ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА«ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА ИНТЕГРАЦИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯИ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ НА 1997-2000 ГОДЫ»

В.Я.Демиховский, Г.А.Вугальтер

ФИЗИКА КВАНТОВЫХНИЗКОРАЗМЕРНЫХСТРУКТУР

Москва • «Логос» • 2000

ББК 22.314дзоББК 22.314дзо

ББК 22.314дзо

ББК 22.314дзо

Рецензенты:

Профессор В. Т. Долгополов,канд. физ-мат. наук В.А. Петров

Демиховский В.Я., Вугальтер Г. А.

ДЗО Физика квантовых низкоразмерных структур. —М.:

Логос, 2000. —248 с.: ил.

ISBN 5-88439-045-9

Излагается современная теория электронных явлений в низкоразмерных полупроводниковых структурах — квантовых ямах, нитях, точках. Рассматриваются методы расчета энергетического спектра и волновых функций, оптические свойства наноструктур, туннельные процессы, в том числе туннелирование в условиях кулоновской блокады, явления переноса в мезоскопических системах. Приводятся последние экспериментальные результаты, а также физические принципы работы современных электронных и оптоэлектронных приборов, созданных на основе низкоразмерных структур.

Для исследователей и инженеров, работающих в области физики конденсированного состояния и твердотельной электроники. Будет полезна также аспирантам и студентам, обучающимся по физическим и инженерно-физическим специальностям.

Табл. 4. Ил. 71. Библиогр. 180 назв.

ББК 22.314

Издание осуществлено при финансовой поддержке Федеральнойцелевой программы «Государственная поддержка интеграции высшегообразования и фундаментальной науки на 1997-2000 гг »

ISBN 5-88439-045-9ISBN 5-88439-045-9© Центр «Интеграция», 2000

ISBN 5-88439-045-9

ISBN 5-88439-045-9

Предисловие

За последние два десятилетия в физике низкоразмерных квантовых структур был сделан ряд крупных открытий. Достаточно назвать главные из них. Предсказаны и детально исследованы эффекты слабой и сильной локализаций квантовых состояний в присутствии случайного потенциала. В баллистических проводниках, где рассеяние на примесях и дефектах играет малозаметную роль, обнаружено квантование кондактанса. Исследованы универсальные флуктуации проводимости в проводниках, размеры которых не превышают длины сбоя фазы волновой функции. Наблюдалась кулоновская блокада туннелирования в полупроводниковых наноструктурах. Можно уверенно сказать, что открытие целочисленного и дробного квантовых эффектов Холла в двумерном электронном газе качественно изменило наши представления как о характере магнитотранспорта в конденсированных средах, так и о природе основного и возбужденных состояний двумерной кулоновской жидкости. Несмотря на то, что все перечисленные явления наблюдаются в образцах, размеры которых существенно превышают атомные, они имеют чисто квантовую природу и не могут быть поняты в рамках классических представлений. В то же время эти размеры меньше, чем у обычных макроскопических тел, окружающих нас. Поэтому можно говорить о некоторой промежуточной области линейных масштабов, в которой уже действуют законы квантовой механики.

Раздел физики, изучающий подобные явления, получил название мезоскопика. Свойства мезоскопических объектов во многом радикально отличаются от свойств как микроскопических, так и макроскопических тел. Например, для мезоскопических образцов нельзя ввести понятие удельного сопротивления. Электрическое сопротивление двух таких проводников, соединенных последовательно, не равно сумме их сопротивлений. Необычно ведет себя сопротивление мезоскопических проводников при изменении их геометрических размеров. Кроме того, оно существенно зависит от положения каждого рассеивающего центра.

Исследования физических процессов в квантовых структурах способствовали не только открытиям фундаментального характера, но и стимулировали прогресс электронной инженерии. Логика развития современной полупроводниковой электроники такова, что интегральные схемы становятся все более сложными и объединяют все большее число элементов. До сих пор изготовителям интегральных схем удавалось увеличить плотность размещения з

излагаются основные представления теории универсальных флуктуаций.

В главе 7 рассматриваются целочисленный и дробный квантовые эффекты Холла. Обсуждается природа горизонтальных участков (плато) на кривых, описывающих зависимость недиагональной (холловской) компоненты проводимости от напряженности магнитного поля, а также природа осцилляций продольной проводимости. Приведен расчет холловского сопротивления. Даны основные представления теории Лафлина, описывающей основное состояние кулоновской двумерной квантовой жидкости. Обсуждается природа дробного заряда элементарных возбуждений этой жидкости.

В работе над книгой принимал участие В.Я.Алешкин. Им написаны разд. 2.1,2.2 и 3.1.

Авторы выражают благодарность А.М.Сатанину, В .А. Бурдову, ИАКарповичу, В.И.Гавриленко за исключительно полезные и интересные дискуссии, А.Ф.Хохлову и С.В.Гапонову — за интерес к работе и поддержку, Д.И. Каменеву и Д.Ю. Водолазову — за помощь в оформлении рукописи. Авторы также признательны рецензентам В.Т. Долгополову и В.А. Петрову за многочисленные конструктивные замечания, несомненно, способствовавшие улучшению книги.

Список основных обозначений

е — заряд электрона (е=4,8010-|°С6!5£’)

с — скоростьсвета(с=ЗЮ10 см/с)

то — масса свободного электрона (то =9,8-10~27 г) т — эффективная масса электрона

h — постоянная Планка (1,054 10 27 эрг с)

Л = 2лй

Н — напряженность магнитного поля

Е — напряженность электрического поля / — электрический ток

I — плотность электрического тока А — векторный потенциал Ф — магнитный поток

С — емкость

£ д — диэлектрическая проницаемость

Е, £, £„ — энергия

U,V — потенциальная энергия р — импульс

ns — поверхностная концентрация электронов N — число частиц

Ед — энергия Ферми

кв — постоянная Больцмана

kf — фермиевский волновой вектор vF=hkFjm — фермиевская скорость Xf = lujkp — фермиевская длина волны р(£) — электронная плотность состояний ф0 = ch)е — квант магнитного потока цд =ей/(2тос) — магнетон Бора (йс=еН/(тс)— циклотронная частота Rc=vF/toc — циклотронный радиус /я = {chKeH)^ — магнитная длина

No = 1/(2л/я) — кратность вырождения уровня Ландау v = ^ф0/Н — степень заполнения уровня Ландау

Nd — скорость дрейфа тр — время релаксации импульса тф — время релаксации фазы D — коэффициент диффузии /р = vfxp — длина свободного пробега /ф = (^ф)1/2 — длина сбоя фазы l^D/квТ^ — тепловая длина ц = etp/m — подвижность /(е) — фермиевская функция распределения D(E) — туннельный коэффициент прозрачности R(E) — коэффициент отражения

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУР. ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ МОДЕЛИ

Основные типы квантовых структур

Гетероструктуры на основе GaAs-AlGaAs

Простейшая квантовая структура — это достаточно тонкий слой полупроводника, или полупроводниковая пленка. Именно на тонких пленках полуметалла висмута и полупроводника InSb в 60-х годах был обнаружен эффект размерного квантования. В настоящее время технология изготовления полупроводниковых наноструктур находится на несравненно более высоком уровне и постоянно продолжает совершенствоваться.

Для получения совершенных структур чрезвычайно важно, чтобы периоды кристаллических решеток двух соседних слоев, имеющих различный состав, были почти одинаковыми. Тогда слои точно повторяют друг друга и в кристаллической решетке выращенной структуры не будет дефектов. Наилучшие результаты в изготовлении квантовых структур достигнуты с помощью метода молекулярно-лучевой эпитаксии. Для того чтобы с помощью этого метода вырастить ту или иную структуру, нужно направить поток или одновременно несколько потоков атомов, на тщательно очищенную поверхность полупроводника. Потоки атомов получают испарением вещества из отдельных нагретых источников. Выращивание структур осуществляется в глубоком вакууме, химический состав контролируется в процессе роста.

Метод молекулярно-лучевой эпитаксии позволяет выращивать совершенные монокристаллические слои толщиной всего в несколько пе-

риодов решетки. Данным методом можно получить очень резкую (с точностью до монослоя) границу между двумя полупроводниками, причем поверхность получается гладкой на атомном уровне. Квантовые структуры выращиваются из различных материалов, однако для этой цели наиболее удачной парой является полупроводник GaAs — арсенид галлия и твердый раствор AlxGa]_xAs, в котором часть атомов галлия заменена атомами алюминия. Величина х — это доля атомов галлия, замещенных атомами алюминия; обычно она изменяется от 0,15 до 0,35. Периоды кристаллических решеток в указанных соединениях отличаются не более чем на десятую долю процента.

В процессе изготовления гетероструктуры очень важно точно задать положение легирующих примесных атомов. Это можно сделать, проводя селективное легирование. Идея метода селективного легирования чрезвычайно проста. В процессе молекулярнолучевого роста примеси — доноры или акцепторы — можно вводить в строго определенную область гетероперехода. Результат легирования зависит от того, куда попадут легирующие атомы. Обычно легируется область AlGaAs (например, атомами Si, которые являются донорами), a GaAs делается насколько возможно чистым, но все же обычно остается слабо легированным полупроводником p-типа. Доноры в слое AlGaAs располагаются на рассто- нии в несколько десятков нанометров от границы перехода.

В отсутствие доноров зоны на границе гетероперехода выглядели бы так, как показано на рис. 1.1, а. Ширина запрещенной зоны в арсениде галлия составляет 1,5 эВ, а в твердом растворе AlxGa1-xAs она всегда больше, например при х = 1, т.е. в чистом AlAs, ширина запрещенной зоны равна 2,2 эВ. Поскольку в слое AlGaAs ширина запрещенной зоны больше, чем у GaAs, то первый играет роль диэлектрика, а второй — полупроводника. Относительное расположение энергетических зон слева и справа от гетероперехода определяется атомной структурой полупроводников. Однако существует простое правило (правило Андерсена), согласно которому разность энергий дна зоны проводимости по обе стороны перехода АЕС равна разности значений электронного сродства % Двух полупроводников: A£'c=xi-X2 (напомним, что величина х равна разности энергии электрона в вакууме и энергии дна зоны проводимости) [8]. Для пары GaAs-AlGaAs величина ^EC =0,4 эВ.

a)a)2,2 эВ1,5 эВ2,2 эВ1,5 эВGaAsGaAsAlAsAlAsРис. 1.1. Гетероструктура GaAs-AlGaAs с модулированным легированиемРис. 1.1. Гетероструктура GaAs-AlGaAs с модулированным легированием

a)

a)

2,2 эВ1,5 эВ

2,2 эВ1,5 эВ

GaAs

GaAs

AlAs

AlAs

Рис. 1.1. Гетероструктура GaAs-AlGaAs с модулированным легированием

Рис. 1.1. Гетероструктура GaAs-AlGaAs с модулированным легированием

Электроны из легированной области, расположенной на некотором удалении от перехода, мигрируют и скапливаются по другую сторону перехода у дна зоны проводимости. Положительный заряд образовавшихся ионизированных доноров притягивает их к поверхности. В результате образуется дипольный слой — положительный заряд в AlGaAs, а отрицательный — в GaAs. Электрическое поле этого слоя приведет к изгибу зон (рис. 1.1,6). Если край зоны проводимости окажется ниже уровня Ферми, то здесь образуется инверсионный слой. Движение электронов вдоль слоя будет свободным, а в поперечном направлении ограниченным, что при выполнении ряда условий (см. разд. 1.2) приведет к размерному квантованию. Таким образом, в инверсионном слое будет находиться двумерный электронный газ. Главное преимущество такой системы состоит в том, что электроны в инверсионном слое и примесные атомы оказываются пространственно разделенными и, как следствие, процессы рассеяния будут подавлены. Поэтому в таких гетеропереходах удается получить предельно высокие подвижности и легко выполнить условия квантования.

Самосогласованное решение уравнений Шредингера и Пуассона показывает, что в GaAs вблизи границы электрический потенциал возрастает пропорционально расстоянию от границы, а при удалении на расстояние, превышающее длину экранирования, становится постоянным. Это значит, что положение низших уровней пространственного квантования можно определить, ре-

шая уравнение Шредингера для треугольной ямы. Если расположить последовательно два гетероперехода AlGaAs-GaAs-AlGaAs, то получится квантовая яма. Если ее ширина много больше длины экранирования электрического поля, яму можно считать прямоугольной. Инверсионные слои, в которых поперечное движение квантовано, возникают не только в системе AlGaAs-GaAs, но и в других структурах, например на границе полупроводника Si и диэлектрика Si О2.

/. 1.2. Инверсионные слои на границе Si — окись кремния

Многие из рассмотренных в настоящей книге явлений (сильная и слабая локализации, магнитотранспорт, универсальные флуктуации проводимости, эффекты Аронова—Бома) были впервые обнаружены и исследованы в структурах типа металл—окисел—полупроводник (МОП). Двумерный электронный газ в таких структурах создается в инверсионном слое на поверхности полупроводника. Типичная МОП-структура устроена следующим образом (рис. 1.2).

На поверхности полупроводника, например кремния р-типа, создается сравнительно толстый (до 100 нм) диэлектрический

Рис. 1.2. Энергетические зоны в инверсионном слое на границе металл—окисел—полупроводник (в треугольной яме ниже уровня Ферми находятся два дискретных уровня):

£с и Доопределяют границы зоны проводимости и валентной зоны; Дг—уровень Ферми; Vg — напряжение на затворе

слой окисла, а затем на диэлектрик наносится металлический электрод или затвор (соответствующая технология была разработана для изготовления кремниевых полевых транзисторов). На металлический электрод подается положительный потенциал, который создает электрическое поле, притягивающее электроны из объема к поверхности. Движение приповерхностных электронов ограничено в одном направлении, что при выполнении ряда условий (см. 1.1.8) приводит к квантованию - соответствующий спектр становится дискретным, а вдоль поверхности электроны движутся свободно.

Если уровень Ферми окажется выше края валентной зоны кремния, то приповерхностные уровни будут заселены, и образуется инверсионный слой с двумерным электронным газом. В инверсионном слое, непосредственно вблизи его границы, электростатический потенциал изменяется линейно с расстоянием, а на самой границе движение ограничено высоким барьером. Поэтому можно сказать, что электроны находятся в треугольной потенциальной яме. Соответствующий энергетический спектр и электронные волновые функции будут найдены в 1.2.2. На расстояниях, превышающих длину экранирования, поле уже нельзя считать постоянным, оно стремится к нулю при удалении от поверхности, и потенциал изменяется, как показано на рис. 1.2. Концентрацией двумерных (2D) электронов в МОП-структурах можно управлять, изменяя напряжение на затворе. Типичные значения положительного потенциала, подаваемого на металлический электрод в таких структурах, порядка нескольких вольт, а концентрация поверхностных электронов ns »1011 -1012 см"2.

Структуры на основе Ge-Si

В последнее время наметился интерес к изучению структур на основе германия и кремния — типа GexSij_x/Si и GexSi!_x/Ge. Методом эпитаксии из молекулярных пучков на таких структурах созданы приборы с уникальными характеристиками: биполярные и полевые транзисторы, приемники ИК излучения, источники света.

Поскольку периоды кристаллических решеток в германии и кремнии отличаются примерно на 4%, слои в гетероструктурах получаются напряженными и могут иметь дефекты. Бездислока- ционными могут быть только либо очень тонкие слои, либо не-

большие островки, в которых запасенная упругая энергия меньше, чем энергия образования дислокаций.

Германий-кремниевые структуры обладают интересными электронными свойствами. Гетеропереход в таких структурах относится ко второму роду (см. гл. 2). В отличие от объемных полупроводников — Ge и Si — в напряженных структурах (сверхрешетках) разрешенными оказываются прямые оптические переходы зона — зона. Это свойство делает структуры Ge/Si, так же как и структуры на основе полупроводников А3В5, перспективными для создания приборов квантовой оптики — приемников и излучателей.

Интересы физиков и технологов обращены сейчас и к изучению квантовых точек в GexSi1-x, образующихся из молекулярных пучков за счет механизма самоорганизации.

Квантовые нити и точки

Выше рассматривались основные типы двумерных структур — гетероструктуры и инверсионные слои на поверхности полупроводника (МОП-структуры),— в

Рис. 1.3. Последовательность технологических операций, выполняемых при изготовлении квантовых структурРис. 1.3. Последовательность технологических операций, выполняемых при изготовлении квантовых структуркоторых движение ограничено в одном направлении. Существует ряд методов, позволяющих создать структуры, в которых движение имеет одно- или нульмерный характер. Рассмотрим один из них — метод электронной литографии. С помощью этого метода на поверхность 2D структуры можно нанести металлические электроды, которые будут управлять движением электронов. Таким образом можно изготовить узкие проводящие каналы (квантовые нити), квантовые точки, квантовые стадионы и другие структуры.

Рис. 1.3. Последовательность технологических операций, выполняемых при изготовлении квантовых структур

Рис. 1.3. Последовательность технологических операций, выполняемых при изготовлении квантовых структур

Типичная последовательность операций, используемых в процессе изготовления полупроводниковых структур, показана на рис. 1.3. Первоначально на поверхность гетероструктуры, под которой находится двумерный электронный газ, наносится пленка органического резиста толщиной порядка 100 нм, чувствительного к облучению потоком электронов. Далее производится облучение поверхности коллимированным электронным пучком (рис. 1.3, о), затем облученный участок удаляется с помощью травителя (рис. 1.3, б). Следующая операция — нанесение проводника на очищенную поверхность (рис. 1.3, в). Наконец, после удаления участков, содержащих неэкспонированный резист, на поверхности полупроводника остаются металлические электроды (рис. 1.3, г). Подавая на них электрический потенциал, можно управлять движением электронов на плоскости и формировать различные низкоразмерные структуры.

Одна из структур, сформированных с помощью описанной технологии, показана на рис. 1.4. Это проводящий канал, или квантовый микромостик в 2D электронном газе (область 2D электронного газа отмечена более темным цветом) Движение электронов в проводящем канале — одномерное. Именно в таких структурах впервые наблюдалось квантование кондактанса (см. гл. 6, [4]).

Рис. 1.4. Квантовый микромостик (микроканал)

Типичные структуры, изготавливаемые с помощью электронной литографии, имеют субмикронные размеры. На рис. 1.5 показана поверхностная решетка, на границе гетероструктуры GaAS - AlGaAs, где находится двумерный электронный газ [9]. В процессе роста в полупроводник AlGaAs были введены донорные атомы,

Рис. 1.5. Система квантовых точек в 2D электронном газе в гетеропереходе AlGaAs-GaAs. 2DEG — двумерный электронный газ; РММА — фоторезист. Электростатический потенциал металлического затвора управляет поверхностной концентрацией электронов [9]Рис. 1.5. Система квантовых точек в 2D электронном газе в гетеропереходе AlGaAs-GaAs. 2DEG — двумерный электронный газ; РММА — фоторезист. Электростатический потенциал металлического затвора управляет поверхностной концентрацией электронов [9]с которых электроны уходят в GaAs. Наименьшее расстояние между точками составляло 80 нм. Металлический электрод F (затвор) позволяет

Рис. 1.5. Система квантовых точек в 2D электронном газе в гетеропереходе AlGaAs-GaAs. 2DEG — двумерный электронный газ; РММА — фоторезист. Электростатический потенциал металлического затвора управляет поверхностной концентрацией электронов [9]

Рис. 1.5. Система квантовых точек в 2D электронном газе в гетеропереходе AlGaAs-GaAs. 2DEG — двумерный электронный газ; РММА — фоторезист. Электростатический потенциал металлического затвора управляет поверхностной концентрацией электронов [9]

управлять поверхностной концентрацией электронов. При уменьшении концентрации образуются анти

точки, а при увеличении точки. Если волновые функции соседних

точек перекрываются, то электронный спектр приобретает зонный характер. Поместив такую поверхностную решетку в магнитное поле, можно наблюдать интересные эффекты магнитного квантования блоховских электронов.

Квантовые точки могут образоваться на поверхности полупроводника и самопроизвольно — благодаря естественному свойству материала образовывать отдельные «островки» в процессе роста. При достижении определенной толщины напыляемый слой распадается на отдельные квантовые точки. Так образуются, напри

мер, квантовые точки InxGa!_xAs на поверхности GaAs [10]. Форма отдельных точек зависит от концентрации атомов индия в твердом растворе. Методом туннельной микроскопии удается установить, что образующиеся точки имеют форму правильной пирамиды с шириной основания 12 нм и высотой порядка 5 нм. При х=1 пирамидальная форма точек InAs наиболее ярко выражена. При использовании ряда технологических приемов можно добиться того, чтобы отдельные точки проявляли тенденцию к группировке в двумерную поверхностную решетку с квадратной элементарной ячейкой. Период такой квазирешетки составляет примерно 20—30 нм [10].

Энергетический спектр электронов, находящихся в квантовых точках, полностью дискретный. В отдельной точке может нахо

диться один или несколько электронов — тогда это аналоги многоэлектронных атомов. Подобные системы квантовых точек перспективны в плане создания новых оптических приборов.

В физике и технологии низкоразмерных квантовых структур весьма перспективно использование техники атомной силовой микроскопии. Эта техника позволяет манипулировать отдельными атомами и создавать на поверхности кристаллов совершенно новые микроскопические образования. Возможно, в данной области нас ждут принципиально новые открытия.

1.2

Квантовая механика простейших структур

Прямоугольная яма

Ниже рассматриваются простейшие квантовые модели, обычно используемые для описания электронных состояний в реальных структурах. Приведены решения уравнения Шредингера для квантовых ям, нитей, точек, двумерных каналов и т.д., а также найдем волновые функции и спектры в некоторых квантовых структурах, помещенных в магнитное поле. Уравнение Шредингера рассматривается в простейшем приближении эффективной массы (см. разд. 2.1), в котором электронный спектр определяется единственным параметром т.

В квантовой механике известен ряд одномерных потенциалов LH^, для которых существуют аналитические решения стационарного уравнения Шредингера. В качестве первого примера рассмотрим простейшую модель полупроводниковой структуры — прямоугольную квантовую яму. Для нее уравнение Шредингера запишем в виде

--—--^+^(х) у=еу,(I O

2m dxz

где потенциальная энергия определяется выражением

^(х)=^(х)=-и»,о,-и»,о,х < L/2;х > Ц1.х < L/2;х > Ц1.(1.2)(1.2)

^(х)=

^(х)=

-и»,

о,

-и»,

о,

х < L/2;

х > Ц1.

х < L/2;

х > Ц1.

(1.2)

(1.2)

Здесь т — эффективная масса; й — постоянная Планка; е — энергия. Очевидно, что при е<0 спектр будет дискретным, а при е>0 — непрерывным и двукратно вырожденным. Поскольку потенциал (1.2) симметричен по отношению к замене х-^-х , собственные функции (1.1) будут либо четными, либо нечетными.

Из (1.1) следует, что при е<0 собственные функции четного и нечетного состояний внутри ямы имеют вид

cosk„x, sin£„x,cosk„x, sin£„x,(1.3)(1.3)где £л=^2т(^0-|ел| )/й2где £л=^2т(^0-|ел| )/й2, а при х^±оо они экспонециально об, а при х^±оо они экспонециально об

cosk„x, sin£„x,

cosk„x, sin£„x,

(1.3)

(1.3)

где £л=^2т(^0-|ел| )/й2

где £л=^2т(^0-|ел| )/й2

, а при х^±оо они экспонециально об

, а при х^±оо они экспонециально об

ращаются в нуль:

(1.4)(1.4)V„(x)-e±N”x,

(1.4)

(1.4)

где N„ =^2аи|ел|/й2 определяет скорость убывания волновой функции (знаки «—» и «+» в показателе экспоненты относятся соответственно к областям х>0 и х<0). По мере увеличения энер

гии е„ четные и нечетные состояния чередуются, причем основное состояние всегда четное. Это иллюстрирует рис. 1.6.

Рис. 1.6. Волновые функции и уровни энергии в прямоугольной квантовой ямеРис. 1.6. Волновые функции и уровни энергии в прямоугольной квантовой ямеСобственные значения ел находятся из трансцендентного уравнения, которое следует из условий непрерывности волновой функции и ее производной в

Рис. 1.6. Волновые функции и уровни энергии в прямоугольной квантовой яме

Рис. 1.6. Волновые функции и уровни энергии в прямоугольной квантовой яме

точках х^+L/l. Можно показать, что общее число дискретных уров

ней в яме (четных и нечетных) определяется условием

(итах !)<T^A^W^^max- (I-5)

Если параметры ямы изменяются, то новый дискретный уровень с номером nmax +1 появляется при знаке равенства в правой части (1.5).

Приведем аналитические выражения для нормированных волновых функций и спектра в случае, когда выполнено неравенство 2mU0i?/(л2й2)»1 и яму можно считать бесконечно глубокой, а также для мелкой ямы, где выполнено обратное неравенство 2т(/0£2/(л2й)«1.

В бесконечно глубокой яме при |xj < L/2 имеем

а энергия, отсчитываемая от дна ямы, есть

В мелкой яме имеется только одно (четное) решение, отвечающее дискретному уровню Ej, причем его величина оказывается много меньше глубины ямы:

(1.8)

Соответствующая волновая функция почти постоянна внутри ямы и экспоненциально убывает вне ее:

(1.9)(1.9)V; (х) = Q.mEx / й2 )!/4 exp(±Ngx)

(1.9)

(1.9)

(знаки «-» и «+» относятся соответственно к областям х>0 и х<0).

Приведем один численный пример: в яме шириной L=106 см, образованной в структуре AlGaAs-GaAs-AlGaAs, где m=O,O67mo, энергия нижнего уровня в приближении бесконечно глубокой ямы (1.8) равна 56 мэВ. Поскольку эта величина значительно меньше 0,3 эВ (см. разд. 2.1), то приближение бесконечно глубокой ямы можно считать оправданным.

Треугольная яма

В физике микроструктур также часто рассматривается модель треугольной ямы. Будем считать, что в области х>0 электрон движется в однородном электрическом поле, а в начале координат (х=0) находится бесконечно высокая отражающаяся стенка, т.е.

(1.Ю)

где е<0 — заряд электрона; Е — напряженность электрического поля. Стационарное уравнение Шредингера в поле (1.10)

< ^2'

(1.11)(1.11)^+еЕх t|/„(x)=e„t|/„(x)

(1.11)

(1.11)

имеет два независимых решения. Решением, которое удовлетворяет граничному условию t|/(oo) =0, является функция Эйри

у(х) = СЛ/ —х,(1.12)

где С — нормировочная константа. Закон квантования энергии находится из условия

Корни функции Эйри а* (Л=1,2,...) определяют дискретные уровни энергии в треугольной яме

Ifll^l1тIfll^l1т\1/зал+1 («=0,1,...).\1/зал+1 («=0,1,...).(1.14)(1.14)

Ifll^l

1т

Ifll^l

1т

\1/з

ал+1 («=0,1,...).

\1/з

ал+1 («=0,1,...).

(1.14)

(1.14)

Рис. 1.7. Квантовые состояния в треугольной квантовой ямеРис. 1.7. Квантовые состояния в треугольной квантовой ямеВ частности, энергия основного состояния равна (а! = 2,34)В частности, энергия основного состояния равна (а! = 2,34)Eq = 1,86Eq = 1,86|ер Е2кт|ер Е2кт. (1.15). (1.15)На рис. 1.7 можно видеть собственные функции, отвечающие пяти низшим уровням энергии. При больших п для расчета волновых функций и спектра можно воспользоваться квазиклассическим приближением, которое для уровней энергии треугольной ямы дает следующую асимптотическую формулу:На рис. 1.7 можно видеть собственные функции, отвечающие пяти низшим уровням энергии. При больших п для расчета волновых функций и спектра можно воспользоваться квазиклассическим приближением, которое для уровней энергии треугольной ямы дает следующую асимптотическую формулу:

Рис. 1.7. Квантовые состояния в треугольной квантовой яме

Рис. 1.7. Квантовые состояния в треугольной квантовой яме

В частности, энергия основного состояния равна (а! = 2,34)

В частности, энергия основного состояния равна (а! = 2,34)

Eq = 1,86

Eq = 1,86

|ер Е2кт

|ер Е2кт

. (1.15)

. (1.15)

На рис. 1.7 можно видеть собственные функции, отвечающие пяти низшим уровням энергии. При больших п для расчета волновых функций и спектра можно воспользоваться квазиклассическим приближением, которое для уровней энергии треугольной ямы дает следующую асимптотическую формулу:

На рис. 1.7 можно видеть собственные функции, отвечающие пяти низшим уровням энергии. При больших п для расчета волновых функций и спектра можно воспользоваться квазиклассическим приближением, которое для уровней энергии треугольной ямы дает следующую асимптотическую формулу:

£п =£п =г.2 П1т 'г.2 П1т 'Зя|е|ЕГ 3)f/32 Г + 4Зя|е|ЕГ 3)f/32 Г + 4(1.16)(1.16)

£п =

£п =

г.2 П

1т '

г.2 П

1т '

Зя|е|ЕГ 3)f/3

2 Г + 4

Зя|е|ЕГ 3)f/3

2 Г + 4

(1.16)

(1.16)

Квантовые состояния в нитях и точках

В квантовой нити движение электрона ограничено в двух направлениях и свободно в третьем направлении. Поэтому волновую функцию, удовлетворяющую уравнению Шредингера

й22тй22т/д2 Л

й2

2т

й2

2т

(1.17)(1.17)-^5-+-^-+-^- Ч' + 1/(х,у)Ч' = £Ф , Эх2 Эу2 Э?

(1.17)

(1.17)

здесь можно искать в виде

'₽(x,y,z) ='₽(x,y,z) =ехр(/ргг/й)у(х,у)ехр(/ргг/й)у(х,у)(1.18)(1.18)

'₽(x,y,z) =

'₽(x,y,z) =

ехр(/ргг/й)у(х,у)

ехр(/ргг/й)у(х,у)

(1.18)

(1.18)

Найдем полное решение задачи, предположив, что потенциальная энергия имеет цилиндрическую симметрию (/=(/(р). Она равна нулю прир<р0 и бесконечности при р>р0. Решением такой задачи является функция [11]

_ 1'Vm.n.p-. an ■Po L_ 1'Vm.n.p-. an ■Po Lмлмл—V-W-M exp(z<p)expf^- PoJ J V—V-W-M exp(z<p)expf^- PoJ J V,(1.19),(1.19)

_ 1

'Vm.n.p-. an ■

Po L

_ 1

'Vm.n.p-. an ■

Po L

мл

мл

—V-W-M exp(z<p)expf^- PoJ J V

—V-W-M exp(z<p)expf^- PoJ J V

,(1.19)

,(1.19)

где Jm — функция Бесселя m-ro порядка; jm n — ее и-й корень. Спектр собственных значений энергии в данной цилиндрической квантовой яме определяется выражением

^т^Рг,^т^Рг,^ Jm,n । Pt2mp02 Im"^ Jm,n । Pt2mp02 Im"(1.20)(1.20)

^т^Рг,

^т^Рг,

^ Jm,n । Pt

2mp02 Im"

^ Jm,n । Pt

2mp02 Im"

(1.20)

(1.20)

В квантовой точке движение электронов ограничено в трех направлениях. Это означает, что спектр будет чисто дискретным и, если потенциал обладает той или иной симметрией, вырожденным. Для описания состояний электронов в квантовых точках использовались различные модельные потенциалы — от простейшего потенциала трехмерной параболической ямы до трехмерной ямы, имеющей форму пирамиды. В последнем случае для расчета квантовых состояний необходимо использовать численные методы [12].

Двойная квантовая яма

Далее уместно рассмотреть квантовые состояния в двух близко расположенных ямах (рис. 1.8). Эта модель неоднократно обсуждалась как в теоретических, так и в экспериментальных работах. Высота ф) и ширина барьера, разделяющего ямы, таковы, что волновые функции могут перекрываться, и, следовательно, между ямами возможны туннельные переходы.

t

Рис.1.8. Потенциальный профиль двойной квантовой ямыво внешнем электрическом поле

Обсудим сначала характер энергетического спектра двойной ямы. При нулевой разности потенциалов, когда обе симметричные ямы имеют общий электрохимический потенциал, энергетические уровни, как известно, располагаются парами, причем расстояние между ними определяется прозрачностью барьера. Положение каждой пары приблизительно соответствует энергетическим уровням отдельной ямы. С ростом разности потенциалов между ямами все энергетические уровни понижаются, что иллюстрирует рис. 1.9 (положение дна левой ямы считается неизменным).

Как следует из рис. 1.9, скорость понижения уровней немонотонно зависит от разности потенциалов еИ: при приближении уровня Еп^ к Еп эти уровни начинают «отталкиваться», причем скорость понижения Еп+1 уменьшается. Стационарные волновые функции изменяются при этом следующим образом: с понижением уровня число осцилляций функции ф в левой яме уменьшается, а в правой — увеличивается. В частности, когда второй и третий уровни максимально сближаются, функция основного состояния ф[ локализована в основном в правой яме, что видно на рис. 1.10. Функции ф2 и Уз не имеют нулей в левой яме, осциллируют с одинаковым периодом, причем в каждой точке имеют противоположные знаки (численный анализ показал, что аналогично ведет себя любая пара функций ф„ и фл+] всякий раз, когда соответствующие уровни сближаются).

Рис. 1.9. Энергетический спектр двойной квантовой ямы при различных значениях разности потенциаловРис. 1.9. Энергетический спектр двойной квантовой ямы при различных значениях разности потенциалов

Рис. 1.9. Энергетический спектр двойной квантовой ямы при различных значениях разности потенциалов

Рис. 1.9. Энергетический спектр двойной квантовой ямы при различных значениях разности потенциалов

В [13] было проведено численное моделирование динамики квантовых состояний двойной ямы. Предполагалось, что между ямами имеется разность потенциалов, причем напряжение падает в основном на разделяющем ямы барьере. Обсудим эволюцию начальных состояний в двойной яме. Пусть при t=0 электрон находился в левой яме и его волновая функция имела вид

у(х,0) = 5/2/1 sinnx/Z, (1.21)

а в правой яме была равна нулю (£ — ширина ямы). Когда при определенном значении разности потенциалов второй и третий уровни совпадут, обе функции у2 и Уз в левой яме будут по форме близки к (1.21), а в правой — иметь различные знаки (см. рис. 1.10, б). Если пренебречь всеми остальными состояниями, то решение нестационарной задачи можно записать, как

у(х,О = [у2ехр(-/£27/7О+Узехр(-г£з7/й)]. (122)

Вычисляя плотность вероятности |\|/(х,0|2, нетрудно убедиться, что электрон будет осциллировать, переходя из одной ямы в другую с частотой, равной (Е3 -E^/h. В то же время при произвольном значении разности потенциалов вклад в разложение (1.22) дают все состояния, и электрон не может полностью перейти из начального состояния типа (1.21) в соседнюю яму.

Рис. I.10. Волновые функции трех квантовых состояний в двойной потенциальнойяме: а — разность потенциалов равна нулю; б — разность потенциалов соответст-

вует максимальному сближению уровней Е2 и £3

Двойная яма, разделенная ни унциальным барьером, мижег рассматриваться как простейший электронный прибор [14] — диод. Действительно, при изменении разности потенциалов туннельный ток в такой структуре будет возрастать всякий раз, когда заселенные уровни одной ямы располагаются против незаселенных уровней другой ямы. В результате вольт-амперная характеристика такого диода будет представлять собой ряд пиков, на каждом из которых находится участок отрицательного дифференциального сопротивления.

Двумерный канал (микросужение)

Рассмотрим движение частицы в узком двумерном канале, расположенном на плоскости х,у. Пусть этот канал имеет конечную ширину по у: на линиях у = ±L(x)/2 находятся жесткие отражающие стенки. Тогда движение по оси у будет квантовано. Для собственных функций и спектра в канале постоянной ширины имеем простые выражения

^р.п^У^^р.п^У^(1.23)(1.23)

^р.п^У^

^р.п^У^

(1.23)

(1.23)

(1.24)(1.24)_2 —2^2 2’ — Рх ПНИр^ 2т 2mL2

(1.24)

(1.24)

Наша основная задача состоит в том, чтобы найти решение в ка-нале с переменной шириной. Это удается сделать, если ширина кана-24

ла Дх) изменяется медленно на масштабе порядка электронной длины волны и, следовательно, можно воспользоваться так называемым адиабатическим приближением. Последнее может быть использовано, если в рассматриваемой квантовой системе удается выделить две подсистемы — «быструю» и «медленную» (см., например, [11]). Характерная частота «быстрой» подсистемы должна быть много больше характерной частоты «медленной» подсистемы. В нашей задаче в роли «быстрой» подсистемы выступает движение вдоль оси у, а в роли «медленной» — движение по оси х.

В уравнении Шредингера, описывающем движение частицы в канале с плавно изменяющейся шириной, можно провести адиабатическое разделение переменных [15]. Решение двумерной граничной задачи

с граничными условиямис граничными условиямиЛТ=£Ч'2mЛТ=£Ч'2mТ у = ±-Т у = ±-ЦхУ2ЦхУ2=0=0(1.25)(1.26)(1.25)(1.26)

с граничными условиями

с граничными условиями

ЛТ=£Ч'2m

ЛТ=£Ч'2m

Т у = ±-

Т у = ±-

ЦхУ

2

ЦхУ

2

=0

=0

(1.25)

(1.26)

(1.25)

(1.26)

представляется в виде

Т=у(х)Фх(у).

Здесь функция Фх(у) зависит от х как параметра и обеспечивает выполнение граничных условий (1.26):

ФхООФхОО2Цх)2Цх)sin{jm [у+Цх) / 2рЦх)Уsin{jm [у+Цх) / 2рЦх)У(1.27)(1.27)

ФхОО

ФхОО

2Цх)

2Цх)

sin{jm [у+Цх) / 2рЦх)У

sin{jm [у+Цх) / 2рЦх)У

(1.27)

(1.27)

Движение вдоль оси х происходит при эффективном потенциале

(1.28)(1.28)en(x) = 7t2A2n2/[2mZ?(x)],

(1.28)

(1.28)

который характеризует взаимодействие «медленной» подсистемы с «быстрой». Уравнение для функции ц/(х) есть

(1.29)(1.29)й2 d1^. . г

(1.29)

(1.29)

-f+ей(х)у=£у.

2m dx

В точке х, где канал наиболее узкий, потенциал еп(х) максимален. Тогда из (1.29) следует, что через канал могут пройти толь-

ко те электроны, у которых энергия больше Е] в самом узком месте канала (скажем, х=0). Электроны с меньшими энергиями отразятся в обратном направлении. Если в областях, граничащих с каналом, электроны находятся в состоянии статистического равновесия и имеют максимальную энергию ef, то можно найти число мод (волновых функций) с различными п, которые могут переносить ток через канал. Из уравнения (1.29) найдем

«max^f^l^M (1-30)

где [х] означает целую часть х. Ток переносится квантовыми состояниями с п < лтах.

Поскольку мы предположили, что ширина канала плавно изменяется надлине волны (фермиевской длине к-^, ситуация является квазиклассической. В этом приближении решение (1.29), описывающее токовое состояние, есть

. X. XV PnWV PnWexp Црп(х')дхIй о .exp Црп(х')дхIй о .(1.32)(1.32)

. X

. X

V PnW

V PnW

exp Црп(х')дх

Iй о .

exp Црп(х')дх

Iй о .

(1.32)

(1.32)

где р„ (х)=^2п1[Е-гп (х)] — классический импульс. Туннельная прозрачность барьера в этом случае невелика. Полученные здесь результаты [15] будут использованы в дальнейшем при рассмотрении проводимости двумерных микроканалов.

Электронные состояния в структурах с периодически модулированной поверхностью

Задачу по определению квантовых состояний в структурах со сложной поверхностью и, следовательно, сложными граничными условиями иногда удается свести к более простой задаче. Для этого оказывается удобным перейти к новым координатам, в которых границы являются плоскими, и граничные условия достаточно простыми, но гамильтониан содержит дополнительные слагаемые, зависящие от координат. Если модуляция поверхности не слишком сильная, то эти слагаемые можно учитывать по теории возмущений.

Рассмотрим тонкую пленку с периодически модулированной поверхностью [ 16]. Пусть поверхность пленки, лежащей в плоскости х,у, задается уравнениями Zi=ii(^,y) и Z2=a+^(x,y), где 26

Рис. 1.11. Пленка переменной толщины с периодически модулированной поверхностьюРис. 1.11. Пленка переменной толщины с периодически модулированной поверхностью|^|<o/2, |ц|<а/2 (рис. 1.11). Потенциал внутри пленки равен нулю, а на ее границе обращается в бесконечность. Запишем уравнение Шредингера для электронов с изотропным квадратичным спектром и будем считать, что волновая функция на границе как до преобразования координат,

Рис. 1.11. Пленка переменной толщины с периодически модулированной поверхностью

Рис. 1.11. Пленка переменной толщины с периодически модулированной поверхностью

так и после обращается в нуль. В этом случае преобразование котак и после обращается в нуль. В этом случае преобразование координат, выпрямляющее границы, имеет вид

так и после обращается в нуль. В этом случае преобразование ко

так и после обращается в нуль. В этом случае преобразование ко

х->х, у-» у, z->Xz+n; Х = 1+ц, ц = (^-Л)/а,

8гк = ЧуЧх8гк = ЧуЧхЧхЧу Мх 1 + 0, Му Му ^ ,ЧхЧу Мх 1 + 0, Му Му ^ ,(1.33)(1.33)а метрический тензор

8гк = ЧуЧх

8гк = ЧуЧх

ЧхЧу Мх 1 + 0, Му Му ^ ,

ЧхЧу Мх 1 + 0, Му Му ^ ,

(1.33)

(1.33)

где = Хг+ц; 7F=X. Преобразованное уравнение будет иметь вид [16]

А2 1 ЭА2 1 Э2m ^ BXj2m ^ BXj>[ggik^-*U(.T> = Exydxk>[ggik^-*U(.T> = Exydxk(1.34)(1.34)

А2 1 Э

А2 1 Э

2m ^ BXj

2m ^ BXj

>[ggik^-*U(.T> = Exydxk

>[ggik^-*U(.T> = Exydxk

(1.34)

(1.34)

а условие нормировки сведется к

SdV4iVi^j=bij.SdV4iVi^j=bij.(1.35)(1.35)

SdV4iVi^j=bij.

SdV4iVi^j=bij.

(1.35)

(1.35)

В дальнейшем будем предполагать, что поверхность промоду- лирована только вдоль оси х с периодом L. Поскольку гамильтониан коммутирует с оператором трансляций вдоль оси х, справедлива теорема Блоха.

Ограничиваясь в (1.34) членами не выше первого порядка по Vo и ц/о , получим уравнение Шредингера в виде [А2 /(2т)]Ду+ +Ир=Е\у, где роль возмущающего потенциала играет функция

А22mА22mЭ2 _ Э2 )дЭх2 ^dx2dzЭ2 _ Э2 )дЭх2 ^dx2dz1 (э2э2) _ э2--2ц—у2^ ЭхЭх J Эг1 (э2э2) _ э2--2ц—у2^ ЭхЭх J Эг(1.36)(1.36)

А2

2m

А2

2m

Э2 _ Э2 )д

Эх2 ^dx2dz

Э2 _ Э2 )д

Эх2 ^dx2dz

1 (э2э2) _ э2

--2ц—у

2^ ЭхЭх J Эг

1 (э2э2) _ э2

--2ц—у

2^ ЭхЭх J Эг

(1.36)

(1.36)

При этом волновую функцию можно искать в виде Vtx^exp^.y}, а полную энергию как сумму: Е' = Е+А2^ /(2m).

Рассчитаем зонную структуру в приближении слабой связи, рассматривая «потенциал» V как возмущение. Это приближение справедливо для участка спектра, где энергия велика по сравнению с матричными элементами оператора возмущения. Невозмущенные функции для пленки возьмем в виде

(1.37)(1.37)1 „ ... х . ляг=-^exp(ikxx). — sin—,V7 Na о

(1.37)

(1.37)

где / — размеры кристалла в направлении х.

При наличии периодического возмущения снимается вырождение состояний, квазиимпульс которых отличается на Inks/L (s = 0, ±1, ±2, ...). Невозмущенный спектр в схеме приведенных зон изображен штриховыми линиями на рис. 1.12. Точки вырождения, соответствующие пересечению штриховых линий, определяются квантовыми числами, задающими номер подзон квантования п и п', и разностью между импульсами в схеме расширенных зон 5, измеренной в векторах обратной решетки. Величина расщепления Д^. в указанных точках определяется матричными элементами оператора возмущения (1.36) на функциях (1.37)

-д$ии, =-д$ии, =(1.38)(1.38)S^^s Ч-1)й+”'W-3„a+2p5e^,та

-д$ии, =

-д$ии, =

(1.38)

(1.38)

е„ = л2А2л2/(2то2),

где ^,т|5, ц, — фурье-гармоники соответствующих функций ^(х), r/x), ц(х). Например, для матричного элемента функции ц(х) имеем

JQ.JQ.н!

JQ.

JQ.

Выражение (1.38) при п = п' определяет расщепление на границе и в центре зоны Бриллюэна. Оно обусловлено слагаемым -(A2/m)n(x)d2/dz2 в операторе возмущения и имеет, согласно (1.38), порядок епН/а ,гдеН- амплитуда модуляции толщины. С

увеличением номера подзоны размерного квантования величина запрещенной зоны

2 растет пропорционально л .

В заключение приведем некоторые численные оценки. Положим т = 0,0 Izmq , толщину пленки о = 100 А, период модуляции L = 1000 А и амплитуду модуляции толщины Я = 10 А Тогда величина первой энергетической щели на границе зоны будет равна примерно 10-2эВ, а внутри зоны — около 10"3эВ.

Рис. 1.12. Энергетический спектр электронов в пленке с периодически модулированной поверхностьюРис. 1.12. Энергетический спектр электронов в пленке с периодически модулированной поверхностьюКвантовые структуры в магнитном поле

Рис. 1.12. Энергетический спектр электронов в пленке с периодически модулированной поверхностью

Рис. 1.12. Энергетический спектр электронов в пленке с периодически модулированной поверхностью

(1.39)(1.39)Прежде всего сосредоточим свое внимание на решении задачи о движении заряженной частицы в однородном и не изменяющемся во времени магнитном поле в отсутствие скалярного потенциала. Оператор Гамильтона этой задачи, как известно, имеет вид

(1.39)

(1.39)

где е — заряд электрона; с — скорость света; А — векторный потенциал.

Будем работать в калибровке Ландау, когда магнитное поле, направленное по оси г, описывается векторным потенциалом вида А (0, хН, 0). В этом случае двумерное уравнение Шредингера можно представить в форме

12т12т.2 Г- еН ' Рх+\Ру- — ХV С.2 Г- еН ' Рх+\Ру- — ХV С22у(х,у) = £у(х,у).у(х,у) = £у(х,у).(1.40)(1.40)

12т

12т

.2 Г- еН ' Рх+\Ру- — Х

V С

.2 Г- еН ' Рх+\Ру- — Х

V С

2

2

у(х,у) = £у(х,у).

у(х,у) = £у(х,у).

(1.40)

(1.40)

Поскольку гамильтониан (1.39) не зависит от координаты у, компонента ру является интегралом движения и, следовательно, решение (1.40) можно записать как

(1.41)(1.41)vU, у^="тггехР 1 * № (* - ^) •

(1.41)

(1.41)

Калибровка Ландау удобна тем, что в ней функция фл(х-х0) удовлетворяет уравнению гармонического осциллятора и ее можно записать как

Фй = Л„ехр -Фй = Л„ехр -(х-х0)2)2/| /(х-х0)2)2/| /Я»Я»Х-Хр1нХ-Хр1н(1.42)(1.42)

Фй = Л„ехр -

Фй = Л„ехр -

(х-х0)2)2/| /

(х-х0)2)2/| /

Я»

Я»

Х-Хр

1н

Х-Хр

1н

(1.42)

(1.42)

где Ап = \Цт1п\'Гк1н — нормировочная константа; Нп(х) — полином Эрмита; lH =^ch/(eH) — магнитная длина. Заметим, что магнитная длина, определяющая пространственный масштаб задачи, не зависит от параметров материала. Координата центра волновой функции пропорциональна проекции импульса ру; Хр = сру ЦеН).

Спектр собственных значений двумерного уравнения Шредингера (1.40) тот же, что и спектр гармонического осциллятора:

Еп =йсос(л+1/2), п=0,1,2...(1-43)

причем роль частоты осциллятора играет циклотронная частота (йс = еН/(тс). Дискретные уровни (1.43), очевидно, являются вырожденными, поскольку энергия не зависит от квантового числа ру. Подсчитаем кратность вырождения или число электронов, которые могут разместиться на одном уровне Ландау.

Пусть электроны на плоскости (х,у) занимают прямоугольный участок с размерами Lx,Ly. Центр волновой функции должен лежать в интервале 0<x0<Lx. Это значит, что ру изменяется в пределах 0< ру < LxeH/с. По оси у должны выполняться циклические граничные условия, в силу которых ру может принимать только определенные значения, а именно (21^/^ )s, где s — целое число. Учитывая интервал изменения ру, найдем число состояний на уровне Ландау: LxLyIQ-kIh^ или в расчете на единицу площади

(1.44)(1.44)Np^^Y

(1.44)

(1.44)

Кратность вырождения магнитного уровня (без учета спинового вырождения) можно представить и в другом удобном виде:

^ = 1см2Я/ф0, (1-45)

где ф0 = ch/e — квант магнитного потока. Последнее выражение означает, что кратность вырождения равна числу квантов магнитного потока через единицу площади.

В гамильтониане (1.39) не было учтено взаимодействие собственного магнитного момента электрона с внешним магнитным полем. Поэтому нужно иметь в виду, что состояния, определяемые (1.42) и (1.43), двукратно вырождены по спину. Чтобы учесть собственный магнитный момент, нужно к гамильтониану (1.39) прибавить выражение

-цН = -цд#Яог(1.46)

(магнитное поле направлено по оси Oz). Здесь ц5 — магнетон Бора; g — фактор спинового расщепления; az — матрица Паули. В отсутствие спин-орбитального взаимодействия волновая функция есть произведение координатной и спиновой частей:

'Упр^ =4ехр'Упр^ =4ехр-(Х-Хр)2Ин .-(Х-Хр)2Ин .н„н„х-х01Нх-х01НО ’О ’(1.47)(1.47)

'Упр^ =4ехр

'Упр^ =4ехр

-(Х-Хр)2

Ин .

-(Х-Хр)2

Ин .

н„

н„

х-х01Н

х-х01Н

О ’

О ’

(1.47)

(1.47)

а для спектра имеем выражение

£п<Зг = Шс(п*1/2)+алвН.£п<Зг = Шс(п*1/2)+алвН.(1.48)(1.48)

£п<Зг = Шс(п*1/2)+алвН.

£п<Зг = Шс(п*1/2)+алвН.

(1.48)

(1.48)

Сосредоточим теперь внимание на поведении электронов вблизи границы образца. Будем считать, что кроме магнитного поля на электрон действует еще потенциал U(x). Ради простоты, можно, например, считать, что на линиях x=0,Lx находятся бесконечно высокие отражающие стенки (рис. 1.13). Разумеется, граница существенно влияет на квантовое состояние лишь в том случае, если центр волновой функции удален от нее на расстояние, не превышающее циклотронный радиус, т.е. Lx -хр = Rc. Решение уравнения Шредингера для таких поверхностных состояний можно искать в виде

^„.р, =cexp(ipyy/^gn(x-Xp,Lx-Xo),(1.49)

Рис. 1.13. Уровни энергии 2D электронов в перпендикулярном магнитном поле. Движении по оси Xq ограничено жесткими стенками. В верхней части рисунка показаны классические «скачущие» траекторииРис. 1.13. Уровни энергии 2D электронов в перпендикулярном магнитном поле. Движении по оси Xq ограничено жесткими стенками. В верхней части рисунка показаны классические «скачущие» траекториигде gn — функция, по- прежнему имеющая п узлов и сосредоточенная вблизи границы. При наличии границы вырождение по Ру снимается и энергия зависит от двух квантовых чисел — п и ру. Если центр волновой функции лежит далеко от границы, то уровни энергии такие же, как в объеме. При приближении Ху к границе энергия Ем будет монотонно увеличиваться и при Ху = Lx станет равной Епр> =h(oc(2n+3/2). Затем при дальнейшем

Рис. 1.13. Уровни энергии 2D электронов в перпендикулярном магнитном поле. Движении по оси Xq ограничено жесткими стенками. В верхней части рисунка показаны классические «скачущие» траектории

Рис. 1.13. Уровни энергии 2D электронов в перпендикулярном магнитном поле. Движении по оси Xq ограничено жесткими стенками. В верхней части рисунка показаны классические «скачущие» траектории

(Zx-x0)2(Zx-x0)2еЧР 2/ис2еЧР 2/ис2Точно так же будет вести себя энергия при приТочно так же будет вести себя энергия при приувеличении х0 она будет увеличиваться примерно по закону

(Zx-x0)2

(Zx-x0)2

еЧР 2/ис2

еЧР 2/ис2

Точно так же будет вести себя энергия при при

Точно так же будет вести себя энергия при при

ближении Ху к противоположной границе: ху=0. Зависимость

энергии электрона от ру или Ху схематически показана на рис. 1.13, б).

Необходимо отметить еще одно важное свойство поверхностных состояний. Зависимость их энергии Епр от ру говорит о том, что они переносят ток даже в отсутствие электрического поля. Этот ток, направленный вдоль оси у, можно вычислить по формуле iy = eVy, где

v ===(1.50)

у Эру Эх0 дру еН дх0'

На противоположной границе ток будет направлен в другую сторону.

Существует классический аналог квантовых поверхностных состояний. Это заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле вблизи жесткой стенки. Траектории таких частиц (их называют скачущими) состоят из дуг окружностей (см. рис. 1.13, s). Многократно отражаясь от стенок, они перемещаются вдоль границы, создавая электрический ток, направленный на противоположных границах в разные стороны.

Необходимо отметить, что поверхностные состояния играют важную роль в ряде физических эффектов — они определяют диамагнетизм, холловскую проводимость и т.д. Впервые рассмотренные нами магнитные поверхностные состояния были экспериментально обнаружены М.С. Хайкиным [17].

В заключение настоящего раздела рассмотрим еще одну модель — квантовые точки в магнитном поле. Будем считать, что внутри квантовой точки имеется двумерный параболический потенциал

2№у)=-^(х2+у2),2№у)=-^(х2+у2),(1.51)(1.51)

2№у)=-^(х2+у2),

2№у)=-^(х2+у2),

(1.51)

(1.51)

а движение по оси г ограничено, и частица всегда находится на основном уровне размерного квантования. Магнитное поле, ориентированное по оси г, здесь удобно описать, воспользовавшись симметричной калибровкой векторного потенциала:

^-Ну(2, Их/2, 0).^-Ну(2, Их/2, 0).(1.52)(1.52)

^-Ну(2, Их/2, 0).

^-Ну(2, Их/2, 0).

(1.52)

(1.52)

В такой калибровке удобно перейти к цилиндрическим координатам и записать уравнение Шредингера в следующем виде

й2 Г1 Э Э 1 Э2 , еН ;—т— р——I—5т^——Л2т I р Эр Эр р2 Э<р2 chй2 Г1 Э Э 1 Э2 , еН ;—т— р——I—5т^——Л2т I р Эр Эр р2 Э<р2 chV+V+те^ е2Я22 + 8т<?те^ е2Я22 + 8т<?(1.53)(1.53)

й2 Г1 Э Э 1 Э2 , еН ;

—т— р——I—5т^——Л

2т I р Эр Эр р2 Э<р2 ch

й2 Г1 Э Э 1 Э2 , еН ;

—т— р——I—5т^——Л

2т I р Эр Эр р2 Э<р2 ch

V+

V+

те^ е2Я2

2 + 8т<?

те^ е2Я2

2 + 8т<?

(1.53)

(1.53)

где lt — оператор проекции момента. Благодаря коммутативности оператора Гамильтона и оператора 1г переменные в (1.53) разделяются и решение можно записать в виде

^пт<М) = С^== £^пт<М) = С^== £ехр -£- F -п,4sехр -£- F -п,4s_Р^2s2 ’_Р^2s2 ’(1.54)(1.54)

^пт<М) = С^== £

^пт<М) = С^== £

ехр -£- F -п,4s

ехр -£- F -п,4s

_Р^2s2 ’

_Р^2s2 ’

(1.54)

(1.54)

где n=0,1, 2,...; т=0, ±1, ±2,...; F — гипергеометрическая функ

ция; s=—(4G)n2+(D 2Г|/4; С — нормировочная константа. Для т

спектра имеем следующее выражение:

2 Физика квантовых33

низкоразмерных структур

Рис. 1.14. Электронный спектр Епт квантовой точки, находящейся в магнитном поле. В сильном магнитном поле уровни с фиксированным п группируются вблизи п-х уровней Ландау

Епт = й<о(2л+|т|+1)/2+й(ост/2, (1.55) где а>=(4о>2 +а>2)^2.

Зависимость уровней Епт от циклотронной частоты а>с^Н иллюстрирует рис. 1.14. Видно, что при Я-»0 формула (1.56) дает вырожденный спектр двумерного гармонического осциллятора, а в сильном поле все уровни с фиксированным квантовым числом п приближаются к уровням Ландау.

Плотность состояний

Проведем теперь расчет плотности электронных состояний в низкоразмерных структурах. Прежде всего вычислим плотность состояний 2D электронов, находящихся в одной подзоне размерного квантования. Сначала определим число состояний, у которых энергия меньше Е. Будем считать, что собственные функции — это плоские волны, нормированные на площадь образца 5:

v=^/5 ^Р^^"1"^’

(1.56)

а спектр — изотропный и квадратичный:

(1.57)(1.57)Е-Еп = ргК1т\

(1.57)

(1.57)

Воспользовавшись циклическими граничными условиями для функций (1.56) ц/(х,у)=у(х+£х,у) и у(х,у)=у(х,у+£,,), определим разрешенные значения компонент проекций импульса

2лй 2лй~

рх =-}—«1, Ру =-}—«2 » гДе «1 и «2 — целые числа. Тогда площадь

в пространстве рх,ру, приходящаяся на одно состояние, будет равна

(2тгй)2/4^=(2лй)2/5,(1-58)

Все состояния с энергией меньше Е лежат внутри круга радиуса p=^2m(E-E„). Разделив площадь этого круга на площадь, приходящуюся на одно состояние [(см. (1.58)], найдем полное число состояний с энергией меньше Е:

№)=№)=itp^S(2лй)2itp^S(2лй)2mS(E~En)лй2mS(E~En)лй2

№)=

№)=

itp^S(2лй)2

itp^S(2лй)2

mS(E~En)лй2

mS(E~En)лй2

Здесь мы учли, что каждое состояние двукратно вырождено по спину. Плотность состояний, определяемую как число состояний на единичный интервал энергии и на единицу площади, определим как

p(E^^^=-^(E-En),(1.59)

о аЕ ixh

где функция ^Е-Еп) равна 1 и 0 соответственно при Е>Е„ и Е<Еп. Видно, что полученная двумерная плотность состояний является константой для всех энергий, превышающих Е„. Полная плотность состояний нескольких подзон — это ступенчатая функция энергии. Ступени находятся в точках Е=Е„; при больших энергиях р(£) стремится к плотности состояний 3D электронов (рис. 1.15, а), которая, как известно, пропорциональна 4Ё.

Рис. 1.15. Плотность состояний: а — 2D электронов (заполнены состояния с энергией меньше £f в двух подзонах размерного квантования, плотность состояний 3D электронов показана штриховыми линиями); б — 1D электронов; в— 2D электронов в квантующем магнитном полеРис. 1.15. Плотность состояний: а — 2D электронов (заполнены состояния с энергией меньше £f в двух подзонах размерного квантования, плотность состояний 3D электронов показана штриховыми линиями); б — 1D электронов; в— 2D электронов в квантующем магнитном поле^(/>а=2^(/>а=22nh/Lz '2nh/Lz '(1.60)(1.60)dE Lz тЦЕ-ЕптdE Lz тЦЕ-Ептплотности состояний в двумерном электронном газе, находящемся в квантующем магнитном поле. Поскольку спектр в этой систеплотности состояний в двумерном электронном газе, находящемся в квантующем магнитном поле. Поскольку спектр в этой систе

Рис. 1.15. Плотность состояний: а — 2D электронов (заполнены состояния с энергией меньше £f в двух подзонах размерного квантования, плотность состояний 3D электронов показана штриховыми линиями); б — 1D электронов; в— 2D электронов в квантующем магнитном поле

Рис. 1.15. Плотность состояний: а — 2D электронов (заполнены состояния с энергией меньше £f в двух подзонах размерного квантования, плотность состояний 3D электронов показана штриховыми линиями); б — 1D электронов; в— 2D электронов в квантующем магнитном поле

^(/>а=2

^(/>а=2

2nh/Lz '

2nh/Lz '

(1.60)

(1.60)

dE Lz тЦЕ-Епт

dE Lz тЦЕ-Епт

плотности состояний в двумерном электронном газе, находящемся в квантующем магнитном поле. Поскольку спектр в этой систе

плотности состояний в двумерном электронном газе, находящемся в квантующем магнитном поле. Поскольку спектр в этой систе

Определим теперь плотность состояний в квантовой нити, где электрон свободно движется в одном направлении. Импульсное пространство здесь тоже одномерно. Полное число состояний с

импульсом, не превышающим |рг|, найдем, разделив 2рг на ин-

тервал в импульсном пространстве, приходящийся на одно квантовое состояние:

Первый множитель 2 в правой части учитывает двукратное вырождение по спину. Выражая pz в (1.60) через энергию в одномерной подзоне Епт<рг>=Елга-*г +pz/(2m), найдем полное число состояний с энергией меньше Е-.

N^-L^E-E^.

Плотность состояний (на единицу длины) определим как

Из (1.61) видно, что одномерная плотность состояний имеет особенности на нижних

границах подзон Епт и убывает с ростом Е. График зависимости плотности состояний одномерного движения приведен на рис. 1.15 Л.

Наконец, обсудим характер

ме является полностью дискретным Е„ = Шс(п+1(2^, то плотность

состояний как функция энергии представляет собой ряд 8-образных пиков. Учитывая, что кратность вырождения магнитных уровней определяется формулой (1.45), найдем множитель перед 8-функцией в выражении плотности состояний:

р(£)=^5[£-йо>с(л+1/2)]. (1.62)

График р(£) для двумерного электронного газа в квантующем магнитном поле представлен на рис. 1.15, в.

Приведенные выше выражения для одно-, дву- и нульмерной электронной плотности состояний получены без учета электронного рассеяния. В реальных образцах ступени двумерной плотности состояний, особенности одномерной плотности состояний и 8-образные особенности нульмерной плотности состояний будут частично размыты, а в грязных образцах — полностью подавлены. Дело в том, что вследствие соотношения неопределенностей для энергии и времени энергетический уровень электрона, испытывающего рассеяние, имеет конечную ширину А/тр, где тР — время жизни электрона в одном квантовом состоянии, или время релаксации импульса. Для того чтобы дискретный характер спектра и особенности плотности состояний сохранялись, необходимо выполнить следующее условие:

%+1-ел>й/хр • О-63)

Другими словами, расстояние между дискретными уровнями должно превышать уширение, определяемое соотношением неопределенностей для энергии и времени. Поскольку рассчитать время релаксации тр не просто, на практике его можно оценить, выразив через экспериментально измеренную подвижность ц, связанную с временем релаксации соотношением ц=етР/т.

Выполнение условия, подобного (1.63), необходимо также и для того, чтобы особенности плотности состояний в магнитном поле были наблюдаемыми. В последнем случае это условие записывается в форме

Ш^ >А/тр. (1.64) Заметим, что условие (1.64) совпадает по форме с классическим условием сильного магнитного поля а>стр > 1, которое означает, что за время одного оборота в магнитном поле электрон не испытает рассеяния.

Для экспериментального обнаружения различных кинетических и термодинамических эффектов квантования необходимо также, чтобы температура была не слишком высока. Это значит, что тепловой разброс энергий квТ должен быть меньше расстояния между уровнями дискретного спектра:

(1.65)(1.65)Е«+1 ^Л > кдТ ,

(1.65)

(1.65)

где кв — постоянная Больцмана. В квантующих магнитных полях последнее условие имеет вид

(1.66)(1.66)Н<йс > квТ.

(1.66)

(1.66)

Литература

Imry Y. Introduction to Mesoscopic Physics. Oxford Univ. Press, 1997.

Datta S. Electronic Transport in Mesoscopic Systems. Cambridge Univ. Press, 1995.

Physics of Low Dimensional Structures // Edited by P. Butcher, N.H.March, M.P.Tosi. New York. Plenum Press, 1993.

Beenaker C. W.J., Houten H. von. Quantum Transport in Semiconductor Nanostructures. Acad. Press. Inc. Solid State Phys. Vol. 44.1991.

Bastard G., Brum J.A., Ferreira R. Electronic States in Sermiconductorr Heterostructures. Acad Press, 1991.

Weisbush C., Vinter B. Quantum Semiconductor Structures. Acad. Press. Inc., 1991.

Bastard G. Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructures. Les Editions de Physique, 1988.

Бехштедт Ф., Андерлайн P. Поверхности и границы раздела полупроводников. М.: Мир, 1990.

Weiss D. etal. Appl. Phys. Lett. 58,2960, 1991.

RuvimovS. etal. Phys. Rev. В 51,14778,1995.

Галицкий B.M., Корнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1992.

Cusack М.А., Bridoan P.R., Jaros М. Phys. Rev. В 54, R2300, 1996; Ruvimov S., Werner P., Scheerschmidt K. et al. Phys. Rev. В 51,14776,1995.

Демиховский В.Я., Савинский C.C. ФТТ. 34, 2383, 1992.

Демиховский В.Я., Тавгер Б.А. Радиотехника и электроника. И, 1147,1966.

ГлазманЛ.И., Лесовик Г.В., Хмельницкий Д.Е., Шехтер Р.И. Письма вЖЭТФ.48,218, 1988.

Демиховский В.Я., Потапенко С.Ю., СатанинА.М. ФТП. 17,233,1983.

Хайкин М.С. ЖЭТФ. 41, 1773, 1961; Хайкин М.С. Магнитные поверхностные уровни Ц Электроны в металлах / Под ред. М.И.Каганова, В.С. Эдельмана. М.: Наука, 1985.

Глава 2

КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ В ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ

2.1

Общие сведения

Основные физические характеристики низкоразмерных структур в конечном счете определяются параметрами электронов зоны проводимости и дырок валентной зоны массивных полупроводников. В этой главе будут рассмотрены некоторые свойства электронных состояний объемных полупроводников, а также методы расчета спектров и волновых функций в низкоразмерных структурах. Однако предварительно сделаем несколько замечаний общего характера.

Известно, что полупроводниковые соединения типа А3В5, а также Ge и Si имеют алмазоподобную кристаллическую решетку, состоящую из двух кубических гранецентрированных решеток, сдвинутых относительно друг друга вдоль объемной диагонали куба на одну четвертую ее длины. Первая зона Бриллюэна таких полупроводников такая же, как у решетки гранецентрированного куба — это четырнадцати- гранник (кубооктаэдр) с шестью квадратными и восемью шестиугольными гранями (рис. 2.1). Симметричные точки и линии зоны Бриллюэна, некоторые из которых показаны на рисунке, имеют стандартное обозначение — Г, X, L, Д,Л. В каждой элементарной ячейке соединения А3В5 находится восемь электронов (три из которых от атомов сорта А и пять от атомов сорта В), принадлежащих внешним атомным оболочкам. Эти электроны формируют тетраэдрические химические связи между атомами — каждый атом А связан с четырьмя бли- 39

жайшими соседями атомами В. Энергетические зоны, в которых находятся внешние электроны, определяют электрические характеристики полупроводников. Волновые функции всех остальных электронов локализованы вблизи атомных ядер и формируют глу- боколежащие энергетические зоны.

В типичном прямозонном полупроводнике типа А3В5, например GaAs, вершина валентной зоны и минимум зоны проводимости находятся в центре зоны Бриллюэна, т.е. в точке Г (минимум зоны проводимости может находиться также в точке X, как в AlSb, или на прямой Д, как в GaP). Волновая функция в минимуме зоны проводимости прямозонного полупроводника имеет симметрию s-типа, а в максимуме валентной зоны — p-типа. В отсутствие спин-орбитального взаимодействия электронные состояния в вершине валентной зоны трехкратно вырождены. При учете спина и спин-орбитального взаимодействия характер электронных состояний изменяется следующим образом: состояния s-типа превращаются в двукратно вырожденные состояния с полным моментом J = 1/2, а состояния валентной зоны — в четырехкратно вырожденные состояния с моментом /=3/2 и двукратно вырожденные состояния с J = 1/2. Состояния квадруплета J=3/2 всегда имеют большую энергию, чем состояния дублета, из них формируются

Рис. 2.1. Первая зона Бриллюэна кубической гранецентрированной решетки

зоны легких и тяжелых дырок. Состояния дублета J = 1/2 формируют отдельную зону дырок (тоже легких), которая отщеплена от верхнего края валентной зоны за счет спин-орбитального взаимодействия.

Для расчета волновых функций и зонного энергетического спектра полупроводников и полупроводниковых структур используются хорошо известные в физике полупроводников подходы и прежде всего кр -метод и модель Кейна. Ниже кратко излагаются основные положения этих подходов. Для детального знакомства необходимо обратиться к специальной литературе по физике полупроводников.

2.2

Приближение эффективной массы и кр-метод

Общие замечания

Для описания электронных состояний как в объемных полупроводниках, так и в низкоразмерных полупроводниковых структурах, часто используются приближение эффективной массы и модель Кейна. Ниже с помощью этих приближений будут получены уравнения для огибающей волновой функции и соответствующие граничные условия на гетерогранице.

В отличие от металлов концентрации носителей тока (электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне) в полупроводниках много меньше концентрации атомов, поэтому они заполняют только небольшую часть состояний в зоне Бриллюэна. Напомним, что число состояний в зоне Бриллюэна равно удвоенному числу элементарных ячеек в кристалле, а элементарная ячейка таких полупроводников, как Ge, Si, GaAs, содержит два атома. Характерная ширина разрешенной зоны в полупроводниках — порядка 1 эВ, что значительно превосходит тепловую энергию (при комнатной температуре квТ* 0,026 эВ, где кв — постоянная Больцмана; Т — температура). Поэтому электроны заполняют в зоне проводимости полупроводника состояния в окрестности минимума, который называют дном зоны проводимости, а дырки в валентной зоне — состояние в окрестности максимума (потолка).

Таким образом, для описания носителей тока в полупроводниках нет необходимости знать зависимость энергии от квазиимпульса во

всей зоне Бриллюэна, в достаточно определить ее в окрестности дна зоны проводимости и потолка валентной зоны. Кроме того, величина отклонения квазиимпульса носителя тока от квазиимпульса, соответствующего экстремуму, может рассматриваться как малый параметр. Используя его можно найти зависимость энергии носителя тока от квазиимпульса в окрестности дна зоны проводимости и потолка валентной зоны по теории возмущений.

Приближение эффективной массы в простой зоне

Рассмотрим вид электронного спектра в окрестности экстремума. Для простоты сначала пренебрежем спин-орбитальным взаимодействием (оно будет учтено позднее). Пусть экстремум п-й зоны располагается в точке к = ко, где существует только двукратное вырождение по спину. Такая модель описывает окрестность дна зоны проводимости Ge, Si, а также GaAs и других полупроводников типа Л3Я5. Для построения теории возмущений решение уравнения Шредингера с квазиимпульсом к в n-й зоне Тл (к, г) удобно разложить по следующему полному ортонормиро- ванному базису функций:

гдегдеЧ'„(к,г)=^^(к)Фу(к,г),Ч'„(к,г)=^^(к)Фу(к,г),exp(zkr)uy(k0,r)exp(zkr)uy(k0,r)(2.1)(2.2)(2.1)(2.2)

где

где

Ч'„(к,г)=^^(к)Фу(к,г),

Ч'„(к,г)=^^(к)Фу(к,г),

exp(zkr)uy(k0,r)

exp(zkr)uy(k0,r)

(2.1)

(2.2)

(2.1)

(2.2)

Здесь индексы nJ обозначают номер зоны; V — объем кристалла; и, (ко, г) - периодическая часть блоховской функции с волновым вектором, соответствующим экстремуму; к — квазиволновой вектор, связанный с квазиимпульсом р соотношением: р = Йк.

с гамильтонианомс гамильтонианом№л(к,г) = Ел(к)Ч'„(к,г)№л(к,г) = Ел(к)Ч'„(к,г)(2.3)(2.3а)(2.3)(2.3а)Очевидно, функция (2.1) удовлетворяет уравнению Шредингера

с гамильтонианом

с гамильтонианом

№л(к,г) = Ел(к)Ч'„(к,г)

№л(к,г) = Ел(к)Ч'„(к,г)

(2.3)

(2.3а)

(2.3)

(2.3а)

Я=^-+У(г),

где /ио — масса свободного электрона; р — оператор импульса; U— потенциальная энергия электрона в кристалле.

Заметим, что функцию фу (к, г) можно записать в виде

Фу(к,г)=ехр[/(к-к0)г]фу(к0,г),(2.4)

причем функция фу (ко, г) является решением уравнения Шредингера:

Яфу(к0,г) = £у(к0)фу(к0,г).(2.5)

Подставив разложение (2.1) в уравнение (2.3), получим систему, определяющую коэффициенты Fnj(k):

еу(к0)+^-^-ея(к) F„y(k)+

(2.6)(2.6)V"ioJ

(2.6)

(2.6)

Здесь матричный элемент компоненты оператора импульса определяется выражением

Рд/ = /ф/Ско.г^фуЧко.г^г,(2.7)

v

а=х, у, х. Фактически система (2.6) есть уравнение Шредингера в базисе функций (2.2).

Условием существования нетривиального решения системы (2.6) является равенство нулю ее детерминанта. Предположим, что зона в точке ко не вырождена, и найдем спектр энергий с помощью теории возмущений по разности к - ко- Учитывая члены (к-ко)2 в первом порядке, а слагаемые, пропорциональные (к - ка0), во втором порядке, найдем:

£„<k)=£„(k,)+5;fl'l ^^жж-Ч,(28)

где (1/т)а> р называется тензором обратных эффективных масс:

f_L) - d2e -^аф ! 2 у PnjP^ji^9)

Wap й2д^д^ то "^ея(ко)-е/(ко)‘’

Из определения (2.9) видно, что тензор обратных эффективных масс симметричен относительно перестановки индексов, т.е. (1/т)ар = (1/т)ра, и поэтому соответствующим поворотом системы координат может быть приведен к диагональному виду. В такой системе координат зависимость энергии от квазиимпульса имеет вид:

(2.10)

Отметим, что все три массы в (2.10) положительны, если в точке кр — минимум энергии, и отрицательны — если максимум. Из (2.10) следует, что поверхности постоянной энергии около экстремумов представляют собой эллипсоиды. Изложенный способ определения спектров получил название кр-метода [2, 3].

Как правило, экстремумы энергии не располагаются в произвольных точках зоны Бриллюэна — они находятся в точках с высокой симметрией. Например, в Ge дно зоны проводимости находится на границе зоны Бриллюэна в точках L, через которые проходят оси третьего и второго порядков, а также плоскости отражения (см. рис. 2.1). В Si через минимумы зоны проводимости проходят ось четвертого порядка и плоскости отражения. В GaAs минимум зоны проводимости расположен в центре зоны Бриллюэна — точке Г.

Нетрудно показать, что если через экстремум проходят оси симметрии третьего, четвертого или шестого порядков, то поверхность постоянной энергии представляет собой эллипсоид вращения. Ось вращения эллипсоида совпадает с осью симметрии. В этом случае зависимость энергии от квазиимпульса характеризуется двумя электронными массами — продольной mi и поперечной т,:

..^^гм^ (гп)

В Ge и Si продольные эффективные массы электрона значительно превосходят поперечные (в Ge mi= 1,64 /Ио; т, = 0,082 /ио; в Si mt= 0,98 /му; mt = 0,19 /Ио). Если экстремум располагается в центре зоны Бриллюэна в полупроводнике со структурой алмаза или цинковой обманки, то закон дисперсии изотропен, т.е. имеется всего одна эффективная масса. Так устроено дно зоны проводимости в GaAs (эффективная масса электрона равна 0,067 /ио).

Строго говоря, в кристаллах без центра инверсии, например в GaAs, благодаря спин-орбитальному взаимодействию дно зоны проводимости слегка смещено из центра зоны Бриллюэна в направлении [111] и отсутствует вырождение по спину. Однако характерные энергии этих эффектов в GaAs очень малы — порядка 0,1 мэВ, поэтому обычно ими пренебрегают.

Отметим, что, как следует из (2.9), значение эффективной массы определяется в основном вкладом от ближайшей зоны. Часто в прямозонных полупроводниках ближайшей к дну зоны проводимости оказывается валентная зона. Поскольку разность энергий дна зоны проводимости и потолка валентной положительна, то взаимодействие с валентной зоной уменьшает эффективную массу электрона. Кроме того, формула (2.9) объясняет уменьшение эффективной массы электрона в узкозонных полупроводниках.

Введем теперь понятие огибающей волновой функции. Используя (2.6) и (2.9), запишем с точностью до членов (к - ко)2 уравнение для Fnn (к)

V (^-^Оа) (Лр-Аор) F„„(k) = [e-e„(k0)]F„„(k). (2.12) 2 к^ЛР

Умножив правую и левую части уравнения (2.12) на exp[z(k - ко)г]х, 4vKW после интегрирования по к по первой зоне Бриллюэна получим

• (2.13)

Здесь функция

F„(r,k0)=^y fF„„(k)exp[z(k-k0)r]d4, (2.14) (2л) J

называется огибающей волновой функции, а (2.12) и (2.13) — уравнениями для огибающей в к и г-представлениях соответственно. Поскольку квазиволновой вектор к определен с точностью до вектора обратной решетки, то вектор г определен только в узлах прямой решетки (в противном случае волновая функция была бы неоднозначна).

Таким образом, огибающая волновой функции определена только на узлах решетки кристалла [3]. Характерный масштаб изменения Fn (г, ко) в г пространстве — |к - ко Г1 и для состояний в окрестности к0 много больше постоянной решетки. Поэтому для таких состояний при работе с огибающими дискретность г можно не учитывать.

Теперь волновую функцию электрона в и-й зоне с помощью уравнений (2.1), (2.2) и (2.14) можно представить в виде

Ч^г) = ^(гЛо)“п(ко,г)ехр(/ког),

где ип (ко, г) — периодическая часть функции Блоха.

Можно показать (см., например, [3]), что в том случае, когда в гамильтониане (2.3а) кроме периодического потенциала (/(г) присутствует некоторое статическое возмущение И(г), уравнение (2.12) удается записать в форме

(^а ^Оа) (^р ^0₽) ^»»00/ар_(^а ^Оа) (^р ^0₽) ^»»00/ар_(2.15)(2.15)1е-е„(к0)-— -11 /и

(^а ^Оа) (^р ^0₽) ^»»00

/ар_

(^а ^Оа) (^р ^0₽) ^»»00

/ар_

(2.15)

(2.15)

-J^-kz)F„„(kW=0,

где И(к-к') — фурье-образ возмущения И(г). Полученное уравнение по форме напоминает уравнение Шредингера во внешнем потенциальном поле, записанное в импульсном представлении. Переходя от (2.15) к дифференциальному уравнению, получим

(2.16)(2.16)[M-aV)-e]F^r)+K(r)F,,(r)=O,

(2.16)

(2.16)

где символ е„ (-/AV) означает, что в выражении е„ (к) вместо компоненты ка следует подставить —ihd/dra.

Уравнение для огибающей типа (2.16) обычно используется для описания квантовых состояний электронов и дырок в низкоразмерных квантовых структурах (см. разд. 2.3).

Приближение эффективной массы в сложной зоне

Рассмотрим теперыситуацию, когда в точке экстремума имеется вырождение, связанное с касанием зон. Касание зон осуществляется, например, в точке максимума энергии валентной зоны во всех полупроводниках со структурой алмаза и цинковой обманки.

В этих материалах потолок валентной зоны находится в центре зоны Бриллюэна и образован трехкратно вырожденными (без учета спина) состояниями р-типа.

Если учесть спин, то вырождение в точке к=0 станет шестикратным. Спин-орбитальное взаимодействие расщепляет шестикратно вырожденное состояние p-типа на два, одно из которых четырехкратно вырождено, а другое — двукратно. Разность энергий этих двух мультиплетов называется энергией спин-орбитального расщепления и обозначается символом Д. Полный момент четырехкратно вырожденного состояния равен 3/2, а двукратно вырожденного — 1/2. Спиновые части волновой функции, соответствующие проекциям спина на ось г ± 1/2, будем обозначать символами Т и 4 соответственно. Спин-орбитальное взаимодействие удобно рассматривать в базисе, где волновые функции характеризуются величиной полного момента (верхний индекс) и его проекцией на ось г (нижний индекс). Координатные волновые функции, преобразующиеся как х, у, z, будем обозначать соответственно \Х>, |К>, \Z>. Тогда волновые функции с полным моментом 3/2 можно выбрать в виде:

(2.17)(2.17)(2.18)(2.18)(2.19)(2.19)q/3/2 _НТ>+/|ГТ>3/2 _ Z‘| X 1> + |Ух>

(2.17)

(2.17)

(2.18)

(2.18)

(2.19)

(2.19)

^3/2 -^>Т_3/2-

4?$ =Ц=(\Х b+i\Y Ь^ХЪ1),

= -U(| X Т>-i | Г Т> +21Z Ф>),

Ш1/2 _ М/2 ~Ш1/2 _ М/2 ~|Xb+/|rb + |ZT>|Xb+/|rb + |ZT>а с полным моментом 1/2:

Ш1/2 _ М/2 ~

Ш1/2 _ М/2 ~

|Xb+/|rb + |ZT>

|Xb+/|rb + |ZT>

3

^^ = 4-(-1 т> +/1 г т>+1 z Ь).

Поправки к энергии, квадратичные по к, теперь можно найти1 с помощью теории возмущений для вырожденных состояний. Для этого, как известно, необходимо решить секулярное уравнение вида

бе1(Яг-еЗ^)=0.(2.20)

Совершив переход от базиса |ЛТ>, | УТ>, |ZT>, |A^>, | У1>, |Zl> в базис (2.17)—(2.19), гамильтониан для огибающей волновой функции можно записать в виде, приведенном в табл. 2.1.

G=E„ +G=E„ +0^+^)+М+^2 ,0^+^)+М+^2 ,2то *2то *^^VyB^x-k^-iDk^^^VyB^x-k^-iDk^k±=kxtiky,k±=kxtiky,(2.21а)(2.216)(2.21в)(2.21г)(2.21Д)(2.21а)(2.216)(2.21в)(2.21г)(2.21Д)

G=E„ +

G=E„ +

0^+^)+М+^2 ,

0^+^)+М+^2 ,

2то *

2то *

^^VyB^x-k^-iDk^

^^VyB^x-k^-iDk^

k±=kxtiky,

k±=kxtiky,

(2.21а)

(2.216)

(2.21в)

(2.21г)

(2.21Д)

(2.21а)

(2.216)

(2.21в)

(2.21г)

(2.21Д)

Таблица 2.1

3/2, 3/2

3/2,1/2

3/2, -1/2

3/2, -3/2

1/2,1/2

1/2, -1/2

3/2, 3/2

F

Н

I

0

ш!41

-il42

3/2, 1/2

Н'

G

0

I

KG-F)

4i

iH43/2

3/2,-1/2

Г

0

G

-H

iH43/2

i(G-F) 4i

3/2, -3/2

0

Г

-H'

F

-il42

ih/4i

1/2, 1/2

-iH*

41

-KG-F) 42

iH'4^1

if 41

0

1/2, -1/2

n*4i

iH'4Vl

-KG-F)

41

iH*/4l

0

^L^

В ней использованы следующие обозначения:

Ev = е(0) — положение потолка валентной зоны; А, В, D — безразмерные постоянные, выраженные через введенные ниже величины

д/ — 1 । у Рх^Р^»£ -1 । У Р^Р^

" /«о v E(O)-£v(O)’" /Ло Г E(O)-ev(O) ’

м —'У' Рх.мР^.у + PxyPv.y .

e(O)-ev(O) ‘

А = а+2Л/)/3 , В = ^L - М^З, D = N^ .(2.22)

Спектр электронов в валентной зоне, получающийся из эффективного гамильтониана, изображен на рис. 2.2. Как видно из рисунка, потолок валентной зоны образован касающимися в точке к = О двумя зонами. Одна из них, та, у которой энергия быстрее уменьшается с ростом к, называется зоной легких дырок, а другая — зоной тяжелых дырок. Третья зона, лежащая ниже этих двух, называется зоной спин-отщепленных дырок. В точке к = 0 она располагается ниже потолка валентной зоны на энергию спин-орбитально- го взаимодействия Д. Состояния в каждой из зон двукратно вырождены.

Из рис. 2.2 можно заметить, что расстояние между зонами легких и тяжелых дырок перестает увеличиваться при удалении от потолка

Рис.2.2. Зависимость энергии от волнового вектора в валентной зоне кремния. Волновой вектор направлен вдоль [001]

валентной зоны на энергию, превышающую величину спин-орбитального взаимодействия. То есть для таких энергий спектр электрона в валентной зоне существенно непараболичен [4].

Величина спин-орбитального взаимодействия увеличивается с ростом атомного номера элементов, образующих полупроводник. Так, в кремнии Д®0,04эВ, в Ge А=0,ЗэВ, а в InSb Д~1эВ. Если энергия спин-орбитального взаимодействия велика по сравнению с характерными энергиями дырок в валентной зоне (например, тепловой энергией), то влиянием спин-отщепленной зоны на зоны легких и тяжелых дырок можно пренебречь. В этом случае эффективный гамильтониан представляет собой верхний левый блок 4x4 гамильтониана бхб. Его можно представить в простой форме:

н ~[(Yi+^Y2)y-Y3(^)2+(Y3-Y2)(#^+^ (2-23)

где псевдовектор J — оператор спинового момента 3/2; уь у2, уз —где псевдовектор J — оператор спинового момента 3/2; уь у2, уз —постоянные Латгиндже- ра, связанные с А, В, D следующим образом:

где псевдовектор J — оператор спинового момента 3/2; уь у2, уз —

где псевдовектор J — оператор спинового момента 3/2; уь у2, уз —

Yi=-^, ^-В/2,

Ъ=-ПК143У (2.24)

Значения постоянных А, В, D (уь уг, уз) хорошо известны для большинства полупроводников. Явный вид оператора J можно найти в [5]. Гамильтониан (2.23) был получен Латтинджером и носит его имя.

Рис. 2.3. Сечение поверхностей постоянной энергии в зоне тяжелых дырок (внешняя линия) и легких дырок (внутренняя линия) плоскостьюрг= const в Ge. Направления в плоскости указаны в градусах.Рис. 2.3. Сечение поверхностей постоянной энергии в зоне тяжелых дырок (внешняя линия) и легких дырок (внутренняя линия) плоскостьюрг= const в Ge. Направления в плоскости указаны в градусах.Спектр электронов в зоне легких е, и тяжелых е/, дырок, получающийся из (2.23), имеет вид

Рис. 2.3. Сечение поверхностей постоянной энергии в зоне тяжелых дырок (внешняя линия) и легких дырок (внутренняя линия) плоскостьюрг= const в Ge. Направления в плоскости указаны в градусах.

Рис. 2.3. Сечение поверхностей постоянной энергии в зоне тяжелых дырок (внешняя линия) и легких дырок (внутренняя линия) плоскостьюрг= const в Ge. Направления в плоскости указаны в градусах.

_ Ap1 ±^В4р4 +C2(p2p2+p2p2z +p2p2)

еМ-—,(2.23)

где знак «+» соответствует зоне тяжелых дырок (А<0), а «—» — зоне легких дырок и С2 = D2 - ЗВ2.

Поверхности постоянной энергии, соответствующие закону дисперсии (2.25), имеют довольно сложный вид. На рис. 2.3 изображены поверхности постоянной энергии легких и тяжелых дырок в Ge. Из рисунка хорошо видно присутствие областей с отрицательной кривизной на изоэнергетической поверхности тяжелых дырок. Эти области называются областями с отрицательной поперечной массой.

Уравнения Шредингера с гамильтонианом, приведенным в табл. 2.1 и с гамильтонианом (2.23) будут использованы в разд. 2.3 для описания электронных состояний в валентной зоне квантовых ям.

Модель Кейна

В прямозонных полупроводниках масса электрона на дне зоны проводимости часто более чем на порядок меньше массы свободного электрона. В таких материалах приближение эффективной массы оказывается слишком грубым для описания движения электронов в зоне проводимости из-за заметного отклонения закона дисперсии от параболического. Для учета эффектов непара- боличности закона дисперсии в зоне проводимости часто используется модель, которая была впервые использована Кейном в 1957 г. для описания зонной структуры InSb [6]. Модель Кейна широко применяется для расчета электронных состояний в низкоразмерных структурах прямозонных полупроводников.

В этой модели взаимодействие зоны проводимости с зонами тяжелых, легких и спин-отщепленных дырок учитывается точно, а не по теории возмущений, как в приближении эффективной массы. Волновая функция электрона в точке Г зоны проводимости имеет симметрию функции с нулевым орбитальным моментом, т.е. является функцией s-типа. Поэтому в качестве базиса состояний зоны проводимости можно выбрать функции |5>Т и |5>>L, а для состояний в валентной зоне — функции (2.19)-(2.19). В таком базисе гамильтониан Кейна имеет вид, приведенный в табл. 2.2 [5].

В табл. 2.2 через Ес обозначено положение дна зоны проводимости и

Таблица 2.2

St

Si

3/2,3/2

3/2,1/2

3/2, -1/2

3/2, -3/2

1/2,1/2

1/2, -1/2

St

Ес* +й2*2 /2т'

0

Рк+ 42

Рк_ 4^

0

P^ 4з

-iPk_

4з

Si

0

Ес+ h2k2 /2т'с

0

iPk+ 41

^Рк,

iPk_ 42

Pk+ 4з

iPkz 4з

3/2,3/2

Рк_ 42

0

г

Н

1

0

iH

42

-n42

-iPk_ Л

* н

6

0

I

i(G-F) 42

‘4

3/2,-1/2

Рк+ Тб

-Рк

*

I

0

G

-н

i(G-F) 42

3/2, -3/2

0

42

б

*

*

-И

г

-il42

-iH

42

1/5,175

Л

Рк_

4з

-ш*

42

-i(G-F) 42

if 42

F+G .

2

0

1/2,-1/2

iPk^ 7з

-iPkz 4з

if 42

-KG-F)

42

iH* 42

0

F + G A

2

Р=^Р™-^Й,=^-Р-Н.(2.26)

/Ио /Ио /Ио

(Отметим, что в [5] допущены опечатки в записи гамильтониана модели Кейна).

Для описания электронных состояний в зоне проводимости можно пренебречь квадратичными по к компонентами гамильтониана в валентных подзонах, поскольку закон дисперсии электронов определяется членами гамильтониана, пропорциональными кР. Будем также полагать, что кх=ку=0. Тогда компоненты гамильтониана, соответствующие функциям |3/2, ±3/2>, диагональ- ны и их можно исключить, так как они не взаимодействуют с остальными. Это означает, что в данном случае зона тяжелых дырок не взаимодействует с зонами проводимости, легких и спин-отще- пленных дырок. Исключив из рассмотрения зону тяжелых дырок и перейдя в новый базис: |5>Т, /|2>Т, |X+iY>4 / V2 , |S> 4, i|Z>i, |X-/»T/V2 , гамильтониан Кейна можно записать в виде:

(2.27)(2.27)нк о

(2.27)

(2.27)

О Нк

Здесь

F । П Кг с 2т.F । П Кг с 2т.iPk, й2^2 Д+ 2/Mq 3iPk, й2^2 Д+ 2/Mq 3ОО(2.28)(2.28)г ^кг 2А2т.3г ^кг 2А2т.3

F । П Кг с 2т.

F । П Кг с 2т.

iPk, й2^2 Д

+ 2/Mq 3

iPk, й2^2 Д

+ 2/Mq 3

О

О

(2.28)

(2.28)

г ^кг 2А

2т.3

г ^кг 2А

2т.3

где Ес — край зоны проводимости.

Из (2.28) получаем кубическое секулярное уравнения для определения законов дисперсии электрона в зонах проводимости, а также легких и спин-отщепленных дырок:

(е'-ЯДе'"^^-#^-^^-^*^^, (2.29)

где е' = е + й2Л2/(2/и0). Рассматривая окрестность дна зоны проводимости, где е«Ес + й2^/(2/я„), можно из (2.29) определить Рче-

рез измеряемые величины — эффективную массу в зоне проводимости тп, ширину запрещенной зоны Eg=Ec- Ev, A:

(2.30)(2.30)Зй^^+АУ^ Д2 то(3£5 + 2д)(тя )'

(2.30)

(2.30)

Масса электрона в зоне проводимости много меньше массы свободного электрона, поэтому обычно в диагональных компонентах (2.28) отбрасывают слагаемое й^/фто).

Выражение (2.29) является хорошим приближением для описания закона дисперсии электронов с учетом эффектов непарабо- личности для энергий электронов е - E^Eg +2д /3. Взаимодействие s- и ^-состояний приводит не только к непараболичности спектра электронов в зоне проводимости, но и к его анизотропии. Например, если в разложении функции s(k) по к ограничиться членами Л4, то закон дисперсии электронов примет вид [7]:

е(к)=Ес +——+а0Л4 +р0(^^ +^^ +£xfc2). (2.31)

Влияние деформации на электронный спектр

Часто в гетероструктурах один или несколько слоев деформированы. Причиной такой деформации, как правило, является несовпадение периодов решеток полупроводников, образующих гетероструктуру. Примером структур, в которых деформация играет важную роль, являются гетероструктуры GaAs/InxGat.xAs, Si/GexSii,x и др. Деформация в гетероструктурах может достигать величины порядка 10%.

Если постоянная решетки тонкого слоя полупроводника отличается от постоянной решетки толстой подложки, на которой выращен этот слой, то в гетероструктуре возникают деформации. Тонкий слой деформируется так, чтобы расстояния между его атомами в плоскости роста были равны расстояниям между атомами подложки. При этом если тонкий слой в плоскости роста растягивается, то в перпендикулярном направлении он сжимается так, чтобы упругая энергия в слое была минимальна. Деформацию такого типа можно представить как суперпозицию деформации всестороннего сжатия (растяжения) и одноосной деформации вдоль нормали к тонкому слою.

Рассмотренная ситуация типична для одиночных квантовых ям. В толстых структурах, состоящих из чередующихся тонких слоев разных материалов, постоянная решетки слоев в плоскости роста может заметно отличаться от постоянной решетки подложки. В этом случае на границе структуры и подложки появляется сетка дислокаций. Бездислокационную структуру удается вырастить лишь тогда, когда постоянные решетки в слое и подложке совпадают с большой точностью.

Рассмотрим, как влияет деформация полупроводника на энергетический спектр электронов. При всестороннем сжатии (растяжении) симметрия кристалла не изменяется. Поэтому такая деформация не снимает вырождение электронных состояний. Результатом ее действия является изменение постоянных, характеризующих зонный спектр, таких как ширина запрещенной зоны и эффективные массы электронов. Под действием всестороннего сжатия (растяжения) изменяются также энергетические зазоры между различными долинами внутри зоны проводимости и валентной зоны. Так, при всестороннем сжатии экстремумы зоны проводимости в точках Г, образованные состояниями s-типа, удаляются от потолка валентной зоны, а X (А) — долины, образованные состояниями p-типа, приближаются к валентной зоне.

В случае деформации общего вида симметрия кристалла понижается. Это приводит к снятию вырождения зон легких и тяжелых дырок в точке Г, а также к смещению по энергии относительно друг друга эквивалентных в недеформированном кристалле долин (например, Z-долин). Отметим, что однородная деформация не нарушает симметрию по отношению к пространственной инверсии. Поэтому спиновое вырождение электронного спектра в однородно деформированных кристаллах сохраняется.

При малых деформациях энергия электрона изменяется пропорционально тензору деформации е# , а не вектору смещения. Это очевидно, если принять во внимание, что однородная трансляция кристалла не изменяет энергии электронов. Влияние деформации на движение электрона учитывается путем добавления в гамильтониан специального слагаемого, форму которого можно найти, используя симметрию [5]. Действительно, гамильтониан инвариантен относительно преобразований симметрии кристалла. В приближении эффективной массы он пропорционален второй степени квазиимпульса. Но закон преобразования произведения рр,такой же, как и е,. Поэтому деформационное слагаемое в гамильтониане имеет вид, анало-

гичный слагаемому, пропорциональному ррг В простой зоне (зоне проводимости) это слагаемое можно записать в форме

Hd=EyEy,(2.32)

где S у — симметричный тензор, называемый тензором констант деформационного потенциала. Он имеет размерность энергии и симметрию тензора обратных эффективных масс. Например, для Г-долины отличны от нуля лишь три равные друг другу компоненты этого тензора: Е^Е^Е К=Е. Для L-, Х-, А -долин также отличны от нуля три компоненты тензора (в системе координат, где тензор обратных масс диагоналей). Однако в этом случае не одна, а две независимые компоненты и деформационное слагаемое гамильтониана обычно записывают как [8]

^</^^(Ец+622+633)+Еиезз-(2.33)

Здесь так же, как и в (2.16), третья ось системы координат совпадает с осью симметрии высокого порядка.

Аналогично можно построить «деформационное» слагаемое гамильтониана в валентной зоне [5]. Для этого воспользуемся табл. 2.1. В ней следует произвести замены:

F^/^a+Z^Xe^ + E^+ta-ZOE^;

(7=>g=(a-Z>/2)(EJCC+Ew)+(a+Z>)EK;

Н ^h ——id(EXi — i&yt), I =s j——^~Ь(ехх — Eyy)—ids.^

и положить A = 0. Постоянные a, b, d имеют размерность энергии и называются константами деформационного потенциала. Величины компонент тензора Е у, а также постоянных деформационного потенциала составляют в полупроводниках несколько электрон-вольт. Более подробно влияние деформации на спектр электронов в кристаллах рассмотрено, например, в [5] и [8].

2.3

Электронный (дырочный) спектр и волновые функции в квантовых ямах и сверхрешетках

Типы гетеропереходов

Все гетеропереходы принято разбивать на два основных типа. К первому типу относят те гетеропереходы, в которых запрещенная зона узкозонного полупроводника полностью находится в запрещенной зоне широкозонного. Согласно правилу Андерсона (см. 1.1.1), величина разрыва зон в гетеропереходе определяется разностью значений электронного сродства в двух полупроводниках. Конечно, такое правило не учитывает конкретных микроскопических свойств границы, однако весьма часто оно дает результаты, подтверждаемые в эксперименте.

Рис. 2.4. Зонная схема гетеропереходов первого (а) и второго (б) типовРис. 2.4. Зонная схема гетеропереходов первого (а) и второго (б) типов

Рис. 2.4. Зонная схема гетеропереходов первого (а) и второго (б) типов

Рис. 2.4. Зонная схема гетеропереходов первого (а) и второго (б) типов

На рис. 2.4, а показано относительное расположение энергетических зон в гетеропереходе первого типа. Большая часть исследованных к настоящему времени гетеропереходов относится именно к этому типу. В качестве примера гетеропереходов первого типа можно привести структуры AlxGa].xAs/GaAs, InxGa]_ xAs/GaAs, InxGai.xAs/InP, GaAs^xPx/GaAs, GaSb/AlSb, ZnS/ZnSe. Если тонкий слой узкозонного материала с двух сторон окружен широкозонным полупроводником, то возникает квантовая яма как для электронов зоны проводимости, так и для дырок в валентной зоне.

В гетеропереходах второго типа запрещенная зона узкозонного полупроводника перекрывается либо с зоной проводимости, либо с валентной зоной широкозонного полупроводника. На рис. 2.4, б показана зонная структура гетероперехода второго типа. К таким гетеропереходам можно отнести гетеропереходы GexSit_x/ Si (при х>0,4, если гетероструктура в плоскости роста согласована с решеткой кремния), Ini.xGaxAs/GaSbi.yASy, GaAs/GaP. Если последовательно расположены два гетероперехода второго типа, то область квантовой ямы для электронов будет одновременно областью барьера для дырок.

Особым случаем гетероперехода второго рода является гетеропереход InAs/GaSb, в котором запрещенная зона InAs полностью располагается в валентной зоне GaSb, так что зона проводимости InAs перекрывается с валентной зоной GaSb. Иногда такие гетеропереходы называют гетеропереходами третьего типа.

Граничные условия

Ясно, что приближение эффективной массы не работает непосредственно в области гетерограницы, толщина которой порядка межатомного расстояния. Однако за пределами узкой окрестности гетерограницы этим приближением можно пользоваться. Поэтому по обе стороны от гетерограницы движение электрона можно описать с помощью огибающей волновой функции, а на гетерогранице произвести сшивание этих функций. Для этого нужно установить граничные условия на гетеропереходе. Использование граничных условий фактически равнозначно введению нового гамильтониана в приближении эффективной массы во всем пространстве, включая и гетерограницу. Если такой гамильтониан имеется, то граничные условия получаются путем интегрирования уравнения Шредингера по малой окрестности гетероперехода. Ясно, что новый гамильтониан должен быть инвариантен относительно преобразований симметрии, которые сохраняются в присутствии гетерограницы.

Граничные условия должны обеспечивать сохранение числа частиц при их переходе через гетерограницу. Кроме того, вследствие трансляционной инвариантности кристалла должна сохраняться проекция квазиимпульса на плоскость гетерограницы. Компонента квазиимпульса, перпендикулярная гетерогранице, не сохраняется; она может изменяться при переходе электрона из одного материала в другой на величину порядка размеров зоны Бриллюэна. Поэтому на

гетерогранице возможно перемешивание состояний различных долин, если в зоне Бриллюэна они сдвинуты друг относительно друга в направлении, перпендикулярном гетерогранице.

Присутствие в кристалле гетерограницы понижает его симметрию, однако некоторые элементы симметрии, такие как оси вращения и перпендикулярные им плоскости отражения, сохраняются. Волновая функция электрона при переходе через гетерограницу должна сохранять свойства симметрии, которые гетерограница не нарушает. Например, если волновая функция электрона слева от гетерограницы четная относительно отражения в плоскости, перпендикулярной гетеропереходу, то и справа она должна быть тоже четной.

Проиллюстрируем сказанное примерами. Рассмотрим сначала простейший случай граничных условий для волновых функций, описывающих электроны в долинах, расположенных в одной точке зоны Бриллюэна. В этом случае, как показано в [9], эффективный гамильтониан можно записать в виде

Я = р-1-р+^(г), (2.34) 2m(r)

где Ес — положение дна долины, массу считаем изотропной. Интегрируя уравнение Шредингера с гамильтонианом (2.34) в окрестности плоскости гетероперехода z = 0, найдем, что на гетерогранице должны быть непрерывны огибающая волновой функции и ее производная, деленная на массу:

T(x,y,z =+0) = T(x,y,z=-0), — —|г=+0=—— г=_о.

т dz т dz

Рассмотрим теперь граничные условия на гетерогранице, связывающие состояния разных долин. Примером такого рода может служить связь состояний Лдолины в GaAs и одной из трех Х-до- лин в AlAs на гетерогранице GaAs/ALAs, расположенной в плоскости [001] (см. [10,11]). В этом случае на гетерогранице в новый гамильтониан вводится перекрестный член, пропорциональный дельта-функции 5(z- Zg), где z=^ — плоскость гетерограницы. Новый гамильтониан принимает вид

А (Н К

(2.35)(2.35)Н=?,^=*-Zo),

(2.35)

(2.35)

кк нх)

где Нг и Нх — гамильтонианы для состояний Г и Л'-долин, а= = ±1,55 эВ-A — постоянная взаимодействия Г- и Л'-долин на гетерогранице.

При получении граничных условий для многокомпонентной огибающей волновой функции, удовлетворяющей уравнениям Шредингера с гамильтонианом, приведенным в табл. 2.2, часто пользуются следующим правилом. Пусть гетерограница расположена в плоскости z=zb- Тогда в квадратичных по рг компонентах гамильтониана зависящие от z сомножители ставят между двумя операторами ру например А^р^-^А^р^. Компоненты гамильтониана, линейные по ро заменяют на антикоммутатор: ^дрг->(Врг + Р^/З^Вр^/^. Граничные условия, соответствующие полученному таким образом новому гамильтониану, перемешивают состояния легких и тяжелых дырок на гетерогранице, если компонента их квазиимпульса вдоль гетерограницы отлична от нуля. Однако на гетерогранице, расположенной в плоскости [001], возможно перемешивание и нормально падающих на нее легких и тяжелых дырок [12].

При наличии перпендикулярной гетерогранице оси второго порядка могут перемешиваться только состояния с проекциями на ось z полного момента импульса, равными 3/2 и -1/2, а также -3/2 и 1/2. Поэтому в соответствующие матричные элементы нового гамильтониана следует включить дополнительные слагаемые, пропорциональные 8(z— ^о). Если же гетерограница располагается в плоскости [111], то такое перемешивание отсутствует (его запрещает наличие нормальной к плоскости перехода оси симметрии третьего порядка) и дополнительные слагаемые в новом гамильтониане не появляются [13].

Электронные и дырочные состояния в подзонах размерного квантования ям и минизонах сверхрешеток

В этом разделе приведены результаты расчетов спектра и волновых функций электронов и дырок в квантовых ямах и сверхрешетках, выполненные методом матрицы распространения. Данный метод рассмотрен в приложении. Прежде, чем переходить к конкретным примерам, сделаем одно важное замечание.

Как уже отмечалось в 2.2.5, в большинстве полупроводников масса электронов в Г-долине много меньше массы свободного электрона, поэтому энергии уровней размерного квантования ве-

лики (они могут достигать величины порядка одной десятой ширины запрещенной зоны). Для корректного расчета таких состояний необходимо учитывать непараболичность закона дисперсии электронов [14]. Последовательный учет этого эффекта производится в рамках модели Кейна, рассмотренной в 2.2.3. Обсуждение деталей использования этой модели для расчета электронных состояний в квантовых ямах и сверхрешетках можно найти в [15]. Отметим, что, как правило, спектр электронов, рассчитанный с помощью описанных ниже методов, с точностью до 10~3 эВ совпа

дает со спектром, определенным в эксперименте.

Рис. 2.5. Уровни размерного квантования электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне при нулевом значении квазиимпульса в гетероструктуре Ing^GaygAs/ GaAs в зависимости от ширины квантовой ямыРис. 2.5. Уровни размерного квантования электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне при нулевом значении квазиимпульса в гетероструктуре Ing^GaygAs/ GaAs в зависимости от ширины квантовой ямыНа рис. 2.5 показаны положения уровней размерного квантования электронов и дырок в гетероструктуре 1по,2Сао,з As/GaAs в зависимости от ширины квантовой ямы d. Для электронов и тяжелых дырок квантовой ямой в этой гетероструктуре является слой Ino,2Gao>8As. Поскольку постоянная решетки Ino^Gao gAs больше, чем у GaAs, в этом слое имеют-

Рис. 2.5. Уровни размерного квантования электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне при нулевом значении квазиимпульса в гетероструктуре Ing^GaygAs/ GaAs в зависимости от ширины квантовой ямы

Рис. 2.5. Уровни размерного квантования электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне при нулевом значении квазиимпульса в гетероструктуре Ing^GaygAs/ GaAs в зависимости от ширины квантовой ямы

ся упругие напряжения, которые приводят к образованию барьера для легких дырок.

Дно зоны проводимости в рассматриваемой

гетероструктуре располагается в Г-долине, причем дно электронной Г-долины в Ino>2Gao,8As располагается ниже, чем в GaAs, а потолок валентной зоны — выше, чем в GaAs. Расчет проводился с учетом влияния упругой деформации на спектр электронов и дырок (см. 2.2.5). Описание электронов проводилось в модели Кейна (2.27), а дырок с помощью эффективного гамильтониана (2.23).

Величина разрыва зоны проводимости в этой гетероструктуре (глубина квантовой ямы для электронов) составляет 0,126 эВ, а зоны тяжелых дырок — 0,078 эВ. Из рисунка хорошо видно, что при увеличении ширины квантовой ямы увеличивается чи^яо как

Рис. 2.6. Зависимость уровней энергии размерного квантования электронов (£ >0), легких (штриховые) и тяжелых дырок (сплошные кривые) в гетероструктуре AlxGaj.x As/GaAs/AlxGai.xAs. от доли атомов алюминия х. Толщина слоя GaAs равна 100 АРис. 2.6. Зависимость уровней энергии размерного квантования электронов (£ >0), легких (штриховые) и тяжелых дырок (сплошные кривые) в гетероструктуре AlxGaj.x As/GaAs/AlxGai.xAs. от доли атомов алюминия х. Толщина слоя GaAs равна 100 АРис. 2 7. Зависимость энергий потолков подзон размерного квантования от толщины германия в гетероструктуре Ge/Geo^Sio^, выращенной на плоскости германия [111]. Сплошные кривые соответствуют зоне тяжелых дырок, штриховые - зоне легких дырок; Е^ и Е^ обозначают положение верхних краев зон тяжелых и легких дырок в барьерахРис. 2 7. Зависимость энергий потолков подзон размерного квантования от толщины германия в гетероструктуре Ge/Geo^Sio^, выращенной на плоскости германия [111]. Сплошные кривые соответствуют зоне тяжелых дырок, штриховые - зоне легких дырок; Е^ и Е^ обозначают положение верхних краев зон тяжелых и легких дырок в барьерахэлектронных, так и дырочных подзон в ней и в каждой подзоне уменьшается энергия размерного квантования.

Рис. 2.6. Зависимость уровней энергии размерного квантования электронов (£ >0), легких (штриховые) и тяжелых дырок (сплошные кривые) в гетероструктуре AlxGaj.x As/GaAs/AlxGai.xAs. от доли атомов алюминия х. Толщина слоя GaAs равна 100 А

Рис. 2.6. Зависимость уровней энергии размерного квантования электронов (£ >0), легких (штриховые) и тяжелых дырок (сплошные кривые) в гетероструктуре AlxGaj.x As/GaAs/AlxGai.xAs. от доли атомов алюминия х. Толщина слоя GaAs равна 100 А

Рис. 2 7. Зависимость энергий потолков подзон размерного квантования от толщины германия в гетероструктуре Ge/Geo^Sio^, выращенной на плоскости германия [111]. Сплошные кривые соответствуют зоне тяжелых дырок, штриховые - зоне легких дырок; Е^ и Е^ обозначают положение верхних краев зон тяжелых и легких дырок в барьерах

Рис. 2 7. Зависимость энергий потолков подзон размерного квантования от толщины германия в гетероструктуре Ge/Geo^Sio^, выращенной на плоскости германия [111]. Сплошные кривые соответствуют зоне тяжелых дырок, штриховые - зоне легких дырок; Е^ и Е^ обозначают положение верхних краев зон тяжелых и легких дырок в барьерах

Положение уровней размерного квантования зависит не только от толщины квантовой ямы, но и от химического состава полупроводников, образующих гетероструктуру, поскольку этот параметр определяет глубину квантовой ямы.

На рис. 2.6 приведены зависимости энергий уровней электронов в зоне проводимости, зонах легких и тяжелых дырок при А=0 в гетероструктуре AlxGai_xAs/ GaAs/AlxGa]_xAs в зависимости от х. В этой гетероструктуре квантовой ямой как для электронов, так и для дырок является слой GaAs, толщина которого полагалась равной 100 А.

Постоянная решетки AlxGa]_xAs слабо зависит от х, и поэтому квантовую яму в этой структуре можно считать ненапряженной. Энергии электронов вычислялись в модели Кейна с гамильтонианом (2.27) без учета квадратичных по Аг слагаемых, а дырок в модели Латтинже- ра — с гамильтонианом (2.23). Из рисунка видно, что с увеличением х растет число электронных и дыроч-

ных уровней в квантовой яме. Происходит это потому, что в данном случае увеличивается глубина потенциальной ямы как для

электронов, так и для дырок.

В гетероструктурах, где присутствует деформация, глубина потенциальной ямы для легких и тяжелых дырок различна. На рис. 2.7 приведены кривые зависимости границ подзон размерного квантования

(Л=0) дырок валентной зоны от ширины квантовой ямы в гетероструктуре Geo^gSiojVGe/Geo.ggSio,^, выращенной на плоскости [111] германия [16]. В этой гетероструктуре слой германия является квантовой ямой и для легких, и для тяжелых дырок. Параметры структуры подобраны так, что слой германия не напряжен, напряжения локализованы в слое твердого раствора Geo,88Sioj2-

Из рисунка видно, что при толщинах слоя германия менее 20 А, первая подзона легких дырок располагается выше подзоны тяжелых дырок. Это происходит вследствие деформации твердого раствора Geo.ssSio.n- В верхней части справа на рис. 2.7 показано положение границ зон тяжелых и легких дырок в квантовой яме и барьерах.

На рис. 2.8 приведена зависимость энергии электрона от вели

чины квазиволнового вектора для двух подзон размерного квантования в гетероструктуре GaAs/Ino,2 Gao>8As/GaAs с шириной квантовой ямы 100 А. Здесь же

Рис. 2.8. Зависимость энергий в двух подзонах размерного квантования зоны проводимости и их разности от квазиволнового вектора в гетероструктуре GaAs/Ing^Gag 8As.Толщина слоя Ing 2Gaoi8As равна 100 АРис. 2.8. Зависимость энергий в двух подзонах размерного квантования зоны проводимости и их разности от квазиволнового вектора в гетероструктуре GaAs/Ing^Gag 8As.Толщина слоя Ing 2Gaoi8As равна 100 Априведена разность энергий этих подзон. Видно, что по мере роста квазиволнового вектора из-за увеличения эффективной массы электрона расстояние между подзонами уменьшается. Из рисунка следует, что непа- раболичность спектра в зоне проводимости невелика.

Рис. 2.8. Зависимость энергий в двух подзонах размерного квантования зоны проводимости и их разности от квазиволнового вектора в гетероструктуре GaAs/Ing^Gag 8As.

Толщина слоя Ing 2Gaoi8As равна 100 А

Рис. 2.8. Зависимость энергий в двух подзонах размерного квантования зоны проводимости и их разности от квазиволнового вектора в гетероструктуре GaAs/Ing^Gag 8As.

Толщина слоя Ing 2Gaoi8As равна 100 А

Совершенно иная ситуация имеет место в валентной зоне. На рис. 2.9 [16] и 2.10 изображены зависимости энергии дырок (они отличаются знаком от энергий электронов в валентной зоне) от квазиволнового вектора в квантовых ямах, образо-

Рис. 2.9. Зависимость энергий дырок от квазиволнового вектора вдоль слоя германия в гетероструктуре Ge0iggSi0il2/ Ge/Geo,8gSiOii2 выращенной на плоскости [111] германия. Сплошным линиям соответствует направление волнового вектора вдоль [112], а штриховым - вдоль-направления, которое получается из [112] поворотом вокруг [111] на угол л/6. Толщина слоя Ge равна 100 АРис. 2.9. Зависимость энергий дырок от квазиволнового вектора вдоль слоя германия в гетероструктуре Ge0iggSi0il2/ Ge/Geo,8gSiOii2 выращенной на плоскости [111] германия. Сплошным линиям соответствует направление волнового вектора вдоль [112], а штриховым - вдоль-направления, которое получается из [112] поворотом вокруг [111] на угол л/6. Толщина слоя Ge равна 100 АРис. 2.10. Зависимость энергий дырок от квазиволнового вектора в квантовой яме гетероструктуры Alg jGag^As/GaAs/Aloj Gag 7As. Толщина слоя GaAs равна 100 А Сплошные линии соответствуют подзонам тяжелых дырок, штриховая линия — подзоне легких дырок. Плоскость роста [001], волновой вектор направлен вдоль [ 100]Рис. 2.10. Зависимость энергий дырок от квазиволнового вектора в квантовой яме гетероструктуры Alg jGag^As/GaAs/Aloj Gag 7As. Толщина слоя GaAs равна 100 А Сплошные линии соответствуют подзонам тяжелых дырок, штриховая линия — подзоне легких дырок. Плоскость роста [001], волновой вектор направлен вдоль [ 100]

Рис. 2.9. Зависимость энергий дырок от квазиволнового вектора вдоль слоя германия в гетероструктуре Ge0iggSi0il2/ Ge/Geo,8gSiOii2 выращенной на плоскости [111] германия. Сплошным линиям соответствует направление волнового вектора вдоль [112], а штриховым - вдоль-направления, которое получается из [112] поворотом вокруг [111] на угол л/6. Толщина слоя Ge равна 100 А

Рис. 2.9. Зависимость энергий дырок от квазиволнового вектора вдоль слоя германия в гетероструктуре Ge0iggSi0il2/ Ge/Geo,8gSiOii2 выращенной на плоскости [111] германия. Сплошным линиям соответствует направление волнового вектора вдоль [112], а штриховым - вдоль-направления, которое получается из [112] поворотом вокруг [111] на угол л/6. Толщина слоя Ge равна 100 А

Рис. 2.10. Зависимость энергий дырок от квазиволнового вектора в квантовой яме гетероструктуры Alg jGag^As/GaAs/Aloj Gag 7As. Толщина слоя GaAs равна 100 А Сплошные линии соответствуют подзонам тяжелых дырок, штриховая линия — подзоне легких дырок. Плоскость роста [001], волновой вектор направлен вдоль [ 100]

Рис. 2.10. Зависимость энергий дырок от квазиволнового вектора в квантовой яме гетероструктуры Alg jGag^As/GaAs/Aloj Gag 7As. Толщина слоя GaAs равна 100 А Сплошные линии соответствуют подзонам тяжелых дырок, штриховая линия — подзоне легких дырок. Плоскость роста [001], волновой вектор направлен вдоль [ 100]

ванных в гетероструктурах Geo^gSioja/Ge/ Geo.ggSio^ и AlojGao^As/ GaAs/Alo^GaojAs. Спектры вычислялись с использованием гамильтониана (2.30). Видна сильная непараболичность спектра, которая обусловлена перемешиванием состояний легких и тяжелых дырок на гетерограницах. При /с=0 это перемешивание отсутствует (для структуры Alo.3Gao.7As/GaAs оно не учитывалось). Поэтому обычно подзоны, состояния которых при Ы) принадлежат только зоне тяжелых дырок, называют подзонами тяжелых дырок. Аналогично те подзоны, состояния которых при Ы) соответствуют зоне легких дырок, называются легкими, или подзонами легких дырок. Отметим, что спектр дырок двукратно вырожден в симметричных ямах. Если квантовая яма несимметрична, то вырождение остается только в точке Ы) и потолок валентной зоны смещается из этой точки.

Приведем результаты расчета электронного спектра и волновых функций в сверхрешетке т.е. в периодической последовательности квантовых ям, разделенных туннельно-прозрачными барьерами. Метод расчета описан в приложении.

Рис. 2.11. Зависимость энергии электрона от квазиволнового вектора в двух нижних минизонах зоны проводимости сверхрешеки Al0 ^GaogAs/GaAsРис. 2.11. Зависимость энергии электрона от квазиволнового вектора в двух нижних минизонах зоны проводимости сверхрешеки Al0 ^GaogAs/GaAsРис. 2.12. Зависимость вероятности нахождения электрона в первой и второй минизонах сверхрешетки Alo^GaogAs /GaAs. Кривые 1 соответствуют значению квазиволнового вектора вдоль оси сверхрешетки к = 0, кривые 2 — k = uldРис. 2.12. Зависимость вероятности нахождения электрона в первой и второй минизонах сверхрешетки Alo^GaogAs /GaAs. Кривые 1 соответствуют значению квазиволнового вектора вдоль оси сверхрешетки к = 0, кривые 2 — k = uld

Рис. 2.11. Зависимость энергии электрона от квазиволнового вектора в двух нижних минизонах зоны проводимости сверхрешеки Al0 ^GaogAs/GaAs

Рис. 2.11. Зависимость энергии электрона от квазиволнового вектора в двух нижних минизонах зоны проводимости сверхрешеки Al0 ^GaogAs/GaAs

Рис. 2.12. Зависимость вероятности нахождения электрона в первой и второй минизонах сверхрешетки Alo^GaogAs /GaAs. Кривые 1 соответствуют значению квазиволнового вектора вдоль оси сверхрешетки к = 0, кривые 2 — k = uld

Рис. 2.12. Зависимость вероятности нахождения электрона в первой и второй минизонах сверхрешетки Alo^GaogAs /GaAs. Кривые 1 соответствуют значению квазиволнового вектора вдоль оси сверхрешетки к = 0, кривые 2 — k = uld

На рис. 2.11 приведена зависимость энергии электрона от проекции квазиволнового вектора, параллельной оси сверхрешетки Al^Ga^gAs/GaAs, в двух первых минизонах зоны проводимости. Волновой вектор изменяется в пределах зоны Бриллюэна (зависимость энергии от к — четная). Толщина слоя Alo,2Gaoi8As равна 40 А, а GaAs — 30 А. Глубина потенциальных ям для электронов в этой сверхрешетке 0,15 эВ. Из рисунка видно, что ширина второй минизоны больше, чем первой, и эффективные массы электрона в ней по абсолютной величине меньше.

3 Физика квантовых низкоразмерных структур

Заметим, что энергия электрона в первой минизоне меньше высоты потенциальных барьеров, разделяющих квантовые ямы. Энергия во второй минизоне превосходит высоту этих барьеров. Более высокие минизоны на рисунке не приведены.

Волновая функция электрона в сверхрешетке имеет блохов- ский вид. На рис. 2.12 приведена зависимость вероятности нахождения электрона от координаты в рассмотренной выше сверхрешетке. Состояния, соответствующие к=0, обозначены цифрой 1, a kd= л — цифрой 2 (d— период сверхрешетки). Сплошные линии соответствуют первой минизоне, а штриховые - второй. Из рисунка видно, что электроны первой минизоны в основном находятся в потенциальных ямах (слоях GaAs), а электроны второй минизоны — в потенциальных барьерах (слоях Alo^Ga^gAs).

Литература

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерялитивисткая теория. М.: Наука, 1989.

Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967.

Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. М.: Мир, 1979. Т. 1

Цидильковский И.М. Электроны и дырки в полупроводниках. М.: Наука, 1972.

Бир Г.Л., Пикус ГЕ. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках М.: Наука, 1972.

Kane Е. О. J. Phys. Chern. Solids. 1.249,1957.

Braun M., Rossler U. J. Phys. C 18, 3365,1984.

Гонтмахер Ф.В., Левинсон И. Б. Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках. М.: Наука, 1984.

Bastard G. Wave mechanics applied to semiconductor heterostructures. New York: Halsted Press, 1988.

Liu H.C. Appl. Phys. Lett. 51.1019,1987.

Ivchenko E.L., Kiselev A.A., Fu K, inlander. Phys. Rev. В 50, 7747, 1994.

Ivchenko E.L., Kaminski A. Yu., Rossler U. Phys. Rev. 54,5852, 1996.

Malkina I.G., Aleshkin VYa., ZvonkovB.N., Saf’anov Yu.N. Phys. Low- Dim. Struct. 1/2,61,1997.

Кроткус А., Добровольские 3. Электропроводность узкощелевых полупроводников. Вильнюс: Москлас, 1988.

Bastard G., Brum J.A., Ferreira R. Electronic states in semiconductor heterostructures // Solid State Physics. Advances in Research and Applications. Vol. 44. Academic Press.,

Алешкин В.Я., Бекин НА ФТП. 31,171,1997.

Глава 3

ОПТИКА КВАНТОВЫХ СТРУКТУР

3.1

Взаимодействие электромагнитного поля с электронами. Правила отбора

Оптические свойства квантовых структур вызывают интерес по двум причинам: во-первых, с помощью оптических измерений можно выяснить детали энергетического спектра носителей заряда в этих структурах, а во-вторых, квантовые структуры являются основой оптоэлектронных приборов, прежде всего лазеров. Оптические эффекты в структурах с квантовыми ямами, как правило, проявляются с большей интенсивностью, чем в объемных полупроводниках. Оптическим свойствам квантовых структур посвящена обширная литература. В настоящей главе рассмотрены некоторые вопросы оптики полупроводниковых гетероструктур с квантовыми ямами.

Вероятность перехода в поле электромагнитной волны

Под действием электромагнитного излучения электроны в квантовых ямах и сверхрешетках могут совершать переходы между подзонами размерного квантования. Для обозначения таких переходов принято использовать термин «оптические» или «излучательные» переходы. Правила, определяющие возможные квантовые переходы электрона, называются правилами отбора. Переходы, вероятность которых равна нулю, называются запрещенными, а те, вероятность которых отлична от нуля,— разрешенными.

Рассмотрим взаимодействие электрона с электромагнитным излучением. В присутствии электромагнитной волны гамильтониан, описы-

вающий движение электрона в кристалле, имеет вид

Я~(р--А)2+а(г),(3.1)

с

где А(г,0 — векторный потенциал электромагнитной волны в калибровке, когда электрический потенциал ф(г,г)=О; (/(г)- самосогласованный периодический потенциал; е, ту — заряд и масса свободного электрона соответственно. Если поле электромагнитной волны меньше атомного, то слагаемые в гамильтониане, содержащие векторный потенциал, можно рассматривать как возмущение, причем в линейном приближении по амплитуде волны слагаемым, пропорциональным А2, можно пренебречь. Используя условие div А =0, которое приводит к коммутативности операторов р и А, и пренебрегая слагаемыми, пропорциональными А2, (3.1) можно представить в виде

Н =p1/Q.m0>)+U(r)-eApKcm())=H0-е^Кст^,(3.2)

где Яо - гамильтониан электрона в кристалле в отсутствие внешнего электромагнитного поля. Таким образом, взаимодействие электрона с электромагнитной волной малой интенсивности описывается оператором -еАр/(сто).

Зависимость векторного потенциала электромагнитной волны от координаты и времени имеет вид A~exp(-/a)H-/qr), поэтому ййА = сЕ, где Е=е^ - вектор электрического поля электромагнитной волны, е^ — единичный вектор поляризации. Как правило, квазиимпульсы электрона в начальном и конечном состояниях много больше импульса фотона Aq, что нетрудно показать, используя законы сохранения энергии и квазиимпульса при оптическом переходе [1]. Поэтому, во-первых, при оптических переходах электрон мало изменяет свой импульс, т.е. оптические переходы на диаграмме энергия — квазиимпульс вертикальны; во-вторых, при вычислении матричных элементов оператора взаимодействия электрона с полем электромагнитной волны можно пренебречь зависимостью векторного потенциала от координат.

Вероятность перехода электрона в единицу времени из начального состояния |i> в конечное |f> под действием электромаг-

нитного излучения, определяемая по правилу Ферми, пропорциональна квадрату матричного элемента полного импульса, взятого между этими состояниями:

wifI2 5<е/ "е- ±йю>’<3'3>

л /ИпСО

где е/, Еу— энергии электрона в начальном и конечном состояниях. Знак «-» в аргументе дельта-функции соответствует поглощению фотона, а знак «+» — испусканию.

Напомним, что между матричными элементами полного импульса и координаты существует простая связь

Рд .(еу-еЛ _ /г mo h 1

Используя ее, (3.3) можно переписать в виде

W4 ^е^1 |е^ I2 3(Е/ -Е,±йа>).(3.4)

Для нахождения полного числа переходов в единицу времени в кристалле необходимо взять сумму от Wy по всем начальным и конечным состояниям. В частности, полное число переходов W в единицу времени, сопровождающихся поглощением фотонов, описывается выражением

(3.5) й V

Здесь предполагается, что начальные состояния электронов полностью заняты, а конечные — свободны. Зная величину W, можно найти коэффициент поглощения электромагнитной волны (см. 3.1.4).

(3.6)(3.6)Проанализируем теперь выражение для матричного элемента оператора квазиимпульса р^. Учитывая, что волновые функции электрона в начальном и конечном состояниях можно представить в виде произведения огибающей и быстроосциллирующей функции (см. 2.1.1), выражение для a-компоненты Ру можно представить в виде

(3.6)

(3.6)

ола ола

где Г,, Fj— огибающия, a ф,-, фу — быстроосциллирующие функции. Покажем теперь, что для переходов внутри одной зоны основной вклад в р,у дает второе слагаемое, а для переходов между различными зонами — первое слагаемое. Интеграл в выражении для ру можно вычислить следующим образом: разбить кристалл на элементарные ячейки, произвести интегрирование по каждой ячейке, а затем все просуммировать. При интегрировании по каждой элементарной ячейке огибающие можно считать постоянными.

Для внутризонных переходов начальная и конечная быстроосциллирующие функции одинаковы, и интеграл по элементарной ячейке от произведения ф-Эф,/Эха равен нулю (так как ф, — периодическая функция с периодом решетки). В силу ортонормиро- ванности быстроосциллирующих функций интеграл от произведения ф*ф,- по элементарной ячейке равен ее объему, деленному на объем всего кристалла [см. (2.2)]. Заменяя суммирование по элементарным ячейкам на интегрирование, получаем следующее выражение для матричного элемента импульса при переходе электрона между подзонами, принадлежащими одной зоне:

(3.7)

ола

Если начальное и конечное состояния электрона принадлежат разным зонам, тогда ф, и фу различны, интеграл от произведения Ф*Фу по элементарной ячейке равен нулю и выражение для Ру можно представить в виде

^ = ^°)J^^3r = ^O)X,(3.8)

где ру(0) определяется выражением (2.7); у — интеграл перекрытия.

Правила отбора для внутризонных переходов в квантовых ямах

Начнем рассмотрение правил отбора для внутризонных переходов с простейшего случая, когда движения электрона вдоль и поперек квантовой ямы независимы. Волновую функцию электрона можно представить в виде произведения двух независимых друг от друга функций, каждая из которых описывает движение

электрона в определенном направлении. Такая ситуация реализуется, если зависимость энергии от импульса квадратична (параболический закон дисперсии) и одна из главных осей эллипсоида постоянной энергии перпендикулярна гетерограницам. Типичными примерами являются: переходы между состояниями Лдоли- ны зоны проводимости (например, в GaAs) при не очень большой разнице энергий начального и конечного состояний электрона, когда зависимостью его эффективной массы от энергии можно пренебречь; переходы между состояниями Д-долин в структурах, выращенных на плоскости [001] (например, в Si); переходы между состояниями Т-долины, ось вращения которой нормальна к плоскости гетероперехода [111] (например, в Ge).

В перечисленных случаях разрешены только оптические переходы под действием компоненты электрического поля, перпендикулярной плоскости квантовой ямы. Действительно, компоненты поля, параллельные плоскости квантовой ямы, не могут изменить движение электрона поперек нее. А состояния электрона разных подзон размерного квантования отличаются именно характером поперечного движения. Формально запрет на такие переходы связан с ортогональностью частей волновых функций разных подзон размерного квантования, зависящих только от поперечной к квантовой яме координаты. Эта ортогональность приводит к равенству нулю соответствующих матричных элементов координаты Г,/В (3.4).

В квантовых ямах, потенциальная энергия которых симметрична относительно отражения в плоскости, расположенной в ее середине (будем называть их симметричными), кроме того запрещены переходы между состояниями подзон с номерами одинаковой четности (например, первой и третьей подзон). Другими словами, в симметричных квантовых ямах оптические переходы возможны только между состояниями подзон разной четности.

В зоне проводимости из-за непараболичности закона дисперсии электронов, т.е. зависимости их эффективной массы от энергии, продольное и поперечное движения электрона могут перемешиваться. Как уже отмечалось ранее, этот эффект наиболее ярко выражен в Г-долине зоны проводимости. Перемешивание продольного и поперечного движений электрона незначительно в широкозонных полупроводниках, однако оно может быть существенным в узкозонных материалах [2], поскольку с уменьшением запрещенной зоны е# возрастает непараболичность закона дисперсии электронов в зоне проводимости. Поэтому несмотря на сня-

тие запрета на оптические переходы под действием компонент электрического поля, параллельных плоскости квантовой ямы, вероятность таких переходов в широкозонных полупроводниках, где е#« 1эВ, на несколько порядков меньше, чем вероятность переходов, вызванных нормальной к плоскости квантовой ямы компонентой электрического поля [2, 3]. В узкозонных полупроводниках (е^ < 0,1 эВ) вероятности указанных переходов могут быть одного порядка. _

Вторая возможная причина перемешивания продольного и поперечного движений электрона в квантовой яме - анизотропия закона дисперсии электронов. Такое перемешивание происходит, например, если угол между осью симметрии эллипсоида постоянной энергии и нормалью к гетерогранице отличен от л/2. Если отношение полуосей эллипсоида постоянной энергии не зависит от координаты (т.е. одинаково с обеих сторон гетероперехода), тогда существует простое соотношение между матричными элементами координат вдоль и поперек квантовой ямы. Чтобы найти его, выберем направление оси z по нормали к гетерогранице, а оси х и у направим так, чтобы элементы тензора эффективных масс (l/m)xy = (l/m)z у=0. Тогда, совершая масштабное преобразование, осуществляющее «изотропизацию» закона дисперсии, можно показать справедливость соотношений

^=^,^=0. (3.9)

Таким образом, в этом случае разрешены оптические переходы между подзонами размерного квантования для одной компоненты электрического поля, параллельной в плоскости квантовой ямы (х-компоненты), и для нормальной компоненты электрического поля.

Сформулируем теперь правила отбора для оптических переходов между подзонами размерного квантования в валентной зоне. Эти правила отбора были получены с помощью теории групп в [4]. Для простоты ограничимся случаем симметричных квантовых ям, когда для нормально падающих на гетерограницы дырок (т.е. когда импульс вдоль квантовой ямы равен 0) отсутствует перемешивание легкой и тяжелой зон. Сначала рассмотрим правила отбора в ситуации, когда квазиимпульс дырки вдоль квантовой ямы равен нулю. В этом случае они зависят от плоскости, на которой выращена квантовая яма. Правила отбора для оптических переходов

между подзонами размерного квантования в валентной зоне для симметричных квантовых ям, выращенных на плоскостях [001] или [Ш], приведены в табл. 3.1, правила отбора для симметричных квантовых ям, выращенных на плоскости [ПО] — в табл. 3.2. Как видно из таблиц, переходы всегда идут с изменением четности номера подзон [4] (в несимметричных ямах это не так). Направление оси z выбрано по нормали к плоскости квантовой ямы.

Таблица 3.1

Таблица 3.2

Зона дырок

Но

La

Н$

L$

Зона дырок

На

La

Hs

Ls

На

-

-

z

х,У

Но

-

-

X,y,Z

X,y,z

^а

-

-

Х,У

x,y,z

La

-

-

X,y,Z

X,y,Z

Hs

Z

Х,У

-

-

Hs

X,y,Z

x,y, Z

-

-

L$

х,у

X,y,Z

-

-

L$

X,y,Z

X,y, z

-

-

Примечание. Буква Н обозначает зону тяжелых дырок, £-зоны легких и спин-отщепленных дырок, нижние индексы s и а обозначают четные и нечетные номера подзон размерного квантования. В таблице приведены поляризации разрешенных при к = 0 оптических переходов.

Интересно рассмотреть закон сохранения момента импульса при оптических переходах в валентной зоне. Как уже отмечалось в 2.3.3, состояния тяжелых дырок с нулевым квазиимпульсом в квантовых ямах, выращенных на плоскостях [001] и [111], обладают проекцией полного момента (измеренного в единицах й) на ось z, равной +3/2, а легких и спин-отщепленных — ±1/2. Любую нормально падающую на квантовую яму электромагнитную волну можно рассматривать как суперпозицию двух циркулярно поляризованных (правой и левой) волн. Проекция момента импульса циркулярно поляризованного фотона на направление его движения (спиральность) равна ±1. Поэтому, согласно закону сохранения момента импульса, при поглощении или испускании циркулярно поляризованного фотона, нормально падающего на квантовую яму, проекция момента импульса электрона на нормаль к квантовой яме должна измениться на ±1. Разность проекций момента импульса тяжелых дырок на нормаль составляет ±2, и поэтому переходы с х-, у-поляризацией между состояниями тяжелых дырок запрещены (см. табл. 3.1).

С увеличением квазиимпульса электрона вдоль квантовой ямы снимаются все запреты на оптические переходы. Причина этого — перемешивание состояний легких и тяжелых дырок на гетерограни-

^=0.32^=0.32^=0,47^=0,47^=0,67^=0,67Рис. 3.1. Кривые зависимости квадрата матричного элемента оператора импульса от волнового вектора для перехода между дырочными подзонами в трех гетероструктурах AlxGa1.xAs/GaAs/AlxGa1,x(x=0,32; 0,47; 0,67)Рис. 3.1. Кривые зависимости квадрата матричного элемента оператора импульса от волнового вектора для перехода между дырочными подзонами в трех гетероструктурах AlxGa1.xAs/GaAs/AlxGa1,x(x=0,32; 0,47; 0,67)

^=0.32

^=0.32

^=0,47

^=0,47

^=0,67

^=0,67

Рис. 3.1. Кривые зависимости квадрата матричного элемента оператора импульса от волнового вектора для перехода между дырочными подзонами в трех гетероструктурах AlxGa1.xAs/GaAs/AlxGa1,x(x=0,32; 0,47; 0,67)

Рис. 3.1. Кривые зависимости квадрата матричного элемента оператора импульса от волнового вектора для перехода между дырочными подзонами в трех гетероструктурах AlxGa1.xAs/GaAs/AlxGa1,x(x=0,32; 0,47; 0,67)

цах. Наиболее сильное перемешивание происходит при значениях квазиволнового вектора порядка обратной ширины квантовой ямы. Именно при таких значениях наблюдаются максимальные величины вероятностей переходов, запрещенных при ^ = 0. Для иллюстрации сказанного на рис. 3.1 приведены кривые зависимости межподзон- ных матричных элементов оператора импульса от величины квазиволнового вектора дырки в плоскости квантовой ямы, вычисленные в [5] для трех гетероструктур AlxGa].xAs/GaAs/AlxGai.xAs с толщиной квантовой ямы (GaAs), равной 80 А.

Правила отбора для межзонных переходов

Здесь мы ограничимся рассмотрением только прямых межзонных оптических переходов, когда начальное и конечное состояния электрона находятся в окрестности центра зоны Бриллюэна (Г-точки). Как правило, именно такие переходы используются в большинстве оптических полупроводниковых устройств, работа которых основана на межзонных переходах. Обсуждение правил отбора для непрямых межзонных оптических переходов в низкоразмерных структурах можно найти в [6].

Переходы между каждой парой подзон размерного квантования, одна из которых расположена в валентной зоне, а другая — в зоне проводимости, возможны, если энергия фотона превышает некоторую минимальную пороговую величину, т.е. для переходов существует «край» поглощения. Как правило, на пороге оптические спектры поглощения имеют свои особенности. Правила отбора для таких переходов мы и будем обсуждать.

Как было показано в 2.3.3, в симметричных квантовых ямах потолок валентной зоны располагается в точке к = 0, а в несимметричных смещен из этой точки. Поэтому в симметричных ямах краю соответствуют переходы между Г-точками зоны проводимости и валентной зоны. При отсутствии перемешивания на гетерограницах состояний легких и тяжелых дырок с к = 0 огибающие волновых функций для таких состояний имеют положительную четность в подзонах с нечетными номерами и отрицательную в подзонах с четными номерами. Это нетрудно понять, если заметить, что при кх= ку= 0 отличные от нуля элементы эффективного гамильтониана, описывающего движение электрона в валентной зоне, приведенного в 2.1.4, пропорциональны к^. Благодаря этому обстоятельству оптические переходы в симметричных квантовых ямах разрешены между подзонами размерного квантования с номерами одинаковой четности. В бесконечно глубокой яме вид огибающей не зависит от эффективной массы электрона и из-за ортогональности огибающих волновых функций переходы разрешены только между подзонами с одинаковыми номерами [3].

В зоне проводимости быстроосциллирующая часть волновой функции в Г-точке имеет симметрию 5-типа (орбитальный момент равен нулю). Поскольку отличны от нуля только матричные элементы оператора импульса типа < 5 Т 1^1^ ?>, то переходы на пороге поглощения из подзон тяжелых дырок запрещены для поляризации волны, в которой электрическое поле нормально к плоскости квантовой ямы [7]. Этот результат имеет простую физическую интерпретацию, основанную на законе сохранения момента импульса. Действительно, проекция полного момента импульса электрона на нормаль к квантовой яме в зоне проводимости равна ±1/2, а в зоне тяжелых дырок ±3/2. Но фотон, электрическое поле которого направлено по нормали к квантовой яме, обладает нулевой проекцией момента импульса на эту нормаль. Поэтому испускание и поглощение такого фотона при переходах электрона между зонами проводимости и тяжелых дырок запрещено законом сохранения момента импульса.

Что касается правил отбора для оптических переходов из подзон легких дырок, то они наиболее просты, если величина спин- орбитального расщепления валентной зоны велика по сравнению с энергией размерного квантования. В этом случае при к = 0 матричный элемент оператора импульса для компоненты электрического поля, направленной по нормали к плоскости квантовой ямы, в 2 раза больше, чем для компоненты, лежащей в этой плоскости. Аналогичные правила отбора имеют место и в объемном полупроводнике, когда импульс электрона в начальном состоянии направлен вдоль оси четвертого порядка [8].

По мере увеличения энергии перехода и отхода от края из-за перемешивания состояний легких и тяжелых дырок все запреты снимаются. Характерный масштаб волновых векторов для снятия запретов по причине, обсуждавшейся в 3.1.1, имеет порядок обратной толщины квантовой ямы. В несимметричных квантовых ямах краю перехода соответствует к * 0, и поэтому запретов нет даже для переходов на краю.

В заключение отметим, что проекция полного момента импульса электрона на нормаль к квантовой яме в зоне проводимости полностью определяется проекцией спина. Поэтому, поглощая циркулярно поляризованный свет с энергией фотона, соответствующей краю фундаментального поглощения, электрон появляется в зоне проводимости с фиксированной ориентацией спина. Таким образом, с помощью циркулярно поляризованного света в зоне проводимости можно приготовить электроны, спин которых имеет строго определенное направление [9].

Коэффициент поглощения при межзонных переходах

Рассмотрим сначала поглощение плоской электромагнитной волны в объемном полупроводнике при прямых межзонных переходах. Очевидно, число переходов электронов в единице объема в единицу времени из валентной зоны в зону проводимости под действием волны [см. (3.5)1 равно числу фотонов, поглощенных в единице объема в единицу времени. Отношение этого числа к плотности потока фотонов (которая равна плотности потока энергии волны, деленной на энергию одного фотона Л®) называется коэффициентом поглощения ар1?*. Он описывает экспоненциальное затухание интенсивности электромагнитной волны по мере распространения, имеет размерность см'1 и равен [101

а(30) =—L—Jlepp^ р g(£c(k)-£v(k)-^®)J3k,(3.10)

кт^си®

где с — скорость света в вакууме; п — показатель преломления; индексы c,v соответствуют зоне проводимости и валентной зоне; к — волновой вектор электрона.

В простейшем случае, когда минимум энергии в зоне проводимости и максимум энергии в валентной зоне расположены в центре зоны Бриллюэна и зависимости энергии от квазиимпульса для электронов и дырок характеризуются скалярными эффективными массами me,mh, из выражения (3.10) для разрешенных переходов следует [10]

а^ =^^|е^Рст(0)|2 Д)3/2^-^)'/2.(3.11)

т^сп®h

Здесь ц = memh Кте +mh) — приведенная масса электрона и дырки; Eg =[ec(0)-£v(0)] — ширина запрещенной зоны; ®>Eg/h.

Заметим, что с точностью до безразмерного коэффициента 1/(2л2) величина (2ц/Л2)3/2(Л(о-£г)1/2, входящая в коэффициент поглощения, совпадает с плотностью состояний р(30)(е) для свободной частицы, масса которой равна ц, а энергия E=h®-Eg. Таким образом, вблизи пороговой частоты оптического поглощения ®^op)=Eg/^ зависимость коэффициента поглощения от частоты определяется плотностью состояний p^XE^m-Eg).

Обсудим теперь поглощение плоской электромагнитной волны при межзонных переходах в гетероструктуре типа AlxGa]_xAs/GaAs/AlxGa]_xAs с одиночной квантовой ямой. В такой структуре слой GaAs является квантовой ямой одновременно и для электронов, и для дырок (в структурах, где электроны и дырки пространственно разделены, оптическое поглощение слабее, чем в структуре, рассматриваемой нами). Считаем, что волна распространяется перпендикулярно границам гетероструктуры (вдоль оси г) и имеет линейную поляризацию. В отличие от объемного полупроводника при таком направлении распространения волны нельзя ввести коэффициент поглощения, характеризующий потери энергии волны на единице длины. Однако можно ввести безразмерный коэффициент поглощения а(20), равный от- 77

ношению числа фотонов, поглощенных единицей площади гетероструктуры в единицу времени, к плотности потока фотонов. Согласно [11], при переходах между первыми подзонами размерного квантования тяжелых дырок и электронов коэффициент поглощения описывается выражением

“amLi »-^^l<^lЛ I^>|2|<Xie)tolZiM)to>|2

тесней(3.12)

-Eg-E^-E^Y

Здесь цАА = memhh/(me + mhh) — приведенная масса электрона и тяжелой дырки; me,mhh — соответственно эффективная масса электрона и тяжелой дырки в первой подзоне размерного квантования; Eg — ширина запрещенной зоны в слое, где локализованы электроны и дырки; Е^ >0 — отсчитываемая от дна квантовой ямы в зоне проводимости энергия низшего локализованного состояния электрона в яме; Xie)(z) — волновая функция этого состояния, входящая в виде сомножителя в огибающую полной волновой функции электрона; Е^ >0 — отсчитываемая от дна квантовой ямы в валентной зоне энергия низшего локализованного состояния тяжелой дырки в яме; xiM,(z) — волновая функция этого состояния, входящая в огибающую полной волновой функции тяжелой дырки; $(х) — единичная функция, равная единице при х>0 и нулю при х<0. Наличие этой функции в (3.12) отражает тот факт, что поглощение света возможно лишь при

m^^Eg + E^W^/h-

Заметим, что пороговая частота поглощения света е^ в гетероструктуре с квантовой ямой выше, чем пороговая частота в объемном полупроводнике, на величину (Е^ + E^)/h , которая зависит от ширины квантовой ямы. Входящий в выражение для коэффициента поглощения множитель (цАА/й2)О(й®-ег- -Е^1 -Е^') с точностью до 1/л совпадает с плотностью состояний р(20)(е) двумерной частицы, масса которой равна цЛЛ, наименьшее значение энергии размерного квантования

Ex zzE^ + E^, а энергия г = к®-г8 (см. 1.2.8). Вблизи пороговой частоты оптического поглощения ®^ частотная зависимость коэффициента поглощения определяется плотностью состояний р(2 d4e=к®-е8) и имеет ступенчатый вид.

Коэффициент поглощения света при переходах между первыми подзонами размерного квантования легких дырок и электронов получается из (3.12), если заменить величины mhh,E\hh'> и волновую функцию Xi^to, характеризующие тяжелые дырки, на величины т^Е^ и волновую функцию xi^to, характеризующие легкие дырки, и ввести дополнительный множитель 1/3 [11].

Поглощение электромагнитной волны в гетероструктуре с одной квантовой ямой незначительно, поскольку электроны, ответственные за поглощение, локализованы в слое, очень узком по сравнению с областью локализации волны. Поэтому в экспериментах необходимо использовать гетероструктуры с большим числом квантовых ям.

Утверждение о том, что вблизи пороговой частоты оптического поглощения частотная зависимость коэффициента поглощения а(№) /у_мерНОй структуры определяется соответствующей плотностью состояний р(ГОЧг=к®-Е8), имеет универсальный характер. Так, если свет поглощается квантовой точкой сферической формы, то [12]

^~-р<йпЧе. = Ь®-чУ (3.13)

Здесь

р(0о>(Е) = 25;(2/ + 1)8(Е-^-)

— плотность состояний частицы с массой ц=тетА/(те+тА); me,mh — эффективные массы электрона и дырки; п = 1,2,3,... — главное квантовое число; /=0,1,2,... — значения момента импульса; кп! — корни уравнения Л+1/2(£л/Я)=0, гДе Л+1/2- функция Бесселя, R — радиус квантовой точки. Расчет выполнен в модели квантовой точки с непроницаемыми для электронов и дырок стенками. Радиус квантовой точки считается малым по сравнению

с длиной электромагнитной волны. Согласно (3.13) спектр поглощения квантовой точки — серия дискретных линий, которые по мере уменьшения радиуса квантовой точки сдвигаются вверх по частоте.

3.2

Экситонное поглощение

Известно [10], что поглощение света в кристаллах не сводится к образованию свободных электрона и дырки. Кулоновское притяжение электрона и дырки приводит к корреляции их движения. В частности, благодаря их взаимному притяжению могут образовываться водородоподобные связанные состояния, называемые экситонами. В простейшем случае, когда минимум энергии в зоне проводимости и максимум энергии в валентной зоне расположены в центре зоны Бриллюэна и зависимости энергии от квазиимпульса для электронов и дырок характеризуются скалярными эффективными массами те, mh, уровни энергии связанных состояний электрона и дырки описываются выражением [10]

(3.14)(3.14)= _JLdJfr л=123

(3.14)

(3.14)

"^e2«2’1,Д

(3.15)(3.15)где /?у®13 эВ, p=memA/(zne+?nA) — приведенная масса, т^ — масса свободного электрона, е — диэлектрическая проницаемость полупроводника. Среднее расстояние между электроном и дыркой характеризуется эффективным боровским радиусом

(3.15)

(3.15)

°» = Е „ °Д-

Здесь а в = 0,53 А — радиус Бора для атома водорода.

Благодаря образованию экситонов свет поглощается не только на частотах го>£г/й, где eg — ширина запрещенной зоны, но и на более низких частотах <»„ =(ег+£я)/Л, л = 1,2,3,..., точнее говоря, в узких полосах вблизи частот ®п.

Электроны и дырки в квантовых ямах также могут образовывать экситоны. Однако энергия и волновая функция таких экситонов могут заметно отличаться от энергии и волновой функции трехмерных экситонов, поскольку согласно (3.15) эффективный

боровский радиус может достигать величины порядка 100 А, превышая ширину квантовой ямы. В приближении очень узкой (ширина много меньше ав) бесконечно глубокой квантовой ямы уровни энергии экситона имеют вид [13]

^D=—Н—L ^ , п=ид... (3.16) " 7«о Ё2 (И-1/2)2

Отсюда видно, что F2O = 4g’1, т.е. нижний максимум в спектре поглощения света в квантовой яме больше удален от нижнего края полосы поглощения, соответствующей образованию не связанных электрона и дырки, чем в случае трехмерного полупроводника. Этот качественный вывод сохраняется и для квантовых ям конечной глубины [13].

Увеличение энергии связи экситонов в квантовых ямах по сравнению с трехмерными полупроводниками имеет важное следствие. В полупроводниках А3В5 при комнатной температуре экситон, сталкиваясь с оптическими фононами, распадается, что ведет к уширению линий экситонного поглощения. Поэтому в трехмерном полупроводнике при комнатной температуре линии экситонного поглощения сливаются с полосой, соответствующей переходу электрона из валентной зоны в состояние непрерывного спектра в зоне проводимости. В квантовых ямах даже при комнатной температуре основная экситонная линия поглощения света остается вполне разрешимой при измерениях.

Помимо появления экситонных максимумов поглощения, кулоновское взаимодействие электрона и дырки приводит еще к одному эффекту. Волновые функции взаимодействующих электрона и дырки перекрываются больше, чем в случае, когда электрон и дырка свободны и характеризуются волновыми функциями в виде плоских волн. Поэтому матричный элемент, описывающий взаимодействие света с электронной системой полупроводника, увеличивается при учете кулоновского взаимодействия. Это утверждение справедливо и для трехмерных полупроводников [10], и в еще большей степени для двумерных структур [13]. В результа те даже при комнатной температуре наблюдаемый максимум экситонного поглощения света выражен ярче в двумерной электронной системе, чем в трехмерном полупроводнике (рис. 3.2).

На положение пиков экситонного поглощения сильно влияет электрическое поле, перпендикулярное границам квантовой ямы (квантово-размерный эффект Штарка) [15]. Под действием такого

поля пики экситонного поглощения смещаются в длинноволновую часть спектра. Этот эффект имеет большое практическое значение, поскольку позволяет достаточно просто управлять краем оптического поглощения. Впервые предложение модулировать край оптического поглощения с помощью электрического поля, направленного по нормали к границам квантовой ямы, было высказано в [16]. Сдвиг линий экситонного поглощения под действием электрического поля при комнатной температуре используется для создания быстродействующих модуляторов интенсивности света.

Поглощение

Рис. 3.2. Спектры оптического поглощения высококачественного объемного GaAs толщиной 1 мкм (кривая 1) и структуры Al0 3Ga0 7As/GaAs, содержащей 50 периодов (кривая 2). Толщина слоев и GaAs, и Al0 3Ga0JAs/GaAs равна 100 А. Измерения выполнены при комнатной температуре [14]

Рассмотрим подробнее квазидвумерные экситоны в структурах AlxGa].xAs/GaAs/AlxGa].xAs. Поскольку в GaAs имеются тяжелые и легкие дырки, то существуют квазидвумерные экситоны двух типов: электрон — тяжелая дырка (тяжелый экситон) и электрон — легкая дырка (легкий экситон). Если ширина квантовой ямы а удовлетворяет условию а <1ав, то спектр экситонов выглядит следующим образом [15]: под каждой квантово-размерной подзоной электронов расположены две серии уровней, соответствующие тяжелому и легкому экситонам. Край экситонного погло- 82

щения определяется тяжелым экситоном, образованным из электрона и тяжелой дырки, которые находятся в нижних электронной и дырочной подзонах размерного квантования. Энергия ионизации квазидвумерного экситона, связанного с определенной подзоной размерного квантования, отсчитывается от дна этой подзоны, поэтому сдвиг подзон размерного квантования приводит к сдвигу экситонных уровней, связанных с данной зоной.

Если гетероструктура помещается в электрическое поле Е, то линии экситонного поглощения смещаются, причем их смещение зависит от ориентации поля. Если вектор Е параллелен границам ямы, то, как показывает эксперимент [17], при увеличении напряженности поля пики поглощения тяжелого и легкого экситонов сдвигаются в коротковолновую сторону, одновременно уширяясь (рис. 3.3, о). При напряженности поля Е» 50 кВ/см пики исчезают. Такое поведение спектра экситонного поглощения обусловлено тем, что внешнее электрическое поле способствует разрыву пары «электрон—дырка», уменьшая тем самым энергию ионизации экситона. Уширение линии связано с тем, что электрон может оторваться от дырки, протуннелировав через потенциальный барьер, образованный полем притяжения электрона и дырки и внешним электрическим полем.

Перпендикулярное к границам квантовой ямы электрическое поле приводит к значительному сдвигу экситонных линий в длинноволновую сторону [17]. При этом уширение линий оказывается меньше, чем в случае параллельного поля той же величины. Экси- тонные пики сохраняются вплоть до таких значений электрического поля, при которых в параллельных полях они исчезают (рис. 3.3, б). Это объясняется тем, что при перпендикулярном поле потенциальные барьеры, образованные стенками квантовых ям, препятствуют разрыву электронно-дырочной пары. При перпендикулярной ориентации электрического поля смещение линий экситонного поглощения обусловлено двумя конкурирующими эффектами: во-первых, под действием электрического поля уменьшается энергия ионизации экситона, что приводит к смещению экситонных пиков в коротковолновую сторону; во-вторых, в электрическом поле изменяется форма и эффективная ширина квантовых ям, что приводит к сближению нижних подзон размерного квантования для электронов и дырок и соответственно к смещению экситонных пиков в длинноволновую сторону. Оказывается, что второй эффект превалирует над первым, поэтому результирующий сдвиг пиков экситонного поглощения происходит в длинноволновую часть спектра.

Рис. 3.3. Частотная зависимость коэффициента поглощения многослойной структуры Alg jjGan wAs/GaAs с квантовыми ямами (Л, В — тяжелый и легкий экситоны): а — электрическое поле параллельно границам квантовых ям; б — электрическое поле перпендикулярно границам квантовых ям. (Измерения выполнены при комнатной температуре; свет распространяется по нормали к слоям структуры [17])

3.3

Метод люминесценции для исследования энергетического спектра двумерных электронов

При экспериментальном исследовании целочисленного и дробного квантового эффекта Холла, а также в экспериментах по обнаружению кристаллической фазы двумерных электронов в сильном магнитном поле (так называемая вигнеровская кристаллизация) чрезвычайно эффективным для определения энергетического спектра электронов оказался метод люминесценции. Опишем его кратко, более подробные сведения об этом методе и результатах, полученных с его помощью, можно найти в [18].

В основе метода лежит излучательная рекомбинация двумерных электронов с неравновесными дырками, введенными тем или иным способом в исследуемую систему. При этом энергетический спектр дырок должен быть досконально известен. Следует заметить, что в гетероструктурах и структурах металл—диэлектрик—полупроводник, которые являются основными объектами экспериментального исследования, электрическое поле, удерживающее двумерные электроны вблизи интерфейса (т.е. вблизи одной из границ раздела структуры), '84

выталкивает неравновесные дырки от интерфейса в объемную область. Однако благодаря некоторому перекрытию волновых функций электрона и дырки имеется конечная вероятность излучательной электронно-дырочной рекомбинации. На этом эффекте основан метод люминесценции для прямых измерений одночастичной плотности состояний двумерных электронов в кремниевых структурах металл—диэлектрик—полупроводник и в одиночном гетеропереходе AlxGa].xAs-GaAs. Этот же метод с успехом применялся при изучении целочисленного квантового эффекта Холла для измерения щелей в одночастичном электронном спектре в поперечном магнитном поле, плотности квантовых состояний при вариации их заполнения и т.д.

Однако эффективность метода люминесценции в режиме дробного квантового эффекта Холла не кажется очевидной. Прежде всего неравновесные дырки как заряженные частицы могут сильно возмущать столь деликатную систему, какой является система электронов в режиме дробного квантового эффекта Холла. Далее, не ясно, можно ли в условиях оптического эксперимента в исследуемых двумерных системах реализовать низкие температуры, сравнимые с масштабами кулоновских щелей (порядка и меньше 1К), и будет ли система двумерных электронов в таких условиях квазиравновесной. Преодолеть отмеченные сложности удается, выбирая специально приготовленные структуры, в которых слой двумерных электронов пространственно отделен от области, занятой фотовозбужденными дырками. Эти дырки желательно локализовать на акцепторных центрах, удаленных на фиксированное расстояние от интерфейса.

Примером такой структуры является одиночный гетеропереход AlxGa].xAs-GaAs с тонким слоем акцепторов (получившим название 8-слоя), который создается на нужном удалении от интерфейса методом молекулярно-лучевой эпитаксии и модулированного легирования. В таких объектах благодаря нейтральности акцепторов и их значительной удаленности от интерфейса электронно-дырочное взаимодействие слабо влияет на кулоновские корреляции электронов в режиме дробного квантового эффекта Холла и вигнеровской кристаллизации.

Подчеркнем, что если электроны и дырки пространственно не разделены (например, в квантовых ямах), то электронно-дырочное взаимодействие компенсирует кулоновские корреляции в электронной подсистеме, и, как следствие, в спектрах люминесценции эти корреляции не проявляются.

3.4

Многофотонное поглощение в квантовых ямах

Общие сведения

Процесс многофотонной ионизации атомов в сильном электромагнитном поле привлекает к себе внимание в течение многих лет (см., например, [19—24] и ссылки в этих работах). Для расчета скорости этого процесса теория возмущений неприменима. Впервые задачу о многофотонной ионизации атомов, облучаемых сильным полем лазера, решил в 1964 г. Л.В.Келдыш [19]. Он показал, что частотная зависимость скорости ионизации (т.е. вероятности многофотонной ионизации в единицу времени) определяется параметром

у = со/о), =сойК/|е£|,(3.17)

где <й,Е — угловая частота и амплитуда электрического поля волны, к-1 — пространственный масштаб, характеризующий экспоненциальное спадание волновой функции электрона на больших расстояниях от атомного ядра. Величину ш;1 можно рассматривать как характерное время движения электрона в классически запрещенной области в присутствии постоянного электрического поля Е. При низких частотах (у«1) ионизация сводится к туннелированию электрона через потенциальный барьер, медленно изменяющийся во времени. При высоких частотах (у»1) ионизацию можно интерпретировать как поглощение большого числа квантов поля. В последнем случае вероятность поглощения п квантов пропорциональна 1/у2" , т.е. резко уменьшается с ростом п (предполагается, что п превышает некоторое пороговое значение).

Подход Келдыша подразумевает, что переменное поле практически не влияет на основное состояние атома, но существенно влияет на движение свободного электрона. Это движение описывается не плоской волной, а волновой функцией, которая является точным решением уравнения Шредингера для электрона в однородном переменном электрическом поле [19] (иногда ее называют волновой функцией Волкова).

Чтобы понять сложную природу процесса многофотонной ионизации, в некоторых работах [20, 23, 24] анализировались одномерные модели атомов. Интересующие нас квантовые ямы в полу- 86

проводниковых гетероструктурах — естественные объекты, ионизация которых описывается одномерной моделью. Ниже рассмотрим многофотонную ионизацию квантовой ямы под действием сильной электромагнитной волны. При этом будем считать частоту волны со такой, что энергия кванта йсо гораздо меньше глубины энергетического уровня электрона в яме. Электрическое поле волны перпендикулярно границам гетероструктуры и однородно, т.е. длина электромагнитной волны гораздо больше ширины квантовой ямы. Исследуем скорость ионизации как функцию ширины ямы и частоты волны и укажем ситуацию, когда ионизация подавлена из-за интерференции электронных волн, освободившихся из ямы. Этот эффект впервые обсуждался в [25].

Кроме того, рассмотрим ионизацию квантовой ямы переменным полем Е(/) в присутствии сильного постоянного поля Ео, параллельного Е(0. Это представляет интерес, поскольку, в частности, в фотодетекторах с квантовыми ямами гетероструктура помешается одновременно в постоянное «тянущее» поле и поле волны [26].

Будем считать температуру гетероструктуры столь низкой, что выполняются два условия: 1) все электроны находятся в основном состоянии в квантовой яме, состояния непрерывного спектра свободны; 2) характерное время между столкновениями электрона с тепловыми фононами много больше, чем время движения электрона в классически запрещенной области. Последнее условие позволяет нам пренебречь электрон-фононным рассеянием и описывать поведение электронов уравнением Шредингера.

Вероятность ионизации в единицу времени

Рассмотрим одномерное движение электрона в потенциальной яме в присутствии переменного электрического поля Ecosmt, которое налагается в момент /=0 и направлено вдоль оси х. Волновая функция электрона Т(х,0 удовлетворяет уравнению Шредингера

.,ЭТ th——= dt.,ЭТ th——= dt(3.18)(3.18)^ Э2)

.,ЭТ th——= dt

.,ЭТ th——= dt

(3.18)

(3.18)

3-+t/(x)-e£xcos(or Т 2m Эх2

с начальным условием Т(х,0) = ^(х), где т — эффективная масса электрона; t/(x) — потенциальная энергия ямы; ^(х) — волно-

вая функция основного состояния электрона в яме. Считаем, что эффективная масса электрона не зависит от координаты х и что произведение еЕ положительно. Ограничимся случаем прямоугольной ямы глубиной Uo и шириной а, причем положим t7(|x| > о/2) = 0. При этом

*0^) =*0^) =C0cos(Ax),C0cos(Ax),|х| < а/2,|х| < а/2,Со cos(^o/2)exp[-N(|x|-a/2)], |х| > а/2.Со cos(^o/2)exp[-N(|x|-a/2)], |х| > а/2.(3-19)(3-19)

*0^) =

*0^) =

C0cos(Ax),

C0cos(Ax),

|х| < а/2,

|х| < а/2,

Со cos(^o/2)exp[-N(|x|-a/2)], |х| > а/2.

Со cos(^o/2)exp[-N(|x|-a/2)], |х| > а/2.

(3-19)

(3-19)

Здесь

к-1^[,к-1^[,(3.20)(3.20)

к-1^[,

к-1^[,

(3.20)

(3.20)

^0<0 — энергия основного состояния электрона в яме. Далее везде в разд. 3.4 полагаем

(3.21)(3.21)^«l^ol •

(3.21)

(3.21)

Чтобы найти волновую функцию, удобно свести уравнение (3.18) к интегральному с помощью функции Грина, описывающей движение электрона в переменном электрическом поле Ecosmt в отсутствие потенциальной ямы (подробно вычисления см. в [20, 25]). Затем стоящую под знаком интеграла волновую функцию заменяют невозмущенной волновой функцией основного состояния электрона в яме, т.е. функцией '₽0(х)ехр(-гй’0//й). Эта приближенная процедура, предложенная в [20], подразумевает, что электрическое поле слабо влияет на основное состояние электрона в яме (еЕа «| ^о I) и что за время t нашего рассмотрения уход электронов из ямы незначителен. Соответствующие расчеты для прямоугольной квантовой ямы выполнены в [25], где показано, что для больших положительных значений х, I, удовлетворяющих неравенствам (3.27) и (3.28),

. iUom /81 г \еЕ .

(3.22)(3.22)Т(х,/) = -^ ——-У—/л(ря)ехЫ- р„ +—sinto/ г+ h V + Ra/2~P„ю /

(3.22)

(3.22)

1 о еЕ е^Е1 1

+ (1^ о ~ »й®)^ + - 1 cos cot+г sin 2<ot •.

/иш 8mco

Здесь

(3.23)(3.23)рп = ^2mh(a(n-v) (п > v),

(3.23)

(3.23)

ЙО)ЙО)12Т2]’12Т2]’(3.24)(3.24)fnM”fnM”1 япО'К+^)о/2 sinQ‘X-A:)o/2"2 iR+kiK-k1 япО'К+^)о/2 sinQ‘X-A:)o/2"2 iR+kiK-k22хехр 1 /(у)+йсохехр 1 /(у)+йсоРпй2Х2Рпй2Х2arshy—=arshy—=XXJ Фп^ ехп —£2_I со/иуJ Фп^ ехп —£2_I со/иу^L—x^L—xхх(3.25)(3.25)

ЙО)

ЙО)

1

2Т2]’

1

2Т2]’

(3.24)

(3.24)

fnM”

fnM”

1 япО'К+^)о/2 sinQ‘X-A:)o/2"

2 iR+kiK-k

1 япО'К+^)о/2 sinQ‘X-A:)o/2"

2 iR+kiK-k

2

2

хехр 1 /(у)+йсо

хехр 1 /(у)+йсо

Рпй2Х2

Рпй2Х2

arshy—=

arshy—=

X

X

J Фп^ ехп —£2_

I со/иу

J Фп^ ехп —£2_

I со/иу

^L—x

^L—x

х

х

(3.25)

(3.25)

где

/(у)= 1+^- arshy-/(у)= 1+^- arshy-2у2у(3.26)(3.26)

/(у)= 1+^- arshy-

/(у)= 1+^- arshy-

2у

2у

(3.26)

(3.26)

— функция, впервые полученная Келдышем [19]. Параметр у описывается уравнением (3.17), в котором под К следует понимать величину, приведенную в (3.20). Величина рп — средний за период поля импульс электрона, освободившегося из ямы после поглощения п квантов поля. Параметр v определяет минимальное число квантов электромагнитного поля, необходимое для ионизации. Формула (3.22) справедлива, если выполняются условия

х » а / 2, еЕ/(ты1), -^/(2mci)),(3.27)

х^т/Уйсо) «t« w 1,х^т/Уйсо) «t« w 1,(3.28)(3.28)

х^т/Уйсо) «t« w 1,

х^т/Уйсо) «t« w 1,

(3.28)

(3.28)

где w — интересующая нас вероятность ионизации ямы в единицу времени (см. ниже). Условия (3.27), (3.28) не противоречат друг другу, если, по меньшей мере, справедливо неравенство

(3.29)(3.29)w«co.

(3.29)

(3.29)

Это неравенство вполне естественно, поскольку нас интересует поведение системы при г > 1/со, откуда с учетом условия wt«A следует, что действительно w « ш.

Формула (3.25) приближенная, она получена с помощью метода перевала. Условия ее применимости зависят от параметра у.

Если у>1, то (3.25) справедлива при выполнении неравенства (3.21). Если же у «1, то (3.25) справедлива при

(3.30)

Используя волновую функцию (3.22), легко вычислить электронный поток

Дх,0=-Дх,0=-т2тт2ту^-Ч^Эх Эху^-Ч^Эх Эх(3.31)(3.31)

Дх,0=-

Дх,0=-

т

2т

т

2т

у^-Ч^

Эх Эх

у^-Ч^

Эх Эх

(3.31)

(3.31)

при больших положительных значениях х, t. Не зависящая от х часть этого потока, усредненная по периоду электромагнитного поля,

(3.32)

Очевидно, полный поток электронов из ямы равен 2у+. Этот поток определяет интересующую нас вероятность ионизации w в единицу времени (называемую также скоростью ионизации), т.е. w=2j. . Каждое слагаемое в формуле (3.32), умноженное на два, представляет собой скорость и-фотонной ионизации. Заметим, что процедура усреднения по периоду электромагнитного поля, использованная при выводе выражения для у+ , законна, поскольку в соответствии с (3.29) характерное время ионизации значительно превышает период переменного поля.

Подставляя (3.25) в (3.32) и учитывая, что для прямоугольной квантовой ямы справедливо соотношение

sin(ZX + £)a/2 sin(<N-A:)o/2 2ZX + AZX-A:sin(ZX + £)a/2 sin(<N-A:)o/2 2ZX + AZX-A:=^_((/о-^о|)|^о|, (3.33)=^_((/о-^о|)|^о|, (3.33)

sin(ZX + £)a/2 sin(<N-A:)o/2 2ZX + AZX-A:

sin(ZX + £)a/2 sin(<N-A:)o/2 2ZX + AZX-A:

=^_((/о-^о|)|^о|, (3.33)

=^_((/о-^о|)|^о|, (3.33)

представим скорость ионизации в виде

1 + ХО/2( С7о J 51 + ХО/2( С7о J 5(3.34)(3.34)

1 + ХО/2( С7о J 5

1 + ХО/2( С7о J 5

(3.34)

(3.34)

где

(n-v)(n-v)(3.35)(3.35)

(n-v)

(n-v)

(3.35)

(3.35)

/ ЗеЕ „-2(^0|/йш)/(Т) | 2у3

8 й рлХ|^0| рлО + у2)

exp — 2| arsh у—т/Vl + У2

Vn-v

— скорость ионизации б -образной квантовой ямы [20]. Подчеркнем, что формулы (3.34) и (3.35) в принципе не могут описывать скорость однофотонной ионизации в слабом электромагнитном поле, поскольку при однофотонной ионизации йсо^^о!, в то время как (3.35) получена в предположении, что йш«| ^01.

Формулы (3.34) и (3.35) применимы для квантовой ямы с одним энергетическим уровнем. При наличии нескольких энергетических уровней этими формулами можно пользоваться, если среди высших уровней нет резонансного, т.е. такого, который отстоит от основного на Мео, где N — целое число.

Как уже отмечалось в 3.4.1, характерное время т между столкновениями электрона с тепловыми фононами должно быть значительно больше, чем характерное время Ту движения электрона в классически запрещенной области. В квазиклассическом приближении величину Т/ можно оценить, решая уравнение Ньютона для подбарьерного движения:

dp/dt = eEcosmt.

Входящее сюда время — мнимое, поскольку подбарьерное движение в классической физике невозможно. При интегрировании этого уравнения полагаем, что электрон входит под барьер из квантовой ямы, имея импульс /ЙК в момент времени лу, а выходит из-под барьера с нулевым импульсом в момент t =0. В результате получаем

/йк =—sinO'ayty),

откуда находим

Т(0»1Т(0»1Следовательно, выражения (3.34) и (3.35) справедливы при столь низких температурах, что выполняется условие

Т(0»1

Т(0»1

(3.36)

Это неравенство сводится к условиям too,»1 при у «1 и тсо»1п(2у) приу»1.

Проанализируем формулы (3.34) и (3.35). В высокочастотном пределе (у»1) члены ряда, входящего в (3.35), резко убывают с ростом номера п. Следовательно, достаточно ограничиться наибольшим из них, номер которого наиболее близок к v = |g’o |/йш (обозначим этот номер nmin). В результате получим

е*а1 Wо| )з >1^о|^ШШ1 + К о/2~ 7СЙ2йсо8 ,1( г^01 + (—I)”™"cos4•^min '-|^ о|/й(0VЙеое*а1 Wо| )з >1^о|^ШШ1 + К о/2~ 7СЙ2йсо8 ,1( г^01 + (—I)”™"cos4•^min '-|^ о|/й(0VЙеоехрехр(3.37)(3.37)

е*а

1 Wо| )з >1^о|

^ШШ

1 + К о/2

~ 7СЙ

2йсо8 ,

1

( г

^0

1 + (—I)”™"

cos

4

•^min '

-|^ о|/й(0

V

Йео

е*а

1 Wо| )з >1^о|

^ШШ

1 + К о/2

~ 7СЙ

2йсо8 ,

1

( г

^0

1 + (—I)”™"

cos

4

•^min '

-|^ о|/й(0

V

Йео

ехр

ехр

(3.37)

(3.37)

В соответствии с определением nmin имеем nmin -l<v<nmin, т.е. «min-l^^olA®-'1!™ . Ситуация, когда l^ol^min^®» соответствует порогу nmin -квантового поглощения.

Скорость ионизации в высокочастотном пределе имеет особенности. Зафиксируем глубину ямы, амплитуду и частоту переменного электрического поля и будем увеличивать ширину ямы. При этом величина | ^01 возрастает, отношение | ^0 |/йш стремится к nmin снизу и скорость ионизации становится пропорциональной (nmin -|^о l/йоэ)-^ ->оо при четном nmin и (^min—1 ^о l/^®)1^2 ~* ^ при нечетном nmin. Таким образом, если порог соответствует четному nmin , то скорость ионизации на пороге обращается в бесконечность. Если же порог соответствует нечетному nmin, она стремится к нулю.

Обращение скорости ионизации в бесконечность при четных nmin связано с особенностью плотности электронных состояний в 92

одномерном случае. При нечетных wmin сингулярность скорости ионизации на пороге подавлена. Это можно интерпретировать следующим образом. Если электрон поглощает квант поля, волновая функция электрона меняет четность. И основное состояние электрона в прямоугольной яме, и низшее состояние непрерывного спектра описываются четными волновыми функциями, поэтому переход между этими двумя состояниями возможен, если электрон поглощает четное число квантов поля. Переходы, сопровождаемые поглощением нечетного числа квантов, запрещены. Таким образом, при увеличении ширины ямы скорость ионизации на порогах поочередно обращается в нуль и бесконечность.

Помимо описанного выше, существует второй тип особенностей скорости ионизации как функции ширины ямы. Согласно (3.37) скорость ионизации равна нулю при условии

4 И O5i=№-l),t=U... (^=2/,/=!^,...),

V йш V^11" йш [2tofc, к=\^„. (^п=2/+1,/=и...). '

Формально при этом условии матричный элемент, связывающий основное состояние электрона в яме и состояние непрерывного спектра, обращается в нуль. Физическая причина этого эффекта заключается в следующем. Экспоненциальные функции в последней строке формулы (3.25) можно записать в виде ехр(+ф„х0/й), где х0=й«/тш. Следовательно, в соответствии с (3.22), (3.25) компоненту волновой функции с импульсом рп можно рассматривать как суперпозицию двух волн, выходящих из двух различных точек, расстояние между которыми 2ху . Если отношение этого расстояния к длине волны электрона 2тсй/рп есть целое число при нечетных wmin и полуцелое число при четных wmin [эти условия выражаются формулой (3.38)], то в результате интерференции двух парциальных волн амплитуда компоненты волновой функции, соответствующей импульсу рп, обращается в нуль. Таким образом, второй тип особенностей скорости ионизации связан с интерференцией двух электронных волн, освобождающихся из ямы.

Строго говоря, поскольку анализируемые нами формулы применимы при w«<o, мы не можем утверждать, что при некоторых значениях параметров квантовой ямы и переменного поля скорость ионизации стремится к бесконечности. Мы не можем также утверждать, что скорость ионизации (3.37) строго равна нулю при 93

некоторых значениях параметров, так как в формуле (3.37) не учтены многофотонные процессы с п>птт. Кроме того, энергетические уровни электронов в полупроводниках имеют конечную ширину из-за столкновений электронов, например с фононами. Поэтому минимальное значение (птт -v)1/2 следует считать равным не нулю, а величине порядка («пГ1/2, где т — характерное время движения электрона между соударениями. Согласно (3.36) при у »1 произведение сот велико, поэтому особенности скорости ионизации должны проявляться при достаточно низких температурах.

Рассмотрим теперь низкочастотный предел {у«1). Прежде всего выделим из ряда, входящего в (3.35), член с п = nmin, так как этот член может обращаться в бесконечность. В остальных членах ряда, пользуясь малостью параметра у, перепишем экспоненциальную функцию в виде ехр[-2у3 (л- v)/3]. Очевидно, что это медленная функция п при у «1. Напротив, второе слагаемое в фигурных скобках быстро осциллирует при изменении п, и мы можем опустить его при вычислении суммы ряда. После этого суммирование по п от nmin +1 до оо можно заменить интегрированием по переменной = 2у3 (л - v)/3. В результате найдем

екоw~—1 + «л/2екоw~—1 + «л/2х(х(J^o ЗеЕ ।•2-—— Jt—г^~?ехр -h рлХ ^0J^o ЗеЕ ।•2-—— Jt—г^~?ехр -h рлХ ^04к|£о]ЗеЕ4к|£о]ЗеЕххЗл(лГП1П -v)Зл(лГП1П -v)l+(_l)”nun cos 4 p°](nmin-v)у йюуl+(_l)”nun cos 4 p°](nmin-v)у йюу(3.39)(3.39)

екоw~—

1 + «л/2

екоw~—

1 + «л/2

х(

х(

J^o ЗеЕ ।

•2-—— Jt—г^~?ехр -h рлХ ^0

J^o ЗеЕ ।

•2-—— Jt—г^~?ехр -h рлХ ^0

4к|£о]ЗеЕ

4к|£о]ЗеЕ

х

х

Зл(лГП1П -v)

Зл(лГП1П -v)

l+(_l)”nun cos 4 p°](nmin-v)у йюу

l+(_l)”nun cos 4 p°](nmin-v)у йюу

(3.39)

(3.39)

Из этого выражения видно, что скорость ионизации как функция ширины ямы или частоты поля сингулярна при таких значениях параметров, при которых у=лт1п, если лт,п — четное число. Эти сингулярности описываются вторым слагаемым в фигурных скобках. Оно становится существенным, лишь если v очень близко к лт1П, так как у «1. Учтем электрон-фононные столкновения и заменим для оценок минимальное значение (л^-у)1/2 величиной (<от)-1/2. При этом максимальное значение сингулярного члена в фигурных скобках будет порядка у^^п-у)-1/2 ~(у3оп)1/2,

что значительно меньше единицы при достаточно малых у. Поэтому в дальнейшем будем пренебрегать вторым слагаемым в фигурных скобках. В этом приближении скорость ионизации не зависит от частоты.

Заметим, что множитель ехр(-4к |^0| /(Зе£)+ Na), входящий в (3.39), представляет собой квазиклассическую прозрачность треугольного барьера, образующегося при наложении постоянного электрического поля Е на поле квантовой ямы. В силу неравенства (3.30) эта прозрачность мала по сравнению с единицей. Другой множитель, [(Зе£/(2лN | ^0 |)]1/2, входящий в (3.39), определяет часть периода переменного поля, когда ширина барьера минимальна и туннелирование происходит наиболее эффективно. Это утверждение становится очевидным, если сравнить скорость ионизации в низкочастотном пределе (3.39) со скоростью ионизации в постоянном поле, величина которого равна амплитуде переменного поля (см. 3.4.3).

Интересно, что, с одной стороны, формула (3.39) описывает туннелирование электрона из ямы через изменяющийся во времени потенциальный барьер. С другой стороны, (3.39) получена из формулы (3.35), в соответствии с которой в низкочастотном пределе ионизация представляет собой совокупность большого числа многофотонных процессов, сопровождающихся поглощением либо nmin, либо «min+1,..., либо wmin +Л/у3 фотонов, где Л~1. Оценка коэффициента А является следствием того, что вклад и-фотонного процесса в скорость ионизации пропорционален ехр[-2у3 (и - v)/3].

Подчеркнем, что выражение (3.39) применимо в частотном диапазоне w«(o«e£/AN. Верхний предел определяется условием у «1, а нижний предел тем, что число носителей в яме не должно существенно меняться за период поля.

На рис. 3.4 показана зависимость скорости ионизации от ширины квантовой ямы в низкочастотном пределе при трех значениях амплитуды электрического поля [25]. Расчеты выполнены по формуле (3.39) при U^ =0,3 эВ, m = O,O7mo, что приблизительно соответствует гетероструктуре AlxGa^xAs/GaA^AlxGa^xAs и-типа.

Как уже отмечалось выше, в низкочастотном пределе скорость ионизации не зависит от частоты поля, которая, однако, должна быть значительно больше скорости ионизации. Из графиков видно, что скорость ионизации — монотонная функция ширины ямы. Это обусловлено тем, что глубина уровня энергии и масштаб 95

локализации К 1 волновой функции основного состояния электрона в яме являются монотонными функциями ширины ямы. Чем уже яма, тем больше скорость ионизации, так как в узкой яме глубина уровня энергии невелика, соответственно малы высота и ширина барьера, через который туннелирует электрон при выходе из ямы.

Рис. 3.4. Зависимость скорости ионизации от ширины квантовой ямы в низкочастотном пределе

Рисунок 3.5 [25] иллюстрирует зависимость скорости ионизации от ширины ямы в высокочастотном пределе (у »1). Расчеты выполнены по формуле (3.37). В этом случае зависимость w(a) резко немонотонна. Особенности в точках а® 33 А, а «52 А соответствуют порогам. Минимальное число квантов поля, необходимое для ионизации, возрастает скачком с 3 до 4 в точке а» 33 А и с 4 до 5 в точке а * 52 А. Если ширина ямы приближается к 33 А снизу, то минимальное число квантов wmin, необходимое для ионизации, равно 3, следовательно, согласно (3.37) пороговое значение скорости ионизации равно нулю. Напротив, на пороге а «52 А скорость ионизации стремится к бесконечности. Особенность вблизи точки а «48 А не является пороговой. Значение а «48 А — корень уравнения (3.38) при nmin = 4. Такие особенности мы назвали особенностями второго типа. Они обусловлены интерференцией двух электронных волн, освободившихся из ямы.

Стрелки со значками 0, оо указывают на точки, в которых скорость ионизации обращается соответственно в нуль и бесконеч-

ность и в которых минимальное число квантов, необходимое для ионизации, изменяется на единицу. Стрелка над кривой указывает ширину ямы, при которой скорость ионизации обращается в нуль из-за интерференции двух электронных волн, освободившихся из ямы.

Рис. 3.5. Зависимость скорости ионизации от ши

W, сW, с12122020рины квантовой ямы в высокочастотном пределе (Uo = 0,3 эВ; т = О,О7/ио, амплитуда переменного поля 70 кВ/см, частота поля с/(2я) = 14ТГц)

W, с

W, с

12

12

20

20

20 ш/(2я), ТГц

Рис. 3.6. Зависимость скорости ионизации от частоты электрического поля в высокочастотном пределе. Глубина ямы 0,3 эВ, ширина 50 А, амплитуда поля 70 кВ/см

4 Физика квантовых низкоразмериых структур

Зависимость скорости ионизации от частоты электрического поля в высокочастотном пределе (у »1) изображена на рис. 3.6 [25]. Стрелки со значками 0, = указывают частоты, на которых скорость ионизации обращается соответственно в нуль и бесконечность и в которых минимальное число квантов, необходимое для ионизации, изменяется на единицу. Стрелки над кривой указывают частоты, на которых скорость ионизации обращается в нуль из-за интерференции двух электронных волн, освободившихся из ямы (особенности второго рода). Стрелки под кривой (справа налево) соответствуют частотам, на которых минимальное число квантов поля, необходимое для ионизации ямы, изменяется скачком с 2 до 3, с 3 до 4 и т.д.

Оценим эффективность многофотонной ионизации Q, под которой понимается отношение числа электронов, покинувших квантовую яму единичной площади в единицу времени, к числу фотонов, падающих на яму за этот промежуток времени. Согласно рис. 3.6, при Uo =О,ЗэВ,т = О,О7/Ио, о«40А, Е=70 кВ/см, ос/(2л) = 14 ТГц скорость ионизации составляет w »1010 с-1, поэтому при концентрации электронов в яме п$ = 1012 см-2 число частиц, покидающих яму в единицу времени, nsw = 1022 с'1 см-2. Число квантов поля, падающих на единицу площади структуры в единицу времени,

Nph~-^-C^E\оЛлО)

где ё — диэлектрическая проницаемость полупроводника. В нашем примере при е == 12,5 получаем Nph ~2,61027 с-1 см-2. Следовательно, эффективность многофотонной ионизации составляет Q = nsw/Nph ~ 3,8 10“6. Если менять лишь амплитуду электрического поля Е, то зависимость Q(£) будет описываться формулой

Q-3,8 10-6(E/70)6,

где Евыражается в кВ/см.

Мы рассмотрели два предельных случая — низкочастотный (у «1) и высокочастотный (у »1) . Частоту со^р, разделяющую области низких и высоких частот, можно оценить из условия у ~ 1, что дает

«кр ~еЕЦ1т\^о\.

При значениях параметров, использованных при построении графика на рис. 3.6, находим, что ^0 = - 0,21 эВ и 0^ /(2л) ~2,8 ТГц.

3.4.3. Ионизация квантовой ямы постоянным и переменным электрическими полями

Рассмотрим ионизацию квантовой ямы, помещенной одновременно в постоянное и переменное однородные электрические поля. Считаем, что поля направлены вдоль оси х, которая в свою очередь перпендикулярна границам квантовой ямы. Ограничимся случаем достаточно низких частот, когда время движения электрона в классически запрещенной области гораздо меньше периода переменного поля. Прежде всего найдем скорость ионизации в постоянном поле Ео . Эта задача численно исследована в [27], ее аналитическое решение найдено в [25].

Согласно [25], волновая функция электрона, туннелирующего из прямоугольной квантовой ямы в постоянном поле Ео, при больших положительных значениях x,t [см. (3.42) и (3.43)] имеет вид

wx a- u°^ rsHK+A:)q/2 ! sHK-fe)q/2l

’ ^2^2е£^^\+^2. iR+k i^-k . (3.40)

x^1^^1—2.expx^1^^1—2.expЗдесь подразумевается, что eE0 >0. Выражение (3.40) справедливо, если выполняются условияЗдесь подразумевается, что eE0 >0. Выражение (3.40) справедливо, если выполняются условияеЕоа«| ^о |, w(Eoy «1,еЕоа«| ^о |, w(Eoy «1,2т I еЕ0eE0R ’ ^ | ^о | К2т I еЕ0eE0R ’ ^ | ^о | Клл^^х-\М<еЕ^4^^х-\М<еЕ^4(3.41)(3.42)(3.43)(3.41)(3.42)(3.43)где w(E<y — искомая скорость ионизации в постоянном электрическом поле. Условия (3.41) позволяют пренебречь, во-первых,где w(E<y — искомая скорость ионизации в постоянном электрическом поле. Условия (3.41) позволяют пренебречь, во-первых,

x^1^^1—2.exp

x^1^^1—2.exp

Здесь подразумевается, что eE0 >0. Выражение (3.40) справедливо, если выполняются условия

Здесь подразумевается, что eE0 >0. Выражение (3.40) справедливо, если выполняются условия

еЕоа«| ^о |, w(Eoy «1,

еЕоа«| ^о |, w(Eoy «1,

2т I еЕ0eE0R ’ ^ | ^о | К

2т I еЕ0eE0R ’ ^ | ^о | К

л

л

^^х-\М<еЕ^4

^^х-\М<еЕ^4

(3.41)

(3.42)

(3.43)

(3.41)

(3.42)

(3.43)

где w(E<y — искомая скорость ионизации в постоянном электрическом поле. Условия (3.41) позволяют пренебречь, во-первых,

где w(E<y — искомая скорость ионизации в постоянном электрическом поле. Условия (3.41) позволяют пренебречь, во-первых,

влиянием поля £q на основное состояние электрона в яме, во- вторых, уходом носителей из ямы за время t Неравенства (3.41) и (3.42) не противоречат друг другу, если

w(£0)«3/e^N/(2m).w(£0)«3/e^N/(2m).(3.44)(3.44)

w(£0)«3/e^N/(2m).

w(£0)«3/e^N/(2m).

(3.44)

(3.44)

Подчеркнем, что волновую функцию (3.40) нельзя получить из волновой функции (3.22), положив в последней о>=0, так как в этом случае нарушаются условия применимости (3.27) и (3.28) выражения (3.22).

Подставляя волновую функцию в (3.31), найдем поток электронов из ямы, который и представляет собой скорость ионизации w(£0). Таким образом,

w(£0) « , -^ f 1 -L^ol^L^ol^yolK/Oe^)(3 45)

0 l + Na/2^ Uo J hх ’

Заметим, что скорость ионизации в переменном поле, найденная в низкочастотном пределе [см. (3.39)], отличается от скорости ионизации в постоянном поле, величина которого равна амплитуде переменного поля [см. (3.45) при £0 = £], множителем 73е£/2л8|^01. Как отмечалось в 3.4.2, этот множитель определяет часть периода переменного поля, когда барьер минимален и туннелирование происходит наиболее эффективно.

Пусть теперь на яму действует электрическое поле £0 + £cosa>?. Частоту переменного поля считаем низкой (ой^(е£0)«1). Для определенности полагаем £ < £0 (при этом поток частиц из ямы может иметь лишь одно направление). Поскольку рассматриваемый нами процесс является квазистатическим, то скорость ионизации w можно вычислить, заменяя в (3.38) £0 на £0 +£cosorf и усредняя полученное выражение по периоду переменного поля, т.е.

2iV<ow=— [ w(£0 + £ cosa>0^ •(3.46)

Использование процедуры усреднения подразумевает, что ш» w.

Если амплитуда переменного поля достаточно велика, так что выполняется неравенство

1

Зе(£0+£)2

2|^0|N£»l,

(3.47)

то интеграл (3.46) можно вычислить методом перевала. В результате получим

(3.48)(3.48)е*а Ig’olWol Зе(Е0+£) he(£0 + £)2

(3.48)

(3.48)

l + Na/2( Uo J й8л|^01«^ '

Если в формуле (3.45) заменить Ео на Ео + Е и сопоставить с выражением (3.48), то легко видеть, что в силу неравенства (3.47) скорость ионизации в постоянном и переменном полях гораздо меньше, чем в постоянном поле величиной Е0*Е. Это обусловлено тем, что лишь незначительную часть периода полное поле близко к Ео+Е. Именно в течение этого незначительного промежутка времени туннелирование из ямы происходит наиболее эффективно и так, как в постоянном поле величиной Ео + Е.

Рис. 3.7. Зависимость скорости ионизации от ширины квантовой ямы при трех значениях амплитуды переменного поля ((/о=О,ЗэВ, m = 0,07mo, постоянное электрическое поле £0= 100 кВ/см) [25]Рис. 3.7. Зависимость скорости ионизации от ширины квантовой ямы при трех значениях амплитуды переменного поля ((/о=О,ЗэВ, m = 0,07mo, постоянное электрическое поле £0= 100 кВ/см) [25]

Рис. 3.7. Зависимость скорости ионизации от ширины квантовой ямы при трех значениях амплитуды переменного поля ((/о=О,ЗэВ, m = 0,07mo, постоянное электрическое поле £0= 100 кВ/см) [25]

Рис. 3.7. Зависимость скорости ионизации от ширины квантовой ямы при трех значениях амплитуды переменного поля ((/о=О,ЗэВ, m = 0,07mo, постоянное электрическое поле £0= 100 кВ/см) [25]

Зависимость скорости ионизации от ширины квантовой ямы при различных значениях амплитуды переменного поля показана на рис. 3.7. Расчет выполнен непосредственно по формуле (3.46) (как и для рис. 3.8). Как видно из графиков, при фиксированных значениях Е0,Е скорость ионизации монотонно уменьшается при увеличении ширины ямы. Это связано с понижением уровня энергии основного состояния электрона в яме и, следовательно, с увеличением эффективной толщины и высоты барьера, который

должен быть преодолен электроном, покидающим яму. Скорость ионизации существенно зависит от амплитуды переменного поля, причем эта зависимость тем сильнее, чем больше ширина ямы.

На рис. 3.8 представлена зависимость скорости ионизации от амплитуды переменного поля при различных значениях напряженности постоянного поля и фиксированной ширине ямы. Эта зависимость становится менее выраженной при усилении постоянного поля.

Рис. 3.8. Зависимость скорости ионизации от амплитуды переменного электрического поля при двух значениях Eq (глубина ямы 0,3 эВ, ширина 40 А) [25].

3.5

Лазеры на структурах с квантовыми ямами

Предшественником лазера на структуре, содержащей квантовую яму, является инжекционный полупроводниковый лазер с двойной гетероструктурой, упрощенная схема и энергетическая диаграмма которого показаны на рис. 3.9 [13]. Двойная гетероструктура содержит п- и p-слои полупроводника с большой шириной запрещенной зоны, между которыми находится слой прямозонного р-полупроводника с меньшей шириной запрещенной зоны (этот слой называется активным). Инверсия населенности уровней достигается при большом прямом токе за счет инжекции избыточных носителей в активный слой. При рекомбинации электронов и дырок в этом слое генерируется когерентное излуче- 102

ние, выходящее через полупрозрачные зеркала. Генерация возникает, если усиление светового излучения при его взаимодействии с активным слоем превосходит потери энергии, обусловленные выходом излучения наружу и поглощением его в гетероструктуре. Усиление света превосходит потери его энергии, если ток через гетероструктуру превышает некоторое значение, которое называется пороговым.

р - А^ОЗ] xAsр - А^ОЗ] xAsр - GaAsр - GaAsп " ^x^ai-x^Sп " ^x^ai-x^S

р - А^ОЗ] xAs

р - А^ОЗ] xAs

р - GaAs

р - GaAs

п " ^x^ai-x^S

п " ^x^ai-x^S

а)б)

Рис. 3.9. Двойная гетероструктура (а) с полупрозрачными зеркалами 3 на торцах и ее энергетическая диаграмма (б):

/ — ток через гетероструктуру, ^с ,^ v — края зоны проводимости и валентной зоны; белые и черные кружки — электроны и дырки.

Подчеркнем, что двойная гетероструктура служит одновременно двум целям: во-первых, скачки дна зоны проводимости и валентной зоны способствуют локализации электронов и дырок в активном слое, препятствуя их растеканию, поэтому в двойной гетероструктуре легче добиться инверсной населенности при заданном токе (по сравнению со случаем, когда р-полупроводник с большой шириной запрещенной зоны отсутствует); во-вторых, показатель преломления активного слоя больше показателей преломления окружающих слоев, что приводит к локализации в нем световой волны, при этом она более эффективно стимулирует излучательные переходы носителей.

Простейший вариант лазера, в котором используется гетероструктура с квантовой ямой, имеет такой же вид, как лазер с двойной гетероструктурой (рис. 3.9), но ширина активного слоя столь мала, что в нем проявляется пространственное квантование спектра носителей заряда. Однако в такой структуре коэффициент, характеризующий пространственную локализацию световой волны в квантовой яме, очень мал (пропорционален квадрату ширины квантовой ямы [13]) и световое излучение взаимодействует с носителями заряда неэффективно. Чтобы преодолеть этот недоста-

ток, в [28, 29] было предложено использовать специальные слои, окружающие квантовую яму и служащие для локализации светового излучения вблизи нее. Пример структуры с такими слоями приведен на рис. 3.10.

In Ga AsУ 1-уIn Ga AsУ 1-уа) б)Рис. ЗЛО. Гетероструктура с квантовой ямой и специальными слоями для локализации светового излучения (а) и ее энергетическая диаграмма (6):а) б)Рис. ЗЛО. Гетероструктура с квантовой ямой и специальными слоями для локализации светового излучения (а) и ее энергетическая диаграмма (6):

In Ga As

У 1-у

In Ga As

У 1-у

а) б)

Рис. ЗЛО. Гетероструктура с квантовой ямой и специальными слоями для локализации светового излучения (а) и ее энергетическая диаграмма (6):

а) б)

Рис. ЗЛО. Гетероструктура с квантовой ямой и специальными слоями для локализации светового излучения (а) и ее энергетическая диаграмма (6):

3 — полупрозрачные зеркала; 1,4 — «-полупроводник и ^полупроводник с широкой запрещенной зоной; 2 — слои нелегированного полупроводника, служащие для локализации светового излучения; 3 — квантовые ямы для электронов и дырок в слое полупроводника с малой шириной запрещенной зоны; 5 — уровни энергии локализованных в квантовых ямах состояний электронов и дырок; 8? с,2? v — края зоны проводимости и валентной зоны.

Для локализации световой волны используются слои нелегированного полупроводника, помеченные на рисунке цифрой 2. Между этими слоями расположен слой полупроводника с малой шириной запрещенной зоны, в котором образуются квантовые ямы и для электронов, и для дырок. Благодаря пространственному квантованию спектра носителей заряда частота генерации лазера определяется не шириной запрещенной зоны, а расстоянием между энергетическими уровнями электронов и дырок в квантовых ямах. Поскольку число состояний, населенность которых необходимо инвертировать, в квантовой яме значительно меньше, чем в двойной гетероструктуре, пороговая плотность тока в лазере на структуре с квантовой ямой существенно меньше, чем в лазере на двойной гетероструктуре.

Более подробные сведения о работе лазеров на структурах, содержащих квантовую яму, можно найти в [13].

Литература

Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.: Наука, 1990.

Takada Y. J. Phys. Soc. Japan. 50,1998,1981.

ШикА.Я. ФТП. 22,1843, 1988.

Алешкин В.Я., Романов Ю.А. ФТП. 27,329,1993.

Stoklitsky S.A., Holtz P.O., MonemarB. etal. Appl. Phys. Lett. 65, 1706, 1994.

Алешкин В.Я., Бекин H.A. ФТП. 31, 171, 1997; Aleshkin V.Ya., Bekin N.A. J. Phys.: Condens. Matter. 9,4841,1997.

Петров B.A. ФТТ. 18, 1400,1976.

Оптическая ориентация / Под ред. Б.П.Захарчени, Ф.Майера. Л.: Наука, 1989. Гл. 2.

Петров В.А. ФТТ. 19,3101, 1977.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. М.: Наука, 1978.

Bastard G. Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructures. N.Y.: Halsted Press, 1988.

S.Schmitt-Rink S., Miller D.A.B., Chemla D.S. Phys. Rev. B35, 8113, 1987.

Weisbuch C., Vinter B. Quantum Semiconductor Structures. San Diego: Academic Press, 1991.

Schmitt-Rink S., Chemla D.S., Miller D.A.B. Advances in Physics. 38, 89, 1989.

Елинсон М.И., Петров B.A. Микроэлектроника. 16,522,1987.

Петров В.А. ФТТ. 14, 2894,1972.

Miller D.A.B. et al. Phys. Rev. B32,1043,1985.

Кукушкин И.В., Тимофеев В.Б. УФН. 163,1,1993.

Келдыш Л.В. ЖЭТФ. 47,1945, 1964.

Переломов А.М., Попов В.С., Терентьев М.В. ЖЭТФ. 50,1393, 1966.

Reiss HR. Phys. Rev. А 22, 1786,1980.

Mittleman M.S. Phys. Rev. A 40,463,1989.

Eberly J.H., Su Q., JavanainenJ. Phys. Rev. Lett. 62, 881,1989.

Su Q., Eberly J.H. Phys. Rev. A 43,2474,1991.

Demikhovskii V.Ya., Vugalter G.A. J. Phys.: Condens. Matter. 8, 2585, 1996.

Rosencher E., Vinter B., Levine B. Intersubband Transitions in Quantum Wells / Ed. B.Levine. N.Y., 1992.

Juang C, Kuhn K.J., DarlingR.B. Phys. Rev. В 41,12047,1990.

Tsang W.T. Appl. Phys. Utt. 39,134,1981.

Tsang W. T. Appl. Phys. Utt. 40,217, 1982.

Глава 4

ТУННЕЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ

4.1

Двухбарьерные структуры

Общие сведения

Современные технологические методы позволяют создавать многослойные полупроводниковые гетероструктуры с толщиной слоев 1—10 нм. Этот масштаб может быть сравним с длиной волны де Бройля электронов или дырок, поэтому в таких структурах может проявиться волновая природа носителей заряда, в частности открывается возможность наблюдения резонансного туннелирования электронов через систему потенциальных ям и барьеров. Впервые использовать эффект резонансного туннелирования электронов в слоистых тонкопленочных структурах металл — диэлектрик для создания электронных интерферометров, тонкопленочных диодов, триодов и т.п. предложил Л.В.Иогансен [1-3]. Однако его предложения довольно долго не были реализованы из-за отсутствия развитой тонкопленочной технологии. Лишь в семидесятые годы в результате развития молекулярной эпитаксии стало возможным создание гетероструктур, подобных предложенным Л.В.Иогансеном, но с заменой слоев металл — диэлектрик эпитаксиальными слоями различных полупроводниковых материалов, прежде всего слоями AlxGa]_xAs/GaAs [4]. Впервые [5] были описаны диоды, созданные на основе гетероструктур, с вольт-амперными характеристиками, особенности которых можно было объяснить резонансным туннелированием электронов. Однако эти особенности наблюдались лишь при низких температурах (Г< 77 К). Потребовалось почти десять лет, прежде чем уда-

лось создать диоды на основе тонкопленочных гетероструктур, в которых резонансное туннелирование проявлялось при температурах до 200 К [6, 7] и даже при комнатной температуре [8, 9]. Работы [6—9] положили начало широкому исследованию резонансного туннелирования электронов в двухбарьерных квантовых структурах (см. обзоры [10,11] и цитированную в них литературу). Резонансное туннелирование электронов и вольт-амперная характеристика (ВАХ) резонансно-туннельного диода обсуждаются в разд. 4.1,4.2.

Подчеркнем, что интерес к двухбарьерным квантовым структурам обусловлен малой инерционностью процесса резонансного туннелирования в них (характерное время туннелирования порядка 10”13с), а следовательно, перспективами создания высокочастотных приборов, работающих в терагерцевом диапазоне частот, и цифровых приборов со временем переключения менее 1 пс.

Коэффициенты отражения и прохождения

Рис. 4.1. Двухбарьерная квантовая структура

Пусть на двухбарьерную структуру в положительном направлении оси г падают электроны с энергией Е и соответственно с импульсом hk=y/lmE (рис. 4.1). Найдем амплитуды отражения R и прохождения D через структуру, не решая уравнения Шредингера, а рассматривая многократные переотражения волн от барьеров. Амплитуды отражения Ru и прохождения 2^ 2 Для пеР" вого и второго барьеров соответственно считаем известными.

Учитывая, что фазовый набег электронной волны при распространении от одного барьера до другого равен kL, и суммируя получающиеся геометрические прогрессии, можем написать

R = Rx a-D^R^Dx +DxeikLR2eikLRxeikLR2eikLDx +...= D^R2e2ikL(4.1)

v + \-RxR2e2ikL’

D= V^^Dxe^R^^xe^D, ^.„=.(4.2)

1 — К\К2в

(4.3)(4.3)(4.4)(4.5)(4.4)(4.5)Обозначим RX 2 ^/tale'4*1,2, тогда коэффициент прохождения можно представить в виде

(4.3)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.4)

(4.5)

l+j/?!^] -2|/?1/?21008(2^1 + 9! +ф2)

Если импульс падающих частиц удовлетворяет условию

^л£+(ф]+ф2)/2 = тсл, и = 0,1,2,..., то их коэффициент прохождения

(подчеркнем, что ф12 зависят от к , причем, как можно показать, в интересующем нас случае туннелирования через прямоугольные барьеры -я<Ф112 <0). Будем считать барьеры достаточно толстыми. В этом случае коэффициенты E\,D2 экспоненциально малы (пропорциональны е-*1"1 .е"*2"2, где й^ 2 = ^2т ((/12 -Е) ), а коэффициенты отражения близки по модулю к единице:

ы=^н^~1-ы2А(4.6)

Подставляя последнее выражение в (4.5), получим

\D(E = Е )|2 = ^М ^1(4 7)

где Е„ = h2k2/(2m). В частности, при [Dj^D^ (например, барьеры одинаковы) [/)(£„ )[2 = 1. Это и есть эффект резонансного туннелирования. Поскольку число частиц при рассеянии на барьере сохраняется, то |Л(Е„)|2 =0.

Итак, хотя проницаемости барьеров малы (|Z^212«1) , ПРИ некоторых значениях энергии частица «не чувствует» барьеров. Механизм резонансного туннелирования таков: из-за интерференции электронных волн при их отражении от барьеров снаружи остаются лишь падающая и прошедшая электронные волны, а обратная (отраженная) волна полностью гасится.

Полезно найти волновую функцию электрона в яме между барьерами. Она имеет вид

¥(0] <£<L*ax) = Aelk^~a^+Be-lk^-L-ai\(4.8)

где

D К(4 9)

В = DxeikLR2 + DxeikLR2e‘k%elk%+...=^^^

Здесь заложено предположение, что амплитуда падающей волны равна единице. Из формул (4.9) видно, что при k = kn

И#

Полагая |Д| = |/)2|, получим, что |ЛНЯ|=1/|£)1|»1. Таким образом, амплитуда волновой функции внутри ямы значительно больше, чем вне двухбарьерной структуры. На языке классической механики можно сказать, что электрон задерживается в яме на большой промежуток времени и многократно ударяется о барьеры, вследствие чего многократно возрастает вероятность его туннелирования из ямы.

Квазистационарные состояния электрона в яме между барьерами

Чтобы установить физический смысл значений энергии, при которых происходит резонансное туннелирование электронов, рассмотрим задачу о стационарных состояниях частицы в яме между барьерами. Решение уравнения Шредингера

(4.Ю)(4.11)(4.Ю)(4.11)й2 ^2^ „ m,

(4.Ю)

(4.11)

(4.Ю)

(4.11)

--т = Е Oi <Z<Oi +£,2т d£

имеет вид

Т(г)=С1вй(г-°') *Cie"ikU-L^,

гдеСьС2 — произвольные постоянные; k-Jlm^/h. Поскольку решение представляется в виде двух волн, бегущих навстречу друг другу, и амплитуды RXI отражения волн от барьеров мы считаем известными, на коэффициенты СЬС2 можно наложить условия

С] = RxeikLCI, С2 = Rie*LCx.(4.12)

Нетривиальное решение этой системы существует при

1-.М2е2М=0.(4.13)

Поскольку |Я, Я2| < 1, это уравнение не имеет действительных корней и, следовательно, стационарных состояний в яме нет. Однако при 17?!^! = ! корни уравнения (4.13) близки к действительным и можно говорить о квазистационарных состояниях. Последние характеризуются комплексными значениями энергии

£„ =Re£n+/Im£„, |lm£„|«Re£„,(4.14)

или, что эквивалентно, комплексными значениями волнового числа

кп = ^2тЁп Д = Rekn +ilmk„ , |lmfcn|«Refc„ .(4.15)

Очевидно,

Re£„ ^^(Re^)2, Im£„ ==—Rekn 1тЛя.(4.16)

2mm

Используя представление RX2 = |^i,2|e"₽l'2 и формулы (4.15), (4.6), из (4.13) получим

Де^Т+^ф]+ф2)|4=Ке^ — кп, л=0,1,2,Де^Т+^ф]+ф2)|4=Ке^ — кп, л=0,1,2,Im£ ,1 ^Ф1+Фг)|~1шкя l+2 dk |t=Re^Im£ ,1 ^Ф1+Фг)|~1шкя l+2 dk |t=Re^Ц 12 l/?i/?2|, d ГЦ 12 l/?i/?2|, d Г-^<|А|2+|»г|2)|1.к^.-^<|А|2+|»г|2)|1.к^.(4.17)(4.18)(4.17)(4.18)

Де^Т+^ф]+ф2)|4=Ке^ — кп, л=0,1,2,

Де^Т+^ф]+ф2)|4=Ке^ — кп, л=0,1,2,

Im£ ,1 ^Ф1+Фг)|~

1шкя l+2 dk |t=Re^

Im£ ,1 ^Ф1+Фг)|~

1шкя l+2 dk |t=Re^

Ц 1

2 l/?i/?2|, d Г

Ц 1

2 l/?i/?2|, d Г

-^<|А|2+|»г|2)|1.к^.

-^<|А|2+|»г|2)|1.к^.

(4.17)

(4.18)

(4.17)

(4.18)

Уравнение (4.17) совпадает с (4.4), поэтому Re^, = £„, Re^ = En. Следовательно, резонансное туннелирование осуществляется через квазистационарные уровни энергии электрона в яме.

Далее, согласно (4.16) и (4.18)

Im£„ = -^К~^ 1^1,(4.19)

где Ln — величина, стоящая в квадратных скобках в (4.18). Она имеет смысл расстояния между плоскостями эффективного отражения электронной волны. Рассматривая hKeknjm как скорость классического движения электрона на уровне Re£„, можно интерпретировать величину v„ =йДеЛя/(т£я) как частоту ударов о барьеры. Введем время релаксации тя квазистационарного состояния с номером п по формуле 1т£я =-h/in (иногда в литературе определяют время релаксации соотношением 1ш£л = —й/2тя). Тогда из (4.19) следует

(4.20)

^п |Д|2 +|О2^ '"

Для нижнего уровня в структуре, содержащей слои GaAs и А10 3Са0 7As , при Ux = U2 = 0,2 эВ, т = 0,067/иь , £ = 50 А, ах=а2 = = 70 А оказывается, что т0 «10-10 с, а при ^ = а2 = 50 А т = 8 • 10-12 с.

До сих пор не учитывалось рассеяние электронов на примесях, дефектах, фононах и т.д. Процессы рассеяния нарушают когерентность электронных волн и условия их интерференции, что ill’

приводит к так называемому столкновительному (релаксационному) уширению энергетических уровней электрона, т.е. к увеличению llm^l. Вклад процессов рассеяния в величину Ёп принято обозначать -й/тр . Время релаксации тр возрастает с уменьшением концентрации примесей и дефектов, а также с понижением температуры. Для чистого GaAs при Г=77 К тр»10"12с, при Т = 200 К тр «10-12с и при Т = 300К тр =3 10“I3c.

Энергетическая зависимость резонансного коэффициента прохождения

Рассмотрим выражение (4.2) для амплитуды прохождения при значениях к , близких к Rekn, т.е. при значениях энергии, близких к Еп. Отличие к от Re£„ будем учитывать лишь в резко изменяющемся знаменателе. Зависимостью |T?J,|/?2| от к в малом интервале вблизи Rekn пренебрежем. Получим

(4.21)(4.21)РхР^*^

(4.21)

(4.21)

где Д,Д,|Д|,|/?2| взяты при k = Rekn. Входящую в знаменатель экспоненту можно представить в виде

e<t₽|(*«)+<l>2(*n)+2^].e<t₽|(*«)+<l>2(*n)+2^].1+/ 2£+1+/ 2£+Ф1 ^Ф2)dk dk JФ1 ^Ф2)dk dk J*=Re*„*=Re*„Цс-кпу.Цс-кпу.(4.22)(4.22)

e<t₽|(*«)+<l>2(*n)+2^].

e<t₽|(*«)+<l>2(*n)+2^].

1+/ 2£+

1+/ 2£+

Ф1 ^Ф2)dk dk J

Ф1 ^Ф2)dk dk J

*=Re*„

*=Re*„

Цс-кпу.

Цс-кпу.

(4.22)

(4.22)

Подставим (4.22) в (4.21), учтем, что комплексные волновые числа кп удовлетворяют уравнению (4.13), и воспользуемся соотношением (4.18). Придем к выражению

(4.23)(4.23)2ДДе'Ке^л

(4.23)

(4.23)

(|О,р+|Д2|2)[1+,^Л^1

V 1m

—1)2

Поскольку E-ReEn =—Rekn(k-Rekn'), Im£„ =—Refc„Im£„, тт

то окончательно получаем

D»D»^^XE-E^ih/x^’^^XE-E^ih/x^’(4.24)(4.24)илиили^№M_„ lE-E^^K '^№M_„ lE-E^^K '(4.25)(4.25)

D»

D»

^^XE-E^ih/x^’

^^XE-E^ih/x^’

(4.24)

(4.24)

или

или

^№M_„ lE-E^^K '

^№M_„ lE-E^^K '

(4.25)

(4.25)

Отсюда видно, что коэффициент прохождения имеет лоренцев- скую форму зависимости от энергии падающих на двухбарьерную структуру частиц (при значениях Е, близких к Еп \

Оказывается, если учесть рассеяние электронов (тр # °°), то даже при IZ^^IZ^]2 максимальное значение l^2*!, но оно тем ближе к единице, чем больше отношение ^v/^n .

Пространственные флуктуации толщины или состава барьерных слоев приводят к тому, что на различных участках двухбарьерной структуры энергии резонансных уровней различны, что в свою очередь уменьшает полный резонансный ток частиц с заданной энергией. Поэтому требование высокой степени идентичности и однородности барьерных слоев является существенным при изготовлении резонансных туннельных полупроводниковых гетероструктур и приборов на их основе.

4.2

Резонансно-туннельный диод

Резонансно-туннельный диод представляет собой двухбарьерную структуру с квантовой ямой (рис. 4.2). Его крайние слои вы- соколегированы, к ним примыкают омические контакты. Характерная ширина барьеров 20—50 А, ширина ямы составляет 30— 100 А. В структуре, показанной на рис. 4.2, высота барьеров зависит от концентрации х алюминия, возрастая приблизительно линейно от 0,2—0,25 эВ при х=0,3 до 1,355 эВ при х=1 . В качестве примера заметим, что при х=0,3, £ = 50 А в квантовой яме существует одно квазистационарное состояние с энергией Ео = 7080 мэВ. Концентрация доноров в высоколегированных областях

из

V/^mо тV/^mо т+ о+ о

V/^mо т

V/^mо т

+ о

+ о

диода превышает 1017 см"3, при этом можно считать электронный газ в n’GaAs вырожденным и описывать его функцией распределения Ферми.

Пусть к диоду приложено напряжение V, которое для простоты считаем падающим лишь на барьерах (положительный полюс источника присоединен к правому контакту, рис. 4.2). Найдем ток I в отрицательном направлении оси г, вызываемый этим напряжением. Как ясно из рисунка, пройти через резонансный уровень могут лишь электроны, падающие из эмиттера, поэтому током электронов коллектора пренебрегаем. Учитывая, что в единице объема число электронов внутри сферы Ферми, проекция импульса которых на ось г лежит в интервале от hkz до Mkz + dkz), равно 2k(pf -h2kz)hdkz/(2itif)3, где pF — импульс Ферми, можем записать

(4.26)(4.26)2 2it(pF -h2k2)hdkz(2лй)3

(4.26)

(4.26)

Здесь 5 — площадь сечения структуры, |D(/c,)|2 — коэффициент прохождения электронов через нее.

Рис. 4.2. Энергетическая диаграмма идеализированного резонансно-туннельного диода:

1, 2 — эмиттер и коллектор из п GaAs; 3, 4 — барьеры из AlxGa1-xAs; 5 — потенциальная яма из GaAs с одним квази- стационарным состоянием. Положительное напряжение Глодано на коллектор. Считается, что оно падает лишь на барьерах. В отсутствие напряжения энергия квазистационарного состояния превышает уровень Ферми р = р2/(2т)

Перейдем к интегрированию по энергии Е=(йА:г)2/(2т). В качестве | IXE^2 подставим выражение (4.25), в котором под |/)12 |2сле- 114

дует понимать коэффициенты прохождения через барьеры, измененные внешним полем, а вместо Еп писать Ео+еР^ (И — падениенапряжения на левом барьере), так как теперь мы отсчитываем энергию не от дна квантовой ямы, а от дна зоны проводимости эмиттера. Полагая для простоты Hi =К/2, ID^I^I [строго говоря, если барьеры одинаковы в отсутствие напряжения, то при V#0 DX(EVD2(E>) из-за разности высот барьеров], получим

/ = —J (ц - Е) =

2л2Л3 Jo (Е-EQ-eVlTf +(й/тл)2

=^-EQ-eV!li arctg^-^£KZ2 +(4.27)

2л2й2тл|_( й/тл

й/т„ J 2т„(£о+еУ/2)2+(й/тл)2 /

При й/тл —>0 это выражение упрощается:

/«И^(р-£о+|е№)^

4пй2тл(4.28)

+sign(£0-k|K/2)J.

Вольт-амперная характеристика резонансно-туннельного диода, описываемая формулой (4.28), изображена на рис. 4.3. Налицо падающий участок зависимости тока от напряжения, т.е. имеется отрицательная дифференциальная проводимость, обращающаяся, на первый взгляд, в бесконечность. На самом деле максимальное значение тока /тах =|е|т5|1/(2лй2тл) обращается в нуль при т„ =°о, поэтому чтобы найти отрицательную дифференциальную проводимость, необходимо вернуться к выражению (4.27). Из него следует, что дифференциальная проводимость

di _ e2mS ц h dV~ keW [т„цdi _ e2mS ц h dV~ keW [т„цi^m2 . бл»i^m2 . бл»

di _ e2mS ц h dV~ keW [т„ц

di _ e2mS ц h dV~ keW [т„ц

i^m2 . бл»

i^m2 . бл»

+ arctg+ arctg^o -|e|K/2^o -|e|K/2(^AJ2(£0-|е|К/2)2+(й/тл)2(^AJ2(£0-|е|К/2)2+(й/тл)2(4.29)(4.29)

+ arctg

+ arctg

^o -|e|K/2

^o -|e|K/2

(^AJ2(£0-|е|К/2)2+(й/тл)2

(^AJ2(£0-|е|К/2)2+(й/тл)2

(4.29)

(4.29)

Рис. 4.3. Вольт-амперные характеристики резонансно-туннельного диода: 1 — идеализированная (й/т„->0) ВАХ; 2 — ВАХ при конечном значении й/тл

^тах ”18 Imax^тах ”18 Imax2лйИт„'2лйИт„'(4.30)(4.30)Отсюда видно, что при й/тл «ц, K = 2£0/|e| найденная величина отрицательна, а модуль ее достигает максимального значения |^|тах=е2/и5ц/(4л2й3). Очевидно,

^тах ”18 Imax

^тах ”18 Imax

2лй

Ит„'

2лй

Ит„'

(4.30)

(4.30)

Подчеркнем, что в отличие от максимального тока, пропорционального 1/тя,величина |g|max не зависит от ширины резонансного уровня. Физическая причина этого такова: чем шире резонансный уровень, тем большее число электронов может пройти из эмиттера через двухбарьерную структуру и, следовательно, тем больше ток, но тем менее резко он спадает при изменении напряжения на диоде.

Поскольку внешнее электрическое поле изменяет форму и высоту барьеров относительно резонансного уровня, то даже при идентичности толщин и состава барьерных слоев их проницаемости по-разному зависят от приложенного к диоду напряжения: при увеличении напряжения проницаемость выходного барьера (правый на рис. 4.2) возрастает, проницаемость входного барьера падает. Это ведет к снижению кривой резонансного туннелирования и, следовательно, уменьшению отрицательной дифференциальной проводимости, что описывается множителем 4|ДР2 p/ODj |2-i-IDj |2)2 <1. Для обеспечения одинаковой проницаемости барьеров слои следует делать различными (выходной

барьер должен быть толще, чем входной), причем требуемая степень неидентичности зависит от напряжения на диоде.

В реальных диодах на резонансный ток накладывается нерезонансный фон, который включает нерезонансное туннелирование сквозь потенциальные барьеры, надбарьерную температурную инжекцию электронов из эмиттера в коллектор, термостимулированное туннелирование электронов через высшие резонансные уровни (если они есть) и т.д. Доля нерезонансной составляющей тока быстро возрастает с увеличением электронной температуры и рассеяния электронов на неоднородностях гетероструктуры, примесях и т.п. Именно вследствие снижения нерезонансного фона резонансный пик на ВАХ диода становится более выраженным по мере понижения рабочей температуры прибора. При этом ток в резонансном максимуме меняется слабо, зато резко снижается «фоновый» ток. Тот же эффект достигается при улучшении качества гетероструктуры, снижении концентрации примесей и повышении высоты барьеров над резонансным уровнем. Экспериментально наблюдались отчетливые резонансные пики с перепадами тока /max//min = 3 при температуре 300 К и /max//min = 10 при 77 К [9]. Типичные ВАХ резонансно-туннельного диода при различных температурах показаны на рис. 4.4.

Развитием идеи резонансно-туннельного диода является многобарьерная структура, содержащая последовательность монотонно сужающихся квантовых ям [12]. Их ширины подобраны таким образом, что при некотором напряжении нижние квазистацио- нарные состояния всех ям характеризуются одним значением энергии и позволяют электрону резонансно туннелировать через структуру. При этом на ВАХ наблюдается очень резкий резонансный пик.

Эффект резонансного туннелирования в двухбарьерной квантовой структуре используется не только в диодах, но и в транзисторах. Существует несколько типов транзисторов с двухбарьерной квантовой структурой [11, 13]. Рассмотрим лишь один из них — биполярный резонансно-туннельный транзистор с согласованным эмиттером, предложенный и экспериментально исследованный в [14].

Основу этого транзистора составляет гетероструктура типа п-р-п. Эмиттер изготовлен из AlxGa1-xAs л-типа, база — из GaAs p-типа, в базу включена нелегированная двухбарьерная квантовая структура AlAs/GaA^/AlAs. Чтобы обеспечить перенос электронов через базу в условиях, близких к равновесным, в слой базы толщи-

Рис. 4.4. Типичные вольт-амперные характеристики резонансно-туннельного диода при 77 К (кривая 7) и 300 К (кривая 2) [8]

ной 53 нм, прилегающий к эмиттеру, включена небольшая доля алюминия (х = 0,07), а содержание алюминия в эмиттере линейно возрастает от х=0,07 на границе с базой до х=0,25 на расстоянии 53 нм от границы. Благодаря этому дно зоны проводимости на входе в двухбарьерную квантовую структуру практически совпадает с ее первым резонансным уровнем, вследствие чего возможно резонансное туннелирование электронов, находящихся в тепловом равновесии с решеткой.

Зонная диаграмма, поясняющая формирование зависимости тока коллектора /к от тока базы /Б, показана на рис. 4.5. Сначала рост тока базы сопровождается изменением разности потенциалов между базой и эмиттером, высота р-п-перехода между эмиттером и базой уменьшается и растет туннельный ток из эмиттера в коллектор (даже при постоянном напряжении между эмиттером и коллектором, рис. 4.5, а). При некотором критическом значении тока базы /Б кр дно зоны проводимости эмиттера сравнивается с резонансным уровнем (рис. 4.5, 6) и ток коллектора, обусловленный в основном резонансно-туннельным током через двухбарьер-

Рис. 4.5. Зонная диаграмма биполярного резонансно-туннельного транзистора с согласованным эмиттером при ^Б<^Бкр (°)’ ^Б = ^Б кр (б)- ^Б > ^Б кр («)• На вставках — соответствующие зависимости коллекторного тока от тока базы при фиксированном напряжении между коллектором и эмиттером Р^э П4]Рис. 4.5. Зонная диаграмма биполярного резонансно-туннельного транзистора с согласованным эмиттером при ^Б<^Бкр (°)’ ^Б = ^Б кр (б)- ^Б > ^Б кр («)• На вставках — соответствующие зависимости коллекторного тока от тока базы при фиксированном напряжении между коллектором и эмиттером Р^э П4]Рис. 4.6. Экспериментальная зависимость тока коллектора от тока базы биполярного резонансно-туннельного транзистора с согласованным эмиттером при напряжении 12 В между коллектором и эмиттером и температуре 300 К [14]

Рис. 4.5. Зонная диаграмма биполярного резонансно-туннельного транзистора с согласованным эмиттером при ^Б<^Бкр (°)’ ^Б = ^Б кр (б)- ^Б > ^Б кр («)• На вставках — соответствующие зависимости коллекторного тока от тока базы при фиксированном напряжении между коллектором и эмиттером Р^э П4]

Рис. 4.5. Зонная диаграмма биполярного резонансно-туннельного транзистора с согласованным эмиттером при ^Б<^Бкр (°)’ ^Б = ^Б кр (б)- ^Б > ^Б кр («)• На вставках — соответствующие зависимости коллекторного тока от тока базы при фиксированном напряжении между коллектором и эмиттером Р^э П4]

ную структуру, достигает максимального значения. При дальнейшем увеличении тока базы дно зоны проводимости эмиттера оказывается выше резонансного уровня (рис. 4.5, в), резонансное туннелирование прекращается и ток коллектора резко падает до значения, определяемого нерезонансным фоном. В экспериментах [14], выполненнных в широком интервале температур (от 100 до 300 К), наблюдался выраженный падающий участок на зависимости /к(/Б) (Рис- 4.6). При 300 К перепад тока /ктах/^ктш был близок к 3, коэффициент усиления по току М^М6 достигал 7.

4.3 Туннелирование электронов из квантовой ямы в скрещенных электрическом и магнитном полях

Общие сведения

Большой интерес вызывают туннельные эффекты в высококачественных гетероструктурах, помещенных в магнитное поле. Так, в нескольких статьях (см., например, [15—17] и цитированную в них литературу) теоретически было рассмотрено туннелирование электронов через прямоугольный барьер между двумя полупроводниками в присутствии магнитного поля. Туннелирование в гетероструктурах, содержащих один барьер, из квантовой ямы в поверхностные состояния, локализованные вблизи гетерограницы (так называемые интерфейсные состояния, они соответствуют классическим «скачущим» орбитам электронов) описано в [18]. Резонансное туннелирование в гетероструктурах с двумя барьерами в случае, когда магнитное поле параллельно плоскостям барьеров, исследовано теоретически в [19, 20] и экспериментально в [21]. Авторы работы [21] наблюдали туннелирование на поверхностные уровни Ландау двух типов: одни соответствовали орбитам, пересекающим промежуток между барьерами, другие — «скачущим» орбитам. Туннелирование из квантовой ямы в постоянных скрещенных электрическом и магнитном полях в случае, когда барьеры отсутствуют и поверхностные уровни Ландау не играют роли, изучено теоретически в [22].

Ниже мы рассмотрим эту задачу, предполагая, что электрическое поле перпендикулярно границам квантовой ямы, а магнитное поле перпендикулярно электрическому. Считаем магнитное поле столь сильным, что вне ямы существуют уровни Ландау. При

этом эффективный потенциал, действующий на электрон, может иметь два минимума (рис. 4.7). В отсутствие рассеяния, если начальное состояние электрона локализовано в квантовой яме, происходят переходы из ямы во второй минимум потенциала и обратно, и вероятность обнаружения электрона в яме осциллирует. Однако рассеяние электронов, которое всегда имеет место в полупроводниковых гетероструктурах, нарушает эту картину. Если характерное время т между столкновениями электрона гораздо меньше обратной скорости w-1 электронного туннелирования из ямы, но много больше характерного времени тf движения электрона в классически запрещенной области, т.е.

(4.31)(4.31)Рис. 4.7. Эффективный одномерный потенциал U^W, в котором движется электрон: Eq — уровень энергии основного квазистационарного состояния в яме; горизонтальные линии—уровни Ландау е„ [см. (4.41) и (4.42)]Рис. 4.7. Эффективный одномерный потенциал U^W, в котором движется электрон: Eq — уровень энергии основного квазистационарного состояния в яме; горизонтальные линии—уровни Ландау е„ [см. (4.41) и (4.42)]

(4.31)

(4.31)

Рис. 4.7. Эффективный одномерный потенциал U^W, в котором движется электрон: Eq — уровень энергии основного квазистационарного состояния в яме; горизонтальные линии—уровни Ландау е„ [см. (4.41) и (4.42)]

Рис. 4.7. Эффективный одномерный потенциал U^W, в котором движется электрон: Eq — уровень энергии основного квазистационарного состояния в яме; горизонтальные линии—уровни Ландау е„ [см. (4.41) и (4.42)]

то в силу правого неравенства (4.31) возвращение электрона в яму не является неизбежным и можно рассматривать туннелирование из квантовой ямы на уровни Ландау, пренебрегая обратным процессом. Благодаря рассеянию электронов вне ямы образуется диссипативный ток и электроны, освободившиеся из ямы, удаляются от нее. Заметим, что лишь благодаря рассеянию электронов существовал и был измерен в работах [18, 21] ток, перпендикулярный границам ямы. В то же время, учитывая левое неравенство (4.31), можно пренебречь столкновениями электрона при движении в классически запрещенной области и описывать его поведение уравнением Шредингера. Левое неравенство (4.31) выполняется для достаточно чистых образцов при низких температурах. Будем

считать, что все электроны в яме находятся на нижнем энергетическом уровне и описываются функцией распределения Ферми, что также имеет место лишь при низких температурах.

Квазистационарные состояния электрона

Рассмотрим прямоугольную квантовую яму, сформированную в гетероструктуре A^Ga^As/GaAs/A^Ga^As. Яма расположена между плоскостями у = ±о/2. На нее наложены постоянное электрическое Е и магнитное Н поля, направленные соответственно вдоль осей y,z. Пусть в момент / = 0 электроны находятся в основном состоянии в яме. Из-за полей Е, Н это состояние может быть квазистационарным, и наша задача заключается в том, чтобы выяснить, какое характерное время необходимо, чтобы двумерный вырожденный электронный газ покинул яму.

Мы не учитываем спин электрона, поскольку проекция спина на направление магнитного поля сохраняется при туннелировании и дополнительная энергия, связанная со спином, одинакова в яме и вне ее.

Запишем стационарное уравнение Шредингера для электрона в приближении эффективной массы:

1 Iв \

— р-—A -еЕу+1Ду) T(r) = g^r).(4.32)

Zmkс )

^r^^"^ ^(Pxx+Pzz) <р(у),^r^^"^ ^(Pxx+Pzz) <р(у),(4.33)(4.33)Здесь е,т — заряд и эффективная масса электрона; А — векторный потенциал, описывающий магнитное поле; (/(у) — потенциальная энергия ямы, причем (/(у)=-(/0 при |у|<о/2 и (/(у)=0 при |у|>о/2. Зависимостью эффективной массы электрона от координаты пренебрегаем. Удобно выбрать векторный потенциал в калибровке Ландау А=(-Яу,0,0). При этом гамильтониан в уравнении (4.32) не зависит от x,z, и мы можем искать решения этого уравнения в виде

^r^^"^ ^(Pxx+Pzz) <р(у),

^r^^"^ ^(Pxx+Pzz) <р(у),

(4.33)

(4.33)

где px,pz — проекции импульса электрона соответственно на оси x,z. Подставляя (4.33) в (4.32), получаем одномерное уравнение

Ру т^ 2т+ 2Ру т^ 2т+ 2(у-л)2+^(у)(у-л)2+^(у)ф- ^"S"F'"’-+~ф- ^"S"F'"’-+~Ф, (4.34)Ф, (4.34)

Ру т^ 2т+ 2

Ру т^ 2т+ 2

(у-л)2+^(у)

(у-л)2+^(у)

ф- ^"S"F'"’-+~

ф- ^"S"F'"’-+~

Ф, (4.34)

Ф, (4.34)

где

кЬ^, у ету (4 35)

соответственно циклотронная частота, скорость дрейфа электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях и координата у центра классической ларморовской орбиты электрона.

Если пренебречь влиянием потенциала квантовой ямы на движение электрона вне ямы, уравнение (4.34) дает уровни Ландау

/1 А р 2ту2

^п^Рг =йй>с^+22^+^-^~ ’(436)

^рДУ^ЛУ-УсК(4.37)

где и=0,1,2,...,

волновые функции стационарных состояний гармонического осциллятора [23]; Н„ — полиномы Эрмита; 1Н =(сй/|е|Я)1/2 — магнитная длина.

Однако уровни энергии (4.36) не исчерпывают всех возможных уровней в рассматриваемой нами системе. Обозначим энергию основного состояния в квантовой яме в отсутствие электрического и магнитного полей 8’0=-й2К2/(2т), где К"1 — масштаб локализации волновой функции вне ямы. Если в области ямы изменение потенциала т^с(у-ус)2/2 на масштабе а+2/к мало по сравнению с | g^ |, т.е.

I Рх -т1^ Pf+т Vd 1н)2 (4.39) Z(Z т К О)

(pF — импульс Ферми), то можно заменить потенциал гармонического осциллятора в (4.34) значением этого потенциала при

у=0. В результате становится очевидным, что в яме существует основное состояние с энергией

^oA,Pz~^o + Im + 2m + VdPx~ 2 '(4‘40)

Последнее выражение можно представить во вполне естественном виде

0,А.Рг = ^0 +(Pz +Рх)/2т •

Волновая функция <Ро(у), соответствующая уровню энергии 8\Рх,Рг ’ описывается приближенно таким же выражением, как волновая функция основного состояния электрона в яме в отсутствие электрического и магнитного полей [см. формулы (3.19), (3.20), причем в первой из них надо заменить х на у, То на <ру ]. В общем случае волновая функция <ро(у) описывает не стационарное, а квазистационарное состояние. Скорость туннелирования, которую мы хотим найти, определяет время жизни электронов в этом состоянии (усредненное по распределению Ферми).

Ниже вместо энергий (4.36), (4.40) будем использовать энергии

s„ s^nW -^-¥4рх^-^=Цп^J,(4.41)

^=^^X^-Im-V4px* 2 -ro+ 2m • (4,42)

Энергетические уровни электрона гп^ и эффективный одномерный потенциал

^эф(у)=^т(о2(у-ус)2+[/(у), действующий на электрон, показаны на рис. 4.7.

Скорость туннелирования

Рассмотрим процесс туннелирования электрона из ямы. Волновая функция электрона Т(г,г) удовлетворяет уравнению Шредингера

. ат/й—=dr. ат/й—=dre V тН Р—А 2т\ с )e V тН Р—А 2т\ с )-eEy+U(y) Т(г,г)-eEy+U(y) Т(г,г)(4.43)(4.43)

. ат

/й—=dr

. ат

/й—=dr

e V тН Р—А 2т\ с )

e V тН Р—А 2т\ с )

-eEy+U(y) Т(г,г)

-eEy+U(y) Т(г,г)

(4.43)

(4.43)

с начальным условием

iiЧ,(Г’°)=2^'ехЕ ^Рхх*Рг^ %(у),Ч,(Г’°)=2^'ехЕ ^Рхх*Рг^ %(у),LALA(4.44)(4.44)

i

i

Ч,(Г’°)=2^'ехЕ ^Рхх*Рг^ %(у),

Ч,(Г’°)=2^'ехЕ ^Рхх*Рг^ %(у),

LA

LA

(4.44)

(4.44)

где Фо (у) — волновая функция основного состояния электрона в яме (см. 4.3.2). С помощью замены

Ч'(г,/)=-^-ехр2пАЧ'(г,/)=-^-ехр2пАтО^+М-Т ^"+^рх -пп ZmтО^+М-Т ^"+^рх -пп Zm™ 1/2 А mvd2™ 1/2 А mvd2tt<М (4.45)<М (4.45)

Ч'(г,/)=-^-ехр2пА

Ч'(г,/)=-^-ехр2пА

тО^+М-Т ^"+^рх -пп Zm

тО^+М-Т ^"+^рх -пп Zm

™ 1/2 А mvd

2

™ 1/2 А mvd

2

t

t

<М (4.45)

<М (4.45)

задача сводится к пространственно одномерной. Уравнение для функции ф(у,/) имеет вид

Эф РуЭф Руdt 2тdt 2тт<$?с / х2 х"2 (У-Ус) +U(y) ф.т<$?с / х2 х"2 (У-Ус) +U(y) ф.(4.46)(4.46)

Эф Ру

Эф Ру

dt 2т

dt 2т

т<$?с / х2 х

"2 (У-Ус) +U(y) ф.

т<$?с / х2 х

"2 (У-Ус) +U(y) ф.

(4.46)

(4.46)

Замена функции (4.45) позволяет перейти от энергий (4.36), (4.40) к энергиям (4.41), (4.42).

Из рис. 4.7 ясно, что при фиксированных значениях px,pz электрон может покинуть яму, если энергия начального состояния в яме совпадает с одним из уровней Ландау:

^^кРх"”^ = А(ОС1 И+~^^кРх"”^ = А(ОС1 И+~(4.47)(4.47)

^^кРх"”^ = А(ОС1 И+~

^^кРх"”^ = А(ОС1 И+~

(4.47)

(4.47)

Выражая отсюда |рх -mVd | и подставляя эту величину в неравенство (4.39), получим, что в случае сравнительно глубокой ямы (или сравнительно слабых полей) электрон может покинуть яму, если выполняется условие

(4.48)(4.49)(4.48)(4.49)fl^lf2 1 „ PUT?

(4.48)

(4.49)

(4.48)

(4.49)

—— —», ——+и+—,

что возможно, если, по меньшей мере,что возможно, если, по меньшей мере,|^о1М=(^я)72»1.|^о1М=(^я)72»1.А(ос ) 2 + Ка у А<ос 2

что возможно, если, по меньшей мере,

что возможно, если, по меньшей мере,

|^о1М=(^я)72»1.

|^о1М=(^я)72»1.

Условие (4.49) необходимое, но может не быть достаточным, чтобы удовлетворялось неравенство (4.48). Если число уровней Ландау, на которые туннелируют электроны, невелико (и < | g’o |/А<ос ), то условие (4.48) можно заменить неравенством

I ^ о I/^®с » 2 + Кд.I ^ о I/^®с » 2 + Кд.(4.50)(4.50)

I ^ о I/^®с » 2 + Кд.

I ^ о I/^®с » 2 + Кд.

(4.50)

(4.50)

Уравнение (4.46) приближенно решается методом, описанным в разд. 3.4. Соответствующие вычисления приведены в [22], согласно которой при

(4-51)(4-51)й/|^0 l<<^«w 1 волновая функция имеет вид

(4-51)

(4-51)

^УЛ^^^ЛУ-УсУ! 'h to^УЛ^^^ЛУ-УсУ! 'h to•е'^Дл+уг)-^/»]^»zwc(«+l/2)/ g£•е'^Дл+уг)-^/»]^»zwc(«+l/2)/ g£(ос(и+1/2)-^/й(ос(и+1/2)-^/йXXallX /фо(уЭ^„(/-ус)<//.-allallX /фо(уЭ^„(/-ус)<//.-all(4.52)(4.52)

^УЛ^^^ЛУ-УсУ! 'h to

^УЛ^^^ЛУ-УсУ! 'h to

•е'^Дл+уг)-^/»]^»

zwc(«+l/2)/ g£

•е'^Дл+уг)-^/»]^»

zwc(«+l/2)/ g£

(ос(и+1/2)-^/й

(ос(и+1/2)-^/й

X

X

all

X /фо(уЭ^„(/-ус)<//.

-all

all

X /фо(уЭ^„(/-ус)<//.

-all

(4.52)

(4.52)

Входящий сюда интеграл можно взять аналитически, если ширина ямы невелика, а именно:

д</я,д</я,(4.53)

д</я,

д</я,

(4.54)(4.54)ид/2«|ус|.

(4.54)

(4.54)

Принимая во внимание соотношения (4.35), (4.47), последнее неравенство можно переписать в виде

и аГ2V21н, ^с 2и аГ2V21н, ^с 2(4.55)(4.55)

и аГ

2V21н, ^с 2

и аГ

2V21н, ^с 2

(4.55)

(4.55)

Если выполнены условия (4.53) и (4.55), то можно приближенно заменить функцию ^„(у'-у^ в подынтегральном выражении (4.52) функцией ^Л-Ус^Р^сУНнУ В результате после интегрирования получим

^^«^„ку-УсУ№0^^«^„ку-УсУ№0• / im, pi^An^liy-^Ihy _1 ги»Дп*\11у 1vp cL• / im, pi^An^liy-^Ihy _1 ги»Дп*\11у 1vp cLh <ос(п+1/2)-^)/йh <ос(п+1/2)-^)/йхх(4.56)(4.56)у l + Ka/2у l + Ka/2. ^УеНнK-iyJl^ J. ^УеНнK-iyJl^ J

^^«^„ку-УсУ№0

^^«^„ку-УсУ№0

• / im, pi^An^liy-^Ihy _1 ги»Дп*\11у 1vp cL

• / im, pi^An^liy-^Ihy _1 ги»Дп*\11у 1vp cL

h <ос(п+1/2)-^)/й

h <ос(п+1/2)-^)/й

х

х

(4.56)

(4.56)

у l + Ka/2

у l + Ka/2

. ^УеНнK-iyJl^ J

. ^УеНнK-iyJl^ J

Выражение в фигурных скобках не что иное, как амплитуда вероятности перехода электрона из ямы на n-й уровень Ландау в течение времени t [обозначим эту амплитуду д„(/)]. Зная вели- 126

чины ая(0, можно вычислить число электронов N(t), покинувших яму за время t. Поскольку мы считаем, что при /=0 электроны в яме описываются функцией распределения Ферми /(Рх1Р^=^.Рр~л1рх+рЪ’ гРе 6(z) — единичная функция, равная единице при г > 0 и нулю при г < 0, то можно написать

wOT=jj^^/<»„^>5;i".<oi2=

V2.KM)n_Q

лй2ти(1 + Кс/2)лй2ти(1 + Кс/2)-Pf-Pf

лй2ти(1 + Кс/2)

лй2ти(1 + Кс/2)

-Pf

-Pf

(4.57)

2

X ° Px-m^d

X^Ch(,,-mK,)- + -^-ySh(,,-mK,)-j X

^m^to^g-M/^i+l^^,

. K\toclnUllV\gti\lhAPx-mV^^ .

Здесь S — площадь гетероструктуры в плоскости хг. При выводе (4.57) учтено, что для прямоугольной квантовой ямы справедливо соотношение

Up wn^ + iyjl^a/l ( 8т(К-/ус/^)с/2й [ К+/ус//я Ь-чМ .

(4.58)(4.58)= ГТ M-l^olXWol\mUH^PrmVd^N

(4.58)

(4.58)

а п.-тУда

Как известно [23], при вычислении определенного интеграла по а от ^(a)sin2(o/)/(na2) при достаточно больших t функцию sin2(a/)/(rta2) можно заменить на /8(a), где 8(a) — дельтафункция, если g(a) мало изменяется в интервале порядка к/t вблизи a=0. В нашем случае при

t»i/(oc, й/^ТТ^о! ,t»i/(oc, й/^ТТ^о! ,(4.59)(4.59)

t»i/(oc, й/^ТТ^о! ,

t»i/(oc, й/^ТТ^о! ,

(4.59)

(4.59)

где ef = pF/(2m) — энергия Ферми, можем заменить выражение в фигурных скобках в (4.57) на

11,2,2Й [ Ы^(”+^^ ^о^~2т^~тУ^Й [ Ы^(”+^^ ^о^~2т^~тУ^

1

1

,2

,2

Й [ Ы^(”+^^ ^о^~2т^~тУ^

Й [ Ы^(”+^^ ^о^~2т^~тУ^

Первое неравенство (4.59) следует из того, что функция Ч^К^-РхШт^-ехрНтУа-Р^2/(т2<й2е2н^ должна мало меняться на интервале 5рх ~ итЬ,^t^Im^й |+й®с(«+1/2)]) вблизи точек | рх - m Krf |= ^2m[| ^й | +йа)с(п+1/2)]. Второе неравенство (4.59) вытекает из требования 5рх « pF. После введения дельтафункции легко выполнить интегрирование по рх. Благодаря дельта-функции вклад в интеграл дадут лишь точки пересечения параболы E=(pF-mKd')2/(2 т) с горизонтальными линиями еН^о |+й<ос(и+1/2) , «=0,1,2,.. (рис. 4.8) (если эти точки пересечения попадают в интервал -Pf<Px<PfY Из рисунка видно, что точки пересечения, дающие вклад в интеграл (4.57), расположены в области ^-/«^<0.

Заметим, что число электронов, покинувших яму за время г, пропорционально t, поэтому можно ввести не зависящий от времени поток электронов из ямы J = N(t)/t и скорость туннелирования w=J/N0, где No =SpF/(4nh2)- начальное число электронов в квантовой яме (напомним, что t« w-1). Из (4.57) и (4.38) следует, что

w J1'"—j2^oVM)+2n+l

(1+M2H2 Z у/21^]/^^^11ио+^с(П+1/2)^

X—1е-(2|^о1/(^еН2Я+1) H2(1/2i^7i/M)+2n+T)x(4.60)

2”«!Vn

, Ко , 2и+1 sh —J1+ , , v2 * K24JJ, Ко , 2и+1 sh —J1+ , , v2 * K24JJ2и+1^н2и+1^н. Ka L 2я+1 X СП — 11+ 7 , И 2 V ^Н. Ka L 2я+1 X СП — 11+ 7 , И 2 V ^НГ /XIX12

, Ко , 2и+1 sh —J1+ , , v2 * K24JJ

, Ко , 2и+1 sh —J1+ , , v2 * K24JJ

2и+1^н

2и+1^н

. Ka L 2я+1 X СП — 11+ 7 , И 2 V ^Н

. Ka L 2я+1 X СП — 11+ 7 , И 2 V ^Н

Здесь итах — целая часть числаЗдесь итах — целая часть числаN =maxN =max(4.61)(4.61)•с•с

Здесь итах — целая часть числа

Здесь итах — целая часть числа

N =max

N =max

(4.61)

(4.61)

•с

•с

Рис. 4.8. Парабола e = (px-mVd)1 /(2т) при mKd=0 (кривая Z) и mVd > pF (кривая 2) и горизонтальные линии е=^^0| + +йис(л+1/2), л = 0,1,2,... (кривые 3) на плоскости рхе. Кривая 1 изображена с учетом того, что ef<|^ol

«min — целая часть числа

11*-^^<-''+',’r')2-l^lЧ'^.Г,’*-^^<-''+',’r')2-l^lЧ'^.Г,’N • = * ’ minN • = * ’ min(4.62)(4.62)

1

1

*-^^<-''+',’r')2-l^lЧ'^.Г,’

*-^^<-''+',’r')2-l^lЧ'^.Г,’

N • = * ’ min

N • = * ’ min

(4.62)

(4.62)

если ^Vmin > 1, и nmin =0, если /Vmin < 1. Если число N^ отрицательно, то это означает, что электроны не могут покинуть яму и скорость туннелирования равна нулю, поскольку электроны в яме имеют меньшую энергию, чем имели бы вне ямы.

Подчеркнем, что выражение (4.60) справедливо, во-первых, при

w «<ос, VeF l^o IА ’ (4.63) что следует из условия w'1 »t и неравенств (4.59), и, во-вторых, при лтах, удовлетворяющем условию (4.55). Ограничение на величину «„ах означает, что при фиксированном значении магнитного поля выражение (4.60) описывает скорость туннелирования в интервале Е, ограниченном сверху.

Проанализируем формулу (4.60). Как уже отмечалось, скорость туннелирования отлична от нуля, если Nmax >0, т.е. при

Е>ЕПйрг — Н(^Ы\^^П^-Рр.(4.64)

5 Физика квантовых низкоразмерных структур

Таким образом, при фиксированном магнитном поле туннелирование из ямы возможно лишь в том случае, если напряженность электрического поля превышает пороговое значение ^ор . В соответствии с неравенством (4.64) можно также сказать, что при фиксированном электрическом поле туннелирование из ямы невозможно, если напряженность магнитного поля превышает пороговое значение

nop 7M??k^/2Wj 'nop 7M??k^/2Wj '(4.65)(4.65)

nop 7M??k^/2Wj '

nop 7M??k^/2Wj '

(4.65)

(4.65)

Зафиксируем напряженность магнитного поля и будем увеличивать напряженность электрического. Когда она превысит значение

Еи=—Н {У2ЙГ[[1Д+й1Дй+1/^-рД «=0,1Д... (4.66)

(очевидно, Ео = ^ор ), станет возможным переход из ямы на и-й уровень Ландау (в дополнение к переходам на уровни Ландау с номерами меньшими и при Е<Еп). При этом из (4.60) следует, что производная скорости туннелирования по электрическому полю обращается в бесконечность при Е=Еп+0. Аналогично, когда напряженность электрического поля превышает значение

Ё„=—Н {Тм^Т+йй^нЛ/гЯ+/Д «=0,1,2,...,(4.67)

переход на и -й уровень Ландау становится невозможным и величина dw/dE стремится к -оо при £-»£„-0. Однако при типичных значениях параметров гетероструктуры, использованных ниже при построении графиков, изображенных на рис. 4.9 и 4.10, поля Ёп велики и не принадлежат интервалу, в котором справедлива формула (4.60).

Интересно сравнить скорость туннелирования (4.60) в скрещенных электрическом Е и магнитном Н полях со скоростью туннелирования лишь в постоянном электрическом поле Е [обозначим эту скорость w(£r=0), она приведена в 3.4.3]. Отношение двух скоростей туннелирования

w 4^| ^о |w 4^| ^о |w(#=0) ^fw(#=0) ^f

w 4^| ^о |

w 4^| ^о |

w(#=0) ^f

w(#=0) ^f

^nun^nun^^Д^^^М хPf Pf^h,^^Д^^^М хPf Pf^h,L | 8sq | 1 7/. hmc ( 1

^nun

^nun

^^Д^^^М х

Pf Pf^h,

^^Д^^^М х

Pf Pf^h,

2'—т+2и+1 1+—n+_

V к<йсI 2

(4.68)(4.68)xxe-(2|ar0|/(fta>c>4.2n+l>e-(2|ar0|/(fta>c>4.2n+l>н(|Ж;н(|Ж;ic 1 и v

(4.68)

(4.68)

x

x

e-(2|ar0|/(fta>c>4.2n+l>

e-(2|ar0|/(fta>c>4.2n+l>

н(|Ж;

н(|Ж;

Зависимость скорости туннелирования от напряженности электрического поля при различных значениях напряженности магнитного поля показана на рис. 4.9. Расчеты выполнены по формуле (4.60). Параметрам, использованным при расчетах, соответствует энергия основного состояния в яме ^о=-О,2 эВ. Как видно из рисунка, чем сильнее электрическое поле, тем больше скорость туннелирования. Но зависимость w(£) не является гладкой. Как мы уже отмечали, производная скорости туннелирования по электрическому полю велика при Е -»Еп +0. В соответствии с неравенством (4.31) численные результаты, представленные на рис. 4.9, имеют смысл, если время между столкновениями электрона т мало по сравнению с 10-5 с при Я=80 кЭ (рис 4.9, а) и 10”8с при Я = 100 кЭ (рис. 4.9, б). Оба эти условия выполняются для реальных гетероструктур.

Отношение w/w (Я=0) как функция электрического поля представлено на рис. 4.10, из которого видно, что эта функция немонотонна. В целом отношение w/w (Я=0) убывает благодаря сильной экспоненциальной зависимости величины w (Я=0) от Е. Но вблизи точек Е=Еп [см. (4.66)], где скорость туннелирования в присутствии магнитного поля резко возрастает при увеличении Е, отношение w/w (Я=0) также возрастает.

Рисунок 4.10 показывает, что отношение w/w(Я=0) может значительно превышать единицу. Это объясняется следующим образом. В отсутствие магнитного поля электрон туннелирует из

Рис. 4.9. Зависимость скорости туннелирования от напряженности электрического поля при двух значениях напряженности магнитного поля (U6 = 0,3 эВ; а = 42,3 А; т = О,О7то, поверхностная плотность электронов в яме A^/S^IO^cm'2) [22]

Рис. 4.10. Зависимость отношения w/w (// = 0) от напряженности электрического поля при двух значениях напряженности магнитного поля. (Значения Un,a,m,N0/S такие же, как для рис. 4.9) [22]

ямы через треугольный барьер, высота которого близка к | ^01, а ширина — к величине ^ =1^01/1е1 ^ • При наличии магнитного поля электрон туннелирует через барьер, близкий к треугольному, высота которого приблизительна равна |^01, а ширина 62 определяется силой тише | ус |: Z>2 «| ^о \/^тюс I Ус I) • Если электрическое поле лишь немного превышает пороговое значение ^ор , воз-

можно туннелирование только на самый нижний уровень Ландау. При этом

(4.69)(4.69)»2_i1 f

(4.69)

(4.69)

b\ V2m(l^ol+^«>c/2)lюс .

Отсюда видно, что 62 < ^ • Отношение прозрачности треугольного барьера в присутствии магнитного поля к прозрачности барьера в случае, когда магнитное поле отсутствует, есть экспоненциальная функция величины

Ф» 1^0 La а X 4|^0|К1„

(4.70)(4.70)Зй3И£ ^2М|^о1ЙМ/2)

(4.70)

(4.70)

Эта величина положительна и уменьшается при .увеличении напряженности электрического поля. Следовательно, отношение прозрачностей барьеров при наличии магнитного поля и в его отсутствие больше единицы и убывает при усилении электрического поля. То же самое можно утверждать и относительно туннелирования на уровни Ландау со сравнительно малыми номерами. Поскольку поведение скорости туннелирования определяется в основном прозрачностью барьера, через который туннелируют электроны, то при сравнительно слабых электрических полях отношение w/w(Я=0) намного превышает единицу и в целом уменьшается при усилении электрического поля.

Литература

Иогансен Л.В. ЖЭТФ. 45,207,1963.

Иогансен Л.В. ЖЭТФ. 47, 270,1964.

Иогансен Л.В. УФН. 86,175,1965.

Tsu R., Esaki L. Appl. Phys. Lett. 22,562, 1972.

Chang L.L., Esaki L, Tsu R. Appl. Phys. Lett. 24, 593,1974.

Sollner T.C.L.G., Goodhue W.D., Tannenwald P.E. et al. Appl. Phys. Lett. 43, 588,1983.

Sollner T.C.L.G., Tannenwald P.E., Peck D.D. et al. Appl. Phys. Lett. 45, 1393, 1984.

Shewchuk T.J., Chapin P.C., Coleman P.D. et al. Appl. Phys. Lett. 46, 508,1985.

Tsuchiya M., Sakaki H., Yoshino J. Jap. Journ. Appl. Phys. 24, L466, 1985.

Тагер A.C. Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. Вып. 9(403), 21,1987.

Тагер А. С. Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. Вып. 2(406), 17,1988.

Summer C.J., Brannan K.F. Appl. Phys. Lett. 48, 806,1986.

Пожела Ю. Физика быстродействующих транзисторов. Вильнюс: Мокслас, 1989.

Capasso F, Sen S., Gossard A.C. IEEE Electr. Dev. Lett. EDL-7, 573, 1986.

Дьяконов М.И., РайхМ.Е. ЖЭТФ. 88,1898,1985.

BreyL., Platero G., Tejedor C. Phys. Rev. В 38, 9649,1988.

Ho T.-L. Phys. Rev. В 50,4524,1994.

Snell B.R., Chan K.S., Sheard F.W. et al. Phys. Rev. Lett. 59, 2806, 1987.

Platero G., Brey L, Tejedor C. Phys. Rev. В 40, 8548,1989.

HungK.M., Wu G.Y. Phys. Rev. В45, 3461,1992.

Leadbeater M.L., Alves E.S., Eaves L. et al. Journ. Phys.: Condens. Matter. 1,4865,1989.

Demikhovskii V.Ya., Vugalter G.A. Journ. Phys.: Condens. Matter. 9, 11157,1997.

Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Изд. 4-е. М.: Наука, 1989.

Главаб

КУЛОНОВСКАЯ БЛОКАДА ТУННЕЛИРОВАНИЯ

5.1

Постановка задачи. Основные уравнения

Общие сведения

В конце 60-х — начале 70-х годов были выполнены эксперименты с туннельными контактами типа «металл — оксидный слой — металл», причем оксидный слой содержал металлические вкрапления — гранулы [1—5]. Оказалось, что при низких температурах такие контакты обладают своеобразными вольт-амперными характеристиками. В частности, наблюдалось подавление тока при малых напряжениях. В [1] такое подавление связывается с тем, что туннелирующий электрон, оказавшись на грануле, изменяет ее заряд на величину е, повышая энергию гранулы на Еа ~ e^jc, где С — емкость гранулы. Чтобы новый электрон мог туннелировать с берега контакта на гранулу, его энергия должна превышать Еа. При низких температурах таких электронов мало, что приводит к подавлению тока. Это явление получило название «кулоновская блокада туннелирования», преодолеть ее (блокаду) можно при сравнительно высоких напряжениях И ~| е | С-1.

В конце 80-х годов были созданы микроконтакты, в которых туннелирование происходит преимущественно через одну гранулу [6—8]. Были также предложены устройства, в которых зарядом гранулы можно управлять, прикладывая напряжение к дополнительному электроду — затвору [9]. Эксперименты [6—9] стимулировали новую волну интереса к коррелированному дискретному тун-

нелированию одиночных электронов. Наша цель — ознакомиться с основами теории этого явления.

Подчеркнем, что речь пойдет о гранулах (в последние годы вместо термина «гранула» часто используется термин «точка»), размеры которых достаточно большие, чтобы можно было не учитывать пространственное квантование спектра, но достаточно малые, чтобы был необходим учет дискретности заряда гранулы. То, что такая ситуация возможна, показывает следующая оценка: характерная электростатическая энергия гранулы Е^ ~ е^/гг (г — радиус гранулы, ё — диэлектрическая проницаемость среды, окружающей гранулу); расстояние между энергетическими уровнями электронов гранулы 8e~ef /N ~гРа3 Jr3 (zF — энергия Ферми, N — число электронов на грануле, а — межатомное расстояние), следовательно,

(5.1)(5.1)21 / V

(5.1)

(5.1)

8е aeF ё(оу

(5.2)(5.2)Как известно, в металлах е2/о ~ef, и соотношение (5.1) принимает вид

(5.2)

(5.2)

8е e\aj

Отсюда видно, что при r»-J^a Еэп »8е, т.е. учет дискретности заряда существеннее учета пространственного квантования спектра электронов гранулы. В то же время для проявления дискретности заряда гранулы необходимо, чтобы выполнялось условие Е^ »квТ (кв — постоянная Больцмана, Т — температура туннельного контакта). Это условие можно переписать в виде

(5.3)(5.3)г е21 £f

(5.3)

(5.3)

агаквТ ё квТ ‘

При заданной температуре оно ограничивает размеры гранулы сверху. В качестве примера отметим, что в экспериментах, описанных в [6], средний диаметр гранул индия был порядка 1000 А.

В работах, посвященных туннельным контактам, часто используется метод туннельного гамильтониана, предложенный в [10]. Начнем с краткого описания этого метода.

Метод туннельного гамильтониана

В этом методе граница раздела не вводится явно, а туннельный переход между двумя металлами (или двумя сверхпроводниками, или между нормальным металлом и сверхпроводником) рассматривается как слабосвязанная система с гамильтонианом:

Н = Н0\ + Я02 + Ят,(5.4)

где Я01,Я02 — гамильтонианы металлов 1, 2 соответственно; Я, — туннельный гамильтониан, он описывает в первом порядке теории возмущений переходы электронов из металла 1 в металл 2 и обратно. Если а^Ь^ — операторы уничтожения электрона с импульсом р и проекцией о спина на ось г соответственно в металле 1 и 2, о^, Ь^ — аналогичные операторы рождения электрона; ц1эц2 — электрохимические потенциалы металлов 7, 2, е^, е(р2) — энергии электрона с импульсом р в металлах 1 и 2, то входящие в правую часть (5.4) операторы имеют вид

^^^(е^-Ц])^^,(5.5)

р,а

(5.6)

Р.а

АТ=1(ШХ^(5.7)

РДЛ

Нередко в статьях, посвященных туннельным явлениям, используется упрощенная модель, когда амплитуда туннелирования Т^ заменяется действительной константой То, не зависящей от импульсов p,q.

Заметим, что, вводя импульсы p,q, мы переходим от систематики состояний, соответствующих полупространству, к систематике состояний для неограниченного металла.

Оператор Я] +Я2 полного числа частиц системы, где

А=Х^а^ ^2=Z^A(5.8)

р,ар,а

— операторы числа частиц в металлах 1, 2, коммутирует с гамильтонианом (5.4), поэтому полное число частиц сохраняется и ток

J^2 из металла 1 в металл 2 определяется в методе туннельного гамильтониана по скорости изменения числа электронов в одном из металлов:

Л^-еО^еО^}. (5.9)

Здесь учтено, что заряд электрона е < 0 . Угловые скобки означают усреднение с помощью матрицы плотности системы.

Вероятность ухода электрона из одного металла в другой в единицу времени

Обозначим через Р^2 вероятность ухода электрона из металла 1 в металл 2 в единицу времени. Вероятность обратного процесса обозначим через Р2^х. Эти величины понадобятся нам в дальнейшем при написании кинетического уравнения для функции распределения числа частиц на грануле.

Найдем величины Рх_,2, ^2>1 в случае, когда между металлами создана разность потенциалов V (рис. 5.1). Будем считать заведомо выполненным условие kBT «efv,eF2 (е^, eF2 —энергии Ферми металлов 1, 2) и пренебрежем отличием электрохимического потенциала каждого металла от соответствующего уровня Ферми. Энергию электронов в каждом металле будем отсчитывать от дна зоны проводимости этого металла. Как видно из рисунка, дно зоны проводимости металла 2 расположено выше дна зоны проводимости металла 1 на величину efl -eF2 -eV, поэтому в соответствии с «золотым правилом» Ферми для вероятности перехода в единицу времени из состояния с импульсом Р] и г - проекцией спина о в металле 1 в состояние с импульсом р2 и той же проекцией спина в металле 2 можно написать выражение

^|T0|25[ei -е2 -(ел-eF2-eV)], (5.10)

где в] =р2 /(2/И]),е2 =р2/(2т2); mvm2 — эффективные массы электронов в металлах 1, 2, амплитуда туннелирования То введена в 5.1.2. Вероятность Рх^ получается из величины (5.10), если последнюю умножить на вероятность того, что начальное состояние занято, затем на вероятность того, что конечное состояние сво-

бодно, и просуммировать по всем импульсам рьр2 и проекциям спина. Вероятности заполнения состояний в металлах 1, 2 описываются функциями распределения Ферми

Рис. 5.1. Энергетическая диаграмма туннельного контакта металлов 1 и 2, к которым присоединена батарея 3, создаюРис. 5.1. Энергетическая диаграмма туннельного контакта металлов 1 и 2, к которым присоединена батарея 3, создающая разность потенциалов Ktm,^ — электрохимические потенциалы металлов)щая разность потенциалов Ktm,^ — электрохимические потенциалы металлов)fk^kV ^^"^] + 1fk^kV ^^"^] + 1-1-1£ = 1,2.£ = 1,2.(5.11)(5.11)

Рис. 5.1. Энергетическая диаграмма туннельного контакта металлов 1 и 2, к которым присоединена батарея 3, создаю

Рис. 5.1. Энергетическая диаграмма туннельного контакта металлов 1 и 2, к которым присоединена батарея 3, создаю

щая разность потенциалов Ktm,^ — электрохимические потенциалы металлов)

щая разность потенциалов Ktm,^ — электрохимические потенциалы металлов)

fk^kV ^^"^] + 1

fk^kV ^^"^] + 1

-1

-1

£ = 1,2.

£ = 1,2.

(5.11)

(5.11)

Суммирование по проекциям спина электрона дает коэффициент 2. В результате приходим к выражению

^2=vN2 L^i^-en+^+eHWl-^ (5.12) " PlPz

Перейдем в (5.12) от суммирования по импульсам к интегрированию по правилу

£ J (271Й)3£ J (271Й)3</3ръ £ = 1,2,</3ръ £ = 1,2,(5.13)(5.13)

£ J (271Й)3

£ J (271Й)3

</3ръ £ = 1,2,

</3ръ £ = 1,2,

(5.13)

(5.13)

где У\Уг — объемы металлов 1, 2, затем выполним интегрирование по углам (т.е. по направлениям векторов рьр2), введем плотности состояний в металлах (с учетом спина)

Vt(Et) =Vt(Et) =2^(2лй)32^(2лй)3Wkdpk .^Ук^2dek к2к3Wkdpk .^Ук^2dek к2к3■je^, к = 1,2,■je^, к = 1,2,(5.14)(5.14)

Vt(Et) =

Vt(Et) =

2^(2лй)3

2^(2лй)3

Wkdpk .^Ук^2dek к2к3

Wkdpk .^Ук^2dek к2к3

■je^, к = 1,2,

■je^, к = 1,2,

(5.14)

(5.14)

и перейдем от интегрирования по р^р^ к интегрированию по еье2 .Тогда формула (5.12) примет вид

Р^2 =т|2о| J^i/^28(61 -е2 -еЛ + ef2 + еП/1(е1)[1_ " о о

-/2(E2)]vi(ei)v2(e2)=^|T0|2Jdfe1/1(e1)[l-/,(e1 +еГ)]х (5.15)п о

xv^ejv^e, -ел + ef2+er).

При выводе (5.15) использовано соотношение

/2(£1 -£л +еп +еГ)=/1(£1 +еУ).(5.16)

Будем считать, что |еК|«ел,е,.2, тогда вне узкого интервала энергий Ie]-ел l^max^TMeKl^Ef] либо /](Е])=О, либо /1 (£]) = 1, 1 - /1 (£] + е У)=0. При этом подынтегральное выражение в (5.15) обращается в нуль. Следовательно, вклад в интеграл дает узкая область энергий Е] вблизи уровня Ферми ел . В этой области плотности состояний, входящие в (5.15), можно заменить их значениями при ej = е л . В результате получим

~|7о| у1(ел)¥2(ел)х

ооexpexpexpexpЕ] +еУ - EfiЕ] +еУ - EfikflTkflTEi — Eri I .‘ J1 +1 expPTrEi — Eri I .‘ J1 +1 expPTrEl + eV - £лк?El + eV - £лк?(5.17)(5.17)

о

о

exp

exp

exp

exp

Е] +еУ - Efi

Е] +еУ - Efi

kflT

kflT

Ei — Eri I .

‘ J1 +1 exp

PTr

Ei — Eri I .

‘ J1 +1 exp

PTr

El + eV - £лк?

El + eV - £лк?

(5.17)

(5.17)

В аргументе функции v2 опущено слагаемое eV, малое по сравнению с ел . Интеграл (5.17) можно вычислить с помощью замены переменной у=ехр[(Е] - е л ^(кеТ)]. Таким образом, находим

^2 =^\T012 v1(en)v2(e,2)—5^.(5.18)

Обозначим

bo ^^(бл )v2(ef2) , Kx^y^w ’ (519)

тогда Pj^2«X0/(eK).

Для нахождения P2^x нет необходимости заново выполнять громоздкие вычисления. Легко видеть, что Р^ получится из Р^2 при замене индексов 1—>2 , 2 —> 1 и К->-К. В результате находим

^i «XJk-eVVe-eV№^PM.(5.20)

Заметим, что аргумент функции / в выражениях для Рх^, Р2^х равен разности начальной и конечной потенциальной энергии электронной системы. Отметим, что такая интерпретация не единственна. Однако ниже, основываясь на ней, мы получим кинетическое уравнение для функции распределения числа электронов на грануле, которое совпадает с кинетическим уравнением, полученным в [11] при последовательном анализе уравнения для матрицы плотности.

Формулы (5.18), (5.20) позволяют легко найти сопротивление туннельного контакта двух металлов. Поскольку ток / через туннельный контакт в положительном направлении оси г (см. рис. 5.1) есть не что иное, как заряд, переносимый в этом направлении в единицу времени, можно написать

/ = e(Pw-^i)=TN2Vi(efi)v2(ef2)^ (5.21) п

Отсюда следует, что сопротивление контакта R=V(I выражается формулой

-1

(5.22)(5.22)К” ~г~М V](efl)v2(ef2) . п

(5.22)

(5.22)

Иногда в литературе под V], v2 подразумевают плотности состояний без учета спина, тогда в квадратных скобках в правой части (5.22) должен стоять дополнительный множитель 4.

Постановка задачи о туннелировании через гранулу

В работах 60—70-х годов (см., например, [11]) изучалось туннелирование электронов между двумя массивными проводниками, между которыми находится большое число металлических гранул. Гранулы считались удаленными друг от друга настолько, что их можно было рассматривать как невзаимодействующие. Туннелирование электронов через каждую гранулу происходило независимо от процессов туннелирования через другие гранулы. Поэтому при расчетах достаточно было рассмотреть туннелирование через гранулу, а затем усреднить результат по параметрам и местоположению гранул.

Позднее (см., например, [6]) объектом исследования стал туннельный контакт с одиночной гранулой субмикронных размеров. Такая структура — гранула 3 между двумя металлическими контактами 7 и 2 (рис. 5.2, а) — будет интересовать и нас. Кроме того, мы будем рассматривать более сложную структуру [12], схематически изображенную на рис. 5.2, бив, которая, помимо контактов и гранулы, содержит дополнительный электрод — затвор 4. Потенциал последнего влияет на заряд гранулы (впрочем, говорить о затворе как о дополнительном электроде в структуре, показанной на рис. 5.2, бив, можно весьма условно, поскольку без затвора не было бы самого туннельного контакта).

Металлы 7 и 2 (рис. 5.2, а) считаем столь массивными, что для них эффекты дискретности заряда не играют роли. Прямыми туннельными переходами 1-»2 и 2-»1 пренебрегаем, учитывая лишь туннельные переходы через гранулу. Формально это отражается в записи туннельного гамильтониана в виде

Нт =^1 ^(^a^a+^р3аор1а) + ^2 5,(^Р2асРз<? "*"^Рза^р2а) ■(5.23)

РнРз.аР2,Рз.°

Здесь Тх — амплитуда туннелирования между металлом 7 и гранулой; Г2 — амплитуда туннелирования между металлом 2 и гранулой; aPia, Ьрг„, СрзО — операторы рождения электронов соответственно в металлах 7, 2 и на грануле; а^, Ь^, срза — аналогичные операторы уничтожения электронов. Все три металлических тела характеризуются ферми-распределениями с электрохимическими потенциалами Ц], ц2, Из , которые можно считать неизменными при добавлении электронов, поскольку равновесие в пределах ка- 142

ждого из металлов устанавливается за времена, малые по сравнению с характерными временами туннельных переходов между гранулой и металлами 1, 2, а сами металлические тела, включая гранулу, являются макроскопическими.

Рис. 5.2. Схематическое изображение туннельного контакта, образованного: а — металлами 1, 2(3 — металлическая гранула между ними); б — областями 1, 2 двумерного электронного газа в полупроводнике (вид сверху); 3 — проводящая гранула (точка) под отверстием в металлическом затворе 4, на который подано отрицательное (относительно областей 1, 2) смещение; под затвором — непроводящая обедненная область; в — сечение структуры, изображенной на б, плоскостью, которая показана штриховой линией (цифры означают то же, что на б)

Единственный эффект, который проявляется при переходах электронов и учет которого является принципиальным,— это изменение потенциальной (электростатической) энергии гранулы. Чтобы количественно описать данный эффект, мы должны знать зависимость потенциальной энергии Еп гранулы от числа избыточных электронов п на ней и функцию распределения w„(0, ко-

торая показывает вероятность того, что в момент времени t на грануле находится целое число л избыточных электронов (разумеется, число п может быть и отрицательным).

Наша цель — найти туннельный ток при заданных потенциалах ^, И2 металлов 7, 2 в случае, показанном на рис. 5.2, а, а также, если имеется затвор, при заданном потенциале затвора Ио.

Потенциальная энергия гранулы

Считаем, что металлы 1, 2 (иногда их называют берегами контакта) и гранула имеют одинаковые работы выхода, тогда в отсутствие внешних напряжений электроны не будут перераспределяться между гранулой и берегами. Случай, когда работы выхода берегов и гранулы различны, анализируется в статье [И]. (Напомним, что работой выхода называется минимальная энергия, которую надо сообщить электрону, находящемуся на энергетическом уровне, совпадающем с электрохимическим потенциалом, чтобы электрон вышел из металла.)

Рассмотрим эквивалентную электрическую схему туннельного контакта без затвора (рис. 5.3, а). Обозначим заряды, сосредоточенные на емкостях Сх, С2, соответственно qx, q2 (см. рис. 5.3, а), полный заряд гранулы — Q, тогда можно написать

qi*q2=Q, qi^-qJC^-^. (5.24)

Решая систему (5.24), найдем заряд q2 и, следовательно, потенциал гранулы:

WO-^+S-^fl-Pi+S-K,, (5.25)

где С=С, +С2 — эффективная емкость гранулы. При изменении заряда гранулы на dQ ее потенциальная энергия E(Q) увеличивается на dE = Vr(Q)dQ . Элементарное интегрирование noQ дает

Выражая заряд гранулы через число избыточных электронов на ней л и переобозначая E(Q=en^=EM , получим окончательно

Рис. 5.3. Эквивалентные схемы туннельного контакта: а — изображенного на рис. 5.2, а; б — с затвором, изображенным на рис. 5.2, б; С], ^ — емкость и сопротивление туннельного перехода металл 1 — гранула; С2,Я2 — соответствующие величины для перехода гранула — металл 2. У\,Уг — потенциалы берегов контакта; Со — емкость между гранулой и затвором; Ио — потенциал затвора. В обеих схемах сопротивления показаны без учета дискретности заряда гранулыРис. 5.3. Эквивалентные схемы туннельного контакта: а — изображенного на рис. 5.2, а; б — с затвором, изображенным на рис. 5.2, б; С], ^ — емкость и сопротивление туннельного перехода металл 1 — гранула; С2,Я2 — соответствующие величины для перехода гранула — металл 2. У\,Уг — потенциалы берегов контакта; Со — емкость между гранулой и затвором; Ио — потенциал затвора. В обеих схемах сопротивления показаны без учета дискретности заряда гранулы(5.26)(5.26)

Рис. 5.3. Эквивалентные схемы туннельного контакта: а — изображенного на рис. 5.2, а; б — с затвором, изображенным на рис. 5.2, б; С], ^ — емкость и сопротивление туннельного перехода металл 1 — гранула; С2,Я2 — соответствующие величины для перехода гранула — металл 2. У\,Уг — потенциалы берегов контакта; Со — емкость между гранулой и затвором; Ио — потенциал затвора. В обеих схемах сопротивления показаны без учета дискретности заряда гранулы

Рис. 5.3. Эквивалентные схемы туннельного контакта: а — изображенного на рис. 5.2, а; б — с затвором, изображенным на рис. 5.2, б; С], ^ — емкость и сопротивление туннельного перехода металл 1 — гранула; С2,Я2 — соответствующие величины для перехода гранула — металл 2. У\,Уг — потенциалы берегов контакта; Со — емкость между гранулой и затвором; Ио — потенциал затвора. В обеих схемах сопротивления показаны без учета дискретности заряда гранулы

(5.26)

(5.26)

В случае, когда туннельный контакт содержит затвор (рис. 5.2, б), пользуясь эквивалентной схемой на рис. 5.3, б, можно показать, что

с.с.Е„ ^kenf ^еп 77*1 ^VT +^-И0 .Е„ ^kenf ^еп 77*1 ^VT +^-И0 .с .с .сссс(5.27)(5.27)

с.

с.

Е„ ^kenf ^еп 77*1 ^VT +^-И0 .

Е„ ^kenf ^еп 77*1 ^VT +^-И0 .

с .

с .

с

с

с

с

(5.27)

(5.27)

В отличие от (5.26) здесь С=С] +С2 +С0. Если емкости между гранулой и берегами значительно меньше емкости между гранулой и затвором, т.е. СЬС2 «Со (такая ситуация встречается в экспериментах), то выражение (5.27) упрощается:

" 2С„' '|_° С, 1 С, 2J" 2С„' '|_° С, 1 С, 2J2С02С0(5.28)(5.28)

" 2С„' '|_° С, 1 С, 2J

" 2С„' '|_° С, 1 С, 2J

2С0

2С0

(5.28)

(5.28)

Заметим, что при Vx =К2 =0 выражение (5.27) принимает вид

Е"^^1 ^en%v»-Е"^^1 ^en%v»-(5.29)(5.29)

Е"^^1 ^en%v»-

Е"^^1 ^en%v»-

(5.29)

(5.29)

Поскольку потенциал затвора отрицателен, легко видеть, что минимум потенциальной энергии гранулы достигается при л<0, т.е. не при избытке, а при недостатке электронов на ней.

Кинетическое уравнение для функции распределения wn^

Обозначим через Р^з (л -1 -»л) вероятность перехода электрона из металла 1 на гранулу в единицу времени с изменением числа избыточных электронов на грануле от л-1 до л. Вероятность обратного процесса обозначим Рз^^л^л-!). Соответствующие вероятности переходов электрона между металлом 2 и гранулой обозначим Р2^3(л-1->л) и Р3_,2(л->л-1). Принимая во внимание все процессы туннелирования, которые уменьшают или увеличивают вероятность wn(f) того, что на грануле находится л избыточных электронов, можно написать следующее выражение для производной по времени от величины w„(r):

^^-"„(О [Р3-.1(и->«-1)+Рз-»2(«->«-1) +

+ рх^« "^ И + 0+ Р1^з(п —> л +1)]+(5.30)

+ w„_i(0 [Р^з(« -1 ^ «)+ Рм(п -1 -»«)]++ *я+1 (г) [Р3_, (л +1 —> л)+ Р3^2 (л +1 —> л)].

Чтобы установить явный вид величин Р3^(л->л-1), Р3^2(л->л-1) ит,д., воспользуемся результатами, приведенными в 5.1.3. Потенциалы металлов 1 и 2считаем соответственно равными ^ и К2. При переходе электрона из гранулы в металл 1, когда число электронов на грануле уменьшается от л до л-1, потенциальная энергия гранулы изменяется от Еп до Еп_х. Кроме того, электрон, перешедший в металл 1, приобретает потенциальную энергию eVx. Следовательно, разность значений начальной и конечной потенциальной энергии электронной системы А = Еп - Еп_х -е¥х , и согласно выводам 5.1.3 можно написать

Л-я(л ^ л -1)«ХхДь) = ХхДЕп -Е^-еК,).(5.31)

Коэффициент Хо [см. (5.19)] здесь заменен коэффициентом

X1=-^|T1|2v1(eF1)v3(eF3) ,(5.32)

поскольку вместо туннельного гамильтониана, фигурировавшего в 5.1.3, мы используем теперь туннельный гамильтониан (5.23). В (5.32) входит величина v3(e/.3) — плотность состояний электронов гранулы на ее уровне Ферми ef3 . Функция / определена в (5.19)..

Повторяя рассуждения, приведшие к формуле (5.31), получим

P^2(n->n-l) = X2№-£„_,-eK2)

Р^3(л-1 -> л)« ХхДЕп_х + е¥х-Еп)(5.33)

^3(й-1^л) = Х2/(£я_1+еГ2-£я), где

Х2=—(Тг, у2(е£2)уз(е£з) •(5.34)

Следуя [11], введем обозначение

^=[Х1/(£я-£я_1-еГ1)+Х2/(£я-£^1-еГ2)К-

-[Х1/(£я_1+еИ1-£я)+Х2/(£я_1+еИ2-£я)]^я_1,;

тогда уравнение (5.30) примет вид

^■ = £л+1-^.(5.36)

Это и есть интересующее нас кинетическое уравнение. В [11] оно получено, исходя из приближенного решения уравнения для матрицы плотности.

Поскольку /(-x) = exp[-x/(^T)]/(x) , выражение (5.35) можно записать в форме

F„ = ^„-V4E*'E^eW^-е^-ь

+ k -V4E"-E"-^KW^^-еУ2\'

В качестве примера найдем функцию распределения в случае, когда туннельный контакт без затвора находится в стационарном состоянии, причем потенциалы берегов равны (Ух = У2=У). В стационарном состоянии функция распределения не зависит от времени, поэтому согласно (5.36) Fn+X = Fn , т.е. Fn — постоянная, не зависящая от п. Обозначая эту постоянную через А и используя формулу (5.37) при Ух = У2 = У , придем к уравнению

А(Xx^Wn-En-x-еУ^А(Xx^Wn-En-x-еУ^(5.38)(5.38)

А

(Xx^Wn-En-x-еУ^

А

(Xx^Wn-En-x-еУ^

(5.38)

(5.38)

Просуммируем это уравнение по большим положительным значе

НИЯМ Л ОТ некоторого Лд ДО +О°. Поскольку £w„ = 1 (условие

нормировки) и w„ >0 , то ряд £w„ заведомо сходится. Согласно (5.26)

(5.39)(5.39)eV ПF-F ,-еУ=— и-—^п ьп-1 ev pl" 2)’

(5.39)

(5.39)

поэтому ряд

^n^E--E--^W

П=ПоП=По

также заведомо сходится. Выбирая Лд достаточно большим, можно добиться, чтобы при п>По ДЕп-Е„_х-еУ) = Еп-Еп_х-еУ = =е1(п-]/2)/С. При этом сумма от правой части (5.38) обращается в расходящийся ряд

у лс

Л(^1+^>2(л-1/2)'

Чтобы правая часть (5.38), как левая, давала при суммировании по л от zig до +°° конечное число, необходимо положить, что константа А = 0. Тогда придем к уравнению

(5.40)(5.40)

(5.40)

(5.40)

Будем искать решение этого уравнения в виде w„ =Впе ^W»1"* Тогда из (5.40) получим

В =В ,ее^(квТ)

“п “n-Vc

Отсюда видно, что коэффициенты В„ ведут себя, как члены геометрической прогрессии, и для них справедливо выражение

(5.41)(5.41)Вп=ВйепеУ№ .

(5.41)

(5.41)

Константу Д принято обозначать 1/Z. При этом функция распределения записывается в виде

w -крАЕ.-пеУ^к.Т) n" zw -крАЕ.-пеУ^к.Т) n" z(5.42)(5.42)

w -крАЕ.-пеУ^к.Т) n" z

w -крАЕ.-пеУ^к.Т) n" z

(5.42)

(5.42)

Величина Z находится из условия нормировки. Таким образом, окончательно находим

w„ =w„ =^e-e2nU(2CkBT)^e-e2nU(2CkBT)е~е2п2/(2СквТ)е~е2п2/(2СквТ)(5.43)(5.43)

w„ =

w„ =

^e-e2nU(2CkBT)

^e-e2nU(2CkBT)

е~е2п2/(2СквТ)

е~е2п2/(2СквТ)

(5.43)

(5.43)

Отсюда следует вполне естественный результат, что при нулевой разности потенциалов между берегами контакта наиболее вероятным является состояние гранулы с нулевым зарядом.

Формула для туннельного тока

При не равной нулю разности потенциалов между берегами туннельного контакта через него течет ток. Считаем потенциалы берегов и, следовательно, ток не зависящими от времени, тогда при вычислении тока достаточно рассмотреть один элемент цепи, например, туннельный переход «гранула — металл 2». Поскольку

ток / в направлении от гранулы к металлу 2 — это заряд, переносимый в единицу времени в этом направлении, то можно написать

^ = е £[Р3_,2(л^п-1)-Р2_3(п-^л+1)Х =

(5.44)

= еХ2 ^\уепДЕп-Еп_х -eV2)-wnf(En +еУ2 -^i)]. П=-оо

Удобно разбить выражение (5.44) на две суммы и во второй из них заменить индекс суммирования п на п-1, после чего формула для тока примет вид

I = eX2 ^пДЕп-ЕпЦ-еУ2)-™п_х№^^

^(5.45)

= еХ2 ^k-еУ2).

П=-оо

При выводе последней формулы (5.45) мы использовали такое же преобразование, как при выводе (5.37).

В силу соотношения (5.40) при Ух = У2 = У выражение в квадратных скобках в (5.45) обращается в нуль и ток отсутствует, как и должно быть.

Формула (5.45) позволяет найти ток при заданных потенциалах берегов (и затвора, когда он есть), если известно решение стационарного кинетического уравнения. Однако решить это уравнение удается лишь в частных случаях при наличии малого параметра. Проанализируем два из них: 1) случай малых напряжений на контакте, когда мал параметру = е(Ух-У2)/(квТу, 2)случай асимметричного контакта, когда мал параметр Х2/Хх (т.е. сильно различаются туннельные сопротивления переходов «металл 7 — гранула» и «гранула — металл 2» без учета дискретности заряда на грануле).

5.2

Кондактанс туннельного контакта с затвором

Решение кинетического уравнения в случае малых напряжений на контакте

Рассмотрим туннельный контакт с затвором (см. рис. 5.2, б). Напряжение Pi -К2 считаем столь малым, что выполняется неравенство

т = е(К1-И2)/№«1.(5.46)

Решение стационарного кинетического уравнения Fn+X = Е„ ищем в виде ряда по малому параметру v:

w„ = w° + vw‘+...(5.47)

Функция w® описывает вероятность того, что на грануле находится п избыточных электронов при нулевом напряжении между берегами контакта, т.е. при Pi = К2. Задача о нахождении такой функции в отсутствие затвора решена в 5.1.6. Повторяя приведенные там рассуждения, придем к (5.42), в которой вместо V сл&руек писать PJ, а под Еп понимать величину (5.27) при Pi = И2. Обозначим

е“ = ^|к.=г2 -пеУх=^е2пЧпае(У0-Ух), а = С0/С, (5.48) тогда w® можно представить в виде

w°„=l-e k«T,Z=^e k«T .(5.49)

Из кинетического уравнения следует, что Еп=А, поэтому в соответствии с (5.37) и (5.47) имеем

k +™i "Л +ти^1)еЧ£"’£"‘^И)/<^г^^-Е„_х -ePi)+ (5 50) + к +™i -(wti +Уи^1К(£"-£"-1~еГ2)/^-еУ.^А.

Учитывая, что

Еп-Еп_х-eVx = г°п -e°„_i-vkBTC.IC ,Еп-Еп_х-eV. = е° -et +v^T(l-C2/C),

разложим функции

ДЕп-Еп_х-еУх^, ех^Еп-Еп_х-еУи^(квТ)А

в ряды по v с точностью до членов первого порядка по v включительно, подставим полученные выражения в уравнение (5.50) и приведем подобные члены, сохраняя величины не выше первого порядка по v. Члены нулевого порядка по v взаимно уничтожаются, и мы приходим к уравнению для w* :

"п "л-1с"п "л-1сАv^-bX,)/^-^/Аv^-bX,)/^-^/о ^i^-^C-C^)"(Х1+Х2)Со ^i^-^C-C^)"(Х1+Х2)С(5.51)(5.51)

"п "л-1с

"п "л-1с

А

v^-bX,)/^-^/

А

v^-bX,)/^-^/

о ^i^-^C-C^)

"(Х1+Х2)С

о ^i^-^C-C^)

"(Х1+Х2)С

(5.51)

(5.51)

Поскольку нас интересует функция распределения в первом приближении по малому параметру v, мы должны записывать условие нормировки в виде

(5.52)(5.52)£(w2+w^) = l.

(5.52)

(5.52)

Но функция w® согласно (5.49) сама удовлетворяет условию нормировки, следовательно, искомая функция w„ должна подчиняться требованию

(5.53)(5.53)Ы=о.

(5.53)

(5.53)

Просуммируем уравнение (5.51) по большим положительным значениям п от некоторого Лд до +°°. Поскольку ряд (5.53) сходится,

то сходится и ряд £w„ . Далее в соответствии с (5.48)

«="о

е® -eti —^“^(Ko-Pi),(5.54)

поэтому exp[-(e“-e°_1)/(fceT)] экспоненциально быстро стремится к нулю при л->+оо. В силу сходимости ряда (5.53) w* ->0 при л-я-<х>, следовательно, члены ряда Xwi-iexp[-(e®-e®_1)/(Xa7’)] П=По

стремятся к нулю при и->-н» быстрее, чем ехр[-е2и/(СЛяТ)], значит, этот ряд заведомо сходится. Наконец, сходящимся является и

ряд ^w® [см. (5.49)]. Зато сумма членов, описываемых первым п=пв

слагаемым в правой части (5.51), представляет собой ряд, расходя

щийся, как ^Х/п. Поэтому мы должны положить Л=0. В ре- "=«0

зультате (5.51) принимает вид

"1 -•(5.55)

Подстановка wi=5„w° приводит к уравнению

п _п _ ^1^2 -Х2(С-С2)

”(Х]+Х2)С’

из которого видно, что коэффициенты Вп ведут себя, как члены арифметической прогрессии. Очевидно, они описываются выражением

д _Х]С2-Х2(С-С2) „/с сг\

в"п+в«'<5'56)

Таким образом, получаем

1 о XiC2 — Х2(С-С2) п о

w”= w”n и Ji + ^>w” •(5-57)

Неизвестную константу Bq найдем из условия (5.53), просуммировав выражение (5.57) по всем п. В результате приходим к формуле

1 у _. о Х]С2 —Х2(С—С2)._ _0.

w‘=(n-n)w“ 1 2 2V 27,(5.58)

где

п= %nw°„ (5.59)

Л=-оо

— среднее число избыточных электронов на грануле при И = К2.

Зависимость кондактанса от температуры и потенциала затвора

Зная решение кинетического уравнения при малых напряжениях на контакте, мы можем перейти к отысканию кондактанса, равного, по определению, G = //(K]-K2) при ^-^->0. Кондак- танс — величина, обратная дифференциальному сопротивлению R туннельного контакта при нулевом напряжении. Чтобы найти кондактанс, вычислим прежде всего ток, текущий в направлении от металла 7 к металлу 2. Для этого подставим w„ « w®+vw* в формулу (5.45). Входящие в эту формулу функции f(E„-E„_x -eV^, expV-(E„-E„_x -еК2)/(ХдТ)] разложим в ряды по v с точностью до членов первого порядка включительно и после выполнения алгебраических преобразований оставим слагаемые не выше первого порядка по v. Как и следовало ожидать, члены нулевого порядка по v взаимно уничтожаются (нулевое напряжение не вызывает тока), и мы приходим к выражению

7»evX2 ^ wln -Wn_1e”(e”-e"-l)/(kBr) +

(5.60)

Подставляя сюда выражения для w*, w^] [см. (5.58) и (5.49)], получим

/.у,-^!^^ £„»/(,;_£,).(5.61)

+Л2 КВ1 п=^

Сопоставляя формулы (5.32) и (5.34) дляХ] и Х2с формулой (5.22), легко увидеть, что величины Rx = (е1\хух, ^2 =(^2Х2)-1 име" ют смысл сопротивлений туннельных переходов «металл 7 — гранула», «гранула — металл 2» (без учета дискретности заряда гранулы). Следовательно,

где

Knl „„

Po „оPo „о1-exp -1-exp -e° -e° ,kBTe° -e° ,kBT-eiAW e-eiAW e(5.63)(5.63)

Po „о

Po „о

1-exp -

1-exp -

e° -e° ,kBT

e° -e° ,kBT

-eiAW e

-eiAW e

(5.63)

(5.63)

Величина g показывает, насколько дифференциальное сопротив

ление туннельного контакта R=l/G отличается от последовательно соединенных сопротивлений R}, R2. Наша задача — исследо

вать функцию gO^T).

Заметим, что в соответствии с выражением (5.48) для е° величина g зависит не от Ко, а от Ко - К]. Считая, что либо И = 0 , либо потенциал Ио отсчитывается относительно потенциала левого берега контакта Vx, будем писать Ио вместо Ко - К].

Введем безразмерные параметры

Х = е2/(2СХДГ), ^=аСК0/е(5.64)

(поскольку на затвор подается отрицательное смещение, то ^>0). Подставим в (5.63) явное выражение для е° (5.48). После выделения полных квадратов в показателях экспонент получим

8 =8 =^/4 ^е-Чтл^1^/4 ^е-Чтл^1у -Цл+^-1/2)2 Х(л+^-1/2)~shX(n+^-l/2) •у -Цл+^-1/2)2 Х(л+^-1/2)~shX(n+^-l/2) •(5.65)(5.65)

8 =

8 =

^/4 ^е-Чтл^1

^/4 ^е-Чтл^1

у -Цл+^-1/2)2 Х(л+^-1/2)

~shX(n+^-l/2) •

у -Цл+^-1/2)2 Х(л+^-1/2)

~shX(n+^-l/2) •

(5.65)

(5.65)

Функция g периодична по ^ с периодом 1. Действительно, при замене ^->^+1, и—>n—1, m->m-l выражение (5.65) не изменяется.

При высоких температурах (Х«1) суммирование по т,п в (5.65) можно заменить интегрированием по переменным z=4k^m^, ^=Л{п^-\/2), при этом dz=-/k, d^=Jk. В результате получим

8»8»г-с- Учsh(VXQг-с- Учsh(VXQ(5.66)(5.66)

8»

8»

г-с- Учsh(VXQ

г-с- Учsh(VXQ

(5.66)

(5.66)

В интеграле по £ благодаря функции е ^ эффективный интервалинтегрирования определяется неравенством |^|<1. В этом интер-155

вале Vx^/sh(VX0»l, так как Х«1. Следовательно, согласно (5.66) g«l. Таким образом, при высоких температурах R«RX+R2, т.е. дискретность заряда гранулы не проявляется и сопротивление туннельного контакта совпадает с последовательным сопротивлением переходов «металл 1 — гранула», «гранула — металл 2».

Полагая для оценок, что радиус гранулы г=500 А, диэлектрическая проницаемость окружающего гранулу диэлектрика е = 10 и емкость гранулы С~гг, получим, что температуру туннельного контакта можно считать высокой, если она удовлетворяет условию Т »е21(2ггкв)~ПК.

При низких температурах (Х»1) в суммах, входящих в (5.65), существенны слагаемые с т,п, близкими к -^. Несколько удобнее иметь дело с положительными целыми числами, поэтому сделаем в (5.65) замену т-^-т, п-*-п. Получим

8 =8 =gM* ^е-Х(т-у;gM* ^е-Х(т-у;^g-^xii-^^g-^xii-^X(n+V2-^shX(n+l/2-^) ‘X(n+V2-^shX(n+l/2-^) ‘(5.67)(5.67)

8 =

8 =

gM* ^е-Х(т-у;

gM* ^е-Х(т-у;

^g-^xii-^

^g-^xii-^

X(n+V2-^shX(n+l/2-^) ‘

X(n+V2-^shX(n+l/2-^) ‘

(5.67)

(5.67)

В первой сумме учтем слагаемые с т=[^] и т=Ю+1, где [^] — целая часть числа (при обоих указанных значениях т | т - |< 1). Во второй сумме учтем лишь одно слагаемое — с п=[^]. Строго говоря, при ^-[У->0 вклад слагаемого с л=К[-1 совпадает со вкладом слагаемого с л=К], но, во-первых, такое совпадение имеет место в узкой области ^-[^]<1/(ЗХ)«1, во-вторых, в этой области оба слагаемых экспоненциально малы по X [порядка ехр(-ЗХ/4)«1], поэтому слагаемое с п=[^]-1 опускаем. Аналогичное замечание можно сделать относительно вклада слагаемого с п=[^]+1 при ^-И-»1. После несложных преобразований находим

(5.68)(5.68)Х({^}-1/2)^~sh2X(©-l/2)’

(5.68)

(5.68)

где {^} — дробная часть числа ^. График функции g© представлен на рис. 5.4. Эта функция достигает максимального значения Smax = V2 при ^ = 1/2,3/2,...,т.е. при

(5.69)(5.69)K0=-^L £+1 L к = 0,1,2,...° aC( 2)

(5.69)

(5.69)

g

о 0,5 1,5 2,5 3,5 аС|Г0/е|

Рис. 5.4. Отношение кондактанса к его высокотемпературному пределу как функция потенциала затвора при низкой температуре туннельного контакта (r«e7(2C^))

Период между максимумами составляет ДК0 =|^/(аС). Функция g достигает минимального значения == «1 при 5 = 0,1,2,... , причем чем ниже температура (больше значение параметра X), тем меньше значение gmin. Ширину максимумов 5К0 можно оценить из условия

85=аСЗГ0/И~1/(2Х),

откуда следует

5K0~W(a|e|).(5.70)

При понижении температуры (Г ->0) ширина максимумов стремится к нулю.

Таким образом, мы видим, что при низких температурах кон- дактанс имеет значение, сравнимое с его высокотемпературным пределом, лишь при определенных значениях потенциала затвора [см. (5.69)]. При других значениях потенциала затвора кондактанс (и вместе с ним ток при заданном напряжении на контакте) близок к нулю. Это и есть кулоновская блокада туннелирования. Физическая интерпретация этого явления будет дана ниже.

Заметим, что если положить 5=0, то результаты, полученные в настоящем разделе, применимы для описания туннелирования через гранулу в случае, когда затвор отсутствует. При этом из формул (5.62) и (5.68) вытекает, что

R=(R{ +/t2)/gmin«(/?1+/t2)f^»(/t]+/?2), (5.71)

т.е. сопротивление при низких температурах и малых напряжениях сильно возрастает по сравнению с высокотемпературным случаем, что наблюдалось еще в конце 60 — начале 70-х годов [1-3].

Рассматривая туннельные контакты с затвором (см. рис. 5.2, б), мы не учитывали, что потенциал затвора влияет не только на заряд гранулы, но и на положение берегов туннельного контакта. Не будем останавливаться на этом вопросе, отсылая читателя к статье [12].

Число избыточных электронов на грануле

При решении кинетического уравнения в 5.2.1 мы уже вводили среднее число п избыточных электронов на грануле при равных потенциалах берегов. Оно описывается формулой (5.59). Подставляя в нее явные выражения для w°, е° и вновь используя параметры Х,^, определенные соотношениями (5.64), преобразуем (5.59) к виду

п =п =^-Х^)2^-Х^)2^пеА^г.^пеА^г.(5.72)(5.72)

п =

п =

^-Х^)2

^-Х^)2

^пеА^г.

^пеА^г.

(5.72)

(5.72)

Как и в предыдущем разделе, рассмотрим случаи высоких и низких температур.

При высоких температурах (Х«1) суммы по т, п заменим приближенно интегралами по переменным ^=-JX(im+^, ^^(п+^. Получим

Отсюда видно, что п — линейная функция потенциала затвора, причем п <0, так как потенциал затвора относительно берегов контакта отрицателен.

При низких температурах (Х»1) сделаем в (5.72) замену т ^-т, п^-п, после чего в обеих суммах оставим по два слагаемых с номерами [^] и Ю+1. В результате найдем

й^]-(1 + е-2^Н2))^й^]-(1 + е-2^Н2))^(5.74)(5.74)

й^]-(1 + е-2^Н2))^

й^]-(1 + е-2^Н2))^

(5.74)

(5.74)

Поскольку n < 0, число |й| имеет смысл числа недостающих электронов на грануле. Зависимость |й| от показана на рис. 5.5, а, из которого видно, что |й| увеличивается почти на единицу в узких областях вблизи точек ^ = 1/2,3/2,5/2,... , т.е. при тех же значениях потенциала затвора, при которых кондактанс туннельного контакта имеет максимумы (см. рис. 5.4). Нетрудно убедиться, что ширину областей быстрого роста |й| можно оценить по формуле (5.70), в соответствии с которой эта ширина пропорциональна температуре. При Т ->0 кривая на 5.5, а превращается в последовательность ступенек со скачками, равными единице, в точках 5 = 1/2,3/2,5/2,... .

Интересно найти среднеквадратичную флуктуацию числа избыточных (или, что тоже самое, недостающих) электронов на грануле

(5.75)(5.75)6n=V«2 -л2 ,

(5.75)

(5.75)

где

„2= ^-Цт^„2= ^-Цт^^уе-х^ .П——°®^уе-х^ .П——°®(5.76)(5.76)

„2= ^-Цт^

„2= ^-Цт^

^уе-х^ .

П——°®

^уе-х^ .

П——°®

(5.76)

(5.76)

Вычисления, полностью аналогичные тем, которые приводят к формуле (5.74), показывают, что при низких температурах (Х»1)

5л = (2сНХ(й}-1/2))-1.(5.77)

График функции 5л(^) изображен на рис. 5.5, б. Из него видно, что при низких температурах флуктуации числа частиц на грануле подавлены при всех значениях потенциала затвора, кроме узких областей вблизи значений потенциала, описываемых формулой (5.69). Иными словами, достаточно эффективное туннелирование через гранулу и заметные флуктуации ее избыточного заряда возможны лишь при одних и тех же значениях потенциала затвора.

о 0,5 1,5 2,5 3,5 aCl^l

Рис. 5.5. Среднее число недостающих электронов на грануле (а) и среднеквадратичная флуктуация числа этих электронов (б) как функции потенциала затвора при низкой температуре контакта (Т«ег/(2Скв))

Физический механизм кулоновской блокады туннелирования

В нулевом приближении по напряжению на туннельном контакте функция распределения числа избыточных электронов на грануле w® описывается формулой (5.49), которую можно интерпретировать как гиббсовское распределение с эффективной потенциальной энергией е®. Представим выражение (5.48) для этой энергии в виде

2

е®=^(«2+2^).(5.78)

Графическое изображение зависимости энергии е® от числа п — это набор точек, лежащих на параболе (5.78) и имеющих целочисленные абсциссы, причем абсцисса вершины параболы равна

(рис. 5.6). При низких температурах (Т«e^Q-Ck^ в соответствии с распределением Гиббса система может находиться практически лишь в одном энергетическом состоянии — состоянии с наименьшей энергией. Если ^ — полуцелое число (^ = к +1/2,к = 0,1,2,...) , то ближайшие к вершине параболы точки имеют абсциссы п=-к и п=-к -1 и соответствуют одной и той же энергии (рис. 5.6, а). Следовательно, низшее энергетическое состояние гранулы двукратно вырождено по числу избыточных электронов. Это число может меняться на единицу, не требуя затрат энергии.

Из сказанного ясно, что среднее число избыточных электронов на грануле п = -к-Х)!, а отклонение числа избыточных электронов от среднего значения равно по модулю 1/2 . Оба эти вывода согласуются с результатами предыдущего раздела. Туннелирование через гранулу, сопровождающееся изменением числа электронов на грануле на единицу (например, сначала увеличением этого числа, затем его уменьшением или наоборот), не требует затрат энергии и может протекать эффективно.

Рис. 5.6. Зависимость эффективной потенциальной энергии гранулы (показана точками) от числа избыточных электронов на ней при полуцелом (а) и неполуце- лом (б) значении параметра = аСУ0/еРис. 5.6. Зависимость эффективной потенциальной энергии гранулы (показана точками) от числа избыточных электронов на ней при полуцелом (а) и неполуце- лом (б) значении параметра = аСУ0/е

Рис. 5.6. Зависимость эффективной потенциальной энергии гранулы (показана точками) от числа избыточных электронов на ней при полуцелом (а) и неполуце- лом (б) значении параметра = аСУ0/е

Рис. 5.6. Зависимость эффективной потенциальной энергии гранулы (показана точками) от числа избыточных электронов на ней при полуцелом (а) и неполуце- лом (б) значении параметра = аСУ0/е

Если же параметр ^ отличен от полуцелого числа, низшее энергетическое состояние гранулы не вырождено и соответствует одному значению п (рис. 5.6, б). И флуктуации числа электронов на грануле, и туннелирование электронов через нее, также сопро- 6 Физика квантовых161

низкоразмерных структур

вождающееся изменением числа п, требуют конечной энергии, т.е. имеют активационный характер. Эти процессы могут быть осуществлены лишь электронами с достаточно большой энергией, а таких электронов при низких температурах практически нет. Поэтому, когда не полуцелое число, флуктуации числа электронов на грануле и туннелирование через нее невозможны. Этот вывод согласуется с результатами, полученными в 5.2.2 и 5.2.3.

5.3

Вольт-амперная характеристика асимметричного туннельного контакта без затвора

Расчет вольт-амперной характеристики

Рассмотрим второй случай, когда система характеризуется малым параметром и удается аналитически решить стационарное кинетическое уравнение,— случай асимметричного контакта. В роли малого параметра выступает отношение Х2/Х] (или обратное отношение). Будем для определенности считать, что выполняется условие

е=Х2/Х]«1.(5.79)

Поскольку сопротивления 7t], R2 туннельных переходов «металл 1 — гранула» и «гранула — металл 2» обратно пропорциональны соответственно величинам X], Х2, то условие (5.79) означает, что Rx «R2.

Как уже отмечалось, стационарное кинетическое уравнение сводится к уравнению Fn = А = const, которое мы запишем, явно вьщелив малый параметр е:

("-„-wltie4E-"E-,^v,№T1V<£^^ -еИ)+

«l».-»^-"^^(Ш)

Решение этого уравнения можно искать в виде ряда w„=w“+ew*+... В дальнейшем нам понадобится лишь первый член этого ряда. Он удовлетворяет уравнению (5.80) при е=0, следовательно,

(5.81)(5.81)_ 0 AE„-E„.x-eV^KkBT>

(5.81)

(5.81)

ХхДЕ^Е^-eV.y

Напомним, что входящая сюда потенциальная энергия гранулы Еп определяется выражением (5.26). Если заменить X] —>Х] + Х2, ^ ->К , то уравнение (5.81) совпадете (5.38), решение которого известно и имеет вид (5.42). Следовательно, мы можем написать

(5.82)(5.82)^n=LeAE„-neV^KkBT> z= ^e-(E„-neVx}/(kBT}

(5.82)

(5.82)

Функцию распределения (5.82) можно интерпретировать как распределение Гиббса с эффективной энергией

С2(Ц-Г2)"С2(Ц-Г2)"1е2 Г 7

С2(Ц-Г2)"

С2(Ц-Г2)"

(5.83)(5.83)г\ = Еп-пеУх=— п2 +2п

(5.83)

(5.83)

которая зависит не отдельно от потенциалов И,, И2, а лишь от их разности ^ - Г2, которую мы обозначим V.

Подставим найденную функцию распределения нулевого приближения по е в формулу для тока (5.45) и воспользуемся выражением для Еп. Получим

е^4 у^^п)2 х

(5.84)(5.84)Ri v [_

(5.84)

(5.84)

у V р-Un^-W [Х(и+ц-1/2)-у]

„~sh[x(«+n-l/2)-v]’

где введены обозначения

X=е^К^СквЛ , ц = С2 У(\^, v=(^/(2^7).(5.85)

Параметры X,q,v не являются независимыми. Легко видеть, что у = ХцС/С2.(5.86)

Выражение (5.84) связывает ток и напряжение на контакте, т.е.описывает его ВАХ. При изменении знака приложенного к кон-такту напряжения V величины ц,у также меняют знак, однако спомощью замены m->-m, «->-«+! можно показать, что при163

этом меняется лишь знак тока, модуль же его остается неизменным. Следовательно, /(К) — нечетная функция. В дальнейшем для определенности будем считать И>0. При И->0 из (5.84) получается такое же отношение I/V, какое получается из (5.62) и (5.65) при Rv «Кг в отсутствие затвора (формально при нулевом потенциале последнего).

Заметим, что если использовать формулу для тока, полученную при рассмотрении туннельного перехода «металл 1 — гранула», то функции w® будет недостаточно для вычисления тока. Эта функция обратила бы выражение для тока в нуль и нам потребовалось бы учесть поправку первого приближения ew’.

При высоких температурах (X «1) можно перейти от суммирования по т,п в (5.84) к интегрированию по переменным z = -JX(m+q), £=VX(«+q -1/2). В результате получим

I 1 shvv“"r^"VI 1 shvv“"r^"V^+00\ ^ +ООJ e'^dt J^+00\ ^ +ООJ e'^dt J-С2е 4-С2е 4(V^-v) sh(^-v) 4(V^-v) sh(^-v) 4(5.87)(5.87)

I 1 shv

v“"r^"V

I 1 shv

v“"r^"V

^+00\ ^ +ОО

J e'^dt J

^+00\ ^ +ОО

J e'^dt J

-С2

е 4

-С2

е 4

(V^-v) sh(^-v) 4

(V^-v) sh(^-v) 4

(5.87)

(5.87)

В интеграле по £ эффективный интервал интегрирования — |^ 1. В этом интервале Vy «1, и эту величину можно опустить, после чего интегрирование легко выполняется и дает ‘

1/К«1/Л2. (5.88)

Следовательно, при высоких температурах дискретность заряда гранулы не проявляется и сопротивление туннельного контакта определяется участком с большим сопротивлением (в нашем случае туннельным переходом «гранула — металл 3>).

При низких температурах (Х»1) в выражении (5.84) существенны слагаемые с т,п, близкими к -q. Сделаем замену т = -т*, п=-п' и оставим слагаемые с m' = [q], m' = [q]+l, «' = [q], и' = [и] +1, п' = [q]-1, где [q] — целая часть числа q [см. пояснения после формулы (5.67)], тогда (5.84) примет вид

^№У2)+ (589)

. е-М5/2-з{п}) (у-ХЫ+ЗХ/2) _^1/2) (v-X^}-X/2) )sh(v-X^]}+3X/2) sh(v-x]i]}-X/2), ’

Здесь {n} — дробная часть числа т|. В силу (5.86) у>Хц>х{п}, следовательно, v-X{r|}+X/2>X/2»l и потому можно положить

sh(v - Х{т|}+Х/2)»-^exp(v - X{q}+Х/2)sh(v - X{r|}+ЗХ/2)« ^ exp(v - Х{т|}+ЗХ/2).

Подставляя эти выражения в (5.89), можно убедиться, что отношение второго слагаемого в больших круглых скобках к первому порядка ехр(-ЗХ+2Х{т]})«1 при любых т]. Поэтому второе слагаемое, соответствующее и' = [т|]+1, можно опустить. Получим

+ c-UfaM/2) (у - ХЫ-Х/2) )(5‘90)

sh(v-X{ipX/2) ’

Рассмотрим зависимость отношения //И от напряжения. При очень малых напряжениях ^е\И/(2квТ)«1) параметр т| мал, так как согласно (5.86) ti = v(C2/C)(1/X)<v(1/X)«1. При этом можно пренебречь величиной {т|}=т| по сравнению с 1/2 . Кроме того, в силу малости напряжения можно положить shv~v и пренебречь величиной v по сравнению с Х/2. В результате найдем

//Р»±2^«^-,(5.91)

т.е. сопротивление контакта велико и туннелирование подавлено.

При сравнительно больших напряжениях, когда ц>1, из (5.86) следует, что v>X(C/C2)>X»l. Более того, v-X^}-A/2>Xr|-X{ii}-X/2> Х/2 »1, поэтому в (5.90) можно положить

shv«yev, sh(v-X^]}-X/2)=^-exp(v-X^i}-X/2).

После несложных алгебраических преобразований получим

+^ЧЬ42Сп (2))+^ЧЬ42Сп (2))/, ,-Г5 92^

+^ЧЬ4

2Сп (2))

+^ЧЬ4

2Сп (2))

^Ц с П

7 Физика квантовых

низкоразмерных структур

Отсюда находим зависимость тока от напряжения

(5.93)(5.93)

(5.93)

(5.93)

В точках, где л принимает целочисленные значения, функция {л} терпит разрыв, но функцию /(л) можно считать непрерывной [ее скачки обусловлены отличием th(X/2) от единицы и экспоненциально малы по X ]. Благодаря последнему слагаемому в больших круглых скобках (5.93) ток резко меняется в точках л = 3/2, 5/2,7/2,..., т.е. при напряжениях

(5.94)(5.94)Г=11 к+1 X = 1 2,3,...

(5.94)

(5.94)

С2( 2)

Характерную ширину 5 И интервала резкого изменения тока можно оценить по формуле

ЪУ~2квТС(^УЪУ~2квТС(^У(5.95)(5.95)

ЪУ~2квТС(^У

ЪУ~2квТС(^У

(5.95)

(5.95)

При Т->0 5И^0, т.е. быстрые изменения тока превращаются в скачки величиной | е М^С^.

Вольт-амперная характеристика контакта показана на рис. 5.7. Интересно, что значения тока при целых и полуцелых значениях Л лежат на одной прямой

/ =/ =Н Г с2аЯ2сДН Г с2аЯ2сД(5.96)(5.96)

/ =

/ =

Н Г с2а

Я2сД

Н Г с2а

Я2сД

(5.96)

(5.96)

которая изображена на рисунке штриховой линией. Область промежуточных напряжений (2квТ,\е\<У<|е]/С2)не показана.

В области промежуточных напряжений ^квТ/Ц<У <|е|/С2) оценим лишь значение I/У при л = 1/2. Учитывая, что при этом v=XC/(2C2)»1, v-X^]}-X/2 = X(C1 -С2)/(2С2), получим из (5.90)

(5-97)(5-97)/. 1 [. . С|"С2 "

(5-97)

(5-97)

V ~ 2Кг [ + С[1 -ехр(- Х(С] - С2 )/С2)]''

При очень близких значениях СЬС2 [Х(С]-С2)/С] «1] отсюдаследует, что //К = (1/2Л2)[1+С2/(ХС)]=1/(2/?2). Если же С]»С2,166

то ЦУ=[1//?2 ](С] /С) = 1//?2 • Таким образом, и при близких, и при сильно различающихся емкостях переходов «металл 1 — гранула», «гранула — металл 2» значение тока при напряжении, соответствующем п = 1/2, порядка У/В2 =| е|/(2/?2С2).

Вольт-амперная характеристика туннельного контакта в виде лестницы (см. рис. 5.7) наблюдалась в работе [8]. Из рис. 5.7 ясно, что дифференциальное сопротивление контакта dV/dl как функция напряжения будет представлять собой чередующуюся последовательность максимумов и минимумов с периодом |е|/С2 , определяемым емкостью перехода с большим сопротивлением. Такое поведение дифференциального сопротивления было получено в экспериментальной работе [6]. Кроме того, в этой работе наблюдалась характерная особенность прямой (5.96) — то, что она не проходит через начало координат на плоскости (К,/).

Физический механизм образования ступеней на ВАХ асимметричного туннельного контакта

Будем для определенности считать, что потенциал левого берега туннельного контакта выше потенциала правого берега, т.е. К=Ri - К2 >0 , причем напряжение достаточно велико, так что выполняется условие

7*

V>\e\!CT.(5.98)

Температуру считаем низкой:

Т«е2/(2ая).(5.99)

Легко видеть, что в силу неравенств (5.98), (5.99)

V»kBT!\e\.(5.100)

Если бы не надо было учитывать потенциальную энергию гранулы, последнее условие означало бы, что уровень Ферми в металле 2 значительно выше уровня Ферми в грануле, ток через переход «гранула — металл 2» определяется в основном потоком электронов из металла 2 в гранулу и пропорционален разности уровней Ферми, т.е. величине | е| V. При этом ток был бы пропорционален напряжению V.

При туннелировании электрона эффективная потенциальная энергия гранулы (5.83) изменяется вблизи своего минимального значения на величину ^/с. Согласно (5.98) это изменение меньше | е | И, поэтому и при учете дискретности заряда гранулы ток определяется в основном потоком электронов из металла 2 в гранулу, растет с увеличением напряжения, но теперь не прямо пропорционально последнему. Причина этого заключается в следующем. При низкой температуре в соответствии с гиббсовским распределением (5.82) гранула может находиться практически лишь в состоянии с наименьшей потенциальной энергией (зависимость эффективной потенциальной энергии е„ гранулы от числа избыточных электронов на ней изображается графиками на рис. 5.6, если заменить е° на е* и ^ на Ti=C2K/|e|). При /с-1/2<т]<А:+1/2, где к — целое положительное число, гранула будет находиться в состоянии с п=-к и при туннелировании электрона из металла 2 будет переходить в состояние с и=-к +1. Энергия этого состояния eLt+i > eLt, поэтому не все электроны, которые могли бы туннелировать при е}, = 0, сумеют преодолеть потенциальный барьер (eLt+1 -elt)~e2/C. Следовательно, ток будет пропорционален не \е\У , а меньшей величине |е|К-(е^+1-еЦ).

При л = к+1/2 гранула с равной вероятностью находится в состояниях с п=-к ,п=-к-Л , обладающих одинаковыми потенци-

альными энергиями. При туннелировании электронов из металла 2 будут происходить переходы гранулы из состояния с п =-к в состояния с п = -к+1, при этом электроны должны будут преодолеть потенциальный барьер. Кроме того, будут происходить переходы из состояния с и = —/с—1 в состояние с п = -к , которые не требуют от электронов преодоления потенциального барьера и, следовательно, совершаются всеми электронами, которые могли бы туннелировать при е}, = 0. В результате вблизи значений напряжения, соответствующих ц = к +1/2 , ток довольно резко возрастает благодаря тому, что открывается второй канал туннелирования, не требующий преодоления электронами потенциального барьера.

5.4

Кулоновская блокада туннелирования через две гранулы

Рассмотрим кулоновскую блокаду при туннелировании электронов последовательно через две гранулы (через две точки, по терминологии, принятой в статьях последних лет). Оказывается, этот случай существенно отличается от кулоновской блокады при туннелировании через одну гранулу. Мы остановимся лишь на общей картине явления. Более подробное изложение вопроса можно найти в [13].

Рассмотрим туннельный контакт, содержащий затвор и две гранулы. Выясним, как ведет себя линейный кондактанс G системы (или ее сопротивление R=G-') как функция потенциала затвора Ио и температуры Т. Начнем с электростатической энергии гранул. В экспериментах с полупроводниковыми микроструктурами электростатическим взаимодействием гранул нередко можно пренебречь, тогда электростатическая энергия Е^ системы гранул сводится к сумме электростатических энергий отдельных гранул EXA,E2in2:

Envni=EXA*E2ini,(5.101)

где согласно (5.27) при равных потенциалах ^ = К2 берегов контакта

Ex,v =-^-(e»,)2 *enx\Vx -ьа^-И])],(5.102)

zc(1)

Е^ =^(еп2)2+еп2[Ух+ъ2{У^(5.103)

Здесь «] ,и2 — числа избыточных электронов на первой и второй гранулах; С(1),С(2) — их эффективные емкости; aj = С^1)/С(1), а2 =С^2)/С(2) ; ^>(/ = 1,2) — емкость между i-й гранулой и затвором. Далее для простоты будем считать потенциалы берегов равными нулю (К] = К2 =0), хотя это не принципиально: от слагаемых епхУх,еп2У2 в (5.102) и (5.103) можно избавиться путем перехода от энергий ЕХа,Е2>П2 к энергиям

е?Л| = E\,t -епхУх =7^-(enxf +епхах(У0 -К0 ,(5.104)

Е2,л2 =Е2 -еп2Ух = ^—(еп2)2 +еп2а2(У0-Ух)(5.105)

ZC(2)

[ср. с (5.48)], а вместо У0-Ух можно писать Уо, если понимать под Pg напряжение между затвором и берегами контакта.

Подчеркнем, что использование выражений (5.101)—(5.103) д ля потенциальной энергии, которая зависит лишь от зарядов гранул епх ,еп2, оправдано при изучении протекания тока через гранулы, если время релаксации к равновесию на каждой грануле много меньше времени жизни туннелирующего электрона на этой грануле.

Пусть емкости гранул сильно различаются, например

С(1)«С(2),(5.106)

тогда на температурной шкале можно выделить три области: область высоких

Т»е2/(2С(1)^),(5.107)

промежуточных

'е2/(2С(2)/сд)<Т«е2/(2С(1)^)(5.108)

и низких

T«e2/(2C(2)^)(5.109)

температур. Как показано в 5.2.2, в первой из этих областей дискретность заряда гранул не имеет значения. При этом полное сопротивление контакта складывается из трех сопротивлений: R = Л] + R2 + R3, где Л] — туннельное сопротивление перехода «берег 1 — гранула 7»; R^ — туннельное сопротивление перехода «гранула 1 — гранула 2»; R3 — туннельное сопротивление перехода «гранула 2 — берег 2». Соответственно кондактанс системы

сЦ^+^+КзУ1.

В интервале температур (5.108) дискретность заряда гранулы 2 не важна, эта гранула ведет себя, как массивный проводник, но туннелирование через гранулу 7 происходит эффективно лишь тогда, когда потенциал затвора попадает в полосу шириной /сдТ/^а!) вблизи значения

Ио =кх = 0,1,2,...(5.110)

[см. (5.69), (5.70)]. Очевидно, в этом случае полное сопротивление складывается из R3 и сопротивления туннельного контакта «берег 7 — гранула 7 — гранула 2» (последняя выступает в качестве массивного берега). Выполняя необходимые переобозначения в формулах (5.62),(5.68), можно написать

гДе fci} — дробная часть числа ^ =а1С(1)|К0/е|. Отсюда следует, что полное сопротивление как функция напряжения на затворе имеет периодически повторяющиеся узкие минимумы, а кондактанс — периодически повторяющиеся узкие максимумы, причем период повторения определяется меньшей емкостью.

Наконец, в случае низких температур, когда выполняется условие (5.109), необходимо учитывать дискретность заряда обеих гранул. При этом поведение кондактанса при изменении потенциала затвора зависит не только от емкостей С(1),С(2), но и от коэффициентов а],а2. Если емкости C^,^1* между первой гранулой и каждым из берегов туннельного контакта малы по сравнению с емкостью С^ между этой гранулой и затвором, то коэффи- 171

циент otj = Cjl)/(C1(1)+C^1)+C^1)) близок к единице. То же самое можно сказать про вторую гранулу и коэффициент а2. В дальнейшем будем считать aj »a2 = 1. Тогда туннелирование через гранулу 1 возможно, если потенциал затвора попадает в полосу шириной квТД^ вблизи значений

= 0,1,2,...

45.112)

L(i) V 2 7

а)

б)

Рис. 5.8. Значения потенциала затвора, при которых возможно туннелирование через первую (1) и вторую (2) гранулы. Заштрихованные полосы показывают области Vo, в которых возможно туннелирование через обе гранулы; незаштрихованная полоса показывает область, где туннелирование через обе гранулы невозможно (подавленный максимум кондак- танса)

Аналогично туннелирование через гранулу 2 возможно, если потенциал затвора попадает в полосу шириной квТ^ вблизи значений

Ко= С

С(2)

4}

к 2 = 0,1,2,...

(5.113)

Gв)

ю 20 qj^AI

Ясно, что последовательное туннелирование через обе гранулы возможно тогда, когда значения Ио, определяемые соотношениями (5.112), (5.113), различаются не более, чем на квТ]\Д. Очевидно, это условие удовлетворяется не при любых значениях кх (см. рис. 5.8), поэтому при низких температурах максимумы кондак- танса становятся редкими по сравнению со случаем промежуточных температур.

В [13] выполнено численное моделирование поведения кондактанса контакта с двумя гранулами. Обнаружено, что при О] =а2 =1 поведение максимумов кондактанса, описанное выше и основанное на предположении, что ^«С^, сохраняется в удивительно большом интервале значений С(1)/С(2) (вплоть до С(1)/С(2) =0,4). Некоторые результаты расчетов при С(1)/С(2) =0,36 приведены на рис. 5.9. Единицы G произвольные, но одинаковые на всех рисунках. Налицо переход от стохастических осцилляций кондактанса к периодическим по мере повышения температуры. Заметим, что при С(])/С(2) =0,36 условия (5.112), (5.113) одновременно выполняются при кх = 4,к2 =12 и кх = 22, £2 =62. Стрелками на рис. 5.9 показаны максимумы, соответствующие значениям кх =4 и кх =22. Как и следовало ожидать, при понижении температуры эти максимумы довольно хорошо сохраняются.

Литература

Zeller H.R., Giaeverl. Phys. Rev. 181, 789,1969.

ЯнсонИ.К., ВласенкоА.А. ПисьмавЖЭТФ. 9,657,1969.

ЯнсонИ.К., ВласенкоА.А. ПисьмавЖЭТФ. 13,415,1971.

Галкин А.А., Игнатьев О.М. УФЖ. 15,438,1970.

LambeJ., Jaclevic R.C. Phys. Rev. Lett. 22,1371,1969.

Кузьмин Л. С., Лихарев КК Письма в ЖЭТФ. 45, 389, 1987.

Bentum P.J.M. van, Smokers R. T.M., Kampen H. van. Phys. Rev. Lett. 60, 2543, 1988.

Wilkins R., Ben-Jacob E., Jaclevic R.C. Phys. Rev. Lett. 63, 801,1989.

Fulton T.A., Dolan G.J. Phys. Rev. Lett. 59, 109,1987.

Cohen M.H., FalicovL.M., Phillips J.C. Phys. Rev. Lett. 8, 316,1962.

Кулик И. О., Шехтер Р.И. ЖЭТФ. 68,623,1975.

Glazman L.L, ShekhterR.1. J. Phys.: Cond. Matter. 1, 5811,1989.

Rutin I.M., Chandrasekhar V., Levin E.L, Glaynan L.L Phys. Rev. В 45,13469, 1992.

Глава 6

ТРАНСПОРТ В МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

6.1

Общие сведения

В начале 80-х годов было обнаружено, что проводники, чьи линейные размеры существенно превышают атомный масштаб, но все же меньше, чем размеры обыкновенных макроскопических тел, при низких температурах проявляют необычные физические свойства. Сформировалась целая область физики, изучающая свойства таких объектов,— мезоскопика. Основная особенность мезоскопических проводников состоит в том, что поведение электронов в них описывается законами квантовой механики. В частности, если на всей длине проводника сохраняется фазовая когерентность волновой функции, то интерференция волн, идущих от различных рассеивателей, существенно уменьшает проводимость, а также может изменить другие транспортные характеристики. Рассмотрению квантовых мезоскопических явлений посвящена настоящая глава.

Транспотрные характеристики мезоскопических образцов — электропроводность, теплопроводность и др.— зависят от следующих параметров, характеризующих движение заряженных частиц: фермиевской длины волны XF, длины свободного пробега при упругом рассеянии /Р (или времени релаксации импульса тр), а также от длины фазовой когерентности /ф. В зависимости от значений этих параметров могут реализоваться различные транспортные режимы. В частности, если длина свободного пробега и длина фазовой когерентности больше длины проводника, то имеет место так называемый баллистический транс-

портный режим. Мы увидим, что в этом режиме проводник уже нельзя характеризовать удельной проводимостью или теплопроводностью. В разд. 6.2 рассматривается наиболее интересная особенность баллистического транспорта, а именно квантование кондактанса. Здесь же дается вывод формулы Ландауэра, описывающей проводимость мезоскопических проводников и обсуждаются ее следствия.

Далее рассматриваются эффекты слабой локализации. Показано, что интерференция волн, рассеянных от различных центров, приводит к уменьшению проводимости по сравнению с классической. Этот эффект особенно велик в проводниках с низкой размерностью — одно- и двумерных. Обсуждается критерий сильной и слабой локализации. Для расчета поправок к проводимости здесь используется в основном фейнмановская интерпретация квантовой механики с ее концепцией интегралов по траекториям. Рассмотрено подавление слабой локализации при конечных температурах и во внешнем магнитном поле, а также эффект отрицательного магнитосопротивления.

Проводники, имеющие макроскопические размеры, как известно, не чувствительны к конкретному случайному распределению примесей внутри них. Достаточно провести эксперимент на одном образце, чтобы сделать вывод о значениях тех или иных транспортных параметров — проводимости, магнитосопротивления, теплопроводности и т.д. Флуктуации этих величин при переходе от образца к образцу ничтожно малы. Поэтому можно сказать, что в макроскопических образцах транспортные параметры являются самоусредняющимися величинами. Такая точка зрения на поведение транспортных характеристик существовала до недавнего времени, пока в низкотемпературных экспериментах с образцами малых размеров не были обнаружены очень сильные и воспроизводимые флуктуации проводимости. Эти флуктуации были названы универсальными, поскольку независимо от химического состава и размеров образца флуктуации полной проводимости всегда определяются мировыми константами и имеют порядок e^/h. Природа универсальных флуктуаций, особенности их проявления при конечных температурах, а также способы экспериментального обнаружения обсуждаются в разд. 6.6.

Как уже было сказано, все перечисленные выше эффекты — сильная и слабая локализация, квантование кондактанса в баллистическом режиме, универсальные флуктуации — имеют квантовую природу. Теория этих эффектов, как правило, требует исполь-

зования довольно сложной диаграммной техники, с помощью которой рассчитываются квантовые функции Грина. К сожалению, уровень настоящей книги не предполагает использование этой сложной техники. Однако заинтересованный читатель найдет здесь ссылки на оригинальные работы, а также на ряд обзоров, посвященных изложению современной теории мезоскопических явлений.

6.2

Кондактанс баллистического проводника.

Формула Ландауэра

Полная проводимость двумерного проводника (или кондактанс) пропорциональна удельной проводимости о, а также ширине проводника w и обратно пропорциональна его длине L:

G = oy.(6.1)

Очевидно, что удельная проводимость о здесь является характеристикой материала проводника и не зависит от его геометрических размеров. Возникает вопрос: при сколь малых размерах проводника выражение (6.1) еще остается в силе? Ответ на него был получен в 80х годах, когда были созданы проводники с линейными размерами меньше длины свободного пробега. Электрон пролетает через такой проводник не испытывая рассеяния, в то время как движение через обычный проводник носит диффузионный характер.

На рис. 6.1 показаны типичные электронные траектории в диффузионном режиме, когда /р « w,L, а также в квазибалл исти- ческом w<lp<L и баллистическом /р »w,L режимах. Здесь считается, что размеры естественных неоднородностей на границах канала меньше фермиевской длины волны XF и, следовательно, рассеяние на границах является зеркальным. Ниже будут получены аналитические выражения для кондактанса двумерного проводника в квантовом баллистическом режиме, когда сопротивление связано исключительно с границами между широкой двумерной областью и узким проводником — каналом. Кроме этого будет определен вклад в сопротивление канала от рассеивателей (примесей), находящихся внутри него. Выражение, которое будет получено,— формула Ландауэра — имеет чрезвычайно широкие

приложения в физике низкоразмерных мезоскопических структур [1,2].

Рис. 6.1. Электронные траектории в транспортных режимах: а — диффузионном (/р « £,w) ; б — квазибалли- стическом (w < /р < £ ); в — баллистическом (/р » w,L) [6]

Впервые баллистический транспорт был исследован еще в работе Шарвина [3]. Он изучал проводимость точечного контакта между тонкой платиновой проволочкой и массивным металлом. По оценкам диаметр проволочки в месте контакта составлял доли микрона, в то время как длина свободного пробега была порядка одного миллиметра. В то же время фермиевская длина волны была много меньше размеров канала, так что движение электронов можно было рассматривать чисто классически. Из измерений, выполненных Шарвиным, следовало, что сопротивление баллистического канала нельзя оценить по стандартной формуле, в которой используется понятие удельного сопротивления. Исходя из простых чисто классических представлений о характере движения электрона в канале, Шарвин получил простое выражение для кон- дактанса, который обусловлен упругим рассеянием на геометрическом сужении проводника [3]:

(6.2)(6.2)г 2е2к^

(6.2)

(6.2)

h 4тс

где S — площадь сечения канала; kF — фермиевский волновой вектор.

Кондактанс проводящих каналов в квантовом баллистическом режиме впервые экспериментально изучался в работах двух групп — голландской [4] и британской [5], опубликовавших свои

результаты практически одновременно в 1988 г. Проводящий канал (микромостик) был сформирован в двумерном электронном газе на границе гетероструктуры GaAs-AlGaAs с помощью двух затворов, на которые подавался отрицательный потенциал Vg (см. рис. 1.4). При увеличении потенциала на затворе одновременно увеличивалась эффективная ширина канала. Измерения кондак- танса проводились при температуре 0,5К в нулевом магнитном поле. Ток, протекающий через контакты, был фиксирован, а измерялось напряжение. Сила тока была невелика, поэтому тепловой разогрев исключен.

Зависимость кондактанса от напряжения на затворе, полученная в [4], показана на рис. 6.2. Видно, что при монотонном увеличении потенциала Vg кондактанс увеличивается скачкообразно. Области резкого возрастания кондактанса разделяют плато, где кондактанс G практически не изменяется. Величина скачков (ступеней) кондактанса приблизительно, с точностью не превышающей 1%, равна 2е2/А=1/12906 Ом-1. Всего на графике видно 10 ступеней. При напряжении Kg=-2,2B проводимость обращалась в нуль. По мере увеличения температуры в области плато функция G(Vg) приобретает конечный наклон и превращается в прямую.

Рис. 6.2. Кондактанс точечного контакта (в единицах 2е2/*) как функция напряжения на затворе. Эффективная ширина канала увеличивается вместе с напряжением на затворе (по данным [4])

Рассчитаем силу тока в баллистическом проводящем канале. Предположим, что слева и справа от канала электронный газ находится в состоянии термодинамического равновесия. Эти области играют роль контактов. Если в канале отсутствуют примеси и граничные дефекты, а значит, нет рассеяния, то состояния с положительными рх будут заселены электронами, вышедшими из левого контакта, а состояния с рх< 0 — электронами из правого конгтакта. Ток возникает в том случае, если уровни Ферми слева и справа от проводника имеют различное значение, и, следовательно, состояния с рх > 0 и рх < 0 заселены неодинаково. Величину тока, который переносится состояниями, принадлежащими одной п -й поперечной моде с рх > 0, найдем, вычислив интеграл

/+ =2е/^-уй(рх)/+(е) = 2е/^1^/+(е),(6.3)

где еп(рх) — энергия состояний и-ой моды; vn(,px') — скорость вдоль оси х; /+(е) — фермиевская функция распределения электронов с положительной проекцией рх. Переходя в (6.3) к интегрированию по энергии, найдем

Г(е)<к.(6.4)

Аналогично (6.4) вычисляется ток в противоположном направлении I-. Если рассматривать случай нулевой температуры, когда функция распределения равна единице в интервале e„(0)<e<Cf и нулю вне этого интервала, то полный ток окажется равным

Г-Г = 1=^-Нг^"грк ,(6.5)

h е

где efl, efr — значения уровня Ферми в области контактов слева и справа от проводящего канала соответственно. Кроме того, в формуле (6.5) учтено, что полное число поперечных мод в канале в интервале efl<e<efr равно N. Поскольку разность потенциалов, определяемая по показаниям вольтметра, V = ^EFL-EFR)!e, то кондактанс баллистического канала

2е2

G = ^-N,(6.6)

а его сопротивление есть G-x = А/(2е2Л)=12,906/N кОм.

Полученное выражение (6.6) позволяет оценить электрическое сопротивление баллистических каналов, если известно полное число мод с энергией, не превышающей энергию Ферми. Число мод легко найдем, если известна ширина канала и фермиевская длина волны

wW2wW2N =N =k^w"

w

W2

w

W2

N =

N =

где [х] — целая часть х. Так, если сопротивление одномодового канала равно 12,906 кОм, то сопротивление канала, имеющего ширину 10 мкм, при условии, что фермиевская длина волны равна 40 нм, составляет приблизительно 25 Ом.

До сих пор для простоты предполагали, что температура электронного газа равна нулю. Не представляет труда обобщить наши результаты и на случай 7*0. Для этого необходимо повторить все вычисления, предшествующие формуле (6.6), и записать кондак- танс в виде:

G(.T) = J (7(0)£L *-Е/) - (6.7) 0 " п=\

Поскольку при конечной температуре функция распределения Ферми размыта вблизи Ер на величину порядка 2квТ, то согласно (6.7) ступени кондактанса также будут размыты либо вообще исчезнут. Для того чтобы ступенчатый характер функции G(Vg) сохранился, температура должна удовлетворять неравенству 2квТ<&£п, где Д£„ =ея+1-ея есть расстояние между соседними подзонами размерного квантования.

При выводе формул (6.6) и (6.7) мы исходили из моделей длинного и узкого идеального каналов, что привело к появлению резких ступеней в зависимости кондактанса G(kFw) от ширины канала w. Обсудим теперь отклонение от (6.6) в более реалистических моделях двумерного баллистического канала. Прежде всего следует корректно учесть дифракцию на входе и выходе канала. При этом следует различать два предельных случая — плавный (адиабатический) и резкий переходы от широкой двумерной области к узкому каналу. Коэффициент прохождения через канал с плавно изменяющейся шириной рассматривается в [7, 8]. Здесь

учтены эффекты туннелирования и надбарьерного отражения мод с п< N и n>N , а также переходы между модами с различными п. Показано, что в адиабатическом режиме скачки кондактанса при изменении толщины остаются резкими, если выполнено неравенство K2^2R/wmm > 1, где R — радиус кривизны границ канала; wmm — минимальная ширина канал.

Квантование кондактанса в двумерном канале, который имеет вид длинного волновода с резкими границами на входе и выходе, исследовано в [9, 10]. В таком канале необходимо учитывать дифракцию волн, отраженных от входа и выхода, расположенных на расстоянии L. Вследствие дифракции проводимость уже не будет ступенчатой функцией ширины канала или электронной длины волны. В самом начале ступеньки, т. е. на пороге нового канала, возникают осцилляции, связанные с резонансным отражением электронных волн. Резонансы возникают, когда на длине канала укладывается целое число полуволн Хпп/2 = £, где Хп = 2лй/^Im^Ep-En') ; п — целое число; ея — энергия размерного квантования в поперечном направлении. Экспериментально осцилляции кондактанса на границах ступеней наблюдались в [11].

Учтем теперь рассеяние внутри канала. Пусть вероятность пройти канал без рассеяния (коэффициент прохождения) есть 2)(е), а ток переносится электронами, энергия которых лежит в узком энергетическом интервале efr <e<efl . Тогда ток электронов, падающих слева на рассеиватель, находящийся внутри канала, в соответствии с (6.6) будет

2е2

I=^-NV,(6.8)

h

где V = ^EFL-EFR)[e. Ток электронов, прошедших через область рассеяния, IR = IFD, а ток отраженных электронов в области слева от рассеивателя IL =().-D)Il • Токи слева и справа от рассеивателя, конечно, должны быть равны друг другу, поэтому имеем

2е2

I = It-Il = rR=^-NDV.(6.9)

Таким образом, кондактанс канала, в котором распространяются N электронных мод и имеются рассеиватели,

2е2

G=—ND.(6.10)

к

Выражение (6.10), или формула Ландауэра, ясно демонстрирует роль рассеивателей, ограничивающих полную проводимость канала. Заметим, что при £) = 1, когда рассеивателей нет, выражение (6.10) переходит в формулу (6.6), определяющую кондактанс идеального канала.

Сделаем несколько замечаний, касающихся физического содержания формулы Ландауэра. Согласно (6.10) сопротивление канала с рассеивателями можно представить в виде двух последовательно соединенных сопротивлений:

6 '1 = ^'+^;',(6.11)

где

G”x =к(С1ег^(6.11а)

— сопротивление идеального канала, равномерно распределенное между левой и правой границами, а

G;X = <(6.116)

— сопротивление, связанное с рассеивателями, находящимися в канале.

Таким образом, полное сопротивление, определяемое формулой Ландауэра (6.10), состоит из двух слагаемых, имеющих различную область локализации. Если первое слагаемое в правой части (6.11) — это сопротивление идеального канала, то второе слагаемое можно рассматривать как сопротивление, связанное с рассеивателями, находящимися в канале.

Постараемся также ответить на вопрос, где диссипируется энергия eV, приобретаемая электроном при движении по проводящему каналу. Так как рассеяние внутри контакта является упругим или вообще отсутствует, диссипативные процессы, приводящие электрон в состояние термодинамического равновесия, и прежде всего неупругое рассеяние на фононах, происходят не в области контакта, а далеко за его пределами. Поэтому область, где выделяется джоулево тепло, и область, где возникает сопротивление в баллистическом режиме, пространственно разделены.

6.3

Длина локализации в одно- и многомодовом режимах

В этом и последующих разделах настоящей главы будут рассмотрены явления, связанные с интерференцией электронных волн, рассеянных в различных точках проводника. Будет показано, что при выполнении ряда условий такая интерференция вносит существенный вклад в сопротивление.

Сначала покажем, что в том случае, когда можно пренебречь квантовыми эффектами при рассеянии, т.е. интерференцией волн, рассеянных от различных центров, сопротивление проводника оказывается пропорциональным его длине. Пусть имеется всего два рассеивающих центра. Будем рассматривать электрон как чисто классическую частицу и пренебрежем когерентностью волн, рассеянных от различных центров. Тогда вероятность прохождения через два рассеивателя можно определить, просуммировав вероятности прохождения с различным числом внутренних отражений:

PVI=DXP1*DXP1RXR1*DXD1R^R^*...=DXD1J(.\-RXR1). (6.14)

Это соотношение можно записать также в следующей форме

1-А2/А2 =R\II\+RiID2 .

Аналогично для М последовательно расположенных рассеивателей получим

Х-Р^му R

D(M') D или

D(M) = DI(MR+D).(6.15)

Выразим теперь полное число рассеивателей М через линейную плотность т и длину образца L\M=mL. Тогда вместо (6.15) прозрачность всего образа можно записать, как

D(L) = ll(L+l),(6.16)

где / = Z>/[m(l-Z>)] имеет смысл эффективной длины свободного пробега. Подставляя полученное выражение (6.16) в формулу (6.116), которая определяет сопротивление рассеивателей в канале, найдем

^-^Т <6Л7>

Таким образом, мы показали, что в отсутствие квантовых эффектов в рассеянии сопротивление пропорционально длине образца.

Учтем теперь интерференцию волн, рассеянных от различных центров, и покажем, что она приводит к квантовой локализации. Расчет сопротивления в квантовом режиме более сложный, чем в классическом. Дело в том, что здесь результат зависит от положения каждого рассеивающего центра. Поэтому имеет смысл определить квантовое сопротивление, как среднее по ансамблю проводников, имеющих одинаковое количество случайно распределенных примесей.

Снова предположим, что в проводящем канале находятся два рассеивателя, причем канал одномодовый. Полный коэффициент прозрачности найдем, учитывая многократные отражения между барьерами, как это делалось при выводе (6.14), а также то обстоятельство, что набег фазы при распространении волны от одного рассеивателя к другому и обратно

О=2к/0+ф1+ф2,

где к — волновой вектор; /0 — расстояние между рассеивателями; Ф1, ф2 — изменения фаз при отражениях. В результате найдем

D—Д Z^ /(1—2^ Д Л2 cos0+R^R^, (6.18)

где Dj и Ri — соответственно коэффициент прозрачности и отражения для /-го рассеивателя. Определим сопротивление двух рассеивателей согласно (6.116):

_ A /1-D\

Здесь скобки ( ) означают усреднение по ансамблю случайно расположенных рассеивателей. Будем считать, что все коэффициенты Д-, а также Ri одинаковы по величине, а их фазы распределены случайным образом, так что (cosO) равен нулю. Тогда после усреднения согласно (6.18) будем иметь

8 Физика квантовых низкоразмерных структур

h-D\_ tURA-DA-I^RAcose da

P12 \ D / JДД2я

" da '

Учитывая, что сопротивления от отдельных рассеивателей пропорциональны (A-D^/Di, получим следующее выражение:

(6.20)(6.20)_ о 2е2

(6.20)

(6.20)

Р12 “ Pl + Р2 +2Р1Р2 "^ •

Для того чтобы определить зависимость сопротивления канала от его длины, разобьем канал на два участка длиной Ц и 1^ соответственно. Согласно (6.20) сопротивление канала р(Д + Д) связанно с сопротивлениями р(Д),р(Д) этих участков соотношением

2е2

Р(Д + Д) = Р(Д) + Р(Д) + 2р(Д)р(Д)-д- .

Эр(Д + Д) с?р(Д)эд ацЭр(Д + Д) с?р(Д)эд ац’ 4е2'1+^-р(Д)’ 4е2'1+^-р(Д)(6.21)(6.21)Длины участков можно изменять независимо друг от друга (при этом изменяется и длина канала). Вычислим частные производные р(Д+Д) по ЦА- -

Эр(Д + Д) с?р(Д)эд ац

Эр(Д + Д) с?р(Д)эд ац

’ 4е2'

1+^-р(Д)

’ 4е2'

1+^-р(Д)

(6.21)

(6.21)

Эр(Д+Д) = Ф(Д) Г, 4е2

ЭД dl^ И 1

Очевидно, Эр(Д + Д)/ЭД =Эр(Д +Д)/ЭД , и поэтому можно приравнять правые части выражений (6.21). В результате получим

пацпацhdlqhdlq

пац

пац

hdlq

hdlq

В силу произвольности Д,Д это равенство возможно только в том случае, если и левая и правая части равны некоторой постоянной С. Таким образом, получаем дифференциальное уравнение для p(L):

dpWdLdpWdL4е2= С l+^-p(L) .4е2= С l+^-p(L) .

dpWdL

dpWdL

4е2

= С l+^-p(L) .

4е2

= С l+^-p(L) .

Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию р(0)=0, имеет вид

^L)=^{e h -1).(6.22)

Согласно (6.22) при Z -> 0 p(L) = CL. С другой стороны, как было показано ранее [см. (6.17)], при малой длине канала р(£)»-Дг—.

Следовательно, C=hl(le1l), и (6.22) принимает вид

р(£)= A exp^/O^l(623)

2е 2

Этот результат, впервые полученный Ландауэром [12], представляется весьма неожиданным: согласно (6.23) при увеличении длины одномодового образца L его сопротивление растет не линейно, как это предсказывает классическая теория, а по экспоненциальному закону. Такое поведение сопротивления свидетельствует о локализации квантовых состояний. Фактически это означает, что огибающие волновых функций локализованы в случайном потенциале, причем роль длины локализации играет величина /.

Вывод о локализации квантовых состояний и об экспоненциальном возрастании сопротивления сделан нами в предположении, что в проводнике может распространяться только одна электронная мода. Как показал Таулес [13], локализация возникает не только в одномодовом канале, но и в многомодовом проводящем канале. Роль длины локализации играет величина ZI0K = Nl, где N — число различных мод в канале.

Вернемся снова к формуле (6.23). Если длина образца больше длины локализации, то сопротивление возрастает экспоненциально с увеличением L и превышает 12,9 кОм. В такой ситуации говорят о сильной локализации. Если же L/l«1, то с помощью (6.22) можно найти малую поправку к классической проводимости (в этом случае говорят о слабой локализации). Разлагая экспоненту в ряд Тейлора, получим-

где (Ъ =где (Ъ =к L2е 4окк L2е 4ок— классическое сопротивление.— классическое сопротивление.

где (Ъ =

где (Ъ =

к L

2е 4ок

к L

2е 4ок

— классическое сопротивление.

— классическое сопротивление.

6.4

Слабая локализация

Как уже было отмечено, в физике низкоразмерных структур многие интересные эффекты связаны с проявлением квантовой интерференции. К таким эффектам относится слабая локализация, приводящая к уменьшению проводимости, универсальные флуктуации кондактанса, незатухающие токи в кольцах и многие другие. Однако электронная интерференция будет эффективна только в том случае, если взаимодействие электронов с окружающей средой (термостатом) не подавляет ее. Характеристикой такого взаимодействия является время сбоя фазы электронной волны тф. Поскольку эта величина ассоциируется с неупругими процессами (электрон-фононным и электрон-электронным рассеянием), то при понижении температуры время сбоя фазы увеличивается и может стать много больше времени упругого рассеяния.

Определим также пространственный масштаб /ф, на котором происходит сбой фазы. Если время сбоя фазы меньше или того же порядка, что и время релаксации импульса тр (это условие выполняется в проводниках с высокой подвижностью), то представляется естественным следующее определение: /ф=У/?тф,где vF — скорость Ферми. В проводниках, содержащих большое количество примесей или дефектов, может реализоваться иная ситуация, когда тф»тр. В этом случае за время тф электрон испытывает много соударений и его движение носит диффузионный характер. Значит за время тф электрон пройдет расстояние /ф=^5т^.

В строгой теории слабой локализации [18, 19] используется технически сложная диаграммная техника, результаты которой не поддаются наглядной физической интерпретации. К сожалению, уровень изложения в настоящей книге не предполагает использо-

вание этого аппарата. Здесь мы рассмотрим явление слабой локализации, опираясь на простой подход, развитый в [20,21].

Предположим, что электрон распространяется в проводнике, испытывая многократные акты рассеяния на примесях и дефектах. Известно, что вероятность перейти из точки г в точку г' будет определяться фейнмановским интегралом (суммой) по всем классическим траекториям вида

2

(6.24)(6.24)P(r,r»= ^Л = X|4f ^М*i / i*j

(6.24)

(6.24)

где А, — комплексная амплитуда вероятности 1-й траектории. Первое слагаемое в правой части (6.24) есть сумма вероятностей переходов по отдельным траекториям, а второе описывает интерференцию вкладов от отдельных траекторий. Как всегда в квантовой механике, в соответствии с принципом суперпозиции складываются не вероятности, а амплитуды. Если электронная длина свободного пробега много больше фермиевской длины волны (kf/»l), то электрон можно рассматривать как классическую частицу. Тогда первый член в правой части (6.24) описывает классическую диффузию, а второй — интерференцию вкладов от различных траекторий. В классическом пределе второй член можно считать равным нулю, так как все слагаемые в нем взаимно уничтожаются. С помощью выражения (6.24) можно показать, что при движении электронов в среде со случайными дефектами за счет интерференции возрастает вероятность рассеяния в обратном направлении и, как следствие, возникает слабая локализация электронных состояний. В классическом пределе, разумеется, этот эффект отсутствует.

Обратимся к рис. 6.3, а, на котором показаны две электронные траектории, соединяющие различные точки гиг'. Таких траекторий бесконечно много и их комплексные амплитуды вероятности имеют различные фазы. Поэтому при суммировании во втором слагаемом правой части (6.24) произойдет взаимное сокращение всех членов. Иной результат получается в том случае, когда точки гиг' совпадают. За счет инвариантности системы по отношению к замене знака времени (t -> -г) амплитуды вероятности для траекторий с противоположным направлением обхода (см. рис. 6.3, 6) А{ = А2=А. Как следствие, вероятность траектории, возвращающейся в исходную точку, т.е. вероятность рассеяния

назад, будет вдвое больше вероятности в отсутствие интерференции:

Лг,г)=|4+Л2|2=4|Л|2.Лг,г)=|4+Л2|2=4|Л|2.(6.25)(6.25)

Лг,г)=|4+Л2|2=4|Л|2.

Лг,г)=|4+Л2|2=4|Л|2.

(6.25)

(6.25)

Рис. 6.3. Амплитуды вероятности двух траекторий Л1 и ^ : а — соединяющих точки гиг' (имеют различные фазы); б —начинающиеся и заканчивающиеся в одной точке г (имеют одинаковые фазы)Рис. 6.3. Амплитуды вероятности двух траекторий Л1 и ^ : а — соединяющих точки гиг' (имеют различные фазы); б —начинающиеся и заканчивающиеся в одной точке г (имеют одинаковые фазы)

Рис. 6.3. Амплитуды вероятности двух траекторий Л1 и ^ : а — соединяющих точки гиг' (имеют различные фазы); б —начинающиеся и заканчивающиеся в одной точке г (имеют одинаковые фазы)

Рис. 6.3. Амплитуды вероятности двух траекторий Л1 и ^ : а — соединяющих точки гиг' (имеют различные фазы); б —начинающиеся и заканчивающиеся в одной точке г (имеют одинаковые фазы)

В результате такого увеличения вероятности рассеяния назад проводимость будет меньше классической. Так возникает слабая локализация.

Оценим теперь, следуя [20] (см. также [21]), величину интерференционной добавки к друдевской проводимости. Предположим, что эта добавка мала и что движение электронов в основном имеет диффузионный характер. Нас интересует частота появления самопересе- кающихся траекторий, с которыми связано возрастание вероятности обратного рассеяния. Если считать, что электрон движется в плоскости со скоростью

vF и ширина его траектории имеет порядок минимальной длины

волны XF, то за время dt траектория покроет площадь vFXFdt (см. рис. 6.3). С другой стороны, при диффузионном движении на плоскости электрон за время / может оказаться в любой точке области с площадью ^х2^ = Dt, где D — коэффициент диффузии. Вероятность самопересечения за время t, очевидно, равна отношению соответствующих площадей.

Будем считать, что отношение интерференционной добавки До к классической проводимости о определяется интегралом по времени вида

(6.26)(6.26)До сvFXFдо Dt ‘

(6.26)

(6.26)

Определим верхний и нижний пределы интегрирования в (6.26). Как уже отмечалось, при временах, превышающих время сбоя фазы, когерентность квантовых состояний разрушается, и поэто-

му верхний предел интегрирования определим как тф. С другой стороны, диффузионный характер устанавливается только при временах, больших времени упругих столкновений тр, которое определяет нижний предел. Чтобы учесть все это, технически удобно ввести под знак интегрирования экспоненциальные множители, обрезающие интегрирование как на верхнем, так и на нижнем пределе. В результате получим относительную величину локализационной поправки к проводимости в двумерном проводнике:

До(2)

(6.27)

2я2й

Определим теперь величину локализационной поправки к проводимости в узком проводящем канале, образованном в двумерной области. Если ширина канала w превышает фазовую длину когерентности, определяемую как l^Joi^, то стенки канала не ограничивают движение электрона, и ситуация — чисто двумерная. Однако если канал настолько узкий, что выполнено неравенство ^«/y, диффузионное движение в канале будет практически одномерным, и площадь области, где может оказаться электрон к моменту t, будет равной wJT)t. Относительную поправку к классической проводимости теперь запишем в виде интеграла:

Оценим с помощью полученных выражений порядок величины локализационной добавки к проводимости. Из (6.27) следует, что отношение Дстлок/ст имеет порядок l/(kF/p). Простые оценки показывают, что в двумерных структурах GaAs-AlGaAs это отношение составляет доли процента, а в типичных металлах оно еще

меньше. В узких каналах, где справедливо неравенство w«lv, как следует из (6.28), отношение Далок/о значительно больше. Оно

1 равно - w kFlp

Теперь несколько слов о том, как можно наблюдать эффекты слабой локализации. Классическое сопротивление, как известно, убывает при понижении температуры, что связано с уменьшением интенсивности электрон-фононного рассеяния. При очень низких температурах, когда остается эффективным только рассеяние на статических примесях и дефектах кристаллической решетки, сопротивлние выходит на константу. Однако в 1D и особенно в 2D проводниках ниже некоторой температуры должен снова наблюдаться рост сопротивления. Такой эффект был обнаружен в [22], где измерялась температурная зависимость проводящих каналов различной ширины в двумерном электронном газе. Результаты для трех образцов представлены на рис. 6.4. Видно, что увеличение сопротивления значительное только для проводника с минимальной шириной, в котором ситуация ближе к одномерной и локализация выражена более ярко.

Рис. 6.4. Зависимость от температуры сопротивления проводящего канала, образованного в двумерном электронном газе в структуре GaAs-AlGaAs:

1 — ширина канала w = 0,5 мкм; 2 — ширина канала w = 1,5 мкм;

3 — широкий канал. Длина канала составляла 10 мкм [22]

Воздействовать на электронные интерференционные процессы можно не только путем изменения температуры. В разд. 6.5 будет показано, что рассеяние в обратном направлении, приводящее к слабой локализации, можно подавить внешним магнитным полем.

В заключение необходимо обратить внимание на существование еще одного механизма, порождающего квантовые поправки к проводимости. Речь идет об электрон-электронном взаимодействии в средах со случайным потенциалом. Существенно то, что поправки, связанные с этим механизмом, в случае 2D электронного газа имеют такую же температурную зависимость, как и поправки, обусловленные слабой локализацией. В результате их не всегда легко разделить в эксперименте.

Расчет поправок к проводимости, связанных с электронным кулоновским взаимодействием, проводится с помощью сложной диаграммной [23, 24] техники. Воспроизвести его здесь нет возможности, поэтому лишь отметим, что электрон-электронные корреляции возникают как бы вследствие дифракции одного электрона в осциллирующем потенциале, созданном другими электронами. Такая дифракция будет иметь место только при условии, что разность энергий взаимодействующих электронов мала. В том случае, когда температура конечна, характерная разность энергий имеет порядок квТ и время эффективного взаимодействия тг = kBT/h . Если при этом в условиях эксперимента выполнено неравенство тг < тф, то обрезание взаимодействия происходит на временах тг. Соответствующая диффузионная длина определится, как 1Т=(,1ХТ^1. Если 1Т меньше ширины w проводящего канала, то реализуется двумерный диффузионный режим, если же lT > w, то диффузия имеет квазиодномерный характер. Выражения для поправок к классической проводимости, связанных с межэлектронным взаимодействием, в том и другом случае имеют следующий вид:

Да^ =-^rg\ —,w«lT; (6.29а) п W

2

До^ = -^-g2 ln^, lT « w. (6.296)

Как показано в [23, 24], константы gt и g2 сложным образом зависят от отношения длины экранирования к фермиевской длине волны; в типичных условиях эксперимента они положительны и по порядку величины равны единице.

6.5

Подавление слабой локализации в магнитном поле

Рассмотренный эффект локализации обладает уникально высокой чувствительностью к магнитному полю. Обсудим механизм этого явления. В предыдущем разделе было показано, что интерференция амплитуд двух путей, которые частица проходит в противоположных направлениях, приводит к увеличению вероятности рассеяния назад. В результате возрастает электрическое сопротивление. Покажем теперь, что слабое магнитное поле, нарушающее симметрию системы по отношению к замене знака времени, может уменьшить или вообще подавить этот эффект [25].

В отсутствие магнитного поля набег фазы амплитуды вероятности Лр при движении по траектории Р определяется интегралом (см., например, [26])

Д<р=—[pdf.(6.30)

Как следствие инвариантности системы по отношению к замене знака времени, при замене t^-t изменяется направление обхода замкнутой траектории При этом импульс р изменяется на -р, а элемент интегрирования dr на -dr.

Если система находится во внешнем магнитном поле, то инвариантность к замене знака времени нарушена. Роль кинематиче

ского импульса в этом случае играет величина р--А. Поэтому с

амплитуда вероятности приобретает дополнительный фазовый множитель [26]:

Лр(Я)-»Лр(0)ехр — jAdr ,р )

где интеграл берется вдоль траектории. Для замкнутого пути дополнительный фазовый множитель можно выразить через магнитный поток

Лр(Я)->Лр(О)ехр —(Adr .Лр(Я)->Лр(О)ехр —(Adr .(6.31)(6.31)

Лр(Я)->Лр(О)ехр —(Adr .

Лр(Я)->Лр(О)ехр —(Adr .

(6.31)

(6.31)

Для замкнутой траектории, которая проходится в обратном направлении, набег фазы изменяет знак. Тогда для двух траекторий, которые проходятся в противоположных направлениях, разность фаз

^"Ц^=^!ГО,№=1НЧ? (6'32)

Здесь 5 — площадь, охватываемая замкнутой траекторией; 1Н — магнитная длина; ф — магнитный поток через эту площадь; <^-chle — квант магнитного потока. Появление разности фаз двух путей, которые проходятся в противоположных направлениях, приводит к разрушению интерференции и, как следствие, к уменьшению сопротивления.

Замкнутые траектории, для которых разность фаз Дфя порядка единицы или больше, не вносят вклад в слабую локализацию. Введем характерное время движения по такой траектории тн . Для этого определим характерную площадь петли, как IXн, приравняем ее к 1н и найдем th=IhId. Магнитное поле, которое существенно изменяет величину слабой локализации, можно оценить, приравняв время тя к введенному ранее времени сбоя фазытф. В результате получим

„ ей _ ей

*1 л* •—_~ ' •“ п •

eDS е^

Полагая /ф = 1 мкм, найдем Нс =60 Э. Для грубой оценки влияния магнитного поля на эффект слабой локализации достаточно в выражении (6.27) заменить время тф на тн .

Ниже приведено строгое выражение для изменения классического кондактанса в магнитном поле, которое было получено с использованием диаграммной техники в [25, 26]. Для двух измерений, когда ширина канала удовлетворяет условию w »/ф, имеем

5(?(Я)-б(?(0)=^ *

L 2л й

где 4х — диаграмма-функция. Нетрудно убедиться, воспользовавшись асимптотическим выражением для Ч'(х) при х »1, что при Н ->0 выражение (6.33) переходит в (6.27).

Локализационные поправки к проводимости в узком, квазиод- номерном канале, где w«lv, впервые были рассчитаны Альтшулером и Ароновым в [28]. Они рассмотрели случай, когда упругая длина свободного пробега меньше, чем ширина канала, так что рассеяние на стенках несущественно и движение носит характер диффузии (приближение грязного проводника). Поскольку замкнутые траектории, которые ответственны за локализацию, как бы зажаты внутри канала, а длина локализации больше ширины канала, эффективная площадь S=w^Dt )^г. Из условия 5 = 1» , которое согласно (6.32) обеспечивает сдвиг фазы на единицу, найдем характерное время iH~l]j/Dv^ и магнитное поле Нс ~ A/(|e|vy/q>), которые характеризуют эффект подавления слабой локализации в одномерном канале. Отсылая читателя к оригинальной работе [28], приведем здесь без вывода аналитическое выражение для поправки к одномерной проводимости в магнитном поле:

Напомним, что формула (6.34) справедлива при выполнении условий ЦДН » w »/р.

На рис. 6.5, а, б представлены результаты измерений магнитосопротивления в широком и узком проводящих каналах, образованных в двумерном электронном газе на гетерогранице GaAs- AlGaAs [29]. По вертикальной оси отложена величина Д7?/7?=[/?(0)-7?(Я)]/Л(0). Тот факт, что Д/?>0, свидетельствует об уменьшении сопротивления в магнитном поле, т.е. о подавлении слабой локализации. Кривые на рис. 6.5 построены с помощью аналитических выражений (6.33) и (6.34), в которых параметры w и /ф подбирались так, чтобы достичь наилучшего согласия теории и эксперимента. Видно, что с понижением температуры эффект усиливается, что связано с возрастанием длины сбоя фазы /ф. Наибольшее изменение сопротивления в широком канале не

превышало 6%. При полной проводимости образца Т-Ю^Ом"1 это составляло около 40 мкОм-1, что приблизительно равно е1^.

Следует подчеркнуть, что измерения проводились в очень слабых магнитных полях — не более 140 Гс, так что условия магнитного квантования (1.59) и (1.60) не были выполнены.

ДЛ/Л, %

&R/R, %

L = 2100мкм w =300 мкм

О 35 70 105 140 Я, кЭ

Рис. 6.5. Отрицательное магнитосопротивление, связанное с подавлением слабой локализации: а — в широком двумерном канале; б — в узком одномерном канале. Поверхностная концентрация электронов ns = 1,6- 10Псм~2 ; подвижность ц = 27000 см2/(Вс) [29]

Масштаб магнитных полей, на которых происходит уменьшение сопротивления в 1D проводнике, несколько больше, чем в 2D проводнике. Это естественно, так как величина Нс в одномерной ситуации превосходит Нс в двумерной ситуации в /ф/w раз. При /ф = 10^ см и w=40hm значение характерного поля Нс = й/(|^/ф)«1кГс.

Отрицательное магнитосопротивление наблюдалось не только в структурах GaAs-AlGaAs. В [30, 31] подавление слабой локализации магнитным полем было обнаружено также в тонких слоях кремния.

В режиме чистого металла, когда длина свободного пробега превышает ширину канала (w«/p), при расчетах магнитосопротивления необходимо учитывать рассеяние на границах. Впервые это было сделано в [32], где рассматривалось магнитосопротивление тонкой пленки в магнитном поле, параллельном ее поверхности.

В заключение еще раз подчеркнем, что хотя эффект подавления слабой локализации не слишком велик, он интересен тем, что в отличие от многих других транспортных явлений не связан с временем релаксации импульса, а определяется временем (или длиной) релаксации фазы.

6.6 Универсальные флуктуации кондактанса

Флуктуации при Т=0

В мезоскопике с квантовой природой электронов связана не только слабая локализация, следствием которой является уменьшение кондактанса. Не менее интересный квантовый эффект состоит в том, что кондактанс проводников, имеющих размеры мезоскопического масштаба, существенно зависит от положения каждого рассеивающего центра. При перемещении любого примесного атома на расстояние порядка электронной длины волны фазовые соотношения для интерферирующих волн, а с ними и кондактанс изменяются случайным образом. Покажем, что амплитуда флуктуаций кондактанса не зависит от размеров образца и концентрации примесей и величина ее всегда порядка 2е2/А. Конечно, непосредственно наблюдать такие универсальные флуктуации кондактанса невозможно, поскольку экспериментаторы еще не научились фиксировать положение каждого примесного атома или дефекта. Однако их можно видеть в одном образце, изменяя внешнее магнитное поле или концентрацию электронов. В том и другом случае нарушаются фазовые соотношения для волн, рассеивающихся на дефектах, что эквивалентно изменению координат рассеивающих центров.

Теория универсальных флуктуаций кондактанса в мезоскопических структурах была построена в работах Альтшулера [33], а также Ли и Стоуна [34]. В этой теории используется сложная диаграммная техника, которую рассмотреть здесь подробно нет возможности (для предварительного знакомства с этой теорией можно рекомендовать [2]). Вместо этого основные результаты теории универсальных флуктуаций можно получить из простых, но не очень строгих соображений, высказанных в [35].

Запишем формулу Ландауэра (6.10) в виде

2е22е2

G = ^-D=^N-Ry(6.35)

Здесь N — число поперечных мод или одномерных подзон с энергией меньше фермиевской; D — полная прозрачность; R — полный коэффициент отражения. Величины D и R можно представить в виде сумм по всем модам, распространяющимся в проводящем канале:

D^D^.R^R^.(6.36)

а,ра,р

Индексы аир нумеруют различные моды.

Главная задача теории универсальных флуктуаций состоит в вычислении средней квадратичной флуктуации или дисперсии кондактанса ^(Зб2^ для образцов с различной конфигурацией рассеивающих центров, где

(3G2) = (t?2)-(G)2.(6.37)

Здесь скобки ( ) означают усреднение по различным конфигурациям примесных атомов. В дальнейшем нам будет удобно рассматривать безразмерный кондактанс

S=^7T=^«p = ^-^p-(6.38)

Записав безразмерный средний и среднеквадратичный кон- дактансы как (g) = ^-(Л) и (g2) = N2 -IN^+^R2^, с помощью определения (6.37) найдем /8g2\=(§/?2\ .

Теперь нам предстоит вычислить флуктуации полного коэффициента отражения К, который согласно (6.36) есть сумма N1 слагаемых. Предположив, что все слагаемые /^р в (6.36) не корре- лированы, можем записать

(3/?2) = №(3/Q(3/?2) = №(3/Q(6.39)(6.39)

(3/?2) = №(3/Q

(3/?2) = №(3/Q

(6.39)

(6.39)

Представим вероятность отражения из моды а в моду 3 как

2

Дхр ~ £^Р РДхр ~ £^Р Р. В этой формуле суммирование идет по всем путям

Дхр ~ £^Р Р

Дхр ~ £^Р Р

Р, стартующим с моды а и оканчивающимся на моде 3, т.е. можно сказать, что данный феймановский интеграл записан в модовом представлении. Предположив, что фазы различных амплитуд случайны, имеем

' РРА '

для средней амплитуды и

(^р) = X UpAp-Ap-Ap-UАрАуАуАр.

= 2^ И^РИЯ2 ^РР&Р'Р' + Ьрр-Ър-р-^= 2^p)

РР'Р'Г

для среднеквадратичной. В результате для среднеквадратичной флуктуации коэффициента отражения получим

(6.40)(6.40)^УМг-

(6.40)

(6.40)

Оценим теперь средний коэффициент отражения ^R^. Для этого воспользуемся классическим определением кондактанса проводящего канала, имеющего длину L и ширину w:

где правая часть выражена через число поперечных мод N=kFw/K. Сопоставляя далее (6.41) с формулой Ландауэра, найдем ^Da^=Klp/(2NE). И, наконец, учитывая связь ^Da^ = N-

™р

-^ Дхр , получим следующую оценку:

«Р

где С — безразмерный коэффициент порядка единицы. Подставляя полученный результат в (6.40) и комбинируя (6.39) и (6.38), получим окончательно для дисперсии безразмерного кондактан- са:

(§g2) = l. (6.42)

Возвращаясь к размерным величинам, находим, что независимо от размеров образца и его химического состава флуктуации кон- дактанса G имеют универсальное значение, равное по порядку величины 2е2/А.

В случае приближенного рассмотрения при записи (6.39) мы предположили, что коэффициенты отражения /{„р для различных пар входящих и выходящих каналов а,Р не коррелированы. В то же время можно показать, что, предположив отсутствие корреляции между коэффициентами прохождения Дар, мы получим результат, отличающийся от (6.42). Возникает вопрос: какое из этих предположений более оправдано? Для ответа на него необходимо учесть, что пути, по которым электроны проходят через весь образец, более длинные, чем пути, по которым движутся отражающиеся электроны. Поэтому электроны, проходящие через весь образец, испытывают большее число актов рассеяния, чем отраженные. Резонно предположить, что поскольку отражение назад связано с небольшим числом рассеяний, вероятности отражения для различных пар входящих и выходящих каналов не коррелированы. Строгий расчет, основанный на диаграммной технике, подтверждает это предположение.

Конечные температуры

До сих пор мы предполагали, что температура равна нулю и фазовая когерентность сохраняется на всей длине образца. Ясно, что при Т*0, когда длина фазовой когерентности /ф=(£>сф)1/2 имеет конечное значение, флуктуации должны быть меньше 2е2/А. Подробная теория флуктуаций кондактанса при конечных температурах была развита в работах [36,37]. Здесь мы ограничим-

ся изложением простых качественных соображений, которые позволяют, однако, получить правильную по порядку величины оценку ЬСф).

Будем считать, что длина образца L во много раз превосходит фазовую длину когерентности, а его ширина w меньше, чем /ф, т.е. реализуется одномерный режим. Разделим мысленно такой образец на N = Л//ф последовательно соединенных участков длиной /ф. Напомним, что величина флуктуаций безразмерного кондактанса отдельного участка согласно (6.42) имеет порядок единицы. Обозначим сопротивление одного участка как R=1/g, а флуктуацию сопротивления запишем как

5Л = 5(1/5) = 5g/g2 . (6.43)

Сопротивление всего образца будет в N раз больше: RN = NR, а флуктуация сопротивления в >Tn раз больше флуктуации одного участка:

8Rn = 4n^-.(6.44)

g

Представив аналогично (6.43) флуктуацию полного безразмерного кондактанса в виде &gN = g^dRN и воспользовавшись (6.44), найдем

bgN^glN^.(6.45)

Соответственно для размерного кондактанса получим

2еЧ1 V/2

•(646>

Найденная зависимость говорит о том, что с ростом температуры, когда длина когерентности /ф уменьшается, флуктуации кондактанса длинного квазиодномерного образца должны резко ослабевать.

При Т * 0 существует еще один механизм ослабления универсальных флуктуаций кондактанса. Поясним его кратко. Два интерферирующих фейнмановских пути с энергиями, различающимися на SE, должны рассматриваться как некоррелирующие, если разность фаз, приобретенная за время Т], превышает единицу:

TX5E/h>l.(6.47)

За это время диффундирующий электрон пройдет расстояние Ц = (Pt! У/2 = (йЛ/8£)1/2 . Поскольку при конечных температурах ток переносится электронами из энергетического интервала квТ вблизи энергии Ферми, то соответствующая тепловая длина

lT=VhD/(kBT^2.

Предположим, что длина фазовой когерентности /ф превышает 1Т. Тогда мы можем считать, что существует несколько энергетических интервалов шириной й/тф , между которыми корреляция отсутствует. Всего в интервале квТ существует N = квТ/(йАф) = = 1^/1т таких независимых каналов. Как следствие, флуктуации кондактанса, определяемые (6.46), должны уменьшиться в Nv*2 раз. Окончательное выражение, справедливое при выполнении условий /ф »/rw, имеет вид

(6'48)

Строгая теория, построенная в [38], дает результат, отличающийся от (6.48) на численный множитель порядка единицы.

Флуктуации кондактанса в проводниках, имеющих мезоскопические размеры, можно исследовать экспериментально. Для этого необязательно изменять относительное расположение рассеивающих центров. Согласно «эргодической гипотезе», высказанной и подтверждаемой с помощью численного моделирования в [39], флуктуации AG не зависят от того, изменяется ли расположение примесей, внешнее магнитное поле или фермиевская длина волны. Дело в том, что если величина еF или амплитуда магнитного поля изменяются мало, то физические параметры образца остаются прежними, а изменяются только фазовые соотношения для различных фейнмановских траекторий.

Результаты эксперимента [40], при котором наблюдались флуктуации сопротивления инверсионного слоя Si в изменяющемся магнитном поле, представлены на рис. 6.6. Мы видим, что в слабых магнитных полях сопротивление резко падает (отрицательное магнитосопротивление). Это связано с подавлением слабой локализации. Затем по мере увеличения магнитного поля кондактанс меняется случайным образом. Как установлено в [40], отрицательное магнитосопротивление наблюдается только в

длинных образцах £»/ф, в них амплитуда флуктуаций, невелика. В коротких образцах, напротив, флуктуации кондактанса возрастают, что соответствует формуле (6.46).

Рис.6.6. Универсальные флуктуации сопротивления, возникающие при изменении магнитного поля в инверсионном слое на поверхности Si и при различных напряжениях на затворе: кривая /— 797 В; //— 600 В; Ill— 303 В (40)

Отметим здесь также работы [41, 42], в которых флуктуации кондактанса наблюдались в тонких проводящих каналах в 2D электронном газе на гетропереходе GaAs- AlGaAs.

Как правило, мезоскопические эффекты наблюдаются в образцах с размерами, не превышающими несколько микрон при температурах не выше 0,1 К. Однако они представляют интерес не только с точки зрения фундаментальной физики. Эти эффекты накладывают естественные ограничения на пределы миниатюризации электронных приборов. Как было показано, характер мезоскопических флуктуаций кондактанса таков, что становится невозможным рассчитать и производить элементы с заданными свойствами.

Литература

Landauer R. IBM J. Res. Dev. 32,306,1988.

Landauer R. Physica Scripta. T42,110,1992.

Шарвин Ю.В. ЖЭТФ. 48,984,1965.

Wees B.J. van, Houten H. van, Beenaker C. WJ. et al. Phys. Rev. Lett. 60, 848, 1988.

Wharam DA, Thornton T.J., Newbury R. etal. J. Phys. 21, L209,1988.

Houten van. In book Physics and Technology of Submicron Structures. Springer — Verlag, 1988.

Глазман Л.И., Лесовик Г.Б., Хмельницкий Д.Е., Шехтер Р.И. Письма вЖЭТФ. 48,218, 1988.

YacobyA., Imry Y. Phys. Rev. В 41, 5341,1990.

Левинсон И.Б. Письма в ЖЭТФ. 48, 273,1988.

Shafer A., Stone A.D. Phys. Rev. Lett. 62, 300, 1989.

Wees В. J. van et al. Phys. Rev. В 40, 2793,1989.

LandauerR Phil. Mag. 21, 863, 1970.

TaulessDJ. Phys. Rev. Lett. 39,1167,1977.

ButtikerM. IBM J. Res. Dev. 32, 317, 1988.

ButtikerM. IBM J. Res. Dev.

WeesBJ. van etal. Phys. Rev. В 43,1243,1991.

Anderson P. W. Phys. Rev. 109,1992,1958.

Горьков Л.П., Ларкин А.И., Хмельницкий Д.Е. Письма в ЖЭТФ. 30, 248,1989.

Anderson P.W., Abrahams Е, Ramakrishnan T.V. Phys. Rev. Lett. 43, 718, 1979.

Ларкин А.И., Хмельницкий Д.Е. УФН. 136, 536, 1982.

Chakravarty S., Schmid A. Phys. Rep. 140,193,1986.

Houten H. van etal. Appl. Phys. Lett. 49,1781,1986.

AltshulerB.L., AronovA.G., LeePA Phys. Rev. Lett. 44,1288, 1980.

Fukuyama H. J. Phys. Soc. Jap. 48,2169,1980.

Altshuler B.L., Khmelnitsky D.E., Laikin A.I., Lee P.A. Phys. Rev. В 20, 5142,1980.

Фейнман P., Лейтон P., Сэндс M. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1967.

HikamiS., Larkin A.I., Nugaoka Y. Prog. Teor. Phys. 63,707,1980.

АльтшулерБ.Л., АроновА.Г. ПисьмавЖЭТФ. 3, 515,1980.

ChoiK.K. etal. Phys. Rev. В36,775, 1987.

Dean CC, PepperM. J. Phys. C 15, L1287,1982.

WheelerRG. etal. Phys. Rev. Lett. 49,1674, 1982.

Дугаев B.K., Хмельницкий Д.Е. ЖЭТФ. 86,1784,1984.

Альтшулер Б.Л. ПисьмавЖЭТФ. 41, 530,1985.

Lee РА, Stone A.D. Phys. Rev. Lett. 55,1622, 1985.

LeePA Physica. 140A, 169,1986.

Альтшулер БА, Хмельницкий Д.Е. Письма в ЖЭТФ. 42, 291,1985.

Lee РА, Stone A.D., Fukuyama Н. Phys. Rev. В 35,1039,1987.

Beenaker С. W.J., Houten Н. van. Phys. Rev. В 37,6544, 1988.

Lee PA, Stone D., Fukuyama H. Phys. Rev. В 35,1039,1987.

LiciniJ.C. etal. Phys. Rev. Lett. 55, 2987, 1985.

Thornton T.J. etal. Phys. Rev. В36,4514,1987.

Houten H. van etal. Superlatticts and Microstructures. 3,497, 1987.

ГЛАВА?

КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА

7.1

Общие сведения

Экспериментальное открытие в 80-х годах квантового эффекта Холла стало одним из наиболее ярких событий в физике за последние два десятилетия. Это открытие стимулировало появление ряда теоретических работ, существенно изменивших наши представления об электронных процессах в конденсированных средах. В работе фон Клитцинга, Пеппера и Дорды [1], опубликованной в 1980 г., было доказано, что холловская (недиагональная) проводимость двумерного электронного газа не зависит от параметров материала, геометрии образца и температуры и всегда кратна комбинации мировых констант, имеющей размерность обратного сопротивления

e^h.(7.1)

Здесь е — заряд электрона, А — постоянная Планка. В то же время в условиях наблюдения квантового эффекта Холла диссипативная проводимость обращается в нуль. Точность, с которой выполняется закон квантования (7.1), оказалась необычно высокой.

Еще более удивительным стало открытие в 1982 г. дробного квантового эффекта Холла. Цуи, Штермер и Госсард [2] установили, что в гетероструктурах с очень высокой подвижностью носителей холловская проводимость может быть равна дробному значению кванта проводимости е2/А. Точнее, в [2] была обнаружена аномалия проводимости в точке е2/ЗА, соответствующей магнитному полю, при котором нижний уровень Ландау заполнен на одну треть. Позднее особенности не-

диагональной проводимости наблюдались при различных дробных значениях фактора заполнения основного уровня Ландау v = p/q, где р и q — целые числа, причем знаменатель дроби q является нечетным числом.

Несмотря на то, что целочисленный квантовый эффект Холла и дробный эффект Холла по своим внешним проявлениям очень похожи друг на друга, их физическая природа совершенно различна. Если целочисленный эффект Холла можно объяснить в рамках приближения невзаимодействующих электронов, то дробное квантование, как мы увидим,— многоэлектронное явление. Здесь определяющую роль играет кулоновское отталкивание — электроны на частично заполненном уровне Ландау находятся в состоянии сильнокоррелированной жидкости. Элементарные возбуждения этой жидкости несут дробный заряд [3] и обладают необычной статистикой, отличающейся как от статистики Ферми—Дирака, так и от статистики Бозе—Эйнштейна [4].

7.2

Гальваномагнитные явления в слабом магнитном поле

В начале рассмотрим простой метод расчета магнитосопротивления двумерной системы в слабых (неквантующих) магнитных полях. Действуя в рамках элементарной теории Друде, приравняем силу Лоренца, действующую на электрон, к скорости изменения импульса за счет упругих соударений:

/еДМ^-^,(7.2)

( С /

где Nd — дрейфовая скорость электрона с компонентами vx и v^; тр — время релаксации импульса; Е — вектор напряженности электрического поля, лежащий в плоскости х,у; Н — вектор напряженности магнитного поля, направленный по оси г. В декартовых координатах это уравнение можно записать так:

ЕхЕуЕхЕу(7.3)(7.3)"тп/(етр) -Я/clfv/_ Н/с тДеТр)]^^

Ех

Еу

Ех

Еу

(7.3)

(7.3)

Вводя плотность тока i = ensvd, где ns — поверхностная плотность электронов, и друдевскую проводимость <s=nse2xPlm, перепишем (7.3) в следующей форме

о 1- H/(nsec) Y Jx ) Г Ex

H/(nsec) o1 py J (^y ,

и тем самым определим компоненты двумерного тензора сопротивления, связывающего компоненты тока и электрического поля: Е( = pikjk. Согласно (7.4), для компонент этого тензора имеем выражения

Рхх —Руу — ^ ’ Рлу~ Рух-H/nsec .(7.5)

Q =£^ иху 22Рхх+РхуQ =£^ иху 22Рхх+Рху(7.6)(7.6)Одновременно запишем компоненты тензора удельной проводимости, обратного тензору сопротивления:

Q =£^ иху 22

Рхх+Рху

Q =£^ иху 22

Рхх+Рху

(7.6)

(7.6)

Рхх°хх= 22

Рхх+Рху

Из (7.5) мы видим, что в рассматриваемой элементарной модели продольное сопротивление не зависит от магнитного поля, а выражение для холловской компоненты не содержит электронного времени релаксации. Эксперименты, в которых измеряются компоненеты тензора сопротивления в присутствии магнитного поля, широко распространены в физике полупроводников. Дело в том, что они позволяют определить сразу две важные характеристики материала — электронную концентрацию ns и подвижность p = ety[m.

В холловских экспериментах обычно используются длинные образцы прямоугольной формы (холловские мостики) (рис. 7.1). Геометрические размеры исследуемого образца показаны на рисунке. Магнитное поле перпендикулярно поверхности проводника. Постоянный ток течет вдоль оси образца между истоком (левым контактом) и стоком (правым контактом). В эксперименте величина тока обычно фиксируется. Контакты для измерения напряжения расположены по краям образца. Холловское напряжение VH измеряется между контактами, находящимися на противоположных гранях, а продольное напряжение — между потенциальными контактами, расположенными на одной границе образца. Холловское сопротивление RH и одновременно недиагональная компонента р^ определяются как отношение холловского напряжения к холловскому току RH =VH/1 = Ew/(jw)=pxy. Зная продольное напряжение VL, можно определить продольное сопротивление Rl и компоненту р^: RL=VL]I=рххЦ>«.

КонтактКонтактКонтакт

Контакт

Контакт

Рис. 7.1. Электрическая схема для измерения холловского VH и продольного VL напряжений

Следовательно, величина RL зависит от геометрических размеров образца. Заметим, что в случае двух измерений, который будет рассматриваться в дальнейшем, полное сопротивление и удельное сопротивление имеют одинаковые размерности.

7.3

Условия эксперимента

Обсудим условия, в которых обычно проводится эксперимент. Квантовый эффект Холла наблюдается в 2D электрорнном газе, находящемся в инверсионном слое около границы «полупроводник-диэлектрик» либо вблизи границы гетероперехода. Как правило, бывает заполнена только первая подзона размерного квантования. Квантующее магнитное поле всегда направлено перпендикулярно к плоскости, в которой находится двумерный электронный газ. Наилучшие результаты достигнуты в системе GaAs- AlGaAs с высокой подвижностью (см., например, [9]). Если целочисленный квантовый эффект Холла наблюдается при температурах порядка 1 К, то для наблюдения дробного квантового эффекта Холла необходимы температуры, лежащие в области милликельвинов.

В холловских экспериментах наблюдаются два различных по природе явления — осцилляции продольного сопротивления и появление широких плато (или ступеней) на кривых, описываю- 209

Рис. 7.2. Зависимость холловского напряжения VH (кривая в) и продольного напряжения VL (кривая б) от магнитного поля для гетероструктуры GaAs-AlGaAs [10] Ток в цепи исток—сток 1= 10 мкА, температура Т= 1,6К

щих зависимость недиагональной компоненты тензора сопротивления от величины магнитного поля. Это иллюстрирует рис 7.2, где представлена зависимость непосредственно измеряемых напряжений VH и VL от напряженности магнитного поля. Поле здесь играет роль параметра, определяющего степень заполнения уровней Ландау. Видно, что в слабых полях напряжение на холловских контактах, а с ним и холловское сопротивление растут, в соответствии с (7.5), пропорционально Н . Продольное напряжение в этой области постоянно, а продольное сопротивление такое же, как и в нулевом магнитном поле. В области квантующих магнитных полей картина качественно изменяется. На кривой VH(H) появляется ряд горизонтальных участков или плато, где значение холловского сопротивления

1?я = ^я// = А/(е20 = 25,8128// кОм.(7.7)

Здесь z — число полностью заполненных уровней Ландау, причем речь идет об уровнях, не вырожденных по спину. В области

магнитных полей, соответствующих плато, продольное сопротивление сильно уменьшается. По порядку величины диагональная компонента р^ в этой области значительно меньше удельного сопротивления любого несверхпроводящего материала. На рис. 7.2 видны также максимумы продольного сопротивления, которые расположены в переходной области от одного плато к другому.

Как уже отмечалось выше, квантовый эффект Холла наблюдался в различных структурах с двумерным электронным газом. В оригинальной работе фон Клитцинга и др. [ 1] эффект был обнаружен в инверсионном слое на поверхности кремния (см. также [101). Позже квантовый эффект Холла наблюдался в гетероструктурах GaAs-AlGaAs [10—12], в двойной гетероструктуре GaSb- InAs-GaSb [13], в гетероструктуре GaAs-AlGaAs с носителями р- типа [14] и др. В серии работ [15, 16] квантовый эффект Холла наблюдался в структурах Ge/Si. Достаточно полные обзоры экспериментальных исследований целочисленного и дробного квантовых эффектов Холла даны в статьях Кэйджа и Чэнга [5].

Осцилляции продольного сопротивления, а также плато функции КН(Ю нельзя объяснить, оставаясь в рамках классической теории гальваномагнитных явлений, поскольку они имеют квантовую природу. Происхождение осцилляций продольного сопротивления понять нетрудно. Это известные осцилляции Шубникова—де Гааза, связанные с изменением числа заполненных уровней Ландау. Величину и период таких осцилляций можно рассчитать с помощью простой теории возмущений [17]. Не вдаваясь в детали расчета, обсудим здесь только механизм этого явления.

Осцилляции Шубникова—де Гааза связаны с влиянием магнитного поля на величину электронного времени релаксации. Если рассматривать модель, в которой рассеяние электронов происходит на короткодействующем потенциале, то уже простое бор- новское приближение даст следующее выражение для частоты электронных столкновений или обратного времени релаксации:

(7.8) п

где р(^) — электронная плотность состояний на уровне Ферми, N, — концентрация рассеивателей, Ко — амплитуда рассеивающего потенциала. Тогда продольное сопротивление также окажется пропорциональным плотности состояний:

Ш -1X

Р«=2Т ^р^)-

»se

Как было показано в 1.2.8 [см. (1.63)], плотность состояний двумерного электронного газа в магнитном поле представляет собой последовательность 8 -образных пиков, расстояние между которыми равно йюс. Поэтому всякий раз, когда при изменении магнитного поля магнитный уровень совпадает с уровнем Ферми, вероятность рассеяния, а с ней и сопротивление будут максимальными. В том случае, когда уровень Ферми лежит между уровнями Ландау, продольное сопротивление минимальное. Нетрудно убедиться, что эти осцилляции периодичны по обратному магнитно

/ I ) 2е g

му полю Н , причем период осцилляций А — =———, где g — \Н) к п$

кратность долинного вырождения. Механизм образования холловских ступенек более сложный. Мы посвятим следующий раздел выяснению их природы и расчету величины холловского сопротивления КдШ) на плато, а сейчас обсудим некоторые метрологические аспекты открытия целочисленного эффекта Холла.

Как уже отмечалось выше, холловское сопротивление с поразительно высокой точностью (до 10-7) было одинаковым в различных образцах. Это обстоятельство произвело революцию в измерении электрических величин. Оказалось, что измерение кванта холловского сопротивления на плато позволяет создать эталон ома [18]. В то же время, если задан эталон ома, абсолютное измерение отношения е2/А позволяет определить другую фундаментальную константу — постоянную тонкой структуры а=е2/(Ас), поскольку скорость света с известна с очень высокой точностью. Постоянная тонкой структуры а определяет интенсивность электромагнитного взаимодействия, в том числе многочисленные тонкие эффекты квантовой электродинамики. Точно определенное значение постоянной тонкой структуры, с одной стороны, позволит проверить многие теоретические предсказания квантовой электродинамики, а с другой — повысить точность определения ряда других фундаментальных констант.

В гл. 6 было отмечено, что квант проводимости е2/А фигурирует и в теории других эффектов, например через эту величину выражается проводимость двумерных каналов или величина универсальных фуктуаций кондактанса. Однако из-за процессов ре-

лаксации электронного импульса точность определения кванта e^jh из проводимости баллистических каналов не превышает нескольких процентов. По-видимому, только квантовый эффект Холла прозволяет измерить значение этой величины с большой точностью, которая не связана с использованием очень чистых образцов, обладающих совершенной кристаллической структурой. Причина столь высокой точности — в самой природе эффекта.

7.4

Вычисление холловского тока

В настоящем разделе будет произведен расчет холловского сопротивления в скрещенных электрическом и магнитном полях в проводнике, содержащем рассеивающий потенциал. Сначала будет показано, что в идеальном проводнике холловское сопротивление электронного газа на полностью заполненном уровне Ландау строго равно h!^ . Затем мы учтем влияние дефектов, которые, во-первых, создают примесные состояния, а, во-вторых, изменяют ток, переносимый делокализованными состояниями. Локализованные состояния, очевидно, не могут переносить ток, но несмотря на это в их присутствии ток остается таким же, как в идеальном проводнике. Дело в том, что ток оставшихся делокализованных состояний в присутствии примесей возрастает так, что это полностью компенсирует уменьшение тока, связанное с образованием локализованных состояний.

Таким образом, будет показано, что изолированные дефекты не нарушают закон квантования холловского сопротивления, тогда как в отсутствии магнитного поля такие дефекты вызвали бы двумерную локализацию. В результате в неидеальном проводнике, как и в идеальном, холловское сопротивление оказывается точно кратным hje1. Этот результат и был впервые установлен экспериментально фон Клитцингом и др. [1]. При проведении расчетов будем следовать в основном работам Пренджа [19,20].

Сделаем следующие предположения о характере рассеивающего потенциала: будем считать,что он не является столь слабым, что частота столкновений меньше ос и уровни Ландау хорошо определены, но существуют области, где этот потенциал строго равен нулю. Размеры таких областей должны быть больше, чем магнитная длина 1Н. Запишем гамильтониан двумерных электронов в следующем виде:

н=^-2тн=^-2та2 | а енх е , ]Рх + Ру"уI Сса2 | а енх е , ]Рх + Ру"уI Сс- eEx+Uy.- eEx+Uy.(7.10)(7.10)

н=^-2т

н=^-2т

а2 | а енх е , ]

Рх + Ру"у

I Сс

а2 | а енх е , ]

Рх + Ру"у

I Сс

- eEx+Uy.

- eEx+Uy.

(7.10)

(7.10)

В гамильтониане (7.10) учтено не только магнитное поле, направленное по оси г, но и электрическое поле, ориентированное по оси х, а также рассеивающий потенциал.

Кроме того, гамильтониан (7.10), зависит от компоненты векторного потенциала Ау, не связанной с постоянным магнитным полем Н понадобится нам при вычислении тока. Мы увидим, что изменение Ау приводит к сдвигу центров волновых функций, а также к изменению энергии делокализованных состояний. В отсутствие рассеяния (Up = 0) собственные функции (7.10) выглядят следующим образом:

^прД^У^^прД^У^ехр-ехр-i\ ру +-Ау( с Лi\ ру +-Ау( с Л■фл(х —х0).■фл(х —х0).(7.11)(7.11)

^прД^У^

^прД^У^

ехр-

ехр-

i\ ру +-Ау

( с Л

i\ ру +-Ау

( с Л

■фл(х —х0).

■фл(х —х0).

(7.11)

(7.11)

Здесь, как и в отсутствие электрического поля, ф„(х-хо) — собственная функция гармонического осциллятора, однако положение центра осцилляций зависит теперь и от напряженности электрического поля Е и задается

(7.12)(7.12)сру тс2Е

(7.12)

(7.12)

величина Ly определяет размер по у. Собственные значения энер

гии, отсчитанные от значениягии, отсчитанные от значениятс2 Е22 Н2’тс2 Е22 Н2’могут быть записаны какмогут быть записаны какьпРу =htoc(n+l/2VeExo,ьпРу =htoc(n+l/2VeExo,где п =0,1,2,..., илигде п =0,1,2,..., или£ПРу£ПРу11.,1 х Д СРу= hac(n+-)~eE2. ей.,1 х Д СРу= hac(n+-)~eE2. ей22тс2ЕеН2тс2ЕеН2(7.13)(7.13а)(7.13)(7.13а)

гии, отсчитанные от значения

гии, отсчитанные от значения

тс2 Е2

2 Н2’

тс2 Е2

2 Н2’

могут быть записаны как

могут быть записаны как

ьпРу =htoc(n+l/2VeExo,

ьпРу =htoc(n+l/2VeExo,

где п =0,1,2,..., или

где п =0,1,2,..., или

£ПРу

£ПРу

1

1

.,1 х Д СРу

= hac(n+-)~eE

2. ей

.,1 х Д СРу

= hac(n+-)~eE

2. ей

2

2

тс2ЕеН2

тс2ЕеН2

(7.13)

(7.13а)

(7.13)

(7.13а)

Из (7.13) следует, что электрическое поле снимает вырожде-ние по квантовому числу ру, которое имеет место в магнитном214

поле, и уровни Ландау превращаются в зоны, в которых энергия пробегает все значения в интервалах

htoc (и +1/2) + еДко™ < гпРу < й®с (и +1/2)+еЕх^, (7.14)

где х™т и Лупах — минимальное и максимальное значение координаты х.

Потребуем, чтобы волновая функция (7.11) удовлетворяла циклическим граничным условиям по оси у: ху(х,у) = ху(х,у + 1у), а центр осцилляций находился в интервале 0<x<Lx, где Lx — размер образца по оси х. Тогда проекция импульса ру будет принимать следующие значения:

2тгй в ..— . -.

Р„=—s—Ау,(7.15)

Ц с

где s — целое число. Согласно (7.15), каждому значению s соответствует значение импульса ру, определяющее положение центра осцилляций. Значит, числа s естественным образом нумеруют состояния в соответствии с их положением по х.

Известно, что при градиентном преобразовании A'y = Ay+Vf, где / — скалярная функция, волновая функция преобразуется по закону

Ч"(х,у) = ехр| — | ^(х.у).

I ch

При градиентном преобразовании Ау = Ау+ЛАу имеем

(7.16)(7.16), ieAAvy2nAAvy

(7.16)

(7.16)

^-ру = eXP~^"V^ =ехр—’

где ф0 — квант магнитного потока. Тогда из (7.16) и (7.15) следует, что при изменении векторного потенциала на величину ЬАу=^Щ центры осцилляций х0 квантовых состояний с фиксированным s смещаются так, что состояние с номером $ превращается в состояние с номером s+1.

Для определения тока воспользуемся известным выражением

о ЭЯJy"CMy •

Среднее значение производной по параметру эрмитовского оператора Н в состоянии ^а вычислим, приравняв ее к производной от собственного значения этого оператора (теорема Гелл-Мана— Фейнмана)

<уа|ая/Э4ра) = Эеа/Э4 . (7.17)

Теперь без особого труда можно вычислить ток в отсутствие рассеяния. Для этого, воспользовавшись соотношением (7.15), устанавливающим связь между ру, Ау и выражением (7.13а), выполним дифференцирование в правой части (7.17) по Ау и с помощью (7.16) найдем ток в одноэлектронном состоянии (7.11):

Полученный результат имеет простой физический смысл — в скрещенных электрическом и магнитном полях все электроны движутся с одинаковой скоростью дрейфа v^ --сЕ/Н вдоль оси у. Ток электронов одного полностью заполненного уровня Ландау найдем, умножив (7.18) на кратность вырождения одного уровня Ландау, определяемую формулой (1.45):

а 1

(7.19)

Этот результат определяет значение холловской проводимости электронов одного не вырожденного по спину уровня Ландау и находится в полном соответствии с (7.1).

Приступим теперь к вычислению тока в неидеальном проводнике, т.е. в присутствии рассеивающего потенциала. Предварительно необходимо сделать следующие важные замечания о характере рассеяния электронов в скрещенных электрическом и магнитном полях. Пусть из состояний улр , определяемых (7.11), приготовлен волновой пакет, который локализован в направлении электрического поля х и вытянут вдоль у. Такой пакет будет двигаться в направлении оси у с групповой скоростью vd ~-сЕ/Н без дисперсии. Убедимся, что рассеяние пакета возможно только вперед.

Действительно, пакет, налетающий с одной стороны на рассеиватель, находящийся далеко от границы проводника, по исте-

АА

А

А

чении достаточно большого времени окажется далеко по другую сторону от него. Он будет двигаться в том же направлении и с той же скоростью vd. Энергия рассеянного пакета не изменяется (рассеяние упругое), и, следовательно, его центр будет иметь ту же координату %о, что и до рассеяния. Причина в том, что не существует состояний с той же энергией, но локализованных в другой точке Xq (все уровни не вырождены). Таким образом, рассеяние происходит только вперед (рис. 7.3).

Заметим, что в скрещенных полях подавляется и рассеяние назад, которое благодаря инвариантности системы по отношению к замене 7 -> -7

б)

у

X +

Рис. 7.3. Рассеяние волновых пакетов 2D электронов в скрещенных электрическом и магнитном полях: а — при Н = 0, б — при Н * 0. Электрическое поле направлено по оси х

существует даже в одномерных системах. В скрещенных полях такая симметрия, а также цилиндрическая симметрия отсутствуют.

Все сказанное относится не только к волновым пакетам, но и к делокализованным состояниям лу„Ру. Если рассеяние такой волны происходит на некотором центре, то волна, прошедшая в области, где рассеивающий потенциал равен нулю, может отличаться от падающей волны только фазовым множителем. Короче, если при у —>0 волновая функция, отвечающая энергии еа, имела вид

уа(х,у -»0,)°с ехруа(х,у -»0,)°с ехрhhФл(х-х0)Фл(х-х0)(7.20)(7.20)

уа(х,у -»0,)°с ехр

уа(х,у -»0,)°с ехр

h

h

Фл(х-х0)

Фл(х-х0)

(7.20)

(7.20)

и рассеиватель находился далеко от границ у=0,^, то при у -эLy она должна приобрести только дополнительный фазовый множитель. Соответствующая асимптотика этой функции имеет вид

9 Физика квантовых низкоразмериых структур

уа(х,у-»^)осехруа(х,у-»^)осехр<p„(x-x0)expj'8(ea), (7.21)

уа(х,у-»^)осехр

уа(х,у-»^)осехр

где 8(еа) — добавочная приобретенная фаза.

Циклические граничные условия, накладываемые на функцию, определяемую (7.20) и (7.21), приводят к следующему уравнению:

(7.22)(7.22)Ру "Ь Ay Ly С / - + 8(е„ ) = 2 nsa,

(7.22)

(7.22)

где sa — целое число, нумерующее состояние электрона в присутствии рассеивателей. Очевидно, в отсутствие рассеяния число делокализованных состояний No = 1/(2п/#), т-е- равно кратности вырождения уровня Ландау. Рассеивающий потенциал переводит часть состояний в локализованные. Если линия ^(Ру) не пересекает рассеивающий центр, то добавочная фаза Ь(ру) равна нулю, а при прохождении линии х^Ру) через центр рассеяния фаза изменяется. Это изменение может быть больше, чем 2я. Тогда сдвиг фазы можно изменить так, чтобы результирующий сдвиг не превышал 2я. После нескольких таких процедур полное число решений уравнения (7.22) изменится на величину Nb, которая и определит число локализованных состояний, а число состояний, оставшихся делокализованными, становится равным N0-Nb. В отличие от делокализованных состояний энергия локализованных состояний при калибровочных преобразованиях не изменяется. Они приводят лишь к умножению каждой локализованной функции на фазовый множитель ехр^еДАруДйс)].

Вычислим теперь холловский ток в присутствии рассеивающего потенциала. Для этого в соотношении (7.17) заменим производную отношением конечных разностей:

Ар

jy=cTT- (7-23)

Поскольку изменение векторного потенциала на величину АЛу =^/Ly сдвигает индекс состояния sa на единицу, ток в состоянии уа, определяемый (7.23), оказывается равным

.•а _ „ ^а+1 ^а _ .-ОJy АЛу Jy.•а _ „ ^а+1 ^а _ .-ОJy АЛу Jy1 . 3(Еа+1)-3(Еа)2л1 . 3(Еа+1)-3(Еа)2л(7.24)(7.24)

.•а _ „ ^а+1 ^а _ .-О

Jy АЛу Jy

.•а _ „ ^а+1 ^а _ .-О

Jy АЛу Jy

1 . 3(Еа+1)-3(Еа)

2л

1 . 3(Еа+1)-3(Еа)

2л

(7.24)

(7.24)

•о 1

№J-=EV-W

Для локализованных состояний производная (7.23) равна нулю. Дело в том, что при изменении векторного потенциала волновая функция локализованного состояния лишь умножается на фазовый множитель, а изменения энергии и ток, очевидно, равны нулю.

Полный ток всех делокализованных состояний, относящихся к одному уровню Ландау, есть

jy =^jy = (^0 -Nb)j» ♦^^jy >(7.25)

где 8j и 32 — значения фаз на противоположных границах образца. Первое слагаемое в правой части (7.25) есть ток, уменьшенный за счет образования локализованных состояний. Второе слагаемое — это добавка к току делокализованных состояний, образованных на примесном потенциале.

Убедимся в том, что ток, определяемый (7.25), равен току в идеальном образце. Для этого запишем уравнение (7.17) для значений Ру и р*, соответствующих границам образца:

(р}-P^Ly/Wx -82 =-W0-Nb^. (7.26)

Учитывая, что, как и в отсутствие примесей, (py-py')Ly/h = = -2nN0, найдем 81-82=2я^. Наконец, с помощью (7.26) и (7.25) убедимся, что полный ток в проводнике, содержащем примеси, будет таким же, как и в идеальном образце, т.е.

Этот результат объясняет нечувствительность величины холловского сопротивления к наличию примесей и дефектов в

образцах. Таким образом, выполненный нами модельный расчет показал, что изолированные примеси, хотя и создают связанные состояния, тем не менее не влияют на величину холловской проводимости, поскольку остальные (делокализованные) состояния переносят дополнительный ток, полностью компенсирующий потери.

7.5

Аргументы Лафлина

Нечувствительность полученных в разд. 7.4 результатов к концентрации и типу примесей, а также их высокая точность говорят о том, что эффект квантования холловской проводимости, по-ви- димому, имеет фундаментальный характер. Подобная догадка подтверждается соображениями, принадлежащими Лафлину [21]. Несколько позже выводы Лафлина были развиты в работе Гальперина [22]. Они доказали, что природа постоянства холловского сопротивления связана с жесткостью функции у, т.е. наличием дальнего порядка, а также с существованием щели подвижности — области энергий, где расположены только уровни дискретных состояний. Фактически рассуждения Лафлина показали, что из самого существования квантового эффекта Холла следует, что в 2D электронном газе, находящемся в случайном потенциале, всегда имеются делокализованные состояния. Такой вывод нетривиален. Как известно, в отсутствие магнитного поля все электронные состояния в двумерном случайном потенциале локализованы (см., например, [23]). Однако в магнитном поле, когда нарушается инвариантность уравнения Шредингера по отношению к замене t-^-t, характер состояний меняется — локализация становится неполной. Это явствует и из самого существования квантого эффекта Холла.

Следуя [22], предположим, что проводящий образец свернут в кольцо, а магнитное поле перпендикулярно его поверхности, как показано на рис. 7.4 (геометрия Корбино). Предположим также, что в отверстии кольца находится соленоид, магнитное поле внутри которого создает поток Ф. В области, где есть электроны, магнитное поле соленоида, очевидно, равно нулю. Тогда можно выбрать калибровку, в которой векторный потенциал имеет одну азимутальную компоненту, а ее величина зависит только от расстояния до центра кольца:

4, = Яг/2+Ф/(2яг).

В рассматриваемой цилиндрической геометрии электронные волновые функции вдали от границ образца имеют вид [22]

(7.28)(7.28)Улт(^ф) = л ехр(/7иф)фл (г-гт),

(7.28)

(7.28)

где п>0 и т — целые числа; фл (г-rm) — осцилляторная функция с центром осцилляций гт, определяемым выражением

(7.28а)(7.28а)Нпгг^ = т^0-Ф.

(7.28а)

(7.28а)

Рис. 7.4. Структура Гальперина — проводящее кольцо с соленоидом внутри. Заштрихованная область содержит случайный рассеивающий потенциал. Магнитное поле сосредоточено внутри соленоида и направлено перпендикулярно к поРис. 7.4. Структура Гальперина — проводящее кольцо с соленоидом внутри. Заштрихованная область содержит случайный рассеивающий потенциал. Магнитное поле сосредоточено внутри соленоида и направлено перпендикулярно к поверхности кольцаверхности кольцаЭффективный размер волновой функции по г имеет порядок циклотронного радиуса Rc\ вне области jr-^j»^ электронная плотность быстро убывает. Энергия в состоянии (7.28) зависит только от квантового числа п и определяется формулой Ландау ел = й®с(п+1/2).Следует иметь в виду, что выражение (7.28) справедливо лишь вдали от границ образца. Вблизи внешней и внутренней границ кольца характер электронных состояний изменяется. Вырождение по т снимаЭффективный размер волновой функции по г имеет порядок циклотронного радиуса Rc\ вне области jr-^j»^ электронная плотность быстро убывает. Энергия в состоянии (7.28) зависит только от квантового числа п и определяется формулой Ландау ел = й®с(п+1/2).Следует иметь в виду, что выражение (7.28) справедливо лишь вдали от границ образца. Вблизи внешней и внутренней границ кольца характер электронных состояний изменяется. Вырождение по т снима

Рис. 7.4. Структура Гальперина — проводящее кольцо с соленоидом внутри. Заштрихованная область содержит случайный рассеивающий потенциал. Магнитное поле сосредоточено внутри соленоида и направлено перпендикулярно к по

Рис. 7.4. Структура Гальперина — проводящее кольцо с соленоидом внутри. Заштрихованная область содержит случайный рассеивающий потенциал. Магнитное поле сосредоточено внутри соленоида и направлено перпендикулярно к по

верхности кольца

верхности кольца

Эффективный размер волновой функции по г имеет порядок циклотронного радиуса Rc\ вне области jr-^j»^ электронная плотность быстро убывает. Энергия в состоянии (7.28) зависит только от квантового числа п и определяется формулой Ландау ел = й®с(п+1/2).

Следует иметь в виду, что выражение (7.28) справедливо лишь вдали от границ образца. Вблизи внешней и внутренней границ кольца характер электронных состояний изменяется. Вырождение по т снима

Эффективный размер волновой функции по г имеет порядок циклотронного радиуса Rc\ вне области jr-^j»^ электронная плотность быстро убывает. Энергия в состоянии (7.28) зависит только от квантового числа п и определяется формулой Ландау ел = й®с(п+1/2).

Следует иметь в виду, что выражение (7.28) справедливо лишь вдали от границ образца. Вблизи внешней и внутренней границ кольца характер электронных состояний изменяется. Вырождение по т снима

ется, и энергия увеличивается при гт ->R^, как и в случае приграничных состояний (см. 1.2.7).

Мы рассмотрели электронные состояния в идеальном образце. Далее, следуя Гальперину [22], будем считать, что проводящее кольцо состоит из трех концентрических областей. Заштрихованная внутренняя область содержит рассеивающий потенциал (см. рис. 7.4). Незаштрихованные внешняя и внутренняя области свободны от дефектов. На внешней и на внутренней границах кольца находятся потенциальные стенки.

На рис. 7.5 представлена качественная картина энергетического спектра нашей системы. В областях, где нет рассеивающего потенциала, спектр состоит из дискретных эквидистантных уровней. Вблизи границ кольца эти уровни поднимаются круто вверх 221

Рис. 7.5. Энергетический спектр 2D электронов в кольце, показан

ном на рис 7.4. В областях Rv<r<rx и г2 < г < 7^ , где находится идеальный проводник, существуют вырожденные уровни Ландау, которые вблизи внешних границ кольца переходят в уровни краевых состояний. В области гх<г<гг, где находится рассеивающий потенциал, уровни расщепляются в магнитные зоны

(см. 1.2.7). Во внутренней области, где случайный потенциал снимает вырождение, магнитные уровни превращаются в зоны. Если амплитуда потенциала меньше Н<йс , то можно ожидать, что образовавшиеся зоны не перекрываются, т.е. существует интервал энергий, где плотность состояний мала и подвижность носителей тока равна нулю. Далее будем считать, что уровень Ферми лежит в таком интервале. В противном случае возникает диссипативный электрический ток, направленный вдоль электрического поля, и соотношение (7.1) не выполняется. Подчеркнем, что закрепление уровня Ферми между уровнями Ландау может иметь место только благодаря существованию дискретных уровней энергии.

Представим теперь, что магнитный поток Ф в соленоиде адиабатически изменяется, и покажем, что при изменении потока на величину, равную одному кванту ф0 = ch]e, система отображается сама на себя. Другими словами, все физические свойства нашей двухсвязной системы периодичны по Ф с периодом ф0 (теорема Байерса—Янга). Действительно, согласно общему правилу

при градиентном преобразовании векторного потенциала А'=А+ДА, где AA = V/, многочастичная волновая функция изменяется по закону

V=exp -^/(П) V,йс -

где Г; — координаты электронов. Отсюда следует, что при однократном обходе по любому замкнутому контуру вокруг кольца имеем $V/JI = $AA^1 = Ф и изменение фазы волновой функции равно 2лФ/ф0. Мы видим, что потоки Фи Ф+иф0 будут неразличимы, что и доказывает теорему Байерса—Янга.

Произвольное изменение потока через двухсвязную область, вообще говоря, изменяет фазу функции у так, что она перестает удовлетворять граничным условиям. Однако, как мы только что убедились, при добавлении кванта ф0 фаза изменяется на 2л, так что граничные условия выполняются, но при этом происходят сдвиг состояний и перенос заряда (такой механизм был рассмотрен ранее). Если считать, что между внешней и внутренней границами кольца разность потенциалов равна нулю, то, как нетрудно убедиться, при изменении потока работа не совершается (точнее, работа пропорциональна г-1). При макроскопических размерах системы этой работой можно пренебречь.

Что же происходит в идеально проводящих областях и в неидеальной области, показанных на рис 7.4. Там, где нет случайного потенциала, после изменения потока на один квант состояние (7.28) с номером т перейдет в состояние с номером m± 1. Так как целое число квантов потока можно убрать путем калибровочного преобразования, у системы с дополнительным квантом ф0 будут те же волновые функции и тот же спектр, что и у исходной. Но при этом через идеальную область пройдет один электрон. После быстрой термализации в точке r=R2 появится одно незаполненное состояние под уровнем Ферми, а в точке г = R^ возникнет новое заполненное состояние над уровнем Ферми. Эти изменения макроскопической системы не требуют энергетических затрат.

Главная задача состоит в том, чтобы понять, как переносится заряд через неупорядоченную область. Предположим, что все состояния в этой области, лежащие под уровнем Ферми, локализованы, и убедимся, что в данном случае перенос заряда через ука- 223

занную область невозможен. Это связано с тем, что при изменении потока волновая функция локализованных состояний практически не изменяется — она приобретает лишь дополнительный фазовый множитель. Поскольку волновые функции локализованных состояний в любом случае удовлетворяют граничному условию \|/(оо) = 0, никакого сдвига состояний не происходит. Следовательно, при увеличении магнитного потока заполнение локализованных состояний остается прежним.

Таким образом, мы приходим к выводу, что для переноса электронного заряда через неупорядоченную область, содержащую только локализованные состояния, необходимо затратить дополнительную энергию, которая по порядку величины должна быть равна й®с. Поскольку в стационарном режиме такого источника энергии нет, квантовый эффект Холла можно наблюдать лишь в том случае, если в разупорядоченном 2D проводнике, находящемся в магнитном поле, присутствуют делокализованные состояния. Мы не будем касаться здесь вопросов о числе делокализованных состояний, о зависимости их от концентрации и типа рассеивателей. Заинтересованный читатель найдет ответы на них в [19,20].

Теперь, следуя Лафлину и не прибегая к каким-либо модельным представлениям, вычислим величину холловского сопротивления. Пусть между внешней и внутренней границами кольца, показанного на рис. 7.4, существует постоянная разность потенциалов VH и электрическое поле направлено по радиусу. В этом случае в кольце появится азимутальная составляющая тока / . Приравняем работу по переносу единичного заряда между внутренней и внешней границами кольца, т.е. eVH, к работе по изменению магнитного потока через кольцо на величину ф0. Последняя согласно закону Фарадея есть

(7.29)

J с dt с е

и в результате холловская проводимость

IIVH=ecl^=e1lh.(7.30)

Заметим, что этот результат получен без привлечения каких- либо модельных представлений о механизме протекания тока через разупорядоченную область и находится в полном соответствии с законом квантования холловской проводимости (7.1).

Эксперимент, предложенный Лафлином, (вариант Гальперина) фактически был реализован в работах Долгополова, фон Клитцинга и др. [24, 25], где квантовый эффект Холла изучался в геометрии Корбино. Правда, кольцо, через которое переносился заряд и в котором измерялась холловская проводимость, находилось в однородном магнитном поле, направленном перпендикулярно к его поверхности. При изменении величины магнитного поля возникало вихревое азимутальное элек

Рис. 7.6 Схема эксперимента по наблюдению квантового эффекта Холла в геометрии Корбино [24, 25]Рис. 7.6 Схема эксперимента по наблюдению квантового эффекта Холла в геометрии Корбино [24, 25]трическое поле, вызывающее перенос заряда между внутренней и внешней границами кольца.

Рис. 7.6 Схема эксперимента по наблюдению квантового эффекта Холла в геометрии Корбино [24, 25]

Рис. 7.6 Схема эксперимента по наблюдению квантового эффекта Холла в геометрии Корбино [24, 25]

Схема эксперимента показана на рис. 7.6,Его особенность состояла в том, что на поверхность образца был нанесен кольцевойСхема эксперимента показана на рис. 7.6,Его особенность состояла в том, что на поверхность образца был нанесен кольцевойзатвор, с помощью которого можно изменять концентрацию носителей в средней части кольца. Во внешнем и внутреннем кольцах концентрация не менялась.

Схема эксперимента показана на рис. 7.6,Его особенность состояла в том, что на поверхность образца был нанесен кольцевой

Схема эксперимента показана на рис. 7.6,Его особенность состояла в том, что на поверхность образца был нанесен кольцевой

Перенесенный через кольцо заряд Q измерялся электрометром, параллельно которому была включена большая емкость Со. В полях, при которых продольная проводимость о^ обращалась в нуль, обратным током можно было пренебречь. Поскольку перенесенный заряд Q^H^ был пропорционален холловской проводимости:

0(Я) = СоГ~^ДФ,с

величина о^ определялась по наклону кривой 0(Я). С усилением (или ослаблением) магнитного поля изменялось число заполненных уровней Ландау, в результате измеренная проводимость оказывалась равной о^ =мег1н (v = 1,2,3,4). При изменении отри-

цательного напряжениях на затворе на кривой Q(H) можно было выделить участки с различным наклоном и тем самым установить интервалы магнитных полей, в которых перенос заряда контролируется областью внутреннего или внешних колец.

7.6

Ток краевых состояний

Как было установлено в 1.2.7, в магнитном поле, перпендикулярном плоскости 2D проводника, вблизи его границы существуют так называемые краевые (приграничные) состояния. Волновые функции этих состояний, определяемые формулой (1.50), локализованы возле границы проводника на длине порядка циклотронного радиуса. В образцах прямоугольной формы энергия краевых состояний зависит как от дискретного квантового числа п — номера уровня Ландау, так и от компоненты импульса ру или координаты центра осцилляций л^, как это показано на рис. 1.8. Напомним, что классический аналог данных состояний — электроны, скачущие по циклотронным траекториям вблизи потенциальной стенки. В результате электроны краевых состояний переносят электрический ток, который на противоположных границах направлен в разные стороны.

Убедимся в том, что краевые состояния играют важную роль в переносе холловского тока и что холловская проводимость квантуется точно так же, как и в случае внутренних состояний. Впервые это было показано Гальпериным в работе [22], который вы-

(|

Рис. 7.7. Протекание холловского тока по границам проводника. Линии вдоль границ образца соответствуют модам краевых состояний

числил ток краевых состояний в образце, имеющем форму кольца, а также в последующих работах [26—28]. Предположим, что проводник имеет прямоугольную форму и соединен с двумя контактами — резервуарами электронов, как показано на рис. 7.7. Если уровень Ферми в левом контакте е£ выше, чем уровень Ферми в правом контакте е|, то через проводник пойдет электрический ток. Число электронов, вошедших в проводник из левого контакта и движущихся по верхней границе, будет больше числа электронов, вышедших из правого контакта и движущихся по нижней границе. Результирующий ток вычислить несложно. Для этого ток состояния ру,п, равный evp?n, проинтегрируем по всем ру и просуммируем по п, отвечающим заполненным состояниям:

_ Х' tdPy— 7g > I ———V=_ Х' tdPy— 7g > I ———V=dpу дЕ(п,Ру) 2яй друdpу дЕ(п,Ру) 2яй дру(7.31)(7.31)

_ Х' tdPy

— 7g > I ———V=

_ Х' tdPy

— 7g > I ———V=

dpу дЕ(п,Ру) 2яй дру

dpу дЕ(п,Ру) 2яй дру

(7.31)

(7.31)

Здесь N — число заполненных краевых состояний, равное числу заполненных уровней Ландау внутри образца; Е(п,Ру) = Е(п,хо) — функция, определяемая выражением Aef =е£ -е£ , т.е. разностью уровней Ферми. Определенные интегралы в (7.31) вычисляются элементарно. Из (7.31) следует, что холловская проводимость, связанная с краевыми состояниями, квантуется так же, как и в случае, когда ток переносится внутренними состояниями.

В общем случае разность потенциалов, измеряемая вольтметром на противоположных границах образца, является суммой электростатического потенциала е¥е1, связанного с электрическим полем внутри образца, и разностью уровней Ферми, которая в свою очередь определяется различием концентраций электронов на противоположных границах образца. Если электрическое поле в проводнике, а с ним Ке/ равны нулю, то ток определяется исключительно краевыми состояниями. Записав разность уровней Ферми как Aef =еД, где А — величина, измеряемая вольтметром на холловских контактах, можно представить (7.31) в виде

2е2

I = N^-^.(7.32)

h

Таким образом, в том случае, когда ток переносится краевыми состояниями, холловская проводимость квантуется так же, как и для объемных состояний. В реальных экспериментах измеряемое холловское напряжение VH является суммой электростатического потенциала и величины h£F(e. Поэтому ток распространяется как внутри образца, так и по его границам.

Здесь необходимо сделать одно важное замечание. Выше при рассмотрении краевых состояний мы пренебрегли электрон-элек- тронным взаимодействием и считали, что их энергия г(п,р0 = = е(п,х0) полностью определяется формой граничного потенциала И(х). Однако, как было показано в [29, 30}, кулоновское взаимодействие может радикально изменить зависимость энергии от координаты центра осцилляций х^. Для определения этой зависимости необходимо самосогласованно решить уравнения Пуассона и Шредингера для двумерных электронов в присутствии потенциала И(х) и перпендикулярного магнитного поля.

Решение, проведенное в [29, 30], показало, что вследствие кулоновского взаимодействия вблизи границы двумерной области на кривых Е(п,лу) появляются плоские участки (плато), число которых зависит от количества полностью заполненных уровней Ландау в объеме. Вдали от границы эти функции так же, как и в отсутствии взаимодействия, выходят на значения, определяемые правилом квантования Ландау. Самосогласованный потенциал, в котором движутся электроны, становится плавной функцией на масштабах порядка магнитной длины. При каждом фиксированном п один из плоских участков кривой Е(п,лу) совпадает с уровнем Ферми, и соответствующий магнитный уровень здесь заполнен не полностью. Если вдали от границы заполнено несколько уровней Ландау, то плоские участки различных кривых пространственно разделены. Вне плато функций Е(п,лу) под уровнем Ферми находится целое число уровней Ландау. Таким образом, при учете кулоновского взаимодействия вблизи границы двумерной электронной системы образуется система каналов, в каждом из которых фактор заполнения равен либо целому числу, либо отличается от целого. В условиях квантового эффекта Холла по этим каналам течет значительная часть тока.

Система краевых каналов определяет не только статическую проводимость, но всю электродинамику двумерного электронного газа. В частности, структура каналов влияет на параметры краевых

магнитных плазмонов — коллективных низкочастотных слабозатухающих электромагнитных возбуждений, распространяющихся в узкой полосе вдоль границы 2D электронного газа. Основные характеристики краевых магнитных плазмонов были рассчитаны в [31], где, в частности, было показано, что скорость краевых плазмонов пропорциональна холловской проводимости. Основные результаты работы [31] подтверждаются экспериментами, проведенными в [32], где в режиме квантового эффекта Холла изучалась временная эволюция зарядов и токов, индуцированных в 2D электронном газе с помощью металлических электродов. Время растекания заряда в этой системе определяется скоростью распространения пакетов краевых плазмонов вдоль границы образца. Проведенные измерения позволили определить дисперсионное соотношение краевых плазмонов и ширину каналов, по которым они распространяются.

7.7

Дробный квантовый эффект Холла

Дробный квантовый эффект Холла, как и целочисленный, был открыт экспериментально [2]. В 1982 г. авторы этого открытия — Цуи, Штёрмер и Госсард — обнаружили, что в совершенных гетероструктурах, помещенных в очень сильное магнитное поле (Я »150 кГс), при температурах Ts 1К холловские плато и участки глубокого минимума продольного сопротивления наблюдаются не только при условии полного заполнения уровней Ландау, но и при дробном заполнении основного уровня v = Яф0/(1см2 Я), где N — концентрация электронов [ср. (1.46)]. Результаты этих измерений, а также геометрия холловского мостика представлены на рис. 7.8. Здесь видны особенности продольной и поперечной проводимостей при целых значениях фактора заполнения v. В ультраквантовом пределе, когда при увеличении магнитного поля остается заполненным лишь низшее спиновое состояние основного уровня Ландау, наблюдаются особенности проводимости при дробных v, или дробный квантовый эффект Холла. При v = 2/3 особенности проводимости выражены не столь ярко, как при v = 1/3 (рис. 7.8). В последующих работах были обнаружены холловские аномалии при многочисленных дробных значениях фактора заполнения: 2/5;3/5;4/5;4/3;5/9;9/7 ит.д. (см., например, [33,

34]). Во всех случаях на холловских плато сопротивление оказывалось равным

^hjfe1,(7.34)

где / = plq — дробь с нечетным знаменателем.

Рис. 7.8. Дробный квантовый эффект Холла в гетероструктуре GaAs-AlGaAs. В верхней части рисунка приведены значения фактора заполнения v. л5 = 1,23 10"см"2, m = 9104cm2/(Rc) , / = 1мкА[2]

С одной стороны, дробный квантовый эффект Холла проявляется так же, как и целочисленный,— в двумерном электронном газе квантуется недиагональная проводимость и наблюдаются глубокие минимумы продольной проводимости. С другой стороны, оказалось, что физическая природа этих явлений совершенно различная. Если целочисленный эффект Холла можно объяснить в рамках модели невзаимодействующих электронов, то дробный квантовый эффект Холла возникает вследствие кулоновского взаимодействия (отталкивания) 2D электронов. Электронный газ

переходит в совершенно необычное состояние — квантовую жидкость, у которой элементарные возбуждения отделены от основного состояния энергетической щелью и обладают дробным зарядом [3]. Кроме того, эти возбуждения обладают необычной статистикой, отличающейся как от статистики Бозе—Эйнштейна, так и от статистики Ферми—Дирака [4]; они относятся к классу частиц с произвольной статистикой — «энионов».

Такие необычные свойства основного состояния и элементарных „возбуждений можно объяснить, только считая, что между электронами существует кулоновское отталкивание. Поскольку в случае частично заполненного основного уровня Ландау речь идет об электронном газе сравнительно низкой плотности, можно было бы предположить, что основное состояние 2D электронного газа в условиях квантового эффекта Холла — это вигнеровский кристалл. В таком состоянии электроны на фоне положительного компенсирующего заряда, стремясь удалиться друг от друга, располагаются так, что их плотность периодически изменяется в пространстве. В результате энергия оказывается меньше, чем у равномерно распределенных электронов. Однако в состоянии вигне- ровского кристалла электроны оказываются «запинингованными» на дефектах, которые всегда присутствуют в реальных проводниках. В таком «запинингованном» кристалле проводимость в слабом электрическом поле должна обратиться в нуль, что не соответствует эксперименту.

Другой тип основного коррелированного состояния — квантовая жидкость. Структура двумерной электронной квантовой жидкости в сильном магнитном поле впервые была описана Лафлином [35]. Он рассмотрел ситуацию, когда основной уровень Ландау заполнен на одну треть, и установил структуру волновой функции основного состояния. Лафлин описал также свойства элементарных возбуждений на фоне основного состояния. Ниже будут кратко рассмотрены результаты теории Лафлина, которая описывает основные проявления дробного квантового эффекта Холла.

Пусть 2D электроны движутся в плоскости х,у в присутствии магнитного поля, ориентированного по оси г. В симметричной калибровке векторного потенциала А = [Нг]/2 собственные функции одночастичного гамильтониана задаются двумя квантовыми числами: номером уровня Ландау и = 0,1,2,... и т , определяющим собственное значение момента. Следуя Лафлину, будем интересоваться только состояниями нулевого уровня, считая при-

месь других уровней малой. Для одночастичных собственных функций нулевого (и=0) уровня в указанной калибровке векторного потенциала имеем выражение (см., например, [36])

Wx,y) = (2m+1™!/^^ (7.35)

где z=x+iy — комплексная координата; 1Н — магнитная длина; т > 0. Легко показать, что в этом состоянии средний квадрат радиуса г2 = 2(т +1)/^, так что число состояний, которые можно разместить на круге радиуса R, определяется выражением

"imax+ 1 = ^2/(2л:/^). (7.36)

Как нетрудно убедиться, собственное значение проекции момента на ось г в состоянии (7.35) lz=hm.

Для того чтобы учесть электрон-электронное взаимодействие, Лафлин записал многочастичную волновую функцию электронов, находящихся на основном уровне Ландау, в следующем виде:

( 1 N 2>

(7.37)(7.37)¥1(Г1...гМ) = П^ "^)ехР "T^Ekdк]/=1

(7.37)

(7.37)

где аналитическая функция f{Zi~Zj) обращается в нуль при Zj -> Zj и тем самым уменьшает вероятность близкого нахождения электронов друг к другу.

Как установил Лафлин, функция /(г) почти полностью определяется требованиями симметрии основного состояния. Поскольку функция V/. описывает фермионы, она должна быть антисимметричной по отношению к перестановке каждой пары частиц, а функция / удовлетворять условию /(z) = -/(-?). Кроме того, поскольку вся система обладает цилиндрической симметрией, функция (7.37) должна быть собственной функцией оператора полного

момента L, = -йУ—. Последнее условие будет выполнено, если i Эф.-

произведение Ц/(2,-2у) выбрано в виде однородного полинома

степени М по Z\...Zn , где Л/ — полный момент. Всем перечисленным требованиям удовлетворяет простая функция вида

fto = tm.(7.38)

Можно убедиться, что в состоянии \yL полный момент электронного газа

.. N(N-l) .._ „.

М=——-mh,(7.39)

где N(N-A}/2 — число пар, N — число частиц. Необходимо заметить, что при характерных параметрах GaAs m=O,O7?no,eD = 13 и в типичных полях Н=60 кГс характерная энергия кулоновского взаимодействия е2/(ЕД/я) оказывается меньше, чем расстояние между уровнями Ландау. По этой причине можно пренебречь примесью состояний с п = 1,2,3... в разложении (7.37).

Волновая функция Лафлина, определенная соотношениями (7.37) и (7.38), мало отличается от точной волновой функции, описывающей небольшое число электронов. Лафлин установил это, численно рассчитав волновую функцию трех и четырех электронов, взаимодействующих по различному закону, в том числе и по закону Кулона. Он показал, что проекция точной (рассчитанной) трех- и четырехчастичной волновой функции на \yL отличается от единицы всего на несколько процентов и этот результат не чувствителен к закону межчастичного взаимодействия.

Теперь, когда форма многочастичной электронной функции определена условиями симметрии, роль единственного вариационного параметра, который обеспечивает минимум потенциальной энергии, может играть только показатель степени т, определяющий поведение функции /(г) при |г('-гу|->0. Очевидно, что значение т в свою очередь связано со степенью заполнения основного уровня. Для того чтобы определить показатель т, Лафлин представил квадрат функции у£ в виде классической функции распределения вероятности

(7.40)

где K(zi...Zjv) играет роль потенциальной энергии классической двумерной плазмы:

^i...^)=-2m2pn|z, -zy|+y£|z/|2.(7.41)

kjz /=1

Несущественный множитель р в (7.40), который определяет «температуру», можно приравнять к /и-1. Первое слагаемое в правой части (7.41) есть электростатическая энергия зарядов, имеющих величину т и взаимодействующих друг с другом по логарифмическому закону (естественному для двумерной электростатики). Число взаимодействующих пар равно N(N-Y)/2, где N — число частиц в плазме, равное числу электронов. Второе слагаемое в (7.41) описывает электростатическое взаимодействие зарядов, величина которых равна т , с однородным положительным фоном с плотностью заряда р+ = 1/(2л/^).

Расчеты, выполненные ранее по методу Монте-Карло [37], показали, что классическая однокомпонентная двумерная плазма при т <70 находится в однородном жидком состоянии, а при т >70 представляет собой гексагональный кристалл. Поэтому можно быть уверенным, что в тех случаях, которые представляют для нас интерес: т = 3,5,7..., распределение электронной плотности будет однородным.

Очевидно, что потенциальная энергия классической плазмы будет минимальной в том случае, когда плазма электронейтраль- на, т.е. плотность р+ равна плотности отрицательного «заряда» частиц вспомогательной плазмы. В этом случае электронная плотность квантового состояния, описываемого функцией Лафлина V£(m), должна быть в т раз меньше, чем плотность эквивалентной плазмы, т.е. р„ =l/(2Tt/^m). Отсюда следует, что при v = 1/3 показатель /и = 3.

Расчеты, проведенные Лафлином, показали, что энергия в состояниях с нечетными т действительно минимальна (в частности, она меньше, чем энергия вигнеровского кристалла при соответствующем заполнении уровня v = l/m), и такие состояния обладают определенной стабильностью. При изменении магнитного поля имеет место следующая картина последовательных переходов в электронной жидкости. Основное состояние фиксируется при определенных степенях заполнения уровня Ландау. В процессе увеличения магнитного поля, вызывающего уменьшение р+ , происходят фазовые переходы и параметр т увеличивается. Если при некотором значении поля основной уровень был заполнен полностью и электронная система описывалась функцией (7.37) с т = 1, то при увеличении поля это со-

стояние некоторое время остается устойчивым, а затем происходит переход в состояния, описываемые функциями Лафлина с /и = 3, затем с т=5 ит.д.

Чтобы найти дробную холловскую проводимость, необходимо определить элементарные возбуждения на фоне основного состояния. Для этого Лафлин предположил, что в систему электронов, находящуюся в основном состоянии, введен бесконечно тонкий соленоид, магнитный поток внутри которого может изменяться. При адиабатическом увеличении потока волновая функция будет оставаться собственной функцией изменяющегося гамильтониана. В тот момент, когда поток изменится ровно на величину одного кванта ф0 =ch/e, можно с помощью калибровочного преобразования вернуться к исходному гамильтониану и граничным условиям и тем самым устранить соленоид. Волновая функция после такого калибровочного преобразования перейдет в собственную функцию исходного гамильтониана, но это будет уже другая функция, описывающая возбужденное состояние многочастичной системы.

Определим теперь заряд квазичастицы. Как было установлено в разд. 7.5, одночастичные волновые функции на кольце типа (7.28) — Уот(р’ф) ПРИ адиабатическом изменении потока на ±ф0 эволюционируют в Уо^ или Vo.™! • При этом проекция момента изменяется ровно на h. Поскольку наша многочастичная функция (7.37) построена из одночастичных функций, изменение потока на ±ф0 приводит к переносу электрона из круга, окружающего соленоид, (или в круг) в среднем на одно квантовое состояние. Если основной уровень Ландау заполнен на 1/3, один электрон переносится при изменении потока на Зф0.

Лафлин привел аналитические выражения для волновых функций элементарных возбуждений — квазичастиц и квазидырок с дробным зарядом, и показал, что их энергетические уровни отделены от основного состояния энергетической щелью. Значение щели равно 0,073 е2/(Е0/я) для квазичастиц и 0,026 е2/(Ед/я) для квазидырок. Появление щели объясняет, в частности, поведение проводимости при понижении температуры (см. рис. 7.8).

Повторив снова все рассуждения, предшествовавшие определению холловской проводимости в кольцевой геометрии (см. разд. 7.5), мы убедимся, что для квазичастиц с зарядом е/3 она равна е2/ЗА. При изменении магнитного поля и соответственно 235

степени заполнения уровня Ландау основное состояние остается устойчивым в некотором интервале полей и заряд квазичастиц не изменяется. Так возникает плато на графике аху(Н\

Заметим, что в оригинальной работе [2] особенности холловской и продольной проводимостей наблюдались как при v = 1/3 , так и при v = 2/3. Согласно Лафлину, последнюю особенность можно интерпретировать, вводя представление о дырках на не полностью заполненном основном уровне Ландау. Заметим, что интерпретация особенностей проводимости, наблюдаемых при v = 2/5;3/7;7/9 и т.д., не столь очевидна, как при v = 1/3 и v = 2/3.

Наконец, обсудим кратко современные представления о так называемых композитных фермионах. Выше уже отмечалось, что особености как холловской, так и продольной проводимости наблюдаются только при дробных факторах заполнения с нечетными знаменателями. Такие состояния описываются теорией Лафлина. При v = 1/2, v = 1/4 и других факторах заполнения с четными знаменателями особенности проводимости электронной системы, находящейся на основном уровне Ландау, отсутствуют. Данное обстоятельство говорит в том, что физические свойства 2D электронного газа при факторах заполнения с нечетными и четными знаменателями p/q существенно различаются. Состояния двумерной электронной системы с фактором заполнения v = 1/2 , были исследованы в работе Гальперина, Ли и Рида [38]. Основную идею этой работы можно пояснить следующим образом. С помощью калибровочного преобразования систему обычных взаимодействующих 2D электронов удается свести к математически эквивалентной системе квазичастиц, взаимодействующих с фиктивным калибровочным полем Черна-Саймонса. Такое взаимодействие эквивалентно добавлению к каждому электрону магнитной трубки с целым числом квантов потока калибровочного поля. Если число квантов потока нечетное, то статистика новых квазичастиц будет бозевской, если четное — фермиевской.

Если положить, что число квантов потока в каждой трубке равно 2 и внешнее магнитное поле выбрано так, что v = 1/2 (следовательно, на каждый электрон приходится два кванта потока магнитного поля), то среднее калибровочное поле, связанное с трубками, точно компенсируется внешним магнитным полем. Таким образом, если пренебречь флуктуациями калибровочного поля, придем к очень простой модели — системе бесспиновых фер- 236

мионов в нулевом магнитном поле. Такие частицы получили название композитных фермионов. Последние во многих отношениях ведут себя подобно обычным электронам. Так, фермиевский волновой вектор этих квазичастиц kf = (47Uie)1''2, где пе — поверхностная концентрация электронов. Следовательно, композитные фермионы должны вести себя, как электроны в обычном металле при нулевом магнитном поле, и в этой системе будут наблюдаться физические эффекты, в которых частицы ведут себя аналогично квазиклассическим объектам.

В частности, в магнитных полях, несколько отличающихся от величины Нф, при которой основной уровень заполнен на половину (v = 1/2), композитные фермионы участвуют в циклотронном движении, причем их циклотронный радиус определяется эффективным магнитным полем ДЯ = Н-Нф: Rc=vf/(qc = = pFcl(ei>.H). Если кроме магнитного поля на систему наложено еще периодическое поле (статическое или постоянное), то при условии, что Rc соизмерим с периодом этого поля, должны наблюдаться размерные резонансы. Такие резонансы в магнитном поле, близком к значению Нф, были обнаружены в экспериментальных работах [39,40]. В [39] наблюдались геометрические резонансы при взаимодействии поверхностной акустической волны с 2D электронной системой. Как известно, геометрический резонанс наступает, когда на циклотронном диаметре орбиты укладывается нечетное число полуволн:

2Лс^ = (и + 1/2), (7.42)

точнее резонанс наступает при условии, что функция Бесселя JxtqRe), где q — волновой вектор акустической волны, имеет максимум. Такая соизмеримость размера циклотронной орбиты и длины звуковой волны приводит к усилению их взаимодействия и осцилляциям поглощения и скорости звука при изменении магнитного поля. На рис. 7.9 показаны одновременно наблюдавшиеся в [39] осцилляции скорости поверхностной звуковой волны, взаимодействующей с электронами двумерной структуры (геометрические резонансы), и осцилляции продольного сопротивления во внешнем магнитном поле. Резонансы проявляются как небольшие осцилляции скорости звука в области глубокого минимума вблизи v = 1/2.

Рис. 7.9. Осцилляции скорости звука Av/v , взаимодействующего с двумерным электронным газом, находящимся в магнитном поле. Температура 7 = 400 мК, частота звука д/2я = 5,4 ГГц (сплошная линия) и 2,4 ГГц (штриховая линия). В нижней части рисунка представлены осцилляции продольной проводимости Р„ 139]

На рис. 7.9 мы видим только по одному такому минимуму — слева и справа от Н^. С увеличением частоты звука и волнового вектора q = m/vs (ys — скорость звука) можно наблюдать большее число геометрических резонансов. Фермиевский волновой вектор композитных фермионов, определенный по положению геометрических резонансов, совпал с предсказанным в [38] значением kF = (4япе)1^2.

О существовании поверхности ферми-композитных фермионов свидетельствуют также результаты работы [40], в которой изучался транспорт (продольная проводимость) в 2D электронной структуре со сверхрешеткой из антиточек. Размерные резонансы

имели место в магнитных полях, близких к Н^, при которых циклотронная орбита охватывала целое число антиточек. При этом рассеяние на периодической структуре было минимальным, электрон оказывался запинингованным периодическим потенциалом. и транспорт в образце подавлен. Для фермиевского импульса в [39,40] получены идентичные значения.

Эти результаты однозначно свидетельствуют о существовании ферми-поверхности композитных фермионов. Удивительно, что сложное кулоновское взаимодействие в присутствии магнитного поля может быть описано с помощью простой модели невзаимодействующих квазичастиц, поведение которых можно интерпретировать в рамках квазиклассических представлений.

Литература

1. KlityngK. von, Dorda G., PepperM. Phys. Rev. Lett. 45,494,1980.

Tsui D.C., StormerH.L., GossardA.C. Phys. Rev. Lett. 48,1559,1982.

3*. Laughlin R.B. Phys. Rev. Lett. 50,1395,1983.

Halperin B.I. Phys. Rev. Lett. 52, 1583,1984.

Квантовый эффект Холла. Пер. с англ. / Под ред. Р. Пренджа, С.Гирвина. М.: Мир, 1989.

Квантовый эффект Холла. Сер. «Новости физики твердого тела»: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. Вып. 12.

Пудалов В.М., Семенчинский С.В. Поверхность. 4, 5,1984.

Рашба Э.И., Тимофеев В.Б. ФТП. 20,972,1986.

9*. Ebert G., Klityng К von, Probst С., PloogK Solid State Com. 44, № 2, 95,1982.

Klitiing К von. Europhysics News. 13, 3,1982.

11*. TsuiD.C., GossardA.C. Appl. Phys. Lett. 38, 550,1981.

12*. Paalanen M.A., Tsui D. C., Gossard A. C. Phys. Rev. В 25, 5566,1982.

13*. Mendes E.E. etal. Surf. Sci. 142, 215, 1984.

14*. Stormer H.L. etal. Phys. Rev. Lett. 51,126, 1983.

Орлов Л.К., Кузнецов O.A. и др. Письма в ЖЭТФ. 54, 351,1991.

Арапов Ю.Г., Горшков Н.А., Кузнецов О.А. и др. ФТП. 27,1165,1993.

Андо Т., Фаулер А., Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. М.: Мир, 1985.

* KlitzingK. von. Festkorperproblem. XXI, р. 1,1981.

Прэндж Р.Е. Влияние дефектов и беспорядка // Квантовый эффект Холла/ Под ред. Р. Пренджа, С. Гирвина. М.: Мир, 1989.

PrangeR.E. Phys. Rev. В 26,991, 1982.

Laughlin R.B. Phys. Rev., В 23, 5632,1981.

Halperin B.L Phys. Rev., В 25, 2185, 1982.

Imry Y. Introduction to Mesoscopic Physics. Oxford Univ. Press, 1997.

Dolgopolov V. T., Shashkin A.A., Kravchenko G. V. el al. Phys. Rev. В 48, 8480, 1993.

Dolgopolov V.T., Shashkin A.A., Zhitenev N.B. et al. Phys. Rev. В 46, 12560,1992.

MacDonald A.H., StredaP. Phys. Rev. B29,1616, 1984.

Streda P., KuseiraJ., MacDonald A.H. Phys. Rev. Lett. 59,1973,1987.

JainJ.K, Kivelson S.A. Phys. Rev. B37,4276,1988.

Chklovskii D.B., Shklovskii B.L, Gasman L.L Phys. Rev. В 46, 4026, 1992.

Dempsey J., Gelfand B.Y., Halperin B.L Phys. Rev. Lett. 70, 3639, 1993; Brey L., Palacios J.J., Tejedor C. Phys. Rev. B. 47,13884,1993.

Zhitenev N.B., Hang R.J., Klityng K. von et al. Phys. Rev. В 49, 7809, 1994.

Volkov V.A., Mikhailov S.A. ЖЭТФ. 94(8), 217,1998.

StormerH.L. etal. Phys. Rev. Lett. 50,1953,1983.

DuR. etal. Phys. Rev. Lett. 70,2944,1993.

Laughlin R.B. Phys. Rev. B27, 3383, 1983; Phys. Rev. Lett. 52, 1395, 1983; Phys. Rev. В 27, 3883, 1983.

Галицкий B.M., Корнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике М.: Наука, 1992.

CaillolJ.L. etal. J. Stat. Phys. 28, 325,1982.

8. Halperin B.L, Lee P.A., Read N. Phys. Rev. В 47,7312,1993.

Willet R.L., RuelRJL, WestK.W. etal. Phys. Rev. Lett. 71, 3846, 1993.

Kang W., Stormer H.L., Pfeiffer L.N. etal. Phys. Rev. В 47, 3850, 1993.

Приложение

РАСЧЕТ СПЕКТРОВ ЭЛЕКТРОНОВ В КВАНТОВЫХ ЯМАХ И СВЕРХРЕШЕТКАХ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

Чтобы найти спектр электронов и дырок в квантовых ямах и сверхрешетках, можно воспользоваться методом матрицы распространения (трансфер-матрицы). Проиллюстрируем этот метод на примере простой изотропной зоны. Пусть свойства полупроводника изменяются только в направлении оси z. Тогда волновую функцию можно искать в виде Т(г) = ехр^к^+ИсуУ) Ч1^. Уравнение Шредингера в приближении эффективной массы является дифференциальным уравнением второго порядка для T(z). Его решение однозначно определяется значением волновой функции и ее производной в какой-либо точке z. Поскольку на гетерогранице непрерывна не T'(z), a 'V'^/m^z) (jn^ — эффективная масса электрона, принимающая различные значения в разных слоях гетероструктуры), то удобно представлять решение столбцом

*to=*to=чт dz ,чт dz ,(ПЛ)(ПЛ)

*to=

*to=

чт dz ,

чт dz ,

(ПЛ)

(ПЛ)

который остается непрерывным на гетерогранице. Но это не единственный способ однозначно задать волновую функцию T(z). Например, в каждой точке она может быть представлена как суперпозиция двух волн, одна из которых распространяется вдоль z, другая — в противоположном направлении:

(П.2)(П.2)'P(z)=C1(z)+C2(z), C^z^a^expQk^z), C2(z) = a2exp(-i^(z)z).

(П.2)

(П.2)

Здесь к^ — значение z-компоненты волнового вектора в точке z.

Решение уравнение Шредингера во всем пространстве задается значениями C^z) и C2(z) в какой-либо точке, так как T(z) и 4"(z) можно выразить через C,(z) и C2(z). Поэтому решение может быть полностью охарактеризовано также столбцом

С^=С^=ГОД^ГОД^(П.З)(П.З)Столбцы C(z)h Ф(г) связаны матрицами Ми М"1:

С^=

С^=

ГОД^

ГОД^

(П.З)

(П.З)

w^=m^c^, ад=м^Аа. (п.4)

( 1 Здесь MU) = iktto

, m(z)

-im Л2^(z)im2W,-im Л2^(z)im2W,(П.5)(П.5)Поскольку уравнение Шредингера линейно, между столбцами

-im Л2^(z)im

2W,

-im Л2^(z)im

2W,

(П.5)

(П.5)

C(z2)=r(z2,z,№),C(z2)=r(z2,z,№),(П.6)(П.6)C(zi) и С(^2) существует линейная связь:

C(z2)=r(z2,z,№),

C(z2)=r(z2,z,№),

(П.6)

(П.6)

где r(z2,?i) — матрица 2x2, которая называется матрицей распространения или трансфер-матрицей.

Матрицу распространения просто найти для системы прямоугольных ям. Рассмотрим, например, одиночную прямоугольную квантовую яму, изображенную на рис. П.1. При переходе через гетерограницу функция Ф(г) остается непрерывной, поэтому на гетерогранице z = О справедливо следующее соотношение:

С(+О)=Л/-1(-Л)Л/(-0)С(-0).(П.7)

О d

Рис. П.1

Связь значений C(z) на краях ^, z2 области с постоянной потенциальной энергией осуществляется матрицей N:

CU2)=jVU2,Z1)C(zi),

7 x fexpiate-^i)l0 A

( о expY-ik^-^A) ’ где кг — значение волнового вектора электрона в этой области. Если между гетерограницами потенциальная энергия электрона изменяется, то матрицу N можно найти с помощью численного решения уравнения Шредингера. В этом случае она является функцией двух аргументов zi и z2, а не разности г2 -гь

Используя (П.7) и (П.8), находим матрицу распространения для квантовой ямы, изображенной на рис. П. 1:

T(d+0,-0) = М~х (d+O)Af(d -0)7V(tf -O.^Af-V-^^-O), (П.9)

C(d+0)=T(d+0,-0)C(-0).

Аналогичным образом можно найти матрицу распространения для структуры с любым числом квантовых ям или барьеров.

Покажем теперь, как найти энергию электрона в квантовых ямах и сверхрешетках, используя матрицу распространения. Рассмотрим сначала квантовую яму. Для связанных состояний энергия электрона меньше энергии дна зоны проводимости в барьерах, поэтому кгв барьерах — чисто мнимая величина. В этом случае С2(г) соответствует решению, неограниченно растущему при z-»+oo, a C^z) — при z-»-». Поэтому для связанных состояний электрона

C(d+0)=M,(П.10)

(П.11)(П.11)ct-o^L?

(П.11)

(П.11)

Для выполнения этих условиий необходимо, чтобы

^22 =0.^22 =0.(П.12)

^22 =0.

^22 =0.

Это и есть уравнение для нахождения энергии состояний, локализованных в яме. Очевидно, условие (П.12) можно использовать для определения спектра локализованных состояний в системе, состоя-

щей из любого числа квантовых ям любой формы. Однако для этого необходимо соответствующим образом модифицировать (П.9).

Найдем теперь уравнение для определения спектра электрона в сверхрешетке с периодом d. Матрица распространения T(z^"d,z) осуществляет связь между C(z+d) и С(г):

CU+'d)=ru+d,z)C(z).(ПЛЗ)

Однако согласно теореме Блоха С(г+d) и C(z) отличаются друг от друга лишь фазовым множителем:

CU+d) = exp(ikzd)IC(z),(П. 14)

где kz — квазиимпульс вдоль оси сверхрешетки; / — единичная матрица. Используя (ПЛЗ), (П.14), приходим к уравнению

[T(z+d,z)-exp(hczd)/] C(z)=0.(П.15)

Его нетривиальное решение существует при условии

det [Г U+d,z)- exp(nczd)/]=0.(П.16)

Отсюда и находится спектр электрона в сверхрешетке.

Нетрудно обобщить метод матрицы распространения на состояния электрона в валентной зоне. Матрица распространения, описывающая состояния легких, тяжелых и спин-отщепленных дырок, в общем случае имеет размерность 12x12.

Оглавление

Предисловие3

Список основных обозначений7

Глава 1. Основные типы низкоразмерных полупроводниковых

структур. Простые квантовые модели9

Основные типы квантовых структур9

Гетероструктуры на основе GaAs- AlGaAs9

Инверсионные слои на границе Si — окись кремния12

Структуры на основе Ge-Si13

Квантовые нити и точки 14

Квантовая механика простейших структур17

Прямоугольная яма17

Треугольная яма19

Квантовые состояния в нитях и точках21

Двойная квантовая яма22

Двумерный канал (микросужение)24

Электронные состояния в структурах с периодически модулированной поверхностью26

Квантовые структуры в магнитном поле29

Плотность состояний34

Литература38

Глава 2. Квантовые состояния в гетероструктурах39

Общие сведения39

Приближение эффективной массы и кр -метод41

Общие замечания41

Приближение эффективной массы в простой зоне42

Приближение эффективной массы в сложной зоне46

Модель Кейна51

Влияние деформации на электронный спектр54

Электронный (дырочный) спектр и волновые функции в квантовых ямах и сверхрешетках57

Типы гетеропереходов57

Граничные условия58

Электронные и дырочные состояния в подзонах размерного квантования ям и минизонах сверхрешеток60

Литература66

Глава 3. Оптика квантовых структур67

Взаимодействие электромагнитного поля с электронами. Правила отбора67

Вероятность перехода в поле электромагнитной волны67

Правила отбора для внутризонных переходов в квантовых ямах70

Правила отбора для межзонных переходов74

Коэффициент поглощения при межзонных переходах76

Экситонное поглощение80

Метод люминесценции для исследования энергетического спектра двумерных электронов84

Многофотонное поглощение в квантовых ямах86

Общие сведения86

Вероятность ионизации в единицу времени87

Ионизация квантовой ямы постоянным и переменным электрическими полями99

Лазеры на структурах с квантовыми ямами102

Литература105

Глава 4. Туннельные эффекты106

Двухбарьерные структуры106

Общие сведения106

Коэффициенты отражения и прохождения107

Квазистационарные состояния электрона в яме между барьерами110

Энергетическая зависимость резонансного коэффициента прохождения112

Резонансно-туннельный диод113

Туннелирование электронов из квантовой ямы в скрещенных электрическом и магнитном полях120

Общие сведения120

Квазистационарные состояния электрона122

Скорость туннелирования124

Литература133

Глава 5. Кулоновская блокада туннелирования135

Постановка задачи. Основные уравнения135

Общие сведения135

Метод туннельного гамильтониана137

Вероятность ухода электрона из одного металла в другой в единицу времени138

Постановка задачи о туннелировании через гранулу142

Потенциальная энергия гранулы144

Кинетическое уравнение для функции распределения ®л(/)146

Формула для туннельного тока149

Кондактанс туннельного контакта с затвором151

Решение кинетического уравнения в случае малых напряжений на контакте151

Зависимость кондактанса от температуры и потенциала затвора154

Число избыточных электронов на грануле158

Физический механизм кулоновской блокады туннелирования160

Вольт-амперная характеристика асимметричного туннельного контакта без затвора162

Расчет вольт-амперной характеристики162

Физический механизм образования ступеней на ВАХ асимметричного туннельного контакта167

Кулоновская блокада туннелирования через две гранулы169

Литература174

Глава 6. Транспорте мезоскопических системах175

Общие сведения175

Кондактанс баллистического проводника. Формула Ландауэра177

Длина локализации в одно- и многомодовом режимах184

Слабая локализация188

Подавление слабой локализации в магнитном поле194

Универсальные флуктуации кондактанса198

Флуктуации при Т= 0198

Конечные температуры201

Литература204

Глава 7. Квантовый эффект Холла206

Общие сведения206

Гальваномагнитные явления в слабом магнитном поле207

Условия эксперимента209

Вычисление холловского тока213

Аргументы Лафлина220

Ток краевых состояний226

Дробный квантовый эффект Холла229

Литература239

Приложение. Расчет спектров электронов в квантовых ямах и сверхрешетках с помощью матрицы распространения241

Научное издание

Демиховский Валерий Яковлевич,Вугальтер Григорий Абрамович

ФИЗИКА КВАНТОВЫХ НИЗКОРАЗМЕРНЫХСТРУКТУР

Редактор Е.В. Комарова

Оформление М.Ю. Молчанова, С.С. НосоваКомпьютерная верстка П.Ю. Аборина

ЛР№ 071045 от 09.06.99

Подписано в печать 15.12.99. Гарнитура NewtonФормат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетнаяПеч. л. 15,5. Усл. печ. л. 15,5Тираж 1000 экз. Заказ № 125

Издательская корпорация «Логос»105318, Москва, Измайловское ш., 4

Отпечатано в ГУП ИПК «Ульяновский Дом печати»432601, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14