Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
В. Б. БАРАНОВ, к. в. КРАСНОБАЕВ
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1977
532Б 24УДК 532.5532Б 24УДК 532.5
532
Б 24
УДК 532.5
532
Б 24
УДК 532.5
Гидродинамическая теория космической плазмы. Баранов В. Б., Краснобаев К. В., Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1977, 336 стр.
Книга представляет собой первую в советской литературе монографию, отражающую современное состояние гидродинамической теории межпланетной плазмы, околозвездного газа и его влияния на межзвездную среду. Специальный раздел посвящен спиральной структуре галактик.
На основе богатого экспериментального материала, полученного при исследовании космического пространства с помощью межпланетных станций и спутников, и результатов современных теоретических исследований авторы попытались построить целостную картину газодинамических процессов, которые происходят в солнечном ветре, в межзвездной среде, в галактиках.
Книга рассчитана на читателей, работающих в области астрофизики, магнитной гидродинамики, физики плазмы, газовой динамики.
Табл. 6, илл. 70, библ. 334.
© Главная редакцияфизико-математической литературы издательства «Наука», 1977© Главная редакцияфизико-математической литературы издательства «Наука», 1977_ 20303—110
© Главная редакция
физико-математической литературы издательства «Наука», 1977
© Главная редакция
физико-математической литературы издательства «Наука», 1977
Б 053(02)-77 43-77
Предисловие 6
Глава I. Гидродинамические уравнения для плазмы 9
Введение 9
Кинетическое уравнениедля функции распределения11
Уравнения для моментов функции распределения14
Интеграл столкновений в форме Больцмана 18
Основные положения метода Чепмена — Энскога для решения уравнения Больцмана22
Коэффициенты переноса для полностью ионизованной плазмы со столкновениями29
Одножидкостное приближениедляплазмы37
Гидродинамические уравнениядлябесстолкновительной плазмы 42
Гидродинамические уравнения для частично ионизованной плазмы с учетом внутренних степеней свободы частиц и излучения 46
Сводка результатов50
Глава II. Общие свойства гидродинамических движений плазмы . . . 56
Об условиях «вмороженности» магнитного поля 56
Распространение малыхмагнитогидродинамическихвозмущений60
Распространение малыхвозмущений в излучающемгазе...67
Распространение малых возмущений в самогравитирующей среде 72
Нелинейные волны в плазме с магнитным полем. Волны Римана, уединенные волны, слабыеударныеволны76
Нелинейные волны в излучающемгазе87
Сильные разрывы в газах и плазме. Их классификация. Эволюци- онность ударных волн 92
Ионизационные разрывы102
Волны в холодной бесстолкновительной плазме. Ионно-звуковые волиы. Бесстолкновительные ударные волны . . . 105
Некоторые предельные соотношения на разрывах. Интеграл Бернулли 111
4ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава III. Гидродинамическая теория межпланетной плазмы115
Гидростатическая модель плазменных атмосфер звезд. Звездный ветер, критерий его возникновенияЦ6
Гидродинамическая модель солнечного ветра без учета магнитного поля127
Влияние магнитного поля на течение солнечноговетра..,.135
О влиянии флуктуаций на динамику солнечноговетра....147
Эффекты неодномерности солнечного ветра156
О сильных разрывах в межпланетной плазме 164
Общие представления о взаимодействии солнечного ветра с межзвездной средой 173
Истечение солнечного ветра в покоящийся однородный межзвездный газ175
Взаимодействие солнечный ветер — межзвездный ветер . . . . 176
Торможение солнечного ветра крупномасштабным галактическим магнитным полем 186
Влияние нейтрального водорода на движение солнечного ветра 189
Взаимодействие солнечного ветра с планетами, обладающими магнитным полем 197
Обтекание планет, имеющих плотные атмосферы, в отсутствие магнитного поля204
Обтекание Лунысолнечнымветром208
Предполагаемый характер взаимодействия солнечного ветра с далекими планетами(Сатурн,Уран, Нептун, Плутон)211
Выводы 213
Глава IV. Динамика межзвездного газа215
Физическое состояние газа в областях НИ216
О гидродинамическом описании расширения областей НИ..228
Качественная картина формирования областей НИ232
Автомодельные решения236
Метод характеристик246
Расчет динамики областей НИ на ЭВМ252
Устойчивость ионизационных фронтов257
Ионизация плотных облаков нейтрального газа в областяхНИ264
Лабораторное моделирование ионизационных фронтов269
Особенности физических процессов в зонах HI271
Тепловая неустойчивость межзвездного газа272
Некоторые результаты наблюдений структуры межзвездногогаза276
О нестационарном процессе ионизации межзвездной среды..279
Ударные волны в межзвездной среде . . . 284
О влиянии магнитных полей на динамику межзвездного газа286
Выводы 287
Глава V. О спиральной структуре галактик289
* Общие представления о галактиках289
Устойчивость равновесного состояния галактики как дифференциально вращающейся плоскойсистемызвезд292
О волновой природе спиральныхструктургалактик301
О движении газа под действием спирального гравитационного поля308
Некоторые общие выводы311
Приложение 313
Литература 325
Предметный указатель334
Выход космических аппаратов за пределы земной атмосферы способствовал быстрому росту наших знаний об окружающем космическом пространстве. Наблюдательная астрономия стала всеволновой, появилась возможность прямых измерений в космосе — были определены параметры межпланетной плазмы, начаты исследования планет солнечной системы при помощи автоматических станций, посылаемых к этим планетам и т. п.
В результате к настоящему времени накоплено огромное число экспериментальных данных. Для дальнейшего проведения целенаправленных экспериментов стало необходимым развитие теоретических моделей.
При этом важная роль отводится методам газовой динамики и магнитной гидродинамики вследствие, во-первых, их относительной математической простоты (по сравнению, например, с методами кинетической теории газов) и, во-вторых, наглядности описания при помощи осредненных характеристик. Это находит свое отражение в многочисленных журнальных статьях, а также в регулярно созываемых конференциях по проблемам космической газовой динамики. Участие в этих конференциях и просмотр докладов, опубликованных в соответствующих сборниках, привели авторов настоящей монографии к выводу, что часто экспериментаторам не ясен теоретический фундамент, на котором основывается та или иная гидродинамическая модель. Следствием этой неясности бывают слишком сильные обобщения при интерпретации тех или иных явлений. Теоретики же подчас увлекаются построением моделей, не имеющих достаточного экспериментального обоснования (тем более, что в силу специфики астрофизики, многие из этих моделей трудно проверяемы).
Поэтому нам казалось полезным написать книгу, которая, с одной стороны, давала бы достаточно подробное изложение методов газовой динамики и магнитной гидродинамики, используемых для описания процессов в космическом пространстве, а с другой — отражала бы достижения, обусловленные развитием космической техники (известная монография С. А. Каплана «Меж-
звездная газодинамика» вышла в свет еще до запуска первого космического аппарата «Луна-1» в межпланетное пространство).
Поставив перед собой такую задачу, авторы, являющиеся специалистами в области газовой динамики* и магнитной гидродинамики, и занимающиеся последние 10 лет проблемами космической газовой динамики, сознавали сложность и объем предсто- ’явшей работы.
Стало ясно, что в рамках небольшой книги невозможно в полной мере отразить все многообразие тех интереснейших явлений, которые происходят в космическом пространстве (включая межпланетное космическое пространство, межзвездную среду, галактики, межгалактический газ и т. п.). Пришлось ограничиться некоторыми разумными рамками. В частности, основное внимание уделяется демонстрации методов газовой динамики и магнитной гидродинамики применительно к изучению наблюдаемых в космосе процессов. Причем рассмотрены лишь такие модели, которые, во- первых, имеют достаточно прочный теоретический фундамент (везде, где это возможно, мы пытались отметить слабые места теории) и, во-вторых, прошли с точки зрения наблюдений испытание временем (либо дают стимул к целенаправленным экспериментам).
Названием книги мы хотели подчеркнуть тот факт, что всюду используется гидродинамический подход (под гидродинамической теорией авторы понимают изучение тех явлений, которые могут быть адекватно описаны уравнениями гидроаэромеханики и магнитной гидродинамики) и основным объектом изучения является электропроводный газ (даже рассматриваемый в гл. IV слабоио- низованный межзвездный водород областей HI является достаточно хорошим проводником электричества). При этом, несмотря на то, что для некоторых вопросов, излагаемых в книге, влияние электромагнитного поля не является существенным, а ионизованный газ не проявляет специфических плазменных свойств, гидродинамическое движение может сильно изменять распределение магнитного поля.
Для полноты картины авторы сочли необходимым написать гл. V, касающуюся теории спиральной структуры галактик, хотя предметом изучения здесь служат звезды. Это отступление от общей направленности книги было сделано по той причине, что отклонение гравитационного поля галактик от цилиндрически симметричного оказывает существенное влияние на движение межзвездного газа. Кроме того, и движение звезд в ряде случаев может описываться в рамках гидродинамического приближения.
Совсем не рассматриваются нами такие компоненты космического пространства, как пыль и космические лучи, хотя для исследования их динамики затронутые в книге проблемы могут играть большую роль.
Авторы старались в минимальной степени пользоваться результатами численных расчетов, поскольку их обилие и трудность проверки могли излишне усложнить чтение.
Ставя своей задачей дать последовательную картину газодинамических процессов в межпланетной плазме, межзвездной среде и галактиках, а не обзор современного состояния проблем физики космического пространства (этому посвящено достаточно много обзорных статей и монографий), авторы, естественно, не претендуют на полноту приводимого библиографического списка.
Так как для успешного применения теории, как нам кажется, очень важно знать лежащие в ее основе допущения, то мы сочли необходимым написать §§ 1—9 и Приложение, посвященные выводу гидродинамических уравнений из кинетической теории с анализом областей применимости этих уравнений. Специалисты, не интересующиеся по каким-либо причинам этими разделами, могут начинать чтение прямо с § 10, написанного в виде сводки используемых в монографии уравнений.
При работе над книгой мы использовали идеи и соображения, родившиеся в результате совместных обсуждений на семинарах в Институте космических исследований АН СССР и Московском государственном университете, на семинарах под руководством Г. И. Петрова и в более узких дискуссиях, в которых принимали участие наши коллеги. Всем им, в особенности А. А. Бармину, Г. С. Бисноватому-Когану, Н. С. Кардашеву, А. Г. Куликовскому, Р. А. Сюняеву авторы выражают свою искреннюю благодарность. Мы признательны С. А. Каплану, Г. А. Любимову, М. С. Рудерману, прочитавшим отдельные части рукописи и сделавшим целый ряд замечаний, способствовавших улучшению содержания.
Мы благодарны безвременно скончавшемуся замечательному человеку и ученому С. Б. Пикельнеру, проявлявшему искренний интерес к рукописи книги.
Авторы приносят благодарность Л. В. Макаровой за подготовку иллюстративного материала к книге.
Авторы
Глава I
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛАЗМЫ
Введение
Под плазмой обычно понимают электропроводный газ, состоящий из электронов, ионов и нейтральных частиц, суммарный заряд которого равен нулю (это не исключает наличия в каждой точке не равной нулю плотности заряда). Такой газ называют частично ионизованной плазмой, в отличие от полностью ионизованной плазмы, состоящей только из электронов и ионов. В некоторых книгах под полностью ионизованной плазмой понимают газ, состоящий из электронов и голых ядер (эти определения совпадают для водородной плазмы, наиболее часто встречающейся в астрофизических приложениях).
Атмосферы Солнца и звезд, межпланетная и межзвездная Среды, т. е. те среды, которые в основном рассматриваются в нашей книге, заполнены газом, находящимся в состоянии плазмы.
Существуют три способа математического описания поведения газов: рассмотрение движения отдельных частиц, статистический метод (метод кинетического уравнения для функции распределения частиц по скоростям) и гидродинамическая теория.
Первый способ удобен для описания поведения очень разреженных газов, когда взаимодействием частиц можно пренебречь и каждую частицу можно рассматривать движущейся только под действием внешних сил. Динамическое состояние частиц газа в этом случае точно определяется значениями полного набора координат и импульсов всех частиц в начальный момент времени.
Однако обычно имеют дело с очень большим числом взаимодействующих частиц и такой способ описания поведения газа становится непригодным, так как, во-первых, неизвестны начальные условия для всех частиц, и, во-вторых, если бы они и были известными, то из-за огромного числа частиц в газе было бы невозможно решить для них систему уравнений движения.
Поэтому в данном случае, для упрощения задачи, прибегают к статистическому методу описания поведения частиц, в котором используется понятие вероятности. Лежащее в основе этого метода кинетическое уравнение Больцмана для функции распределения является сложным нелинейным интегродифференциальным уравнением, а сама функция распределения определена в семимерном пространстве координат, импульсов и времени.
Все это приводит к тому, что число задач, которые могут быть решены методом кинетического уравнения, весьма ограничено. Кроме того, часто необходимо знать лишь осредненные характеристики газа, такие, например, как средняя плотность, температура, средняя скорость, давление и т. п., а описание состояния газа функцией распределения по скоростям является слишком подробным.
В связи с этим удобно перейти к гидродинамическому описанию поведения газа, которое справедливо, если характерный масштаб описываемого явления велик по сравнению с длиной свободного пробега частиц, а характерные частоты много меньше частот столкновений частиц. Для плазмы, помещенной в магнитное поле, даже при отсутствии столкновений, иногда возможно гидродинамическое описание, если характерный масштаб явления велик по сравнению с ларморовским радиусом заряженных частиц, а характерная частота много меньше циклотронной частоты.
В настоящей книге для описания динамики космической плазмы используется гидродинамический подход. Хотя при таком подходе и теряется некоторая информация, тем не менее сравнительная простота метода дает возможность решить многие интересные для физики космического пространства задачи.
Для того чтобы можно было проследить за теми предположениями и ограничениями, которым должны удовлетворять параметры плазмы для справедливости гидродинамического подхода, мы сочли уместным изложить элементы кинетической теории газов с последующим выводом гидродинамических уравнений на основе кинетической теории. При этом в ряде случаев ограничились кратким описанием, останавливаясь лишь на принципиальных вопросах (например, при изложении метода Чепмена— Энскога, при выводе интеграла столкновений, при вычислении коэффициентов переноса). Такой подход, на наш взгляд, способствует ясности изложения, не отвлекая внимание на громоздкие выкладки, тем более, что по кинетической теории газов имеются подробные монографии. По этой же причине строгий вывод кинетического уравнения Больцмана для плазмы с интегралом столкновений в форме Ландау методом Ю. Л. Климентовича вынесен в Приложение. Там же приведена диаграмма ^областей применимости часто используемых в монографии уравнений.
Кинетическое уравнениеКинетическое уравнение1111§ 21
Кинетическое уравнение
Кинетическое уравнение
11
11
Кинетическое уравнение для функции распределения
Выделим в физическом пространстве некоторый элементарный объем газа dr = dxdydz (х, у, z—декартовы координаты) такой, чтобы в нем было все-таки много частиц (физически бесконечно малый объем). Частицы, попавшие в элементарный объем dr, в пространстве скоростей (ух, уу, уг) представят некоторое облако частиц. Плотность частиц в этом облаке обозначим через / (г, У, /) dr (для простоты сначала рассматриваем газ, состоящий из одного сорта частиц). Тогда величина f (г, у, t)drdv (здесь, как и для физически бесконечно малого объема, в целях сокращения записи принято dv г dvx dVy dvz) представляет собой вероятное число частиц, находящихся в момент времени t в элементе физического объема dr с координатами от г до r + dr(x + dx, y-Vdy, z + dz) и обладающих скоростями от у до y+dy (ux+dvx, vy+dyy, uz4-dvz). Это, конечно, не означает, что в данный момент времени именно столько частиц находится в элементе drdv шестимерного фазового пространства. Здесь речь идет о среднем числе частиц, получающемся после сглаживания всех флуктуаций, имевших место за промежуток времени от t до t + dt.
Функция / (г, у, t) называется функцией распределения частиц. При таком введении функции распределения, конечно, предполагается существование статистически определенной плотности точек в пространстве скоростей. Кроме того, предполагается, что эта плотность пропорциональна объему dr и не зависит от его формы (определение функции распределения /, называемой иногда одночастичной функцией распределения, через ^частичную функцию распределения, где N— число частиц, см. в Приложении).
Если газ содержит несколько сортов частиц, как, например, в случае плазмы, состоящей как минимум из двух компонент — ионов и электронов, то функцию распределения необходимо вводить для каждого сорта отдельно. При этом fair, у, /) будет называться функцией распределения частиц сорта а.
Рассмотрим теперь вопрос о том, как средние характеристики газа (концентрация п (г, 1)> средняя скорость V(r, /) и др.) выражаются через функцию распределения. Величина n^r^dr представляет собой среднее число частиц в элементе объема dr. Тогда ясно, что
п (г, 0 = f (г, у, /) dy, (2.1)
где интегрирование проводится по всему пространству скоростей. Пусть теперь Ф (у) —произвольная функция скорости частицы, и 2®^-усредненная за время от t до t+dt сумма значений функции Ф по всем частицам, находящимся в элементарном
объеме dr. Тогда очевидно, что
^Ф — ndr <Ф>,(2.2)
где угловыми скобками обозначено среднее значение. Учтем теперь то обстоятельство, что каждая из f (г, у, t)drdv частиц дает вклад в 2^» равный Ф. При этом суммарный вклад равен Фfdrdv. Отсюда следует, что
^ф = dr ^ Ф/ di).(2.3)
Из (2.1) — (2.3) окончательно получаем
<Ф>-4.(2.4)
\ f dv
Формула (2.4) дает связь любой средней характеристики газа с функцией распределения f. В частности, при Ф(у) = ф для средней скорости газа V (г, t) будем иметь
nV^^DfdD.(2.5)
Для среды, состоящей из нескольких компонент, формулы (2.1) — (2.5) обобщаются. При этом будем иметь
^а=^/а^^» ^а (Ф)а~ j Ф/а^> ^а Уа " ^ ®/а ^^* (2.6)
Таким образом, по известной функции распределения средние макроскопические характеристики можно было бы вычислить согласно приведенным выше формулам.
Выведем теперь уравнение для функции распределения. При этом используем его нестрогий физический вывод.
Будем предполагать, что время, затрачиваемое каждой частицей на столкновения с другими частицами, мало по сравнению со временем между столкновениями (в дальнейшем в этой главе, кроме §9, будем рассматривать только упругие столкновения). Кроме того, пусть внешняя сила F, действующая на частицы, зависит только от координаты г и времени /, но не зависит от скорости у (ниже будет показано, что и в частном случае электромагнитной силы, зависящей от скорости, вывод также остается справедливым).
Пусть в момент времени t координаты частицы в шестимерном фазовом пространстве были г, У. Если за время от t до t+dt = t* не было столкновений между частицами, то, двигаясь только под действием внешней силы F, частица в момент времени t будет иметь координаты
r* = r + yd/, D* = D + (Fim)dt(2.7)
(т—масса частицы).
В элементе объема drdy фазового пространства в момент времени t было / (г, у, t^drd*o частиц. При отсутствии столкновений в момент времени t* в элементе фазового объема около точки г*, У* было бы f ^г*» У*, t*) dr* (1*0* частиц, причем в этот элемент объема могли бы попасть только частицы, находившиеся в момент времени / в элементе объема drdv около точки г, я. Разность / (г*, У*, t*)dr*dv*—/(г, у, t)drdv при этом была бы равной нулю.
Если обозначить изменение числа частиц за счет столкновений через —Sdrd^dt, то баланс частиц будет иметь вид f^r-V^dt, D^-^dt» t + dt^ dr*d<D* — f(r, y, t)drdv^
— — Sdrdvdt. (2.8)
He конкретизируя пока выражение для S, зависящее, вообще говоря, от функции распределения /, отметим только, что правая часть (2.8) представляет собой разность между числом частиц, находившихся первоначально в элементарном объеме drdv, но не попавших в момент времени I* в элементарный объем dr*dv* вследствие столкновений, и числом частиц, попавших в этот объем за время dt вследствие столкновений, но в момент времени t не находившихся в элементарном объеме drdy.
Имеем
dr* dv*=^ J dr dv,
где J—якобиан преобразования от г, у к г*, у*.
Из (2.7) даже в присутствии электромагнитной силы, зависящей не только от координат и времени, но и от скорости, и имеющей вид
£=ф£(г, t)+^oxB^r, 0 ,
где е—заряд частицы, Е—вектор напряженности электрического поля, В—вектор магнитной индукции, с—скорость света в вакууме (всюду в дальнейшем будет использоваться гауссовская система единиц измерения), легко показать, что J« 1 с точностью до величин порядка (d/)a. Таким образом,
dr* dv* = dr dv.(2.9)
Разложим левую часть (2.8) в ряд Тейлора и учтем только первые члены разложения. Разделив на drdvdt и устремляя dt—>-0, окончательно получим, учитывая (2.9):
^• + «•■37 +—-# + 5(/) = 0.(2.10)
ot 1 or т, ov х м'х •
Это и есть кинетическое уравнение Больцмана для функции распределения f в случае простого газа (тип этого уравнения,
естественно, будет установлен только при конкретизации вида функции S). Обобщение уравнения (2.,10) на случай смеси газов очевидно. В частности, для плазмы, находящейся в электромагнитном поле, будем иметь
> + ’->+[-^+^(£+4»xB)].4 + Esaf(fo. W = 0.
(2.Н)
где Fa—любая внешняя сила неэлектромагнитного происхождения. Уравнения (2.10) и (2.11) будут исходными для дальнейшего вывода гидродинамических уравнений.
Уравнения для моментов функции распределения
Прежде чем переходить к выводу уравнений для моментов функции распределения на основе уравнения Больцмана (2.11), рассмотрим некоторые свойства функции Sap (интеграла столкновений), которые очевидны без знания ее конкретного выражения. Действительно, последний член слева в уравнении (2.11) представляет собой изменение числа частиц сорта ос в единице фазового объема за счет столкновений. При этом величина drjsapdi? есть изменение полного числа частиц сорта ос в элементе dr в результате столкновений с частицами сорта р. Но при упругих столкновениях частиц такого изменения нет. Следовательно,
$Sapd© = 0.(3.1)
Из законов сохранения импульса и энергии следуют остальные свойства Sap, а именно
j ma-oSaa d-о = 0, ^ maySaadT = 0,(3.2)
5 ma®Sap d-о + $ m6oS6a d-и = 0,(3.3)
jma-ySapd©+JmpSpa-ydv =0.(3.4)
Равенства (3.2) выражают отсутствие изменений импульса и энергии частиц сорта а при столкновениях между собой, а равенства (3.3) и (3.4)—отсутствие изменений суммарных импульса и энергии при столкновениях частиц разного сорта. Очевидно, что при а#=р каждый интеграл в (3.3) и (3.4) не равен в отдельности нулю, так как импульс и энергия частиц одного сорта не сохраняются при их столкновениях с частицами другого сорта.
Следует заметить, что свойства (3.1) — (3.4), полученные из физических соображений, легко выводятся из конкретных выра-
жений для функции S, например, если S представить в виде интеграла столкновений в форме Больцмана или в форме Ландау (см. ниже).
Чтобы получить моментные уравнения, умножим уравнение (2.11) на произвольную функцию скорости Ф (ф) и проинтегрируем по скоростям.
Предварительно выпишем следующие необходимые формулы, используя (2.6):
JФ С®)"^ d® = ^ f Ф (®) f« d-D = -^ Па <Ф>«,(3.5)
^Ф(®)У,-^^ -^J^tWa^-^n^ttO^a, (3.6) J Ф (-и) (Fa+eaE), ^ dv = - (Fa + еаЕ^ J ^ fa dv =
= -(Ра + еаЕ);па^а, (3.7)
^№^-Ф(т)(к) = - j (VXB),^.fadV =
--«Л^В)^ (3-8)
(xz —x, y, z; v^^x, vy, иг для i=l, 2, 3 соответственно, а индекс i у векторов означает проекцию на оси х, yt z). Равенства (3.7), (3.8) получены в результате интегрирования по частям и предположения, что Ofa—>0 при yz—>оо.
Пусть теперь Ф(ф) = 1. Тогда, используя (2.1), (3.5) — (3.8), из (2.11) получим уравнение неразрывности для частиц сорта a
дп д
-^-^-ПоУ^О.(3.9)
Пусть теперь Ф^т^ф. Из (2.11), используя (3.2), (3.3), (3.5) — (3.8), находим
-^- (naHla Va)z -р ^^ ^^ (^a^a ^i^'^a^ " ^a^a (^Е Н ~ V а X В^ .
— fM^z + IL ^ ^ayzSapdф = 0. (3.10)
Для удобства здесь выписана проекция уравнения на i-ю ось (х, yt г). Введем хаотическую скорость
Тогда
^V/Vy^a, ~ VaZV- j- ^Cy.iCy,} У.
Используя это выражение, а также (3.1) и уравнение неразрыв-
ности (3.9), из (ЗЛО) получим
^а^а 4“ 51 I ^а^а^а/ ^~ Vа1 Л* ^7. (^а^а ^ai^aj >
Уа X В^ ,— Ла Ц7а)/ 4*52 У ^a^aiSa^ dV — 0.
Окончательно в векторной форме будем иметь
тапа ^^ = 4-^а + еапа (е +1 ^ х s) + naFa + R«. (3.11) Здесь введены обозначения
(^а)// ^а^а ^ai^a/^— Ра^Ч/ 4“ (*^a)//>
Z^a " ^а^а \~д~/> (ла)</= ^а^а^аАх/Л j >
Ra —52 У ^а^а^ар d<V,4* Vа •.(ЗЛ2)
Уравнение (ЗЛ1) есть уравнение движения для частиц сорта а. В этом уравнении Ра —тензор напряжений частиц сорта а, а Ra — так называемая сила трения частиц сорта а о частицы сорта р. Компоненты ра шаровой части тензора напряжений называются парциальным давлением частиц сорта а, (ла)/7—компоненты тензора вязких напряжений. Ясно, что конкретные выражения для Ра И Ra можно получить лишь при известной функции распределения fa ПО СКОрОСТЯМ.
Пусть теперь Ф (ф) — may2/2. Снова из (2.11), используя (3.1)—(3.8), получим
^* П-а^а \~2/а 4* J ^~ ^а^а \2~ ^ / а ^аЛаЕ* Va ‘
-naFa.Va + ^ f^Sa₽d® = 0.
Опять вводя хаотическую скорость са и используя формулы
<^>a = O + VL
<^Vi>a = <С^Са1> 4" <4> Vat + ^aVai 4" 2 <CaiCa> • ^t
вместо последнего уравнения будем иметь
5 / 31 ~Va \д (/Са \ .
д/ \ 2 ^a^^a ^а^а ^ у5х• у^а^а \ 2 ^^Ч
31^2\
4* "2 ^a^^a^at 4“ ^а^а ~2~ Vai 4“ ^a^a Va * ^^a^at^у ^a^a-^* Уа
-naFa.VaVL f^Sap^ + X Ka- f/tt«^W®=0. (3.13)
Здесь Та — [/па/(3к)] <с„>—температура частиц сорта а, выраженная в градусах Кельвина, к — постоянная Больцмана (строго говоря, эта формула определяет температуру лишь при функции распределения, близкой к равновесной). Из (3.12) очевидно, что парциальное давление частиц сорта а определяется при этом формулой
ра = пакТа.(3.14)
Проведем в (3.13) дифференцирования и воспользуемся уравнением неразрывности (3.9) и уравнением движения (3.11), умноженным скалярно на Va. В результате из (3.13) с учетом (3.12) получим уравнение притока тепла для частиц сорта а
4^k^ + pa^- V^-y^V^A^^A-Qa- (3.15) I- i
Здесь введены обозначения 2.б» 2
qa = nama(§Ca), Qa=(3-16)
Вектор qa называется вектором потока тепла частиц сорта а, а величина Qa определяет выделение тепла в газе частиц сорта а вследствие столкновений с частицами других сортов. Ясно, что, аналогично Ra и Ра, конкретные выражения для qa и Qa можно получить лишь, зная функцию распределения fa по скоростям.
Таким образом, при известных Ra, Ра, qa и Qa система уравнений (3.9), (3.11), (3.14) и (3.15) вместе с уравнениями Максвелла для электромагнитного поля
rotE= — 7-^7, div£ = 4np rot S = —, divB = 0, c 01x ec u c dt’
Pe = S^a^a> J" ^J ^a^a Ka(3-17)
aa
будет замкнутой системой уравнений для определения средних характеристик па, Va, Та, ра компонент газа и векторов напряженности электрического поля Е и магнитной индукции В.
Попытаемся теперь получить из (2.11) уравнения для компонент тензора напряжений (Ра)//- Для этого положим Ф (у) = таи;и;-. Воспользовавшись снова формулами (3.5) — (3.8), а также уравнениями неразрывности (3.9) и движения (3.11), будем иметь
{ 1 при z = /Vi 0 при i^j./{ 1 при z = /Vi 0 при i^j./+ У j macaicajsa6 dv+^ д-Т^ = °-(3-18)0к+ У j macaicajsa6 dv+^ д-Т^ = °-(3-18)0к
{ 1 при z = /V
i 0 при i^j./
{ 1 при z = /V
i 0 при i^j./
+ У j macaicajsa6 dv+^ д-Т^ = °-(3-18)
0к
+ У j macaicajsa6 dv+^ д-Т^ = °-(3-18)
0к
Здесь введен тензор третьего ранга
(^a^ijk "^V^a ^а^а^^кУ ( ^/у "
Вводя еще антисимметричный единичный тензор eZ7A третьего ранга, окончательно получим
Из (3.18) видно, что в уравнение для (Ра),у вошел тензор третьего ранга (Ра)цк- Если бы мы попытались получить уравнение для последнего, то туда вошел бы тензор четвертого ранга, и т. д. Отсюда следует, что таким способом нельзя найти выражения для компонент тензора напряжений (РДу, не делая дополнительных предположений. Из результатов настоящего параграфа видно, что получение замкнутой системы гидродинамических уравнений требует знания явного выражения для функции распределения. Это можно сделать путем решения уравнения Больцмана (2.11). Прежде чем переходить к этому вопросу, найдем выражение для интеграла столкновений 8(f).
Интеграл столкновений в форме Больцмана
Как было отмечено в § 1, функция 5(f) характеризует разность между числом частиц, находившихся первоначально (в момент времени t) в элементарном объеме drdv, но не попавших в момент времени t* (/* = t + dt) в элементарный объем dr* dv* вследствие столкновений, и числом частиц, попавших в этот объем за время dt вследствие столкновений, но в момент времени t не находившихся в элементарном объеме drdv.
Чтобы подсчитать эту разность, рассмотрим сначала динамику столкновения двух частиц. Введем обозначения
т0 mt + ш2, Мг = mjm^ М2 =■■ т2/т0,
т^0 = тхч)х + тп^о^ — т^ + m^V(4.1)
Здесь тг, т2, Уг, У2 — массы и скорости двух сталкивающихся частиц. Скорости частиц после столкновения обозначаются штрихом. Последнее уравнение (4.1) есть закон сохранения импульса при упругом столкновении частиц. Внешние силы считаются пренебрежимо малыми по сравнению с силой взаимодействия
между сталкивающимися частицами (критерии справедливости такого пренебрежения будут выписаны позже).
Введем также относительные скорости двух сталкивающихся частиц
8*21 = ^2 — *1 = - 8*12, 8*21 = ^2 — у; = - 812
(l&iHlgial^. Ig-2i| = |g-;2|=g').(4.2)
Из (4.1) и (4.2) легко получить
©i^o+Aljg^, vi = V„+M2g^, tt^-Do + M^!, ^■Do+Mig^i.
Из этих соотношений и из закона сохранения энергии для упругого столкновения
22,2,2
^1 *2 И ^2 "2* ” ^1 ~2^ ^2 ~2™
(4.3)(4.3)получим следующее равенство:
(4.3)
(4.3)
g=g'.
т. е. сохраняется абсолютная величина относительной скорости двух сталкивающихся частиц. Направление относительной ско
рости при этом меняется. Если через b обозначить расстояние наименьшего сближения двух сталкивающихся частиц при отсутствии взаимодействия между ними (рис. 1), называемое обычно прицельным параметром, то из закона сохранения момента количества движения имеем
b-b\(4.4)
На рис. 1 изображена траектория LMN частицы В относительно
частицы А. ОР и ОК—асимптоты траектории ^АРГ || ОР^ ОА —
линия центров, т. е. линия, соединяющая частицы в момент их наибольшего сближения. Считается, что сила взаимодействия
между частицами зависит только от расстояния между ними.
Динамический эффект столкновения будет известен, если определено изменение направления вектора относительной скорости g2V Зная только импульс и энергию, еще нельзя определить направление g*2i- Это направление зависит не только от начальных скоростей ^ и у2, н0 и от двух геометрических параметров: прицельного параметра b и угла отклонения вектора относительной скорости х (рис. 1). Последние два параметра уже полностью определяют столкновение. При этом, если известен закон взаимодействия между частицами, то между 6, g и % имеется функциональная связь.
Пусть 1}) — угол между плоскостью LMN и некоторой плоскостью, проходящей через АР* (направление ОР совпадает с направлением скорости частицы В относительно частицы Л), и некоторым фиксированным направлением в пространстве, которое будем считать осью z (рис. 2).
Рассмотрим частицу, имеющую скорость у и находящуюся в точке А. Подсчитаем число столкновений, которое испытывает
эта частица с другими частицами, имеющими прицельные параметры от b до b-\-db и находящимися в углах от ф до ф + ^ф. Только те частицы из этой группы будут испытывать за время dt столкновение с частицей в точке Л, которые в момент времени / находились на расстоянии не более neMgd/ от плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно АР' (как и ранее, считается, что время, затрачиваемое на столкновение, мало по сравнению с промежутком времени от t до
зующей gdt. Если db,зующей gdt. Если db,можно считать, что цилиндры не перекрываются, так что полныйможно считать, что цилиндры не перекрываются, так что полныйих объем будет равених объем будет равенПредставим теперь, что с каждой из f (г, ф, 0 dr dy частиц (типа А на рис. 2) связан цилиндр с основанием b dbd^ и обра- dip—малы, то без ущерба для строгости
зующей gdt. Если db,
зующей gdt. Если db,
можно считать, что цилиндры не перекрываются, так что полный
можно считать, что цилиндры не перекрываются, так что полный
их объем будет равен
их объем будет равен
(4-5)(4-5)dU = f dr di) gb db d^ dt.
(4-5)
(4-5)
Во многих из этих маленьких цилиндров нс окажется частиц типа В, имеющих скорости от уг до ^Ц-d^. Если при этом db, dip и d^ достаточно малы, то можно пренебречь возможностью того, что в каждом из таких цилиндров будет более одной частицы. Поэтому полное число частиц типа В в объеме dU, определяемом формулой (4.5), будет совпадать с числом «занятых» цилиндров. Каждый такой занятый цилиндр будет соответствовать столкновению, а полное число столкновений равно f^r, Dv /) d^ dU или, используя (4.5),
. f (г, v, /) j\ (г, yv Г) gb db dip dy d^ dr dt. (4.6)
При выводе этого выражения подразумевалось, что число столкновений с участием более двух частиц пренебрежимо мало (гипотеза парных столкновений). Таким образом, вывод справедлив только для газа с достаточно низкой плотностью. Интегрирование выражения (4.6) по всем прицельным параметрам Ь, углам ip и скоростям уг дает полное число столкновений, которые
испытывают fdrdv частиц за время dt» Это число равно
dv dr dt ^ J f (Л ^, 0 /i (^, уv 0 gb db d^ dvx.(4.7)
Каждое из столкновений приводит к тому, что частица, имевшая в момент времени t координаты г, у, в шестимерном пространстве не будет иметь в момент времени t* = t-V dt координаты г*=г+у dt, 4)* = v + (<F/m)dt (см. § 1), т. е. формула (4.7) дает уменьшение числа частиц, попавших в элемент dr*dv* в момент времени t* из элемента drdv в момент времени t за счет столкновений (как мы видели в § 1, dr* dv* = dr dv). Если при столкновении двух частиц начальные скорости были v' и Vy, то, в силу симметрии по времени уравнений механики, после столкновения скорости будут v и Vy соответственно. Аналогично прямым столкновениям, для обратных столкновений, т. е. для числа частиц, поступающих в элемент drdv за время dt вследствие столкновений, будем иметь
dr dv’ dt^^f' (г, v‘, t) fy (r, Vy, t)g'b' db'd^dVy. (4.8)
Из рассмотрения динамики столкновений легко показать, что dv' dv[ = dv dvv
Используя это соотношение и подставляя в правую часть (2.8) вместо —Sdvdrdt разность (4.8) и (4.7), получим, что
S(f) = SH Ufi-f'togbdbd^d^.(4.9)
При этом уравнение Больцмана для функции распределения однокомпонентного газа (2.10) будет иметь вид
%+^+^=SVn;-M^gb^^ (4Л0)
В (4.9) и (4.10) для краткости введены обозначения
f = /(r, о'.о, Л = /К, еч. 0, r^Kr.-VutY
Для смеси газов, состоящей из нескольких компонент, будем иметь (см. уравнение (2.11))
^ + у • ^ + ^ ■ ^ = Е j‘J J №~№ g^ b db dip do6. (4.11)
Из полученного интеграла столкновений видно, что кинетическое уравнение для функции распределения является сложным нелинейным интегродифференциальным уравнением. Интеграл столкновений в форме Больцмана (4.9) упрощается, если частицы взаимодействуют по закону Кулона. В работе [1] считалось, что существенными в этом случае являются только далекие столкно-
вения, т. е. столкновения, при которых импульсы сталкивающихся частиц меняются слабо. Тогда разложение функции /„ (гу в интеграле столкновений в форме Больцмана в ряд по Ауа = Уа—уа приводит к более простой, по сравнению с (4.9), форме интеграла столкновений, который получил название интеграла столкновений в форме Ландау (см. Приложение). Именно этот интеграл столкновений чаще всего используется для различных задач в физике, плазмы.
Основные положения метода Чепмена—Энскога для решения уравнения Больцмана
Как было отмечено в § 3, чтобы замкнуть систему гидродинамических уравнений для смеси газов, например, для плазмы, необходимо вычислить величины Pai Ра, qa, Qa или каким-либо образом выразить их через гидродинамические параметры па1 Уа, Та и др. Это можно сделать путем решения системы уравнений Больцмана (4.11) для функций распределения /а.
В настоящем параграфе конспективно, отмечая только основные особенности, излагается метод Чепмена—Энскога решения уравнения Больцмана. Чтобы не загромождать изложения, метод рассматривается для случая простого газа. В следующем параграфе обращается внимание на особенности этого метода для плазмы. Будем решать уравнение Больцмана (4.10) в предположении, что длина свободного пробега / (время свободного пробега т) частиц много меньше характерного размера L (характерного времени ^) задачи. Если считать при этом левую часть (4.10), имеющей порядок единицы, то правая часть имеет порядок Ш (t/г).
Перепишем (4.10) в виде
sm=^4+^'iM^f'r;-fto8bdb^^^^ (61)
Предположим, что решение (5.1) может быть представлено в виде бесконечного ряда
(5.2)
а результат действия оператора 2 на этот ряд можно представить в виде
2 (f) = 2 ^ + ^ +...)- ^(0) (ft0)) + ^(1) (/t0), РО + * • •
Наложим на функции ^ более сильное ограничение, чем требование, чтобы их сумма (5.2) удовлетворяла уравнению (5.1), а именно, будем считать, что
^(Р»)-=0, ^^^э /(0)^0, ^ЦР\ р\ f^-0, ...(5.3)
Условия (5.3) обеспечивают возможность представления решения уравнения (5.1) рядом (5.2). Разбиение 2 (f) на части ^°\ .S^ и т.д. не является единственным, так как произвольный член 2W может быть разбит на любое число частей, каждая из которых может быть отнесена к любому последующему члену без нарушения общей формы выражения.
Чтобы показать, как производится разбиение (5.3) в методе Чепмена—Энскога, введем в уравнение Больцмана параметр возмущения е, т.е. рассмотрим гипотетическое уравнение Больцмана вида)
(5.4)
Вместо разложения (5.2) будем искать решение (5.4) в виде ряда по параметру е
f + epi) + е2р2) + ...(5 5)
Параметр е введен с целью показать, что интеграл столкновений является главным членом в уравнении Больцмана (5.1). Как было указано выше, это так, если выполняются неравенства L^>/, 1>т. При этом решение уравнения (5.4) в виде ряда (5.5) будет решением уравнения (5.1), если положить 8=1.
Подставляя (5.5) в (5.4), собирая члены при одинаковых степенях 8 и приравнивая их нулю, получим следующую последовательность уравнений для определения ft0\ fU) и т.д.:
^(0) ^(0)) = ^ ^' Wf'i № — fmfi0>) gb db dip d^ = 0,
— УИ ^'<0>^<l*+ ^ тГ1(№—М1и—ГЧ1Ю) gb db dip d^ = 0,(5.6)
Эта последовательность уравнений является частным случаем разбиения (5.3) и используется в методе Чепмена — Энскога. Обычно рассматриваются только первые два уравнения из последовательности (5.6), решение которых приводит к гидродинамическим уравнениям Навье—Стокса, широко используемым в гидроаэромеханике (использование третьего уравнения приводит к так называемым уравнениям Барнетта, обычно хуже описывающим движение жидкостей и газов, чем уравнения Навье — Стокса). Первое уравнение (5.6) будет удовлетворено, если
(0)^ (0) = ^(Oi^m, или 1п ^ (0) + 1п ^ (0) _ 1п ^0) + 1п f (О),
Последнее равенство указывает на то, что сумма логарифмов от функций распределения сохраняется при изменении их аргументов, происходящем в результате столкновения частиц, т. е. эта величина является инвариантом столкновения. Но при упругом столкновении частиц сохраняется их полный импульс и полная энергия. Поэтому логарифм функции распределения в нулевом приближении можно представить в виде
Inp’^^-^ + ^./no + ag,(5.7)
где аи а2, а3—медленно меняющиеся функции г и t (мало меняются на длине свободного пробега Z и за время свободного пробега т).
Предположим теперь, что
n=f/<0M©, nV=^-vf№d-o, ~пкТ=\ ^^ fwdv. (5.8)
Подставляя (5.7) в (5.8) и выражая постоянные av а2, а3 через п, V и Т, окончательно для f№ получим
f” НдаГехр l~w’'’’I •<5-9)
Здесь п, V, Т являются медленно меняющимися функциями координаты г, времени / в смысле, указанном выше. Чтобы м, V и Т соответствовали концентрации частиц, средней скорости и температуре — величинам, входящим в гидродинамические уравнения, они должны удовлетворять равенствам (2.1), (2.5) и
Отсюда и из (5.8) следует, что эти требования будут удовлетворены, если на функции ftn) наложить условия
^4-0=0, ^afMdv = O, ^2?L^=JDl^dv = O (п = 1, 2, ...).
(5.10)
Функция распределения (5.9) называется локально-максвелловской, в отличие от полностью равновесной максвелловской функции распределения, в которой п, V, Т постоянные величины Х^, а2, аа — постоянные). Если вычислить тензор напряжений Р согласно (3.12) и вектор потока тепла q согласно (3.16), пользуясь локально-максвелловской функцией распределения (5.9), то получим
(Р),у=-рб//, q = 0((л),у = 0),(5.11)
где
р-пкТ.(5.12)
При этом ясно, что в случае однокомпонентного (простого) газа будем иметь Ра-0, Q« = 0.
Для получения первого приближения метода Чепмена—Энс- кога будем решать второе уравнение последовательности (5.6) при условиях (5.10). При этом подставим локально-максвелловское распределение (5.9), которое является решением нулевого приближения, в дифференциальную часть второго уравнения (5.6).
В результате будем иметь
(5.13)(5.13)д \ F . д \1 ^ I 1 дт и^-ю2
(5.13)
(5.13)
dt и dr m дт? ) 11 \ п dt Т dt [ 2kT
m , v. dV т? дп о дТ Vtn^—Vf 3 1 + кТ* di + п * dr + Т * дг [ 2кТ 2 .
। m ( д \, жгх m ,F \
+ кг К® •-5FJ ИV)--f.
Производные по времени исключаются при помощи моментных уравнений переноса, рассмотренных в § 3, с нужной степенью точности. А именно, второе уравнение (5.6) получено приравниванием нулю коэффициента при е°^1. Поэтому для исключения частных производных по времени из (5.13) моментные уравнения необходимо использовать с той же степенью точности.
В этом приближении, используя (5.11), (5.12) для простого газа, находим из (3.9), (3.11) и (3.15)
dVat —— v • —- К дг1 дртп дг 1--F, т ’атдТ2 дat —v' аг3nk Р дг• V.dVat —— v • —- К дг1 дртп дг 1--F, т ’атдТ2 дat —v' аг3nk Р дг• V.(5.14)(5.14)
dV
at —
— v • —- К дг
1 др
тп дг 1
--F, т ’
ат
дТ
2 д
at —
v' аг
3nk Р дг
• V.
dV
at —
— v • —- К дг
1 др
тп дг 1
--F, т ’
ат
дТ
2 д
at —
v' аг
3nk Р дг
• V.
(5.14)
(5.14)
Подставляя частные производные по времени из (5.14) в правую часть (5.13) и полагая
р) = р)(р>(5.15)
вместо второго уравнения (5.6), получим
/(0> с/(0> сdin Г / m . ,„5 \ , v m /1 ~i<>\ Wt 1
/(0> с
/(0> с
дг \2кГ^13 ^'/М ) dxJ “
= ^fi°7t01 (ф' + ф!~ ф — ^^gbdbd^d^. (5.16)
Здесь введена тепловая скорость
— уе
Уравнение (5.16) есть линейное неоднородное интегральное уравнение относительно функции возмущения ф (у). При этом условия (5.10) для функции ф (ф) принимают вид
/10)Ф d^) — 0, ^ ft0) ^ф dv — 0, ^ иг (у — V)2 /и))ф di> 0.(5.17)
Уравнение (5.16) обладает решениями в том и только в том случае, когда левая его часть ортогональна решениям соответствующего однородного уравнения.
Очевидно, что решениями однородного уравнения являются 1, тс и т|с|2/2, а интегралы по скоростям от левой части (5.16), умноженной на каждое из этих решений, обращаются в нуль. Следовательно, условия разрешимости интегрального уравнения относительно функции ср выполнены.
Так как уравнение (5.16) является линейным, то его решение можно представить в виде
Ф (с) = —А (I) с ]/ ^ • -^ 2кГ5 (6) S (^/"у 6/7 к I2) уу-
(5.18)
Здесь А и В —неизвестные скалярные функции от g = т | с |2/(2кТ). Первое и последнее условия (5.17) при этом удовлетворяются тождественно, а второе принимает вид
$(^) = 0.(5.19)
о
Для определения функций Л (£) и В(£) используются их разложения в ряды по ортогональным полиномам Сонина—Лагерра
ОО .ОО
А (В) = 2 av B^^W»^,(5.20)
1=01=0
где аь Ь^ — постоянные коэффициенты, а полиномы определяются соотношениями
При этом условия ортогональности полиномов Сонина—Лагерра записываются в виде
$ d^e^UW (& = W г (i+ r + 1).(5.21)
о
Легко получить теперь выражения для первых двух полиномов, а именно
А3/2а) = 1, ^/2(1)=4~£, io/2(B)=b Lf2^)—
Условие ортогональности (5.21) и условие (5.19) для разложения (5.20) дают а0 = 0.
Подстановка (5.18) и (5.20) в уравнение (5.16) приводит к двум независимым бесконечным системам алгебраических урав-
нений относительно постоянных коэффициентов а, и Ь(. При решении обычно ограничиваются учетом небольшого числа первых коэффициентов разложения. Это часто оказывается достаточным вследствие малого вклада в результаты вычислений последующих членов разложения.
В качестве примера рассмотрим схему получения уравнений для коэффициентов а(.
m I ^ I2 \, 3/2 / «kl22kT /\ 2kTm I ^ I2 \, 3/2 / «kl22kT /\ 2kTПодставим (5.18) и (5.20) в уравнение (5.16) и соберем все члены при dlnT/dr. Приравнивая их сумму нулю, получим
m I ^ I2 \, 3/2 / «kl2
2kT /\ 2kT
m I ^ I2 \, 3/2 / «kl2
2kT /\ 2kT
I ,,3/2 /mRTX j_rV?/2 (a \ v i^i i 2kT / ~i~\
— c^V4 (^^-) ) gb db dip dcv
Умножим это уравнение на с (т/^кТ) L^2 (т | с |2/2кТ) и проин- тегрируем по скоростям. Тогда левая часть последнего уравнения дает
(У„ ( m У/УПл^" m|c|2/m|c|25 > , 3/2 /m|c|2\ .
J 2nkT)2kT \ 2kT 2 ) 1\ 2kT ) ~
00
=Afr$^^_|\l,/8 (^ =0
=6yi ^ n.
0
Здесь использовано условие ортогональности (5.21). В результате получаем систему уравнений для определения коэффициентов а, в виде
T”/i =fX/°f» (5.22) 1= 1
где коэффициенты а/у- имеют вид
Lr.r'p!» ^^Idf^ Ir 127 3/2 Ук12\ Г 3/2 /mki^H ■г С cxLi ^ 2кГ У I с I ь t ^ 2kr J с сги ^ 2kr Jj- .
только один член, решением уравнений (5.22) будет
Таким образом, задача свелась к решению линейной алгебраической системы уравнений (5.22) для нахождения коэффициентов а,;*
Коэффициенты а^ обычно можно упростить. Чтобы не загромождать изложение сложными формулами, не будем приводить окончательных выражений для коэффициентов сц.
Аналогично получаются уравнения для коэффициентов разложения Ь^
Окончательно, зная коэффициенты сц и bh по формулам (5.18), (5.20) можно определить функцию возмущения <р (с), после чего из (5.2) и (5.15) определяется функция распределения / с точностью до членов первого порядка малости.
Следует заметить, что именно через функцию /(1) выражаются тензор вязких напряжений л и вектор потока тепла q, введенные ранее. В частности, для простого газа, используя формулу (3.16), имеем
<7 = $ -^- с у^ + П de = J^-cf^ (c)dc=-x^,
где, согласно (5.18), 00
О
(интеграл от той части tp, в которую входит коэффициент В, обращается в нуль).
Коэффициент х называется коэффициентом теплопроводности для простого газа. Аналогично вычисляется коэффициент вязкости. Все эти коэффициенты принято называть коэффициентами переноса, включая коэффициенты диффузии, электропроводности и т. д. для плазмы (или для других смесей газов).
Ясно, что эти коэффициенты могут быть вычислены полностью лишь при известном законе взаимодействия между частицами, что позволяет до конца определить результат столкновения двух частиц.
Таким образом, в этом параграфе была показана принципиальная возможность вычисления q и л через гидродинамические параметры, используя решение кинетического уравнения (аналогично вычисляются qa. ла, Rai Qa для смеси газов).
Как указывалось ранее, вычисление этих величин через гидродинамические параметры дает возможность получить замкнутую систему гидродинамических уравнений для na, Та, ра, Va>
Коэффициенты переноса для полностью ионизованной плазмы со столкновениями
Как уже было отмечено выше, под полностью ионизованной плазмой мы будем понимать плазму, состоящую из электронов и однозарядных ионов. Наиболее часто встречающаяся в астрофизических приложениях почти полностью ионизованная плазма является водородной, т. е. состоит в основном из электронов и протонов.
Метод Чепмена—Энскога, изложенный в § 5 для простого газа, имеет свои особенности при его применении к плазме. Гипотетическая задача (5.4), (5.5) для простого газа в случае полностью ионизованной плазмы в поле только электромагнитной силы будет определяться уравнениями
+ ®-t+S(£ + >.xBj't + 4i<c-x®'t+7LS->-0'<6J)
++(6.2)
Здесь индекс ос = е, I соответственно для электронов и ионов.
В уравнении (6.1) параметр е выделяет, как главный член, не только интеграл столкновений, но и часть, связанную с магнитным полем (при этом обычно выделяется только часть, связанная с тепловым движением частицы). Это обусловлено тем, что в магнитном поле заряженная частица при отсутствии столкновений вращается вокруг магнитных силовых линий с частотой ша = еаВ/(тас), называемой циклотронной частотой, и с радиусом порядка Г/а = са/(оа, называемым ларморовским радиусом. При этом в достаточно сильном магнитном поле частота соа может оказаться больше или порядка частоты столкновений частиц т;1 (или длина свободного пробега 1а больше или порядка ларморовского радиуса rZa).
В таком случае выделенный дифференциальный член больше или порядка интеграла столкновений.
Тогда, вместо системы уравнений (5.6), для последовательных приближений будем иметь
^«х 5)-^ + ^ [ff (OT-ftW^^
2 ш 1№+gaSbdbдрd®p, (6.3)
Можно показать (см., например, [2]), что решение первого из уравнений (6.3) есть максвелловская функция распределения вида
fa = «а ( 2лкГ ) еХР — ‘
Здесь Te = Tt = T. Однако, в силу того, что масса электрона много меньше массы иона (mg^/n,), время приближения функции распределения к максвелловской внутри каждой компоненты гораздо меньше времени обмена энергиями между компонентами за счет столкновений. Это может приводить к таким ситуациям в плазме, когда Те^Т^
При Те^Т{ тепловая скорость электронов много больше тепловой скорости ионов и можно упростить перекрестные интегралы столкновений Sei и Sie.
В результате нулевое приближение в (6.3) дает максвелловское распределение с разными температурами компонент (более подробно см. [3]), а именно
/ т„ \з/з Г т„, 1
fa = «а \2лкТа) 6Хр [~ 2кТа ^—'^6-4^
Процедура отыскания решения f^ второго уравнения (6.3) аналогична изложенной в § 5 для простого газа. Решение для функции возмущения <ра ищется в виде
^а=-Аа^, ВУ^-^В^, В^-
-Са^, BYda № = Г^аУ (6.5)
В отличие от (5.18), здесь коэффициенты Ла, Вакп и Са зависят не только от вектора гг, но и от псевдовектора В, а слагаемое Ca-da появляется вследствие присутствия в гидродинамических уравнениях для плазмы членов Ra и Qa. Поскольку независимыми комбинациями вектора -о и псевдовектора В, дающими вектор, являются ф, dxB и (фхВ^хВ» то для коэффициентов в (6.5) решение ищется в виде
A a - A^v + А У (v х В) + А У1 [(у х В) х В]
(разложения для Вакп и Са аналогичны). Все остальные вычисления проводятся по аналогии с вычислениями для простого газа, но вместо одного скалярного неизвестного коэффициента в рассматриваемом случае имеем три: АУ АУ и АУ1. Отвлекаясь от громоздких выкладок, приведем лишь окончательные результаты таких вычислений, проделанных С. И. Брагинским [3].
Система гидродинамических уравнений для полностью ионизованной плазмы будет состоять из уравнений неразрывности (3.9), движения (3.11), притока тепла (3.15), уравнения состояния (3.14) и уравнений Максвелла (3.17). При этом выражения для (ла)Ап, #а, Ra и Qa имеют в декартовой системе координат вид
Rei = — Rie — R— Ru + Rt (Raa " 0),
Ru^ -Mu -Mi+aA фхиу
Rt=- Pf V»T.-pf MLT-^(b X vr J (u = Ve - Vh b = B/B), 4 e = q“ "V ql, 9“ = Рн“мп + P1“#.l + Рд“ (Ax «), ql = - A V „ Te - k^J. - x\ (b x V^), ql = -и^^-Х^Т^Х (b^T^,
Si= = 4;^:We-T^№a« = 0),
Qu^Qei^-RVV.-ViY(6.6)
Здесь значки || и |_ у векторов означают, что берется составляющая вектора, параллельная и перпендикулярная магнитному полю соответственно, например, Иц =(tt b)b и u^^bx ^UXby Коэффициенты определяются формулами
тепе а и =-pa0,Pf = ПекРо,P ii — P II T e.тепе а и =-pa0,Pf = ПекРо,P ii — P II T e._ тепе(л a^x2+ao\ _ mene x (аУ + а^)
тепе а и =-pa0,
Pf = ПекРо,
P ii — P II T e.
тепе а и =-pa0,
Pf = ПекРо,
P ii — P II T e.
^ = ”VAA
й“Г_ , P^2+Po OUT _ , x(pl'x3 + ₽;)
PX ~ n+д, РЛ ~+kд,
qTU ntlTmqTu nllTm
PX —PX i e^ PA =PA * e>
e _ nek2TeTee _ nek2TeXe (y^X2 + Vo)
x 11?0 ’ z ~^A -
* - ^^ -^ч3'(^ = ».т„ Л = ,. + M + 6,),
X1 — 3 ЗОб^^2^1^1* x^ ^i^TjXi (2z/2 + 2,645)
111 m£ ’miAx ’
^^^Ly-^±^- (У = ®ГГи А^г/^.Уу2+ 0,677), т з V^kTeW1 т = +£^акта^7
г 4 /2л е4ХгпД ’'4 / л е4г4П1Х ‘V "
Коэффициенты х обычно называются коэффициентами теплопро- водности.
ТАБЛИЦА 1
-
Z= 1
Z=2
Z = 3
Z = 4
Z—>a>
«0=1 — (а'о/6о)
0,5129
0,4408
0,3965
0,3752
0,2949
Ро = Р 0/6д
0,7110
0,9052
1,016
1,090
1,521
То = То/бо
3,1616
4,890
6,064
6,920
12,471
6о
3,7703
1,0465
0,5814
0,4106
0,0961
61
14,79
10,80
9,618
9,055
7,482
6,416
5,523
5,226
5,077
4,63
«0
1,837
0,5956
0,3515
0,2566
0,0678
«1
1,704
1,704
1,704
1,704
1,704
«0
0,7796
0,3439
0,2400
0,1957
0,0940
р;
5,101
4,450
4,233
4,124
3,798
р;
2,681
0,9473
0,5905
0,4478
0,1461
р;
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
Р'о
3,053
1,784
1,442
1,285
0,877
Т1
4,664
3,957
3,721
3,604
3,25
То
11,92
5,118
3,525
2,841
1,20
И
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
То
21,67
15,37
13,53
12,65
10,23
Значения постоянных а0, а!, а,, а^, а.,, р0, £1, pg, pi', р;, у0, Yu Vo, Vn То, ^u So приведены в табл. 1 для плазмы с различным зарядом Z ионов. Величины та имеют физический смысл «времени свободного пробега» частиц сорта а или, по порядку величины, это — время релаксации функции распределения частиц сорта а к максвелловскому распределению (6.4). Величина ша = еаВ1^тас^—циклотронная частота вращения заряженных частиц в магнитном поле, Л—кулоновский логарифм (см. Приложение.) Компоненты парциального тензора вязких напряжений (ла)Лп определяются формулами (индекс а опускаем для
простоты записи)
(”)*„ = Ло W" окп + Лх^хЪ, + ЛЛ'2*Й~ Лз№зй„ — лЛ'х*,,,
wokn -4 (*Л—|л„) £ (btbm—L6\ Wtm,
WYkn = ^ ^L^^^nb^ Wlm, и «г
w2kn = £ №„ьт+^тькь^ wlm,
W3kn = ^ У, ^e^ + S^fcp^bpW^,
т, р
W£kn — i 2 ФФfinpm^ &пЪnfokpl) ЬpWim,
Wkn=^+^—^^kn4--v-(6-8)
охп 1 ох^ 3 orх '
Здесь б^ = 6fen — Ьфп. Коэффициенты вязкости ионов определяются формулами
Ло = О.ЭбпДТл,-, л2 (у) = HikTjXi -(ух^оз^^ЗЗ) •
Л^ = п,кТzrz -^г^У^зз)-, л! = Ло (2у), Лз = л! (2у). (6.9)
(2,05х24 8,50)(х4 4 13,8х2-1-11,6) *Tli^ >1И2х), Пз = пИ2л;)-(2,05х24 8,50)(х4 4 13,8х2-1-11,6) *Tli^ >1И2х), Пз = пИ2л;)-Коэффициенты вязкости электронов для Z — 1 имеют вид
(2,05х24 8,50)
(х4 4 13,8х2-1-11,6) *
Tli^ >1И2х), Пз = пИ2л;)-
(2,05х24 8,50)
(х4 4 13,8х2-1-11,6) *
Tli^ >1И2х), Пз = пИ2л;)-
Ло = 0,733 ПгкТеТе, Т|2 (х) = ПекТДе
т]4 (х) = — пекТетет]4 (х) = — пекТетех (х + ?,91)(х4+13,8х2+11,6)
т]4 (х) = — пекТете
т]4 (х) = — пекТете
(6.10)
Из выписанных здесь формул (6.6)—(6.10) видно, что величины (ла)яп> ^а, Ra> Qa ПрОПОрЦИОНЗЛЬНЫ Тем фаКТОрЗМ, КОТОрые СО- здают отклонения от локального равновесного максвелловского распределения (градиентам температуры, скорости ит. д.). Именно эти коэффициенты пропорциональности, например, коэффициенты трения а между частицами, коэффициенты теплопроводности х, вязкости т| и т. п. и называются обычно коэффициентами переноса.
Из формул также видно, что при произвольном значении параметра мата коэффициенты переноса становятся анизотропными по отношению к направлению магнитного поля, а коэффициенты переноса вдоль направления поля совпадают с коэффициентами переноса при отсутствии магнитного поля. При тата<^ 1 они становятся изотропными, как легко заметить, устремляя
в формулах (6.6)—(6.10) величины х и у к нулю. Выписанные выше выражения для коэффициентов переноса можно пояснить с помощью наглядных физических представлений, принадлежащих С. И. Брагинскому [3]. Они основаны на картине движения отдельных частиц и свойствах кулоновских столкновений.
Без магнитного поля свободное движение частиц происходит по прямым линиям с постоянной скоростью. Столкновения искривляют траектории частиц и изменяют величину их скорости. Движение частицы, таким образом, можно представить как движение по ломаной линии, состоящей из хаотически направленных отрезков длиной порядка /а — гата, где уа ~ р^кТ^/та— характерная величина тепловой скорости, та—характерное время между столкновениями, определяемое согласно (6.7).
В магнитном поле, как было отмечено выше, заряженная частица движется без столкновений по винтовой линии с радиусом порядка ларморовского радиуса riaтаиас/(еаВ). Эта винтовая линия навивается на магнитную силовую линию.
Столкновения нарушают такое правильное движение, и можно считать, что через время порядка та частица каждый раз начинает описывать новую винтовую линию. При этом в слабом магнитном поле ^la^^a ИЛИ щлта <| 1) части винтовых линий, проходимые частицей между столкновениями, мало отличаются от отрезков прямых линий. В сильном магнитном поле (coara;> 1 или Г/а<^/а) частица между столкновениями успевает описать много витков. В последнем случае магнитное поле должно сильно влиять на процессы переноса в поперечном к полю направлении, тогда как вдоль поля частицы движутся свободно, проходя между столкновениями расстояние ~/, как и при В = 0. Поэтому на продольные потоки магнитное поле не влияет.
Рассмотрим теперь физический смысл величины R, состоящей из термосилы RT и силы трения Rtt. При столкновениях электронов с ионами, которые в среднем неподвижны (И/^О), скорости электронов, почти не меняясь по величине, хаотически изменяют свое направление, так как те<^т(. Таким образом, за время между столкновениями т^, определяемое согласно (6.7), электроны теряют свою упорядоченную скорость u—Ve—V/ относительно ионов. Следовательно, они теряют (а ионы приобретают) импульс теи на каждый электрон. Это значит, что на электроны действует сила трения порядка —meneu/xe. Равная ей, но противоположно направленная сила действует на ионы. Числовой коэффициент в выражении Rtt в формулах (6.6) получился из-за искажения функции распределения электронов вследствие того, что т^ ~ те,-(т^, т^-— время свободного пробега электронов при их столкновениях с электронами и ионами соответственно). Если бы было хее<^хеЬ то этот эффект отсутствовал бы.
I44HWF
Е
С
Е
I
Здесь следует заметить, что выражение для силы трения в предположении максвелловского распределения электронов, сдвинутого как целое относительно ионов на величину и, имеет вид
Эта формула часто Физический смысл Пусть электроны и
Г>(0) ШеП
*VU —_
(6.И)
используется при решении конкретных задач, термосилы RT заключается в следующем, ионы в среднем покоятся (Уе = Vt =• 0), так
что через любое сечение, скажем х = х0, слева направо и справа налево в единицу времени проходит одинаковое количество
электронов. Каждый из таких взаимно компенсирующихся
токов по порядку величины равен В результате столкновений потоки испытывают, аналогично лы трения R+ и R_ порядка тепех)е]те1 причем в случае полной однородности силы трения точно компенсируются и результирующей силы не возникает.
Однако столкновения элект-
электронов с ионами предыдущему случаю,
ронов с ионами могут создавать результирующую силу, когда распределение скоростей электро
нов, приходящих справа, иное, чем
по-
этиси-
приходящих слева, так что
/?+ и R_ не уравновешиваются. Если, например, справа приходят электроны с большей, в среднем, энергией, чем слева, то сила, действующая на быстрые электроны справа, будет меньше, чем на более медленные электроны слева, так как, согласно формулам (6.7), t^v3. В результате возникает сила, направленная налево.
Пусть имеется градиент температуры вдоль оси х (рис. 3), а магнитное поле либо отсутствует, либо параллельно градиенту температуры (VT^). Тогда в точке х х0 будут испытывать столкновения электроны, пришедшие справа и слева в среднем с расстояний порядка длины свободного пробега I ~ от, т. е. справа будут приходить электроны из областей, где температура на величину 1дТе/дх больше, чем в областях, откуда приходят электроны слева. В результате неуравновешенная часть сил /?+ и R„ будет равна по порядку величины
I дТе mcneve т Те Эх т^
^кп ^ ~ кпе^кТе дхдх
и будет направлена налево, т. е. против градиента температуры (знак минус в выражении для RT следует из (6.6)).
Проведем аналогичные рассуждения для случая, когда имеется сильное магнитное поле (соата ^> 1), направленное по оси z, а градиент температуры по-прежнему направлен вдоль оси х (рис. 4).
В этом случае электроны вращаются по ларморовским кружкам радиуса г1е^Уе1^е» так что в точку х = х0 приходят электроны справа и слева с расстояния порядка г1е. Эти электроны имеют различные температуры. Величина этой разницы порядка г1едТе/дх. Происходит, аналогично прежнему случаю, некомпенсация сил трения у потоков, направленных по оси у.
Потоки же вдоль оси х образуются в точке х - х0 электронами, приходящими в среднем из областей с х х0, поэтому в этом направлении силы трения компенсируются. Наличие составляющей термосилы, направленной перпендикулярно градиенту температуры и направлению магнитного поля, описывается последним членом выражения для RT в формулах (6.6).
Аналогичная физическая трактовка может быть дана для quei qL ^а^кп и т- Д- (см- цитированную выше работу С. И. Брагинского).
В настоящем параграфе выписаны результаты вычислений коэффициентов переноса для полностью ионизованной двухтемпературной плазмы (Те ^ Т^ без подробного их вывода. Однако эти результаты справедливы при целом ряде ограничений на параметры плазмы, что, естественно, необходимо учитывать при решении конкретных задач. Подчеркнем эти ограничения.
1°. В методе Чепмена—Энскога использовался интеграл столкновений в форме Больцмана, который выводился при условии, что от столкновения до столкновения частицы движутся равномерно и прямолинейно. Для справедливости этого предположения необходимо, чтобы искривление траектории частицы в магнитном поле не влияло на столкновения. Этим искривлением можно пренебречь, если ларморовский радиус частиц г1а
т^^сД^В) много больше радиуса Дебая г^ = [кТ^/^ле2/^)]1^ (см. Приложение).
2°. Все характерные времена и длины задачи должны быть велики по сравнению с временем и длиной свободного пробега частиц. Это предположение позволяет в качестве нулевого приближения при решении кинетического уравнения использовать локально-максвелловское распределение.
3°. Температура электронов Те не может быть много меньше температуры ионов Tz. Эго предположение, при учете те<^ть
§ 7] ОДНОЖИДКОСТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ПЛАЗМЫ 37 позволяет провести разложение в интеграле столкновений по отношению тепловой скорости ионов к тепловой скорости электронов и в качестве нулевого приближения получить локальномаксвелловское распределение (6.4) с разными температурами компонент.
' rp.^IHrTn' rp.^IHrTn4°. Относительная скорость электронов и ионов и ¥е—V; мала по сравнению с тепловой скоростью ие электронов. Это предположение позволяет существенно упростить вычисления коэффициентов переноса. В частности, при этом предположении сила трения Rn, вычисленная по локально-максвелловскому распределению, имеет форму (6.11).
' rp.^IHrTn
' rp.^IHrTn
Одножидкостное приближение для плазмы
Сформулированные в § 6 гидродинамические уравнения для полностью ионизованной плазмы получили название двухжидкостного приближения, поскольку поведение плазмы описывается уравнениями для каждой компоненты отдельно (для электронов и ионов), а взаимодействие между компонентами осуществляется путем передачи импульса и энергии от одной компоненты к другой за счет столкновений, а также посредством электрического и магнитного полей. Часто, однако, более удобным и простым является описание поведения плазмы на основе так называемого одножидкостного приближения, в котором плазма рассматривается как смесь электронов и ионов.
Суммирование по сортам а уравнения неразрывности (3.9), умноженного на та, приводит к уравнению неразрывности для смеси
didiР = 2/п««а, рУ=УтапаУа\ (7.1)
di
di
Просуммируем теперь по а уравнения движения в форме (3.10) (это удобнее, чем суммировать (3.11)). В результате, учитывая законы сохранения (3.3) и определения (3.12), в проекциях на оси координат получим
Чг + ^^(Ра6А« — ^тУМаПаУакУа^ = а
= Pe^+4(/xB)ft+ ^n^F^k. (7.2)
& а
Здесь и далее по повторяющимся индексам п подразумевается суммирование, а рй и /—плотность заряда и плотность электрического тока соответственно, определяемые согласно формулам
(см. также (3.17))
Ре ~ ^J^a^a,» J ^^a^a^a-(7-3)
aa
(7.4)(7.4)Если теперь ввести относительную скорость ua=Va-V,
(7.4)
(7.4)
воспользоваться уравнением неразрывности (7.1) и тем, что 2ma^atta = 0, то из (7.2) легко получить
a
Р “^ Н ^х ^ u kPa^kn ^акп Ч" ^a^a^afe^an)
-pA+yVxnk+m.
T-b+v4,. Г-2^(7.5)
В силу малости массы электрона по сравнению с массой иона (те^т^ часто предполагается, что средняя массовая скорость полностью ионизованной плазмы совпадает со средней скоростью ионов V^—V. Тогда uG — u (zr^O), где и—относительная скорость электронов и ионов (см. формулы (6.6)). Но в вычислениях, результаты которых даются соотношениями (6.6)—(6.10), предполагалось (см. конец § 6), что относительная скорость и мала по сравнению с тепловой скоростью электронов. Поэтому последним членом в круглой скобке слева уравнения (7.5) обычно пренебрегается по сравнению с первым. Кроме того, при Т е^Т { можно пренебречь вязкостью электронов по сравнению с вязкостью ионов, так как согласно (6.9), (6.10) и (6.7) отношение коэффициента вязкости электронов к коэффициенту вязкости ионов порядка (me/mz)t/2<^ 1.
В результате этих предположений, вместо (7.5), получим, в пренебрежении членом реЕ, который обычно мал в силу квазинейтральности плазмы kn^rqV
dV др . д 1 , „ |
(7.6)(7.6)Р ~ ^J Ра, л = S яа^ ”i-аа
(7.6)
(7.6)
Здесь следует заметить, что пренебрежение в уравнении движения силой реЕ не означает, что мы предполагаем рг —0. На самом деле эта сила оказывается малой по сравнению с силой (l/c)jxB. Тем не менее в каждой точке течения плотность заряда может быть отличной от нуля (но достаточно малой), и она определяется из уравнения Максвелла divE = 4Jipe.
Тензор вязких напряжений л,- в (7.6) определяется формулами (6.8), (6.9), но в них надо Vz заменить на V (согласно тому, что V^Vy
Суммирование по а уравнения состояния (3.14) приводит к уравнению состояния для смеси
Р = ^;^Те"^Тй ^«т.пь newnty (7.7)
Для плазмы, в которой температура электронов Те не равна температуре ионов Т\ (двухтемпературная плазма), давление смеси определяется суммой температур компонент. Коэффициент вязкости ионов, входящий в уравнение движения смеси (7.6), зависит от температуры ионов Т (. Следовательно, для определения Те и Т( необходимо использовать, вообще говоря, два уравнения притока тепла (3.15). В том случае, когда можно считать Те = Т{ = Т, вместо (7.7) получаем
Р = ^рТ,(7-8)
т. е. уравнение состояния для однотемпературной плазмы.
Просуммируем теперь по сортам а в том же приближении уГр-Т^Т) уравнение (3.13). Если воспользоваться при этом уравнением движения (3.11), умноженным скалярно на Уа, то получим
3k dT . d _, д ,дУ^к / дра \
р dt +рдг ’ V dr* ^ ^ X ЯаАп dxn +* dr^а) *
а, к, па
(7-9)
Здесь вектор потока тепла для плазмы q определяется формулой
д = ^^а+^пактиау(7.Ю)
a
Второй член справа связан с потоком тепла за счет относительного движения электронов и ионов. При Vp-V и пе ^ гц скорость относительного движения пропорциональна плотности тока, т. е.
Ue=-^e <Ui~°Y(7.И)
Если учесть (7.11) и пренебречь в (7.9) членом (который легко выделяется)
V „ dU*ak ~ тг
^ ^п йхп ~ Лекп дХп .
то из (7.9) находим уравнение притока тепла в форме
dT . дd । х3। х3
^^руг ■v=~Tr^+ 1 л*'^+ 1Л-к, па
1• дрР / 3k. 5кТ»1
СУ = —, Ч^Че + Чг—(7.12) епе J dr \ v Ш( ’\ Че и х ’
При получении уравнений для смеси в уравнения вошла новая переменная — плотность электрического тока j.
Для того чтобы вывести уравнение, определяющее плотность тока—так называемый обобщенный закон Ома, умножим уравнение движения электронов (а = е) на —е/те, а уравнение движения ионов на е/т^ и сложим эти уравнения. Тогда из (З.П) будем иметь, учитывая, как и при выводе (7.6), что Ут^^Ут^
—епе—епеdeVe। diViедре,д( е.
—епе
—епе
у;[~ СП: —у;— Ч1Ч*( ЗТрdt11 dtmedr{dr\me e
•^R- <7J3>•^R- <7J3>
•^R- <7J3>
•^R- <7J3>
Здесь Re =— R^R и опущен член с внешней силой Fa (оценки показывают, что внешняя сила, например, часто встречающаяся ниже сила гравитации не существенна в уравнении для плотности тока).
Дальнейшие упрощения уравнения (7.13) сводятся к тому, что в гидродинамическом приближении обычно можно пренебречь левой частью, поскольку она порядка характерной частоты задачи 1//, а, например, член (e/me)R, как следует из результатов § 6, имеет порядок частоты столкновений 1/те.
• Пренебрегая также членами с вязкостью в (7.13) (для большинства магнитогидродинамических задач, как показано подробно в работе [4], это можно сделать, хотя при этом вязкость может играть существенную роль в уравнении движения) и заменяя Ve на (К—j!{ene)), в результате получим
Данное соотношение и является, вообще говоря, тем дополнительным соотношением, которое определяет плотность тока j через другие гидродинамические параметры. При этом следует иметь в виду, что, согласно результатам § 6, величина R есть сумма Ru и RT (силы трения и термосилы соответственно), первая из которых выражается через относительную скорость и электронов и ионов, а и в свою очередь легко выразить через плотность тока /.
Преобразуем теперь два последних члена справа в (7.12), используя (7.14) и соотношение (см. (6.6))
Qe + Q,--R (К~Ю №e = Qei, Q^Qie),
которое следует из закона сохранения энергии (3.4) и из определения Q и /?.
Имеем
Qe + Q—^-J- d"!7=-R- kVe-V^-^j. ^ =
ene ел? drdr J *
Подставляя сюда величину (/? — dpjdr) из (7.14), окончательно, вместо (7.12), приходим к форме уравнения притока тепла, которая широко используется в различных приложениях, ^at^PTr‘V== -yr'q^^«d^^J' \E^T V*B) • (7J5)
В правой части (7.15) первый член есть приток тепла за счет теплопроводности и диффузии (см. выражение для q из (7.12) и (6.6)), второй — за счет работы вязких сил, а последний член представляет собой выделение тепла вследствие протекания электрического тока.
Если при вычислении величины R пренебречь термосилой Rt , а силу трения Ru найти по упрощенной формуле (6.П), то соотношение (7.14) примет форму обобщенного закона Ома, наиболее часто используемого в литературе,
J — o (е + - VxbA — ^Ц-jxB—XY(7.16)
а \* с/ те \ с ddr )v J
Здесь о = пееЧе(те — электропроводность полностью ионизованной плазмы в отсутствие магнитного поля (иногда вводятся понятия продольной и поперечной по отношению к магнитному полю электропроводности, что является удобным при разрешении уравнения (7.16) относительно плотности тока J).
Физические эффекты, обусловленные слагаемыми, пропорциональными jxB, иногда называют эффектами Холла. Последний член справа в скобках имеет порядок соете, и при co^x^^l им можно пренебречь. При этом обобщенный закон Ома, вместо (7.16), принимает форму
J^o^E + ^VxBy(7.17)
которая обычно используется в классической магнитной гидродинамике (см., например, книги [5, 6J). Здесь также следует заметить, что при соетр<^1 коэффициенты переноса, выписанные в § 6, становятся изотропными по отношению к направлению магнитного поля.
Система уравнений (7.1), (7.6), (7.8), (7.15) и (7.16) является системой гидродинамических уравнений одножидкостного приближения для полностью ионизованной плазмы при Т е — Т ( = Т.
Эта система уравнений вместе с уравнениями Максвелла (3,17) для электромагнитного поля, в которых часто можно пренебречь токами смещения (\/c)dEldt, является замкнутой системой уравнений для определения р, V, р, Т, j, В и Е (ре = р/2) в полностью ионизованной плазме. В случае соата<^1 эта система уравнений сводится к системе уравнений классической магнитной гидродинамики.
Для двухтемпературной плазмы (Те=^Т^ можно использовать либо моментные уравнения из § 3 вместе с результатами, приведенными в § 6, либо уравнения неразрывности (7.1), движения (7.6), состояния (7.7), обобщенный закон Ома (7.16) вместе с двумя уравнениями притока тепла из § 3.
Гидродинамические уравнения
для бесстолкновительной плазмы
Рассмотренные в предыдущих параграфах гидродинамические уравнения для плазмы основывались на предположении, что длина (время) свободного пробега частиц много меньше характерного размера (времени) задачи. При этом интеграл столкновений считался главным членом в методе Чепмена — Энскога, а функция распределения считалась близкой к максвелловской.
Однако многие задачи лабораторной и особенно космической физики приводят к необходимости рассмотрения ситуаций, в которых столкновения частиц не являются существенными. В такого рода задачах длина (время) свободного пробега частиц много больше всех характерных размеров (времен).
При этом в кинетическом уравнении для функции распределения fa можно пренебречь интегралом столкновений и, вместо (2.11), будем иметь
dt дгdt дг(8.1)(8.1)
dt дг
dt дг
(8.1)
(8.1)
Как и в § 3, интегрирование этого уравнения по скоростям приводит к уравнению неразрывности (3.9), а умножение (8.1) на тау и интегрирование по скоростям дает уравнение движения (3.11), в котором надо положить /?„, 0. Здесь снова возникает проблема определения тензора напряжений Р^ который в методе Чепмена—Энскога (§ 5) выражался через тензор скоростей деформации согласно формулам (6.8).
Если принять порядок величины первых двух членов слева в уравнении (8.1) за единицу, то порядок последнего члена определяется отношением L[ г 1а^ где L — характерный размер задачи, а г^— ларморовский радиус вращения заряженных частиц в магнитном поле. При rla<^L для решения (8.1) будем
иметь следующую гипотетическую задачу (сравните с (5.4), (5.5)):
дгдг1X
дг
дг
E+-VXB] ~ = 0,1 С/04)
fa = № + «^ + « + - • •
Как и прежде, параметр е выделяет главный член в кинетическом уравнении, а решение истинной задачи получается из решения гипотетической при е = 1. Приравнивая члены при одинаковых степенях е нулю, в результате получим
/1\
£+lyxBV^. = o,
df^ , „ <0)df^ , „ <0)dtdtdr ” таdr ” та<1 = 0дг> ’<1 = 0дг> ’
df^ , „ <0)
df^ , „ <0)
dt
dt
dr ” та
dr ” та
<1 = 0
дг> ’
<1 = 0
дг> ’
Общее решение первого уравнения (8.2) легко получается в предположении, что электрическое поле Е перпендикулярно магнитному В, т. е. Е | В. В этом случае Е = — (1/с) И^Х В или V\ = с (Ех В)/В\ где V^— так называемая скорость электрического дрейфа, а первое уравнение (8.2) перепишется в виде (для простоты записи индекс а опускается)
(ЬхВ^^ = 0= iaj.
d4)
Общее решение этого уравнения имеет вид
/(о> = /(о)(^, у.s г> ty(8.3)
Если использовать функцию распределения нулевого приближения в виде (8.3) для вычисления тензора напряжений Р согласно (3.12), то получим
№ --т^ fw (у- V), (У- Ю„ dy. (8.4)
Обратимся теперь к формуле (перпендикулярная к магнитному полю компонента скорости, вычисленная по функции распределения (8.3), точно равна Ух)
(У — V)A -= (® — Ki — V „ 6)А = (о — V и b)k = (й± + -О n b—V и Ь)к =
= (®1)» + уц Wk ф = В[В\ Подставляя ее в (8.4), получим
№ = — $ fw (®i + у п 6)а Су 1 + у в bk dv =
= — mbkbn § fwuX dv—m ^ f^’u^kU^nd-D.
Таким образом, тензор напряжений, вычисленный в нулевом приближении по отношению fiJL, имеет вид
-« = РпМ„ + р± (6А„-6Л),(8.5)
где
рп = m JР^Х dv, pi^m^-^f^dy.
Вместо одного скалярного давления р в плазме, в которой существенную роль играют столкновения, здесь давление имеет продольную рц и поперечную р± компоненты относительно направления магнитного поля, т. е. давление является анизотропным.
Чтобы получить уравнения, определяющие рн и рх, подставим (8.5) в уравнение для вторых моментов (3.18). Пренебрегая третьим моментом (последний член слева в (3.18)) и полагая Sap = O (в силу пренебрежения столкновениями в рассматриваемом случае), будем иметь
ЗУ VP и ^« + P_l ^&п ЬкЬп^ + [р и bkbn + Рг^кп— MJ] 37* V +
илтилт+ 52 { [Р 11 ЬкЬт + Р1 ^кт — ЬкЬт^ т '
илт
илт
+ [р И bmbn + р± (8тп — bj^1 —
илт f
7~^ ^kmiVP иЬпЬт-\- рд_ (8пт bn&zJ]Bz + т, I
+ enmi [р и bkbm.4-p1 (8km — bkbm^ BJ = 0. (8.6)
Умножим теперь это уравнение скалярно на 6Ап, т. е. (8.6) умножим на 8/г„ и суммируем по к и по п. В результате получим
^Р» -V^p^A-kP^^p^^.V-Y
+ 2pi^- ¥+2<р«-Рл)^ЬкЬп^ = 0. (8.7)
Умножая (8.6) скалярно на bkbn, имеем уравнение для определения продольного давления рхх
^ТР^-^^М/^0-(8.8)
Вычитая (8.8) из (8.7), получим уравнение для определения поперечного давления
+ V—pL 52 ЬкЬпд^ = О.(8.9)
at 1 r or r R п охп
к, п
Система уравнений (3.9), (3.11) при /?а —0, (8.8) и (8.9) вместе с уравнениями Максвелла и (8.5) является замкнутой для определения na, Va, рца, руа, E, В. Однако она слишком сложна.
Переходя, как и в § 7, к одножидкостному приближению суммированием по сортам частиц а, получим более простую
систему уравнений. В частности, уравнение движения в этом приближении будет иметь вид
Рrot В X В,
s at or 4л’
(Рк = Ркп - Р^ — РII ЬкЬ„ — рг (8к„ — bkb,^, р „ . х — 2 Р II . ±«-
(8.10)
Здесь, как и в § 7, пренебрегается квадратичными членами по kVe-Vi), а плазма считается квазинейтральной ^пе^п^. Кроме того, не учитываются токи смещения, т. е.
rot В =— 1.
с J
Так как поперечная по отношению к направлению магнитного поля компонента скорости, вычисленная по функции распределения (8.3), дает значение V^ (В =— (1/с) V± х В), то можно записать (в этом приближении)
E = -^VxB (V=V„ + VJ.
Взяв операцию rot от этого выражения и используя уравнение Максвелла
, „1 дВ
rot£=7^7 , с at получим
™ = rot [Их BY(8.11)
Уравнение (8.11) называется уравнением индукции магнитного поля, и его необходимо добавить к системе уравнений (7.1) и (8.10). Здесь следует заметить, что в этом приближении по функции распределения имеем Уе± V^ = V^, т. е. в (8.11) входит средняя скорость смеси, совпадающая в одножидкостном приближении, с большой степенью точности, с ионной средней скоростью.
Уравнение (8.11) можно переписать в виде
f = ^~B^F «HvB 0)
или, воспользовавшись уравнением неразрывности для компоненты а и учитывая замечание выше (V,x = Kx=Kl), в виде
dB_ R d_V В_йпdt dr n di
Умножая это уравнение скалярно на В/В2, получим
V и и дХк-И_£ (L\
■^ к п дхп В dt \ п ) V
к, п
Используя теперь данное выражение в (8*8), (8.9), при учете уравнения неразрывности, будем иметь
Суммирование в этих уравнениях по а при тех же предположениях, которые были сделаны при выводе уравнения движения (8.10) для смеси, окончательно приводит к уравнениям
dt - 0, 57= 0 (р ад). (8.13)
Система уравнений (7.1), (8.10), (8.11) и (8.13) является замкнутой системой гидродинамических уравнений для плазмы без учета столкновений (бесстолкновительная плазма) относительно независимых функций р, V, В, ри, рд_.
Данная система уравнений несколько иным путем была впервые получена Чу, Гольдбергером и Лоу в работе [7]. Поскольку при выводе этих уравнений третьи моменты были опущены без всякого обоснования, то пользоваться системой уравнений Чу, Гольдбергера и Лоу (ЧГЛ) для решения конкретных задач следует с большой осторожностью. Однако в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, перенос тепла, определяемый как раз третьими моментами, затруднен вследствие ларморовского вращения заряженных частиц. Следовательно, система уравнений ЧГЛ в этой плоскости должна «работать» хорошо.
В заключение настоящего параграфа заметим, что для бесстолкновительной плазмы гидродинамические уравнения справедливы' и в том случае, если плазма является «холодной», т. е. тепловое движение частиц несущественно. При этом не возникает проблемы определения тензора напряжений, поскольку функция распределения теперь является 6-функцией и член с тензором напряжений в гидродинамических уравнениях тождественно равен нулю. В этом случае замкнутая система уравнений состоит из уравнений неразрывности и движения (для каждой компоненты или в одножидкостном приближении) и уравнений Максвелла для электромагнитного поля.
Гидродинамические уравнения
для частично ионизованной плазмы с учетом внутренних степеней свободы частиц и излучения
В рассмотренных в предыдущих параграфах гидродинамических уравнениях для полностью ионизованной плазмы не учитывались внутренние степени свободы частиц и излучение. Однако многие задачи астрофизики приводят к необходимости
теоретического исследования различного рода течений с учетом ионизации, диссоциации и других неупругих процессов на основе гидродинамических уравнений.
Используя кинетическую теорию газов, в принципе можно, как и в §§ 3, 5, вывести замкнутую систему гидродинамических уравнений для плазмы с учетом физико-химических превращений. Тем не менее вычисления коэффициентов переноса в этом случае довольно сложны и в полном объеме не проведены до настоящего времени даже для водорода.
Поведение сложного газа, состоящего из многих сортов частиц, описывается системой интегродифференциальных кинетических уравнений Больцмана для функций распределения частиц. Причем каждому сорту частиц соответствует своя функция распределения, снабженная индексом. Если в газе могут происходить неупругие процессы, связанные с возбуждением внутренних степеней свободы частиц, их диссоциацией, ионизацией и т. п., то функции распределения, кроме индекса, соответствующего данному сорту частиц, необходимо приписать еще один индекс, отмечающий то или иное квантовое состояние (иногда внутреннюю энергию частиц включают в независимые переменные, опуская индекс, относящийся к квантовому состоянию).
Обобщенное уравнение Больцмана для такой плазмы (газа) обычно постулируется и имеет вид [8, 9]
^^ у- ^^ I ^ . -^ац — У S'8’ » — Vs*, — S n
a P P
Здесь /ам,—функция распределения частиц сорта а, находящихся в квантовом состоянии ц (для молекул — это возбуждение колебательных, вращательных степеней свободы и электронных оболочек, для атомов — только последнее), Fa— сила, действующая на частицы сорта а (например, гравитационная или электромагнитная).
Если рассматривать простой двухатомный газ, молекулы которого могут диссоциировать па атомы, а атомы могут быть ионизованы, то S^^,,— интегралы как упругих столкновений, так и неупругих, связанных только с возбуждением внутренних степеней свободы частиц. Первые берутся, как и в § 4, в форме Больцмана, а вторые — в форме, использованной, например, в работе [8]. Интегралы столкновений S^(7),, связанные с реакциями ударных ионизации и диссоциации (и соответствующих рекомбинаций), также можно принять в форме, использованной в [8]. Член S^ отражает взаимодействие частиц и излучения и зависит как от функции распределения частиц /ац, так и от «функции распределения излучения» fv. В этот член необходимо ввести реакции фотоионизации, возбуждения внутренних
степеней свободы частиц за счет излучения, спонтанное излучение и т. п.
Мы не будем выписывать явный вид всех этих интегралов столкновений, во-первых, в силу их громоздкости и, во-вторых, вследствие несущественности для дальнейшего.
Поскольку в уравнение (9.1) через Sa|Xr входит «функция распределения» фотонов, то (9.1) необходимо дополнить уравнением для /v.
Уравнение для fv, подобно (9.1), обычно постулируется и записывается в форме
+(9.2)
где fv(s, г, /)— функция распределения фотонов с частотой v, s — единичный вектор в направлении распространения фотонов, с — скорость света. Правая часть (9.2) представляет собой изменение числа фотонов в результате их столкновений с частицами газа и в результате испускания излучения этими частицами.
Умножая (9.2) на hvc (А—постоянная Планка), получим уравнение переноса для интенсивности излучения /v(s, г, t)
1 д/ д!
Строгий вывод выражения для Sv можно получить лишь в рамках квантовой электродинамики. Часто, однако, прибегают к приближенному учету взаимодействия вещества с излучением, вводя так называемые сечения элементарных процессов.
Пусть, например, в каждом акте поглощения фотона участвуют только две частицы (включая фотон). Тогда, если сечение процесса есть oa^(v), то число актов поглощения фотонов направления s, происходящих в 1 см3 в 1 сек, в единичном телесном угле и в единичном частотном интервале, равно
A (S, г, /) coall (v) пац 1(9.4)
где naPi— концентрация поглощающих частиц сорта а, находя’ щихся в квантовом состоянии р, а относительная скорость фо~ тона и частицы полагается равной с.
Аналогично вводится и сечение излучения фотона при столкновении двух частиц. Число актов излучения в 1 см3 в 1 сек при этом будет зависеть от функций распределения сталкивающихся частиц, и его явное выражение обычно удается получить, предположив, что распределение по поступательным степеням свободы максвелловское.
Пользуясь (9.4), из (9.3) имеем
Т^ + s' ^ =^ + ev (95)
(здесь ev — количество лучистой энергии, выделяющейся в 1 см3 в 1 сек в расчете на единицу телесного угла и частоты). Функция ev, согласно сказанному, зависит от концентраций частиц, участвующих в процессах излучения, и от их температуры. Величины xv ^ ^ oa|Lt (v)rta^ и ev носят название соответственно коэф- а, ц
фициентов поглощения и излучения и будут конкретизированы далее при рассмотрении отдельных астрофизических явлений.
Очевидно, что понятие сечения можно распространить и на другие неупругие процессы. При этом уравнения для изменения концентраций частиц, участвующих в физико-химических превращениях, получаются интегрированием (9.1) по скоростям (входящие в правую часть функции распределения также часто считаются максвелловскими). Важно только помнить, что не для всякого процесса имеет смысл говорить о сечении (например, в случае спонтанного излучения квантов вообще не происходит столкновений).
Умножая (9.1) и (9.2) на сумматорные инварианты, интегрируя полученные уравнения по скоростям и суммируя по индексам аир, получим магнитогидродинамические уравнения с учетом излучения.
Сумматорными инвариантами являются
ma, m^-o + — , —21- Av + eaM, + wa.
Здесь v = vs, eag —внутренняя энергия частицы, wa— энергия ионизации (диссоциации) частиц сорта а.
В результате имеем
-^+^-р^=о,
1’77~а7'Р"'П+87 = -7-'хВ’
(9.6)
В этих уравнениях
Р^^таПаи, рУ—^ГПаПа^Уац,а, уа, ц.
H = c*S, S4 = jyl/^dvdco^-H Hk,
Здесь ре —плотность полной внутренней энергии, dm — элемент телесного угла в направлении s.
Величина П носит название тензора радиационного давления, Н—поток радиационной энергии, W—плотность энергии излучения.
Оценим в (9.6) члены dS/dt по сравнению с (д/дг)-П и У-[(Э/Зг)*П], V-(dS/dt), dW/dt по сравнению с ф(дгуН. Пусть характерный масштаб задачи L, а характерное время t. Тогда
I dSfdt | L
\(д/дгУП \ ~ cf '
Если L/(c/)<^l, то в уравнении движения можно пренебречь dS/dt по сравнению с (д/дг)-П. На том же основании в уравнении энергии можно пренебречь членами У*[(Э/5г)*П], V-^dS/dt) и dW/dt по сравнению с (д/дгУН. Пренебрежение dS/dt и dW/dt дает возможность не учитывать dfjdt в (9.2) или c~^dl^fdt в (9.3) и (9.5). Это так называемое квазистационарное приближение, которое и используется в дальнейшем. Тем не менее будут также рассмотрены условия, когда изменения поля радиации во времени столь быстрые, что необходимо принимать во внимание эффекты нестационарности (см. § 49).
" В приближении квазистационарности последние два уравнения (9.6) запишутся в виде
di dr dr х 7 с и ’
(9.7)
В эти уравнения входит интенсивность излучения /v(s, г,/) которая удовлетворяет (9.5). Уравнение же (9,5) содержит коэффициенты поглощения и излучения, вообще говоря, не связанные законом Кирхгофа. Поэтому к (9.7) следует присоединить соотношения, позволяющие найти xv и ev. Эти соотношения зависят, конечно, от механизмов взаимодействия вещества и излучения и обсуждаются ниже при рассмотрении гидродинамических движений космической плазмы.
Сводка результатов
Полученные в предыдущих параграфах гидродинамические уравнения для плазмы можно использовать для решения различных задач космической физики, строго говоря, только в областях их применимости (см., например, Приложение).
Сводка результатовСводка результатов5151§ Ю]
Сводка результатов
Сводка результатов
51
51
Так, результаты § 4 и § 5 получены в предположении, что длина (время) свободного пробега частиц мала по сравнению с характерной длиной (временем) задачи, а уравнения ЧГЛ для бесстолкновительной плазмы (§ 8) выведены в пределе малого ларморовского радиуса по сравнению с характерной длиной задачи при малообоснованном пренебрежении третьими моментами.
Кроме того, плазма является всегда в той или иной степени турбулизованной.
Наличие в плазме флуктуаций может по-разному влиять на ее динамику. Во-первых, как и в обычной теории турбулентности, флуктуации могут непосредственно влиять на средние характеристики течения, и здесь возникает вопрос о замыкании системы уравнений турбулентного движения. Во-вторых, если непосредственное влияние турбулентных пульсаций на среднее течение и является малым, то тем не менее это влияние может осуществляться путем сильного изменения коэффициентов переноса по сравнению с теми коэффициентами, которые выписаны в предыдущих параграфах. Такое явление возникает вследствие возможности рассеяния заряженных частиц на электромагнитных флуктуациях в плазме, что в свою очередь приводит к необходимости переопределения «длины свободного пробега» («времени свободного пробега») частиц, которая может оказаться на несколько порядков меньше длины (времени) свободного пробега для кулоновских столкновений (§ 6).
Так, например, при обтекании магнитосферы Земли межпланетной плазмой характерный размер задачи (размер магнитосферы) много меньше длины свободного пробега при кулоновских столкновениях, и, строго говоря, гидродинамическая теория неприменима для такой задачи. Тем не менее ее решение на основе гидродинамических уравнений дает хорошее согласие с экспериментальными данными (гл. III), что фактически свидетельствует в пользу существования эффективного механизма рассеяния частиц, приводящего к резкому уменьшению длины свободного пробега по сравнению с рассчитанной для кулоновских столкновений.
Не касаясь теорий, относящихся к турбулентным процессам в плазме, которые имеют свою специфику, тем более, что по данному вопросу имеются монографии (см., например, [10—12]), отметим, что эти процессы феноменологически можно учесть в гидродинамических уравнениях, выведенных в предыдущих параграфах.
Приведем теперь сводку полученных ранее результатов.
Система гидродинамических уравнений для полностью ионизованной плазмы в двухжидкостном приближении состоит из уравнений неразрывности
^+div(naVa) = 0, (10.1)
движения
mana^VsL = l-.pa + eana(E-vlvaxB\+Ra + naFa, (10.2)
состояния
ра = пакТа(10.3)
и уравнения баланса тепла
|„ak^ + padivV^a=-div9a+ ^alin^-+Qa,(Ю.4)
к, п
где Fa—внешняя сила, например, сила гравитации, Ra— приток импульса к частицам рассматриваемого сорта ос (ос- е, I — для электронов и ионов соответственно), вследствие, во-первых, столкновений с частицами другого сорта (§ 6) и, во-вторых, вследствие взаимодействия с флуктуациями (последнее часто учитывается введением эффективной частоты столкновений). Для плазмы, в которой столкновения являются преобладающими, имеем
(^а^кп" Ра^кп (^aKn,(10.5)
где в тензоре вязких напряжений ла иногда вводятся «эффективные» коэффициенты вязкости (§ 24), если роль флуктуаций в плазме существенна.
Как и ранее (§ 6), в (10.4) вектор qa представляет собой поток тепла, переносимый частицами сорта а, однако классические коэффициенты теплопроводности могут быть заменены «эффективными», если учитываются флуктуации, а Qa представляет собой выделение тепла в газе частиц данного сорта не только вследствие столкновений с частицами другого сорта (§ 6), но и вследствие диссипации волн.
В бесстолкновительной плазме, вместо тензора напряжений в форме (10.5), будем иметь (§ 8)
—(^«)»n = Pii^A+pj.a(6ft„—ь^п)(ь-в/в^, (Ю.6)
а дляр11аи р1га записываются два адиабатических соотношения:
^(^^О,(10.7)
dt \паВ/di \ п^ /v 7
К выписанным выше уравнениям необходимо добавить уравнения Максвелла для электромагнитного поля
, D 4л . , J ЭЕ , „1 дВ
rot В =Л57- , rot ,
С 1 с dt 'С dt 1
divB = 0,div£=4npe.(10.8)
Для столкновительной плазмы, в которой кулоновские столкновения являются преобладающими, а влиянием флуктуаций
на функцию распределения можно пренебречь, величины Rai Qa, ла, qa приведены в § 6. Система уравнений одножидкостного приближения, полученная в § 7, будет состоять из уравнения неразрывности для смеси
^-+div(plO-O,(10.9)
уравнения движения ^п€^п^
p^=-Vp + Div« + lyXB + <F,(10.10)
уравнения притока тепла
pcy^ + pdiv К= — div^+ у лА„|^ +у. ^£+± VxB^ (10.11) к, п
и уравнения состояния
p = pR7(10.12)
(R = 2k/mz, cy = 3k/mz для полностью ионизованной плазмы). Эту систему уравнений необходимо дополнить обобщенным законом Ома для плотности тока
j + ^U'xB-cVp^-o^E+^VxBy(10.13)
где а = пее2хе/те— электропроводность плазмы. При co^^l последнее уравнение принимает вид
j=c^E-V^Vx.By(10.14)
Выписанную выше систему уравнений одножидкостного приближения можно упростить, исключая из нее плотность тока j и электрическое поле Е. При о—> сю (приближение идеальной проводимости), пренебрегая вязкостью, теплопроводностью и токами смещения, легко получить уравнения недиссипативной магнитной гидродинамики для полностью ионизованной плазмы
A + div(pK) = O, «"- Лр Х.лв.В-т,
Т^У»' У—oWVxBY(10.15)
При <оата^оо получается более сложная форма уравнения индукции магнитного поля (см. § 11).
Для бесстолкновительной плазмы система уравнений одножидкостного приближения имеет вид, аналогичный (10.15), но
с двумя давлениями р^ и р^:
^. + div(p^) = 0, р^К = В1уР + ^го1ВхЯ + ^,
di V р3 / и> dt \рВ )’
-^=rot[KxB].(10.16)
Следует заметить, что эффективный учет тепловых потоков в двух адиабатических соотношениях для рУ\ и р^ в (10.16) можно осуществить введением феноменологических показателей политропы, как это сделано, например, в работе [13], где уравнения для ри и рх имели вид
(юл?)
L р \ р / J\ря° /47
(а и 6 — индексы политропы).
В случае холодной плазмы система гидродинамических уравнений существенно упрощается и принимает вид
~^- + diV (naKa) = 0,
d V/1\
mana-^p = eana (£+— VaxB^ -VnaFa(a = e, i).
(10.18)
Отметим, что в настоящее время в литературе не существует достаточно корректного вывода в явном виде тех частей притока импульса Ra и притока энергии Qa, которые обусловлены взаимодействием частиц с флуктуациями (некоторые попытки получения этих выражений предпринимались в квазилинейном приближении при целом ряде упрощающих предположений (см., например, [14])).
В дальнейшем нам часто придется иметь дело с движениями частично ионизованной плазмы, в которой происходят неупругие процессы. Для того чтобы выписать систему гидродинамических уравнений в этом случае, ограничимся простейшей ситуацией, когда температуры и средние скорости ионов, электронов и нейтральных атомов равны, вязкость и теплопроводность несущественны, магнитное и электрическое поля отсутствуют и, кроме того, можно пренебречь радиационным давлением и эффектами нестационарности поля излучения.
Очевидно, что учет неупругих процессов не меняет формы уравнения неразрывности для одножидкостного приближения. Однако давление будет определяться суммой концентраций всех
компонент плазмы и поэтому необходимо привлечь соотношения, дающие возможность найти эти концентрации. Обычно изменение концентрации частиц пар, описывается уравнением
-^+div (natlV) = да», (10.19)
где q^ характеризует приток частиц сорта ос, находящихся в квантовом состоянии ц, за счет неупругих процессов (вид q^ ниже конкретизируется при рассмотрении различных задач космической газодинамики).
С помощью (10.19) определяются пац, после чего можно вычислить коэффициенты излучения и поглощения, входящие в уравнение переноса радиации (9.5).
С учетом сделанных предположений система гидродинамических уравнений относительно функций р, V, Т, пар, и /v (s, г, /) примет вид
^- + div(pV) = 0, p^^-Vp, p = £nagkT,
Pct- ^ + Р div У = —dh (8 • V) /v = — £ аац (v) па1Л + e. a, gPct- ^ + Р div У = —dh (8 • V) /v = — £ аац (v) па1Л + e. a, ga, g^ + div (n^VW^. (10.20)a, g^ + div (n^VW^. (10.20)
Pct- ^ + Р div У = —dh (8 • V) /v = — £ аац (v) па1Л + e. a, g
Pct- ^ + Р div У = —dh (8 • V) /v = — £ аац (v) па1Л + e. a, g
a, g
^ + div (n^VW^. (10.20)
a, g
^ + div (n^VW^. (10.20)
Заметим, что div H представляет собой разность между ежесекундно излучаемой и поглощаемой единицей объема газа энергией. Это обстоятельство в дальнейшем будет неоднократно использоваться (например, чтобы принять во внимание высвечивание газа, нет необходимости решать уравнение переноса радиации — среда' прозрачна для излучения и потери энергии получаются интегрированием ev по углам и частотам в соответствующем участке спектра).
Глава II
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ
ДВИЖЕНИЙ ПЛАЗМЫ
В настоящей главе рассматриваются некоторые общие свойства движений плазмы на основе гидродинамических моделей, легко поддающихся аналитическому исследованию. Эти свойства важны для понимания тех физических процессов, которые имеют место в астрофизических объектах.
§ 11. Об условиях «вмороженности» магнитного поля
При рассмотрении многих астрофизических задач часто используют систему уравнений одножидкостного приближения, полученную в § 7. При этом из системы уравнений обычно исключают электрическое поле Е и плотность тока j.
Примем закон Ома в форме (10.13):
ее^_ljXB-VNpey (11.1)^_ljXB-VNpey (11.1)
е
е
^_ljXB-VNpey (11.1)
^_ljXB-VNpey (11.1)
Как было отмечено в § 7, слагаемое в скобках справа имеет порядок <о5те. При со^ту, <<: 1 этим слагаемым можно пренебречь.
Для исключения электрического поля Е и плотности тока j применим операцию rot к (11.1) и используем уравнения Максвелла в пренебрежении токами смещения:
rot 8 = —./, rotdiv 8 = 0.(11.2)
с ’с otv '
В результате получим уравнение индукции магнитного поля в его наиболее общем виде
= rot [КХ 8] +^ [(rot В V) В-(В- V) rot В +
+1 (Vp • В) rot В -1 (Vp - rot 8) 8] -
—rot f^-rot 8 W rot f-LVpA (11.3)
Введем безразмерные величины по формулам
В=В0В\ t = t*L/V, р = рор*, r = r*L,0 0*0,, (г = {х, у, z}),(11.4)
где V, L, Во, р0, о0 — характерные значения скорости, длины, магнитной индукции, плотности и электропроводности соответственно.
Подставляя (11.4) в (11.3) и опуская для простоты индекс «*», в безразмерном виде получаем
^ = rot [ Vx В] + у [ (rot В • V) В—(В- V) rot В +
+ | (Vp-B) rot В-1 (Vp.rot В) В -
—5—rot ( — rot в\ + rot f— VpA . (11.5)\ u/\ne /
Здесь безразмерные параметры определяются формулами
(11.6)(11.6)_ cB^mt _ <оете в _ 4яо0УЬ
(11.6)
(11.6)
М " 4лёрДТ ”
а давление электронов и концентрация отнесены соответственно к
Ре - Ре —9, Пе-•
г е\ С jе ГЦ \ 01^ /
Параметр Rw называется магнитным числом Рейнольдса и характеризует величину «магнитной вязкости», определяющей затухание магнитного поля из-за конечной электропроводности.
* Обычно в астрофизических приложениях магнитное число Рейнольдса велико (R^^l) и среду можно считать бесконечно проводящей, т. е. можно опустить предпоследний член в (11.5). Однако в слоях резкого изменения магнитного поля этот член может играть определяющую роль. Так, например, при обтекании магнитосферы Земли солнечным ветром (см. гл. III) образуется узкая область перехода от солнечного ветра к магнитосфере, так называемая магнитопауза, структура которой характеризуется «магнитной вязкостью». Такая ситуация аналогична образованию тонких вязких пограничных слоев около обтекаемых тел в аэродинамике, в которых молекулярная вязкость играет определяющую роль.
Как видно из (11.6), параметр Н характеризуется, кроме магнитного числа Рейнольдса, величиной соете. Обычно в астрофизических приложениях шете ^> 1. Так, например, в межпланетной плазме <оете 107-? 108, в солнечной короне юете — 105н- 10е и т. д. Только в плотных слоях атмосфер звезд может оказаться to6T, < 1.
Из (11.5) видно, что при Н<|1 и Rto^>l уравнение (11.3) принимает форму
-^=rot[KxBJ.(11.7)
Последнее слагаемое в (11.3) опущено вследствие того, что Vpe~ ~ у Vp (Л ~ Т^, а градиент давления по порядку величины не может превосходить электромагнитную силу (l/c)Jx В в тех случаях, когда последняя существенно влияет на движение. Именно электромагнитной силой определяется порядок величины членов в квадратных скобках (11.3), опущенных в (11.7).
Уравнению индукции магнитного поля в форме (11.7) можно дать важное для астрофизических приложений толкование (см., например, [1]). Аналогично тому, как это делалось в § 8, представим (11.7) в виде
^- = (B-V) V—В div V.
Отсюда, используя уравнение неразрывности
4z + div У = 0,р dt 1*
имеем
АV) V.(11.8)
dt \ р /\ р /х 7
Рассмотрим теперь элемент длины 6/ «жидкой линии», т. е. линии, перемещающейся вместе с составляющими ее частицами жидкости (или газа). Если V—скорость жидкости на одном конце элемента 6/ этой «жидкой линии», то на другом конце скорость будет равна У+^ГУ) V. Поэтому за время dt элемент 6/ изменится на величину dt^l-\) V, т. е.
A-6/ = (6/.V) У.(11.9)
Сравнивая (11.8) и (11.9), легко заметить, что изменение векторов 6/ и В/p со временем определяется одним и тем же уравнением. Следовательно, если в начальный момент эти векторы совпадают по направлению, то они останутся параллельными и в дальнейшем, а их длины будут меняться пропорционально друг другу. Иными словами, две бесконечно близкие частицы жидкости, находившиеся на одной и той же силовой линии магнитного поля, будут всегда находиться на ней, а величина В/p будет меняться пропорционально расстоянию между ними.
Переходя от бесконечно близких точек к точкам, находящимся на любом конечном расстоянии друг от друга, можно прийти к выводу, что каждая силовая линия перемещается вместе с находящимися на ней жидкими частицами, т. е. магнитные силовые
линии как бы «вморожены» в вещество жидкости, перемещаясь вместе с ним.
Отсюда сразу же следует, что при перемещении со временем какого-либо замкнутого «жидкого» контура он не будет пересекать силовых линий, т. е. число проходящих через него силовых линий будет оставаться неизменным.
Понятие «вмороженности» магнитного поля широко используется в различных задачах космической физики. Так, например, образование магнитосферы Земли, в которую не проникает плазма солнечного ветра, объясняется условиями «вмороженности». Этим же понятием обычно пользуются, когда речь идет о «вытягивании» собственного магнитного поля из Солнца солнечным ветром. Одним из аргументов в пользу волновой природы спиральных структур галактик является условие «вмороженности» магнитного поля в межзвездный газ и т. д.
Однако необходимо заметить, что уравнение (11.7) справедливо при целом ряде предположений: упрощенное выражение для Ra при выводе обобщенного закона Ома (§§ 7, 8), малость параметра Н (toeT^RJ, большие значения магнитного числа Рейнольдса (Rm^>l).
Уравнение (11.7) можно получить, применив операцию rot к соотношению (§ 8)
E -VB,С
из которого следует, что в случае выполнения условий «вморо- женности» электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны^ т. е. ЕА_В- Но, как показали непосредственные эксперименты на космических аппаратах, перпендикулярность £и В не всегда имеет место. Это означает, что в реальных ситуациях в космосе условие «вмороженности» может нарушаться. В частности, может оказаться, что либо магнитное число Рейнольдса невелико, либо имеются какие-то внешние* электрические поля, приводящие к сильным электрическим токам. В последнем случае магнитное число Рейнольдса, как показано в [2], не является определяющим параметром.
При расчете значения магнитного числа Рейнольдса Rm, как следует из (11.6), важно знать величину характерного размера L, электропроводность плазмы, характерную скорость. Однако часто в конкретных экспериментах характерный размер является трудноопределяемым параметром, а значение электропроводности плазмы о0 определяется не кулоновским рассеянием, а механизмами «эффективного» рассеяния на флуктуациях.
Таким образом, пользоваться условием «вмороженности» магнитного поля при интерпретации различных явлений в космической плазме надо с большой осторожностью, Отметим еще, что, как видно из (8.11), «вмороженпость» магнитного поля имеет
место и в гидродинамической модели Чу, Гольдбергера и Лоу для бесстолкновительной плазмы.
Если пренебречь последним членом в (11.5) и считать, что Rm |> 1 (при этом Н 1, если соде R^), то (11.3) сводится к уравнению
^ = rot[^xB]. (11.10)
Уравнение (11.10) легко получается, если в обобщенном законе Ома (11.1) опустить член с Vpe1 плотность тока/заменить на —епе (К-г). устремить о к бесконечности и применить операцию rot.
Из (11.10) видно, что при учете эффектов Холла магнитное поле «вморожено» в электронную «жидкость» (сравните с (11.7)), т. е. в тех случаях, когда Rm5>l, но Н^1, нельзя считать магнитное поле «вмороженным» в плазму, так как уравнение (11.7) становится несправедливым.
Мы не будем рассматривать случай Rm^l, который соответствует тому, что индуцированное за счет протекания токов в плазме магнитное поле мало по сравнению с внешним. Условия, когда Rm<^l, реализуются в основном в лабораторных исследованиях. Интересующиеся такими вопросами могут обратиться к монографии [2].
2. Распространение малых магнитогидродинамических возмущений
Рассмотрим распространение волн малой амплитуды в предположении, что их частота много меньше частоты т^1 столкновений частиц, а их длина много больше длин свободного пробега. Такие волны можно рассматривать в рамках магнитогидродинамического приближения. Будем считать, что параметры плазмы зависят только от координаты х и времени t. Отвлекаясь при этом от всех диссипативных процессов (вязкость, теплопроводность, джоулево тепло) и пренебрегая внешней силой <F, из (10.9) — (10.12) и (11.5), получим в проекциях на оси координат (ди . ди\д /. В2 \/ди, ди\6х^^у
Р (—Г ^ 3“ 1 ~ З- 1 РI—о—Р( "37Г ^ З- )" 3 3— >
\ dt 1 дх )дх v8л /r\ dtdx )4л дх
(dw .dw \Вх дВ- др .др. ди ~
\д/ 1dx )4л дх* dt 1дх г дх
% + и ^_IL (ЭР + и ЭР\ = 0 в const д/ дх р \ dt 1 дх) 1 х
^__<L(„R —nR ' ст‘В^ f d$Bz , 1 дВг др Л
(12-1)(12-1)dt дхv и и х) 4лер Г дх2 р дх дх /
(12-1)
(12-1)
dt дхх А4лер \ дх- р дх дх /
Здесь и, у, w—проекции скорости V на оси х, у и z соответственно, у = ср/су = 5/3 для полностью ионизованного водорода.
В (12.1) использованы уравнения Максвелла
J = ^rotB, div В = О,
в которых пренебрегалось токами смещения, а внешние силы считались отсутствующими.
Представим решение системы уравнений (12.1) в виде р-рАрА, /), ро + р' (х, О, В-ВАЬЦс, О, V= V' (х, 0.(12.2)
Здесь индекс «О» относится к постоянным параметрам в невозмущенной плазме, скорость которой считается равной нулю, а р', р', b, V'— малые возмущения давления, плотности, магнитного поля и скорости.
Подставляя (12.2) в (12.1) и линеаризуя систему уравнений, получим
ди’др'50 дЬ ди' _ Вх0 дЬу
° dtдх4л дх ’° dt — 4л дх *
дш' dbz др' , ди' А д7 ’ -5Г + Род7 = °-
dt р0 dt 1 х х0 LunbL>^__ £ / /о _ /о \ к^£^£^dt дх ^ У0 У х0' ‘ 4лер0 дх2 ’дЬ, дст.;Вхпд2Ьп
—-1^-4-(12.3)
dt дхv хо 207 4лер0 дх2х '
Решение этой линейной системы уравнений будем искать в видеА = А» exp [/ (со^— ЗД],
где со — частота волны, к — волновое число, Д*—амплитуда возмущения— постоянная величина, а под А понимается любая искомая функция системы уравнений (12.3). Тогда для амплитуд возмущений из (12.3) будем иметь (в целях простоты записи индекс «*» опущен)
poau = p + ^ (S^y + B^), ^au -^ — ^by,
рцащ = — ^bz, ар = рйи, а(р — ^р) = 0,
aby = By^u—BXQv + iHkbz. abz = Bzou—BxQw—ШкЬу. (12.4) Здесь
Для существования нетривиального решения однородной алгебраической системы уравнений (12.4) относительно амплитудf
определитель этой системы должен быть равен нулю. Приравни-f
вая нулю определитель системы (12.4), получим следующееV
дисперсионное уравнение относительно фазовой скорости а рас-.
пространения волны:
а {^ - №0 + а? + V"Ax + Н^ а4 +>
+ Wax (Уло + й2о) + Wax + н»^ «4 ^-а^Д = О
(у\й=^,(12.6)|
\ 4лр04лр0/х
Корень а^аэ = 0 соответствует так называемой «энтропийной» j волне. Если подставить его в систему уравнений (12.4), то по-;
лучим, что в этой волне все амплитуды равны нулю, кроме;
амплитуды плотности р. Таким образом, в «энтропийной» волне, которая неподвижна относительно плазмы, изменяется только плотность при неизменных остальных параметрах. Это соответствует изменению энтропии при неизменных остальных парамет- рах. Отсюда волна получила наименование «энтропийной».
Для отыскания корней, отличных от нуля, необходимо ре- 1 шить кубичное уравнение относительно а2. Аналитические выражения для корней такого уравнения слишком громоздки для анализа. Поэтому рассмотрим частные случаи.
Поскольку коэффициенты уравнения (12.6) зависят от волнового числа к, то фазовая скорость распространения волны а зависит от длины волны 2лй-1, т. е. имеют место дисперсионные эффекты. При Н = co^/R^ <^ 1 эти эффекты отсутствуют.
Рассмотрим теперь ненулевые решения дисперсионного уравнения (12.6) для случая слабой дисперсии (малые к), т. е. представим решение в виде [3]
^-^(1 + Н2х), HklVAx-^^X. (12.7)
Подставляя (12.7) в (12.6) и собирая члены при одинаковых степенях Н, в нулевом приближении получим
№~^)[^-(^о + аао)а21 + «4 = О.(12.8)
Корнями этого уравнения являются [4] (и те же величины с обратным знаком)
»a = VAx, а+ч_ =
= Y (К^ + ^о + 2^ ± К^ + ^0-2^Щ.(12.9)
Подставим корень аА в систему уравнений (12.4), в которой в этом приближении надо положить Я —О (эффекты Холла отсутствуют). Кроме того, выберем систему координат так, чтобы 5г0 —0. В результате получим, что в волне, фазовая скорость
которой равна аА,
ь=„ = е=Р = й, (12.Ю)
т. е. плотность, давление и компонента скорости вдоль направления распространения волны не изменяются. При этом испытывает колебания компонента bz магнитного поля, перпендикулярная к направлению распространения волны и направлению постоянного магнитного поля Вй = \Вх0, Ву01 0}. Такие волны носят название альфвеновских волн.
Волны, соответствующие корням а+,_, называются магнитозвуковыми волнами, причем а+— скорость быстрой магнитозвуковой волны, а а.—скорость медленной магнитозвуковой волны. В этих волнах колебания испытывают величины Ьу, и, и, р и плотность р.
При Во —^0 имеем a+—^aQ) а„">0, т. е. скорость быстрой магнитозвуковой волны стремится к скорости звука в газе без магнитного поля.
В несжимаемой жидкости, когда р = const, существуют только альфвеновские волны и им можно дать наглядную физическую трактовку. Действительно, при наличии постоянного магнитного поля поперечные смещения частиц жидкости создают смещение магнитных силовых линий в том же направлении (см. (12.10)). Это является следствием того, что, как видно из результатов § 11, при Rw-^oo магнитные силовые линии ведут себя так же, как и жидкие линии из-за эффекта «вмороженности». Квазиуп- ругие силы, возникающие при искривлении магнитных силовых линий, стремятся вновь выпрямить последние, что и порождает колебания.
В рассмотренном выше приближении альфвеновская волна является линейно поляризованной (магнитное поле колеблется в одной плоскости).
В первом приближении по параметру № для величины % из
(12.7) будем иметь
Из (12.7) тогда легко получаем закон дисперсии для волны, распространяющейся в положительную сторону оси х, в виде (такую дисперсию будем в дальнейшем называть холловской)
а = сЙ-^ (с0-яп p = -№z1%/(2^ (12.12)
Соотношение (12.12) совпадает с законом дисперсии для линеаризованного уравнения Кортевега^де Вриза (см., напри- мер, [5]) и указывает на возможность существования в нелинейном приближении стационарных уединенных волн—солитонов
(см. § 15). Легко показать [4], что для корней (12.9) уравнения нулевого приближения имеют место неравенства
max +а°+уал°’
O^ai^minf^o, ^лх]»(12.13)
Из (12.11) — (12.13) следует, что дисперсия приводит к увеличению скорости быстрой магнитозвуковой волны («! = «+, %>0, Р < 0) и к уменьшению скорости медленной магнитозвуковой волны (a? = ai, % < 0, Р > 0).
Рассмотрим теперь решения уравнения (12.6) при произвольной дисперсии (произвольных значениях волнового числа &), но в частном случае Во = {В^, 0, 0}. В результате, вместо (12.6), будем иметь для
(tt2_^)|-a4_(№ + 2^(12.14)
Корень a~aQ соответствует распространению обычной звуковой волны, для которой нет дисперсии. Другими корнями (12.14) являются
а = ад = ± 1 <Нк ± /77^4^)
ИЛИ
аА VАх — 2 i Нк у ^^Ах ■(12.15)
Отсюда видно, что вдоль положительного направления оси х распространяются еще две волны — «ускоренная» и «замедленная» альфвеновские волны. Они имеют фазовые скорости, определяемые (12.15) при условии, что перед скобкой стоит знак плюс (знак минус определяет две аналогичные волны, распространяющиеся в противоположную сторону). При к <^ 2V Ах/Н = 2^pilc (длинные волны), где mpi—ионная плазменная частота, скорости обеих волн стремятся к скорости распространения альфвенов- ской волны без дисперсии, согласно решению (12.9) нулевого приближения.
Из (12.4) и (12.15) следует, что в такой альфвеновской волне (Sy0 ” Bz0 — 0)_„
р = р = и = 0, by = ± ibz.
Как видно из последнего соотношения, в альфвеновской волне с дисперсией магнитное поле имеет круговую поляризацию. Решение для компонент индуцированного магнитного поля и скорости плазмы будет иметь вид
by = b* cos (oV — кх),bz b* sin (о/ — кх),
v = — Cos (со/ — кх^, w — —sin (^—кх). (12.16) 4лялр0/ ч /
Используя эти соотношения и уравнения для магнитных силовых линий, получим
y — Um = "В^ (aA—V2Ax)cos(tot—kx),w~w,n -g^ (a\ —V2Ax) sin (tot —hxY (12.17)
Здесь vm, wm — компоненты «скорости» магнитной силовой линии вдоль осей у и г соответственно. Как видно из (12.15), для «ускоренной» альфвеновской волны (ад— Кдл) > О, а для «замедленной» ^А—Кдж) < 0. Равенства (12.15) и (12.17) показывают, что только для очень больших длин волн (& —>0) имеет место «вмороженность» магнитных силовых линий в плазму (^д^Удх и v = um, w = wmY При произвольных длинах волн формулы (12.17) определяют характер «скольжения» магнитных силовых линий относительно плазмы в альфвеновской волне.
Если в плазме отсутствуют столкновения между частицами, то, согласно результатам § 8, уравнения магнитной гидродинамики можно получить в предположении, что ларморовский радиус частиц (или период ларморовского вращения) мал по сравнению с характерным размером задачи (характерным временем). При этом поведение плазмы описывается системой уравнений (10.16). Как видно из результатов § 11, в этом случае имеет место «вмороженность» магнитного поля.
Обратимся теперь к распространению волн в магнитогидродинамическом приближении для бесстолкновительной плазмы (ЧГЛ-приближении). В отличие от рассмотренного выше, в бесстолкновительной плазме давление анизотропно (ри ^рлУ Процедура линеаризации и последующего отыскания решения, аналогичная уже выполненной в этом параграфе, приводит, вместо (12.6) или (12.8), к следующему дисперсионному уравнению относительно фазовой скорости распространения волн а [6]:
/ п2\ '
a^F («2)-Щ-Ор1о] [«2-^(S + Pio-Puo)] =0. (12.18)
Здесь
Z7 (#2)— Ро^ ^^л^"^^-0 Ри °)^(l0 (р±о ^8д)
X (роа2 —3/pno), / = cos20 = BVBo- (12.19)
Уравнение (12.18) имеет восемь корней:
(7112~(7э“0,^3, 4 ~ ^^Л,^5-8 ' i^+ , -1
3 Б. Б. Баранов, К. В. Краснобаев
Ро 4лр0/ jРо 4лр0/ j(12.21)(12.21)
Ро 4лр0/ j
Ро 4лр0/ j
(12.21)
(12.21)
Кратный нулевой корень, а также корни аА и а^^ _ дают фазовые скорости распространения малых возмущений в анизотропной бесстолкновительной плазме (рп =^Рд5 и являются аналогами фазовых скоростей энтропийной, альфвеновской, быстрой и медленной магнитозвуковых волн.
Нетрудно показать [6], что область изменения продольного давления рц0, в которой корни (12.20) и (12.21) характеристического уравнения (12.18) действительны, разбивается на три подобласти, определяемые неравенствами
-1_ 1 L
Р'л " 6р10 + 382/(4л)< 444л/
(а_<ал<а+),(12.22)
У/?м<Рно <У(Рм + Зрт) (а_<ал<а+),(12.23)
У(Рм + Зрт) < р,|0<рм {аА<а_ <аА. (12.24)
На рис. 5, а, б, в качественно приведены диаграммы распространения малых возмущений для областей, определяемых неравенствами (12.22)—(12.24) соответственно. По оси абсцисс отложено направление магнитного поля в невозмущенной плазме Яо, а радиус-вектор дает направление распространения волны и величину соответствующей фазовой скорости.
Из рис. 5, а и б видно, что области, определяемые неравенствами (12.22) и (12.23), отличаются тем, что при распространении волны вдоль магнитного поля (/ = 1) в первом случае имеем ад^а^. а во втором аА = а_. Обращаясь к рис. 5, в, замечаем, что в анизотропной магнитной гидродинамике ЧГЛ существует область, где скорость альфвеновской волны меньше скорости медленной магнитозвуковой волны. Согласно неравенствам (12.13), этой области нет в магнитной гидродинамике для плазмы со столкновениями (р„ = р± = р). В последнем случае имеют место диаграммы распространения малых возмущений, изображенные
только на рис. 5, а и б. При этом, как видно из (12.9), рис. 5, а соответствует неравенству aQ<VAxt а рис. 5, б — неравенству я0 > Ах.
Область на рис. 5, в названа в работе [7] RMHD (реверс- магнитная гидродинамика), в отличие от областей PMHD (псев- домагнитная гидродинамика), где диаграммы распространения малых возмущений ведут себя одинаково в изотропном (р м Pj_ -р) и анизотропном (рп ч^Р^ случаях.
В заключение параграфа отметим, что в магнитной гидродинамике ЧГЛ при рно > Рм, как видно из (12.20), корень аА для
Рис. 5.
альфвеновской волны становится мнимым. Это соответствует условию возникновения «шланговой» неустойчивости [8]. При р[!0 <рт мнимым становится корень для медленной магнитозвуковой волны а_, что соответствует критерию возникновения так называемой «зеркальной» неустойчивости. Однако последний в ЧГЛ-прибли- жениине является корректным. В действительности, как показано в работе [9] на основе кинетического рассмотрения, критерием возникновения зеркальной неустойчивости является неравенство Рио < ^Рт-
13. Распространение малых возмущений в излучающем газе
Характерной особенностью движений газа в космических условиях, которая также может приводить к дисперсии и затуханию волн, является сильное взаимодействие вещества с излучением.
Исследованию распространения возмущений в излучающем газе посвящен целый ряд|работ (см., например, [Ю]—[13]). В большинстве из них предполагается выполненным закон
Кирхгофа, справедливый только при термодинамическом равновесии. Но в межзвездной среде термодинамическое равновесие, как правило, отсутствует. Причина этого заключается в том, что параметры газа (его температура, степень ионизации, химический состав) определяются радиацией, эмитируемой звездами и имеющей сложный спектральный состав и угловое распределение. Плотность квантов также обычно далека от планковской, соответствующей температуре среды, в которой распространяется излучение. Следовательно, коэффициенты излучения и поглощения газа должны быть найдены путем решения уравнений кинетики.
Предположим теперь, что среда, состоящая преимущественно из атомов водорода, ионизируется и нагревается внешней ультрафиолетовой радиацией и охлаждается в результате высвечивания. Не останавливаясь пока на выводе конкретных выражений для коэффициентов излучения и поглощения (он будет дан в гл. IV), будем считать, что количество поглощаемой при фотоионизации энергии в 1 см3 в 1 сек может быть представлено в виде
4л vH
где о,— некоторое среднее сечение фотоионизации, кТ +—энергия, приобретаемая газом при каждом акте фотоионизации, /пн—масса атома водорода, s— степень ионизации (если пе и пн — концентрации электронов и нейтральных атомов, тоз- = ^еК^е + лн))> ^н— частота ионизации водорода, /v (г, s) — интенсивность^ излучения. Соответственно количество излучаемой энергии примем равным
sV^Vptn, \тн/
где р (7)— заданная функция температуры.
Аналогично для числа фотоионизаций и фоторекомбинаций, происходящих в 1 см8 в 1 сек, будем иметь выражения
00
°i (—^ (1 — s) Г С 4^- dv d<»\тн/ J J Av
4л
И
sV—¥«(7),\тн/
причем а(Т) предполагается известной.
В межзвездной среде часто интенсивность излучения отлична от нуля лишь внутри малого телесного угла dm (см. гл. IV). Поэтому, если аналогично вектору потока радиационной энергии Н
(см. гл. I) ввести вектор потока квантов Ф с компонентами со
4л
то его проекция на направление распространения излучения Фл будет приближенно равна
ф'=И ^dvd<fl-ф'=И ^dvd<fl-(13-1)(13-1)4лВ дальнейшем мы будем пользоваться равенством (13.1), помня, однако, об ограничениях, при которых оно справедливо.. Одномерное нестационарное течение газа, зависящее от координаты х и времени t, будет описываться следующими уравне-4лВ дальнейшем мы будем пользоваться равенством (13.1), помня, однако, об ограничениях, при которых оно справедливо.. Одномерное нестационарное течение газа, зависящее от координаты х и времени t, будет описываться следующими уравне-ниями для плотности р, скорости и, степени ионизации s ления р (см. систему уравнений (10.20)):др , ди . др А dt 1 г дх 1 дх 'ди ди 1 дрdt ^ ^ дх р дх ’^- + u^ = <J,-(l—S) Фг-^а(Т),dt 1 дх 1 v 1 г тн х мdt \ 2 р } 1 дх \ 2 р J 1 р дх mH v 7 г т^г 4р = (1 + s) pkT/mH.ниями для плотности р, скорости и, степени ионизации s ления р (см. систему уравнений (10.20)):др , ди . др А dt 1 г дх 1 дх 'ди ди 1 дрdt ^ ^ дх р дх ’^- + u^ = <J,-(l—S) Фг-^а(Т),dt 1 дх 1 v 1 г тн х мdt \ 2 р } 1 дх \ 2 р J 1 р дх mH v 7 г т^г 4р = (1 + s) pkT/mH.и дав-и дав-(13.2)(13.2)(13.3)(13.3)(13.4)(13.4)(13.5)(13.6)(13.5)(13.6)
ф'=И ^dvd<fl-
ф'=И ^dvd<fl-
(13-1)
(13-1)
4л
В дальнейшем мы будем пользоваться равенством (13.1), помня, однако, об ограничениях, при которых оно справедливо.
. Одномерное нестационарное течение газа, зависящее от координаты х и времени t, будет описываться следующими уравне-
4л
В дальнейшем мы будем пользоваться равенством (13.1), помня, однако, об ограничениях, при которых оно справедливо.
. Одномерное нестационарное течение газа, зависящее от координаты х и времени t, будет описываться следующими уравне-
ниями для плотности р, скорости и, степени ионизации s ления р (см. систему уравнений (10.20)):
др , ди . др А dt 1 г дх 1 дх '
ди ди 1 др
dt ^ ^ дх р дх ’
^- + u^ = <J,-(l—S) Фг-^а(Т),dt 1 дх 1 v 1 г тн х м
dt \ 2 р } 1 дх \ 2 р J 1 р дх mH v 7 г т^г 4
р = (1 + s) pkT/mH.
ниями для плотности р, скорости и, степени ионизации s ления р (см. систему уравнений (10.20)):
др , ди . др А dt 1 г дх 1 дх '
ди ди 1 др
dt ^ ^ дх р дх ’
^- + u^ = <J,-(l—S) Фг-^а(Т),dt 1 дх 1 v 1 г тн х м
dt \ 2 р } 1 дх \ 2 р J 1 р дх mH v 7 г т^г 4
р = (1 + s) pkT/mH.
и дав-
и дав-
(13.2)
(13.2)
(13.3)
(13.3)
(13.4)
(13.4)
(13.5)
(13.6)
(13.5)
(13.6)
Строго говоря, система (13.2)—(13.6) должна быть дополнена уравнением переноса излучения. Однако ниже всюду принимается допущение Фг = const.
Условие, при котором это допущение справедливо, можно получить следующим образом. Предположим, что состояние газа не слишком далеко от стационарного, т. е.
а/(1-8)Фг-^а(П, ^(1~8)ФГ~-^Р(Птн тН
Тогда для возмущений с характерным размером L, распространяющихся со скоростью звука а, из (13.4), (13.5) имеем
а кТ ~ с^кТ±(1_5)фг ~ $2Р?(ПкГ+
Так как обычно вблизи звезд s^l, а Т^^Т. то L~ ^ бгтн/(ра (71)). В то же время поток Фг существенно меняется на расстояниях порядка длины пробега квантов Le1 где Lc = = /пн/[°/Р (1 — s)]. Следовательно, предположение Фг = const будет
верным, есливерным, еслиL аО(L аО((1 —s) ^ 1.(1 —s) ^ 1.(13.7)(13.7)
верным, если
верным, если
L аО(
L аО(
(1 —s) ^ 1.
(1 —s) ^ 1.
(13.7)
(13.7)
Значит, (13.7) можно считать выполненным, когда степень ионизации мало отличается от единицы.
Пусть теперь в стационарных условиях плотность, степень ионизации и температура газа равны соответственно р0, s0, То. Считая возмущенное прохождением волны состояние газа мало отличающимся от стационарного, из (13.2)—(13.6) по аналогии с § 12 получим для определения возмущений р', и', s', Т систему линейных уравнений вида
(13.8)(13.8)(13.9)(13.10)(13.9)(13.10)dp\ т, дТ ) о ’(13.11)dp\ т, дТ ) о ’(13.11)dp' , ди' л дГ + Ро^ = О,
(13.8)
(13.8)
(13.9)
(13.10)
(13.9)
(13.10)
dp\ т, дТ ) о ’
(13.11)
dp\ т, дТ ) о ’
(13.11)
_ (1 + SO) kT0 dp' кТ0 ds' (l+s0)k dT dtmHp0 ^x mH ^x mH &x ’
ds' $оОс(То) , l~ Тз i 2p0s0a (T’o)"] / sopo f 3a\
dFFF^-mH J mH
3 кТр^'3 (l + s0)k dT(H-So)J^o ^ =
2 mH dZ2 mH dZ mH dx
soP (71 q) / g/kT + ф . 2p0s0 p (T0) ^, sopo
“P L ^н rJ 4
da \ / da \/ dp \ / dp \
df)o" {dTJr^ \дт)о~ \дТ)т=т;
' Решение уравнений (13.8)—(13.11) целесообразно искать в форме
р' = Д1р0 exp [Z (о/ + ^х)], и' = Айай ехр [Z (о/ + ^)],
s' = Д3 ^г еХр [/ (ш/ 4- ^х)], Т = Л4Т0 exp [Z (ю/ + ^х)],
п3 _ A O + sp) кТо_ тн_ 1
03 mH ’ Tr s2poa(7o)’ ir о.Фг-
В рассматриваемом случае отношение т(-г/тг<^ 1. Действительно, так как oz (1 —s0) Фг = SgPoa (Т0)/тн, то т/г/тг = (1 — s0) <^ 1 в силу условия (13.7).
Вводя обозначения <о = со/(^о), 7>0 ^^о^н/^оРо66 (^о)] (^о есть расстояние, проходимое волной, распространяющейся со скоростью а01 за характерное время т,.) и пренебрегая в (13.9)— (13.11) величиной xir/xr по сравнению с единицей, из условия обращения в нуль детерминанта линейной системы уравнений,
которым удовлетворяют постоянные Лг Л2, Л3, Л4, находим(5®2— 3) (z®+ Х)— 2z® — О,
у _ 1 Д Г д / Р (7) \ 1
2л U L^T кЗксс(7)У Jo'
Легко убедиться, что при L/L^^Q, ®—>±1, т. е. возмущения распространяются с адиабатической скоростью звука ай (в данном случае имеется также корень ®^0, соответствующий
Рис. G.Рис. G.
Рис. G.
Рис. G.
р\=0, и' — 0). Если ЦЬй—^оо, то ®—^±(3/5)1/3 и фазовая скорость волн равна изотермической скорости звука ат = -(2kT0/mH)1/2M3/5)V4.
Представляя со в виде ряда по степеням L/Lo (L/LO<^1) или LJL (L/L^Y) и ограничиваясь членами до второго порядка включительно, находим, что
113 у/2 7/3 у/2 7/®lt 3 = dz (1 — 0,14Х2) + z "5~ , юз — г* ту ^ kUL^ 1),
1
1
3 у/2 7/
3 у/2 7/
«1.2«1.22^15X22^15X2Л” , to3~ iX ^LILq^^? 1).
«1.2
«1.2
2^15X2
2^15X2
В общем случае функции Re®n Im®n Im®3 представлены на рис. 6 (штриховые линии соответствуют полученным выше разложениям со при малых и больших L\ При этом всегда Re соэ = 0*
Из графиков видно, что фазовая скорость волн, пропорциональная Retoj, с увеличением длины волны уменьшается от
адиабатической скорости звука до изотермической. Характеризующая затухание величина Imo^ с ростом длины волны растет, достигает максимума, а затем стремится к нулю при L—>оо. Интересно, что характерное время затухания t = L (2лй0 ImwJ-1 для колебаний, близких к адиабатическим, не зависит от длины волны (этот результат следует и из приведенных выражений для со в случае L/LO<^1). В § 16 мы увидим, как такая особенность затухания коротковолновых возмущений проявляется на нелинейной стадии распространения волн.
. Распространение малых возмущений
в самогравитирующей среде
В § 12 исследовалось распространение малых возмущений в плазме при наличии электромагнитных сил. Эти силы часто являются определяющими при рассмотрении движения плазмы. Так, например, ими обусловлены многие процессы, происходящие в межпланетной плазме (гл. III), а также в межзвездной и межгалактической средах.
В § 13 рассматривалось распространение малых возмущений в излучающем газе. Взаимодействие газа с неравновесным излучением оказывает особенно существенное влияние на динамику межзвездной среды (гл. IV).
Настоящий параграф посвящен изучению распространения малых возмущений в самогравитирующих средах, т. е. таких средах, в которых сила гравитации, действующая на газ, существенно зависит от распределения плотности в самом газе. Гидродинамическую систему уравнений в таком случае необходимо дополнить уравнением Пуассона для гравитационного потенциала, т. е. задача определения полей течения и гравитации будет самосогласованной (для динамики межпланетного газа, рассматриваемого в гл. III, гравитационная сила является внешней и в этом смысле задача несамосогласованная). Учет эффектов самогравитации в газе важен в исследовании таких вопросов, как образование галактик, звезд и т. п.
Рассмотрим самогравитирующий газ, находящийся в магнитном поле В и принимающий участие во вращении с постоянной угловой скоростью £}. Тогда во вращающейся системе координат уравнения идеальной (недиссипативной) гидродинамики запишутся в виде
| + divPy=0,
9^- = — Vp + pVt/ + ^Г0^хВ + 2рУхй + р (й хг)хй,
^ = rot[VxB], ^(^)=0, ¥^ = -4лСр. (14.1)
Здесь U—гравитационный потенциал, G— гравитационная постоянная, а в электромагнитной силе плотность тока J заменена на (с/4л)го15 согласно уравнению Максвелла при пренебрежении токами смещения. Холловские токи не учитываются и уравнение индукции магнитного поля записывается в форме, которая отражает свойство «вмороженности» (§ И).
Представим решение (14.1) в виде
р = ро + р'(^, 0. V= УЦх, о, р = р0 + р' (х, О,
U = U0-VU' (х, O,S = Bo + »(x,/),(14.2)
где индекс «0» и штрих, как и в §§ 12, 13, относятся соответственно к невозмущенным величинам и малым отклонениям от них. Подставляя (14.2) в (14.1) и линеаризуя систему уравнений относительно малых возмущений, для последних получаем (штрих для простоты записи опускаем)
+ (Ром) О,dt 1 дх’
Ро Tt = ~VP + РоVI/ + 2рЛ X t2 + ^ Vp0 +^ rot 5 X Во,-|^- = rot[VxB0], р^а^, ¥Ч/ = —4л6р(<Zo = WPo)- (14.3)
Здесь используется факт, что величины р0, р0, С/о, Ко = 0 и Во должны удовлетворять исходным уравнениям (14.1), т. е. должны, вообще говоря, быть некоторыми функциями координат и времени. Однако, следуя работам Джинса и Чандрасекара [14— 16], будем в дальнейшем считать их постоянными величинами (либо мало меняющимися на длине волны 2л/&, т. е. Л|>2л/й, где L—характерное расстояние изменения этих величин).
При В = й = 0 распространение малых возмущений в такой постановке впервые рассматривалось Джинсом (см,, например, [14]). Поскольку основное состояние не удовлетворяет исходным уравнениям, то такая постановка задачи является, вообще говоря, некорректной.
Однако, как показано, например, в книге Я. Б. Зельдовича и И. Д. Новикова [17], решение для невозмущенного состояния должно быть нестационарным, т. е. однородная плотность, а также давление и, следовательно, гравитационный потенциал должны быть функциями времени. Такое решение соответствует либо общему расширению, либо общему сжатию и может быть взято, например, из нестационарной изотропной космологической модели.
В результате такого обобщения можно показать, что имеется хорошее согласие между точной теорией гравитационной неустойчивости и теорией Джинса. Это указывает на то, что геория Джинса, использующая постоянство невозмущенных параметров
газа» в основном правильно описывает распространение малых возмущений в самогравитирующем газе.
Здесь следует отметить, что при наличии постоянного вращения (£}у=0) можно, вообще говоря, так подобрать основное состояние Vo = О, р0 = const, pQ = const, Uo#= const, чтобы стационарные уравнения (14.1) удовлетворялись и задача стала бы полностью корректной.
Выберем теперь оси координат так, чтобы
Во = {Вх0, 0, B^t й = {fix, Qy, QJ.(14.4)
Принимая во внимание (14.2), (14.4) и постоянство невозмущенных параметров газа, из (14.3) получим
др ди
—— Род%’
ди . В ^п дЬ у । о др л //-х х dU
Ро + 4л"— 2р° (У^~— Ро ~д^ = О,
Ро—2р0 (ийи—ufix)—^р= О,
го 5^ го \ у4Л ^х ,
дЪу _ R ди db"z _ R дш р ди dt Х°дх’ д£ Х0дх—
^-|-4л6р = 0.(14.5)
Как и в §§ 12, 13, решение ищем в виде
А = Л^ехр у (со/— &х)],(14.6)
где “Л*— постоянная амплитуда возмущений. Подставляя (14.6) в (14.5) и приравнивая нулю определитель получаемой однородной системы алгебраических уравнений относительно амплитуд, будем иметь следующее дисперсионное уравнение:
(о6 -ю4 [(4Q2 + ^) + №л + ^в + ^)] +
+ со2 [Й j (4Q2 + Н^) + Йл W + Q^ + Q25 + £$) +
(147)(14.8)(147)(14.8)+ 4 (ЙлЙг-ЙдЙх)2]-Н^а7 = 0.
(147)
(14.8)
(147)
(14.8)
Здесь
й2/=^-4лсРо, q^-v^s ед=ед^2,
('=^>z)- Й2 = ^ + ^ + ^2.
Рассмотрим теперь несколько частных случаев.
1°. Вращение и магнитное поле отсутствуют (Й = 0, 5 = 0). Тогда дисперсионное уравнение (14.7) сводится к следующему:
$ 14]
Из (14.9) видно, что в самогравитирующей среде при отсутствии магнитного поля и вращения могут распространяться лишь достаточно короткие волны (большие волновые числа к). При выполнении неравенства
/?<^1/^0 или Х = ^>«01/=(14.10)
корни дисперсионного уравнения становятся мнимыми, т. е. имеет место неустойчивость, которая называется неустойчивостью Джинса [14]. Величина Xj получила наименование джинсовской длины волны. Волны с длиной волны, большей Xj, согласно критерию Джинса (14.10), распространяться в самогравитирующей среде не могут.
2°. Магнитное поле отсутствует (5=0), но имеется вращение (й = {й*, 0, ЙД). В этом случае дисперсионное уравнение (14.7) будет иметь вид
о4 — о2 (4Й2 + Й j) + 4Q2Q2 = 0.(14.11)
Корни этого уравнения удовлетворяют соотношениям
(Oi2+o)2^4Q2 + Q}, ш^^Й^Й*,(14.12)
из которых видно, что при выполнении неравенства (14.10) один из корней дисперсионного уравнения становится мнимым, т. е. критерий Джинса для неустойчивости не изменится при наличии вращения.
Только в частном случае йх = 0, когда волна распространяется строго перпендикулярно вектору угловой скорости и (14.11) сводится к
о2 = 4Q2 +а^2_4лСро)(14.13)
достаточно быстрое вращение может стабилизировать систему. Как видно из (14.13), стабилизация наступает при выполнении неравенства
Й2> л6р0.(14.14)
3°. Вращение отсутствует (й = 0), но имеется внешнее магнитное поле во = {5,о, 0, Вг0}. Вместо (14.7) будем в этом случае иметь
(to2 _ Q2 ) ^4 _ (Q2 + Q2 + Q2) q2 + Q2jQ2 J q( 1 4 J 5)
Уравнение (14.15) показывает, что теперь имеются чисто альфве- новские волны, распространяющиеся со скоростью®/k=BxjViлр0 (см. § 12). Другие решения этого уравнения должны удовлетворять равенствам
0)? + СО^ Q2 + Q 2 + Q» ^2 _ Q2 02(14.16)
Из (14.16) видно, что при выполнении неравенств (14.10) один
из корней (14.15) становится мнимым, т. е. критерий Джинса остается неизменным и при наличии магнитного поля.
Как показано в работе [18], учет эффектов Холла (см. § 12) также не нарушает критерий Джинса.
4°. Наиболее общий случай, когда имеются и магнитное поле ВО-ЦВХО, 0, Bz0\t и вращение D^=(QX, Qy, QJ. Этот случай описывается дисперсионным уравнением (14.7), корни которого удовлетворяют соотношениям
«? + (o22 + ^ = 4Q* + 2q*+Q^^^ «й^ед. (14Л7) Из (14.17) следует, что, как и прежде, достаточно длинные волны не могут распространяться в самогравитирующей среде, т. е. справедлив критерий Джинса (14.10).
Из результатов настоящего параграфа вытекает следующая теорема, сформулированная Чандрасекаром [16]: критерий Джинса для возникновения гравитационной неустойчивости в бесконечной однородной среде не меняется при наличии либо однородного вращения, либо однородного магнитного поля, либо и того и другого вместе, за исключением частного случая О | Ох.
В работах [19, 20] показано, что критерий Джинса не меняется и для более сложных гидродинамических моделей газа. Так, в [19] принимаются во внимание компоненты тензора напряжений, связанные с учетом конечного ларморовского радиуса (их можно считать следующим приближением разложений, рассмотренных в § 8). В [20] дополнительно включаются эффекты, обусловленные столкновениями с нейтральными частицами газа. Обычно в астрофизике величина Ху, определяемая (14.10), характеризует порядок размеров конденсаций, которые могут образовываться в самогравитирующей среде.
В настоящем параграфе не рассматривались свойства нарастающих или затухающих решений, а также решений, в которых невозмущенное состояние является нестационарным. Все эти решения, а также их космологические приложения подробно исследованы в [17].
§ 15. Нелинейные волны в плазме с магнитным полем.
Волны Римана, уединенные волны, слабые ударные волны
В §§ 12—14 было рассмотрено распространение малых возмущений в различных средах, представляющих интерес для космической физики. Вследствие малости возмущений система гидродинамических уравнений линеаризовалась. При этом решение линейных уравнений можно было представить в виде суперпозиции невзаимодействующих синусоидальных волн с частотами и волновыми числами, удовлетворяющими дисперсионному уравнению.
Такие волны распространяются в газах без искажения своей формы. Однако в плазме, так же как и во многих других средах, возможно распространение существенно нелинейных волн— так называемых простых волн или волн Римана, которые могут за счет нелинейных эффектов искажать форму по мере своего распространения.
Рассмотрим снова движение проводящего газа в магнитном поле при отсутствии как диссипации, так и дисперсии в предположении, что все величины зависят только от одной координаты х и времени L
Решение системы уравнений (12.1), в которой опустим члены, описывающие эффекты Холла (Н =0), для рассматриваемого случая будем искать в виде зависимости от некоторой комбинации <р (х, /) переменных хи L Такие решения называются простыми волнами или волнами Римана (см., например, [4, 21]). В простых волнах для производных искомых величин будем иметь выражения
dFdF Эфс, ,dFdF дюcr */ir п
dxdy dx vx’dtd^ dtx 7
Функция ф, а вместе с ней и все остальные величины, остается постоянной, если
d<p=d^-dt^dx = O или 5 = --^.(15.2)
r dt 1 Эхdtфхх '
Отсюда видно, что фаза простой волны (поверхность ф = const) должна перемещаться со скоростью —Ф,/Ф* в направлении оси х* Введем скорость движения а фазы волны относительно газа:
« = $-«•(15.3)
Если теперь (15.1)—(15.3) подставить в (12.1) и пренебречь членами, связанными с эффектами Холла, то для производных искомых функций получим следующую линейную однородную систему уравнений:
—au'+-p' + ^B' + ^-B'z = 0, -аи'—Ь-В'у-О,
~aw’~^B^Q’ —йР' + ри' = О,
—а^ р'4-ср'= 0, ByU' — BXV—аВ'у = 0,
Вги'— Вххв'—аВ'г — 0(Вх = const).(154)
Определитель системы (15.4) совпадает с определителем системы уравнений (12.4) при Н = 0. Приравнивая его нулю, получим, что для существования нетривиального решения величина а
должна быть одним из корней уравнения (12.6), коэффициенты которого, в рассматриваемом случае простых волн, не постоянные величины, а функции аргумента ф (х,/) (без индекса «О»).
Такими корнями, согласно (12.6) и (12.9), являются a=a3=Q, аА, а+, а_. Подставляя каждое из этих значений в систему (15.4) и интегрируя ее, можно получать различные решения, соответствующие разным типам простых волн. По аналогии с распространением малых возмущений эти волны называются энтропийными, альфвеновскими, быстрыми и медленными простыми волнами [4].
В общем случае все корни определителя системы (15.4) различны. Тогда tz^O, аА, а+, а„ являются однократными корнями и для каждого из них некоторое уравнение системы (15.4) будет линейно зависеть от остальных. Следовательно, все производные искомых функций пропорциональны одной из них, причем коэффициенты пропорциональности зависят от самих искомых функций. Если проинтегрировать при этом систему уравнений, то найдем, что в волне каждого типа все искомые функции выражаются через одну из них, например, р(х, 0, которую можно принять за ср (х, /).
Рассмотрим теперь различные типы простых волн.
Пусть я = яэ = 0. В этом случае из (15.4) будем иметь
в; = В' = р' ==: 0
или
р = const, В const, V = const,(15.5)
е. в простой волне рассматриваемого типа может изменяться только функция р. Такая волна носит название энтропийной простой волны, как и для линейных волн, так как изменение р при неизменном давлении р связано с изменением энтропии. Эта волна может перемещаться только вместе с частицами газа. Поскольку и = const, то все фазы волны перемещаются с одной скоростью и профиль волны не деформируется.
Пусть а = аА = BjV^tp- Тогда из (15.4) получим
У 4лрУ 4лр
и' = р'=р' - о, вув;+ад - о.
Интегрирование этой системы уравнений дает и = const, р ^ const, р = const,
B^ + B^COnst, V =h const.(15.6)
У 4лр
Выбором скорости движения системы координат, как видно из
можно добиться того, чтобы
V7=--V 4лр
В такой системе координат (см. (7.17))
E=-^kVx 8^ = 0,
т. е., как следует из уравнения индукции магнитного поля (11.7), движение стационарно (dB/dt = 0). В рассматриваемой волне касательные составляющие векторов V и В (у- и г-компоненты) поворачиваются, не изменяя своей величины. Такие волны называются альфвеновскими (или вращательными) простыми волнами. Во вращательной простой волне u const, ал Bj^4Ep = const, и, следовательно, все фазы этой волны перемещаются с одинаковыми скоростями ц + ^д, т. е. профиль волны не деформи
руется.
иметь вид ^-8л^2 -ар\dx) ВхdB^4лра + 1 „иметь вид ^-8л^2 -ар\dx) ВхdB^4лра + 1 „Р / ’илиР / ’илиПусть теперь a--a + i_. Выберем систему координат так, чтобы в некоторой произвольной точке выполнялось условие цу Вг 0. Тогда из (15.4) следует, что В'2 w' 0 (а2 #= 52/(4лр)), т. е. приращения векторов V и В лежат в плоскости (х, у). Следовательно, и сами векторы V и В всюду лежат в этой плоскости (Вг = 0 и ш^О). Если за tp (х, 0 принять р(х,/), то система уравнений (15.4) для рассматриваемого случая будет
иметь вид ^-8л^2 -
ар\
dx) Вх
dB^4лра + 1 „
иметь вид ^-8л^2 -
ар\
dx) Вх
dB^4лра + 1 „
Р / ’
или
Р / ’
или
du _а^,-
dp — Р ’
dv_ _ _ Вх(,а+, _ —ур/р) j g
dppBya^f_ * '•
Уравнения (15.7) связывают изменение величин в быстрой (я+) и медленной (cz_) простых волнах. Так как а+,_ зависит только от р и В,р то очевидно, что достаточно проинтегрировать первое уравнение (15.7), при этом отыскание остальных
величин сведется к вычислению квадратур.
Качественно поле интегральных кривых для быстрых и медленных простых волн, полностью исследованное, например, в [4], представлено на рис. 7, а, б соответственно. Величина р*, отложенная по оси абсцисс, находится из уравнения 4лур (р*)^В2. Из рис. 7, а, б видно, что в быстрой простой волне магнитное поле возрастаете ростом плотности, а в медленной уменьшается. Для того чтобы определить, как изменяется профиль быстрой и медленной простых волн, необходимо исследовать знак производной dv$+t Jdp, где
t\i> +, _ - U(p) + a+, _ (р)(15.8)
— скорость движения фазы волны.
Рис. 7.Рис. 8.Рис. 7.Рис. 8.сг ь1сг ь1
Рис. 7.Рис. 8.
Рис. 7.Рис. 8.
сг ь
1
сг ь
1
Непосредственным дифференцированием (15.8) по плотности р с использованием выражений (12.9) для a+i_ (в этих выражениях, как было указано выше, все параметры необходимо считать функциями плотности р) и соотношений (15.7) можно показать, что
(15.9)(15.9)^^ф + , — -> Qdp
(15.9)
(15.9)
(красивое геометрическое доказательство этого факта приводится в [4]), т. е. в волне сжатия гребень движется быстрее основания и с течением времени передний фронт волны становится все круче и круче, пока не образуется разрыв параметров газа (см. также § 16). Ясно, что 2 фронт волны разрежения на- Sy
Эти свойства сохраняются и при отсутствии магнитного поля, когда а_=0, a a^=V^Pl9 [21]. Полностью аналогичное исследование простых волн можно выполнить и в рамках магнитогидродинамической модели бесстолкновительной плазмы (ЧГЛ- приближение). При этом для фазовых скоростей распространения простых волн получается уравнение вида (12.18) с решениями (12.20), (12.21), в которых, как и в рассмотренной выше изотропной модели, вместо постоянных величин (индекс «0») должны стоять искомые параметры плазмы, являющиеся функциями плот-
$ 15] ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ С МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ 81 ности р. Поле интегральных кривых для быстрых и медленных простых волн имеет вид, представленный на рис. 8, а, б соответственно [22]. На рис. 8 величины р* и р** определяются соответственно уравнениями 4рп—р± = В^/(4л) и 4рм = 4рц—pL при 5^ = 0.
Сравнение рис. 8 с рис. 7 показывает, что поле интегральных кривых в ЧГЛ-приближении для быстрых простых волн качественно совпадает с полем интегральных кривых в столкно- вительной плазме, в то время как для медленных простых волн имеется отличие. Оно заключается в том, что в ЧГЛ-приближе- нии имеется область, где в медленной простой волне сжатия магнитное поле возрастает. Как показано в [22], эта область соответствует RMHD (см. §12), где скорость альфвеновской простой -волны меньше скорости медленной простой волны.
Кроме того, в анизотропной магнитной гидродинамике ЧГЛ интегральные кривые ограничены линиями / и // на рис. 8. Правее / имеем рхх > р^, и корень аА становится мнимым, а левее II имеем рхх <рт, и корень а. становится мнимым (см. § 12). Как указано в конце § 12, эти области соответствуют возникновению «шланговой» и «зеркальной» неустойчивостей.
В [22] показано, что в предельных случаях рн<^52/(4л), Р1<^52/(4л) (холодная плазма) и В^/В2 —>0 (волна распространяется почти перпендикулярно магнитному полю) быстрая и медленная простые волны также имеют тенденцию к увеличению крутизны фронта волны сжатия. При этом в первом случае отсутствует аномальное поведение фронта для медленной простой волны, разбираемое в [23]. Это объясняется тем, что в [23] неверно выписаны общие уравнения для медленной и быстрой простых волн.
Следует также заметить, что при 6^/62—> 1 в области RMHD фронт медленной простой волны сжатия не укручается, а становится более пологим [22], т. е. du(b_/dp<0.
При учете эффектов Холла (Н=^0) система одномерных нестационарных уравнений (12.1) уже не имеет решений в виде простых волн или волн Римана. Наличие в такой системе дисперсии, т. е. зависимости фазовой скорости волн от длины волны (см. дисперсионное уравнение (12.6)) будет препятствовать нелинейному увеличению крутизны фронта волн. Оказывается, что в диспергирующей среде (межпланетная плазма или плазма солнечной атмосферы могут служить примерами таких сред) появляется возможность распространения нелинейных волн без искажения их формы.
Рассмотрим этот вопрос подробнее. Будем искать решения нелинейной системы уравнений (12.1) в виде стационарных волн, распространяющихся с постоянной скоростью X > 0 [’3], т. е, будем считать, что все параметры зависят только от х'*^х — X/
(X = const >0). Тогда из (12.1) получим
(и — ^р' + ри' = 0, Р (и —X) и'+ (р + ^) =о,р(и-Х)У'=М,р(И-Х>'=^,
(И-х)в;=в,У'-вуи'+^у(5;--^), B; = Bxw'-Bzu'-H^(B"y--^), P^Po^Y’ fix = const.(15.10)
X Р0 /
Здесь штрих означает дифференцирование по х*, а индекс «нуль» относится к параметрам невозмущенной плазмы.
Будем искать решения уравнений (15.10) с граничными условиями
и = v — w 0, В = Во, р = р0, В' —> 0(х* —> оо).(15.11)
Эти граничные условия соответствуют уединенным стационарным волнам или солитонам.
Выберем систему координат так, чтобы В20^0. Интегрируя первые шесть уравнений системы (15.10) при граничных условиях (15.11) и полагая В20 —0, найдем
. В2 .Во
(и —к) р - — ^Ро> — 4>о« + Р+^^Р^^'
Вх ^и В^о)ВхВг
4лр0Л4лр0Л
« + х(ф-1)]вг=-//^в;.(15.12)
Последние два уравнения получены при использовании выражений для v и w.
Предположим теперь, как и в § 12, что дисперсия мала (в дисперсионных членах учитываются только линейные добавки по отклонениям параметров от невозмущенных значений). Кроме того, будем считать, что плотность меняется слабо. Таким образом, считаем, что выполняются неравенства
- Р~РоР - Ро- Р~РоР - РоУдхVУдхV^1).(15.13)^1).(15.13)
- Р~Ро
Р - Ро
- Р~Ро
Р - Ро
Удх
V
Удх
V
^1).(15.13)
^1).(15.13)
Из первого уравнения (15.12) и из (15.13) вытекает, в частности, что «/Х<^1. В этом же приближении из последнего
(15.14)(15.14)уравнения (15.12) следует р ХНВу
(15.14)
(15.14)
z="^vU"
Подставляя (15.14) в предпоследнее уравнение (15.12) и вводя обозначение Ву~Ву — Ву0, получим, с точностью до членов второго порядка малости,
иВ,. + иВ, + Ц^-1)б,=5(^.(15.15)
Выразим величины и и Ву через р при помощи первых двух уравнений (15.12) и последнего уравнения (15.10). В рассматриваемом приближении будем иметь
°у0L^yO \ °у0 /^уо \/.
Ы = Х(р —р2).(15.16)
(15.17)(15.17)При вычислении выражения для Ву использовалось условие Ву—>0 при р—>0, которое следует из (15.11). Подставляя (15.16) в (15.15), окончательно получим следующее уравнение для р: d^p _ dU dx2, dp
(15.17)
(15.17)
Здесь
и = I (а? -?) г, Г = sign>
(Л2 — ао)
-2^х»= Л^2-^) JL ^^ х 3)
/1 /172 \ Г /1 22\23 1
'2 X Л / LУдо— идхJ '
(15.18)
Характер решения уравнения (15.17) определяется видом функции U (р). Последний в свою очередь зависит от знака а и Г. Решения в виде уединенных волн существуют в двух случаях:
Г = 1, ос < 0 и Г ——1, а > 0.(15.19)
Функция U (р) в этих случаях представлена на рис. 9 кривыми 1 и 2 соответственно. Из (15.17) — (15.19) и (12.13) ясно, что солитоны не существуют при X2 < al и Х^>а^., так как Г и а при этом одного знака, независимо от знака величины К- Из рассмотрения выражений (15.18) для Г и сс следует, что скорости
солитонов лежат в областях
а2_ < X2 < min [tto, Vax], max [«о, Vax] < X2 < a+,(15.20)
при этом, как видно из рис. 9 и соотношений (15.17), (15.18), для К > 0 реализуется первый случай в (15.19), который соответствует солитону разрежения (р<0), а для К < 0 реализуется второй случай в (15.19), что соответствует солитону сжатия (Р > 0).
Соотношения (15.17), (15.18) также показывают, что амплитуда солитона равна |а| и, в силу (15.13), должна быть мала.
„ U Г<0 а>0„ U Г<0 а>0
„ U Г<0 а>0
„ U Г<0 а>0
Но это эквивалентно тому, что 72 близко либо к а\ («быстрый» солитон), либо к а2_ («медленный» солитон). При 72^а+ имеем К > 0, а при 72 ^ al имеем К < 0. Таким образом, быстрый солитон является солитоном разрежения и движется со скоростью, немного меньшей скорости быстрой магнитозвуковой ‘волны, а медленный солитон является солитоном сжатия и движется со скоростью, немного большей скорости медленной магнитозвуковой волны. Оказывается, что характер дисперсии для медленного солитона таков, что он является неустойчивым согласно критерию Б. Б. Кадомцева и В. И. Петвиашвили [24].
Следует заметить, что результаты, полученные для уединенных волн, справедливы при ByQ~Bx и р0~5^/(8л), в противном случае нарушается условие в скобках в (15.13).
В рамках модели холодной плазмы (Ро^^о/^л)) распространение уединенного импульса под углом к магнитному полю рассмотрено в [25], а продольное распространение — в [26].
Если по однородной плазме прошла уединенная нелинейная волна -солитон, то после ее прохождения восстанавливаются
те же значения параметров плазмы, какие были и ранее. Это является следствием того, что нами не учитывалась диссипация энергии.
Однако при наличии диссипации энергии состояние плазмы после прохождения нелинейной волны должно отличаться от невозмущенного. При этом оказывается, что в плазме, вместо солитонов, могут распространяться ударные волны, которые часто рассматриваются как поверхности сильного разрыва (см. § 17). Их структуры описываются уравнениями, аналогичными (15.10), но в них необходимо учесть диссипацию энергии.
Рассмотрим в том же приближении джоулеву диссипацию. При этом необходимо пользоваться полным уравнением индукции магнитного поля в форме (11.2) (последний член в (11.2) в одномерной задаче тождественно равен нулю), а вместо адиабатического закона рассмотрим уравнение энергии в виде
- In f А (rot ву — rot В. Vp J .
у—1 dt \ pv у 4л x 1 4леле ' e \ m 4ло у
(15.21) В дальнейшем электропроводность о считается постоянной величиной (vm^ const). Как и в уравнении (11.2), в (15.21) последний член в одномерном случае обращается в нуль.
Качественное исследование системы уравнений (15.10) с учетом джоулевой диссипации при граничных условиях на бесконечности (±оо), удовлетворяющих соотношениям типа Гюгонио на ударных волнах (см., например, [4, 21] и § 17), было проведено в работе [27] (задача о структуре ударной волны).
Построим решение в том случае [28], когда удовлетворяются неравенства (15.13) и, кроме того, джоулева диссипация является слабой, т. е.
v = ^<l. (15.22)
Тогда, как и ранее, в квазилинейном приближении будем учитывать лишь члены порядка р, р2, pH2 и pv, пренебрегая величинами более высокого порядка (см., например, [5]). Полагая снова и = ^ = йУ = 0, В = В0, р = 0, р = р0, B'^Q при х*—>оо и выбирая систему координат, в которой Bzo^O, вместо (15.17)
получимполучимd2p dx2d2p dx2АdxАdxdpdp(15.23)(15.23)
получим
получим
d2p dx2
d2p dx2
А
dx
А
dx
dp
dp
(15.23)
(15.23)
где U^ Г, a, x, К определяются формулами (15.18), a
l = ^^-v^l = ^^-v^V-4кн» &-V2Ax)V-4кн» &-V2Ax)(15.24)(15.24)
l = ^^-v^
l = ^^-v^
V-4кн» &-V2Ax)
V-4кн» &-V2Ax)
(15.24)
(15.24)
Соотношения (15.23), (15.24) вместе с (15.18) описывают структуру
слабой ударной волны (общим свойствам ударных волн как поверхностей разрыва гидродинамических параметров посвящен § 17). Как и ранее, решение уравнения (15.23) зависит от вида функции U, представленной на рис. 9 (кривые Л 2, 3, 4). Солитонам соответствовали кривые 1 и 2 на рис. 9. Ударным волнам (волнам сжатия) должны соответствовать кривые 2 и 3 (два других случая, т. е. кривые 1, 4 не описывают структуры ударной волны, что будет показано ниже).
В силу (15.23), (15.24), (15.18) и условий на бесконечности, имеем р' —>0 (штрих, как и ранее, означает производную по х), U —> 0 при х—> + оо, т. е. решение, описывающее структуру ударной волны, будет соответствовать движению материальной точки с полной энергией, стремящейся к нулю, когда «время» х—>+оо. Кроме того, это решение должно давать постоянные значения параметров при х-^+ю. Единственными стационарными точками уравнения (15.23) являются р = 0 и р1 = 2а/3. Отсюда следует, что скачок плотности в волне равен pv Из (15.18) видно, что, как и для солитонов, в предположении малости скачка плотности в волне V близко либо к а\ (быстрая ударная волна), либо к al (медленная ударная волна).
При Х2^а^ имеем К > 0 и, следовательно, Г= 1, g > 0, так как al ^ шах (Уд^, al). Поскольку в этом случае «трение» положительно (£ > 0), то энергия материальной точки должна убывать при изменении х от —оо до +°°, причем р—>0 при х—^4-оо. Это соответствует кривой 3 на рис. 9. Так как а > О, то, как видно из (15.18), X2 > а%, т. е. быстрая ударная волна распространяется со скоростью, большей скорости быстрой маг- нито^вуковой волны (сравните с быстрым солитоном).
При V ^ al имеем К<0 и, следовательно, Г = —1, £ < О, так как al ^min (Удх, al). Поскольку в этом случае «трение» отрицательно (£<0), то энергия материальной точки убывает при изменении х от 4-00 Д°—оо. Так как р—>0 при х —>+°°, то это соответствует кривой 2 на рис. 9. При этом V> al вследствие того, что a > 0, т. е. медленная ударная волна распространяется со скоростью, большей скорости медленной магнитозвуковой волны.
Для исследования поведения плотности р внутри структуры ударной волны сведем (15.23) к двум уравнениям первого порядка:
^- = <7, 4.= -^-|аГр + Гр2. (15.25) ах ах °
В фазовой плоскости (р, q) система уравнений (15.25) имеет две особые точки (0, 0) и (2а/3, 0). Решению задачи о структуре
ударной волны отвечает кривая, соединяющая эти точки. Ударной волне соответствует а>0 (см. рис. 9). При Г > О, ^>0
точка (2а/3, 0) является седлом, £2 > 8а/3 и фокус при g2 < 8tz/3.
Отсюда следует, что при £3 < 8а/3 быстрой ударной волне предшествует осцилляторный «лидер»,
так называемый «предвестник».
Если Г < 0, £ < 0, то точка (0, 0) является седлом, а точка (2сс/3, 0) — узел при ^2 > 8сс/3 и фокус при g3 < 8а/3. Это означает, что при g2 < 8а/3 за медленной ударной волной появляется осцилляторный «хвост».
Легко показать, что при g2 > >8а/3 в обоих случаях поведение р в ударной волне монотонно. На рис. 10 представлено поведение
плотности для рассмотренных случаев.
Таким образом, достаточно сильная дисперсия, связанная с эффектами Холла, может приводить к осцилляторной структуре ударных волн. Этот факт для бес
столкновительных ударных волн
уже давно известен в литературе (см., например, [8], а также §, 19). Результаты, приведенные здесь, справедливы при пренебрежении инерцией электронов (см. вывод обобщенного закона Ома в § 7). Для рассмотренной задачи инерцией электронов можно пренебречь, если ^^>Vmjm^ где 0—угол между направ
лением распространения волны и нормалью к магнитному полю.
В заключение настоящего параграфа отметим, что возможность появления решений типа уединенных волн в магнитогидродинамическом приближении для бесстолкновительной плазмы связана с поправками к уравнениям ЧГЛ, учитывающими конечный ларморовский радиус [29]. Эти поправки приводят к появлению дисперсии.
§16. Нелинейные волны в излучающем газе
Исследование малых возмущений (см. § 13) показало, что учет радиационных процессов приводит к дисперсии и затуханию возмущений. Но тогда, подобно тому, как это делалось в плазме с холловской дисперсией (§ 15), можно принять во внимание
нелинейность, если наряду с амплитудой возмущений ввести другой малый параметр (по порядку величины равный первому), который характеризует эффекты дисперсии и диссипации.
Следуя указанному методу, рассмотрим сначала колебания, не сильно отличающиеся от адиабатических. Тогда, предполагая правые части уравнений (13.4), (13.5) достаточно малыми, целесообразно представить давление и плотность в виде
р(х, /) = р(н) + Ф(я, t\ р(х, О^рМ + ф^» О, где функции ф(х, /) и cp(x, /) считаются малыми второго порядка, а р (и) и р (п) связаны теми же соотношениями, что и в простой волне в газе без излучения и магнитного поля, распространяющейся в положительном направлении оси х;
а(м)^^ = р(и), а^и) = а0 + "^ и,
C^^ = u4u)d^^(у = 5/3)
(здесь за независимую переменную принята скорость, а не плотность, как при изучении простых волн в § 15).
Принимая, как и в § 13, т/г/тг<^1 (тогда правая часть (13.4) будет равна нулю), из (13.5) получим
!)(—Y{k^+«(^)—р(Л}■
д/ 1 дх 1 дх v г 7 \тн/V Г ' k Р /
(16.1)
Комбинируя (13.3) и (16.1), с точностью до членов второго порядка имеем
и
= 0И{кТ+а(Т)-Р(пП «• (16.2)
dt ° дх 2ук /ин ° [аТ 1+ v ' х 1 J о
Так как в линейном приближении и удовлетворяет уравнению ди . ди
и решение этого уравнения с принятой точностью можно подставить в правую часть (16.2), то, дифференцируя (16.2) по t, а затем, предварительно умножив на п0, по х, и складывая полученные выражения, будем иметь
д3Ф „з^Ф^п
а°дх^ и*
Но в таком случае£f^=0dt + 0 дх и"
Следовательно, ди . (. v+1 \ ди ■ —, ш
*дГ^"+ "дхU6-3)
где
Рассмотрим производную функции и вдоль кривой, координаты которой в плоскости (х, /) удовлетворяют соотношению
dX. V + I/ 1 П А X
"dT^^ + H-11-(16-4)
Вдоль этой кривой, называемой характеристикой уравнения (16.3) (общие свойства характеристик излагаются ниже в § 20), имеем duди . ди dxди , f . v+1\ ди—
dtdt дх dtд/ 1 у02J дхг
Отсюда
u^F (х0) е^1.
где F (х0)—значение скорости в некоторой точке х0 в начальный момент времени / = 0. Интегрируя (16.4), получаем
I 9u — F х — а01 —I 9u — F х — а01 —о»о»^4-и(1 — е-М) е^.2 ИJ^4-и(1 — е-М) е^.2 ИJ
I 9
u — F х — а01 —
I 9
u — F х — а01 —
о»
о»
^4-и(1 — е-М) е^.
2 ИJ
^4-и(1 — е-М) е^.
2 ИJ
Полезно также иметь представление
х = а0/+++и(1 — е"^) + / (ие~^),2 и
позволяющее найти момент опрокидывания волны /0 (функция f (ие-^) определяется, конечно, начальными условиями). Явление опрокидывания волны хорошо известно в гидродинамике (см. [21], а также неравенство (15.9)) и заключается в том, что распределение газодинамических параметров (например, скорости) в волне с течением времени становится неоднозначным. Физически это означает, что в газе должна возникнуть поверхность разрыва. Качественно поведение скорости и в различные моменты времени иллюстрируется рис. 11. Из рис. И видно, что в момент опрокидывания (/ = ?0) выполняются равенства
# = ^ (1+ Г (ие-^)= 0,
ИИ^0 “^0 “Lin №-fЦ L 2Ц \ 2рLin №-fЦ L 2Ц \ 2р(16.5)(16.5)При ц—>0 формула (16.5) совпадает с известной формулой гидродинамики [21].
И
И
^0 “
^0 “
Lin №-f
Ц L 2Ц \ 2р
Lin №-f
Ц L 2Ц \ 2р
(16.5)
(16.5)
В другом предельном случае, когда температура среды в
основном определяется радиационными процессами (т. е. правой
частью уравнения (16.1)) и слабо зависит от состояния движения газа, колебания близки к изотермическим. Это значит, что слагаемые в левой части (16.1) по абсолютной величине много меньше слагаемых, стоящих в правой части, и малым параметром естественно считать ц-1.
Рис. 11.Рис. 11.летворяют соотношениямлетворяют соотношениямar(u)^^ = p(«), ат^ = аТй,ar(u)^^ = p(«), ат^ = аТй,dp (и)dudp (и)du= ат^? = птр ^’= ат^? = птр ^’Функции р^ и р (и) теперь удов-
Рис. 11.
Рис. 11.
летворяют соотношениям
летворяют соотношениям
ar(u)^^ = p(«), ат^ = аТй,
ar(u)^^ = p(«), ат^ = аТй,
dp (и)du
dp (и)du
= ат^? = птр ^’
= ат^? = птр ^’
причем для простых волн duldt + (п + ^т) (5н/5х)^0. Как и выше, с учетом радиационных процессов это уравнение принимает вид
ди . ., х ди-aF-W-Va^-ди . ., х ди-aF-W-Va^-1 dipРо дх1 dipРо дх(16.6)(16.6)
ди . ., х ди
-aF-W-Va^-
ди . ., х ди
-aF-W-Va^-
1 dip
Ро дх
1 dip
Ро дх
(16.6)
(16.6)
Воспользовавшись далее уравнением состояния p = 2pkT/mH, найдем, что возмущения температуры должны быть второго порядка малости. Тогда из (16.1) следует
Т 2~1— -1 f ди . 5 ди \
Согласно (13.2) и (16.6), (дф/д<) = а^ (дф/дх), т. е.
дф_п дф _ _2„з--1^и
dt ат дх —15 РоагР № •
С другой довательно,С другой довательно,иистороны, очевидно, что (дф/д/) 4-аг (дф/дх) = 0. Сле-
С другой довательно,
С другой довательно,
и
и
дгр — д^и (—12 —-1
^=-BPo^(= = -l5tirP
ди , >. ч ди - дйи
т- 4- (и + ат) = е г—г.
dt 1" дх дхи
Если перейти к системе отсчета, движущейся со скоростью ат относительно среды, т. е. положить — aTt, то (16.7) принимает форму хорошо известного уравнения Бюргерса (см., в частности, [5]), которое описывает распространение конечных возмущений в вязком теплопроводном газе,
(16.8)(16.8)ди ди _ —д^иdtrU ^ — е^.
(16.8)
(16.8)
Решение уравнения (16.8) подробно исследовано [5]. Характерно, что вид профиля скорости при t —> оо определяется лишь + со
единственной величиной М = $ н(£, ^^—так называемый
— со
главный момент), зависящей от начальных условий. Когда е—^0, профиль и^, t) имеет вид треугольника со скачком, интенсивность которого равна (2M/ty^, основание профиля растет как р/3, так что его площадь не меняется со временем. Кроме того, уравнение Бюргерса имеет стационарное решение, соответствующее волне, перемещающейся без деформации с постоянной скоростью И7: u = f(£— Wt).
Интегрирование (16.8) дает для / (£) и W выражения
f® = u0+—№ = и6Ц-^,(16.9)
1Н-ехр[Д«.^/(2е)] ’° Г 2v '
где и0 и Ди— постоянные интегрирования.
Ясно, что когда параметр е определяется коэффициентами вязкости и теплопроводности, функция f (^ представляет собой профиль скорости в ударной волне. При этом именно вязкая диссипация и теплопроводность, как известно, препятствуют увеличению крутизны профиля. В излучающем газе, однако, как следует из рассмотренного выше, наличие диссипации еще не обеспечивает существования стационарного решения системы (13.2)—(13.5). Это объясняется тем, что процесс увеличения крутизны профиля скорости сопровождается (вследствие нелинейности) возникновением коротковолновых возмущений и прекращается, если последние достаточно быстро затухают. Из линейной теории следует, что для колебаний, близких к изотермическим, затухание пропорционально квадрату волнового числа к и можно ожидать существования стационарного решения (такая возможность, согласно (16.9), действительно реализуется). Для колебаний, близких к адиабатическим, как было найдено, затухание нс зависит от к, что и приводит к увеличению крутизны профиля.
Таким образом, видно, что характерные особенности распространения нелинейных волн обусловлены законами дисперсии и
затухания малых возмущений. Отсюда становится понятным и тот факт, что в излучающем газе не могут распространяться уединенные волны, существование которых в плазме с холловской дисперсией установлено в § 15. Действительно, сопоставление результатов, полученных в § 12 и § 13, показывает, что в этих случаях зависимости фазовой скорости распространения малых возмущений от волнового числа различны. Тем самым и формы нелинейных волн не обязаны совпадать.
§ 17, Сильные разрывы в газах и плазме.
Их классификация, Эволюционность ударных волн
В §§ 15, 16 было показано, что простые волны сжатия с течением времени могут увеличивать крутизну своего профиля и в результате возникают разрывы (скачки) параметров газа или плазмы, которые называются сильными разрывами (в данном случае ударными волнами). Сильные разрывы часто обнаруживаются, например, в межпланетном пространстве при его экспериментальном исследовании с помощью приборов, устанавливаемых на борту космических аппаратов. Исследование этих разрывов часто позволяет уточнить макроструктуру солнечного ветра и связать их с процессами, происходящими на Солнце (см., например, § 26).
Сильные разрывы могут возникать не только вследствие увеличения крутизны профиля нелинейных волн. Так, например, сильные разрывы образуются при обтекании планет солнечным ветром (головная ударная волна около Земли, Марса, Венеры, тангенциальный разрыв, который отделяет возмущенный ударной волной солнечный ветер от магнитосферы и т. п.).
Ударные волны образуются и при вспышках новых и сверхновых звезд (см. гл. IV), играют большую роль в процессах звездообразования и т. д.
В связи с этим пред тавляет интерес исследование общих свойств сильных разрывов и их классификация.
Рассмотрим соотношения, которым они должны удовлетворять. При этом будем рассматривать наиболее общий случай магнитогидродинамических разрывов, когда при наличии магнитного поля давление анизотропно (рц^р^. Соотношения для изотропных разрывов будут частным случаем рп = р^ = р. В настоящем параграфе пренебрегается влиянием излучения на сильные разрывы (см. § 18).
Предположим, что поверхность разрыва есть плоскость с единичным вектором нормали п, движущаяся со скоростью D.
Соотношения на сильных разрывах следуют из законов сохранения массы, импульса и энергии и из условий непрерывно ти касательной к разрыву компоненты электрического поля
Ех и нормальной составляющей вектора магнитной индукции Впп. Этими соотношениями являются
bjv^™^, Н-о, (17.1) {m^+^n— >± — ^^-^ =0,
d2 n2j
т L+^i - I Ут , в^р.-Ру вЦ
т \ Г 2р2 р + 2 + В2 р + [4лр| +
+ Вп { 11 Ц^А2 <Bv VJJ = 0. (17.3)
Здесь рц и р±, как и ранее, продольное и поперечное давления (сумма электронного и ионного), р — плотность, V—вектор скорости плазмы, т = р(Уп— D^, D—скорость движения разрыва, который считается плоским, индексы пит означают нормальную и тангенциальную к плоскости разрыва проекции векторов, ре — внутренняя энергия единицы объема (в дальнейшем ре ^(Pi + VgPn)- Символ {Х} = Хг— Х2 обозначает разность значений параметров до разрыва (индекс «1») и после него (индекс «2»).
Соотношения (17.1) представляют собой условия непрерывности нормальной составляющей магнитного поля, касательной составляющей электрического поля и условие сохранения массы соответственно. При этом считается, что условие {^J^O может быть заменено на второе условие (17.1) вследствие выполнения равенства Е =— (1/с) VxB, т. е. для плазмы со столкновениями предполагается, что Rm^>l и Н<^1 (см. § 11).
Условия (17.2) есть условия сохранения импульса при пере
ходе через разрыв в проекциях на касательную и нормаль к поверхности разрыва соответственно.
V3 , ртРп2- РРV3 , ртРп2- РРСоотношение (17.3) выражает закон сохранения энергии. Система (17.1)— (17.3) рассматривалась во многих работах (см., например, [30—33]). Она является незамкнутой в том смысле, что по заданным значениям величин до разрыва нельзя (даже при известной Dn^ однозначно определить значения всех параметров после разрыва. Это является следствием наличия двух давлений рХ\ и р\_. При Pw = р^^ Р система (17.2) — (17.3) принимает вид [1,4]
V3 , ртРп
2- РР
V3 , ртРп
2- РР
) J 4л 1 т’
ту ^1\ = 0
4л
в = суТ = уу^уу^ для совершенного газа
и при известной величине Dn вместе с (17.1) является уже замкнутой системой в упомянутом выше смысле. В работе [30] было предложено замкнуть систему (17.1) — (17.3) условием сохранения первого адиабатического инварианта, а в работе [31] — второго адиабатического инварианта (см. (10.16)). Однако эксперименты показали, что, например, для разрывов в солнечном ветре (см. гл. III) эти условия не выполняются.
В [32] предлагалось считать, что за ударной волной рц2 Рх2. Хотя это условие и является физически оправданным, если за фронтом ударной волны имеет место сильная изотропизация функции распределения вследствие коллективных процессов, тем не менее не всегда процесс релаксации происходит достаточно быстро, чтобы считать его выполненным. Для классификации разрывов, однако, этот вопрос не является принципиальным. Заметим, что формально в систему соотношений (17.1) — (17.3) можно ввести потоки импульса и энергии, возникающие вследствие турбулентности, как это сделано, например, в работе [34]. Эти потоки часто бывают важными при рассмотрении бесстолкновительных ударных волн (см., например, [8, 29, 35, 36]). Однако в дальнейшем предполагается, что турбулентность может быть существенна только внутри разрыва, приводя к соответствующему механизму диссипации энергии, а по обе стороны от него флуктуации малы и не влияют на средние характеристики течения.
На основе соотношений (17.1) — (17.3) дадим классификацию разрывов [33], т. е. рассмотрим, какие типы разрывов могут описываться этими соотношениями.
Выведем сначала соотношение, справедливое для всех видов разрывов. Для этого прибавим величину пВит\\/^ к левой и правой частям второго соотношения в (17.1). В результате получим
Если Вд^О и т #=0, то Bv В4 и {V} компланарны. Следовательно, выполняется равенство
(^-^тх^-О. (17.5)
При Вп = 0 и /72^=0 вектор Вг параллелен вектору В^ при Вл#=0 и ш = 0 имеем ^^^з, а ПРИ Bn = m^Q векторы Bv В^ и (1^—И2) лежат в плоскости разрыва. Все эти случаи также содержатся в (17.5), откуда следует, что соотношение (17.5) является общим для всех типов разрывов.
В экспериментах (например, выполненных при полетах космических аппаратов) уравнение (17.5) может быть использовано для оценки точности измерений.
Пусть Bfl ^0. Такой разрыв, в котором магнитное поле касательно к его поверхности и нет потока массы через разрыв, называется тангенциальным. Из второго соотношения в (17.2) следует в этом случае (остальные соотношения удовлетворяются тождественно)
(17.6)
Следовательно, на тангенциальном разрыве терпят произвольный скачок ри, р, У^, а скачки магнитного поля и поперечного давления связаны соотношением (17.6), которое при Рл = Рп = р выражает равенство суммарных давлений (магнитного и гидростатического) с двух сторон от разрыва. Поверхность танген
циального разрыва разделяет газы с разными термодинамическими параметрами. При этом допускается движение газов друг относительно друга с некоторой скоростью, параллельной поверхности раздела.
Типичным примером тангенциального разрыва, как было указано выше, является граница между солнечным ветром и магнитосферой Земли (см. гл. III), так называемая магнитопауза.
Часто необходимо знать вектор скорости поверхности разрыва D и его ориентацию (нормаль и) по некоторым измеряемым в эксперименте величинам. Наиболее надежно, например, в межпланетном пространстве определяются плотность, скорость плазмы и магнитное поле. Поскольку магнитное поле параллельно тангенциальному разрыву, то очевидно, что
”=1^Йт> ^-^"=^-т^ (17-?)
(только нормальная составляющая скорости D имеет физический смысл).
*2. ш = О, Bn^Q. Такой разрыв называется контактным. Для
него, так же как и для тангенциального разрыва, характерно то, что плазма не пересекает фронт, но имеется нормальная компонента магнитного поля.
Второе соотношение (17.1), вместе с т = 0, показывает, что VX V2 = D. Следовательно, плотность может иметь произвольный скачок, а остальные параметры плазмы удовлетворяют соотношениям
jpn-Pj-B4/(4n) 1I в® в»I
При ри ~р±_ = р отсюда видно, что магнитное поле и давление
р непрерывны на контактном разрыве в изотропном случае. Если же ВгФВ^ то давление не может быть изотропным.В рассматриваемом случае вектор ВХ1 параллелен векторуВх» и, следовательно, векторы Bv В2 и п компланарны. Отсюдар непрерывны на контактном разрыве в изотропном случае. Если же ВгФВ^ то давление не может быть изотропным.В рассматриваемом случае вектор ВХ1 параллелен векторуВх» и, следовательно, векторы Bv В2 и п компланарны. Отсюдап —п —JJ^BMBVXB^ цв1-в2)х(.в1хв2п >JJ^BMBVXB^ цв1-в2)х(.в1хв2п >Dn = n- VvDn = n- Vv(17.8)(17.8)
р непрерывны на контактном разрыве в изотропном случае. Если же ВгФВ^ то давление не может быть изотропным.
В рассматриваемом случае вектор ВХ1 параллелен вектору
Вх» и, следовательно, векторы Bv В2 и п компланарны. Отсюда
р непрерывны на контактном разрыве в изотропном случае. Если же ВгФВ^ то давление не может быть изотропным.
В рассматриваемом случае вектор ВХ1 параллелен вектору
Вх» и, следовательно, векторы Bv В2 и п компланарны. Отсюда
п —
п —
JJ^BMBVXB^ цв1-в2)х(.в1хв2п >
JJ^BMBVXB^ цв1-в2)х(.в1хв2п >
Dn = n- Vv
Dn = n- Vv
(17.8)
(17.8)
т^О, Вп — 0. Этот случай соответствует ударной волне, которая распространяется перпендикулярно магнитному полю. Из второго уравнения (17.1) следует
(17.9)
а из первого соотношения (17.2)
^1=^2-
Так как касательная составляющая скорости в этом случае непрерывна и ш^О, то ясно, что
(17.10)
Выражение для Dn следует из последнего соотношения в (17.1). Заметим, что, вследствие В^ — 0, для перпендикулярной ударной волны имеет место следующее необходимое условие:
которое может быть важным при интерпретации экспериментальных данных.
Условия для перпендикулярной ударной волны полностью сохраняются и для изотропного давления (рн =р^ ^р). Из второго уравнения (17.2) и уравнения (17.3) следуют соотношения, которые должны выполняться между параметрами в этом случае.
т^ь 0, Вп=#0. Будем называть наклонной ударной волной такую поверхность сильного разрыва, через которую имеется поток массы, нормальная составляющая магнитного поля оглич- ,на от нуля и выполняется теорема компланарности, т. е. векторы Bv В^ и п лежат в одной плоскости (невыполнение последнего условия определяет вращательный разрыв, рассматриваемый ниже).
(17.11)(17.11)ОтсюдаОтсюдаРассмотрим условия, при которых справедлива теорема компланарности. Из второго уравнения (17.1) и из первого (17.2) находим
(17.11)
(17.11)
Отсюда
Отсюда
Из (17.11) видно, что ВТХ || Bw если квадратные скобки не обра-
щаются в нуль, т. е. если нарушаются условия
№=1,2).(17.12)
“кРк
Ясно, что при этом теорема компланарности справедлива. При нарушении одного из условий (17.12), как видно из (17.11), магнитное поле перпендикулярно поверхности разрыва с одной из ее сторон. Если (17.12) выполняется при к = 1, то такие ударные волны называются ударными волнами включения, если же (17.12) выполняется при к = 2, то такие ударные волны называются ударными волнами выключения (см., например, [37]). Следует заметить, что при изотропном давлении, когда ри ^pv = pt ударной волне соответствует случай {р}=^=0, в то время как случай ^р} - 0 соответствует вращательному (или альфвеновскому) разрыву (см., например, [4]). Если же рхх ^=р^, то теорема компланарности может выполняться и при рг = р2, как видно из (17.11). Этот случай для анизотропного давления будем также относить к ударным волнам.
Когда Рл^Рг» то ясно, что
(17.13)(17.13)(^1 В^Х^хХВ^ т^ Р2^2 Р1К1
(17.13)
(17.13)
l^-^H^x^l ’Р2_Р1
Формулы (17.13) одинаковы как для модели плазмы с изотропным давлением, так и для анизотропного случая.
иг =^0, Вп #=0 и выполняются соотношения (17.12), т. е. относительная скорость плазмы перед разрывом и за ним равна альфвеновской (см. формулу (12.20) для альфвеновской скорости). При этом теорема компланарности не выполняется. Этот случай соответствует так называемому вращательному (или альфвеновскому) разрыву, поскольку магнитное поле в таком разрыве может поворачиваться вокруг оси, нормальной фронту. Так как скорость газа относительно разрыва определяется теперь формулой (17.12), то из последнего соотношения (17.1) будем иметь
(17|4)
Из (17.14) следует, что в изотропном случае плотность остается неизменной при переходе через вращательный разрыв (рх-р2), что отличает его от ударной волны (Pi^Pa) при рхх ^pL = pw Как видно из (17.14), в анизотропном случае может существовать вращательный разрыв с рл#=р2, как и ударная волна с Рл^Рз (см. выше определение ударной волны в анизотропном случае).
Если решение (17,12) подставить во второе соотношение (17.2), то найдем, что необходимым условием для вращательного
4 В, В. Баранов, К. В. Краснобаев
разрыва является
Pa_i — Р±2 Ч g^— — 0. (17.15)
Используя теперь решение (17.12) и второе соотношение (17.1), из уравнения (17.3) после несложных преобразований можно получить равенство
(17.16)
которое должно выполняться на вращательном разрыве. Поскольку в изотропном случае (рн = р^ = р) плотность не меняется при переходе через вращательный разрыв (р2 р2), то, с учетом (17.15), из (17.16) следует, что внутренняя энергия непрерывна ({е}=^0). Это в свою очередь приводит к непрерывности давления lPi = P^» а следовательно, и величины магнитного поля (| Вг | = = |в2|). Таким образом, во вращательном разрыве в изотропном случае магнитное поле, не меняясь по величине, вращается вокруг нормали к поверхности разрыва, что и было выше отмечено. Если рх = р2 и | Вг\ = | В^1, то из приведенных ранее соотношений следует, что рм, р± и е непрерывны и в анизотропном случае.
В общем же случае, во вращательном разрыве при ptt^pL могут меняться и плотность и величина магнитного поля. Поскольку при этом не выполняется теорема компланарности, то такой тип разрыва мы отнесли к вращательному, в то время как случай р^Рз при нарушении одного из условий (17.12) мы отнесли к ударной волне, так как справедлива теорема компланарности.
Как отмечено в работе [38], такие ударные волны если и встречаются в межпланетной плазме, то очень .редко и, по недоразумению, названы некоторыми авторами «вращательными», хотя вектор магнитного поля в них и не поворачивается.
Вектор нормали п не определяется однозначно для вращательного разрыва. Следует также заметить, что вращательный разрыв является предельным случаем вращательной (альфвенов- ской) простой волны (быстрые и медленные простые волны, как было отмечено в начале настоящего параграфа, с течением времени превращаются в ударные волны).
В заключение параграфа рассмотрим вопрос об эволюцион- ности ударных волн, т. е. вопрос о возможности построения единственного решения задачи о взаимодействии малых возмущений с ударной волной.
Скорость линейных волн относительно ударной волны зависит, во-первых, от типа линейной волны (§ 12) и, во-вторых, от скорости ударной волны. Будем различать приходящие на ударную волну малые возмущения, скорость которых относительно ударной волны направлена к ударной волне, и расходящиеся
волны, относительная скорость которых направлена от ударной волны. При этом амплитуды приходящих волн определяются начальными данными (их надо считать известными величинами), а амплитуды расходящихся линейных волн определяются этими начальными данными и условиями на ударной волне.
Если при заданных амплитудах приходящих возмущений условия на данной ударной волне позволяют однозначно определить амплитуды 'расходящихся волн, то ударную волну будем называть эволюционной. Если же линеаризованная задача о взаимодействии малых возмущений с ударной волной не имеет решения или имеет неединственное решение, то ударную волну будем называть неэволюционной. Вопрос об эволюционности поверхностей сильных разрывов имеет важное приложение" при интерпретации, например, поверхностей разрывов в межпланетной плазме, поскольку реально существующими сильными разрывами являются только те, которые удовлетворяют условиям эволюционности (см. ниже).
Рассмотрим плоскую ударную волну, разделяющую два поступательных потока плазмы. Для общности будем считать, что поведение плазмы описывается гидродинамической моделью с анизотропным давлением, например, моделью ЧГЛ (§ 8) (как будет показано ниже, результаты оказываются справедливыми для гораздо более широкого класса моделей, чем недостаточно обоснованная модель ЧГЛ).
При pv ^'рх_ требуется, как уже было отмечено, дополнительное соотношение на ударной волне, чтобы замкнуть систему (17.1)—(17.3). Имеющиеся в литературе попытки ввести конкретные дополнительные соотношения являются малообоснованными. Поэтому примем, что дополнительное соотношение имеет вид общей функциональной связи между параметрами плазмы до и после ударной волны:
^(Рм, Риз, р^ Рл_^ pn р2, Bv В^ Ип Г2, D„) = 0. (17.17)
Исследуем теперь вопрос об эволюционности таких ударных волн [39]. В изотропном случае постановка задачи и ее решение были даны в работах [40, 41], результаты которых следуют из результатов работы [39] (см. ниже) как частный случай.
Будем следовать методу, изложенному в [4]. Систему координат выберем так, чтобы ось х была нормальна фронту ударной волны, а все параметры возмущенного движения будем считать функциями только координаты х и времени L
Обозначая через fk (А=1, 2) малое отклонение параметров от^их значений в невозмущенном потоке и полагая Dn = 0, Bz — = ау —0 (это можно сделать вследствие теоремы компланарности и соответствующего выбора системы координат), из соотношений (17.1)—(17.3) на ударной волне (после их линеаризации и исклю-
чения величины О') можно получить семь линейных соотношений, связывающих шестнадцать величин:
Р \\ki РV^i ^kt ^hi ^kt ®yk’ $zki P^ (^1» ^, Bxy Bx2 0).
Как и в изотропном случае [4], два соотношения связывают только wr и В^ а четыре соотношения связывают все остальные величины и не содержат w’, B'z.
Далее будем рассматривать три возможных случая: после линеаризации дополнительное соотношение (17.17) не содержит w\ Bz (случай А); содержит хотя бы одно из w\ Bz и другие параметры (случай Б); содержит только w' и В' или одно из них (случай В).
Как следует из результатов § 12, в приближении ЧГЛ в области гиперболичности, определяемой неравенствами (12.22)— (12.24), имеются восемь действительных корней характеристического уравнения, определяющих скорости распространения малых возмущений относительно плазмы:
#1,2= 0, а3< 4 = + аА,± ^+,
где аА и а^-—скорости распространения альфвеновских, быстрых и медленных магнитозвуковых волн соответственно, определяемые формулами (12.20), (12.21). Таким образом, при рц#= ^рз_, так же как и в изотропном случае (р„ = р± = р), любые малые возмущения с каждой стороны от ударной волны могут быть представлены в виде суммы семи линейных волн (а 0, ±аАэ^а^_\ однако при Вп#=0 энтропийная волна (а^ а3 0) определяется двумя произвольными величинами (двухкратный нулевой корень), в отличие от изотропного случая, в котором энтропийная волна определяется одной произвольной величиной. Альфвеновская волна, а также быстрая и медленная магнитозвуковые волны определяются одной произвольной величиной (как и в [4], будем называть их амплитудами).
Для эволюционности ударной волны необходимо и достаточно, чтобы амплитуды расходящихся волн можно было однозначно определить из семи линеаризованных соотношений на ударной волне.
Случай А. Здесь два уравнения связывают амплитуды только альфвеновских волн (как и в изотропном случае) и пять уравнений— амплитуды остальных волн. Поэтому взаимодействие ударной волны с альфвеновскими и другими волнами надо рассматривать отдельно.
На рис. 12 представлены области эволюционности на плоскости (ир u3), где и — компонента скорости плазмы относительно ударной волны вдоль оси х. Вертикальная штриховка соответствует областям существования однозначного решения для расходящихся амплитуд альфвеновских волн, а горизонтальная
штриховка — областям существования однозначного решения для амплитуд остальных волн. Эволюционным ударным волнам в рассматриваемом случае соответствуют области с двойной штриховкой. Четыре диаграммы, отмеченные как Р—Р, R— Р, R— R и Р— R, соответствуют возможным сочетаниям RMHD и PMHD (§ 12) до ударной волны (первая буква) и за ударной волной (вторая буква).
Из рис. 12 видно, что в случае Р — Р существуют две эволюционные волны—быстрая (иг > а+1) и медленная ^а_1<и1< <аА1). Этот случай полностью совпадает с результатами для
Рис. 12.
изотропной плазмы. Все остальные случаи не имеют места при Рп — Pl = Р- Для диаграммы R— Р эволюционной является только быстрая ударная волна.
Случай Б. В этом случае система уравнений для амплитуд не разделяется. Поскольку имеются семь соотношений для определения амплитуд расходящихся волн, а пять из них являются заведомо расходящимися за ударной волной (две амплитуды для о^О и по одной амплитуде для аА, а+ и а_), то для эволюци- онности необходимо найти условия существования еще двух расходящихся амплитуд. В рассматриваемом случае эволюционными будут ударные волны, эволюционные в случае А, а также волны, отмеченные косой штриховкой на рис. 12.
Случай В. Здесь три соотношения связывают амплитуды альфвеновских волн. Условиями существования трех амплитуд
расходящихся альфвеновских волн будут неравенства
ux<aAv их>аАг.(17.18)
Условиями существования однозначного решения для амплитуд остальных волн служат неравенства
^2^ — 2» ^1 > ^ + 1(17.19)
Так как всегда aA<.a+1 то неравенства (17.18) и (17.19) несовместимы, т. е. в случае В нет эволюционных ударных волн. В частном случае Вп = 0 (перпендикулярная ударная волна) имеем аА = а_=0 и tz+^=O. Условиями эволюционности будут
u^ У> ct^.^» и,^ <^ ^+2*(17.20)
Анализ ударной волны с В=Вп п для случая А, так же как и результат (17.20) для Вп = 0, содержится в работе [42]*).
Следует заметить, что приведенные на рис. 12 результаты по эволюционности ударных волн справедливы для гораздо более широкого класса моделей, чем модель ЧГЛ. Действительно, общее число характеристических скоростей не связано с конкретной гидродинамической моделью, так как число уравнений для pv^pL должно сохраниться таким же, как и в модели ЧГЛ. Кроме того, двукратный нулевой корень характеристического уравнения будет всегда, если используются два «адиабатических соотношения» типа df/dt = O, где / — некоторая функция параметров плазмы (например, в работах, в которых используются политропные законы (10.17)). При этом сохраняются понятия быстрой и медленной магнитозвуковых волн, а выражение для альф- веновской скорости вообще не меняется [43].
Аналогично тому, как это сделано выше для ударных волн, может быть поставлен вопрос об эволюционности других поверхностей разрывов. В частности, в [40] показано, что в изотропном случае вращательный разрыв удовлетворяет условиям эволюционности.
§ 18. Ионизационные разрывы
Газ, находящийся под воздействием внешней ионизирующей радиации, будет нагреваться и ионизироваться ею. Для нахождения поля течения в общем случае необходимо решать систему уравнений радиационной газодинамики. Ее решение часто существенно упрощается, если характерный размер области, отделяющей нагретый полностью ионизованный газ от холодного
нейтрального, мал по сравнению с характерным масштабом изучаемого течения. Последнее может иметь место, когда коэффициент поглощения плазмы, образующейся в результате фотоионизации, гораздо меньше коэффициента поглощения нейтрального газа (в гл. IV мы увидим, что такая ситуация реализуется в околозвездном газе).
Если область перехода от состояния почти полной ионизации газа до нейтрального атомного состояния тонкая, то ее можно рассматривать как разрыв степени ионизации — ионизационный разрыв, называемый также фронтом ионизации или /-фронтом. В дальнейшем мы будем иметь дело только с ионизационными разрывами, возникающими под действием внешнего излучения, отличая их от изучаемых в газовой динамике ионизующих ударных волн, также сопровождающихся изменением степени ионизации при переходе через разрыв.
В космических условиях ионизационные разрывы могут порождаться движением межзвездной среды относительно источников ионизирующего излучения, вспышками звезд и т. д.
Применительно к астрофизическим задачам общие свойства /-фронтов впервые исследовал Ф. Кан [44]. В дальнейшем многочисленные работы были посвящены динамике ионизационных разрывов различных типов и изучению их структуры.
Скорость продвижения /-фронта в покоящийся нейтральный газ UT можно оценить следующим образом.
Согласно уравнению переноса излучения (9.5), внешнее излучение будет эффективно поглощаться в слое толщины (о,^)"1 (оу—сечение фотоионизации, пх— концентрация нейтральных атомов). Изменение концентрации электронов на величину порядка nv (т. е. почти полная ионизация газа), согласно уравнению (10.19), произойдет за время порядка (о^)"1 (Фг—поток внешней ионизующей радиации). Так как за это время коэффициент поглощения газа уменьшится, то фронт продвинется на расстояние порядка ^(П^у1. Следовательно,
Таким образом, при заданной концентрации нейтрального газа скорость распространения /-фронта UT тем больше, чем больше поток радиации.
Соотношения, связывающие параметры газа перед фронтом ионизации и за ним, можно получить, потребовав, как это делалось выше для сильных разрывов (см. (17.1) —(17.3)), непрерывности потоков массы, импульса и энергии при переходе через разрыв (в этом параграфе всюду полагается В = 0 и Рп =Р1 = р).
Пусть рп 7\ и UT — плотность, температура и скорость нейтральных частиц относительно фронта по нормали к нему. Те же
величины в ионизованном газе обозначим р2, Т2, U^. Вообще говоря, кроме нормальной, имеется еще и касательная к /-фронту составляющая скорости. Однако, согласно (17.2), она непрерывна при переходе через разрыв и не входит в законы сохранения массы и нормальной компоненты импульса.
Поэтому из (17.1) и (17.2) получим
^ = ^2,(18.1)
P1(^i + R0T1) = p2(^i + 2R0T2)(18.2)
(Ro — универсальная газовая постоянная).
К этим уравнениям, строго говоря, нужно присоединить соотношение для изменения полной энергии частицы газа при переходе через разрыв (это изменение, очевидно, должно иметь место, так как процесс фотоионизации в общем случае сопровождается и нагревом газа). Однако внутри фронта происходят сложные процессы радиационного нагрева и охлаждения газа путем высвечивания, учесть которые достаточно трудно. Поэтому температуру Та в целях простоты будем считать заданной.
Вводя изотермическую скорость звука а-^ = J/Ro7\ в нейтральном газе и ат^У^К^Т^ в ионизованном газе, для отношения плотностей р2/рх будем иметь формулу
Ра К+^0
Pi2а*
* 2
Так как р3/рт должно быть действительным, то при заданных £т\ и aTs (обычно а^^а-г^ скорость продвижения /-фронта в нейтральный газ удовлетворяет неравенствам
Ux^ UR = аТа + (а^— а2т^ ^2аТа1
Т 2
Первый случай (U^U^ соответствует фронтам уплотнения (Р2/Р1>1)> или /-фронтам R-типа, второй (U1^.UD)—фронтам разрежения (р2/рг < 1), или /-фронтам D-типа. Легко видеть, что при этом скорость оттекающего от фронта ионизованного газа U может быть как больше, так и меньше ат^ Если скорость оттока газа за разрывом R-типа сверхзвуковая, а D-типа—дозвуковая, то такие фронты называются слабыми, в противоположном случае— сильными. В том случае, когда скорость плазмы за фронтом равна Птн фронт называется критическим.
Прохождение газа через ионизационный фронт можно рассматривать как гидродинамическое течение, сопровождающееся выделением тепла и, вообще говоря, радиационным охлаждением. До тех пор пока температура ионизируемого газа не слишком
велика, преобладает нагрев, а с повышением температуры увеличиваются потери на высвечивание. Но тогда, согласно хорошо известному в гидродинамике принципу обращения воздействий [45], имеется возможность перевода набегающего на /-фронт одномерного дозвукового потока в сверхзвуковой (при заданных характеристиках поля радиации и механизмах охлаждения переход через скорость звука возможен, конечно, лишь для определенных значений параметров нейтрального газа).
Скорость продвижения /-фронта в нейтральный газ не является свободным параметром, а зависит от потока ионизирующих квантов.
В самом деле, если пренебречь рекомбинациями внутри фронта, то поток нейтральных частиц, пересекающих поверхность разрыва, должен равняться потоку ионизирующих квантов Фг, падающему на разрыв, т. е.
Р1^1 Ра^2 ^а^ г
(та— масса атома газа).
Тот факт, что поток вещества через /-фронт является заданной величиной, указывает на сходство между фронтами ионизации и горения. В частности, ниже будет показано (см. § 43), что фронты ионизации, как и фронты горения, оказываются неустойчивыми по отношению к двумерным возмущениям поверхности разрыва.
Интересно также, что качественно подобны фронтам ионизации и интенсивно исследуемые в настоящее время радиационные [46] и фотохимические [47] волны.
§19. Волны в холодной бесстолкновительной плазме. Ионно-звуковые волны.
Бесстолкновительные ударные волны
До сих пор рассматривались волны, частота которых мала либо по сравнению с частотой столкновений частиц, либо по сравнению с циклотронной частотой. В последнем случае столкновения частиц считались несущественными, а наличие достаточно сильного магнитного поля приводило к возможности описания таких волн магнитогидродинамическими уравнениями (см. § 8 и § 12).
Однако высокочастотные волны, для которых нарушаются эти условия, также могут описываться гидродинамическими уравнениями, если плазма холодная, т. е. если пренебречь тепловым движением частиц (см. конец § 8).
Процесс линеаризации, аналогичный проведенному в §§ 12—14, для системы (10.18) в отсутствие внешних сил, приводит к следующей линейной системе уравнений для малых возмущений
(см., например, [48]):
— iron; + div (ДаУа0 + «ао ^а) = 0, -шП+(Уао.¥)п + (к;-¥)као =
= ^(е- +^V'axBo+lvaoXbV (19.1)
Все обозначения те же, что и ранее, а зависимость от времени принята в виде ~ехр (—itoty Система уравнений (19.1) ■вместе с уравнениями Максвелла
rot й=^^га(п;Као + «ао^)—^Е',
rot Ef = ^~b, div E* = 4л^баИа,
div b = 0 (a = e, 0(19.2)
является замкнутой системой уравнений для возмущенных параметров плазмы, которые в (19.1), (19.2) зависят только от координаты г.
Если считать основное состояние однородным и принять пей = ni0 = п^ У^^В^^, то координатная зависимость возмущений может быть выбрана в виде плоской волны ~ехр Цк^г^ где к— волновой вектор. Процедура получения дисперсионного уравнения, аналогичная проведенной в § 12, приводит к тому, что частота собственных колебаний в рассматриваемом случае должна удовлетворять одному из двух уравнений
со3 = й)^(со^^л^/гд/гт^),(19.3)
^ = ^Ре^с^к\(19.4)
При выводе (19.3), (19.4) пренебрежено малыми членами порядка me(mb обязанными возмущенному движению ионов. Роль ионов, которые считаются однозарядными (ez — е), сводится лишь к компенсации стационарного заряда электронной компоненты плазмы (ne0 = ni0Y Величина тре называется ленгмюровской частотой электронов.
Колебания, определяемые соотношением (19.3), называются электронными ленгмюровскими и являются чисто электростатическими колебаниями (В' = 0). Электрическое поле в них может быть представлено в виде градиента скалярного потенциала ф, т. е.
Уф.(19.5)
Электронные ленгмюровские колебания есть колебания пространственного заряда, создаваемого движением электронов относительно положения равновесия. Они являются продольными
колебаниями в том смысле, что вектор возмущенного электрического поля (Ео — 0) параллелен волновому вектору (£||£').
Возмущения, определяемые соотношением (19.4), являются поперечными электромагнитными колебаниями (к-Е = 0) и при с^кг^>^?ре представляют собой электромагнитные волны, не связанные с движением зарядов. В этом предельном случае уравнение (19.4) дает известный закон распространения света в вакууме СО3^^2.
Часто в плазме возникают условия, когда Те^>Т(. При этом могут возбуждаться волны, фазовая скорость которых мала по сравнению со средней тепловой скоростью электронов, но велика по сравнению со средней тепловой скоростью ионов (К кТ jm{<^toik<^VkTJmeY Тогда движение ионов можно описывать гидродинамическими уравнениями для холодной плазмы. В одномерном случае (все параметры зависят только от одной координаты х и времени /) в отсутствие магнитного поля (В = 0) и внешних сил они будут иметь вид
ди; . ди;е д®дп; , дп; , ди; ~
5г = -4ле(га,—га,).(19.6)
Здесь ф— электрический потенциал, а последнее уравнение следует из уравнения Максвелла div£ = 4npe и соотношения Е- = —Vcp.
Что касается движения электронов, то будем считать их находящимися в равновесии в силовом поле с потенциалом ф. Их плотность определяется тогда формулой Больцмана
пДх, /) = п0 ехр [еф (х, /)/(кТе)].(19.7)
Здесь п0— плотность электронов при ф —0, а Те — температура электронов, которую примем постоянной. Строгий вывод формулы (19.7) см., например, в [49]. Снова рассматривая малые колебания в линейном приближении (Ио = 0, пей = ni0 = пй const, Фо = О), на основе (19.6), (19.7) получим дисперсионное уравнение в виде
= г (аV—* rd=Vj^-\ о9-8)
к |/i_^^2r2\ ^ V mi а V 4ле2л0 / v 7
где величина as называется ионно-звуковой скоростью, a rd — дебаевский радиус. Из (19.8) видно, что при кЧ^<^\, т. е. для длин волн, много больших дебаевского радиуса, фазовая скорость распространения малых возмущений равна ионно-звуковой скорости и не зависит от длины волны 2л/& (отсутствует дисперсия). Последнее является следствием того, что для малых к отклонение
от квазинейтральности несущественно и, вместо последнего соотношения (19.6), можно использовать условие пе = п(.
Таким образом, отклонение от квазинейтральности, как видно из (19.8), приводит к наличию дисперсии. Из (19.8) также следует, что фазовая скорость всегда меньше тепловой скорости электронов (me<?mz). Если же выполняется неравенство
Те>ТД\+кЧ^, (19.9)
то фазовая скорость больше тепловой скорости ионов. При кЧJ ^> 1 (коротковолновая часть спектра) частота ионно-звуковых колебаний близка к ионной ленгмюровской частоте
Рассмотрим теперь, на основе системы уравнений (19.6), (19.7), распространение нелинейных волн. Если предположить выполненным условие квазинейтральности (п^ ж nz), то вместо (19.6), (19.7) будем иметь
^ + ui^=-^Sb М^- (19.10)
Эта система уравнений совпадает с системой уравнений для изотермического газа (Т = const) при отсутствии магнитного поля. Формально (19.10) можно получить из системы уравнений (10.15), положив В — 0 и у—1 (вместо у = 5/3 для полностью ионизованного газа). Как было показано выше, малые возмущения в плазме, описываемой (19.10), распространяются с фазовой скоростью, равной скорости ионного звука as, а дисперсия отсутствует.
Аналогично изложенному в § 15, в рассматриваемом случае можно показать, что система уравнений (19.10) допускает решение в виде простой волны (или волны Римана), скорость которой относительно газа равна ионно-звуковой скорости. При этом оказывается, что простая волна сжатия имеет тенденцию к увеличению крутизны фронта по мере своего распространения.
Как видно из результатов §§ 15, 16, в плазме, в которой столкновения являются существенными, наличие диссипативных (джоулево тепло, вязкость и т. п.) и радиационных процессов, а также дисперсии (например, холловской) препятствует опрокидыванию фронта простой волны сжатия. Появляется возможность образования установившегося течения с разрывом (ударной волной). Наличие в бесстолкновительной плазме опрокидывающихся нелинейных волн привело, в силу математической аналогии со столкновительной плазмой, к гипотезе о возможности образования бесстолкновительных ударных волн [8], в которых важными являются механизмы дисперсии и диссипации, связанные с коллективными взаимодействиями.
В рассматриваемом здесь случае процесс опрокидывания нелинейной ионно-звуковой волны ограничивается дисперсионными
эффектами, обусловленными отклонениями от квазинейтральности (см. решение (19.8)). Действительно, в процессе опрокидывания передний фронт волны становится все круче и наступает такой момент, когда характерный размер изменения параметров становится сравнимым с дебаевским радиусом.
Начиная с этого момента, уравнения (19.10) становятся несправедливыми, т. е. плазму уже нельзя считать квазинейтраль- ной, и необходимо рассматривать полную систему уравнений (19.6), (19.7).
Если искать решение системы (19.6), (19.7) в виде зависимостей всех параметров только от х* х— Xt (X — const), то для потенциала ср получим уравнение
— ср" = 4лпос / ■ 2...exp
v 0 1 /Х2-^ФМ\k^/J
(штрих означает дифференцирование по х*). Интегрирование последнего уравнения дает
_ дШ7 ет/ х- — exo ( е^ 1 С
2 (Ф ;е у к т, е
(19.11)
При выборе постоянной С = 4лп0 (т^ + к7\), удовлетворяющей условию фл = 0 при ф = 0, решение для ср имеет вид уединенной волны — солитона. Все остальные возможные значения постоян-
ной С дают периодические решения.Скорость распространения уединенной волны, как функцию максимальной амплитуды, можно найти, полагая ср' — 0 при Ф = Фтах [50]:ной С дают периодические решения.Скорость распространения уединенной волны, как функцию максимальной амплитуды, можно найти, полагая ср' — 0 при Ф = Фтах [50]:2т ;2т ;ехр (^^ ехр (^^)-ехр (^^ ехр (^^)-22есРтахкТеесРтахкТе(19.12)(19.12)
ной С дают периодические решения.
Скорость распространения уединенной волны, как функцию максимальной амплитуды, можно найти, полагая ср' — 0 при Ф = Фтах [50]:
ной С дают периодические решения.
Скорость распространения уединенной волны, как функцию максимальной амплитуды, можно найти, полагая ср' — 0 при Ф = Фтах [50]:
2т ;
2т ;
ехр (^^ ехр (^^)-
ехр (^^ ехр (^^)-
2
2
есРтахкТе
есРтахкТе
(19.12)
(19.12)
Ясно, что такие волны могут существовать не при всех амплитудах ср. При достаточно большой амплитуде ср ионы уже не могут перевалить через потенциальный барьер. При этом максимальная амплитуда дается формулой
^тах = ^- (19-13)
Если для X воспользоваться (19.12), то из (19.13) получается трансцендентное уравнение относительно сртах. Его приближенный корень равен
Фтах — 1,3 кТ е.
Число Маха при этом, определяемое формулойМ- A(kTjmz)-12 = X/as, составляет примерно 1,6(М^1,6).
Таким образом, при М < 1,6 эффекты дисперсии, связанные с отклонением от квазинейтральности, приводят к возможности образования уединенных волн. Однако при достаточно большой амплитуде (М>1,6) эффекты дисперсии не могут остановить опрокидывания.
Распространение солитона описывает обратимые процессы (состояние плазмы до и после прохождения солитона одинаковы). В действительности в плазме имеется хотя бы небольшая группа ионов, отражающихся от движущегося горба потенциала <р, что приводит к нарушению симметрии (это является следствием того, что ионы не являются, вообще говоря, холодными). За горбом появляются незатухающие периодические колебания, так что в результате возникает своеобразная ударная волна, связывающая два различных состояния плазмы: невозмущенное перед фронтом и модулированное интенсивными упорядоченными колебаниями за фронтом.
Как было отмечено в § 17, соотношения на ударных волнах, как поверхностях сильного разрыва, должны, вообще говоря, учитывать дополнительные члены в выражениях для плотности потоков энергии и импульса за фронтом, связанные с такими упорядоченными колебаниями. Однако в реальной плазме коллективные процессы приводят к эффективному механизму рассеяния частиц, что в свою очередь создает условия для подавления этих осцилляций и установления однородного состояния. Скорость перераспределения энергии между флуктуациями и тепловым движением существенно зависит от конкретного механизма такой «бесстолкновительной» диссипации. Поэтому, в некоторых случаях, энергия, сохранившаяся далеко за фронтом в виде колебаний, может быть мала по сравнению с тепловой энергией хаотического движения частиц. В таких случаях для бесстолкновительных ударных волн можно пользоваться соотношениями на разрыве, разбираемыми в § 15, если не интересоваться механизмами диссипации внутри структуры.
Таким образом, при М< 1,6 можно построить структуру ударных волн, вводя отраженные от горба потенциала ионы. Это так называемая ламинарная структура.
При больших числах Маха дисперсия, как было отмечено выше, уже не может остановить опрокидывания нелинейной волны. Возникает другой класс «турбулентных» бесстолкновительных ударных волн, теория которых строится гораздо сложнее (для ударных волн без внешнего магнитного поля такая теория впервые была построена С. С. Моисеевым и Р. 3. Сагдеевым в работе [51], в которой постулировалось развитие так называемой «анизотропной» неустойчивости после опрокидывания нелинейной волны).
Полный анализ теорий бесстолкновительных ударных волн не входит в содержание настоящей книги, поскольку ударные
волны будут рассматриваться нами как поверхности сильного разрыва, на которых выполняются соотношения § 15.
Приведенный в настоящем параграфе возможный механизм образования бесстолкновительной ударной волны дается лишь в качестве простого примера, позволяющего лучше понять физическую сущность более сложных процессов, происходящих в бесстолкновительных ударных волнах. Так, например, наличие магнитного поля может существенно усложнить картину течения.
Желающих более глубоко разобраться во всех этих вопросах можно отослать к [8, 29, 35, 36]. Бесстолкновительные ударные волны в последнее время вызывают большой интерес и становятся объектом интенсивного исследования. В космических исследованиях этот интерес обусловлен обнаружением ударных волн в межпланетной и околопланетной плазме (гл. III).
20. Некоторые предельные соотношения на разрывах.
Интеграл Бернулли
Хотя общие свойства газодинамических разрывов исследовались в §§ 17, 18, мы, имея в виду многочисленные и важные астрофизические приложения, остановимся теперь на анализе некоторых предельных случаев слабых и сильных разрывов.
Слабыми называются поверхности разрывов, на которых претерпевают скачок не сами функции (р, V, Т и т. д.), а их производные (примером слабого разрыва служит фронт волны Римана, разделяющий области возмущенного и невозмущенного течения газа). Простые качественные рассуждения показывают, что слабые разрывы должны перемещаться в газе со скоростью малых возмущений.
В самом деле, в окрестности поверхностей разрыва производных распределение р, К, Т и т. д. можно заменить непрерывно дифференцируемыми функциями, которые мало отличаются от исходных. В результате приходим к задаче о распространении малых возмущений (см. §§ 12—14). Очевидно, что такая же процедура применима и к случаю, когда гидродинамические параметры терпят разрыв, но их скачки малы.
Покажем, что поверхности слабого разрыва совпадают с так называемыми характеристическими поверхностями системы гидродинамических уравнений, описывающих течение газа. Для простоты будем считать магнитное поле отсутствующим и р = р(р). Ограничимся также рассмотрением либо одномерных нестационарных, либо двумерных стационарных движений. Тогда система гидродинамических уравнений может быть записана в форме (см. гл. I)
(ДЦ^ВЦЖ^О,
ИЛИ
(Д^ + ^ + ^-О,
где (Л), (В), (£>)—матрицы (вообще говоря, разные для разных задач), / — вектор (в частности, для одномерного нестационарного адиабатического течения компонентами вектора / являются составляющая скорости и и плотность р).
Пусть значения искомых функций заданы на некоторой кривой в пространстве (х, /) или (х, у\ Тогда легко показать, что первые производные однозначно определяются только в том случае, если
(Л)-^(В) #0,
или
(X)-g(B)|^0.
Здесь учтено, что на рассматриваемой кривой х = х(/) (х = х (//)).
Если же линия, на которой заданы значения искомых функций, такова, что
M)-g(B) =0M)-g(B) =0( | (Л)—^ (В) | = о) ,( | (Л)—^ (В) | = о) ,(20.1)(20.1)
M)-g(B) =0
M)-g(B) =0
( | (Л)—^ (В) | = о) ,
( | (Л)—^ (В) | = о) ,
(20.1)
(20.1)
то на ней может происходить ветвление решений (слабый раз
рыв), Но, согласно общей теории гиперболических уравнений, (20.1) как раз и определяет характеристическую кривую (см. монографию [52]).
Физический смысл понятия характеристик становится особенно ясен, если рассмотреть распространение малых возмущений, создаваемых точечным источником в сверхзвуковом потоке газа. Поскольку возмущения
перемещаются относительно газа со
скоростью звука я0 и одновременно сносятся вниз по потоку (см. рис. 13), то область возмущенного течения будет ограничена конической поверхностью (конус Маха) с углом раствора, синус половины которого равен ajV (V—скорость потока). Эта коническая поверхность и является, очевидно, характеристической.
В дальнейшем (гл. Ill, IV), кроме свойств слабых разрывов, нам понадобится также знать соотношения на ударных волнах в случае так называемого гиперзвукового течения, когда в набегающем на фронт газе рСр0. Термин гиперзвуковое течение обусловлен следующим обстоятельством. Если ввести число Маха М как отношение скорости газа V к адиабатической скорости звука а^(ур/р)|/2, то неравенство рСр^2 означает, что
перед ударной волной
М 1»\.
Часто такую ударную волну называют сильной.
Вновь не учитывая магнитное поле и предполагая, что вектор скорости перед фронтом коллинеарен вектору нормали (прямой скачок), 0 = 0, а р^ = pi, из (17.1)—(17.3) найдем
^ v+l Pi V—1 * Pi^ Т4 1(20.Zj
(заметим, что в рассматриваемом случае совершенного газа e = p/[(Y—1)р]).
Формулы (20.2) показывают, что при у " 5/3 отношение плотностей p2/Pi в сильной ударной волне конечно и равно четырем. Если, однако, за фронтом происходит эффективное радиационное охлаждение газа, то температура Т3 может оказаться значительно ниже даваемой равенствами (20.2) и, в частности, возможно, Т1 = Т3 (изотермическая ударная волна). Отношение плотностей теперь сколь угодно велико. В самом деле, согласно (17.1), (17.2),
рЛ = р2^> PiVi = P2Vi+p2RT1
(здесь мы воспользовались тем, что в сильной ударной волне Pi PiR^i^Pi^i и с учетом высвечивания Тг^Т2\
Тогда
(20 3)
Pi 2RTX ^ |/ \ 2RTX ) RTX ~ R7\ и для сильной изотермической ударной волны р2/р!^>1.
Из соотношения (17.3) при S = 0, р\\—рд_» ь^р/Цу—1)р] следует, что при переходе через ударную волну сохраняется величина
4+1Ьт-<20-4)
Покажем, что в стационарном случае при р - р (р) (по-прежнему считаем 6 = 0, рхх ^р^5 величина (20.4) постоянна и вдоль любой линии тока.
Действительно, умножая уравнение движения (см., например, систему уравнений (10.20)) на V dt, найдем, что вдоль линии тока или
■£+ (+£ -const.(20.5)
Уравнение (20.5) называется уравнением Бернулли.
В том случае, когда роср7, иэ (20.5) будем иметь
(20.6)(20.6)^Н^ — = const.
(20.6)
(20.6)
2 1 у—1 р
Хорошо известно [21], что если число Маха в потоке мало, то газ можно считать несжимаемым, т. е. положить р = const. Тогда (20.5) приобретает вид
+ р = const. (20.7)
Соотношение (20.7) во многих случаях существенно упрощает решение гидродинамических задач и неоднократно будет использоваться нами ниже.
Глава III
В настоящей главе описывается гидродинамическая модель межпланетной плазмы, согласно которой межпланетное пространство заполнено плазмой, представляющей собой непрерывно расширяющуюся солнечную корону. В своей пионерской работе [1] Паркер показал, что модель статической короны Чепмена 121 дает слишком высокие значения давления на бесконечности по сравнению с давлением в межзвездной среде. Это обстоятельство приводит к нарушению условий гидростатического равновесия, а следовательно, должно происходить гидродинамическое расширение солнечной короны. Поток плазмы, движущийся в межпланетном пространстве со сверхзвуковой скоростью от Солнца, носит название солнечного ветра.
Несмотря на то, что идеи об истечении плазмы из Солнца высказывались сначала в связи с наблюдаемым отклонением хвостов комет в антисолнечном направлении, первые экспериментальные доказательства существования солнечного ветра были получены путем прямых измерений на советских космических аппаратах «Луна-2», «Луна-3» и «Венера-1» [3, 4] и на американских космических аппаратах «Маринер-2», «Эксплорер-18» и др. [5, 6].
В настоящее время наличие большого количества экспериментов в межпланетном пространстве не оставляет сомнений в том, что имеется непрерывное истечение плазмы из Солнца, средняя скорость которого ~ 400 — 500 км/сек, а средняя концентрация протонов (а следовательно, в силу квазинейтральности и электронов) порядка 5 см-3 на орбите Земли. При этом средняя температура протонов ~ 104— 105 °К, а температура электронов несколько выше.
Кроме электронов и протонов, в межпланетном пространстве были обнаружены а-частицы (порядка нескольких процентов), небольшое количество более тяжелых частиц, а также магнитные поля, средняя величина индукции которых оказалась порядка нескольких гамм (1у— 10“5 ас) на орбите Земли (подробный
обзор экспериментальных данных по солнечному ветру можно найти, например, в книгах [6, 7, 8]).
Заметим, что до непосредственных измерений концентраций частиц в солнечном ветре оценки по наблюдениям зодиакального света и хвостов комет (см., например, [9]) давали величину концентрации электронов на орбите Земли ~ 102— 103 аг3. Именно такая величина предполагалась в первых магнитогидродинамических моделях обтекания магнитосферы Земли межпланетной плазмой с образованием головной ударной волны [10]. Обнаруженная прямыми измерениями относительно малая концентрация частиц в солнечном ветре привела к необходимости пересмотра многих аспектов обтекания планет межпланетной плазмой. В настоящей главе последовательно излагается гидродинамическая теория солнечного ветра. Особое внимание уделяется еще нерешенным теоретическим вопросам. Рассматриваются непрерывное истечение плазмы из Солнца, проблема взаимодействия солнечного ветра с межзвездной средой, а также освещаются основные гидродинамические модели взаимодействия солнечного ветра с планетами солнечной системы (подробный обзор теоретических представлений по всем этим проблемам см., например, в [И]). Плазма, если не оговорено особо, считается полностью ионизованной.
Проблема истечения плазмы из Солнца имеет много общего с проблемой истечения плазмы из других звезд. Рассмотрим сначала вторую проблему.
. Гидростатическая модель плазменных атмосфер звезд. Звездный ветер, критерий его возникновения
На основании результатов наблюдений звезд, одной из которых является Солнце, можно сделать вывод, что звездные атмосферы обладают самыми различными свойствами. Имеются звезды, атмосферы которых находятся в гидростатическом равновесии. При этом гравитационная сила звезды уравновешивается градиентом давления. Атмосферы некоторых звезд находятся в непрерывном гидродинамическом расширении, образуя так называемый звездный ветер (примером такого расширения является солнечный ветер).
Рассмотрим сначала возможность существования гидростатической атмосферы звезды. Магнитное поле будем считать пренебрежимо малым.
В предположении, что все параметры зависят только от г— расстояния от центра звезды (сферическая симметрия) и атмосфера стационарна (параметры не зависят от времени /), из системы уравнений (10.9), (10.10), (10,12) при В = V= 0 в сферической системе координат с началом в центре звезды будем
иметь
(21.1)(21.1)
(21.1)
(21.1)
dr г2 ’
Здесь G— гравитационная постоянная, М* — масса звезды.
Хотя масса звезды и является, вообще говоря, функцией расстояния г, тем не менее для рассматриваемой задачи будем считать М* постоянной. Это будет верно, если иметь в виду верхнюю атмосферу, вклад которой в массу звезды ничтожен (при изучении внутреннего строения звезды масса, стоящая в выражении для гравитационной силы, есть масса газа, заключенная в сфере радиуса г, и является функцией этого радиуса). Исключая из (21.1) давление р и интегрируя от точки г = г0 у основания атмосферы до некоторого радиального расстояния г.
получим
Р (Г) Т (г) = рото ехрР (Г) Т (г) = рото ехр(21-2)(21-2)GM* О drR J r^T (г)
Р (Г) Т (г) = рото ехр
Р (Г) Т (г) = рото ехр
(21-2)
(21-2)
Г»
Здесь р0, 70— плотность и температура при г = г0. Из соотношения (21.2) видно, что если температура убывает быстрее, чем 1/г, то интеграл в показателе экспоненты неограниченно растет с ростом г и Нт рТ = 0 при г—юо. При этом можно считать, что атмосфера звезды плавно переходит в межзвездную среду, в которой давление очень мало (~ 10“12 4- 10~14 дин/см2) (см. гл. IV), т. е. р—>0 является хорошим приближением. Если же температура газа, окружающего звезду, падает медленнее, чем 1/г, то интеграл в показателе экспоненты сходится и давление на бесконечности стремится к конечному пределу, зависящему от величин р0 и То у основания атмосферы звезды.
Поскольку температура должна определяться из уравнения притока тепла, то ее зависимость от г можно найти в этом случае, например, из уравнения (10.11), в котором опущены члены с потерей энергии на излучение. Для многих звезд, включая Солнце, перенос энергии во внешней атмосфере путем теплопроводности превышает потери на излучение, поэтому в гидростатическом пределе (К В--/--0) из (10.11), при сделанных выше предположениях, имеем (считаем, кроме того, Те^=Т( = Т^ ^_(ХГ2 51\=0-(21.3)
dr \ dr Jх 7
При получении уравнения (21.3) выражение для потока тепла q из (10.11) взято согласно (7.12), (6.7). При этом х— коэффициент теплопроводности и
qxq; = — xVT
(х^_ -- х^ х « (i- 10-т 76/3 эрг-сек-' -см-1 (°К)-1).(214)
Интегрируя (21.3) дважды при учете выражения (21.4) для х и граничных условий ТЛ\ при r = r0, Т—>0 при гоо (Too^Tq), получим
Т = Тй^у\ (21.5)
Ясно, что в этом случае температура Т уменьшается медленнее, чем 1/г, и из (21.2) будем иметь, подставляя (21.5) и устремляя
г —^ ОО,г —^ ОО,рх P^RT^ — p0Rr0 expрх P^RT^ — p0Rr0 expTCM^miЮкТ or 0TCM^miЮкТ or 0(21.6)(21.6)
г —^ ОО,
г —^ ОО,
рх P^RT^ — p0Rr0 exp
рх P^RT^ — p0Rr0 exp
TCM^miЮкТ or 0
TCM^miЮкТ or 0
(21.6)
(21.6)
Формула (21.6) определяет давление р на очень больших расстояниях от звезды при заданных значениях параметров у основания атмосферы. При этом очевидно, что статическая атмосфера звезды может существовать только в том случае, если р^, определяемое из (21.6), по порядку величины равно давлению в межзвездной среде.
Если же при заданных массе звезды М* и р0, Тй у основания атмосферы окажется, что давление р^ существенно превосходит давление в межзвездной среде, то такая статическая атмосфера существовать не может и должна непрерывно расширяться, образуя звездный ветер.
Зависимость температуры от расстояния г, а вместе с ней, согласно (21.2), и распределение давления в значительной мере определяются механизмом переноса энергии в атмосфере звезды.
Для некоторых классов звезд основными могут быть потери на излучение, а не перенос тепла за счет теплопроводности. Часто в уравнении притока тепла существенными являются источники, связанные с диссипацией волн, распространяющихся в верхней атмосфере. Все это приводит к разной зависимости температуры от расстояния г для разных классов звезд, а следовательно, возможны как статические атмосферы, так и атмосферы, расширяющиеся в окружающую звезду среду.
В дальнейшем наш анализ будет посвящен расширяющимся атмосферам звезд.
Рассмотрим следствия, получаемые из анализа уравнений неразрывности (10.9) и движения (10.10) в случае одномерного стационарного сферически симметричного звездного ветра. Снова, полагая Д = 0 и пренебрегая вязкостью, из (10.9), (10.10) будем иметь
pur2 = p0u0rg = C, ри^ + ^ + в = о. (21.7)
Здесь и—радиальная компонента скорости звездного ветра. Исключая р и р из (21.7) и второго уравнения (21.1), получимЗдесь и—радиальная компонента скорости звездного ветра. Исключая р и р из (21.7) и второго уравнения (21.1), получим
Здесь и—радиальная компонента скорости звездного ветра. Исключая р и р из (21.7) и второго уравнения (21.1), получим
Здесь и—радиальная компонента скорости звездного ветра. Исключая р и р из (21.7) и второго уравнения (21.1), получим
где ат = J/^2k 7"/mz—средняя тепловая скорость протона, которая связана формулой а^ = (3/5)а§ со скоростью звука «0 в изэнтропическом газе, определяемой формулой (12.5).
Иногда величину ат называют изотермической скоростью звука, поскольку она определяет скорость распространения малых возмущений при Т = const.
Поведение радиальной скорости как функции г —расстояния от центра звезды — определяется правой частью уравнения (21.8), т. е. поведением функции Г (г), которое в свою очередь определяется решением уравнения притока тепла (10.11) для температуры Т»
Поскольку, как было указано выше, механизмы переноса тепла различны для различных звезд, а некоторые источники тепла вообще трудно записать в явном виде в уравнении (10.11) (например, источники тепла, обусловленные диссипацией волн), то вначале проанализируем решения (21.8), считая температуру Т (г) заданной.
Пусть Т = То = const, что соответствует атмосфере звезды с очень высокой теплопроводностью. При этом
Г(г) = ^-^-*. (21.9)
Если у основания атмосферы Г (г0) < 0, то при и0 < ат, как видно из (21.8), имеем (duldrY^ > 0, т. е. происходит ускорение газа, вытекающего из звезды.
GM*С о 22атGM*С о 22атВторой член в (21.9) при Т = Тй (изотермическая атмосфера) убывает быстрее первого. Отсюда следует, что Г (г) > 0 при г-—>оо, т. е. функция Г (г) меняет знак в точке г = гс) где
GM*
С о 2
2ат
GM*
С о 2
2ат
(21.10)
Если из всех возможных решений выбрать такое, что du [dr > 0 всюду, то необходимо, чтобы в точке г = гс направленная скорость газа совпадала со средней тепловой скоростью, т. е. ис — ат. Точка гс называется критической точкой. Решение, для которого всюду du[dr > 0, обычно называется сверхзвуковым решением для звездного ветра, поскольку ис ат^ а0, т. е. в критической точке скорость газа почти совпадает со скоростью звука, а при г > гс скорость газа становится сверхзвуковой. Выбор решений, для которых du[dr — Q в критической точке г = гсэ соответствует всюду дозвуковому решению.
Рассматривая уравнение (21.8), можно высказать несколько более общее утверждение: если температура убывает медленнее, чем 1/г, и у основания атмосферы Г(г0)<0, то в некоторой точке г гс функция Г (г) меняет знак. Так как обычно
w§<^2kT0/mz, то сверхзвуковому решению соответствует случай, когда и—^ат при г^гс*
Общий характер интегральных кривых уравнения (21.8) представлен качественно на рис. 14. Сверхзвуковому решению для звездного ветра отвечает кривая 1 на рис. 14. Эта кривая проходит через критическую точку г = гс> и = ис = аТ1 которая является особой точкой типа седла. Решениям для всюду дозвукового истечения из звезды, называемого часто звездным бризом, соответствуют кривые 2.
Решения, представленные кривыми 3 и 4, двузначны, не заполняют всей области от г^г^ до г—оо и, следовательно, не
Рис. 14.
имеют физического смысла. Решения, соответствующие кривым 5 и 6, начинаются со сверхзвуковой скорости. Такие истечения, вообще говоря, возможны для некоторых классов звезд, однако для звезд, подобных Солнцу, большие направленные скорости при г = г0 не наблюдаются, и поэтому не будут нами рассматриваться (хотя и возможна сверхзвуковая аккреция вещества на звезду).
Таким образом, будем считать, что физически реальными могут быть либо звездный ветер (кривая /), либо звездный бриз (кривая 2).
Заметим, что для звездного бриза в точке г = гс, где Г (гс) = 0, имеем du/dr^O. При этом и < ат в этой точке. Скорость и не может превысить значения ат для г > г с. поскольку в этом случае du/dr —^ — оо, если и —>ат, т. е. скорость и стремится к нулю. Отсюда следует, что для звездного бриза и—>0 при г—►оо.
Легко показать (см., например, [12]), что для такого потока с уменьшающейся скоростью давление на бесконечности должно быть отлично от нуля (^ж=/=0). Действительно, проинтегрируем
второе уравнение (21.7) от г^ гс до г:
Р = Р (гс) ехр [— 1Х (г) + /2 (г)], где
(г1) = 2^s С - dr I (Л =— С - - — dr
rc
При более медленном, чем 1/г, уменьшении температуры интег- рал 1Х имеет конечное значение и положителен. Интеграл /3 также положителен, так как du/dr<0 при г>гс. Отсюда следует, что для звездного бриза имеем отличное от нуля давление при г—^оо. Для звездного же ветра всюду du/dr > 0 и, следовательно, плотность р, согласно первому уравнению (21.7), уменьшается по крайней мере как 1/г3. Поэтому для решения типа звездного ветра р—>0 при г—>оо.
Таким образом, если температура уменьшается медленнее, чем 1/г, то единственным возможным стационарным состоянием атмосферы звезды, окруженной вакуумом (р^^О), является сверхзвуковое расширение на больших радиальных расстояниях от звезды. Если же имеется внешнее давление (р^^О), то возможен дозвуковой звездный бриз.
Когда температура падает быстрее, чем 1/г, то, как было отмечено выше, возможно существование статического равновесия.
Для звезд раннего спектрального класса могут оказаться существенными такие факторы, как, например, радиационное давление. В этом случае^вместо второго уравнения (21.7) будем иметь [13]
u17=-7^-^+Fr> F^l^H^dv (2LH)
о
(здесь величина Hv(r) представляет собой поток радиационной энергии в единичном частотном интервале (см. § 9)). Как и ранее, из (21.11) и из первого уравнения (21.7) легко получить при 7 const
ЗдесьЗдесь2 \.I.ат \du,1) и—/dr1jг2 \.I.ат \du,1) и—/dr1jгGM*—~ j xv (г) U (г) dvоGM*—~ j xv (г) U (г) dvоLv(r) = 4nr2Jfv (г)Lv(r) = 4nr2Jfv (г)— 2^1— 2^1— = 0.г(21.12)(21.13)— = 0.г(21.12)(21.13)
Здесь
Здесь
2 \.I.
ат \du,1
) и—
/dr1jг
2 \.I.
ат \du,1
) и—
/dr1jг
GM*—~ j xv (г) U (г) dvо
GM*—~ j xv (г) U (г) dvо
Lv(r) = 4nr2Jfv (г)
Lv(r) = 4nr2Jfv (г)
— 2^1
— 2^1
— = 0.
г
(21.12)
(21.13)
— = 0.
г
(21.12)
(21.13)
есть полное количество радиационной энергии на единицу частоты, пересекающее сферу радиуса г в направлении увеличения г.
Следует заметить, что в предположении адиабатичности течения, а не изотермичности, т. е. при учете соотношения р~ const -pv вместо Т = const, уравнение (21.12) имело бы тот же вид, но вместо изотермической скорости звука ат всюду стояла бы адиабатическая скорость звука a^V^PlP KyR^-
Сравнивая (21.12) с (21.8), видим, что в критической точке при непрерывном переходе от дозвуковой скорости (u2 < 2k7/mz) к сверхзвуковой (и2 > 2k77mz) должно выполняться условие (сравните с (21.10)) 00
Г — *с ^а^гГ — *с ^а^г(21.14)
Г — *
с ^а^г
Г — *
с ^а^г
Это соотношение показывает, что радиационное давление уменьшает расстояние до критической точки от звезды. Если сила, обусловленная радиационным давлением, больше или равна силе гравитации, то переход через скорость звука вообще невозможен.
В частном случае их равенства из (21.12) будем иметь (квадратная скобка обращается в нуль)
(1 —= —•(21.15)
\ и ) dr гх 7
Из (21.15) видно, что при и2 < а? имеем du/dr < 0, т. е. сверхзвуковое расширение возможно только, если и2 > а? уже у основания атмосферы звезды.
Таким образом, для того, чтобы сверхзвуковой звездный ветер.был бы возможен, в рассматриваемом случае должно выполняться условие 00
> ^J xv (г) Lv (г) dv.(21.16)
О
Если же условие (21.16) не выполняется, то истечение из такой звезды может быть либо всюду дозвуковым, либо всюду сверхзвуковым.
Для расширяющихся оболочек многих звезд раннего спектрального класса можно предположить, что оболочка прозрачна для излучения, а электронное рассеяние есть главный источник непрозрачности. В этом случае условие (21.16) сводится к неравенству
L < 4ncGM*/ke,
где ке—коэффициент рассеяния на электронах, a L=^Lvdv.
о
Часто радиационное давление слабо влияет на течение, тем не
менее излучение может быть существенным при рассмотрении переноса тепла и в этом смысле сильно влиять на течение плазмы.
До сих пор считалось, что температура есть заданная функция расстояния г.
На самом деле для определения температуры Т (г) имеется уравнение притока тепла. К сожалению, существуют лишь качественные представления о механизмах нагрева протяженных атмосфер звезд, в частности солнечной короны. Так, например, разогрев солнечной хромосферы можно объяснить диссипацией гидродинамических волн за счет вязких эффектов, однако разогрев солнечной короны таким механизмом объяснить нельзя, поскольку гидродинамические волны затухают на очень малых расстояниях от поверхности Солнца. Поэтому для объяснения разогрева солнечной короны приходится привлекать теорию диссипации магнитогидродинамических волн (см., например, [14]).
Неопределенность в источниках тепла в уравнении энергии приводит часто к необходимости рассмотрения гипотетических случаев, показывающих влияние различных условий на перенос энергии в атмосферах Солнца и других звезд. Сравнение результатов таких теоретических расчетов с данными наблюдений дает возможность судить о способах переноса энергии.
Предположим, что главным механизмом переноса тепла в звездной атмосфере является теплопроводность. Тогда система уравнений для динамики атмосферы звезды будет состоять из уравнений неразрывности и движения (21.7), уравнения состояния (второго уравнения (21.1)) и упавнения притока тепла в виде
3k dT 2k m dp 1 d / 9 dT\it\
—Ta =.(21.17)
m; r dr m^ dr r2dr \ dr jx 7
При получении (21.17) из (10.11) использовалось уравнение неразрывности.
Учитывая (21.7), из (21.17) после интегрирования получим С (-^ + -^—— r2x^ = £:^ const (С = риг-). (21.18) Это есть уравнение энергии, записанное в форме полного потока энергии на 1 стерад. Члены слева соответствуют потоку энтальпии, кинетической энергии, энергии гравитационного поля и переносу тепла за счет теплопроводности соответственно. При отсутствии источников и стоков тепла этот полный поток энергии сохраняется. Решение системы уравнений (21.7), (21.18) и второго уравнения (21.1) сильно зависит от постоянной величины Е^^О. Исключая из этой системы уравнений р и р и вводя безразмерные переменные
т = ^-,=(21.19)
где 70, как и ранее, температура у основания атмосферы, получим
ЗдесьЗдесьф , , 5 — , Д —х т +тт.1Л_ i2 \ ф/ dkф , , 5 — , Д —х т +тт.1Л_ i2 \ ф/ dk'2 d^2т X'2 d^2т X88dx dX *dx dX *(21.20)(21.20)л х (То) GM^mj2Ск2Т0л х (То) GM^mj2Ск2Т0Е QOЕ QOЕ^т^Е^т^2CkT0*2CkT0*(21 21)(21 21)
Здесь
Здесь
ф , , 5 — , Д —
х т +тт
.1Л_ i
2 \ ф/ dk
ф , , 5 — , Д —
х т +тт
.1Л_ i
2 \ ф/ dk
'2 d^
2т X
'2 d^
2т X
8
8
dx dX *
dx dX *
(21.20)
(21.20)
л х (То) GM^mj2Ск2Т0
л х (То) GM^mj2Ск2Т0
Е QO
Е QO
Е^т^
Е^т^
2CkT0*
2CkT0*
(21 21)
(21 21)
коэффициента теплопроводности х взятокоэффициента теплопроводности х взятоаналогичноаналогичноа значение к21.4).
коэффициента теплопроводности х взято
коэффициента теплопроводности х взято
аналогично
аналогично
Для того чтобы решение системы уравнений (21.20) представляло собой всюду дозвуковое течение (звездный бриз), постоянная интегрирования 8К, как показано в работе [15], должна быть равна нулю (ех^0). Пусть теперь е^^О. Чтобы решение системы уравнений (21.20) при этом давало плавный переход от «дозвукового» (ф < т) к «сверхзвуковому» (ф > т) решению, в критической точке г — гс должны быть выполнены равенства
(2L22)
Из (21.22) и (21.20) находим, что для этого должно удовлетворяться соотношение
еоо=3^-\.+1Лтс5/2(1™^).(21.23)
В окрестности критической точки функции фит можно разложить в ряд по степеням (X — XJ
ф^т^ + б! (X —XJ+ . . ., --/47 \
Т =тс+ 1 _^)(Х-ХС) + 71(Х-Х^+ ..(21.24)
где коэффициенты 6Т и ух удовлетворяют уравнениям с / с 1. 2тс \ 12тс4тг* —
6Л Й!— 1 + ^1 = —^Фу^,
-^6,- 1+ 4 (1(1 ~^Y + ^yJc72 =0, (21.25)
которые получаются путем подстановки (21.24) в (21.20) и приравнивания нулю коэффициента при (X — Хг) (членами более высокого порядка малости пренебрегается). Система уравнений (21.20) может быть численно проинтегрирована, если в некоторой точке X"Xt задать граничные условия для ф, т и dr/dk и учесть условия (21.25), (21.24), которые должны выполняться в окрестности
§ 21]
особой точки. Такое решение даст решение задачи о течении звездного ветра при условии, что перенос тепла за счет теплопроводности превосходит потери на излучение и нет никаких дополнительных источников тепла.
В работах [16, 17] такие расчеты были проведены для солнечного ветра при заданных значениях концентрации, скорости и температуры на 1а.е., т. е. на орбите Земли (1 а. е. (астрономическая единица) = 1,496-1013 см). Значения этих параметров выбирались в соответствии с экспериментально измеренными, а интегрирование производилось в диапазоне изменения X, соответствующем области от Земли до Солнца. Температурный градиент на Itz.e. изменялся до тех пор, пока не были найдены такие его значения, которые удовлетворяли требованию плавного перехода от сверхзвукового солнечного ветра на орбите Земли к дозвуковому в солнечной короне, т. е. условиям (21.25), (21.24).
Последний пример указывает на то, что аналогичные расчеты могут быть проведены и для звездных ветров. Однако трудность здесь заключается в том, что, в отличие от задачи для солнечного ветра, в которой граничные условия задаются на основе экспериментально измеряемых параметров в солнечной короне и на орбите Земли, граничные условия для звездных ветров обычно плохо известны. Кроме того, звездные атмосферы отличаются большим многообразием в зависимости от спектрального класса звезд.
В работе [18] рассматривался вопрос о единственности решения системы уравнений (21.20) для солнечного ветра. Исследовалось асимптотическое поведение скорости и температуры на бесконечности. Было показано, что единственным физически приемлемым решением является то, для которого Т—>0 и dT/dr—>0 при г—>оо, причем и—>V^E*WIG (Е*^ и С —постоянные в уравнении (21.18)), т. е. на бесконечности вся энергия солнечного ветра^заключена в кинетической энергии направленного движения. Такое решение проходит через критическую линию в плоскости (гс, ис), определяемую уравнением (21.23)’
Результаты работ [16—18] для солнечного ветра в настоящее время имеют лишь историческую ценность, поскольку из экспериментов в космическом пространстве известно, что в межпланетной среде температура электронов не равна температуре протонов ^Ге^Т^ и не справедливо одножидкостное приближение, рассмотренное в этом параграфе.
Тем не менее результаты такого рода работ, как указано выше, представляют определенный интерес для исследования звездных ветров.
Рассмотрим теперь влияние вязкости на динамику звездного ветра. В тех же предположениях, что и выше, будем иметь следующую систему уравнений для описания звездного ветра с учетом
вязкости и теплопроводности:
р«га = С, Р =
du . I dp GMe_ 1 d ,,_ 4 d f u\
14 ™J1“ —зI- 9— -— q ”j V ^rr))^ГГ о П ^,
dr p dr r2pr3 dr x rrn rr3 ' dr \ r /
CH-s^ —r2x^r2un„ = £*.(21.26)
\1 2 r / drrr *\?
Здесь принимается, согласно (6.8), что ^^v^W^ а ^^Ло/^ — Х^Лб'1^5-2 г-см-1 сек-1— коэффициент вязкости для ионов, совпадающий по порядку величины с коэффициентом вязкости для полностью ионизованного водорода (поскольку магнитное
поле считается равным нулю, то анизотропия вязкости не учитывается, хотя это же будет верно и при почти радиальном магнитном поле).
’ " Часто силы вязкости малы вблизи звезды по сравнению с силой гравитации, поэтому можно ожидать, что здесь вязкость слабо сказывается на течении плазмы. Однако на больших расстоя
ниях от звезды влияние вязкости может оказаться существенным.
Следует заметить, что, в отличие от рассмотренных выше моделей, система уравнений (21.26) не имеет особых точек.
Рассмотрим теперь асимптотическое поведение решений (21.26) при г—>оо. Исключая из (21.26) р и р и предполагая и —у и^ — const и uV^^TJmi при г—>оо, получим следующую асимптотическую форму уравнений (21.26) на больших расстояниях от звезды [19]:
и ^м ^^ г9. ^ А ^ \ ^^* _l Z/°° ■ (г3П )
dr " mi т dr \r2 )r2 Cr dr V ^rrb
u2/ T \b/2 дт
(21.27)(21.27)du u^ . 3 51ггТо^77 — T + "4 ^ (To)^2 '
(21.27)
(21.27)
Из второго уравнения (21.27) следует, что на больших расстоя
ниях от звезды полный поток энергии состоит из потока кинети
ческой энергии, переноса тепла за счет теплопроводности и работы вязких сил. Перенос тепла за счет теплопроводности и работа вязких сил либо равны нулю, либо конечны (£^ const ^0).
Легко показать, что они должны обращаться в нуль на бесконечности [19].
Действительно, пусть Т cr>r~m, пгг ^г"п,и— u^mr-1 (/ > 0).
Тогда
(21.28)(21.29)(21.28)(21.29)^г [const =7^=0 при т^2/7,dr 0 при m > 2/7,[ const ^ 0 при и —2,
(21.28)
(21.29)
(21.28)
(21.29)
^^ ~* (0 при"" п > 2.
Кроме того, имеем, что порядки величин членов du/dr и ujr равны [г"^+1)] и [г-1] соответственно. Так как / > 0, то порядок величины du/ar меньше порядка величины иJr* Из последнего уравнения (21.27) тогда следует, что порядки членов справа должны быть одинаковыми, т. е. должно выполняться равенство
2
т = ^(п— 1). (21.30)
Из (21.29) и (21.30) видно, что при п >2 имеем т >2/7, т. е., согласно (21.28), член с переносом тепла за счет теплопроводности должен стремиться к нулю на бесконечности. Кроме того, легко заметить, что система не допускает предельного решения с n = 2, т = 2/5. Действительно, из первого уравнения (21,27) в этом случае следует порядок членов [г“и+1)], [г-7/6JT [г-2], [г*1] соответственно, т. е. на бесконечности главным становится член с вязкостью, или асимптотическое решение имеет вид
"Т- (Лгг^3) = 0, ОС г'3.
Последнее противоречит равенству п = 2 для предельного решения. Таким образом, должно быть т > 2/5 и п > 2, т. е. на бесконечности, согласно (21.28), (21.29) и второму уравнению (21.27), энергия звездного ветра должна уноситься в форме кинетической энергии направленного движения. Этот же вывод следует и из рассмотрения модели с теплопроводностью.
Заметим, что численные расчеты полной системы уравнений (21.27) конкретно для солнечного ветра привели к худшему согласию с экспериментальными данными в межпланетной среде по сравнению с аналогичными расчетами только при наличии теплопроводности и без учета вязкости. В частности, учет вязкости в одножидкостном приближении приводит к сильно заниженной скорости на орбите Земли,
Гидродинамическая модель солнечного ветра без учета магнитного поля
Как было отмечено во введении к настоящей главе, наличие в межпланетном пространстве сверхзвукового солнечного ветра является экспериментально установленным фактом. Теоретическое предсказание этого явления было сделано на основе формулы (21.6). Если подставить в эту формулу значения плотности и температуры у основания солнечной короны, то получаются слишком большие значения давления на бесконечности.
На рис. 15 и рис. 16, заимствованных из книги Брандта [7], приведены распределения температуры и концентрации плазмы в солнечной атмосфере, принятые в настоящее время на основе
Рис. 16.
наблюдений и результатов расчетов. На рис. 15 область 7 —водородная конвективная зона, 2 —солнечная фотосфера, 3— хромосфера, 4— корона Солнца.
В соответствии с существующими теориями в солнечной водородной конвективной зоне имеет место беспорядочная конвекция. Турбулентный характер конвективных движений в области 1 на рис. 15 является источником механических движений, которые генерируют волны, распространяющиеся в верхние слои атмосферы. Нелинейный характер таких движений приводит к образованию ударных волн (§ 15), затухание которых в настоящее время считается ответственным за разогрев хромосферы и короны.
Постоянная высокая температура солнечной короны (~106°К) является следствием существования баланса между подводом механической энергии в виде волн и оттоком энергии путем теплопроводности (оценки показывают, что лучистые потери из солнечной короны незначительны). Такая физическая картина, очевидно, правильна лишь в общих чертах, но ее нельзя считать полной, поскольку физическая природа волн, ответственных за разогрев, все еще до конца не ясна, не говоря уже о точной количественной теории этих процессов. Наличие у Солнца собственного магнитного поля еще более усложняет положение.
На рис. 16 кривая 1 соответствует минимуму солнечной активности (о солнечной активности см., например, [7]), а кривая 2— максимуму.
Если в формулу (21.6) подставить значения р0 и 70 у основания солнечной короны (ro^l,Ol R^ где Rq = 6,96- 10L0 см — радиус Солнца) и М^ = Л10 = 1,99-1033 г, где /И©—масса Солнца, то получаем р^ ~ 10”9 дин]см\ что на несколько порядков превосходит давление в межзвездной среде (~10-12 4- 10"14 дин!см^\
Этот результат привел Паркера [1] к выводу, что модель Чепмена статической солнечной короны (21.1) неверна, а солнечная корона должна расширяться, образуя солнечный ветер. Идея Паркера нашла блестящее подтверждение в прямых измерениях, выполненных на космических аппаратах, как это уже было отмечено выше.
Поскольку солнечный ветер оказался сверхзвуковым на расстояниях ~1 а. е. от Солнца, то дозвуковая ветвь интегральных кривых, представленных на рис. 14, перестала привлекать внимание теоретиков. Кроме того, хотя одножидкостная модель, рассмотренная в § 21, дает качественно разумную картину динамики межпланетной плазмы, тем не менее в настоящее время ясно, что она не может описать многие физические явления. В частности, оказалось, что некоторые характерные времена процессов в межпланетной плазме малы по сравнению с временем релаксации электронной и ионной температур. Это приводит к необходимости рассмотрения двухжидкостной теории солнечного
5 в. Б, Баранов, К- В. Краснобаев
ветра (прямые измерения температуры в солнечном ветре показали, что температура электронов Те в четыре-пять раз превосходит температуру протонов).
Например, характерная частота, определяющая скорость расширения плазмы солнечного ветра, дается формулой (относительное изменение плотности в единицу времени)
и dp
ехР р dr .
а характерная частота, определяющая скорость обмена энергией электронной и протонной компонент плазмы, определяется формулой (см. коэффициент при Q(e в (6.6))
v?/« з,9-ю21лртг3/2,
где Л — кулоновский логарифм.
Считая и=const на орбите Земли и, согласно уравнению неразрывности, p = C/(wr2), получаем оценку
v vexp г *
Используя значения и = 4-107 см/сек, г = 1,5-1013 см, пе^п( = = 5 см"3 (р ^ 8,5-10“24 г]см^ и Л = 20, имеем на орбите Земли
vexp1^7vexp1^710-*Т?/2.10-*Т?/2.
vexp1^7
vexp1^7
10-*Т?/2.
10-*Т?/2.
Эта величина много меньше единицы лишь при Те<^ 103°К. Однако на орбите Земли Те > 103°К. Следовательно, vexp>veZ и Те=^Ть т. е. необходимо рассматривать двухжидкостную модель солнечного ветра, основанную на уравнениях (10.1) — (10.5).
Для одномерного солнечного ветра эти уравнения примут вид
(1£ + ±£ + Л-о) .(22.1)
^T — TrV^tT. + T^-»^-(22 2)
4 k₽“^- “кГ.^-7Г5 (г’я. 54) = -1'.,рк(Т,-Т,).(22.3)
3 1 dTi । ™ dp 1 d / „ dTA 31\лх
~2 kPw "dr u^^‘"dr7^ dr \ Hj ~"dr / = T Ve/P^ ^e ^iY (22.4)
Здесь, согласно формулам из (6.6) и (6.7),
хе,=хе = 3,16^, х' =х, = 3,9^ (vo = t-1),
v . =vv(22 6)
61 т/ г’ е ^Vme^TeV11 ’‘3 ^^(kTi)^1 '^ ‘
При получении системы уравнений (22.1) — (22.5) из (10.1) — (10.5) использовались просуммированные по компонентам плазмы уравнения неразрывности (10.1) и движения (10.2), пренебрегалось вязкостью, магнитным полем и дополнительными источниками импульса и энергии, обусловленными флуктуациями. Кроме того, предполагалось, что радиальные компоненты направленной скорости для электронов и ионов одинаковы. В условиях квазинейтральности плазмы ^пе ^ п^ последнее предположение означает отсутствие электрических токов в радиальном направлении. Наличие радиальных токов привело бы к накоплению заряда. Но заряд может накапливаться до тех пор, пока не возникнет такое радиальное электрическое поле, при котором ток обратится в нуль. Поэтому предположение /г^0 в одномерном случае является разумным. По найденным из системы уравнений (22.1) —(22.5) параметрам солнечного ветра, для определения радиального электрического поля Ег и плотности заряда р5 будем иметь систему
^ = -епеЕг, ±^^Ег)^4яре, ре-^.рТе. (22.6)
Первое уравнение (22.6) легко получить из закона Ома (10.13) в проекции на радиальное направление, используя условие jr = 0 и полагая В = 0. Рассчитанное таким образом электрическое поле в межпланетной плазме, согласно работе [20], составляет на орбите Земли величину порядка 2,3-10—13 в/см.
Система уравнений (22.1) — (22.5) использовалась для численного расчета двухжидкостного солнечного ветра в работах [21—23]. причем в [21] вместо уравнений притока тепла для электронов (22.3) и протонов (23.4) принимались политропные зависимости типа
|® = 0 (Р*5/3, а = е,0,
а в [23] не учитывалась ионная теплопроводность.
Система уравнений (22.1) —(22.4) состоит из двух дифференциальных уравнений первого порядка и двух — второго порядка. Поэтому для определения постоянных интегрирования требуется шесть граничных условий. В [22] задавались значения р0 (nz ^ п€\ TeQ, Ti0 на некотором расстоянии г = г0 от Солнца (начальная точка истечения плазмы из солнечной короны) и значения Т ev Т^на некотором большом расстоянии r — rv причем требовалось, чтобы Те1—>-0 и Г^—^0 при г1—юо, Шестое-граничное условие заключалось в требовании непрерывного перехода от дозвукового к сверхзвуковому солнечному ветру (условие в критической точке).
Чтобы пояснить использованный в [22] процесс итераций, перейдем в (22.1) — (22.5) к безразмерному виду, вводя безразмерные переменные согласно формулам (21.19). Исключая
плотность р из (22.1), в результате получим
(22.7)(22.8)(22.9)(22.7)(22.8)(22.9)1 / 1 1 те + Т/ 1 [ dTe ] d^i \
(22.7)
(22.8)
(22.9)
(22.7)
(22.8)
(22.9)
TV2^“ / dX “ 1 X У \"dX+*dx) 1
ГУ — (।1 те dip . 3 dTe2те
5 dX V е dX /2 ip dX 2 dX X "
- : РАт^'т"3'2 (тг —т,),
1 dX \1 dX )2 ф dX ' 2 dX X '
= — рАчГЧ-3'3^ — tz).
Здесь
T^p, Tz = p, а^С^АКДТ, С^и^,
a^C-MJW2, ^=^C^A^BNT»№, A=^g^, B=^v N=^’ K^^- Ki=^ <2210>
(To — характерная температура, Л — кулоновский логарифм). Как видно из (22.7), условиями непрерывного перехода через критическую точку будут являться соотношения
Ч Р, W + L мЦ [Ч +^,.-ч - °' <22'111
Ч>,-|Р.(М + ?1РЛ-(22.12)
Метод итераций для решения системы уравнений (22.7) — (22.10) заключается в следующем. Вначале задаются распределения т^ (X) и fz(X), удовлетворяющие граничным условиям те = те0 и fz — fZo при ^ = Х0, после чего решается уравнение (22.7). Последнее решается при условиях (22.11), (22.12), первое из которых дает координату Хс критической точки, а второе определяет критическую скорость в этой точке. После этого выполняется численное интегрирование в обе стороны от Хс при использовании значения производной в этой точке, определяемого соотношением / dip \
^■dXjx=^ —
= (1 _ J 1 _2°^ + 52 V 16^ К (^) + ^ (М]Р/3.
Такое значение производной получается по правилу Лопиталя при раскрытии неопределенности в критической точке.
По известному распределению скорости ф — ф(Х) из уравнения неразрывности находится распределение плотности р (или концентрации электронов или ионов пе ^ nf) при граничном уело-
вии р = р0 при г = г0 (Х = Х0). Используя полученные таким образом распределения ^^^(К) и р~р(г), можно перейти к решению уравнений (22.8) и (22.9) с граничными условиями т5 — т^, tz — L'o ПРИ ^ — ^о и ~0, tz ■—^ 0 ПРИ ^ —0 (г—> оо). Последние два уравнения также решаются итерациями. Сначала решается уравнение (22.8) для т^ при заданном распределении fz(X), азатем уже решается уравнение (22.9). После первой итерации процесс повторяется до тех пор, пока последующие решения не будут мало отличаться от предыдущих.
Решение уравнения (22.9) упрощается тем, что ионная теплопроводность мала и в качестве нулевого приближения можно использовать решение уравнения (22.9) без членов второго порядка с одним граничным условием при Х = Х0.
Вся описанная выше процедура численного решения уравнений двухжидкостного приближения для одномерного солнечного ветра была проделана в работе [22]. Было показано, что если принять, в соответствии с рис. 15 и рис. 16, у основания солнечной короны Тео = TZo = 1,2-106 °К, /?е0^2,3-108 см"\ то скорость и плотность на орбите Земли получаются значительно меньшими, чем наименьшая из измеряемых на космических аппаратах величин. Попытки согласовать результаты расчета с данными наблюдений распределения концентрации электронов вблизи Солнца от г —2/?q до г — 20/?q привели к необходимости задания при г ^ Ro (у основания короны) значений м^0 = 3-107 сл<”3, 7\0 — Т/о — 2 • 10е °К. Но такие концентрации меньше, а температуры больше наблюдаемых величин.
Авторы [22] пришли к выводу, что разогрев плазмы волнами, не учитываемыми рассматриваемой моделью, происходит до расстояний r = 2RQ и в качестве нижней границы необходимо считать го = 2/?0, где Те0 = 1,5-106°К, Т= 1,2-106°К, а пео = = L5-106 еле3.
В последнем случае модель приводит к следующим значениям параметров на орбите Земли: пеЕ^ 15 см"\ ТеЕ^ 3,4- 106°К, TiE^ 4,4- 103°К и иЕ = 250 км-сект \ т. е. плотность выше, а скорость ниже средних измеряемых на космических аппаратах величин (средние измеряемые величины на орбите Земли равны пеЕ^4см-3, ТеЕ ^ 1,5- 105°К, Т{Е w 4 • 104 °К, причем электронная температура почти не меняется с изменением солнечной активности, а ионная может возрастать до величины ~ 10б°К).
При этом температура протонов на орбите Земли согласно двухтемпературной модели в [22] оказывается на порядок величины меньше измеряемого значения. Увеличение граничного значения пео приводит к возрастанию nei h Т{ и уменьшению и и Те всюду, а увеличение ТРП при неизменной концентрации п<0 приводит к увеличению значений и, Т^ Т; и ngi во всей области течения. В итоге создается еще большее расхождение
Рис. 17.Рис. 17.
Рис. 17.
Рис. 17.
теоретических результатов с экспериментальными по концентрации частиц на орбите Земли.
В [22] на основе численных расчетов получены следующие зависимости параметров на орбите Земли от условий у основания короны: иЕоп fi70M3T°682, пеЕ<^п^И^Ть{0.
Рис. 18.
На рис. 17 и рис. 18 приведены типичные распределения концентрации протонов п{ пе\ а также Те, Тz и и в рассматриваемой модели солнечного ветра (на этих рисунках Тео = Ti0 = 2-106 °К, п^ ^ пе0 = 3-107 см~\ что, как было указано выше, приводит к наилуч- шему согласию расчета с данными наблюдений по концентрации электронов вблизи Солнца). Разрыв в кривых на рис. 17 и рис. 18 означает нарушение справедливости гидродинамического приближения, когда Vexp= ve- Из рис. 19, на котором представлены распределения ve, vf, vexp, видно, что протонная компонента может всегда рассматриваться гидродинамически, в то время как для электронов условие справедливости
гидродинамического приближения нарушается при г ^ 10 а.е.
Слишком низкая ионная температура, получаемая в рассмотренной модели, указывает на то, что и в межпланетной плазме (а не только при г^27?о) имеется некоторый «эффективный»
источник разогрева плазмы, не учитываемый в рамках двухжидкостной модели (о влиянии флуктуаций на средние параметры плазмы солнечного ветра см. § 24).
В работе [24] была предпринята попытка учесть влияние ос- частиц на динамику солнечного ветра (трехжидкостная модель, в которой температуры всех компонент различны). Однако в [24] температуры электронов, протонов и а-частиц считались постоянными и анализировалось только поведение поля скоростей и плотности, что приводит к невозможности сравнения результатов этой работы с результатами, получаемыми в двухжидкостной модели.
Влияние магнитного поля на течение солнечного ветра
В § 21 были проанализированы принципиальные возможности истечения плазмы из звезд, а в § 22 рассмотрена конкретная двухжидкостная модель солнечного ветра, которая не учитывала магнитное поле.
Однако Солнце имеет собственное магнитное поле, которое может выноситься в межпланетную среду солнечным ветром. Уже первые космические эксперименты по измерению межпланетного магнитного поля дали величину порядка нескольких гамм (1у = = 10"5гс) на орбите Земли (см., например, [6]). Обнаруженные в экспериментах корреляции между изменениями магнитного поля в межпланетной плазме и на Солнце указывают на то, что межпланетное магнитное поле солнечного происхождения.
Если предположить, что выполняется условие «вмороженно- сти» , магнитного поля (§ 11), скорость солнечного ветра постоянна и строго радиальна, а магнитные силовые линии жестко связаны с поверхностью Солнца, т. е. вращаются вместе с ним с 27-дневной периодичностью (это означает, что в системе координат, относительно которой Солнце вращается с угловой скоростью й, имеется электрическое поле, величина которого на поверхности Солнца в плоскости экватора равна Е =— -^-^Ro^r)» то межпланетное магнитное поле должно иметь форму спирали (см., например, [25]). Угол наклона % такого магнитного поля к радиусу-вектору в плоскости солнечного экватора, при условии параллельности скорости и магнитного поля во вращающейся системе координат, определяется формулой
(23.1)
где г0 — некоторое расстояние, начиная с которого можно считать u = const и где /- О.
Одним из условий, которому должно удовлетворять распределение магнитного поля, является
divB = 0.
Предполагая, что все параметры, включая магнитное поле, зависят только от расстояния г от центра Солнца, из последнего уравнения получим
Вг-Вгй^\ (23.2)
где снова индексом «О» отмечены величины на некотором расстоянии г = г0. Поскольку Вф —Brtgx, то для азимутальной компоненты магнитного поля, используя (23.1) и (23.2), будем иметь
B^Br6^^\r-reY (23.3)
В такой идеализированной постановке магнитное поле не оказывает на плазму никакого силового воздействия. Траектории частиц плазмы во вращающейся с Солнцем системе координат будут совпадать с магнитными силовыми линиями, имеющими форму спирали. Часто для оценки величины и направления магнитного поля на орбите Земли принимают t^Rq, Вг0^ 1 гс.
В действительности магнитное поле и плазма находятся в непрерывном взаимодействии и теория солнечного ветра с магнитным полем должна представлять самосогласованную задачу.
Однако формулы (23.2) и (23.3) дают правильный порядок величины магнитного поля в районе орбиты Земли по известной величине магнитного поля на поверхности Солнца — 1 гс (такие магнитные поля наблюдаются в солнечной фотосфере в спокойных областях, в то время как в активных областях величина магнитного поля может достигать тысяч гаусс).
Наличие магнитного поля в межпланетной плазме может приводить к целому ряду интересных физических явлений, хотя и мало влияет на радиальное движение солнечного ветра вследствие малости магнитного давления (В2/(8л)) по сравнению с динамическим (рп2/2). К таким явлениям относятся распространение магнитогидродинамических волн, возникновение различного рода неустойчивостей, перенос момента количества движения из Солнца, появление анизотропии вязкости и теплопроводности в столкно- вительной плазме при соата^1 (см. §6), давления (Рп^Рд.) вследствие бесстолкновительного характера некоторых процессов и т. д. Некоторые из этих явлений будут рассмотрены в настоящем параграфе.
Одно из влияний собственного магнитного поля Солнца может заключаться в канализировании потоков плазмы из Солнца, т. е. В создании трубок тока для гидродинамического течения плазмы
в соответствии с магнитными силовыми трубками. Но такие эффекты существенны только в очень сильных магнитных полях вблизи Солнца и в активных областях, где, как было отмечено выше, магнитные поля могут достигать тысяч гаусс.
В межпланетной плазме обычно течение плазмы является определяющим для распределения межпланетного магнитного поля. На основе системы уравнений одножидкостной идеальной магнитной гидродинамики (10.15) самосогласованная задача о солнечном ветре была решена в работе [26], однако вместо адиабатического закона с у = 5/3 использовался закон политропы. В сферической системе координат в одномерном случае (все параметры зависят только от г, хотя скорость и магнитное поле не являются строго радиальными) система уравнений (10.15) принимает вид (для экваториальной плоскости Солнца)
риг^С,(23.4)
(^=~Tr-e^^V<AB'^(23.5)
(23-6)
^^-^6^ = 0,(23.7)
^Вг = г^г0,(23.8)
„ / р \ Р/OQ
Здесь уф, Вф — азимутальные, а и, Вг— радиальные компоненты векторов скорости и магнитной индукции в плоскости солнечного экватора, остальные обозначения те же, что и в § 21 и § 22 (индекс «0» относится к некоторому расстоянию г = г0 от Солнца).
Хотя, как следует из результатов § 22, температура электронов отличается от температуры протонов в солнечном ветре, тем не менее для последующих качественных выводов одножидкостная модель солнечного ветра (23.4)—(23.9) является хорошим приближением.
Рассмотрим сначала физические выводы, которые следуют из решения уравнений (23.6) —(23.8). Из этих уравнений легко получить
PTTr^^l^Tr^8^’ г (uBv-vvBr) = const. (23.10)
Постоянная интегрирования во втором уравнении (23.10) могла бы быть определена, например, по известным значениям параметров в некоторой точке (например, на орбите Земли). В [26] эта постоянная определялась из условия параллельности скорости и магнитного поля в системе координат, связанной с
вращающимся Солнцем, что соответствует равенству
Е* = — 1 V'xB' = 0.(23.11)
Штрих означает, что все величины берутся в подвижной системе координат, причем В'= В в нерелятивистском случае. Условие (23.11) следует из физического предположения о том, что вследствие «вмороженности» магнитного поля в плазму магнитные силовые линии будут вытягиваться потоком солнечного ветра.
Используя теперь (23.11) и интегрируя первое из уравнений (23.10), что возможно вследствие выполнения соотношения
вг в^ ,— = ,- 2 = const,
4лри 4лрыг2
получим
г (иВф—ифВЛ = — £^ВГ,(23.12)
—4^ rS» = const Lo-(23.13)
Уравнение (23.13) означает, что сумма момента количества движения плазмы на единицу массы и момента, связанного с магнитными напряжениями, есть величина постоянная в солнечном ветре. При этом, если момент количества движения вещества уносится из Солнца, то момент вращения передается солнечной поверхности через магнитные напряжения и угловая скорость вращения Солнца Q должна со временем уменьшаться.
Таким образом, при выполнении условий «вмороженности» магнитного поля (§ 11) и в предположении справедливости рассмотренной выше модели для солнечного ветра, можно сделать заключение, что ранее Солнце вращалось быстрее, чем в настоящее время. Этот факт имеет важное значение при рассмотрении моделей эволюции не только Солнца, но и других звезд, обладающих звездными ветрами.
Введем радиальное альфвеновское число Маха как отношение радиальной скорости к альфвеновской скорости (§ 12), посчитанной по радиальной компоненте магнитного поля, т. е.
М^г = ^.(23.14)
Тогда из (23.12) и (23.13) получим
иф = Пг ^ArL^Q-1-! ,(23J5)
У поверхности Солнца МЛг<1, а у орбиты Земли МЛг~ 10, т. е. между Солнцем и Землей имеется точка г — гА, в которой МЛг= 1. Это так называемая альфвеновская критическая точка (см. § 21, где рассматривалась звуковая критическая точка).
Чтобы в этой точке азимутальная компонента скорости солнечного ветра уф оставалась конечной, необходимо определить постоянную интегрирования так, чтобы выполнялось равенство
Lo-^a.Lo-^a.(23.16)
Lo-^a.
Lo-^a.
Следовательно, полный момент количества движения на единицу массы в солнечном ветре может быть рассчитан, если известна альфвеновская критическая точка г — г Al в которой В?/(8л) = = ри2/2. Используя тот факт, что
const,
получимполучим^Ar =1иГ иАГА^Ar =1иГ иАГАиг2**
получим
получим
^Ar =1
иГ иАГА
^Ar =1
иГ иАГА
(23.17)(23.18)(23.17)(23.18)..9 иг2 рлили N^Ar =T = vЧдгд Р
(23.17)
(23.18)
(23.17)
(23.18)
Окончательно из (23.12), (23.14)—(23.17) найдем
_ fir (иА — и) R □ fir (гл—г2)
Ф~«А !_м2Лг ’°г иА (1-М2л,)гГ
Следовательно, постоянная Lq б (23.13) определяется не величинами Уф и Вф на Солнце, а положением альфвеновской критической точки г — г А. Такой выбор Lq представляется физически разумным и будет в этом параграфе использоваться при рассмотрении модели солнечного ветра с учетом магнитного поля.
Так как все решения для солнечного ветра приводят к и = const при г—>оо, то из (23.17) и (23.18) следует, что на больших гелиоцентрических расстояниях азимутальные компоненты скорости и магнитного поля убывают как 1/г. Радиальная компонента магнитного поля убывает как 1/г2. Поэтому, даже при ВГ^>В^ вблизи Солнца, на достаточно больших гелиоцентрических расстояниях будем иметь В^ Вг (эксперимент показывает, что такое соотношение имеет место уже на орбите Земли). Для г<^гА (и<^ил) из (23.18) имеем
5Ф="5^5Ф="5^иф = &гиф = &г111 —1 —ии11(23.19)(23.19)
5Ф="5^
5Ф="5^
иф = &г
иф = &г
1
1
1 —
1 —
и
и
1
1
(23.19)
(23.19)
Легко показать, используя эти формулы, что отношение первого члена ко второму в левой части (23.13) имеет порядок г2/r^ <^ 1, т. е. момент, связанный с магнитными напряжениями, играет основную роль вблизи Солнца. По мере удаления от Солнца вклад первого члена увеличивается, а второго уменьшается.
Как видно из (23.18), зависимость азимутальных компонент скорости и магнитного поля от радиуса будет известной при
известной радиальной скорости и = и(г), В общем случае необходимо решать совместно систему уравнений (23.4) — (23.9). Однако для солнечного ветра центробежные и электромагнитные силы в уравнении движения (23.5) малы (на орбите Земли эти силы малы по сравнению с инерционными, а вблизи Солнца — по сравнению с силой гравитации и градиентом давления) и радиальное движение в рассматриваемой модели можно считать не зависящим от магнитного поля (если бы учитывалась вязкость, то даже при малом силовом воздействии на плазму магнитное поле могло бы привести к сильному изменению вязкости вследствие возникновения ее анизотропии, как было отмечено в §6). Таким образом, радиальная скорость, как функция гелиоцентрического расстояния, находится из решения системы уравнений типа (21.7) с политропным законом (23.9), после чего определяется распределение азимутальных компонент скорости и магнитного поля.
Поскольку для некоторых звезд центробежные и электромагнитные силы могут оказаться существенными, то в [26] система уравнений (23.4) — (23.9) решалась совместно с использованием численных методов. При этом было показано, что имеются три особые точки, соответствующие быстрой и медленной магнитозвуковой и альфвеновской модам (§ 12). В первой особой точке г = гс радиальная скорость близка к скорости медленной магнитозвуковой волны, немного меньшей скорости звука при отсутствии магнитного поля, рассмотренной в § 21, а две другие особые точки г-гл (Mlr l) v r -tj (скорость плазмы близка к скорости быстрой магнитозвуковой волны, т. е. и = а^ находятся дальше от Солнца, чем гс, и лежат очень близко одна к другой. Решение для солнечного ветра должно проходить через все три особые точки, причем оказывается, что такое течение возможно, если показатель политропы р< 1,5. Последнее говорит о наличии «эффективных» источников тепла.
Численное решение существенно упрощалось тем, что в системе уравнений (23.4) — (23.9) уравнение (23.5) можно проинтегрировать один раз, используя (23.12), (23.13). Это дает первый интеграл в виде
«-Ц- — Мд2 <р-п9р—} = const = Fq.
(23.20)
Тогда задача нахождения распределения величин и, иф, Вг, В^, р, р и Т при заданных граничных условиях сводится к решению нелинейных алгебраических уравнений (23.4), (23.8), (23.9), (23.18) и (23.20). В [26] задавались значения иЕ= ^№к,м!сек, рЕ = 11,7- \0"^г[см3 (7 протонов в 1 см3), ВгЕ — 5у, Т^ = 2-105"К на орбите Земли, которых вместе с условиями в трех особых
точках оказывалось достаточно для полного решения задачи (при этом использовался показатель политропы р= 1,221). Так как в солнечном ветре центробежные и электромагнитные силы малы, то численному решению, полученному в работе [26],
Х^сВ^врг/^ри^Х^сВ^врг/^ри^50 100 150 200 25050 100 150 200 250свойственны те же недостатки, что и решениям, рассмотренным в § 22. А именно, для согласования результатов расчетов с дан- ными эксперимента на орбите Земли необходимо задавать слиш- ком высокие температуры и низ-18,0
Х^сВ^врг/^ри^
Х^сВ^врг/^ри^
50 100 150 200 250
50 100 150 200 250
кие концентрации в солнечнойП5
короне.1
Поскольку измерения показы-* ,
вают, что в солнечном в^трег/^
существует магнитное поле, аско-рис 2о.
рость не является строго радиальной, то основной интерес в рассматриваемой модели пред-
ставляют распределения азимутальных компонент скорости и магнитного поля, а также момента количества движения и магнитного момента в солнечном ветре. Последние представлены на рис. 20. Пользуясь этим рисунком (по оси ординат отложены десятичные логарифмы от ги^ и от — 5(р5гг/(4лры)), легко пересчитать, что на орбите Земли азимутальная компонента скорости имеет величину у^ ^ 1 км/сек. Такая величина азимутальной скорости, полученная на основе теоретических расчетов, более чем на порядок меньше экспериментально измеряемой величины (~ \0км/сек и выше).
Для типичных параметров солнечного ветра на орбите Земли для альфвеновской критической точки можно получить значение [26]
гл = 24,6/?о.
Почти такое же значение гА следует из приближенных оценок [27, 28]. Действительно, из определения радиального альфвенов- ского числа Маха (23.14) и из постоянства радиальной скорости на больших расстояниях от Солнца (см. рис. 18) следует, что Ы\Агтг. Отсюда
или 21^0,
где индекс Е относится к орбите Земли.
Если предположить, что радиальная скорость и плотность солнечного ветра не зависят от солнечной широты 0 = л/2—6, а момент количества движения на единицу массы изменяется с широтой как cos2©, то изменение момента количества движения
Солнца /q можно оценить по формуле
Л/ 2
-f=^rLs^-^ j =oS-ede.
о
Используя (23.16), значения для тА, формулу
—— 4лрыг2
и характерные значения параметров на орбите Земли, получим /Оо-/о« 7,2-Юзо/.
Если в эту формулу подставить t^ 1,4-1017 сек— время жизни Солнца, то найдем, что момент количества движения изменился на ~ 1048г-сж2/^к, что сравнимо с оценкой момента количества движения Солнца в настоящее время [29, 30].
Сделанная выше оценка справедлива для сферически симметричного солнечного ветра. Она может существенно измениться, если на Солнце имеются области с очень сильными магнитными полями, препятствующими истечению солнечного ветра, а также если параметры плазмы солнечной короны зависят, например, от широты. Последнее приводит к различным расстояниям до альфвеновской критической точки в разных трубках тока, что в свою очередь дает разные значения момента количества движения, выносимого из Солнца, для разных широт [31].
Оценка потери момента количества движения важна для теории эволюции звезд. Так, например, в настоящее время считается, что звезды образуются из конденсированного межзвездного вещества при гравитационном сжатии последнего. При этом исходят из гипотезы сохранения момента количества движения, что приводит к увеличению угловой скорости вращения звезды в процессе ее формирования. Этим обычно объясняется высокая угловая скорость вращения звезд раннего спектрального класса (например, горячие массивные звезды классов О и 5).
Для объяснения же резкого уменьшения угловой скорости звезд более поздних спектральных классов (начиная с класса F2) часто привлекается гипотеза о передаче вращательного момента образующимся вокруг них планетам (так, например, известно, что 98% всего углового момента Солнечной системы связано с орбитальным движением планет и только 2%—с вращением Солнца вокруг своей оси).
Рассмотренный выше механизм потери углового момента Солнцем путем истечения из него плазмы открывает возможность пересмотра этих положений. Однако приведенная оценка очень чувствительна к величине гА, которая в свою очередь сильно зависит от принятой модели солнечного ветра.
Рассмотренная выше модель солнечного ветра обладает тем недостатком, что температура электронов считалась равной температуре протонов (7\~7\ = Т), а вместо полного уравнения притока тепла использовался полуэмпирический закон политропы. Представляет большой интерес изучение аналогичной модели солнечного ветра на основе полной системы гидродинамических уравнений двухжидкостного приближения, полученной в § 6, с учетом магнитного поля, вязкости, теплопроводности, отличия электронной температуры Те от протонной Т[ и анизотропии коэффициентов переноса.
В тех же предположениях относительно параметров плазмы, что и в предыдущей модели, из системы уравнений двухжидкостного приближения (10.1)—(10.5) будем иметь для сферически симметричного солнечного ветра (и при 6 = л/2, т. е. в плоскости солнечного экватора)
Р“3г = dr I Pm7 ++73 З/Г (^rr+^irr)]р—75- +
+ [rotВх^]г + ^, (23.21)
7 £ ('^) = (Div л)ф + ^ [rot В X В]Ф,(23.22)
|-С^.^ + ^^(г2«) + А(Г29аг)_Г2Яа^^ X иь^ UYIlliUY
pura = C, ра = р^Та ^ = e,iY (23.24)
При получении этой системы уравнений из (10.1) — (10.5) использовалось суммирование (10.2) по сортам частиц, предполагалась малость относительной скорости электронов Ve и ионов Vh как и при выводе одножидкостного приближения в § 7, а также считалось, что радиальная компонента плотности тока равна нулю. Последнее условие при наличии квазинейтральности дает Ver = V,r = u.
Эксперименты указывают на то, что предположение малости относительной скорости электронов и ионов также удовлетворяется в космическом пространстве [32]. Последний факт очень важен для теории, поскольку результаты § 6 и § 7 получены именно при этом предположении. Численные расчеты модели солнечного ветра, описываемой системой уравнений (23.21) — (23.24), были проведены в работе [33], при этом использовались приближенные j выражения для тензора вязких напряжений и вектора
в видев видепотока тепла в сферической системе координат
в виде
в виде
ООЗфЗфqar - — х“ cos2 х -37 , ^к„ --- г cos2 хл«qar - — х“ cos2 х -37 , ^к„ --- г cos2 хл«оо4"4"оо^4ф^4фоо4Л4Л
О
О
Зф
Зф
qar - — х“ cos2 х -37 , ^к„ --- г cos2 хл«
qar - — х“ cos2 х -37 , ^к„ --- г cos2 хл«
о
о
4"
4"
о
о
^4ф
^4ф
о
о
4Л
4Л
A -£(1L\ А — d^r-dr\r ’ Ф~ dr
Х« ,16^^,11maVaХ« ,16^^,11maVa«„^0,73^^«„^0,73^^(а--5, /).(а--5, /).(23.25)(23.25)
Х« ,16^^,11maVa
Х« ,16^^,11maVa
«„^0,73^^
«„^0,73^^
(а--5, /).
(а--5, /).
(23.25)
(23.25)
Здесь %, как и ранее, угол между радиусом-вектором и магнитной силовой линией, хр—продольный коэффициент теплопроводности, Ла^Л? (сравните с (6.7) — (6.10)). Поскольку при В ~ 1 гс в солнечной короне соете~ 105—10s, а на орбите Земли при В~5у имеем со^т^^Ю7—108, то в (23.25) учитывается только продольный коэффициент теплопроводности Хц, а из всех коэффициентов вязкости только л?• Порядок строк и столбцов в матрице в (23.25) есть (г, 0, ф). Выражения для Qa совпадают с правыми частями (22.3), (22.4).
Система уравнений второго порядка (23.21) — (23.25) служит для определения р, и, иф, Tet Тесли известны Вп В^. Последние, при выполнении условия «вмороженности» магнитного поля, можно исключить при помощи (23.7) и (23.8). Эта система уравнений не имеет особых точек и решалась в [33] численным интегрированием в направлении к Солнцу при задании и, v<p, Те, Т( и их производных в некоторой точке r^rv Точка гх выбиралась где-то за орбитой Земли и варьировалась до тех пор, пока решение в области г^Ха.е. не начинало слабо зависеть от задания производных.
Численные расчеты показали, что такая более точная модель предсказывает по сравнению с моделью, рассмотренной в § 22 (уравнения (22.1) — (22.5)), лишь незначительное увеличение температуры протонов у орбиты Земли (7-103°К вместо 4-103°К), которая оказывается все еще малой по сравнению с экспериментально измеренной (~5-104°К), и еще более заниженную направленную скорость (~ 223 км/сек на орбите Земли).
Азимутальная скорость иф на орбите Земли осталась той же, что и в модели, рассчитанной на основе уравнений (23.4)—(23.9) (см. рис. 20), т. е. на порядок меньше экспериментально измеряемой.
В [33] результаты расчета теоретической модели были подогнаны к экспериментальным результатам по радиальной скорости и протонной температуре путем эмпирического учета влияния флуктуаций (измененные коэффициенты переноса), о чем речь
будет идти в следующем параграфе. Эти результаты, вместе с результатами рассмотренной выше точной теории, приводящими к расхождению с экспериментальными данными, указывают на возможность присутствия в межпланетной среде «эффективных» источников, связанных, очевидно, с наличием флуктуаций. Эти флуктуации влияют на средние характеристики солнечного ветра (см. § 24). Здесь следует заметить, что использование уравнения индукции магнитного поля в форме (11.7) в рассмотренной выше модели не является, строго говоря, последовательным, поскольку в межпланетной плазме соДе^ 1 и параметр Н = coeTe/Rm может оказаться порядка или больше единицы. При этом, как показано в § 11, необходимо рассматривать уравнение индукции магнитного поля в форме, например, (11.3) или (11.5). Это привело бы, в частности, к тому, что в солнечном ветре была бы отличной от нуля компонента скорости, перпендикулярная плоскости солнечного экватора (uq^O).
Результаты моделей, рассмотренных в этом параграфе, справедливы лишь при НО, т. е. на языке волн в плазме (§ 12), лишь в отсутствие холловской дисперсии.
В заключение настоящего параграфа рассмотрим вопрос о возникновении анизотропии температуры в солнечном ветре (Ри ч^РА, или Т м lY
Анализ измерений распределения частиц по скоростям на космических аппаратах и попытка их интерпретации привели к выводу, что температура заряженных частиц в солнечном ветре анизотропна (см., например, [7]). При этом оказалось, что Ти1Тц « 2 для протонов и существенно меньше для электронов (Т^ц/Т^^ « 1,2). Теоретические же расчеты, выполненные на основе-предположения о сохранении первого адиабатического инварианта (my2/(2S) = const, где и^— поперечная к магнитному полю компонента скорости частицы) и полной внутренней энергии хаотического движения частиц, привели к существенно более высокой анизотропии на орбите Земли (T^JT^ L 50).
Исследованию такого расхождения между теорией и экспериментом было посвящено много работ, большинство из которых основывалось на анализе решений для функции распределения частиц по скоростям (качественно этот вопрос будет затронут в § 24).
Здесь же рассмотрим течение солнечного ветра на основе гидродинамических уравнений, учитывающих анизотропию температуры (давления), т. е. будем исходить из системы уравнений (10.16), вывод которой дан в § 8, но вместо двух адиабатических соотношений для pL и рп будем использовать два политропных закона (10.17). Для солнечного ветра в одномерном случае они примут вид
Р» р^С^В6. (23.26)
Здесь С и, Cj_ — постоянные интегрирования, а и 6 — показатели политропы для продольного и поперечного давлений (при а= = 6=1 получаются адиабатические соотношения в системе уравнений ЧГЛ (10.16), а случай а = 6 = 0 соответствует изотермическому процессу 7ц = const, 7Д = const). Аналогом соотношений (23.13) и (23.20) здесь будут [34]
pur2pur2ГМ2 + и22ГМ2 + и22V r V S2/(4n)V r V S2/(4n)115,5$ = 4лри5,5$ = 4лри2p p r ' p2p p r ' pВгВф^ (а—1)Рц (6-1)Р± 4лрм2а р 6 рВгВф^ (а—1)Рц (6-1)Р± 4лрм2а р 6 рconst = Lq,const = Lq,B"r №B"r №В ГВФ ОфВ ГВФ Оф= const = Fq.= const = Fq.(23.27)(23.28)(23.27)(23.28)
pur2
pur2
ГМ2 + и2
2
ГМ2 + и2
2
V r V S2/(4n)
V r V S2/(4n)
1
1
5,5$ = 4лри
5,5$ = 4лри
2p p r ' p
2p p r ' p
ВгВф^ (а—1)Рц (6-1)Р± 4лрм2а р 6 р
ВгВф^ (а—1)Рц (6-1)Р± 4лрм2а р 6 р
const = Lq,
const = Lq,
B"r №
B"r №
В ГВФ Оф
В ГВФ Оф
= const = Fq.
= const = Fq.
(23.27)
(23.28)
(23.27)
(23.28)
Уравнения (23.27), (23.28) вместе с (23.4), (23.8), (23.12) и (23.26) образуют полную систему алгебраических уравнений для определения р, р6, Pl, и, иф, Вг, Вф. При р« = р^ = Р эта система уравнений переходит в систему уравнений с изотропным давлением.
При численном решении уравнений этой анизотропной модели в работе [34] начальные данные выбирались при r0=l,5/?Q. Для плотности и температуры использовались значения в соответствии с наблюдениями (рис. 15 и рис. 16) и считалось, что Tho = Tlo при г — r6—\ ,5Rq. Величина начальной радиальной скорости и бралась равной 10 км/сек. Основными особенностями полученных в [34] результатов являются величины азимутальной скорости иф =10 км/сек и анизотропии температуры, согласующиеся с данными эксперимента.
Однако, несмотря на удовлетворительное согласие результатов расчетов с данными эксперимента, эта модель [34] обладает, на наш взгляд, целым рядом недостатков. Во-первых, в конкретных расчетах использовались довольно малые значения показателей политропы (0^а^0,19; 0,08^6^0,302), что, естественно, не могло привести к большому расхождению Т п и Т Выбор таких значений а и 6 для согласования теоретических расчетов с результатами экспериментов носит чисто эмпирический характер и не проясняет вопроса о тех физических процессах в межпланетной плазме, которые обусловливают такие течения. Во-вторых, как видно из рис. 19, процессы столкновений частиц играют в солнечном ветре существенную роль до больших гелиоцентрических расстояний и неясно, можно ли использовать тензор напряжений в форме (10.6), полученный в § 8, для существенно бесстолкновительной плазмы, начиная с расстояния г=1,5/?0.
Оценить анизотропию температуры в солнечном ветре на основе уравнений ЧГЛ (а = 6=1) можно следующим образом.
ВЛИЯНИЕ ФЛУКТУАЦИЙВЛИЯНИЕ ФЛУКТУАЦИЙ147147§ 2^ J
ВЛИЯНИЕ ФЛУКТУАЦИЙ
ВЛИЯНИЕ ФЛУКТУАЦИЙ
147
147
Предположим, что на некотором расстоянии г* от Солнца (большем rc, rA, r^ столкновения частиц становятся несущественными. Считая в области г > г* радиальную скорость постоянной, а \иВ<р+ЙгВг\>\ич>Вг\, из (23.4), (23.12) и (23.26) приа=6=1 получим
Pl “" (1 + Q^-2r2)3/2r2 •
Из этой формулы видно, что величина анизотропии температуры имеет максимум при r = K2u/Q, т. е. г ж 1,54* 1013 см «
а.е. при Й = 2,7»10~6 сек и и = 3-107 см/сек. Величина максимальной анизотропии равна Pn/pi « 1,5, если г* = 0,5 а.е., что хорошо совпадает с экспериментальными результатами. Такой результат может показаться случайным в силу недостаточной обоснованности уравнений ЧГЛ для бесстолкновительной плазмы (§ 8). Вместе с тем он наводит на мысль, что эти уравнения хорошо описывают бесстолкновительные гидродинамические эффекты в межпланетной плазме, тем более, что, как показывают некоторые эксперименты (см., например, [35]), функция распределения частиц по скоростям в межпланетном пространстве характеризуется малостью третьих моментов, т. е. наиболее уязвимое предположение в теории ЧГЛ может оказаться справедливым.
Все же к выводам, полученным на основе уравнений ЧГЛ, надо относиться с большой осторожностью, поскольку малость третьих моментов, а также перпендикулярность электрического и магнитного полей, являющиеся основными предположениями в гидродинамической теории ЧГЛ для бесстолкновительной плазмы, в каждом случае необходимо проверять.
О влиянии флуктуаций на динамику солнечного ветра
Как видно из моделей солнечного ветра, рассмотренных в §§ 22, 23 и основанных на выведенных в §§ 6—8 гидродинамических уравнениях, трудно согласовать результаты теории с наблюдательными данными одновременно на орбите -Земли и в солнечной короне. Наиболее полно описывающее течение солнечного ветра двухжидкостное приближение с учетом магнитного поля, анизотропных вязкости и теплопроводности (уравнения (23.21)— (23.25)) приводит к слишком низким значениям протонной температуры, радиальной и азимутальной скоростей на орбите Земли при согласовании данных по концентрации и температуре в солнечной короне.
Добиться согласования теории и эксперимента можно, вообще говоря, либо вводя в уравнение энергии дополнительные источ-
ники тепла, либо изменяя вычисленные на основе классической кинетической теории (гл. I) коэффициенты теплопроводности, вязкости, обмена энергией между компонентами и т. д. Уже подбор показателя политропы означает введение в полное уравнение энергии некоторого «эффективного» источника, природа которого при этом не выясняется.
В настоящем параграфе обсуждаются возможные механизмы появления дополнительных «эффективных» источников тепла. Поскольку количественная теория многих из этих процессов до сих поп не построена, то мы ограничимся обсуждением качественной стороны вопроса о влиянии флуктуаций на динамику солнечного ветра, а также полуэмпирического описания.
Одним из механизмов появления такого эффективного источника т<пла может оказаться возникновение флуктуаций в плазме, широкий спектр которых (от длин волн, больших 106 км, до очень малых наблюдаемых длин волн) обнаружен экспериментально в межпланетной плазме. В основном спектры этих волн монотонно падающие с уменьшением длины волны, т. е. наибольшая часть энергии концентрируется в длинноволновых флуктуациях.
Большинство работ, посвященных рассмотрению влияния флуктуаций в плазме на средние характеристики солнечного ветра (температуру, скорость, плотность), ограничивается качественными соображениями о возможных механизмах возникновения флуктуаций и степени их воздействия на плазму. Так, в работе [36] было отмечено, что большие тепловые потоки в плазме могут искажать электронную функцию распределения таким образом, что создаются условия для возникновения неустойчивостей. Анализ дисперсионных уравнений при этом показывает, что эти неустойчивости появляются на разных модах в зависимости от соотношений между параметрами плазмы. Рассеяние электронов на возникающих флуктуациях приводит тогда к уменьшению коэффициента теплопроводности.
В работе [37] этот эффект был рассчитан для случая 7\5> 7,-, когда развивается ионно-звуковая неустойчивость [38] (в гидродинамическом приближении, как показано^ § 19, малые возмущения при Те |> Т( могут распространяться с ионно-звуковой скоростью a^j/kT^/TTz,-). Коэффициент теплопроводности электронов, вычисленный на основе теории их рассеяния на ионнозвуковых турбулентных пульсациях, оказывается меньше классического (§ 6). Это явление может привести к улучшению результатов двухжидкостной модели для солнечного ветра, рассмотренной в § 22.
В работе [39] было высказано соображение, согласно которому расчет параметров плазмы по модели, описываемой системой уравнений (22,1) — (22.5), приводит к выводу, что уже при г^0,1 а. е. (см. рис. 17 и рис. 18) плазма становится неустой-
чивой по отношению к раскачке ионно-звуковых колебаний ^Те^>Т(, В^ОУ В результате возникает ионно-звуковая турбулентность, которая выравнивает температуры электронов и протонов. Это приводит к лучшему согласию теории и эксперимента по солнечному ветру.
Существование в плазме анизотропии температуры (давления) может способствовать возникновению (§ 12) «шланговой» неустойчивости при
Ри>Р1 + -£г(24.1)
и «зеркальной» неустойчивости при
В'2
+(24.2)
Если на орбите Земли пеЕ«5 см, l\Ew 105 °К, ВЕ^5^, арм = 2pv, то критерий (24.1) не выполняется и «шланговая» неустойчивость возникнуть не может. Условие (24.2) выполняется лишь при Pj_ > Рп, т. е. «зеркальная» неустойчивость может развиваться, согласно результатам § 23, лишь далеко за орбитой Земли, где азимутальная компонента магнитного поля становится больше радиальной (см., например, формулу (23.29)).
Однако в межпланетной плазме имеют место вариации параметров в зависимости от солнечной активности и поэтому, вообще говоря, даже на орбите Земли могут возникать условия, приводящие к «шланговой» неустойчивости. Последняя приводит к нарастанию длинноволновых возмущений (со<^со^, где со — частота волны, wz— ионная циклотронная частота). «Шланговая» и «зеркальная» неустойчивости могут являться механизмами выравнивания продольной и поперечной температур плазмы. Эти механизмы не учитываются гидродинамическим приближением ЧГЛ.
Авторы работ [40, 41] наблюдали геомагнитные пульсации в диапазоне частот 0,1—2 гц. Эти пульсации интерпретировались как спектр циклотронных неустойчивостей (см^, например, [38]), возбуждаемых в межпланетной плазме (m mz). Порог таких неустойчивостей ниже, а инкремент нарастания амплитуды выше, чем у «шланговой» неустойчивости. Циклотронная неустойчивость, по-видимому, также может приводить к ограничению анизотропии давления и к выравниванию температур электронов и протонов солнечного ветра.
В работе [42] было высказано предположение, что основной причиной возникновения флуктуаций в солнечном ветре является неустойчивость вследствие неодномерности потока солнечного ветра (см. § 25), когда различные участки солнечной короны генерируют потоки плазмы с различными радиальными скоростями, вызывая неустойчивость типа Кельвина — Гельмгольца, хорошо
известную в гидромеханике. Именно эти неустойчивости, по мнению авторов работы [42], являются основным источником дополнительной энергии в солнечном ветре. Тем не менее эта уверенность не подкреплена строгой теорией, а основывается лишь на приблизительных оценках.
Наиболее стройной гипотезой механизма дополнительной доставки энергии плазме солнечного ветра от волн нам представляется следующая гипотеза [43, 44].
Предполагается, что имеется поток волновой энергии — 5-1026 эрг!сек, (примерно такая величина энергии требуется для увеличения скорости солнечного ветра, полученной в § 22, до измеряемой величины) из основания внешней солнечной короны (г ^ 1,5AJO). Эта энергия доставляется в форме магнитогидродинамических волн с длиной волны, много большей ларморовского радиуса частиц, и с частотой, много меньшей ионной циклотронной или гирочастоты. При этом длина волны и ее период для бесстолкновительного характера распространения таких волн должны быть много меньше соответственно длины и времени свободного пробега частиц. Так, например, на 1 а. е* от Солнца протоны бесстолкновительны по отношению к волнам с периодом ^^12 ч, электроны — по отношению к волнам с периодом/^Зч, а на f^Rq—к волнам с периодом /^10 мин и /^30 сек соответственно (см., например, рис. 19).
Путем численного решения дисперсионного уравнения, полученного на основе кинетического приближения, в работе [45] найдено, что, за исключением альфвеновских мод, все другие моды являются затухающими при р ВппекТе, JB“ ^ 0,5 (это условие обычно выполняется в межпланетной плазме) из-за бесстолкновительного механизма Ландау, не описываемого в рамках макроскопической теории.
Так как оценки показывают, что медленные магнитозвуковые волны должны затухать еще в солнечной короне, то в [43, 44] рассматривался нагрев плазмы солнечного ветра только посредством затухания быстрых мод. Расчет для быстрых магнитогидродинамических волн привел к выводу [43], что при распространении волны вдоль магнитного поля (ф — 0, где Ф—угол между волновым вектором к и невозмущенным вектором магнитной индукции Во) и перпендикулярно полю (Ф = 90°) затухания нет и энергия волны не перекачивается в тепловую энергию плазмы. При 0° < Ф < 40° разогреваются в основном протоны, а при 50° < Ф < 90° — электроны. При этом рассматриваемый в [43, 45] резонансный нагрев увеличивает лишь параллельную магнитному полю температуру Гц, оставляя неизменной поперечную Tv
Для модели важен еще факт, что направление распространения волны изменяется таким образом, что волны по мере удаления от Солнца стремятся распространяться в строго радиальном направ-
лении (преломляются в радиальное направление). Этот факт следует из следующих простых соображений [44].
Уравнения движения постоянной фазы волны имеют вид (в проекциях на радиальное и азимутальное направления)
(24.3)(24.3)^-=u(r) + u4cos^, r-^= — u4sin^ ,
(24.3)
(24.3)
где г —расстояние от Солнца, и — радиальная скорость солнечного ветра, уф — фазовая скорость волны, | — угол между радиальным направлением от Солнца и направлением распространения волны.
Из (24.3) следует
г w (sin £) = - 1+М(г)/соТГ ( М = —J .
Это уравнение легко решить в трех предельных случаях: М = 0 (малые числа Маха), М=1 и М = const^>1. Все эти решения дают g—>0 при г—-ос, т. е. если волны выходят изотропно из солнечной короны, то они имеют тенденцию преломления в радиальное направление.
Окончательно качественная модель разогрева плазмы солнечного ветра, предложенная в [43, 44], заключается в следующем. Из основания солнечной короны (t~1,5/?q) выходит изотропный поток энергии быстрых магнитогидродинамических волн ~5- Ю26 эрг/сек. Наибольшая часть этого потока затухает внутри сферы с радиусом в несколько солнечных радиусов, одновременно преломляясь в радиальное направление. Затухание приводит к разогреву как электронов, так и протонов вследствие изотропности поступаемой из короны волновой энергии. Этот разогрев, который происходит в дозвуковой области течения, увеличивает скорость солнечного ветра (по аналогии с соплом Лаваля, в котором увеличение температуры в ресивере приводит к большим скоростям на выходе из сопла).
Оставшаяся волновая энергия, будучи преломленной в радиальное направление, распространяется в почти радиальном магнитном поле до г— 1О/?0 (см. § 23). В результате часть энергии (~1% от поставляемой из основания верхней короны при г~1,5/?о) распространяется без затухания до тех пор, пока азимутальная компонента магнитного поля не станет существенной. Диссипация волновой энергии в области 107?q< г < 20/?q(b сверхзвуковой области солнечного ветра) приводит к увеличению температуры в основном протонов, поскольку угол Ф между радиальным направлением распространения волны и магнитным полем еще достаточно мал (§ 23). Так как такой разогрев увеличивает только Т п и более эффективен в этой области для протонов, чем для электронов, то отсюда следует также объяснение превышения ионной анизотропии температуры над элект-
ронной. Как было указано в § 23, последний факт обнаружен экспериментально в межпланетной плазме.
Изложенное качественное представление достаточно привлекательно, поскольку имеет законченный вид, объясняя при этом причины расхождения экспериментальных результатов с результатами расчета гидродинамических моделей солнечного ветра (низкие скорости, невозможность объяснения в рамках рассмотренных в предыдущих параграфах моделей превышения протонной анизотропии над электронной, низкие протонные температуры на орбите Земли и т. д.). Однако количественная сторона всех этих вопросов остается пока неясной.
В настоящее время не существует строгого вывода гидродинамических уравнений для плазмы с учетом диссипации волн и их влияния на коэффициенты переноса, хотя имеются отдельные попытки получения этих эффектов на основе квазилинейного подхода в сильно идеализированных условиях (см., например, [37, 46]). Коэффициенты переноса могут сильно меняться вследствие рассеяния заряженных частиц на флуктуациях (известно, например, явление аномального сопротивления в плазме), при этом величина таких изменений зависит от характера волн, возбуждаемых в плазме.
Большинство работ, в которых предпринимается попытка количественного учета влияния флуктуаций на средние характеристики солнечного ветра, носит полуэмпирический характер. Для согласования результатов расчетов с экспериментальными данными либо в гидродинамические уравнения вводятся дополнительные источники тепла как известные функции расстояния от Солнца с некоторым числом подбираемых свободных параметров, либо изменяются по сравнению с классическими (§ 6) коэффициенты переноса (вязкости и теплопроводности) и коэффициенты обмена энергией между электронами и протонами, продольными и поперечными степенями свободы.
Почти все рассматриваемые в литературе двухжидкостные модели солнечного ветра с таким учетом флуктуаций преследуют цель получить результаты, наиболее близко приближающиеся к эмпирической зависимости температуры протонов от радиальной скорости солнечного ветра на орбите Земли, полученной в работе [47]:
7^г = (0,036+0,003) ы£ —(5,54± 1,50) (24.4)
(здесь Т iE— в единицах 103°К, а иЕ—в километрах в секунду). Рассмотрим несколько примеров учета флуктуаций в солнечном ветре такими способами. Пусть система уравнений двухжидкостного приближения состоит из уравнений неразрывности (22.1) и движения (22.2), а уравнения притока тепла для каждой
компоненты запишем в виде
3pd/kT\_ икТ.$—2dr \1J1 dr1 d ( „ dT; \ г2 dr Vdr J=AVe.pk(Te-Ta + Pz,3pd/kT\_ икТ.$—2dr \1J1 dr1 d ( „ dT; \ г2 dr Vdr J=AVe.pk(Te-Ta + Pz,2 pU drUKV е dr г2 dr V е dr )= -|v„.pk <Ге-Т^А-Ре,2 pU drUKV е dr г2 dr V е dr )= -|v„.pk <Ге-Т^А-Ре,(24.5)(24.6)(24.5)(24.6)
3pd/kT\_ икТ.$—
2dr \1J1 dr
1 d ( „ dT; \ г2 dr Vdr J
=AVe.pk(Te-Ta + Pz,
3pd/kT\_ икТ.$—
2dr \1J1 dr
1 d ( „ dT; \ г2 dr Vdr J
=AVe.pk(Te-Ta + Pz,
2 pU drUKV е dr г2 dr V е dr )
= -|v„.pk <Ге-Т^А-Ре,
2 pU drUKV е dr г2 dr V е dr )
= -|v„.pk <Ге-Т^А-Ре,
(24.5)
(24.6)
(24.5)
(24.6)
причем считаем выполненными соотношения (22.5) для коэффициентов. По сравнению с (22.3), (22.4) в уравнения (24.5), (24.6) включены члены Ре и Рь которые определяют нагрев электронов и протонов за счет бесстолкновительного механизма затухания волн, В [48] предполагается
где Do— мера величины бесстолкновительного нагрева; rmax— гелиоцентрическое расстояние, на котором происходит максимальная доставка энергии волн; b— протяженность источника нагрева; п^— плотность протонов в некоторой точке г-г0.
Система уравнений (22.1), (22.2), (22.5), (24.5) и (24.6) решалась численно в [48] итерационным методом, изложенным в § 22 [22], при тех же, что и в § 22, граничных условиях. В качестве нижней границы г0 использовалась величина ro-2R0, где задавались значения п/0 = 1,5-106 см~\ Те0 1,5-106 °К, Т/0 = 1,2-106 °К в соответствии с моделью, изложенной в § 22. Параметры rmax, b и Do подбирались так, чтобы наилучшим образом согласовать результаты расчетов сданными эксперимента, в частности, с эмпирической формулой (24.4).
Было показано, что увеличение интенсивности Do источника нагрева (при фиксированных rmax и Ь) приводит к увеличению скорости иЕ и температуры ТiE на орбите Земли при уменьшении плотности пеЕ (rmax/^o^2) и слабом уменьшении Т еЕ. Эти изменения параметров, по сравнению с моделью в § 22, происходят в сторону улучшения согласования с экспериментальными результатами, выраженными формулами (24.4).
Рассмотренный подход может быть полезен как источник информации о тех областях в межпланетной среде и околосолнечном космическом пространстве, в которых могут быть дополнительные источники нагрева, не описываемые классической теорией явлений переноса (§ 6), Однако он не проясняет физического существа явлений. Например, остается неясным предположение Рд^О, отказ от которого приводит к увеличению температуры
электронов. Неясными остаются и механизмы возбуждения и диссипации волн.
Так как введение Ph по формуле (24.7) носит искусственный характер, то в [49] была предпринята попытка учесть разогрев протонов солнечного ветра быстрыми магнитозвуковыми волнами, вычисляя Pt на основе результатов квазилинейной кинетической теории [43, 44] (см. выше). При этом направление межпланетного магнитного поля считалось спиральным согласно моделям в § 23, а направление распространения волн считалось таким, при котором разогреваются в основном протоны. Поток энергии волн из основания солнечной короны брался ~1027 эрг/сек, а период волн — порядка 2,5—10 мин в соответствии с максимальным периодом фотосферных и хромосферных возмущений.
Однако сравнение с результатами, полученными на основе (24.7), затруднено, поскольку при г0-2/?у задавалось Т(й > Те0»
Другим способом учета флуктуации, как было отмечено выше, является использование в гидродинамических уравнениях измененных, по сравнению с (22.5), коэффициентов. Так, например, в работе [50] рассматривалась двухжидкостная модель солнечного ветра на основе системы уравнений (22.1)—(22.4), но использовались измененные, по сравнению с (22.5), коэффициенты в виде
^emod ^е^1» ^Zmod " ^Z^2> ^eZmod " ^’е/^З» (24.8)
где хе, xh vei определяются формулами (22.5), а Bi> В2 и £з— изменяемые постоянные параметры. В [50] использовался уменьшенный коэффициент теплопроводности электронов (Вх < 1) и увеличенные коэффициент теплопроводности протонов (В2 > 1) и коэффициент обмена энергией между электронами и протонами (В3 > 1). Ясно, что такой выбор параметров должен уменьшать температуру электронов и увеличивать температуру протонов по сравнению с двухжидкостной моделью, описываемой системой уравнений (22.1)—(22.5). Поскольку детали численного расчета не представляют специального интереса, остановимся на основных результатах, полученных с помощью (22.1)—(22.5), (24.8).
Было показано [50], что увеличение протонной температуры до измеряемой величины может быть получено либо за счет большого увеличения скорости обмена энергией между компонентами (Вз 30, В2- 1), либо за счет увеличения в два раза протонной теплопроводности (В3 = 2, Вз 1)- В обоих случаях уменьшение электронной температуры до наблюдаемых величин требует уменьшения электронной теплопроводности примерно в четыре раза (Bj = 0,25) по сравнению с классической (22.5). При всех этих изменениях коэффициентов рассчитанная скорость солнечного ветра не увеличивается, по сравнению с вычисленной на основе (22.5), до измеряемой величины (см. § 22).
В наиболее общей модели солнечного ветра, рассмотренной в § 23 (см. уравнения (23.21)—(23.25)), согласования результа-
тов расчетов с данными экспериментов можно достигнуть, приняв для коэффициентов теплопроводности и вязкости следующие эмпирические зависимости [33]:
(24.9)(24.9)е mod^mod
(24.9)
(24.9)
Jl Jbе„
Ле
где х^ и т]е определяются классическими формулами (23.25). Использование (24.9) в модели (23.21)—(23.25) приводит [33] к хорошему согласию с экспериментальными данными на орбите Земли по радиальной скорости, плотности, магнитному полю, электронной и протонной температурам, но к еще слишком низкой азимутальной скорости (иф ^ 1,8 к^/сек). Кроме того, использование (24.9) сохраняет неясности по получаемым параметрам в солнечной короне. Такая модель дает Те^Т( при r = 3RQ, а интегрирование внутрь приводит к Т( > Те для г < 3R^. Приходится привлекать дополнительные предположения типа (24.8) для поддержания Te = Tz при г < 3Rq.
ТАБЛИЦА 2
иЕ
(км/сек)
% (см-*)
7>£(JD«k>
7^(10*6К)
ВЕ(\0-*гс)
1 а. е.
3Ro
Эксперимент
[33]
[50]
[49]
300—350
303
270
330
8,7±4,6
9
6
15
(2— 8)-105
1,7-10®
4,2-10®
14±5
20
16
22
4,4±1,8
4
4,3
3,2
4,6±1,4
8
2,6
Из табл. 2, взятой из [51] и посвященной сравнительному анализу результатов в [33, 49, 50], видно, что в модели, описываемой формулами (24.8) и уравнениями (22.1) — (22.5) [50], слишком низка скорость солнечного ветра, а азимутальная компонента скорости вообще не описывается этой моделью. Использование же коэффициентов (24.9) в модели, описываемой уравнениями (23.21)—(23.25) [33], так же как и модель в [49] (см. выше), приводит к завышенной электронной температуре, не говоря уже о низкой азимутальной скорости.
Учету влияния альфвеновских волн, источником которых является Солнце, на перенос импульса и энергии в двухжидкостной модели солнечного ветра посвящена работа [52]. Однако, несмотря на возможность улучшения согласования результатов теории и эксперимента по некоторым параметрам плазмы, в такой
модели возникают дополнительные трудности. Например, в [52] предполагается, что отсутствует азимутальная компонента скорости, а спиральное магнитное поле определяется при этом из условия параллельности скорости и магнитного поля во вращающейся системе координат. Это является шагом назад по сравнению с самосогласованной моделью, анализировавшейся в § 23.
Рассмотренные в этом параграфе проблемы разогрева и ускорения солнечного ветра под влиянием флуктуаций в основном относились к введению дополнительных полуэмпирических источников тепла. Как и большинство эмпирических результатов в теории, этот подход не может быть признан удовлетворительным, поскольку области применимости таких теорий абсолютно неясны, особенно при недостаточной надежности экспериментальных результатов.
Несмотря на несомненную ценность рассмотренного в настоящем параграфе подхода, слишком сильное развитие исследований в этом направлении за последнее время лишь усложняет, на наш взгляд, теоретическое представление о межпланетной плазме, поскольку такой эмпирический подход мало проясняет физическую сущность процессов в космическом пространстве. Центр тяжести, как нам кажется, должен быть перенесен в таких исследованиях на изучение коллективных процессов в межпланетной плазме на уровне функций распределения и на влияние последних на макроскопические параметры.
В заключение настоящего параграфа отметим, что флуктуации могут влиять не только на перенос энергии, но также и на перенос импульса (§ 10). В частности, альфвеновские, а также быстрые и медленные магнитозвуковые волны (§ 12) могут существенно изменить оценку потери момента количества движения из Солнца [53], проведенную в § 23 (особенно это относится к быстрым магнитозвуковым колебаниям). Кроме того, альфвеновские волны большой амплитуды могут сильно влиять на перенос радиального импульса [54, 55]. Однако такие теории для солнечного ветра в настоящее время еще далеки от своего завершения и не будут нами здесь рассматриваться.
Эффекты неодномерности солнечного ветра
Рассмотренные в §§ 22 — 24 модели солнечного ветра считались сферически симметричными. Такое истечение, строго говоря, возможно только в том случае, когда параметры плазмы однородны в атмосфере Солнца, т. е. не зависят от солнечной широты и долготы.
При слабой неоднородности в атмосфере Солнца сферически симметричные модели могут служить первым приближением к течению солнечного ветра. На малость отличия от сферической
§25] ЭФФЕКТЫ НЕОДНОМЕРНОСТИ СОЛНЕЧНОГО ВЕТРА ]57 симметрии указывают и косвенные наблюдения солнечного ветра вне плоскости эклиптики по отклонениям хвостов комет и по мерцаниям излучения от радиоисточников (см., например, [7]). Эти наблюдения дают величину радиальной скорости примерно совпадающей с радиальной скоростью в плоскости эклиптики (прямые измерения при помощи космических аппаратов в настоящее время проводятся только в плоскости эклиптики).
Рис. 21.
Наблюдения, однако, показывают, что атмосфера Солнца не является, вообще говоря, однородной. Имеются области повышенных температур, магнитного поля и т. д., распределенные как по широте, так и по долготе [7]. Измерения параметров плазмы на орбите Земли указали на существование крупномасштабных и долгопериодических флуктуаций (порядка нескольких дней) в солнечном ветре, связанных с вращением Солнца.
Так, например, зависимость от солнечной долготы межпланетного магнитного поля, впервые обнаруженная Нессом и Уилкоксом [56] и названная • ими секторной структурой, проявляется в том, что каждый сектор содержит магнитное поле одинаковой полярности, а от сектора к сектору полярность меняется. На рис; 21 схематически представлена четырехсекторная структура межпланетного магнитного поля в плоскости эклиптики по наблюдениям на космическом аппарате «1МР-1» с ноября 1963 г.
по февраль 1964 г. Знаки плюс и минус соответствуют положительному (от Солнца) и отрицательному (к Солнцу) направлениям поля соответственно. Секторная структура выявляется также и по другим параметрам плазмы солнечного ветра, при этом она вращается вместе с Солнцем.Имеются также данные наблюдений, указывающие на существование неоднородности межпланетной плазмы по солнечной широте (см., например, [57, 58]).Рассмотрим задачу о неодномерном солнечном ветре в линейном приближении, т. е. будем считать, что параметры плазмы слабо отличаются от сферически симметричного распределения. Чтобы понять основные моменты такой проблемы, не загромождая при этом изложения, будем исходить из одножидкостной политропной модели без учета магнитного поля, т. е. будем считать, что солнечный ветер описывается следующей системой гидродинамических уравнений:A+divpt/ = o, pd^=-Vp + p^U,по февраль 1964 г. Знаки плюс и минус соответствуют положительному (от Солнца) и отрицательному (к Солнцу) направлениям поля соответственно. Секторная структура выявляется также и по другим параметрам плазмы солнечного ветра, при этом она вращается вместе с Солнцем.Имеются также данные наблюдений, указывающие на существование неоднородности межпланетной плазмы по солнечной широте (см., например, [57, 58]).Рассмотрим задачу о неодномерном солнечном ветре в линейном приближении, т. е. будем считать, что параметры плазмы слабо отличаются от сферически симметричного распределения. Чтобы понять основные моменты такой проблемы, не загромождая при этом изложения, будем исходить из одножидкостной политропной модели без учета магнитного поля, т. е. будем считать, что солнечный ветер описывается следующей системой гидродинамических уравнений:A+divpt/ = o, pd^=-Vp + p^U,(25.1)(25.1)
по февраль 1964 г. Знаки плюс и минус соответствуют положительному (от Солнца) и отрицательному (к Солнцу) направлениям поля соответственно. Секторная структура выявляется также и по другим параметрам плазмы солнечного ветра, при этом она вращается вместе с Солнцем.
Имеются также данные наблюдений, указывающие на существование неоднородности межпланетной плазмы по солнечной широте (см., например, [57, 58]).
Рассмотрим задачу о неодномерном солнечном ветре в линейном приближении, т. е. будем считать, что параметры плазмы слабо отличаются от сферически симметричного распределения. Чтобы понять основные моменты такой проблемы, не загромождая при этом изложения, будем исходить из одножидкостной политропной модели без учета магнитного поля, т. е. будем считать, что солнечный ветер описывается следующей системой гидродинамических уравнений:
A+divpt/ = o, pd^=-Vp + p^U,
по февраль 1964 г. Знаки плюс и минус соответствуют положительному (от Солнца) и отрицательному (к Солнцу) направлениям поля соответственно. Секторная структура выявляется также и по другим параметрам плазмы солнечного ветра, при этом она вращается вместе с Солнцем.
Имеются также данные наблюдений, указывающие на существование неоднородности межпланетной плазмы по солнечной широте (см., например, [57, 58]).
Рассмотрим задачу о неодномерном солнечном ветре в линейном приближении, т. е. будем считать, что параметры плазмы слабо отличаются от сферически симметричного распределения. Чтобы понять основные моменты такой проблемы, не загромождая при этом изложения, будем исходить из одножидкостной политропной модели без учета магнитного поля, т. е. будем считать, что солнечный ветер описывается следующей системой гидродинамических уравнений:
A+divpt/ = o, pd^=-Vp + p^U,
(25.1)
(25.1)
Здесь U — гравитационный потенциал, р — показатель политропы. Представим решение системы уравнений (25.1) в виде
р = ро + р'. Р = Ро + р'. И=И0+(25.2)
где параметры со штрихом будем считать малыми по сравнению с невозмущенными параметрами, отмеченными индексом «О». Подставим (25.2).. в (25.1) и линеаризируем полученную систему уравнений относительно малых возмущений р', V' и р'. Пара- I метры невозмущенного потока будем считать удовлетворяющими f уравнениям (25.1). Если принять, что параметры с индексом «О»|
зависят только от расстояния г от Солнца, т. е. описывают сфе- f рически симметричную модель, то они определяются решениями, разобранными в § 21, а именноf
Уо = {«„ (0,0,0}, Р. = ^), ^- = const- <25-3)I
В дальнейшем в качестве нулевого приближения будем рас-I
сматривать только модели солнечного ветра, определяемые решением (25.3). Относительно малых возмущений получается
следующая система линейных уравнений:
0Уг .— ELIE» — л
dt 0 dr г dr ' pg dr p2 dr 9
д^Ф t „ дУф_ [ n Уф I1_ л
dtr -rrsin0po
atdrr "^rpode"0,
^ +^^[(po^r + P'«o) r2] +
H(Pn^o sin 9) H(Po^) = 0»1 г sin 9 00 о у / 1 rsinOdcpuo ф/ ’
p'=aV(25.4)
\ Po /
Решению системы уравнений (25.4) при различных предположениях относительно сферически симметричных параметров (25.3) солнечного ветра и относительно возмущений посвящено достаточно много работ. Так, в [59], где впервые изучались эффекты, связанные с неодномерностью солнечного ветра, рассматривалась зависимость возмущений только от азимутального угла ф, а в [60] только от полярного угла 9 (или’широты л/2— 9).
В [61, 62] принималась во внимание зависимость как от ф, так и от 9, причем в [59—61] считалось, что u0 = const, а в [62] учитывалась зависимость u0 = u0(r).
Если интересоваться только неоднородностями, которые вращаются вместе с Солнцем, то во вращающейся системе координат параметры солнечного ветра не будут зависеть от времени. Поэтому решение системы уравнений (25.4) можно искать в виде функций, зависящих от переменной rj = ф— QC а не от ф и t в отдельности. Вводя вместо г] новую переменную по формуле
£ = Q СА+ф-^J “о
(линии | = const представляют собой вращающиеся вместе с Солнцем спирали), окончательно из (25.4) получим
-Wi^+a? W+Q—WW0-(25.5)
^гУф)+—Wo,(25.6)
dr х ф ’ 1 sin 9 dt, \ p0 J ’x 7
^Т^У^М-(25-7)
V/Uq Uv \ Po у
^ \ Po u0 / ' 0^ \ Uq uq * r sin 6 uQ / ■ r sin 0 00 \ «0°/
(25.8)
Исключая из (25.5) и (25.6) (^^) (р7р0), легко найти интеграл движения
Qr^sin9 = g (6, g),(25.9) ро
где g(0, £) — произвольная функция. Уравнения (25.6) — (25.9) использовались в работе [61] для определения V'ri 1^, Кд, р' при заданных граничных условиях. Представим решение в виде
У[ = иох (з, 9) е^, зУд ^У ($, 6) е1т^,= uQz(s, ^elm^, p = p0^ (s, 0)^^,5(6, ^-W(9)^,(25.10)
где s = r/rQy m- целое число, F — некоторая постоянная, a r0 — начальная точка, в которой возмущения считаются известными.
Таким образом, (25.10) представляют собой решения с т периодами по координате £. Например, т = 4 соответствует четырехсекторной структуре солнечного ветра, изображенной на рис. 21 (более подробно о секторных структурах, обнаруживаемых в межпланетной плазме, см., например [6—8]).
Если предположить, что скорость солнечного ветра постоянна в нулевом приближении, то для одномерной политропной модели получаем (§ 21)
u0 = const, Ро^ РоО) (у)2> ti^a^y»
^ = es+4 =(25.11)
\ ио /
Подстановка (25.10), (25.11) в (25.6) — (25.9) приводит к следующим уравнениям для амплитуд возмущений:
дд ,1 дш _ п дг . imw _
ds ~^" sM^ d9 * ds ^ M^s sin 0*
3-^4-x) + l/H8X + -г-:—л + 2Sin 9) =0,
ds л 1 z 1‘ s2 sin 0 1 s2 sin 6 d0*
x + ^-ezsin9 = Ff(9)=.(25.12)
Переменные в уравнениях (25.12) разделяются, если решение представить в виде
% = 5. (з) 0.(0), z/ = S2(s)02(9), 2-S3(s)03(0), ^-S4(s)04(9)(25.13)
и положить
0. (9)-04 (9) = 03 (9) sin 9-/(9), S2(l) = Ss(l) = 0. (25.14) В результате получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций S., 5И, 53,
S4 и 02:
S + ^S.-O, s,—^, s, + sLs.-eS,-f,
— ims2 (Sa + Si + imsS^ = kJ^Sg,
г^-а + -Дт^(0251п9) = — k4©v(25.15)
sin2 0 ‘ sin 0 v 2121v 1
Здесь ^, &2— постоянные, штрих—дифференцирование no s, причем из условия разделения переменных имеем
=(25.16)
Последнее следует из первого уравнения (25.12) и (25.13). Используя (25.14) и (25.16), из последнего уравнения (25.15) легко получить уравнение для любой из функций, отражающих широтную зависимость возмущений. Например, для функции / (6), которая согласно (25.14) определяет 01У 03, 04, находим
^^-^^W^+i^2)^0 (ц = со§0). (25.17)
Если теперь положить к^--— п(и+1), где п—целое число, то уравнение (25.17) становится уравнением для присоединенных функций Лежандра Р„ (ц) степени п, и порядка т, т. е.
ИМ-(25.18)
Если из (25.15) исключить все переменные, кроме S3, то получим уравнение для радиальных возмущений
(Mgs-1) s; + (Mg—2t/ne) s; + Qn®ee + "^‘-^ S3 = - m2eF.
(25.19)
Это уравнение в [61] решалось численно. При этом граничные условия использовались в виде
Sx(l)^o, Sa(l) = S3(l) = S4(l) = 0,(25.20)
т. е. считалось, что имеются начальные возмущения только в радиальной скорости V'r. Заметим, что из третьего уравнения (25.15) следует F = SX(1) и правая часть в (25.19) становится известной.
Общее решение задачи представляется в виде ряда по присоединенным функциям Лежандра Р^ (ц) (см. решение (25.18) для /) с амплитудами, определяемыми при заданных п и т из уравнений (25.15) или (25.19) при граничных условиях (25.20). В [61] рассматривались только два случая Р^ц) и Р^ц) отдельно, которые соответствуют, вследствие т^4 и (25.10), четырехсекторной структуре, изображенной на рис. 21.
6 В. Б. Баранов, К. В. Краснобаев
Случай РЦр.) дает максимальную величину возмущенной скорости на экваторе, а сами возмущения в этом случае симметричны относительно экваториальной плоскости Солнца. Во втором случае (/и--4, п = 5) возмущения радиальной скорости максимальны на средних широтах и антисимметричны относительно экваториальной плоскости.
В расчетах принималось г0 = 0,1 а. е., ц^0) = 440 км/сек (8 = 0,1) и Мд —5. Так как в каждом из рассмотренных случаев присутствует одна присоединенная функция Лежандра, то надо принимать в расчет радиальную зависимость только одной амплитуды.
В обоих случаях численные расчеты привели к следующим выводам: радиальная возмущенная скорость во всей области (l^s^ 10) изменяется очень слабо, возмущение плотности возрастает почти линейно и на 1 а. е. (s= 10) принимает значение |р' | ^о0)/(ро | УД1) I) ^2,5, компоненты скорости У^ и У@ сначала быстро растут, а затем выходят на постоянные значения при s—>10.
Измерения на орбите Земли дают V^/u^ ^ 0,25. Тогда для случая Р4 в [61] получаются значения р7ро^О,6, Уф/У'г^0,15 или Уф ^ 16,5 км/сек. При этом нет отклонения потока север — юг (17^=0) в экваториальной плоскости. В случае Р| получено значение Уо/Кг= 0,034 или У© = 3,74 км/сек. Все эти величины находятся в неплохом согласии с экспериментом.
Например, наблюдения хвостов комет показали, что на солнечной широте ~ 45° и на расстоянии от Солнца а. е. величина меридиональной скорости составляет Уо^2,6± ± 1,2 км/сек [57].
Для сравнения рассмотренной выше теории с экспериментом важны соотношения между фазами возмущений для различных параметров. Соотношения между фазами возмущений, найденные в [61], отличаются от экспериментально измеренных. Так, например, в экспериментах изменения р' и У^ обычно антикорре- лированы (т. е. их фазы отличаются примерно на 180°), а температура находится в фазе с 1^, в то время как по результатам [61] р' и Т находятся в фазе и обгоняют на 90° возмущения радиальной скорости.
Путем подбора начальных условий при s=l, учета радиальной зависимости скорости и0 (г) и принимая во внимание возмущение энтропии (в (25.4) рт ~р'), можно сблизить результаты расчетов с экспериментальными данными. Эти изменения проводились в работе [62], в которой численное интегрирование линейных уравнений, аналогичных (25.15), выполнялось от критической точки нулевого приближения (и0 = а* при s=l).
Одним из недостатков рассмотренной теории является неопределенность начальных данных при s==l. Для сравнения теории
с экспериментом наиболее разумным является подход, связанный с возможностью одновременного измерения параметров плазмы на космических аппаратах, разнесенных на разные гелиоцентрические расстояния. При этом за условия в точке s=l можно взять экспериментально измеряемые флуктуации параметров плазмы на одном космическом аппарате, а результаты измерений на другом сравнивать с результатами теории. Такому подходу посвящена работа [63], в которой результаты измерений на космическом аппарате «Эксплорер-35» использовались как начальные данные при s=l для того, чтобы предсказать флуктуации параметров плазмы на других гелиоцентрических расстояниях (расчеты для одножидкостной и двухжидкостной моделей солнечного ветра в этой работе привели к малому различию в результатах). Однако сравнение результатов расчетов с результатами измерений на разных гелиоцентрических расстояниях проведено не было. Появление составляющих скорости Уд и Уф в моделях, рассмотренных выше, можно объяснить тем, что вследствие неодномерности радиальной компоненты скорости солнечного ветра создаются азимутальные и широтные градиенты давления, которые и приводят к существованию соответствующих компонент скорости в солнечном ветре (как было замечено в § 23, компонента Уд скорости солнечного ветра может возникнуть и в сферически симметричной модели вследствие наличия эффектов Холла в межпланетной плазме).
Меридиональная составляющая скорости может возникнуть и в том случае, если общее магнитное поле Солнца зависит от широты. Этот эффект в линейном приближении исследовался, например, в [64] для одножидкостной политропной модели.
Иногда экспериментальные результаты дают изменения основных параметров плазмы настолько большими, что их нельзя уже рассматривать в рамках линейной теории, изложенной выше. Кроме того, сама линейная теория также часто приводит к тому, что изменения параметров плазмы становятся значительными на достаточно большом расстоянии от Солнца (например, линейная зависимость р7р0 от расстояния, отмеченная выше [61]). Эти результаты создают необходимость построения нелинейной теории.
Существующие в настоящее время нелинейные теории неодномерного солнечного ветра часто строятся в рамках предположений, мало применимых для сравнения с экспериментальными результатами. Наличие сильной неодномерности, возникающей, например, вследствие больших неоднородностей в солнечной атмосфере, может приводить к образованию сильных разрывов в межпланетной плазме, общая теория которых рассматривалась в § 17. Появление таких разрывов (см. § 26) еще более затрудняет теоретическое описание течения солнечного ветра. Однако
их исследование дает возможность лучше понять физические процессы, происходящие в солнечной атмосфере, и их связь с геофизическимци явлениями.
§ 26. О сильных разрывах в межпланетной плазме
В предыдущих параграфах рассматривались сильно идеализированные модели солнечного ветра. Эта идеализация заключалась в том, что либо течение считалось сферически симметричным (§§ 22—24), либо отклонения от сферической симметрии предполагались малыми (§ 25). Во втором случае делалось предположение, что неоднородности жестко вращаются вместе с Солнцем. Последнее приводило к стационарности течения во вращающейся с Солнцем системе координат.
Однако известно, что на Солнце в течение длительного времени могут существовать области повышенной активности, которые являются источниками более интенсивного солнечного ветра. Связанные с такими потоками неоднородности в солнечном ветре могут не быть при этом малыми, и их нельзя уже рассматривать в рамках линейной теории (§ 25). Возможное в таком случае образование сильных разрывов приводит к нестаци-
онарности течения.
Другим источником сильной неодномерности и нестационар- ности течения являются процессы вспышек на Солнце. Внезапное гповышение температуры короны над обла-
Л*,Л>. стью вспышки приводит к истечению газа
Рис. 22.Рис. 22.короны в межпланетную плазму со скоростью, намного превосходящей скорость спокойного солнечного ветра.
Рис. 22.
Рис. 22.
Ясно, что такие процессы могут способствовать образованию в межпланетной
плазме сильных разрывов (тангенциальный и контактный разрывы, ударные волны). Для того чтобы пред
ставить качественно картину возникающих в описанных выше случаях течений, рассмотрим плоскую прямую трубу постоянного сечения, которая делится на две части диафрагмой (рис. 22). Справа от диафрагмы находится газ, который имеет давление рх и плотность рх, а слева от диафрагмы—газ с давлением р'г и плотностью рх. Магнитное поле считаем для простоты отсутствующим. Предположим теперь, что каким-то образом газы слева и справа мгновенно приводятся в движение со скоростями Vi и У, соответственно, а диафрагма устраняется. Газы слева и справа будут при этом имитировать либо потоки плазмы солнечного ветра, истекающие из разных областей солнечной короны, либо плазму, которая расширяется при солнечной вспышке, и плазму спокойного солнечного ветра. Диафрагма имитирует место встречи этих двух потоков.
Поскольку значения pi, р^ V^ и pn pv Vt совершенно произвольны, то в начальный момент времени на месте диафрагмы возникает разрыв параметров газа, который называется произвольным разрывом. Между параметрами газа с двух сторон от такого разрыва нет никакой зависимости. На поверхностях же сильного разрыва, которые могут существовать в качестве устойчивых образований, должны соблюдаться соотношения, рассмотренные в § 17.
Отсюда следует, что произвольный разрыв не может существовать в качестве устойчивого образования, а должен, вообще говоря, распадаться на несколько разрывов.
Общее исследование классической задачи газовой динамики о распаде произвольного разрыва было дано Н. Е. Кочиным в 1926 г. (см. [65]). Обобщение этой задачи на магнитогидродинамический случай проведено в работе [66] (см. также [67]). К разрывам, на которые может распадаться произвольный разрыв, относится любой из рассмотренных в § 17, а также слабый разрыв (§ 20), например, разрыв производных при непрерывности самих функций. В частности, передний фронт простых волн или волн Римана (§ 15) является примером слабого разрыва (относительно плазмы они распространяются с одной из скоростей распространения малых возмущений).
Известно (см., например, [68]), что произвольный разрыв в рассмотренном выше примере (рис. 22) будет распадаться четырьмя возможными способами (при наличии магнитного поля количество возможных случаев существенно увеличивается): в обе стороны идут по одной ударной волне; в обе стороны идут по волне разрежения; налево идет волна разрежения, а направо — ударная волна и, наконец, налево идет ударная волна, а направо— волна разрежения.
Наряду с ударными волнами и волнами разрежения на месте диафрагмы должен возникнуть тангенциальный разрыв (при отсутствии магнитного поля он совпадает с контактным разрывом). Так как через него нет потока массы (§ 17), то тангенциальный разрыв неподвижен относительно газов слева и справа (газы не перемешиваются). На таком разрыве давление не меняется, а плотность терпит разрыв.
Случай, когда в обе стороны идет по волне разрежения, возникает при VI < Vv т. е. когда газы разлетаются друг относительно друга, и не будет нами здесь рассматриваться, поскольку при этом сильных разрывов не возникает. Следуя работе [69], рассмотрим условие возникновения двух ударных волн, движущихся от Солнца. Картина течения после столкновения двух потоков газа, описанного выше (рис. 22), будет при этом иметь вид, представленный на рис. 23. За положительное принимается направление от Солнца (направо).
На этом рисунке вертикальными линиями обозначены поверхности сильного разрыва (штриховая линия—тангенциальный раз* рыв, сплошные линии — ударные волны, расходящиеся от тангенциального разрыва). Стрелками обозначены направления скоростей невозмущенных ударной волной быстрого потока газа (Vi) и медленного (Уг < Vi), а также скорости впереди идущей ударной волны Dh тангенциального разрыва Dt и сзади идущей ударной волны DR. При интерпретации экспериментов в межпланетной плазме последнюю ударную волну часто называют обратной (reverse shock), в отличие от впереди идущей ударной волны (forward shock). Индекс «2» соответствует параметрам плазмы за ударными волнами.Очевидно, что D;> 0 и Dt > О, поскольку ударная волна движет*На этом рисунке вертикальными линиями обозначены поверхности сильного разрыва (штриховая линия—тангенциальный раз* рыв, сплошные линии — ударные волны, расходящиеся от тангенциального разрыва). Стрелками обозначены направления скоростей невозмущенных ударной волной быстрого потока газа (Vi) и медленного (Уг < Vi), а также скорости впереди идущей ударной волны Dh тангенциального разрыва Dt и сзади идущей ударной волны DR. При интерпретации экспериментов в межпланетной плазме последнюю ударную волну часто называют обратной (reverse shock), в отличие от впереди идущей ударной волны (forward shock). Индекс «2» соответствует параметрам плазмы за ударными волнами.Очевидно, что D;> 0 и Dt > О, поскольку ударная волна движет*V/V/Р^РРР^РРР^РгР^Рг'г'гРис. 23.Рис. 23.ся со сверхзвуковой скоростью относительно газа впередися со сверхзвуковой скоростью относительно газа впереди
На этом рисунке вертикальными линиями обозначены поверхности сильного разрыва (штриховая линия—тангенциальный раз* рыв, сплошные линии — ударные волны, расходящиеся от тангенциального разрыва). Стрелками обозначены направления скоростей невозмущенных ударной волной быстрого потока газа (Vi) и медленного (Уг < Vi), а также скорости впереди идущей ударной волны Dh тангенциального разрыва Dt и сзади идущей ударной волны DR. При интерпретации экспериментов в межпланетной плазме последнюю ударную волну часто называют обратной (reverse shock), в отличие от впереди идущей ударной волны (forward shock). Индекс «2» соответствует параметрам плазмы за ударными волнами.
Очевидно, что D;> 0 и Dt > О, поскольку ударная волна движет*
На этом рисунке вертикальными линиями обозначены поверхности сильного разрыва (штриховая линия—тангенциальный раз* рыв, сплошные линии — ударные волны, расходящиеся от тангенциального разрыва). Стрелками обозначены направления скоростей невозмущенных ударной волной быстрого потока газа (Vi) и медленного (Уг < Vi), а также скорости впереди идущей ударной волны Dh тангенциального разрыва Dt и сзади идущей ударной волны DR. При интерпретации экспериментов в межпланетной плазме последнюю ударную волну часто называют обратной (reverse shock), в отличие от впереди идущей ударной волны (forward shock). Индекс «2» соответствует параметрам плазмы за ударными волнами.
Очевидно, что D;> 0 и Dt > О, поскольку ударная волна движет*
V/
V/
Р^РР
Р^РР
Р^Рг
Р^Рг
'г
'г
Рис. 23.
Рис. 23.
ся со сверхзвуковой скоростью относительно газа впереди
ся со сверхзвуковой скоростью относительно газа впереди
нее, а тангенциальная поверхность неподвижна относительно газов слева и справа. Ясно также, что DR < 0 для дозвукового течения быстрого потока, так как газ должен втекать в ударную волну со сверхзвуковой скоростью относительно последней. Если же скорость Ei быстрого потока сверхзвуковая, то DR может быть положительной величиной, т. е. направленной от Солнца.
Как было отмечено выше, при наличии магнитного поля картина существенно усложняется (возможно образование быстрых и медленных ударных волн, контактный разрыв отличается от тангенциального, слабые разрывы могут распространяться с различными скоростями и т. п.).
Рассмотрим теперь соотношения, которые должны выполняться на поверхностях сильного разрыва, изображенных на рис. 23. При этом будем использовать соотношения, выписанные в § 17, положив в (17.4) В^О и Ут = 0. Очевидно, что на тангенциаль
ном разрыве выполняются соотношения
W. = V^Db р^р..(26.1)
Введем числа Маха М согласно формулам
= Dj—Vv M2tz2 = Dj—(26.2)
У; — DR)(26.3)
где a = V^p/P — скорость звука.
Для впереди идущей ударной волны из (17.1) и (17.4) имеем' следующие соотношения Ранкина — Гюгонио:
Pi Ф/—^i) = Р2 Ф/-^* pt ф/—УгУ + рг = р2 Фу—У^ + р^ т+^ £ Ц ^-v>v + гЫг •(264)
а для второй ударной волны имеем
Pi (^—^О — Рз (Dr—1/2), pi фя—1/i)2 + pi — pi (DR—У')2 + pi, 7 IDr-V^ +4 = ^ Фк-уУ+^4 4.(26.5)
2у — 1 pi 2у — 1 p2
При известных начальных значениях параметров двух газов (рис. 22) соотношения (26.1), (26.4) и (26.5) дают возможность определить девять величин: pi, р2, pi, р2, Vi, V2, Db Df и DR. Используя (26.4), после несложных преобразований легко получить формулы
2тМ?-(?-1) р2 _2ТМ?-(?-!) Pi — v+i ’2тМ?-(?-1) р2 _2ТМ?-(?-!) Pi — v+i ’Р2 (т+1)мГ
2тМ?-(?-1) р2 _2ТМ?-(?-!) Pi — v+i ’
2тМ?-(?-1) р2 _2ТМ?-(?-!) Pi — v+i ’
Pi (у-1)М? + 2'
а8 _ {[з^М?-^- 1)] [(Т- 1) Mi + 3]}1/2
«I-(v+OMi
Аналогичные соотношения имеют место и на второй ударной волне. Из первого соотношения (26.6), в частности, следует, что за прямой ударной волной Ма< 1, так как Мх > 1 (аналогично Mi < 1, так как Mi > 1). Из первого уравнения (26.3) получается результат, отмеченный выше, а именно DR < 0, если Hi < ai (Mi > 1). Из (26.6) также легко получить соотношения (20.2) для Мх —оо.
Для выяснения условий, при которых образуются две ударные волны, а не ударная волна и волна разрежения, предположим, что впереди идущая ударная волна нулевой интенсивности, т. е. будем считать
Мх = 1, М2 = 1, рх р2, Pi™ р%> ^i = ^2* ^1^^2' (26.7)
Используя (26.1), (26.5), (26.6) и (26.7), получаем
^-Ух = 2^-Ух = 2Mi-1 —rav (Y+l)MiMi-1 —rav (Y+l)Mi(26.8)(26.8)
^-Ух = 2
^-Ух = 2
Mi-1 —rav (Y+l)Mi
Mi-1 —rav (Y+l)Mi
(26.8)
(26.8)
Поскольку для рассматриваемой ударной волны нулевой интенсивности с учетом (26.1) имеем р± = р2 = р2, то рг > р'^ так как давление в ударной волне ненулевой интенсивности возрастает (см. (26.6)).
«1«1Соотношение (26.8) можно представить, используя р^ = рг и (26.6) в виде зависимости а^ИУ^—VJ от pjpv Очевидно при этом, что увеличение относительной скорости Vi—Vx способствует образованию двух ударных волн. Таким образом, условием возникновения двух ударных волн будет неравенство
«1
«1
(Pi>PiY (26.9)
Если же р'у > рх (левая ударная волна нулевой интенсивности), то условием возникновения двух ударных волн будет
у[(? + 1)Р1/Р1 + (т— 1)у[(? + 1)Р1/Р1 + (т— 1)Pi/pi—1Pi/pi—11/21/2№>Pi). (26.10)№>Pi). (26.10)
у[(? + 1)Р1/Р1 + (т— 1)
у[(? + 1)Р1/Р1 + (т— 1)
Pi/pi—1
Pi/pi—1
1/2
1/2
№>Pi). (26.10)
№>Pi). (26.10)
На рис. 24 схематически представлены области изменения параметров сталкивающихся газов, для которых распад первоначального разрыва происходит либо с образованием двух ударных волн, либо с одной ударной волной и волной разрежения.
Кривые соответствуют знакам равенства в соотношениях (26.9) и (26.10).
В областях / и /// при распаде произвольного разрыва образуются одна ударная волна и одна волна разрежения (в / — справа от тангенциального разрыва — волна разрежения, а слева— ударная волна, в /// — наоборот). В области // генерируются две ударные волны.
На рис. 25 приводится качественная картина образования сильных разрывов в межпланетной плазме при вспышке (рис. 25, а) и при сильной неоднородности в атмосфере Солнца (рис. 25,6). Из рисунка видны различия между двумя механизмами образования ударных волн. Наиболее очевидное из них заключается в форме ударного фронта и в направлении его распространения. Для вспышечного механизма (рис. 25, а) ударный фронт должен быть примерно симметричным относительно радиального направления от центра вспышки. Во втором случае (рис. 25, 6) ударный
фронт по форме напоминает спиральное межпланетное магнитное поле.
Теория ударных волн в межпланетной плазме еще далека от своего завершения. Подход, использующий автомодельные решения (об автомодельных решениях см. § 40), является слишком упрощенным для межпланетной плазмы и не отражает, как правило, количественной стороны вопроса. Численные методы дают более близкую к реальности картину течения. Однако таких расчетов еще не так много, чтобы можно было представить на их основе ясную модель распространения поверхностей сильного разрыва в солнечном ветре.
Трудности теории усугубляют я большим разнообразием нестационарных процессов на Солнце. Так, например, энерговыделение во вспышке может про-
°)6)
Рис. 25.
по сравнению с временем прохождения ударной волны от Солнца до Земли. При этом возникают так называемые «взрывные» ударные волны. Если же энергия выделяется за время, сравнимое с временем прохождения ударной волны некоторого характерного расстояния, то образуются «поршневые» ударные волны. Обычно в численных расчетах скорость движения ударных волн по неоднородному солнечному ветру считается задаваемым параметром (для «поршневых» ударных волн она часто полагается постоянной). Поскольку имеет место локализация на Солнце областей вспышки, то задача, кроме нелинейной, становится существенно неодномерной по координатам. Интересующихся деталями теоретического подхода можно отослать к монографии [8] и к обзору [70]. Метод автомодельных решений в задаче о распространении ударных волн в межпланетной плазме использовался В. П. Коробейниковым (см., например, [8], [71]).
Сильные разрывы в межпланетной плазме давно обнаруживаются экспериментально. Кроме рассмотренных в этом параграфе механизмов их образования, существует возможность появления ударных волн при обтекании планет солнечным ветром (см. §§ 32, 33). С физической точки зрения головная ударная волна около обтекаемых препятствий возникает, во-первых, вследствие того, что в газе, движущемся со сверхзвуковой скоростью, сигнал не может распространяться вверх по потоку (такой газ не чувствует препятствия) и, во-вторых, газ должен иметь нулевую нормальную составляющую скорости на обтекаемом препятствии. Образование ударной волны объединяет эти, на первый взгляд, противоречивые требования, переводя скачком сверхзвуковой поток газа в дозвуковой, после чего появляется возможность передачи информации от препятствия вверх по потоку. Как будет видно из результатов § 34, на некоторых планетах нормальная компонента скорости солнечного ветра не обращается в нуль и головная ударная волна не образуется.
Обзор экспериментальных данных по сильным разрывам в межпланетной плазме и методы их теоретической обработки подробно описаны в обзоре [72] и работе [73].
Основные трудности при интерпретации разрывов, обнаруживаемых в солнечном ветре, заключаются, во-первых, в том, что космический аппарат пересекает разрыв только в одной точке пространства, вследствие чего возникает проблема ориентации поверхности разрыва. Во-вторых, измеряются обычно не все плазменные параметры, входящие в соотношения (17.1)—(17.3), и, в-третьих, точности экспериментальных измерений часто не являются достаточными для однозначной интерпретации.
Для того чтобы определить, к какому типу принадлежит разрыв параметров в межпланетной плазме, необходимо определить вектор нормали п к поверхности разрыва в точке прохождения через него космического аппарата и скорость D распространения разрыва. Однако, как следует из результатов § 17, вектор нормали можно определить, лишь зная тип разрыва. Таким образом, эти задачи необходимо решать совместно.
В работах [73—75] рассматривалась интерпретация разрывов по измерениям плотности р, скорости V и вектора магнитной индукции В. Для определения нормали к разрыву использовался следующий метод. Заранее предполагалось, что разрыв является ударной волной (в разрыве менялась плотность). Тогда, в силу теоремы компланарности (§ 17) и условия сохранения нормальной составляющей магнитного поля, считалось, что вектор нормали определяется первой из формул (17.13). Компланарность приводит к тому, что два векторных соотношения, второе (17.1) и первое (17.2), становятся эквивалентными трем независимым соотношениям, одно из которых ]17J=^0 (ось г направлена пер-
§ 5б) б СИЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ В МЕЖПЛАНЕТНОЙ ПЛАЗМЕ iff пендикулярно плоскости, в которой лежат векторы Вг и В^, а два других представляют собой проекции второго уравнения (17.1) и первого (17.2) на ось у, перпендикулярную нормали п к поверхности разрыва и оси 2.
Заметим, что из этих трех соотношений только первое (17.2) отличается от соответствующих соотношений в изотропном случае.
В указанные выше три независимых соотношения подставлялись величины, полученные усреднением экспериментальных данных. При этом использовались формулы (17.13) для пи D, чтобы определить т и Вп. Поскольку в эксперименте нс измерялись величины рхх и pL) то полагалось р w = р после чего результаты переставали вообще зависеть от давления. Такой подстановкой рассматриваемые соотношения точно не удовлетворялись, поэтому проводился итерационный процесс, в котором значения подставляемых величин менялись в рамках допустимой экспериментальной ошибки для того, чтобы наилучшим образом удовлетворить этим соотношениям. Таким способом получались окончательные значения для п и D.
Ориентацию и скорость распространения обнаруженного экспериментально разрыва можно найти и без использования системы соотношений на разрыве, если имеются сведения о прохождении этого разрыва через три точки пространства, т. е. если скачок обнаружен и другими космическими аппаратами. Три независимых условия типа
= (г = Г/—Гу, i ¥= /)
(г,— радиусы-векторы космических аппаратов, т—время прохождения разрыва между ними) вместе с условием [ п\ = 1 служат для определения трех компонент вектора п и скорости разрыва Dn. При этом необходимо считать, что скорость разрыва не меняется за время его прохождения между двумя точками, а сам разрыв плоский. Эти предположения, очевидно, отвечают реальности для достаточно малого расстояния между космическими аппаратами.
В заключение настоящего параграфа отметим области применимости использованных здесь представлений.
Соотношения (17.1) — (17.3) справедливы, если, во-первых, рассматриваемое резкое (но непрерывное) изменение параметров плазмы идеализированно представлять поверхностью разрыва, во-вторых, считать, что плазма с двух сторон от этой поверхности описывается гидродинамическими уравнениями, и, в-третьих, если можно пренебречь флуктуациями в плазме с двух сторон от поверхности разрыва. Последнее означает, что можно пренебречь потоками энергии и импульса за счет турбулентных пульсаций, которые необходимо было бы добавить в общем случае.
Рассмотрим все эти три предположения на примере наиболее хорошо экспериментально изученной ударной волны около Земли (обзор экспериментальных данных и теоретических моделей содержится, например, в работе [76]).
Из газовой динамики известно, что при длине свободного пробега частиц порядка или больше размеров обтекаемого препятствия ударная волна размывается и перестает существовать как поверхность разрыва. Толщина структуры ударной волны около Земли может быть в несколько миллионов раз меньше длины свободного пробега частиц, что указывает на наличие в ней бесстолкновительного механизма диссипации вследствие коллективных процессов [77]. В то же время толщина ударной волны часто много меньше размеров магнитосферы и ее можно рассматривать как поверхность сильного разрыва. Здесь следует заметить, что структура границы, отделяющей солнечный ветер от области за ударной волной, существенно зависит от условий в солнечном ветре, в частности, от ориентации межпланетного магнитного поля. Так, например, при достаточно малом угле между межпланетным магнитным полем и нормалью к ударной волне перед последней образуются области, характеризующиеся сильными волновыми процессами (предвестники). При межпланетном магнитном поле, почти параллельном фронту ударной волны, таких явлений не наблюдается. Сильные волновые процессы при определенных условиях в солнечном ветре часто имеют место и далеко за фронтом ударной волны (о предвестниках и хвостах, образующихся в плазме с холловской дисперсией, см. § 15).
Эти процессы необходимо, вообще говоря, включать в соотношения (17.1) — (17.3). Однако они часто вносят лишь малый вклад в средние характеристики плазмы до и после ударной волны, и ими в этих случаях можно пренебречь.
Несмотря на то, что структуры ударных волн и механизмы диссипации в них очень разнообразны, идентификация разрывов не зависит от них, поскольку соотношения (17.1) — (17.3) выражают законы сохранения массы, импульса и энергии, а также непрерывность нормальной компоненты магнитного и тангенциальной компоненты электрического полей при переходе через разрыв. Большое количество работ посвящено экспериментальной проверке выполнимости соотношений (17.1) — (17.3) в межпланетной и околопланетной плазме. Так как критерии идентификации разрывов, чувствительность приборов, интервалы времени, используемые для усреднения и т. п., различны у различных авторов, то результаты, как справедливо указано в [78], часто бывают различными. Заметим также, что при проверке выполнимости (17.1) — (17.3) на ударных волнах необходимо тщательно отделять области невозмущенной плазмы, структуру ударной волны и область за ней, понимая под последней термализован-
ную область, в которой закончились все релаксационные процессы, связанные с диссипацией энергии (в частности, за счет коллективных явлений).
Теоретическое и экспериментальное исследование сильных разрывов, распространяющихся в межпланетной плазме, имеет большое значение для различных областей космической физики. Кроме того, что они отражают физические процессы, происходящие на Солнце, и влияют на геофизические явления (например, приход к Земле межпланетных ударных волн часто приводит к геомагнитным возмущениям), сильные разрывы существенно изменяют условия распространения космических лучей. Ударные волны вносят заметный вклад в унос массы и энергии из солнечной короны (~10% от полного, согласно оценке Хундхау- зена [8]). Глубокое изучение сильных разрывов в межпланетной плазме, например, структуры ударных волн, может играть важную роль в понимании некоторых процессов, происходящих в лабораторной физике плазмы.
Общие представления о взаимодействии солнечного ветра с межзвездной средой
Рассмотренные в предыдущих параграфах модели солнечного ветра являются неполными в том смысле, что получаемые на их основе динамическое и статическое давления при больших гелиоцентрических расстояниях стремятся к нулю, тогда как давление в межзвездной среде, куда вытекает солнечный ветер, конечно. Поэтому одним из важных аспектов теории солнечного ветра является его взаимодействие с межзвездной средой. Характер этого взаимодействия определяет физические условия в межпланетной среде и в связи с этим играет важную роль при изучении таких вопросов, как распространение космических лучей в околосолнечном пространстве, рассеяние солнечного £а-излучения на нейтральном водороде, распределение частиц и формирование магнитного поля в окрестностях планет [79 — 82].
Согласно изложенным выше представлениям о солнечном ветре плазма солнечной короны в результате теплового расширения приобретает сверхзвуковую скорость уже на расстоянии порядка нескольких солнечных радиусов, а затем скорость становится почти постоянной. При сферической симметрии течения это означает, что плотность будет падать обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца. Уменьшение массовой плотности приводит к тому, что на некотором гелиоцентрическом расстоянии давление солнечного ветра может оказаться недостаточным для того, чтобы продвигать его в межзвездную среду. При этом положение и форма области сильного торможения солнечного ветра определяются суммой статического, динамического и маг-
нитного давлений в межзвездной среде, а также давления космических лучей. Следовательно, для выбора основного механизма торможения солнечного ветра важно знать плотность, температуру, степень ионизации межзвездного газа, величину его направленной скорости относительно Солнца, значение магнитного поля и характеристики потока космических лучей.
В настоящее время принято, что межзвездный газ достаточно неоднороден и состоит из плотных холодных облаков и горячей разреженной межоблаковой материи (см. гл. IV). Преобладающим химическим элементом в межзвездном газе является водород.
Анализ наблюдательных данных показывает [83, 84], что средняя концентрация частиц в облаках ~6 см"3. При температуре ~102°К газ слабо ионизован (концентрация электронов пе ~ ^10"2 —10-1 cm"3Y Из наблюдений также следует существование облаков полностью ионизованного водорода с высокой температурой 7^104°К и концентрацией порядка указанного выше среднего значения.
В межоблаковой среде концентрация нейтральных атомов водорода мн^0,1 см"3 при концентрации электронов пе~0,03 см-3 и температуре 7^8000 °К [85, 86].
На гелиоцентрических расстояниях ~102— 103 а.е. не исключены и отклонения от средних. Так, нейтральные атомы водорода могут ионизоваться при столкновениях с энергичными частицами солнечного ветра [7] или при поглощении ультрафиолетовой радиации Солнца [87]. Ожидаемая концентрация * заряженной компоненты будет тогда ОД — 1 см-3.
Следует отметить, что имеющиеся оценки концентрации нейтрального водорода в окрестности Солнца, которые основываются на интерпретации регистрируемого фона Аа-квантов, приводят (в зависимости от сделанных предположений) к значениям пн~0,05 — 0,25 см"3 [88, 89].
Такая неопределенность исходных данных заставляет при построении моделей торможения солнечного ветра считать отношение концентраций ионизованной и нейтральной компонент межзвездной среды в значительной мере произвольным, а величину каждой из них — меняющейся примерно от ОД см"3 до 1 см"3. Температура среды может варьироваться от 102°К до 104°К.
Особенности распределения интенсивности Ла-квантов свидетельствуют о том, что скорость Солнца относительно межзвездного газа можно принять равной 20 км/сек [90]. Это совпадает по величине с оцениваемой скоростью Солнца относительно ближайших звезд [7]. Однако, в то время как по данным [90] вектор скорости Солнца относительно межзвездного газа лежит почти в плоскости эклиптики, угол между плоскостью эклиптики и направлением движения Солнца относительно ближайших звезд (называемым апексным направлением) достаточно велик (~50°).
В любом случае плазма солнечного ветра будет взаимодействовать со сверхзвуковым потоком межзвездного газа (сверхзвуковой межзвездный ветер), если температура последнего не превышает нескольких тысяч градусов Кельвина. Лишь для горячей (~104°К) среды возможно дозвуковое течение (дозвуковой межзвездный ветер).
Напряженность магнитного поля вблизи солнечной ' системы составляет от 0,7-10’6 гс до ЗЛО"6 гс [82]. Тогда легко видеть, что при концентрации частиц ~1 см-3 альфвеновское число Маха Мл в потоке межзвездного газа больше единицы. При меньших значениях концентрации (~0,1 сл«"3)Мл^1.
Влияние космических лучей на течение солнечного ветра исследовали И. В. Дорман и Л. И. Дорман [91]. Результаты показывают, что космические лучи могут давать заметный вклад в суммарное давление межзвездной среды.
Из приведенного выше следует, что отсутствие точных сведений о физических условиях в межзвездной среде делает изучение вопроса о торможении солнечного ветра крайне затруднительным. Тем не менее в настоящее время имеется ряд теоретических моделей, использующих тот или иной конкретный механизм взаимодействия солнечного ветра с межзвездной средой. Интерес к подобного рода моделям, несмотря на лежащие в их основе упрощения реальной ситуации, обусловлен возможностью оценить влияние различных факторов на размер области сверхзвукового течения солнечного ветра и распределение газа в околосолнечном пространстве. Ниже основное внимание уделяется только стационарным гидродинамическим моделям. Все они не учитывают диссипативных процессов, связанных с вязкостью и теплопроводностью, и ограничены рамками одножидкостного приближения. Поскольку рассматривается течение солнечного ветра на расстояниях в несколько астрономических единиц и более, то пре- небрегается гравитацией.
Истечение солнечного ветра в покоящийся однородный межзвездный газ
Рассмотрим вопрос о том, возможно ли стационарное истечение солнечного ветра в пространство, занятое покоящимся на бесконечности газом с давлением р3. При этом естественно потребовать, чтобы на больших гелиоцентрических расстояниях скорость солнечного ветра стремилась к нулю, а его давление к ps.
Будем считать, что при отсутствии влияния магнитного поля и космических лучей торможение сферически симметричного солнечного ветра происходит в результате ударного перехода и давление торможения потока, т. е. давление в точке, где скорость газа обращается в нуль, становится равным р3 [92]. Образую-
щаяся ударная волна сферически симметрична, а скорость V2, плотность р2 и давление р2 за фронтом связаны с соответствующими величинами 7П рп рх перед фронтом соотношениями (20.2). За фронтом ударной волны число Маха М2 невелико и течение можно считать несжимаемым. Тогда в силу интеграла Бернулли (20.7)
Р+Рр = р3. (28.1)
Поскольку при ПОСТОЯННОЙ ^ ПЛОТНОСТЬ Р = ^еАТе!гУ> гДе г — гелиоцентрическое расстояние и гЕ—некоторая точка (например, на орбите Земли), в которой параметры солнечного ветра заданы, то из условий на скачке (20.2) и уравнения Бернулли (28.1) следует, что расстояние Rs-1 на котором расположена ударная волна, дается формулой
К=ГЖ^ШГ/2. (28 2)
Представление о порядке величины 7?s можно получить, если принять концентрацию и температуру частиц в межзвездном газе равными 1 см-3 и 102°К, а концентрацию протонов и скорость солнечного ветра на орбите Земли 5 см-3 и 400 км/сек, Из (28.2) тогда получаем 7?s^103 а.е. При увеличении (уменьшении) концентрации или температуры в несколько раз во столько же раз уменьшается (увеличивается) значение RV
Скорость газа, прошедшего через ударную волну, в данном случае обратно пропорциональна квадрату гелиоцентрического расстояния
V = V2^2, (28.3)
и требование V—>0 при г—>оо, очевидно, выполняется.
Взаимодействие солнечный ветер — межзвездный ветер
Движение межзвездного газа относительно Солнца (межзвездный ветер) будет приводить к нарушению сферической симметрии ударной волны и возникновению осесимметричного течения. Последнее имеет место, если магнитное поле отсутствует или параллельно скорости межзвездного ветра, а влиянием космических лучей, которые могут не быть изотропными, пренебре- гается.
В случае, когда отношение динамического давления межзвездного ветра к статическому много меньше единицы (что реализуется лишь при достаточно высокой температуре потока), общий вид линий тока возникающего течения соответствует изображенному на рис. 26 (Lq — характерный масштаб течения, который мы
определим позднее, р3 и ^ — плотность и скорость невозмущенного межзвездного газа). В солнечном ветре возникает ударная волна (на рисунке ударная волна не изображена, поскольку, как мы увидим ниже, Lo существенно больше расстояния от Солнца до ударной волны) и дозвуковой поток прошедшей через ударный фронт плазмы взаимодействует с дозвуковым потоком межзвездного газа. При этом внешняя граница области дозвукового
течения солнечного ветра является поверхностью тангенциального разрыва, обтекаемой межзвездным ветром.
Получить строгое решение поставленной задачи о набегании дозвукового потока на источник газа гиперзвуковой скорости достаточно сложно — нужно определить поле течения вне поверхностей разрыва (ударная волна и тангенциальный разрыв), форма которых заранее неизвестна.
Однако в силу предположения о том, что динамическое давление P3V3/2 в межзвездном ветре много меньше статического р3, т. е. число Маха М3<^1, ударная волна будет мало отличаться от сферической. Это в свою очередь дает основание считать движение плазмы солнечного ветра за фронтом ударной волны, как и движение межзвездного газа, безвихревым [92] (последнее означает, что вектор скорости может быть представлен в виде градиента некоторой функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа). Так как М2 невелико и М3<| 1, то можно воспользоваться приближением несжимаемости. Тогда целесообразно
ввести потенциал скорости Фг так, что
— р-^УФ^ V^-O,
причем р = ра в солнечном ветре, прошедшем через ударную волну, и р — р3 в межзвездном ветре.
Из-за осевой симметрии Фх является только функцией гелиоцентрического расстояния г и полярного угла 6, отсчитываемого от направления, антипараллельного вектору скорости межзвездного ветра У3 на бесконечности. Граничным условием при г— * оо служит
— ¥ФХ = р2/2 у3.
Из сделанного предположения о сферичности ударной волны вытекает также, что на ее поверхности должно быть
Легко видеть, что искомый потенциал с принятой точностью может быть представлен суммой потенциалов, соответствующих однородному потоку и сферически симметричному источнику несжимаемой жидкости,
Ф1 = Pl %r cos е +^,(29.1)
где величина 7?s вычисляется по формуле (28.2), а вместо р3 нужно взять давление торможения межзвездного ветра. В самом деле, выражение (29.1) удовлетворяет граничному условию на бесконечности и, несмотря на то, что при r = Rs движение не является строго радиальным, зависимость Фх от полярного угла 9 слабая (это происходит потому, что для достаточно малых V3 отношение Рз %/(р2/%) <С *)• Тем самым функция (29.1), являясь решением уравнения Лапласа, удовлетворяет (хотя и приближенно) и поставленным граничным условиям.
Характерный масштаб течения Lo оценивается из тех соображений, что отклонение от сферической симметрии, вызываемое межзвездным ветром, существенно проявляетсятам, где Рг^^РдУд. Используя формулу (28.3), получаем
p2vi (^) ~ рэ^,
или
Отсюда
Координаты линий тока удовлетворяют уравнению dr _ 2 дФг/дг _ г . Lq "Ж — Г дФ^дб — — tg6 + г sin 0 •
Интегрируя, имеем
Г2 sin2 О л I——— = cose+c,
где С — произвольная постоянная.
Очевидно, что на поверхности, разделяющей солнечный ветер и межзвездную среду, равна нулю нормальная компонента скорости и непрерывно давление, т. е. эта поверхность является тангенциальным разрывом (см. § 17 при В = 0, Рп = Рх). Но так как линии тока, лежащие на поверхности тангенциального разрыва, пересекают луч 0 = 0, то из уравнения для линий тока получаем С =—1. А из условий в лобовой точке (0 = 0, У = 0) и выражения (29.1) следует
v=-p-1Z^=o.
Тогда
^=рГ%-р№т1 = о
и расстояние г от начала координат до лобовой точки равно
гг= L0.= L0.
г
г
= L0.
= L0.
При г—>оо, 0—>л из формулы, связывающей координаты линий тока, имеем
rsin0—* 2L0,
так что форма поверхности разрыва близка к цилиндрической радиуса 2L0.
На больших г скорость плазмы солнечного ветра, согласно
близка к (pVVpl72)^-
Выражая р2 через рт по формулам (20.2) и учитывая, что
Pi — РвPi — Рв22
Pi — Рв
Pi — Рв
2
2
с помощью (28.2) найдем при г—► оо, 0—►л
V-^V (—-У/2 ^^Рз + РзИ/ ’ если положить у = 5/3.
Перейдем теперь к рассмотрению другого предельного случая М3^>1 [93, 94]. Причем* будем учитывать галактическое магнитное поле в предположении, что КзЦВд (53 = const — вектор индукции магнитного поля в межзвездной среде) и Мл > 1.
Так как и солнечный ветер, и поток межзвездного газа движутся со сверхзвуковыми скоростями, то возникает течение, качественно изображенное на рис. 27. Образуются две ударные волны, через одну из которых (//) проходит межзвездный газ, а через другую (/) — солнечный ветер. Для солнечного ветра
////А* УзА* УзРис. 27.Рис. 27.с хорошей точностью можно положить число Маха М1 = оо, а для межзвездного газа с температурой T^S-IO^K, движущегося со скоростью V3 ~ 20 км/сек, М3 ^ 2. В силу гиперзвукового характера течения расстояние между ударными волнами будем считать сначала малым по сравнению с расстоянием от начала координат (ниже показывается, что при этом размер области невозмущенного течения солнечного ветра
//
//
А* Уз
А* Уз
Рис. 27.
Рис. 27.
определяется достаточно точно).
Считая уплотненный слой между ударными волнами тонким (поверхностью) и скорость газа неменяющейся поперек слоя, можно записать закон сохранения импульса в слое газа в проекциях на нормаль и касательную к слою в виде
о уз 1^Ь51г? —о уз ; ^iзп 8л 8л — Р]/ in 2лг^ sin 0 ,
4.(mVl-) = 2Krsme(p3V3nV8x + p1V1„Vlx-B^') .(29.2)
Здесь т — масса газа, поступающего внутрь слоя в единицу времени из солнечного ветра и из межзвездной среды; RH—радиус кривизны поверхности (второй член справа в первом уравнении представляет собой центробежную силу, действующую на газ внутри области взаимодействия); Vt— средняя скорость газа вдоль поверхности разрыва; г и 0 — полярные координаты точки поверхности, заменяющей слой газа между ударными волнами. Величины т и Rx определяются по формулам (штрихом обозначено дифференцирование по 0)
т = лг2р3У3 sin2 0 + 2nr2p1V1 (1 —cos0),
(г2 + г/2)3/2(r2 + 2rz2 — г г") ’(г2 + г/2)3/2(r2 + 2rz2 — г г") ’r = r(Q).r = r(Q).(29.3)(29.3)
(г2 + г/2)3/2
(r2 + 2rz2 — г г") ’
(г2 + г/2)3/2
(r2 + 2rz2 — г г") ’
r = r(Q).
r = r(Q).
(29.3)
(29.3)
Заметим, что в уравнения (29.2) не входит давление, так как в гиперзвуковом течении (§ 20) pV2^>p.
Учитывая геометрическую связь с 0 угла между направлением скорости 173 и касательной к поверхности, а также угла между направлением нормали к поверхности и направлением
радиуса-вектора и исключая Vb т и Rx из (29.2), (29.3), получаем для г (0) нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка
гг"'=4 (г,— ^^ф-ггг' + Зг'г".(29.4)
Г2\ ГЗ/
Здесь
Fr— 2nrsin0(r2 + r'2)1/2 х
х Г(рз]^Вз/^^rr' 1
L(rctg0 + r')= + (r-r' Ctg 0)2^^ Ir2 + r'8J '
Г^ = 2лг sin 0 (г2 + г'2)3/2 х
X Г taKkJ’lA^)^ _ р р '2 , ^з
L (rctg в4-г')24-(г —г'ctg 6)аP1 r^r'8 4nJ>
Рй = (г2 + 2гг'—ггну
Два из трех граничных условий для уравнения (29.4) имеют вид
г = г*, г'= 0 при 8 = 0.(29.5)
Величина отхода поверхности разрыва г* определяется из уравнений
в 2
Р1^1 = Рз^^-, р^г2 = р^гЬ = const,
которые выражают равенство давлений солнечного ветра и межзвездного газа в лобовой точке и постоянство расхода плазмы солнечного ветра (см. уравнения (29.2) и (29.3) при 9 —> 0). Второе граничное условие (29.5) отражает симметрию задачи.
Для определения третьего граничного условия, которое является условием выбора единственной интегральной кривой, выходящей из особой точки 0 = 0, г = г*, функцию г = г(0) нужно разложить в ряд Тейлора в окрестности этой точки
А2г(6) = /-(0)+гЧ0)^
Тогда при 0—>0Тогда при 0—>0Л^е% f2~№, f3~lЛ^е% f2~№, f3~l
Тогда при 0—>0
Тогда при 0—>0
Л^е% f2~№, f3~l
Л^е% f2~№, f3~l
Для ограниченности г,м необходимо, чтобы в круглой скобке правой части уравнения (29.4) отсутствовали члены порядка О2. Приравняв нулю коэффициент при О3 в разложении этой скобки по 0, получаем
[Г" (О)]2 + ^5МЛ -|) г.г" (0) +2r2 (1 -М^) = 0,
откуда находим третье граничное условие
^ = -1^-4) + ]/ -|-f5МЛ—у V—2 (1 —Мл).
Вместе с условиями (29.5) оно позволяет численно решить уравнение (29.4) и найти форму поверхности разрыва, разделяющей солнечный ветер и межзвездную среду. Результаты расчетов представлены на рис. 28, где расстояние г = г(0) дано в астрономических единицах для р3 = 10"24 г-см-3 (что соответствует концентрации протонов ~1 см"3^, У3 —20 км/сек, ^E = 3-\0~^ г-см~3, У1 = 400км/сек при различных значениях альфвеновского числа Маха Мл.
Следует заметить, что при больших углах 0 предположение о том, что слой между ударными волнами узок, очевидно, нарушается. Наружная ударная волна в своих крыльях становится слабой и вырождается в характеристику (см. § 20). Внутренняя же ударная волна замыкается на овал, так как скорость солнечного ветра Уг значительно больше скорости движения солнечной системы относительно межзвездного газа. Отход овальной ударной волны для 0 = л может быть оценен по формуле (28.2).
Для целого ряда астрофизических приложений (распространение радиоизлучения и космических лучей, рассеяние ^-радиации) интересно знать структуру области между ударными волнами. В предположении В3 = 0 эта структура может быть рассчитана методом пограничного слоя [95, 96].
Пусть солнечный ветер проходит через ударную волну /, а межзвездный газ — через ударную волну // (рис. 29). Пусть далее положение точки М характеризуется координатами х и у. Расстояние х отсчитывается от оси симметрии вдоль тангенциального разрыва (^ — ^) до точки пересечения с нормалью, опущенной из М на тангенциальный разрыв. Координата у равна длине отрезка MN.
Угол между касательной к тангенциальному разрыву в точке N и осью симметрии обозначим через а, а расстояния от точек N и М до оси симметрии — через lt и I соответственно. Если
RK—радиус кривизны тангенциального разрыва в точке N и dR4/dx<^.V то, приняв за независимые переменные координату х и функцию тока Т, определяемую равенством
dV = puldy—ру/ (1 dx\
(u, и—составляющие скорости газа в направлениях х, у соответственно, р — плотность), получим следующую систему уравнений газовой динамики Для изэнтропического течения [96]:
ди , ди . др -
ду и , , др
M-yfR^dx Rx+y^’
1(_Р_\=А 9у_ 1_ др А , _У_\JL(29 6)
dx^pVy и’ dY pul ' дх VRJU'ly'J
Здесь р—давление газа, у—показатель адиабаты.
Если принять, что ударная волна / имеет уравнение у^у^х), а ударная волна // — уравнение у^у2(х), то соотношения на этих ударных волнах записываются в виде (§ 17)
Р = ^1 Px^isin2 (Pl + 9) - У Pv
Pi _Т-1p т+*Pi _Т-1p т+*11V+1 Ml sin2 (Pl+0)V+1 Ml sin2 (Pl+0)ViVi1+У1/Ри +1+У1/Ри + p!sin (a + 0) + cos (a + 0) p;^^ p!sin (a + 0) + cos (a + 0) p;^^
Pi _Т-1p т+*
Pi _Т-1p т+*
1
1
V+1 Ml sin2 (Pl+0)
V+1 Ml sin2 (Pl+0)
Vi
Vi
1+У1/Ри +
1+У1/Ри +
p!
sin (a + 0) + cos (a + 0) p;^^
p!
sin (a + 0) + cos (a + 0) p;^^
[eos^+^-sm^ + O)^],»*^ (29.7)
для внутренней ударной волны I и
Р = -^т рз^з sin2 Рз — ^т рз.
рз __ у—1 ■211+Уз/Ри
Р ” v+i +?+1 М^1п2рз “ Г_ I '
^[sina + cosai^^-j
V3 fcos a—sin a -^а ) = и +, ^ R (29.8)
для внешней ударной волны //. Здесь индексы «1» и «3» озна-чают, что значения параметров берутся в невозмущенных удар-ными волнами солнечном ветре и межзвездной среде соответст-
венно, М—число Маха, Р—угол между касательной к ударной волне и осью симметрии, 6—угол между радиусом-вектором ON и осью симметрии.
Решение системы уравнений (29.6) с граничными условиями (29.7), (29.8) и условием равенства давлений на тангенциальном разрыве ищем в виде разложения по малому параметру е = (у— 1)/(у + 1):
у - ez/(0) + ..., и = и№ + еы(1, + • • •> у = еу<0) + ..., р = pW -|- epW р = e-1p,0, + р(1) + ...
В первом неисчезающем приближении по е система уравнений (29.6) с граничными условиями (29.7) и (29.8) интегрируется [96]. В частности, для давлений с внутренней и внешней сторон получаем соответственно
р«» = p^f sin2 [а (х) + 6 (х)]—С u^dY,
р(0) = р3У2 sin2а(х)—С u^dV. (29.9)
Здесь Ч^.з — значения функции тока в нулевом приближении по е на внутренней (7) и внешней (77) ударных волнах, которые даются формулами
YJ (*) = — Pi^i $ ^ W si11 [а (*) + 6 W] dx, о
V;M = |pM(x). (29.10)
Легко показать, что в нулевом приближении условие равенства давлений выполняется на поверхности разрыва, определяемой уравнением (29.4). Если считать форму этой поверхности известной, то задача сведется к расчету обтекания заданной поверхности с внутренней и внешней сторон.
Интересно, что строгие численные расчеты конечно-разностным методом установления с выделением поверхностей разрыва показывают, что в нулевом приближении как форма поверхности тангенциального разрыва, так и характер внешнего течения предсказываются с приемлемой точностью [97].
Для интерпретации наблюдений наиболее важным является течение во внешней по отношению к тангенциальному разрыву области, поскольку плотность газа в ней существенно больше, чем во внутренней области. Поэтому на рис. 30—32 представ-
лены результаты численного расчета структуры течения только для области между внешней ударной волной и тангенциальным разрывом при Mlt3 = oo (р13 —0) и у —5/3. Эти расчеты дают
на прохождение радиоизлучения [98], на рассеяние La-излучения [99], на распространение космических лучей. В частности, наличие уплотненного слоя плазмы между ударной волной II и тангенциальным разрывом (рис. 29) может привести к анизотропии флуктуаций интенсивности радиоизлучения (мерцаний) на неоднородностях межзвездной среды.
Действительно, пусть в невозмущенном межзвездном ветре имеются неоднородности электронной концентрации. После прохождения ударной волны II концентрация этих неоднородностей увеличится. Причем, очевидно, максимальное сжатие будет достигаться в направлении 0 — 0, т. е. в направлении движения меж-
звездной среды относительно Солнца. По мере увеличения угла О ударная волна становится слабее и вызываемые ею изменения электронной концентрации уменьшаются. Таким образом, должна возникать анизотропия мерцаний по отношению к направлению межзвездного ветра. А именно, в направлении 0 = 0 следует ожидать более интенсивных мерцаний, чем в направлении 0 = л. Детальный анализ показывает [98], что могут наблюдаться мерцания с большими периодами (^2-102^к) от радиоисточников с малыми угловыми размерами (пульсары и квазары).
§ 30. Торможение солнечного ветра крупномасштабным галактическим магнитным полем
Рассмотрим торможение солнечного ветра крупномасштабным однородным магнитным полем В3, давление которого значительно превышает статическое и динамическое давления в межзвездном газе и давление космических лучей [92].
Очевидно, что сферическая симметрия солнечного ветра будет нарушаться магнитным полем, поскольку тормозящее действие последнего различно в перпендикулярном и параллельном В3 направлениях. Так как магнитное число Рейнольдса в солнечном ветре велико (см. § 23), то галактическое магнитное поле будет вытесняться плазмой солнечного ветра и образуется вытянутая вдоль В3 полость, свободная от магнитного поля (на рис. 33 представлена найденная ниже форма этой полости). Плазма удерживается в полости благодаря протеканию электрического тока в узком слое на границе с магнитным полем (на этой гра-
нице имеет место равенство магнитного давления в межзвездной среде статическому давлению солнечного ветра).
Ясно, что в системе координат, связанной с Солнцем, течение симметрично относительно оси, параллельной В3 и проходящей через начало координат. Течение симметрично и относительно плоскости, перпендикулярной В3 и также проходящей через начало координат.
Далее мы будем предполагать, что при торможении солнечного ветра в нем образуется сферическая ударная волна.
Вне области, занятой плазмой солнечного ветра, rotS^O и, следовательно, существует функция ^(г, 0) такая, что
В^-УЧ^, V2T1 = 0
(угол 6 отсчитывается от направления невозмущенного магнитного поля).
Потенциал ЧГ1 может быть представлен в виде ряда
^1 = 2 Апг-п-1Рп (cos 0)— B3rcos0,
где Рл (cos 0)— п-я сферическая гармоника. Пренебрежение всеми членами ряда, кроме первого, дает
Ч\(уг—В3г cos 0.
Вдоль магнитных силовых линий
(30.1)(30.1)dr В-
(30.1)
(30.1)
Полагая Д1~—В313/2 (10 — некоторая постоянная, подлежащая определению) и учитывая, что компоненты вектора магнитной индукции в межзвездной среде Вг и Bq связаны с производными функции ЧГ1 соотношениями
д^ дг ’д^ дг ’де ’де ’после интегрирования (30.1) получаем семейство магнитных си-ловых линий:(г3 — /g) sin2 0\/ог3 (л/2)гг3 (л/2)Г (Л/2) ■после интегрирования (30.1) получаем семейство магнитных си-ловых линий:(г3 — /g) sin2 0\/ог3 (л/2)гг3 (л/2)Г (Л/2) ■Вг =Вг =гВ6 =гВ6 =
д^ дг ’
д^ дг ’
де ’
де ’
после интегрирования (30.1) получаем семейство магнитных си-
ловых линий:
(г3 — /g) sin2 0
\/о
г3 (л/2)
г
г3 (л/2)
Г (Л/2) ■
после интегрирования (30.1) получаем семейство магнитных си-
ловых линий:
(г3 — /g) sin2 0
\/о
г3 (л/2)
г
г3 (л/2)
Г (Л/2) ■
Вг =
Вг =
гВ6 =
гВ6 =
Через г (л/2) обозначено расстояние, на котором данная силовая линия пересекает прямую 0 = л/2.
Пусть границе между солнечным ветром и межзвездным магнитным полем соответствует значение г (л/2) = Ь0- Тогда при г^>/0 расстояние этой силовой линии от оси sin 6 = 0 будет
67О = г sin е = &0 (1—^) .(30.2)
Если воспользоваться выписанными ранее соотношениями на фронте ударной волны (20.2), то давление торможения солнечного ветра Па за сферической волной радиуса Rs будет равно щ-р.+ей.р,^^^)-,(зо.з)
В точке 0 —л/2, г = Ьа оно должно быть сбалансировано давлением магнитного поля. Тогда, выражая Вг и В^ через производные функции ^j будем иметь
(30.4)(30.4)n2 //3 \ 2
(30.4)
(30.4)
П2 —— / 1 Л-— )
Пз”8л( 1+2^/
Условие равновесия области, занятой плазмой солнечного ветра, требует также для г—>оо и 0—>0 (или 0—>л) равенства статического давления в потоке и давления невозмущенного магнитного поля. Так как, кроме того, расход газа на бесконечности через поперечное сечение радиуса с0 равен половине расхода газа, прошедшего через ударный фронт, то
p2V(oo, 0)с§ = 2рлУ1г^.
Подставляя это значение У(оо, 0) в интеграл Бернулли, с учетом равенства статического и магнитного давлений, будем иметь
щ=р(оо,(30.5)
ол Ут 1\ v Е /
Уравнения (30.2) — (30.5) позволяют вычислить положение ударной волны /?5, радиусы полости Ьо и с0 соответственно для 0 = л/2 и для г>/0, постоянную /0 через p£, Vt и Ва при любом заданном значении П2. Само же значение П2 определяется условиями на бесконечности, которые нужно задать.
Анализ решения уравнений (30.2) — (30.5) удобно провести, введя безразмерные величины П2 = П|(8л/Вз) и С2 = р_еЕ1(8л/В|).
Из (30.2) — (30.5) тогда получаем
А. — 91/3 /тт1)1/3— Г ? + 3 11/2
^0 2 <И ’ rE L2(v+l)J п’
^ = 0 PV^^P [П(3-2П)]-^(Ш-1)-^,
^ ЛTT-Va [ТТ211-1/4
гЕ 4 I (у-М)а 1Ц J
У (00 *0) Г(У^1) (У + З)! Уа 1)1/^ п-1
Vi I (v+1)2 J 1'
Видно, что для "того, чтобы /0, 60, с0, У(оо, 0) были действительными, должно выполняться неравенство
IIПП3/2.3/2.
I
I
П
П
3/2.
3/2.
Для у = 5/3 в предельном случае П = 1 (минимально возможное при заданном В3 значение давления торможения)
==Т=1' V^> О) = У(сю,О)го = О, ^Miy^Q.
Таким образом, область, занимаемая плазмой солнечного ветра, представляет собой цилиндр бесконечного радиуса Ьо, и движение происходит с бесконечно малой скоростью V(oo, 0).
В другом предельном случае П = 3/2 (максимально возможное давление торможения)
zo _ „ ^о _ 1 Rs_l (7 V/2 ~ V(oo, о)_ (35)1/з
ГЕ ’60 ь гЕ 3^2/Vt 12 *
^=Ш1/4о гЕ W
Теперь плазма солнечного ветра заполняет сферу бесконечного радиуса Ьо с двумя цилиндрическими каналами конечного радиуса с0. Скорость течения в каналах составляет приблизительно половину Kv
Кривые на рис. 33 позволяют судить о форме границы области, занятой плазмой солнечного ветра, при различных значениях 1 < П < 3/2. Концентрическими окружностями отмечено при каждом 11 положение ударного фронта. Расстояние от оси симметрии до штриховой линии равно радиусу цилиндрического канала в пределе П—>3/2.
На основе приведенных выше оценок для величины магнитного поля в окрестности солнечной системы естественно принять Вд^З-10"6 гс. Для типичных условий в солнечном ветре концентрация и скорость протонов на орбите Земли равны соответственно 5 см-3 и 4-107 см/сек. В таком случае радиус сферической ударной волны, возникающей в солнечном ветре при его взаимодействии с крупномасштабным галактическим магнитным полем, в зависимости от значения П будет лежать в пределах 1,2-102 а.е. C/?s<l,8-102 а.е.
Влияние нейтрального водорода на движение солнечного ветра
Как уже отмечалось, согласно и теоретическим представлен ниям, и результатам наблюдений в окрестности солнечной системы можно ожидать присутствия нейтральных атомов водорода с концентрацией пИг ~ (0,1 4- 1) см-3. В этом случае взаимодействие протонов солнечного ветра с потоком нейтральных частиц, движущихся относительно Солнца со скоростью 20 км/сек, будет осуществляться главным образом посредством процесса перезарядки [79—81]. Действительно, длины свободного пробега
190 ТЕОРИЯ МЕЖПЛАНЕТНОЙ ПЛАЗМЫ (ГЛ. И] протонов солнечного ветра в газе с концентрацией нейтрального водорода пн» относящиеся к упругим столкновениям и пе- резарядке, есть 7?н = 1/(»н»н) и Яи=1/Мх) (ун» ^0,35-Ю"15 см2 и оех^2-10“15 см2 — сечения для упругих столкновений и перезарядки соответственно). Следовательно, ^н/^ех = аех/ан ^ 6 и влияние перезарядки на течение солнечного ветра будет гораздо существеннее влияния упругих столкновений с атомами нейтрального галактического водорода.
При перезарядке возникают нейтральные атомы водорода высокой скорости и малоэнергичные протоны. Первые в дальнейшем не оказывают заметного влияния на движение солнечного ветра, вторые же захватываются им [100—104]. В результате происходит уменьшение направленной скорости солнечного ветра. Если концентрация нейтрального водорода в данной точке лн, то в единичном объеме в единицу времени происходит приближенно oexpVnH/^H актов перезарядки и, следовательно, теряются импульс Q^Vn^V и энергия сгехр1/цн С/2^2 + + р/[(?—Ор]} (потери энергии вычислены в предположении, что функция распределения частиц является сдвинутой на V максвелловской функцией и число Маха в солнечном ветре велико). Притоком импульса и энергии, связанным с поступлением в плазму солнечного ветра малоэнергичных протонов, можно пренебречь, так как кинетическая и тепловая энергия атомов межзвездной среды много меньше кинетической энергии протонов солнечного ветра [101]. Входящая в выражения для потерь импульса и энергии концентрация нейтральных атомов межзвездного водорода уменьшается по мере приближения к Солнцу не только вследствие перезарядки, но и под действием ультрафиолетового излучения Солнца. Образующиеся при фотоионизации протоны также захватываются* солнечным ветром, обеспечивая прирост массы в единице объема в единицу времени, равный oz/nHnH®r (Фг—поток ионизующей радиации, обратно пропорциональный квадрату расстояния от Солнца; oz— сечение фотоионизации). Их вклад в импульс и энергию солнечного ветра незначителен по той же причине, что и в случае перезарядки [101].
Из сказанного следует, что влияние процессов фотоионизации и перезарядки на течение солнечного ветра можно учесть путем введения дополнительных членов в уравнения неразрывности, движения и энергии. При этом количественное рассмотрение сильно упрощается, если при вычислении пн (г) предположить, как в работе [101], что поток массы солнечного ветра обратно пропорционален квадрату гелиоцентрического расстояния, т. е. рУга = PeVe^e (данное соотношение, конечно, является приближенным, поскольку прирост массы вследствие фотоионизации делает pVr2 несколько большим, чем p^V^r^). Тогда для изменения концентрации нейтрального водорода пи в направлении
апекса с учетом неупругих процессов перезарядки и фотоионизации будем иметь (см. последнее уравнение системы (10.20))
ДПцЛ
К3 -37- = оехпн ^ V + о,пнФг = а.
■ £e_v (1 ! "*н^фА Гг^у ех тн Е \ 1 * ПехРУ / н \ г /■ £e_v (1 ! "*н^фА Гг^у ех тн Е \ 1 * ПехРУ / н \ г /ааоо^на-ф-аехрУ^на-ф-аехрУТак как, по предположению, pVcer"2 и Фгосг“а, то величина
■ £e_v (1 ! "*н^фА Гг^у ех тн Е \ 1 * ПехРУ / н \ г /
■ £e_v (1 ! "*н^фА Гг^у ех тн Е \ 1 * ПехРУ / н \ г /
а
а
о
о
^на-ф-аехрУ
^на-ф-аехрУ
не зависит от г и равна отношению числа актов ионизации, происходящих в единичном объеме в единицу времени под действием солнечной радиации, к числу актов перезарядки.
Интегрируя уравнение для пн(г), находим
Пн^^нз ехр( —£0/г),
где
р (1 4ао) °ехпЕ^£ГЕ( pf А
^0 “V \Пе/
Из\тН/
характеризует расстояние, начиная с которого пн заметно уменьшается по сравнению со значением иНз на бесконечности.
Экспоненциальное убывание пн с уменьшением г делает возможным принять и другое упрощение: пн = инз при г > Ro и и-н = 0 при г < Ro [103].
В каждом из этих случаев движение солнечного ветра допустимо считать сферически симметричным и система гидродинамических уравнений, описывающих течение, имеет вид [101, 103]
= а6°ехРЕУЕГЕПи = Pv
^^^ + r2 57 = - °exP^nHV - P2V, ^^pVr2!/2 y + (T_1)M2 } =
(31.1)
(здесь, как и выше, предполагается, что входящий в выражения для потери импульса и энергии поток массы солнечного ветра обратно пропорционален квадрату гелиоцентрического расстояния).
Система уравнений (31.1) может быть решена численно [101, 102]. Мы же подробно остановимся на особенностях перехода к дозвуковому режиму течения [103].
Произведем замены
f - pVr2,f - pVr2,_ м2—1^ Ма + Y ~1 *_ м2—1^ Ма + Y ~1 *
f - pVr2,
f - pVr2,
_ м2—1
^ Ма + Y ~1 *
_ м2—1
^ Ма + Y ~1 *
Тогда из (31.1) легко получить _р dr v
S7-^a7+2 A^-to+'^+tT+D/y/-,
(31.2)
Точка, в которой т| = 0 (или М2 — 1), является особой (критической) точкой последнего уравнения. Если не все Рк (k~ = 1, 2, 3) равны нулю, то ее координата
Ге = 2/с Г1 (Т + 1) Рх + УР2 + (У - 1)•
Условие для т\с^ (diq/dr^ легко получить, учтя принятую зависимость пн (г). Причем в целях простоты имеет смысл исследовать два случая: 1) пренебрегается фотоионизацией и перезарядкой при г < Ro, а при г > Ro пн(г)^пНзэ но фотоионизация по-прежнему несущественна (т. е. ао = О); 2) учитываются процессы фотоионизации (ссо=^О) и перезарядки, а ин(г) = =Ннзехр(—Rq/гУ Тогда в первом случае (Р^О, f = const)
(P„ P.. fM-{o, 1, -i-^^? W),
чений физических параметров, в частности, давления на беско- нечности). Для этого необходимо, чтобы были выполнены неравенства
(31.6)(31.7)(31.6)(31.7)2Ь + р: + (1-гчр, + 2(Т-1)^>о,
(31.6)
(31.7)
(31.6)
(31.7)
Я Y±1 к ГД О -L г d — Р 1 Л V Ге Lrc k dr J
В приближении (31.3) координата критической точки гс = = ^Rex/Vh — 1) (y + 2)], а неравенства (31.6), (31.7) справедливы при всех физически оправданных значениях у.
Решение последнего уравнения системы (31.2) для т] (г) определяется как давлением на бесконечности, так и параметром RJRex*
В области г < Ro перезарядка не влияет на течение солнечного ветра и, поскольку число Маха велико (невозмущенный
Рис. 34.Рис. 34.
Рис. 34.
Рис. 34.
межзвездной средой солнечный^ ветер), т]^1. На расстояниях rT^ Ro т] (г) уменьшается (соответствующие некоторым значениям Ro/Rex кривые г| (г) представлены на рис. 34, где у = 5/3, а для кривой la Ro/Rex ^ ОУ Штрих-пунктирной линией на рис. 34 показана сепаратриса (в точке г = гс ей отвечает максимальное по абсолютной величине значение т^), штриховой — огибающая (она характеризуется тем, что р —^0 при г—>оо). Цифрами 0,16; 0,016 и т. д. вблизи интегральных кривых даются давления плазмы солнечного ветра на различных гелиоцентрических
7 В. Б. Баранов, К. В. Краснобаев
расстояниях, отнесенные к удвоенному динамическому давлению солнечного ветра в точке г = Rex в отсутствие нейтрального водорода pE=pEVV£/Rex (как показывают расчеты, давления на ветвях интегральных кривых, расположенных ниже траектории 1а, примерно постоянны).
Видно, что непрерывный переход через скорость звука возможен лишь для давлений на бесконечности, не превышающих О,О16р£и/?о< 1,93/?ех. Неравенство R^< 1,93/?ех, как нетрудно убедиться, выполняется практически при всех характерных значениях параметров солнечного ветра и потока нейтральных частиц, но достаточно большие давления на бесконечности не исключены. Если давление больше 0,016/7 f, то происходит ударный переход ц—— т), отмеченный на рис. 34 вертикальным штриховым отрезком.
Кривая 1Ь соответствует приближению (31.4) и отражает влияние фотоионизации на положение критической точки (ао = О,6 и 7?о = О,257?ех).
В целом изложенные результаты подтверждают возможность торможения солнечного ветра вследствие перезарядки высокоэнергичных протонов на нейтральном межзвездном водороде. Для координаты критической точки предсказывается значение гс^ 90 а.е., если положить Пнз = 1 см-3, аех = 2-10”1Ь см3 и у = 5/3. Непрерывный переход от сверхзвукового течения солнечного ветра к дозвуковому в рассматриваемом случае будет устойчивым, что следует из общего анализа устойчивости перехода от сверхзвукового течения к дозвуковому [105]. Однако при достаточно больших г пренебрежение импульсом и энергией захватываемых солнечным ветром малоэнергичных протонов может оказаться некорректным из-за малости динамического давления солнечного ветра на таких расстояниях.
Расчеты уменьшения динамического давления солнечного ветра за счет перезарядки в сверхзвуковом режиме проводились также в [106], причем считалось Пн (г) = пНз ехр (—RJr) (постановка задачи аналогична изложенной выше). Авторы не предполагали постоянства расхода рЕг2 в правых частях гидродинамических уравнений. Поэтому при г§>7?0 уравнение неразрывности имеет интеграл в виде
pVrj = p£V£r^+О/Ф^тнПнз r—rE—R0\n(j^ .
Однако аналитическое выражение для V (г) получено в пренебрежении градиентом давления dp/dr. Для плотности лНз = 0,05 см-3 было найдено, что скорость солнечного ветра уменьшается лишь на 30% до расстояния 100 а.е.
Принимая dp/dr ^ 0, уменьшение динамического давления солнечного ветра вследствие перезарядки на нейтральном галак
(здесь коэффициент—размерная величина). Но при dp/dr~0,(здесь коэффициент—размерная величина). Но при dp/dr~0,
(здесь коэффициент—размерная величина). Но при dp/dr~0,
(здесь коэффициент—размерная величина). Но при dp/dr~0,
тическом водороде можно учесть и в модели сверхзвукового межзвездного ветра (см. модель с двумя ударными^ волнами в § 29). В самом деле, модель справедлива, если гс > г* (г* — величина отхода поверхности разрыва, определенная в§ 29), т. е.
- _ 4У о =г 1/P^Kl
с(Т—1)(т + 2) ^ех • Е V p3V3'
Полагая оех = 2-Ю-16 см2, 1гЕ=рЕ/тн = 4см~3, 1^=4-107см[сек, V3 = 2 -W см/сек, у = 5/3, получим
У~п3 > 0,5пн
сс0 = О, nH = const из (31.1) следует
^1(П = ^ехр(- rfRex\
Значит, скорость солнечного ветра будет убывающей функцией гелиоцентрического расстояния г. Это обстоятельство можно учесть при вычислении г* (см. § 29). Получаемая зависимость г* от концентрации электронов пе в межзвездной среде при различных концентрациях нейтральных частиц пн изображена на рис. 35 (В3 = 0). Основной вывод, который следует из анализа кривых на рис. 35 заключается в том, что в широком диапазоне изменения электронной концентрации и концентрации нейтральных атомов водорода в межзвездной среде учет перезарядки лишь на несколько десятков процентов уменьшает
величину г*, определенную в мо-Рис 35
дели с двумя ударными волнами.
Обсуждавшиеся в §§ 28—31 теоретические модели взаимодействия солнечного ветра с межзвездной средой в настоящее время являются основными при оценке размеров области сверхзвукового течения солнечного ветра. В зависимости от характера заложенной гипотезы дозвуковое движение солнечного ветра начинается с расстояний от нескольких десятков до нескольких сотен астрономических единиц. Интересно сопоставить эти цифры с имеющимся наблюдательным материалом.
Известно, что изменение свойств межпланетной плазмы, ко-
торое происходит вместе с уменьшением скорости солнечного
ветра, влияет на условия прохождения в околосолнечном пространстве галактических космических лучей [107]. Интерпретация стохастических [108] и 11-летних [109] вариаций космических лучей дает для размера области сверхзвукового течения солнечного ветра значения 3—6 а. е. и 10—20 а. е. соответственно. Расстояние, на котором скорость солнечного ветра вследствие торможения космическими лучами падает на порядок по сравнению с ее величиной в районе орбиты Земли, определено [91] как 45 и 75 а. е. соответственно в минимуме и максимуме солнечной активности (в зависимости от энергетического спектра космических лучей это расстояние может уменьшаться до 20—34 а. 5.). По метеоритным данным [110] верхняя граница области невозмущенного течения солнечного ветра равна 2 а. е. Таким образом, несмотря на значительный разброс, наблюдения дают все же более низкие значения для размера области сверхзвукового течения солнечного ветра, чем предсказываемые теоретически.
Возможное объяснение этому факту целесообразно, по-види- мому, искать, исследуя совместно влияние таких факторов, как динамическое давление движущегося относительно Солнца межзвездного газа, давление магнитного поля и космических лучей. Последнее, однако, сопряжено с существенными математическими трудностями. Действительно, вектор индукции магнитного поля в межзвездной среде не обязательно параллелен вектору скорости межзвездного газа, а поток космических лучей, вообще говоря, анизотропен. Следовательно, гидродинамическая задача становится трехмерной. Если же принимать во внимание временные вариации параметров межпланетной среды, обусловленные изменениями солнечной активности, то необходимо учитывать в уравнениях гидродинамики и ^нестационарность поля течения (§§ 25, 26).
В экспериментальном плане наиболее важным для уточнения моделей взаимодействия солнечного ветра с межзвездной средой представляется получение оценок концентрации заряженной компоненты.
Большой интерес также представляет вопрос о справедливости гидродинамического описания взаимодействия солнечный ветер — межзвездная среда.
Как известно, гидродинамический подход к исследованию некоторого движения многокомпонентной плазмы является строго обоснованным, если функция распределения частиц близка к максвелловской и ее изменения малы на длине свободного пробега. Само же понятие длины свободного пробега определяется различными способами в зависимости от интересующих характеристик столкновения [111]. Плазма солнечного ветра взаимодействует с межзвездным газом, имеющим, вообще говоря, ионизованную
и нейтральную компоненты. Большая часть направленного импульса плазмы солнечного ветра и межзвездного газа связана с движением нейтральных атомов и ионов, а не электронов. Поэтому существенное влияние на поле течения оказывает передача импульса от одного потока к другому посредством упругих столкновений тяжелых частиц с плазмой. Торможение ионов солнечного ветра, рассматриваемых как пробные ионы скорости 300 км/сек, движущиеся в поле заряженных частиц межзвездной среды с концентрацией 1 см-3, происходит на расстояниях ~1 а.е. В случае, когда ионы солнечного ветра сталкиваются с нейтральными атомами водорода и пНз = 1 см-3, длина свободного пробега равна 200 а. е. Соответственно длины пробега заряженных и нейтральных частиц межзвездного газа в плазме солнечного ветра на расстояниях 100 а. е. составляют приблизительно 103 а. е. и 2-Ю5а.е. (для пЕ = Ъ см~3\ Сравнивая полученные значения с характерными масштабами течений, анализировавшихся в §§ 28—31, легко видеть, что упругие столкновения часто недостаточны, чтобы обеспечить справедливость гидродинамического приближения. Некоторым оправданием того, что среда рассматривается как сплошная, может тем не менее служить рассеяние заряженных частиц на флуктуациях электромагнитного поля, препятствующее существованию многоскоростных потоков ионизованного газа. Количественная сторона данного вопроса совер шенно не разработана. В связи с этим представляет интерес работа [112], в которой взаимодействие солнечного ветра с крупномасштабным галактическим магнитным полем трактуется как проникновение монохроматического пучка ионов и электронов в однородное магнитное поле.
§ 32. Взаимодействие солнечного ветра с планетами, обладающими магнитным полем
Изучение свойств солнечного ветра в значительной мере стимулируется исследованиями околопланетной плазмы. Обтекая планеты, солнечный ветер формирует поле течения, определяемое как параметрами самого ветра, так и характеристиками планет (наличие или отсутствие у них магнитного поля, ионосферы, проводящего ядра).
Еще задолго до того, как с помощью искусственных спутников и ракет-зондов были получены первые сведения об околоземном космическом пространстве, Чепменом и Ферраро [113] теоретически было показано, что поток не взаимодействующих между собой заряженных частиц отклоняется магнитным полем Земли и образуется полость, которую в настоящее время принято называть магнитосферой. Предложенная модель предсказывала размеры полости, но оставалась неизвестной ее форма.
Этот вопрос был решен гораздо позднее в результате исследования обтекания плоского диполя проводящим газом на основе гидродинамических уравнений [10].
Физически взаимодействие потока ионизованного газа с магнитным полем Земли сводится к явлению магнитного «отжатия», заключающегося в том, что плазма обтекает при своем движении некую полость, вне которой магнитное поле отсутствует (если, конечно, в невозмущенном потоке давление магнитного поля много меньше газодинамического). На границе полости магнитное давление уравновешено газодинамическим и нормальная составляющая вектора магнитной индукции равна нулю. Граница полости является, строго говоря, магнитным пограничным слоем (§ 11). При достаточно высокой проводимости плазмы толщина этого слоя мала по сравнению с характерным размером полости и границу полости можно считать поверхностью разрыва (см. §17). Текущие в магнитном пограничном слое токи и создают понде- ромоторные силы, обеспечивающие «отжатие» газа.
Поскольку в обтекающем полость солнечном ветре число Маха велико, то перед полостью, подобно тому, как это происходит при обтекании затупленных тел, должна образовываться головная ударная волна.
В гиперзвуковом режиме газодинамическое давление, действующее на обтекаемую полость, можно рассчитать в приближении Ньютона. Согласно этому приближению, газ считается состоящим из невзаимодействующих частиц, которые при столкновении с обтекаемой поверхностью теряют долю К нормальной к поверхности составляющей импульса. Если п—вектор нормали к элементу поверхности и ^—скорость набегающего потока, то теряемый частицами импульс равен
/<рГ2ю cos2 (я, VJ и представляет собой, очевидно, давление на обтекаемое тело. Заметим, что формула Ньютона для распределения давления на поверхности обтекаемого гиперзвуковым потоком газа тела
p = KpVt cos3 (я, Кю)(32.1)
проверена в многочисленных экспериментах [96].
Если считать (32.1) выполненным, то задача отыскания распределения магнитного поля в полости сведется к решению уравнений
div В = 0, rotB = 0с условиями на заранее неизвестной границеKp^Vtcos2^, V^-B^^Y cos (я, ^Х О,(В-я)-0
и особенностью в виде магнитного диполя в начале координат.
В такой постановке для плоского случая эта задача была решена авторами работы [10] и найдена форма полости. При известной форме препятствия поле течения между ударной волной и обтекаемой поверхностью может быть рассчитано известными методами газовой динамики.
Полеты космических аппаратов позволили осуществить непосредственные измерения магнитного поля и потоков частиц в окрестности Земли. Одним из важнейших результатов экспериментов является вывод о том, что в околоземном космическом пространстве достаточно отчетливо выделяются три области
(рис. 36): 1 — межпланетное пространство, где свойства межпланетной среды не нарушаются присутствием Земли и ее магнитным полем; 2— переходная область, обусловленная взаимодействием солнечного ветра с геомагнитным полем; 3— магнитосфера — область пространства, занятая геомагнитным полем (классическая полость Чепмена — Ферраро). В переходной области в направлении к Земле зарегистрировано уменьшение направленной скорости солнечного ветра и увеличение его концентрации и напряженности магнитного поля. В целом картина весьма сходна с имеющей место при обтекании затупленною тела гиперзвуковым потоком газа. Это обстоятельство в большой степени способствовало развитию гидродинамического подхода к вопросу об обтекании Земли, несмотря на то, что длина свободного пробега частиц солнечного ветра на орбите Земли около 1 а.е., а характерный размер магнитосферы в направлении к Солнцу порядка 10 земных радиусов.
Основанием для такого подхода в настоящее время служат лишь качественные доводы, сводящиеся к тому, что эффективная длина пробега существенно уменьшается либо вследствие рассея-
200 ТЕОРИЯ МЕЖПЛАНЕТНОЙ ПЛАЗМЫ [ГЛ. П1 ния частиц на волнах, либо вследствие наличия магнитного поля, которое гидродинамизирует систему. Тем не менее удовлетворительное согласие результатов теоретических расчетов с экспериментом (это будет продемонстрировано ниже) свидетельствует в пользу того, что основные особенности взаимодействия солнечного ветра с геомагнитным полем могут быть описаны гидродинамически.
Рассмотрим обтекание магнитосферы Земли гиперзвуковым потоком невязкого нетеплопроводного совершенного газа бесконечной электропроводности [114, 115]. Тогда движение плазмы будет подчиняться уравнениям (10.15).
Получающаяся система дифференциальных уравнений допускает разрывные решения, причем при переходе через разрыв должны выполняться известные законы сохранения (о классификации и свойствах разрывов см. § 17). Если рассматривать магнитосферу как обтекаемое препятствие, то границу между межпланетным пространством и переходной областью следует считать быстрой ударной волной, а границу магнитосферы (магнитопаузу)—тангенциальным разрывом [116, 117]. Здесь нет противоречия с экспериментом.
Действительно, в рамках недиссипативной магнитной гидродинамики граница, разделяющая межпланетное пространство и переходную область, может быть только быстрой ударной волной, поскольку экспериментальные данные показывают, что Е^^О и для невозмущенного солнечного ветра Мл^>1. Так как, кроме того, из наблюдений следует, что в переходной области р^>В2/(8л), а в магнитосфере В2/(8л)^>р, то при условии Е„^0 магнитопаузе соответствует лишь тангенциальный разрыв (§ 17).
Математически решением задачи об обтекании магнитосферы должны являться функции р, У, В, удовлетворяющие уравнениям (10.15) и граничным условиям на бесконечности: р -р^, У=Уте1 В^В^ (при этом не обязательно VII В) , а также законам сохранения на ударной волне и тангенциальном разрыве с учетом того, что в начале координат имеется особенность в виде пространственного магнитного диполя. Форма поверхностей разрыва заранее неизвестна и также подлежит определению.
Поставленная задача слишком сложна и для се решения обычно делается ряд допущений.
Первое из них заключается в том, что в уравнении движения пренебрегается членом 5хго15/(8л).
Согласно второму допущению, рассматривается течение вокруг осесимметричной магнитосферы, граница которой получается вращением экваториального сечения магнитосферы вокруг оси Солнце—Земля.
Третье допущение состоит в том, что распределение давления на поверхности тангенциального разрыва следует формуле Нью-
тона, т. е. пропорционально квадрату косинуса угла между внешней нормалью к поверхности и направлением скорости невозмущенного солнечного ветра. Из гидродинамики известно (см., например, [96]), что формула Ньютона верна, если, как это имеет место в данном случае, в набегающем потоке М^>1.
В силу первого предположения функции р и V могут быть найдены независимо от В* После того как р и V станут известны, распределение магнитного поля в переходной области можно достаточно просто получить интегрированием уравнений rot (VX В) = 0, div В — 0 при соответствующих граничных условиях.
Предположение об осесимметричности магнитосферы позволяет исследовать обтекание с помощью хорошо разработанных методов газовой динамики.
Наконец, использование ньютоновского приближения для распределения давления по поверхности тангенциального разрыва существенно упрощает вычисления, потому что тогда определение формы и положения магнитопаузы не требует знания поля течения в переходной области. Детальные расчеты проводились различными методами—методом моментов, свободной поверхности, самосогласованного поля.
Считая, что форма магнитопаузы тем или иным способом вычислена, мы приходим к задаче расчета обтекания тела заданной формы гиперзвуковым потоком газа. Конкретные расчеты для обтекания магнитосферы Земли проводились в работах [115, 117].
О степени совпадения теоретических и экспериментальных результатов дают представление рис. 37 и рис. 38.
На рис. 37, взятом из книги [118], данные спутника «1МР-1» о положении головной ударной волны и магнитопаузы сопоставляются с кривыми, полученными на основе уравнений недиссипативной магнитной гидродинамики. Через RE обозначен радиус Земли. Точки соответствуют положению ударной волны, крестики— магнитопаузы.
Видно, что в окрестности лобовой точки имеется удовлетворительное согласие. Далее возникают заметные расхождения, возможно, отчасти обусловленные некорректностью использования приближения Ньютона для больших углов между нормалью к поверхности разрыва и вектором скорости набегающего потока.
На рис. 38, взятом из обзора [117], показаны зависимости средней скорости солнечного ветра, плотности ионов и магнитного поля от геоцентрического расстояния по данным станции «Пионер-6» наряду с предсказываемыми теоретически приМ^-8, у = 5/3. Здесь также имеется неплохое совпадение.
Кроме того, результаты измерений, выполненных на спутниках «Эксплорер-12», «1МР-1», «1МР-2», «Эксплорер-28, 33, 34, 35», показывают [117], что в пределах точности аппаратуры на магии-
топаузе Вп^0 и в переходной области изменения магнитного поля согласуются с расчетами.
Изложенное выше относится только к некоторой окрестности - вблизи лобовой точки магнитосферы. Однако в области, на границе которой (п-У®)^0, даже небольшое (по сравнению с динамическим) статическое давление может существенно изменить распределение магнитного поля.
Для обсуждавшихся теоретических моделей малостью величины (п-Уа) характеризуется граница магнитосферы с ночной стороны. На больших расстояниях от точки, в которую помещен магнитный диполь, форма полости близка к цилиндрической. При этом вектор скорости У^ параллелен магнитопаузе. В пространственном случае сечение магнитосферы плоскостью, перпендикулярной У о,, есть круг.
Эксперименты, выполненные на космических аппаратах, подтвердили существование протяженной области возмущенного геомагнитного поля на ночной стороне (анализ важнейших экспериментальных данных см., например, в книге [119]). Однако форма магнитосферы оказалась несоответствующей теоретическим моделям — ее поперечное сечение увеличивалось с расстоянием от Земли вместо того, чтобы оставаться постоянным или уменьшаться.
Были выявлены и особенности распределения магнитного поля. На расстояниях порядка нескольких десятков радиусов
Земли и далее магнитные силовые линии становятся почти параллельными (или антипараллельными) оси Солнце—Земля. Поверхность, разделяющая области с противоположно направленными
60 пьсм^40гоо60 пьсм^40гоо
60 пьсм^
40
го
о
60 пьсм^
40
го
о
магнитными полями, в первом приближении совпадаете экваториальной плоскостью. Вблизи этой поверхности В^О (нейтральный слой).
Было также установлено, что протяженность области возмущенного геомагнитного поля, обычно называемой хвостом магнитосферы, составляет величину порядка 500—10007?Е.
Отмеченное расхождение результатов теории и эксперимента указывает на присутствие неучтенных источников дополнительного давления внутри магнитосферы, приводящее к ее расширению. Таким источником дополнительного давления может служить токовый слой в хвосте магнитосферы. Общие условия возникновения токовых слоев были исследованы С. И. Сыроватским [120], а формальное введение последних в гидродинамические модели обтекания магнитосферы проводилось в работах [121 —123]. В результате удалось добиться удовлетворительного согласия теории и эксперимента.
Несмотря на известную ограниченность гидродинамического подхода, он все же позволяет сделать некоторые заключения и об обтекании солнечным ветром других планет, имеющих достаточно сильное магнитное поле (к таким планетам относятся Меркурий [124], Юпитер [125, 126] и, возможно, Марс [127]).
Так, например, еще в работе [128] теоретически были предсказаны параметры магнитосферы Юпитера. Из условия баланса динамического давления солнечного ветра и давления дипольного магнитного поля Юпитера следует, что размер магнитосферы должен быть 537?j (Rj—радиус Юпитера), а ударная волна отстоит от центра планеты на расстояние ^ 74^у. Интересно, что наблюдения, выполненные при полете аппарата «Пионер-10», подтвердили существование ударной волны и магнитопаузы [125, 126]. В положении последних нет существенных противоречий с предсказываемыми теорией значениями.
§ 33. Обтекание планет, имеющих плотные атмосферы, в отсутствие магнитного поля
Если у планеты отсутствует значительное магнитное поле, но имеется плотная атмосфера (примером здесь может служить Венера), то солнечный ветер взаимодействует с газовой оболочкой и принципиально возможны две схемы обтекания [129]: 1) солнечный ветер тормозится планетной атмосферой, не смешиваясь с ней; 2) уменьшение скорости солнечного ветра про исходит вследствие диффузионного перемешивания с образующимися под действием ультрафиолетовой радиации Солнца ионами атмосферы. Обе схемы предполагают существование головной ударной волны.
Первой схеме отвечает модель, согласно которой считается, что проводящие слои атмосфер достаточно плотные и вязкость и теплопроводность несущественны [130]. Таким образом, появляется возможность описывать течение плазмы уравнениями не-
диссипативной магнитной гидродинамики. Если пренебречь движениями внутри ионосферы, то граница между плазмой солнечного ветра, прошедшей через ударный фронт, и плазмой ионосферы (ионопауза) может быть лишь тангенциальным разрывом (см. § 17). Давление в ионосфере должно следовать барометрической формуле р = ра ехр [ — (г — r^fH^ где ра—давление на некотором расстоянии га от центра планеты, Н — kT/(pamHg), цй —средний молекулярный вес, g—ускорение силы тяжести. Тогда, пользуясь приближением Ньютона (32.1) для распределения давления по иоиопаузе и не учитывая, ввиду его малости, давление магнитного поля, из условия на тангенциальном разрыве имеем
Кр.П cos2 (л, К^) = ptt exp [ —(г — raWJ.
Полагая, что га есть координата лобовой точки, для функции г (0), дающей форму ионопаузы, получаем дифференциальное уравнение вида
о/\ (г cos 04-sin 0 dr)2г ,\,г71 п
COS2 (Я, Коо) = W + r4di)F " = ехР(r ~ r aW] = £о
или
1 dr _ sin 20 ± 2V^£’o — ^оро i\
Td^" 2(£o-sin20)*(dd.l)
Легко видеть, что 0<Е0^1 и всегда существует некоторое значение 0С, обращающее знаменатель правой части (33.1) в нуль. Чтобы избежать особенности, нужно потребовать обращения в нуль числителя, т. е.
sin 20с ± 2 (sin20c—sin4 0с)1/2 = 2 sin 0c-cos 0С ± 2 | sin 0c-cos 0С | 0.
Но это возможно, только если перед радикалом выбрать знак минус (непосредственная проверка показывает, что в точке 0 = 0С производная dr/d0 конечна). Тем самым форма ионопаузы однозначно определяется в результате решения уравнения (33.1) с граничным условием г(0)^гй. Дальнейшие вычисления полностью аналогичны случаю обтекания магнитосферы Земли.
Рассмотрим некоторые особенности обтекания не имеющих собственного магнитного поля планет при наличии перемешивания [131, 132]. Следуя работе [131], примем, что образующиеся под действием ультрафиолетовой радиации Солнца ионы (в атмосфере Марса, для которой проводилось вычисления, это ионы СО2+) увлекаются плазмой солнечного ветра в области, где столкновения с нейтральными частицами еще несущественны. С уменьшением высоты скорость потока плазмы падает, так как становится важной передача импульса нейтральным частицам, концентрация которых возрастает по мере приближения к поверхности планеты. Слой, в котором происходит новообразование, в первом
приближении будем считать достаточно тонким и рассматривать как поверхность разрыва параметров плазмы солнечного ветра, являющуюся источником массы (приток импульса и энергии к плазме, обусловленный захватом ионов, невелик). Пусть вектор скорости солнечного ветра перпендикулярен поверхности разрыва и S есть масса ионов, возникающих вследствие фотоионизации внутри фронта в единицу времени в столбе единичного сечения. В стационарном случае условий сохранения массы, импульса и энергии имеют вид
Ра^г ‘ Р1^1 ~Н ^, Ра^2 + Ра Р1^1 + Р11
^pyi + ^P^V.-^PiVi^^pAv.. (33.2)
Индексы «1, 2» относятся к значениям параметров перед разрывом и за ним соответственно.
Из (33.2) имеем
Здесь через (Vy/IQs обозначено отношение скоростей газа до и после разрыва для S —0, даваемое формулой
(33.4)(33.4)М _ (т + 1)М^
(33.4)
(33.4)
2 + (у—1)М2
где М — число Маха в набегающем потоке.
только когдатолько когдаИз (33.3) видно, что действительные значения Vj\\ получаются,
только когда
только когда
(33.5)(33.5)s / Г1 — (V1/H2)S]2
(33.5)
(33.5)
Pi Л4(Vx/I/2)5
Следовательно, с учетом (33.4) при М2*оо максимально возможная величина отношения ЗДр^У) близка к (у2— I)”1. Существование двух решений для VjV^ Допускает простую физическую интерпретацию. В пределе §/(р1У1)—>0 знак минус перед радикаДом соответствует VJV^ —> 1 (отсутствие разрыва в течении), а при знаке плюс VjV^ —(VVK^s (имеется ударная волна). В атмосфере Марса число возникающих ионов СО^ составляет приблизительно 109сж“2 се^1. Полагая концентрацию и скорость плазмы солнечного ветра равными 5сж~3 и 400^/с^ соответственно, легко убедиться, что
5< 5 V 1
Р1^1\Р1^1/тахУ2—1
Но тогда скорость солнечного ветра относительно разрыва не может быть сверхзвуковой. Следовательно, поток перестраивается так, что в набегающем на источник ионов газе образуется ударная волна и течение становится дозвуковым (М < 1). Однако
возникновение в солнечном ветре ударной волны еще не гарантирует того, что определяемое из (33.3) значение VjV^ будет действительным. В самом деле, подставляя (33.4) в (33.5) и принимая теперь М2<^1, имеем
Р1^2(у+1)М2'
Пользуясь приведенными выше оценками параметров солнечного ветра и источника ионов, из (33.6) получаем, что скорость набегающего на разрыв газа не должна превосходить 1 км1сек, а М ^0,01. Эти величины гораздо меньше достигающихся за прямым скачком уплотнения в солнечном ветре.
Требуемые значения скорости и числа Маха можно получить, лишь приняв во внимание неодномерность движения. В связи с этим возникает задача расчета поля течения между ударной волной, форма которой заранее неизвестна, и некоторой поверхностью, где заданы условия вида (33.2) (конечно, соответствующим образом измененные, с тем чтобы учесть наличие нормальных и касательных к фронту составляющих скорости потока).
Если предположить, что скорость 1 км!сек и число Маха ~0,01 уже достигнуты, то профиль концентрации ионов можно найти, рассматривая задачу об одномерном стационарном движении трехкомпонентной плазмы (протоны солнечного ветра, ионы атмосферы, электроны) через нейтральный газ [131]. При этом в уравнениях неразрывности для каждой из компонент нужно учесть неупругие процессы фотоионизации и рекомбинации, а в уравнения движения и энергии добавить члены, связанные с передачей импульса и энергии нейтральным частицам (распределение последних обычно задается). Граничными условиями для давления, плотности и магнитного поля служат значения этих параметров после прохождения плазмой солнечного ветра головной ударной волны. Полученный профиль концентрации ионов оказывается в удовлетворительном согласии с измерениями, выполненными на автоматической станции «Маринер-4».
Подобным же образом может быть рассчитано и обтекание Венеры [132]. При этом оценки показывают, что нс исключено появление ударной волны.
Результаты непосредственных измерений параметров плазмы вблизи Венеры и Марса не противоречат рассмотренным моделям. Данные, полученные при полете межпланетных автоматических станций «Венера-4, 6», «Марс-2, 3, 5», «Маринер-4, 5», свидетельствуют в пользу существования головной ударной волны [130, 133—137, 127], а профиль концентрации ионов в атмосфере Марса согласно экспериментам на аппарате «Маринер-4» соответствует расчетам (в более поздней работе [138] было учтено
влияние индуцированных солнечным ветром токов на структуру ионосферы). Но как модель тангенциального разрыва, так и модель, учитывающая перемешивание плазмы солнечного ветра с атмосферой планеты, дают качественно близкие распределения заряженных частиц в ионосфере. Поэтому выбор и уточнение какой-либо из них должны основываться на более обширном наблюдательном материале.
Обтекание Луны солнечным ветром
В том случае, когда планета не обладает магнитным полем или плотной атмосферой, способными затормозить солнечный ветер, характер обтекания будет зависеть от электрических и магнитных свойств материала планеты [6, 139—142].
Предположим, что планета состоит из проводящего ядра и окружающего его поверхностного слоя с более низкой электропроводностью. Тогда индуцируемые солнечным ветром токи в ядре будут приводить к появлению магнитного поля, стремящегося затормозить поток плазмы. Величина этого магнитного поля, а следовательно, и характер обтекания зависят от проводимости материала и от отношения толщины поверхностного слоя к радиусу ядра. Мы не будем, однако, останавливаться на анализе моделей с индуцированным магнитным полем, так как для рассматриваемого ниже случая обтекания Луны магнитное поле оказывается несущественным.
Данные о поглощательных свойствах Луны и о величине магнитного поля были получены в результате измерений, выполненных на космических аппаратах.
Выяснились следующие факты (ссылки на многочисленные экспериментальные работы см., например, в обзорах [116 117]: 1) собственный (или индуцированный) магнитный момент Луны слишком мал для того, чтобы воспрепятствовать попаданию заряженных частиц на поверхность; 2) головная ударная волна в окрестности Луны отсутствует; 3) позади Луны имеется коническая полость, замыкающаяся в результате тепловых движений частиц солнечного ветра.
Эти факты говорят о том, что при обтекании солнечным ветром Луну можно рассматривать как полностью поглощающую набегающие частицы неэлектропроводную сферу. Предположив, что взаимодействие солнечного ветра с Луной описывается уравнениями недиссипативной магнитной гидродинамики, авторы работы [143] провели расчеты для случая, когда Ух || В^. Задача в этом случае осесимметрична и качественная картина обтекания изображена на рис. 39. Плазма, заключенная в объеме, ограниченном цилиндрической поверхностью радиуса 7?т (радиус Луны), при набегании на Луну полностью поглощается, так что
позади образуется полость (каверна) с р=0, р - 0, отделенная от плазмы солнечного ветра тангенциальным разрывом 1, при переходе через который (см. § 17) р + В2/(8л) 5^/(8л) (Bw— абсолютная величина вектора магнитной индукции в полости вблизи границы). Внутри Луны и в каверне rotS O, div8 = 0. Вне этой области движение газа подчиняется уравнениям (10.15). За линией, где поток касается сферы, плазма огибает поверхность (Ип = 0) до тех пор, пока 5^/(8л) не сравняется с р + 52/(8л). После этого газ отделяется от поверхности. Если Rw— радиус
Рис. 39.
следа, то из условия сохранения магнитного потока в предположении о «вмороженности» магнитного поля (§ 11) получим
^^8^ = 2 $ Bzydyб
здесь ось Oz|| У» и ось OyVV^Y С хорошей точностью можно положить (и это подтверждается расчетами) Вг=В№. Следовательно, RmBx = RwBw. Асимптотический радиус 8» и величина магнитного поля Bw„ находятся из условия, что на бесконечности в солнечном ветре р=р® и 82/(8л) = 8^/(8л).
Таким образом, Вк,„ =--8z (1+8лра/в^)1'2 и
Т) Г) / 5оо/(8ЛДоо) \
Кюоо — Ат , . „2 ,/о, I
\ 1 В оо/(8л/7оо) /
Область течения, где сказывается возмущающее влияние Луны (след), заключена внутри усеченного конуса, ордината образующей которого Re (г) дается уравнением
^(г) = /?т + г^.
Величина dRJdz может быть оценена из следующих соображений. В § 20 мы видели, что возмущения, создаваемые телом, помещенным в сверхзвуковой поток, ограничены конической
поверхностью, угол раствора которой характеризуется отношением скорости малых возмущений к скорости набегающего газа. Но при наличии магнитного поля наибольшая скорость малых возмущений равна скорости быстрой магнитозвуковой волны, распространяющейся поперек магнитного поля. Скорость распространения такой волны равна (см. формулу (12.9) или диаграмму распространения малых возмущений на рис. 5)
kc^WY’^
где а —скорость звука и Кд = [52/(4лр)]1/2 есть альфвеновская скорость. Отсюда
dRc = (o1+VaJ^ / 1 .1 \1/2
При Кх || В^ задача определения поля течения сводится к нахождению функций р, К, В из системы гидродинамических уравнений для осесимметричного случая и решается методом характеристик (детали расчетов здесь опускаются, так как метод достаточно полно разработан в газовой динамике). О форме следа и возникающих волнах разрежения и сжатия дает представление рис. 39 (штриховые линии — характеристики (§ 20), причем характеристика 2 разделяет области возмущенного и невозмущенного течения солнечного ветра).
Приближение V^ || В^ описывает, конечно, лишь частный случай осуществляющихся в действительности ситуаций. Поэтому изучение трехмерного обтекания Луны представляет несомненный интерес, хотя и является весьма сложным. Краткое сообщение о результатах вычислений в случае произвольного угла между и В. содержится в работе [144], где численно решается трехмерная задача об обтекании поглощающей неэлектропроводной сферы невязким нетеплопроводным газом бесконечной проводимости. Основное внимание уделялось нахождению распределения магнитного поля в следе.
Приводимые графики изменения величины магнитного поля с расстоянием от центра сферы и от оси 2 показывают значительные отклонения от осевой симметрии. Данные расчетов профилей скорости, плотности и давления представлены менее полно, и судить по ним о положении и интенсивности ожидающихся, согласно исследованию [142], волн разрежения и сжатия затруднительно.
Ряд количественных результатов при исследовании распределения плазмы и магнитного поля в лунном следе был также получен на основе представлений об обтекании Луны бесстолкновительной плазмой. Например, в работах [145, 146] использовалось приближение ведущего центра, чтобы вычислить трехмерные возмущения параметров плазмы и магнитного поля, вно-
симые в поток присутствием поглощающей неэлектропроводной сферы. Влиянием самих возмущений на траектории частиц пре- небрегалось. Впоследствии это влияние учитывалось и анализировалось в работах [147—150].
От ограничений, налагаемых приближением ведущего центра на отношение ларморовского радиуса ионов к характерному размеру препятствия, свободен метод, предложенный в [151, 152]. Принимая, что направленная скорость потока много больше тепловой скорости ионов, но существенно меньше тепловой скорости электронов, и пользуясь малостью отношения возмущений магнитного поля к Вж, в работах [151, 152] задача обтекания Луны бесстолкновительной плазмой сводится к решению уравнения Больцмана только для ионов совместно с уравнениями Максвелла. Вычисления были проделаны в общем случае для трехмерной геометрии поля течения, и их результаты при малом отношении ларморовского радиуса ионов к 7?т согласуются с получаемыми в приближении ведущего центра.
Существование позади Луны свободной от плазмы каверны и переходной области, а также связанных с ними возмущений магнитного поля, предсказываемое рассмотренными моделями, качественно подтверждается наблюдениями. Тем не менее попыток привести в точное соответствие результаты расчетов с экспериментальными данными не предпринималось. Такое сопоставление интересно уже хотя бы потому, что следует ожидать отклонения от теоретических моделей в случае прохождения Луны через хвост магнитосферы Земли. *
Предполагаемый характер взаимодействия солнечного ветра с далекими планетами
(Сатурн, Уран, Нептун, Плутон)
Из рассмотренного в §§ 32—34 видно, какое сильное влияние на картину обтекания планет солнечным ветром оказывают их физические свойства. Однако о характеристиках Сатурна, Урана, Нептуна, -Плутона в настоящее время сведений очень немного. Достаточно, например, сказать, что полностью отсутствуют данные об их магнитных полях. Поэтому построение моделей обтекания названных планет весьма затруднительно.
Относительно обтекания Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона высказаны лишь очень схематичные соображения. По аналогии с тем, как это обычно делается в гидродинамике, в работе [153] предложено классифицировать режимы течения на основе числа Кнудсена rjd, где гг—тепловой ларморовский радиус протонов солнечного ветра и d—эффективный диаметр препятствия (при наличии у планеты заметного магнитного поля или ионосферы d совпадает с размером магнитопаузы или ионопаузы,
а при отсутствии таковых — просто с диаметром планеты). Тогда, если rz/d<^l, то солнечный ветер можно рассматривать как сплошную среду. Случай rt/d~ 1 соответствует переходному режиму, а случай rJd^X—свободномолекулярному течению.
ТАБЛИЦА 3
Планета
Радиус («л)
Расстояние от Солнца (а. е.)
«п м®
Скорость солнечного ветра (ое/сек)
ni
(см~*)
Меркурий
2 420
0,387
300
34,0
Венера
6 080
0,723
2-10-3
350
9,5
Земля
6 378
1,000
1
400
5,0
Луна
1 738
1,000
ЫО-6
400
5,0
Марс
3 380
1,524
2-10-4
400
2,1
Юпитер
71 351
5,203
—.
400
0,19
Сатурн
60 400
9,540
?
400
0,055
Уран
23 800
19,18
?
400
0,018
Нептун
22 200
30,07
400
0,006
Плутон
3 000
39,44
?
400
0,003
Планета
Температура протонов (СК)
в (V)
Г1
d (км)
1g r^d
Меркурий
6,9-Ю4
24,7
17,5
4 840
—2,44
Венера
4,7-104
8,26
43,0
30 400
—2,85
Земля
4,0-104
5,00
65,5
268 000
—3,62
Луна
4,0-104
5,00
65,5
1 738
— 1 ,43
Марс
3,2-104
3,12
93,6
18 000
—2,28
Юпитер
1,8104
0,72
306
34 000 000
-5,06
Сатурн
1,3-104
0,39
484
120 800
—2,40
Уран
0,92-104
0,19
790
47 600
-1,77
Нептун
0,73-104
0,12
1120
44 400
-1,60
Плутон
0,64104
0,09
1400
6 000
—0,64
В табл. 3 приведены радиусы планет солнечной системы (км), их расстояния от Солнца (а.б.), отношение дипольного магнитного момента А4П к дипольному магнитному моменту Земли ТИ® (не отмеченные в таблице значения Мп для Меркурия и Юпитера по данным космического эксперимента [124—126] составляют соответственно 5,1 -1022 гс*см> и 4/^j гс-см^), а также скорость (км/сек), концентрация (сл/-3) и температура (°К) протонов солнечного ветра. Последние четыре графы табл. 3 дают соответственно магнитное поле в солнечном ветре в гаммах, тепловой ларморовский радиус протонов rz (км), эффективный размер препятствия d (км) и Xg(rt/d). Причем параметры солнечного
§ 36] выводы 213 ветра вычислялись согласно одножидкостной модели (см. § 23), т.е. считалось, что на больших гелиоцентрических расстояниях рОСГ"2, Тсег"1^. ВгС£Г~\ ВфОСГ-1.
Принимая условно, что для rjd^ 10~2 солнечный ветер можно рассматривать как сплошную среду, в [153] сделан вывод о возможности гидродинамического описания взаимодействия солнечного ветра с Сатурном, в то время как при обтекании Урана, Нептуна и Плутона должны появляться особенности, присущие переходному режиму. Здесь нужно отмстить, что неопределенность размера препятствия d делает высказанные в [153] заключения о характере взаимодействия солнечного ветра с далекими планетами проблематичными. Кроме того, выбор rt в качестве длины свободного пробега не представляется с теоретической точки зрения вполне обоснованным.
Выводы
Анализ решений уравнений, проведенный в настоящей главе, привел к качественному выводу, что при определенных физических условиях в атмосфере звезды и в межзвездной среде возможно гидродинамическое расширение звездной атмосферы для достаточно широкого класса звезд.
Однако количественные расчеты применительно к солнечному ветру выявили целый ряд трудностей, с которыми сталкивается теория. Оказалось, что точные одномерные гидродинамические модели не могут количественно описать распределение параметров плазмы солнечного ветра без привлечения эмпирических зависимостей, хотя качественно эти модели дают, по-видимому, верную картину. Например, задание известных из эксперимента значений параметров плазмы на орбите Земли приводит к слишком низким концентрациям частиц в солнечной короне по сравнению с наблюдаемыми значениями.
Устранение такого расхождения теории и эксперимента введением в гидродинамические уравнения различных эмпирических зависимостей можно объяснить влиянием флуктуаций на средние характеристики плазмы солнечного ветра. Тем не менее строгая количественная теория (без привлечения эмпирических зависимостей), согласующаяся с экспериментом, в настоящее время не построена.
Возможно, что развитие существенно неодномерной теории солнечного ветра (линейная теория, хорошо развитая в настоящее время, дает, строго говоря, лишь небольшие поправки к одномерной теории) позволит устранить многие противоречия теории и эксперимента.
Существенный прогресс в понимании физических процессов, связанных с расширением плазмы солнечной короны, может быть
достигнут при помощи прямых измерений параметров солнечного ветра вне плоскости эклиптики. В частности, как было отмечено ранее, сильная неодномерность межпланетного магнитного поля и солнечного ветра по солнечной широте может привести к переоценке величины уносимого из Солнца момента количества движения, что является чрезвычайно важным для теории эволюции солнечной системы.
Гидродинамические модели взаимодействия солнечного ветра с планетами дают качественно согласующуюся с экспериментом картину обтекания, а для магнитосферы Земли имеется и удовлетворительное количественное совпадение. Тем не менее применимость гидродинамических уравнений для задач обтекания планет не обоснована в силу бесстолкновительного характера таких течений. Хотя рассеяние частиц на флуктуациях, значительно уменьшающее длины свободного пробега, может привести к корректности такого подхода, необходима дополнительная экспериментальная и теоретическая проверка этих эффектов.
В настоящее время из-за отсутствия точных сведений о физических условиях в межзвездной среде в окрестности Солнца нельзя отдать предпочтение какой-либо из теоретических моделей взаимодействия солнечного ветра с межзвездной средой. Экспериментальная проверка таких теоретических моделей может помочь в косвенном определении параметров межзвездной среды (ее температуры, концентрации частиц, степени ионизации и т. п.).
Глава IV
Динамические явления в межпланетной плазме на больших гелиоцентрических расстояниях, как мы видели, тесно связаны со свойствами межзвездного газа. Последнему отводится также важная роль в космогонических теориях, его излучение в радиодиапазоне, видимой и ультрафиолетовой областях спектра дает информацию о процессах, происходящих в космосе.
Присутствие межзвездного газа обнаруживается, например, по производимому им поглощению радиации звезд. В частности, в спектрах некоторых двойных звезд возникают линии поглощения ионизованного кальция, не испытывающие допплеровского смещения частоты (такое смещение должно было бы происходить из-за орбитального движения одной звезды относительно другой при поглощении в атмосфере звезды). Интенсивность же линий поглощения растет с ростом расстояния до звезды, что объясняется увеличением числа поглощающих атомов на луче зрения.
Именно открытие поглощения в линиях кальция явилось первым доказательством наличия вещества в космическом пространстве.
Межзвездный газ наблюдается и в эмиссии. Примером областей особенно сильного излучения могут служить окрестности горячих звезд, где атомы наиболее распространенного химического элемента —водорода — нагреты и ионизованы мощной ультрафиолетовой радиацией. Эти области принято называть зонами НИ (соответственно области нейтрального водорода называют зонами HI).
Для изучения динамики межзвездного газа необходимы данные о плотности, температуре, степени ионизации частиц. Они могут быть получены из наблюдений с учетом специфики взаимодействия излучения и вещества в межзвездной среде.
Характерно, что это взаимодействие происходит в существенно неравновесных условиях, т. е. интенсивность радиации значительно отличается от функции Планка, соответствующей температуре среды, в которой распространяется излучение.
Так, в зонах НИ спектральный состав излучения соответствует температуре центральной звезды. В то же время плотность фотонов значительно меньше планковской (без учета поглощения она падает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника).
В зонах HI плотность излучения еще более низкая, а радиационное поле определяется спектральными характеристиками большого числа звезд, находящихся на различных расстояниях друг от друга. Поэтому частотный спектр и угловое распределение радиации в зонах HI также далеки от соответствующих состоянию термодинамического равновесия.
Неравновесность приводит к тому, что входящие в коэффициенты излучения и поглощения газа концентрации частиц в различных квантовых состояниях не могут быть найдены по формуле Больцмана и необходимо привлекать уравнения кинетики (см. § 9). Структура этих уравнений зависит от конкретных условий в межзвездной среде и, в частности, от интенсивности и спектрального состава излучения. Последние, как отмечено выше, отличаются в областях HI и НИ. Поэтому целесообразно рассмотреть физические процессы отдельно для зон HI и НИ.
Физическое состояние газа в областях НИ
Одной из важнейших задач физики межзвездной среды является нахождение распределения степени ионизации и температуры газа, в первую очередь водорода, как наиболее распространенного химического элемента.
Теоретический расчет ионизационной структуры водорода вблизи звезды впервые выполнен Огрёмгреном [1]. В предположении постоянства температуры было найдено, что до некоторого расстояния rst газ почти полностью ионизован излучением звезды, а далее степень ионизации быстро уменьшается. При этом для звезд с достаточно высокой температурой поверхности толщина переходного слоя между ионизованным водородом и нейтральным мала по сравнению с rst. Таким образом, в межзвездном пространстве возникают зоны НИ (или зоны Стрёмгрена), порождаемые горячими звездами и резко отграниченные от нейтрального водорода. Размеры зон НИ достигают десятков парсек (1 пс = 3,08-1018 см = 2* 105 а. е.у Поэтому в первом приближении влиянием гравитации звезды и звездного ветра на околозвездный газ можно пренебречь. Это, однако, справедливо только для достаточно горячих звезд. Например, для Солнца rSt ~ Ю2 —103 а. е. (см. ниже), что сравнимо с размером области сверхзвукового течения солнечного ветра (гл. III).
Работа Стрёмгрена стимулировала целый ряд более детальных исследований. В результате система уравнений иониза-
ционного равновесия для водорода и переноса внешней радиации была дополнена уравнением энергии, уравнениями для распределения по стадиям ионизации таких элементов как гелий, азот, кислород и т. д., уравнением переноса диффузной (т. е. излучаемой самим межзвездным газом) радиации. Это позволило создать в целом согласующуюся с наблюдениями картину физического состояния газа в областях НИ, которая служит основой изучения газодинамических процессов в зонах Стрёмгрена.
Прежде чем вывести уравнения, описывающие ионизационную и тепловую структуру околозвездного газа, оценим плотность радиационной энергии на расстоянии г от центральной звезды радиуса г* и температуры 7*.
Интенсивность излучения, Приходящего в данную точку, дается функцией Планка (здесь пренебрегается возможными отклонени
ями спектра звезды от планковского и поглощением квантовями спектра звезды от планковского и поглощением квантовполучается интегрированием величины с"Ч^ по телесному углу со, под которым видна звезда из точки г. Обратившись к рис. 40, имеемполучается интегрированием величины с"Ч^ по телесному углу со, под которым видна звезда из точки г. Обратившись к рис. 40, имеем
ями спектра звезды от планковского и поглощением квантов
ями спектра звезды от планковского и поглощением квантов
получается интегрированием вели
чины с"Ч^ по телесному углу со, под которым видна звезда из точки г. Обратившись к рис. 40, имеем
получается интегрированием вели
чины с"Ч^ по телесному углу со, под которым видна звезда из точки г. Обратившись к рис. 40, имеем
со — 2л \ sin OdO,о
6о
Pv = "Т j 1V Sin0= ^ (1 —COS 0О)
о
(0 — угол, отсчитываемый от направления на звезду). Так как sin 60 = г Jr, то
илиили2л/у2л/у(37.1)(37.1)
или
или
2л/у
2л/у
(37.1)
(37.1)
Введенная величина
называется коэффициентом дилюции излучения.
Из (37.1) видно, что на расстоянии г плотность энергии излучения в W раз меньше планковской р*.
Интегральная по спектру плотность энергии есть
W = С pv dv = W ^ ,о
где а = 5,67 ■ 10"5 эрг/(см2 • сек • град4) — постоянная Стефана — Больцмана.
Соответствующая равновесная температура Тп определяемая соотношением W = 4<зТх/с, равна Тх = Как будет ясно из дальнейшего, в областях НИ W <| 1 и, следовательно, Т1<^Т^. Таким образом, распределение излучения по частотам характеризуется высокой (порядка нескольких десятков тысяч градусов) температурой Т* и чрезвычайно низким (по сравнению с 7*) значением Tv
Но тогда справедлива теорема Росселанда, согласно которой в зонах НИ должно происходить превращение высокоэнергичных квантов в кванты низких частот. Не останавливаясь на доказательстве теоремы (оно содержится во многих учебниках — см., в частности, [2]), поясним ее смысл на примере атомов с тремя уровнями энергии. Пусть это уровни 1, 2, 3 в порядке возрастания энергии возбуждения. Тогда теорема Росселанда утверждает, что если радиационное поле характеризуется отмеченной выше неравновесностью, то число происходящих под действием излучения циклических процессов типа 1—>3—*2—>1 существенно превышает число переходов 1—*2—>3^1. Иными словами, в областях НИ преобладают процессы дробления высокочастотных квантов на низкочастотные. Подобным образом за счет поглощения ультрафиолетовой радиации звезды возникает наблюдаемое свечение зон НИ в видимой части спектра, которое служит важным источником информации об этих областях (методика интерпретации наблюдений детально излагается, например, в книгах [2—4]).
Теорема Росселанда качественно объясняет закономерности свечения зон НИ. Их количественное рассмотрение упрощается, если принять во внимание низкую концентрацию частиц межзвездного газа (она составляет обычно не более 1 — 102см“3).
Тогда, во-первых, степень возбуждения атомов оказывается гораздо меньше даваемой формулой Больцмана и нет необходимости учитывать поглощение радиации возбужденными частицами.
Во-вторых, можно пренебречь столкновительной ионизацией и рекомбинациями с участием трех частиц.
Действительно, если предположить, что W <| 1 и определяющими являются радиационные процессы, то расчеты приводят к населенностям уровней, много меньшим больцмановских, соответствующих температуре газа [2].
Вследствие же низкой концентрации газа столкновения не способны влиять на населенности уровней атомов с достаточно большой энергией возбуждения (к таким относится и водород). Лишь для уровней с энергией возбуждения порядка или меньше тепловой столкновения могут вносить заметный вклад в распределение по состояниям. Ниже такая возможность обсуждается в связи с излучением в запрещенных линиях ионов азота и кислорода.
Оценим теперь вклад ионизации водорода из основного состояния электронным ударом по сравнению с фотоионизацией. Типичные значения концентрации пе и температуры электронов Те в зонах НИ равны соответственно 10 см-3 и 104°К- На расстояниях порядка rSt для звезд спектральных классов О и В с температурами от 18 000°К до 56 000°К поток ионизующей радиации Фл^108—109 см-г сек-1 (здесь использованы характеристики звезд, приведенные в книге [4]).
Отсюда отношение числа ионизаций электронным ударом, происходящих в 1 см3 в 1 сек, к числу фотоионизаций равно
ПЛиО,» Ю4
Ю"4 4- 10-5 << 1. (37.2)
При оценках в (37.2) принимались характерные значения константы скорости ионизации электронным ударом ае — 10'14сл/3 сек-1 и сечения фотоионизации а/^10"17 см^ (здесь и ниже используются данные из [3, 5]).
Аналогично отношение числа электрон-ионных рекомбинаций с участием электрона в качестве третьей частицы к числу фоторекомбинаций, происходящих в 1 см3 в 1 сек, выражается соответственно через коэффициенты рекомбинации b и а (Т) как 6/а (Т). Полагая приближенно b = 10-26 см3 сек-1 и а (Т) = 10-13 см3 сек-1, имеем b/а (Т) ~ 10-13 <^ 1.
Отметим*еще, что в силу разреженности межзвездного газа на его тепловом состоянии должно заметно сказываться высвечивание. Этого следует ожидать уже хотя бы потому, что возникающие при фоторекомбинациях кванты с частотами, меньшими частоты ионизации из основного состояния, покидают область НИ, не поглощаясь в ней. Это происходит из-за того, что такие кванты могут эффективно поглощаться только атомами, находящимися в возбужденном состоянии. Концентрация же последних, как показано выше, невелика. •
Кроме того, число возбуждений атомов электронным ударом превышает число актов ударной дезактивации с передачей выделяющейся потенциальной энергии свободным электронам. Действительно, отношение числа актов ударной дезактивации к числу возбуждений в 1 см3 в 1 сек есть н*Ре/(пааЗ (здесь п* и пв—концентрации атомов в возбужденном и основном состояниях, р^ иа*е —
константы скоростей ударной дезактивации и возбуждения). В состоянии термодинамического равновесия это отношение равно единице. Но в областях НИ, как показано ранее, п*1па много меньше, чем это следует из формулы Больцмана и п^/^п^*^ <^ 1. Значит, энергия, затрачиваемая электронами на возбуждение, не может быть возвращена при ударной дезактивации и теряется газом, если он прозрачен для излучения.
Важную роль в высвечивании межзвездного газа играют также некоторые ионы (N+, О+, О+ + и др.). Энергия возбуждения их метастабильных уровней сравнима с тепловой энергией электронов в зонах НИ. Поэтому столкновения электрон — ион достаточно часто приводят к переходу последнего в возбужденное состояние. Число же актов ударной дезактивации невелико.
В самом деле, для населенностей метастабильных уровней справедлива формула (ее обоснование содержится, например, в хорошо известных монографиях [2, 3])
П*пеа,е
где П; — концентрация ионов в состоянии с меньшей энергией,
—коэффициент спонтанного перехода в это состояние.
Беря в качестве характерных значений пе 10 сж 3, Т = 104°К, а* = 10"6 (g*/gA exp [— e/(kT)] смА сек-1, Л*,- = 10“2, имеем п*1п;~ ~ Ю~3 (gVgi) exp [— 8/(кТ)]. (Здесь g* и gt — статистические веса верхнего и нижнего уровней, е—энергия возбуждения метаста- бильного состояния.)
Но величина (g*/g;)exp[—е/(кТ)] равна n*lni в состоянии термодинамического равновесия. Отсюда, как и выше, для процессов дезактивации и возбуждения метастабильных уровней электронным ударом получим
-Ц-<<1, тца*
и в данном случае высвечивание может быть существенным.
Окончательно, суммируя сказанное, можно выделить следующие физические процессы, определяющие ионизационную и тепловую структуру зоны НИ.
Под действием излучения центральной звезды происходит фотоионизация водородных атомов и последующие фоторекомбинации (столкновительные процессы несущественны из-за низкой концентрации газа). Вследствие малой плотности излучения большинство атомов находится в основном состоянии. Поэтому область НИ непрозрачна для излучения в лаймановской серии и прозрачна для квантов субординатных серий. Температура в зоне НИ определяется количеством поглощаемой и излучаемой единицей объема газа энергии. Энергия поглощается при фотоионизации
атомов водорода, а расходуется при фоторекомбинациях и свободно-свободных переходах, а также при возбуждении электронным ударом и последующем высвечивании атомов водорода и мета- стабильных уровней ряда ионов (главным образом это уровни однократно и двукратно ионизованного кислорода и однократно ионизованного азота с низкой энергией возбуждения).
Рассмотрим теперь задачу о нахождении стационарного распределения степени ионизации и температуры водорода в области НИ в сферически симметричном случае. Предположим, что температуры всех компонент газа одинаковы, плотность частиц постоянна и отсутствует гидродинамическое движение. Тогда состояние газа (его температура, степень ионизации и т. д.) будет определяться системой уравнений (10.20) при V^O. В частности, уравнение ионизационного равновесия для водорода имеет вид
ее
«н f ^Сн/_ч^1^Д1М dxdto = nH+^^(37.3)
V^ 4Л
где мн—концентрация нейтрального водорода, мн +—концентрация протонов, пе — концентрация электронов, Т—температура, г —расстояние от звезды, v—частота, 0 — полярный угол луча, (о—телесный угол, Ohv—сечение поглощения водорода, ан (Г)— коэффициент фоторекомбинации, vH—частота ионизации, h— постоянная Планка, /v(0, г) — интенсивность излучения частоты v, приходящего в данную точку непосредственно от звезды, /v(0, г) — интенсивность диффузного излучения.
Согласно [3], ан (Т) можно представить в форме
/AvH\V2 Г1 /Av \/ кТ \1/з1
ан(П = 5>2.10-^(1^)[0,43 + |1п(^) + 0,47(^)
(к — постоянная Больцмана).
пнпн^Hv (/v + 7°)^Hv (/v + 7°)1——V1——Vdv dm = kT Пн+и^р +dv dm = kT Пн+и^р +Условие равенства приобретаемой и теряемой энергий приводит к соотношению
пн
пн
^Hv (/v + 7°)
^Hv (/v + 7°)
1——V
1——V
dv dm = kT Пн+и^р +
dv dm = kT Пн+и^р +
4- 1,42* 10-37MgT1/8 + 0,75^нигпн7)1 (Т) +
(37.4)(37.4)+ 8,54Л0-6^(но+£1 + /го + + 63 + н^^
(37.4)
(37.4)
Левая часть (37.4) — энергия, поглощаемая единичным объемом газа в единицу времени при фотоионизациях, а слагаемые в правой части представляют собой потери энергии соответственно при фоторекомбинациях, свободно-свободных переходах, возбуждении
электронным ударом первого уровня водорода (потери на возбуждение более высоких уровней малы) и метастабильных уровней ионов О+, О + + , N+ (по+, ^о+ + , nN+— концентрации этих ионов). Хотя в (37.4) учтены лишь ионы О+, О+ + , N+ (их запрещенные линии обычно наиболее интенсивны в спектрах областей НИ), ясно, что это ограничение не является принципиальным и легко включить высвечивание в запрещенных линиях других ионов.
Зависимость величин р и Ох от температуры дается формулами [3, 6]
Р = 5,2-10-14Р = 5,2-10-141/2 г1/2 гкТAvHкТAvH1/3 Л1/3 Л0^3,9- 10"8ехр —0,12 In0^3,9- 10"8ехр —0,12 InAvHh-VuкТ и’ ° кГAvHh-VuкТ и’ ° кГ
Р = 5,2-10-14
Р = 5,2-10-14
1/2 г
1/2 г
кТ
AvH
кТ
AvH
1/3 Л
1/3 Л
0^3,9- 10"8ехр —0,12 In
0^3,9- 10"8ехр —0,12 In
AvHh-Vu
кТ и’ ° кГ
AvHh-Vu
кТ и’ ° кГ
Функции |р £2, т)!, характеризующие потери энергии на возбуждение метастабильных уровней, есть суммы величин вида (Q/g) exp [— e/(kT)], где Q—безразмерное эффективное сечение возбуждения уровня электронным ударом, е — энергия рассматриваемого уровня, g—его статистический вес.
Для определения По+, м0+ + , Hn+ следует привлечь уравнения , ионизационного баланса для этих компонент, в которые войдут полные концентрации По кислорода и nN азота (по и nN являются суммой атомов кислорода и азота во всех стадиях ионизации в 1 см^\ При этом «о+, по+ + , nN+ будут вычислены с хорошей точностью, если ограничиться трехкратной ионизацией кислорода и двукратной ионизацией азота, так как уже при значительной концентрации ионов По+ + + и nN+ + число атомов кислорода и азота в низших стадиях ионизации невелико и может лишь уменьшиться с появлением по+ + + + и Hn+ + + (это качественное заключение подтверждается расчетами [7]).
Итак, к (37.3) и (37.4) нужно добавить уравнения
00
(п0 — ио+—по+ + — Mo+ + +)J J CTov/^^dvdo^no+n^aotT), V0 4Л
(37.5)
(37.6)
00
(37.7)(37.7)ГС / j /°
(37.7)
(37.7)
«о+ + (] Oo + +v vhv v dv da По+ + + пеа-о++ (Т),
VO+4-'4lT
(hn—^n+—Hn+ + ) \ \ aNv-^-^dvd(o nN+neaN (T),(37.8)
vn4h
ao
«N+^ On + v ^-^^dv dto nN+ + ^eaN+ (^)>(37.9)
где aov, ..-,nN+v—сечения поглощения из основного состояния для атомов и ионов О, О+, О+ + , N, N+, (vq, . . ., vN+—соответствующие пороговые частоты). Каждое из сечений поглощения, согласно [3], может быть представлено в форме
av = ov0[p^—j +(1— р)^
Значения р, q для О, О+, О+\ N, N+ даны в табл. 4.
ТАБЛИЦА 4
Элемент
avo- Ю18
<7
Р
Элемент
ovo-1018
q
р
О 0+
О+ +
2,5
8,1
3,4
1
2
2
4
2,15
1,3
N
N +
8,9
6,8
1
2
3,1
2,06
Для коэффициентов фоторекомбинации cto (Т), ..., aN+ (Т) имеем выражение ([6])
/ 1П4 \ 1/2 Гт
а(Т)= 1,627-10-"/= [1-1,657 1g+
+ 0,584 (^)1/3 ], Z—заряд иона.
Поскольку число атомов кислорода и азота в единичном объеме много меньше числа атомов водорода, то с большой точностью можно принять пе = пн+. По этой причине поглощение излучения всеми компонентами газа, кроме водорода, мало и интенсивность ионизующей радиации удовлетворяет уравнению
л д!м<31 ri 0 д/м» .
9"дТ'"гoHvnHIv +ev. (37.10)
Здесь ev —коэффициент излучения водорода, являющийся известной функцией частоты и температуры [2].
Для /° имеем решение
(г0— некоторая точка, где интенсивность излучения, приходящего непосредственно от звезды, задана).
Величина г
(THv J »н<1г
Го
носит название оптической толщины слоя газа на отрезке от г0 до г и характеризует поглощение излучения (очевидно, оптическая толщина может быть введена для квантов любой частоты, поглощаемых любым сортом частиц газа).
Система (37.3) — (37.10) будет замкнутой, если считать известным химический состав газа. Обычно нет больших различий в химическом составе околозвездного газа и звездных атмосфер.
Поэтому целесообразно использовать так называемый нормальный * химический состав и принять согласно [8] отношение числа атомов кислорода (азота) к числу атомов водорода равным
по/(«н + «н+) = 1,0-10-3
(«n/(«h + пн+) = 3,2 • 10-4).
Таким образом, математически задача расчета ионизационной и
тепловой структуры области НИ сведена к определению функций пн+, ^о + , ^о + -ь, Мо+ + + , лы + , ^n+ + , 1\ /v (9, г) из уравнений (37.3) — (37.10). Заметим, что входящая в уравнения (37.3), (37.4), (37.10) концентрация атомов нейтрального водорода Пн в силу предположения о постоянстве плотности газа (/гн + ^н+ — = const) может быть исключена из системы (37.3) — (37.10).
Граничными условиями для интенсивности излучения служат
/v(9’ г0) = Л>(л—-9, r0), /v(9, оо)^0.
Первое из них получается, если точку г0 выбрать достаточно близко к звезде, так что излучение, проходя расстояние порядка г^ почти не поглощается (рис. 41). Второе граничное условие выражает отсутствие ионизирующего излучения на бесконечности.
В такой, наиболее полной, постановке задача может быть решена численно [7, 9]. Методику и результаты вычислений мы изложим, следуя [7].
В расчетах перенесем граничное условие на бесконечности в некоторую точку гк. Точку тк выберем так, чтобы излучение газа при г > гк мало влияло на рассматриваемые функции. Будем решать систему (37.3) — (37.10) методом итераций. В нулевом приближении, пренебрегая диффузным излучением, сразу же
получаем выражения для интегралов в левых частях (37.3) — (37.9). По ним находим распределение Ин+, • -, Т. Зная эти функции, определяем поле диффузного излучения. Вновь вычисляя интегралы в (37.3) — (37.9), получаем следующее приближение для ^н+, •••, Т и т. д. Уравнение переноса излучения можно проинтегрировать по характеристикам методом, развитым в [10].
Учитывавшиеся в расчетах уровни О+, О+ + , N+ и соответствующие им й, е, g взяты из [11] и приводятся в табл. 5.
ТАБЛ И[Ц А 5
Ион
о +
о +
О + +
о + +
о + +
Q
1 ,28
0,58
1,59
0,22
0,31
е-1012
5,33
8,04
4,03
8,58 ■
0,0226
g
4
4
9
9
1
Ион
0+4-
N+
N +
N+
N +
Q
0,96
2,17
0,31
0,43
1,04
8.I012
0,0384
3,04
6,49
0,0098
0,016
g
3
9
9
1
3
Распределение степени ионизации водорода 5==пн+/(пн+ + ^н) и температуры удобно представить в зависимости от переменной г/г st» где г st — характерный размер зоны Стрёмгрена. Выражение для rst получается с помощью следующих рассуждений. В стационарном состоянии число ионизующих водород квантов (£с-квантов), эмитируемых звездой в 1 сек^ должно равняться числу происходящих во всей области НИ фоторекомбинаций на все уровни водорода, кроме первого (при рекомбинациях на первый уровень вновь образуются Z^-кванты и, значит, этот процесс нужно исключить из общего баланса между фотоионизациями и фоторекомбинациями в области НИ). Следовательно,
4лгаФ, =4 лг^пЧан —«х),(37.12)
где Ф* — поток £с-квантов, излучаемых звездой, а ^ — коэффициент фоторекомбинации на первый уровень водорода.
Если спектр звезды не слишком сильно отличается от план- ковского с температурой Т„ то приближенно (так как обычно
8 В. Б. Баранов, К- В. Краснобаев
/ivH/(k7\)>l)
со Л/2
Ф, = 2л у у -^- cos 0 sin 0 d0 dv = vH о
2лкГеун e-hvH/(kT.) hc^2лкГеун e-hvH/(kT.) hc^2Av3 dvn • лsr,/^T A— cos 9 sm 9 d9 c2Av e«v/(kTe)j2Av3 dvn • лsr,/^T A— cos 9 sm 9 d9 c2Av e«v/(kTe)jVH 0ОтсюдаVH 0Отсюда^st^st6nr*_ Пе (aH — al)6nr*_ Пе (aH — al)кГ,Ун е-Лун/(кТ.)11/з hc^кГ,Ун е-Лун/(кТ.)11/з hc^(37.13)(37.13)QO л/2
2лкГеун e-hvH/(kT.) hc^
2лкГеун e-hvH/(kT.) hc^
2Av3 dvn • л
sr,/^T A— cos 9 sm 9 d9 c2Av e«v/(kTe)j
2Av3 dvn • л
sr,/^T A— cos 9 sm 9 d9 c2Av e«v/(kTe)j
VH 0
Отсюда
VH 0
Отсюда
^st
^st
6nr*
_ Пе (aH — al)
6nr*
_ Пе (aH — al)
кГ,Ун е-Лун/(кТ.)11/з hc^
кГ,Ун е-Лун/(кТ.)11/з hc^
(37.13)
(37.13)
ние s и Т при значенияхние s и Т при значениях
ние s и Т при значениях
ние s и Т при значениях
Кривые на рис. 42, 43 иллюстрируют найденное распределе- (^н + ^н+)= Ю см-3. Для кривых 1
7* = 5- 104°К, г»= Ю12см. Кривые 2 соответствуют зоне Стрёмгрена для Солнца (при этом учтены ракетные данные о спектре в ультрафиолетовой области, а относительное содержание кислорода и азота принималось равным его значению в атмосфере Солнца; для вычисления rSt в (37.13) было положено Те"6500 °К, что приближенно соответствует температуре Солнца в лаймановском континууме).
Видно, что при высокой температуре звезды граница между зонами HI и НИ весьма резкая. В случае же, когда температура звезды сравнительно невысока, переход области НИ в область HI постепенный.
Характер изменения температуры с расстоянием также различается для горячих и холодных звезд. В первом случае отчетливо проявляются область минимума температуры и ее максимум вблизи r/rst = 1. Во втором случае температура сначала довольно быстро падает, а затем остается примерно постоянной.
Качественное объяснение наличия максимума температуры заключается в следующем. Оптическая толщина слоя газа для
квантов с v = vh при r = rSt составляет несколько единиц и более. В то же время коэффициент поглощения водорода убывает с частотой как v-3. Поэтому в спектре ионизирующего излучения с ростом г возрастает доля высокоэнергичных квантов (полный поток квантов, конечно, падает за счет дилюции и поглощения). Но тогда средняя энергия, сообщаемая электрону при фотоионизации и равная
ОО
J ^ cHv (/v + Z^M1—vH/v)dvdco
(37.14)(37.14)VH 4Л
(37.14)
(37.14)
od
*hv —^Г- dv dto
Vh 4Л
также увеличивается, что согласно (37.4) и приводит к повышению температуры.
В случае зоны НИ для Солнца (подчеркнем, что речь идет о статической зоне НИ для Солнца—влияние солнечного и межзвездного ветров здесь не учитывается) характерный размер области ионизации порядка 102— 103 а.е. (при (ин + мн+) = = п°~1—10 см-^. Но это меньше длины пробега ионизирующих квантов 1/(п°ану), в связи с чем поглощение несущественно и отношение (37.14) примерно постоянно. Следовательно, и зависимость Т (г) слабая. Подчеркнем, однако, что на состояние газа в окрестности Солнца существенно влияют солнечный и межзвездный ветер (см. §§ 27—31). Поэтому расчеты статической зоны НИ для Солнца носят в основном иллюстративный характер.
То обстоятельство, что вблизи горячих звезд оптическая толщина слоя газа для квантов с v = vH при r^rst достаточно велика, позволяет весьма просто учесть вклад диффузного излучения в уравнениях (37.3) и (37.4). В самом деле, при большой оптической толщине из (37.10) следует
в-v ^/(Thv^h-^v • (37.15)
Подставляя (37.15) в (37.3) и (37.4), исключаем интенсивность диффузного излучения. Тогда из (37.3), в частности, следует равенство
J pHv^dvd© = nH+ne[aH(7’)-a1(7,)J,(37.16)
VH 4Л
по существу аналогичное (37.12). Действительно, интегрируя (37.16) по шару радиуса rst и принимая во внимание, что количество поглощаемых в зоне HII в 1 сек квантов равно 4пг*Фе, получим (37.12).
Соотношение (37.15) часто используется при изучении ионизационной структуры и газодинамических явлений в областях НИ (см., например, детальные расчеты [12]).
Вопрос о соответствии вычисленных значений Т (г) наблюдательным данным не является простым уже хотя бы потому, что измерения температуры различными методами не всегда удается согласовать между собой [13]. Все же анализ многочисленных оптических и радионаблюдений позволяет считать, что в целом имеется удовлетворительное согласие с теорией (см. обзор [13]), и изложенные выше представления о физических процессах в областях НН являются верными.
Однако есть основания полагать, что использованное при решении системы (37.3)—(37.10) предположение n° = const, вообще говоря, несправедливо, т. е. распределение Т (г) не вполне точное.
Действительно, из графиков на рис. 43 видно, что в областях НИ Т~104 °К. Но температура в областях HI гораздо ниже • (около 102 °К). Значит, при постоянстве (пн + Пн+) давление в области HII будет превышать давление в области HI. Возникнет движение газа и плотность изменится. Хотя метод решения системы (37.3)—(37.10) легко обобщается на случай произвольного п? (г), само распределение плотности можно найти лишь в результате решения газодинамической задачи о расширении зоны НИ. Кроме того, сделанное при выводе уравнений (37.3)— (37.10) предположение о стационарности процессов ионизации и нагрева для своего обоснования также требует сведений о поле течения газа.
Таким образом, появляется необходимость рассмотрения динамики областей НН.
§ 38. О гидродинамическом описании расширения областей НИ
Гидродинамические уравнения, описывающие движение газа в областях НИ, можно получить из общей системы (10.20), если принять во внимание конкретные процессы ионизации и нагрева, обсуждавшиеся в предыдущем параграфе. Уравнения неразрывности, движения и энергии удобно записать в форме
±+divp|/=0,(38.1)
^---Lgradp,(38.2)
-(38-3>
р = тн(пн + «н+),
,, I \\m А , пе \ pk^ (l+s)pk7'
р = («Н + пн+ + «, kr = 1 +—г~ А^ =m•
Входящие в правую часть (38.3) функции $ и ^ характеризуют нагрев и охлаждение газа и равны соответственно левой и правой частям уравнения (37.4).
Очевидно, что система (38.1)— (38.3) не является замкнутой, так как, кроме р, V, р, она содержит неизвестные функции s, по+, ..., 7V(6, г) (мы всюду в этой главе ограничиваемся рассмотрением только плоских или сферически симметричных движений и поэтому считаем 7V не зависящей от азимутального угла). Поскольку ne = sp/mHl то из уравнения для изменения концентрации электронов (оно следует из последнего уравнения системы (10.20)), с учетом (37.3) и (38.1) находим, что степень ионизации s удовлетворяет уравнению
ds п х Г Г 7 (6, r) + 7°(o r)s2p
^ = (1—s) j J (THv—^-' ’dvdeo—^ан(П. (38.4)
Уд 4л
Аналогичные уравнения легко записать и для распределения по стадиям ионизации ионов кислорода и азота. Присоединив эти уравнения и уравнение переноса радиации (37.10) к (38.1)—(38.4), получим замкнутую систему гидродинамических уравнений. Эта система очень сложна и для ее решения обычно вводится ряд упрощающих предположений.
Наиболее простой вид система уравнений (38.1)— (38.4) принимает, если положить s=l и Т — ТЕ = const, т. е. считать среду полностью ионизованной и течение изотермическим. Условия, при которых такие допущения оправданы, можно получить следующим образом.
Пусть характерный масштаб и скорость течения равны соответственно L^ и Vo, а степень ионизации и температура газа в однородном стационарном состоянии, когда У = ^, принимают значения sE и ТЕ. Тогда
(1—ss) J PHv2^dvd®=-^aH(TK).
vH 4л н
Поскольку в областях НИ s«l, то
(38.5)
Vpi 4л
Введем характерное время установления ионизационного баланса iir, линеаризуя (38.4) относительно малых возмущений
(s— s£) и оставляя все другие величины неизменными:
S —S£^irS —S£^ir(38.6)(38.6)d (s — Sf) /\ Г С ^v+^v j j
S —S£
^ir
S —S£
^ir
(38.6)
(38.6)
- ^” = - (S — 8В) j J Он v \чЛ dV ^ =
v^ 4 Л
(здесь учтено неравенство (38.5)).
Процесс ионизации можно считать стационарным, если введенное согласно (38.6) время т/г будет много меньше LJV0. Беря типичные для областей НИ значения
Lo= 101е см,oHv= 10-17сл42,имеемт/г = 10е сек.Lo= 101е см,oHv= 10-17сл42,имеемт/г = 10е сек.Vo = 10е см/сек,
Lo= 101е см,
oHv= 10-17сл42,
имеем
т/г = 10е сек.
Lo= 101е см,
oHv= 10-17сл42,
имеем
т/г = 10е сек.
J J-^^-dvd(i> = 10® см-гсек-1,
Vh 4л"
LJVtt = 101$ сек и tir^LjV».
Аналогично вводится характерное время установления теплового равновесия:
^(Т-та 1 /^\ (Т Т т"Те
dt3kne \ дТЕ' тг
Оценивая по порядку величины производную правой части уравнения (37.4) по 7\ получим тт ^ \012/пе сек. Это также меньше принятого выше значения LjV0.
Следовательно, степень ионизации и температура газа в значительной части зоны НИ определяются из уравнений стационарности, как это и было сделано в первом параграфе настоящей главы. Если теперь ограничиться рассмотрением случаев, когда на характерной длине Lo температура ТЕ меняется мало, то оказывается справедливым приближение изотермичности.
Нарушения изотермичности течения следует, ожидать, когда мал поток ионизирующей радиации (велико т/г) или происходят резкие изменения параметров газа (уменьшается по сравнению с использовавшейся выше длина Lo). Как видно из графиков на рис. 42, 43, такие условия создаются, в частности, в переходной области между зонами НИ и HI.
При изучении движений газа с т/г, т^^Л/Е^ ввиду сложности исходной системы уравнений также прибегают к приближенному учету взаимодействия вещества и излучения.
Как уже отмечалось в § 37, для rst с хорошей точностью можно принять (см. формулу (37.15))
(l-s) J JffH^dvdo^^-a..
V^ 4л
Остающийся в (38.4) интеграл
Vh 4лVh 4л/° aHv-^-dvdcD/° aHv-^-dvdcD
Vh 4л
Vh 4л
/° aHv-^-dvdcD
/° aHv-^-dvdcD
удобно заменить на
dvdco = (1 —s) Он^г,
VH 4Л
где он есть некоторое среднее сечение поглощения (так как во внешнем слое зоны НН возрастает доля высокоэнергичных квантов, то Он < Ohvh), Фг—поток ионизирующих квантов (напомним, что интегрирование ведется по со в пределах малого телесного угла, под которым видна из данной точки звезда, и поэтому интеграл
со
dv dco
Av
VH 4 л
равен потоку квантов через единичную площадку, перпендику- лярную Or).
После осреднения по частотам (38.4) примет вид
^^\-s^H$r-^aH-axY(38.7)
В случае сферически симметричного течения зависимость Фг (г) определяется уравнением
~(г*ФЛ = --У^анФ,,(38.8)
которое получается в результате интегрирования соотношения (37.11) по частотам и малому телесному углу, под которым виден источник излучения из точки г (в пределах этого угла Ц постоянна), умножения на (Av)*1 и дифференцирования по г.
Соответственно приток энергии к единице объема газа $ запишется в форме
3 = (1-8)-^онкТ+Ф„(38.9)
где k7\—средняя энергия* приобретаемая электроном при каждом акте ионизации.
Упрощение выражения для ^ можно получить, если принять, что охлаждение газа происходит только за счет фоторекомбина- ционного излучения водорода и высвечивания ионов юднократно ионизированного кислорода в линиях 3726 и 3729А [14]. При
этом порядок величины 2 остается верным, хотя возможно заметное влияние на нее и других ионов [12].
Поскольку первый потенциал ионизации кислорода близок к потенциалу ионизации водорода, то концентрация По+ пропорциональна пн+, если число ионов кислорода в более высоких стадиях ионизации невелико. Тогда потери энергии на высвечивание О+ целесообразно аппроксимировать формулой
^-LMT —4-103 °К)2,(38.10)
тн
где L° = 0,9- 1Q"31 эрг-см^-град^-сек-1 [14, 15].
Энергия, теряемая электронами при фоторекомбинациях, в приближении оптически толстого для диффузного излучения слоя газа обычно представляется в виде
(38.11) а (ан — ах) считается пропорциональным некоторой степени температуры (так, в [14] положено (ан—aj ос Т-0'84, в [15] — (ан—aj сс Т-3/4).
С учетом (38.9) — (38.11) изменение энергии газа будет подчиняться уравнению
У=<—^кТ+Фг—
_^_£0(Т_4.10зоК)2_AkT-ф (ан-aj. (38.12) тнтн
Уравнения (38.1), (38.2) при Т ^ТЕ = const (приближение изотермичности) или (38.1), (38.2), (38.7), (38.8), (38.12) (приближение большой оптической толщины газа) позволяют описать динамику областей НИ, если заданы начальные и граничные условия. В зависимости от того, каковы эти условия, удается исследовать различные особенности движений околозвездного газа. При этом широко используются метод характеристик, метод автомодельных решений, численные методы. Прежде чем их излагать, обратимся к качественной стороне вопроса о возникновении областей НИ [4].
Качественная картина формирования
областей НИ
Рассмотрим покоящийся нейтральный газ с постоянной температурой TQ и плотностью р0 (г) (в этом параграфе для простоты положим р0 (г) = const). Пусть в момент времени 1 = 0 в окрестности точки г = 0 возникает сферически симметричный поток ионизирующего излучения Фг(г, /), причем 4лг2Фг(г, 0—>Q(0> когда г-^0, и Q(0 конечно.
По Мере ионизации газа его коэффициент поглощения будет уменьшаться из-за увеличения s. Вследствие этого излучение достигнет более удаленных от источника слоев газа, ионизирует их и проникнет еще дальше. Радиус зоны НИ будет увеличиваться.
тнФг МтнФг Мdr, dtdr, dtРоРо(39.1)(39.1)Считая переходную область между зонами НИ и HI узкой (поверхностью разрыва степени ионизации или ионизационным фронтом), для скорости распространения фронта Df = dr^dt (rz—координата поверхности разрыва) получим уравнение (см. § 18)
тнФг М
тнФг М
dr, dt
dr, dt
Ро
Ро
(39.1)
(39.1)
Так как Фг (г,) ос rf2, то при достаточно малых г^ скорость D( будет превышать скорость звука, т. е. вначале формируется слабый ионизационный фронт /?-типа (относительная скорость газа перед фронтом и за ним больше скорости звука). Значит, на ранней стадии возникновения зоны НИ нейтральный газ остается невозмущенным. Гидродинамическое движение ионизованных частиц в данный период также несущественно, поскольку характерное время изменения параметров газа порядка ri/aT2 (аТ2 — скорость звука в зоне НИ), а Афронт ^проходит расстояние rt за время г
Предположим, что в газе за фронтом устанавливается ионизационное равновесие и число ионизаций, происходящих в 1 см3 в 1 сек под действием диффузного излучения, равно числу фоторекомбинаций на первый уровень атома водорода. Тогда разность между числом излучаемых ежесекундно с поверхности звезды ионизующих квантов Q (/) и числом фоторекомбинаций в области НИ, очевидно, равна количеству квантов, падающих на ионизационный фронт. Поэтому
(39.2)(39.2)ф, м=Yr Г<? м—4лг? (^У (ан—<4)4лг/ [° \шн/
(39.2)
(39.2)
(сравните (39.2) с формулой (37.12), полученной в предположении ионизационного баланса). Подставляя (39.2) в (39.1) и приняв Q (<) = 4лг^Ф, = const, определим г,-(^):
(39.3)(39.3)~"Y = 1 — ехр [-“(ан—«J/
(39.3)
(39.3)
1 st/L wh
где rSt дается формулой (37.12).
Ясно, что с ростом ft поток ФГ(Г/) убывает и продвижение фронта в нейтральный газ замедляется. Постепенно становятся существенными гидродинамические эффекты, .и формула (39.3) перестает быть верной. В некоторый момент времени вызываемые ионизацией и нагревом газа возмущения давления обгонят
ионизационный фронт, создав перед ним ударную волну. Так как ударная волна опережает ионизационный фронт и движение газа за ней дозвуковое, то и скорость газа относительно ионизационного фронта будет меньше скорости звука. Следовательно, возникнет фронт /)-типа.
Допустим, что движение ионизованного газа можно рассматривать как расширение области НИ с плотностью рп, в каждый фиксированный момент времени не зависящей от г. Поскольку масса газа, заключенного внутри сферы радиуса г сохраняется, то 4/3лг3рп = const (здесь г—координата фиксированной частицы). После дифференцирования по t имеем
(39.4)(39.4)dr г dpn
(39.4)
(39.4)
diЗрц dt
При г — Г; левая часть (39.4) равна скорости газа за ионизационным фронтом.
Оценим теперь скорость распространения /-фронта относительно звезды.
На поздних стадиях расширения области НИ большая часть излучаемых звездой квантов с v^vh поглотится водородом. Действительно, при ионизационном равновесии число поглощаемых квантов равно числу излучаемых при фоторекомбинациях на все уровни, кроме первого. Но число фоторекомбинаций, происходящих в 1 сек, в области НН, пропорционально rfpn и увеличивается по мере продвижения ионизационного фронта в нейтральный газ за счет ионизации все новых слоев газа. С другой стороны, Г;рп не может превышать значения, соответствующего правой части (37.12) (конечно, теперь вместо rft^e нужно подставить г?рп/^н). В самом деле, формула (37.12) получена в предположении, что все излучаемые звездой кванты с частотой v^vh поглощаются в зоне НИ. Но при наличии /-фронта некоторая доля излучения поглощается в узком слое, где отсутствует ионизационное равновесие, и поэтому число’фоторекомбинаций в области НИ будет меньше даваемого формулой (37.12). Так как, однако, на поздних стадиях расширения разность между левой и правой частями равенства (37.12) мала, то приближенно можно считать, что установится движение, характеризующееся условием
г^рп = const.(39.5)
Отсюда
=(39.6)
В результате дифференцирования из (39.6) находим
(39.7)(39.7)Фп 3 Рп .^7 = 3<рц р.dt2 п dt 2 ri l'
(39.7)
(39.7)
Подставляя (39.7) в (39.4), определим скорость ионизованного газа U(4 относительно /-фронта:
Uu^Di.
(39.8)
Учитывая, что высвечивание может существенно понизить температуру за фронтом ударной волны, ограничимся случаем изотермического скачка. Тогда отношение плотности в сжатом ударной волной нейтральном газе pt к р0 равно DsН (§ 20), где Ds—скорость распространения ударного фронта относительно звезды, ат0 — изотермическая скорость звука в невозмущенной среде. Так как
Ш51—относительная скорость газа за ударной волной), то
(39.10)
• Поэтому U £1— относительная скорость газа, набегающего на /-фронт, равна ^D, — Ds + aTolDs) и условие сохранения потока массы дает (см. (39.8))
Ри _Un _ Di—Ds+aTolDs
Pl Ufa
(39.11)
С другой стороны, выражение для UZ1 легко получить, воспользовавшись непрерывностью потока импульса при переходе через разрыв (§ 18):
Рп (^а + ата) = Pi ^Uh + ято)-
Так как
(Рп/Ррдп —“го!1/2
1—Р1/РП
(39.12)
Предположим теперь, что D£ мало отличается от Ds (ниже это Предположение будет проверено). Тогда, поскольку обычно aT(JaT1 <5 1, имеем из (39.8)—(39.12)
„ РПUsa „ _ Рп “то 1 р _
Рп °Го
Ds \
Рп аТо /
ИЛИ
D^-a^
Pll/Pu
1 —PllMPo
(39.13)
Подставляя (39.13) в (39.11), определим разность между D( и Ds
®1~В$ _ ^/i ат0 _Port’d Л рц \ Л Рц А
DS ™DsD^"Рп42 X2р0; '
Видно, что в силу неравенства яГо/яГ2<^1 скорости ударного и ионизационного фронтов близки.
Чтобы определить зависимость r^t), введем согласно приведенному выше соотношению (39.5) расстояние г^ по формуле
РПРоРПРо3/2>
РП
Ро
РП
Ро
причем вследствие расширения области НИ ры^р0.
Принимая во внимание, что Ds^Dh из (39.13) найдем
dr;dtdr;dtDs — аТгDs — аТг"(r,o/r»)3/2_1 —(1/4) (rzo/r,)S/2"(r,o/r»)3/2_1 —(1/4) (rzo/r,)S/21/21/2
dr;dt
dr;dt
Ds — аТг
Ds — аТг
"(r,o/r»)3/2
_1 —(1/4) (rzo/r,)S/2
"(r,o/r»)3/2
_1 —(1/4) (rzo/r,)S/2
1/2
1/2
Пренебрегая для простоты величиной (1/4) (г10/Г/)®/2 по сравнению с единицей, получим
21= р + 7 аТ2(/-/0)у/»е(39.14)
rio X 4Г/о/
Суммируя сказанное о возникновении областей НИ, можно представить себе этот процесс как сравнительно быструю ионизацию межзвездной среды излучением за время ~ тн/[р (ан"°а)] (формула (39.3)) и последующее расширение нагретого газа со скоростью порядка аГ2 (формула (39.14)).
Автомодельные решения
Одним из наиболее эффективных методов исследования движений газа является метод так называемых автомодельных решений. Этот метод подробно изучен в газовой динамике (см. известную монографию Л. И. Седова [16]), и мы лишь кратко поясним его на примере задачи об одномерном нестационарном течении газа, зависящем от пространственной координаты г и времени L
Пусть искомыми функциями, описывающими движение газа, являются, например, скорость, плотность и давление. Эти функции, конечно, зависят от определяющих параметров—координаты г, времени t и постоянных, входящих в уравнения, в начальные и граничные условия. Если система определяющих параметров такова, что можно образовать только одну безразмерную переменную, то искомые функции, приведенные к безразмерному
виду, должны зависеть лишь от одной этой переменной. Следовательно, уравнения в частных производных, которым удовлетворяют скорость, плотность и давление, могут быть заменены обыкновенными дифференциальными уравнениями. Решение же последних, как правило, получить значительно легче, чем решение уравнений в частных производных.
Впервые плоская автомодельная задача о распространении ионизационного фронта была решена С. А. Капланом. Ее подробный анализ содержится в монографии [17], и поэтому мы обратимся к случаю сферически расширяющейся зоны НИ.
Здесь представляет интерес выявление эффектов, связанных как с неоднородностью начальной плотности, так и с переменностью во времени потока ионизирующего излучения звезды. Действительно, согласно существующим теориям, рождение звезды происходит в результате гравитационного сжатия облака межзвездного газа, так что р0 (г) не обязательно постоянно. Кроме того, характерное время формирования зоны НН часто сопоставимо со временем изменения светимости звезды в процессе ее эволюции и учет зависимости Фг от времени становится необходимым [18].
Сформулируем условия, которым должны удовлетворять функции ро (г) и Q(/) для того, чтобы поставленная в предыдущем параграфе задача о формировании области НН была автомодельной.
Предположим, что течение в области НИ изотермично и описывается уравнениями (38.1)—(38.2) с Т — Т Е) s = 1, р = 2pkTElmu. Кроме того, пусть температура нейтрального газа То = const.
Как мы видели выше, расширение ионизованного газа должно сопровождаться появлением сильных разрывов (ионизационного фронта и ударной волны). Но условие, определяющее скорость распространения ионизационного фронта, содержит функцию ФДг, 0 (см. § 18), и поэтому к уравнениям (38.1), (38.2) нужно добавить уравнение переноса излучения (38.8).
Описание движения нейтрального газа в слое между ударной волной и /-фронтом требует, вообще говоря, знания $ и 2. Мы, однако, ограничимся изучением предельных случаев адиабатического и изотермического (с некоторой температурой Т^ течений.
С учетом сказанного для зоны НИ при ds/dt = Q (см. (38.7)) имеем
1 д_ р2r2 dr \ Q (О / ~m^Qди ,ди 1 дрdt *дгр dr ’1 д_ р2r2 dr \ Q (О / ~m^Qди ,ди 1 дрdt *дгр dr ’р тнl + ^r’puHO.р тнl + ^r’puHO.(40.1)(40.2)(40.3)(40.4)(40.1)(40.2)(40.3)(40.4)
1 д_ р2
r2 dr \ Q (О / ~m^Q
ди ,ди 1 др
dt *дгр dr ’
1 д_ р2
r2 dr \ Q (О / ~m^Q
ди ,ди 1 др
dt *дгр dr ’
р тн
l + ^r’puHO.
р тн
l + ^r’puHO.
(40.1)
(40.2)
(40.3)
(40.4)
(40.1)
(40.2)
(40.3)
(40.4)
В слое сжатого ударной волной газа Фг ^0 и либо
либо
“н Начальные условия
Р (г, 0) = р0 (г), Т(г,0) = Тв, и(г, 0) = 0.(40.5)
Граничные условия
и (г, t)—+ 0 при г-^.0.(40.6)
Пусть р0(г) = р*г"\ Q(/) = Q*/rt. Тогда решение уравнений (40.1)— (40.4) с начальными и граничными условиями (40.5), (40.6) должно зависеть лишь от переменных г, t, размерных постоянных а?ТЕ = = 2кТЕ/тИ9 (ан—^/(m^Q^, р* и давления р0 = рокГо/тн. Так как в число определяющих параметров входит квадрат изотермической скорости звука аТЕ) то можно ввести безразмерную переменную г)^аТЕ1У Примем далее, что величина р0 не существенна, т. е. ионизационный фронт распространяется с большой сверхзвуковой скоростью или предшествующая ему ударная волна сильная. Тогда условие автомодельности сведется к требованию, чтобы из постоянных (ан—^!kmiA^ и Р* нельзя было образовать комбинацию с размерностью, отличной от см-сек-1 и не содержащей символ массы. Легко проверить, что автомодельность имеет место, если n = 2m + 3.
Следовательно, при постоянной светимости звезды (п = 0) для автомодельности необходимо, чтобы начальная плотность в зоне HI изменялась как г-3^. Соответственно при р0 = const (m = 0) светимость должна возрастать как I3.
Пусть п = 0 (этот случай рассматривается в работе [19]). Введем безразмерную переменную % и функции % (%) и ад (%) по формулам
Х =« = у^(Х)> Р = Р*г-’/гй(х).
Подставляя эти соотношения в (40.2) и (40.4), получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенную относительно производных:
X 1(1 -Щ’-хЧ ^ = у X' (1 -2-Щ + -iz (1 -«Uy,(40.7)
to d% 22
В уравнение (40.7) входят только функция ^(х) и переменная X- Поэтому оно может быть проинтегрировано независимо от уравнения для ю(х). Некоторые из решений (40.7), обсуждаемые ниже, отмечены на рис. 44 сплошными линиями /, 4, 5.
Исследование поля интегральных кривых уравнения (40.7) показывает, что существует единственное решение, соответствующее обращению скорости в нуль в начале координат (на рис. 44
ему отвечает кривая /, стрелкой обозначено направление возрастания х = VIA kPlvV^ = ^Y
В том случае, когда ионизационный фронт распространяется в невозмущенную область HI (% = 0), х и % в газе за фронтом связаны соотношением х2==(1— ^)^, которое следует из законов сохранения массы и импульса (§ 18). Зависимость %(х) иллюстрируется кривой 2 на рис. 44.
Если же /-фронту предшествует ударная волна, то, считая течение нейтрального газа адиабатическим и полагая
р \t )
из уравнений (40.2), (40.4), последнего равенства и условия
адиабатичности будем иметь
(40.8)(40.8)(40.9)(40.9)= — к^-х^А^А-^АЛ'
(40.8)
(40.8)
(40.9)
(40.9)
_ 2\ (D
%(i-«M)5i=%^-|uсо2
dt~^ \ t ) Л dt ‘
Из (40.9) следует
-17 = ^7 Гх (З—чЛ—Ц-^^-| х41 . (40.10) г р dr % L \ 5/ со о 2 о
Сопоставляя (40.8) и (40.10), находим
A dX 6 хО-М) 15 Vх dx 2 А + 5 I2 .
С учетом (40.8) и последнего равенства система гидродинамических уравнений для адиабатического течения нейтрального газа, включающая уравнения движения (40.2), неразрывности (40.4) и условие адиабатичности, может быть разрешена относительно производных и записана в форме
[(1 - ^)2 -V АЛ X ^ = 41 (1 - 41? ЗуЛ2 (^ - W ) ,
^= (1(! _| ^ _ [4 _^ (1 _] ^
[(l-^-y^Jx dto _ 3 (3/5-4Q уЛ2-^ (1-4Q2todx2(1—41)
Деля первое уравнение этой системы на второе, получим уравнение для функции 41(A), причем на сильной ударной волне (см. предельные соотношения в § 20) 41 = 3/4, A = V3[4. Зависимость 41 (А) представлена кривой 3 на рис. 44 (заметим, что в точке пересечения кривых 2 и 3 ^ = 3/4, х = Л = ]^3/4).
Значения А% и 41г за ионизационным фронтом, распространяющимся по сжатому ударной волной газу, удовлетворяют соотношению
Д-^-Дсг^-(40.11)
которое следует из законов сохранения массы и импульса при переходе через /-фронт (§ 18) (здесь Ах и 41^ соответствуют некоторой точке С на кривой 3).
Определяемая (40.11) кривая, проходящая через точку С, показана штриховой линией на рис. 44.
Знание *7Z (х) и ^(Л) позволяет найти характер движения для конкретных р* и Q*. При этом необходимо принимать во внимание и уравнение переноса излучения (40.1), которое не использовалось нами при рассмотрении автомодельных движений нейтрального и ионизованного газа. Причина, по которой должен учитываться перенос радиации, заключается в следующем. Как мы видели в § 39, переход от невозмущенного состояния нейтрального газа к течению плазмы в зоне НИ может сопровождаться появлением как ионизационных фронтов /?-типа, так и ионизационных фронтов £>-типа, причем перед последними может возникать ударная волна. Но на тип фронта, согласно рассмотренному в § 18, как раз и оказывает влияние поток излучения.
Выше уже отмечалось, что единственной интегральной кривой, удовлетворяющей условию обращения скорости в нуль при г —^0, является кривая 1. Это означает, что в рассматриваемом случае допустимы только те решения, для которых возможен переход на кривую /. При этом, вообще говоря, появляются сильные разрывы (например, уже упоминавшаяся ударная волна, предшествующая ионизационному фронту). В частности, оказывается допустимым [19] переход от интегральных кривых 4 и 5 к 1 через изотермическую ударную волну (см. § 20) в области НИ. При этом величины Jlv % перед ударным фронтом связаны с их значениями Л2, % позади него уравнением (40.11) (напомним, что (40.11) получено из условия сохранения потоков массы и импульса и, очевидно, справедливо как для ударных волн, так и для /-фронтов). Кроме того, в силу изотермичное™
Л? = ^.(40.12)
Точка ^2, % лежит на кривой 1 и равенства (40.11), (40.12) определяют в плоскости (Л, %) совокупность возможных значений ^, Ч1Х (на рис. 44 это линия 5).
Важным для рассмотренных решений является, конечно, вопрос о единственности. Не останавливаясь на нем подробно, отметим лишь, что исчерпывающий ответ удается получить, только исследуя структуру ионизационного фронта. Действительно, как указывалось выше (см. § 18), даже само существование, например, сильных фронтов D-типа возможно лишь при достаточно жестких ограничениях на механизмы подвода и оттока энергии внутри /-фронта.
Перейдем теперь к случаю переменной светимости звезды (т = 0) [20].
Для описания движения ионизованного газа введем переменную т] и функции S(r|), ^(л) и W (т|) по формулам
« = 7^(11), р = р0^(п)«
примут видпримут видУравнения (40.1), (40.2) и (40.4) тогда
примут вид
примут вид
dS d-qdS d-q4лйг£4лйг£Р20(«Н-а1)1Р20(«Н-а1)1mhQ*mhQ*^2^/2,^2^/2,№-1)4 [л^№-1)4 [л^W’ w ’W’ w ’
dS d-q
dS d-q
4лйг£
4лйг£
Р20(«Н-а1)1
Р20(«Н-а1)1
mhQ*
mhQ*
^2^/2,
^2^/2,
№-1)4 [л^
№-1)4 [л^
W’ w ’
W’ w ’
VH-l^^ + ^W ^ + sw^o.
Комбинируя два последних уравнения, получаем
(40.13)(40.13)41 гз-'пЧ'М-!)2т] [1—т]2СМ —1)2
(40.13)
(40.13)
Согласно (40.6), необходимо найти такие решения (40.13), для которых т]^—^0, когда т|—^0.
Точка т] = 0, ^ = 0 является особой для уравнения (40.13). Это—седло, поскольку в ее окрестности (40.13) с точностью до малых более высокого порядка эквивалентно уравнению
Тогда при изменении т] на отрезке [0, 1] единственным решением (40.13), удовлетворяющим поставленному граничному условию, будет ^ = 0.
В точке (1, 0) плоскости (т], ЧГ) происходит ветвление решений. Эта особая точка — узел и вблизи нее
tj = 1 +С^ —^ In ^,
(С—произвольная постоянная).
Данные выражения получаются в результате интегрирования эквивалентного (40.13) уравнения
Интегральные кривые уравнения (40.13) представлены на рис. 45 сплошными линиями, касающимися прямой ^ = 0.
Из условий на скачках для автомодельных движений (подробно этот вопрос рассматривается в книге [16]) следует, что скорость ионизационного фронта D{ всегда можно представить в виде В(^аТЕт\ь где ^i^ г^атн^У Поэтому в случае, когда ионизационный фронт распространяется по невозмущенной области HI, отнесенная к гЦ скорость ионизованного газа за фронтом и координата т]г связаны соотношением
(40.14)(40.14)^(1-^=1
(40.14)
(40.14)
(формула (40.14) получена с использованием законов сохранения массы и импульса при переходе через разрыв).
Соответствующая (40.14) зависимость ЭД(т0 дается кривой 1 на рис. 45.
Координаты точек звуковой линии, на которой скорость ионизованного газа относительно фронта равна а№ удовлетворяют уравнению
чд\_^^\.(40.15)
На рис. 45 звуковая линия изображена штрих-пунктирной кривой 2.
Сопоставление кривой / и звуковой линии показывает, что
слабые ионизационные фронты R-типа (все решения (40.13), пересекающие кривую /, расположены выше звуковой линии). В то же время, если Z-фронту предшествует ударная волна, допустимо существование как сильных, так и слабых фронтов D-типа (интегральные кривые (40.13) могут пересекать звуковую линию).
Для описания движения газа между ударным и ионизационным фронтами в адиабатическом случае введем автомодельную переменную g = r/(Ds0 и безразмерную функцию Л = (P/P)V2 (//Г),
где Ds = const—скорость ударной волны по неподвижному газу (постоянство Ds следует из постановки автомодельной задачи). Тогда из уравнений (40.2), (40.4) и условия адиабатичности
имеем
(<2Z-l)(B^' + ^) = -M2Vv-,(40.16)
6№-l)V' + ^'+3W = 0.(40.17)
Так как из определения Л следует
(?^Т^ = 2 (■£(?^Т^ = 2 (■£,</Г\v Л!,</Г\v Л!
(?^Т^ = 2 (■£
(?^Т^ = 2 (■£
,</Г\v Л!
,</Г\v Л!
то (40.16), (40.17) представляются в формето (40.16), (40.17) представляются в форме2 Г 1 , ^'1 З'М+Е'М'^ ^ [т+5]=(^ ~1 >(^'+^ •2 Г 1 , ^'1 З'М+Е'М'^ ^ [т+5]=(^ ~1 >(^'+^ •(40.18)(40.19)(40.18)(40.19)Учитывая, что 41' = dnjjd^ = (МИ/ЛЛ) (d^/d^), из (40.19) имеемУчитывая, что 41' = dnjjd^ = (МИ/ЛЛ) (d^/d^), из (40.19) имеем
то (40.16), (40.17) представляются в форме
то (40.16), (40.17) представляются в форме
2 Г 1 , ^'1 З'М+Е'М'
^ ^ [т+5]=(^ ~1 >(^'+^ •
2 Г 1 , ^'1 З'М+Е'М'
^ ^ [т+5]=(^ ~1 >(^'+^ •
(40.18)
(40.19)
(40.18)
(40.19)
Учитывая, что 41' = dnjjd^ = (МИ/ЛЛ) (d^/d^), из (40.19) имеем
Учитывая, что 41' = dnjjd^ = (МИ/ЛЛ) (d^/d^), из (40.19) имеем
(40.20)(40.20)
(40.20)
(40.20)
Подставляя (40.20) в (40.18), получим Л dm з^—^—дф 41 ^ |^-[i-|ik)(1-,k)Подставляя (40.20) в (40.18), получим Л dm з^—^—дф 41 ^ |^-[i-|ik)(1-,k)(40.21)(40.21)Для сильной ударной волны, подобно случаю л = 0, имеемДля сильной ударной волны, подобно случаю л = 0, имеем
Подставляя (40.20) в (40.18), получим Л dm з^—^—дф 41 ^ |^-[i-|ik)(1-,k)
Подставляя (40.20) в (40.18), получим Л dm з^—^—дф 41 ^ |^-[i-|ik)(1-,k)
(40.21)
(40.21)
Для сильной ударной волны, подобно случаю л = 0, имеем
Для сильной ударной волны, подобно случаю л = 0, имеем
^ = 3/4, Л = /3/4.^ = 3/4, Л = /3/4.(40.22)(40.22)
^ = 3/4, Л = /3/4.
^ = 3/4, Л = /3/4.
(40.22)
(40.22)
Единственная интегральная кривая уравнения (40.21), удовлетворяющая условиям (40.22), изображена штриховой линией на рис. 45 в плоскости ^U, Л~г\
Для изотермического течения за фронтом сильной ударной волны движение газа описывается уже рассмотренным уравнением (40.13), только от переменной т] целесообразно перейти к ф = = г1каТй1\ Семейство интегральных кривых в этом случае показано сплошными линиями на рис. 46. Как и выше, штрих-пункти- ром отмечена звуковая линия. Штриховая кривая соответствует ударной волне, распространяющейся в невозмущенный газ, и ее уравнение имеет вид
ф2(1—^)=1.
Заданным величинам 4V 4LX (или фх> 41^ в нейтральном газе непосредственно перед фронтом ионизации отвечают значения
т]2, 41^ в области НП, которые удовлетворяют соотношению
l+U-^tiz J+^r^l-'Mi)2
(i-^an» о-^мг2
(40.23)(40.23)(для изотермического течения в области HI вместо Л г2 нужно подставить ф?).
(40.23)
(40.23)
Определяемые (40.23) переходы D-типа от HI к HII при различных ^ ^(Фп %) показаны на рис. 45,46 пунктирными
линиями.
Как ^показывает исследование структуры /-фронтов [15, 20],Как ^показывает исследование структуры /-фронтов [15, 20],каждому фиксированному значению параметра
Как ^показывает исследование структуры /-фронтов [15, 20],
Как ^показывает исследование структуры /-фронтов [15, 20],
Го=4ла3Г£^=^ ^н Q* соответствует единственное решение автомодельной задачи о расширении области HII. При этом, если Говелико, возникают слабые фронты D-типа. Если же Го мало, то распространяются слабые /-фронты /?-типа. Промежуточным значениям параметра в частном случае 40000 °К отвечают либо сильные, либо критические фронты D-типа. Первое имеет место для адиабатического течения между ударной волной и ионизационным фронтом, второе— для изотермического.
Интересным отличием между течениями при /г = 0 и при /и = 0 является то, что для зависящего от времени потока ионизирующей радиа
ции в зоне НП изотермическая ударная волна не возниции в зоне НП изотермическая ударная волна не возникает.
ции в зоне НП изотермическая ударная волна не возни
ции в зоне НП изотермическая ударная волна не возни
Отметим еще одно важное обстоятельство. Для рассмотренных автомодельных решений (п = 0, m = 0) продвигающийся в нейтральный газ ионизационный фронт не обязательно является критическим—могут распространяться слабые или сильные фронты R- и D-типа. Следовательно, вообще говоря, заранее нельзя требовать равенства скорости оттока плазмы от фронта скорости звука, как это делалось, например, при изучении уже упоми-
навшейся плоской задачи [17]. Геометрия течения, по-видимому, не оказывает решающего влияния на то, будет ли ионизационный фронт критическим или нет. В самом деле, Я. Б. Зельдовичем и Р. А. Сюняевым [21] было найдено автомодельное решение для плоского случая с учетом ослабления падающей на фронт радиации вследствие фоторекомбинаций. Оказалось, что и здесь число Маха в оттекающем ионизованном газе не равно единице.
Метод характеристик
Как мы видели, автомодельные решения удается найти лишь при специальном выборе зависимости р0 (г) или Q(/). Поэтому представляют интерес более общие методы изучения динамики областей НН, к которым относится, в частности, и метод характеристик [22, 23].
Пусть, как и в § 39, плотность нейтрального газа р0 и его температура То постоянны, a Q (Г) не зависит от времени при всех Г^О. Так как при малых г скорость продвижения ионизационного фронта в нейтральный газ велика (О/ = mHQ/(4nr2p0)—>-оо, когда г—>-0), то /-фронт будет 7?-типа. В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением только фронтов такого типа, образующихся на ранней стадии эволюции зоны НИ.
Аналогично § 40 предположим, что течение ионизованного газа изотермично и описывается уравнениями (40.2), (40.4), причем
p(r, О) = ро = const, T(r, О) = То = const, Q (Г) = const,и (г, 0) = 0, и (0, Г) = 0.
Вводя новую функцию
р = аг£1п(р/р0),
вместо (40.2), (40.4) получим
du , du . dp п,,1 п
dt 1 dr 1 dr 1x '
f +(41.2)
Считая T0^T£> для значений плотности и скорости газа позади слабого ионизационного фронта R-типа имеем выражения
Рз^Т Ро^гв [^£—(Dt—4ат£А*)1/2]>
Zi2^Dz{l-24£[AM^-4ak£^
Эти выражения получаются из соотношений, выражающих законы сохранения массы и импульса при переходе через разрыв (§§ 17,18), если принять во внимание, что скорость нейтрального газа относительно /-фронта равна Dt.
Условие того, что /-фронт является фронтом /?-типа, дает (§ 18)
Пренебрегая поглощением излучения вследствие фоторекомбинаций, можно D( представить как функцию rf.
Здесь
4лг?р0
— 2cL«pg
-/^mQ\1/2 -1/2
aTE . \8лр0 /
Тогда р2 и онного фронта
и2 будут зависеть лишь от координаты ионизаци-
ft и
Pz=2Po
41 1/2 1 -1
(41-3)
Траектория /-фронта в плоскости (г, t) определяется из урав
нения
^ = D,-2a„^ = D,-2a„22(41.4)(41.4)
^ = D,-2a„
^ = D,-2a„
2
2
(41.4)
(41.4)
Решением (41.4), которое обращается в нуль при / = О, служит
(41.5)(41.5)г? \° г -1,
(41.5)
(41.5)
— ) -д' &ТЕ = t
Г / 6
Из (41.5) легко видеть, что ионизационный фронт становится критическим в момент времени ? = (г/6)я7е.
Таким образом, задача о расширении зоны НИ сводится к решению системы уравнений (41.1), (41.2), причем в начале координат и (О, 0 — 0, а на кривой (41.5) выполнено (41.3), т. е.
ц = и2,
Р = Р2 = йгг1пР = Р2 = йгг1пр2 \Ро /р2 \Ро /11 fl f— — аТЕ In — ^ 1 +11 fl f— — аТЕ In — ^ 1 +1/21/2
Р = Р2 = йгг1п
Р = Р2 = йгг1п
р2 \
Ро /
р2 \
Ро /
11 fl f
— — аТЕ In — ^ 1 +
11 fl f
— — аТЕ In — ^ 1 +
1/2
1/2
Характер зависимости решения от граничных условий можно понять, обратившись к рис. 47, где 1—траектория ионизационного фронта, а 2—характеристическая кривая с уравнением (определение и физический смысл характеристик см. в § 20)
=0 + а№(41.6)
Согласно общей теории гиперболических уравнений [24], решение в точке (г, 0» лежащей между 1 и 2, зависит лишь от
значений искомых функций на кривой 1. Если же точка (г, /) расположена ниже кривой 2, то в ней и (г, /) и р(г, /) определяются данными как на кривой 1, так и на прямой г = 0.
Найдем решение уравнений (41.1), (41.2) в области г <^ г. При этом естественно считать, что и
аТЕаТЕ
Действительно, из (41.3) следует, что при достаточно малых г [г скорость остающейся за фронтом плазмы мала по сравнению со скоростью звука и р^р0. Это и приводит к г /^выполнению выписанных неравенств.
АЛинеаризуя тогда уравнения движения и
/неразрывности, получим
ди . др ~
2Vдр . ди . п и п
д7 + атвд7 + 2аГ£ —— 0.
/Отсюда в результате простых преобразо-
£-—ц= ваний находим, что и (г, /) должна удовлетво- апьрять уравнению
Рис- 47ед^и 2 д (ди 2и\ л
В граничных условиях на I-фронте (41.3) проведем разложение по г Jr, пренебрегая членами порядка VdrY и выше. Величинами второго порядка пренебречь нельзя, так как первый неисчезающий член в разложении и (г, f) на ионизационном разрыве будет
v UTE ~ -z - X Г /
Следовательно, в рассматриваемом приближении
1/Г-\2-
=Рз^0-(41-8)
\ /
Аналогично из (41.6) для характеристики с положительным наклоном в начале координат имеет уравнение вида dr .
— &ТЕ^ г — аТЕ1.
Решение уравнения (41.7) будем искать в форме
и^г, 0 = уагв(4у /(х),=
Тогда / удовлетворяет уравнению второго порядка(l~X’)g + 4z|-4f-O,
общее решение которого является линейной комбинацией функций х и ^1+2%2—~х4^ - Выбирая произвольные постоянные так, чтобы удовлетворялось первое из равенств (41.8), и (О, /) = 0 и скорость была непрерывной на характеристике, получим
и (г, <)=-2 аТЕ^Г J ~Т Г J J V>aTEtY
U^, t) = ^aTE^ V<aTEtY'U^, t) = ^aTE^ V<aTEtY'Соответственно для р будем иметьСоответственно для р будем иметь
U^, t) = ^aTE^ V<aTEtY'
U^, t) = ^aTE^ V<aTEtY'
Соответственно для р будем иметь
Соответственно для р будем иметь
В области между кривой 2 и осью г = 0 найденные решения удовлетворяют линеаризованным уравнениям на всем отрезке 0</<?.
Действительно, в этой области
г <Х aTEt ^ aTEt = г/6 и, следовательно,
О^П^^^
Значит, пир малы, а именно это предположение было использовано при получении приближенных решений.
Переходя к изучению течения в области между кривыми / и 2, заменим (41.1), (41.2) двумя уравнениями вида
[^ + (u±M^](U±p)±2^ = 0.(41.9)
Характеристики данной квазилинейной системы определяются уравнениями (см. монографию [24], а также § 20)
-^ = и+аТЕ1 — = и аТЕ.(41.10)
Если считать и (г, t) известным, то семейства решений (41.10) можно записать в форме
а (г, 0 = const, Р (г, 0 = const,
где аир постоянны соответственно вдоль интегральных кривых второго и первого из уравнений (41.10).
Введем далее вместо г и t независимые характеристические переменные аир. Тогда
дг ,. х St дг ,х Stf л ,х
— Ch-E^T-i аК—^и атЕ^ай(41.11)
оаоа upop
и для любой функции г и t выполняются соотношения
d/ 1 хdrГ д . ,,\d1
(и + аГ£)^ + (u +<zr£)57].
d, чdrГ d , , хд'
^-^ — «.TF^^ [d? + (u—йтг)^ •
Поэтому из (41.9) находим
Возьмем далее в качестве аир координаты пересечения характеристик с ионизационным фронтом, так что
а = а (г,) О, (0 = р (г,- (/), 0 = rt.
Тогда на прямой а = р в плоскости (а, Р) граничные условия для функций г (а, Р), /(а, Р), и (а, Р), р (а, Р) запишутся в следующей форме:
г (а, а) = а, /(а, а) =— Оте,
\ г / 6
и^ а^и^а\ р = р2(а)(41.13)
(здесь вид /(а, а) следует из равенства (41.5)).
Переменные аир изменяются в пределах 0 ^ р ^ г ^ а^ г.
Таким образом, после введения характеристических переменных мы приходим к задаче о нахождении решения системы уравнений (41.11), (41.12) с граничными условиями (41.13).
Эта задача может быть решена численно методами, применяемыми в газодинамике.
Можно также получить приближенное решение, если, как это сделано в е работе [23], считать малым отношение характерного времени формирования зоны НИ ко времени прохождения
звуковой волной расстояния г.
Распределение и (г) и р (г) в различные моменты времени, найденное методом характеристик и взятое из работы [23], приведено на рис. 48. Видно, что согласно качественному рассмотрению динамики областей НИ (§ 39) в период существования ионизационного фронта /?-типа гидродинамическое движение мало влияет на параметры газа.
Важно, что метод характеристик, очевидно, можно применить и к случаю произвольных р(г, 0), и (г, 0), Q(i). Тем самым снимаются ограничения, которые приходится налагать на начальные и граничные условия в методе автомодельных решений. Все же, являясь более общим, чем метод автомодельных решений, метйд характеристик значительно сложнее, так как он требует решения не обыкновенных дифференциальных уравнений, а уравнений в частных производных.
§ 42. Расчет динамики областей НИ на ЭВМ
В § 38 уже отмечалось, что найти решение задачи о расширении областей НИ в общем виде крайне затруднительно—необходимо принимать во внимание сложные процессы взаимодействия неравновесного излучения с веществом. Поэтому для выявления основных закономерностей эволюции зон НИ оправданы приближения, использовавшиеся в §§ 38—41. Более же полное представление о динамике межзвездного газа можно получить, обратившись к численным методам (см., например, работы [14, 25, 26]).
По сравнению с методом автомодельных решений и методом характеристик, расчеты на ЭВМ дают возможность непосредственно учесть процессы радиационного нагрева и охлаждения (т. е. не привлекать допущений об изотермичности или адиабатичности течения), а также проследить изменение спектрального состава излучения с расстоянием от звезды. Важно еще, что при вычислениях не нужно накладывать ограничений на характер зависимости светимости звезды от времени и на распределение начальной плотности окружающего газа. Следовательно, чтобы исследовать динамику зон НИ, можно воспользоваться конкретными моделями эволюции звезд.
Расчеты в случае, когда температура звезды Т* с массой 30Л4о возрастает от примерно 104°К до4-104°К за время ~1,7-104 лет, проводились в работе [14]. При этом исходными являлись уравнения (38.1), (38.2), (38.7), (38.8), (38.12), записанные в лагранжевых координатах. Течение считалось сферически симметричным. Задача решалась методом конечных разностей с введением в (38.2) и (38.12) искусственной вязкости. Использовались на-
чальные и граничные условия (40.5), (40.6) с р0 = const, Т (г, 0) = = const и заданной функцией Q (t) (на рис. 49 показаны функции Т*(/) и Q(/); по оси ординат отложен логарифм времени в годах).
Результаты расчетов представлены на рис. 50 для момента времени / = 3,07* 104 лет (заметим, что согласно принятой модели эволюции звезды последняя достигает главной последовательности за время около 2,67-104 лет).
Из графиков видно, что на рассмотренной стадии формирования зоны НИ плотность и температура газа практически постоянны (за исключением относительно узкой области вблизи /-фронта), а скорость и мала. Тем самым оказывается верной качественная картина распространения ионизационного фронта на раннем этапе, обсуждавшаяся в § 39.
Расширение области НН, сопровождающееся возникновением ударной волны, численно исследовалось в работе [25]. Движение ионизованного газа считалось изотермическим. В начальных и граничных условиях (40.5), (40.6) принималось Т (г, 0) — 102°К, Q(/)“ const. Плотность же р0 могла зависеть от г.
В качестве независимых переменных брались время t и координата b фиксированного элемента газа в момент / = 0. Тогда
t
ИИr(b, O = 6 + $«(6, Odtо
И
И
(42.1)(42.1)р Ф* о) _ г г $> 0]2 dr ф, о Р (Ь, о — _ Б дБ
(42.1)
(42.1)
Соответственно из уравнения движения имеем
^г _^и1 др
д/2 “ di — р дг *
ИЛИ д2г _1 Vr(MyUdp_
-д^ — ~рф, 0) [ b J дЬ '
Чтобы учесть присутствие в течении ударной волны, вводится искусственная вязкость, как это делалось и в [14]. Одновременно ионизационный фронт заменяется областью конечной толщины, внутри которой степень ионизации монотонно падает от единицы со стороны зоны НИ до нуля со стороны зоны HI (при этом оказывается, что результаты расчетов мало чувствительны к виду функции s). Давление при переходе от зоны HI к зоне НН аппроксимируется выражением
р (М) = -^ Р (6, /) [2sT£ + (1 —s) Т ф, О]-
Ясно, что такая форма р ф, /) пригодна для s ^ 1 и s ^0. Что же касается промежуточных значений s, то здесь, конечно, можно ожидать заметных неточностей.
Изменение Т со временем будет подчиняться справедливому при достаточно малых s уравнению
—— • (42.3) у— 1 ot у /пн у . р2 di р х *
Первое слагаемое в правой части этого уравнения учитывает рост Т за счет адиабатического сжатия, а второе—охлаждение при процессах высвечивания (так как s мало, то нагрев радиацией звезды невелик—-лишь небольшая доля ионизирующих квантов поглощается газом).
В расчетах функция ^/р принималась пропорциональной (7 — То)/тго, где То = 102°К — равновесная температура в зоне HI и т^—время установления теплового равновесия (тГо аналогично введенному в § 38 тг).
Выписанных уравнений (42.1) — (42.3) для р, г и Т достаточно, чтобы исследовать динамику областей НИ. При этом необходимый для нахождения скорости /-фронта поток ионизирующего излучения определяется из решения уравнения (40.1).
Распределение скорости и и плотности р околозвездного газа, имевшего начальную плотность р0//ин = 6,4 см-3, представлено кривыми 1—9 и Г—9' на рис. 51, 52. Этим кривым отвечают соответственно моменты времени 2,2-104, 7,8» 104, 9,0* 104, 1,8* 105, 3,6* 10Б, 9,0* 105, 1,4* 106, 1,8* 10е и 2,0*106 лет. Отсчет и и р на каждом графике ведется от горизонтальных штриховых линий в единицах -^-аТЕ и ре, уровень отсчета обозначен точкой. Число
эмитируемых звездой квантов с v^vH равно 2,45* 1048 сек-1, Т^=104°К. Положения ионизационного и ударного фронтов отмечены соответственно вертикальными штриховыми и сплошными прямыми линиями.
По сравнению с графиками на рис. 50, приведенные на рис. 51, 52 результаты расчетов охватывают гораздо больший отрезок времени. Четко прослеживается не только формирование области НИ в начальный период, когда гидродинамическое течение несущественно, но и расширение горячего газа, сопровождающееся появлением ударной волны.
Тот факт, что сжатый ударной волной нейтральный газ приобретает достаточно высокую скорость (~ 10 км/сек), привлек к себе внимание по следующей причине. Хорошо известно (см., например, [2, 3]), что распределение нейтрального водорода в межзвездном пространстве крайне неоднородно и облака движутся с различными скоростями. Возникает вопрос, не могут ли расширяющиеся области НН служить источником энергии этих движений.
Воспользовавшись результатами изучения динамики областей НИ, легко найти кинетическую энергию, сообщаемую нейтральному газу за время эволюции звезды. Осреднение по звездам разных спектральных классов показывает, что ускорение нейтрального водорода расширяющимися зонами НН может вносить заметный вклад в наблюдаемые движения межзвездного газа [13], хотя, по-видимому, и не является единственным механизмом подвода энергии к последнему. Так, по оценкам автора обзора [27], существенное влияние на характеристики межзвездного газа оказывают вспышки сверхновых, рентгеновские и космические лучи.
Большое внимание в работах по теоретическому описанию динамики околозвездного газа уделялось сравнению с наблюдательными данными (см., в частности, [25] и обзор [13]). Для целого ряда областей НН было найдено, что их размеры и скорость окружающего нейтрального водорода согласуются с предсказываемыми теорией. Вместе с тем обнаружилось несоответствие в отношении толщины сжатого ударной волной слоя газа. Так, из наблюдений следует, что (rs—Г;)/г8~ 0,5. В тоже время, как показывают расчеты (см. рис. 51, 52), данное отношение значительно меньше. Хотя в интерпретации наблюдений существует неопределенность, обусловленная недостаточно высокой разрешающей способностью применявшихся антенн, представляет интерес отыскание процессов, которые приводили бы к увеличению (rs—r^/rs. Один из таких процессов обсуждается ниже в связи с устойчивостью /-фронтов.
Отметим еще, что для многих областей НИ характерно наличие неоднородностей в распределении плотности. Вопрос о том, как происходит ионизация этих неоднородностей, также будет рассмотрен позднее.
Обратим также внимание на то, что в §§ 38—-42 не учитывалось влияние звездного ветра на расширение областей НИ. Однако наблюдения показывают, что вблизи многих горячих звезд происходят движения газа со скоростями 50—100 км/сек. Эти движения интерпретируются как вызванные сверхзвуковым звездным ветром [28], возникновение и свойства которого рассмотрены в гл. III.
В результате взаимодействия звездного ветра с плазмой области НИ в сферически симметричном случае возникает неста-
ционарное течение с тремя поверхностями разрыва. Две из них — это ударные волны, образующиеся в звездном ветре и в околозвездном газе. Третья—контактный разрыв, разделяющий прошедшие через ударные волны потоки плазмы (заметим,, что ситуация здесь аналогична той, которая рассматривалась в § 26 при изучении взаимодействия потока солнечного ветра высокой скорости с плазмой, имеющей меньшую скорость. Количественное исследование такого течения было выполнено в работах [28, 29].
Рис. 53. Рис. 54.Рис. 53. Рис. 54.Более сложная картина создается, когда плазма истекает из двух звезд, находящихся на близком расстоянии одна от другой /2 V
Рис. 53. Рис. 54.
Рис. 53. Рис. 54.
(двойные звезды). Качественная картина линий тока возникающих течений изображена на рис. 53, 54 в сверхзвуковом и дозвуковом случаях соответственно. В случае сверхзвуковых звездных ветров, подобно тому, как это имело место при взаимодействии сверхзвукового межзвездного ветра и солнечного ветра (см. § 29), образуются две ударные волны 1 и Г, отделенные тангенциальным разрывом 2 (рис. 53). Движение стационарно и осесимметрично, если звездный ветер сферически симметричен. При взаимодействии двух дозвуковых звездных ветров ударные волны не возникают, а тангенциальный разрыв 2, конечно, остается (рис. 54).
Эти простые модели, однако, существенно усложняются, если принять во внимание магнитное поле и эффекты орбитального движения звезд. Но в настоящее время имеются лишь очень схематичные представления о. возникающих течениях [30].
§ 43. Устойчивость ионизационных фронтов
Общие соотношения, связывающие параметры газа по обе стороны ионизационного фронта, и дополнительное условие равенства потока нейтральных частиц, пересекающих фронт, потоку ионизирующих квантов позволяют говорить об аналогии между
9 В. Б. Баранов, К. В. Краснобаев
ионизационными фронтами и фронтами горения (это обстоятельство уже подчеркивалось в § 18). Так как хорошо известно, что последние неустойчивы по отношению к двумерным возмущениям поверхности разрыва [31], то возникает естественный вопрос и об устойчивости /-фронтов.
В линейной постановке исследование устойчивости проводится путем линеаризации гидродинамических уравнений, решения
которых должны удовлетворять заданным граничным условиям
иСиСизвестным законам сохранения при переходе через разрыв.известным законам сохранения при переходе через разрыв.кременты нарастания, каккременты нарастания, какприменением такойприменением такойметодики задача об устойчивости ионизационных фронтов рассматривалась в работах [32—38]. Инкре- менны нарастания возмущений были найдены для различных типов фронтов и при различных предположениях относительно характера течения (использовались малость отношения скорости звука в ней-методики задача об устойчивости ионизационных фронтов рассматривалась в работах [32—38]. Инкре- менны нарастания возмущений были найдены для различных типов фронтов и при различных предположениях относительно характера течения (использовались малость отношения скорости звука в ней-тральном в плазметральном в плазмегазе к скорости звукагазе к скорости звуказа фронтом,за фронтом,мость нейтрального газа, ство ускорения газа, помость нейтрального газа, ство ускорения газа, понесжимае- постоян- которомунесжимае- постоян- которомураспространяется /-фронт, и т. д.).распространяется /-фронт, и т. д.).Вид дисперсионногоВид дисперсионногоуравне-уравне-ния, из которого определяются ин- правило, весьма сложный. Поэтомуния, из которого определяются ин- правило, весьма сложный. Поэтомуниже для простоты мы ограничимся лишь изучением устойчивости слабых ионизационных фронтов D-типа в случае, когда течение газа перед фронтом и за ним можно считать несжи-ниже для простоты мы ограничимся лишь изучением устойчивости слабых ионизационных фронтов D-типа в случае, когда течение газа перед фронтом и за ним можно считать несжи-
и
С
и
С
известным законам сохранения при переходе через разрыв.
известным законам сохранения при переходе через разрыв.
кременты нарастания, как
кременты нарастания, как
применением такой
применением такой
методики задача об устойчивости ионизационных фронтов рассматривалась в работах [32—38]. Инкре- менны нарастания возмущений были найдены для различных типов фронтов и при различных предположениях относительно характера течения (использовались малость отношения скорости звука в ней-
методики задача об устойчивости ионизационных фронтов рассматривалась в работах [32—38]. Инкре- менны нарастания возмущений были найдены для различных типов фронтов и при различных предположениях относительно характера течения (использовались малость отношения скорости звука в ней-
тральном в плазме
тральном в плазме
газе к скорости звука
газе к скорости звука
за фронтом,
за фронтом,
мость нейтрального газа, ство ускорения газа, по
мость нейтрального газа, ство ускорения газа, по
несжимае- постоян- которому
несжимае- постоян- которому
распространяется /-фронт, и т. д.).
распространяется /-фронт, и т. д.).
Вид дисперсионного
Вид дисперсионного
уравне-
уравне-
ния, из которого определяются ин- правило, весьма сложный. Поэтому
ния, из которого определяются ин- правило, весьма сложный. Поэтому
ниже для простоты мы ограничимся лишь изучением устойчивости слабых ионизационных фронтов D-типа в случае, когда течение газа перед фронтом и за ним можно считать несжи-
ниже для простоты мы ограничимся лишь изучением устойчивости слабых ионизационных фронтов D-типа в случае, когда течение газа перед фронтом и за ним можно считать несжи-
маемым.
Будем также предполагать, что, вообще говоря, распространение ионизационного фронта происходит в ускоренно движущейся среде. Это может иметь место, например, если зона НИ формируется в плотном облаке, окруженном разреженным газом. Тогда горячий ионизованный водород, расширяясь, вызовет ускорение плотной нейтральной оболочки.
Пусть невозмущенный ионизационный фронт находится в плоскости х = 0. Скорость м01 нейтрального газа, занимающего полупространство х < 0, направлена в положительную сторону оси х, и излучение падает нормально к фронту (рис. 55). За разрывом скорость м02 = Хн01 (для слабых ионизационных фронтов D-типа X > 1, что следует из условия на скачке — см. § 18). Плотность р01 перед фронтом в X раз больше плотности р02 позади него, так что p0i = Xp02. Из-за наличия ускорения W (t) давления нейтрального газа р01 и плазмы р02 не являются постоян-
ными, а зависят от х и / причем
(ниже всюду принимается W = const).
Рассмотрим отклонения поверхности фронта от плоской. Тогда абсцисса произвольной точки поверхности фронта £ может быть представлена в виде функции от у и t, т. е. £ = £(у, /) (рис. 55).
■ Соответствующие искривлению фронта возмущения гидродинамических параметров будут также являться функциями х, у и I. Следовательно, возникает неодномерное нестационарное течение. .
В неодномерном случае давление рг и компоненты скорости uv Ui перед фронтом связаны со значениями этих же функций за фронтом р2, w2, у2 соотношениями
Poi^i (ti2 ^1) (Рг ^х L ”^ \^/ J * z, хдГ Г. , /дПз1-1/2
—PoA(v2—Vi) = — (р2—^^[^(^J I
5g dt
-1/2 _
(5g \
“1 — У1;Г
5g dt
L' <У]
-1/2
(5g\
U,— У, А ( 22dy)
LJ2*
РоА = Ро^з = /пнФг [ 1 + (g)2 ] "1/2 •(43.1)
Здесь иг и t/2 есть проекции скоростей газа относительно фронта на нормаль к нему. Первые два из соотношений (43.1) выражают закон непрерывности потока импульса при переходе через разрыв (§§ 17, 18) с учетом того, что в системе координат (х. у^ поверхность фронта не является неподвижной. Два других соотношения (43.1) дают возможность выразить UT и U^ через компоненты скоростей uv yn и2, у2 и производные d^dt^ dtjdy (эти соотношения легко получаются из рассмотрения геометрических связей между названными величинами). Наконец, последнее из соотношений (43.1) выражает закон сохранения потока массы. Величина
Фг = Фго+(^н—аФг = Фго+(^н—аравна потоку квантов, пересекающих фронт (§ 18). При этом учтено, что вследствие искривления поверхности фронта поток квантов, пересекающих /-фронт, зависит от формы поверхности фронта. Из уравнения (40.1) в плоском случае при р = р02 и Т = ТЕ легко найти
Фг = Фго+(^н—а
Фг = Фго+(^н—а
(43.2)
где Ф70 = PoAiMn = p02u02/znu—поток квантов, падающий на невозмущенный фронт.
Рассмотрим возмущения поверхности фронта вида
£(M)=yF*Wcos^’
Тогда для газа перед фронтом
“1 = “я + «и ^i = vL Pi = Poi+pI, за фронтом
«2 = “02 +«2. V2 = ^,l>2=Po2+p;.
Считая возмущения малыми и линеаризуя уравнение неразрывности и два уравнения движения, получим для газа перед фронтом соотношения
ди\.।dvi_п
дхду—и’
di4।диу 1_dpi
dt ”^"01дхpoiдх *
(43.3)(43.3)dv[ , dvi 1_ dpi
(43.3)
(43.3)
dt*" 01 дхр01 ду *
Три аналогичных уравнения имеют место для газа за фронтом. Решение должно подчиняться следующим краевым условиям: при х = ± оо возмущения ограничены, и возмущенный поток удовлетворяет на фронте линеаризованным условиям перехода через разрыв (43.1).
Функции uj, vv р'и и^, Уа, р* будем искать в фермер
■” = ^1(С екх cosky, pvY р 1 f■” = ^1(С екх cosky, pvY р 1 fPoi^Ol z «a«02V3U02P22Po2^O2Poi^Ol z «a«02V3U02P22Po2^O2ки№ки№, Л-=—F, ^yeM sin ky, ') e** cos ky., Л-=—F, ^yeM sin ky, ') e** cos ky.Г 2 3Fa \Г 2 3Fa \ЙС4даЙС4да2й«022й«02е-** cos ку.е-** cos ку.
■” = ^1(С екх cosky, pvY р 1 f
■” = ^1(С екх cosky, pvY р 1 f
Poi^Ol z «a
«02
V3
U02
P22Po2^O2
Poi^Ol z «a
«02
V3
U02
P22Po2^O2
ки№
ки№
, Л-=—F, ^yeM sin ky, ') e** cos ky.
, Л-=—F, ^yeM sin ky, ') e** cos ky.
Г 2 3
Fa \
Г 2 3
Fa \
ЙС4да
ЙС4да
2й«02
2й«02
е-** cos ку.
е-** cos ку.
" Доскольку эти выражения удовлетворяют гидродинамическим уравнениям (43.3), то для определения Fv F2, Fs необходимо привлечь линеаризованные соотношения (43.1). Тогда, выражая Ut
и U2 через Фг и пользуясь (43.2), из (43.1) получим
Fi-VF» ku01
+ Fa +
[(i-n^+d-x-,)^-"!)»..!
vUfl2mHku№
F4 = 0, (43.4)
x-
1F^F^^—k\-V^F4=Q,
KUQ2
(43.5)
Ft-
^O""F1__Lf;=o,
^H^^02kUoa
(43.6)
F2 + F3
_(«H-«l)P021
mH6u02*“02
(43.7)
Из двух последних уравнений
F _(qH-ai) Ро2 L_F'—F
/^^£^024^02
рX
■* 1и F 4 I L * 4 •
/ИН^Н024^02
Согласно (43.5)
1^021^02(aH —ai) Р02тИкиоа(aH —ai) Р02тИкиоа^-^ -(l-^F.-O,^-^ -(l-^F.-O,F.F.'р'^-Х-Ч^-Х-^км02'р'^-Х-Ч^-Х-^км02(aH — al)PO2 1/7lp^^UQ2 ktl^(aH — al)PO2 1/7lp^^UQ2 ktl^1 p”1 p”
1
^02
1
^02
(aH —ai) Р02
тИкиоа
(aH —ai) Р02
тИкиоа
^-^ -(l-^F.-O,
^-^ -(l-^F.-O,
F.
F.
'р'^-Х-Ч^-Х-^
км02
'р'^-Х-Ч^-Х-^
км02
(aH — al)PO2 1
/7lp^^UQ2 ktl^
(aH — al)PO2 1
/7lp^^UQ2 ktl^
1 p”
1 p”
Воспользовавшись (43.4), имеем
F1+F2 , (aH~ai)Po2
&U02
mHkuoa
,Jp* hu02 4
kUq2
(aH~al) Роа1^ =QmH^tz02 I 1’
или
1 (aH — al)p02
kU^2
mH^u02
T ^4
RUq2
"(aH —«1)Ро2
X
(aH—«1)Ро2 1
/H^^Uq2
r (^02)2
^024
(aH—«i)p02 _
niRfeLlQ2
^tiQ2
Шу^ки^ ки^2
I 1 P' _L_
H ku^
' /nH&ti02
^4 = 0.
Отсюда получаем уравнение для Р4 (/)
(Х+Р^(6«02)2(Х+Р^(6«02)22Х^^022Х^^02(«H~aj)P02] „, ,2' h —I .тнйи02 4 1mH^i/02, ^(«H~aj)P02] „, ,2' h —I .тнйи02 4 1mH^i/02, ^F4 = 0. (43.8)F4 = 0. (43.8)
(Х+Р^(6«02)2
(Х+Р^(6«02)2
2Х
^^02
2Х
^^02
(«H~aj)P02] „, ,
2' h —I .
тнйи02 4 1
mH^i/02, ^
(«H~aj)P02] „, ,
2' h —I .
тнйи02 4 1
mH^i/02, ^
F4 = 0. (43.8)
F4 = 0. (43.8)
Решение (43.8) имеет вид Р4 = Р4^, где 6 определяется урав-
нением/6У2\ А«02 / + 1 4-нением/6У2\ А«02 / + 1 4-(аН а1) Роз 6(аН а1) Роз 6^14^02^14^02Р^1-Х(Х+1)Р^1-Х(Х+1)^U02^U021_Х + 2Х^^^ mHku041_Х + 2Х^^^ mHku04Wки^Wки^-0.-0.
нением
/6У2
\ А«02 / + 1 4-
нением
/6У2
\ А«02 / + 1 4-
(аН а1) Роз 6
(аН а1) Роз 6
^14^02
^14^02
Р^1-
Х(Х+1)
Р^1-
Х(Х+1)
^U02
^U02
1_Х + 2Х^^^ mHku04
1_Х + 2Х^^^ mHku04
Wки^
Wки^
-0.
-0.
Из двух корней этого уравнения неустойчивым возмущениям может отвечать лишь тот, у которого перед радикалом стоит знак плюс, т. е.
6 _ ^ — к“оа6 _ ^ — к“оа1111, (О^Н а1) Р02, (О^Н а1) Р02mH^u02mH^u021(XW1(XW(«На1)р02 2(«На1)р02 2г (aH-«i)PoaА , /7ZpjAUQ2г (aH-«i)PoaА , /7ZpjAUQ2ПТу^^У-Ой* / , 2 &Uq2ПТу^^У-Ой* / , 2 &Uq21/21/2
6 _ ^ — к“оа
6 _ ^ — к“оа
1
1
1
1
, (О^Н а1) Р02
, (О^Н а1) Р02
mH^u02
mH^u02
1(XW
1(XW
(«На1)р02 2
(«На1)р02 2
г (aH-«i)Poa
А , /7ZpjAUQ2
г (aH-«i)Poa
А , /7ZpjAUQ2
ПТу^^У-Ой
* / , 2 &Uq2
ПТу^^У-Ой
* / , 2 &Uq2
1/2
1/2
В предельном случае Н7 = 0 легко видеть, что неустойчивыми будут возмущения, длина волны которых удовлетворяет нера
венствувенствуЛ/72нМ02/ X—1(ан—«1)Рог\ XЛ/72нМ02/ X—1(ан—«1)Рог\ X(43.9)(43.9)
венству
венству
Л/72нМ02/ X—1
(ан—«1)Рог\ X
Л/72нМ02/ X—1
(ан—«1)Рог\ X
(43.9)
(43.9)
Так как обычно Х^>1 (см., например, результаты расчетов распределения плотности на поздней стадии расширения зоны НИ, когда /-фронт становится слабым фронтом D-типа, на рис. 52), то при р0>//Пн= Ю см"3, ан—ах=2- 10-13 см3сек-1, и02 = 10е см!сек величина 2л/&^ 0,5 ле.
Если же W#=0 и X—>оо, то б—>(Wk)1/2.
Такой инкремент нарастания соответствует, естественно, обычной неустойчивости Рэлея—Тейлора [39].
В общем случае наличие ускорения дестабилизирует фронт и увеличивает критическую длину волны.
Аналогично тому, как это сделано выше, исследуется устойчивость и других типов фронтов, При этом оказывается [35], что сильные фронты D-типа устойчивы, а слабые фронты R-типа неустойчивы. В [35] было также показано, что время нарастания возмущений слабого /-фронта /?-типа сравнимо со временем существования фронта данного типа при эволюции зоны НИ. Таким
образом, неустойчивость, видимо, не сильно влияет на распространение ионизационного фронта в начальный период.
Относительно слабых ионизационных фронтов D-типа, рассмотренных выше, высказывалось предположение [32, 33], что их неустойчивость может способствовать фрагментации (обособлению) облаков нейтрального газа. Действительно, если в результате неустойчивости возникают нерегулярности плотности достаточно большого масштаба, то становится возможным гравитационное сжатие газа. Но требуемый масштаб неоднородности (его легко оценить из условия, что сумма тепловой и гравитационной энергий должна быть отрицательной) оказывается больше определенной выше критической длины волны, т. е. гравитационное сжатие не наступает.
Тем не менее, как было указано в работе [34], нарастание коротковолновых возмущений ионизационного фронта может приводить к возникновению в области НИ турбулентных пульсаций. Кроме того, если ионизационному фронту предшествует ударная волна, то из-за неустойчивости структура слоя газа между ударным и ионизационным фронтами может быть крайне нерегулярной (качественно такая возможность обсуждалась в [40] в связи с эффективностью механизма кумуляции ударной волны). Следовательно, для расширяющихся областей НИ трудно ожидать существования правильных узких слоев сжатого газа. С этой точки зрения несоответствие между теоретическими результатами и наблюдениями, о которых говорилось в конце § 42, не является слишком неожиданным. Подчеркнем, однако, что количественное изучение вопроса сталкивается с серьезными трудностями. Одна из них обусловлена тем, что для исследования устойчивости коротковолновых (в смысле выполнения неравенства (43.9)) возмущений необходимо использовать уравнения движения газа с учетом радиационных процессов. Действительно, из (43.9) следует, что время, за которое элемент газа проходит расстояние 2л//г со скоростью w02, сопоставимо с характерным временем фоторекомбинации т7, введенным в§ 13. Поэтому можно ожидать, что радиационный нагрев и охлаждение будут оказывать заметное влияние на развитие возмущений.
Недавно устойчивость одномерных возмущений в системе ударная волна — ионизационный фронт рассматривалась в работе [41] на основе кинетического уравнения Больцмана. В результате проведенных расчетов обнаружилось, что могут развиваться сильные колебания, способствующие уширению сжатого ударной волной слоя газа.
Для случая, когда ионизационный фронт распространяется в. ускоренно движущейся среде, автором работы [38] был предложен интересный механизм фрагментации нейтрального газа, заключающийся в следующем. Если ускорение достаточно велико,
t=0 Нейтральный газt=0 Нейтральный газИонизобанный газИонизобанный газ
t=0 Нейтральный газ
t=0 Нейтральный газ
Ионизобанный газ
Ионизобанный газ
качественная картина развития неустойчивости сходна с имеющей место при неустойчивости Рэлея — Тейлора (на рис. 56 изо-
бражены возмущения поверхности фронта в последовательные моменты времени). Тогда следует ожидать отрыва капель плотного газа и их последующего погружения в более разреженную среду (в данном случае— в ионизованный водород). По мнению автора работы [38], именно таким образом можно объяснить наблюдаемые включения нейтрального газа в ряде областей НИ..Некоторые особенности ионизации таких
облаков мы рассмотрим в следующем параграфе. Здесь же отметим только, что наличие ускорения весьма существенно для процесса фрагментации, так как при 1^ = 0 учет нелинейных эффектов дает картину развития возмущений, отличающуюся от имеющей место в случае не
устойчивости Рэлея — Тейлора (см. работы [42, 43]).
§ 44, Ионизация плотных облаков нейтрального газа в областях НИ
Многочисленные наблюдения показывают (см., например, монографию [3] и обзор [44]), что на фоне ярких зон НИ часто заметны небольшие темные области, Эти области интерпретируются как облака холодного нейтрального водорода и носят названия глобул. Размеры глобул обычно порядка О 91 _q, 1 пс и их массы могут достигать массы Солнца.
Наиболее характерные особенности процесса ионизации сферически симметричных глобул впервые были изучены в работах [45—47]. Однако предположение о сферической симметрии глобул справедливо только, если падающий на глобулу поток излучения не зависит от полярного и азимутального углов (в сферической системе координат с началом в центре глобулы). Но, например, вблизи звезды интенсивность излучения больше в направлении на звезду, чем в противоположном направлении. Поэтому глобулы, вообще говоря, не являются сферически симметричными и представляет интерес, в частности, рассмотрение осесимметричного случая [48]. Для простоты мы, однако, ограничимся изучением ионизации сферически симметричных глобул.
Пусть сферически симметричное облако нейтрального водорода, находящееся в гравитационном равновесии при^постоянной тем* пературе То, помещено в поле ионизирующей радиации. Примем, что сечение поглощения водорода не зависит от частоты и на бесконечности излучение изотропно, т. е. величина
vH
не зависит от направления.
Вследствие ионизации масса глобулы Mg и ее радиус rg будут уменьшаться. Предположим, однако, что процесс квазистационар- ный, т. е. в уравнениях, описывающих движение газа, можно пренебречь частной производной по времени. Кроме того, будем считать, что отток ионизованного газа не нарушает гравитационного равновесия (это так, если ионизационный фронт распространяется внутрь глобулы с небольшой скоростью и вызванные им возмущения давления малы по сравнению с силой тяжести). Тогда в нейтральном водороде
dp__ dU_ dr Р dr *dp__ dU_ dr Р dr *kT0kT0■^('■’^—4я0р <44|>■^('■’^—4я0р <44|>
dp__ dU_ dr Р dr *
dp__ dU_ dr Р dr *
kT0
kT0
■^('■’^—4я0р <44|>
■^('■’^—4я0р <44|>
(здесь U — гравитационный потенциал, G — гравитационная постоянная).
Теория строения изотермических гравитирующих сфер хорошо известна. Поэтому определяемое уравнениями (44.1) распределение давления р(г) внутри глобулы, которое нам понадобится ниже, мы будем считать известным, не приводя его, однако, в явном виде.
В газе за /-фронтом в предположении изотермичности течения имеем (аналогично уравнению (21.15))
(44.2)(44.2)а 1\ du "2“В21и-а^т)Ч7 = ачЪ-
(44.2)
(44.2)
В уравнении (44.2)^пренебрегается силой тяжести. Это возможно по следующей причине. Пусть характерный размер изменения гидродинамических параметров есть L. Тогда отношение силы, обусловленной давлением, к силе гравитации приближенно равно
(44.3)(44.3)кТ
(44.3)
(44.3)
«н£24лСр
Согласно первому уравнению (44.1) это отношение "внутри глобулы порядка единицы. Но плотность ионизованного газа много меньше, а его температура много больше, чем в нейтральном водороде у поверхности глобулы. Поэтому отношение (44.3) в плазме за фронтом ионизаций велико и в М4;2) можно пренебречь силой тяжести.
Поскольку глобула окружена достаточно разреженной средой, то, подобно случаю расширения солнечной короны (см. § 21), необходимо потребовать равенства нулю давления на бесконечности. Нетрудно видеть, что это возможно только, если отток газа от фронта происходит со сверхзвуковой скоростью ug) т. е. ug> атЕ- С учетом конкретных механизмов нагрева и охлаждения Каком [47] было найдено, что и^^атн*
Покажем, что приходящее из бесконечности излучение поглощается в достаточно тонком по сравнению с rg слое газа.
В самом деле, при
решением уравнения (44.2) будет
Так как из уравнения неразрывности следуетdp du 9 dr1 ри г *
до, воспользовавшись (44.4), получим
или
. r ~ rg ( , а ТЕ. r ~ rg ( , а ТЕПользуясь этим выражением, найдем число фоторекомбинаций на все уровни водорода, кроме основного, происходящих в единичном объеме в единицу времени:
. r ~ rg ( , а ТЕ
. r ~ rg ( , а ТЕ
(ан—«1)уу =(“н —aj^jexp
(44.5)
Видно, что если UgldTE — 4, то большая часть фоторекомби- наций происходит в слое, где
— г а з
Принимая во внимание (44.5), убеждаемся, что число фоторекомбинаций в единицу времени во всей области течения составляет
приблизительно
00
4л I (ан —а.) ( -£-) г2 dr «
J 1 к тн /
rg
ао
«4л(ан —a^/Y^yr® С ехр^^L—|_ 2)—L11 х к ^7 J LX ^-^те/ rg J
g
/т — г» \/ Р» \3и2 —
Ц^Н*-^ £ rVti^ (44-6)
Если предположить, что справедливо допущение о большой оптической толщине ионизованного газа (см. § 37), то (44.6) должно равняться числу ионизирующих квантов, поглощаемых в области течения.
Пусть внешнее излучение эффективно поглощается внутри сферы радиуса гр, причем
(напомним, что именно это предположение нам и предстоит проверить). Тогда
2л(ан-а1)(^-} г1^т^ = 4л2Ф,^.(44.7)
\'"Н/ ug*uTE
Величину гр можно оценить из условия, что оптическая толщина газа вдоль луча, проходящего на расстоянии гр от центра глобулы, равна единице. При ионизационном равновесии (см. формулу (37.16))
2ланПнФЛоо = (ан—«J f^-YfnH<^-^
\тн/\ тн/
(здесь при вычислении левой части (37.16) интегрирование велось по полусфере, так как со стороны глобулы приходит небольшой поток излучения).
. С учетом (44.5) коэффициент поглощения равен
* ан — “1СнПн = ^Г* ан — “1СнПн = ^ГаН — а1аН — а1а2 \ — 11«а 7а2 \ — 11«а 7(44.8)(44.8)
* ан — “1
СнПн = ^Г
* ан — “1
СнПн = ^Г
аН — а1
аН — а1
а2 \ — 11
«а 7
а2 \ — 11
«а 7
(44.8)
(44.8)
Так как измеряемое вдоль луча расстояние от точки гр есть (г2—Гр)1/2, то, пользуясь (44.8), найдем выражение для
оптической толщины^газа
$ OHnHd(r2—r^)i/2 =
= «Н-“1/ Р£\2 ( «| -^ТеУ'1(2л)1/2Фг„ 8 \mH) 2ug* r~Ts /1°гд V1V и» ) J -Подставляя в (44.9) выражение для [Фге из (44.7)приравнивая (44.9) единице, подучаем уравнение для определе-= «Н-“1/ Р£\2 ( «| -^ТеУ'1(2л)1/2Фг„ 8 \mH) 2ug* r~Ts /1°гд V1V и» ) J -Подставляя в (44.9) выражение для [Фге из (44.7)приравнивая (44.9) единице, подучаем уравнение для определе-х ехрх ехр(44.9)(44.9)и затеми затемНИЯ Г, (я_у<2 \ 2 7НИЯ Г, (я_у<2 \ 2 7“е^-^теУ11 MIV“е^-^теУ11 MIV88— 2— 2TP^Tg Ug + аГЕГ8 “й-^ТЕTP^Tg Ug + аГЕГ8 “й-^ТЕ
= «Н-“1/ Р£\2 ( «| -^ТеУ'1
(2л)1/2Фг„ 8 \mH) 2ug
* r~Ts /1°гд V1V и» ) J -
Подставляя в (44.9) выражение для [Фге из (44.7)
приравнивая (44.9) единице, подучаем уравнение для определе-
= «Н-“1/ Р£\2 ( «| -^ТеУ'1
(2л)1/2Фг„ 8 \mH) 2ug
* r~Ts /1°гд V1V и» ) J -
Подставляя в (44.9) выражение для [Фге из (44.7)
приравнивая (44.9) единице, подучаем уравнение для определе-
х ехр
х ехр
(44.9)
(44.9)
и затем
и затем
НИЯ Г, (я_у<2 \ 2 7
НИЯ Г, (я_у<2 \ 2 7
“е^-^теУ11 MIV
“е^-^теУ11 MIV
8
8
— 2
— 2
TP^Tg Ug + аГЕ
Г8 “й-^ТЕ
TP^Tg Ug + аГЕ
Г8 “й-^ТЕ
Отсюда (гр—r^ltgW 0,18 при u^/o.te = 4. Следовательно, ионизирующее излучение действительно поглощается в относительно тонком слое у поверхности глобулы.
Далее, учитывая соотношение (44.7), имеем
«-«ОЛиан-^г,^) -^рП.(44.10)
поскольку внутри глобулы р(г) считается известным, то][из- вестно и распределение давления р(г). Но по предположению ионизационный фронт распространяется внутрь глобулы с малой дозвуковой скоростью и из условия сохранения потока импульса при переходе через /-фронт, давление в нейтральном газе приближенно должно быть равно рг(и| + й^£). Таким образом, pg может быть выражено через р (г) (или р (г)) в нейтральном газе на поверхности глобулы. Подставляя р(г) в (44.10) и учитывая, что значению плотности при r = rg соответствует согласно решению системы (44.1) вполне определенное значение массы глобулы, (44.10) можно рассматривать как соотношение между Mg и rg. При этом оказывается [47], что Mg(fg) имеет максимум.
Для То=1О2°К, найдено [47], что максимально возможное значение массы глобулы Mk<.9Mq и ее радиуса r^^5,15-1016 см. Эти значения слабо зависят от Т Е, Фге, (ан—а,), но М8асТуз иг8ссТуз.
Скорость потери массы глобулой определяется уравнением
<1МК
= ^nrgiPgug»
и время, за которое нейтральный водород будет полностью ионизирован, порядка 1013шс (~3-105 лет).
Случай, когда поток внешнего излучения мало отличается от сферически симметричного и осесимметричен, проанализирован в работе [48]. Автору удалось найти форму глобулы и показать, что в направлении максимума интенсивности поля радиации кривизна поверхности глобулы меньше, а плотность больше, чем в направлении минимума (как следует из наблюдений [49], глобулы действительно могут иметь каплеобразную форму).
Ситуацию, когда глобула не находится в гравитационном равновесии, а сжимается давлением окружающего ее ионизованного газа, исследовали В. А. Дибай и С. А. Каплан [50]. Применение метода автомодельных решений позволило изучить динамику распространения сходящейся к центру глобулы ударной волны и показало, что может происходить увеличение первоначальной плотности глобулы в 105 раз.
Подчеркнем, что постановка задач об ионизации глобул и о формировании зон НИ достаточно общая. В силу этого получаемые выводы широко используются при изучении многих явлений. К последним, в частности, относятся и привлекающие особое внимание процессы в газовых оболочках, окружающих рождающиеся звезды [51, 52].
§ 45. Лабораторное моделирование ионизационных фронтов
Характерной особенностью фронтов ионизации, рассматривавшихся в предыдущих параграфах, являлось сильное уменьшение коэффициента поглощения газа под действием высокоэнергичных квантов. Очевидно, аналогичные фронты могут возникать и в результате любой фотохимической реакции (например, фотодиссоциации), если продуктом реакции является вещество, прозрачное для внешнего излучения. Фронты такого вида носят название радиационных, и некоторые из них удается исследовать в лабораторных условиях [53].
-^Принципиальная схема использовавшейся экспериментальной установки для моделирования радиационных фронтов в газах О2 и 12 изображена на рис. 57. Поток квантов с частотой, превышающей частоту фотодиссоциации, создавался импульсным источником. Продолжительность импульса была около 10 микросекунд (1 микросекунда = 10"6 секунд). Молекулы Оа или 12 находились в стеклянном цилиндре радиуса 3,5 см и длиной 10 см.
Начальная фаза распространения радиационного фронта, не сопровождавшаяся появлением ударной волны, исследовалась в'экспериментах с молекулами 12, концентрация которых составляла 1017 см-й. При этом длины волн, соответствующие фотодиссоциации, заключены в интервале 4500—5000 А с максимумом сечения поглощения 2,4-10~18 см121 при 5000 А.
Случай, когда движение радиационного фронта генерирует ударную волну, экспериментально наблюдался в молекулярном кислороде (максимальное сечение поглощения при этом равняется 15-10"18 сл13 на длине волны 1420 А). Оказалось, что в достаточно широком диапазоне изменения давления скорость распространения ударной волны не зависит от величины давления и составляет 364 ± 8 м/сек.
Результаты экспериментов были сопоставлены с величинами,, предсказываемыми теоретически (мы не останавливаемся на этом
Рис. 57.
подробно, так как уравнения, описывающие течение газа, в силу достаточно высокой плотности частиц, существенно иные, чем использовавшиеся выше). В целом имеется удовлетворительное согласие между теорией и экспериментом, хотя есть некоторые количественные расхождения. В частности, предсказываемая скорость волны давления оказывается примерно на 25% выше измеренной.
В заключение подчеркнем, что хотя эксперимент относится к фронтам диссоциации, а не ионизации, различия между ними с точки зрения общей теории газодинамических разрывов нет (§§ 17, 18). Действительно, скорость распространения тех и других при заданных параметрах невозмущенной среды определяется только потоком внешней радиации, уменьшающей оптическую толщину газа. Состояние газа за фронтом, конечно, зависит от конкретных радиационных процессов. Однако последние могут быть формально учтены заданием температуры за фронтом.
Таким образом, естественно ожидать, что по меньшей мере качественные особенности распространения как фронтов диссоциации, так и фронтов ионизации, не должны сильно отличаться. То обстоятельство, что в лабораторных условиях величина потока излучения, его спектральное распределение, а также химический состав газа могут варьироваться в широких пределах,, делает лабораторное моделирование распространения радиацион? ных фронтов важным средством изучения различных особенностей последних, хотя число исследований в этом направлении, как мы видели, пока невелико.
§ 46. Особенности физических процессов в зонах HI
Для нейтрального водорода в зонах HI, так же как и для околозвездного газа, чрезвычайно важны процессы взаимодействия с неравновесным излучением.
Имеется, однако, существенное различие между спектральным составом радиации в областях HI и НИ. Оно заключается в следующем. Вблизи горячих звезд основной элемент межзвездной среды — водород—нагрет и ионизован высокоэнергичными квантами с частотой, превышающей частоту ионизации vH (соответствующая vH длина волны равна 912 А). Но ионизирующая водород радиация, как мы видели в § 37, полностью поглощается в зонах Стрёмгрена. Поэтому вдали от горячих звезд газ будет поглощать лишь излучение с длинами волн, большими 912 А. Таким образом, в ионизованном состоянии могут находиться преимущественно атомы, потенциал ионизации которых меньше потенциала ионизации водорода, К ним относятся, в частности, углерод, натрий, кальций.
Если предположить, что состояние ионизации некоторого элемента (пусть, например, углерода, как наиболее распространенного из атомов с низким потенциалом ионизации) определяется фотопроцессами, то в стационарных условиях число ионизаций под действием излучения должно равняться числу фоторекомбинаций, т. е.
оо
ПсПсuCv -^dv dto = пеп.с+ ас^туuCv -^dv dto = пеп.с+ ас^ту(46.1)(46.1)
Пс
Пс
uCv -^dv dto = пеп.с+ ас^ту
uCv -^dv dto = пеп.с+ ас^ту
(46.1)
(46.1)
vc
Здесь tic, Пс+, пе—соответственно концентрации атомов углерода, ионов углерода и электронов, Ocv—сечение фотоионизации, ас(Т)— коэффициент фоторекомбинации на все уровни.
Уравнение (46.1), естественно, аналогично выписанным ранее (см. § 37) уравнениям ионизационного баланса для областей HII.
Входящий в левую часть (46.1) интеграл зависит от спектральных и угловых характеристик поля радиации. Задаваясь пространственным распределением звезд различных спектральных типов, удается оценить среднюю по частотам интенсивность излучения в межзвездном пространстве. В диапазоне длин волн 912 А—2000 А она оказывается порядка 1,5-10~4 эрг-см~2х хсек*г-стерад""х [3]. Воспользовавшись этим, при заданном сечении фотоионизации (oCv^ 1,05-10~17 сл<2) легко получить и значение интеграла в (46.1).
Кроме того, если известно распределение энергии в спектре излучения, можно также вычислить среднюю энергию, подводимую к газу при каждом акте ионизации углерода. Согласно [3], эта величина равна примерно 1,6-10“12 эрг.
Следовательно, количество энергии, поглощаемой межзвездным газом в 1 см? в 1 сек. за счет фотоионизации углерода, приближенно равно
1,6.10-»ас(Т)^пс+. (46.2)
Отток энергии в областях HI, как и в областях НИ, может осуществляться путем возбуждения и последующего высвечивания метастабильных уровней ионов. Но, как показывают наблюдения, температура в HI порядка 102°К. Значит, возбуждаться электронным ударом должны только низкие уровни. Наиболее важными из них являются компоненты тонкой структуры ионизованного углерода с разностью энергий 8-10~3эв [3]. Соответствующие данному переходу потери энергии на высвечивание, подобно тому, как это сделано в § 37 для зон НН, могут быть представлены в форме [3]
Тпепс. (46.3)
Взяв приближенно ас(Т) = 1,26-10“10 Т~1/а и приравнивая (46.2) и (46.3), найдем, что температура газа в областях HI должна быть порядка 15°К.
Так как это значение заметно меньше наблюдаемого, то рассматривались и другие источники нагрева и охлаждения межзвездного газа (например, нагрев космическими и рентгеновскими лучами, охлаждение за счет столкновений атомов водорода с пылинками и молекулами Н2 и т. д.). К настоящему времени выполнен целый ряд расчетов эффективности конкретных механизмов нагрева при различных плотностях и химическом составе межзвездной среды (см. детальный обзор [54]). Расчеты выявили важное свойство межзвездного газа: возможность находиться в двухфазном состоянии—в форме горячей разреженной материи и в форме холодных плотных облаков. Это свойство является следствием так называемой тепловой неустойчивости, к рассмотрению которой мы переходим.
§ 47. Тепловая неустойчивость межзвездного газа
Понятие тепловой неустойчивости среды, не находящейся в термодинамическом равновесии, тесно связано с формой зависимости p^Y Если р^ не является монотонной функцией и в некотором интервале dp/dp < 0, то сжатие газа будет приводить к уменьшению давления и, следовательно, к дальнейшему возрастанию плотности. Строгое обоснование этого эффекта в применении к астрофизическим условиям впервые дано Дж, Филдом [55].
Пусть стационарное состояние газа характеризуется, плотностью р0 и температурой То. Предположим, что гидродинамиче-
ское движение отсутствует, а функция Q--^—$)/р (см. уравнение (38.3)) зависит только от р и 7\ причем в силу стационарности Q (р0, То) = 0.
Движение газа будем, как и выше, описывать уравнениями вйда (38.1)—(38.3), только учтем перенос энергии за счет теплопроводности. Связь между давлением, плотностью и температурой дается уравнением состояния
где р— молекулярный вес (для нейтрального водорода р равно единице, для полностью ионизованного—1/2).
Рассмотрим малые отклонения состояния газа от стационарного. Тогда, ограничиваясь случаем одномерного движения, для возмущений р', и', Tf получим следующую систему уравнений: др* . du’ А dt ' ™ dx ’ 1 /RoTodp' pqRq дГ\ dt р0 \ р dx р дх ) *
3 Ro dT’ R070 du' _п , п Т' х % д2Т"
р dt + р dx+ р0 dx^
Здесь х —коэффициент теплопроводности,
\др Ур=р0, т=тй ’ \dTjp=Po, т=т0*
Считая р', и’, Т' пропорциональными exp [i (со/ + £х)], из условия обращения в нуль детерминанта линейной системы уравнений, которым удовлетворяют коэффициенты пропорциональности, находим
(/со)3 + (/со)2 а0 (кт ++ ш?^ + v^q^3 (кт—кр + 4—= 0.
\/
(47.1)
В уравнении (47.1) использованы такие обозначения:
^2 Ро д 2 ppg 2 р.3 Rq^oPo
Ro«0To^p’ ^^"SRo^^^рх *
Удобно преобразовать уравнение (47.1), введя безразмерные величины ito^пкт п।
Тогда вместо (47.1) будем иметь
(in)3 + (in)2 От + in +4(°7—оР) = 0.(47.2)
Тепловой неустойчивости соответствуют те корни уравнения (47.2), для которых Re(/i])>0.
10 в. Б. Баранов, К. В. Краснобаев
Предположим для простоты, что х = 0 и кр^к, кт<^к. В таком случае действительный корень (47.2) равен приближенно (3/5) (Ор — nV). Следовательно, возмущения будут неустойчивыми, если
Замечая, что выражение в скобках равно с обратным знаком производной dQ/dT при постоянном давлении, получаем критерий неустойчивости в форме
(У) =Qt—^Qp<0-(47.3)
Действительная часть двух других комплексно-сопряженных корней (47.2) положительна при выполнении неравенства
^обт + у PoQp < 0.
Легко убедиться, что левая часть этого неравенства пропорциональна производной dQ/dT при постоянной энтропии.
Физический смысл соотношения (47.3) особенно ясен, когда QT> 0, т. е. потери энергии растут с увеличением температуры. В таком случае при неустойчивости
1— ^"^-<0-(47.4)
1 О ЧТ
С другой стороны, если среда проходит последовательность стационарных состояний с различной плотностью, то справедливо равенство
dQ-QTdT + Qpdp^O.
Отсюда
dp RoT । pRo dT R0T / . p Qp \
dp p * p dp p \T QT )
и при выполнении (47.4) dp/dp < 0.
Следовательно, согласно приведенным в начале параграфа качественным соображениям, тепловая неустойчивость действительно может развиваться при dp/dp < 0.
Конкретная зависимость р (р) в межзвездной среде вычислялась многими авторами (см. обзор [54]). При этом учитывались ионизация и нагрев газа не только радиацией с длинами волн, большими 912 А, но и космическими и рентгеновскими лучами (впервые влияние космических лучей с энергией порядка 25 Мэв на параметры межзвездной среды проанализировал С. Б. Пикельнер [56]).
Техника расчетов включает решение системы уравнений ионизационного и теплового баланса, аналогичных уравнениям (37.3)
балансабалансаудаетсяудается
баланса
баланса
удается
удается
и (37.4). Типичная кривая р^р^ для случая нагрева космическими лучами, соответствующая расчетам С. Б. Пикельнера,, представлена на рис. 58.
Видно, что на участке BFC dp/dp < 0 и здесь должна проявляться тепловая неустойчивость. Участки 'ДВ и CD соответствуют устойчивым стационарным состояниям. При этом одновременно могут существовать плотные холодные облака и горячий разреженный газ, так как для каждого значения давления на участке АВ легко найти равное ему давление на участке CD.
Истинное стационарное состояние достигается, однако, не при любом давлении. Причина этого заключается в следующем. В переходном слое между холодным и горячим газом давление должно быть постоянным, в то время как плотность и температура меняются. Следовательно, условию те
удовлетворить, лишь приняв во внимание процессы переноса тепла. Такая задача рассматривалась Я. Б. Зельдовичем и С. Б. Пикельнером, которые ограничились только учетом теплопроводности [57].
Из условия равенства притока и оттока энергии к единице объема газа в переходной области для температуры Т имеем уравнение
~Тх^^=~9(Ж П^ф(Р. TY (47.5)
В (47.5) плотность р выражена через постоянное давление р и температуру Т, х—пространственная координата, отсчитываемая по нормали к слою.
Необходимо найти решение уравнения (47.5), удовлетворяющее краевым условиям
Т = х — — оо, Т ^T{Gb х — + оо, где Т^ и ТШ)— значения температуры при давлении р (см. рис. 58).
Так как при х = ±оо температура постоянна, то Ф(р, Т(± оо)) = 0.
Уравнение (47.5) легко преобразовать к виду
1 d
2х йТ
Интегрируя это уравнение по Г и учитывая постоянство температуры на бесконечности, имеем
г(б)
(
НТ \ 2/\ 2
х-£-)— к*^= 0 = — 2хФ (р, T)dT. (47.6)
Дх)т=т№ \ dxJT=T(E)J vp’ ’v '
1
Равенство (47.6) при заданных x и Ф позволяет найти то значение давления, которое обеспечивает тепловой баланс в переходном слое.
РЕсли же р таково, что (47.6) не выполняется, то возникнет гидродинамическое движение и одна фаза будет превращаться В другую.
Таким образом, теория предсказывает вполне определенные значения плотности и температуры межзвездного газа, который может находиться в двухфазном состоянии. Эти значения, конечно, зависят от источников нагрева и механизмов охлаждения среды, и их уточнению посвящено большое количество исследований (см. обзоры [54, 58]).
В частности, согласно недавним расчетам [54], концентрации нейтральных частиц и электронов в разреженном газе составляют 0,17—0,53 см-3 и 0,03—0,05 см-3, в плотных облаках — соответственно 20—95 см-3 и 0,06—0,19 см”3. Температура горячего газа 8000 °К, холодного — 24—70 °К.
Естественно, возникает вопрос и о сопоставлении теоретических расчетов с наблюдательными данными. Несмотря на трудности в интерпретации наблюдений, такому сопоставлению в последнее время уделяется значительное внимание и получены интересные результаты, к рассмотрению которых мы переходим.
§ 48. Некоторые результаты наблюдений структуры межзвездного газа
Достаточно подробные сведения о параметрах плотных облаков межзвездного газа можно получить, если предположить стационарность процесса ионизации. Тогда из условия ионизационного баланса для некоторого элемента X следует
СП
(48.1)(48.1)л \ с у Ом i— ^^J А * hv
(48.1)
(48.1)
n(X+) vU»)
п (Xof : " а (Х°) пе
где п(Х+^— концентрация ионов Х+, м (Х°)— концентрация нейтральных атомов (ясно, что подобные соотношения имеют место и для концентраций данного элемента в любой стадии ионизации). Коэффициент рекомбинации а (Х°)зависит от температуры электронов Те.
Хотя уравнение (48.1) учитывает лишь ионизацию излучением звезд, оно, очевидно, легко обобщается и на случай ионизации электронами, космическими или рентгеновскими лучами. При известных
00
п(Х+), 4л f <Jx»v^dv
v (X®)
из (48.1) можно определить пДТеУ Если же имеются данные о концентрациях и характеристиках радиационного поля для какого-нибудь другого элемента, кроме элемента X, то тем самым станут известны порознь пе и Тр.
Наблюдения линий поглощения Са°, Са+ и Na° позволяют найти полное количество атомов на луче зрения в столбе поперечного сечения 1 смЧ В предположении, что область, в которой формируются линии поглощения, достаточно однородна и ее протяженность равна L, для числа атомов на луче зрения получаем
N (Са°) - п (Са<>) L, N (Са+) - п (Са+) L, N (Na°) - п (Na°) L.
Ионизованный натрий непосредственно не наблюдается. Но принимая, согласно [59], величину
4 л f cNaov-^-dv
v(Na’)
равной 1,24-Ю"11 сек-1, из (48.1) можно видеть, что в широком диапазоне изменения электронных концентраций и температур степень ионизации натрия должна быть порядка единицы.
Зададим теперь относительное содержание натрия в межзвездной среде, положив, например, п (Na)/nH = Ю"6, как это имеет место в солнечной фотосфере. Тогда
N (Na) ^ п (Na+) L. п (Na+) ^ 10"6 ин.
Концентрация пн находится по наблюдениям эмиссии нейтрального водорода в радиолинии 21 см (напомним, что здесь также считается N (Н) = пнЦ, и, следовательно, в уравнении ионизационного баланса для натрия неизвестными будут только пе и Те.
Комбинируя далее данные по кальцию и натрию, удается определить пе и Те. Такая методика применялась Потташем [59], который анализировал линии поглощения в спектрах шести звезд: 36371 фАиг; 41117ф20п, 190066, 190603, 191877, 198478 55Cyg.
При размере поглощающей области порядка 300 пс (такой размер соответствует масштабу изменения интенсивности эмиссионной линии 21 см^ найдено, что 7\~100—400 °К- Средние
значения <nR> и <пе> в направлении пяти из упоминавшихся звезд представлены в табл. 6.
ТАБЛИЦА 6
<«н>
1
<»н>
<”e>
36371 ip Aur
41117 ib2 Ori
190066
2,0 см-3
2,5
1,4
8- 10-2 сл-з
7-10-2
4.10-2
191877
198478 55 Cyg
1,0
1 >9
5.10-2 ю-1
Видно, что степень ионизации водорода близка к 0,05. Это примерно вдвое меньше получаемого на основе наблюдений радиоизлучения пульсаров. Такое несоответствие может указывать на неучтенные в (48.1) источники ионизации межзвездного газа.
В работе [60] Потташ проанализировал также пе, ин, Тё для облаков меньших размеров. В качестве характерных масштабов брались 15 пс и 50 пс. Выбор этих значений оправдывается тем, что в спектрах поглощения звезд, находящихся на расстояниях, меньших 200 пс, часто наблюдаются две или три компоненты.
В результате были выделены четыре группы облаков.
Облака с низкой плотностью электронов ле~10’2 см”3, температурой Т~102°К и пе/пн ~ 3-10'3.
Частично ионизованные облака (степень ионизации порядка 10—50%) с высокой температурой Т — 8000°К, пе ~ 10"1—1 см-3.
Полностью ионизованные облака (пе/пн~ 10—30 или больше) с высокой температурой Т ~ 12 000°К, пе~ 1 —10 см”3.
Частично ионизованные (степень ионизации около 5%) холодные облака (71 ~ 102°К) с пе ~ 10"1 см”3.
Для всех облаков значение (^е + пн) не слишком сильно отличается от среднего, равного примерно 6 см-3.
Заметим, что существование группы 2 ставится Потташем под вопрос, поскольку увеличение относительного содержания кальция всего в 2 раза сильно изменяет параметры облаков этой группы и около половины из них переходят в группу 1.
Но даже если группу 2 исключить из рассмотрения, видно, что свойства облаков межзвездной среды гораздо более разнообразны, чем это следует из теории тепловой неустойчивости с постоянным источником подвода энергии к газу.
Сведения, указывающие на возможность существования горячей межоблаковой материи, были получены при изучении профилей линии 21 см в эмиссии и поглощении.
Так, авторы работы [61] провели анализ спектров в направлении 35 внегалактических источников радиоизлучения. Более
узким оказывается спектр поглощения. Этот факт можно объяснить, предположив, что не весь водород, видимый в эмиссии, участвует в поглощении. Такая ситуация возникает, например, если часть атомов водорода имеет более высокую температуру.
Наблюдения показали сильные вариации числа атомов горячего водорода в столбе единичного сечения в зависимости от направления на источник. По оценкам, основанным на интерпретации наблюдательных данных, температура в межоблаковой среде около 8000 ° К [58].
Большой объем информации о параметрах межзвездной среды был получен в ходе выполнения научной программы орбитальной астрономической обсерватории (ОАО) «Коперник». Этому способствовало то обстоятельство, что внеатмосферные наблюдения дают возможность изучать линии поглощения в ультрафиолетовой области спектра, недоступной для наземных приборов. Но именно в эту область для большинства химических элементов попадают линии, связанные с переходом из основного состояния.
Уже предварительный обзор результатов [62] показывает, что, по-видимому, модель двухфазной межзвездной среды является слишком упрощенной. В частности, из наблюдений следует непрерывный переход плотности газа от 0,03 см-3 до 50 сж-3, в то время как теория предсказывает дискретные значения.
Кроме того, наблюдавшиеся отношения концентраций некоторых элементов в различных стадиях ионизации оказались сильно отличающимися от того, которое получается из решения уравнений ионизационного баланса в предположении, что ионизация вызывается низкоэнергичными космическими или рентгеновскими лучами.
В настоящее время эти результаты уточняются и дополняются (например, в работе [63] показано, что на интерпретацию данных ОАО может влиять околозвездный газ).
Все же на основании имеющегося наблюдательного материала необходимо отметить, что модель двухфазной межзвездной среды нуждается в дополнениях.
О нестационарном процессе ионизации межзвездной среды
Как мы видели, состояние межзвездной среды часто хорошо описывается уравнениями стационарности для процессов ионизации и нагрева (конечно, за исключением областей резкого изменения параметров — /-фронтов, ударных волн). Вместе с тем существуют явления, отличительная черта которых — сильная зависимость физических условий от времени. Это в первую очередь вспышки сверхновых звезд.
Причиной вспышек сверхновых, согласно современным представлениям, служит неустойчивость эволюции звезды. В результате неустойчивости происходит коллапс центральной части звезды и последующее расширение ее внешней оболочки под действием ударной волны, распространяющейся наружу (см., например, монографию [64] и обзор [65]).
Расчеты прохождения ударной волны через оболочку весьма сложны. Их реализация позволяет оценить массу и скорость оболочки. Знания этих параметров достаточно, чтобы в первом приближении выявить главные закономерности взаимодействия движущейся оболочки сверхновой с межзвездной средой.
Действительно, пусть при вспышке сверхновой выделяется энергия £0 и передается оболочке массы Мо. Приобретя некоторую скорость Уо, оболочка начнет продвигаться в межзвездную среду, формируя ударный фронт.
До тех пор пока масса вовлеченного в движение межзвездного газа будет существенно меньше Мо, он не будет влиять на расширение оболочки. Однако с течением времени масса сжатого ударной волной газа увеличивается и может заметно превысить Мо. Следовательно, большая часть первоначальной энергии оболочки к этому времени заключена в межзвездном газе. Но тогда движение газа, как впервые отметил И. С. Шкловский [66], описывается автомодельным решением Л. И. Седова для задачи о сильном взрыве [16], поскольку более раннюю стадию вспышки можно рассматривать как кратковременный процесс подвода энергии к межзвездной среде.
Температура за фронтом сильной ударной волны, согласно автомодельному решению, для типичных значений £0 и параметров межзвездной среды обычно порядка 106°К. Поэтому газ интенсивно охлаждается за счет радиации и течение в конце концов перестает быть адиабатическим. Как и на ранней стадии вспышки, автомодельное решение оказывается несправедливым.
Рассмотрению случаев, когда автомодельное решение неприменимо, в последнее время уделяется большое внимание (см. работы [67—70]).
Не имея возможности подробно останавливаться на этом вопросе, отметим лишь следующее.
Изучение переходных режимов связано с учетом многочисленных неупругих процессов (в том числе, конечно, и радиационных) в газе сложного химического состава при очень высоких температурах. В связи с этим к гидродинамическим уравнениям необходимо добавить уравнение переноса радиации и уравнения кинетики, определяющие концентрации частиц в различных кван- новых состояниях. Получающаяся система уравнений сложна, и В настоящее время имеются решения только одномерных нестационарных задач.
Вместе с тем представляет интерес, например, изучение взаимодействия ударной волны, распространяющейся по межзвездному газу, с неоднородностями среды. Возникает целый класс задач, связанных с движением деформируемого газового облака. Такого рода задачи во многом сходны с рассматривавшимися Г. И. Петровым и В. П. Стуловым [71] при анализе обтекания больших тел в атмосферах планет.
С точки зрения влияния вспышек сверхновых на межзвездную среду важным является также следующее обстоятельство. Нагретый ударной волной газ является мощным источником ионизирующей радиации. Согласно моделям (см., например, [72]), время, в течение которого излучаются фотоны высоких энергий, меньше или порядка 104 лет. Легко видеть, что это меньше характерного времени рекомбинаций в межзвездном газе. Размер области ионизации, как будет показано ниже, порядка 50 пс. Следовательно, гидродинамические эффекты за столь короткое время тоже не могут проявиться на масштабах в десятки парсек.
Таким образом, возникает задача расчета области ионизации в покоящемся газе при отсутствии рекомбинаций.
Интересной особенностью такой задачи является необходимость решения нестационарного уравнения переноса излучения.
Действительно, из приведенных оценок следует, что характерное время пролета квантом области ионизации порядка 50 пс/с и сопоставимо со временем изменения интенсивности радиации.
В достаточно полной и строгой постановке задача об ионизации межзвездного газа радиацией сверхновой решалась в работе [73].
Предположим, следуя [73], что первоначально концентрация нейтрального водорода была постоянна и равна ино, а концентрация гелия ггнео (ионизация гелия оказывается существенной из-за высокой энергии фотонов).
Под действием ионизирующего излучения ин, ^не, Пне+ будут меняться согласно уравнениям
иПнР^НеС
^ —^Н J ^Hv^rv ^¥, - ^ —Пне J ^Hev^rv ^V,
VHVHe
CDOn
' ^ - = — ЯНе +J ^He + v^rv ^v + ^He J ^Hevtl^v^- (49.1)
He +He
Для того чтобы сделать эту систему замкнутой, нужно ее дополнить уравнением переноса радиации
1 а(4лг2Фгг,(^ 0) д(4лг2ФГ¥ (г, 0) = с dt'дг
= —(nHOHv + »HeOHev + «He+OHe+v)-4nr2Orv (г, О- (49.2)
Граничными условиями для Ф^(г, i') служат
4лг2ФГу(г, 0 = 0, 4лг2Ф^(г, /) = FV, 4лгаФ^(г, 0 = 0,4лг2ФГу(г, 0 = 0, 4лг2Ф^(г, /) = FV, 4лгаФ^(г, 0 = 0,0</<0</<всп»всп»всп»всп»г-^0.г-^0.
4лг2ФГу(г, 0 = 0, 4лг2Ф^(г, /) = FV, 4лгаФ^(г, 0 = 0,
4лг2ФГу(г, 0 = 0, 4лг2Ф^(г, /) = FV, 4лгаФ^(г, 0 = 0,
0</<
0</<
всп»
всп»
всп»
всп»
г-^0.
г-^0.
Введем безразмерные величины t, г, Пн, пне» ^не+, F по формулам
f w г/С- г
*В€П^ВСП
- ЯН лн = --—лН0пн^ =, FлНе.О- ЯН лн = --—лН0пн^ =, FлНе.ОПНс МНе =- ,лНеО4лг5Фгх, (/ -ПНс МНе =- ,лНеО4лг5Фгх, (/ -/ • 4/з л7?|Сп (Яно+^НеО )/ • 4/з л7?|Сп (Яно+^НеО )
- ЯН лн = --—
лН0
пн^ =, F
лНе.О
- ЯН лн = --—
лН0
пн^ =, F
лНе.О
ПНс МНе =- ,
лНеО
4лг5Фгх, (/ -
ПНс МНе =- ,
лНеО
4лг5Фгх, (/ -
/ • 4/з л7?|Сп (Яно+^НеО )
/ • 4/з л7?|Сп (Яно+^НеО )
Здесь /?всп— характерный размер зоны ионизации, зависящий от числа эмитируемых при вспышке фотонов. Заметим, что значению / = 1 соответствует окончание процесса ионизации в точке г»
После приведения к безразмерному виду система уравнений (49.1), (49.2) может быть решена численно, если предположить, что радиация монохроматическая, т. е.
F = F06(v-v0).
При этом процедура выводя уравнений для пн, Инс, Инс+ может быть применена и к нахождению концентрации других атомов (например, Не++).
Результаты расчетов ионизационной структуры газа вблизи сверхновой показаны на рис. 59, 60 и соответствуют данным работы [73]. При этом пн^г, 0) = 0,3 см-3, а энергии квантов равны 40 эв (рис. 59) и 100 эв (рис. 60). По оси ординат отложены величины Пн + /Пн (г, 0) И Пне+ /П-Не^ 0), по оси абсцисс — r/RBcni причем ^всп^88 пс, когда число возникающих при вспышке ионизирующих квантов равно З-Ю61, и /?всп = 41 по, когда это число равно 3-1060.
На рис. 60 приведено также распределение Пне+ + Мне(г, 0).
Из графиков видно, что распределение ионизованного водорода в окрестности сверхновой напоминает имеющееся в зонах Стрёмгрена. Физические же процессы, обусловливающие структуру области ионизации, в зонах Стрёмгрена и вблизи сверхновых, конечно, существенно различны.
При не слишком высоких энергиях фотонов граница между нейтральным и ионизованным газом достаточно резкая, с увеличением энергии фотонов толщина переходной области возрастает.
В заключение отметим, что расчеты теплового состояния газа вблизи сверхновой очень сложны из-за многочисленности элементарных процессов нагрева и охлаждения. Хотя в этом
направлении ведутся интенсивные исследования (см. недавние работы [73, 74]), детальное сопоставление теоретических вычислений с наблюдениями пока отсутствует.
Ударные волны в межзвездной среде
Как видно из рассмотренного в предыдущих параграфах, при движении межзвездного газа часто образуются ударные волны. Поэтому исследование распространения и структуры ударных волн в межзвездной среде (как в областях HI, так и в областях НИ) представляет большой интерес (см. монографии [3, 4, 17]).
В последнее время особое внимание уделяется расчету именно структуры ударных волн. Это обусловлено главным образом двумя обстоятельствами. Во-первых, протекающие в ^ударных волнах неравновесные процессы могут способствовать^возникно- вению наблюдаемого мазерного эффекта [75, 76]. Во-вторых, возросший уровень техники наблюдений (в частности, использование космических аппаратов) позволяет получать информацию об излучении ударных волн [77],
Достаточно общие свойства структуры ударных волн в межзвездной среде удается выяснить, предположив, что правые части уравнений энергии и изменения степени ионизации газа (см. уравнения (38.3) и (38.4)) являются известными функциями только р, Т и s. Мы видели ранее (см. § 38), что в целом ряде важных случаев уравнения (38.3) и (38.4) действительно могут быть приведены к такому виду.
Введенное ограничение на характер зависимости правых частей уравнений энергии и изменения степени ионизации тем не менее позволяет учитывать весьма разнообразные процессы. В частности, оказывается возможным исследование структуры ударных волн.
В §§ 17, 18, 20 мы видели, что движение газа может сопровождаться появлением сильных разрывов газодинамических параметров (плотности, температуры, степени ионизации и т. д.). Физически разрыв представляет собой достаточно тонкую по сравнению с характерным масштабом течения область, в которой резко изменяются параметры газа. Определение состояния газа внутри этой области и есть задача о структуре разрыва.
Поскольку расчеты структуры разрыва сильно зависят от конкретных процессов внутри него, мы ограничимся лишь качественным рассмотрением вопроса о структуре ударного фронта.
Пусть в газе, подвергающемся ударному сжатию, можно выделить два вида степеней свободы: те, которые возбуждаются быстро (например, степени свободы, связанные с поступательным движением частиц), и те, которые возбуждаются медленно (они могут быть связаны, в частности, с радиационными процессами).
Тогда энергия набегающего на разрыв газа в первую очередь будет превращаться в энергию поступательного движения частиц за счет вязкости и теплопроводности. Далее будет происходить медленная релаксация параметров газа к их стационарным зна-
чениям за фронтом волны. Следуя терминологии, принятой в газовой динамике, мы будем называть область быстрой релак-
сации скачком. В понятиесации скачком. В понятиеже фронта ударной волны будем
сации скачком. В понятие
сации скачком. В понятие
ре-ре-включать и зону медленной лаксации.
ре-
ре-
Структура вязкого скачка статочно подробно изучена Для расчета зоны медленной
до- [5]. ре-до- [5]. ре-лаксации должны быть приняты во внимание уравнения кинетики. При этом значения скорости, плотности и температуры нужно брать равными их значениям за вязким скачком.
до- [5]. ре-
до- [5]. ре-
В работе [78] исследовалась структура ударных волн в облаках
Рис. 62.Рис. 62.межзвездного газа и в межоблаковой среде. При этом принималось во внимание высвечивание газа, его нагрев и ионизация космическими лучами и энергичными электронами.
Рис. 62.
Рис. 62.
Результаты расчетов приведены на рис. 61, 62 (число Маха в набегающем потоке равно 3, вертикальной штриховой линией отмечено положение скачка).
рис. 61 условия перед фронтом ударной волны соответствуют межоблаковой среде (пн = 0,03^-3, Т = 8750 °К, s = 0,195,
р —4,32-10~14 диН'СМ~2), на рис. 62 — облакам холодного нейтрального водорода.
На рис. 61, 62 отчетливо проявляется скачок газодинамических параметров, соответствующий ударной волне без высвечивания. За этим скачком следует область релаксации, определяемая процессами радиационного охлаждения. Интересно, что температура газа далеко за фронтом волны ниже, чем перед ним. Это обусловлено возрастанием плотности при переходе через разрыв, в результате чего более эффективными становятся процессы охлаждения.
Расчеты структуры ударных волн позволяют также изучать процессы образования молекул в межзвездной среде. Методика вычислений здесь имеет ту особенность-, что приходится учитывать очень большое число (несколько десятков) химических реакций [79].
О влиянии магнитных полей на динамику межзвездного газа
До сих пор в этой главе не учитывалось влияние электромагнитных сил на движение межзвездного газа. Между тем из наблюдений известно [3, 4], что в межзвездном пространстве присутствуют магнитные поля величиной 10"5—10"6 гс. Сопоставим плотность энергии магнитного поля такой величины с плотностью кинетической энергии межзвездного газа.
Для газа в областях НН можно принять (см. §§ 37, 38) характерные значения концентрации частиц и их скорости равными соответственно 10 см-3 и 106 см/сек. Тогда для водорода
10-11 г-см-^сек-^. (51.1)
Аналогично при том же значении скорости и при концентрации водорода 1 см-3, типичных для областей HI (§ 48), имеем для плотности кинетической энергии величину, на порядок меньшую (51.1).
Плотность же энергии межзвездного магнитного поля равна
~ Ю"11 — 10-13 г-см-^сек-1. (51.2) 8л v /
Сравнивая (51.1) и (51.2), видим, что магнитные поля могут оказывать существенное влияние на движение межзвездного газа.
Здесь следует заметить, что, несмотря на то, что области HI имеют малую степень ионизации, их электропроводность о тем не менее достаточно высока, чтобы считать газ в этих областях хорошим проводником электричества (правда, электропроводность в слабоионизованном газе определяется не кулоновским рассея-
нием, а столкновениями электрон — атом). Магнитное число Рейнольдса Rm при этом может быть больше единицы, что указывает на возможность сильного взаимодействия газа и магнитных полей даже в зонах HI.
Кроме того, при достаточно малых магнитных полях, удовлетворяющих неравенству В2/(8л) <^ рУ2/2, когда магнитное поле не оказывает существенного влияния на движение газа, последний, вследствие Rm^>l, может существенно изменять распределение магнитного поля. В таких случаях по заданному распределению параметров межзвездного газа из уравнения индукции (§ И) можно рассчитать распределение межзвездного магнитного поля. Такого рода подход часто бывает интересным с точки зрения наблюдений и уже использовался в литературе при интерпретации, например, данных в солнечной атмосфере.
Следует также заметить, что при использовании приведенных выше значений концентрации и температуры частиц и магнитного поля можно показать, что в межзвездной среде параметр ^ата>1 как для электронов, так и для ионов. Как следует из результатов §§ 6, 11 этот факт может приводить, во-первых, к сильным изменениям коэффициентов переноса (они становятся анизотропными) и, во-вторых, к тому, что дисперсионные эффекты могут играть существенную роль при распространении волн (§§ 12, 15).
Наличие нейтральных атомов будет приводить к уменьшению электропроводности плазмы и, следовательно, к увеличению диссипации электромагнитной энергии. При этом для движений достаточно малого масштаба может оказаться несправедливым предположение о «вмороженности» магнитного поля в плазму (§11).
Конкретные задачи о движении межзвездного газа в присутствии магнитного поля решались главным образом в связи с изучением распространения ударных волн и эволюции областей HII (см., например, монографию [3] и работы [80—82]). Несмотря на несомненную ценность названных работ, мы не будем останавливаться на вопросе о влиянии магнитных полей по следующей причине.
Дело в том, что не только направление, но и величина магнитного поля часто известны недостаточно хорошо. Это сильно затрудняет сопоставление теории и наблюдений, которое в большинстве случаев носит качественный характер.
Выводы
Из рассмотренного в настоящей главе следует, что достаточно ясное понимание физических процессов, происходящих в областях НИ, позволяет вывести гидродинамические уравнения, описывающие движение околозвездного газа. В результате
в приближении сферической симметрии задачи удается количественно описать динамику областей НИ, используя хорошо разработанные методы газовой динамики (метод автомодельных решений, метод характеристик, численные методы). При этом теоретические представления в основном подтверждаются наблюдениями.
Вместе с тем течения межзвездного газа, не обладающие сферической симметрией, исследованы еще недостаточно полно. Такие течения могут возникать, например, при взаимодействии межзвездного ветра с областями НИ или при развитии различного рода неустойчивостей (ионизационных фронтов, Рэлея — Тейлора и т. д.). Здесь нужно отметить, что большая часть результатов по изучению устойчивости ионизационных фронтов получена в линейном приближении. Рост же возмущений на стадии сильной нелинейности не рассмотрен. В связи с этим представления о порождаемой неустойчивостью /-фронтов турбулентности и о влиянии последней на уширение слоя плотного газа между ударным и ионизационным фронтами носят качественный характер. Учитывая трудности, с которыми сталкивается построение теории турбулентных течений, для изучения динамики ионизационных фронтов представляет большой интерес их лабораторное моделирование.
Относительно изучения движений межзвездного газа в областях Ш следует отметить, что здесь применение методов газовой динамики затруднено отсутствием точных сведений о протекающих физических процессах. В частности, параметры межзвездной среды, предсказываемые на основе теории тепловой неустойчивости, сильно зависят от принимаемых во внимание механизмов нагрева и охлаждения газа и недостаточно хорошо согласуются с наблюдениями. Важная роль в выяснении причин такого расхождения теории и наблюдений принадлежит нестационарным моделям ионизации межзвездного газа, поскольку явления, подобные вспышкам сверхновых звезд, способны приводить к существенному изменению физического состояния среды.
Глава V
О СПИРАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ ГАЛАКТИК
Настоящая книга не была бы достаточно полной, если бы мы не охарактеризовали в общих чертах современные представления о галактиках —компактных, самоподдерживаемых системах, состоящих из звезд, газа и межзвездной пыли, которые удерживаются благодаря своей гравитации. Хотя галактики встречаются в группах и объединениях, отдельные галактики являются почти неизменяемыми, ясно разделены между собой, а пространство между ними относительно пустое.
Если в гл. III рассматривались газодинамические процессы в межпланетной плазме на характерных размерах от единиц до сотен и тысяч астрономических единиц (например, изменение параметров плазмы от Солнца до Земли или до области взаимодействия солнечного ветра с межзвездной средой), а в гл. IV изучалась динамика межзвездного газа на характерных размерах от единиц до сотен парсек (например, среднее расстояние между звездами в нашей Галактике 1 ис = 3,08-1018 см = 2-105 а. е.), то характерный размер галактик составляет величину порядка десятков и сотен килопарсек ^кпсУ Например, радиус типичной галактики равен примерно 10 кпс (такой же порядок имеет длина волны Джинса Xj при р~ 10“24 г-см~\ Т ~ 103°К, что следует из результатов § 14). Ниже не будет рассматриваться пылевая составляющая галактик. Основное внимание будет уделяться звездной [и газовой составляющим. При этом звездная составляющая вносит основной вклад в гравитационные силы, существенно влияющие на движение газовой компоненты.
Общие представления о галактиках
Наблюдения показывают, что Вселенная «населена» многочисленными галактиками, одной из которых является наша Галактика, обнаруживаемая в оптическом диапазоне на звездном небе в виде Млечного Пути. Некоторые общие свойства галактик часто исследовать легче, чем исследовать нашу собственную
Галактику, поскольку наблюдать последнюю можно только изнутри (Солнце находится во внешней части одного из гигантских спиральных рукавов Млечного Пути).
Исследование распределения галактик в космическом пространстве показало, что в пределах области, отстоящей на расстояние ~0,75-103 кпс от нашей Галактики, находится 16 галактик различных размеров и формы (это число может быть и большим, поскольку существуют области, скрытые от наблюдений облаками пыли в Галактике).
Поскольку на расстояниях от 0,75-103 кпс до 1,8-103 кпс находится сравнительно мало галактик, то упомянутые выше
Рис. 63.
вместе с Млечным Путем представляют собой скопление галактик, называемое обычно Местной Системой. Подобное скучивание является не исключением, а правилом. Почти все наблюдаемые галактики входят в состав групп. В пределах 15-103 кпс от Галактики были обнаружены тысячи других галактик, а всего обнаружено и внесено в каталоги сотни тысяч.
Крупномасштабная (порядка единиц и десятков килопарсек) картина распределения яркости у большинства наблюдаемых галактик имеет много общих особенностей. Это позволяет построить некоторую морфологическую классификацию, группирующую их на основе видимых (оптических) признаков. Первой классификацией такого рода явилась хорошо известная последовательность Хаббла [1], которая сохраняет центральное значение до настоящего времени (рис. 63).
Эта последовательность разбивает все галактики на три больших типа—тип Е, тип S и тип SB. Первый включает в себя сферические и эллиптические галактики, второй — так называемые нормальные спирали, третий — спирали с центральной перемычкой (баром). Второй и третий типы разбиты на три подтипа: Sa, Sb, Sc и SBa, SBb, SBc, соответствующие переходу от сильно закрученных спиралей к слабо закрученным.
Важным в такой классификации является то, что видимые общие черты галактик тесно связаны с их физическими свойствами.
Так, например, Sa-галактики, характеризующиеся сильно закрученными спиралями, имеют, как правило, сильную концентрацию массы к центру. Такая сильная концентрация массы к центру связана с мощной сферической подсистемой старых звезд (звезд поздних спектральных классов), обладающих большой средней хаотической скоростью (большая дисперсия скоростей) и принимающих слабое участие в направленном вращательном движении вокруг центра галактики.
Переход к более открытым и мощным спиралям, т. е. от Sa к Sb и Sa, сопровождается уменьшением концентрации массы
Рис. 64.
к центру. При этом уменьшается роль сферической подсистемы. В динамике галактик типа Sc основную роль, очевидно, играет плоская подсистема молодых звезд (звезды ранних спектральных классов). Для этой подсистемы более важна роль вращения, а дисперсия скоростей мала.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением только нормальных спиралей типа S (рис. 63), к которым относится, вероятно, и наша Галактика (если бы Млечный Путь можно было наблюдать извне, то он был бы похож на галактику NGC 5194, фотография которой представлена на рис. 64). При этом основная роль в прослеживании спиральной структуры Галактики принадлежит зонам HI (в радиолинии 21 см) и НИ (в оптическом диапазоне) межзвездного водорода, динамика которых обсуждалась в гл. IV.
Проблеме спиральной структуры галактик в последнее время уделяется большое внимание в астрофизике, поскольку эта проблема тесно связана с проблемой рождения звезд из межзвездного газа и их эволюцией.
Нашей задачей не является подробное описание современных представлений о физических процессах, происходящих в галактиках, тем более что в настоящее время в литературе имеются хорошие обзоры в этой области (см., например, [2, 3J). Не будут также рассматриваться конкретные галактики, поскольку большое их разнообразие приводит к множеству различных теоретических моделей, что делает невозможным описать эти модели в рамках небольшой главы.
Мы ограничимся здесь рассмотрением наиболее устоявшихся в настоящее время теоретических моделей, применяемых к интерпретации наблюдаемых свойств нормальных спиралей. Основное внимание будем уделять анализу предположений, используемых при построении этих моделей. Теория при этом должна учитывать следующие наблюдаемые факты.
Сильную концентрацию газа и молодых звезд в плоскости, перпендикулярной оси вращения (для нашей Галактики это плоскость Млечного Пути).
Так, например, основная масса газа в Галактике заключена в слое, толщина которого растет примерно от 100 пс вблизи центра до 1500 пс и более на периферии. Эта толщина мала по сравнению с диаметром Галактики, превышающем 30 кис.
Наличие дифференциального вращения, при котором угловая скорость вращения галактик является функцией расстояния от оси вращения.
Существование спирального узора, выявляющегося как в оптическом (по свечению областей НИ, звезд и по поглощению пылью), так и в радиодиапазоне (на волне 21 см, которую излучают области HI нейтрального водорода).
Согласно оценкам, спиральные структуры в галактиках создают гравитационное поле, составляющее величину ~ 5% от симметричного. Поэтому спиральную структуру, вообще говоря, можно рассматривать в рамках линейной теории, т. е. в предположении, что отклонение от равновесного осесимметричного распределения всех параметров мало. Как будет видно из дальнейшего, последнее справедливо для звезд, но может оказаться неверным для межзвездного газа.
В § 54 будет рассмотрена устойчивость равновесного состояния, а в § 55 — линейная теория спиральной структуры галактик,
§ 54. Устойчивость равновесного состояния галактики как дифференциально вращающейся плоской системы звезд
Наиболее элементарная теоретическая модель равновесного состояния галактики основывается на предположении, что галактика представляет собой звездную систему (газ оказывает пренебрежимо малое влияние на движение звезд) в виде холодного диска
(средняя хаотическая или тепловая скорость считается малой по сравнению со скоростью вращения вокруг оси) нулевой толщины/ При этом все параметры в плоскости диска (z^O) считаются зависящими только от расстояния г от оси вращения.
Таким образом, в равновесии имеет место условие
— гй2 (г)— гй2 (г)^0dr 2=0*^0dr 2=0*(54.1)(54.1)
— гй2 (г)
— гй2 (г)
^0
dr 2=0*
^0
dr 2=0*
(54.1)
(54.1)
где й (г) — угловая скорость, Uo (г, z)— гравитационный потенциал. Уравнение (54.1) выражает факт равенства центробежной и гравитационной сил в равновесном состоянии. Зто условие легко получить, если использовать, например, гидродинамические уравнения для холодного газа (см. § 10) в цилиндрических координатах (ось z направлена вдоль оси вращения) и предположить, что скорость в азимутальном направлении равна УфО = гй (г). Гравитационный потенциал должен удовлетворять уравнению Пуассона
(54.2)(54.2)d2t70 . d2U0 . 1 d(70.\
(54.2)
(54.2)
Здесь р0 (г) —поверхностная плотность звезд (в плоскости z = 0), а 6-функция отражает тот факт, что диск бесконечно тонкий.
Рассмотрим теперь устойчивость такого диска по отношению к малым возмущениям, следуя работе Тоомре [4].
Очевидно, что результаты § 14, согласно которым при ah — 0 (холодный газ) самогравитирующая система неустойчива, здесь неприменимы, поскольку диск считается плоским и вращающимся дифференциально (равновесное состояние в § 14 считалось однородным во всем пространстве).
Выпишем полную систему гидродинамических уравнений для звезд, как для холодного газа, в цилиндрической системе координат в плоскости z — О (плоскости галактики). При этом скорость У5-будем считать равной нулю, В результате получим
dt 1 1 ' dr *
' r d^
rdr 1
(54.3)
Vm dV_
i du
dtr dr
[5.
1 r dtp
' rr dtp ’
(54.4)
dp, .dp ,
dt *r dtp
Г dtp
(54.5)
Здесь Уг и У<р — радиальная и азимутальная компоненты скорости, а объемная плотность р связана с поверхностной плотностью р формулой
И (г, ф, /)6(г) = р(г, ср, z, IY
К системе уравнений (54.3)—(54.5) необходимо добавить уравнение Пуассона для гравитационного потенциала
dW , 1 dU , 1 d^U , d^U л г <\
dr2 г dr + г2 дф2 + dz2 4л0ц (г, ф, /) 6 (2).(54.6)
Представим теперь решение системы уравнений (54.3)—(54.6) в виде
Vr ^г (^> Ф? ^i ^ф ■■ ^фо 4~^ф (т\ ф, 0> Н~ Но Н-Н V) Ф» 0>
U = U0 + U' (г, ф, 2, 0, Уф0 = гЩг), (54.7) где параметры с индексом «О» удовлетворяют уравнениям (54.1), (54.2) для холодного диска в равновесном состоянии. Учитывая это обстоятельство, подставляя (54.7) в (54.3)—(54.5), и линеаризуя полученную систему уравнений, будем иметь (штрихи для простоты записи опускаем)
(54.8)(54.9)(54.10)(54.8)(54.9)(54.10)^ + Q (г) -^ — 2Q (г) Уф = -^ ,dt 1 х 7 дф х / ф 5Г >
(54.8)
(54.9)
(54.10)
(54.8)
(54.9)
(54.10)
-^ + Q(r)^—2ВИ Vr=-^,
dt х 7 оф х i г г дф
^.LQ(r)^+Ho^+15 (гцоУг) = О.
dt х 7 дф 1 г дф 1 г дг х го г'
Здесь и далее будут использоваться так называемые «постоянные Оорта» Л и В, определяемые согласно формулам
Л(г) = 1[й-^(гО)Л(г) = 1[й-^(гО)B(r) = -l[Q + l(rQ)'B(r) = -l[Q + l(rQ)'
Л(г) = 1[й-^(гО)
Л(г) = 1[й-^(гО)
B(r) = -l[Q + l(rQ)'
B(r) = -l[Q + l(rQ)'
К линейной системе уравнений (54.8)—(54.10) необходимо добавить уравнение (54.6), записанное для штрихованных (возмущенных) величин. Исследование задачи об устойчивости по отношению к произвольным возмущениям на основе системы уравнений (54.6), (54,8)—(54.10) при соответствующих граничных условиях и для произвольной модели галактики представляет собой сложную задачу на собственные значения, поддающуюся решению только численными методами.
Поэтому для упрощения будем рассматривать локальные возмущения вида
Fy^C/expl^r-t-m/)] (Fy = Vr, Уф, ц для / = 1, 2, 3) (54.11) вблизи некоторой произвольной точки г — г0 и только малые длины волн, удовлетворяющие неравенству ^n/k^r^ (Су— некоторая, вообще говоря, комплексная постоянная). Последнее позволяет пренебречь вторым и третьим членами слева в уравне- нении (54.6) и представить связь потенциала U с поверхностной плотностью р из (54.11) в виде
U V' ^ = С3^е1кге-к\г'е11й‘ <к>0\ (54.12)
Простой подстановкой и интегрированием по 2 от — оо до -[- оо легко проверяется, что (54.12) есть решение (54.6) в рассматриваемом приближении малых длин волн.
Подставляя теперь (54.12) и (54.11) в (54.8)—(54.10), пренебрегая в том же приближении членами Kr [(d/dr) (гр0)] по сравнению с гр0 (dVr/dr) и приравнивая нулю определитель получаемой при этом системы алгебраических однородных уравнений относительно постоянных Су (/=1, 2, 3), будем иметь следующее дисперсионное уравнение
to2 = х2 (г0) — 2лСр0 (г0) к. (54.13)
Здесь х—эпициклическая частота, которая определяется формулой
x2-2Q2x2-2Q2(54.14)(54.14)
x2-2Q2
x2-2Q2
(54.14)
(54.14)
Соотношения между амплитудами возмущенного движения примут вид
С^%С^-^Сг. (54.15)
Из (54.11), (54.13) и (54.15) видно, что при достаточно малой поверхностной плотности ц0 (г0) или при достаточно малых к возмущенное движение звезд представляет собой вращение с частотой, близкой эпициклической частоте, определяемой (54.14). При этом, благодаря гравитационному взаимодействию между звездами, принимающими участие в возмущенном движении, частота таких колебаний уменьшается (знак минус справа в (54.13)).
Из (54.13) также видно, что холодный, дифференциально вращающийся диск неустойчив для длин волн, удовлетворяющих неравенству
л 2л 2л a 4n2Gp0
Численные расчеты при учете конечной толщины диска и для неосесимметричных возмущений показывают, что холодный диск остается неустойчивым и в этом случае, однако критерий (54.16) несколько изменяется.
Рассмотрим теперь влияние теплового движения звезд на устойчивость галактического диска. Это влияние можно было бы учесть в гидродинамическом приближении, Вводя в систему уравнений (54.8)—(54.10) давление. Однако такой учет теплового движения для звездной составляющей галактик, вообще говоря, некорректен, поскольку эта составляющая является бесстолкновительной системой. Оценки показывают, что необходимое время для столкновительной релаксации функции распределения звезд в солнечной окрестности Галактики (это время близко «времени свободного пробега») составляет величину порядка 1014 лет [5],
410 гораздо больше не только масштаба времени галактического вращения (~ 108 лет), но и эпохи Вселенной (~ 1010 лет).
Поэтому для исследования устойчивости будем исходить из кинетического уравнения для функции распределения звезд в бесстолкновительном приближении. Для движений в плоскости диска (2 = 0) будем иметь в цилиндрических координатах
didiг дгг дгУф df/ угуфг dtp\ гУф df/ угуфг dtp\ г1 W\ д/ / 4dU \ df _ 0г дф / Зиф ' \ гдг / диг(54.17)1 W\ д/ / 4dU \ df _ 0г дф / Зиф ' \ гдг / диг(54.17)
di
di
г дг
г дг
Уф df/ угуф
г dtp\ г
Уф df/ угуф
г dtp\ г
1 W\ д/ / 4dU \ df _ 0
г дф / Зиф ' \ гдг / диг
(54.17)
1 W\ д/ / 4dU \ df _ 0
г дф / Зиф ' \ гдг / диг
(54.17)
Уравнение (54.17) вместе с уравнением Пуассона (54.6), в котором
р(г, ф, 0 = 24* $ f dvrdvy
(массы М* каждой звезды считаются одинаковыми), является замкнутой системой уравнений для определения функции распределения / и гравитационного потенциала U. Эта система уравнений есть гравитационный аналог уравнений Власова самосогласованного поля для плазмы (см. Приложение).
Чтобы исследовать устойчивость дифференциально вращающегося диска бесконечно малой толщины, предположим пространственную зависимость функции распределения f только от г (гравитационный потенциал зависит также от координаты г). Используя это предположение и вводя тепловые скорости согласно формулам
Сф = Оф —rQ(r), cr = vr) (54.18) из (54.17) получим
di г дгdi г дгу ^ + 2г с^ + Г^ + ^-] ,^-
di г дг
di г дг
гШ = 0. (54.19) / ОСфгШ = 0. (54.19) / ОСфCr ( I X2 7 V4* + 2Q
гШ = 0. (54.19) / ОСф
гШ = 0. (54.19) / ОСф
Решение последнего уравнения будем искать в виде
f = fAcr, с^, г) + Г (сг, сф, г, tv и = U0(r, z) + U'(r, z, tv
где /0 и [70, как и ранее, функции, характеризующие равновесное состояние, a f' и (Г— малые возмущения. Линеаризуем (54.19) и используем предположение малости хаотических скоростей сг и cv по сравнению с Йг. Тогда, вместо (54.6) И (54.19), получим, принимая во внимание уравнение (54.1) для равновесного со
стояния,
дг2 ‘ г дг дг2.дг2 ‘ г дг дг2.4:ПвМ^ (2) \ PdCpdc^4:ПвМ^ (2) \ PdCpdc^(54.20)(54.20)
дг2 ‘ г дг дг2.
дг2 ‘ г дг дг2.
4:ПвМ^ (2) \ PdCpdc^
4:ПвМ^ (2) \ PdCpdc^
(54.20)
(54.20)
Предположим теперь, что равновесная функция распределения звезд является функцией распределения Шварцшильда (см., например, [5]), т. е. имеет вид
<с„ с_) = н-Н2— ехр (54.21) /о \ 2лагаф г 2а^ 20^ х 7
Здесь р0 невозмущенная поверхностная плотность, принимаемая в дальнейшем постоянной величиной (либо слабо меняющейся функцией г), а ог и оф— среднеквадратичные хаотические скорости в радиальном и азимутальном направлениях соответственно (аналоги температуры для газа), называемые обычно дисперсией скоростей. Величины ог и оф не являются независимыми, а связаны с «постоянными Оорта», определенными выше, посредством формул
Результат (54.22) легко доказать, если подставить (54.21) в (54.19) (распределение Шварцшильда должно удовлетворять этому уравнению), предположить, что ог и оф— медленно меняющиеся функции г, а тепловые скорости малы.
Решение для f' будем искать в виде
Г kcr, с?, г, f) = u (сг, c^g^c,, с^ eikrest.(54.23)
Как и при исследовании устойчивости холодного диска, будем рассматривать большие волновые числа к (малые длины волн), т. е. будем предполагать, что выполняется неравенство кг^>\. a s — положительная действительная величина (в дальнейшем решение будем искать для s—> 0, т. е. для нейтральной устойчивости). В этом случае, как и ранее (см. (54.12)), из второго уравнения (54.20) будем иметь
^ I = ^iM^Ge^e51^ fogdcrdcv. (54.24)
Подставляя (54.23) в первое уравнение (54.20) и учитывая (54.21), (54.22) и (54.24), для функции g(cr, сф) получим следующее дифференциальное уравнение первого порядка:
2сфй g- + 2crB^+(s + 1сД g = icrK, (54.25)
К = ^ М* j f„ (с„ сф) g (cr, c^ dcr dcv. (54.26)
Характеристическое уравнение для (54.25) будет иметь вид
(54.27)(54.27)dcr ^g
(54.27)
(54.27)
2сфЙ “ 2crB " lc rK — (s -{- icrk^ g'
Проекциями характеристик на плоскость (сп сф) будут эллипсы
/ ^22 X
- Вс» + Q^ = -Во» ( ^ + ^ ) = const.
ф '
Если теперь сделать замену переменных
~Ст —.
-^ = pcos%, -2 = psin%, игОф
то в переменных р, % уравнение эллипсов превратится в уравнение окружностей
— Во^грг = const.
Учитывая последнее соотношение, из второго равенства (54.27) получим вдоль характеристик (р = const)
^ = (а + ibp cos %) g—/ср cos х,(54.28)
2пф Q ’ 2аф Q * 2стф Q
Общее решение уравнения (54.28) для любого я>0 имеет вид =^(р)
g — icpexp (ах+ ^Р sin х) $ 005 Р ехР (— аР — ^Р sin Р) ^Р» (54.29)
где верхний предел произволен. Однако требование однозначности функции g(cr, сф) накладывает ограничение на ^ (р), а именно, функция g = g(p, х) Должна быть периодична по % с периодом 2л, т. е.
(р)
$ cos р ехр (— ар — ibp sin р) dp =
(р)_
= е2Лй $ cospexp(— ар— ibp sin р) dp.
2Л
Заменой переменных (р = р' + 2л) под интегралом справа можно показать, что последнее условие сводится к
jf (р) — 2Л
ехр (—ар) cos р ехр (—/др sin р) dp = О
^(р)
или, если воспользоваться теоремой о среднем, к условию
ехр (— aS) 5 cos р ехр (— ibp sin р) dp = О
Ж (р)- 2Л
а€[^(р)-2л,^(р)]).
Так как а—действительное положительное число, то последнему соотношению можно удовлетворить, только если действительная часть ^(р) равна бесконечности. Тогда решение (54.29), после замены р' = р — X, можно представить в виде
ОО
g = zcpexp (ibp sin х) $ cos(x + p')exp [— ap'— ibpsin (x + p'^dp'.
(54.30)
Используя (54.28), формулу
00t*
^F (t)e~ptdt =у F (0e~^dt,
00
где t*—период функции F (/), и интегрируя по частям, из (54.30) получим
^ = "^[1—С(а, ь» р. х)exp(i6psinх)].(54.31)
Здесь
С (а, Ь, р, х) =
2Л
= а (1 —е~2ла)-1 у еХр |-— ар' — /^р sin (x4-p')]dpz. (54.32) О
Для определения нейтральной устойчивости перейдем к Пределу при s—>0. Тогда из (54.31), (54.32) и (54.28) получим
8™=^; [1 — З'о^ехр (i&psinx)].(54.33)
Здесь индекс п относится к нейтральной устойчивости, 30— функция Бесселя.
Подставляя (54.33) и (54.21) в (54.26), получим следующее уравнение для нейтральных волновых чисел:
Ь /т2
-^^l-expt-^)/,,^2).(54.34)
Здесь /0 — модифицированная функция Бесселя. При получении (54.34) использовалась интегральная формула
со
f g^at^^e-^tdt = /гехр ^-^У^ 1т
0
(в рассматриваемом случае a = p = &, t = p, m = 0, y3 = 1/2). Если теперь воспользоваться выражением (54.14) для эпициклической частоты х и (54.28) для Ь, то вместо (54.34) легко получить
кпо2г2л0ц0кпо2г2л0ц0а^2 г пX2а^2 г пX2/П2&2 \Ли2//П2&2 \Ли2/(54.35)(54.35)
кпо2г
2л0ц0
кпо2г
2л0ц0
а^2 г п
X2
а^2 г п
X2
/П2&2 \
Ли2/
/П2&2 \
Ли2/
(54.35)
(54.35)
Принимая во внимание асимптотическое представление для функции /0 при малых аргументах, из (54.35) получим, что при ог —► 0 и неизменных кп и у выполняется соотношениеПринимая во внимание асимптотическое представление для функции /0 при малых аргументах, из (54.35) получим, что при ог —► 0 и неизменных кп и у выполняется соотношениеРис. 65.Рис. 65.&* =&* =X2X22nG|i0 ’2nG|i0 ’(54.36)(54.36)что находится в полном согласии с формулой (54.16) для холодного диска.Еслиже огкп1%оо,то имеемЬ„ = ^. (54.37)что находится в полном согласии с формулой (54.16) для холодного диска.Еслиже огкп1%оо,то имеемЬ„ = ^. (54.37)На рис. 65 приведенаНа рис. 65 приведенакривая нейтральной устойчивости в плоскости x~kjkn = Х^А^, z/^o^/x2, полученная при помощи численного расчета (54.35). Область, ограниченная этой кривой и осью х, соответствует неустойчивости (s > 0). Вне этой области имеет место устойчивость (s < 0). При у < z/max = 0,2857 обязательно найдутся такие длины волн, относительно которых плоский галактический диск является неустойчивым. При у > z/max, как видно из рис. 65, все длины волн являются устойчивыми (естественно, что должно выполнятькривая нейтральной устойчивости в плоскости x~kjkn = Х^А^, z/^o^/x2, полученная при помощи численного расчета (54.35). Область, ограниченная этой кривой и осью х, соответствует неустойчивости (s > 0). Вне этой области имеет место устойчивость (s < 0). При у < z/max = 0,2857 обязательно найдутся такие длины волн, относительно которых плоский галактический диск является неустойчивым. При у > z/max, как видно из рис. 65, все длины волн являются устойчивыми (естественно, что должно выполняться исходное предположение о малости длины волны по сравнению с расстоянием от центра галактики).Минимальная средняя тепловая скорость звезд в радиальном направлении, при которой наступает устойчивость, должна при этом быть равнойся исходное предположение о малости длины волны по сравнению с расстоянием от центра галактики).Минимальная средняя тепловая скорость звезд в радиальном направлении, при которой наступает устойчивость, должна при этом быть равной/0,2857 ^3,36бр0 ^r min^^ ^ X/0,2857 ^3,36бр0 ^r min^^ ^ X(в \ =.(54.38)(в \ =.(54.38)
Принимая во внимание асимптотическое представление для функции /0 при малых аргументах, из (54.35) получим, что при ог —► 0 и неизменных кп и у выполняется соотношение
Принимая во внимание асимптотическое представление для функции /0 при малых аргументах, из (54.35) получим, что при ог —► 0 и неизменных кп и у выполняется соотношение
Рис. 65.
Рис. 65.
&* =
&* =
X2
X2
2nG|i0 ’
2nG|i0 ’
(54.36)
(54.36)
что находится в полном согласии с формулой (54.16) для холодного диска.
Еслиже огкп1%оо,
то имеем
Ь„ = ^. (54.37)
что находится в полном согласии с формулой (54.16) для холодного диска.
Еслиже огкп1%оо,
то имеем
Ь„ = ^. (54.37)
На рис. 65 приведена
На рис. 65 приведена
кривая нейтральной устойчивости в плоскости x~kjkn = Х^А^, z/^o^/x2, полученная при помощи численного расчета (54.35). Область, ограниченная этой кривой и осью х, соответствует неустойчивости (s > 0). Вне этой области имеет место устойчивость (s < 0). При у < z/max = 0,2857 обязательно найдутся такие длины волн, относительно которых плоский галактический диск является неустойчивым. При у > z/max, как видно из рис. 65, все длины волн являются устойчивыми (естественно, что должно выполнять
кривая нейтральной устойчивости в плоскости x~kjkn = Х^А^, z/^o^/x2, полученная при помощи численного расчета (54.35). Область, ограниченная этой кривой и осью х, соответствует неустойчивости (s > 0). Вне этой области имеет место устойчивость (s < 0). При у < z/max = 0,2857 обязательно найдутся такие длины волн, относительно которых плоский галактический диск является неустойчивым. При у > z/max, как видно из рис. 65, все длины волн являются устойчивыми (естественно, что должно выполнять
ся исходное предположение о малости длины волны по сравнению с расстоянием от центра галактики).
Минимальная средняя тепловая скорость звезд в радиальном направлении, при которой наступает устойчивость, должна при этом быть равной
ся исходное предположение о малости длины волны по сравнению с расстоянием от центра галактики).
Минимальная средняя тепловая скорость звезд в радиальном направлении, при которой наступает устойчивость, должна при этом быть равной
/0,2857 ^3,36бр0 ^r min^^ ^ X
/0,2857 ^3,36бр0 ^r min^^ ^ X
(в \ =.(54.38)
(в \ =.(54.38)
Только при az-^Ormin галактика может быть устойчивой для всех рассматриваемых длин волн. Таким образом, полученный критерий устойчивости справедлив для диска нулевой толщины, для локальных (малые длины волн), осесимметричных возмущений и в предположении, что невозмущенная функция распределения является функцией Шварцшильда. В работе [6] показано, что этот критерий не нарушается и для неосесимметричных коротковолновых возмущений.
Учет конечной толщины диска Галактики привел к выводу [7], что при наблюдаемых значениях о2/ог ^ 0,6 (оу—дисперсия скоростей звезд в вертикальном к галактической плоскости направлении) лишь коэффициент 3,36 в (54.38) заменяется на 2,6. Учет вли-
яния холодной газовой составляющей галактики на устойчивость звездного диска привел к выводу [8], что при плотности газа в 1% от плотности звезд коэффициент 0,2857 в (54.38) должен быть заменен на 0,2904, а при 10%—на 0,3385, т- е. холодный газ оказывает незначительное дестабилизирующее влияние.
В заключение настоящего параграфа отметим, что вопрос о том, выполняется ли условие Q — orlor min ^ 1 в реальных галактиках, является в настоящее время дискуссионным. Тем не менее анализ наблюдательных данных в солнечной окрестности Галактики приводит*некоторых авторов к выводу (см., например, [3, 9]), что величина Q лежит в пределах от 1,2 до 2.
§ 55. О волновой природе спиральных структур галактик
Как было отмечено в § 53, теория спиральной структуры галактик должна учитывать два наблюдательных факта: дифференциальное вращение (Q = Q (г)) и существование спирального
узора. Основная трудность в объяснении этих фактов заключается в том, что если бы спиральные рукава, простирающиеся на большую часть галактического диска, состояли всегда из одних и тех же звезд и газовых облаков, то вследствие дифференциального вращения (обычно Q—быстро убывающая функция г, как показано на рис. 66 для модели нашей Галактики, предложенной Шмидтом [10]), за время жизни галактики они либо распались бы, либо были бы много раз навиты на ось вращения, что противоречит наблюдениям.
Эта трудность может быть разрешена посредством концепции волны плотности, согласно которой наблюдаемая спиральная
структура в галактиках представляет собой не что иное, как спиральную волну плотности, распространяющуюся по галактическому диску с постоянной угловой скоростью Q^ = const. При этом такая волна плотности движется относительно звезд и газа и не следует, естественно, за дифференциальным вращением галактического вещества.
Этим автоматически преодолевается дилемма закручивания спиралей за время их существования.
Волновая теория спиральной структуры на протяжении нескольких лет развивалась Линдбладом (см., например, [11]) в рамках теории орбит. Однако полная и достаточно ясная математическая формулировка этой концепции была дана Лином и его сотрудниками на основе гидродинамических уравнений [12] и на основе кинетического уравнения для функции распределения / [13].
Ниже при рассмотрении теории спиральной структуры галактик будем следовать работе [13]. Для этого рассмотрим систему уравнений (54.17) и (54.6) самосогласованного поля. Переходя в (54.17) к переменным (54.18), получим, вместо (54.19), в пространственно двумерном случае следующее уравнение для функции распределения звезд:
dt 1 r dr 1 \/ дер 1 \1 ф r 1 dr J dcr .
— f — +=(55.1)
\ r ! 2Q r г дф У дСфx 7
Пусть теперь, как и ранее, /' и U'—малые добавки к невозмущенным функции распределения /0 и гравитационному потенциалу U01 функция распределения /0 зависит только от ^ и Сф и может быть, например, распределением Шварцшильда (54.21), а невозмущенный гравитационный потенциал зависит только от г (при 2 = 0) и удовлетворяет соотношению (54.1).
Подставляя выражения
Wo + /' - /о (1 +Ф), и = и0 + U’ W
в (55.1) и (54,6) после линеаризации, аналогичной проведенной в § 54, получим
dt
__dU* dQn । 1 dU'dQ^ дг dcr ' г 6ф дсф ’
тН5И -3-5- + — -^г =—4л6и (г, гр) о (2) =
dr2 ' г dr ' dz2 ' г2 дф2г \ > м \ /
= —4nG6(z) М* v fQ^ dcr dctp. (55.2)
Решение системы уравнений (55.2) ищем в виде
^W, сГ1 сф) ехр {/[w/ —тер 4-Ф (г)]}, U' = D (г, г) ехр {([со/ — тер +Ф (г)]}, р/ — S (г) exp \i (со/— т<р)},(55.3)
т. е. в виде спиральной волны, которая вращается с постоянной угловой скоростью Q^ — (д/т и с фазой Ф(г), зависящей от координаты г. Величина т дает число спиральных рукавов (чаще всего т = 2).
Если решение системы уравнений (55.2) существует в форме (55.3), то это и означает, что в дифференциально вращающемся галактическом диске возможно распространение спиральных волн плотности, которые жестко вращаются с угловой скоростью Q^ и с амплитудой, не зависящей от времени.
Подставляя (55.3) в (55.2), получим
г дг + *<+ г ) С<р дсг г * 2Q/ °г дсф +
+ ' \ ксг—mQ) ^ g/^ + g,/^, (55.4)
(£+т£+£-5) ^ <r’ z>=“4nGS ^ 6 (г)- (55-5) Здесь
^ехР^ [м/ — тФ + ф(г)]},
U (г, z) = D (г, г) ехр [/Ф (г)], к Ф' (г).(55.6)
Предположим теперь, как и в § 54 при исследовании устойчивости галактического диска, что тепловые скорости малы по сравнению с направленными (Qr) и кг^>\ (малые длины волн или приближение «туго закрученных спиралей»). При этом, поскольку длина волны равна X = | 2л/& | = | 2л (^Ф/^г)"11, то будем считать Ф(г) быстро меняющейся функцией г, в отличие от амплитуды волны, которая является медленно меняющейся функцией г.
Вводя также функцию W, безразмерные скорости В, ц согласно формулам
и учитывая (55.6), в этом приближении вместо (55.4) будем иметь
Tl-<-^+l(v+a^^=^^(55-7)
^r2Q2со — mQ\
2“ > V = »
х2 *х / *
а вместо (55.5) получим д2Г , d^W nI 1
S (г) ——г гДля 2 —0.
v 74л6 I д 2 ) I 2 1 о1 1
Последнее соотношение (55.8) получается интегрированием (55.5) по г и является условием на скачок производной от W.
Граничными условиями для W являются
W (г, 0) = rx^D (г, 0) ехр [/Ф (г)] при | 2 | > 0,
W—► 0 при | 2|—> сю.(55.9)
Решением уравнения Лапласа (55.8) для W, удовлетворяющим первому граничному условию (55.9), будет функция W (г, 0) из (55.9), в которой аргумент г заменен на r-^ip\z\, где р- ± 1. Второе граничное условие (55.9) сводится к требованию
Im (Ф (г + ip | 21)} > 0 при | 2 | > 0.
Разлагая левую часть в ряд по zp 121, получим
р = + 1 - sign {Ф' (г)} = sign \Ц.(55.10)
Соотношение (55.10) есть условие убывания функции W с ростом | z | вблизи плоскости 2 = 0 и заменяет второе граничное условие в (55.9).
При этом Ф' (г) = k (г) < 0 соответствует закручивающимся спиралям, т. е. спиралям, которые раскрываются против направления вращения, а случай &(г)>0—раскручивающимся, т. е. раскрывающимся в направлении вращения.
Рассматриваемая теория не дает предпочтения ни одному из этих возможных видов спиральных ветвей. Нет однозначного ответа в настоящее время и на вопрос, какие реализуются спирали в действительности. Большинство исследователей считает, что в природе реализуются закручивающиеся спирали.
Используя выражение для S (г) из (55.8), а также связь р/ с S из (55.3), окончательно, в нулевом приближении по параметру (йг)^, получим
2лб 1(oo.l 1)
Выразим теперь р/ через функцию распределения f. Для этого рассмотрим уравнение (55.7). Его решением будет
"т 2D ^Qo г 1/
^ =—^Ч1 —<7 («5, “Л. V)],
л
<7 = iiSi j exPMvs—agsins + aT](l +coss)]}ds
(t = ^ + iV).(55.12)
Учитывая связь ф с ф из (55.3), выражение/' =/оф для добавки к невозмущенной функции распределения.^ и решение (55.12), получимГ = --^-^(1-9). (55.13)Учитывая связь ф с ф из (55.3), выражение/' =/оф для добавки к невозмущенной функции распределения.^ и решение (55.12), получимГ = --^-^(1-9). (55.13)Это соотношение определяет возмущение функции распределения звезд, вызванное возмущением гравитационного потенциала. Возмущение в поверхностной плотности р/ в галактическом диске будет при этом равно (для распределения Шварцшильда)К = м* С =-^-<1 — q-> р.о (г),(55.14)где<1—^ = 1—(и,7Б1П УЛ V VЛ^v(x) = 2л J exP[—X(1 +coss)]cosvs ds(x = -^r- ). (55.15)-ЛЭто соотношение определяет возмущение функции распределения звезд, вызванное возмущением гравитационного потенциала. Возмущение в поверхностной плотности р/ в галактическом диске будет при этом равно (для распределения Шварцшильда)К = м* С =-^-<1 — q-> р.о (г),(55.14)где<1—^ = 1—(и,7Б1П УЛ V VЛ^v(x) = 2л J exP[—X(1 +coss)]cosvs ds(x = -^r- ). (55.15)-ЛФункция Sv (x)—табулированная функция своего аргумента (см., например, [13]). Следуя [13], введем функциюФункция Sv (x)—табулированная функция своего аргумента (см., например, [13]). Следуя [13], введем функциюFv (х) =Fv (х) =1 —V2X1 —V2XУЛsin улУЛsin улSv(x)Sv(x)(^v(x)—►! при х—^0).(^v(x)—►! при х—^0).
Учитывая связь ф с ф из (55.3), выражение/' =/оф для добавки к невозмущенной функции распределения.^ и решение (55.12), получим
Г = --^-^(1-9). (55.13)
Учитывая связь ф с ф из (55.3), выражение/' =/оф для добавки к невозмущенной функции распределения.^ и решение (55.12), получим
Г = --^-^(1-9). (55.13)
Это соотношение определяет возмущение функции распределения звезд, вызванное возмущением гравитационного потенциала. Возмущение в поверхностной плотности р/ в галактическом диске будет при этом равно (для распределения Шварцшильда)
К = м* С =-^-<1 — q-> р.о (г),(55.14)
где
<1—^ = 1—(и,
7Б1П УЛ V V
Л
^v(x) = 2л J exP[—X(1 +coss)]cosvs ds(x = -^r- ). (55.15)
-Л
Это соотношение определяет возмущение функции распределения звезд, вызванное возмущением гравитационного потенциала. Возмущение в поверхностной плотности р/ в галактическом диске будет при этом равно (для распределения Шварцшильда)
К = м* С =-^-<1 — q-> р.о (г),(55.14)
где
<1—^ = 1—(и,
7Б1П УЛ V V
Л
^v(x) = 2л J exP[—X(1 +coss)]cosvs ds(x = -^r- ). (55.15)
-Л
Функция Sv (x)—табулированная функция своего аргумента (см., например, [13]). Следуя [13], введем функцию
Функция Sv (x)—табулированная функция своего аргумента (см., например, [13]). Следуя [13], введем функцию
Fv (х) =
Fv (х) =
1 —V2
X
1 —V2
X
УЛsin ул
УЛsin ул
Sv(x)
Sv(x)
(^v(x)—►! при х—^0).
(^v(x)—►! при х—^0).
Используя (55.14), (55.15) и выражение для средней скорости через функцию распределения (гл. I), окончательно получим
И k^U' 1 ст- , X Vf Й2Уer-(1) , X
Но “ X2 l-^^vW, fQ — xQW.
4 - -ih?U' ^-гТЙЧ хrQ ~ 2 Q2 1—v2 w
(^‘и(х) = ^(х), ^ (x) = - ^X™ WY (55.16)
Поведение функций ^v(x) изображено на рис. 67. Из этого рисунка и из (55.16) вытекает важное следствие: чем меньше дисперсия скоростей, тем больше амплитуда волны.
Наблюдения показывают, что дисперсия скоростей звезд больше дисперсии скоростей газовой составляющей Галактики. Отсюда следует, что можно ожидать большей амплитуды в волне плотности для газовой составляющей Галактики, чем для звездной, хотя, строго говоря, динамику газа нельзя рассматривать независимо от динамики звезд.
Очевидно, что решение (55.16) существует не для всех длин волн и частот. Дисперсионное уравнение, определяющее связь между ними, получается из условия совместности решений для р',
11 В. Б. Баранов, К. В. раснобаев
полученных при решении уравнения Пуассона для гравитационного потенциала и при решении кинетического уравнения для функции распределения. Приравнивая выражения (55.11) и (55.16) для р/, в результате будем иметь
X22лО[10X22лО[10(55.17)(55.17)
X2
2лО[10
X2
2лО[10
(55.17)
(55.17)
Очевидно, дисперсионное уравнение (55.17) справедливо при выполнении неравенств
1—v=>0 или Q-^<fif<Q-h| ^-ю/ту (55.18)
Точки, в которых v (г) = ± 1 (точки линдбладовского резонанса), требуют особого рассмотрения. В этих точках становятся несправедливыми полученные выше решения.
Ясно, что при заданной величине Q^ радиусы, на которых встречаются линдбладовские резонансы, находятся из условия Q^ = Q ± x/m при известной модели галактики (см. рис. 66 для нашей Галактики с т = 2). Для двухрукавной спирали волна плотности распространяется между внутренним и внешним резонансами, причем область возможного существования спиралей сжимается с увеличением т. Таким образом, рассмотренная волновая теория может объяснить, почему в галактиках наиболее часто встречается двухрукавная спираль.
Уравнение (55.17) определяет зависимость к от v, при которой возможно существование решений в виде спиральной волны плотности, жестко вращающейся с угловой скоростью Q^. Послед-
няя вместе с дисперсией аг в радиальном направлении являются свободными параметрами. В [13] принимается Q = or/ar min =1, где or min определяется формулой (54.38), т. е. радиальная дисперсия скоростей считается равной минимальной, при которой галактика становится локально устойчивой по отношению к гравитационному сжатию.
На рис. 68 приведена зависимость длины волны X —2л/|&| от v при различных значениях параметра Q. Из этого рисунка видно, что при Q = 1 область галактики, в которой могут суще- ствовать волны плотности, достаточно широкая, в то время как при увеличении Q она резко сжимается. Этот факт является одной У из трудностей волновой теории спиральных структур, поскольку, как указано выше, параметр Q в нашей Галактике может дости- гать величины порядка 2, что, как следует из рис. 68, приводит^ к слишком узкой по г области воз- можного существования волновой спиральной структуры.
Из рис. 68 также видно, что дисперсионное уравнение (55.17)^
для каждого значения v дает два значения X: короткие и длинные волны. Так как рассмотренная выше теория предполагает
выполнение неравенства kr^V то в этом смысле в работе [13] отдается предпочтение коротким волнам для построения спирального узора. Тем не менее некоторые авторы (см., например, [2]) считают, что в галактиках осуществляется ветвь для длинных волн. Таким образом, проблему существования коротких и длинных волн с одинаковым значением Н^ в настоящее время еще нельзя считать решенной (возможно, что одновременно существует оба типа волн).
Окончательно из результатов настоящего параграфа следует, что для того, чтобы построить спиральный волновой узор, требуется провести следующие операции. По известной модели галактики (см. рис. 66 для нашей Галактики) определяется Них в данной точке г. Величина йр = аз/т задается из соображения наилучшего совпадения теории и наблюдений. При заданных значениях Н^, Них величина v определяется по формуле (55.7) (количество спиралей т, естественно, также задаваемая величина), после чего из дисперсионной кривой на рис. 68 находится длина
волны Х = 2л/|6|. Поскольку к^йФ/йг, то численным интегрированием находится фаза волны Ф, а спиральный волновой узор строится по уравнению
— 2ф + Ф (г) = const.
Результирующий спиральный узор для нашей Галактики, построенный описанным выше образом, приведен на рис. 69 для Q^ = 11 км/^сек-кпс), т = 2 [13]. На этом рисунке штриховая окружность — внутренний линдбладовский резонанс, значком О отмечено положение Солнца. Величина Q^ и нулевой отсчет для фазы были выбраны таким образом, чтобы как можно больше приблизить результаты расчетов к данным наблюдений спираль
ной структуры в газе HI по линии 21 см. Такая подгонка достаточно трудна, так как разные группы радиоастрономов по-разному интерпретировали свои результаты (более подробно см., например, в [2, 3]).
В настоящее время, согласно
Лину и его сотрудникам, считается, что наиболее вероятная угловая скорость вращения спи
ральной волны плотности в Галактике составляет величину Г^^13,5 км/^сек-кпс). Тогда относительная линейная скорость галактического вещества (звезд и газа) и волны в окрестности солнечной системы (г ж 10 кпс) составляет величину примерно в 115 км/сек (Q-~ 25 км/^сек-кпс) в окрестности Солнца согласно модели на рис. 66). Однако такое значение параметра Q^ не является бесспорным и оспаривается рядом авторов (см., например, [2, 3]). Возможность увеличения параметра Q^ в теоретической модели при сохранении совпадения теории с наблюде
ниями связана с учетом различных звездных подсистем.
§*56. О движении газа под действием спирального гравитационного поля
До сих пор для исследования устойчивости галактического диска (§ 54) и возможности распространения жестко вращающейся спиральной волны плотности (§ 55) использовались уравнения однокомпонентного «газа» из звезд. Однако реальные галактики состоят как минимум из двух компонент —звезд и газа
/как было отмечено выше, межзвездная пыль в настоящей книге не рассматривается). При этом звезды могут состоять из разных подсистем (§ 53), характеризующихся различными дисперсией скоростей, угловой скоростью вращения вокруг галактического центра и распределением в пространстве. Газ в свою очередь также может состоять из разных компонент — атомов водорода, электронов, протонов, молекул и т. п.
Динамика межзвездного газа в гл. IV рассматривалась на характерных масштабах от единиц до сотен парсек, на которых галактическое гравитационное поле пренебрежимо мало. На галактических же масштабах спиральное гравитационное поле звезд может оказывать существенное влияние на движение газа. При этом динамические процессы теоретически должны рассматриваться, строго говоря, на основе самосогласованных уравнений для звезд и газа.
Однако невозмущенная поверхностная плотность звезд в плоских галактиках обычно много больше поверхностной плотности газа. Последнее обстоятельство приводит к тому, что среднее гравитационное поле определяется в основном звездами и в первом приближении можно не учитывать влияние газовой составляющей на их динамику, т. е. задачи разделяются. Именно такой подход был использован в § 54 и § 55.
Тем не менее результат, полученный в § 55 (см. формулу (55.16)), согласно которому относительная амплитуда плотности в спиральной волне тем больше, чем меньше дисперсия скоростей, наводит на мысль, что межзвездный газ, обладая сравнительно малой дисперсией скоростей, может вносить сравнимый со звездами вклад в малое, по сравнению со средним, спиральное гравита- ционнное поле.
Поэтому уже для линейных волн влияние газовой составляющей галактик может оказаться существенным. В частности, в том же, что и в §§ 54, 55, коротковолновом приближении, можно показать [14, 15], что при движении газа относительно звезд воз- * можно возникновение двухпучковой неустойчивости, хорошо известной в физике плазмы. При этом в [14, 15] решалась линеаризованная самосогласованная задача для звезд, описываемых кинетическим уравнением, и газа, рассматриваемого в рамках одножидкостного гидродинамического приближения (в [15] учитывалась как радиальная, так и азимутальная компоненты относительной скорости двух подсистем, в отличие от [14], в которой рассматривалась только последняя). Следует, однако, заметить что в работе [16] показано, что к исследованию двухпучковой неустойчивости в галактиках в рамках коротковолнового приближения надо подходить с большой осторожностью, поскольку при достаточно малых инкрементах нарастания возмущений это приближение может оказаться некорректным для некоторых
реальных галактик, в которых имеются градиенты невозмущенных значений параметров (см. § 53).
Спиральное гравитационное поле звезд может приводить и к существенно нелинейным движениям газа и, в частности, к образованию спиральных ударных фронтов. Существование таких галактических ударных волн было впервые предложено в работах Фуджимото (см., например, [17]), а их теория в присутствии спирального гравитационного потенциала типа Лина (§ 55) развивалась в работах [18—21]. Хороший обзор по этому вопросу имеется, например, в работе [22].
Основой математической формулировки задачи об образовании галактических ударных волн является предположение, что газ движется под действием заданного спирального гравитационного поля типа (55.3), создаваемого звездами. Однако такой подход не является последовательным, так как, согласно сказанному выше, нелинейные волны в газе могут вносить существенный вклад в спиральное гравитационное поле звезд. Из-за больших математических трудностей в настоящее время нет самосогласованных решений этой задачи, а существуют лишь численные расчеты реакции газовой подсистемы на спиральное гравитационное поле. При этом часто используются представления о двухфазной межзвездной среде (§ 47), согласно которым межзвездный газ состоит из холодных плотных облаков и горячего, разреженного межоб- лакового газа с фазовыми переходами между ними (см., например, [19, 20]).
Возможность образования спиральных галактических ударных волн имеет важный аспект, связанный с рождением звезд из газовой компоненты. В настоящее время считается, что звезды могут рождаться на фронте таких ударных волн, а поскольку спиральная волна плотности движется относительно вещества, то по мере своего продвижения поперек спирального рукава звезды стареют. Таким образом, волновая природа спиральной структуры естественным образом объясняет наблюдаемый градиент возрастов звезд поперек спиральных рукавов (подробный обзор см., напри- мер, в [2, 3]).
В заключение настоящего параграфа отметим, что межзвездный газ обладает достаточно высокой электропроводностью (см. §51). Поэтому магнитные поля, которые обычно считаются «вмороженными» в галактический газ (Rm~>оо), могут приводить к различным магнитогидродинамическим эффектам. Ранее даже считалось, что именно магнитное поле определяет спиральную структуру галактик.
Однако наблюдаемые по фарадеевскому вращению плоскости поляризации радиоволн, по поляризации синхротронного излучения и по зеемановскому расщеплению линии 21 см магнитные поля в Галактике составляют величину порядка 3-10"6гс. При
этом плотность магнитной энергии В2/(8л) оказывается по крайней мере на два порядка меньше плотности кинетической энергии рИ/2 газа при его вращении вокруг галактического центра. Таким образом, галактическое магнитное поле слишком мало, чтобы определять спиральную структуру на галактических масштабах. Однако локально магнитные силы могут оказаться достаточно большими, чтобы влиять на динамику галактического газа.
Важную роль могут играть магнитные поля и для интерпретации некоторых наблюдательных данных. Так, например, наличие галактической ударной волны у внутренней кромки спиралей в галактике М 51 было доказано на основе усиления на два порядка интенсивности синхротронного излучения (см., например, [23]).
Некоторые общие выводы
На основе изложенного в настоящей главе конечно нельзя утверждать, что все спиральные рукава в галактиках являются волнами плотности. Имеются указания на то, что такие механизмы, как приливные взаимодействия галактик, взрывы в ядрах галактик, магнитные ловушки и т. п., могут определять некоторые наблюдаемые спиральные рукава. Более того, в работах Пид- дингтона [24, 25] вообще высказывается сомнение по поводу правильности концепции волн плотности для объяснения спиральной структуры.
Сама волновая теория также встречается с целым рядом трудностей. Критерий устойчивости Тоомре (§54), являющийся основой волновой теории спиральной структуры (§ 55), дает условие локальной устойчивости (малые длины волн по сравнению с размерами галактики), в то время как некоторые численные эксперименты показали (см., например, [26]), что галактика может быть неустойчивой по отношению к глобальным возмущениям (длины волн сравнимы с размерами галактики). Другой трудностью является дискуссионный вопрос о механизмах возбуждения и поддержания спиральной волны, вообще говоря, затухающей со временем.
Предлагаемые теории таких механизмов, связанные с возникновением пучковой неустойчивости, с взаимодействием с другими галактиками, с асимметрией центральных областей галактик и т. п., во-первых, далеки от своего завершения и, во-вторых, часто находят опровержения с точки зрения наблюдательных данных (более подробно см. [2, 3]).
В настоящее время также плохо изучена роль различных подсистем в галактиках в создании спиральной структуры. Тем
не менее волновая теория спиральной структуры, рассмотренная в § 54 и § 55, является достаточно привлекательной, поскольку она проста, дает четкое представление о ее областях применимости и, несмотря на то, что она является лишь грубой моделью плоских галактик, объясняет целый ряд интересных наблюдаемых эффектов. В частности, она разрешает проблему закрученное™ спиралей в дифференциально вращающемся галактическом диске, объясняет явление градиента возрастов звезд поперек спиральных рукавов и т. д. Кроме того, эта теория стимулирует развитие работ в области исследования поведения газовой компоненты галактик, являющейся основным источником вещества, из которого рождаются звезды.
Приложение
ОБ ОБЛАСТЯХ ПРИМЕНИМОСТИ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ
Использование кинетического уравнения Больцмана для плазмы (гл. I) часто вызывало возражения в силу двух причин: во-первых, это уравнение учитывает только^бинарные столкновения частиц, в то время как кулоновские взаимодействия между частицами распространяются на расстояния, значительно превосходящие среднее расстояние между частицами, взаимодействия не являются уже парными, а понятие соударения либо теряет смысл, либо требует нового определения, и, во-вторых, сила Лоренца, которая стоит слева в уравнении Больцмана для плазмы (§ 2), уже не является внешней, как это предполагается при выводе, а может определяться распределением частиц в плазме (так называемое самосогласованное поле, впервые введенное А. А. Власовым в 1936 г. [1]). Тем не менее Л. Д. Ландау [2] вывел упрощенное выражение для .интеграла столкновений для далеких парных столкновений, исходя из интеграла столкновений в форме Больцмана. Этот интеграл столкновений получил название интеграла столкновений в форме Ландау и был использован для вычисления коэффициентов переноса для плазмы, приведенных в § 6.
В книге Н. Н. Боголюбова [3] показано, что кинетическое уравнение Больцмана можно получить в результате обрывания незамкнутой цепочки уравнений для s-частичных функций распределения, зависящих от координат и импульсов s-частиц и времени, на уравнении для первой функции распределения F^Vr.p, /), зависящей от координат и импульсов одной частицы и времени. Цепочка уравнений получается из уравнения Лиувилля для АГ-частичной функции распределенияFN^rv . . ., rN\ pv ...,pN. t). зависящей от координат и импульсов всех N частиц, составляющих систему, если s-частичные функции распределения ввести по
формуле
^5 (^*1» е * ' > ^S^ Pv * * * > Ps» 0 ~
= Vs $ FN^rv -,rN;pv ...,p№ odrs+1... drNdps+1... dp№
(П.1)
где s < N, V—объем, в котором находятся частицы, s=l соответствует одночастичной функции распределения, входящей в уравнение Больцмана.
Н. Н. Боголюбовым было показано, что возможность обрыва получаемой цепочки уравнений на одночастичной функции распределения связана с малостью среднего расстояния между заряженными частицами по сравнению с дебаевским радиусом экранирования. При этом магнитное поле нс учитывалось.
В настоящем Приложении, следуя методу, предложенному Ю. Л. Климонтовичем [4], выпишем те ограничения, которые необходимо наложить на параметры плазмы, чтобы от уравнения Лиувилля для случайной функции числа частиц Na (г.р, Ц перейти путем усреднений к кинетическому уравнению Больцмана с интегралом столкновений в форме Ландау [5]. При этом в методе учитывается магнитное поле.
В качестве исходной системы уравнений для полностью ионизованной плазмы примем систему уравнений, состоящую из уравнения Лиувилля для микроскопической фазовой плотности Na^r, р, I) каждой компоненты плазмы,
AN dN /1\ dV
и уравнений Лоренца для микроскопических напряженностей электрического и магнитного полей
rot нт = — -др^^^еа \ -DNa^r.p, t^dp,а
rot£m = —-^, divtf^O,
divEm = 4^ 2^а ( Na(r, p,t)dp.(П.З)
Здесь Е” и Нт—микроскопические напряженности электрического и магнитного полей соответственно, а микроскопическая фазовая плотность определяется формулой
AM'S Р, t) = 2 6 <Г — Га£ (0) 6 (Р—Рй (0), I
где под знаком суммирования по всем частицам сорта а стоит произведение 6-функций, N^drdp есть число частиц данного сорта в элементе шестимерного пространства координат г и импульсов р.
Поскольку микроскопическое состояние определяется заданием координат и импульсов частиц и значениями Ет и Нт, то статистические свойства системы заряженных частиц и электромагнитного поля определяются функцией распределения ^координат и импульсов всех М = ^Ма частиц системы, а также величинами а
Ет и Нт. В рассматриваемом ниже нерелятивистском случае функция Fn вводится так, что выражение
^П dra> ... draNdpa, ... dp^
определяет вероятность того, что в момент времени t координаты и импульсы частиц сорта а имеют значение га1, .-.,га , Ра,, • ■ •, PaN в пределах drttl, .... draN, dpai, . . ., dpajV. Следуя [4], легко получить формулы усреднения по функции FN, используя (П.1), а именно
<Na (г, р, 0> = n*aFa (г, р, /) = /а (г, р, t),
<Na<r, р, t) N^r', р', ф =
= п*аП@Га^г, г',р, р', tW^^Mr—r'^P—P^FaXr, р, f) =
= М (г, г', р, р', ^ + 6аР6 (г—г') 6 <р—р^ U (г, Р, t\ <NaN^N4> = fa^ + 6ар6 (г—г') 6 (р—р') /а7 +
+ 6а76 (г—г") 6 Vp —р") fa&(r,p, r',p', t) +
+ 6р76 (Г' —Г") 6 (р'—р") /а7 (г, Р, г", Р", ^ 4-
FWt-rW-pW-W-lHf<Ar,p, п, (П.4)
Здесь n» — NJV — средняя концентрация частиц сорта а и является постоянным нормирующим множителем, /а—одночастичная, /«р—двухчастичная и т. д. функции распределения, 6ар— символ Кронекера (6^ = О при а^р и 6ар=1 при а = р). Именно одночастичная функция распределения /а входит в уравнение Больцмана (2.11) (или отличающаяся от нее постоянным множителем функция F^.
Введем отклонения случайных величин от их среднего статистического значения
SEm_Em — Е, ^Нт = Нт — В, 6Na-Na — <Na>. (П.5)
Здесь Е=<Ет> — вектор напряженности электрического поля, а В=^<Нт> — вектор магнитной индукции.
Векторы Е и В характеризуют средние поля, как внешние приложенные, так и создаваемые самими заряженными частицами и удовлетворяют уравнениям Максвелла, получаемым путем
усреднения уравнений Лоренца (П.З):
rotS^^+^^e» f v<Nn(r,p, t^dp,
rot£ =, div 5 = 0, c at
div£=4n2ea f <Na(r, p, f)>dp.(П.6)
a J
Именно E и В использовались в настоящей монографии. Усредняя теперь уравнение (П.2) и учитывая (П.5), получим
(П.7)(П.7)
(П.7)
(П.7)
Отсюда видно, что в уравнение для одночастичной функции распределения <Na> ^fa(r, р, t) входят моменты второго порядка типа <6Em8Na> и <6Hm6Na>. Необходимо для них получить соответствующие уравнения.
Предварительно заметим, что уравнения для 6Ет и 6Нт легко получить вычитанием уравнений (П.6) из (П.З) с использованием (П.5). В силу линейности этих уравнений можно положить
6£» = 6£“ + 6£2,
где 6Е™ и 6Е™ удовлетворяют соответственно уравнениям rot6£" = 0, div 6£'" = 4л 2 ер $ bN^r', р', t)dp', rot6£2=—1!^, div6£« = 0.(П.8)
Решение для безвихревой части флуктуации электрического поля имеет вид
S^-^J-f-^SA^r', р', ndr'dp', (П.9)
т. е. выражается через флуктуации плотности частиц. Подставляя теперь (П.9) в (П.7), получим (сравните с (2.11))
df df / i \ df
~£ Ц ( i^) ^ <8W„6Wp> dr' dp' +
/ /1\86N \
+ еаЦб£2 + ^Ух6Ят) .-^) = 0. (П.10)
Вычитая из (П.2) уравнение (П.10) как для частиц сорта а, так и для частиц сорта р, полученное уравнение для 6Na умножая на 6^p, а уравнение для 6N^ умножая на 6Na, складывая эти уравнения и усредняя, окончательно для моментов второго порядка <6Na6N^> получим ?<^+(т4+^)та>+
+Це+1тхвУ8^+Це+1.хвУ-^_
-^L J|7^^(f«<6AW> +^^
-77г £ J 17^=74"^(/р <6М<^> + <&NoWNV>) dr"dp" + н(<6^> Лтх<6№6^ *-^ + + ^<6£26Wa> + y9,X<S№6A^
+ Цд£2ч4®'хдяф.^^(П.11)
Таким образом, в уравнение для вторых моментов ^вошли моменты третьего порядка. В уравнение для моментов третьего порядка войдут четвертые моменты и т. д. Получается незамкнутая цепочка уравнений для моментов. Ситуация ^такая же, как и при получении цепочки уравнений для функций распределения в методе Н. Н. Боголюбова [3]. Для кулоновской плазмы, в которой учитывается только безвихревое электрическое поле Е^, эти
'цепочки идентичны.
Чтобы замкнуть полученную выше цепочку уравнений, необ
^а^аходимо на параметры плазмы наложить некоторые ограничения. Эффективным радиусом действия заряженных частиц в плазме является дебаевский радиус г^ определяемый формулой
^а
^а
(ПЛ 2)
которая следует из решения для случая статистического равновесия, а также из теории Дебая — Хюккеля для электролитов. В большинстве встречающихся в природе плазм имеет место соотношение
ГсР<^,(ПЛЗ)
где rcp^n-V3— среднее расстояние между частицами (в дальнейшем, для простоты, будем считать па = п^ = п, Н«| = рр| = ^).
Условие (П.13) может нарушаться либо для очень плотных плазм, либо для очень холодных. Введем несколько более слабое условие. Положим
р- = т-^-з = 1, (П. 14)
т. е. предположим, что число частиц в дебаевской сфере очень велико. Это условие эквивалентно условию
0L
которое означает, что энергия взаимодействия заряженных частиц на расстоянии порядка дебаевского радиуса мала по сравнению с тепловой энергией частиц. Если рассматривать физически бес- , конечно малые объемы, большие или порядка сферы радиуса rd, то такие объемы в силу предположения (П.14) будут содержать много частиц и можно ожидать, что, вследствие закона больших чисел, центральные моменты <6^a6^p> будут малы по сравнению с <A^a></Vp> или /а/р. При этом будем пренебрегать моментами <6Afa6Afp6Afv> по сравнению с моментами <6Afa6Afp>.
Воспользовавшись системой уравнений (П.8), легко получить оценку (см., например, [5])
<6^6^> t^ <6«р>^
<^W> ~ <6^6A^>~
^т — характерная, например, тепловая скорость частицы), откуда следует, что в нерелятивистском приближении, т. е. при
и2т<<с^ (ит ~ VkT/m)(П.15)
в уравнениях (П.10) и (П.11) можно пренебречь всеми членами, содержащими 6Нт и 6^2• В результате предположений (П.14), (П.15) вместо уравнений (П.10) и (П.11) будем иметь
-^\Мт^К)‘У<6^(П.16)
w^+(y4+y^)<6W>+
+4е+>х.)/^+Це + ^хя).^>-
-^ Е J 77^ ^ V» <W^M dr" dp"-
- L JTT^j-^r (h W^) dr" dp" = О, (П. 17)
которая вместе с уравнениями Максвелла (П.6) является замкнутой системой уравнений для определения /а, <6^657р>, Е и В.
Поскольку имеют место равенства
<Na>=fa, <NaN^ = /а₽ + 6^6 (Г —Г') 6 ^Р—Р') /а,
<NaNp> ~ fafp~\-^^а^^рУ, faP = fafp + got.p
(gap—функция корреляции, удовлетворяющая условию^—^0 при |г—г'|—^оо), ТО
<6Na6Np> 6аР6 (г—г') 6 ^р—р'^ fa + gap. (П. 18) Подставляя (П.18) в (П.16) и (П.17), в результате получим
(П.19)(П.19)^Lj |^На,(г', р'. г-. pr. Wdp-.^^Lj |^На,(г', р'. г-. pr. Wdp-.^
(П.19)
(П.19)
^Lj |^На,(г', р'. г-. pr. Wdp-.^
^Lj |^На,(г', р'. г-. pr. Wdp-.^
Отсюда видно, что решение уравнения (П.20) для корреляционной функции ga|3 определяет вид интегрального члена в кинетическом уравнении (П. 19) для одночастичной функции распределения (выражаясь языком кинетической теории газов, вид «интеграла столкновений»).
Коэффициенты уравнения (П.20), в частности, зависят от Е и В, что определяет зависимость «интеграла столкновений» от электрического и магнитного полей. Из сравнения в уравнении (П.20) члена ^ • (dg^/dr) с членом еаЕ • (dg^/dp^ видно, что последним членом можно пренебречь, если выполнено условие
(П.21)(П.21)ea\E\rd<^maVT,
(П.21)
(П.21)
поскольку I dg^idr | — ga.pl Г d (gap « 0 при \r—r' \ >rd\
Таким образом при предположении, что энергия, приобретаемая заряженной частицей в электрическом поле на расстоянии ~rdi мала по сравнению с тепловой энергией частиц, электрическое поле не влияет явно на «интеграл столкновений». Из
сравнения члена -у • ^dg^/dr) с членом [(еа/с) у X В] • ^dga^dp) видно, что последним членом можно пренебречь при выполнении неравенства
ra^rt \Г1=-Гв"^' (П'22)
где rz—ларморовский радиус заряженных частиц, определенный в § 6. Физически очевидно, что если ларморовский радиус велик по сравнению с дебаевским радиусом, внутри которого происходят столкновения, то искривление траекторий заряженных частиц в магнитном поле внутри дебаевской сферы несущественно, им можно пренебречь, а магнитное поле не будет влиять на «столкновения» частиц. Именно это условие было отмечено в § 6 для справедливости результатов гл. I.
Для того, чтобы из решения уравнения (П.20) получить интеграл столкновений в форме Ландау необходимо, как показано в [4], сделать еще некоторые предположения.
Пусть функция /а мало меняется за время корреляции (соответственно на длине корреляции), т. е. рассматриваются характерные времена t (длины L) много большие времени корреляции ткор (длины корреляции гкор), за которое две частицы, находящиеся близко одна от другой и движущиеся с тепловой скоростью, разойдутся на расстояние, на котором эти две частицы становятся статистически независимы (не взаимодействуют между собой).
378378Из решения уравнения для корреляционной функции для случая равновесного распределения частиц по скоростям и в предположениях (П.21) и (П.22), следует, что в этом случае гкор ~ г^ ткор ~ rdlvT=\l^p ^р—ленгмюровская частота). При малом отклонении от равновесия следует ожидать, что порядок этих величин не изменится. Вводя характерную частоту Q*= 1/£, предположим, что выполнено неравенство
378
378
й*^^. (П.23)
В этом случае в уравнении (П.20) можно опустить член dga^dt$ так как за рассматриваемое характерное время начальные корреляции успевают затухать, а функция корреляции ga^ не будет зависеть от начальных условий.
Если, кроме того, (П.20) записать в фурье-компонентах, то порядок величины интегральных членов по отношению, например, к членам ^-(^ар/^г) определяется величиной \[^r^ (k — волновое число). Таким образом, если предположить, что
^r2d> 1, (П.24)
то интегральными членами в (П.20) также можно пренебречь. Это предположение приводит в результате к расходящимся интегралам, что, в^свою очередь, приводит к необходимости обрезания пределов интегрирования. Условие (П.24) означает также, что
диэлектрическая проницаемость плазмы мало отличается от единицы (см., например, [6]).
Будем искать теперь решение для корреляционной функции £ар в виде
gap = gaP {Г —г’, Р, Р’, ta ^, Р, ^ fp (Г, р', t^. (П.25) Если считать, что функция корреляции зависит от г и г' (а не от их разности), то это приводит к более сложным вычислениям, а получающиеся добавки в гидродинамических уравнениях тем не менее малы [4].
Используя теперь (П.21)—(П.25), вместо (П.20) получим
(^^.в|5»=±^.{^)е_^/ф7„г-И, (П.26)
или, в фурье-компонентах,
(V — ®Tfeigapk&,P,P'W^^fe-^^fp — ^ /а}- - Обозначая правую часть кинетического уравнения (П.19) через — Sa(r, р, t) и воспользовавшись решением последнего уравнения, в результате получим
—(П.27)
где
_ 4л 2е(dL dfo )
g«S=Img„p=—^6(A.V—A-v')A-^fp —5^ fa| .
Подставляя это выражение в (П.27), будем иметь выражение для «интеграла столкновений» с ядром
Q,v = f^-6(A-v—fe-v^dfe.
лIV—-v' IлIV—-v' IВычисление этого ядра приводит к выражению
л
IV—-v' I
л
IV—-v' I
»7" [«.7»7" [«.7(.—.'),' (”—.')/
»7" [«.7
»7" [«.7
I V —v' I2
Отсюда видно, что в рассматриваемом случае появляется расходящийся интеграл, что является следствием предположения (П.24). Проводя обрезание сверху и снизу пределов интегрирования от ^min= 1/^ = ^ до &шах = kTje* = г^|п, в результате получим окончательный вид «интеграла столкновений» в форме Ландау Sa (Г, р, t) = — X 2фр ^-. J Qi, (я — v') {^ f^—^ /=а } dp',
е'(П.28)
Q//=л 1п (тй;) т^тв(1 y^y' I2 ^—к-и—v')i <v—год
(П.29)
который использовался для вычисления коэффициентов переноса для полностью ионизованной плазмы (см. гл. I). Введенный в § 6 кулоновский логарифм Л определяется при этом формулой
Л = In—
min
Следует заметить, что отказ от предположения (П.24) приводит к ядру интегрального члена в кинетическом уравнении, учитывающем поляризацию среды (диэлектрическая проницаемость е¥=1).
В работе [7] вычислялись, при некоторых предположениях, коэффициенты переноса в полностью ионизованной плазме с учетом поляризации среды. При этом показано, что в плазме, в которой температура электронов не очень сильно отличается от температуры ионов, учет поляризации приводит лишь к малым поправкам в коэффициентах переноса, выписанных в § 6, и ими, вообще говоря, можно пренебречь. При 7\>И027\ учет поляризации играет существенную роль.
Оценивая порядок величины «интеграла столкновений» (П.28), получим
сУпг (кТ)3/"/г-г
Трел ’ Де рел е^пх •(И.30)
Здесь трел— носит название времени релаксации. Это время определяет время установления равновесного состояния и по порядку величины совпадает со «временем свободного пробега» заряженных частиц тг и тг, введенных в § 6. Аналогично можно ввести длину релаксации /рел (совпадающую по порядку величины с «длиной свободного пробега»).
Очевидно, имеют место неравенства
трел ~ТкОр ~ top ’ /рел ~ ц Г^’
где ц определяется формулой (П.14).
Если время релаксации трел мало по сравнению с характерным временем задачи t, а длина релаксации /рел мала по сравнению с характерным размером L, т. е. выполнено неравенство ^ел<<^» ИЛИ
то в пределе, как было показано в гл. I, можно перейти к гидродинамическим уравнениям для плазмы.
Таким образом, система неравенств (П. 14), (П. 15), (П.21), (П.22), (П.23) и (П.24) приводит к тому, что для описания процессов в плазме с параметрами, удовлетворяющими этим неравенствам, можно пользоваться замкнутой системой уравнений,
состоящей из кинетического уравнения Больцмана (2.11) с «интегралом столкновений» в форме Ландау (П.28), (П.29) и уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Для перехода при этом к гидродинамическому приближению, рассмотренному в настоящей книге, необходимо еще выполнение неравенства (П.31). Если же выполняется неравенство, обратное (П.31), т. е. когда «столкновения частиц» несущественны, то, как показано в § 8, условием перехода к гидродинамическому приближению будет малость
25 ig2025 ig20155155ОО-5-5-10123456lg Т-10123456lg ТРис. 70.Рис. 70.
25 ig
20
25 ig
20
15
5
15
5
О
О
-5
-5
-10123456
lg Т
-10123456
lg Т
Рис. 70.
Рис. 70.
ларморовского радиуса по сравнению с характерным размером. На рис. 70 представлена диаграмма, на которой изображены области справедливости неравенств, использованных выше. По оси абсцисс отложен десятичный логарифм температуры, выраженной в электрон-вольтах ^эв^ а по оси ординат—десятичный логарифм плотности электронов (в см*^. Нижняя половина диаграммы соответствует сильно разреженным областям в космическом пространстве (межпланетная плазма, межзвездная среда и т. п.), а верхняя—плотным областям (атмосферы Солнца, звезд, планет и т. п.).
Ниже прямой 1 выполняется неравенство (П.14), выше прямых 2 и 2'— неравенство (П.21), а выше 3 и 3'— неравенство (П.22). При этом считается, что порядок величины электрического поля равен Е ~ vTBjc, т. е. максимально возможной величине электрического поля, возникающего вследствие разделения заряда при движении среды относительно магнитного поля, если скорость такого движения не превосходит тепловой скорости. Кроме того,
для прямых 2 и 3 принято значение В ^ 105 гс, а для 2' и 3* — значение В ^ 10“5 гс. Увеличение значения магнитного поля на порядок величины приводит к параллельному переносу последних прямых на две единицы вверх.
Левее прямых 2" и 3” также выполняются неравенства (П.21) и (П.22), но в предположении, что В2/(8л) ~ 2пек1\ Последнее дает возможность не задавать величину магнитного поля.
Левее прямой 4 удовлетворяется неравенство (П.15), а выше 5 и 5' — условие сплошности среды (П.31) (для 5 принято L ^ 105 см, а для 5' L ж 1010 см). Так как для выполнения неравенства (П.31)
требуется
2,26.10-13L>TWe,
то ясно, что увеличение характерного размера L на порядок величины приводит к параллельному переносу 5 и 5f на единицу вниз. Прямая 6 соответствует <оете=1 (для этой прямой также принято В^ 105 гс). Левее 6 имеем соете<^1. Неравенство (П.23) не отмечено на диаграмме, так как оно обычно выполняется для широкого круга задач.
Область А на диаграмме соответствует классической магнитной гидродинамике с изотропными свойствами переноса (соете<^ 1). Область В соответствует магнитной гидродинамике с анизотропными свойствами переноса (§6). В области С столкновениями частиц можно пренебречь. В последнем случае гидродинамическими уравнениями можно пользоваться либо при малости ларморовского радиуса по сравнению с характерным размером задачи, либо при пренебрежении тепловым движением частиц (§ 8). Область D соответствует кинетическому уравнению с интегралом столкновений, зависящим от магнитного поля.
ЛИТЕРАТУРА
К главе I
Ланда у Л. Д., ЖЭТФ, 7, № 2 (1937).
Чепмен С., Каулинг Т., Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, 1960.
Брагинский С. И., В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 1, Атомиздат, 1963.
Баранов В. Б., Любимов Г. А., ПММ, 25, № 3 (1961).
Куликовский А. Г., Любимов Г. А., Магнитная гидродинамика, Физматгиз, 1962.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред. Гостехиздат, 1957.
Chew G., Goldberger М., Low F., Proc. Roy. Soc., A236, № 1204 (1956).
Людвиг T., Хей ль M., В сб. «Проблемы механики», ИЛ, вып. 4, 1963.
Сэмпсон Д., Уравнения переноса энергии и количества движения в газах с учетом излучения, «Мир», 1969.
Кадомцев Б. Б., В сб., «Вопросы теории плазмы», вып. 4, Атомиз- дат, 1964.
Цытович В. Н., Теория турбулентной плазмы, Атомиздат, 1971.
Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 7, Атомиздат, 1973.
Тал М., Abraham S., Cosmic Electrodyn., 3, № 1 (1972).
Barnes A., Hung R., J. Plasma Phys., 8, part 2 (1972).
К главе II
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, Гостехиздат, 1957.
Ватажин А. Б., Любимов Г. А., Регирер С. А., Магнитогидродинамические течения в каналах, «Наука», 1970.
Баранов В. Б., Рудерман М. С., Изв. АН СССР, МЖГ, № 3 (1974).
Куликовский А. Г., Любимов Г. А., Магнитная гидродинамика, Физматгиз, 1962.
Карпман В. И., Нелинейные волны в диспергирующих средах, «Наука», 1973.
Kato Y., Tajiri М., Taniuti Т., J. Phys. Soc. of Japan, 21, № 4 (1966).
Abraham S., J. Plasma Phys., 1, part 3 (1967).
Сагдеев P. 3., В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 4, Атомиздат, 1964.
Веденов А. А., Сагдеев Р. 3., В сб. «Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций», 3, АН СССР, 1958.
Прокофьев В. А., ПММ, 21, № 6 (1957).
Прокофьев В. А., Изв. АН СССР, ОТН, № 7 (1957).
Александров В. В., Рыжов О. С., ЖВМ и МФ, 12, № 6 (1972).
Александров В. В., Рыжов О. С., ЖВМ и МФ, 13, № 3 (1973).
Jeans J., Astronomy and Cosmogony, Cambridge, Univ. Press, 1928.
Chandrasekhar S., Vistas in Astronomy, 1, London, New York, 1955.
Chandrasekhar S., Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, London, Oxford Univ. Press, 1961.
Зельдович Я. Б., Новиковы. Д., Строение и эволюция Вселенной, «Наука», 1975.
Sharma R., Prakash К., Indian J. Phys., 48, № 9 (1974).
Sharma R., Astrophys. and Space ScL, 29, № 1 (1974).
Prakash K., Sharma R., Astrophys. and Space ScL, 33, № 1 (1975).
Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Механика сплошных сред, Гостех- издат, 1954.
Баранов В. Б., Изв. АН СССР, МЖГ, № 2 (1970).
Ахиезер И. А., Половин Р. В., Цинцадзе Н. Л., ЖЭТФ, 37, № 3 (1959).
Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. И., ДАН СССР, 208, No 4 (1973).
Казанцев А. П., ЖЭТФ, 44, № 4 (1963).
Тверской Б. А., ЖЭТФ, 42, № 3 (1962).
Любимов Г. А., ПММ, 25, № 2 (1961).
Baranov V. В., R u d е г m a n М. S., Rarefied Gas Dynam., Proc. 9th Internal. Sympos., Gottingen, 1974, 1, Porz-Wahn, Germany, 1974.
Kenna 1 C., Sagdeev R., J. Geophys. Res., 72, № 13 (1967).
Lynn Y., Phys. Fluids, 10, № 10 (1967).
Abraham S., J. Plasma Phys., 1, part 3 (1967).
Neubauer F., Z. fur Physic, 237, № 3 (1970).
Hudson P., Planet, and Space ScL, 18, № 11 (1970).
Chao J., Goldstein B., J. Geophys. Res., 77, № 28 (1972).
Tidman D., Krall N., Shock waves in collisionless plasmas, New York, Wiley-Interscience, 1971.
BiskampD., Nucl. Fusion, 13, № 5 (1973).
Шерк лиф Дж., Курс магнитной гидродинамики, «Мир», 1967.
Burlaga L., Chao J., J. Geophys. Res., 76, № 31 (1971).
Баранов В. Б., КарталевМ. Д., Изв. АН СССР, МЖГ, № 6 (1972).
Ахиезер А. И., Любарский Г. Я., Половин Р. В., ЖЭТФ, 35, № 6 (1958).
Сыроватский С. И., ЖЭТФ, 35, № 6 (1958).
Morioka S., Spreiter J., J. Plasma Phys., 2, part 2 (1968).
Abraham S., Plasma Phys., 15, № 5 (1973).
Kahn F., Bull. Astron. Inst. NetherL, 12, № 456 (1954).
Абрамович Г. H., Прикладная газовая динамика, «Наука», 1969.
Бергельсон В. И., Немчинов И. В., Светцов В. В., Тезисы докладов на II Всесоюзной конференции по динамике излучающего газа, Москва 1975.
Ораевский А. И., Пименов В. П., Щеглов В. А., ЖТФ, 45, № 4 (1975).
Михайловский А. Б., Теория плазменных неустойчивостей. 1. Неустойчивости однородной плазмы, Атомиздат, 1975.
Ахиезер А. И., Ахиезер И. А., Половин Р.В., СитенкоА. Г., Степанов К- Н., Электродинамика плазмы, «Наука», 1974.
Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3., Ядерный синтез, 1, № 2 (1961).
Moiseev S., Sagdeev R., J. Nuclear Energy, 5, № 1, part C (1963).
Курант P., Уравнения с частными производными, «Мир», 1964.
К главе III
Parker Е., Astrophys. J., 128, № 3 (1958).
Chapman S., J. Atmos. Terr. Phys., 15, № 1/2 (1959).
Грингауз К- И., Безруких В. В., Озеров В. Д., Рыбчин- ский Р. Е., ДАН СССР, 131, № 6 (1960).
Грингауз К. И., В сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 12, изд-во АН СССР, 1962.
Neugebauer М., Snyder С., Science, 138, № 3545 (1962).
Солнечный ветер, Сб. статей под ред. Р. Дж. Маккина и М. Нейгебауэр, «Мир», 1968.
Брандт Дж., Солнечный ветер. Введение в проблему, «Мир», 1973.
Hundhausen A., Coronal expansion and solar wind, New York, Springer - Verlag Berlin Hedelberg, 1972.
Брандт Дж., Ходж П., Астрофизика солнечной системы, «Мир», 1967. 10. Жигулев В. Н., Ромишевский Е. А., ДАН СССР, 127, № 5 (1959). 11. Баранов В. Б., Краснобаев К. В., В сб. «Гидромеханика», 7, Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР (1973).
Parker Е., Space Sci. Revs., 4, № 5/6 (1965).
Marlborough J., Rene Roy J., Astrophys. J., 160, № 1, part 1 (1970).
Пикельнер С. Б., Основы космической электродинамики, Физматгиз, 1965.
Chamberlain J., Astrophys. J., 133, № 2 (1961).
Noble L., Scarf F., Astrophys. J., 138, № 4 (1963).
Scarf F., Noble L., Astrophys. J., 141, № 4 (1965).
Weber E., Solar Physics, 14, № 2 (1970).
Whang Y., Liu C., Chang C., Astrophys. J., 145, № 1 (1966).
Cuperman S., Harten A., Astrophys. J., 169, № 1, part 1 (1971).
Sturrock P., Hartle R., Phys. Rev. Lett., 16, № 14 (1966).
Hartle R., Sturrock P., Astrophys. J., 151, № 3, part 1 (1968).
Petrov G. L, Vorobyov O. S., Proc. 7th Internat. Sympos. Space Technolog. and Sci., Tokio, 1968.
Yeh T., Planet, and Space Sci., 18, № 2 (1970).
Паркер E., Динамические процессы в межпланетной среде, «Мир», 1965.
Weber Е., Davis L., Astrophys. J., 148, № 1, part 1 (1967).
Modisette J., J. Geophys. Res., 72, № 5 (1967).
Alfonso-Faus A., Planet, and Space Sci., 16, № 1 (1968).
Brandt J., Astrophys. J., 144, № 3 (1966).
Dick R., Nature, 202, № 4931 (1964).
Priest E., Pneuman G., Solar Physics, 34, № 1 (1974).
Montgomery M., BameS., Hund hausen A., J. Geophys. Res., 73, № 15 (1968).
Wolf C., Brandt J., Southwick G., Astrophys. J., 165, № 1, part 1 (1971).
Tan M., Abraham S., Cosmic Electrodyn., 3, № 1 (1972).
Hundhausen A., Space Sci. Revs., 8, № 5—6 (1968).
Forslund D., J. Geophys. Res., 75, № 1 (1970).
Мишин E. B., Astrophys. and Space Sci., 27, № 2 (1974).
Михайловский А. Б., Теория плазменных неустойчивостей. I. Неустойчивости однородной плазмы, «Наука», 1974.
Fredricks R., J. Geophys. Res., 74, № И (1969).
Гульельми А. В., Д о в б н я Б. В., Письма в ЖЭТФ, 18, № 10 (1973).
Гульельми А. В., Довбня Б. В., Astrophys. and Space Sci., 31, № 1 (1974).
J о k i p i i J., Davis L., Astrophys. J., 156, № 3, part 1 (1969).
Barnes A., Astrophys. J., 154, № 2, part 1 (1968).
Barnes A., Astrophys. J., 155, № 1, part 1 (1969).
Barnes A., Phys. Fluids, 9, № 8 (1966).
Perkins F., Astrophys. J., 179, № 2, part 1 (1973).
Burl aga L., Ogilvie K., Astrophys. J., 159, №2, part 1 (1970).
Hartle R., Barnes A., J. Geophys. Res., 75, № 34 (1970).
Barnes A., Hartle R., Bredekamp J., Astrophys. J., 166, № 2, part 2 (1971).
Cuperman S., Harten A., Astrophys. J., 163, № 2, part 1 (1971).
В a r n es A., В r a n d t J., H a r 11 e R., W о I f C., Cosmic Electrodyn., 3, № 2 (1972).
HollwegJ.,Astrophys. J.,181,№ 2, part1 (1973).
Schubert G„ ColemanP.,Astrophys.J., 153, №3,part 1 (1968).
BelcherJ.,Astrophys. J„168,№ 3, part1 (1971).
BelcherJ.,Davis L., J.Geophys. Res.,76, № 16(1971).
Wilcox J., Ness N., J. Geophys. Res., 70, № 23"(1965).
Brandt J., Harrington R., Roosen R., Astrophys. J., 184, № 1, part 1 (1973).
Hewish A., Dennison P., J. Geophys. Res., 72, № 7 (1967).
Carovil lano R., S i s с о e G., Solar Physics, 8, № 2 (1969).
Siscoe G-, Finley L., Solar Physics, 9, № 2 (1969).
Siscoe G., Finley L., J. Geophys. Res., 75, № 10 (1970).
Siscoe G., Finley L., J. Geophys. Res., 77, № 1 (1972).
Lewis R., Siscoe G., J. GeophysC Res., 78, № 28 (1973).
Wing C., Coleman P., Planet, and Space Sci., 22, № 3 (1974).
Кочин H. E., К и бе ль И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, т. II, Физматгиз, 1963.
Г о го со в В. В., ПММ, 25, № 1 (1961).
Куликовский А. Г., Любимов Г. А., Магнитная гидродинамика, Физматгиз, 1962.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гостех- издат, 1954.
Sturrock Р., S р г е i t е г J., J. Geophys. Res., 70, № 21 (1965),
Dryer М., Space Sci. Revs., 15, № 4 (1974).
Коробейников В. П., Николаев Ю. М., Cosmic Electrodyn.,
№ 1 (1972).
Burl aga L., Space Sci. Revs., 12, № 5 (1971).
Chao J., Preprint MIT Center for Space Res., CSRTR-70-3, 1970.
Chao J., Goldstein B., J. Geophys. Res., 77, № 28 (1972).
Chao J., Olbert S., J. Geophys. Res., 75, № 31 (1970).
Dobrowol’ny M., Formisano V., Riv. nuovo cimento, 3, №4 (1973).
Сагдеев P. 3., В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 4, Атомиздат, 1964.
Mariani F., Bavassano В., Villanto V., Ness N., J. Geophys. Res., 78, № 34 (1973).
Axford W. I., Dessler A. L, Gottlieb B., Astrophys. J., 137, №4 (1963).
Dessler A. I., Revs. Geophys., 5, № 1 (1967).
Hundhausen A. I., Planet, and Space Sci., 16, № 6 (1968).
Axford W. I., Solar Wind. Proc. Conf. Nat. Aeronaut, and Space Admin.
1971, Washington, D. C., 1972.
Pottasch S. R., Astron, and Astrophys., 17, № 1 (1972).
Pottasch S. R., Astron, and Astrophys., 20, № 2 (1972).
Dal gar no A., McGray R. A., Annu. Rev. Astron, and Astrophys., vol. 10, Palo Alto, Calif., 1972.
Field G. B., Mol. Galact. Environ. New York, e. a., 1973.
Краснобаев К- В., Астрон. ж., 47, № 5 (1970).
Wallis М., Month. Not. Roy. Astron. Soc., 167, № 1 (1974),
F a h г Н. J., Space Sci. Revs., 15, № 4 (1974);
В е г t a u х J. L., В 1 a m о n t J. Е., Т a b а г i е N., Kurt W. G., В о и г- gin М. С., Smirnov A. S., Romanova N. N., Astron, and Astrophys., 46, № 1 (1976).
Дорман И. В., Дорман Л. И., Изв. Ан СССР, сер. физ., 33, № 11 (1969).
Parker Е. N., Astrophys. J., 134, № I (1961).
Баранов В. Б., Краснобаев К. В., Куликовский А. Г., ДАН СССР, 194, № 1 (1970)
Баранов В. Б., Краснобаев К- В., Космич. исслед.,9, № 4 (1971).
Баранов В. Б. Краснобаев К. В., Рудерман М. С., Astrophys. and Space Sci., 41, № 2 (1976).
Ч e p н ы й Г. Г., Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью, Физматгиз, 1959.
Гили некий М. М, Лебедев М. Г., Изв. АН СССР МЖГ, № 1 (1977).
Баранов В. Б., Краснобаев К- В., Онищенко О. Г., Письма в Астрой, ж., 1, № 4 (1975).
W а 11 i s М., Nature, 254, № 5497 (1975).
Blum Р. W., Fahr Н. I., Astron, and Astrophys., 4, № 2 (1970).
Sema r C. L., J. Geophys. Res., 75, № 34 (1970).
S e m a r C. L., J. Geophys. Res., 76, № 22 (1971).
Wallis M., Nature Phys. Sci., 233, № 37 (1971).
Fahr H. I., Planet, and Space Sci., 19, № 9 (1971).
Куликовский А. Г., Слободкина Ф. А., ПММ, 31, № 4 (1967).
McDonough T. R., В r i c e N. M., Icarus, 15, № 3 (1971).
Крымский Г. Ф., Изв. АН СССР, сер. физ., 33, № 11 (1969).
Зусманович А. Г., Коломеец Е. В., Шварцман Я. Е., Изв. АН СССР, сер. физ., 35. № 12 (1971).
Чарахчьян А. Н., ЧарахчьянТ. Н., Изв. АН СССР, сер. физ., 35, № 12 (1971).
Лаврухина А. К., Изв. АН СССР, сер. физ., 35, № 12 (1971).
Сивухин Д. В. В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 4, Атомиздат, 1964.
Bhatnagar V. Р., Fahr Н. I., Planet, and Space Sci., 20, №4 (1972).
Chapman S., Ferraro V. C. A., Terrest, magnetism and atmospheric electricity, 36, № 1 (1931).
S p r e i t e r J. R., Jones W. R., J. Geophys. Res., 68, № 12 (1963).
Spreiter J. R., Summers A. L., Alksne A. Y., Planet, and Space Sci., 14, № 3 (1966).
Spreiter J. R., Alksne A. Y., Revs. Geophys., 7, № 1—2 (1969).
Spreiter J. R., Alksne A. Y., Annu. Rev. Fluid Meeh., vol. 2, Palo Alto, Calif., 1970.
Солнечно-земная физика. Сб. статей. Перев. с англ, под ред. И. А. Жулина и Г. А Скуридина, «Мир», 1968.
Физика магнитосферы, Сб. статей под ред. Д. Вильямса и Дж. Мида, «Мир», 1972.
Сыроватский С. И., ЖЭТФ, 60, № 5 (1971).
U n t i Т., Atkinson G., J. Geophys. Res., 73, № 23 (1968).
Крылов А. Л., ДАН СССР, 207, № 1 (1972).
Spreiter J. R., Alksne A. Y., Planet, and Space Sci., 17, №2 (1969).
Ness N. F., Behannon K. W., Lepping R. P., Whang Y. C., J. Geophys. Res., 80, № 19 (1975).
Wolf J. H., Mihalov J. D., Col 1 ard H. R., McKibbin D. D., J. Geophys. Res., 79, № 25 (1974).
SmithE,J.,DavisL., JonesD. Е.,Col emanP.S.,Col burnD, S., D у a 1 P., S о n e 11 С. P., Frandsen A. M. A., J. Geophys. Res., 79, № 25 (1974).
Долгинов Ш. III., Ерощенко E. Г., Жузгов Л. И., Космич. исслед., 13, № 1 (1975).
Scarf F. L., Planet, and Space ScL, 17, № 4 (1969).
Michel F. C., Revs. Geophys. and Space Phys., 9, №2(1971).
Spreiter J. R., Summers A. L., Rizzi A. W., Planet, and Space Sci., 18, № 9 (1970);
С 1 о u t i e r P. A., Me E 1 г о у M. В., Michel F. C., J. Geophys. Res., 74, № 26 (1969).
Elco R. A., J. Geophys. Res., 74, № 21 (1969).
ГрингаузК-И., Безруких В. В., Волков Г. И., Мусатов Л. С., Бреус Т. К-, Космич. исслед., 8, № 3 (1970).
Spreiter J. R., Rizzi A. W., Planet, and Space Sci., 20, № 2 (1972).
Вайсберг О. Л., Богданов А. В., Космич. исслед., 12, № 2 (1974).
Грингауз К- И., Безруких В. В., Б реу с Т. К.,ВеригинМ.И., Волков Г. И., Дьячков А. В., Космич. исслед., 12, № 4 (1974).
Грингауз К. И., Безруких В. В., Веригин М. И., Реми- з о в А. П., Космич. исслед., 13, № 1 (1975).
Cloutier Р. A., Daniel R. Е., Jr., Planet, and Space Sci., 21, № 3 (1973).
Johnson F. S., Midgley J. E., J. Geophys. Res., 73, № 5 (1968).
So nett С. P., Colburn D. S., Nature, 216, № 5113 (1967).
Michel F. C., J. Geophys. Res., 73, № 5 (1968).
Wolf R. A., J. Geophys. Res., 73, № 13 (1968).
Spreiter J. R., Marsh M., Summers A. L., Cosmic Electrodyn., 1, № I (1970).
Beers B. L., Phys. Fluids, 15, № 8 (1972).
WhangY.C.,Phys.Fluids, 11,№5(1968).
WhangY.C.,Phvs.Fluids, 11,№8(1968).
WhangY.C.,Phys.Rev., 186,№1(1969).
WhangY.C.,SolarPhysics, 14,№1(1970).
Москаленко A. M., Космич. исслед., 10, № 6 (1972).
Липатов А. С., Космич. исслед., 14, № 1 (1976).
Wang С. Р., AIAA Paper, № 61 (1970).
Wang С. Р., AIAA Journal, 9, № 6 (1971).
Dryer М., Cosmic Electrodyn., 1, № 1 (1970).
К главе IV
Stromgren В., Astrophys. J., 89, № 4 (1939).
Соболев В. В., Курс теоретической астрофизики. «Наука». 1975.
Каплан С. А., П и к е л ь н е р С. Б., Межзвездная среда, Физматгиз, 1963.
Spitzer L., Diffuse matter in Space, New York, Interscience, 1968.
Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П., Физика ударных волн и высокотемпературных газодинамических явлений, «Наука», 1966.
Humner D. G., Seaton М. J. Month. Not. Roy. Astron. Soc., 125, № 5 (1963).
Краснобаев К- В., Астрон. ж., 47, № 5 (1970)
Аллер А., Ли л лер У., Планетарные туманности, «Мир», 1971.
Rubin R. Н., Astrophys. J., 153, № 3, part 1 (1968).
Владимиров В. С., В сб. «Вычислительная математика», №3,стр. 3, 1958.
И. Sofia S., Ann. d’Astrophys., 30, № 3 (1967).
Hjellming R. M., Astrophys. J., 143, № 2 (1966).
Филд Дж., В сб. «Космическая газодинамика», «Мир», 1972.
Mathews W. G,, Astrophys. J., 142, № 3 (1965).
Axford W. I., Phil. Trans. Roy. Soc., A253, № 1029 (1961).
Седов Л.И., Методы подобия и размерности в механике, «Наука», 1965.
К а п л а н С. А., Межзвездная газодинамика, Физматгиз, 1958.
Mathews W. G., О’ Dell С. R., Annu. Rev. Astron, and Astrophys., vol. 7, Palo Alto, Calif., 1969.
Goldsworthy F. A., Phil. Trans. Roy. Soc., A253, № 1029 (1961).
Newman R. C.,Axford W. I.,Astrophys. J., 153, № 2,part 1 (1968).
Зельдович Я.Б., Сюняев Р.А.,ЖЭТФ, 56, № 6 (1969).
VandervoortР. О., Astrophys.J.,137, № 2 (1963).
VandervoortР. О., Astrophys.J.,138, № 2 (1963).
Курант Р., Уравнения с частными производными, «Мир», 1964.
Lasker В. М., Astrophys. J., 143, № 3 (1966).
Mathews W. G., Astrophys. J., 157, № 2, part 1 (1969).
Silk J., Publ. Astron. Soc. Pacif., 8 5. № 508 (1973).
Пикельнер С. Б., В сб. «Звезды, туманности, галактики», Ереван, Изд-во АН Арм. ССР, 1969.
Dyson J. Е., Astron, and Astrophys., 20, № 2 (1972).
Siscoe J., Heineman M., Astrophys. and Space Sci., 31, № 2 (1974).
Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Механика сплошных сред., Гостех- издат, 1954.
Vandervoort Р. О., Astrophys. J., 135, № 1 (1962).
Vandervoort Р. О., Astrophys. J., 138, № 2 (1963).
Axford W. L, Astrophys J., 140, № 1 (1964).
Axford W. I., Newman R. C., Astrophys. J., 149, № 3 (1967).
К pa ch оба ев К. В., ДАН СССР, 196, № 6 (1971).
Краснобаев К. В., Изв. АН СССР, МЖГ, № 6 (1971).
Capriotti Е. R., Astrophys. J., 179, № 2, part 1 (1973).
Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Oxford, 1961.
Краснобаев К. В., Перенос ионизующей радиации в неравновесных условиях, Автореферат диссертации, Изд-во Московского Университета, 1971.
Macpherson А. К., Astrophys. J., 192, № 1 (1974).
Ге р цен ште й н С. Я., Краснобаев К- В., Изв. АН СССР, МЖГ, № 2 (1973).
Кобзев В. М., Краснобаев К. В., Тезисы докладов II Всесоюзной конференции по динамике излучающего газа. Москва, 1975.
Мецгер П. В сб. «Космическая газодинамика». «Мир», 1972.
Dyson J. Е., Astrophys. and Space Sci., 1, № 3 (1968).
Dyson J. E., Astrophys. and Space Sci., 2, № 4 (1968).
Kahn F. D., Physica, 41, № 1 (1969).
Dyson J. E., Astron, and Astrophys., 32, № 3 (1974).
H e r b i g G. H., Publ. Astron. Soc. Pacif., 86, № 513 (1974).
Д и б а й В. А., Каплан С. А., Астрой, ж., 41, № 4 (1964).
Borruyer N., Astron, and Astrophys., 30, № 3 (1974).
Dopita M. A., Nature, 250, № 5465 (1974).
Z u z a k W. W., A h I b о г n В., Physica, 41, № 1 (1969).
D a 1 g a r n о A., M c G г a у R.A., Annu. Rev. Astron. Astrophys., vol. 10. Palo Alto, Calif., 1972.
Field G. B., Astrophys. J., 142, № 2 (1965).
П и к e л ь н е р С. Б., Астрон. ж., 44, № 5 (1967).
Зельдович Я. Б., Пикельнер С. Б., ЖЭТФ, 56, № 1 (1969).
Field G. В., Mol. Galact. Environ, New York e. a., 1973.
PottaschS. R., Astron, and Astrophys., 17, № 1 (1972).
PottaschS. R., Astron, and Astrophys., 20, № 2 (1972).
Radhakrishnan V., Murray J. D., Lockhart Peggy, Whittle R. P. J., Astrophys. J. Suppl. Ser., 24, № 203 (1972)
York D. G., Proc. Roy. Soc., London, A340, № 1623 (1974).
Steigman G., Strittmatter P. A., Williams R. E., Astrophys. J., 198, № 3, part 1 (1975).
Шкловский И. С., Сверхновые звезды, «Наука», 1966.
Woltjer L., Proc. Conf. Supernovae Lecee, 1973, Dordrecht — Boston, 1974.
Шкловский И. С., Астрон. ж. 39, № 2(1962).
Дьяченко В. Ф., Имшенник В. С., ПалейчикВ. В., Астрон. ж., 46, № 4 (1969).
Ardavan Н., Astrophys. J., 184, № 2, part 1 (1973).
Chevalier R. A., Astrophys. J., 188, № 3, part 1 (1974).
Mansfield V. N., Sal peter E. E., Astrophys. J., 190, № 2, part 1 (1974).
Петров Г. И., Стулов В. П., Космич. исслед., 13, № 4 (1975).
Tucker W. Н., Astrophys. J., 167, № 3, part 2(1971).
Schwarz J., Astrophys. J., 182, № 2, part 1 (1973).
Kafatos M., Astrophys. J., 182, № 2, part 1 (1973).
Стрельницкий В. С., УФН, 113, № 3 (1974).
Литвак М. М., В сб. «Космические мазеры», «Мир», 1974.
Aannestad Р. A., Field G. В., Astrophys. J., 186, № 1, part 2, L29L32 (1973).
MufsonS., Astrophys. J., 193, № 3, part 1 (1974).
Aannestad P. A., Astrophys. J. Suppl. Ser., 25, № 217 (1973).
'Lasker В. M., Astrophys. J., 146, № 2 (1966).
Field G. B., Rather J. D. G., Aannestad P. A., Astrophys. J., 151, № 3, part 1, 2 (1968).
Mufso n S. L., Astrophys. J., 198, № 2, part 1 (1975).
К главе V
L Hubble E., The Realm of the Nebulae, New Haven, Gale Univ. Press, 1936.
Марочник Л. С., Сучков А. А., УФН, 112, № 2 (1974).
WielenR., Publ. Astron. Soc. of the Pacific, 86, № 512, (1974).
Toomre A., Astrophys. J., 139, № 4 (1964).
Чандрасекар С., Принципы звездной динамики, ИЛ, 1948,
Julian W., Toomre A., Astrophys. J., 146, № 3 (1969).
Vandervoort P., Astrophys. J., 161, № 1, part 1 (1970).
KatoS., Publ. Astron. Soc. of Japan, 24, № 1 (1972).
Toomre А., В сб. «Highlight of Astronomy», 3, стр. 457, D. Reidel Publishing Company, 1974.
Schmidt M., В сб. «Stars and Stellar Systems», 5, Chicago — London, Chicago Univ. Press, 1965.
L i n d b 1 a d B., Hundbuch der Physik, 53, p. 21 (1959).
LinC., Shu F., Astrophys. J., 140, № 2 (1964).
Lin C, Yuan C., Shu F., Astrophys. J., 155, № 3, part 1 (1969).
M a г о c h n i k L. S., Suchkov A. A., Astrophys. and Space Sci., 4, № 3 (1969).
Kato S., Publ. Astron. Soc. of Japan, 25, № 3 (1973).
Бисноватый-Коган Г. С., Астрофизика, 7, № 2, 1971.
Fujimoto М., Astrophys. J., 152, № 2, part 1 (1968).
Roberts W., Astrophys. J., 158, № 1, part 1 (1969).
П и к e л ь н e p С. Б., Астрон. ж., 47, № 4 (1970).
Shu F., Milione V., Gebel W., Yuan C., Goldsmith D., Roberts W., Astrophys. J., 173, № 3, part 1 (1972).
2L Shu F., M i 1 i о n e V., Roberts W., Astrophys. J., 183, № 3, part 1 (1973).
Kaplan S. A., P i к e P n e г S. B., Ann. Rev. of Astronomy and Astrophys., 12, p. 113 (1974).
Mathewson D., К г u i t P. van der, Brow W., Astron, and Astrophys., 17, № 3 (1972).
PiddingtonJ., Astrophys. J., 179, № 3, part 1 (1973).
Piddington J., Month Not. Roy. Astron. Soc., 162, № 1 (1973).
Hohl F., Astrophys. J., 168, № 3, part 1(1971).
К приложению
Власов А. А., Теория многих частиц, Гостехиздат, 1950.
Ландау Л. Д., ЖЭТФ, 7, № 2 (1937).
Боголюбов Н. Н., Проблемы динамической теории в статистической физике, Гостехиздат, 1946.
Климонтович Ю. Л., Статистическая теория неравновесных процессов в плазме, Изд-во МГУ, 1964.
Бар а нов В. Б., ПМТФ, № 3 (1964).
Силин В. П. Рухадзе А. А., Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред, Госатомиздат, 1961.
Горбунов Л, М., Силин В. П., ЖТФ, 34, № 3 (1964).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Бриз звездный 120, 121
Вектор потока квантов 69
— — тепла 17, 39
Ветер звездный 116, 120
— межзвездный дозвуковой 175
— — сверхзвуковой 175
— солнечный 115
«Вмороженность» магнитного поля 59
Волна альфвеновская 63, 66
— — замедленная 64
— — ускоренная 64
— магинтозвуковая 63, 66
— — быстрая 63, 66
— — медленная 63, 66
— плотности спиральная 302, 303
— простая 77, 108
— — альфвеновская 79
— — быстрая 79, 80, 81
— медленная 79, 80, 81
— энтропийная 78
— ударная 85, 96
бесстолкновительная 108, 110, 111
— — «взрывная» 169
— — включения 97
— — впереди идущая 166
— — выключения 97
— — галактическая 310
— — изотермическая ИЗ, 241
— — наклонная 96
— — неэволюцнонная 99
— — обратная 166
— — перпендикулярная 96
— — «поршневая» 169
— — сильная 113
— — слабая 85
— — эволюционная 99
— уединенная 63, 82, 109
— энтропийная 62, 66
Время релаксации 322
— установления ионизационного баланса 229
— — теплового равновесия 230
Вспышка сверхновой звезды 279
Галактика 289
Гидродинамика магнитная анизотропная
ЧГЛ 46, 81
— псевдомагнитная (PMHD) 67
— реверсмагннтиая (RMHD) 67
Глобула 264, 269
Давление анизотропное 44, 65
— парциальное 16, 17
— поперечное 93
— продольное 66, 93
Движение безвихревое 177
Диск галактический 295, 300
Дисперсия 81
— скоростей 297, 305
— холловская 145, 172
Длина волны джинсовская 75
Единица астрономическая (д. е.) 125
Задача автомодельная 237
Закон Ома обобщенный 40, 41
Звезда сверхновая 279
Зона Стрёмгрена 216
— HI 215, 216
— НИ 215, 216
Излучение диффузное 217, 227
Инвариант первый адиабатический 145
Интеграл столкновений в форме Больцмана
21, 36, 313
Ландау 22, 313, 314, 320, 321
Интенсивность излучения 48
— — диффузного 221
Ионопауза 205
Короиа Солнца 129
Коэффициент вязкости ионов 33
— — электронов 33
— дилюции излучения 217
— излучения 49
— поглощения 49
— фоторекомбинацнн 221, 223, 225
Коэффициенты переноса 28, 33
— теплопроводности 31
Кривая характеристическая 112, 247
Критерий Джинса 75, 76
Логарифм кулоновский 32, 130
Магнитопауза 95, 201
Магнитосфера 197, 199
Ма сс а Сол н ца 129
Материя межоблаковая горячая 278
Мерцания 185, 186
Метод характеристик 246, 251
Модель Галактики 301
Неустойчивость Джинса 75
— «зеркальная» 67, 81, 149
— Рэлея — Тейлора 262, 264
— тепловая 272, 273
— «шланговая» 67, 81, 149
Облако межзвездной среды 278
Область эволюционное™ 100
Оболочка сверхновой звезды 280
Опрокидывание волны 89
Параметр прицельный 19
Парсек (пс) 216
Перезарядка, 189, 190
Плазма 9
— бесстолкновительная 46
— двухтемпературная 39
— ионизованная полностью 9
— — частично 9
— кулоновская 317
— холодная 105
Плотность заряда 37
— полной внутренней энергии 50
— электрического тока 37
— энергии излучения 50
Поверхность характеристическая 111
Поле самосогласованное 313
Полость Чепмена — Ферраро 199
Последовательность Хаббла 290
Постоянные Оорта 294
Потенциал гравитационный 73, 265, 293, 294, 296, 305
Поток радиационной энергии 50
Приближение большой оптической толщины газа 232
— «туго закрученных спиралей» 303
Равновесие атмосфер звезд гидростатическое 116
Радиация диффузная 217
Радиус дебаевский 36, 107, 317
— ларморовский 29, 34, 36, 320
— Солнца 129
Разрыв альфвеновский 97
— ионизационный 103
— контактный 95
— произвольный 165
— сильный 92, 111
— слабый 111, 112
— тангенциальный 95
Распад произвольного разрыва 165
Резонанс линдбладовский 306
— — внутренний 308
Решение автомодельное 236
Рукава спиральные 301
Структура межпланетного магнитного поля секторная 157, 158
— области ионизации 282
— разрыва 284
— ударного фронта 284
— Ударной волны 285, 286
Тензор вязких напряжений 16, 32
— напряжений 16
— радиационного давления 50
Теорема компланарности 96
— Росселанда 218
Течение гнперзвуковое 112
— изотермическое 229
-^Толщина оптическая 224, 226, 227
Точка критическая альфвеновская 138
— — звуковая 124
Узор спиральный 292
Уравнение Бернулли 113
— Больцмана 13, 313, 314
— Бюргерса 91
— дисперсионное 295, 305, 306
— индукции магнитного поля 45, 56, 58
— ионизационного равновесия 221
— Лиувилля 313, 314
Уравнения Лоренца 314
— моментные 15
Устойчивость нейтральная 297, 299, 300
Формула Ньютона 198
Фотосфера солнечная 129
Фронт ионизационный (/-фронт) 103, 104, 234, 257, 258
S-типа 104, 234, 241, 245, 262, 263
— — Д-типа 104, 233, 241, 243, 251, 262
— радиационный 269
— ударной волны 285
Функция корреляции 319
— распределения II
— — звезд 296, 302, 305
— — излучения 47
— — локально-максвелловская 24, 36
— — максвелловская 30
— — фотонов 4 8
— — Шварцшильда 2 97, 300, 305
Сила трення 16, 35
Скачок 285
Скорость звука адиабатическая 71
— — изотермическая 71, 119
— ионно-звуковая 107
— электрического дрейфа 43
Слой нейтральный 203
Солитон 63, 82, 109
— быстрый 84
— медленный 84
Спираль закручивающаяся 304
— раскручивающаяся 304
Среда диспергирующая 81
— межзвездная двухфазная 276, 279
— самогравитирующая 72
Степень ионизации водорода 225
Структура галактик спиральная 291, 292,
301, 310, 311
Характеристика 89, 112
Хромосфера 129
Частота ленгмюровская ионная 108
— — электронная 106
— циклотронная 29, 32
— — ионная 149
— эпициклическая 295, 299
Число Кнудсена 211
— Маха 112, 114
— — радиальное альфвеновское 138
— Рейнольдса магнитное 57, 287
Эволюционность ударных воли 98
Электропроводность полностью ионизован
ной плазмы 41
Эффекты дисперсионные 62
— Холла 41
Владимир Борисович Баранов Константин Васильевич Краснобаев
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ
М., 1977 г., 336 стр. с илл.
Редактор В. А. Б рост рем
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректор Г. В. Подвольская
Сдано в набор 31/III Подписано к печати 1 Бумага 60х90/1в. Условн. печ. л. 2 1. Тираж 2 500 экз.Цена книги 2 р.Сдано в набор 31/III Подписано к печати 1 Бумага 60х90/1в. Условн. печ. л. 2 1. Тираж 2 500 экз.Цена книги 2 р.1977 г.9/VII 1977 г.Физ. печ. л. 2 1.Уч.-изд. л. 22,05.Т-13235.60 к. Заказ № 2647.1977 г.9/VII 1977 г.Физ. печ. л. 2 1.Уч.-изд. л. 22,05.Т-13235.60 к. Заказ № 2647.
Сдано в набор 31/III Подписано к печати 1 Бумага 60х90/1в. Условн. печ. л. 2 1. Тираж 2 500 экз.
Цена книги 2 р.
Сдано в набор 31/III Подписано к печати 1 Бумага 60х90/1в. Условн. печ. л. 2 1. Тираж 2 500 экз.
Цена книги 2 р.
1977 г.
9/VII 1977 г.
Физ. печ. л. 2 1.
Уч.-изд. л. 22,05.
Т-13235.
60 к. Заказ № 2647.
1977 г.
9/VII 1977 г.
Физ. печ. л. 2 1.
Уч.-изд. л. 22,05.
Т-13235.
60 к. Заказ № 2647.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
1 17071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома
при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28
Отпечатано во 2-ой типографии издательства
«Наука»,
Москва 121099, Шубинский пер., 10.
1 0, r < Ro,(31.3)
^Vf/Rex-^R,,
и во втором
\PV P4, ^} = {a0, 1, -I-^tt^^oM,
Ho C) = ^exp(31.4)
Используя такое представление для Pv Рй, Р3, получим следующее квадратное уравнение для ^:
+ 2М1 + г (1п^)1-2Р^0. ; (31.5)
'с L■А* — Гс
Поведение интегральных кривых т] (г) в окрестности особой точки т] = 0 определяется корнями уравнения (31.5). Непрерывному переходу от сверхзвукового течения к дозвуковому отвечает случай, когда оба корня (31.5) отрицательны—тогда особая точка есть узел (только особая точка этого типа допускает при фиксированных начальных условиях непрерывный переход на другие интегральные кривые, соответствующие множеству зна-