Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
П.Е.ДАНКО, А.Г.ПОПОВ ВЫСШДЯ МАТЕМАТИКА 8 УПРАЖНЕНИЯХ И ЗАДАЧАХ
ЧАСТЬ I
Допущено Министерством высшего и среднегоспециального образования СССР в качествеучебного пособия для студентов высших техни-ческих учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»МОСКВА —1967
Данко П. Е., Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. I. Учебное пособие.
Задачи и примеры охватывают вопросы программы курса высшей математики. Освещены материалы следующих разделов курса: аналитической геометрии,элементов векторной алгебры, теории определителей и матриц, дифференциального исчисления функций одного и многих переменных
Типовые задачи и примеры даны с подробными решениями или с методическими рекомендациями и содержат 39 иллюстраций.
Учебное пособие может быть*использовано студентами заочных и вечерних втузов.
Стр. ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I
Аналитическая геометрия на плоскости
Прямоугольные и полярные координаты...7
Прямая линия23
Кривые второго порядка41
Преобразование координат и упрощение уравнений кривых второго порядка54
Определители и системы линейныхуравнений65
Г л а в а IIВекторная алгебра
Прямоугольные координаты в пространстве. Основные задачи83
Векторы и простейшие действия над ними . . 85
Скалярное и векторное произведение. Смешанное произведение90
Г л а в а III
Аналитическая геометрия в пространстве
Плоскость и прямая99
Поверхности второго порядка120
Линейные преобразования и матрицы .134
Г л а в а IV
Введение в анализ
Абсолютнаяи относительнаяпогрешность..159
Функция одной независимойпеременной...162
Построениеграфиков функций.165
Пределы168
. Сравнение бесконечно малых .178
6. Непрерывность функции^ . 182
Стр.
Г л а в а V
Дифференциальное исчисление функций однойнезависимой переменной
Производные и дифференциалы186
Исследование функций220
Кривизна плоской кривой250
Вектор-функция скалярного аргумента и ее производная253
Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Кривизна и кручение260
Г л а в а VI
Дифференциальное исчисление функций несколькихнезависимых переменных
Область существования функции. Линии и поверхности уровня268
Производные и дифференциалы функций нескольких переменны^271
Касательная плоскость и нормаль к поверхности 289
Экстремум функций двух независимых переменных 292
ПРЕДИСЛОВИЕ
Авторы при написании книги «Высшая математика в упражнениях и задачах» стремились раскрыть содержание основных понятий и теорем курса на систематически подобранных упражнениях и задачах, использ( вав при этом свое пособие под тем же названием, изданное в 1962 р. Ростовским н/Д институтом инженеров железнодорожного транспорта.
В пособие включены типовые задачи с показом методики их решения.
Каждому параграфу предшествует краткое введение, состоящее из определений и основных математических понятий рассматриваемого раздела. Причем наиболее трудные вопросы теории для лучшего усвоения сопровождаются раскрытием этих понятий (без доказательств). Первая часть этой книги, выпускаемая отдельным изданием, содержит аналитическую геометрию и дифференциальное исчисление. Эта часть состоит из 6 глав, включена также векторная алгебра, матрицы и линейные преобразования. Во вторую часть включены разделы: неопределенный и определенный интегралы, кратные и криволинейные интегралы, ряды, дифференциальные уравнения.
При написании книги авторы использовали некоторые методические приемы и задачи из курсов: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. I—III, Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. I—II, Гюнтер Н. М. и Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике т. I—III, Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, 1952, Фролов С. В., Шостак Р. Я. Курс высшей математики, 1966.
Авторы считают своим приятным долгом выразить глубокую благодарность Шостаку Р. Я., Фролову С. В., Когану С. М. и Бахшияну Ф. А., прочитавшим книгу в рукописи и сделавшим большое количество ценных методических замечаний и предложений, способствующих улучшению этой книги.
Всему коллективу сотрудников кафедры высшей математики РИИЖТа авторы благодарны за помощь в оформлении учебного пособия и проверки правильности ответов к задачам.
Глава I
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Прямоугольные и полярные координаты
Координаты на прямой. Точку М координатной оси Ох, имеющую абсциссу х, принято обозначать через MAxY
Расстояние d между точками оси Mi(xt) и М^х^ определяется при всяком расположении точек на оси формулой
d = |х2 —х^.
Деление отрезка в заданном отношении. Если на произвольной прямой задан отрезок АВ (Л — начало отрезка, В — его конец), то всякая третья точка С этой прямой делит отрезок АВ в некотором отношении X, где
Если отрезки АС и СВ направлены в одну сторону, X приписывают знак «+», если же отрезки АС и СВ направлены в противоположные стороны, то X приписывают знак «—»: Иными словами, X положительно, если точка С лежит между точками Л и В, и отрицательно, если точка С лежит на прямой вне отрезка АВ. Если точки Л и В лежат на оси Ох, то координата х точки C^xY делящей в отношении X отрезок между точками А^х^ и В(х2), определяется формулой
_ Xt + 1ха
1+Х 1
При X = 1 предыдущая формула дает координату середины отрезка АВ:
*14-х«
№ 1. Построить на прямой точки Л(3), В(—2), С(0), dCV^Y E^-aiy
Здесь точка С совпадает с началом координат. Координата точки D равна длине диагонали квадрата, стороной которого является масштабный отрезок.
№ 2, Четырьмя точками отрезок АВ разделили на 5 равных частей. Определить координату точки деления ближайшей к Л, если Л(—3), В(7).
Решение. Пусть С(х) искомая точка, Х =Решение. Пусть С(х) искомая точка, Х =—_ xv + \х2 14-х—_ xv + \х2 14-х-34-1-741+4-34-1-741+4= — 1, т. е. С(—1).= — 1, т. е. С(—1).ЛС _ 1СВ ~ 4 ’ЛС _ 1СВ ~ 4 ’
Решение. Пусть С(х) искомая точка, Х =
Решение. Пусть С(х) искомая точка, Х =
—_ xv + \х2 14-х
—_ xv + \х2 14-х
-34-1-7
4
1+4
-34-1-7
4
1+4
= — 1, т. е. С(—1).
= — 1, т. е. С(—1).
ЛС _ 1
СВ ~ 4 ’
ЛС _ 1
СВ ~ 4 ’
№ 3. Даны концы отрезка АВ: Л(1), В(5); вне отрезка АВ расположена точка С, причем ее расстояние от точки А в три раза больше расстояния от точки В.
Определить координату точки С.
АС
Решение. Нетрудно видеть, что X = — ^ = — 3 (читателю рекомендуем сделать чертеж).
—13.5
Таким образом, х = j-^. д- = 7, т. е. С (7).
№ 4. Построить на числовой оси точки А (— 6), В (2/3),
С (-0,5), о(Гз),в(2-).
\ V 2 /
№ 5. Определить расстояние между точками М(3) и N(-5).
Ответ, d =8.
№ 6. Определить расстояние между точками Р^—5-^^ и о(—211 Д 27
Ответ, d = 3.
№ 7, Двумя точками отрезок АВ разделили на три равные части. Определить координаты точек деления, если Л(—1), В(5).
Ответ. С(1), 0(3).
№ 8. Даны точки Л(—7), В(—3). Вне отрезка АВ рас- АВ положены точки С и D, причем С А — BD = -у.
Определить координаты точек С и D.
Ответ. С(—9), О(—1).
Прямоугольные координаты на плоскости. Простейшие задачи. Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат XOY, то точку М этой плоскости, имеющую координаты х и у, обозначают как М(х; у).
Расстояние d между точками М^х\\ У1) и Af2(x2; у^ определяется по формуле
d = /(х2 —х^ + (Уз— У1)2-
В частности, расстояние d точки М(х; у) от начала координат определяется по формуле
d = ]/х2 + У2-
Координаты точки С(х; у), делящей в заданном отношении к (см. § 1) отрезок между точками A(xt; у^ и В(х2; уг), определяются по формулам
.*1 + Хх8 , It У1+Ху2
х- 14-х * у Г+Г"1
В частности, при X = 1 получаем формулы для координат середины отрезка АВ-.
_ Х1 4- хг ._ У14- у2
Х~ 2’У- 2 •
Площадь треугольника с вершинами А^х<, у^, В(х2, у^, С(х3, уз) определяется по формуле
S = -у | Хл (Уг Уз) + х» (Уз — У1) + х3 (у, — у2) | =
= у I (^2 — *i) (Уз — У1) — (х3 — Xj) (у2 — Pi) |.
№ 9. Построить на координатной плоскости точки Л(4, 3), В(-2, 5), С(5, -2), £>(-4, -3), Е(-6, 0), F^, 4).
№ 10. Определить расстояние между точками Л(3, 8) и В(-5, 14).
Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой d = = /U2 — Х^2 + (у2— У1)2, получим
d = /(—5 —3)2 + (14-8)2 = /64 + 36 = 10.
№ 11* Показать, что треугольник АВС с вершинами А(—3, —3), В(—1, 3), С(11, —1) — прямоугольный.
Решение. Найдем длины сторон треугольника
АВ = /(— 1 + З)2 + (3 + З)2 = /40,
ВС = /(11 +1)2 + (—1—3)2 -/160,АС = /(11 + З)2 + (— 1 +3)2 = /200.
Так как АВ2 = 40, ВС2 = 160, АС2 =200, то АВ2 + + ВС2 = АС2. Таким образом, сумма квадратов длин двух сторон треугольника равна квадрату длины третьей стороны. Отсюда заключаем, что треугольник АВС прямоугольный и сторона АС является его гипотенузой.
№ 12. Даны концы отрезка АВ: Д(—2, 5), В(4, 17). На отрезке АВ расположена точка С, расстояние которой от точки А в два раза больше расстояния от точки В. Определить координаты точки С.
Решение. Так как АС = 2СВ, то 1 = ^=2. Здесь X] = — 2, у, = 5, х2 = 4, у2 = 17,
^=-?+4" = 2’ У = ^ТТ?' ” 13 и С(2’ 13>-
№ 13. Серединой отрезка АВ является точка С(2, 3). Определить координаты точки А, если В(7, 5).
Решение. Здесь х — 2, у = 3, х2 = 7, у2 = 5 и 2 = = ^У, 3 = ^М^. Следовательно, X] = — 3, у3= 1, т. е. Л(-3, 1).
№ 14. Даны вершины треугольника АВС:- А(хь у^, В(хг, у^, С(х3, уз\ Определить координаты точки пересечения медиан треугольника.
Решение. Находим координаты точки D — середины отрезка АВ:
Xd —2’—2
Точка М, в которой пересекаются медианы, делит отрезок CD в отношении 2:1, считая от точки С. Следовательно, координаты точки М определятся по формулам
— Яз4*2-Хд — Уз+^'Уо
Х —1 + 2 ’ У —Г+2’
т. е.
* =з• > =з'
Окончательно х = ^Jl^jL^», у = 2ii£«i2?.
№ 15. Определить площадь треугольника с вершинами Л(—2, —4), В (2, 8) и С (10, 2).
Решение. Применив формулу для определения площади треугольника, получаем S = у • | (2 + 2) (2 + 4) — — (10 + 2)(8 + 4)| = у|24 —144| = 60.
№16. Построить на координатной плоскости точки
Л(1, /2), В^-2, -Ц), С^-У^, 0), D^O, 2|у
№17. Определить расстояние между точками:
Л(2, 3) и В(—10,—2).
Ответ. 13.__
Л (/2, — /7) и В (2/2, 0).
Ответ. 3.
№ 18. Показать, что треугольник с вершинами — Л(2, —1), В(4, 2), С(5, 1) — равнобедренный.
№ 19* Даны вершины треугольника Л(—1, —1), В(0, —6) и С(—10, —2). Найти длину медианы, проведенной из вершины Л.
Ответ. 5.
№ 20. Даны концы отрезка ЛВ: Л(—3, 7) и В(5, 11). Тремя точками отрезок разделили на 4 равные части. Определить координаты точек деления.
Ответ. (—1, 8), (1, 9), (3, 10).
№21. Найти площадь треугольника с вершинами Л(1, 5), В(2, 7). С(4, 11).
Ответ., S = 0, т. е. точки А, В, С лежат на одной прямой.
№ 22. Даны три последовательные вершины параллелограмма Л(11, 4), В(—1,-1), С(5, 7). Определить координаты четвертой вершины.
Ответ. D(\7, 12).
№ 23. Даны две вершины треугольника 4(3, 8) и В(10, 2) и точка пересечения медиан треугольника Л4(1, 1).
Найти координаты третьей вершины треугольника.
Ответ. С(—10, —7).
№ 24. Даны вершины треугольника 4(7, 2), В(1, 9) и С(—8, —11).
Найти расстояния точки пересечения медиан от вершин треугольника.
Ответ. /53, /82, /185.
№ 25. Точки L(0, 0), М(3, 0) и ^(0, 4) являются серединами сторон треугольника. Вычислить площадь треугольника.у
Ответ. 24.
Полярные координаты. В полярной системе координат положение точки М на плоскости определяется ее расстоянием ОМ = р от полюса О (р — полярный радиус-вектор точки) и углом 0, образованным отрезком ОМ с полярной осью Ох (0 — полярный угол точки). Угол 6 считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.
Если точка М имеет полярные координаты р > 0 и 0/0, где 0 < 0 < 2л, то ей же отвечает и бесчисленное множество пар полярных координат (р, 0 + 26л) и [—р, 0 + (2/г + 1)л], где к произвольное целое (положительное или отрицательное) число или нуль.
Если начало декартовой прямоугольной системы координат поместить в полюсе, а ось Ох направить по полярной оси, то прямоугольные координаты х и у точки М и ее полярные координаты р и 0 будут связаны следующими формулами:
x = pcos0; y = psinO.
Обратные им формулы следующие:
р = V хй + У2; cos 0 = -7=^=; sin 0 = -7==-.
Г Г 1 Л/х2+у2Ух2+у2
№ 26. Построить точки, заданные полярными координатами
I 4, -г' I, о I 2, Л, С II ।*
I ’ 4 у \3 у у о у \ оу
£ (о, у), £ (— 1, — у л у Ответ. См. рис. 1.
№ 27. Найти полярные координаты точки А1(1, —]/3), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось — с положительным направлением оси абсцисс.
У =V х2+ у2 Из двухУ =V х2+ у2 Из двухX1•
У =
V х2+ у2 Из двух
У =
V х2+ у2 Из двух
Решение, cos 0 = г - ■■ -. = -к, sin 6 = _/х2+у22
- -^-, Р= v^T7=V i2 + (-/з)2 - 2.
5
лежит • в 4-й четверти).лежит • в 4-й четверти).последних равенств находим 0 = у л (при отыскании угла
лежит • в 4-й четверти).
лежит • в 4-й четверти).
0 полезно учесть, что точка М Итак, М ^2, у л у
№ 28., Найти прямоугольные координаты точки А ^2)/27 ^"У определяемой полярными координатами, если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.
Решение. х = 2 }/2cos ул=—2; y=2p/2sinyn = = 2. Итак, А (— 2, 2).
№ 29. Построить точки А ^10, у) , В ^2, -|-л^ , С (о, ^у D^l.-^y £(-l,2.y F (-1.-^).
№ 30. Даны полярные координаты точки М^2, ^. Найти ее прямоугольные координаты, если начало координат совпадает с полюсом, а ось Ох с полярной осью.
Ответ. М ()л3, 1).
3,.
Найти ее декартовы координаты.
Ответ. М f—у, —^—J .
№ 32. Определить расстояние между точками Mi(Pi, 01) и М2(р2, ©а).
Указание. Применить к треугольнику ОМ 1М 2 теорему косинусов.
Ответ., d = Кр? -]- р2 — 2рг р2 cos (О, — 02).
№ 33. Определить расстояние между точками м(з, ^ и n(^, ®лУ
\4 /
Ответ. 5.
№ 34. Найти полярные координаты точки, симметричной с точкой Л4(р, 0) относительно полярной оси.
Ответ. М t(p, —6).
№ 35. Найти полярные координаты точки, симметричной с точкой Л4(р, 9) относительно полюса.
Ответ. М t(p, л + 0).
№ 36. Найти полярные координаты точки, симметричной с точкой Л1(р, 0) относительно прямой, проходящей через полюс перпендикулярно к полярной оси.
Ответ. М t(p, л — 0).
Уравнение линии. Всякой линии на плоскости хоу, рассматриваемой как геометрическое место точек, соответствует некоторое уравнение, связывающее координаты любой точки М(х; у) («текущей точки»), лежащей на этой линии. Такое уравнение называется уравнением данной линии.
При подстановке координат любой точки, лежащей на данной линии, в уравнение последней, это уравнение обращается в тождество (удовлетворяется). При подстановке же в уравнение линии координат любой точки, ей не принадлежащей, уравнение не удовлетворяется (обращается в неравенство).
Так, точка Д(2; 3) лежит на линии, уравнение которой х2 + 4х + у2 — 21 = 0 (это окружность радиуса г = 5 с центром в точке С(—2; 0)) и не лежит на прямой 2* — у+ + 5 = 0; в самом деле: 22 + 4 • 2 + З8 — 21 =^= 0, 2-2 —3+ 5=^=0.
№ 37. Один из концов отрезка, длина которого равна С. перемещается по оси абсцисс, а другой конец отрезка перемещается по оси ординат. Найти уравнение линии, описываемой серединой этого отрезка.
Решение. Пусть М(х; у) середина отрезка. Длина отрезка ОМ (длина медианы) равна половине гипотенузы, т. е. ОМ =5. С другой стороны, ОМ =]/гх24-у2 (расстояние точки М от начала координат).
Приходим к уравнению Vx2 + y2 = -^-, или х2+у2 = — L_ , Это и есть уравнение искомой линии.
Геометрически очевидно, что искомой линией является окружность радиуса ^ с центром в начале координат.
№ 38. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки f(o,^ равно расстоянию этой же точки от прямой у = —Ь (На рис. 2 вместо у = |- надо
У = - 1).
Решение. Возьмем на искомой линии произвольную точку М^х, у). Расстояние точки М от точки F определится по формуле расстояния между двумя точками
MF = у (x-0^ + (y-iy.
Расстояние точки М от прямой у = —| найдется из
простых геометрических соображений (рис. 2).
MN = МК + KN = у 4-1
Так как по условию равенство MF = MN выполняется для любой точки М, лежащей на искомой линии, то уравнение линии может быть записано в виде
^/^ + (у-|)2=у + т
илиилиХ2 4_у2_^.у + _^ = y2 + |y + _^t
или
или
т. е. у = х2.
Линия, определяемая уравнением у = х2, называется параболой.
№ 39. Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых от точек F^a, 0) и F2(—а, 0) есть постоянная величина, равная а2.
Решение. Возьмем на искомой кривой произвольную точку М (х; у). Ее расстояниями от точек Е, (аь 0) и F2(—а, 0) будут г, = У (х — а)2 + у2, г2 =]/г(х+а)2+у2- Из условия задачи следует, что
ri • г2 = а2.
Таким образом, искомая кривая имеет уравнение
У(х — а)2 + у2 • У(х + а)2 -|- у2 = а2.
Приведем это уравнение к рациональному виду: (х2 + а2 + у2 — 2ах) (х2 + а2 + у2 + 2ох) = а4, или(х2 + а2 + у2)2 — 4а2 х2 = а4,
окончательно
(х2 + у2)2 = 2а2 (х2 — у2).
Найденная кривая называется лемнискатой.
№ 40. Составить уравнение лемнискаты в полярных координатах.
Решение. В уравнении (х2 + У2)2 = 2а2(х2 — у2) (см. предыдущую задачу) переходим к полярным координатам по формулам х = р cos 0, у = р sin 6.
Получаем уравнение лемнискаты в полярных координатах р2 = 2а2 • cos 20. Построим кривую.
Разрешим уравнение относительно р: р = ± аУ2 х X У cos 20. Из того, что в правой части равенства стоит двойной знак ±, а также из того, что уравнение не меняется при замене 6 на —0, заключаем, что лемниската расположена симметрично относительно осей ох и оу. Исследуем форму лемнискаты для 1 четверти, т. е. для случая р > 0, 0 < 0 << ^. Для этих значений р и 0 будем иметь: р =аУ"2* • ]/cos 20. Нетрудно видеть, что здесь 0 может изменяться только между значениями 0=0 и 0 = ^. Если 0 > р то р — мнимая величина. Таким образом, соответствующая часть кривой лежит в угле между полярной
осью и лучом 6 = р Если 0 = 0, то р =0^2. С возрастанием 6 от 0 до ^ р убывает до значения р = 0.
Приняв во внимание соображения симметрии, мы можем
достроить лемнискату (рис. 3).
№ 41. Составить уравнение точек, равноудаленных от точек 4(1, 1) и В(3, 3).
Решение. Как известно из элементарной геометрии, искомое геометрическое место точек является прямой, проходящей через середину отрезка ЛВ и перпендикулярной к этому отрезку. Возьмем на прямой произвольную точку М(х, у).
Из условия задачи следует, что МА = МВ. По формуле расстояния между двумя точками находим, что
геометрического местагеометрического местаРис. 3Рис. 3МА = /(х — I)2 + (у — I)2, МВ = /(х — З)2 + (у — З)2 и уравнение линии может быть написано в виде
геометрического места
геометрического места
Рис. 3
Рис. 3
/(д- 1)2 + (у „1)2 = /(Х-3)2 + (У-3)2.
После возведения в квадрат получаем
х4 — 2х 4- 1 + у2 — 2у 4- 1 = х4 — бх + 9 + у4 —— бу + 9.
Приводя подобные члены, приходим окончательно к следующему уравнению искомого геометрического места точек:
х + у — 4 = 0.
№ 42« Точка М равномерно перемещается по лучу, вращающемуся равномерно около полюса. Составить уравнение линии, описанной точкой М, если в начальный момент вращающийся луч совпадает с полярной осью, а точка М с полюсом; при повороте же луча на угол 0 = 1 (един радиан) точка М удалилась от полюса на расстояние а.
Решение. Поскольку в начальный момент р и 0 равны нулю, а затем оба возрастают пропорционально времени, нетрудно видеть, что они связаны прямой пропорциональ-
ной зависимостью: ^ = const. Но при 0=1 р = а, сле
довательно, j =у и р = а0. Кривая р = а0 называется
спиралью Архимеда.
№ 43. Окружность диаметра а катится без скольжения по внешней стороне другой окружности такого же диаметра. Составить в полярных ко-
Рис. 4Рис. 4ординатах уравнение линии, описанной некоторой фиксированной точкой катящейся окружности.
Рис. 4
Рис. 4
Решение. На рис. 4 С!— первоначальное положение центра катящейся окружности, А — первоначальное положение точки, описывающей искомую линию (точка А диаметраль
но противоположна точке В, где в начальный момент соприкасаются окружности). С2 — центр неподвижной окружности, С3 — центр катящейся окружности в новом положении, М — новое положение точки А, описывающей искомую
линию.
(После перемещения окружности Ct в положение С3 точка Р займет положение Q. Точка В займет положение D, причем, поскольку качение происходит без скольжения BQ = DQ, L QC2B = QCbD.)
На чертеже показано положение полюса О и полярной оси Ох. Требуется составить уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки М(р, 6) искомой линии.
Нетрудно видеть, что / MC3Q = / OC2Q, в силу чего четырехугольник ОС3С3М является равнобедренной трапецией с меньшим основанием С2С3 = а и С2С2 и С3С3 перпендикуляры, опущенные из точек С2 и С3 на прямую ОМ. Итак, р = ОСз + С2С3 + С3М =^cos 0 + а + |cos 0 = = а(1 + cos 0).
Таким образом, искомая линия имеет уравнение в полярных координатах р =- а(1 + cos 0); она называется кардиоидой.
Поскольку при замене 0 на —0 уравнение кардиоиды не меняется, то кардиоида расположена симметрично относительно полярной оси.
Если 0 изменять от 0 = 0 до 0 = л, то р будет убывать от 2а до 0.
Параметрические уравнения линии. При отыскании уравнений геометрических мест (линий) иногда оказывается более удобным выразить координаты х и у произвольной точки этого геометрического места через некоторую вспомогательную величину (ее называют параметром) t, т. е. представить х и у в виде:
х = ф(/)
У=^(0
Такое представление искомой линии называется параметрическим, а уравнения системы (Д} называют параметрическими уравнениями данной линии.
Исключение параметра t из системы {Д} (если оно возможно) приводит к уравнению, связывающему х и у, т. е. к обычному уравнению линии вида f ^х, у) = 0.
№ 44. Найти параметрические уравнения окружности. Решение. Рассмотрим окружность радиуса а с цент
ром в начале координат (рис. 5). Возьмем на ней произвольную точку М(х; у). Примем за параметр t угол, образованный с осью абсцисс радиусом ОМ.
Из треугольника 0MN следует, что
х = a cos t, у — a sin t. Таким образом, уравнения (х = a cos/ I у = asin/ являются параметрическими
уравнениями окружности.
Исключив из этих уравнений параметр t, получим обычное уравнение окружности. В данном случае для исключения параметра достаточно каждое из уравнений возвести в квадрат и полученные уравнения сложить
х2 = a2-cos2/у2 = a2 -sin2/х2 + у2 = а2
Последнее уравнение является уравнением окружности радиуса а с центром в начале координат.
№ 45. Составить параметрические уравнения кривой, описанной фиксированной точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой.
Решение. Пусть окружность радиуса о катится без скольжения вправо по горизонтальной прямой (рис. 6). Примем эту прямую за ось ОХ, поместив начало координат
в некоторой точке О оси. За фиксированную точку окружности (перемещением которой образуется искомая кривая) примем ту ее точку, которая совпадает с точкой О при соответствующем положении окружности. За параметр t примем угол поворота радиуса окружности, проходящего через фиксированную точку.
Пусть в некоторый момент времени окружность касается оси в точке Л. Фиксированная точка окружности займет положение М(х; у), соответствующее углу t поворота радиуса CM (t = / АСМ). Так как качение происходит без скольжения, то ОА — МА = at. Используя это, выразим координаты точки М через t.
х = ON = ОА—NA = МА—NA = at —
— a sin t = a^t — sin t),
g = NM = AP = AC — PC = a — a cos t == a(l — cos t).
Таким образом, параметрическими уравнениями искомой линии будут
| х = a (t — sin /)
(у = а(1—cosO
Эта линия называется циклоидой; она изображена на рис. 6. № 46. Какая линия определяется параметрическими уравнениями х = t2, у = t2?
Решение. Исключая параметр /, приходим к уравнению у = х. Но в силу параметрических уравнений х > О, у > 0. Следовательно, параметрические уравнения определяют луч, направленный по биссектрисе первого коор
ттдинатного угла.
т
т
№ 47. Какая линия определяется параметрическими уравнениями
х = cos t у = cos2/
Реше-ние. Подставив х вместо cos / во второе уравнение, получаем уравнение параболы у = х2. Из параметрических уравнений следует: |х| < 1, 0<у<1. Таким образом, параметрические уравнения определяют дугу АОВ параболы у = х2, где Л(—1, 1),
В(1, 1).
№ 48. Какая линия определяется уравнениями х = sin /
у = cosec /
Решение. Так как и — -Д-т, то, исключив /, полу- sin г
чаем уравнение у =—, выражающее обратно пропорцио
нальную зависимость величин х и у.
Приняв во внимание, что |х| < 1, |у\ > 1, заключаем, что линия, заданная параметрическими уравнениями х = = sin t, у = cosec /, имеет вид, изображенный на рис. 7.
№ 49.; Найти уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точек Л(2, 0) и В(0, 1).
Ответ, у = 2х — ^.
№ 50. Какая линия определяется уравнением х = у?
Ответ. Биссектриса 1-го и 3-го координатных углов.
№ 51. Какая линия определяется уравнением х = « —у?
Ответ. Биссектриса 2-го и 4-го координатных углов.
№ 52. Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых от точек Л(2, 0) и В(0, 2) равна квадрату расстояния между точками Л и В.
Ответ, х2 + у2 — 2х — 2у = 0.
№ 53. Составить уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых от точек Л(1, 0) и В(0, 1) равна 2.
Ответ. Зх2 + 2ху + З//2 — 4х — 4у = 0.
№ 54* Составить в полярной системе координат уравнение окружности с центром в полюсе.
Ответ, р = а.
№ 55. Составить в полярной системе координат уравнение полупрямой, проходящей через полюс и образующей с полярной осью угол а.
Ответ. 0 — а.
№ 56. Составить в полярной системе координат уравнения окружности диаметра а, если полюс лежит на окружности, а полярная ось проходит через центр окружности.
Ответ, р = a cos 0.
№ 57* Какая линия определяется уравнениями х = 2/, У = 4/?
Ответ. Прямая у = 2х, проходящая через начало координат.
№ 58. Кривая задана параметрическими уравнениями (х = a cos t
1 у = b sin t "
Найти обычное уравнение этой линии.
Указание: разделить первое уравнение на а, второе на Ь, а затем исключить t.
Ответ. ^ + -^ = 1 (кривая называется эллипсом).
№ 59* Кривая задана параметрическими уравнениями х = a sec t, y=btgt.
Найти обычное уравнение линии.
Ответ. -^ —^ = * (кривая называется гиперболой).
№ 60* Какая линия определяется уравнениями
(х = cos2t ?
1 у = sin2/
Ответ. Отрезок прямой, соединяющий точки Л(1, 0, и В^, 1).
№ 61* Кривая, определяемая параметрическими уравнениями
lx — a cos3/
I у = a sin3/, называется астроидой.
Исключив /, найти обычное уравнение астроиды.
Ответ. х2/3 4- у2/3 = а2/3.
№ 62* На круг, описанный из центра О радиусом а, навернута по часовой стрелке нить; пусть конец нити находится в точке Л (а, 0). Станем нить развертывать (против часовой стрелки), сматывая ее с круга и все время натягивая за конец. Составить параметрические уравнения кривой, описываемой концом нити, если за параметр / взять угол между радиусом О А и радиусом ОВ, проведенным в точку касания окружности с натянутой нитью в произвольном положении последней.
Ответ, х — a(t sin / + cos /)
у = a(sin / — / cos /) (эта кривая называется эвольвентой круга).
Прямая линия
Всякое уравнение первой степени относительно х и у, т. е. уравнение вида Ах + By + С = 0 (где А, В и С постоянные коэффициенты) определяет на плоскости хОу некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.
Частные случаи. 1. С = 0; Л ^ 0; В 4- 0. Прямая, определяемая уравнением Ах + By = 0, проходит через начало координат;
А = 0, В =^= 0; С =4= 0. Прямая, определяемая уравнением By + С = 0 (или у = Ь, где Ь= — ^, параллельна оси ох.
В = 0; А 4 0; С =/= 0. Прямая, определяемая уравнением Ах + С = 0 (или х = а, где а= — ^, параллельна оси оу.
В = С = 0. А =4= 0. Прямая, определяемая уравнением Ах = 0 (или х = 0, поскольку Л =/= 0), совпадает с осью оу.
A = С = 0. В 4= 0. Прямая, определяемая уравнением By = 0 (или у = 0, поскольку В 4= 0), совпадает с осью ох.
.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если в общем уравнении прямой Ах + + By + С = 0 В =4= 0, то, решая его относительно у, можно придать ему вид у = kx + b ^здесь k— — ^, Ь= —^. Это уравнение называют уравнением с угловым коэффициентом, поскольку в нем к = tg а, где а — угол, образованный прямой с положительным направлением оси ОХ. Свободный член уравнения b равен ординате точки пересечения прямой с осью OY.
. Уравнение прямой в отрезках. Если в общем уравнении прямой С #= 0, то, разделив все его члены на —С, его можно привести к виду ^ + ^ = 1 (здесь а =
С с\
= — д, b = —^1. Это уравнение называют уравнением прямой в отрезках; в нем а является абсциссой точки пересечения прямой с осью ox, а b — ординатой точки пересечения прямой с осью оу. Поэтому а и b называют отрезками ■ прямой на осях координат.
№ 63. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b = —3 и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол « = •§•
Решение. Находим угловой коэффициент: к = = tg — = —'
8 6/3
Воспользовавшись уравнением прямой с угловым коэффициентом, получаем у = —^ х — 3; освободившись от знаменателя и перенеся все члены в левую сторону, получаем общее уравнение прямой х—]/3 у— 3^3 = 0.
№ 64. Составить уравнение прямой, отсекающей на 2 l 1
осях координат отрезки а = -^, Ь = —^.
Решение. Воспользовавшись уравнением прямой в отрезках, находим:
2/5^ —1/1011
5
Это уравнение можно переписать в виде ух—10 у = 1 или 5х— 20 у — 2 = 0 (общее уравнение прямой).
№ 65* Дано общее уравнение прямой 12х — 5у — 65 = = 0.
Написать уравнение этой прямой:
с угловым коэффициентом;
в отрезках.
Решение, а) Разрешив уравнение прямой ртнеси- тельно у, получаем уравнение с угловым коэффициентом у= ^х—13. Здесь к = ¥ 6 = —13. z оо
Перенесем свободный член общего уравнения в правую сторону и разделим обе части на 65.
-^- Н^g- = 1. Получили уравнение в отрезках. Здесь 12~ 5"-^- Н^g- = 1. Получили уравнение в отрезках. Здесь 12~ 5"^х — ^gy = 1. Это уравнение можно переписать в виде
-^- Н^g- = 1. Получили уравнение в отрезках. Здесь 12~ 5"
-^- Н^g- = 1. Получили уравнение в отрезках. Здесь 12~ 5"
65[- 5<65। q
а = 12 = 5 12’ 6 = -"5 =-13-
№ 66* Построить прямые:
х — 2у + 5 = 0;
2х + Зу = 0;
5х — 2 = 0;
2у + 7 = 0.
Решение, а) Полагаем в уравнении х = 0, получаем у = 2^-. Следовательно, прямая пересекается с осью орди
нат в точке В^0, 2^-).
Полагаем у = 0, получаем х = —5, т. е. точкой пересечения прямой с осью абсцисс будет Д(—5, 0).
Остается провести прямую через точки Д(—5,0), В^0, 21) (рис. 8).
Прямая 2х + Зу = 0 проходит через начало координат, так как в уравнении прямой отсутствует свободный член. Дадим х в уравнении прямой какое-нибудь значение. Пусть, например, х = 3, тогда 6 + Зу = 0 и у = —2. Получили точку Л1(3, —2). Остается через начало координат и через точку М провести прямую.
Разрешим уравнение прямой относительно х. Полу-
2
чаем х =-g. Эта прямая параллельна оси ординат и отсекает на оси асбсцисс отрезок, равный $.
Аналогично предыдущему получаем уравнение у = = —3^; эта прямая параллельна оси абсцисс.
№ 67. Дано уравнение прямой —-"*" ^ ^5 4- У ~ ^Xl = = 0.
Написать: а) общее уравнение этой прямой;
уравнение с угловым коэффициентом;
уравнение в отрезках.
Ответ, а) х + 2у — 2 ]/5 = 0;
у-ix + V6;
№ 68. Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс прямая 2х + 2у — 5 = 0?
Ответ. 135°.
№ 69. Определить площадь треугольника, образованного прямой 4х + Зу — 36 = 0 с осями координат.
Ответ. 54.
№ 70* Можно ли уравнение прямой 20х + 21 у = 0 записать в отрезках?
Ответ. Нет, нельзя.
№ 71. Построить прямые:
4х —5# + 15 =0;
2х — у = 0;
7х — 10 = 0;
2# + 3 = 0.
№ 72* Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок 6 = 1 и образующей с положительным на- ,2
правлением оси абсцисс угол а = д-л.
Ответ. ]/Зх + у — 1 = 0.
№ 73* Прямая отсекает на осях координат равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного прямой с осями координат, равна 8.
Ответ, х + у — 4=0.
№ 74, Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и через точку Л(—2, —3).
Ответ. Зх — 2# = 0.
№ 75« Составить уравнение прямой, проходящей через точку Л (2, 5) и отсекающей на оси ординат отрезок 6=7.
Ответ, х + у — 7 = 0.
№ 76* Составить уравнения прямых, проходящих через точку А1(—3, —4) и параллельных осям координат.
Ответ, х + 3 = 0, у + 4 = 0.
№ 77. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат равные отрезки, если длина отрезка прямой, заключенного между осями координат, равна 5)/2.
Ответ, х 4* у — 5=0, х + у + 5 = 0.
Угол между прямыми. Пучок прямых. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пересечение прямых. Угол <р, отсчитываемый против часовой стрелки от прямой у = fetx 4- 64 к прямой у = к2х 4* Ь2, определяется по формуле
Прямые у = к^х 4* 61 и у = к2х 4* 62 параллельны тогда и только тогда, если к^ = к2.
Условием перпендикулярности прямых будет кг = 1
Прямая, имеющая угловой коэффициент к и проходящая через точку М(хъ у^, имеет уравнение у — у^ = Цх — — хО.
Прямая, проходящая через точки Af^Xi, t/J и Мг(хг, у^, имеет уравнение
У —Ух х — хх
Уа — У1*1'
Если xt = х2, то уравнение прямой, проходящей через точки Mi и Мг, имеет вид х =xt.
Если z/i = у2, то прямая, проходящая через точки Afi и М2, будет иметь уравнение у = yv
Если ^ =/= l1. то координаты точки пересечения прямых Л tx 4- В^у 4- Ct = 0 и Л 2х 4- В^у 4- С2 = 0 находятся при помощи совместного решения уравнений этих прямых.
Расстояние от точки М(х0, у0) да прямой Ах + By + + С = О находится по формуле
d = ^Й^^ (см- задачУ № 84)-у А2+ В2
Биссектрисы углов между прямыми A vx + В^у + Ci = = О и А2х + В^у + С2 = О имеют уравнения
^4цх£12±£1_ + _AA±£ti^- = 0 (см. задачу № 91).
VaVvb\ -VaI + b*
Если пересекающиеся прямые заданы уравнениями A tX + В^у + Ct = О и А 2х + В^у + С2 = 0, то уравнение A iX + В 1у+Сг + ЦА гх + Вгу + Сг) = О, где X — числовой множитель, определит прямую линию, проходящую через точку пересечения заданных прямых. Давая в последнем уравнении X различные значения, будем получать различные прямые, принадлежащие к пучку прямых, имеющих центр в точке пересечения заданных прямых (называемых основными прямыми пучка).
№ 78. Определить угол между прямыми у = 2х + 5 и у •— —Зх + 1.
Решение. В формуле tg ф = у^ ^ принимаем кг = = 2, Л2 = — 3, тогда tg ф = ~ _^~2 — 1, т. е. ф = ^ .
№ 79« Показать, что прямые Ах — бу + 7 = 0 и 20х — — ЗОу — 11=0 параллельны.
Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом, получаем
2,7211
У = -зх + -б И У = -зх-зб-
Угловые коэффициенты этих прямых одинаковы: ^ — £2 = о
= у. Отсюда и заключаем, что прямые параллельны.
№ 80« Показать, что прямые Зх — Ъу + 7 = 0 и Юх + 4- бу — 3 = 0 перпендикулярны.
Решение. После приведения уравнений к виду с угловым коэффициентом получаем у = у х + у и у =
= — у х + у. Здесь кх = у , ^2 = — у. Так как кг =
1
= —у, то прямые перпендикулярны.
№81. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М (—1,3) и N (2, 5).
Решение. В уравнении ——— = ——— берем х,= = — 1, У1 = 3, х2 = 2, у2 = 5. Получаем g~3 = г+Т илй 2—^— = -у—. Итак, искомое уравнение имеет вид 2х — 3t/ + 11 = 0. Полезно проверить, что уравнение составлено верно. Для этого достаточно показать, что координаты точек М и N удовлетворяют уравнению прямой.
Действительно, равенства
2(—1) — З-З + Н =0,2-2 —3-5+ 11 =0
выполняются тождественно.
№ 82. Составить уравнение прямой, проходящей через точки Л(—2, 4) и В(—2, —1).
Решение. Так как х( = х2 = —2, то прямая имеет уравнение х = —2 (параллельна оси ординат).
№ 83* Показать, что прямые Зх — 2у + 1 = 0 и 2х + + 5у — 12 = 0 пересекаются и найти координаты точки пересечения.
Решение. Так как у =+ ^у, то прямые пересекаются. Решив совместно систему уравнений
Зх — 2у + 1 = 0, 2х + 5у—12 = 0, находим, что х = 1, у = 2, т. е. прямые пересекаются в точке (1, 2).
№ 84* Определить расстояние от точки М(х0, у0) ДО прямой Лх + By + С = 0.
Решение. Задача сводится к определению расстояния между точками М(х0, уо) и N, где точка N — основание перпендикуляра, опущенного из точки М(х0, уо) на прямую Лх + By + С = 0. Составим уравнение прямой MN. Так как угловой коэффициент заданной прямой равен —у
то угловой коэффициент прямой MN (из условия перпендикулярности) равен ^ и уравнение прямой MN имеет вид: у — уй = ^х — х0). Это уравнение может быть переписано ВВИДе^ = Ы..
Для определения координат точки N решим систему уравнений
Лх + Ву + С = 0 и - . °
Введем вспомогательное неизвестное t;
х — х6 _у — у0_,А ~ В ~1'
Тогда х = х0 4- At, у = у0 + Bt. Эти значения подставим в уравнение данной прямой: Л(хо+Л/)4-В(уо+ВО+С=О и найдем, что
. Лхр + Ву0 + С
А* + В* 1
Подставив значение t в уравнения x=x0+At и y=y0+Bt, определим координаты точки N:
у _ у А ^х° + Ву° + ^
v = v В . Ах° + Ву° + ^
У = УО — В .
Остается определить расстояние между точками М и N по формуле
d - У(х—х0)2 + (у — у0)2,
т. е.
я — V \ 0 Л2 | В2 “1 «
I Zv п Лхо+Вуо + С V
Г ( Д ^Хо + ^Уо + С V I / D Ах0 + Вуо + С \ 2
Л2 + В2 У \-
= I А^о + Ву0 + С I
= I /л2 + В2 I *
Отсюда
Лх0 4* Дур 4" С I/д2 4- В2 Г
№ 85. Дана прямая 4х — 3^ — 7 =0. Какие из точек Л^,1), В(3, 2), С(1, —1), D(0, —2), £(4, 3), f(5,2), лежат на этой прямой?
Решение. Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой.
Точка Л лежит на прямой, так как 4-2-$— 3-1—7= = 0.
Точка В не лежит на прямой, так как 4-3 — 3 • 2 — — 7^=0.
Точка С лежит на прямой, так как 4-1 — 3(—1) — — 7= 0.
Точка D не лежит на прямой, так как 4-0 — 3(—2) — — 7=^0.
Точка Е лежит на прямой, так как 4-4 — 3-3 — 7 = 0.
Точка F не лежит на прямой, так как 4-5 — 3-2 — — 7=^0.
№ 86. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М^—2, —5) и параллельной прямой Зх 4- ^у 4- 2 = 0.
Решение. Решим последнее уравнение относитель- 31^.
но у. у = —^х — g-. Следовательно, в силу условия парал- дельности угловой коэффициент искомой прямой равен —р Воспользовавшись уравнением у — yt = Цх — х^, получаем у — (—5) = —-|[х — (—2)], т. е. Зх 4- 4у 4- 26 = 0.
№ 87. Даны вершины треугольника Л(2, 2), В(—2, —8) и С(—6, —2). Составить уравнения медиан треугольника.
Р е ш е и и е. Находим координаты середины стороны ВС:
х' = - 22-^- = -4, У = -~ 82~ 2- = - 5, Л, (- 4, - 5).
Находим координаты середины стороны ЛС:
х, = ^ = -2,/ = ^=0, В^-2,0).
Находим координаты середины стороны АВ:
^"' = ^ = 0, /" = ^ = -3, СДО, —3).
Уравнения медиан находим с помощью уравнения прямой, проходящей через две данные точки Уравнение медианы ДЛр
у—2_ х —2 у—2_х—2
— 5—2 — — 4—2 ’7 б- ’
т. е.
7х — бу — 2 = 0.
Находим уравнение медианы ВВ^, так как точки В(—2, —8) и Bt(—2, 0) имеют одинаковые абсциссы, то медиана BBt параллельна оси ординат. Ее уравнение х + 2 =0.
Уравнение медианы СС^
У+2 х 4-6-34-2 —04-6
или
х 4- бу 4-18 = 0.
№ 88. Даны вершины треугольника: Л(0, 1), В(6, 5) и С(12, —1). Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.
Решение. Составляем уравнение стороны АВ:
£—4 — -F- или 2х — Зу 4- 3 = 0.
Угловой коэффициент стороны АВ равен 2/3, следовательно (в силу условия перпендикулярности), угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины С, равен—|-.
Уравнение этой высоты имеет вид
у 4-1 =— -|-(х—12) или Зх4-2у —34=0.
№ 89. Даны стороны треугольника х 4- Зу — 7 = 0 (ЛВ), 4х — у — 2 = 0 (ВС), 6х 4- 8у — 35 = 0 (ЛС). Найти длину высоты, проведенной из вершины В.
Решение. Определяем координаты точки В. Решая систему уравнений х 4- Зу — 7 •= 0 и 4х — у — 2=0, находим х = 1, у =2, т. е. В(1; 2). Находим длину высоты
BB^ по формуле расстояния от точки В до прямой Л С. Формула эта имеет вид
д _ Ахо + Бу» + С“/лм7^ ‘
Следовательно, 6-I+8-2 —35 g /ба + 8а
№ 90. Определить расстояние между параллельными прямыми За: + у — 3/10 = 0 и 6х + 2у + 5/10 = 0.
Решение. Читателю рекомендуется убедиться в равенстве угловых коэффициен
тов прямых.
Задача сводится к определению расстояния от произвольной точки одной прямой до другой прямой. Положив, например, в уравнении первой прямой х = 0, получаем у = 3/10.
Таким образом, УИ(О, 3]/ 10) — точка, лежащая на первой прямой. Определим ее расстояние от второй прямой
6.04-2-3/104-5/10 = 11/ю в 5 5 у36 4-42/Тб * '
№ 91« Определить уравнения биссектрис углов между прямыми х + у — 5 = 0 и 7х — у — 19 = 0 (рис. 9).
Решен и'е. Решим сначала эту задачу в общем виде.
Биссектрисы углов, образованных двумя прямыми, являются, как известно из элементарной геометрии, геометрическим местом точек, равноудаленных от этих прямых. Если уравнения заданных прямых будут Л 1Х 4- В^ + Ct = 0 и Л 2Х + Вау 4- С2 = 0 f51 =j= 51, т. е. прямые не парал- \Л2 В^ _
лельны), то для всякой точки М(х; у), лежащей на одной из биссектрис, имеем (используя формулу для определения рас-
стояния от точки до прямой, см. задачу № 84):
I Л1 *+ ^у + С2 | = IЛ2 х+ В2у + С2|/л|Тв| VaI+bI
Поскольку точка М(х, у) — произвольная точка биссектрисы, ее можно обозначать просто через М(х; у). Учитывая, что трехчлены, стоящие в последнем равенстве под знаком абсолютной величины, могут иметь разные знаки, Находим для одной из биссектрис уравнение
Аух-У ВууЛ-Су _ Л2 х+ В2у + С2
УаТТв^ V^I+bI ’
а для другой — уравнение
Лх х + Вг у + Ci = Л2 X + В^уА-С^У^у^ Уа[+в^
Таким образом, уравнение обеих биссектрис можно записать в виде
<41 * + В2 у + Ci । Л2 х + В2 у + С2 _ Q Уа^+в^ *V л| + в|
Теперь решим поставленную конкретную задачу.
Применив уравнения+ — х + 52^ с®=
Уа^ Уа22+в2
= 0, находим уравнения биссектрис
_х + у-5_7х-у-19 Q+ (7х —у-19)=0.
У1 + Г /49+1V Z ' ' Z '
Уравнение первой биссектрисы 5(х + у — 5) + (7х — у — — 19) = 0, т. е. 12х + 4у — 44 = О или Зх + у — 11 = = 0 ... (3). Эта биссектриса образует с осью абсцисс тупой угол, так как ее угловой коэффициент отрицателен. Уравнение второй биссектрисы 5(х + у — 5) — (7х — у — 19) = = 0, т. е. х — Зу + 3 = О...(4). Эта биссектриса образует с осью абсцисс острый угол.
№ 92. Даны вершины треугольника Д(1, 1), В(10, 13) С(13, 6). Составить уравнение биссектрисы угла Д.
Решение. Воспользуемся другим (по сравнению с решением предыдущей задачи) способом составления уравнения биссектрисы.
Пусть D точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника
BD АВ следует, что ^ = ^,
BD 15DC = 13 *BD 15DC = 13 *Следовательно, К =Следовательно, К =Так как известно отноТак как известно отноАВ = /(10 — I)2 + (13 — I)2 = 15,АС = /(13 —1)2 + (6 — I)2 = 15.
BD 15
DC = 13 *
BD 15
DC = 13 *
Следовательно, К =
Следовательно, К =
Так как известно отно
Так как известно отно
шение, в котором точка D делит отрезок ВС на части, то координаты точки D определятся равенствами
10+15/13-1313+15/13-6
Х —1+15/13’” = 1 + 15/13
т. е. ’_ 325_ 259 п /325259\
Х “ 28 ’ У ~ 28И U ( 28 ’ 28 /
Задача сводится к составлению уравнения прямой, проходящей через точки А и D:
159 ~ = "325 ~ * Т- 61 7х ~ 9У+2 = °-
28 ~28 — 1
№ 93* Даны уравнения высот треугольника АВС: х + у — 2=0; ^х — Зу — 4 = 0 и координаты вершины Л(2, 2). Составить уравнения сторон треугольника.
Решение. Легко убедиться в том, что вершина А не лежит ни на одной из заданных высот: ее координаты не удовлетворяют уравнениям этих высот.
Пусть 9х — Зу— 4=0 — уравнение высоты ВВ^ и х + у — 2 = 0 — уравнение высоты CCV Составим уравнение стороны АС, рассматривая ее как прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную высоте BBV Так как угловой коэффициент высоты ВВ^ равен 3, то угловой коэффициент стороны АС равен—|-, т.е. клс =— j-. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через данную точку и имеющей данный угловой коэффициент, получим уравнение стороны АС: у — 2 = — (х — 2) или х + Зу — 8 = 0. Аналогично получаем hcc, = —1, кдв = = +1 и сторона АВ определится уравнением у — 2 = х — 2 или у = х. Решив совместно уравнения прямых (Л В) и
(ВВ^, а также прямых (ЛС) и (СС^, найдем координаты вершин треугольника В и С: B^JSl г/^ и С(—1, 3). Остается составить уравнение стороны ВС;
у — 2/3 х — 2/3*71 г о а
3—2/3—1 — 2/3 ИЛИ + 5у — 8 — 0.
№ 94. Составить уравнения прямых, проходящих через точку Л4(5, 1) и образующих с прямой 2х + у — 4 = 0 угол (рис. 10).
Решение. Пусть угловой коэффициент одной из искомых прямых равен к. Угловой коэффициент заданной прямой равен — 2. Так как угол между этими прямыми равен т, то tg т =, т. е. 1 =, 1 —26=^4-2
и к = — у. Мы нашли угловой коэффициент прямой /ИМ. Угловой коэффициент прямой МР находится из равенства =е. к' = 3.
Угол между прямыми МР и NP отсчитывается против часовой стрелки от МР с угловым коэффициентом к* до прямой NP с угловым коэффициентом —2.
Уравнение прямой MN; у — 1 = —^-(х — 5),. т.е.х + + Зу - 8 = 0.
Уравнение прямой МР;у — 1 = 3(х — 5), т. е. Зх — — у- 14 =0.
Примечание. Так как;МКД_МР, то угловой коэффициент прямой МР можно было определить из условия перпендикулярности к' =—р к = — р следовательно, к’ =3.
№ 95. Найти прямую, принадлежащую пучку 2х 4- + 3</ + 5 + Х(х + 8у + 6) = 0 и проходящую через точку M(l, 1).
Решение. Координаты точки М должны удовлетворять уравнению искомой прямой, поэтому для определения X получаем уравнение
2-1 +3-1 +5 + Х(1 +8-1 4-6) = 0, т. е.
10+15Х = 0 и Х = —|.
Подставив значение X в уравнение пучка, получим уравнение прямой
2х + Зу + 5 — -| (х + 8у + 6) = 0 или 4х — 7у + 3 = 0.
№ 96* Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых Зх — 4у + 7 = 0 и 5х + 2у + 3 = 0 и
параллельную оси ординат.
Решение. Прямая принадлежит пучку Зх — 4у + + 7 + Х(5х + 2у + 3) = 0. Это уравнение напишем в виде (3 4* + 5Х)х + (-4 + 2Х)у + (7 + 4- ЗХ) = 0. Так как искомая прямая параллельна оси ординат, то коэффициент при у должен равняться нулю, т. е. —4 4- 4- 2Х = 0, X = 2.
Остается1 подставить найденное значение X в уравнение пучка.
Получаем уравнение прямой х + 1 = 0.
№ 97. Даны стороны треугольника х 4- 2у + 5 = 0 (ЛВ), Зх + У + 1 = 0 (ВС) и х + у + 7 (ЛС). Составить уравнение высоты треугольника, опущенной на сторону АС. Решение. Высота принадлежит пучку х 4- 2у + 5 4- 4- X (Зх -J- у 4™ 1) “ 0*
Напишем уравнение в виде (1 4-ЗХ)х4-(2-|-Х)у4- 4- (5 4- X) = 0. Угловой коэффициент прямой пучка равен — ^ ^; так как угловой коэффициент прямой АС равен — 1, то угловой коэффициент искомой высоты равен 4- 1 и
А1 ЗХ *
для определения л получаем уравнение —\ = 1-
Отсюда 14-ЗХ4-24-Х = 0 и X = — -|-. Подставив найденное значение X в уравнение пучка, находим уравнение высоты fl — -т^ х 4- f2У + f5= 0,
\\\)
5х —5у—17 = 0.
№ 98. Даны вершины треугольника ЛВС: А (0,2), В (7, 3) и С(1, 6). Определить ^/ВАС = а.
27
Ответ, tg а = =■.
№ 99. Даны стороны треугольника х + у — 6 = О, Зх — 5у + 14 = О и 5х — Зу —14 = 0. Составить уравне-1 ния высот треугольника.
Ответ, х — у = 0, 5х + Зу — 26 = 0, Зх + 5у — 26 = 0.
№ 100. Составить уравнения биссектрис углов между йрямыми Зх + 4у — 20 = О и 8х + бу — 5 =0.
Ответ. 14х + 14^/ — 45 = О, 2х — 2у + 35 = 0.
№ 101. Даны вершины треугольника: Л(0, 0), В(—1,-3) и С(—5,-1). Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных сторонам треугольника.
Ответ. Зх — у + 14 = 0, х — бу — 14 = 0, х + 2у = = 0.
№ 102. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М(2, 7) и образующих с прямой, проходящей через точки Л(—1, 7) и В(6, —2), углы по 45°.
Ответ, х — 2 = 0, у — 7 = 0.
№ 103. Определить расстояние от точки М(2, —1) до прямой, отсекающей на осях координат отрезки а = 8, b =6.
Ответ. 4,4.
№ 104. Найти длину высоты треугольника с вершинами Л^1у, ij.B^l, 1-|J, С(3,‘3), проведенной из вершины С.
Ответ. 2, 4.
№ 105. При каком значении т прямые линии 7х — — 2у — 5 = 0, х + 1у — 8 «= 0 и тх + ту — 8 — 0 пересекаются в одной точке.
Ответ, т =4.
№ 106л Даны середины сторон треугольника Л1(—1, —1), В 1(1, 9) и Сi(9, 1). Составить уравнения перпендикуляров к сторонам, проходящих через середины соответствующих сторон треугольника.
Ответ, х — у — 0, х + бу — 14 = 0, 5х + У — 14 = 0.
№ 107. Найти острый угол, образованный с осью ординат прямой, проходящей через точки Л (2, V 3) и В (3,2 УЗ).
Ответ.
№ 108. Точки Л(1, 2) и С(3, 6) являются противоположными вершинами квадрата. Определить координаты двух других вершин квадрата.
Ответ. (0, 5) и (4, 3).
№ 109* На оси абсцисс найти точку, расстояние которой от прямой 8х + 15у + 10 = 0 равно 1.
Ответ. ^, о) и ^—-у-, о).
№ ПО* Даны вершины треугольника Л(1, 1), В(4, 5) и С(13, —4). Составить уравнения медианы, проведённой из вершины В и высоты, опущенной из вершины С. Вычислить площадь треугольника.
Ответ. 13х + бу — 82 = 0, Зх + 4у — 23 = 0, 8 = = 31,5.
№111. Найти прямые, перпендикулярные основным прямым пучка 2х + Зу + 6 + Х^х — 5у — 6) = 0.
Ответ. Зх — 2у = 0, 5х + у + 6 = 0.
№ 112* Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых х + бу + 5 = 0, Зх — 2у + 1 = 0 и через
(
4\"
— 5"’ Ч'
Ответ. 5х + 4 = 0.
№ 113* Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых х + 2у + 3 = 0, 2х + Зу + 4 = 0 и па- раллелкную прямой 5х + 8у = 0.
Ответ. 5х + 8у + 11 = 0.
№ 114* Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых Зх — у — 1 = 0, х + Зу + 1 = 0 и параллельную оси абсцисс.
Ответ. 5у + 2 = 0.
№115. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых 5х + Зу + 10 = 0 и х + У — 15 = 0 и через начало координат.
Ответ. 17х + 11у = 0.
№ 116. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых х + 2у + 1 =0, 2х + у + 2 = 0 и образующую угол 135° с осью абсцисс.
Ответ, х + у -f- 1 = 0.
№ 117* Составить уравнения прямых, проходящих через точку Л4(а, 6) и образующих с прямой х + у + с = 0 угол 45°.
Ответ, х -=а, у = Ь.
№ 118* Даны стороны треугольника х— у =0 (ЛВ), х + у — 2=0 (ВС), у = 0 (ЛС). Составить уравнения медианы, проходящей через вершину В и высоты, проходящей через вершину Л.
Ответ» х = 1; у — х.
№119* Показать, что треугольник со сторонами х + + у^З + 1=о, х/3 + у + 1 = 0 и X — у — 10 = 0 равнобедренный. Найти угол при вершине треугольника.
Ответ. 30°.
№ 120. Даны последовательные вершины параллелограмма: Л(0, 0), В(1, 3), С(7, 1). Найти угол между его диагоналями и показать, что параллелограмм является прямоугольником.
Ответ, ф = 53°8'.
№ 121* Даны стороны треугольника: х — у + 2 = 0 (ЛВ), х = 2 (ВС), х + у — 2 = Q (ЛС). Составить уравнение прямой, проходящей через вершину В и через точку на стороне ЛС, делящую ее (считая от вершины Л) в отношении 1:3.
Ответ. 5х — 3// + 2 = 0.
№ 122* Показать, что треугольник с вершинами Л (1, 1), В(2, 1 +]Л 3), С(3, 1) равносторонний, и вычислить площадь треугольника.
Ответ. УЗ.
№ 123* Показать, что треугольник, стороны которого заданы уравнениями с целыми коэффициентами, не может быть равносторонним.
№ 124. Дана вершина треугольника Л(3, 9) и уравнения медиан: у — 6=0 и Зх — ^у + 9 = 0. Найти координаты двух других вершин.
Ответ. В(1, 3), С(11, 6).
№ 125. Составить уравнение гипотенузы прямоугольного треугольника, проходящей через точку М(2, 3), если катетами треугольника являются оси координат, а площадь треугольника равна12.
Ответ. 1) 4 + "^ =2) —7-^=г 47-7-=—; =
' 46• '4(у 2- 1 ) Т-6(К2-Ц )
1. о\ ^1У 1
- Ъ °’ -4«2 + 1) + б(У2- 1 ) Ь
№ 126. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок 40
прямой 4х + Зу — 12 =0, концы которого лежат на осях координат.
Ответ. Зх — 4у — 9=0, Зх — 4у + 16 = 0, 4х + + Зу — 37 = 0 или 4х 4- Зу + 13 = 0.
Кривые второго порядка
Окружность. Окружность — это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра). Если г радиус окружности, а С(а, 6) ее центр, то уравнением окружности будет
(х — а)2 + (у — Ь)2 = г2.
Окружность с центром в начале координат будет иметь уравнение х2 + у1 = г2- Уравнение (х — а)2 + (у — 6)2 = г2 после раскрытия скобок принимает вид х2 + у2 + /х + + ту + п =0, где / = —2а, т = —26, п = а2+ Ь4 — г2
В общем случае уравнение х2 + У2+ &+ ту + п = 0 определяет окружность, если /2 + щ2 — 4п > 0.
Если /2 + т4 — 4п = 0, то указанное уравнение опре- (1 т\
^, — у L а если I4 + т4 — 4п < 0, то уравнение не имеет геометрического смысла. В этом случае говорят, что уравнение определяет мнимую окружность.
Полезно помнить, что уравнение окружности содержит старшие члены х2 и у4 с равными коэффициентами и в нем отсутствует член с произведением х на у.
Взаимное расположение точки М^х^уй и окружности х2 + у4 = г4 определяется такими условиями: 1) если х2 + у2 = г2, то точка М лежит на окружности; если х2 + +у2 > г2, то точка М лежит вне окружности, и если х2 + + у2 < г2, то точка М лежит внутри окружности.
№ 127» Найти координаты центра и радиус окружности 2х2 + 2у2 — 8х + 5у — 4 = 0.
Решение. Разделив уравнение на 2 и сгруппировав члены уравнения, получим х2 — 4х+у2+ у у=2. Допол- ним х2 — 4х и У2 + у У До полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4 и ко второму (у) (одновременно в правую часть прибавляется сумма этих чисел):
(х2 —4х+4)+ (у2 + у у + ^ = 2+4+ §
или
(Ж-2)2+^+|у = ^;
таким образом координаты центра окружности будут 511
а= 2, b ^- и радиус окружности г = —.
№ 128. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданы уравнениями 9х — 2у — 41 = 0, 7х 4- 4у 4- 7 = О, х — Зу + 1 = 0.
Решение. Найдем координаты вершин треугольника, решив совместно три системы уравнений:
1) 9х —2у —41=0,7х 4* 4у 4* 7 = 0,2) 9х — 2у — 41=0,х — Зу 4- 1=0,3) 7х + 4у + 7 = 0,х — Зу 4-1 =0.
Получим Л(3, —7), В(5, 2), С(—1, 0).
Пусть искомое уравнение окружности имеет вид (х — — а)2 + (у — 6)2 = г2. Для нахождения а, b и г напишем три равенства, подставив в искомое уравнение вместо текущих координат координаты точек Л, В и С, получим: (3 — а)2 4- (—7 - 6)2 = г2; (5 — а)2 4- (2 — 6)2 = г2; (—1 — а)2 + 62 = г2. Исключая г2, приходим к системе уравнений:
(3 — а)2 4- (—7 — 6)2 = (5 — а)2 4- (2 — 6)2,
(3 — а)2 4- (—7 — 6)2 = (—1 — а)2 4- №
или 4а 4- 186 = — 29 и 8а— 146 = 57. Откуда а =3,1, 6 =—2,3. Значение г2 находим из уравнения (—1—а)24- 4- 62 = г2, т. е. г2 =22,1; уравнением искомой окружности будет (х - 3,1)2 4- (У + 2,3)2 =22,1.
№ 129« Составить уравнение окружности, проходящей через точки Л(5, 0) и В(1, 4), если центр ее лежит на прямой х 4- у —-3 =0.
Решение. Найдем координаты точки 44 — середины хорды ЛВ: хм = ^^ = 3, ум = ^^ = 2, т. е. середи- 42
ной хорды АВ—точка Л4(3; 2). Центр окружности должен находиться на перпендикуляре, восстановленном из середины хорды, а поэтому уравнение этого перпендикуляра можно написать в виде у — 2 = k( х — 3), где угловой коэффициент к найдется из условия перпендикулярности с прямой АВ, уравнение которой будет 4 ~ б = Г^4 или х + У — ^ =0-
Следовательно, угловой коэффициент перпендикуляра к = 1 и уравнением перпендикуляра будет уравнение у — — 2 = 1 • (х — 3) или х — у — 1 = 0.
Центр окружности С лежит на пересечении данной прямой с перпендикуляром, т. е. координаты центра определяются из решения системы уравнений х Vу — 3=0 и х — у — 1 = 0. Отсюда х = 2, у = 1 или С(2, 1).
Радиус окружности будет равен длине отрезка СА, т. е. г = ]/(5 — 2)2+(1—0)2 = ]/10. Итак, уравнением окружности будет
(х— 2)3 + (у — I)2 = Ю.
№ 130. Составить уравнение хорды окружности х2 + 4- у2 =49, делящейся в точке Л(1, 2) пополам.
Решение. Составим уравнение диаметра окружности, проходящего через точку Л(1, 2). Этим уравнением будет у = 2х. Искомая хорда перпендикулярна диаметру и проходит через точку А, т. е. уравнением ее будет у — 2 = = —р(х — 1) или х + 2у — 5 = 0.
№ 13L Найти уравнение окружности, симметричной с окружностью х2 + у2 = 2х + 4у — 4 относительно прямой х — у — 3 = 0.
Решение. Приведем уравнение данной окружности к каноническому виду (х — I)2 + (у — 2)2 = 1. Центр данной окружности находится в точке С(1, 2) и ее радиус равен 1. Найдем координаты центра симметричной окружности C^Xt, yL), для чего через точку С(1, 2) проведем прямую, перпендикулярную прямой х — у — 3 = 0; ее уравнение у — 2 = к^х — 1), где к = —р = —1, откуда у — 2 = —х + 1 или х + у — 3 = 0. Совместно решая два уравнения х — у — 3 = 0 и х + у — 3 = 0, получим х = 3, у = 0, т. е. проекцией точки C(i, 2) на данную прямую будет точка Р(3, 0). Координаты же симметричной точки получим по формулам координат середины отрезка
3 = ^4^, о = ^-^; таким образом, Xi = 5; у^ =—2. Итак, центр симметричной окружности лежит в точке С ^5, —2). Таким образом, уравнением искомой окружности будет (х — 5)2 + (у + 2)2 = 1.
№ 132» Найти геометрическое место середин хорд окружности х2 + Уа = 4(у + 1), проведенных через начало координат.
Решение. Уравнение хорд будет у — kx. Выразим координаты точки пересечения хорд с окружностью через к, для чего решим систему у = кх и х2 + у2 — 4у — 4 =0. Получим квадратное уравнение х\кг 4-1) — 41гх — 4=0.
ль
Здесь Xt + х2 = t ^ ^2- Но полусумма этих абсцисс дает абсциссу середины хорды, т. е. х = у^тр, а ордината середины хорды у = j ^2- Последние два равенства являются параметрическими уравнениями искомого геометрического места точек.
Исключив к (для чего достаточно в равенстве х ~ = ^L_ положить к = ^1, найдем уравнение искомого 1х)
геометрического места: х2 4- </2 — 2t/ = 0. Таким образом, искомым геометрическим местом также является окружность.
№ 133. Определить координаты центров и радиусы окружностей: а) х2 4- у1 — 8х 4- бу = 0; б) х2 4- у2 44- Юх — 4у 4- 29 = 0; в) х2 4* Уг — 4х 4- \4у 4- 54 = 0.
Ответ, а) а = 4, b = —3, г = 5;
а = —5, b =2, г = 0. Уравнение определяет точку;
а =2, b =—7, г2 = —1. Уравнение не имеет геометрического смысла (мнимая окружность).
№ 134. Найти угол между радиусами окружности х2 4- уа 4- 4х — бу — 0, проведенными в точки пересечения ее с осью оу.
Ответ, tg <р = —2,4.
№ 135, Составить уравнение окружности, проходящей через точки Л(1, 2), В(0,—1), С(—3, 0).
Ответ, (х 4- I)2 4- (у —I)2 = 5.
№136, Составить уравнение окружности, проходящей
через точки Л(7,7) и В(—2,4), зная, что ее центр лежит на прямой 2х — у — 2 =0.
Ответ, (х — З)2 + (у — 4)2 = 25.
№ 137« Составить уравнение общей хорды окружностей х2 + у2 = 16 и (х — 5)2 + у2 =9.
Ответ, х = 3,2.
№ 138» Составить уравнения касательных к окружности (х — З)2 + {у + 2)2 = 25, проведенных в точках пересечения окружности с прямой х — у + 2 = 0.
Ответ. Зх — 4у + 8 = 0, 4х — Зу + 7 = 0..
геометрическое местогеометрическое место№ 139, Дана окружность х2 + у2 = 4. Из точки Л(—2, 0) проведена хорда АВ, которая продолжена на
геометрическое место
геометрическое место
расстояние ВМ = АВ. Определить точек М.
Ответ, (х— 2)2 + у2=16.
Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают обычно через 2а).
Если оси координат расположены по отношению к
эллипсу так, как на рис. 11, [а фокусы эллипса находятся на оси ох на равных расстояниях от начала координат в точках Р^с, 0) и Р^—с, 0)1, то уравнение эллипса принимает простейший (так называемый канонический} вид
। У2 _ 1
i? + б2""" 1 •
Здесь а — большая, b — малая полуоси эллипса, причем а, b и с (с—половина расстояния между фокусами) связаны соотношением
О2=У2_|_С2 (с = Уаг — Ьг\
Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом е = с- (так как с < а, то е < 1).
Расстояния некоторой точки эллипса М от его фокусов называются фокальными радиусами—векторами этой точки. Их обычно обозначают rt и г2 (в силу определения эллипса для любой его точки ri + г2 = 2а)<
В частном случае, когда а = b (с = О, е — О, фокусы сливаются в одной точке — центре), эллипс превращается в окружность (с уравнением х2 + у1 = а2).
Взаимное расположение точки М (хь у^ и эллипса — 4-^=1 определяется условиями:
х2 2
если "у +у = 1, то точка М лежит на эллипсе,
если т + -^ > 1, то точка М лежит вне эллипса, ' а2 а2’
х2 у2
если -у + -у < 1, то точка М лежит внутри эллипса.
Фокальные радиусы-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса формулами rt = а — ex (правый фокальный радиус-вектор) и r2 = а -V ех (левый фокальный радиус-вектор).
№ 140. Составить каноническое уравнение эллипса,
• • / 5 т/^б) ., / n V" 15) проходящего через точки м I-у, I и АЧ—2, ^yj-
Решение. Пусть искомое уравнение эллипса будет
L = 1 а2 62
Этому уравнению должны удовлетворять координаты данных точек.
Следовательно, -^ + ^ = 1 и у + ^ = 1.
Откуда а2 = 10, 62 = 1 и уравнение эллипса имеет у2
вид Тб + у2= 1.
д»2 у2
№ 141. На эллипсе 25+у = 1 найти точку, разность
32 фокальных радиусов векторов которой равна -у
/9 \
Ответ. Четыре точки I ± 4, ± у I •
№ 142. Найти длину перпендикуляра, восставлен- х^ у2
ного из фокуса эллипса ^2 + ^=1 к большой оси до пересечения с эллипсом.
Ответ. — а
№ 143. Составить уравнение прямой, проходящей через д»2 у2 левый фокус и нижнюю вершину эллипса 35 + ^g- = 1 •
Ответ. 4х + Зу + 12 — 0.
№ 144. Эллипс, отнесенный к осям, проходит через точку 3
М(1,1) и имеет эксцентриситет е = у Составить уравнение эллипса.
Ответ. 16х2 + 25г/2 =41.
№ 145. Как расположены относительно эллипса -^ + + ■§■= 1 точки М(7, 1), Л/(—5, —4), Р(4,5)?
Ответ. Точка М — вне эллипса;
точка N — на эллипсе;
точка Р — внутри эллипса.
№ 146. Найти эксцентриситет эллипса, если фокальный отрезок виден из верхней вершины под углом а.
Ответ. e = sin-^--
№ 147. На прямой х+5 = 0 найти точку, одинаково удаленную от левого фокуса и верхней вершины эллипса ^ + ^- = 1 20 ' 4
Ответ. М(—5, 7).
№ 148. Пользуясь определением эллипса, составить его уравнение, зная, что точки F^O, 0) и f2(l, 1) являются фокусами эллипса, а длина большой оси равна 2.
Ответ. Зх2 + Зу2 — 2w — 2х — 2г/ — 1 = 0.
№ 149. Составить уравнение геометрического места точек, расстояния которых от точки Л (0, 1)вдва раза меньше расстояния до прямой у — 4 = 0.
пX2 . V2 .
Ответ, "у + у- ="-' 1 •
№ 150. Концы отрезка АВ постоянной длины а скользят по сторонам прямого угла. Найти уравнение кривой, описываемой точкой М, делящей этот отрезок в отношении 1 : 2.
Ответ. Искомой кривой будет эллипс. Если оси координат направить по сторонам прямого угла (точка А лежит на оси ох), то уравнение этого эллипса будет 9х2 + 36г/2 = = 4а2.
Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а). Расположив фокусы гиперболы в точках Ег (с, 0) и Fa (— с, 0), полуд-2 у2
чаем уравнение гиперболы в виде. ^—^ = 1; где 62 = = с2 — а2; это простейшее (каноническое) уравнение гиперболы. Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки Д1(а, 0) и А 2(—а, 0) называются вершинами гиперболы. Отрезок At А г =- 2а называют вещественной осью гиперболы (рис. 12).
Гипербола имеет
две асимптоты (прямые, к которым неограниченно приближаются ветви гиперболы, уходящие в бесконечность), определяемые уравнениями у = + ^х. Для построения асимптот гиперболы строят осевой прямоугольник гиперболы со сторонами х = а, х = —а, у —Ь, у = —Ь. Прямые, проходящие через противоположные вершины этого, прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. На чертеже указано взаимное расположение гиперболы и ее асимптот. Отношениее =^ > 1 называется эксцентриситетом гиперболы. Фокальные радиусы — векторы правой ветви гиперболы:
rt = ех — а (правый фокальный радиус-вектор), г2 = ех + а (левый фокальный радиус-вектор).
Фокальные радиусы-векторы левой ветви гиперболы: ri = —ех + а (правый фокальный радиус-вектор), г2 = —ех — а (левый фокальный радиус-вектор).
Если а = Ь, то уравнение гиперболы принимает вид х2 — — у2 = а2. Такая гипербола называется равнобочной.
Ее асимптоты образуют прямой угол. Если за оси координат принять асимптоты равнобочной гиперболы, то ее
уравнение примет вид ху = т (т — ±^, при т > 0 гипербола расположена в 1-й и 3-й четвертях, при /и < О — во 2-й и 4-й). Так как уравнение ху —т можно переписать в виде у = ^, то равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональной зависимости между величинами х И у.
Уравнение—»т»= — 1 I или-^г =1 I также
rа262I62а2)
является уравнением гиперболы, но вещественной осью этой гиперболы служит отрезок оси оу длины 26.
х^ v2х^ v2
Две гиперболы= 1 и= — 1 имеют
одни и те же полуоси и одни и те же асимптоты, но вещественная ось одной служит мнимой осью другой, и наоборот. Такие две гиперболы называются сопряженными.
х^ v2
№ 151. На правой ветви гиперболы -jg^- = 1 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше ее расстояния от левого фокуса.
Решение. Для правой ветви гиперболы фокальные радиусы-векторы определяются по формулам гх=ех— а и га = ех4-а. Следовательно, для нашей задачи имеем ураы нение ех~Ьа=2(ех— а). Откуда х = ^-; здесь а = 4, е = _ с _VT6+9 _ 596
- —-34, откуда х - у,о.
Ординату находим из уравнения гиперболы.
у=±|у^Лб = ±|)/^)2_16~±|ГП9.
Таким образом, условию задачи удовлетворяют две точки:
№ 152. Даны точки Л(—1, 0) и В(2, 0). Точка М движется так, что в треугольнике АМ В угол В остается вдвое больше угла А. Найти уравнение кривой, которую опишет точка М.
Решение. Взяв точку М с координатами х и у, выразим tgB и tg Л через координаты точек Л, В и М.
tg5 = -7=2 = 2^. ^А=^-
По условию задачи составляем уравнение tgB = tg2Л 2 А
(поскольку В = 2Л), или tgB = ] _* >л-. Внося в это равенство найденные выражения tgB и tgЛ через координаты точки М, приходим к уравнению
—Л—у _ 2 х+1 .
2 — ху» *
1- (1+*)а
после сокращения на у (у 4= 0) и упро щения получаем у 2
х2— -у- = 1. Искомая кривая — гипербола.
№ 153. Эксцентриситет гиперболы равен 1/2. Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М (V 3, У"2).
Решение. По определению эксцентриситета можем написать равенство ^ = 1^2 или с2 = 2а2, но с2 = а2 + Ь2. Следовательно, а2 + &2 = 2а2 или а2 = Ь2, т. е. гипербола равнобочная.
Другое равенство имеем из условия расположения (КТ)2(КТ)2
точки М на гиперболе, т. е. - ,v -^ ' = 1 или '^“~'^”1- Поскольку ай = №, получим -^—^ = 1, а2 = 1. Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид
х2 — у® = 1.
№ 154. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку Л! (9,8), если асимптоты гиперболы имеют
2 КЗ! уравнения у = ± —д— х.
Ответ. -^
№ 155. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вер- х2 . у2 , шинах эллипса -g- + -^- = 1.
Ответ..Ответ..х'у»35х'у»35
Ответ..
Ответ..
х'у»
35
х'у»
35
№ 156. Через точку М(0, —1) и правую вершину гиперболы Зх2 — 4у2 = 12 проведена прямая. Найти вторую точку пересечения прямой с гиперболой.
Ответ. N(—4, —3).
№ 157. Дана гипербола х2 — у2 = 8. Найти софокус- ный эллипс, проходящий через точку Л4(4, 6).
х^ v2
Ответ. ^ + ^ = 1. 04 4о
№ 158. Дан эллипс 9х2 + 25t/2 = 1. Написать уравнение софокусной равнобочной гиперболы.
Ответ, х2 — у2 =
№ 159. Угол между асимптотами гиперболы равен 60*. Вычислить эксцентриситет гиперболы.
2
Ответ, е = -у=-.
№ 160. На левой ветви гиперболы •£— ^ = 1 найти точку, правый фокальный радиус-вектор которой равен 18.
Ответ. М (—3, 0).
№ 161. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет "равен 2 и фокусы совпадают с фокусами эл- х2 . у2 , липса 25+^- = 1.
Ответ. -^—-^ = 1.
№ 162. Найти фокальные радиусы-векторы гиперболы Х^ V2
Тб — "^ = * в точках пересечения ее с окружностью х2+у2 = 91.
Ответ. 6; 14.
№ 163. Доказать, что длина перпендикуляра, опущенного из фокуса на одну из асимптот гиперболы, равна мнимой полуоси.
№ 164. Доказать, что произведение расстояний любой точки гиперболы х2 — у2 = 1 до ее асимптот есть величина постоянная.
№ 165. Найти* уравнение геометрического места точек, равноотстоящих от окружности х2 + 4х + у2 = 0 и от точки Л4(2, 0).
Ответ., х2— у = 1.
4 Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой
Рис. 13Рис. 13фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Если директрисой параболы является прямая х =—-$, а фокусом — точка F^E, о), то уравнение параболы имеет вид у2 = 2рх. Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс (рис. 13, где р>0).
Рис. 13
Рис. 13
Уравнение х2 = 2ру является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат. При р > 0 та и другая параболы
обращены в положительную сторону соответствующей оси, а при р < 0 — в отрицательную сторону. '
Длина фокального радиуса-вектора параболы у2 =
= 2рх определяется по формуле г = х + -| (р>0).
№ 166. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ох, с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной к оси ох, равна 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.
Решение. Поскольку известны длина хорды и расстояние ее от вершины, то, следовательно, известны координаты конца этой хорды — точки М, лежащей на параболе. Полагая в уравнении параболы у2 = 2рх, х = 6, у = 8, 32 находим 82 = 2р • 6, откуда 2р = -у.
Таким образом, уравнение искомой параболы будет
№ 167« Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси оу и отсекающей на биссектрисе I и НГкоординатных углов хорду длиною 8]/2^
Решение. Искомое уравнение параболы будет х2 = = 2ру, уравнение же биссектрисы у = х. Следовательно, точками пересечения параболы с биссектрисой будут 0(0,0) и М(2р, 2р).
Длина хорды определяется как расстояние между двумя точками: 8У2=У4р2+4р2, откуда 2р=8. Следовательно, уравнение параболы будет иметь вид х2=8у.
№ 168. Составить простейшее уравнение параболы, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой 4х — Зр — 4 = 0 с осью ох.
Ответ, у2 = 4х.
№ 169. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы параболы равно 4.
Ответ. Mt(2, 4) и М2(2, —4).
№ 170. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси ох и отсекающей от прямой у = х хорду длиной 4]/2.
Ответ, у2 = 4х; у2 = —4х.
№ 171. Парабола у2 = 2х отсекает от прямой, проходя- щей через начало координат, хорду, равную у. Составить уравнение этой прямой.
Ответ, у = ± 2 У 2 х.
№ 172. Составить простейшее уравнение параболы, если хорда, перпендикулярная к оси симметрии и делящая пополам расстояние между фокусом и вершиной, равна 1.
Ответ. у2 = У 2х.
№ 173. На параболе у2 =? 32х найти точку, расстояние которой от прямой 4х + Зу + 10 = 0 равно 2.
Ответ. Л4(0, 0), 4^(18, —24).
№ 174. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и симметричной относительно оси ох, проходящей через точку Л1(4, 2), и определить угол а между фокальным радиусом-вектором этой точки и осью ох.
Ответ. у2 = х, tga = -^-.
Преобразование координат и упрощение уравненийкривых второго порядка
Преобразование координат. При переходе от системы координат хоу к новой системе х'О^' (направление осей координат прежнее, за новое начало координат принята точка Ог (а,Ь) (рис. 14)) связь между старыми и новыми координатами некоторой точки М плоскости определяется следующими формулами:
( х = х* 4- а I х' = х—а
(или (.
(у=у'-|-6(у' = у— b
Первая пара формул дает выражение старых координат через новые, вторая дает выражение новых координат через старые.
При повороте осей координат на угол а (начало координат прежнее, причем а отсчитывается против часовой стрел
ки, рис. 15), зависимости между старыми координатами (х,у) и новыми Vе',у') определяются следующими формулами:
х = х* cos а — у' sin а.у = *' sin а + у' cosa ’х = х* cos а — у' sin а.у = *' sin а + у' cosa ’х* = xcosa + ysina у'= —xsina-f-ycosa"х* = xcosa + ysina у'= —xsina-f-ycosa"
х = х* cos а — у' sin а.у = *' sin а + у' cosa ’
х = х* cos а — у' sin а.у = *' sin а + у' cosa ’
х* = xcosa + ysina у'= —xsina-f-ycosa"
х* = xcosa + ysina у'= —xsina-f-ycosa"
№ 175* Сделан параллельный перенос осей координат, причем новое начало расположено в точке 0(3, — 4). Известны старые координаты точки Л4(7, 8). Определить новые координаты этой же точки.
Решение. Здесь a = 3, b = —4, х = 7, у = 8.
Так как х' = х — а, у' = у — Ь, то х' =7 — 3=4, у* = 8 — (—4) = 12.
№ 176. На плоскости хоу дана точка М(4, 3). Систему координат повернули вокруг начала координат так, чтобы новая ось прошла через точку М. Определить старые координаты точки А, если известны ее новые координаты х' = 5, у' =5.
Решение. Так как ОМ = }/424-32 = 5, то since = 34.,
= -5-, cos а =-5-; получаем формулы преобразования координат:
4 , з ,Х = -ГХ "У-y = ix' + iy'-
Положив х' = у' = 5, получаем х = 1, у = 7.
№ 177. Систему координат повернули на угол а=^- . Определить новые координаты точки М (К3, 3).
Решение. Пользуясь соответствующими формулами, находим, что
х' = УЗ cos — + 3 sin -^- — j + у = 3.
у' == — ]/3 sin-^-+ 3 • cos-у = —-^-+ ^-^ = У”3.
№ 178. Дана точка М (Зу, 4-^. За новые координатные оси приняли прямые
2х — 1 = О (ось Ог, у'),
2у — 5 = 0 (ось Оъ х').
Найти координаты точки М в новой системе координат.
Ответ. (3,2).__
№ 179. Дана точка Af(4j/5, 2]/5). За новую ось абсцисс приняли прямую у = 2х, а за новую ось ординат — прямую у =—^х, причем новые оси координат образуют с соответствующими старыми осями острые углы. Найти координаты точки М в новой системе.
Ответ. (8, —6).
Парабола, определяемая уравне-
н и е м у = Ах2 + Вх + С, и гипербола, определяемая уравнением у = г—г~^ Уравнение вида у = Ах2 4- Вх + С при помощи преобразования координат при параллельном переносе осей, т. е. по формулам х = х' + о, у = у' + b (а и b координаты нового начала координат, х* и у' новые координаты), преобразуется к каноническому виду уравнения параболы. Парабола, определяемая уравнением у = Ах2 4- Вх + С, имеет ось симметрии, параллельную оси оу (аналогично уравнение х = Ау2 + + By + с определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси ох).
Дробно-линейная функция у = ^^ определяет равнобочную гиперболу; преобразованием координат при параллельном переносе осей координат это уравнение преобразуется к каноническому виду уравнения равнобочной гиперболы ху = т, т. е. к уравнению равнобочной гиперболы, у которой оси координат являются асимптотами. При m > О ветви гиперболы расположены в первой и третьей четверти, а при т <_ 0 ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четверти.
№ 180. Привести к каноническому виду, уравнение параболы: у = 9х2 — 6х + 2.
Решение. Заменим х и у через х* + а и у'-V- Ь, у' + + 6 = 9(х' + а)2 — 6(х' + а) + 2 или у' = 9х'2 + 6х' х X (За — 1) + (9а2 — 6а + 2 — 6).
болы находится в точкеболы находится в точкеир —ир —118’118’Найдем такие а и Ь, при которых коэффициент при х' и свободный член обратятся в нуль: За — 1 = 0,9а2 — 6а + 4-2 — b = 0, т. е. а =-|, b = 1. Следовательно, каноническое уравнение параболы будет х'2 = ^у*. Вершина пара
болы находится в точке
болы находится в точке
ир —
ир —
118’
118’
Другой способ решения таких задач заключается в том, что заданное уравнение вида у = Ах2 + Вх 4* С (или х = — Ay2 + By + С) приводится к виду (х — а)2 = = 2р(р — 6) (соответственно (у — 6)2 = 2р(х — а)). Тогда точка О(а, 6) будет вершиной параболы, а знак параметра р
определит, в какую сторону — положительную или отрицательную соответствующей оси (oz/ или ох)—направлена парабола.
Так, уравнение у = 9х2 — 6х + 2 записывается в виде у=9^х2— -|-х + ^ —1+2 или у—1—9fx—-^у, или, наконец, lx—у) = уСУ—*)•
Отсюда, по-прежнему, находим, что вершина параболы находится в точке o/L; 1Y ее параметр р = ^, а ее ветвь
направлена в положительную сторону оси оу.
№ 181* Привести уравнение гиперболы у = 2х —f к виду х* у' = к. Найти уравнения асимптот гиперболы относительно первоначальной системы координат. '
Решение. Путем параллельного переноса осей координат преобразуем данное уравнение к виду (у' + Ь^х' + + 2а — 1) = 4х' + 4а + 5 или 2x'z/' + (26 — 4)х' + + (2а — 1)/ = 4а + b — 2аЬ + 5. Найдем а и b из условий: 2Ь — 4 = 0 и 2а — 1 = 0, т. е. а = у b =2. Тогда уравнение гиперболы в новой системе координат будет х* • у' = -g. Асимптотами гиперболы будут новые оси координат, а поэтому их уравнения будут х = ^ у = 2.
Другой способ решения таких задач заключается в том, что уравнение вида у = ~^| преобразуется к виду (х — а) (у — Ь) = т; центр гиперболы находится в точке Ог^а, Ь), ее асимптотами служат прямые х = а и у = Ь, знак иг по-прежнему определяет, в каких углах между асимптотами находятся ветви гиперболы. Так, уравнение 4х + 5о /1 \. /1 .
у = а -■ , записывается в виде 2 х —=-) у — 4 х — т+ + ^ = 0, (2х — 1) у — (4х + 5) = 0 или 2 (х^ х X (у— 2) = 7. Таким образом, уравнение гиперболы при- 1 \7
х— 2") (У — 2) = у; центр гиперболы находится в точке Ох ^ у 2^, ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях между ее асимптотами
№ 182. Привести к каноническому виду уравнения- парабол: а) у = 4х —2х2, б) у = — х24-2х4-2, в) х = = —4у24-у, г) x=z/2+4y+5.
Ответ, а) О1(1, 2), р= — -|-; х'2 = —^ у';
X п / 11 \1,21 ,
в) ^ J6 * 8 ) *—8 • У —4Х*
0,(1, зур = -4-
х'2= — у'; г) 0J1, — 2), р = У, х'=у'2-
№ 183. Преобразовать уравнения гипербол к уравнению вида х -у =т: а) у = ^ц, б) У = 3^2- в) у=
10x4-2 х 4x4-3
= -5ТТГ- г) У= 2^Т
113
Ответ, а) х* «у =-у, б) х^у' =-§-, в) х* *У =
=г, г) X -у =-g-
Пятичленное уравнение кривой второго порядка. Уравнение второй степени вида Лх2 + Су2 + 2Ох 4- 2Еу + F = 0 (не содержащее члена с произведением координат ху) называется пятичленным уравнением кривой второго порядка. Оно определяет на плоскости хоу эллипс, гиперболу или параболу (с возможными случаями распада и вырождения этих кривых) с осями симметрии, паралельными осям координат в зависимости от знака произведения коэффициентов Л и С.
Если АС">0, то определяемая этим уравнением кривая будет эллипсом (вещественным, мнимым или выродившимся в точку); при А = С эллипс превращается в окружность.
АС < 0, то соответствующая кривая будет гиперболой, которая может вырождаться в две пересекающиеся прямые, если левая часть уравнения распадается в произведение двух линейных множителей:•
Лх24-Су24-2Ох4-2Е y+F=
= (aix+61y4-c])(a2x4-fe2y+c2).
Если АС = 0 (т. е. либо А == О, С =f= 0, либо С —О, Л =/= 0), уравнение определяет параболу, которая может вырождаться в две параллельные прямые (вещественные различные, вещественные слившиеся, или мнимые), если
левая часть уравнения не содержит совершенно либо х, либо у (т. е. если уравнение имеет вид Ах2 + 2Dx + F = О или Су2 + 2Еу + F =0).
Вид кривой и расположение ее на плоскости легко устанавливаются преобразованием уравнения к виду А(х—х0)2 -Ь + С(у— у0)2=[ (в случае АС > 0 или ДС<0), по виду полученного уравнения обнаруживаются и случаи распада или вырождения эллипса и гиперболы.
В случае невырожденных кривых, перенося начало координат в точку Ot (х0; z/o), полученное уравнение эллипса или гиперболы можно привести к каноническому виду.
Случай ЛС = 0 подробно рассмотрен в предыдущем параграфе, поскольку уравнение невырожденной параболы здесь может быть записано в виде у — atx2 + &1Х + с или х = аху2 +biy + cv
№ 184. Какую линию определяет уравнение 4х2 + + 9у2 — 8х — 36у + 4 = 0?
Решение. Напишем уравнение в виде 4(х2 — 2х) + + 9(у2 — 4у) — —4 или в виде 4(х2 — 2х + 1 — 1) + + 9(z/2 - 4z/ + 4 - 4) = -4, 4(х - I)2 + 9(у - 2)2 = = —4 + 4 + 36, 4(х — I)2 + 9(z/ — 2)2 = 36.
Сделаем параллельный перенос осей координат. За новое начало координат примем точку О'(1, 2). Воспользуемся формулами преобразования координат
х=х'4-1, у=у'+2.
Уравнение кривой относительно новых осей принимает вид 4х'2 + 9у'2 = 36 или ^- + ^- = 1. Таким образом, заданная кривая является эллипсом.
№185. Какую линию определяет уравнение х2 — 9у2 + + 2х + 36z/ — 44 = 0.
Решение. Представим уравнение в виде (х2 + 2х + + 1 _ 1) _ 9(у2 _ 4у + 4_4) = 44> (х+1)2_ — 9 (у — 2 )2 = 44 + 1 - 36, (х + I)2 — 9(у — 2)2 = 9.
Сделаем параллельный перенос осей координат. За новое начало координат примем точку О\—1, 2). Формулы преобразования координат:
X = х' — 1, у = у' + 2.
После преобразования координат уравнение примет вид х'2 — 9у'2 = 9 или х-^- — у2=\.
Кривая является гиперболой. Асимптотами этой гиперболы относительно новых осей являются прямые у'= ±-^х'.
Установить, какие кривые определяются нижеследующими уравнениями. Построить чертежи.
№ 186 * Збх2 + Збу2 — Збх — 24у — 23 = 0.
Ответ. Окружность (х — ф2 + (у — -|)2 = 1.
№ 187. 1бх2 + 25у2 — 32х + 50у — 359 = 0.
Ответ. Эллипс ^- + ^ = 1; новое начало О'(1,—1).
№ 188. -^х2 Цу» -хЦ-1 = 0.
Х^^ у '^.
Ответ. Гипербола -^^ =1, новое начало О (2,3).
№ 189, х2 + 4у2 — 4х — 8у + 8 = 0.
Ответ. Точка О'(2, 1).
№ 190. х2 + 4 у2 + 8 у +5=0.
Ответ. Мнимый эллипс.
№ 191. х2 — у2 — 6х + 10 = 0.
Ответ. Гипербола у'2 — х'2 = 1, О'(3, 0)—новое начало.
№ 192. 2х2 — 4х + 2у — 3 = 0.
Ответ. Парабола с вертикальной осью.
№ 193. х2 — 6 х + 8 = 0.
Ответ. Прямые х = 2 и х = 4, параллельные оси ординат.
№ 194. х2 + 2х + 5 = 0.
Ответ. Мнимые прямые.
Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка. Если кривая второго порядка задана уравнением
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, то, применив преобразование поворота осей координат с использованием формул х = x'cosa — y'sina, у = x'sina+ + y'cosa, следует при надлежащем выборе а освободиться в уравнении от члена с произведением координат.
Дальнейшие преобразования рассмотрены в предыдущем разделе.
Случай распада кривой второго порядка на две прямые может быть легко установлен по исходному (шестичленному) уравнению следующим образом: рассматривая уравнение
как квадратное относительно у (с коэффициентами, зависящими от х), решают его относительно у, если при этом под корнем окажется точный квадрат некоторого двучлена ах + Ь, то корень извлечется, и для у будут найдены два значения: у\ = ktx 4-6 f, уц = k2x +b2. Это и покажет, что кривая распадается на две прямые.
№ 195* Показать, что уравнение 9х2 + 24xz/ 4* 16z/2 — — 25 = 0 определяет совокупность двух прямых.
Решение. Перепишем уравнение в виде (Зх + 4у)2 — —25 = 0. Разложив левую часть на множители, получаем (Зх + 4у + 5)(3х + 4у — 5) = 0.
Таким образом, заданное уравнение определяет прямые линии
Зх4-4у4-5=0 и Зх4-4у— 5=0.
№ 196* Показать, что уравнение Зх2 + 8ху — Зу2 — — 14х — 2у + 8 = 0 определяет совокупность двух прямых.
Решение. Перепишем уравнение в виде
Зу2— 2 (4х — 1) у — (Зх2 — 14x4-8) = 0.
Разрешим уравнение относительно у:
4х— 1±V(4*—1)24-(9ха — 42*4-24)
У —3
или
4х —1±(5х —5) у3
Получаем уравнения прямых у=3х— 2 и у = —^~- Эти уравнения можно записать в виде Зх — у — 2 = 0, х-|-Зу — 4 = 0.
№ 197. Привести к каноническому виду уравнение 5х24-4ху4-8у24-8х4-14у4-5=0.
Решение. 1) Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулами поворота осей координат х = x'cosa— —z/'sina, у = x'sina 4~ z/'cosa. Будем иметь 5(x'cosa — —z/'sina)2 4- 4(x'cosa—^'sina)(x'sina 4* z/'cosa) 4-8(x'sina 4- 4- z/'cosa)2 4* 8(x'cosa — z/'sina) 4- 14(x'sina 4- z/'cosa) + 4- 5 =0или (5cos2a 4*4sina • cosa 4*8sin2a)x'2 4- (5sin2a — — 4sina • cosa 4- 8 cos2a) y'2 4- I6sina • cosa + 4 (cos2a— — sin2a)]x'z/' 4" (8cosa 4“ 14sina)x' 4* (14cosa—8sina)y' 4- 4-5=0.
Найдем а из условия 4(cosaa — sinaa) + 6sina • cosa = О, т. е. приравниваем нулю коэффициент при х' -у'. Получаем уравнение 2 tg2a— 3tga—2 — 0. Откуда tgat = 2, tga2=
‘ 2‘
Заметим, что эти значения tga соответствуют двум взаимном перпендикулярны направлениям. Поэтому, беря tga = —^ вместо 2, мы только меняем ролями оси х' и у’.
Пусть tga = 2, тогда возьмем положительныеПусть tga = 2, тогда возьмем положительные.21
Пусть tga = 2, тогда возьмем положительные
Пусть tga = 2, тогда возьмем положительные
sina= ±-7=-, cosa = ±-7=-, К 5У 5
значения sin а и cos а. Тогда
уравнение (2) принимает вид 9х'2+4у'2+-^х'т=у'+
У 5 У 5
+ 5+ 54 7=- X4 7=- XУ’*2,7= У'7 см/ е *У’*2,7= У'7 см/ е *
+ 5
+ 5
4 7=- X
4 7=- X
У’*2,7= У'
7 см/ е *
У’*2,7= У'
7 см/ е *
2) Выражение в скобках дополним до полных квад-
А / , ,2 \2/ .1\236,1_
(
2 \ 2/1 \ 29
х’ + —7=-^ + 4 ^у' — - у. Приняв за новое начало точку и I—у=, ^у^Ь применим формулы преобразования координат х' = хя^, у' = у" -|L- ,
У 54 у 5
получим 9х"2 + 4у"2= -^- х»2 v"2
или Т74 + ^б=1 Щенение эллипса).
№ 198. Привести к каноническому виду уравнение 6ху+8у2 — 12х — —26у+11 = 0.
Решение. Л = 0, В = 3, С — 4, D = — 6, Е = -13, F = 11.
Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулами преобразования координат при повороте осей координат х = x'cosa — у* sina, у = x'sina + ^'cosa. Будем иметь 6(х' • cosa — у' • sina)(x'sina + z/'cosa) + 8(x'sina + + y'cdsd)2 — 12(x'cosa — t/'sina) — 26(x'sina + z/'cosa) + +11 = 0 или (6sina-cosa + 8sin2a)x'2 + (8cos2a —
— 6sina-cosa)y'2+U6sina • cosa + 6(cos2a — sin2a)]x't/'— — (12cosa + 26sina)x' — (26cosa — 12sina)t/' 4- 11 = 0.
Приравнивая коэффициент при x'y' нулю, имеем 16sina • cosa + 6(cos2a — sin2a) = 0 или 3tg2a — 8tga —
—3=0."
Откуда tg«! = 3, tga2 =^-, примем tga = 3, тогда
sin a = ±sin a = ±,— , cosa = ±—=; выберем положительные
sin a = ±
sin a = ±
/ 0/10 r
знаки у sin a и cosa. Тогда уравнение принимает вид 9х'2 —у'2 — 9]/10x'j- ]ЛП)/ + 11 =0 или 9(х'2 — —VЮх') — (у'2 — /Юу') = — 11, выражения в скобках дополним до полных квадратов 9 ^х —^у ) — ( У' — /То\2455 м п / ,/То)2/ ,
2 J — 22^ ИЛИ ^ \Х 2 /\ У
/10 V-О
„/vf/lO /10)Приняв за новое начало точку О I —у, у), применим формулы преобразования координат х' = х" + у^- ,„/vf/lO /10)Приняв за новое начало точку О I —у, у), применим формулы преобразования координат х' = х" + у^- ,2 / У’
„/vf/lO /10)
Приняв за новое начало точку О I —у, у), применим формулы преобразования координат х' = х" + у^- ,
„/vf/lO /10)
Приняв за новое начало точку О I —у, у), применим формулы преобразования координат х' = х" + у^- ,
у' = у" + jQ^ ( получим 9х"2 — у"2= 9 или х"2 — у = 1 (уравнение гиперболы).
№ 199. Привести к каноническому виду уравнение х2 — 2ху+у2—Юх — бу 4-25 = 0.
Решение. 1) Преобразуем уравнение поворотом осей, х = х' cosa — у ’ sina, у = x'sina 4- t/'cosa. Получаем (x'cosa — t/'sina)2 — 2(x'cosa — t/'sina) (x'sina 44- t/'cosa) 4- (x'sina 4- t/'cosa)2 — 10(x'cosa — t/'sina) — —6(x'sina 4- t/'cosa) 4* 25 = 0 или (cos2a — 2sina • cosa 44* sin2a)x'24- (sin2a 4* 2sina • cosa 4- cos2a)y'2 4"2(sin2a — — cos2a)^'x' — (lOcosa 4* 6sina)x' 4* (lOsina — 6cosa)t/' 4" 4- 25 = 0.
Приравнивая коэффициент при произведении х' у' нулю, имеем 2(sin2a — cos2a) = 0, tg2a=l, т.е. tga1=l, tga2 = — 1. Возьмем tga= 1, тогда a = -5- и sina = -p=- , cos a = —у . Тогда уравнение принимает вид 2у'2 —
— 8 У_2х' + 2 У2/ + 25 = О или 2 (у'2 + У 2/) — — 8У"2х' + 25 = 0;
выражение в скобках дополним до полного квад-
= 4 У 2 ^х' — "у^") • Приняв за новое начало точку / 3V 2 \,
О I —7=-,я— , применим формулы преобразования \ у 22 /
координат х* = х"— "^Др У'"/^ "^'* получим у"2 = = 4 У2 х" (уравнение параболы).
Показать, что нижеследующие уравнения определяют кривые, распадающиеся на пару прямых и найти уравнения Этих прямых.
№ 200. 25х2 + Юху + у2 — 1 = 0 .
Ответ. Совокупность двух параллельных прямых. 5х + у + 1 = 0 и 5х + у — 1 = 0.
№ 201. х2 + 2ху + у2 + 2х + 2у + 1 = 0.
Ответ. Совокупность двух слившихся прямых х + у + + 1= 0.
№ 202. 8х2 — Юху + 9у2 + 2х — 1 = 0.
Ответ. Совокупность двух пересекающихся прямых 2х — Зу + 1 = 0, 4х — Зу — 1 = 0.
Привести к каноническому виду уравнения следующих кривых.
№ 203. 14х2 + 24ху + 21у2 — 4х + 18у — 139 = 0.
^#2
Ответ. -^ + ^ = 1.
о
№ 204. 4ху + Зу2 + 16х + 12у — 36 = 0.
^//2у»2
Ответ, -д^ = *•
№ 205. 9х2 — 24ху + 16у2 — 20х + 1 Юу — 50 = 0.
Ответ. у"г = —2Z.
§ 5. Определители и системы линейных уравнений
«1 bt«1 bt— Sj Ь^ — Оа bj.— Sj Ь^ — Оа bj.Определители второго порядка. Значение определителя второго порядка находится по равенству
«1 bt
«1 bt
— Sj Ь^ — Оа bj.
— Sj Ь^ — Оа bj.
а2 b^
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
«1 х + Ьг у = сг,а2х + Ь2у = сг,
если ее определитель D =если ее определитель D =«1 &1а2 Ьг«1 &1а2 Ьг=4=0, имеет единственное=4=0, имеет единственноерешение, определяемое по формулам:решение, определяемое по формулам:X = -X = -Ci btС2 Ь^Ci btС2 Ь^Д1 611 ’ а2 681Д1 611 ’ а2 681У =У =«1 =1«2 С2«1 =1«2 С201 61«2 Ь»01 61«2 Ь»(формулы Крамера).Если определитель 0 = 0, то система либо несовмест-(формулы Крамера).Если определитель 0 = 0, то система либо несовмест-на (когда Dx =на (когда Dx =С] 61с2 Ь2С] 61с2 Ь24= 0 и Dy =4= 0 и Dy =«1 с, $2 ^2«1 с, $2 ^2=/=0), либо не=/=0), либо неопределенна (когда Dx= Dv= 0). В последнем случае система сводится к одному (например, первому) уравнению, второе же уравнение является следствием первого.Условию несовместности системы можно придать вид 51 — ^1 ^ .5ц а условию неопределенности — вид ^ =.63 са "Система двух линейных однородных (т. е. не содержащих свободных членов) уравнений с тремя неизвестными видаопределенна (когда Dx= Dv= 0). В последнем случае система сводится к одному (например, первому) уравнению, второе же уравнение является следствием первого.Условию несовместности системы можно придать вид 51 — ^1 ^ .5ц а условию неопределенности — вид ^ =.63 са "Система двух линейных однородных (т. е. не содержащих свободных членов) уравнений с тремя неизвестными вида01X4-61 у+^г = О, a2x+b2y+c2z = 0.01X4-61 у+^г = О, a2x+b2y+c2z = 0.1) Если — = -г = —, то система сводится к одному1) Если — = -г = —, то система сводится к одному^2^2^2^2^2^2уравнению (например, первому), из которого одно из не-уравнению (например, первому), из которого одно из не-
если ее определитель D =
если ее определитель D =
«1 &1
а2 Ьг
«1 &1
а2 Ьг
=4=0, имеет единственное
=4=0, имеет единственное
решение, определяемое по формулам:
решение, определяемое по формулам:
X = -
X = -
Ci bt
С2 Ь^
Ci bt
С2 Ь^
Д1 611 ’ а2 681
Д1 611 ’ а2 681
У =
У =
«1 =1
«2 С2
«1 =1
«2 С2
01 61
«2 Ь»
01 61
«2 Ь»
(формулы Крамера).
Если определитель 0 = 0, то система либо несовмест-
(формулы Крамера).
Если определитель 0 = 0, то система либо несовмест-
на (когда Dx =
на (когда Dx =
С] 61
с2 Ь2
С] 61
с2 Ь2
4= 0 и Dy =
4= 0 и Dy =
«1 с, $2 ^2
«1 с, $2 ^2
=/=0), либо не
=/=0), либо не
определенна (когда Dx= Dv= 0). В последнем случае система сводится к одному (например, первому) уравнению, второе же уравнение является следствием первого.
Условию несовместности системы можно придать вид 51 — ^1 ^ .5ц а условию неопределенности — вид ^ =
.
63 са "
Система двух линейных однородных (т. е. не содержащих свободных членов) уравнений с тремя неизвестными вида
определенна (когда Dx= Dv= 0). В последнем случае система сводится к одному (например, первому) уравнению, второе же уравнение является следствием первого.
Условию несовместности системы можно придать вид 51 — ^1 ^ .5ц а условию неопределенности — вид ^ =
.
63 са "
Система двух линейных однородных (т. е. не содержащих свободных членов) уравнений с тремя неизвестными вида
01X4-61 у+^г = О, a2x+b2y+c2z = 0.
01X4-61 у+^г = О, a2x+b2y+c2z = 0.
1) Если — = -г = —, то система сводится к одному
1) Если — = -г = —, то система сводится к одному
^2^2^2
^2^2^2
уравнению (например, первому), из которого одно из не-
уравнению (например, первому), из которого одно из не-
известных выражается через два других, значения которых остаются произвольными.
Если условие-^=-у=-у- не выполнено, то решения системы находятся по формулам:
о, 6i t da baо, 6i t da babi С] ,01 сг .
о, 6i t da ba
о, 6i t da ba
/• /; у = — 1 1 -t
b^ С2^2 ^2
где t может принимать любые значения. Эти решения можно записать также в виде пропорции:
*_ У =2= t,
I 61 Cl II #1 Cl II 01 61
163 с21| а2 с21I as 62
Но при этой форме записи решений следует помнить, что если один из знаменателей обращается в нуль, то нулю следует приравнять и соответствующий числитель.
№ 206. Решить систему уравнения
(а + 6)х — (а — 6) у = 4а6, (а — 6)х + ( а + 6)у = 2(а2 — 62).
Решение. Находим определитель системы и определители, стоящие в числителях формул Крамера:
D,=D,==4а2б4-4а62+2а3 — 2а26 —=4а2б4-4а62+2а3 — 2а26 —4аЬ — (а — 6)
D,=
D,=
=4а2б4-4а62+2а3 — 2а26 —
=4а2б4-4а62+2а3 — 2а26 —
2(а2 —62) а + 6
— 2а624-263 = 2(а3+а26+а62+63)=2(а2+62)(а4-6).
D,=D,=а+Ьа — 6а+Ьа — 64а62 (а2 — 62)4а62 (а2 — 62)=2а3+2а26 — 2а№ — 263 —=2а3+2а26 — 2а№ — 263 —— 4а26+4а62=2 (а3 — а26+а62 — 63)=2 (а2+62) (а — 6).— 4а26+4а62=2 (а3 — а26+а62 — 63)=2 (а2+62) (а — 6).ОтсюдаОтсюда
D,=
D,=
а+Ь
а — 6
а+Ь
а — 6
4а6
2 (а2 — 62)
4а6
2 (а2 — 62)
=2а3+2а26 — 2а№ — 263 —
=2а3+2а26 — 2а№ — 263 —
— 4а26+4а62=2 (а3 — а26+а62 — 63)=2 (а2+62) (а — 6).
— 4а26+4а62=2 (а3 — а26+а62 — 63)=2 (а2+62) (а — 6).
Отсюда
Отсюда
Dy <
x = -y=a-Vb, y = -^ = a — b.
№ 207. Рассмотрим систему линейных однородных уравнений
3x+4y4-5z= О,х4-2у — За = 0.
Решение. Используя приведенные выше формулы, находим:
• t^ — ^t.
• / = 14/,
2 =2 =31314242/ = 2/,/ = 2/,
2 =
2 =
3
1
3
1
4
2
4
2
/ = 2/,
/ = 2/,
где / можно придавать любое значение.
№ 208. Решить систему уравнений 5х — Зу = 1,
*4-11у = 6.
Ответ. х = ^,
№ 209. Решить систему уравнений 2х+у = ±.
4х+2у = у.
Ответ. Система противоречива (решений не имеет). №210. Решить систему уравнений
ах— бу = а2+62, bx-V ay = aa+b\
Ответ. x=a-Vb, у=а— Ь.
№ 211. Решить систему уравнений Зх+2у — -g-,
9х+6у = у .
Ответ. Система неопределенная (имеет бесчисленное множество решений): х остается произвольным, а у = — 1—1 — 122 Х‘
№ 212. Решить систему однородных уравнений
х — 2y+z= 0,
Зх — 5y+2z = 0.
Ответ. x=y=z=t.
№213. Решить систему уравнений x-cosa— ysina = cos 2a, x sin a4-у cos a = sin 2a.
Ответ. x = cosa, у = sin a.
№ 214. Решить систему однородных уравнений a2x —2(a24-62)y+62z = 0, 2x+2y — 3z = 0.
Ответ. x = 2t, у = t, z = 2t.
Определители 3-го порядка и системы линейных уравнений. Определитель 3-го порядка, соответствующий таблице элементов
ах Ьх Сх а4 Ь2 с2 ЙЗ 63 С8>
определяется равенством
01 6, СхUg Ь2 ^2 Оз bg Cg01 6, СхUg Ь2 ^2 Оз bg Cg= ах= ахbg c2lL ^1^3 ^3 1bg c2lL ^1^3 ^3 1^2 ^2I ।* + <?1а3 с31^2 ^2I ।* + <?1а3 с31оа baCig bgоа baCig bg
01 6, Сх
Ug Ь2 ^2 Оз bg Cg
01 6, Сх
Ug Ь2 ^2 Оз bg Cg
= ах
= ах
bg c2l
L ^1
^3 ^3 1
bg c2l
L ^1
^3 ^3 1
^2 ^2I ।
* + <?1
а3 с31
^2 ^2I ।
* + <?1
а3 с31
оа ba
Cig bg
оа ba
Cig bg
Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе 3-го порядка вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент. Алгебраическим дополнением данного элемента называется его мйнор, умноженный на (—I)6, где к — сумма номеров строки и столбца, содержащих данный элемент.
Таким образом, знак, который при этом приписывается минору соответствующего элемента определителя, определяется следующей таблицей:
В приведенном выше равенстве, определяющем определитель 3-го порядка, в правой части стоит сумма произведений элементов первой строки определителя на их алгебраические дополнения. Верна общая теорема: определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения. Эта теорема позволяет вычислять значение определителя, развертывая его по элементам любой его строки или столбца.
Напомним, что сумма произведений Элементов какого- либо ряда на алгебраические дополнения элементов другого, но параллельного исходному, ряда равна всегда нулю.
При вычислении определителя полезно пользоваться теоремой: определитель не меняет своего значения, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число (теорема о линейной комбинации параллельных рядов определителя).
Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
flix+^y+^z = dx, a2x4-b2y4-c2z = d2, аз^+ЬзУ+csZ = d3 находится по формулам Крамера
гдегдеагbiCldiblCiD =а^62с 2. Dx =d2b3c^а363C3d363СзагdiCl«16idiайd2c^. Dz =^262d2а3d3Сз«363d3агbiCldiblCiD =а^62с 2. Dx =d2b3c^а363C3d363СзагdiCl«16idiайd2c^. Dz =^262d2а3d3Сз«363d3
где
где
аг
bi
Cl
di
bl
Ci
D =
а^
62
с 2
. Dx =
d2
b3
c^
а3
63
C3
d3
63
Сз
аг
di
Cl
«1
6i
di
ай
d2
c^
. Dz =
^2
62
d2
а3
d3
Сз
«3
63
d3
аг
bi
Cl
di
bl
Ci
D =
а^
62
с 2
. Dx =
d2
b3
c^
а3
63
C3
d3
63
Сз
аг
di
Cl
«1
6i
di
ай
d2
c^
. Dz =
^2
62
d2
а3
d3
Сз
«3
63
d3
При этом предполагается, что D =}= 0.
(Если D = 0, то исходная система либо неопределенна, либо несовместна).
Если система однородна, т. е. имеет вид
Яхх+6] у+<42 = О, а2х+Ь2у+с2г = О, азХ+Ь8у+с82 =0
*0,*0,й] 6, с, Й2 ^2 ^2 ЙЗ ^3 ^3
*0,
*0,
то она имеет единственное решение х = 0, у= 0, z = 0. Если определитель однородной системы
= 0,= 0,аг bx cv
= 0,
= 0,
&2 ^2 ^2 Оз b§ с$
то система сводится либо к двум независимым уравнениям (третье будет их следствием), либо к одному уравнению (следствиями которого будут остальные два). Первый случай будет тогда, когда среди миноров определителя однородной системы есть хоть один отличный от нуля, второй — тогда, когда все миноры этого определителя равны нулю.
В обоих случаях (см. предыдущий раздел) однородная система будет иметь бесчисленное множество решений.
№ 215. Вычислить определитель 3-го порядка
5 3 2
— 12 4.
7 3 6
Решение.
+ 2+ 2= 5 ■ 0 — 3 (— 34)+2 (— 17) = 68.
+ 2
+ 2
Здесь использовано разложение по элементам первой строки.
№ 216. Вычислить определитель задачи 215 на основании теоремы о линейной комбинации элементов строк (столбцов).
Решение. Прибавим к элементам первой строки соответствующие элементы второй строки, умноженные на 5, а к элементам третьей строки соответствующие элементы второй строки, умноженные на 7.
5
— 1
7
3
2
3
2
4
6
О 13 22
— 12 4
О 17 34
Разложив получаем О
—1
О
определитель
по элементам
1-го столбца»
13
2
17
22
4
34
13
2
№ 217. Решить
Решение.
X =
8
10
4 1
3
4
2
2
3
2
2
3
1
—2
1
1
—2
2 =
1
3
4
= О
22
4
24
17 34
13
17
22
34
= 13-34 —17.22 = 68.
систему уравнений
х+2у 4-2=8, Зх+2у4-2^ 10, 4%+Зу — 22=4.
8-
1.
2 1
3 —2
2 1
3 —2
— 2*
— 2
= Л= 1
14 ц
10
4
—2
10 2
4 3
3 1
4 —2
3
4
2
3
1
3
4
8
10
4
14
1
1
—2
3
4
10
4
14
_ 28 _ 9-
- и " А
2
2
3
14
8
10
4
2
3
10
4
— 2
3 10
4 4
14
3 21
4 3| _42 _ Q
14 -
№ 218. Решить систему линейных однородных уравнений
4x+y+z = О,
х+Зу+г = О,
x+y-|-2z = 0.
Р^шен ие.Р^шен ие.ЗдесьЗдесь
Р^шен ие.
Р^шен ие.
Здесь
Здесь
D =D =41 141 1D =D =0 —3 —702—11120 —3 —702—1112= 1= 1—3 —7—3 —72 —12 —1= 17;= 17;
D =
D =
4
1 1
4
1 1
D =
D =
0 —3 —7
02—1
112
0 —3 —7
02—1
112
= 1
= 1
—3 —7
—3 —7
2 —1
2 —1
= 17;
= 17;
1 1
3 1
1 2
Прибавим к элементам первой строки элементы третьей строки, умноженные на —4, и к элементам второй строки элементы третьей строки, умноженные на — 1.
так как 0=^=0, то
система имеет только нулевое решение х=у=г=О. № 219. Решить систему уравнений
Решение.Решение.Зх+2у — z = О,x+2y+9z = О,x+y+2z = 0.
Решение.
Решение.
Следовательно, система имеет и решения, отличные от нулевых. Решаем систему первых двух уравнений (третье уравнение есть следствие первых двух):
Зх+2у — z = О,x+2y+9z = 0.
Откуда:
—1
9
• / = 20/,
/ = — 28/,
1 2 -1
3 723 72
3 72
3 72
№ 220. Вычислить определитель
2 3—7
разложив его по элементам третьей строки. Ответ. 0.
№221. Вычислить определитель
1 1 1
2 3 4
4 9 16
использовав
теорему о линейной комбинации строк (столбцов).
Ответ. 2.
234
№ 222. Вычислить определитель
Ответ. 2 (ad — 6с).
2 о+З 6+4
2 с+3 d+4
№ 223. Решить систему уравнений
5х — у — 2 = 0, х+2у+3г =14, 4х+3у+2г = 16.
Ответ, х = 1, у = 2, 2 = 3.
№ 224. Решить систему уравнений х + Зу —6г = 12, Зх + 2у + 5z = —10, 2х + 5у — 3z = 6.
Ответ, х = 0, у = 0, г = — 2.
№ 225. Решить систему уравнений —5х+ у+ 2 = 0,
х — бу + z = О, х + у —7z = 0. Ответ, х = 0, у = 0, z = О.
№ 226. Решить систему уравнений х + у+ 2 = 0, Зх + бу + 5z = О, х + 4у + 3z = 0.
Ответ. x = t, у = 21, г = — 3/.
№ 227. Решить систему уравнений
ах + by + сг = а — Ь, Ьх + су + az = b— с, сх + ay + bz = с — а, если а + b + с 4= 0.
Ответ, х = 1, у = — 1, z = 0.
№ 228. Решить систему уравнений ах + by + (а + Цг = О, Ьх + ау + (й + Ь) г = О, х + у + 2z = 0.
Ответ. x = t, y=t, z = — t.
Понятие об определителе произвольного порядка. Определитель 4-го порядка, соответствующий таблице элементов
(
йц й12 й13 ам \
Й21 Й22 Й23 й24 |Й31 й32 йзз а34 I
Й41 Й42 Й43 Й44 /
определяется равенством
012 а13 а^— аи •022 023032 033^32 ^33 ^34042 043#42 ^43 044021 022 024+ 013* #31 032 034 —041 042 044 ,012 а13 а^— аи •022 023032 033^32 ^33 ^34042 043#42 ^43 044021 022 024+ 013* #31 032 034 —041 042 044 ,йц й21 Й31 Й41йц й21 Й31 Й41й24Й34 й44— 012 *021 023 024031 033 034041 043 044+Й14021 022 023* 031 032 033 •041 042' 043й24Й34 й44— 012 *021 023 024031 033 034041 043 044+Й14021 022 023* 031 032 033 •041 042' 043
012 а13 а^
— аи •
022 023
032 033
^32 ^33 ^34
042 043
#42 ^43 044
021 022 024
+ 013
* #31 032 034 —
041 042 044 ,
012 а13 а^
— аи •
022 023
032 033
^32 ^33 ^34
042 043
#42 ^43 044
021 022 024
+ 013
* #31 032 034 —
041 042 044 ,
йц й21 Й31 Й41
йц й21 Й31 Й41
й24
Й34 й44
— 012 *
021 023 024
031 033 034
041 043 044
+
Й14
021 022 023
* 031 032 033 •
041 042' 043
й24
Й34 й44
— 012 *
021 023 024
031 033 034
041 043 044
+
Й14
021 022 023
* 031 032 033 •
041 042' 043
Аналогично при помощи определителей 4-го порядка может быть определен определитель 5-го порядка и т. д.
Для определителей любых порядков остаются в силе опрёделения минора и алгебраического дополнения некоторого элемента и обе теоремы об алгебраических дополнениях, сформулированные для определителей 3-го порядка.
Таким образом, обозначая через Л4у-6 минор, а через Ад алгебраическое дополнение элемента ау6 определителя п-го порядка (т. е. элемента, находящегося в j-ой строке и ^-ом столбце этого определителя), имеем:
A* = (-D/+W>
Обозначая определитель n-го порядка через D, имеем, развертывая его сначала по элементам /-й строки, а затем по элементам к-го столбца (в силу первой теоремы об алгебраических дополнениях):
D = й/1 Л/1 + й/2 А2 + ••• + °/л А«»
Z) = а16 Л16 + о2й А* + ... + япй Ад-
С другой стороны, при J4=i и &=М (в СИЛУ второй теоремы об алгебраических дополнениях):
ai\ Ai + а/2 Аг + ••• "Ь ^jn^in = ®»
°lfc^W + °26 Az + ••• + °nfe Az ~
Перечислим важнейшие свойства определителей любого порядка.
Определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы соответствующими строками.
Общий множитель элементов какой-нибудь строки (или столбца) может быть вынесен за знак определителя.
Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца) этого определителя, то определитель равен нулю.
При перестановке двух строк (столбцов) определителя знак этого определителя меняется на противоположный.
Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) определителя прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Решение системы линейных уравнений:
Лц *1 + ^12^2 + ••• + ^1л Х/г " ^1»
#21 ^1 + #22*2 + ••• + «8Й^Я = ^2»
^П1ХТ + ал2Х2 + ••• + аппХп = ^Я>
определитель которой
ан ах2... а1л
D =D =a2i а22 ... ^2Яa2i а22 ... ^2Ядй О,дй О,
D =
D =
a2i а22 ... ^2Я
a2i а22 ... ^2Я
дй О,
дй О,
ац1 ап^ ••• ^пп
*1 =*1 =D ’D ’хг=-^\...\хп = -^-.хг=-^\...\хп = -^-.
*1 =
*1 =
D ’
D ’
хг=-^\...\хп = -^-.
хг=-^\...\хп = -^-.
В этих формулах D — определитель системы, a D^k = 1, 2, ..., п)—определитель, получаемый из определителя системы заменой Л-го столбца (т. е. столбца коэффициентов определяемого неизвестного) столбцом свободных членов:
аи а12 ... а1А_] bx а1М+1 ... а1я°21 а22 "• °24—I ^2 а2*+1 "• й2/1
°nl ап2 "• anfe—l ^п °пй+1 "• апп
№ 229. Вычислить определитель
35 7 2
12 3 4
—2—332
13 5 4
Решение. 1) Вычтем из элементов первой строки утроенные элементы второй строки.
Прибавим к элементам третьей строки удвоенные элементы второй строки.
Вычтем из элементов четвертой строки элементы второй строки.
Исходный определитель преобразуется к виду
D =D =01000100211211—2392—2392—104100—104100
D =
D =
0
1
0
0
0
1
0
0
2
1
1
2
1
1
—2
3
9
2
—2
3
9
2
—10
4
10
0
—10
4
10
0
РазложимРазложимэтот определитель по элементам первого столбцаэтот определитель по элементам первого столбца
Разложим
Разложим
этот определитель по элементам первого столбца
этот определитель по элементам первого столбца
D = —D = —11—292—292—1010 0—1010 0прибавим строки иприбавим строки ик элементам первой строки элементы третьейк элементам первой строки элементы третьейвычтем из элементоввычтем из элементовтретьей строки; получаемтретьей строки; получаемвторой строки элементывторой строки элементыD = —D = —0010010720721010010100
D = —
D = —
1
1
—2
9
2
—2
9
2
—10
10 0
—10
10 0
прибавим строки и
прибавим строки и
к элементам первой строки элементы третьей
к элементам первой строки элементы третьей
вычтем из элементов
вычтем из элементов
третьей строки; получаем
третьей строки; получаем
второй строки элементы
второй строки элементы
D = —
D = —
0
0
1
0
0
1
0
7
2
0
7
2
10
10
0
10
10
0
Разложим определитель поD = —Разложим определитель поD = —элементам первого столбца0 107 10 ’элементам первого столбца0 107 10 ’
Разложим определитель по
D = —
Разложим определитель по
D = —
элементам первого столбца
0 10
7 10 ’
элементам первого столбца
0 10
7 10 ’
т. е. О = 70.
№ 230. Вычислить определитель
1 2 0 0 0
3 2 3 0 0
0 4 3 4 0
•
0 0 5 4 5
0 0 0 6 5
Решение. Вынесем за знак
определителя общий
множитель второго, общий множитель четвертого и общий множитель пятого столбцов:
110 0 0
3 13 0 0
0 = 2-2-5-
0 2 3 2 0
0 0 5 2 1
0 0 0 3 1
Вычтем из элементов второго столбца элементы первого столбца:
РазложимРазложимПрибавимПрибавимD = 20-D = 20-определительопределитель13 О ОО . по13 О ОО . по0 = 20-0 = 20-к элементамк элементамО—22ООО—22ООо 33 5Оо 33 5ОО о 2 23О о 2 23О ОО1О ОО1элементамэлементампервой строки:первой строки:—2 2 О О—2 2 О О335О335ОО 2 2 3О 2 2 3О оО овторойвторойстроки элементы первойстроки элементы первойстроки и вынесем — 2 за знак определителя (из элементов 1-Го столбца):строки и вынесем — 2 за знак определителя (из элементов 1-Го столбца):D = — 40-D = — 40-ОО ООО О3 65 О3 65 ОО223О223О О1 1О О1 1
Разложим
Разложим
Прибавим
Прибавим
D = 20-
D = 20-
определитель
определитель
1
3 О О
О . по
1
3 О О
О . по
0 = 20-
0 = 20-
к элементам
к элементам
О
—2
2
О
О
О
—2
2
О
О
о 3
3 5
О
о 3
3 5
О
О о 2 2
3
О о 2 2
3
О О
О
1
О О
О
1
элементам
элементам
первой строки:
первой строки:
—2 2 О О
—2 2 О О
3
3
5
О
3
3
5
О
О 2 2 3
О 2 2 3
О о
О о
второй
второй
строки элементы первой
строки элементы первой
строки и вынесем — 2 за знак определителя (из элементов 1-Го столбца):
строки и вынесем — 2 за знак определителя (из элементов 1-Го столбца):
D = — 40-
D = — 40-
О
О О
О
О О
3 6
5 О
3 6
5 О
О
2
2
3
О
2
2
3
О О
1 1
О О
1 1
Разложим определитель поРазложим определитель поэлементам первого столбца:элементам первого столбца:
Разложим определитель по
Разложим определитель по
элементам первого столбца:
элементам первого столбца:
О = —40.О = —40.65О65О223223О1О1
О = —40.
О = —40.
6
5
О
6
5
О
2
2
3
2
2
3
О
1
О
1
Вычтем элементы третьей строки из элементов второй строки и вынесем 2 из элементов первой строки за знак определителя:
О = —80.О = —80.35 О35 О—13—13о оо о
О = —80.
О = —80.
3
5 О
3
5 О
—1
3
—1
3
о о
о о
Разложим определитель по элементам третьего столбца:
О = —80О = —80315 —1315 —1= 640.= 640.
О = —80
О = —80
31
5 —1
31
5 —1
= 640.
= 640.
№ 231. Из системы уравненийх 4* 2у -f- Зг = 14,у 4- 2г 4- 3/ = 20,г + 2^ + Зх = 14,/4-2х + Зу= 12.
Требуется определить у.
Решение. Запишем систему в виде
х 4- 2у 4- Зг -}- О-t = 14, 0-х + у +2г+ 3^ = 20, Зх 4" 0-у 4- г 4- 2/ — 14, 2х 4-Зу 4-0-z 4-/ = 12.
12 3 0
D= ° ! 2 33 0 12
2 3 0 1
Из элементов 2-го столбца вычтем удвоенные элементы первого столбца; из элементов 3-го столбца вычтем утроенные элементы первого столбца:
100 0
012 3
1Z о
D =
=
—6 —8 2
——
3—6—8 2
—1 —6 1
2—1—6 1
= (—2) •(—!)•= (—2) •(—!)•13113123
= (—2) •(—!)•
= (—2) •(—!)•
1
3
1
1
3
1
4 —1
6 —1
Из элементов второго столбца вычтем удвоенные элементы первого столбца; из элементов третьего столбца вычтем утроенные элементы первого столбца:
0 = 2-
1
3
1
0
—2
4
0 —10 —4
= 2
—2 —10
4 —4
= 2(84-40) =96.
Находим Dy:
1О 3 21О 3 27 3 010 2 37 1 26 0 17 3 010 2 37 1 26 0 114 3
1
О 3 2
1
О 3 2
7 3 0
10 2 3
7 1 2
6 0 1
7 3 0
10 2 3
7 1 2
6 0 1
20 2
14 1
12 О
Из элементов третьей строки вычтем утроенные элементы первой строки; из элементов 4-й строки вычтем удвоенные элементы первой строки:
Из элементов 1-й строки вычтем утроенные эдементы третьей строки; из элементов 2-й строки вычтем удвоенные
элементы третьей строки:
Оу = 8Оу = 8171—4171—4102—3102—3001001= 8= 8171171102102= 192,= 192,
Оу = 8
Оу = 8
17
1
—4
17
1
—4
10
2
—3
10
2
—3
0
0
1
0
0
1
= 8
= 8
17
1
17
1
10
2
10
2
= 192,
= 192,
у D 96 Z-
№ 232. Вычислить определитель
1111
а b с d а2 Ь2 с2 d2 а2 Ь® с3 d?
Р е ш е н ие. Вычтем из второй строки первую, умноженную на а, из третьей строки вторую, умноженную на а,
из четвертой строки третью, умноженную на а.
111111ООООb —а62—abb —а62—abс — ас4 — асс — ас4 — асО 63— аЬй с8 — ас4О 63— аЬй с8 — ас41d — аd^ — add^ — ad11d — аd^ — add^ — ad1
111
111
О
О
О
О
b —а
62—ab
b —а
62—ab
с — а
с4 — ас
с — а
с4 — ас
О 63— аЬй с8 — ас4
О 63— аЬй с8 — ас4
1
d — аd^ — add^ — ad1
1
d — аd^ — add^ — ad1
1 1 1
= (6 —с)(с— a)(d— аУ= (6 —с)(с— a)(d— аУb№b№dd2dd2
= (6 —с)(с— a)(d— аУ
= (6 —с)(с— a)(d— аУ
b
№
b
№
d
d2
d
d2
1d — bd^—db1d — bd^—db= (i> — а) (с — a) (d— ayc — byd — by= (i> — а) (с — a) (d— ayc — byd — by1с1с1d1d
1d — bd^—db
1d — bd^—db
= (i> — а) (с — a) (d— ayc — byd — by
= (i> — а) (с — a) (d— ayc — byd — by
1
с
1
с
1
d
1
d
Вычтем из второй строки первую, умноженную на 6, из третьей строки вторую, умноженную на Ь.
11
v = (Ь — а) (с — a)(d — ayv = (Ь — а) (с — a)(d — ayОс — b
v = (Ь — а) (с — a)(d — ay
v = (Ь — а) (с — a)(d — ay
Ос2 — Ьс
Итак,Итак,
Итак,
Итак,
ц = У> — аУс— ayd — аУс— byd— byd— с\
Нетрудно видеть, что рассматриваемый определитель будет равняться нулю тогда и только тогда, если среди чисел а, Ь, с, d имеются равные.
№ 233. Вычислить определитель 1—234 21—43
3 _4 —1_2 *
432 —1
Ответ. 900.
№ 234. Вычислить определитель „1—1—1—1
—1—2—4—8
—1—3—9—27
—1—4—16—64
Ответ. 12.
№ 235. Вычислить определитель
102ООО
12102ОО
О121020.
О012102
ОО01210
Ответ. 21 280.
№ 236. Вычислить определитель
1+а111
11—а 11
111+61
1111-6
Ответ, с^ №.
№ 237. Решить систему уравнений
у — Зг + 4/ = — 5,х — 2z + 3/ = — 4,Зх + 2у — 5/ = 12,4х + Зу — 5z = 5.
Ответ, х = 1, у = 2, z = 1, / = — 1. № 238. Решить систему уравнейий
х — Зу + 5z — 7/ = 12, Зх — 5у + 7z — t = О, 5х— 7у + z — 3/ = 4, 7х— у + Зг— 5/ = 16.
Ответ, х = 1, у — 1, z = О, / = — 2. № 239. Решить систему уравнений
х + 2у — 5, Зу + 4z = 18, 5z + 6u = 39, 7u + 8u = 68, 9u + Юх = 55.
Ответ. x = 1, у = 2, z = 3, u = 4, у = 5.
Глава II
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Прямоугольные координаты в пространстве
Основные задачи
Точка М пространства, в котором задана прямоугольная декартова система координат 0ХУ2, имеющая координаты х0 (абцисса), у» (ординта) и z0 (аппликата), обозначается через М (х0, у о, z0).
Расстояние между двумя точками А (хъ уь zj и В (х2, Уг, 2 г) определяется по формуле
d = V (*2 — ^1)г + (Уг — У,)2 + (г2 — г^.
В частности, расстояние точки Л1 (х, у, г) от начала координат О определится по формуле
d = ]/хЧ^+Р.
Если отрезок между_точками А (хъ уь г О и В(х2, у2, гг) разделен точкой С(х, у, г) в отношении к (см. гл. I § 1), то координаты точки М определяются по формулам:
~ Х1 + ^а . 77 У1 4~ Ху2 . ~ Zj + kz2 14-Х ’ у14-Х ’14-Х 1
В частности, координаты середины отрезка АВ определяются по формулам
-_х1 + х». У1 + У2 .7_ zt4-z2
л —2, у— 2, г.
№ 240. Даны точки М^, 4, —2) и Л42(—2, 4, 2) На прямой МхМг найти точку М, делящую отрезок MtM2 в отношении X = 3.
Решение. . Воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении
Y ^! + Хх2 2+3 (—2) .
1 + х ~1+3~
_ Ух + Ху2 _ 4 + 3-4 _ .
Ум 1 + х — 1 + 3 — *
„ £i+2£a— 2+ 3-2 .
гм 1 + х — 1+31
Следовательно, искомая точка Л4(—1, 4, 1).
№ 241. Дан треугольник: Л(1, 1, 1), В (5, 1, —2), С (7, 9, 1). Найти координаты точки D пересечения биссектрисы угла А со стороной СВ.
Решение. Найдем длины сторон треугольника, образующих угол А:
АС = У /с - хд)2 + (Ус - Уд)2 + (гс - гл)2 =
= /(7—1)2 + (9 — 1)2 + (1 — I)2 = 10.
АВ = У(хв - ха)2 + (Ув - Уд)2 + (гв - гдУ == /(5 — I)2 + (1 — I)2 + (—2 — I)2 = 5.
Следовательно, -^ = у = 2, так как биссектриса должна разделить сторону СВ на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Таким образом,
_ Хс+Ххв _ 7 + 2.5 _ 17 Хо —1 + Х " 1 + 2 — 3 •
Ус+хУв _ 9 + 2-1 И Уо— 1 + х — 1 + 2 ~ 3 * zc + XzB _ 1 + 2 (-2) _.
го~ 1+Х ~1 + 2”
искомая точка D (4искомая точка D (4, —1, —1И3
искомая точка D (4
искомая точка D (4
, —1
, —1
№ 242. На оси ох найти точку, равноудаленную от точек Л (2, —4, 5) и В (—3, 2, 7).
Решение. Пусть искомая точка будет М. Для нее должно выполняться равенство АМ = МВ. Поскольку эта точка лежит на оси ОХ, то ее координаты будут (х, 0, 0), а потому имеем
АМ =МВ = ]Л(х + 3)2 + 22 + 72.
Отсюда, приравнивая, находим (после возведения в квадрат):
(х —2)2 + 41=(х + 3)2 + 53 или 10х = —17, х = — 1,7. Таким образом, искомая точка М (—1,7; 0; 0).
№ 243. Даны точки А^, 3, 3) и В(—1, 5, 7). Найти координаты точек С и D, делящих отрезок АВ на три равные части.
Ответ. С(5/3, 11/3, 13/3), 0(1/3, 13/3, 17/3).
№ 244. Дан треугольник: 4(1, 2, 3), В(7, 10, 3), С(—1, 3, 1). Показать, что угол А тупой.
№ 245. Найти координаты центра тяжести треугольника: 4(2, 3, 4), В(3, 1, 2), С(4, —1, 3).
Ответ. Л4(3, 1, 3).
№ 246. В каком отношении точка М, равноудаленная от точек 4(3, 1, 4) и В(—4, 5, 3), разделит отрезок ОС оси ОУ от начала координат до точки С(0,6, 0)?
Ответ. Пополам.
№ 247. На оси 0Z найти точку, равноудаленную от точек Л4±(2,4,1) и М2 (—3, 2, 5).
Ответ. Л4(0, 0, 17/8).
№ 248. На плоскости ХОУ найти точку, равноудаленную от точек 4(1,—1, 5), В(3, 4, 4), С(4, 6, 1).
Ответ. Л4(16, —5, 0).
Векторы и простейшие действия над ними
Свободный вектор а (т. е. такой вектор, который без изменения длины и направления может быть перенесен в любую точку пространства), заданный в координатном пространстве OXyZ, может быть представлен в виде
а = ахТ-\- аД-\-агЪ.
Такое представление вектора а называется его разложением по осям координат или разложением по ортам.
Здесь ах, ау, аг— проекции вектора а на соответствующие оси координат (их называют координатами вектора а) I, j, к — орты этих осей (единичные векторы, направление каждого из которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси).
Векторы axi, ayj и azk, в виде суммы которых представлен вектор а, называются составляющими (компонентами) вектора а по осям координат._
Длина (модуль) вектора а обозначается а или | а | и определяется по формуле
a = V а* + «у + аг.
Направление вектора а определяется углами а, р, и у, образованными им с осями координат ох, оу и oz. Косинусы этих углов (так называемые «направляющие» косинусы вектора) определяются по формулам:
®Х^ХЛ «уСЦ
cosa=—= Л9 —я5; cosp = ^-; cosv = —.
Направляющие косинусы всякого вектора всегда связаны соотношением
cos2a + cos2P 4-cos2y = 1.
Если векторы а и b заданы их разложениями по ортам, то их сумма и разность определяются по формулам:
а + b = (ах + bx) i + (ау + b^ j + (az -f- bz) к, а — Ь = (ах — ЬхУТу(а,— by) T+ (az — b,) k.
Напомним, что сумма векторов а и Ь, начала которых совмещены, изображается вектором с тем же началом, совпадающим с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы а и Ь. Разность а —b этих векторов изображается вектором, совпадающим со второй диагональю этого же параллелограмма, причем , начало этого вектора находится в конце вектора Ь, а конец — в конце вектора а (рис. 17).
Напомним также, что сумма векторов, число которых больше двух, может быть построена по правилу многоугольника (рис. 18).
Произведение вектора а иа скалярный множитель tn определяется формулой
та = maxi + ma^j + mazk.
Напомним, что векторы а и та параллельны (коллине-
1а
В частности, если /и=—, вектор — имеет длину, равную единице, и направление, совпадающее с направлением вектора а. Этот вектор называют единичным вектором вектора а и обозначают а0. _
Таким образом, Оо = 7 или а = аа0.
Вектор ОМ, начало которого находится в начале координат, а конец в точке М(х, у,_г), называют радиусом- вектором точки М и обозначают г(М) или просто г. Так как его координаты совпадают с координатами точки М, то его разложением по ортам будет г = id + yj + zk.
Вектор АЙ, имеющий начало в точке А(хъ уь z^ и конец в точке В^хг, у^, z.^, может быть записан в виде
АВ = г2 — г„
где г2 — радиус-вектор точки В, a rt — радиус-вектор точки А. Разложение вектора Л В по ортам поэтому имеет ВИД ЛВ = (х2 — х,)Г 4- (Уг — У1) Г + (Z2 -- Zj) к
Его длина совпадает с расстоянием между точками Л и В: АВ\ = d = V (х3 — хх)2 + (у2 — У1)1 + (г2 — ^х)2 ._В силу приведенных выше формул направление вектора АВ определяется направляющими косинусами:
cos а = *2 "у™ ; cos р = ^2 ,У1 ■; cos у = -2-^ -1-. а1 а1 а
№ 249. В треугольнике АВС сторону АВ точками М и N разделили на три равные, части: АМ = MN = NB. Найти вектор СМ, если СА = а, СВ = Ь.
т~
Решение. АВ = Ь — а. Следовательно, АМ = —$—. Так как СМ = СД + ЛМ, то СМ = а^. = ^5-.
№ 250. В треугольнике АВС прямая АМ является биссектрисой угла ВАС, причем точка М лежит на стороне ВС. Найти АМ, если АВ = Ь, АС = с.
Решение. ВС = с — Ь. Из свойства биссектрисы внут- ВМ b реннего угла треугольника следует, что ^ = —, откуда вм b находим 3^ = ^.
Отсюда получаем ВМ = ^-^ (с — Ь\
Так как АМ = АВ + ВМ, то АМ = б"+ у^ (с-—&)= be + cb b-Vc *
№ 251. Радиусами-векторами вершин треугольника АВС являются Гх, Га и г3. Найти радиус-вектор точки пересечения медиан треугольника.
Решение. ВС = 73—72; BD = -^^- (О—середина стороны ВС); АВ = г3 — 7^ AD = BD + АВ = ^-у^-2 + + г3 — rt = f8+,3 —2гх . д^ _ ^ д^ ^ — точка пересечения медиан), поэтому "АМ = г-^^^-\ 7=ОМ=7[+ + АМ = —- 2Г1 + г г» или окончательно г = Cl+£^kL2,
№ 252. Найти длину вектора а = 20i + 30/ — 60^ и его направляющие косинусы.
Решение, а =]/202 + 302+ 602= 70,cosa=^=
2 с 30з606
7 ’cos Р — 70 —7 ’ C0S V ~70 —7 "
№253. Найти вектор а = АВ,если Л(1,3,2)и
В (5, 8, —1).
Решение. Проекциями вектора ЛВ на оси координат являются разности соответственных координат точек В и А: ах = 5 — 1 — 4, ау = 8 — 3 = 5, az = — 1 — 2 = — 3.
Следовательно, АВ = 4/ + 5/ — ЗА.
№ 254. Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка М так, что ^ = X. Найти АМ, если АВ= = Ь, АС =7_ _
Ответ. АМ = А^Дг-.
1 тл
№ 255. ЛВ = а 4- 26, ВС = — 4а — 6, CD=— 5а—36.
Доказать, что ABCD — трапеция.
№ 256. Найти проекции вектора а на оси координат, если а = ЛВ 4-CD, Л(0,0,1), В (3, 2, 1), С(4, 6, 5) и D(l, 6, 3).
Ответ. ах = 0, ау = 2, аг = — 2.
№ 257. Найти длину вектора а = mi 4- (т 4- 1) / 44- т (т 4- 1) k.
Ответ. тг 4- т 4-1.
№ _258. _Даны радиусы-векторы вершин треугольника АВС* гд = i 4- 2/ 4~ ЗА, ^в ™ 4~ ^i +==
Показать, что треугольник ЛВС равносторонний.
№ 259. Вычислить модуль вектора a = i4-2/4-A —
4 (Н-27)4-31«
——^-i— и наити направляющие косинусы его.
312
Ответ. а = -g-; cos a = у; cos р = cos у = у .
№ 260. Даны точки Mj(l, 2, 3) и Мй (3—4, 6). Найти длину и направление вектора М^ М2.
Ответ. |М1Л4г| = 7; cosa=y, cosP = —у, созу=у.
№ 261. Дан вектор а = 4i — 2j + ЗА. Найти вектор Ь, если а = Ь, Ь^ = ау и Ьх = 0. __
Ответ. Ь — — 2/ 4- 5А или 6 = — 2/ — 5А.
№ 262. Радиус-вектор точки М составляет с осью оу угол 60°, с осью ог угол 45®. Длина его г «= 8.
Найти координаты точки М, если абсцисса ее отрицательна.
Ответ. М(—4, 4, 4^2).
Скалярное и векторное произведение.Смешанное произведение
Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:
а • b = ab cos ф,
где ф — угол между векторами а и Ь.
Свойства скалярного произведения:
а-а = а? или а? — аг.
а • b = 0, если а = 0, либо А = 0, либо а ± Ь.
а • b = b • а (переместительное свойство).
a-(b -V-с) = a-b_-V- а-с (распределительное свойство).
(та)-b — a-(mb) = m(a-"b) (сочетательное свойство по отношению к скалярному множителю).
Скалярные произведения ортов осей координат:
?2 = р = ^ = 1, 1.]= [.£= f.k = 0.
Если а = хТ i + yi / + гх k, b = х2 i + у2 / + z2 А, то
a-b = x1x2 + y1 у2 + ггг2.
Векторным произведением вектора а на вектор 6 называется третий вектор с, определяемый следующим образом (рис. 19):
модуль вектора с равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и b. (с = absiny, где ф угол между векторами а и Ь);
вектор с перпендикулярен к векторам а и Ь;
векторы а, b, с после приведения к общему началу
как орты^ i, /, к (в правой системе координат образуют таккак орты^ i, /, к (в правой системе координат образуют такобладает переместитель-обладает переместитель-ориентированы по отношению друг к другу соответственно
как орты^ i, /, к (в правой системе координат образуют так
как орты^ i, /, к (в правой системе координат образуют так
обладает переместитель-
обладает переместитель-
называемую правую тройку векторов).
Векторное произведение вектора а на векторb обозначается через а X Ь.
Свойства векторного произведения:
b х а= —а х Ь;
Ьха векторное произведение не ным свойством;
а х b = 0, если а = 0, либо b = О, либо а || Ь.
(ma) х b = а х (mb) = т (а х b) (сочетательное свойство по отношению к скалярному множителю).
ахСЬ+с) =axb-\-axc (распределительное свойство).
Векторные произведения координатных ортов i, j и к: 7х7 = 7х/ = Ах6 = О,
1хГ=— lxi = к; ]xk = — kxl = i; kxl= — 7x^ = 7-
Векторное произведение векторов а = хг I + уг j + zt к и b = х2 i + у2 j + z^ к удобнее всего находить по формуле
ах b =ах b =i j к
ах b =
ах b =
*1 Ух Л ЧУ^»
Смешанным произведением векторов а, Ь, с называется скалярное произведение вектора ах Ъ на вектор с;
(ахБ)-с.
Смешанное произведение трех векторов а, Ь, с численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если векторы а, Б и с образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку (в правой системе координат).
Свойства смешанного произведения:
Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:
хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;
два из перемножаемых векторов паралелльны (коллинеарны);
все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны).
Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять местами знаки векторного (X) и скалярного (•) умножения, т. е. (о X 6) • с — а-(Ь хс). В_ силу_ этого свойства смешанное произведение векторов а, b и с условимся записывать в виде авс.
Смешанное произведение не изменяется, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке: abc = бса = cab'
При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак:
Ъас = — abc; cba = — abc; acb = — abc.
Если векторы заданы их разложением по ортам:
а = X] i + уг/ + зг к; b = хг1 + у2 / + z2 ^;
С = Х3Г+ y3? + z3^, то
Х1У12х
abc =
Х1У»гг
*з Уз *з
Из свойств смешанного произведения трех векторов вытекает следующее:
необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служит условие а b с — 0.
Объем ut параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с, и объем о2, образованной ими треугольной пирамиды, находятся по формулам:
Ух= |а6с|; va =-^t>! = -g-lа6с|.
№ 263. Найти скалярное произведение векторов а — ЗГ + 4/ + 7^ и b = 21 — 5/ + 2^.
Решение, a-b = 3-2 + 4(—5)+ 7-2 = 0, поскольку а • b = 0, то а I Ь.
№ 264. Даны векторы а = mi 4- 3/4- 46 и b = 4г 4+ mj — 76. При каком значении т эти векторы перпендикулярны?
Решение. Находим скалярное произведение этих векторов а• b = 4т 4- 3m — 28; так как a_Lb, то а-6=0. Отсюда 7m — 28 = 0, т = 4.
№ 265. Найти (5а 4-36)-(2а— 6), если а = 2, 6 = 3, а I Ь.
Решение. (5а 4- Зб)-(2а — 6) = 10а2— 5а-б4-6а-6—
— 362 = 10а2 —362 = 40 —27= 13.__
№ 266. Определить угол между векторами а = i 44-2/4-36 и 6 = 6г 4- 4/ — 26.
Решение. Так как a-b = abcosф, то созф = ^, а-6 = 1-6 4-2-4 4-3(—2) =8, а = У 14-44-9= /14, 6 =/36 4- 16 4-4 = 2/14.
_822
Следовательно, со$ф = -=т= = -=- и ф=агссоз-=-- Т /14-2/147т7
№ 267. Найти единичный вектор того же направления, что и вектор а = г 4- 2/ 4- 26.
Решение. Находим длину вектора а а = /14-4 + 4 = 3,
так как ао = - , то ао = -д г 4-у ] +-^k.
№ 268. Найти векторное произведение векторов а = 2г 4” 3/ 4~ 36 и 6 = г 4~ 2/ 4- 6*
Решение.
ах 6 =ах 6 =I2I2/ 6
ах 6 =
ах 6 =
I
2
I
2
3 5
2 1
ак Ь ~ — 71 4- 3/ 4- 6.
№ 269. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а = 6i + 3/ — 2А и b = 31 — 2/ + 6А.
Решение. Находим векторное произведение векторов а и Ь;
+ к+ к6363= 141 — 42/ —21А.= 141 — 42/ —21А.
+ к
+ к
6
3
6
3
= 141 — 42/ —21А.
= 141 — 42/ —21А.
Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них параллелограмма, то s = |а х б| = V14 + 422 + 212 = 49.
№ 270. Вычислить площадь треугольника с вершинами Л(1, 1, 1), В(2, 3, 4), С(4, 3, 2)._
Решение. Находим векторы АВ и ЛС:
АВ = (2 — 1)Г+ (3 — 1)7 + (4 — 1) А = Г + 2/ + ЗА,
ЛС = (4—1)Г+ (3— 1)?.+(2— 1)А = ЗГ+2/+ А.
АВхАС =АВхАС =i j к1 2 33 2 1i j к1 2 33 2 1Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, поэтому находим векторное произведение этих векторов
АВхАС =
АВхАС =
i j к
1 2 3
3 2 1
i j к
1 2 3
3 2 1
Решение. (о_+ 36) х (За+6)=За ха +ax6J-96xa+ + 36х6 = 3-0 + ах6 — 9ахb + 3-0 — — 8ахb (поскольку аха=6х6=0, bxa = —axb\ Итак, s = 8|ахб| = =8.bl.sin30° = 4.
№ 272. Найти смешанное произведение векторов
а = 2i — / — А, 6 = I -I- 3/ — ^, с = i + / + 4^.
Решение.
abc =
2 —1 —1
13—1
114
= 2
3 —1
1 4
+ 1
1 —1
1 4
— 1
1 3
1 1
= 26 + 5 + 2 = 33.
№ 273. Показать, что векторы ct = 2i -}* 5/ + 76, 6 = i + / — 6, с = i + 2/ -j- 26
компланарны.
Решение. Находим смешанное произведение векторов
12122 57
1
2
1
2
abc =abc =1 1 —1
abc =
abc =
1 22
= 8-15 + 7 = 0.
Поскольку abc = 0, то векторы компланарны.
№ 274. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами Л (2, 2, 2), В (4, 3, 3), С (4, 5, 4) и 0(5, 5, 6).
Решение. Найдем векторы АВ, АС и ЛО, совпадающие с ребрами пирамиды, сходящимися в вершине А:
АВ = 21 + / + 6, АС = 2/ + 3/ + 26, ЛО = 3/ + 3/ + 46.
АВ AC AD =АВ AC AD =2 1 12 3 23 3 42 1 12 3 23 3 4Находим смешанное произведение векторов АВ, АС и AD;
АВ AC AD =
АВ AC AD =
2 1 1
2 3 2
3 3 4
2 1 1
2 3 2
3 3 4
2 2 ь 2 3
3 4 + ' 33
= 2-6—1-2—1-3 = 7.
Так как объем пирамиды равен 1/6 части объема параллелепипеда, построенного на векторах АВ, АС и ЛБ, то V = —
№ 27 5. Вычислить (а — 6) (6 — с) (с — а).
Решение. Так как (а —6) 4-(6—7) + (с —а) = О, то эти векторы компланарны (рис. 20).
Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю, т. е. (а—б)(б— с) (с— а) = 0.
№ 276. Найти скалярное произведение векторов За — 26 и 5а — 66, если а = 4, 6 = 6 и угол между векторами а и 6равен у.
Ответ.. — 96.
№ 277. Определить угол между векторами а = 3i 4+ 4/ + 5А и 6 = 4/ 4-5/ — 3^.
17
Ответ, arc cos— .
_ № 278^ При каком значении т векторы a = mi-\-j и 6 = 3i — 3/ 4-4^ — перпендикулярны.
Ответ. т = 1._
№ 279. Найти скалярное произведение векторов 2а 44-36 4-4с и 5а 4-66 + 7с, если а = 1, 6 = 2, с = 3 (а 6) = (а с) = (6 с) = у.
Ответ. 547._
№ 280. Найти работу силы / на перемещении $, если
/ = 2, s = 5, а угол ф = (f, s) = -у .
Ответ. Работа А определяется формулой А = /5со$ф= = /-s; поэтому А = 5]/3 .
№ 281. Найти единичный^ вектор, перпендикулярный к векторам a =~i 4- / 4- 2А и b = 2г 4- 7 4- к.
Ответ. + —L_ (7— 3/ 4- k\
V и — —
№ 282. Векторы а, Ь, с имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти вектор с, если а = =?+/, ь = 1 -\-1. i
Ответ, с = I 4- k и ci = "з"(— i 4* 4/ — k\
№ 283. Даны векторы а = 2г 4- 2/ 4* ^ и 6 = 6г" 4- 3/4- 4- 2А. Найти пр-^b и пр-ьа.
А 2020
Ответ, у и у.
№ 284. Даны радиусы-векторы трех последовательных вершин параллелограмма ABCD'.
тд = i + / 4" к, гв — i 4- 3/! 4~ ЗА,гс = 7/ 4* ®/ 4-11^-
Определить радиус-вектор четвертой вершины D. Ответ. rD = 71 4-7/4- 7А.
№ 285. Показать, что векторы а и b не могут быть перпендикулярными^ _если а-г>0, а-7>0, а-А>0,
№ 286. Показать, что векторы а = I + / 4- mk, b=l -V 4- J + (m + l)k и c = i— / 4- mk ни при каком значении т не будут компланарными.
№ 287. Могут ли отличные от нуля числа хь х2, х8, Уь Уз, Уз, 2х, 22, z8 удовлетворять уравнениям
с-аРис. 20с-аРис. 20Xi у! 2г х» Уг 22 =0, ха Уз г3
с-а
Рис. 20
с-а
Рис. 20
*1^2 + У1 У2 4-2122=0, XiX3-Vy1y8-Vz1z8 = 0, Ха х8 4- Уг Уз 4- 22 z8 = 0.
Ответ. Нет, так как компланарные векторы не могут быть попарно перпендикулярными.
№ 288. Найти векторное произведение векторов а = ™ 2/ 4* 5/ 4- A, b — i -f- 2/ — ЗА.
Ответ, axb = — 17Z + 7/— к.
№ 289. Вычислить площадь треугольника с вершинами А (2, 2, 2), В (4, 0, 3) и С (0, 1, 0).
Ответ. ^ V65.
№ 290. Найти смешанное произведение векторов
ct = / — j -|- к, Ь = i -j- / “I- к, с ^ 2Z ~|* 3/ -)- 4^ •
Ответ. + 4.
№ 291. Показать, что векторы
ct — li — 3j -|- 2k, b = 3i — 7j + 8k, c = i — / + A компланарны.
№ 292. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами Л(0, 0, 1), В (2, 3, 5), С (6, 2, 3) и D(3, 7, 2).
Ответ. 20.
№ 293. В предыдущей задаче найти длину высоты пирамиды, опущенной на грань BCD.
Ответ. ^]/510.
№ 294. Показать, что точки Л (5, 7, —2), В(3, 1, —1), С (9, 4, —4) и 0(1, 5, 0) лежат в одной плоскости.
ГЛАВА III
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Плоскость и прямая
Плоскость. 1. Всякая плоскость в координатном пространстве 0ХУ2 имеет векторное уравнение следующего вида: г-п = р. Здесь г = xi + yj + zk —радиус- вектор текущей точки плоскости М(х, у, z); п = icosa + + /cosP + Zscosy — единичный вектор, имеющий направление перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, a, р, у — углы, образованные этим перпендикуляром с осями координат ОХ, ОУ, OZ, и р — длина этого перпендикуляра.
При переходе к координатам это уравнение принимает вид xcosa + z/cosP + scosy — р = 0 (нормальное уравнение плоскости).
Уравнение всякой плоскости может быть записано также в виде Ах + By + Cz + D = 0 (общее уравнение). Здесь А, В, С можно рассматривать как координаты некоторого вектора N — Ai + Bj + Ск, перпендикулярного к плоскости. Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду все члены уравнения надо умножить на нормирующий множитель
I1 — ± дГ — у Л2 + В2 + ^ ’
где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена D в общем уравнении плоскости.
Частные случаи расположения плоскости, определяемой уравнением Ах + By + Сг + D = 0:
А = 0; плоскость параллельна оси ОХ;
В = 0; плоскость параллельна оси ОУ;
С = 0; плоскость параллельна оси OZ;
D = 0; плоскость проходит через начало координат;
А = В = 0; плоскость перпендикулярна оси OZ (параллельна плоскости ХОУ);
А = С = 0; плоскость перпендикулярна оси ОУ (параллельна плоскости X0Z);
В — С = 0; плоскость перпендикулярна оси ОХ (параллельна плоскости yOZ);
А = D = 0; плоскость проходит через ось ОХ;
В = D = 0; плоскость проходит через ось ОУ;
С — D = 0; плоскость проходит через ось OZ;
А = В = D = 0; плоскость совпадает с плоскостью ХОУ^г = 0);
А = С = D = 0; плоскость совпадает с плоскостью XOZ (у = 0);
В = С = D = 0 ; плоскость совпадает с плоскостью УОг (х =0).
Если в общем уравнении плоскости Ах + By + Сг + + 0=0 коэффициент D^ 0, то, разделив все члены уравнения на —D, можно уравнение плоскости привести к виду
х , у , г , /О , DD\
Т + Т + Т — 1 (здесь а — — Т > 6 — — "у" - с с) •
Это уравнение плоскости называется уравнением в отрезках: в нем а — абсцисса точки пересечения плоскости с. осью ОХ, b и с — соответственно ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями ОУ и OZ.
У гол ф между плоскостями A tx + В ^у + С <г + D 4 = = 0 и Айх + В^у + С2 г + Вг = 0 определяется по формуле
те m —141 ^a+^i ба + Сх С2
VД2 + В2 + С2уГ Л2 + В2+С2
Условие параллельности плоскостей:
АBi __ Ci
Лз^2 С^
Условие перпендикулярности плоскостей: ^^2 + + В1В 2 + С fC2 = 0.
Расстояние от точки М0(х0; z/0; ?<>) до плоскости, определяемой уравнением Ах + By + Cz 4- D = 0, находится по формуле
д <4хр + Вуо + Сг0 + D—]/ л» + S2 + са '
Оно равно взятому по абсолютной величине результату подстановки координат точки в нормальное уравнение плоскости; знак результата этой подстановки характеризует взаимное расположение точки Мо и начала координат относительно данной плоскости: этот знак положителен, если точка Л40 и начало координат расположены по разные стороны от плоскости, и отрицателен, если они расположены по одну сторону от плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(хй;уй; z0) и перпендикулярной к вектору N = Ai + ВТ + Cfe, имеет вид А(х — х0) + В(у — у0) + C(z — z0) =0. При произвольных А, В и С последнее уравнение определяет некоторую плоскость, принадлежащую к связке плоскостей, проходящих черех точку Л40. Его часто поэтому называют уравнением связки плоскостей.
Уравнение Аус + В^у + Cyz + Dt + Х^А^ 4+ В^у + С2z + D^ — 0 при произвольном X определяет некоторую плоскость, проходящую через прямую, по которой пересекаются плоскости, определяемые уравнениями
AiX + ^1 у + CiZ + Di = 0 (I) и
Л2х + В2у + С2г + О2 = 0 (II), т. е.
некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих через эту прямую (в силу чего такое уравнение часто называют уравнением пучка плоскостей). Если плоскости, определяемые уравнениями I и II, параллельны, то пучок плоскостей превращается в совокупность плоскостей, параллельных этим плоскостям.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Mi Q^, M2_(ra), М3 (r3) / ri = Xi Г+ у, /"+ 21 к; r2 = х2 i + у2 / + z2 к; r3 = х3 i + у3 / 4- z3 к ). проще _ всего найти из условия^ компланарности векторов г — гъ г2—гъ ''з— гъ где г = xi + yj + zk —радиус-вектор текущей точки искомой плоскости М:
(г—Г,) (г2 — rj (r3 — rj = О, или в координатной форме:
= 0.= 0.х — *! у — у, г —ггх2 —хг У2 — У1 Z2 — Z!Хз —Xj Уз — У1 г8 —Z1
= 0.
= 0.
№ 295. Привести к нормальному виду уравнение плоскости 2х + Зу — 6z + 21 = 0.
Решение. Находим нормирующий множитель (знак которого будет отрицателен, поскольку D = 21 > 0):
/"У+У+б57 '
Итак, нормальным уравнением заданной плоскости будет уравнение
23.6 on
— уХ — yy + yZ — 3 = 0.
№ 296. Определить расстояние от точки Л10 (3; 5;—8) до плоскости ох — Зу + 2z — 28 = 0.
Решение. Используем формулу, приведенную в пункте 5 введения к этому параграфу:
I Лх0 + Вуо + Cz0 -(- D
• — I /л^+^+с5'
Находим:
л — I 6-3 —3-5 +2-(—8) —281 = 41
“ I V 62 + 32 + 22I — 7 *
IM s „
(Результат подстановки отрицателен, таким образом, заданная точка и начало координат лежат по одну сторону от данной плоскости.)
№ 297, Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2, 3, —1) параллельно плоскости 5х — Зу + + 2z — 10 =0.
Решение. Напишем уравнение связки плоскостей, проходящих через данную точку: Л(х — 2) + В(у — 3) + +C(z+ 1) =0.
Чтобы искомая плоскость была параллельна данной ,АВС
плоскости, необходимо выполнение условия -5-=—з = у.
Отсюда следует, что: Л = 5/, В = — 3/, С = 2/. Следовательно, уравнение искомой плоскости примет вид
5t(x — 2) — &(у — 3) + 2/(?+ 1) = 0
или
5х — 3y + 2z+ 1 =0.
Нетрудно видеть, что с самого начала можно принять Л = 5, В = — 3, С = 2.
№ 298« Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2, —1,5) и перпендикулярной к плоскостям Зх — 2у + z + 7 = 0 и 5х — 4у + 3z + 1 =0.
Решение. Запишем уравнение данной плоскости в виде
Л(х —2)+ В(у + 1)+C(z —5) = 0,
так как плоскость перпендикулярна к заданным плоскостям, то должны выполняться условия:
ЗЛ — 2В + С = 0,
5Л — 4В + ЗС = 0.
Исключив из системы уравнений
Л(х — 2)+ В(у + 1) + C(z — 5) = 0,
ЗЛ —2В + С = 0,
5Л —4В + ЗС = 0
коэффициенты А, В, С (пользуемся условием того, что система трех линейных однородных уравнений с тремя неизвестными Л, В и С имеет ненулевое решение, так как плоскость, удовлетворяющая поставленным условиям, существует всегда), получаем уравнение искомой плоскости в виде
х — 2 у + 1 z — 53—21 = 0
5—43
или
х + 2у+г — 5 = 0.
№ 299. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Л (5, 4, 3) и отсекающей равные отрезки на осях координат.
Решение. Используем уравнение в отрезках, в котором а = b = с:
*+z+±=1а ' а 1 а 11
Координаты точки А должны удовлетворять уравнению искомой плоскости, поэтому должно выполняться равен- 543
ство - + - + — = 1, откуда а = 12. Получаем уравнение х + у + г-12 =0.
№ 300* Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей х + у + 5г — 1 — 0, 2х + Зу — г + 2 = 0 и через точку Л4(3, 2, 1).
Решение. Воспользуемся уравнением пучка плоскостей
х + у + 5г — 1 + X (2х + Зу — г + 2) = 0.
Значение X определяем из условия, что координаты точки Л4 должны удовлетворять этому уравнению:
3 + 2 + 5— 1 + X (6 + 6— 1 + 2) = 9 + 13Х = 0,
Л ~13-
Получаем искомое уравнение в виде
х + у + 5z — 1 — ^(2х + Зу —г + 2) = 0
или, умножая на 13 и приводя подобные члены, в виде 5х+ 14у —74г + 31 = 0.
№301, Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей х + 3 у + 5г — 4 =0 и х — у — 2г + 7 — 0 и параллельной оси оу.
Решение. Воспользуемся уравнением пучка х + + Зу + 5г — 4 + Цх — у — 2 г + 7) = 0, преобразуем уравнение к виду (1 + Х)х + (3 — Х)у + (5 —2Х) г + +(7Х — 4) = 0.
Так как искомая плоскость параллельна оси ординат, то коэффициент при у должен равняться нулю, т. е. 3 — X = = 0, X = 3. Поставив значение X в уравнение пучка, получаем
4х — г + 17 = 0.
№ 302. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки Л4(2, —1, 4) и N<3, 2, —1) перпендикулярно к плоскости х + у + 2 — 3 = 0.
Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через первую из данных точек:
Д(х-2) + В(у+1) + С(г-4) = 0.
Условие прохождения этой плоскости через вторую точку и условие перпендикулярности определяются равенствами
д + ЗВ — 5С = 0, Д + В + С = 0.
Исключая коэффициенты Д, В и С из системы уравнений (см. решение задачи № 298)
Д(х-2) + В(у+ 1) + С(г-4) = 0,Д + ЗВ — 5С = 0,Д + В + С = 0,получаем искомое уравнение в виде
х— 2 у +1
13
11
или
4х — Зу — г — 7 = 0.
№ 303« Из точки Р(2, 3, —5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Найти уравнение плоскости, проходящей через их основания.
Решение. Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоскости, будут следующие точки: A4i(2, 3, 0), Л42(2, 0, —5), 7И3(0, 3, —5). Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки Мь Ма, М3, для чего воспользуемся уравнением
х — хг ха— хг Хз — Хгх — хг ха— хг Хз — ХгУ —УзУ»-УтУ —УзУ»-Ут2— 2гZ^ — Zx2— 2гZ^ — Zx= 0;= 0;Уз —У1 z3 — 2гУз —У1 z3 — 2г
х — хг ха— хг Хз — Хг
х — хг ха— хг Хз — Хг
У —Уз
У»-Ут
У —Уз
У»-Ут
2— 2г
Z^ — Zx
2— 2г
Z^ — Zx
= 0;
= 0;
Уз —У1 z3 — 2г
Уз —У1 z3 — 2г
находимнаходимх — 2О— 2х — 2О— 2у —3 — 3Оу —3 — 3Ог— 5— 5г— 5— 5= 0= 0
находим
находим
х — 2
О
— 2
х — 2
О
— 2
у —3 — 3
О
у —3 — 3
О
г
— 5
— 5
г
— 5
— 5
= 0
= 0
или
15х + Юу — 6z — 60 = 0.
№ 304. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2, 3, 5) и перпендикулярной к вектору N = 4/’+ 3f+ 2/
Решение. Достаточно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данному вектору (см. п. 6 введения к настоящему параграфу):
4(х - 2) 4- 3(у — 3) 4* 2(z — 5) = 0, т. е. 4х 4- Зу 4- 2г - — 27 = 0.
№ 305. Привести к нормальному виду уравнения следующих плоскостей: а) х 4- у — z — 2 = 0; б) Зх 4- 5 у — - 4z 4- 7 = 0.
Ответ, а) £+±^£ц2 = 0; б)^=- х^ у 4-
/3'5/2
■47 Л
-]2 — т= — 0,
5/25/2
№ 306. Найти расстояние от точки Л40(1; 3; —2) до плоскости 2х — Зу — 4г 4- 12 = 0. Как расположена точка Мй относительно плоскости?
13
Ответ, d = ^_ ; начало координат и точка Мо лежат по разные стороны от плоскости.
№ 307, Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки Л4С(2; 3; —5) на плоскость 4х — 2у + 5г — 12 = 0.
„ л 7/5
Ответ, d = —^—
№ 308, Найти уравнение плоскости, проходящей:
через точку М (—2; 3, 4), если она отсекает на осях координат равные отрезки; 2) через точку N(2, —1, 4), если она отсекает на оси OZ отрезок вдвое больший, чем на осях ОХ и OY.
Ответ. 1) х + у 4- 2 — 5 = 0, 2) 2х 4- 2 у + 2 — 6 = = 0.
№ 309. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки Р(2, 0, —1) и Q(l, —1, 3) и перпендикулярной к плоскости Зх + 2 у — г 4-5=0.
Ответ. 7х — Пу — г — 15 = 0.
№ 310« На плоскости 2х — 5у 4- 2 г 4- 5 = 0 найти такую точку М, чтобы прямая ОМ составляла с осями координат равные углы.
Ответ. Л! (5, 5, 5).
№ 311. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, —3, 12) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Ответ. 4х — Зу + 12г — 169 = 0.
№ 312. Найти уравнения плоскостей, проходящих через оси координат, перпендикулярно к плоскости Зх — 4у 4- + 52 — 12 =0.
Ответ. 5у + 4z = 0; 5х — 3 г = 0; 4х 4" 3 у = 0.
№ 313. Найти уравнение плоскости, точки которой одинаково удалены от точек Р(1, —4, 2) и Q(7, 1, —5).
Ответ. ' 6х 4- 5у — 7г — 27 = 0.
№ 314. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки Р(0, 2, 0) и Q((2, 0, 0) и образующей угол в 60° с плоскостью х = 0.
Ответ. + f+ ^-=1-
№ 315. Вычислить угол между плоскостями, проходящими через точку М(1, —1, —1), из которых одна содержит ось ох, а другая — ось ог.
Ответ. 60°.
№ 316. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и через две точки Р(4, —2, 1) и 0(2, 4, —3)-
Ответ, х + 7 у 4- Юг = 0 .
№ 317. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения плоскостей 2х 4- 2у 4- г — 7 = 0, 2х — у + 3 г — 3=0, 4х 4- 5 у — 2 г — 12=0 и через точки Л4(0, 3, 0) и N(\, 1, 1).
Ответ, х — г = 0.
№318. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей х4-5 у 4- 9г — 13 = 0, Зх — у — 5 г + 1 = 0 и через точку М (0, 2, 1).
Ответ, х 4- у 4- г — 3 = 0.
№319. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей х 4- 2// 4~ 3 z — 5 =0 и Зх — 2 у — z + 1 = 0 и отсекающей равные отрезки на осях ох и oz.
Ответ. 5х + 2 у + 5z — 9 = 0.
№ 320. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей (1 + К2)х 4-2//4- 4- 2z — 4 = 0, x + z/ + z+l=0 и образующей с координатной плоскостью хоу угол 60°.
Ответ. ^2 х + у + z — 5 = 0.
№321. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2х — у — 12г — 3 =0 и Зх + У — 7г — 2 = 0 и перпендикулярной к плоскости х + 2у + 5г — 1 = 0.
Ответ. 4х 4- 3// — 2z — 1 = 0.
№ 322. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей А vx 4- В^у 4- С^г 4- 4-Di=0, А2х 4- В$ 4- Сгг 4- О2 =0 и через начало координат.
Ответ. (Л JD^ — AjD^x 4- ^ВгОг — BjD^y 4-
(CtD2 — и ^C^z = 0.
№ 323. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(0, 2, 1) и параллельной векторам
а = / 4- / 4- k и b = i 4- / — к.
Указание. Искомая плоскость перпендикулярна к вектору а X Ь.
Ответ, х — у 4- 2 = 0.
№ 324. Какой угол образует с плоскостью х 4* у 4- 2z — — 4=0 вектор а = / + 2/ 4- к.
Указание. Использовать нормальный вектор плоскости N.
Ответ, arcsm-T. и
П р я м а я. 1) Прямая может быть задана уравнениями 2-х плоскостей
Лгх + Вх у + С2 2 + Dx = 0 | Ла X + В2 У 4~ С2 2 + Оз = 0 j пересекающихся по этой прямой;
исключив поочередно х и у из предыдущих уравнений, получим уравнения х = az + с, у = bz + d. Здесь прямая определена двумя плоскостями, проектирующими ее на плоскости хог и уог;
если даны две точки М(х4, уъ Zx) и N^x2, у2, z^, то уравнения прямой, проходящей через них, будут иметь вид
x — xt _ у —Ух _ z—zv .
Х2— Х^ Уз — уг Z2— г1 ’
так называемые канонические уравнения
= ^"^ = --^ 21 определяют прямую, проходящую через точку Л4 (хь уъ г^ и параллельную вектору S = = Й + т; + пк. В частности, эти уравнения могут быть записаны в виде
х — Хх _ у — ухг — гхcos a cos р cos f ’
где а, Р и у — углы, образованные прямой с осями координат. Направляющие косинусы прямой находятся по формулам:
Iат
VI»-V т2-V п»ъ VZ2 4- т? + п1
п
rVIй + т1 + п2
от канонических уравнений прямой, вводя параметр t, нетрудно перейти к параметрическим уравнениям прямой:
X = It + Хх
■ у = mt +Ух,г = nt + 2]
угол между двумя прямыми, заданными их канони-
X— Xi у — У) 2— 2iX — Ло
ческими уравнениями —;—1 = у-—— =- и —-—-
= У—-^ = ^zJ» определяется по формуле
m /1 /2 + ^1 ^2 + ^1 /г2
_ — ,,
V i\ + «I + п2\ • V 12 + т-Х + п^
условие параллельности двух прямых:
А = ^1 = А •/а т^ п^1условие перпендикулярности двух прямых:/1 /2 + ^№2 + И] «2 = 0;
необходимое и достаточное условие расположения двух прямых, заданных их каноническими уравнениями, в одной плоскости (условие компланарности двух прямых):
^2 — ^1 Уг —У1 Za — zx
/2^2^2
Если величины /ь т^ nt непропорциональны величинам /2, /п2, п2, то указанное соотношение является необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых в пространстве;
угол пересечения прямой -~~ Х1 = —^- = —^- с плоскостью Ах 4- By + Cz + D = 0 определяется по формуле
Ул2 + Ва + С2 • У"/24-т2+п8 ’
условие параллельности прямой и плоскости:
А1 + Вт + Сп = 0,
условие перпендикулярности прямой и плоскости:
А _ В _С.
I т п ’
для определения точки пересечения прямой * х° = = —=^ = ^—^ с плоскостью Ах + By 4- Cz 4- D=0 нужно решить совместно их уравнения, для чего следует воспользоваться параметрическими уравнениями прямой х = — U 4- х0, у = mt 4- Уо, z = nt 4- z0:
если А1 4- Вт + Сп=^0, то прямая пересекает плоскость в одной точке;
если Al+Вт + Сп—О и Ах0 + Ву0+ Cz^-V D=f= О, то прямая параллельна плоскости;
если АЦ-Вт + Сп =0 и Ах0А- Ву0 + Cz0+D = 0, то прямая лежит в плоскости.
№ 325. Привести к каноническому виду уравнения прямой 2х — у + Зг — 1 = 0 и 5х + Ау — г — 7 = 0.
Решение. Исключив вначале у, а затем г, получим: 13х+ llz — 11 =0 и 17х+ Ну — 22 = 0.
Если разрешим каждое из уравнений относительно х, то будем иметь
11 (У-2)11(2—1)
х ~ —17—13 *
отсюда
х _у—2_z —1=ТГ - 17 - 13 *
Второй способ: найдем вектор S = Н + mj + п&, параллельный искомой прямой. Так как он должен быть перпендикулярен к нормальным векторам заданных плоскостей Wx = 2i — /+ ЗХ и ^ =5i'+4/—k, то за него можно принять векторное произведение векторов Nx и N^.
i8 = Жх^ = 25i8 = Жх^ = 25i—14i—1433—1—1= —lli+ 17/+ 13A.= —lli+ 17/+ 13A.
i
8 = Жх^ = 2
5
i
8 = Жх^ = 2
5
i
—1
4
i
—1
4
3
3
—1
—1
= —lli+ 17/+ 13A.
= —lli+ 17/+ 13A.
Таким образом, I ——11; tn = 17; n = 13.
За точку M^i; yv, Zi), через которую проходит искомая прямая, можно принять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью yoz. Так как при этом xt = 0, то координаты у^ и zt этой точки определятся из системы уравнений заданных плоскостей, если в них положить х = 0:
— У + Зг — 1 = 0;
4 у— г — 7 = 0.
Решая эту систему, находим у г = 2; Zj = 1.
Итак, искомая прямая определяется уравнениями х у —2 г — 1
—11“ 17 ~ 13 •
Мы получили прежний ответ.
№ 326. Построить прямую
2х + Зу + Зг — 9 = О, 4х + 2у + 2 — 8 = 0.
Решение. Искомую прямую можно построить как
Рис. 21Рис. 21линию пересечения плоскостей. Для этого напишем уравнения плоскостей, которыми определена прямая, в отрезках на осях:
Рис. 21
Рис. 21
,5 ' 3 ' 3
4 8 ъ
Построив данные плоскости, мы получим искомую прямую как линию пересечения этих плоскостей (рис. 21).
№ 327. Из начала координат опустить перпендикуляр
на прямую
х — 2 _ у — 1 _ z—-3
2 " 3 ~1
Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной заданной прямой: 2х + 3^ + z = 0. (Для этой плоскости можно принять Д = I; В = tn; С = п; D = 0; использовано условие перпендикулярности прямой и плоскости, см. п. 8 введения к настоящему разделу.)
Найдем точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Параметрические уравнения прямой имеют вид
х = 2^ + 2, у = 3/ 4-1, г = /+ 3.
Для определения / имеем уравнение
2 (2/ + 2) + 3 (3/ + 1) + / + 3 = 0.
Следовательно, t = — 5/7. Координатами точки пересечения „ 8 16 .,/4 8 16\ будут х = 4/7, у = — у, 2 = у, т. е. м 1у, — у. у)-
Остается составить уравнения прямой, проходящей через начало координат и через точку М (см. п. 3 введения к настоящему разделу):
х _ уг * _ у _ х 16/7 или 1 - —2 “ 7-
№ 328. В уравнениях прямой у = ^ = ^ определить параметр л так, чтобы эта прямая пересекалась с прямой -у- = ^-^— = у, и найти точку их пересечения.
Решение. Для нахождения параметра л . используем условие пересечения 2-х прямых (см. п. 7 введения):
Z1—z0Л1Л2Z1—z0Л1Л2= 0.= 0.Xi —х0 У1 — у»/1тг
Z1—z0
Л1
Л2
Z1—z0
Л1
Л2
= 0.
= 0.
Uта
Отсюда следует: 15
32
2 —3 л
или
пересекающихся прямыхпересекающихся прямых2л 4-10 + 3—15л = 0, 13л =13, л=1.
пересекающихся прямых
пересекающихся прямых
Следовательно, уравнения таковы:
искомой:
X у Z
2 - -3 - I ’
заданной:
х+1 У+ 5 г
3 — 2 — 1 1
Для вычисления координат точки пересечения этих прямых выразим из первого уравнения х и у через z: х = 2z, у = — 3z. Подставляя их значения в равенство х + 1 у + 52z + 1— 3z + 5.
—g— = ^-у- , имеем ■ у- =^— , отсюда z = 1.
Зная 2, находим х и у. х = 2г =2, у = -г-3? = —3.
Следовательно ?Л(2, —3, 1).
№ 329. Найти уравнения прямой, проходящей через точку Л4(3, 2, —1) и пересекающей ось ох под прямым углом.
Решение. Так как прямая перпендикулярна к оси ох и пересекает ее, то она проходит через точку ^(3, 0, 0). Составив уравнения прямой, проходящей через точки М и N, получаем
X — 3 _ у— 2 _ гл 10 “ —2 “ 1 1
№ 330. Дана плоскость х + у — 2z — 6=0 и вне ее точка М (1, 1, 1). Найти точку N, симметричную с точкой М, относительно данной плоскости.
Решение. Напишем уравнения всякой прямой, проходящей через точку М:
х — 1 _ у — 1 _ г — I/ т п "
Из условия перпендикулярности к заданной плоскости имеем:
I т п .
“ 1 ~ ^2’
можно положить l = m = V, п = —2; итак, уравнения искомой прямой:
х — 1 у — 1 _ z — 11= 1~ -2 1
Найдем проекцию точки М на данную плоскость, решив совместно уравнения х + у — 2г — 6 = 0 и --^1 = у — 1 Z — 1и
= —— = -зу ; для этого уравнения прямой перепишем в виде х = / 4-1. у = /4-1, г = —2/4-1. Подставляя эти значения х, у и z в уравнение плоскости, найдем / = 1, откуда х = 2, у = 2, z = — 1.
Координаты симметричной точки найдутся из формул-’
— хм 4- xNЛ —2’
т. е.•
.1 + ^,- Ум + Xn
* — —2— ’ к№ d’ У—2
или
v7- ^ + Zw ■ 2 3
yw — О, Z — 2 ' ZN — dl
Следовательно, N (3, 3,—3).
№ 331. Дана прямая ^^ = у = zry и BHe 66 TO4Ka Al(l, 1, 1). Найти точку N, симметричную точке M, относительно данной прямой.
Решение. Составим уравнение плоскости, проектирующей точку М нЪ данную прямую в виде:
Л(х-1) + В(у-1) + С(г-1) = 0.
Используя условие перпендикулярности заданной прямой .АВС
и проектирующей .плоскости -у = -у = ^-j, находим уравнение плоскости:
2(х— 1) + 3(у — 1) —(г— 1) = 0 или
2х + Зу — г — 4 = 0.
Найдем проекцию точки М на прямую, для чего совместно решим систему
2х + Зу — г — 4 = 0 и
х — 1 _ у _ г+12 “ 3 “ — 1 *
Параметрические уравнения данной прямой будут х=2^+1, у = 3Z, г = —t—1. Подставляя х, у и г в уравнение плоскости, найдем ^ = -^. Откуда х = 8/7, у *=3/14, 2 = = — 15/14.
Тогда координаты симметричной точки можно найти из формул координат середины отрезка, т.'е.
— _ хм + XN
2 или
7 —2’ Хы — у/*> У§> Ум = —"7»
- гм + zn22
z 2« ZN 7 »
т. е.
У (9/7, —4/7, —22/7).
х ' I 1 у1 z " 2
№ 332. Через прямую —р- = ^-р = -у- провести . х у+2 z — 3
плоскость, параллельную прямой ^ = у = —р.
Решение. Запишем уравнения первой из заданных прямых при помощи уравнений двух плоскостей, проектирующих ее соответственно на плоскость хоу и уог:
х+ 1 у —1
—2—"ZT или * + 2у — 1=0,
^р = или Зу + z — 5 = 0.
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через эту прямую, запишется в виде
х + 2у — 1 + Х(3у + z —5) = 0 или в виде
x + (2 + 3X)y + Xz —(1 +5Х) = 0.
Используя условие параллельности прямой и плоскости Л / + Вт + Сп = 0, определим X так, чтобы соответствующая плоскость пучка была параллельна второй из заданных прямых.
Находим: —1 • 1 + 2 • (2 + ЗХ) — 3-Х = 0, или ЗХ + + 3=0, откуда X =—1. Таким образом, искомая плоскость определяется уравнением
х — у — г + 4 = 0.
№ 333. Найти уравнения проекции прямой ху1 = == -|- на плоскость х + у + 2z — 5 = 0.
Решение. Запишем уравнения заданной прямой в виде уравнений двух плоскостей, проектирующих ее соответственно на плоскости хоу и хог:
Х_1 у+1
-у — “у или 2х — у — 3 = 0,
•—।— = -g- или Зх — г — 3 = 0»
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую, запишется в виде
2х — у — 3 + X (Зх — г — 3) = О или в виде
(2 + ЗХ)х — у — U — 3(1 + Х) = 0.
Выберем из этого пучка плоскость, проектирующую данную прямую на заданную плоскость, используя условие перпендикулярности плоскостей Л1Л2 + В1В2 + + С А = 0.
Найдем 1(2 + ЗХ) + !(—!)+ 2(—X) = 0, илиХ + 1 ==Д откуда X = —1.
Итак, проектирующей будет плоскость 2х — у.— 3 + + (—1)(3х — z — 3) = 0 или х + у — z = 0.
Проекцию можно определить как линию пересечения двух плоскостей — заданной и проектирующей:
(x + y + 2z — 5 = 0
|х + У — z = 0.
Приведя эти уравнения прямой к каноническому виду, 5 б
х "3г"~"3
найдем окончательно: — = —1 = —^—
№ 334. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М (5, 3, 4) и параллельной вектору s = 2Г4- 5/—8^.
Решение. Пользуемся каноническими уравнениями прямой. Здесь I = 2, т = 5, л = — 8. Получаем
х — 5 = у —3 х — 4
2 = б “ —8 1
№ 335. Составить уравнения прямой, проходящей через точку ЛЦ1, 1, 1) и_ перпендикулярной к векторам s2 = = 2/ 4* 3/ 4" ^ и $2 — 3£ 4* / 4* ^^ •
Решение. Прямая параллельна вектору SiXsa = = 5i— J—7^, поэтому она определяется уравнениями х — 1 _ у —1 _ Z —1
5 — — 1 ~ —7 1
№ 336. Найти уравнения проекций прямойx4-2y + 3z —26 = 0,Зх + у + 4г —14 = 0
на координатные плоскости.
Ответ. (yOZ) 5у + 5г — 64 = О, х =0 (XOZ) 5х + 5г — 2 = 0, у =0 (ХОУ) 5х — 5у + 62 = 0, г =0
№ 337. Привести к каноническому виду уравнения прямой 2х + Зу — 16г — 7 = 0,
Зх + у — 17г = 0.
Ответ. * = ^-^ = у.
№ 338. Вычислить углы, образованные прямой
(х — 2у— 5 = 0
(х — Зг +8 = 0
с осями координат.
Ответ, cosa = у , cos0 = y, cosy = y.
№ 339. Найти уравнения прямой, проходящей через точку Л4(1, —2, 3) и образующей с осями ох и оу углы в 45° и 60е.
л х — 1 у + 2 г — 3
Ответ. —7=- = М— = —=-. /21±1
№ 340. Найти уравнения прямой, проходящей через точку N (5, —1, —3) и параллельной прямой
2х + Зу + г — 6 = 0, 4х — 5у — г + 2 = 0.
Ответ, ^у^ = уу~ = ™П" •
№ 341. Найти точку пересечения прямых:
х—1у—2_г+4 х — 2_у — 5_z—1
— “52 й 2 — —2 —•
Ответ. Л4(0, 7, —2).
№ 342. Даны три последовательные вершины параллелограмма Л(3, 0, —1), В(1, 2, —4) и С(0, 7, —2). Найти уравнения сторон AD и CD.
~ х —3 у г+1, х у — 7? + 2
Ответ, — 5 — 2 ’ 2 ~ —2 — з ‘
№ 343. Найти параметрические уравнения прямой, проходящей через точки М(2, —5, 1) и N(,—1, 1, 2).
Ответ, х = — 3/ — 1,
у =6/4-1,
2 =/4-2.
№ 344. Вычислить расстояние между параллельными прямыми
—3__г —2х—3_y+l__z —2
Т 2“ ~ И -1
Ответ. -|-]/30.
№345. Даны точки Д(—1, 2, 3) и В(2, —3, 1). Составить уравнения прямой, проходящей через точку /И(3, —1,2) и параллельной вектору АВ.
Ответ. ^=^ = ^Д = ^^.
№ 346. Найти угол между прямыми:
(4х — у — г 4-12=0 (Зх —2у4-16 = 0
J 7и 7
1 у — 2 — 2 = 0|3х — z = 0
„20
Ответ, cos ф = ^.
№ 347. В плоскости уог найти прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную прямой:
2х — у = 2.
у 4- 2г = — 2.
Ответ. ^ = -у = ^-
№ 348. Даны две вершины параллелограмма A BCD; С(—2, 3, —5) и D(0, 4, —7) и точка пересечения диагоналей Л4(1; 2; —3,5). Найти уравнения стороны АВ.
Ответ. ^^ = ^2 = Lt^.
№ 349. Треугольник АВС образован пересечением плоскости х 4- 2# 4- 4z — 8 = 0 с координатными осями. Найти уравнения средней линии треугольника, параллельной плоскости хоу.
Ответ. ^ = ^^ = 2 ~ 1 .
№ 350. Даны точки Л(1, 1, 1), 8(2, 3, 3) и С(3, 3, 2). Составить уравнения прямой, проходящей через точку Л и перпендикулярной к векторам ЛВ и ЛС.
х— 1 у — 12— 1
Ответ. 2 —0~ — 2 *
№ 351. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М (0, 2, 1) и образующей равные углы с векторами a — i + 2 / + 2^, b — 3/, с = 3k.
Ответ, у = ^у = ^zy .
№ 352. Найти уравнение плоскости, проходящей через х 4- 1 у — 2 го
прямую —^— = ;L=y = -^ и перпендикулярной к плоскости Зх + У — 2 + 2 = 0.
Ответ, х — 5у — 2z 4- 11 =0.
№ 353. Найти уравнения проекции прямой у= ^р =
= —у на плоскость 2х + Зу — z — 5 = 0.
х у—3,42 — 5,2
Ответ. —Гп = ^ ■ ^ = —пг2- •
Поверхности второго порядка
Сфера. В декартовой системе координат сфера, имеющая центр в точке С(а, Ь, с) и радиус г, определяется уравнением (х — а)2 + (у — 6)2 + (z — с)2 = г2.
Если центр сферы находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид х2 + у2 + z2 = г2.
№ 354. Найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением х2 + у2 + z2 — х + 2у + 1 = 0.
Решение. Приведем уравнение сферы к каноническому виду (х — а)2 + (у — by + (2 — с)2 = г2, для чего дополним до полных квадратов члены, содержащие х, у и z, т. е. перепишем уравнение в следующем виде:
(х2-х + ^-^-Ку2 + 2у+1)-Ц-22+1 = 0
ИЛИ
(х-^2 + (у+1)2 + г2=5-.
Следовательно, центром сферы будет точка С^ —1» 0^ 1 и ее радиус г = ^ .
№ 355. Составить, уравнение сферы, проходящей через точки Л(1, 2, —4), В(1, —3, 1), С(2, 2, 3), если центр ее лежит в плоскости XOY.
Решение. Поскольку точки А, В и С лежат на сфере (х — а)2 + (z/ — 6)2 + (z — с)2 = г2, у которой центр лежит в плоскости XOY (откуда с = 0), то их координаты должны обращать искомое уравнение в тождество; приходим к уравнениям:
(1 — а)2 + (2 — Ь^ 4- (— 4)2 = г2,,
(1— а)2 + (~ 3 — 6)2+ 12 = г2,(2 —а)2 + (2 —6)2 + 32 = г2;
Отсюда
(1 — а)2 + (2 — Ь^ + 16 = (1 — а)2 + (— 3 — 6)2 +. 1,
(1 —а)2+ (2 —6)2+ 16 = (2 — а)2 + (2 — 6)24-9, или
(2 —6)2 —(—3 —6)2 = — 15, т. е. 106=10;(1—а)2 —(2 —а)2 = —7, т. е. 2а = —4.
Откуда имеем а =— 2, 6=1. Следовательно, центром сферы будет точка С(—2, 1, 0). Находим радиус сферы: г2 = (1 — а)2 + (2 — 6)2 + 16 = (1 + 2)2 + (2 — 1)2+16=26. Итак, уравнение сферы будет иметь вид
(х + 2)2 + (У — I)2 + г2 = 26.
№ 356. Найти координаты центра и радиус окружности
| (х—3)2 + (у + 2)2 + (г—1)2= 100,
i 2х — 2у — 2 4- 9 = 0.
Решение. Из центра сферы С(3, —2, 1) на плоскость 2х — 2у — 2 4-9 = 0 опустим перпендикуляр, уравнения которого можно записать в виде:
х —3 _ у 4- 2 _ г — 1I т п '
I т п ,„
где ^ = ^ = ^ (условие перпендикулярности прямой и плоскости).
Следовательно, уравнениями перпендикуляра будут х — 3_y+2_z— 1
2 — — 2 — — 1 -
Теперь найдем координаты точки пересечения прямой ^у-^ = ^fy = ~Е]" с плоскостью 2х — 2у — z + 9 = 0. Эта точка будет центром окружности, являющейся сечением сферы данной плоскостью.
Возьмем параметрические уравнения прямой х = 2/+ 3, у — — 2/ — 2, г = —/ + 1 и найдем /, подставляя х, у, г в уравнение плоскости: 2(2/ + 3) — 2( — 2/ — 2) — ( —/ 4+ 1) + 9 = 0, откуда / = —2.
Следовательно, координаты центра окружности будут х = 2(—2) + 3 = — 1, у = —2(—2)— 2 = 2, г = —(—2)+ + 1 = 3, т. е. центр окружности лежит в точке С^—1, 2, 3).
Найдем теперь расстояние d от центра сферы С (3, —2,1) до плоскости 2х — 2у — 2+'9 = 0; d= 2-3 + 2'2~-!.+ ® _ 7’/224-224-1
= 6. Радиус окружности г определится из равенства г2= = R4— d2, где R радиус сферы; таким образом, г2 = = 100 — 36 = 64, г = 8.
Определить координаты центра и радиусы сфер, заданных уравнениями:
№ 357.
(х + I)2 + (у + 2)2 + г2 = 25.
Ответ.. С(—1, —2, 0); г = 5.
х2 + у2 + z2 — 4х + бу + 2г — 2=0.
Ответ. С(2, —3, —1); г = 4.
2х2 + 2у2 + 2г2 + 4у — Зг + 2 = 0.
Ответ. С^0, —1, ^: г =-|.
х2 + У2 + z2 = 2х.
Ответ. С(1, 0, 0); г = 1.
Д) х1 + у2 + г2 = 4г — 3.'
Ответ. С(0, 0, 2); г = 1.
№ 358. Как расположена точка Л4(1, —1, 3) относительно сфер:
(х - I)2 + (у 4- 2)2 + г2 = 19.
Ответ. Внутри.
х2 + у2 + г2 — х + у = 0.
Ответ. Вне.
хг 4- у2 + г2 — 4х + У — 2z = 0.
Ответ. На сфере.
№ 359. Составить уравнение сферы, если точки М(4, —1, —3) и ^(0, 3, —1) являются концами одного из диаметров сферы.
Ответ, (х — 2)2 4- (у — I)2 + (z + 2)2 = 9.
№ 360. Составить уравнения окружности, образующейся в сечении сферы (х — I)2 + (у — 1 )2 + (z — З)2 = 25 координатной плоскостью z = 0.
Ответ, (х — I)2 + (у — I)2 =16, г = 0.
№ 361. Найти координаты центра и радиус окружности х2 4- у2 + z2 = 100, 2х 4- 2у — z = 18.
Ответ. С(4, 4, —2); г =8.
Цилиндрические поверхности и конус 2-го порядка.
Уравнение вида F(x, у) — 0 в пространстве определяет цилиндрическую поверхность, у которой образующие параллельны оси OZ. Аналогично уравнение Цх , z) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OY и F(y, z) = 0 — уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси ОХ.
Канонические уравнения цилиндров второго порядка: эллиптического:
а2"1"
гиперболического:
X2 у2 .
а262 — b
параболического:
у2 = 2 рх.
Образующие всех трех цилиндров, определяемых этими уравнениями, параллельны оси oz, а направляющей служит соответствующая кривая второго порядка (эллипс, гипербола, парабола), лежащая в плоскости X0Y.
Следует помнить, что кривую в пространстве можнр задать либо параметрически, либо в виде линии пересечения двух поверхностей при помощи уравнений этих поверхностей.
Например, уравнениями направляющей эллиптического цилиндра
а2 * 62 ц
т. е. уравнениями эллипса в плоскости XOY служат уравнения
у2 v2. 02 Т- 621
z = О
Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат, осью которого служит ось OZ, имеет вид
д*2^2д*2«м2
Аналогично уравнения -2 — ^ + -2 = 0, --а + ^ + + ^ = 0 являются уравнениями конусов второго порядка с вершиной в начале координат, осями которых служат соответственно оси OY и ОХ.
№ 362. Какую поверхность определяют в пространстве уравнения: а) х2 = 4у, б) z2 = xz?
Решение.
Уравнение х2 = 4у определяет параболический цилиндр с образующими, параллельными оси oz._ Направляющей цилиндрической поверхности является парабола х2 = 4у, z = 0.
Уравнение z2 — xz может быть представлено в- виде z(z — х) = 0 и распадается на два: z = 0 и z = х, т. е. оно определяет две плоскости — плоскость XOY и биссек- торную плоскость z = х, проходящую через ось OY.
№ 363. По какой линии пересекается конус х2 + у2 — — 2z2 = 0 с плоскостью у = 2?
Р е ш е н и е. Из системы уравнений исключим у, получим
х2 + 4 — 2z2 = 0, или
Z2 X2 .
Следовательно, линией пересечения будет гипербола в плоскости у = 2 с вещественной осью, параллельной oz, и мнимой осью, параллельной ох.
№ 364. Составить уравнение конической поверхности, вершина которой лежит в точке Л1 (О, 0, 1) и направляю- “X2 . у2 . о
щей является эллипс ^ + ^ = 1, г = 3.
Решение. Составим уравнение образующей АМ, где А(х0, уо, 3), М$, 0, 1).
Уравнениями этой образующей будут:
х у г — 1
хй Уо 2
Поскольку точка А лежит на эллипсе, то ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса:
„2 V2 жо , Уо . 25 + 9 — 11
Исключим теперь х0 и у0 из системы
X _ 2 — 1У _ 2 — 1 хо . Уо _ .
х0 ~ 2 ’ Уо — 2 ’ 25 + 9 — 11
Получим 36 х2 + 100 у2 — 226 (z — I)2 = 0 — это и будет уравнение искомого конуса.
Ответ.. 36 х2 + 100 у2 — 225 (г — I)2 = 0.
№ 365. Определить, какие поверхности определяются следующими уравнениями, и построить эти поверхности: а) х2 + ^2 = 4.
Ответ. Круговой цилиндр.
у2 1.2
б* 25"*" 16 = 11
Ответ. Эллиптический цилиндр.
Xх — уг =\.
Ответ. Гиперболический цилиндр.
у2 = 2х.
Ответ. Параболический цилиндр.
z2 — у.
Ответ. Параболический цилиндр.
z + х2 = 0.
Ответ. Параболический цилиндр.
х2 + z/2 =2у.
Ответ. Круговой цилиндр.
х2 + t/2 = 0.
Ответ. Ось аппликат (х =0, у=0).
х2 — г2 = 0.
Ответ. Две диссекторные плоскости: х = z; х = —г.
I/2 = ху.
Ответ. Две плоскости у = 0 и у — х.
№ 366. Составить уравнения линий пересечения конуса х2 — у2 -|- г2 = 0 с плоскостями;
у = 3.
Ответ, х2 + г2 = 91
у = 3/‘
(окружность)
Z = 1.
Ответ, у8—х2=11 z = 1/
(гипербола)
х = 0.
Ответ, z2 — у2 = 01
х= 0 J
(две прямые)
№ 367. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, направляющие которого даны уравнениями:
х = а, у2 + z2 = 62. «i2
Ответ. ^- + ^ — ^ = 0. № 1 № а1
У = Ь, х2 + z2 = а2.
Ответ.=
у2 <|2
Ответ. ^ + ^ —^- = 0.
Поверхности вращения. Поверхности 2-го порядка. Эллипсоид, гиперболоиды ( однопо л о стиый и двух- полостный) и параболоиды (эллиптический и гиперболический). Если
лежащая в плоскости дог кривая с уравнениями F(.g, г) = О, х = О вращается вокруг оси ог, то уравнением образуемой ею поверхности вращения будет F^x^ + g2, г) =0.
Аналогично уравнение F(x, ]/у2 + г2) = 0 будет определять поверхность, образованную вращением вокруг оси ох кривой F(x, у) = 0, г = 0; уравнение F(V х2 -Нг2,. у) = 0 будет определять поверхность, образованную вращением той же кривой вокруг оси од.
Поверхности вращения 2-го порядка, образуемые вращением эллипса, гиперболы и параболы вокруг их осей симметрии.
Эллипсоид вращения:
х2 + у2 , Z2 _ .а2 с2 ~ ь
осью вращения служит ось ог; эллипсоид сжатый при а~> с и удлиненный при а <_ с (при а = с эллипсоид превращается в сферу).
Однополостиый гиперболоид вращения:
х2 + у2 г2 ।а2 с2 -
осью вращения является ось ог (служившая мнимой осью гиперболы, вращением которой образована эта поверхность).
Двухполостный гиперболоид вращения:
X2 + у2Z2 _.
а2с2 ~ — *•
осью вращения является ось ог (служившая вещественной осью гиперболы, вращением которой образован этот гиперболоид).
Параболоид вращения:
х2 + у2 = 2рг, осью вращения служит ось ог.
Поверхности вращения второго порядка являются частным случаем поверхностей 2-го порядка общего вида, канонические уравнения которых следующие.
Эллипсоид (трехосный): у2?2
Однополостный гиперболоид:
х2 . у2Z2а2 + б2 ~"с2"
Двухполостный гиперболоид: х2 । у2г2 .
а2 + б2 с2 ~ L
Эллиптический параболоид:
7 + 7 = 22 (р>0, q>0\
Кроме этих четырех поверхностей второго порядка, трех цилиндров второго порядка (эллиптического, гиперболического и параболического) и конуса 2-го порядка, существует еще одна поверхность второго порядка — гиперболический параболоид, каноническое уравнение которой имеет следующий вид:
7-7 = 22 (р>0, q>0\
Таким образом, существует всего девять различных поверхностей 2-го порядка.
№ 368. Найти уравнение поверхности, полученной при вращении прямой х + 2у = 4, 2=0 вокруг оси ох.
Решение. Поверхностью вращения будет конус с вершиной в точке М(4, О, 0).
Пусть произвольная точка искомой поверхности А будет иметь координаты X, Y, Z, соответствующая ей точка на данной прямой будет В\х, у, 0). Точки А и В лежат в одной плоскости, перпендикулярной к оси вращения ох. Тогда X = х, Y* + Z* = у2.
Подставляя значение х и у в уравнение данной прямой, получим уравнение искомой поверхности вращения
Х + 2/ Y^zT = 4,
или
4(У2 + Z2) — (X — 4)2 = 0.
Ответ. Конус. 4У2 + 4Z2 — (X — 4)2 = 0.
№ 369. Какую поверхность определяет уравнение х2 = t/z?
Решение. Сделаем поворот координатных осей вокруг оси ох на угол а = 45° (от оси оу к оси oz против часовой стрелки). Формулы преобразования координат: х = х', у = = у'cos a —z'sin а, г = у' sin а + z' cos а. Так как sina= = cosa = ^ ,тох = х,у=— (у — z ), г=-у (у 4-z). Эти значения подставим в уравнение поверхности.
Получаем х'8 = ^—^- или х'8— ^- + ^- = 0 (КОНУС с вершиной в начале координат, осью которого является ось абсцисс).
№ 370. Найти уравнение поверхности, полученной при вращении прямой 2у + г — 2 = 0, х = 0 вокруг оси oz.
Ответ. 4х2 + 4у2 — ( z — 2)2 = 0.
№ 371. Найти уравнения линий пересечения поверхности Z — X2 — у1 ПЛОСКОСТЯМИ Z = 1 , у = 1, X — 1, г =—1.
z + 1 = х21 у2 = 1 — г |у = 1 J ’ х = 1 J ’z + 1 = х21 у2 = 1 — г |у = 1 J ’ х = 1 J ’х^ — у2 = 1
z + 1 = х21 у2 = 1 — г |
у = 1 J ’ х = 1 J ’
z + 1 = х21 у2 = 1 — г |
у = 1 J ’ х = 1 J ’
Ответ. ' г = 1
у2 — х2 = 1)
z = — 1 J
№ 372. Какие поверхности определяются уравнениями:
z = ху, б) z2 = ху7
Указание. Сделать поворот вокруг оси ог на угол 45°.
Ответ, а) Гиперболический параболоид.
Конус с вершиной в начале координат.
№ 373. Найти уравнение эллиптического параболоида, имеющего вершину в начале координат и осью которого является ось oz, если на его поверхности заданы две точки М (—1, —2, 2) и N (1, 1, 1).
Ответ. 3z = 2х2 + уЧ
№ 374. Составить уравнение эллипсоида, осями симметрии которого служат оси координат, если на его поверхности лежат три точки Д(3, 0, 0), В(—2,5/3, 0), С (0,—1, 2 \
/б?
Ответ.^^Ц = \.
№ 375. Найти уравнения линии пересечения поверхностей z = 2 — х2 — у2 и z = х2 + у2.
Ответ, х2 + у2 = 1, 2=1 (окружность).
№ 376. Исследовать, какие поверхности определяет уравнение г2 + х2 = m(z2 + у2) при а) т = 0, б) 1>/и>0, в) т"> 1, г) т <_ 0, д) т = 1 .
Ответ, а) Ось ординат, б) конус с осью оу и вершиной в начале координат, в) конус с осью ох и вершиной в начале координат, г) начало координат, д) пара плоскостей, пересекающихся по оси oz.
4. О бщее уравнение поверхности 2-го порядка. Наиболее общее уравнение второй степени относительно х, у и z имеет вид
Ах2 + By2 + Cz2 + 2Dyz + 2Exz + 2Fxy + 2Gx ++ 2Hy + 2Kz + L = 0.
Это уравнение может определять сферу, эллипсоид, одно- полостный или двухполостный гиперболоид, эллиптический или гиперболический параболоиды, цилиндрическую или коническую поверхность второго порядка.Это уравнение может также определять совокупность двух плоскостей, точку, прямую или даже не иметь геометрического смысла (определять «мнимую» поверхность).
При D = 0, Е = 0, F = 0 это уравнение принимает вид Ах1 + By2 + Cz2 + 2Yx + 2Ну + 2Kz + L = 0.
В этом случае уравнение легко упрощается при помощи параллельного переноса осей координат, что позволяет сразу установить его геометрический смысл.
№ 377. Каков геометрический смысл уравнения х2 + 4 у2 + 9z2+ 12 yz + 6xz + 4ху — 4х — 8 у —
— 122 + 3 = 0.
Решение. Данное уравнение можно записать в виде
(х + 2 у + 3 г)2 — 4 (х + 2у + Зг) + 3 = 0.
Разложим на множители левую часть уравнения (x + 2y + 3z— 1)(х + 2у + 3г — 3) = 0.
Таким образом, уравнение определяет совокупность двух плоскостей
х + 2у + 3г—1=0, x + 2y + 3z —3 = 0.
№ 378. Каков геометрический смысл уравнения
х2 + у2 + z2 — yz — xz — ух = 0.
Решение. Умножая на 2, перепишем уравнение в виде
2 х2 + 2 у2 + 2 г2 — 2 уг — 2 хг — 2 ху = 0 или в виде
(х —у)2 + (у— г)2 + (х —z)2 = 0.
Этому уравнению удовлетворяют координаты только тех точек, для которых выполняются равенства х = у, у = г, х = г. Таким образом, уравнение определяет прямую линию х = у = 2.
№ 379. Каков геометрический смысл уравнения х2 + у2 + 4z2— 2ху— 8 z + 5 = 0?
Решение. Перепишем уравнение в виде (х — у)2+ 4(2 — 1)2 = — 1.
Это уравнение не имеет геометрического смысла, так как левая часть уравнения не может быть отрицательной величиной ни при каких вещественных значениях х, у иг.
№ 380. Привести к каноническому виду уравнение поверхности
4х2 + 9у2 + 36г2 —8х — 18 у — 72г + 13 = 0.
Решение. Соберем вместе члены с одинаковыми координатами
4 (х2 — 2 х) + 9 (у2 — 2 у) + 36 (г2 — 2 г) = — 13.
Дополним до полных квадратов выражения в скобках
4(х2 —2х+ 1) + 9(у2 —2у + 1) + 36(z2 —2г + 1) == — 13 + 4 + 9 + 36, или
4 (х — I)2 + 9 (у — I)2 + 36 (z — I)2 = 36.
Сделаем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало координат точку О'(1, 1, 1). Формулы преобразования координат имеют вид
X = х' + 1,
У = У' + 1.г = z’ + 1.
Получаем уравнение поверхности
4 х'* + 9 у'1 + 36 z'* = 36 или
t2 + t + z'‘ = l
Уравнение определяет эллипсоид; центр его находится в новом начале координат, а его полуоси равны соответственно 3,2 и 1.
№381. Привести к каноническому виду уравнение поверхности
х2 — у2 — 4х + 8 у — 2 г = 0.
Решение. Группируем члены, содержащие х и у:
(х2 — 4 х) — (у2 — 8 у) = 2 z.
Дополняем до полных квадратов выражения в скобках: (х2 —4х + 4) —(у2 —8у + 16) = 2г + 4—16
или
(х —2)2 —(у —4)2= 2(z —6).
Делаем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало точку О' (2, 4, 6):
х = х* + 2,
У = У' + 4,z = г’ + 6.
Получаем уравнение х'2 — у'2 = 2 г', определяющее гиперболический параболоид.
№ 382. Какая поверхность определяется уравнением 4Х2_ у2 +422_8х + 4у+ 8z + 4 = 0?
Решение. Группируем члены, содержащие х, у и г: 4(х2 —2х) —(у2 —4у) + 4(г2 + 2г) = — 4.
Дополняем до полных квадратов выражения в скобках: 4(х2 —2x4- 1) — (У2 — 4 у + 4)4-4(z24-2z4- 1) = =_4+4—4+4 или
4(х — I)2 — (у — 2)2 + 4(г 4- 1)2 = 0.
Выполняем параллельный перенос. Новое начало О'(1,2, — 1). Формулы преобразования координат х = = х' 4- 1, у = у' + 2, z = z' — 1. Уравнение принимает вид 4 х'2 — у'2 4- 4 z'2 = 0, х'2 — ^-4- z2 = 0. Получили уравнение конической поверхности.
Какие поверхности определяются уравнениями?
№ 383. х2 — ху — хг 4- yz = 0.
Ответ. Две плоскости х = у и х = z.
№ 384. х2 4- z2 — 4х — 4г 4- 4 = 0.
Ответ. Круглый цилиндр (х — 2)2 4- (г — 2)2 = 4.
№ 385. х2 4- 2z/2 4~ z2 —• 2xz/ — 2z/z = 0.
Ответ. Прямая линия х = у = г.
№ 386. х2 4- z/2 — z2 — 2у 4- 2г = 0.
Ответ. Конус 2-го порядка х2 4- (г/ — I)2 — (г — I)2 = = 0 с вершиной в точке S (0, 1,1), ось которого параллельна оси ог.
№ 387. х2 4- 2z/2 4- 2z2 — 4у 4- 4г 4- 4 = 0.
Ответ. Точка (0, 1, —1).
№ 388. 4х2 4- У2 — z2 — 24х — 4у 4- 2г 4- 35 = 0.
Ответ. Однополостный гиперболоид с каноническим ,2 । у'2г'2.
уравнением х 4--^Т =‘
№ 389. х24-у2 —z2 —2-х —2y4-2z4-2 = 0.
Ответ. Двухполостный гиперболоид с каноническим уравнением
,/2/21
х 4- у —z = — 1.
№ 390. х24-у2 —6x4-бу —4z 4- 18 = 0.
Ответ. Параболоид вращения с каноническим уравнением х'2 4- у'2 = 4 г'.
№ 391. 9х2 —г2—18х—18у —6г = 0.
Ответ. Гиперболический параболоид с каноническим ,2г'2
уравнением х —д- = 2 у.
рассматриваемого линейного преобразования.рассматриваемого линейного преобразования.Определитель Da=Определитель Da=ап021ап021012022012022называется определителемназывается определителемлинейного преобразования. В дальнейшем будем предполагать, что Da4=0*линейного преобразования. В дальнейшем будем предполагать, что Da4=0*Можно также рассматривать линейное преобразование трех переменных (т. е. для пространства):Можно также рассматривать линейное преобразование трех переменных (т. е. для пространства):
рассматриваемого линейного преобразования.
рассматриваемого линейного преобразования.
Определитель Da=
Определитель Da=
ап
021
ап
021
012
022
012
022
называется определителем
называется определителем
линейного преобразования. В дальнейшем будем предполагать, что Da4=0*
линейного преобразования. В дальнейшем будем предполагать, что Da4=0*
Можно также рассматривать линейное преобразование трех переменных (т. е. для пространства):
Можно также рассматривать линейное преобразование трех переменных (т. е. для пространства):
№ 392. х2 + у2 + z2 + 2 yz + 2 xz + 2 xy + 2 x + 2 y.+ •f* 2 z -J- 1 = 0.
Ответ,. Две слившиеся плоскости (х + у + z + 1)2=0.
§ 3. Линейные преобразования и матрицы
Равенства
х = апх' + а^у',у = а21х'+ а22у'
линейно выражают значения переменных х и у через значения переменных х'и у'. Эти равенства принято называть линейным преобразованием переменных х', у*. Их можно рассматривать также как линейное преобразование координат точки (или вектора) на плоскости.
Таблицу А = f011 °12) мы будем называть матрицей \ 021 022 /
х = апх' + а12у' + а13г', у = а21х' + а22у' 4-023 г', z^d^x'4- 032/4-033?'
с матрицей
0Ц 012 013
021 022 023
^31^32033?
и определителем
0ц0210310ц021031012 013
0ц
021
031
0ц
021
031
022 023
032 033
Матрица А называется невырожденной (не особой), если Da + О. Если же Da = 0, то матрица А — особая (вырож-
денная). Матрица | 11 й12| называется квадратной ма-
(
0ц 0u 01з\ а21 «22 «23 I
«3103203 З^
квадратной матрицей третьего порядка. Для большей общности ряд определений будет дан для матриц третьего порядка; применение их к матрицам второго порядка читателя не затруднит, рели элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию атп — апт, то матрица называется симметрической. #
Дер матрицы
^]2 6 22 ^32^]2 6 22 ^32012 «1з\/^11
^]2 6 22 ^32
^]2 6 22 ^32
«22 а2з Iи В = I 621
«32033'' ^31
считаются равными {А=В) тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы, т. е. когда атп = Ьтп (т = 1, 2, 3; n= 1, 2, 3).
Суммой двух матриц называется матрица, определяемая равенством
011 012 013\/6ц021 022«23j 1 621^«31«32«33/\631/ ап + 6 ц«12 + 612= 1 «21 + 621«22 + 622\«31 + 631«32 + 632011 012 013\/6ц021 022«23j 1 621^«31«32«33/\631/ ап + 6 ц«12 + 612= 1 «21 + 621«22 + 622\«31 + 631«32 + 632013 + ^1з\ «23 + ^23 I • 033 + 633/013 + ^1з\ «23 + ^23 I • 033 + 633/bi2Ь^632bi2Ь^632
011 012 013
\/6ц
021 022«23
j 1 621
^«31«32«33
/\631
/ ап + 6 ц
«12 + 612
= 1 «21 + 621
«22 + 622
\«31 + 631
«32 + 632
011 012 013
\/6ц
021 022«23
j 1 621
^«31«32«33
/\631
/ ап + 6 ц
«12 + 612
= 1 «21 + 621
«22 + 622
\«31 + 631
«32 + 632
013 + ^1з\ «23 + ^23 I • 033 + 633/
013 + ^1з\ «23 + ^23 I • 033 + 633/
bi2
Ь^
632
bi2
Ь^
632
(0ц 021 031(0ц 021 031012022032012022032та1й та^ та^та1й та^ та^
(0ц 021 031
(0ц 021 031
012
022
032
012
022
032
та1й та^ та^
та1й та^ та^
Произведением числа т на матрицу1 называется матрица, определяемая равенством
та13 та^ та^
Произведение двух матриц А и В обозначается символом АВ и определяется равенством
(
аЦ° 12°1з\ /^11^12^1з\
#21^22^23 г| ^21^22^23 I =
^31^32^33' \&3j632633/
(333
S aij bji S av ^ 2^ aij bja 333
^ciyb^ ^jCiajbjS^a2jbja , 333
S аз)Ьд S a3j ь^ 2 а^а1%
tn. e. элемент матрицы-произведения, стоящий в l-й строке и k-м столбце, равен сумме произведений, соответственных элементов i-й строки матрицы А и к-го столбца матрицы В.
По отношению к произведению двух матриц переместительный закон не выполняется: АВ 4= В А. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц.
Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю:
/О 0 0\
[О 0 0 1 = 0.
\0 0 0/
Сумма этой матрицы и любой матрицы А дает матрицу А: А -{* 0 = Д.
Единичной матрицей называется матрица /1 0 ОХ
Е =10 1 О I.
\0 0 1/
При умножении этой матрицы слева или справа на матрицу А получаем матрицу А: ЕА=АЕ=А. Единичной матрице отвечает тождественное линейное преобразование:
х = х',
У = У’.г = г*.
Всякая невырожденная (Da + 0) квадратная матрица А имеет так называемую обратную матрицу.
Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если произведение АВ равно единичной матрице: АВ = Е.
Для матрицы, обратной по отношению к матрице А, вводят обозначение Д-1.
Обратная матрица находится по формуле ' ЛпЛ21Лз!\
dadada\
, .^12Л22Л32I
А = dadada.
Л13Л 23Лзз/
У Da da Da I
где Атп алгебраическое дополнение элемента матрицы атп в ее определителе, т. е. произведение минора 2-го порядка, полученного вычеркиванием в определителе матрицы А т-й строки и п-го столбца, на (—l)m+".
При умножении матриц А и А-1 выполняется переместительный закон, т. е. Д-Д-1 = А-1 - А = Е.
Матрицей-столбцом называется матрица
/*1\
X = I х21.
Произведение АХ определяется равенством
(
#11 #12 #1з\/ ^А/#11Х1 +#12 -^24" #13 *з\
#21 #22 #23^2I== I #21^1 4“#22 -^24” #23 ^3 I •
#31 ^32 ^33/\ ^3*\^31^1 4"^32 -^24“ ^33 *^3^
Система уравнений
#ii -^i 4" #12 х2 4" #1з хз = Ьъ
#21 Х1 4" #22 -^2 ”1" #23 Хз = 'Ь^
#31 -^1 4“ #32 «^2 4“ #33 -^3 “ ^3
может быть записана в виде АХ = В, где В = ( 62
W3'
Решение этой системы имеет вид Х = А™Х-В (если
Da + 0Y
Характеристическим уравнением матрицы
(
0Ц 012 013 021 022 023 031 032 033
аИ,— X012^13021022X а^з= 0.^310320зз — XаИ,— X012^13021022X а^з= 0.^310320зз — Xназывается уравнение
аИ,— X
012
^13
021
022
X а^з
= 0.
^31
032
0зз — X
аИ,— X
012
^13
021
022
X а^з
= 0.
^31
032
0зз — X
Корни этого уравнения Хг, Х2, Х8 называются характеристическими числами матрицы, которые всегда вещественны, если исходная матрица была симметрической.
Система уравнений
(#ИX) 6] + #12 ^2 + #13 £з = О,
#21 11 + (#22М ^2 + #23 1з — О,
#31 11 + #32 11 + (#33X) 6з = О,
в которой X имеет одно из значений Хъ Х2, Х8 и определитель которой в силу этого равен нулю, определяет тройку чисел (61, 6г, 6з) соответствующую данному характеристическому числу.
Эта совокупность трех чисел (6Ъ 62, 1з) определяет вектор г = 61 ^ + ^2 / + 6з ^, называемый собственным вектором матрицы.
№ 393. Найти сумму матриц
/35 7\/ 1 24\
Л = 1 2 — 1 О I и В = 1 2 3—21.
Решение./3 + 1Л + В= 2+2\4 —1(Q42Л + 5В.Решение./3 + 1Л + В= 2+2\4 —1(Q42Л + 5В.\43 2/\—1 01/
Решение.
/3 + 1
Л + В= 2+2
\4 —1
(Q
4
2Л + 5В.
Решение.
/3 + 1
Л + В= 2+2
\4 —1
(Q
4
2Л + 5В.
5 + 2 7 + 4\/4711
— 1+3 0 —2] = [4 2 —2
3+0 2 + 1/\3 33
5\/23\
L В = /\. Найти матрицу
Решение.
м_/6 ЮХ6В /Ю 15Х 2Д /16 25\
\8 2 /\ 5 —10 /\13 —8/
№ 395. Найти произведения матриц АВ и ВА, если
/131\/2!
А =1 204)и В= 11—1
\123/\32
Решение.
/1-2+3.1 + ЬЗ 2-2+0-1+4-3 \1-2+2-1+3-3/1-2+3.1 + ЬЗ 2-2+0-1+4-3 \1-2+2-1+3-3АВ =1-1+3(—1)+1-22-1+0(—1)+4-21-1+2(—1)+3-2АВ =1-1+3(—1)+1-22-1+0(—1)+4-21-1+2(—1)+3-2Ь0+3-2+Ы\ 2-0+0-2+4-1 1 = 1 -0+2-2+3-1/Ь0+3-2+Ы\ 2-0+0-2+4-1 1 = 1 -0+2-2+3-1/
/1-2+3.1 + ЬЗ 2-2+0-1+4-3 \1-2+2-1+3-3
/1-2+3.1 + ЬЗ 2-2+0-1+4-3 \1-2+2-1+3-3
АВ =1-1+3(—1)+1-22-1+0(—1)+4-21-1+2(—1)+3-2
АВ =1-1+3(—1)+1-22-1+0(—1)+4-21-1+2(—1)+3-2
Ь0+3-2+Ы\ 2-0+0-2+4-1 1 = 1 -0+2-2+3-1/
Ь0+3-2+Ы\ 2-0+0-2+4-1 1 = 1 -0+2-2+3-1/
О105О1057'47,7'47,В А =В А =
О
10
5
О
10
5
7'
4
7,
7'
4
7,
В А =
В А =
/2-1+1-2+0-1 I 1.1—1 -2+2-1ХЗ-1+2.2+1-1/2-1+1-2+0-1 I 1.1—1 -2+2-1ХЗ-1+2.2+1-12-3+1-0+0-21.3—1.0+2-23-3+2-0+1-22-3+1-0+0-21.3—1.0+2-23-3+2-0+1-22-1+1-4+0-3\1-1—1-4+23 =3-1+2-4+1-3/2-1+1-4+0-3\1-1—1-4+23 =3-1+2-4+1-3/
/2-1+1-2+0-1 I 1.1—1 -2+2-1
ХЗ-1+2.2+1-1
/2-1+1-2+0-1 I 1.1—1 -2+2-1
ХЗ-1+2.2+1-1
2-3+1-0+0-2
1.3—1.0+2-2
3-3+2-0+1-2
2-3+1-0+0-2
1.3—1.0+2-2
3-3+2-0+1-2
2-1+1-4+0-3\
1-1—1-4+23 =
3-1+2-4+1-3/
2-1+1-4+0-3\
1-1—1-4+23 =
3-1+2-4+1-3/
466\
173.
8 11 14/
(
Ч 9’
1 4
Решение. Имеется в виду, чтоАт = А-А-А---А .
т — раз
2\/34Д1!4\ /318/ \12\/34Д1!4\ /318/ \12\ = /9 + 2 6+ 8\ = /11 14\
2\/3
4Д1
!4\ /3
18/ \1
2\/3
4Д1
!4\ /3
18/ \1
4/ U + 4 2+ 16/ ~ \ 7 18Л
2\/33 + 14 22 + 56\_/47 78\
4/ \21+18 14 + 72/ \39 .86/ ’
№ 397. Дано линейное преобразование х = х* + у' + z', У = х* + /, г = х*
и даны точки в системе координат (х', у’, z'}: (1, —1, 1), (3,-2, —1), (—1, —2, —3). Определить координаты этих точек в системе* (х, у, г}.
Решение. Подставив координаты точек в равенства, определяющие линейные преобразования, получаем: если х = 1, у' = — 1, z' = 1, то х—1, у =0,г= 1,
т. е. (1, 0, 1), если х' = 3, у* = —2,г'= —1, тох= 0,
у = 1, 2=3, т. е. (0, 1, 3), еслих'= —1, у'=—2,
г' = —3, то х = —6, у = —3, г = —1, т. е. (—6, —3,—1).
№ 398. Написать линейное преобразование в предыдущем примере для перехода от координат (х, у, г) к коор-' динатам (х', у', г').
Решение.
х' = г (из третьего равенства).
у' = у — г (вычитаем из второго равенства третье), г' = х — у (вычитаем из первого равенства второе). № 399. Дано линейное преобразование
х = х' + 2у', у = Зх' + 4у'.
У каких точек это линейное преобразование не меняет координат?
Решен ие. Нужно найти х и у, если х = х', у = у', или х = х + 2у, у = 3х + 4у. Следовательно, х =х* = 0, у = у' = 0.
№ 400. У каких точек линейное преобразование х = Зх' — 2/, у = 5х' — 4у' не меняет координат?
Решение, х = 3х — 2у, у =5х — 4у. Следовательно, х = у = х* = у', т. е. линейное преобразование не меняет координат у точек (/, О с одинаковыми координатами.
№ 401. Найти значение матричного многочлена 2Л2 4-
(Х 1 2^
+ ЗЛ + 5£ при А = I 1 3 11, если Е — единичная мат- \4 1 1/
рица третьего порядка.
Решение.
/112\ /112\/1065\
Л3 =Л 131 •[ 131 1= 1 81161,
\411/ \411/\ 9810/
/201210\/336\
2Ла = I 162212 I,ЗЛ = 13931,
\18162Q/\1233/
/1 0 0\/5 0 0\
5Е =5 01 01 = [О501,
\0 0 1/\0 0 5/
/28 15 16\
2Ла4-ЗЛ 4-55 = I 19 36 15).
\30 19 28/
№ 402. Даны два линейных преобразования
X = аи Х' + °12 У и Х' = ^и ^ + ^2 У*>У = а21 х* + а22 у' у' = 621 *" + 622 У,
подстановкой х' и у’ из второго преобразования в первое получим линейное преобразование, выражающее х и у через х" и у". Показать, что матрица полученного преобразования равна произведению матриц 1-го и 2-го преобразований.
Решение.
х = Яц (6ц х” + 512 у”) + а12 (621 х" 4- Ь22 у”) =— (яц^ц 4~ °12 Ь41)х” 4- (яц 612 4- я12622)у'1',у = я21 (5П х" 4- &12 у") 4" я22 (521 хГ4-622у") == (я216ц 4- а2а 621) х" 4- (я2х 6ц 4~ °?з 622) у",
Матрицей полученного линейного преобразования будет /°П ^И + а12 ^21Й11 ^12 4" а12 ^22\
\Й21 Ьи 4- Я22 ^21 °21 ^12 4- °Л2 ^22/
а эта матрица является произведением матриц
'апа1г\ и /^и^12
^OglCEgy \^21^22-
№ 403. Дана матрица№ 403. Дана матрица5 2\
№ 403. Дана матрица
№ 403. Дана матрица
ческие числа и собственные Решение. Составляемческие числа и собственные Решение. Составляемj. Найти ее характеристи- ; векторы.
ческие числа и собственные Решение. Составляем
ческие числа и собственные Решение. Составляем
5 —X45 —X4характеристическое уравнение
5 —X
4
5 —X
4
= 0, или (5 — X) (3 — X) — 8=0,
т. е. X2 — 8Х 4- 7 = 0. Характеристическими числами будут X, = 1, Х2 = 7. Находим собственный вектор, соответствующий первому характеристическому числу из системы уравнений
(5 — М) ei -F 2g; = 0,
4Й 4-(3-Х1)Й = 0,
так как X] = 1, то й и £2 связаны зависимостью 2Й 44- Й = 0.
Положив |1 = а (а — произвольное число), получаем й = — 2а и собственным вектором, соответствующим характеристическому числу Xj = 1, будет вектор rt = ai — — 2aJ.
Найдем 2-й собственный вектор
(5 —Х2)й 4-2Й = 0,
4Й 4-(3-Х2)Й = 0.
Подставив значение Х2 = 7, приходим к зависимости Й — й = 0, т. е. Й = й = Р. Собственным вектором, соответствующим второму характеристическому числу, будет r2 = pl 4- р/.
№ 404. Найти характеристические числа и собственные векторы матрицы
3 —11\
—15 -1 I.
1 —13/
Решение. Составляем характеристическое уравнение
или
(3_Х)[(5-Х)(3-Х)-1]+(-3 + Х + 1) ++ (1 — 5 + X) = 0.
После элементарных преобразований уравнение приводится к виду:
(3 — Х)(Х2 — 8Х + 12) = 0,
откуда
Xj = 2, Х2 “ 3, Xg = 6.
Находим собственный вектор, соответствующий характеристическому числу X] = 2.
Из системы уравнений
£1 ^2 + ^3 = 0„
-11 +3^2 -Ь = о,
11 ^2 + |з = о
(одно из уравнений этой системы есть следствие двух других и может быть отброшено), находим, что |2 = 0, 1з = — ^ь _ Полагаем gj = а, тогда ^ = 0, h = — а и r2=ai — ак.
Находим собственный вектор, соответствующий значению Х2 = 3.
Получаем систему уравнений:
-Й+Й= 0,
-^ + 2Й-Й = 0,^-Й = о
(одно из этих уравнений — следствие двух других).
Отсюда получаем
61=62 = 6'3 = 0 и г" = рГ+р7+р£
Находим собственный вектор, соответствующий Х3 = 6. Составляем систему уравнений:
— 3^1 — |г + 6з = О,
■—61 —62 —6з = О,
С -62" -з^Г = о(снова одно из уравнений — следствие двух других).
Решая эту систему, находим:
61' = У, 62" = — 2у, ^Г = у,г3 = ^1 — 2у/ + У^-
Итак, собственные векторы заданной матрицы:
71= а (Г—"к\ 72 = р(Г+7 + ^); 78 = у(7—2/+Д),где а, р, у — произвольные, отличные от нуля множители./3 2 2\
№ 405. Дана матрица Л = I 1 3 11. Найти ббрат- \5 3 4/
ную матрицу.
Решение. Вычисляем определитель матрицы А:
3 2 2
Da =
1 3 1
= 27 + 2 — 24 = 5.
5 3 4
Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя
Ац —Ац —3333АА12 ~12 ~
Ац —
Ац —
3
3
3
3
А
А
12 ~
12 ~
Л32 —Л32 —3131Л13 —Л13 —1 35 31 35 3- — 12,Л33 =- — 12,Л33 =Следовательно,Следовательно,/ 9/5 —2/5Л-1 = I1/52/5\—12/51/5/ 9/5 —2/5Л-1 = I1/52/5\—12/51/5№ 406. Решить систему уравнений:№ 406. Решить систему уравнений:2х + Зу + 2? — 9, х + 2у — 3? — 14, 3x + 4y + z= 16,2х + Зу + 2? — 9, х + 2у — 3? — 14, 3x + 4y + z= 16,представив ее в виде матричного уравнения.Решение. Перепишем систему в виде АХ —В, гдепредставив ее в виде матричного уравнения.Решение. Перепишем систему в виде АХ —В, где/2 32\/х\/ 9\Л-11 2 —3 , Х-(у , В-114 .\3 41/\16//2 32\/х\/ 9\Л-11 2 —3 , Х-(у , В-114 .\3 41/\16/Решение матричного уравнения имеет вид Х = Л~1-В.Найдем Л-1.Решение матричного уравнения имеет вид Х = Л~1-В.Найдем Л-1.DaDa2132133 22 -34 13 22 -34 1= 28 — 30 — 4 —— 6.= 28 — 30 — 4 —— 6.
Л32 —
Л32 —
3
1
3
1
Л13 —
Л13 —
1 3
5 3
1 3
5 3
- — 12,
Л33 =
- — 12,
Л33 =
Следовательно,
Следовательно,
/ 9/5 —2/5
Л-1 = I1/52/5
\—12/51/5
/ 9/5 —2/5
Л-1 = I1/52/5
\—12/51/5
№ 406. Решить систему уравнений:
№ 406. Решить систему уравнений:
2х + Зу + 2? — 9, х + 2у — 3? — 14, 3x + 4y + z= 16,
2х + Зу + 2? — 9, х + 2у — 3? — 14, 3x + 4y + z= 16,
представив ее в виде матричного уравнения.
Решение. Перепишем систему в виде АХ —В, где
представив ее в виде матричного уравнения.
Решение. Перепишем систему в виде АХ —В, где
/2 32\/х\/ 9\
Л-11 2 —3 , Х-(у , В-114 .\3 41/\16/
/2 32\/х\/ 9\
Л-11 2 —3 , Х-(у , В-114 .\3 41/\16/
Решение матричного уравнения имеет вид Х = Л~1-В.
Найдем Л-1.
Решение матричного уравнения имеет вид Х = Л~1-В.
Найдем Л-1.
Da
Da
2
1
3
2
1
3
3 2
2 -3
4 1
3 2
2 -3
4 1
= 28 — 30 — 4 —— 6.
= 28 — 30 — 4 —— 6.
Вычислим алгебраические дополнения этого опреде
лителя
Лц —
Лз® — —
/ 126 4-70 —208\/—12\/ 2\
I — 90 —56 4*128 =— -1- —18 1 = 13 .
\— 18 4-14 4- 16/\ 12/\— 2/
Следовательно, х = 2, у = 3, z = — 2.
№ 407. Нормировать вектор X = 3t 4- 4/ 4-12^.
Решение. Нормировать вектор X = £i i 4- £2 7 + 4- ^, это значит найти единичный вектор того же направления. Таким будет вектор
~ _ 61 i + 62 / 4~ Ез
0 Гё|+11+1Г
В данном случае х0 = ^ i4- ^ / 4- jg k.
Приведение к каноническому виду общих уравнений кривых и поверхностей второго порядка. Выражения вида
апх 4- 2а12 ху 4- а22 у2 и
«н х2 4- «22 У2 + «за ?2 + 2аи ху 4- 2а13 хг 4- 2а23 yz
называются квадратичными формами соответственно от двух и трех переменных.
Симметрические матрицы
д(2)/^1) 012 \___
Д2 — II > где 6Z21 — #12>
\a2i °22)
и
/Оц 012 01з\
А (33) = I Я21 ^22 о2з I, где o2i = ®12> Оз]=О1з и Оз2 = а^
\Оз1 O32 азз/
называются матрицами этих форм.
Квадратичные формы при помощи линейного преобразования переменных могут быть преобразованы в формы, не содержащие произведений новых переменных (приведены, как говорят, к алгебраической сумме квадратов): иными словами, квадратичная форма двух переменных может быть приведена к виду Xjx'2 + Х^у'1, а квадратичная форма трех переменных к виду
X] л: 4~ ^2 У Х3 2 .
При этом коэффициенты Хъ Х2 и Х3 являются ничем иным, как характеристическими числами матриц соответствующих форм.
Соответствующее линейное преобразование переменных можно найти следующим образом: определяем тройку (для квадратичной формы двух переменных — пару) нормированных, попарно ортогональных собственных векторов, соответствующих характеристическим числам Хь Х2, Х3:
61 = «i i 4- Pi / + Y1 h,
в» = а21 + Рз / + Тг hi
ea = а31 4* Рз / 4- Тз &•
(В силу нормированности и ортогональности векторов Ci, е2, вз должны выполняться тождества:
af + Р/4-V/= b i = l,2, 3,
aia/4-PjP/4-T<Tj = 0, ij = 1, 2, 3, i 4= j.
Тогда матрицей преобразования переменных будет матрица
(
а, а2 а3\ 01 02 03 , Y1 ?2 Тз/
иными словами, надо положить:
х = а, х' + а2 у' 4- a3z',у = М' + 02 у' 4- 03 ?',г = у1х' + у2у' + у3г'.
(Для случая двух переменных все формулы соответственно упрощаются.) Такое преобразование переменных носит название линейного ортогонального преобразования: для такого преобразования определитель матрицы S равен ±1: D$ = +1.
Именно оно используется для приведения к каноническому виду общего уравнения кривой или поверхности второго порядка, причем если хотят сохранить взаимную ориентацию новых координатных осей, налагают на матрицу преобразования S дополнительное условие Ds = +1.
Преобразование уравнения кривой или поверхности второго порядка к каноническому виду производится следующим образом:
находят то линейное ортогональное преобразование координат, которое приводит квадратичную форму стар- щих членов уравнения кривой или поверхности к сумме квадратов и совершают в уравнении соответствующую замену. В результате этого преобразования из уравнения исчезают члены с произведениями координат;
совершая после этого параллельный перенос новых осей координат (в пространстве иногда приходится, кроме того, делать дополнительный поворот двух осей в одной из координатных плоскостей), приводят уравнение к требуемому каноническому виду.
№ 408. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 5х2 + 4х</ + 8у2 — 32х — 56# + + 80 = 0.
Решение. В данном случае матрицей старших членов будет матрица
Составляем характеристическое уравнение матрицы 5-Х2
28 —X
т. е. 13X4-36 = 0.
Находим характеристические числа Х,= 4, Х2 = 9. Полагая Х,=4, для определения соответствующего собственного вектора получаем уравнения:
|, 4- 2^ = 0,2^ 4- 4£2 = 0.
Откуда^, = — 2£2; полагая £2 = —а, находим |, = 2а и г1=а(2Г—7).
Нормируем вектор г,: 2 -т /
Полагая Х2=9, для определения второго собственного вектора получаем уравнения:
— 4^,4-2112 = 0,2ц, — 42 = 0.
Отсюда
ц2 = 4- 2л, и г2 = р (74-27).
Нормируя, определяем
Вектора е, и е2 ортогональны:
ёгё2 = 0.
Используем собственные нормированные ортогональные векторы для построения матрицы преобразования координат
(
2I \
I2 Г ^sЬ 1*
Отсюда
х = 71х'*^'' ^~Vlx'+7gy'-
Значения х и у подставим в уравнение кривой
5 (Л= х' + —U у' V+ 4 (-^= х' 4-уЛ х
П5 Уб у )\У5/5 z /
-Fr^ + iTFn + ^-i^^ + FF’'') “
— 32 f-^r х* +— 56 f —* x* 4- -JL уЛ 4-
\V5 Уб У }\ /5^V^>)
4- 80 = 0.
Откуда после раскрытия скобок и приведения подобных членов находим:
4х'24-9у,2 — -^х'—^-у' 4-80 = 0.у /5 Уб у
Обращаем внимание читателя на то, что в преобразованном уравнении коэффициентами при х'2 и у'2 оказались (как и следовало) характеристические числа ^ и Х2. Перепишем уравнение в виде
4 (х’! - A v)+9 _ йг н+80=°-
Выражения в скобках дополним до полных квадратов:
(^5+ 55 J + У ^ Уб У + 55 J +
4-80 = 0
или
4Г _ут) "5 +Т “уг) 5" + 80 = 0, или окончательно
Сделаем параллельный перенос осей координат, полагая
х" = х'у" = у'j
Уб у У /5 получаем
4х"2 4- 9у"2 = 36 или
(каноническое уравнение эллипса).
№ 409. Привести к каноническому виду уравнение кривой
9х2 + 24ху+ 16у2 —230%+ НО у — 225 = 0.
9 —X 12— 1216 —X9 —X 12— 1216 —XРешение. Характеристическим уравнением будет
9 —X 12
— 1216 —X
9 —X 12
— 1216 —X
=0, т. е. X2— 25Х=0, Хг= 0, Х2 = 25.
При Х=0 получаем систему уравнений:
9^ + 1253 = 0,12^4-16^ = 0.
Каждое из этих уравнений сводится к уравнению -j- = = ^ Следовательно, собственным вектором матрицы будет вектор r=a(4i— 3/), а собственный нормированный век-1
тор ег получаем при a =у:
"47Т
ei ~Т1 — "51-
При Х=25 получаем систему уравнений:
16*41 + 12 7)2 = 0,
12 т)! — 9т)2 = 0.
Из этой системы находим аналогичным путем второй собственный нормированный вектор e2=-|-i + ^ j (^-^ = 0). Матрица преобразования координат имеет вид
(
4 _з_\ 5 5 1 АГ (^ = + 1)’ 5 5 /
а формулами преобразования будут 4 , . 3 ,
Переписав уравнение кривой в виде
(Зх + 4у)2 —230х + ПОу — 225 = О, перейдем к новым координатам:
25у'2 - 230 (Ax' +1 у j +1Ю (- А х' + А у') _— 225 = 0.
После приведения подобных членов и сокращения на 25 приходим к уравнению
у'2 —Юх' —2у' —9 = 0.
Последнее уравнение можно переписать в виде (у'— 1)2= = 10(х' + 1). Совершая параллельный перенос осей, примем за новое начало координат точку О'(—1, 1). В итоге приходим к каноническому уравнению заданной кривой у"2=10х" (парабола).
№ 410. Привести к каноническому виду уравнение поверхности
Зх2 + 5у2 + 3z2 — 2ху + 2xz — 2yz — 12 х — 10 = 0.
Решение. В нашем примере матрицей старших членов уравнения поверхности будет
характеристические числахарактеристические числаненияненияматрицы определяются из уравматрицы определяются из урав
характеристические числа
характеристические числа
нения
нения
матрицы определяются из урав
матрицы определяются из урав
3 —X— 1 13 —X— 1 1-11
3 —X
— 1 1
3 —X
— 1 1
= 0,= 0,—X —1 — 1 3—X
= 0,
= 0,
которое приводится к виду (3 — X) (X2 — 8Х + 12) = 0 $ отсюда находим Xj=2, Х2=3, Х3=6.
При Х=2 получаем систему уравнений:
u^ -^ и2 ~Н «в — 0,— Uj 4- Зи2 — U3 == 0,и.-^ — и2 4~ и3 = 0.
Указанному значений X соответствует собственный вектор (а, 0, —а). После нормирования приходим к вектору —1 —1 —
ех= y=r I — ру к. При X = 3 получаем систему:
— У2 + У3 = О,
— Ух + 2 У2 — уз = О, у, — у2 = 0.
Отсюда получаем второй нормированный собственный вектор
Векторы ех и е2 ортогональны: е1-е2 = 0.
При Х=6 получаем систему уравнений:
— 3®! — Ф2 + ®3 — 0,— wt — ®2 — ®з = 0,®! ®23®з = 0.
Соответствующим нормированным собственным вектором (третьим) будет
8 Уб /6/6
который ортогонален к векторам ег и е2:е1-е3=0, е2-е3 = =0. Находим матрицу преобразования координат
11
/ V2
1 /3
1 1 /6 \
о 10
1
2 1
5=1 v
уз
/6" 1-
1
1 /
\ /2
Уз
/6 /
Отсюда получаем формулы преобразования координат:
1,2,
г /2 Х уТ У + У 6 2"
Значения х, у, г подставим в уравнение поверхности
3 (гт=гх' ++ *т=г' У + ^ (У'4 г' У 4-
\К2/3 7/6/\/3 7 Кб / Г
+ 3 ( —х* + у' 4- 4= z'V —\/2/3 7/6/
^2(Л-г + Й/ + 7<гг') b^-W2')4-
+ 2(^Х' + Й”'' +7Тг') хх(~й*' + ?т/+й2')_2(/т’’'~/тг') х
х FT + vT + 7Т г') ~
\ г 2у иО /
— 12 (-Ux' 4- 4=- у' 4- 4=- гЛ — 10 = О,\К2 Кз 7 Кб /
или
2х,2+ Зу,24- 6г'2 — бУ2х' — 4 ^Зу' — 2/6z' — 10 = 0.
Коэффициентами при х'2, у'2 и г'2, как и должно было быть, являются соответственно числа Xv %2, %8. Перепишем уравнение в виде
2(х'8-^л:') + 3(>’'8-^ у) ++ 6(г’8—1^ 2 ) =|0,
что после дополнения выражений в скобках до полных квадратов дает:
о /х' ® V I 3 (v' V । к * V— 24
Г r2j+ V КЗ/+ V K6J
Выполняя параллельный перенос осей координат
и разделив уравнение на 24, приходим к каноническому уравнению эллипсоида
№411. Дана матрица
/5 8 4\Л= 3 2 5 .
\7 6 О/
Какую матрицу В нужно прибавить к матрице А, чтобы получить единичную матрицу?
Ответ..
№ 412.
/2 1 1\
А = 1 1 2 1 I.
\1 1 2/
Найти сумму матриц Л2 + А + Е. Ответ.
/9 6 6\
6 9 6).
№ 413.№ 413.\6 6 9/
№ 413.
№ 413.
/10 20 — 30\
Л = | 0 10201.
\ 0010/
Найти обратную матрицу. Ответ.
7/10\-1/5 .1/10/7/10\-1/5 .1/10//1/10 —1/5
7/10\
-1/5 .
1/10/
7/10\
-1/5 .
1/10/
I 01/10
\ Оо
№ 414. Даны два линейных преобразования х^ацх'+а^у'+а^г',V = bu x'+by/'+b^z",
y=a21x'-j-a22y'+a23z', и y'=b21x”4-b22y"+b23z", г=а31 х*+а32 у' 4-а33 г*г’ = Ь81 х" 4- Ь32 у"+Ь33 г".
Подстановкой х’, у* и г* из второго преобразования в первое получим линейное преобразование, выражающее х, у, z через х", у", г". Показать, что матрица полученного преобразования равна произведению матриц 1-го и 2-го преобразований.
№ 415. Найти характеристические числа и нормированные собственные векторы матрицы
/7 4^
\5 6/-
Ответ. К1=2, Х2=11; еТОтвет. К1=2, Х2=11; еТ4-5__।_КП ‘— 7п Сг” кТ(4-5__।_КП ‘— 7п Сг” кТ(
Ответ. К1=2, Х2=11; еТ
Ответ. К1=2, Х2=11; еТ
4-5__।_
КП ‘— 7п Сг” кТ(
4-5__।_
КП ‘— 7п Сг” кТ(
№ 416. Найти характеристические числа и собственные векторы матрицы
/1 1 3\
1 5 1
\3 1 1/
Ответ. ^ =— 2, Х2 = 3, 13 = 6;г1 = а(/— А); г2 = = Р^—74-^ ^=у(7+2/+А).
№ 417. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 5х24-6ху 4- 5у2— 16х— 16у—16=0.
»2
Ответ, "ig" + 4 = 1-
№ 418. Решить систему уравнений:
Зх + 4у = 11,5у 4- 62 = 28,
х 4- 2z =7,
представив ее в виде матричного уравнения. Ответ. х=1, у=2, 2=3.
№ 419. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка
7х2 + 16ху — 23 у2— 14х — 16у —218=0.
Ответ. "25 ~ g = 1-
№ 420. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка
х2 + 2ху + У2 — 8х + 4 = 0.
Ответ. y,2=2]/2x".
№ 421. Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
х2+5у2+г2+2ху+6хг+2уг — 6 = 0. х'2v'2г'2
Ответ. -^ 4]§* = 1 (однополостный гипербо
лоид).
Указание. Формулы преобразования координат:
,1 > , 1 - , • ,
х =——х + —^у +г-ч=г,
уз /6 7 У 2
1, ,2,
у = ”7$х +^у'
1 , . 1 ,1 ,
г =
/3/6 у /2
№ 422. Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
2х2 + у2 + 2г2 — 2ху — 2уг + х — 4у — Зг + 2 = 0.
Ответ. 2у"2+ 3/2= ]/6х" (эллиптический параболоид).
Указание. Формулы преобразования координат
x--v?x-vty +7?г' х=х’
z =+z' = z' + 7$-
№ 423. Дано линейное преобразование х = 6х' + у' — 2г', у = — 18 х' + 2у' + 6г', г = 2х' + 2у'.
Координаты каких точек удваиваются этим преобразованием?
Ответ. (/, 2/, 30, где/—произвольное действительное число.
№ 424. Даны два линейных преобразования:
х — х* + у' + 2г', х = 2х' + 2г',
у = х* + 2у’ 4- 6г', и у = х' + Зу' + 4г',
г = 2х' + Зу'г=х' + Зу' + 2г'.
Найти точки, для которых каждое из этих преобразований дает один и тот же результат.
Ответ. (2t, 2t, 0, где / — произвольное действительное число.
№ 425. Найти точки, координаты которых не меняются при применении линейного преобразования:
х = х' cos а — у' sin а,
у = х' sin а + у' cos а.
Ответ. (О, 0).
№ 426. Найти геометрическое место точек, координаты которых меняются местами при применении линейного преобразования:
х = х' cos а — у' sin а,у = х' sina + y'cosa.
Ответ. Прямая линия x'cosa — у'(l-(-sina)=0.
Глава IV
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Абсолютная и относительная погрешность
Пусть а — приближенное число, заменяющее собой в вычислениях точное число А.
Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется абсолютная величина разности между ним и соответствующим точным числом:
|Л —а|.
Предельной абсолютной погрешностью называется возможно меньшее число А, удовлетворяющее неравенству:
| Л — а | < А.
Точное число А находится в границах:
а — А <; А ^ а 4- А или А = а + А.
Относительной погрешностью приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности этого числа к соответствующему точному числу:
IЛ — а|А 1
Предельной относительной погрешностью называется возможно меньшее число 8, удовлетворяющее неравенству:
Так как практически А « а, то за предельную относительную погрешность принимают число о = - (выражаемое обычно в процентах).
Справедливо неравенство:
а(1 —6)< А<а(1 +6).
Говорят, что положительное приближенное число а, записанное в виде десятичного разложения, имеет п верных знаков (цифр), если абсолютная погрешность этого числа не превышает 1/2 единицы n-го разряда.
При п > 1 за предельную относительную погрешность приближенного числа а с первой значащей цифрой к можно принять число
б = ± f±V"*2k \ 10 /•
,1 ( 1 \"-*
Если известно, что о < о>. , .. тк , то число а 2 (k + 1) \ 10 /’
имеет п верных знаков.
Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.
Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не превышает наибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых.
Предельная относительная погрешность произведения и частного приближенных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей этих чисел.
Предельная относительная погрешность степени приближенного числа равна произведению предельной относительной погрешности этого числа на показатель степени.
№ 427. Угол, измеренный теодолитом, оказался равным 22“20'30" ± 30". Какова относительная погрешность измерения?
Решение. Абсолютная погрешность А =30". Тогда относительная погрешность будет
6 = 4=22=Иг -100%-0,04-/..
Ответ. 6 = 0,04 %.
№ 428. Определить число верных знаков и дать соответствующую запись приближенной величины ускорения
силы тяжести g = 9,806... при относительной погрешности 0,5%.
Решение. Поскольку первая значащая цифра нам известна (9), то, воспользовавшись неравенством 6<^ 1/ 1 V”’1/1 V-1
’ получим °>005<1мб-Ы ’
т. е. п=2. Тогда g=9,8.
№ 429. Дано, что предельная относительная погрешность числа V19 равна0,1 %. Найти, сколько в этом числе верных знаков.
Решение. Здесь первая значащая цифра числа 4, предельная относительная погрешность 6 = 0,001 = 10~3. На основании неравенства 6^ 2(А+’ 1) (10") имеем
/ 1 X”—1 0,001<-^ •, откуда п=3.
Следовательно, /19 = 4,36 (по 4-значным таблицам /19 = 4,3589).
№ 430, Найти, сколько верных знаков содержит число Д =3,7563, если относительная погрешность равна 1%.
Решение. Первая верная цифра 3, а потому 0,01 ^ 1/ 1 \”-i
<274- ("То")> откуда п=2. Число Д следует записать
так: Д=3,8.
№431. Площадь квадрата равна 25,16 см4 (с точностью до 0,01 см4). Найти, с какой относительной погрешностью и со сколькими верными знаками можно определить сторону квадрата.
Решение. Искомая сторона х=/25,16. Относительная погрешность стороны квадрата будет определяться так: 6=у •-^Iq. где 0,01—абсолютная погрешность площади, т. е. 6 = 0,0002. Первая значащая цифра числа, измеряющего сторону квадрата 5. Здесь имеем неравен- 1/ 1 \”-1
ство 6< у^ ]■ • l-[g-l • Следовательно, (5+1)-0,000 2 < < *7 или 1,2- 10~3 < J ,; п=3.
Ю"-110"-1
№ 432. Найти, со сколькими верными знаками можно определить радиус круга, если известно, что его площадь равна 124,35 см2 (с точностью до 0,01 см2).
Ответ. 4.
№ 433. Найти предельную относительную погрешность при вычислении полной поверхности усеченного конуса, если радиусы его оснований равны
R = 23,64 см ± 0,01 см, г = 17,31 см ± 0,01 см; образующая / = 10,21 см ± 0,01 см; число л =3,14.
Ответ, 6 =0,16%.
№ 434. Число g = 9,8066 является приближенным значением ускорения силы тяжести (для широты 45°) с пятью верными знаками. Найти его относительную погрешность.
Ответ. 6 =0,0005%.
№ 435. Вычислить площадь прямоугольника, стороны которого 92,73 м ± 0,01 м и 94,5 м ± 0,01 м.
Определить относительную погрешность результата и число верных знаков.
Ответ. 6 =0,022%, п = 4, s = 8765 ж2 ± 0,1 м2.
Функция одной независимой переменной
Действительными или вещественными числами называются числа рациональные и иррациональные.
Абсолютной величиной действительного числа а называется неотрицательное число |а|, определяемое условиями: |а| = а, если а > 0, и |а| = —а, если а < 0.
Переменная величина у называется (однозначной) функцией переменной величины х, если каждому значению переменной величины х, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определенное действительное значение переменной величины у.
Переменная х называется в этом случае аргументом или независимой переменной, а множество X — областью определения функции.
Запись у = /(х) означает, что у является функцией х. Значение функции /(х) при х = а обозначают через /(а).
Область определения функции в простейших случаях представляет собой: или интервал (открытый промежуток) (а, 6), т. е. совокупность значений х, удовлетворяющих условию а < х < Ь; или сегмент (отрезок или замкнутый промежуток) [а, 6], т. е. совокупность значений х, удовлет-
воряющих условию a^.x<.b; или полуинтервал [а, 6] (т. е. а<_ х < 6), или [а, 6] (т. е. а <,х < 6), или бесконечный. интервал (а, + оо)( т. е. а < х < + оо ), или (— оо, Ь)( т. е. — оо < х < 6), или (— оо, + оо) (т. е. — оо <х <_ + оо); или совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п.
Графиком функции у = Дх) называется геометрическое место точек плоскости хоу, координаты которых удовлетворяют уравнению у = Дх).
Функция Дх) называется четной, если Д—х) = Дх) для любого значения х. График четной функции расположен симметрично относительно оси ординат. Функция Дх) называется нечетной, если Д—х) = —Дх) для любого значения х. График нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат.
Функция Дх) называется периодической, если существует такое положительное число Т (период функции), что для любого значения х выполняется равенство Дх + 7) = = Дх).
№ 436. Найти "^~ ^а\ если Цх)=ха.
Решение. Найдем значение данной функции при х=а и х = 6, т. е. /(а) = а2, f(6) = Ь2. Тогда получим Ш2^ = ь2_^__а+Ь.
Ь — а о— а 1
№ 437. Определить, какая из данных функций четная или нечетная:
з,—
у=х2-у x+2sinx, б) у= 2* + 2~*, в) у = |х| — 5е*а, г) у=х24-5х.
Решение, а) Дана функция Цх^х^-у^х + 2sin х; изменим знак аргумента, тогда получим /(—х)=(—х)2 х з,з,—
х у — х +2 sin" (— х) = — х2 / х — 2 sin х, т. е. / (— х) — =—/(х). Следовательно, функция нечетная.
Дана функция / (х) = 2* + 2-*, изменим знак аргумента /(—х)=2~* +2-<~*> =2-*+2*. т. е. f(—х) = f (х). Функция, следовательно, четная.
Дана функция у = | х | — бе*2, изменим знак аргумента, получим f(— х)—| — х| —-5е(-*>2 =|х| — бе*2, т. е. f(r-x)=/(x). Следовательно, функция четная.
Здесь /(—x)=x2 —5х, таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.
№ 438. Найти область определения функции у = х — 2 “ 2х—1 *
Решение. Функция НХ^="27ТГТ определена, если 2х—1 =# О, т. е. если x^fey. Таким образом, областью определения функции является совокупность двух интер- валов: I — оо, 1 и I у , 4- оо) .
№ 439. Найти область определения функции у =
X— 1
Решение. Функция определена, если х — 1 =f= 0 и 1+х> 0, т. е. если х=4= 1 и х > — 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: (—1,1) и (1. +®о).
№ 440. Найти область определения функции у = = )/1 — 2х +3 arcsin ^-^-.
Решение. Первое слагаемое ]/1 — 2х принимает вещественное значение при 1—2х>0, а второе при —1^ <—2—^ 1- Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: 1 — 2х>0, ^у-^ < 1, —у— > — 1. Получаем х < у, х< 1, х>—у. Следовательно, областью ,Г 1 И
определения будет сегмент —^ , у .
№ 441. Найти область определения функции у = = У4^7+1
Ответ. [—2, 0) и (0, + 2].
№ 442. Найти область определения функции у = / х . \
= arccos I у — 1 ].
Ответ. [0,4].
№ 443. Найти область определения функции у •=
= lg(3x— 1) + 2lg(x+l)
Ответ, (у, +°°) •
№ 444. Найти область определения функции у=^.
Ответ. (—оо, 0) и (0, + со).
№ 445. Найти, область определения функции у =
Ответ. [0, 2).
№ 446. Найти область определения функции у =
— ~ 2
cos 2х
Ответ. Вся числовая ось, кроме точек х = -у (2«+1), где п— целое число.
№ 447. Найти область определения функции у =
у — fix) + b—тот же график, сдвинутый вдоль оси оу на величину Ь;
у = A-f(x)— исходный график, растянутый в А раз вдоль оси оу,
У =У =12 — х при 10,1 х2 при12 — х при 10,1 х2 прих<3 х > 3.х<3 х > 3.
У =
У =
12 — х при 10,1 х2 при
12 — х при 10,1 х2 при
х<3 х > 3.
х<3 х > 3.
у = f^kx) —тот же график, растянутый в 4- раз вдоль оси ох.й
Таким образом, можно по графику функции у = Дх) построить график функции вида у = Af\Xx — а)] + 6.
№ 449. Построить график функции у = 2х + 1 + cos х.
Решение. График данной функции можно построить путем сложения графиков двух функций: у = 2х + 1, у = cosx. График первой функции есть прямая, ее построить можно по двум точкам, график второй функции—косинусоида (рис. 22).
№ 450. Построить график функции
Решение. При х < 3 функция у = 2 — х представляется лучом прямой, при х > 3, у =0,1х2 — парабола.
Таким образом, имеем такой график на рис. 23.
№ 451. Построить график функции у = 2 sin (2х— 1) или у = 2 sin 2 ^х—. Здесь Л = 2, к = 2, а = .
Решение. Исходным графиком будет у = sin х. Затем построим график функции у = sin 2х путем сжатия вдоль оси абсцисс в два раза. После этого построим график
функции у = sin 2^х — g-) путем сдвига на у вправо и, наконец, построим искомый график функции у = 2 sin (2х — 1) путем растяжения вдоль оси ординат графика (3) в два раза (рис. 24).
Построить графики функций:
№ 452. у = на отрезке [—4, 4].
№ 453. у = х2(2— х)2 на отрезке [—3,3].
№ 454. у = ^х + |/4 — х в области определения.
№ 455. у = ^х-\-2-х на отрезке [0, 5].
№ 456. у=-^1.
№ 457. у = arcsin х на отрезке [—1, 1].
№ 458. у = arccos х на отрезке [—1, 1 ].
№ 459. у = sin (Зх — 2) + 1.
№ 460. у = —2cos(2x + 1).
№ 461. у = arcsin (х — 2).
№ 462. у = 2(х — I)3, исходя из функции у=х8.
№ 463. у = х + 1 + sin(x - 1).
§ 4. Пределы
Число а называется пределом последовательности х.ъ х2, .... хп, ..., если для всякого сколь угодно малого положительного числа е найдется такое положительное число N, что | хп — а К е при n">N.
В этом случае записывают: Нт хп = а.
п-*оо
Число А называется пределом функции f (х) при х -> а, если для любого е > О найдется такое 6 > О, что |/(х)—Л|<е при |х—а|<д. Записывают: lim^x) = А.
х-* а
Аналогично Нт/(х)=Л, если |/(х)— Л|<е при Х-* ОО
| x\>N.
Условно записывают limf(х) = оо, если |/(х)|>Л1 Х-* ОО
при |х—а|<8, где М—произвольное положительное число.
В этом случае функция /(х) называется бесконечно большой величиной при х -> а.
Если lim а (х) = 0, то функция а (х) называется беско- х-*а
нечно малой величиной при х->а.
Если х<^а и х->а, то условно пишут х-^а— 0; если х*>а и х->а, то пишут x-^a-V^-
Число f(a — 0) = lim f(x) называется левым пределом х-*а—0
функции / (х) в точке а. Число / (а + 0) = lim / (х) назы- х-*а-^0
вается правым пределом функции /(х) в точке а.
Для существования lim/(x) необходимо и достаточно, чтобы f (а — 0) = f (а + 0).
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.
Если существуют limf(x) и limg(x), то х-*ах^а
lim [/ (х) +g(x)] = lim/(x) + limg(x); х»ах-*ах-а
lim Vf (*) • g (х)] = lim f (х) • lim g (x); x-*ax-*a x^a
lim/U)
(np"ltosw*o)-
x-*a
Применяются также следующие пределы:
Нт ^2-^ = 1 (первый замечательный предел); х-0 х /IV-
Нт (14—) = Нт(1+а)а = е = 2,71828... (второй за-
х->00\ х /а-0
мечательный предел).
№ 464. Показать, что при л->оо последовательность 3,
2 у, 2у, 2-^-,..., 2+^-,... имеет пределом число 2.
Решение, л-й член последовательности хп = 2 4- -^ • Следовательно, хп — 2 = -^-. Зададим заранее положительное число в. Выберем п настолько большим, что будет выполняться неравенство -4 <8. Для этого достаточно принять п>"7- При таком выборе п будем иметь | хп — 21 < в. Следовательно, Нт хп= 2.
№ 465. Показать, что при л->оо последовательность 7/3, 10/5, 13/7^ipt. — имеет пределом число 3/2.
по «&^^ "Ь 435
Решение. Здесь х„ — у = 2л +1"2 = 2(2л+ 1) '
Определим, при каком значении п выполняется неравенство 2 (244; jy < 8; так как 2(2п + 1)>у , то
Мп •
4е 2
Итак, если л>-^-— у, то ]*„ — -|-|<8, т. е.
3
Нтх=-^. Положив 8 = 0,1, заключаем, что неравенство
выполняется при л >12 (например, привыполняется при л >12 (например, прихлл 2хлл 2<2 0,01 выполняется при л> 124,5<2 0,01 выполняется при л> 124,5|х„-||<0,1 п= 13).
выполняется при л >12 (например, при
выполняется при л >12 (например, при
х
лл 2
х
лл 2
<2 0,01 выполняется при л> 124,5
<2 0,01 выполняется при л> 124,5
(например, при п= 125(например, при п= 125Неравенство
(например, при п= 125
(например, при п= 125
13 I
хп — у <10,001 выполняется при п 1249,5 (например, при л= 1250).
№ 466. Найти lim |Щ.
х^4 2х + 3
Решение. Так как х-»4, то числитель дроби стремится к числу 5-4 + 2 = 22, а знаменатель к числу 2-4 + 3=11.
5а: + 222
Следовательно, Нт 27^3 = л — 2.
№ 467. Найти lim я^Ц - х^оо "Г ‘
Решение. Числитель и знаменатель дроби безгранично возрастают при х->оо. Принято говорить, что имеется
ОО неопределенность вида —.
Разделив на х числитель и знаменатель дроби, получаем р 3x4-5 р 3+5/х3
hm 2x^711т Г+?/х = Т’ так как при х^°° каждая
. 5^°°7
из дробей — и — стремится к нулю.
№ 468. Найти lim -£=£■.
х2—Зх
Решение. Здесь числитель* и знаменатель дроби стремятся к нулю при х->3 (принято говорить, что при не- .0\
посредственной подстановке получаем неопределенность -g- . „х2 —9(х —3)(Х+3)х + з, о
Так как ^з? = ■ X (х - 3) ” ” — ’ если х + ^ то р х2— 9 р х + 3 ттох + 3
hm-2—^—= lim —7—. Но при х->3 дробь стре- X —х^з хd
мится к числу ^ф^ = 2. Итак, lim 1 ~ 9- = 2. х® ■ х2 — х 4- 1 /о \
№ 469. Найти lim ;fj2"S—7-7-7 неопределенность-7г). х** 1 " "• "/
Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби
lim х-»1lim х-»1х3 — х2 — х 4- I _X3 + X2 — X — 1 —х3 — х2 — х 4- I _X3 + X2 — X — 1 —^(х^-П-Чх-П =X™ х2(х+1)-(х+1)
lim х-»1
lim х-»1
х3 — х2 — х 4- I _
X3 + X2 — X — 1 —
х3 — х2 — х 4- I _
X3 + X2 — X — 1 —
= limХ-* 1= limХ-* 1= 0.= 0.(Х-I)2 (х+1) _Х-1 _ ^
= lim
Х-* 1
= lim
Х-* 1
= 0.
= 0.
(х-1) (х+1)2~*™х+1 - 2
тт о р х3— 1000/0\
№ 470. Наити hm ^3-20 х2+ юо х (неопределенность -д-1.
Решение.
Hm ^—1000_ 1jm (X - 10) (x2 + Юх + 100) _
^"{о х2—20х2+ЮОхx(x—10)2-
= iim ^+^+ioo .
x-io *(*—10)
Числитель дроби стремится к 300, а знаменатель стремится к нулю, т. е. является бесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь является бесконечно большой величиной и
Нтх»10Нтх»10х3 — 1000х3 — 20х2-|- 100 х
Нтх»10
Нтх»10
„ л-я тт -1-]^* + 4—2 /0\
№ 471. Наити hm ——7 (неопределенность -^1.
Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму -j/jc + 4 + 2.
Нт= Ит _^+4-4_
х(Угх-|-4+2)х-.о х)4х + 4 + 2)
Пт . 1 = 4-.
х~0 Кх + 4 + 24
№ 472. Найти Нт ^^-^-^—- /неопределенность 4 х->0*\°,
Iim ^<1+^-1 х-+0ХIim ^<1+^-1 х-+0Х= Нт^—т у! У6-1= Нт^—т у! У6-1Решение. Положим l+x = y5, тогда'
Iim ^<1+^-1 х-+0Х
Iim ^<1+^-1 х-+0Х
= Нт^—т у! У6-1
= Нт^—т у! У6-1
Пт Уа + у+1= 1
у" У4+у8+у2+у+15
т т ° Iе SITI ТИХ /0 \
№ 473. Наити hm—-— неопределенность -^ . *->о х \и/
Решение.
.. sinm-sinmx _ v sin тх
hm —-— = hm= m • hm= tn.
x-*0 x x-*0 ^xx-*0 ^x
№ 474. Найти lim -—(неопределенность x-0 x \u
Решение.
2 sin2 —
V I—cosbx..2
limа—— = hm —— =
x-0 X4x-0 X»
(
. 5x\2 Sln "2" 1/ 5 V25
x /\ XX
Здесь мы воспользовались результатом решения предыдущего примера, приняв m = ^.
№ 475. Наити hm 4^34.3^4.2x4-"i I неопределенность — b
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, т. е. на х8:
,._ хз+2,2+зх + 4,._1+х + х2 + х8 1
^ 4х24-Зх24-2х-Ц 2™^1^А^А ‘ 4 '
Злг4 — 2Злг4 — 2№ 476. lim —===== я-*оо Угх84-3х4~4№ 476. lim —===== я-*оо Угх84-3х4~400 \ неопределенность —),00 \ неопределенность —),Решение. Разделим числитель и знаменатель на х4Решение. Разделим числитель и знаменатель на х4
Злг4 — 2
Злг4 — 2
№ 476. lim —===== я-*оо Угх84-3х4~4
№ 476. lim —===== я-*оо Угх84-3х4~4
00 \ неопределенность —),
00 \ неопределенность —),
Решение. Разделим числитель и знаменатель на х4
Решение. Разделим числитель и знаменатель на х4
lim 3x^2^ = Ит х-оо У х*4-Зх4-4 х-ооlim 3x^2^ = Ит х-оо У х*4-Зх4-4 х-оо8— -1X48— -1X44х84х8т = 3-т = 3-
lim 3x^2^ = Ит х-оо У х*4-Зх4-4 х-оо
lim 3x^2^ = Ит х-оо У х*4-Зх4-4 х-оо
8— -1
X4
8— -1
X4
4
х8
4
х8
т = 3-
т = 3-
№ 477. lim (/ х24- 8x4-3 — ]/х24--4х-Н 3) (неопреде- я-* ос ленность со— оо).
Решение. Умножим и разделим рассматриваемое вы- ражение на ]/х24-8x4-3 4- Ух2+4х + 3:
lim (j/x24-8x4-3 — /х2 4-4x4-3) =
QAlA+lzJ^AlAS)!]^^^=
r^ooVх^ 4- ^х 4" 3 4“ "V*х2 4* 4х 4* 3
— Пш*2+8*4~3— х2 — 4х— 3 _
я-юс Т^х2 + 8х + 3 4“ Vх2 + 4х 4*3
4х
лг^ос угх24-8х 4-3 4~ У^х24~4х 4-3
№ 478. Найти lim (+-- VIL? ) • ^oc\ *a-3x+7y
Решение. Делением числителя дроби на знаменатель
. , 8х — звыделим целую часть 1 + -^zz^TqТаким образом,
11т "^37^7 =11т Т Х-*ОО \ Л °* Т * У Х-^ОС \
= lim
= lim х-^оо
так как
8x —3
x2 — 3x + 7
8x — 3 у x2 —3x + 7 J + 71 x(8x~3) 3 x8—3x+7
8-4
Яу — з \^!г;3£±21Г^Г7^ °\8х—31 х х»
х2— Зх + 7 )I
8x — 3 л
,2=37+7 ^0 при x + oo,
ТО
1 1 T 2 Qy 17
x-*oc V X ОХ+-/ у
8—T
Приняв во внимание, что lim§7 = 8, полу- x»oo 1 _ _
/ха + 5х + 4\ж.
чаем, что lim -+707377= ^-
X ОО X X OX + / у
№ 479. Найти левый и правый пределы функции f(x)=
=Ц при х->3.
X 4-2^3“
Решение. Если х->-3 — 0, то ^333^—00 и 2*-3“*
-*-0. Следовательно, lim —:— = 4-. Если х-*-3+0,
ТО
1х —3
1
> +°°, 2^-з -> + оо и
lim х-^З+Q
ГТ— = 0. х—3
№ 480. Найти левый и правый пределы функции ।
f(x) = ех~а при х-* а.
Решение. Если х-*а— 0, то —-►— оо и
’х — а
1,1
Пт ех-а =0. Если x-*a—Q = ОО.
№ 481. Найти
Ответ. у.
м 482. lira /Т+^+у-^133^. х»0х х
Ответ. — 1.
х4 — 5х + 6 № 483. Найти limХ2_ 9—.
Ответ.
№ 484.
Ответ.
х-*а+0, то> 4- оо и lim ех-а= х~а.^а+о
.. х2 — 6x4-8 г"2 ^-8x4-12"
л-3
6 *
Найти Иш л-1 — 2.
л3 — 6л2 + Пл — 6Л2^3Г+!
№ 485. Найти lim 2iHl±+2ft)-2^n(aJ^^,
h-0"
Ответ. —sin а.
№ 486. Найти Пт ^„^-.
Ответ. — . п
№ 487. Найти Пт tS^zzte. Х^ Хо Х Х0
Ответ. sec2xo.
№ 488. Найти lim sin*- co4. к” —4х
Ответ. — 4г-.
4
№ 489. Найти Нт -^4".
*" 2
Указание. Положить ^—х = а.
Ответ, у.
и « г 2х4 + Зх2 + 5х — 6
№ 490. Наити Hm ,8.
Ответ, оо.
~ «'■ На»™ Um ^y^^L-
Ответ. 2.
№ 492. Показать, что при п-^оо последовательность 5 9 4л— 3„ ,
у, у,..., ~^гр ••• имеет предел, равный 4.
№ 493. Показать, что при п-^оо последовательность 1, -о» т*, ••> -ог, ••• является бесконечно малой величи- о О 2/1 — 1
ной.
Л, 494. Найти
Ответ, -г.
№ 495. Найти lim ^i+^+^2_.
Ответ. —
№ 496. Найти lim^^^LLziL. х»о*2
Ответ. ^-.
№ 497. Найти Нт ^.
^° уХ 4-х- 1
Ответ. 3.
№ 498. Найти Hm 1^+^±4=^I±2£EZ
Ответ. J-T- .
№ 499. Найти lim —^|^.
Х**0~~ ^OS ОХ
Ответ
№ 500. Найти lim.
Ответ.
№ 501. Найти lim ln^ ^^ , х-*0 х
Ответ, т.
№ 502. Найти lim
Х-±ОО 2*—3
Ответ. 1, если х->4-оо; —1, если х-^-— оо.
№ 503. Найти lim (]/ х2+ ах+ b — Ух2+ сх + d). х»оо
Ответ. °^- .
№ 504. Найти lim (sin Ух + 1 — sin Ух).
х-*эо
Ответ. 0.
№ 505. Найти lim (Vx + 1 — V^)« х-*оо
Ответ. 0.
№ 506. Найти lim -. х^о 1 — в*
Ответ. In 5.
№ 507. Найти lim ®'-7'. х^о 6*—5х
а In 8/7
Omee/n.
№ 508. Найти lim . T^L ♦ In (1 + x)
Ответ. 2.
№ 509. Найти lim —-—. х^О х
Ответ. In 5.
Ух— 1
№ 510. Найти lim-;—.
Ж»1 х~1
Указание. Положить x=t\
Ответ.
№511. Найти Нт г- *-±о 1*1
Ответ. 1, если х->4-0; —1, если х->— 0.
№ 512. Найти Пт •
/->о * — sin t
Ответ. +оо.
№ 513. Найти lim ^^=^-. х-,0 1” (* + О
Ответ. 2. 1
№ 514. Найти Нт 10х-5.
*-*5-0
Ответ. 0.
№ 515. Найти Hm sin х.
Х-^ОС
Ответ. Не существует.
№ 516. Найти lim
Ответ,
№ 517. Найти Hm / [{/а— 1] (/>0). /->00
Указание. Положить -i = х, где х->0.
Ответ. Ina.
//2 _L 1 \ *2“Н
№ 518. Найти Hm (—^l
х-*ос \ Х /
Ответ, е.
№ 519. Найти lim (Н—) . х->эо \ х /
Ответ, е\
№ 520. Найти Пт (—Ц• х-*з \х d х
Указание. Дроби в скобках привести к общему знаменателю.
Ответ. о
№ 521. Найти lim —т-—. х-о *’ + *
5 Ответ. In т.
№ 522. Найти lim к х^! Х1ПХ
Указание. Принять во внимание, что хх=ех1йх.
Ответ. 1.
№ 523. Найти lim J^lln^L. О х
Ответ. —3.
№ 524. Найти 1^^ + ^ + ;.
Ответ. 0.
№ 525. Найти lim J£1L+!>zJhL. х
Ответ.
№ 526. Найти lim (^^-V.
Х-.ОС \*2 /
Указание. Разделить на х числитель и знаменатель дробно-линейной функции.
Ответ, е10.
№ 527. Найти lim (2 — cos a)cosec'“. a-*0
Ответ. V e.
№ 528. Найти lim f^4-r-V+C. ^oc \x-vb)
Ответ. ^~ь.
№ 529. Найти lim (4 V 2.
*-2 \ 2 /
Ответ. V e.
§ 5. Сравнение бесконечно малых
Пусть а (х) и 0 (х) бесконечно малые при х -> а.
Если lim 4-=0, то говорят, что а является беско-
нечно малой высшего порядка по сравнению с р. В этом случае пишут а=о(Р).
Если lim 4-= m, где tn — число, отличное, от нуля, х-*а Р
то говорят, что аир бесконечно малые одного и того же порядка. В частности, если iim-^- = 1, то бесконечно ма- х^а Р
лые аир называются эквивалентными бесконечно малыми. Запись а — р означает, что аир эквивалентные бесконечно малые. Если 4->оо, то это означает, что lim-^-=0. Таким образом, р является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с а, т. е. р=о(а).
Если ай и р бесконечно малые одного и того же порядка, причем k > 0, то говорят, что бесконечно малая р имеет порядок к по сравнению с а.
Отметим некоторые свойства бесконечно малых величин:
произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями, т. е. если у = ар, то у = о(а) и у =о(Р);
бесконечно малые аир эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность а — Р = у является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с а и р, т. е. если у = = о(а), у = о(р);
если^^^ = /и, а — аъ р — ръ то ^™ар7= т, т. е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной бесконечно малой. Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых величин: при х ->0: sin х — х, tgx ~ х, arcsinx~x, arctg х ~ х, 1п(1 + х) — х.
№ 530. t — бесконечно малая величина. Сравнить бесконечно малые величины а = 5^2 + 2/8 и р = З/2 + 2f8.
Решение.
,. а .. 5/а + 2/8..5 + 2/35
™ Р “ЙЗР + 2Р 3 + 2/ ~
Предел отношения число, отличное от нуля. Следовательно, аир бесконечно малые одного и того же порядка.
№ 531. Сравнить бесконечно малые величины а = = /-sin2/ и р =2£-sin/ (/ ->0).
Решение.
lim 4- = lim 577777 = 4 Hm sin t = 0
2t*sint 2 / n
t. e. a=o(P).
№ 532. Сравнить бесконечно малые величины a = = Лп(1+0, p=(sin/((-*O).
Решение.
v a v t ln(l+O hm -^hm- ,c n-- P t sin tv a v t ln(l+O hm -^hm- ,c n-- P t sin t= lim*21L±21=lim/«0 Sln< i->0= lim*21L±21=lim/«0 Sln< i->0In (1 + 0tsin ttIn (1 + 0tsin tt
v a v t ln(l+O hm -^hm- ,c n-- P t sin t
v a v t ln(l+O hm -^hm- ,c n-- P t sin t
= lim*21L±21=lim
/«0 Sln< i->0
= lim*21L±21=lim
/«0 Sln< i->0
In (1 + 0tsin tt
In (1 + 0tsin tt
№ 533. Найти lim х-*0№ 533. Найти lim х-*0In (1 + 3x sin.x)tgW 'In (1 + 3x sin.x)tgW '
№ 533. Найти lim х-*0
№ 533. Найти lim х-*0
In (1 + 3x sin.x)tgW '
In (1 + 3x sin.x)tgW '
Решение. Заменим числитель и знаменатель дроби эквивалентными бесконечно малыми:
in (1 + Зх sin х) ~ Зх sin х, tg (х2) ~ х2
и
limln(l+3xsinx)=H Sxsinxlimln(l+3xsinx)=H Sxsinx= 31im-^=3.= 31im-^=3.
limln(l+3xsinx)=H Sxsinx
limln(l+3xsinx)=H Sxsinx
= 31im-^=3.
= 31im-^=3.
№ 534. Определить порядок бесконечно малой величины у — хех по сравнению с бесконечно малой х.
Ответ, у — х.
№ 535. Определить порядок бесконечно малой величины z/=}^l+xsinx—1 по сравнению с бесконечно малой х.
Ответ, у бесконечно малая величина порядка 2 по сравнению с бесконечно малой х, так как ^™ ^ является конечной величиной, отличной от нуля.
№ 536. Определить порядок бесконечно малой у = = Vsin 2х по сравнению с х.
Ответ. Порядок у равен у.
№ 537. Сравнить бесконечно малые a = /2 sin2 / и Р = ( tg (, если t -> 0.
Ответ, a = о(Р).
№ 538. Сравнить бесконечно малые а = (1 + х^ — 1 и Р = тх, если х -* 0 , и т — рациональное положительное число.
Ответ, а — р.
№ 539. Найти Пт —4^~~ • *-.0 tg3x
Указание. Заменить числитель и знаменатель эквивалентными бесконечно малыми.
Ответ, -д.
№ 540. Сравнить бесконечно малые а = ах — 1 и Р = = *1п а.
Ответ, а — р.
№ 541. Найти
а9
Ответ, т.
№ 542. Найти
а1
Ответ. —^.
№ 543. Найти
а1
Ответ. —^ •
№ 544. Найти
Нт х^О
sin2 3x
ln2(l +2x)'
е2*—1
Й 1п(1—4х)‘
Птж-*1
In (1 + х —,3х2 + 2х8) In (1 + Зх — 4х2 4- Xs) ‘
Пт
In cos х
In (Ц-х2) '
Указание. Под знаком Iri представить cosx в виде 1 — (1 — cosx).
А1
Ответ. —^.
№ 545. Найти Пт ^^Т’-О .
Ответ. 1.
№ 546. Найти lim -.^t ^J.
^ft(l+x)/(l + x)2- 1
Ответ. 9/25.
№ 547. Найти lim -^—m—^Т a-о (з№—1) <б“ — 1) 1п5-1п4
Отвепг- лтгб •
№ 548. Найти Нт ",—.
*-о ^le + Sx—2
Указание. Разделить на 2 числитель и знаменатель.
Ответ. 1,6.
§ 6. Непрерывность функции
Функция /(х) называется непрерывной в точке а, если 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а; 2) существует предел Нт/(х); 3) этот предел равен х-*а
значению функции в точке а, т. е. lim/(x) =f(d). х-*а
Обозначая х — а = kx (приращение аргумента) и /(х)—/(а) = Ду (приращение функции), можно условие непрерывности записать так: lim Ду = 0, т. е. функция /(х) Дх-0
точке бесконечно маломуточке бесконечно маломуточке нарушается условиеточке нарушается условиенепрерывна в точке а тогда и только тогда, когда в этой
точке бесконечно малому
точке бесконечно малому
точке нарушается условие
точке нарушается условие
приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.
Точка а, принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, называется точкой разрыва, если в этой непрерывности функции.
Если существуют конечные пределы:
lim f(x) = f(a — 0) и lim / (х) = f (а + 0),
х-*а—0х-кЦ-0
причем не все три числа /(а), /(а — 0), Ца + 0) равны между собой, то а называется точкой разрыва 1-го рода.
В частности, если левый и правый пределы функции в точке а равны между собой: f(a — 0) — f(a + 0), но не равны /(а), то а называется устранимой точкой раз
рыва.
Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва 1-го рода, называются точками разрыва 2-го рода. В точках
разрыва второго рода не существует хотя бы один из односторонних пределов.
Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
Частное от деления
двух непрерывных функ
ций есть функция непрерывная во всех точках, где дели
тель не равен нулю.
№ 549. Показать, что при х = 4 функция у = £-~ имеет
разрыв непрерывности.
Иглх->4—0Иглх->4—0Xх — 4Xх — 4=—оо, lim х->4+0=—оо, lim х->4+0Xх — 4Xх — 4= + ОО.= + ОО.Решение.
Иглх->4—0
Иглх->4—0
X
х — 4
X
х — 4
=—оо, lim х->4+0
=—оо, lim х->4+0
X
х — 4
X
х — 4
= + ОО.
= + ОО.
Таким образом, функция при х-> 4 не имеет ни левого, ни правого конечных пределов. Следовательно, х = 4 является точкой разрыва второго рода.
№ 550. Показать, что при х = 4 функция у = arctg—^ имеет разрыв непрерывности.
Решение.
Если х->4 — 0, то —Ц—оо и Пт у——-5-.
1тс
Если х -> 4 + 0, то г -> + оо и lim у = -д-.
*4Х-44-0
Итак, при х -* 4 функция имеет левый и правый конечные пределы, причем эти пределы различны. Следовательно, х = 4 является точкой разрыва первого рода.
Разность между правым и левым пределами в точке разрыва первого рода называется скачком.
_л / л\ „
В данном примере скачок равен g— 1 —g I = л (рис. 26).
№ 551. Показать, что при х=5 функция у= -—_5 - имеет разрыв непрерывности.
Решение. В точке х = 5 функция не определена, так как, выполнив подстановку, приходим к неопределен- 0 ности -^.
В других точках дробь может быть сокращена на х — 5, так как х — 5=^=0.
Следовательно, при хЦ= 5 у=х + 5.
Легко видеть, что Пт у = Ит у= 10. х-*5—0л»5+0
Таким образом, при х = 5 функция имеет устранимый разрыв непрерывности.
Разрыв непрерывности будет устранен, если условиться, что при х = 5, у = 10.
д;2 25
Итак, можно считать, что функция у = х—5~ непРе* рывна при всех значениях х, если принять, что равенство * g ■ = х + 5 справедливо при всех значениях х, не исключая и х=5. В этом случае графиком функции будет прямая линия у=*4-5.
№ 552. Найти точки разрыва непрерывности функции
Ответ. х=2— точка разрыва первого рода.
№ 553. Найти точки разрыва непрерывности функций
У= (х—1)(х —5)"
Ответ. х=1, х=5 — точки разрыва второго рода.
№ 554. Показать, что функция у=-—-у—- в точке х=1 имеет разрыв непрерывности.
Ответ. Разрыв непрерывности второго рода.
№ 555. Показать, что функция у= ^^- в точке х= 0 имеет разрыв непрерывности.
Ответ. х=0—точка устранимого разрыва непрерывности.
№ 556. Найти точки разрыва непрерывности у =
_ tg * arctg ^y
х (х — 5)
Ответ. х=3— точка разрыва 1-го рода.
х=5— точка разрыва 2-го рода.
х=0— точка устранимого разрыва.
№ 557. Найти точки разрыва непрерывности у =
Xs — 6х2 4- Их — 6
х2 —Зх + 2
Ответ. х = 1, х = 2 — точки устранимого разрыва непрерывности.
№ 558. Найти точки разрыва непрерывности у =
X + 1
х3 + 6х2 + Их+ 6 •
Ответ. х=—2, х=—3 — точки разрыва второго рода, х=—1 — точка устранимого разрыва.
№ 559. Найти точки разрыва функции у= ^руу].
Ответ. Функция непрерывна в бесконечном промежутке (—оо, +оо).
№ 560. Исследовать на непрерывность функцию
У = (х-1)(х-6)
в сегменте а) [2, 5], б) [4, 101, в) [0, 7].
Ответ, а) Функция непрерывна,
имеет одну точку разрыва 2-го рода,
имеет две точки разрыва 2-го рода.
№ 561. Исследовать на непрерывность функцию _1
У — х4 —26х2 + 25
в сегменте а) [6,10], б) [—2, 2], в) [—6, 61.
Ответ, а) Функция непрерывна,
имеет 2 точки разрыва,
имеет 4 точки разрыва.
Глава V
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙНЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Производные и дифференциалы
Дифференцирование явных функций. Пусть *i и *2 — Два значения аргумента, а у^ = = /(xj и у 2 = Дх2) — соответствующие значения функции у = ZW-
Тогда разность Дх = х2 — Xi называется приращением аргумента, а разность Ду — у2 — Уi = f(x2) — /(^i) — приращением функции на отрезке [хъ х2].
Производной от функции у = /(х) по аргументу х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
у* = Пт ^
Дж—О Д*
ИЛИ
Г(х)=Ит
Дх-0
(производная обозначается также ^-^ .
Производная геометрически есть угловой коэффициент касательной к графику функции у = Дх) в точке х:
у' = tga.
Производная есть скорость изменения функции в точке х.
Отыскание производной называется дифференцированием функции.
Формулы дифференцирования основных функций.
1) ^хтУ = тхт-х.2) (/х)' = -^=.
^у = -^-^У-е*.
(а*)' = ах In а.6) (In хУ = -I-
(kW-ttht-(cos хУ = — sin х.(ctg хУ = — cosec2 х.13) (arc cos х)^ — ^^p15) (arcctgx)'= —yip.(kW-ttht-(cos хУ = — sin х.(ctg хУ = — cosec2 х.13) (arc cos х)^ — ^^p15) (arcctgx)'= —yip.(sin хУ = cos x.(tgx)' = sec2x.(arc sin x)' = y==.(arc tgx)' = yip.(shx)' = ^^y—) =chx.(sin хУ = cos x.(tgx)' = sec2x.(arc sin x)' = y==.(arc tgx)' = yip.(shx)' = ^^y—) =chx.
(kW-ttht-
(cos хУ = — sin х.
(ctg хУ = — cosec2 х.
13) (arc cos х)^ — ^^p
15) (arcctgx)'= —yip.
(kW-ttht-
(cos хУ = — sin х.
(ctg хУ = — cosec2 х.
13) (arc cos х)^ — ^^p
15) (arcctgx)'= —yip.
(sin хУ = cos x.
(tgx)' = sec2x.
(arc sin x)' = y==.
(arc tgx)' = yip.
(shx)' = ^^y—) =chx.
(sin хУ = cos x.
(tgx)' = sec2x.
(arc sin x)' = y==.
(arc tgx)' = yip.
(shx)' = ^^y—) =chx.
(ch x) = I уJ' = sh x.
(thx) J = di5T
(cthx) — ^shx J — sh^ x *
Основные правила дифференцирования. ■ Пусть С — постоянная, м=и(х), v=v(x)— функции, имеющие производные.
С' — 0. 2) х' — 1. 3) (и ± vy=u’ ± о'. 4) ^СиУ = г- , Е\ / \'' >, сх ( и \ ' и'О—ио*
= Си . 5) (мо) = U и+ип'. 6) I—) =^.
Если y=f(u), и = и^ху т. е. у=/[«(х)], где функции f(«) и и(х) имеют производные, то
у'х= Уи-и'х
(правило дифференцирования сложной функции).
№ 562. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции у = 2х3+5х2 — 7х — 4.
Решение. Дадим х приращение Ах, тогда у получит приращение Ду.
у+Ду = 2(х+Дх)34-Б(х4-Дх)2 — 7 (х+Дх) — 4.
Вычитанием определяем Ду.
Ay = 2 (х+Ах)3 4-5 (х+Ах)2 — 7 (х+Дх) — 4 —— (2х®4-5х2 — 7х — 4) = бх2 Ах+6х-Ах24-2Ах3+4- Юх Ах-)-5Дх2 — 7 Ах.
Находим отношение приращения функции к приращению аргумента.
^ = бх2+ бх Ах + 2Ах24- Юх+5Ах — 7.
Найдем предел этого отношения при Ах->-0
Пп>^ = Ит(6х2+6хАх+2Дх2+Юх+5Ах — 7)=
Дж->0
= 6х2+Юх —7.
Следовательно, по определению производной
У = 6х24-Юх — 7.
№ 563. Исходя из определения производной, найти производную функции у = ]/х.
Решен и е. _Находим приращение функции Ду = = Vх +Ах — Ух.
Отсюда
= Г *+^ -Ух и Нт ДУ = Нт / х + Дх-£х
ДхДхд^оДх дх-о Дх
Таким образом,
v' — lim ^ х + Дх — Ух)(У х + Ах + Ух) Дх-ОДх(У х + Дх + Кх)
= Hm_^±te* =дх-оДх(у х-|-Дх-|-/ х)
= Нт „— L=-.
Ддс-*О У х + Дх + V X 2У~Х
Итак, ,1
У ="^Гх‘
№ 564. Исходя из определения производной, найти производную функции у = — ctg х — х.
Решение.
Ду = —ctg(x+Ax) — (*+ Дя) +ctgx+x == ctg х — ctg (х+Дх) — Дх.
Воспользуемся формулой ctg ctg Р
Отсюда
дv= sin (х-|-Дх—х) _ д = sinAx _ kx
У sin х sin (х+Дх)sin х sin (х+Дх) 1
sin ДхДу _ Дх।
Дх sin х sin (х+ Дх)
И
sin Дх
дУ™ Ах — АхТо sin x-sin (х+Дх) 1 — shSx ~ t’ Итак, «в.1
Исходя из определения производной, найти производные функций:
№ 565. У = +
Лг2
Ответ. у = —
№ 566. у = Vя2- ,2
Ответ, у =
№ 567. у = 5 sin х+3 cos х.
Ответ, у' = 5 cos х — 3 sin х.
№ 568. y = 5(tgx — х).
Ответ. y' = 5tg2x.
№ 569. у =
Ответ, у = — ^^.
№ 570. у = 2^*.
Ответ. у'=2л2-2х-1п2.
Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:
№ 571. у = 2Х8 —5х24-7х4-4.
Решение. у' = (2х8)' — (5х2)'+ (7х)'4- (4)'=2(х8)' — — 5(х2)' + 7х' + 4' = 2-Зх2 — 5-2х + 7-1 + 0; / = 6х2 — — 10x4-7.
№ 572. у = х2-е*.
Решен ие. у' = х2(е*)' 4- 6х • (х2)' = х2е* 4-2хе* = = хе* (х 4- 2).
№ 573. у = х8 arctg х.
Решение. y,=x8(arctgx)'4-arctgx-(xs)'=x3- у+^ 44- Зх2 • arctg х = -у^р 4- Зх2 • arctg х.
№ 574. у = х1/х(31пх — 2).
Решение. Перепишем заданную функцию в виде у = хз/2.(з 1пх —2).
у' = х3/2 • 4 4- у хмг (3 In х —2) = Зх1^
у X*/2 . In X — Зх1/2 = 1 /Г1П X.
"7X
, x-(arcsin xY — arcsin x*(xY Решение, у = —— =
* • Тт^э - arCSin Х х-/Т^-arcsin х
X2 j/^l — X2
№ 576. у =№ 576. у =sin х — cos х sin x+cos x
№ 576. у =
№ 576. у =
Решение.
_ (sin x + cosx) (cos x + sin x) — (sin x — cos x) (cos^x— sin x) ~(sin x4-cos x)2
(sin x + cos x)2+ (sin x— cos x)2
(sin x + cos x)2(sin x + cos x)2 *
№ 577. у = (2x3+5)4.,
Решение. Обозначим 2x3+5=u; тогда y=u4. По правилу дифференцирования сложной функции имеем
у' = (^. (2х3+5)^ = 4и3(6х2) = 24х2(2х3+5)3.
№ 578. y = tg»x.
Решение, у' = 6tg8x-(tgx)'=6tg5x>sec2x.
№ 579. у = cos2 х.
Решение, у' = 2 cos х (cos х)' = — 2cosx • sinx = = — sin 2x.
№ 580. у = sin (2x4-3).
Решение. y'= cos (2x4-3)-(2x4-3)'= 2cos(2x4-3).
№ 581. у = tglnx.
Решение, у' = sec2 (In x)-(In x)' =-y-sec2(lnx).
№ 582. у = sin8 -y • Решение.
y'=3sin2-4- (sin-^ = 3 sin2 4 • cos 4 (-^-^ =
= sin2 4 • c°s -y.
№ 583. y = ln(x24-5).
Решение, у' = -^- (x24-5)' = -^-
№ 584. у = In tg-y • Решение.
_1=1= 1
2tg 4- • cos2 —2 sin — cos 4- S1° *
6 2222
№ 585. у = In (x 4- /х24-1).
Решение.
= «TiWT ^ +- J^Ft x
/ j , 2x \ =1Уx2 4-1 -^ x =1
xl ^г/х^+Г/ х-ьУхЧ7! ' Ух^+Т /хЧГТ'
№ 586. у = in (]Л2 sin х 4-3 4- V 2 sin х — 3). Решение.
' (K2sinx+3 +
+ ]/ 2 sin х — 3) =— 1 ,—x
У2 sinx + 3+К 2sinx— 3 /2 cos x.2 cos x \
X \ 2/2sin x ^5 + 2 /2sinx — 3 /
V 2 sin x +3 + V 2 sin x — 3
cos x (~|/ 2 sin x + 3 + 1^ 2 sin x — 3) ___ cos x 1^4 si n3 x — 9У 4 sin2 x — 9
№ 587. у = -J / хЧЙ + ^- In (x + /^).
Решение.
у fi 12* A -*24. /5+1 A v
V 2 y^R / 2/14^22
X x-VVx%4-b v x^+k V x»+k V + "
№ 588. у = arcsin . r^, | x | < 1.
Решение.
У " зЛ ( 2x2 A2 * v + *4/ — i/i ( 2*2 A2 X
F l+x«JV 1 — ^] + x4j
(l+x4)-4x — 2xa-4x814x(l — x4) 4x
X (l+x4)a“ /1 _ 2x4+x» ' 1+x1 -l + x4‘
№ 589. у = arctg ^-•
Решение.
^ I 4- *”2 * 3x x(9+lnax)
№ 590. у = ex • arctg e * — In ]/1 + e2x.
Решение. Преобразуем функцию у = ех • arctg е* — _^.1п(1+еЧ.
/=^7^-e*+e*arctge*-4 —^.^.2=
= 1+е2,+^ arCt§^ — j^e2x = ^' ^^^*
№591. у = У COS X 1 COS X
nx ।
Решение. Преобразуем функцию у = cos>— Ч
+ In (14-sin x) — In cos x.
, cos x cos x — sin x 2 cos x (— sin x) .1 x
cosx14-sin x
X cosx— ^(— sinx)’
,cos2 x+ 2 sin2 x . cos x (1 — sin x) , sin л __ Уcosx1 —• sin2 x ' cos x
cos2 x + 2 sin2x.1 — sin x.sin x_ cos2 %+2 sin2 *
COS8 X• COS X*cos XCOS8 X
4?— = —= 2 sec3x.
Дифференцируем обе части последнего равенства по х. Так как у является функцией х, то In у есть сложная функция х и (In у)' — у" У-
Следовательно, — =х2~ 4-2х-1пх, — = х(1+21пх),
У хУ
у* = ху (14-2 In х) = ххх‘ (14-21п х) = хх*+* (14-2 In х).
№ 595. у = (sin x)tg х.
Решение. In у = tgx-lnsinx, y=tgx-^J-^-cosx4- 4-sec2x-lnsinx = 14-sec2x-lnsinx, у' = y(14-sec2xx
X in sin x) = (sin x)tg x (14-sec2 x • In sin x).
* 596. , =
(Sx-H)2/! —x
Решение. Здесь также полезно заданную функцию предварительно прологарифмировать
1п у = 3 In (2х — 1)4-1 In (3x4-2)—2 In (5x4-4) — 3 In (1-х),
у 2х—1^2 3x4-2^ 5x4-4^ 3(1 —х) ’
,(2х-1)»/3x4-2 .,
XX(5х 4-4)2уТ=хГ б ,810.1]
X
X
[2х—1+2(Зх4-2) 5х 4~4 ' 3(1 — х) ]"
Найти производные функций: № 597. у = -^-
,21
Ответ, у = —
№ 598. у = 4-х|<х.
Ответ, у = у х.
№ 599. у = x3Vx — -YpX5yx А-^ху х.
Ответ, у’ = х2]/гх(1 —х2)2.
№ 600. у = (х24-2х4-2)е-х.
Ответ, у* = —x2-e~x.
№ 601. y = 3x3-lnx— x3.
Ответ. У = 9х2 • In х.
оз*
№ 602. у =
(
8 \ * g
№ 603. у = х2 sin х+2х cos х — 2 sin х.
Ответ. y' = x2-cosx.
№ 604. у= ln(2xs+3x2).
Отвепг- У=-2^+зГ‘
№ 605. у = У 1 — Зх2.
Злг
Ответ, у' = — у?
у У1 — Зх=
№ 606. y = xarccos-^—]/ 4 — х2.
Ответ, у* = arccos -у-
№ 607. у = Ух • arcsin Ух + У1 —*
Ответ, у' = —-Ur arcsin у*. 7 2У х
№ 608. у= (sin у— cosyp.
Ответ, у' = — cos х.
№ 609. у = cos3 у.
Ответ, у' = — cos2 у • sin у •
№610. y = lntg^±I
Ответ, у* =А , . •
sin 2
№ 611. y = lnl/I±^I.
7 v l — sinx
Ответ, у* = —5— 7COS X
№612. y = tg2x + ytg32x+ytg52x.
Ответ, у' = 2 sec6 2х.
№ 613. y = ysin3^ — -|sin5"/x + y sin7|/x.
Ответ, у' = ^^ sin2 ^x • cos5 Vx.
№ 614. у = In (3x2+ V9x*+1).
Ответ, у' =Ответ, у' =1/9 x4 +11/9 x4 +1№ 615. y = ^-|za2 —x2 + -y arcsin^-- Ответ, у * = V a2 — X2.№ 615. y = ^-|za2 —x2 + -y arcsin^-- Ответ, у * = V a2 — X2.№ 616. у = In№ 616. у = In/4 tgx+l-2/tgx V 4tgx+ 1+ 2 /tg x/4 tgx+l-2/tgx V 4tgx+ 1+ 2 /tg xОтвет. y'=Ответ. y'=2 sec2x2 sec2xy~tg x (4 tg x+1)y~tg x (4 tg x+1)
Ответ, у' =
Ответ, у' =
1/9 x4 +1
1/9 x4 +1
№ 615. y = ^-|za2 —x2 + -y arcsin^-- Ответ, у * = V a2 — X2.
№ 615. y = ^-|za2 —x2 + -y arcsin^-- Ответ, у * = V a2 — X2.
№ 616. у = In
№ 616. у = In
/4 tgx+l-2/tgx V 4tgx+ 1+ 2 /tg x
/4 tgx+l-2/tgx V 4tgx+ 1+ 2 /tg x
Ответ. y'=
Ответ. y'=
2 sec2x
2 sec2x
y~tg x (4 tg x+1)
y~tg x (4 tg x+1)
№ 617. y = —ctg2-y —21nsin^-- Ответ, у' = ctg3-$~ № 618. у = arctg р/4x2— 1. Ответ, у = —-, --„-—■7x/4x2—1№ 619. у = arctg—=ч-№ 617. y = —ctg2-y —21nsin^-- Ответ, у' = ctg3-$~ № 618. у = arctg р/4x2— 1. Ответ, у = —-, --„-—■7x/4x2—1№ 619. у = arctg—=ч-№ 620. у = arctg -—^— Ответ, у' = -?=№ 620. у = arctg -—^— Ответ, у' = -?=2/1-x2.2x32/1-x2.2x3№ 621. у = arcsin j^,.Ответ, у* = y^.№ 622. у = arccos 9^x>-Ответ. y' = -^g-№ 623. у — e~x — sin (e-*)-cos (e-x).Ответ, у’ = — 2e~x-sin2(s~x).№ 621. у = arcsin j^,.Ответ, у* = y^.№ 622. у = arccos 9^x>-Ответ. y' = -^g-№ 623. у — e~x — sin (e-*)-cos (e-x).Ответ, у’ = — 2e~x-sin2(s~x).
№ 617. y = —ctg2-y —21nsin^-- Ответ, у' = ctg3-$~ № 618. у = arctg р/4x2— 1. Ответ, у = —-, --„-—■
7x/4x2—1
№ 619. у = arctg—=ч-
№ 617. y = —ctg2-y —21nsin^-- Ответ, у' = ctg3-$~ № 618. у = arctg р/4x2— 1. Ответ, у = —-, --„-—■
7x/4x2—1
№ 619. у = arctg—=ч-
№ 620. у = arctg -—^— Ответ, у' = -?=
№ 620. у = arctg -—^— Ответ, у' = -?=
2/1-x2.2x3
2/1-x2.2x3
№ 621. у = arcsin j^,.
Ответ, у* = y^.
№ 622. у = arccos 9^x>-
Ответ. y' = -^g-
№ 623. у — e~x — sin (e-*)-cos (e-x).
Ответ, у’ = — 2e~x-sin2(s~x).
№ 621. у = arcsin j^,.
Ответ, у* = y^.
№ 622. у = arccos 9^x>-
Ответ. y' = -^g-
№ 623. у — e~x — sin (e-*)-cos (e-x).
Ответ, у’ = — 2e~x-sin2(s~x).
№ 624. у = arctg ^у^-
Ответ, у =,,, - •
№625. У - Ш <'-‘^Т3^ Ответ, у* =(^П7(7^2)(7^^
№ 626. у = 1 — esin*Зх - cos2 Зх. Ответ, у*=3esln8 Зл • sin 6х • sin2 Зх. V» «97 V - 1n 21n2sinx + 3 № 627. у — In 2 |nasinx — 3 ' л,24 Irisin^-ctgx
Ответ, у = -Wsin^9- № 628. у = In (sec х + tg х). Ответ, у* = sec х.
№ 629. у — — In (cosec х + ctg х). Ответ, у' = cosec х.
№. 630. у = е^ . (]/2х — 1). Ответ, у' = е^.
№ 631. У = 1п^^2- _.10
Ответ, у = № 632.у=(^)2 ~,2 sin х
Ответ, у = (1 + cos^,- № 633. у = arcsin . 2^4 ■ • V 1 +sin2X
Ответ, у =ТТЖ-
№ 634. у = —cosec2
Ответ, у* = cosec2 -у- ctg-^--
№ 635. у = sin (In х)-cos (In х) — iH'y- „,2 cos2 (In х)
Ответ, у =^—-•
№ 636. у = (х5 + 3) [In (х5 + 3) — 1].
Ответ, у'= 5хМп(х6+3).
№ 637. у - arcsin )/1 — ^.
Ответ, у' =т== •
7|х|Уб—х2
№ 638. У = у [(я + “) Ух2+ 2ах + Р + (Р — а2) In (х+ +а + Ух2 + 2ах + р)].
Ответ, у' = Ух2+ 2ах + р.
№ 639. у'= arcsine*+arcsiny 1—е2*.
Ответ, у* = 0.
№ 640. у = т Ух2 + 2ах+ Р + (п — /па) • 1п (х + а + +Ух2+2ах + р).
,тх + п
№ 641.
У х2 + 2ах 4- р i,=х
7 у 1 — тх2 у _1
Ответ.
7(1—тх2)3/2‘
№ 642.
у = х2+2х sin х cos х + cos2 х.
Ответ.
у’ = 4x-cos2x.
№ 643.
у = ct g х • cosec x+ln (ctg x+cosec x).
Ответ.
y' = — 2 cosec3 x.
№ 644.
sin x
У 1 + lnsinx
Ответ.
In sinz-cos x
У (1+lnsinx)2
№ 645.
у = 3x • sin3x+3 cos x — cos8 x.
Ответ.
y'=9x-sin2x-cosx.
№ 646.
„ - in Vl + ^-l
7Kl + x2 + 1
Ответ.
' = 2
^X 1/ 1 + X2
№ 647. у Ответ, у № 648. уОтвет. ) № 649. у Ответ, у № 650. у Ответ, j№ 651. уОтвет. ;№ 652. у +4mtsi.Ответ, у № 653. jОтвет, у№ 654. уОтвет, у № 655. у Ответ, у № 656. уОтвет, у № 657. t№ 647. у Ответ, у № 648. уОтвет. ) № 649. у Ответ, у № 650. у Ответ, j№ 651. уОтвет. ;№ 652. у +4mtsi.Ответ, у № 653. jОтвет, у№ 654. уОтвет, у № 655. у Ответ, у № 656. уОтвет, у № 657. t
№ 647. у Ответ, у № 648. у
Ответ. ) № 649. у Ответ, у № 650. у Ответ, j
№ 651. у
Ответ. ;
№ 652. у +4mtsi.
Ответ, у № 653. j
Ответ, у
№ 654. у
Ответ, у № 655. у Ответ, у № 656. у
Ответ, у № 657. t
№ 647. у Ответ, у № 648. у
Ответ. ) № 649. у Ответ, у № 650. у Ответ, j
№ 651. у
Ответ. ;
№ 652. у +4mtsi.
Ответ, у № 653. j
Ответ, у
№ 654. у
Ответ, у № 655. у Ответ, у № 656. у
Ответ, у № 657. t
=6 — sin е* • cos8 е* — sin3 ех • cos ех. = 2e*-sin2 ех.
^arctg(x+l)+^j-^ + 2- , _2
' ~ (х2 + 2х + 2)2 ‘
= X (In8 X — 3 In2 х+6 In X — 6).
= ln3x.
= In sin Vx • tg Vx — Vx. ,In sin Ух
У x-cos2 У x YX V — X = arctg^—~ , : 2(l + lnx)
XX + x — X
= -^ («е* т -c^t) + 4 (*е’т -^ t)+
, = 1
sin5 X "
/ = Intg-J- + COSX + -j-cos8x.
, COS4 X
sinx *
2cos —
2
sin 2L + 3 cos A
2 r 2
3sinx+ 4cosx + 5
= -^- tg2(sin x)-|-ln cos (sin x\
^ = tg3(sinx)-cosx.
=in(i_±ux
\ X ) x x
Ответ- y = T^vWv^v
№ 658. y=2x-tg2x+lncos2x— 2x2.
Ответ. У = 4x-tg2 2x. № 659. у = arccos(2e2*— 1).
Ответ, у = -y===.
№ 660. y~ In In x (In In In x— 1). , In In In X
Ответ, у = х1п-х у . р^Х № 661. У = т+^- _,26^(1—2х)
Ответ, у ~ ~^г^у— № 662. У^-^тр- -, 2(lnx+l)
Ответ, у = xnn»x_f № 663. у = arc tg ^цт , з
Ответ, у = рг^г
№ 664. у = *у sin2 х +-|-cos2 х — ^Ц^ cos 2х.
Ответ, у' = а sin 2х. g2sin х
№ 665. у = In tg —*— • , e2s,n cos x Ответ, у ^- -
sin—-— 2
№ 666. y= tg8(tgx)4-3tg(tgx). Ответ, у* = 3sec2 x • sec4 tg x.
№667.
arc tg x Ответ, у =—
№ 668. У=^-'+^- , 51nx Ответ, у =§—
№ 669.
у = ]/ 2х + 1 [In (2х+1) — 2].
Ответ.
, 1п(2х+2)
УУ 2х + 1
№ 670.
у = —secx(l + Incosx).
Ответ.
№ 671.
у' = secx-tg xUnsecx.
у = ^.]/1 —г2* — arc sin ёх.
Ответ.
Уу1 — в2Х
№ 672.
у 2COS* х~ 3 cos х
Ответ.
У = 3.2COS’ *- з cos *. sin3 х. in2
№ 673.
^.2БДГ
У —34Х •
Ответ.
е*-2^ . 32е
У — Зм * 1° 81 ‘
№ 674.
у = »_±1_е-1П^.
7X
Ответ.
у' = 0.
№ 675.
у = x-sinx-cosx 4- -у cos2x.
Ответ.
у' = x>cgs2x..
№ 676.
у х»+1
Ответ.
у-26х* х- ^^l
У -ze(Х2+1р
№ 677.
y = lntg4
76 2 sin я
Ответ.
XCOSX
У — sinax
№ 678.
у = 2(tgyx—}/х).
Ответ.
у» __ tgaУх
№ 679.
У = ^ЧГа^а^«
Ответ.
у х4 — а4
№ 680. уОтвет. у№ 681. у =Ответ, у № 682. уОтвет, у № 683. у Ответ, х* № 684. у= Ответ, у № 685. уОтвет, у* № 686. у Ответ, у № 687. у Ответ, у № 688. у Ответ, у № 689. уОтвет, у№ 690. уОтвет, у№ 680. уОтвет. у№ 681. у =Ответ, у № 682. уОтвет, у № 683. у Ответ, х* № 684. у= Ответ, у № 685. уОтвет, у* № 686. у Ответ, у № 687. у Ответ, у № 688. у Ответ, у № 689. уОтвет, у№ 690. уОтвет, у
№ 680. у
Ответ. у
№ 681. у =
Ответ, у № 682. у
Ответ, у № 683. у Ответ, х* № 684. у= Ответ, у № 685. у
Ответ, у* № 686. у Ответ, у № 687. у Ответ, у № 688. у Ответ, у № 689. у
Ответ, у
№ 690. у
Ответ, у
№ 680. у
Ответ. у
№ 681. у =
Ответ, у № 682. у
Ответ, у № 683. у Ответ, х* № 684. у= Ответ, у № 685. у
Ответ, у* № 686. у Ответ, у № 687. у Ответ, у № 688. у Ответ, у № 689. у
Ответ, у
№ 690. у
Ответ, у
Г X4 + 1 + X2
, 4х “ ~ КхЧП '
4 tgf2 лег = I2 -COSX.
~ tg2 х .
= е2 • sinxtg2 X. .2х4
= arc tg j ® 1 — X8
, _ 8№ — 1+х8'
= х2 e^* - In х.
= xexl (2х2 In х4-2 In х+1).
= arc cos V 1 — 2х.
= — т V — х2+2ах+ р +
+ (ma + n) arcsin у^^ •
,тхп
~ У — х2+2м + 6
= log,» 2.
/ = in 2 2х 1пах'
= log2 sin2 х.
' =Ы2-С^Х-
= loga(x+V*2+9).
-/ x2 4-9- In a ^arc sin x^
• = yarcsin x ( lnx i arc Sin X\ .
/ X— 1 \4 ~ \~*+l) '
o<^—I)3
~8 (x+ l)5’
№ 691.
Ответ.
1 \ 2х + 1/
№ 692.
2*(х+1)3
(х — I)2 /2х+ 1 ’ 2*(х+ I)3
(х — I)2 У 2х+1
Лп2 + -Ат
\* + 1
2
х — 1
+ n sin (n In х)].
хт+1
У = (^+17+^ ■ Km + ^ cos ^1п х) +
Ответ, у' = хт • cos (л In х).
№ 693. у = (х tgx + In cos х) • tg (х tg х + In cos x) + + In cos (x tg x 4- In cos x).
Ответ.X х sec2 х.№ 694.Ответ.№ 695.Ответ.Ответ.X х sec2 х.№ 694.Ответ.№ 695.Ответ.y* = (xtgx + Incosx) sec2(xtgx + Ineosx) x у = (xcosx — sinx)-[ln(xcosx — sin x)— 1]. y' = — x sin x • In (x cosx — sin x). r^tj+i^)-
Ответ.
X х sec2 х.
№ 694.
Ответ.
№ 695.
Ответ.
Ответ.
X х sec2 х.
№ 694.
Ответ.
№ 695.
Ответ.
|x|/l+^
№ 696. у = 3 sin (хе* — e*) — sin3 (xe* — e*).
Ответ, у * = 3 cos3 (хе* — e*) • хе*.
№ 697. у = arc cos( 2x j/T^x2).
„,2(1 —2x2)
Ответ, у = — ।—-—;-===• 7|1—2x2|/l —x2
№ 698. у = |x| (x^=0).
Ответ, у' = (^ • 1если ^^г.
№ 699. y = |f(x)|.
Ответ, у ( - если f(x)<^0.
№ 700. у = |3х —5|.
I 3, если х> -х-»
Ответ. у'=(—3,5
если х<_ — •
№ 701. y = el*L
„, (е*, если х>0,
Ответ, у =|_е-х, если х<0.
№ 702. у=|х| + |х —2|.
—2, если х<0,
Ответ, у' =
0, если 0<х<2,
2, если х 2> 2.
№ 703. у = хе* (sin х— cosx)+e*-cosx.
Ответ, у' = 2хе* sin х.
№ 704. у = In [x-sinx+cosx + V(xsinx+cosx)2+1].
_,X COS X
Ответ, у = - 1 . <. - т-=~-
V (* Sin X + COS Х)2 + 1
№ 705. y = ^(xlnx —х —1).
Ответ, у'—x(lnx—1)--^- Inx.
№ 706. у =logcosxsinx.
Л, ctg x-ln cos tg x-In sin x
Ответ, у
№ 707. у = lo&. (x"+ K^+T)-
Ответ, у = —,. — —.
72]/х2Л+1
№ 708. у = log, е.
№ 709. у = log,, х. Ответ, у' = 0.
№ 710. у= log^x*.
Ответ, у =-^-.
1 № 711. у=х1пх. Ответ, у' = 0. № 712. у = Xх
Ответ, у' = хх (14-In х).
■X2
•X2
In 2 + -^- -— 1 — In х
■*• inx.
^5x — 1.
/т+т p2 . i _ a )з|<5Г=а 4*+2(х+1) Х-1
то (secx)' = secx-tgx.
ito (cosec x)' = — cosec x • ctg x.
no (u”)'= vuv—1-u'+^’v'In u. рмулы дифференцирования arc sec x
. — 1, /агс cosec x)' =
X / X8 — 1
1
2
» выражение u= y2+ у 4—75. если
то функция у = (x24-l)(^+<?) обра-
;и уравнение у'— J^-j = е*(х2+1) ирование неявных равнение Р^х, у) = 0 определяет • у э х. В дальнейшем будем считать тируемой.
1В по х обе части уравнения F(x, у) = ние первой степени относительно -у*. тко находится у', т. е. производная неявной функции. "'
№ 722. Найти производную ух из уравнения х2 + ^2 = = 4.
Решение. Так как у является функцией х, то. у* будем рассматривать как сложную функции? д:. Следователь-
но, (у2)' = 2уу'. Продифференцировав по х обе части данного уравнения, получим 2х + 2уу’ = 0, т. е. у' = —^.
№ 723. Найти производную *у’х из уравнения х8 + + 1пу — х2еу = 0.
Решение. Дифференцируя по х обе части уравнения, получаем
Зх2 + х2 еУ • у* — 2хеУ = 0, УЛ
отсюда
, _ (2хуеу—Зх2)уу 1 — х»уеУ 1
№ 724. Найти производную ух от неявных функций:
х3 + у3 — Зху = 0.
Ответ. у' = ^^^-.
№ 725. Дх2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0.
Ответ, у =- ^^^^-g.
№ 726.Ответ.№ 726.Ответ.№ 727.Ответ.№ 727.Ответ.№ 728.Ответ.№ 728.Ответ.№ 729.Ответ.№ 729.Ответ.х4 _ бх2 у2 + 9у4 — 5х2 + 15у2 —100 = 0.
№ 726.
Ответ.
№ 726.
Ответ.
№ 727.
Ответ.
№ 727.
Ответ.
№ 728.
Ответ.
№ 728.
Ответ.
№ 729.
Ответ.
№ 729.
Ответ.
ху — ух = 0.
V = У(У~*1пу) ” х (х — у In х) * xsiny + ysinx = 0.
, у cos х + sin у У Тх cos у + sin х ‘
ех + е^ — № — 1 = 0.
, _— у-2^-1п2
У —еУ — х-2^-1п2 •
№ 730. sin (у — х2) т- In (у — х2) -f- 2 У у — х2 — 3 = 0.
Ответ, у' = 2х.
0..0..V3
0..
0..
№ 731. — +^— 1/
Ответ. У' = 7
№ 732. x>" + y2-lnx —4 = 0.
Ответ.
№ 733. x2 sin у + ys cos x — 2x — 3y + 1 = 0.
Дифференцирование функций, заданных параметрически. Если функция у аргумента х задана параметрическими уравнениями
х = ф(0,У-ФЮ-
или, в других обозначениях,
dy dy __ di dx — dx •
dt
№ 734. Найти у' = ^, если
х = /8 + & + 1
у = 3/6 + 5/» + 1.
Решение. Найдем ^ = З/2 + 3 и ^ = 15Z4 4- 15/2.
Следовательно,
dy _ 15/* + 15/3 _ dx — ЗР + 3 —
№ 735. Найти у* = ^ , если ' dx
lx = acos/ly = a sin Л
Ответ, у* = — ctg t.
№ 736. Найти у' = ^, если x = e_<-sin/, у = cos t
Ответ. e2t.
№ 737. Найти р'= ^, если р = (уУа+l^.a, 0 = = /а-е^.
Ответ.. 2"|/а-е-^а.
№ 738. Найти У = ^» если
jx = cht|у = sh t.
Ответ, ctht.
Приложения производной к задачам геометрии и механики. Если кривая задана уравнением у = Дх), то Д(х0) = tga, где a — угол, образованный касательной К кривой в точке с абсциссой х0 с положительным направлением оси ох.
Касательная к кривой у = f(x) в точке М^х», у^ имеет уравнение
у —Уо= Уо(х — х°),
где у о есть значение производной у' в точке М^х», у0).
Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания.
Нормаль имеет уравнение
У — Уо = —— *о).
. Уо
Углом между двумя кривыми у = /i(x) и у = f^x) в точке их пересечения Mo(xo, уо) называется угол между касательными к этим кривым в точке Мо. Угол этот находится по формуле
./2 (*о) — fl Uo)
tg ф = —;; .
1+Л(ХоН2(Хо)
Если при прямолинейном движении точки задан закон движения
’ S = S(0,
то скорость движения в момент /0 есть производная пути по времени:
v = S4te).
№ 739. Какой угол образует с осью абсцисс касатель 21
ная к кривой у = у х5 — у х8, проведенная в точке с абсциссой х = 1?
Решение. Находим производную у' = у х4 — у х2; при х = 1 у' = 3, т. е. tga = 3,
a = arctg3«71°34'.
№ 740. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе у = х2 — Зх 4- 5, проведенная в точке М^, 3)? Написать уравнение этой касательной.
Ответ, a = -^-, у = х + 1.
№ 741. Составить уравнения касательной и нормали к кривой х2 + 2а?у2 + Зу4 = 6 в точке М (1, —1).
Решение. Из уравнения кривой найдем производную 2а? + 2у2 + 4хуу' + 12у3у' = О, у' = — ^rZ- Сле- '1 -{. (— 1)21
довательно, у0 = - 27ц=7ту+бТ=а)8 =
Уравнение касательной
у + 1 = у (х — 1) или х —г 4у — 5 =? 0.
Уравнение нормали
у 4-1=—4(х — 1) или 4x4-У — 3 = 0.
№ 742. Найти угол пересечения парабол у = 8 — х2 и у —хг.
Решение. Совместно решив уравнения парабол, находим точки их пересечения Д(2, 4) и 8(—2, 4). Продифференцируем уравнения парабол: 1) у’ = —2х, 2) у* = 2х. Найдем угловые коэффициенты касательных к параболам в точке А (т. е. значения производных при х = 2): к t = =—4, кй =4. Следовательно, tgф1 ^J;^ =—^> Ф1 = arctg(—8/15). Так же определяется угол пересечения в точке В.
Ответ. ф2 = arctg jg.
№ 743. Найти уравнение нормали к параболе у8=2рх в точке М (х0, у0).
Ответ, у — у0 = — ^(х — х0).
№ 744. Составить уравнение касательной к гиперболе •^ — у=1, проведенной в точке гиперболы М(—9, — 8).
Ответ, х — у + 1 = 0.
№ 745. Составить уравнения касательной и нормали к астроиде х = У 2 • cos3 /, у = У 2 sin31, проведенных в той точке, для которой t = -^ .
Ответ, х + у — 1=0; х — у = 0.
№ 746. Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде х = t — sin Z, у= 1 — cos t, проведенных в точке, для которой ^ = у .
Ответ, х — у + 2 — у = 0; х + у —= 0.
№ 747. Составить уравнения касательной и нормали к полукубической параболе x = t\ у = t8, проведенных в точке 1=2.
Ответ. Зх— у— 4 = 0; х + Зу — 28 = 0.
№ 748. Показать, что касательная к эллипсу^ +р= 1
в точке М (х0, у0) имеет уравнение ^- + ^ = 1.
№ 749. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой y=shx, проведенная в точке кривой (0, 0)?
Ответ. =-.
4
№ 750. Составить уравнения касательной и нормали к цепной линии y = chy в точке, где х = 21п2.
Ответ. Зх — 8у4-10—6 In 2 = 0; 32х + 12у—15 — — 641п2 = 0.'
№ 751. Составить уравнение касательной к равносторонней гиперболе х = ch t, у = sh t в точке / = t0.
Ответ, х ch /0 — у sh 4 — 1 = О'.
№ 7 52. Найти угол пересечения кривой у = х — х3 и прямой у = 5х.
2
Ответ, tg у = у.
№ 753. Найти угол пересечения кривых у = х? и
Ответ. 4-
4
№ 754. Найти угол пересечения линий у = 1 + sin х, у=1.
Ответ. 4-; ^ • 44
№ 755. Найти угол пересечения кривых № + у2 = 5, у2 = 4х.
Ответ, tg ут = 3, tg у2 = — 3.
№ 756. Найти угол пересечения линий у = ^2 sin х, у = ]/2-cosx.
Ответ, -у.
№ 757. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением
о 1 ,С |2. л/
S = 5^+«Sln-8-
(/ — в секундах, S — в метрах). Определить скорость движения в конце 2-й секунды.
Решение. Находим производную пути по времени — = /4 4- — cos — di + 4 LOS 8 1
При 1 = 2,16 + yj/2 = 16,18.
Следовательно, V ==16,18 м!сек.
№ 758. По параболе у = *(8 — х) движется точка так, что ее абсцисса изменяется в зависимости от времени t по закону х = tV t. Какова скорость изменения ординаты в точке Л4(1, 7)?
Решение. Найдем закон изменения ординаты, для чего в уравнении параболы заменим х через время t.
y = %tVt — t».
Скорость изменения ординаты определится производной от ординаты по времени у\ = 12 Vt — З/2.
В точке М(1, 7) время будет равно 1. Следовательно, у\ = 9, т. е. скорость изменения ординаты равна 9 м!сек.
№ 759. Зависимость пути от времени задана уравнением s = t • 1п(/ + 1) (/ — в секундах, s — в метрах).
Найти скорость движения в - конце 2-й секунды.
Ответ. 1,76 м!сек.
№ 760. По параболе у —хй движется точка так, что ее ордината изменяется в зависимости от времени t ( в сек) по закону у =• at3. Какова скорость изменения абсциссы в зависимости от времени?
Ответ, xt = У^а.
Производные высших порядков. Производной второго порядка (второй производной) функции у = / (х) называется производная от ее производной, т. е.
(/)'•
Вторая производная обозначается так:
у", или ^-, или f"(x\
Если S = f (/) — закон прямолинейного движения точки, d2 s
то вторая производная пути по времени ^ есть ускорение этого движения.
Аналогично производная третьего порядка функции у = Цх) есть производная от производной второго порядка: у"' = (у")'.'
Вообще, производной п-го порядка от функции у—Ц^ называется производная от производной (п— 1)-го порядка:
.у("> = (у(”—1))'.
Обозначается n-я производная так:■
yW, или ^-, или fw(x).,
Производные высших порядков (вторая, третья и т. д.) вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.
Если функция задана параметрически:
р = ф(О1У = Ф (0.
то производные у*, у^,... вычисляются по формулам:
V VV" - и т и
ух г , УXX 7 »' УXXX 7 И Т. Д.
xtxtxt
Производную 2-го порядка можно вычислять также по формуле
№ 761. у = х6 + 2х4 —Зх3 —х2 —ух + 7.
Найти у', у", у"',....
Решение.
у' = 5х4 + 8х3 — 9х2 — 2х — у.
у" = 20х3 + 24х2 — 18х — 2.
у'" = 60х2 + 48х—18.
ylv - 120х + 48, yv = 120, yvl = yvn = ... = 0.
№ 762. у = In х. Найти у(л>.
Решение.
у'= —==х-1. z X
У = — 1х-2. у'" = 1 -2х-3. y'v = —Ь2.3х-4
у(")= Ь2.3...(п—1) (—l)"-i.х-п = (—I)"-*.^=^1.
№ 763. у = 2Д. Найти yW.
Решение, у'= 2*-1п2, у” = 2х-1п22, /"= 2х-1п82,... , у<") = 2х1пп2.
<N& 764. у —sinx. Найти у(п>.
Решение.
у' = cosx — sin (х+ у^.
у" = — sin х = sin (х + 2 • yj.
у"' = — cos х = sin (х + 3 yj.
у<">= sin^x + n-y).
№ 765. Найти у' = ^ , у" = ^, если
(х = a cos3/
|у = a sin3/.
Решение.
, _ dy _ (« sinS 0< = За sin21 cos t ,
У ~ dx~~ (a cos3 /)' “ —3acos2 t sin t® 1
„ — ^2v _ (— ^ ^ ——sec2i
^ ~ dx2 (acos3/)^—За cos21 sin t За sin / cos4 / *
Найти производные 2-го порядка от функций: 99
№ 766. у =
„44
Ответ, у = —,—• 7(^ + 5)8
№ 767. у = у х2 (2 In х — 3).
Ответ, у” = In х.
№ 768. у = ух2-)/1 —х2 + у У 1 — хг + х-arcsinх.
Ответ, у" = 2 ]/1 — х2.
№ 769. у = —yx-sin3x — ^cos3x.
Ответ у” = х- sin Зх.
№ 770. у = х In (х + V х2 + а2) — Vх2 + а2.
Ответ, у" = г 1 .. .
Кх» + а2
№ 771.№ 771.'х = a (/ — sin f) у = a(l — cos/).
№ 771.
№ 771.
Omeem. /-^ = -5 msec - у.
№ 772. p-arccos)/?.
у = yT=7"2.
Ответ, у" = ^ = — 4 У / — /2.
№ 773. Показать, что функция у = sin (In х) + cos (In х) удовлетворяет уравнению х2 у" + ху' + У = 0.
№ 774. Показать, что функция у = х + sin 2х удовлетворяет уравнению у” + 4у = 4х.
№ 775. Зависимость пути от времени задана уравнением s = У/. Найти ускорение в конце четвертой секунды
Ответ. — -^ м/сек2.
Найти производные третьего порядка от функций: №77М = ё(7Т1).
Ответ, у"' = (х 1)Г .
№ 777. у = -|1п2х.
,,,2 In лг — 3
Ответ, у =—.
№ 778. у = (2х+ 3)8У2х + 3.
Ответ, у"’ = 105 )/2х + 3.
№ 779. у = sh2x.
Ответ, у"* = 4sh 2х.
Указание. sh2x = 2shxchx.
Найти производные n-го порядка от функций: № 780. у = хп • Ух.
Ответ. yW = Aj.-.7--^2" + 0 у %.
* 781.
Ответ, у^ = —.
№ 782. у = 5 — 3 cos2 х.
Ответ. у,п} = — у • 2"-cos ^.х 4- у
№ 783. у = 2х 4- 2~*.
Ответ, у^ = [2х 4-(— 1)" • 2-*] In" 2.
„n! lad — be) (— с)" 1
Ответ, yW = —-■ Л— .
7(ох 4- d)n+x
№ 785. у = е^.
Ответ, у^ = кп-екх.
№ 786. у = cos х.
Ответ.№ 787.Ответ.Ответ.№ 787.Ответ.у(") = cos^ X = In t
Ответ.
№ 787.
Ответ.
Ответ.
№ 787.
Ответ.
1 1у = т. yw = У_У_ у dxn
№ 788. ( Х — + &
I у = а/2 4* |М + Y-
Ответ, у'” = y,v = ... = 0.
№ 789. Показать, что функция у = ^ 4- 2е2* удовлетворяет уравнению у"* — бу" 4- Ну' — бу = 0.
№ 790. Показать, что функция у = ха удовлетворяет уравнению yv 4- yw 4- У' + У”+У'+У = xS +3х2 + 6x-f-6.
Дифференциалы первого и высших порядков. Дифференциалом (первого порядка) функции у = Дх) называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциалом аргумента называется приращение этого аргумента: dx = Ах. Дифференциал функции равен произведению ее производной на Дифференциал аргумента:
dy = у' dx.
Геометрически дифференциал функции есть приращение ординаты касательной к графику функции в точке М(х, у).
Основные свойства дифференциала:
dC = 0, где С = const,
d(C«) = С • du,
d(,u ±о ) = du ± do,
d(«o) = udv + odu,
d (t) =S(v^O),
df^ =Hu)du.
Если приращение аргумента Ax мало по абсолютной величине, то
Ay «dyиf (х + Ах)«/(х) + f(x)-Ax.
Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.
Дифференциалом, второго порядка функции у=f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка:
Рис. 27Рис. 27вычисляются по формулам:вычисляются по формулам:d^y = d <dy\
Рис. 27
Рис. 27
вычисляются по формулам:
вычисляются по формулам:
Аналогично определяется дифференциал третьего порядка:
d? у = d (d2 у).
Вообще, dny = d(dn-1 у).
Если у = /(х) их — независимая переменная, то дифференциалы высших порядков
d2y = y"(dx)2, d3y = у'" (dx)3,
d"y — у^> (dxy1.
№ 791. Найтц дифференциал функции y = arctgx.
Решение, dy = (arctgx)'-dx = p^^g.
№ 792. Найти дифференциал функции s = е'*.
Решение, ds = е1' StMt.
№ 793. Найти дифференциалы 1-го, 2-гои 3-го порядков функции у = (2х — З)8.
Решение.
dy = 3 (2х — З)2- 2 dx = 6 (2х — З)2 dx, d2 у = 12 (2х — 3) • 2dx2 = 24 (2х — 3) dx\ d3y = 24-2d№ = 48 dx8.
№ 794. v = e21; Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков.
Решение, du = 2е21 dt, d2v = ^e2t-dt2.
№ 795. Сравнить приращение и дифференциал функции у — 2х® + 5х2.
Решение. Ау = 2(х + Ах)® + 5(х + Ах)2 — — 2х® — 5х2 = (бх2 + 10х)Дх + (бх + 5)Ах2 + 2Ах8, dy — (бх2 + 10x)dx.
Разность между приращением Ду и дифференциалом dy есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с Ах, равная (бх + 5) Ах2 + 2Ах®.
№ 796. Вычислить приближенное значение arcsin 0,51. Решение. Рассмотрим функцию у = arcsin х.
Полагая х = 0,5, Ах = 0,01 и применяя формулу arc sin (х + Ах)«а arc sinx + (arc sin х)' • Ах, получаем: - arc sin 0,51 « arc sin 0,5 +1 — -0,01 =
/1 — (0.5)а
= 4 + 0,011 = 0,513.о
№ 797. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.
Решение. Воспользуемся формулой S = nR2.
Полагая R = 3, AR = 0,02, имеем :
Де « ds = 2л R • AR = 2л • 3 • 0,02 = 0,12л.
Следовательно, площадь круга радиуса 3,02 м имеет приближенное значение 9л + 0,12л = 9,12л « 28,66 м®.
№ 798. Найти дифференциал функции
у = -у У 49 — х2+ у arc sin у .
Ответ, dy = V49— х2 dx.
№ 799. Найти дифференциал функции у~ ^ hi—-|.
Ответ, dy = ^8 ^36- .
№ 800. Найти дифференциал функции у = 2 In ch ^ .
Ответ, dy— th ^ dx.
№ 801. Найти дифференциал функции у = arc tg е2х.
Ответ, dy =. ?1 + е4*
№ 802. у = х(1пх— 1). Найти dy, d2y, d8y.
Ответ, dy = In xdx, d2y = ^y, d3y = — ^.
№ 803. у = In (x + V Xй + 4). Найти d2 y.
Ответ. d2y =•
№ 804. Сравнить приращение и дифференциал функции 1
Ответ. М = -х^у^Г ^ = S-
Разность Az/ — dy является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с Ах, если х Ф 0, х*+ Ах ^ 0.
№ 805. Вычислить Az/ и dy функции у = х1 — 2х при х = 3 и Ах = 0,01.
Ответ, by =0,0401; dy =0,04.
№ 806. Найти приближенное значение arc tg 1,05.
Ответ. 0,811.
№ 807. Найти приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м.
Ответ. 34,04 м®.
№ 808. Найти приближенное значение tg 46°.
Ответ. 1,035.
№ 809. Найти приближенное значение In tg 47°15'.
Ответ. 0,078.
№810. Найти приближенное значение х из уравнения 13sinx— 15 cos х = 0.
Ответ, y + п’
Найти приближенное значение ■/15,8.
Ответ. 1, 9938.
§ 2. Исследование функций
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и формула Тейлора.
Теорема Ролля. Если функция Дх) непрерывна в сегменте [а, 6] и дифференцируема в интервале (а, 6) и если Да) = Д6), то в интервале (а, 6) найдется хотя бы одно значение х = 5» при котором/'(£) = 0.
Если в частности /(а) — 0, Д6) = 0, то теорема Ролля означает, что между двумя корнями функции содержится хотя бы один корень ее производной.
Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция Дх) непрерывна в сегменте [а, 61 и дифференцируема в интервале (а, 6), то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х = |, при котором выполняется равенство Дй) — Да) = (6 — d)f^- Обе эти теоремы имеют такой геометрический смысл: на дуге АВ непрерывной кривой у = Дх), имеющей в каждой внутренней точке определенную касательную (не параллельную оси оу), найдется хотя бы одна внутренняя точка, касательная в которой параллельна хорде АВ. (Для теоремы Ролля и хорда АВ, и касательная параллельны оси ох).
Теорема Коши. Если функции / (х) и ф (х) непрерывны в сегменте [а, 6] и дифференцируемы в интервале (а, Ь), причем ф' (х)^=0, то в этом интервале найдется хотя бы .г tb) — f (а) f* ($)
одно значение х = g, при котором -Ц4—44Ц- =,
г г ф(о) —Ф(«) Ф (6) где а < |< Ь..
Формула Тейлора. Функция Дх), дифференцируемая п +' 1 раз в некотором интервале, содержащем точку а, может быть представлена в виде суммы полинома п-й степени и остаточного члена Rn.
/(х) = /(а) + ^(х-а) + М(х-а)8 ++ ...+ ^(х-а)" + ^,
f("+i>(5) (п+1)!
(x — af+i.
где a e ; § x или | = a + 0 (x — a), причем О < О <1. При a = О получается формула Маклорена.
№ -f№ + ®x + mx^ ... + l^Lx- + R.,
Приводим представление некоторых функций по формуле Маклорена.
Yу5у2/Пт* 1 /1 х/И—|—1
^^П-зт + бГ— ■+(2?-,), -+^~
A?2zn+1
Rim = (—I)mcos0x.(2^+Ty ;
„„ „ _ 1Х4.Х4 Xе .. Х2т'(.— \’)т, п
COSX— 12! + 4!6! +-+(2т)!+^2m+b
v2m + 2
^2m + 1 = М)"1 + 1 СОЗбх- (^2ji !
(1 + X)” = 1-+ ^. x + ^ ^X2 ++ m(m—l)(m —2) ^+
■ m(m—!)...[« —(л—1)J „„ip.
‘^•* "T Ад,
R» = mXm-^ V^-n?l xn+' (14- Ox)"1-"-1
(всюду 0<0<l).
№ 812. Будет ли выполняться теорема Ролля для функции /(х) = х2 — 6х + 100, если a = 1, & = 5?
При каком значении g?
Решение. Так как функция /(х) непрерывна и дифференцируема при всех значениях х и значения функции /(х) на границах сегмента [1, 5] равны между собой, т. е. /(1) = = /(5) = 95, то теорема Ролля будет выполняться в сег-
ГЮ = ^-,4/3* Г(1) = ^.
Следовательно, по формуле Тейлора, получим
Vх — 1+ з Vх 1)9.2| Vх О2 + 27-3!^
81*41 (Х ^4 + 243-51 ^Х ^ "*" ^8’
где
R» = (Ж- !)■ - - S^'"’ (Ж - 1)*,
№819. Представить функцию f(x) = ax(a> 0) в виде многочлена 3-й степени относительно х.
Решение.
f^ = a\t^ = \,
f (х) = ах In a,f (0) = In а,
f (*) = «'In2 a,f" (0) = In2 a,
f" (x) = axln3 a, f"'(0) = ln3a, fIV (x) = ax In4 a,P (Ox) = ln4a - a6x.
По формуле Маклорена получаем
гit 1। х2 In* a , х3 In3 a , п
с1 4" X In a 42|H 3|4- ^s»
n x2ln4a flyгде R8 = —jj—a6x,0<0<l.
№ 820. Вычислить с точностью до 10-3 приближенное 3/—
значение у 29.
Решение. Представим заданный корень так:
у^гЭ = ^ 27 4- 2 = 3^1 4- ^j1/3 • Воспользуемся биномиальным разложением
^-Vxr=\-V^x+aiV^>x®-V-
+ + j^ziO^PirJLLLL хп + ^.
ловия задачи: у(3) — z/(l) = (3 — 1)/©, т. е. (2 • 3 — З2)— - (2 • 1 - I2) = (3 - 1) • (2 - 2Q или -4 = 4(1 - &. 1=2, z/(2) = 0. Таким образом, точка М имеет координаты (2, 0).
№ 817. На дуге АВ кривой, заданной параметрическими уравнениями х = /2, у = /8, найти точку М, в которой касательная параллельна хорде АВ, если в точке A t = 1, а в точке В t =3.
Решение. Угловой коэффициент хорды АВ равен -д^^^^, а угловой коэффициент касательной в точке М (t = 9 равен ^^, где х< = 2/, у/ = З/2.
Для определения | получаем по теореме у(3) —у(1) Vt^„27 — 1352нение4-757—ЦД- = -—или„—г = -^,*3-х1х,($)9 —126Для определения | получаем по теореме у(3) —у(1) Vt^„27 — 1352нение4-757—ЦД- = -—или„—г = -^,*3-х1х,($)9 —126Коши урав- 1з = Ае и 42 5 ИКоши урав- 1з = Ае и 42 5 ИхД^
Для определения | получаем по теореме у(3) —у(1) Vt^„27 — 1352
нение4-757—ЦД- = -—или„—г = -^,
*3-х1х,($)9 —126
Для определения | получаем по теореме у(3) —у(1) Vt^„27 — 1352
нение4-757—ЦД- = -—или„—г = -^,
*3-х1х,($)9 —126
Коши урав- 1з = Ае и 42 5 И
Коши урав- 1з = Ае и 42 5 И
t 13
6 — 6 -
Найденное значение ’ £ удовлетворяет неравенству К5<3.
Подставив значение / = ^ в параметрические уравне- 1692197
ния, получаем ^ = -35 > У = -^1 Итак, искомая точка
м(<— 10—^
1зб * 1и21б)
3/—
№818. Представить функцию /(*) = у х в виде многочлена пятой степени относительно двучлена х—1.
1
Решение. Вычислим значения функции / (х) = х 3 и ее производных до пятого порядка включительно при 0=1.
f(l) = l, f (х) = 1х-2/з, f'm = ^.
Г^=-^х-Ы\ П1) = _2. f"(x) = gx-3/a, Г'(1) = §. №) = -§х-^, pv(1) = _|0
менте [1, 5]. Значение £ определяем из уравнения f(x) = = 2х — 6 = 0, т. е. | — 3.
№ 813. Будет ли выполняться теорема Ролля для функции / (х) = У 8х — х2, если а = О, b = 8?
При каком значении £?
Решение. Функция f (х) = V%х — х2 непрерывна при всех значениях х и имеет производную V ^ = „ 8~2х—
3 V^x - х2)2 при x4=0i х=+=8, т. е. дифференцируема в интервале (0,8). Кроме того, / (0)=/(8)=0. Таким образом, теорема Ролля будет выполняться в сегменте [0,8J и /' (х) = 0 при х = = 5 = 4.
№ 814. Дана функция fQc) = VXx— 8)2. Пусть а=0, 6 = 16. Тогда f (0) = /(16) = 4.
2
Однако производная f (х) = - -3 не обращается 3 Ух—8
в нуль ни в одной точке интервала (0,16). Противоречит ли это теореме Ролля?
Решение. Нет, так как в точке х = 8 интервала (0, 16) производная не существует, и условия теоремы Ролля нарушены.
№ 815. Показать, что производная /'(х) полинома /(х) = = х3 — х2 — х 4- 1 имеет действительный корень в интервале (—1, 1).
Решение. Найдем корни данного полинома: х8 — — х2 — х + 1 = 0 или (х — 1)2(х + 1) = 0, т. е. Xj = = х2 = 1, х3 =—1. По теореме Ролля, если /(—1) = = /(1) = 0, то f (х) имеет корень в интервале (—1, 1). Найдем корни производной полинома /'(х) = Зх2 — 2х — 1 = 0, т. е. Xi=—-|, х2 = 1. Таким образом, между корнями функции —1 и 4-1 содержится корень производной, равный —|.
№ 816. Найти координаты точки М на дуге АВ кривой у = 2х — х2, в которой касательная параллельна хорде АВ, если Л(1, 1) и 6(3, —3).
Решение. Функция у = 2х — х2 непрерывна и дифференцируема при всех значениях х. По теореме Лагранжа между двумя значениями а = 1 и b = 3 существует значение х = |, удовлетворяющее равенству: у(Ь) — у(а) = = (Ь — d)y'(y, г№ у’ =2 — 2х. Подставим данные из ус
Отсюда получаем приближенное равенство
(1 + Х)”1 S 1 + -урХ+ "^"^Х^
m(m— 1) ..Дт — п+ 1)nf* ’
n т(т— 1)... (т — п) „, ,.
погрешность которого R„ = —1—^ ^_ ^L х"+ 1 (1 + 4-0х)от-"-1 может быть сделана как угодно малой при | х |< 1 и при достаточно большом п.
21
Полагая х = ^ и т = у, получим
г/£9^ 3 f 1 4- — — 22 +У-З ._i_ о \
yzy=dV + 8181-81 + 81381« -Г - 1-^„J-
Оценивая величины последовательных ошибок вычисления 31 Rn |, находим:
31^1 К ^-<0,002,
3|/?2 К Цр^< 0,0003.
Следовательно, для получения заданной точности вычисления достаточно взять три члена, которые предшествуют остатку Ra, т. е.
^29s 3(1 + 0,024 — 0,0006) = 3,072.
№ 821. Вычислить ]Ле с точн. до 0,0001.
Решение. Воспользуемся формулой Маклорена для функции е16:
е»х
(«4-1)1 Л
„1
Положив x = у, получаем
2"-л! + ^п»2"-л! + ^п»V о = 1 J—!1! г 1 т 2.11 ^ 22-2! ^ 2®-3!
2"-л! + ^п»
2"-л! + ^п»
где Ru--^". 0<6<1.
„„Р1/2
Так как 0<6<1, 2<е<3, то R„<_ -=Т5. Но
в*/2 <2, поэтому R„ < уг^-рф • Требуется определить п так, чтобы выполнялось неравенство /?„< 0,0001.
Если л=3, то ₽з<8^4-. ^<-^'
» п = 4, то R4 < 16.120, R* < -logo .
» п = 5, то 7?6<^-^, Rb< 0,0001.
Для определения Уе с точн. до 0,0001 получаем приближенное равенство
V"p~ 1 4- — 4 * 4- * 4- * 4-*
' Т 2 т2з.2!283| ту-4!25-5! *
Произведем суммирование, обратив все слагаемые в десятичные дроби с одним лишним (запасным) знаком:
1,50000 0,12500 0,02083 0,00260 0,00026 1,64869
Ответ. Уе^. 1,6487.
№ 822. Дана функция / (х) непрерывная вместе со своими производными до (п — 1)-го порядка включительно в сегменте [а, 6], имеющая производную л-го порядка в интервале (а, 6), причем для этой функции выполняются равенства /(a)=/(Xj) = f(x2)=... = f(xn_i)=f (6), где а< •<x1<^x2«<...-<*n-i <6. Доказать, что в интерЕале(а, 6) найдется, по крайней мере, одна такая точка |, для которой /<”> (£) = 0.
№ 823. Рассматривается частный случай предыдущей задачи.
f(x) = (x—1)(х— 2)(х— 3)(х— 4), а=1, хг = 2, х2 = 3,6 = 4.
Определить |.
Ответ. £ = 2 у.
№ 824. Представить в виде полинома 3-й степени относительно х— хо(хо=^=0) функцию у.
Ответ. 1 _ 2L^<l + ^"^Г- - <£=2^ + ^„ где *» *о *о*о
Ra= ^^^У^И^^х).
№ 825. В какой точке дуги АВ кривой у = х» — 3х касательная параллельна хорде АВ, если Л(0, 0), В(3, 18)?
Ответ. ^=1^3. т. е. Л1(КЗ, 0).
№ 826. Вычислить cos 41° с точностью до 10-3.
Ответ. 0,754.
№ 827. Вычислить V121 с точностью до 10~3.
Ответ. 4,946.
Вычислить с точностью до 10-3:
№ 828. /е.
Ответ. 1,395.
№ 829. ^129.
Ответ. 2,002.
№ 830. sin 36°.
Ответ. 0,587.
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Пусть функции f(x) и <р(х) дифференцируемы в а — окрестности точки х0 и ф' (х)=^=0.
Если
lim f (х) = Пт ф (х) = 0
л-*х0х-*хй
ИЛИ
lim f (х) = Пт ф (х) = оо, х-*х0х^х0
т. e. частное ^у- принимает в точке x = x0 неопределенную формулу -— или ^,
то
lim £^ = lim IlA^lx-^x0^(x^x-*x0^ (x)
при условии, что существует предел отношения производных.
Если частное ^гт4- также в точке х = х0 будет не- ООО of / х
определенностью вида -^ или — и / (х), и ф (х) удовлетворяют соответствующим условиям, то следует перейти к отношению вторых производных и т. д.
В случае неопределенности вида 0 • оо или оо — оо следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести к неопределенности вида -д или — и далее воспользоваться правилом Лопиталя.
В случае неопределенности вида 0е или оо® или I00 следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
№ 831. Найти lim *а- ‘ + 1п* . еХ-е
Решение. Числитель и знаменатель порознь стремятся к нулю при х -> 1, а потому имеем неопределенность вида $. Воспользуемся правилом Лопиталя, т. е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций
2x4- — limiLzMJ^=iim—^ = -1. ,_18х —8^. 8х8
№ 832. Найти lim-—^-^- [неопределенностьвида^-Y
~.. x — sinx..1—cosx 1. sinx 1
Р ешение. hm—^—= lim—^— = 11т-д— = =-,
х^О хх^О6Х х->0 ^х °
так какlim ^^ = 1. Здесьправило Лопиталя применя-
х^О х лось 2 раза.
№ 833. Найти Hm^-, если п—целое положительное число ^неопределенность вида ^) .
Решение. Применим правило Лопиталя п раз
Ит^=Ит2^_х-*сов х-*соИт^=Ит2^_х-*сов х-*сох-н»ех-н»е
Ит^=Ит2^_
х-*сов х-*со
Ит^=Ит2^_
х-*сов х-*со
х-н»е
х-н»е
-= Ит Ч^Нп-^.-Л = Q
Xex!^ /оо\
№ 834. Найти Нт —г--1неопределенность вида— . х-оо х+е* \°°/
Решение.
ПтХ->ООПтХ->ООI,"2 f2 + 4)2\2/ехI,"2 f2 + 4)2\2/ех
Пт
Х->ОО
Пт
Х->ОО
I,"2 f2 + 4)
2\2/
ех
I,"2 f2 + 4)
2\2/
ех
= 4 Нт —2 Х-.00 в= 4 Нт —2 Х-.00 в+ -
= 4 Нт —
2 Х-.00 в
= 4 Нт —
2 Х-.00 в
0.0.2 _ 11/2
0.
0.
^2 - 2 1™ 1/2 е"2
№ 835. Найти Пт(хМп х).
Решение. Здесь мы имеем неопределенность вида 0-оо. Представим произведение функций в виде частного функцйй, а затем получив неопределенность вида —.применим правило Лопиталя:
Пт (№• In х) = lim-^ = Ит —7~л = —^ Пт х2 = 0.
х-*ох-^о я-* о — 2хх^о
х8
№ 836. Hmf——-f^VL х-0 Н . е — 1/
Решение. В этом примере мы имеем неопределенность вида оо — оо. Для того чтобы найти предел этой функции, приведем дроби к общему знаменателю, а затем, получив неопределенность вида-^ применим правило Лопиталя:
оХ 1 VрХ 1рХ1
Нф е—гх—гг = Ит ——г-:—у = Пт ^ ,-х . . = -к.
xVo х(е 0 х-о — 1+^,н.о^<2 + -х)2
№ 837. Найти lim (sin ху.
х*о
Решение. Имеем неопределенность вида 0°. Обозначим данную функцию через у, т. е. у = (sin х)Л , и прологарифмируем ее:
।.. In sin х
In у = х • In sin X =п
Вычислим предел логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя ^имеем здесь неопределенность вида ^:
COSX
.. ,,. In sin х.. sinx.. x2-cosx
hm In у = hm —=— = hmr— = —hm —л—— —
x-0x-02.x-0 _J_x-0 sinx
XX2
=— lim | x-cosx--r^— | = 0.x-o \Sin X у
Следовательно, lim у = e° = 1.
x-0
№ 838. Найти lim(tgx)2c08X (неопределенность ви
да oop).
Решение. Положим (tg x)2 C08 * — у и прологарифмируем:
lny = 2-cosx.lntgx = l^-.
Применяя правило Лопиталя, получим
lim ln, = 2lim 1^-2.Ит-к^—
~ .. sec х п secxdgxл
= 2-1™ t^ = 2-1™ 2tgx-Se^7 = ’™ C0SX = °’
22Х** 2
т. е. lim у = е° = 1.
х** 2"
№ 839. Найти Ит(1+х)1плс (неопределенность вида I00).
Решение. Логарифмируя и применяя правило Лопи- таля, получим:
lim In у = lim In х • In (1 + х) = lim *£1!+Z2 —
х-*0х-*0^-*0*
1пх
1
= lim-!±5lim ^__lim2^_x->0—1X-.0 x T 1x-.OI-L.J_
xin2xX
2 .1
TlnxInxT
= — lim-—j- = 2-lim—^ = 2dim -^r- = 0.
*-> о —_^->o _*-*0 +
X2XX2
Таким образом, lim y= e° = 1.
x-^ 0
Найти пределы функций.
Неопределенность вида -^
v o.n r Xs — Зх2 + 2
№ 840- ^"^-4x2 +Г"
ех-е-* 1п(1 + х) *ех-е-* 1п(1 + х) *Ответ, -g- .
ех-е-* 1п(1 + х) *
ех-е-* 1п(1 + х) *
№ 841. lim х^ О
Ответ. 2.
№ 842. lim — ^!^ . X -»оо
Ответ, -g-.
№ 843. lim 2^+^!^ х -*0х
Ответ, у .
№ 844. lim jr -> о№ 844. lim jr -> оe^j-^x^Asin25xe^j-^x^Asin25x
№ 844. lim jr -> о
№ 844. lim jr -> о
e^j-^x^A
sin25x
e^j-^x^A
sin25x
Ответ. 0,18.Ответ. 0,18.№ 845. lim№ 845. limsin3x —3x^ + 3 х2х2 *arc tg x *— sin x — —-6sin3x —3x^ + 3 х2х2 *arc tg x *— sin x — —-6Ответ. +18.Ответ. +18.
Ответ. 0,18.
Ответ. 0,18.
№ 845. lim
№ 845. lim
sin3x —3x^ + 3 х2
х2 *
arc tg x *— sin x — —-
6
sin3x —3x^ + 3 х2
х2 *
arc tg x *— sin x — —-
6
Ответ. +18.
Ответ. +18.
2) Неопределенность вида —2) Неопределенность вида —№ 846. lira х«*аОтвет. 1.№ 846. lira х«*аОтвет. 1.1п(х — а)In^ — e^1п(х — а)In^ — e^
2) Неопределенность вида —
2) Неопределенность вида —
№ 846. lira х«*а
Ответ. 1.
№ 846. lira х«*а
Ответ. 1.
1п(х — а)
In^ — e^
1п(х — а)
In^ — e^
№ 847. Нт *™(п>0). Х-* ОО X
Ответ. 0.
* 848-«™ дат ■
Ответ. .
Ответ, со.
№ 850. Нт -А*-0 . CtgM
Ответ. 0.
Неопределенность вида 0-оо
№ 851. limx-ctgnx. х->0
Ответ. — .
тс
№ 852. lim (arcsinx-ctgx). х->0
Ответ. 1.
№ 853. lim(l — cos х)-cig х.
/х-* 0
Ответ. 0.
Неопределенность вида оо — оо
№ 854. Нт (-^-^V 1\1ж1 Л J
Ответ. — .
№ 855. Нт [-^--^1.
х» 1 [1 —Хр 1— X’J
Ответ. —"Г 4 .
№ 856. lim fl — ctg2x
Ответ, у.
Неопределенности вида 0°, оо°, 1”
№ 857. lim (л —2x)cos<.
Ответ. 1.
№ 858. lim (cos 2x)3^*.
x-*0
Ответ, e-6.
i
№ 859. lim (x + 2*)* .
X - 00
Ответ. 2. i
№ 860. lim №У’ .
Ответ. е|/3.
Возрастание и убывание функций. Экстремум функций. Функция f (х) называется возрастающей в точке х0, если при достаточно малом А>0 выполняется условие
/(x0 —АХПхоХДхо + А) (рис. 28).
Функция /(х) называется убывающей в точке х0, если при достаточно малом h > 0 выполняется условие
f(x0 — А) > /(Хо) > /(х0 + А) (рис. 29).
Функция /(х) называется возрастающей в интервале (a, А), если для любых двух точек xt и х2 из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству Xi < х2, выполняется неравенство /(xj <С /(х2).
Функция /(х) называется убывающей в интервале (а, 6), если для любых точек Xi й х2 из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству Xj < х2, выполняется неравенство /(Xj) > /(хг). .
Признаки возрастания и убывания функции.
Если /'(хо) > 0, то функция /(х) возрастает в точке х0.
Если /'(хо)<О, то функция /(х) убывает в точкех0.
Значение /(х0) называется максимумом функции Дх), - если при достаточно малом А > О выполняется условие Я*о -К)< /(х0) > Rx0 + А).
Точка х0 называется в этом случае точкой максимума функции /(х)(рис. 30).
Значение /(х0) называется минимумом функции Дх), если при достаточно малом А > 0 выполняется условие f(x0 — А) > Кх^ < /(хо + А) (рис. 31). ,
Точка х0 называется в этом случае точкой минимума функции /(х).
Рис. 31Рис. 31
Рис. 31
Рис. 31
Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точка максимума или минимума функции называется точкой ее экстремума.
Необходимое условие экстремума.
Если функция Дх) в точке х0 имеет экстремум, то производная ГМ = 0 или /'(х0) не существует.
Точка х0, в которой Д(х0) = 0, называется стационарной точкой. Точки, в которых /'(х) = 0 или /'(х) не существует; называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Достаточные условия экстремума:
1-е правило. Если х0 критическая точка функции Дх) и при произвольном достаточно малом h > О, f \хв—А)>0, /'(х04-А)<0, то функция Дх) в точке х0 имеет максимум; если же Д(х0—К)<0, Г(ХоА*КОО, то функция Дх) в точке х0 имеет минимум.
Если же Д(х0 — А) и Д(х0 4- А) имеют одинаковые знаки, то функция Дх) в точке х0 экстремума не имеет.
2-е правило. Если /'(х0) = 0, /”(х0) =# 0, то функция Дх) в точке х0 имеет экстремум, а именно максимум, если /"(х0) < 0, и минимум, если /"(х0) > 0.
3-е правило. Пусть f'(xo)=O, f''(Xo)=O,...,/(”~1>(xo)= — 0, ^ (х0) 4= 0. В этом случае функция /(х) имеет в точке х0 экстремум, если п — четное число, а именно максимум при fw (х0)<0 и минимум при Дл)(х0)> 0.
Если же п — нечетное число, то функция Дх) в точке х0 экстремума не имеет.
Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции Дх) в сегменте [а, 6] нужно из значений функции на границах сегмента и в критических точках, принадлежащих сегменту, выбрать наибольшее (наименьшее).
№ 861. Дана функция у =х8 — Зх2 и даны точки х = 3, х = 1, х =—1, х =0,5. В каких из перечисленных точек функция возрастает? Функция убывает?
. Решение. Найдем производную у' = Зх2 — 6х.
При х =3, у' = 9>0.... След, функция возрастает.
» х = 1, у* =—3<0 .... След, функция убывает.
» х=—1, / =9>0 .... След, функция возрастает. » х = 0,5, у' = —2,25 < 0 .... След, функция убывает.
№ 862. Найти интервалы возрастания и убывания функции у = х (1 + Кх).
Решение. Найдем производную у' = 1 + -^х1^. Производная положительна на [0, +оо L Таким образом, функция возрастает во всей области определения.
№ 863. Найти интервалы возрастания и убывания функции у—-^х — sin х, если 0 С х <; 2л.
Решение. Найдем производную у' = у — cos х. В промежутке (у,поэтому функция возра
стает, а в промежутках ^0, ~) и 0р, 2л)/<0 функция убывает.
№ 864. Исследовать на экстремум функцию у = = (х —5)-е\
Решение. Находим первую производную у' = = (х — 4) е*. Приравниваем ее нулю и находим стационарную точку е*(х— 4) = 0, х = 4, у'(4— К) =—h-e^-^^Q, у'(4 4- А) =^ Л-в4+Л>0.
По 1-му правилу заключаем, что в точке х = 4 функция имеет минимум: ymin = — е4.
№ 865. Исследовать на экстремум функцию у = = х- К*-ха.
Решение. Функция определена при —1<х<1.
Найдем первую производную
1 —2х8УТ^з1 —2х8УТ^зу' = Оу' = О
1 —2х8
УТ^з
1 —2х8
УТ^з
у' = О
у' = О
при
12х® — 0; X]УТ ’
ха = 4- -4= (стационарные точки).
у' не существует (у' = оо) при х = ± 1, т. е. на границах области определения функции.
Найдем вторую производную:
х(2х8—3)
У - (1-Х8)3/2 *
Вычислим значение второй производной в стационарных точках: у" (-J=^ = —1 9~,3\ <0, следовательно, по 2-му W2/ /^Л-!?'2
2 “2 “правилу в точке х= р= будет max, уШах= “ 2 ’
2 “
2 “
min.min.
min.
min.
Следовательно, функция
_ 1
Ут in —2* •
I L-3>0
У 2 Л 1V/2
\ ~ 2/
1 имеет в точке х = —
В критических точках х = ±1 экстремума нет, так как по определению точками экстремума могут быть лишь внутренние точки области определения функции.
№ 866. Исследовать на экстремум функцию у = = (х - 1)«.
Решение. Найдем первую производную у* = = 4(х —- I)8 и стационарные точки (х — I)3 = 0, Xj = = х2 = х3 — 1. Вторая производная у" = 12(х —- I)2 при х = 1 равна нулю. Третья производная уП| = 24(х — 1) также обращается при х = 1 в нуль. Четвертая производная ухч = 24 > 0. Следовательно, по 3-му правилу имеем в точке х = 1 min, ут\п = 0.
№ 867. Исследовать на экстремум функцию у=1 -(х-2)5.
•4——4
Решение. у = —у(х— 2) 5=.
Производная не обращается в нуль ни при каких значениях х. Производная не существует лишь при х = 2 (критическая точка функции).
По 1-му правилу заключаем, что при х = 2 функция имеет максимум утах = 1 •
№ 868. Исследовать на экстремум функцию у = = (х —2)2/3. (2х+ 1).
Решение. у' = ^-„--—1 .
3 |/Т=2"
Стационарные точки х = 1 (производная равна нулю) и х = 2 (производная не существует). При достаточно малом А > 0 выполняются неравенства
у'(1-й)>0, у'(1 + А) <0,у'(2-й)<0, у'(2 + А)>0.Следовательно, в точке х = 1 функция имеет максимумУтах = 3, в точке х = 2 функция имеет минимум z/min = 0.
№ 869. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ./(х) = Зх — х3 на отрезке [—2, 3].
Решение. Находим первую производную /'(х) = = 3 — Зх2 и стационарные точки 3 — Зх2 = 0, х =±1. Определяем значения функции в стационарных точках У(1) = 2, у(—1) = —2.
Вычисляем значение данной функции на границах промежутка:
у(-2) = 2, у(3) = —18.
Из полученных четырех значений выбираем наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение функции на данном отрезке равно 2, а наименьшее — 18.
№ 870. Найти такой цилиндр, который бы имел наибольший объем при данной полной поверхности s.
Решение. Пусть радиус основания цилиндра будет х, а высота у. Тогдаs = 2лх2 + 2лху, т. е. у = —^—— =
/ S\
= 2ё I ~— 2лх I. Тогда объем цилиндра выразится через х так:
v = лх2-Д (-— 2лх) = 4- х — лх3.
2л \ х}2
Задача сводится к исследованию функции о = -|-х— лх3 на максимум при х>0.
Найдем производную ^ = ^ — Злх2 и приравняем ее нулю у — Злх2_= 0, х = ^.
Найдем производную второго пррядка ^- = — 6 лх. Так как при х = ^^ выполняется условие ^ < 0, то объем будет иметь наибольшее значение, причем
Т =Д = 2]Л=2х,
т. е. осевое сечение цилиндра должно быть квадратом. Найти интервалы возрастания и убывания функций: №871.у = 2 — Зх4-х3.
Ответ. В интервалах (—оо, —1) и (1, +°°) функция возрастает.
В интервале (—1, 1) убывает.
№ 872. у = (х2 — I)3/2.
Ответ. При х~> 1 возрастает.
При х < — 1 убывает. № 873. у = хе—с.
Ответ. При х> 1 убывает.
При х< 1 возрастает. № 874. у = (2 —х)(х + I)2. Ответ. При | х |> 1 убывает.
При | х | < 1 возрастает. Найти экстремумы функций: № 875. у = х2 (1 — хУх). Ответ. ymin = У (0) = 0.
Утах = У ^2 уу.
№ 876. у = X + ]/3 —х.
Л/11\13
Ответ. утах = У ( 4-) = -4 •
№ 877. y = ln(xs+ 1).
Ответ. ymin = y(0) = 0.
№ 878. y = ch2x.
Ответ. утш = у (0) = 1.
№ 879. у=^.
Ответ. ymin — У (е) = в.
№ 880. у = хе-^?2.
Ответ. утаХ = У(1) = ^ . V е
УтШ = У (—1) = — ^.
№881. у = (х — I)6/7.
Ответ. ymin = у (1) = 0.
№ 882. у = (2х— 1) yr^ZZ$y.
Ответ. утщ = у(3) = 0.
Утах = У (2) = 3.
№ 883. у = х4 — 4х® + 6х2 — 4х.
Ответ. утш = у(1) = — 1.
№ 884. у = 4 — sin2x.
Ответ. ymax = ^ (л — 12 + 6 /З),
Ут1п = ^(5л- 12 — 6/3).
№ 885. у = ez/asin^
Ответ. утах = е2/3,
Утш = е~2/3.
№ 886. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = х4— 2х2 + 3 на отрезке [—3, 2].
Ответ. Наименьшее значение равно 2, наибольшее" равно 66.
№ 887. На оси оу найти точку, из которой отрезок АВ виден под наибольшим углом, если Л(2, 0), В(8, 0).
Ответ. (0, ±4).
№ 888. Пункт В находится на расстоянии 60 км от железной дороги. Расстояние по железной дороге от пункта А до ближайшей к пункту В точки С составляет 285 /си. На каком расстоянии от точки С надо построить станцию, чтобы затрачивать наименьшее время на передвижение между пунктами А и В, если скорость движения по железной дороге равна 52 км1час, а скорость движения по шоссе равна 20 км!час1
Ответ, х =25 км, t =8 ч. 15 мин.
№ 889. Найти стороны прямоугольника наибольшей д»21,2
площади, который можно вписать в эллипс 2б + у= 1-
Ответ. 5/2, 3/2.
№ 890. Проволока длиною I согнута в прямоугольник. Каковы размеры этого прямоугольника, если площадь его наибольшая?
Ответ, -rl, -г-1. 44
Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба. График функции у = /(х) называется выпуклым (вверх) в интервале (а, Ь), если он расположен ниже касательной,проведенной в любой точке этого интервала (рис.32).
График функции у — Дх) называется вогнутым (вверх) в интервале (а, Ь), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала.
Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции:
Если /"(х) < 0 в интервале (а, Ь), то график функции — выпуклый в этом интервале.
Если f"(x) > О, то — вогнутый.
Точка графика функции (х0, Дх0)), отделяющая выпуклую его часть от вогнутой, называется точкой перегиба (рис. 34).
Если х0 — абсцисса точки перегиба графика функции у = «= /(х), то вторая производная /"(х0) =0 или/"(х0)не существует. Точки, в которых /”(х) =0 или /"(х) не существует, называются критическими точками 2-го рода.
Если х0 — критическая точка 2-го рода и при произвольном достаточно малом й > О выполняются неравенства /"(х0 — —й) < 0, П*о + h) > 0 (или неравенства /"(хо — й) > О, /"(х0 + й)<0), то точка кривой у = Дх) с абсциссой х0 является точкой перегиба.
Если же /"(х0 — й) и f"(xQ-Vh) имеют одинаковые знаки, то точка кривой у = Дх) с абсциссой х0 не является точкой перегиба.
№891. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции у = х6 + 5х — 6.
Решение, у' = бх4 + 5, у" = 20х®.
Если х <_ 0, то у" < 0 и кривая выпукла.
Если х > О, то у" > 0 и кривая вогнута.
Кривая выпукла в промежутке (—оо, 0) и вогнута в промежутке (0, -роо).
№ 892. Найти экстремумы и точку перегиба графика функции у = (х + 1)2(х — 2).'
Решение. Найдем первую производную у' = = 3(х2 — 1). Корни первой производной: Xt ==—), Ха = 1 ■
Найдем вторую производную у" — 6х. Вычислим вторую производную в стационарных точках:
у"(—1) = ~ 6<0, max, ymax - 0;
у"(1) = 6>0, min, ymin = —4.
Найдем точку перегиба, для чего вторую производную приравняем нулю бх = 0, т. е. х = 0. Слева от точки х — 0, у"(0 — А) < 0 кривая выпукла, а справа от точки х = 0, z/"(0 + А) > 0 — кривая вогнута; следовательно, точка с абсциссой х — 0 является точкой перегиба; упер = —2.
№ 893. Найти точки перегиба кривой у=(х— 5)5/3+2.
Решение, у'=-|-(х — 5)2/3, у" = , 10—.
Вторая производная не обращается в нуль ни при каких значениях х и не существует в точке х = 5. Значение х = 5 является абсциссой точки перегиба, так как у "(5 — h) < 0, у”<5 + А) > 0.
Таким образом, Р(5, 2) — точка перегиба.
№ 894. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой у — хе*.
Ответ. В интервале (—оо, —2) кривая выпукла, а в интервале (—2, +оо) — вогнута.
№ 895. Найти точки перегиба кривой у—^х—4)®4-4х+4.
Ответ. Р(4, 20).
№ 896. Найти точки перегиба кривой у = (х—1)х X ^(х — I)8 .
Ответ. Р(1,0).
№ 897. Найти точки перегиба кривой у = х4 — 8х3 + + 24х2.
Ответ. Кривая точек перегиба не имеет.
Асимптоты. Прямая L называется асимптотой кривой у = f(x), если расстояние точки Л4(х, у) кривой от прямой L стремится к нулю, при неограниченном удалении указанной точки по кривой от начала координат (т. е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к-бесконечно- сти).
Прямая х = а будет (вертикальной) асимптотой кривой у = Цх), если Нт /(х) = + оо или lim f (х) = — оо.
х — ах-»а
Прямая у = b будет (горизонтальной) асимптотой кривой у — f (х), если существует предел lim f (х) = b или X -*-1-00
Пт /(х) = Ь.
Х-* — 00
Прямая у = kx + b будет (наклонной) асимптотой кривой у = / (х), если существуют пределы
к = Пт Ь = Пт [/(х)— кх\
*-* 4-оо ^*-*4- оо
ИЛИ
к= Пт ^^, b = Пт [f (х) — кх\.* -* —00 ^X -* —00
№ 898. Найти асимптоты кривой у = у ^^ • Решение. Функция определена в интервалах (— до, 0) = -|- оо, то прямая
х = 2 является вертикальной асимптотой кривой. Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так как lim I/ R и Пт I/ „ не являются конечными ве-
,_+оо Г х —2г х —2
личинами.
Определим; существуют ли наклонные асимптоты.
^= lim ф = lim ^-^= lim У 7^ = *->4-00 л *-*4-оо**-*4-оо * *
bx = Пт [f(x) — кх]= lim I |/—5—х) =
*-*4-оо*-*4-оо \ ' л z /
Ит х«7-ута) = Пт xJx-x + 2) *-*4-00 /х —2*-*4-00 у х — 2 (у х + V х — 2)
Таким образом, существует правая наклонная асимптота у = х + 1.
к^ = Пт ^ = Пт
X—00 *X—00
(разделили числитель и знаменатель на положительную величину «—х»).
ка = — lim т/ —Ц- = — 1,X-* —00 у 1_г X
lim [f(x) — кхА= lim fl/-^- +V) =х->-00х-* ~ 00 \ т)
=- Ит-
х-* — оо \х /х_>—ооУ 2 — х
= - Ит НК^/2^) =
я—ооV 2 — х
= —1.= —1.vх(— х — 2+х)
= —1.
= —1.
hmг1, ,— /_=-
х—оо Уъ-х^У-х^УЧ—х
Существует левая наклонная асимптота у = — —х — 1 (рис. 35).
№ 899. Найти асимптоты кривой у = х + + 2arctgx.
Решение. Нетрудно видеть, что вертикальных и горизонтальных асимптот кривая не имеет.
... 2arctgx \,
hm I-)-^— = 1,
«^4-оо \х )
bi= lim (Х4-2arctgx —х) = 2-^ = л.х-*+оо
и г x + 2arctgx2) ка = hm —L—X -* — ооЛи г x + 2arctgx2) ка = hm —L—X -* — ооЛlimX-* — 00limX-* — 002 arc tg xx2 arc tg xx= 1,= 1,у = х 4- л — правая наклонная асимптота.
и г x + 2arctgx
2) ка = hm —L—X -* — ооЛ
и г x + 2arctgx
2) ка = hm —L—X -* — ооЛ
lim
X-* — 00
lim
X-* — 00
2 arc tg xx
2 arc tg xx
= 1,
= 1,
b^ = lim (x + 2arctgx — x) — 2-(— vi ~—л-у = x — л — левая наклонная асимптота.
№ 900. Найти асимптоты кривой у = х2 е-*.
Решение. Очевидно, вертикальных асимптот нет.
При х —> оо у -> 0. Следовательно, ось ох является горизонтальной асимптотой данной кривой. Исследуем существование наклонной асимптоты:
к = lim ^Li= lim «О.
*-оо * *-оо е
Таким образом, имеется только горизонтальная асимптота у = 0.
д.22х 4- 3
№901. Найти асимптоты кривой у =—*—-;Х- .
Решение. При х-* —2 у-* оо. Вертикальная асимптота: х = — 2. Найдем невертикальные асимптоты:
к = lim *-00к = lim *-00х2 —2х + 3 _ .х(х+2)*’х2 —2х + 3 _ .х(х+2)*’
к = lim *-00
к = lim *-00
х2 —2х + 3 _ .
х(х+2)*’
х2 —2х + 3 _ .
х(х+2)*’
— х =—4.— х =—4.,.. Гх8 — 2х + 3
— х =—4.
— х =—4.
b = lim г о—
*-оо[* + 2
Таким образом, невертикальная асимптота имеет уравнение у = х — 4.
№ 902. Найти асимптоты кривой у = 2х— 44'
Ответ, у = 2х; вертик. асимпт. х = 0.
1д2 ^
№ 903. Найти асимптоты кривой у = —Зх.
Ответ, у — — Зх; х = О— вертик. асимпт.
№ 904. Найти асимптоты кривой у = 4хзбх2.
Ответ, у = х — 6.
№ 905. Найти асимптоты кривой у — ^х + arc tgx.
Ответ, у = ух + л и у = ^х.
№ 906. Найти асимптоты кривой у = —х-arctgx.
Ответ. у = ^х-|-1 и у = — yxJrL
Построение графиков функций по характерным точкам. Построению графика функции у = Дх) следует предпослать выполнение следующих исследований:
Найти область определения функции.
Исследовать функцию на четность и нечетность.
Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва (если они существуют) и установить характер разрыва непрерывности.
Найти точки пересечения графика функции у = Дх) с осями координат.
Найти асимптоты кривой у — fix).
Произвести исследование функции на экстремум, найти интервалы возрастания и убывания.
Найти точки перегиба кривой и интервалы выпуклости и вогнутости.
х® 4- 4
№ 907. Построить график функции у = —^ .
Решение, а) Область определения функции — вся ось ох, за исключением точки х = 0.
Точка разрыва — х = 0, причем Пт у=оо,следо- 0
вательно, х = 0 (ось оу) является вертикальной асимптотой графика.
Найдем наклонные асимптоты.
к = lim^= lim^4
*-•» **—оо *
6«= Hm [/(х) —#х] — Нт (*8 + 4 — х') = Нт 4 = 0-*-00*-ОО\^/*—00*
Наклонная^ асимптота имеет уравнение у = х.
Функция не является четной или нечетной. Найдем точки пересечения графика с осью ох:
х3 + 4х2
Найдем экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания.
у' = 1 —р! у' = 0 при х = 2; у' = оо при х =0 (точка разрыва функции).
24
у" — ^; у"(2)>0, следовательно, к = 2— точка min, Ут1п = 3. При х<_0 у' >0 — функция возрастает.
Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости.
+ 0; у" = оо при х = 0 (точка разрыва функции).
Критических точек 2-го рода нет, следовательно, нет и точек перегиба. График функции всюду вогнут, так как у" > 0 (рис. 36).
Рис 36.Рис 37.
№ 908. Построить график функции у = у 1 — х8. Решение, а) Область определения — вся ось ох. б) Точек разрыва нет. Вертикальных асимптот нет. Имеем:
h = Пт 1^^- = — 1;х-оо х
b = lim (у^ 1 — х3 + х) =Х-* ОО
= Нт ■„■—— „ ■ 0.
/(1— Д^З _х ^-'Х_х8+х»
у = — х — наклонная асимптота.
Функция не является четной или нечетной.
Точки пересечения с осями координат:
при х = 0 у = 1; при у = 0 х = 1.
у' = — у — ;
(1 — х8)2
у’— 0 при х = О; у' = со при х = 1.
В окрестности критических точек производная не меняет знака, экстремумов нет.
у' < 0, функция монотонно убывает.
у" =0 при х =0; у" = со. при х = 1.
у-^>о- у\+Ю<0;
уЧХ -h)<0; у\\ + А) > о.
Следовательно, х = 0 и х = 1 — абсциссы точек перегиба, (—оо, 0), (1, +оо) — интервалы вогнутости, (0, 1) — интервал выпуклости (рис. 37).
Построить графики функций:
№ 909. у = sin2 х.
№ 910. у = 3}/х— х.
Ответ. ymin = у (— 1) = — 2, утах = у (1)=2, упер = = у(0) = 0.
Функция нечетная.
№ 911. у = In х — In (х — 1).
Ответ. Функция определена в интервале (1, 4-оо), убывает. График — вогнут. Прямые х = 1 и у = 0 — асимптоты.
Экстремума и точек перегиба нет.
№ 912. у = 10^^.
Ответ. Функция определена в интервалах (—оо, 0) и (1, +оо). В 1-м интервале график функции выпуклый, функция убывает. Во 2-м интервале график вогнутый, функция убывает. Асимптоты х = 0, х = 1, у = 0. Экстремума и точек перегиба нет. Сравнить с предыдущей задачей.
№ 913. y=j^.
Ответ. Асимптоты х = ± 2, у = х. Нечетная функция. График проходит через начало координат.
Ут1п = у(2УЗ) = ЗУЗ, Утах — у(—2]/3) = —ЗКЗ,
точка перегиба (0, 0). В интервале (—оо, —2) график функции — выпуклый, в интервале (—2, 0) —вогнутый, в интервале (0, 2) — выпуклый, в интервале (2, + оо) — вогнутый. В интервале (— 2, 2) функция монотонно убывает.
№ 914. у = ^. ух
2
Ответ. утах = У (е2) = —. Ось ох — асимптота.
№ 915. у = lQx(x — I)8.
/ 1 \27
ОтввГП. Ут1п = У ( *4") = Тб’ Упер “ У(1) " 0, Упер = = у fyj = — 1. Асимптот нет.
№ 916. у = (х—1)]/*.
/ 1 \2
Ответ, у^п = у I у 1 = —.
№ 917._7 = х + е-\
Ответ. ymin = У(0) = 1. Асимптота у = х.
№ 918. у = In (х + V»a + 1 )•
Ответ. упер = У (0) = 0. Функция монотонно возра
стает.
№ 919. у = е2х-х*.
Ответ. утах = У (1) = е.
Точки перегиба при х = —^у—. Асимптота у = 0.
№92°- У = ТТ^2Р
Ответ. ymin — у (6) = 13,5; точка перегиба 0(0, 0).
Асимптоты х = 2 и у = х + 4.
§ 3. Кривизна плоской кривой
Углом смежности дуги АВ плоской кривой называется угол <р между касательными, проведенными в точках А и В кривой. Отношение угла смежности к длине S дуги АВ называется средней кривизной дуги АВ:
k -JL
«ср- $ .
Кривизной к кривой в точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда В -* Л, т. е.
к = Пт —.s-o s
Кривизна окружности йокр = -^, где а — радиус окружности.
Кривизна прямой равна нулю.
Если кривая задана уравнением у = Дх), то ее кривизна вычисляется по формуле
h_ 1/1
(И-/)3'2’
Если кривая задана параметрическими уравнениями х = ф(^), У = Ф(0, ТО
•dyу — —, 7dt ’•dyу — —, 7dt ’. \ху-ух\• _ dx
•dy
у — —, 7dt ’
•dy
у — —, 7dt ’
VxHyT"' dt’
•• d^x *• d^yx —'y""dt»‘
Если кривая задана в полярных координатах уравнением
I ра + 2р'2 — рр" |(р2 + р'2)3/2I ра + 2р'2 — рр" |(р2 + р'2)3/2Р = /(0), то
I ра + 2р'2 — рр" |(р2 + р'2)3/2
I ра + 2р'2 — рр" |(р2 + р'2)3/2
, do „ dapгде Р =^, Р = ^.
Радиусом кривизны R называется величина, обратная кривизне:
R =R =|й| 1|й| 1
R =
R =
|й| 1
|й| 1
Окружностью кривизны кривой в ее точке А называется предельное положение окружности, проходящей через три точки А, В, С кривой, когда В А и С -* А.
Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны. Центр окружности кривизны называется центром кривизны и находится на нормали к кривой, проведенной в точке А в сторону вогнутости кривой.
Координаты ^ и т) центра кривизны кривой у = /(х) вычисляются по формулам:
t у'О+у'2)। 1 + у'2
^, = х— у х у ’ , л — у + у; .
Эволютой кривой называется геометрическое место ее центров кривизны. Формулы для координат центра кривизны можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты (где параметром является абсцисса х исходной кривой).
№921. Найти кривизну кривой у =—х3 в точке с абсциссой х = у.
Решение, у'=—Зх2, у" =— 6х. При х = -^ эти производные имеют значения у' = — -^, у" — — 3 и
, _ I — 3 I 3_ 192
R — /9x3/2 - 125/64 — 125 •
V+T6)
№ 922. Найти кривизну в любой точке циклоиды х = а ^ — sin /), у = а(1 — cos/).
Решение.
х = а(1—cos/), x = asin/,y = asint, у — acost,
ху — ух = a? (cos / — cos2/ — sin2/) = — а2 (1 — cos /), х2 + у2 = а2(1 —2cos / + cos2/4-sin2/) = 2а2 (1 —cos/),
. I —а2(1—cos/) 11
“I 23/2a3 (1 — cos/)3/2 1 * 23/2 a(l-cos О1/2 *
№ 923. Найти координаты центра кривизны кривой х3 + у4 = 2 в точке М (1, 1).
Решение.
Дифференцируем уравнение два раза:
) Зх2 + 4у3-у'=0, 2) 6х4-12у2-у'2 4- 4у3-/ = 0.
Так как х=1, у=1, то из уравнения (1) находим, что у' = — -|-, а из уравнения (2) получаем 6 + ^4- +4у"=0,/=-511.
г _ „О+У'2)/ _ 1(1 + 9/16) (- 3/4) _ 43
у"51— 68 ‘
— 16
Л y-t- у, 1 -t 51 - 51, Т. е. l I 68, 51 j . ~ 16
№ 924. Составить уравнение эволюты параболы у2 = = х+у.
Решение. Продифференцируем 2 раза уравнение параболы:
2уу'= 1, / = -^-,
2у'2 + 2уу" = 0, у = — ^=—
Определяем координаты центра кривизны
4уз
ri = У+ - У2 = У 4у^- = у —4у3 —у = — 4у8.
4у3
Получаем уравнение эволюты в параметрической форме. |'5 = 3у2 Исключив параметр у, найдем уравнение эво- 1 т] = — 4у3 люты в явном виде Ч2 = ^ В3-
№ 925. Найти радиус кривизны эллипса -^ + ^ =
в точке М (0, 3).-
Ответ. R = у •
№ 926. Найти радиус кривизны в любой точке кардиоиды р — а (1 + cos 9) (а > 0).'.
х Ответ. R=^ acos-|-.
№ 927. Найти кривизну кривой х = e^sin/
у = ef-cost в точке / = 1.
-А 1
Ответ, к = —т=.
№ 928. Найти координаты центра кривизны кривой у = -у в точке Л1 (1, 1).
Ответ. (2, 2).
№ 929. Составить уравнение эволюты кривой х = ^ - sin / + cos/ у = /-cos/— sin t.
Ответ. Окружность £2 + ц2 = 1.
§ 4. Вектор-функция скалярного аргументаи ее производная
Пространственную кривую можно задать параметрическими уравнениями
■ X = X (/) ■ У = У(0 . Z = Z (/).
или векторным уравнением
г = *(/)•/+ у(/)-Г+г(/).&.
Последнее уравнение определяет переменный вектор г как вектор-функцию скалярного аргумента /;
г = г(/).
Кривая, заданная уравнением r = r(f), называется годографом переменного вектора г.
Производной вектор-функции г = г (/) по скалярному аргументу t называется новая вектор-функция, определяемая равенством:
dr ,. Агг (0 = "лг = i*m тг •' dt Д^оД/
Производная вектор-функции может быть вычислена по формуле
А - Ал 4- Ал . Алdt ~dt J dt
Производная ^ есть вектор, направленный по касательной к годографу вектора г а сторону возрастания параметра I.
Если t есть время, то А — вектор скорости конца - dr вектора г, а ^— вектор ускорения.
Основные правила дифференцирования вектор-функции скалярного аргумента:
^ dt Vi + r2 GJ dt + dt dt , de
— = О, где c — постоянный вектор;
где
х0 = х(/0), Уо = УМ z0 = z(Q, хо = х’^о\ Уо = У'М, z0 = z'(/0).
Нормальной плоскостью называется плоскость, проходящая через точку касания и перпендикулярная к касательной. Уравнение нормальной плоскости:
х0(х —х0) + Уо(У — Уо) + z0(z — z0) = 0.
Дифференциал дуги пространственной кривой вычисляется по формуле
ds = V х2 -Vy^-Vz^di.
№ 930. Какая линия является годографом вектор- функции
г — al • cos t + а • /1 sin t 4- cktt
Решение. Эта линия имеет параметрические уравнения
х = a-cost, у = a-sin/, г = ct,
определяющие винтовую линию.
№ 931. Какая линия является годографом вектор- функции
г = i cos t + 7 + ^ sin ft
Ответ. Окружность
х2 + г2 = 1
У= I-
№ 932. Какая линия является годографом вектор- функции
г = ^4-7 + £)?
Ответ. Прямая, проходящая через начало координат и образующая с осями координат равные углы.
№ 933. Какая линия является годографом вектор- функции
г = i -|- / 4- ^^
Ответ. Прямая, параллельная оси ог и проходящая через точку (1,1, 0).
№ 934. Какая линия является годографом вектор- функции
г = t ch/ -f- sh/?
Ответ. Равносторонняя гипербола, лежащая в плоскости xoz.
№ 935. Найти производную скалярного произведения векторов
г^ — ЗН + 2/ + 56 и Гд = 2^ — 3// + к.
Решение.
= 'г ^ + ^ • ^ = (3/7 + 27 + 56) • (- 37)+ + (2?— 3/7+^)-ЗГ= —6 + 6 = 0.
Полученный результат объясняется тем, что скалярное произведение Г]-гг = 5, т. е. является постоянной величиной.
№ 936. Показать, что векторы г = icost + / • sin Z + & dr
и ^ перпендикулярны.
Решение. ^- = — i sin t + j cos t. Находим скалярное dr произведение г • -^-
r • ^ = —cos/-sin/ + sin/-cos/ +1 -0 = 0.
Следовательно,
№ 937. Найти производную вектор функции
г = Fch2/ + 7sh t ch t + к • sh2t.
Ответ. ^ = (J + k) sh 2/ + 7 ch 2/.
№ 938. r = I sh t + j ch t + к У ch2/ — 3 sh2 / . Найти d (72)
dt -
_d (г2) n
Ответ, -гг- — 0.
dt
№ 939. г, = it + jt2 + kt3, 14 = UHita + kt. Найти dFi xr2]
Ответ, ^^ = 3 (/2 — 2/5) I — (2t — 5/4) ].
№ 940. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой
х = a sin2#■ у = 6-sin/-cos/.Z = C-COS2/
в точке г = -т-. Решение. 'x = a-sin2/,
у = &-cos2/, z = —c-sin 21«
При t = -^- имеем: аbс ...
хо='2'> Уо=-2", го = "2", Х0 = а, Уо = О, 20 =—С.
Уравнения касательной: а b с 2" _У~"2 _Z~"2 а 0—с '
Уравнение нормальной плоскости:
х— -н— с1г—^j^O или ах—сг^—=0-
№ 941. Найти уравнения касательной и нормальной плоскости к винтовой линии г = cos/ -i 4- sin/-/ +]/3 t-k в точке / = "2* •
Ответ, ^у = -~ 1 = —^=—, 2х — 2г ^3+3л= 0.
№ 942. На кривой
х = t + 1 у = /2—1 . 2 = /3
найти точку, касательная в которой параллельна плоскости х + 2у + г — 1 =0.
Ответ. Л4,(0, 0, — 1) и Л43 ^у, — у, -^У
№ 943» Какой угол образует с плоскостью хоу касательная к винтовой линии
х = cos/у = sin /.2 = 2/2/
в точке / = у- ?
Ответ. 70°23'.
№ 944. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой
e^-sin/X = 7=
у= 1 el cos t
/2
в точке / = 0.
Ответ. у = ^-у^ =р^—, x-Vzу- = 0.
№ 945. Составить уравнения касательной к кривой
' х = el (cos / + sin /)у = el (sin / — cos /)z = e?
в точке / = 0.
л х — 1 у + 12 — 1
Ответ. —$— = о— " —I— *
№ 946. Составить уравнения касательной к кривой 7 = it2 4- П8 + kt4 в точке t = 1.
х— 1 у— 1 г— 1
Ответ. —^— “3— = —j*— •
№ 947. Показать, что кривые г = (ы + 1)7 + «27+ 4- (2ы — 1) k и г = 2у21 4- (Зу — 2) / 4- у2^ пересекаются и определить угол между кривыми в точке их пересечения
Ответ, arc cos ^у^ •
№ 948. Составить уравнения винтовой линии, если радиус основания цилиндра R = 4, шаг h = 6л, и найти дифференциал ее дуги.
Решение. Винтовая линия имеет уравнения х = 4-cos/ у = 4 • sin / 2 = 3/, так как при / = 2л z = h.
Продифференцируем эти уравнения: х = — 4 sin /, у = 4 cos t, 2 = 3.
Дифференциал дуги равен
ds =-. Кх2 4- у24-г2dt = /16 sin2/ 4- 16cos2/4-9 dt=
= /16(sin2/ 4-cos2/) +9 dt = 5dt.
№ 949. Найти дифференциал дуги кривой х = a cos2/ у = /а2 4- 62 sin / • cos / z = b sin2 /.
Ответ. ds = Vg.1 4- b^dt.
№ 950. При каком шаге А длина дуги одного витка винтовой линии
' X = cos/у = sin /
.z = ct равна 4л?
Указание. Использовать, что при развертывании цилиндра на плоскость один виток винтовой линии превращается в отрезок прямой.
Ответ. h = 2 УЗ • л.
№ 951. Уравнение движения
г = 3cos / • I + 3sin t -j + At • k,
где t — время. Определить скорость и ускорение движения в произвольный момент времени.
Ответ, и = -^- = — 3 sin t • i + 3 cos t • / + 4A,
— d2r--
w = -775- = — 3cos/-i — 3sin/-/.
№ 952. Уравнение движения
r=t-T-V t4-Vts-k.
Определить скорость и ускорение движения в момент t=\.____
Ответ, и /=i = i + 2/ + ЗА,
W ;=1 = 2/ + 6А.
§ 5. Сопровождающий трехгранник пространственнойкривой. Кривизна и кручение
Во всякой точке М (х, у, г) пространственной кривой г = г (/) можно построить три взаимно перпендикулярных единичных вектора: единичный вектор касательной (тангенциальный единичный вектор)
dr
(рис. 38),(рис. 38),dr dt
(рис. 38),
(рис. 38),
Т = -г- = ■■ _ ,ds d£
I dt |
единичный вектор главной нормали
dt
ds
единичный вектор бинормали ..
0 = Т X V.
Соответствующие неединичные векторы можно найти по формулам:
Т = ^ (вектор касательной),
В = ^ х ^ (вектор бинормали),
N— В хТ (вектор главной нормали).
Плоскость, содержащая векторы т и v, называется соприкасающейся плоско-_стью.ifПлоскость, содержащая векторы т и v, называется соприкасающейся плоско-_стью.ifРис. 39Рис. 39Рис. 38
Плоскость, содержащая векторы т и v, называется соприкасающейся плоско-_
стью.if
Плоскость, содержащая векторы т и v, называется соприкасающейся плоско-_
стью.if
Рис. 39
Рис. 39
Плоскость, содержащая векторы v и 0, есть нормальная плоскость.
Плоскость, содержащая векторы 0 и т, называется спрямляющей плоскостью.
Трехгранник с вершиной в точке М, образованный соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостями, называется сопровождающим трехгранником пространственной кривой (рис. 39).
Кривизной кривой в точке М называется число
К = Нт -^,д^о д$
где ф — угол поворота касательной (угол смежности) на дуге MN, As— длина этой дуги.
Если кривая задана уравнением r = r(s), то
Если уравнение кривой г = г (t), то
dr d4r
К =К ="dt Х И4
К =
К =
lAl3
I dt I
Кручением кривой в точке М называется число
а = lim -т—,As-О
где 6 — угол поворота бинормали (угол смежности второго рода) на дуге MN.
Если г =r(s), то
где знак «минус» берется в случае одинакового направ- ления векторов и v, знак «плюс» — в случае их противоположного направления.
Если г = г (/), то
dr d4r d®7
"dt di4 "di4o ===m>-.
dr d4r 2
"dt X"dt4\
№ 953. Найти тангенциальный вектор т кривой г = = t4i + t8j +/6£ в точке t = 1.
Решение.
^ = 2ti + З/2/ + №^ = 2ti + З/2/ + №4^-1 = /4/2+ 9/«+ 36/1°.at I т14^-1 = /4/2+ 9/«+ 36/1°.at I т1
^ = 2ti + З/2/ + №
^ = 2ti + З/2/ + №
4^-1 = /4/2+ 9/«+ 36/1°.at I т1
4^-1 = /4/2+ 9/«+ 36/1°.at I т1
При / = 1,
-^=27+ 37 + 6^, Ш = у4 + 9 + 36 = 7, LiltI * I
drdr
dr
dr
т =т =di dr "dtdi dr "dt" , 3 7 , 6 7-
т =
т =
di dr "dt
di dr "dt
H~ у 1 ~b 7 ^e
№ 954. Найти тангенциальный единичный вектор кривой
г = 5Н + 12/cos/ + 12A*sin/
в произвольной точке.
-5 г 12 у , 12т-,
Ответ. x-= — t— ^/*sin/ + ^k-cost. lu lu1м
№ 955. Найти тангенциальный единичный вектор кривой
’ х = i-sin ^ + cos/ у = /cos/— sin / .х = ^ ]/2 в точке / = -у.
—1-2 т/"2 ~
Ответ, т = — у /Ч^— к.
№ 956. Найти вектор т винтовой линии x = acos/, у = a sin t, z = VR2— о2 /, R > a>0 в произвольной точке.
Решение.
г = al cos/ + а/sin / + V R4 — а2 -k-t,
= — al sin t + aj cos t + V R4 — a2 A,
\^F = l^o2s*n2^ + °2c9s2/+ Я2 — a2 = R, dr
— dt —at sin / + aj cos /-|- VR4—а4-к WT5
I dt |
_ a sin t -г a cos t л , VR4 — а4 т
“ R 1 + R 1 H R R1
№ 957. Найти вектор p той же винтовой линии в произвольной точке.
Решение.
^- = — at sin t -V aj cos / + V R4 — a2 • k,
d4 r-.7 • ,
.7,— — at cos t — a sin t.
dt4'
Найдем векторное произведение этих векторов
i j к
~ dtx dt4 ~~ dtx dt4 ~— a sin t a cost j//?2 — a2
~ dtx dt4 ~
~ dtx dt4 ~
— acost— asin/ 0
= aVR? — °2sin ti — aVR4 —- a2costj + a4 к.
IbI — £.x ^Z. -
1 D1 dt X dt4
= V a4 (R4 — a2) sin2/ + a4R4 — a2) cos2/ + a4 = aR.
Следовательно,
P =
в
|S|
uVR4 — °2 i sin / — a V R4 — a4i cos t + a2&
VR4 — a2RVR4 — a2Rг» , атcos// +-5-' к. Кг» , атcos// +-5-' к. Кже винтовой линии в про-же винтовой линии в про-—/cos/—/sin /.—/cos/—/sin /.
VR4 — a2R
VR4 — a2R
г» , ат
cos// +-5-' к. К
г» , ат
cos// +-5-' к. К
же винтовой линии в про-
же винтовой линии в про-
—/cos/—/sin /.
—/cos/—/sin /.
VR4 — a4 .-
= ——^Sin / • I —
№ 958. Найти вектор v той извольной точке.
Решение. v= Рхт.
ijк
V R4 — a4 sin tVR4 — a2 cos t a
RR"R
a sin/ a cost . l^ R4 — a2
“ R~R~R
№ 959. Найти кривизну К той же винтовой линии.
Решение. Из задач № 956 и № 957 известно, что
dt I — I dt A "dt4 I
= aR,
поэтому
I dr d2 гI dt X dt®dr 3dt
№ 960. Найти кручение той же винтовой линии. Решение.
^ = —aisint-V-ajcost + V R^—а^-к.
d2 г т . т . .
= —at cost—aj sinr.
d3 r ~ . .~ i
-r^- = at sin/— a] cost.
Найдем смешанное произведение этих векторов
dr d® г d® г "dt dt® "di®" "
—a sin ta cos t
—a cost —a sin/ a sin/ —a cost
^R^a®00
Из задачи № 957 известно, что
= a2/«2—a2.
Следовательно, I dt x dt® I ‘
Таким образом,
_ a® VR® — a® _ VR®—a®°— a®R® ~ R®
№961. Составить уравнение соприкасающейся плоскости той же винтовой линии в произвольной точке.
Решение. Плоскость проходит через точку (acos/,a sin/, VR®—a2/) и перпендикулярна к вектору бинормалитг Vr®— a2sin t т К/?2 — a2cos t у, а тР=R1R1+ -R к-
Поэтому она имеет уравнение
1/" П2
^sin / • (X — a cos /) —
У R»-accost (у_а s.n + а (Z _ у R»_a4^ = 0
или
X-1//?2—а2sinZ — Y-V R2—a2-cos/ +
-VaZ — а//?2—а2/= 0.
№ 962. Составить уравнение спрямляющей плоскости той же винтовой линии в произвольной точке.
Решение. Плоскость проходит через точку (acost, a sin t, VR2— а2/) перпендикулярно к вектору главной нормали v =— icost—/sin/, а поэтому имеет уравнение
— (X — a cos f) cost — (У — a sin f) sin t = 0, т. e.
X cos t + Y sin t — a = 0.
№ 963. Составить уравнение нормальной плоскости той же винтовой линии в произвольной точке.
Решение. Плоскость перпендикулярна вектору каса- „ - a sin t т . a cos t у , l^T?2 — а2 у тельной Т =^1 Н^/ 4^В и прохо
дит через точку (a cost, а sin/, j/ R2—a2t).
Ее уравнение
—-^^-(Х —асо8/) + -^^-(У —asin/) +
+ Z5^L (z _ у ^г—ач) = 0 или
X а sin / — У а cos / — Z К^2^2 + (/?2 — а2) / = 0.
№ 964. Найти вектор т кривой
। х = 6/
< у = З/2| г = /3
в точке / = 1.
2 —2 т 1 —
Ответ, у i + у / + -3 к.
№ 965. Найти вектор р той же кривой при t = 1.
Ответ, -$ i—g / + у А.
№ 966. Найти вектор v той же кривой при t= 1.
Ответ. —g I + у /' 4- у к.
№ 967. Найти кривизну К той же кривой при t = 1.
„2
Ответ.
№ 968. Найти кручение о той же кривой при t = 1.
Ответ. -^.
№ 969. Составить уравнение соприкасающейся плоскости той же кривой при t = 1.
Ответ. X — 2Y + 2Z — 2 = 0.
№ 970. Составить уравнение спрямляющей плоскости той же кривой при t = 1.
Ответ. 2Х — У — 2Z — 7 = 0.
№ 971. Составить уравнение нормальной плоскости той же кривой при t = 1.
Ответ. 2Х + 2У + Z — 19 = 0.
Глава VI
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙНЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Область существования функции.Линии и поверхности уровня
Переменная величина и называется функцией двух независимых переменных х и у, если каждой паре (х, у) их значений, принадлежащей некоторой области D их изменения, соответствует единственное определенное значение и.
Записывают: и = Кх, у) или и = F^x, у) и т. п.
Аналогично определяется функция трех переменных « = Кх> У, z) и вообще функция многих переменных и = = /(х, у, г, ..., 0.
Значение функции и = /(х, у) в точке M(xq, у0) обозначается Кхо, у0) или КМ).
Геометрическим изображением функции и = Кх> У) в прямоугольной системе координат х, у, г (графиком функции) является некоторая поверхность.
Областью определения (существования) функции и = .= Кх» У) называется совокупность точек М(х, у) плоскости хоу, в которых функция определена и, следовательно, принимает действительные числовые значения. Областью определения функции и = Кх» У. г) называется совокупность точек М(х, у, z) пространства, в которых функция определена.
Линией уровня функции и = Кх- У) называется линия Кх, у) = С на плоскости хоу, в точках которой функция сохраняет постоянное значение и = С.
Поверхностью уровня функции и = Кх» У, г) называется поверхность /(х, у, z) = С, в точках которой функция сохраняет постоянное значение и = С.
№ 972. Найти область существования функции и = р^а2 — х2 — у2.
Решение. Функция и принимает вещественные значения при условии, когда а2 — х2 — у2 ^ О или х2 + у2 < < а2, т. е. областью существования данной функции является круг радиуса а с центром в начале координат, включая окружность.
№ 973. Найти область существования функции и = = arc sin 4.
у2
Решение. Функция arc sin ^ определена, если у 4= О и —1 < р <^ 1 или —у2 <. х < у2. Областью существования функции является часть плоскости, заключенная между двумя параболами у4 = х и у2 = —х, за исключением точки 0(0, 0).
№ 974. Найти область существования функции и = = ln(2z2 — 6х2 — Зу2 — 6).
Решение. Данная функция зависит от трех переменных и имеет вещественные значения при 2г2 — 6х2 — Зу2 — — 6 > 0 или у + у — у < —Ь т- е- областью существования заданной функции является часть пространства, заключенная внутри полостей двухполостного гиперболоида.
№ 975. Найти линии уровня функции и = х2 + у2.
Решение. Линии уровня имеют уравнения вида х2 + у2 = с (с > 0). Придавая с различные вещественные значения, получим концентрические окружности с центром в начале координат.
№ 976. Найти поверхности уровня функции и = х2 + + Z2 — у2.
Решение. Поверхности уровня имеют уравнения вида х2 + г2 — у2 = с.
При с = 0 х2 + z2 — у2 = 0 — конус.
При с > 0 х2 + г2 — у2 = с — семейство однополостных гиперболоидов.
При с < 0 х2 + z2 — у2 = с — семейство двухполостных гиперболоидов.
Найти области существования следующих функций: № 977. и = /х2+у2— 1.
Ответ. Вне единичного круга с центром в начале координат (х2 + у2^- 1).
№ 978. и = „-=.
V1 — х2—у2
Ответ. Внутренность круга х2 + z/2< 1.
№ 979. и = arc sin (х + у).
Ответ. Полоса между параллельными прямыми х + у< 1 и х + у> — 1.
№ 980. и= ]/cos(x2 + У2)-
Ответ. Концентрические кольца: -^- > х2 + у2 > 0,
2л >х2 + у2>у, ...
№ 981. и = 1п(—х + у).
Ответ. Верхняя полуплоскость от биссектрисы у = х(у>х).
№ 982. и = у + Ух.
Ответ. Правая полуплоскость (х^О).
№ 983. ц =/а2—х2—у2—z2.
Ответ. Шар, х2 + у2 + z2-<a2.
№ 984. и = arc sin —7=^=- .
Ух2 + у2
Ответ, z <У х8 + уй, z > — Уха + у2. Вне конуса х2 + У2 — z2 = 0.
№ 985. и = 1П(1 _х2_у2_г2) •
Ответ. Внутренность шара х2 + у2 + г2 < 1, за исключением начала координат.
№ 986. и = Ух-Ьу + 2.
Ответ. Пространство выше плоскости х + у + z = 0- (х + У + z > 0).
Найти линии уровня следующих функций:
№ 987. z = 2х + у.
Ответ. Семейство параллельных прямых 2х + у = с.
№ 988. Z = -.
У
Ответ. Семейство прямых, проходящих через начало координат х = су.
№ 989. 2 = Ini/-^.
V х
Ответ. Семейство прямых, проходящих через начало координат у = ^сх или у = схх сх>0.
№ 990. г =
Ответ.. Семейство парабол су = Ух.
№ 991. г = ех\
Ответ. Семейство равнобочных гипербол ху = с(р">0\
Найти поверхности уровня следующих функций:
№ 992. и = х 4- у + Зг.
Ответ. Семейство плоскостей х 4- у + Зг = с.
№ 993. и = х2 4- у2 4- г2.
Ответ. Семейство сфер х8 4- У2 4- г2 = с (с > 0).
№ 994. ы = (х2 4- У2 4- г2)2.
Ответ. Семейство сфер х2 4- У2 4- г2 = с (с > 0).
Производные и дифференциалы функцийнескольких переменных
Частные производные 1-го порядка. Частной производной от функции г = /(х, у) по независимой переменной х называется производная -^- = = hm Н*4-Д*. у) —f(x, у) у^ вычисленная при по- д*-.о
стоянном у.
Частной производной по у называется производная ^ = Пш ^х’ ? + ^ —^ ^ ^ — fy (х, у), вычисленная при постоянном х.
Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.
№ 995. и = х2 — Зху — 4у2 — х 4~ 2у 4-1. Найти ^
Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим:
^ = 2х —Зу—1.
дх'
Рассматривая х как постоянную, найдем:
5- =-Зх-8у4-2.
№ 996. z = ех2+у'. Найти 4~, ~. дх ’ оу
Решение.
№ 997. о = и4соз2ф. Найти 4^-, 4^-.
Решение.
^ = 4«®СО82ф,
^~ = и4-2 cos ф (— sin ф) = — и4 sin 2ф.
№ 998. Показать, что функция z = y 1п(х2—у2) удовлетворяет уравнению
1 dz . 1 dz z
х ‘ дх у дуу2
Решение.
Подставив частные производные в левую часть уравнения
± .^к — Г1п (х2V2)2у2 1 =
х X4— у4у [ ^7 ?х2—у2]
_ 2у2у . In (ха — у2) _ z
X2—у2X2—у2 ‘ уу2 ’
получаем тождество, т. е. функция 2 удовлетворяет данному уравнению.
№ 999. Показать, что функция 2 = уу/* sin ^0 удовлетворяет уравнению
х2 • 4~ + ху 4^ = yz.дх ' 7 ду '
Решение.
4^- = ^!х • In у (^-) sin (—) + yYix cos,
дх ' z\ X2-/\х/ 1 ' \х) \ х1 ! ’
^ = ГууМ. In у Ш + Z . yy/x-il sin (4) + Vy,xtos i 4) 1 7 •
*I\ ^ /*\ ^ I\ Ar J A#
Подставив частные производные в левую часть уравнения
— х2 ^- • yy^-lny-sin (—) —х 2 • ^ • yy/xcos (— | 4-X1 77 \X )x1 7 \X )
+ xy • -^- • yv/*—1 • sin (yA + xy • y- • yy,x • In у • sin f -^ 4-
+ xy •• yy/x COS (-^-) = yyVlx sin ^ J. j = yZj
получаем тождество,^следовательно, функция г удовлетво-
ряет данному уравнению.
№ 1000. и = х24-2у2— Зху— 4х + 2у + 5. Найти ди ди
дх’ ду *
Ответ. = 2х — Зу — 4,= 4у — Зх 4е 2.
дх7’ ду 71
№ 1001. r = p2-sin46. Найти J, ^.
1op оО
Ответ. $■ = 2р sin4 0, ^ = 4р2 • sin3 0 • cos 0. дрг*д9 г
№ 1002. « = <-^ У2У
ди2х1
Ответ, » дх у2
о ди ди Наити -5—. дх ’ ду
ди
у ’ ду у2
№ 1003. г = еху(х2+у2). Найти
2х2
У3 • дг дг дх ' ду*
Ответ. ^ = ехУ(х2+У2) . (Зх2у + у8),^=еХУ<х2+у2).(Х3 + 3х),2).
№ 1004. и == 2у Vх + Зу2 • V^- Найти
Ответ. == 2 Vх + бу ^2,
дх ух ’ ду г 1 / г >
ди ди ди
К, 1005. u = e,,,+ г-",'. Найти
Ответ. — ех,у; ~ = дх у ’ ду ди^_ _Х_ -г,у дг у *
дх 7 ду’ дг * ди _ 2у2 "дге
У г ди ди "дх ’ ду ’ ~дг '
ди
№ 1006. z = arc tg-г-^-2. Найти ~, —• 1 + х2дх ’ ду
Ответ — - 2ху — -1 +-
vmeem. дх -(1 + х2)2 + у2 , ду - (1 + х2)2 + у2 •
№ 1007. г = е(х8+у2)2. Найти -^-, ^.
дх ’ ду
Ответ. -^ = 6х2 (х3 + у2) е<ж,+у2)2,
№ 1008. и = (х —у)(х —z)(y —г). Найти -^-, ^, ^. Ответ. ^ = {у—z)(2x—у—z), —= (х— z)((x—2#+z),
$ = (х — УН—У+2г — х).
№ 1009. и = е^у1-*\ Найти ^, ^. ох ’ оу
Ответ. ^- = (6х — у) e3*2+2y2~*yt
^ = (4у-х)Л‘+2^
№ 1010. u = exyz-svn — . Найтй -^. хду
Ответ. ^- = xzexyz • sin — + — exyz • cos -^ . дух1 хх
X2111
№ 1011. Показать, что г = ^- + у х + —— — удовле- „ дг,, дг Xs
дх дх др 56 ду ду, др" дбдх дх др 56 ду ду, др" дбесли х = р cos О,если х = р cos О,творяет уравнению х2 -^ + У2 ~§^ = ~ •
дх дх др 56 ду ду, др" дб
дх дх др 56 ду ду, др" дб
если х = р cos О,
если х = р cos О,
№ 1012. Вычислить
у = р sin 0.
Ответ, р.
Полный дифференциал. Полным приращением функции z = tk.x,y} в точке Л1(х, у) называется
разность
Az =/(х + Ах, у + Ау) — / (х, у),
где Ах, Ау — произвольные приращения аргументов функции.
Функция z = / (х, у) называется дифференцируемой в точке (х, у), если в этой точке полное приращение можно представить в виде
Az = Л Дх + В Ду + 0 (р),
где p = ■VГ^x^+^y^.
Полным дифференциалом функции z — f(x,y) называется главная часть полного приращения Дг, линейная
относительно прирятяний аргументов Дх и Ду, т. е. dz = Л Дх + В Ду.
Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. dx = Дх и dy = Ду.
Полный дифференциал функции z = /(х, у) вычисляется по формуле
Аналогично полный дифференциал функции трех аргументов и = f (х, у, г) вычисляется по формуле
du^dx-^dy+^dz.
При достаточно малом р = ]/Дх2 + Ду2 для дифференцируемой функции z = f(x, у) справедливы приближенные равенства
Lz«dz и /(х4-Дх, у 4-Д у)« / (х, y) + dz.
№ 1013. z = arctg ——■—. Найти dz.
'6 X— у
Решение. Найдем -^ и ^.
дг 1. —2уу
дх/х -f- у\2 (х—у)2 х8 + у8 *
* ' Xх— У/
дг ,1, 2хх
ду/х + У\2 (х — у)8 - х8+у8 "
* ' V ~ У/
Следовательно,
dz = — dx 4-—dv = ^У-У*1*
az дхах-гду°У х8 + у8 "
№ 1014. и = xy‘z. Найти du.
Решение.
du = ^dx+^dy + ^dz. г^^ = уЧ.^-\^-=хуЧЛпх.2уг, -^-х^Лпх-у2.
оу7 ог'
Следовательно,
du = у2гху‘г-1 dx 4- 2yz • )^‘г ■ In x dy 4- y2 ^tz • In x dz.
№ 1015. Вычислить приближенно уsin21,55 + 8е0-015, исходя из значения функции z = |/ sjn2 х _р 8^ при х=у«1,571, у = 0.
Решение. Искомое число есть наращенное значение функции г при Дх = 0,021, Ду = 0,015.
Найдем значение г при х = + у = 0:
z = y sin2y+8е° = 3, Дг^г^Дх + ^Ду^.^™^^^
дх ду У 2 ]/sin2 л: + 8еу= WL5 =о
Следовательно, Vs*n21,55 + 8е° •015 ^ 3,02.
1 02
№ 1016. Вычислить приближенно arctgy^, исходя из значения функции z = arc tg ^ при х = 1, у = 1.
Решение. Значение функции z при х=1, у — 1: z = arc tg-р =-^-= 0,785.
Найдем приращение функции Az, если Дх = — 0,05, Ду = 0,02.
a j дг А . дг Ау Ах , хДу
kz^dz = Дх 4- -х- Ду =—г Я—5-/ о- =
дх 1 ду z х2 + У2 х2 + у2
— хАу — у Ах _ 1-0,02+ 1 *0,05 _ q egg " х2 + у2 —2" ’
Следовательно, arc tg ^| = г+Дг«0,785+0,035=0,82.
№ 1017. z = In (х2 + у2). Найти dz.
Ответ, dz = И+^у^У^У
Ха + у2
№ 1018. z=lntgy/x. Найти dz.
Ответ. dz= Mxdy-ydxL.
X1 sin 5L
X
№ 1019. z — sin (х2 + у2). Найти dz.
Ответ. 2 (х dx + у dy) cos (х2 + у2).
№ 1020. z = ху. Найти dz.
Ответ, dz = ху у dx 4- In х dy) .
№ 1021. и = In (х + ]/х2 + у2). Найти du.
Ответ, du = --2 ™— . (dx 4.
Ух2 + уа ^х-уУх»-^)
№ 1022. z = ех (cos у + я sin у). Найти dz.
Ответ, dz = ех [(х cos у — sin у) dy 4- (sin у 4- cos у 4+ х sin у) dx],
№ 1023. z = ex+y(xcosy 4- ysinx). Найти dz.
Ответ, dz = ex+y {[(x 4- 1) cos у + у (sin x + cos x)] dx 4
[x (cos у — sin y) 4- (У 4- 1) sin x] dy}.
. Найти dz.. Найти dz.№ 1024. г = arc tg ^ + ”^
. Найти dz.
. Найти dz.
№ 1025. и = ехУ2. Найти du.
Ответ, du = ex*2 (yz dx 4- xz dy 4- xy dz\
№ 1026. Вычислить приближенно l,024-05, исходя из значения функции z = ху при х = 1, у = 4, заменяя ее приращение дифференциалом.
Ответ. 1,08.
№ 1027. Вычислить приближенно In (0,09s 4-0,99s), исходя из значения функции z = ln(xs4-y3) прих—0, у=1.
Ответ. —0,03.
№ 1028. Вычислить приближенно |/Т,0224-0,052, исходя з,
из значения функции z = у х2 4- у2 при х = 1, у — 0.
Ответ. 1,013.
№ 1029. Вычислить приближенно ]/5е°’02 4-2,0'32,
исходя из значения функции z = У5ех 4- У2 при х=0, у=2.
Ответ. 3,037.
№ 1030» Вычислить приближенно j/l >04*’99 4-In 1,02, исходя из значения функции « = )/xy4-lnz прих=1, у = 2, z = 1.
Ответ. 1,05.
Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Частными производными второго порядка от функции z = f (х, у) называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Обозначения производных 2-го порядка:
2 ? —f’ (х vYдх \ дх ) — дх2 ~ Ьх улд ( дг\ дгг г' , х| —ч— ) — ч ч — f ух С^> У)> дх \ ду / дудх «ул\ ' /п2 ? —f’ (х vYдх \ дх ) — дх2 ~ Ьх улд ( дг\ дгг г' , х| —ч— ) — ч ч — f ух С^> У)> дх \ ду / дудх «ул\ ' /пУ 2/ Xдх ду ~ ^У ^’ ^’У 2/ Xдх ду ~ ^У ^’ ^’д / дг \ _ д2г _ л , хду \ ду2 J ду2 Туу\%* У)*д / дг \ _ д2г _ л , хду \ ду2 J ду2 Туу\%* У)*
2 ? —f’ (х vYдх \ дх ) — дх2 ~ Ьх ул
д ( дг\ дгг г' , х
| —ч— ) — ч ч — f ух С^> У)> дх \ ду / дудх «ул\ ' /п
2 ? —f’ (х vYдх \ дх ) — дх2 ~ Ьх ул
д ( дг\ дгг г' , х
| —ч— ) — ч ч — f ух С^> У)> дх \ ду / дудх «ул\ ' /п
У 2/ X
дх ду ~ ^У ^’ ^’
У 2/ X
дх ду ~ ^У ^’ ^’
д / дг \ _ д2г _ л , хду \ ду2 J ду2 Туу\%* У)*
д / дг \ _ д2г _ л , хду \ ду2 J ду2 Туу\%* У)*
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков, например:
д / d2z \ дх \ дх2 /д / d2z \ дх \ дх2 /"^з" ~ fxxx (х, у);"^з" ~ fxxx (х, у);
д / d2z \ дх \ дх2 /
д / d2z \ дх \ дх2 /
"^з" ~ fxxx (х, у);
"^з" ~ fxxx (х, у);
д ( d2z\ дЧ /" , х
а7 \ aF j№^ ~ f^^y^x^ У) и т- д-
Так называемые «смешанные» производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны, напри
, д»г д^г
М дх ду ду дх"
Дифференциалом второго порядка от функции z—f(x, у) называется дифференциал от ее полного дифференциала, т. е.
d»z = d(dz\
Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков:
dsz = d(d»z>),вообщеdnz = d^d"-1 z\
Если х и у — независимые переменные и функция / (х, у) имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:
#г = S "+3 aSfc "^ + 3 ЭЯ? ^^ + ^^
пг,пг,вообще имеет место символическая формула
п
г,
п
г,
d"z
которая формально раскрывается по биномиальному закону.
№ 1031. z = y-lnx. Найти , л^4"» ^4- 7dx2 ’ dx dy dy2
Решение. Найдем частные производные -~^-, -^ : dzуdz .
-ч— = 2- ;= In х.
dxхdy
Теперь дифференцируем повторно
dx^xj dx2 х2 ’ dydy2 u’
d / у \ _ d2z _ _1_dy I x J ~ dx dy ' x
№ 1032. Z = lntgi. Найти Д.
Решение.
dz _Эх —dz _Эх —-— • sec2 —-— • sec2 —tg—tg—ххd2z 1_dx dy х2d2z 1_dx dy х22sin ^x2sin ^x22x3-sin2^.Xx3-sin2^.X=L 2x2 У z2 " sin £ ’X 2y 2 -2со8УТ. x2 ' sin2 2y X 2y2y \у cos — — xsm — I .=L 2x2 У z2 " sin £ ’X 2y 2 -2со8УТ. x2 ' sin2 2y X 2y2y \у cos — — xsm — I .XXXX
dz _
Эх —
dz _
Эх —
-— • sec2 —
-— • sec2 —
tg—
tg—
х
х
d2z 1_
dx dy х2
d2z 1_
dx dy х2
2sin ^x
2sin ^x
2
2
x3-sin2^.
X
x3-sin2^.
X
=L 2x2 У z2 " sin £ ’
X 2y 2 -2со8УТ. x2 ' sin2 2y X 2y2y \
у cos — — xsm — I .
=L 2x2 У z2 " sin £ ’
X 2y 2 -2со8УТ. x2 ' sin2 2y X 2y2y \
у cos — — xsm — I .
X
X
X
X
№ 1033. z = sin x-siny. Найти d2z. Решение.
dz. dz .
-я- = cos х sin у; -д- = sin х cos у;
dx7 dy7 9
d2z .. d2zd2z
= —sinxsiny; ^ = cosxcosy; ^ = —sinxsmy;
d?z = — sin x sin у dx2 4- 2 cos x cos у dxdy — sin x sin у dy2.
№ 1034. z = x2y. Найти d3z.
Решение.
5L-2xv —-2v —-0
дх -2ХУ' дх2 -ЛУ' дх3 ~и’
д3г 9
дх2ду’
дг ' ду
д3гдхду2
— х2 =0 — = 0 ~Х ’ ду4 и’ ду3 и
= 0,
d3z = 0-dx3 + 3-2dx2dy + 3-0-dx-dy2 + 0-dy3 = 6dx2dy.
№ 1035. « = 4xs + 3x2y + Зху2 — у3. Найти ^yp..
Ответ. 6 (у + x).
№ 1036. u = xy + sin (x + У)- Найти Д^.
Ответ. — sin (x + y).
№ 1037. ы = In tg (x + у). Найти ^^ .
Ответ. -i^WyL. sin2 (2x + 2y)
№ 1038. z = arctg-f^-. Найти ^.
Ответ. 0.
№ 1039. z = x2 In (x + у). Найти 4Цг .
Ответ, ^^vi . (x + y)2
№ 1040. a = x - sin xy + у cos xy. Найти -^ .
Ответ, у (2 — у2) cos xy — xy2 sin xy.
№ 1041. u = sin (x + cos у). Найти a^-.
Ответ, sin у • cos (x + cos y).
№ 1042. z = у In (x2 + у2). Найти d2z.
Ответ.(dy2 - dx2) - ^£4^ •
(x2 + y2r v z(x2 + y4)2.
№ 1043. z = cos(x + y). Найти d2z.
Ответ. — cos (x + y) (dx + dy)2.
№ 1044. z = cos (ax + e'Y Найти д—ч»-
Ответ. а(У ^ sin (ax + ey) — cos (ax + e^)].
№ 1045. a = ^=^. Найти x — 2ydx2 dy
Ответ. 4.
№ 1046. 2 = x2y3. Проверить, что 3 =
№ 1047. z = x2 + у2 — xy — 2x + у + 7. Найти d?z.
Ответ. 2 (dx2 — dx dy + dy2).
№ 1048. Показать, что функция z = ф(х) • ^(y) удовле- d2z dz dz творяет уравнению ? .= — . — .
№ 1049. Показать, что функция z = g(x) + yg' (x) dz dz , d2z удовлетворяет уравнению 57 = ^ + У 57^ •
Дифференцирование сложных функций. Пусть 2 = f (х, у), где х = ф(^), у = ф(О и функции /(х, у), ф(<), ф(0 — дифференцируемы.
Тогда производная сложной функции г = f [ф (/), ф (/)] .dz dz dx , dz dy o
вычисляется по формуле — = —. — + — . ^-. Если z = f(x, у), где у = ф(х), то «полная» производная от z по х будет ^ = ^ + ^-^ • Если же ?=/(х,у), где х = ф (£, т]), у = ф (|, г|), то частные производные выражаются так:
dz dz dx dz dy dz dz dx . dz dy
d4 dx * d^ ' dy * d^ И d-q dx d*q ‘ dy ~dq *
№ 1050. г = ^2+у2 где x = acos/, y = asmt. Найти ' zat
Решение.
dz dz dx , dz dyn,
dF=d7--dr+-5F-^=eJ;+y -2x(-asm0 +
+ e^2+^2 • 2y (a cos /) = 2aex2+y2 (y cos t — x sin t\
Заменив x и у через t, получим -^- = 2aea2 (a sintcost — — a cos t sin 0 = 0.
№ 1051. г = 1п(х2 — у2), где у = ех. Найти -|^-, 4~ Решение.
dz 2х
dx ха — у2 *
По формуле dzdz . dzdy
dxdx dy dx
имеем
dz __ _ 2x 2yex _ 2 (x — yex^) dxx2 — y2x3 — y2x2 — y2
№ 1052. z — у In у, где и = tg2x, u = ctg2x. Найти ^-
Ответ.Ответ.№ 1053.№ 1053.4
Ответ.
Ответ.
№ 1053.
№ 1053.
sin 2х *
= ^^, где у = Зх + 1. Найти ^ .
Огпвет- (х2 + Зх + I )2 ‘№ 1054. z = х2у, где y=cosx. Найти ^- и ^-. z 7ох ахОгпвет- (х2 + Зх + I )2 ‘№ 1054. z = х2у, где y=cosx. Найти ^- и ^-. z 7ох ах2х(Зх + 2)
Огпвет- (х2 + Зх + I )2 ‘
№ 1054. z = х2у, где y=cosx. Найти ^- и ^-. z 7ох ах
Огпвет- (х2 + Зх + I )2 ‘
№ 1054. z = х2у, где y=cosx. Найти ^- и ^-. z 7ох ах
Ответ. 4^- = 2х cos х, -^- = х (2 cos х — х sin х).
ах
№ 1055. z = In x~Vx—3_ где = xcosa Найти 4т*
х + / х2—у2'«*
Ответ. 0.
№ 1056. z = х2 + у2, где х = ^ + т], у = | — т]. тт - dz дг
Наити эё’
Ответ. -|| = 4£, -^ = 4т).
№ 1057. « = In (х2 + у2), где х = £т), у = —. Найти ди ди
А ди 2 ди 2 Of — 1)
Ответ, -sr =-ё » -s- = —rmv •
dt S’ di) 1)(т+1)
№ 1058. Показать, что функция « = 1пу, где г = = У^х— а)2 + (у — 6)2 удовлетворяет уравнению 4^- 4+ Й = °-
dy2
Производная в данном направлении. Градиент функции. Производной функции z = f(x, у) в точке М (х, у) в направлении вектора е = ММг называется предел ■
azf (.М,) — f (.М) v Hzг■
^"-^™о лш; =%Т’ где р = Ка^2 + ау2.
Если функция /(х, у) дифференцируема, то производная в данном направлении вычисляется по формуле
дгдг. дг .
-г* — cos a 4- -,— sin a, де дх1 dy ’
где a — угол, образованный вектором е с осью ох 282
В случае функции трех переменных и = Цх, у, г) производная в данном направлении определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид ди ди,дио . ди
-ч— = з— cos а 4- ч— cos В 4- ч— cos у,де дх ду г 1 дг • ’
где cos a, cos^, cosy — направляющие косинусы вектора е.
Градиентом функции г = / (х, у) в точке М (х, у) называется вектор, выходящий из точки М и имеющий своими координатами частные производные функции г;
т дг т . дг 7grad2 = -^t + ^/.
Градиент функции и производная в направлении вектора е связаны формулой дг■ ,
"а7 = прё §rad г-
Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке. Производная ^ в направлении градиента имеет наибольшее значение, равное
/ дг \., ।_ Г / дг V . / дг V
\ де / наиб ~— у \"5х / + V ду / '
В случае функции u = f(x, у, 2) градиент функции равен т ди т , ди - . ди т grad и = -ч— i 4- ч— / + "я— «• 6дх 1 ду 1 1 дг
№ 1059. Найти производную функции 2 = х— у2 в точке М(1,1) в направлении е, составляющем угол а ~ 60° с положительным направлением оси ох.
Решение. Найдем значения частных производных в точке Мх
^ _ о §L. — _9m 151?\ — 9 l^L\ — 9
dx ’ ду\дх\дУ )m
№ 1060. Найти производную функции и = ху2г3 в точке М (3, 2, 1) в направлении "MN, где N (5, 4, 2).
Решение. Найдем вектор MN*.
Му = ё=(5 —3)?+ (4 —2)/ + (2- 1)£ = 27 + 27+А и его направляющие косинусы 22
cos а = -7==- = -н- ,
V2а+ 2а+ I23 ’
а 21
COS р = у , COS у = у .
Значения частных производных:
=^- = 2хУгз; ^=W^
Следовательно,
— — д . — -Lio. — 4- 36 • — — 22 • —де — * 3 + 12 3 + dD 3 ~ 22 3 -
№ 1061. Найти производную функции г = 1п(х2 + у2) в точке М (3, 4) в направленнии_градиента функции г.
Решение. Здесь вектор е совпадает с градиентом функции z = In (х2 + у2) в точке М (3, 4) и равен '
ё-gradz-f 2х 7+f ^7--7+-7е- graaz — ^ х2у у2 )Mi-t ^ ж* + у2 )м I — 251 + 25 •*
Следовательно,
д? I „ J I , / ( 6 V . ( 8 V2
Зе — | grad Z I — у (^25/ + \25/5"
№ 1062. Найти величину и направление градиента функции
«=tgx—x+3siny—sin3y+z+ctgz в точке М[у,у,у].
Решение. Найдем частные производные
4^- = sec2x—1, -^- = 3cosy— 3sin2y-cosy, die’ ду'
ди -9
= 1 — cosec2 z
■ х / 7С ТС ТС \
и вычислим их значения в точке ^И I у» у • у)
(^\ =sec24— 1 = 2—1 = 1, Vх )м 4
[ду И-ЗСО8"3 3sm 3 C0S 3 ~3’ 23\ 2 }2~ 8'
(^- \ = 1 — cosec2 -5- = 0.
\дг)м2
Следовательно,
- Q —(grad и)л/ = 1 + уГ,
I grad uk = ]/ 12 + (у)2 = у/73;
cos Р = sin a =cos Р = sin a =3318
cos Р = sin a =
cos Р = sin a =
3
3
cosa = T^ = W8 Г 7d
№ 1063. Найти производную функции z = х2 — ху + У2 в точке М (1, 1) в направлении е= 6i + 8/.
п(дг\
Ответ. = =■.
№ 1064. Найти производную функции и= arcsin-T=L=-
V х24-у2
в точке МЦ, 1, 1) в направлении ММ, где N (3, 2, 3).
№ 1065. Найти производную функции и=1п(х2+у2+г2) в точке М (1, 2, 1) в направлении вектора r=2t‘+4/+4^.
„/ ди \7
Ответ. -5-= тг •
\ °е ) м °
№ 1066. Найти величину и направление градиента функции и = у, где г = "j/x2 + у2 + z2, в точке М (х0, у0, 20).
Ответ. [ grad и |м = -4-, cos a=— —.
ûð
cos 0 = — — , cos у = — — r6Го
где Го = "^х0 “Ь Уо + 2о.
№ 1067. Найти величину и направление градиента функции и = xyz в точке М (2, 1, 1).
Ответ. | grad и |л» = 3, cos а = у, cos 0 = cos у =-| •
№ 1068. Найти производную функции и = ух + + у У + 4 z в направлении е = 6t + 3/ — 6^ в произвольной точке.
Ответ. = 4 • де 3
Дифференцирование неявных функций. Производная неявной функции у = у^х\ заданной с помощью уравнения F^x, у) = 0, где F^x, у) — дифференцируемая функция переменных х и у, может быть вычислена по формуле
дР
ду
при условии, что -д^ + О.
Производные высших порядков неявной функции можно найти последовательным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом у как функцию от х.
Аналогично частные производные неявной функции двух переменных г = ф(х, у), заданной с помощью уравнения F^x, у, г) = 0, где F(x, у, г) — дифференцируемая функция переменных х, у и г, могут быть вычислены по формулам:
дРдР
дг дх дг ду дхдР * "дудр
дгдг
дР I а
при условии, ЧТО -^-=/=0.
№ 1069. cos(x + у) + у = 0. Найти у'.
Решение. Здесь F (х, у) = cos (х + у) + У• Найдем ^- = — sin (х + у), ^ = — sin (х + у) + 1. Следователь- нп ...—sin (х + у) _ sin (х + у)
’ '1—sin (х + у)1— sin(x + y) "
№ 1070. у — siny = x. Найти у' и у”.
дР
Решение. F (х, у) = у — sin у—х. Найдем -^- = — 1, •^ = 1 — cos у = 2 sin2 ^, у' =~.! = * cosec2 4 •
dy72 >2sin2-L 22
2
Вторая производная равна
у = у • 2cosec yi—cosec у • ctg ^ Ь у У =
= —у cosec4 ^ * ctg у.
№ 1071. z3— 3xyz = as. Найти ^ , ^-. 7дх оу
Решение. F (х, у, z) = z3 — 3xyz — а3. Найдем ^, дР дР ду и dz ‘
М=—Зуг> ~=—3xz, -^- = 3z2 —Зху.
дх ' ’ ду’ дг'
Тогда dz —3yz _ уг е дх —Зг2—Зху г^ — ху ’
дг _— Зхг _ хг
ду ”3z2 — Зху ~ г^ — ху *
№ 1072. хуг = х + у + 2. Найти dz.
Решение. Как известно, dz = ~ dx + dy. а по- ох ду 7
„дг дг
тому найдем сначала и :
дг уг — 1 дг хг — 1
дх — ху — 1 ’ духу— 1 ’
Следовательно,
dz = — -^zr ^У2 — О^ + (хг — l)dy].
№ 1073. х2 + у2 + In (х2 + у2) = а2. Найти у'.
Ответ. — —.
№ 1074. — 4-sin — = а. Найти у', х 1 х7
Ответ. —. х
№ 1075. (ху— а)2 + (ху— Р)2 = г2. Найти у', у”.
Ответ. — — ;'
х ’ х2
№. 1076. х3 + 2у3 — 2ху р^ху + 1=0. Найти у'.
Ответ. -.
2у2—х V 2ху
№ 1077. In tg-^—^-= а. Найти у'.
Ответ. -у.
№ 1078. (х2 + у2 — 6х)2 = а2(х2 + у2). Найти у' в точке М (Ь, Ьу
ла2—62
Ответ. 575»
№ 1079. 3 sin— 2 cos -^ + 1=0. Найти у'.
Ответ. . 2х
№ 1080. -yln(x2+y2) — arctg-^- = O. Найти у'.
Ответ, х— у
№ 1081. х2 — х-2у+’+4у— х+2у+2 = 0. Найти у'.
Ответ. гП^Т
№ 1082. х+у — 6^ = 0. Найти у'; у".
Ответ. — 1; 0.
№ 1083. х + у+2 = ^. Найти f. ^.
№ 1084. х3+у3+23 — 3xyz=0. Найти ^, |^.
Ответ.Ответ.дх— г^ —дх— г^ —уг дг у2 —xz
Ответ.
Ответ.
дх— г^ —
дх— г^ —
ху ’ ду г2 — ху
№ 1085. х = 21п--. Найти dz. у
Ответ. dz =
№ 1086. xsiny+ysinx+zsinx = а. Найти-—
~ дг х cos у + sin х
Ответ. =
оуsin X
№ 1087. xy+xz+yz •-= L Найти йг.
Ответ. <?±0Aii*±05L.
х-у-у
№ 1088. хеУ+уех-^гех = а. Найти ^ •
Ответ, д- = — у — г — е^-х.
№ 1089. г = х + arctg —Ц;. Найти
Ответ 1.
§ 3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плосйость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через точку М.
Нормалью к поверхности называется прямая, проходящая через точку касанйя М и перпендикулярная касательной плоскости.
Если поверхность задана уравнением F(x, у, z) = 0, то уравнение касательной плоскости в точке М(х0, у0, z0) поверхности имеет вид
+(f к^ -Уа)+®„ <г - г-> - °'
_ (8F\ (dF\ (dF\
где 57 » д- > 5™— значения частных производ-
\дх)м \дУ)м \дг)мv
ных в точке М, а х, у, г — текущие координаты точки касательной плоскости.
Уравнения нормали:
х —х0У — Уй _ z — z0
Vх) мV^Jm иг^
Здесь х, у, г — текущие координаты точки нормали.
Если же уравнение поверхности задано в явном виде г — tU, у\ то уравнение касательной плоскости в точке М(х0, у о, ?о) имеет вид
(
dz\, х , / dz\ ,х
0--(х — х0)+ к-(у —у0)
ох ) м\°уJм
и уравнения нормали
х —х0 _ у —у0 _ 2 —20
/dz\ /dz\ — 1 '
№ 1090. Дана поверхность z = х2 — 2ху + у2 — х + + 2у и точка на ней М(1, 1, 1). Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали в точке М.
Решение. Найдем частные производные ^ = 2х — •0z
— 2у — 1 и 5^7 = — 2х + 2у + 2 и их значения в точке М(1, 1, 1): У
(дг\ _< /дг\ _п
Им” ’ Ым
Уравнение касательной плоскости:
г — 1= — (х— 1)+2(у— 1) или х—2у + г--0.
Уравнения нормали:
х — 1 _ у — 1 _ г— 1— 1 - 2 — — Г
№ 1091. К поверхности х2 4-2у2 4-3z2 = 11 провести касательные плоскости, параллельные плоскости х 4- у 4- +z = 1.
Решение. Здесь F(x, у, г) = x24-2y24-3z2—11.
Найдем частные производные:
^-гх, ™iy, ^=6г. дхдудг
Из условия параллельности касательной плоскости и „dF]dx dFjdy dFjdt
данной плоскости следует, что —j— = —j-2- = —।— или у = ^ = ~ Присоединив к этим уравнениям х2+2у2+ 4- 3z2 = 11, найдем координаты точек касания:
м, (у6.2^. Vy) „ м,(-у-б, -^, -tt\ Следовательно, касательные плоскости имеют уравнения:
1 (х ± у 6) + 1 (у ± ^) + 1 (г ± ^) = О, т. е.
x±y±z±-pL- = O и X±y±Z— ^ = 0.
№ 1092. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z= 1±х2 ±у2 в точке УИ(1, 1,3).
Ответ. 2х ± 2у — z = 1, ^^ = ^-^ = ^р
№ 1093. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности х2 + у2 — г2 = — 1 в точке М (2, 2, 3).
Ответ. 2х ± 2у — 3z + 1 = 0, ^^ = ~^— = ^у •
№ 1094. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = ln(x2+y2) в точке Л4(1, 0, 0).
Ответ. z*= 2 (х — 1), ^-^ ^ ± = 7ZT
№ 1095. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = sinxcosy в точке М , л ±\ 4 ’ 2 лit_1
х—тУ —Т т
Ответ, х — у — 2г±1 = 0, —j— = _ у = -~5"- № 1096. Составить уравнения касательных плоскостей к поверхности х2±2у2±3г2=21, параллельных плоскости х±4у±6г = 0.
Ответ. x±4y±6z ±21 = 0.
№ 1097. Доказать, что касательные плоскости к поверхности ]/x±]/y±|/z = )/a (a > 0) отсекают на осях координат отрезки, сумма которых постоянна.
№ 1098. В какой точке эллипсоида ^- ± -р- ± z2 = 1 нормаль к нему образует равные углы с осями координат? 441
Ответ, х = ± -р, у = ± -р, г = ± -р-
Экстремум функций двух независимых переменных
Функция z—■ f(x, у) имеет максимум (минимум) п точке Л4о(хо, Уо), если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в-любой другой точке М(х, у) некоторой окрестности точки Мо, т. е. Дх0, у0) > f(x, у) (соответственно f(x0, у^ <_ f(x, у)), для всех точек М(х, у), удовлетворяющих условию MQM<_d, где 6 некоторое (хотя бы малое) положительное число.
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка Л40, в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.
Если дифференцируемая функция z — f(x, у) достигает экстремума в точке Mq(xOi у^ то ее частные производные первого порядка равны нулю в этой точке, т. е.
dfUo. Уо) _а дЦхв, Уо) _А дх’ ду ~и
(необходимые условия экстремума).
Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.
Пусть Мй(хй, у^—стационарная точка функции z = = f(x, у). Обозначим:
д _ д4Цхй, Уо) о _ д^Цхо., Уо) р _ ^^/(^.Уо) дх4 *дхду ’ду4
и составим дискриминант А = Л С — В2.
Если А > 0, то функция имеет в точку /Ио экстремум, а именно максимум нри Л < 0 (или С < 0) и минимум при Л > 0 (или С > 0).
Если А < 0, то в точке Мо экстремума нет (достаточные условия наличия или отсутствия экстремума).
Если А = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).
№ 1099. Найти экстремум функции:
г = х2+ху+у2 — Зх — бу.
Решение.
Находим частные производные первого порядка $- = 2х+у —3, -^ = х+2у — 6.
дх 7’ ду7
Воспользовавшись необходимыми условиями, находим стационарные точки
( 2х+у — 3 = 0. о
J 7откуда х = 0, у = 3.
1х+2у —6 = 0,
Находим частные производные второго порядка:
^Z о ^г 9^2z — 1
дх» — А ду2 _ ’ дх ду
и составляем дискриминант
А = ЛС —В2 = 2-2 —1 =3>0, Л>0.
Следовательно, в точке М (0, 3) функция г = х2+ху+ +у2 — Зх — бу имеет min. Величина этого минимума будет ^min —9.
№ 1100. Найти экстремум функции z = -^-xy +
+ (47-х-у)(4 + ^У
Решение.
Находим частные производные первого порядка Lv_47.
дх ~12 У3Х3
ду2 У12Х4
Воспользовавшись необходимыми условиями, находим стационарные точки
A _ ДГ D2 — ( 2Д (L^ / 1 V— 1 П
Поскольку А<0, то в точке М функция имеет max, zmax= $21 х 20 + (47 - 21 - 20) (^ + ^) = 282.
№ 110k Найти экстремум функции г=ху2(1— х — у).
Ответ. zmax = -^-
№ 1102. Найти экстремум функции z=x8 + ys— — 15ху.
Ответ. zmin = —125.
№ 1103. Найти экстремум функции
z = (х2 + у2) е-^+у*) — (х2+ у2).
Ответ. zmin = 0.
№ 1104. Найти экстремум функции
z = /(a —х)(а —у)(х + у—а).
Ответ. Максимум при Зх = Зу = 2a.
Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. Условным экстремумом функции г = ^(х, у) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные хну связаны уравнением ф(х, у) =0 {уравнение связи).
Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа
и = Цх, у)4-Хф(х, у),
где X — неопределенный постоянный множитель.
Необходимыми условиями экстремума будут:
^г91 + х? = 0
ох дх 1дх
ду ду 1ду
<р(х, у) = 0.
Из этой системы трех уравнений можно найти неизвестные х, у и X.
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо:
найти стационарные точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;
найти наибольшие и наименьшие значения функции на линиях, образующих границу области;
из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
№ 1105. Найти экстремум функции z — ху при условии, что х и у связаны уравнением 2х + Зу — 5 = 0.
Решение. Рассмотрим функций Лагранжа и = = ху + Х(2х + Зу — 5). Имеем
5- = у + 2Х, дх 7 1’
ди. л \
3“ = X 4- ЗХ. ду1
Из системы уравнений (необходимые условия экстремума) у+2Х = 0
■ х+ЗХ = 0. 2x-fr-3y — 5 = 0
555
находим, что X = —^, х = —, у = -g-. Нетрудно ви- (55 \
-р "ё") функция z=xy достигает наибольшего значения zmax = 54-
№ 1106. Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью S найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.
Решение. Пусть х и у — катеты треугольника, az — гипотенуза. Так как z2 = х2 + у2, то задача сводится к нахождению наименьшего значения функции х2 + у2 при условии, что х и у связаны уравнением ^ = S или уравнением -ху — 2S = 0. Рассмотрим функцию и=х2 + «2 + + X(xy-2S).
^=2х+Ху,
Так как х>0, у>0, то из системы уравнений
2х4-Ху = О2у4-Хх = О
-^ = 5
получаем решение х = у = V2S, X = — 2.
Таким образом, гипотенуза имеет наименьшее значение, если катеты треугольника равны между собрй.
№ 1107. Найти наименьшее и наибольшее значения функции 2 = х2+у2 в круге (х — V2)2 + (у — ]/2)2С9.
Решение. Рассматривается область D, ограниченная окружностью (х — К 2)2 + (у — К2)2 = 9, включая и точки окружности.
Найдем стационарные точки функции г = х2 + у2, ^ = 2х, |~ ~ 2у. Из необходимых условий экстремума находим, что х = 0, у = 0.
Нетрудно видеть, что в точке (0,0) функция г = х2+у2 имеет наименьшее значение гнаим = 0, причем указанная точка является внутренней точкой круга (х — ]/ 2)2 4+ (у — V 2)2 -^ 9. Исследуем на условный экстремум функцию г = х2 + у2, если х и у связаны соотношением
Рассмотрим функцию
и = х2+у24-Х [(х — ]/2)2 + (у — ]/2)2 — 9].
Находим частные производные
g = 2x+2k(x-/2), g = 2y+2X(y-yl).
Для определения х, у и X получаем систему уравнений
х + Х(х-/2) =0
У 4-Х (у— /2) = 0
Эта си стема имеет два решения:х=у = -|.К2, Х= — А иг = 25.
х = у = —-р, Х=—1Иг = 1.
Таким образом, наибольшее значение функция принимает в точке окружности ^А)/2, у^^)-
Итак, 2наим = 0, 2Наиб = 25.
№ 1108. Найти экстремум функции г=х2+у2, если
X , V 1
х и у связаны уравнением -4- + у = 1
Л144/36 48\
ответ. гт1п = 25 в точке I 25» §5)'
№ 1109. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г = х2 — ху + у2 — 4х в замкнутой области, ограниченной прямыми х = 0, у = 0, 2х+3у — 12=0.
Ответ., гваиб — 16, гнаим =g-'
№ 1110. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г = ху+х+у в квадрате, ограниченном прямыми х = 1, х = 2, у — 2, у = 3.
Ответ, гнаим = 5, , гИаиб =11.
№ 1111. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г = ху в круге х2+у2 < 1.
Ответ, гнаим =^< 2Наиб = -^ •
№ 1112. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г=х2+3у24-х—у в треугольнике, ограниченном прямыми: х = 1, у = 1, х+у = 1.
Ответ, гнаим 1, 2Наиб 4.
№ 1113. Найти наименьшее и наибольшее значения функции г=1—х2 —у2 в круге (х—I)2 + (у — I)2 < 1.
Ответ. гнаИм = — 2 (КА + 0 = — 4,8, 2наиб2 (К^2 — 1) 0,8.
№ 1114. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г = sin х + sin у + sin (х + у) в области 0 < х <
2 ,2_
Ответ. 2наиб ==2 » 2наим ==: 0.
№ 1115. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 = sin х + sin у + cos (х + у) в области 0 < х < Зя Л ., Зя
Ответ. гваим = — 3 при 2х = 2у = Зя,
2Наиб = 1 + ^ ПРИ 6х = бу = 5я.
№ 1116. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г = cos х cos у cos (х 4- у) в области 0 < х < л,
Ответ. 2наиб — 1 > ^наим —"g"
№ 1117. Из всех треугольников, вписанных в круг, найти тот, площадь которого наибольшая.
Ответ. Равносторонний.
№ 1118. Из всех треугольников, имеющих данный периметр, найти наибольший по площади.
Ответ. Равносторонний.
№ 1119. Из всех прямоугольников с заданной площадью S найти такой, периметр которого имеет наименьшее значение.
Ответ. РнаИм — 4^5, квадрат.
Л- 1120. Найти размеры прямоугольного параллелепипеда, имеющего при данной полной поверхности S максимальный объём.
5/ $
Ответ. х = у — z, Vmax = -g-* у -g-
Павел Ефимович ДанкоАлександр Георгиевич ПоповВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В УПРАЖНЕНИЯХ И ЗАДАЧАХЧасть I
Редактор Д. А. Гальский
Художник В. П. Заикин
Художественный редактор Т. А. Скворцов»Технический редактор Н. В. ДшуковаКорректор С. Р. Лановенко
Т-10355. Сдано в набор.27/1-67 г. Подп. к печати 11/IX-67 г.Формат 84Х1081/з2. Объем 9,375 печ. л. 15,75 усл. п. л.
Уч.-изд. л. 12,05. Изд. № ФМ-280. Тираж 100 000 экз. Цена 46 коп.
Тематический план изд-ва «Высшая школа» (вузы и техникумы) на 1967 г. Позиция № 34.
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14,Издательство «Высшая школа»
Московская типография № 4 ГлавполиграфпромаКомитета по печати при Совете Министров СССР
Б. Переяславская, 46. Зак. 1021
П.Е.ДАНКО, А.Г. ПОПОВ
МИЙ 1«Шв апрлжнЕняях и задачи
— 2x2+ з
1515 I15 /1510
№ 594. у = x*‘.
Решение. Здесь основание и показатель степени зависят от х. Логарифмируя, получим:
3) ^77- (Xr) = X • A .j. r A , гДе X = X (/) — скалярная функция от t;