Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ЗАДАЧ Н И К- П РА КТ И КУ М ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
(с элементами аналитической геометрии)
МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
(с элементами аналитической геометрии)
для студентов-заочников I курса физико-математ ических факультетов педагогических институтов
Под редакцией В. К. Егерева
МОСКВА ПРОСВЕЩЕНИЕ 1981
Рекомендовано к печати Главным управлениемвысших и средних педагогических учебных заведенийМинистерства просвещения РСФСР
Авторы: В. К. Егерев, Г. А. Несененко,В. А. Козлова, 3. Т. Диканова, О. С. Корсакова.
Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, профессор Баврин И. И., кандидат пед. наук, старший методист-инспектор Министерства просвещения СССР Гусев В. А.
Редактор МГЗПИ Павлович О. А.
60602—492
3 —*— заказное 4309020400
103(03)—81
® Московский государственный заочный педагогический институт (МГЗПИ), 1981 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый задачник-практикум предназначен для использования на практических занятиях по курсу математического анализа в системе заочных отделений педагогических институтов.
Небольшое количество часов, отводимых по плану на проведение этих занятий, заставляет искать более эффективные формы преподавания. В связи с этим нами сделана попытка разработать новую форму задачника. Отличие этого пособия от других, ему аналогичных, изданных ранее, в том, что оно содержит элементы программированного обучения и предназначено прежде всего для использования на практических занятиях.
Несколько слов о структуре задачника. Он содержит 23 параграфа по основным темам курса математического анализа (с элементами аналитической геометрии). В начале каждого параграфа даются основные сведения из теории, причем теоретический материал предлагается в виде заданий. Студент должен устно или путем записи необходимых ответов в тетради восстановить обозначенные многоточием пропуски в формулировках теоретических утверждений. Это позволяет сравнительно быстро повторить основные определения и теоремы по теме. Далее предлагаются примеры и упражнения, рассчитанные на выработку необходимых умений и навыков, и наконец, упражнения, решение которых предполагается в межсессионный период. К упражнениям для самостоятельного решения даются ответы.
Как показал опыт работы кафедр математического анализа МГЗПИ и ЛГПИ им. А. И. Герцена, предлагаемая форма задачника позволяет более эффективно проводить занятия, что способствует повышению качества подготовки специалистов.
Пособие может быть использовано как студентами-заочниками физико-математических факультетов (специальности № 2104 и № 2105), так и студентами-заочниками биолого-химических факультетов.
Авторы будут благодарны читателям за критические замечания и советы, которые просим присылать по адресу: «109004, Москва, В. Радищевская, 18, МГЗПИ, Редакционно-издательский отдел».
Авторы
§ 1. МЕТОД КООРДИНАТ. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Основные сведения из теории
1°. Закончите утверждения:
Если на плоскости даны две точки М1 (хг; yj и М2 (х2; Уг), то расстояние d между ними определяется формулой d = ... .
Если точка М (х; у) лежит на прямой, проходящей через две данные точки Мг (х^ yj и М2 (х2; у2), а отношение, в котором точка М делит отрезок МгМ2, определяется равенством л=^^-, то коор
динаты точки М определяются по формулам
X = ..., у = ... .
Если точка М— середина отрезка N\XNV2. то ее координатами являются числа
X = ..., у = ... .
Площадь треугольника АВС. где Л (хг; yj, 5 (х2; у2) и С (х3; у3), определяется формулой S = ... , причем знак + соответствует обходу точек А. В и С ... часовой стрелк..., а знак — соответствует обходу точек ... часовой стрелк... .
2°. Напишите уравнение прямой:
с угловым коэффициентом;
проходящей через точку А (х0; у0) и имеющей угловой коэффициент к\
проходящей через две точки Мх (х^ yj и М2 (х2; у2),
отсекающей на осях координат отрезки а и Ь;
общее;
нормальное.
3°. В соответствии с правилом поэтапного приведения общего уравнения прямой к нормальному виду:
напишите общее уравнение прямой;
составьте нормирующий множитель;
выберите знак нормирующего множителя;
напишите нормальное уравнение прямой.
. Напишите формулу для вычисления отклонения 6 точки М* (х*; у*) от прямой х cos а + у sin а — р = 0.
. Вставьте знаки неравенства в утверждения:
Если данная точка /И* (х*; у*) и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, то отклонение 6 ... 0.
Если данная точка А4* (х*; у*) и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой, то 6 ... 0.
6°. Закончите утверждение:
Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение 6 и взять ... .
П. Примеры и упражнения
Напишите уравнения прямых, изображенных на рисунках 1—5.
Постройте прямые, заданные следующими уравнениями:
а) у = 2х + 3; б) у — 2 = 3 (х + 1);
B)± + Z=i; r)£±2 = ti
д) х cos 45° + у sin 45° — 2 = 0.
Для треугольника АВС, заданного координатами своих вершин А (—4; 0), 5 (4; 6), С (—1; —4):
составьте уравнение высоты, проведенной из вершины А;
найдите длину этой высоты;
вычислите длину медианы AD, проведенной к стороне ВС;
определите координаты центра тяжести треугольника;
найдите тангенс внутреннего угла С, Решение.
а) Уравнение прямой ВС*. ...;
угловой коэффициент (ВС): ...;
условие перпендикулярности двух прямых: ...;
угловой коэффициент искомой высоты: ... ;
уравнение высоты: ... .
а) Нормальное уравнение прямой: ...;
отклонение 6 точки А от прямой ВС\ ...;
расстояние d точки А от прямой ВС: ...;
отрицательный знак ... указывает на то, что точка А ... .
а) Координаты точки D: ...;
\AD\ = ... .
а) Отношение, в котором центр тяжести треугольника — точка Р делит каждую медиану, начиная от вершины: ...;
координаты точки Р: ... .
а) Внутренний угол С — это угол между прямыми ... и ..., определяемый вращением прямой часовойстрелк...;
выберем одно из соотношений:
tgCtgC^В7 ~ ^АС1 + ^ВС * кАС^В7 ~ ^АС1 + ^ВС * кАСили tg С =или tg С =^АС — kBc е 1 + кАС • квс ’^АС — kBc е 1 + кАС • квс ’
tgC
tgC
^В7 ~ ^АС
1 + ^ВС * кАС
^В7 ~ ^АС
1 + ^ВС * кАС
или tg С =
или tg С =
^АС — kBc е 1 + кАС • квс ’
^АС — kBc е 1 + кАС • квс ’
уравнение прямой АС: ...;
угловой коэффициент (Л С): ...;
угловой коэффициент (ВС): ...;
тангенс внутреннего угла С: ... .
4. Для прямых, заданных уравнениями 4х + Зу — 18 = 0 и 7х + 24у + 156 = 0:
составьте уравнения биссектрис углов, образованных этими прямыми;
докажите, что биссектрисы перпендикулярны друг другу. Решение.
а) Нормальные уравнения прямых 4х + Зу — 18 = 0 и 7х -V + 24у + 156 = 0: ... и ...;
искомые биссектрисы являются множеством точек, равноудаленных от: ...;
уравнения биссектрис: ... .
а) Угловые коэффициенты биссектрис: ...;
произведение угловых коэффициентов биссектрис: ... .
5. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 8х — Зу — 1=0 и 4% + у — 13 = 0 и через точку А (—1; 2).
Решение.
Уравнение пучка (совокупности) прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых: (...) + q (...) = 0.
Для того чтобы прямая пучка проходила через точку А (—1; 2), необходимо, чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнению прямой пучка: ... .
Значение параметра q: ... .
Уравнение искомой прямой: ... .
Упражнения для самостоятельного решения
На прямую, проходящую через точки А (1; —2) и В (0; —7), опущен перпендикуляр из точки D (—3; 4). Вычислите отношение, в котором основание этого перпендикуляра делит отрезок АВ.
Составьте уравнения сторон квадрата, одна из вершин которого А (2; —4), а точка пересечения диагоналей М (5; 2).
Определите угол ср между прямыми:
5х — у + 7 = 0 и Зх + 2у = 0;
Зх — 2у + 7 = 0 и 2х + Зу — 3 = 0;
х — 2у — 4 = 0 и 2х — 4у + 3 = 0;
Зх + 2у — 1 = 0 и 2х — 4у + 3 = 0.
Луч света направлен по прямой х — 2у + 5 = 0. Дойдя до прямой Зх — 2у + 7 = О, луч отразился от нес. Составьте уравнение прямой, которой принадлежит отраженный луч.
Установите, какие из следующих пар прямых перпендикулярны, а какие параллельны:
а) Зх —у+5=0 и х+Зу—1=0;б) Зх+4у+1=0 и 4х—Зу+8=0;
в) 6х—15у+3=0 и 10х+4у—2=0; г) 9х— 12у+1=0и8х+6у—13=0; д) 6х—2у+1=0 и Зх—у+7=0;е) Зх—4у+7=0 и 6х—8у+1=0.
Определите, при каких значениях т и п две прямые тх + 8у + + п = 0 и 2х + пгу — 1 = 0: а) параллельны; б) совпадают; в) перпендикулярны.
Определите, при каком значении т две прямые тх + (2т + + 3)у + /тг + 6 = 0 и (2т + 1) х + (т — 1) у + т — 2 = 0 пересекаются в точке, лежащей на оси ординат.
Определите, при каком значении а три прямые 2х — у + 3=0, х + у + 3 = 0, ах + у — 13 = 0 будут пересекаться в одной точке.
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку Р (8; 6) и отсекающей от координатного угла треугольник, площадь которого равна 12.
Площадь треугольника равна 8. Двумя его вершинами являются точки А (1; —2) и В (2; 3), а третья вершина С лежит на прямой 2х + у — 2 = 0. Определите координаты вершины С.
Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки Р (4; —1) на прямую 12х — 5у — 27 = 0.
Напишите уравнение биссектрис углов, образованных прямыми х + 7у — 6 = 0 и 5х — 5у + 1 = 0.
Дано уравнение пучка прямых (5х + Зу + 6) + q (Зх — 4у — — 37) = 0. Докажите, что прямая 7х + 2у — 15 = 0 не принадлежит этому пучку.
Найдите уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых (х + 2у — 5) + q (Зх — 2у + 1) = 0 и а) проходящей через точку А (3; —1); б) проходящей через начало координат; в) параллельной оси абсцисс; г) параллельной оси ординат; д) параллельной прямой 4х + Зу — 5 = 0; е) перпендикулярной к прямой 2х + Зу — 1 = 0.
Установите, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями:
а) р = 5; б) ф = —; в) р cos ф = 1; г) р sin ф = 2; д) р = 10 cos ф;
4
с) р = 6 sin ф; ж) sin ф = у; з) sin ф = 1; и) р = a sin 2 ф. Сделайте схематические чертежи.
§ 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Основные сведения из теории
1°. Закончите утверждения:
Уравнение (х — а) + (у — Ь)2 = R2 определяет ... радиуса... с центром в точке ... .
Уравнение окружности с центром в начале координат принимает следующий вид: ... .
2°. Закончите определение:
Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых ..., есть ... .
3°. Сделайте схематический чертеж эллипса, заданного канони- X2 . у2 1 ческим уравнением — + — = 1, л2 №
где а — ...,
Ь =^2 —С2 —
с — ... (с ... а),
е = — — а причем для любого эллипса е ... 1.
4°. Закончите определение:
Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух фиксированных точек, на
зываемых ..., есть ... .
5°. Сделайте схематический чертеж гиперболы, заданной канони-
X2 у2 <
ческим уравнением— = 1,
где а — ...,°262
b = ус^ — а2 — ...,
с — ... (с ... а),
е а причем для любой гиперболы е ... 1.
Уравнения асимптот гиперболы: у = ± ... .
6°. Закончите определение:
Параболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки, называемой ..., ... до некоторой фиксированной прямой, называемой... .
7°. Сделайте схематический чертеж параболы, заданной уравнением у2 = 2рх,
где р — ...,
вина фокальной хорды сечения, перпендикулярной к его оси). Укажите величину эксцентриситета 8 для: 1) окружности, 2) параболы, 3) эллипса, 4) одной ветви гиперболы.
Примеры и упражнения
Напишите канонические уравнения кривых второго порядка, изображенных на рисунках 6—10.
Окружность задана уравнением х2 + у2 — 4х + 2у — 20 = 0. Найдите путем выделения полного квадрата координаты ее центра и радиус. Сделайте схематический чертеж.
Эллипс задан уравнением ~ + ~ = 1. Найдите величины
а, Ь, с и е. Сделайте схематический чертеж.
Гипербола задана уравнением ^— у = 1. Найдите величины а, Ь, с. 8 и составьте уравнения асимптот. Сделайте схематический чертеж.
Парабола задана уравнением у2 = 12х. Найдите координаты фокуса параболы и составьте уравнение ее директрисы. Сделайте схематический чертеж.
Установите, какие геометрические фигуры определяются следующими уравнениями:
х2 + у2 — 2х + 4у— 20 = 0;
х2 + у2 + 6х — 4у+ 14 = 0;
х2 + у2 — Юх + 4у + 29 = 0;г)у=]/"16— х2;
у = —V9 — х2; е)у = —2 — "^9 —х2;ж)х = —2+]/"4 —у2;
9х2 + 16у2 = 1; и) 4х2 4- 9у2 = 36;
к) У = —у/49 — X2; Л) 9Х2 _ 25у2 = 1; м) 4x2 — у^ — 16;
н) у = —3 у х2 + 1; о) У2 = — 4х; п) у = —3 У2х;
р) х = 4 ]Л—у.
Напишите уравнения касательных, проведенных из начала координат к окружности х2 + у2 — Юх — 4у + 25 = 0.
Решение.
Уравнение прямой, проходящей через начало координат: ... .
Найдем точки пересечения прямой и окружности, решив совместно систему уравнений
х2 + У2 — Юх — 4у + 25 = 0, у = ... .
В случае касания две точки пересечения сливаются в одну, поэтому корни полученного уравнения должны быть действительными и равными, а значит, дискриминант уравнения D = ... . Составив дискриминант и приравняв его ... , решим полученное уравнение и найдем значение параметра: ... и ... .
Уравнение искомых касательных: ... .
б) рб) р2.1 — COS ф *2.1 — COS ф *Определите, какие линии заданы следующими уравнениями в полярных координатах:
б) р
б) р
2.
1 — COS ф *
2.
1 — COS ф *
а) Р = -
— — COS ф 3
в)в)6р =3 — cos ф6р =3 — cos ф5х
в)
в)
6
р =
3 — cos ф
6
р =
3 — cos ф
р=; г)
— — COS ф
3
; е) р =.
— 3 cos ф2 — 2 cos ф
Упражнения для самостоятельного решения
Составьте уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
центр окружности совпадает с началом координат и прямая Зх — 4у + 20 = 0 является касательной к окружности;
окружность проходит через точки А (3; 1) и В (—1; 3), а ее центр лежит на прямой Зх — у — 2 = 0;
окружность проходит через три точки А (1; 1), В (1; —1), С (2; 0).
Составьте уравнения окружностей, которые, имея центр на прямой 4х — 5у — 3 = 0, касаются прямых 2х — Зу — 10 = 0 и Зх — 2у + 5 = 0.
Составьте каноническое уравнение эллипса, если: а) 2а = 12, 33
2с = 10; б) 2с = 6, 8 = —; в) 2Ь = 16, 8 = —; г) расстояние между его
Ю
директрисами равно 32, а 8 =—; д) расстояние между его директри
сами равно 13, а 2Ь = 6.
Дан эллипс 9х2 + 25у2 = 225. Найдите: а) его полуоси; б) фокусы; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.
Докажите, что точка М (—4; 2,4) лежит на эллипсе ~ + ^ =1.
Определите ее фокальные радиусы.
Составьте каноническое уравнение гиперболы, если: а) 2с = 55
= 10, 2Ь = 8; б) 2с = 10, 8 = —; в) уравнения асимптот у = ± —х,
а расстояние между вершинами равно 48; г) расстояние между ди- 83.,4
ректрисами равно —, а 8 = —; д) уравнение директрис х = ±—,
(
5 \
—3; — принадлежит гиперболе.
5
Определите, при каких т прямая у = — х + т: а) пересекает гиперболу ——^ = 1; б) касается ее; в) нс имеет общих точек с гиперболой.
Составьте каноническое уравнение параболы, зная, что: а) парабола симметрична относительно оси Ох, расположена в левой полуплоскости, а се параметр р = 2; б) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку С (1; 1); в) фокус параболы F (—7; 0), а уравнение директрисы х — 7 = 0.
Из фокуса параболы у2 = 12х под острым углом а к оси Ох з
направлен луч света. Известно, что tg а = —. Дойдя до параболы, луч от нее отразился. Составьте уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
Определите, какие линии заданы следующими уравнениями в полярных координатах:
16 е
1 — COS ф ’
4.
д) р =;7 г 3 — 4со5фд) р =;7 г 3 — 4со5ф3 — 3 cos ф ’13 — 0 cos ф *3 — 3 cos ф ’13 — 0 cos ф *2 — cos ф ’
д) р =;
7 г 3 — 4со5ф
д) р =;
7 г 3 — 4со5ф
3 — 3 cos ф ’
1
3 — 0 cos ф *
3 — 3 cos ф ’
1
3 — 0 cos ф *
ж) р = 4;
§ 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
I. Основные сведения из теории
1°. Какие из нижеперечисленных величин являются векторными: а) объем; б) скорость; в) давление; г) ускорение; д) плотность; е) масса; ж) сила; з) температура; и) потенциал?
2°. Закончите определения:
Вектором называется ... .
Скаляром называется ... .
Длиной вектора АВ называется ... .
3°. Закончите предложения:
Запись а = {х; у; 2} означает, что числа х, у, 2 являются ... .
Если даны две точки A (хь уь 2^ и В (х2, у 2, ^2), то координаты вектора АВ определяются следующим образом: АВ = {...}.
Модуль вектора а = {х; у; 2} определяется по формуле | а:| = ....
Если даны вектор а = {х; у; 2} и координатный базис i, j, к, то вектор а может быть разложен по базису: а = ... .
. Закончите определения линейных операций над векторами:
Суммой двух векторов а и b называется вектор а + b ... .
Разностью двух векторов а и b является вектор а — b ... .
Произведением вектора а на число а называется вектор ... .
. Закончите определения скалярного произведения двух векторов а и Ь;
а • b = \а\ * | Ь\ ... ;
а • b = \а\ • Пр. ... = | Ь\ • Пр
. Продолжите формулировку основных свойств скалярного произведения:
а • b = b • ... ;
а« (КЬ) = Ха • ... ;
а (b + с) = ... ;
(а 1 Ь) => (а • Ь) = ... ;
G || Ь) => (а • Ь) = ... ;
а^ = ... .
7°. Закончите определение:
Векторным произведением двух векторов а и b называется вектор ..., имеющий направление ... и численно равный ... .
8°. Изобразите вектор а х b (рис. 11).
9°. Продолжите формулировку основных свойств векторного произведения двух векторов а и Ь:
а х b — ... ;
ax Xb =;
a x 0 =;
a x (b + c) =;
(a ± b) => |я x b\ = ... ;
(a\\"b)=^ (a x 6) =.
10°. Закончите определение:
Смешанным произведением трех векторов а, b и с называется число, равное векторному произведению a xb, умноженному ... на вектор с : ... .
11°. Используя рисунок 12, выпишите произведения, численно равные объему параллелепипеда, построенного на этих векторах- сомножителях: bac, bca, abc, acb, cba, cab.
12°. Закончите утверждение:
Пусть вектор а умножается векторно на вектор Ь, а полученный результат снова векторно умножается на вектор с. В итоге получается двойное ..., обозначаемое ... .
13°. Даны два равенства:
а х (Ь х с) = b • (а • с) — с • (а • Ь\,
(а х b) х с = b • (а • с) — с • (а • Ь).
Укажите верное.
14°. Пусть а = (xt; у^ zj, b = (х2; Уг! г2}, с = {х3; у3; z3}. Заполните таблицу по указанному образцу:
а + b
{*i ± х2; yt ± у2; Z, + z2}
Х-а
а • b
а х b
а • (К X с)
о^Х^Хс)
Рис. 13Рис. 14Рис. 15Рис. 13Рис. 14Рис. 15
Рис. 13Рис. 14Рис. 15
Рис. 13Рис. 14Рис. 15
IL Примеры и упражнения
Выразите вектор АС через а и с (рис. 13).
Выразите векторы ^ и d2 через а и b (рис. 14).
В правильном шестиугольнике (рис. 15) выразите через векторы р и q:
ВС, CD, DB, EF;
Тв + ВС + CD + DE + EF + FA;
OA + OB + ОС-V ODA OE + OF.
Докажите (рис. 16), что rM = -^—^, зная, что M—центр тяжести однородного стержня.
Доказательство.
Достраиваем параллелограмм на векторах гА и гв, тогда ... .
Докажите (рис. 17), что rM =зная, что М—
центр тяжести однородной пластины АВС.
Доказательство:
Запишем последовательно:
—>—>•
*—►—>—** AR I АС*—^9 —>
АВ = ...; АС = ...; АЕ = —+= ...; АМ = - АЕ = ... ; гм = ....
’’23м
Тетраэдр задан своими вершинами: Аг (2; 3; 1), Л2 (4; 1; —2), Л3 (6; 3; 7), Л4 (—5; —4; 8). Найдите:
величину угла между ребрами ЛХЛ2 и АХА^
площадь грани Л1Л2Л3;
проекцию АД на А4А4;
объем тетраэдра.
Решение.
а) Координаты векторов AtA2 = ... и AjA4...;
скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами: АгА2 • АгА4 = ... ;
|ЛГЛ2| = ... и ЬМ4| = ... ;
косинус угла ф между ребрами А4А2 и AtA4 : ... .
а) Координаты векторов АгА2 = ... и АгА3 = ... ;
векторное произведение двух векторов: АгА2 х АгА3 = ... ; —>•—^
модуль векторного произведения: Mi^a X Л1Л3| = ... ;
площадь грани A4A2A3 : S = -|- ... .
а) Координаты векторов А^з = ... и А4А4 = ... ; >->■
скалярное произведение двух векторов: AXA3 • А4А4 = ... ;
выберем верную формулу:
Пр.А^з = АА^А или Пр ^ = А4_АА_ л-л‘MAI
ьм41 ;
Ир-^АА - •
а) Координаты векторов А4А2 = ••• t А4А3 = ... , А4А4 = ... ;
объем параллелепипеда, построенного на этих векторах: V= ... ;
объем данного тетраэдра VT ~ ... .
Упражнения для самостоятельного решения
Даны векторы а== {4; —2; —4}, b = {6; —3; 2}. Вычислите: а) а • 6; б) Vа2; в) V №\ г) (2а • 36) • (а + 26); д) (а + 6)2; е) (а—if.
Вычислите, какую работу производит сила / = {3; 2; —5}, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А (2; —3; 5} в положение В (3; —2; —1). Сделайте схематический чертеж.
Определите, при каком а векторы а = а i — 3/ + 26 и b= i + 2/ — 2^ взаимно перпендикулярны.
Вычислите косинус угла, образованного векторами а = {2. —4; 4} и b = {—3; 2; 6}.
Вычислите проекцию вектора а = {5; 2; 5} на ось вектора b = {2; —1; 2}.
Даны три вектора а = —2i + / +1, & = г + 5/ и с = 4i + + 4/ — 2^. Вычислите Пр.^ (За • 26).
Даны точки А (—2; 3; —4), В (3; 2; 5), С (1; —1; 2) и D (3; 2; —4). Вычислите Пр. ^ АВ.
Даны |а| = 10, |6| = 2 и а • 6 = 12. Вычислите |а х 6|.
-*->2-*-*
Векторы аи b образуют угол <р = —л. Зная, что | а| =1, 16|=2, вычислите: а) (а х 6)2; б) ((2а + 6) х (а + 26))2; в) ((а + 36) х (За—
Докажите тождество: (а х 6)2 + (а • 6)2 = а2 • 62.
Даны точки А (2; —1; 2), В (1; 2; —1) и С (3; 2; 1). Найдите координаты векторных произведений: а) АВ х ВС; б) (ВС — SCA) х X СВ.
Сила F = {2; —4; 5} приложена к точке Л40 (4; —2; 3). Определите момент этой силы относительно точки А (3; 2; —1).
Указание. Если вектор f изображает силу, приложенную к какой-нибудь точке М, а вектор а отображает некоторую точку О на точку М, то вектор а х f представляет собой момент силы относительно точки О.
Даны точки А (1; 2; 0), В (3; 0; —3) и С (5; 2; 6). Вычислите площадь треугольника АВС.
Даны вершины треугольника Л (1; —1; 2), В (5; —6; 2) и С (1; 3; —1). Вычислите длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
Определите, правой или левой является тройка векторов а, 6, с, если: а) а = k, b = i, с = /; б) а = i, 6 = к, с = /; в) а = /, 6 = i, с = к; г) а = i + /, b = j, с = к; д) а = г + /, b = i — j,
Установите, компланарны ли векторы а, 6 и с, если:
а={2; 3; —1};6 ={1; —1; 3); с = {1; 9; —11};
а={3; —2; 1};6 ={2; 1; 2}; с = {3; —1; —2};
а={2; —1; 2};6 ={1; 2; —3};^ = {3; —4; 7}.
Даны вершины тетраэдра А (2; 3; 1), В (4; 1; —2), С (6; 3; 7) и D (—5; —4; —8). Найдите длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины D.
Докажите тождество: а X (6 X с) = 6 • (а • с) — с • (а • 6).
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Основные сведения из теории
1°. Напишите общее уравнение плоскости.
2°. Закончите утверждение:
Уравнение Л (х — х0) + В (у — у0) + С (2 — 20) = О определяет плоскость, проходящую через точку Мо (...) и имеющую нормальный вектор п = {...}.
3°. Плоскости заданы уравнениями Ах + By + Cz + D = 0 и А^х 4~ Вху 4” C^z 4” D^ = 0.
Напишите формулу, определяющую угол ф между ними: cos ф =
Сформулируйте: а) условие параллельности; б) условие перпендикулярности этих плоскостей.
4°. Напишите уравнение плоскости в отрезках.
5°. Закончите утверждения:
Если cos a, cos р, cosy — направляющие косинусы вектора нормали плоскости, ар — расстояние от начала координат до плоскости, то нормальное уравнение плоскости имеет следующий вид: ... .
Общее уравнение плоскости Ах + By + Cz + D = 0 приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель |1 = ± ..., где знак нормирующего множителя берется ... .
Отклонение 6 точки М* (х*; у*; 2*) от плоскости xcosa + + у cos р + г cos у — р = 0 определяется формулой 6 = ..., причем:
6 ... 0, если точка М* и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости;
6 ... 0, если они лежат по одну сторону от нее.
4. Расстояние d от точки М* до данной плоскости определяется соотношением d = ... .
6°. Напишите каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку Мо (х0; у0; 20), если направляющий вектор прямой a = {/; m; n}.
7°. Прямые заданы уравнениями
х—_ у —= z-~£iи X — CU= у — 62 2 —с2
1г тг nv Ц т2 п^
Напишите формулу, позволяющую найти угол ф между ними: cos ф = ... .
Сформулируйте: а) условие параллельности; б) условие перпендикулярности этих прямых.
8°. Закончите утверждение:
Параметрические уравнения прямой с направляющим вектором a = {/; m; п}, проходящей через точку Л40 (х0; у0; 20), имеют следующий вид: ... .
9°. Даны прямая ^^ == 2и плоскость
т и
Ах 4" By 4“ Cz 4* D ~ 0.
Укажите верную формулу для вычисления величины угла между ними:
a) cos ф = ±a) cos ф = ±Дхр + Sy0 + Cz0- /Д2 + В2 + С2 ’
a) cos ф = ±
a) cos ф = ±
б) sin ф = ±б) sin ф = ±Д/ + Вт + Сп
б) sin ф = ±
б) sin ф = ±
/Д2 + В2 +~С2 • /Z2 + т2 + п2 ‘
Сформулируйте: а) условие параллельности; б) условие перпендикулярности этих прямой и плоскости.
Примеры и упражнения
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; 2; 3) перпендикулярно:
вектору а = {3; 4; 5};
прямой КМ, где К (—1; 2; 1) и М (1; —2; —1);
горизонтальной плоскости;
фронтальной плоскости;
профильной плоскости.
Какие из нижеперечисленных векторов перпендикулярны плоскости Зх + 2у — 5z + 17 = 0: 1) а = {3; 2; 5}; 2) Ь = (3; 2; —5}; 3) с = {6; 4; —10}; 4) d = {—1,5; —1,2; 2,5}; 5) е = {6; 2; —5}?
Вычислите косинус угла между плоскостью 4х — 5у + 3z — — 1 = 0 и плоскостью х — 4у — z + 9 = 0.
Дана плоскость 2х + Зу —z — 3 = 0. Какие изплоскостей:
х + 2у + 6z — 1=0;г)4х + бу — 2z + 1= 0;
х — у — z + 2 = 0;д)х + Зу — z + 1 =0;
х — 2у + 8z + 1 = 0;е)х + -у- у ^- z +5 = 0
параллельны данной плоскости;
перпендикулярны ей?
Найдите отрезки, отсекаемые плоскостью х — Зу + 2z — 6 = 0 на координатных осях.
Найдите отклонение точки Q (2; —1; 1) от плоскости: а) 5х— — Зу + z — 18 = 0; б) х + 5у + 12z — 1 = 0; в) х + 4у + z + 1=0.
Напишите уравнение прямой, если она проходит:
через точку М (3; 2; 1) и коллинеарна вектору а = {4; —1;' 0};
через начало координат и коллинеарна вектору а = (4; —1;0};
через точку М (3; 2; 1) и параллельна оси Ох. (Какой смысл имеет 0, стоящий в знаменателе?)
Какие из нижеперечисленных векторов коллинеарны данной » х + 2 у — 1 г прямой ——- = = —:
3—21
а = {—3; 2; —1}; & = {6; —2; 4}; с = {—2; 1; 0}; d = (9; —6; 3} 18
Определите угол между прямыми
х — 1 у z + 3 х у + 2 г = -Z_ — ! И — = =.
1—412—2—1
Решение.
Координаты направляющего вектора первой прямой: ... .
Координаты направляющего вектора второй прямой: ... .
Выпишем формулу
cos <р = ±cos <р = ±/^2 + ^1^2 + ^1^2У ^ + ^1+^1 ‘У 12+т1 + П2
cos <р = ±
cos <р = ±
ИЛИ
COS ф = ± -;У2±У1У2±У2 ......
V х1 + >'1 + zl ' V Х2 + Уг + г2
для вычисления косинуса угла ф между прямыми
х—хх = у — уд = г — ztх — х„ = у — у2 = z — г2
^1^1^1^2^2^2
Величина угла между прямыми: ф = ... или ф= ... .
Докажите параллельность прямых х-1_у-2_г+3 х+1_У—2_г+1
4—6 ” 92—3 — 3 *
Докажите перпендикулярность прямых
х у — 1 z + 1% — 2у + 2_ z —1
Т ~ —3~ 1542*
Найдите точку пересечения двух прямых
х 4-2 _ уг — 1х — 3у — 1_ z —7
2 ~4И 3 “ 4“ 2’
Решение.
Параметрические уравнения первой прямой: ... .
Параметрические уравнения второй прямой: ... .
Значения параметров, соответствующих точке пересечения прямых: ... .
Координаты точки пересечения данных прямых: ... . iтт оо х — 12 у — 9 z — 1
Найдите точку пересечения прямой —-— == —-—
и плоскости Зя + 5у — г — 2 = 0.
Решение.
Параметрические уравнения прямой: ... .
Значение параметра, соответствующего точке пересечения данной прямой и данной плоскости: ....
Координаты искомой точки: ... .
При каком значении коэффициента А плоскость Ах — 2у + + 3z — 1 = 0 будет параллельна прямой ^^-!- = ^^ =?
При каких значениях коэффициентов А и В плоскость Ах + By — 3z — 7 = 0 перпендикулярна прямой y-i ==
г — 3^ ~ 6 *
Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую -у-= ~з^ и ТОЧКУ ^^ ^’ О-
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точку А (4; 5; 1): ... ,
Условие параллельности данной прямой и искомой плоскости:
Условие принадлежности точки, через которую проходит прямая, плоскости: ... .
Выразим два коэффициента из двух уравнений с тремя неизвестными через третий коэффициент: ... .
Подставим найденные значения ... в уравнение искомой плоскости: ... .
Уравнение искомой плоскости: ... .
Упражнения для самостоятельного решения
Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор п = {1; 2; —3}.
Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку М (3; 4; —5) параллельно двум векторам ^ = {3; 1; —1} и а2 = {1; -2; 1}.
Какие из нижеперечисленных плоскостей взаимно перпендикулярны, а какие взаимно параллельны:
2х — Зу + 52 — 7 = 0;г)х — у — 2 + 5 = 0;
2х — Зу + 5г + 3 = 0;д)х — 32 + 1 = 0;
2х + Зу — 2 — 3 = 0;е)2х — 62 — 1=0?
Вычислите объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2х — Зу + 62 — 12 = 0 и координатными плоскостями.
Приведите к нормальному виду каждое из следующих уравнений: а) 4% — бу — 122 — 11 = 0; б) ~х — уУ + у? + 3 = 0; в) —4х — 4у + 22 + 1 = 0.
Определите, по одну или по разные стороны относительно каждой из перечисленных плоскостей лежат точка Q (2; —1; 1) и начало координат: а) 5х — Зу + 2 — 18 = 0; б) х + 5у + 122 —1 = 0.
Вычислите расстояние между плоскостями
х — 2у — 22 — 12 = 0 и х — 2у — 22 — 6 = 0.
Составьте уравнение плоскостей, параллельных плоскости 2х — 2у — 2 — 3 = 0 и отстоящих от нее на расстоянии d = 5.
Вычислите углы между плоскостями 4х — 5у + 32 — 1 = 0 и х — 4у — 2 + 9 = 0.
Через точку Q (2; —5; 3) проведите прямую: а) параллельную оси Oz; б) параллельную прямой ——- = —;
в) параллельную прямой Г2х — у + 3z — 1 = 0,
[5х + 4у — г — 7 = 0.
и тгх — 2у +1 z
Докажите параллельность прямых = —— = —
И (х + у — 2 = 0,
[х — у — 5z + 8 = 0.
ттX У + 1 Z — 3
Докажите перпендикулярность прямых — == ——
и (Зх + у — 5z + 1 = 0,
[2х -|- Зу — 82 4-3 = 0.
Найдите величину острого угла между прямыми х—1у — 2 z-|-1х— 2 у + 3 z—5
1 1=5 — 1 ~ ут 1 ~ 1 — уТ'
Даны уравнения движения точки М (х; у; г): х = 5 — 2/, у = —3 + 2/, 2 = 5 — t. Определите расстояние d, которое пройдет точка М за промежуток времени от ^ = 0 до ^2 = 7.
Составьте уравнения движения точки М (х; у; z), которая, имея начальное положение Мо (3; —1; —5), движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора s = {—2; 6; 3} со скоростью и = 21.
Составьте уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Q (3; —2; 4) на плоскость 5х + Зу — 7z + 1 = 0.
Найдите проекцию точки Q (4; —3; 1) на плоскость х + 2у — — z —3 = 0.
X У -4— 12 — 1
При каком значении т прямая — = --—= парал’
3 т —2
лельна плоскости х — Зу + 6г + 7 = 0?
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку Л40 (1; —2; 1) перпендикулярно прямой (х — 2у + г — 3 = 0, [х + у — z + 2 = 0.
Найдите расстояние от точки Р (2; 3; —1) до прямой /2х — 2у + г + 3 = 0, [Зх — 2у + 2z + 17 = 0.
Указания. Прямую, определенную пересечением двух ох — хй у — уп z — г»
плоскостей, приведите к каноническому виду2 = -—^ =—:
Iтп
полагая г0 = 0, из системы /2х — 2у + 3 = 0, найдите х0 и у0; (Зх — 2у + 17 = 0
вектор а = {/; т; п}, коллинеарный прямой, вычислите как векторное произведение нормалей пх и /г2 к плоскостям, определяющим прямую;
выберите на прямой произвольную точку, например Л40 (х0; у0; г0), и считайте, что направляющий вектор а = {/; т; и} прямой приложен в этой точке.
Модуль векторного произведения векторов а и М^Р определяет площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.
Высота этого параллелограмма, проведенная из вершины Р, и будет искомым расстоянием d;
d== \ахМ^>\ ,
§ 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
L Основные сведения из теории
Закончите утверждения:
1°. Пусть известен вид графика функции у — f (х). Для того чтобы построить график функции:
у = f (х) + /72. надо без деформации ...;
у = f (х + /2), надо кривую у = / (х) без деформации ...;
у = / (х + п) + /тг, надо без деформации ...;
у = — f (х), надо построить изображение, симметричное графику функции у — / (х) относительно ...;
у = f (—х), надо построить изображение, симметричное графику функции у = f (х) относительно ... .
2°. Функции у = / (х) и х = / (у) называются ... .
. Функция у = / (х) имеет на [я; 6] обратную функцию, если ... .
. Для того чтобы построить график обратной функции, надо построить кривую, симметричную графику прямой функции относительно ... .
. Для того чтобы построить график функции у = A f (х), надо график известной функции у = f (х): 1) при А > 1 ... ; 2) при 0< А < <1 ... вдоль оси ... .
. Для того чтобы построить график функции у = f (о х), надо график известной функции у = f (х): 1) при со > 1 ... ; 2) при 0 < < со < 1 ... вдоль оси ... .
Уравнение гармонического колебания имеет следующий вид: ... или ... .
Модуль действительного числа ал 16z| = ^•вe, ссли О, J(..., если а ... 0.
Для того чтобы построить график функции у = |/(х)|, надо ... тс участки графика функции у = f (х), где / (х) ^ 0, и ... те участки графика, где f (х) < 0.
. Для того чтобы построить график функции у = f (1 х|), надо построить график функции у = / (х) при х ^ 0, а для х < 0 достроить график, симметричный графику функции у = / (х) относительно ... .
П. Примеры и упражнения
Построить графики функций:
у = х2, у = х2 — 1 и у = х2 + 2;
у = 2х, у = 2х — 1 и у = 24 1;
у = cos х, у = cos х — 1 и у = cos х + 2;
у = 1g х, у = lg х — 1 и у = lg х + 2;
у = tg х, у = tg х + 1 и у = tg х — 1.
Постройте графики функций:
У = X2, у = (х — I)2, у = (х + 2)2, у = (х + 2)2 + 4;
у = 2х, у = 2х-1, у = 2х+1, у = 2x+J + 3;
у = 1g х, у = lg (х — 1), у = 1g (х + 2), у = 1g (х + 2) + 2.
Путем выделения полного квадрата постройте график функции у = х2 — 4х + 5.
Постройте графики функций:
у = 2х, у = —2х;
у = Igx, у = —1g х;
у = (х — I)2 + 2, у = — (х — I)2 — 2;
у = tg х, у = —tg х.
Постройте графики функций:
у = 2х, у = 2~х;
у = 1g х, у = 1g (—х);
у = sin х, у = sin (—х);
у = tg х, у = tg (—х).
Укажите вид функции, обратной данной (по образцу: у = 2х+1, х = 2у + 1, v = :
2 )
1) у = 2х; 2) у = ^.
х + 2
Постройте графики функций, обратных следующим функциям:
y=sinx на промежутке [^—-у; yj;
у = cos х на промежутке [0; л];
у = tgx на промежутке j—^-; -у|^;
у = ctg х на промежутке ]0; л[.
Постройте графики функций:
у = arcsin х, у = 2 arcsin х, у = yarcsin х;
у = arctg х, у = 2 arctg х, у = yarctg х;
У = cos х, у = cos 2х, у = cos -|-;
у = arccos х, у = arccos 2х.
Постройте график гармонического колебания у = 3 sin (2х + + — ] в следующей последовательности:
a) y = sinx; б) y = sin[x + —); в) у = sin2 (х + —);
\4 У\4 У
г) у = 3 sin ^2х + у^, выделив неподвижную точку преобразования.
Постройте графики функций:
1) у = |2х — 1|; 2) у = |х2 — 11; 3) у = 11g х|; 4) у = ]cos х|;
у = |х|; 6) у =2^; 7) у = 2 |х| — 1; 8) у = 1g 0,5 |х|.
Постройте график функции у = 11g |х||.
Упражнения для самостоятельного решения
Постройте графики функций:
у=х — 1. 2. у = (х — I)3.3. у = Ух. 4. у =Vx — 1- - У =
у = ctgfx—У 7.у = |х2—6х+5|. 8. у = х2—6|х| + 5.
\ 2 /\4 /’
у=|log2(x — 2)|. 10. у =log2 \х — 2|. 11. у= log2(|x| — 2).
у= | log21 | х| — 2||. 13.у = |arcsin х]. 14.у = arcsin |х|.
у = | arcsin |х||. 16. у = arccos |х|. 17. у = arctg |х|. 18. у = = | arctg | х 11.19. у = arcctg |х |. 20. у =21. у = L^Il^L е
хsin х
у = —— . 23. у = | ^^l. 24с у = L^IzlL , 25. у = | arcctgx|. х—1| х + 2 || х | +2
§ 6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ
Основные сведения из теории
1°. Закончите определение:
Постоянное число Л называется пределом числовой последовательности ап при п, стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа 8 можно указать такой номер N члена последовательности, что для всех п^ N будет выполняться неравенство ... или
(V 8 >0) (3^ : (n> N=> ...).
Для е, выбранного на рисунке 18, номер N = ... .
2°. Закончите утверждения:
Если точка х принадлежит интервалу ]х0 — 6; х0+’6[, т. е. если выполняется неравенство |х— х0| ... 6, то говорят, что х принадлежит непроколотой 6-окрестности точки х0, или х ... (/6 (х0) (рис. 19).
Если точка х принимает все значения из интервала ]х0 — 6; х0 + 6[, кроме х0, т. е. выполняется неравенство 0 ... |х — х0| ... 6, то говорят, что х принадлежит проколотой 6-окрестности точки х0, или х ... (/б (х0) (рис. 20).
Если точка х принимает все значения из полуинтервала [х0; х0 + 6[, т. с. если выполняется неравенство х — х0... 6 (рис. 21), то говорят, что х принадлежит непроколотой правой 6-полуокрестности точки х0, или X ... U^ (х0).
Если точка х принимает все значения из интервала ]х0; х0 -г 6[, т. е. если выполняется неравенство 0 ... х — х0 ... 6 (рис. 22), то говорят, что х принадлежит проколотой правой 6-полуокрестности точки х0, или х ... U^XqY
А-8 А А^б■I Г7ГГ1 1 ■°з »5 as atА-8 А А^б■I Г7ГГ1 1 ■°з »5 as atРис. 18ЛША-Хв X X^SРис. 21Рис. 18ЛША-Хв X X^SРис. 21
А-8 А А^б■I Г7ГГ1 1 ■°з »5 as at
А-8 А А^б■I Г7ГГ1 1 ■°з »5 as at
Рис. 18
ЛША-
Хв X X^S
Рис. 21
Рис. 18
ЛША-
Хв X X^S
Рис. 21
Хо^ X» X Хо^ х0-8 х0 X х0+8
Рис. 19Рис. 20
Хо X Хо+5 -N 0 N X
Рис. 22Рис. 23
Если точка х принимает все значения, по абсолютной величине превосходящие некоторое положительное число N, т. е. если выполняется неравенство ..., то говорят, что х принадлежит проколотой jV-окрестности бесконечности, или х ... UN (оо) (рис. 23).
3°. Сформулируйте в неравенствах и сделайте схематические чертежи:
х € U^ (х0) —это значит, что ...;
х € 1Г^ (х0) —это значит, что ...;
х $ UN (+ оо) —это значит, что ...;
х € UN (—оо) —это значит, что ... .
4°. Закончите определения и сделайте схематические чертежи:
Число у о называется пределом функции у = f (х) при х, стремящемся к х0 (в точке х0), если для любого положительного е найдется такое положительное число 6, что Ц (х)—-у01 ••• 8. как только 0 ... |х — х0| ... 6, или (V е> 0) (3 6 > 0) : (х € U6 (х0)=> => ...), т. е. lim f (х) = у0.
х х0
Пределом функции у = / (х) при х, стремящемся к + оо, является — оо, т. е. lim / (х) = — оо, если для любого положительного Х~*4-оо
числа N найдется положительное число М такое, что f (х) ... — М, как только х ... N, или (V N > 0) (3 М > 0) : (х € ^(+ °°) => ^^...-му
Число у0 является пределом функции у = / (х) при х, стремящемся к х0 слева, т. е. limf(x) = y0, если ..., или х-*х0—О
(V... >0)(3... >0):(x€...^|f(x)-yo| < ...).
5°. Сформулируйте основные теоремы о пределах:
lim (ft (х) ± /2 W) = ... ; х-*а
lim (^ (х) • f2 (х)) = ... ;
определяющее трансцендентное число е.
Доказательство.Доказательство.8°. Закончите определения:8°. Закончите определения:Т. Докажите, что lim 1 Я= х-^^\ X)
Доказательство.
Доказательство.
8°. Закончите определения:
8°. Закончите определения:
Функция а (х), имеющая своим пределом число 0, называется
Функция р (х), имеющая своим пределом — оо или + оо, называется ... .
Две функции а (х) и у (х) называются эквивалентными (а (х) ~ ~ у (х)) бесконечно малыми, если ... .
9°. Закончите утверждение:
Если бесконечно малые а и ах, р и рх попарно эквивалентны, то lim — = lim ... .
х-*а Р х-*а
10°. Напишите «цепочку» эквивалентных бесконечно малых х — ~ sin х ~ ... ~ ... ~ ... ~ ... ~ ... ~.
11°. Закончите определение:
Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х0, если ..., или (V... >0)(3... >0):(х €...=> |/(х)-Н^о)|...) (рис. 24).
Примеры и упражнения
Вычислите lim (2х + 1).
Х^2
Решение.
Элементарная функция у = 2х + 1 непрерывна в любой точке области определения, поэтому lim (2х + 1) = 2 • ... + 1 = ... .
Х->2
Вычислите пределы, требующие раскрытия неопределенности
Г 01 типа — :
[О J
I, limш = lim (£^ii№±i) = . .
»—>X2—1 loj I (х + 1) (* — I)
Замечание. Сокращение на (х + 1) возможно, так как ... .
^х = t3 х-И;^х = t3 х-И;
^х = t3 х-И;
^х = t3 х-И;
lim З-Гб + х = Ит (3--Г5 + х)(1 + /5-х)(з + Уб4-х) ^4 1_/5^^'.(1—К5^с)(1+К5^)(3 + К5-+^)
Вычислите пределы, требующие раскрытия неопределенности fool
ОО I
2)2)lim 2^£±L = Пт х->оо X3 8х 4~ 1 Х-*ооlim 2^£±L = Пт х->оо X3 8х 4~ 1 Х-*оо2х2 х7х3х3х32х2 х7х3х3х31.4х5 — Зх2 4-21.lim—— = limХ-юо X3 4“ 7х2 4” 4 Х-*оо1.4х5 — Зх2 4-21.lim—— = limХ-юо X3 4“ 7х2 4” 4 Х-*оо8х _£X3 + х3Зх2 24 — —— _|_ —- х5х°1Т^248х _£X3 + х3Зх2 24 — —— _|_ —- х5х°1Т^24
2)
2)
lim 2^£±L = Пт х->оо X3 8х 4~ 1 Х-*оо
lim 2^£±L = Пт х->оо X3 8х 4~ 1 Х-*оо
2х2 х7
х3х3х3
2х2 х7
х3х3х3
1.4х5 — Зх2 4-21.
lim—— = lim
Х-юо X3 4“ 7х2 4” 4 Х-*оо
1.4х5 — Зх2 4-21.
lim—— = lim
Х-юо X3 4“ 7х2 4” 4 Х-*оо
8х _£
X3 + х3
Зх2 2
4 — —— _|_ —- х5х°
1Т^24
8х _£
X3 + х3
Зх2 2
4 — —— _|_ —- х5х°
1Т^24
3)3)цт х — 5х + Зх — 1 х-^оо 1 — 2х + Зх2 — 7х4
3)
3)
—, если ..., ^0О, если оо, если ... ,—, если ..., ^0О, если оо, если ... ,закончите обобщение:
—, если ..., ^0
О, если оо, если ... ,
—, если ..., ^0
О, если оо, если ... ,
цт Др*” + а^"1 4-+ ^,2-1^ + а-п
х^ Ь^х^ 4- Ь^*1 4- ... 4-+ Ьщ
Вычислите пределы, требующие применения первого замечательного предела:
п х 1. sin 5х
a) lim-— = ...;
х->0 Юх
б) закончите обобщение: lim^^ = ...; х-0 Ьх
a) lim^ х-*о 2х
закончите обобщение: lim^-^ = ...; х-*о Ьх
3) а)3) а)r arcsin 2х limх->о Зхr arcsin 2х limх->о Зхarcsin 2х = t sin / = 2х х-*0; /->0arcsin 2х = t sin / = 2х х-*0; /->0= lim— t-»o .sin/3-2™= lim— t-»o .sin/3-2™
3) а)
3) а)
r arcsin 2х lim
х->о Зх
r arcsin 2х lim
х->о Зх
arcsin 2х = t sin / = 2х х-*0; /->0
arcsin 2х = t sin / = 2х х-*0; /->0
= lim— t-»o .sin/
3-2™
= lim— t-»o .sin/
3-2™
б)4) а)б)4) а)закончите lim3^ х-,-0 5хзакончите lim3^ х-,-0 5х
б)
4) а)
б)
4) а)
закончите lim3^ х-,-0 5х
закончите lim3^ х-,-0 5х
обобщение: lim E£^££i = ,„;х-о Ьх
= arctg Зх = / = lim —-—tg/ = 3x ^° =!81х-*0; t-*05 3
закончите обобщение: lim -rctg ах = ...; х->0 Ьх
sinx— sin2
6) 11 m
x->2 x — 2
5. Вычислите пределы, требующие применения второго замечательного предела:
./О \ЗХ—5
1) a) lim (1 Н)=
X —► оо \X )
1 4—
X /
= Нт= Нт/ X +3— 1 \2X-5 \ х 4* 3 )
= Нт
= Нт
1_
lim(l+y)y= У“ х и^»у-* О
X —»- со
lim1-11^ "^ = Нт — In (1 + х) = ...; х-0 Xх->0 X
ех — 1 = ух^-0у^Оех — 1 = ух^-0у^ОрХ 1
ех — 1 = ух^-0у^О
ех — 1 = ух^-0у^О
Пт =
х->0 х
6) Нт^+^-1 =х^О X6) Нт^+^-1 =х^О X„=at _ 1ра< — 1
6) Нт^+^-1 =х^О X
6) Нт^+^-1 =х^О X
4- х = е' = Нт —= Нт х
х_>о ме—1 ^° at у-^0
Вычислите пределы, используя теоремы и «цепочку» эквивалентных бесконечно малых:
^-►о sin 5х (е4^ — 1)
Пт(1+^)^ = .., х->0 х
Цщ/^Л--1 х»о arcsinSx =
11
lim (cos2х) ^ = lim (1 — 2 sin2 xV = ... . x»0x-*0
Напишите приближенные равенства для малых |х|, используя
вычисляемые в скобках пределы:
]/1 -г х ^ ... / так как lim-^———- Iл»о х_
\2
m 1Iр 1 4-х
« ... \ так как hm —!= ..
4~ХXх->0 х
1п(1 + х) ^... ^так как lim —- ~^- \х-0 X
(1 + х)"... (так как lim li-ifLzzJ
\л->0 пх
п — натуральное число.
Используя полученные равенства, вычислите приближенно: а) ]/Т06 « ...; б) pL да ...; в) In 1,1 « ...; г) 0,934 « ... .
Упражнения для самостоятельного решения
Вычислите:
1. lim (6х2—1. lim (6х2—,.v2 1
1. lim (6х2—
1. lim (6х2—
lim ——
x->—i x2 — 2x — 3
4. lim -^-™ 1 x»ii4. lim -^-™ 1 x»iiо 1 •^ — Зх + 2
4. lim -^-™ 1 x»ii
4. lim -^-™ 1 x»ii
11ГП-!—
х->1 х4 — 4х + 2
lim -; *~° . *"►64— 4
lim х->0х
n р 1—2х2 + х3
х->со 4 — Зх + х2
n ljm + .^=(бл-2-1)а(1-^)4
о 1 • SID Л X
lim.
*->о sin Пх
15. lim
х-о sin5x
lim^^.
х-*о 2х
р sin х — cosx
19. hm.
л 1 — tg X
6. lim t.-.L^-- x->7 x2 — 49
8. llm ^-«4-8
X->oo 6x3 — 5x2 + 1
л p 1 — 7x — 5x3
10. lim .
,2. lim iziWi^r. (1 -»)42x+ 1)’
< л p sin Юх
14. hm.
x^o tg 8x
lim
x-*o sin 2x
. „ p arctg 2x • arcsin 3x • sin 5x
18. hm—
x-*o tg 7x • arcsin 1 lx • tg 4x
20. limf^t^V.
^^0x3 —X/
lim /1 — — У* t X->oo \X )
25. lim^^-^Д x->0 X
— e*x YL lim —.
x^0 sinx
lim<l + ^“-'. x->0 X
Нщ/1 + x-l, x-*o In (1 — 2x)
Вычислите приближенно:
^Ц)9. 34. ^W. 35.
In 1,05. 38. In 0,99. 39.
1 V+2
hm »
X->oo \X + 3/
lim 1М1 + 10»), x^O X
lim x (In (x + 1) — Inx). X-*co
lim /1±£zlL x->0 X
30. Hm^l^rctgT^
x^o In (1 + 2%) • (еЗЛ — 1)
lim11 !^ x^o e3* — 1
—. 36. —.
1,030,98
l,023. 40. 0,985.
§ 7. ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Основные сведения из теории
1°. Закончите определение:
Производной функции у = f (х) в точке х0 называется число, ... .
2°. Заполните таблицу:
Правила дифференцирования
Формулы дифференцирования
(с)' = ... .
W =•
( и (х) + v (х))' = ... .
(си(х))'=... .
(и (х) и (х)) = ....
„ (x)V
х = ... .
( с V
= ... .
\ у W /
(/(Ф(х))У = ... .
(х«)' = ... .
(У^)'= ... .
(sin х)' = ... .
(cos %)'=... .
(tgx)'=... .
(ctgx)'= ... .
(In x")'= ... .
(arcsin хУ = ... .
(arccos хУ = ... .
(arctg хУ = ... .
(arcctg хУ= ... .
^"У= ... .
^У^ - •
(logax)'=... .
3°. Закончите формулировку правила:
Производная сложной функции f (<р (х)) равна произведению ...:
/ (ф W)x = •••
4°. Функция у = / (х) задана в параметрической форме:
(х = X (/),(У = У (О
(у = у(О =^; х = х(0=^).
\atdt )
Укажите верные формулы:
^ = 2
^2 X
в) =7 dx2в) =7 dx2х d2^ d , •
в) =
7 dx2
в) =
7 dx2
Г) 71 = ^
dx2* dt
d ( У I д) ^У _ V X ) dx2у
Примеры и упражнения
Пользуясь определением, найдите производную функции у = Зх2 + 2 в произвольной точке х.
Решение.
Дадим независимой переменной х приращение Ах.
Наращенное значение у + Ау функции у (х): ... .
Приращение Ау функции у (х): ... .
Отношение приращения функции к приращению аргумента:
kx ’ *
у' = ... .
Найдите производные функций:
у = Зх2 + 2х + 5;5)y = 20sinx— 7cosx+l;
2)у = 1;6)y = tgxctgx;
X2
У = lg2 х;
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите производные функций:
у = 25Х; у' = 2м • In 2 • (5х)' = ...;
у = In (х2 — Зх);
у = sin (Зх + 2);
у = sin2 6х.
Вычислите у' (х), предварительно прологарифмировав функции:
1} y = j£Jr^; 2) >, = %/г: 3) y = (sinx)C0S\
Решение.
a) Iny = 51n(x + 2) 4- ~lnx—101n(x2 + 3);
A\ У' 5 I 110 1 2x n\ z
— =; В) и = ... .
у x + 21 lxx2 + 3 y
5. Найдите a) —; б) — для функций,dx dx25. Найдите a) —; б) — для функций,dx dx2dx2dx2заданных параметрически:заданных параметрически:1) f x = a cos t, 2) [ у = b sin t;Решение.1. a)^ = 2; y = ^ = dx ^ dt1) f x = a cos t, 2) [ у = b sin t;Решение.1. a)^ = 2; y = ^ = dx ^ dtx = er1•j = e3'.x = er1•j = e3'.dx X = — dtdx X = — dt^ = dx^ = dx
5. Найдите a) —; б) — для функций,dx dx2
5. Найдите a) —; б) — для функций,dx dx2
dx2
dx2
заданных параметрически:
заданных параметрически:
1) f x = a cos t, 2) [ у = b sin t;
Решение.
1. a)^ = 2; y = ^ = dx ^ dt
1) f x = a cos t, 2) [ у = b sin t;
Решение.
1. a)^ = 2; y = ^ = dx ^ dt
x = er1
•j = e3'.
x = er1
•j = e3'.
dx X = — dt
dx X = — dt
^ = dx
^ = dx
\dx) e d 7dy\ t d2y
dx- dx ? dt \dx) 1 dx2 dt
ctgy = ^ Уye? = e^2;Решение.ctgy = ^ Уye? = e^2;Решение.Используя формулу дифференцирования сложной функции, найдите а) у' (х); б) у" (х) для неявно заданных функций:
ctgy = ^ У
ye? = e^2;
Решение.
ctgy = ^ У
ye? = e^2;
Решение.
In у + ey = 10;
cos2 x + sin (y2) = 7.
a) (ctgy)^ =('-') ; —f- = -—^; У = - • \y jx sin2 у у2
Найдите производные а) г' (/); б) г" (t) от вектор-функции г = г (/) скалярного аргумента t:
г (t) = Р i + cos2 / / — (/2 — 1)й;
Г(/) = In (/2 + 1) F+ е-' Г— ctg / • к\
г (/) = cos2 t ■ I — sin 6/ • j + ^ • к.
Решение.
a) 7^=1 (/2)7+^(cos/2)7-^(^-l)7 =•
dtdtdt
Упражнения для самостоятельного решения
Найдите производные следующих функций (для функций, заданных параметрически, найдите и первую, и вторую производные):
у(х) = ^.2.у (х) = 1пх • Igx.
у (х) = зУа^- Ьх2.4.у (х) = ех* + 5 cos3x.
у (х) = y^sin2 х.6.у (х) = In cos х.
7. y(x) =xs,n\7. y(x) =xs,n\11. y^2 + Уу3 = ^a7. 12. xy =у^.i11. y^2 + Уу3 = ^a7. 12. xy =у^.i
7. y(x) =xs,n\
7. y(x) =xs,n\
11. y^2 + Уу3 = ^a7. 12. xy =у^.i
11. y^2 + Уу3 = ^a7. 12. xy =у^.i
9.9.cos3 t
9.
9.
К cos 2? ’ sin31
Vcos 2/'
r (t) = У t3 • i 4- e1 • / + In (6/ + arctg Z2) k.
7(0 = У . 7 + cos2 УГ- 7+ 32< • k.
r (/) = sin P • i -г cos (tg f) • / + arcsin У t • k.
у (x) = In (x + Vx3 — 3). 17. у (x) = ex(cos x + tg x).
у (x) = In In x. 19. у (x) = ecosl/x .
у (x) = cos(log5x) — tg (In x) .
garcsin VT
у (x) = In3 arccos "\Tx. 22. у (x) = (x2 4- I)3*.
у (x) = arcctg ]/tg2 x 4- 10. 24. у (x) = Xх4.
25. у (x) = ctg In x2 • tg (2 In x).
§ 8. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Основные сведения из теории
1°. Закончите определения:
Функция у = / (х) называется возрастающей на промежутке ]а; Ь^, если для любых хп х2 $ ]а; &[ из неравенства хг < х2 следует неравенство f (х^ ... / (х2).
Функция у = f (х) называется убывающей на промежутке ]а; 6[, если ... .
Точка х0 называется точкой минимума (min) функции у = f (х), если (Vx) (х € U6 (х0)=>- / (х) ... f (х0)).
Число f (х0) называется ... .
Точка х0 называется точкой максимума (max) функции у = / (х) если ... .
Число f (х0) называется ... .
Точками экстремума функции у = f (х) называются такие ее точки ... .
2°. Закончите формулировки утверждений:
Для того чтобы функция у = f (х), имеющая на некотором промежутке ]а; Ь£ производную f (х), возрастала на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы для всех х € ]а; Ь[ выполнялось неравенство f (х) ... 0.
Для того чтобы функция у = f (х), имеющая на некотором промежутке ]а; &[ производную f (х), убывала на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы ... .
Пусть функция у = / (х) непрерывна в точке х0. Если х0 — точ-
ка экстремума функции у = f (х), то в этой точке необходимо выполняется одно из следующих условий:
а) либо у' ...; б) либо у' ... .
Точки х0, в которых либо у' ..., либо у' ..., называются ... точками.
Пусть функция у = f (х) непрерывна на некотором промежутке ]я; &[, содержащем критическую точку х0, и дифференцируема на ]а; х0С, ]х0; &[, тогда:
1) для того чтобы х0 была точкой минимума, достаточно выполнения следующих условий: a) f (х) ... О при х € J^z; х0Г и б) f (х) ...0 при х С ]х0; Ь[;
2) для того чтобы точка х0 была точкой максимума, достаточно выполнения следующих условий: a) f (х) ...Оприх С ]«; ХоЕи б) f (х) ...О
при х € ]х0; &[.
3°. Раскройте геометрический смысл производной функции у = = f (х): значение производной f' (х) при данном значении аргумента х равняется ..., образованного касательной к графику функции f (х) в соответствующей точке ^(...) с положительным направлением оси
Ох.
4°. Закончите определения:
Пусть дана кривая L (рис. 25) и на ней точка Л40 (х0; у0). Возьмем на L точку М1 (хг; у}) и проведем секущую М0Мг (точка Мг может быть расположена по любую сторону от точки Мо). Если при неограниченном приближении точки Мг по кривой L к точке Мо (с любой стороны!) секущая M0MY стремится занять положение определенной прямой A^qT, то прямая М0Т называется ..., а ее уравнение имеет вид: у — у0 = ... •
Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку ... .
Уравнение нормали имеет следующий вид: ... .
П. Примеры и упражнения
На рисунке 26 дан график функции у = f (х). Заполните таблицу, указав знаки у' (х) и у” (х) в отмеченных точках:
X
xt
^2
х3
х4
Xt
х6 | Х7
*8
у'М
У"М
1
Нижеприведенная таблица определяет поведение ряда функций у = f (х) в некоторой U& (х0). Сделайте схематические наброски графиков по образцу, приведенному в первом столбце таблицы:
Для нижеприведенных функций у = f (х) найдите точки экстремума и интервалы монотонности. Заполните таблицы и сделайте схематические чертежи, следуя указанной схеме:
Найдите у' (х).
Определите критические (стационарные) точки.
Определите знаки у' (х) в достаточно малых окрестностях найденных критических точек и точек разрыва функции у = у (х).
Заполните таблицу:
X
у'
У
Сделайте чертеж:
у = ^ — з%2 + Зх_ 1;2) у = 3]/72 — 2х; 3) у = хе^.
Напишите уравнения а) касательных и б) нормалей к графикам нижеприведенных функций в точке Мо (х0; у0):
(1;0);Х=Ш Л40(2; 2),(1;0);Х=Ш Л40(2; 2),1) У = /£ Мо (4; 2);2) у = In х, Мо
(1;0);
Х=Ш Л40(2; 2),
(1;0);
Х=Ш Л40(2; 2),
^ + у2 + 2х — 6 = О, Мо (х0; 6);4)
2^а2/ ’
Упражнения для самостоятельного решения
1. Нижеприводимая таблица определяет поведение ряда функций у = f (х) в Uб (х0). Сделайте схематические наброски графиков по образцу, приведенному в примере 2 (см. примеры):
1
2 | 3
4
5
6 1
7
S | 9
10 | 11
12
13
14
У (х0)
— 1 —
—
0 | 0
1 0 1 0
0
0
0
у' (х0)
+
+ | —
0
0
0
+ 1 +
— 1 —
0
0
0
у" (Хр)
+
-1 +
—
+1
1-
0
1 + 1-
+1-
+
—
1 0
2. Для нижеприводимых функций у (х) выполните задание, предлагаемое в примере 3:
У (*) = 4 (х — 2)2 (х + 4); б) у(х) = -^.; 41П X
У (я) = (я — 1) ^х+1; г) у (х) = In sin х;
У W = х (х — 2).
Напишите уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравнением у = х3 + 2х2 — 4х — 3, в точке Мо (—2; 5).
Напишите уравнения касательной и нормали к параболе у = \Гх в точке с абсциссой х = 4.
Под каким углом кривая у = е0»6^ пересекает прямую х = 2?
Под каким углом пересекаются параболы у = х2 и у = х3?
Указание. Углом между пересекающимися кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к ним, проведенными через эту точку.
§ 9. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПО ОБЩЕЙ СХЕМЕ
Основные сведения из теории
1°. Закончите определения:
Корнем (нулем) функции у — / (х) называется такое число х0, для которого справедливо равенство: ... .
Пусть функция у = /(х) определена на симметричном множестве X:
если выполнено соотношение f (х) = / (—х), то функция у = = / (х) называется ...;
если справедливо соотношение f (х) = —f (х), то функция у = / (х) называется ...;
если же нс выполнено ни одно из этих соотношений, то функция у = / (х) ... .
Пусть область определения функции у = f (х) вместе с каждым х содержит числа х+ I и х— I, где /=£0 — некоторое число. Функция у = f (х) называется периодической с периодом /, если справедливо соотношение: ... .
Пусть кривая задана уравнением у = / (х), х € Г^; Ч, причем f (х) существует, тогда:
если все точки кривой лежат ... любой ее касательной на этом
промежутке, то кривая называется выпуклой вверх на промежутке [а; 6] или просто выпуклой;
если все точки кривой лежат ... любой ее касательной на этом промежутке, то кривая называется выпуклой вниз или вогнутой.
Точкой перегиба кривой, заданной уравнением у = / (х), называется точка с координатами ..., отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой.
2°. Закончите формулировку достаточных условий выпуклости и вогнутости функции у = f (х):
если во всех точках промежутка [а; 6] f (х) < 0, то кривая у = f (х) ... на [а; 6];
если во всех точках промежутка [а; 6] f (х) > 0, то кривая у = f (х) ... на [а; 6].
3°. Закончите утверждение:
Если f (х0) ... или f (х0) ... и при переходе через значение х = х0 производная f" (х0) ... знак, то точка М (х0; / (х0)) — точка перегиба.
4°. Закончите определение:
Прямая АВ называется асимптотой кривой L, если ... .
5°. Допишите формулы:
Пусть у = кх + b — асимптота графика функции у = f (х). Тогда параметры к и b определяются по следующим формулам:
а) к = Ит ...; б) b = Ит ... . Х^-ооХ-*со
Примеры и упражнения
Укажите области определения функций:
3) y = ig(*-i);
Х 14) у = arcsin 2х;
У = ут+з :5) у = sin2х.
Найдите нули (корни) функций: l)y = ln(x—1);4) у = 2^ ;
2)у=х —9х;5)у = (1Г\
у = sin 2х;у \ 2 )
Определите промежутки знакопостоянства функций:
у = х3 — 5х2 + 6х;
2)у = 1п^±14)у=ч^;
3)y = sin—;5) у = 1п|х|.
1 \i 1 х1) У = 1п-^;1 — X1 \i 1 х1) У = 1п-^;1 — XУкажите, какие из нижеприведенных функций являются: а) четными; б) нечетными:
1 \i 1 х
1) У = 1п-^;
1 — X
1 \i 1 х
1) У = 1п-^;
1 — X
'(2 —х)2Решение.При х -> 2 + Опри х->2 — ОПри X “> +оо ППИ X —> ОО'(2 —х)2Решение.При х -> 2 + Опри х->2 — ОПри X “> +оо ППИ X —> ОО
'(2 —х)2
Решение.
При х -> 2 + О
при х->2 — О
При X “> +оо ППИ X —> ОО
'(2 —х)2
Решение.
При х -> 2 + О
при х->2 — О
При X “> +оо ППИ X —> ОО
Найдите периоды функций:
у = ]/"3 5т(2х + уУ
у = 25 cos \
' \212/
у = 15tgf— х — — \
’\104 )
Исследуйте поведение нижеприведенных функций у = / (х) в окрестности точек разрыва и на бесконечности. Сделайте схематические чертежи:
£
1. у = 2х .
Решение.
При х 0 + 0у
х
при х-> О — 0 — ->..., у -> ...;
X
при х-> + оо -->..., у-> ...;
X
1
при X—^ОО — “>..., У .
X
о X2 + X — 1
I >..., у ->...; (2 — х)2 (2—х)2 у ;
1. у = (х — З)2 (2 — х).
Найдите асимптоты графиков функций:
- ч х2 + 2х — 40
у =!;
72х2 + 70х—100
Укажите множество значений функций:
3) у = 1п|х|;5) у =.3) у = 1п|х|;5) у =.(X - I)3(X - I)3
3) у = 1п|х|;5) у =.
3) у = 1п|х|;5) у =.
(X - I)3
(X - I)3
Упражнения для самостоятельного решения
Последовательно выполняя требования пунктов 1—10 предыдущего раздела, исследуйте нижеприведенные функции, а затем постройте их графики:
1. у = j(x-2)2(x + 4).1. у = j(x-2)2(x + 4).5. у = (2 + х2) е-х\5. у = (2 + х2) е-х\
1. у = j(x-2)2(x + 4).
1. у = j(x-2)2(x + 4).
5. у = (2 + х2) е-х\
5. у = (2 + х2) е-х\
6. у =6. у =
6. у =
6. у =
sin х + cos х
у = /2х —х2 + 2.
у = х2 — е~х.
§ 10. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Основные сведения из теории
1°. Закончите определения:
Функция F (х) называется первообразной функции f (х) на отрезке [а; 6], если Vx € [а; 6] справедливо равенство ... .
Если F (х) — первообразная / (х), то ..., причем: а) выражение F (х) + С называется ... функции ... и б) обозначается символом ... .
2°. Заполните таблицу:
Правила интегрирования
Простейшие интегралы
(J f(x)dx )'=... .
d (J f (x) dx) = ... .
j* d F (x) =.
/(Л(х) ± к (x))dx =... .
^k(x))dx = ... .
ff (x) dx = F (x) + C=> =ф|/ (ax + 6) dx= ... .
Jxarfx = ... (a^-lj
^ax dx — ... .
j* sin x dx = ... .
J cos x dx = ... .
C-^ = ....
J sin2x
7. C -^- = ... .
J COS2 X
J ]/^^z2 — X2
c
9" J a2 +x2‘
, Г dx
°’J'
n.
J ]/ x2 + a
3°. Закончите формулировку одного из важнейших правил интегрирования:
Пусть известно, что ff (x)dx = F (х) + С. Тогда f/ (u)du = .... где и = ф (х). Например:
J xdx = у + С =ф- J sin xd (sin х) =.
4°. Закончите запись формулы интегрирования по частям:
fu (х) du (х) = ... .
Примеры и упражнения
1. Используя правило 3°, вычислите интегралы:
С-^7!5) \V^^dx;
J x + k' 3 у\_ хг
fcos(£x)dx;6) С—-—dx;
J (х + О2
$akxdx;7) J (3 + 2х)4 dx.
f—-—;
J cos2 (kx)
Найдите неопределенные интегралы:
f— dx;6) С^Л=;
f— dx;7) C si“(ln x) dx;
J x1J x ’
3)fx5^dx;8)f-^-;
J’7 J costs’
j" tg x dx;9) J cos xesin Xdx;
J ctgxdx; 10) J e-xl-xxdx.
Вычислите интегралы, пользуясь указанной подстановкой:
П СУ^+5^= x = atg/
f —^= dx = х = 2 sin t
’ J K4-^
f = X = — In/1 .
Используя интегрирование по частям, найдите неопределенные интегралы:
Jx sin х dx; 2) jx2 sin x dx; 3) $ex sin x dx; 4) J У a2 — x2 dx;
j Уа2 + x2dx; 6) $V x2 — a2 dx; 7) Jlnxdx; 8) Jarctgxdx;
J arcsin x dx; 10) Jarccosxdx.
Решение.
X2X2
X2
X2
Упражнения для самостоятельного решения
Вычислите интегралы:1. f(5 + 7x)17dx. 2. f—— 7J2 + 21xВычислите интегралы:1. f(5 + 7x)17dx. 2. f—— 7J2 + 21xeldteldtJ у i—^ 10. Jsin(tgx)J у i—^ 10. Jsin(tgx). 6. 1dxcos2 x. 6. 1dxcos2 xх3— 1х3— 13. J cos л£ x dx. 4. C dx — - J v 3 + 4x2x dx g СC ^X ^xcos2 x2 J x2 — 4x + 4 9* J У x3. J cos л£ x dx. 4. C dx — - J v 3 + 4x2x dx g СC ^X ^xcos2 x2 J x2 — 4x + 4 9* J У x14. J x arcsin x dx. 15. ^x4nxdx. 16. J 3х cos x14. J x arcsin x dx. 15. ^x4nxdx. 16. J 3х cos xcos xdx1 + sin2 xcos xdx1 + sin2 x. 13. jxarctgxdx.C dxJ X In x In (In x). 13. jxarctgxdx.C dxJ X In x In (In x)
Вычислите интегралы:
1. f(5 + 7x)17dx. 2. f—— 7J2 + 21x
Вычислите интегралы:
1. f(5 + 7x)17dx. 2. f—— 7J2 + 21x
eldt
eldt
J у i—^ 10. Jsin(tgx)
J у i—^ 10. Jsin(tgx)
. 6. 1
dxcos2 x
. 6. 1
dxcos2 x
х3— 1
х3— 1
3. J cos л£ x dx. 4. C dx — - J v 3 + 4x2
x dx g СC ^X ^x
cos2 x2 J x2 — 4x + 4 9* J У x
3. J cos л£ x dx. 4. C dx — - J v 3 + 4x2
x dx g СC ^X ^x
cos2 x2 J x2 — 4x + 4 9* J У x
14. J x arcsin x dx. 15. ^x4nxdx. 16. J 3х cos x
14. J x arcsin x dx. 15. ^x4nxdx. 16. J 3х cos x
cos xdx
1 + sin2 x
cos xdx
1 + sin2 x
. 13. jxarctgxdx.
C dx
J X In x In (In x)
. 13. jxarctgxdx.
C dx
J X In x In (In x)
18.
§ 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ, содержащих квадратный трехчлен
Основные сведения из теории
Закончите формулировку правил:
1°. Для того чтобы вычисление интеграла вида Л = С~ J ах2 + Ьх + с
привести к вычислению одного из табличных интегралов вида — ^— ^а 1 С dt .
или — j , необходимо предварительно преобразовать квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе, выделив из него полный квадрат: с \
х2* Ч— х Н— = ..., а затем сделать замену а а)
переменной, положив ... .
f
Дx I В dx свести ах2 Д-bx + с
а С 2ах + 6 f С dx
к вычислению суммы интегралов вида л \ ——— ах и it I
J ax“+bx + сJ ах2+ Ьх +с
необходимо провести следующие тождественные преобразования подынтегральной функции:
А
л п — (2ах + Ь)
Ах^-В _ 2tz
ах2 + Ьх + с ах2 + Ьх + с
Это позволяет искомый неопределенный интеграл /2 представить в виде
L = X Гdx + цdx =.
2 J ах2 + Ьх + с r J ах2 + Ьх + с
Вычисление интеграла /(22) производится с помощью формулы, указанной в п. 1°, а чтобы вычислить интеграл 1^, надо сделать замену переменной, положив ах2 + Ьх + с = ... . Поэтому можно записать
Возвращаясь к интегралу /2, окончательно получаем:
/2=f ^±А.._йх==1^ + ^ = ... .
2 J ах2 + Ьх + с
3°. Для того чтобы интеграл вида /3 =jp===_ свести (в зависимости от знака числа а^ к вычислению одного из табличных инте- е dtС dt
гралов вида j "y^- ^2Г или j у^^уг» поступают так же, как и
в случае ..., полагая
ах2 + Ьх + с = tffx2 + — х + — = ...V а а)
и делая замену переменной: ... .В итоге получают: ... .
4°. Для того чтобы интеграл вида L = 1 ——"гdx свести к
J / ах2+Ьх +с
л С 2ах 4- bС dx
вычислению суммы интегралов вида м г— и,
rjyax2-\-bx+c ЗУах2+Ьх+с
необходимо, как и в случае ..., провести следующие тождественные
преобразования подынтегральной функции:
Ах + ВV ах2 + Ьх + сАх + ВV ах2 + Ьх + сАV" ах2 + Ьх + сАV" ах2 + Ьх + с
Ах + В
V ах2 + Ьх + с
Ах + В
V ах2 + Ьх + с
А
V" ах2 + Ьх + с
А
V" ах2 + Ьх + с
Это позволяет искомый интеграл /4 представить в виде
т _ X С 2ах 4- 6 dv 4- u С-7®
Вычисление интеграла 1^ производится с помощью формулы, указанной в п. 3°, а для вычисления интеграла 1^2 надо сделать замену переменной, положив ах2 + Ьх + с = ... . В результате получаем (х = \2а/
1^ = — f ^=47= dx = — f..2а J у ах2 + Ьх + с 2а J
Возвращаясь к вычислению интеграла /4, окончательно получаем:
4х 4-ВV ах2 + Ьх + с4х 4-ВV ах2 + Ьх + сdx = 1^142 =dx = 1^142 =
4х 4-В
V ах2 + Ьх + с
4х 4-В
V ах2 + Ьх + с
dx = 1^142 =
dx = 1^142 =
dx 1 х2 — а22аdxх2 + 4х + 5dxх2 — 6х + 9dxх2 — 8х + 15dx 1 х2 — а22аdxх2 + 4х + 5dxх2 — 6х + 9dxх2 — 8х + 15dx]/"2 +3х—2х2dx]/"2 +3х—2х2
dx 1 х2 — а22а
dx
х2 + 4х + 5dx
х2 — 6х + 9dx
х2 — 8х + 15
dx 1 х2 — а22а
dx
х2 + 4х + 5dx
х2 — 6х + 9dx
х2 — 8х + 15
dx
]/"2 +3х—2х2
dx
]/"2 +3х—2х2
П. Примеры и упражнения
Продолжите вычисление неопределенных интегралов:
П(х4-а)-(х-а) , J (х + а) (х — а) _ С dx - j (х + 2)2+1 “ _ Г dx “ J (х-3)2 “ _ Г dx
J (х —3)(х —5)
Продифференцировав обе части приведенного равенства, найдите X и р, затем вычислите интегралы:
f (Зх+l)dx =%in|x2_4x5| Гdx=
J X2 —4x4-51X2— 4x4-5
f-^=^-^ = Xlnlx2 —Зх —4|4-р С= ...;
7 х2зх41х2Зх4
f _JZ£±^L_ = х In IX2 — Юх 4- 251 + р f= ....
7J х2—10x4-2511 rJ х2—10x4-25
Закончите вычисление неопределенных интегралов, содержащих У"ах2, + Ьх + с:
4)6)4)6)* (Зх — 6) dxV х2-4х + 5I V" 1 — х — х2* (Зх — 6) dxV х2-4х + 5I V" 1 — х — х23 (х — 2) dx3 (х — 2) dxГ(х-2)2+1— (—2х — 1 + 9) dxГ(х-2)2+1— (—2х — 1 + 9) dxх dx/5х2 — 2х + 1х dx/5х2 — 2х + 1
4)
6)
4)
6)
* (Зх — 6) dx
V х2-4х + 5
I V" 1 — х — х2
* (Зх — 6) dx
V х2-4х + 5
I V" 1 — х — х2
3 (х — 2) dx
3 (х — 2) dx
Г(х-2)2+1
— (—2х — 1 + 9) dx
Г(х-2)2+1
— (—2х — 1 + 9) dx
х dx
/5х2 — 2х + 1
х dx
/5х2 — 2х + 1
Упражнения для самостоятельного решения
Найдите интегралы:
dxdxх2 + 6х + 10dx2х2 — Зх + 37х dxх2 + 6х + 10dx2х2 — Зх + 37х dxdx1 — 2х — х2dz3Z2_ 3z + 1* (Зх — 8) dxdx1 — 2х — х2dz3Z2_ 3z + 1* (Зх — 8) dxdxdxх2 + Зх + 0,25(4х + 5) dx2х2 + 5х + 20dxх2 + Зх + 0,25(4х + 5) dx2х2 + 5х + 20dxdx1 — 2х — х2dx1 — 2х — х2dxdx/х2 + 6х + 10 ‘/х2 + 6х + 10 ‘V x2 + 3x+0,25 *V x2 + 3x+0,25 */2х2 — Зх + 3/2х2 — Зх + 3dzV 3z2 — 3z +4^" x dxV X2+x—T'dzV 3z2 — 3z +4^" x dxV X2+x—T'(3x — 8) dxу 2x2 + 5x + 20(3x — 8) dxу 2x2 + 5x + 20(4x — 5) dxУ x2 + x + 1(4x — 5) dxУ x2 + x + 1
dx
dx
х2 + 6х + 10dx
2х2 — Зх + 37х dx
х2 + 6х + 10dx
2х2 — Зх + 37х dx
dx
1 — 2х — х2dz
3Z2_ 3z + 1
* (Зх — 8) dx
dx
1 — 2х — х2dz
3Z2_ 3z + 1
* (Зх — 8) dx
dx
dx
х2 + Зх + 0,25(4х + 5) dx
2х2 + 5х + 20dx
х2 + Зх + 0,25(4х + 5) dx
2х2 + 5х + 20dx
dx
1 — 2х — х2
dx
1 — 2х — х2
dx
dx
/х2 + 6х + 10 ‘
/х2 + 6х + 10 ‘
V x2 + 3x+0,25 *
V x2 + 3x+0,25 *
/2х2 — Зх + 3
/2х2 — Зх + 3
dz
V 3z2 — 3z +4^" x dx
V X2+x—T'
dz
V 3z2 — 3z +4^" x dx
V X2+x—T'
(3x — 8) dx
у 2x2 + 5x + 20
(3x — 8) dx
у 2x2 + 5x + 20
(4x — 5) dx
У x2 + x + 1
(4x — 5) dx
У x2 + x + 1
§ 12. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙИ ПРОСТЕЙШИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ
Основные сведения из теории
. Закончите утверждение:
Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух ... .
2°. Заполните таблицу следующих интегралов от простейших дробей:
С—— dx = ...; 2) f-—dx= .... если п">2;
’ J х — а' J (х — а)”
3)1 С 4+g_ dx = .... 4)2 fg£tgdx = ... .
J ax + bx + cJ (ax2 + bx + с)л
3°. Закончите утверждения:
Всякую правильную рациональную дробь можно представить в
виде ... простейших дробей, т. е. справедливо следующее соотношение:
Р_М =^.М= || Z < к + I + 2m+
Q (х) (х — а)к (х — ЬУ (х2 + рх + <7)™ (х2 + rx + s)"
^1^2^1^2
(х —а) “‘ (х —tz)2 (х — а)к (x—b") (х — ьу
МщХ + т.toA-px-Yq^МщХ + т.toA-px-Yq^Bt Мхх + Nx М2х + М2
МщХ + т.toA-px-Yq^
МщХ + т.toA-px-Yq^
(х — Ь) х2+рх + д (х2 + рх+^)2
Р\Х + 8!Р^х + е2Рпх + гп
” X2 + ГХ + S (х2 + ГХ + s)2(х2 + ГХ + s)"
Правильную рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на неповторяющиеся множители первой степени, можно представить в виде суммы простейших дробей, в знаменателях которых стоят ...:
Pt to=.
(х — ^z1) (х — а^ (х — а3) ... (х — а^*
Если знаменатель правильной рациональной дроби содержит лишь множители первой степени, среди которых имеются повторяющиеся, то справедливо соотношение
Р t to^2^3
(х — ах) (х — а^к (х —- 61) (х — Ь^1х — ах ”’ х — а2 ’ (х — tz2)2
^к+1|^1^2^3^/+1
(х — а2Уг х — Ъх х — 62 (х — Ъ^2 (х — Ь^1
Правильную рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на неповторяющиеся множители второй степени с отрицательными дискриминантами, можно представить в виде суммы простейших дробей, в знаменателях которых стоят...:
Pt to= _ .
(х2 + рг х + q^ to + р2 х + q^ - to + Рп^ + qn} *** *
Если знаменатель правильной рациональной дроби содержит лишь множители второй степени с отрицательными дискриминантами, среди которых есть повторяющиеся множители, то справедливо соотношение
Pt to е
(х2 + ргх + q^) to + РгХ + q2^ to + Р^ + ^з) to + Р4Х + q^1
4°. Закончите формулировку правил: тг
Для того чтобы интеграл вида J7? (х, х " , ..., х ^dx1 преобразовать к виду f/? (/)d/, надо ввести новую переменную 1, положив ^ = х, где к ... .
тг
Для того чтобы интеграл вида Гл xj —— п, ...» рх
\ \сх + d) \сх +^J J
свести к интегралу от рациональной функции, надо сделать замену
^-6 = ^,где&... . сх + d
Примеры и упражнения
Какие из нижеприведенных дробей являются правильными и какие — неправильными:
3 .2) х + *•3) А4) ^ +5х + 6 .
х — 2’х + 7’— а^п'' (х — 2) (X + 3) ’
с. Дх4-Всх 4x4-13-71 Ах-\-В _
ах1 4~ Ьх 4- с(х2 + 5х 4- 6)2(ах2 4" Ьх 4- с)”
. Выделите целую часть неправильной дроби: а) путем деления многочлена на многочлен или б) путем формирования в числителе выражения, равного знаменателю. Представьте рациональную дробь в виде выделенной целой части и правильной остаточной дроби:
। \ х 4~ 1х 4~ 1 4~ 3 6।... *
х 4-7 ~х4-7—
„, х5 — х3 4~ 4х5 — х3 4- 4х3 4- 2х2 4- Зх 4- 6
х3 4- 2х2 + Зх + 6 х* + 2x4 + 3x3 + 6x2х2-2х...’
2х4 — 4х3 — 6х2 4" 4
2х* — 4х® — 6х2 — 12х
х4 — 6х3 4- 12х2 4-6 =. .. ' х8 4-2х3 — 1 _
х3—6х2 4-12х — 8’х34-2х24~2х
Вычислите нижеприведенные интегралы, используя таблицу интегралов от простейших дробей:
С dx •2) С dx •3) С (х + 5)& .
J7 — х'J (2x4-3)$’ 'J 2х24-2x4-3’
4 Г (3x4-5)dx
' J (х2 4- 2х 4- 2)2 '
Проинтегрируйте рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на неповторяющиеся множители первой степени:
f " +dx.
J (^+D(»-l)(»-2)
Решение.
Выясним, является ли подынтегральная дробь правильной рациональной дробью. Если нет, то выделим ее целую часть: ... .
Запишем подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей:
Зх2 + 2х —5А . В С
(х + 1) (х — 1) (х —2)+
Методом подстановки найдем неопределенные коэффициенты
А, В и С: Зх2 + 2х — 5 = А (х — 1) (х — 2) + В (х + 1) (х — 2) + + С (х - 1) (х + 1).
а) х = 2 => ...; б) х = 1 => ...; в) х = —1 => ... .
(Чем руководствовались, полагая последовательно х = 2, х = 1, х = —1?)
Искомый интеграл
С Зх2 + 2х — 5_
J (х+1)(х-1)(х-2)
Проинтегрируйте рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на множители первой степени, среди которых имеются повторяющиеся:
г х3 dx
Решение.
Выясним, является ли подынтегральная дробь правильной рациональной дробью. Если нет, то выделим ее целую часть... .
Запишем правильную часть подынтегральной дроби в виде суммы простейших дробей:
(х + 2)=(х-1) =+ (х + 2)3(х-1)
х+2 (х + 2)2 х—1
Найдем неопределенные коэффициенты Л, В и С методом приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х; ... .
Искомый интеграл
С х3 dx
J (х+2)2(х-1) ~'
Проинтегрируйте правильную рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на неповторяющиеся множители второй степени с отрицательными дискриминантами и, возможно, на множители первой степени:
Г (2х— l)dx
J (х2+х + 2) (х—1)*
Решение.
Запишем правильную подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей:
2х— 1A Mx-VN
(х2+ х + 2) (х — 1) ~ ... +...
Найдем неопределенные коэффициенты А, М и N путем комбинирования метода подстановки (полагая х = 1) и метода приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х:
2х — 1 = А (х2 + х + 2) + (Мх + Ю (х — 1),
х ^ 1 => ... .
Искомый интеграл
Г (2х—l)dx
J (х + х+2)(х-1) ~'
Проинтегрируйте правильную рациональную дробь, знаменатель которой разлагается на множители второй степени, имеющие отрицательные дискриминанты, среди которых есть повторяющиеся множители:
С х® dx
J (х2 + I)2 '
Решение.
Запишем правильную подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей:
1Мгх + Wx । Мах + Na
(х2 + I)2 ~~~'
Найдем неопределенные коэффициенты Мх, Мг, Nlt N2: ... .
Искомый интеграл
Р х3 dx
J (Х2+ I)® =*
т
Используя правило нахождения интегралов вида JT? (х, хп ,..., ..., xs )dx, вычислите интегралы:
9. Используя правило нахождения интегралов вида
_( (ax + b\n fax-Vb\s\,
R х, ——, , ...,—— \ах, вычислите интегралы:
\ \сх + d/ ’ \сх-Н) )р
а 3 Г
~ a~ZZZ^x = || Зх + 4 = е- dx = ... || = ... ;
«/ 1 -j- |/”Зх -^” 4
Упражнения для самостоятельного решения
Вычислите интегралы:
3.3.x2 + 5x + 6 ^(x + 2)(x+3)‘x4 — 6x3 + 12x2 + 6 дx3 — 6x2 + 12x — 8dx- Px2 + 5x + 6 ^(x + 2)(x+3)‘x4 — 6x3 + 12x2 + 6 дx3 — 6x2 + 12x — 8dx- Px5 — x3 + 4x3 + 2x2 + 3x + 6C ^x• J (3-5x)3' dxn fx5 — x3 + 4x3 + 2x2 + 3x + 6C ^x• J (3-5x)3' dxn fdx.dx.xdxх3 — 1 dxxdxх3 — 1 dx12.12.15.15.x2 (x 4- I)3 Bxdx (x2 + 2x + 2)2П 3r—x2 (x 4- I)3 Bxdx (x2 + 2x + 2)2П 3r—(х2 + 4) (х - 1)0. С—-5- .J (х3 + 8)2(х2 + 4) (х - 1)0. С—-5- .J (х3 + 8)2гт-^ dx.гт-^ dx.ИИ(х2 + 3) (х2 — 4х + 13) Г Vх dx(х2 + 3) (х2 — 4х + 13) Г Vх dxdx.dx.1 — /х — 11 — /х — 1ззdx.dx.
3.
3.
x2 + 5x + 6 ^
(x + 2)(x+3)‘
x4 — 6x3 + 12x2 + 6 д
x3 — 6x2 + 12x — 8
dx- P
x2 + 5x + 6 ^
(x + 2)(x+3)‘
x4 — 6x3 + 12x2 + 6 д
x3 — 6x2 + 12x — 8
dx- P
x5 — x3 + 4x3 + 2x2 + 3x + 6
C ^x
• J (3-5x)3' dxn f
x5 — x3 + 4x3 + 2x2 + 3x + 6
C ^x
• J (3-5x)3' dxn f
dx.
dx.
xdx
х3 — 1 dx
xdx
х3 — 1 dx
12.
12.
15.
15.
x2 (x 4- I)3 Bxdx (x2 + 2x + 2)2
П 3r—
x2 (x 4- I)3 Bxdx (x2 + 2x + 2)2
П 3r—
(х2 + 4) (х - 1)
0. С—-5- .
J (х3 + 8)2
(х2 + 4) (х - 1)
0. С—-5- .
J (х3 + 8)2
гт-^ dx.
гт-^ dx.
И
И
(х2 + 3) (х2 — 4х + 13) Г Vх dx
(х2 + 3) (х2 — 4х + 13) Г Vх dx
dx.
dx.
1 — /х — 1
1 — /х — 1
з
з
dx.
dx.
§ 13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Основные сведения из теории
1°. Заполните таблицу простейших тригонометрических подстановок:
Интеграл
Подстановка
dt
J R (sin x) cos x dx = ... .
t = ... .
dt = ... .
J R (cos x) sin x dx = ... .
t = ... .
dt = ... .
J R (cosx, sin x) dx = .... cosx = ... , sinx = ... .
t= ... .
dt = ... .
2°. Закончите формулировку правил:
Если п— четное число (п = 2А), то вычисление интегралов вида Jcos^ х dx, jsin” x dx осуществляется с использованием формул тригонометрии:
. о... cos 2x о
sin2 X =, COS2 X =
Если т и п — четные неотрицательные числа, то вычисление интегралов вида Jsin^xcos^xdx осуществляется... .
Интегралы вида J sinmx cosnxdx, J sinmxsinnxdx и J cosmx cosnxdx вычисляются при помощи следующих тригонометрических равенств:
sin тх cos пх —-^ (sin (т + п)х + sin (m — и) х);sin тх sin пх = ^ (cos (т — и) х — cos (m + п) х);cos тх cos пх (cos (т — п) х + cos (m + п) х).
Примеры к упражнениям
Используя табличные интегралы и вводя надлежащие замены, вычислите интегралы:
J sin xdx = —J sin2 xd (cos x) = —J (1 — cos2 x) d cos x =?
J cos3 xdx = ... .
Найдите интегралы:
C_^_dx = ||cosx = ^ x= ... I
J cos x — 5 ||sinx= ..., dx = ... [
P COS^ X
J sin4x
dx =;
найдите
Используя тригонометричес- __
кие формулы sin2 х = —^s2^- 0 а=х0 х7 х2 X; х<+7 Xn=b X
и cos2 х =1 + cos 2 х понизьте сте-Рис. 27
2
пень подынтегрального выражения и вычислите интегралы:
j sin2 xdx = ...;3) J cos4 xdx = ...;
J cos2 xdx = ...;4) J cos2 x sin2 xdx = ... .
Вычислите интегралы:
J tg2 xdx = ||tg2 x = sec2 x — 1|| = J sec2 xdx — J dx = ...;
J tg3 x dx = J tg x tg2 x dx = ... .
Используя соответствующие тригонометрические формулы, вычислите интегралы:
J sin Юх sin 15xdx;
j sin 3x cos 5 x dx;
f cos — cos — dx.
J 23
Упражнения для самостоятельного решения
J cos3 xdx. 2. J sin5 xdx.3. J sin2 x cos3 xdx. 4. Jcos46xdx.
0 sin x cos x ,„ fdx- p sin x ,
\ dx. 6. 1. 7. dx.
J (4 + cos x)2J sin x + cos x JI — sin x
Jctg4xdx. 9. [ f tg3 — + tg4 —^ dx. 10. Ceos —sin —dx. J \33/J 43
I sin—sin—dx. 12. fcos4xcos7xdx.
J 32J
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯК РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ФИЗИКИ
Основные сведения из теории
1°. Закончите определения:
Пусть функция / (х) непрерывна на отрезке [а; 6], который разбит произвольным образом на п элементарных непересекающихся от- п— 1
резков [х,; xw], таких, что U Гхг; xw] = [а; Ь], х0 = а, хп = Ь.
;=о
Пусть на каждом отрезке [хг; хг+1] произвольным образом выбрана точка ^ и для каждого значения i вычислено / (£г) (рис. 27). Тогда интегральной суммой для функции f (х) на отрезке [а; 6] называется ... .
Замечание. На рисунке 27 рассмотрен случай 0 < а. Из определения следует, что знаки чисел а и b могут быть ... .
Если при любых разбиениях отрезка [а; Ь], таких, что шахДхг-~*
и при любом выборе точки £г из отрезка [х;; х^] ... к одному и тому же пределу, то этот предел называют определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а; Ь] и обозначают..., причем:
число а называют число b — ..., функцию f (х) — ..., отрезок [а; 6] — х — ... .
2°. Закончите формулировку теоремы существования определенного интеграла:
Если функция f (х) ... на отрезке [а; Ь], то она интегрируется на этом отрезке, т. с. ...существует.
3°. Перечислите свойства определенного интеграла, вытекающие из общих свойств предельного перехода:
j Af (x)dx = ..., А = const; а b
J (fx (x) ± f2 (x^dx = ...; a
bb
Vx ^ [a; &]: f (x) ^ ф (x) => У / (x)dx ... jф (x)dx; aa
bcb
Va, b, c: [f (x)dx ... J f (x)dx ... j f (x^dx, если эти три интег- аас
рала существуют; bа
J / (x)dx ... J f ^dx. аb
4°. Закончите формулировку теоремы Ньютона — Лейбница:
Если F (х) есть какая-либо первообразная непрерывной функции / (х), то справедлива формула
j f (x)dx = ... . а
5°. Найдите путь, пройденный точкой, движущейся по прямой с известной скоростью, являющейся функцией времени I.
Решение.
Выделим достаточно малый промежуток времени [7; t + df\, на котором скорость v (Z) можно приближенно считать постоянной.
Определим «элемент пути» — путь, пройденный точкой за указанный промежуток времени: ds = -о ^ ... .
Проинтегрируем «элемент пути» от начального момента времени /0 До конечного момента tk. Получаем искомый путь:
. Определите работу А, совершаемую материальной точкой, движущейся по прямолинейному пути (вдоль оси Ох) под действием —>-—>■
переменной силы F (х), при условии, что направление F (х) совпадает с направлением движения.
Решение.
Выделим достаточно малое перемещение [х; х + Jx], на котором приложенную силу F (х) можно приближенно считать постоянной.
Определим «элемент работы» — работу, совершаемую силой F (х) на указанном перемещении (F (х) = |F(x)|): dA = F (х)... .
Проинтегрируем «элемент работы» от начальной точки х = а до конечной точки х = Ь. Получим искомую работу:
6А = J .
7°. Закончите определение:
Пусть на плоскости с введенной декартовой прямоугольной системой координат дана система материальных точек Р1(х1; yj, Р2 (х2; Уг),--, ..., Рп (х„; уп) с массами соответственно т^, т2, ..., тп. Тогда:
произведение xzmz называется... массы т^ относительно...;
произведение yzmz называется ... массы mt относительно оси...;
если хс и ус — координаты центра тяжести данной системы Л (ХА Ух), Ра (^2; Уг), • ••, Рп (хп> ^аЬ т0 они определяются по следующим формулам:
(хс = •••>
Ьс = ••• •
8°. Найдите центр тяжести плоской криволинейной пластинки (плотность известна) (рис. 28).
Решение.
Возьмем элементарный отрезок [х; х + dx"] оси Ох. В криволинейной трапеции выделится элементарная полоска, которую при достаточно малом... можно приближенно считать прямоугольником.
Массу полоски dm = pydx будем считать сосредоточенной в ее центре тяжести, т. е. в точке Р ^х; ^. Тогда «элемент» статического момента dMx криволинейной трапеции относительно оси Ох найдется как произведение массы dm на ординату точки Р: dMx = dm ... .
Аналогично определим «элемент» статического момента dM^ той же криволинейной трапеции относительно оси Оу: dMy = dm... .
Для нахождения Мх и Му проинтегрируем dMx, dM^ по отрезку [а; &]: Мх = ..., Му = ... .
Используя соотношения хст = Л4у, уст = Мх, в итоге находим: хс = ..., ус = ... .
9°. Определите количество электричества Q, протекающего через поперечное сечение проводника за промежуток времени У^, У-
Решение.
Выделим элементарный отрезок времени [£ t + dt^, такой, в пределах которого силу тока I можно приближенно считать постоянной. Тогда «элемент» количества
электричества dQ определяется формулой dQ = I (/) ... .
Для того чтобы найти Q, проинтегрируем dQ в промежутке [4; ^1
II. Примеры и упражнения
Найдите путь, пройденный за первые 10 с движения телом, свободно падающим в пустоте, если известно, что скорость и свободного падения в пустоте определяется формулой и = v0 + gt, где у0 — начальная скорость, g — ускорение силы тяжести, t — протекшее
время.
Решение.
Воспользуемся формулой, приведенной в 5° данного параграфа. Учитывая, что Zo = 0, th = 10, у0 = 0, g = 9,8 м/с2, находим иско
ююмое расстояние:
ю
ю
ооs
о
о
Какую работу А1г надо затратить, чтобы тело массой т поднять с поверхности Земли на высоту /г? Чему равна эта работа, если тело должно быть удалено в бесконечность?
Решение.
где т — масса тела,где т — масса тела,Используем формулу F = F (г) = к —,
где т — масса тела,
где т — масса тела,
М — масса Земли, г — расстояние от тела до центра Земли, к — постоянная, определяемая из условия, что на поверхности Земли (г = = 7?) F = mg;
кк gF2
mg = k~, откуда 6 = ^
Сила F (г) направлена по радиусу от центра Земли, и в том же направлении происходит перемещение тела из начальной точки а =
R-Vh
= R до конечной точки b = R + К. Искомая работа: Ah = J... .
R
Доо = lim Ah = lim ... . h-*coh-^co
Два электрических заряда ^ = е2 = —Ю-7 Кл находятся на 4
расстоянии 40 см друг от друга. Разделяющей их средой служит парафин. Сначала оба заряда закреплены неподвижно, а затем заряд ег освобождается и под действием силы отталкивания удаляется от заряда е2 на расстояние, равное 1 м. Какая работа при этом будет произведена силой отталкивания?
Решение.
По закону Кулона сила F (х) взаимодействия зарядов ег и е2
равна: F (х) = —— где е0 = 8,854 * 10-12Ф/м — диэлектриче- 4ле0 ех2
с кая проницаемость вакуума, е = 2 — диэлектрическая проницаемость парафина.
Искомая работа: А = J ... .
Определите координаты центра тяжести плоской однородной (р = 1) фигуры, ограниченной синусоидой у = sin х и отрезком оси Ох от х = 0 до х = л.
Решение.
Для рассматриваемой задачи а — О, Следовательно, л
J х sin xdx
b = л, у (х) = sin х.b = л, у (х) = sin х.лл^ sin dx о
b = л, у (х) = sin х.
b = л, у (х) = sin х.
л
л
Упражнения для самостоятельного решения
Скорость движения задается формулой и = ]Л 1 + 4/ м/с. Найдите путь, пройденный точкой за первые 10 с от начала движения.
Какую работу надо затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила в 1 Н растягивает ее на 1 см?
Найдите координаты центра тяжести треугольника, ограниченного прямыми х + у = 3, х = 0, у = 0. Плотность р = 1.
Найдите координаты центра тяжести фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды х = a (t — sin ty, у = а (1 — cos t\
Сила тока / в проводнике меняется во времени по закону / = = 2 + 3Z2 (А). Найдите количество электричества, протекшее через поперечное сечение проводника за время от ^ = 3 до /2 = 6 с.
Сила тока (городского), имеющего 50 колебаний в минуту, изменяется по закону I = Aq sin л/ (А), где Ао — его амплитуда. Найдите количество электричества, протекшего через поперечное сечение проводника за время от ^ = 0 до /2 = 0,02 с.
§ 15. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
I. Основные сведения из теории
Закончите утверждения:
1°. Если плоская непрерывная кривая задана в декартовой системе координат уравнением у = / (х)0, то площадь криволинейной
трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми х = а, х = b и осью Ох (рис. 29), определяется формулой S = ... .
2°. Если плоская непрерывная кривая задана уравнениями в параметрической форме х = ф (/), у = ф (/) ^ 0, то площадь криво-
линейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми х = а, х = b и осью Ох, определяется формулой S = ..., где значения верхнего и нижнего пределов интегрирования определяются из уравнений а = ф (...) и b = х|) (...).
3°. Если плоская непрерывная кривая задана в полярных координатах (рис. 30) уравнением г = f (ср), то площадь сектора, ограниченного этой кривой и двумя полярными радиусами, соответствующими значениям (fj = а и <р2 = р, определяется формулой S = ... .
4°. Длина дуги плоской гладкой кривой, заданной в декартовой системе координат уравнением у = f (х) и ограниченной точками с абсциссами х = а и х = Ь, определяется формулой / = ... .
5°. Если плоская гладкая кривая задана в параметрической форме уравнениями х = ср (0 и у = ф (/), а значения параметра, соответствующие началу и концу дуги, равны ^ и £2, то длина дуги определяется формулой / = ... .
6°. Если плоская гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением г = f (ср), где а ср ^ р, то длина дуги определяется формулой I = ... .
Т. Формулой Vx = лJ у dx определяется объем тела, образована
ного вращением вокруг оси... криволинейной трапеции, ограниченной кривой..., осью... и двумя прямыми... и ... .
ь
8°. Формулой Иу = лj ху dx определяется... . а bb
9°. Формулой Sx = 2л J ^dl = 2л Jy V1 +(/)2 dx определяется пло- аа
щадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ... дуги плоской гладкой кривой, заданной уравнением У = / (х), где а < х < < Ь.
II. Примеры и упражнения
Вычислите площадь параболического сектора, образованного параболой у = х2 и прямой у = 1. Сделайте чертеж.
Решение.
Абсциссы точек пересечения параболы и прямой: ... .
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой у = х2, осью Ох, а также прямыми...: Sx = ... .
Площадь квадрата со стороной, длина которой равна ...: S2= ... .
Площадь параболического сектора:
иды соответствует значениям х, меняющимся в пределах от х = до х = ... .
Искомая площадь: S = ... .
Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболами у = х2 и у2 = х. Сделайте чертеж.
Решение.
Абсциссы точек пересечения данных парабол: ... .
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной: а) кривой ...; б) осью...; в) прямыми ... и ...:= ... .
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной: а) кривой ...; б) осью...; в) прямыми ... и...: S2 = ... .
Искомая площадь: S = ... .
Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды х = akt — sin t), у = а (1 — cos ty Сделайте чертеж.
Решение.
Значения параметра I, соответствующие началу и концу арки: t = ... и t = ... .
Вычислим dx: ... .
Искомая площадь: S = ... .
Вычислите площадь одного лепестка лемнискаты Бернулли г2 = a2* cos 2ф. Сделайте чертеж.
Решение.
Заметим, что один лепесток лемнискаты Бернулли заключен между значениями полярного угла а = фх = ... и р = ф2 = ... .
Искомая площадь: S = ... .
Вычислите длину дуги окружности х2 + У2 = R2*. Решение.
Запишем формулу, позволяющую найти 1г — длину одной четвертой части окружности, соответствующей изменению координаты х от 0 до R;
запишем уравнение окружности в виде у = ...;
вычислим у': ...; в) составим ]/" 1 + у'2: ...;
вычислим lv ... •
Длина искомой окружности: С = 41г = ... .
Вычислите длину астроиды х = a cos3 t, у = a sin3 t. Сделайте чертеж.
Решение.
Найдем х и у: ... .
Вычислим V у2 + х2: ... .
Значения параметра /, соответствующие концам дуги четвертой части астроиды: t = ... и t = ... .
Длина дуги четвертой части астроиды: 1г = ... .
Длина астроиды: I = 4/х = ... .
Вычислите длину кардиоиды г = а (1 + cos ф). Сделайте чертеж.
Решение.
Заметим, что вся кривая описывается точкой (г; ф) при изменении ф от ... до ... .
Найдем г': ... .
Вычислим V гг + т*Ч ... .
Искомая длина: / = ... .
Найдите объем тела, образуемого вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды у = sin х и осью абсцисс вокруг:
1) оси Ох; 2) оси Оу.
Вычислите площадь поверхности (катеноида), образованной вращением цепной линии у = ach— вокруг оси Ох в пределах от а
х = 0 до х = а. Сделайте чертеж.
Решение.
Выразим у = ach — = ... . а
Вычислим у': ... .
Найдем V1 + У'2: ... .
Площадь поверхности катеноида: Sx = ... .
Вычислите площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды х = a (t — sin t), у = а (1 — cos i) вокруг оси абсцисс.
Решение.
Заметим, что крайним точкам арки циклоиды соответствуют следующие значения параметра: / = ... и <=....
Найдем dx и dy: ... .
Вычислим dl = Vdx1 + dy2: ... .
Искомая площадь поверхности: Sx = ... .
Упражнения для самостоятельного решения
Вычислите площадь:
фигуры, ограниченной кривой у = In х, осью Ох и прямой х = е;
фигуры, ограниченной параболой у = 2х — х2 и прямой у = —х;
фигуры, ограниченной параболой у2 = х, гиперболой ху = 8 и отрезком прямой, соединяющим точку (8; 1) гиперболы с точкой (8; —/8) параболы;
эллипса, заданного уравнениями х = a cos t, у = b sin t;
фигуры, ограниченной астроидой х = a cos2 t, у = a sin3 t;
фигуры, ограниченной кардиоидой г = а (1 + cos ср);
фигуры, ограниченной улиткой Паскаля г = 2а (2 + cos ф).
Вычислите длину:
дуги кривой у = 1 — In cos х от х = 0 до х = —;
дуги развертки окружности х = a (cos t + t sin О, У = = a (sin t — t cos /) от t = 0 до t = л; __
дуги кривой у = In х от точки (V3; In V3) до точки (/£ In/8);
первого витка архимедовой спирали г = а<р:
окружности г = 2а sin ср._
Докажите, что длина эллипса х = V"2 sin t, у — cos t равна длине одной волны синусоиды у = sin х.
Вычислите объем:
тела, образованного вращением фигуры, ограниченной полу- кубической параболой у2 = х3, осью Ох и прямой х = 1, вокруг оси Ох;
усеченного кругового конуса с радиусами оснований R и г (г < 7?) и высотой к;
тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, огра, ниченной параболами у = х2 и у = У" х;
г) тела, ограниченного и1кривой у = вокругг) тела, ограниченного и1кривой у = вокругповерхностью, образованной вращением
г) тела, ограниченного и1
кривой у = вокруг
г) тела, ограниченного и1
кривой у = вокруг
ее асимптоты.
Вычислите площадь поверхности:
образованной вращением вокруг оси Ох тангенсоиды у = tg х
от х = 0 до х = —;
4
шара радиуса г;
образованной вращением вокруг оси Ох трактрисы х =;
= а — cos t + In= а — cos t + In+ cos /\. ,
= а — cos t + In
= а — cos t + In
— , у = asmt.
sin t /
§ 16. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
I. Основные сведения из теории
1°. Закончите определения:
Дифференциальным уравнением называется соотношение, в которое входят независимая переменная, неизвестная функция и ... .
Наивысший порядок входящих в дифференциальное уравнение производных или дифференциалов искомой функции называется его ... .
Дифференциальное уравнение называется уравнением первого порядка, если в него входят... . Уравнение первого порядка всегда можно представить в виде F (...) = 0.
. Подставляя функцию у = 2 sin х и ее производную в дифференциальное уравнение у' tg х = у, докажите, что она служит решением этого уравнения.
Доказательство.
Найдем производную функции у = 2 sin х: ... .
Подставим эту функцию и ее производную в левую и правую части данного уравнения: у' tgx = ..., у = 2 sin х.
Получим тождество: ... .
. Закончите определения:
Функция / (х) называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если ... .
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется... .
Дифференциальное уравнение вида fx (х) f2 (у) dx + + §i to ga (у) dy = 0 называется ... .
Дифференциальное уравнение, которое можно представить в виде у' = f(—\ называется ... .
\ X /
Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение, которое представимо в виде ... .
II. Примеры и упражнения
Докажите, что при любом значении С функция = V^X А- С служит решением уравнения уу' — е^ = 0. Подберите число С так, чтобы решение удовлетворяло начальному условию у | = 2.
Составьте дифференциальное уравнение семейства окружностей (а — х)2 + у2 = 1.
Указание. Продифференцируйте обе части данного уравнения и исключите параметр а.
Какие из нижеприведенных уравнений являются уравнениями: 1) первого порядка; 2) второго порядка:
а) (х — 1)у' = у2; б) у' = 2ху + х3; в) у = хе^; г) tg х sin2y dx+ + cos2 х etg у dy = 0; д) у" = х; е) xdy — у dx =]/"х2 + y2dx; ж) у' = = ейх — у; з) уу" + (у')2 = 1; и) у' = —_+.?У ; к) x2dy — (2ху+ 7х + 5у
+ 3) dx= 0; л) х2у' = ху + (х2 + у2) arctg —; м) у' tg х = у. х
Какие из уравнений, приведенных в примере 3, являются: 1) уравнениями с разделяющимися переменными; 2) однородными уравнениями; 3) линейными уравнениями (первого порядка)?
Определите, однородно ли уравнение (у — x)dx+ (х + 2y)dy= = 0, нс приводя его к виду у' = л —
\ X )
Указание. Для того чтобы определить, однородно ли уравнение вида Р (х, y)dx + Q (х, у) dy = 0, нс обязательно приводить его к виду у' = /1 -^Y Можно воспользоваться следующим легко выво- димым правилом: если при умножении обоих аргументов функций Р (х, у) и Q (х, у) на произвольное число t вид уравнения не изменится, то оно однородно. Обычно такую проверку делают устно. Например, умножив на t аргументы х и у функций у — х и х + 2у, получим: (Zy — Zx) dx + (Zx + 2Zy) dy = 0 или (у—x) dx+(x + 2y) dy= = 0. Уравнение нс изменилось, следовательно, оно однородно.
Проверьте, однородны ли уравнения:
а) (х + у) dx + (у — х)dy = 0; б) у dx + (х — у2)dy=O; в) sin xdx+ + У dy = 0.
в котором перев котором переПроинтегрируйте уравнение cos х dx= ——
в котором пере
в котором пере
менные разделены.
Решите уравнение V у2 + 1 dx—х2у dy = 0 с разделяющимися переменными. Найдите частное решение, удовлетворяющее начальному условию y|x=1 = ]/3.
Частица падает в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату ее скорости. Докажите, что уравнение движения частицы будет иметь следующий вид: — = g — Ау2, где к — постоянная, g — ускорение свободного падения. Проинтегрируйте это уравнение.
Доказательство.
По второму закону Ньютона та = F, где т — масса частицы, а — ее ускорение в момент времени t, a F — сумма сил, действующих в этот момент на частицу.
Ускорение а = ... .
Частица движется под действием своего веса и сила сопротивления направлена в сторону, противоположную смещению. СлеДовательно, F = Р- /сопр; Р = ...J сопр = ... .
Уравнение движения частицы: ... .
Определите, в каком из приведенных в примере 3 уравнений переменные не разделяются.
Решите уравнение (1 — — cos — ] dx + cos — dy = 0. \ X X JX
Решение.
Это уравнение ... .
Положим — = 2, тогда у = xz, dy = ... , х
Решите уравнение (х2 + ху + у2) dx — x^dy =0. Найдите частное решение, удовлетворяющее начальному условию у|х=1 = 1.
Составьте уравнение линии, обладающей таким свойством, что площадь трапеции, образованной осями координат, ординатой ее произвольной точки и касательной к ней в этой точке, равна половине квадрата абсциссы выбранной точки.
Решение.
Пусть М (х; у) — произвольная точка искомой кривой, (ТИЛ) — касательная к этой кривой в точке М, а ОАМВ — трапеция, удовлетворяющая условиям задачи (рис. 31).
С одной стороны, S0AMB = уХ2 по условию. С другой — S^^^
— 2 'v
Для нахождения | О А ] используем уравнение касательной МА*. Y —у = у' (X — х), где X, Y — координаты произвольной точки касательной, а х, у — ... ,
Так как точка А принадлежит и касательной МД, и оси Оу, то Хл = О, а Ул = ... .
Площадь трапеции: 50ЛМВ = ... .
Искомое дифференциальное уравнение: ... .
Определите, какие из приведенных в примере 3 уравнений нс являются однородными.
1.
2.
15. Решите уравнение у' + Решение.
1 —2х
х2
у - 1.
Это уравнение—... .
Положим у = ии, где и и у — функции переменной х, имею-
щие непрерывные производные. Получим: ... .
Найдите частное решение уравнения ху' + у — ех = 0, удовлетворяющее начальному условию: у\х=а = Ь.
На тело массой т действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности равен ^). Кроме того, тело испытывает противодействие среды, пропорциональное скорости его движения (коэффициент пропорциональности равен к^. Найдите закон движения тела (зависимость пути от времени).
Решение.
По второму закону Ньютона т— —F.
dt
По условию F = f — fconp (сила сопротивления направлена в сторону, противоположную смещению). При этом:
=) / - •■■: 6) и, - - •
Дифференциальное уравнение движения тела:
18. Решите уравнение у'
dvт— =dt
1
2х— у2
Решение.
Определим вид данного уравнения:
Можно ли в нем разделить переменные? ... .
Однородно ли оно? ... .
Является ли оно линейным? ... .
III. Упражнения для самостоятельного решения
Из числа уравнений, приведенных в примере 3, решите уравнения а), б), г), е), ж), и), к), л), м).
Найдите решения нижеприведенных уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
а) у'sin х = у In у, у =е;
л
б) / — У tg * = sec х, yl = 0;
х=0
= K5;x=0= K5;x=0Л4 *Л4 *1°. Докажите, что при любых значениях Сг и С2 функцияу = CYx + — служит решением уравнения у" + — у' = — • хх х^1°. Докажите, что при любых значениях Сг и С2 функцияу = CYx + — служит решением уравнения у" + — у' = — • хх х^Подберите числа Сг и С2 так, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям: а) у =2; б) у' I = —1.Подберите числа Сг и С2 так, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям: а) у =2; б) у' I = —1.= 2:= 2:—1.—1.22— 2— 2
= K5;
x=0
= K5;
x=0
Л
4 *
Л
4 *
1°. Докажите, что при любых значениях Сг и С2 функция
у = CYx + — служит решением уравнения у" + — у' = — • хх х^
1°. Докажите, что при любых значениях Сг и С2 функция
у = CYx + — служит решением уравнения у" + — у' = — • хх х^
Подберите числа Сг и С2 так, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям: а) у =2; б) у' I = —1.
Подберите числа Сг и С2 так, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям: а) у =2; б) у' I = —1.
= 2:
= 2:
—1.
—1.
2
2
— 2
— 2
в) У у +2xy — У = 0> У \ax) ax
r) t (1 + ^2) dx = (x + xP— P) dt, x
Диск, начавший вращаться в жидкости с угловой скоростью 3 об/с, через минуту стал вращаться со скоростью 2 об/с. Сила трения, замедляющая вращение диска, пропорциональна угловой скорости вращения. Определите скорость вращения диска через три минуты после начала его вращения.
Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью и — = 10 км/ч. После выключения на полном ходу мотора лодки скорость ее движения уменьшилась через 20 с до ^ = 6 км/ч. Считая, что сила сопротивления воды движению лодки пропорциональна ее скорости, найдите скорость движения лодки через 2 мин после остановки мотора и расстояние, пройденное лодкой в течение 1 мин после остановки мотора.
§ 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Основные сведения из теории
2°. Закончите утверждение.
Общее решение уравнения F (х, у, у', у") = 0 содержит ... про
извольных постоянных.
Примеры и упражнения
Найдите общее решение уравнения у" = —.
2. Найдите частное решение уравнения yw = sin х, удовлетворяю2. Найдите частное решение уравнения yw = sin х, удовлетворяющее начальным условиям: а) у = 1; б) у' = 2; в) ущее начальным условиям: а) у = 1; б) у' = 2; в) ух=0х=0х=0х=0= 0. х=0= 0. х=0
2. Найдите частное решение уравнения yw = sin х, удовлетворяю
2. Найдите частное решение уравнения yw = sin х, удовлетворяю
щее начальным условиям: а) у = 1; б) у' = 2; в) у
щее начальным условиям: а) у = 1; б) у' = 2; в) у
х=0
х=0
х=0
х=0
= 0. х=0
= 0. х=0
Если в уравнении третьего порядка отсутствует неизвестная функция у, то можно принять у' за новую неизвестную функцию г. Запишите, как выразятся тогда: 1) у"; 2) у'".
Найдите общее решение уравнения у" (х2 + 1) = 2ху'.
Решение.
Положим у' = г. Тогда у" =
5. Найдите частное решение воряющее начальным условиям:
уравнения ху
а) у =*=i
•2;
у' In—, удовлет- X
I = L
I х=Л
6. Если в уравнении второго
порядка отсутствует переменная х,
т. е. если оно имеет вид F (у, у', у") = 0, то можно принять у за независимую переменную, а неизвестной функцией z считать у' (у' = = — = z\ Запишите, как выразится тогда у”.
dx /
Найдите общее решение уравнения 2 (у')2 = у" (у — О- Решение.
Положим у' = г, тогда у" = ... .
Найдите частное решение уравнения у' = 2е у, удовлетворяющее начальным условиям: а) у = 0; б) у'| = —1.
х=0I х=0
Силу сопротивления воздуха при падении тела можно считать пропорциональной квадрату скорости. Найдите закон движения, если начальная скорость равна нулю.
Указание. Воспользуйтесь вторым законом Ньютона.
Даны уравнения: а) у" + 2у' — у = 0; б) ху" + у' = 1 + х;
В) ху'" = (у")2.
Понизьте порядок уравнений. (Что удобно принять за новую неизвестную?)
Определите тип полученных уравнений первого порядка.
Упражнения для самостоятельного решения
Решите уравнения:
а) х^у"- + ху* = 1; б) уу" — у' (1 + У') = 0; в) у" = -^; г) у' (1 +
+ у'2) = ау”\ д) у'2 — уу" = у2 • у'; е) ху"' + у ж) у"'2 = 4у".
У
Найдите удовлетворяющие заданным начальным условиям частные решения уравнений:
а) 1 + у'' = 2уу"; у] = 1, y'l = 1;
Iх=1 Iх—\
б) уу" + у'1 = у'3; у = 1, у'
х=0
в) ху" = К1 + у'1; у' = О,
У
^=1
Г) yw=+ у"* = 1; у =
л
2 ’
Х~ 2
= 1;
х=0
= _5_. х=1 4 ’
у' =—1, У
X =
л
~2
= 1.
л
X = —
2
§ 18. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯС ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Основные сведения из теории
1°. Закончите определения:
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка у" + Ах (х) у' + А2 (х) у = f (X) называется а) однородным, если f (х) ..., и б) неоднородным, если / (х) ... .
Линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида у(Л)+ ^у*"-1’ + + а2/п"^ + ... + ап_гУ + а„у = ..., где alt а2, ..., ап — ... .
. Составьте характеристические уравнения для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
У' — ЗУ + 2у = 0: ...; в) У + 4у = 0: ...;
у" + Зу' + | = 0: ...; г) у" + ру' + ру = 0: ... .
3°. Каково общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда характеристическое уравнение имеет:
различные действительные корни kv к^
равные действительные корни кг = k2 = к;
комплексные корни klt2 = а ± Pt?
Примеры и упражнения
Какие из нижеприведенных уравнений являются: 1) линейными; 2) линейными неоднородными; 3) линейными однородными; 4) линейными однородными с постоянными коэффициентами: а) У* + + 2у' + Ку = 0; б) уу" + tg х = 0; в) хум + У = 1 + х; г) У' + + 2у' — ху = 0; д) У' + 2у = у' tg х; е) sin х = у” — у'; ж) х2у"'= = (У")2?
Решите уравнения:
а) у” + 2у' — у = 0;б) у" + 4у' + 4у = 0;
в) У' — 5у' = 0;г) У' + 2у' + 5у = 0.
Решение.
Составим характеристическое уравнение: ... .
Найдем его корни къ к2. ... .
Общее решение уравнения: ... .
Для уравнения г) найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у| = 2, у' | = 0: ... .
Решите линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и проверьте ответы:
а) у' — 4у = 0; б) у'" — 8у = 0.
Решите линейное уравнение ху" — у' = 0.
Цепь длиной 6 м скользит вниз с подставки без трения. За сколько времени соскользнет вся цепь, если движение начинается с момента, когда свисает 1 м цепи?
Решение
Обозначим через h ^ длину той части цепи, которая свисает с подставки в момент времени I. По условию h (0) = ... м.
Пусть р — линейная плотность металла, из которого сделана цепь. Тогда масса всей цепи т = ..., а масса части цепи, свисающей с подставки в момент времени /, равна ... .
По второму закону Ньютона F = mh". Цепь скользит под действием веса той части цепи, которая свисает с подставки, поэтому F = ... .
Получим следующее уравнение движения цепи: ... .
Решим дифференциальное уравнение движения цепи, где Сг и С2 — ... :
а) примем во внимание начальные условия задачи:
/гI = ... и h'\ = ... ;
б)б)I ^=0I /=0
б)
б)
уравнение движения цепи примет следующий вид:
. 1 у , 1 у 6h = — е4— е ;
22
находим время, в течение которого вся цепь соскользнет с под-
V^t
ставки (учитывая, что ег 6> 1, так как t > 0): ... .
Упражнения для самостоятельного решения
Решите следующие линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:
а) у" 4- 2у' = 0; б) у" + 9у = 0; в) у" — бу' 4- 9у = 0;
4— — 20— + 25х = 0; д) 25z" — 10z' 4- 17г = 0.
df2- dt’'‘
Найдите решения следующих уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
у" 4- 4у' 4- 29у = 0; у I = 0, у' I = 15;
I х=0 I х=0
4у" 4- 4у' 4- у = 0; у = 2, у' I = 0. х=0х=0
Найдите общие решения уравнений:
а) у'" — 4у" 4- Зу' = 0; б) у'" — 8у' — Зу = 0; в) у<4> + у" — — 2у = 0.
Найдите удовлетворяющие заданным начальным условиям частные решения уравнений:
= 4.х=0= 4.х=0X—0х=0X—0х=0а) у'" = —у'; у I = 2, у' I = о, у" = —1; л=0х=0 x=Q
= 4.
х=0
= 4.
х=0
X—0х=0
X—0х=0
§ 19. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА с постоянными КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Основные сведения из теории
1°. Закончите утверждения:
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: у = С^ + С2у2, где yt и у2 ..., а Сг и С2... .
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: у = С^ + С2у2 + у0, где ух и у2 — .... a Cj и С2 — ... .
Если дано уравнение вида у" + р (х)у' + q (х)у = f (х) (1), ф! (х) и ф2 (х) — линейно-независимые решения уравнения вида у" (х) + р (х)у' + q (х)у = 0 (2), то а) общее решение уравнения вида (2) у = ..., а б) частное решение уравнения вида (1) (при использовании метода вариации произвольных постоянных) ищется в следующем виде: ... .
. Пусть дано уравнение у" + ру' + qy = f (х) (с постоянными коэффициентами) и его частное решение у0. Заполните таблицу:
fro1
Рд W ^
(Р^ (х) — многочлен степени п)
Число а не является корнем характеристического уравнения к?* + рк + q = 0
Число...—простой корень характеристического уравнения
Число... —двойной корень характеристического уравнения
№ (Рп (х) cos Рх + + Qm (х) sin 0*)
Числа а ± Р* не являются корнями характеристического уравнения
(Qm to — многочлен степени ...)
Числа а ± pt — корни характеристического уравнения
II. Примеры и упражнения
Пусть дано уравнение у" — -—И — = 4х и известно, что функ- X X2
ции х и х In х — частные решения однородного уравнения у" — — +
+ — = 0. Найдите общее решение однородного и частное решение х2
неоднородного уравнений (при нахождении частного решения используйте метод вариации произвольных постоянных).
Укажите, в каком виде надо искать у0 при заданной правой части уравнения.
Решение.
Общее решение однородного уравнения: ... .
Частное решение будем искать в виде у0 = Сх (х) • х + С2 (х) х Хх In х, где Сг (х) и С2 (х) — некоторые функции, имеющие непрерывные производные:
производная уо = ...;
подберем функции Сг (х) и С2 (х) так, чтобы ..., тогда у0 ...!
найдем уо: ...;
подставим у0 и производные уо, Уо в ...;
получаем следующую систему для нахождения Ci (х) и С2(х) ...;
частное решение у0 = ... .
2. Найдите общее решение неоднородного уравнения
У" - 2у' + у = ^.
х3
Решение.
Сначала решим однородное уравнение у" — 2у' + у = 0:
составим характеристическое уравнение: ...;
найдем корни характеристического уравнения: ...;
общее решение уравнения у" — 2у' + у = 0: ... .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать методом вариации произвольных постоянных в виде у0 = ... .
Решите уравнение у" + У + ctg2 х = 0. Подберите Сг и С2 так, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям
У = 0, у' = —1: ... .
Решите уравнение у' —- = —, используя метод вариации X X
произвольных постоянных.
В каком виде можно искать частные решения следующих уравнений: 1) У' — 2у' + 5у = хЧх ; 2) у" — 2у' + у = (1 — х) ех ?
Решение.
а) Здесь ос = ..., п = ...;
для однородного уравнения у" — 2у' + 5у = 0 составим характеристическое уравнение и найдем его корни: ...;
частное решение можно искать в виде у0 = ... .
Решите следующие уравнения: 1) У + 2у' = (х — 2) е"2Х;
2) у" + 9у = хе"зх.
Решение.
а) Решим сначала однородное уравнение у" + 2у' = 0: ...;
решим данное уравнение: ... .
В каком виде можно искать частные решения уравнений:
/ + Зу' + 2у = х3; 2) у" + 4у = 5; 3) у'" — у' = 2х?
Решение.
Здесь а = ..., п = ..., у0 = ... ♦
Решите уравнение у" 4- 2у' = 1 — х. Подберите Сг и С2 так, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям
У] = 4 У' = —2.
я=0х=0.
Решите уравнение у' — у = ех .
Материальная точка массы 1 г движется по оси координат в точку х0 = 2 под действием постоянной силы F. Сопротивление среды пропорционально расстоянию от движущейся точки до х0 (коэффициент пропорциональности равен 4). Найдите закон движения, зная,
что начальная скорость точки равна нулю.
В каком виде можно искать частное решение уравнения у" — — Зу' + 2у = х2 + е2Х + 1?
Указание.
Используйте следующее утверждение, предварительно дополнив его:
если <рх (х) — решение уравнения у" + ру' + РУ = fi 4), а ф2 (х) — решение уравнения у" + ру' + ру = f^x), то функция ... служит частным решением уравнения у" + ру' + РУ = A W + /г W-
Решите уравнение у" — у' = х2 + Зе-Х.
= О, ух=1= О, ух=1= е2х=1.= е2х=1.Найдите частное решение уравнения у" — 4у' + 4у = е^ +
= О, у
х=1
= О, у
х=1
= е2
х=1.
= е2
х=1.
—, удовлетворяющее начальным условиям у X3
В каком виде можно искать частные решения уравнений: 1) у" + 4у = х sin 2х + 3 cos 2х; 2) у" + 4у' + 5у = е~х cos х?
Решение.
а) Здесь а ± pi = .... п = ..., т = ... .
Решите уравнение у" + 4у = 4 cos 2х.
Решите уравнение у" — у' = 2 (х + 1) cos х, найдите частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
УУ= -1, У'1=1Х=0I №0.= -1, У'1=1Х=0I №0.
У
У
= -1, У'1=1
Х=0I №0.
= -1, У'1=1
Х=0I №0.
Решите уравнение у" + у = 1 — хе* + cos х.
Ш. Упражнения для самостоятельного решения
Решите уравнения: а) у" — Зу' + 2у = е^ (3 — 4х); б) 2у" 4- 4- 5у' = еж; в) у" 4- У = 6 sin2 х; г) у" — 4у' + 4у = 2 (sin 2х + х);
з х
д) 5у" — бу' + 5у = е5 fcos —х 4- sin — х\ е) у"' 4- 4у' = 12х2 — \55 /
— 2; ж) у" 4- 4у' + 4у = -^-.
X “I- 1
Найдите частное решение уравнения у" — 2у' 4- Юу = Юх2 4- 4- 18х 4" 6, удовлетворяющее начальным условиям
У|= 1.I №0У|= 1.I №0у' = 32.х=0у' = 32.х=0
У|= 1.
I №0
У|= 1.
I №0
у' = 32.х=0
у' = 32.х=0
Найдите частное решение уравнения у" — 2/ = ех (х2 + х — 3), удовлетворяющее начальным условиям у | = 2, у' I = 2
I х=0 I х=0.
Уравнение у" — Зу' + 2у = х решите двумя способами (с применением метода вариации произвольных постоянных и без него).
§20. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
I. Основные сведения из теории
1°. Закончите следующие определения:
Частичной суммой ряда называется сумма .. .
Ряд называется сходящимся, если .. .
Суммой сходящегося ряда называется .. .
2°. Закончите следующие утверждения:
Если ряд сходится, то последовательность его членов .. .
Верно ли обратное утверждение? Приведите пример: .. .
Геометрическая прогрессия а + aq + aq2 + ... + aqn + ... сходится при условии, что .. .
Если геометрическая прогрессия сходится, то ее сумма находится по формуле s = .. .
3°. Сформулируйте:
признак сравнения рядов с положительными членами;
признак Даламбера.
4°. Закончите формулировку интегрального признака сходимости ряда:
Пусть члены ряда их + и2 + ... + ип + ... положительны и нс возрастают, т. е. их .. и^ ..., и пусть / (х)—такая непрерывная невозрастающая функция, что f (1) = .., f (..) = .., ..., /(/г) = ..,
ОО
Тогда: а) если несобственный интеграл Jf (х) dx сходится, то ..;
1
если этот интеграл расходится, то .. .
Примеры и упражнения
Найдите пятую частичную сумму ряда
1п2 + 1п-|-+ ... + 1п^±-* + ... .
2п
Сходится ли этот ряд?
В нижеприведенном множестве рядов найдите ряд, расходимость которого следует из нарушения необходимого условия сходимости ряда:
У (-1)"+1-; б) У In -^—;в) у ^=^—=;
' ^1Х’ 3" «А 2п + Г1 jUVnA-X—Vn
п= [п —1П=1г
Г) у (-1)^05 ”;д) у /Ау.е) У -^- ; ж) У ^-;
°ООООО1
у -4=; и) у; к) У!.
^nVlnn1^ — 2/г 4-5)27 (П + 1) (Зп —4)
п=1 гП = 1П=1'
Докажите, что рядJ расходится.
Доказательство.
Здесь и^ = Игл ип =.
/г-* оо
Для каких х справедливо равенство:
1+^ + х6+ +хзп+ ... = —— ?
Во множестве рядов, приведенном в примере 2, найдите геометрическую прогрессию и вычислите ее сумму.
Из множества рядов, приведенного в примере 2, выберите ряды с положительными членами.
С помощью признака Даламбера докажите сходимость ряда 00
3/г* п=1
Доказательство.
Здесь: а) ип = ^, нп+1 = ..;
/ = lim^±i = Ит .. = .., I = .., I.. 1, т. e. ряд .. .
П^-оо Un n-*oo
Сходится ли ряд tg ^- + 2 tg -^- + 3 tg ^- + ...?
4816
5/г
Докажите, что Иш — = 0.
П->со tl\
Попробуйте применить признак Даламбера при исследовании сходимости ряда——-.
Замечание. Легко видеть, что если n-й член ряда — дробнорациональная функция от п, то всегда / = 1 и признак Даламбера не даст ответа на вопрос о сходимости ряда.
Из множества рядов, приведенного в примере 2, выберите ряд с положительными членами, сходимость или расходимость которого может быть установлена с помощью признака Даламбера.
Пусть / (х) = —. Тогда f (1) = 1, / (2) = —, .., / (п) = —, .. . х2п
В этом случае говорят, что функция / (х) порождает гармонический 11100 п
ряд 1 +- + -+...+- + ,.. . Аналогично ряд ^^ порожда- Xп=^
ется функцией g (х) = —.
Для нижеприведенных рядов с положительными членами найдите порождающие их функции:
х2ПV 11 Я + 1 е / \
и2 + 1’
М=1*
003 /
21ЛАт m =
Р Я у
Найдите I —-—. J X In X 2
Решение.
С dx
n=ln=lЪ= Иш [-^-.Ь-*СО J X In X2Ъ= Иш [-^-.Ь-*СО J X In X2С ^J X In X2С ^J X In X2. Интеграл расходится.. Интеграл расходится.По определению \ J X In X 2
n=l
n=l
Ъ
= Иш [-^-.
Ь-*СО J X In X2
Ъ
= Иш [-^-.
Ь-*СО J X In X2
С ^
J X In X
2
С ^
J X In X
2
. Интеграл расходится.
. Интеграл расходится.
Найдите J хе-х" dx.
1
Решение.
ОО
По определению \хе-х2 dx = lim .. .
Ib-*CO
ОО
^xe-x2 dx = .. . Интеграл сходится, i
Составьте ряд, который можно исследовать на сходимость с помощью интеграла из примера 14. Сходится ли он?
С помощью интегрального признака исследуйте вопрос о схо-
Из множества рядов, приведенного в примере 2, выберите ряд с положительными членами, сходимость или расходимость которого можно установить с помощью интегрального признака.
00 1
Обобщенный гармонический ряд2"^р~,гДе ••—фиксированное положительное число, исследуйте на сходимость с помощью интегрального признака Коши.
Решение.
Ряд сходится, если р .. 1
Ряд расходится, если р .. 1.
Какие из нижеприведенных рядов сходятся, а какие расходятся (используйте признак сходимости Коши):
*> 2 й; 2) 2 s
п=1 тп=1
1 + ~+з^ + /з
- + - + - +
’ 91625
Решение.
1.1.2.2.3.3.4.4.Ряд ^у= расходится (р = — < 1).
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
п=1 Г
00 1
Ряд 2 ^ " (Р ■ ••)•
п= 1
Ряд 2 (р =
П=1
ОО
Остаток ряда 2 .. после .. члена. Ряд .. (р = ..). Следова-
тельно, исследуемый ряд .. .
00 1
Выясните, сходится ли ряд ^ ‘^Д-
Решение.
1.1.Имеем .. —.п3+1 п3Имеем .. —.п3+1 п3В соответствии с замечанием к примеру 10 признак Даламбера здесь неприменим (/ = 1). Воспользуемся признаком сравнения рядов с положительными членами.
1.
1.
Имеем .. —.
п3+1 п3
Имеем .. —.
п3+1 п3
3.3.Ряд 2 ^ " (так как Р = •)*
3.
3.
Следовательно, данный ряд .. .
С помощью признака сравнения рядов с положительными чле
нами докажите расходимость ряда
Выясните, сходится ли ряд:
П=1П=15 —L,„^ 1П (п-НУ
П=1
П=1
С помощью признака сравнения рядов с положительными чле- 00 г Y cos2n
нами докажите, что ряд ~5п~ сходится.
п=Л
Из множества рядов, приведенного в примере 2, выберите ряд, сходимость которого удобно исследовать с помощью метода сравнения.
Упражнения для самостоятельного решения
Исследуйте вопрос о сходимости рядов из множества, приведенного в примере 2.
Выясните, сходятся ли следующие ряды:
у, arctgn. , -у п
^ 1 4- /г2’ А) ^ п? — п + 5 '
п=1П=1
§ 21. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. АБСОЛЮТНАЯИ УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ
Основные сведения из теории
1°. Закончите утверждения:
Ряд ^^ называется абсолютно сходящимся, если .. . п=1
Ряд ^ ип называется условно сходящимся, если .. . п=\
ОООО
В отношении сходимости между рядами ^ мл и ^ \ип\ сущест- /г=1/г=1
вует следующая зависимость: если ряд .. сходится, то ряд .. .
. Сформулируйте теорему Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда.
сходится.сходится.Примеры и упражнения
сходится.
сходится.
Докажите, что ряд > -——cos— абсолютно п2 п
п=Л
Доказательство.
о(~1)” л ..
Здесь ^л = 4—— cos—, \ип = .. . и2 п
°°п\
Выясните: 1) сходится ли абсолютно ряд 2 (—*)” 2^ п = 1
2) сходится ли этот ряд.
Из множества нижеприведенных рядов выберите;
абсолютно сходящийся ряд;
условно сходящийся ряд:
77+1 пП • 2” • nV77+1 пП • 2” • nV=) 22-) 2 ^ о 2 цу
77+1 пП • 2” • nV
77+1 пП • 2” • nV
п=1п=2п=1п=1
ОО6оОО
П=1П=1П=1
3> 2 Wr&r2 «-то^
n=l '11П=1
Выясните: 1) сходится ли абсолютно знакочередующийся ряд
ОО
У (— 1Г+1—^=;
А /л2 + 2
сходится ли этот ряд.
Установите: 1) сходится ли абсолютно знакочередующийся ряд у М)^1..
А nWn '
п=2
сходится ли этот ряд.
Упражнения для самостоятельного решения
Двумя способами (с помощью теоремы Лейбница и без нее) докажите сходимость ряда > ——-—.
А п 1п +
Какие из рядов во множестве, приведенном в примере 3:
сходятся абсолютно; 2) сходятся условно?
§ 22. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Основные сведения из теории
1°. Закончите следующие определения:
Совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд иг (х) + ц2 W + ••• + ип (х) + ... (1) сходится, называется.. .
Функциональный ряд (1) называется мажорируемым на некотором множестве X cz R, если существует такой сходящийся числовой ряд at + а2 + ... + ал + ..., что для всех х 6 X выполняются неравенства: \иг (х)|.. о^; |ц2 (х)|..а2; ...; |..| .. ал; .. .
Ряд (1) называется правильно сходящимся на множестве X cl R, если .. .
Интервалом сходимости степенного ряда ^ап(х — х0)" (2) п=0 называется .. .
Радиусом сходимости степенного ряда (2) называется .. .
2°. Закончите утверждение:
Если ряд сходится:
на всей числовой оси, то радиус сходимости R = ..;
только в точке х0, то радиус сходимости R = .. .
3°. Ответьте на вопросы:
Что можно сказать о сходимости ряда на концах интервала сходимости?
Что вам известно о правильной сходимости степенного ряда?
4°. Укажите суммы нижеприведенных степенных рядов и радиусы их сходимости:
1+х + ^-+ - + •• + - = ^» Я = + °°;
1 —— + ——... + .. + ... = .., Я =
72!4!
уЗу5
3>+- + - + - =
у2уЗ
1 + цх + |“>‘~ П\ +R- .
II. Примеры и упражнения
1. Найдите все точки х € R, вРешение.1. Найдите все точки х € R, вРешение.ООкоторых ряд 2П=1ООкоторых ряд 2П=11(х+2)”1(х+2)”сходится.сходится.
1. Найдите все точки х € R, в
Решение.
1. Найдите все точки х € R, в
Решение.
ОО
которых ряд 2
П=1
ОО
которых ряд 2
П=1
1
(х+2)”
1
(х+2)”
сходится.
сходится.
1
При любом х ^ —2 ряд 2 (х+2)” — геометрическая прогрессия
со знаменателем q = .. .
Исследуемый ряд сходится.. .
°° 1
В каких точках сходится ряд V — ?
пх п=1 Решение.
При х < 0 ип (х) = — .. 1. Ряд.. . пх
При 0 <х< 1 .. . Ряд.. .
При х > 1 .. . Ряд.. .
Найдите промежутки, на которых правильно сходятся ниже
2 n^n-Vxy2 n^n-Vxyприведенные ряды: 2°° sin^x
2 n^n-Vxy
2 n^n-Vxy
(х0 = 0).(х0 = 0).п=1
(х0 = 0).
(х0 = 0).
Найдите радиус и интервал сходимости ряда Решение.
Находим Пт ■ “л+1 ^ * = .. = ... |ИЛ(х)|
lim !^"« w 1 <1^R = .. .
П^-оо |U„(x)|
Интервал сходимости ряда .. .
Выясните, сходится ли ряд из примера 4 на концах интервала сходимости.
Найдите интервал сходимости степенного ряда
у wwf, =_n
2 n(n+l) °
Разложите в степенные ряды следующие функции: а) е2*; б) sin Зх; в) In (1 — 5х) — и определите радиусы сходимости этих степенных рядов.
Решение.
В приведенных в 4° разложениях функций еУ, sin у, In (1 + у) положим соответственно у = 2х, у = .., у = .. .
Получаем:
а) е2х = .., R = ..; б) sin Зх = .., R = ..; в) In (1 — 5х) = .., R = .. .
Разложите в степенные ряды следующие нижеприведенные функции, указав радиусы сходимости полученных рядов:
а) х cos х; б) е-х— 1; в) tg х cos2 х; г) sin2x.
Вычислите приближенное значение cos 10°, взяв два члена разложения функции cos х в степенной ряд.
Решение.
Радианная мера угла в 1° равна ^ ~ .. .
cos 10° = cos ^ =..«.. + .. + .. + ..«.. = .. .
Зная, что для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, сумма остатка после п членов по модулю нс превосходит первого члена остатка (|2j ^ | ^+1|), найдем погрешность, допущенную при вычислении cos 10°: .. .
л б" . р sin х /л
Вычислите с точностью до 0,0001 интеграл j —— dx (~ о'
= 0,52360).
Решение.
sin х = .. .
SJ^ =„ + .. + .. + ... + .. + ... .
X
6
f2l2£ dx =.
J X
0
При нахождении числа членов, которые необходимо оставить, чтобы добиться требуемой точности, используем соотношения \zn\ ^ < |ц/г+1| (пример 9(3)). Если взять так, что |^+il < 0,0001, то и абсолютная погрешность \zn\ < 0,0001: .. .
0,5
Вычислите интеграл j "^ -^ ^ с точностью Д° 0,001.
о
С помощью степенного ряда найдите решение уравнения У = = 2у + х — 1, удовлетворяющее начальному условию у = —.
х=0
Решение.
Будем искать решение уравнения в виде суммы степенного ряда.
0(Ь0д,_ 1.1.70(Ь0д,_ 1.1.7то 0О — —. 2то 0О — —. 2Полагаем у = а^ + агх + а^х2 + ... + апхп + ..., где ..., а^ ...— неизвестные коэффициенты ряда. Так каку 1
0(Ь0д,
_ 1.1.7
0(Ь0д,
_ 1.1.7
то 0О — —. 2
то 0О — —. 2
Найдем производную от неизвестной функции и подставим у и у' в данное уравнение:
у' = #1 + ^а^х + ... + .. + ...;
0^ Ч- 202^ Ч- ••• Ч~ •• Ч- •.. — (201 Ч- 1) х Ч~ 202х2+ ••• Ч- 20^%^ Ч~ ••• •
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х и по
лучим:
а) аг = 0; б) 202 = 20г Ч- 1, я2 = -^2l+J_ = J_.
.2211.222
в) 03 = — 02 = — • — = —; ... ; г) а„ = — ап- = — •л „ =
3 2323’’1 п п nl п n—l n"2
_ 22_2^-2
п п — 1 п\
4. Разложение неизвестной функции в степенной ряд: у=—Ч-
.. х2 Ч- .. х3 Ч- ... Ч- .. хп Ч- ... .
С помощью степенного ряда найдите решение уравнения У' = = — у Ч- У = 0, удовлетворяющее начальным условиям у = 1,
Упражнения для самостоятельного решения
Найдите интервалы сходимости следующих рядов:
; 9 2 2-tg2L.П=1; 9 2 2-tg2L.П=1~ sin — п
; 9 2 2-tg2L.П=1
; 9 2 2-tg2L.П=1
хп п=\
Докажите, что ряд ^ (i_|_ V2)n+i правильно сходится на отрезке [1;2].
^ле-пах1
Найдите интервал правильной сходимости ряда 2j—а--
п=1
Найдите радиусы и интервалы сходимости степенных рядов:
а) 2 (Гп + 1 -Vn)x"; б) ^•
п=1п=1
од
Вычислите приближенное значение интеграла j е-^ dx. Сколь- о
ко членов надо взять, чтобы погрешность была меньше 0,0001?
Разложите подынтегральную функцию в ряд. Вычислите опре-
4
деленный интеграл J У"1 + x^dx с точностью до 0,0001. о
С помощью степенного ряда найдите решение уравнения У — = у + х2, удовлетворяющее начальному условию у 1=2.
С помощью степенного ряда найдите решение уравнения у" + + —у' + у = 0, удовлетворяющее начальным условиям у! = 1,
хI х=0
У = 0 *=0.
Исследуйте сходимость полученного решения.
§ 23. РЯДЫ ФУРЬЕ
I. Основные сведения из теории
1°. Закончите утверждение:
Функция / (х) порождает ряд Фурье f (х) ~ — + ^ (ancos пх +
П=1
+ b^sinx), где коэффициенты а0, ап, Ьл, вычисленные по формулам ллл
ай = — I / (х) dx, а_ = — 1 / (х) cosnxdx, b = — 1 f (х) sinnxdx, Л Jл Jл J
—л—л—л
называются.. .
2°. Сформулируйте теорему Дирихле:
Если функция / (х), имеющая период 2л, кусочно монотонна на промежутке [—л; л] и имеет на нем не более, чем конечное число точек разрыва, то ее ряд Фурье сходится к .. . (Высказанные условия называют условиями Дирихле.)
3°. Закончите утверждение:
Ряд Фурье четной функции содержит одни лишь косинусы:
/ М ~ ~ + 2 ап cosnx, где
П=1 л
6Z/z = — 1 / (х) cos nxdx (п = 0, 1,2, ..).
л J о
Ряд Фурье нечетной функции содержит одни лишь синусы:
/ М ~^«s^n пх’ где ^п =•
П=1
4°. Продолжите вычисление интегралов, часто употребляемых в разложениях функций в ряд Фурье:
лл
с .,— COS ПХ Л р — COS ПХ ,
\ х sin пхах = х — I ах = Jп о J П
оо
лл .
Р, sin пх р sin пх ,
I х cos пхах = х1 — Idx = .. .
Jп |0 J п
оо
Примеры и упражнения
Функцию f (х) = х на промежутке [0; л] разложите по косинусам Решение.
График функции: .. .
Проверка выполнимости условий Дирихле (устно).
Формальная запись ряда Фурье / (х) ^ ~ + ^ ^Л cos пх, где п=1
л
апап= —I / (х) cos nxdx (и = 0, 1, 2, ..):.. .
ап
ап
nJ о
Коэффициенты Фурье (по формулам п. 4°): .. .
Ряд Фурье, порожденный данной функцией
cos (2k — 1) п
0 < х < л:
6=16=1(2fe — I)2
6=1
6=1
Вывод о сходимости ряда Фурье (по заключению теоремы Дирихле):.. .
Упражнения для самостоятельного решения.
Используя план решения примера, предложенный в разделе II:
Разложите функцию: f (х) = ( ®> если ^ S Х S^’ (х, если 0 ^ х ^ л в полный ряд Фурье.
Функцию f (х) = И для ^ ^х ^^' разложите на промежутке [0; л] по косинусам.
3. Функцию / (х) =3. Функцию / (х) =1 для 0 < х ^ 2ft,
3. Функцию / (х) =
3. Функцию / (х) =
0 для 2ft < х ^ л разложите на промежутке [0; л] по косинусам.
Функцию / (х) = х разложите на промежутке [0; л] по синусам.
Ответы к упражнениям для самостоятельного решения
§ 1.
1. X = — у.2. Зх + у — 2 = О, х — Зу + 16 = О, Зх + у — 32 = О,
лл.16
X — Зу — 14 = 0. 3. а) ф = —; б) ф = —; в) ф = 0; г) ф = arctg— . 4. 29х — 4211
— 2у+33=0. 5. Перпендикулярны: а), б), в); параллельны: д), е). 6. а) т=—4, п Ф 2 или т = 4, п ф —2; б) пг = —4, и = 2 или т = 4, и = —2; в) т = О, п — любое. 7. т = 0 или m = 6. 8. а = —7. 9. Зх — 2у — 12 = 0 и Зх — 8у± /2536\
+ 24 = 0. 10. С (—1; 4) или Cl —*, L 11. 2. 12. 4х — 12у + 7 = 0 и 6х +
+ 2у—5=0. 14. а) Зх + 2у — 7 = 0; б) 2х — у = 0; в) у — 2 = 0; г) х — 1 = 0; д) 4х + Зу — 10 = 0; е) Зх — 2у + 1 = 0.15. а) Окружность с центром в по
люсе и радиусом, равным 5; б) луч с началом в центре полюса, составляющий с поляр-
л
ной осью угол, равный —; в) прямая х= 1; г) прямая у=2; д) окружность (х— 5)2+
+ у2 = 25; е) окружность х2 + (у — З)2 = 9; ж) два луча с началом в центре полю- ол5 л
са, составляющие с полярной осью соответственно углы — и —; з) концентр и- 66
ческие окружности с центром в полюсе, радиусы которых определяются по фор
муле г =Н 2л/г; и) четырехлепестковая роза.
§ 2.
а) х2 + у2 = 16; б) (х - 2)2 + (у - 4)2 = 10 81(х - 2)2 + (у - 1)2 = - и (х + 8)2 + (у + 7)2 =а) х2 + у2 = 16; б) (х - 2)2 + (у - 4)2 = 10 81(х - 2)2 + (у - 1)2 = - и (х + 8)2 + (у + 7)2 =у2 X2 в) — + — 7 100 ~ 64у2 X2 в) — + — 7 100 ~ 64*2513'*2513'в) (х — I)2 + у2 = 1a)^ + 2i = 1’ 36 нв) (х — I)2 + у2 = 1a)^ + 2i = 1’ 36 нх2 у2х2д) 1з + 7= или ш +х2 у2х2д) 1з + 7= или ш +44у2+4. а)= 2,6; г2 = 7,4.у2+4. а)= 2,6; г2 = 7,4.5 и 3; б) Fi (—4; 0), Г2 (4; 0); в) е =X2V2X2V2. а) - -^-= 1; б) -_^= 1;916916’5 и 3; б) Fi (—4; 0), Г2 (4; 0); в) е =X2V2X2V2. а) - -^-= 1; б) -_^= 1;916916’у2х2 у2х2 у2 47 = ^ ^7-5=1илиТ""з7 = 1-7‘а)у2х2 у2х2 у2 47 = ^ ^7-5=1илиТ""з7 = 1-7‘а)7; г)х = ±7'5-х2 у2X2В) 576 — 100 = 11 Г) 7 ~7; г)х = ±7'5-х2 у2X2В) 576 — 100 = 11 Г) 7 ~При | т | > 4,5; б) при т =При | т | > 4,5; б) при т =916916
а) х2 + у2 = 16; б) (х - 2)2 + (у - 4)2 = 10 81
(х - 2)2 + (у - 1)2 = - и (х + 8)2 + (у + 7)2 =
а) х2 + у2 = 16; б) (х - 2)2 + (у - 4)2 = 10 81
(х - 2)2 + (у - 1)2 = - и (х + 8)2 + (у + 7)2 =
у2 X2 в) — + — 7 100 ~ 64
у2 X2 в) — + — 7 100 ~ 64
*25
13'
*25
13'
в) (х — I)2 + у2 = 1
a)^ + 2i = 1
’ 36 н
в) (х — I)2 + у2 = 1
a)^ + 2i = 1
’ 36 н
х2 у2х2
д) 1з + 7= или ш +
х2 у2х2
д) 1з + 7= или ш +
4
4
у2
+4. а)
= 2,6; г2 = 7,4.
у2
+4. а)
= 2,6; г2 = 7,4.
5 и 3; б) Fi (—4; 0), Г2 (4; 0); в) е =
X2V2X2V2
. а) - -^-= 1; б) -_^= 1;
916916’
5 и 3; б) Fi (—4; 0), Г2 (4; 0); в) е =
X2V2X2V2
. а) - -^-= 1; б) -_^= 1;
916916’
у2х2 у2х2 у2 4
7 = ^ ^7-5=1илиТ""з7 = 1-7‘а)
у2х2 у2х2 у2 4
7 = ^ ^7-5=1илиТ""з7 = 1-7‘а)
7; г)х = ±7'5-
х2 у2X2
В) 576 — 100 = 11 Г) 7 ~
7; г)х = ±7'5-
х2 у2X2
В) 576 — 100 = 11 Г) 7 ~
При | т | > 4,5; б) при т =
При | т | > 4,5; б) при т =
916
916
= ±4,5; в) при | т | < 4,5. 8. а) у2 = —4х; б) у = х2; в) у2 = —28х. 9. у = 18. 10. а) Эллипс; б) парабола; в) ветвь гиперболы; г) эллипс; д) ветвь гиперболы; е) парабола; ж) окружность; з) окружность.
§ 3.
5
а) 22; б) 6; в) 7; г) —200; д) 129; е) 41. 2. 35. 3. а = 10. 4. —.5. 6. 6. —И.
5
—бу. 8. 16. 9. а) 3; б) 27; в) 300. 11. а) {6; —4; —6}; б) {—12; 8; 12}.
{—4; 3; 4}. 13. 14. 14. 5. 15. а) Правая; б) левая; в) левая; г) правая; д) векторы компланарны. 16. а) Да; б) нет; в) да. 17. 11.
§ 4.
х + 2у — 3z = 0. 2. х + 4у + 7z + 16=0. 3. а), б), д), е) Взаимно парал-
23611
лельны; в) и г) взаимно перпендикулярны. 4. 8. 5. а) — х у — — z — — = 0;
а) По одну сто- 2х — 2у — z + у + 5z-3—6 ~ 9 ’у = —1 + 18/,18. т. = —3.а) По одну сто- 2х — 2у — z + у + 5z-3—6 ~ 9 ’у = —1 + 18/,18. т. = —3.3622211
а) По одну сто- 2х — 2у — z + у + 5z-3
—6 ~ 9 ’
у = —1 + 18/,
18. т. = —3.
а) По одну сто- 2х — 2у — z + у + 5z-3
—6 ~ 9 ’
у = —1 + 18/,
18. т. = —3.
б)- —x+yy-yz-3=0; в) — х + — у —— г ——= 0.6. 7//оооо
рону; б) по разные стороны. 7. d = 2. 8. 2х — 2у — г — 18 = 0 и 9 = о2
,’ б) =
у + 5 = 0;4
в) ^^ = ^-^ = Z-^-- 13. 60°. 14. d = 21. 15. х = 3 — 6/,
х — 3 У + 2 г — 4
г = -5 + 9/. 16. -— =^- =-.17. {5; —1; 0}.
оо —/
. Зх + 2у + г = 0. 20. 15.
6.
31
5.2. —. 3. 0. 4.—.5. 3.6. ——.7. 1.8. 0.9. оо. 10. —5.11. —24. 12. —18. 2256
л 5337151
—. 14.—. 15.— 16.—. 17. —. 18. —. 19. —-т=- 20- 1- 21. 1. 22. е~4.
114522154^2
1715
е~15. 24. 10. 25. —1. 26. 1. 27. 1. 28.—. 29. 14. 30. —. 31. — —. 32.—.
32143
1,03. 34. 0,99. 35. 0,97. 36. 1,02. 37. 0,05. 38. —0,01. 39. 1,06. 40. 0,9.
§ 7.
X2X23 — х3 — хе-е-2 Inxx In 102 Inxx In 1023. — bx (a + 6x2)23. — bx (a + 6x2)3 .4. 2xex^ — 15 sin x cos2 x.3 .4. 2xex^ — 15 sin x cos2 x.22— cosx sin 33— cosx sin 33х.х.6.6.— tgx. 7. (cos x Inx) xsinx.\я /— tgx. 7. (cos x Inx) xsinx.\я /8.8.12.12.УУх In у — ух In у — уX у In X — XX у In X — X1 ”*2yt 16.1 ”*2yt 16.20.20.21.21.|. 9. tg/|. 9. tg/3 -. 13. —/ :53 -. 13. —/ :52_5 "Г2_5 "Г3-tg2/3 tg2 t— 1*+3-tg2/3 tg2 t— 1*+10.10.2/2/И.И.129129х /X 3 у5 .х /X 3 у5 .2 (З/4 + / + 3)2 (З/4 + / + 3)(1 +^) (6/+ arctg/2)(1 +^) (6/+ arctg/2)к.к.14.14.2/^21-2/^21-sin 2 К/ 7 + (2 1п 3)32* к. 15.1/sin 2 К/ 7 + (2 1п 3)32* к. 15.1/.. 17. cos x — sin x + tg x +.. 17. cos x — sin x + tg x +v—arcsin/x (^n (1°бб ^\ Xln53 In2 arccos Уxv—arcsin/x (^n (1°бб ^\ Xln53 In2 arccos Уx1X cos2 In X1X cos2 In X23. —23. —2 (arccos ]/"х ) Ух (1 — х) tgx2 (arccos ]/"х ) Ух (1 — х) tgx22.22.cos2 X Ktg2 X + 10(11 +tg2x)cos2 X Ktg2 X + 10(11 +tg2x)2t cos/212t cos/2111sin (tg /)cos2t1sin (tg /)cos2t1кк—— e< 18. ——. 19.COS2 X )X In Xcos (log5 x) — tg In x\—— e< 18. ——. 19.COS2 X )X In Xcos (log5 x) — tg In x\2Уц\-У _ sin Ух^,.2Уц\-У _ sin Ух^,.2/х(1—%) /3(х2+1)зл: ^1п(х2+1) +24. хх<+3 (4 In х + 1). 25. 0.2/х(1—%) /3(х2+1)зл: ^1п(х2+1) +24. хх<+3 (4 In х + 1). 25. 0.2х22х2
X2
X2
3 — х
3 — х
е-
е-
2 Inx
x In 10
2 Inx
x In 10
2
3. — bx (a + 6x2)
2
3. — bx (a + 6x2)
3 .4. 2xex^ — 15 sin x cos2 x.
3 .4. 2xex^ — 15 sin x cos2 x.
2
2
— cosx sin 3
3
— cosx sin 3
3
х.
х.
6.
6.
— tgx. 7. (cos x Inx) xsinx.\я /
— tgx. 7. (cos x Inx) xsinx.\я /
8.
8.
12.
12.
У
У
х In у — у
х In у — у
X у In X — X
X у In X — X
1 ”*2yt 16.
1 ”*2yt 16.
20.
20.
21.
21.
|. 9. tg/
|. 9. tg/
3 -
. 13. —/ :5
3 -
. 13. —/ :5
2_
5 "Г
2_
5 "Г
3-tg2/
3 tg2 t— 1*
+
3-tg2/
3 tg2 t— 1*
+
10.
10.
2/
2/
И.
И.
12
9
12
9
х /
X 3 у5 .
х /
X 3 у5 .
2 (З/4 + / + 3)
2 (З/4 + / + 3)
(1 +^) (6/+ arctg/2)
(1 +^) (6/+ arctg/2)
к.
к.
14.
14.
2/^21-
2/^21-
sin 2 К/ 7 + (2 1п 3)32* к. 15.
1/
sin 2 К/ 7 + (2 1п 3)32* к. 15.
1/
.. 17. cos x — sin x + tg x +
.. 17. cos x — sin x + tg x +
v—arcsin/x (^n (1°бб ^\ Xln5
3 In2 arccos Уx
v—arcsin/x (^n (1°бб ^\ Xln5
3 In2 arccos Уx
1
X cos2 In X
1
X cos2 In X
23. —
23. —
2 (arccos ]/"х ) Ух (1 — х) tgx
2 (arccos ]/"х ) Ух (1 — х) tgx
22.
22.
cos2 X Ktg2 X + 10(11 +tg2x)
cos2 X Ktg2 X + 10(11 +tg2x)
2t cos/21
2t cos/21
1
1
sin (tg /)cos2t
1
sin (tg /)cos2t
1
к
к
—— e< 18. ——. 19.
COS2 X )X In X
cos (log5 x) — tg In x\
—— e< 18. ——. 19.
COS2 X )X In X
cos (log5 x) — tg In x\
2Уц\-У _ sin Ух^,.
2Уц\-У _ sin Ух^,.
2/х(1—%) /3(х2+1)зл: ^1п(х2+1) +
24. хх<+3 (4 In х + 1). 25. 0.
2/х(1—%) /3(х2+1)зл: ^1п(х2+1) +
24. хх<+3 (4 In х + 1). 25. 0.
2х2
2х2
Нули функции: x = 2, x = —4. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. Точек разрыва нет; max (—2; 8), min (2; 0). Точка перегиба (0; 4). Асимптот нет. 2. Нули функции: х = ±УЗ. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. Точка разрыва второго рода: х = 2, max (1; 2); min (3; 6). Точек перегиба нет. Наклонная асимптота: у = х + 2. 3. Нуль функции: х = 2. функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. Точек разрыва / 2\/ 26\
нет, min -7=; —1 . Точка перегиба —7=; ——- . Асимптот нет. 4. Нульфунк- \У е/\е у е /
ции: х = 0. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. Точек разрыва нет, min (0; 0); —(2; —У2); max (2; 4е-2). Точки перегиба: (2 — V^\ (6 — 4У2) е-^2- ^2 )); (2 + У2; (6 + 4У2) е“"(2+ ^2 \ 5. Нулей функции нет. Функция четная, непериодическая. Точек разрыва нет; max (0; 2). Точки перегиба: (1; Зе-1); (—1; Зе-1). Горизонтальная асимптота: у = 0. 6. Нулей функции нет. Функция не является ни четной, ни нечетной, периодическая с периодом 2л. Точка разрыва второго рода:
х = —77 + л/г.
4
1 л 7 Г / л 1 \/ 51 \
На интервале — —; — л : min —; 77= , max —л; —-7^= .
J 4 4 [\ 42 /\ 4 У 2 J
Точек перегиба нет, max (1; УЗ).Точек перегиба нет, max (1; УЗ).Нули функции: х = 1 — УЗ, х = 1 + УЗ. Функция не является ни четной, ни
Точек перегиба нет, max (1; УЗ).
Точек перегиба нет, max (1; УЗ).
нечетной, ни периодической. Точек разрыва нет. Асимптот нет.
§ Ю.
(5 + 7х)18126(5 + 7х)18126— In 2 + 2х + С.21I5. arcsin ez + С. 6.— In 2 + 2х + С.21I5. arcsin ez + С. 6.3.3.1_1— sin (л/гх) + C. 4. — In x+ л/г2|1_6X|+C.7- ltgx2 + C.1_1— sin (л/гх) + C. 4. — In x+ л/г2|1_6X|+C.7- ltgx2 + C.11& x —2& x —2‘ 1 in 5‘ 1 in 5%3_^24-С. 10. —cos(tgx)+C. 11. — — "2"+^—21п] х+%3_^24-С. 10. —cos(tgx)+C. 11. — — "2"+^—21п] х+/V2X1yarctgx — — + — arctg х + С./V2X1yarctgx — — + — arctg х + С.х2х2х211 X3114.— arcsin х ——arcsin х +— х 71— х2 + С. 15.—In х —— х3 +С.24439х211 X3114.— arcsin х ——arcsin х +— х 71— х2 + С. 15.—In х —— х3 +С.2443916.16.3х(sin х + In 3cos х).1 +ln23 v73х(sin х + In 3cos х).1 +ln23 v717. In (In (Inx)) + С.17. In (In (Inx)) + С.18. cos18. cos
(5 + 7х)18
126
(5 + 7х)18
126
— In 2 + 2х + С.
21I
5. arcsin ez + С. 6.
— In 2 + 2х + С.
21I
5. arcsin ez + С. 6.
3.
3.
1_1
— sin (л/гх) + C. 4. — In x+ л/г2
|1_6X|+C.7- ltgx2 + C.
1_1
— sin (л/гх) + C. 4. — In x+ л/г2
|1_6X|+C.7- ltgx2 + C.
1
1
& x —2
& x —2
‘ 1 in 5
‘ 1 in 5
%3_^2
4-С. 10. —cos(tgx)+C. 11. — — "2"+^—21п] х+
%3_^2
4-С. 10. —cos(tgx)+C. 11. — — "2"+^—21п] х+
/V2X1
yarctgx — — + — arctg х + С.
/V2X1
yarctgx — — + — arctg х + С.
х2
х2
х211 X31
14.— arcsin х ——arcsin х +— х 71— х2 + С. 15.—In х —— х3 +С.
24439
х211 X31
14.— arcsin х ——arcsin х +— х 71— х2 + С. 15.—In х —— х3 +С.
24439
16.
16.
3х
(sin х + In 3cos х).
1 +ln23 v7
3х
(sin х + In 3cos х).
1 +ln23 v7
17. In (In (Inx)) + С.
17. In (In (Inx)) + С.
18. cos
18. cos
§ и.
1. arctg (х + 3) + С. 2. - 2/4х ■
+ С. 1. ^«Цт 7
—L_ in 2/2
х+1 -/2 х+ 1 +К2
1
+ С. 3. ~ In
2/2
2х+ 3— 2/2
+ С. 5. ^=arctg((2z-l)/3) + C. 6.
7
+ 5х + 20)+С. 7. -ln(x=+x + l)-^==arctg
19
+ х— 1 I —— In
2/Г
/х + 1\
10. arcsin --/-^ + С
2х + 1 — У 5 2х + 1 + /б
2х +3 +2/2
+ С. 8.
In (2х2 +
3
— In | х2 +
21
+ С. 9. 1п(х+3 + К*2 + 6х+10)+С.
ln|x +l,5+/x2+3x +0.25I+C. 12.pUln(x —
— 0,75 + Ух — 1,5х + 1,5 ) + С. 13. ^=(z-0,5+j/"z2-?+l) + C. 3 , 47/5, \
у У2х2+ 5х +20 — уру In +— + У х2 + 2,5х + 10 ) + С.
4 Ух2 + х + 1 — 7 In (х + 0,5 + Ух2 + х + 1) + G.
Ух2 + х — 1 — у In | х + 0,5 + Ух2 + х — 11 + С.
§ 12.
Г3Г311.--х2 + у In.--х2 + у InX2— -2. — In6X2— -2. — In6881111х —2(х—2)2х —2(х—2)2(X—1)2(X—1)23 In3 In(х2 + З)18 (х + 2)28(х2 + З)18 (х + 2)284444хх4-С. 4. 10 (3 — 5х)21. /2x4- 1\ . _4-С. 4. 10 (3 — 5х)21. /2x4- 1\ . _-+ут arct4"i211-+ут arct4"i211+ 7yTarctgyT+c-i „+ 7yTarctgyT+c-i „-ьс.-ьс.X(х-1)2X(х-1)2х + 1 х 2 (х + I)2 1— — arete f—С. 8. — In— г— )10\ 2 /74 х2 — 4х + 1374У-3* х — 23 / х 4" 2\1- тГГз ™« —+с. 9.-7(,,+2, + a+m«<«+'>)+c.w. -- хх + 1 х 2 (х + I)2 1— — arete f—С. 8. — In— г— )10\ 2 /74 х2 — 4х + 1374У-3* х — 23 / х 4" 2\1- тГГз ™« —+с. 9.-7(,,+2, + a+m«<«+'>)+c.w. -- х— In101— In101х2 + 3х2 + 35574.374.311х (х3 + 8)3х (х3 + 8)3io —1° пл 18+ С. 11. 2]Лк — 2 arctg]^x + С. 12. — х12— — х12—^-х12+42х12io —1° пл 18+ С. 11. 2]Лк — 2 arctg]^x + С. 12. — х12— — х12—^-х12+42х1212 • 48712 • 48777665544зз22• х12 + 32х12 — 12 • 32х12— 3 • 384х12 — 4 ■ 128х12 + 6 • 1280х12 + 128 X1• х12 + 32х12 — 12 • 32х12— 3 • 384х12 — 4 ■ 128х12 + 6 • 1280х12 + 128 X1LL LX 64х12 — 5632 In ] х12 — 2х12 + 41 —LL LX 64х12 — 5632 In ] х12 — 2х12 + 41 —10752—7=" 1П■Уз10752—7=" 1П■Уз+ с. 13. -yi —х2 —+ с. 13. -yi —х2 —-l)°+-(x-iy-y(x-i)°-y(x- 1)° + (х — 1)° + у In | (х — l)d +1]—-l)°+-(x-iy-y(x-i)°-y(x- 1)° + (х — 1)° + у In | (х — l)d +1]—
Г3
Г3
1
1
.--х2 + у In
.--х2 + у In
X2
— -2
. — In
6
X2
— -2
. — In
6
8
8
11
11
х —2(х—2)2
х —2(х—2)2
(X—1)2
(X—1)2
3 In
3 In
(х2 + З)18 (х + 2)28
(х2 + З)18 (х + 2)28
44
44
х
х
4-С. 4.
10 (3 — 5х)2
1. /2x4- 1\ . _
4-С. 4.
10 (3 — 5х)2
1. /2x4- 1\ . _
-+ут arct4"i211
-+ут arct4"i211
+ 7yTarctgyT+c-i „
+ 7yTarctgyT+c-i „
-ьс.
-ьс.
X
(х-1)2
X
(х-1)2
х + 1 х 2 (х + I)2 1
— — arete f—С. 8. — In— г— )10\ 2 /74 х2 — 4х + 1374У-3
* х — 23 / х 4" 2\1
- тГГз ™« —+с. 9.-7(,,+2, + a+m«<«+'>)+c.w. -- х
х + 1 х 2 (х + I)2 1
— — arete f—С. 8. — In— г— )10\ 2 /74 х2 — 4х + 1374У-3
* х — 23 / х 4" 2\1
- тГГз ™« —+с. 9.-7(,,+2, + a+m«<«+'>)+c.w. -- х
— In
10
1
— In
10
1
х2 + 3
х2 + 3
5
5
74.3
74.3
1
1
х (х3 + 8)3
х (х3 + 8)3
io —1° пл 18
+ С. 11. 2]Лк — 2 arctg]^x + С. 12. — х12— — х12—^-х12+42х12
io —1° пл 18
+ С. 11. 2]Лк — 2 arctg]^x + С. 12. — х12— — х12—^-х12+42х12
12 • 48
7
12 • 48
7
7
7
6
6
5
5
4
4
з
з
2
2
• х12 + 32х12 — 12 • 32х12— 3 • 384х12 — 4 ■ 128х12 + 6 • 1280х12 + 128 X
1
• х12 + 32х12 — 12 • 32х12— 3 • 384х12 — 4 ■ 128х12 + 6 • 1280х12 + 128 X
1
LL L
X 64х12 — 5632 In ] х12 — 2х12 + 41 —
LL L
X 64х12 — 5632 In ] х12 — 2х12 + 41 —
10752
—7=" 1П
■Уз
10752
—7=" 1П
■Уз
+ с. 13. -yi —х2 —
+ с. 13. -yi —х2 —
-l)°+-(x-iy-y(x-i)°-y(x- 1)° + (х — 1)° + у In | (х — l)d +1]—
-l)°+-(x-iy-y(x-i)°-y(x- 1)° + (х — 1)° + у In | (х — l)d +1]—
sin3 х sin5 х3135~~-^Т"4 + С- cosx 4" 4sin3 х sin5 х3135~~-^Т"4 + С- cosx 4" 42 + С. 7.2 + С. 7.
sin3 х sin5 х
3135~~
-^Т"4 + С- cosx 4" 4
sin3 х sin5 х
3135~~
-^Т"4 + С- cosx 4" 4
2 + С. 7.
2 + С. 7.
3F
— — arctg (х — I) + С.
§ 13.
4-х + С. 9. 3 In cos^l + tg3^ + -^-tg3^- —3tg^-4-A.-+C. 10. —-^ cos-^ x 4- оо Z оО/ kZ
xx2511
+6 cos — + C. 11. 3 sin — — — sin — x + C. 12. — cos 3x 4- — cos 1 lx 4- C. 12656622
/5 \
1. 121 —- m. 2. 18 • 10-2 Дж. 3. (1; 1). 4. ла; — а). 5. 1954 • с. 6. 04 • с.
\6 у
_16/3\33
а) 1; б) 4,5; в) — 11 +2]/ 2 4* ~In 2 к г) лаб; д) — ла2; е) — ла2; ж) 18ла2,
a) 1+11пу; б) у; в) In (1 +/2); г) ал/1 4-4л2 +-^ In (2л +
л 1л2
+ V1 + 4л2); д) 2л • а. 4. а) —; б) — л/i (^2 + Rr + г2); в) 0,3л; г) ^ .
——2 (1/2* 4- 1)
5. а) л (Уб — У2) + л1п—; б) 4лг2; в) 2ла2.
Уб + 1
§ 16.
а) у =— -■- -— ; б) Сехг — — (х2 + 1); г) sec2 х —* cosec2 у = С;
1П G jZ
У + У*2 + У2 = ^х2; ж) у = Се~х + -“ е2 v; и) (х + у)2 (2х + у)3 = С;
у = Сх2— —; л) у = х tgCx; м) у = С sin х. 2. а) у=е 2 ; б) у = ; в) у2=з
х3cosх
= 5х ± 2 Уб • х; г) х = — / arctg t.
Дифференциальное уравнение движения диска: mu' = —ко. Его общее решение: - - tt
= Се т . Учитывая начальное условие vl = 3, получаем: и= Зе m . Для на-
/гхождения коэффициента — — используем условие и = 2./гхождения коэффициента — — используем условие и = 2.тт/=60/=60Угловая скоростьУгловая скоростьV = 0
/г
хождения коэффициента — — используем условие и = 2.
/г
хождения коэффициента — — используем условие и = 2.
т
т
/=60
/=60
Угловая скорость
Угловая скорость
диска через 3 мин после начала вращения и = — об/с. 4. 0,467 —, 85,2 м. 4
1, а) у= ^ + Сг In | х | + С^ б) у — С2еГ1Х + ^ ; в) у 4-xyCj —х2\, г) x+Cx = aln sin ^2—- I; д)1, а) у= ^ + Сг In | х | + С^ б) у — С2еГ1Х + ^ ; в) у 4-xyCj —х2\, г) x+Cx = aln sin ^2—- I; д)Cf srcsin —+[ I уCf srcsin —+[ I ух — Сох — Со§ 17.
1, а) у= ^ + Сг In | х | + С^ б) у — С2еГ1Х + ^ ; в) у 4-xyCj —х2\, г) x+Cx = aln sin ^2—- I; д)
1, а) у= ^ + Сг In | х | + С^ б) у — С2еГ1Х + ^ ; в) у 4-xyCj —х2\, г) x+Cx = aln sin ^2—- I; д)
Cf srcsin —+
[ I у
Cf srcsin —+
[ I у
х — Со
х — Со
2/4ci 1у + ч
У = у^ + “ + Сгх + С2 х In | х | + ^з» ж) У ="^2 ^ + ^2%2 + ^3’ ^* а^ ^'
1х2 1
= — (х24- 1); б) У = ^ + 1; в) У = ~ — у 1п | Х| 4-1; г) у = 1 —X — sinX.
18.
а) у = С, 4- С2е-гх; б) у = C,cos Зх 4" С4 sin Зх; в) у = Сг^х 4- Сгх^х; г) х = = (С, 4" Са/)е2'54 д) г = е 5 fc, cos -- 4" С2 sin ^ I 2. а) у = Зе'2х sin 5х; б) у =
_2L_/5+з
= e 2 _(2 + x). 3. а) у = Ci + C2er + C3e3r; б) у = Cx^ + C2e 2 * + Vs— з
+ C3e 2; в) у = C^-^ + C2ev + C3 cos )^2x + C4 sin У 2x. 4. a) 1 + cos x;
) У = егх + sin 2x.
§ 19.
1. а) у = Сгех + C^x + ex (2x2 + x); б) у = Ct + C2e 2 + у e'; в) у =
— Ci cos x + C2 sin x + 3 + cos 2x; г) у = e2x (Cx + C2x) + —x H+ — cos 2x; 224
Vх (445x 4\
у = eo I cx cos — x + C2 sin — x — — cos x — — cos — x e) у = Ct +
+ C2 cos 2x + C3 sin 2x + x3 — 2x; ж) у = e-2^^ + C2x + (x + 1) In | x + 11 — — x). 2. у = ex (0,16 cos 3x + 0,28 sin 3x) + x2 + 2,2x + 0,84. 3. у = ex (ex— x2— x3
— x + 1). 4. у = СтеХ + C2e2x + — + —.
24
§ 20.
а) Сходится; б) расходится; г) расходится; д) расходится; е) сходится; ж) расходится; з) расходится; и) сходится; к) сходится. 2. а) Сходится; б) расходится; в) сходится; г) сходится; д) расходится.
§ 21.
а) Всякий сходящийся ряд с положительными членами сходится абсолютно;
б) сходится условно; в) абсолютно сходится; г) расходится; д) сходится условно;
расходится; ж) сходится условно; з) абсолютно сходится; и) условно сходится.
§ 22.
а) ]—оо; —1] и ]1; + оо[; б) ]—оо; +оо[. 3. ]—оо; +оо[. 4. a) R = 1, ]— 1;1[;
б) R = +°о, ]—оо; +оо[ 5. 0,0997, надо взять 2 члена. 6. 0,2505. 7. у = —2 — 2х — х2 х4 Xе
_ Х2. 8. у = ! _ _ + —. + ^у^+ ... - ряд сходится при |Х| <ОО.
§ 23.
л2. sin 2х 2sin Зх sin 4х
f (X) = — ——cos X + sinX — ——— — cos Зх+ —— — —— —..., —Л<
4 л29о 4
sin nh
7 —-- cos пх
Ai nh
n=\
cos пхcos пхп=1п=1„ , sin nx n-x ,
cos пх
cos пх
п=1
п=1
n
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Метод координат. Уравнение прямой 4
Кривые второго порядка 8
Векторная алгебра 12
Прямая и плоскость в пространстве 17
Преобразование графиков элементарных функций 22
Элементарные методы вычисления пределов 26
Техника дифференцирования 30
Экстремумы функций и геометрические приложения производной . . .33
Построение графиков функций по общей схеме 36
Основные методы интегрирования 39
Неопределенные интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен 41
Интегрирование рациональных дробей и простейших иррациональностей 44
Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций . . .49
Определенный интеграл и его приложения к решению задач физики.51
Геометрические приложения определенного интеграла 55
Дифференциальные уравнения первого порядка 59
Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка.63
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 65
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 67
Признаки сходимости рядов с положительными членами 70
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость74
Степенные ряды 75
Ряды Фурье 79
Ответы к упражнениям 81
Виктор Константинович ЕгерёвОльга Сергеевна КорсаковаГеоргий Алексеевич НесененкоВалерия Александровна КозловаЗоя Тимофеевна Диканова
ЗАДАЧНИК - ПРАКТИКУМпо математическому анализус элементамианалитической геометрии
Редактор Л. В. ТуркестанскаяТехнический редактор Н. Н. БажановаКорректоры Л.Г; Новожилова, Т. С. Дарикова
Сдано в набор 23. 09. 80. Подписано к печати 18. 03. 81. бОхЭФДв- Бумага типограф. № 3. Гарнит.
Лит. Печать высокая. Усл. печ. л. 5,5. Уч.-изд. л. 5,30. Тираж 27000 зкз. Заказ 459. Дена 15 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовски! ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиг- рафпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
х->-а fa (x)
1) выражающее сущность первого замечательного предела;
5) lim—— = lim = ...;
4) у = х3 — 9х;
5) у = In | х |.
8. Найдите промежутки выпуклости (вогнутости) и координаты точек перегиба нижеприведенных функций у = у (х) по схеме:
1) найдите у" (х);
2) определите абсциссы точек, подозрительных на перегиб;
3) определите знаки у" (х) в достаточно малых окрестностях найденных точек и точек разрыва функции у = у (х);
4) заполните таблицу:
интегралы:
3557
511
4 С. 4. Т х 4- ™ sin 12х + — sin ^х + С. 5. In | 4 + cos х | —
О1 у
— — х + С. 8. — — etg8 х+ etg х4-
., х3