Академия наук СССРАкадемия наук СССРГосударственный комитет Совета Министров СССР по науке и технике

Академия наук СССР

Академия наук СССР

ВСЕСОЮЗНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТСИСТЕМНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕЗАДАЧИПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Под редакциейчл.-кор. АН СССР Д. М. Гвишиани,чл.-кор. АН СССР С. В. Емельянова

МОСКВА, «МАШИНОСТРОЕНИЕ», 1978

6Ф0Л М73

УДК 007(063)

М73 Многокритериальные задачи принятия решений/Под ред. Д. М. Гвишиани и С. В. Емельянова. — М.: Машиностроение, 1978.

В сборнике представлены работы, посвященные теоретическим, методологическим и прикладным проблемам принятия решений при многих критериях. Рассмотрен широкий круг вопросов, связанных с разработкой моделей и методов решения многокритериальных задач. Предложены процедуры получения информации о предпочтениях и построения решающих правил. Исследованы проблемы оценки важности критериев и анализа множества допустимых решений. Приведены результаты решения ряда практических задач.

Multiobjective Decision Problems/ J. M. Gvishiani and S. V. Emelyanov, Eds, «Mashinostroyeniye» Publishing House, Moscow, 1978.

This volume contains papers on theoretical, methodological and applied aspects of decision problems with multiple criteria. Development of models and techniques of multiobjective problem solution is discussed in details. Information acquisition procedures on preference and procedures of decision rules elaboration are proposed. Problems of criteria significance evaluation and problems of a set of feasible decision alternative analysis are investigated. The solutions of some real world problems are described.

M Без объявл.6Ф0.1

038(01)-78

Выпущено по заказу Всесоюзного научно-исследовательского института системных исследований.

© Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований, 1978 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

На XXV съезде КПСС отмечалось, что в настоящее время особую актуальность приобретают вопросы комплексного решения крупных общегосударственных межотраслевых и территориальных проблем. Для достижения этой цели большое значение имеют исследования, направленные на совершенствование управления и планирования народного хозяйства с учетом необходимости широкого и эффективного применения ЭВМ. При проведении этих исследований особое внимание должно уделяться вопросам подготовки и принятия плановых решений, обеспечивающих оперативность и наибольшую отдачу от вложенных средств.

Принятие решения — это процесс выбора наилучшего способа достижения поставленной цели из множества альтернативных способов. Проблемы принятия решений привлекают большое внимание исследователей, работающих в различных научных направлениях. Теория и методология принятия решений представляют собой важнейшие разделы современного системного анализа. Основным назначением методологии принятия решений является разработка рекомендаций, позволяющих обосновать выбор наиболее предпочтительных решений в сложных и неопределенных ситуациях, требующих использования ЭВМ для анализа и обработки больших массивов данных. Применение вычислительной техники может оказать большую помощь лицам, принимающим решения, однако это требует разработки специальной методологии и решения ряда теоретических проблем.

До недавнего времени задачи выбора наилучших решений обычно формулировались таким образом, что сравнение решений по предпочтительности осуществлялось с помощью единственной числовой функции, назы-

ваемой критерием оптимальности. При этом наилучшим считалось решение, доставляющее максимум (или минимум) выбранному критерию. Однако в большинстве современных практических задач принятия решений такой подход неприменим. Это объясняется тем, что качество решения обычно характеризуется не одним, а многими критериями, причем выбрать из них лишь один, переведя остальные в ограничения, или же «свернуть» все критерии в единый глобальный критерий удается далеко не всегда. Поэтому в настоящее время особое значение приобрела теория принятия решений при многих критериях. Над развитием этой теории и разработкой методов решения многокритериальных задач работают сейчас ученые многих стран. Настоящий сборник составлен из новых работ, выполненных советскими учеными в последние годы.

Сборник открывается статьей В. М. Озерного и М. Г. Гафта «Методология решения дискретных многокритериальных задач». В статье исследуются проблемы, возникающие при разработке и использовании многокритериальных моделей задач принятия решений в условиях определенности. Основное внимание в работе уделяется вопросам, связанным с решающими правилами. Построение решающего правила является, по-видимому, наиболее важным и ответственным этапом разработки многокритериальной модели. Именно на этом этапе формируется принцип сравнения допустимых решений, а, следовательно, структуризуются предпочтения лица, принимающего решение, и предопределяется выбор наиболее предпочтительных решений.

В настоящее время предложено много разнообразных решающих правил и проблема выбора решения часто подменяется необоснованным выбором решающего правила. При этом, как отмечает профессор Е. С. Вент- цель (в кн.: Исследование операций. Методологические аспекты. М., «Наука», 1972, с. 106—111), наблюдается «перенос произвола из одной инстанции в другую». Таким образом, первостепенную важность приобретает вопрос о том, как обоснованно выбрать или построить решающее правило в конкретных задачах. В работе В. М. Озерного и М. Г. Гафта сделана попытка ответить на этот принципиальный вопрос. Авторы приходят к выводу о невозможности существования универсального решающего правила и обосновывают необходимость по-

строения общего метода формирования решающих правил.

Предлагаемый авторами метод основан на итеративной процедуре, в ходе которой проводится поэтапное получение информации о предпочтениях лица, принимающего решение, и построение промежуточных решающих правил. Каждое из таких решающих правил позволяет по крайней мере частично устранить несравнимость решений, существующую на предыдущем шаге процедуры. Процедура основана на естественном принципе получения информации: от простой и достоверной информации к более сложной. При этом предусмотрена проверка содержательности и непротиворечивости информации, основанная на предложенных авторами принципах. Для реализации процедуры построения решающих правил авторами разработана схема последовательности получения разных видов информации и специальная классификация информации.

Предлагаемый метод позволяет в практических задачах строить или обоснованно выбирать такие решающие правила, которые направлены на получение требуемого в конкретной задаче упорядочения решений на основе минимального объема наиболее простой информации о предпочтениях. Последнее обстоятельство является особенно важным в связи с тем, что получение такой информации в практических ситуациях сопряжено со значительными трудностями. В заключение статьи рассматриваются результаты использования разработанного метода при решении задачи выбора рациональных вариантов технологических схем угольных шахт.

Статья В. В. Подиновского «Об относительной важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений» посвящена хорошо известной проблеме «важности критериев». В большинстве методов решения многокритериальных задач так или иначе предусматривается использование информации об относительной важности (или значимости, весе и т. п.) критериев. Однако сами понятия упорядоченности критериев по важности, а также показатели (коэффициенты) важности вводились применительно к конкретным методам, общие же определения отсутствовали. Из-за этого взаимосвязь различных частных определений оставалась невыясненной, а информацию о важности критериев получали применительно к выбранному методу решения за-

дачи. Если этот метод оказывался неэффективным, то было неясно, в какой мерс полученная информация пригодна для использования в других методах. Особое значение вопрос разработки общих определений упорядоченности и показателей важности приобрел в связи с появлением итеративных процедур, основанных на последовательном получении и использовании все более сложной и сильной информации о предпочтениях лица, принимающего решение.

В. В. Подиновским предложены простые и естественные общие определения упорядоченности критериев и групп критериев по важности. Определения упорядоченности однородных (имеющих одинаковую «физическую» размерность) критериев основаны на последовательном развитии идеи симметрии: критерии имеют одинаковую важность, если взаимная замена оценок по этим критериям не влияет на общую ценность решения, и имеют разную важность, если при такой замене выгоднее получить большую оценку по одному критерию и меньшую по другому. Для неоднородных критериев определения упорядоченности основаны на сравнении по ценности приращений оценок по этим критериям.

Информация о важности критериев (т. е. совокупность сведений типа: «первый критерий важнее третьего», «второй и третий критерии важнее четвертого» и т. п.), которую по характеру можно назвать качественной, позволяет определить на множестве решений отношения предпочтения и безразличия, которые оказываются частичными и нетранзитивными. В статье указываются методы построения транзитивных замыканий этих отношений и исследуются вопросы непротиворечивости и содержательности информации о важности критериев.

Далее в работе В. В. Подиновского дается общее определение коэффициентов важности и порождаемых ими отношений предпочтения. Показывается, что уточнение качественной информации о важности критериев с помощью коэффициентов важности приводит к расширению отношений предпочтения и безразличия и, тем самым, к уменьшению неопределенности выбора наилучшего решения. Эта неопределенность может быть полностью снята, например, после «свертывания» всех критериев в один обобщенный с использованием полученных коэффициентов важности.

Результаты, изложенные в статье, представляют не только теоретический интерес: они, как показывают приведенные автором примеры, могут быть непосредственно использованы для анализа и решения разнообразных практических многокритериальных задач, особенно в рамках итеративных процедур.

В работе О. А. Шестакова «Методы выявления непрерывных индивидуальных предпочтений» предлагаются два метода выявления предпочтений лица, принимающего решение, на континуальных множествах объектов выбора — графическое построение среза предпочтений и построение функции полезности методом наименьших квадратов. Предполагается, что критерии, характеризующие объекты выбора, являются непрерывными, а структуры предпочтений представляют собой полные квазипорядки, обладающие свойствами непрерывности и строгой монотонности. Такие структуры предпочтений однозначно задаются семейством поверхностей безразличия в пространстве критериев.

Первый метод представляет собой процедуру построения кусочно-линейной аппроксимации семейства линий безразличия и применим в тех случаях, когда число критериев нс больше трех. Достоинствами метода являются его сравнительная простота и наглядность результатов, получаемых в графическом виде. Срезы предпочтений могут представляться также в виде числовых матриц, поэтому их обработка и ранжирование объектов выбора легко выполняются на ЭВМ.

Второй метод основан на выделении в пространстве критериев группы равноценных точек и подборе такой функции полезности, поверхности уровня которой проходят вблизи выделенных точек. При этом для выделения точек используется специальная процедура опроса, а функция полезности строится методом наименьших квадратов в некотором классе числовых функций, определенных в пространстве критериев (например, в классе полиномов второй степени).

Предложенные методы не используют никаких специальных свойств структур предпочтений, кроме свойств непрерывности и монотонности. Поэтому они применимы

к широкому классу многокритериальных задач принятия решений.

В статье Б. Б. Буянова «Построение процедур сбора информации о предпочтениях в многокритериальных задачах» и в ряде других статей данного сборника рассматривается подход к решению многокритериальных задач, при котором суждения о предпочтительности сравниваемых вариантов решений основываются на результатах сравнения специально конструируемых тестовых вариантов. Тестовые варианты различаются оценками по небольшому числу критериев. Считается, что лицу, принимающему решение, наиболее просто сравнить решения, имеющие различные оценки по двум критериям. Сложнее сравнить решения с различными оценками по трем критериям. Еще менее определенными и однозначными становятся высказывания лица, принимающего решение, при сравнении вариантов, различающихся по большему числу критериев (разумеется, за исключением случаев доминирования). Поэтому естественным является стремление свести большую и сложную задачу принятия решений к нескольким простым тестовым задачам. При этом возникают две проблемы:

как осуществить переход от результатов решения тестовых задач сравнения к решению основной исходной задачи;

сколько и каких тестовых задач необходимо решить, чтобы обеспечить решение исходной задачи.

Обычно первая проблема решается путем использования различного вида сверток частных предпочтений в глобальное предпочтение, а вторая — построением итеративных процедур. В этих процедурах после получения определенной информации о предпочтениях в результате решения тестовых задач проверяется, достигнуто ли решение исходной задачи. Учитывая большое количество возможных тестовых задач, которые могут быть получены из исходной задачи, и отсутствие признаков ценности информации, получаемой при их решении, оказывается невозможным заранее определить тот этап, на котором завершится решение исходной задачи.

Метод, разработанный Б. Б. Буяновым, позволяет целенаправленно получать информацию о предпочтениях лица, принимающего решение. Для каждой пары сраз- ниваемых допустимых решений из исходного множества проводится анализ их оценок по критериям и полученной 8

информации о предпочтениях. На основе этого анализа определяются необходимые и достаточные условия упорядочения сравниваемых решений. Условия представляют собой соотношения между оценками по критериям и могут быть интерпретированы как тестовые задачи. При этом не все тестовые задачи оказываются достаточно простыми, и на некоторые вопросы лицо, принимающее решение, не сможет ответить. Однако применение подобной процедуры позволяет исключить «лишние» вопросы к лицу, принимающему решение (т. е. вопросы, ответы на которые не влияют на упорядочение вариантов)^ тем самым сократить объем информации, используемой для решения исходной задачи.

В статье Д. В. Шапота «Аппроксимация частичного квазипорядка аддитивной функцией» рассматриваются многокритериальные задачи с непрерывной областью решений и небольшим количеством критериев (не более шести), имеющих по крайней мере интервальные шкалы. Для решения этих задач предлагается подход, основанный на свертывании (агрегировании) критериев. Предлагаемый подход позволяет осуществлять поиск агрегированного критерия в виде такой функции, которая, с одной стороны, согласуется с предпочтениями лица, принимающего решение, а с другой — обеспечивает максимальную различимость качества решений в тех случаях, когда оценка решений по критериям проводится с ошибками. Для получения информации о предпочтениях лица, принимающего решение, используется сравнение тестовых вариантов решений. При построении агрегированного критерия в ходе вычислительной процедуры проверяется и затем используется гипотеза о возможности описания предпочтений в виде аддитивной функции полезностей отдельных критериев.

В статье показывается, что для установления вида функций полезности отдельных критериев достаточно решить определенную задачу линейного программирования. При этом правомерность используемой гипотезы о возможности представления агрегированного критерия в аддитивной форме проверяется на основе совместности ограничений получаемой задачи линейного программирования.

Разработанная Д. В. Шапотом процедура может использоваться как элементарная в тех случаях, когда исходная информация задается групповыми предпочте-

ниями, а также в тех случаях, когда оценка альтернатив производится по многим критериям, образующим дерево.

Во всякой процедуре принятия решений в условиях многокритериальное™ используется информация о предпочтениях, получаемая от лица, принимающего решение, или от экспертов. В связи с этим возникает необходимость минимизировать влияние разброса этой информации на выбор решения. Работа Л. С. Гурина «Некоторые замечания о сравнительной оценке различных алгоритмов векторной оптимизации» посвящена разработке принципа сравнения решающих правил, учитывающего статистическую обработку результатов опроса экспертов или лиц, принимающих решение.

В этой работе информация о предпочтениях («анкета») представляется в виде вектора, составляющие которого могут быть непрерывными, целочисленными или булевыми переменными и т. д. С таким вектором можно связать вероятностное распределение, оцениваемое по ряду реализаций опроса экспертов или задаваемое экспертом априорно. Используя это распределение, автор строит критерий, позволяющий внести частичное упорядочение в множество сравниваемых решающих правил. Такое упорядочение выполнено для различных типов решающих правил (выделяющих единственное решение или некоторое подмножество множества Парето) и проиллюстрировано рядом численных примеров.

В статье В. А. Глотова, В. М. Гречко, В. В. Павельева «Метод принятия решений при лингвистических критериях» рассматривается задача формирования решающего правила для построения упорядоченной классификации объектов, заданных набором оценок по шкалам нечисловых (лингвистических) критериев. При решении этой задачи осуществляется переход от исходного лингвистического описания объектов к «табличному» описанию. Для построения «табличного» описания лицу, принимающему решение, предлагается рассмотреть сочетания оценок объектов в координатных плоскостям пространства критериев («проекции объекта») и отнести их к одному из заданного числа упорядоченных классов, т. с. построить таблицы классификаций. В «табличном» описании каждый объект задается набором чисел таких проекций объекта, которые относятся к определенному классу. Для выявления класса объектов осуществляется переход от содержательных определений классов к чис-

ловым оценкам с помощью используемой в психофизических измерениях шкалы Харрингтона. Усреднение оценок по числу проекций и обратное преобразование по шкале Харрингтона дают возможность определить класс объекта.

В статье приводится пример практического применения разработанного метода для классификации тематики одного из направлений при формировании пятилетнего тематического плана издательства «Машиностроение».

В статье Р. Б. Статникова «Решение многокритериальных задач проектирования машин на основе исследования пространства параметров» исследуется проблема построения множества допустимых решений. Эта проблема является в общем случае очень трудной и малоисследованной. В задачах оптимального проектирования машин она особенно сложна из-за того, что критерии качества являются функционалами, зависящими от интегральных кривых дифференциальных уравнений высокого порядка. Эти критерии могут быть недифференцируемыми, нелинейными и, как правило, многоэкстремальными функциями независимых параметров; допустимые области изменения независимых параметров могут быть несвязными.

Решение задачи основано на зондировании пространства параметров специально сконструированными равномерно распределенными последовательностями точек, обладающими наилучшими характеристиками равномерности. Для каждой зондируемой точки пространства параметров вычисляются оценки по всем критериям. Эти результаты систематизируются в виде так называемых таблиц испытаний; каждая из строк такой таблицы соответствует определенному критерию и содержит номера вариантов решений, расположенных в порядке ухудшения их оценок по соответствующему критерию.

Анализируя таблицы испытаний, проектировщик совместно с заказчиком принимают решение о назначении критериальных ограничений — допустимых уступок от наилучшей оценки по каждому из критериев. Варианты, удовлетворяющие одновременно всем критериальным ограничениям, составляют искомое множество допустимых решений. Если это множество непусто, то в нем тем или иным методом определяются наиболее

предпочтительное решение и соответствующие ему параметры.

Статья В. А. Глотова, В. М. Гречко, В. В. Павельева «Экспериментальное сравнение некоторых методов определения коэффициентов относительной важности» содержит результаты исследования и экспериментального сравнения следующих методов: непосредственная численная оценка, оценка в баллах, ранжирование, метод Черчмена — Акофа, метод частот предпочтений, метод Терстоуна, линейная свертка критериев. Сравнение этих методов осуществлялось по двум критериям: по степени согласованности экспертов и по продолжительности времени, затрачиваемого при использовании методов.

Эксперименты показали, что среди рассмотренных методов наибольшую согласованность экспертов обеспечивает линейная свертка критериев, использование которой, однако, требует наибольших затрат времени общения с экспертами. Метод Черчмена — Акофа обеспечивает согласованность экспертов, наиболее близкую к согласованности для линейной свертки критериев; при этом затраты времени сокращаются почти вдвое. Наименьшего времени требуют ранжирование и метод Терстоуна. Ранжирование приводит к получению значений коэффициентов относительной важности, более близких к значениям, полученным методом линейной свертки, чем значения, определенные методами непосредственной численной оценки, оценки в баллах или методом Терстоуна.

Статья Д. И. Шапиро «О решении одного класса многокритериальных задач» посвящена проблеме определения последовательности стратегий лица, принимающего решение, в ситуациях, когда необходимо последовательно достигнуть экстремума по каждому из локальных критериев. При этом рассматриваемый класс задач характеризуется тем, что ресурсы лица, принимающего решение, являются общими и ограниченными на всем интервале времени, а цели и ограничения не могут быть сформулированы в количественной форме. Такие задачи часто возникают при недостаточном объеме данных, а также при наличии элементов задачи, которые не могут быть описаны в количественной форме. Иначе говоря, в таких задачах необходимо обеспечить выбор решения в условиях, когда представления об объектах

или о ценности какой-либо цели носят «расплывчатый» характер. Автором разработан подход к решению таких расплывчатых динамических задач при многих критериях.

В работе приведена формальная постановка задачи, разработаны процедура ее решения и способ оценки изменения формализованных качественных характеристик, рассмотрены наиболее интересные методические особенности предложенного подхода (например, возможные источники «расплывчатости»). Разработанная автором процедура иллюстрируется конкретным примером.

Характеризуя сборник в целом, следует отметить, что он содержит статьи как теоретического и методологического, так и прикладного характера. Мы надеемся, что знакомство со сборником будет полезно широкому кругу читателей, интересующихся проблемами принятия решений, в частности, специалистам в области системного анализа, исследования операций и управления.

Член-корреспондент АН СССР Д. М. Гвишиани, член-корреспондент АН СССР С. В. Емельянов

УДК 007

В. М. Озерной, М. Г. Гафт

МЕТОДОЛОГИЯ РЕШЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХМНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Введение. В настоящее время опубликовано большое количество работ, которые посвящены различным теоретическим, методологическим и практическим вопросам, связанным с принятием решений в многокритериальных задачах. Однако, несмотря на это, пока еще не существует формализованных методов, охватывающих все этапы процесса принятия решений, начиная от постановки задачи и кончая выбором наиболее предпочтительных решений. В данной работе предлагается общий подход к решению многокритериальных задач принятия решений в условиях определенности. Предлагаемый подход основан на итеративной процедуре разработки и использования многокритериальной модели, содержащей следующие элементы: 1) постановка (тип) задачи; 2) множество допустимых решений; 3) множество критериев; 4) множество оценочных шкал; 5) отображение множества допустимых решений в множество векторных оценок; 6) система предпочтений лица, принимающего решение; 7) решающее правило.

В работе рассматриваются задачи, характеризующиеся конечным множеством допустимых решений и конечным набором критериев с дискретными конечными шкалами. Для решения таких задач предлагается итеративная процедура разработки и использования многокритериальных моделей; рассматривается общая блок- схема процедуры, содержащая формализованные и неформализованные этапы.

Поскольку наибольшие трудности в разработке многокритериальных моделей связаны с выявлением системы предпочтений лица, принимающего решение, и построением решающих правил, этим проблемам уделяется особое внимание. В работе предлагается метод

формирования последовательности решающих правил, направленных на получение требуемого в каждой конкретной задаче упорядочения множества допустимых решений. Метод основан на итеративной процедуре, в ходе которой проводится поэтапное получение информации о предпочтениях лица, принимающего решение. Информация, получаемая на каждом этапе, используется для построения некоторого промежуточного решающего правила. Процедура формирования решающего правила, приводящего к решению задачи, строится таким образом, чтобы получаемая последовательность решающих правил обладала следующим свойством. Исходное (и наиболее слабое из них) основывается на наиболее очевидных допущениях и на наиболее простой информации, а последующие решающие правила формируются из предыдущих на основе принятия дополнительных допущений, не противоречащих принятым ранее, и получения дополнительной информации. Такая процедура обеспечивает последовательное устранение несравнимости решений и, следовательно, построение требуемого упорядочения.

В работе вводятся критерии содержательности и непротиворечивости информации, получаемой на отдельных этапах процедуры. Исследуются формальные свойства решающих правил, которые основываются на информации, удовлетворяющей предлагаемым критериям.

При построении решающих правил необходимо определить и обосновать последовательность получения различных видов информации о предпочтениях лица, принимающего решение. Для этой цели разработана классификация такой информации. В качестве признака классификации выбрана связь информации с одним или несколькими критериями.

Дальнейшая классификация информации каждого из выделенных типов проведена по степени ее влияния на устранение несравнимости между векторными оценками. Множество всех возможных сочетаний получаемых при этом упорядоченных классов информации представлено в виде схемы, которая определяет последовательность получения различных видов информации о предпочтениях лица, принимающего решение. В работе описано построение решающих правил для некоторых классов информации.

Предлагаемый подход неоднократно применялся для решения сложных практических задач. В работе подробно рассмотрено его использование при разработке методики выделения требуемого количества рациональных вариантов проекта технологической схемы угольной шахты. Представлены результаты использования этой методики.

Многокритериальная модель задачи принятия решений. При использовании в задачах принятия решений формализованных методов сравнение вариантов решений и их упорядочение должны осуществляться на основе исследования моделей, позволяющих оценить качество различных вариантов и выявить предпочтение между ними. В этом случае построение и использование модели становится неотъемлемой частью процесса принятия решения [13].

Многокритериальная модель задачи принятия решений может быть представлена в следующем виде:

<Л 5, К, X, f. ^. г>,

где t— постановка (тип) задачи; S— множество решений; К — множество критериев; X — множество шкал критериев; / — отображение множества допустимых решений в множество векторных оценок; ^ — система предпочтений лица, принимающего решение; г — решающее правило.

Рассмотрим содержательные определения элементов модели.

Постановка задачи соответствует целям лица, принимающего решение. В зависимости от содержательной постановки задачи может потребоваться, например, найти наиболее предпочтительное решение, линейно упорядочить множество допустимых решений, выделить множество неподчиненных решений и т. п. [15].

Множество S представляет собой совокупность решений, которые удовлетворяют в каждой задаче определенным ограничениям и рассматриваются как возможные способы достижения поставленной цели. Множество допустимых решений (конечное или бесконечное) может быть задано либо формируется в ходе исследования. Элементы множества S называются также допустимыми решениями, вариантами решений, стратегиями, действиями, альтернативами, вариантами и т. п. Каждое решение приводит к определенному исходу, последствия

которого оцениваются по критериям /Сь К2, ■. •, Кт. Множество критериев в некоторых задачах бывает задано, но обычно оно формируется в процессе исследования.

Критериями будем называть такие показатели, которые признаются лицом, принимающим решение, важными в отношении поставленной цели, являются общими для всех допустимых решений и характеризуют общую ценность решения таким образом, что лицо, принимающее решение, стремится получить по ним наиболее предпочтительные оценки (т. е. они не могут быть представлены в виде ограничений).

Другими терминами, используемыми для обозначения критериев, являются локальные критерии, показатели качества, целевые функции и т. п.

Для каждого из критериев должна быть задана или построена шкала, представляющая собой множество оценок с отношением совершенного порядка. Шкалы Ху, Х2,..., Хт, образующие множество X, могут быть числовыми и нечисловыми; числовые шкалы могут быть дискретными (конечными или бесконечными) и непрерывными. Множество X может содержать шкалы различных типов.

Декартово произведение Х=ХуХХ2Х ..-ХХт образует множество векторных оценок. Каждое решение оценивается по шкалам Ху, Х2,..., Хт, т. е. множеству допустимых решений S ставится в соответствие множество допустимых векторных оценок ^ £У с помощью отображения /: .

В теории принятия решений предполагается, что каждое лицо, принимающее решение, имеет некоторую систему предпочтений, из которой исходит при рациональных действиях. Под системой предпочтений лица, принимающего решение, будем понимать совокупность обычно не структуризованных (тем более не формализованных) его представлений, связанных с достоинствами и недостатками сравниваемых решений. Такая совокупность представлений, как правило, бывает неполной, формируется в результате накопления опыта (в частности, при решении аналогичных задач) и отражает политику, проводимую лицом, принимающим решение. Предпочтения лица, принимающего решение, выявляются, структуризуются и формализуются (а иногда и окончательно формируются) обычно только в ходе специаль-

ного исследования, направленного на построение модели. В рамках многокритериальной модели система предпочтений описывается совокупностью ^ некоторых множеств с отношениями предпочтения (например, множеств критериев, интервалов между оценками на шкалах, допустимых решений определенного вида и других объектов, полученных на основе элементов модели) .

Решающее правило представляет собой аналитическое выражение, алгоритм или словесную формулировку, которые позволяют задать на множестве векторных оценок отношение предпочтения, являющееся порядком или квазипорядком. Упорядочение множества ^ с помощью некоторого решающего правила и использование свойств отображения / позволяют перейти от высказывания суждений о предпочтениях на множестве ^ к высказыванию суждений о предпочтениях на множестве S и, следовательно, дают возможность упорядочить это множество [7].

Решающее правило должно приводить к такому упорядочению множества допустимых решений, которое соответствует содержательной постановке задачи и согласуется с принятыми в модели допущениями и системой предпочтений лица, принимающего решение. К принимаемым допущениям относятся допущения о полноте множества допустимых решений и набора критериев, об однозначности соответствия множества шкал множеству критериев, о достаточной точности оценки допустимых решений по шкалам критериев, о системе предпочтений, возможностях ее выявления, существовании функции полезности и т. п. В зависимости от принятых допущений, а также от целей и предпочтений лица, принимающего решение, могут быть построены различные решающие правила [13].

Основные проблемы, возникающие при построении моделей многокритериальных задач, связаны с трудностями получения информации, необходимой для разработки таких моделей. Как правило, при анализе конкретных многокритериальных задач оказывается, что отсутствует полный перечень допустимых вариантов решений; неизвестен или не является полным перечень критериев, характеризующих качество решений; не построены все или некоторые шкалы критериев; не получены оценки всех вариантов решений по шкалам кри-

териев; не сформировано решающее правило, позволяющее получить требуемое в задаче упорядочение.

Построение моделей многокритериальных задач принятия решений является сложной процедурой, состоящей из формализованных и неформализованных этапов. Результаты исследования модели позволяют получить упорядочение множества допустимых решений, согласованное с принятыми в модели допущениями и используемой информацией. При этом необходимо отметить, что для любой конкретной многокритериальной задачи не существует «правильной» или «объективной» модели, результаты исследования которой следует безоговорочно принять и использовать. В связи с тем, что в каждой задаче существует очень большое количество факторов, которые могут учитываться или не учитываться лицом, принимающим решение, всегда имеется возможность описать одну и ту же задачу с помощью различных моделей. Достоинства и недостатки этих моделей могут быть выявлены на основе их сравнительного анализа и практического использования в реальных ситуациях.

Элементы многокритериальных моделей и возможные способы их построения подробно рассмотрены в работе [13]. Наибольшие трудности при разработке многокритериальных моделей возникают при построении решающих правил. В связи с этим основное внимание в дальнейшем уделяется вопросам, связанным с выявлением системы предпочтений лица, принимающего решение, и формированием решающих правил.

При выявлении системы предпочтений возникает серьезное практическое затруднение, состоящее в том, что на практике получить ответы на многие вопросы бывает чрезвычайно трудно. Более того, попытки получить некоторые виды информации, характеризующей предпочтения, могут оказаться иногда безуспешными (например, при стремлении выявить весовые коэффициенты, характеризующие важность критериев). Как правило, при переходе от получения более простых данных о предпочтениях к получению более сложных допущения, лежащие в основе получения данных, становятся все менее выполнимыми на практике. По мере получения все более сложных утверждений о предпочтениях лица, принимающего решения, уверенность в обоснованности этих утверждений уменьшается. Поэтому при выявлении

предпочтений необходимо стремиться к использованию как можно более простой, надежной и только необходимой для решения задачи информации. Более сложная информация о предпочтениях должна использоваться только в том случае, если имеющейся информации недостаточно для получения требуемого в задаче упорядочения.

Кроме того, на практике может наблюдаться противоречивость в высказываниях лица, принимающего решение (например, нарушение транзитивности [9]). Обнаружить противоречивость в информации о системе предпочтений часто оказывается очень сложно как для лица, принимающего решение, так и для исследователя, участвующего в моделировании задачи принятия решения.

Одно из затруднений, возникающих при выявлении системы предпочтений, состоит в том, что она не является постоянной. Изменение некоторых предпочтений во времени может приводить к противоречивости суждений при принятии решений.

Выявление системы предпочтений в многокритериальных задачах основано на высказывании лицом, принимающим решение, некоторых суждений об упорядочении каких-либо объектов, полученных на основе элементов модели. Закономерности, устанавливаемые в процессе анализа получаемой информации, принимаются в качестве допущений о системе предпочтений (например, допущения о разных видах независимости критериев [26]).

При исследовании возможных способов выявления системы предпочтений лица, принимающего решение, необходимо четко формулировать допущения, лежащие в основе получения информации о предпочтениях, и проверять справедливость этих допущений; рассматривать возможные способы получения такой информации и выбирать из них наиболее простые и удобные для лица, принимающего решение.

Выявление системы предпочтений, учет типа задачи и принятие определенных допущений позволяют сформировать для каждой многокритериальной задачи решающее правило. Именно на этапе построения решающего правила проводится конкретизация понятия «предпочтение» и тем самым предопределяется упорядочение решений.

В настоящее время опубликовано большое количество работ, посвященных различным вопросам, связанным с построением решающих правил. Решающие правила, используемые в многокритериальных задачах, можно разделить по принципам построения на эвристические и аксиоматические, в соответствии с процедурами построения — на одношаговые и многошаговые [14], а по назначению — на правила, приводящие к полному или частичному упорядочению множества допустимых решений [27].

Аксиоматический подход к построению решающих правил предполагает принятие ряда аксиом о множестве решений, характере (структуре) предпочтений лица, принимающего решение, о возможностях получения определенных видов информации о предпочтениях и т. д. Именно этот подход лежит в основе прескриптивной теории полезности [10, 12], в которой рассматриваются различные наборы аксиом, позволяющие доказать существование скалярной положительно определенной функции полезности на множестве векторных оценок. Функция полезности может рассматриваться в этом случае как обобщенный или глобальный критерий, определяющий решающее правило. Задаваемые таким способом решающие правила ориентированы на полное упорядочение решений.

Аксиоматический подход к построению решающих правил не всегда связан с построением функции полезности. Так, например, существует целый ряд решающих правил, которые основаны на различных допущениях о системе предпочтений лица, принимающего решение, о возможностях получения различных видов информации о ней [3, 4, 16, 19] и не требуют построения функции полезности.

Наряду с аксиоматическим подходом к построению решающих правил часто используется эвристический. Эвристический подход заключается в том, что предлагаемая конкретная схема построения решающего правила определенного вида [18,27] или конкретное решающее правило [1,20] подкрепляются вполне разумными соображениями, но не основаны на четко сформулированных допущениях. Решающие правила, предлагаемые на основании этого подхода, часто имеют вид функций полезности и могут рассматриваться как способы свертывания критериев [8]. При свертывании кри-

териев возникает необходимость в определении значений некоторых параметров свертки. Выбор и обоснование значений этих параметров в большинстве задач оказываются для лица, принимающего решение, не менее трудными, чем непосредственное упорядочение решений [5].

Процедуры построения как эвристических, так и аксиоматических решающих правил могут быть одношаговыми и многошаговыми. Так, например, процедуры, изложенные в работах [3, 16, 18, 21], предполагают несколько этапов построения решающего правила, в то же время построение решающих правил, рассматриваемых в работах [1, 8], проводится в один этап.

Многошаговые методы принятия решений позволяют сочетать исследование математических моделей с опытом и интуицией лиц, принимающих решение. Однако в известных авторам опубликованных работах описаны такие процедуры, в которых лицо, принимающее решение, отвечает на вопросы, связанные с выявлением предпочтений определенного вида. Такой подход связан с использованием решающего правила определенного типа и последовательным уточнением некоторых его параметров, но не исключает нарушений согласованности в получаемой информации о предпочтениях.

Анализ существующих методов построения решающих правил показывает, что одношаговые процедуры, как правило, используются в задачах, требующих полного упорядочения решений, а многошаговые — в задачах, требующих частичного упорядочения решений.

Ни одно из известных решающих правил не может быть признано свободным от недостатков, ограничивающих область его применения [14, 27]. Более того, построение универсальных решающих правил, по-видимому, невозможно в принципе. Это объясняется тем, что, как отмечалось выше, в зависимости от целей лица, принимающего решение, системы его предпочтений и возможностей получения информации о ней могут быть построены различные решающие правила, приводящие к различным упорядочениям множества допустимых решений. Невозможность построения универсальных решающих правил определяет необходимость разработки таких общих методов, которые не зависят от специфики конкретных задач, но обеспечивают в каждой из них формирование решающих правил, направленных

на получение требуемого упорядочения множества допустимых решений. Один из таких методов предлагается ниже.

Построение решающих правил. При решении многокритериальных задач используются решающие правила, которые могут приводить либо к полному, либо к частичному упорядочению множества векторных оценок У и соответственно множества допустимых решений S. При использовании решающих правил, приводящих к частичному упорядочению множества У, вид получаемого упорядочения множества допустимых решений зависит нс только от решающего правила, но и от того, какие векторные оценки соответствуют допустимым решениям. Действительно, сужения одного и того же несвязанного отношения предпочтения — безразличия <R, Y> на различные подмножества s^^Y могут оказаться совершенными, частичными и даже пустыми отношениями. При этом установить, приводит ли данное решающее правило к требуемому в конкретной задаче упорядочению допустимых решений, можно лишь после непосредственного построения самого упорядочения. В связи с этим при решении многокритериальных задач проявляется тенденция к использованию как можно более «сильных» решающих правил, в частности, таких, которые приводят к полному упорядочению множества У.

Использование любого решающего правила связано с получением информации о предпочтениях, вид и объем которой определяются решающим правилом и не зависят от того, какие векторные оценки соответствуют допустимым решениям в конкретной задаче. Чем «сильнее» решающее правило, тем больше информации о предпочтениях лица, принимающего решение, оно требует.

Поэтому применение таких «сильных» правил во многих практических задачах связано с получением избыточной информации.

Таким образом, при выборе или построении решающего правила для каждой конкретной задачи необходимо учитывать следующие два требования:

должно быть обеспечено требуемое в задаче упорядочение решений;

должна использоваться только информация, действительно необходимая для построения требуемого в данной задаче упорядочения решений.

Поскольку выяснить, удовлетворяет ли некоторое решающее правило этим требованиям в конкретной задаче, можно лишь после его использования для упорядочения решений, процедура построения решающего правила должна быть в общем случае многошаговой. Действительно, если решающее правило не обеспечивает требуемого упорядочения решений, на следующем шаге должны быть предприняты попытки получения дополнительной информации и построения более «сильного» решающего правила, позволяющего по крайней мере частично устранить имеющуюся несравнимость между решениями. Многошаговость процедуры построения решающего правила позволяет избежать избыточности информации о предпочтениях, так как на первых этапах используются решающие правила, основывающиеся на наиболее простой и легкодоступной информации.

Поскольку информация, получаемая от лица, принимающего решение, может быть противоречивой, ее нужно проверять. Для поиска и устранения противоречий дополнительная информация, получаемая на каждом шаге процедуры, должна сопоставляться с полученной ранее. Таким образом, процедура построения решающего правила, приводящего к требуемому в конкретной задаче упорядочению решений и не основывающегося на избыточной информации, должна быть итеративной.

Построение итеративных процедур формирования решающего правила может быть осуществлено различными способами. Тем не менее можно сформулировать следующие основные требования, которым должны удовлетворять такие процедуры:

дополнительная информация о предпочтениях, получаемая исследователем от лица, принимающего решение, на i+1-м шаге процедуры, должна позволить установить предпочтения по крайней мере между двумя векторными оценками, не сравнимыми на i-м шаге (критерий содержательности дополнительной информации);

предпочтение между любыми двумя векторными оценками, выявленное на i-м шаге процедуры, не должно изменяться на следующих шагах (критерий непротиворечивости дополнительной информации).

Использование решающего правила при сравнении векторных оценок однозначно определяет задание некоторого бинарного отношения на множестве векторных 24

оценок У. В зависимости от того, какими свойствами обладает получаемое бинарное отношение, оно называется отношением предпочтения-безразличия <R, У> (нестрогого предпочтения), если оно транзитивно и рефлексивно, или отношением строгого предпочтения <Р, У>, если оно транзитивно и антирефлексивно.

Обозначим через <R*, У> бинарное отношение предпочтения-безразличия, получаемое при сравнении векторных оценок из У на основе i-ro решающего правила процедуры. Отношение <R\ У> является в общем случае квазипорядком (т. е. транзитивно и рефлексивно) и позволяет определить отношения строгого предпочтения, эквивалентности (равноценности) и несравнимости [7].

Определение 1. Отношениями строгого предпочтения, эквивалентности и несравнимости назовем соответственно отношения, задаваемые следующим образом: <Р1, У), где Р‘=^х, у^УхУ^х, y^R1, (у, х)^]-, {Р, Y^ где Р=^х, y^YxYRx, y^R\ ty, х^РЦ; <^, Г), где 2W={(*, y^YxY^x, у^Р1, {y,x)^R1}.

Сформулированные выше требования к итеративным процедурам построения решающего правила формально могут быть записаны следующим образом:

R^RW;(1)

picpi+i.(2)

Строгость включения (1) обусловлена первым требованием. Нестрогость включения (2) объясняется тем, что полученная на i+1-м шаге информация может позволить как выявить строгое предпочтение между векторными оценками, несравнимыми на t-м шаге, так и установить их равноценность.

Использование допущений, записанных в виде (1) и (2), является целесообразным, несмотря на то, что в практических ситуациях лица, принимающие решения, могут изменять свои предпочтения в ходе анализа и решения задачи, что приводит к противоречивости получаемой от них информации. Иногда противоречивость этой информации является следствием стремления исследователя получить такие данные, которые не могут быть предоставлены. Неудачный выбор формы получения информации также может привести к непониманию

или неправильному пониманию вопросов и повлечь за собой противоречивость выдаваемой информации. Однако при построении решающего правила получаемая информация должна всесторонне проверяться и сопоставляться с полученной ранее. В результате такого анализа выявляются противоречия, исследуются причины, приведшие к их возникновению, и принимаются меры для их устранения. Только после этого полученная информация может использоваться для построения решающего правила.

Рассмотрим некоторые следствия допущений (1) И (2).

Определение 2. Отношения ( R\ У), ( КгЛ*\ У) удовлетворяющие выражениям (1) и (2), назовем вложенными.

Утверждение 1. Если отношения ( R\ У ), ( Rw, У) вложенные, то справедливы следующие выражения:

РЕ^Ч(3)

N^N1^;(4)

P^N^P^h(5)

/'UA^/W;(6)

при этом хотя бы одно из двух включений (5) или (6) является строгим.

Выражения (3) — (6) полезны в практических ситуациях для проверки непротиворечивости информации, получаемой от лица, принимающего решение.

Рассмотрим связь между множествами неподчиненных элементов, выделяемыми на основе вложенных отношений.

Определение 3. Множеством неподчиненных оценок из ^ по отношению предпочтения-безразличия ( R\ Y) назовем подмножество

Lr1 (st ) = {х € ^ г\ (э У б ^) [У^Ч} ■

Утверждение 2. Если отношения R\ Rw вложенные, то справедливо следующее выражение:

Lri (^) ^.L^^x (^).(7)

Как следует из последнего утверждения, вложенность отношений <_Ri, ¥">, ^RW, У> обеспечивает возможность сокращения на i+1-м шаге подмножества неподчиненных оценок, полученного на г-м шаге.

Нетрудно убедиться, что подмножество L^ (^) состоит только из несравнимых и эквивалентных элементов. Поэтому необходимым и достаточным условием строгого включения Lri (j^zdZ^+i (^) является выявление на i+1-м шаге предпочтений между несравнимыми элементами из Lri^Y Если на f+1-м шаге устраняется несравнимость лишь между элементами из ^\Lr1 (^), то, очевидно, LRt (^) = /,^-и (^).

При построении решающего правила возникает вопрос о том, какая информация о предпочтениях лица, принимающего решение, необходима для решения многокритериальной задачи (т. е. какого типа должна быть эта информация и в каком объеме). В литературе [3, 22, 23, 26] рассматривались способы получения различных видов информации о предпочтениях, однако ее классификация, а также рекомендации, позволяющие определить и обосновать последовательность получения такой информации, практически отсутствуют. В данной работе в качестве признака классификации информации о предпочтениях, используемой для построения решающих правил в моделях многокритериальных задач, которые характеризуются конечным множеством допустимых решений и конечным набором критериев с дискретными конечными шкалами, выбрана связь получаемой информации с одним или несколькими критериями. Этот признак классификации позволяет выделить следующие три класса (типа) информации [15] о влиянии изменений оценок:

по шкале одного критерия на общую ценность (полезность) решения (информации типа Л);

по шкале одного критерия по сравнению с изменениями оценок по шкале другого критерия на общую ценность (полезность) решения (информация типа В);

по шкалам критериев одной группы по сравнению с изменениями оценок по шкалам другой группы на общую ценность решения, где хотя бы одна из сопоставляемых групп содержит больше одной шкалы (информация типа С).

Рассмотрим эти виды информации. Предположим, что для каждого критерия построена шкала (по крайней мере, порядковая). Получение информации о влиянии изменений оценок по шкале критерия на общую ценность решения можно рассматривать как процесс изме-

рения полезности этих оценок. При этом будем предполагать, что в процессе измерения оценки решения по шкалам других критериев не изменяются и остаются на определенном уровне, известном лицу, принимающему решение. Рассматриваемое измерение, как и всякое другое, должно проводиться по определенной шкале [17]. Поэтому информацию типа Л удобно классифицировать в соответствии с тем типом шкалы полезности, который может быть получен на ее основе. Получение информации типов В и С в этом случае позволяет сопоставить различные шкалы полезности. Чем более сложной является информация типа В или С, тем больше векторных оценок из У можно сравнить на ее основе. Поэтому классификацию информации этих типов целесообразно строить по степени ее влияния на устранение несравнимости между векторными оценками.

Информацию типа Л можно классифицировать следующим образом:

Л1 — информация о предпочтительности различных оценок по шкале одного критерия. Такая информация, если она получена относительно всех оценок, позволяет построить порядковую шкалу полезности критерия и обычно может быть получена в задачах принятия решений для всех критериев;

Л2 — информация о предпочтительности одних изменений оценок по шкале критерия по сравнению с другими. Эта информация, если она получена относительно всех изменений оценок, позволяет построить интервальную шкалу полезности критерия;

Л3 — информация об отношениях изменений полезности, соответствующих изменениям оценок по шкале критерия, или об абсолютных значениях полезностей оценок. Такая информация, если она получена о всех отношениях в виде числовых значений, позволяет построить шкалу отношений полезности критерия.

Классификацию информации типа В можно представить в следующем виде:

Во — полное отсутствие информации этого типа;

By — информация о предпочтительности изменения оценок по шкале одного из критериев от наилучшей до наихудшей по сравнению с аналогичным изменением оценок по шкале другого критерия;

В2 — информация о предпочтительности изменения оценок по шкале одного из критериев от наилучшей

до какой-либо другой по сравнению с аналогичным изменением оценок по шкале другого критерия;

S3 — информация о предпочтительности произвольного изменения оценок по шкале одного критерия по сравнению с произвольным изменением оценок по шкале другого критерия;

64 — информация об отношениях изменений полезностей, соответствующих изменениям оценок по шкалам двух различных критериев.

Информацию типа С можно классифицировать следующим образом:

Со — полное отсутствие информации этого типа;

Ci — информация о предпочтительности произвольных изменений оценок по шкалам одной группы критериев по сравнению с произвольными изменениями оценок по шкалам другой группы критериев. Этот тип информации допускает дальнейшую детализацию как по характеру изменений оценок (аналогичную той, которая проведена в 6Ь 62, В3, 64), так и по числу критериев в группах.

Для решения задачи в ряде случаев оказывается достаточным получение не всей возможной информации некоторого класса, а части ее. Так, например, при переходе от порядковой шкалы полезности критерия (класс Д1) к интервальной (класс Л2) может проводиться упорядочение по предпочтительности лишь части изменений оценок. Тип шкалы полезности критерия, получаемой на основе этой информации, является промежуточным между порядковой и интервальной. Точно так же при переходе от Л2 к Л3 (или от В3 к В4) может потребоваться информация не о всех отношениях изменений полезности. Кроме того, может потребоваться информация с разной степенью точности, т. е. возможна оценка отношения изменений полезности не только определенным числом, но и некоторым числовым интервалом. Получаемые в таких случаях промежуточные типы шкал рассмотрены в работе [22].

Приведенная классификация позволяет наметить последовательность получения информации, необходимой для построения требуемого в задаче упорядочения. Схема процедуры получения такой информации показана на рис. 1. Стрелки на схеме для каждого класса указывают ближайший к нему класс, переход к которому соответствует получению дополнительной инфор-

мации наиболее простого вида, позволяющей, по крайней мере, частично устранить существующую несравнимость векторных оценок. Наличие у некоторых классов нескольких исходящих стрелок объясняется тем, что указываемые этими стрелками классы информации не упорядочены по влиянию на устранение несравнимости.

Отсутствие на рис. 1 некоторых классов обусловлено тем, что получение соответствующей им информации не позволяет выявить какие бы то ни было новые предпочтения между теми решениями, для которых несравнимость не устранена на предыдущих этапах. Например, если в задаче имеется информация типа АХВ\С^ или А\В\С\, то получение информации типа Л2 является бесполезным. Действительно, выявление соотношений между интервалами шкалы полезности каждого критерия нс устраняет несравнимости при наличии информации о соотношениях только между максимальными интервалами шкал полезности разных критериев.

Следует, однако, отмстить, что приведенная схема не дает возможности заранее выбрать для каждой конкретной задачи тип информации, необходимый и достаточный для ее решения. Это обусловлено следующим.

В зависимости от того, какие именно векторные оценки поставлены в соответствие допустимым решениям, информация любого типа может привести как к совершенному порядку на множестве допустимых решений, так и к частичному или даже пустому порядку (за исключением случая, когда относительно любых двух шкал критериев может быть получена информация по крайней мере типа В3, а относительно любых двух групп шкал — типа Сь что всегда приводит к совершенному порядку).

В зависимости от конкретного содержания полученной информации в каждой задаче может потребо-

ваться или не потребоваться получение дополнительной информации других типов.

Следует также учитывать, что необходимая для построения требуемого упорядочения информация не всегда может быть получена от лица, принимающего решение.

Эти обстоятельства приводят к тому, что последовательность этапов получения информации в соответствии с рис. 1 не может быть заранее выбрана для каждой конкретной задачи, поскольку такая последовательность может завершиться на любом этапе как из-за получения требуемого упорядочения, так и из-за невозможности дальнейшего получения информации. Однако во всех случаях очередность получения информации различных типов соответствует схеме на рис. 1. При этом отсутствие необходимости в получении информации определенного типа не исключает возможности получения более сложной информации.

Примеры построения решающих правил. Рассмотрим построение решающих правил на основе информации разных типов. В соответствии с разработанной классификацией наиболее простой является информация типа АуВ0С0. Эта информация позволяет построить решающее правило, которое задает на множестве векторных оценок Y следующее отношение предпочтения-безразли- чия (R°, Y ): векторная оценка x^Y не менее предпочтительна, чем векторная оценка y^Y, если каждая из компонент х не менее предпочтительна, чем соответствующая компонента у.

В частных случаях использование решающего правила, приводящего к отношению R0, может привести к выделению единственной неподчиненной (наибольшей) векторной оценки из множества ^ или к линейному упорядочению множества <5^. Однако в общем случае для решения задач требуется информация более сложного типа, чем АуВ0С0. Использование информации типа А2 или Д3 при отсутствии информации типа В или С не позволяет получить более сильное решающее правило.

Рассмотрим построение решающих правил, основанных на использовании информации типа АуВ2Со. Предположим, что информация типа А у имеется для каждой шкалы, а информация типа В2 — для некоторых пар шкал из X. Кроме того, допустим, что все критерии независимы по предпочтению [24], т. е. предпочтение между

произвольными векторными оценками, имеющими одну или несколько равных компонент, не зависит от значений этих равных компонент.

Рассмотрим разбиение множества X на к классов {Afi, М2, •.., Mft}, 1^к<т, где к одному классу относятся такие шкалы, относительно любых двух из которых имеется информация типа В2. Если в этом разбиении не существует ни одной пары таких шкал критериев из разных классов, относительно которых получена информация типа В2, то рассматриваемое разбиение, очевидно, является единственным. В противном случае может существовать несколько различных разбиений, удовлетворяющих описанному выше принципу (эта ситуация обсуждается в конце данного раздела).

Рассмотрим некоторый класс М;=\Х]О Xj2,.. .,Xmj\ такой, что 1<j<^, т^^. Наличие информации типа Аг определяет порядковую шкалу полезности оценок каждого критерия. Если шкала критерия Xjm, ®=1, 2,..., т} имеет вид

X. (1),(2),...,(Q/ )Ь

где Q^ —число оценок по шкале данного критерия, то ей соответствует порядковая шкала полезности

М2)

При этом оценки шкалы Л} всегда можно перенумеровать таким образом, что

“/.(!)>“/. (2)>.

Приведем шкалы полезности, соответствующие различным шкалам критериев класса Mj, к единой порядковой шкале. Для этого рассмотрим множество Г, состоящее из таких сочетаний оценок по шкалам критериев из Mj, каждое из которых имеет по шкале одного критерия произвольную оценку, а по остальным — наилучшие:

Г=(4|ф=1, 2,..., т„ г=1, 2,..., Q. 1, D/3

&=(хлЩ, x^W,..., х^Ц), xJw(r), Х^и(1),...

На основе информации типа В^ имеющейся для любых двух шкал критериев из одного класса, сравним сочетания из Т и упорядочим их по влиянию на полезность решения. Каждому сочетанию поставим в соответствие некоторый номер, который тем меньше, чем больше полезность решения, обладающего данным сочетанием оценок. В общем случае в Т могут быть сочетания, одинаково влияющие на полезность решения и имеющие одинаковый номер. Максимальный из присвоенных сочетаниям номеров обозначим через pJ? причем

max (Qj,, Qj^... .Qjmj№j< 2 Qj™ ~(m~

Произвольное множество чисел

таких, что

()> • назовем порядковой шкалой полезности, единой для шкал критериев класса Mj. Переход от оценок по шкалам измерения полезности, соответствующих шкалам критериев из Mj, к оценкам по единой шкале Vj осуществляется следующим образом. Если сочетание оценок 4, получило номер A, \^.h^,pj, то оценке Uj^r^a ^ )Д ставится в соответствие оценка Vj (A) ^Vj.

Допущение о независимости критериев, принятое выше, позволяет поставить в соответствие оценке Uj (г) оценку у, (А) в случае, когда сочетание 4 получило номер А, независимо от оценок решения как по шкалам других критериев класса Mj, так и по шкалам критериев других классов. Если допущение о независимости критериев не выполняется, то оценка Uj (г) должна отображаться в ту или иную точку шкалы Vj в зависимости от того, в сочетании с какими оценками по другим критериям она встречается. Это приводит к необходимости упорядочения большего числа сочетаний, чем в Т.

После того, как построены шкалы полезности, единые для всех шкал критериев каждого класса, зададим решающее правило, основанное на использовании информации типа А1В2С0) следующим образом.

Каждой компоненте произвольного вектора y^Y поставим в соответствие ее оценку по единой шкале полезности того класса, в который входит шкала этого критерия. Полученному вектору обобщенных оценок поставим в соответствие ^ ^-мерный вектор оценок, где pj — число оценок по шкале полезности, общей для /-го класса шкал критериев:

“(^(аИг/)» «2 «рАУ^ «Ау^ «2 (у),...

• • •, <4 (у),. ..,а? (у), аг (у),. .., а^ (у)).

Здесь а/Р— число оценок у, (/г) вектора у по шкале класса Мр

Компоненты вектора а (у) удовлетворяют следующим очевидным условиям:

0<аЦуХт;, /=1, 2,..., k, h=\, 2,.. ., pj; (8) pi

$= j=l, 2,..., A;(9)

A=1

ft Pj^^^АУ^™-(10)

/=1 Л=1

Из (8) —(10) следует, что апЧУ) =mi когда ^=1 и каждой компоненте вектора у соответствует оценка У1(/г)е1/ь

Зададим на множестве векторных оценок Y отношение предпочтения-безразличия R* и связанные с ним отношения строгого предпочтения Р\ равноценности 1* и несравнимости N* на основе использования информации типа А1В2С0.

Определение 4. Для векторов у, z^Y справедливо yR*z («у нс менее предпочтительно, чем 2»), если для каждого класса шкал критериев М3 (/=1, 2,..., &) справедлива следующая система неравенств:

2 “л ^^ 2 “*^ при s= ^ 2’ • • • > Pj- t10 Л = 1Л = 1

В соответствии с определением 4 выражение yR*z справедливо, если в каждом классе шкал критериев Mj

(/= 1, 2,..., й) для каждой оценки вектора 2 у вектора у найдется не менее предпочтительная оценка.

Определение 5. Отношение строгого предпочтения Р* («более предпочтительно, чем») на множестве У:

(V у, z^y^yP^z^v^R*^^ П Wy^Y

т. е. для каждого класса шкал критериев М5 Ц=^ 2,... ./г) система (11) справедлива и хотя бы одна из та- ких систем содержит по крайней мере одно строгое неравенство.

Аналогичным образом для этого случая могут быть даны определения отношений /* и N*.

Рассмотрим далее случай, когда при разбиении множества X в разных классах существует по крайней мере одна пара шкал критериев, относительно которых имеется информация типа В2. В этом случае разбиение множества X, удовлетворяющее указанному выше принципу, не является единственным. Если существует / возможных разбиений множества А, то можно построить I различных решающих правил, каждое из которых приводит к некоторому бинарному отношению (квазипорядку) ( Rs*> У), s=l, 2,...» /. Нетрудно показать, что при этом справедливы следующие выражения:

/?°с/?* Р°аР^ Р^Р^[)^. AczAyN^

Решающее правило, которое может быть построено в соответствии с каждым допустимым разбиением, основывается лишь на части имеющейся информации типа В2. Приведенные выше выражения описывают непротиворечивость этих решающих правил. Поэтому решающее правило, основанное на использовании всей полученной информации типа АХВ2С^ должно объединять решающие правила, соответствующие различным разбиениям множества X. Такое решающее правило приводит к следующему отношению предпочтения-безразличия(/?*, К): R*= и ^. При этом Р* = и р*. /*= и rs.

5=15-15-1

Поскольку предпочтения, установленные на основе отношений Rx*, Rs*,..., R*, являются непротиворечи- выми, можно показать, что Л^(^) = П LpAsP, . 5-1

Отметим, что векторные оценки, у, г^У могут быть несравнимы по отношению R* по следующим трем причинам.

Существует класс шкал критериев, по оценкам которого ни одному из векторов у и z не может быть отдано предпочтение.

Существуют такие два класса шкал критериев, что но оценкам одного из них предпочтение должно быть отдано вектору у, а по оценкам другого — вектору г.

Комбинация первых двух случаев.

Частичное устранение несравнимости по отношению R*, обусловленной первой причиной, осуществляется при переходе от информации типа Ai к информации типа Л2 и от информации типа S2 к информации типа В3.

Для полного устранения несравнимости по отношению R\ вызванной первой причиной, достаточна информация класса Л3В4С0. Построим решающее правило, основывающееся на этой информации. Пусть информация типа Л3 получена для всех шкал класса, по оценкам которого требуется устранить несравнимость, а информация типа В^ — для всех пар шкал из этого класса. Предположим, что критерии в пределах каждого класса независимы по полезности [26], т. е. отношения изменений полезности при изменении оценок по шкалам любых двух критериев одного класса не зависят от значений неизменных оценок по шкалам других критериев. Выше отмечалось, что отношения изменений полезности могут оцениваться как определенными числовыми значениями, так и числовыми интервалами. Рассмотрим вначале случай, когда отношения оцениваются числовыми значениями.

Построение решающего правила для этого случая проведем на основе перехода от порядковой шкалы по- полезности V» к шкале отношений полезности W

7 7 Df = {wj(l), Wj(2),..., w^p^Y Рассмотрим один из возможных способов построения шкалы отношений W3. Обозначим интервалы между соседними оценками ^j(l) и w,(2), Wj(2) и тДЗ),..., Wj(pj— 1) и Wj^p^ через Д12, Даз,.. ., Дру_1, Pj, Для построения шкалы W5 достаточно оценить значения отношений

. Л’'2 ; д^-1, Р1

^2,3,

^У-1’ Pj

^Pj-h Pj-X

^ГХ’ Pj

Оценив эти отношения и приняв для определенности получим следующие значения оценок по шкале отношений полезности Wf.

Wj(h') = Wj(hJr 1) + Н, А = 1, 2,..., Pj — 2.

где ^(l)^/ (2)>- • •>чю$^у).

Суммарная полезность иЦу) векторной оценки y^Y по шкалам критериев класса Afj определяется выраже- нием

pjи^у^У^ (у) ^ (А),

где анЦу) —число оценок wj(/i) вектора у по шкале Wj.

Построение шкалы отношений полезности Wj, соответствующей классу шкал Mj, может осуществляться в конкретных задачах также одним из способов, описанных в работе [23].

Зададим на множестве Y отношение предпочтения — безразличия R** на основе использования информации класса А^В^Со, получаемой в виде точечных оценок отношений изменений полезности для классов шкал с номерами /1, /2, ..., jq, q^k.

Определение 6. Для векторов у, z^K справедливо yR**z („у не менее предпочтительно, чем х^, если для всех классов шкал критериев с номерами j\, J2,..., jq справедливы неравенства Uj (yV^CR (z), j = jx, hf.i jq, а для классов шкал с номерами /^ (1, 2,..., ^}\>{/i, j2,... ..., jq\ справедлива система неравенств (И).

Определение 6 дает возможность легко сформулировать отношения строгого предпочтения Р**, равноценности /** и несравнимости N**.

В том случае, когда отношения Рь Рг, • • •, ?^~_р 7=/ь /2,..., jq, оцениваются числовыми интервалами, предпочтения между некоторыми векторными оценками могут меняться в зависимости от значений этих отношений внутри интервалов. Поскольку не существует содержательных соображений, позволяющих обосновать выбор для каждого интервала одного из этих значений, следует выделить в каждом интервале конечное число

точек, последовательно принимаемых в качестве значений соответствующих отношений, и для каждого получаемого при этом набора значений рь ₽2, ..?^_1 по~

строить шкалу отношений.

Обозначим через pJ, f=/i, /2,..., jq, множество различных наборов значений отношений Рь Рг,- •., ^~-i для шкалы полезности, соответствующей у-му классу шкал, а через р декартово произведение наборов значений pj, т. е. Р = РЛ Х₽72Х . ..хр7^. Перенумеруем различные наборы отношений из р числами от 1 до 6 и зададим в соответствии с определением 6 для каждого из полученных наборов отношение предпочтения — безразличия Ri, Z=l, 2,..., 6. Отношение предпочтения — безразличия Л** при интервальной оценке отношений Pi , р2,...,Р^-—1определяется следующим образом.

Определение 7. Для векторов у, г^У справедливо yR**z («у нс менее предпочтительно, чем г»), если в множестве р существует набор с номером ie{l,2,... .6} такой, что yRi'z, и нс существует набора с номером Ге{1, 2,..., 6} такого, что (^^Д"-! [y^zY

Таким образом,

R^= П R7.

Df / = 1

Подмножество неподчиненных решений, получаемое на основе отношения Л**, может быть представлено в виде

Df Z = 1 Ri

где Z~** (^) — подмножество неподчиненных решений R1

в ^ по отношению Ri .

Определение 7 дает возможность задать отношения ^з^ * / ^ * и УУ * *

Метод решения многокритериальных задач. Блок- схема процедуры разработки и использования многокритериальной модели в задаче принятия решения показана на рис. 2. После постановки задачи (блок 7) формируется множество допустимых вариантов решений (блок 2), составляется перечень критериев и эмпириче- 38

(блок —^ / ^Постановка задачи t(блок —^ / ^Постановка задачи t2 Формирование множества допустимых решений2 Формирование множества допустимых решенийРис. 2Рис. 2

(блок —^ / ^Постановка задачи t

(блок —^ / ^Постановка задачи t

2 Формирование множества допустимых решений

2 Формирование множества допустимых решений

Рис. 2

Рис. 2

ских индикаторов 5) и осуществляется раз- работка шкал (блок 4). Затем определяются оценки всех решений по шкале каждого критерия (блок 5).

Построение решающего правила, приводящего к требуемому в задаче результату, проводится в соответствии с процедурой, предложенной выше (стр. 24), и осуществляется в общем случае в несколько этапов. На каждом этапе осуществляется получение информации некоторого класса о предпочтениях лица, принимающего решение (блок 6). Эта информация анализируется, проверяется и только после этого используется для построения решающего правила (блок 7). Последовательность получения

разных классов информа

ции соответствует рис. 1. Решающее правило, получаемое на каждом шаге процедуры, используется для упорядочения допустимых решений (блок 8). Результаты упорядочения анализируются (блок 9Y В процессе такого анализа может обнаружиться неудовлетворительность полученного упорядочения. В этом случае исследуются причины неудовлетворительности. Такими причинами могут оказаться противоречивость информации о предпочтениях, полученной на разных этапах процедуры; неполнота набора критериев, характеризующих качество допустимых решений; несоответствие шкал некоторых критериев возможностям измерения; ошибки при оценке некоторых допустимых решений по шкалам отдельных критериев.

В зависимости от причин, которые привели к неудовлетворительному упорядочению решений, принимаются различные меры для их устранения. При анализе построенного упорядочения решений может появиться необходимость в уточнении исходной постановки задачи, включении новых решений в исходное множество, уточнении перечня критериев, их шкал или оценок решений по шкалам некоторых критериев, а также необходимость в корректировке информации о предпочтениях или решающего правила.

Если упорядочение множества допустимых решений, полученное на некотором шаге процедуры, признается удовлетворительным (блок /0), но не соответствующим поставленной задаче (блок //), на следующем шаге необходимо исследовать причины этого (блок /2) и получить дополнительную информацию о предпочтениях и построить новое решающее правило. Анализ оценок несравнимых решений в упорядочении, построенном на предыдущем шаге, позволяет установить класс информации, необходимой для формирования нового решающего правила.

В случае, когда упорядочение решений, полученное на некотором шаге, признается лицом, принимающим решение, удовлетворительным и отвечает поставленной задаче, это упорядочение считается окончательным. Если лицо, принимающее решение, действует рационально, оно должно выбрать решение в соответствии с полученным упорядочением (блок 13).

Задача выбора рациональных вариантов технологических схем шахт. Основной задачей при проектировании новых и реконструкции действующих шахт является выбор оптимального варианта технологической схемы, которому соответствует экстремальное значение некоторого обобщенного технико-экономического показателя, принятого за критерий качества.

При проектировании и реконструкции шахт для любых горно-геологических условий возникает значительное число допустимых вариантов технологической схемы, однако методов, позволяющих оценить качество большого числа вариантов, нс существует. Точные расчеты технико-экономических показателей шахт плохо поддаются формализации, чрезвычайно трудоемки и практически могут быть выполнены лишь для нескольких вариантов технологической схемы. В то же время,

например, для некоторых типов месторождений общее число вариантов иногда превышает 7000.

До настоящего времени выбор оптимального варианта технологической схемы шахты осуществлялся в два этапа. На первом этапе группа специалистов-экспертов в области проектирования шахт выделяет несколько вариантов технологической схемы, среди которых, по мнению группы, содержится оптимальный вариант (число вариантов, выделяемых на этом этапе, обусловлено возможностями дальнейшей проработки). На втором этапе для выделенных вариантов проводятся сложные технико-экономические расчеты, требующие многомесячной работы большого количества проектировщиков. Эти расчеты позволяют определить вариант технологической схемы, который считается оптимальным и используется на дальнейших этапах проектирования.

Первый этап проектирования является наименее формализованным. Исходное число возможных вариантов проекта обычно очень велико, поэтому ни один эксперт, какой бы высокой квалификацией он ни обладал, не в состоянии проанализировать все варианты. Поскольку на этом этапе технико-экономические показатели проекта неизвестны и, следовательно, не могут быть использованы в качестве основы для выбора наиболее предпочтительного варианта, каждому эксперту приходится пользоваться собственным правилом выбора.

Мнения специалистов-экспертов по поводу достоинств и недостатков тех или иных вариантов технологических схем шахт могут значительно расходиться. Это обстоятельство приводит к тому, что на первом этапе проектирования оптимальный вариант может оказаться исключенным из дальнейшего рассмотрения. Несмотря на это, использование экспертных оценок при выборе наиболее предпочтительного варианта проекта, обусловленное отсутствием других источников информации, которая необходима для принятия обоснованных решений на ранних стадиях проектирования, является весьма целесообразным, а, возможно, и единственным способом решения задачи. Однако принятие обоснованных решений требует четкой постановки задачи, использования теории принятия решений и создания специальных процедур сбора и обработки экспертных оценок.

В самом общем виде задача может быть сформулирована следующим образом: разработать методику, по-

зволяющую выделить из всего множества допустимых вариантов технологических схем шахт некоторое близкое к требуемому число рациональных вариантов, т. с. не менее предпочтительных в каком-либо определенном смысле, чем остальные.

Сформулированная постановка задачи требует существенных уточнений. Число выделяемых вариантов определяется возможностью их детальной проектной проработки, в результате которой будет выделен оптимальный вариант. В задаче выбора оптимального варианта технологической схемы число выделяемых вариантов не должно превышать двух-трех десятков. Кроме того, должно быть гарантировано, что для каждого из вариантов, принятых к дальнейшей проектной проработке, нс содержится более предпочтительного среди отброшенных.

Рассмотрим основные особенности методики, предложенной для решения поставленной задачи, а также результаты ее использования.

Допустимые варианты технологической схемы шахты удобно исследовать на основе морфологического анализа. Все допустимые варианты могут быть представлены в виде морфологической схемы. Каждый горизонтальный ряд вершин на схеме соответствует определенному уровню проекта технологической схемы шахты, а вершины ряда — элементам данного уровня. Связи между вершинами разных уровней определяют возможность объединения соответствующих элементов в единую технологическую схему. Каждый допустимый вариант проекта представляется на морфологической схеме цепочкой элементов (по одному с каждого уровня).

В технологической схеме шахты можно выделить шесть уровней: способ вскрытия, схемы вскрытия, отработки шахтного поля и подготовки, способ подготовки и система разработки [2, 11]. Для конкретного класса горно-геологических условий каждый уровень содержит конечное число определенных элементов. Однако не все элементы, взятые попарно с разных уровней, по экономическим или технологическим причинам могут быть объединены в одну схему. Число допустимых вариантов технологической схемы шахты в ряде конкретных задач превышает 7-Ю3 (число потенциально возможных вариантов превышает 2-Ю5).

Возможные сочетания в схеме элементов различных уровней удобно представлять в табличном виде. Для каждой пары уровней строится таблица, строки которой соответствуют элементам одного из рассматриваемых уровней, а столбцы — элементам второго. Клетка, находящаяся на пересечении /-й строки и /-го столбца, соответствует сочетанию Z-го элемента первого уровня и /-го элемента второго уровня. Если такое сочетание в схеме возможно, то в соответствующую клетку таблицы заносится «1», в противном случае — «О».

Представление вариантов технологической схемы в виде морфологической схемы очень наглядно и позволяет не запоминать все исходное множество, а формировать любой его вариант с помощью ЭВМ.

Множество критериев, характеризующих качество технологической схемы шахты на ранних этапах проектирования, представляет собой объединение наборов критериев, характеризующих каждый уровень технологической схемы. Для каждого уровня экспертами в области проектирования шахт были сформированы наборы критериев и построены соответствующие шкалы, по которым может быть оценен любой элемент соответствующего уровня. Полный перечень критериев, шкал и оценок приведен в работе [11]. Перечень содержит 25 технических, экономических и технико-экономических критериев. Все критерии имеют качественный характер и порядковые шкалы.

Пример критерия — «возможность модернизации шахты без влияния на ее эксплуатационную деятельность». Соответствующая шкала имеет следующий вид: «а) возможна; б) частично возможна; в) невозможна».

При проектировании шахт число допустимых вариантов технологической схемы настолько велико, что непосредственная оценка экспертами каждого варианта по шкалам критериев не представляется возможной, в связи с чем возникает проблема формирования оценок вариантов.

Для оценки вариантов технологических схем была разработана процедура, основывающаяся на следующем допущении: любые два элемента одного уровня, имеющие одинаковые оценки по шкале некоторого критерия, одинаково влияют на оценку всего варианта по шкале этого критерия. В соответствии с разработанной процедурой для каждого уровня разрабатываются шкалы

всех тех критериев, на оценки по которым влияют элементы данного уровня. Все элементы каждого уровня оцениваются по шкалам соответствующих критериев. Если критерий встречается только на одном уровне, то весь вариант оценивается по шкале этого критерия той же оценкой, что и элемент варианта соответствующего уровня. Если критерий встречается на нескольких уровнях, то по его шкале оцениваются все возможные сочетания оценок элементов тех уровней, которые влияют на оценку схемы по данному критерию. При небольшом количестве оценок у шкал критериев, встречающихся на нескольких уровнях, количество таких сочетаний оценок значительно меньше количества сочетаний элементов.

Для оценки вариантов схемы по шкале каждого из критериев, встречающихся на двух и более уровнях, для любого конкретного класса горно-геологических условий могут быть построены таблицы, позволяющие оценить все возможные сочетания оценок элементов тех уровней,которые содержат рассматриваемые критерии. Такие таблицы были построены для конкретных месторождений [11].

После построения таблиц формирование оценок любого возможного варианта технологической схемы шахты по шкалам всех критериев легко осуществляется с помощью ЭВМ. следующим образом. Формируется очередной допустимый вариант технологической схемы и определяются оценки его элементов по шкалам критериев соответствующих уровней. Если критерий встречается только на одном уровне, то варианту присваивается оценка, которую имеет по шкале данного критерия соответствующий элемент. Если критерий встречается на нескольких уровнях, то выбираются оценки по шкале данного критерия всех тех элементов варианта, которые оцениваются по этому критерию, т. е. формируется сочетание оценок. Из таблиц оценок всевозможных сочетаний выбирается оценка, присваиваемая данному сочетанию.

Выделение множества неподчиненных вариантов технологических схем шахт, содержащего близкое к требуемому количество вариантов, было достигнуто последовательным построением и использованием трех решающих правил, основанных на информации типа A\BQC^ A^B^Cq и Д3В4С0. При построении последнего решающего пра-

вила отношения изменений полезности оценивались числовыми интервалами.

Описанная выше методика была использована для выбора рациональных вариантов технологических схем шахт при разработке технико-экономического обоснова- ния высокопроизводительной комплексно-механизированной и автоматизированной шахты («шахты будущего»), обеспечивающей повышение производительности труда в 10 раз и более, на Чичербаевском геологическом участке Кузбасса, а также при разработке проекта реконструкции одной из крупнейших в СССР шахт «Томь-Усинская 1—2» имени В. И. Ленина. Исходное множество допустимых вариантов технологических схем в первом случае содержало 7704 варианта, а во втором — 3126.

Применение методики при разработке технико-экономического обоснования проекта «шахты будущего» позволило выделить 21 вариант технологической схемы, каждый из которых отвечает требованиям, выдвигаемым при создании высокопроизводительных угольных шахт. Описание вариантов приведено в работе [11].

В числе выделенных находится вариант со вскрытием до верхней границы шахтного поля, который был признан наиболее предпочтительным в результате детальных расчетов с помощью проектных проработок. Полученные результаты позволили сделать вывод о необходимости рассмотрения вариантов со вскрытием до верхней границы шахтного поля, которые до настоящего времени к проектной проработке при указанных выше горно-геологических условиях нс принимались. В то же время варианты со вскрытием до нижней границы, обычно используемые при проектировании шахтного поля, нс попали в число рациональных, что подтвердилось в дальнейшем при проектной проработке.

Применение наиболее предпочтительного варианта позволит значительно снизить первоначальные капитальные затраты и повысить эффективность работы предприятия. Технологические решения, полученные на основе разработанной методики, обеспечивают по сравнению с первоначально принятыми значительный экономический эффект.

При разработке проекта реконструкции шахты «Томь-Усинская 1—2» имени В. И. Ленина на основе разработанной методики в качестве рациональных были

выделены четыре варианта [11]. Это способствовало выбору наиболее предпочтительного варианта реконструкции, а также позволило значительно сократить время и стоимость проектных работ.

Результаты использования методики при проектировании угольных предприятий для различных месторождений подробно рассматриваются в работе [2].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Борисов В. И. Проблемы векторной оптимизации. — В кн.: Исследование операций. Методологические аспекты. М , «Наука», 1972, с. 72—91.

Бурчаков А. С., Харченко В. А., Кафорин Л. А. Выбор технологических схем шахт. М., «Недра», 1975, 274 с.

Буянов Б. Б., Озерной В. М. Достаточные условия предпочтения в многокритериальных задачах принятия решений. — В кн.: Вопросы кибернетики. Теория принятия решения. Вып. 8. М., «Советское радио», 1974, с. 60—70.

Буянов Б. Б., Озерной В. М. Об одном методе принятия решений при векторном критерии. — «Известия АН СССР. Техническая кибернетика», 1974, № 3, с. 80—84.

Вентцель Е. С. Выступление в дискуссии. — В кн.: Исследование операций. Методологические аспекты. М., «Наука», 1972, с. 106— 111.

Выбор рациональных вариантов технологических схем шахт с учетом большого числа критериев. — «Изв. высш. учеб, заведений. Горный журнал», 1972, № 5, с. 8—14. Авт.: С. В. Емельянов, В. М. Озерной, О. И. Ларичев, М. Г. Гафт, А. С. Бурчаков, В. А. Харченко, Л. А. Кафорин.

Гафт М. Г., Озерной В. М. Выделение множества неподчиненных решений и их оценок в задачах принятия решений при векторном критерии. — «Автоматика и телемеханика», 1973, № 11, с. 85—94.

Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М., «Наука», 1971, 384 с.

Гранберг А. Г. Проблемы транзитивности индивидуальных и коллективных предпочтений при построении целевых функций. — В кн.: Количественные методы в социологии. М., «Наука», 1966, с. 70—92.

Льюс Р. Д., Райфа X. Игры и решения. М., «Иностранная литература», 1961, 643 с.

Методика выбора подмножества предпочтительных (рациональных) вариантов технологических схем угольных шахт, М., Моск, горный ин-т, 1972, 58 с. Авт.: А. С. Бурчаков, М. Г. Гафт, Л. А. Кафорин, О. И. Ларичев, В. М. Озерной, В. А. Харченко.

Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М., «Наука», 1970, 708 с.

Озерной В. М. Принципы построения и использования многокритериальных моделей задач принятия решений. — В кн.: Проблемы принятия решений. Вып. 5. М., Ин-т проблем управления, 1974, с. 3—15.

Озерной В. М. Проблемы и методы принятия решений при векторном критерии. — В кн.: Вопросы кибернетики. Теория принятия решения. Вып. 8. М., «Советское радио», 1974, с. 53—60.

Озерной В. М., Гафт М. Г. Построение решающих правил в многокритериальных задачах принятия решений. — В кн.: Проблемы принятия решений. Вып. 5. М., Ин-т проблем управления, 1974, с. 30—44.

Подиновский В. В., Гаврилов В. М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М., «Советское радио», 1975, 192 с.

Стивенс С. С. Математика, измерение и психофизика. — В кн.: Экспериментальная психология. М., «Иностранная литература, 1960, с. 19—89.

Шапот Д. В. О построении критериев качества технических объектов. — «Изв. АН СССР. Техническая кибернетика», 1971, № 6, с. 53—59.

Adams Е., Fagot R. A Model of Riskless Choice. — «Behavioral Science», 1959, vol. 4, p. 1—10.

Fandel G. Optimale Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung. Berlin-Heidelberg-New-York, Springer-Verlag, 1972, S. 121.

Fandel G., Wilhelm J. Zur Entscheidungstheorie bei mehfacher Zielzetzung. Zeitschrift fiir Operations Research, Bd. 20, Wurzburg, Physica-Verlag, 1976, S. 1—21.

Fishburn P. C. Decision and Value Theory. New York, Wiley, 1964. 451 p.

Fishburn P. C. Methods of Estimating Additive Utilities. — «Management Science», 1967, vol. 13, No 7, p. 435—453.

Fishburn P. C. Utility Theory for Decision Making. New York, «John Wiley and Sons», 1970, 234 p.

Fishburn P. C. Multiattribute Utilities in Expected Utility Theory. Proceedings of a Workshop on Decision Making with Multiple Conflicting Objectives. Vol. 1. Laxenburg, International Institute for Applied Systems Analysis, 1975, p. 1—40.

Keeney R. L. Utility Independence and Preference for Multiattributed Consequences. — «Operations Research», 1971, No. 19, p. 875—893.

Roy B. Decisions avec criteres multiples et methodes. — «Met- га», 1972, vol. XI, No 1, p. 121—151.

УДК 007

В. В. Подиновский

ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВВ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ПРИНЯТИЯ

РЕШЕНИЙ

Введение. Почти все методы решения многокритериальных задач предусматривают использование в той или иной форме информации о важности критериев. Весьма часто относительная важность критериев характеризуется количественно с помощью положительных чисел, называемых коэффициентами важности или весомости. Такая форма представления информации о важности является сложной для экспертов и поэтому зачастую ненадежной, и тогда выводы, получаемые с ее помощью, не внушают доверия лицу, принимающему решение. Более доступной и достоверной, чем количественная, является качественная информация, состоящая из сведений типа «критерии равноценны (т. с. одинаково важны)», «один критерий важнее другого» и т. п.

В последние годы стали усиленно разрабатываться и все шире применяться на практике итеративные человеко-машинные процедуры решения многокритериальных задач, основанные на поэтапном получении и обработке (обычно на ЭВМ) информации о предпочтениях. К числу наиболее перспективных итеративных процедур относятся тс, которые связаны с последовательным получением и использованием все более сложной и сильной информации (см., например, [1]).

При применении процедур подобного рода представляется естественным вначале получать и использовать качественную информацию о важности критериев, и лишь потом, по мере необходимости, — количественную.

Однако сами понятия упорядоченности критериев по важности и соответствующие показатели важности определялись по-разному, применительно к методам конкретных типов, и вне рамок этих методов их использовать нельзя. Но из-за отсутствия общих определений взаимо- 48

связь различных частных определений и характеристик почти не изучена.

В данной статье приводятся общие определения упорядоченности критериев и множеств критериев по важности и на этой основе выясняется, каким образом можно применять качественную информацию о важности для решения многокритериальных задач, особенно при использовании итеративных человеко-машинных процедур, а также исследуются распространенные на практике и предложенные новые показатели важности. Некоторые из этих результатов были изложены в ряде ранее написанных работ, в том числе [3—6].

Общие положения. Во всякой задаче принятия индивидуального решения имеется некоторое множество выбора, элементы которого называются стратегиями (их называют также планами, вариантами, альтернативами, решениями и т. д.). Окончательный выбор оптимальной стратегии производит лицо, принимающее решение.

Стратегии оцениваются по результатам, или исходам, к которым они могут привести. В общем случае исход, получаемый при реализации стратегии, зависит от того, какое значение примут случайные и неопределенные факторы.

В соответствии с условием задачи бывает удобно либо сопоставлять по предпочтительности исходы, либо расчленять их на более простые элементы и оценивать вначале эти элементы, а затем уже сопоставлять исходы. Например, если задача состоит в выборе одной наилучшей системы из множества конкурирующих, то под исходом можно понимать выбранную систему. Если требуется выделить несколько лучших систем, то исход — совокупность выделенных систем. Если же необходимо упорядочить все системы по их качеству, то исходом будет упорядоченное множество всех систем и т. д. Будем считать, что исходы представляются в виде совокупности (возможно, упорядоченной) некоторых элементов, которые будут называться объектами. Множество всех таких объектов будем обозначать через Q.

В многокритериальных задачах «качество» (или «полезность», «ценность», «эффективность» и т. п.) объектов оценивается с помощью критериев Кь Кг, .Кт (т^2). Под критерием Кг понимается функция, отображающая множество объектов Q в некоторое, содержащее не менее двух точек, подмножество Xt числовой прямой

Re. Это множество называют шкалой Z-ro критерия, а его элементы — шкальными оценками.

Критерии Kt образуют векторный критерий К= №, ..., Кт^ отображающий множество Q во множество ^ = ХхХХ2Х ... ХХт векторов, компонентами которых являются шкальные оценки. В общем случае не для всякого вектора х из % может существовать соответствующий объект а, т. е. такой, что К^=х. Однако для анализа задачи и получения необходимой информации с целью ее решения удобно оперировать векторами из %, которые нс обязательно соответствуют реальным объектам (т. е. из Q), но могут рассматриваться как характеристики некоторых гипотетических объектов. Такие векторы будем называть векторными оценками. Множество всех векторных оценок обозначим через X. Поскольку некоторые комбинации шкальных оценок могут оказаться недопустимыми, так как содержащие их векторы будут лишенными смысла наборами чисел, то включение Хг^ вообще говоря, строгое.

При решении задачи на основании полученной информации во множестве векторных оценок X строятся бинарные отношения предпочтения и безразличия, которые затем наряду с дополнительными гипотезами и принципами (например, принципом наибольшего гарантированного результата, применяемым при наличии неопределенных факторов) используются для построения отношения предпочтения во множестве стратегий U и выделения оптимальной стратегии. В дальнейшем отношения строгого предпочтения, безразличия, нестрогого предпочтения и несравнимости будут обозначаться соответственно буквами Р, I, R и N, которые при необходимости будут снабжаться теми или иными индексами (верхними и нижними).

Для любых двух векторных оценок х и у возможен один и только один из следующих случаев: 1) хРу (х предпочтительнее, чем у); 2) уРх; 3) xly (х и у одинаковы по предпочтительности, т. е. безразлично, какую из этих двух векторных оценок выбрать в качестве лучшей); 4) xNy (хи у несравнимы по предпочтительности). Под xRy будем понимать, что верно либо хРу, либо xly, т. е. /?=Р (J /. Отношения Р, 1 и N восстанавливаются по R (или же отношение R порождает Р, 1 и N): xly, когда одновременно xRy и yRx; хРу, когда xRy, но yRx неверно; xNy, когда неверно ни xRy, ни yRx,

Предположим, что критерии независимы по предпочтению и для каждого из них большие значения предпочтительнее меньших. Это означает, что векторная оценка х предпочтительнее векторной опенки (х||//г), полученной из х заменой Хг на шкальную оценку уг, при любых zeM={1,..., т} и yi<Xi. Поэтому естественно ввести в X (а формально и в Rem) отношение нестрогого предпочтения R0, определяемое следующим образом: xRQy, когда справедливы неравенства

x>yh г = 1,. •т. (1)

Отношение R0 порождает отношения 7°, Р° и №. Понятно, что хР°у, когда хотя бы одно из неравенств (1) является строгим, а /° есть отношение равенства векторов.

Введенные отношения 7?° и /° весьма полезны для анализа многокритериальных задач, однако они не позволяют полностью решить их, так как многие векторные оценки оказываются несравнимыми. Поэтому возникает необходимость в расширении этих отношений, а это возможно сделать лишь при получении дополнительной информации. Далее будут изучаться вопросы, связанные с формализацией и использованием информации о важности критериев. Важность критерия (или же совокупности нескольких критериев) определяется степенью влияния изменения его значения (их значений) на общее качество объектов. Поскольку указанное влияние можно оценить, лишь соизмеряя его с влиянием других критериев, то говорят об относительной важности критериев. Такое соизмерение в зависимости от существа решаемой задачи можно производить либо опираясь на некоторую фиксированную векторную оценку (объект или же стратегию), либо не выделяя такой «опорной» оценки; кроме того, к сравнению привлекать либо любую опенку из некоторого подмножества У множества X, либо же любую оценку из всего множества X. В соответствии с этим можно различать понятия связанной и несвязанной, а также локальной и глобальной относительной важности критериев. В дальнейшем изложение посвящено проблеме глобальной несвязанной относительной важности, причем для краткости будет использоваться термин «относительная важность», а иногда и просто одно слово «важность». Однако все основные определения и результаты легко перенести и на другие

варианты важности: достаточно потребовать, чтобы сравнение производилось только с исходной фиксированной векторной оценкой и (или) к сравнению привлекались лишь векторные оценки из У.

Следует иметь в виду, что не всегда можно упорядочить критерии по важности, т. е. установить, например, что один из критериев важнее другого или же они равноценны. Так, в задаче выбора наилучшей системы при помощи известного метода «стоимость — эффективность» при сравнении дешевых, но малоэффективных систем лучшими могут быть признаны более эффективные в работе системы (так что для совокупности таких систем важнее критерий эффективности работы), а при сравнении высокоэффективных, но очень дорогих систем, напротив, лучшими могут считаться менее дорогие системы (так что в области подобных систем более важен критерий стоимости). Следовательно, для всего множества конкурирующих систем упорядочить критерии по важности (для любого определения этого понятия) невозможно.

Построение отношений предпочтения и безразличия на основе информации о важности критериев. Информация об относительной важности критериев дается совокупностью сообщений типа: «Критерии Ki и К2 равноценны», «Критерий Кз важнее, чем совокупность критериев Кз и К4», и т. п. Каждое из подобных сообщений будет обозначаться специальным словом, состоящим из букв, цифр и других знаков. Следовательно, информация о важности критериев будет представлена множеством Q таких слов. В дальнейшем для упрощения записи будет часто употребляться и множество Q°=Q U {0}.

Каждое сообщение озеЙ позволяет сравнивать по предпочтительности, как это будет определено ниже, векторные оценки специальных типов, т. е. устанавливать в X отношения строгого предпочтения F и безразличия /^ или же только одно из таких отношений. Под Rto понимается объединение этих отношений.

Поскольку для сравнения двух векторных оценок можно использовать отношение Rto для всякого озей, а также R0, то информация Q определяет в X бинарное отношение нестрогого предпочтения Р* строгого предпочтения Р* и безразличия /*:

Аа= и р- и Л; P^ = P^\jiL

со С 2° о) = 2°

Эти отношения и можно использовать для решения многокритериальной задачи при помощи информации Q о важности критериев.

Отношения Р*, I* и Р* не являются, вообще говоря, транзитивными. Однако если по ряду известных соображений желательно иметь транзитивные отношения предпочтения и безразличия Р^ Р и Р2, их можно получить расширением отношении R*, 1* и R* следующим образом.

Предположим, что для векторных оценок х и у нашлись такие s векторных оценок гк и $+1 символов o^eQ0, что справедливы утверждения xRtolz\ zxR^z\..., z^^^y, которые будем записывать одной цепочкой:

xR^R^.-.^R^y. (2)

Поскольку /?* не транзитивно, то xR^y может быть неверно. Добавим к Р* такие пары оценок (х, у), для которых существуют цепочки типа (2). Операция расширения бинарных отношений подобным способом называется транзитивным замыканием (будем обозначать ее через ТгС1), а расширенные отношения — транзитивными замыканиями исходных. Итак, на основе информации Q о важности критериев построено рефлексивное и транзитивное отношение нестрогого предпочтения — квазипорядок P2 = TrCl R*.

Если для векторных оценок х и у существует цепочка (2), в которой все R суть /, то эти оценки следует считать одинаковыми по предпочтительности. Таким образом, в X определяется отношение безразличия (Q-экви- валентности) /2 —ТгС1 /?.

Если для векторных оценок х и у существует цепочка (2), в которой хотя бы одно R есть Р, то х следует считать предпочтительнее, чем у. Этим определено отношение строгого предпочтения Р2. Понятно, что R2 — = P\jP^ и ps обладает свойством обобщенной транзитивности по Р: из хР^у и yPz, а также из хРу и уР^г следует хР^г.

Определения упорядоченности по важности однородных критериев. Критерии /С^,..., Ktn называются однородными, если они имеют общую шкалу Хг = ... =^tn и множество X^Rem симметрично относительно координатных осей Х^, ..., Xt т. с. если для всякой векторной

оценки х= (хь..., xw) можно утверждать, что вектор, полученный из х любой перестановкой координат Xtx..., Xi , оказывается векторной оценкой, т. с. принадлежит X.

Соизмерить влияние изменений значений однородных критериев на общее качество объектов с целью выяснения относительной важности этих критериев можно перестановкой соответствующих координат произвольной векторной оценки.

Вообще всякое понятие равноправия, равноценности и т. п. некоторых объектов, лиц и т. д. основывается на использовании в том или ином виде идеи симметрии, а понятие превосходства в важности и т. п. — на отрицании симметрии.

Применительно к двум однородным критериям Кт и Kt симметричными являются векторные оценки х и xrt, полученная из х перестановкой ее компонент хт и xt. Если любые две векторные оценки х и хп расцениваются как одинаково предпочтительные, то критерии Кт и Kt, в соответствии с общим подходом к определению относительной важности, следует рассматривать как равноценные, т. е. считать одинаково важными. Итак, получено следующее определение.

Определение 1. Критерии Кт и Kt равноценны (такое сообщение (щ будет обозначаться словом rSt), когда любые две векторные оценки х и xTt одинаковы по предпочтительности. Сообщение coi устанавливает отношение безразличия 7е01 между векторными оценками х и y=xTt: xl^y.

Если из любых двух оценок х и хп лучшей считается та, у которой больше r-я координата, то симметрия г-го и ^-го критериев нарушена, причем более важным оказывается критерий Кт. Эти соображения приводят к следующему определению.

Определение 2. Критерий Кт важнее критерия Kt (о)2=гВО, когда всякая векторная оценка х, у которой хт>хь предпочтительнее, чем y=xrt{xP^y).

Обратимся теперь к вопросу о сравнении по важности совокупности критериев. Пусть даны два не пересекающихся множества критериев (/г^1, /^1)

(3)

Все гЦ-l критериев должны быть однородными. Такие множества будем называть однородными наборами.

Для упорядочения по важности подобных наборов приходится сравнивать лишь векторные оценки.

х, y = x^ri’-’r^ V"- zz}; xr = ... =Xrn, xt=... =xt^ где xV1rn\ !Z1--’ 6} —вектор, полученный из х заменой каждой из п координат хГг на xtl и каждой из I координат xt. на хГ1 (например, если х=(2, 4, 4, 3, 2, 2), то -{1,5,6} {2,з} = (4) 2, 2, 3, 4, 4).

Определение 3. Однородные наборы критериев (3) равноценны (w3={ri,..., Гп}5{Л, • • ■, У), когда всякие две векторные оценки (4) одинаковы по предпочтительности (xl^y).

Определение 4. Из двух однородных наборов критериев (3) первый важнее второго («4 = {ri,..., г„} B^h //}), когда из любых двух векторных оценок (4) при xri>xtl первая предпочтительнее второй (хР^уУ

Примечание. Для упрощения записи слов oeQ совокупности критериев, состоящие из одного критерия, будем обозначать номером этого критерия (например, вместо (1, 3}S {4} и {1} В {2, 5} писать соответственно {1, 3} S4 и 1В {2, 5}). Тогда будут согласованными обозначения, введенные определениями 1—4.

Легко видеть, что отношения /ш и Р^ введенные определениями 1—4, формально определены и на Rem и являются адекватными [7] для однородных критериев, имеющих общую порядковую шкалу. Это означает, что если все множества Х^, соответствующие критериям К^ о которых говорится в сообщении щ, заменить на Х/= — т]^), где г] — произвольная строго возрастающая числовая функция, то xR^y для х, у^Х, справедливо тогда и только тогда, когда выполнено x'R^y', где хг (у^ — вектор, полученный из х (у) заменой всех соответствующих координат Хг^Уг^ На Т](Хг) [^(Уг)]. ПОЭТОМУ можно утверждать, что отношения р^ и R^ являются адекватными для связанных сообщением типа (щ — (04 однородных критериев, имеющих общую порядковую шкалу.

На практике у критериев оказывается общая шкала обычно в тех случаях, когда ими измеряется интенсивность свойств одной и той же «физической» природы (например, стоимость продукции, выпущенной разными предприятиями или же одним, но в разные периоды времени, либо вес этой продукции, и т. п.) либо они выражаются в баллах, назначаемых на основе некоторых об-

щих для этих критериев правил или эталонов (как, например, оценки успеваемости учащихся по различным учебным предметам) либо, наконец, получаются специальными преобразованиями из первоначальных неоднородных критериев. В указанных случаях однородные критерии имеют одинаковую физическую размерность, а в частности являются безразмерными.

В качестве примеров широко распространенных преобразований исходных неоднородных критериев Ki в однородные Кг приведем следующие:

Kt biKt biKj-ajbl —(bi

Kt bi

Kt bi

где bi — некоторые эталонные значения Kt (плановые, максимально возможные и т. п.); at— минимально допустимые (возможные) значения Кг.

Определения упорядоченности по важности критериев с твердыми шкалами. Неоднородные критерии далеко не всегда удастся преобразовать в однородные и затем упорядочить по важности. Поэтому необходимо определить относительную важность неоднородных критериев. Для этого следует сопоставлять влияние на общее качество объектов изменения значений этих критериев, происходящих в соответствующих рассматриваемым критериям шкалах, или, как говорят, сравнивать по полезности разности значений критериев. Такое соизмерение можно, естественно, производить лишь в том случае, когда разности значений критериев имеют смысл. Будем говорить, что критерии, обладающие указанным свойством, имеют твердые шкалы. В качестве критерия с твердой шкалой может быть критерий с абсолютной шкалой, со шкалой отношений (ибо всегда можно фиксировать единицу измерения), со шкалой интервалов (так как масштаб можно задать), а также критерий с балльной шкалой, если баллы назначены в соответствии с установленными эталонами или приписаны исходным нечисловым оценкам, ясно и четко описанным словесно.

Определение 5. Критерии Кт и Kt равноценны по (Ar, A/) ((o5=rS(Ar, htVY когда любые векторные оценки

х, у = (х || Xj + h}1 xk - h.^, (5)

где j=r, k—t, либо, наоборот, j—t, k=r, одинаковы по предпочтительности (x/m=y).

Здесь и далее предполагается, что все числа hi положительны.

Определение 6. Критерий Кт важнее по (hr, ht) критерия Kt (a6=rB(hr, ht)t), когда в любой паре векторных оценок (5), где j=r, k=t, вторая предпочтительнее первой.

Для непересекающихся упорядоченных совокупностей (кортежей) критериев

<Кгг1.. •, Кг>, <Ktl, • • •, Кц> (6)

введем следующие определения.

Определение. 7 Кортежи критериев (6) равноценны, по«Аг„..., АГ/г>, </?,„..., А/г» [ю7 = <г1>-• •> гп> S , й,л>, <hu, • • •,</„..., tt>V когда

любые две векторные оценки

y^xWxjAhjo---» ^ЛА’ x^-h^,..., x^-hA

(7) где ^=^ /1=П, • • •, jn=rn, v=l, ki = tb ..., ^—^ либо, напротив, ц=/, /1 = ^ь • • •, ji=tb ^=п, ki = r^ ..., kn = rn, одинаковы по предпочтительности (х/^у).

Определение 8. Из двух кортежей критериев (6) первый важнее по «Л-,,.--,<^htx....s ht^>\ чем

второй (<о8 получается из w7 заменой S на 5), когда в любой парс векторных оценок (7), где ц=я, h = rn,. • ..., /n=rn, v = /, ^1 = 6, • • -, ki=h, вторая предпочтительнее первой.

Во введенных выше определениях превосходства по важности не говорилось о том, насколько велико это превосходство. Для измерения степени превосходства можно использовать следующий подход.

Пусть, например, т=4, критерий Ki важнее по (Ai, Л2), чем К^ а Кз важнее по ^h^ /z4), чем К4. Рассмотрим векторные оценки х и (л^+Аь х2— h^ х3— А3, х4+ +Л4). Вторая оценка получена из первой одновременным улучшением в соответствии с утверждением \B^h\x А2)2 и ухудшением по ЪВ^К^ А4)4. Если любые две такие векторные оценки одинаковы по предпочтительности, то степень превосходства в важности по ^\» Л2) критерия Ki над критерием К2 равна степени превосходства в важности по (А3, h^ критерия Кз над критерием К4. Если же в любой паре таких векторных оценок вторая предпочтительнее первой, то степень превосходства в важности Ki

над К2 больше, чем Кз над К^. Изложенные соображения приводят к следующим определениям.

Определение 9. Превосходство в важности по «Ар,,..., h.p^>, <h.qi,..., hq^>^ кортежа критериев <Кр^ , КРр> над <Kqx,..., Kq^> равно превосходству в важности по «Аг,,..., hr^>, Oi^,..., ht^>) кортежа критериев </Cr„«и> над <Х/„..., Кц>

«^Ка,---. Pw>B <<hP1X..., hPv>, <hq?...

А^»<^,...,^v>«[<rb..., гп>в «Аг„...

«>, <А/„..., A<z>) </!,..., когда любые две векторные оценки

•А г/^^Цлр^Ар,,..., ХрДНр^ xqx-hqi,..., xq^-hq^

хГ1-ПГи..., хГп-РГп, л^ + А,,,..., x^h^ (8)

одинаковы по предпочтительности (xl",gy').

Определение 10. Превосходство в важности по «Ар„..., Ар«, <А91,..., A9v>) кортежа критериев <ZKP„..., Кр^> над<7«,..., KqJ> больше превосходства в важности по «Аг,,..., h.r^>, <^htlX..., ht^>) кортежа критериев <ЛГг„..., КГп> над <«,... • • •, Kh> (“10 получается из <о9 заменой символа ~ на Н), тогда в любой паре векторных оценок (8) вторая предпочтительнее первой.

Примечания: 1. Предполагается, что при наличии сообщений о сравнении степеней превосходства в важности типа сод —■ (Ою в Q имеются и соответствующие сообщения о превосходстве в важности типа со5 — о)8.

Если в Q имеются сообщения <Р1,..., Pw> ^ ^<h pV . .hPw>, <hqx«>) <^ь..., q4> и <rb..., гга>В(<Лг ,..., АГл>, <h,t v.., htl>) <^tl>, то сообщение о)9 равносильно сообщению “о== <А.--., Р«1 ^>S (<Ар,,..., А<; > , < Л^ ,..., hrn>^

<^1,..., q^, rx,..., гп> (т. е. А“8 = А"0). Справедливо также утверждение, получающееся из только что приведенного заменой од на w10, a S в о)0— на В.

Учитывая возможную ограниченность шкал, целесообразно отношения Рш для определений 6, 8 и 10 естественным образом расширить, а для определений 5, 7 и

9 наряду с Iя* ввести Р™ Окончательно отношения Рш в X определим следующим образом:

уР®*х при у = ^х\\ xr-\-hn xt — et\

где 0<ez<Az, и при у=Цх || xr — еп x(-\-h(\

где 0<_er<.fir;

уР®«х при у=Цх 1| xr-\-hr, xt—e^,

где 0<ez<Az;

уР^х при

уНх 11 ХгЛ^-, хгДНГп? xt-e^..., xt-et^ (9) где ЦУ> (eZ1,Щ > (0,..., 0), и при

у = (х\\ хГ1 — еГ1,..., хГп — еГп,—x([ + /itl),

где М > er^ > (0,..., 0);

уР^^х при у, удовлетворяющем (9), где (AZ1,..., к^ ^

уР^х при

у — ^х |! хРх~А кру^-^ хр^АкР^ xqx — eqxS..., xq^ — eq^

хГх — еГх,..., хГп-еГп, Xt1-Ylitx,...1xtfV-htlY (10) где (А^,..., А^, hr^.., hr^>(eqx,*.., eq^ £Г1,..., £rJ>(0,..., 0), а также при у=^х || хРх — еРх,..., хр^—ер^ xqi4 kqi,..., Xq^r -¥kq^ хгД-кГ1,..., хгДкГп, х^-е^,...,хч-еч), где /1РИ..„ hp^ htx....shtlXepxS...,ep^ etxS..., et^>Q.

уР^юх при у, удовлетворяющем (10), где (A^1?..., hq^s

hrx1..., hrn)">AeqxS..., eq^ еГх,..., ^)>(0,..„0).

В записанных условиях a^b означает, что a^b^ для всех соответствующих компонент векторов а и Ь; а^Ь означает, что а^Ь, но а^Ь.

Непротиворечивость информации о важности критериев. При определении отношений^2, /2 и р^ никаких предположений о взаимосвязи сообщений об относительной важности критериев не делалось. Однако некоторые сообщения могут, вообще говоря, противоречить друг Другу. Ясно, например, что из трех сообщений rSt, rBt и tBr любые два противоречат друг другу. Указанная про-

тиворечивость информации проявляется в том, что отношение Р^ может оказаться не асимметричным и (или) Р2 не иррефлексивным, а также Р2 (Р2) может пересекаться с /*(/2). Приведем простейшие примеры.

Пример 1. т = 2, X = ^2, Q = {1 В 2,1 5 2}. Здесь (2, 1) Р1В2 (1, 2) и (2, 1) /1S2 (1, 2), так что (2, 1) Р2 (1, 2) и (2, 1) /? (1, 2).

Пример 2. т = 2, X = Re\ 2 = {152, 2ВЗ, ЗВ1}. В этом примере (3, 2, 1) Рж (3, 1, 2) Р1В2 (1, 3, 2) Р^ (1, 2, 3) Р^вх (3, 1, 2), так что (3, 2, 1) Р2 (3, 2, 1),

Легко видеть, что все введенные отношения /ш симметричны, а Рш иррефлексивны и асимметричны. Поэтому отношение Р2 всегда оказывается иррефлексивным, /*— симметричным и рефлексивным, а р2 — рефлексивным. Будем говорить, что информация о важности критериев непротиворечива в узком смысле или, иначе, что множество Q не содержит прямо противоречащих друг другу сообщений, если отношение Р2 асимметрично и не пересекается с

В силу отмеченных свойств Л и Р(О отношение /2 всегда является эквивалентностью, а R2 —квазипорядком. Будем говорить, что информация о важности критериев непротиворечива в широком смысле, или просто непротиворечива, а также, что множество Q не содержит противоречащих друг другу (прямо или косвенно) сообщений, когда Р2 иррефлексивно. Так как Р2 транзитивно и обобщенно транзитивно по /2, то оно при непротиворечивости Q оказывается строгим частичным порядком и не пересекается с/2.

Информацию о важности, не являющуюся непротиворечивой (в узком или широком смысле), будем называть противоречивой (в том же смысле). Понятно, что поскольку /fS/2 и PsSP^, то из противоречивости информации в узком смысле следует ее противоречивость (в широком смысле) и из непротиворечивости следует непротиворечивость в узком смысле.

Если множество Q содержит много сообщений, то не всегда легко выяснить, является ли информация о важности критериев непротиворечивой. Приведенная ниже теорема указывает на одно относительно простое достаточное условие непротиворечивости Q. Для формулировки этой теоремы введем следующее определение: множество Q нормально, если существуют такие положи-

тельные числа «ь . . ., ат, для которых справедливы соотношения

Lto (а^..., aj, ^^ 2.(И)

В (11) под Zw (аь..., aj понимается:

ar = at при (d = (d1;

аг>а, при (d = (d2;

аГ1 + ... + аГ/г = а/1 + ... + а// при о) = о)3;

аГ14“••• 4"^Гп> ан4“••• 4*а// при oj=co4;

hTaT = htat при а) = а)5;

hr^r">htat при а)=а)6;

hr^rA-Ahr^r^ht^tA-Aht^tt при а)=о)7;

кгДгА-А^Ап>к1^1^-^НЧаЧ ПРИ ^^

ЬрДРх 4- "V^P^P^ ^qx^qxhqaq^ = hrxarx 4" 4*

-Vh^a^—ht^tx™ — ^А при ^ = м9;

hр^р1 4" 4"^^аР;л — ^q^qx "^q^q^ > ^Гх^Тх 4" 4-

4-кГпаГп — htxatx — ...— htlatl при a) = w10.

Теорема 1. Если множество Q нормально, то информация о важности критериев непротиворечива.

Согласно этой теореме, доказательство которой, как и всех последующих теорем, дано в конце статьи, из совместности системы линейных уравнений и неравенств (11) для положительных «г следует непротиворечивость информации Q.

Пример 3. Информация 2={1В2, 1ВЗ, {2, 3} Bl) непротиворечива, так как, например, числа «1 = 8, «2=6 и «3 = 5 удовлетворяют системе (И), которая записывается так: «1>«2, «1>«з, «2+«з>«1.

Пример 4. В примере 2 указана противоречивая информация (в широком смысле). Однако, как нетрудно убедиться, эта информация не является противоречивой в узком смысле. Система (11) оказывается, естественно, несовместной: «1>«2, «2>«з, «3>«ь

Понятно, что если информация о важности критериев оказывается противоречивой в том или ином смысле, необходимо проверить достоверность сообщений, выявить ошибочные (ложные) сообщения и удалить их.

Положительные числа «г, удовлетворяющие системе (И), в соответствии с теорией измерений [7] можно счи-

тать коэффициентами важности критериев, определяемыми информацией Q.

Принцип декомпозиции. Выяснить, связаны ли две произвольные векторные оценки отношениями 7 2 или Р2, непосредственно на основании определений этих отношений слишком сложно. Поэтому желательно найти легко обозримые условия, при выполнении которых векторные опенки сравнимы по R4 и разработать на их основе достаточно простые и удобные методы построения отношений /2 и Р2.

Для общего случая этот вопрос представляется весьма сложным. Однако можно указать на весьма полезное для практики правило, которое очень часто позволяет резко упростить его решение.

Предположим, что множество Л1={1,..., т} номеров критериев можно разбить на п не пересекающихся подмножеств Л1(1),..., М^п) так, чтобы любое высказывание из Q относилось к критериям с номерами лишь из какого-либо одного этого множества. Тогда Q—UyLi^ (А гДе 2 (/)—информация о важности критериев с номерами из M(j).

Пусть m^ — число номеров в подмножестве M(j). При необходимости произведем соответствующим образом перенумерацию критериев и будем считать, что множество М(1) составляют числа от 1 до тх, множество Л7(2) —числа от ^Zi+1 До mi+^2 и т. д. Обозначим через %(/) прямое произведение X z_i Х-ХХ / (хО) есть Л\Х ... XXW1), а через xi(/)—вектор из %(/). Таким образом, вектор х&х «разрезается» на п векторов х(/)е%(/), а п векторов х^Ч^/ЧЙ «склеиваются» в вектор х^х- Предположим, что структура множества X такова, что Х=Х(1) X ... ХХ(п), где Х(/)^х(/Ъ / = = 1,. .., п.

В соответствии с определениями 1—10 в каждом множестве X U3 можно построить отношения /°UV P°U\ R°U3 и 7Ш(/), Р°ЧЛ> РЧЛ Для ^С Q (7), с помощью которых образуются отношения РиЧЛ^ Р^ЧЛ и ^5ЧЛ- Предположим, что имеет место xR^y, т. е. существует некоторая цепочка (2). Эту цепочку можно, очевидно, разложить на п цепочек хи^'^ЧГ^ЧЛ^ЧЛ-• .z^^uHRyUI, 7=1,..., п, (12) где либо и?(/)=0, либо toky) = wk и <о6^2(7),

причем если в (2) все 7? суть /, то и в (12) все 7? будут /, а если в (2) хотя бы одно 7? есть Р, то и в (12) будет Р хотя бы при одном /.

Наоборот, если существует п цепочек типа (12), причем не обязательно одинаковой длины (т. е. для разных / числа s могут быть разными), то с их помощью можно составить цепочку (2). Действительно, поскольку всякую цепочку из (12) можно сколько угодно удлинять, повторяя любой входящий в нее вектор с добавлением 7°(/), то из исходных можно получить п цепочек одинаковой длины вида (12) и таких, что при каждом к для всех /, кроме одного, Р^ЧЛ будет 7°(/). Полученные же цепочки сразу «склеиваются» в цепочку (2) (так как в силу принятого выше условия относительно структуры множества X векторы 2^(1),..., 2^) образуют векторные оценки 2^), и поэтому оказывается, что xR^y. . При этом если во всех п исходных цепочках все R суть 7, то будет хРу, а если хотя бы одно R есть Р, то окажется хР^у.

Итак, xR^y тогда и только тогда, когда

хиЖиЧЛии\(13)

причем хРу ^хР^у^ в том и только том случае, когда в (13) все R— суть 7 (хотя бы одно R есть Р).

Таким образом, задача сравнимости двух произвольных векторных оценок х и у сводится по указанной схеме к п задачам сравнимости векторов x(j) и y(j). Эту схему естественно назвать принципом декомпозиции. Проиллюстрируем применение этого принципа на простом примере.

Пример. 5. т = 6, X = ReS, Й = (2В5, 3S (2, 3) 4}.

Положим п = 3, М (1)= {2, 5}, М (2) = {3, 4}, М (3) = [1, 6). Тогда Й (1) = (2В5), й (2) = {3S (2, 3) 4), Й (3) = 0. Для х = (1, 4, 1, 4, 2, 3) и у = (1, 2, 3, 1, 3, 2) имеем

х (1) = (4, 2) Р2В5 (1) (2,4) PQ (1) (2, 3) = у (1);

х (2) = (1, 4) f3S <2’ 3> 4 (2) (3, 1) = у (2);

= (1, 3) Р° (3) (1, 2) = у (3),

Следовательно, хР^у.

Подзадачи, получаемые из исходной задачи сравнения двух векторных оценок с помощью принципа декомпозиции, обычно существенно более просты из-за меньшей размерности векторов, а также потому, что мно-

жества Q(/) содержат меньшие по количеству и разнообразию утверждения о важности.

Задачи с упорядоченными по важности однородными критериями. Вначале рассмотрим задачи, в которых упорядоченными по важности являются отдельные однородные критерии, т. е. множество Q может содержать лишь утверждения типа coi и о)2. Для произвольной векторной оценки у введем опорные множества Ей^ всех ^-эквивалентных, М^(у) из Q-улучшенных и W^(y) из Q-не- ухудшенных векторных оценок, определяемые следующим образом:

£*2(г/) = {л:| существует цепочка (2), в которой все R суть I и все g?eQ} ;

^2(у) = {^| существует цепочка (2), в которой все (o^eQ и хотя бы одно R есть Р};

W^y) = E4y^ М^уУ

Таким образом, множество Е2 (у) образовано векторной оценкой у и такими векторными оценками, которые можно последовательно получить из у перестановками компонент, соответствующих имеющимся в Q утверждениям о равноценности критериев. Множество 7И2 (у) включает все векторные оценки, в процессе получения которых из у перестановками компонент в соответствии с утверждениями из Q хотя бы один раз использовалось утверждение о превосходстве в важности (скажем, рВд^й, q-я компонента у у или некоторой полученной из нее векторной оценки была больше р-й и эти компоненты менялись местами).

Теорема 2. Если множество 2 содержит лишь высказывания о равноценности и (или) неравноценности отдельных критериев, то xR2y тогда и только тогда, когда существует такая векторная оценка z^W2^, что xR^z\ х/2у тогда и только тогда, когда х^Е2^); хР2у тогда и только тогда, когда существует такая векторная оценка z^.M2^y\ что xR^y, или же ч)£Е2^ такая, что xP^v.

С помощью этой теоремы нетрудно выяснить, сравнимы ли две произвольные векторные оценки при наличии информации Q.

Пример 6. /п = 5, х = (2, 1, 6, 4, 3), ^ = (1, 2, 4, 6, 3). Для Q = {1B2, 354} справедливо хР^у, так как из у, учитывая 354, можно получить ^-эквивалентную векторную оценку g = = (1, 2, 6, 4, 3), а из нее, используя 1В2, построить 2-улучшен- ную векторную оценку г = (2, 1, 6, 4, 3), причем xPz. Для Г = = {152, 354} будет х!т у, так как х £ Ет (у).

Для задач с однородными равноценными критериями (т. е. в которых любые два критерия равноценны) можно получить более сильные результаты. Пусть q><m)(x) — вектор-функция, располагающая в порядке возрастания все компоненты вектора х, так что ф<™)(х) =mini<= мХг и Ф^> (х) =maxj е Mxv Например, q)<3>(4, 1, 2) = (1, 2, 4). Обозначим множество (tSy; i, j^M, i^j}, состоящее из высказываний о равноценности всяких двух критериев, черезS.

Теорема 3. xF^y (xPsy, хРу^ тогда и только тогда, когда <pm (х) R^w (z/) (соответственно </m) (х) Р0^”1* (z/), cpW (х) /Оф(т) (г/)).

Обратимся теперь к случаю, когда имеется информация об упорядоченности по важности однородных наборов критериев.

Теорема 4. Пусть т — пД-1 и 2= {«(4)}, где “(4) = = { 1,...,n}S {/?+!.—, п-ДЦ. Тогда хРДу в том и только том случае, если выполнено хотя бы одно из двух условий: Х^хфу, 2) minze{i„.„„}X,.>maxye(i^Уп+р min/e{]цх„+)> >тах/е{1,...,Л)г/;, а xlay тогда и только тогда, когда х=у илижех^1")("+1-"’"+,}при^1=...=^„, yrt+i=...=yn+f

Теорема 5. Пусть т=п-\-1 и Q={w(5)}, где со(5)= = (1,..., п}В{га-|-1«+0-Тогда хРйу в том и толь

ко том случае, если выполнено хотя бы одно из двух условий: 1) хР°у, 2) справедливы два нестрогих неравенства из условия 2) предыдущей теоремы, а также min,e{1п^х^ > maxiep„} уь

Пример 7. т = 5, х = (2, 3, 2, 5, 4), у = (4, 3, 4, 1, 2). Если 2 = {{1, 2, 3) S (4, 5}), то по условию 2) теоремы 4 хРй у, а если 2={{1, 2, 3} В (4, 5)), то, как показывает теорема 5, векторные оценки х и у не сравнимы по R2.

Задачи с упорядоченными по важности критериями с твердыми шкалами. Будем предполагать, что каждое фигурирующее далее положительное число hi согласовано

с соответствующей шкалой Xi, т. е. если Xt, y^Xi, то для любого целого числа t, но такого, для которого 2ДД =Xi + thi лежит между хг и yi, обязательно 2г(/)е Saz. Например, если Хг есть множество целых чисел, то Нг должно быть натуральным числом, а если Xi=Re, то hi может быть любым положительным действительным числом.

Обозначим целую часть действительного числа а через

Ent а, а дробную — через Fra и предположим, что Х= —Х^Х ... ХХт.

Теорема 6. Пусть т=п+/, й={о)(6)}, где Ю(6)= “ < 1, • • •, n^>S(<^Л1, . . . , Ап>, ^Лп+Ь • * • , ^п-Н^ ) <«4-1п+/>. Тогда xR8 у в том и только том слу

чае, если

min Ent————|-minEnt——— >-0, (14)

«€{!,...nJhi i"6(b+1 Л+4 hi

a xl8y в том и только том случае, если существует такое целое число t, что Xt + thi=yi, i=l,..., п, и Xi — thi=yi, i=n+\n-Vl.

Теорема 7. Пусть m=n-\-l, Q={<0(7)}, где ®(7>= = <!,..., n>B^<hx йп>, <Лп+1 An+z>)

<«4-1,..., n^-l>>. Тогда xR8y в том и только том случае, если справедливо (14) и x^yi, i=l,..., п.

Пример 8. тп = 2, х = (1,10). у = (5,3). Пусть 2 = = {1S(2, 3)2)), тогда хР8 у, так как (см. (13)) Ent [(1 — 5)/2]+ + Ent [(10 — 3)/3] = — 2 + 2 — О, однако (5 — 1)/2 ^ (10 — 3)/3. Пусть теперь 2 = {1В(2, 3)2). Тогда х и у не сравнимы по R8, так как xR8 у не имеет места в силу х; < ух, a yR8х неверно, так как Ent [(5 — 1)/2] + Ent [(3 — Ю)/3] = 2 — 3 = — 1 < 0.

Говорят, что числовая функция /(х) представляет на X квазипорядок R, если xRy тогда и только тогда, когда 1^жУу

Следствие 1. Пусть m=2, Xi (/=1, 2) состоит из всех целых чисел х^ удовлетворяющих условию а<<х<<6г (случаи ai =—оо и 1><=4-оо не исключаются). Тогда квазипорядок ^{1S(1,A,)2} На Х=Х1Х^2 представляет функция к2Хх4-Х2, а квазипорядок ^f1S(Ai,1)2} —функция Xi -рЙ^г

Отметим, что утверждение следствия 1 для Z?{ <1>1)2} в предположении, что Xi конечны, имеется в работе [9].

Теорема 8. Пусть m^n-j-^+^ + v» 2 = {«>i, «4, <»з) , где ^ есть со(7), о>8= («4-/4. 1„.„ п-Н+ц) B^hn+W,..., Ал+z+p.), (Лл+7+и+1,..., Am)) (/z-J-^ + ^H-!,-••> w), юз= = [«>!] — [«г]. Тогда xR8y в том и только том случае, если справедливы неравенства (14) и

minEnt—-~yf -J- min Ent^^^O,

i €{#4'^4'1>«»«>л+£4'|х}Л/ /6^4* ^4* P>4* 1,«««)/и} Л/

а также одна из следующих пар неравенств:

Д>0, Л3}>0; (16)

А>0, Л3 + шш{Л1, Л4}>0, (17)

где Л1(Л2) —первое (второе) слагаемое из левой части неравенства (14), а Л3(Л4) — первое (второе) слагаемое из левой части (15).

Теорема 9. Пусть m = n + Z + p + v, Q={(Oi8, (о28, юз9}, где (оз9 получается из (Оз8 заменой символа на ^ . Тогда xR^y в том и только том случае, если справедливы неравенства (14) — (16).

Содержательность дополнительной информации о важности критериев. Пусть в дополнение к имеющейся информации Q поступило еще одно или несколько сообщений о важности, составляющих множество А. В связи с этим возникают два вопроса: не противоречит ли эта дополнительная информация имеющейся, и если нет, то несет ли она что-либо новое?.

Естественно считать, что дополнительная информация А не противоречит (в узком или широком смысле) имеющейся, если множество всех полученных сообщений О = Q U А непротиворечиво (в соответствующем смысле). Будем говорить, что информация А содержательна относительно множества У^Х в узком (широком) смысле, если она позволяет сравнить по крайней мере две векторные оценки из У, не сравнимые ранее, т. е. если 7?* (К) cz 7?* (К) [соответственно Ra (К) cz R^ (К)], где 7? (У)—сужение отношения R на У. Множество У составляют те векторные оценки, которые оставлены для дальнейшего выбора после использования полученной на данном этапе информации. Это множество определяется в зависимости от постановки задачи. Например, если требуется упорядочить все объекты, то Y=H=K(Q) (т. е. У есть множество векторных оценок, соответствующих всем объектам) и оно не меняется в процессе решения задачи. Если же задача состоит в выборе одного наилучшего объекта, то У — множество векторных оценок из X, не улучшаемых по отношению Рй, и т. д.

Информацию, содержательную относительно X в широком смысле, будем кратко называть содержательной. Используя теорему 2, легко проверить, что если Q содержит pSq и qSr (pBq и qSr, pSq и qBr), то дополнительное сообщение pSr(pBr) не является содержа-

тельным (оно не приводит к расширению множеств Е^ и Л^(х)).

Однако если в Q имеются сведения pBq и qBr, то дополнительное сообщение рВг может быть содержательным относительно X не только в узком смысле (как это показывает пример 4), но и широком!

Пример 9. т = 3, х — (1,4,0), z/ = (0,3,l), ~ 2 = = {1В2,2ВЗ}. Здесь N? {(3,0, 1), (3,1,0)}, Ей (z/)={yV MQ(x) = {(4, 1, 0)} Е^^ — {х}, Поэтому, как нетрудно убедиться, х и у не сравнимы по R9. Однако если к 2 добавить 1ВЗ, то для 6 = = {1В2, 2ВЗ, 1ВЗ} будет 449(t/)={(3, 0, 1), (3,1,0), (1,3,0)}, и поскольку хР^^Х, 3, 0), то оказывается хР^у.

Обратимся теперь к сообщениям об упорядоченности по важности критериев с твердыми шкалами. Если в Q имеются сообщения rC\(hr, k^t и tCzikt, кр)р, то дополнительное сообщение rC^hr, hp^p, где C3 = S при Ci = = C2 = S и С3=В в противном случае, не является содержательным, если шкала Xt не ограничена. Действительно, если, например, xl^y для co = rS(Ar, кр)р, то у= (x\\xr±kr, Xp^hpV Но векторные оценки х и у можно связать цепочкой xl^zl^y. где г= (х||хг±Лг, XtTht), со1 = rS(kT, ht^t, to2=rS(ht, hp^p. Аналогичное замечание справедливо и для упорядоченных по важности кортежей критериев.

Пусть известно, что rS^hr, kt) t. Предположим, что для некоторого d>0 числа hr'=dhr и к/=dkt согласованы с соответствующими шкалами. Анализ определения 5 показывает, что при d>\ сообщение rS{hr\ hW может быть содержательным в узком смысле, но при натуральном d не будет содержательным (в широком смысле). При d<<\ это сообщение может быть содержательным и в широком смысле. Следовательно, утверждение о возможности использования для преобразования векторных оценок чисел к/ и кЛ пропорциональных кТ и kt (т. е. удовлетворяющих равенству кт^кт=кгЧк1У должно рассматриваться как дополнительная и, вообще говоря, содержательная информация. Указанное соображение относится и к другим сообщениям.

Дополнительную информацию о возможности пропорционального изменения величин kt будем отмечать двоеточием в соответствующем слове со. Например, словом tob=rS(hr:ht^t будет обозначаться сообщение о том, что критерии Кг и Kt равноценны по (к,:^), т. е. одинаковы по предпочтительности любые две векторные

оценки х и (x\\xr±h/, xPvhtV если положительные числа hi удовлетворяют равенству hr'lhr=htlht и согласованы с соответствующими шкалами.

Если хотя бы одна шкала Xt или Хт дискретна, то существуют наименьшие положительные числа Нг и Нг, согласованные со шкалами и удовлетворяющие равенству hrlhr=htlht. Так, если Хт и Xt равны множеству целых чисел, то hr=hrlcrt, h^~ = htlст^ где cTt — наибольший общий делитель натуральных чисел Нт и Ht. В разбираемом случае отношения /2, Р^ и R^ для Q, содержащем oV, можно строить по изложенным ранее правилам, заменив вначале (os' на rS(hr, hr)t.

Если же Хт и Xt — числовые промежутки (конечные или бесконечные), то для построения отношений R\ Iй и P^ можно воспользоваться приведенной ниже теоремой (а также принципом декомпозиции).

Для других сообщений (типа ю6—«ю) применимы соображения, подобные только что изложенным.

Теорема 16. Пусть шкалы всех критериев являются числовыми промежутками, тогда:

при m = n-\-l, Q= {оа}, где (Da=<l,..., rT>S (<Н\,..Лп>: <Нп^.. ., //„+/>)</г 4-1,..., m>, будет xR^y в том и только том случае, если

min — Ul 4- min —”yi- >0; (18)

при m=n+h ^={«4, где cob получается из wn заменой S на В, будет xR^y в том и только том случае, если справедливо неравенство (18) и x^yi, Z=l,.. ., п.

при щ=п4-I4™р*4~^’ 2={(о^, (o', юД, где (°^= (^4" +Z+V;'’ "+4^ 5 ((^i+b.-.A+t+n) : <Ал+;+(1+ь...

"т/)\д+' + (Л+/п), “с = [%] ~ Ь%], будет xR^y в том и только том случае, если справедливы неравенства (18) и

min/6(72+7+1,..., Л+Z+p.)min/6(72+7+1,..., Л+Z+p.)xi Ui । hi 'xi Ui । hi 'rnin/6{/2+Z+p.+ l,...,mrnin/6{/2+Z+p.+ l,...,mxi —у ihixi —у ihio, (19)o, (19)

min/6(72+7+1,..., Л+Z+p.)

min/6(72+7+1,..., Л+Z+p.)

xi Ui । hi '

xi Ui । hi '

rnin/6{/2+Z+p.+ l,...,m

rnin/6{/2+Z+p.+ l,...,m

xi —у ihi

xi —у ihi

o, (19)

o, (19)

а также одна из следующих пар неравенств:

Л>0, Л^шЩЛг, Лз)>0;(20)

Лз^-0, Лз + т1п{Ль Л^^-О,(21)

где Л[ и Л2' (Л3' и Л/) — первое и второе слагаемые из левой части неравенства (18) [неравенства (19)]:

при m = n + Z+|i + v, Q= {(оь, tob', cod}, где coj получается из (ос заменой ~ на ^ , будет xR^y в том и только том случае, если справедливы неравенства (18) —(20).

Из пункта а теоремы 10 вытекает известный результат.

Следствие 2. Если т=2 и шкалы обоих критериев — числовые промежутки, то квазипорядок /^15(Л1ХЛ2)2} в Х=ХуХХ2 представляет функция ^i+^i^-

Аддитивные коэффициенты важности. Рассмотрим задачи, в которых все критерии однородны. Пусть вначале все критерии равноценны: Q=S={/S/; i, j^M, 1=£]}. Поскольку все критерии имеют одинаковую важность, то для характеристики объекта можно перечислять критерии в любом не связанном с наименованием (нумерацией) критериев порядке. Например, теорема 3 показывает, что с технической точки зрения удобно перечислять эти значения в порядке возрастания. Возможен и несколько иной по форме подход: для характеристики объекта указать, что такое-то число является значением стольких-то критериев, другое — значением такого-то количества критериев, и т. д. Этот подход иногда применяется при сравнении успеваемости учеников (говорят, например, что у этого ученика две пятерки и четверка, а у того — пятерка и две четверки, и поэтому он учится хуже, чем первый). Такой подход использовался и для решения практических многокритериальных задач [1]. Отношение нестрогого предпочтения R(S\ задаваемое в X в соответствии с описанным подходом, есть квазипорядок, который, как установил М. Г. Гафт, совпадает с /?5.

Рассмотрим теперь задачи с однородными критериями, которые упорядочены по важности, но не обязательно являются равноважными. Обобщение идеи, положенной в основу отношения №\ позволяет определить коэффициенты важности, связанные со специальными отношениями предпочтения и безразличия.

Предположим, что важность каждого критерия Kt оценена положительным числом at так, что ar=at означает равноценность критериев, a aT>at показывает, что критерий Кт важнее, чем Kt. Кроме того, выполнено следующее условие: важность набора критериев КГи..., КГп характеризуется суммой аг1+---+аГд^ причем аГ14-...+агл"

= at,+-+a/z(a'-i+-+ar„>a/1+--+at;) означает, что набор {AV,,-.-, KrJ столь же важен, что и (важнее, чем) набор {At,,..., K„V

Фиксируем две произвольные векторные оценки хи у. Пусть Р(х, у)—множество чисел j\,...,jd таких, что ji>/2> . • • ja, каждое из них является компонентой х или у и для любой компоненты Хг или yt найдется равное ей число jt. Например, если х=(2, 5), у= (3, 2), то D^x, у) = {5, 3, 2}. С помощью множества D^x, у) введем’числа Aj(x) и А<(у): At(x) (At(у)) есть сумма коэффициентов at таких критериев Kt, что Xj = /j (y, = /t). Если указанных критериев нет, то At(x)=0 (At(y)=O).

С помощью коэффициентов at, образующих вектор a=(ab..., am), определим в X отношение нестрогого предпочтения Rw так: xR^y при выполнении неравенств

2 А,(х)>2 Az(y), /= 1,2,..., tZ—1 /=1/=12 А,(х)>2 Az(y), /= 1,2,..., tZ—1 /=1/=1заметим, чтозаметим, чтоddd2 Az(x)=2 Xt^=a, где a=2ddd2 Az(x)=2 Xt^=a, где a=2

2 А,(х)>2 Az(y), /= 1,2,..., tZ—1 /=1/=1

2 А,(х)>2 Az(y), /= 1,2,..., tZ—1 /=1/=1

заметим, что

заметим, что

ddd

2 Az(x)=2 Xt^=a, где a=2

ddd

2 Az(x)=2 Xt^=a, где a=2

Легко видеть, что RW не изменится, если вместо D^x, у) взять более широкое множество (например, Хь если оно конечно).

Коэффициенты а^ используемые для построения отношения RW в соответствии с указанным определением, назовем аддитивными коэффициентами важности. Поскольку все неравенства (22) линейны по At, то при желании можно заменить «г на коэффициенты aja.

Теорема 11. R (а) есть квазипорядок.

Квазипорядок R (а) обычным путем порождает в X отношения строгого предпочтения Р^ и безразличия (a-эквивалентности) №. Понятно, что хР^у (х№у) тогда и только тогда, когда среди неравенств (22) хотя бы одно строгое (все неравенства выполняются как равенства) .

Теорема. 12. Если коэффициенты az согласованы с информацией о важности 2 [т. е. удовлетворяют системе (11)], то хР*у[х!*у] влечет хР^у ^x№yys поэтому R^^R^.

Эта теорема показывает, что максимально полную качественную информацию о важности однородных критериев, упорядочивающую все критерии и всевозможные

наборы критериев, можно выразить в форме коэффициентов важности.

Коэффициенты важности в обобщенных критериях. Одним из распространенных методов решения многокритериальных задач является метод обобщенного критерия. Он состоит в задании некоторой функции—обобщенного критерия Fa(К) =f(К, а) и определении значений положительных параметров аь образующих вектор а= (аь ..., ато) и называемых коэффициентами важности. Обобщенный критерий позволяет сравнивать любые два объекта и более предпочтительным считать тот из них, для которого значение Fa больше. Поскольку было принято, что для каждого критерия большее значение предпочтительнее меньшего, то f (х, а) должна быть изотонной по х при любых а,>0 [т. е. при хР°у обязательно f(x, a)^f(y, a)].

Наиболее распространенными являются обобщенные критерии, построенные на основе средней взвешенной (т\ 1/$

azx(- I , где s^O, и особенно 1=1)

т

= 2аЛ’ для КОТОРОГО будем использовать спе- циальное обозначение ^(х). Отмстим еще такие обобщенные критерии:

^(x) = nZz; F4x^ = min F4xV- max a x i 1—az/е{1,...,/тг)

Общее определение коэффициентов важности обобщенного критерия, «свертывающего» исходные однородные критерии дано в работе [6], и показано, что если коэффициенты важности обобщенного критерия Fa согласованы с информацией Q, состоящей из высказываний типа pBq и (или) rSt, то из хР^у {хРу) следует Fa^xy^Fa^ (.Fa ^x) = Fa ^у)У причем если /(х, а) строго изотонна, то неравенство строгое.

Пример 10. Если Fa. в котором а/ согласованы с 2, есть F^ или F^, то изхР^у следует Fa (x)>Fa (у), а если он является Fa или же Fa, то из хРйу вытекает лишь Fa (x)>Fa (у).

Согласно данному в работе [6] определению коэффициенты важности измеряют в Fa важность любого кри- 72

терия относительно каждого из остальных. При этом вовсе не предполагается, что важность совокупности нескольких критериев характеризуется суммой соответствующих коэффициентов важности. Будем говорить, что обобщенный критерий Fa обладает аддитивными коэффициентами важности, если для всякого вектора а£(0, -]-оо)'п из хР^у {хР^у) следует F' (х) > Ра (у) (F“(x)= ^Р'^У Причем это неравенство строгое, если Fa^ строго изотопен по z.

Теорема 13. Обобщенные критерии Р^ и р^ обладают аддитивными коэффициентами важности.

Пример 11 m=3, aj = 10, 02 = 5, 03 = 6, _х = (2, 1, 1), у = (1, 2, 2). Здесь yPwx, однако Fa (x^F" (у) и Fa (x')>Fa(y'). Следовательно, коэффициенты важности обобщенных критериев F” и F1 не аддитивны.

~ Таким образом, если вначале получена качественная информация Q о важности и использована для построения RQ, то дальнейшее ее уточнение с помощью коэффициентов важности и указания о виде обобщенного критерия Fa дает возможность расширить R 2 до линейного квазипорядка RtF^^RW^R^ т. е. упорядочить по предпочтительности все объекты и решить многокритериальную задачу.

До настоящего времени предполагалось, что исходные критерии однородны или приведены к однородным. Однако обобщенные критерии F^ F^ и Fa используются и для задач с неоднородными критериями, которые в однородные заранее не преобразуются. Поскольку в F^ и FT критерии К^сцК^ а в Fa критерии К"= = Kil^i однородны и равноценны, то коэффициенты аг- преобразовывают критерии Kt с учетом и их важности, и физической размерности. Тем не менее и в этом случае числа аг- часто называют коэффициентами важности.

Теорема 14. Если коэффициенты az согласованы с информацией 2, которая может содержать сообщения любых разбиравшихся типов, то из хР^у ^хРу^ следует

> F^ (у) (соответственно /^W^^lUy))-

Максимальные векторные оценки и эффективные объекты. Пусть в X определено отношение строгого предпочтения Р. Векторная оценка х^Н (где H=K^Q^ есть множество векторных оценок, соответствующих объектам) называется максимальной по Р, если нс существует оценки у^Н, такой, что уРх. Объект, векторная оцен-

ка которого максимальна по Р, называется эффективным по Р. Понятно, что если задача состоит в выборе одного наилучшего объекта, то его следует искать среди эффективных по Р.

Существуют, однако, задачи, заключающиеся в выборе нескольких (скажем, п) лучших объектов. Известными примерами являются всевозможные конкурсы. В таких задачах не всякий из выбранных п лучших объектов обязан быть эффективным по построенному на первых этапах решения задачи отношению строгого предпочтения (например по Р°). Поэтому имеет смысл обобщить понятие максимальных по Р векторных оценок и эффективных объектов. Векторную оценку х^Н назовем п-максимальной по Р, если в Н существует не более п — 1 векторных опенок, более предпочтительных, чем х. Однако если Р порождается, наряду с эквивалентностью /, квазипорядком R, то естественно использовать иное определение, совпадающее с только что данным, когда I есть равенство: векторную оценку х^Н назовем п-максимальной по R, если для класса смежности х в фак- тор-множестве Н/I существует не более п — 1 классов у, таких, что уР!х, где Р1, как известно, задается так: уР!х при уРх. Объекты, имеющие n-максимальные по R(P) векторные оценки, будем называть п-эффективны- ми по R(P). Если Р является серией, то п-максимальную по R (Р) векторную оценку будем называть п-наиболь- шей по R (Р).

Понятно, что объект, который может быть назван в числе п лучших, должен быть n-эффективным по R (и по Р). Обозначим через Hn(R) множество п-максимальных по R векторных оценок. При R = R 2 будем говорить о п— Q-максимальных оценках и писать Нп. При Q = 0 слова «по R0» будем опускать и писать Н^. При п=\ индекс «1» указывать не будем.

Пусть на X определена функция F. Векторную оценку х^Н назовем точкой п-максимума функции F, если F(x) будет n-наибольшей точкой множества F(H) значений этой функции. Легко видеть, что если из хРу (xly) следует F^>F^ ^F^=F^Y то всякая точка n-максимума F является п-максимальной по R. Поэтому можно утверждать, что если обобщенный критерий Fa^ (как, например F^^ или Fi^ строго изотопен по х, a at согласованы с Q, то всякая точка n-максимума Fa^ есть п — Q-эффективный объект.

В общем случае структура множества Н & достаточно сложна. Ограничимся здесь рассмотрением нескольких простейших случаев. Введем вначале некоторые обозначения и определения. Пусть NeM. Через П(Л^) обозначим множество перестановок множества М, которые оставляют на местах номера, не принадлежащие к N. Под лх, где леП(Л'), будем понимать вектор (Ai,..., Ат). Например, если т=4, )V={1, 3, 4}, л=<4, 2, 1, 3>, то л (8, 6, 0, 5) = (5, 6, 8, 0). Симметрическим замыканием по осям Хр jeN, множества X назовем множество Sym(U7)#= {х|х=лг/, у^Н, леП(ЛЩ.

Теорема 15. При П = S (Я) = {tS/, t^j, i, j^M} будет HSW=H fl [Sym(U7) //]°, т. e. векторная оценка из H является S (к)-максимальной тогда и только тогда, когда она максимальна относительно Sym(U7V7. Далее, если векторная оценка х*^Н является п— S(N)-максимальной, то она оказывается точкой «-максимума на Н функции

maxnen(W) minze^(x; —Х„-) при X,—х*, i^M.

Теорема 16. Н^рВ^=Нйх\ЗН^, где Я?={х| х^Я0; хр>х^, H^=.\x\x^pSqV Хр<хд, х»^Н\.

Пример решения задачи при помощи качественной информации о важности критериев. Пусть требуется выбрать три лучших объекта из семи имеющихся: Q = {g1,..., g4V Объекты оценены при помощи четырех критериев по пятибалльной шкале и получили следующие векторные оценки:

К U9 = xi = (4, 4, 5, 4); К (g2) = х2 = (4, 5, 5, 4); К (g^ = -t3 = = (4, 4, 4, 5); К (g*) - х4 = (4, 5, 4, 4); К (g5) = х5 = (5, 3, 4, 4);

К (^6) = Х6 = (3, 5, 4, 4); К (g7) = х7 = (4, 5, 4, 5).

Одна из возможных интерпретаций задачи такова: выбрать три лучшие системы с учетом четырех критериев качества, значения которых получены экспертным путем. В другом варианте задача может состоять в выборе трех лучших учеников с учетом итоговых оценок по четырем предметам.

Если информации о важности критериев нет, то лишь х2/5^1, Х'РОх4, х2Р0хб, Х7Р^х\ Х4Р°х6, Х7Р°Х3, Х7Р°х6, и поэтому ^з~ (х1» х^, х3, х4, х5, х7}. Если вначале стало известно, что первые Два критерия равноценны, то 2 (1) = {152}, Х^Р < >х5, xtp^xS, x4Pa<^x5 и Н^^ = [х1, *2, х\ х\ х^}. Если установлено, что второй критерий важнее третьего, то 2 (2) = {152, 2ВЗ}, x7P2(2>xi, х4Р2(2^х1 и Н^2^ = {х2, х2, х4, х7}. Наконец, если выяснено, что второй критерий важнее четвертого, то 2 (3) = = {152, 2ВЗ, 2В4}, х^Р^х3» х4Р2(3)х2, Н^ = {х2, х4, х7} и лучшими следует считать второй, четвертый и седьмой объекты.

Этот пример показывает, что применение довольно слабой информации о важности критериев позволяет существенно сузить множество выбора, а иногда даже полностью решить поставленную задачу.

Некоторые возможные приложения. Изложенные выше теоретические положения и результаты применимы для самых разнообразных задач принятия решений, которые можно представить в форме многокритериальных. Ограничимся кратким рассмотрением лишь двух задач подобного рода.

Игра с природой — так называют задачу, состоящую в следующем. Имеется множество стратегий U и множество возможных состояний природы V. Каждая ситуация w из множества W=UxV оценивается числовой функцией g(w)=^(w, ^), причем ситуация w предпочтительнее, чем w\ при ^(^)>^(^Э- Требуется выбрать наилучшую стратегию, если истинное состояние природы (т. е. значение переменной у) неизвестно.

Разработаны различные подходы к решению этой задачи. Одни из них связаны с так называемыми принципами принятия решений в условиях неопределенности [2]. Однако разные принципы приводят обычно к выбору различных стратегий. Кроме того, имеющуюся информацию о возможном состоянии природы в рамках этих принципов использовать удается не всегда. Другие подходы связаны с понятием ожидаемой полезности [8] и предполагают, что £—функция полезности. Однако практические задачи ставятся обычно так, что £ есть критерий, который имеет ясный «физический» смысл, но не отражает отношение лица, принимающего решение, к риску. Поэтому оценка стратегий по среднему значению критерия может привести к ошибочным заключениям, а построение функции полезности, как известно, — дело трудоемкое и сложное.

Наличие недостатков, присущих указанным и другим известным подходам, приводит к тому, что при решении практических задач разбираемого типа нередко возникают значительные трудности. Их в известной мере можно преодолеть, используя результаты, полученные выше для многокритериальных задач.

Пусть множество V конечно: У={у\ ..., ут}. Тогда исходную задачу можно представить в многокритериальной форме, положив К\^=Щц у1), ..., Кт^ = ^^(и, vm). Все критерии Ki, однородны. При таком представлении задачи сообщение «состояние уг столь же

вероятно (возможно), что и и1» естественно формулировать в виде rSt, а утверждение «состояние и^ более вероятно (более возможно), чем и9» — в виде pBq. В частности, случаю «полного незнания» об истинном состоянии природы соответствует информация S о равноценности любых двух критериев Кг и Kj. Использование информации Q указанного типа позволяет сузить множество выбора до IP.

Если имеются значения вероятностей pt состояний природы и4 (эти вероятности могут иметь частотную, субъективную или иную трактовку), то можно, нс строя функции полезности, использовать pt как коэффициенты важности щ в отношениях Р(а) и Ва\ с помощью которых множество выбора сокращается до 1Р\

Вторая задача — анализ экспертных оценок. В простейшем варианте экспертизы каждый из т экспертов оценивает качество объекта одной оценкой (например, в балльной шкале). В итоге каждый объект g получает векторную оценку K(g) = (Ki (g),..., Km(g))> где Ki^ — оценка, данная t-м экспертом.

Возникает задача сравнения объектов по предпочтительности на основе их векторных оценок. При ее решении необходимо, помимо всего прочего, учитывать компетентность экспертов и характер шкалы критериев. Известные методы учета компетентности обладают рядом недостатков. Поэтому разумно, по крайней мере на первых этапах обработки результатов экспертизы, поступить следующим образом: интерпретировать равную компетентность г-го и ^-го экспертов в форме равноценности критериев КТ и Kt, а большую компетентность р-го эксперта по сравнению с ^-м в форме превосходства в важности критерия Кр над Kq и использовать отношения ^2 и /2, где Q — информация о компетентности экспертов.

Этот подход очевидным образом распространяется и на более общие случаи. Так, если используются несколько (скажем и) оценок, отражающих разные стороны качества объектов, то каждый объект g будет характеризовать^ векторным критерием K(g) = (Kn(g), • •

экспертэкспертAim(g), К21^> • • •> Ктп (g)), где Кц (g) — оценка, Данная z-м экспертом объекту g по /-му признаку качества. Здесь, например, критерий KPj будет важнее, чем i\qi, когда р-й эксперт компетентнее, чем g-й, в вопросе оценки /-го признака качества. Понятно, что

эксперт

эксперт

может быть более компетентным в вопросе оценки одного признака и менее компетентным в вопросе оценки другого признака качества.

Доказательства теорем. Принятый далее порядок рассмотрения теорем не соответствует их нумерации, но продиктован соображениями удобства проведения доказательств. Перед доказательством каждой теоремы приводится ее номер, набранный полужирным шрифтом.

14. Непосредственно при помощи определений отношений Рт и /“, где (о—сообщение любого разбиравшегося типа или же нуль, несложно проверить, что хР^у (xl^y) влечет F^ (x)>F^ (у) (соответ- ветственно F^ (л:) = F^ (у)). Следовательно, если х и у связаны цепочкой типа (2) и в ней хотя бы одно R есть Р (все R суть Z), то F^ ^>F^ (у) (F* (х) = ^ (у)).

Пусть Q нормально, но уРа у для некоторой у^Х. Тогда, согласно теореме 14, для f^ и с Qi, удовлетворяющими (11), должно быть F^ (y)>F% (у), что невозможно. Следовательно, отношение Р 2 обязательно должно быть иррефлексивным.

Доказательство имеется в статье [6].

Доказательство дано в статье [4].

Доказательства этой и следующей теорем опираются на такую лемму.

Лемма. Если т = п-Н и

xR^wR^zR^y,(23)

то при со — (0(4) будет xRQy, а при со = со(5) будет хР^у.

Действительно, в первом случае из (23) следует, что

хх= ... =хп = тупл.г= ... =^л+/; хп^г = ... —хпИ =

^1• • • ^п Уh+I^^ • • • У n-Vb ^n + l^^ • • • ^^л-Н У\ =

= • • • ^^Ут

•>С1='«)пн>2п+1 = Уь •’Cn+1=w1>z1 = y„+v(24)

откуда х^уг для всех i= 1,..., п+1, т. е. xR°y.

Во втором случае дополнительно к (24) будет Xi>xn+i, zi>zn+i, и поэтому хх>ух, так что хР°у. Лемма доказана.

Для доказательства теоремы заметим, что xRuy тогда и только тогда, когда xR°y или же

xR°wI^zR°y,(25)

так как цепочку (2) с учетом леммы и транзитивности R° можно сократить до (25) или до xR^y.

Если имеет место (25), то

(26)(26)®У1= . • • — ®л==^л+1== • • • ==^'л+/' ®л+1== • • • = ТУд_,.;== 2^1 ^ . . . = Zn\ X[^-48)x = Zn^.x'^-yn^.j И Хп+)>ЧВп+Х=2Ч>У1 Ддя любых Z£{1,..л}, /€{1,

(26)

(26)

откуда и следуют неравенства, указанные в условии 2 теоремы. Если же, наоборот, выполнено это условие, то имеет место (25) при hd=zU") ("+1п+1\ где zx= = maxZg{i п}У1' zn+x ^*^^>6 {1,—, z} Уч+Ь

По лемме хР^у тогда и только тогда, когда хР°у или же

xR^P^Wy.(27)

Если имеет место (27), то выполняется (26), а также х>Уп+} Для любых /^ (1,..., п\, /€ {1,.... /}, и поэтому выполняется условие 2) теоремы. Наоборот, если это условие выполнено, что справедливо (27) при -w=z^") {"+1п*1\ где гх = тахХ6^ ^уь zn+x = = max {min^!^х^ max^^^у^ (заметим, что zx<^ *0^+1)*

Введем обозначения: ^ = {1,..., /г}, №—{га_]_ ],... .... n-f-/), min.eArZ Еп1а,=Д„ ^=1, 2; az = (xz—y,/Az).

Пусть xR2y, т. е. существует цепочка (2), в которой o)je{O, (о(6)} для любого /=1,..., s+1. Обозначим через 5] и Si соответственно число и множество номеров /, для которых в «звеньях» cR^d из (2) g/=(o(6), ci=di-^-hi, ieN1, Ci=di — et, O^e^^hi, ie№, а через s2 и S2 — число и множество остальных номеров /, для которых to^totG). На основании (2) можно записать

^^yi-Vsihi-^^eL i^N4

xi>yt + «2^ - 2Уе$1^ 1 6 №‘

Поскольку O^ei’/Ai^l, то из этих неравенств следует Ent(zi^s1 —$2, i^Nv; Entaz^s2— 5Ь ie№, так что o^$1$2’ ^2^s2 —51 и Л1+Д2^0. Таким образом,

XR у влечет (14). Заметим теперь, что для векторных оценок х и у возможен, очевидно, один и только один из следующих случаев: 1) xR°y\ 2) х^Уг для всех teN1

и множество номеров N®c№, для которых Хг<Уг, непусто; 3) х^Уг для всех ie№ и множество номеров NWcN1, для которых Хг<_Уг, непусто; 4) оба множества NW и № непусты.

Пусть выполнено (14). Тогда из четырех перечисленных случаев последний, очевидно, невозможен. В случае 1 xRQy.

Разберем случай 2. Построим s=—Х2>0 векторов zi следующим образом:

2т = max {х/( у, — (s— /4-1)^}, i^N^;

4=уь K№\№.

Так как Л1^Л2, то для любого i^№ будет Enta^s, откуда Xi^yi+shi=zA. Для i^№ положение таково: из Еп1яг-^Л2 следует а^—s, и поэтому x^yt— sht.

Следовательно, все zi — векторные оценки, и имеет место цепочка (2) при ш1 = 0, со2 = ... = cos+1 = (0(б).

Таким образом, выполнение (14) в случае 2 влечет xR^y.

Случай 3 разбирается аналогичным образом. Первое утверждение теоремы 6 доказано. Второе ее утверждение очевидно.

По определению отношения Р®^ из cP^d следует что Ct = di + ht для i^N1 и Ci = di— вг, G^e^ht для 1^№. Поэтому если хР^у, то, как показывает анализ (2), обязательно х^Уг для всех ieNx. Следовательно, если Хг<_Уг хотя бы для одного i^N\ то хР^у не имеет места. С учетом этих замечаний несложно доказать теорему 7 тем же способом, что и теорему 6.

9. Доказательство этих теорем проводится подобно доказательству теоремы 6.

Эта теорема доказывается так же, как и теоремы 6—9, но выкладки при этом проще, так как не нужно выделять целые и дробные части чисел а^

Рефлексивность R^ очевидна, докажем его транзитивность. Пусть xR^y и yR^z. Возьмем множество D таким, чтобы В^Щх, у) и D^D(y, z}. Тогда, оставляя обозначение d за количеством чисел в D, получаем, что справедливы неравенства (22) и^—! неравенств

У At (y)>2 A* ^" Следовательно, ^ At W^^ А‘ ^ для всех /=1,..., d — 1, и поэтому xRwz.

«Легко проверить, что если xR^y, где ®€{0, юь <о2, <о3, ^Ь т0 выполняются неравенства (22), так что xRWy, причем, если R” есть Р™ (/"), то RW есть Р^ ywy Поэтому, если xR^y, т. е. имеет место (2), то в силу транзитивности RW оказывается xR^y, причем RW есть Pw VWV еслИ ^2 есть ^2 UaY

Используя числа jt из множества D (х, у), мож- тd

но, очевидно, записать у azxf=^ А^хМе поэтому A(s)--= /=1/=1

772md

У a/i — 2 «ЧУ* = 2 ^А(^ — At^jS‘- Приняв в неравен- z^ii -it -i

стве Абеля [8] справедливого для любых чисел Ьь с,.

2^с< = 2 Г^“^+1^2С^ +^2С°

f=l Z=1LV»1/ = 1

что bt=jb ct=At^ — At (у), получим

d—1 ЛМ=£I =1d—1 ЛМ=£I =1(/1-/1+1) fp,(x)-p, (у)V=1

d—1 ЛМ=£

I =1

d—1 ЛМ=£

I =1

откуда сразу видно, что при выполнении неравенств (22) A(s)^0 при s>0 и A(s)^0 при s<0, причем последние неравенства для А строгие, если в (22) хотя бы одно неравенство строгое, и являются равенствами в противном случае. Следовательно, утверждение теоремы о F®^ верно. Утверждение о Fn доказывается так же после перехода к

lnFn = 2aJn xi-

Вначале заметим, что х^ Sym(A'W тогда и только тогда, когда в Н существует точка, S (^-эквивалентная х. Пусть x^[Sym(jV) А/]°, так что существует У CSym^W такая, что уР°х. Пусть х — точка из Н, которая S(2V)-3kвивалентна х. Ясно, что zP^^x, т. е. x^HsW.

Пусть теперь xe£HS(N\ т. е. существует у^.Н, для которой yPs (N>x. По теореме 2 последнее означает, что имеется такая оценка z£Ea (х), что yP°z. Пусть л — перестановка из П (7V), для которой лх=г. Тогда л~1уР°х и л~^у £ Sym^W, т. е. x^fSymW//]0 (здесь л-1 — перестановка, обратная к л).

Первое утверждение теоремы доказано. Для доказательства второго обозначим Т (х) = шах„еП(лг) тт/ея (xz —х*;). Легко видеть, что Т (х*)—0; если хР^у, то Т ^=Т (у); из Т (х)>0 следует xPswx*. Пусть х* не является точкой /г-максимума Т (х), т. е. в Н найдется п таких векторных оценок х1, что Т {х^фТ (х6) при j^h и Т (х^Т (х*). Но тогда все xi будут попарно не S (^-эквивалентны и x^PW^x*, так что х* не может быть n — S (^-максимальной.

Утверждение становится понятным, если учесть, что согласно теореме 2 yPVp^x может выполняться ЛИШЬ при уР°Х ДЛЯ Xp^Xq И При уР°Х ИЛИ же уР°Х^ для

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Емельянов С. В., Озерной В. М., Гафт М. Г. О построении решающих правил в многокритериальных задачах. — «Доклады АН СССР», 1976, т. 228, № 1, с. 56—58.

Льюс Р. Д., Райфа X. Игры и решения. М., «Иностранная литература», 1961, 644 с.

Подиновский В. В. Задачи принятия решений по нескольким однородным равноценным критериям. — В кн.: III Всесоюзная конференция по теории игр. Тезисы докладов. Изд-во Одесского ун-та, 1974, с. 131—132.

Подиновский В. В. Многокритериальные задачи с однородными равноценными критериями — «Журнал вычислительной математики и математической физики», 1975, т. 15, № 2, с. 330—344.

Подиновский В. В. Многокритериальные задачи синтеза сложных систем с неравноценными критериями. — В кн.: Автоматизированные системы планирования и управления. Ереван, «Айастан», 1975, с. 106—109.

Подиновский В. В. Многокритериальные задачи с упорядоченными по важности однородными критериями. — «Автоматика и телемеханика», 1976, № 11, с. 118—127.

Пфаннагль И. Теория измерений. М,. «Мир», 1976. 248 с.

Fishburn Р. С. Decision and Value Theory. New York, 1964, p. 451.

Foundations of Measurement. Vol. I. New York, Academic Press, 1971, p. 578. Auth.: D. H. Krantz, R. D. Luce, P. Suppes, A. Tversky.

УДК 007

О. Л. Шестаков

МЕТОДЫ ВЫЯВЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХИНДИВИДУАЛЬНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ

Введение. Под выявлением предпочтений лица, принима- щего решение, мы будем понимать процесс получения информации о предпочтениях этого лица на множестве выбора и построения на ее основе модели, описывающей эти предпочтения. Выявление предпочтений лица, принимающего решение, является наиболее сложным и ответственным этапом процесса решения многокритериальной задачи выбора [3]. От того, насколько построенная модель соответствует его реальным предпочтениям, во многом зависит успех решения задачи и ценность полученных результатов.

Существуют две постановки задачи выявления предпочтений и соответственно два подхода к ее решению. В первой постановке задача состоит в том, чтобы на основании информации о ранее принятых решениях в реальных ситуациях выбора построить модель предпочтений, соответствующую этим решениям [7]. Такая постановка задачи апостериорного выявления может иметь место в тех случаях, когда ситуация выбора повторяется многократно в неизменных (или почти неизменных) условиях и есть возможность накопить достаточный объем информации о принимаемых решениях.

Для теории принятия решений более характерна другая постановка задачи — априорное выявление предпочтений. В этой постановке задача состоит в том, чтобы построить модель предпочтений лица, принимающего решение до принятия им реального решения. Необходимую для этого информацию получают от него посредством специальной процедуры опроса. Модель предпочтений, построенная на основе этой информации, используется для решения задачи выбора.

Ниже рассматриваются два метода априорного выявления индивидуальных предпочтений: графическое по-

строение среза предпочтений и построение индикатора предпочтений методом наименьших квадратов. Предполагается, что критерии, характеризующие объекты выбора, являются непрерывными величинами, а структуры предпочтений лица, принимающего решение, являются полными квазипорядками [1], обладающими свойствами непрерывности [2] и строгой монотонности [2]. Свойство непрерывности предпочтений означает, что если лицо, принимающее решение, предпочитает объект х объекту у, то оно также предпочтет объект хг объекту у\ если хг и уг достаточно близки по значениям критериев соответственно к х и у. Строгая монотонность предпочтений означает, что все критерии, характеризующие объекты выбора, можно разделить на две категории: «положительные» и «отрицательные». Лицо, принимающее решение, заинтересовано в том, чтобы значения «положительных» критериев выбираемого объекта были как можно выше, а «отрицательных» — как можно ниже.

Классы безразличия монотонной, непрерывной структуры предпочтений представляют собой непрерывные гиперповерхности в пространстве критериев £п. Действительно, в силу теоремы Дебре [4] непрерывная структура предпочтений на связном множестве выбора Qcz£n может быть представлена числовой непрерывной функцией полезности U(х), такой, что хРу^ U (х) > U (у), xly^ U(x) = U(у). Для строго монотонной структуры функция Щх) строго монотонна. Классы безразличия 1(х) являются поверхностями уровня функции полезности, которая в рассматриваемом случае строго монотонна и непрерывна, поэтому они представляют собой непрерывные гиперповерхности в пространстве критериев /^-поверхности безразличия. Таким образом, непрерывные, монотонные структуры предпочтений однозначно задаются семейством своих поверхностей безразличия. Это свойство непрерывных, монотонных структур используется в предлагаемых ниже способах их выявления.

Построение среза предпочтений. Предлагаемый способ может быть использован в тех случаях, когда число критериев, характеризующих объекты выбора, не превышает трех. К числу задач, которые могут быть решены этим способом, относятся задачи выбора варианта решения по критериям «стоимость — эффективность», «стоимость — качество», «стоимость — время» и т. п.

Рис. 1Рис. 1Рассмотрим случай, когда объекты выбора характеризуются двумя критериями: ХХ1 Х2. Предположим, что множество выбора й задано ограничениями вида CLX^xx^.b а2^Х2^Ь2. Построим прямоугольникQ = {(xi,

Рис. 1

Рис. 1

х<^1ах^хх^Ьх, а2^х2^ ^Ь2} в системе координат Хь Х2 (рис. 1). Проведем диагональ ab, соеди-

няющую наименее предпочтительную точку а с наиболее предпочтительной точкой b (рис. 1). В силу строгой монотонности предпочтений эти точки лежат в противоположных углах прямоугольника Q. Поделим диагональ ab на равные отрезки опорными точками е^ = (е/, е2^, i= = 1,..., к и проведем через эти точки вертикали Хх = ех\ 1= 1,.. ., к.

Полученная решетка используется для графического построения семейства линий безразличия, характеризующих систему предпочтений липа, принимающего решение. Построение z-й линии безразличия, z=2,. . ., к— 1, начинается от опорной точки е\ лежащей на диагонали ab. На вертикали Х^е!'1, лицо, принимающее решение, отмечает точку yi, г-i, равноценную с его точки зрения опорной точке е\ лежащей на диагонали ab, и соединяет эти две точки отрезком прямой (см. рис. 1). Затем на вертикали Х^е!-2 лицо, принимающее решение, отмечает точку Уг,г-2, равноценную точке е\ и соединяет ее с точкой у^ г-1 и т. д. Конечная точка ломаной линии егУг, i-хУг, г-2 • •. выбирается либо на вертикали Хх = ах, либо на горизонтальной границе Х2 = Ь2. Аналогичным образом построение продолжается вниз от диагонали ab. Полученная ломаная линия представляет собой кусочнолинейную аппроксимацию гладкой кривой безразличия, проходящей через точку еЧ В результате построения кривых безразличия (точнее, их кусочно-линейных аппроксимаций), проходящих через опорные точки е\ i=2,. .., • • •, ^— 1, получается график, который мы назовем двумерным срезом предпочтений (рис. 1).

Двумерный срез может быть представлен в форме матрицы чисел. Для этого он достраивается так, как по-

казано на рис. 2 (пунктирные линии). Достраиваемые отрезки ломаных ли ний располагаются параллельно ближним к ним по вертикали отрезкам ранее построенных линий. Полученный график описывается матрицей чисел ll^ijll, элемент которой уц представляет собой координату по оси Х2 точки пересечения 1-й ломаной линии (номер которой совпадает с номером опорной точки) с /-й вертикалью (номер вертикали также определяется опорной точкой, через которую она проходит). Матричная

форма записи срезов предпочтений дает возможность использовать вычислительную машину для их обработки и

решения задач выбора.

Трехмерный срез предпочтений в пространстве критериев XYZ строится как совокупность двумерных срезов на плоскости XY, соответствующих фиксированным значениям С\ 1=1,..., I критерия Z (рис. 3).

После того, как двумерные срезы построены, проводится их согласование. Для опорных точек е1 среза Z= = Сг лицо, принимающее решение, просят указать равноценные им точки е1 на диагонали среза Z=C2, затем для опорных точек среза Z=C2 просят указать равноценные точки на диагонали среза Z = C3 и т. д. В итоге

Рис. з

Рис. 4

получается график, подобный изображенному на рис. 4. результат согласования двумерных срезов может быть представлен матрицей чисел 11^^11, элемент которой z^ является координатой точки ё^ по диагонали среза 2=0. Эта диагональ играет роль равномерной шкалы со значениями /=1, 2,. .., к, соответствующими опорным точкам е1, е2,. • •, ек. Для среза Z=CX вместо точек ё^ берутся опорные точки е7‘, i— 1,..., к.

Таким образом, трехмерный срез предпочтений может быть представлен совокупностью /+1 матриц, из которых / матриц описывают двумерные срезы и одна матрица устанавливает соответствие между ними.

Ранжирование объектов выбора с помощью среза предпочтений. Срез предпочтений может использоваться при решении различных задач многокритериального выбора. С его помощью можно ранжировать объекты выбора в соответствии с предпочтениями лица, принимающего решение. Простейший способ ранжирования объектов на двумерном срезе состоит в нанесении на график среза точек, соответствующих объектам, и присвоении им рангов в зависимости от их положения относительно линий безразличия (см. рис. 1).

Матричное представление срезов предпочтений дает возможность ранжировать объекты выбора на вычислительной машине. Ранжирование осуществляется вычислением для каждого объекта выбора х значения индикатора предпочтений U (%)—такой числовой функции, которая удовлетворяет правилу

и ^>U [у^хРу, и ^=U ^у^х/у.

Присвоение рангов объектам выбора производится по убыванию значений индикатора Щх). Первый ранг получает объект, имеющий наибольшее значение индикатора, второй ранг — объект, имеющий следующее по величине значение, и т. д.

Последовательность вычисления значения индикатора предпочтений U(d) для точки d= (db d^, характеризуемой двумя критериями X, У, состоит из следующих этапов.

Матрица ||у^|| среза предпочтений вводится в машину.

В машину вводятся координаты (db d^ точки d и определяется отрезок [^ь £i+1] на оси Ху (на рис. 2

отрезок [ei, ei]), в котором лежит координата dx точки d: eX^dx^e^1.

Определяется четырехугольник у^ yw,k*> yw,Hi; Уг,Н! (на Рис- 2 четырехугольник уз,2; У^^ Ум, Уз,з),в котором лежит точка о!. Для этого последователь

<dx — е^у^— yUk^<dx — е^у^— yUk^(^+1-^)(^+1-^)-УУмал^^, i—1, 2,(1)-УУмал^^, i—1, 2,(1)но проверяются неравенства:

<dx — е^у^— yUk^

<dx — е^у^— yUk^

(^+1-^)

(^+1-^)

-УУмал^^, i—1, 2,(1)

-УУмал^^, i—1, 2,(1)

Если при некотором t=s окажется, что неравенство (1) обратилось в равенство, то точке d присваивается значение индикатора предпочтений [/(o!)=s. Если неравенство (1) выполняется при i—m и обращается в противоположное при i=m-\-l, это означает, что точка находится в четырехугольнике Ут, кУт, кА-1УтА-1, кАЛУтАЛЛ-

Значение индикатора U(d) вычисляется по формуле

U (й?) = т + « ^d\ (2) где а (У) —отношение длины отрезка df вертикальной линии x\ = d\, ограниченного точкой d и т-й ломаной линией безразличия, к длине отрезка fc этой вертикали, ограниченного m-й и т+1-й линиями безразличия (рис. 5):

ний U(d) для точки d= (db d2, d^ вычисляется с помощью трехмерного среза в следующей последовательности:

В машину вводятся матрицы трехмерного среза

Вводятся координаты dx, d2, d2 точки d и определяется отрезок [С\ С^1], в котором лежит координата da точки d.

На двумерных срезах Z=Ck, Z—Ck+X по описанной выше процедуре вычисляются значения индикаторов предпочтений U (di, d2)\c>^, U(dlt d2)\ck для точки (^ь d^.

Значения индикаторов U(di, d2) |cfc, U(d[, d2) | cA+1 с помощью матрицы соответствия ||гг-3'|| приводятся к значениям индикатора на срезе Z—Cx. Для этого вычисляется координата gxk по оси X точки gk на диагонали среза 2—Ск, для которой значение индикатора U(gvh,g2h>)\ck=U(dX,d2^\ck.

Если U (dy d2)]cn = m^-a (dv d^, то gi=ei" + a (dx,

Далее на диагонали среза z=С1 находится точка, равноценная точке gk на диагонали среза z=Ck. Для этого сначала определяется точка gk-x на диагонали среза z = Ck-\ равноценная точке gk в такой последовательности: определяется отрезок [^?|с^_i, ^f+1jc^_i]v в который попадает координата gik точки g\ затем вычисляется координата gY"1*

g\ ! —4|c^-i +g\ ! —4|c^-i +Ui-^i|cfe-i)Ui-^i|cfe-i)(el+1lcfc-l —е1|сй-1(el+1lcfc-l —е1|сй-1(3)(3)

g\ ! —4|c^-i +

g\ ! —4|c^-i +

Ui-^i|cfe-i)

Ui-^i|cfe-i)

(el+1lcfc-l —е1|сй-1

(el+1lcfc-l —е1|сй-1

(3)

(3)

Рис. 6Рис. 6

Рис. 6

Рис. 6

Смысл формулы (3) ясен из рис. 6.

Затем ищется координата gi-2 точки gk-2 на диагонали Z—Ck~\ равноценной точке gk и т. д., до тех пор, пока не будет найдена координата gi1 точки gx на срезе 2=СХ, равноценной точке gh, после чего определяется отрезок [ег, er+1] на диагонали среза Z=CX, в котором лежит точка gx.

Приведенное значение U ^dx, d^k индикатора U (dv °У1С* вычисляется по формуле

ОЛ» йУ|С* = Г+-^ ^“ •

е1 |С‘е1|с‘

Аналогичным образом вычисляется приведенное значение индикатора U (db d2)lck+i.

Значение индикатора предпочтений для точки d — = (dv d^, d^ вычисляется как средневзвешенное от приведенных значений индикатора О (о?,. d^\ck, U (di, йУ1с»+1 для точки (dv d^;

U (d„ dT, d^ -^----U ^ d2)\ck +

U (d^ d2)lck-n.

Построение индикатора предпочтений методом наименьших квадратов. Срез предпочтений строится путем линейной интерполяции точек, равноценных с точки зрения лица, принимающего решение. В тех случаях, когда число критериев, характеризующих объекты выбора, больше трех, для построения двумерных срезов и их согласования от лица, принимающего решение, требуется получить очень большое количество информации, что делает такой подход практически неприменимым.

В методе выявления предпочтений, предлагаемом ниже, используется другой способ аппроксимации поверхностей безразличия. Методом наименьших квадратов в определенном классе числовых функций (например, полиномов второй степени) ищется такая функция U (хь Х2,..., хп), поверхности уровня которой близки к поверхностям безразличия структуры предпочтений субъекта.

Процедура построения индикатора предпочтений методом наименьших квадратов включает в себя несколько этапов.

Получение исходных данных. На множестве выбора Q выделяется несколько опорных точек: а0, 6°,..., ^°. Для каждой опорной точки лицо, принимающее решение, указывает несколько равноценных ей точек: ^а^, аЧа°, i=l,..., к; {Ь1}, ЬЧЬ°, i=l,..., I;...; VrW^ i=l,...,

..г. Суммарное количество точек во всех группах должно быть больше размерности пространства критериев и эти точки должны быть по возможности равномерно распределены на множестве выбора Q. Для нахождения равноценных точек можно использовать процедуру, подобную той, которая использовалась при построении среза предпочтений. Если построен срез предпочтений, то в качестве равноценных точек можно взять точки, принадлежащие линиям безразличия на срезе.

Построение индикатора U(x). Индикатор предпочтений Щх) строится в виде многочлена второй степени от переменных *i, х2,..., хп:

п (л-1)

и ^===2а;Хг+2ал+1^+ 2

/-1Z = 1

ь ^ei,.-> л, j>k или в сокращенной записи:

U W = 2 2 ^ix=xr хо= 1 •

Z=0 у-О

Предполагается, что Хь Х2,. .., Хп — приведенная система координат, в которой условие монотонности структуры предпочтений лица, принимающего решение, имеет вид

х>у-^хРу.(5)

Значения коэффициентов а,-, 1= 1,..., s,s=2nA-—^—- находятся методом наименьших квадратов. Минимизируются квадраты разностей V^^а,Д— Ща5П> 1ЩЬД — — U(6^)],... Ди(^)— Щд5у\ (если бы индикатор предпочтений U(x) идеально соответствовал исходным данным, то эти разности были бы равны нулю). Коэффициенты «г, z=l,..., s ищутся как решение задачи минимизации квадратичного функционала

F (ап а2,..., aj^^l"(«')F +

+2^ R~u RF+...+2^ kq^-u ИР (6)

M 6 0,..., r, i>jij £0,..., r, i>j

при условии

(7)(7)и (a°)=l.

(7)

(7)

Условие (7) вводится для того, чтобы исключить тривиальное решение: а2 = 0, z= 1,.. ., s.

Применяя метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума, получаем систему линейных уравнений относительно а2 и X:

УУ?и^<г21_,о,s; (8)

дец

и ю=1.

Решая линейные уравнения (8), получаем искомые коэффициенты а2, z=l,..., s многочлена U(x).

Проверка монотонности индикатора Щх). Если предпочтения субъекта строго монотонные, то и индикатор предпочтения Щх) должен удовлетворять условию строгой монотонности:

x>y—U ^>U (^).(9)

Поэтому, найдя коэффициенты а2, z=l, s многочлена Щх), следует проверить положительность частных dU .-

производных этого многочлена , z=l,..., п на мно-

dx-t

жестве Q. Такая проверка представляет собой самостоятельную задачу, приближенное решение которой может быть получено следующим образом. Строится параллелепипед П— {х|С/<ф^<^Л’ включающий в себя

множество Q, и проверяется положительность частных ди

производных в параллелепипеде П. Частные про-

dxi

изводные --— представляют собой линейные функции д xi

вида

~^— — Piz-tl + p2z^2 + • • • + PhZ-^л ~Н P/z+l, Z» Z — 1, . . ., П.

Поэтому задача сводится к проверке выполнения неравенств

Piz^i + p2z^2 4" • • • 4~^z^4~^h^ (10) при хеП. Нетрудно видеть, что каждое из неравенств (10) выполняется во всех точках хеП тогда и только тогда, когда оно выполняется в одной из угловых точек параллелепипеда П, а именно в точке С= (Сь С2,..., .. ., Сп). В этой точке С^ = Cj* при тех номерах /, при

которых коэффициенты неравенства (10) Рл^О и Ck= = Ск** при тех номерах к, при которых р^<0. Таким образом, проверка положительности частной производной на множестве П сводится к проверке z-ro неравен- dxi

ства (10) в одной из угловых точек параллелепипеда П.

Если окажется, что условие монотонности (10) на множестве П не выполняется, то задачу минимизации функционала следует решать при дополнительных ограничениях: аг^0, z=l,..., s, которые являются достаточным условием монотонности многочлена U(x). В этом случае задача минимизации функционала (6) принимает вид задачи квадратического программирования:

min F (аь «2,..., а5).(11)

а.>0, i = 1v.., sU (а°) = 1

Примечание. Может возникнуть вопрос: почему задача минимизации функционала (6) не решается сразу в виде (11)? Дело в том, что ограничения си^О, t=l,..., s существенно сужают класс функций, среди которых выбирается индикатор предпочтений, допуская лишь неотрицательные функции U(x^ что в общем случае приводит к ухудшению качества аппроксимации. В то же время весьма вероятно, что решение задачи (6), (7) удовлетворяет условию монотонности (9) на множестве П, хотя при этом оно может не удовлетворять условиям a^O, t=l,..., s.

Коррекция индикатора Щх). Полученный в результате решения индикатор предпочтений U(x) имеет тот недостаток, что при его построении минимизировалась сумма квадратов разностей значений Щх) в точках {«0, i= 1, ..., к; {60, z= 1, ..., I; . .., I; {аД, z= 1,..., г, поэтому степень приближения этих точек поверхностями уровня индикатора Щх) зависит от величины градиента U(x) в этих точках. Это означает, что поверхности уровня индикатора Щх) лучше вписываются в группы равноценных точек, лежащих в области больших значений градиента индикатора, чем в группы точек, лежащих в области малых значений градиента индикатора. Для того чтобы скомпенсировать неравномерность степени приближения групп равноценных точек поверхностями уровня индикатора Щх"), применяется процедура последовательных приближений. Индикатор Щх), полученный на 2-м или 3-м этапе, рассматривается как первое приближение (УДх). Вычисляются абсолютные значения |grad ^Д-) | градиента U(х) в точках {дД, М, и задача нахождения коэффициентов

ai, az,..., as многочлена (4) решается с новым, скорректированным функционалом:

F (оь Оз,..., о^F (оь Оз,..., о^и yeiк i>jи yeiк i>j|grad (7i(al)l 4- ferad 64 (ay)J|grad (7i(al)l 4- ferad 64 (ay)J

F (оь Оз,..., о^

F (оь Оз,..., о^

и yeiк i>j

и yeiк i>j

|grad (7i(al)l 4- ferad 64 (ay)J

|grad (7i(al)l 4- ferad 64 (ay)J

iJ^.^T- lgrad^l(^)|44gradtfi(^ -

Полученные в результате коэффициенты аь а2,. •., а$ определяют индикатор второго приближения t/2(x), затем вычисляются коэффициенты третьего приближения и т. д. Процесс последовательных приближений заканчивается, если значения коэффициентов а; в /+1 приближении окажутся близкими к значениям этих коэффициентов в /-м приближении. Значения коэффициентов / + 1-го приближения подставляются в многочлен (4) и полученная функция t/?+i (х) используется в качестве индикатора предпочтений.

Следует отметить, что при построении индикатора предпочтений методом наименьших квадратов в качестве аппроксимирующей функции может быть использован не только полином второй степени, но и полиномы более высоких степеней, а также любые линейные, относительно искомых коэффициентов, функции.

Заключение. Хотя предложенные методы выявления непрерывных предпочтений — построение среза предпочтений и построение индикатора методом наименьших квадратов — существенно отличаются друг от друга своей конструкцией и возможностями применения, их объединяет то, что в них используется один и тот же тип информации, получаемой от лица, принимающего решение — совокупности равноценных между собой точек (объектов выбора). Этот тип информации обладает тем достоинством, что оценки, даваемые лицом, принимающим решение, с одной стороны, не представляют большой трудности для него, если он имеет четкие предпочтения на множестве выбора, с другой стороны, эти оценки достаточно информативны: сравнительно небольшое число их позволяет построить модель системы предпочтений ЛПР на всем множестве объектов выбора.

Предложенные методы не используют никаких специальных свойств структур предпочтений, кроме свойств непрерывности и монотонности (в отличие от известных

методов построения аддитивных функций полезности [5, 6]), поэтому они могут применяться в широком классе задач многокритериального выбора.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Миркин В. Г. Проблема группового выбора. М., «Наука», 1974. 256 с.

Никаидо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М., «Мир», 1972. 518 с.

Озерной В. М. Принципы построения и использования многокритериальных моделей задач принятия решений. — В кн.: Проблемы принятия решений. Вып. 5. М., Ин-т проблем управления, 1974, с. 3—15.

Debreu G. Representation of a Preference Ordering by a Numerical Function. Decision Processes. R. Thrall, C. Coombs, R. Davis (eds.). New York, Wiley, 1954, p. 159—165.

Fishburn P. S. Independence in Utility Theory With Whole Product Sets. — «Operations Research», 1965, vol. 13, p. 28—45.

Keeney R. L. Utility Functions for Multiattribute Consequences. — «Management Science», 1972, vol. 18, p. 276—287.

Friedlaender Ann. A. Macropolicy Goals in Postwar Period: a Study in Revealed Preference. — «Quart. J. of Econ.», 1973, vol. 87, p. 25—43.

УДК 007

Б. Б. Буянов

ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕДУР СБОРА ИНФОРМАЦИИО ПРЕДПОЧТЕНИЯХ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХЗАДАЧАХ

При сравнении вариантов решений в многокритериальных задачах [1, 2] используется информация о предпочтениях лица, принимающего решение. О системе предпочтений судят по высказываниям лица, принимающего решение, о предпочтительности между объектами более простыми, чем сравниваемые варианты. При этом возрастает количество объектов сравнения и, следовательно, число обращений к лицу, принимающему решение. В связи с этим возникает проблема построения объектов сравнения и определения порядка предъявления объектов для оценки лицу, принимающему решение. Для решения этой проблемы в работе [3] предложена классификация информации, устанавливающая определенный порядок сбора информации о предпочтениях. Однако классификация информации не исключает возможности получения информации, не существенной для сравнения вариантов решений. Ниже решается задача целенаправленного получения информации о предпочтениях лица, принимающего решение, с учетом свойств сравниваемых вариантов.

Рассмотрим многокритериальную задачу принятия решений [1], в которой сравнение вариантов s^S, I— = 1, 2,..., п, характеризующихся оценками по показателям (критериям) Хх> Х^ ..., Хт (т^2), производится на основе информации о предпочтениях лица, принимающего решение, при помощи функции полезности

т

и (х^, Z=l, 2,..., п,

где M(x2-j) —полезность оценки i-ro решения по показателю Xj. О предпочтениях лица, принимающего решение, 96

судят по результатам сравнения решений, отличающихся оценками по двум произвольным показателям Xq, Хг, q, г^{1, 2,..., т} и имеющим одинаковые оценки по остальным т — 2 показателям. Сравнение подобных решений с учетом допущений относительно вида функции полезности эквивалентно сравнению интервалов между оценками на шкалах показателей.

Представив результаты сравнения решений по предпочтительности в виде неравенств, получим систему однородных линейных неравенств

^ajgu (^)>0, 7=1, 2,..., М,(1)

и (^)>0, g=l, 2,..., N,

где М — число сравнений в эксперименте; N=mn— число оценок вариантов по показателям.

Система (1) совместно с нормирующим равенством N

^agu ^х^ = U, ag^ {0, 1}, выделяет в пространстве по- £=i

лезностей оценок по показателям область Q возможных значений полезностей оценок, согласованных с предпочтениями лица, принимающего решение. Каждое неравенство определяет ^мерное полупространство — совокупность точек ^-мepнoгo пространства, лежащих по одну сторону от гиперплоскости, которая задается соответствующим данному неравенству уравнением.

Если в любой точке области Q для двух произвольных вариантов s^ s^S справедливо либо u(Si) ^u(si), либо u(si) ^u(si), то задача сравнения вариантов решена И ЛИбО Si^Si, Либо St^St.

В противном случае множество точек области Q делится на три не пересекающиеся подмножества:

coiz, на котором и($г) >w(sz) и, следовательно, s^su ton, на котором u(sz)>^(s2) и, следовательно, s^st; coo, на котором u(s^ =u(si)n, следовательно, зцтэзь Этот случай показывает, что полученной от лица, принимающего решение, информации недостаточно для упорядочения вариантов решений и необходима дополнительная информация о предпочтениях.

Задачу сравнения вариантов st и S; можно решить, если построить гиперплоскость, разделяющую множества точек cozi и co^z, описать на основе оценок, входящих в

уравнение гиперплоскости, варианты решений и предъявить их лицу, принимающему решение, для сравнения по предпочтению. Одно из возможных уравнений гиперплоскости, разделяющей множества юн и юц» соответствует неравенству

тпг

2« ы-2и ^>°-(2)

7=17=1

Однако неравенство (2) получается по результатам сравнения объектов sz и s^, т. е. является решением исходной задачи. Уравнения гиперплоскостей, соответствующие сравнению более простых объектов, чем заданные варианты решений, могут быть получены следующим образом.

Подмножество о)о для вариантов решений St и S/множества точек области Q можно определить, если систему неравенств (1) дополнить условием

mтп

^ч (хи)-^и (х^О.(3)

Решение смешанной системы неравенств (1) и равенства (3) определяет вершины области о>о [4]. Пусть

Л1 = («1 (Лц), их (х2),..., их ^х^;

Л2 = («2 (*1), «2 С^),. • •> «2 (*лг));

Ар=<чр (xj, ир (х2),..ир ^х^

— вершины области ©о- Тогда, выпуклые линейные комбинации векторов Ai, Л2,..., Ар вида

/ рр

а1Л1 + а2Л2 +.. .-\-apAp—\>^alui (^);(х2),...,

\/-1Z = 1

р\

2 aiui Vх,(4)

р

где az^0, /=1, 2,..., р и ^ g. = 1, позволяют получить

I -1

соотношения между полезностями оценок по показателям, обеспечивающие упорядочение вариантов s, и si. Часто соотношения между полезностями оценок можно

предъявить с целью выявления предпочтений лицу, принимающему решение, в виде достаточно простых объектов сравнения. Рассмотрим некоторые виды соотношений.

Соотношение между u(xg) и U получается непосредственно из (4), где

“ (ХР=2°А» = N- (5)

Здесь и^х^—g-я координата f-й вершины области соо — вычисляется при решении системы неравенств и выражается в долях U. Задавая поочередно коэффициентам аг- (г=1, 2,..., р) значение 1, найдем диапазон изменения величин полезности каждой оценки, в котором сохраняется s^si. Если лицо, принимающее решение, может указать оценку, полезность которой, по его мнению, выходит за указанные пределы, то либо s^ $ь либо Sz^-Si. В этом случае ему приходится оценивать объекты, имеющие оценку xg по одному показателю и худшие оценки по остальным показателям. Очевидно, что при изменении полезности некоторой оценки от 0 до U она оказывается несущественной для сравнения вариантов.

Соотношения между полезностями двух оценок могут быть получены двумя путями. В первом случае уравнения (5) для каждой пары оценок решаются совместно при условии, что все коэффициенты «г, кроме двух любых, равны 0. В общем случае для пары оценок получим Ср2 уравнений прямых вида

и^х^ = аи^хк^-\-Ь. g. 2,..., N,g^k, (6) которые соединяют проекции вершин области (о0 на плоскости координат и(х§) и и^х^ (рис. 1). По уравнениям прямых (на рисунке прямая, проходящая через вершины Л3, Л4), разделяющих множества ^и и со^г, составляются неравенства. Если лицо, принимающее решение, согласится хотя бы с одним неравенством, то задача упорядочения вариантов st и si будет решена. Трудность состоит в том, что уравнения (6) плохо интерпретируются при переходе от оценок к объектам, предъявляемым для сравнения лицу, принимающему решение. В общем случае требуется выяснить, может ли быть полезность варианта с оценкой xg по одному показа-

телю и худшей оценкой по другому показателю на b больше (или меньше), чем полезность варианта с худшей оценкой по первому показателю, и с оценкой г такой, что и (г) = au(xh), по другому показателю при равных оценках по остальным показателям.

Во втором случае исследуются соотношения вида

«(ад

при равенстве нулю всех коэффициентов at, кроме одного. Из полученных отношений для предъявле

ния лицу, принимающему решение, выбираются два: ^(Xg) )>Стах^ (^) И U (Xg) ^Cmin^ (Xfc) , ГДС Стах, Cmin

соответственно максимальное и минимальное значения

р

У. a-4i Ug)

/ = 1 отношения —

У a^i Uк)

z = 1

Содержательно вопрос формулиСодержательно вопрос формулируется в зависимости от принадлежности оценок одному или различным показателям. Если xg и Xk — оценки по одному показателю, то вопрос сводится к сравнению по полезности интервалов на шкале показателя между оценками xg) Xk и оценкой Хк и худшей оценкой этого показателя, что следует из ряда преобразований неравенства u^Xg) ^си<х^, с>1:

Содержательно вопрос формули

Содержательно вопрос формули

и (лг^) < си (х^ =) и (х^ < и ^ -V^c — ^u (х^) — 0 =)=) и (х,) - и (л^) < (с - 1) [и [хк)-0] —)

С— 1.С— 1.и (Xg} — и ^х^и (Хк) — О

С— 1.

С— 1.

Если xg и хк — оценки по разным показателям и, например, xg—оценка по показателю Xq, а хк— по показателю Хп то вопрос сводится к сравнению вариантов, один из которых имеет оценку xg и худшую оценку по показателю Хт, а другой — оценку 2 такую, что ее полезность в с раз выше полезности оценки хк, и худшую оценку по показателю Xq. По остальным показателям оценки вариантов одинаковы.

Сравнение интервалов между полезностями оце- U^Xg^ — U ^х^

нок. Соотношения вида, £, к, t, 9=1, 2,...

к (xt) — и (х^

..., N, g^k, t^q, исследуются при равенстве нулю коэффициентов аь кроме одного. Наиболее простой смысл имеют соотношения, включающие оценки одного показателя или двух показателей. Вопросы к лицу, принимающему решение, строятся на основе выражений

и (хг) - a (х») > cmjx \и (xz) - и (х?)],и (zg) — и < ст1п [и (xz) — и (х?)].

Более сложные выражения, связывающие оценки более чем двух показателей, исследовать нецелесообразно из-за невозможности поставить перед лицом, принимающим решение, вопрос в ясной форме.

Таким образом, предварительный анализ информации, полученной от лица, принимающего решение, с учетом конкретных оценок сравниваемых вариантов решений позволяет целенаправленно собирать дополнительную информацию о предпочтениях. В целом процедура принятия решений в задаче сравнения вариантов по векторному критерию строится следующим образом.

Пусть требуется упорядочить варианты sb s2, s^ s^ которые характеризуются оценками по показателям Хь ^2, Х^. Шкалы показателей содержат соответственно оценки Х\\ хЛ хД х2\ х22, х23; х3\ х32, Хз3. Допустим, что оценки решений $ь ..., s4 следующие:

1322

xn=xv, х21=хг; x31=Xi; х4г=хг;

«Xi2 = *X2i *^22 ^^-^2» Хз2:=:Х21Х^^1 «^2»

Ххз^Хз*, Х2з = Хз, Хзз = ХЗ)^43 — Хз.

Лицу, принимающему решение, предлагается сравнить по предпочтению варианты решений, различающихся оценками по двум показателям:

(х}, Х2, Хз); (х?, Х2, Хз); (х?, xL Хз); (xt Х2, Хз);

UL Л xD; и. Л 4Y

Предположим, что решения упорядочены в приведенном выше порядке. Тогда, используя допущение об 9

аддитивности и полагая, что и (х;) = 0, V и (^) = 1, получаем смешанную систему неравенств

9

2и^=1;

и (xj)~ и(х2)>0;

U (х2)~ и(хз)>0;^

и (хз) — и (хз) > 0;

и (хз) — и(х2)> 0;

и (х2) —zz(xi)>0;

и (xi) > 0.

Решение системы неравенств (7) определяет область Q (табл. 1) и, следовательно, полезности вариантов S], s2, S3, s4 (табл. 2). Полученной информации достаточно, чтобы утверждать, что s2Hs4. Чтобы упорядочить все варианты, необходимо получить дополнительную информацию о предпочтениях лица, принимающего решение.

Таблица 1

Вершины области 2

“(4)

“(4)

“(4)

“(4)

“ (4)

“(4)

А

1

0

0

0

0

0

1/2

0

1/2

0

0

0

>1з

1/3

0

1/3

0

1/3

0

Л4

1/4

0

1/4

0

1/4

1/4

As

1/5

0

1/5

1/5

1/5

1/5

^6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Таблица 2

Полезность вариантов

Лт

л®

Лз

л4

л 5

л®

и (S1)

1

1/2

1/3

1/4

1/5

1/6

M(S2)

0

1/2

1/3

1/2

2/5

1/3

и($з)

0

0

0

1/4

2/5

1/2

u(s4)

0

0

1/3

1/4

1/5

1/3

Рассмотрим варианты $1 и s2. Подмножество соо для них определяется из условия u(si)=u(s2) или з з

5и (^и) "5м ^7^ откуда следует, после подста- 7=1 7=1

новки оценок шкал показателей, ^(xi1)—^(хг1) — —ц(хз2)=0. Это уравнение вместе с системой (7) дает решение, представленное в табл. 3. На рисунке показана проекция области соо на плоскость координат ^(xi1), u(x2*) (при х^ = Х1\ х^ = х2\ i= 1, / = 2).

Таблица 3

Вершины области ю о

“М)

“К)

44^

“eD

“Ю

а

2/5

0

1/5

0

1/5

1/5

«1

^2

1/2

0

1/2

0

0

0

а2

Аа

1/3

0

1/3

0

1/3

0

«з

2/7

1/7

1/7

1/7

1/7

1/7

а<

^5

1/3

0

1/6

1/6

1/6

1/6

«5

Выпуклые линейные комбинации вершин Л1—Л5 представим следующим образом:

и (xi)2/5 о^-(- 1/2 «21 /3(Хз-{-2/7(Z4-{- 1 /Зс^;

и (л?) — 1/7а4;

и (х2) = 1/5^ ф 1/2а2 + 1/За34- l/7cz4 -р 1/6а5;

и (хг)=1/7а4+ 1/6а5;(8)

и {х\)= 1/5^4- 1/За3+ 1/7а4+ 1/6а5;

и (х|) = 1/5»! + 1/7а4+ 1/6а5;

5

uz>0,/=1« 2>---> 5-

Исследуем отношения полезностей оценок при аг=1, ie{l, 2,..., 5}. Из 15 возможных сочетаний оценок следующие 4 могут быть положены в основу вопросов к лицу, принимающему решение:

(^2) l/5ai + 1/2а2 4* 1/Зсхз 4- 1/7а4 + 1/6(15 (1/2 * 1) и (х1)2/5qi + 1/2а2 + 1/За3 4- 2/7а4 4- 1/За5

и (-*з)l/5ai + 1/7(14 4- 1/6аз /д . 1 /2)1

и (х1)2/5а1 + 1/2(12 4- 1/За3 + 2/7а4 4- 1/За5

“ (4)_1/7а4+1/6а50 _ т _

и (^1)2/5ai 4~ 1/2(12 4* 1/За3 4-2/7(14 4™ 1/3(15

Ц44№_(0 ]/2)

и (х^) 2/5aj 4" 1/2а2 4~ 1/3<хз 4- 2/7а4 4- 1/Зссз

Отношения полезностей других оценок изменяются в пределах (04-1) и, следовательно, не требуют более точного определения, чем дано в (7) [заметим, что неравенства системы (7) могут быть представлены в виде отношения, например, из u(xi’) ^и(х2*) следует , “ (4)1

/ “ (4)1*

Перепишем отношения (8) в виде неравенств:

и (4) — 2и (х2) > 0;2ы(4) — и (х}) >0;

(Ю)(Ю)2я(4) —«(4) >0;

(Ю)

(Ю)

2ы(4)~ и (4) > 0.

На основе первых трех неравенств в (10) лицу, принимающему решение, представляются для сравнения варианты, различающиеся оценками по двум показателям. В последнем неравенстве присутствуют оценки одного показателя и задача сводится к сравнению по полезности интервалов шкалы одного показателя.

Предположим, что лицо, принимающее решение, признало справедливым первое неравенство в (10). Решение системы (7) совместно с этим неравенством приведено в табл. 4, а полезности вариантов — в табл. 5. Из табл. 5 следует, что $iH s2, s2^S4. Аналогичным обра-

зом выявляются предпочтения при сравнении вариантов S2, S3 И S3, $4.

Таким образом, построение процедуры выявления предпочтений на основе предлагаемого метода анализа оценок вариантов позволяет существенно сократить круг возможных вопросов к лицу, принимающему решение.

Таблица 4

Вершина области 2

ИН)

° К)

иЮ

“(4)

А

2/3

0

1/3

0

0

0

л2

1/2

0

1/4

0

1/4

0

Аз

2/5

0

1/5

0

1/5

1/5

л4

1/3

0

1/6

1/6

1/6

1/6

А

2/7

1/7

1/7

1/7

1/7

1/7

Аб

1

0

0

0

0

0

Таблица 5

Полезности вариантов

Лг

Л 2

Л 8

л*

Л 5

л в

“ (S1)

2/3

2/4

2/5

2/6

2/7

1

“(s2)

1/3

1/4

2/5

2/6

2/7

0

“(S3)

0

0

1/5

2/6

3/7

0

“(S4)

0

1/4

1/5

1/6

2/7

0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Буянов Б. Б., Озерной В. М. Об одном методе принятия решений при векторном критерии. — «Известия АН СССР. Техническая кибернетика», 1974, № 3, с. 80—84.

Озерной В. М. Принципы построения и использования многокритериальных моделей задач принятия решений. — В кн.: Проблемы принятия решений. Вып. 5. М., Ин-т проблем управления, 1974, с. 3—15.

Озерной В. М., Гафт М. Г. Построение решающих правил в многокритериальных задачах принятия решений. — В кн.: Проблемы принятия решений. Вып. 5. М., Ин-т проблем управления, 1974, с. 30—44.

Солодовников А. С. Система линейных неравенств. М., «Наука», 1969. 80 с.

УДК 007

Д. В. Шапот

АППРОКСИМАЦИЯ ЧАСТИЧНОГО КВАЗИПОРЯДКААДДИТИВНОЙ ФУНКЦИЕЙ

Введение. В настоящей работе рассматривается один из подходов к решению многокритериальных задач свертыванием (агрегированием) частных критериев. Этот метод позволяет линейно упорядочить множество альтернатив (17) и является особенно эффективным в случае непрерывного множества альтернатив, как это часто бывает при проектировании сложных технических объектов, т. с. в задачах параметрической оптимизации.

Обычно при использовании метода сверток математическая структура обобщенного критерия выбирается априорно в виде какой-либо средневзвешенной величины оценок по частным критериям (арифметической, геометрической, гармонической, квадратичной) или определяется наихудшей оценкой по совокупности этих критериев. Параметры (весовые коэффициенты) обобщенного критерия выявляются на основе информации, полученной от лица, принимающего решения, или экспертов в виде непосредственных оценок, либо в виде системы соотношений, сформулированных на множествах шкал частных критериев.

Нам представляется, что основным недостатком такого подхода является произвол при выборе структуры обобщенного критерия. Этот произвол может привести к неконтролируемому искажению предпочтений лица, принимающего решение на множестве альтернатив. В то же время выявление таких предпочтений является целью построения обобщенного критерия. В связи с этим в предлагаемом подходе при построении свертки в качестве исходной информации используются предпочтения лица, принимающего решение, на конечном множестве некоторых тестовых альтернатив (объектов), рассматриваемых в пространстве частных критериев. Тем самым 106

постулируется способность лица, принимающего решение, сравнивать конкретные альтернативы, заданные в этом пространстве. Далее выявляется такая функция оценок по частным критериям, которая, с одной стороны, не противоречит предпочтениям лица, принимающего решение, а с другой — обеспечивает максимальную различимость качества альтернатив в тех случаях, когда их оценки по частным критериям производятся с ошибкой. При построении обобщенного критерия используется и в ходе вычислений проверяется гипотеза о возможности описания предпочтений лица, принимающего решение, в виде аддитивной функции частных полезностей. Будет показано, что для выявления частных функций полезностей достаточно решить некоторую задачу линейного программирования. Если эта задача оказывается несовместной, то описание предпочтений лица, принимающего решение, можно производить полиномом от функций полезности более высокой (чем первая) степени. Однако в пределах данной работы алгоритм построения подобного полинома нс рассматривается.

В предлагаемой процедуре свертывания используются следующие допущения:

количество частных критериев не превосходит шести. Это допущение связано с ограниченными возможностями человека учитывать много факторов при сравнении альтернатив;

для оценки альтернатив по каждому частному критерию разработана по крайней мерс шкала интервалов. Это допущение обеспечивает свободу выбора конечного множества тестовых альтернатив, на котором лицо, принимающее решение, задает предпочтения;

все частные критерии и их шкалы отвечают требованию «чем больше, тем лучше (или хуже)» при любых оценках по остальным критериям, что обеспечивает взаимную независимость полезностей частных критериев по предпочтениям [3];

на всех шкалах частных критериев существует единственный диапазон, на котором полезность зависит от оценок. Это допущение позволяет описывать предпочтения лица, принимающего решения, на всем рассматриваемом множестве альтернатив одним и тем же обобщенным критерием.

Наконец, отмстим, что предложенная процедура может использоваться как элементарная, когда исходная

информация задается групповыми предпочтениями, а также применительно к альтернативам, оценка которых производится большим числом частных критериев, образующих дерево. Однако оба эти вопроса выходят за рамки настоящей работы.

Постановка задачи. Предположим, что при проектировании технического объекта выявлено m-мерное непрерывное множество U допустимых значений его параметров, которое задается совокупностью физических, конструкторских и технологических ограничений. Каждая точка этого множества u=(ub и^..., Um^U определяет собой один из возможных вариантов реализации объекта. Необходимо выбрать наилучший из допустимых вариантов в условиях, когда объект оценивается совокупностью п его существенных характеристик (частных критериев).

Предположим, что существует возможность каждому объекту сопоставить интенсивность любой г-й характеристики — число Хг, измеренное по шкале интервалов или отношений [4]. Таким образом, предполагается, что известен алгоритм, осуществляющий отображение т- мерного вектора параметров и в n-мерный вектор характеристик (частных критериев) х. В дальнейшем мы будем учитывать, что на практике многочисленные источники ошибок не позволяют получить однозначное отображение. Поэтому любому вектору и7 удастся сопоставить некоторое множество X7, а вектор х7, которым оценивается объект U7 в пространстве его характеристик, является только представителем X7, т. е. х7^Х7.

Попытаемся построить обобщенный критерий оценки качества объекта Ф[х(и)], который соответствует системе предпочтений лица, принимающего решение, и позволит найти наилучшую альтернативу в результате решения задачи Ф[х(и)]~>тах, u^U. При этом будем считать, что частные критерии выбраны таким образом, что качество объекта монотонно зависит от оценок по любому из этих критериев в любом сечении n-мерного множества оценок векторов u^U, т. е. у u^U величины дФ[х ^и^дХг (1=1, 2,..., и) не меняют знака.

Если каждой i-й характеристике сопоставить се вклад Уг в общую оценку качества объекта (yt удобно называть полезностью i-й характеристики или частной полезностью), то в силу сделанного выше предположения Уг являются монотонными функциями единственного

аргумента Xt. Для удобства дальнейшего изложения будем считать все эти функции возрастающими.

Определим на каждой шкале Хг тот диапазон чувствительности АХг = кг, хг], на котором приращение интенсивности бХг в любой точке сопровождается отличным от нуля приращением полезности byt. Предположим, что на каждой шкале Хг существует единственный диапазон чувствительности Ах;.

Учитывая возрастающий характер зависимости Уг(^г) на Axt, будем считать объект идеальным в смысле i-й характеристики, если Хг=Хг. Поскольку xt— верхняя граница диапазона чувствительности, то дальнейшее увеличение Хг нс приводит к увеличению полезности, а значит, и качества объекта. Объект, идеальный в смысле каждой характеристики, будем называть идеальным, а качество его удобно оценивать единицей.

Если же для некоторого объекта хотя бы одна /-я характеристика достигает нижней границы х_г своего диапазона чувствительности, будем считать, что такой объект теряет свою качественную определенность, т. е. бесполезен при любых разумных применениях. Качество подобного объекта оценим нулем. Подчеркнем, что в каждой конкретной ситуации выбора могут быть наложены свои «критериальные» ограничения снизу на величины Хг В виде Хг^Хг, ГДС, КИК ПраВИЛО, Х> Ху Поэтому объекты, у которых для некоторых i Xt^Xt, будут иметь положительную оценку качества. Более того, не исключено, что при решении экстремальной задачи Ф[х (Хрипах, u^U' (где U'— подмножество U, задаваемое «критериальными» ограничениями) оптимальным окажется объект с граничной оценкой (х^) какой- либо из своих характеристик.

Будем искать критерий оценки качества объекта сначала в виде наиболее простой (аддитивной) функции частных полезностей

п

Ф^Н^у.-М (1) t=i

на основе информации о предпочтениях лица, принимающего решение*. Эта информация формируется в виде

* Можно показать, что форма (1) включает описание обобщенного критерия в виде любой средневзвешенной величины (арифметической, геометрической, гармонической, степенной и т. д.) для переменных XilXi.

частичного квазипорядка [4] на множестве М заранее выделенных тестовых объектов, которые заданы в пространстве частных критериев. При необходимости она может дополняться специальными частными требованиями к функциям полезности уДхг). Далее будет показано, что для определения функций уг при сделанных предположениях достаточно решить специально построенную задачу линейного программирования. Если ограничения этой задачи окажутся несовместными, то гипотеза о возможности описания предпочтений лица, принимающего решение, аддитивной функцией неправомерна и обобщенный критерий придется искать в виде полинома более высокой степени.

Сразу оговоримся, что описание критерия в виде (1) нс согласуется с определением бесполезных объектов. Действительно, если для всех i положить уг(^г)=0, то Ф(х)=^0, когда для некоторых i Xt^Xt. Поэтому форма (1) применима для объектов, не расположенных в окрестностях гиперплоскостей {хг = хг}. Если подобная оговорка кажется неприемлемой, то сохранить непрерывность функции Ф(х) на всей области задания _х^х^х можно за счет так называемого «коэффициента вето» [1], зависящего от х, обращающегося в нуль на координатных гиперплоскостях и быстро растущего до единицы при удалении от них. Примером такого коэффициента может служить функция

lW-exp -V(H-L-^ir .

\ N Xi —Xi

L z=l” J

С учетом «коэффициента вето» форма (1) приобретает вид п

Ф(х) = £(л) ^уАх^.

1 = 1

Функции полезности частных критериев. Для задания множества М тестовых объектов, с помощью которых должна формироваться исходная информация об искомом критерии качества, выделим на каждом i-м диапазоне [х,, X,] несколько точек {хД, /=0, 1, 2,..., Si, где xoz = xz, xSii=xb не обязательно равномерно покрывающих этот диапазон. Координаты тестовых объектов

будем выбирать только из числа выделенных точек (исключая Хог), тогда общее число таких объектов со- п

ставит -/V=risZ'

Z = 1

Каждой j-й точке х^ любого i-ro диапазона сопоставим неизвестную пока величину полезности у^. Тогда сформулированное выше требование строгого возрастания функций полезности всех характеристик можно записать в виде системы строгих неравенств.

Jz/i,z >0, z = l, 2,..., n;

Поскольку работа с открытым множеством, заданным этими условиями, создаст серьезные математические трудности, перепишем их в виде нестрогих неравенств ценой введения неопределенного пока положительного параметра е':

р/М>е', Z=l, zt;^

Si-

Кроме того, оценивая качество идеального объекта единицей, запишем еще одно условие

п

^У=Х-(3)

Условия (2) и (3) накладывают дополнительные ограничения на область значений Ф(х), т. е.

Ф(х)€[Ф(х, s'); Ф(х, е')] с [0; 1].

Поэтому интересно выяснить роль этих ограничений в сокращении области неопределенности априорных значений оценок качества объекта, т. е. диапазон [Ф(х, е'); Ф(х, е')]. Исследуем границы этого диапазона. Для заданной точки х’= {хзг} при /= 1,..., п

(4)

Верхнюю и нижнюю границы функции Ф(х) можно получить, если решить задачи поиска максимума и минимума линейной формы (4) при линейных ограниче-

ниях (2) и (3) в зависимости от параметра г'. С помощью метода сверток систем линейных неравенств [8] легко показать, что Ф(х, е') и Ф(х, е') зависят от s' линейно, причем решения существуют на ограниченном отрезке [0; в]. Точка s'=0 соответствует отказу от требования строгого возрастания функций полезности, а точка е является верхней границей допустимых значений параметра е'. При е'=е для любого х^М диапазон значений Ф(х), не противоречащих (2) и (3), превращается в точку. Поэтому для построения граничных значений_Ф(х, в') достаточно найти Ф(х, е)=Ф(х, в), а также Ф(х, 0) и Ф(х, 0).

Рассмотрим сначала линейную задачу поиска шахе' (х) =е (х) при ограничениях (2), (3) и попытаемся найти ее аналитическое решение. Учитывая возможность выбора произвольного масштаба параметра в', его интерпретацию удобно связать с производными функций полезности. С этой целью требования строгого возрастания г/г (хг) представим в виде

1Ун>^н-^6. 2,-• •, К (5) \Ум — Ум,е>(хЫ — St.

Отметим, что система (5) позволяет рассматривать произвольное, в том числе неравномерное покрытие диапазонов [х^; х,] точками {х,,}.

Пусть ограничениям (5) и (3) отвечает множество Q в пространстве независимых переменных ЦУз^зг", в). Просуммировав неравенства (5) по j, получим

У$1Л>Цх$(,х — xo,i)=s (х,—х), i—1,..., п.

Просуммировав полученные выражения по / с учетом п

(3), будем иметь 1 > г V (х,—хг), откуда 0<в<

Обозначим найденный отрезок [0; ео] через Й'. Поскольку й' получен в результате суммирования ограничений, задающих й, то проекция й на ось е содержится в й', т. е.

е = тахе < тахе=е0,

Если существуют ^у^ такие, что (3) и (5) выполняются при е = ео, то е=ео. Легко убедиться, что соответствующие значения ^у^ можно получить, подставляя в ограничения (5) е=ео и рассматривая их как равенства

ATiz — X/ATiz — X/yv=-n="—; y^i=yviAyv=-n="—; y^i=yviA^2,I — -^1, Z ^^ 5Z^2,I — -^1, Z ^^ 5Z2 ^i — Xi)2 ^i — Xi)У| ^i ^z) ^i ^i ^z)У| ^i ^z) ^i ^i ^z)

ATiz — X/

ATiz — X/

yv=-n="—; y^i=yviA

yv=-n="—; y^i=yviA

^2,I — -^1, Z ^^ 5Z

^2,I — -^1, Z ^^ 5Z

2 ^i — Xi)

2 ^i — Xi)

У| ^i ^z) ^i ^i ^z)

У| ^i ^z) ^i ^i ^z)

w n —*

X l-l

Теперь нетрудно показать, что для найденных значений y,,i ограничение (3) выполняется, а следовательно, (уц, ео)еЙ и е = ео, откуда

_5 Vе н— xi)

ф (V, е) = Ф (V, е) = ^= Ф (х).(6)

2(х,- —xz)

Найденное предельное выражение (6) соответствует равноважным частным критериям и линейным функциям полезности, которые подробно рассмотрены в работе [6].

Теперь найдем Ф(х, 0) и Ф(х, 0). Легко проверить, что значению Ф(х, 0) соответствуют функции полезности, заданные соотношениями

yo,i=O, Z= 1, 2,..., п\

MiA^v /=1, 2,..., sz; ^^^^

Тогда для любого объекта из Af Ф(х, 0) = 1. Нетрудно также убедиться, что значению Ф (я, 0) соответствуют функции полезности, заданные соотношениями

у^i=0, /=1, 2,п\ у—0, 1,..., Sj— 1;п

i =1

Тогда для объектов, не являющихся идеальными ни по одному частному критерию, Ф(х, 0)=0, а для объектов идеальных относительно некоторых частных критериев, которым соответствует множество индексов /, Ф(х, 0)=2Уг. Однако в предельном случае и для этих —/е/

объектов получается тот же результат, если S X)t-^O. Сле

довательно, для любых х^М Ф(х, 0) =0.

Теперь легко найти границы зоны неопределенности оценок качества объектов из М, определяемые требованиями строгого возрастания функций полезности, в зависимости от величины их минимальной производной е. Для этого достаточно в плоскости (Ф(х, е); е) провести две прямые через точки (1; 0) и (Ф; е) и через точки (0; 0) и (Ф; е). Соответствующая область, показанная на рис. 1, задается выражениями

пп _

6 2~^/) < ф (я, е)< 1 -е 2 (^ - xj^

Z = 11 = 1

Любые дополнительные требования, накладываемые на частные функции полезности, могут лишь сократить эту область.

Рассмотрим частный случай равномерной нормированной сетки, когда V i <7=1,..., /г) St = s; xt—Xt=\.

п

Тогда^(я; — х^ = п И е= —;

Z=1

ХН = Л$ + ^ и ~уд = — (/7$+х{ - х^ = j/sn;

— j-WL Ю< 1-—(I-/); 0<e<-L.

58П

В дальнейшем этот случай будем называть стандартным.

Далее необходимо выяснить, каким образом следует распорядиться появившейся степенью свободы — параметром е. Для этого сформулируем требования к «качеству функции качества». Вообще говоря, основное назначение критерия качества — различать любые объекты из заданного множества по принципу «луч

ше—хуже» с точки зрения лица, принимающего решение. Однако если оценка качества объекта при помощи критерия производится с ошибкой А, то каждому объекту сопоставляется не число, а отрезок. В этом случае объекты можно считать надежно различимыми, если соответствующие им отрезки не пересекаются. Иными словами, если Ф(ц') и Ф(^) —оценки объектов, заданных набором своих «конструктивных» параметров uf и и", то они надежно различимы лишь в том случае, когда ^(uz)—Ф(ц//)|^2А. Поэтому разумно считать, что способность критерия различать «близкие» объекты определяет его качество, а минимальное «расстояние» в пространстве задающих его параметров, при котором два объекта различимы, может служить мерой его качества. Следует отметить, что стремление к увеличению разрешающей способности критерия является особенно оправданным в задачах математического программирования с непрерывным множеством допустимых значений искомых параметров. В таких случаях недостаточная разрешающая способность критерия приводит к замедлению сходимости поиска в окрестности экстремума, а иногда и к полному «развалу» процесса. Для борьбы с таким явлением приходится прибегать к специальным дорогостоящим мерам, ослабляющим влияние ошибок при оценке качества объекта (например, к методам стохастической аппроксимации [7]).

Рассмотрим, чем определяется минимальное значение ^и, при котором объекты ^°=(«^,...» и^,..., и^ ^и’ = ==(н°+8и) = (й?4-8и,. . ., ^ + 8«,. . .^т +§й) окажутся

надежно различимыми. Если 8м мало, то Ф(ц°-{-$«)~ =: Ф (м°) — 7Ф («°) 8и, где v® (ц0)—градиент функции Ф (я) в точке и0:

т

уФ (и0) 8и = Ъи,

поэтому из требования |Ф(и°)—Ф(^)|^2А следует,что наименьшее значение

8м8м2АдФ («О)2АдФ («О)2А2АУчитывая, что вУчитывая, что в* 2А8м=—, гдеЛ* 2А8м=—, гдеЛVI yi <)Ф (хО) d9l ^ dxi^ ^ d«i dxi ди^. ,.дФ (х)«соответствии с (1) V 1—— = К dytл = V V -^w_ dxi. dxi ди^ 'у=1 Z = 1VI yi <)Ф (хО) d9l ^ dxi^ ^ d«i dxi ди^. ,.дФ (х)«соответствии с (1) V 1—— = К dytл = V V -^w_ dxi. dxi ди^ 'у=1 Z = 1

8м

8м

2А

дФ («О)

2А

дФ («О)

2А

2А

Учитывая, что в

Учитывая, что в

* 2А

8м=—, где

Л

* 2А

8м=—, где

Л

VI yi <)Ф (хО) d9l ^ dxi

^ ^ d«i dxi ди^

. ,.дФ (х)«

соответствии с (1) V 1—— = К dyt

л = V V -^w_ dxi. dxi ди^ '

у=1 Z = 1

VI yi <)Ф (хО) d9l ^ dxi

^ ^ d«i dxi ди^

. ,.дФ (х)«

соответствии с (1) V 1—— = К dyt

л = V V -^w_ dxi. dxi ди^ '

у=1 Z = 1

Для уменьшения би необходимо стремиться к уменьшению А и увеличению А. Погрешность А складывается из погрешности Ах определения характеристик {^| для заданного объекта (u^j, а также из неоднозначности Аф оценки Ф для вектора {х?}. Величина А прямо пропорциональна частным производным {dytldx^ и ^дх^ди^. В данном случае нас интересует влияние параметра е на величину би. Мы видим, что с ростом е, которая является нижней оценкой производных Vdytldx^, одновременно падает Аф и растет А. Поэтому наименьшая величина би(е) при прочих равных условиях достигается при е = е.

Итак, если исходная информация о предпочтениях на множестве рассматриваемых объектов отсутствует или недостаточна для однозначного определения функции полезности, то целесообразно использовать такое их описание, при котором эти функции имеют наибольшие значения производных, т. е. наибольшую величину е.

Уточнение целевой функции на основе экспертной информации. Вообще говоря, форма (6) уже представляет собой искомую целевую функцию. Как отмечалось выше, она обеспечивает максимальную разрешающую способность критерия для строго возрастающих функций полезности при отсутствии какой бы то ни было дополнительной информации о предпочтениях. Однако (6), без-

условно, не может считаться универсальным критерием. Нередко возникают ситуации, когда упорядочивания объектов, задаваемые (6), оказываются неприемлемыми с точки зрения лица, принимающего решение. В этом случае любая информация о предпочтениях на множестве тестовых объектов (М) позволит скорректировать критерий (6).

Рассмотрим требования, которые следует предъявить к уточняющей информации. Представляется, что главными из них можно считать полноту и достоверность. Дать строгое определение этим понятиям довольно трудно. Поэтому говоря о достаточном объеме информации, будем считать, что она позволяет сформулировать критерий, не противоречащий всем представлениям лица, принимающего решение, о качестве рассматриваемых объектов из М. Достоверность информации зависит от сложности вопросов, ответы на которые определяют предпочтения лица, принимающего решение, а также от точности даваемых числовых оценок.

Классификация информации с точки зрения ее сложности и достоверности обсуждается в [5]. В пределах данной работы будет рассматриваться случай, когда лицо, принимающее решение, задает предпочтения между тестовыми альтернативами, заданными в пространстве небольшого числа (п^б) частных критериев. Поэтому соображения, связанные с возможностью полного отражения представлений лица, принимающего решение, должны быть положены в основу формирования множества тестовых альтернатив М. С целью повышения достоверности уточняющей информации откажемся от количественного сравнения качества альтернатив (объектов) из М, и на вопрос «какой объект лучше: а или Ь?» ограничимся одним из трех ответов: «а не хуже Ь» ^a>by «а не лучше Ь» yi<by «а и 6 не сравнимы по представлениям лица, принимающего решение».

Таким образом, уточняющая информация представляется в данном случае в форме частичного квазипорядка на множестве М. Если М задается в виде сетки, как это было оговорено выше, то частичный квазипорядок легко установить «припасовыванием» некоторых совершенных порядков [9].

Учет дополнительной информации о предпочтениях приводит к уменьшению величины е и уточнению соответствующих значений {t/ji} в результате дополнения

задачи (3), (5) линейными неравенствами, вытекающими из полученного упорядочения тестовых объектов. Но прежде чем рассматривать дополнительные неравенства, остановимся на способе задания и оценки тестовых объектов в пространстве частных критериев и полезностей.

Вообще говоря, любой объект задастся набором чисел (хь х2,..., Xt,..., Хп), где Xi — интенсивность t-й ха- рактсристики или оценка объекта по шкале f-го критерия. Но поскольку числа Хг для тестовых объектов выбираются всегда из одного и того же множества {xlz, ^2/»-••» Xj^..., xs.^, то /-й оценке однозначно соответствует номер точки rt=j на i-й шкале. Тогда вектор (гь г2,..., rz,..., гл) обозначает объект (л^ь---» хг.^..., хГп^, заданный в пространстве критериев, или (уГ1ь. •., Уг^- • •> Угпп^ —в пространстве полезностей. Таким представлением объектов будем пользоваться в дальнейшем.

Оценку качества тестовых объектов будем производить дополнительными переменными {^ч}, которые в дальнейшем позволят существенно сократить вычисления, связанные с уточнением величин {у^}. Вводя неотрицательные переменные {uji}, преобразуем неравенства (5) в равенства, тогда

Ун = (^ц — ^о<)£ + «н> *=1, 2,..., га;

У jl У j—1,1 = t^ji1,<) 6 4~ Uji 1 / == 1 > 2,. . ., Sz.

Разрешив эту систему относительно z/j,, получим

У jl ^ji " ^z) 5 “Ь И i

^z/=(-Yz-^)e + 2“yi-

;=1

Из нормирующего условия (3) имеем

откудаоткуда

откуда

откуда

Для облегчения последующих записей введем сквозную нумерацию всех переменных. Для этого достаточно двухмерному индексу (/, i) = (гг-> Z) сопоставить одно- z—1

мерный индекс X по правилу ^ = ^ ,StL + /"< = ^< + r‘‘ p.=i

Тогда

v=5,'+1(8)

^,.,-=</5;+1=(^-5г)£+ 2

v = <7z+ 1

Если обозначить

Подставив (9) в (8), получимПодставив (9) в (8), получим

Подставив (9) в (8), получим

Подставив (9) в (8), получим

гдеX= 1, 2,..., L;гдеX= 1, 2,..., L;«х=е (хх—х;\ приведенные выражения«х=е (хх—х;\ приведенные выраженияsisiv = ^/-l) + lv = ^/-l) + l

гдеX= 1, 2,..., L;

гдеX= 1, 2,..., L;

«х=е (хх—х;\ приведенные выражения

«х=е (хх—х;\ приведенные выражения

si

si

v = ^/-l) + l

v = ^/-l) + l

(

£\ х^/

1—2м'+ 2 «v=—“х2

v = l /^^q^lv = l

XL

+ (1 —ax) ^—“x 2s,^ai’(10)

■» = q^-Vlv = X+l

Для стандартного случая примут следующий вид:

L = ns\ е=— ; п

»(«-!)X

(Юа)

Нетрудно заметить, что при (ых=0) для Х= 1, 2,..., L Ух=а-х=уГ1ь а е=е, т. е. соответствуют равноважным критериям с линейными функциями полезности.

Итак, выражения (4) и (10) позволяют любому объекту, заданному вектором (п, Гг,.... г„), сопоставить его оценку Ф(г) как линейную функцию переменных {и,}. Например, для стандартного случая при п=3 и 5 = 5 объект (4, 1, 3) в соответствии с (4) и (10) получит оценку

Ф(4, 1, 3) = f/0+4-|" 1/5+1+ 1/10+3 — 1/4 4* Уб 1/13 =Ф(4, 1, 3) = f/0+4-|" 1/5+1+ 1/10+3 — 1/4 4* Уб 1/13 =

Ф(4, 1, 3) = f/0+4-|" 1/5+1+ 1/10+3 — 1/4 4* Уб 1/13 =

Ф(4, 1, 3) = f/0+4-|" 1/5+1+ 1/10+3 — 1/4 4* Уб 1/13 =

Теперь вернемся к вопросу построения дополнительных ограничений, с помощью которых должны уточняться функции полезности. Пусть лицо, принимающее решение, сформировало последовательность Р из объек-

тов множества М в порядке их относительного предпочтения, причем каждый v-й объект в этой последовательности задан вектором г'=(гь ^....Гп). Например, фрагмент (Р') такой последовательности для стандартного случая при n = 3; s = 5 может выглядеть следующим образом:

541^532 /413 \

444 ^523 F\ 441 /^354 ^521.

В Р' несравнимыми являются пары объектов: (532, 444), (532,523) и (413,441), но 523^413, 523 М41; 413 F354; 441 Н354.

Составим все нетривиальные независимые упорядоченные пары объектов из последовательности Р. При этом пару r'^rv- будем называть тривиальной, если V/=l,..., п n^-rf (например, 523^413). Пара г’Нг11 является зависимой, если ]Н^Р; г’Нг7 и г^г*. Например, для приведенного фрагмента Р' зависимой оказывается пара (413^521). Полная же совокупность интересующих нас пар, которая может быть получена из Р', задается следующим образом:

541^532; 3) 523 ^441; 5) 441Н354;

444 Н523; 4) 413^354; 6) 354^521;

Каждой из выбранных пар г’Н rw сопоставим неравенство Ф (г”) ^> Ф (г*1). Представляя рассмотренным выше способом Ф(г) как линейную функцию от переменных {«,}, после приведения подобных членов найдем систему линейных неравенств относительно этих переменных с матрицей А и вектором свободных членов ₽. Выражения (9) или (9а) позволяют выразить и значение в как линейную функцию от {w,}- В результате получим следующую задачу линейного программирования:

(И)(И)е— —s-u-\-e-^ max; v=A«4-^^>0;

(И)

(И)

и>-0.

Если вектор 0 неотрицателен, то решением задачи (11) является и = 0, е = е. Это значит, что требования, отраженные в частичном квазипорядке Р и выраженные системой неравенств у=Д«+р^0, слабее требований

строгого возрастания функций полезности. Если же среди компонент вектора р окажутся отрицательные, то равноважные линейные функции полезности, которым соответствует вектор и = 0, нс отвечают предпочтениям, заданным последовательностью Р. Однако ц = 0 является условно оптимальным решением задачи (И), что позволяет сразу переходить к поиску оптимального решения ((^J, е), минуя поиск опорного решения, в рамках двойственного симплекс-метода [2]. Для рассматриваемого примера (последовательности Р') задачу (И) можно записать в виде сокращенной симплекс-таблицы (табл. 1).

Сделав один шаг жорданова исключения с разрешающим элементом а^ = 19/55, получим максимальную величину е = 5/19< -~ и оптимальные значения всех переменных. В частности, ^v = 0, при v=l,..., 15, v^4; и4 = 4/285; ч)х = -у6 = 0; ^2~-2/19; ^3 = 1/19; -у5=1/19. После вычисления j^} с помощью (10) или (10а) легко найти искомые величины \yjiV Для нашего случая ^и=1/19;р21 = 2/19;^1 = 3/19;£41-8/19;у51 = 9/19;

Уп —1/19;//22 — 2/19;z/32~ 3/19;z/42 = 4/19;z/52 = 5/19;

У1з=1/19;//23 = 2/19;^33 = 3/19;z/43 = 4/19;//53 = 5/19.

Нетрудно убедиться, что полученные значения ^Ур} удовлетворяют ограничениям (3), (5), а также последовательности Р'.

По найденным точкам ^УзЛ можно вручную построить одномерные непрерывные кривые уДх^, Хг^Хг, xj, обеспечив им максимальную гладкость. На рис. 2 показаны функции полезности частных критериев для разобранного примера. Пунктиром обозначены равноважные линейные функции полезности, соответствующие тому же примеру. Конечно, аналитические выражения для таких гладких кривых найти не всегда возможно, однако вполне приемлемо использовать их кусочно-линейное описание, опираясь на любые узловые точки, снятые с гладкой кривой. Так, кривую г/i (xi) (рис. 2) можно задавать пятью отрезками прямых на участках [0; 0,60], [0,60; 0,67], [0,67; 0,74], [0,74; 0,80], [0,80; 1,00].

Обсуждение результатов. 1. Мы, убедились, что для увеличения разрешающей способности обобщенного критерия необходимо выбирать функции полезности Уг(^г) с максимально возможными производными. С этой целью при неоднозначности описания предпочтений лица, принимающего решение, предлагалось использовать уДа) с наибольшим значением минимальной производной. Возможен и другой подход к выбору функций полезности, связанный с поиском максимального значения средней производной. Для этого достаточно неравенства (5) заменить системой

куj,i Уj—ld ^ £;/Ь

= 1,2,..., п\ j = 1,2,..., sz и, учитывая (3), найти шах е, где

Использование мак- симинного критерия при выборе Уг(хг) приводит, как правило, к появлению нелинейных зависимостей. Между тем линейные функции полезности

Рис. 2

более удобны для практического применения. Предположим, что предпочтениям лица, принимающего решение, не противоречат линейные, но не равноважные функции полезности

Уа=кАхП-^^ i=^2,...,n; /=1, 2,..., sz. (12)

Тогда, построив соответствующую систему неравенств, легко получить задачу линейного программирования относительно неизвестных £*, связанных соотно-

п

шением ^ ^ kxi~^ = 1» с критерием min шах.

Для конструктивного задания такого критерия достаточно ввести дополнительные ограничения ^к^к^ i=l, 2,..., п и решать задачу поиска шахк = к. (В стандарт- п\

ном случае будем иметь y^kijls; ^ kt= 1; ^z > 0 1.

/=i/

Несовместность полученной задачи укажет на неправомерность сделанного предположения. Однако если решение к и будет найдено, то разрешающая способность соответствующего критерия окажется не лучшей, чем у критерия, полученного из решения (е) задачи (И). В самом деле, если У]— множество функций полезности, заданных соотношениями (5), а Уг — аналогичное множество, заданное соотношениями (12), то Y2clYi, откуда к^е. Поэтому попытка искать вначале линейное описание функций полезности, на наш взгляд, была бы не оправданной.

Весьма серьезного внимания заслуживает вопрос о выборе достаточно представительного набора тестовых

альтернатив в пространстве частных критериев. Необходимо, чтобы полученный на основе этого набора обобщенный критерий правильно описывал предпочтения ЛПР для всех точек из допустимого множества альтернатив u^U' или, по крайней мерс, в окрестности наиболее предпочтительных альтернатив из этого множества, которые заранее неизвестны. Сложность вопроса заключается в том, что при любом малом объеме первичной информации о предпочтениях (и даже при ее отсутствии) формально функции Уг^Хг) могут быть получены однозначно, если соответствующие ограничения окажутся совместными. Следовательно, подобное решение нуждается в проверке и корректировке со стороны лица, принимающего решение.

Нам представляется, что если предпочтениям лица, принимающего решение, соответствует аддитивная функция частных полезностей, то построение обобщенного критерия и его использование для выбора наилучшей альтернативы на непрерывном множестве U следует представлять в виде единого итеративного процесса.

Рассмотрим один из возможных способов организации такого процесса. На первой итерации множество Mi задастся Зп тестовыми альтернативами, координаты которых в пространстве частных критериев определяются значениями ^xz; х^ -~ (х^х^ /=1,...,п| или, в других обозначениях, {^-; х\; xL i=lv..,n^ где x?=xj — — А-; Х/ = Х/4~А/, х\ = ^ = -^Чх;-^-х^. На этих альтернативах лицо, принимающее решение, определяет частичный квазипорядок, по которому в соответствии с рассмотренным выше алгоритмом строится Ф1[х(^)] с нормирующим условием Ф1 (х1) =Ф1 (х) = 1. Решив задачу тахФ1[х(^)], u^U, определяем й и соответствующий вектор оценок х2.

На каждой последующей r-й итерации Мт задастся Зп тестовыми альтернативами с координатами \х\; х'; х'; 1~Л,...,п^ где х^шах^х;, х'—△/); X=min(ху; Л/+Д/) , Д-=^Д--1, 0<<7<<1 — параметр алгоритма. На этих альтернативах ЛПР определяет частичный квазипорядок, по которому строится Фг[х(ц)] с нормирующим условием Фг(хг) =Фг-1 (хг). Решив задачу шахФг[х(ц)], u^U, находим х^1, Таким образом, на каждой итера-

ции множество Мт сжимается в окрестности прогнозируемой оптимальной альтернативы и задастся все более подробно. Процедура заканчивается, когда с заданной точностью выполнится условие хт—хт~\ либо когда расстояние на Мт между сравниваемыми альтернативами окажется столь малым, что ЛПР нс сможет установить на них предпочтения.

Легко установить объем задачи линейного программирования на каждой итерации. Количество ограничений, т. е. строк в сокращенной симплекс-таблице, равно числу нетривиальных пар альтернатив, установленных лицом, принимающим решение. Но если бы даже лицо, принимающее решение, задало совершенный порядок на Мъ то соответствующий ряд содержал бы значительно меньше нетривиальных пар, чем число альтернатив У = 3П в множестве Мт. Число же переменных ^у^, т. е. число столбцов в симплекс-таблице, составляет величину З/г. Учитывая, что на каждой итерации (включая первую) поиск ^у^ начинается с условно-оптимального решения, а количество строк в симплекс-таблице значительно превосходит число столбцов, эффективность вычислений можно резко повысить использованием модифицированного двойственного симплекс-метода [2].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Азгальдов Г. Г., Райхман Э. П. О квалиметрии. М., Изд-во стандартов, 1972. 172 с.

Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование. «Наука», 1967, с. 460.

Кини Р. Функции полезности многомерных альтернатив. — В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М., «Мир», 1976, с. 59—79.

Миркин Б. Г. Проблемы группового выбора. М., «Наука», 1974. 256 с.

Озерной В. М., Гафт М. Г. Построение решающих правил в многокритериальных задачах принятия решений. — В кн/. Проблемы принятия решений. Вып. 5. М., Ин-т проблем управления, 1974, с. 30—44.

Подиновский В. В. Многокритериальные задачи с однородными равноценными критериями. — «Журнал вычислительной математики и математической физики», 1975, т. 15, № 2, с. 330—344.

Уайлд Д. Методы поиска экстремума. М., «Наука», 1967. 268 с.

Черников М. Н. Линейные неравенства. М., «Наука», 1968. 488 с.

Шапот Д. В. О построении критериев качества технических объектов. — «Изв. АН СССР. Техническая кибернетика», 1971, № 6, с. 53—59.

УДК 007

Л. С. Гурин

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О СРАВНИТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКЕРАЗЛИЧНЫХ АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯМНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Постановка задачи. Рассмотрим следующую задачу принятия решений. На некотором множестве альтернатив Х=^ задано п критериев ^i = h(^); *=1, 2,..., гц преобразующих множество X в множество U. Более предпочтительными считаются большие значения оценок по критериям. Требуется найти наиболее предпочтительные альтернативы xopt^-^oPt. Как известно, решение такой задачи содержит неустранимые элементы субъективности в связи с использованием информации о предпочтениях лица, принимающего решение. Существует много алгоритмов решения многокритериальных задач, в каждом из которых информация о предпочтениях используется по-разному.

Сравнительная оценка таких алгоритмов (решающих правил) возможна только применительно к конкретным задачам и, в свою очередь, тоже содержит определенные элементы субъективности. Однако, как уже отмечалось [3, 4], это нс делает се бессмысленной. Такая оценка должна производиться также по нескольким критериям, одним из которых является трудоемкость (затраты времени и другие ресурсы) алгоритма. Ниже рассматривается только один подход, дающий возможность ввести частичное упорядочение на множестве алгоритмов. При этом мы не стремимся к наибольшей общности, а также к математической строгости.

В дальнейшем множество X нас не интересует (в частности, оно может быть частью евклидова или банахова пространства) и вместо Xopt речь идет только об его образе t/opt. Как известно, ряд алгоритмов решения многокритериальных задач основан на применении соответствующих систем аксиом. При этом элемент субъективности заключается как в выборе соответствующей си-

стемы аксиом, дающей возможность выделить часть множества U

Ua<^U, (1)

так и в дальнейшем сужении множества Ua до множества (70pt, если таковое производится. В дальнейшем рассматривается только случай, когда в качестве Ua используется множество Парето (7°, причем пренебрегают субъективностью такого выбора, так как в большинстве задач аксиомы Парето можно считать бесспорными. Таким образом, сравнение алгоритмов производится только применительно к задаче с фиксированным множеством Парето U0. Под алгоритмом решения многокритериальной задачи А понимается оператор (процедура), сужающий множество U до

При этом 77opt не обязательно состоит из одной точки wOpt- Алгоритм А содержит формализованную составляющую (алгоритм в собственном смысле слова) и субъективную составляющую (анкету) — вектор субъективных оценок 5Л, реализуемых лицом, принимающим решение, или экспертами.

При сравнении двух алгоритмов Ai и А2 мы будем иметь в виду, что формализованая часть каждого из них фиксирована (задача предполагается детерминированной), а анкеты выбраны из соответствующих множеств

8А1=^А1у, /=1,2.

Заметим, что анкеты $л могут быть очень сложными: одни составляющие вектора 5Л могут быть дискретными (в частности, булевыми) переменными, а другие — точками пространств любой размерности. Это связано с особенностями опроса экспертов в ходе реализации алгоритма. Некоторые примеры приведены ниже. Мы ограничимся случаями, когда на множестве SA может быть задана вероятностная мера ц($л). Такая мера может быть построена на основе статистической обработки результатов опроса некоторого множества экспертов или другими способами (например, если эксперт один, он может сам задавать числовые характеристики соответствующих распределений, как это делается при построении сетевых графиков).

Частичное упорядочение алгоритмов в случае, когда [/Opt состоит из единственной точки. Рассмотрим случай, когда каждой анкете sA соответствует единственная точка uOpt^U°. Алгоритм А будем считать достаточным, если для каждой точки u^U^ найдется по крайней мере одна анкета sA£SA, приводящая к выбору и в качестве ^opt. При таком соответствии на U0 индуцируется вероятностная мера на каждом множестве, прообраз которого в SA входит в о-алгебру событий.

Введем понятие центрирования распределения. Для этого, кроме вероятностной меры, заданной на SA и индуцированной на [7°, необходимо использовать определенную координатную систему. Здесь возможны два подхода.

Поскольку U0 есть подмножество евклидова п-мер- ного пространства, можно ввести на нем систему координат

^^^(zz!,..., zzj; 7=1,..., п — 1. (2)

Выбор такой системы содержит элемент субъективности, о котором говорилось выше. Этот подход будем применять в том случае, когда индуцированная вероятностная мера имеет плотность рА(^) на множестве IF\ причем математическое ожидание wAeW°, где

J ^Pa ^d^\ (3)

в этом случае будем говорить о центрировании по Парето.

В других случаях удобнее ввести центрирование по SA. Во-первых, это можно сделать, если SA является подмножеством евклидова пространства, содержащим точку

$Л=( sdy.A- (4)

Во-вторых, можно использовать некоторую имеющуюся симметрию множества SA для разумного определения центра, не совпадающего с математическим ожиданием. Однако ниже этот вариант не рассматривается. В первом же варианте для последующих построений (кроме специально оговоренных) будем предполагать существование плотности Pa^s) на множестве 5Л.

Кроме того, в этом случае, а также при центрировании по Парето плотность предполагается унимодальной.

Перейдем к сравнению двух алгоритмов Ai и А2. Это сравнение зависит от способа центрирования. Будем писать все соотношения для центрирования по Парето, а в скобках указывать соответствующие соотношения для центрирования noSA/. Обозначим через ча)д. киА^ точку lF°(t/°), полученную по (3) [соответствующую sA‘l по (4)]. Если

^a^aAua^ua^ (5)

то алгоритмы Ai и А2 будем называть взаимно несмещенными, а общую точку (5) обозначать просто Wopt(^opt). Будем говорить, что алгоритм Ai не менее предпочтителен, чем алгоритм А2 (Ai<—А2) в сильном смысле, если для любого измеримого по Ai и А2 подмножества ^^^(^czt/0), содержащего точку ^opt(^opt), имеем

р-Дх (^9 > ^д2 (^9 (р-л х (^9 > Р'Дх (^9)- (6)

Если в (6) для некоторых W'^U^ неравенство строгое, будем писать AiHA2. В этом определении существование плотностей вероятностей не предполагается.

Можно определить и более слабые условия предпочтительности, например, потребовав выполнения (6) и более строгих неравенств не для всех подмножеств W (U'), а, скажем, только для тех, для которых ^л, т>А.

Если свойство взаимной несмещенности не имеет места, то можно дать следующее определение, также зависящее от способа центрирования. Сформулируем его для случая центрирования по анкете, второй случай аналогичен.

Рассмотрим в 5Л1 область, ограниченную поверхностью равной плотности, такую, что ее отображение Ux в U° содержит мд, (образ 5Л=). В SA= также рассмотрим аналогичную область, отображение U^ которой в U0 содержит Мд, (образ $Л1). Естественно предположить, что Ui2=U\ П U^ содержит «истинную» точку морь Считаем Л1 П ^2, если

Р-л, (^12) ^ Рл, (^ 12)

(7)

для любой области Ux^ полученной описанным способом, а если при этом для некоторых 7712 неравенство (7) строгое, считаем Д1^Д2.

Можно поставить следующую задачу: найти точку ^opt 12, соответствующую одновременному использованию обоих алгоритмов Д1 и Дг. Для этого задаемся некоторой вероятностью р и строим в 5Л1 и SA^ области, соответственно содержащие sAi и sA^ ограниченные поверхностями равной плотности вероятностей, такие, что вероятность попадания в них одинакова и равна р. Обозначим их отображения в U° через Ux(p) и UHpY Существуют такие значения р, для которых Uf(р) П U2(p) не пусто (например, р=1). Если среди таких р существует наименьшее значение ртш, то можно определить

U^ = U4p^^U4px^. (8)

Заметим, что 77opt может содержать более, чем одну точку. Если значение рШт не существует, то можно использовать понятие эффективной последовательности [5]. Очевидно, что подобную (8) конструкцию можно использовать и в случае многих алгоритмов.

В заключение отметим следующее. Сравнение алгоритмов Д1 и Д2 проводилось выше при фиксированном множестве 77° (т. е. фиксированной задаче). Проведя такое исследование на множестве задач и соответствующих l/^ cdeQ, можно произвести районирование Q, т. е. его разделение Q = Qi U ^2, где Д1НД2 при co^Qi, Д2НД1 при о)£Й2.

Частичное упорядочение алгоритмов в более общем случае. Рассмотрим случай, когда хотя бы один из алгоритмов, Ах или А2, таков, что отображение анкеты £л на U0 может состоять не из единственной точки, а из некоторого подмножества 77° (5Л). Здесь возможны различные варианты.

Пусть для алгоритма Д1 U0(sAx^ состоит из одной точки, а для А2 это не имеет места. Рассматривается случай центрирования по анкетам. Тогда Ах задает меру на 77°, назовем ее элемент ds. Остается определить меру, индуцированную на 77° алгоритмом А2) и все изложенное на стр. 129—131 перенесется на рассматриваемый вариант. При фиксированном 5Л2 назовем условной плот-

ностью в точке и € ^° ($л2) величину р (ы|$л 2)=р ($л 2) X X ( ds \ Обозначим через Iu a SA* множество ан-

U0 ($Л2)

кет 5Лз таких, что u^U^s^. Тогда точке и приписывается плотность относительно меры р^АЛ: р (^) = = — \p^u\sA^dsA^. Интегрируя эту плотность по мере с j

в 5Л1, получаем искомую индуцируемую алгоритмомв 5Л1, получаем искомую индуцируемую алгоритмоммеру на U0. Нормирующий множитель с находится изусловия [ p^ds=\, т. е. с Г Г —. 1меру на U0. Нормирующий множитель с находится изусловия [ p^ds=\, т. е. с Г Г —. 1U0XdsA^ds.U0XdsA^ds.ио iuио iu) ds_ио(5А^)) ds_ио(5А^)

в 5Л1, получаем искомую индуцируемую алгоритмом

в 5Л1, получаем искомую индуцируемую алгоритмом

меру на U0. Нормирующий множитель с находится из

условия [ p^ds=\, т. е. с Г Г —. 1

меру на U0. Нормирующий множитель с находится из

условия [ p^ds=\, т. е. с Г Г —. 1

U0

XdsA^ds.

U0

XdsA^ds.

ио iu

ио iu

) ds

_ио(5А^)

) ds

_ио(5А^)

Если можно центрировать по Парето, т. е. можно перейти от U0 к 1F0, но оба алгоритма Ах и А2 не выде

ляют единственных точек, то изложенную выше конструкцию можно применить к обоим алгоритмам. Роль элемента ds в этом случае может играть нормированный элемент обычной лебеговской меры на W0 (предполагается, что общая лебеговская мера множества W0 конечна).

В случае центрирования по Парето можно сделать дальнейшее обобщение. Множества 5Л1 и SAa могут

быть и дискретными. Рассмотрим для конкретности

одно из них, назовем его просто 5Л. Пусть его элемен

там StA соответствуют вероятности рг(2рг = 1). Тогда

в точкев точкеиндуцированной 5Л,индуцированной 5Л,w имеем плотность меры,— V Pi Г \^1

в точке

в точке

индуцированной 5Л,

индуцированной 5Л,

Здесь W (SiA) — подмножество 117, соответствующее точке St\ a Iw— множество таких точек, для которых w^W(stAy с — нормирующий множитель, получаемый из условия p(w)ds = 1.

Wo

Более трудным является случай, когда 5Лз дискретно и центрирование по Парето невозможно. В этом

случае можно предложить несколько подходов к решению задачи, но каждый из них при полном изложении требует специальных оговорок. Ограничимся весьма кратким изложением этих подходов:

если 5Л*допускает центрирование и каждому 5Л1 соответствует только одна точка на (7°, то на (7° имеется

мера, индуцируемая 5Л1. Назовем элемент этой меры ds. Теперь по аналогии с пунктами 1 и 3 можно определить на /7° меру (но не плотность), индуцируемую 5Ач Эту меру можно снова перенести на 5Л1, произвести там центрирование, а в отдельных случаях и выделить поверхности равной плотности, а затем перенести эти конструкции на U0. Дальнейшее сравнение Aj и А2 производится, как на стр. 129—131.

можно применить идею рандомизации, вложив дискретное множество SA> в некоторое пространство так, чтобы допускалось центрирование;

можно дополнить алгоритм А2 до некоторого нового алгоритма А2 так, чтобы соответствующие анкеты <$л2 выделяли на U° только по одной точке;

если Л1 допускает центрирование и выделяет на U0 по точке, то можно рассмотреть sAx и последовательность содержащих его подмножеств, ограниченных поверхностями равной плотности, таких, что вероятность попадания в них равна ркх. Обозначим их образы в U0 через Uk\ а через pt и U? вероятности анкет s^ и выделяемые ими подмножества на U0. Если для некоторых к и I имеют место соотношения Ui2ciUkx и рг>рк\ то будем считать Л2НЛЬ Аналогично определяется обратное соотношение. Заметим, что это определение допускает случаи не только несравнимости, но и противоречивости.

Примеры. В качестве фиксированного множества Парето IP примем up-VuP^X; их^0\ ц2^0. В этом случае вводим координату w (единственную) из уравнений ux = cosw; w2 = sinew; 0 <^-zw ^"^" • В дальнейшем будем рассматривать только задачи с центрированием по 1F\

В качестве алгоритмов для сравнения примем следующие.

Алгоритм А]. Векторный критерий («ь ц2) свертывается в скалярный по формуле к = ахихРа2и2; 0i + + а2=1; а^О. В этом случае sA=(ax, a2Y Между sA и w имеет место соотношение

cos wsin w

CLX,^2——,

sin 1Ю + cos wsin W + cos w

Возьмем для примера случай, когда распределение $л таково, что на №° индуцируется плотность

р (та) = sin 2та.(9)

Тогда w = ^; ах=а2 = -^-. В силу симметрии законы распределения ах и а2 совпадают и в качестве характеристики дисперсии 5Л удобно принять просто дисперсию Яь

2

02(а1) = Ца1—Ly^(№)^=J^l~o,O354. (10) о

Алгоритм А2. Рассмотрим метод последовательных уступок [1]. Анкета £л сводится к упорядочению критериев их и ц2 по важности, т. е. выбору одной из перестановок 1 :2 или 2: 1, и последующему назначению допустимой уступки 6. Для сравнения с предыдущим примером примем, что перестановки принимаются равно/т/ 2 \

вероятно, а 6 имеет такое распределение на( 0,1— j ,

что индуцирует на W0 распределение (9). Здесь естественно в качестве характеристики дисперсии £л взять второй начальный момент 6 относительно точки 3= 1 — (так как именно этой точке соответствует центр на №°):

т2(^ = 2 ^cosw —^- j /?(^)^ = ^(23—16]/2)^ о

^0,031.

мерно распределена на/0мерно распределена на/0, а эксперт располагает, а эксперт располагаетАлгоритм А3. Пусть на №° задано, т. е. получено при помощи некоторого алгоритма — формализованной части Аз, М = 2п+1 точек, а £л состоит в выборе одной из них. Предполагаем, что каждая из N точек равно- л

мерно распределена на/0

мерно распределена на/0

, а эксперт располагает

, а эксперт располагает

их по величине w: wX)..., w2n+iH выбирает одну из них с вероятностями p(wi)=pi. Относительно вероятностей рг примем

2/74-12/7 4-1

2Amax^/z + b Pi = P2n+2-h Т. е- 2

z — 1z = 1

1

2л+1

Тогда дисперсия /а2(/) = ^ ^”n~W Pi характеризует качество анкеты $л.

Найдем закон распределения точки w на W0;

2п+12п+11=11=1

2п+1

2п+1

1=1

1=1

Используя (11), получаем

—1 ; 1 / Л\2л+1— I

>п ^ 1^w I Pl-

(12)

22

^ p^difi)=\\ ^ 45)p^diw=-^- ; оо

2

, - —V р и d„=* |2130+<1±1№+ЗД

416 I {п + 1) (2л + 3)

О

(13)

Несколько упрощая задачу, сравним алгоритм Д3 с Д1 и А2. Поскольку (12) и (9) имеют совпадающие математические ожидания, то сравним их дисперсии. Для ^2 J

(9) имеем а2 (■$>)=——— . Сравнивая с (13), полу

чаем условие А3 <— A j:

4 , g2(z) +(n + l)(n +2)

Л2

(л + 1)(2п +3)

(И)

Интересно исследовать простейший частный случай o2(Z)=0, т. е. когда лицо, принимающее решение,всегда выбирает Z=n+1. В этом случае (14) дает

4। л + 2, ।

л^ 2/г -f- 3

(15)

Это условие выполняется, начиная с п=2, однако уже при п=1 алгоритмы сравнимы, так как левая часть (15) мало отличается от единицы. Заметим, что при этом сравнении мы считали, что для Xi дисперсия определяется по формуле (10). При изменении o2(ai) результаты изменятся. Далее алгоритм А3 может быть улучшен, если уменьшить произвол в выборе точек Wt, например, если разделить интервал (о,-^ на 2п+1 отрезков и задавать Wi равномерно распределяемой в со-

ответствующем отрезке. Назовем полученный алгоритм Лз'. Для него вместо последней из формул (13) получим

2

v (л у , . , Г л 12г 1 I 9

\ нао(ту)й?®= ka2(z .

J \4 )[2(2п + 1)] L 12)

о

Формулы (14) и (15) заменяются соответственно на

1 -(—-—М-н-*2^)^—к 2п + 1 / \ 12/ л2

И

1—L/—(1б)

3 \ 2n + 1 / ' л2

Условие (16) уже твердо выполняется при л=1.

Алгоритм Л4. Рассматриваемся алгоритм следующего типа [2]. В пространстве U=^u,\, Ui)^U выбирается N точек и эксперт располагает их в порядке предпочтительности

zz1Fzz2H. • • ^«zv-zz1Fzz2H. • • ^«zv-(1?)(1?)

zz1Fzz2H. • • ^«zv-

zz1Fzz2H. • • ^«zv-

(1?)

(1?)

Отыскивается первая в ряду (17) точка wopt, содержащаяся в допустимом множестве I/, которая и принимается за решение. Точка wopt, вообще говоря, не содержится в U°, а выделяет на нем подмножество Т/°(5Л4) = = (и: и^й0^}. Анкета sA* представляет собой некоторую перестановку из N чисел. Не все N\ перестановок допустимы, так как в (17) не должно быть противоречий, т. е. не должно быть щ Н и^ при Ut<Uj.

Задав вероятности pt всех допустимых перестановок, получим случай, изложенный в пункте 3 (стр. 132).

Возьмем, для конкретности, следующий набор точек:

Из условия непротиворечивости возможно только 3!2! = 12 перестановок, так как Ui всегда должен быть на первом месте, и^ и и6— на двух последних. Учитывая симметрию задачи, достаточно задать одну вероятность р того, что точка щ будет в перестановке занимать

второе место. Тогда каждая из точек «2 и^з будет занимать это место с вероятностью ”^" • Поскольку uy^U, в качестве HOpt может фигурировать только одна из точек: и^ из или и^ попавшая на второе место. Легко видеть, что алгоритм А4 в этом случае эквивалентен рассмотренному выше алгоритму Аз' при п=\.

— р ~

Р\ = Ра = -^ Р^Р-

В заключение заметим, что в нашем примере, взятом в общем виде (без конкретизации U и точек и^, замечания бив пункта 4 (см. стр. 132) имеют соответственно следующий смысл:

точки Ut можно считать не фиксированным^ а распределенными по соответствующим законам в U (тогда и вероятности рг выбора точки Ui в качестве wOpt будут зависеть от положения точки и^;

алгоритм Л4 можно заменить алгоритмом А4 (выделяющим на £7° единственную точку) любым из указанных в [2] способов а — г.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Вентцель Е. С. Введение в исследование операций. М., «Советское радио», 1964. 388 с.

Гурин Л. С. Некоторые вопросы векторной оптимизации — «Автоматика и вычислительная техника», 1974, № 4, с. 40—44.

Гурин Л. С. Элементы субъективности и векторная оптимизация.— В кн.: «Материалы I Всесоюзной конференции по исследованию операций». Минск, Ин-т математики АН БССР, 1975, с. 252—255.

Исследование операций. Методологические аспекты. М., «Наука», 1972, с. 127—130.

Подиновский В. В. Эффективные последовательности и их свойства. — «Тр. семинара «Матем. методы в социальных науках», 1973, вып. 2, с. 75—88.

УДК 007

В. А. Глотов, В. М. Гречко, В. В. Павельев

МЕТОД ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙПРИ ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ КРИТЕРИЯХ

Постановка задачи. При решении различных задач проектирования [2], планирования [8] и оценки качества [5] использовались критерии, оценки по шкалам которых выражены словами. Словесные выражения Л. Заде [10] назвал значениями лингвистической переменной. Это позволяет именовать критерии, оценки по шкалам которых являются словами, лингвистическими. Совокупность оценок объекта по шкалам лингвистических критериев задает его лингвистическое описание. В рамках лингвистического описания могут быть поставлены различные задачи, например, распознавания образов [1] или классификации [7]. Задаче многомерной классификации, таксономии или распознавания образов посвящено огромное число публикаций. Эти работы в отношении исходного описания можно разделить на два класса: публикации, в которых основной задачей является построение эффективного описания, т. е. такого описания, для которого решающее правило почти очевидно [3], и публикации, в которых требования к описанию минимальны и основное внимание уделяется выбору решающего правила из некоторого класса, исходя, например, из минимизации среднего риска [4].

Ниже предлагается один из подходов к построению эффективного описания. Сущность этого подхода состоит в том, что используется информация от лица, принимающего решение, для эффективного описания задачи классификации. Информация лица, принимающего решение, о классификации сочетаний оценок по парам критериев, т. е. оценок, принадлежащих координатным плоскостям пространства лингвистических критериев, имеет вид «Таблиц классификаций». Таблицы классификаций были впервые использованы в работе [5] при 138

разработке метода оценки качества научно-технических статей. Для критериев «новизна» и «перспективность», используемых при оценке тем пятилетнего плана издательства, сочетания оценок приведены в табл. 1.

Таблица 1

Перспективность

Тема

новая

традиционная

устаревшая

Тема длительной перспективы

Очень хорошо

Хорошо

Плохо

Тема пятилетней перспективы

Хорошо

Хорошо

Плохо

Тема неперспективная

Плохо

Плохо

Очень плохо

При построении таких таблиц предполагается, что по остальным критериям оцениваемый объект имеет наилучшие оценки. Таблицы классификаций как вид получения информации от лица, принимающего решение, были выбраны потому, что исходили из гипотезы «ограниченности». Согласно гипотезе ограниченности человек может одновременно учитывать ограниченное количество событий, факторов или критериев. Эта гипотеза проверялась экспериментально. Авторами было установлено, что при повторной классификации лицом, принимающим решение, гипотетических объектов, отличающихся оценками по двум и трем критериям, различие в классификациях составило 6% и 30% соответственно. При этой классификации гипотетических объектов, отличающихся оценками по трем критериям, были серьезные затруднения у лица, принимающего решение.

Таблицы классификаций могут быть заменены логическими функциями следующего вида:

Vv если (lh Ij^^G^ flj=f(l{, t^ 0)=V2> если (Z„ Ц, 0)6 <J2,

i ± j, i, j=1,2,...,n~ ‘ " '

Vn если (Z(-, Ip 0) € Qn

где (Zf, Zj, 0) — точка на плоскости LiOLj пространства L = LxxL2X .. .XLm лингвистических критериев {Vt|Z=

= 1, 2 г)—обозначения классов; {G/]Z=1, 2,..., г} — области на плоскости LtOLj, в которых оценки относятся к классу Vt.

Например, логическая функция для табл. 1 выглядит следующим образом:

/ „очень хорошо** если (/,,/2, б) = (/{,/2, б);

„хорошо**, если (Zb Z2, б) = {(Zt /2, б); (Zb Zi, б)}; „посредственно**, если (Zb Z2, 6) = (Zb Z2, б);

1,2 „плохо**, если (Zb Z2, б) =

=11 б), VL 11 б), (Zf, 11 б), <1111 0)};

„очень плохо", если (Zb Z2, 6j=(Zb Z^ 0).

Используя таблицы классификации или логические функции (f = fa, i^b /,/=!, 2,... /г) переходим от исходного описания к новому табличному описанию. Формально этот переход можно записать так:

, П

где / = (/1, /2,-.., ^) —лингвистическое описание объек- п_

та; U f -.Л1р I р^—табличное описание объекта; L— оператор перехода от лингвистического описания к табличному.

Таблицы классификаций содержат информацию, которая изменяет неопределенность задачи. Эта информация может быть выражена количественно:

где ZV0--=log2iV0="log2 П Z?,=^log2&z—энтропия исходно- i=i ;=1

го описания;

//i = log2 Wi = log2Co^n(zi-i)+r-i — энтропия табличного описания;

п

7V0 = П hi — число состояний исходного описания;

1=1

^^Со^л-п+г-!—число состояний табличного описания;

&, — число оценок на шкале I критерия; п, г — число критериев и классов; 0,5 n(n — 1) —число таблиц классификаций.

Наряду с информацией может быть рассчитан коэффициент информативности таблиц:

v / | Н\ |1о&Со5^(п_1)+г_1

“ Но ~ Ни ~'

log2 hi

1=1 п

Если П^^^^л-п+г-ь то таблицы классификаций снижают неопределенность задачи. Информативность таблиц тем выше, чем больше оценок на шкалах критериев и чем меньше классов в таблицах классификаций.

Решающие правила. Эффективность описания в виде таблиц классификаций состоит в том, что решающие правила становятся очевидными. Ими являются, например, стратегии усреднения, большинства и прочие, которыми широко пользуется человек в своей повседневной практике. Выбор стратегии поручается лицу, принимающему решение. Действительно, информация, содержащаяся в таблицах классификации, указывает, сколько раз относится оцениваемый объект к каждому классу. Интерпретируя классы, к которым относятся проекции оцениваемого объекта, как «голоса» в некоторой схеме «голосования», получаем возможность использования упомянутых выше стратегий. Переход от исходного описания к схеме «голосования» может быть представлен так:

/=(Л, /2,..., /Л)Л и /и^Ц 0^(пъ пД,

где Г — оператор «голосования», обозначающий подсчет числа проекций («голосов» гц (/=1, 2,..., г), относящихся к классу Vt.

Таким образом, задача классификации объекта с лингвистическими оценками сводится к задаче построения решающего правила или выбора стратегии «голосования». Это решающее правило должно указывать класс, к которому необходимо отнести оцениваемый объект по набору чисел nt (/= 1, 2,..., г). В операторной форме переход от решающего правила в исходном описании

к решающему правилу в «табличном» описании будет следующим:

7?0 (^1’^л)^1 (^1> ^2>е«*> ^т),

где W — оператор перехода от одного решающего правила к другому; /?о,— решающие правила в исход

ном и «табличном» описании.

В отдельных случаях при любом разумном решающем правиле результат очевиден. Например, если ^ = 0,5/г(/г—1), то /?1 (О, 0,..., 0,5/г (/г — 1),..., 0) = ^. Однако в общем случае выбор решающего правила прерогатива ЛИР, который может производить выбор, например, из следующих решающих правил:

а) правило о среднем Ri^ni, n^...s nT) = Vt, если t—1г

2 ^=2 п^ б) правило простого большинства 7?i(ni, у=1у=/+1

^2,..., ti^ = Vt, если п^п^ у=1, 2,..., г; в) правило гарантированного большинства Rx^x, ^--ч пг) = ¥ь, если —v = 1, 2,..., г.

г 3

Эти решающие правила в различной мере чувствительны к изменению таблиц классификации. Статистическое исследование чувствительности некоторых решающих правил было проведено в работе [6]. Результаты исследований позволили сделать вывод о том, что для проведения научно-технической политики лицо, принимающее решение, может использовать как таблицы классификации, так и решающие правила. Выбирая одно из решающих правил или комбинируя их между собой, лицо, принимающее решение, активно воздействует на результаты классификации. Операции, которые он выполняет, просты и понятны. Таким образом, заполняя таблицы классификаций и выбирая решающее правило, лицо, принимающее решение, по существу участвует в разработке метода классификации.

Метод классификации при лингвистических критериях. Этот метод заключается в составлении таблиц классификации и решающего правила. Таблицы классификаций позволяют получить эффективное описание, а решающее правило указывает класс, к которому необходимо отнести оцениваемый объект. В методе классификации предполагается, что классы, к которым необходимо отнести оцениваемый объект, выражаются шкалой

желательности Е. Харрингтона [9]. Эта шкала устанавливает соответствие между лингвистическими оценками и числовыми интервалами:

«очень хорошо» — 1,0—0,8;«хорошо» — 0,8—0,63;«посредственно» — 0,63—0,37;

«плохо» — 0,37—0,2; «очень плохо» — 0,2—0,00.

Используя шкалу Е. Харрингтона, строим следующее правило:

/?i(#i’ - • ” ^5) =

V\ („очень хорошо*), если £>0,8;

V2 („хорошо*); если 0,8 >£>0,63;

— Из („посредствено*) если 0,63 >£>0,37;

1/4 („плохо*),если0,37>£>0,2;

у5 („очень плохо*), если 0,2 >£>0,00, 5

где£ = ——,

0,5л (и—1)

gt — средняя числовая оценка объекта по шкале Е. Харрингтона (например, «очень хорошо» gi = 0,71).

Практическое применение метода. Предложенный метод нашел практическое применение при классификации тем пятилетнего плана на 1976—1980 гг. издательства «Машиностроение». Каждая из 1840 тем, предложенных на включение в план, оценивалась 25 экспертами по семи критериям (табл. 2). Экспертами были руководители предприятий, НИИ и КБ. Затем результаты экспертных оценок усреднялись. Лицом, принимающим решение, был главный редактор издательства. Он классифицировал оценки, принадлежащие координатным плоскостям пространства лингвистических критериев, т. е. относил оценки проекций к одному из классов: «очень хорошо», «хорошо», «посредственно», «плохо» и «очень плохо» (табл. 3). Использование решающего правила /?1* позволяет найти класс, к которому следует отнести тему. В качестве примера в табл. 4 приведена классификация тем направления «Гидравлика и пневматика».

Издательство «Машиностроение» АНКЕТА

ОЦЕНКИ ПЕРСПЕКТИВНОЙ ТЕМАТИКИ Тематическое направление Гидравлика и пневматика

Порядковый номер в проекте тематического плана

Оценочные критерии

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

246

ах — тема новая

X

X

х

X

X

х

х

X

X

X

X

X

Новизна Л

а2— тема традиционная

X 1

X

х

а3— тема устаревшая

1

1

х

бх — тема длительной перспективы

X

X

X

X

Перспективность Б

б2—темапятилетней

перспективы

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

б3 — тема неперспективная

Соответствие темы важнейшим направлениям разви

вх — полное соответствие

X

X

X

1 X

X

X

х

X 1

X

X

X

X

82 — частичное соответствие

х

X

X

тия науки и техники В

8^—не соответствует

X

Си

1 1

1

1

Практическое (прикладное) зна

чение Г

Si — большое

X

1

1

1 X

X

г2 — существенное

X

х

х

X 1

1 х

1 X

X

1 X

X

X _

53 — малое

X

X

X 1

Достаточность обоснованного материала для напи- сания книги Д

di — вполне достаточно

х

х

1 х

1

1 X

X

X

1 X

X

X

X

X

X

д2—имеющийся материал не охватывает всех вопросов

X

X

X

X

53— материала недостаточно

Развитие работ по теме Е

51 — результаты нашли широкое применение

X

X

X

52 — ведутся научные и опытно - конструкторские работы

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

53 — тема на стадии поисковых исследований

Обеспеченность книжными изданиями по теме Ж

Ж\ — литературы нет

х|

х

X

X

х

X

х

х

X

х

X

х

Ж2 — недостаточное количество

X

X

X

ж3 — литературы вполне достаточно

X

А А

аз ^2 Qi

?1 52 б^^Б 6^ 62 6^8

А Б gjp I I 7 I 5. Q^LLL 52 ^ШЛШ б1 £ ж1 жг ж3Ж д1 д^ д^ в

3

2

1

ц

3

2

5

4

3

Б б

3

2

1

4

3

2

5

4

3

2

2

1

4

3

2

5

4

3

г1 ^2 ^ 4 Б2 д3Д

Примечание. 5-. очень хорошо", 4 - хорошо”, 3-посредственно, 2-., плохо”,

1-.,очень плохо''

Таблица 4

Координат

Номер темы

ные плоскости

231

|232

1 233

,234

|235

|236

|237

238

|239

,240

|241

|242

|243|

244

245

,246

АБ

4

15

1 4

1 4

1 4

13

1 4

5

1 4 |

3

1 2

15

1 5

5

4

1 4

АВ

5

15

1 5

1 5

1 5

1 4

1 5

5

I4

5

1 2

15

1 4 !

5

5

1 5

АГ

5

1 5

1 4

1 4

1 4

2

1 5

5

1 4

4

| 1

1 3

1 2

4

4

1 4

АД

5

1 5

1 5

1 3

15

5

1 5

3

1 з

5

1 2

12

h

5

5

1 5

АЕ

5

1 5

1 3

1 3

1 3

4

1 5

3

1 3

2

1 2

1 3

1 2

3

3

| 3

АЖ

5

1 5

1 5

1 5

1 5

3

1 5

5

1 5 |

1 5

1 1

1 4

1 з

5

5

1 5

БВ

4

1 5

1 4

1 4

1 4

3

1 4

5

1 з |

1 4

1 3

1 5

1 5

4

4

1 4

БГ

3

1 5

1 3

1 3

1 з

3

1 4

5

1 з

1 2

1 2

1 2

1 2

3

3

| 3

БД

4

1 5

1 4

13

1 4

4

1 4

4

h |

4

1 4

1 4

1 5

4

4

1 4

БЕ

4

1 5

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

5

|4 |

4

1 4

1 5

1 5

4

4

| 4

БЖ

5

1 5

1 5

1 5

1 5

h

1 5

5

1 5

1 5

1 2

1 5

1 5

5

5

1 5

ВГ

4

1 5

1 4

1 5

1 4

1 2

1 5

5

,4 |

1 4

1 2

1 2

1 4

4

4

1 4

вд

5

1 5

1 5

1 4

1 5

1 4

1 3

4

1 4 |

5

1 4

14

1 5

5

5

1 5

BE

4

1 5

1 4

1 4

h

1 4

1 5

4

1 3

1 4

1 3

1 4

1 4

1 4

5

1 4

вж

5

1 5

1 5

1 3

1 5

1 3

1 5

5

1 4

1 5

1 2

1 4

h

1 5

5

1 5

ГД

4

1 5

1 4

1 3

1 4

1 з

1 5

2

1 з

1 4

1 з

1 2

h

1 4

4

1 4

Продолжение табл. 4

Координатные плоскости

Номер темы

231

232,

233

234| 235, 23б| 23?|

238|

239|

24о|

241

| 242

|243|

244]

24б|

246

ГЕ

4

5 1

4

4 1

4 1

2 1

5 1

5 1

4 1

4 1

2

1 2

1 4 |

4 1

4 1

4

ГЖ

4 1

5 1

4 1

|4 |

4 1

3 1

5 1

5 1

4 1

4 1

1

1 з

,4 |

4 1

4 1

4

ДЕ

4 1

5 |

4

1 з |

4 1

5 1

5 1

3 1

3 1

4 1

4 1

1 3

14 |

4 1

4 1

4

ДЖ |

5 1

5 I

5 1

4 1

5 1

4 1

5 1

4 1

4 1

5 1

2

1 3

1 4 |

4 1

5 1

5

ЕЖ

1 5

5

,5 1

5 1

5 1

5 1

5 1

5 1

5 1

5

1 5

I 2 |

4 1

5 1

5

Класс темы

|4 |

5 I

4 1

|4 |

4 1

4 1

5 1

5 I

3 1

4 1

з 1

|з

1 4 |

4 1

4 1

4

П р и м е ч а 2 — «ПЛОХО» ; 1 -

-«очень

— «очень хорошо» плохо».

; 4 -

- «хорошо»;

3 —

«посредственно»;

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Айзерман М. А., Браверман Э. М., Розоноэр Л. И. Метод потенциальных функций в теории обучения машин. М., «Наука», 1970. 384 с.

Выбор рациональных вариантов технологических схем шахт с учетом большого числа критериев. — «Изв. вузов. Горный журнал.», 1972, № 5, с. 3—8. Авт.: С. В. Емельянов, В. М. Озерной, О. И. Ларичев, М. Г. Гафт, А. С. Бурчаков, В. А. Харченко, Л. А. Кафонин.

Бонгард М. М. Проблема узнавания. М,. «Наука», 1967. 320 с.

Вапник В. Н., Червоненкис А. Я. Теория распознавания образов. М., «Наука», 1974. 416 с.

Глотов В. А., Кузнецова Н. Н., Ларичев О. И. Метод оценки качества журнальных статей. — В кн.: Тезисы докладов VI Симпозиума по кибернетике. Тбилиси, НТО «Приборпром», 1972, с. 59—62.

Глотов В. А., Фуремс М. Е. Построение и исследование алгоритма классификации научно-технических статей. — В кн.: Труды XXI конференции молодых ученых Института проблем управления». М., «Наука», 1976, с. 38—41.

Дорофеюк А. А. Алгоритмы автоматической классификации. — В кн.: Проблемы расширения возможности автоматов. Вып. 1. М., Ин-т проблем управления, 1971, с. 40—45.

Метод формирования тематического плана НИОКР. — В кн.: Перспективное планирование научных исследований и разработок. М., «Наука», 1974, с. 118—127. Авт.: А. И. Богданов, О. И. Ларичев, В. В. Павельев, А. Ю. Терехина, К- Г. Генев, И. Д. Славков.

Harrington Е. С. Ir. The Desiribility Function. — «Industry Quality Control», 1965, vol. 21, N 10, p. 494—498.

Zaden L. A. Outline of a New Approach to Analysis of Complex Systems and Decision Processes. — «IEEE Trans. Syst. Man. Cy- bern.», 1973, vol. 5, MC-5, p. 28—44.

УДК 007

Р. Б. Статников

РЕШЕНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧПРОЕКТИРОВАНИЯ МАШИН НА ОСНОВЕИССЛЕДОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВ ПАРАМЕТРОВ

Введение. Задачи выбора параметров проектируемых механизмов и машин являются многокритериальными. Их решение связано с необходимостью удовлетворения противоречивых требований, предъявляемых к ним при проектировании [1, 5].

Проектируемые механизмы и машины обычно характеризуются векторным критерием качества Ф= = Ф (Фь ..., Фь), составляющие которого Фу , v = = 1, 2,..., к— локальные критерии. Ими, в частности, могут быть масса, габариты, коэффициент полезного действия, допустимые усилия в отдельных звеньях, точность воспроизведения заданного закона движения, прочность, надежность, долговечность, амплитуды перемещения и ускорение масс и т. п.

Определим локальный критерий Фу (v=l,..., /г) как числовую характеристику машины, которая связана с ее качеством строго монотонной зависимостью — чем меньше (больше) величина Фу, тем лучше машина при прочих равных условиях [2]. В дальнейшем будем полагать, что все локальные критерии Фу >0 и их целесообразно минимизировать.

Интересы заказчика заключаются в том, чтобы по возможности будущая машина была оптимальной по всем локальным критериям качества. Как правило, реализовать такой проект не представляется возможным из-за противоречивости предъявляемых требований. Поэтому важное значение имеет определение допустимых (переговорных) областей изменения вектора параметров и допустимого множества моделей.

Постановка задачи. Пусть задана модель !, описывающая поведение объекта. Обозначим через а вектор параметров модели; a = «i,..., а^, где аг, г=1,..., п— гео- 148

метрические, жесткостные, инерционные и другие параметры. Сформулированы к локальных критериев качества Ф, (a), v=l,..., к. На систему наложены следующие ограничения:

параметрические

О <С °г <: «г ^ а**, r=l,..., п,(1)

где а*, а**— априорные границы изменения составляющих вектора параметров а;

функциональные

(2)(2)с*< /,(«)< с" /=1,..., т,

(2)

(2)

где с*, с? — константы (предполагается, что они, как и а* и а**, заданы до решения задачи и при решении ее не варьируются);

критериальные

Ф*(а)<Ф**, v=l,..., к.(3)

где Ф**—верхние органичения на Ф„ (а). Об определении Ф** будет сказано ниже.

Явная форма задания функционалов ФДа) и /;(а) может отсутствовать. Например, Фм (а) и Л (а) могут быть функционалами, зависящими от интегральных кривых системы дифференциальных уравнений, описывающей поведение исследуемой модели.

Условия (1) — (3) определяют множества:

Д1—(а|0<^а*<аг <а**, г=1,..., п\\

D^^c^ft^^c**, /=1,..., т};

£>Ф={а|Ф,(а)< Ф*\ v=l,..., к\.

Тогда допустимая область изменения вектора а будет

D=Da П D, П ^ф.D=Da П D, П ^ф.(4)(4)

D=Da П D, П ^ф.

D=Da П D, П ^ф.

(4)

(4)

1 Под моделью понимается математическое описание какого- либо физического объекта; например, моделью может быть система дифференциальных уравнений конкретного вида с численно заданными коэффициентами (параметрами модели).

Любой вектор (модель) а, принадлежащий допустимой области D, является допустимым.

При классической постановке задачи задаются ограничения (3)—ф" v=1,..., к и некоторые обобщенные критерии качества Ф(а) = Ф(Ф1 (а),..., Фд(а)). Тогда оптимальная модель а0 находится из условия

min Ф (а) = Ф (а0).(5)

a^D

При решении (5) необходимо учесть следующее: область D может быть несвязанной Фу (а) и ft (а) могут быть нелинейными и недифференцируемыми относительно а; функционал Фу (а) может быть многоэкстремальным.

К особенностям данной постановки задачи относятся:

значения ^Г корректно могут быть определены заказчиком лишь при исследовании пространства параметров и анализе полученных результатов;

при отсутствии информации о значениях фу ’ а также о множестве D допустимых моделей не представляется возможным в большинстве случаев явно сформулировать обобщенный критерий Ф.

Решение задачи методом исследования пространства параметров. Зондируем пространство параметров моделями а\ /=1,..., N, координаты которых «$,...,«« определяются как

^ = ^ + ^/г (а**“аг)’ r=L---, п; i=V .N, где O^r^l, Ягт — координаты точек Соболя Qi = = {?г1,..., qmY Эти точки равномерно распределены в единичном кубе и обладают наилучшими характеристиками равномерности среди всех известных равномерно распределенных последовательностей [4].

По результатам зондирования пространства параметров (1) строим упорядоченную таблицу испытаний, строки которой имеют вид [1,5]

Ф,(«<*))<Ф,(а(2))<...<Ф,(а(^)); v=l,..., к, (6) где Y^N^N; N — число моделей, удовлетворяющих условию (2); а^ — нумерация моделей в порядке возрастания функционала Фу.

Далее может быть построена нормированная упорядоченная таблица испытаний:

Х^Х2^...^^; v=l,..., £,(7)

где Х^ —нормированное значение функционала Ф, (a(z))- В качестве нормировки, например, могут быть взяты х^^ФЛа^фД^ хД^ФЛ^Д-фД^ и т. д.

Располагая информацией (6) или (7), заказчик принимает решение о назначении ограничений

ФГ<Ф,(а(^)) или ХГСХ^(8)

(в дальнейшем для определенности будем рассматривать функционалы л^1 и ограничения ХГ)-

По результатам анализа таблиц (7) заказчик формирует обобщенный критерий Л (Xi,..., Хь) =Л(а).

Далее возможны следующие пути постановки и решения задачи:

Постановка задачи нелинейного программирования

min Л (а)=Л (а0),(9)

где D — область поиска, определяемая по выражению * (4). Допуская, что область D может быть несвязной, целесообразно рекомендовать решение задачи на основе ЛП-поиска [3] в сочетании с локальными методами оптимизации [6, 7].

Примечание. В случаях, если предметом исследований являются машины, предназначенные для серийного и массового производства, таблицы испытаний составляются достаточно тщательно: а^» модели первого столбца, расположены в окрестностях абсолютных экстремумов соответствующих функционалов; тогда Xv (ai)^Xv (а°).

Предполагая, что ограничениям (8) удовлетворяет q моделей ^q^N^u?, ..., а1, оптимальную модель а0 находим из условия

хГ)) = Л(аО). (10)

Ограничения (8) необходимо выбирать такими, чтобы q^X (в случае q = 0 принимается решение об изменении ограничений (1), (2), (3) или (8), переходе к другой структурной схеме модели и т.д.). Желательно, чтобы q было достаточно большим, но тем не менее q<N (при q^N ограничения (8) фактически не работают).

Информация Ov(«z) или X' для допустимых моделей содействует формированию обобщенного критерия Л, а также назначению весовых коэффициентов в нем.

Исследование окрестностей моделей, составляющих допустимое множество [3, 6, 7].

Рассмотрим задачу отстройки частотного спектра по следующим локальным критериям качества:

Ф! (а) = I у (а) d^; Ф2 («) = max у (а);

где у (а)—амплитуда перемещения исследуемой массы динамической модели с 15 степенями свободы; G^ и А (а) —масса и габаритные размеры модели; аг, г=1,... ..., 24 — жесткостные и инерционные параметры; [^д, ^J — исследуемый частотный диапазон.

Необходимо минимизировать локальные критерии

качества.

Первые четыре строки сокращенной нормированной таблицы испытаний (табл. 1) соответствуют указанным критериям качества Ф1-4(а); последние две строки —

двум собственным частотам, принадлежащим нормированному отрезку [сол, о)5]. В них приведены нормирован

ные значения собственных частот oi и (о2. 71

Запись р^ (в первой строке) означает, что для найденной 71-й модели ^1 = ^’^’у^ (последняя строка)

означает, что для 41-й модели нормированное значение второй собственной частоты <о^=1,23.

4

1,00

131

1,02

6

1,04

25 1,06

71

1,07

102

1,09

208

1,14

152

1,15

92

1,23

227

1,25

162

1,45

201

1,48

2

1,52

а(1)

68 1,00

43 1,02

37

1,02

162

1,04

82 1,09

207

1,10

227

1,11

14

1,14

102

1,16

6

1,25

22

1,32

17

1,38

...

а<^

102

1,00

29

1,03

6

1,03

60

1,16

43

1,18

227

1,23

104

1,31

49

1,32

18

1,33

162

1,36

94

14,1

1

1,47

203

1,00

64

1,04

6

1,05

170

1,12

227

1,13

8

1,15

43

1,16

96

1,21

72

1,24

162

1,25

33

1,31

102

1,34

26

1,36

17

1,40

26

1,00

6

1,06

2

1,08

147

1,10

102

1,12

38

1,15

162

1,26

200

1,29

43

1,32

аУ1^

ДП

94 1,00

47

1,02

102

1,04

64

1,07

6

1,21

41

1,23

162

1,25

77

1,28

61

1,30

18

1,33

24

1,35

...

Примечание. В числителе — номер модели, найденной в пространстве параметров; в зна менателе —1 соответствующее ^ этой модели нормированное значение локального критерия качества.

ОО - ■■■- - - - - — ------ - -

По результатам анализа таблицы испытаний были назначены: критериальные ограничения Xi* = 1,45; Х2* = = 1,25; хГ = 1,36; хГ = 1,34 и ограничения на перемещения собственных частот со! =1,26 и со2* = 1,30 (критериальные ограничения показаны контурной линией).

По итогам анализа последних двух строк была сформулирована локализация собственных частот [о/, ^^[^Д’ ^в]» где g/ = coi (а162) и o/z = G)2(a61).

Указанным выше ограничениям X1I4 и coi*2 удовлетворяют 43 модели; три из них — а6, а102, а162 — приведены в сокращенной таблице испытаний (полужирные цифры).

Далее был сформулирован обобщенный критерий Л, а также на основании анализа допустимого множества моделей экспертизой определены весовые коэффициенты локальных критериев качества.

В соответствии с (10) была определена оптимальная модель — а102.

Заключение. Изложенный выше метод исследования пространства параметров широко используется для определения множества допустимых решений. Для этих целей применяются дисплеи: на их экраны выводятся границы вариаций параметров, таблицы испытаний, критериальные ограничения и соответствующее им множество допустимых решений, оптимальный вариант, а также интересующие заказчика параметры того или иного решения.

Разработанная и внедренная в промышленность автоматизированная система принятия решений, основанная на методе исследования пространства параметров, работает в интерактивном режиме: предполагает оперативное взаимодействие заказчика с ЭВМ в форме диалогов на всех этапах решения исследуемой задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Артоболевский И. И., Генкин М. Д. и др. Поиск компромиссного решения при выборе параметров машин — В кн.: Докл. АН СССР, 1974, т. 219, № 1, с. 53—57. Авт.: И. И. Артоболевский, М. Д. Генкин, Г. В. Крейнин, В. И. Сергеев, Р. Б. Статников.

Гуткин Л. С. Оптимизация радиоэлектронных устройств. М., «Советское радио», 1975. 368 с.

Соболь И. М., Статников Р. Б. ЛП-поиск и задачи оптимального конструирования. — В кн.: Проблемы случайного поиска. Вып. I. Рига, «Зинатне», 1972, с. 117—135.

Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М., «Наука», 1973. 307 с.

Статников Р. Б. Выбор параметров проектируемых машин. — В кн.: Динамика машин и синтез механизмов, т. 32, М., Изд-во МГУ, 1975, с. 266—272.

Растригин Л. А. Системы экстремального управления. М., «Наука», 1974. 630 с.

Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М., «Мир», 1975, 534 с.

УДК 007

В. Д. Глотов, В. М. Гречко, В. В. Павельев

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ СРАВНЕНИЕ НЕКОТОРЫХМЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ

При решении различных практических задач часто требуется определять коэффициенты относительной важности критериев оценки рассматриваемых объектов. Для этого используются различные методы, описанные в литературе [2—5].

Все методы определения коэффициентов относительной важности используют субъективную информацию, получаемую от экспертов и лиц, принимающих решения. В связи с этим очевидных критериев сравнения таких методов не существует и обоснование их выбора связано с определенными трудностями.

Методы, в которых доля формальных преобразований относительно велика, как правило, используют информацию, получаемую при упорядочении или попарном сравнении объектов экспертами или лицами, принимающими решения. Эта информация обычно более надежна, чем непосредственно назначаемые оценки. Однако таких упорядочений или сравнений требуется провести достаточно много. Это вызывает необходимость длительного общения с экспертами и лицами, принимающими решения, что не всегда возможно. Обработка полученных данных в соответствии с формальными процедурами метода также требует значительных затрат времени, что может оказаться существенным при подготовке оперативных решений.

Использование методов, в которых доля формальных преобразований относительно мала, связано с необходимостью получения от экспертов и лиц, принимающих решения, более точных оценок. Получение такой информации связано с известными трудностями. Однако при этом требуется значительно меньше времени общения с экспертами и лицами, принимающими решения.

Представляется полезной попытка найти приемлемый критерий оценки методов и провести с его помощью сравнение часто используемых методов при решении практической задачи.

В данной работе рассматриваются следующие методы: непосредственная численная оценка; оценка в баллах; ранжирование; метод Черчмена—Акофа; метод частот предпочтений; метод Терстоуна; линейная свертка критериев.

К работе было привлечено 14 экспертов, которые давали информацию, необходимую для применения каждого из рассматриваемых методов. Сравнение методов проводилось при определении коэффициентов относительной важности каждого из 7 критериев оценки тематики книг, проводимой при составлении пятилетнего плана издательства «Машиностроение». Перечень критериев приведен в табл. 2 (см. стр. 144).

Непосредственная численная оценка. Экспертам предлагали перечень критериев и просили назначить непосредственную числовую оценку относительной важности каждого критерия. Результаты приведены в табл. 1.

Таблица 1

0,150,100,100,100,100,10,150,200,250,200,200,150,200,200,250,200,150,250,150,200,200,200,200,200,250,150,150,300,300,250,400,250,200,200,250,200,040,050,050,030,050,080,050,050,050,060,050,100,030,050,070,050,050,050,100,100,150,030,150,100,100,150,050,150,100,100,100,100,10,150,200,250,200,200,150,200,200,250,200,150,250,150,200,200,200,200,200,250,150,150,300,300,250,400,250,200,200,250,200,040,050,050,030,050,080,050,050,050,060,050,100,030,050,070,050,050,050,100,100,150,030,150,100,100,150,05ЛБВГ дЕЖЛБВГ дЕЖ0,300,200,100,100,100,200,300,150,200,300,150,150,200,100,150,150,150,250,300,200,100,070,100,100,050,050,070,100,100,050,050,100,100,100,150,300,200,100,100,100,200,300,150,200,300,150,150,200,100,150,150,150,250,300,200,100,070,100,100,050,050,070,100,100,050,050,100,100,100,15Эксперт

0,15

0,10

0,10

0,10

0,10

0,1

0,15

0,20

0,25

0,20

0,20

0,15

0,20

0,20

0,25

0,20

0,15

0,25

0,15

0,20

0,20

0,20

0,20

0,20

0,25

0,15

0,15

0,30

0,30

0,25

0,40

0,25

0,20

0,20

0,25

0,20

0,04

0,05

0,05

0,03

0,05

0,08

0,05

0,05

0,05

0,06

0,05

0,10

0,03

0,05

0,07

0,05

0,05

0,05

0,10

0,10

0,15

0,03

0,15

0,10

0,10

0,15

0,05

0,15

0,10

0,10

0,10

0,10

0,1

0,15

0,20

0,25

0,20

0,20

0,15

0,20

0,20

0,25

0,20

0,15

0,25

0,15

0,20

0,20

0,20

0,20

0,20

0,25

0,15

0,15

0,30

0,30

0,25

0,40

0,25

0,20

0,20

0,25

0,20

0,04

0,05

0,05

0,03

0,05

0,08

0,05

0,05

0,05

0,06

0,05

0,10

0,03

0,05

0,07

0,05

0,05

0,05

0,10

0,10

0,15

0,03

0,15

0,10

0,10

0,15

0,05

Л

Б

В

Г д

Е

Ж

Л

Б

В

Г д

Е

Ж

0,30

0,20

0,10

0,10

0,10

0,20

0,30

0,15

0,20

0,30

0,15

0,15

0,20

0,10

0,15

0,15

0,15

0,25

0,30

0,20

0,10

0,07

0,10

0,10

0,05

0,05

0,07

0,10

0,10

0,05

0,05

0,10

0,10

0,10

0,15

0,30

0,20

0,10

0,10

0,10

0,20

0,30

0,15

0,20

0,30

0,15

0,15

0,20

0,10

0,15

0,15

0,15

0,25

0,30

0,20

0,10

0,07

0,10

0,10

0,05

0,05

0,07

0,10

0,10

0,05

0,05

0,10

0,10

0,10

0,15

Среднее время, необходимо эксперту для назначения числовых оценок критериям, /СР =14 мин.

Средние для данной группы экспертов значения коэффициентов относительной важности такие:

ХА = 0,145; Хб = 0,200; Хв = 0,189; Хг = 0,242; Хд = 0,062;

ХЕ = 0,060; Хж = 0,102.

О ц е н к а в баллах. В этом методе [5] коэффициенты относительной важности ^ определяются следующим образом:

т

2 Ви

где Вц — балл, присвоенный критерию i экспертом j в соответствии со шкалой 0—100 (100 — для наиболее важного критерия).

В табл. 2 приведены баллы, присвоенные рассматриваемым критериям каждым из 14 экспертов.

Таблица 2

«к

Эксперт

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

и

12

13

14

А

50

60

20

50

40

45

50

60

30

60

70

65

70

40

Б

90

100

80

100

100

90

60

75

90

100

80

85

100

70

В

70

80

60

75

90

85

100

85

75

90

100

75

80

80

Г

100

95

100

90

85

100

70

100

100

70

90

100

90

100

д

10

30

15

25

20

10

20

15

20

25

10

10

15

20

Е

20

15

25

15

20

30

30

10

15

20

15

10

25

15

Ж

30

40

70

35

25

20

40

30

60

35

30

25

35

30

Коэффициенты относительной важности, полученные этим методом, имеют следующие значения:

ХА=0,132; Хб = 0,223; Хв^0,212; Хг = 0,242; Хд = 0,046; Хе = 0,05; Хж = 0,095.

Среднее время, необходимое эксперту для назначения баллов /ср = 11 мин.

Ранжирование. В ранговых методах [4, 5] в качестве коэффициентов относительной важности выступают относительные частоты преобразованных рангов, т. с. выражения типа

где R^ — преобразованный ранг критерия, который получается приписыванием нуля критерию с максимальным рангом, единицы — следующему за максимальным и т. д.

В табл. 3 приведены преобразованные ранги рассматриваемых критериев, назначенных каждым из 14 экспертов.

Таблица 3

к

S

Эксперт

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

п

12

13

14

А

3

3

2

3

3

3

3

3

3

4

3

3

2

3

Б

5

4

6

5

4

4

4

6

5

5

5

6

6

4

В

4

5

4

4

6

6

6

5

4

3

4

4

4

5

Г

6

6

5

6

5

5

5

4

6

6

6

5

5

6

Д

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0

2

2

3

0

Е

1

0

0

0

1

2

0

0

1

2

0

1

1

1

Ж

2

2

3

2

2

0

2

2

2

1

1

0

0

2

Среднее время эксперта при ранжировании /ср = = 7 мин. Коэффициенты относительной важности критериев, полученные ранговым методом, имеют следующие значения:

Х.=0,14; ХБ = 0,23; Xr = 0,22; Хг = 0,26; Хл = 0,05; Xf = = 0,03; Хж = 0,07.

Метод Черчмена — Ако фа. В этом методе [4], называемом методом последовательных сравнений, список критериев вначале упорядочивается каждым экспертом. Далее каждый эксперт предварительно приписывает критериям численные значения, лежащие в интервале 0—1. Причем наиболее важному критерию приписывается значение, равное 1. Затем эксперт решает, будет ли наиболее важный критерий превосходить по важности все остальные, вместе взятые критерии. Численное значение наиболее важного критерия приводится в соответствии с этим решением.

Далее сравнивается второй по важности критерий с совокупностью всех последующих критериев и т. д., пока нс будет оценен п—1 критерий. Получаемая при этом система неравенств корректируется до тех пор, пока все неравенства не будут удовлетворяться. Для опре-

деления коэффициентов относительной важности полученные численные значения нормируются.

Для одного из экспертов (эксперта № 1) процедура метода и полученные результаты выглядят следующим образом:

упорядочение критериев Г, Б, В, А, Ж, Е, Д; t\a= = 7 мин;

присвоение числовых значений:

Г=1,0; 5=0,9; 5=0,7; Л = 0,5; Х=0,4; 5=0,3; Д=0,2; /2Э=Ю мин;

составление неравенств:

5<5+5-|-Л+Х+5+Д; Г<БА-ВА-АА-ЖА-Е; Г< <Б+В+А+Ж; Г<БА-ВА-А; Г<БА-В; Г>Е+Д; г>ж+е+Д; Г<А+Ж+Е+Д; Г>АА-Ж; г<а+ж+ +Е-,

Б<В+А+Ж+Е+Д; Б<В+АА-Ж+Е- Б<В+А + А-Ж; Б<ВА-А; Б>Е+Д; Б<Ж+ЕА-Д; Б>Ж+Е; Б<А+Ж-,

В<АА-ЖА-ЕА-Д; В<А+Ж+Е; В<А+Ж; В>Е+ +Д; В<ЖА-Е+Д; В>Ж+Е;

А<Ж+Е+Д; А <ЖА-Е; А <Е+Д;

Ж-<ЕА-Д; Ua= 15 мин;

корректировка числовых значений до удовлетворения неравенствами: 5=1,0; 5 = 0,8; 5 = 0,7; Л = 0,5; Х=0,4; 5=0,25; Д=0,2; /4Э=15 мин.

Время, затраченное экспертом на эти операции, будет равно /э = ^ 4=44 мин;

<-1

нормирование числовых значений и получение коэффициентов относительной важности: ХА=0,130; ХБ= =0,210; Хй=0,180; Хг=0,260; Хп=0,050; Х„=0,060; хж=о,но.г д Е

Остальные эксперты проделали те же операции. В результате были получены средние по группе из 14 экспертов значения коэффициентов относительной важности: ХА = 0,150; ХБ=0,210; Хв = 0э190; Хг=0,250; Хд=0,040; ХЕ=0,060; Хж=0,100; /СЭР = 47 мин.

Метод частот предпочтений. Метод состоит в следующем [2]:

а) разрабатывается единая порядковая шкала для всех критериев так, что наименьшая оценка по каждому критерию соответствует началу координат пространства критериев Х=ХхХХ^Х ... ХХп;

эксперты сравнивают гипотетические объекты, характеризующиеся сочетаниями оценок в координатных плоскостях XiOXj пространства критериев. На координатных плоскостях проставляются стрелки от более предпочтительного объекта к менее предпочтительному;подсчитываетсяэксперты сравнивают гипотетические объекты, характеризующиеся сочетаниями оценок в координатных плоскостях XiOXj пространства критериев. На координатных плоскостях проставляются стрелки от более предпочтительного объекта к менее предпочтительному;подсчитываетсябб^ Оценка 1^ Оценка 1Оценка ZОценка ZОценка 3 Оценка Z Оценка 7 Практическое (прикладное) значениеОценка 3 Оценка Z Оценка 7 Практическое (прикладное) значениеРис. 1Рис. 1Оценка 3Оценка 3atj — число стрелок, направленных от критерия i к критерию /, которое характеризует важность критерия i по отношению к критерию /. Затем строится матрица Д = ||а^||, l^Z, j^n;определяется доля случаев, когда критерий i оказывается более важным, чем критерий j, т. е. определяется отношение числа пар объектов, для которыхatj — число стрелок, направленных от критерия i к критерию /, которое характеризует важность критерия i по отношению к критерию /. Затем строится матрица Д = ||а^||, l^Z, j^n;определяется доля случаев, когда критерий i оказывается более важным, чем критерий j, т. е. определяется отношение числа пар объектов, для которых

эксперты сравнивают гипотетические объекты, характеризующиеся сочетаниями оценок в координатных плоскостях XiOXj пространства критериев. На координатных плоскостях проставляются стрелки от более предпочтительного объекта к менее предпочтительному;

подсчитывается

эксперты сравнивают гипотетические объекты, характеризующиеся сочетаниями оценок в координатных плоскостях XiOXj пространства критериев. На координатных плоскостях проставляются стрелки от более предпочтительного объекта к менее предпочтительному;

подсчитывается

б

б

^ Оценка 1

^ Оценка 1

Оценка Z

Оценка Z

Оценка 3 Оценка Z Оценка 7 Практическое (прикладное) значение

Оценка 3 Оценка Z Оценка 7 Практическое (прикладное) значение

Рис. 1

Рис. 1

Оценка 3

Оценка 3

atj — число стрелок, направленных от критерия i к критерию /, которое характеризует важность критерия i по отношению к критерию /. Затем строится матрица Д = ||а^||, l^Z, j^n;

определяется доля случаев, когда критерий i оказывается более важным, чем критерий j, т. е. определяется отношение числа пар объектов, для которых

atj — число стрелок, направленных от критерия i к критерию /, которое характеризует важность критерия i по отношению к критерию /. Затем строится матрица Д = ||а^||, l^Z, j^n;

определяется доля случаев, когда критерий i оказывается более важным, чем критерий j, т. е. определяется отношение числа пар объектов, для которых

стрелка направлена от критерия i к критерию у; P[j= —, £2 (#22^ 4- 1)

где — — число сравниваемых пар в пло

скости XiOXj; к — число оценок на шкалах критериев ХгИХз;

рассчитываются коэффициенты относительной важности:

п—1

2 Ри

Z и (и - 1) ’

коэффициенты ^ осредняются по группе экспертов. В качестве примера рассмотрим сравнение гипотетических объектов, заданных сочетаниями оценок в координатной плоскости, образованной критериями Б и Г. Это сравнение выполнено одним из экспертов (рис. 1).

На рис. 1 стрелки направлены от более предпочтительного объекта к менее предпочтительному. Число стрелок, направленных от критерия Б к критерию Г, аБГ = 3. Число стрелок, направленных от критерия Г к критерию Б, аГБ =6.

Коэффициенты, полученные этим методом, имеют следующие значения: ХА = 0,15; Хв=0,23; Хд=0,05; Хж= =0,06; ХБ=0,22, Хг=0,25; Хе=0,04; 4=31 мин.

Метод Терстоуна. Основой этого метода является закон сравнительных суждений, описанный Терстоуном [6]. Эксперты ранжируют критерии, затем определяется число случаев, когда критерий i определяется как более важный, чем критерий /. Строится матрица А, элементы ац которой определяются как число случаев, в которых критерий i важнее, чем критерий /.

Главная диагональ матрицы А остается незаполненной, так как критерии сами с собой не сравниваются. Далее на основе матрицы А строится матрица Р= = Нр«Н, l^G j^n, элементы рц которой показывают те случаи, когда критерий I важнее, чем критерий /. Элементы матрицы Р обладают тем свойством, что

Я/ j

Ptj4-p3i=V Ра =— , где т — число экспертов.

/72

Затем строится матрица Z, элементы г^ которой являются нормированными отклонениями, соответствующими элементам р^;

где 2гз — неизвестная нормированная переменная.

Рассчитывается важность критерия Z, выраженная в стандартных отклонениях:

п

Далее по таблицам нормального распределения определяется вероятность р^ соответствующая zt. Производя нормирование pt так, что ^ д— 1, получаем ко- z=i эффициенты относительной важности.

Ниже даны расчеты коэффициентов относительной важности методом Терстоуна, приведенные в табл. 4—8.

Ранги критериев, назначенные экспертами, приведены в табл. 4.

Матрица А (число случаев, когда критерий i важнее критерия /) дана в табл. 5.

Таблица 4

Эксперты

Критерий

А

Б

В

г

д

Е

ж

1

4

2

3

1

7

6

5

2

4

3

2

1

6

7

1 5

3

5

1

3

2

1 6

7

1 4

4

4

2 1

1 3 i

1 1 1

1 6

7 ।

1 5

5

4

3

1

1 2

6 1

7

1 5

6

4 '

1 3

1 1

1 2

6

1 5

1 7

7

4 '

1 3 1

1 2

6 1

1 7

1 5

8

4

1 1

1 2

1 з

6

1 7

1 5

9

4 1

1 2 1

1 з

1 1

1 7

1 6

1 5

10

3

1 2

4

1 1

7

1 5

1 6

11

4

1 2

3

1 1

5

1 7

1 6

12

4

1 1

3

1 2

5

1 6

1 7

13

5

1 1

3

1 2

4

1 6

|7

14

4

1 з

2

1 1

7

1 6

1 5

Сумма рангов

57

| 29

35

| 22

84

| 89

| 77

Средний ранг

4,07

1 2,06

2,5

1 1,57

6

| 6,36

| 5,5

Таблица 5

Критерий

Критерий

А

Б \

в

г

д

Е

ж

А

X

0

1

0

13

14

13

Б

14 I

! х 1

1 9

4 1

14

14

14

В

13

5 1

X I

1 < 1

1 14

14

14

Г

14

10

10

X 1

1 14

14

14

д

1

0

0

0 1

X

9

4

Е

0

0

0

0 1

1 5 |

X

4

Ж

1

о 1

1 0

0 1

ю 1

10

X

Матрица Р (доля случаев, когда критерий i важнее критерия /) приведена в табл. 6.

Таблица 6

Критерий

Критерий

Сумма оценок

Л

Б

в

г

д

Е

Ж

А

X

0

0,07

0

0,93

1

0,93

1,93

Б

1 1

1 X I

1 0,65 \

I 0,29

1 1

1

1 1

4,93

В

0,93 |

0,35 |

1 х |

1 0,29

1

1

1 1

4,57

Г

1 1

0,71 |

! 0,71 |

X 1

1 1

1 1

1 1

| 5,42

д !

1 0,07

1 о |

1 0 I

1 0 1

1 х

0,65

1 0,29

| 1,01

0 1

0 1

0 1

0 1

0,35 |

1 х |

1 0,29

|0,64

ж 1

1 0,07

1 0 1

1 0 |

1 0 I

1 0,71 |

1 0,71

1 X

1 1,49

Матрица Z (матрица основного преобразования) приведена в табл.7.

Таблица 7

Критерий i

Критерий /

Сумма оценок

Среднее значе-

й)

Л

Б

в

Г

Д

Е

Ж

А

0

-4

-1,48

-4

1,48

4

1,48

— 2,52

—0,36

Б

4

0

0,39

-0,56

4

4

4

15,83

2,26

В

1,48

—0,39

0

—0,56

4

4

4

12,53

1,79

Г

4

0,56

0,56

0

4

4

4

17,12

2,44

Д

— 1,48

—4

—4

—4

0

0,39

-0,56

-13,65

-1,95

Е

—4

-4

-4

-4

-0,39

0

—0,56

—16,95

-2,42

Ж

—1,48

-4

—4

—4

0,56

0,56

0

-12,36

-1,77

где U (х)—общая полезность; и(х)—полезность z'-ro свойства; Xi — коэффициенты относительной важно- п

сти; 2^ = 1—нормирующее условие.

Таблица 8

1

*2

О(?)

^1

2

А

-0,36

0,3594

0,107

д

— 1,95

0,0256

0,008

Б

2,26

0,9770

0,290

Е

-2,42

0,0078

0,003

В

Г

1,79

2,44

0,9554

0,9927

0,284

0,296

Ж

-1,77

0,0394

0,012

Информация, получаемая при попарных сравнениях индивидуальных полезностей, представляется в виде системы линейных неравенств. Система линейных неравенств задает в положительном ортанте пространства критериев некоторый многогранник, любая точка которого при отсутствии дополнительной информации с равным основанием может быть использована для получения коэффициентов относительной важности.

Каждый эксперт сравнивает объекты, принадлежащие координатным плоскостям пространства критериев, и получает систему линейных неравенств, аналогичную системе, представленной в работе [1]. В этом случае центр многогранника может быть использован для получения коэффициентов относительной важности. Усредняя полученные значения для группы экспертов, получаем Ха = 0,120; ХБ—0,236; Хв=0,230; Хг=0,265; Хд=0,016; ХЕ=0,013; Хж = 0,046.

Среднее время, затрачиваемое экспертом для определения коэффициентов этим методом, будет равно /ср =92 мин.

Сравнение методов. Рассматриваемые методы разделяются на группу методов, позволяющих рассчитать коэффициенты относительной важности критериев по информации, получаемой от одного эксперта (непосредственная численная оценка, оценка в баллах, метод Черчмена — Акофа, метод частот предпочтений, линейная «свертка» критериев), и группу методов, при использовании которых можно получить только обоб-

щенный для всех экспертов ряд коэффициентов (ранжирование и метод Терстоуна). Методы первой группы можно сравнивать по степени согласованности экспертов при определении коэффициентов для каждого критерия. Метод, который при прочих равных условиях обеспечивает большую согласованность экспертов, можно считать лучшим.

В качестве меры согласованности экспертов принималась усредненная по критериям величина рассеяния коэффициентов Хгз, подсчитанных на основании информации, полученной от отдельных экспертов, т. е. дисперсия, усредненная по и критериям:

2DM

Лучшим следует признать метод, обеспечивающий наименьшую дисперсию.

Методы второй группы и оставшиеся (после выделения лучшего) методы первой группы сравниваются по усредненной по п критериям относительной величине (в %) отклонений значений коэффициентов Хг-, полученных с их помощью, от значений коэффициентов V, полученных методом, обеспечивающим наибольшую согласованность экспертов:

Таким образом, все рассматриваемые методы упорядочиваются. Кроме того, при сравнении методов принимается во внимание требуемое время общения с экспертами:

т

V — в случае, когда невозможно опрашивать экспертов одновременно;

шах/;—-в противном случае.

Требуемое время Тэ может выступать как ограничение при применении метода в конкретной ситуации. Метод, лучший с точки зрения согласованности экспертов (дисперсия коэффициентов минимальна), может оказаться неприемлемым ввиду длительного времени обще-

ния с экспертами. В этом случае предпочтение следует отдать методу, требующему приемлемых затрат времени и обеспечивающему при этом возможно меньшую дисперсию коэффициентов.

Результаты сравнения рассматриваемых методов с помощью указанных критериев приведены в табл. 9.

Таблица 9

Методы

^ept^z/3

д^/, ср» %

/®р, мин

Непосредственная численная оценка

0,0039

51,4

14

Оценка в баллах

0,0031

42,8

11

Метод Черчмена-Акофа

0,0019

6,2

47

Метод частот предпочтений

0,0026

17,4

31

Линейная свертка критериев

0,0018

0

92

Ранжирование

•—

38,2

7

Метод Терстоуна

—

47,3

7

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы.

Среди рассмотренных методов наибольшую согласованность экспертов обеспечивает линейная «свертка» критериев (дисперсия коэффициентов при использовании этого метода меньше, чем при использовании других рассмотренных методов, ^Ср[^] =0,0018).

Метод линейной «свертки» критериев требует наибольшего среди рассмотренных методов времени общения с экспертами (^р=92 мин).

Метод Черчмена — Акофа обеспечивает согласованность экспертов, наиболее близкую к согласованности, обеспечиваемой методом линейной «свертки» критериев (Z)cp[Xij] =0,0019). При этом требуется значительно меньшее, чем для метода линейной «свертки» критериев, время общения с экспертами (^ср—47 мин).

Наименьшего времени общения с экспертами требуют ранжирование и метод Терстоуна (7 мин). При этом ранжирование позволяет получать коэффициенты относительной важности, более близкие к коэффициентам, полученным методом линейной «свертки», чем коэффициенты, получаемые методами непосредственной численной оценки, оценки в баллах или методом Терстоуна.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Буянов Б. Б., Озерной В. М. Об одном методе принятия решений при векторном критерии — «Изв. АН СССР. Техническая кибернетика», 1974, № 3, с. 80—84.

Глотов В. А., Гречко В. М., Павельев В. В. Метод определения коэффициентов относительной важности.—«Приборы и системы управления», 1976, № 8, с. 30—36.

Глотов В. А., Павельев В. В. Экспертные методы определения весовых коэффициентов. — «Автоматика и телемеханика», 1976, № 12, с. 95—107.

Фишберн П. К. Методы оценки аддитивных ценностей. — В кн.: Статистическое измерение качественных характеристик. М., «Статистика», 1972, с. 8—34.

Экенроде Р. Т. Взвешенные многомерные критерии. — В кн.: Статистическое измерение качественных характеристик. М., «Статистика», 1972, с. 139—154.

Thurstone L. L. A Law of Comparative Judgement. — «Psychological Review», 1927, vol. 34, pp. 273—284.

УДК 007

Д. И. Шапиро

О РЕШЕНИИ ОДНОГО КЛАССАМНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Введение теории принятия решений обычно рассматриваются многокритериальные задачи, в которых существует много противоречивых целей (или критериев) и требуется найти наиболее предпочтительный вариант решения с учетом относительной важности этих целей. В этих задачах, как показано в работе [3], важную роль играют предпочтения лица, принимающего решение, его представления о ценности той или иной цели, информация о конкретных объектах. В то же время существует класс задач, в которых необходимо последовательно принимать решения в определенные моменты времени; на каждом этапе процесса принятия решения могут существовать разные критерии или цели; ресурсы лица, принимающего решение, являются общими и ограниченными на всем интервале времени.

В таких задачах требуется определить стратегию лица, принимающего решение, позволяющую последовательно во времени достигнуть экстремума по каждому из локальных критериев Qi,..., Qn, которые в совокупности образуют сложный критерий Q=(Qi,..., Qn).

Частным случаем подобной задачи является выбор решения лицом, принимающим решение, в условиях противодействия ему со стороны не зависимых друг от друга объектов. Изучение подобного подхода, по-види- мому, может быть основано на идеях и формализмах, которые описали Н. Ховард [11] и О. Моргенштерн [12]. Н. Ховард предложил теорию метаигр, имеющую два аспекта: теорию рационального поведения и эмпирическую теорию предсказания актуального поведения в игроподобных ситуациях. В этой работе оценка выигрыша лица, принимающего решение, при его взаимоотношениях с совокупностью объектов описывается

функциями полезности, однако отсутствуют формализованные характеристики объектов, и не описана система их взаимоотношений. В работе [12] предложен подход к решению задач, в которых игрок одновременно участвует в нескольких играх с разными объектами. При этом игры принадлежат к разным типам.

Общая постановка подобной задачи и условия существования решения описаны в работе [6] с использованием аппарата дифференциальных игр для всех взаимоотношений [8].

Во многих случаях цели и ограничения не могут быть сформулированы в количественной форме. Эти формулировки носят нечеткий, расплывчатый характер. К подобным формулировкам могут быть отнесены: размытая цель — «х должно быть существенно больше а», размытое ограничение — «у должно быть приблизительно в диапазоне от а до 6». При формализации расплывчатых понятий (типа «большой», «приблизительно») и расплывчатых предписаний (типа «пройти несколько шагов») используются положения предложенной Л. Заде теории расплывчатых множеств [13] и алгоритмов. Основным в этой теории является понятие функции принадлежности ц(х), которая характеризует степень принадлежности элемента х конкретному расплывчатому множеству.

Важным направлением исследований систем, обладающих источниками расплывчатости, является изучение расплывчатых динамических систем, описываемых дифференциально-разностными уравнениями. Постановка задачи для подобных систем дана в работе [10].

Для широкого класса задач принятия решения более общим методом являются, по-видимому, интегральные игры, в которых учтены нечеткости, свойственные мышлению человека (лица, принимающего решение) при оценке ситуации, определении цели и выборе решения. Примеры формализации расплывчатых понятий и предписаний приведены в работах [1,2].

В данной работе предлагается процедура выбора решения для задач, в которых лицо, принимающее решение, выбирает стратегию, связанную с комплексом проблем, каждая из которых связана с определенным объектом. При этом ресурсы предполагаются ограниченными, интервал времени принятия решений конечным, а информация о конкретных объектах и представления

лица, принимающего решение, о ценности той или иной цели носят нечеткий (расплывчатый) характер.

Постановка задачи. Рассмотрим формальную постановку описанной выше задачи. Как было отмечено выше, одной из возможностей формального описания подобной системы взаимоотношений является теория интегральных игр. Интегральная игра может быть представлена [6] в виде

гг={г,.[«(5)], л> * = 1п,

где Гг — локальная игра, в которой ^о — лицо, принимающее решение, участвует с одним из объектов F^ S — ситуация; и — стратегия; Т — время реализации решений; п — число объектов.

Ситуация S описывается значениями векторов состояния хо=(хо,..м х?) объекта, ресурсами q и значениями векторов состояния xz = (x/,..., х?\ объектов/7! в момент времени t, т. е. S=(x0, Xi,..., *п, q). Ресурс q может учитываться как фазовая координата состояния объекта. Стратегия есть способ поведения объекта как функции состояния, ресурсов и времени, т. е. u = u^S).

Интегральная игра может быть определена как некооперативная игра п+1 лиц (лица, принимающего решение, Fo с п не зависимыми друг от друга объектами F^ при неполной информации у каждого из п объектов. Стратегии объектов Fi есть vz = yz(xo, xz). Сущность интегральных игр состоит в том, что на определенном интервале одно и то же лицо, принимающее решение, должно достичь нескольких целей, используя ограниченный общий ресурс. Лицо, принимающее решение, вступает в разные типы игровых отношений Гг с одним из Fi объектов при наличии разных критериев Qi и вырабатывает разные стратегии Ui=u(x0) хь ..., xn, q).

В соответствии с работой [10] сформулируем постановку задачи в расплывчатой интегральной игре для случая, когда все взаимоотношения лица Fo принимающего решение, с объектами Fi описываются дифференциально-разностными уравнениями

xw = /^t,ut)4)u>, xt=0=^x^,(1)

где /=0,1,..., N, 1=1,..., п, х^Х; ut£.U; ^^^У^ Здесь ^={0!,.. .,a„}; U=\av ...,amy, У1 = $ц,...,Ы; /(•) —заданная функция из XxUxVt в X, т. е. при

входах ub vit значение / ^xb ub vit) представляет собой последующее состояние для xt.

Предполагается, что в каждый момент времени t на вход наложены расплывчатые ограничения:

—^t ^t $ ^ь(2)

—Си 5 т^ 5 С10

где Bt — расплывчатый образ в U; Си— расплывчатый образ в Vt (волнистой линией под символом ^ обозначается «размытость» ограничения. Подобное обозначение введено Беллманом и Заде в [10]).

Функции принадлежности расплывчатых управлений (входов) цЦ^) и цп(уп) заданы.

Цели лица, принимающего решение,

Qoi~ Qu(3)

где Qi — цели отдельных объектов. Цель также представляет собой размытый образ QOiN = QN, определяемый функцией принадлежности ^дг^К где момент окончания процесса N фиксирован и задан. Кроме того, задано начальное состояние х(0). Задача состоит в нахождении решения игры.

Предлагаемый подход к решению. Порядок получения результата в расплывчатой интегральной игре заключается в следующем: составлении уравнений динамики; формировании ограничений целей и предписаний; выявлении расплывчатых понятий, встречающихся в формулировках ограничений, целей и предписаний; формировании этих расплывчатых понятий; нахождении решения.

Рассмотрим особенности выполнения отдельных этапов процедуры. Составление уравнений динамики осуществляется так же, как и в обычном («нерасплывчатом») случае, и вид их определяется конкретным классом задач. Формирование четких ограничений и целей осуществляется так же, как и в обычном случае, а вид ограничений и аналитического выражения цели зависит от конкретного класса задач. Формирование расплывчатых ограничений, целей и предписаний осуществляется на естественном языке с учетом соответствующих «качественных» составляющих. Если уравнение (1), ограничения (2) и цели (3) заданы, обратимся к особенностям задачи, связанным с наличием расплывчатых понятий.

Выявление и анализ расплывчатых понятий, которые встречаются в формулировках расплывчатых ограничений, целей и предписаний, является очень важным этапом работы.

Источниками расплывчатости в динамических интегральных играх могут являться нечеткие формулировки целей типа «если предпочтительности объектов 1 и 2 мало отличаются, то следует увеличить эффективность управления приблизительно до значения К, начиная с момента времени 1» или «х должен быть существенно больше N», или другие нечеткие формулировки, подобные приведенным. Примерами размытых ограничений могут быть «значительная асимметрия области управления », «х должно быть приблизительно в диапазоне от М до N».

Расплывчатые понятия могут принадлежать к таким классам, как, например, квалификаторы («большой», «зеленый») и неопределенности («очень», «не очень»). Сруктурирование и формальное представление этих расплывчатых элементов и их комбинаций осуществляется на основе введенной Л. Заде концепции лингвистических переменных [2].

Формализация расплывчатых ограничений, целей и предписаний осуществляется, как отмечено выше, на основе использования функций принадлежности, позволяющих получить компактное множество X элементов, для которых значение функции ц(х) максимально. Это определяет наибольшую принадлежность этих элементов к данному понятию. Расширение этого компактного множества может быть связано с введением порога принадлежности Х(ц(х)^Х или ц(х)>Л) [8, 13]. Построение функции принадлежности является серьезной самостоятельной задачей [1].

При использовании подобного подхода — изучении качественных процессов, формализации расплывчатых предписаний, ограничений и целей необходимо дать оценку:

качества описательных (качественных) характеристических параметров при монотонных (амодальных) кривых (как возрастающих, так и убывающих);

качества описательных характеристических параметров при унимодальных кривых;

степени близости к максимальному значению для описательных характеристических параметров внутри класса кривых;

степени близости для комплиментарных описательных понятий.

Анализ способа оценки, рассмотренного в работе [14], показал трудность использования его для трех основных классов кривых (амодальных возрастающих, амодальных ниспадающих, унимодальных), определяющих функции принадлежности качественных характеристических параметров и предписаний. Для устранения этого недостатка целесообразно использование комбинированного показателя

V/ — £ (а) Н W ^х + 'П (а) I Iх W

где Nx<X — фиксированный элементарный интервал. Сравнение осуществляется для значений функции принадлежности в точках хг+1 и Xv

Второе слагаемое позволяет оценить изменение расплывчатого понятия, представленного в виде произвольной амодальной кривой. Однако для унимодальных кривых эта оценка не годится, так как она не отражает истинной разницы в изменении расплывчатого понятия, если рассматриваемые значения xi+i и х< находятся по разные стороны от экстремума.

Для унимодальных кривых оценка осуществляется первым слагаемым. Для амодальных кривых использование одного первого слагаемого непригодно в тех случаях, когда в подобных кривых имеются значительные участки с малыми изменениями значения ординаты. Для амодальных кривых весовые коэффициенты £=г) = = const. Весовые коэффициенты для унимодальных кривых £(а), г] (а) являются известными функциями параметра a=J^£±l—^d— относительной величины интервала между двумя сравниваемыми значениями хг+1 и Xi, находящимися по разные стороны от экстремума функции принадлежности (рис. 1). Графики изменения этих весовых коэффициентов показаны на рис. 2.

Использование подобного подхода к оценке расплывчатых понятий позволяет с помощью ЭВМ единообразно оценивать изменения качества характеристических параметров и расплывчатых понятий, встречающихся в формулировках ограничений, целей и предписаний в ряде задач и, в частности, в рассматриваемом классе игр.

В соответствии с изложенным выше динамика рассматриваемого класса игр описывается дифференциально-разностными уравнениями (1). На вход наложены расплывчатые ограничения (2), являющиеся «размытыми» образами соответственно в U и Vv Цели — также размытые образы. Функции принадлежности ограничений v^u^, mt(va) и целей p-q^ (Хдг) заданы. Наличие расплывчатых элементов в описании задачи определяет особенности в нахождении решения.

На основании результатов, полученных в [10], решение подобной задачи должно рассматриваться как размытый образ в UXUX ..., U в виде

D=B^BXv.., ^BN_x^C.b„., V\CnN^QN.

где Q^ —размытый образ в UxUX * * *U, который индуцирует Qn в X.

Таким образом, определена область решений D, зависящая от величин ограничений и значений целей.

Функция принадлежности области решения на основании известных функций принадлежности ограничений^^), P-iA^u) и целей ^(л:^) получается в виде

P*d(^0v> ^N—1) = Ро (^о) A Pl (^i)’--m A PtV—1 (^-1)”*

Р/о^/о) А Лр^^п^Лр^дг^^- (4)

Находящееся в правой части (4) конечное значение координаты xN выражается уравнениями динамики (1) через х(0), и0, uN_v uiN_v

Подобное представление координаты xN позволяет получить выражение функции принадлежности области решения р^и^---' им-т) через текущие значения координат и управлений, получающихся в процессе вычислений.

Задача теперь состоит в определении последовательности zz0”-” un-v которая максимизирует цп в (4). Подобный подход позволяет получить решение в виде

а*=и* (xh т)иу, /=0,..., N — 1,

где и^Хи Du) — функция стратегии.

В качестве вычислительной процедуры в таком многоступенчатом процессе можно применить, например, динамическое программирование, возможности которого для решения подобных задач рассмотрены в [10].

Выбор стратегии определяется требованиями конкретной задачи с целями, ограничениями, системой предпочтений и т. д. Так, если задана система предпочтений («важности») объектов gi и требуется выбрать стратегию, реализующую последовательность преследования этих объектов за минимальное время с учетом этих предпочтений, то выбор подобной последовательности объектов (т. е. стратегии и^) определяется на основании сравнительной оценки результатов расчета (Ам^-ч км) и значений gu

Рассмотрим простейший пример, иллюстрирующий особенности задачи, которые связаны с наличием расплывчатых элементов в ее описании. Управление динамики объекта Fo

Управления динамики объектов Fx и F^

л:/+1=^2л:/ + 62^1;

x^tvl=a^tAb^

Начальные значения х0\ х02, Хо3 заданы. Величины ограничений также заданы, причем для объектов F\, F2 они имеют обычный вид |^i|^A4i; |^2|^Л12, а для объекта Fo ограничение представлено в виде: «возможности управления приблизительно соответствуют L шагам», 176

Из-за двух объектов в задаче имеет место сложный критерий Q= (Qi, Q2). При этом цели Qi и Q2 выражаются следующим образом:

Qi — ^лг^ должно очень значительно превосходить К шагов»;

Q2 — vx№ должно быть значительно меньше N шагов», где xNX—число шагов, затраченных на преследование первого объекта;

xN2 — число шагов, затраченных на преследование второго объекта, при условии, что преследование предыдущего объекта завершено.

Цель решения задачи — последовательное преследование объектом Fo обоих объектов Fi и F2 за время 1<Д\ где Т — фиксированное значение времени. В подобной постановке в задаче имеют место три источника расплывчатости: ограничение объекта L и составляющие сложного критерия Qi и Q2. Формализация этих расплывчатых предписаний осуществляется в соответствии с [10] на основании использования функций принадлежности.

Формулировки расплывчатых предписаний для ограничения С и составляющей критерия Q содержат понятия (лингвистические переменные [2]) соответственно «приблизительно» и «значительно». Функции принадлежности подобных элементарных расплывчатых понятий определяются следующими выражениями:

функция принадлежности ограничения [10]

функция принадлежности составляющей критерия Qi

(Г1+(1+(2^Ет X<N;

I \ Ю/J

,0; x>N.

Формулировка составляющей критерия Qi содержит составную лингвистическую переменную «очень значительно». В соответствии с работой [2] введение неопределенности «очень» характеризуется действием оператора (-)2, поэтому функция принадлежности составляющей критерия Qi имеет вид

^! =^! =о ;[l+(X~^-V2]-2;о ;[l+(X~^-V2]-2;х<К\х<К\К.К.

^! =

^! =

о ;

[l+(X~^-V2]-2;

о ;

[l+(X~^-V2]-2;

х<К\

х<К\

К.

К.

Графическое представление этих функций показано на рис. 3. Поскольку, как было отмечено выше, область допустимых решений рр определяется пересечением Р£, №> R?2> соответствующее построение произведено на этом графике. Область допустимых решений рр определяется с учетом порога % как

I Hi Л № Л HQ, при Х>0,5;

™ ( 0 при Х<0,5.

Таким образом, появляется оптимальная [10] величина ограничения U, соответствующая максимальному значению рр. Множество стратегий объекта Fo в рассматриваемой динамической задаче состоит из комбинации двух элементов: и'— догнать объект Fi, затем объект F2; и" — догнать объект F2, затем объект F\. т. е. [7={^, и^.

Стратегии объектов F^ и F2 состоят в движении от преследующего объекта с наибольшей скоростью, т. е.

Mil = ^b ^21 = ^2; M2I —^2-

Конкретная стратегия выбирается объектом F6 (и' или и") на основании оценки ситуационных данных (хо1, х02, хо3, уь у2), т. е. ut* = L/sgn(x0Kp —х0).

На рис. 4 показаны временные зависимости х4(/), x2(Z), х3(0 для начальных значений Хо1, х02, х03 при использовании стратегии и' и и" и формализованных расплывчатых элементов.

На рис. 5 показаны зависимости xj (/^) для рассматриваемого случая, когда цели и ограничения являются нечеткими, и для случая, когда они имеют «четкие» характеристики.

Ситуационная модель выбора решений. Расплывчатые интегральные игры положены в основу ситуационной модели выбора решений [9] при наличии расплывчатых категорий и других сформулированных во введении условий. Основными обобщенными макроблоками этой модели являются представление, оценка и выбор.

Представление состоит в формировании описания задачи и условий ее решения. В рассматриваемом классе задач к функции макроблока «представление» может быть отнесено формирование набора ситуационных данных St=^Xt; Si}} г=1,..., п; критериев и ограничений для всех объектов Fo и F^ системы отношений Г^ множества оценок С; множества элементарных управлений для Fo: u^U; Ft: v^Vt.

Элементы набора ситуационных данных Хг и xi. в свою очередь, формируются на основе количественных (таблицы, графики) и качественных (тексты на естественном или искусственном языках, списки, отдельные слова) исходных данных. Критерии и ограничения, а также элементы множества управлений и элементы набора ситуационных данных могут иметь количественную или качественную форму и представляться соответствующими функциями принадлежности.

Оценка состоит в выявлении соответствия реальных и заданных характеристик системы Хг и среды $г в каждый момент времени t и осуществляться с помощью оценок, которые могут иметь количественную или качественную форму (например, шкала «очень мало — мало — нормально — много — очень много» или плоскость «улучшение — ухудшение», «быстро — медленно»). В макроблоке «оценка» осуществляются две процедуры: оценка данных и оценка объектов.

Оценка данных состоит в определении значения xt для каждого параметра в наборе ситуационных данных по соответствующей шкале оценок (мере) в текущий момент времени t. Изменение этих значений в динамике связано с решением ряда локальных задач оценки качества. Методика решения подобных задач приведена выше.

Оценка объектов Ft состоит в определении субъективной информации лица, принимающего решение, о целях объектов Ft (постоянство целей или возможные изменения их Qt. наличие или отсутствие системы важности (приоритетов) объектов gi). об ограничениях или типичных свойствах объектов Ft (возможность разделения объектов на узкие группы; возможность изменения порядка или совмещения процедур общения с ними) [9].

Фиксация подобных особенностей позволяет лицу, принимающему решение, классифицировать объекты Ft по определенным признакам (близость весов gv. общность Г ^, а также корректировать исходные данные (локальные критерии меняются внутри класса Q^Q;_Q'^Q или с изменением класса Q"^Q, причем ^П9 = 0)- Примерами подобного изменения целей могут быть Q — «попасть в точку А не более, чем за N шагов»; Q' — «попасть в точку А не более, чем за N+M шагов»; Q"— «не попадать в точку А ранее, чем за N шагов».

Таким образом, в результате реализации макроблока «оценка» на качественной шкале или на качественной плоскости фиксируются состояния всех характеристических параметров из сформированного набора ситуационных данных и определяется рассогласование между их текущими и предыдущими значениями в соответствующих локальных играх.

Выбор заключается в формировании стратегии лица, принимающего решение (плана применения методов или способа поведения, состоящего из последовательности элементарных управлений), обеспечивающей рациональное (с учетом целей и ограничений) действие во всех Ft на каждом t. При этом используются элементы множества управлений {и} или их комбинации.

Выбор в задачах рассматриваемого класса является многошаговой процедурой. При заданных |1q(x), рь(х) и оценках xt определяется последовательность

Pd(W(m) = [ЦО(Wq) , . . . , ^k^Uk) , . . . , pjv-1 (Ujv-l)l,где p,h\tih)—функция принадлежности рациональногорешения на й-м шаге: ц.ь(иь) =Ф[нм (“fei)> • • •, цьи(«ап)];цЩи/и)—функция принадлежности рационального ре-шения на ^-м шаге во взаимоотношении Ft с объектом Ft.

На каждом к-м шаге осуществляются следующие операции: определение и расчет Гр, фиксация рм^им), х(к), tm; проверка выполнения pQ.(x); повторение этих операций по всем 1=1,..., п; согласование pki^kO^U; ослабление условий р/р. (х) >ц^1 (х); ослабление условий pi. (х) >р{1"1(х); проверка выполнения щг(х) = = p(Qb--., Qn); выяснение причины невыполнения Hq(x); проверка совместимости pki(Uki) с новым 1= = 1,..., п; выбор |л(йй) =р[л(х°,..., х\ у,)]; фиксация p(uh).

Функции принадлежности критериев, ограничений и управлений представляются в виде модальных или амодальных кривых. Определение используемых значений функций принадлежности осуществляется с помощью следующих решающих правил.

«М — правило». В интервале Ах, выбирается то значение х*еАх, для которого р,(х*) —мах. Если эта точка недостижима, то выбирается следующее по величине значение p'(x) <р(х*) и т. д. [10].

«Р— правило». В интервале Ах выбирается значение х*еАх с вероятностью Р^, пропорциональной соответствующему значению функции принадлежности р,(х) [14].

«X — правило». В интервале Ах выбирается любое значение р(х)^Х, т. е. используется пороговый способ [14]:

р-х(х), если н(х)>Х;р-х(х), если н(х)>Х;О, если [л (х) < X.О, если [л (х) < X.

р-х(х), если н(х)>Х;

р-х(х), если н(х)>Х;

О, если [л (х) < X.

О, если [л (х) < X.

«О — правило». К функции ц(х) применяется оператор «концентрирование» [2], который позволяет резко сократить величину интервала Ах'<Ах, и выбор значения осуществляется непосредственно в этом сокращенном интервале Ал/ или на основе приведенных выше правил.

Применение подобных решающих правил позволяет выбрать рациональное значение переменной х.

Таким образом, в макроблоке «выбор» на основании сформированной модели системы и среды (набора ситуационных данных) при известных критериях и ограничениях, а также оценках состояния осуществляется выбор рационального решения из заранее сформированного множества с помощью описанного выше аппарата расплывчатых интегральных игр.

Ситуационная модель выбора рациональных решений используется при выборе решений в организационных системах [9], при выборе плана лечения, исследовании поведения [5] и т. д.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Жинкин Н. И., Шапиро Д. И. О представлении ситуационной информации в человеко-машинных системах принятия решения. — В кн.: Проблемы информационного обслуживания в автоматизированных системах (препринт). М., Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика», АН СССР, 1976, с. 8—11.

Заде Л. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений. — В кн.: Математика сегодня. М., «Знание», 7/1, 1974, с. 5—48.

Озерной В. М. Принципы построения и использования многокритериальных моделей задач принятия решений. В кн.: Проблемы принятия решений. Вып. 5. М., Ин-т проблем управления, 1974, с. 3—15.

Озерной В. М. Проблемы и методы принятия решений при векторном критерии. — В кн.: Вопросы кибернетики. Теория принятия решений. Вып. 8. М., «Советское радио», 1975, с. 53—60.

Шапиро Д. И. К человеко-машинным методам решения одного класса задач. — В кн.: Вопросы кибернетики. Теория и практика ситуационного управления. Вып. 18. М., «Советское радио», 1977, с. 82—88.

Шапиро Д. И. Математические методы в проблеме принятия решения (препринт). М., Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика», АН СССР, 1974, 49 с.

Шапиро Д. И. О дифференциальных играх с асимметричными стратегиями. — В кн.: Успехи теории игр. Вильнюс, «Минтис», 1973, с. 246—248.

Шапиро Д. И. О методах принятия решения в сложных системах управления — В кн.: Вопросы кибернетики. Теория принятия решений. Вып. 8. М., «Советское радио», 1975, с. 123—134.

Шапиро Д, И. Об оценке данных и выборе решений в системах организационного управления. — В кн.: Человеко-машинные системы. М., «Знание», 1977, с. 35—41.

Bellman R., Zadeh L. Decision-Making in Fuzzy Environment.— «Management Science», 1970, vol. 17, No 6, p. 141—164.

Howard M. The Theory of Meta-Games.— «General Systems», 1966, vol. XI, p. 167—186.

Morgenstern O. Strategic Allocation and Integral Games — В кн.: «Успехи теории игр». Вильнюс, «Минтис», 1973, с. 96—99.

Zadeh L. Fuzzy Sets. — «Information and Control», 1965, vol. 8, p. 338—352.

Zadeh L. Calculus of Fuzzy Restrictions. Memo ERL-M. 502. Berkeley, Univ. California, 1975, p. 51.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 3

М. Озерной, М. Г. Гафт. Методология решения дискретных многокритериальных задач 14

В. Подиновский. Об относительной важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений ...48

О. А. Шестаков. Методы выявления непрерывных индивидуальных предпочтений83

Б. Б. Буянов. Построение процедур сбора информации о предпочтениях в многокритериальных задачах96

Д. В. Шапот. Аппроксимация частичного квазипорядка аддитивной функцией106

Л. С. Гурин. Некоторые замечания о сравнительной оценке различных алгоритмов решения многокритериальных задач 127

А. Глотов, В. М. Гречко, В. В. Павельев. Метод принятия решений при лингвистических критериях138

Р. Б. Статников. Решение многокритериальных задач проектирования машин на основе исследования пространств параметров 148

В. А. Глотов, В. М. Гречко, В. В. Павельев. Экспериментальное сравнение некоторых методов определения коэффициентов относительнойважности156

Д. И. Шапиро. О решении одного класса многокритериальных задач169

Рефераты статей186

ИБ № 1811

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕЗАДАЧИПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Редактор Л. Л. НагорскаяТехнический редактор Л. Т. ЗубкоКорректор В. Л. ВоробьеваПереплет художника Е. В. Бекетова

Сдано в набор 4.08.77.

Подписано к печати 20.10.77.Т—15336.

Формат 84Х108’/з2. Бумага типограф. № 1Литературная гарнитура. Печать высокая.Усл. п. л. 10,08. Уч.-изд. л. 9,9. Тираж 1000 экз.Зак. № 3152.Цена 1 р. 80 к.

Издательство «Машиностроение», 107885,

Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., 3.

Московская типография № 8Союзполиграфпрома при Государственномкомитете Совета Министров СССРпо делам издательств, полиграфиии книжной торговли.

Хохловский пер., 7.

РЕФЕРАТЫ СТАТЕЙ

УДК 007

Озерной В. М., Г а ф т М. Г. Методология решения дискретных многокритериальных задач. — В сб.: Многокритериальные задачи принятия решений. М., «Машиностроение», 1978, с. 14—47.

Предлагается общий подход к решению многокритериальных задач в условиях определенности, основанный на итеративной процедуре разработки и использования многокритериальных моделей. Рассматриваются элементы таких моделей. Основное внимание уделяется вопросам, связанным с формированием решающих правил, согласованных с предпочтениями лица, принимающего решение.

Предлагается метод решения многокритериальных задач, основанный на итеративной процедуре построения последовательности решающих правил. Каждое из таких решающих правил позволяет по крайней мере частично устранить несравнимость решений, существующую на предыдущем шаге процедуры. В ходе процедуры проводится поэтапное получение информации о предпочтениях лица, принимающего решение, и построение промежуточных решающих правил. Для определения последовательности получения различных видов информации о предпочтениях разработана классификация такой информации. Описывается построение решающих правил для некоторых классов информации.

Подробно рассматривается использование предлагаемого подхода для построения методики выбора технологических схем угольных шахт. Представлены результаты использования этой методики.

Ил. 2. Библ. 27 назв.

V. М. Ozernoi and М. G. Guft. Methodology of Solution for Discrete Multiobjective Decision Problems, in «Multiobjective Decision Problems», J. M. Gvishiani and S. V. Emelyanov, Eds, «Mashinostroyeniye» Publishing House, Moscow, 1978, pp. 14—47.

Suggested is a general approach to discrete multicriteria decision problems under certainty which implements an iterative procedure of developing and using multiobjective models. The focus is on the problems of elaborating the decision rules according to decision maker’s preference judgments.

A technique for elaborating the decision rules producing the desired results in each specific problem is suggested. This technique invol-

ves an iterative procedure when data on the decision maker’s preference judgments is obtained sequentially and intermediate decision rules are formulated. Each of the decision rules eliminates at least partially the alternative non-comparability left from the previous step of the procedure. To define the sequence of obtaining various kinds of information on the decision maker’s preference judgments such information was classified. Definition of decision rules for certain classes of information is described.

The paper considers in detail the application of suggested approach to the elaboration of a technique for selecting a coal mine layout. Application results are given.

УДК 007

ПодиновскийВ. В. Об относительной важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений. — В сб.: Многокритериальные задачи принятия решений. М., «Машиностроение», 1978, с. 48—92.

Предложены определения упорядоченности по важности критериев и множеств критериев. Исследованы вопросы непротиворечивости и содержательности информации о важности критериев. Показано, как на основе этой информации построить отношения предпочтения и безразличия и их транзитивные замыкания. Изучены свойства отношений, вводимых на основе одних коэффициентов важности и порождаемых обобщенными критериями. Приведены примеры, показывающие возможность эффективного использования изложенных результатов для анализа и решения практических задач.

Библ. 9 назв.

V. V. Podinovski. Relative Importance of Criteria in Multiobjective Decision Problems, in «Multiobjective Decision Problems», J. M. Gvishiani and S. V. Emelyanov, Eds, «Mashinostroyeniye» Publishing House, Moscow, 1978, pp. 48—92.

Definitions of importance of ordered criteria and sets of criteria are proposed. Consistency and pitheness of the information on criteria importance are investigated. Shown are the ways of introducing preference and indifference relations and of constructing their transitive closures taking this information as basis. The properties of relations introduced with weighting factors only and raised by global criteria are studied and compared. The possibility of effective application of the results to the analysis and solution of practical problems is repeatedly illustrated.

УДК 007

Шестаков О. А. Методы выявления непрерывных индивидуальных предпочтений. — В сб.: Многокритериальные задачи принятия решений. М., «Машиностроение», 1978, с. 83—95.

В работе предлагаются два метода выявления непрерывных индивидуальных предпочтений — графическое построение среза пред-

почтений и построение числового индикатора предпочтений методом наименьших квадратов. Описывается алгоритм ранжирования объектов выбора. Предложенные методы применимы для решения широкого класса задач многокритериального выбора. Ил. 6. Библ. 7 назв.

О. A. Shestakov. Methods of Revealation of Continual Individual Preferences, in «Multiobjective Decision Problems», J. M. Gvishiani and S. V. Emelyanov, Eds, «Mashinostroyeniye» Publishing House, Moscow, 1978, pp. 83—95.

Two methods of revealing continual individual preferences — the graphical plotting of preference pattern and construction of numerical preference indicator by least squares method are proposed. The methods are appliable to decision problems with continual criteria. They require no special features of preference structures, that is why they may be applied to a rather wide class of decision problems.

УДК 007

Буянов Б. Б. Построение процедур сбора информации о предпочтениях в многокритериальных задачах. — В сб.: Многокритериальные задачи принятия решений. М., «Машиностроение», 1978, с. 96—105.

Рассматривается задача сравнения вариантов решений при нескольких критериях на основе информации о предпочтения лица, принимающего решение. Предлагается процедура целенаправленного получения информации о предпочтениях, основанная на учете свойств сравниваемых вариантов. Показано, что предварительный анализ оценок вариантов по критериям при получении дополнительной информации о предпочтениях лица, принимающего решение, позволяет сформулировать вопросы, обеспечивающие упорядочение вариантов при попарном сравнении. Ил. 1. Библ. 4 назв.

В. Buyanov. Construction of Procedure Eliciting of Preferences in Multiobjective Decision Problems, in «Multiobjective Decision Problems», J. M. Gvishiani and S. V. Emelyanov, Eds, «Mashinostroyeniye» Publishing House, Moscow, 1978, pp. 96—105.

This paper treats the problem of assessing utilities over multiattributed alternatives. It considers method of eleciting preference structure by asking the decision maker. The method is based on comparison the most simple objects, which ensure the analysis of alternative properties.

УДК 007

UI а п о т Д. В. Аппроксимация частичного квазипорядка адда- тивной функцией. — В сб.: Многокритериальные задачи принятия решений. М., «Машиностроение», 1978, с. 106—126.

Рассматривается один из способов построения комплексного критерия качества технических объектов. Исходной информацией 188

при этом являются предпочтения лица, принимающего решение, на конечном множестве объектов, заданных в пространстве оценок по частным критериям. В результате решения специально построенной задачи линейного программирования находится такая в общем нелинейная аддитивная функция от этих оценок, которая, с одной стороны, не противоречит предпочтениям лица, принимающего решение, а с другой — обеспечивает максимальную разрешающую способность комплексного критерия, когда оценки по частным критериям производятся с ошибкой. Исследуется вопрос представительности исходного множества тестовых объектов.

Приводится пример построения комплексного критерия. Ил. 2. Библ. 9 назв.

V. Shapot. Approximation of the Partial Preordering with an Additive Function, in «Multiobjective Decision Problems», J. M. Gvishiani and S. V. Emelyanov, Eds, «Mashinostroyeniye» Publishing House, Moscow, 1978, pp. 106—126.

The paper is devoted to the construction of a complex criterion for assessment of technical units quality. An initial information is received from the decision maker in the form of his preferences on the finite set of the abstract alternatives described as vector-values estimates in terms of the criteria. The solution of a linear programming problem results in non-linear additive function of these estimates. The above function does not contradict to the decision maker’s preferences and provides a maximal resolving power of the complex criterion if the estimates are obtained with errors.

The problem of representativeness of the set of abstract units is being investigated. An example is given.

УДК 007

Гурин Л. С. Некоторые замечания о сравнительной оценке различных алгоритмов решения многокритериальных задач. — В сб.: Многокритериальные задачи принятия решений. М., «Машиностроение, 1978, с. 127—137.

Предлагается способ сравнения различных алгоритмов решения многокритериальных задач. Сравнение алгоритмов проводится при решении одной и той же задачи, множество Парето которой предполагается заданным. Неформализуемая составляющая каждого алгоритма представляет собой анкету, заполняемую экспертами. В основу сравнительной оценки алгоритмов положено распределение вероятностей на множестве анкет рассматриваемого алгоритма. Это распределение может быть получено обработкой ряда реализаций анкеты (при опросе многих экспертов) или задано экспертом непосредственно.

Библ. 5 назв.

S. Gurin. Remarks on Comparative Estimation of Different Algorithms for Solving the Multiobjective Problem, in «Multiobjective Decision Problems», J. M. Gvishiani and S. V. Emelyanov, Eds, «Mashinostroyeniye» Publishing House, Moscow, 1978, pp. 127—137.

A method of comparing different algorithms for solving the same multiobjective problem is proposed under the assumption that the Pareto set is given. The non-formalized component of each algorithm is a form filled by the experts. The comparative estimation of algorithms is based upon the probability distribution over a set of forms of the algorithm being considered. This distribution is obtained by the processing of a series of real forms (received from numerous experts) or is directly given by an expert.

УДК 007

Глотов В. А., Гречко В. М., Павельев В. В. Метод принятия решений при лингвистических критериях. — В сб.: Многокритериальные задачи принятия решений. М., «Машиностроение», 1978, с. 138—147.

Предлагается совокупность процедур, позволяющих построить классификацию объектов, заданных набором оценок по нескольким критериям в виде вербальных формулировок. В методе используется информация от лица, принимающего решение, о классификации объектов, заданных оценками в координатных плоскостях пространства критериев. Приводится пример практического применения метода для классификации тем направления «Гидравлика и пневматика» пятилетного тематического плана издательства «Машиностроение» на 1976—1980 гг.

Ил. 1. Библ. 9 назв.

A. Glotov, V. М. Grechko and V. V. Paveljev. Decision technique while using linguistic criteria, in «Multiobjective Decision Problems», J. M. Gvishiani and S. V. Emelyanov, Eds, «Mashinostroye- niye» Publishing House, Moscow, 1978, pp. 138—147.

A combination of procedures is offerd allowing for building up a classification of objects given by a set of evaluations using a number of criteria in the form of verbal formulations. This method suggests the use of data from the person making a decision on the classification of objects given by the evaluation in the coordinate planes of the space of criteria. An example of the method practical application is given for the classification of the topics, of the «Hydraulics and Pneumatics» field in the five-year plan of themes of «Mashinostroye- niye» Publishing House for the years of 1976 to 1980.

УДК 007

Статников P. Б. Решение многокритериальных задач проектирования машин на основе исследования пространства параметров.— В сб/. Многокритериальные задачи принятия решений. М., «Машиностроение», 1978, с. 148—155.

Задачи выбора параметров проектируемых машин являются многокритериальными. Главная особенность рассматриваемого класса задач состоит в том, что допустимое множество решений может

быть сформулировано лишь в процессе исследования пространства параметров. Локальные критерии качества задаются в неявном виде и могут быть многоэкстремальными и нелинейными относительно варьируемых параметров; допустимые области решений могут быть несвязными.

Решение задачи основывается на методе исследования пространства параметров. В качестве примера определения допустимого множества решений приведена задача отстройки частотного спектра.

Библ. 7 назв.

R. В. Statnikov. Solution of Multiobjective Machine Designe Problems by Parameter Space Investigation, in «Multiobjective Deoi- sion Problems», J. M. Gvishiani and S. V. Emelyanov, Eds, «Mashi- nostroyeniye» Publishing House, Moscow, 1978, pp. 148—155.

Problems of designed machine parameter selection by investigation of a set of feasible alternatives with uniformly distributed point sequences are considered. The problems are peculiar in that the assigned sriteria are implicit. They may be non-linear functions of independent parameters with many local extrema. An example of problem solution is presented.

УДК 007

Глотов В. А., Гречко В. М., Павельев В. В. Экспериментальное сравнение некоторых методов определения коэффициентов относительной важности.— В сб.: ^Многокритериальные задачи принятия решений. М., «Машиностроение», 1978, с. 156—168.

Рассматривается группа часто используемых методов определения коэффициентов относительной важности и проводится их сравнение при решении практической задачи определения относительной важности критериев оценки тематики при формировании плана издательства «Машиностроение» на 1976—1980 гг.

Библ. 6 назв.

A. Glotov, V. М. Grechko and V. V. Paveljev. Experimental Comparison of Some Methods Determining Weighting Factors, in «Multiobjective Decision Problems», J. M. Gvishiani and S. V. Emelyanov, Eds, «Mashinoshroyeniye» Publishing House, Moscow, 1978, pp. 156-168.

Widely used methods for defining relative importance of criteria are under consideration. These methods are compared while solving practical task of estimating the weighting factors of criteria to evaluate the contents of the plan of publication for 1976—1980 for «Mashi- nostroyeniye» Publishing House.

УДК 007

Шапиро Д. И. О решении одного класса многокритериальных задач. — В сб.: Многокритериальные задачи принятия решений. М., «Машиностроение», 1978, с. 169—184.

Предлагается математическая модель выбора решения для класса задач, в которых необходимо последовательно во времени до-

стигнуть экстремума по каждому из локальных критериев при огра ниченных ресурсах лица, принимающего решение. При этом его представления о ценности той или иной цели имеют нечеткий (расплывчатый) характер. Приводится иллюстративный материал.

Ил. 5. Библ. 12 назв.

D. I. Shapiro. Solution of Some Multiobjective Decision Problems in «Multiobjective Decision Problems», J. M. Gvishiani and S. V. Eme lyanov, Eds, «Mashinostroyeniye» Publishing House, Moscow, 1978, pp. 169—184.

A mathematical model is proposed for problem where the decision maker successively seeks to find optimal solutions in terms of each criterion in situations characterized by limited total resources and fuzzyness in his judgement on the worth of aims. An example is given.

1 ^.УтА-l^k Ут,к) (61^*51)

(^2 Ут,к) (^1"*"51) ^Ут,кА-1Ут,к) (^1#1)

Построенный таким образом индикатор предпочтений

U(x) является непрерывной, монотонной функцией двух

переменных, линиями уровня которой служат ломаные линии безразличия среза предпочтений. На i-й (i— ломаной линии U (х) принимает значение, равное I. График U(х) представляет собой кусочно-линейчатую поверхность.

В случае трехмерного пространства критериев XYZ значение индикатора предпочте-

причем значения остальных критериальных ограничений в DX**, v=l, 2,..., к—1, заимствуются из таблицы испытаний.

Среднее время, необходимое одному эксперту для упорядочения критериев, /ср = 7 мин.

7. Линейная свертка критериев. Линейная аппроксимация функции полезности имеет следующий вид:

п

U ^ = '^\1иДху

Z-1