать интервалы так, чтобы каждый определяю- V1
щии интервал для корня полинома р не содержал корня ни одного из полиномов qт.е. так, чтобы изолирующие интервалы полиномов р и q t не пересекались.
Для любого корня а полинома р1, заключенного между а и Ь, проверить, что все значения q. положительны. Достаточно проверить, что q.^>^, поскольку мы обеспечили уело-
вне, что полиномы q. не имеют корней между а и а и потому не могут менять знак.
Алгоритм чисто рациональный и нс требует каких-либо вычислений над числами с плавающей точкой. Он основан на алгоритме изоляции корней, к описанию которого мы приступаем. 3.2.1.1. Изоляция корней
В этом разделе мы рассматриваем полином р(х) = ^n. = Qa.xl с целыми коэффициентами. Последнее предположение в действительности нс является ограничением, поскольку корни полинома не изменятся, если мы избавимся от знаменателей. Без потери общности можно предполагать, что р не имеет кратных множителей (т.е. что р и р' взаимно просты), поскольку эти множители меняют не корни, а только их кратности. Этой проблемой занимались многие выдающиеся математики, например Декарт в семнадцатом веке, Фурье, Штурм и Эрмит в девятнадцатом веке и специалисты по компьютерной алгебре - с момента зарождения этой науки. Среди недавно вышедших статей отметим работы Коллинза и Лооса [Collins, Loos 1982] и Дэвенпорта [Davenport 1985b]; здесь приводится изложение результатов последней работы (без доказательств).
Определение. Последовательностью Штурма, ассоциированной с полиномом р, называется последовательность полиномов с рациональными коэффициентами Р0(х), р^х), Р^х) (где k^ п и рк - константа), определенная следующими равенствами:
P0W = р(х)
Pj(*) = P'W(1)
PtW = -остаток (р(._2(х), р^хУ) где "остаток" означает остаток от деления одного полинома из кольца Q[x] на другой.
Фактически нам нужны только знаки значений элементов последовательности Штурма, так что имеет смысл избавиться от их знаменателей и рассматривать эту последовательность как последовательность элементов кольца 1[х]. Это очень напоминает вычисление НОД, и элементы последовательности
Штурма суть (с точностью до знака - подробность, которую легко просмотреть) последовательные члены применения алгоритма Евклида к р и р'; именно поэтому мы всегда выходим на константу, так как р и р' предполагаются взаимно простыми. Последовательность Штурма может быть вычислена с помощью любого метода вычисления НОД:
наивного (но мы настоятельно рекомендуем им нс пользоваться - см. примеры роста встречающихся при этом целых чисел в разделе "НОД" предыдущей главы);
с помощью метода субрезультантов (см. тот же раздел), но нам нужно убедиться, что отбрасываемые в этом методе множители нс меняют знака полинома;
с помощью модулярного метода (описанного в следующей главе), но здесь возникает серьезная проблема с определением знака, и ее решить очень непросто.
Последовательность Штурма представляет интерес из-за ее связи с вещественными корнями полинома р; эта зависимость разъясняется следующими определением и теоремой.
Определение. Пусть у - вещественное число, не являющееся корнем полинома р. Вариация V(i/) в точке у последовательности Штурма, ассоциированной ср,- это число перемен знака в последовательности р^у), р^у), . Р^у\
Например, если значения элементов последовательности суть -1, 2, 1, 0 и -2, то вариация равна 2, так как знак меняется между -1 и 2 и между 1 и -2 (нули игнорируются).
Теорема Штурма. Если а и b - две точки, не являющиеся вещественными корнями полинома р, такие, что а < Ь, то число вещественных корней полинома р в интервале (а, Ь) равно V(a) - VW-
Для а и b можно рассматривать и значения со и -со, принимая за V(oo) число перемен знаков среди старших коэффициентов элементов последовательности Штурма, а за V(-oo) - такое же число после изменения знаков старших коэффициентов элементов нечетной степени. В частности, число вещественных корней является функцией знаков старших коэффициентов.
Чтобы эта теорема дала нам алгоритм нахождения вещественных корней полинома, нам нужно найти границу корней этого полинома, чтобы мы могли начать поиск с конечного интервала. Ниже приводятся три такие границы.
Предложение 1 [Cauchy 1829]. Пусть а - корень полинома
р. Тогда
|а| ^ 1 + max|а| ^ 1 + maxаап-1п-1ааппап-2Qnап-2Qn^0ап^0ап
|а| ^ 1 + max
|а| ^ 1 + max
а
а
п-1
п-1
а
а
п
п
ап-2Qn
ап-2Qn
^0
а
п
^0
а
п
Эта граница инвариантна относительно умножения полинома на константу, но она плохо ведет себя при преобразовании х—*х/2, которое меняет корни, умножая их на 2, но может изменить границу на множитель 2п. Две следующие границы избавлены от этого дефекта.
Предложение 2 [Cauchy 1829]. Пусть а - корень полинома
р. Тогдар. Тогда| а | ^ max| а | ^ maxпа .п-1аппа .п-1аппа оп-2аппа оп-2апПредложение 3 [KnuthТогдаПредложение 3 [KnuthТогда|а| ^ 2 max|а| ^ 2 maxаап-1п-1аапп1/21/2папа1/31/3п-3п-3а па ппа0а ппа0а п1981]. Пусть а - корень полинома р.1981]. Пусть а - корень полинома р.ап-2апап-2ап1/21/21/31/3апап^0ап^0ап1/п1/п
р. Тогда
р. Тогда
| а | ^ max
| а | ^ max
па .
п-1
ап
па .
п-1
ап
па о
п-2
ап
па о
п-2
ап
Предложение 3 [Knuth
Тогда
Предложение 3 [Knuth
Тогда
|а| ^ 2 max
|а| ^ 2 max
а
а
п-1
п-1
а
а
п
п
1/2
1/2
па
па
1/3
1/3
п-3
п-3
а п
а п
па0
а п
па0
а п
1981]. Пусть а - корень полинома р.
1981]. Пусть а - корень полинома р.
ап-2ап
ап-2ап
1/2
1/2
1/3
1/3
ап
ап
^0
а
п
^0
а
п
1/п
1/п
Каждое из этих предложений даст также границу и для минимального абсолютного значения корня полинома (в предположении, что свободный член полинома ненулевой) - заменяем в полиноме х на 1/х, другими словами, ищем наибольший корень полинома апхп + а<хп~1 + ... + а .х+а , обратный к кото- 01п-1 п г
рому будет наименьшим корнем полинома апхп + ап_^хп +... ... + а ^х + aQ.
Эти границы дают нам излагаемый ниже алгоритм изоляции. Результат - это список интервалов (т.с. пар рациональных чисел), каждый из которых содержит ровно один корень. Работа - это список структур, содержащих два рациональных чис
ла, определяющих интервал с несколькими корнями, и значение вариации последовательности Штурма в этих двух точках.
Алгоритм изоляции вещественных корней
$ := {р0, р^ := Starmap);
N := Вариации^,-со) - Вариации^, со);
если N = 0 то выход 0;
если N = 1 то выход [-со, со];
М := Максимальная грань (р);
Результат := 0;
Работа := {[-М,Л4,Вариации^ ,-со), Еариации(8,соУ§\
цикл пока Работа * 0 выполнять;
[о,Ь,Уд,Уь] : = элемент_списка(Работа);
Работа := Работа\^а,Ь,У а>У ^\
с := ^а+Ь);
если р(с)=0 то Результат := Результат U {[с, с]};
М := Минимальная_грань(зиЬз1(х=х-с,р)/х)\
V := Вариация (с+М);
VC+ : = У + 1; с- сн
если У = V + 1 тоа с-
Результат := Результат U {[а,с-Лф;
если V > У + 1 тоа с-
Работа := Работа U {[а>с-М>Уа>Ус_]};
если V. = У - 1 тоо с +
Результат := Результат U {[с+М,/>]};
если У. < V - 1 тоb с +
Работа := Работа U {[c+M,6,Vc+,Vb]};
иначе Ус := Вариация (Sfc)\если У = У + 1 тоа с
Результат := Результат U {[а, с]};
если У > У + 1 тоа с
Работа := Работа U {[а,с,Уа>V^]};
если У, = У - 1 тоо с
Результат := Результат U {[с, 6]};
если У. < У - 1 то6 с
Работа := Работа U {[^,6,V^,V^]}; выход Результат,
Предполагаем, что Минимальная грань и Максимальная грань выдают ^ качестве значений рациональные числа. В этом слу- 176—10
чае все используемые в данном алгоритме числа являются рациональными, и вычисления могут быть выполнены без потери точности.
Подчеркнем надежность этого алгоритма, поскольку корни полинома, особенно его вещественные корни, являются очень неустойчивыми функциями коэффициентов. Прекрасный пример неустойчивости приведен Уилкинсоном [Wilkinson 1959], который рассмотрел полином
W,(x) = (x+l)(x + 2)... (х+20) = х20 + 210х19 + ... +20!
Этот полином выглядит совсем обычно, корни его хорошо отделены друг от друга. Все старшие коэффициенты элементов его последовательности Штурма положительны, откуда мы выводим, что V(oo) = 0, V(-oo) = 20, так что у этого полинома 20 вещественных корней. Рассмотрим, как это предлагает Уилкинсон, очень малое возмущение этого полинома, т.е.
W^ = W(,x) + 2"23х19 = х20 + (210 + 2"23)х19 + ... + 20!
(число 2723 выбрано так, чтобы изменить последний из^ 32 битов в коэффициенте при х19). Кажется "очевидным", что W и W настолько' близки, что у W также должно быть 20 вещественных корней, но это совершенно неверно. В действительности W имеет только десять вещественных корней, а мнимая часть остальных корней достаточно велика - между 0.8 и 3. Старшие коэффициенты последовательности Штурма полинома №, начиная с восьмого полинома, становятся отрицательными, и V(oo) = = 15, a V(-oo) = 5.
Эта устойчивость тем более важна в связи с тем, что многие интересные вопросы в механике, САПР и робототехнике часто связаны с наличием вещественных корней или со значениями параметра, при которых появляются интересующие нас корни. Похоже, что компьютерная алгебра - единственное возможное средство для получения ответа на такие вопросы.
Однако мы должны сознавать, что подобные вычисления могут быть достаточно дорогими. Например, мы уже видели, что результанты и коэффициенты, появляющиеся в последовательностях Штурма, могут быть большими. Из того, что корни полинома могут быть расположены очень близко друг к другу,
следует, что для разделения двух кррней может потребоваться много делений отрезка пополам и что числители и знаменатели, появляющиеся в рациональных числах, могут стать совсем большими. Все это может значительно увеличить время работы рассматриваемого алгоритма.
Теорема [Davenport 1985b]. Время работы этого алгоритма ограничено величиной O(n6(log п + log Sa2)3).
Эта граница наводит на пессимистические размышления, и кажется, что среднее врзмя ближе к О(п4) [Heindel 1971]. Другие методы, которые могут оказаться более эффективными, описаны в [Collins, Loos 1982].
Вещественные алгебраические числа
В предыдущей главе вопросы представления алгебраических чисел рассматривались с чисто алгебраической точки зрения, и разные корни одного и того же неприводимого полинома мы не различали. Эта точка зрения годится для многих приложений, например для интегрирования. Но сейчас мы получили средство для работы с алгебраическими числами в более вычислительном аспекте.
Определение. Представление вещественного алгебраического числа состоит из: свободного от квадратов полинома р с целыми коэффициентами и изолирующего интервала [а, 6] одного из его корней.
Мы нс настаиваем на том, чтобы полином был неприводимым, поскольку мы располагаем всей необходимой информацией для ответа на такие вопросы, как: "Является ли это алгебраическое число корнем другого данного нам полинома qY'. В действительности ответ на этот вопрос довольно прост: "да" тогда и только тогда, когда НОД этих двух полиномов имеет корень на интервале [а, 6], что можно проверить, выяснив, меняет ли НОД между а и b знак (НОД нс может иметь кратных корней).
Как уже было сказано, отправляясь от такого представления, можно получить рациональное приближение (а значит, и приближение в виде числа с плавающей точкой) произвольной точности.
Общий случай (некоторые определения)
Прежде чем рассматривать общий случай, нам понадобятся несколько определений, являющихся в некотором смысле обобщением понятий корня и интервала.
Определение. Полуалгебраическая компонента пространства Кп - это множество точек, удовлетворяющих семейству полиномиальных уравнений и неравенств:
Ux.,...,x У рДх„...,х ) = ... =) = 0;
Vj(xv- -,xn) > 0; ...; qk(xv...,xn) > 0}.
Очевидно, что это естественное обобщение только что рассмотренной нами ситуации в К1. В действительности более естественно рассматривать нс только компоненты, но и объекты, получающиеся исходя из этих компонент с помощью теоретико-множественных операций.
Определение. Полу алгебраическое многообразие - это либо полуалгебраическая компонента, либо одно из множеств Л U В, А П В и А \ В, где Л и В - два полуалгсбраичсских многообразия.
Это определение характеризует подмножества пространства Кп, которые можно описать в терминах полиномиальных уравнений и неравенств, например подмножество
^х.у.ху х2 + у2 + z2 > 0 или (х#0 и у2 - z^O)^ может быть переписано как полуалгсбраичсскос многообразие в виде
Л U ((В U С) А (В U Е)У где
C = {(x,t/,z): х<0},
А = ^x,y,zY хг+уг+гг > 0}.
D = VU.y.zY y2-z<»Y
B = ^x,y,zY х>0},
E = ^x,y,zY y2-z = 0Y
Можно проверить, принадлежит ли точка (с рациональными или алгебраическими коэффициентами в смысле, определенном в предыдущем разделе) такому многообразию, проверяя, принадлежит ли точка каждой компоненте, и применяя затем булевы
правила, соответствующие построению многообразия. Можно делать это более экономно: если многообразие имеет вид ЛОВ, 'то нс нужно проверять компоненту В, если точка принадлежит Л.
Однако если мы будем исходить из такого определения, то весьма сложно понять структуру полуалгсбраичсского многообразия, даже если мы умеем определять, принадлежат ли некоторые точки многообразию. Ниже приводятся несколько естественных вопросов о многообразии:
Пусто ли оно?
Какова его размерность?
Является ли оно связным?
Разбиение пространства Кп
В этом разделе мы будем искать метод разбиения пространства Rn, который позволит нам проанализировать структуру полуалгсбраичсского многообразия.
Определение. Разбиение пространства Кп - это представление Кп в виде объединения конечного числа непересекающихся связных полуалгебраических компонент.
• Требование, чтобы компоненты были непересекающимися и связными, делает разбиение более удобным для работы, чем произвольное полуалгебраическое многообразие. Часто бывает полезно знать по точке в каждой компоненте разбиения.
Определение. Разбиение называется отмеченным, если с каждой компонентой ассоциируется принадлежащая этой компоненте точка с рациональными или алгебраическими коэффициентами.
Точки, отмеченные в компонентах, образуют систему представителей пространства Rn, по точке в каждой компоненте. Прежде чем пользоваться такой системой, нужно знать, что это действительно представители.
Определение. Разбиение пространства Кп называется инвариантным относительно знаков семейства полиномов г .^xv...,x^, если для каждой компоненты разбиения каждый полином "
всегда положителен или "
всегда отрицателен или
всегда нулевой.
Например, разбиение пространства К1 в виде
(-оо,-2) U {-2} U (-2,1) U {1} U (1,оо)
(которое более формально может быть записано в виде
{х: -x-2>0}U{x: x + 2 = 0)U{x: х + 2>0 и l-x>0}U
U{x: x-l = 0}U{x: х-1 > 0} в соответствии с формальным определением разбиения) инвариантно относительно знаков полинома (х + 2)(х-1).
Предложение. Пусть V - полуалгебраическое многообразие и D - разбиение пространства R? инвариантное относительно знаков полиномов, встречающихся в определении V (будем сокращать это выражение до "инвариантное относительно знаков V"\ Тогда для каждой компоненты С разбиения D либо С А У = 0, либо С eV.
Фактически отмеченное разбиение, инвариантное относительно знаков У, даст нам массу информации о многообразии У. Отправляясь от такого разбиения, можно проверить, является многообразие пустым или нет, проверяя принадлежность каждой из отмеченных точек разбиения этому многообразию. Если многообразие содержит некоторую точку пространства Rn, то из предложения следует, что оно содержит целую его компоненту, а поэтому и се отмеченную точку.
Цилиндрические разбиения
Хотя понятие разбиения является полезным, оно недостаточно конструктивно, чтобы дать нам возможность производить вычисления с произвольными разбиениями. Фактически предыдущий раздел нс является частью компьютерной алгебры, поскольку в нем используются не совсем алгоритмические понятия. В данном разделе мы определим гораздо более конструктивный тип разбиения и дадим набросок алгоритма его вычисления. Предположим, что мы выбрали в Кп систему координат
Определение. Разбиение D пространства Rn, т.е. представление Rn=E ^. .U £^, называется цилиндрическим, если л = 0 (тривиальный случай) или если
для Кп-1 существует цилиндрическое разбиение D', которое можно‘записать в виде Кп-1 = 7^ U... UF^;
для каждой компоненты Е. разбиения D существует компонента F. разбиения D', такая, что Е. записывается в одной из следующих форм
.,х ): (х.,..
* п/ х Г
.,Х J € F . И п- 1/
х < f Ах^... п 1 Г
,Х J}-
(1)
{(*v
.,х ): (х.,..
.,Х J € F. и
Xn = UXV
.,х J},
(2)
{(Хг..
.,х ): (х.,.. п' х Г
.,Х J € F. и ’ п-17/
№г"'Хп-
J} < X
и
ХЛ' <XW
•Vi)b
.,х(х,,..
п' х г
'^n-t^Fj и
(4)
где fk - решения полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами, например "f k(x р...,хп_ р - третий вещественный корень полинома р(хр...,хп ^z), рассматриваемого как полином от г”.
Понятие, стоящее за этим определением, введенным Коллинзом [Collins 1975], совсем простое: пространство Кп-1 делится на компоненты в соответствии с разбиением D*, а над каждой компонентой F. рассматривается цилиндр1 всех точек (Хр...,хр, для которых (Xp-.^x^p принадлежит F.. Требуется, чтобы этот цилиндр пересекался конечным числом N поверхностей, однозначных относительно (х^.. -,х т.е. таких, что их можно записать в виде х - f Лх.,...,х Л. Более того, накладывается условие, что эти поверхности не касаются друг друга и a fortiori что они нс пересекаются. Таким образом, возможно упорядочить эти поверхности в порядке возрастания координаты х^ для некоторой точки (Хр...,х^_ р данной компоненты F., и этот порядок остается одним и тем же для каждой точки цз F . Значит, цилиндр делится на N поверхностей типа (2) той же размерности, что и
Fp N-1 "пластов" между двумя поверхностями, задаваемых уравнениями типа (3), размерность которых на единицу больше размерности Fр и два полубесконечных "пласта", задаваемых уравнениями типа (1) и (4), размерность которых также на единицу больше размерности F..
Цилиндрическое разбиение пространства R1, инвариантное относительно знаков семейства полиномов, вычислить весьма просто - нужна только информация (в том, что касается их изоляции) обо всех корнях полинома, и разбиение строится по этим корням и интервалам между ними.
Теорема [Collins 1975]. Существует алгоритм, вычисляющий цилиндрическое разбиение пространства Rn, инвариантное относительно знаков семейства Р полиномов с целыми коэффициентами. Если семейство Р содержит m полиномов, степени которых меньше или равны d, а коэффициенты ограничены величиной 2^ (длина ограничена величиной Н), то время завершения алгоритма ограничено величиной
92п + 8 9п + 6
(2d)2 m2 Н3. (5)
Принцип, стоящий за этим алгоритмом, весьма прост: мы уже видели, как решать эту задачу в случае п = 1, а при п > 1 реализуется следующий план. .
Вычислить семейство Q полиномов от переменных Хр... ..., х г таких, что разбиение пространства R”"1, инвариантное относительно их знаков, может служить базисом для разбиения пространства Rn, инвариантного относительно знаков Р.
По рекурсии вычислить разбиение D* пространства R”"1, инвариантное относительно знаков Q.
Для каждой компоненты F разбиения D' вычислить разбиение цилиндра, расположенного над F, определенное полиномами из Р.
Наиболее труден этап [1]: к его реализации мы вернемся позже. Этап [2] - это рекурсия, а этап [3] не очень труден. Если семейство Q выбрано хорошо, то каждый элемент из Р (рассматриваемый как полином от х ) имеет постоянное число вещественных корней над каждой компонентой разбиения D', а поверхности, определяемые этими корнями, не пересекаются.
Разбиение каждого цилиндра, индуцируемое этими полиномами, является поэтому цилиндрическим, и мы нашли искомое цилиндрическое разбиение.
Ясно, что все концептуальные сложности этого алгоритма зависят от выбора Q. Этот выбор требует хорошего знания анализа и вещественной геометрии, но изложить здесь соответствующий материал в общем случае мы нс можем.
Случай пространства R2
Ради простоты изложения мы ограничимся в настоящее время случаем п = 2 и будем писать х и у вместо хг и х2. Начиная с семейства Р, мы должны определить семейство Q полиномов от переменной х, таких, что разбиение пространства R1, инвариантное относительно знаков Q, может служить нам основанием для цилиндрического разбиения пространства R2. Можно предполагать, что элементы семейства Р свободны от квадратов и взаимно просты. Каким ограничениям должны удовлетворять компоненты F. этого разбиения пространства R1?
Каждый полином семейства Р имеет постоянное число вещественных корней над каждой компонентой.
. (2) Над каждой компонентой поверхности (в действительности в R2 это просто кривые), задаваемые корнями элементов из Р, не пересекаются.
Что касается первого ограничения, то существуют две ситуации, в которых число вещественных (и конечных) корней полинома р^х, у) (рассматриваемого как полином от у) может измениться: вещественный конечный корень полинома может стать бесконечным или комплексным. Во второй ситуации нужно заметить, что комплексные корни полинома с вещественными коэффициентами всегда появляются попарно и поэтому один вещественный корень исчезнуть не может. Для того чтобы могли обратиться в нуль два корня полиномиального уравнения р .(х, у) = 0, для частного значения xQ переменной х должен существовать кратный корень. Критические значения переменной х, которые должны появляться в разбиении пространства R1, - это значения xQ переменной х, при которых один из полиномов семейства Р имеет кратный корень. Если р .(у) имеет кратный корень, то полином НОД(^., dp ,/dy) нетривиален
(см. параграф "Разложение на свободные от квадратов множи
тели" в дополнении). Другими словами, для этого значения xQ переменной х имеем Res^(pz(xQ, у), dp .(xQ, y)/dy) = 0 (см. параграф о результантах). Но данный результант - это поли-
ном от х, обозначаемый таким образом, являютсяном от х, обозначаемый таким образом, являютсяDisc^(pz). Критическими значениями,
ном от х, обозначаемый таким образом, являются
ном от х, обозначаемый таким образом, являются
корни полиномов Disc^(pz) для каж
дого р. из Р. У нас остается еще следующая возможность: при
изменении значения х конечный корень перейдет в бесконеч
ный. Если записать уравнение р(у) = 0 в виде ап(х)уп +... ...+ао(х) = О, где а. - полиномы от х и поэтому всегда
принимают конечные значения, станет очевидным, что для по
лучения корня полинома р(у), стремящегося к бесконечности, а^ должен обращаться в нуль. Это также можно получить из значений границ корней полиномов, приведенных в последнем
разделе.
Для второго ограничения также имеется две возможности. Две пересекающиеся кривые могут быть корнями одного и того же или двух различных элементов семейства Р. В первом случае этот элемент семейства Р там, где два его корня пересекаются, имеет кратный корень, а случай кратных корней уже был рассмотрен в предыдущем абзаце. Во втором случае соответствующие полиномы должны при значении xQ переменной х, соответствующем пересечению двух кривых, иметь общий корень - значение переменной у в точке пересечения. Другими словами, если р. и р. - полиномы, то их НОД нетривиален и Res^(pz(x0,z/),p^.(x0, у)) = 0. Из предположения, что элементы семейства Р не имеют общих сомножителей, следует, что полином Res (р.,р ) нс является тождественным нулем, поэтому xQ определяется как нуль полинома Res ^р рр^.
Для обозначения старшего коэффициента полинома р используем запись 1с(р). Итак, мы доказали следующий результат.
Предложение. Если Р = ^рр...,р^ - семейство попарно взаимно простых полиномов, свободных от квадратов, то достаточно в качестве Q взять следующее семейство*.
V^ulP^ 1 s z< л} U{Disc^(p(); 1 s i< л} U^Res^p .,p.); l^i^nY
Читатель может заметить, что размер данных при такой
редукции к К1 значительно возрастает. Если семейство Р со- гтоит из пг полиномов, степень которых ограничена числом d, го Q состоит из О(т2) полиномов, степень которых ограничена величиной О^г\ Кроме того, коэффициенты элементов из Q могут быть достаточно большими - они ограничены величиной ^d+\)2dB2d, где В - граница для коэффициентов элементов семейства Р.
Общий случай
Анализ, проведенный нами для случая п = 2, был достаточно специфичен для этого случая. Основные принципы в общем случае остаются теми же, но нужно рассматривать гораздо больше возможностей. Читатель может обратиться к работам [Collins 1975] или [Arnon et al. 1984], или к более свежим результатам Мак-Каллума [McCallum 1985а,Ь]. Он доказал, что обычно1) достаточно взять результанты и дискриминанты, как мы делали в случае К2, а также все коэффициенты.
Теорема [McCallum 1985а, Ь]. При тех же предположениях, что и в теореме Коллинза, разбиение можно вычислить за время, ограниченное величиной
(2d)”2 m2 И3.(6)
Этот результат можно слегка улучшить [Davenport 1985b] и получить л п + 5 л 71 л
(2d)n2 m2 Я3.(7)
Все эти величины ведут себя относительно п дважды экспоненциально, и можно спросить, необходимо ли это в действительности. В конце концов задача не выглядит слишком сложной. К сожалению, это поведение внутренне присуще задаче вычисления цилиндрического алгебраического разбиения, как показывает следующий результат.
1) Если примитивная часть каждого полинома обращается в1) Если примитивная часть каждого полинома обращается вТеорема [Davenport, Heintz 1987]. Существуют примеры, в которых пространство, необходимое для записи цилиндрическо-
1) Если примитивная часть каждого полинома обращается в
1) Если примитивная часть каждого полинома обращается в
нуль тождественно как полином от х^ только в конечном числе точек пространства К""1.
го разбиения, а следовательно, и время вычислений, дважды экспоненциальны по п.
Более точно, если п имеет вид Юг + 2, то существует семейство из 12г линейных уравнений и двух уравнений степени четыре, такое, что оно может быть записано в О(и) символах, однако для цилиндрического разбиения пространства Кп, инвариантного относительно знаков этого семейства, требуется пространство объема
92г+19(п+3)/5
22= 22(8)
Уравнения Дэвенпорта и Хайнтца имеют весьма частный вид, и результат справедлив только при одном выборе координат, т.е. порядка исключения переменных. В других координатах разбиение может оказаться гораздо проще. Но это доказывает, что вычисления могут быть очень дорогими, и примеры в следующем параграфе показывают, что эта высокая стоимость может существенно влиять на приложения.
3.2.4. Приложения цилиндрического разбиения
Существует столько же приложений, сколько существует полиномиальных систем с вещественными решениями: мы упомянем здесь только два из этих приложений.
Элиминация кванторов
Напомним, что квантор - это один из двух символов: V (для всех) и 3 (существует). Кванторы употребляются в виде Ух р(х), что означает "для всех х предложение р(х) истинно". Все квантифицированные переменные в этом параграфе квантифицированы над вещественными числами - более формально, нас интересует теория вещественных чисел К первого порядка. Мы будем пользоваться привычными логическими знаками л (ц), v (включительное или) и п (логическое отрицание). Эта теория содержит выражения следующего вида, где х. - переменные, р. - полиномы, а А и В являются по рекурсии выражениями этой "теории":
р .(х.,х. ,...) = 0; р(х.,х. ,...)> 0;
А к В; Av В; п А;
Зх.А; Мх.А.
Ii
Например, выражение
(9)(9)Чх ах4 + Ьх3 + сх2 + dx + е > О
(9)
(9)
является выражением этой теории.
Определение. Задача элиминации кванторов - это задача нахождения алгоритма, который для данного логического выражения, содержащего кванторы, находит эквивалентное ему выражение, нс содержащее кванторов.
Например, можно найти выражение, эквивалентное выражению (9), т.с. выражение от переменных a, b, с, d и е, истинное тогда и только тогда, когда полином положителен при всех х.
Тарский [Tarski 1951] доказал, что большинство задач элементарной алгебры и евклидовой геометрии может быть ре
шено при помощи элиминации кванторов, и привел соответствующий алгоритм. Но его алгоритм совершенно непригоден с практической точки зрения.
Коллинз [Collins 1975] воспользовался для элиминации кванторов цилиндрическим разбиением. Идея его совсем проста, хотя детали требуют некоторой техники, главным образом из-за того, что может оказаться несколько кванторов, рас
пространяющихся на переменные с одними и теми же именами. Вместо полного алгоритма приведем лучше несколько примеров.
Рассмотрим, например, в выражении (9) переменные а,...,е
как координаты х^..^ (порядок их не имеет значения); квантифицированная переменная х должна стать %$ (здесь порядок существен). Выполним цилиндрическое разбиение D пространства R6, инвариантное относительно знака полинома (9).
Для каждой компоненты F. цилиндрического разбиения пространства R5, на котором базируется D, существует конечное число компонент Е. . разбиения D, с отмеченной точкой г. . в каждой компоненте. Если полином (9) положителен в отме-
ченнои точке х .ченнои точке х .то он положителен на всей компоненте
ченнои точке х .
ченнои точке х .
Е. .. Если полином положителен во всех отмеченных точках
над F., то он положителен для всего цилиндра над F.. Отсюда
следует, что полуалгебраическое многообразие пространства
К5, в точности состоящее из решений соотношения (9), - это
UlF/.^ia. ,х4 . + b . .х3 . + с . ,х2. . + d. .х. . + е. .> 0}, 1'<»/<»/ i.ii.i i.ii.i t.ii.i i.i ;
где мы записали отмеченные точки х, . как (а. ., Ь.
с. р d. р е. х. .). Это решение было получено Арноном [Arnon 1985]. Однако ниоткуда не следует, что это решение является простейшим или что эта процедура - лучший метод отыскания решения. С карандашом и бумагой эта задача была решена Миньоттом [Mignotte 1986] для полинома х4 + рх2 + + qx + г и Лазаром [Lazard 1987] в общем случае (за исклю
чением того, что он использовал для разложения нужных результантов систему MACSYMA). Оба нашли более простые реше
ния, ‘ чем полученное алгоритмически. Другая задача этого рода - проблема эллипса: каковы условия на а, Ь, с и d, чтобы эллипс
V-.«¥= 1
b6 Jполностью содержался в круге х2 + у2 £ 1. Здесь также име-
ется два квантора, поскольку задачу можно переписать в виде
VxVyVxVy^^ + ^^- 1 ^x2^s\_о^^ + ^^- 1 ^x2^s\_о
VxVy
VxVy
^^ + ^^- 1 ^x2^s\
_о
^^ + ^^- 1 ^x2^s\
_о
К настоящему времени эта задача полностью автоматическим способом еще нс решена, хотя Арцон и Смит [Arnon, Smith 1983] решили се в частном случае d = 0. Миньотт [Mignotte 1986] также решил этот случай с карандашом и бумагой, а Лазар [Lazard 1987] решил се в общем случае, используя систему MACSYMA для разложения полинома Т степени 12 с 105 членами, который фигурирует в решении. Данное им решение
имеет вид
ТаО а (с2 + (6 + |d|)2 ^ 1) л (d2 + (а + |с|)2 < 1)а ^Ьг £ а)А(а2 s 6)) v
((а > b^cFd2 £ (1 - а2)(а2 - 62)))v
((6 > aW2<? 5 (1 " b2Hb2 - а2))));
оно, как можно убедиться, не слишком простое, особенно если учесть размер Т.
Из этих двух примеров можно сделать вывод, что это средство носит очень общий характер, но кажется слишком дорогим, по крайней мере в имеющихся реализациях.
Робототехника
Одна из проблем робототехники - это задача планирования движения робота, т.е. определения того, как робот может передвигаться с одного места на другое, нс касаясь стен, не нанося повреждений себе и другим роботам. Имеется, конечно, много других проблем, но мы будем рассматривать только эту. Ради простоты мы ограничимся случаем одного робота, даже этот случай достаточно сложен; случай нескольких роботов изучается в работе [Schwartz, Shari г 1983b]. Предполагается, что все препятствия фиксированы и определены полиномиальными уравнениями и что сам робот также задан полиномиальными уравнениями.
Выбрав определенное число точек на роботе, можно точно фиксировать положение каждой его части. Например, если робот жесткий, достаточно выбрать три точки, которые нсколли- неарны. Если нам нужно к точек, то положение робота определяется точкой в пространстве R3fe. Но на эти точки имеются ограничения - например, две точки одной и той же жесткой части робота всегда находятся на одном и том же расстоянии одна от другой. Таким образом, наши точки в R3fe должны удовлетворять системе полиномиальных уравнений (и, возможно, неравенств).
Препятствия определяют несколько полиномиальных неравенств, которые должны удовлетворяться, чтобы положение робота было "законным", например чтобы он нс пересекал стену. Физические законы могут налагать дополнительные неравенства, например робот должен находиться под действием сил тяжести в состоянии равновесия. Все эти уравнения и неравенства дают нам полуалгебраическое многообразие в К3\ В принципе задача планирования движения достаточно проста: связаны ли в многообразии исходное положение и требуемое положение? Другими словами, существует ли в многообразии
путь, соединяющий исходное положение с требуемым? Если путь существует, то он даст нам требуемое движение; если нет, то задача нс имеет решения.
Эта идея рассматривалась Шварцом и Шариром в работе [Schwartz, Sharir 1983а], где объяснялось, как найти этот путь. При данном цилиндрическом разбиении проблема делится на две задачи.
Геометрический аспект:' какие компоненты граничат друг с другом (нам нужно рассматривать только компоненты в многообразии допустимых положений)?
Комбинаторный аспект: имеется граф отношения соседства между компонентами; найти путь в этом графе, соединяющий компоненту исходного положения и компоненту требуемого положения.
Детали читатель может посмотреть в упомянутых работах.
К сожалению, данный алгоритм выглядит мало пригодным на практике. Одна из простейших задач планирования движения состоит в следующем:
В К2 дан "коридор" ширины единица, изгибающийся под прямым углом, например, (х>0л0^//^1)и(//>0л0^х^1). Можно ли пройти его со стержнем длины 3 (и бесконечно малой ширины).
' Ответ - "нет", поскольку наибольший стержень, который можно пронести, имеет длину 2V2. Дэвенпорт [Davenport 1986] пытался решить эту задачу методом Шварца и Шарира. Полуал- гебраическое многообразие расположено в R4 (так как нам нужны в качестве опорных точек две крайние точки стержня) и определено уравнением, требующим, чтобы эти две точки всегда находились на расстоянии 3 одна от другой, и восемью неравенствами, по два для каждой стены коридора. Чтобы найти цилиндрическое разбиение пространства R4, нам нужно определить разбиение для R3, затем разбиение для R2 и, наконец, для R1. Для R1 получаем 184 (неприводимых) полинома, общей степени 801 и максимальной степени 18. Эта редукция занимает десять минут времени CPU в системе REDUCE на компьютере DEC 20-60. У этих полиномов 375 вещественных корней, которые можно изолировать (имеется в виду изолировать
корни каждого полинома) за пять минут, изолировать все корни всех полиномов, и лось проделать такие вычисления из-за
Однако нам нужно Дэвенпорту не уда- роста числителей и
знаменателей получающихся при вычислениях рациональных чисел.
176—11
Глава 4
СОВРЕМЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ
Компьютерная алгебра в общем случае имеет дело с весьма привычными математическими объектами, и выполняемые над ними преобразования в принципе достаточно просты. Но, как мы уже видели, даже для вычисления НОД двух полиномов с целыми коэффициентами наивные методы чрезвычайно дороги. Поэтому мы предлагали методы, например последовательность субрезультантов полиномов, которые выглядят гораздо более эффективными. Мы утверждали следующее:
Приведенный алгоритм является лучшим из известных методов вычисления НОД среди методов, основанных на применении к полиномам с целыми коэффициентами алгоритма Евклида. В главе "Современные алгоритмы" мы увидим, что если отказаться от этого условия, то можно получить лучшие алгоритмы для вычисления НОД.
МОДУЛЯРНЫЕ МЕТОДЫ
В этом параграфе мы опишем первое (с исторической точки зрения) семейство неочевидных алгоритмов, и начнем с его наибольшего успеха - вычисления НОД.
НОД при одной переменной
В этом разделе мы рассматриваем следующую ситуацию: А и В - два полинома, принадлежащие кольцу Z[x], и их НОД мы хотим вычислить. Требование, чтобы коэффициенты были целыми, нс представляет проблемы, поскольку мы всегда можем домножить полиномы на некоторое целое число так, чтобы ис-
ключить знаменатели. Небольшая вариация классического примера Кнута [Knuth 1969] (см. также [Brown 1971]), когда вычисление НОД наивными методами становится очень дорогим, - это
А^ = х + х6 - Зх4 - Зх3 + х2 + 2х - 5;
В^ = Зх6 + 5х4 - 4х2 - 9х + 21
(см. вычисления в разделе "НОД" гл. 2). Предположим, что эти два полинома имеют общий делитель, т.е. полином Р (ненулевой степени), который делит и А и В. Тогда существует полином Q, такой, что А = PQ. Это равенство остается справедливым, если мы представим каждый коэффициент как целое число по модулю 5. Если мы будем писать Р^ чтобы обозначить полином Р, рассматриваемый как полином с коэффициентами по модулю 5, то из этого равенства следует, что Р^ делит Лд. Аналогично Р5 делит Вд, а потому он является общим делителем1 > полиномов Лд и В^. Но вычисление НОД полиномов Л5 и Вд довольно простое:
Лд(х) = х8 + х6 + 2х4 + 2х3 + х2+ 2х;
Вд(х) = Зх6 + х2 + х + 1;.
Сд(х) = остаток(Лд(х),Вд(х)) = Лд(х) + 3(х2 + 1)Вд(х)=2х2+ 3;
DJx) = остаток(В (x),CR(x)) = В(х) + (х4 + х2 + 3)С(х)=х;
£ (х) = остаток(С (х),£> (х)) = С(х) + ЗхО (х) = 3.
1JОООО
Таким образом, полиномы Лд и Вд взаимно просты, откуда следует, что Pg = 1. Поскольку старший коэффициент полинома Р должен быть равен 1, мы получаем, что Р=,1.
Эти вычисления наводят на мысль о модулярных методах, в которых нет возможности разбухания промежуточных выражений, поскольку целые числа по модулю 5 ограничены (четырьмя).
Очевидно, что нет необходимости пользоваться целыми числами по модулю именно 5: достаточно взять любое простое число (мы выбрали 5, потому что эти вычисления нс проходят по модулям 2 и 3 из-за причин, которые мы рассмотрим позже). В этом примере результат состоял в том, что полиномы взаимно просты. Отсюда возникают несколько вопросов об обобщении этих вычислений до алгоритма, способного вычислять НОД любой пары полиномов:
как вычислять нетривиальный НОД?
что делать, если модулярный НОД не является модулярным образом НОД (как в примере, приведенном в подстрочном примечании на предыдущей странице)?
какова стоимость этого метода?
Прежде чем ответить на эти вопросы, нам нужно найти границу для коэффициентов НОД двух полиномов.
Теорема (неравенство Ландау - Миньотта). Пусть Q = ^=o^txl - делитель полинома P-Y?i = ^a.xl (где а. и Ь. - целые числа). Тогда
См. статью Ландау [Landau 1905] и работы Миньотта [Mig- notte 1974], [Mignotte 1982].
Следствие 1. Каждый коэффициент НОД полиномов Л = = ^=оа.х‘" и В = ^= .^Ь .х1 (с целыми коэффициентами а. и b.) ограничен величиной
2т1п(а,р)НОд(а^ ^)min2т1п(а,р)НОд(а^ ^)min1 т^т1 т^т«21£ а г ТБ«21£ а г ТБТ"£1=0Т"£1=0ь2ь2
2т1п(а,р)НОд(а^ ^)min
2т1п(а,р)НОд(а^ ^)min
1 т^т
1 т^т
«21
£ а г ТБ
«21
£ а г ТБ
Т"£1=0
Т"£1=0
ь2
ь2
Доказательство. НОД является делителем для А и В, степень которого не более минимума степеней этих двух полиномов. Более того, старший коэффициент НОД должен делить оба старших коэффициента полиномов А и В,. а потому и их НОД
Небольшая модификация этого следствия даст такой резуль
тат.
Следствие 2. Каждый коэффициент НОД полиномов А = ^^а/ и В = ^= .^Ь .х1 (с целыми коэффициентами а. и b.) ограничен величиной
Доказательство. Если С = ^. = Qc .х! - делитель полинома А, то С = У^ пс_ .х1 - делитель полинома А = У^ па^ .х1, и
Z=U j-fz = u ос—z
наоборот. Поэтому последнее следствие можно применить к полиномам А и В, откуда получается требуемая граница.
Может показаться странным, что коэффициенты НОД двух полиномов могут быть больше, чем коэффициенты самих полиномов. Следующий пример (принадлежащий Дэвенпорту и Трейгеру) демонстрирует это:
А = х3 + х2 - х- 1 = (х + 1)2(х - 1),
. В = х4 + х3 - х - 1 = (х + 1)2(х2 - X + 1),
НОД(Л,В) = х2 + 2х + 1 = (х + I)2.
Этот пример легко можно обобщить, скажем:
Л = х5+ Зх4+ 2х3- 2х2- Зх - 1 = (х + 1)4(х - 1),
В = х6+ Зх5+ Зх4+ 2х3+ Зх2- х - 1 = (х + 1)4(х2 - х + 1), НОД(Л,В) = х4+ 4х3+ 6х2+ 4х + 1 = (х + I)4
Соответствие модулярное - целое
В этом разделе мы ответим на вопрос, поставленный выше: что делать, если модулярный НОД нс является модулярным образом НОД, вычисленного над кольцом целых чисел?
Лемма 1. Если р не делит старший коэффициент НОД^А, В), то степень НОД(А^ В^ больше или равна степени НОД^А, В).
Доказательство. Поскольку НОД(Л, В) делит Л, то (НОД(Л, В)) делит А . Аналогично он делит В , а поэтому делит и НОД(Лр, ^ ). Отсюда вытекает, что степень НОД(Л^, Вр) больше или равна степени НОД(Л, В^ . Но степень НОД(Л, В) равна степени НОД(Л, В), поскольку старший коэффициент ^ОД(Л, В) нс обращается в нуль при редукции по модулю р.
. Эту лемму не так-то просто использовать саму по себе, поскольку в ней предполагается, что нам известен НОД (или по крайней мере его старший коэффициент) до того, как мы сможем проверить, имеет ли модулярная редукция ту же самую степень. Но этот старший коэффициент должен делить старшие коэффициенты полиномов Л и В. Отсюда вытекает формулировка, которой уже легко пользоваться.
Следствие. Если р не делит старшие коэффициенты полиномов А и В (в частности, может делить один из них, но не оба одновременно), то степень НОД^А , В ) больше или равна степени НОД^А» В).
Поскольку НОД является единственным (с точностью до целого кратного) полиномом этой степени, который делит и Л, и В, то мы можем проверить корректность наших вычислений НОД: если результат имеет ту же степень, что и НОД(Л^, В^) (где р удовлетворяет предположению следствия), и если он делит А и В, то он совпадает с НОД (с точностью до целого множителя).
Вполне возможно, что мы можем найти НОД(Л^, В^) слишком высокой степени. Например, в уже упоминавшемся случае
Л(х) = х8 + х6 - Зх4 - Зх3 + х2 + 2х - 5, В(х) = Зх6 + 5х4 - 4х2 - 9х + 21,
НОД(Л2> В2) - х +1 (очевидно, что х+1 делит оба полинома по модулю 2, потому что сумма коэффициентов в каждом полиноме четна). Следующая лемма показывает, что такая возможность может возникать только для конечного числа значений модуля р.
Лемма 2. Пусть С-НОД(А,В). Если р удовлетворяет условию следствия и если р не делит Res (Л/С, В/С), то НОД(Ар, Вр) = Ср. Х
Доказательство. Полиномы Л/С и В/С взаимно просты, так как в противном случае С нс был бы НОД для полиномов А и В. По следствию Ср нс обращается в нуль. Поэтому
НОДИР. вр) = ср НОД(Л/Ср, вр/сру
Чтобы утверждение леммы не выполнялось, последний НОД должен быть нетривиальным. Отсюда по предложению 1 параграфа "Результант" в дополнении "Основные сведения из алгебры", следует, что результант Кез^Л^/С^, В^/С^ обращается в нуль. Этот результант является определителем матрицы Сильвестра, и |М | =(|Л4|) , поскольку определитель - это просто сумма произведений коэффициентов. В таком случае это равносильно утверждению о том, что обращается в нуль Кез^(Л/С, В/С)?, т.е., что р делит Кез^(Л/С, В/С). Но предположение леммы исключает такую возможность.
Определение. Если НОД(Л^, В^ = НОД(Л, В), то мы говорим, что редукция задачи хорошая или что р - число с хорошей редукцией. В противном случае мы говорим, что р - число с плохой редукцией.
Из этой леммы, в частности, следует, что существует только конечное число значений р, таких, что степень НОД(Лр, В^ отличается от степени НОД(Л, В), - это те р, которые делят НОД старших коэффициентов, и тс р, которые делят результант, упоминающийся в лемме (этот результант ненулевой и потому имеет только конечное число делителей). В частности, если полиномы А и В взаимно просты, то мы всегда можем найти такое р, что полиномы А и В взаимно -Р Р
просты.
Вычисление НОД
В этом разделе мы ответим на поставленный ранее вопрос: как вычислять нетривиальный НОД? Очевидный метод состоит в том, чтобы воспользоваться неравенством Ландау - Миньотта, которое позволяет определить <акое число М, что все коэффициенты НОД ограничены М, и производить вычисления по модулю простого числа, большего, чем 2М. Этот метод приводит к следующему алгоритму:
М := граница Ландау Миньотта ^В);•
цикл до бесконечности
р := найти большое простое (2М);
если степеньостатка^А) или степеньостатка^В)
то С := модулярный НОД^А^В^рУ^если делит^А) и делит^В)
то выход С;
(где алгоритм граница Ландау Миньотта применяет следствия их неравенства, алгоритм найти большое простое возвращает простое число, большее, чем его аргумент (каждый раз новое число), алгоритм степень остатка проверяет, что редукция по модулю р нс меняет степень, т.с. р нс делит старший коэффициент, алгоритм модулярный НОД применяет алгоритм Евклида по модулю р, а алгоритм делит проверяет, что полиномы делятся над кольцом целых чисел). В действительности не обязательно проверять, что р не делит старшие коэффициенты, - из границы Ландау - Миньотта (следствие 1) вытекает, что р больше хотя бы одного из старших коэффициентов полиномов А и В. '
Недостаток этого метода состоит в том, что он требует
многочисленных вычислений по модулю числа р, которое может
быть довольно большим. Поэтому мы предлагаем метод, исполь
зующий несколько маленьких простых чисел и китайскую теорему об остатках (см. дополнение "Основные сведения из алгебры"). Если мы вычислим Ср и С , где С - требуемый НОД, а р и q - два простых числа, то эта теорема позволяет нам вы
числить Ср^. Следует отмстить, что эта теорема применяется в своей целочисленной форме отдельно к каждому коэффициенту
полинома С. Вопрос об использовании се полиномиального ва
рианта нс стоит, хотя нам нужно вычислить полином. Этот
метод транслируется в следующий алгоритм:
М := граница Ландау Миньотта ^Ву Кроме : = НОД(1с(Л), 1с(В));
ЕО: р := найти_простое(Кромеу С :- модулярный НОД^В^рУ
> НОД определен с точностью до умножения на обратимый в кольце коэффициент. В описываемом алгоритме при вычислении модулярного НОД должны выполняться те же действия, что и при вычислении НОД в кольце целых чисел: в частности, при переходе к остатку от деления нельзя умножать его на константу, отличную от ±1. - Прим, перев.
El: если степенЦС) = 0 то выход 1;
Дано := р;
Результат := С;
цикл пока Дано ^ 2Л4
р := найтипростое (Кроме)', С := модулярный НОД(А^В^р)’, если степень^С) < степень(Результат) то идти на Е1; если степень(С) = степень^Результат)
то Результат := СRT(Pезультат.Дано,С^рУ^ Дано := Дано х р;
если делит(Результат,А) и делит(Р езультат, В)'
то выход Результат,
идти на ЕО;
(где "1с" обозначает старший коэффициент полинома, подалгоритмы предыдущего алгоритма имеют здесь тот же самый смысл, алгоритм найти простое выдает простое число, нс делящее его аргумент (каждый раз новое число), и алгоритм CRT применяет китайскую теорему об остатках к каждому коэффициенту двух полиномов - Результат (по модулю Дано) и С (по модулю р), представляя целые числа по модулю М между -М/2 и М/2). Два оператора идти на 7 в этом алгоритме соответствуют двум путям определения того, что все выбранные простые числа давали плохую редукцию:
или мы нашли простое число р (удовлетворяющее следствию леммы 1), такое, что степень НОД по модулю р меньше, чем уже вычисленные степени (поэтому они пришли из плохой редукции);.
или же мы вышли на конец вычислений с результатом, который кажется хорошим, но который нс делит А и В, поскольку все редукции были плохими (неправдоподобная возможность).
При вычислении модулярного НОД следует помнить о. замечании, сделанном выше. Кроме того, нужно следить, чтобы вычисления по разным модулям были согласованы, в частности совпадали степени полиномов в последовательностях полиномиальных остатков по разным модулям. - Прим, перев.
) Которые могут быть по нашему желанию заменены циклами или другими средствами структурного программирования.
Если первая редукция была хорошей, то ни один оператор идти на нс выполняется.
В этот алгоритм можно внести некоторые улучшения. Нс обязательно, чтобы числа р были непременно простыми. Достаточно, чтобы бесконечное множество чисел р обладало бесконечным числом простых множителей, так как мы знаем, что существует только конечное число значений с плохой редукцией. Если число р не простое, то может случиться, что алгоритм модулярный НОД найдет ненулевое число, которое не может быть обращено по модулю р, например 2 (mod 6). Это приводит к разложению модуля на множители, поэтому мы можем работать по модулю двух множителей раздельно. Строка
Дано := Дано х р;
должна быть, разумеется, заменена строкой
Дано := НОК(Дано,р);
а реализация китайской теоремы об остатках должна позволять работу с модулями, которые не являются взаимно простыми.
Совершенно нс обязательно дожидаться выполнения условия Дано > 2М. Границы Ландау - Миньотта часто слишком пессимистичны, хотя Миньотт [Mignotte 1981] доказал, что в общем случае они нс могут быть улучшены. Можно на каждом шаге проверять, не нашли ли мы общий делитель, так как нам известно, что таким методом мы никогда не получим полинома слишком маленькой степени. Но эти проверки могут быть очень дорогими, и часто используемый компромисс состоит в том, чтобы производить проверки после тех шагов, на которых значение не меняется, т.е. заменить строку
то Результат := СRT(Результат,Дано^С,р)\ строками
то Предыдущий := Результат;
Результат := СКГ(Результат,Дано,С,ру< если Предыдущий = Результат и
делит(Результат,А) и делит(Резулътат,В) то выход Результат;
Стоимость алгоритма
Проанализируем основной алгоритм в том виде, как мы записали его, без улучшений, намеченных в конце предыдущего раздела. Добавим следующие предположения:
Все простые числа уже вычислены (это предположение нс слишком реалистичное, но мы набросали метод, позволяющий пользоваться нс обязательно простыми числами, а на практике поиск простых чисел не слишком сложен).
Каждое простое число достаточно мало, чтобы все вычисления по модулю р выполнялись за время 0(1), т.е. с числами по модулю р можно непосредственно работать на компьютере, поскольку для их хранения достаточно одного слова.
Степени полиномов Л и В не больше, чем п, и их коэффициенты удовлетворяют условию
£ а<=о 1£ а<=о 1£ Ь^НZ=0 z£ Ь^НZ=0 z
£ а
<=о 1
£ а
<=о 1
£ Ь^Н
Z=0 z
£ Ь^Н
Z=0 z
(которое выполняется, если все коэффициенты меньше, чем H/Vn^V и из которого следует, что все коэффициенты меньше, чем Н\
По неравенству Ландау - Миньотта коэффициенты НОД ограничены числом ^Н. Если Нг - количество нужных нам чисел р с хорошей редукцией, то произведение всех этих чисел должно быть больше, чем 2п^Н, а из этого получается, что N^ < < (п +1) log2 Н (где использован тот факт, что любое простое число нс меньше 2; более тщательный анализ заведет нас в аналитическую теорию чисел, нс улучшив порядка получаемого времени счета). Кроме того, имеются числа р с плохой редукцией - предположим, что их N2. Они должны делить результант полиномов А/С и В/С. Эти два полинома являются делителями полиномов А и В, поэтому их коэффициенты (в действительности сумма абсолютных значений коэффициентов) ограничены величиной 2пН. Отсюда следует, что N2 < п^п + log2 Н). Можно получить лучшую границу, N2< п log2 Н, если заметить, что "плохая редукция" эквивалентна тому, что один из миноров матрицы Сильвестра делится на р, хотя он ненулевой (см. [Loos 1982]).
Большой цикл пока поэтому выполняется самое большее N^ + + N2 раз - вероятно, меньше, поскольку мы предполагаем, что все делители результанта маленькие и различные и что до того, как мы найдем достаточное количество чисел р с хорошей редукцией, нам встретятся все эти множители. Дорогие операции в этом цикле - модулярный НОД и применение китайской теоремы об остатках. Для модулярного НОД нам вначале нужно редуцировать коэффициенты полиномов Л и В по модулю р - это О^п \og2H) операций - а затем вычислить НОД - это О(п2) операций. Китайская теорема об остатках применяется ко всем коэффициентам предполагаемого НОД. Через С мы обозначаем НОД по модулю р, а через D - НОД по модулю М, т.е. произведению всех уже вычисленных р (в алгоритме обозначено Дано). Для доказательства теоремы мы вычисляем целые числа f и g, такие, что fM + gp = l, и доказываем, что е = с + (d - c)fM - значение по модулю Мр, которое редуцируется к с по модулю М и к d по модулю р. Вычисление / и1^ g требует O(log2M) операций (так как р по предположению (2) считается маленьким). Значение f ограничено р, а b - а может быть вычислено по модулю р (поскольку результат вычисляется по модулю Мр). Умножение (b - a)fM - это умножение большого числа М на малое число и требует O(log2M) операций. Поскольку нам нужно вычислить самое большее п +1 коэффициентов, общая стоимость цикла составляет О^п + \og2H) + п log2M) операций. Так как M<2n^H, это можно записать в более простом виде OWn^\og2H)).
Таким образом, мы получили общую стоимость операций в цикле О^п + log2//)2). Последний шаг алгоритма - проверка результата путем деления Л и В на этот результат; таким образом мы проверяем, что нашли общий делитель полиномов А и В. Наиболее дорогой случай - это деление полинома степени
Хотя в этих вычислениях мы не использовали g, расширенный алгоритм Евклида вычисляет его автоматически. Он вычисляется всего один раз, . а нс для каждого коэффициента. Это не меняет асимптотической сложности, но весьма важно на практике, поскольку константа, скрываемая за обозначением О, для расширенного алгоритма Евклида значительно больше, чем для умножения.
п на полином степени п/^ которое при наивном методе требует и2/4 операций. Поскольку эти операции выполнялись над числами, размер которых (т.е. количество двоичных цифр) ограничен1величиной п log2//, получаем, что общая стоимость этих делений составляет О^Хо^Щ операций. Это довольно грустно, поскольку отсюда вытекает, что проверка значительно дороже самого вычисления. Можно воспользоваться "эффективными" методами (основанными на быстром преобразовании Фурье), которые дадут нам *
O(n3log Н log п log (л log //)log log (л log //))
операций, но здесь скрыта довольно большая константа, и стоимость остается выше, чем стоимость цикла. Браун [Brown 1971] поэтому предложил продолжать цикл до тех пор, пока мы не будем уверены, что исчерпали все числа р с плохой редукцией, т.е. добавить к условию в цикле пока фразу
или Пр < Граница_результанта
где произведение распространяется на все уже данные командой найти простое числа р, а переменной Граница_результанта присваивается значение границы для результанта полиномов А и Д а она ограничивает также все миноры, так как обращение в нуль одного из них было условием плохой редукции. С этими дополнениями мы знаем, что выбрали р с хорошей редукцией и что окончательный результат корректен. Это дополнение имеет теоретическое значение, ограничивая время вычисления величиной О^п3Хо^Н\ но пользователи предпочитают алгоритм в том виде, как мы его сформулировали.
На практике можно предполагать, что алгоритм находит немного значений р плохой редукций. Если, кроме того, мы предположим, что коэффициенты НОД меньше, чем Н, и если мы
добавим тест завершения (такой, как описан в предыдущем абзаце), мы получим стоимость О^п Хо^Н^п + Xog2H)). В любом случае данный алгоритм асимптотически более эффективен, чем субрезультантный алгоритм (O(n4Xog2H) в соответствии с [Loos 1982]). Эта эффективность подтверждается и на практике.
4.1.2. НОД при нескольких переменных
В предыдущем разделе продемонстрировано использование модулярных вычислений, чтобы избежать разбухания промежуточных выражений. При вычислениях по модулю р нам гарантировано, что целые числа нс превосходят р -1 (или р/2, если мы пользуемся симметричным представлением). Этот метод дает нам алгоритм вычисления НОД при одной переменной, являющийся более эффективным, чем алгоритм последовательности субрезультантов. Можно ли обобщить его на полиномы от нескольких переменных? Прежде чем ответить на этот вопрос, нам нужно обсудить некоторые детали.
Самый очевидный алгоритм вычисления НОД полиномов от нескольких переменных х^ ..., х^ - это перенос алгоритма Евклида на кольцо □(%.,...,% Л[х ]. Но у него есть один большой теоретический недостаток (и несколько практических): он вычисляет зависимость НОД только от х^. Например, будучи примененным к полиномам
в(хгх2) = (а^ - 1)х2 + (-хх - 1), он даст ответ, что они взаимно просты, хотя они содержат общий множитель х^ - 1.
Определение. Пусть R - область целостности и р € /?[х] - полином с коэффициентами aQ, ..., а^, т.е. P = Y.k=Qaixi. Содержание р, обозначаемое cont(p), - это НОД всех его коэффициентов. Если содержание полинома равно единице, то полином называется примитивным. Примитивная часть полинома р, обозначаемая рр(р), определяется так: рр(р) = p/cont(p).
Легко показать, что примитивная часть полинома - примитивный полином. Следующий результат хорошо известен в мате-
Компьютерная алгебра 175 матической литературе и демонстрирует важное значение этого понятия. В разделе о разложении полиномов на множители мы представим эту лемму в несколько иной форме.
Лемма Гаусса. Пусть р и q - два полинома из кольца Я[х]. Тогда cont(pq) = cont(p)cont(^) (а значит, и pp(pq) = рр(р)рр(?))-
Следствие. Пусть р и q - два полинома из кольца /?[х]. Тогда
cont НОД(р,<?) = НОД(соп1(р), cont(<7)),рр НОД(р,<?) = НОД(рр(р), рр(^)).
Таким образом, если даны два полинома от нескольких переменных, то можно назвать одну переменную "главной переменной" (обозначим ее х) и вычислять НОД путем умножения НОД примитивных частей (найденных с помощью алгоритма Евклида, позаботившись о том, чтобы результат был примитивным) на НОД содержаний. Этот второй НОД, так же, как и НОД’ы, требующиеся для вычисления содержания, не содержит переменную х и потому может быть вычислен рекурсивно.
В этом разделе предполагается следующая ситуация. А и В - два полинома, принадлежащие кольцу 2[Хр...,хД НОД которых мы хотим вычислить. Ограничиваясь полиномами с целыми коэффициентами, мы нс налагаем каких-либо ограничений, поскольку полиномы всегда можно домножить на целое число, чтобы исключить целый знаменатель, и на полином от нескольких хр чтобы исключить полиномиальный знаменатель. Поэтому программу предыдущего раздела можно выразить в виде двух рекурсивных алгоритмов:
алг НОД(А,В,г);
Ас := содержание!^, г);
Ар := А/Ас;
Вс := содержание!^, г);.
Вр := В/Вс;
выход содержание(Евклид(Ар,Вр,г),х ) х НОД(Ас,Вс,г-1);
алг содержанием,^;
Результат := коэфф(А,х ,0);'
I := 1;Г
цикл пока Результат * 1 и / < степень^А.х^
Результат : = НОД(Результат,коэфф(А,х ,0),г—1); i := i + 1;
выход Результат;
тд& операторы степень и коэфф извлекают указанные компоненты из своего первого параметра, рассматриваемого как полином от второго параметра, а алгоритм Евклид применяет этот алгоритм к первым двум своим параметрам, рассматриваемым как полиномы от одной переменной, т.е. от третьего параметра. Здесь мы избавляемся от содержания полиномов А и В до применения алгоритма Евклида - от этого результат нс меняется, но параметры алгоритма Евклид становятся меньше. Алгоритм содержание останавливается, как только он определяет, что содержание равно единице: это может избавить нас от бесполезных вычислений. В связи с этим алгоритмом возникает много проблем:
В алгоритме Евклида промежуточные выражения разбухают. Даже если мы воспользуемся методом последовательности субрезультантных полиномиальных остатков, промежуточные степени будут значительно возрастать.
Число промежуточных вызовов. Если мы хотим вычислить НОД двух полиномов от двух переменных степени десять по каждой переменной, таких, что степень НОД по каждой переменной равна пяти, то нам нужно:
вызовов для вычисления двух содержаний,
вызов для вычисления НОД этих двух содержаний,
вызовов для вычисления содержаний результата алгоритма Евклид,
т.е. 26 рекурсивных вызовов. В случае трех переменных поэтому потребуется 26 вызовов алгоритма НОД для двух переменных, каждый из которых требует примерно 26 вызовов НОД от одной переменной.
(с) Кроме того, все целые числа, появляющиеся в качестве коэффициентов, могут становиться очень большими.
Эти недостатки нс являются чисто гипотетическими. Чтобы проиллюстрировать громадное разбухание, которое может про-
исходить, мы дадим весьма маленький пример полиномов от двух переменных х и у, подобранный так, чтобы результаты были настолько малы, что их можно напечатать (х - главная переменная):
Л = (у2 - у - 1)х2 - (у2 - 2)х + (у2 + у + 1),
в = (у2 - У + 1)^2 " (у2 + 2)х + (у2 + у + 2).
Первое исключение дает.
С = (2у2 + 4у)х + (2у4 + у2 - Зу + 1),
а второе -
D = -4у10+ 4у9 - 4у8 + 8у7 - 7у6 + у5 - 4у4 + 7у3 - 14у2 + Зу - 1.
Здесь мы видим рост величины целых чисел и весьма значительный рост степеней у. Заметим, что общая задача этой степени может дать в результате полином от у степени 32.
Как мы видели в предыдущем разделе, модулярные вычисления могут избавить нас от такого роста целых коэффициентов. Но нам нужно быть более изобретательными, чтобы обойти другую проблему роста степеней неглавных переменных и рекурсивных вызовов. Предположим, что два полинома Л и В из нашего примера имеют общий делитель, т.е. полином Р (ненулевой степени), который делит и Л, и В.. Тогда существует полином Q, такой, что Л = PQ. Это соотношение остается
каждого полиномакаждого полиномасправедливым, если мы вычислим значение
каждого полинома
каждого полинома
при у = 2. Если мы будем писать Ру=2 ДЛЯ обозначения значения полинома Р при у = 2, то из этого равенства следует,
делит В =2, а потому и В Йо вычисление у=2делит В =2, а потому и В Йо вычисление у=2что Р - о делит Л о. Аналогично Р п
делит В =2, а потому и В Йо вычисление у=2
делит В =2, а потому и В Йо вычисление у=2
У=2 У=^ . у=2 является общим делителем чисел ^у=2 НОД чисел Ау=2 и #у=2 совсем просто:
^ Как и в предыдущем разделе, нужно заметить, что мы нс можем заключить, что Р =2 = НОД(Л^=2, ву=2): контрпримером является Л = их + 2,В-^х^ и, где У Р = К но Л л = В
z/=2у=2
= 2х + 2, и, таким образом, НОД(Л^=2, В^=2) = х + 1, в то время как Р =2 = 1.
176—129
Ау=2(х) = хг - 2х + 7,
Таким образом, числаТаким образом, числаВу=2(х) = ^х2 - 6х + 8, остаток(Л^2(х),Ву=2(х)) = 29.
Таким образом, числа
Таким образом, числа
откуда следует, что Р^=2 полинома Р должен делитьоткуда следует, что Р^=2 полинома Р должен делить^у=2^ и ®у-2^ взаимн0 просты, = 1. Поскольку старший коэффициент НОД старших коэффициентов полино
откуда следует, что Р^=2 полинома Р должен делить
откуда следует, что Р^=2 полинома Р должен делить
мов А и В, которые равны единице, мы получаем, что Р=1.
Эти вычисления сильно напоминают вычисления по модулю 5,
которые мы проводили в предыдущем разделе, и их можно аналогичным образом обобщить. Читатель, интересующийся этим математическим результатом в наиболее общей постановке, может обратиться к статье [Lauer 1982], где приведен общий формализм модулярных вычислений.
Плохая редукция
Мы определили, что число р даст плохую редукцию для вычисления НОД полиномов А и В, если
НОД(Л, В)р*НОД(Лр, вр\
Мы заметили также, что если р нс приводит к плохой редукции и если один из старших коэффициентов полиномов А и В не делится на р, то степень НОД по модулю р совпадает со степенью истинного НОД. Эти замечания приводят к следующему определению.
Определение. Пусть А и В - два полинома из кольца P[i/][x], где R - область целостности. Элемент г кольца R дает хорошую редукцию для вычисления НОД полиномов Л и В, если
НОД(Л, в^^но^л^, в^.
В противном случае г дает плохую редукцию.
Предложение. Элемент г дает плохую редукцию тогда и только тогда, когда у - г делит
Resx [нодгл.ву- нсдагву)-
Предложение. Если г дает хорошую редукцию и у - г не делит два старших коэффициента (относительно х) полиномов А
и В, то НОД(А, В) и НОД(Л^=г, 8у=г) имеют одинаковую степень относительно х.
Доказательство этих предложений аналогично доказательствам в предыдущем разделе. Ключевым результатом этого раздела было неравенство Ландау - Миньотта, которое весьма непросто доказать, и удивительно, что его очевидное обощение ложно. В данном случае все обстоит гораздо проще.
Предложение. Если С - делитель полинома Л, то степень (относительно у) полинома С меньше или равна степени (относительно у) полинома Л.
Алгоритм
Вооруженные этими результатами, мы можем вычислить НОД двух полиномов от п переменных с помощью рекурсивного метода, где г - индекс главной переменной (который нс будет меняться), as- индекс второй переменной, которой будет присваиваться значение. Алгоритм приводится на следующей странице. Начальный вызов должен быть выполнен при s = г -1. Когда s опускается до нуля, наш полином зависит от одной переменной, рекурсия завершается и мы можем вызвать процедуру простой НОД (которая вполне может оказаться модулярным алгоритмом НОД из предыдущего раздела) для его вычисления.
В данном алгоритме мы предполагаем, что алгоритм random вырабатывает случайное число (каждый раз новое), а алгоритм CRT применяет китайскую теорему об остатках (полиномиальный вариант) к каждому коэффициенту (относительно х ) двух полиномов Рез (по модулю Дано) и С (по модулю х $ - и). Два идентичных цикла пока выбирают значение и, удовлетворяющее условию, что xs - и нс делит два старших коэффициента полиномов А и В.
Как и в модулярном алгоритме НОД 'предыдущего раздела, два оператора идти на в этом алгоритме соответствуют двум способам определения, дают ли все выбранные значения плохую редукцию:
или мы нашли и, такое, что степень НОД после подстановки значения х = и меньше, чем уже вычисленные степени (поэтому они пришли из плохой редукции);
Алгоритм модулярного НОД
алг Н0Д(А>В,т,з);
если s = 0 то выход простой _Н О Д(А,В,х);
М := 1 + тш^степень^А.х5),степень(В,хs));
цикл и := random^
Av := подст^х s>v,AY
Ви := подст(хs>u,BY
пока степень^Ас ,х ^ степень(А,х г) •
и степень^Ву,х ) * степень(В,х )
С := НОД^В^^ - 1); Г'
Дано ;= х - и;'
л := 1;.
Рез := С;
цикл пока п ^ М
цикл и := random^;
Av := подст^х^у,А);
Bv := подст^х s>v,BY
пока степенЦДу^) * степенъ^х ^
и степень(Ви,х ) * степень(В,х )
С := НОД^А.В^^ - 1); ''
если степень^С,х ^ < степень^? ез, х ^ то идти на Е1;
если степень^С,хг) = степень(Рез,х^
то Рез := СРТ^Рез,Дано,С,Х8 - и);
Дано := Дано х (х^ - и);
если делит(Рез,А) и делит(Рез,В)
то выход Рез;
идти на ЕО;-
строками
то Предыдущий := Рез;
Рез : = СРТ^Рез.,Дано^С,хs~uYесли Предыдущий = Рез иделит^Рез, Л) и делит(Рез,В)то выход Рез;
Стоимость приведенного алгоритма
Проанализируем теперь наивный алгоритм, как он был описан, без улучшений, в конце предыдущего абзаца. Будем использовать следующие обозначения: г - общее число переменных (таким образом, после г -1 рекурсий мы вызовем алгоритм простой НОД\ степени относительно каждой переменной ограничены числом п, а длины всех коэффициентов ограничены d.
Нам нужно самое большее п +1 значение хорошей редукции. Мы можем нс принимать во внимание малые циклы пока, так как в общем случае они повторяются нс более п раз, поскольку повторение означает, что значение п, вырабатываемое функцией random, - это общий корень старших коэффициентов полиномов Л и В, а у полинома степени п не может быть более п корней. Если N - количество найденных нами значений переменной *х с плохой редукцией, то большой цикл выполняется N + п +1 раз. Необходимо поэтому найти границу для N, которая, очевидно, меньше или равна количеству значений и с плохой редукцией.
Пусть С - истинный НОД полиномов Л и В. Тогда полиномы А/С и В/С взаимно просты, и их результант (см. дополнение "Основные сведения из алгебры") относительно хт ненулевой. Если у дает плохую редукцию, то НОД чисел Л = и В = л * в 55
больше, чем С , т.е. числа (^) и (7А не взаимно х =v=их =и
SSS
просты; поэтому их результант относительно хг должен быть равен нулю. Но если старшие коэффициенты не обращаются в нуль, то
(Несколько более сложная ситуация возникает, когда один из старших коэффициентов (например, старший коэффициент поли-
нома Л) обращается в нуль. Результант в правой части - это определитель матрицы Сильвестра, размер которой меньше размера соответствующей матрицы в левой части. В этом случае результант в правой части, умноженный на некоторую степень второго старшего коэффициента, равен результанту слева. Во всяком случае один из результантов обращается в нуль тогда и только тогда, когда обращается в нуль второй.) Отсюда следует, что и - корень результанта Res (Л/С, В/С). Это
2 г" 2
полином, степень которого нс превосходит 2п , поэтому N ^ 2N .
В этом цикле наиболее дорогие операции - рекурсивный вызов алгоритма НОД и применение китайской теоремы об остатках. Для последней нам нужно вычислить самое большее п +1 коэффициентов полинома от х^, применяя теорему к полиномам Дано и xs - и. Дано - это произведение линейных полиномов, и в разделе о китайской теореме об остатках в дополнении "Основные сведения из алгебры" дастся чрезвычайно простая ее формулировка для этого случая. Фактически нам нужно просто вычислить значение полинома Рез в точке и, умножить разность между ним и С на рациональное число и на Дано и прибавить это произведение к Рез. Умножение (самая дорогая операция) требует времени выполнения O^n?s-X d?^ для каждого коэффициента относительно вычисленного значения х , т.е. общее время - O^n?sd?\ Таким образом, если обозначить через НОД($) время выполнения алгоритма НОД с четвертым параметром, равным s, то стоимость одного повторения цикла равна НОД(5-1) + О(п2^2).
Поэтому общая стоимость принимает значение
(2п2 + л + 1)(Н0Д(з - 1) + O(n2sd2)).
Из результатов предыдущего раздела, имеющего дело с одной переменной, следует, что НОД(О) = O^d3). По индукции доказывается, что НОД($) = O^s*3d^Y Начальное значение $ равно г-1, поэтому искомое время выполнения ограничено величиной О^r+ ^ d^Y Эта оценка достаточно пессимистична, и Лоос [Loos 1982] цитирует гипотезу Коллинза, что среднее время имеет вид O^nT*^d?Y
4.1.3. Другие применения модулярных методов
Модулярные методы имеют много других приложений помимо НОД, хотя это было первым. Некоторые из этих приложений также используют понятие плохой редукции, для других редукции всегда хорошие. Очевидно, что алгоритм гораздо проще, если редукции всегда хорошие.
Вообще мы иллюстрируем эти приложения редукцией по модулю р, где р - простое число, как мы делали это в первом разделе. Если в задаче содержится несколько переменных, то можно придавать значения каждой переменной, как мы делали при вычислении НОД для случая нескольких переменных. Обобщения обычно достаточно очевидны, и их можно найти в цитируемой литературе.
Вычисление результанта
Результанты определяются в дополнении "Основные сведения из алгебры". Поскольку их вычисления очень тесно связаны с вычислениями НОД, нас нс должно удивлять существование связи между этими понятиями. В действительности, поскольку результант двух полиномов А и В - это полином от коэффициентов полиномов А и В, легко заметить (по крайней мере, если р нс делит старшие коэффициенты), что
Res (Л, В) = Res (Л , В ).
Xх 'р Xх р р' , Поскольку это соотношение выполняется всегда, каждое значение р дает хорошую редукцию. Мы исключаем значения р, которые делят старшие коэффициенты, чтобы избежать осложнений, возникающих, когда меняются степени полиномов А и В. Уже упоминавшееся дополнение содержит границы величины результанта, которые говорят о том, как много нужно значений р, чтобы гарантировать, что мы получили результант. Коллинз [Collins 1971] обсуждает этот алгоритм, который оказывается наиболее эффективным методом, известным для вычисления результанта.
Вычисление определителей
Результант является всего лишь определителем матрицы Сильвестра, и можно надеяться, что модулярные методы позволят нам вычислять определители общго вида. Это в действи-
тельности возможно - нам нужно только вычислить определитель по модулю достаточного числа значений р и применить китайскую теорему об остатках. Нам нужно определить количество требующихся значений р - другими словами, нужно ограничить определитель. Предположим, что определитель име
ГГет размер п и что элементы матрицы суть а.
Г
Г
Теорема.
И^0,./)1 - п! (тахтах |а;> . |) .
суммы п\ членов, ,суммы п\ членов, ,элементов матрицы.элементов матрицы.Доказательство. Определитель состоит из
суммы п\ членов, ,
суммы п\ членов, ,
элементов матрицы.
элементов матрицы.
каждый из которых является произведением п
Теорема (граница Адамара [Hadamard 1893]).
|det(O )|2s П [ 2 \а |2).
111< = 1/=11,1
Обращение матрицы
Эта задача существенно более сложная, поскольку элементы матрицы, обратной к матрице с целыми элементами, нс обязательно целые. Болес того, может случиться, что матрица обратима над целыми числами, но вырожденна по модулю р, поэтому могут встречаться плохие редукции. Если обращение по модулю р не работает, то р делит определитель, и, если матрица не является действительно вырожденной, то таких р существует только конечное число. У задачи, связанной с тем, что элементы обратной матрицы не обязательно целые, имеется два возможных решения. Первое: заметить, что они всегда являются рациональными числами, знаменатели которых делятся на определитель. Поэтому, если умножить этот элемент по модулю р на определитель (который мы вычисляем раз и навсегда) по модулю р, то мы вернемся к числителю по модулю р, который может быть использован для нахождения истинного решения.
Значение второго решения возрастает в связи с тем, что оно может быть применено и в других задачах, в которых требуемое решение является дробным. Этот метод предложил Ванг [Wang 1981] для задачи нахождения разложения на простейшие дроби, но он может применяться в гораздо более общей ситуа-
ции. Прежде всего нам понадобятся некоторые дополнительные сведения из алгебры. Пусть М - целое число (в практических задачах М будет произведением всех используемых простых чисел с хорошей редукцией), а а/b -' рациональное число, такое, что b и М взаимно просты (в противном случае одна из редукций не будет хорошей). Если мы применим расширенный алгоритм Евклида (см. дополнение "Основные сведения из алгебры") к числам 6 и М то получим целые числа end, такие, что bc + Md=\, другими словами, bc = l (mod М\ Можно расширить понятие рациональной эквивалентности, сказав, что
= ас (mod М). •
Более того, если а и b меньше, чем VM/2, то это представление единственно, поскольку из a/b = a'/b' следует, что ah'= а'Ь. Например, если М = 9, то мы можем представить так все дроби, числители и знаменатели которых меньше или равны 2; это видно из следующей таблицы:
по модулю 9
дробь
0
0/0
1
1/1 = 2/2
2
2/1
3
—
'4
-1/2
5
1/2
6
—
7
-2/1
8
-1/1 = -2/2 .
Мы доказали вторую часть следующего принципа. •
Принцип модулярных вычислений. Целое число, меньшее ^М, имеет единственный образ п по модулю М. Аналогично рациональное число, числитель и знаменатель которого меньше vM/2, имеет единственный образ по модулю М. "
Для случая целых чисел вычисление целого числа по данному образу п довольно просто: берем п или п - М в зависимости от того, п < Л4/2 или п > М/2. Для рациональных чисел такая "реконструкция" неочевидна. В работе [Wang 1981] предложено, а в работе [Wang et al. 1982] обосновано использование расширенного алгоритма Евклида (почти одновременно с ним это открытие сделали и многие другие авторы). Каждое целое число, вычисляемое в алгоритме Евклида, является линейной комбинацией двух данных. Мы применяем алгоритм к числам п и М и получаем убывающую последовательность целых чисел а. = b .п + с .М. Другими словами, n = a./b. (mod М). Весьма примечательно, что если существует дробь а/b, эквивалентная п, для которой а и b меньше, чем VM/2, то этот алгоритм найдет их, и они будут определяться первым элементом последовательности, для которого а. < VM/2. Для выполнения этих вычислений можно приспособить алгоритм Евклида.
q := М; .
г : = п;
Q := 0;
R := 1;
цикл пока г * 0
t := остаток(^,г);
Т := Q - Vq/rAR; q := С г := t;
Q := R;
R := Т;
если г < VM/2 то
если |7?| < VM/2 то
выход r/R ошибка "нс восстанавливается"; ошибка "общий множитель";
По сравнению с алгоритмом из дополнения мы сделали некоторое упрощение: нс обязательно запоминать зависимость г от М, поэтому мы не вычисляем ее в этом алгоритме.
Другие приложения
Разумеется, можно использовать модулярные методы для многих вычислений, связанных с вычислением обратной матрицы, например для решения системы линейных уравнений [Chou, Collins 1982]: здесь имеются плохие редукции в том случае, когда р делит один из знаменателей решения. Некоторые матричные вычисления описаны в [Gregory, Krishnamurthy 1984] и [Krishnamurthy 1985]. Как уже говорилось, Ванг [Wang 1981] ввел вычисление дробей для разложения дроби P/QR на простейшие: здесь плохая редукция соответствует значениям р, таким, что Q и R не взаимно просты по модулю р.
Здесь мы должны отмстить большой недостаток модулярных вычислений: они нс принимают во внимание разреженную природу задачи. Если нам нужно вычислить полином степени 99 с 100 членами, то нам нужно 100 значений полинома, прежде чем можно будет использовать интерполяцию Лагранжа, даже в том случае, когда полином имеет всего два ненулевых коэффициента. Мы уже упоминали, что каждый реальный полином от нескольких переменных должен быть разреженным, поэтому модулярные методы не очень хорошо применяются к таким полиномам. Циппель [Zippel 1979] попытался придать этому методу вероятностный характер, чтобы применять его к задаче вычисления НОД полиномов от нескольких переменных, и такой алгоритм встроен в систему MACSYMA и используется по умолчанию.
4.2. р-АДИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В этом параграфе мы рассмотрим другое достаточно большое семейство современных методов компьютерной алгебры и начнем с первого их серьезного приложения - разложения полиномов на множители.
Разложение полиномов от одной переменной
Предположим, что дан полином f(x) с целыми коэффициентами, и зададим вопрос: можно ли определить, существуют или нет полиномы g и h, степени которых строго меньше степени f, такие, что f = gh?
Лемма Гаусса (эквивалентная форма). Пусть f € Z[x] и f = gh, где g и h принадлежат кольцу 0[х]. Тогда существует рациональное число q, такое, что qg и q-1h принадлежат Z[x].
Эта лемма, хорошо известная в алгебре означает, что ограничение, чтобы сомножители имели целые коэффициенты, нс уменьшает общности.
Поскольку мы можем достаточно эффективно вычислять разложение на свободные от квадратов множители, можно предполагать, что полином f свободен от квадратов. Запишем f = a хп + ... + ап. Каждый линейный сомножитель полинома f должен иметь вид Ьх + с, где b делит а , а с делит ап, и пU
таким образом можно искать линейные множители исходного полинома. Теоретически, можно найти и множители более высокой степени, решая системы уравнений, определяющих их коэффициенты, но этим методом можно пользоваться, только если степени весьма малы.
Имея в виду успешное применение модулярных методов, описанное в предыдущем параграфе, можно попытаться применить их и здесь. Верно, что из f = gh следует /^ = ёр^^ а также то, что разложение на множители по модулю р является по крайней мерс конечной задачей, поскольку существует только конечное число возможных коэффициентов. В действительности существует весьма эффективный алгоритм, который мы рассмотрим в следующем разделе.
Алгоритм Берлекэмпа
В этом разделе мы рассмотрим задачу о разложении на множители полинома /(х) по модулю р. Предположим, что полином f свободен от квадратов. Сформулируем несколько фактов о вычислениях по модулю р, часть из которых хорошо известна.
Предложение 1. Если а и b - два целых числа по модулю р, то (а + Ь)р = ар + Ьр.
Доказательство. По формуле бинома мы можем разложить (а + Ь)р следующим образом:
^а*ЦР = аР+ [ f ] аР~хЬ+...* [ ^ ] аЬрЛ + bP е аР + ЬР,
поскольку все биномиальные коэффициенты делятся на р.
Предложение 2 (малая теорема Ферма). ар = а по модулю р.
Доказательство проводится индукцией по а, поскольку Предложение истинно при а = 0 или а = 1. В общем случае а = (а - 1) + 1, и к этому выражению можно применить предыдущее предложение:.
ар = ((а -1) + 1)р = (а-1)^ + 1^ = (а-1) + 1 = а.
Следствие. Каждое целое число по модулю р является корнем полинома хр - х, поэтому
хр -х = (х- 0)(х - 1) ... (х - (р - 1)).
Эти два предложения можно следующим образом распространить на полиномы.
Предложение 3. Если а и b - два полинома По модулю р, то (а + Ь)р = ар + Ьр.
Доказательство то же самое, что и для предложения 1.
Предложение 4. Если а(х) - полином, то а(х)р = а(хр) по модулю р.
Доказательство. Проведем индукцию по степени полинома а, поскольку предложение истинно, когда а - число (предложение 2). В общем случае а^х) = а^х) + апхп, где а - полином, степень которого меньше степени полинома а, и к этому выражению можно применить предыдущее предложение:
а(х)р = (а(х) + апхп)р = а^х^ + (апхп)р = а(,хр) + апхпр = а^хр\
Предположим теперь, что / разлагается в произведение г неприводимых полиномов:
М = fxWf2W Цх)
(в настоящий момент г неизвестно). Поскольку f нс имеет кратных сомножителей, полиномы f. взаимно просты. Пусть Sp...,sr - целые числа по модулю р. По китайской теореме об остатках (см. дополнение "Основные сведения из алгебры") существует полином и, такой, что
и = s. (mod р. tyx)),(1)
где вычисления выполняются по модулю полинома f. и по модулю простого числа р. Кроме того, степень полинома и меньше степени произведения полиномов f , т.е. степени полинома f. Полезность рассмотрения такого полинома и следует из того, что если s.*Sp то НОД(/, v-s.) делится на f., но нс делится на fр что приводит к разложению полинома f. Имеем следующее соотношение:
v(x)p = sp = s. = v(x) (mod Цх),р).
Тогда по китайской теореме об остатках
v^xf^v^ (mod ^х\р\(2)
Заменяя x на u(x) в приведенном выше следствии, получаем, что
о(х)р - и(х) = (а(х) - 0)(о(х) - 1)... (о(х) - (р - 1)) (mod р).(3)
Таким образом, если и(х) удовлетворяет соотношению (2), то f(x) делит левую часть соотношения (3), а каждый из его неприводимых множителей, f., делит один из полиномов в правой части соотношения (3). Но из этого следует, что полином и эквивалентен по модулю f. целому числу, т.е. что и удовлетворяет (1). Мы доказали (методом Кнута [Knuth 1981], с. 422) следующий результат.
Теорема Берлекэмпа [1967]. Решения и сравнения (1) суть в точности решения сравнения (2).
Мы уже отмстили, что решения сравнения (1) дают информацию о разложении полинома f на множители, но у нас осталась задача их нахождения. Основная идея Берлекэмпа - заметить, что соотношение (2) - это система линейных уравнений по модулю р на коэффициенты полинома и. Это замечание выглядит несколько неожиданным, но оно следует из предложения 4. Действительно, пусть п - степень полинома f, и рассмотрим матрицу
^0,0^0,1•••^0,п-1
л _^1.0^1.1ЧХ,п^
• ^n-1,0 ^n-LL^n-l.n-t -
где элементы q определяются из сравнения
^ - ^кл-^""1 + • • • + V + 4,0 (mod ^’ PV
Если рассматривать полином как вектор его коэффициентов, то умножение на матрицу Q соответствует вычислению p-и степени полинома. Таким образом, решения уравнения (2) - это собственные векторы матрицы Q (mod р) для собственного значения 1. Алгоритм Бсрлскэмпа может быть выражен в следующем виде:
Проверить, что у f нет кратных сомножителей. Если они есть, то выполнить разложение f на свободные от квадратов множители и применить данный алгоритм к каждому из них.
Вычислить матрицу Q.
Найти базис собственных векторов для собственного значения 1. Всегда одним из собственных векторов является вектор [1, 0, 0, ..., 0]. Это отражает тот факт, что целые числа всегда являются решениями сравнения (2). Число элементов в этом базисе равно числу неприводимых сомножителей полинома f.
Вычислить НОД(/, и - s) для каждого целого числа s по модулю р, где и - полином, соответствующий нетривиальному собственному вектору. Это приведет к разложению f на множители. Если при этом мы найдем меньше множителей, чем нужно, то можно воспользоваться другим собственным вектором.
Заметим, что этап [4] самый дорогой и что, если мы остановимся после этапа [3], то уже определим число неприводимых сомножителей. Время работы этого алгоритма равно О(п3 + ргпг\ где г - число сомножителей (среднее значение его равно In п\ Алгоритм очень быстрый, если р мало, но может оказаться дорогим в противном случае. Кнут [Knuth 1981] описывает несколько вариантов этого алгоритма, в некоторых из них зависимость от р имеет порядок log3p.
Соотношение модулярное - целое
В предыдущем разделе был приведен эффективный алгоритм разложения на множители полинома по модулю р. Как он может быть использован для разложения на множители полинома с целыми коэффициентами? Разумеется, если полином нс разлага-
ется на множители по модулю р (р не делит старший коэффициент), то полином неприводим, поскольку из разложения f = gh следует, что ^ = £php- Но обратное утверждение неверно: например, полином х2 + 1 неприводим, но разлагается на множители по модулю всех простых чисел вида 4& + 1, так как -1 является квадратом по модулю чисел такого вида. Тем нс менее этот полином неприводим по модулю чисел .вида ^k + 3. Таким образом, можно показать, что он неприводим над кольцом целых чисел, доказав, что он неприводим по модулю 3. Фактически имеется бесконечное число "хороших" р и бесконечное число "плохих" р.
К сожалению, имеются неприводимые полиномы, разлагающиеся на множители по модулю всех простых чисел. Простейший пример представляет полином х +1, который всегда разлагается в произведение двух полиномов степени два, которые могут оказаться также приводимыми. Доказательство этого использует некоторые свойства квадратов по модулю р (читатель по желанию может пропустить детальный анализ).
р = 2Тогда х4 + 1 = (х + I)4.
р = 4k + 1В этом случае -1 всегда является квадратом, ска
жем -1 = q2. Отсюда получается разложение на множители х4 + 1 = (х2 - q^x2 + q\
p = 8k±\ В этом случае 2 всегда является квадратом, скажем 2 = q2. Отсюда получаем разложение на множители
х4 + 1 = (х2 - (2/?)х + 1)(х2 + (2/?)х + 1), которое является вариантом разложения х4 + 4 = (х2 - 2х + 2)(х2 + 2х + 2), встречавшегося нам в разделе гл. 2 о представлении простых радикалов. В случае р = 8k +1 мы имеем это разложение и разложение, приведенное в предыдущем случае. Поскольку эти два разложения различны, можно вычислить НОД сомножителей для того, чтобы найти разложение в произведение четырех линейных множителей.
р = 8k + 3 В этом случае -2 всегда является квадратом, скажем -2 = q2. Это следует из того, что ни -1, ни
2 не являются квадратами, значит, квадратом должно быть их произведение. Это свойство числа -2 даст нам разложение на множители
х4 + 1 = (х2 - (2/?)х - 1)(х2 + (2/<7)х - 1), которое также является вариантом разложения
х4 + 4 = (х2 - 2х + 2)(х2 + 2х + 2).
Этот полином нс является изолированным: Калтофен и др. [Kaltofen et al. 1981], [Kaltofen et al. 1983] доказали, что существует целое семейство полиномов, которые неприводимы, но разлагаются на множители по модулю любого простого числа. Кое-кто утверждал, тем не менее, что такие полиномы встречаются "совсем редко", но Аббот и др. [Abbott et al. 1985] установили, что они могут реально встречаться при вычислениях с алгебраическими числами.
Поэтому нам нужно найти метод разложения на множители, который работал бы даже в том случае, когда модулярное разложение не соответствует разложению на множители над целыми числами. В начале этой главы мы приводили неравенство Ландау - Миньотта, которое дает нам границы для коэффициентов сомножителя полинома в терминах степени и размера коэффициентов исходного полинома. Это неравенство пригодится нам в данном случае, поскольку оно позволяет найти такое N, что все коэффициенты сомножителей полинома должны лежать между -N/2 и N/2. Отсюда получается следующий алгоритм разложения на множители полинома f, по существу принадлежащий Цассен- хаузу [Zassenhaus 1969]:'
Выбрать N достаточно большим, чтобы все коэффициенты сомножителей полинома f были меньше, чем N/2. Позаботиться, чтобы N нс имело общих делителей со старшим коэффициентом полинома f.
Разложить полином по модулю N на множители. Предполагая, что f нормирован, выбирать всегда нормированные множители. Записать f = f^-ffe (m°d N\
Рассматривая f. по модулю N как полиномы с целыми коэффициентами, проверить, делят ли они f. Каждый полином fделящий f, является его неприводимым сомножителем. 176—13
Если имеются полиномы f., не делящие f, то нужно образовать полиномы вида f Д (mod N) и проверить, делят ’ли эти полиномы (с целыми коэффициентами между -N/2 и N/^
полином /. Каждая комбинация, которая делит /, - это неприводимый сомножитель полинома f. Тс полиномы f., которые появляются в сомножителе полинома /, могут быть исключены
из дальнейшего рассмотрения.
Если остались некоторые f ^ то нужно образовать по
линомы вида fjjfk (mod N) и проверить, делят ли эти полиномы (с целыми коэффициентами между -N/2 и W/2) полином f.
Каждая комбинация, которая делит /, - это неприводимый де
литель полинома /. Продолжаем до тех пор, пока нс будет проверена каждая комбинация (или ее дополнение).
Если остались некоторые f., то их произведение - неприводимый делитель полинома f.
Например, коэффициенты каждого делителя полинома х^ + 1 меньше (или равны) 16, поэтому можно использовать N = 37, которое приводит к разложению х4 + 1 = (х2 - 6)(х2 + 6) (mod 37), и эти полиномы неприводимы. Рассматриваемые как полиномы с целыми коэффициентами, они не делят х4 +1. Поэтому берем их комбинацию, но это - сам полином х4 +1. Он делит х + 1, поэтому является неприводимым сомножителем,
что мы и стремились доказать.
Этот алгоритм может оказаться экспоненциальным (т.е. может требовать времени выполнения, которое будет экспоненциальной функцией) относительно числа сомножителей по модулю N из-за числа комбинаций, которые нужно проверить на этапе [5]. В действительности если полином неприводим, но. имеет п сомножителей по модулю N, то нужно проверить примерно 2П-1 полиномов, чтобы узнать, есть ли у полинома f делители. Эта проблема называется комбинаторным взрывом стоимости выполнения. Недавно она была решена Ленстрой и др. [Lenstra et al. 1982], но их метод представляет скорее теоретический, чем практический интерес.
Тем нс менее в практических задачах мы чаще сталкиваемся со следующей проблемой: наиболее дорогим этапом алгоритма кажется вычисление разложения на множители по модулю N.
Обычно N является слишком большим, чтобы мы могли взять простое число р > N и непосредственно воспользоваться алгоритмом Берлекэмпа, поскольку зависимость от р весьма существенна, даже для улучшенной версии. Кроме того, мы хотим иметь возможность использовать маленькие значения р, чтобы быстро определять, неприводим ли полином.
Можно воспользоваться модулярными методами, но здесь мы сталкиваемся с проблемой, ранее нам нс встречавшейся. Предположим, например, что f представляется в виде ^1^1 (mod р^ и ^2^2 (m°d Р2)’ где все сомножители имеют одну и ту же степень. Можно применить китайскую теорему об остатках к коэффициентам полиномов gx и g2, чтобы найти полином с коэффициентами по модулю РХР2< который является делителем полинома f по модулю РгР2 (и аналогично для 1гг и h2). Но равным образом можно применять эту теорему к ^ и А2 или к g2 и h^. В действительности кольцо (Z/p1p2Z)[x] нс является областью с однозначным разложением на множители, и полином f обладает двумя различными разложениями по модулю Р1Р2* Если мы выявим такое же поведение по модулю р3, то мы найдем четыре различных разложения на множители по модулю РгР2Рз' и в общем случае число различных разложений может быть экспоненциальной функцией от р. Таким образом, модулярный метод не очень годится для этих вычислений, и нам нужно найти другой метод для разложения на множители по модулю N. На этот раз мы используем числа вида N = р\ где р - простое число. Такие методы называются р-адическими.
Лемма Гензеля - линейный вариант
В этом разделе мы увидим, как можно вычислять разложение на множители полинома f по модулю р , исходя из его разложения на множители по модулю р, вычисленного с помощью алгоритма Берлекэмпа, описанного ранее. Для простоты, рассмотрим сначала случай нормированного полинома f, который разлагается по модулю р в произведение вида f = gh, где полиномы g и h взаимно просты (откуда следует, что полином f по модулю р свободен от квадратов, т.е. что р нс делит результант полиномов f и f'\ Мы будем использовать нижние
индексы для обозначения показателя степени числа р, по модулю которой производятся вычисления. Таким образом, наше разложение на множители может быть записано как 1г~^1^1 (mod p^Y а наша цель - вычислить соответствующее разложение на множители fk~8khk (mod рк), такое, что значение рк достаточно велико.
Очевидно, что gx-&2 (m°d PY поэтому можно записать ^2= ^1 + ^2’ где ^2 - мера Разн0СТИ между gx и g2. То же имеет место для f и А, так что f2=£2A2 (m°d Р2) принимает вид
f 1 + Р?2 = lg Y + Pg2^hi + Р^ (mod Д2)-
Поскольку f^-g^Y (mod р1), это сравнение может быть пе- реписано в виде
р+ k"S2hx* h2gx (mod р\
Левая часть этого сравнения нам известна, в то время как правая часть линейно зависит от неизвестных g2 и А2. Применяя расширенный алгоритм Евклида (см. дополнение "Основные сведения из алгебры") к полиномам ^ и Ах, которые взаимно просты, можно найти полиномы g2 и А2, степени которых меньше степеней соответственно полиномов gx и Ах, удовлетворяющие этому^ сравнению по модулю р. Ограничения на степени полиномов g2 и h2 в данном случае выполняются, поскольку старшие коэффициенты полиномов g^ и h^ должны равняться 1. Таким образом можно определить g2 и А2.
Аналогично g3 = g2 (mod р2), поэтому g3 = g2 + p2g^ где g3 - мера разности между g2 и g3. То же имеет место для f и А, так что f3 = ^3^3 (mod р3) принимает вид
к + Р^к ~ <g2 + P283Xh2 + Р2А3) (mod р3).
Поскольку f2~£2A2 (mod р2), это сравнение может быть переписано в виде
2+ f3 ~g3h2 + к^г (mod p)1
О С»О С»
Более того, ^f2 = g^ (mod р), так что это сравнение можно упростить:
L - Soho ---
2^+ ^3 5 ^3Л2 + Ml <mOd PV
Левая часть этого сравнения нам известна, в то время как правая часть линейно зависит от неизвестных g3 и Н^. Применяя расширенный алгоритм Евклида к полиномам g^ и h^ которые взаимно просты, мы можем найти полиномы g3 и h3, степени которых меньше степеней соответственно полиномов gx и h^, удовлетворяющие этому сравнению по модулю р. Таким образом, исходя из полиномов g2 и h2, определяем g3 и h3. Можно продолжать этот вывод таким же способом для любой ьъ
степени р числа р, пока р нс станет достаточно велико.
Нужно заметить, что алгоритм Евклида применяется всегда к одним и тем же полиномам, поэтому достаточно выполнить его один раз. В действительности можно сформулировать алгоритм в следующем виде:
Алгоритм Ген^еля - линейный вариант;
Вход f,grhvp,k;
Выход gk,hk;
g := gx.
h := h^;
grecip,hrecip := РасишренныйЕвклид(^ vh vp);
цикл для I := 2...h
Различие := f - Я* (mod ph pl • gcorr := Различие * hrecip (mod p>gx); hcorr := Различие * grecip (mod р,кх); g := g + p^gcorr;"
h := h + p1-'hcorr;
выход g, h;"
Алгоритм РасширенныйЕвклид должен здесь выдавать значения grecip и hrecip, такие, что
grecip * gx + hrecip * h^-X (mod p).
Лемма Гензеля - квадратичный вариант
Существует другая версия алгоритма, которая на каждом
шаге удваивает показатель степени р вместо того, чтобы уве
вание перехода от р2 к р4, час. Действительно, g = g сать g4 = g2 + р g4, где g4 То же имеет место для fвание перехода от р2 к р4, час. Действительно, g = g сать g4 = g2 + р g4, где g4 То же имеет место для fличивать его на единицу. Мы приведем математическое обосно
вание перехода от р2 к р4, час. Действительно, g = g сать g4 = g2 + р g4, где g4 То же имеет место для f
вание перехода от р2 к р4, час. Действительно, g = g сать g4 = g2 + р g4, где g4 То же имеет место для f
а затем - алгоритм в общем слу- (mod р2), поэтому можно напи-
- мера различия между g2 и g
и К, так что f4 = g^h4 (mod р4)
принимает вид
U + р2к - ^2 + P2^4^h2 + р2^ <mod Р^"
Поскольку f2 = ^2^2 (m°d P^Y эт0 уравнение может быть переписано в виде
fo9
2+' ^4 Е g4h2 + h4g2 <mOd Р V пХ СеТх Се
Левая часть этого сравнения нам известна, в то время как правая часть линейно зависит от неизвестных g4 и h4. Применяя расширенный алгоритм Евклида к полиномам g и /t , кото- 2.г
рыс взаимно просты по модулю р , поскольку они являются взаимно простыми по модулю р, можно найти полиномы g4 и &4, степени которых меньше степеней соответственно полиномов g2 и h2, удовлетворяющие этому сравнению по модулю р2. Ограничения на степени полиномов g4 и h4 в данном случае выполняются, поскольку старшие коэффициенты полиномов g и h должны равняться 1. Таким образом, исходя из полиномов g2 и h2, определим непосредственно полиномы g4 и h4. Далее можно продолжать таким же способом для любой степени числа р, с 2Z показателем, равным степени двух, до тех пор, пока р не
станет достаточно велико.
Алгоритм Гензеля - квадратичный вариант 1;
Входf,gvhvp,k;
Выходg ^ ,h k, модуль;
g - gp
/г := 1гг;
модуль := p;
цикл для / := 1... П°&2^1
Различие := f ~ ^Ч»!*2);
МО о уль*
grecip,hrecip := РасишренныйЕвкладу^.h^,модуль^ gcorr := Различие * hrecip (mod модуль^);
hcorr :- Различие * grecip (mod модуль, h);
g := g + модуль * gcorr; h := h + модуль * hcorr; модуль := модуль2*;
выход g,h, модуль;
Этот алгоритм выдает решения по модулю степени р, которая может быть больше, чем pk, но которая при необходимости всегда может быть уменьшена. Алгоритм Расширенный Евклид должен здесь выдавать значения grecip и hrecip, такие, что
grecip * g + hrecip * h = l (mod модуль).
Можно смотреть на метод Гензеля как на разновидность другого хорошо известного метода с квадратичной сходимостью - метода Ньютона нахождения простых корней вещественного уравнения. Этот метод начинает работу с приближения х^ корня уравнения F(x) = 0 и последовательно вычисляет лучшие приближения с помощью последовательности
В общем случае х^ имеет вдвое больше правильных цифр, чем х^. Если рассматривать g как переменную, a F = f - gh, то g2n= ^п+ —К^-' чт0 совпаДает с использованным нами соотношением. В действительности существует теория р-адических чисел, в которой два числа "близки", если одно из них отличается от другого на кратное степени р (чем больше степень, тем ближе целые числа). При таком понятии "расстояния" квадратичный алгоритм Гензеля в точности совпадает с алгоритмом Ньютона, а условие простоты корня означает, что полиномы g и h должны быть взаимно просты. Эту связь изучал Липсон [Lipson 1976].
Такая квадратичная сходимость очень полезна в случае вещественных чисел, но менее полезна в данном случае. Для чи-
200 Современные алгоритмы сел с плавающей точкой в общем случае время выполнения нс зависит от данных, в то время как в нашем случае точность эквивалентна длине целых чисел, поэтому удвоение точности соответствует умножению времени выполнения на четыре. Сравнение линейного метода с квадратичным зависит от деталей реализации, и нет четкого разделяющего результата в этой области. Некоторые авторы используют смешанный метод, т.е. используют квадратичный метод, пока р1 содержится в одном слове компьютера, а затем переходят на линейный метод.
Существует несколько вариантов метода Гензеля: мы опишем только некоторые из них. Прежде всего отмстим, что можно работать одновременно с несколькими сомножителями, а не только с двумя. Достаточно вычислить обратные ко всем сомножителям (кроме g!) по модулю g для каждого сомножителя g. В линейном алгоритме это не слишком дорого, поскольку обратные вычисляются только один раз, но это достаточно дорого в квадратичном алгоритме.
Лемма Гензеля - уточнение алгоритма
Это наблюдение привело к тому, что некоторые специалисты заметили, что обратные по модулю рк связаны с обратными по
Ь/9ь/9
модулю р : на самом деле они эквивалентны по модулю р . Можно рассматривать обратный G к полиному g как решение уравнения Gg = l (mod h, рк\ а это сравнение может быть разрешено с помощью метода Гензеля. Как и прежде, рассмотрим переход от р2 к р4, предполагая, что §2^г”^ (mod h2, р2) и что наша цель - найти такой полином 64, что g4G4 = 1 (mod h4, р4). Как и раньше, запишем g4 = g2 + p2g4 и G4 = G2 + p2G4« Таким образом, требуемое сравнение преобразовано в
(g2 + Р^^г + P2G4) = 1 (mod h^ р4).
Переписываем это в виде
P2g2G4 Е 1 " g2G2 ~ P^g4°2 <m°d Ч’ Р^
Согласно рекурсивному определению полинома 62, р2 делит правую часть этого сравнения, поэтому
-1 - g G v
S2G4 =/^A <mod A4'A
Ho h^ = h^ (mod p2); значит, это сравнение выполняется в действительности по модулю h2 и р2. Но в силу индукции полином 62 является обратным к g2, и это сравнение может быть разрешено относительно G^. •
(mod hv р^).
Это соотношение дает нам алгоритм Гензеля, использующий расширенный алгоритм Евклида только в начале. Как обычно, сформулируем его для случая двух сомножителей.
Алгоритм Гензеля - квадратичный вариант 2;
Вход f,gvhvp,k;
Выход g к, h k, м оду ль;
6 : = ^г.
h := hx;
greclp,hrecip := РасишренныйЕвклид^^И^р);
модуль := р;*
цикл для / := 1... П°И2^1
Ошибка := l__£/LJj!lod_4<p<^^ . модуль
gcorr := Ошибка * hrecip (mod модуль,g);
hcorr := Ошибка ♦ greclp (mod модуль,h);
g := g + модуль * gcorr;
h := h + модуль * hcorr;
если это нс последняя итерация
то Ошибка := ^Я^^М ^модул^ _ gcorr*grecip. grecipcorr := Ошибка * greclp (mod модуль,h\. Ошибка := Vh*hr6C 1мРо^™°ь h'M°dyM^ - hcorr»hrecip; hrecipcorr := Ошибка * hrecip (mod модуль,gY greclp := greclp + модуль * grecipcorr;
hrecip := hrecip + модуль * hrecipcorr;
модуль := модуль2;.
выход g,h, модуль;
Алгоритм разложения на множители
Используя алгоритм Гензеля из предыдущего раздела, можно получить алгоритм разложения на множители полиномов с целыми коэффициентами. Прежде всего мы предполагаем, что полином f нормирован и свободен от квадратов (если это нс так, то сначала найдем разложение на свободные от квадратов множители методом, описанным в дополнении "Основные сведения из алгебры").
В этом алгоритме мы предполагаем, что подалгоритм прос- тоечисло вырабатывает при каждом' обращении новое простое число, например пробегая список 2, 3, 5, 7, И, ... . Бер- лекэмп применяет алгоритм Бсрлскэмпа, описанный в предыдущем разделе (или какой-либо из его вариантов) и выдаст список множителей полинома f . Оператор граница Ландау Миньот- та выдает целое число, такое, что все коэффициенты всех делителей полинома f меньше этого числа. Из-за знака его нужно умножить на два. Мы предполагаем наличие алгоритма Гензеля (названного Гензелъ), работающего с п сомножителями, хотя привели только его вариант для двух множителей. Его детали (линейный/квадратичный) здесь не рассматриваются.
Имеется несколько направлений возможной оптимизации. Например, если 2 * Комбин = п, то не обязательно рассматривать все Долбим-подмножества множества Множители, достаточно рассматривать только половину, поскольку остальные суть их дополнения.
Можно взять также несколько значений р для того, чтобы найти такое, которое дает наименьшее число модулярных множителей. Еще более сложный метод - попытаться извлечь максимум информации из разложения на множители по модулю различных р. Например, если f разлагается на два множителя степени два по первому модулю, а по второму - на один полином степени 3 и полином степени 1, то можно сделать вывод о том, что полином f неприводим. Но программирование этих тестов нс очень очевидно. Мюссе [Musser 1978] считает, что оптимальное число выбираемых значений р равно пяти, но точное число этих значений зависит от реализации алгоритма.
Следует отмстить, что в практических вычислениях дорогой этап - лемма Гензеля, хотя теоретически перебор всех комби-
Алгоритм разложения на множители полиномов от одной переменной.
цикл р := простое число^; *
fp ■= f (mod рУ
пока степень^) * степень^ ^ или НОД(}p,f' р) * ^
{§!§„} := Бердекэмп У р.рУ
если п = 1 то выход {/};
к := \og ^2*граница_Ландау_МиньоттафУ
Множители := Гензель^ ,^g v... >gn},p,k);
Результат := {};
цикл для каждого элемента g из Множители
если g делит f
то Результат := Результат U {g}; Множители := Множители \ {g}; п := п - 1;
Комбин := 2;
цикл пока 2 ♦ Комбин ^ п для каждого Комбин-множества Е из Множители g := П h (mod pky, h^E
если g делит f
то Результат := Результат U {g};
Множители := Множители \ {g}; п := п - Комбин;
если 2 * Комбин > л то выйти из двух циклов Комбин := Комбин + 1;
если Множители * 0
то g := П h (mod pk);
кеМножители
Результат := Результат U {g};
выход Результат;
наций может требовать экспоненциального времени. Если нужно проверить несколько комбинаций, то проверка делением может оказаться слишком дорогой. Аббот и др. [Abbott et al. 1985]
заметили, что можно улучшить этот этап, проверяя делимость крайних коэффициентов до проверки делимости полиномов.
Описанный нами алгоритм весьма хорошо структурирован - с главной программой и двумя подпрограммами, т.е. Берлекэмп и Гензель. Нужно признаться, что современные реализации значительно сложнее, чем можно предположить по этой идеальной структуре.
Алгоритм Берлекэмпа даст число множителей (т.е. размерность базиса собственных векторов) после третьего шага, в то время как для вычисления самих множителей требуется значительно больше времени. Следовательно, можно запустить несколько (по Мюссе [Musser 1978] - пять) экземпляров алгоритма Берлекэмпа с различными р, остановить их после третьего этапа, извлечь всю возможную информацию из числа сомножителей, а затем продолжить перспективные варианты. Это легко сказать, но гораздо труднее написать на большинстве современных языков программирования.
Можно во время алгоритма Гензеля проверять, является ли один из сомножителей (mod р1 или р для квадратичного варианта) истинным делителем полинома [Wang 1983]. Можно адаптировать метод, описанный для модулярного НОД, и проверять, что множитель нс меняется после шага алгоритма Гензеля, т.е. добавлять после строк вида
gcorr := Ошибка ♦ hrecip (mod модуль, g);
строки вида
если gcorr = 0 то если делит^, f) то ...;
Если это случится, то можно удалить его из списка р-ади- чсских сомножителей и редуцировать f. Это может привести к изменению границы Ландау - Миньотта, а поэтому и требуемой степени р. Это означает, что большинство переменных в алгоритме разложения на множители можно модифицировать алгоритмом Гензеля: нарушение принципа модульного программирования.
Из этих замечаний вместе с теми, что мы сделали ранее, следует, что в действительности реализация - это весьма сложная программа.
Старший коэффициент
В предыдущем разделе мы предполагали, что полином, который мы хотим разложить на множители, нормированный. Любая задача разложения полиномов на множители может быть редуцирована к этому случаю с помощью следующих двух шагов:
Умножить полином f на cl^V где п - степень полинома f, а а - его старший коэффициент.
Выполнить подстановку у = х/а^.
Поскольку старший коэффициент теперь равен а”, а все другие коэффициенты делятся на л^ \ то после такой подстановки полином становится нормированным, нс выходя из Z[x]. В действительности полином 1^=оа.х1 заменяется полиномом
£ а.ап~Х~1х1 = хп + а .хп~] + а а +...+ ап-'ап.inп-1п п-2п 0
i =0
Существенный недостаток этой подстановки заключается в том, что при этом коэффициенты, а следовательно, и граница Ландау - Миньотта растут, и, таким образом, увеличивается размер всех целых чисел, участвующих в алгоритме. Имеется ли другой метод?
Напомним, что мы можем рассматривать только нормированный полином f из-за условия на степени "поправок" gr степень которых всегда меньше степени g.. Действительно, разложение на множители полинома из 7?[х] определено только с точностью до единиц (обратимых элементов кольца R). Для целых по модулю р любой ненулевой элемент обратим, поэтому разложение можно домножить на любое число. Основная идея состоит в том, чтобы с самого начала сделать полином нормированным по модулю р и выполнять деление, пользуясь следующим замечанием: если g делит f, то eg делит a f, где константа с выбрана таким образом, чтобы старший коэффициент полинома eg равнялся а^. Итак, алгоритм модифицируется следующим образом:
вызов алгоритма Берлекэмп должен выполняться для нормированного полинома f ;
граница Ландау - л(иньотта должна быть умножена на а^, поскольку теперь должны ограничиваться коэффициенты полинома a^g (а нс коэффициенты g);
в алгоритме Гензеля нам нужно заменить f на f/ct^ (вычисленный по модулю подходящей степени р);
тест делимости вида
если g делит f
должен быть заменен тестами следующего вида: если a^g (mod рк) делит aj и к результату нужно добавлять примитивную часть полинома %g (mod рк\
Можно также воспользоваться определением рациональных чисел по их модулярным значениям, как описано в разделе "Обращение матрицы" (4.1.3.3). Вместо разложения на множители полинома с целыми коэффициентами можно разлагать нормированный полином с рациональными коэффициентами. Конечно, значение р нс должно делить старший коэффициент исходного полинома, который становится знаменателем рациональных коэффициентов. Обзор этих методов дан Вангом [Wang 1983].
Разложение для нескольких переменных
Разложение на множители полиномов от нескольких переменных выполняется таким же способом, как и разложение для одной переменной. Как и в случае НОД, идея редукции по модулю р заменяется идеей вычисления значений при у-.-г, а переменные заменяются до тех пор, пока мы нс придем к полиному от одной переменной. Мы приведем только краткий набросок этого алгоритма, поскольку детали его весьма сложны, хотя принципы его аналогичны тем, которые мы уже изложили.
Нам, конечно, понадобится эквивалент леммы Гензеля. Его получить довольно просто: всюду в уравнениях и алгоритмах заменим р на у-г. Имеются линейные и квадратичные варианты этих алгоритмов, и неочевидно, какие из них лучше, хотя большинство систем, видимо, использует линейный вариант.
Нам не нужно неравенство в духе Ландау - Миньотта, поскольку степень делителя всегда меньше степени исходного полинома. Более того, можно утверждать, что если степень полинома равна п, то по крайней мере для одного из сомножителей степень меньше или равна п/2.
Остается то же самое понятие плохой редукции. Например, полином хг - у неприводим (поскольку его степень по у равна 1), но он разлагается на множители при любых значениях у, являющихся квадратами, таких, как у = 1 или у = 4. Здесь ситуация гораздо лучше, чем в случае полиномов от одной переменной.
Теорема неприводимости Гильберта. Пусть f(y^- ,уs, х^... ....х^ - неприводимый полином кольца И\у у... ,у $, Хр...,хД Пусть M(N) - количество значений у^ -Ь^ ..., У8-Ь$1 для которых |6J < N, таких, что полином f(yр...,уs,xр..., хг) в кольце 1\^,... ,хД приводим, т.е. таких, что это значение плохое. Тогда существуют константы а и С, такие, что 0 < а < 1 и M^N) ^ sC(2M + l)s-“
Поскольку число возможных значений, обозначаемое через P(N), равно величине ^2N + 1)S, эта теорема утверждает, что lirnN-x»^^)/^^)= ^’ ДРУГИМИ словами, вероятность того, что значение "плохое", стремится к нулю, когда целые числа становятся достаточно большими. На практике плохие, редукции встречаются весьма редко.
Алгоритм
Мы продолжаем предполагать, что полином, который мы хотим разложить на множители, свободен от квадратов. Если переменные этого полинома f суть Хр...,х , то мы опишем алгоритм с параметрами f, г и s; последний из них - индекс переменной, которую нужно заменить, в предположении, что х s+v.,x г_^ уже заменены целыми значениями. Предположим для начала, что полином f, который мы собираемся разлагать, нормирован относительно х т.
Приведем вариант алгоритма, поднимающий сомножители до такой степени двучлена х - v, что степень одного из двух сомножителей меньше или равна этой степени. Такой подход означает, что нужно проверять все комбинации множителей, а нс только половину из них, но он выглядит более эффективным, чем переход к удвоенной степени, в предположении, что плохие редукции встречаются очень редко.
Алгоритм разложения на множители полиномов от нескольких переменных
алг разлагать^,r,s);
если s = 0 то выход разлагать-одноф;
цикл и : = random^
fv fx :=v; s
пока степень^) * степеней) или HOU(fv,f' v) * 1;
{g1#.. .g^ := разлагать^и,г,5-Т);
если n = 1 то выход {/};
к := степень^ ,х$)/2;
Множители := Гeнзeлb(<fДg1>...>gy^>xs-u>ky
Результат := {};
цикл для каждого элемента g из Множители
если g делит f
то Результат := результат U {g};
Множители := Множители \ {g};
п := п - 1;
Combine := 2;
цикл пока Combine < п
для каждого Со/ггб/ле-множества Е из Множители
g := П A (mod (х -и)к);
h^Es
если g делит f.
то Результат := Результат U {g};
Множители := Множители \ {g};
п := п - Combine;
Combine := Combine + 1;
если Множители * 0
то g := П h (mod (х -и)к);^Множители s
Результат := Результат U {g};
выход Результат;
В этом алгоритме мы предполагаем, что random выдает нам случайное значение для переменной, выбирая сперва наименьшие значения. Мы используем разлагать-одно для разложения на множители полиномов от одной переменной и вспомогатель-
ный алгоритм Гензель для применения леммы Гензеля, поднимающей разложение на множители по модулю х - и до разложения по модулю (х^ - v^.
Алгоритм в том виде, как он здесь представлен, рекурсивен по переменным: можно представить себе параллельный вариант, придающий значения всем переменным, кроме одной, разлагающий получившийся полином, а затем выполняющий несколько параллельных шагов гензелевского подъема для нахождения переменных. Параллельные варианты в общем случае более эффективны, но они более сложны для описания (и написания!). Описание см. в статье Ванга [Wang 1978].
Имеется три ситуации, когда время выполнения этого алгоритма, который в общем случае достаточно быстр, существенно увеличивается. Они описываются (см. например, [Wang 1978]) следующим образом:'
плохие нули, т.е. невозможность использовать 0 в качестве значения и;
паразитические множители, т.е. множители с плохой редукцией;
старший коэффициент, который мы уже рассматривали в случае одной переменной.
Плохие нули представляют весьма серьезные практические затруднения из-за явления, с которым мы уже встречались в параграфе "Полиномы от нескольких переменных", а именно что каждый реальный полином от нескольких переменных должен быть разреженным. Разреженные полиномы остаются разреженными по модулю х”, но становятся плотными (по переменной х^) по модулю (х - of для ненулевого и. В действительности вычисление значения при ненулевом значении переменной соответствует подстановке х^ —> х $ - и, выполненной после вычисления значения при х$ = 0, а мы уже отмечали, что такая подстановка разрушает разреженную природу полинома и может сильно увеличить время выполнения. Это не слишком серьезно для рекурсивного метода, но ужасно для параллельного метода. Имеется несколько приемов, чтобы обойти эту проблему, за подробным описанием которых мы отправляем читателя к Вири [Viry 1982] и Вангу [Wang 1978]. 176—14
Эффекты паразитических множителей могут быть смягчены рассмотрением нескольких значений, как мы уже видели в случае одной переменной. Но» в рекурсивном случае это становится весьма дорого: если мы будем использовать два значения вместо одного, то стоимость вычислений умножится на 2Г~\ а весьма вероятно, что нам понадобится их гораздо больше двух. Плохие значения приводят к комбинаторному взрыву, с которым мы уже сталкивались в случае одной переменной, но здесь они вызывают также другую проблему. Весьма вероятно, что ложные множители нс являются разреженными, поэтому выполнение леммы Гензеля обойдется очень дорого.
4.2.3.2. Старший коэффициент '
Мы уже видели в случае одной переменной, что можно избавиться от старшего коэффициента путем замены переменной. Но это довольно дорого даже для полиномов от одной переменной, а в настоящем случае станет слишком дорого, потому что возрастет степень- и разрушится разреженная природа полинома. Например, предположим, что нам нужно разложить полином степени пять от четырех переменных. Если старший коэффициент имеет степень пять, то после подстановки степень будет равна 25, и весьма маленькая задача превратится в очень серьезную проблему. Что касается числа членов, то полином
(ш4 + х4 + у4 + l)z4 + (w + х + у + l)(z4 + z3 + z2 + z + 1)
содержит 24 члена (в раскрытом виде), но эквивалентный ему нормированный относительно г полином содержит их 247 (и заполняет несколько экранов).
Для случая одной переменной мы предложили другой метод, основанный на работе с нормированным полиномом, эквивалентным (по модулю р^ разлагаемому. В данном случае этот метод не очень эффективен, поскольку обратный (по модулю (x$-v)fe) к полиному полином может быть весьма большим, даже если его можно вычислить (поскольку кольцо функций от других переменных не обязательно является полем и обращение может требовать рациональных дробей от остальных переменных *!>•••>* ^). Поэтому нужно найти другой подход.
Ванг [Wang 1978] предложил его в параллельной ситуации, т.е. тогда, когда полином редуцируется к одной переменной. Полагаем
f(xr...,xr) = an(xr...,xrl)Z + ....
где а^ - старший коэффициент, вызывающий неприятности. Ванг предложил находить значения ^у^Г_х переменных Хр... • •-.xr v удовлетворяющие трем следующим условиям:
a (Ор...,» р нс обращается в нуль (это необходимо, чтобы степень редуцированного полинома равнялась степени исходного полинома);
tkp х'**'и T-vx г^ не имеет кратных множителей (это необходимо для применения леммы Гензеля);
каждый делитель (после подавления кратных множителей) старшего коэффициента а^х^., .,%г1) (это - полином от г-1 переменной), вычисленный при значениях х^=и^... • ••>* ^=0 Р содержит в качестве множителя простое число, нс содержащееся в значениях других множителей.
. Первые два условия необходимы всегда, третье является ключом к методу Ванга. Если мы найдем подстановку такого вида, то мы можем разложить на множители старшие коэффициенты всех сомножителей полинома f(yp...,y рХ ). Взглянув на простые числа, представляющие все сомножители полинома а , можно определить старшие коэффициенты тех сомножителей от п переменных, которые соответствуют этим сомножителям от одной переменной. -
Как только мы узнали старшие коэффициенты, можно потребовать, чтобы сомножители имели эти старшие коэффициенты до запуска алгоритма Гензеля. В этом случае все поправки удовлетворяют условию на степени, которое является основным для этого алгоритма. Таким образом, мы нашли метод, который может хорошо работать с нетривиальным старшим коэффициентом и нс требует каких-либо преобразований полинома. Стоимость этого метода складывается из двух компонент:
разложения на множители старшего коэффициента (и по индукции его старшего коэффициента и т.д.);
сложности нахождения подстановки, удовлетворяющей всем этим условиям. -
Вторая компонента кажется более существенной, но исследования в этой области продолжаются..
4.2.4. Другие применения р-адических методов
Чтобы р-адический метод работал, нам нужен алгоритм Ген- ь зеля, т.е. алгоритм для перехода от решения по модулю р к решению по модулю рк*Х или р^к (в случае нескольких переменных заменяем р на х - v). Мы уже упоминали два алгоритма такого сорта - уточнение множителей полинома и уточнение мультипликативного обратного. Ванг [Wang 1981] обобщил приложения к обратным для вычислений разложения на простейшие дроби.
' В качестве примера другого приложения уточнения сомножителей рассмотрим теперь р-адический метод вычисления НОД. Мы сможем сравнить преимущества и недостатки модулярных и р-адических методов.
НОД с помощью р-адического алгоритма
Рассмотрим сначала случай одной переменной и, как и в начале этой главы, предположим, что А и В - два полинома с целцми коэффициентами, для которых мы хотим вычислить НОД. Выберем простое число р, которое нс делит оба старших коэффициента полиномов А и В, и пусть F^ есть НОД полиномов А (mod р) и В (mod р) (мы используем нижние индексы для обозначения степени числа р, по модулю которой производятся вычисления). Таким образом, можно написать следующую систему:
•Лт = F1G1 (mod р);(Л)
В, е FtHt (mod р);(В)
В настоящий момент мы рассматриваем случай, когда НОД(Л, В) - нормированный полином (например, полиномы А и В нормированы, или, более общо, НОД их старших коэффициентов равен единице). Придерживаясь предположения о том, что редукция хорошая, мы должны уточнять одно из этих сравнений до тех пор, пока степень р нс станет достаточно большой, чтобы полином F^ равнялся истинному значению F. Это дей-
ствительно можно сделать, если F^ и G^ взаимно просты, применяя лемму Гензеля к уравнению (Л). Или же, если взаимно просты полиномы F^ и Н^ то можно применять алгоритм Гензеля к уравнению (В). Что можно сделать, если нс реализована ни одна из этих возможностей?
Есть два решения.
Можно сделать один шаг алгоритма Евклида, прежде чем перейти к р-адическим методам. Вместо рассмотрений полиномов Л и В рассмотрим В и С = остаток(Л,В) (в предположении, что степень полинома Л больше степени В). По алгоритму Евклида НОД(Л, В) = НОД(В, С). Подобным образом НОД(Л1, В^ = = НОД^р Сх). Ни один из сомножителей полинома НОД^р G^ или НОД^р Нг) нс может делить НОД^, C^F^, поэтому, после конечного числа шагов мы израсходуем все множители полинома F^ и одно из условий алгоритма Гензеля тогда обязательно будет выполнено.
Можно взять линейную комбинацию полиномов Л и В, т.е. D = ХА + рВ, и положить /1 = XGx + рН^ С вероятностью единица полиномы F^ и J^ взаимно просты, и мы можем работать со сравнением D^ = F^J^.
Если мы не можем предполагать, что истинный НОД нормированный, то можно следовать методу, используемому для разложения на множители полиномов от одной переменной, умножая все уравнение на границу для старшего коэффициента, т.е. НОД старших коэффициентов полиномов Л и В. Во всяком случае мы придем к уточнению вида Лд = F^G^. Если Fделит Л (оба рассматриваются как полиномы с целыми коэффициентами), то Ffc есть НОД полиномов Л и В. В противном случае редукция плохая, и нам нужно начинать все сначала. Таким образом, недостатком р-адического метода является более высокая чувствительность к плохим редукциям. Этот дефект может быть смягчен путем поиска нескольких редукций, поскольку хорошая редукция даст самую низкую степень. ■
Эти методы были обобщены на полиномы от нескольких переменных (см. [Yun 1974]). Здесь мы можем отметить одно преимущество р-адического метода: использование разреженной природы данных. Чтобы иметь возможность воспользоваться им,
нам нужно преодолеть три проблемы: плохих нулей, паразитических множителей и старшего коэффициента. Ванг [Wang 1980] предложил способ подхода к этим проблемам, весьма похожий на тот, эскиз которого мы изложили для разложения на множители.
Глава 5
ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В этом параграфе мы описываем теорию и практику формального интегрирования. Компьютеры, несомненно, весьма полезны для численного интегрирования, т.е. для нахождения определенных интегралов. Но компьютерная алгебра позволяет также выполнять и формальное интегрирование, т.е. нахождение интегралов в виде формул. Эти вычисления, которые невозможно выполнить численно, составляют одно из главных достижений компьютерной алгебры.
Введение
Мы должны отличать формальное интегрирование от численного интегрирования. Естественно, численное интегрирование, заключающееся в присвоении численного значения определенно-
1 2
му интегралу, например J х dx = 1/3, представляло одно из о •
первых применений вычислительных машин. Формальное дифференцирование было реализовано на ранних этапах развития вычислительной техники [Kahrimanian 1953], [Nolan 1953], но первые шаги в области формального интегрирования были сделаны только Слейглом в работе [Slagle 1961]. Чем обусловлена эта задержка?
Причину следует искать в существенном различии между формальным дифференцированием и формальным интегрированием. Дифференцирование в том виде, как ему обучают в школах, является алгоритмической процедурой, и знание производных элементарных функций и следующих четырех правил:
(а ± by = а' ± Ь',(ab)' - a' b + ab',faV a'b - ab*
W&W = f4g^g4t) позволяет нам продифференцировать произвольную данную функцию. Фактически настоящей проблемой при дифференцировании является упрощение результата, так как если его не упрощать, то производная от 2х + 1 выдастся в виде Ох + 2*1 + О или, если 2х + 1 представлено как 2Х1 + 1х°, - в виде
Ох1 + 2(0(log xjx1 + l+l+x1”1) + 0х° + l(0(log x)x° + O*l*x0-1).
Напротив, интегрирование выглядит случайным набором правил и частных случаев. Кажется, что существует только одно общее правило, JXf + g) = J f + J g (да и это правило не всегда справедливо - см. соотношение (1) в разделе "Интегрирование рациональных функций" и последующее обсуждение). Для комбинаций, отличных от сложения (и вычитания), общих правил не существует. Например, из того, что мы знаем, как 2 интегрировать ехр х и х , вовсе нс следует, что мы знаем, как интегрировать их композицию ехр х ; как мы увидим ниже, эта функция не имеет более простого интеграла, чем J ехр х2 dx. Таким образом, мы изучаем несколько "методов", таких, как интегрирование по частям, интегрирование с помощью подстановки, интегрирование просмотром напечатанных таблиц интегралов и т.д. Кроме того, мы не знаем, какой метод или какая комбинация методов сработает для данного интеграла. Так что первые шаги (сделанные Слейглом) основывались на той же эвристике, которую использует человек.
Этот способ был весьма скоро вытеснен (после работ Мозеса ([Moses 1967], [Moses 1971b])) истинно алгоритмическими методами. К настоящему времени существует развитая теория интегрирования, и мы можем дать только совсем краткий ее обзор. Если явно нс указано противное, то все интегрирования в этой главе выполняются относительно х.
Поскольку дифференцирование, несомненно, проще, чем интегрирование, имеет смысл переформулировать проблему интегрирования как "обратную задачу" для дифференцирования, т.е. для данной функции а вместо отыскания ее интеграла b мы ищем функцию Ь, такую, что Ь' = а.
Определение. Для двух данных классов функций А и В задача интегрирования из А в В состоит в том, чтобы найти алгоритм, который для любого элемента а из Л либо выдаст элемент b из В, такой, что а = Ь', либо доказывает, что в В не существует такого элемента Ь, что а = Ь'.
Например, если А = 0(х) и В = 0(х), то ответом для 1/х2 должен быть элемент -1/х, в то время, как для 1/х он должен быть "невозможно". С другой стороны, если В = Q(x, log х), то ответ для 1/х должен быть log х.
Ричардсон [Richardson 1968] доказал теорему, утверждающую, что проблема интегрирования для А = В = Q(z, тг7 схр, log, II) (где II обозначает абсолютную величину) неразрешима. Но это нс должно разочаровывать желающих получить алгоритм интегрирования: в действительности в этом поле не может быть решена уже проблема определения, является ли константа нулем. Поэтому Ричардсон взял неопределимую константу с и 2
рассмотрел функцию сех . Поскольку хорошо известно (позже
2
мы это также докажем), что функция сех не может быть про-
2
интегрирована в В, мы видим, что сех может быть проинтегрирована, только если с = 0, - вопрос, который не может быть разрешен. Начиная с этого момента, мы будем предполагать, что наш класс функций является эффективным, т.е. что любая проблема равенства в этом классе может быть решена.
Интегрирование рациональных функций
В этом разделе мы имеем дело со случаем А = С(х), где С - поле констант (в соответствии со сказанным выше эффективное). Любая рациональная функция f может быть записана в виде р + q/r, где р, q и г - полиномы, q и г взаимно просты и степень q меньше степени г. Хорошо известно, что
(1)(1)Р+У=Р + Jy,
(1)
(1)
но в теории алгебраического интегрирования мы должны соблюдать некоторую осторожность. Вполне возможно, что интеграл J f + g может быть выражен в явном виде, хотя ни J /, ни J g в явном виде нс выражаются. Примером такого явления может служить f Xх + (lug х)хх: интеграл выражается в виде Xх, в то время как оба его слагаемых нсинтсгрирусмы (в конечном виде). В действительности соотношением (1) можно пользоваться, только если известно, что существуют два из трех интегралов.
Для любого полинома р существует конечный интеграл; таким образом, формула (1) имеет место при х-р и у-q/r. Поэтому проблема интегрирования f сводится к задачам интегрирования р (которая совсем проста) и правильной рациональной функции q/r. Остальная часть этого раздела посвящена интегрированию правильной рациональной функции.
Наивный метод
ппп.п.Если полином г разлагается на линейные множители, так что
п
п
п.
п.
г = П ^х- а .) \
то мы можем разложить q/r на простейшие дроби (см. дополнение "Некоторые сведения из алгебры"):
s= Е г мs= Е г мгде Ь. - полиномы, степени можно разделить на х-а., жение:где Ь. - полиномы, степени можно разделить на х-а., жение:ь. п. ’ (х- а.) 1которых меньше чтобы получитьь. п. ’ (х- а.) 1которых меньше чтобы получитьп.. Эти полиномыI следующее разло-п.. Эти полиномыI следующее разло-ппп .п .ь.ь.Г= 2,V ’1= 1 /- 1 (х - а.УГ= 2,V ’1= 1 /- 1 (х - а.Угде b . . - константы.Это разложение можно проинтегрировать игде b . . - константы.Это разложение можно проинтегрировать иполучитьполучитьппп.п.Е Z> log(x-a)- Е 2 -—— '-1 1,11 1 = 1 /=2 (/ - 1 )(хЕ Z> log(x-a)- Е 2 -—— '-1 1,11 1 = 1 /=2 (/ - 1 )(хЬ. ._LlIЬ. ._LlI- «,)н "- «,)н "
s= Е г м
s= Е г м
где Ь. - полиномы, степени можно разделить на х-а., жение:
где Ь. - полиномы, степени можно разделить на х-а., жение:
ь. п. ’ (х- а.) 1
которых меньше чтобы получить
ь. п. ’ (х- а.) 1
которых меньше чтобы получить
п.. Эти полиномы
I следующее разло-
п.. Эти полиномы
I следующее разло-
п
п
п .
п .
ь.
ь.
Г= 2,V ’
1= 1 /- 1 (х - а.У
Г= 2,V ’
1= 1 /- 1 (х - а.У
где b . . - константы.
Это разложение можно проинтегрировать и
где b . . - константы.
Это разложение можно проинтегрировать и
получить
получить
п
п
п.
п.
Е Z> log(x-a)- Е 2 -—— '-1 1,11 1 = 1 /=2 (/ - 1 )(х
Е Z> log(x-a)- Е 2 -—— '-1 1,11 1 = 1 /=2 (/ - 1 )(х
Ь. ._LlI
Ь. ._LlI
- «,)н "
- «,)н "
Таким образом, мы доказали, что любая рациональная функция имеет интеграл, который может быть выражен в виде суммы рациональной функции и логарифмов от рациональных функций с постоянными коэффициентами. Таким образом, этот интеграл принадлежит полю С(х, log).
Хотя это доказательство хорошо известно, с алгоритмической точки зрения оно обладает некоторыми дефектами:
В нем требуется, чтобы мы полностью разложили г на множители, что нс всегда удастся сделать без присоединения к С некоторых алгебраических величин (как мы уже убедились, .работа с такими алгебраическими расширениями весьма сложна).
Разложение на множители полинома г достаточно высокой степени является весьма дорогой операцией, даже если не требуется переходить к алгебраическим расширениям.
Требуется также сложное разложение на простейшие дроби.
Для иллюстрации того, что существуют интегралы, которые можно определить без значительных трудностей (с карандашом и бумагой), рассмотрим
' 5х4 + 60х3 + 255х2 + 450х + 274=
. х5 + 15х4 + 85х3 + 225х2 + 274х + 120
= log(x5 + 15х4 + 85х3 + 225Х2 + 274х + 120) =
= log(x + 1) + log(x + 2) + log(x + 3) + log(x + 4) + log(x + 5); "5x4 + 60x3 + 255x2 + 450x + 275=
.x5 + 15x4 + 85x3 + 225x2 + 274x + 120
■ = ||log(x + 1) + |log(x + 2) + |log(x + 3) + |log(x + 4) + ||10g(x + 5)
(выражение только с одним логарифмом является слишком длинным, чтобы выписать его здесь: оно содержит логарифм полинома 120 степени, наибольший коэффициент которого содержит 68 десятичных цифр);
'5х4 + 1-1.
. (х5 + х + I)2 (х5 + X + 1)
в 5*—— = 10g(x5 + X + 1).
. X + X + 1
Первое равенство представляет собой пример, когда мы можем
разложить знаменатель на множители (достаточно простое выражение
(х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4)(х + 5)), но разложение на простейшие дроби весьма утомительно. Второй пример показывает, что незначительное изменение подынтегрального выражения может весьма сильно изменить интеграл. В последних двух примерах знаменатели вообще нс разлагаются над О, и чтобы разложить их полностью на множители, нам нужно использовать четыре алгебраических расширения (или расширение степени 120!). Таким образом, мы можем сформулировать следующую проблему: Найти алгоритм интегрирования рациональных функций, который работает только с теми алгебраическими величинами, которые необходимы для выражения интеграла.
Метод Эрмита
Этот метод [Hermit 1872] позволяет нам определять рациональную часть интеграла рациональной функции без использования дополнительных алгебраических величин. Аналогично он находит производную от суммы логарифмов, которая также является рациональной функцией с коэффициентами в том же поле, где лежат коэффициенты функции /. Мы видели, что множитель знаменателя г, который присутствует в нем в степени п, появляется в знаменателе интеграла в степени п -1. Это приводит к мысли воспользоваться разложением на множители, свободные от квадратов (см. дополнение "Некоторые сведения из алгебры").
Предположим, что г имеет разложение на свободные от квадратов множители вида П”ж1г*. Полиномы г. взаимно просты, и мы можем построить разложение на простейшие дроби (см. дополнение "Некоторые сведения из алгебры"):
« -<7- ?
ГП" , А ■
1 = 1 II
Мы знаем, что каждый элемент в правой части обладает интегралом, поэтому выполняется (1), и достаточно проинтегрировать поочередно каждый элемент. Это выполняется при помощи тождества Безу (см. еще раз дополнение "Некоторые сведения
из алгебры"), применяемого к полиномам г. и т*^ которые являются взаимно простыми. Следовательно, существуют а и Ь, удовлетворяющие соотношению ar. + br'. = 1.
' q (aiy br'.)' q (aiy br'.)
' q (aiy br'.)
' q (aiy br'.)
и нам удалось понизить показатель степени полинома г.. Жы можем продолжать подобным образом до тех пор, пока показатель не станет равен 1, когда оставшийся интеграл является суммой логарифмов.
Метод Горовица
Метод Эрмита вполне подходит для вычислений вручную, но его недостатки заключаются в том, что в нем используется несколько подалгоритмов (разложение на свободные от квадратов множители, разложение на простейшие дроби, тождество Безу), а это требует довольно сложного программирования. Поэтому Горовиц [Horowitz 1969], [Horowitz 1971] предложил следующий метод. ^
Преследуется та же цель: переписать J q/r в виде ^/^ + + J Я 2/^2? где остаюЩийся интеграл после вычисления представляется в виде суммы логарифмов. Из метода Эрмита и соображений, изложенных выше, мы знаем, что полином г^ имеет тс же сомножители, что иг, но с показателями, уменьшенными на единицу, что полином г2 не имеет кратных сомножителей и что его сомножители - это все сомножители полинома г. Из рассуждений, приведенных в параграфе "Разложение на множители, свободные от квадратов" (в дополнении "Некоторые све-
дения из алгебры"), следует, что /^ = НОД(г, г') и что г2 делит г/НОД(г, г'). Мы можем предполагать, что q2/r2 записано в приведенной форме, поэтому г2 = г/НОД(г, г*).
Тогда
£= f^iVi ^А qiri , Я2^Уг " 41s + q2rx r Vrx\ ггг'
112
где 5-г,хтг^гх (деление здесь выполняется без остатка).
Таким образом, наша проблема сводится к чисто полиномиальной задаче, т.е.
q=q'xr^-qxs*q^v^
где q, s, гх и г2 известны, a qx и q2 нужно определить. Но степени полиномов qx и q2 меньше степеней тип полиномов г и г соответственно. Итак, = E^Zn а-^ и Яо= = E^Zo^(-xZ- Уравнение (2) переписывается в виде системы т + п линейных уравнений от п + т неизвестных. Более того, эта система может быть решена, и интегрирование (по крайней мере эта подзадача) сводится к линейной алгебре.
Логарифмическая часть
Два описанных выше метода могут редуцировать интегрирование произвольной рациональной функции к интегрированию рациональной функции (скажем, q/rY интеграл которой будет представлен только суммой логарифмов. Мы знаем, что этот интеграл может быть вычислен полным разложением на множители знаменателя, но, как мы уже убедились, это нс всегда необходимо для выражения результата. Настоящая проблема состоит в том, чтобы найти интеграл без использования каких-либо алгебраических чисел кроме тех, которые необходимы для записи результата. Эта проблема была решена Ротштейном [Rothstein 1976] и Трейгсром [Trager 1976] (мы приводим их решение).
Предположим, что
И = Eulogy(3)
- выражение для этого интеграла, где правая часть использует наименьшее возможное алгебраическое расширение. Здесь с.
- константы, a v. - в общем случае рациональные функции. Поскольку log(a/6) = log а - log Ь, мы можем без потери общности предполагать, что и. - полиномы. Более того, мы можем выполнить разложение на свободные от квадратов множители, которое нс добавит каких-либо алгебраических расширений, и применить правило
lognp' = £z logp..
Далее, поскольку
с l°g pq+ d log pr = ^c + d)log p + c log q + d log r,
мы можем предполагать, что полиномы и. взаимно просты, все еще сохраняя минимальность числа алгебраических расширений (даже если число логарифмов может измениться). Кроме того,
мы можем предполагать, что все с. различны.
Дифференцируя уравнение (3), получим „ п С .1)'.
V ^^-(3')
Из предположения о том, что полиномы и. свободны от квадратов, следует, что никакой элемент этой суммы нс может быть упрощен, а из предположения о том, что и. взаимно просты, вытекает, что в этой сумме не может иметь место сокращение.
Отсюда следует, что полиномы и. должны в точности совпадать с делителями полинома г, т.е. что г = П^=1и_ Положим
и^^.ф. v. Продифференцировав затем произведение полиномов о., видим, что г'^^и'.и.. Избавившись от знаменателей в (3'), получим, что q^^c.u' .и.. Эти два выражения для q и г' позволяют сделать следующий вывод:
Vk = НОД(0, vk) =
= НОJ^q-^, с.и', и., vk) = (поскольку все остальные и. делятся на и^ ^WOJX(q-ckv'kuk, vk) = (по той же причине)
= НОД(? - ск £ и'u., vfe) =
= НОД(<? - скг', ик\
Если I* к, то
НОД(»- с кг*, у^ = НОШУ^у'.и. - cfeY.v'.u., у {) =(поскольку все остальные полиномы и делятся на и^= НОД^и'^ - c^Up и^ == 1
(поскольку полиномы и^ нс имеют кратных множителей или каких-нибудь множителей, общих с произведением и^ остальных полиномов и.). С помощью этих преобразований можно выполнить следующие вычисления:
НОД(<? - скг*, г) = НОД(<? - скг*, П у ) = (поскольку полиномы и. взаимно просты)
= П НОД(<7- скг' .У .) =
I = 1
(поскольку все остальные члены исчезают)
= НОД(?~ скг', ук) =
Следовательно, если мы знаем ск, то мы можем вычислить о^. Болес того, с^ - это в точности значения у, для которых НОД(^ - yr', г) * 1. Но эти значения могут быть получены с помощью результантов (см. дополнение "Некоторые сведения из алгебры"). Res^f q - yr', г) - это полином от у, равный нулю тогда и только тогда, когда соответствующий НОД нетривиален. Следовательно, достаточно вычислить этот полином (для чего не нужны алгебраические расширения) и для каждого его корня ск определить vk = НОД(^ - с^г', г).
Интегрирование более сложных функций
Как только мы выходим из класса рациональных функций, мы находим функции^ интегралы которых нельзя выразить в более простом виде. Например, мы можем сказать, что
Je-2 = /|erf х, но это будет только новой записью определения функции erf. Нам могут сказать, что J 1/х = log х является просто другой
записью определения функции log, и это будет справедливое замечание. Но различие заключается в том, что log "хорошо известен" (ниже этот термин будет уточнен). Другими словами, какой класс В мы допускаем в качестве возможных интегралов? Лиувилль предложил следующее определение, которое кажется вполне подходящим.
Определение. Пусть К - функциональное поле. Функция 0 называется элементарной образующей над К, если
функция 0 алгебраична над К, т. с. 0 удовлетворяет полиномиальному уравнению с коэффициентами в поле К;
функция 0 является экспонентой над К, т. е. в поле К существует элемент 7), для которого 6х =1/6, что является просто алгебраической записью утверждения 0 = exp Т);
функция 0 является логарифмом над К, т. с. в поле К существует элемент I), для которого G'-ti'/ti, что является алгебраической записью утверждения 0 = log 1).
Определение. Пусть К - функциональное поле. Расширение K(Gy.. ,Qn) поля К называется полем элементарных функций над К, если каждая функция G. является элементарной образующей над К. Функция называется элементарной над К, если она принадлежит некоторому полю элементарных функций над К.
Если указание о поле К опущено, то имеется в виду поле С(х) рациональных функций.
Это определение включает в себя тригонометрические функции. Например, sin х элементарен (над С(х)), так как
sin х = 27(е‘х + е 1 х) = 27(0 + д\
где 0 - это экспонента от 1х. Это верно также для обратных тригонометрических функций: например, tg-1 х = log (^). Для класса элементарных над К функций мы будем использовать обозначение K(elem).
В предыдущем разделе показано, что каждая рациональная функция обладает элементарным интегралом. Более того, этот интеграл имеет специальный вид суммы рациональной функции (для вычисления которой нам нс нужны никакие алгебраические расширения) и логарифмов с постоянными коэффициентами. Мы 176—15
увидим, что эта форма ответа имеет место в гораздо более общем случае, как показывает следующий результат.
Теорема (принцип Лиувилля). Пусть f - функция из некоторого функционального поля К. Если f обладает элементарным над К интегралом, то этот интеграл имеет следующий вид:
гп
Jf = % + J^ с. logfp(4)
где и0 принадлежит полю К, и . принадлежат расширению К поля К с помощью конечного числа алгебраических над К констант, а с. - константы, принадлежащие К.
Другими словами, если f обладает элементарным над К интегралом, то она имеет следующий вид:
Эта теорема является фундаментальной для всей теории интегрирования в терминах элементарных функций. В дальнейшем мы будем использовать выражение "Мы можем интегрировать в А с результатами в В” в качестве сокращения от "Существует алгоритм, который для данного элемента а из А выдает элемент b из В, такой, что а = Ь', или доказывает, что в В не существует функции с таким свойством". Если В опущено, то имеется в виду класс Л(е1еш).
Интегрирование логарифмических функций
В этом разделе изучаются функциональные поля, порожденные одним логарифмом. Мы работаем в таких предположениях:
К - функциональное поле, предполагаемое эффективным, такое, что мы можем интегрировать в К;
0 - логарифм над К, B'^'Ai и 0 предполагается трансцендентным над К;
поле К(В) имеет то же поле констант, что и поле К.
Последнее предположение позволяет избежать трудностей, которые могут встретиться, если присоединение 0 порождает новые константы. Например, если К = Q(x, log х) и 0 = = log 2х, то поле К(В) содержит константу log 2. Это предположение, так же как и предположение о том, что элемент 0
трансцендентен, может быть проверено с помощью структурной теоремы Риша (см. параграф "Представление трансцендентных функций"). Наша цель - показать, что мы можем интегрировать в К(в). Методы в основном аналогичны методам интегрирования рациональных функций, но имеется несколько мест, где нужно проявлять осторожность.
Лемма о разложении
Мы можем записать нашу функцию f из поля К(&) в виде р + q/r, где р, q и г - полиномы из К[0], q и г взаимно просты, а степень q меньше степени полинома г. Можно ли тогда рассматривать р и q/r раздельно, т.е. можно ли применить формулу (1)?
Лемма о разложении. Если функция f имеет элементарный над К интеграл, то и р, и q/r обладают элементарными над К интегралами.
Доказательство. Из принципа Лиувилля (в виде соотношения (4 х)) следует, что '
Мы можем предполагать, что в этом разложении Ур...,^ - нормированные полиномы от 0, коэффициенты которых принадлежат полю К, в то время как ик+^,... ,0^ принадлежат полюК. Более того, мы можем записать uQ в виде р + q/г, где р, q и г - полиномы от 0, a q/r - правильная рациональная функция. При этих предположениях мы используем следующие свойства: производная от полинома является полиномом; производная от правильной рациональной функции является правильной рациональной функцией. Поэтому
полиномполиномправильная рациональная функция
полином
полином
Поскольку разложение "полином + правильная рациональная функция" является единственным (напомним, что 0 предполагается трансцендентной), это соотношение позволяет нам получить следующие два соотношения:
~ п с .и'.
/ = £+1/ = £+1V .V .5151кЕ< = iкЕ< = iс дЛи .с дЛи .
/ = £+1
/ = £+1
V .
V .
51
51
к
Е< = i
к
Е< = i
с дЛи .
с дЛи .
два уравнения могутдва уравнения могутЭтиЭтибытьбытьформально проинтегрированы. Получим
два уравнения могут
два уравнения могут
Эти
Эти
быть
быть
Р = Р + 2 с log а,1 = 6+1 ''
[5=£ + ^ с logyJ г г 1=1 11
Эти соотношения доказывают нужный результат, и, более того, они дают нам дополнительную информацию о форме интегралов. В следующем разделе мы рассматриваем эти два случая отдельно.
Полиномиальная часть
Предположим, что полином р записан в виде 1^=0А.е1 и что полином р записан в виде ^.^^В^1. Из последнего соотношения в доказательстве леммы о разложении следует, что
mгп.п С Л)'.
I ле-=Г £в о‘|+2 -р-=
1=0-11=0- Ji=6+l i
ии. . П С Д)*.
= Е В'в1 + s 1В.е'е1"Ч £/ = 011=11i = h+A ui
Напомним, что элементы и., встречающиеся в этом выражении, принадлежат полю К. Поскольку 0 - трансцендентный элемент, можно заключить, что коэффициенты при каждой степени 0 в обеих частях должны быть равны. Отсюда следует, что п = m или п = m +1. Коэффициенты при 0m+1 дают нам уравнение 0 = В^+1, из которого мы получаем, что коэффициент ^т+1 должен быть константой.
Коэффициенты при 0^ (в предположении, что m > 0) дают уравнение
А = В' + (т + 1)5 .0х.
m m х ’ тл 1
Это уравнение может быть переписано в интегральной форме:
В = Г (Л -(т + 1)В ,0х) =
т J х т х 7 т+17
= - (т + 1)5+ Гл .
Из этого уравнения следует, что для А^ должен существовать элементарный интеграл, а предположение (i) этого раздела обеспечивает существование алгоритма нахождения этого интеграла (или доказательства того, что для этой функции нет элементарного интеграла, а это означает, что для р его также нет). Более того, этот интеграл должен иметь специальный вид: сумма элемента поля К и кратного (с постоянным коэффициентом) элемента 0. Единственным логарифмом, который может быть присоединен к К» чтобы выразить этот интеграл, является 0. (Следовательно, можно оптимизировать это интегрирование коэффициента A t но при этом значительно усложняется изложение, и мы нс будем здесь этого делать.) Это интегрирование определяет В р а также определяет В^ с точностью до константы. Обозначим эту константу через b .
Коэффициенты при 9т"' (в предположении, что т > 0) дают уравнение
А А - В' . + т(В + b )0Х.т-1 т-1 х т т'
Это уравнение может быть переписано в интегральной форме:
В 1 “ [Итт-Л J ' т-1 х т т/ '
= -mb 0 + Г А .т J т-1= -mb 0 + Г А .т J т-1- тВ в' .т- тВ в' .т(5)(5)
= -mb 0 + Г А .
т J т-1
= -mb 0 + Г А .
т J т-1
- тВ в' .т
- тВ в' .т
(5)
(5)
Как и ранее для коэффициентов при Вт, мы можем вывести отсюда, что для А^^-тВ^б' имеется элементарный интеграл, который должен принадлежать полю К» кроме, возможно, кратного с постоянным коэффициентом элемента 0, что определяет Ь^. Таким образом В ^ определено с точностью до константы, которую мы обозначим Ьт
Подобным образом мы продолжаем процедуру до коэффициенте тов при 0 :
п С
а = в-0 + 1(в +б)е' + £ -р.
Это уравнение может быть переписано в интегральной форме: пг
в„* . Е С, toe-г J<-<o-<si=
t = «+ 1
Из этого мы заключаем, что Ло - В^' обладает элементарным интегралом. На этот раз интеграл нс обязательно принадлежит полю К, и он может содержать новые логарифмы. Коэффициент при 0 в этом интеграле определяет b . Как и прежде, BQ определен с точностью до константы, но это постоянная интегрирования, которая остается неопределенной. Таким образом, мы нашли. весь интеграл полиномиальной части (или же показали, что его нс существует).
Рациональная и логарифмическая части
Из последнего соотношения в доказательстве леммы о разложении следует, что
Наша задача похожа на соответствующую задачу для рациональных функций, и решение ее также аналогично. Фактически в этом случае, как и в случае рациональных • функций, работает метод Эрмита, за исключением того, что нужно принимать во внимание символ дифференцирования ‘. В случае полинома от переменной х
[
п. -1 / п. .
Е а^'1 = £ iaxl"\1=0' J i=11
в то время как для полинома от переменной 0 [п . -1 / п. . п .
£ аб1 = £ ш.е'е*"1 + 2 а'61.
1=0 ' J 1=1 'f = 0 '
Хотя эти равенства следует доказывать здесь заново, все необходимые результаты из дополнения "Некоторые сведения из
алгебры" остаются справедливыми, и метод Эрмита (или, более точно, метод Эрмита - Островского, поскольку это обобщение принадлежит Островскому [Ostrowski 1946]) работает.
Логарифмическая часть вычисляется почти так же, как и в случае рациональных функций. Мы доказали, что коэффициенты при логарифмах, которые по теореме Лиувилля должны быть константами, суть корни полинома Res$ (q - yr', г). Однако в данном контексте мы уже нс можем быть уверены в том, что эти корни являются константами. Возьмем в качестве примера J dx/\og х, где q = 1 и г = log х. Тогда и корнем этого полинома является у = х, что не является константой. В этом случае мы можем утверждать, что интеграл нс является элементарным, поскольку элементарный интеграл должен иметь постоянные коэффициенты. Если мы применим этот метод к J dx/x log х, то мы найдем полином у=1, и интеграл принимает вид log log х.
Интегрирование экспоненциальных функций
Этот раздел посвящен изучению функциональных полей, порожденных одной экспонентой. Здесь применима та же процедура, что и в предыдущем разделе, за исключением того, что разница в поведении логарифмических и экспоненциальных функций вынуждает нас внести некоторые изменения. Мы работаем в следующих предположениях:
) К - функциональное поле, предполагаемое эффективным, такое, что мы можем интегрировать в К и умеем решать в К дифференциальное уравнение у* + fy = g (о решении этой задачи см. следующий параграф);
) 0 - экспонента над К, в'= ri'6 и 0 предполагается трансцендентным над К;
) поле К(6) имеет то же поле констант, что и поле К.
Последнее предположение позволяет избежать трудностей, которые могут встретиться, если присоединение 0 порождает новые константы. Например, если К = 0(х, ехр х) и 0 = = ехр(х+1), то поле К(0) содержит константу е. Это пред-
Положение, так же как и предположение о том, что элемент 0 трансцендентен, может быть проверено с помощью структурной теоремы Риша (см. параграф "Представление трансцендентных функций" гл. 2). Наша цель - показать, что мы можем интегрировать в К(В). Методы для рациональной части в значительной степени аналогичны методам интегрирования логарифмических функций, но полиномиальная часть существенно отличается.
Мы должны подчеркнуть, что выбор образующей 0 в некоторой степени произволен; ^ также является экспонентой - экспонентой от -7). Таким образом, очевидно, что "полиномиальная часть" должна принимать эту симметрию во внимание. В предыдущем разделе мы использовали методы разложения на свободные от квадратов множители и т.д., утверждая, что они справедливы также для случая полиномов от одной логарифмической переменной. В случае экспоненциальной переменной они более нс имеют места, например если 0 = схр х, то полином р = 0 не имеет кратных сомножителей, но НОД(р,р/) = 0, а из такой нстривиальности НОД обычно следует, что р обладает кратным сомножителем. Нетрудно проверить, что эти утверждения остаются справедливыми, если 0 не делит р.
5.1. Лемма о разложении
Мы можем записать нашу функцию f из поля К(0) в виде p+q/r, где р - обобщенный полином (т.е. £”=_^а^.0г), a q и г - полиномы из АЦ0], такие, что 0 нс делит г, q и г взаимно просты и степень q меньше степени полинома г. Можно ли •тогда рассматривать р и q/r раздельно, т.е. можно ли применить формулу (1)?
Доказательство. Из принципа Лиувилля (в виде уравнения (4')) следует, чтоДоказательство. Из принципа Лиувилля (в виде уравнения (4')) следует, чтоЛемма о разложении. Если функция f имеет элементарный над К интеграл, то и каждое из слагаемых р и q/r обладает элементарным над К интегралом.
Доказательство. Из принципа Лиувилля (в виде уравнения (4')) следует, что
Доказательство. Из принципа Лиувилля (в виде уравнения (4')) следует, что
„п С .1) .
*р го А .
I = 1 I
Мы можем предполагать, что в этом разложении и^,...^^ - нормированные полиномы от 0 степеней п. (коэффициенты кото-
рых принадлежат полю К\ в то время как и к^^,... ,и п принадлежат полю К. Мы можем также предполагать, что ни один из
полиномов и. не делится на 0, так как log0 = T). Более того, мы можем записать uQ в виде р + q/r таким же образом, как мы представляли f. При этих предположениях, пользуясь тем, что производная от обобщенного полинома является обоб
щенным полиномом, а производная от правильной рациональной
функции (такой, что 0 нс делит се знаменатель) - правильная рациональная функция (такая, что 0 не делит ее знаменатель), мы видим, что
Р+ гР+ гр + 9 + уГ 1 = 1р + 9 + уГ 1 = 1ctuiу Ictuiу Iп СУУ -L-Ll=k+A Iп СУУ -L-Ll=k+A I9 +9 +кI1 = 1кI1 = 1с .v.с .v.и .и .
Р+ г
Р+ г
р + 9 + уГ 1 = 1
р + 9 + уГ 1 = 1
ctuiу I
ctuiу I
п СУ
У -L-L
l=k+A I
п СУ
У -L-L
l=k+A I
9 +
9 +
к
I
1 = 1
к
I
1 = 1
с .v.
с .v.
и .
и .
частьчастьчасть р
часть
часть
В разделе о логарифмических функциях мы отмечали, что две
части этого разложения представляли собой полином и пра
вильную рациональную функцию. В настоящем случае это заме
чание не имеет места. Предположим, п. п .-1.
сан в виде 0 l + YjLo а .в1. Полином
что и. (где i^k) запи-
и'. также является по-
линомом степени
n.t т.е.
nin.VO +
п .-1.
ii
Е ^е /=о 1
и поэтому с ,v* ./v. не является правильной дробью. Однако
С Л)*.Сi^'i ~ П^ 11 {)
рациональной
- правильная рациональная дробь. Поэтому мы имеем следующее
разложение:
~ п с .и'. к
Р + ^ = Р' + У -^ч-И'Ъ СП*i=k + \ i 1= 1
i=i vt
обобщенный полином
правильная рациональная функция
(где, более того, 0 не делит знаменатель второй части).
Поскольку разложение "обобщенный полином + правильная рациональная функция" (знаменатель которой не делится на 0)
является единственным (напомним, что 0 предполагается трансцендентным), это соотношение позволяет нам получить следующие два соотношения:
~ п с .и*. к
р = р' + £ -ir1"*^ 2 71
i=h + Vi 1 = 1 ' ‘
Формально проинтегрировав второе уравнение, получаем
fl =^+ Sc.(log У.. - П.7)).
В первом уравнении мы запишем р = ^.^ ^А .в1 и р = Т^.=_т# В В1, где А. и В. принадлежат полю К. Поскольку элемент 0 транс- цендентен, мы можем заключить, что коэффициенты при каждой степени 0 в обеих частях должны быть равны. Отсюда следует, что п-п' и т = т'. Поскольку производная от В В1 равна (В*. + 1^ В ,)В1, мы получаем, что А .В1 = (В'. + nV В ,)В1 для I * 0, откуда вытекает, что все эти последние члены обладают интегралами. Поскольку рациональная часть также имеет интеграл, то и оставшийся член, т.е. Ло, тоже должен иметь интеграл.
5.2. Обобщенная полиномиальная часть Мы только что доказали, что для / * О
Jл.ez = e.ez,
где В. принадлежит полю К и удовлетворяет дифференциальному уравнению В'. + hV В . = А .. По предположению у нас есть алгоритм, который решает эту задачу в К, либо находя Влибо доказывая, что в поле К нет элемента В., удовлетворяющего этому уравнению (детали см. в параграфе "Алгебраические решения О.Д.У.").
Коэффициент Ло принадлежит полю К, поэтому его интеграл можно определить алгоритмом интегрирования в К. Следует от- ь
метить, что мы должны вычесть из этого интеграла UL^-^ сtnр чтобы получить интеграл от функции f, поскольку эта сумма была прибавлена в процессе разложения.
5.3. Рациональная и логарифмическая части
Из последнего соотношения в доказательстве леммы о разложении следует, что
„2 17 к с .(и'. - п т' и Л
£= £ + г ±1р .
Фактически в этом случае, так же логарифмических функций, работаетФактически в этом случае, так же логарифмических функций, работаеткак и для рациональных и метод Эрмита, поскольку 0
Фактически в этом случае, так же логарифмических функций, работает
Фактически в этом случае, так же логарифмических функций, работает
не делит знаменатель г; поэтому действует разложение на свободные от квадратов множители /^П^г*, и, кроме того, все полиномы г. взаимно просты со своими производными.
Поэтому мы можем вернуться к случаю, когда полином г нс имеет кратных сомножителей. Рансе мы отмечали, что интеграл был суммой логарифмов, но в данном случае мы получаем, что
со k
И = ДС.(log a.-n.7)).
Метод, которым мы воспользуемся для нахождения с. и и., аналогичен методу, использованному для рациональных функций от х, но требует некоторой технической модификации. Как и прежде, мы можем предполагать, что и. - взаимно простые полиномы, свободные от квадратов. Аналогом уравнения (3') является
„ п с ИЛ - n.lfvA
^ = Е Л™1 „ 1—-•(6)
В этой ет, что телямиВ этой ет, что телямите. что г = П" .у.. Положим и.= f = 1 IIте. что г = П" .у.. Положим и.= f = 1 IIполиномаполиномасумме не может иметь место сокращение, а это означа- полиномы и. должны в точности совпадать с сомножи-
В этой ет, что телями
В этой ет, что телями
те. что г = П" .у.. Положим и.= f = 1 II
те. что г = П" .у.. Положим и.= f = 1 II
полинома
полинома
= И.^.и.. Мы можем затем продифференцировать произведение полиномов и. для того чтобы убедиться, что г'^^и^и^ Избавившись от знаменателей в (6), получим, что q =
ик = Н°Д(°'=■
= НОД(<7 - Ес .(у' - п .т,'и .)и ., vj =
(поскольку все остальные и. делятся на о^
= НОД(<? - cfe(y' - n^'v^u^ и^ =
(по той же причине)
= НОД(q-ск £(и' - п. 1)'V.)иг и^ =
= НОД(<? - cfc(r' -Ti'rY, п.), vk\
Если I* к, то так же, как мы делали для рациональных функций, устанавливаем, что
НОД(<? - ckV -i)'r £ пД up = 1.
С помощью этих преобразований получаем
НОД(» - ck(r' - ri'г Y,n.), г) = vk.
В этой формуле используется сумма ^п., но это просто степень полинома г, которую мы можем обозначить N. Поэтому если мы знаем с., то мы можем вычислить и.. Более того, с.
ккк
- это в точности значения у, для которых НОД(^ - у^т' - - Ni)'г), г) * 1. Но эти значения могут быть получены с помощью результантов (см. дополнение "Некоторые сведения из алгебры"). Resg (q - y(r' - Nti' г), г) - это полином от у, равный нулю тогда и только тогда, когда соответствующий НОД нетривиален. Следовательно, достаточно вычислить этот полином (для чего нс нужны алгебраические расширения), вычислить его корни (для чего алгебраические расширения могут потребоваться) и для каждого его корня с^ определить
ик= Н°Д(» - с^г' - ^г^ г^-
Как и в случае логарифмических функций, может случиться, что корни этого полинома нс являются константами, откуда будет следовать, что функция f не имеет элементарного интеграла.
Интегрирование смешанных функций
Иногда приходится иметь дело с функциями, не являющимися чисто логарифмическими или чисто экспоненциальными. Но условия, наложенные нами на поле К, позволяют интегрировать смешанные функции, рассматривая их как элементы поля К(В), где К " функциональное поле, а 0 - логарифм или экспонента. Например, рассмотрим функцию
-e*log2x + log х 2^ ^+ ^^ + ех + е2х1 + 2ех + е2х
Задача. Эта функция принадлежит функциональному полю Q(x, ех, log х\ Поэтому мы можем положить К = 0(х, ех\ 0 = log х, и применить теорию, изложенную в разделе "Интегрирование логарифмических функций". Как элемент поля К(0) эта функция является полиномом от 0
е2[^1+0Г__2
И + 2ех + е^х ' lx(l + ех) J 1 + ех
Следуя методу, изложенному в разделе "Интегрирование логарифмических функций - полиномиальная часть", мы должны проинтегрировать коэффициент при старшей степени 0, т.е. -ех/(1 + ех)2. Это интегрирование имеет место в поле К.
Подзадача 1. Это интегрирование имеет место в поле Цф), где ф=ех и L = Q(x). Функция, которую нужно проинтегрировать, является правильной рациональной функцией, и, более того, ф нс делит знаменатель. Поэтому применима теория раздела "Интегрирование экспоненциальных функций - рациональная и логарифмическая части". Разложение на свободные от квадратов множители выполняется совсем просто, и нам нужно только применить метод Эрмита к q/r2, где q = -ф и г = 1 + ф. Получаем, что г' = ф (символ ' всегда обозначает дифференцирование относительно х). К г и т* нужно применить тождество Безу, что в данном случае сделать совсем просто:
(1)г + (-1)г'=1.
Подставляя эти значения в метод Эрмита, мы получаем интеграл дроби -^(-1)/(1 + 0), а остаток полностью сокращается. Таким образом, решением этой подзадачи является -0/(1 + 0).
В первоначальной задаче мы получили таким образом один из членов интеграла, т.е. -02ех/(1 + ех\ Но производная от этого члена даст нам члены, содержащие 01. Коэффициент при 01, который нужно проинтегрировать в соответствии с формулой (5) раздела "Полиномиальная часть", задается выражением
Л1~29/В2, где Л1 - исходный коэффициент, а В2 - решение подзадачи 1. После этих вычислений получаем
22=2
х(1 + ех) х 1 + ех х
Интеграл от этой функции должен дать нам коэффициент при 9 в интеграле (и, возможно, определить постоянную интегрирования в предыдущей подзадаче).
Подзадача 2. Теоретически это интегрирование выполняется в поле Цф), где ф=ех и L = ^(x), но нетрудно заметить, что в действительности ответом является 2 log х.
Вообще интегралы, задаваемые подзадачами, должны принадлежать полю К, но, как мы видели, они могут содержать 9. Именно такой случай налицо здесь, так как интеграл равен 29. Отсюда следует, что выбор постоянной интегрирования в последней подзадаче был плохой и что се нужно увеличить на 2/2 = 1. Таким образом, текущее состояние задачи таково, что мы проинтегрировали коэффициенты при 92 и 91 и нашли, что интеграл должен быть равен 92(1 - ех/(1 + ex))t а это выражение приводится к более простому виду 92/(1 + ех\ Нам осталось проинтегрировать коэффициент при 9°, т.с. ех/(1 + ех).
Подзадача 3. Это интегрирование выполняется в поле Цф), где ф=ех и L = ^(x). Функция, которую мы хотим проинтегрировать, нс является правильной рациональной функцией и должна быть переписана в виде 1—1/(1 + ех\ Интегрируя 1, получаем х (плюс постоянную интегрирования, являющуюся константой интегрирования всей задачи). Оставшаяся часть является правильной рациональной функцией q/r, где q = -1 и г = 1 + ех. Функция г не делится на ех и не имеет кратных множителей, поэтому ее интеграл должен быть суммой логарифмов. В соответствии с теорией раздела "Интегрирование экспоненциальных функций - рациональная и логарифмическая части" нам нужно вычислить
Res^ (q - y^r' - Niff), г), где N = 1 (степень полинома г) и т)=х. Это переписывается в более простом виде, как Res^(-1 + у, 1 + ф), т.е. -1 + у.
Этот полином имеет корень у=\, который действительно является константой. Поэтому интеграл от рациональной части равен log (1 + гх) - х. Слагаемое -х сокращается с х из другой части, и мы получаем log (1 + ех\
Таким образом, решением задачи является
log2* f —-—si + log(1 + exYИ + e J
Этот кажущийся достаточно сложным метод разложения интеграла в ряд вложенных, но простых задач, является весьма общим. Он приводит к следующему результату.
Теорема [Risch 1969]. Пусть К = С(х, 0^ 02> ... , 0^) - функциональное поле, где С - поле констант и каждый элемент 0. является либо логарифмом, либо экспонентой элемента из поля С(х,6х,6<^,... ,6 . ^) и трансцендентен над С(х,6 ^,6^,... ...,01._1). Кроме того, подполе констант поля К должно совпадать с С. Тогда существует алгоритм, который для данного элемента f поля К либо выдает элементарную над К функцию, являющуюся интегралом от f, либо доказывает, что для f нет элементарного над К интеграла.
Доказательство проводится индукцией по п (л = О соответствует интегрированию рациональных функций) с использованием теории, изложенной в разделах "Интегрирование логарифмических функций" и "Интегрирование экспоненциальных функций". Эту теорему можно также применять к тригонометрическим функциям (и их обратным), так как они могут быть выражены как экспоненты (или как логарифмы).
Интегрирование алгебраических функций '
Это весьма трудная проблема, которой интересовались многие великие математики и которая изучается в курсе алгебраической геометрии. После некоторого продвижения в этой области стало возможным дать ответ [Davenport 1981] для этой задачи, т.е. указать алгоритм, который для данной алгебраической над Q(x) функции f либо выдаст элементарную над 0(х) функцию, являющуюся се интегралом, либо доказывает, что такой функции не существует.
Этот весьма сложный алгоритм, и Дэвенпорт запрограммировал только его часть, когда f определена через квадратные корни и геометрические проблемы нс являются слишком сложными \ Позднее Трсйгср [Trager 1985] предложил другие методы, которые кажутся более эффективными, но они до сих пор нс запрограммированы. Фактически эта задача остается на переднем крае наших математических знаний и возможностей систем компьютерной алгебры. Этот алгоритм может быть использован вместо алгоритма интегрирования рациональных функций как исходная точка для индукции в теореме Риша. Отсюда получается следующий результат.
Теорема [Davenport 1984а]. Пусть К = С(х,у,6^,6^,... ,6п) - функциональное поле, где С - поле констант, у алгебраичен над С(х), а каждый элемент В. является либо логарифмом, либо экспонентой элемента из поля С(х,у,В ^,6^,... ,6 . 0 и трансцендентен над С(х,у, 6 ^,0^,... ,6 . ^). Кроме того, подполе констант поля К должно совпадать с С. Тогда существует алгоритм, который для данного элемента f поля К либо выдает элементарную над К функцию, являющуюся интегралом от f, либо доказывает, что для f нет элементарного над К интеграла.
Важно отметить, что эта теорема не допускает рассмотрения алгебраических расширений, которые зависят от логарифмических или экспоненциальных функций. Эта проблема остается нерешенной^.
Интегрирование неэлементарных функций
Мы процитировали определение Лиувилля слова "элементарный" и дали набросок теории интегрирования таких функций, где интегралы также должны быть элементарными. Что произой-
дет, если мы избавимся от этого ограничения? Прежде всего мы больше нс сможем пользоваться принципом Лиувилля. Недавно Зингер, Сондерс и Кавинесс [Singer, Saunders, Caviness 1981], [Singer, Saunders, Caviness 1985] обобщили этот принцип, но обобщение весьма сложное и применяется только к весьма ограниченному классу функций, хотя этот класс и шире, чем элементарные функции. Фактически в дополнение к логарифмам и экспонентам допускается конечное число функций типа Е или L
Определение. Функция имеет тип Е над полем К, если се можно представить в виде J и' G(exp (R(u))), где и € К, a G и R - рациональные функции с постоянными коэффициентами. Функция имеет тип L над полем К, если се можно представить в виде J и'H(\og(S(u)))> где иеК, a Н и S - рациональные функции с постоянными коэффициентами, такие, что степень числителя функции Н не более чем на 1, превосходит степень знаменателя функции Н.
Например, функция erf х имеет тип Е над С(х) с и = х. и рациональными функциями G(y) = V2/n у и R(y) = -у2. Аналогично
erf log х = J (V2/n/x) exp (-log2*)
имеет тип E над C(x, log x). Функция Ei(x) = J* ex/x не является функцией типа Е над С(х), потому что требуемая функция G(y\ а именно у/х, имеет коэффициенты, не . являющиеся константами. Функция Li(x) = J 1/log х имеет тип L над С(х) при и = х, Щу) = \/у и S^ = у. Функция Ei(x) имеет тип L над Цх,ех\ поскольку она может быть записана в виде Li ех.
Чтобы интегрировать, в компьютерной алгебре требуется несколько больше, чем принцип Лиувилля, - нужен также и алгоритм. В настоящее время имеются алгоритмы, обобщающие теорему Риша, допуская тот же самый класс исходных функций, но более широкий класс интегралов, т.е. функции, которые "элементарны с erf" или "элементарны с Li (и Ei)" ([Cherry 1983], [Cherry 1985], [Cherry, Caviness 1984]). Но в настоящее время эта область является предметом интенсивного изучения, и можно ожидать открытия новых алгоритмов. 176—16'
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ О.Д.У.
Задачу интегрирования можно рассматривать как решение простейшего дифференциального уравнения у' = Ь В этом параграфе приводится ряд сведений о поведении формальных решений некоторых линейных дифференциальных уравнений. Замечания, сделанные в предыдущем параграфе о различии между формальными и численными решениями, остаются справедливыми в этом случае, так же как и замечания о различии между эвристическим и алгоритмическим подходами.
Уравнения первого порядка
Здесь мы рассматриваем уравнение у' + fy = g. В разделе об интегрировании экспоненциальных функций уже формулировалась задача нахождения алгоритма, который для данных функций f и g из некоторого класса А либо находит функцию у, принадлежащую данному классу функций В, либо доказывает, что в данном классе В не существует элемента, удовлетворяющего данному уравнению. Из соображений простоты мы будем рассматривать только случай, когда В - класс элементарных над А функций.
Хорошо известен следующий метод решения уравнений этого типа: воспользоваться подстановкой y=ze~^L Получаем
g^ у' + fy~ г* е~^ " zfe”^ + fze"^ = z* е”^.
Таким образом, z' = ge^ и
у = е~^ J §е^'п)
В общем случае этот метод нахождения у алгоритмически неудовлетворителен, поскольку алгоритм интегрирования, описанный в предыдущем параграфе, переформулирует этот интеграл в виде дифференциального уравнения, с которого мы начинали.
Проблема Punta
Таким образом, нам нужно найти прямой метод решения этих уравнений. Риш [Risch 1969] нашел такой метод для случая, когда А - поле рациональных функций или расширение (с по-
мощью трансцендентного логарифма или трансцендентной экспоненты) некоторого поля, над которым *эта задача может быть решена. Ниже приводится алгоритм для случая рациональных функций; для других случаев главные черты остаются теми же, но детали становятся гораздо более сложными. Приводимое здесь решение grosso modo совпадает с решением Риша [Risch 1969]; имеется другое решение, принадлежащее Дэвенпорту [Davenport 1985с].
Задача может быть сформулирована следующим образом: для двух данных рациональных функций f и g найти рациональную функцию у\ такую, что у' + fy = g, или доказать, что такой функции нет. Функция / удовлетворяет условию, что exp(Jf) нс является рациональной функцией, т.е. f - нс константа и ее интеграл не является суммой логарифмов с рациональными коэффициентами. Задача решается за два шага: сведение ее к чисто полиномиальной задаче и решение получившейся задачи.
Пусть р - неприводимый полином. Пусть а - наибольшее целое число, такое, что ра делит знаменатель функции у; это мы можем записать в виде ра | den(yY Пусть 3 и у таковы, что р^ | den(p) и р^ | den(g). Таким образом, можно вычислить степени полинома р, делящие члены уравнения
У' + fy = б,а+1 а+3 укоторое требуется решить.
Возможны три случая.
0 > 1- В этом случае должны сокращаться члены в полиномах ра+@ и р^, т.е. должно выполняться равенство а = у-р.
3 < 1 (другими словами, 3 = 0). В этом случае должны сокращаться члены в полиномах ра+1 и р^, т.е. должно выполняться равенство а = у - 1.
3=1 В этом случае могут сокращаться члены в левой части и тогда степень полинома р, которая делит знаменатель функции у' + f у, меньше, чем а+1. Если сокращения нс происходит, то действительно а = у-1 = у~3- Итак, предположим, что происходит сокращение. Разложим f и у на частичные дроби относительно р: f = F/p^ + J и у = Y/pa + у, где
степени полинома р, которые делят знаменатели функций f и у. нс превосходят р - 1 = О и а - 1.
ц. +tч = zaE2LЛ_L + _^L + 'iY^л'ц
У 1У Ра*' ра РаИ Ра р fy"
Для того чтобы в этом уравнении выполнялось сокращение, нужно, чтобы полином р делил -ap'Y + FY. Но полином р неприводим и степень полинома У меньше степени р, поэтому р и У взаимно просты. Отсюда следует, что р делит ар' - F. Но степени полиномов р' и F меньше степени полинома р, а единственным полиномом, степень которого меньше степени р, и который делится на р, является нуль. Поэтому a=F/p'.
Мы доказали следующий результат:
Лемма [Risch 1969]. а ^ max(min(y - 1, у - р), F/p*), где последний член принимается во внимание, только если р = 1 и этот член равен положительному целому числу.
В действительности разложение знаменателя на неприводимые множители нс является необходимым. Достаточно найти свободные от квадратов попарно взаимно простые полиномы р. и неотрицательные целые числа р. и у., такие, что den(f) = р.У.
= П р/ и den(g) = П р .1. При р = 1, теоретически, мы должны полностью разложить р на множители, но достаточно с помощью рассуждений, аналогичных алгоритму Трейгера для вычисления логарифмической части интеграла от рациональной функции, найти целые корни результанта Res (F - ур', р).
Поэтому мы можем ограничить знаменатель функции у полное..
номом D = Tlp.1 так, что у-У/D, где У - полином. Возможно избавиться в нашем уравнении от знаменателей и перейти к уравнению НУ' + SY = Т.'
Пусть а, р, у и д - степени соответственно элементов У, R, S и Т. Имеется три возможности .
J Читатель может заметить, что этот анализ весьма похож на анализ знаменателя. Эта аналогия не является результатом чистой случайности - в действительности величина на которую степень У больше степени D, - это кратность х в ^знаменателе функции у, после выполнения преобразования х=1/х. Это явление анализируется в работах [Davenport 1984а, Ь].
0-1 > у. В этом случае члены степени а + 0-1 должны сократиться с членами степени 3, поэтому а = 3 + 1 - 0.
0-1 < у. В этом случае члены степени а + у должны сократиться с членами степени 3, поэтому а = 3 - у.
0-1 = у. В этом случае члены степени а + 0 -1 в левой части могут сократиться. Если этого не происходит, то остается в силе предыдущий анализ и а = 3 +1 - 0. Для анализа сокращений запишем У = ^=оу.х(, R~^,^rixl и S = ^=0 5 ,х1. Коэффициенты при членах степени а.+ 0 - 1 равны ^рУ^ и sy^a* Сокращение эквивалентно условию a=-Vr3-
Мы доказали следующий результат:
Лемма [Risch 1969]. a ^ max(min(3 - у, 3 + 1 - 0), -s^/fg), где последний член принимается во внимание, только если 0 =^ у + 1 и этот член равен положительному целому числу.
Определение коэффициентов у. полинома Y - задача линейной алгебры. В действительности система уравнений треугольная и легко решается.
5.2.1.2. Теорема Дэвенпорта
Тем нс менее, преобразование дифференциального уравнения в уравнение (1) даст очень интересный результат.
Теорема ([Davenport 1984с]; см. также [Davenport 1985а]). Пусть А - класс функций, содержащий f и g, и предположим, что уравнение у* + f у = g имеет элементарное над А решение. Тогда
либо функция е^ алгебраична над А, и в этом случае теория интегрирования должна давать возможность определить у;
либо у принадлежит 1
Доказательство. Если функция е^ не алгебраична над А, то она трансцендентна над А. Положим В = Л(^). Либо функция е^ алгебраична над В, либо она трансцендентна над В. Единственная возможность для того, чтобы функция е^ была алгебраичной над В, состоит в том, чтобы Jf была суммой логарифмов с рациональными коэффициентами. Но в этом случае функция е^ алгебраична над А.
Единственная оставшаяся возможность состоит в том, чтобы функция е^ была трансцендентной над В. Мы предполагали, что функция у элементарна над А и a fortiori у элементарна над В. Частное двух элементарных функций является элементарной функцией, и, значит, функция
уе^ = J В6^
элементарна над В. Но из леммы о разложении для интегралов экспоненциальных функций следует, что этот интеграл имеет вид he^, где h принадлежит В. Тогда у^В и у является решением некоторой задачи Риша - в действительности задачи Риша для исходного уравнения у' + fy = g. Но f и g принадлежат Л, поэтому решение задачи Риша принадлежит тому же классу.
Фактически эта теорема утверждает, что существуют только два способа вычисления элементарного решения дифференциального уравнения первого порядка: либо мы находим решение однородной задачи, либо мы находим решение в том же классе, в котором лежат коэффициенты. Более того, достаточно искать однородные алгебраические решения над классом, определенным коэффициентами.
5.2.2. Уравнения второго порядка
Каждое уравнение первого порядка имеет, как мы видели, решение, которое может быть выражено в терминах интегралов и экспонент, и интересная задача об этих уравнениях заключается в том, чтобы определить, является ли решение элементарным. Для уравнений второго порядка уже нс очевидно (и даже неверно), что каждое решение может быть выражено в терминах интегралов и экспонент. Чтобы иметь возможность сформулировать точные теоремы, нам понадобится уточнить определение этого понятия.
Определение. Пусть К - функциональное поле. Функция О является лиувиллевой образующей над К, если выполняется одно из следующих условий:
она алгебраична над К, т.е. 0 удовлетворяет полиномиальному уравнению с коэффициентами из К;
0 является экспонентой над К, т.е. в К имеется элемент I), такой, что 6' =^6 (это является алгебраическим способом записи утверждения 0 = exp I));
0 является интегралом над К, т.е. в К имеется элемент т), такой, что 0' = т) (это является алгебраическим способом записи утверждения 0 = J ?}).
Определение. Пусть К - функциональное поле. Расширение К(0р ..., 6^) поля К называется полем лиувиллевых функций над К, если каждая 0Z является лиувиллевой образующей над К 1). Функция называется лиувиллевой над К, если она принадлежит полю лиувиллевых функций над К.
Если указание о поле К опускается, то подразумевается поле С(х) рациональных функций.
Это определение является более общим, чем определение "элементарности", поскольку любой логарифм является интегралом. Как мы уже отмечали, оно включает тригонометрические функции. Мы пользуемся обозначением K(liou) для класса лиувиллевых над К функций.
Теорема [Kovacic 1977, 1986]. Существует алгоритм, который для данного линейного дифференциального уравнения второго порядка у" + ay' + Ьу = О, где а и b - рациональные функции от х, либо находит два лиувиллевых решения, таких, что любое решение является линейной комбинацией этих решений с постоянными коэффициентами, либо доказывает, что лиувиллевых решений (кроме нуля) не существует.
Эта теорема и получающийся алгоритм достаточно сложны, и мы не можем приводить здесь все детали. Известно, что преобразованием г = е^а/<^у это уравнение приводится к виду г” + (6 - a2Z4 - а* /^г = 0. Ковачич доказал, что может быть четыре разных случая решения этого уравнения.
г> Обычно в определении поля лиувиллевых функций требуется, чтобы 0f были лиувиллевыми образующими над К(0Г...,О ). - Прим, перев.
Имеется решение вида е^^, где f - рациональная функция. В этом случае дифференциальный оператор факторизуется, и мы получаем уравнение первого порядка, решения которого всегда лиувиллевы.
Первый случай не выполняется, но имеется решение вида е^, где f удовлетворяет квадратному уравнению с рациональными функциями в качестве коэффициентов. В этом случае дифференциальный оператор факторизуется, и мы получаем уравнение первого порядка, решения которого всегда лиувиллевы.
Два первых случая нс выполняются, но имеется ненулевое лиувиллсво решение. В этом случае любое решение является алгебраической функцией.
Никакое ненулевое решение нс является лиувиллевым.
Примером применения алгоритма Ковачича является уравнение'
У "4х4
одно из решений которого - это
•—■log X + log(x2 - 1) + ^х2 - 1 - 1/х У=
= X-a/V-XV/2-x-Vx.
Метод Ковачича позволяет также доказать, что уравнение Бесселя, которое можно записать в виде
имеет элементарные решения, только когда 2и - нечетное целое число, и при п, удовлетворяющем этому условию, найти решения. Этот алгоритм реализован в системе MACSYMA (к сожалению, эта реализация не поставляется с системой MACSYMA) и, по-видимому, работает достаточно хорошо [Saunders 1981].
В случае уравнений второго порядка могут быть использованы те же методы, которые использовались для решения уравнений первого порядка (см. [Davenport 1984с] и [Davenport
1985а]), но в действительности результаты являются гораздо более общими и будут рассматриваться в следующем разделе.
Уравнения произвольного порядка
Ситуация с уравнениями произвольного порядка, теоретически так же понятна, как и для уравнений второго порядка, хотя алгоритмы уже не столь ясны.
Однородные уравнения
Рассмотрим сначала обобщение алгоритма Ковачича.
Теорема [Singer 1981]. Существует алгоритм, который для данного линейного дифференциального уравнения произвольного порядка, коэффициенты которого - рациональные или алгебраические функции, либо находит лиувиллево решение, либо доказывает, что его нет.
Если этот алгоритм находит лиувиллево решение, дифференциальный оператор (предполагается, что он имеет порядок л) разлагается в произведение оператора первого порядка, решением которого является найденное решение, и оператора порядка п -1, коэффициенты которого - также рациональные или алгебраические функции. Алгоритм можно рекурсивно применять к последнему для нахождения всех лиувиллевых решений.
Этот алгоритм является более общим, чем алгоритм Ковачича для уравнений второго порядка, нс только из-за обобщения порядка, но также потому, что он допускает в качестве коэффициентов алгебраические функции. Однако пока никто нс реализовал этот алгоритм, и кажется, что он весьма сложен и длинен.
Сингер [Singer 1985] нашел также алгоритм, подобный предыдущему, для поиска решений, которые могут быть выражены в терминах решений уравнений второго порядка и лиувиллевых функций. И этот алгоритм тоже выглядит весьма длинным.
Неоднородные уравнения
Здесь мы приводим обобщение теоремы Дэвенпорта, сформулированной для линейных уравнений первого порядка. По существу, возможны три случая:
имеется элементарное решение;
имеется неэлементарное лиувиллево решение;
нет лиувиллевых решений.
Следующая теорема позволяет нам отличать первый случай от двух последующих путем поиска алгебраических решений однородного уравнения.
Теорема 1 [Singer, Davenport 1985, 1986]. Пусть А - класс функций, содержащий коэффициенты линейного дифференциального оператора L, пусть g - элемент класса А, и предположим, что уравнение Цу) = g имеет элементарное над А решение. Тогда
либо уравнение Цу) = 0 имеет алгебраическое над А решением
либо у принадлежит А.
Эта теорема является следствием такого результата, который позволяет нам отличать первые два случая от последнего при помощи поиска лиувиллевых решений (специального вида) над А.
Теорема 2 [Singer, Davenport 1985, 1986]. Пусть А - класс функций, содержащий коэффициенты линейного дифференциального оператора L, пусть g - элемент класса А, и предположим, что уравнение Цу) = g имеет лиувиллево над А ре - шение. Тогда
случай 1) либо уравнение Цу) = 0 имеет решение е^2, где элемент г алгебраичен над А,
случай 2) либо у принадлежит А.
Более того, имеется алгоритм для случая, когда А - поле алгебраических функций, который определяет, какой из случаев имеет место в теореме 2, и сводит проблему теоремы 1 к некоторой задаче алгебраической геометрии. Этот алгоритм основан на алгоритме Сингера (или, в некоторых случаях, Ко- вачича) для однородных уравнений. Но это - совсем новый сюжет, в котором все еще имеется много проблем, ожидающих решения, и алгоритмов, которые нужно реализовывать и улучшать.
Решения дифференциального уравнения в конечном виде, если они существуют, очень полезны. Но у большинства диффе-
ренциальных уравнений в физике таких решений нет. Именно поэтому большое значение имеет следующий параграф, в котором мы изучаем метод определения для таких уравнений решений в виде рядов.
5.3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ О.Д.У.
Мотивация и история
Цель данной части книги - описать некоторые новые д^п: жения1^ в области алгоритмических методов, необходимых для "решения" линейных дифференциальных уравнений. Отмстим, что здесь под "решением" понимается "решение в виде ряда".
Мы будем рассматривать только уравнения вида
an<x^W ++ а0(х)у = 0.(1)
где всегда будет предполагаться, что а. - полиномы с комплексными коэффициентами (это предположение будет обсуждаться ниже) без общих делителей.
Разумеется, дифференциальные уравнения вида (1) исследовались в бесчисленном множестве работ. Постоянно, со времени первых работ Гаусса 1812 г. и работ Куммера 1834 г, большинство крупнейших математиков занимались решением этих уравнений в С. Чтобы назвать только самые значительные имена, нам необходимо упомянуть статьи Римана (1857), Всйсрштрасса (1856), Коши (1835 - 1840), прежде чем перейти к фундаментальным работам Фукса (1865), Фробениуса (1873), Пуанкаре (1881), Биркгофа (1909). Сегодня эти исследования с теоретической точки зрения возобновлены Делинем (1976), Мальгранжем (1980) и Рамисом (1981).
Почему уравнения вида (1) представляют такой интерес?
> Эти исследования выполнялись под руководством Деллы Дора в Группе компьютерной алгебры Лаборатории TIM3 Института IMAG в Гренобле, членами которой являются Дикресенцо, Хилали, Турнье, Вацнер, Цейли-Найид. Работа выполнялась в тесном сотрудничестве со Страсбургским университетом (Рамис, Ричард, Томан) и с Институтом Фурье в Гренобле (Дюваль, Мальгранж).
Есть много ответов:.
несомненный теоретический интерес,
огромный практический интерес - приведем только несколько приложений линейных дифференциальных уравнений -
решение путем разделения Переменных задач с частными производными,
решение задач о собственных значениях (задачи Штурма - Лиувилля),
генерация многочисленных специальных функций и т.д.
Что нового мы надеемся внести в эту область математики?
Прежде всего впервые получить возможность без ошибок находить алгебраические решения таких уравнений. Этот результат чрезвычайно важен сам по себе, поскольку, как мы покажем ниже, он даст подход к теоретическим проблемам, до того недоступным. Другое применение, которое мы здесь нс будем рассматривать, - получить "генератор" специальных функций (численные значения, точные индексные характеристики, ...). Для обзора всего, что уже сделано в области только этого второго круга проблем, требуется выполнить громадную работу. Наконец, мы должны рассматривать эту область как тестовую - если будет разработано программное обеспечение для алгебраического решения обыкновенных дифференциальных уравнений, то это откроет дорогу работам в области программного обеспечения для решения уравнений в частных производных. Будущее здесь богато задачами.
Классификация особенностей
Рассмотрим уравнение вида (1). Особенности решений этого уравнения располагаются в нулях полинома а (х) = 0 или, возможно, в бесконечности.
Сдвигом вида х —> х - а мы можем редуцировать задачу для нулей в конечной области к особенности в начале координат (аналогично подстановка х —> Vx редуцирует особенность в бесконечности к особенности в нуле). Классически предполагается, что уравнение (1) имеет особенность в нуле.
В действительности такой способ рассуждений ошибочен. Мы знаем, что вне особенностей решения являются аналитическими
функциями и потому очень регулярны. При этом выбор корня полинома приводит, каким бы методом мы не пользовались (Ноютона, ...), к аппроксимации этого корня, и при численном сдвиге мы попадаем в регулярную точку и, значит, теряем всю нашу информацию об особенности. Мы нс можем действовать подобным образом.
Кратко опишем способ обхода этой проблемы (путь, который требует, • конечно, значительных изменений в отношении к ЭВМ). Прежде всего ради простоты мы предположим, что коэффициенты полинома а^ - рациональные числа (следовательно, а^ принадлежит 0[х]) и, более того, что они являются целыми.
Здесь корни а полинома а^ определяются нс своими-численными значениями (которые в большинстве случаев будут, разумеется, только приближенными), а просто вычислительным правилом ”ап(а) = 0", которое истинно для всех корней полинома а^. В этом случае осуществление сдвига х —> х - а приобретает весьма точный смысл, который мы проиллюстрируем на примере. Коэффициенты нового оператора, который мы получаем, лежат в (Q[x]/an)[t/].
Если мы посмотрим на дифференциальный оператор
Цу) = (х2 + 2)у" + у,
то увидим, что его коэффициенты принадлежат Z[x]. Пусть а - корень полинома х2 + 2; таким образом, а удовлетворяет уравнению а2 = -2, и мы можем пользоваться только этой информацией. Выполним сдвиг
z = х - а ; тогда.
z2 = х2 - 2а*х + а2 = х2 - 2а* х - 2 =
= х2 - 2a*(z + а) - 2 = х2 - 2a*z + 2 ;
поэтому х2 + 2 = z2 + 2az, и оператор принимает вид
(z2 + 2a*z)y" + у = Цу),
т. е.
z(z + 2а)у" + у = Цу).
Мы действительно выполнили сдвиг, который редуцирует особенность в нуль. Следует отмстить, что нам нс требуется повторять вычисления для другого корня.
С этого момента мы можем, таким образом, предполагать, что начало координат является корнем полинома а^ т.е. а^(0) = 0. Мы уже предположили, что полиномы а. не имеют общих делителей, поэтому существует хотя бы один индекс /, такой, что а .(0) отлично от 0.
Для классификации особенностей нам понадобится новое понятие, а именно многогранника Ньютона дифференциального оператора.
Поясним его на примере.
Пусть оператор имеет вид
l = х5а4 + х3а3 + 2х3а2 + а +1, где д = '
„ Если х^1 - дифференциальный моном, принадлежащий L, то с ним ассоциируется точка (/, /-/) в Z2.
Поэтому нам нужно рассмотреть следующие точки в Z2:
(4,1); (3,0); (2,1); (1,-1); (0,0).
Множество точек в Z2, ассоциированных с мономами оператора U обозначим через S. Тогда для найденной таким образом точки (а,Ь) рассмотрим область
Qt(a,b) = ^х,у) € К2; х^ а; у^ Ь}.'
Положим
QT = U О^а,Ь\(a,b^S
Многогранник Ньютона - это граница выпуклой оболочки множества QT.
Теперь мы можем сформулировать результаты Фукса.
Будем говорить, что 0 - регулярная особенность оператора L, если у многогранника Ньютона для L есть только один на-
клон и этот наклон нулевой. В противном случае мы будем говорить, что особенность иррегулярная.
Заметим, что в классических исследованиях [Ince 1956] для определения типа особенностей используются другие критерии. Наше определение имеет преимущество большей простоты. Легко видеть, что если 0 - регулярная особенность, то L можно переписать в каноническом виде:
L = хп/?0(х)ап + хп-,/?1(х)д""1 +...+ R^xY где /?о(О) - нс нуль и все R. - полиномы.
Программа для решения О.Д.У. в регулярной особенности
Разберем этот случай более подробно, поскольку он проще общего случая и иллюстрирует некоторые из встречающихся трудностей. Описываемый ниже подход следует классическому алгоритму Фробениуса (могут использоваться и другие алгоритмы).
Рассмотрев действие оператора L на символьную степень х\ мы видим, что
ЦхА) = х^х.А), где’
m.
Ю*,А) = Е Н^х1,j = 0 1
причем f. - полиномы от переменной A, a m - функция от степеней полиномов Rn> R .
Uп
Будем искать формальные решения вида-
> +со •^ Е ^л1./-0 i> +со •^ Е ^л1./-0 iгде g0 * 0.где g0 * 0.
> +со •
^ Е ^л1.
/-0 i
> +со •
^ Е ^л1.
/-0 i
где g0 * 0.
где g0 * 0.
Линейность оператора L позволяет написать
+00.+00-х .
/=о 1/=о 1
Пользуясь (1), легко видеть, что +оо . -х +оо к.
Ц^ £ g/) = Х^ £ g ( £ f А^ПАj-0 1/ = 0 1 Z-0 1
поэтому ^^g^1 будет решением уравнения L=0 тогда и только тогда, когда удовлетворяется следующая бесконечная система:
" Г0<А) f^W
. 0
о...
f0(A+l)0
^7l(A-D •••
' So ■
Si
sfe
= 0.
Эта бесконечная система может - начальные условия
быть разделена
на две
части:
^ы/^^О + * * * + ^0^ + ^ " ^h-\ = О’•
- оставшаяся часть представляет собой в действительности линейное рекуррентное уравнение
ffe^ + n)gn + ... + f0(A + £ + n)gn+k = 0 для л ^ 0.t
Мы видим, что g. могут быть алгебраически выражены в виде рациональных функций от Л, например
Здесь важно заметить, что g. получаются точными вычислениями. Единственную трудность представляет первое уравнение
f0(A)s0 = o-
Поскольку gQ нельзя положить равным нулю, единственное решение заключается в выборе такого Л, что f0(A) = 0, т.е. мы возвращаемся к задаче, с которой уже встречались, но здесь она усложняется тем, что fQ - элемент кольца (0[х]/(ап))[</], поэтому мы должны перейти к следующему расширению и работать в (ОИ/^НЫ. 176—17
Мы не будем вдаваться глубже в этот деликатный вопрос, а закончим замечанием, что некоторые знаменатели элементов g. могут обращаться в нуль. В ее настоящем состоянии программа Фробениуса может справляться со второй упомянутой трудностью благодаря недавним работам Дикресенцо и Дюваля [Dicrescenzo, Duval 1985].
Общая структура программы
Программа DESIR состоит из следующих основных модулей:
FROBENIUS, который мы только что описали, позволяет обрабатывать регулярные особенности.
NEWTON позволяет рассматривать случай иррегулярных особенностей. Мы сформулируем здесь основную идею метода, исходя из следующего простого примера: пусть дифференциальный оператор порядка п = 2 имеет вид
£ = х23 + 0(х),0€^[х], 0(0) *0.
Построим многогранник Ньютона, ассоциированный с L:
Мы видим, что в этом случае у многогранника Ньютона имеется единственный наклон Л=1. Хорошо известно, что мы можем найти п линейно независимых алгебраических решений u^Uy ..., и^ уравнения Цц) = 0, которые записываются в виде
-X/q .
где Q.(x) - полином от х 1, Ц ^TL. В нашем примере, следовательно, решения будут иметь вид
и-еа/х Цх), где Л = 1.
С оператором L и наклоном Л = 1 ассоциируется новый опера-, тор Lq1 полученный заменой переменной и = еа/хи(х), которая даст
Цеа/хи^ = х\- Л ea/xv(x') + еа/хЗУ(х)) + 0(х)еа/хУ(х) = хг
= ео/х^6 + (0(х) - a))v(x);
следовательно, оператору L соответствует оператор Lq = = х23 + (0(х) - а).'
Член оператора Lq, соответствующий точке sQ многогранника, - это полином Р(а) = 0(0) - а. Уравнение Р(а) = 0 назовем характеристическим уравнением оператора L . Поэтому если мы присвоим а значение корня характеристического уравнения, например,
а = 0(0),
то точка $0 исчезнет, и многогранник Ньютона примет вид
Это многогранник Ньютона, характеризующий регулярную особенность, решения которой мы умеем определять с помощью метода Фробениуса.
Поэтому общее решение будет иметь вид е(« /х ^
где Ф(х) - решение, получаемое алгоритмом Фробениуса, а а* - корень характеристического уравнения.
Приведенный здесь пример принадлежит простому общему случаю, т.е. случаю, когда а - простой корень характеристического уравнения, и ровно после одной замены переменной получается нулевой наклон.
При полном разборе нужно рассматривать природу корней (простые, кратные, отличающиеся один от другого на целое число) характеристического уравнения. Для более подробного изучения этих различных возможностей мы отсылаем читателя к работе [Della Dora et al. 1982] и к разделу 5.3.5 данной главы, где приведено несколько примеров работы программы DESIR..
Другие модули
С двумя модулями, FROBENIUS и NEWTON, которые имеют дело с дифференциальными уравнениями, тесно связан модуль, рассматривающий случай систем дифференциальных уравнений ([Hi- lali 1983], [Hilali 1987]):
X = АХ, где А - мероморфная в начале координат функция.
Разрабатываются также четыре основных модуля, а именно
арифметический модуль, позволяющий манипулировать с различными требующимися алгебраическими расширениями ([Die— rescenzo, Duval 1984], [Dicrescenzo, Duval 1985], [Duval 1987b]);
модуль окончательной численной обработки, позволяющий вычислять специальные функции [Ramis, Thomann 1980];
модуль графической визуализации [Richard 1986];
модуль для работы с линейными разностными уравнениями ([Della Dora, Tournier 1984], [Della Dora, Tournier 1986], [Tournier 1987]).
Некоторые из этих работ уже значительно продвинулись, и более подробно о них можно прочитать в цитируемой литературе.
Несколько примеров применения программы DESIR
DESIR - это программа, работающая под управлением системы REDUCE. Приведенные ниже примеры реализованы на компьютере Bull DPS8 с операционной системой Multics. В этих примерах имеются:
вызов, осуществляемый командой codedesirO;
интерактивный диалог для ввода данных;
напечатанные решения дифференциального уравнения с требуемым количеством членов;
проверка корректности этого решения, осуществляемая путем подстановки его в исходное уравнение; ответом является выражение, все степени любого члена которого выше степени решения..
Примеры с уравнением Бесселя codedesirO;'
***** ВВОД ДАННЫХ *****
Уравнение имеет вид
а(1,0)(х)d^O + addHXldd + .... + а( 1, n) (x)d^n = О
порядок уравнения ?-
2;
Введите коэффициенты a(l,j)(x) x**2-nu**2; х; х**2;"
22
ad,0) = - пи + х
ad,l) = х
2
ad,2) = х
коррекция ? ( да; / нет; ) нет;'
сколько членов хотите получить в решении ? 10;
***** ВВОД ЗАКОНЧЕН *****
***** ВЫПОЛНЕНИЕ *****
2 ПОЛУЧЕННЫХ РЕШЕНИЯ НАХОДЯТСЯ В ТАБЛИЦЕ
soldif (l,j) при j = 1,2
РЕШЕНИЕ No 1
пи54 243 4
(х *(122880*пи - 30720*пи *х + 1843200*пи + 3840*пи *х
3 232 62 4
430080*пи *х + 10444800*пи - 320*пи *х + 46080*пи *х
2 2286
2181120*пи *х + 27648000*пи + 20*пи*х - 2880*пи*х +
42108
180480*пи*х - 4730880*пи*х + 33669120*пи - х + 100*х
642
6400*х + 230400*х - 3686400*х + 14745600))/(122880*
5432
(пи + 15*пи + 85*пи + 225*пи + 274»пи + 120))
РЕШЕНИЕ No 2
54 243 4
(122880*пи + 30720*пи *х - 1843200*пи + 3840*пи *х -
3 232 62 4
430080*пи *х + 10444800*пи + 320*пи *х - 46080*пи *х
2 2286
+ 2181120*пи *х - 27648000*пи + 20*пи*х - 2880*пи*х
42108
+ 180480*пи*х - 4730880*пи*х + 33669120*пи + х - 100*х
642пи
+ 6400*х - 230400*х + 3686400*х - 14745600)/(122880*х
5432
»(пи - 15*пи + 85»пи - 225*пи + 274»пи - 120))
Истинность каждого решения можно проверить путем вызова процедуры solvalide(j), которая подставляет /-е решение в данное уравнение (или уравнения, если рассматривается система).
Компьютерная алгебра 263 solvalide(l);
УРАВНЕНИЕ 1 nu 125432
(- х *х )/(122880*(nu + 15*nu + 85*nu + 225*nu + 274*nu + 120)) solvalide(2); УРАВНЕНИЕ 1
12nu 5432
x 7(122880*x *(nu - 15*nu + 85*nu - 225*nu + 274*nu - 120))
sub(nu=0, soldif(1,1));% 1-е решение для nu=0 ;
108642
(- x + 100*x - 6400*x + 230400*x - 3686400*x
+ 14745600)714745600
sub(nu=0, soldif(1,2));% 2-е решение для nu=0 ;
108642
(- x + 100*x - 6400*x + 230400*x - 3686400*x
+ 14745600)714745600
sub(nu=l, soldif(1,1));% 1-е решение для nu=l ;
108642
(x*(- x + 120*x - 9600*x + 460800*x - 11059200*x
+ 88473600)>788473600
Sub(nu=l, soldif(1,2));% 2-е решение для nu=l :
это второе решение не может 'быть вычислено для пи > 0 ;
***** нулевой знаменатель errornil sub(nu=-l, soldif (1,2) )п;% но оно может быть вычислено
■ для пи<0;108642
(х*(- х + 120*х - 9600*х + 460800*х - 11059200*х
+ 88473600)>788473600
sub(nu=2, soldif(1,1));% 1-е решение для nu=2 ;
2108642
(х *(- х + 140*х - 13440*х + 806400*х - 25804800*х
+ 309657600)>/309657600 codedesir();
***** ВВОД ДАННЫХ *****
Уравнение имеет вид
a(l,0)(x)d^0 + а(1,1)(X)d^l + .... + a(l,n)(x)d^n = 0 порядок уравнения ?
2;
Введите коэффициенты a(l,j)(x) х**2; х; х**2 ;
2
а(1,0) = х
а(1,1) = х
2
а(1,2) = х
коррекция ? ( да; / нет; ) нет;
сколько членов хотите получить в решении ?
***** ВВОД ЗАКОНЧЕН *****
***** ВЫПОЛНЕНИЕ *****
2 ПОЛУЧЕННЫХ РЕШЕНИЯ НАХОДЯТСЯ В ТАБЛИЦЕ soldif (l,j) при J = 1,2
РЕШЕНИЕ No 1
108642
(- х + 100*х - 6400*х + 230400*х - 3686400*х +
14745600)714745600
РЕШЕНИЕ No 2
1086
(- 60*log(x)*x + 6000*log(x)*x - 384000*log(x)*x + 42
13824000*log(x)*x - 221184000*log(x)*x + 884736000*log(x)
10864
+ 137*x - 12500*x + 704000*x - 20736000*x +
2
221184000*x >/884736000
Истинность каждого решения можно проверить путем вызова процедуры solvallde(J), которая подставляет /-е решение в данное уравнение (или уравнения, если рассматривается система) .
solvalide(l);
УРАВНЕНИЕ 1•
12 ( - х >/14745600
solvalide(2);,
УРАВНЕНИЕ 1
12
(х *( - 60*log(x) + 137)>/884736000
Другой пример
codedesir();
***** ВВОД ДАННЫХ *****
Вы хотите рассматривать систему? (да / нет) нет;
Уравнение имеет вид
a(l,0)(x)d^0 + а(1,1)(x)d^l + .... + a(l,n)(x)d~n = 0
порядок уравнения ?
4;
Введите коэффициенты a(l,j)(x) х+1 ;
2*х**2*(х+1);•
х**4;
5*х**7/2;
х**10;
а(1,0) = х + 1
2
а(1,1) = 2*х *(х + 1)
4 а(1,2) = х
7 а(1,3) = (5*х )/2
10 а(1,4) = х коррекция ? ( да; / нет; ) нет;
сколько членов хотите получить в решении ? 4;
***** ВВОД ЗАКОНЧЕН *****
***** ВЫПОЛНЕНИЕ *****
4 ПОЛУЧЕННЫХ РЕШЕНИЯ НАХОДЯТСЯ В ТАБЛИЦЕ
soldif (l,j) при J = 1,...,4
РЕШЕНИЕ No 1
((sqrt(х)+sqrt(6)*x)/(sqrt(x)*x))
(e*(- 63868560*sqrt(x)*x
2
398592*sqrt(x) + 174069763*sqrt(6)*x +
4
2641824*sqrt(6)*x + 4608*sqrt(6)))/(4608*sqrt(6)*x )
РЕШЕНИЕ No 2
(1/x)
(e *(63868560*sqrt(x)*x + 398592*sqrt(x) +
2
174069763*sqrt(6)*x + 2641824*sqrt(6)*х +
(sqrt(6)/sqrt(x))4
4608*sqrt(6)))/(4608*e*sqrt(6)*x )
РЕШЕНИЕ No 3
2(1/54) ((2*x + 3)/(3*x )) 104
(x *e*x *(863316799848061*x -
32
188871635401200*x + 41488989484320*x - 7344803723904*x
+ 1338925209984)>/1338925209984
РЕШЕНИЕ No 4
2 (13/27) (l/(4*x )) 144
(x *e*x *(90412648939865456*x +
2
2632462344749808*x + 62680827168288*x + 1090631723256*x
(8/(3*x)) + 10460353203))/(10460353203*e)
Как мы уже видели в предыдущих примерах, справедливость каждого решения можно проверить путем вызова процедуры sol- valide(j), которая подставляет /-е решение в уравнение.
solvallde(1);
УРАВНЕНИЕ 1-
(-1)(-1)
(sqrt(x) *sqrt(6) + х ) (е*(167106972480*sqrt(x)*sqrt(
'3
6)*х + 464361708855*sqrt(x)*sqrt(6)*x + 137967753774»
2
sqrt(x)*sqrt(6)*x - 128924853089*sqrt(x)*sqrt(6)*x -
'4
40445876310*sqrt(x)*sqrt(6) + 696161071305*x +
32
751890166596*x - 110777578191*x - 170415446928*x))/
(36864*sqrt(x)*sqrt(6))■
Дополнение
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ
АЛ. РАЗЛОЖЕНИЕ НА СВОБОДНЫЕ
ОТ КВАДРАТОВ МНОЖИТЕЛИ
В этом параграфе мы будем рассматривать полином р из кольца Я[х], где R - область целостности нулевой характеристики1 (например, кольцо целых чисел 1). Возможно, что у полинома р имеются кратные сомножители, т.е. существует полином q, такой, что q2 делит р (может быть, q3 или более высокая степень q делит р, но в таком случае верно и то, что q2 делит р).
Очевидно, что можно найти все кратные множители, выполнив полное разложение полинома р/ но имеется гораздо более простой способ, который мы сейчас опишем. Достаточно рассмотреть нормированный полином р, т.е. полином со старшим коэффициентом, равным 1.
Предположим, что р разлагается в произведение линейных множителей:
пп.
р = П (х- а.) \
где элементы а. могут быть алгебраическими величинами над кольцом R (это разложение мы выполняем только для доказательства)..
Тогда производная полинома р, вычисляющаяся чисто алгебраически по коэффициентам полинома р, равна
> Мы делаем это предположение, чтобы исключить случай полинома х^ + 1 над полем из р элементов: этот полином неприводим, но его производная равна нулю. Этот случай и ему подобные не очень трудны для обработки - см., например, дополнение 3 в книге [Davenport 1981]. .
П гП-1 ПП.-х
Р'= t [nlx-a)1 И (х-а)'].
1=1 ' ' /=11
•i*i
п 1
Очевидно, что для любого / полином (х-а.) 1 делит р и р'. Более того, каждый полином, который делит р, - это произведение двучленов (х-а.) в степени, меньшей или равной п.. Поэтому НОД полиномов р и р* почти определен: это произведение двучленов ^х-а.^ степени которых равны n^.-l или п.. Но эта степень нс может равняться п., поскольку (х-а.) 1 делит все слагаемые в разложении р*, кроме одного, а поэтому нс может делить р'. Таким образом, мы доказали, что
пп -1
НОД(р, р')= П (х-а ) 1 ./=11
Значит, р/НОД(р, р') = П”= ^х- а .\ Для краткости обозначим этот полином через q. Тогда п
НОД(р, НОД(р, р')) = И ^х-аХ< = 11
п .>1
откуда мы делаем вывод, что
пнодоу.нод^.иг ^X(x"aiyп . = 1I
Левая часть этого равенства - произведение всех некратных множителей полинома р, и мы показали, как ее вычислить,. используя только операции дифференцирования, (точного) деления и взятия НОД. Эти операции не вынуждают нас выйти из кольца /?[х], откуда следует, что указанное произведение может быть вычислено в /?[х] и довольно эффективным методом.
Кроме того, в качестве промежуточного результата мы вычислили НОД(р, р'), сомножителями которого служат кратные сомножители полинома р, но их степени уменьшены на единицу. Если те же самые вычисления, которые мы применяли к полиному р, применить к НОД(р, р'), то мы вычислим все сомножите-
ли полинома НОД(р, р') кратности один, т.е. сомножители полинома р кратности два. Аналогично для сомножителей кратности три, ... .
То есть достаточно простыми вычислениями в кольце 7?[х] можно представить полином р в виде Пр*, где р. - произведение сомножителей кратности I. В этом разложении полинома р у каждого полинома р( нет кратных .сомножителей, и полиномы р. взаимно просты. Это разложение называется разложением полинома р на свободные от квадратов множители.
Описанный метод выглядит настолько эффективным, что никакое улучшение его, кажется, невозможно, но Юн [Yun 1976], [Yun 1977] нашел остроумную модификацию, показывающую, что асимптотически стоимость разложения полинома р на свободные от квадратов множители имеет тот же порядок, что и стоимость вычисления НОД(р, р'\ Мы видим, что все эти вычисления основаны на возможности вычислять производную полинома р. Вычисление разложения целых чисел на свободные от квадратов множители гораздо более сложно - оно почти так же дорого, как и разложение целых чисел на неприводимые множители.
А.2. РАСШИРЕННЫЙ АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
Следуя Евклиду (см. исторические замечания у Кнута [Knuth 1973]), можно вычислить НОД двух целых чисел q и г следующим образом:
если |р| < к| то t := q\ q - г; г := t;
цикл пока г * О
t := остаток(р,г); q := г;
г := t; выход q;
(где для указания структуры программы мы пользовались отступами, а нс конструкцией начало ... конец, а функция "остаток" вычисляет остаток от деления q/r). В действительное-
ти тот же алгоритм имеет место для полиномов от одной переменной над полем - достаточно заменить значение "абсолютная величина" символа | | значением "степень".
Этот алгоритм способен на большее, чем просто вычислять НОД. На каждом этапе значения символов q и г - это линейные комбинации исходных значений. Таким образом, если мы будем следить за этими линейными комбинациями на каждом этапе, то сможем определить нс только НОД, но и его представление в виде линейной комбинации исходных данных. Поэтому можно переписать алгоритм Евклида следующим образом, где скобки [...] используются для обозначения пары чисел, a Q и R суть пары, дающие представление текущих значений q и г в терминах начальных данных.
Присваивание значения переменной Т может показаться неясным, но определение остатка даст / значение q- \_q/r\r, где L^d - частное от деления q на г.
Первое значение, выдаваемое этим алгоритмом, - это НОД чисел q и г (обозначим р), а второе - пара [а, 6], такая, что р- aq + br. Это соотношение называется тождеством Безу, а только что описанный алгоритм называется расширенным алгоритмом Евклида.
Мы упоминали, что алгоритм Евклида равным образом применим к полиномам от одной переменной. То же самое верно для расширенного алгоритма Евклида. Но здесь имеется маленькая ловушка. Предположим, что q и г - два полинома с целыми коэффициентами. Алгоритм Евклида вычисляет их НОД, также являющийся полиномом с целыми коэффициентами, но может случиться, что промежуточные значения. будут полиномами с рациональными коэффициентами. Например, если q = х2 -1 и г = = 2х2 + 4х + 2, то частное Lq/rj равно 1/2. После этого деления наши переменные принимают следующие значения:
q: 2х2 + 4х + 2, г: -2х - 2,
Q: [0, 1], R: [1, -1/2].
Остаток от второго деления равен нулю, и мы получили НОД - 2х - 2, который может быть выражен в виде
1(х2 - 1) - ^ (2х2 Mx+ 2).
Расширенный алгоритм Евклида
если |^| < |г| то t := q\ q : = г; г := t; Q := [0,1]; R := [1,0]; иначе Q := [0,1];
R := [1,0];
цикл пока г * 0 / := остаток^, г); Т - Q - lq/^R; q := г, г := /;
Q := R; .
7? := Т;
выход q и Q;
Может быть, более естественно сделать НОД нормированным,- что даст нам в качестве НОД х+1, который выражается как
-gt^ ~ 1) + ^ (2х^ + 4х + 2).
А.З. ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
Две дроби (чисел или полиномов от одной переменной) можно складывать:
а + b_ ад/НОДАр, д) + Ьр/НОЩр^ р qНОК(рл)*
Можно ли преобразовывать дробь в другом направлении, т.е. можно ли переписать c/pq в виде (а/р) + (b/q)7 Такое разложение дроби c/pq называется разложением на простейшие дроби.
Это возможно, только если р и q взаимно просты, поскольку в противном случае знаменатель дроби (а/р) + (b/q) будет НОК(р, q\ что отличается от pq. Если р и q взаимно просты, то НОД равен 1. По теореме из предыдущего параграфа существуют два (вычислимых!) целых числа (или полинома, в зависи- 176—18
мости от ситуации) Р и Q, такие, что Pp + Qq=l. Тогда
с _ с(Рр + Qq^ _ cQq + сРр _ cQ + cPpq pq pq pq p q'и мы получили желаемое 'разложение.
На практике c/pq (часто является правильной дробью, т.е. абсолютное значение (если речь идет о числах, степень, если - о полиномах) числителя с меньше или равно абсолютному значению pq. В таком случае мы хотим, чтобы простейшие дроби были правильными, что в общем случае нашим методом нс гарантируется. Однако достаточно заменить cQ остатком от деления его на р, a cP - остатком от деления на q.
Эта процедура, очевидно, распространяется на случай более сложных знаменателей с сохранением условия, что все множители взаимно просты. Достаточно последовательно отделять множители, например
с а^ Ьхр^р;=р"\+р2-рп=а,а262
Р\Pi Рз'Рп
= ^1 + ^2+ + %
"РХР2Рп
В действительности существуют более эффективные методы, чем данный, отделяющие р. более сбалансированным образом [Abdali et al. 1977].*
А. 4. РЕЗУЛЬТАНТ
Весьма часто случается, что нужно определить, могут ли два полинома, которые обычно взаимно просты, иметь общий множитель в некоторых частных случаях. Основное алгебраическое средство для решения такой задачи называется результантом. В этом параграфе мы определим этот объект и приведем некоторые его свойства. Рассмотрим случай двух полиномов f и g от одной переменной х с коэффициентами в кольце R...
Положим f = ^i=oa.x‘ и g = lTi=Qb ^ •
Определение, ется матрица
Матрицей
Сильвестра полиномов f и
g называ-
' а п
п -1
°1
ао
0
0
0 ■
0
а п
а . п-1
а1
ао
0
0
6
о'
а п
а1
°0
6
0
0
0
а п
Qn-\
а1
ао
ь m
ь ,
т- 1
60
0 '
0
0
0
ь т
Ьт-\
61
6 о
0
0
6
о'
ь ’ т
ь \
т-1
60
6
0
0
0
ь т
Ь т-\
61
6о .
в которой имеется m строк,
образованных из коэффициентов
а., и п строк, образованных из коэффициентов b ..
Определение. Результантом полиномов f и g, обозначаемым Res(f,g) или Res (f,g), если нужно указать переменную, называется определитель этой матрицы.
Из хорошо известных свойств определителей следует, что результант принадлежит кольцу R и что Res(f,g) и Res(g,f) равны с точностью до знака. Нужно заметить, что хотя результант задается как определитель, это не лучший способ его вычисления. Из-за специальной структуры матрицы Сильвестра можно рассматривать алгоритм Евклида как гауссово исключение в этой матрице (отсюда и зависимость между результантом и НОД). Можно также рассматривать метод субрс- зультантов как применение тождества Сильвестра (описанного в разделе "Алгоритм Барейса") к этому исключению. Нс слишком сложно приспособить современные методы (такие, как метод субрезультантов, описанный в параграфе "Представление полиномов", или модулярные методы, описанные в главе "Современные алгоритмы") для вычисления результанта. Эту проблему обсуждали Коллинз [Collins 1971] и Лоос [Loos 1982]. Приведем сейчас вариант алгоритма Евклида для вычисления результанта. Через 1с^р) обозначим - старший коэффициент полинома р^х), через степень^ - его степень и через
остатоку,р) - остаток от деления р^ на qy). Приведем алгоритм в рекурсивной форме.
алг результант;
вход f,g;
выход г;
п := степень^});
m := степень^; если п > пг то г := у\)пгп результанту, f); иначе а^ := lc(f); если п = О то г :=? а ;-
пиначе h := остатоку,});если h = Ото г := 0;
иначе р := степень^;
г := а™~ р результант^ ,h);
выход г; '
Положим h = YP=Qc.xl и ^z=0 для 1>р. Этот алгоритм действительно даст нам результант полиномов f и g, так как при п ^ пг и и*0 полиномы xlg-xlh (для 0 ^ I < п) суть линейные комбинации полиномов х1 f (для 0 ^ / < пг), а потому определитель матрицы Сильвестра для полиномов f и g нс меняется при замене Ь. на с. для 0^i<m. Новая матрица [А ♦ 1-
q ^ Ь где “ треугольная матрица с определителем а^~р, а В - матрица Сильвестра для полиномов f и h. Из этого алгоритма непосредственно получаем
Предложение 1. Res(f,g) = 0 тогда и только тогда, когда полиномы fug имеют общий сомножитель.
Теперь легко доказать следующие предложения:
Предложение 2. Если а. - корни полинома f, то
Res(f,g) = а" П g(a ).
Предложение 3. Если р - корни полинома g, то
m
m t=\1
Предложение 4. Res(f,g) = a™b^ П"= ^^^a.- p.).
Доказательство [Duval 1987а]. Запишем правые части этих трех предложений в виде п
R^LgVa^ П g(a ),
m
RikUVVATX п
Z=1
R.U.g) = ambn П П (a.-p.).i=1/=11
Ясно, что /?2(f,^) и R3(f,g) равны R^f.g). Три предложения доказываются одновременно индукцией по целому числу Min(n,/n). Если поменять местами f и g, то их результант умножается на (-1)п™ и мы получаем R^f.g). Поэтому можно предположить, что п^т. Более того, R2(f,g) как результант полиномов f и g равняется а™ при п = 0, а RJj,g) как результант равен нулю при п > 0 и h = 0. Остается только рассмотреть случай, когда т ^ п > 0 и h * 0. Но тогда R2(f^g) = ^mpR2(f^y так как g^.^-h^a^ для каждого корня а. полинома f, и из алгоритма видно, что Res(f,g) = ampRes(f,h), откуда получается требуемый результат.
Определение. Дискриминант полинома f, Disc(f) или Disc (f), равен
a2n"2 п п (a. - a.).
Предложение 5. Res(f,fz) = a^Disc(f). Кроме того, Disc(f) .€ R.
Результанты, какими бы способами они нс вычислялись, часто бывают очень большими. Например, если а. и b. - целые числа, ограниченные А и В соответственно, то результант меньше (п + X^^^m + \)n/2AmBn, но очень часто его величина имеет такой порядок. Аналогично, если а. и Ь. - полиномы степеней аир соответственно, то степень результанта ограничена числом та + пр. Пример такого разбухания даст ис-
пользование результантов для вычисления примитивных элементов - см. параграф "Представление алгебраических функций".
А.5. КИТАЙСКАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОСТАТКАХ
В данном параграфе мы рассмотрим эту хорошо известную теорему с алгоритмической точки зрения. Этой теоремой мы пользуемся в двух случаях: для целых чисел и для полиномов. Разумеется, эти случаи могут быть обобщены для более абстрактной ситуации (евклидовы области), но эти обобщения мы оставим чистым математикам. Прежде всего разберем случай целых чисел, а затем (более кратко) - случай полиномов.
А. 5.1. Случай целых чисел
Проще разобраться сначала со случаем, когда два модуля взаимно просты, а затем перейти к общему случаю.
Китайская теорема об остатках (первый случай). Пусть М и N - два взаимно простых целых числа. Тогда для любой пары (а,Ь) целых чисел существует целое число с, такое, что х=а (mod М) и x=b (mod N) в том и только том случае, когда х = с (mod MW).
Доказательство. По теореме из параграфа "Расширенный алгоритм Евклида" существуют целые числа { и g, такие, что fM + gN = 1 (здесь используется предположение, что М и N взаимно просты). Пусть с = а + (b - a)fM.
Если х=с (mod MN), то х=с (mod М). Но с = а (mod М), . поэтому х = а (mod М). Более того,*
с = а + (b - a)fM - а + (b - а)(1 - gN) = а + (b - a) (mod N) = b,
и потому из х = с (mod MN) следует, что x = b (mod N).
Обратно, предположим, что х=а (mod М) и x=b (mod N). Мы показали, что с = а (mod М) и c = b (mod N) и потому должны выполняться сравнения х = с (mod М) и (mod N). Но утверждение, что х = с (mod М), эквивалентно утверждению, что М делит х - с. Аналогично N делит х - с, а поэтому его делит и MN. Но это эквивалентно тому, что х = с (mod MN).
Следствие. Пусть Ny...,N- попарно взаимно простые
целые числа. Для любого множества а^,...,а целых чисел
существует целое число с, такое, что для любого I х= а. (mod N.) тогда и только тогда, когда х = с (mod П” N.).
Те же самые методы могут применяться в случае, когда числа М и N нс взаимно просты. Хотя это обобщение используется редко, приведем его здесь, потому что оно часто является причиной недоразумений.
Китайская теорема об остатках (обобщенная). Пусть М и N - два целых числа. Тогда для любой пары (а,К) целых чисел
либо а^ b (mod НОД(Л4, N)), в этом случае сравнения х = a (mod М) и х = b (mod N) одновременно выполняться не могут;
либо существует целое число с, такое, что х = a (mod М) и x=b (mod N) тогда и только тогда, когда х = с (mod НОК(И N)).
Доказательство. Первый случай, а £ b (mod НОД(Л4, N)), совсем прост. Если х = а (mod М), то х = а (mod НОД(Л4, N)). Аналогично если x=b (mod N), то x=b (mod НОД(М, W)). Но эти два сравнения противоречат друг другу.
Во втором случае разложим М и N в произведения простых m .п .'
чисел: М = И €рр 1 и N = Tl.€pp.1. Разделим теперь множество индексов Р на две части1
Q = V; rnl<nlV R = ^; m i” п (Y
Пусть Л4 = П.^пр/ и N p / таковы, что
Jr ii€Q r i
л л max(
MN = IT p.1 1 = HOK(M, N).
iep 1
Эта теорема (случай взаимно простых модулей) может быть применена к сравнениям х=а (mod М) и x=b (mod NY чтобы доказать существование такого с, что данная система эквивалентна сравнению х = с (mod MN).
> Различие между < и ^ не слишком существенно, при условии, что эти два множества нс пересекаются и содержат все элементы множества Р.
Нам нужно доказать, что из этого уравнения следует нс только сравнение х = a (mod М), но также сравнение х = а (mod М) (и аналогично для N). Поэтому предположим, что выполняется сравнение х = с (mod MN). Отсюда следует, что х = b (mod N), а значит, вытекает и то же самое соотношение по модулю всех сомножителей числа N, в частности, по модулю т
М-П^, (напоминаем, что т.<п. для l^Q\ М также является сомножителем М и поэтому делит НОД(Л4, N). Поскольку a = b (mod НОД(Л4,М)), получаем, что a = b (mod Л4). Мы уже знаем, что x = b (mod М), а значит, х = a (mod М). Отсюда, и из того, что х = a (mod М), заключаем, что х = а (mod ММ). Но
Л v т. т.
мм = и р ; п р м,IER 1
а потому требуемое соотношение по модулю М действительно выполняется. То же самое верно для N, а значит, теорема доказана.*
А.5.2. Случай полиномов
В данном разделе мы повторим теорему, обсуждавшуюся в предыдущем разделе, для случая полиномов от одной переменной (например, х) с коэффициентами, принадлежащими некоторому полю К. Ради простоты мы предполагаем, что каждый модуль - нормированный полином. Процесс вычисления остатка полинома относительно нормированного полинома очень прост, если степень этого полинома равна 1 (т.е. он имеет вид х - А): остаток - это просто значение полинома в точке А.
Китайская теорема об остатках (первый случай). Пусть М и N - два взаимно простых нормированных полинома. Тогда для любой пары (а,Ь) полиномов существует полином с, такой, что Х= a (mod М) и Х = b (mod N) тогда и только тогда, когда Х = с (mod MN).
Доказательство. Теория параграфа "Расширенный алгоритм Евклида" остается справедливой и в настоящем случаае, поэтому доказательство идет тем же путем без каких-либо изме-
нений. Существуют два полинома f и g, такие, что fM + gN = = 1, и мы полагаем с = а + (b - a)fM.
Следствие. Пусть Ny...,N- попарно взаимно простые
полиномы. Для любого множества ах,...,а полиномов существует полином с, такой, что для любого i Х=а. (mod N.) тогда и только тогда, когда Х= с (mod П”=1 N.).
Китайская теорема об остатках (обобщенная). Пусть М и N - два полинома. Тогда для любой пары (а,Ь) полиномов
либо a^b (mod НОД(М,Л^)), в этом случае сравнения Х=а (mod М) и X = b (mod N) одновременно выполняться не могут;
либо существует полином с, такой, что Х = a (mod М) и X = b (mod N) тогда и только тогда, когда Х = с (mod НОК(МЛ)).,
В случае когда все полиномы линейны, этот метод эквивалентен интерполяции Лагранжа, которая определяет полином р со значениями av...,a в точках NV...,N , т.е. по модулю полиномов (х - N^),... ,(х - Nn).
Поскольку мы пользовались этим случаем в модулярных вычислениях, полезно показать, что этот алгоритм чрезвычайно прост. Предположим, что а - полином над К, а b - значение, принадлежащее К, и что нужно решить сравнения X = a (mod М) и X = b (mod х-и) (где полиномы М и х-и взаимно просты, т.е. М^=у*0). Пусть V - элемент поля К, такой, что остаток от деления VM на х-и равен 1, т.е. V = (М )-1. Тогда решением является
X = Z = а + MV^b - а^ (mod М(х - и)).
Ясно, что Z = a (mod М), а выбор элемента V обеспечивает, что Z = b (mod х - и).
Если, кроме того, М имеет вид П(х-иД то V имеет значение П(и - ^р \ которое может быть вычислено в К.
REDUCE: СИСТЕМА КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
R.I. ВВЕДЕНИЕ
В течение последних двадцати лет в области компьютерной алгебры был достигнут значительный прогресс, и было создано обширное программное обеспечение (см. гл. 1).
Из многочисленных систем компьютерной алгебры, эксплуатирующихся в настоящее время, мы решили привести здесь подробное описание системы REDUCE. Почему именно REDUCE, хотя наиболее полной на сегодняшний день является система MACSY- «МА? Во-первых, REDUCE занимает привилегированное положение: в течение длительного времени она остается наиболее широко распространенной системой, установлена более чем в 1000 центров на широком спектре компьютеров. Во-вторых, се паскалеподобный синтаксис легок для изучения и прост для использования."
Эта система создана А. Херном. Первая се версия появилась в 1969 г. Она продолжает развиваться при активном сотрудничестве общества "продвинутых" пользователей, значительно обогативших и обогащающих се библиотеку.
Вот основные возможности, предлагаемые этой системой пользователю:
Целая (и рациональная) арифметика "бесконечной точности", т.с. с произвольным числом цифр.
Машинная арифметика с плавающей точкой и арифметика с плавающей точкой "произвольной точности".
Алгебра полиномов от одной и нескольких переменных: .- вычисление НОД,
- разложение на множители полиномов с целыми коэффици
ентами.
Алгебра матриц с полиномиальными или символьными коэффициентами:
вычисление определителей,
обращение,
решение систем линейных уравнений.
Анализ: -
дифференцирование, - интегрирование.
Преобразование выражений:
упрощение, - подстановка.
REDUCE с самого начала разрабатывалась как интерактивная система. Программа поэтому представляется серией команд; в порядке поступления команд система до перехода к следующему этапу интерпретирует каждую команду и вычисляет ее значение. Команды могут представлять собой вызовы функций, циклы, условные операторы и т.д.
R.1.1. Примеры интерактивного использования
Команды системы REDUCE, оканчиваются на "\" и "$": во втором случае результаты на печать не выводятся. REDUCE приглашает к вводу, печатая H\V' для первого ввода и т.д. Данные, вводимые пользователем, во всех приводимых далее примерах следуют за этим приглашением1^.
REDUCE 3.3, 28-Jun-87 .
(x+y+z)**2;
222
X + 2*X*Y + 2*X*Z + Y + 2*Y*Z + Z
df((x+y)**3,x,2);
6*(X + Y)
int(e**a*x,x);
X) В следующих примерах мы будем опускать этапы открытия и закрытия диалога.
2
int(x*e**(a*x)/((a*x)**2+2*a*x+l) ,x);
A*X . E
2
A *(A*X + 1)
for i:=l:40 product 1;
815915283247897734345611269596115894272000000000
matrix m;
m:=mat((a,b),(b,c))$ 8: 1/m;
C MAT(l.l) := 2 A*C - В
В'
MAKI,2) := 2
A*C - В
В MAK2.1) :=
2.
A*C - В
A MAT(2,2) := 2 A*C - В
det(m);
2.
A*C - В
bye;
Quitting
Эти несколько примеров иллюстрируют "алгебраическую" моду системы REDUCE. Существует также другая мода, называе-
Компьютерная алгебра 285 мая "символьной" и позволяющая непосредственно выполнять произвольные инструкции на языке Лисп. Алгебраическая и символьная моды соответствуют типам данных "алгебраическое выражение" или "S-выражение языка Лисп".
Система REDUCE написана на языке Лисп и может быть представлена в виде
REDUCE
алгебраическая мода
RLISP
инфиксная символьная мода
LISP
.префиксная символьная мода
Существуют возможности связей между этими режимами. Но нс нужно забывать, что REDUCE предназначена для работы в алгебраической моде и что работа в символьной моде требует весьма основательного знакомства с Лиспом и структурой REDUCE. Следовательно, в этом дополнении мы ограничиваемся алгебраической модой языка REDUCE. RLISP описан в работе [Davenport, Tournier 1983].
R.2. СИНТАКСИС СИСТЕМЫ REDUCE
В этом параграфе мы остановимся на синтаксических элементах системы REDUCE, а позже перейдем к различным возможностям, предлагаемым этой системой.
R.2.I. Синтаксические элементы
Программа на языке REDUCE, как уже было сказано, состоит из набора простых операторов, выполняемых последовательно. Эти операторы могут быть объявлениями, инструкциями и выражениями. Выражения могут состоять из чисел, переменных, операторов, строк (ограниченных символами "), резервируемых слов и разделителей. Хотя эти синтаксические структуры являются общими для большинства языков высокого уровня, отмстим следующие отличия:
* • Числа
Целые числа имеют "бесконечную" точность, а числа, не являющиеся целыми, представляются обычно в виде отношения двух целых чисел. Можно пользоваться непосредственно машин-
ными числами с плавающей точкой и числами с плавающей точкой произвольной точности.
Переменные
Каждая переменная характеризуется именем и типом. Имя не должно совпадать с . зарезервированным словом, т.е. ключевым словом языка. Большинство переменных могут по умолчанию принимать тип, называемый SCALAR. Переменные этого типа могут принимать в качестве значения произвольное алгебраическое выражение. При отсутствии такого значения они принимают в качестве значения свое собственное представление.
Зарезервированы следующие переменные:
Е - основание натуральных логарифмов;
I - квадратный корень из -1 (но может также использоваться в качестве переменной цикла);
NIL - синоним нуля;
PI - константа л;
Т - синоним для "истинно".
Операторы
Операторы бывают двух типов:
префиксные
В систему встроено некоторое количество префиксных операторов, каждый со своими свойствами. Подробно они описаны в разделе R.3.I. Пользователь может также создавать новые операторы со своими свойствами (см. R.2.3.4).
инфиксные
Инфиксные операторы системы суть: := OR AND NOT NEQ = >= > < <= . + -♦/**, кроме того, пользователь может также создавать новые операторы (см. раздел R.2.3.4).
R.2.2. Выражения
Поскольку REDUCE - система компьютерной алгебры, основное ее назначение - выполнять операции над выражениями.
R.2.2.I. Различные типы выражений
Различные виды выражений, используемые в системе REDUCE, - это:
скалярные выражения (т.е. выражения с алгебраическими значениями), над которыми можно выполнять действия +, -, *,
/ и ** (часто можно вместо ** пользоваться символом ~);
эквациональные выражения - вида А+В=С, которые можно использовать в качестве аргументов в функциях типа SOLVE и SUB (функции подстановок);
целые выражения, аналогичные целым выражениям в других языках;
булевы выражения.
Синтаксические правила последних достаточно стандартны:
<выражение> <оператор отношения> <выражение>
<булева функция> (<аргументы>)
<булево выражение> <логический оператор> <булево выраженио
Отмстим, что операторы типа AND и ОН являются ленивыми в том смысле, что они нс вычисляют значения второго аргумента, если для определения результата («ложно» для AND, «истинно» для ОН) достаточно первого аргумента. Булевы функции системы:
EVENP(U) определяет, является ли выражение U (которое должно быть целым выражением) четным числом;
FIXP(U)определяет, является ли выражение U целым;
FREEOF(U,V) определяет, содержит ли выражение U ядро) V;
NUMBERP(U) определяет, является ли U числом;
ORDP(U,V) определяет, расположено ли ядро U до ядра V.
R.2.2.2. Упрощение выражений
Как уже упоминалось (см. [Moses 1971] и гл. 2), - это основная задача компьютерной алгебры. Некоторые операции (например, приведение общих членов) выполняются всегда. Другие управляются различными переключателями, которые можно устанавливать командой) ON <имя-перёключателя> и отключать командой OFF <имя-переключателя>. Имеется много таких
переключателей; упрощением выражений управляют следующие:
ЕХР обеспечивает разложение выражений при вычислении их значений и по умолчанию включен (выключение его может приводить к отсутствию канонической формы, как видно из следующего примера:
off exp;
а:=(х+1)**2;
2 А := (X + 1)
Ь:=х**2+2*х+1;
2
В := X + 2*Х + 1
if (a=b) then 1 else 0;
0
и поэтому не рекомендуется начинающим пользователям);
GCD вынуждает систему сокращать рациональные выражения. при вычислении их значений на наибольший общий делитель (по умолчанию этот ключ выключен и должен быть включен, если пользователь хочет быть уверенным в получении канонической формы при рациональных вычислениях, как видно на следующем примере:
(х**2-1)/(х-1)**2;
2
X - 1
2
X - 2*Х + 1
on gcd;
(х**2-1)/(х-1)**2;
X + 1
X - 1
однако простые множители часто отслеживаются, даже при отключенном GCD);
LCM вынуждает систему вычислять истинные наименьшие общие кратные при работе с дробями, даже если отключен GCD, обеспечивая таким образом большую часть возможностей GCD, и обычно включен;
MCD вынуждает систему приводить суммы рациональных выражений к общему знаменателю и по умолчанию включен; при его выключении результаты работы системы могут нс иметь нс только канонического, но даже нормального вида, как показывает следующий пример:
1/(х—1)—1/(х+1)—2/(х**2—1);.
О
off med;
1/(х-1)-1/(х+1)-2/(х**2-1); 2-1' 1 -1-1
- (2*(Х - 1)+ (X + 1) - (X - 1) )
и начинающим также не рекомендуется изменять состояния этого ключа.
FLOAT вынуждает систему выполнять вычисления с плавающей точкой в соответствии с встроенной в машину точностью. Он не должен использоваться по умолчанию, поскольку это приводит к потере канонической формы, некорректному вычислению наибольших общих делителей и т.д. (см. параграф "Представление дробей" в гл. 2). Следующий пример иллюстрирует некоторые из возникающих проблем:
on float;
(3^10)*(х+1/3)^10 - (3*х+1)^10;
9876
- 0.137781*(Х + 3.28571*Х + 4.71428*Х + 3.88888*Х +
543
2.03703*Х + 0.703702*Х + 0.160493*Х +
2
0.0233195*Х + 0.00195962*Х + 7.25786е-05)
ged((х~2-1/9 Г5,(х~2+(2/3)*х+1/9 Г5);
1
176—19
В результате вычислений оператора 2: должен был получиться 0, а оператора 3: - значение (х+1/3)5.
BIGFLOAT вынуждает «систему выполнять вычисления с плавающей точкой "произвольной точности". Число используемых десятичных знаков устанавливается оператором PRECISION, как показано в следующем примере:
on bigfloat;
precision 40;
40
1/3;.
0.333 33333 33333 33333 33333 33333 33333 33333 33
Замечания, сделанные выше для случая on float о потере канонической формы и т.д., также применимы в данном случае.
R.2.2.3. Списочные выражения
Список1 > - это последовательность выражений (которые сами могут быть списками). Списки печатаются в виде элементов, заключенных в скобки, как в следующих примерах:
1:={а,{Ь,с},1};
L := <А,<В,С},1}
second 1;
{В,С)
Части списка можно выделять с помощью операторов FIRST, SECOND, THIRD и REST. Новый элемент может быть добавлен в начало списка с помощью инфиксного оператора "." (эквивалентного лисповской функции CONS). Имеются также функции APPEND (ровно с двумя аргументами) и REVERSE, пример работы которой приведен ниже:
^ Эти возможности поддерживаются системой REDUCE, начиная с версии 3.3.
reverse 1;
<1,<В,О,А>
R.2.3. Объявления
R.2.3.1. Простые переменные■
Как уже говорилось, переменные, тип которых не объявлен, имеют тип SCALAR, и совпадают со своими значениями. Внутри блока переменные могут, быть явно описаны как имеющие тип SCALAR или тип INTEGER. Оба объявления дают переменной новую привязку, распространяющуюся на этот блок и подавляющую любую другую (даже глобальную) привязку, как это принято в блочно-структурированных языках. Они также обнуляют эти переменные. Следовательно, пример на следующей странице (отмстим, что приглашение появляется в каждой строке многострочной команды) работает, как в большинстве других блочно-структурированных языков.
Различие между этими переменными состоит в том, что переменные типа INTEGER могут принимать только целые значения. Поэтому с ними можно работать более эффективно, чем с переменными общего вида, поскольку +, например, может непосредственно интерпретироваться (или компилироваться) как лисповская функция PLUS, а нс как сложение произвольных выражений языка REDUCE.
Можно объявлять, что переменные зависят от другой переменной, что часто требуется для дифференцирования, линейных операторов и т.д. Такие зависимости вводятся с помощью объявления DEPEND, как в следующем примере:
depend а,х,у;
который утверждает, что переменная а зависит от переменных х и у. Зависимость может быть снята объявлением NODEPEND, так что после'
nodepend а,у;
а будет зависеть только от х. Следует отметить, что зависимость является глобальным свойством, не подчиняющимся блочной структуре.
Пример блочной структуры
begin
scalar а;
а:=1;
begin
scalar а;
а:=х;
writeа;
end;
write а;
end;
X
• 1
R.2.3.2. Асимптотические объявления
Как уже упоминалось в разделе "Ряды Тейлора: простой метод" гл. 2, часто бывает полезно иметь возможность автоматически отбрасывать слагаемые, вес которых превышает заданный, что мы можем понимать как своего рода "малость". Для этого в языке REDUCE имеется две команды:
WEIGHT, аргументы которой - это список разделяемых запятыми соотношений <ядро>=<явное положительное целое число, означающих, что ядро должно рассматриваться именно с этим весом (целое число должно быть явно заданным целым числом или индексом цикла FOR, значением которого является такое число);
WTLEVEL, аргументом которой должно быть явное целое положительное число (по умолчанию, если не выполнено ни одной команды WTLEVEL, • оно равно 2), указывающее наименьший суммарный вес монома, при котором он отбрасывается (или даже не вычисляется).
Необходимо отметить важный момент реализации: в текущих версиях системы REDUCE переменная с весом не может использоваться в качестве ядра (например, в операторах SUB или в следующем операторе WEIGHT). Это свойство "весомости" переменной может быть снято (как и многие другие!) оператором CLEAR.
R.2.3.3. Объявления массивов
Массивы (всегда являющиеся массивами объектов типа SCALAR) объявляются оператором ARRAY, например
array v(10),u(2,4);
который описывает одномерный массив с одиннадцатью элементами (нумеруемыми от 0 до 10) и двумерный массив с пятнадцатью элементами (первый индекс меняется от 0 до 2, второй - от 0 до 4). При объявлении элементы массивов обнуляются.
Объявления массивов могут появляться в любом месте программы, но действуют глобально. Массив может быть переобъяв- лен, в таком случае все предыдущие значения теряются и все элементы заново обнуляются.
Следует отмстить, что поскольку массивы являются глобальными, массив нельзя передать процедуре в качестве параметра. Пользователям, испытавшим в связи с этим ранее неудобства, следует подумать, нс лучше ли рассматривать их программы в терминах списков (см. выше).'
R.2.3.4. Объявления операторов
Префиксные операторы
Они объявляются с помощью объявления OPERATOR, например, operator f,g;. Такое объявление позволяет использовать их в качестве "произвольных функций", как, например, в выражении f(l)+g(a,b). В интерактивном режиме, когда встречается неизвестная функция, пользователь всегда опрашивается, не нужно ли объявить ее оператором в указанном смысле.
Инфиксные операторы
Они объявляются с помощью объявления INFIX, но для них должна быть задана приоритетность с помощью команды PRECEDENCE, например
infix cross;
precedence cross,/;
объявляет CROSS инфиксным оператором, приоритет которого непосредственно ниже приоритета / (поэтому дыше приоритета *), как демонстрирует следующий пример:
a*b cross c/d;
В CROSS C*A
• Линейные операторы
Операторы могут быть объявлены линейными (как функция своего первого аргумента) по отношению ко второму аргументу с помощью объявления LINEAR. Например, преобразования Лапласа можно начать вводить следующим образом:
operator laplace;
linear laplace;
laplace(l+a/s+2/s**2,s);
11
2*LAPLACE(,S) + LAPLACE ( —, S)*A + LAPLACE(1,S)
При работе линейных операторов действует объявление DEPEND (см. выше), вступающее в силу в момент, когда используется laplace (или любой линейный оператор).
• Симметрия и операторы
Операторы могут быть объявлены симметричными или антисимметричными с помощью объявлений SYMMETRIC и ANTISYMMETRIC. Для их работы аргументы должны быть упорядочены в соответствии с внутренним порядком системы REDUCE. Операто𠈄^ можно задать следующей последовательностью:
operator eps;
antisymmetric eps;
в результате которой имеют место следующие спецификации:
eps(l,2,l);
О
eps(3,2,l);
EPS(3,2,1)
eps(1,2,3);
- EPS(3,2,1)'
• Некоммутативные операторы
Как уже упоминалось в гл. 2 (§ 2.8), REDUCE позволяет объявлять некоторые операторы некоммутативными с помощью объявления NONCOM. Например,
operator и;
noncom и;
u(a)*u(b)-u(b)*u(a);
U(A)*U(B) - U(B)*U(A)
R.2.3.5. Объявления процедур
Синтаксис:
[<тип>] PROCEDURE <имя> [<параметры>]; <команда>
где <тип> принимает одно из следующих значений: ALGEBRAIC, SYMBOLIC или INTEGER;
<параметры> ::= ( <имя> [, <имя>] * )
а тело состоит из единственной команды (которая может быть блоком, см. ниже). В алгебраической моде по умолчанию принимается тип ALGEBRAIC, его можно опускать: если в теле содержатся только целые вычисления, то целая процедура :бо- лее эффективна, например
integer procedure factorial n;
if n=0 then 1 else n*factorial(n-l);
FACTORIAL
R.2.4. Команды
■ REDUCE по существу не имеет строгого различия между "утверждениями" и "выражениями", которое мы находим в языках типа Паскаль. Большинство "утверждений" являются по существу выражениями и выдают значение, которое может подвергаться дальнейшей обработке (как в Алголе-68). Мы будем описы-
вать их как утверждения, но будем указывать также их значения.
R.2.4.L Оператор присваивания
<lsh> := <выражение>;
где Ish может быть простой переменной, элементом массива или экземпляром оператора1 \ например
sec(O);
SEC(O)
sec(0):=l;"
SEC(O) := 1
sec(O);
1 Возвращаемое значение - это значение <выражения>, таким
образом, допустимо
а:=Ь:=х+у;
R.2.4.2. Групповые команды
Несколько команд может быть объединено в одну путем построения группы: .’
« [<утверждение>]* <выражение> »
значение которой совпадает со значением последнего выражения. Отмстим различие между командой
<< а:=х; Ь:=у >>
значение которой равно Y, и командой
<< а:=х; Ь:=у; >>.
значение которой равно 0 из-за (нулевого) выражения в конце.
R.2.4.3. Условные операторы
IF <булево выраженио THEN <выражение>
IF <булево выражение> THEN <выражение> ELSE <выражение>
^ В частности, см. обсуждение оператора РАНТ в разделе R.3.2.2.
Возвращаемое значение равно значению выполняемой ветви (или 0, если такой ветви нет). Заметим, что выражение if х<у then 1; else 0;
недопустимо, поскольку ; завершает условную команду. Желаемый эффект достигается командой
if х<у then 1 else 0;
R.2.4.4. Команды повторения
Оператор FOR позволяет повторять вычеления, придавая значения переменной из числового интервала или списка:
FOR <перем> := <нач> STEP <шаг> UNTIE <конец> <действие> <выраж> для числового интервала и
FOR EACH <перем> IN <список> <действие> <выраж>
для списков. Конструкция STEP 1 UNTIL может быть заменена на
Различные допустимые виды <действия>: DO, PRODUCT, SUM, COLLECT и JOIN. В результате выполнения DO вычисляется значение <выраж> и выводится результат; значение всего цикла равно 0. В результате выполнения SUM все значения складываются и результат выдастся в качестве значения цикла, аналогично PRODUCT приводит к их перемножению. В результате COLLECT цикл FOR возвращает список, содержащий все значения <выраж>. В результате JOIN цикл FOR возвращает список, состоящий из всех значений <выраж> (которые также могут быть списками), соединенных вместе (подобно APPEND в Лиспе).
REDUCE допускает также
WHILE <булево выраженио D0 <команда> и его разновидность "
REPEAT <команда> UNTIL <булево выражение>
Значение всегда нулевое.
R.2.4.5. Блоки
Синтаксис совсем прост:
BEGIN [<объявление>]* <команда>* END
Однако следует отмстить некоторые моменты. Единственные объявления, подчиняющиеся правилам блочной структуры, - это объявления простых переменных (см. R.2.3.1); все остальные действуют глобально. В частности, нельзя объявлять процедуры внутри блока. Значение блока равно нулю, если только не выполнялась команда RETURN <выражение>, а в таком случае значение выражения становится значением блока.
Внутри блоков можно вводить метки с помощью конструкции <метка>: перед командой. Меткой может быть любой идентификатор (но нс число). Эти метки могут использоваться командами GO ТО (или GOTO) при условии, что GO ТО находится в том же блоке, что и метка, а не внутри другого блока. Другими словами, GO ТО не может использоваться для выхода из блока или входа в него.
R.3. ВСТРОЕННЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ
В предыдущем параграфе мы обсуждали синтаксис языка REDUCE; сейчас мы опишем основные алгебраические возможности, включенные в систему REDUCE ко времени выхода английского перевода данной книги. Однако справочником по этому предмету должно оставаться пособие по имеющейся в вашем распоряжении версии системы REDUCE.
R.3.I. Префиксные операторы
R.3.I.I. Числовые операторы
REDUCE понимает операторы MIN и МАХ, примененные к произвольному количеству числовых выражений. Имеется также оператор ABS, вычисляющий абсолютные значения.
R.3.I.2. Математические операторы
REDUCE уже определил префиксные операторы COS, SIN, TAN, СОТ, ASIN, ACOS, ATAN, SQRT, EXP, LOG, SINH, COSH, TANH, ASINH, ACOSH, ATANH, ERF, DILOG и EXPINT. Уже известны некоторые правила упрощения; кроме того, пользователь может определить дополнительные правила с помощью предложения LET (описанного в R.3.3.2). Установка переключателя on numval; приводит к тому, что экземпляры этих операторов с числовыми аргументами вычисляются с плавающей точкой.
R. 3.1,3. Дифференцирование
Дифференцирование выполняет оператор DF. Первый аргумент - это выражение, которое нужно продифференцировать, следующие выражения должны быть ядрами (в этом случае они являются "переменными", относительно которых выполняется дифференцирование) или числами (указывающими, как часто предыдущее дифференцирование должно выполняться). Так, df(a,x,2,y); вычисляет
а3а дхгду Этот оператор принимает во внимание зависимости (см. предложение DEPEND в разделе 2.3.1) и новые правила, введенные с помощью оператора LET.
operator f,g,h;
for all x,y,let
df(f(x,y),x)=g(x,y),
df(f(x,y),y)=x*h(x,y);
df(f(a,b),a)*df(f(a,b),b);
G(A,B)*H(A,B)*A
R.3.1.4. Интегрирование
Оператор интегрирования в языке REDUCE - это INT, первый аргумент этого оператора - подынтегральное выражение, а второй - переменная интегрирования. Используется "параллельный" алгоритм или метод Риша - Нормана - Фитча [Davenport 1982]. Приведем пару примеров (время вычислялось на компьютере SUN 3/75).
int(l/(l-x**4),x);
2*ATAN(X) - LOG(X - 1) + LOG(X + 1)
4
Time: 357 ms
int(x**3*sin(x**2),x);
222
SIN(X ) - COS(X )*X
Time: 391 ms
3 int(l/(a*e**(m*x)+b*e**(-m*x) ),x);
M*XE *ASQRT(B)*SQRT()*ATAN()
SQRT(B)*SQRT(A).
A*B*M.
Time: 2839 ms
R.3.1.5. Разложение на множители
REDUCE может разлагать на множители полиномы с целыми коэффициентами от одной или нескольких переменных. Обращение может быть двух типов:
FACTORIZE(<выpaжcниc>)
при этом выдастся список всех сомножителей (первый может быть числовым содержанием) или
ЕАСТ0В12Е(<выражение>,<простое число)
использующее простое число как "подсказку" в процессе модулярной редукции (детали используемого алгоритма см. в гл. 4). Кратные множители повторяются в списке соответствующее число раз. В управляющем режиме on if actor; целое содержание также будет разложено в произведение простых чисел. Можно производить разложение по модулю простого числа и получать описание выполняемых алгоритмом шагов - детали см. в пособии по языку.‘
R.3.1.6. Результанты
REDUCE может вычислять результант двух выражений. Синтаксис:
RESULTANT(<выpaжeниe>,<выpaжeниe><ядpo>);
где третий аргумент - это "неизвестная", которую нужно исключить.
R.3.I.7. Решение систем уравнений .
Оператор SOLVE может быть использован для решения одного полиномиального уравнения или системы линейных уравенений. Синтаксис:
50Е¥Е(<выражснис>,<псрсмснная>);
где <выражение> - или простое выражение, или список выражений, а <переменная> - либо простая переменная, либо список переменных, представляющий "неизвестные", относительно которых система должна быть разрешена. Если второй аргумент опущен, то уравнение (система) решается относительно всех появляющихся ядер.
solve(x**3+x**2+4=0,х);
SQRT(7)*I - 1
SQRT(7)*I + 1
Х=,
2
Х=~2}
solve({x-3*y=2, х-у=1>, <х,у});
1
2Могут тель найдет2Могут тель найдет{{Х=— , Y=}}
2
Могут тель найдет
2
Могут тель найдет
2
использоваться различные режимы - детали чита- в пособии по языку REDUCE.
R.3.2. Работа с выражениями
Прежде всего напомним определение текущего результата, который обозначается WS. В качестве значения он имеет последний вычисленный результат. Можно получить доступ к другим результатам, пользуясь обозначением И5<число>, что в качестве результата даст результат вычислений с индексом <число>.
R. 3.2.1. Вывод выражений
Мы уже говорили, что завершение предложения символом "$" в отличие от ";" блокирует распечатку результата. С другой стороны, можно распечатать результат, воспользовавшись предложением WRITE. Это предложение берет список выражений, разделенных запятыми, и распечатывает результаты.
Формат вывода можно менять разными способами. Порядок, в
котором распечатываются переменные, можно изменить с помощью предложения ORDER.
order x,y,z;
упорядочивает х перед д перед х перед всеми остальными переменными или ядрами во всех последующих распечатках. Стандартное упорядочение (по умолчанию) зависит от версии Лиспа, на которой реализован REDUCE.
р:=(x+y-z)**2;
222
Р := X + 2*X*Y - 2*X*Z + Y - 2*Y*Z + Z
order z,y,x;
p;
222
Z - 2*Z*Y - 2*Z*X + Y + 2*Y*X + X
Предложение FACTOR записывается аналогично, но приводит к тому, что все члены, содержащие некоторую данную степень данного ядра распечатываются с вынесенной за скобки этой степенью. Например, предыдущий пример можно продолжить следующим образом:
factor z;
р;
222
Z - (2*Z)*(Y + Z) + Y + 2*Y*X + X
Команда REMFAC используется для того, чтобы отменить действие объявления FACTOR.
Имеется также много ключей, управляющих форматом вывода выражений. Следует отмстить, что они нс влияют на внутреннюю форму в отличие от таких переключателей, как MCD.
ALLFAC печатает простые мультипликативные множители в обычном виде и, как правило, включен.
DIV находит знаменатель рациональных выражений для простых множителей, которые затем делит на знаменатель. По умолчанию выключен.
LIST распечатывает каждое слагаемое суммы на отдельной строке (хорош при использовании бумаги). Обычно выключен.
RAT используется с командой FACTOR и распечатывает знаменатель каждого разлагаемого на множители члена (после сокращения, если оно возможно). Обычно выключен.
RATPRI распечатывает дроби в виде ~ если и А, и В помещаются в одной строке. По умолчанию включен.
REVPRI распечатывает в возрастающем, а нс в убывающем порядке. Обычно выключен.
NAT предполагает "естественный", или математический, стиль распечатки. Обычно включен, но может быть выключен, чтобы получить распечатку в форме, совместимой с входным синтаксисом.
FORT приводит к распечатке выражений в форме, совместимой с форматом Фортрана. С этим режимом ассоциированы несколько управляющих параметров - детали см. в пособии по системе.
Часто бывает полезнее иметь возможность видеть общую "структуру" сложного выражения, чем видеть его отдельные части как таковые. Предложение STRUCTR выявляет эту внутреннюю структуру. Например,
(l+e~(log(x)*log log х))Л5;
5*L0G(L0G(X))*LOG(X)4*L0G(L0G(X))*LOG(X)
E+ 5*E+ 10*•
3*L0G(L0G(X))*LOG(X) 2*L0G(L0G(X))*LOG(X)
E•+ 10*E+ 5*
LOG(LOG(X))*LOG(X)
E+ 1
structr ws;
5432
ANSI + 5*ANS1 + 1O*ANS1 + 1O*ANS1 + 5*ANS1 + 1
where
ANSI := EANSI := ELOG(LOG(X))*LOG(X)
ANSI := E
ANSI := E
Эта команда может использоваться также в режиме FORT, например,
on fort;
structг ws*
* ANS1=E**(LOG(LOG(X))*LOG(X))
ANS=ANSl**5+5.*ANS1**4+1O.*ANS1**3+1O.*ANSl**2+5. * ANS1+1.
Снова различные режимы и дополнительные возможности можно найти в пособии по системе.
R.3.2.2. Части выражений
Оператор COEFF возвращает список коэффициентов полинома относительно названного ядра.
coeff(х**3+(х-у)**2-1,х);
2'
<Y - 1, - 2*Y,1,D
С помощью оператора COEFFN можно найти только n-й коэффициент. Это эффективнее вычисления всего списка и затем выделения нужного члена.
coeffn((х+у)**3-2*х**2,х,2); 3*Y - 2
Различные части рациональных функций и полиномов можно выделять разными операторами:
NUM выделяет числитель рациональной функции;
DEN выделяет знаменатель рациональной функции;
DEG выделяет степень полинома относительно данного ядра;
LCOF аналогично выделяет старший коэффициент;
LTERM выделяет старший член (коэффициент, умноженный на переменную, возведенную в наивысшую степень);
REDUCT выделяет остаток (все, кроме старшего члена);
MAINVAR выделяет главную переменную полинома.
Оператор PART выделяет часть выражения. Он работает с печатной формой выражения (располагая информацией о положении всех переключателей, описанных в предыдущем разделе о
выходном формате). Синтаксис этого оператора:
PART (< выражение> [, < целое> 1 *).
Выражение мысленно распечатывается (в соответствии с флагами управления печатью, описанными в R.3.2.1), а затем поочередно каждое <целое> п используется для выделения л-го аргумента текущего оператора высшего уровня в этом выражении. Отрицательное целое выделяет |и|-й аргумент с конца.
х:=a+b+c*d+e+f;
X := А + В + C*D + Е + F
part(x,2);
В
part(х,-2);
Е'
part(х,3,1);
С
part(x,0);'
PLUS
Если оператор PART используется в левой части оператора присваивания, то значение оператора присваивания равно результату замены указанной части выражением, стоящим в правой части.
part(х,2):=g*h;я
А + G*H + C*D + Е + F
х;
А + В + C*D + Е + F
Читатель может убедиться, что первоначальное выражение не изменилось..
R.3.3. Подстановки
В системе REDUCE возможны два вида подстановок: локальные подстановки, выполняющиеся только в обрабатываемой ко- 176—20
манде или выражении, и глобальные подстановки, воздействующие на все последующие вычисления до тех пор, пока не будет дана команда их отмены.
R. 3.3.1. Локальные подстановки
Эти подстановки выполняются с помощью оператора SUB, имеющего вид
SUB( [ <ядро>=<выражения>, 1*<выражения>)
который вычисляет значение последнего выражения, а затем параллельно заменяет каждое ядро, встречающееся в левой части уравнения, соответствующей правой частью. Например,
sub(x=x+l, y=cos(u), x*y+u*sin(x));
SIN(X + 1)*U + COS(U)*X + COS(U)
z:=a*(x-y)**2+2*b*x+log(y);
22
Z := LOG(Y) + A*X - 2*A*X*Y + A*Y + 2*B*X
zp:=sub(x=y, y=u+l, z);
22
ZR := LOG(U + 1) + A*U - 2*A*U*Y + 2*A*U + A*Y - 2*A*Y + A 2*B*Y
% Ho z не изменился
z;
22
LOG(Y) + A*X - 2*A*X*Y + A*Y + 2*B*X
Родственным оператором является инфиксный оператор WHERE, имеющий вид
< выражение> WHERE<уравн> [, <уравн> 1 *.
В алгебраической моде операторы WHERE и SUB обладают одинаковыми возможностями, за исключением того, что WHERE может выполнять подстановки только для идентификаторов, а не для произвольных ядер.
R.3.3.2. Глобальные подстановки
Эти подстановки, вводимые предложениями LET, выполняются во всех выражениях, содержащих левую часть правила подста-
новки, с момента, когда это правило введено, и до тех пор, пока оно не переопределено или не отменено командой CLEAR.
operator f,g;
let g(x)=x**2,
f(x,y)=x*cos(y);
df(g(u),u); % это правило подействало только на g(x)
DF(G(U),U)
f(x,y);
COS(Y)*X
f(a,b); % это правило подействало только на f(x,y)
F(A,B)
Если мы хотим выполнить подстановку в выражения, содержащие произвольные переменные, а нс только переменные с конкретными именами, то мы должны перед предложением LET поставить конструкцию FOR ALL.
for all x,y let f(x,y)=log(x)-y;
f(a,b);
LOG(A) - В
Формально такое предложение записывается в виде
[FOR ALL <перем>[,<перем>1*1 LET <правило>[,<правило>1* где <правило> определяется конструкцией
< л. ч. >=< выражение>
Л.ч. может иметь различную форму; наиболее простая - это ядро. В этом случае ядро всегда заменяется выражением, стоящим в правой части. Если л.ч. имеет вид а**п (где п - явно заданное целое число) \ то правило применяется ко всем
степеням а, показатель которых нс менее п. Если л.ч. имеет вид а*Ь (где а и b - ядра или степени ядер, или произведения степеней ядер), то заменяется только а*Ь, но не а и b в отдельности. Если л.ч. имеет вид а+b (где а и b - ядра или степени ядер, или произведения степеней ядер), то заменяется а+b, а также первое из слагаемых а и b относительно порядка, принятого в системе REDUCE (например, а), неявно будет рассматриваться как (a+b)-b, и первое слагаемое будет заменено.
С помощью ограничения SUCH THAT можно на переменные, фигурирующие в конструкции FOR ALL, накладывать некоторые условия, например
operator laplace,factorial;
for all x,n such that fixp n and n>0 let
laplace(x**n,x)=factorial(n)*t**(-n-l);
laplace(y**2,y);
FACTORIALS)
3 T
laplace(y**(-2), y);
1
LAPLACE (, Y)
2 Y
Правило можно отменить командой CLEAR. Чтобы отменить правило с предусловием, необходимо воспользоваться тем же самым предусловием с теми же именами переменных. Мы уже видели, что CLEAR отменяет также объявления WEIGHT, а в действительности оно восстанавливает многие другие свойства.
В отличие от SUB и WHERE правила LET применяются последовательно до тех пор, пока подстановки возможны. Хотя это часто оказывается полезным (например, при линеаризации тригонометрических функций - см. § 2.7 гл. 2), это означает, что на левую часть правила нс должно быть ссылок в правой части.
let х+х+1;
х;
***** Simplification recursion too deep
let y=z;
y;
Z
let z=y;
y;
***** Binding stack overflow, restarting...
R.4. МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА
Объявление MATRIX позволяет объявить, что переменные будут принимать не обычные скалярные значения, а матричные. Матрицы могут вводиться с помощью оператора МАТ, например,
matrix m;
m:=mat((a,b), (b,c));
M(l,l) := A ''
M(l,2) := В
M(2,l) := C■
M(2,2) := D
REDUCE позволяет вычислять обратные матрицы, определители матриц, транспонированные матрицы, следы, например, 3: т**(-1);
D
МАТ(1,1) :=
A*D - В*С
.
МАТ(1,2) :=
A*D - В*С
' С МАТ(2,1) :=
A*D - В*С
А МАТ(2,2) := A*D - В*С
det(m);
A*D - В*С
tp(m);
МАТ(1,1) := А
МАШ,2) := С
МАТ(2,1) := В
МАТ(2,2) := D
trace m;
А + D
R.5 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
REDUCE - это мощная система компьютерной алгебры, доступная на широком классе компьютеров, от IBM PC до суперЭВМ, но элементарные ее возможности не представляют трудности для использования. Подробное описание (и многие режимы и возможности, для которых у нас не нашлось здесь места) содержатся в пособии по системе.
ЛИТЕРАТУРА
Данная книга дает только краткий обзор компьютерной алгебры. Прежде чем привести список всех работ, упоминавшихся в этой книге, назовем несколько книг и периодических изданий общего направления, которые могут пополнить знания читателя в данной области. Математика и алгоритмы работы с целыми числами и плотными полиномами тщательно рассматриваются Кнутом [Knuth 1981]. В сборнике под редакцией Бухбер- гера и др. [Buchberger et al. 1982] описаны некоторые математические аспекты компьютерной алгебры и приведены многие доказательства, опущенные нами. Эти две книги необходимы специалистам, которые хотят создавать свою собственную систему.
Некоторые статьи по компьютерной алгебре и ее приложениям появились в трудах конференций по компьютерной алгебре. Конференции в Северной Америке организуются группой SIGSAM (the Special Interest Group on Symbolic and Algebraic Computation of the Association for Computing Machinery) и их труды публикуются ассоциацией АСМ под названием SYMSAC, например SYMSAC 76 (Yorktown Heights), SYMSAC 81 (Snowbird) и SYMSAC 86 (Waterloo)^ Труды Европейских конференций с 1979 года публикуются издательством Springer-Verlag в серии
Lecture Notes in Computer Science. Детали приводятся в следующей таблице1 V
Конференция
Место
LNCS
EUROSAM 79
Марсель
72
EUROCAM 82
Марсель
144
EUROCAL 83
Кингстон на Темзе
162
EUROSAM 84
Кембридж
174
EUROCAL 85
Линц
203 и 204
EUROCAL 87
Лейпциг
3782)
Для каждой системы компьютерной алгебры лучшим справочным пособием, естественно, является описание этой системы. Но эти пособия часто слишком длинны, и трудно обозреть все возможности и ограничения этих систем. Поэтому Journal of Symbolic Computation (выпускаемый издательством Academic Press) содержит описания систем, представляет новые применения компьютерной алгебры, а также исследовательские статьи в этой области.
Другой журнал, специализирующийся в области компьютерной алгебры, - это SIGSAM Bulletin, выпускаемый уже упоминавшейся нами группой SIGSAM. Это весьма неформальный журнал, содержащий наряду с научными статьями задачи, объявления о
конференциях, научные отчеты, новые версии систем и т.д.
Во Франции имеется группа компьютерной алгебры GRECO, организующая ежегодные конференции. Труды этих конференций, наряду с другими интересными статьями публикуются в обзоре CALSYF, редактируемом Миньоттом из Страсбургского университета. Это позволяет следить за деятельностью французов в данной области.
[Abbott et al. 1985] Abbott J. A., Bradford R.J. & Davenport J.H, A Remark on Factorisation. SIGSAM Bulletin 19 (1985), 2, pp. 31-33,37.
[Abbott et al. 1987] Abbott J. A., Bradford R.J. & Davenport J.H, A Remark on Sparse Polynomial Multiplication. To - appear.
[Abdali et al. 1977] Abdali S.K., Caviness B.F. & Pridor A., Modular Polynomial Arithmetic in Partial Fraction Decomposition. Proc. 1977 MACSYMA Users’ Conference, NASA publication CP-2012, National Technical Information Service, Springfield, Virginia, pp. 253-261.
[Aho et al.. 1974] Aho A.V., Hopcroft J.E & Ullman J.D. The Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison- Wesley, 1974. [Имеется перевод: Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. - М.: Мир, 1979.]
[Allen et al. 1978] Allen J.R., The Anatomy of LISP. McGraw-Hill, New York, 1978.
[Arnon 1985] Arnon D.S., On Mechanical Quantifier Elimination for Elementary Algebra and Geometry: Solution of a Nontrivial Problem. Proc EUROCAL 85, Vol. 2 [Springer Lecture Notes in Computer Science Vol. 204, Sprin- ger-Verlag, 1985], pp. 270-271.
[Arnon, Smith 1983] Arnon D.S. & Smith S.F., Towards Mechanical Solution of the Kahan Ellipse , Problem I. Proc. EUROCAL 83 [Springer Lecture Notes in Computer Science 162,Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,New York,
1983], pp. 36-44.
[Arnon et al. 1984a] Arnon D.S., Collins G.E. & McCallum
S., Cylindrical Algebraic Decomposition I: The Basic Algorithm. SIAM J. Comp. 13 (1984), pp. 865-877.
[Arnon et al. 1984b] Arnon D.S., Collins G.E. & McCallum S., Cylindrical Algebraic Decomposition I: An Adjacency Algorithm for the Plane. SIAM J. Comp. 13 (1984), pp. 878-889.
[Bareiss 1968] Bareiss E.H., Sylvester’s Identity and Multistep Integerpreserving Gaussian Elimination. Math. Comp. 22 (1968), pp. 565-578.
[Bateman, Danielopoulos 1981] Bateman S.O.,Jr., & Danielo- poulos S.D., Computerised Analytic Solutions of Second Order Differential Equations. Computer J. 24 (1981), pp. 180-183.
[Berlekamp 1967] Berlekamp E.R., Factoring Polynomials over Finite Fields. Bell System Tech. J. 46 (1967), pp. 1853-1859.
[Borodin et al. 1985] Borodin A., Fagin R., Hopcroft J.E. & Tompa M., Decreasing the Nesting Depth of an Expression Involving Square Roots. J. Symbolic Comp. 1 (1985), pp. 169-188.
[Brent 1970] Brent R.P., Algorithms for Matrix Multiplication. Report CS 157, Computer Science Department, Stanford University, March 1970. (Результаты описаны в книге [Knuth 1981], с. 482.)
[Brown 1969] Brown W.S., Rational Exponential Expressions and a Conjecture concerning 71 and e. Amer. Math. Monthly 76 (1969), pp. 28-34.
[Brown 1971] Brown W.S., On Euclid’s Algorithm and the Computation of Polynomial Greatest Common Divisors. J. ACM 18 (1971), pp. 478-504.
[Buchberger 1970] Buchberger B., Ein algorithmisches Krite- rium fiir die Losbarkeit eines algebraischen Glei- chungssystems. Aequationes Mathematicae 4 (1970), pp. 374-383.
[Buchberger 1976a] Buchberger B., Theoretical Basis for the Reduction of Polynomials to Canonical Forms. SIGSAM Bulletin 39 (Aug. 1976), pp. 19-29.
[Buchberger 1976b] Buchberger В., Some Properties of Grobner-Bases for Polynomial Ideals. SIGSAM Bulletin 40 (Nov. 1976), pp. 19-24.
[Buchberger 1979] Buchberger B., A Criterion for Detecting Unnecessary Reductions in the Construction of Groebner Bases. Proceedings of the 1979 European Symposium on Symbolic and Algebraic Computation [Springer Lecture Notes in Computer Science 72, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1979], pp. 3-21.
[Buchberger 1981] Buchberger B., H-Bases and Grobner-Bases for Polynomial Ideals. CAMP-Linz publication 81-2.0, University of Linz, Feb. 1981.
[Buchberger 1983] Buchberger B., A Note on the Complexity of Computing Grobner-Bases. Proc. EUROCAL 83 [Springer Lecture Notes in Computer Science 162, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1979], pp. 137-145.
[Buchberger 1985] Buchberger B., A Survey on the Method of Groebner bases for Solving Problems in Connection with Systems of Multivariate Polynomials. Proc. 2nd RIKEN Symposium Symbolic & Algebraic Computation (cd. N. Inada & T. Soma), World Scientific Publ., 1985, pp. 69-83.
[Buchberger et al. 1982] Buchberger B., Collins G.E. & Loos R. (editors), Symbolic & Algebraic Computation. Computing Supplcmentum 4, Springer-Verlag, Wien, New York, 1982. [Имеется перевод: Компьютерная алгебра. Символьные й алгебраические вычисления. - М.: Мир, 1986.]
[Capelli 1901] Capelli A., Sulla riduttibilita della fun- zione xn-A in campo qualunque di rationalita. Math. Ann. 54 (1901), pp. 602-603.
[Cauchy 1829] Cauchy A.-L, Exercises de Mathematiques Qua- trieme Annee. De Bure' Freres, Paris, 1829. CEuvres, Ser. II. Vol. IX, Gauthier-Villars; Paris, 1891.
[Char et al. 1985] Char B.W., Geddes K.O., Gonnet G.H., Watt S.M., Maple user’s guide. Watcom Publications, Waterloo 1985.
[Cherry 1983] Cherry G.W., Algorithms for Integrating Elementary Functions in Terms of Logarithmic Integrals and Error Functions. Ph. D.Thesis, Univ. Delaware, August 1983.
[Cherry 1985] Cherry G.W., Integration in Finite Terms with Special Functions: the Error Function. J. Symbolic Comp. 1 (1985), pp. 283-302.
[Cherry, Caviness 1984] Cherry G.W. & Caviness B.F., Integration in Finite Terms with Special Functions: A Progress Report. Proc. EUROSAM 84 [Springer Lecture Notes in Computer Science 174, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1984], pp. 351-359.
[Chou, Collins 1982] Chou T.-W. & Collins G.E., Algorithms for the solution systems of linear Diophantine equations. SIAM J. Comp. 11 (1982), pp. 687-708.
[Collins 1971] Collins G.E., The Calculation of Multivariate Polynomial Resultants. J. ACM 18 (1971), pp. 515- 532.
[Collins1975] Collins G.E., QuantifierElimination for
Real Closed Fields by Cylindrical Algebraic Decomposition. Proc. 2nd GI Conf. Automata Theory and Formal Languages (Springer Lecture Notes in Computer Science 33), pp. 134-183.
[Collins, Loos 1982] Collins G.E. & Loos R., Real Zeros of Polynomials. Symbolic & Algebraic Computation (Computing Suppiementum 4) (ed. B.Buchberger, G.E.Collins & R.Loos) Springer-Ver lag, Wien, New York, 1982, pp. 83- 94. [Имеется перевод: Коллинз Дж., Лоос Р., Вещественные нули полиномов. - В кн.: Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. - М.: Мир, 1986, с. 112-126.]
[Coppersmith, Davenport 1985] Coppersmith D. & Davenport J.H., An Application of Factoring. J. Symbolic Comp. 1 (1985), pp. 241-243
[Coppersmith, Winograd 1982] Coppersmith D. & Winograd S., On the Asymptotic Complexity of Matrix Multiplication. SIAM J. Comp. 11 (1982), pp. 472-492.
[Coppersmith et al. 1986] Coppersmith D., Odlyzko A.M. & Schroeppel R., Discrete Logarithms in GF(p). Algorith- mica 1 (1986), pp. 1-15.
[Coxeter 1961] Coxeter H.S.M., Introduction to Geometry. Wiley, New York, 1961.
[Davenport 1981] Davenport J.H., On the Integration of Algebraic Functions. Springer Lecture Notes in Computer Science 102, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1981. [Имеется перевод: Дэвенпорт Дж. Интегрирование алгебраических функций. - М.: Мир, 1985.]
[Davenport 1982] Davenport J.H., On the Parallel Risch Algorithm (I). Proc. EUROCAM’82 [Springer Lecture Notes in Computer Science 174, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982], pp. 144-157.
[Davenport 1984a] Davenport J.H., Integration algori thmique des fonctions elementairement transcendantes sur une
coubre algebrique. Annales de 1’Institut Fourier 34 •(1984), pp. 271-276.*
[Davenport 1984b] Davenport J.H., y'+fy = g- Proc. EUROSAM 84 [Springer Lecture Notes in Computer Science 174,Springer-Verlag,Berlin,Heidelberg,New York,
Tokyo, 1984], pp. 341-350.
[Davenport1984c] Davenport J.H.,Solutions of Inhomoge
neous Differential Equations. preprint, Journees educations differentielles dans le champ complexe, June 1984. To appear in the SIGSAM Bulletin.
[Davenport 1985a] Davenport J.H., Closed. Form Solutions of Ordinary Differential Equations. Proc. 2nd RIKEN Symposium Symbolic & Algebraic Computation (ed. N. Inada & T. Soma), World Scientific Publ., 1985, pp. 183-195.
[Davenport 1985b] Davenport J.H., Computer Algebra for Cylindrical Algebraic Decomposition. TRITA-NA-8511, NADA, KTH, Stockholm, Sept. 1985.
[Davenport 1985c] Davenport J.H., On the Risch Differential Equation Problem. SIAM J. Comp. 15 (1986), pp. 903-918.
[Davenport 1986] Davenport J.H., On a "Piano Movers" Problem. SIGSAM Bulletin 20 (1986), 1&2, pp. 15-17.
[Davenport, Heintz 1987] Davenport J.H. & Heintz J., Real Quantifier Elimination is Doubly Exponential. To appear in J. Symbolic Comp.
[Davenport, Padget 1987] Davenport J.H. & Padget J. A., On Number Bases for Symbolic Computation. To appear.
[Davenport, Tournier 1983] Davenport J.H. & Tournier E., D6finition syntaxique de RLISP. Rapport Interne, IMAG, 1983..
[Delaunay 1960] Delaunay Ch., Theorie du mouvement de la lune. Extract from the Comptes Rendus de TAcad6mie des Sciences, Vol LI.
[Della Dora, Tournier 1981] Della Dora J. & Tournier E., FormalSolutions ofDifferentialEquations inthe
Neighborhood of Singular Points (Regular and Irregular). Proceedings of the 1981 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Calculation, ACM Inc., New York, 1981, pp. 25-29.
[Della Dora, Tournier 1984] Della Dora J. & Tournier E., Homogeneous Linear Differential Equations (Frobenius- Boole Method). Proc. EUROSAM 84 [Springer Lecture Notes in Computer Science 174,Springer-Verlag,Berlin,
Heidelberg, New York, Tokyo, 1984], pp. 1-12.
[Della Dora, Tournier 1986] Della Dora J. & Tournier E., Solutions formelies asymptotiques d’equations recurrentes li- neaires: methode dePincherle-Ramis. Research report,
IMAG, Grenoble.
[Della Dora et al. 1982] Della Dora J. Dicrescenzo C. & Tournier E., An Algorithm to Obtain Formal Solutions of a Linear Homogeneous Differential Equation at an Irregular Singular Point. Proc.EUROCAM 82 [Springer
LectureNotesin Computer Science 144,Springer
Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982], pp. 273280.
[Della Dora et al. 1985] Della Dora J. Dicrescenzo C. & Duval D., About a new Method for Computing in Algebraic Number Fields. Proc. EUROCAL 85, Vol. 2 [Springer Lecture Notes in Computer Science 204, Springer-
Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985], pp. 289-290.
[Dicrescenzo, Duval 1984] Dicrescenzo C. & Duval D., Computations on Curves. Proc. EUROSAM 84 [Springer Lecture Notes in Computer Science 174, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1984], pp. 100-107.
[Dicrescenzo, Duval 1985] Dicrescenzo C. & Duval D., Algebraic Computation on Algebraic Numbers. Computers and Computing (cd. P. Chenin, C. Dicrescenzo, F. Robbcrt), Masson and Wiley, 1985, pp. 54-61.
[Duval 1987a] Duval D., An algorithmic proof of the resultant formula. To appear (also in [Duval 1987b]).
[Duval 1987b] Duval D., Divcrscs questions relatives au Calcul Formel avcc des nombers alg£briques. These d’Etat, Universite I de Grenoble, April 1987.
[Dubrcuil 1963] Dubrcuil P., Algebre.Gauthier-Villars,
Paris, 1963.
[Ehrhard 1986] Ehrhard T., Personal communication, March 1986.
[Fitch 1974] Fitch J.P., CAMAL Users’ Manual. University of Cambridge Computer Laboratory, 1974.
[Fitch 1985] Fitch J.P., Solving Algebraic Problems with REDUCE. J. Symbolic Comp. 1 (1985), pp. 211-227.
[Gebauer, Kredel 1984] Gebauer P. & Kredel, H., Note on "Solution of a General System of Equations". SIGSAM Bulletin 18 (1984) 3, pp. 5-6.
[Giusti 1984] Giusti M., Some Effectivity Problems in Polynomial Ideal Theory. Proc. EUROSAM 84 [Springer Lecture Notes in Computer Science 174, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1984], pp. 159171.
[Gregory, Krishnamurthy 1984] Gregory R.T. & Krishnamurthy E.V., Methods and Applications of Error-free Computation. Springer-Verlag, New York, 1984, pp. 159-171. [Имеется перевод: Грегори P., Кришнамурти E. Безошибочные вычисления. Методы и. приложения. - М.: Мир, 1988.]
[Griesmer et al. 1975] Griesmer J.H., Jenks R.D. & Yun D.Y.Y., SCRATCHPAD User’s Manual. IBM Research Publication RA70, June 1975.
[Hadamard 1893] Hadamard J., R6solution d’une Question Relative aux Determinants. Bull, des Sci. Math. (2) 17 (1893), pp. 240-246. CEuvres, CNRS, Paris, 1968, Vol. I, pp. 239-245.
[Hearn 1987] Hearn A.C., REDUCE-3 User’s Manual, version 3.3, Rand Corporation Publication CP78 (7/78), 1987.
[Heindel 1971] Heindel L.E., Integer Arithmetic Algorithm for Polynomial Real Zero Determination. J. ACM 18 (1971), pp. 535-548.*
[Hermite 1872] Hermite C., Sur 1’integration des fractions rationelles. Nouvel les Annales de Mathematiques, 2 Ser., 11(1872), pp. 145-148. Ann. Scientifiques de
1’Ecole Normale Superieure, 2 Ser 1 (1872), pp. 215218.
[Hilali 1982] HilaliA., Contribution a 1’etude de points
singuliers dessystemes differentiels lineaires. These
de trousieme cycle, IMAG, Grenoble, 1982.
[Hilali 1983] Hilali A., Characterization of a Linear Differential System with a Regular Singularity. Proc. EUROCAL 83 [Springer Lecture Notes in Computer Science 162, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1983], pp. 68-77.
[Hilali 1987] Hilali A., Solutions formelles de systemes differentiels lineaires au voisinage de points singuliers. These d’Etat, Universite I de Grenoble, June 1987.
[Horowitz 1969] Horowitz E., Algorithm for Symbolic Integration of Rational Functions. Ph. D. Thesis, Univ, of Wisconsin, November 1969.
[Horowitz 1971] Horowitz E., Algorithms for Practical Fraction Decomposition and Rational Function Integration. Proc. Second Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation, ACM Inc., 1971, pp. 441-457.
[Ince 1953] Ince F.L., Ordinary Differential Equations. Do-
ver Publications, 1953. [Имеется перевод более раннего издания: Айне Э.Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения. - Харьков: ОНТИ, 1939.]'
[Jenks 1984] Jenks R.D., A Primer: И Keys to New SCRATCHPAD. Proc. EUROSAM 84 [Springer Lecture Notes in Computer Science 174, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1984], pp. 127-147.
[Johnson 1974] Johnson S.C., Sparse Polynomial Arithmetic. Proc. EUROSAM 74 (SIGSAM Bulletin Vol. 8, No. 3, Aug. 1974, pp. 63-71).
[Kahrimanian 1953] Kahrimanian H.G., Analytic differentiation by a digital computer. M.A. Thesis, Temple U., Philadelphia, Pennsylvania, May 1953.
[Kaltofen et al. 1981] Kaltofen E., Musser D.R.. & Saunders B.D., A Generalized Class of Polynomials that are Hard to Factor.. Proceedings of the 1981 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ACM Inc., New York, 1981, pp. 188-194.
[Kaltofen et al. 1983] Kaltofen E., Musser D.R. & Saunders B.D., A Generalized Class of Polynomials that arc Hard to Factor. SIAM J. Comp. 12 (1983), pp. 473-483.
[Knuth 1969] Knuth D.E., The Art of Computer Programming, Vol II, Semi-numerical Algorithms, Addison-Wesley, 1969. [Имеется перевод: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. - М.: Мир, 1977.]
[Knuth 1973] Knuth D.E., The Art of Computer Programming, Vol I, Fundamental Algorithms, 2nd Edn., Addison- Wesley, 1973. [Имеется перевод: Кнут Д. Искусство про' граммирования для ЭВМ. Т. 1. - М.: Мир, 1976.]
[Knuth 1981] Knuth D.E., The Art of Computer Programming, Vol II, Semi-numerical Algorithms, 2nd Edn., Addison- Wesley, 1981.
[Kovacic 1977] Kovacic J. J., An Algorithm for solving Second Order Linear Homogeneous Differential Equations. Preprint, Brooklyn College, City University of New York.
[Kovacic 1986] Kovacic J. J., An Algorithm for solving Second Order Linear Homogeneous Differential Equations. 176—21
J. Symbolic Comp. 2 (1986), pp.3-43
[Krishnamurthy 1985] Krishnamurthy E.V., Error-free Polynomial Matrix Computations. Springer-Verlag, New-York, 1985.
[Landau 1905] Landau E., Sur Quelques Theoremes de M. Pet- rovitch Relatifs aux Z6ros des Fonctions Analytiques. Bull. Soc. Math. France 33 (1905), pp. 251- 261
[Lang 1965] Lang S., Algebra. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1965. [Имеется перевод: Ленг С., Алгебра. - М.: Мир, 1968.]
[Lauer 1982] Lauer М., Computing by Homomorphic Images. Symbolic & Algebraic Computation (Computing Supplemen- tum 4) (cd. B. Buchberger, G.E. Collins & R. Loos) Springer-Ver lag, Wien, New York,1982, pp. 139-168.
[Имеется перевод: Лауэр M. Вычисления с помощью гомоморфных образов. - В кн.: Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. - М.: Мир, 1986, с. 178-211.]
[Lauer1983]LauerМ.,Generalized p-adic Constructions.
SIAM J. Comp 12 (1983), pp. 395-410.
[Lazard 1983] Lazard D., Grobner Bases, Gaussian Elimination and Resolution of Systems of Algebraic Equation. Proc. EUROCAL 83 [Springer Lecture Notes in Computer Science 162, Springcr-Vcrlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1983], pp. 146-157.
[Lazard 1987] Lazard D., Quantifier Elimination: Optimal Solution for 2 Classic Examples. To appear in J.Symbo- lic Comp.
[Lenstra et al. 1982] Lenstra A.K.,Lenstra H.W., Jr. &
Lovasz L, Factoring Polynomials with Rational Coefficients. Math. Ann. 261 (1982), pp. 515-534.
[Lipson 1976] Lipson J.D., Newton’s Method: a great Algebraic Algorithm. Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ACM Inc., New York, pp. 260-270.
[Loos 1982] Loos R., Generalized Polynomial Remainder Sequences. Symbolic & Algebraic Computation (Computing
Suppiementum 4) (ed. В. Buchberger, G.E. Collins & R. Loos), Springer-Verlag, Wien, New York, 1982, pp. 115137. [Имеется перевод: Лоос P. Обобщенные последовательности полиномиальных остатков. - В кн.: Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. - М.: Мир, 1986, с. 151-171.]
[McCallum 1985а] McCallum S., An Improved Projection Algorithm for Cylindrical Algebraic Decomposition. Computer Science Tech. Report 548, Univ. Wisconsin at Madison, 1985.
[McCallum 1985b] McCallum S., An Improved Projection Algorithm for Cylindrical Algebraic Decomposition. Proc. EUROCAL 85, Vol. 2 [Springer Lecture Notes in Computer • Science 204, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New
York, Tokyo, 1985], pp. 277-278."
[McCarthy et al. 1965] McCarthy J., Abrahams P.W., Edwards W., Hart T.P. & Levin M., The LISP 1.5 Programmers Manual. M.I.T. Press, 1965.
[Macmillan, Davenport 1984] Macmillan R.J., Davenport J.H., Factoring Medium-Sized Integers.ComputerJ. 27
(1984), pp. 83-84.
[Marti et al. 1978] Marti J.B., Hearn A.C., Griss M.L. & Griss C, The Standard LISP Report. Report UCP-60, University of Utah, Jan. 1978. SIGSAM Bulletin 14 (1980), 1, pp. 23-43.
[Mauny 1985] Mauny J.B., These de troisieme cycle, Paris VII, Sept. 1985.
[Mayr, Mayer 1982] Mayr E. & Mayer A., The Complexity of the Word Problem for Commutative Semi-groups and Polynomial Ideals. Adv. in Math. 46 (1982), pp. 305-329.
[Mignotte 1974] Mignotte t M., An Inequality about Factors of Polynomials. Math. Comp. 28 (1974), pp. 1153-1157.
[Mignotte 1981] Mignotte M., Some Inequalities About Univariate Polynomials. Proceeding of the 1981 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ACM Inc., New York, 1981, pp. 195-199.
[Mignotte 1982] Mignotte M., Some Useful Bounds. Symbolic &
Algebraic Computation (Computing Suppiementum 4) (cd. B. Buchberger, G.E. Collins & R. Loos), Springer- Vcrlag, Wien, New York, 1981, pp. 259-263. [Имеется перевод: Миньотт M. Некоторые полезные неравенства. - В кн.: Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. - М.: Мир, 1986, с. 151-171.]
[Mignotte 1986] Mignotte М., Computer versus Paper and Pencil. CALSYF 4, pp. 63-69.
[Moses 1966] Moses J., Solution of a System of Polynomial Equations by Elimination. Comm. ACM 9 (1966), pp. 634637..
[Moses 1967] Moses J., Symbolic Integration. Ph. D. Thesis & Project MAC TR-47, M.I.T., 1967.
[Moses 1971a] Moses J., Algebraic Simplification - A Guide for the Perplexed. Comm. ACM 14 (1971), pp. 527-537.
[Moses 1971b] Moses J., Symbolic Integration, the stormy decade. Comm ACM 14 (1971), pp. 548-560.
[Musser 1978] Musser D.R., On the Efficiency of a Polynomial Irreducibility Test. J. • ACM 25 (1978), pp. 271282.
[Najid-Zejli 1984] Najid-ZcjliH.,Computation inRadical
Extensions. Proc. EUROSAM 84 [Springer Lecture Notes in Computer Science174,Springer-Verlag,Berlin,
Heidelberg, New York, Tokyo, 1984], pp. 115-122.
[Najid-Zcjli 1985] Najid-Zejli H., Extensions algebriques: cas general et cas des radicaux. These de troisieme cycle, IMAG, Grenoble, 25.6.85.
[Nolan 1953] Nolan J., Analytic differentiation on a digital computer. M.A.Thesis, Math. Dept., M.I.T., Cambridge, Massachusetts, May 1953.
[Norman 1975] Norman A.C., Computing with Formal Power Series. ACM Transactions on Mathematical Software 1 (1975), pp. 346-356.'
[Norman 1982] Norman A.C., The Development of a Vectorbased Algebra System. Proc. EUROCAM 82 [Springer Lecture Notes in Computer Science 144, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982], pp. 237-248.
[Norman, Davenport 1979] Norman А. С. & Davenport J.H., Symbolic Integration - the Dust Settles? Proceedings of the 1979 European Symposium on Symbolic and Algebraic Computation [Springer Lecture Notes in Computer Science 72,Springer- Verlag,Berlin, Heidelberg, New
York, 1979], pp. 398-407.
[Norman, Moore 1977] Ncrman A.C. & Moore P.M.A., Implementing the new Risch Integration Algorithm. Proc. Symp. advanced computing methodsin theoretical physics,
Marseilles, 1977, pp. 99-110.
[Ostrowski 1946] Ostrowski A.M.,Sur Tintegrabilit6 elemental rede quelques classes d’expressions. Comm.
Math. Helvet. 18 (1946), pp. 283-308..
[Pearce, Hicks 1981] Pearce P.D., & Hicks R.J., The Optimization of User Programs for an Algebraic Manipulation System. Proceedings of the 1981 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ACM Inc., New York, 1981, pp. 131-136.
[Pearce, Hicks 1982] Pearce P. D., & Hicks R.J., The Application ofAlgebraic OptimisationTechniquestoAlgebraic ModePrograms for REDUCE.SIGSAMBulletin 15
(1981/2), 4, pp. 15-22.'
[Pearce, Hicks1983] Pearce P.D.,& HicksR.J.,Data
Structuresand Execution Timesof AlgebraicMode
Programs for REDUCE. SIGSAM Bulletin 17 (1983), 1, pp. 31-37.
[Probst, Alagar 1982] Probst D. & Alagar V.S., An Adaptive Hybrid Algorithm for Multiplying Dense Polynomials. Proc. EUROCAM [Springer Lecture Notes in Computer Science 144, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982], pp. 16-23.
[Puiseux 1850] Puiseux M.V., Recherches sur les fonctions algebriques. J. Math. Pures et Appliquees 15 (1850), pp. 365-480.
[Ramanujan 1927] Ramanujan S., Problems and Solutions. In Collected Works (ed. G.H. Hardy, P.V. Secha Ayar & B.M. Wilson), C.U.P., 1927
[Ramis, Thomann 1980] Ramis J.P. & Thomann J., Remarques sur 1’utilisation numerique des s£riesdefactoriel-
les. Seminaire d’analyse numerique, Strasbourg No. 364, 1980.
& Thomann J., Some Utilization of Factorial& Thomann J., Some Utilization of Factorial[Ramis, Thomann 1981] Ramis J.P.
& Thomann J., Some Utilization of Factorial
& Thomann J., Some Utilization of Factorial
Comments about the Numerical
Series Methods in the Study of Critical Phenomena. Springer-Ver lag, Berlin, Heidelberg, New York, 1981.
[Richard 1986] Richard F., Representation graphiques de solution d’equations differentielles dans le champ complexe. Rapport de recherche, IRMA, Strasbourg. •
[Richards,Whitby-St re vens1979] Richards M. & Whitby-
St revensC., BCPL, The Language and its Compiler.
C.U.P., 1979.
[Richardson 1968] Richardson D., Some Unsolvable Problems Involving Elementary Functions of a Real Variable. J. Symbolic Logic 33 (1968), pp. 511-520.
[Risch 1969] Risch R.H., The Problem of Integration in Finite Terms. Trans. A.M.S. 139 (1969), pp. 167-189.
[Risch 1979] Risch R.H., Algebraic Properties of the Elementary Functions of Analysis. Amer. J. Math. 101 (1979), pp. 743-759.
[Rosenlicht 1976] Rosenlicht M., On Liouville’s Theory of Elementary Functions. Pacific J. Math 65 (1976), pp. 485-492.
[Rothstein 1976] Rothstein M., Aspects of Symbolic Integration and Simplification of Exponential and Primitive Functions. Ph. D. Thesis, Univ. of Wisconsin, Madison, 1976 (Xerox University Microfilms 77-8809.)
[Sasaki, Murao 1981] Sasaki T. & Murao H., Efficient Gaussian Elimination Methods for Symbolic Determinants and
Linear Systems. Proceedings of the 1981 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ACM Inc., New York, 1981, pp. 155-159.
[Sasaki, Murao 1982] Sasaki T. & Murao H., Efficient Gaussian Elimination Method for Symbolic Determinants and
Linear Systems. ACM Transactions on Mathematical Software 8 (1982), pp.277-289.,
[Saunders 1981]SaundersB.D., AnImplementation of
Kovacic’s Algorithm for Solving Second Order Linear Homogeneous Differential Equations. Proceedings of the 1981ACMSymposium on Symbolic and Algebraic
Computation, ACM Inc., New York, 1981, pp. 105-108.
[Schwarts, Sharir 1983a] Schwarts J.T. & Sharir M., On the "Piano Movers" Problem II. General Techniques for Computing Topological Properties of Real Algebraic Manifolds. Advances Appl. Math. 4 (1983), pp. 298-351.
[Schwarts, Sharir 1983b] Schwarts J.T. & Sharir M., On the "Piano Movers" Problem II. Coordinating the Motion of Several Independent Bodies: The Special Case of Circular Bodies Moving Amidst Polygonal Barriers. Int.. J. Robot. Res. 2 (1983), pp. 46-75.
[Singer 1981] Singer M.F., Liovillian Solution of л-th Order Homogeneous Linear Differential Equations. Amer. J. Math. 103 (1981), pp. 661-682.
[Singer 1985] Singer M.F., Solving Homogeneous Linear Differential Equations in Terms of Second Order Linear Differential Equations. Amer. J. Math. 107 (1985), pp. 663-696.
[Singer, Davenport 1985] Singer M.F. & Davenport J.H., Elementary and Liovillian Solution of Linear Differential ■ Equations. Proc. EUROCAL 85 [Springer Lecture Notes in Computer Science 204, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985], pp. 595-596.
[Singer, Davenport 1986] Singer M.F. & Davenport J.H., Elementary and Liovillian Solution of Linear Differential Equations. J. Symbolic Comp. 2 (1986), pp.237-260.
[Singer et al. 1981] Singer M.F., Saunders B.D. & Caviness B.F., An Extension of Liouville’s Theorem on Integration in Finite Terms. Proceedings of the 1981 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ACM Inc., New York, 1981, pp. 23-24.
[Singer et al. 1985] Singer M.F., Saunders B.D. & Caviness
B.F., An Extension of Liouville’s Theorem on Integration in Finite Terms. SIAM J. Comp. 14 (1985) pp. 966990.
[Slagle 1961] Slagle J.,A Heuristic Program that Solves
Symbolic Integration Problems in Freshman Calculus. Ph. D. Dissertation, Harvard U., Cambridge, Mass. May 1961.
[Smit 1981] Smit J., A Cancellation Free Algorithm, with Factoring Capabilities, for the Efficient Solution of Large Sparse Sets of Equations. Proceedings of the 1981 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ACM Inc., New York, 1981, pp. 146-154.
[Strassen 1969] Strassen V., Gaussian Elimination is not Optimal. Numer. Math. 13 (1969), pp. 354-356.
[Tarski 1951] Tarski A., A Decision • Method for Elementary Algebra and Geometry. 2nd ed., Univ. California Press, Berkeley, 1951.
[Tournier 1987] Tournier E., Solutions formelies d’equations differentielles: Le logiciel de calcul formel DESIR. These d’Etat, Universite I de Grenoble, April 1987.
[Trager 1976] Trager B.M., Algebraic Factoring and Rational Function Integration. Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ACM Inc., New York, 1976, pp. 219-226.
[Trager 1985] Trager B.M., On the Integration of Algebraic Functions. Ph.D. Thesis, Dept, of Electrical Engineering & Computer Science, M. I.T., August 1985.
[Viry 1982] Viry G., Factorisation des polyndmes a plu- sieurs variables. RAIRO Inform. Theor. 12 (1979), pp. 209-223.
[van der Waerden 1949] van der Waerden,B.L, Modern Algebra. Frederick Ungar, New York, 1949. [Имеются переводы: ван дер Варден Б. Л. Современная алгебра, т. 1,2 (пер. 2-го изд. 1937, 1940 гг.). - М.: ГОНТИ, 1947; Б. Л. ван дер Варден Б. Л. Алгебра. - М.: Наука, 1976 (пер. изд. 1971 г.).]
[Wang 1978] Wang P.S., An Improved Multivariable Polynomial Factorising Algorithm. Math. Comp. 32 (1978), pp. 1215-1231.
[Wang 1980] Wang P.S., The EEZ-GCD Algorithm. SIGSAM Bulletin 14 (1980), 2, pp. 50-60.
[Wang 1981] Wang P.S., A p-adic Algorithm for Univariate Partial Fractions. Proceedings of the 1981 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ACM Inc., New York, 1981, pp. 212-217.
[Wang 1983] Wang P.S., Early Detection of True Factors in Univariate Polynomial Factorisation. Proc. EUROCAL 83 [Springer Lecture Notes in Computer Science 162, Springer-Ver lag, Berlin, Heidelberg, New York, 1983], pp. 225-235.
[Wang et al. 1982] Wang P.S., Guy M.J.T. & Davenport, J. H., p-adic Reconstruction of Rational Numbers. SIGSAM Bulletin 16 (1982), pp. 2-3.
[Wasow 1965] Wasow W., Asymptotic Methods for Ordinary Differential Equations. Kreiger Publ. Co., New York, 1965.
[Watanabe 1976] Watanabe S., Formula Manipulation Solving Linear ODEs II. Publ. RIMS Kyoto Univ. 11 (1976), pp. 297-337.
[Watanabe 1981] Watanabe S., A Technique for Solving Ordinary Differential Equations Using Riemann’s p-functions. Proceedings of the 1981 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ACM Inc., New York, 1981, pp. 36-43.
[Wilkinson 1959] Wilkinson J.H., The Evaluation of the Zeros of Illconditioned Polynomials. Num. Math. 1 (1959), pp. 150-166, 167-180.
[Winograd 1968] Winograd S., A New Algorithm for Inner Product. IEEE Trans. Computers C-17 (1968), pp. 693-694.
[Winston, Horn 1981] Winston P.H. & Horn B.K.P., LISP. Addison-Wesley, 1981. (The 2nd ed., 1984 is written for Common LISP.)
[Wunderlicht 1979] Wunderlicht M.C., A Running-Time Analy-
sis of Brillhart’s Continued Fraction Factoring Algorithm. In: Number Theory Carbondale 1979 (cd. M.B. Nathanson) [Springer Lecture Notes in Mathematics 751, Springer-Vcrlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1979], . pp. 328-342.•
[Yun 1974] Yun D.Y.Y, The Hensel Lemma in Algebraic Manipulation. Ph. D. Thesis & Project MAC TR-138, M.I.T., 1974 [reprinted Garland Publishing Co., New York, 1980].
[Yun 1976] Yun D.Y.Y, On Square-free Decomposition Algorithms. Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ACM Inc., New York, 1976, pp. 26-35.
[Yun 1977] Yun D.Y.Y, On the Equivalence of Polynomial Ged and Squarcfrcc Factorisation Algorithms.Proc. 1977
MACSYMA User’s Conference NASA publication CP-2012, National Technical Information Service,Springfield,
Virginia, pp. 65-70.
[Zasscnhaus 1969] Zassenhaus H., On Hensel Factorisation.
J. Number Theory 1 (1969), pp. 291-311.
[Zippel 1979] Zippcl R.E., Probabilistic Algorithm for
Sparse Polynomials. Proceedings of the 1979 European
Symposium on Symbolic and Algebraic [Springer Lecture Notes in Computer ScienceSymposium on Symbolic and Algebraic [Springer Lecture Notes in Computer Scienceger-Verlag, 216-226.[Zippel 1985] Involving 189-210.ger-Verlag, 216-226.[Zippel 1985] Involving 189-210.Berlin,Berlin,Zippel Radicals.Zippel Radicals.Heidelberg, New York,Heidelberg, New York,R.E., Simplification ofJ. Symbolic Comp. 1R.E., Simplification ofJ. Symbolic Comp. 1Computation 72, Sprin- 1979], pp.Computation 72, Sprin- 1979], pp.Expressions(1985), pp.Expressions(1985), pp.
Symposium on Symbolic and Algebraic [Springer Lecture Notes in Computer Science
Symposium on Symbolic and Algebraic [Springer Lecture Notes in Computer Science
ger-Verlag, 216-226.
[Zippel 1985] Involving 189-210.
ger-Verlag, 216-226.
[Zippel 1985] Involving 189-210.
Berlin,
Berlin,
Zippel Radicals.
Zippel Radicals.
Heidelberg, New York,
Heidelberg, New York,
R.E., Simplification of
J. Symbolic Comp. 1
R.E., Simplification of
J. Symbolic Comp. 1
Computation 72, Sprin- 1979], pp.
Computation 72, Sprin- 1979], pp.
Expressions
(1985), pp.
Expressions
(1985), pp.
Дополнительная литература^
Абрамов С. А. Задачи компьютерной алгебры, связанные с поиском полиномиальных решений линейных дифференциальных и разностных уравнений. - Вести. МГУ, сер. 15, 1989, № 3, с. 56-60.
1)
Добавлена переводчиком.
Абрамов С.А. Рациональные решения линейных дифференциальных и разностных уравнений с полиномиальными коэффициентами. - Жури. выч. мат. и мат. физ., 1989,т. 29, № И, с. 1611-1620
Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике. - ОИЯИ, Д11-80-13, Дубна, 1980.
Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике. - ОИЯИ, Д11-83-511, Дубна, 1983.
Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике. - ОИЯИ, Д11-85-791, Дубна, 1985.
IV Международное совещание по аналитическим вычислениям на ЭВМ в физических исследованиях (сборник аннотаций). - ОИЯИ, Е11-90-204, Дубна, 1990.
Арайс Е.А., Яковлев Н.Е. Автоматизация аналитических вычислений в научных исследованиях. - Новосибирск: Наука, 1985.
Бухбергер Б. Базисы Гребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных идеалов. - В кн.: Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. - М.: Мир, 1986, с. 331-372.
Вычислительная математика и вычислительная техника, вып.З. - Харьков: ФТИНТ АН УССР, 1972.
Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа. - М.: Гостехиздат, 1952.
И. Гердт В.П., Григорьев Д.Ю. Обзор: Алгоритмы, системы и применения компьютерной алгебры. - В кн.: Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. - М.: Мир, 1986, с. 373-383.
Гердт В.П., Тарасов О. В., Шйрков Д.В. Аналитические вычисления на ЭВМ в приложении к физике и математике. - УФН, 1980, т. 130, вып. 1, с. 113-147.
Глушков В.М., Бондарчук В.Г., Гринченко Т.А. Аналитик - алгоритмический язык для описания процессов с использованием аналитических преобразований. - Кибернетика, 1971, № 3, с. 102-134.
Григорьев Д.Ю. Разложение многочленов над конечным полем и решение систем алгебраических уравнений. - Зап.
науч, семинаров. Ленингр. отд-ние Мат. ин-т АН СССР, 1984, т. 137, 20-79.
Григорьев Д.Ю. Эффективные алгоритмы для символьного • решения систем полиномиальных уравнений и неравенств. - В [5] с. 202-207.
Григорьев Д.Ю. Сложность разрешения теории первого порядка алгебраически замкнутых полей. - Изв. АН СССР, Сер. мат., 1986, т. 50, № 5, с. 1106-1120.
Григорьев Д.Ю., Чистов А. Л. Быстрое разложение многочленов на неприводимые и решение систем алгебраических уравнений. - Докл. АН СССР, 1984, т. 275, № 6, с. 1302-1306.
Грошева М.В., Ефимов Г. Б. О системах аналитических вычислений на ЭВМ. - В [30] с. 5-29.
Грошева М.В. Прикладные и эксплуатационные возможности систем аналитических вычислений. - В [30] с. 30-37.
Гурин Н.И., Скоморохов А. Г. Аналитические вычисления в системе REDUCE. Справ, пособие. - Минск: Наука и техника, 1989.
Еднерал В.Ф., Крюков А.П., Родионов А.Я- Язык аналитических вычислений REDUCE. - М.: Изд-во МГУ, 1988.
Закс М.Б. Аналитические преобразования на ЕС ЭВМ. - Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1981.
Климов Д.М., Руденко В.М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. - М.: Наука, 1989.
Кондратьева М.В., Панкратьев Е.В., Серов Р.Е. Вычисления в дифференциальных и разностных модулях. - В [5] с. 208-213.
Кондратьева М.В., Панкратьев Е.В. Алгоритмы вычисления характеристических многочленов Гильберта.. - В [30] с. 129-146.
Латышев В.Н. Конструктивная теория колец. Стандартные базисы. - М.: Изд-во МГУ, 1988.
Люстерник Л.А. Абрамов А.А, Шестаков В.И., Шура-Бура М.Р. Решение математических задач на автоматических цифровых машинах. - М.: Изд-во АН СССР, 1952.
Малашонок Г. И. Система линейных уравнений над коммута-
тивным кольцом. - Львов: ФМИ АН УССР, 1986 (препринт №114).
Михалев А. В., Панкратьев Е.В. Компьютерная алгебра. Вычисления в дифференциальной и разностной алгебре. - М.: Изд-во МГУ, 1989.
Пакеты прикладных программ. Аналитические преобразования. - М.: Наука, 1988.
Панкратьев Е.В. Компьютерная алгебра. Факторизация многочленов. - М.: Изд-во МГУ, 1988.
Системы для аналитических преобразований в механике. Тезисы докладов Всесоюзной конференции. - Горький: ГГУ, 1984.
Теория и практика автоматизированных систем аналитических преобразований. Тезисы . докладов республиканской научной конференции. - Вильнюс: Лит. НИИНТИ, 1984.
Чистов А.Л. Алгоритм полиномиальной сложности для раз. ложения многочленов и нахождения компонент многообразия в субэкспоненциальное время. - Зап. науч, семинаров. Ленингр. отд-ние Мат. ин-т АН СССР, 1984, т. 137, с. 124-188.
Akritas A.G. Elements of computer algebra with applications. New York: Wiley, 1989.
Boyle A. Caviness B.F. (eds) Future directions for research in symbolic computation. Report of a workshop on symbolic and algebraic computation. April 29-30 1988 Washington, DC. Published by the Society for industrial and applied mathematics Philadelphia, 1989.
7. Bronstein M., Davenport J.H., Trager B.M. Symbolic integration is algorithmic! Препринт доклада на конференции Computers and Mathematics, Portland, 15 june 1989.
Carra’ Ferro G. Some properties of the lattice points and their application to differential algebra, Communication in Algebra. 15 (1987), pp. 2625-2632.
Carra’ Ferro G. Grobner Bases and Differential Algebra, Leet. Notes Comput. Sci. 356, Springer-Verlag, 1989, pp. 129-140
Chou Shang-Ching Mechanical geometry theorem proving. Dordrecht: D.Reidel Publishing Company, 1987.
Chudnovsky D.V., Jenks R.D. (eds) Computer algebra. Leet. Notes in Pure and Applied Math. 113, New York: Dekker, 1989.
Davenport J.H. (cd.) EUROCAL’87 European Conference on Computer Algebra. Leipzig, GDR, June 2-5, 1987. Proceedings, Leet. Notes Comput. Sci. 378, Springer- Verlag, 1989.
Davenport J.H., Trager B. Scratchpad’s Theory of Algebra. I: Basic Commutative Algebra. To appear in Proc. DISCO-90 (Springer LNCS).
Galigo A., Traverso C. Practical determination of the dimension of an algebraic variety. In [47] pp. 46-52.
Girding L, Tambour T. Algebra for computer science. New York: Springer-Vcrlag, 1988.
Gianni (ed.) Symbolic and Algebraic Computation. International Symposium ISSAC’88, Rome, Italy, July 1988, Proceedings, Leet. Notes Comput. Sci. 358, Springer- Verlag 1989.
Kaltofen E., Watt S.M. (eds) Computers and Mathematics, New York: Springer, 1989.
Kondrat’eva M.V., Pankrat’cv E.V. A recursive algorithm for computation of the Hilbert polynomial. In [42] pp. 365-375.
Mignottc M. Mathematiques pour le calcul formel, Paris: Presses Univ. Fr., 1989.
Moller H.M., Mora F. New constructive methods in classical ideal theory, J. Algebra. 100 (1986),№ 1, pp. 138-178.
Mora F., Moller H.M. The computation of the Hilbert function. Leet. Notes Comput. Sci. 162, Springer- Verlag, 1983, pp. 157-167.'
Pankrat’ev E.V. Computations in differential and difference modules. Acta Applicandae Mathematicae 16 (1989), pp. 167-189.
Pohst M. (ed.) Algorithmic methods in algebra and num-
ber theory. London: Academic Press, 1987.
Pohst M., Zassenhaus H. Algorithmic algebraic number theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1989.
Rand R.H., Armbruster D. Perturbation methods, bifurcation theory and computer algebra. Appl. Math. Sci. 65, New York: Springer, 1988.
Rayna G. REDUCE. Software for Algebraic Computation. New York: Springer, 1989.
Sharpe D. Rings and factorization. Cambridge: Cambridge University Press, 1987.
Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation ISSAC’89 July 17-19, 1989 Portland, Oregon. New York: ACM Press, 1989.
Tangora (cd) Computer in algebra. Leet. Notes in Pure and Appl. Math. Ill, 1988.
Tournier E. (ed.) Computer Algebra and Differential Equations. Academic Press, 1989.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Мамара граница (borne de Hadamard) 184
алгебраическая функция (fonction algebrique) 101, 104
алгебраическое выражение (expression algebnque) 101
— расширение (extension algebrique) 77
— число (nombre algebrique) 101
алгоритм Барейса (methodes de Bareiss) 83, 100, 115
— Ьерлекэмпа (algorithme de Berlekamp) 188
— Бухбергера (~ ~ Buchberger) 133
— Гензеля, квадратичный вариант (~ quadratique de Hensel) 198, 201
линейный вариант (~ lineaire de ~) 197
— Евклида (~ d’Euclide) 94
расширенный (~ ~ etendu) 271, 273
— изоляции вещественных корней полинома (~ d’isolement des racines reel les) 146
— модулярного НОД (~ de p.g.c.d. modulaire) 180
— Ньютона (~ ~ Newton) 199
— разложения полиномов на множители (~ ~ factorisation) 202, 203
— Фробениуса ^ ~ Frobenius) 256
— Цассенхауза (~ ~ Zassenhaus) 193
базис редуцированный (base reduite) 130
— стандартный (Грёбнера) ^ standard (de Grobner)) 129
Барейса алгоритм (methodes de Bareiss) 83, 100, 115
Безу тождество (identite de Bezout) 272
Бесселя уравнение (equation de Bessel) 261
Берлекэмпа алгоритм (algorithme de Berlekamp) 188
— теорема (theoreme ae Berlekamp) 190
Брауна метод (methode de Brown) 86
Бухоергера алгоритм (algorithme de Buchberger) 133
— критерий (critere de Buchberger) 136
Ванга метод (methode de Wang) 211
вариация (variation) 143
взрыв комбинаторный (explosion combinatoire) 194, 210
вложенный радикал (radical imbrique) 101, 103
внутреннее представление (representation interne) 97
вполне редуцированный полином (polynome completement reduit) 129
выражение алгебраическое (expression algebrique) 101
вычисления ленивые (cvalution paresseuse) 124
— матричные, (calcul matriciel) 38
— неявные (~ implicite) 112
— явные (~ explicate) 112
Гаусса исключение (elimination de Gauss) 100, 118.
— лемма (lemme de Gauss) 188
Гензеля алгоритм, квадратичный вариант (algorithme quadra- tique de Hensel) 198, 201
— — линейный вариант (~ lineaire de ~) 197
— лемма (lemme de ~) 195, 198
Гильберта матрица (matrice de Hilbert) 39
— теорема неприводимости (theoreme d’irreductibilite de ~) 207
главная переменная (indeterminee principale) 95
Горовица метод (methode de Horowitz) 221
1Ч)аница Адамара (borne de Hadamard) 184
Грёбнера базис (base de Grobner) 129.
Дискриминант (discriminants) 155, 277
дифференцирование (derivation) 47
— формальное (derivation formelle) 215
дроби простейшие (elements simples) 273
дробь правильная (fraction propre) 274
Дэвенпорта теорема (theoreme de Davenport) 240, 245
Евклида алгоритм (algorithme d’Euclide) 94
расширенный (~ ~ etendu) 271, 273
— последовательность (suite ~) 93
естественное представление (representation naturelle) 86
задача интегрирования (probleme d’integration) 217
— планирования движения (de planification du mouvement) 159
идеал (ideal) 126
— нульмерный (~ de dimension zero) 130
изолированный корень (racine isolee) 140
изолирующий интервал (intervalle d’isolement) 140
инвариантное разбиение (decomposition invariante) 149
интегрирование (integration) 61
— алгебраических функций (~ de fonctions algebriques) 239.
— логарифмических функций (~ ~ ~ logarithmiques) 226
— неэлементарных функций (~ ~ ~ non elementaires) 240
— рациональных функций (~ ~ ~ rationelles) 217
— смешанных функций (~ ~ ~ mixtes) 236
— формальное (~ formelle) 215
— ^экспоненциальных функций (~ de fonctions exponentielles) интервал изолирующий (intervalle d’isolement) 140
176—22
иррегулярная особенность (singularite irre^nIiere) 258 исключение Гаусса (elimination de Gauss) 100, 118
каноническое представление, (representation canonique) 85
китайская теорема об остатках (theoreme chinois des restes) 278, 2^
— — — — обобщенная (^ ^ ^ ^ generalise) 279, 281
класс эффективный (class effectif) 217
Кнута метод (methode de Knuth) 190
— неравенство (inegalite de Knuth) 144
Ковачича теорема (Theoreme de Kovacic) 247
комбинаторный взрыв (explosion combinatoire) 194, 210
компактное представление (representation cornpacte) 86
композиция (composition) 52
компонента полуалгебраическая (cornposante semi algebrique) 148
корень изолированный (racine isolee) 140
Коши неравенство (inegalite de Cauchy) 144
коэффициент старший (coefficient principal) 205, 209, 210
Крамера правило (methode de Cramer) 114, 118
критерий Ьухбергера (critere de Buchberger) 136
— Мюссе ^ ~ Musser) 204
ЛандауМиньотта неравенство (inegalite de Landau - Mig- notte) 164
Ланцоиш метод (methode de Lanczos) 118
Лапласа преобразование (transformation de Laplace) 64
лексикографический порядок (ordre lexicographique) 95, 127
лемма Гaycca (lemme de Gauss) 188
— Гензеля (~ ~ Hensel) 195, 198
— о разложении (~ ~ Decomposition) 227, 232
— Риша (~ ~ Risch) 244, 245
ленивые вычисления (evalution paresseuse) 124
линейное рекуррентное уравнение (equation recurrente lineaire) 257
линейные уравнения (equations lineaires) 187
Лисп (LISP) 20
лиувиллева образующая (generateur liouvillien) 246
— функция (fonction liouvillienne) 247
Лиувилля принцип (principe de Liouville) 226
логарифм (logarithme) 111
Лорана ряды (series de Laurent) 124
малая теорема Ферма (petit theoreme de Fermat) 189
матрица Гильберта (matrice de Hilbert) 39
— обратная (~ inverse) 184
— плотная (~ dense) 113
— разреженная (~ creuse) 117
— Сильвестра (~ de Sylvester) 171, 275
матричные вычисления (calcul matriciel) 38
метод Брауна (methode de Brown) 86
— Ванга (~ ~ Wang) 211
— Горовица (~ ~ Horowitz) 221,
— Кнута (~ ~ Knuth) 190
— Ланцоиш (~ ~ Lanczos) 118
метод наивный (methode naive) 218
— Нормана ^ de Norman) 122
— одношаговый (~ "d’uri pas") lf6
— Островского (^ d’Ostrowski)
— повторного исключения (~ de 1’elimination repetee) 138
— последовательных приближений (~ d’approximation repetee) 119
— сопряженных градиентов (~ des gradients conjugues) 118
— Эрмита (~ de Hermite) 220
Мечина формула (formule de Mechain) 28
многогранник Ньютона (polygone de Newton) 254
многообразие полуалгебраическое (variete semi-algebrique) 148
множители паразитические (facteurs parasites) 209
модулярный НОД (p.g.c.d modulaire) 168
моном (топоте) 95
— старший (~ principal) 128
Мора пример (example de Mora) 137
Морли теорема (theoreme de Morley) 56
Мюссе критерий (critere de Musser) 204
наивный метод (methode naive) 218
некоммутативное умножение (multiplication non commutative) 52
некоммутирующие переменные (indeterminees non-commutatives) 112
неравенство Кнута (inegalite de Knuth) 144
— Коши ~ Cauchy) 144
— Ландау - Миньотта (~ ~ Landau - Mignotte) 164
неявные вычисления (calcul implicite) 112
НОД модулярный (p.g.c.d. modulaire) 168
— полиномов (~ des polyndmes) 92
норма полинома (norme du polynome) 106
нормальное представление (representation normale) 85
Нормана метод (methode de Norman) 122
нули плохие (zeros mauvais) 209
нульмерный идеал (ideal de dimension zero) 130
Ньютона алгоритм (algorithme de Newton) 199
— многогранник (polygone de ~) 254
обобщенный полином (polynome generalise) 232
образующая идеала (generateur dun ideal) 127
— лиувиллева (~ liouvillien) 246'
— элементарная (~ el€mentaire) 225
обратная матрица (matrice inverse) 184
одношаговый метод (methode "d’un pas") 116
определитель (determinant) 41
особенность иррегулярная (singularite irreguliere) 258
— регулярная (~ reguliere) 258
Островского метод (methode d’Ostrowski) отмеченное разбиение (decomposition marquee) 149
паразитические множители (facteurs parasites) 209
— решения (solutions ~) 138
переменная главная (indeterminee principale) 95
переменные некоммутирующие (indeterrninees non-commutatives)
112'
плотная матрица (matrice dense) ИЗ
плотное представление (representation dense) 87
плохая редукция (mauvaise reduction) 178
плохие нули (zeros mauvais) 209
подстановка (substitution) 48, 54, 91
поле лиувиллевых функций (corps de fonctions liouvillien- nes) 247
— элементарных функций (~ ~ ~ elementaires) 225
полином обобщенный (polyndme generalise) 232
— вполне редуцированный (~ completement reduit) 129
— примитивный (~ primitif) 174
— редуцированный (~ reduit) 128
— Вилкинсона (~ de Wilkinson) 146
— характеристический (~ caracteristique) 41
полиномы эквивалентные (polyndmes equivalents) 127
полуалгебраическая компонента (composante semi-algebrique)
148
полуалгебраическое многообразие (variete semi-algebrique) 148
порядок лексикографический (ordre lexicographique) 95, 127
— общей степени, затем лексикографический (~ de degre total, puis lexicographique) 96, 127
— общей степени, затем обратный лексикографический (~ ~ ~ ~ ~ inverse lexicographique) 96, 127
последовательности примитивные (suites primitives) 93
последовательность Евклида (suite d’Euclide) 93
— полиномиальных остатков (~ de restes de polyndmes) 93
— — субрезультантов (~ des polyndmes sous-resultants) 93
— Штурма (~ de Sturm) 142
правила перезаписи (regies de reecriture) 109
— упрощения (~ ~ simplification) 108
правило Крамера (methode de Cramer) 114, 118
правильная дробь (fraction propre) 274
представление (representation) 85
— вещественного алгебраического числа (~ d’un nombre algebrique reel) 147
— внутреннее (~ interne) 97
— дробей (~ des fractions) 83
— естественное (~ naturelle) 86
— каноническое (~ canonique) 85
— компактное (~ compacte) 86
— нормальное (~ normale) 85
— плотное (~ dense) 87
— полиномов (~ des polymdmes) 84
— разреженное (~ creux) 87
— распределенное (~ distribuee) 97
— рациональных функций (~ des fonctions rationelles) 98
— регулярное (~ reguliere) 84
— рекурсивное (~ recursive) 31, 71, 97
— целых чисел (~ des entiers) 79
преобразование Лапласа (transformation de Laplace) 64
пример Мора (example de Mora) 137
примитивная часть (partie primitive) 174
примитивные последовательности (suites primitives) 93
примитивный полином (polyndme primitif) 174
— элемент (element primitif) 107
принцип Лиувилля (principe de Liouville) 226
— модулярных вычислений (~ ~ Calcul Modulaire) 185
проблема Риша (probleme de Risch) 242
простейшие дроби (elements simples) 273
простой радикал (radical simple) 101
Пуассона ряды (series de Poisson) 125
Пюизо ряды (~ ~ Puiseux) 124
радикал вложенный (radical imbrique) 101, 103
— простой (~ simple) 101
разбиение (decomposition) 149
— инвариантное (~ invariante) 149
— отмеченное (~ marquee) 149
— цилиндрическое (~ cylindrique) 150, 151
разбухание промежуточных данных (croissance des donnees intermediaires) 80
разложение на множители полиномов (factorisation des polyndmes) 187
— целых чисел (factorisation des entiers) 82
— — свободные от квадратов множители (decomposition sans facteurs multiples) 270
разностные уравнения (equations aux differences) 260
разреженная матрица (matrice creuse) 117
разреженное представление (representation creux) 87
распределенное представление (representation distribuce) 97
расширение алгебраическое (extension algebrique) 77
рациональная функция (fonction rationnelle) 98
рациональное число (nombre rationnel) 83
регулярная особенность (singularite reguliere) 258
регулярное представление (representation reguliere) 84
редукция (reduction) 127
— плохая (mauvaise reduction) 178'
— хорошая (bonne reduction) 167, 178
редуцированный базис (base reduite) 130
— полином (polyndme reduit) 128
результант (resultants) 34, 183, 274, 275
рекурсивное представление (representation recursive) 31,
/1, 97
решения паразитические (solutions parasites) 138
Ричардсона теорема (theoreme de Richardson) 217
Риша лемма (lemme de Risch) 244, 245"
— проблема (probleme de ~) 242
— теорема (tneoreme de ~) 239
ряды Лорана (series de Laurent) 124
— Пуассона (~ ~ Poisson) 125
— Пюизо (~ ~ Puiseux) 124
— Тейлора (~ - Taylor) 47, 119, 122, 124
— Фурье (~ ~ Fourier) 124
свойство Чёрча - Россера (propriete de Church - Rosser) 129
Сильвестра матрица (matrice de Sylvester) 171, 275
Сильвестра тождество (identite de Sylvester) 116
Сингера теорема (theoreme de Singer) 249
Сингера - Дэвенпорта теорема (~ ~ Singer - Davenport) 250
сложение дробей (addition des tractions) 83
— полиномов (~ ~ polynomes) 88
содержание полинома (contenu d’un polynome) 174
стандартный базис (base standard) 129
старший коэффициент (coefficient principal) 205, 209, 210
— моном (топоте principal) 128
— член (terme principal^ 128
структурная теорема (theoreme de structure) ПО
Тейлора ряды (series de Taylor) 47, 119, 122, 124
теорема Ьерлекэмпа (theoreme de Berlekamp) 190
— Дэвенпорта (~ ~ Davenport) 240, 245
— Ковачича (~ ~ Kovacic) 24/
— Морли (~ ~ Morley) 56
— неприводимости Гильберта d’irreductibilite de Hilbert) 207
— об остатках китайская (~ chinois des restes) 278, 280
обобщенная (~ ~ ~ ~ generalise) 279, 281
— о субрезультантах (~ des sous-resultants) 94
— Ричардсона (~ de Richardson) 217
—; Puiua (~ ~ Risch) 239*
—- Сингера (~ ~ Singer) 249'
— Сингера - Дэвенпорта (~ ~ Singer - Davenport) 250
— структурная (~ ~ structure) 110
— Ферма малая (petit theoreme de Fermat) 189
— Штурма (~ de Sturm) 143
тождество Безу (identite de Bezout) 272
— Сильвестра (~ ~ Sylvester) 116
точность (precision) 23
трансцендентная функция (fonction transcendente) 108
Уилкинсона полином (polynome de Wilkinson) 146
умножение дробей (multiplication des fractions) 83
— некоммутативное (~ non commutative) 52
— полиномов (~ des polynomes) 88
упрощение (simplification) 47, 84
— формул (~ des formules) 53
уравнение линейное рекуррентное (equation recurrente lineaire) 257
— Фредгольма (~ de Fredholm) 66
— характеристическое (~ caracteristique) 259
уравнения линейные (equations lineaires) 187
— разностные (~ aux differences) 260
Ферма малая теорема (petit theoreme de Fermat) 189
формальное дифференцирование (derivation formelle) 215
формула Мечина (formule de Mechain) 28
Фредгольма уравнение (equation de Fredholm) 66
Фробениуса алгоритм (algorithme de Frobenius) 256
функция алгебраическая (fonction algebrique) 101, 104
— лиувиллева (~ liouvillicnne) 247
— рациональная (~ rationnelle) 98
— типа Е над полем К (~ de type Е sur un corp KA 241
— типа L над полем К (~ ~ ~ L sur un corp К) 241
— трансцендентная (~ transcendente) 108
— элементарная (~ elementaire) 225
Фурье ряды (series de Fourier) 124
характеристический полином (polynome caracteristique) 41
характеристическое уравнение (equation caracteristique) 259
хорошая редукция (bonne reduction) 167, 178
Цассенхауза алгоритм (algorithme de Zassenhaus) 193 цилиндрическое разбиение (decomposition cylindrique) 150, 151
часть примитивная (partie primitive) 174
Чёрча -- Россера свойство (propriete de Church - Rosser) 129
число алгебраическое (nomore algebrique) 101
— рациональное (~ rationnel) 83
— с плавающей точкой (~ flottant) 83
— с плохой редукцией (~ de mauvaise reduction) 167
— с хорошей редукцией (~ ~ bonne reduction) 167
— р-адическое (~ p-adique) 199
член старший (terme principal) 128
Штурма последовательность (suite de Sturm) 142
теорема (theoreme de ~) 143
экспонента (exponentielle) 111
эквивалентные полиномы (polynomes equivalents) 127
элемент примитивный (element primitif) 107
элементарная образующая (generateur elementaire) 225
— функция (fonction ~) 225
элиминация кванторов (elimination des quantificateurs) 156, 157'
Эрмита метод (methode de Hermite) 220
явные вычисления (calcul explicite) 112
ядро (noyau) 108
AlPi 6
AMP 69 bignum 80 CAMAL 84
CoCoa 6
DESIR 261
FROBENIUS 260
LISP 20
MACSYMA 5, 21
MAPLE 6, 69
muMATH 6, 21, 69
MATHEMATICA 6
NEWTON 260
р-адическое число (nombre p-adique) 199
REDUCE 5, 21, 282
RLISP 59
.S-полином (S-polynome) 133
SAC-2 7
SCRATCHPAD 5, 21, 70, 75
SHARE 69
SMP 69, 83
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода и переводчика 5
Предисловие авторов к русскому изданию 9
Предисловие 10
Глава 1. Как пользоваться системой компьютерной алгебры 20
Введение 20
Общие сведения о системах компьютернойалгебры21
Синтаксис ассоциированных языков 22
Области, охватываемые существующимисистемами23
Компьютерная алгебра на примере 24
Простые операции с числами 24
Полиномы и рациональные функции . . . .30
Матричные вычисления 38
Дифференцирование - ряды Тейлора . . .47
Упрощение формул 53
Интегрирование 61
Доступность системы MACSYMA 69
Другие системы 69
Глава 2. Проблема представления данных 79
Представление целых чисел 79
Представление дробей 83
Представление полиномов 84
Канонические и нормальныепредставления85
Плотные и разреженные представления . .87
НОД 92
Полиномы от нескольких переменных 95
Представления рациональных функций 98
Представление алгебраических функций 101
Простые радикалы 101
Вложенные радикалы 103
Алгебраические функции общего вида . .104
Примитивные элементы 107
Представление трансцендентных функций . . . .108
Представления матриц 112
Плотные матрицы ИЗ
Алгоритм Барейса 115
Разреженные матрицы 117
Представления рядов 119
Ряды Тейлора: простой метод 119
Ряды Тейлора: метод Нормана 122
Другие ряды 124
Глава 3. Полиномиальное упрощение 126
Упрощение полиномиальныхуравнений ......126
Редукция полиномов *.127
Стандартные базисы(Гребнера) 129
Решение системы полиномов 130
Алгоритм Бухбергера 133
Сравнения с другими методами 137
Упрощение систем вещественных полиномов . . .139
Случай R1 140
Изоляция корней 142
Вещественные алгебраические числа 147
Общий случай (некоторые определения) 148
Разбиение пространства Rn . . .149
Цилиндрические разбиения 150
Случай пространства(R2 153
Общий случай 155
Приложения цилиндрического разбиения .156
Элиминация кванторов 156
Робототехника 159
Глава 4. Современные алгоритмы 162
Модулярные методы 162
НОД при одной переменной 162
Соответствие модулярное - целое165
Вычисление НОД 167
Стоимость алгоритма 171
НОД при нескольких переменных 174
Плохая редукция 178
Алгоритм 179
Стоимость приведенного алгоритма 181
Другие применения модулярных методов .183
Вычисление результанта 183
Вычисление определителей . . . .183
Обращение матрицы 184
Другие приложения 187
р-адические методы 187
Разложение полиномов от одной переменной 187
Алгоритм Берлекэмпа 188
Соотношение модулярное - целое .191
Лемма Гензеля - линейный вариант . . .195
Лемма Гензеля - квадратичный вариант 198
Лемма Гензеля - уточнение алгоритма 200
Алгоритм разложения на множители 202
Старший коэффициент 205
Разложение для нескольких переменных .206
Алгоритм 207
Старший коэффициент 210
Другие применения р-адических методов .212
НОД с помощью р-адического алгоритма 212
Глава 5. Формальное интегрирование и дифференциальные уравнения 215
Формальное интегрирование 215
Введение 215
Интегрирование рациональных функций . .217
Наивный метод 218
Метод Эрмита 220
Метод Горовица .'.221
Логарифмическая часть 222
Интегрирование более сложных функций .224
Интегрирование логарифмических функций226
Лемма о разложении 227
Полиномиальная часть 228
Рациональная и логарифмическая части 230
Интегрирование экспоненциальных функций231
Лемма о разложении 232
Обобщенная полиномиальная часть234
Рациональная и^ логарифмическая части 235
Интегрирование смешанных функций .. .236
Интегрирование алгебраических функций .239
Интегрирование неэлементарных функций .240
Алгебраические решения О.Д.У. 242
Уравнения первого порядка 242
Проблема Риша 242
Теорема Дэвенпорта .245
Уравнения второго порядка 246
Уравнения произвольного порядка . .. .249
Однородные уравнения 249
Неоднородные уравнения ,249
Асимптотические решения О.Д.У251
Мотивация и история 251
Классификация особенностей 252
Программа для решения О.Д.У. в регулярной особенности 256
Общая структура программы258
Несколько примеров применения программы "DESIR" 261
Примеры с уравнениемБесселя . .261
Другой пример 265
Дополнение. Основные сведения из алгебры269
А.1.Разложение на свободные от квадратов множители 269
А.2.Расширенный алгоритм Евклида271
А.З.Простейшие дроби 273
А.4.Результант274
А.5.Китайская теорема об остатках 278
А.5.1. Случай целых чисел 278
А.5.2. Случай полиномов 280
Приложение. REDUCE: система компьютерной алгебры . .282
R.I.Введение 282
R.I.I. Примеры интерактивного использования .283
R.2.Синтаксис системыREDUCE 285
R.2.I. Синтаксические элементы .285
Числа 285
Переменные286
Операторы286
R.2.2. Выражения286
R.2.2.I. Различные типы выражений . ...286
R.2.2.2. Упрощение выражений 287
R.2.2.3. Списочные выражения 290
R.2.3. Объявления291
R.2.3.I. Простые переменные 291
R.2.3.2. Асимптотические объявления...292
R.2.3.3. Объявления массивов 293
R.2.3.4. Объявления операторов 293
R.2.3.5. Объявления процедур 295
R.2.4. Команды295
R.2.4.I. Оператор присваивания 296
R.2.4.2. Групповые команды 296
R.2.4.3. Условные операторы 296
R.2.4.4. Команды повторения 297
R.2.4.5. Блоки 297
R.3.Встроенные возможности298
R.3.I. Префиксныеоператоры 298
R.3.1.L Числовые операторы 298
R.3.1.2. Математические операторы . ...298
R.3.I.3. Дифференцирование 299
R.3.1.4. Интегрирование 299
R.3.I.5. Разложение на множители . ...300
R.3.I.6. Результанты 300
R.3.1.7.Решение систем уравнений . . . . 300
R.3.2. Работас выражениями 301
R.3.2.I.Вывод выражений 301
R.3.2.2.Части выражений 304
R.3.3. Подстановки 305
R.3.3.I.Локальные подстановки 306
R.3.3.2.Глобальные подстановки 306
R.4. Матричная алгебра 309
R.5. Заключение310
Литература 311
Предметный указатель 336
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 120820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
Если в частном мы обнаружим число, большее этой границы, то деление нс точное, поэтому можно немедленно закончить операцию делит. Это замечание очень важно с практической точки зрения, поскольку деление такого рода, которое даст остаток, может порождать громадные коэффициенты, - например, деление х100 на х -10 дает в остатке 1О100. Обсуждение стоимости операции делит см. в работе [Abbott et al. 1985].