. 'b^hbuj •

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ С?Р ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ

г. е. пухов. МЕТОДЫ' АНАЛИЗА И СИНТЕЗА

К В АЗ И АН АЛОГОВЫХЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ

ИЗДАТЕЛЬСТВО „НАУКОВА ДУМКА4? , •КИЁВ-1987

^ЙеЬсК^Я ^БРИХ^^АбррЦ/ А

V \' 1 , " ; ,“ЩЛ Р ,? ;А\'У -

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая книга представляет по существу расширённый конспект лекций, докладов и других выступлений автора перед студентами, инженерами-исследователями, аспирантами и научными сотрудниками Львова (1944—1950 гг.), Томска (1948—1953 гг.), Таганрога (1953—1957 гг.) и Киева (1957—1965 гг.) по математическим вопросам, всходящим за рамки программ высших технических учебных заведений, по методам расчета электрических и электронных цепей, разработанным самим автором или при его непосредственном участии, и, наконец, по теоретическим вопросам, связанным с развитием новых методов синтеза цепей электронных моделирующих машин различного назначения.

Книга состоит из трёх разделов и двадцати глав.

В первом разделе (гл. I—VI) изложены те вопросы математики, знание которых необходимо для понимания рассматриваемых далее методов анализа и синтеза электрических цепей. К ним отнесены многомерные векторы, матрицы и различные методы решения конечных и дифференциальных уравнений.

Во втором разделе (гл. VII—XII) рассмотрены некоторые методы расчета электрических цепей с постоянными, переменными и нелинейными параметрами как при стационарных, так и переходных режимах.

Наконец, в третьем разделе (гл. XIII— XX) изложены методы построения электрических и электронных цепей, предна-

значаемыхдля моделирования разнообразных математических зависимостей, причем основное внимание уделено квазиана- логовым цепям, т. ё. цепям, уравнения которых не подобны уравнениям моделируемого объекта, но эквивалентны им в отношении получаемых результатов.

Более подробно о содержании книги можно судить, ознакомившись с оглавлением.

Для того чтобы сделать книгу доступной, по возможности, наиболее широкому кругу читателей, рассмотрение вопросов во всех разделах ее проводилось с той степенью строгости, которая обычна для литературы, рассчитанной на инженеров и студентов технических специальностей. С этой же целью, в книгу включено большое количество иллюстративных примеров.

Формулы и рисунки имеют двойную нумерацию: первый номер указывает номер главы, а второй — порядковый для данной главы номер формулы или рисунка.

Учитывая характер книги, ссылки на литературные источники в тексте не делались. Это, разумеется, не означает, что при написании ее такие источники не использовались. Список соответствующей литературы приведен в конце книги.

Г. Пухов

Киев, март — сентябрь 1966 года

УММвкДу Дм

ГЛАВА ПЕРВАЯ. МНОГОМЕРНЫЕ ВЕК ГОРЫ И МАТРИЦЫ

§ 1. Вводные аамечаннн н оиределоиия

При различных исследованиях самых разнообразных объектов, состояние и работа которых может быть описана системой каких- либо уравнений или неравенств, удобно применять матрицы и многомерные векторы.

Матрицей Л называется система m х л чисел, расположенных* в определенном порядке в виде прямоугольной таблицы из m строк и п столбцов, т. е. 1

Числа ац (i = 1, 2, .... /п; /' = 1, 2,..., п), которые образуют матрицу А, называются ее элементами или компонентами и могут быть вещественными и комплексными. Первый индекс (1) указывает - номер строки, а второй (j)— номер столбца, на пересечении которых, расположена компонента а^.

Если т = п, то матрица Л называется квадратной порядка п, а если т ^ п, то матрица называется прямоугольной.

Матрица размера 1 х п, т. е. матрица вида

а= «1 а» •,(1.2)

называется п-мерным вектором-строкой, а матрица размера mx 1, т. е. матрица вида

(1.3)

m-мерным вектором-столбцом. Обычное число (скаляр) можно рассматривать как матрицу размера 1X1.

Клетки квадратной матрицы с индексами U образуют ее главную диагональ.

Квадратные матрицы, у которых все компоненты имеют нулевые значения, кроме компонент, расположенных на главной диагонали, называются диагональными и имеют вид

du

•

dnn

' Здесь и часто в дальнейшем клетки матрицы с нулевыми компонентами будем оставлять пустыми..

Если du= dy, = ... = dnn = 1, то диагональная матрица называется единичной и обозначается обычно буквой Е, т. е.

(1.5)(1.5)

(1.5)

(1.5)

Матрица, все компоненты которой равны нулю, называется нулевой.

Квадратная матрица, компоненты которой удовлетворяют соотношению ац = a)b называется симметричной, а соотношению at) = — Uji — кососимметричной.

Примером симметричной матрицы может служить матрица

а кососимметричной —а кососимметричной —А =А =В =В =

а кососимметричной —

а кососимметричной —

А =

А =

В =

В =

Над матрицами и многомерными векторами можно производить различные математические операции: сложение, вычитание, умножение на постоянное число и др.

§ 2. Действвя ясд многомерными векторами

Умножение числа с на вектор и алгебраическое сложение векторов. Под операцией умножения числа с на вектор х будем понимать умножение чирла с на все компоненты вектора х. Таким образом, новый вектор

XiXs•ХпXiXs•ХпСХх СХ2 • схп ,СХх СХ2 • схп ,

XiXs

•Хп

XiXs

•Хп

СХх СХ2 • схп ,

СХх СХ2 • схп ,

т. е.

yi = CXi.

Сложение двух векторов одной и той же мерности (размерности) сводится к сложению их одноименных компонент. Так, если

X =

*1

X»

•

Хп

, У =

У1

•

Ул

то

г=х+у=

Х1 + У1

ха + Уа

•

хп 4* Ул

,(1.8)

иначе говоря, zz = xz + th (t = 1, 2, .... п). Подобным же образом производится сложение векторов, записываемых в виде матриц- столбцов.’

Вычитание определяется единственным образом: как действие, обратное сложению.

Пример. Найти сумму и разность векторов

1 х =

2+/5

6-/7

. У =

-14-/3

4

где / — мнимая единица (/’ = —1). Имеем

Из указанных определений непосредственно следуют обычные свойства операций сложения и вычитания:

X ± у = у ± X, ..

* + (у + г) = (х + у) + г, -, .

(й1 + ^а)х = А1Х+А^,(1.9)

-fe(x±y) = fex±fey,‘

'fe1(feex) = (fe1fe2)x,

где 6, и ^ — произвольные вещественные числа.

Под вектором .'

z = h1x±.kjy(1.10)

понимается вектор, компоненты которого находятся по выражению

' Zi = k^t ± k^yt. '".(1.11)

Пример. Найти вектор 1

z = — х+2у,

если

Имеем

Отсюда компоненты вектора г равны ,

- ' Zl = 9, Zg = 13, za = — 17.

Скалярное произведение двух многомерных векторов. Под скалярным произведением двух векторов понимают число

ху = *51 + л^з +. •. + х^п = 2 Xtyt, ,(1.12)'

где yt — число, сопряженное для yt. Так, если yt = ^ + /£а, то yt = k — ifey:'

Только в случае вещественных xt и yt скалярное произведение коммутативно, т. е.>''

хеу = ух.

Вообще же говоря, .’

”хеу + уех. ,

Действительно,■Л

'хеу = £ xtyt + ^ytxi = уех.(1.13)

i=i i=i

Однако отсюда следует, что при перестановке порядка векторов скалярное произведение переходит в сопряженное: .

,хеу = ух •■ (1.14)

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е.

. хД_у, если хеу = 0.(1-15)

В силу равенства (1.14), если х ± у, то и у ± х.

Пример. Выяснить, являются ли ортогональными векторы

Х= 123 И У= 74—5

Эти два вектора ортогональны, так как

хеу = 1-7 + 2-4 + 3.(— 5) = 0.

Понятое длины многомерного вектора. Квадратом длины многомерного’вектора называют сумму квадратов модулей его компонент. Благодаря этому, длина вектора

и= +и= +(1.16)(1.16)

и= +

и= +

(1.16)

(1.16)

п

(1.17)(1.17)Поскольку сумма У |хг|а равна скалярному произведению вектора на самого себя, то длину вектора можно записать еще и так:

(1.17)

(1.17)

|х| = + У хех.

Пример. Определить длину вектора

3+/4

2

-1

5

Имеем

хех = (3 + /4) (3 + /4) + 2-2 + (- 1) (- 1) + 5-5 = 55.

Следовательно,

'\х\ = У"хёх = /55^7,4.

созф =созф =хеу1*1Ыхеу1*1Ы(1.18)(1.19)(1.18)(1.19)Используя понятие о длине вектора и скалярном произведении двух векторов, можно в случае вещественных векторов оперировать с понятием угла между векторами х и у, определив его из зависимости'

созф =

созф =

хеу

1*1Ы

хеу

1*1Ы

(1.18)

(1.19)

(1.18)

(1.19)

Из известного неравенства Буняковского л\”

Sk/ll^j < ж 2W <=1/\<=i/ 4=1

следует, что |cos ф| < 1.

Дифференцирование и интегрирование многомерных векторов по ^скалярному аргументу. Пусть компоненты вектора х являются функциями скалярного аргумента t. В этом случае дифференцирование и интегрирование по t сводится к выполнению соответствующих операций над каждой из компонент-вектора. Иначе говоря,

(1.20)(1.20)(1.21)(1.21)

(1.20)

(1.20)

(1.21)

(1.21)

где q, .... сп — постоянные интегрирования.

Пример. Вычислить производную и интеграл вектора

cos /

1+3?

по аргументу t. Имеем 1

— sin/

6/

q + sin t

q + /+?

где q и q — постоянные интегрирования.

§ 3. Дейетвии над матрицами

Запишем, используя понятия многомерного вектора и матрицы, систему линейных алгебраических уравнений'

■а1Л + ^Л + • • • + «п^я = yv

«м*! + a^g + ... + 02пХ„ = &,(1.22)

йт!^! + йт2*д + • • • + QmnXn — Ут

в матрично-векторной форме.

Это линейное преобразование можно трактовать как переход от некоторого «-мерного вектора х к /«-мерному вектору у, причем связь между векторами кратко может быть записана следующим образом:

Ах = у,(1.23)

где А — оператор, преобразующий х в у. Ясно, что компонентами А должны служить коэффициенты уравнений (1.22), так как при посредстве именно этих коэффициентов производится переход от xv Ч» •••» хп к Уи УаУт- Записывая А в виде таблицы, приходим к выводу, что А представляет матрицу (1.1).

Сравнение (1.22) и (1.23) позволяет сразу же получить правило умножения матрицы Л на вектор х. Очевидно, что какая-либо компонента, например i-ая, равна скалярному произведению /-ой строки матрицы Л на вектор х, т. е. .

У1 = 5 ачхь(1-24)

/=1

где компоненты X; считаются вещественными.

Сложение и вычитание матриц. Суммой (разностью) т X п- матриц Л и В называется т X «-матрица

. С = А±В,(1.25)

элементы с1} которой находятся по выражениям

Сц = ац±Ьц.. (1.26)

Под матрицей

■ С = ЯЛ±тВ(1.27)

понимается матрица, компоненты которой определяются как

ctj = Хач ± хЬц,(1.28)

где Я и v — постоянные вещественные числа.

Пример. Найти сумму и разность матриц

Л =Л =22552+/4-1+/2— 12+/4-1+/2— 1

Л =

Л =

2

2

5

5

2+/4

-1+/2

— 1

2+/4

-1+/2

— 1

Имш’М

Л Скалярное произведение матриц. Пусть имеется два много- мирнын вектора.

' у = Вх и г = Ау, гд" 11 и В — некоторые матрицы.

Нырижая формально z через х, получим.

-z = ABx.'■

С 'ipviiitt стороны (для п = 2),

21 = ан (^1Л + ^12*2) 4* Оха (&2Л + ^22^2),

2а = Оу (611^1 + ^1Л) 4* °22 (^гЛ 4- ^22^2), или после преобразований

#! *■ (Оц6п + 912^21) *1 4" (°11^12 4- ОИ6М) Хй = Сихг + С^г»

82 ” (°21^U 4" 022^21) ^1 4" (021^12 4- Ода^г) *2 = СаЛ 4* ^22^2* Он ih/w

Сц = Пц^ц 4* 012^21» С12 = Оц612 4* 012^22».

С21 = 021^11 4" 022^211 С22 — 02^12 4" ^88^28*.

Мы видим, что нахождение элементов матрицы С, являющейся |||инг111едением матриц А,и В, сводится к умножению строк первой мн1|пщы на столбцы второй с последующим сложением полученных пирных произведений..

•Рормула, определяющая элементы матрицы

'С = АВ, .(1.29)

ПМ1Ч1Г вид ;

Сц = 2 °ubsb(1.30)

Произведение матриц, как это следует из самого определения, может находиться лишь в случае, когда число столбцов первой мииищы А равно числу строк второй магрицы В. '

Произведение матриц в общем случае не является коммута- тнпным, т. е..

АВ Ф ВА.

1717Иг, В, Пухов

17

17

ИмеемИмеемПример. Найти произведения матрицПример. Найти произведения матрицЬ4 + (-1).7 1-(-2)+(-1).1Ь4 + (-1).7 1-(-2)+(-1).1-3-3— 3— 32.(— 2) 4-3-12.(— 2) 4-3-12.44-3-72.44-3-7

Имеем

Имеем

Пример. Найти произведения матриц

Пример. Найти произведения матриц

Ь4 + (-1).7 1-(-2)+(-1).1

Ь4 + (-1).7 1-(-2)+(-1).1

-3

-3

— 3

— 3

2.(— 2) 4-3-1

2.(— 2) 4-3-1

2.44-3-7

2.44-3-7

Очевидно, в данном случае АВ Ф ВА, так как матрицы равны только тогда, когда равны между собою все одноименные компоненты. ' 11

Произведение двух ненулевых матриц (т. е. матриц, не все элементы которых равны нулю) может обращаться в нулевую матрицу. Так, например, если

то из него не следует, что одна из матриц А или В нулевая. >то из него не следует, что одна из матриц А или В нулевая. >

то из него не следует, что одна из матриц А или В нулевая. >

то из него не следует, что одна из матриц А или В нулевая. >

4. Транспонирование матрицы. Операция транспонирования матриц заключается в замене строк матрицы столбцами или столб-

где знаком ' (штрих) отмечена операция транспонирования. Для произведения транспонированных матриц выполняется легко устанавливаемое соотношение

А'В' = (ВА)'.(1.31)

Понятие об особенных матрицах. Квадратная матрица называется особенной, если она имеет определитель, равный нулю.

Если через detA и detB обозначить определители квадратных матриц А и В одинакового порядка:

^Аз • • • °in

611613 • • • 61д

detA =

Оа1йд2 • • • ^2П

, detB =

631633 • • • бзд

^п!^л2 • • • Япп

6п16д2 • • • Ьпп

то нетрудно установить, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц:

det АВ = det A-det В.(1.32)

Из этого следует, что, если одна из матриц А или В особенная, тб произведение их тоже будет особенной матрицей.

Определение обратной матрицы. Квадратная матрица^А-1 называется обратной матрице А, если их произведение равно единичной матрице, т. е.

А-1 А = АД-1 = Е.(1.33)

Определим элементы обратной матрицы..

ПустьПустьу=^Дх.Умножая это равенство на Л-1, получим А-1 у = А-1 Ах = £у=^Дх.Умножая это равенство на Л-1, получим А-1 у = А-1 Ах = £(1.34)(1.34)(1.35)(1.35)Таким .'образом, чтобы найти элементы обратной матрицы, не-' обходимо решить систему уравнений (1.34) относительно векто-Таким .'образом, чтобы найти элементы обратной матрицы, не-' обходимо решить систему уравнений (1.34) относительно векто-ра х.Дляра х.Дляn = 2 имеемn = 2 имеемУ1 = ад + ад» Ув = ^21^1 + ^22^2*У1 = ад + ад» Ув = ^21^1 + ^22^2*ОтсюдаОтсюда*1 =*1 =ха —ха —9мУ1 — Д1»У«°11°М — 012°М ’~ а»1У1 + ОпУа ОиОм —Oisdn *9мУ1 — Д1»У«°11°М — 012°М ’~ а»1У1 + ОпУа ОиОм —Oisdn *ИЛИИЛИв*в*— а»— а»X =X =— Од— Од«и«иdet Лdet ЛУ-У-Следовательно,Следовательно,при п = 2при п = 2Л'1»Л'1»11det Аdet А— «И— «И— «и— «и«Ц«Ц

Пусть

Пусть

у=^Дх.

Умножая это равенство на Л-1, получим А-1 у = А-1 Ах = £

у=^Дх.

Умножая это равенство на Л-1, получим А-1 у = А-1 Ах = £

(1.34)

(1.34)

(1.35)

(1.35)

Таким .'образом, чтобы найти элементы обратной матрицы, не-' обходимо решить систему уравнений (1.34) относительно векто-

Таким .'образом, чтобы найти элементы обратной матрицы, не-' обходимо решить систему уравнений (1.34) относительно векто-

ра х.

Для

ра х.

Для

n = 2 имеем

n = 2 имеем

У1 = ад + ад» Ув = ^21^1 + ^22^2*

У1 = ад + ад» Ув = ^21^1 + ^22^2*

Отсюда

Отсюда

*1 =

*1 =

ха —

ха —

9мУ1 — Д1»У«°11°М — 012°М ’

~ а»1У1 + ОпУа ОиОм —Oisdn *

9мУ1 — Д1»У«°11°М — 012°М ’

~ а»1У1 + ОпУа ОиОм —Oisdn *

ИЛИ

ИЛИ

в*

в*

— а»

— а»

X =

X =

— Од

— Од

«и

«и

det Л

det Л

У-

У-

Следовательно,

Следовательно,

при п = 2

при п = 2

Л'1»

Л'1»

1

1

det А

det А

— «И

— «И

— «и

— «и

«Ц

«Ц

Действительно,

Л*1 Л = -т det ЛЛ*1 Л = -т det ЛЯ** —ЯИЯ** —ЯИ— Од— Од«И«И«и«иа»а»= Е.= Е.ОдОд

Л*1 Л = -т det Л

Л*1 Л = -т det Л

Я** —ЯИ

Я** —ЯИ

— Од

— Од

«И

«И

«и

«и

а»

а»

= Е.

= Е.

Од

Од

Подобным же путем можно получить формулы для вычисления элементов Л-1 в случае матриц третьего (п =‘ 3) и более высоких порядков. Общая формула для определения элементов матрицы'

С = А 1 имеет вид

c<f = м“ = -та^ м«*<L36>

где M^ —минор определителя, получаемый из det А вычеркиванием /-ой строки и 1-го столбца, a м'£1 — минор транспонированной матрицы.

Обратная матрица может быть наедена лишь в случае, когда определитель А не равен нулю, т. е. для неособенной матрицы.

На основании сказанного, вычисление обратной матрицы может производиться следующим образом:

находится определитель det А;

находится транспонированная матрица А';

каждый элемент матрицы А' заменяется числом, равным ( —ху-НМц, и в результате получается матрица А*, называемая присоединенной к А или союзной с А;

находится обратная, матрица путем деления присоединенной матрицы на определитель заданной, т. е.

.<L37>

Пример. Найти матрицу, обратную следующей:

Проверка:

Рассмотренный способ определения обратной матрицы достаточно громоздок. Более удобным является следующий способ.

Решение уравнений_

-' У1 = «11*1 + «12*2 + • • • Ч- «ЦпХт

(1.38)

Уп = «„1*1 + «„2*2 4" • • •, 4“ «№*„1

относительно вектора х можно записать в виде

*1 = «ilf/l 4" «12^2 4* ••• 4" С1пУт

............., (1-39)

х» = «„1У14~ Сдай 4- • • • 4- СмУп-

Отсюда видно, что t-ый столбец матрицы С = А”1 может быть получен как решение уравнений при

У1 = 0, У8 = 0,..., ^-1 = 0, ^= 1, у<+1 = О,...,у„ = О.

Пример. Определить матрицу, обратную следующей:

2х[ + 5*2 = 0, — 2^ + 5*2= 11 Отсюда

,__ 5,_1_

1 — С1117 ’ Х1 “ С12 ~17 '

, __ 2„ _3

*2 — С2117 ’ *2 — ^ = 17 *

Таким образом,

5

— 1

2

3

При оперировании с обратными матрицами полезно запомнить

следующие легко доказуемые зависимости:

■г (Л + ВТ1)"1 = (Е + ВАГ1 В,(1Л°)

(СЕЛ)-1 = Л-^С-1,(1.41)

СВАСГ1 = (СВ(Г1)(САСГ1),(1-42)

^ABA~xt« А^А-\(1.43)

Дифференцирование и интегрирование матрицы по скалярному аргументу. Когда элементы матрицы А представляют функции скалярного аргумента, например f, то нахождение производной по / сводится к дифференцированию каждого элемента, т. е.

^д11 di

da» dt

dUm dt

- dt

da* dt

•

da»n di^

•

•

•

dt

dam» dt

d<lmn dt

■ Из этого-определения непосредственно следуют добычные*. правила дифференцирования суммы и произведения. Так, если Л и В две матрицы, элементы которых зависят от I, то

d (Л ± В) dA , dBл и

di-■2Г±'аГ’,<к45>

d (АВ) dA D , д dBZ1 лсх

- —dr- = -dFB + A-dF-<L46)

В последнем выражении переставлять множители в общем случае нельзя. к'

Дифференцируя тождество ЛЛ-1 = Е, легко получить правило дифференцирования обратной матрицы в виде

dA~1 , д—i dA t

^ z Л ^ А .(1-47)

Интегрирование матрицы производится по выражению

, Saudi

S°Mdt

•

Somdt

J a^di

S aggdi

J «indi

•

•

•

•

Somldt

Sa^

•

f Aiiindi

ИмеемИмеемПример, Вычислить производную и интеграл от t = О до t для следующей матрицы:

Имеем

Имеем

i

sinf

, 1

cos/

1

cos/ 1

0

— sin/

dA di

/8 2

— COSt+ 1

/

sin /

Adi =

Норма матрицы. При исследовании систем уравнений имеют большое значение некоторые числа, называемые нормами матрицы.

Под нормой матрицы А понимается действительное число Ц Л ||, удовлетворяющее условиям:

IIЛН>0, ||6А|| = 6||А||, ||А + В||<||А|| + ||В||,

||АВ||<||А||[|В||,'(1.49)

в которых к — произвольное неотрицательное число; В — любая ненулевая матрица, имеющая ту же размерность, что и А.

Обычно применяются следующие три просто вычисляемые нормы: IIA ||m = max SI а</1(т — норма);(1.50)

|| А ||< = max 21 сщ |(/— норма); • (1.51)

II ^ II* = У SI «</ Р(6 — норма).(1.52)

Для определения /n-нормы следует вычислить суммы модулей каждой из строк матрицы и из полученных чисел взять наибольшее.

Для определения /-нормы следует вычислить суммы модулей столбцов матрицы и из полученных чисел взять наибольшее число.

Последняя 6-норма представляет собой корень квадратный из суммы квадратов модулей всех компонент матрицы.

Пример. Вычислить т, I и 6-нормы матрицы

1

— 2

3

4

А =

Имеем ’ ,

IIА||т = 7, ||А||1 = 6, ||А||* = УЗО®5,5.

Для вектора-строки

=*1 Ха • хя

указанные три нормы имеют следующие значения: Н*11« = 1*11 + |*а| + «-« + |^|; ||x||i = max(xi|,

II х ||* = УКР + |хар+...+|х„р.

Для вектора-столбца

х =х =

х =

х =

соответственно имеем

-IPJCIU = maxIл»I, ||^||z==|JCi[ + |*al + --- + |.r4

Для единичной матрицы Е порядка п нормы равны

,, ‘ ||£||„ = 1, ||£||/ = 1, ||£||6 = 1^Г.

Некоторые понятия из рядов матриц. В теории матриц доказывается,' что можно вводить в рассмотрение матричные ряды

ул^ьу^,(1.53)

где Лй — матрицы одного и того же порядка.

Если предел (1.53) существует, то матричный ряд называется сходящимся, а полученная в пределе матрица называется суммой ряда. Так, под матрицей е* понимают сумму ряда, членами которого являются матрицы Е, X, ^у X? и т. д., т. е.

■.^-S-xr'<L54>

№•=0v

Другими примерами могут служить матричные ■ ряды:

sin(M) = M — ^Л’ + Ал*-...,(1.55)

cos(M) = £--£-Л*+-£-44-----О-56)

Формулы (1.54), (1.55) и (1.56) имеют смысл для любых квадратных матриц, включая и особенные. .

Пример. Вычислить матрицу 1

■ В —sin(M),

ккесли

к

к

Легко установить, чтоЛегко установить, что

Легко установить, что

Легко установить, что

ПоэтомуПоэтому

Поэтому

Поэтому

, 11 .01, 11 .01B = tB = t130113013!3!150' 1150' 15!5!

, 1

1 .

0

1

, 1

1 .

0

1

B = t

B = t

1

3

0

1

1

3

0

1

3!

3!

1

5

0

' 1

1

5

0

' 1

5!

5!

Следовательно,

11 /‘0111 /‘01sinsinsin//cos/0sin /sin//cos/0sin /

1

1 /

‘0

1

1

1 /

‘0

1

sin

sin

sin/

/cos/

0

sin /

sin/

/cos/

0

sin /

При вычислениях часто встречаются матричные ряды вида

(1:57)(1:57)В = £ + А + А8 + ... = 2 Л*'

(1:57)

(1:57)

Можно доказать, что, если какая-либо из трех норм матрицы А меньше единицы, т. е. || А ,|| < 1, то ряд (1.57) сходится, причем

' 2 А* =(£^А)“‘.'

(1.58)

ААПример. Вычислить' Матрицу -'

А

А

0,4

0,4

, 0

0,4

к , ,

В=^

6=0

Поскольку |]A||m = 0,8 < 1, то

Понятие о положительно определенных матрицах. При изучении свойств линейных уравнений важную роль играет понятие о положительно (отрицательно) определенных матрицах.

Матрица Л называется положительно (отрицательно) определенной, если при любом векторе х скалярное произведение Ах • х неотрицательно (неположительно). Тик, если

:Ахех>0(1.59)

при любом векторе х, то матрица А — положительно определенная, если же■

ЛхехСО,(1,60)

то матрица А отрицательно определенная.'

Если матрица А имеет только действительные компоненты, то можно доказать, что. .

(1.61)(1.61)Ахех = хеА'х,

(1.61)

(1.61)

где А' — транспонированная матрица.

ГЛАВА ВТОРАЯ. КОНЕЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

§ 1. Некоторые определения

Конечными принято называть уравнения, которые можно записать в форме:,.

/^ (xp x^t..., Хд) — 0, _*

■' /а(х1,х2,...,х„) = 0,.,

'(2.1)

'fm(x1,x2,...,x„) = 0.-

Решением такой системы уравнений называется любой набор чисел Хц хг, ...» хп (их часто называют корнями системы), при котором каждое из уравнений будет удовлетворено. Если такого набора не существует, система называется противоречивой, а в противном случае — совместной.

Важным классом конечных уравнений являются линейные алгебраические уравнения:'/.

414 + °1Л 4 ■.. * + QinXn + bx = 0,/

-а.^ + а22х2 + ... + аяпХп + 6а = О,

;• • •(2.2)

Cml-^i 4" ОтаХа 4" • • • 4" «тпХп "V Ьп = О, где а1} и ^ — некоторые постоянные..

При m = п и определителе .

®Иа1й • • • «1»

det А = Д =

Сз^ОзЗ . .. Oto

Ол1Оп2 < • • &пп

отличном от нуля, линейная система называется определенной; при т <п — недоопределенной, а при т> п — переопределенной.;.

Система конечных уравнений (2.1). может быть записана короче в .виде '

/W = 0,.■(2.3)

где х— вектор с компонентами хп х^, .... хп. „'

При исследованиях, связанных с нахождением решений конечных уравнений, важную роль играет матрица,

д/1 дхх

d/i дх? ■

•

9к йх„

дк. dxi ’

А дхз

•

Мз_ дхп

•

•

dxt

8

дхз

dfm ' дхп

называемая якобианом. ,1• ■

Пример. Определить якобиан системы уравнений -/1 (^.<1, А) = 4 4- ^ — 2аг^з — 0,1 = О,

. ./а(х1,.х2,Хд)^Х2 —х|4-Зх1х34-0,2 = 0;

' ■/s(x1,xa,x8) = 2xixa+xs4-x| —0,3==0.

Имеем

1 + 2хг

— 2лз

-2х.

Зх3

1—2х»

2дса

2*1

1 +2*з

Для линейной системы (2.2) якобиан, очевидно, равен матрице коэффициентов аи.

§2. Общие идеи иетедев решения конечных уравнений

Различные методы решения конечных уравнений можно подразделить на точные и приближенные. К точным относятся методы, которые позволяют получить решение за вполне определенное число шагов.■.

Примером может служить метод последовательного исключения неизвестных. Некоторые точные методы применительно к линейным уравнениям будут изложены в следующем параграфе..

Приближенные методы связаны с выполнением последовательных приближений для так называемых уравнений с уклонениями.

Если в систему конечных уравнений (2.1) вместо неизвестных хъ ххп подставить какой-либо набор чисел х$6), х^1, ...,Хп6), то в правых частях вместо нулей получатся уклонения (невязки, ошибки, рассогласования) ef6>, е^, ..., е^-

fY (х<6>, х^\..., х^) = в^>,.

'/2(^>,Х^,...,^)) = 8(Ч.

.(2.5)

Все приближенные методы нахождения решений конечных уравнений можно подразделить на две большие группы, а именно: на итерационные методы и методы минимизации.

Общая идея итерационных методов (мы будем рассматривать их для случая, корда т = п) заключается в трм, что действительные значения величин л^, х2, ..., хп, удовлетворяющие системе

находят по выражениям вида

(2.6)(2.6)вели-вели-^+» - ^) - cw (^)е^) + g<^8^) + ... + ^bW), .4*+0 = XW _ С^ ^8W + g^W + ... + gW^,

(2.6)

(2.6)

вели-

вели-

^+°‘= 4ft) -cw mk>+w +'.. ’+«>. где cw — некоторый числовой множитель, a gW — функции чин x^h\ x)£\^.

Вводя в рассмотрение векторы я, в и матрицу Gv

X =

*1

, 8 =

81

, G =

Su

8»

•

Sin

, (2.7)

ч

в»

Sal

8ю

*

San

•

•

•

•

•

•

Хп

еп

Sui

Sna

*

8nn

систему (2.6) можем записать короче следующим образом: x(*+i) = х№ — CfcG(fe)B<k>. (2.8)

Различные методы вычисления х^1) по формуле (2.8) отличаются друг от друга только выбором числового множителя с и матрицы G. Задаваясь некоторым вектором х<0) в нулевом приближении, определяют вектор х*’) в первом приближении. Затем по вектору xt*) находят вектор х*2> во втором приближении и т. д. Если процесс вычислений сходится, то при достаточно больших номерах к векторы х<*+1> будут примерно равны векторам х№. Иначе говоря, вычисления начнут повторяться (iteration (лат.) — означает повторение). При с * 0 и неособенной матрице G это будет означать, что вектор уклонений в стремится к нулевому, а вектор х— к своему значению, определяемому системой (2.1).

Несколько иная идея лежит в основе различных методон минимизации. При применении этих методов сначала образуют некоторук, функцию (М)

которая обращалась бы в нуль при в = 0, т. е. при 8^ = в2 = ...= — в„ = 0. После этого в формулу (2.9) подставляют выражения (2.5) для невязок и получают функцию вида

• |1«Ф(х1,ха,...,х<|). (2.10)

В дальнейшем процесс вычислений заключается’в последовательном (поочередном) изменении хъ х2, ...,хп так, чтобы величина |р| стремилась от шага к шагу или к нулю, или к минимуму, если, например, система (2.1) противоречива.

Точным" методы рошоннядлмнойным уравноннй

Пусть имеется система линейных уравнений1

У-Ах,(2.11)

в которой А — неособенная квадратная матрица; у — заданный вектор; х — искомый вектор.

В этом случае

х = А-ху.(2.12)

Таким образом, решение линейной системы уравнений может быть получено как произведение заданного вектора у на обратную матрицу А-1. Компоненты последней находятся' по правилам, изложенным в первой главе.

Не всякая система линейных уравнений имеет решение или имеет только одно решение. Так, например, система

l,5xt + Зх2 = 4,5, 2х, + 4х2 = 5 не имеет ни одного решения; система 2х^ + х2 = 3, Xi + х2 = 2 имеет единственное решение хх = 1 и х2 = 1; система же

Xi + 2х2 = О, 2xt + 4х2 = О имеет бесконечное множество решений ^ = 26, х2 = — 6, где к — любое число.'

Для неособенных матриц система уравнений всегда имеет решение и притом единственное.

Более удобным, чем определяемый (2.12), является метод решения, основанный на так называемых обыкновенных жордановых исключениях. Изложим этот метод.

Запишем заданную систему уравнений условно в форме

*i

*е

Х3

хп

Ян

а»

<hs

“1Л

У» =

a8i

Сее

<Чз

°1п

(2ЛЗ)

Уг =

“п

°п

Sts

«ГП

Уп —

°ле

Япз

°пп

Шагом жорданова исключения для элемента ars #= 0 называется переход от этой системы уравнений к другой, равносильной, отличающейся тем, что в ней переменные ут и xs поменялись местами. Это соответствует, очевидно, разрешению r-го уравнения относительно s-ro неизвестного. Преобразованная система имеет вид:

3333

33

33

Для того чтобы сделать одно жорданово исключение для r-ой строки и s-ro столбца, следует выполнить следующие операции:

разрешающий элемент заменить единицей;-

остальные элементы разрешающего столбца оставить без изменения;,■

в остальных элементах разрешающей строки изменить знаки;

элементы, не принадлежащие разрешающим строке и столбцу заменить на элементы, вычисленные по формуле .

Ьу = »уаге — at^rj Ц Ф г, / Ф s); .(2.15)

все элементы новой матрицы разделить на разрешающий элемент От* Ф 0.•

Для решения заданной системы уравнений необходимо сделать п жордановых исключений так, чтобы заменить все заданные переменные уъ ..., уп на неизвестные хгхп. .

Поясним решение линейных уравнений по методу жордановых исключений на примере.''

Пример. Пусть '■

з Г. Е. Пухов

6, заключен6, заключен1?1 "— 221^23* 0'^м6331?1 "— 221^23* 0'^м633*1 =*1 =6,6,Уг =Уг =Уз =Уз =

6, заключен

6, заключен

1

?1 "

— 2

2

1

^23

* 0

'^м

633

1

?1 "

— 2

2

1

^23

* 0

'^м

633

*1 =

*1 =

6,

6,

Уг =

Уг =

Уз =

Уз =

Выполняя жорданово исключение для элемента Оц

ного в квадратик, получим

где

,,йи = 3.6—"(— 1).2 = 20, Ц — Ьб — 2'2 = 2,

- ■^=4-6-

’Подставив значения

' Выполняя теперь жорданово исключение Для -у, получим

Сделав, наконец, третье жорданово исключение, придем к искомому решению - , i';..- '

til tie tie

И 92

13

92

7 92

10

30

2

92

92

92

8

24

20

92

— 92

92

Этот результат, очевидно, в точности соответствует обратной матрице, полученной в примере п. 6, § 3, первой главы.

На практике широко известен метод Гаусса, который несущественно отличается от метода жордановых исключений и состоит в , следующей.

Заданную систему уравнений записывают в виде

Хх X* Xs хп 1

«и

аи

ащ

— tii

«а

О 22

°е$

°*n

— tie

ап

ащ

°rs

°rn

— tir

Ofll

Опа

° ns

'Onn

— tin

и затем производят последовательно п жордановых исключений с разрешающими столбцами, отличными от столбца свободных членов уъ .... ут вычеркивая после каждого шага разрешающий Столбец.

Поягним сказанное на примере.

1

1

И

0

-1

2 ,

3

/

3.

1

4

3

Пример. Решим методом Гаусса систему 'X; Xj /

0= 0 = 0 =

Произведя жорданово исключение для первой строки и третьего столбца и вычеркивая последний, получим

V

Аналогично для второй строки и второго столбца

Наконец, для третьей строки и первого столбца

Отсюда

xt = 0, ха = 1, х3 = — 1.

Определение еоботвенных чисел мптрнц При исследованиях, связанных с решением уравнений итерационными методами, важную роль играют собственные числа матриц.

Задача нахождения собственных чисел заключается в нахождении таких чисел X, которые удовлетворяют системе уравнений

Ах=Хх(2.16)

или в развернутом виде'

0цЛ1 4- 012^2 4" • • • 4" «1Л ^ Ххх,,

ая-i.i^i + a„-i,2Xa + ... + ап-1.пХп = Хх„_ь ' (2.17) 'ащхг + а„2Ха + . f. + йздХп = Хх„.

Собственные числа ХхХ„ могут быть вещественными, мнимыми и комплексно-сопрядсенными.

Если матрица Л симметричная и положительно определенная, то ее собственные числа всегда вещественны. Эффективным Методом определения собственных чисел в случае, если известно, что они вещественны, является метод остатков, который заключается в следующем.,

Задаваясь хх = хх, где хх Ф 0, находят зависимость уклонения а„ от X:

ел =. a„ixx 4- а^ха + . t. + (алл — X) х„ = e„ (X)(2.18)

путем решения при различных 1 первых п — 1 уравнений (2.17) относительно ха, х8, .... х„ и подстановки получающихся значений в уравнение (2.18). Значения Ац, Ха, ..., Хя, при которых функция ей (X) обращается в нуль, представляют искомые собственные числа матрицы А.

При необходимости знать только максимальное по модулю собственное число, в случае симметричности и положительной определенности матрицы А можно воспользоваться методом, известным еще Стодола. Согласно этому методу строятся последовательные приближения для вектора х при помощи выражения

x^+D = Лх^(2.19)

до тех пор, пока отношения х^+ч/х^, где А — номер приближения для i-ой компоненты вектора х не будут приблизительно постоянными. Искомое максимальное собственное число при этом равно

U*+l)'Х(*+П

^®ах** ,№"й) .(2.20)

*1*п

Пример. Определим собственные числа матрицы

33

16

72

— 24

— 10

— 57

— 8

— 4

— 17

методом остатков. Составляем вспомогательные уравнения

. 16ха 4- 7 2х8 — (— 33 -{- А) ха,

— (10 4- А) ха — 57xs = 24jq,

— 8хг — 4ха — (17 4- А) х8 = б8.

Решая первые два уравнения относительно ха и х8 и подставляя последние в третье уравнение, получим

в,(А) —’2(51 —m)4-(17 + A)(54 —23А + А.«)'

.. —.192—m■

Задаваясь теперь различными значениями А, устанавливаем', что правая часть принимает нулевые значения при А^ = 1, Аа = 2 и Kg = 3. Это и будут собственные числа заданной матрицы.

'37

§ 6. Итерациаииые матады решения лииайных урааиаиий '.

Рассмотрим метод простой итерации, метод Некрасова, метод скорейшего спуска и, наконец, метод Хоттелиига. Первый метод часто применяется на практике, второй и четвертый имеют особое значение при построении различных моделирующих устройств, а метод скорейшего спуска часто применяют в случае, когда нельзя воспользоваться первыми методами.

В методе простой итерации уравнения

,,Л^ = /(2.21)

сначала заменяются равносильными уравнениями вида

j * х = ах + Р,■(2.22)

где а — квадратная матрица и Р — вектор, а затем производятся вычисления согласно выражению'-

Л^+» = ах^ + р, к = 0,1, 2 .(2.23)

где к — номер приближения.

Пример.. Определить приближенные значения Xi и. ха для системы уравнений'

2х^ + 0,4х2 =• 1,6,■

-^i + Зх2 = — 2.*

Приводим эту систему к виду (2.22). Имеем

хг = — 0,2х2 + 0,8,1

ха = — 0,333л:! — 0,667.,

Задаваясь теперь ^ = л^°> = 0, получаем в первом приближении■- .

^0 = — 0,2.0 + 0,8 = 0,8,х

'4‘> = _0,333-0 — 0,667 = — 0,667. • • ■

Во втором приближении- .

^2) = _ о,2 - (— 0,667) + 0,8 = 0,933,

^2) = _ 0,333-0,8 — 0,667 = — 0,933.

Дальнейшие итерации выполняются аналогично. Точные значения л^ и ха, очевидно, равны хг = 1, ха = —1.

Для сходимости вычислений по методу простой итерации необходимо и достаточно, чтобы собственные числа Хй матрицы в, определяемые выражением

det (а —ХЕ) = 0,(2.24)

были по модулю меньше единицы (|Xft]< 1).

В нашем примере

а =

0

— 0,2

, det(a —Х£) = Х0,2 =0.

— 0,333

— 0,333

0

Отсюда 1^1 = | Аа | ~ 0,26 < 1.,

Достаточным признаком сходимости вычислений для рассматриваемого метода является условие '.

(2.25),

где J о || — любая из норм матрицы о. Действительно, в этом случае

x(fc+i) — a(fc+Dx(0) + (£ + а + а2 + ... + а6) р.

Очевидно, что первый член этого выражения при || а || < 1 стремится к нулю, а второй к (£ — а)~*р. Поэтому в пределе

х = (Е — а)-*Р,'

что и дрлжно быть.

Рассмотрим теперь метод Некрасова. Этот метод заключается в поочередном определении хь х2, ..., хп из уравнений'

' аН^1 Н~ ^IS^S + • • • + QlnXn — f1 = 8lf

а21хх + а22х2 + ... + агпХ» — h = 8g,(2.26)

СщХ^-^- Оп2Хй + ... + QnnXn — tn = 8д■

так, чтобы поочередно же обращались в нули невязки ег, е2, .... е„.

Пусть перед началом вычислений в качестве начальных были взяты числа jq = х1(о), ..., хп =-x^. Тогда первый цикл вычислений будет соответствовать определению уточненных значений х1г.., х„ по выражениям: •-

fi — (“ig^p) +. •. + Д^псо))

(2.27)(2.27)„ fa — (Д21*Ц1) + Д23*3(0) + • • • + aan*nw> ^

(2.27)

(2.27)

^Ж1) =^Ж1) =fn — (Д«1*1(1) + an2*2(l) + • • • + Дд,д—4хд—1(1) + алпхп(0))

^Ж1) =

^Ж1) =

Второй и последующий циклы вычислений выполняются аналогично!..‘

Для выяснения условий сходимости метода Некрасова достаточно заметить, что он эквивалентен методу простой итерации:

•^^^ = B-xGxw + BTxf. *(2.28)

з?

Матрицы В и С имеют вид

•.

011

0

0

0

0

— 018

—Ощ

в =

«а

Ом

0

0

с —

0

0

•

— О1л

(2.29)

•

•

•

•

0

0

0

•

ОЯ1

One

-

Одл

0

0

0

0

где aZy — компоненты матрицы Л = В — С.

Из рассмотрения (2.28) следует, что процесс вычислений по методу Некрасова будет сходиться, если собственные числа Хк матрицы a = ВТ1 С, определяемые из уравнения

det | В~*С — АВ | = О,.(2.30)

будут по модулю меньше единицы. Достаточным признаком сходимости является равенство числу, меньшему единицы, любой из норм матрицы В~'С.■

Метод простой итерации и метод Некрасова обладают тем недостатком, что процесс вычислений при применении их не обязательно сходится. В связи с этим были разработаны итерационные метода решения, обладающие неизбежной сходимостью. Одним из таких методов является метод скорейшего спуска.

Для получения решения системы линейных уравнений по методу скорейшего спуска необходимо выполнить следующие операции:

задать начальное решение х<°> и определить соответствующий ему вектор уклонений

■eW = AxW — f; ,

умножить вектор е<°> на транспонированную матрицу А', т. е. найти вектор Л'е<0>;

вУ полученный выше вектор умножить на матрицу Л, т. е. найти вектор ЛЛ'е<°>;,

г) найти параметр с<°) по выражению.

в^еЛЛ^0» .■

- д) найти следующее уточненное выражение вектора х<*>:■ x<D = Х«» — С<0>Л'8«».

В дальнейшем вычисления выполняются аналогично до тех пор, пока на некотором шаге N не будет ^1« #N—^..

П р и не pi Решить методом Скорейшего спуска сйстему уравнений • • <\,

.^.+ ^ = 2,)\,

'2хх— х2 = 1, j ',-

имеющую точное решение ^ = х2 = 1.'

Составляем уравнения для определения уклонений;

,' 8Х = Хх + х2 —■ 2/\

,82 = 2х1 — х2 — 1./

Задаем ^ = х<°> = 0. Тогда отдельные, рассмотренные выше>

Второй цикл начинается с вычисления уклонений ' ',е<*> = х<*) + х<*> — 2 = 0,9 + 0,22 — 2 = — 0,88,'

е«> = 2x<0 — 4‘> — 1 = 2.0,9 — 0,22 — 1 = 0,58 - и затем продолжается вполне аналогично первому циклу.

Рассмотрим теперь метод Хоттелинга. Метод этот обладает очень быстрой сходимостью. Основан он на предварительном определении каким-либо путем приближенного значения матрицы L«A~*, обратной А. Располагая матрицей L, можно проводить процесс вычислений по формуле

a++D = xW _ L (ЛаЯ — h.(2.31)

где к — номер приближения.•

' Быстрая сходимость процесса объясняется тем, что в данном случае норма матрицы о:..

\||а|) = )|£-£Л||«1(2.32)

, представляет величину значительно меньшую единицы, так как при близости L к Л-1 матрица LA~X мало отличается от единичной.

§6. Приведение линейных уравнений и виду, при кеторем воамежно решение их методемн простой итореции и Некрасове

Для того чтобы процесс вычислений по методу простой итерации сходился,, необходимо и достаточно, чтобы собственные числа матрицы о в уравнении '

х^+О = сиЯ + 0,'(2.33)

где к — номер приближения, были по модулю меньше единицы. - Приведение системы линейных уравнений общего вида ■

Ах = f(2.34)

к виду уравнений (2.33) с матрицей а, все собственные числа которой по модулю меньше единицы, может быть осуществлено несколькими способами. Рассмотрим некоторые из них.

Умножая обе части уравнения (2.34) на транспонированную матрицу А* н составляя равносильное уравнение

■ х = х + (1 (Л7 — АА'х) = (Е — цЛ'Л) х + цЛ7, (2.35) где р, — некоторый достаточно малый числовой множитель, видим, что в этом случае'

■ а = Е — рЛ'Л, 0 = цЛ7.(2.36)

Легко показать, что все собственные числа полученной таким путем матрицы4 о по модулю меньше единицы. Действительно, составляя характеристический определитель

. . det | а — ХЕ | = det | Е — рЛ'Л — ХЕ ] = | т]Е — рЛ'Л | = 0, (2.37)

где т) = 1 —-,Х; и обозначая.

'^^J-^1^’.<2‘38>

можем вместо выражения (2.37) написать

|Л'Л —ХЕ|=0.(239)

Матрица Л'Л, очевидно, симметричная и при det Л + 0 положительно определенная, следовательно, корни X по модулю меньше единицы. Благодаря этому выполняется' неравенство

|1-Х|_<ц,(2.40)

где X, как и выше, корни матрицы а, вычисленной по формуле (2.36). Очевидно, что величины X могут быть сделаны меньше единицы, если числовой множитель р выбрать достаточно малым. Это и требовалось доказать..

Другой способ приведения уравнения Ах = f к требуемому, виду основан на замене его эквивалентной системой

'AA'y = L(2.41)

/ А'у = х,(2.42)

где у — вектор вспомогательных неизвестных, который можно получить путем реализации итерационного процесса по выражению

^»+П = (Е — рЛЛ') ^) + pf,(2.43)

выбрав числовой множитель р достаточно малым. Затем, зная вектор у, можно определить искомый вектор х по формуле (2.42).

Обратимся теперь к приведению уравнения Ах = f к такому виду, чтобы можно было применить метод Некрасова.

Известно, что метод Некрасова сходится, если в уравнении Ах = f матрица, Л- симметричная и положительно определенная. В уравнении (2.41) роль матрицы А играет-матрица АА', которая, очевидно, симметричная и положительно определенная. Поэтому вектор у может быть определен непосредственно по уравнению (2.41) методом Некрасова, а вектор х определяется после этого, как и выше, по выражению (2.42).

Из того, что-метод Некрасова применим к системе Ах = f тогда, как матрица А симметричная и положительно определенная, еле-, дует, что если матрица А не удовлетворяет этому требованию, то для определения х данным методом можно воспользоваться равносильной системой•

•' Bx — F,(2.44)

положив'.

В = А*А и Е = A'f. •(2.45)

§ 7. Решение линейных уравнений методами минимизации'

Наиболее распространенным из методов минимизации является метод, называемый методом минимизации суммы квадратов уклонений (иевязок). Идея этого метода применительно к определенной системе линейных уравнений n-го порядка заключается в том, что неизвестные хххп находятся при помощи функции

■ р = р(хх,... ,Хп) = 2 е2 = 2 (2 auXi — fiY (2.46) ,Z=1Z=1 \/=1/

путем поочередного изменения Хц ..., х„ таи, чтобы функция р уменьшалась от шага к шагу и, наконец, приняла нулевое значение. То, что при этом получится решение, соответствующее системе линейных уравнений ,.■

" 2 Oz/Х/ = апХ! + апхг + ... + CznX„ = fz, t = 1, 2n, (2.47) /=i

видно из выражения для минимизируемой функции, так как р может иметь нулевое значение только тогда, когда каждое из слагаемых, заключенное в скобки, имеет нулевое значение.

Пример. Решить методом минимизации суммы квадратов уклонений систему уравнений

■хх + 2х2 = О,

Зхх —- х2 = 7.

Имеем.

Р = Р Сч» х^ = (хх + 2ха)а + (3Xi — х2 — 7)2.

Процесс минимизации р произведем следующим образом. Зададим сначала некоторые значения неизвестных ,хг = х^®* и х2 = = ^ и вычислим соответствующее значение р = р0- После этого, оставляя неизменным х2 = х^, начнём изменять хх так, чтобы функция р = р (х1( х®)) приняла наименьшее значение. Пусть при этом новое значение хх будет хг = xj1', а р = рх < р0. Далее, оставляя неизменным х^ = х}*>, начнем изменять х2 так, чтобы функция р = р (х*/), х2) приняла минимальное значение р = р2 < рх. Новое значение х2 будет х^). На этом заканчивается процесс перехода от значений неизвестных в нулевом приближении хх = .х^, х2 = х<»> к значениям хх = х*1), х2 = х^ в первом приближении. Все последующие вычисления производятся аналогично до т^к пор, пока функция р не примет нулевое значение. Если в нулевом приближении принять х<®> = х£®> = 0, то процесс иахояаде-

ния точных значений неизвестных будет характеризоваться следующей таблицей:

к

0

1

2

■ 3

4

0

2,1

V

2,01

2,01 ’

х»

0

0

— 0,93

— 0,93

— 0,998

Р

• 49

4,9

1,41

0,04

о'

в которой к означает номер шага вычислений. Точные значения неизвестных: ^ = 2 и х2 = -1.1.

Процесс вычислений по методу минимизации суммы квадратов уклонений обладает неизбежной сходимостью. Покажем это. Очевидно, что процесс минимизации функции р соответствует решению следующей системы линейных уравнений:

' ■ли n п'

дхг=2 2 2ап ^'^—^=0>

-^- ==(2.48)

:i~д^ = 2 2 2^ ^l*1 ^) = 0

по .методу Некрасова. Кратко эту систему можно записать следующим образом:

: ;|.^_ = Л'(Лх-/) = 0. ,(2.49),

()тсюда

(2.50)(2.50)А'Ах = A'f.

(2.50)

(2.50)

Ранее уже было показано, что процесс решения такой системы/ уравнений по методу Некрасова обладает неизбежной сходимостью. Следовательно, процесс минимизации суммы квадратов уклонений тоже сходится неизбежно. -

Распространенным методом минимизации является метод минимизации суммы модулей уклонений. В этом случае минимизируется функция ' - * ’

(2.51)

Легко видеть, -что нулевое значение функции р возможно лишь при условии обращения в нули всех уклонений, а это будет, если

в формулу (2.61) подставить точные значения неизвестных xtr соответствующие уравнению Ах = f. ''

, Следует, однако, заметить, что этот метод, в отличие от метода 'минимизации суммы квадратов уклонений, не обладает неизбежной сходимостью. В процессе вычислений возможно появление такого набора значений неизвестных Xi, ..., х„, при котором Попытка изменения любого из нйх ведет не к уменьшению,. а к увеличению суммы модулей уклонений.'

Подобным же недостатком обладает метод минимизации максимального уклонения, при котором минимизируемой является функ

(2^2>(2^2>ция.

(2^2>

(2^2>

ц = шах | ez | = max | у a^Xf — fj './=i

При появлении в процессе вычислений такого набора неизвестных х^, ..., хл, при котором модули всех невязок )в!|, ...» |йп| окажутся одинаковыми, дальнейшая минимизация р, путем Поочередного изменения неизвестных так, чтобы функция р уменьшалась от шага к шагу, будет уже невозможной. ■

В связи со сказанным, методы минимизации суммы модулей уклонений и минимизации модуля максимального уклонения имеют ограниченное применение и в общем случае могут использоваться лишь в сочетании с другими методами. ■ х

Специальные н бельщие снетемы Линейных уравнений

В прикладных задачах часто встречаются линейные уравнения» матрицы коэффициентов которых имеют много нулевых значений» уравнения с числом неизвестных больше или меньше числа уравнений, а также уравнения с настолько большим числом неизвестных,, что непосредственное применение имеющихся вычислительных средств не позволяет их решать непосредственно не прибегая к подразделению заданной большой системы уравнений на какие-либо подсистемы..1

В данном параграфе будут рассмотрены методы решения переопределенных и недоопределенных систем уравнений, уравнений с ленточной структурой и некоторые методы, связанные с разбиением заданных систем уравнений на ряд подсистем.

Рассмотрим сначала случай переопределенной, вообщё говоря» несовместной системы уравнений, когда число неизвестных меньше, чем. число уравнений. Другими словами, будем рассматривать несовместную систему уравнений вида .-

, Оц^ + аиха + ... + ainXn = /v (2.53)

dmlX^ + йщйХй "b • • • 4" QmnXn = /m,когда m > n.■., :

Поскольку система несовместна, то найти такой набор неизвестных хр х„, при котором бы удовлетворялись тождественно все уравнения, не представляемся возможным. Поэтому естественным является разыскание таких значений неизвестных, при которых минимизировались в определенном смысле получающиеся при этом уклонения ех, ..., е„:

81 — ^11*1 4". <712*2 + • • • 4" О1п*п — f^,,

.. (2.54}

8m — Oml*i 4" 0m2*a 4" • • • 4" QmnXn — fm*

Обычно неизвестные находят из условия минимума суммы квадратов уклонений. .Процесс получения соответствующего набора чисел *i, ..., хп ничем не отличается от рассмотренного выше процесса вычисления в случае определенной системы уравнений, когда m = п за исключением того, что минимизируемая функция m m / л .\2

, Р- = 5 е! = 2 12 aHxi— ft(2.55}

Z=1: t=l \/=l/

теперь уже не будет принимать нулевое значение.

*1*л*1*л«11«21•«ml°18Ogg•«m2•••*«1л«2Л■amn«11«21•«ml°18Ogg•«m2•••*«1л«2Л■amnЛ'Ах =Л'Ах =«11«12•а1п«21Ogg•Яап••••«mlата°тп«11«12•а1п«21Ogg•Яап••••«mlата°тп«иOgi•«mi«12«22•«m2••••«1л«2Л ’«тл«иOgi•«mi«12«22•«m2••••«1л«2Л ’«тлA'f =A'f =fl-fa—.■ (2.56)•' fmfl-fa—.■ (2.56)•' fmМы видели, что решение системы линейных уравнений путем минимизации .суммы квадратов уклонений эквивалентно решению исходной системы уравнений, предварительно умноженной на транспонированную матрицу А'. Поэтому требуемые значения неизвестных в переопределенной системе уравнений (2.53) могут быть получены путем решения уже совместной системы уравнений:.

*1

*л

*1

*л

«11

«21

•

«ml

°18

Ogg

•

«m2

•

•

•

*

«1л

«2Л

■

amn

«11

«21

•

«ml

°18

Ogg

•

«m2

•

•

•

*

«1л

«2Л

■

amn

Л'Ах =

Л'Ах =

«11

«12

•

а1п

«21

Ogg

•

Яап

•

•

•

•

«ml

ата

°тп

«11

«12

•

а1п

«21

Ogg

•

Яап

•

•

•

•

«ml

ата

°тп

«и

Ogi

•

«mi

«12

«22

•

«m2

•

•

•

•

«1л

«2Л ’

«тл

«и

Ogi

•

«mi

«12

«22

•

«m2

•

•

•

•

«1л

«2Л ’

«тл

A'f =

A'f =

fl

-

fa

—

.■ (2.56)

•

' fm

fl

-

fa

—

.■ (2.56)

•

' fm

' Пример. ' Решить несовместную систему уравнений

'Хх + х^О,z

Х1 + 2ха= —1,

■Зхх -|- х2 -— 3.

Имеем

11123111123188Вычисляя, получимВычисляя, получим11'б66 •11'б66 •11

1

1

1

2

3

1

1

1

1

2

3

1

8

8

Вычисляя, получим

Вычисляя, получим

11

'б

6

6 •

11

'б

6

6 •

1

1

или

11хх + 6X2 = 8, '6хх + 6х2 = 1.

Отсюда Xj = 1,4 и х, = —1,23. Сумма квадратов уклонений Н = (^i + хаУ + (хх + 2х2 + I)2 + (Зхх + х2 — З)2 получается равной ц я# 0,033. Любой другой набор чисел хх =# ^ 1,4 и х2 i —1,23 дал бы бдльшее значение функции р. • ■ Решение переопределенных систем уравнений методами минимизации суммы модулей уклонений и минимизации модуля максимального уклонения -возможно, но только до получения первого частного минимума.

Перейдем теперь к решению недоопределенных систем уравнений вида (2.53), когда число уравнений меньше числа искомых неизвестных (т < и).

' Недоопределенная система совместных линейных уравнений обычно имеет бесчисленное множество точных решений. Находить их можно, задаваясь произвольно значениями п — т неизвестных и решая оставшуюся систему из m уравнений с т Неизвестными одним из . рассмотренных выше , методов решения определенных систем уравнений. Это всегда возможно сделать, если определитель системы m-го Порядка отличен от нуля.

1 Другим методом нахождения одного из решений совместной системы недоопределенной системы линейных уравнений является

метод, основанный на замене исходной системы уравнений Ах = f равносильной вида -•■,•

'AA'y = f, х = А'у. .(2.57)

Пример. Найти решение системы уравнений

,'^ + ха + Xg = 1,'

*1 — х8+2х, = — 4, пользуясь выражениями (2.57).,.

Имеем

■Xj = 0, ха = 2, х8 = — L .

Рассмотрим теперь н решим так называемые ленточные итра- пецоидальные уравнения. •'

Ленточными называются уравнения, квадратная матрица коэффициентов которых при помощи перестановок строк и столбцов может быть приведена к виду ..

Обобщением ленточных являются трапецеидальные уравнения. Матрицу таких уравнений путем указанных перестановок можно представить в виде

В матрицах Лл и Лт светлыми оставлены области, в которых компоненты имеют нулевые значения.

Решение ленточных и трапецеидальных уравнений удобно производить методом определяющих неизвестных. Изложим этот метод на примере трапецоидальных уравнений вида ,

«11*1 + «12*2 + «18*3— /1»

«21*1 4" «22*2 4" «28*8 4* «24*4= /2>

«31*1 4" «82*2 4" «88*3 4" 084^4 4~«85*5 = f8, «41*14- «43X3 4- «43*3 4- «44*4 4- 045X5 = f4,(2.60)

«51*1 4" «52*2 4" ОвдХ» 4" aS4X4 4" «55*5 — fb.

Легко видеть, что если бы нам были известны хх и х2, то из первого уравнения мы могли бы определить х8, затем из второго — х4 и, наконец, из третьего — х6. Это обстоятельство позволяет выбрать Xj и ха в качестве основных (определяющих) неизвестных и найти их путем решения некоторой дополнительной системы уравнений и только после этого определить указанным образом остальные неизвестные.

Ввиду, линейности системы дополнительные уравнения должны иметь вид

^n*i4" ^12*3 4-^ = 0,^ эд)

^21*1 4" ^22*2 4~ ^2 = 0,

где Ьц и bt — некоторые постоянные, которые в принципе могли бы быть получены путем исключения из заданной системы уравнений всех неизвестных, кроме определяющих. Поэтому для определения постоянных Ьц и bt можно использовать то, что система уравнений ,,.

^ii*i 4" ^12*2 4~ Ьх = е4,,(2.62)

■^21*1 4- ^22*2 4- ^2 = 8s

и система

«18*8'= /1~ «11*1»

«23*8 4" «24*4= /2 «21*1 «22*2»

«88*8 4" «84*4 4" «38*5 ™ f8 «81*1 «32*2»

(2.63)(2.63)7» 4* а41Х1 4* ^42-^2 4" ^43X3 4" ^44X4 4" а46ХЬ — ®4>

(2.63)

(2.63)

/б 4" ОыХ1 4" ^62X2 4" аьз^а 4“ °МХ4 4" Ose^S — ®6» ' где е4 и вв — уклонения (невязки), равносильны.

Из рассмотрения этих равносильных систем уравнений следует, что для получения первого столбца коэффициентов дополнительных уравнений можно в уравнениях (2.63) положить хх = 1, х2 = 0, ft = f2 = f3 = f4 = fb = 0 и вычислить при этих условиях уклонения в4 и ев и тем самым коэффициенты Ьп = е4 и 621 = в6. Положив в уравнениях (2.63) х4 = 0, х2 = 1 и ft = f3 = f3 = f4 = = f6 = О, подобным же образом можем определить уклонения е4 и вв и тем самым коэффициенты второго столбца дополнительных уравнений, так как при этих условиях Ь12 = в4 и Ьм = в6. Коэффициенты Ьг и Ь3 определяются как уклонения в4 и ев из уравнений (2.63) при условии, что х4 = х3 = 0.

Таким образом, коэффициенты Ь^ и bt дополнительной системы уравнений (2.61) находятся без решения каких-либо систем уравнений.

Резрешив систему (2.61) относительно определяющих неизвестных хх и х2, остальные ■ неизвестные находим из первых трек уравнений системы (2.63).

Рассмотренный метод решения уравнений (2.60) очевидным образом распространяется на трапецоидальные и ленточные уравнения любого порядка. Следует заметить, однако, что для. систем высоких порядков может потребоваться выполнение вычислений с очень высокой, точностью. .

Дело в том, что если коэффициенты btj и bt дополнительной системы уравнений определить не достаточно точно, то неточно будут определены и основные неизвестные- (в разобранной системе хг и х2), и, как следствие, все остальные неизвестные. Поэтому в тех случаях, когда коэффициенты дополнительных неизвестных не могут быть определены достаточно точно, целесообразно видоизменить метод так, чтобы можно было последовательно уточнить получаемые результаты. Хорошие результаты дает метод, аналогичный рассмотренному выше (уравнение (2.31)) методу Хотте- линта. Согласно этому методу вектор определяющих неизвестных находится путем итераций по выражению ' 1 ;

х&'^х^- Я"1^, ' (2.64)

где В — приближенное значение матрицы коэффициентов btj дополнительных уравнений; к —, номер приближения; ХоПр — вектор определяющих неизвестных; в — вектор уклонений, вычисленный при помощи уравнений (2.63). .

Этот метод обладает очень быстрой сходимостью, так как поправки к вектору определяющих неизвестных находятся при помощи

обратной матрицы В 1, которая мало отличается от-точной матрицы ЕГХ коэффициентов дополнительных уравнений. Кроме того, в данной форме метод определяющих неизвестных оказывается вполне пригодным для решения систем ленточных и трапецеидальных уравнений высоких порядков.

Рассмотрим теперь некоторые методы решения больших систем уравнений, основанные на подразделении их на ряд подсистем.

По-видимому, наиболее известным является метод разделения матрицы Л системы Ах = f на клетки (блоки) с последующим получением в общем виде соответствующих расчетных формул.

Подразделяя, например, матрицу на четыре блока .

ЛцЛцЛ12Л12А =А =(2.65)(2.65)Ле1Ле1так, чтобы на диагонали оказались квадратные подматрицы Лп и Лаа, можем записать исходную систему уравнений в видетак, чтобы на диагонали оказались квадратные подматрицы Лп и Лаа, можем записать исходную систему уравнений в видеЛцХ! 4* ЛнХ2 — УуЛ^Х]^ 4* ЛааХа = УуЛцХ! 4* ЛнХ2 — УуЛ^Х]^ 4* ЛааХа = Уу(2.66)(2.66)где Хх, Х2, уу yt — векторы, получаемые очевидным образом из векторов хи/.Решая уравнения (2.66), легко получить формулыгде Хх, Х2, уу yt — векторы, получаемые очевидным образом из векторов хи/.Решая уравнения (2.66), легко получить формулыХх = ВцУ1 4“ В12у2,Ха = В21уг 4- ВддУз,Хх = ВцУ1 4“ В12у2,Ха = В21уг 4- ВддУз,(2.67)(2.67)в которые входят обращенные матрицы Ац меньших порядков, чем порядок матрицы А, а именнов которые входят обращенные матрицы Ац меньших порядков, чем порядок матрицы А, а именноВц — (Ли — Л1аЛг2 Лд) , В1а — — ВиА1аАм ,Вц — (Ли — Л1аЛг2 Лд) , В1а — — ВиА1аАм ,(2.67а)(2.67а)Применять эти формулы, естественно, возможно, когда входящие в них обратные матрицы не являются особенными.Пример. Решить систолу уравненийПрименять эти формулы, естественно, возможно, когда входящие в них обратные матрицы не являются особенными.Пример. Решить систолу уравнений

Лц

Лц

Л12

Л12

А =

А =

(2.65)

(2.65)

Ле1

Ле1

так, чтобы на диагонали оказались квадратные подматрицы Лп и Лаа, можем записать исходную систему уравнений в виде

так, чтобы на диагонали оказались квадратные подматрицы Лп и Лаа, можем записать исходную систему уравнений в виде

ЛцХ! 4* ЛнХ2 — Уу

Л^Х]^ 4* ЛааХа = Уу

ЛцХ! 4* ЛнХ2 — Уу

Л^Х]^ 4* ЛааХа = Уу

(2.66)

(2.66)

где Хх, Х2, уу yt — векторы, получаемые очевидным образом из векторов хи/.

Решая уравнения (2.66), легко получить формулы

где Хх, Х2, уу yt — векторы, получаемые очевидным образом из векторов хи/.

Решая уравнения (2.66), легко получить формулы

Хх = ВцУ1 4“ В12у2,

Ха = В21уг 4- ВддУз,

Хх = ВцУ1 4“ В12у2,

Ха = В21уг 4- ВддУз,

(2.67)

(2.67)

в которые входят обращенные матрицы Ац меньших порядков, чем порядок матрицы А, а именно

в которые входят обращенные матрицы Ац меньших порядков, чем порядок матрицы А, а именно

Вц — (Ли — Л1аЛг2 Лд) , В1а — — ВиА1аАм ,

Вц — (Ли — Л1аЛг2 Лд) , В1а — — ВиА1аАм ,

(2.67а)

(2.67а)

Применять эти формулы, естественно, возможно, когда входящие в них обратные матрицы не являются особенными.

Пример. Решить систолу уравнений

Применять эти формулы, естественно, возможно, когда входящие в них обратные матрицы не являются особенными.

Пример. Решить систолу уравнений

подразделив матрицу коэффициентов на блоки указанным образом. Воспользовавшись формулами (2.67а), получаем

— 0,4

— 0,6

+ 0,4

—

—

вп =

—

> ^12 —

—

, Вгх —

2

1

, s221

— 0,2

0,2

+ 0,2

—

Таким образом

*1 = — 0,4^ — 0,6/2 + 0,4/3,ха = -0,2/1 + 0,2/2 + 0,2/а,х8 = 2/1 + /2 + tv

Метод определяющих неизвестных, который был выше рассмотрен применительно к системам уравнений с матрицами ленточной и трапецоидальной структуры, можно распространить и на случай больших систем линейных уравнений общего вида. Поясним идею этого метода на примере уравнений, записанных в форме (2.66). Будем считать, что вектор Хг представляет собой вектор определяющих неизвестных. В этом случае уравнения с невязками имеют вид.

'^12^2 = #2 Vv ,(2 68)

Уз 4" ^21^1 4" АмХа ~ ®2-

Связи между определяющими неизвестными и невязками выражаются уравнениями■

ВХг 4- b = 83,(2.69)

где компоненты Ь^ матрицы В и компоненты bt вектора b находятся точно так же, как и в случае ленточных и трапецеидальных уравнений. Итерационный процесс нахождения определяющего вектора Х^ может быть проведен теперь по методу Хоттелинга Х^^хН — В~*83,■(2.70)

где знак — над матрицей В означает, что ее компоненты не обяза

тельно должны вычисляться точно.

Пример. Найти решение системы уравнений

1

1

1

1

*1

=

— 1

2

1

— 1

3

х»

— 10

1

2

3

— 1

X»

8

1

1

4

2

х4

2

итерационным вариантом метода определяющих неизвестных.

Выбирая в качестве определяющих, неизвестные хг и х2, записываем уравнения с невязкамич

' х8 + х4 = —Г—xx—х„ .

■, — х8 4- Зх4 == — 10 — 2х4 — х2,

■■— 8 + хг + 2ха + Зх8 — х4 = 8g, 1^

— 2 + хг + х2 + 4х8 + 2х4 = е4. /

Для нахождения столбцов матрицы В, при помощи которой можно будет провести затем итерационный процесс, следует воспользоваться уравнениями

(б)(б)■х8 + Х4 = — хх — ха,

(б)

(б)

■?— х8 -4* Зх4 = 2хх — ^а»

Xi 4- 2ха 4" Зх8 — Х4 — 8g,Xi 4- 2ха 4" Зх8 — Х4 — 8g,Задаваясь теперь в нулевом приближении любыми значениями хг и ха, находим по уравнениям (а) невязки е3 и е4. Если при-Задаваясь теперь в нулевом приближении любыми значениями хг и ха, находим по уравнениям (а) невязки е3 и е4. Если при-Отсюда х^Ч = 1 и ^ = — 1. Подставляя эти величины в первые два уравнения (а), находим x^> = 2 и х^ч = — 3. Подстановка полученных неизвестных первого приближения в последние два уравнения (а) дает невязки ^Ч = 0 и е(40) = 0.Отсюда х^Ч = 1 и ^ = — 1. Подставляя эти величины в первые два уравнения (а), находим x^> = 2 и х^ч = — 3. Подстановка полученных неизвестных первого приближения в последние два уравнения (а) дает невязки ^Ч = 0 и е(40) = 0.

Xi 4- 2ха 4" Зх8 — Х4 — 8g,

Xi 4- 2ха 4" Зх8 — Х4 — 8g,

Задаваясь теперь в нулевом приближении любыми значениями хг и ха, находим по уравнениям (а) невязки е3 и е4. Если при-

Задаваясь теперь в нулевом приближении любыми значениями хг и ха, находим по уравнениям (а) невязки е3 и е4. Если при-

Отсюда х^Ч = 1 и ^ = — 1. Подставляя эти величины в первые два уравнения (а), находим x^> = 2 и х^ч = — 3. Подстановка полученных неизвестных первого приближения в последние два уравнения (а) дает невязки ^Ч = 0 и е(40) = 0.

Отсюда х^Ч = 1 и ^ = — 1. Подставляя эти величины в первые два уравнения (а), находим x^> = 2 и х^ч = — 3. Подстановка полученных неизвестных первого приближения в последние два уравнения (а) дает невязки ^Ч = 0 и е(40) = 0.

Таким образом, значения неизвестных в первом приближении совпадают с точными. Получилось это благодаря тому, что матрица ВГг была нами вычислена точно.

Решение нелинейных уревиеннй.

Как указывалось, методы решения нелинейных уравнений

/(х) = 0(2.71)

можно подразделить, на две большие группы, а именно: на итерационные методы и методы Минимизации. В случае применения итерационных методов вычисления ведутся по формуле

.х<*+»> = х(*) — cwGwbW - '(2.72)

где х<*> — искомый вектор в й-ом приближении, а

BW = f^_(2.73)

При применении же методов минимизации из уклонений образуется некоторая функция р, = р, (е) = ф (х), минимизация которой приводит к решению. ’

Описываемые ниже методы решения нелинейных уравнений являются естественным обобщением рассмотренных методов решения линейных уравнений. Рассмотрим сначала метод простой итерации. ■

В этом случае в формуле (2.72) полагают числовой множитель cw = 1 и матрицу Gw — О-1, где D — некоторая диагональная матрица с постоянными коэффициентами. В результате получаются следующие расчетные выражения: . .

Л(*$м4ft))DiЛ(*$м4ft))Di(2-74)(2-74)x^D = Х(б) _ ^- = x№ -x^D = Х(б) _ ^- = x№ -где Dlt ..., О„ — компоненты матрицы D;Достаточными условиями сходимости процесса вычислений являются условия ■• 'где Dlt ..., О„ — компоненты матрицы D;Достаточными условиями сходимости процесса вычислений являются условия ■• 'JL.J6Dl " dX,JL.J6Dl " dX,Di ' дх»Di ' дх»I dfn I 1 df„ ^n * дхг ■' | Dn ’ Эх»I dfn I 1 df„ ^n * дхг ■' | Dn ’ Эх»DnDnх dfnDr * дхпх dfnDr * дхп(2.75)(2.75)Если каждое полученное значение x<*+D немедленно использовать при определении следующей компоненты вектора х, т. е. компоненты х^р, то тогда будет иметь место итерационный методЕсли каждое полученное значение x<*+D немедленно использовать при определении следующей компоненты вектора х, т. е. компоненты х^р, то тогда будет иметь место итерационный метод

Л(*$м4ft))Di

Л(*$м4ft))Di

(2-74)

(2-74)

x^D = Х(б) _ ^- = x№ -

x^D = Х(б) _ ^- = x№ -

где Dlt ..., О„ — компоненты матрицы D;

Достаточными условиями сходимости процесса вычислений являются условия ■• '

где Dlt ..., О„ — компоненты матрицы D;

Достаточными условиями сходимости процесса вычислений являются условия ■• '

JL.J6

Dl " dX,

JL.J6

Dl " dX,

Di ' дх»

Di ' дх»

I dfn I 1 df„ ^n * дхг ■' | Dn ’ Эх»

I dfn I 1 df„ ^n * дхг ■' | Dn ’ Эх»

Dn

Dn

х dfnDr * дхп

х dfnDr * дхп

(2.75)

(2.75)

Если каждое полученное значение x<*+D немедленно использовать при определении следующей компоненты вектора х, т. е. компоненты х^р, то тогда будет иметь место итерационный метод

Если каждое полученное значение x<*+D немедленно использовать при определении следующей компоненты вектора х, т. е. компоненты х^р, то тогда будет иметь место итерационный метод

Зейделя, характеризуемый расчетными формулами:

Х^1) = д<»)Х^1) = д<»)Охt^V.-.x^Da

Х^1) = д<»)

Х^1) = д<»)

(2.76)

^чо = xW.

■п, DB

Достаточные условия сходимости процесса вычислений по Зей- делю те же самые, что и по методу простой итерации.

Рассмотрим метод скорейшего спуска или, что то же, метод итерации при помощи транспонированного якобиана.

(2.77)(2.77)(2.78)(2.78)В этом методе числовой множитель cw и матрица Gfe выбираются следующим образом:.

(2.77)

(2.77)

(2.78)

(2.78)

( 5С(6)°(й)е(й)»С(6)С(й)б(й)

С«> - г - №У • .

Здесь штрихом (') отмечена операция транспонирования, а жирной точкой — операция вычисления скалярного произведения векторов. Якобиан J = J(xlf..., х„) вычисляется при значении вектора x = xW.

С целью упрощения вычислений множитель qy можно определять не на каждой итерации, а только при таких к, при которых процесс вычислений начинает расходиться.

Пример. Пусть требуется определить методом скорейшего спуска решение уравнений:.

fi = *i + 2ха + ха — 2 = О,

fa = Зхг + х^ + xg — 3 = О,' fa = г- -Ч + я2 + Зх8 4-3 = 0.

Имеем

1

2

1

3

2л»

1

— 1

1

3

. . 1

51- дх -

„1

3

— 1

2

2xg

1

1

1

3

О', G =

Расчетная формула для определения вектора х имеет в данном случае вид 1

В нулевом приближении полагаем, например,^0» = ^°> = л£°> = = 0.

* G(o)G(o)8%G;o)G(O)8lO) = (-^- 12)а + (— 38)а + (25)а = 2213,

/«01.

ti(O)ti(O)6<O>e°(oAo)6<O) -

Запишем первое приближение для х

Х<0 = Х<°> — C(0)G(0)8<°> =

=

0

-0,1

1

3

— 1

— 2

=

1.4

0

2

0

1

— 3

0,1

0

1

1

3

- 3

— 0,4

Вторая* и последующие итерации выполняются аналогично.

Точное решение л^ = хг = 1’, хг = —1.'

Рассмотрим метод итерации при помощи обратного якобиана. В этом методе, называемом часто методом Ньютона, числовой мно

житель с(» принимается равным единице, а матрица и^ = при х = xW. Для линейных уравнений данный метод вырождается в рассмотренный ранее метод Хотеллинга.

Расчетным является уравнение. , ■ .

х(л+1) = х(А)_ /^.\ ‘^х(л+1) = х(А)_ /^.\ ‘^(2.79)(2.79)

х(л+1) = х(А)_ /^.\ ‘^

х(л+1) = х(А)_ /^.\ ‘^

(2.79)

(2.79)

Пример. Решить систему, рассмотренную в , предыдущем примере, методом обратного якобиан.4. ,

Имеем

i

2

1

3

2*,

1

— 1

1

3

Принимая is нулевом приближении jq = х2 = л, — О, вычисляем

В следующем приближении

и так далее.•

Рассмотрим применительно к нелинейным уравнениям метод минимизации суммы квадратов уклонений.•

Функция, подлежащая минимизации в этом случае, имеет вид

Лл

■ P = Se?=S^(^x2^-(2.80)

<=i<=i■

Для получения решения, начиная от начального приближения ^0), ..., ^, изменяют этот набор чисел так, чтобы функция р уменьшалась от шага к шагу. Практически метод может реализоваться различными способами. Можно, например, выбрав величину приращения Дх подбирать поочередно каждый корень по формуле

Axf^+O = Дх}*) ± Дх, .(2.81)

где знак + или — определяется из условия уменьшения величины р. Чаще всего, фиксируя индекс I, изменяют величину хг в требуемом направлении до тех пор, пока р не начнет увеличиваться. Затем подбирают подобным же образом величину Xf+i и т. д.

Рассмотрим метод определяющих неизвестных. Этот метод целесообразно применять, ■ когда в заданных уравнениях имеются неизвестные, через которые можно выразить все остальные -особенно в случае больших систем нелинейных уравнений.

Без ограничения общности рассмотрим систему уравнений тра- пецоидальной структуры. .

. '/1(^11 Xg, Хд) = 0,,

fa (^1» ^2* -^з» ^4) = ®>

IIs(^l> X2, Xg, x4, х5) =: 0,s(^l> X2, Xg, x4, х5) =: 0,(2.82)(2.82)

I

I

s(^l> X2, Xg, x4, х5) =: 0,

s(^l> X2, Xg, x4, х5) =: 0,

(2.82)

(2.82)

fn-2(x1,x2,...,x„) = 0,

f n—1 (X^j X2, ■ • • > Xr) " ^,

fn (Xlf xax„) = 0'

с двумя определяющими неизвестными ^ и x2.

Задаваясь какими-либо значениями хг и х2, определяем из первого уравнения х8, затем из следующих уравнений до уравнения п — 2 включительно неизвестные х4, х6, ..., хп.

Подставляя теперь полученные величины в последние два уравнения, определяем невязки

ел—1 = /л—1 (х^ ха,..., х^) = фл—i (xlt х2),^ 33)

8д = /п ^Ху Х2, . • . , Хя) = ф„ (Х2, х^.

Умея получать невязки, можем теперь организовать процесс вычислений определяющих неизвестных х4 и ха, используя любой нз изложенных методов решения систем нелинейных уравнений. Воспользовавшись, например, методом обратного якобиана, имеем

хЛ^*) xjхЛ^*) xj^1^Л-! дхедХ!0Фл дхгдФл дха^1^Л-! дхедХ!0Фл дхгдФл дха. (2.84). (2.84)

хЛ^*) xj

хЛ^*) xj

^1

^Л-! дхе

дХ!

0Фл дхг

дФл дха

^1

^Л-! дхе

дХ!

0Фл дхг

дФл дха

. (2.84)

. (2.84)

Таким образом, рассмотренный метод для системы (2.82), имеющей n-й порядок, позволяет на каждом шаге иметь дело только с нелинейными уравнениями первого и второго порядка.

Для определения компонент якобиана ^ = ^ тоже требуется решение систем только первого порядка. Первый столбец J определяется путем вычисления уклонений и е„ при изменении Xj на Дх^ а второй — при изменении ха на Дх2, причем

^«-1 _ Ле„-1 dv„_i _ Де„_, /oQcx дхх ~ Д^ ’ дха ~ Дх2 ’

эФл ^л дФп _. Делдхх ~ Дх^ • д*2 ~ Дх2 *

где Двд-i и Дв„ — приращения уклонений. После нахождения Xj и ха путем решения вспомогательной системы (2.84) остальные неизвестные последовательно определяются из заданной системы (2.82).

Распространение метода на общий случай трапецеидальных и ленточных уравнений с т определяющими неизвестными (т < га) очевидно. Незначительно видоизменяется он и в случае полных

систем уравнений, когда в каждое уравнение входят все неизвестные. Поясним ход вычислений на системе с четырьмя иеизвест-

ними:

/1(х1,х2,х8,х4) = 0,

/а (*х> ^ х8, х^ = 0,(2.86)

/8(х1,х2,х8,х4) = 0,

/4(хх,х2,х8,х4) = 0.

Допустим, что переменные хх и х2 целесообразно выбрать в качестве определяющих. Тогда, решая первые два уравнения относительно х8 и х4 и подставляя полученные величины в последние два уравнения, можем вычислять невязки в, и е4. Дальнейший ход вычислений будет совершенно аналогичен рассмотренному для случая трапецеидальных уравнений.

Пример. Решить уравнения

fi = хг + 2х2 + х8 — 2 = 0,

/а = Зх1 + х= + х8-3 = 0,

/8= — х4 + х2 + Зх8 +3 = 0

методом определяющих неизвестных, приняв в нулевом приближении х<°> = 0.

Выбирая в качестве определяющего неизвестное х8, можем написать

хх + х5 = 2 — 2х2,

— ^ + 8X3= — 3— х2,

Зхх ~Ь ^д 4* -^8 — 3 = ву

Расчетное уравнение

=8(»).

Поскольку первые два уравнения линейные, то якобиан может быть вычислен точно.

Имеем

е2 = х| — 4,5х2 + 3,5, -gi = 2х2 - 4,5.

Следовательно,

х(Н1) = х^-(2х^-4,5)-18^).

Теперь, исходя из приближения д^°) = 0, ^вычисляем

40> = 4,5, х^ = 0 + (- 4,5)“‘ -4,5 = 1,

Это точное значение для х8.

§ 10. Приведение систем уревненвй и неравенетв к снетемам о неетрнцатель- нымн коэффициентами;. -

При решении различных задач синтеза электронных моделирующих устройств важно, чтобы коэффициенты моделируемых математических зависимостей имели неотрицательные значения, так как реализации отрицательных коэффициентов в ряде случаев затруднена из-за того, что такие элементы электрической цепи, как омические сопротивления, индуктивности и емкости являются существенно положительными.

Существует несколько способов приведения уравнений и неравенств к виду с неотрицательными коэффициентами. Рассмотрим эти способы прямо на примерах.

Общей идеей для всех способов является введение в заданные уравнения или неравенства дополнительных переменных вместо тех переменных, которые обусловливают наличие отрицательных коэффициентов..*

Возьмем систему уравнений

7Xi — 4х24~х8■ '= bv

— 4хх -f- 6х2 — 4х3 4-х,= Ьа,

..хх-—4х2 4-6х8 —— 4х44-х5= 68,

х2 — 4х8 + 6х, — 4х, + х, = 6„ .(2.87)

': 'х8 —4х4 + 6х6 —4х, = 66,

■х4 — 4х6 + 5х, = Ь6.

Умножая уравнения с четными номерами на —1 и вводя новые переменные х2 =—х2, х, =—х4, х, =— Хд, получаем эквивалентную систему с неотрицательными коэффициентами

■7хх 4- 4х2 4- х3= &lt .

4хх 4- 6х2 4- 4х8 4- х4=4- Ьа,

. х14-4х24-6х84-4х44-хь=68,(2.88)

х2 4- 4х8 4- 6х4 4- 4xs 4- х, = + bt, .

х8 4~ 4х4 4- 6хБ 4- 4хв = Ьъ,

* !х4 4- 4х6 4- 5х, = 4- Ьв,

где ba = — ba, be = — bt и Ъ8 = — Ьд.

Достоинством этого способа является то, что эквивалентная система уравнений имеет тот же порядок, что и заданная.

В теории моделирования переход от системы (2.87) к системе (2.88) известен как способ перехода к системе со знакопеременным масштабом, тай как обе системы отличаются только знаками четных неизвестных и правых частей. . ■.

Более общий способ перехода к эквивалентной системе с. неотрицательными коэффициентами рассмотоим на примере уравнений:'

х1 + 2х4 — х8= bv. — 3xi 4* ^з 4* ^8~ ^2>(2.89)

Xi 4* Зх2 -}- 4х8 = by ■

Здесь отрицательным является коэффициент перед х, в первом уравнении и перед xt — во втором. Вводя новые переменные х4 = —хх и х6 = — xgi получим эквивалентную систему.

Xi 4-2^ 4-0х8 4-0х4 4-а^ = &j,

■, , 0xi4- Xj4- ^4-х44-0хв=&2, , ’-

х^ 4- Зх3 4- 4х8= by(2.90)

Ai 4-х^ =0,-■

х,4- х6 = 0.

Распространение этого способа на общий случай, когда все уравнения содержат переменные с отрицательными коэффициентами, не представляет труда. Этот способ также легко применяется к нелинейным уравнениям. Возьмем, например, систему

'— x=4-XiXa — xa — bv -.

.’ *1 + ^ +*8 = 62,.(2.91)

*i ™_ ха — х8 = by■

Вводя новые переменные, получаем эквивалентную систему

Л + ^2 + У2 = Ь1,,

, ^1 + х22 + ха = Ьц

'xr+ у8^уа = by.. .

^1 + Ух = 0»(2.92)

, *з + У2 = °,.

,,*24-^ = 0..

Приведение систем неравенств к эквивалентным системам с неотрицательными коэффициентами производится аналогично. Пусть, например, имеем систему'

.1Xi4- x8 — Зх8 + х4>°,.

’ 2xi — Зх24- х8 — х4<0.. *

Эквивалентная система запишется в виде

^i + хй + х^ + Зхв > О,

(2.94)(2.94)2хх + ха + ха < О,ха + хь= О,

(2.94)

(2.94)

Зх2 + xt= х5.

§11. Уравнения линейноге планирования и нх решение

Задачи определения плана перевозок, распределения и хранения товаров при минимальной стоимости; задачи сведения к минимуму потерь времени при наладке станков; задачи определения наивыгоднейшего состава какой-либо смеси при данных покупных и продажных цен на исходные материалы и конечный продукт; задача размещения ограниченных ресурсов таких, как площадь земельных участков, рабочая сила, водоснабжение и т. д., при котором чистый годовой доход достигает максимума; задачи развертывания авиации, связанные с эффективным распределением самолетов и экипажей; задачи выбора такой системы укомплектования авиасоединений, при которой можно локализовать действия противника при минимальном расходе горючего; задачи расчета сетевых графиков при автоматизированных системах организации различных работ — вот далеко не полный перечень ^задач той области кибернетики, которая называется оптимальным планированием или еще — математическим программированием.

Те задачи оптимального планирования, которые описываются линейными уравнениями и неравенствами, кратко называются задачами линейного планирования или программирования.

Как бы ни была сложна каждая конкретная задача линейного планирования, она всегда может быть сформулирована следующим образом.

Необходимо найти минимум (максимум) линейной формы

Р- = ^1 + <чХ2 + ... + СпХп(2.95)

так, чтобы искомые неизвестные х^, ..., хп были, неотрицательны, т. е. ".

. xt > 0, ха > 0,..., хп > 0,(2.96)

и удовлетворяли системе линейных уравнений

auxt + a-iA + • • • + «inXn + А = О, (2.97)

'От1Хг + ti^Xg + • • • + dmnXn + fm — t),

где m — число уравнений; ct и ft — заданные постоянные, которые могут быть положительными, отрицательными, а некоторые и нулями.,

Коэффициенты агу без ограничения общности всегда можно считать . неотрицательными.'

При решении практических задай задание в системе (2.97) каких-либо п — т переменных xt приводит к определенной системе линейных уравнений т-го порядка, т. е. Кхсистеме с определителем, меньшим1 нуля, что далее и будет предполагаться. ■’

Сформулированная задача называется общей задачей линейного планирования. Из частных задач наиболее известными являются транспортная задача,, задачи о кратчайшем и длиннейшем пути, задача о максимальном потоке. Формулировка этих задач отличается от общей только тем, что коэффициенты а^ линейных ограничений могут принимать значения, равные лишь единицам. или нуЛям.■

Из методов решения общей задачи линейного планирования рассмотрим здесь только метод, называемый симплексным. Вычисления по этому методу при наличии единственного решения, требуют конечного числа шагов.•'' ' .

Отправляясь от некоторого первоначального решения х<0), ...,, х^,1 удовлетворяющего условиям (2.96) и (2.97), на каждом шаге решаем ойределенную систему линейных уравнений m-го порядка так, чтобы значение линейной формы р, определяемой по выражё- • нию (2.95), изменялось от шага к шагу в нужную сторону. При' этом переход от одной определенной системы уравнений к следующей связан с изменением состава задаваемых переменных, число которых равно п, — т, и состава полученных переменных, число которых равно т.■

Алгоритм вычислений по симплексному методу рассмотрим прямо на примере. ■■ ',• .

Пусть требуется минимизировать линейную функцию ' '' р = —Xj + x2 ,(2.98)

так, чтобы неизвестные удовлетворяли ограничениям-

■— 2хх + х2 + ха = — 2,1

,"■ Xi —2х2 + х4= .2,(2.99)

*i + *2 + *« =5 .'

и были неотрицательными, т.-е. хх > 0, ..., х^> 0. В данном случае п = 5ит = 3и, следовательно, число задаваемых переменных на каждом шаге должно быть п, — m = 2.'

Выбираем в качестве начального решение: ., х<°)= 1, л<20) = 0, х№ = 0,

х^» = 1, 4°> = 4,-

которое удовлетворяет условию xt > 0 и ограничениям (2.99).

5 Г. Е. Пухов65.'

Задаваемые величины будем обозначать сверху звездочками. Выбирая на первом шаге в качестве таких величин х2 и х3, поскольку они имеют нулевые значения в нулевом приближении, имеем

1^1 = 1 — 2* ^2 + "2 ^з»

' *4= 1+4 *2—И»’.(2Л01>

х4 = 4*2" ха "— "2" ^з»

Р= — 1 +2-Х2— g-Xg. .

Отсюда видно, что р<°> = — 1 и то, что дальнейшее уменьшение р возможно путем увеличения х8. Увеличивать ^ можно только до значения х, = 2, так как иначе х4 станет отрицательным. При х, = 2 величина р<1> = — 2 < р<°) = — 1.1

Переход к уравнениям следующего шага совершаем, приняв ц' качестве задаваемых переменных ха и х4. Имеем '/

— 2хх + х2 + х, = — 2,

хх —2ха+х4=’ 2,

Xi + x2+x4 = 5,(2.102)

'''—Х! + ха= р. ■

Отсюда

ха = 2 + 2ха — х4,'

х8 = 2+Зх2 —2х„(2.103)

Хд = 3 — Зха -f- х4, 'р = —2 —х2 + х4.

Уменьшение р возможно лишь за снег увеличения ха до х2 = 1, при котором х5 обращается в нуль. Величина р<2> = — 3 < р<*> = = — 2, Принимая теперь в качестве задаваемых переменных х4 и х6, можем, как и выше, получить,'

'у — 4_лЛу — X -■

_,х2= i+^_;4_lxs,(2.104)

Xg= 5 — X,— Xg, . p,^ _ 34-2. ^4-1.^.

Поскольку коэффициенты при x4 и Хд положительны, то увеличение как х4, так и х8 не приведет теперь к уменьшению значения р линейной формы. Таким образом, решение задачи минимизации ц закончено и составляет

хх = 4, х2 = 1, х8 = 5, х4 = хь = 0, р = — 3. (2.105)

Для решения частных задач линейного планирования, например, таких как транспортная задача, разработаны специальные методы. Мы их здесь не будем рассматривать, так как в области электрических цепей известны прямые аналоги таких задач, т. е. известны цепи, уравнения которых с точностью до постоянных множителей совпадают с уравнениями и неравенствами соответствующих частных задач линейного планирования.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ.

11. Некоторые опредолення

Обыкновенными или дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных называют уравнения вида

^ 1 = ЛV» ^iх№ Хр ... , х», х\Хд, •. •) — 0,

........ (3.1)

^д = Fп (/, Хр ..., Xrt, Хр ..., Хд, Хр ..., Хд,... ) = 0,

в которых штрихами отмечены соответствующие производные по L О нахождении решений (3.1) имеет, смысл говорить лишь при определенных граничных (краевых) или ограничивающих условиях, под которыми понимают линейные или нелинейные алгебраические зависимости между функциями и производными при фиксированных значениях аргумента / = А, t = Ь и т. д., т. е.

Фт = Ф1 (хх to» • • •» хп to» *1 to» • • •» хп to» • • • >

^to,...; х„(У ...)=-0,-

;, (3.2)

Фт = Фт (*1 to, • • • » хп to» Х1 to» • • V Х» М' ••••'

Х1 to» ’ • • » хп to • • •) = 0..,

Л*67

Дифференциальные уравнения с краевыми условиями могут иметь единственное решение или бесконечное множество решений и, наконец, совсем не иметь .решений. Далее будем предполагать, что функции Ft и ф4 таковы, что имеет место первый случай.

Вектор х = х (0, компонентами которого являются функции хг (#), ••■» хп (0, предполагаем искомым. Начальный вектор х (0), т. е. вектор х (0 при t = 0, является определяющим в том смысле, что, зная его, можно путем решения только уравнений (3.1) найти значение х (/) при любом L Решение уравнений (3.1) при заданном х (0) часто называется задачей Коши.

В приложениях довольно часто встречаются линейные дифференциальные уравнения и особенно системы линейных уравнений первого порядка: -■

^А-Ах-^(3.3)

где х = х^ — искомый вектор; Д = Д (0 — матрица, имеющая' в общем виде переменные компоненты ач = а^ (^; / = / (f) — вектор правых частей.',

В случае, когда все компоненты матрицы А являются постоянными, система (3.3) называется системой дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Эту систему можно записать' в виде совокупности, состоящей из двух систем:

-y + Ax = f, '(3.4)

(3.5)

Первая из них представляет систему алгебраических уравнений, а вторая — простейшую систему дифференциальных уравнений первого порядка..-

Уравнение вида-

xw + а^-'1'* + ... + an-ix' + апх = f, ,(3.6)

где х = х (0 и f = Hf) — обычные (не векторные) функции t, называется обыкновенным дифференциальным уравнением я-го порядка с постоянными коэффициентами, если коэффициенту с^, ..., а„ постоянные, и с переменными коэффициентами, если хотя бы один из них'зависит от t. v '•

■ Уравнение (3.6) всегда Может быть записано в виде следующей системы дифференциальных уравнений первого Порядка:•

. ' ■' Хг = хй, ■ ■

',х' = х8, '..(3.7)

Многочисленйые - методы решения дифференциальных уравнений условно можно подразделить на прямые методы и методы, использующие различные интегральные преобразования. К прямым относятся методы,' основанные на аппроксимации решений дифференциальных уравнений функциями, которые удовлетворяют краевым условиям, обычные классические методы, связанные с интегрированием уравнений и определением постоянных интегрирования, исходя из краевых условий, численные методы. Известны также методы, основанные на'приведении дифференциальных уравнений к эквивалентным интегральным с последующим решением их уже как интегральных уравнений.

Методы, использующие интегральные преобразования, будут изложены в следующих главах.

В данной же главе рассмотрим идеи, лежащие в основе прямых методов, и практические алгоритмы получения решений отдельных типов дифференциальных уравнений.'.

Классический метод решения сднсгс дифференциального ураанення с постоянными ксаффнцнентамн

Дифференциальное уравнение■

х^ + а^-^ + ... -|- an—ix' + апх = /,-, (3.8)

как хорошо известно, может быть решено следующим образом.

Составляется характеристическое уравнение,

рп + а^"-1 + ... + ап_хр + а„ = 0.(3.9)

и определяются его корни: pv рй, .... рп.,’’

Предполагается, что все числа pv .... рп различны и ни одно из них не равно нулю".~

Разыскивается одно из частных решений х = х (f), удовлетворяющих уравнению (3.8). Вид его зависит от правой части

. f = f^-. '

Записывается общее решение однородного дифференциального уравнения

xw + а^1”-0 + ... + On-ix' + а„х = 0(3.10)

в виде -■.

х = A/lt + А/* + ... + А/^, ’ .(3.11)

где At, ..., Ап — произвольные постоянные (постоянные интегрирования).'-

Находится общее решение заданного уравнения как сумма х и х, т. е.

' х = х(0-х(0 + А/х< + ■.. + а/"1 ., (3.12)

Постоянные интегрирования Лх Л„ находятся из заданных краевых или начальных условий. ■' -''

Частное решение х (/), которое зависит от правой.части f^t), во многих случаях просто можно находить методом неопределенных коэффициентов. " ' ■

Пример. Решить дифференциальное уравнение

•.. х* + 4х' + Зх = ^'

лри краевых условиях*

;\ х(0) + х'(1) = О, х(-1) = 2.,'

! Корни характеристического уравнения'

।. ' Р* 4- 4р 4* 3 = 01’

равны: рг = — 1, ра = —3.'' '

Частное решение разыскиваем методом неопределенных коэффициентов в виде''

''■ х - Св 4- Cxt 4- Са^, ,'

где Со, Си Са — некоторые постоянные, подлежащие определению. „ Подставляя х в заданное дифференциальное, уравнение, получим ' 2Са + 4 (Сг + 2Са0 4- 3 (Со 4- Cxt 4- Са^ - Л ' '' Приравнивая теперь члены при одинаковых степенях t в правой и левой частях, имеем

‘1, ЗС0 4“ 4Cg 4“ 2Са = О,

.ч ЗСх+8Са = 0,

’'ЗСа=1. ’,'•■

Отсюда -1-х

■ Г _26 Г —8 Г _ 1

.*'~ 2f. Ч"дГ>'

Таким Образом1

.-2681 а '

X -27 —,

Следовательно,-

х = х(0 = -§--4^ + у/2 +Л1^ +Л^.' '

Для определения постоянных Лх и Ла используем краевые, условия и получим зависимости V -

■.' , ^ 4-'ЗЛа “ — 32г8,..

' ' - еАк + ^Аа = 4,.

где е = 2,713. Отсюда легко определить постоянные Ах и Ла.

-..то

5 3. Классический метод решения еиетемы- дифференциальных уреинаний порвете порядке о настоянными кааффициантами

Используя матрично-векторную символику, систему уравнений первого порядка можно записать в форме•■

ТГ + Ах-Г,(3.13)

где х = х (/) — вектор неизвестных; f = f (f) — вектор правых частей; А — неособенная квадратная л-го порядка матрица коэффициентов Оц.''

Известно, что решение (3.13) не вполне определяется этими уравнениями. Общее решение зависит от л произвольных постоянных.

Различают два вида задач: задача Коши или задача с заданными начальными значениями компонент х и граничные задачи.

Задача Коши формулируется следующим образом: найти то решение уравнения (3.13), которое удовлетврряет условию

*(4) = Y.(3.14)

где 4 — начальное значение независимого переменного 4 а у — заданный постоянный вектор. При у = О говорят, что, имеют место нулевые начальные условия.

В случае граничных задач условия задаются не при одном, а при нескольких значениях аргумента t: 4» 4, •••• tm- Линейные граничные' условия в общем случае можно сформулировать в виде

Го* (4) + Гх*(4) +... + Г„х (/„) = у, (3.15) где Го, Pi, .... Гт—некоторые заданные матрицы с постоянными компонентами; у — заданный вектор; х (4) — значение вектора х при t = tk.,

При Го = £ и 1\ = ... = Г„ = О граничная задача переходит в задачу Коши.

Под классическим методом понимается обычный метод решения дифференциальных уравнений, связанный с необходимостью определять постоянные интегрирования исходя из заданных начальных или граничных условий.

Алгоритм метода заключается в следующем.

Находится какое-либо частное решение х уравнений (3.13). Оно в сильной степени зависит от вектора правых частей f. Если этот вектор представляет набор постоянных чисел, то х находится из системы алгебраических уравнений .

Ax = f (f = const).(3.16)

Находится общее решение уравнений (3.13) без правой части’ (f = 0), т. е. решение уравнений ,„.

.Тг+^-9.-(3.17)

/ Решение 5с ищем в виде -•'< , , "/’

,'.’- х = ^/'^.18

где К — вектор некоторых постоянных:,

*i

(З.Н

kn

. Подставляя решение (3.18) в уравнение (3.17) и сокращая1 и получим,■'■

,'' (Ц + Л)Я = 0. '" t ,(3.2(

Для того' чтобы этому, уравнению удовлетворял вектор К + ( необходимо и достаточно, чтобы матрица ХЕ + Л была особе! ной, т. е., ,.'■,

■ ;/" i ’ det]XE + Л| = 6/.(3.2!

, Для каждого ХА этого характеристического уравнения, которс в развернутом виде можно записать в видеv -

1^* Я- <4^"1 + • • • +'Оя—|Xj + а„ = 0,' ^3.2!

.где а,— некоторые постоянные, из .равенства (3.18)- определяе ся не равный нулю.вектор К№ и, если все корни Х\Хп различив получается п решенийь■ 1

.'к0^,..., ^"W, ..'(3.2:

гд^ ,

, i = 1, 2,..., п*, - (3.2

' Общее решейие (3.18Х имеет вид 1’ ' ■ ' *,

' x^c^e^-V... -Vc^V^,-(3.2

: где cv ..., сп — произвольные постоянные. , 1

' -^. Находится искомое решение неоднородной системы уравнен!

(3.13) как сумма ее частного решения х И общего решения х ypai

4 . нений без правых частей:/ '..

\' х^.х + ^’Л' + Л. + СдК^еУ. (3.2

'1;>2' '''

1 Постоянные'интегрирования q,'..., с„ находятся'йз и граничных условий? ' \‘(1.. ' , -Приме р.-, Решить систему уравнений -, kЛ ■'. ' ^ + 2х1 + 4ха=1+4/,_Разыскиваем частное рёшенйё в виде _ С \ '> л .Jfi = Со rjr' c^t + йД \''x8 = 60H-.6/-j-M-.' ■>1 Постоянные'интегрирования q,'..., с„ находятся'йз и граничных условий? ' \‘(1.. ' , -Приме р.-, Решить систему уравнений -, kЛ ■'. ' ^ + 2х1 + 4ха=1+4/,_Разыскиваем частное рёшенйё в виде _ С \ '> л .Jfi = Со rjr' c^t + йД \''x8 = 60H-.6/-j-M-.' ■>начальных.начальных.* 7* 7Подставляя эти-зависимостив заданные уравнения l, -г-г. нивая члены, при одинаковых 'степенях (, получим Оц = 60 = 0 q = 1, 61 — 0, о8 == 1, 6g = л ' * \1/Подставляя эти-зависимостив заданные уравнения l, -г-г. нивая члены, при одинаковых 'степенях (, получим Оц = 60 = 0 q = 1, 61 — 0, о8 == 1, 6g = л ' * \1/и покрав?и покрав?Таким образом,Таким образом,хг = t -y-t8;хг = t -y-t8;,4,4ха—2ха—2Далее находим корни характеристического, уравнения . ■1 ■’*:+^. :4' 1-0,. ‘: "Далее находим корни характеристического, уравнения . ■1 ■’*:+^. :4' 1-0,. ‘: ") ■) ■ччIIотсюда ^ = 1, Х2 =j. / г; хЗаписываем' применительно к разбираемому* .частному уравнения (3.20): '4отсюда ^ = 1, Х2 =j. / г; хЗаписываем' применительно к разбираемому* .частному уравнения (3.20): '4случаю''случаю''Л,+ 2'. 4 ■' i 1 ,,' а.—1 -Л,+ 2'. 4 ■' i 1 ,,' а.—1 -А, -'А, -'= 0.= 0.АдАдПодставляя сюда \Подставляя сюда \- -д-, получим"-'7, п !

1 Постоянные'интегрирования q,'..., с„ находятся'йз и граничных условий? ' \‘(1.. ' , -

Приме р.-, Решить систему уравнений -, k

Л ■'. ' ^ + 2х1 + 4ха=1+4/,_

Разыскиваем частное рёшенйё в виде _ С \ '

> л .Jfi = Со rjr' c^t + йД \'

'x8 = 60H-.6/-j-M-.' ■>

1 Постоянные'интегрирования q,'..., с„ находятся'йз и граничных условий? ' \‘(1.. ' , -

Приме р.-, Решить систему уравнений -, k

Л ■'. ' ^ + 2х1 + 4ха=1+4/,_

Разыскиваем частное рёшенйё в виде _ С \ '

> л .Jfi = Со rjr' c^t + йД \'

'x8 = 60H-.6/-j-M-.' ■>

начальных.

начальных.

* 7

* 7

Подставляя эти-зависимостив заданные уравнения l, -г-г. нивая члены, при одинаковых 'степенях (, получим Оц = 60 = 0 q = 1, 61 — 0, о8 == 1, 6g = л ' * \1/

Подставляя эти-зависимостив заданные уравнения l, -г-г. нивая члены, при одинаковых 'степенях (, получим Оц = 60 = 0 q = 1, 61 — 0, о8 == 1, 6g = л ' * \1/

и покрав?

и покрав?

Таким образом,

Таким образом,

хг = t -y-t8;

хг = t -y-t8;

,4

,4

ха—2

ха—2

Далее находим корни характеристического, уравнения . ■1 ■’*:+^. :4' 1-0,. ‘: "

Далее находим корни характеристического, уравнения . ■1 ■’*:+^. :4' 1-0,. ‘: "

) ■

) ■

ч

ч

I

I

отсюда ^ = 1, Х2 =j. / г; х

Записываем' применительно к разбираемому* .частному уравнения (3.20): '4

отсюда ^ = 1, Х2 =j. / г; х

Записываем' применительно к разбираемому* .частному уравнения (3.20): '4

случаю''

случаю''

Л,+ 2'

. 4 ■

' i 1 ,,

' а.—1 -

Л,+ 2'

. 4 ■

' i 1 ,,

' а.—1 -

А, -'

А, -'

= 0.

= 0.

Ад

Ад

Подставляя сюда \

Подставляя сюда \

^4^ о.

Отсюда

-*iu=,^4ft «>-4а

Таким образом,Таким образом,

Таким образом,

Таким образом,

Постоянные Сг и С, должны определяться из начальных или граничных условий. Так, например, если 4

^(0) + х,(1) = 3,Xi(2) + xa(—2) = 0, ,

для определения Ci и С, нужно решить уравнения

33е 1.4 —g-,е 1.4 —g-,

3

3

е 1.4 —g-,

е 1.4 —g-,

(^ _ е-2) С1 + (е-3 + е3) С1 = _ 8

Систему (3.13) при заданных начальных условиях можно решить и в общей виде, не прибегая к изложенному алгоритму. Сделаем это.' '

Временно введем вместо х вектор у, связанный с ним зависимостью >' ,

.x^-e-My = Q. -,(3.27)

Дифференцируя это соотношение и .подставляя в уравнение (3.13), легко выяснить, что

.e“*1i+f=0-I3-28)

Отсюда ’

У (Л = У (0) - J еЛт f (т) dr,.(3.29)

--о'

где т — независимая переменная интегрирования. ,

Подставляя полученное выражение для у (О Р соотношение (3.27), замечая, что х (0) = у (0), приходим к искомой формуле

,, х (t) = е^х (0) + j ё~А v^f (т) dt.(3.30)

Формула эта весьма удобна Для применения в различных теоретических исследованиях. -/

f 4. Метод Ликере. , ''•,

При решении по методу Пикара исходная система дифференциальных уравнений z,

j + fM-0(3.31)

сначала заменяется равносильной системой вида ,

х = х (0) — | Ф (х, т) du, '(3.32)

а затем решается аналогично методу простой итерации для конечных уравнений, т. е. по формуле ,’

?*+*> - х (0) — I ф (xw, т) dx,(3.33)

где к — номер приближения. 1*-•

П р им е р., Решить систему уравнений /'

’.: хх—х,^0, •• - - * '.

- xi + хх + /ха = 1•' •

при нулевых начальных условиях: хг (0) = х8 (0) = 0. Имеем'.11

хТ1’-^^,

,4*+*» = J [1 — V^ (т) т- тх^ (т)] dx.

Теперь отправляясь, например,' от величин х^°> = х^°> ^ 0, последовательно получаем:{•,

в первом приближении\'

хР^О,' '

' 'во втором приближении -.

' х^ = f (1 — т3) Йт = £ —;

в'третьем приближении

. t» 72

§ Б. Методы; оонованныа ва аппроксимации рашаннй днффараацнальных уравнений фуакцнямн, удовлетворяющими краевым услсвням , ,

Поясним идею данной группы Методов иа примере одного дифференциального1 уравнения n-го пррядка’

'F^x',‘AVn)) = 0(3.34)

при граничных условиях6“1,

"Ф1 5= Ф1 (^, «I».--, xVU\ Ха, Ха, ■»..,, хМ _

'хк, хк, .., хМ = а,- ■’^

, . ......... (3.35)

/ Ф„ = Ф„ (хъ х',1х^, ха, ха,..., х^,...,.

,,,, ,' хе, х», ..., х^) = 0,*

где x<°ip — значения фушщии х (0 и ее высших производньЬс при / = /(.■'' ,"

Предположим, что можно выбрать функцию'

,; х(/) = x^,clt..., cp), *" х 43.36)

которая при любом выборе свободных параметров qср удовлетворяет, граничным условиям (3.35), г\/

-Тогда подставляя'х (0 в дифференциальное уравнение (3,34), получим функцию уклонений' -

z e-eOf/q, :/., Ср), ; ,(3.37)

зависящую от / и параметров q. 1 '..

Общая идея рассмотренных далее методов коллокации, наименьших квадратов, метода Бубнова — Галеркина, метода подобластей состоит в нахождении из выражения (3.37) параметров сг так, чтобы функция в в определенном смысле наименее уклонялась от нуля.

•После определения си ..., ср полагают, что искомая функция х (0 определяется выражением .

• х(к)«ху, cv ..., ср). ■(3.38)

В случае, если решается система дифференциальных уравнений, то каждая из искомых функций аппроксимируется выражением вида (3.36) и вместо одной функции уклонений получается столько таких функций, сколько имеется в системе дифференциальных уравнений неизвестных..

Метод коллокаций. Параметры q, .... ср определяются из условия обращения в нуль функции уклонений в заранее выбранных значениях переменной t. В результате получается система уравнений ''.

е (^, cv ..., с^ = 0,.‘

(3.39)

■8 Vpi си • • •, Ср') = 0.,

Определив отсюда параметры съ ..., ср, можно затем записать решение в форме (3.38).

В случае линейности заданного дифференциального уравнения, уравнения (3.39) будут линейными алгебраическими уравнениями.

Пример. Требуется найти решение дифференциального уравнения■.

. . ^+(1 + ^)* + 1 =0.■

при условиях: х (1) = х (— 1) = 0."

Аппроксимируем х = х kt) на интервале от't = —1 до < = +1 функцией ■'

удовлетворяющей условию х (1) = х (— 1) = 0 при любых конечных значениях параметров q и са.'

Подставляя х в исходное дифференциальное уравнение, получим функцию уклонений .

е = 1—(1+^)Cj + (2—1П2 —^)с8.•

Требуем теперь, чтобы функция 8 = 8 (/) обращалась в нуль при t =* 0 и t = ±0,5. Эго дает уравнения . ).

17, 49,

• Тб С1 + б4Са^ 111 -

'q— 2с2=1.•''

Решая их, находим сх = 0.957 и с2 ~ —0,022.. •-

' Следовательно/. ,, ..

х « х = 0,9б7 (1 г- /а) — 0,022 ф — t*):,

Метод подобластей. В этом методе параметры с^ .... ср находятся из условия равенства нулю средних значений функции уклонений на р участках интервала интегрирования. Имеем

■[ в (t, cv ..., ср) dt = 0,■*

£ в (t, cv ..., Ср) dt 0,■(3.40)

j e(^CiCp)dt=O.

Эта система будет линейной в случае линейности решаемого дифференциального уравнения. ,'1

Данный метод можно видоизменить, взяв в качестве пределов интегрирования в равенствах (3.40).

. (0,^, (0,^(0,у.

С целью иллюстрации, решим уравнение, рассмотренное в предыдущем примере, приняв tx = 0,5 и 4 — Ь Имеем

0,5/

pl—(l+^-HZ —Ш2--^)с2]^ = 0,

' f [1—(1+^)с! + (2—11^ —/»)c2]d/ = 0. 0,5-

Интегрируя, получим.

.1,01с1 + 0,752са= 1, 1,4^ —0,066с2= 1.

Отсюда Ct = 0,76 и с2 = 0,35. Заметим, что по методу коллокаций было получено сх = 0,957 и с, = — 0,022.

Метод наименьших квадратов. Параметры q, .... ср находят из условия обращения в минимум квадрата уклонений на заданном интервале интегрирования. Различают два варианта метода — интегральный и точечный.

- В интегральном варианте составляется интеграл

'\ B4t = Hcv<4^■(3.41)

а затем уравнения,

-^=°. -Й = ° ^= °»(3.42)

из которых можно определить Сц..... ср. '-.

''.78.,

В точечном варианте сначала составляется сумма о = 2 e’^q,.;., ср), N>p, '(3.43>

и затон уравнения 4■ 1'

■-# = 0. $- = 0,..., ^- = 0(3.44)

vCg ■ОСр'*

для определения параметров q, .... ср. При N = р данный вариант метода наименьших квадратов совпадает с рассмотренным выше методом коллокаций. ~.

Пример. Решим оде раз уже рассмотренное в последних примерах дифференциальное уравнение интегральным вариантом: метода наименьших квадратов.

Ввиду четности функции уклонений■ ’

8= 1 —(1— 11/2 — t^c» ,

уравнения для определения q и са можем составить следующим образом:'.-

т • ■% = £ j ^=^ § I* - <•+^ (2-iii*-<W<»=0„

Отсюда ..

..сх=1,39, с2 = —0,144.'

Таким образом, приближенное решение дифференциального* уравнения /•,

х' + (1 +^)х+ 1=0при условиях х (1) = х (— 1) = 0, может быть записано в виде.х«1,39(1—^ — 0,144 (t2 — /4),..

Метод ~ Бубнова — Галеркина. В этом методе выбирается р линейно независимых функций уг (0 и определяются параметры <?, из условия ортогональности функции "уклонения в = е (t, q, ■••,ср\х по всем функциям фг (Q на заданном интервале (а, Ь).

Уравнения для определения q, ..., ср имеют в этом случае вид J ФЛдв&Ср.... cp)dt = Q,.

:• • ■ '(3.45>

■J Фр^В^Ср ;.. , Cp)dt = o. .

В качестве функций ф, (0 обычно берут первые р функций ка кой-либо полной системы, например системы из степеней t, три тонометрических полиномов и др.

Методы прпведенпя к за паче Кешич

Данная группа методов основана на определении начального вектора неизвестных так, чтобы решение системы дифференциал!, ных уравнений удовлетворяло граничным условиям. Подбор компо нент начального вектора производится или итерационными метода ми, или методами минимизации, причем каждое новое прибли жение. начального вектора получается путем соответствующего преобразования вектора уклонений (невязок) в граничных уело ,виях. При применении итерационных методов преобразование вектора уклонений производится при помощи эквивалентного якобиана транспонированного или обратного.•

. Из итерационных методов рассмотрим здесь метод итерации при помощи обратного якобиана, а из методов минимизации ™ метод минимизации суммы квадратов уклонений в граничных условиях.,

Метод итерации при помощи обратного эквивалентного якобиана или, что то оке, метод Ньютона. Этот метод основан на подборе неизвестных компонент начального вектора при помощи выражения'

.=(3.46)

.Здесь к — номер итерации; е — вектор невязок в граничных условиях ;G—эквивалентный якобиан-^-, т. е. якобиан конечных уравнений, эквивалентных решаемым дифференциальным уравнениям (способ его определения будет указан ниже); г — вектор неизвестных компонент начального вектора х(0).

В случае линейных дифференциальных уравнений эквивалентный якобиан представляет матрицу с постоянными коэффициентами, которые не зависят от правых частей уравнений. Если же дифференциальные уравнения нелинейны, то якобиан зависит от начального вектора и правых частей. Для определения /-го столбца якобиана требуется дать приращение Az^ /-ой компоненте- (Zy) начального вектора, вычислить приращения компонент вектора невязок и затем определить искомые компоненты ^ц ■ столбца якобиана по выражению

.S^^, г = 1/2m,(3.47)

тде т — мерность (размерность) вектора г.,

' При решении линейных уравнений рассматриваемый метод обладает очень быстрой сходимостью. ,

В случае нелинейных уравнений, эквивалентный якобиан можно находить не на каждой итерации, а только тогда, когда процесс

вычислений начинает расходиться. Такой метод часто называют комбинированным методом Ньютона. Если же в процессе вычислений якобиан вообще не потребуется изменять, то соответствующий метод называют модифицированным методом Ньютона.

Пример. Решим рассмотренным методом простое дифференциальное уравнение

d»x .1

ST— 1:

при граничных условиях ;

х(1) + х'(2) = 3, х(0,5) = ^, V(0) = 0.

Неизвестными компонентами начального вектора 'являются гх = и» xt (0) и z8 = V (0). Поэтому ..

*(0);,.

Вектор невязок в граничных условиях

в1 = х(1) + *'(2)-3

в =

вц = X (0,5) — 4g

Решая дифференциальное уравнение при каком-либо значении вектора г, например, для zj°> = ^ = 1, получим

8<°> =8<°> =е|°^ = 2,17е^0) = —0,833

8<°> =

8<°> =

Для определения компонент эквивалентного якобиана последовательно даем приращения компонентам zx и zj, например Azx Az2 = ■■0,1, и путем решения дифференциального уравнения получаем:

8181в Г. Е. Пухов

81

81

'" Эквивалентный якобиан

2,27 — 2,17 0,12,37—2,17■0,1-0,733 4-0,833 0,1-0,783-7-0,833 0,12,27 — 2,17 0,12,37—2,17■0,1-0,733 4-0,833 0,1-0,783-7-0,833 0,14210,54210,5

2,27 — 2,17 0,1

2,37—2,17■

0,1

-0,733 4-0,833 0,1

-0,783-7-0,833 0,1

2,27 — 2,17 0,1

2,37—2,17■

0,1

-0,733 4-0,833 0,1

-0,783-7-0,833 0,1

4

2

1

0,5

4

2

1

0,5

Подбор компонент вектора г реализуем по выражению (3.46), которое в данном примере имеет вид

х(0)=х(0)12х'(0)х'(0)10,5х(0)=х(0)12х'(0)х'(0)10,5(»)(»)

х(0)

=

х(0)

1

2

х'(0)

х'(0)

1

0,5

х(0)

=

х(0)

1

2

х'(0)

х'(0)

1

0,5

(»)

(»)

практически точные начальные значения функции и ее первой производной, при которых решение дифференциального уравнения удовлетворяет краевым условиям. Таким образом, процесс итераций вектора г сошелся на первом шаге. Объясняется это тем, что эквивалентный якобиан был вычислен точно и дифференциальное уравнение линейно. .

Метод минимизации суммы квадратов уклонений. Идея метода весьма проста и заключается в поочередном изменении компонент вектора г так, чтобы сумма квадратов уклонений в граничных условиях уменьшалась от шага к шагу. Сами уклонения получаются путем решения задач Коши для заданных дифференциальных уравнений и подстановки этих решений в краевые условия.

Сходимость метода даже в случае линейных дифференциальных уравнений и граничных условий обычно весьма медленная.

Метед кенечных реенестей "

Идея этого широко применяемого на практике метода, называемого еще методом сеток, очень проста и заключается в том, что входящие в дифференциальные уравнения производные приближенно заменяют конечными разностями (табл. 1) и получают, таким образом, систему линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Последние часто называют сеточными уравнениями. Решение

№ п/п

Производная

Схема расположения узлов

—1 k -^ ' r -I"- .N I

Приближенная формула

1

dx

i >♦/ 5

!/ dx \’

( АЫ.=^-^

di

2

м 1» м

21 (Я!

з

Н г '

4

d4x . ,

A Id/» ^^""^ж+^+а

5

м 1 ^^.

A* ^"dt* \ ^ X(+i— ^ + xt-t, ,

6

/ М-8Й 1{

A \ dfl ~ *l ~ ^ -1 +*l-*

7

d»x dt»

i /♦/ i*2 1*3 '

№\"dS")r*1 — 3x,+1 +

8

>Vi

1-2 hl i 1*1

2,1 (■55"/(-*<+1-'^+ + 3X(—1 — *(—2,

9

i-3i-2H /'

№ (■$■),=^-3^-i+ !

+ ®xi—2 ^“ xi~ 3>

10

d*x dt4

IvH i*21*3.i*4

h4^Vxi-4xt+'i+ i + ®*<4-24*<+3 + ^+4

11

I-2H I hli^

h4^Vx^^^ + 6*1 — 4х1Ц-1 + x(4-21

12

' T* *x3 *V V1 V

,(.^И4X,-1+ j

+6 xt_ 2 — 4xz_3 + Xz—4 1

6*

№P

Таблица 1

Формулы для выражения производных через конечные разности I

№ п/п

Производная

Схема расположения узлов

Приближенна^ формула

13

41 11

ди дх

1

МД

1*1,к

^ (SL a8WeH.l

14

dt£x ду

1,К*1

1,к-1

16

Уи дх?

НУ

/♦/.я

А* 1 "тт 1 = ^r+i 6 — 2«/б + \ дх? jib ‘Т *

+ “1-1,6

161

Уи

i,**1

*в +“1,6-1

1.К-1

-И

h

1,К*1 v

/ д*и \

\ дхду )ife , ‘+*'в+1 1

- “ж, V-i - “i-i.^+i + “1-1,6-i

Уи

17

дхду

И,

к-1

/♦

',К-1

д*и

f-^K

Мд

/ 54И \

к41 о д 1. e W/_2 ьw 4М/ t ь +

18

+®«ife —4и,+11ц + «ж,б

19

Уи ду* huJ

6 /

f

1

\1,к*2

। д*и*\

^' "дх* 1 = К/'6+2 _ 4й/’6+1 "^

ч,к-2

+ 6ulfe ~ *и1, 6-1 + “«. 6-2 1

№п/п

Производная

Схема расположения узлов

Приближенная формула

20

д*мдхадуа

1-1, К-1 ' Н,1И

/ д4и \

h42Vd^)trttw-fe+l +

+ “<+1, Л-1 + “/-1, л-1 —

— 2нЖ. 6 ~ 2“<-1. к — 2“/. 6+1 —

-2“/,б-1+Чб

этих уравнений может производиться каким-либо из известных методов решения конечных уравнений.

Метод сеток применяется для решения дифференциальных уравнений как в обыкновенных, так и в частных производных. Составление сеточных уравнений рассмотрим прямо на примерах.

Рис. 3.1' Рис. 3.2

Пример. Необходимо составить конечно-разностные (сеточные) уравнения для дифференциального уравнения"

при граничных условиях: х (0) = х (Q = 0, х' (0) = 0, х" (I) = 0.

Разобьем промежуток интегрирования (0, Q на п равных частей и введем в рассмотрение величину h = Цп, называемую шагом конечно-разностной сетки (рис. 3.1).

ВосТюльзовавшись формулами 2, 5 и 11 (табл. 1), можем написать

h?’

^-i-4*z-i+6*i-4xw+z,+2x^i-^ + ^j

—:^H ai —Д2+ biXi = qt,

где Xi = x (tt) = x (ih), qt = q (ih}, at = a (ih), bi = b (th).

Полагая теперь i = 1, 2,..., п — 1 и учитывая, что х0 — х„ — О, X-х = хп х„+1 = 2х„ — xn-i, получаем, например, при п = 5, следующие уравнения:

3 —Й^ + Й4»!

— 4 + МО!

1

— 3 + Уоа

6 —гу^ + ^ба

— 4 + Уаа

1

1

— 4 + Уа3

6 —^og-b/i4».

—• 4 -f* Л®Дд

1

— 4 + h?at

5 —2Л»а4 + Л46*

Пример. Требуется составить сеточные уравнения для дифференциального уравнения Лапласа

dy2 ~ U

при условии, что область интегрирования представляет собой квадрат и значения функции и = и(х, у) двух независимых переменных х и у на контуре области равны (рис. 3.2):

и(х, 0) = 0, u(0, у) = 0, u(x,3)=l, и(3,у) = 1.

, Применяя формулы 15 и 16 (табл. 1) и обозначая через «у =

■= и\хь у^, получим.

-«10 + «01+ «12 +«и — 4ыи = О,

«11 + «08 + «13 + «88 —4^ = О,

'«20+«11+ «88+«31 — 4«ц = 0,

,«18 + «83 + «32 + «21 — 4«28 = 0.

Величины «ц, и12, и21, «аа — искомые, а «10 = «ао — “oi = “02 — О» «is — “зз = “os = “si = 1 и поэтому система сеточных уравнений принимает вид-

4«11 + «18 + «21 — О,

«114«],2 + «22 ~1,

«11 — 4«21 + «22 =1»

«12 + «81 — 4«22 “ г 2.

8 8. Приведевие днфферевцнвльвых уравнений в честных ироизведиых к обыкновенным уравнениям

При решении практических задач часто представляется удобным приближенно заменять дифференциальные уравнения в частных производных дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных.

Замена эта может производиться различными способами. Здесь рассмотрим только некоторые из них.

Метод прямых. Переход от дифференциальных уравнений в частных производных к обыкновенным может производиться методом конечных разностей. Подобный вариант метода конечных разностей часто называется методом прямых. Идею его поясним на примере дифференциального уравнения Лапласа

<3'48)

где и = и (х, у) — искомая функция переменных хну.

Фиксируя переменную у = yt и используя формулу 16 табл. 1, можем написать

/ ^и \“ (*. Уи) — 2« (х. Уд + «(*. Ул-1)

М-,,“—• <3'49’

Подставляя это выражение в уравнение (3.48), приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида'

к1 ^^^- + и (х, y#_i) — 2и (х, у^ 4- и (х, уж) - 0. (3.50)

Данная система должна решаться при заданных граничных условиях по переменной х. Так, например, для области, показанной на рис. 3.2 и фиксации двух значений у, а именно ух и у,, получим следующие дифференциальные уравнения:

(3.51)(3.51)№ ^ + «0-2^ + «2 = 0,

(3.51)

(3.51)

Aa-^ + «i-2«a + «a = 0, где ut = и (х, у^.

Пусть граничные условия имеют вид

(3.52)(3.52)и0 = и (х, 0) — 0, и (0, у) = 0,

(3.52)

(3.52)

tig = и (х, 3) = 1, и (3, у) = 1.

В этом случае дифференциальные уравнения ^-§-2^ + ^= 0,

(3.53)

должны решаться при краевых условиях: иг (0) = и» (0) = 0 и Mi (3) = иа (3) = 1.

Дифференциальные уравнения в частных производных могут приводиться к обыкновенным при помощи методов, основанных на замене функций многих переменных суммой произведений функций, каждая из которых представляет функцию только одной переменной. Так, например, функцию ш (х, у) двух переменных в этом случае представляют в виде

N

w (я, У) = 2 Ul W у< ^-(3.54)

Функции ut\x) выбирают так, чтобы граничные условия по переменной х удовлетворялись автоматически. Тогда подстановка (3.54) в дифференциальное уравнение, содержащее функцию w (х, у^ и ее частные производные по х и у, приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые необходимо будет решать при граничных условиях по переменной у.

Пример. Заменить бигармоническое уравнение

дх* ' z дх»ду» + ду4 -

где w = w (х, у) и Q = Q (х, у), при граничных условиях

mlO.y^w^y^O,=°

\/х=0\ и ]х=1

обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Представляем функцию w = w (х, у) в виде бесконечного ряда

^ = 2 ^sm-p,

Л=1

который, очевидно, всегда удовлетворяет граничным условиям при х = 0 и х = L

Подстановка ряда в заданное дифференциальное уравнение приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям

dy* V ) dy1 ' у t ] Y п

где функция■

Ф,Ду) = ^^(х, y)sm^dx..

Решение полученных обыкновенных дифференциальных уравнений следует искать при граничных условиях, заданных по переменной у.\

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Общая идея еператорнего метода решения дифференциальных уреаненнй

И электротехнике, автоматике, вычислительной технике широкую известность приобрел операторный метод решения различных задач. Метод этот основан на применении следующих двух взаимно обратных преобразований: .

F(p) = p^e-ptf(t)dt,(4.1)

f<O-sg $ ^F^dp,.(4.2)

из которых первое называют интегралом или преобразованием Лапласа — Карсона, а второе — интегралом Бромвича или обратным преобразованием.'

Входящая в эти уравнения величина р представляет собой некоторое комплексное переменное 1

Р = s + /о,(4.3)

причем f = — 1, a s выбирается таким, чтобы

Jime-PVW = 0.‘(4.4)

Важнейшим свойством интегрального уравнения Лапласа — Карсона является свойство, заключающееся в том, что это уравнение позволяет преобразовать любое дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами в уравнение алгебраическое.

Возьмем, например, следующее уравнение:

^+ах = 6,(4.5)

где а и b — постоянные.,

Применяя к уравнению (4.5) преобразование (4.1), получим

р I ^ + Р^(ах) dt=pj e~pt bdt,(4.6)

О ' г ' Оо

ИЛИ' '

Ре""^Ре""^ОО/ОО.00— pip § е~р/ xdt | + ар ^ e^xdt = b.О\ О/0'ОО/ОО.00— pip § е~р/ xdt | + ар ^ e^xdt = b.О\ О/0'(4.7)(4.7)На основе (4.4) мы можем считать, чтоНа основе (4.4) мы можем считать, чторе ^хре ^х= — рх(О),= — рх(О),(4.8)(4.8)оо

Ре""^

Ре""^

ОО/ОО.00

— pip § е~р/ xdt | + ар ^ e^xdt = b.

О\ О/0'

ОО/ОО.00

— pip § е~р/ xdt | + ар ^ e^xdt = b.

О\ О/0'

(4.7)

(4.7)

На основе (4.4) мы можем считать, что

На основе (4.4) мы можем считать, что

ре ^х

ре ^х

= — рх(О),

= — рх(О),

(4.8)

(4.8)

о

о

гдегдех(0) = х^о.х(0) = х^о.(4.9)(4.9)

где

где

х(0) = х^о.

х(0) = х^о.

(4.9)

(4.9)

Обозначая

р 1 e-pt xdt = X (р),(4.10)

перепишем выражение (4.7) в виде ’

'(р4-а)Х(р) = » + ^(0).(4.11)

Таким образом, вместо исходного дифференциального уравнения (4.5) мы получили алгебраическое уравнение (4.11). Решая последнее относительно неизвестной величины X (р), получим

Х№ = "V^ •.<4Л2>

Для того, чтобы получить искомую функцию х = х (0, следует подставить (4.12) в интеграл Бромвича (4.2):

x = f ^L(4.13)

Мы увидим далее, что результат интегрирования х^^—^е-^ + х^е-1.(4.14)

Исходная функция f (0 переменной t называется обычно в операционном исчислении оригиналом, а преобразованная функция F (р) комплексной переменной р— изображением функции /(Q. Таким образом, основная идея операторного метода решения дифференциальных уравнений может быть изложена следующим образом: -

При помощи интегрального преобразования Лапласа — Каррона находятся изображения исходных дифференциальных уравнений, причем во многих случаях вместо последних получаются алгебраические уравнения.

Полученная система алгебраических уравнений решается относительно неизвестных изображений, являющихся функциями комплексной переменной р.

При помощи интегрального уравнения Бромвича производится обратный переход от функций комплексной переменной р к функциям вещественной переменной L

Применение метода наиболее эффективно для решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

I S. Првобрамвааио Лапласа — Кароопа и ага оаойотва

Интегральное уравнение

(4.15)(4.15)” —О<

(4.15)

(4.15)

F (р) = р Г е f^dt

позволяет по данной функции f (0 вещественной переменной t найти изображение ее, представляющее собой функцию комплексной переменной

. р = $ + /о.,(4.16)

Функция /(0, входящая в уравнение (4.15), должна удовлет- порять условиям Дирихле (функция ограниченная, кусочно-непрерывная и имеющая конечное число максимумов и минимумов или совсем их не имеющая) и, кроме того, условиям

Л<0” {(4Л7)

( / (О при / > О

'lime^/(/) = О .(4.18)

при достаточно большом значении s.

Соотношение (4.15) условно записывается так:

F^^fW(4.19)

Рассмотрим основные свойства преобразования (4.15).

Изображение постоянной величины. Пусть f (f) = А = const. Подставляя f (О в уравнение (4.15), получим ’'

ооOQ '.

F (р) = р J e-pt Adt = — Ae"pt = А. (4.20) 0о

Следовательно, изображение постоянной величины А равно ей самой, т. е.

А-^А.(4.21)

Изображение суммы функций. Пусть f (0 = fi (0 ± к (0> причем F^p) фк $ и F9 (р) -±к (t). Из основного свойства определенных интегралов следует, что

■ fl (0 ± к(0 =F^± Fa (fl),(4.22)

т. е. изображение алгебраической суммы двух функций равно плгебраической сумме изображений этих функций.

Это свойство носит название теоремы сложения.

Пусть, например, требуется найти изображения функций:

1) ^а', 2)е“ и 3) е^ + Л Имеем

Се-(Р+а)< ” р

р 1 e-pt {е~^) dt = — р— — -X—.

хР+а Р^а

(4.23(4.23Следовательно, ’

(4.23

(4.23

р + а Подставляя в уравнение (4.15) функцию е6*, находим

р\е <е )dt = —p-—^ ор\е <е )dt = —p-—^ ор р — Ь’ ор р — Ь’ о

р\е <е )dt = —p-—^ о

р\е <е )dt = —p-—^ о

р р — Ь’ о

р р — Ь’ о

так Как действительная часть числа р может быть взята такой, чтобы выполнялось условие s > 6.,

Таким образом,-,,

еЫ2__Р(4.24)

р — Ь '' ' /v '

Изображение функции е~“' + 6м найдем, используя теорему сложения1

(4.25)(4.25)-«tf , bt _l Р , Р _ р^р + а—Ь)

(4.25)

(4.25)

• р-^-а"* р — Ь (р+а)(р — Ь) *

На основании этого результата легко найти следующие зависимости:,--

^^^Ч^^^-К.^^,(4.28)

sm at = -1- - j^Lya^ =(4-29)

cos at = ch ja = p»^^ - ^9 ;(4-30)

Изображение первой производной функции, Пусть f У) фЕ (р).

Тогда,,*

^ОО !,сооо

' ,=A-p^e-^dL >,

о - L J-<0,

По условию [е -> 0 д р^е ^f (t)dt = F(p).

<-*°° о

Поэтому данное выражение переписываем в виде

р I ^Л = “ р^ + pf ^

или

^ = Г (0 - р [F (р) - f (О)],(4.31)

|де / (0) — начальное значение функции / (/). Если / (0) = 0, то

М.-рРф’).(4.32)

Мы видим, что операции дифференцирования в области оригиНалов соответствуют алгебраические операции в области изображений.

Изображение п-ой производной d ^- функции f^^Ftpy Используя выражение (4.31), найдем сначала выражение второй (п = 2) производной.

Имеем ■

■^ = х [“^] -PW^-f (°)] - г (0)}. или,,.

^-^F(pWW-^ '(4.33)

где f (0) — начальное значение первой производной. I* Теперь по аналогии можем найти и изображение n-ой производной

S^p^to-lto-t^-^(4.34)

где ^ (0) — начальное значение 1-ой производной.

В частном случае, когда / (0) = 0, f (0) = 0, .... f^^ (0) = 0, формула (4.34) принимает вид

'm.^pnF(pY(4.35)

Изображение интеграла от функции

(4.36)(4.36)(4.37)(4.37)<p^=y^dL

(4.36)

(4.36)

(4.37)

(4.37)

е-Р* IfLoе-Р* IfLoИмеем

е-Р* If

Lo

е-Р* If

Lo

f (т)dr dt = — е~^ф(1) + f e^f(0dt.

Jо 6

Первое слагаемоё здесь равно нулю. Поэтому

ор

В теории электрических цепей часто встречаются интеграла вида

Ф(0 = V^dL <4-38* .■—ОО .-

Легко видеть, что

Ф(/) = р(0^ + 7 е^7(0^ = ф(0) + le^f^dt, (4.39) —»о, 0 - ; ,

где ■о

Ф(0) = $ НМ*(4.40)

.—°°.

постоянная величина. Поэтому'

‘Ф0- р(0Л = Ф(0) + ^-.(4.41)

Из п. 4 и 6 следует, что при нулевых Начальных условиях комплексную переменную р можно рассматривать как оператор, умножение которого на изображение функции дает в результате изображение ее производной, а деление изображения на р дает изображение интеграла. Это обстоятельство, по-видимому, и послужило основанием назвать рассматриваемый раздел математики операционным исчислением. '

§ 8. Теорема разложена*

Выше. было указано, что для нахождения оригинала по известному изображению следует в общем случае воспользоваться интегральным уравнением' Бромвича. Однако во многих случаях оригинал можно найти, воспользовавшись так называемой теоремой разложения.

Пусть изображение искомой функции f (t) имеет вид

" Р<п\ — fitiiL — °о + °1Р + ^р8 + • • • + атр” (Л дт r W ~(р) ьв + b# + ь»» + ... + ЬпРп '

причем п > т и корни знаменателя, получаемые решением уравнения

F2(p) = 0,.(4.43)

все различные и ни один из них не равен нулю.

При этих условиях функцию F (р) можно 'представить в виде

^— =. + =.7^-+-+=.^—s,+2««p-^- (4«)

Определим коэффициенты с6. Полагая р = 0, находим

Для определения остальных коэффициентов умножим обе ча. сти тождества (4.44) на ^у^ и положим, что р рк. Имеем

с = Нт(4.46)

Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим

lira— •(4-47)

Р-*Рк ^* ^ F^ (Рк)

где знаком ' (штрих) отмечена операция взятия производной по переменной р.

Таким образом.

F1W .. Л (0) , FxM .._

. F^ F,(0) p^fpj"р^ТрУ

Fi(°)F^Pk)

Замечая теперь, что

—Е—=ер<(4Л9)

р—Рк • ’х '

видим, что оригинал, соответствующий рассматриваемому оперативному изображению, равен

Fi(p) Рг(О)Ft^ePkt ,

ттй-г-кд+Д •<4-60>

Полученное соотношение и представляет собой искомую теорему разложения.

Следовательно, если в операторном выражении F^/F^p) наи- пысшая степень числителя не превышает наивысшей степени знаменателя и корни знаменателя все простые и ни один из них не ранен нулю, то оригинал / (0 можно найти по формуле (4.50) не прибегая к интегральному уравнению Бромвича.

| 4. Примеры иеиельзевеиия евейетв иреебрвзеиавии Лаилаоа — Кареена и тее ремы разложения

Пример 1. Определить изображение функции / (0 = 1е~м, где X — некоторая постоянная.

Подставляя /(/) в уравнение (4.15), получаем

Р tP+M t р + х ieР tP+M t р + х ie+ |pje e dtо \ о/+ |pje e dtо \ о/ОО

Р tP+M t р + х ie

Р tP+M t р + х ie

+ |pje e dt

о \ о/

+ |pje e dt

о \ о/

Не-р<[ТО1^ = о

Первый член в правой части равен нулю. Поэтому'

~ (р + Х)* ‘'

Пример 2. Решить дифференциальное Уравнение

,t+2,:=s.■ ,(«а

при условии, ЧТО X (0) = 1.’ ц .

' Обозначим *,, i *

,,(, ,Х(р)^*- ..ю (' ' V (4.53)

Тогда•" 11

' Следовательно,* - 1 11

р [X (р) — х (0)] + 2$ (/ф = 5.

0 Отсюда■ 1к.(1 ‘-

1 x'w= 6^+Г “ " 1 1 (4-54)

Л(/0 = 5^ ^(0), j Fe(p) = р^,. F^ Т ^ Р1 = —2- По теореме разложения -' <•■

53 —2Т „ /л\

2 ~ 2 *' ~ * (О'

Пример 3. Определить оригинал, соответствующий изображению' *'

pm cos a -f- p8 sin aPa + <o*

где fi> и a — некоторые постоянные.

Корни знаменателя (рг = /со и р2 = — /®) простые и т = п = 2. Поэтому для нахождения оригинала можно использовать теорему разложения.

Имеем * -^г(р) =ptocos a + pasiria, ‘

,/а(р) = Р* + ®8. ^(Р) = 2р,

fi(p) Л(0) . V FiM^fe* _ 0 /m^cosaJJ/m)^n^ /<»? . TWT1- F»(0) + ^ р6^(ре) ~ о8 f - (/m)2(/m) e "r

(— /m2) cos a + (— /ю)2 sin a(—/m)2(—/m)

e /erf = sin(to#4-a).

Следовательно, ' ' 1't ' ,И

-^-^-«-^sta^ + a).,4.55)

Пример 4. Найти оригинал, соответствующий следующему операторному изображению:

где а — некоторая постоянная.

Применить непосредственно теорему разложения здесь нельзя, щк как знаменатель имеет кратный корень рг = р, = — а. Поэтому для нахождения оригинала изменим условия задачи так, чтобы корни знаменателя были различны. Имеем

\р + °/ ь-*а (р + а)(р + 6) "

Временно считая, чго Ь =h а получаем по теореме разложения

(р —а)1^.ау. '-4а6е-в, + (6 + а)1е-м ( )

(р + а) (р + 6) ” fr "1(i —а)6'

Полагая теперь, что b -Vа,1 найдем

Г а ,(6 4-а)*е-“ —4a6e-et 1; *

Й1т+] =

= l-l|ra2JLL5H±^^^ч

ь-в26 —а м

Следовательно, ’ 1,

; (4.56)

Пример 5. Решить систему дифференциальных уравнений1 3^-+'2у+^-Л,■ " ‘ ’

f+4£+3x-0 ,'

при условии, что х (0) = у (0) — 0.11

Переходя от дифференциальных уравнений к их изображениям, получаем

^p¥^VTir^A-pX^=\.

рУ(р) + 4рХ(р)а+ЗХ(р) = 0.

Отсюда

г^Vs«\ " х^ г^-гп•

Применяя теорему разложения, находим

х(/) =* — е 11 ).

Пример 6. Решить дифференциальное уравнение

^ + 2-дГ + ^ = е■

при условии, что у (0) = 0 и,у'(0) =1./'

Имеем ,1

Ра [ Г (Р) - У (0) - ф] + 2р [Г (р) - у (0)] + Г (р) = ^.

Подставляя сюда начальные условия, находим

V = Р<Р + 2> — НтР(р + 2)

r w (р +1)' ~Тр+ТГОНГ+^о^П^^*

*(* + 2) -X2 в*(* + 2) -X2 вПрименяя теперь теорему разложения, получим

*(* + 2) -X2 в

*(* + 2) -X2 в

У(0 = Ит fЛ121=)£±Ч2(1±=)^ . JL а-»0

Изложенный выше и проиллюстрированный в настоящем параграфе на примерах метод нахождения оригиналов по их операторным изображениям при помощи теоремы разложения применим лишь в случае, когда операторная функция представляет собой рациональную дробь. Вообще же для нахождения оригинала необходимо решить интегральное уравнение Лапласа — Карсона относительно функции / (0- Это мы сможем сделать, если предварительно рассмотрим ряд Фурье в комплексной форме, интеграл Фурье и, наконец, интеграл Лапласа.

§ В. Ряд Фурье в комплоконой форме

Периодическая функция с периодом Т = 2я/©, как известно, может быть представлена тригонометрическим рядом Фурье

/ (f) = f (t 4- Л = Д + V (Bfe sin Ы + Ск «М (4.57) причем коэффициенты разложения выражаются через / (0 формулами:

г

Вк = -у ^ tv)smk<atdt,- С* «■ у j / (О cos ktotdt.Вк = -у ^ tv)smk<atdt,- С* «■ у j / (О cos ktotdt.щ <4.59)'(4,60)щ <4.59)'(4,60)

Вк = -у ^ tv)smk<atdt,- С* «■ у j / (О cos ktotdt.

Вк = -у ^ tv)smk<atdt,- С* «■ у j / (О cos ktotdt.

щ <4.59)

'(4,60)

щ <4.59)

'(4,60)

Ряд Фурье может быть представлен и, в комплексной форме, если синусы и косинусы заменить через показательные функции

'./Лю*.—/Лю**'■

.,sin kwt =.—:—^,, - t.

1 е/Лю* . g—jkvt(4.61)

С08.Ы = ~V.И -'

Подставляя эти равенства в ряд (4. 57), получим , ;.

HO- *+2 (Д^Ь^+^Иь ,M; ,(W

Введем обозначение’

Dk = А-&_ _^ je-lfetotf^dt. ;, (4.63)

Величины Dk при различных А имеют следующие значения:

- г

D! = 4- f e-i,Bt f (0 dt при k = 4-1,(4.64)

. 2 о

т

D_x = у-^+ie>tf(t)dt при fe = — 1

Н Т. Д..■’ ' ь(,

Поэтому ряд (4.62) можно записать еще так:. 1 • f 1 'Ч

'' w- SD/№-■(4.6^

7*7*Это разложение и является рядом Фурье в комплексной форме. Коэффициенты Dk ряда определяются по формуле (4.63).

7*

7*

^4

Интегралы Фурьа и Лапласа

Ряд Фурье применим только к периодическим функциям, т. е. этот ряд лишь тогда является эквивалентным выражением представляемой им функции, когда последняя периодическая и, кроме того, удовлетворяет условиям Дирихле. В других случаях ряд Фурье действителен только для некоторого ограниченного интервала.

Рассмотрим теперь непериодическую функцию f (t), которая подчинена условиям: пусть при t оо f (t) стремится к нулю, а интеграл ^f (0 dt имеет конечное значение. Такую функцию нельзя, конечно, представить рядом (4.57) или эквивалентным ему рядом (4.65). Однако функция f (f) может быть представлена при помощи предельного выражения ряда для бесконечно возрастающего основного периода Т или, что тоже, бесконечно убывающей основной гармоники Юц = ^-. Найдем это предельное выражение ряда.

Предварительно заметим, что при Т -* со разность частот между соседними гармониками будет стремиться к нулю. Действительно, Д© = (£4-1)©о-&% = юо = ^-^О,(4.66)

если Т со.

Когда функция f (О известна, то коэффициенты ряда определяются выражением (4.63). Если бы мы фактически выполнили операцию интегрирования (при известной функции f (/)), то получили бы выражение вида

Dk = ©0F (/fetog) = A©F Ук<й^(4.67)

учитывая это, можем переписать ряд (4.65) так:

+°О

Ц^ = 2 ^Fykti>6Vk№*t.(4.68)

к=—со

Обозначая теперь £©0 через со и переходя к пределу, получим следующее представление рассматриваемой функции:

/(0 = +f eitot F^dm.(4.69)

Это соотношение называется обычно интегралом Фурье. Функция F (/со) называется частотной характеристикой или коэффициентной функцией, так как она в определенном смысле выполняет роль коэффициентов обычного ряда Фурье и может быть выражена через ДО следующим образом.

Из выражения (4.67) следует, что при Т -► со

F (/to) = Um -—- = Um (= Um /.(4.70)

’ Д® Г-оо к “о / к 2я /

Подставляя сюда значение Dfe из формулы (4.63), найдем

e-^f^dte-^f^dtт

e-^f^dt

e-^f^dt

Ft/to^lim^J

T-*ooZ№ о

или

FW = ^e-,<a,f^dt.(4.71)

Это уравнение называется интегралом Лапласа.

Интегральные уравнения Фурье (4.69) и Лапласа (4.71) являются двумя взаимно обратными преобразованиями. Первое является решением второго и наоборот. При этом следует обратить внимание на внешнее сходство интегрального уравнения Лапласа — Карсона и уравнения (4.71).

Уравнения (4.69) и (4.71) можно объединить в следующее одно уравнение:

4-00ОО.

М»^ j e^e^dt,(4.72)

которое носит название двойного интеграла Фурье.

Интеграл Бремвнчв

Представление функции / (/) в виде двойного интеграла Фурье было получено в предположении, что lim / (О = 0. Если / (/) не удовлетворяет этому условию, то для того, чтобы применить (4.72), следует предварительно умножить эту функцию на показательную функцию е-,,<.При достаточно большой величине неотрицательной постоянной s0 можно считать, что

lime^f^O.(4.73)

Следует иметь в виду, что не для всех функций данное условие справедливо. Так, например, для функции ^' нельзя указать постоянного числа Sb, при котором (4.73) будет выполняться.

Полагая, что условие (4.73) выполняется, представим функцию е "*s,tf(0 двойным интегралом Фурье. Имеем-

.«Г^/(/) = ^ J Л® Je"i<ate"Mf (0dt. (4.74)

Обозначая далее ® = ст и р — sb + jo, получим ’ se+ /ооОО

^fW- i ^e-^dp^e-'-t^dt,(4.75)

' S,—/ооо

так как dp = jdo.

Очевидно, что второй из интегралов равен

£М •(4.76)

о

где F (р) — преобразование Лапласа — Карсона для / (t).

Поскольку s0 — постоянное число, a t не зависит от р, то функция e-s,t может быть вынесена из-под знака интеграла и поэтому

so+/oo

So—joo

Это и естыинтеграл Бромвича, который, как уже упоминалось, служит для определения оригинала / (/) по его операторному изображению F (р).

Выражение

ФО»)-^^(4.78)

условно будем называть фи-функцией и записывать интеграл Бромвича в виде

S.+/OO

/(0 = ^7 J V(p)dp.(4.79)

s,—/09,

Следовательно, нахождение функции f (/) вещественной переменной t сводится к интегрированию фи-функции по комплексной переменной р с постоянной вещественной частью s0 и переменной мнимой частью /со, изменяющейся от —/сю до +/сю.

Интегрирование по комплексной переменной имеет свои особенности. Для того чтобы ознакомиться с ними, рассмотрим некоторые основные положения теории функций комплексного переменного.

Краткие саадення из таернн функций комилаксиога параманнего

Понятие функции комплексного переменного. Пусть каждому значению комплексного числа z — х + /у, принадлежащему области D, расположенной в г-плоскости, соответствует значение комплексного числа w = и + /v, расположенного в ty-плоскостн (рис. 4.1). В этом случае мы будем говорить, что w является функцией г, т. е.

ty = /(z). '(4.80)

Плоскость г называется плоскостью комплексного переменного, а w — плоскостью функции комплексного переменного.

Если w есть функция от г, то и и и будут при этом вещественные функции двух вещественных переменных хи у. Так, например, если w = z®, то и = х®— $^ни = 2ху. Таким образом, задание функции комплексного переменного f (г) равнозначно заданию двух функ-

(/

ций действительных переменных х и у. Каждой точке Mt (хь у^ ид плоскости г соответствует определенная точка Nt (u^. на w- плоскости. Область Е называется отображением на плоскость функ

ции комплексного переменного области D. Если каждому значению г соответствует одно определенное значение ау, то функция w = f (г) называется однозначной, а в противном случае — многозначной.

Понятие о непрерывных функциях комплекс

ного переменного. Пусть / (z) есть функция г, определяемая во всех точках некоторой замкнутой области, и пусть гг — одна из точек этой области. Тогда говорят, что функция / (г) будет непрерывной

около zb если модуль разности

f(z + Дг) — f (z)

стремится к нулю при приближении модуля Дг к нулю, т. е.

Ит [/ (г + Дг) — / (г)] = 0.(4.81)

Дг-.О

W3. Понятие о производной от функции

г*Ьгл комплексного переменного. Производной на/ зывается'

. lim= f'^г). (4.82)

\ УДг—0“

Если производная существует, то предел не должен зависеть от способа при

- **х ближения точки г+Дг к точке г (рис. 4.2). Не всякая функция комплексного пе

Рис. 4.2 ' ременного имеет производную. Примером может служить функция к> = х — /у. Действительно, для этой функции

Дх + /Ду-

Ду—0'■

= Ит •(4.83)

дх-о,д* + /дУ‘'

Будем приближать точку г + Дг к г так, чтобы Дг = ^х, а Ду = 0. Тогда к/ = 1. Если же точку г приближать по другому пути, например, так, чтобы Ах = 0 и Дг = /Ду, то w' = —1. Следовательно, функция w .= х — /у действительно не имеет производной нигв одной точке.

Найдем условия дифференцируемости функции комплексного переменного.

Имеем

rW-Hm t'-ti?' -11m^4^- = Нт^Ц^. (4.84) Ах-ш, Ах 4" 1^9 ьх-*оДу-*о i^9

Д»-*о

так как предел не должен зависеть от способа приближения к точке z. Следовательно,

/ (2) = а? + ^ = -55" 1<4-85)

Отсюда условия дифференцируемости получаются в виде

(4.86)(4.86)ди до доди.

(4.86)

(4.86)

дх ” ду ’ дх — ду '

Эти условия называются условиями Коши — Римана.

Функции комплексного переменного, удовлетворяющие условиям Коши — Римана, называются аналитическими или голоморфными. На такие функции автоматически распространяются все правила дифференциального исчисления.

Пример. Пусть

/(z) = z8 = (x + /j/)a = xa —у* + /^.

Здесь и = л2 — у* и у = 2ху. Функция является аналитической, так как

2“ = ^ =2х8о_ди. 2

дх дудхду

Следовательно,

f(z) = (2a), = 2z.

Точки, в которых функция комплексного переменного не удовлетворяет условиям Коши — Римана, называются особыми. С целью пояснения рассмотрим несколько примеров.

Пусть

® = 2е (г —5) 1

Точки Z! = 0 и za = 5 являются особыми точками f (г), так как в них происходит разрыв непрерывности (функция обращается в бесконечность).

Для обратной функции

12» (2 — 5)

/(2)2+1

эти точки (Zj = 0 и z8 = 5) будут корнями, обращающими 1// (z)^b нуль. Точки, в которых функция комплексного переменного обладает указанными свойствами, называются полюсами. Точка z2 = 5

{вляется простым полюсом (полюсом первого порядка), а ^ = 0 — юлюсом второго порядка.

Существуют особые точки другого типа. Пусть.

1

№ = ez -

Тогда

11 г

/(г)'

Точка z = 0 будет особой как для функции / (г), так и для обратной функции 1// (z), поскольку в точке г = 0 производные f (z) и (1/7 (г))' не существуют. Особые точки такого типа называются существенно особыми.

Точки, в которых удовлетворяются условия Коши — Римана, часто именуют регулярными или голоморфными точками функции.

Понятие об интеграле от функции комплексного переменного. Пусть заданы функция 7 (z), которая может быть и не во всех точках дифференцируема, и путь интегрирования С. Тогда по определению интеграла

$ f (z) dz = £ (u + /и) (dx + /d^) = $ (udx—ody) +

+ j J (udy — udx).(487)

c

Таким образом, интегрирование по комплексной переменной приводится к нахождению двух обычных контурных интегралов. Величина интеграла, вообще, будет зависеть от пути С.

Фактическое вычисление интеграла производится следующим образом.

Пусть путь интегрирования С задан уравнением

(4.88)(4.88)(4.89)(4.89)коэффи-коэффи-(4.90)(4.90)г = х(т) + /у(т), причем пределы интегрирования удовлетворяют условию а < т < р (рис. 4.3). Тогда

(4.88)

(4.88)

(4.89)

(4.89)

коэффи-

коэффи-

(4.90)

(4.90)

ВВр

Г f (z) dz = J f [z (t)1 z* (t) dr = J Я (т) dr + / JI (t) dx, Caaa

где/? (т)и/(т) суть соответственно действительная часть и циент при мнимой единице выражения / [г (т)] г' (т), т. е.

/?(т) = Ке[7[г(т)]г'(т)},

г/(т) = Im {/[г(т)]г'(т)},

где Re и Im представляют собой обычные сокращения слов «действительная часть» и «мнимая часть» («Real park и «Imagine part»).

На основании формулы (4.89) вопрос о вычислении интеграла от функции комплексного переменного сводится к выражению обыкновенных определенных интегралов.

П р й м е р. Вычислить интеграл функции f (z) — ^- вдоль прямой Сх (рис. 4.4). Имеем

='И-11?-='И-11?-f[z(T)] =f[z(T)] == ^1 (1 +/tgT),

='И-11?-

='И-11?-

f[z(T)] =

f[z(T)] =

1'

COS*T ’

l£-(l+/tgT)l£-(l+/tgT)1

l£-(l+/tgT)

l£-(l+/tgT)

Следовательно, Я/4Следовательно, Я/47= " ТТГй"^ ~ ~Т= О — I tgт) cos2 т/Т 1 +tg®T уйх > & ’

Следовательно, Я/4

Следовательно, Я/4

< ML,< ML,$4=$ ^(l-/tgT)cos4№. _J_= c. 2-л/№\ 2 cos*t) 2

< ML,

< ML,

Отметим основные свойства интеграла по комплексному переменному, непосредственно вытекающие из его определения:

$f(z)dz = —jV(z)dz, с—с

(4.91)

Jof(z)dz = aJf(z)dz, сс

(4.92)

5 Vi (г) + f» (Z)J dz = IЛ (z) dz + J f, (z) dz. ссс

(4.93)

J f(z)dz = j f(z)dz+ f f(z)dz. C=C,+C,Cl• c.

(4.94)

Пример. Оценить величину интеграла J ^dz (рис. 4.5). Имеем

■ z = cost+ /sin т, ■ е = ecos Vsin\ , Следовательно, модуль фун;кции

|ег| = еС08ф<е® 2,718

XX«к как |cos<pl<l. Принимаем'^

X

X

■“|e4max=e. Тогда,

. J eedz < NIL = е -^-,

так как длина пути С равна L = -^-.

Понятие о теореме Койт. Вычис

лим интеграл от функций комплексного Рис 45 переменного по замкнутому контуру Г,' '

внутри которого нет особых точек функции / (z). Другими словами, внутри функция везде дифференцируема, т. е. удовлетворяет условиям Коши — Римана (4.86).'

Для вычисления интеграла,,

ф f (z) dz == ^ (udx—vdth + / ((vdx + udy^ (4.96) ггг

найдем условия, которым должны удовлетворять и и о, чтобы подынтегральные выражения были суть полные дифференциалы. Обозначая

udx — udy = dP = ^-dx + ^dy,' '

odx4-ud.y = dQ = -^-dx+ ^-dy,

можем получить,

дид*Р до д8Рдо ^Qди 8*Q-<

"дудхду •Эх~дудх'дудхду’~дхдудх‘

урз»рз»п8»0

Поскольку ^- = -^ и -5^ = то искомые зависимости получаются в виде ди ди до ди дхду И дхду ’-'

Но это. ничто иное, как1 условия Коши — Римана, которым по условию удовлетворяет / (г) внутри замкнутого контура Г. Таким

образом, подынтегральные выражения (4.96) суть полные диффергп циалы и поэтому значение интеграла

U^ = ^f (2) dz = Ф (z2) - Ф &) (4/Л| с. С

вдоль какого-либо пути С зависят лишь от начальной и конечной точек С, если / (?) аналитическая функция. В случае замкнутою пути Ф (z2) = Ф (z^ и поэтому

(4.98)(4.98)(ff(z)dz = O. г

(4.98)

(4.98)

Это и есть теорема Коши. Таким образом, теорема Коши формулируется .так: интеграл от функции комплексной переменной по замкну

**той кривой, ограничивающей область регулярных точек этой функции, т. е. точек, н которых выполняются условия Коши — Римана, равен нулю.

*

*

Одним из следствий теоремы Коши является то, что путь интегрирования Сх может быть заменен другим путем С8 без изменения

Рис. 4.6 значения интеграла, только в случае, если между Сх и С8 нет особых точек.

Действительно, полагая, что в заштрихованной области (рис. 4.6) особые точки отсутствуют, можем написать

f f(z)dz + J f(z)dz = O.(4.99)

С*с»

Это свойство позволяет иногда заменять какой-либо сложный путь интегрирования более простым, если между этими двумя путями отсутствуют особые точки интегрируемой функции.

Пример. Вычислить интеграл функции f (z) = -у вдоль пути С8 (см. рис. 4.4). Имеем

z (т) = cos т + j sin т = ^', г' (т) = /V1,

Поэтому

+т

(v- J ^а^)* -/-г-

_ л

4

Значения интеграла по различным путям С2 и С8 оказались равными, что и должно было быть, так как между Сх и Са функция /= (г) = ~ не имеет особых точек.

XXРис. 4.7Рис. 4.7Рис. 4.8Рис. 4.9Рис. 4.8Рис. 4.9

X

X

Рис. 4.7

Рис. 4.7

Рис. 4.8Рис. 4.9

Рис. 4.8Рис. 4.9

Как следствие теоремы Коши может быть выведено также, что нипурный интеграл по комплексной переменной сохраняет свою

.«•личину при замене замкнутой кривой, ио которой ведется интегрирование, дру- .nlt замкнутой кривой при условии, что на числовой плоскости между этими двумя «1мкнутыми контурами нет особых точек функции.

Пусть точка Л является особой (рис. 4.7). Тогда, если между Г\ и Гя нет особых то- wk, то согласно теореме Коши

I f^dz-V f /(^ + f f^dz-V J f^dz = 0,(4.100)

Г1abГ,6<z

тс интегрирование произведено таким образом, чтобы заштрихо- шшная область, в которой по условию не имеется особых точек, все ирсмя оставалась с левой стороны (такой способ интегрирования называется положительным относительно области).

Так как

У f^dz-V f f^dz = 0, abba

IO

^ f (z) dz = — ^ / (z) dz.(4.101)

г,Г,

Если теперь изменить направление обхода контура Гя, то получим

(4.102)(4.102)(^ f (z) dz = ф / (z) dz Г.г.

(4.102)

(4.102)

(рис. 4.8), т. е. интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам (здесь только один), если согласиться интегрировать по всем контурам против часовой стрелки.

Таким образом, если внутри замкнутого контура находятся пп одна точка, а несколько особых точек (рис. 4.9), то интеграл ио внешнему контуру можно заменить суммой интегралов по

внутренним контурам, окружающим особые точки, т. е.

§f(z)dz — d) ft^dz + ^ f(z)dz.(4.103)

'гctс*

Пример. Вычислить интеграл функции f ^ = — по ко»

туру, окружающему точку 2^ = 0 (рис. 4.10).

Так как / (z) регулярна всюду, за исклю

чением точки zx = 0, то в силу теоремы Ко ши можно заменить интегрирование по конту ру Г интегрированием по окружности ‘С с центром в Zj = 0.

Полагая z = peh и dz = jpe^di, получим 2я,

$ v = J -Лг (jVt) di = 2л/

, с о .

^ = /2л. г^ = /2л. г(4.104)(4.104)Следовательно,

^ = /2л. г

^ = /2л. г

(4.104)

(4.104)

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Вычислить интеграл / (z) = —у по контуру Г и по контуру С (рис. 4.11).■

Полагая г — а = h и dz = dh, получим ^7=7-^"-^<4.Ю5)

Интеграл по контуру С согласно теореме Коши равен нулю, т. е.

<£=о.

с г—а

Понятие о формуле Коши. ’Пусть мы имеем функцию -уу, в которой z

является фиксированной точкой, а А —

комплексной переменной. Эта функция является аналитической на всей плоскости, за исключением особой точки h. = z, в которой происходит разрыв непрерывности. ■

На основании теоремы Коши мы можем написать, что интеграл от рассматриваемой функции по какому-либо замкнутому контуру Г (рис. 4.12) должен равняться интегралу по другому контуру у, окружающему точку z, т. е.

' • ^4^dh = §1^Tdh- <4Л06> • Г V

Если радиус р окружности у взять достаточно малым, то можно утверждать, что значение функции в переменной точке h на контуре у и в фиксированной точке г будут мало отличаться друг от друга, т. е.

f (А) = f (z) + б (А),(4.107)

где 6 (Л) -> 0 при р 0.

Подставляя выражение (4.107) в равенство (4.106), найдем

Л —гЛ —гjiZ^a. ^1а£. + ^.Ш^. (4.108) ??

Л —г

Л —г

Рис. 4.12Рис. 4.12Поскольку f (z) не зависит от Л, пер- иый из интегралов имеет вид ^^ZT=t^^-^ = UW (4.109) vv

Рис. 4.12

Рис. 4.12

(см. формулу (4.104)). Второй интеграл можно оценить, воспользовавшись леммой Дарбу.

(4.110)(4.110)Имеем

(4.110)

(4.110)

При радиусе р, стремящемся к нулю, интеграл будет стремиться к нулю и поэтому

lim=(4.111)

р^о J г — п |'*

Таким образом, выражение (4.110) при р -> 0 может быть напи* емко в виде

(^ f<^L = f(z)2n/.

Отсюда

(4.112)(4.112)

(4.112)

(4.112)

Это и есть искомая формула Коши или интеграл Коши. Формула (4.112) дает возможность найти значение аналитической функции и произвольной внутренней точке z какой-либо замкнутой области, н которой функция f (z) регулярна, через значение / (г) на контуре, ограничивающем область.

Пример. Найти значение/(z) — (z + I)2в начале координат.

Очевидно, что / (0) = 1. Этот же результат следует и из фоому- лы Коши (4.112).

Действительно,

т-Я^д-^(‘+2+т)й-

2л/1 2л/ J 1 2л/ J к

так как первые два интеграла по теореме Коши равны нулю, а *^ = 2л/.

Разложение функции комплексного переменного в ряд Лорана и основная теорема о вычетах. Пусть функция f (z) аналитическая

за исключением нескольких особых точек. Всегда можно выделить некоторую область, ограниченную двумя окружностями, образующими кольцо, в котором функция f (z) аналитическая, а все особые точки выделены с помощью указанных окружностей (рис. 4.13).

Окружности Ki и Кг можно построить так, чтобы они имели общий центр (точка а).

Докажем, что значение f (г) в какой-либо точке z, лежащей внутри кольца Ki — Кг, равно сумме следующего сходящегося ряда:

,ООсо

6=0,6-1 ''

который носит название ряда Лорана.

Предварительно докажем так называемую обобщенную формулу Коши. .

Для простого контура, внутри которого функция f (г) аналитическая, мы имели формулу (4.112). Применим эту формулу для двухсвязной области, ограниченной двумя замкнутыми контурами 1\ и Г2 (рис. 4.14), причем предположим, что в заштрихованной об-

ласта / (г)*не имеет особых точек, вследствие чего-

+1 т^4» +1 ^-^<4а,4>

Г,6а

Второй и четвертый интегралы равны и противоположны по знаку, в результате чего их сумма обращается в нуль. Если теперь переменить направление обхода контура Гь то можно написать, что

-<4-15)

Это соотношение известно под названием обобщенной формулы Коши. .’. .

Обращаясь снова к рис. 4.14, выразим функцию f (z) внутри кольца Ki — Ка через разность интегралов-

Рассмотрим сначала первый интеграл.,

Имеем

_111■

h — г(Л — а) — (2 — а)h — а* г — а *

'‘‘“Л —а,

Известно, что геометрический ряд

■ JL- = 1+х + ^ + хз + _(4л17)

сходится при условии —1 < х < 1. В нашем случае значения Л лежат на внешней окружности Ka. a z находится в кольце. Поэтому » — а|•

КТГ5 < 1 и, следовательно,

/(А) _ fW Г. , г—а ., (г—а\* , , г —а » , Д 1Л 11ОХ + йГГ^^Т^ + I/CTI(4-118)

Поскольку правая часть этого выражения представляет сходящийся ряд, то его можно почленно интегрировать.

Произведя интегрирование, получим

2л/ J к —г • 2л/ 5 и —а ~АвАв

1131138 Г. Е. Пухов

113

113

или, поскольку, г,— а не зависит от к,

. 1 ,3 ЛКМ ।f412o)

2л/У к —г2Л/ У h — а ^ гл/1 ' ^ (Л —я)8 + ’ ’ ^^

Обозначим

„°*2л/УХА_а)Н-1 •

Тогда

W # Т=Г" = а» + °i (2 * °) + • • • = 2 “к (* - °)*- (4-122)

Рассмотрим теперь второй интеграл (4.116). Поскольку интегрирование нужно производить по внутренней окружности ,Ки то г — а

д '_:„ > 1 и примененный способ исследования не может быть использован, так как ряд (4.117) будет расходящимся. Поэтому дробь g-^7z представим в иной форме, а именно.

к^г = (к —а) —(г—а) = — г^а " ~ к —а '(4‘123)

Так как сейчас h являются точками внутренней окружности Кц | Л — а | '

то k^?5 < 1 и, следовательно, -

1 f W х/Vi) г /д\ к а ,... (Л — а)8

,Л —z ~ г —ayt—a)1^ — а^

Интегрируя почленно, находим

.+^* V^§<h^aW)dh-....(4.124)

Вводя обозначение.

-a_k = ^&Qi—4i^xHK}dh. ,(4.125)

можем написать также'

гС НкУкк«-!,0-2 , , V а-к... -

2л/ У к — zz —а "*~ (z — а)8 + '" ’^ (г—аУ ‘ ‘

Комбинируя (4.115), (4.122), (4.126), получим разложение функции f (г) в ряд Лорана (4.113);

Этот ряд можно записать так:

7(z) = 71(z) + /2(z),(4.127)

где*.

/1(2) = 2 “^-^(4.128)'

6—0

''(4Л29>

Функция fx (z) называется правильной частью ряда Лорана и представляет собой аналитическую функцию внутри окружности К2. Функция /2 (z) называется главной частью ряда и является функцией, аналитической вне окружности Ki- Внутри кольца Ki — К2 и fi (г), и /2 (г) аналитические. '

Коэффициент о-1 при первой отрицательной степени ряда Лорана Играет очень важную роль в операционном исчислении и называется интегральным вычетом или просто вычетом функции f (z).

Из выражения (4.125) интегральный вычет'

,a_x = -^r§f^dh .(4.

равен контурному интегралу от / (z), разделенному на 2л/.

Если функция аналитическая в какой-либо точке о, то по теореме Коши ^ 7 (z) dz^ 0, где Г — замкнутый контур, окружающий'точ- г'

ку а. Когда же точка а является особой точкой, то значение интеграла уже будет равно не нулю, а вычету функции в точке а, умноженному на 2л/. Действительно, из формулы (4.130)-

(^ 7 (z) dz = 2n/a_!.(4.131)

i?.

Таким образом, вычисление контурного интеграла вокруг какой-либо особой точки функции f (z) может быть по существу сведено к определению интегрального вычета в этой точке.

Если внутри контура Г находится не одна, а несколькоособых точек (см. рис. 4.9), то на основании теоремы Коши, " ~ ]

■^/(z)dz= ^/(z)dz + ^/(z)dz.(4.132>

гСгс,'

Разделив обе части этого равенства на 2л/, получим'

^ ^ / (z) dz = «У + а^,

где a<i| — вычет f (z) в первой особой точке, а а^£ — во второй особой точке. Вообще'

•^f^di-i, А' Г6=1•^f^di-i, А' Г6=1(4.133)(4.133)

•^f^di-i, А

' Г6=1

•^f^di-i, А

' Г6=1

(4.133)

(4.133)

где п — число особых точек, ограничиваемых замкнутым контуром Г.

Таким образом, интеграл функции комплексного переменного по какому-либо замкнутому контуру, разделенный на 2л/, равен алгебраической сумме вычетов в особых точках, находящихся внутри этого контура.

Соотношение (4.133) называется основной теоремой о вычетах и может быть записано ещё так:

^(z)3z= 2л/2 a-t 'Г6-Н^(z)3z= 2л/2 a-t 'Г6-Н(4.134)(4.134)

^(z)3z= 2л/2 a-t '

Г6-Н

^(z)3z= 2л/2 a-t '

Г6-Н

(4.134)

(4.134)

Вычисление интегральных ометов. Пусть точка а представляет собой простой полюс функции / (z). Тогда согласно формулам (4.127), (4.128) и (4.129)

/(z) = а0 + a^z — а) + ^z — of + ... + -—, (4.135)

причем главная часть разложения Лорана будет содержать только одну первую отрицательную степень (z — а), ибо по условию точка а является полюсом первого порядка.

вую часть, что, очевидно, возможно лишь при условии отсутствиявую часть, что, очевидно, возможно лишь при условии отсутствияЭто обстоятельство можно пояснить еще и так. Соотношение (4.135) является тождеством. Полагая в левой части z = а, мы получим бесконечность, так сказать, первой степени; такого же порядка бесконечность должна получиться и при подстановке z = а в пра

вую часть, что, очевидно, возможно лишь при условии отсутствия

вую часть, что, очевидно, возможно лишь при условии отсутствия

■а» । а~

в правой части слагаемых (г—а)5" > (Z_0)s и т- А- Умножая (4.135) на z — он переходя к пределу, найдем

О—! = lim[(z —a)f (z)J.О—! = lim[(z —a)f (z)J.(4.136)(4.136)

О—! = lim[(z —a)f (z)J.

О—! = lim[(z —a)f (z)J.

(4.136)

(4.136)

. Эта формула позволяет очень быстро находить вычет функции относительно полюса первого порядка.■

Пример. Пусть f (г) = |±у- Требеутся определить $f (2) dz, где Г — замкнутый контур, окружающий точку zr = 1 (рис. 4J5).

Согласно равенству (4.131) искомый интеграл имеет вид

^ —Ц-dz = 2лН\ г z—1

Точка zt = 1 является простым полюсом функции f (z) и поэтому для вычисления вычета оЩ можно воспользоваться формулой (4.136)»

Имеем

оУ = lim[(z —- 2.

Следовательно, '

, г 2.

Обобщим формулу (4.136) на случай полюса я-го порядка. •'

Если f (z) в точке а умеет полюс га-го порядка, то ряд Лорана запишется в виде

/(г) = а0 + Мг —a) + Mz —а)8 + .-- + -^z^ +

+ -^ + - + (7Z^’(4Л37>

причем все члены разложения, начиная с "^y^v и йыше по причине, аналогичной рассмотренному случаю простого полюса, будут отсутствовать. , . , . ,

Дифференцируя ряд (4.137) (га — 1) раз и переходя к пределу^ получим ' / ~ ’

0^)=—*lim*(2— 1)1 z*20^)=—*lim*(2— 1)1 z*2Если условно считать, что 0! = 1,. то это выражение годится и для еду-, чая га = 1, т. е. для нахождения вы, чета в простом полюсе. 1 . Пример. Найти вычеты функции f (z) = -^_ ц^-цг, в точках гг = 1 н z2 = 2 (рнс. 4.16) и вычислить интегралы f (z) по контурам Г и С..

0^)=—*lim

*(2— 1)1 z*2

0^)=—*lim

*(2— 1)1 z*2

Точка- гг= 1 является полюсом первого,порядка, a z2 =,2 — полюсом второго порядка. Поэтому

оУ = lim|(z — 1)оУ = lim|(z — 1)(z-l)(z-2)* z

оУ = lim|(z — 1)

оУ = lim|(z — 1)

2) (Z-I)(Z —dz ■ -

' Интеграл по контуру Г, охватывающему обе особые точки, запишется так:'■

^v^^=M^+^N°.

. Интеграл же по контуру С, который охватывает только точку г2 = 2, имеет вид

".$ (г —l)(z —2)* “ Ma-i = — 2я/.

Рассмотрим еще вычисление вычета в простом полюсе функции f (z), которая может быть представлена в следующем виде: .

-'(4.139)

где ф (z) и ф (z) удовлетворяют условиям ф (а) + О, ф (а) = О и ф' (а) * 0. Функция ф (z) в точке а регулярна.

‘ По формуле (4Л36) имеем 1

■о-'=й[(г-а)*§-]='|>(о>й[^]-

' При г — а и числитель, и знаменатель обращаются в нуль. Для раскрытия получающейся неопределенности применим ' правило Лопиталя.."

Имеем'

' 1 *л , — Нт Г 1 — ^ ^■/4 140^

г™ [Ф'Ф(«)’

т. е. в'этом случае достаточно взять производную от знаменателя и подставить вместо г значение №.

■'^ г

Пример. Для-f (г) — цтг^у вычислить-вычеты в точках zt = = 0 и га = 1.■.

- Для Zi = 0 функция ф (г) = ^ _ г- и ф (?) = г.

Поэтому■.

Для точки za = 1 функция ф (г) = —— и ф (z) = 1 — z и, следовательно, .-/■

Сумма вычетов,,

аУ + ^^1-^.

Вычисление интеграла Брамаича

Выше мы познакомились с методами вычисления интегралов от комплексной переменной, взятых по замкнутому контуру.

В уравнении Бромвич?

«,+/оо*"У“

dp (4.141)dp (4.141)Н0 = -^ ( W^dp-Ar J

dp (4.141)

dp (4.141)

интегрирование ведется не по замкнутому контуру, а по прямой, расположенной параллельно оси мнимых на расстоянии s0, в пределах

ОТ —joo до +/со.

являетсяявляетсяВ уравнении (4.141). / представляет собой вещественный параметр, постоянный в отношении р, а р— вообще говоря,

является

является

ййсс■х■хААРис. 4.17Рис. 4.17комплексным числом.

й

й

с

с

■х

■х

А

А

Рис. 4.17

Рис. 4.17

Для вычисления интеграла (41141) на функцию ™р-’ представляющую собой изображение / (0, разделенной на р, налагаем следующие необходимые условия:

SoSo—F (р) — аналитическая функция в точках, расположенных справа от прямой So и на самой прямой s0;

So

So

пусть абсолютное значение функции F (р) при безграничном возрастании

| р | стремится к определенному пределу,

Оба эти условия для операторных функций F(p), получаемых при решении различного рода физических задач, обычно бывают выполнены.

Чаще всего под t в уравнении Бромвич? понимается время. Поэтому практически представляется интересным уметь вычислять интеграл (4.141) при t > 0. Для нахождения интеграла в этом случае в зависимости от вида подынтегральной функции существует несколько методов (метод разложения в ряд функции Ар (р), метод приведения к вещественному интегралу, метод получения асимптотических разложений для Ар (р) и т. д.).

Мы здесь рассмотрим только один метод, а именно, метод, основанный на применении изложенной выше теории вычетов. Этот метод применим только в том случае, когда Ар (р) является меро- морфной функцией. Мероморфной функцией называется всякая однозначная функция, которая в области Г не имеет других особых точек, кроме полюсов. К этим функциям принадлежат целые функции, не имеющие вообще особых точек на конечном расстоянии, и рациональные функции, имеющие ^только полюсы и притом конечное

число последних. В физически^ задачах > чаще всепУцриходиггся иметь дело именно с мероморфными функциями. '

Итак, предполагая, что-i-F (р) не имеет других особых точек, кроме полюсов, рассмотрим вычисление интеграла Бромвича.

На основании основной теоремы о вычетах для замкнутого контура ЛВС .4 (рис. 4.17) можем написать

^JZ^'-^’(4Л42>

где п — число’особых точек функции] ф](р)]= е₽/-£^, находящихся внутри контура АВСА.

Поскольку,--

АВСА АВ ВСА ■ то выражение (4.142) можно переписать в виде

л

WJ X^d, -5 „Щ-^^d,. (4:143)

При неограниченном возрастании радиуса дуги ВСА, т. е.при р -* оо, получим.'

■ f (/) = Игл 2 a!3- lim-s^r f dp:‘(4.144)

Докажем, что последний предел равен нулю.'

При бесконечном возрастании радиуса р угол а (рис. 4.17) стремится, очевидно, к -^-. Поэтому ,.

"' я'

lira ( ept ~^- dpD*oo Dnl"lira ( ept ~^- dpD*oo Dnl"cos a-|-/p sin acos a-|-/p sin a»-**BCA»-**BCAЯЯ^ i^4” '^ i^4” '

lira ( ept ~^- dp

D*oo Dnl"

lira ( ept ~^- dp

D*oo Dnl"

cos a-|-/p sin a

cos a-|-/p sin a

»-**BCA

»-**BCA

Я

Я

^ i^4” '

^ i^4” '

или

' "2•

Пт f eP'^-dp = lim С | ^cos 0611F (р) | dec, (4.145)

<>-►« ВСА Р/Р*00 я

где положено р = ре^“ и dp = jpeiada.

Функция F (р) при р -* оо стремится к определенному пределу. Нетрудно видеть также, что при -у- С а<—^- ,т. е. во втором ц

третьем квадрантах сое а отрицателен (cos а < 0). По этим причинам при неограниченном возрастании радиуса р:

lim I ^с^0^ s,na>' р-»ооlim I ^с^0^ s,na>' р-»оо= limр^оо= limр^ооgpcos atgpcos at= 0,= 0,(4.146)(4.146)

lim I ^с^0^ s,na>' р-»оо

lim I ^с^0^ s,na>' р-»оо

= limр^оо

= limр^оо

gpcos at

gpcos at

= 0,

= 0,

(4.146)

(4.146)

если t > 0.

Таким образом,^интеграл, взятый по дуге ВСЛ, при р -> ©о действительно равен нулю.• ;

Следовательно,'«1

Se+/°°Л

=1 ФО>)^ = 2^t>0.(4.147)

* Svl00, 6^1

Полученный результат можно сформулировать следующим образом: оригинал равен алгебраической сумме вычетов во всех особых точках фа-функции t

фО>)=У^*(4.148)

если только последняя представляет собой мероморфную функцию.

Пример. Найти оригинал следующего операторного, «изображения:

Находим фа-функцию,«■

т wр(р — а)»

Эта функция имеет одну особую точку, а именно, полюс второго порядка при р! = а. Вычет в этом полюсе равен

-а-^^|(,-^т(,)]-1£(^-^

Поэтому■

' ' ‘ '1 (^ = ^- 1(4.149)

Проверим этот результат, воспользовавшись уравнением Лапласа — Карсона.

Имеем ' ’ г,

pt „-0>-ях|pt „-0>-ях|е— (p-о)t ,' р’ I

pt „-0>-ях|

pt „-0>-ях|

Р — О (р —В)1*

что н требовалось установить.

§10. Некеторые тееремы операцпеппеге почпслоппя. ■■

Основными соотношениями операционного исчисления, как мы видели, являются преобразование Лапласа — Карсона и преобразование Бромвича. Любая задача операторного метода может быть сведена к оперированию этими двумя преобразованиями. При практических вычислениях, однако, часто быстрее ведут к цели некоторые теоремы, являющиеся следствиями уравнений Лапласа — Карсона и Бромвича. Часть таких теорем была уже приведена в § 2 данной главы. Здесь дополнительно рассмотрим другие соотношения, применение которых бывает полезным при различного рода практических вычислениях.

Рассмотрим теорему смещения параметра р.

Пусть; f (f)±F (р). Найдем оригинал операторной функции F (р 4- X), получающейся из F (р) путем замены, перемен ной р на р + X. Число X положительное и вещественное.

Имеем

F (р + *) = (р + Kj^e-^f^dt .0

Умножая обе части этого равенства на ^^, получим

" ^Ftp+X^p^e^^f^dL ' '

Отсюда

J^-F(p + X)^e-“f^.(4.150)

Заменяя здесь X на~-Х, можем написать, что вообще

-^-F(p±X)^e™f(n.(4.151)

Таким образом, умножение изображения на р±^ с одновременной заменой в изображении комплексной переменной р на р ± X соответствует умножению оригинала на показательную функцию е™..

Пример. Известно, что р^^ ± sin of. Пользуясь теоремой смещения, найти изображение функции sin of.

Имеем'

е-8* sin of ±•(4Л 52>

Рассмотрим теорему подобия.

Пусть f (f) tlF(pV Найдем изображение функции /(of), получающейся из f (f) путем замены переменной f на of, где а — положительный вещественный параметр. ■

Имеем

pJe-^(otf)d/=-^Je ® ”/(о/)<Z(о/).

Отсюда

f(«O±f(-^).(4.153)

Следовательно, если в изображении умножить р иа какое-либо вещественное число а, то в оригинале независимое переменное / должно быть разделено на то же число и наоборот.

Пример. Извёстно, что e-t = р^у- Определить изображение

Здесь f(O = e *, f(aO = e 8t и Рф)--К-. Имеем

Рассмотрим теорему запаздывания.

Эта теорема может быть еще названа теоремой смещения начала счета независимого переменного t.

Найдем оригинал, соответствующий изображению ё^Р (р), где т — положительный вещественный параметр.

Используя уравнение Бромвича, записываем

1 J1 у ^F^

Se—i*г1 Sg—jooм

Отсюда непосредственно следует, что

/(/ —т)^е-^(р)./(/ —т)^е-^(р).(4.154)(4.154)

/(/ —т)^е-^(р).

/(/ —т)^е-^(р).

(4.154)

(4.154)

При использовании этого выражения нужно помнить, что оно действительно ,лишь для функций, равных нулю для всех отрицательных значений L Поэтому полученную теорему смещения более точно можно записать так:

( f (t — т) при t > т.( f (t — т) при t > т.(4.155)(4.155)

( f (t — т) при t > т.

( f (t — т) при t > т.

(4.155)

(4.155)

Данное соотношение хорошо иллюстрируется рис. 4.18, о и б, из которого видно, что умножение изображения на е-^ ведет к смещению графика оригинала на величину т в сторону возрастания I.

Теорема запаздывания позволяет находить изображения функций, имеющих различные аналитические выражения на отдельных интервалах переменной t. Поясним это примером.

Пример. Найти изображение функции, приведенной на рис. 4.19. Эта функция может, быть представлена как сумма двух функций /х (0 и /а (О указанных на рисунке пунктиром.

кт

Рис. 4.18Рис. 4.19

Изображение первой функции

fi(0# <?, а изображение второй на основе теоремы запаздывания

Следовательно,

f (f) = а — аегР\•(4.156)

Этот результат позволяет, между прочим, определить функцию, изображение которой F (р) = р.

Допустим, что а и т могут изменяться, но так, чтобы их произведение всегда равнялось единице (ат = 1). В пределе, когда т-> 0 и а -> оо, мы получим функцию, которая везде равна нулю, за исключением начала координат, где она обращается в бесконечность. Изображение такой функции, которая называется импульсной функцией 6 (f), мы найдем, если вычислим предел

1 РТ

lim-= р.(4.157)

т-*о т

Следовательно, р представляет изображение функции 8 (f), т. е.

8(0#р.(4.158)

Заметим еще, что, если в выражении (4.156) положим а = 1 н т = оо, то получим изображение так называемой единичной функции

.(4.169)

(1 для t> 0, график которой изображен на рис. 4.20, а.

е-р? = ст0(/ —т)е-р? = ст0(/ —т)О для t < т, 1 для t > т.О для t < т, 1 для t > т.Изображение такой функции, но запаздывающей на # = т, очевидно, имеет вид Л '•

е-р? = ст0(/ —т)

е-р? = ст0(/ —т)

О для t < т, 1 для t > т.

О для t < т, 1 для t > т.

Чр<УЧр<У(4.160)

Чр<У

Чр<У

График этой функции приведен на рис. 4.20, б.

Рассмотрим теорему Г. А. Гринберга или, что тоже, первую тео-

Рис. 4.20Рис. 4.20рему умножения.о

Рис. 4.20

Рис. 4.20

Пусть Л (р) = А (р) и Fa (р) ~ = fa (t). Найдем изображение, соответствующее произведению Д (/)/2 (0-

Имеем

/1 (0 fi (0 = Р j erptfi. (t)M)dt.(4.161)

Представим функцию /а (0 в виде интеграла

S»+/°o'1,

f.«fi=-s- t «"^Г6-*<4.162)

* st—/ОО 'I,

где через гу обозначена переменная интегрирования (эта замена произведена для того, чтобы не спутать ее с переменной р, входящей в основное соотношение (4.161)). . /

Записываем

St+/ooОО

j ^Ldw^ertP-u^dt. (4.163) ' st—/еЬ0

Отсюда и получается нужная теорема st+/«>

f, (0 /, И = ^j- f ’^T'1 • ^ M (4.164)

которая позволяет, если известны изображения двух функций, найти изображение их произведения.

Пример. Пусть i = ige-^^fo—^— и u == Е (1 — е-в<)±

Требуется найти изображение функции, равной произведению id. Имеем

S.+/OO, О Р f К*®о W 1,

^* ~ 2Л/ g^joe (° — ш + Р) <Р ~ ш) f° ®4-Я * ® гУ‘

Прямая So расположёна вправо от особых точек /а (0 = i, а действительная часть р может быть сколь угодно большим числом. Поэтому интегрирование по прямой s0 может быть заменено интегрированием по замкнутому контуру, окружающему точку wx = = —а. Вычет подынтегральной функции в этой точке равен

0-1 =2^ (^ + °^ (р — ®) (р — ® 4-а) (ш + а) / “ (р4-а)(р 4- 2а) *

Следовательно, ',

ui-^,“ • (р + а)(р + 2а) *

Этот результат можно проверить непосредственным нахождением изображения произведения Mt.

Рассмотрим теорему Бореля, или, что то же, вторую теорему умножения. Эта теорема позволяет решать задачу об обратном преобразовании произведения функций.

Пусть Л (0 ± Fx (р) и /2 (0 ± Fa (р)..

Найдем оригинал, соответствующий произведению операторных функций Л (р) Fa (р).

Имеем

$«+/«>

«о+/«>«о+/«>^-^ S ^•^M^WdxIdp-«О—/60I О,^-^ S ^•^M^WdxIdp-«О—/60I О,^W,^ J «..f^M lp =

«о+/«>

«о+/«>

^-^ S ^•^M^WdxIdp-«О—/60I О,

^-^ S ^•^M^WdxIdp-«О—/60I О,

со«гИ60t

= i^dx-^T f eP^b^dp^Mt-x^^dx.

О* Se—i»p0

Поскольку функция /j (t — т) равна нулю для t = т, то в первом интеграле в качестве верхнего предела можно поставить / и написать -

7" Л (Р) Fa (р) = ^ (t - т) fa (т) dx = рх (т) Ь (t - т) dxt(4.165)

так как при выводе мы могли поменять местами fx (/) и /а (О- Полученное соотношение и выражает вторую теорему умно

жения.-

Пример. Найти оригинал, изображение которого равно

Р(р4-а)(Р + ^) 1Имеем

Р = 1 р . Р(р 4-а) (р 4-6) р ’ р + а ‘ р + Ь ‘

Но

'£ — g-л и -—===е-ь/.‘

р + а-р^Ь1с *,

Поэтому

-T^raT-TT^ ^"^ ^ ^ =" •(4‘166)

(Р + °)(Р + ")§4•

Рассмотрим теорему А. М. Эфроса. Эта теорема позволяет найти оригинал, когда в изображении комплексная переменная р заменяется какой-нибудь функцией q (р).

Пусть f(t)=:F (р). Найдем оригинал ф (/) для случая, когда р заменяется на q = q (р), т. е./•

te^FXq^FXq^V(4.167)

.В уравнении. ,

J 1 F^ = p*er^t^dt ',

заменим р на q (р). Имеем'

FlqW^q^He-iWKOdt

Оригинал, соответствующий изображению F \q (р)], найдем обычным образом:

• ?(Р)Jenwt^di .. о.• ?(Р)Jenwt^di .. о.,Se+/oo

• ?(Р)Jenwt^di .. о.

• ?(Р)Jenwt^di .. о.

»»-яг I, ^

-*0-/«, г

Предполагая теперь, что порядок интегрирования может быть изменен, перепишем это выражение еще так: 00 Г So+/oo, ."

Vto-J Т Iftodx-

о L ' «Л» р ,'

- ‘ = |^(Л г)/(т)</т’'-(4,168)

где1‘'

'5 (/, т) л: q (р) е~9 <р) т. .(4.169)

В заключение приведем, некоторые элементарные зависимости, простц выводимые непосредственно из преобразования Лапласа— Карсонй. '-’ ’

Эти зависимости следующие:■

tf^^tf^^dpdp(4.170)(4.170)

tf^^

tf^^

dp

dp

(4.170)

(4.170)

00

^Jfo»^.

(4.171)

df (а, t) _l. dF (р, а) da ~ da ’

($.172)

f(O)=:limF(p),

(4.173)

lim/(0^1imF(p).

(4.174)

#-►00р-^0

§ 11. Применение еиерециениеге начисления к решению дифференциальных урнвиеаий

Рассмотрим несколько примеров применения операционного исчисления, а также многомерных векторов и матриц к решению линейных дифференциальных уравнений в обыкновенных производных.

Пусть дано следующее дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

а^ + an-i^"-11 + • • • + «У + М = / W (4.175) и начальными условиями вида при х = О

У = у (0), у* = у* (0)^"-‘)= ^"-Ч (0).(4.176)

Переходя от дифференциального уравнения к его операторному изображению, получим

апРп У^ — У^—"^- — - •^т^]+- • • +

+ <ЧР [у (р) — У (0)1 + аоу W = F (Р).(4.177)

где F (р) — изображение f (ж), равное'

Поскольку система дифференциальных уравнений n-го порядка всегда может быть сведена к системе уравнений первого порядка, то этот случай можно считать достаточно общим.

Итак, пусть нам дана система из п дифференциальных уравнений ^постоянными коэффициентами, записанная в виде

Т + аиУ1 + ад + • • • + а1пу„ = Л (х), (4.181)

Т + а«1У1 + «„а & + • v + а«пУп = tn W»

где ух =ух (х),..., yn = ytt (х) суть вещественные функции вещественной переменной х, a fx (х),..., fn (х) — известные функции того же аргумента.

Полагая, что функции yt = yt (х) и ft (х) являются компонентами n-мерных векторов, указанную систему уравнений можем записать в виде

-^- + Лу = /,(4.182)

где через А обозначена матрица коэффициентов ау.

Переходя теперь от матрично-векторного дифференциального уравнения (4.182) к его операторному изображению, получаем

р1У(р)-0(О)1 + ЛУ(р) = £(р),(4.183)

где у (0) — начальное значение вектора у (х); У (р) и F (р) — операторные изображения у (х) и f (х).

Решая последнее уравнение относительно У (р), получаем

У (р) = (р£ + Л)-1 [F (Р) + РУ (0)],(4.184)

где Е — единичная матрица.

Переход от операторного изображения У (р) к оригиналу у (х) производится рассмотренными методами.

Пример. Требуется решить систему уравнений

dxidtdxidtх2 = 0.х2 = 0.

dxi

dt

dxi

dt

х2 = 0.

х2 = 0.

О'

1

4

0

-^- + 4x^0. Имеем,

Р— 1— 4РР— 1— 4Р(р£ + Л)-1 =(р£ + Л)-1 =dx. dtВычисляем

Р

— 1

— 4

Р

Р

— 1

— 4

Р

(р£ + Л)-1 =

(р£ + Л)-1 =

9 Г. Е. Пухов129

Х^ =Х^ =А Vi ра —4А Vi ра —4-l-shK,-l-shK,*i*ich 2/-Lsh2f2 sh 2iFch 2# .ch 2/-Lsh2f2 sh 2iFch 2# .*1(0)*1(0)*1(0)*1(0)

Х^ =

Х^ =

А Vi ра —4

А Vi ра —4

-l-shK,

-l-shK,

*i

*i

ch 2/

-Lsh2f

2 sh 2iF

ch 2# .

ch 2/

-Lsh2f

2 sh 2iF

ch 2# .

*1(0)

*1(0)

*1(0)

*1(0)

Таким образом

Замечая теперь, что

^—4 •

•-з^:± — 2sh&,

приходим к выражению ,

(4.185)(4.185)(4.186)(4.186)и (х, 0) = u0 = constdu \.~аГ - = “0 = Const | V» /fs=0и (х, 0) = u0 = constdu \.~аГ - = “0 = Const | V» /fs=0при / = 0.при / = 0.

(4.185)

(4.185)

(4.186)

(4.186)

и (х, 0) = u0 = const

du \.

~аГ - = “0 = Const | V» /fs=0

и (х, 0) = u0 = const

du \.

~аГ - = “0 = Const | V» /fs=0

при / = 0.

при / = 0.

или в обычной записи'

^1 = *1 (0) Ch 2t + N^ sh 2t,

хг *= 2xx (0) sh й + xs (0) ch 2/.

Аппарат операционного исчисления может с успехом применяться не только для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но в ряде случаев и для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Идею применения операцион- його исчисления для этой цели поясним на примере. ■

Пусть мы имеем уравнение второго порядка от двух вещественных - переменныхpg $

deud2u . d2udu

°11 ар + G22 ~^~ т 012 dxdt + °в1 df +

IIA

+ °M "aT 4-Ooo“ = 0,

где u = u (x, t) — искомая функция переменных x и t; aik — постоянные коэффициенты.,<

. Пусть далее граничные условия заданы в виде:

и (0, /) = их (ф при х = 0;и (о, 0 = Ыа (0 при х = а;

Если функции Ux (О и иа (О удовлетворяют условиям, при КОТОРЫХ можно применять преобразование Лапласа — Карсона, то от <нн|х|)еренциального уравнения (4.185) можно перейти к его опера- нфиому изображению по независимой переменной t. Предполагая но, можем написать

•'„ ~^^+ (а1гР + °<й) ~^^~ + (апР* + °01Р + °оо) “ (я, Р) =

= («пР + а01) р«о + «иР“0 .(4.187)

1ю дифференциальное уравнение является обыкновенным отно- ' ип'льно переменной х. Решая его одним из известных способов, ппАдем U (х, р), а затем можем перейти к оригиналу, и (х, /). Поясним порядок вычислений на примере.

Пример. Решить уравнение

-^—^-^- = °*(4Л88>

। цг 0 < х < /, / > 0 и с — постоянная, при следующих условиях:

< = 0,'ц=0и-^- = 0;.

х = 0, и = 0;(4.189)

х = I,

’ дх ’,

। /и* к — постоянный коэффициент.

Переходя по переменной t от заданного дифференциального уравнения в частных производных к его операторному изображению, получаем, при учете начальных условий, следующее обыкновенное <пи|иреренциальное уравнение:

^^---5-^(^Р) = 0,(4.190)

пи голое также можно решить операторным методом. .

Переходя от вещественной переменной х к комплексной пере- мнпюй q, получим

//’ 11/ fo р) - У (0, P^—^-U' (0, р)] - ^- U (fl, р) = 0. (4.191)

Учитывая, что U (0, р) = 0, отсюда находим

(4.192)-

Переходя теперь снова к переменной х,"имеем

’^ (^, Р) = -7-^'(0, P)sh-~ .- (4.193)

‘ Определим U* (0, рУ Для этого продифференцируем последнее уравнение по де• -' * '^«U^i^.(4.194)‘ Определим U* (0, рУ Для этого продифференцируем последнее уравнение по де• -' * '^«U^i^.(4.194)Учитывая, что при х = / производная ^ = к, получим .-к = иДД p)ch-^-. ,'Таким образом, ■- •*Учитывая, что при х = / производная ^ = к, получим .-к = иДД p)ch-^-. ,'Таким образом, ■- •*(4.195)(4.195)Uix, р)-^Uix, р)-^sh-^-' сa^Lсsh-^-' сa^Lс(4.196)(4.196). Переход от изображения U (х, р) к оригиналу и (х, t) совершим, используя интеграл Бромвича и теорию вычетов.■.,, Имеем--. Переход от изображения U (х, р) к оригиналу и (х, t) совершим, используя интеграл Бромвича и теорию вычетов.■.,, Имеем--1 z а Ac I eP*“ (х- 0 - д^г J "Is"1 z а Ac I eP*“ (х- 0 - д^г J "Is"sh-^LЦ-dp.. plch-С—-с ,sh-^LЦ-dp.. plch-С—-с ,(4.197)(4.197)Подынтегральная функция однозначна относительно р и имеет простые полюсы в точках ,,Подынтегральная функция однозначна относительно р и имеет простые полюсы в точках ,,- 1 -Ра =Д рк = ± ^^’“i , к = 0,1,2,.1 Вычет в точке ра равен- 1 -Ра =Д рк = ± ^^’“i , к = 0,1,2,.1 Вычет в точке ра равен(4.198)(4.198)а в точках рк.а в точках рк..sh ——4 с .—— —^р ch-fL С.sh ——4 с .—— —^р ch-fL Ссс(4.199)(4.199)a^=lim-L.Р*Ре41 (—1^ в 21яас (2А + 1)аa^=lim-L.Р*Ре41 (—1^ в 21яас (2А + 1)а^sh-^-с^sh-^-сJ^sb-^-J^sb-^-'. 2А + 1sin-^-'. 2А + 1sin-^-их.их.1 (4.200)1 (4.200)1 Решение основного' уравнения теперь получим умножая кс на сумму вычетов,1 Решение основного' уравнения теперь получим умножая кс на сумму вычетов,

‘ Определим U* (0, рУ Для этого продифференцируем последнее уравнение по де• -

' * '^«U^i^.(4.194)

‘ Определим U* (0, рУ Для этого продифференцируем последнее уравнение по де• -

' * '^«U^i^.(4.194)

Учитывая, что при х = / производная ^ = к, получим .

-к = иДД p)ch-^-. ,'

Таким образом, ■- •*

Учитывая, что при х = / производная ^ = к, получим .

-к = иДД p)ch-^-. ,'

Таким образом, ■- •*

(4.195)

(4.195)

Uix, р)-^

Uix, р)-^

sh-^-' сa^Lс

sh-^-' сa^Lс

(4.196)

(4.196)

. Переход от изображения U (х, р) к оригиналу и (х, t) совершим, используя интеграл Бромвича и теорию вычетов.

■.,, Имеем--

. Переход от изображения U (х, р) к оригиналу и (х, t) совершим, используя интеграл Бромвича и теорию вычетов.

■.,, Имеем--

1 z а Ac I eP*“ (х- 0 - д^г J "Is"

1 z а Ac I eP*“ (х- 0 - д^г J "Is"

sh-^L

Ц-dp.

. plch-С—-

с ,

sh-^L

Ц-dp.

. plch-С—-

с ,

(4.197)

(4.197)

Подынтегральная функция однозначна относительно р и имеет простые полюсы в точках ,,

Подынтегральная функция однозначна относительно р и имеет простые полюсы в точках ,,

- 1 -Ра =Д рк = ± ^^’“i , к = 0,1,2,.

1 Вычет в точке ра равен

- 1 -Ра =Д рк = ± ^^’“i , к = 0,1,2,.

1 Вычет в точке ра равен

(4.198)

(4.198)

а в точках рк.

а в точках рк.

.sh ——

4 с .

—— —

^р ch-fL С

.sh ——

4 с .

—— —

^р ch-fL С

с

с

(4.199)

(4.199)

a^=lim-L.

Р*Ре

41 (—1^ в 21яас (2А + 1)а

a^=lim-L.

Р*Ре

41 (—1^ в 21яас (2А + 1)а

^sh-^-с

^sh-^-с

J^sb-^-

J^sb-^-

'. 2А + 1sin-^-

'. 2А + 1sin-^-

их.

их.

1 (4.200)

1 (4.200)

1 Решение основного' уравнения теперь получим умножая кс на сумму вычетов,

1 Решение основного' уравнения теперь получим умножая кс на сумму вычетов,

. Л . 8АГ V -+1 \/2А 4-1 Л ’

и(х, I) ~ кх яа ^ _(_ ^а Sin «у Jtxj.QOS^ ^ Jtclj .

■6=0.‘(4.201)

. 1

ГЛАВА ПЯТАЯ. ОСНОВЫ КОМПЛЕКСНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Предварительаые замечания ■

Изложенный в предыдущей главе операторный метод удобно применять в задачах, связанных с решением обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Применение этого метода для решения линейных уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных уравнений вызывает затруднения. Кроме того, следует заметить, что решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами практически получается простым только тогда, когда легко могут быть определены корни соответствующих характеристических уравнений.

В данной главе будет рассмотрен метод, по своей идее мало отличающийся от операторного, но основанный не на интегральном преобразовании Лапласа — Карсона, а на преобразовании

. г

F^=-S-^e-h«»f^dt, ' (5.1)

о

где F^ — называется комплексной амплитудой v-ой гармоники функции f (0 на интервале (0, 7) или, проще, комплексным изображением f (/).

При применении (5.1) обратное преобразование состоит в простой операции суммирования тригонометрического ряда Фурье по величинам F^.

Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами комплексным методом может производиться без предварительного определения корней характеристических уравнений. Решение таких уравнений, но с переменными коэффициентами, может быть сведено к решению линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. Наконец, решение нелинейных дифференциальных уравнений во многих случаях приводится к решению нелинейных алгебраических уравнений.

Оригинал и комплекснее изображаема

Под комплексным исчислением условимся понимать совокупность правил и формул, основанных на систематическом применений понятия о комплексных амплитудах F^ функции f $, заданных на определенном отрезке (О, Т) изменения вещественного аргумента t, служащую для решения различных дифференциальных уравнений.

Подобно операционному, комплексное исчисление базируется на идее функционального преобразования: рассматриваются функции вещественного переменного /, определенные на конечном отрезке

от i > 0 до t С Т (в операционном исчислении Т -> ©о). Их назовем «оригиналами» и сопоставим им функции другого аргумента s = /va>, где /а = —1, представляющие комплексные амплитуды v-ro порядка. Последние назовем комплексными изображениями или просто изображениями.

Комплексное преобразование оригинал — изображение можно осуществить так, чтобы операциям дифференцирования и интегрирования оригиналов соответствовали алгебраические операции в области изображений. Это позволяет с помощью простых алгебраических действий находить изображения заданных дифференциальных уравнений. Оставшаяся часть задачи в ряде случаев может быть доведена до конца или с помощью специальных таблиц ком- плекснйх изображений или приближенно путем записи решения в виде тригонометрического многочлена или, наконец, еще с помощью выражений, подобных теореме разложения операционного исчисления.

Приведем выражения, позволяющие по заданной функции находить ее комплексное изображение, а также находить оригинал по изображению.

2л Т2л ТКак известно, функция / (/), заданная на отрезке (0, 7^ и удовлетворяющая на этом отрезке условиям Дирихле (функция должна быть ограниченной, кусочно-непрерывной и на протяжении отрезка должна иметь конечное число максимумов и минимумов или совсем их не иметь), может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье из синусоидальных и косинусоидальных составляющих, частоты которых кратны частоте

2л Т

2л Т

(5.2)

такой периодической функции, которая внутри интервала (О, Т) в точках непрерывности совпадает с заданной функцией, а вне отрезка (0, 7) периодически ее повторяет. Число синусоидальных и косинусоидальных составляющих может быть конечным или бесконечным.

В предыдущей главе было получено выражение ряда Фурье в комплексной форме: •

(5.3)(5.3)/(0= s О^,

(5.3)

(5.3)

Л=—оо

где постоянные D6 определяются через / (/) по формуле т

' D6 = 4-$e-^f(0^.(5.4)

о

Для того чтобы в дальнейшем понимать под комплексной амплитудой уже широко применяемое в теории электрических цепей по-

нятие, введем вместо Dfe пропорциональные им величины Fh = — /2D6 и заменим индекс к Hav. Тогда имеем

. г

Л = -у- J e-i^f (/) di,(5.5)

Iо

f (0 = 4~ 2 eh^Fv ==-§- + 2 ^ sin (-Vtot + а»).(5.6)

• v=»—oo*№1

Здесь F^ — амплитуда; оц, — начальная фаза v-ой гармоники / (/), причем

Fm = Рчв^ = Fv cosov + /Fv sinov = b^ + /av. (5.7)

Преобразование (5.5) позволяет, если известен оригинал / (/), определить комплексное изображение ^. При помощи преобразования (5.6) решается обратная задача, состоящая в нахождении оригинала по комплексному изображению.

Введем еще в рассмотрение символ Av и будем понимать его как оператор, служащий для обозначения перехода от функции /(/) вещественного аргумента t к функции А, = Км If. (f) 1 мнимого ар- гументаа = /vm,принимающего значения: 0,± /со, ± /2со,..., ± /оо.

Прямое и обратное преобразования кратко запишем так:

MHIWWW,(5.8)

где смысл знака = аналогичен смыслу знака =, применяемому в операционном исчислении.

Простое сопоставление преобразований (5.5) и (5.6) с основными преобразованиями (4.1) и (4.2) операционного исчисления приводит к выводу о том, что комплексное исчисление должно быть проще операционного, особенно в отношении нахождения оригиналов по известным изображениям.

Существенным является то, что при необходимости комплексное изображение Fv всегда может быть вычислено сколь угодно точно по формулам численного интегрирования, чего нельзя сказать в отношении операторного изображения F (р)."

Перейдем к рассмотрению основных свойств прямого и обратного комплексных преобразований.

оононныо свойство комплексных носброжоонй

Умножение оригинала на постоянное число. Найдем комплексное изображение функции mf (/), где т — постоянное положительное или отрицательное число, которое может быть и комплексным.

На^основании преобразования (5.5)

. ^V Vrnf (/)] = -у- J еН™1 ^ W1 dt = m-Lr. ^V Vrnf (/)] = -у- J еН™1 ^ W1 dt = m-Lr'„ Тт'

. ^V Vrnf (/)] = -у- J еН™1 ^ W1 dt = m-Lr

. ^V Vrnf (/)] = -у- J еН™1 ^ W1 dt = m-Lr

e-i^f^dt.

«Л Последний интеграл* ^представляет собой комплексныег изображения функции / (/). Поэтому ,

m/(/)=m^v.(5.9)

Таким образом, при умножении оригинала на постоянное число комплексное изображение должно умножаться на то же число.

Сложение и вычитание оригиналов. Пусть функция

Г^-^Га^±Гь^.(5.10)

Полагая комплексные изображения функций fo(f) и /6(/) известными, т. е. '

(. гТ

РОТ=^Ц e-i^fa (О dt, Fbv = -$-$ r-Wfb ю dt. (5.11) оо

Йайдем комплексный изображения их суммы (разности).

Складывая и вычитая (5.11), получаем

г

Kv [/а W ± fb W1 = -у- У e-N»t Ца ^ ± fb 0] dt.(5.12)

о

Отсюда

fa^±fb^F«±^.(5.13)

Следовательно, комплексному изображению суммы (разностй) оригиналов соответствует сумма (разность) их комплексных изображений.

Комплексное изображение произведения функций. Пусть известны комплексные изображения F^ и Ф, функций f (t) и Ф (/), причем

т, т

Fn =( e-i^f (0 dt и Ov = -у- У e-^cp (t) dt.

■ оо

Найдем комплексное изображение произведения f (/) ф (0- Можем написать

-poo-|-ОО

f<t^^=f^-W2 е^Ф^, (5-14)

где для удобства номер гармойики обозначен через п.

Подставляя выражение. (5.14) в преобразование (5.6), имеем

тт4-00

т

т

(5.15)(5.15)K^\f{t)^{f)} = -^-\er-^* A- j ei-^J^' dt.Оflss—.00

(5.15)

(5.15)

Меняя теперь порядок интегрирования и суммирования, получим

4-оот

К. If (О Ф (01 = -5Г 2 Фл -^- $ ^у ^ ^ № dt. (5.16)

Ass—«00о

Очевидно, что интеграл здесь равен комплексной амплитуде (v — — п)-ой гармоники функции / (О, т. е.

т'

^- f е-I (V-") */ (О dt = Kv-n V (01 = ^(5.17)

О'

Теперь можно окончательно записать 'I

4-оо4"00

Kv w (о ф (01 = 4-2 ^ПФ„=4-2 w-»- ■ (5.18)

Эта важная завйсимость позволяет находить комплексные изображения членов дифференциальных уравнений, которые имеют переменные коэффициенты, и некоторых нелинейных членов.

Заметим, что при вычислениях по полученной формуле следует принимать во внимание, что

F-k = — Fk,. (5.19)

где знак «Д» означает переход к сопряженному комплексному числу.

Пример. Пусть

'Fk = bk + jak.'(5.20)

Требуется определить F_k. „

Имеем"-.■

л•

’’Fk = bk—jak■

и’

■F_k = —К = —,bk + jak.(5.21)

Умножение оригинала на функцию еУ^. Получаемое здесь правило оказывается аналогом теоремы смещения операционного исчисления.1,

Пусть % — целое число. Найдем комплексное изображение произведения etiw / (О, предполагая, что комплексное изображение F^ функции / (О известно.•'

Данную задачу можно решать двумя способами. Первый заключается в нахождений комплексного изображения е-!^ с последующим использованием формул (5.18). Второй способ состоит в непосредственном применении прямого преобразования (5.5). Этот способ более простой. Поэтому мы им здесь и воспользуемся.

Имеем ’т,

, Kv te^f (01 = -у- J е-^ Ve^l (01 dt. , (5.22)

Замечая далее, что'’

т■

К^х [/ (01 = -у- J еН ^ rtf до dt,’' (5.23)

получаем

Kv Ye^f (/)] = Kvtx [/ (/)] = Лть(5.24)

или-' I

eti*”TOTzFm. '(5.25)

Таким образом, комплексное изображение произведения е^1ш f (f) равно комплексной амплитуде гармоники, (v ф Х)-го порядка функции f (f).

Умножение оригинала на функции cos "Mat и sin ХшЛ Пусть X — целое число. Найдем комплексные изображения произведений f (0 cos Хю/ и f (0 sin Xcot,

На основании теоремы смещения (5.24), можем написать

Kv tei^f (01 = Kv [f (0 cos ХфО + Kv If (0 sin X<oO, (5.26) Kv VH^f (01 = Kv If (0 cos XcoZ] — Kv If (0 sin Х<вО. ' (5.27) Складывая и вычитая эти выражения, получаем

.Kv I/ (0 COS Хм?] = _^+Zx±k,(5.28)

Kv I/ (0 sin Xti)0 = ^^^ ,(5.29)

где ?v = f (/).(ф

Последние выражения можно записать еще и так:

f (О cos Xorf = 2v-b+„y+b ,(5.30)

f(OsinX«rf= ^"^ ,(5.31)

Легко проверить, что, если тригонометрические функции имеют начальные фазы, отличные от нуля, то

f (0 cos (Xorf + а) =X±?L_,,(5.32)

Jap .—e—iaF

f(0sin(X<B/ + a) =*=^2±L,(5.33)

в которых X опять должно быть целым числом.

Комплексное изображение целой степени оригинала. Пусть известно комплексное изображение ?v функции f (Л. Требуется определить комплексное изображение функции [/ (/) Iя*, где т — целое число.'

Для квадрата функции на основании выражения (5.18) имеем

1 +°°

2<5-34)

'*/1*е—ОО

Комплексное изображение функции, возведенной в третью степень, можно вычислить следующим образом: •'

+<х>

Kvip (01=4- 2 Fv-rKrtfW(5.35)

'г=— ОО

Меняя в выражении (5.34) п на г и подставляя в формулу (5.35), получим

K^^\ = Vw\ 2 2 Wr-Л- (5.36)1 Ге-ОО Дяя—ОО,

Теперь ясно, что

/ л( 1 "Ь00*4*оо

2 • • • 2 All^A- (5-37) f1^ '00Дия— ОО^

ш—1

Зависимость начальных и конечных значений оригинала от комплексных амплитуд гармоник. Значения оригиналов от t = 0 4- h и t = Т — Л при Л -> О условимся обозначать через /0 и /г, т. е.

f0 = lim f (0 + h) и fr = lim f(T—h).(5.38)

•h-»0h-*6.

Функция / (/) может быть представлена рядом Фурье сколь угодно точно лишь в точках непрерывности. При /0 =£ /т точки по концам отрезка (О, Т) должны считаться точками, где f (^ терпит разрыв непрерывности, так как в комплексном исчислении мы по существу имеем дело не с самой функцией, а с некоторой периодической функцией, которая лишь на отрезке (0, 71) совпадает с заданной.

Из теории рядов Фурье известно, что в месте разрыва ряд сходится к полусумме значений, взятых справа и слева от места разрыва. Поэтому, обозначая среднее значение между /0 и Ft через f (0) = f (71), можем написать■

^=№=-^- = 4- 2 а=4- + 2а81по^ (5.39) •1v=—оо'V=1

Аналогичные соотношения имеют место и для производных оригинала. Так, для А-ой производной можно написать• .

p40)=fWmeJ^^L = 4-2 **НгН (б-40) ^V»—ОО

где‘

о fok^ = UmИ ^ - lim [(5.41)

'Л-»о1 d<kft-»OL 4tk Ji=T—ft

значения fe-ой производной соответственно при аргументе немного больше нуля и немного меньше Т, /W (0) = ^ (Т) — средние

значения производных, равные полусумме ^ и f^\ а К» ^^ ] — комплексное изображение к-ой производной по аргументу / (см. далее).

Комплексное изображение первой производной. Найдем комп,- df ОТ

лексное изображение производной ', предполагая, что комплексное изображение f (t) известно.

Поскольку периодическая функция, совпадающая с / (О внутри отрезка (О, Г), на концах его терпит разрыв, то комплексное изображение первой производной определим выражением г пт-л

' ^[-т1 = ит^- J(5.42)

Интегрируя это выражение по частям, получаем

Ks №Ц = lim -£- e-i^f(t)Ks №Ц = lim -£- e-i^f(t)

Ks №Ц = lim -£- e-i^f(t)

Ks №Ц = lim -£- e-i^f(t)

Принимая во внимание, что выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет комплексное изображение оригинала, можем написать ’

К^К^df (Оdtdf (Оdt= jv&Fv + /2= jv&Fv + /2M-i^T_f6ТM-i^T_f6ТТаким образом.Таким образом.df(<)dtdf(<)dt= ]Х(йР„ + 12= ]Х(йР„ + 12htT^-f». ТhtT^-f». Т(5.44)(5.45)(5.44)(5.45)

К^

К^

df (Оdt

df (Оdt

= jv&Fv + /2

= jv&Fv + /2

M-i^T_f6Т

M-i^T_f6Т

Таким образом.

Таким образом.

df(<)dt

df(<)dt

= ]Х(йР„ + 12

= ]Х(йР„ + 12

htT^-f». Т

htT^-f». Т

(5.44)

(5.45)

(5.44)

(5.45)

В тех случаях, когда не предполагается производить над этим выражением операций дифференцирования и интегрирования по v, можно учесть, что vcoT = 2nv и v — целое число. В этом случае ^=^^_!т=Д_..(5.46)

Таким образом, чтобы найти комплексное изображение первой производной, необходимо знать комплексное изображение оригинала и значения его на концах интервала (О, Г). В частном случае, когда функция периодическая периода Т, то f0 = fr и

^ [т ] = W (1» = /г),(5.47)

или

^. = jwFs (fe = fT).(5.48)

Рассматривая полученные выражения, видим, чторпераций дифференцирования в области оригиналов соответствуют алгебраиче-

ские операции в области комплексных изображений. Это свойство комплексных изображений позволяет, как и в случае операционного исчисления, алгебраизовать соответствующие члены дифференци-' альных уравнений.,■

Зависимости (5.45) и (5.46) представляют содержание теоремы о комплексном изображении первой производной.

Комплексное изображение n-ой производной. Поскольку

44 W = а Г df (О 1 'dt8 dt [ dt J’

то на основании выражения (5.46) можно написать

к> ”№" = ^* -зг- +i2—f—•’ t5-50)

где ^ и fy — значения первой производной в точках t = 0 + h и t= Т — h при ft -> 0..

Подставляя в формулу (5.50) выражение для Км [ ^' ], п0* лучим "

■ ^ [“^5“ I “ ^W Fv + /V(0 ~ V г — 0 + “М—/'5,5

Продолжая этот процесс дальше, находим комплексное изображение n-ой производной.,

+ -(5-52)

где f^ и ^ — значения ft-ой производной оригинала в точках / = 0 + Ли/=Т — ft при Л -> 0.,

' Выражение (5.52), которое можно записать еще и в виде

-дрг-=? ^®у F^ + (/V©)»-1 — ^/r — fo + ■ j^ + . • . +

нельзя дифференцировать и интегрировать по целочисленной переменной v, так как оно получено при пОмощи зависимости (5.46), а не (5.45). _

Полученные выражения составляют содержание теоремы о комплексном изображении n-ой производной.

10. Комплексное изображение интеграла. Возьмем интеграл вида

»W - J f^dt.

(5.54)

Его можно переписать так:,

<р^.= J f(ftdH-pw<it.

(5.55)

Отсюда . j

(5.56)

Переход к комплексным изображениям дает ,

<

Fv — jv^ + /2 ^-у—,

(5.57)

где

d>v = 41- ( r-/v®*q> (7) dt,' *

0 -a

, (5.58)

0

(5.59)

фт — J ф (/) dt. ' ’"

' (5.60)

Из выражения (5.57) находим -

Таким образом.

(5.61)

' Ф0

- S f®»'- ^ +/2^ •

(5.62)

Следовательно, для того чтобы найти комплексное изображение интеграла, необходимо знать комплексное изображение подынтегральной функции и значения самого интеграла на концах отрезка (0,Т). , - -

Дифференцирование комплексного изображения по переменной s = /V®. Дифференцируя п раз левую и правую части равенства

г

по переменной s = /v®, получаем

о

Заметим теперь, что'

. 1 г -‘ Х Kv [(- W (/)] = ^- J e-h^ (- tyf (/) dt.' ■оСледовательно, ''/"

dV''

-^- = k-tyt^;-(5.63)

Таким образом, n-ая производная комплексного изображения по s = jv© равна комплексному изображению произведения (—fyf (/).

Интегрирование комплексного изображения по переменной s = jv©. Возьмем интеграл от левой и правой частей равенства

гг

г

г

по переменной s = jv©b пределах от s = 0 до s’ = jw. Интегрируя, получаем

s=N<6г.

ооо

Это выражение, очевидно, легко переписать еще и так:-

S=/V0> -____

( F^ds = K0-ф- -Kv -ф-L (5.64)

оLJLJ

Таким образом, интеграл от комплексного изображения по комплексной переменной s = /v© равен комплексной амплитуде нулевой гармоники функций ф минус комплексное изображение той жефункции.

§ 4. Комплоконые пзображомпм покоторых простых фуикцпй

О при t < О,О при t < О,(5.65)(5.65)Получим комплексное изображение единичной функции се^ =

О при t < О,

О при t < О,

(5.65)

(5.65)

на конечном отрезке (0, 7^. Имеем '

г,

''(5.66)

_о1

Учитывая (5.65), получаем

=(5*67>

В дальнейшем эту зависимость будем обозначать еще так:

у1 —е-/*®<[/2 при № О,

Av[l] = j2;;= Р г .(5.68

' W (0 при v =/= 0.4'

Отсюда, между прочим, следует, что комплексное изображение функции, сохраняющей внутри отрезка (0, Т) постоянное значение А, имеет вид

Ki И1 -AKiW-jM- = | 'М ПР“ ” ”(5-69)

I 0 при v =£ 0.

Комплексное изображение первой степени независимого переменного. В рассматриваемом случае f (0 = ^ и на основании формулы (5.63) можем написать

Kv(0—d(/v<0) •,(5.70)

Вычисляем

dK» [1]/2— i^^j^Ty-i'™'7'

, d (jvai) = T ’(/vco)a ■

Следовательно, >•

”/Vto”/Vto(5-71)(5-71)jT при v = о,,-^-при v^O.

”/Vto

”/Vto

(5-71)

(5-71)

Изображение функции f (0 = terM, где b — некоторая постоянная. Имеем■, "

'.г/

Kv Ue-^l = -у- $ е^^ (te-1^ dt.'о.

После вычислений

. e-tb+N^ Г /21 — »—<6+/vo») T

. '^-“^-/2 ' t+M + 4- ■ ■■ -^VS®" •<5J2)

При е-И’< 1 это выражение упрощается • •.

-<«-‘г«1).'(5.73)

Изображение показательной функции е?*, где г = b + ja, причем а и b — постоянные положительные или отрицательные числа. Применяя прямое преобразование, получаем

К, И -^^.df -4- . ■^71Г .(5.74)

Рассмотрим частные случаи.4

Пусть а = О и 6 = — р, где Р > О. Тогда

„1 _ e-(P+/V®) г

(5.75)

При дополнительном предположении, что е~5г^1, последнее ныражение упрощается■

■«-^«/г-^+Т^Г(-^«D.(5.76)

5. Комплексные изображения тригонометрических функций sin (at + а) и cos (а/ + а). Применяя .прямое комплексное преобразование, получаем.

'. г.

Кч [sin(at + «)] = -у- j е~^ sin (at-\-a) di =-у- х

О

[— /vw sin (aT + a) — a cos (aT + a)] в-,2т + /w» sin a + a cos a._ ™

x -«*+(/*»)»"; *

Заменяя в этом выражении угол а на a+ у, получаем комплексное изображение cos (at + a), х.-

Имеем.,1

Кч [cos (at + a)] = -^- х.

[— /vu> cos (аТ + a) + a sin (aT + a)] e-*2”* + /va> cos a — a sin a .- 7Й.

Xo» + (/vco)» -. * <

В частном случае, когда частота а = Хсо, где X — целое число, приведенные выражения упрощаются и принимают вид

Кч [sin (W + a)] = ( е’в ПрИ V = Х’(5.79)

■-I 0 npHV =# X,

.Кч [COS (Ktot + «)] = (/е/” ПрИ V = Х’(5.80)

.( 0 при v ^ X.

, При дополнительном условии а = 0 последние формулы дают с ' Kv[sinXarf] = ( 1 ПрИ V = Z’(5.81)

.[ 0 при v ^ X,

. Кч [cos W] = Г1 ПРИ v = х»,(5.82)

[ 0 при v =£ X.

Комплексные изображения функций erbt cosat и е^м sin at.

По определению-

' гГ

.Кч t^-6* cos at) = -у- ^ er-b10» ^м cos af^ ^^

Вычисляя интеграл, получаем

Kv [e-^cosaZ] = -у- х

[— (6 + /vt°) cos яГ + я sin яГ] е ^1^ г _|_ 6 -f. ^

Xа2 + (6 + jv®)2*

Если e~bT < 1, это выражение упрощается 4, _

К cos cosarj~ т . aa + (6 + /v(0)2 •

Совершенно подобным образом можно выяснить,|что

К-» Ie-6f sin a^l = -у- х

.[— (6 + /у®) sin яГ — я cos яТ] е-^**'^т -\-а

а2 + (6 + Л®)2

и что^при erbT <^ 1

Кч [e-6f sin аЦ да -L- . ^т^^-р .

(5.83)(5.84)(5.85)(5.86)(5.83)(5.84)(5.85)(5.86)§ В. Приближенные споообы спределении комплекеиых изобрежений и оригиналов

(5.83)

(5.84)

(5.85)

(5.86)

(5.83)

(5.84)

(5.85)

(5.86)

го интегрирования. Применяя, формулу трапеций, получимго интегрирования. Применяя, формулу трапеций, получимнапример, к выражению (5.87)например, к выражению (5.87)f04-Гт^-№2f04-Гт^-№2JV-1JV-1, 1 N, 1 Nfc=lfc=l(5.89)(5.89)

го интегрирования. Применяя, формулу трапеций, получим

го интегрирования. Применяя, формулу трапеций, получим

например, к выражению (5.87)

например, к выражению (5.87)

f04-Гт^-№2

f04-Гт^-№2

JV-1

JV-1

, 1 N

, 1 N

fc=l

fc=l

(5.89)

(5.89)

Здесь N — число частей, на которое разделен отрезок (О, Т), fk — f ^k) — значения функции / (О в й-ой точке отрезка (О, Т) при t = tk = к ^ .

ооФормула (5.89) весьма проста и в этом ее достоинство. Недостатком ее является малая точность определения амплитуд гармоник высокого порядка, когда v велико. Объясняется это тем, что использованный при получении (5.89) прием вычисления интеграла 71 ■ Г : г

о

о

по формуле трапеций мало выгоден, так как подынтегральная функция не является плавной.

Действительно, синусная и косинусная составляющие множителя ег-!^

меняют знак 2v— 1 раз на протяже-Рис. 5.1

нии отрезка (О, Т), вследствие чего число промежутков, в пределах которых знак подынтегральной функции не меняется, увеличивается с увеличением номера гармоники. В каждом из таких промежутков при правильном использовании формулы трапеций нужно брать 6—8 ординат. Таким образом, при достаточно большом v число интервалов N, на которое потребуется подразделить отрезок (О, Т), оказывается большим и вычисления могут оказаться громоздкими даже при использовании цифровых вычислительных машин. Поэтому формулу (5.89) целесообразно применять в расчетах, когда достаточно ограничиться учетом только нескольких первых гармоник. В противном случае при приближенном вычислении интеграла (5.89) лучше пользоваться способами, которые основываются на замене функции / (/} функциями, близкими по форме и допускающими аналитическое вычисление указанного интеграла. Рассмотрим один из простейших способов такого рода.' 'fj

Заменим функцию f (t) в промежутке (0, 7) ломаным контуром (рис. 5.1). Путем интегрирования можно показать, что комплексное изображение ломаной, которое приближенно можно считать и комплексным изображением' самой функции, выражается формулой

, va>T N\

° ^ ■ + ^-^^-^.-^~1 N *). (M0>

Для нулевой гармоники эта формула дает

F»=■(5-91)

\*=1 /

что и должно быть. Докажем формулу (5.90).

Применяя формулу интегрирования по частям, прямое комплексное преобразование можем представить в виде

или, после упрощений,

'= /2 Р*”/^ + T^rf «"W№ «] • (5-92>

Замечая теперь, что для ломаной1

(-^-)6 = ^^^ Н,к=\ДN,(5.93)

и подставляя эти величины в равенстве (5.92), получим формулу (5.90). ■

Формула (5.90) удобна при изучении монотонных процессов. В этом случае она дает практически верные результаты даже при небольшом числе участков N, на которое подразделяется отрезок (0, Т).

Приближенные способы определения оригиналов. Нахождение оригиналов по известному комплексному изображению может производиться несколькими способами.

Первый способ, будучи в принципе наиболее простым, является в то же время самым общим и заключается в непосредственном использовании обратного преобразования. Практически, имея

Fv = ф (/vco) = Р (vco) 4- jQ (vm) = Fve^va, (5.94) вычисляем величины 1 I

^ = Ф (0), Ft = F^ .... pN = FN^aN, ' (5.95) где AT — номер наивысшей из учитываемых гармоник, и записываем затем результат в форме

f(0 =-^- + fisin(6»< + a1) + ... -f- Fn sin (Nat + aN). (5.96) Номер N наивысшей гармоники выясняется при этом в процессе расчета, который следует заканчивать при

(5.97)(5.97)Fn С max (F^, к = 1, 2,..., N — 1

(5.97)

(5.97)

В тех случаях, когда тригонометрический ряд сходится медленно, данный способ связан с необходимостью выполнения хотя и

простых, но весьма громоздких вычислений. Если действительная и мнимая части функции (5.94) являются плавными относительно аргумента v®, то для нахождения оригинала f (f) может применяться метод, основанный на кусочно-линейной аппроксимации Р (v®) и Q (vm). Рассмотрим этот метод.

Искомую функцию можно записать в виде

Г^ = 1+ри) + д№,(5.98)

где

Т = 1Ь(5.99)

р (0 = 2 ? (v®) s*n v®^

Т*(5-Ю0)

q (0 = 2 Q (vto)cos vm^

v=l

Постоянная составляющая J вычисляется непосредственно. Для нахождения двух остальных составляющих аппроксимируем характеристики P(wa) и Q(v®) ломаными контурами. Предполагая, что такая аппроксимация выполнена, будем иметь для оригинала (А, соответствующего А-му линейному участку характеристики

Р (v®), выражение

*Л+1

рк (/) = 2 Р (va) sin (v®/)(5.101)

и аналогично для оригинала q, (t), соответствующего s-му линейному участку характеристики Q (v®), выражение

v«+i -

9»(0= 2 Q (v®) sin (v®0«(5.102)

v=v#

Учитывая теперь, что на рассматриваемых участках

P(v®) = Р (vt®) 4- ——~— [Р (v6+i®) — Р (v^®)], ^_v*(5.103)

Q (v®) = Q (v^®) + -V- ^ 1 IQ (vs+i®) — Q (v.to)],

можем написать

АР \ 1/ АР \

+- (5Л04>

qk W = [б,- v»(^-)Jy»(O + ^W ,<5'105)

Здесь обозначено:

Pk =Р ^к®\ Qs = Q (vso), .

(5.106)

Рь-н = P(vfe+ito), Qs+1 = QCvs+i©),

(5.107)

/ AP \PCv^!®) —P(Vftto)

(5.108)

k Av /6 -v6+l-vfe’

/ AQ \ _ <2(vs+im) —Q(vsm)'

\ Av )s ~vs+1 - vs’

(5.109)

VH1’VM-1

«6 (0 = 2 sin (vo»0, Pa (0 = 5 v sin (vtof), V*=Vj^V—V£

(5.110)

!Vs+1vs+l

Ys(0= 2 cos(vcoZ), 6,(0= S vcos(v<o/).

(5.111)

Функции aN (0, рй (^), у5 (.t), 6$ (0 не зависят от Р (vto) и Q (vco) и легко вычисляются. Обозначая через М и N соответственно числа участков, на которые были подразделены Р (vto) и Q (vto) при аппроксимации их ломаными контурами, окончательно получаем '

f®--^- + 2 {[а -" ш,] “‘ (О + (тг), *»} +

N+2U-v‘(^)b-w+(-£-W •N+2U-v‘(^)b-w+(-£-W •(5.112)(5.112)

N

+2U-v‘(^)b-w+(-£-W •

N

+2U-v‘(^)b-w+(-£-W •

(5.112)

(5.112)

Данный метод может оказаться эффективным по сравнению с общим методом, когда каждый из линеаризованных участков функций Р (va>) и Q (vto) включает большое число гармоник, т. е. когда велики разности v*+i —vfe и v$+i — v5. '

Теорема раалеженин

В тех случаях, когда комплексное изображение имеет вид

р _ /2Л (а) ■ ' /2 ao4L^sJ-a^J-JLJ^+Jas^ ,,..„,

rv— у " В(s) — Т " ^МА^Г^Ч^ТТ+б^" 1

г де s = /vto, и выполняются сформулированные ниже условия, оригинал f (?) может быть найден при помощи теоремы разложения, являющейся аналогом соответствующей теоремы операционного исчисления..

Допустим, что имеют место условия:

наивысшая степень m числителя меньше наивысшей степени п знаменателя, т. е. m < п;

корни знаменателя простые и имеют отрицательные действительные части, а чисто мнимые корни отсутствуют;

Л) корни числителя и корни прбизводной от знаменателя по s не равны корням знаменателя.,

Разложим выражение (5.113) на сумму слагаемых так, чтобы, отдельные члены были пропорциональны комплексным изображениям затухающих показательных функций, т. е. на слагаемые вида

-(5.114)

.*5 sk

где

*=—₽*+/«* И ₽*>0.'

При записи (5.114) мы предположили, что величина рА выбрана - гак, что е-рбг <1.1'

В соответствии со сказанным

<5.n6)

где s1, s2, .... s„— корни знаменателя.

Для определения постоянных коэффициентов ск умножаем обе части тождества (5.115) на s—sk и затем переходим к пределу при s sk. В результате получаем

с*-Ж-■ ' <5Л16>

где'1

' В- (а) - [^^.(5.117)

Подставляем теперь ск в выражение (5.115):• -

П./

'■/2 A (s) V А ($д)/21■ ..- .. п.

Т * B(s) -^B'(s^) 1 Т *8-зк’ ■

очевидно, что■

Л. . _А^_ — V А(&). eV.(5.119)

. ' - г в<$)'

Это~и есть теорема разложения комплексного исчисления.

Теорема разложения полезна в тех случаях, когда корни знаменателя известны или легко определяются. В противном случае, оригинал проще получать при. помощи обратного преобразования (5.6).■.

Пример. Найти оригинал / (/), комплексное изображение которого имеет- вид.

ср .i-

.т(a + s)(6 + s) 1 • •

где а 4 Ь и s = р?<о. '

ОпределяемОпределяем% — — a, s2 = — b, В' (s) = а + 6 + 2s,В' (5,) = b — a. В’ (s^ = a — b, A (s) = 1.% — — a, s2 = — b, В' (s) = а + 6 + 2s,В' (5,) = b — a. В’ (s^ = a — b, A (s) = 1.Теперь по теореме разложенияТеперь по теореме разложенияОбратная проверка при помощи прямого комплексного преобразования дает.Обратная проверка при помощи прямого комплексного преобразования дает.KvKvе *— е ц1_2. /2е *— е ц1_2. /2Ь — аЬ — аТ • (a + s)(6-hs) •Т • (a + s)(6-hs) •§ 7. Решение линейных дифференциальных уреннений’е пеетояннымл коэффициентами1. Рассмотрим сначала решение'однородного уравнения ,' xW (t) + a^-D (О + • • • + a«-ix' (О + апх (0 = 0,(5.120)где х (0— искомая функция; х'(0, •■•. ^ (0 — ее производные по t; av а8, ..., а„ — постоянные коэффициенты. Начальные значения функции и ее производных (х0, х', .... х^"-1>) будем считать известными.Если через ' ■§ 7. Решение линейных дифференциальных уреннений’е пеетояннымл коэффициентами1. Рассмотрим сначала решение'однородного уравнения ,' xW (t) + a^-D (О + • • • + a«-ix' (О + апх (0 = 0,(5.120)где х (0— искомая функция; х'(0, •■•. ^ (0 — ее производные по t; av а8, ..., а„ — постоянные коэффициенты. Начальные значения функции и ее производных (х0, х', .... х^"-1>) будем считать известными.Если через ' ■Xv = ^- j r-^x (0 Л = Х^Xv = ^- j r-^x (0 Л = Х^(5.121)(5.121)бозначить комплексное’изображение х (Д тр результат решения ифференциального^уравнения^можег быть записан в виде

Определяем

Определяем

% — — a, s2 = — b, В' (s) = а + 6 + 2s,В' (5,) = b — a. В’ (s^ = a — b, A (s) = 1.

% — — a, s2 = — b, В' (s) = а + 6 + 2s,В' (5,) = b — a. В’ (s^ = a — b, A (s) = 1.

Теперь по теореме разложения

Теперь по теореме разложения

Обратная проверка при помощи прямого комплексного преобразования дает.

Обратная проверка при помощи прямого комплексного преобразования дает.

Kv

Kv

е *— е ц1_2. /2

е *— е ц1_2. /2

Ь — а

Ь — а

Т • (a + s)(6-hs) •

Т • (a + s)(6-hs) •

§ 7. Решение линейных дифференциальных уреннений’

е пеетояннымл коэффициентами

1. Рассмотрим сначала решение'однородного уравнения ,

' xW (t) + a^-D (О + • • • + a«-ix' (О + апх (0 = 0,(5.120)

где х (0— искомая функция; х'(0, •■•. ^ (0 — ее производные по t; av а8, ..., а„ — постоянные коэффициенты. Начальные значения функции и ее производных (х0, х', .... х^"-1>) будем считать известными.

Если через ' ■

§ 7. Решение линейных дифференциальных уреннений’

е пеетояннымл коэффициентами

1. Рассмотрим сначала решение'однородного уравнения ,

' xW (t) + a^-D (О + • • • + a«-ix' (О + апх (0 = 0,(5.120)

где х (0— искомая функция; х'(0, •■•. ^ (0 — ее производные по t; av а8, ..., а„ — постоянные коэффициенты. Начальные значения функции и ее производных (х0, х', .... х^"-1>) будем считать известными.

Если через ' ■

Xv = ^- j r-^x (0 Л = Х^

Xv = ^- j r-^x (0 Л = Х^

(5.121)

(5.121)

х^ = 4- 2 e^Xv + У Xvsin(vto/ + av), (5.122)

V——ооV——оогде величины Xv играют роль коэффициентов при известных функциях er*®*, а Xv — при функциях sin (v®^ + а,). По теореме о комплексном изображении производной .

V——оо

V——оо

Kv k<«>(0] = (/Vto)"^ +-у- (/v®)-‘ Jxr —х0 + -^A +

4* • • • 47.—— »

(/VW)"^1 J.

4-- • -4-4-- • -4-)^^_^n-^-)^^_^n-^-(/Vto)"-2(/Vto)"-2(5.123)(5.123)Kv k' (01 = /vmXv 4Kv k' (01 = /vmXv 4(xT —- x0)..(xT —- x0)..Kv [xt"-1) (01 = Ove»)"-1 Xv + -— (;v®)-2 xr — x0 + -^T" 4*

4-- • -4-

4-- • -4-

)^^_^n-^-

)^^_^n-^-

(/Vto)"-2

(/Vto)"-2

(5.123)

(5.123)

Kv k' (01 = /vmXv 4

Kv k' (01 = /vmXv 4

(xT —- x0)..

(xT —- x0)..

Здесь: х0, хт, х^, Хр ..., х^1-1), х^-^ — соответственно значения функции и ее производных на концах отрезка (О, Т).

Заменяя в дифференциальном уравнении (5.120) функцию и ее производные комплексными изображениями, получаем

Ло (jv®) Xv = -^- [(х0 — хг) Ах (jv®) + (хо — хг) Л2 (jv®) +

+ ... 4- (х^2) - хМ) A»-! (jv®) + (хМ -

-Л^Ап!]^(5.124)

где '

ЛоО'у®) = (jv®)” + ах (/v®)"-i;+ ... -J- a„_i (jv®) + а„,Лх (/V®) = (jv®)»-1 + av (jv®^1 + ... + ал_2 O'v®) + a»-bЛ2 (jv®) = (jv®)"-2 4- ах (jv®)"^» 4- ... 4- an_3 (jv®) 4- а„_2,(5.125)

An-i (jw) = jv® 4- ax,

Л„0у®) = 1.

Эти обозначения мы будем использовать в дальнейшем.

Комплексные амплитуды искомой функции определяем теперь из равенства (5.124).•

Имеем’

’л

X,=-^24?&l4W,-#"Ol,(5.126)

где х<®> = х0 и х^> = хг..'

Полученное выражение позволяет записать решение х (0 на отрезке (О, Т) в форме (5.122).

Рассмотрим один частный случай.

Пусть все корни характеристического уравнения, соответствующего рассматриваемому дифференциальному уравнению,

Рп 4- а^р^4- ... 4- ап_хр 4- ап = 0(5.127)

действительные и отрицательные.

В этом случае конечные значения функции x(t) и всех ее производных х<*> (0 при достаточно большой величине отрезка (О, Г) можно положить равными нулю.

Предполагая, что 7^ велико, можем написать.

Л

Av— т дв(/1«о)"(5.128)

Выбор требуемой величины Т может быть произведен на основании известной теоремы о том, что, если все коэффициенты характеристического уравнения (5.127) положительны и все отношения

последующих коэффициентов к предыдущим ah+iiafe заключены между положительными числами т и М, т. е..

- 0<т<-^-<М, ^=1,2п, '(5Л29)

то модули корней уравнения заключены между теми же числами ти М. Благодаря этому, можно утверждать, что наименее затухающий член решения дифференциального уравнения будет приблизительно пропорционален e-mf и, следовательно, для выполнения условий х^ « 0 необходимо чтобы е-тГ < 1.

Обозначим^t^n.(5ЛЗо)

Тогда

'T = 2^1«-y-lg2V-i.(5.131)

Выбор числа N до некоторой степени произволен и зависит от требуемой точности расчетов. Полагая, например,

N = 0,01 4-0,001,(5.132)

Т>^2.-(4.6^-7)тах(-А;-).(5.133)

Этой формулой в первом приближении можно пользоваться и тогда, когда среди корнёй характеристического уравнения будут комплексно-сопряженные корни с отрицательными действительными частями. Ошибка в определении Т, снижающая точность расчетов, будет получаться за счет того, что модули и действительные части корней не равны между собой.

Здесь попутно заметим, что определение знака вещественных частей корней характеристического уравнения может быть выполнено несколькими способами без'вычисления самих корней. Для этого может применяться, например, критерий Гурвитца, согласно которому алгебраическое уравнение (5.127) с вещественными коэффициентами имеет корни с отрицательными вещественными частями, если главные определители

«V«Vах 1 а» агах 1 а» аг(5.134)(5.134)ах 1 0

«V

«V

ах 1 а» аг

ах 1 а» аг

(5.134)

(5.134)

«3 tig йха5 а4 а8

положительны.

В общем случае,, когда корни характеристического уравнения имеют положительные или равные нулю действительные части, ни при каком значении Т нельзя считать конечные условия нулевыми и нахождение х (f) по выражению

^•ООft

*(0 = 4- 2 cW 2 ^1& (^ - *т"П)(5.135)

^■ие —ОО&=1

становится более сложным.

Перепишем формулу (5.135) в виде

х(о=2(хо6-°-х(о=2(хо6-°-rlH>) JL У AfeW с^' 1 ' А М„> « •rlH>) JL У AfeW с^' 1 ' А М„> « •(5.136)(5.136)Va^ooVa^oo

х(о=2(хо6-°-

х(о=2(хо6-°-

rlH>) JL У AfeW с^

' 1 ' А М„> « •

rlH>) JL У AfeW с^

' 1 ' А М„> « •

(5.136)

(5.136)

Va^oo

Va^oo

Выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет собой известную функцию аргумента /, которая не зависит от условий на концах интервала (0, 7). В связи с этим, обозначим

«е-т^^й^-(5.137)

Тогда'

х (0 = 1 (хМ - х^-1’) xfe (0.(5.138)

Для того чтобы определить по этой формуле х (/), необходимо предварительно вычислить неизвестные величины х^-ч. Сделаем это.'

При t = 0 и t = Т тригонометрические ряды Фурье сходятся к полусумме значений функций, взятых в этих точках. Это дает возможность написать следующую систему алгебраических уравнений:.

W — хг )xft(0) =g-—,(5.139)

jX-"-*?A4“->) = AA+A2,•

h=\'j'

решив которую, можно определить неизвестные величины хг, Ху, .... xt?-1).'-

2. Перейдем к рассмотрению неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

х(”> (0 + а^"-1) (0 + • • • + a„-ix' (0 + а«х (f)~f (0 (5.140) и будем искать его решение х = х (/), удовлетворяющее начальным условиям: х = х0, х' = Xq, ..., х<"-1> = х^-О при t = 0.

Переходя от дифференциального уравнения к его изображению и используя ранее введенные обозначения (5.125), легко получаем следующее выражение: . ,.

•г. -Я'

v, /2 у Л*(/\ш) ,„(*-1)у(й-1)\

определяющее комплексные амплитуды гармоник искомой функции х (Q на интервале (0, 7).1

Разберем более подробно два частных случая: когда правая час и. / (2) дифференциального уравнения постоянна и когда она синусом дально зависит от 1.

А, С^£1] CKV[1] ^ot/vto) ~ ЛО'ш) — Ле(0)А, С^£1] CKV[1] ^ot/vto) ~ ЛО'ш) — Ле(0)Пусть / (/) = С, где С — постоянная. Легко видеть, что

А, С^£1] CKV[1] ^ot/vto) ~ ЛО'ш) — Ле(0)

А, С^£1] CKV[1] ^ot/vto) ~ ЛО'ш) — Ле(0)

(5.14'2)(5.14'2)/2— при v = 0,0 при v Ф 0.

(5.14'2)

(5.14'2)

Это дает возможность записать решение следующим образом:

лГ 4-оо"

«B-^+Z^-^’iU- 2 -iO^ •<6J43) fe=lL ' V=—OO'_

Практический интерес представляют лишь решения, при которых второе слагаемое при неограниченном возрастании t затухает. В этом случае, выбрав величину Т достаточно большой, например, по формуле (5.133), можно считать, что

хг=-£- и ^’ = 0, к - 1, 2п — 1(5.144)

и переписать (5.143) в виде

'W--^+4^--^)X'^e,”'+ ■

+i^Sw*w- (5Л46>

Обратимся теперь ко второму частному случаю, когда /-(О =* = В sin (й/ + а), где В, й и а — некоторые постоянные.

Выберем круговую частоту ю так, чтобы й = Хю, причем X было целым числом. При этих условиях

.■f Bel* при v = X, ,, „

fv - К, IB sin (W+«)) = [ 0 npHV4bk (5.146)

Заметим, что .

-^ ' = ^Msin(X^+cO[ _ I Bel* при v = X,"

. /l0(/vto) ' 4oGv<o)( 0 при v Ф X.■ '

Поэтому в данном случае

^ F^ В [е^+а)е-/(а4-«)]• /R мйх

"g~vA,3 Ави^ ™ /2 [ Л(/а)Л0(-/й)]-^ 1

Обозначим через р угол комплексного числа Ло (/Q), т. е. положим1

. 4(/Q) = l4(/Q)l^"(5.149)

Теперь видно, что■

1 у' V**В sin (XwZ + « — Р),Plrm

/2 у'T-Т■•'

ппСледовательно, на основе (5.141), решение дифференциального уравнения (5.140) при синусоидальной правой части можно записать о виде -

п

п

— Ssin(Q/ + a —Р) , у ,„(*-1)

~|Л0(/Й)|+i“(o

4-001 у АкЦ^Т ^ Ae(j^V»“ OQ4-001 у АкЦ^Т ^ Ae(j^V»“ OQgj^atgj^at(5.151)(5.151)

4-00

1 у АкЦ^

Т ^ Ae(j^

V»“ OQ

4-00

1 у АкЦ^

Т ^ Ae(j^

V»“ OQ

gj^at

gj^at

(5.151)

(5.151)

Входящие сюда пока неизвестные величины х(?) в общем случае вычисляются путем решения уравнений (5.139).

Если же заранее известно, что второе слагаемое в соотношении (5.151) при неограниченном увеличении / затухает, то выбрав тогда величину Т достаточно большой, можем считать, что

J» — В fd*sin №< + « —Р) I/к 1 ens

.- |Л0(/Й)| I dt* Lt*-р.152)

Принимая во внимание, что QT = 2лХ и что X — целое число, последнее выражение упрощаем '

.1—« + Р )

= —(5.153)

Таким образом, все величины, входящие в правую часть равенства (5.151). оказываются определенными.

Рассмотрим интегрирование системы дифференциальных уравнений ■ первого порядка вида.•-

'-^- + Ax=f,(5.154)

гд^ х = х (О — вектор неизвестных; f = f (О — вектор правых частей; А — матрица постоянных коэффициентов ам.

I • Производя переход от дифференциального уравнения к комплексному изображению, получаем

' Ц^Е + Л) Xv = Г„ + /2 ^у*1*.,' (5.155)

где Е — единичная матрица; х0 и Хг — значение вектора х(0 на концах отрезка (0, 7), т. е.

, xtt = Нт х(К),

А"+о(5.156)

хт = lirrl х (Т — й).

Л-++0

Искомый вектор х (О находим при помощи обратного комплексного преобразования. Имеем

*у ЗОм^1^^. (5.157)

Решение линейных днфференцнельных уравнений с нерешенными хеэф- фициентеми

Система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, линейная относительно неизвестных функций и их производных может быть записана в виде

^^А^х = ^(5.158)

где А (О — квадратная матрица переменных коэффициентов ау (/).

Комплексное исчисление принципиально позволяет найти решение такой системы на конечном отрезке (О, Т) путем применения к каждому из составляющих системы (5.158) уравнений прямого преобразования. Это видно, в частности, из того, что для любого из членов системы уравнений, имеющего переменный коэффициент, можно найти комплексное изображение и тем самым принципиально решить задачу. Действительно, например, для члена вида а^ (t)x} можем написать

4-00

Kv Vkj (I) Ху] = — ^^ XjnKv—п [йу (/)],(5.159)

_1■'П=—со■"

где,

т

■ Кч-п [ац (01 = -^- j e-i ^ац (0 dt.,(5.160)

Разумеется, при практических вычислениях могут встретиться значительные трудности, особенно при большом числе неизвестных функций и при сложных выражениях для ам (0, но во многих случаях эти трудности оказываются меньше, чем при применении других методов.

2. Рассмотрим решение комплексным методом уравнения первого порядкач■

(5.161)

где g (0 и f (0 — известные функции аргумента I.

Переход^ от данного уравнения к комплексному изображению, находим■

/v»Xv+-^- 2 XGv-^A+j^-^p-,(5.162)

где''

• O^-^r-^glMt(5.163)

,1 О

v-ая комплексная амплитуда переменного коэффициента g (/) на интервале (О, Т).•’ .

Полученная бесконечная система алгебраических уравнений может быть решена, если ее соответствующим образом оборвать, задавшись номером наивысшей учитываемой гармоники, и использовать дополнительную зависимость .,

•4-00

xT = -x6-j 2 Хп,(5.164)

П=—оо

когда величина х-г, входящая в соотношение (5.162), не может быть определена более простым путем. Необходимую величину отрезка (О, Т) при условии, что g (0 > 0 для любого Л приближенно можно определить при посредстве оценки

Т>Т>4,6-г 7|S (OlmIn4,6-г 7|S (OlmIn(5.165)(5.165)

Т>

Т>

4,6-г 7|S (OlmIn

4,6-г 7|S (OlmIn

(5.165)

(5.165)

Рассмотренный способ решения дифференциального уравнения (5.161) не является единственно возможным. Если, например, коэффициент g (f) является периодической функцией, то более простым будет следующий способ. '

В силу линейности дифференциального уравнения, ' искомая функция X (/) СОСТОИТ ИЗ суммы двух функций Хв и Хс, т. е. 1

(5.166)(5.166)х (0 = Хв 4- Хс,

(5.166)

(5.166)

где хв —частное решение рассматриваемого уравнения, а хс— общее решение однородного уравнения

-^Г- + ефхс = О.'(5.167)

Решение последнего находится в виде,

. xc = KeS8WdV,(5.168)

где К —* постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий.

Для нахождения же хв применяем рассмотренный метод, решая систему уравнений

(5.169)(5.169)jvtoXe» 4—^~ 2 Xb^Gv—п = А,,

(5.169)

(5.169)

законность составления которой следует из того, что частное решение дифференциального уравнения не должно зависеть ни от начальных, ни от конечных значений искомой функции.

Пример. Требуется решить дифференциальное уравнение

-^- + (5 — 4cos20x= 10

при нулевых начальных условиях, В данном случае■1

g (/) = 5 — 4 cos 2/, / = 10.

Общее решение уравнения без правой части имеет вид

„ _Г(&-4со»й)Л„

хс — Ке" ' =^-«5»sin»

Величину отрезка (0, Т) оцениваем на основании соотношения . .5Г>4,6+-7.

Принимаем Г = л. Тогда о = у = 2. Для определения частного решения хв заданного дифференциального уравнения составляем систему уравнений

ГквХв» +~ 2 Хв» (5Kv UI - 4Kv [cos 2/]} - 10Xv Ш- J П™—ОО

Ноx

Kv [1) - (/2 ^ v = ° Kv [cos ад - (i1 ^ v = 2-[ 0 при V ф 0,[ 0 при v += 2,

и поэтому после очевидных преобразований '

Хв»

/2,4-5

ЮХ, [1] ^Bv+l+^B(y-l)

5-2 55-2 5bi ~хтX»bi ~хтX»

5-2 5

5-2 5

bi ~хтX»

bi ~хтX»

Полагая здесь v = 0, 1, 2

Хао = —

получаем систему уравнений /20'.

v2(ХВ1 + Хаэ)-

■ЛВ2 =^•

v2 (Хдз + ^34)

и т. д., которую целесообразно решить по методу итераций.

В нулевом приближении все гармоники выше второй положим равными нулю. В результате получим

Хво = /5,53, Хт = 1,015+ /1,91, Х°ю = 0,621 + /0,268.

Верхними индексами.в скобках обозначен номер итерации.

Имея Х%,, получаем значения гармоник в первом приближении: ' ХУ/ = /5,53, ХУ/ = 1,015 + /1,91, ХУ/ = 0,621 + /0,268,

Х^ = 0,156 — /0,078, ХУ/ = 0

Аналогично находим значения гармоник в следующих приближениях•'

Во втором приближении:•

Х$ = /5,53, X® = 1,015 + /1,91, Х^ = 0,642 + /0,218, ХУ/= 0,154—/0,0782, ХУ/=—0,003 —/0,0368, Х^ = 0, . . .

В третьем приближении:

ХУ/ = /5,53, ХУ/ = 1,015 + /1,89, Х^ =■ 0,64. + /0,218,

Хй = 0,14-/0,096,

ХУ/ = 0,003 — /0,0365,.'

■ Хй = — 0,006 — /0,003.

Ясно, что расчет можно прекратить.

Ограничиваясь учетом нулевой и следующих трех гармоник, записываем функцию хв в виде тригонометрического многочлена хв = 2,76 + 2,14 sin (erf + ^1 л) + 0,676 sin (2(0/ + ^^ л) +

■+ 0,169 sin (з^ — ?^ л),

где ш = 2..

Общее решение заданного дифференциального уравнения:, таким образом, запишется

х (/) = 2,76 + 2,14 sin (2/ + ^^ л) + 0,676 sin (« + 1^ л) + с 4-0,169 sin (6/ — 5^ я)+Ке-»е28,»“,

Г. Е. Пухов161

Постоянную интегрирования К определяем из условия, что при / = О функция X (<) = 0. Имеем

О = 2,76 4- 2,14 sin 61 ° 45' 4- 0,676 sin 18°50' — 0,169 sin 34° 30' 4- К.

Отсюда К = — 4,78.

Рассмотрим понятие о комплексном, коэффициенте связи между двумя функциями. Понятие это позволяет в некоторых случаях построить решение дифференциальных уравнений с переменными и нелинейными коэффициентами аналогично решению уравнений с постоянными коэффициентами.

Комплексным коэффициентом связи v-ro порядка между двумя функциями, заданными на отрезке (0, Т), условимся называть от- ношейие их комплексных изображений и обозначать этот коэффициент следующим образом:

Р)_^т_4,(5.170)

где

т

Л(5.171)

Ov = -^jr-^(0^.

1 о

Комплексный коэффициент при необходимости может быть вычислен приближенно при помощи формул (5.89) или (5.90). Так, например, применяя формулу (5.90), получим

, УоаГ N, усаГ 6

f X(f. - f^-^ iwT 4- Ще " -1)2 tfk - w e N

ф /у/у«Г If^УсэТ^ *

(5.172)

Для нулевой гармоники'эта’формула дает

N—1

. fo4-(т + 2 2 7б

(5.173)(5.173)М 6=1

(5.173)

(5.173)

Ф /о"-1

Фо4-Фг + 2 2 Фб

6=1

Решение систем линейных уравнений рассмотрим на примере

уравнений вида

(5.17^)(5.17^)Д-^ 4-5x4--^^-7(0.

(5.17^)

(5.17^)

С-^-4-^4--^^^ф(0,

где m (/) —известная непрерывная периодическая функция аргумента t, а коэффициенты А, В, С, D —' постоянные.

Переходя от дифференциальных уравнений к комплексным изображениям, получим

UwA + В) Xv + jv&Kv [m (0 01 = Fv + /2 ——^ЦУ?1—^-,

(5.175)

Ц^тС + D) Fv + jv&Kv [m (0 я] = Фу +,/2 ——^1+_^т—^2, f где пгт = m (7) и m^ = m (0).

Введем в рассмотрение комплексные коэффициенты связи .

^v = (^)v и^у = (^)у(5.176)

и перепишем уравнения (5.175) в виде

(В+/.оЛ) X, + /v«M,rv = Л + /2 Ji^i±w^»L,

jvaNД, +(D + /v«C)К. = lb, + /2. (5.177)

Эти уравнения можно теперь решить относительно неизвестных комплексных амплитуд Xv hKv и затем вычислить эти величины итерационными способами аналогично разобранному выше случаю одного уравнения.

Рассмотренная методика решения системы уравнений второго порядка очевидным образом распространяется на случай систем более высоких порядков.

Пример. Требуется решить систему дифференциальных уравнений ■■

-#+5к^х + 1002 = 300,..

•dt(5.178)

-^- + 104х — 104z = 0,

,0 + 1002 = 300

при следующей ’зависимости коэффициента g (Q от аргумента t:

.g(0 = l° П₽И /<0>(5-179)

I 2 . Ю4^100* при t > 0

и условии, что начальные и конечные значения искомых функций при Т -> оо имеют одинаковые значения.

Предполагая, что Т выбрано достаточно большим и полагая

хт^Хо, Ут^Уо И 2r«z0,(5.180)

И*163

можем написать.

' - (Gv 4-Л®) Хм + 10aZv = 300Xv [1]» ■■ (5 181)

ч1№+/va>yv—ItFZv =0,V- )

. , ’ Ym + 102Zv = 300Xv [1].

Здесь через Gv обозначен комплексный коэффициент связи мёж- ду функциями g (0 х и х, равный

A ^vteW-»] _ 10*0» УХ„. /eiom

= Xv “ «^^HOO+Z^-n)™]»-

Справедливость этого выражения пряма следует из формул (5.18) ri (5.73).

Решая систему (5.181) относительно Xv, получим

.ЗООООКДН. ■•Л

Xv = ;—:Г- .(5.183)

(|то),+(®, + в»)Л®-+1о1+»Ч

Примем Т = -^ . Тогда © = ^- = 80. Подставляя это значение © в равенство (5.183), имеем

.30 ооо/С [1]'

Xv :—А-. ■(5.184)

10» 4- 10CGv - 6400v» 4- /80 (100 + Gv)'

Учитывая теперь, что Gv определяется выражением (5.182) и полагая v = 0, 1, 2, .... переписываем равенство (5.184) в виде системы уравнений . '

(5.185)(5.185)у/600 ■

(5.185)

(5.185)

.х0

. _ (Ю + ^/^^Юх]Av —100(10 — 6,4v + /8v) ’

где v = 1, 2, 3, ..., и

KvlgWx]^-^- ^.Я™Отсюда. Щ^ _ Л2540— 10»KvlgWx]^-^- ^.Я™Отсюда. Щ^ _ Л2540— 10»ХпХп[10 + /(v-n)8]»[10 + /(v-n)8]», v = 0, 1, '2(5.186), v = 0, 1, '2(5.186)XiХг , Х2(10 — /8)»(10 + /8)» ■*“ (Ю — /16)»XiХг , Х2(10 — /8)»(10 + /8)» ■*“ (Ю — /16)»

KvlgWx]^-^- ^.Я™

Отсюда. Щ^ _ Л2540— 10»

KvlgWx]^-^- ^.Я™

Отсюда. Щ^ _ Л2540— 10»

Хп

Хп

[10 + /(v-n)8]»

[10 + /(v-n)8]»

, v = 0, 1, '2(5.186)

, v = 0, 1, '2(5.186)

XiХг , Х2

(10 — /8)»(10 + /8)» ■*“ (Ю — /16)»

XiХг , Х2

(10 — /8)»(10 + /8)» ■*“ (Ю — /16)»

(Ю-/8)»•. (5.187)(Ю-/8)»•. (5.187)(Ю + /8)» ' "(Ю + /8)» ' "

(Ю-/8)»•

. (5.187)

(Ю-/8)»•

. (5.187)

(Ю + /8)» ' "

(Ю + /8)» ' "

X»(10 +/16)»

кИгМ*] х» , xt хг 2540~ (10 + /8)» ПО»- ' (10 + /1.6)»

^te№x] _ x0 , xx ’ xx , x,

2540(10 + /16)» "•” (10 +/8)*(10 + /24)» "T 10»

Л-

(10 + /32)»* 1 1, ■•

И T. Д.-

Решим систему (5.185) способом итераций.

В нулевом приближении, учитывая в правых частях лишь постоянные составляющие, получим

■. Д°> =-J^ «4,77,'.

100+j- 2540

Л» \/■

1/4,77

(10 + /8) 2540 . ■■

100(10 —6,4 +/8) ■ ^.ОЗЦоО-ЗО-

Х^0)« 0,281177° 40',..

Х^0)^ 0,0875(49° 25'.

Как видно, гармоники довольно быстро затухают. Поэтому ограничимся вычислением только первых четырех гармоник, включая нулевую.

Имея Д0), вычисляем по формулам (5.187) значения Kv Ig (0^1 в нулевом приближении:

К^0’ [g (0 *1 = 90| 90°, К}0) [g (0 х] = 48,8[ 39° 40' ,

Kl0)[g(0х] = 3111140' , М°>[g(0х] = 25 —11°08' .

Последующие итерации выполняются аналогично и сведены в табл. 2.

Принимая четвертую итерацию за окончательную, записываем функцию х (0 в виде тригонометрического многочлена

х (/)« х«> = 2,485 + 0,765 sin (©/ + ^^-' л) +'

+ 0,237 sin (2<в/ + -S^ л) + 0,103 sin (з©/ +л), (5.188)

\AOU1\1OV/

гдеО.<^ <Т = ^. ' . ’

В рассматриваемом примере начальные и конечные значения функций фавны между собой и поэтому ряды Фурье должны сходиться в этих точках к истинным значениям функций, что дает возможность произвести проверку вычислений. Сделаем это.

Результаты вычисления комплексных амплитуд функции

№ итерации

Ло

Л2

лз

0

4,77^90°

1,08^165’30'

0,281^77’40'

0,0875^49’25'

1

4,97^90°

0,713^192’30'

0,262^114’50'

0,121^72’52'

2

. 4,98^90”

0,773^165°

0,186^103’40'

0,0825^60° 20'

3

4,96^90°

0,809^169’ 15'

0,248^98°

0,102^62° 56'

4

4,97^90°

0,765^167’09'

0,237^101’10'

0,103^66’

Полагая в выражении (5.188) / = О, получим х (0) = 2,981. Точные значения х0 = 3, у0 = 0, z0 = 3. Величина

в = W=*L loo = 2^9Ь-з 100 ^ _0 63о/о

характеризует относительную погрешность вычислений, сделанных при нахождении функции х = х (f).

Найдем теперь функции у = у (Q и z = z (О-

Используя систему уравнений ^5.181), легко получить

Уо = (/6 —Хо) 100, П’-J^, v= 1,2,3;

20 = /6 — -^g- = Хо, Zv = — -jqq-.

Подставляя сюда <о = 80 и

Хо = /4,87, Хх = 0,7651167° 09',

Ха = 0,237|10Г2Г, Х8 = 0,103166°, находим

Уо = /103, Ух - 59,7|—5Г20', У2 = — 12,55 |43° 10',

У8= — 3,96]—1°20',

Zo = /4,97, Zx— — 0,5971— 51° 21', Z? = 0,125143° 10',

Z8 = 0,03961—1°, 20'.

Таким образом, у 51, + 59,7 sin (со/ — л) — 12,55 sinя) —

— 3,96 sin (з<в/ — я),(5.189)

Таблица 2

к^1

^й)

98^90°

48,8^39’40'

31^10’10'

25^ —11’08'

102^90°

52,9^12’ 10'

21,9^0° -

17^ —23’40'

105^90°

54,8^17’05'

29,4^ —5’40'

21^ —21’10'

101^90’

52,4^16’19'

28,0^ —2’30'

21 4^—18’

г (/) = 2,485 — 0597 sin (и/ — ®^ л ^ + 0,125 sin ^2©/ + + ”) + °'0396sinf3^~”) • '(5Л9°)

Проверка вычислений дает

У^3,59 ку» = ^.

‘ z(0) = 3,036(г» = 3). '

В скобках приведены точные значения функций у и г при t = 0.

Интегрирование некоторых нелинейных днффоронцннльных уранноннй

Комплексное исчисление не является таким аппаратом, который мог бы успешно применяться для интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений в общем случае. Однако применение прямого и обратного комплексных преобразований к ряду уравнений, причем, таких, которые часто встречаются в теории электрических и электронных цепей, позволяет проинтегрировать их сравнительно просто. Методика решения нелинейных уравнений практически не очень отличается от методики решения линейных уравнений с переменными коэффициентами.

Рассмотрим интегрирование нелинейного дифференциального уравнения первого порядка‘1

-^ + фМ = /(0,.(5.191)

где ф (х) — известная функция х; f (0 — функция t. Переходя к комплексным изображениям, находим

jv®^ + Kv [ф (X)] - ^ + /2 ^У .(5.192)

видвидКомплексный. кааффициантсвязи, между функциями ф .(к} и ж имеет

вид

вид

kds t^

(5.193)(5.193)

(5.193)

(5.193)

R^

" ^v

г

|е-^ф(х)<« =

f e“^x(0^

Вводя его в уравнение (5.192), получим

(5.194)(5.194)(Rv + М -Й» = At + /2 —^~

(5.194)

(5.194)

Для того чтобы можно было практически использовать это выражение,; необходимо уметь определять Хт и Rv.

Если нет ничего лучшего, то для определения хт можно использовать формулу

хт = — х0 — j 2 Xv.(5.195)

В частных случаях, когда / (О представляет собой постоянную или периодическую функцию t, нахождение хт более просто производить другими способами. Рассмотрим эти случаи.у|

Если f (t) = С = const, а ^Ч-> 0, то выбрав £Т достаточно большим, можем определить хт путем решения уравнения

Ф(хг) = С,(5.196)

которое часто будет трансцендентным.

Во втором случае, когда f (t) преставляет периодическую функцию периода Т^ выбрав Т = ХТй, где Л — целое число, и предполагая, что с увеличением аргумента t амплитуда функции х = х (О стремится к определенной величине, значение хт возможно найти при помощи уравнения

т;хв^,(5.197)

Я, + /wo

получаемого из выражения (5.194) путем приравнивания х0 и хт. Зная'хв (0» получим^значение хт:

xt = xb^.(5.198)

Рассмотрим определение комплексного коэффициента связи Rv Выражение Для Rv будет, очевидно, зависеть от вида функции Ф (х)." Обозначим через

т

tiv = Ka»(*)] = ^J^'w<|>(^(5.199)

комплексную амплитуду v-ой гармоники функции ф (х), где х = х (О-

Применяя обратное преобразование, можем написать .

+<»

^=4-2■(5-20°)

' /less—ОО

Вследствие этого

2(5.201)

О\л»—со ' /

Поскольку функция ф (х). известна, то этот интеграл всегда может быть вычислен хотя бы приближенно.

Результат интегрирования имеет вид

Ф» = ф, (Х* Xv. ... Xv, .. .у(5.202)

Таким образом, комплексные амплитуды гармоник функции Ф (х) выражаются определенным образом через комплексные амплитуды гармоник функции х, причем связь между гармониками функции ф (х) и х не зависит от вида функции х.

Зная Ф„ можем написать^

R^=—т.(5.203)

Следовательно, решение уравнения (5.191) в комплексной форме может быть записано в виде .

Xv =Xv =•Яд Ху^+/2-4^•Яд Ху^+/2-4^ри + Х^Ф,, (Хо, JX1.. . , Xvри + Х^Ф,, (Хо, JX1.. . , Xv>>(5.204)(5.204)

Xv =

Xv =

•Яд Ху

^+/2-4^

•Яд Ху

^+/2-4^

ри + Х^Ф,, (Хо, JX1.. . , Xv

ри + Х^Ф,, (Хо, JX1.. . , Xv

>

>

(5.204)

(5.204)

В случаях, когда итерационный процесс по этой формуле расходится, определять гармоники Х^ следует путем решения нелинейной системы конечных уравнений

jwXs + Ф, (Х№ ХхХ„. . Х^ = А + /2 - Г^ • (5-205)

где v = 0, 1, .... п,*а*п — номер наивысшей из учитываемых, гармоник.*.

Остановимся еще на выборе величины отрезка (0,1). Величину Т следует выбирать больше практического времени (мы считаем t временем) установления процесса. Это время часто приблизительно известно. Если же оно неизвестно, то для вычислений следует воспользоваться формулой (5.195). В случае, когда функция ф = = ф (х) плавно зависит от х, можно, спрямив ее подходящим образом, ориентировочно определить Т, какому я оценку

.-Т>-^”,(5.206)

где а — постоянная, определяемая из выражения

Ф (х) да ах + Ь.'(5.207)

* 3. Рассмотрим вопрос об интегрировании более сложных дифференциальных уравнений, содержащих члены вида а (х) х, которые могут входить и под знаки производных.

■ Пусть

Ф = а(х)х,(5.208)

где х = х $.

Комплексное изображение функции ф, как мы видели, может быть представлено в виде.

Фу _ Ма(хМ = ^^ ^ ^• ^.(5 2()9)

Комплексное изображение m-ой производной от функции ф по /• выражается через Фу обычным образом

[У] = (А®)"^ + Gv®)”-1 -у- (фг — Фо + "^^ + • • • +

+(/уш)™”1/ *

Пользуясь этими зависимостями, можно всегда произвести переход от дифференциальных уравнений к конечным, если нелинейные свойства дифференциальных уравнений характеризуются только членами вида (5.209) и их производными по t.

Пример. Найдем решение дифференциального уравнения

. •-^Н- + бх = с,(5.211)

в котором

а (х) = а — рх2,(5.212)

a b, с, а и р — некоторые постоянные

Переходя от дифференциального уравнения к его комплексному изображению, получим ’,

0*® + 6) ^у - рКу [X2] = сКу [1] + /2 ^5lJ№ .(5.213)

Обозначим через Rm комплексный коэффициент связи между х2 и х, т. е. '■

В этом случае

AqXq — Оч^Т

'.. cKv [1J + 72 ГТ

.Ху ='(5.215)

■у b + h®(.a-^) ■ *

.170.

Рассмотрим частной случай: йс =10, р = 0,15, с = 16, b = 2,

*о = О.■ .

Определяем величины Т, со, хт и ат;■

Т > (4,64-7) -у « Юл, со = -^- = 0,2,'*7=^ = 8, ат = а — Рхг = 8,8.;'

. Подставляя в выражение (5.215) числовые значения, получим

X ■ мс,м-р>*V 1+/v (1—0,015^,)X ■ мс,м-р>*V 1+/v (1—0,015^,)/13,76 при ^ = 0, /2,24, _—: ПРИ V * 0.1+/*(!-0,015/^ Р .(5.216)/13,76 при ^ = 0, /2,24, _—: ПРИ V * 0.1+/*(!-0,015/^ Р .(5.216)Для того чтобы начать расчет по методу итераций, положим RN = 6,88, что соответствует пренебрежению- в формуле (5.214)Для того чтобы начать расчет по методу итераций, положим RN = 6,88, что соответствует пренебрежению- в формуле (5.214)всеми членами, кроме содержащихвсеми членами, кроме содержащих‘ /13,76 — /2,24 1+/V0.877‘ /13,76 — /2,24 1+/V0.877Хо. Имеем при v = 0, при v=£0.Хо. Имеем при v = 0, при v=£0.(5.217)(5.217)Огарда.’ Х^ = /13,76, Х)0) = — 1,66148°10', Х10) = — 1,11129°50',^ = — 0,78 |20°20/, Х^ = — 0,6115° 30'.Коэффициенты связи ^У* в нулевом приближении находим по формуле (5.214), причем при вычислениях .ограничимся учетом только первых трех членов. В этом случаеМ0)« 6,15 — /0,353, R^ « 5,82 — /0,07,’ R^ « 5,35 — /0,267, $0)~ 5,66 + /1,02.Огарда.’ Х^ = /13,76, Х)0) = — 1,66148°10', Х10) = — 1,11129°50',^ = — 0,78 |20°20/, Х^ = — 0,6115° 30'.Коэффициенты связи ^У* в нулевом приближении находим по формуле (5.214), причем при вычислениях .ограничимся учетом только первых трех членов. В этом случаеМ0)« 6,15 — /0,353, R^ « 5,82 — /0,07,’ R^ « 5,35 — /0,267, $0)~ 5,66 + /1,02.

X ■ мс,м-р>*

V 1+/v (1—0,015^,)

X ■ мс,м-р>*

V 1+/v (1—0,015^,)

/13,76 при ^ = 0, /2,24, _

—: ПРИ V * 0.

1+/*(!-0,015/^ Р .(5.216)

/13,76 при ^ = 0, /2,24, _

—: ПРИ V * 0.

1+/*(!-0,015/^ Р .(5.216)

Для того чтобы начать расчет по методу итераций, положим RN = 6,88, что соответствует пренебрежению- в формуле (5.214)

Для того чтобы начать расчет по методу итераций, положим RN = 6,88, что соответствует пренебрежению- в формуле (5.214)

всеми членами, кроме содержащих

всеми членами, кроме содержащих

‘ /13,76 — /2,24 1+/V0.877

‘ /13,76 — /2,24 1+/V0.877

Хо. Имеем при v = 0, при v=£0.

Хо. Имеем при v = 0, при v=£0.

(5.217)

(5.217)

Огарда.

’ Х^ = /13,76, Х)0) = — 1,66148°10', Х10) = — 1,11129°50',

^ = — 0,78 |20°20/, Х^ = — 0,6115° 30'.

Коэффициенты связи ^У* в нулевом приближении находим по формуле (5.214), причем при вычислениях .ограничимся учетом только первых трех членов. В этом случае

М0)« 6,15 — /0,353, R^ « 5,82 — /0,07,

’ R^ « 5,35 — /0,267, $0)~ 5,66 + /1,02.

Огарда.

’ Х^ = /13,76, Х)0) = — 1,66148°10', Х10) = — 1,11129°50',

^ = — 0,78 |20°20/, Х^ = — 0,6115° 30'.

Коэффициенты связи ^У* в нулевом приближении находим по формуле (5.214), причем при вычислениях .ограничимся учетом только первых трех членов. В этом случае

М0)« 6,15 — /0,353, R^ « 5,82 — /0,07,

’ R^ « 5,35 — /0,267, $0)~ 5,66 + /1,02.

. Подставляя эти значения'в выражение [(5.216), получим комплексные амплитуды Х^} в первом^приближении:

■ Д° = /13,76, Х^ = — 1,66 (42° 10', Х^ = — 1,08[28° 50',

Х^0,762 [20° 45', Д1’0,585116°,. . ..

Следующие приближения находятся вполне аналогично.

Функция х = х (<), соответствующая первому приближению, имеет вид .’■

х (П » 6,88 — 1,66 sih (со/ + л) — 1,08 sin (гео/ + л) —' '\ loU" /\loU /

— 0,762 sin (зео/ -f-л) — 0,585 sin (4со/ + -г^- л),

причем Ю <t <Т « 31,4.'

ГЛАВА ШЕСТАЯ. ОСИМЫ ТОЧЕЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Введение '

Создание достаточно простых методов решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных уравнений, встречающихся в теории цепей, является важной проблемой, имеющей большое практическое значение.

В данной главе будут изложены основы метода, условно названного методом точек, применение которого для решения упомянутых уравнений в ряде случаев более целесообразно, чем других уже рассмотренных методов. . _ J

Под Точечным исчислением будем понимать совокупность правил и формул, основанных на систематическом применении понятия о точечных (решетчатых) функциях, предназначенную для нахождения решений различных дифференциальных уравнений.

Основой точечного исчисления являются прямое и обратное точечные преобразования.

Под прямым преобразованием понимается нахождение вектора, компонентами которого являются значения функции, определенные только в некоторых точках заданного отрезка аргумента, Я под обратным — нахождение функции по ее отдельным, значениям в тех же точках. I Ж

Различные понятия и правила точечного исчисления изложим сначала применительно к случаю периодических функций и только после этого рассмотрим общий случай функций, заданных на конечном отрезке аргумента.

Точечные нреебраоевааня иориедических функций н ех некоторые евой- отаа .

Прямое преобразование. Пусть периодическая функция

(6.1)(6.1)F(0) = F(0 + n),

(6.1)

(6.1)

число точек.-Вектор 'fo = f(eo)T„{F(0)} = F =Рп-1 = Г^0число точек.-Вектор 'fo = f(eo)T„{F(0)} = F =Рп-1 = Г^0где 0 = mt, определена в промежутке 0 < 0 < 2л при аргументах 0О, 0Ъ ..., 0„_j. Индексы указывают номера точек, ап —где 0 = mt, определена в промежутке 0 < 0 < 2л при аргументах 0О, 0Ъ ..., 0„_j. Индексы указывают номера точек, ап —(6.2)(6.2)

число точек.-

Вектор '

fo = f(eo)

T„{F(0)} = F =

Рп-1 = Г^0

число точек.-

Вектор '

fo = f(eo)

T„{F(0)} = F =

Рп-1 = Г^0

где 0 = mt, определена в промежутке 0 < 0 < 2л при аргументах 0О, 0Ъ ..., 0„_j. Индексы указывают номера точек, ап —

где 0 = mt, определена в промежутке 0 < 0 < 2л при аргументах 0О, 0Ъ ..., 0„_j. Индексы указывают номера точек, ап —

(6.2)

(6.2)

компонентами которого являются значения функции F (0) И указанных точках, назовем ее точечным изображением. Символ Тп далее будет1 применяться как оператор преобразования функции F (0) в n-мерный вектор F. ’

Для указания того, что F является точечным изображением F (6), условимся применять обозначение

F^F^.'■(6.3)

Преобразование периодической функции в ее точечное изображение осуществляется непосредственно по выражению (6.1). -

Так, например, для периодической функции•

'F (0) = sin 0 + 2 cos 20,1

если период разделить на четыре равные части так, чтобы 0О = 0,

0101яТяТ, 02 = л, 03 = -у, ее точечное изображение имеет вид, 02 = л, 03 = -у, ее точечное изображение имеет вид22Тд (sin 0 + 2 cos 20} = F =Тд (sin 0 + 2 cos 20} = F =0022

01

01

я

Т

я

Т

, 02 = л, 03 = -у, ее точечное изображение имеет вид

, 02 = л, 03 = -у, ее точечное изображение имеет вид

2

2

Тд (sin 0 + 2 cos 20} = F =

Тд (sin 0 + 2 cos 20} = F =

0

0

2

2

—3

В случае, когда периодические функции F (0) симметричные, т. е.'

. Р^-тРфА-як•(6.4)

под их точечными изображениями условимся понимать вектор, компонентами - которого являются значения функции, определенные только внутри полупериода. Разумеется, общий вид точечного изображения (6.2) при этом сохраняется.-

Так, например, для функции,

'F(0) = 2sin0 + cos0

в качестве ее точечного изображения может служить вектор

в котором 1 = F (0) и. 2 = F -yj .,

Обратное преобразование. Обратное преобразование сводится к интерполированию: по значениям Fo, Fv .... Fn-i находится

некоторая функция, совпадающая с F (0) в точках 6е, 6V ...,0„_i и приближающаяся к F (6) в промежуточных точках.

Как известно, периодические функции обычно лучше всего аппроксимировать тригонометрическими многочленами, т. е. многочленами вида,;'

.т

f (6)=-у- + 2 (°*cos v®+^v s*n v®)’(®*®)

v=l ■■ ■■

где tn — номер наивысшей гармоники. -

Если условиться определять Fo, Fv ..., Fn~i через равноотстоящие значения аргумента, т. е. принимать

.' Ед = F (6^), где 0» =А,(6.6)

то коэффициенты а, и 6V выражаются через Fk следующим образом:

,' 2m

°» =2 рк cos (v6»)«

^'(6.7)

2mJ,V '

bv = "^T 2 F* Sin w* .

Подставляя эти выражения в многочлен (6.5), получим зависимость, позволяющую производить обратное преобразование, т. е. находить аппроксимирующий тригонометрический многочлен

(6.8)(6.8)F^ =

(6.8)

(6.8)

по известным компонентам вектора F.' •

Заметим, что в случае, когда в аппроксимирующем многочлене пропускаются какие-либо гармоники, то выражение (6.8) не будет справедливо.

Для симметричных функций, которые, как известно, могут содержать лишь нечетные гармоники, операция обратного преобразования может быть упрощена.

Для таких функций аппроксимирующий многочлен имеет вид

^(б) = 2 (ovcos v0 + 6vsinv0), '(6.9)

V

где v = I, 3, 5, ..., tn.

Поскольку F (0) = — F. (0 4- л), точечное изображение функции достаточно иметь только для по л у периода. Поэтому, разделив

Головину периода на m + 1 равных частей, получим для коэффи- шентов Оу и 6V выражения '.■

' «v^ COSV0A’

Т .<6Л°)

■ ^=^2^sinve*>.•6=0■

где 06 = ■ 2 т k и к = 0, 1, 2,..., т.■

Подставляя выражения (6.10) в формулу (6.9), получим

•mm1•

F^-^^ S [COSV(06-6)1^,,(6.11)

где Fk — компоненты вектора F для полупериода.

Последнее выражение для F (6) справедливо только в том случае, когда учитываются все нечетные гармоники, без пропусков.

Умножение точечного изображения на постоянное число. Для этого найдем точечное изображение произведения XF (8), где X — постоянное положительное или отрицательное число.

В соответствии с общим определением точечного изображения, получим .■ .■

XF(6) =

Xf0

= ХЛ

(6.12)

^*-1

Отсюда следует, что при умножении периодической функции на постоянное число ее точечное изображение должно быть умножено

на то же число.

Точечное изображение суммы двух периодических функций F (8) и Ф (6), имеющих, один и тот же период, Имеем ,

. ^0 + ®0

Г(0) + Ф(0)==

Г.+Ф,

= £ + Ф.(6.13)

Fn-1 + фл-1

Отсюда видно, что точечнре изображение суммы периодических функций равно сумме их точечных изображений.■

/

Точно такое же свойство, очевидно, имеет место для симметричных периодических функций.

Точечное изображение первой производной. Найдем' связь между точечными изображениями функции F (0) и ее производной по t.Г.

Дифференцируя многочлен (6.8; по t и учитывая, что = о,

находим

^(0) =^(0) =dF (0)didF (0)di2со2m +12со2m +1Отсюда s-ая компонента точечного изображении первойОтсюда s-ая компонента точечного изображении первойводнойводнойF' —2(0»— 2m+1F' —2(0»— 2m+12m2m' m' m2 2 V3in(9s —6ft) Ffe,2 2 V3in(9s —6ft) Ffe,6=06=0_V=1_V=1(6.14) произ-(6.15)(6.14) произ-(6.15)

^(0) =

^(0) =

dF (0)di

dF (0)di

2со2m +1

2со2m +1

Отсюда s-ая компонента точечного изображении первой

Отсюда s-ая компонента точечного изображении первой

водной

водной

F' —2(0

»— 2m+1

F' —2(0

»— 2m+1

2m

2m

' m

' m

2 2 V3in(9s —6ft) Ffe,

2 2 V3in(9s —6ft) Ffe,

6=0

6=0

_V=1

_V=1

(6.14) произ-

(6.15)

(6.14) произ-

(6.15)

где

(6.16)

Введем в рассмотрение матриц)

с компонентамис компонентами- mr —2 Vsfe 2m + 1- mr —2 Vsfe 2m + 1УооЛ1•7q, 2т7ю7 ц•71, 2т•7гт, 07гт, 1•7гт,2тУооЛ1•7q, 2т7ю7 ц•71, 2т•7гт, 07гт, 1•7гт,2т2nv (s — ft) 2s-4-12nv (s — ft) 2s-4-1(6.17)(6.17)1 0 при s = к, 2тл (s — hV 005 2m + I2m + 11 0 при s = к, 2тл (s — hV 005 2m + I2m + 1(6.18)(6.18)при8=^ к.при8=^ к.

с компонентами

с компонентами

- m

r —2 V

sfe 2m + 1

- m

r —2 V

sfe 2m + 1

Уоо

Л1

•

7q, 2т

7ю

7 ц

•

71, 2т

•

7гт, 0

7гт, 1

•

7гт,2т

Уоо

Л1

•

7q, 2т

7ю

7 ц

•

71, 2т

•

7гт, 0

7гт, 1

•

7гт,2т

2nv (s — ft) 2s-4-1

2nv (s — ft) 2s-4-1

(6.17)

(6.17)

1 0 при s = к, 2тл (s — hV 005 2m + I

2m + 1

1 0 при s = к, 2тл (s — hV 005 2m + I

2m + 1

(6.18)

(6.18)

при

8=^ к.

при

8=^ к.

Теперь можем переписать выражение (6.15) в виде -2m—1

2(6.19)

.6=0

и, следовательно,"

'F = JmF."(6.20)

. Таким образом, точечное изображение первой производной периодической функции равно изображению самой функцйи, умноженному на матрицу J® с известными постоянными компонентами.

Матрица. J to по отношению к периодическим функциям играеп оль, подобную той, которую играют величины /v® и р соответствен- ю в комплексном и операционном исчислении, так как .матрице 'та служит для преобразования точечного изображения периодической функции в точечное изображение ее производной.

Формула (6.18) для компонент матрицы J была получена для пе- )иодических функций общего вида. При аппроксимации симметрии- юй функции тригонометрическим многочленом (6.9) компонента матрицы J, как легко доказать, определяются выражением

«ТТ 2 (6.21)

/ 1 у=1Д . 1

В табл. 3 приведены вычисленные по формулам (6.18) и (6.21] матрицы J для простых тригонометрических многочленов. Смысл юмещенных туда же матриц IF будет объяснен ниже.

Таблица 3

Тригонометрический многочлен

Матрица /

1 Матрица W ’

0x0086 +61 sin 6,

01

—10

10

01' ' '

-у- + ах cos 6 + fei sin 0, 0e = O,0i = ^-, 6,=

4л'

.“ 3■

о*

уз уз

■L. о _L_ /зуз

XL. 0 ' уз уз

111

333

Ч11

333

0 -1L. ■

■уз уз

01 cos 0 + 61 sin 0 + + о» cos Зб + 6а sin 30,

6о = 0, 01 ^At

д Яд Зл

0 Уч -1 Уч — /2 0 уч —1

1-/20 УЧ

т-/2 1 —УЧ 0

/2_УЧ

4°4

о XL 1 XL 424

1 _О 0 ■ _/2 244

о _/Ll XL 42.4

Точечное изображение п-ой производной. Точечное изображе чие n-ой производной периодической функции получается путек

1771772 Г. В. Пухов

177

177

умножения точечного изображения функции на матрицу Л> возведенную в n-ую степень, т. е.

' FW = (J®)» F = йП^ .(6.22)

Точечное изображение интеграла. Если периодическая функция содержит постоянную составляющую, то интеграл от нее, очевидно, не будет периодической функцией. Поэтому здесь получим точечное изображение интеграла в предположении, что постоянная составляющая отсутствует, т. е., когда функция F (0) аппроксимируется многочленами вида

F (0) = 2 (°v cos v9 + bv sin v9).(6.23)

V=1

В этой случае для матрицы дифференцирования J может быть найдена обратная, при помощи которой точечное изображение функции преобразуется в точечное изображение интеграла. Вводя обозначение

Г = J-1(6.24)

можем написать

р(9)Л=$=2-гк(6.25)

Матрица — Г по отношению к периодическим функциям, для ко

торых

2л

1_ р1_ рJ F(9)d9 = 0, о

1_ р

1_ р

играет такую же роль, как и комплексные величины -^ и в комплексном и операторном исчислении.

тГ - 1 У 1^-ь1)1 sk — т v Sin т v=lтГ - 1 У 1^-ь1)1 sk — т v Sin т v=l(6.26)(6.26)Для функций, аппроксимируемых тригонометрическими многочленами вида (6.9), компоненты Г5Й матрицы Г вычисляются по формуле

т

Г - 1 У 1^-ь1)

1 sk — т v Sin т v=l

т

Г - 1 У 1^-ь1)

1 sk — т v Sin т v=l

(6.26)

(6.26)

Матрицы Г, вычисленные для некоторых простых многочленов, приведены в табл. 4.

Выразим коэффициенты тригонометрического многочлена, аппроксимирующего периодическую функцию, через текущие ее значения.

Связи между коэффициентами Оу, &, и компонентами вектора F выражаются формулами (6.7) и (6.10). Связи эти удобно определять матрицей W (см. табл. 3), причем

S = IFF,(6.27)

где S — вектор, компонентами которого являются Оу и 6V.

. / Тригонометрический ■ Многочлен ■ ‘ .

,Матрица Г '

Si cos0-[гб! sin 6, , . 0о = О. fli«4-

.1 о; . '

1 «! COS ^+^81110 +

+ я« cos 30 + 6» sin 36,.

.. 0о = о» ,01 ^ "4 ’

\ А — Зя

0" _^ _ 1 _К? -33‘3

11 о' -КЗ.—L

3,3 , . .,3

1 # /2 . у /2 '

з,• ‘ 3- '

3 ' 3.3

tt

^

, ,,..- I, _- Таблица 4

< Матрицы Г некоторых тригонометрических многочленов

Для общего .случая; - ч< у

3 =

, 1 ,

Т°»

Л1

61

ат

Ьт

а для симметричных периодических функций

«1

а»

(6,28)

1 И

Ь» -

(6.29)

^Я1

^т

11

вектор S можно именовать точечным функции. ''.,

спектров периодической

■А -

12»,

■ 1W

(6.31)(6.32)(6.33)(6.34)(6.31)(6.32)(6.33)(6.34)

(6.31)

(6.32)

(6.33)

(6.34)

(6.31)

(6.32)

(6.33)

(6.34)

§ 3. Нахождение периодических решений дифференциальных уравнений

Точечные преобразования периодических функций позволяют находить периодические решения дифференциальных уравнений по общей схеме, весьма близкой к схеме решения таких задач комплексным методом. Для получения периодического решения сначала делается переход от дифференциального уравнения к его точечному изображению. Результатом такой операции является система конечных уравнений — линейная, если дифференциальное уравнение линейное с постоянными или переменными коэффициентами, и нелинейная, если в составе дифференциального уравнения имеются нелинейные члены. Полученная система конечных уравнений затем решается относительно точечного изображения неизвестной перио- дическбй функции. Поскольку такое изображение представляет совокупность действительных значений функции в отдельных точках периода, то на этом решение часто может считаться закопченным. В противном случае, следует сделать переход от точечного изображения к аппроксимирующему тригонометрическому многочлену.

Нахождение периодического решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.Пусть, например,

■ х" + Ах' -ф- Вх = a sin ом? + b cos eat = f,(6.30)

где Л, В, а, b— некоторые постоянные.

Переходя от этого уравнения к точечному изображению, по

лучим

.[(J®)2 + 4(J®)4-B]i = A

где

7 =

и ®/о = О И <0^=-^-.

Учитывая, что

перепишем (6.31) в виде

—ш1 + В

4<о

—Ло»

—о»1 + В

или

(В — <в2) хе + mAq = 6, —шДх0 + (5 — со2) х4 = а.

"(6.35)

Решив эти уравнения относительно х0 и xv запишем функцию х в виде тригонометрического многочлена,

х (/) = х0 cos со/ + хх sin со/,

. (6.36)

так как в данном случае матрица IF является единичной. \

Решим еще уравнение (6.30) для случая, когда правая часть / (/) представляет периодическую треугольную функцию (рнс. 6.1). Для этой функции / (9)=— / (6 + л), т. е. она симметричная, и поэтому .;

ее точечное1 йзображение /, а также; точечное изображение х можно полу- ° чать только на полупериоде. В силу

симметричности функций /их,Рис. 6.1 -

аппроксимирующие тригонометриче-:

ские многочлены будут содержать только нечетные гармоники. Мы здесь ограничимся учетом только первых и третьих гармоник.

, когда

Подразделяя полупериод на четыре равные части (рис. 6.1)

00 = 0,0!=-^-, еа = -^, 68=«-^-, получим

о

£2

I£2

(6.37)

Матрица 3 в этом случае имеет вид

0

—1

К2

-^2

0

/2

—1

1

— У2

0

£2

-/2

1

-У2

0 ■

(6.38)

Возведя эту матрицу в квадрат и подставив в уравнение (6.30), получим,

В — 4соа

<о /2 (2со + Д)

—соД

со /2 (Д — 2со)

со^2 (со—Д)

В — 4соа

со /2 (со + Д)

—соД

соД

со "/2 (со — Д)

В — 4соа

СО У^ (со + Д)

со^2 (со+Д)

соД

со ^2 (со — Д)

В — 4соа

, . ■ (6.39)

Решив эту линейную систему алгебраических уравнений, найдем значения функции х (9) в точках 90 = 0, 9Х = -у-, 02 = -^- и 98 = -у-. Для построения аппроксимирующего тригонометрического многочлена , 1

, х (9) = ах cos 9 + ^1 sin 9 + Оз cos 39 + 68 sin 39 (6.40) следует воспользоваться выражением (6.27) и табл. 3. Для коэффициентов многочлена имеем расчетное выражение

1 2

f2 4

0

- /2 4 .

0

/2 4

1 2

/2 4

■_1_ 2

/2 4

• 0

/2 4

0

/2 4

1 2

/2 4 _

Нахождение периодического решения дифференциального уравнения с переменными коэффициентами. Пусть например, ,

-^- +Л (1 + X cos tot^x = В,(6.42)

где А, В, X, со— некоторые положительные постоянные, причем X < 1. ■

Периодическое решение для х ^. будет очевидно содержать постоянную и синусоидальные составляющие. Ограничимся здесь только учетом постоянной составляющей и первой гармоники, т. е. примем в качестве аппроксимирующего многочлен .

(6.43)(6.43)х (9) = -у + «1 cos 9 + 6i sin 9.

(6.43)

(6.43)

Матрица J имеет вид

01КзКз101' уз1КзКз001КзКз101' уз1КзКз0• (6.44)• (6.44)

0

1

Кз

Кз

1

0

1

' уз

1

Кз

Кз

0

0

1

Кз

Кз

1

0

1

' уз

1

Кз

Кз

0

• (6.44)

• (6.44)

Учитывая далее, что она получена в предположении, что 60 = О, 6г = -^- и 02 = 4^-, переходим от дифференциального уравнения (6.40) к его точечному изображению. Имеем

Л(1+Х)

1

/3 '

. 1 Кз

*0

=

В

. (6.45)

1 Кз

д(^ —\

V 2 /

*1

В

1 КЗ

1

• Кз.

д ЛАЛ

V 2/

в

. Систему (6.45) можно решить относительно х0, хг и х2. Коэффициенты аппроксимирующего многочлена выразятся через эти величины (см. табл. 3): , '

' 2=1 ' 313 .13О12 31 31 - 36101Кз1Кз' 2=1 ' 313 .13О12 31 31 - 36101Кз1Кз(6.46)(6.46)

' 2

=

1 ' 3

1

3 .

1

3

О1

2 3

1 3

1 - 3

61

0

1

Кз

1

Кз

' 2

=

1 ' 3

1

3 .

1

3

О1

2 3

1 3

1 - 3

61

0

1

Кз

1

Кз

(6.46)

(6.46)

Таким образом,■.

х ц)+cos cat +sin tot. (6.47)

Из рассмотренного примера видно, что нахождение периодических решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами сводится ;в конечном счете к решению

некоторой линейной системы алгебраических уравнений, порядок которой зависит от числа учитываемых гармоник в аппроксимирующем тригонометрическом многочлене.

Нахождение периодических решений для нелинейных дифференциальных уравнений. Пусть, например, имеем нелинейное дифференциальное уравнение вида .

' + * = /(/)• (6.48)

где / (0 — периодическая функция; у = у (х) известная функпия

ОТ X = X (О-

Переход к точечным изображениям дает

;Joy + х = Д(6.49)

где

Система (6.48) является нелинейной системой конечных уравнений и может обычно быть разрешена относительно х., хх,..., х—i одним из итерационных методов.

После того, как величины х0, хх, .... х,^ найдены, коэффициенты Оу, 6» аппроксимирующего тригонометрического многочлена определятся на основе выражения (6.27).

Таким образом, нахождение периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений отличается от нахождения решений линейных дифференциальных уравнений только тем, что компоненты точечного изображения неизвестной функции должны определяться итерационными методами из нелинейной системы конечных уравнений.

§ 4. Точечные нреобрааевання неперяоднчеекнх функций

Для того чтобы иметь возможность построить математический аппарат, подобный рассмотренному точечному исчислению, но пригодный уже для непериодических функций, будем рассматривать последние на конечном отрезке (О, Т) изменения аргумента t.

Разобьем отрезок (О, Т) на п частей. Число п выбираем таким, чтобы каждая из функций, входящих в какую-либо задачу, удовлетворительно аппроксимировалась многочленами вида

•^(П-^^фИО,(6.51)

-.»=о'

где х6 = x(t^, а <рй = фй(0 — некоторые известные функции, их называют координатными, которые для непериодических функций х (f) играют роль, аналогичную синусоидальным и косинусоидальным функциям кратных частот в точечных преобразованиях функций периодических.

Координатные функции можно выбирать по-разному. При решении многих задач удобно выбирать в качестве их степенные многочлены вида

Ф» (0 = ^tt - У • • .(Г-t^ (t - tk^• • • (^-1^, (6.52)

где к = 0,1,.... п — 1, а ак — постоянные, выбираемые из условия, чтобы фй (^) = 1, причем

О < #i < ^i

В дальнейшем для определенности будем считать, что отрезок (О, 7) разделяется на п равных частей и что А = ^-. В этом случае

. (6.53). (6.53)t(t — h)(t — 2ft). ..(t — Mi + hXt — kh — hy.^t — T+k) W ~kh (Mi — ft) (Aft — 2ft)... (ft) (—ft)... (Mi — T + ft)

. (6.53)

. (6.53)

Так, при n = 6 имеем

Фо(*) =Фо(*) =Ф1(9 =Ф1(9 =<h(0 =<h(0 =(* — ft) (t— 2Л) (t—3h) (t — 4h) (t — 5ft) 120ft«t (t — 2ft) (t — 3h) (t — 4h) (t — 5Л) 24ft®’f(f — ft)(/ — 3ft) (f — 4ft) (f — 5ft)(* — ft) (t— 2Л) (t—3h) (t — 4h) (t — 5ft) 120ft«t (t — 2ft) (t — 3h) (t — 4h) (t — 5Л) 24ft®’f(f — ft)(/ — 3ft) (f — 4ft) (f — 5ft)Ф8 0 =Ф8 0 =ф4(0 =ф4(0 =12ft®t(t — h)(t — 2A)(f — 4ft) (f — 5h)12ft®f(f —ft)(f —2ft) (t — 3h^ (t —5ft)12ft®t(t — h)(t — 2A)(f — 4ft) (f — 5h)12ft®f(f —ft)(f —2ft) (t — 3h^ (t —5ft)(6.54)(6.54)<M0 =<M0 =24л®t(t — K) (t — 2ft) (t — 3h) (t — 4h)120ft®24л®t(t — K) (t — 2ft) (t — 3h) (t — 4h)120ft®

Фо(*) =

Фо(*) =

Ф1(9 =

Ф1(9 =

<h(0 =

<h(0 =

(* — ft) (t— 2Л) (t—3h) (t — 4h) (t — 5ft) 120ft«

t (t — 2ft) (t — 3h) (t — 4h) (t — 5Л) 24ft®’

f(f — ft)(/ — 3ft) (f — 4ft) (f — 5ft)

(* — ft) (t— 2Л) (t—3h) (t — 4h) (t — 5ft) 120ft«

t (t — 2ft) (t — 3h) (t — 4h) (t — 5Л) 24ft®’

f(f — ft)(/ — 3ft) (f — 4ft) (f — 5ft)

Ф8 0 =

Ф8 0 =

ф4(0 =

ф4(0 =

12ft®

t(t — h)(t — 2A)(f — 4ft) (f — 5h)12ft®

f(f —ft)(f —2ft) (t — 3h^ (t —5ft)

12ft®

t(t — h)(t — 2A)(f — 4ft) (f — 5h)12ft®

f(f —ft)(f —2ft) (t — 3h^ (t —5ft)

(6.54)

(6.54)

<M0 =

<M0 =

24л®

t(t — K) (t — 2ft) (t — 3h) (t — 4h)120ft®

24л®

t(t — K) (t — 2ft) (t — 3h) (t — 4h)120ft®

И'

. *(t) = *eVo(O + ^(OHЬ*6ф8(0«(6.55)

Заметим, что многочлены (6.52) называются многочленами Лагранжа. Для непериодических функций, рассматриваемых на конечном отрезке (О, Т), операции прямого и обратного точечных преобразований по существу не отличаются от соответствующих преобразований периодических функций. Прямое преобразование заключается в определении значений функции в дискретных точках аргумента, а обратное — в приближенном восстановлении функции по ее дискретным значениям при помощи аппроксимирующего

многочлена. С целью пояснения рассмотрим простой пример. Пусть- задана функция.

х(0х(011 + <11 + <

х(0

х(0

1

1 + <

1

1 + <

и требуется найти ее точное изображение иа отрезке (0,1) при подразделении его на три части.•

Л wз j 4 •3 — 5 •Л wз j 4 •3 — 5 •Имеем■''’

Л wз j 4 •3 — 5 •

Л wз j 4 •3 — 5 •

Следовательно,

Координатные функции, определенные по выражению (6.53) при п = 3, имеют вид

'1 Фо — а з з) з) ’

I 9 , Л 1 \фо —1 23 ) ‘

Поэтому при решении обратной задачи, когда по вектору х нужно приближенно восстановить саму функцию, следует просто записать, что'

х (0 « 4- - 4-) (t - 4) - 0,75.9Н t - 4) + 0,6.4 it - 4).

Отсюда1-

*(0~1—П>-<+4-р’ °«<1.

Найдем связь между точечным изображением непериодической функции и точечным изображением ее интеграла. Интегрируя (6.51) в пределах от нуля до t, получим

tn-i, t ':'' .

y(0-J*(0^=2*»Jv»to^-(6.56)

,10»=00■

Координатные функции ф6 (/) по условию известны и, следовательно, известны также интегралы от них. Поэтому точечное изоб-

ражение интеграла выражается через точечное изображение функции следующим образом:

(6.57)(6.57)9 = Их,9 = Их,

(6.57)

(6.57)

9 = Их,

9 = Их,

Здесь у0 = 0 из-за принятых пределов интегрирования в формуле (6.56).4

Выражение (6.58) позволяет йри известной системе координатных функций вычислить матрицу интегрирования для отрезка (О, Г) при подразделении его на га равных частей.,,,

Найдем, для примера, матрицы интегрирования при га = 3 и п = 6.

Координатные функций при га = 3 имеют вид

ft- —^<(/-21) — (4У+2Т’<6 60>

, ^.41 ( t X» It

Фа”^T^J 2-

Интегрируя эти выражения, получим

hfth

2fttoto

J ф0^ = -§-. f Ф1^ = -у-» J Ф^

000

Следовательно,

h ~12 ’

(6.61) h

и—

"• - 12

0

0

6

(6.62)

5

8

—1

4

16 .

4

Матрица И*6

получается

совершенно подобным

же образом:

И

0

0

0

0

0

0

(6.63)

475

1427

—798

482

—173

27

448

2064

224

224

—96

16

"• “ 1440

452

1971

1026

<81026

—189

27

—12 272

2048

768

2048

448

0

475

1875

1250

1250

1875

475

3. Найдем связь между точечными изображениями непериодической функции и ее производной.

Дифференцируя выражение (6.51) по переменной t, получим

Т-^Ч-^.(6.64)

Переходя теперь к точечным изображениям, имеем

Т« №)-2 »«г.№}-0^.(6-65)

V ’Л-=0 I w /

где Dn — матрица, дифференцирования:

Фо(°)

. vi (0)

•

Ф^-1 (0)

Фо (Я)

ф1 ДО

•

ф^-i’W

•

•

•

•

^Т-Н)

ф1(Т-Я)

•

Ф^^т-Я)

* Вычисление Ив произведено Л. Б. Навроцкой.

Заметим, что применение этой матрицы будет давать точные зна- юния для всех функций типа степенных многочленов, имеющих степень не выше п.

Найдем матрицу дифференцирования при п = 3. Аппроксимирующие многочлены в этом случае имеют вид (6.60). Дифференцируя их, получим

<6-67>

Подстановка этих выражений в матрицу (6.66) при л = 3 дает

—34—1—10,11-4• 3—34—1—10,11-4• 3"• 2Л"• 2Л(6.68)(6.68)

—3

4

—1

—1

0

,1

1

-4

• 3

—3

4

—1

—1

0

,1

1

-4

• 3

"• 2Л

"• 2Л

(6.68)

(6.68)

Пример. Требуется найти точечное изображение производной от функции'■

х = а04а^ 4- а^8,

»д? =»д? =где Og, а^ as —- некоторые постоянные на отрезке (0, 7) при га = 3. Точное значение искомого изображения, очевидно, имеет вид

»д? =

»д? =

el42a1A

в!44а^

т где h = -у.

Этот же результат получается, если применить матрицу Ds. Действительно,

—3

, 4

—1

, а»

sa

«1

—1 ■

0 '

1

во 4" Я1А 4" °o^*

0x4 20^ •

1

—4

3 '

во 4- 2^/14 40^*

CbvV^j1

1»

Приведем еще матрицу дифференцирования при подразделении отрезка (О, Г) иа шесть равных частей (п — 6).

Имеем

п — 1

—274

600

—600

400

—150

24

. (6.611)

—24

—130

240

—120

40

—6

+6

—60

—40

+120

—30

+4

* ~ 120Л

+30

—120

+40

+60

—6

6

—40

120

—240

130

24

—24

150

—400

600

—600

274

Применение этой матрицы будет приводить к точным результа там для всех многочленов вида

X = а» +а^ + О^ + V + а^ + а^\

где Од, .... а» — некоторые постоянные.

Рассмотрим решение дифференциальных уравнений методом точек в случае, когда входящие в уравнения функции не являются периодическими. Сущность метода поясним прямо на примере.

Пусть требуется найти решение следующего дифференциального уравнения:

X? 4- X = ^^Л^

на отрезке (0,3) при условии, что х (0) = 1.

В рассматриваемом случае Т = 3, п = 3, h = 1, и поэтому матрицы дифференцирования Da, матрица интегрирования Яа и аппроксимирующий функцию х многочлен соответственно имеют вид

(6-71)

(6.72)

(6.73)

Уравнение (6.70) можно решить при помощи матрицы дифференцирования или матрицы интегрирования.

Рассмотримсначала применение матрицы интегрирования.

Интегрируя уравнение (6.70) в пределах от 0 до t, получим уравнение, '. . . ‘ ■

x(/)=x(0) + -y — Jx(T)dt.(6.74)

Переходя от этого уравнения к точечному изображению, получим

XI ,0'

. ^=х№'Т+уТ — и^.(6.75)

18

Отсюда ■■. -1 1,

■■-:х(0). -

.(Е + И^х= *(0)+Т -

' ; ■ " ' ._ ^^_

-■ *(о>+4 .

(6.76)

где Е — единичная матрица, а

'■■'*(0)

■-Х = ТЧ {*(/)} =*(1) •

(6.77)

- Подставляя в выражение (6.76) числовые значения Е, И8 и х (0); имеем -,■' ■ ■' .

10011

■ '.Б51'4

.,12312 .*1=3

. - -*14411

-к333х®3

Отсюда'.',

"Xj, = х (1) = 0,642 и Хз = х (2) = 1,8€

. *.(6.78)

>.(6.79)

Таким образом, искомое решение, полученное с помощью матрицы интегрирования, аппроксимируется многочленом .

хи^« ^-7^ +2 +0,642/(2-0 + 1,86-^=^-. (6.80)

Индекс «Я» указывает на то, что это выражение получено с помощью матрицы интегрирования.

Получим теперь решение дифференциального уравнения при помощи матрицы дифференцирования...

. Переходя от уравнения (6.70) к его точечному изображению, получим

(D, + £)x-Г, {^}, где D, определяется формулой (6.71)..

Подстановка числовых значений дает

(6.81)

1 2

2

2

1

0

1 2

1

1 2

•

*1

=

1

.(6.82)

£ 2

—2

5

2

X*

4

Эта система уравнений, которую можно переписать еще и в виде 4хх— Ха = 1, 2х1 + х, = 3,(6.83)

—O.&tj + х, = 1,4,

очевидно, противоречива (несовместна). Решим ее поэтому методом наименьших квадратов. Имеем'

42—0,8—11142—0,8—1114—121.—0,814—121.—0,8142—0,8-11142—0,8-111

4

2

—0,8

—1

1

1

4

2

—0,8

—1

1

1

4

—1

2

1.

—0,8

1

4

—1

2

1.

—0,8

1

4

2

—0,8

-1

1

1

4

2

—0,8

-1

1

1

Отсюда

.х,«0,257 и х, ^ 1,37.(6.85)

Следовательно,

xD №« - ™^2- +0,257/(2 - /) + 1,37 ^#-^ У- (6.86)

Индекс *D» указывает на то, что это выражение получено с помощью матрицы дифференцирования.

Сравнивая решения (6.80) и (6.86), полученные соответственно при помощи матрип интегрирования и дифференцирования, с точным решением

. х(/) = 2 — 2/4- Z2 —е-< (6.87) дифференциального уравнения (6.70),, можно установить, что применение матрицы интегрирования приводит к более точным резуль-

татам, чем матрицы дифференцирования. В табл. 5 приведены результаты вычислений по выражениям (6.87), (6.80) и (6.86), которые подтверждают. сказанное.

хТаблица; 5

Результаты решения уравнения

*4- х = /*-

t

X

хи

»о

' 0

1

1

1

0,5

0,643

0,625

' 0,395

1

0,632

0,642

0,357 '

1.5

1,03 .

1,06

‘ 0,572

2

1,865

1,86

1,37,

2,5

' ' 1

3,17

3,06

2,61

3

4,95

4,66

4,24

Процесс решения более сложных дифференциальных уравнений методом точек практически не отличается от процесса решения рассмотренного цростого уравнения. Основные этацы вычислений состоят в переходе от дифференциального уравнения к точечному, решении полученных конечных линейных или нелинейных уравнений и, наконец, записи искомых функций в виде соответствующих аппроксимирующих' многочленов. - !

13 Г. Е. Пухов

у/" ^г^яд^муЦ^ ^ ^1№^^У ^ЭД1ЯВДХ^У ^ДОй$№ЙгйЙ ^■'МеЙЙГ'Р^^

ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ЦЕПЕЙ И ИХ УРАВНЕНИЯ

| 1. Основные нснятня н определения

Электрические цепи состоят из ряда соединенных между собой элементов. Графическое изображение электрической цепи принято называть ее схемой. Схема показывает последовательность и способ соединения элементов цепи. Исследования свойств электрических цепей и происходящих в них процессов основываются на различных допущениях и идеализации элементов цепи, под которыми обычно понимают не физически существующие части того или иного электрического устройства, а идеализированные элементы, отражающие основные явления, происходящие в реальном устройстве. Элементы'цепи подразделяются на активные и пассивные. Активными элементами являются источники электрической энергии и различные элементарные преобразователи (электронные лампы, транзисторы й т. п.). В них производится преобразование какой-либо энергии в электрическую, электрической энергии одного качества в электрическую же энергию другого качества или электрической энергии в другой вид энергии. К пассивным элементам относятся сопротивления, индуктивности, емкости.

Физические величины, с которыми оперирует теория электрических цепей — напряжение и, ток I, заряд q, магнитный поток Ф.

Основными законами теории цепей являются первый и второй законы Кирхгофа и зависимости, связывающие напряжение и ток сопротивления, ток и полный магнитный поток (потокосцепление) индуктивности, заряд и напряжение емкости, токи и напряжения источников энергии и различных элементарных преобразователей типа электронных ламп, полупроводниковых приборов и т. п.

Когда хотят подчеркнуть наличие в электрической цепи электронных ламп, транзисторов, фотосопротивлений, полупроводниковых диодов и других электронных элементов, такую электрическую цепь часто называют электронной.

Задачи, встречающиеся в теории электрических и электронных цепей, подразделяются на две основные группы: задачи анализа и задачи синтеза. .

Задачи анализа связаны с определением токов, напряжений, зарядов, потокосцеплеиий и обычно сводятся к составлению и

о .6о .6Рис. 7.2Рис. 7.2

о .6

о .6

Рис. 7.2

Рис. 7.2

решению определенных систем уравнений с числом неизвестных,

равным числу уравнений.

Задачи синтеза практически являются более сложными и состоят

в разработке методов построения электрических цепей с заданными свойствами. Для электронных цепей, предназначаемых для моде

лирования, одной из важных задач синтеза является задача построения цепей, описываемых желаемыми математическими уравнениями. В задачах синтеза цепей число уравнений, которое можно составить, обычно меньше ‘ числа неизвестных и поэтому решение их часто бывает неоднозначным.

Схема соединения электрической цепи без указания характера ее элементов называется ее геометрическим образом (рис. 7.1). Точки, в которых соединяются три и более проводников, называются ее узлами, а части, соединяющие два любых узла,— ветвями схемы. Точки, в которых соединяются всего два

проводника, называются устранимыми узлами (точка а на рис. 7.1). В последнее время в теории цепей начала применяться терминология теории графов. По этой терминологии граф — это геометрический образ, узел — вершина графа, ветвь — ребро графа.

Часть электрической цепи, которая может соединяться с остальными только двумя полюсами (зажимами) называется двухполюс-

ником (рис. 7.2, ау Аналогично вводятся понятия о трехполюс- никах (рис. 7.2, б), четырехполюсниках (рис. 7.2, в) и, вообще, о многополюсниках (рис. 7.2, г), или, что то же, многополюсных элементах.

Процессы, происходящие в электрических цепях, подразделяются на установившиеся (стационарные) и переходные (нестационарные). Переходные процессы возникают каждый раз при переходе цепи из одного состояния в другое. Зависимости изменения во времени токов, напряжений и других величин могут быть при этом самыми разнообразными. Что же касается установившихся процессов, то они чаще всего или не изменяются во времени или являются периодическими функциями времени. Периодические процессы — это такие процессы, когда можно указать некоторый промежуток

времени Т, по истечении которого значения переменных величин

повторяются.■

При исследованиях электрических цепей интересуются не только абсолютными величинами токов и напряжений, но и направлениями их действия. Поэтому важно выяснить взаимные связи между “ и i с учетом их направлений. д ,.,7м 6 А ,..17ма о В дальнейшем условимся обозначать ■-*

положительные направления токов и аб

напряжений стрелками. Конец стрел-рис> 7 3

ки тока будем направлять так, чтобы’ '

он указывал предполагаемое или известное направление движения положительных зарядов, а конец стрелки напряжения — предполагаемую или известную точку высшего потенциала.

Очень важно уяснить, что достаточно полное представление о каком-либо токе или напряжении в электрической цепи можно иметь только в том случае, когда цифровой результат рассматривается совместно со схемой, на которой нанесены положительные направления токов и напряжений. Так, если для проводника А—Б,

А в’ и=248А в’ и=248входящего в какую-либо цепь, мы выбрали положительное направление от А к Б (рис. 7.3, а) и после

А в

’ и=248

А в

’ и=248

А -- 0ц=-246А -- 0ц=-2466 аа6 ааБ —- о6Рис. 7.4Б —- о6Рис. 7.4расчета получили величину i = = + 17 ма, то результат должны прочесть следующим образом: ток в проводнике имеет величину 17 ма и течет по направлению от А к Б. Если бы перед началом расчета за положительное было выбра-

А -- 0

ц=-246

А -- 0

ц=-246

6 а

а

6 а

а

Б —- о

6

Рис. 7.4

Б —- о

6

Рис. 7.4

но направление тока от Б к А (рис. 7.3, б), то для тока после выполнения расчета мы получили бы значение i = — 17 ма.' При совместном рассмотрении этого ответа и рис. 7.1, б, конечный вывод получается, что .и в первом случае, а именно: ток имеет величину 17 ма и течет от А к Б.

Совершенно подобные же рассуждения можно привести относительно напряжения между двумя точками. Значение напряжения и = + 24 в, рассматриваемое совместно с рис. 7.4, а, и значение и = — 24 в, рассматриваемое совместно с рис. 7.2, б, приводит к одному и тому же результату, а именно: напряжение между точками равно 24 в и при этом потенциал в точке А выше, чем в точке Б. . "

Включение измерительных приборов (вольтметров, амперметров, осциллографов и т. п.), реагирующих на изменение направления измеряемой величины, что указывается на приборах разметкой зажимов знаками «+» и «—», следует производить с учетом положительных направлений измеряемых величин (рис. 7.5, а и б).

Методы анализа стационарных и нестационарных процессов в электрических цепях связаны с использованием трех групп уравнений. '

Первая группа образуется из уравнений, составляемых для отдельных элементов цепи: сопротивлений, индуктивностей, емкостей, источников тока и напряжения и т. д. Составление этих уравнений будет рассмотрено в следующих параграфах.

Вторая группа уравнений составляется путем применения первого закона Кирхгофа, согласно которому алгебраическая сумма ц токов, втекающих в замкнутую (/-——поверхность, равна нулю, т. е.

2^-0,(7.1)

°б,6=i

рис- 7-5где т — число токов.

Третья группа уравнений со- ставляется: на основе применения второго закона Кирхгофа, согласно которому во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма всех напряжений равна нулю, т. е.

”1

2 «6 = 0,(7.2)

где п — число напряжений, входящих в контур.

При исследованиях электрических цепей мокно применять операционное, комплексное и точечное исчисления. В этих случаях необходимо иметь законы Кирхгофа записанными в соответствующей форме.

Совершенно очевидно, что первый закон Кирхгофа в операторной, комплексной и точечной формах имеет вид

^^^ = 0»(7-3)

6=1

У/б» = 0,(7.4)

6=L т 2^"°»(7.5)

6=1

где 1к (р) — операторное изображение А-го тока;

/б» — комплексная амплитуда v-ой гармоники й-го тока;

1к — точечное изображение At-го тока.

Аналогично записывается в операторной, комплексной и точечной формах второй закон Кирхгофа:

2</б(Р) = 0,

2^6»= О,

2^ = 0.

е=1

| 2. Двухволюоники.

Под двухпрлюсником понимается любая электрическая цепь, которая может соединяться с другими цепями лишь двумя полюсами (рис. 7.2, а). Элементарными двухполюсниками являются сопротивление (рис. 7.6, а), индуктивность (рис. 7.6, б), емкость (рнс. 7.6, в), источник напряжения (рис. 7.6, г), источник тока (рис. 7.6. д). Рассмотрим некоторые свойства этих элементов и их уравнения. .

Источник напряжения и (/)— это источник, напряжение которого теоретически не зависит от его тока. Напряжение источника

Рис. 7.6

напряжения часто называют задающим напряжением, а также еще электродвижущей силой (э.д.с.).

Операторное изображение напряжения источника напряжения определяется выражением,

■U(p) = р ^e-Ptu^d/.(7.6)

Комплексная амплитуда v-ой гармоники на интервале (О, Т) находится так:• "

.' г‘

'1А> = у- J г* и (/) at.(7.7)

При расчетах, связанных с применением точечных преобразований, следует использовать точечное изображение .

« = Т{«(/)} =

«0

, .'<7.8)

«1

•

“»-1

где■- -.’ , ,

■ • Ui = u(tj)■(7.9)

напряжение и (t) при t '=tj.■ ; ■

Источник тока i = i (f) представляет источник, ток которого теоретически не зависит от напряжения на его полюсах. Ток источника тока часто называют задающим током.

Операторное, комплексное и точечное изображения тока источника тока определяются соотношениями

/(/?) = Р j r-pti^dt,. г

К = Kv [1 (01 = -у- f e-/vo>< * (0 dt

(7.10)(7.П)(7.12)(7.10)(7.П)(7.12)ии 'ии 'Рис. 7.7Рис. 7.7вполне аналогичными выражениям для источника напряжения.

(7.10)

(7.П)

(7.12)

(7.10)

(7.П)

(7.12)

ии '

ии '

Рис. 7.7

Рис. 7.7

4. Сопротивление г (рис., 7.6, а) представляет элемент цепи, в котором происходит процесс преобразования электрической энергии в тепловую. Опыт показывает, что для постоянного сопротивления связь между абсолютными величинами напряжения и тока определяется законом Ома

' |u| = r|i|. (7.13)

Отсюда между прочим следует, что г является коэффициентом связи между током I и напряжением и. .

Величина, обратная г, обозначается через g и называется проводимостью.•

Уравнения, ,выражающие связи между токами и напряжениями цепи, следует составлять с учетом выбранных положительных направлений, причем при составлении таких уравнений необходимо знать обязательно опытные данные. В нашем случае для сопротивления г опыт показывает, что ток течет в сопротивлении от точки высшего потенциала к точке низшего потенциала. Поэтому при выборе положительных направлений, как это сделано на рис. 7.7, а, закон Ома следует записывать в виде•-

и = ri,'(7.14)

а при выборе положительных направлений согласно рис.7.7, б — в форме■'

u = —rL.(7.15)

Действительно, при i > 0 из последней формулы и рис. 7.7, б следует, что и < 0,т.е. точка А будет иметь больший потенциал, чем точка Б, что отвечает опытным данным (напоминаем о том, что положительное направление напряжения мы условились выбирать так, чтобы конец стрелки указывал известную или предполагаемую точку с высшим потенциалом).•

Сопротивление, величина которого постоянна или является известной функцией времени t (г = г (t)), называется линейным. Сопротивление, величина ко-...

торого зависит от тока , ..'

или напряжения на нем, о—4—Г1 00—4—Г| |0

называется нелинейным.•—* ।*—*

Обозначения перемен-",

ных и нелинейных со- . а6

противлений приведеныРис. 7.8.

на рис. 7.8, а и б.■

Запишем зависимости между током и напряжением сопротивления в операторной, комплексной и точечной формах при выборе положительных направлений, как это сделано на рис. 7.7, а.

Переходя от равенства (7.14) к операторным, комплексным и точечным изображениям, получим

U^ = rl^, '(7.16)

Uv = rlvi.(7.17)

и = Н.(7.18)

Таким образом, закон Ома для постоянного сопротивления для операторных, комплексных и точечных изображений совпадает по форме с законом Ома для мгновенных значений тока и напряжения.

Предположим теперь, что г = г (/), т. е. сопротивление г изменяется заданным образом во времени.

В этом случае •,

-'U (р) = р^ е-Р* г (/) idt(7.19)

Следовательно, в операторной форме '

''' f e-^rWidt

зависит от того, как ток i = i (/) изменяется вб времени.

■ Аналогично в комплексной форме ; '"

' й^ ^[’’(ОЧ ' Г . ,2-»Гп1*^п zv ”

-4-00 , Ч.

.-2 rv—л ^"’’

где'1‘

;■;„ =-^-Jr-^r^dt.\ :(7.22)

Полученное выражение для rv непосредственно следует из теоремы о комплексном изображении произведения функций.,

Более просто записывается выражение для переменного сопротивления в точечной форме. Переходя от равенства (7.14) к точечным изображениям, имеем.■

u = Y ■ • . 1(7.23)

где г — точечное сопротивление, представляющее собой диагональ- нуюматрицу вида'.'

>0

'1

1 ’

•

Гл-1

в которой r{ — г (/{) > 0 и ( = О, 1,..., п -т- 1..

'Таким образом, точечное сопротивление не зависит от тока, протекающего через переменное сопротивление.,

В случае, когда сопротивление г = г (0,нелинейное, имеем Вопе- раторной и комплексной-формах следующие выражения:

- - ,' J e-P‘u(r)dt.

rW=TS--h1 (7-25)

■. j e"P4di .'

тт„$ e-^uWdt,

т

т

— .(7.26)

.. 'v J e-N®tidt'

'о

Величины г (p) и rv зависят очевидно от характера изменения ео времени тока I = I (?) и от зависимости напряжения и = и Ц) от тока / для нелинейного сопротивления..,

В точечной форме связь между точечными изображениями тока

представляет диагональную матрицу, компоненты которой г/ = г(t/) р= -™&- > О, / = 0, 1,. • -, п — 1

(7.28)(7.28)известным образом зависят от значений ip . ,

(7.28)

(7.28)

гдегде|“|-|^|-fc=i1|“|-|^|-fc=i1(7.29)(7.29)Индуктивность L представляет собой идеальную катушку, не имеющую сопротивления. Опыт показывает, что при протекании тока в индуктивности на ее полюсах появляется напряжение, пропорциональное скорости изменения ее потокосцепления, т. е. ■.

где

где

|“|-|^|-

fc=i1

|“|-|^|-

fc=i1

(7.29)

(7.29)

ФА — магнитный поток, пронизывающий группу из wk витков катушки. ‘

За положительное направление магнитного потока (точнее его плотности, или, что то же,*магнитной индукции В) принимается направление, которое указывает северный конец N магнитной стрелки, помыленной в данную точку (рис. 7.9). Опыт показывает, что при увеличении магнитного потока f-^- > 0^ между полюсами появля-

ется (индуктируется) напряжение указанного направления. Таким образом, если направления напряжения и и магнитного потока Ф на рис. 7.9 принять за положительные, то зависимость между и и ни токосцеплением ф будет следующая:

di *di *(7.30)

di *

di *

ф = Li.ф = Li.(7.31)(7.31)В неизменной катушке без сердечники потокосцеплениеф прямо пропорционально току i, т. е.

ф = Li.

ф = Li.

(7.31)

(7.31)

Индуктивность L представляет, следовательно, коэффициент связи между величи - ' нами ф и i. Если L постоянна или является известной функцией от времени t (L=L (/)), то она называется линейной. При наличии ферромагнитного сердеч

ника индуктивность L = L (i) зависит от тока и называется нелинейной. Обозначения переменной и нелинейной индуктивностей приведены на рис. 7.10. .

При L = const напряжение

(7.32)(7.32)u = L^-

(7.32)

(7.32)

U-L d(.

Обратим внимание на то, что напряжение и взято по пути вне катушки. Если бы мы измеряли напряжение между теми же точками, но вдоль витков катушки, то оно при L(t) .

выбранных положительных направ- в Arx g , р лениях оказалось бы равным

и = — г/,(7.33)

-рис 7 ю•

где г — сопротивление катушки. Для‘ ' .

идеальной катушки г = 0 и, вследствие этого, напряжение и, взятое вдоль ее витков, равно нулю.

Выразим связи между токами и напряжениями для индуктивности в операторной, комплексной и точечной формах.

Переходя от равенства (7.32) к операторным изображениям, получим.

.U (р) = pLI (р) — рЫ (0),(7.34)

где i (0) — начальное значение тока в постоянной индуктивности L.

Данному выражению соответствует схема замещения, приведенная на рис. 7.11. На этой схеме, представляющей активный двухполюсник, величина

.Z(p) = pL(7.35)

называется операторным сопротивлением индуктивности, а

EL(p) = pLi(0)(7.36)

побавойной э. д. с., отражающей влияние'на происходящие процессы

■шпаса энергии в магнитном поле индуктивности L при / = 0.

Разделив выражение (7.34) на pL и обозначив через

¥l(p) = -^-(7*37)

операторную проводимость индуктивности, получим схему замещения индуктивности для операторных токов и напряжений с добавочным источником тока

к^ = 1(0),(7.38)

снова представляющего активный двухполюсник.,

к(Р)к(Р)шт• штРис. 7.11■шт• штРис. 7.11■

к(Р)

к(Р)

шт• шт

Рис. 7.11■

шт• шт

Рис. 7.11■

Сделав переход от уравнения (7.32) к его комплексному изображению, имеем■.

U^j^-^^L,(7.39)

где U^, Д, — комплексные амплитуды напряжения и тока в индуктивности на отрезке (0, 7), a i0, iy— значения тока по концам отрезка. Величина. , ..

• Zln = jvcoL(7.40)

называется комплексным сопротивлением индуктивности току v-ой гармоники, а напряжение1

^ = /2^Ь ,(7.41)

учитывает влияние на процесс разности тока в индуктивности в начале и конце отрезка (0, Т), на котором изучается процесс. .

На рис. 7.12 приведены схемы замещения индуктивности для комплексных токов и напряжений, аналогичные схемам рис. 7.11. На последней из схем - ‘

(7.42)(7.42)(7.43)(7.43). io — Ц vn ’

(7.42)

(7.42)

(7.43)

(7.43)

, _ 1 v~ /vmZ *

Величина: ¥^ представляет комплексную проводимость индуктивности для v-ой гармоники, а /^ — добавочный ток, получающийся

за счет разности энергии магнитного поля в индуктивности в начале и конце интервала (О, Т).

При периодических процессах периода Т ток в начале отрезка (О, Г) равен току в конце периода (Ц = /у) и поэтому схемы замещения будут представлять не активные, а пассивные двухполюсники, поскольку в этом случае £д = 0 и ZLv = 0.

Найдем теперь зависимости между точечными токами и напряжениями постоянной индуктивности. Переходя от равенства (7.32) к точечным изображениям, получим '

и = LDi,(7.44)

где D -7 матрица дифференцирования. При периодических процессах вместо нее лучше применять матрицу Ja> (см. табл. 3).

О* , и» Рис. 7.12

Матрицы

^l = LD и ZL = JmL(7.45)

представляют точечные сопротивления индуктивности соответственно в общем случае и при периодических процессах.’

Зависимость между током и напряжением индуктивности в точечной форме можно получить также при помощи матрицы интегрирования; Для этого, интегрируя сначала выражение (7.32), получим.

i = i6+-^udt.(7.46)

Используя теперь матрицу интегрирования, имеем ■

7=tJ+^..(7.47)

Здесь И — матрица интегрирования, а *

(7.48)

Матрица'

представляет собой точечную проводимость индуктивности.

При периодических процессах вместо матрицы' И лучше применять матрицу Г (см. табл. 4), причем в этом случае

На рис. 7.13 изображена условная схема замещения индуктивности, соответствующая уравнению (7. 47). На этой схеме

‘ и i‘ и i

‘ и i

‘ и i

Обратимся теперь к случаю переменной индуктивности £ = £ (Q. Поскольку применение операторного метода для изучения процессов в цепях с переменными параметрами практически оказывается весьма сложным, то рассмотрим здесь связи между соответствующими величинами только в комплёксной и точечной формах.

Потокосцепление

‘' ф = £(0<.• (7.51)

Комплексная индуктивность

+°° 1

т K^LWq Tv 1 nS-«""n

1'+oo

где

т

£„ = -^-$ (H^L^dt s (7.53)

Выражение (7.52) следует непосредственно из теоремы о комплот ном изображении произведения функций.

Для комплексной индуктивности

у Uv = jvtoL4Iv. .(7.!rh

Точечная индуктивность представляет собой матрицу связи меж ду точечным потокосцеплением и точечным током, причем

ф = LI,

Le

L =

■ ,(7.55)

•

^л—1

где Lk = L(4) > О, * = О, 1,- • •, п — 1.

Последняя формула справедлива и для нелинейной индуктивности L = L (0, но тогда Lt = L (ij).

Связи между током и напряжением на переменной индуктивности в точечной форме можно получить как с помощью матриц дифференцирования, так и матриц интегрирования.

Применяя матрицы дифференцирования, имеем -

:u = ZLi,'; (7.56)

где 1

ZL = DL<1.ЪТ)

представляет собой матрицу, являющуюся точечным сопротивлением переменной индуктивности току любой формы, а

Zl = J®L' (7.58)

— точечным сопротивлением периодическому току.

. Если для установления связей между и и i применить матрицы интегрирования, то получим

■. 1=1^-Ч +Ylu, '(7.59)

где YL — матрица, представляющая собой точечную проводимость переменной индуктивности и имеющая в общем случае вид

, .Yl = L-41(7.60)

(7.61)(7.61)^ = 1'^

(7.61)

(7.61)

при периодических процессах..

Емкость С представляет собой элемент цепи,, в котором энергия может быть только в виде энергии электрического поля. Из опыта

*ЦяЧЬд• *—41•*——41—в

Ся

о6О

■ Рис. 7.14.'

известно, что между величиной электрического заряда на какой-либо обкладке конденсатора и напряжением между его обкладками имеется зависимость

|9| = С|«|, (7.62)

где С — емкость конденсатора.

Емкость представляет собой коэффициент связи между зарядом q и напряжением и. Емкость может быть постоянной, переменной и, наконец, нелинейной, если электрическая проницаемость диэлектрика зависит от напряжения. Условные обозначения емкости приведены на рис. 7.14.

При выборе положительных напряжений, как указано на рис. 7.14, а, и в случае С = const будут выполняться следующие зависимости:'

q = Cu, ~~ С ~-.(7.63)

Переход от этих зависимостей к операторным дает

Q (Р) = CU (р\ I (р) = pQ (р) - pq (0) = pCU (р) — рСи (0). (7.64)

Соответствующие этим выражениям схемы замещения емкости для операторных величин приведены на рис. 7.15, где

. -£с(р) = «(0)'(7.65)

начальное значение напряжения,

/с(р) = Ус(р)«(0),■(7.66)

a

Yc^=pC(7.67)

операторная проводимость емкости.

При переходе от выражений (7.63) к комплексным изображени- ям, имеем

Qv = CUS, /v = jvaCUv ^- /2 •^3’ C, (7.68)

где Qv, Uv, /v— комплексные амплитуды заряда, напряжения и тока на отрезке (О, Т), а и0, ит— значения напряжения по концам отрезка.

Величина

называется комплексной проводимостью емкости для v-ой гармоники, а ток

1<» =12 “е~“т-С(7.70)

учитывает влияние на процесс разности напряжения в емкости в начале и конце отрезка (0, Т).

На рис. 7Л6 приведены схемы замещения постоянной 'емкости для комплексных токов и напряжений. На этом рисунке величина

2«—^с<7-71>

представляет комплексное сопротивление емкости току v-ой гармоники, а напряжение

ёс = Л-^...(7J2)

При периодических процессах с периодом Т величины /^ и Ео, принимают нулевые значения, так как в этом случае

Ц) = иг.

Применим теперь к выражениям (7.63) точечные преобразования. Имеем

q = T\q^\ = Cu, ^СПи._ (7.73)

Величина''■■ ,.> >,

, ,Yc = CD. -' х ■ (7.74)'

является точечной проводимостью емкости.

В случае периодических процессов вместо матрицы дифференцирования Ь лучше применять в расчетах матрицу М (см. табл. 3).

' Связь между точечными напряжениями и током емкости можно получить также при помощи матрицы интегрирования И. Имеем , '

и = Uq + -1- j idt.

Переходя к точечным величинам, получим -_

'+1<7-76)

Величина, -' _ ’'

,'Zc=%-/■(7.76)

представляет собой точечное сопротивление емкости. При периодических процессах„

-. гс = ^., . ; .(7.77)

(см. табл. 4) и•’

'-, u;=ZcL -- '(7.78)

Рассмотрим теперь случай переменной емкости,* когда

' q = C^u, г = ^^-. ■ >,(7.79)

Переходя к комплексным величинам, получим комплексную .емкость- <'

(>+©О1

■' ."5 Спй^—п

' g Ку [С (<) я] ' Qy / 1«=—оо

, v ~Kv,ад, ’ ;~ Ust /2 ' ', г/у

(7.80)(7.81)(7.80)(7.81)-■ -2 с*»—пйп -

(7.80)

(7.81)

(7.80)

(7.81)

где -' ,, .'

"т ' •

" C„ = -^^WC(0dL

Выражение (7.80) непосредственно следует из теоремы о комплексном изображении произведения функций. -'

Для комплексной емкости

/v =/vcoCvt/v'(7.82)

Переход от равенств (7.79) к точечным изображениям дает

l = Ycu,(7.83)

где-

'Yc = DC ',(7.84)

точечная проводимость, а,

(7.86)(7.86)(7.87)(7.87)(7.88)(7.88)

(7.86)

(7.86)

(7.87)

(7.87)

(7.88)

(7.88)

точечная емкость, D — матрица дифференцирования.

Последние две формулы справедливы и для случая, когда емкость нелинейная, но только тогда Ct = С (nJ, а не Cz = С (t^.

При периодических процессах вместо матрицы D лучше применять матрицу М. х

Связь между величинами и и i в случае переменной емкости С = = С (0 можно получить также и при помощи матрицы интегрирова-

ния. Действительно, учитывая, что

't

С (t) и = CgUo + J idt, можем написать

и-С^С^-Ч + ^Ш.

Матрица,

Zc = ^H представляет точечное сопротивление емкости. При периодических процессах

-~(С-1)Г

(7.89)(7.89)и = Zc i.

(7.89)

(7.89)

Рис. 7.17Рис. 7.177.хПриведем примеры составления уравнений и вычисления пара- летров в операторной, комплексной и точечной формах некоторых двухполюсников.

Рис. 7.17

Рис. 7.17

Пример 1. Для индуктивности, _ зависимость тока которой от йотоко- сцепления имеет вид

. = ( Vm при i > О, '1 ' I тт при i < 0, •

определить комплексную индуктив-

ность, если ток\

■ i = /msin®/ /'

Имеем (см. рис 7.17)‘

-./2 С— при v = 2k +1,

т о0 при v 2й + 1,

где к —' любое целое число или Нуль, а 1

Zm при v= 1, О при v ^ IIZm при v= 1, О при v ^ IIг

Zm при v= 1, О при v ^ II

Zm при v= 1, О при v ^ II

А, = 4г- f е~!'№Й Цт sin «о/) di — б

Таким образом, в данном случае имеет смысл лишь комплексная индуктивность для токов частоты ®, которая.-

' Пример 2. Для индуктивности, зависимость тока которой от потокосцепления имеет вид -''

- i = аф'+ бф8,

где. а, b — некоторые постоянные, определить точечную индуктивность.',,1

Имеем'।

,^«Но+АФо».

' \ 1‘1 = Оф1 + ^>

_in— 1 = йфп—1 Н" ^фп— I ,

где i6, фй — мгновенные значения тока и потокосцепления дая к*го момента времени...

Очевидно (см. (7.55)), что искомая величина L запишется так:

a + ^J

а + &ф»

а+ 6^-1

Пример 3. Для переменного сопротивления г = г(0 = 7?с(1 + лгС08(0/), где m < 1, найти выражения в комплексной и точечной формах. " Учитывая, что .

т,

'^^J^^^o + ^ocosco^d/="

(

j2Ra при л = О,-

mR0 при л = 1,О при л + 0 и л ф 1■

и используя формулу (7.21), получим следующее выражение для комплексного сопротивления:

4-00 е .,

Следовательно, в данном случае комплексное сопротивление для v-ой гармоники зависит от тока этой же гармоники и двух «боковых» гармоник. .■

Сопротивление в точечной форме получим при помощи выражения (7.24). Полагая, что конечный интеграл времени, на котором изучается процесс, равен периоду Т, имеем ,

1 -J- m

1 + m cos ah

1 + m cos со2Л

1

1 4-m cos (anh—ah)

где h = — ; л — число частей, на которые делится отрезок (0, Т).

Точечное сопротивление г, в отличие от комплексного rv, представляет матрицы с постоянными компонентами, не зависящими от тоца, протекающего по г = г (0.

Пример 4. Емкость конденсатора изменяется во времени сле- ующим образом:"\

■ С = С^ = Ст^,

де Ст и X — некоторые положительные постоянные. Требуется со- тавить уравнения и определить точечную емкость такого конден- .•атора. '- -•

Имеем

^„ d(e-«u)

dtdt

Отсюда

Cme-Mu = Cmu0 +j idt.

Переход к точечным изображениям дает возможность написать

Отсюда '

где s =• •

Заметим, что точно такое же выражение для С получается непосредственно из уравнения q = Сте~ми. ’

Трехполюеннкн н четырехпелюсннкн'

Под трехполюсником понимается любая электрическая цепь, которая может соединяться с другими цепями лишь тремя полюсами (рис. 7.2, б). К простейшим трехполюсникам относятся трансформатор с гальванически соединенными обмотками (рис. 7.18),,трехэлект-

родная лампа (рис. 7.19), транзистор (рис. 7.20) и другие элементы. '

Рассмотрим некоторые свойства указанных трехполюсников и составим их уравнения в различных формах. ■< ■

Для получения дифференциальных уравнений трансформатора выбираем положительные направления токов, напряжений и магнит

ных потоков так, как это указано на рис. 7.18, и используя далее второй закон Кирхгофа и закон полного тока, можем записать:

«« = rele + ^,. ‘(7.90)

«»»'Л+^.(7.91)

^ Я5/ = шв1в + “'Л»^ Я5/ = шв1в + “'Л»(7.92)(7.92)где фв, ф6 — потокосцепления обмоток трансформатора, обусловленные магнитными потоками рассеяния Фо, Ф6 и общим магнитнымгде фв, ф6 — потокосцепления обмоток трансформатора, обусловленные магнитными потоками рассеяния Фо, Ф6 и общим магнитным5 0-5 0-^ потоком Фо, причем^ потоком Фо, причем^=^0 + Кф» = ш6Ф0 + ф6р;^=^0 + Кф» = ш6Ф0 + ф6р;(7.93)(7.93)шо, ш6 — число витков обмоток; го, гь — оми, ческие сопротивления обмоток; фор, ^Ьр — Ри 7 20 потокосцепления обмоток, обусловленные маг- с' ‘ ' нитными потоками рассеяния; Н — напряженность магнитного поля сердечника; dl — элемент замкнутого контура, взятого внутри сердечника (см. еще стр. 368).В случае постоянной магнитной проницаемости сердечника потокосцепления обмоток являются линейными функциями токов и тогдашо, ш6 — число витков обмоток; го, гь — оми, ческие сопротивления обмоток; фор, ^Ьр — Ри 7 20 потокосцепления обмоток, обусловленные маг- с' ‘ ' нитными потоками рассеяния; Н — напряженность магнитного поля сердечника; dl — элемент замкнутого контура, взятого внутри сердечника (см. еще стр. 368).В случае постоянной магнитной проницаемости сердечника потокосцепления обмоток являются линейными функциями токов и тогда^a = Laaia + Mib. Ф» — М1в + Lbb ib,^a = Laaia + Mib. Ф» — М1в + Lbb ib,(7.94)(7.94)где М = Lab = Lba— взаимная, a Loo, Lbb — собственные индуктив- ностиТобмоток.где М = Lab = Lba— взаимная, a Loo, Lbb — собственные индуктив- ностиТобмоток.

^ Я5/ = шв1в + “'Л»

^ Я5/ = шв1в + “'Л»

(7.92)

(7.92)

где фв, ф6 — потокосцепления обмоток трансформатора, обусловленные магнитными потоками рассеяния Фо, Ф6 и общим магнитным

где фв, ф6 — потокосцепления обмоток трансформатора, обусловленные магнитными потоками рассеяния Фо, Ф6 и общим магнитным

5 0-

5 0-

^ потоком Фо, причем

^ потоком Фо, причем

^=^0 + Кф» = ш6Ф0 + ф6р;

^=^0 + Кф» = ш6Ф0 + ф6р;

(7.93)

(7.93)

шо, ш6 — число витков обмоток; го, гь — оми, ческие сопротивления обмоток; фор, ^Ьр — Ри 7 20 потокосцепления обмоток, обусловленные маг- с' ‘ ' нитными потоками рассеяния; Н — напряженность магнитного поля сердечника; dl — элемент замкнутого контура, взятого внутри сердечника (см. еще стр. 368).

В случае постоянной магнитной проницаемости сердечника потокосцепления обмоток являются линейными функциями токов и тогда

шо, ш6 — число витков обмоток; го, гь — оми, ческие сопротивления обмоток; фор, ^Ьр — Ри 7 20 потокосцепления обмоток, обусловленные маг- с' ‘ ' нитными потоками рассеяния; Н — напряженность магнитного поля сердечника; dl — элемент замкнутого контура, взятого внутри сердечника (см. еще стр. 368).

В случае постоянной магнитной проницаемости сердечника потокосцепления обмоток являются линейными функциями токов и тогда

^a = Laaia + Mib. Ф» — М1в + Lbb ib,

^a = Laaia + Mib. Ф» — М1в + Lbb ib,

(7.94)

(7.94)

где М = Lab = Lba— взаимная, a Loo, Lbb — собственные индуктив- ностиТобмоток.

где М = Lab = Lba— взаимная, a Loo, Lbb — собственные индуктив- ностиТобмоток.

Дифференциальные уравнения такого линейного, трансформато- )а принимают вид.>

(7.95)(7.95)Ua = raia + Laa^ + M-^,иь = rbib + Lm> ^~ + М -^-.

(7.95)

(7.95)

В теории цепей важное значение имеет понятие об идеальном трансформаторе, т. е. о трансформаторе без потоков рассеяния н без потерь в обмотках и в сердечнике (фар = ф^ = 0, ra = гь — О, Н = 0).

При расчетах часто удобно иметь дело со схемой замещения трансформатора, приведенной на рнс. 7.21 иотвечающей дифференциальным уравнениям (7.95). . 1

Величины La и Lb: .

(7.97)(7.97)La — Loa — М, Lb — Lbb — M,

(7.97)

(7.97)

называются индуктивностями рассеяния.

Схемы замещения трансформатора для операторных, комплексных и точечных токов н напряжений легко получить путем замены индуктивных элементов схемы рнс. 7.21, т. е. элементов La, Lb, М соответствующими схемами замещения, приведенными на рис. 7.11, 7.12 и 7.13.

Составим уравнения трехэлектродной электронной лампы (рис. 7.19). Ток ia в анодной цепи лампы нелинейно зависит от анодного иа и сеточного ис напряжений (рис. 7.22). При приближенном аналитическом описании этой зависимости можно использовать уравнение /

, «а = »ао + аис + М. (7.98) где а и b — некоторые постоянные, причем а > 0, а 6<0. Коэффициенты эти можно определить, если взять на характеристике две точки и затем решить полученную систему уравнений, .учитывая, чтолао есть значение тока 1а;при «с — 0.

(7.99)(7.99)При изменении напряжения иа на аноде коэффициенты аи 6 изме няют свое значение и. Таким образом, в общем случае анодный ток

(7.99)

(7.99)

Ч = ia («а • «с)

является известной функцией двух переменных: напряжения на аноде и напряжения на сетке.

Электронные лампы часто работают в режиме малых приращений. Если по отношению к некоторому исходному состоянию (l/a, Uc) сеточное напряжение получит небольшое приращение Аис, то оно вызовет приращение напряжения Аиа и приращение анодного тока. Для установления связей между всеми этими малыми приращениями вычислим дифференциал функции (7.99). Имеем

Частная производнаяЧастная производнаяа. =s‘ \d^)Ua, utа. =s‘ \d^)Ua, ut(7.101)(7.101)Aia =Aia =RiRi(7.100)

Частная производная

Частная производная

а. =

s‘ \d^)Ua, ut

а. =

s‘ \d^)Ua, ut

(7.101)

(7.101)

Aia =

Aia =

Ri

Ri

с подставленными в нее величинами Ua и Uc, определяющими исход-

Рис. 7.23ное состояние, называется внутрен-

' '' ней проводимостью электронной

лампы между анодом и катодом. Величину, обратную gb т. е. Rt = = -^- , называют внутренним сопротивлением.

Частную. производную.

(7.102)(7.102)/ dia \

(7.102)

(7.102)

( 5«с )Ua, Uc

определенную при исходных данных (Ua, Uc), называют крутизной характеристики лампы. Отношение S к gb т. е.

'1*-^-,■(7.103)

называют коэффициентом усиления лампы. ■

С учетом указанных величин уравнения для приращения анодного тока и анодного напряжения записываются в виде

Ma = Si Л“а + SAuc,(7.104)

Aua = RtMa — pAuc.(7.105)

Этим уравнениям соответствует схема замещения электронной лампы, изображенная на рис. 7.23, в предположении, что ток сетки ic настолько мал, что им можно пренебречь.

Составим уравнения транзистора (рис. 7.20).

В отличие от трехэлектродной электронной лампы, ни одним из токов полупроводникового триода нельзя пренебречь и поэтому свя-

зи между его токами и напряжениями определяются системой двух уравнений с четырьмя переменными:

«• =

; Л(7.Ю6)

Ug — Mg (i^, Yg).

Здесь Mg, Mg — напряжения на входных и выходных полюсах, а iv I» — входные и выходные токи. Какие именно токи и напряжения должны считаться входными и выходными, зависит от схемы включения триода. Так. в схеме с общей базой (рис. 7.24, а) входными являются ток эмиттера и напряжение между эмиттером и базой, а выходными — ток коллектора и напряжение между коллектором и ба-

0, , , ——4..,0а0, , , ——4..,0аРис. 7.24Рис. 7.24

0, , , ——4..,0

а

0, , , ——4..,0

а

Рис. 7.24

Рис. 7.24

зой. Функциональные зависимости (7.106) справедливы лишь при работе транзистора на низких частотах. Кроме того, следует иметь в виду, что при изменении полярности э. д. с. £н в нагрузке полупроводниковый триод теряет свойство управляемости и подобный режим для него является ненормальным.

Обозначим большими буквами U, I с соответствующими индексами исходные токи и напряжения триода. Тогда для приращений токов и напряжений имеем уравнения

(7.107)(7.107)Дмг = ('А h + (Ata.

(7.107)

(7.107)

\/11.1»hl.h

Частные производные представляют некоторые сопротивления

<7-108)

которые можно найти из характеристик полупроводникового триода, например, графическим путем. Считая, таким образом, их известными, можем написать . '

= /нА<1 + т«Мъ

Д^-г^ + г^. '<7-109>

Часто свойства триода характеризуются не величинами гм, а некоторыми другими сопротивлениями, а именно сопротивлением базы Ге, сопротивлением коллектора гк, сопротивлением эмиттера гв и

некоторым источником, э. д. с. которого равна произведению упрап ляющего тока на расчетное сопротивление rm, которые и вводятся и схемы замещения триода для малых приращений.

Значения величин г6, гк, г3 и гп определяются через гц, г13, г81 и гм.

Рассмотрим схему замещения полупроводникового триода, когда общим полюсом является база (рис. 7.24, б). Для этой схемы, при учете того, что М3 = —А^ и AiK = AZa, имеем уравнения

Д“1 = (гв + г^ Мг + г6At2,

—гтдЧ + Au3 = r6At1 + (r6+rK)Aia.( ‘

ттх-0—0х-0—0Рис. 7.25Рис. 7.25Сравнив с общими уравнениями (7.109), получим выражения для определения параметров схемы замещения

т

т

х-0—0

х-0—0

Рис. 7.25

Рис. 7.25

Г, + Г6-,Ц,,,-,„.

'"т + 'б-'м» ГК + Г6 = Г23.

Источник с э. д. с. rmM3 введен в схему для того, чтобы отразить усилительные свойства полупроводникового триода.

Под четырехполюсниками понимается любая электрическая цепь, которая

aaРис. 7.26Рис. 7.26может соединяться с другими цепями лишь четырьмя полюсами’ (рис. 7.2, в). К простейшим четырехполюсникам относятся отрезок двухпроводной линии и трансформатор при работе их в сложной цепи (рис. 7.25), управляемый варистор (рис. 7.26) или

a

a

Рис. 7.26

Рис. 7.26

управляемое нелинейное полупроводниковое сопротивление (УНПС), полупроводниковый триод с двумя полюсами на базе (рис. 7.27) и др.

Составим уравнения упомянутых четырехполюсных элементов. Для двухпроводной линии возьмем участок длиною dx, отстоящий от начала на расстоянии, равном х (рис. 7.28). Омические сопротивления проводов, омическую проводимость между проводами, индуктивность и междупроводную емкость, отнесенные к единице длины,

обозначим соответственно через ЯЛР, Ro6p. G, L и С и будем их считать величинами постоянными. Длина рассматриваемого участка пусть составляет /. Токи в прямом и обратном проводах обозначим через 1пр и 1о6р и предположим, что они не равны.э„

Неравные токи в проводах для удобства расчетов ;чуз

всегда можно представить в виде

4=^ + 4’ fo6P = f-4-<7Л12)

Симметричная система токов и уравнительный ток запишутся так:

i= ^^^ , 1х = Чр-1обр. (7.113) рис 72у

Выразим ток утечки между проводами на элементе линии через токи в проводах. Из рис. 4.1 следует, что этот ток может быть опре- - делен или в виде

<4,—н^—T%dx'<7114)

или же в виде

^ут = дх~^х + Т ‘ ~^^х’

Отсюда видим, что -

(7.115)

и, следовательно.

~^х.(7.116)

^5^5"Н»>"Н»>

^5

^5

"Н»>

"Н»>

' 2 Г * । dx' 2 Г * । dxаа^цт iA^HiiAx*I ' 2 вх° 2'т

' 2 Г * । dx

' 2 Г * । dx

а

а

6

Рис. 7.28

Зависимость (7.115) показывает, что значение уравнительного тока I, в каждый данный момент времени по всей длине линии будет одно и то же, т. е. ток ix не зависит от расстояния х и поэтому является функцией только времени t. i ,

Для получения искомых дифференциальных уравнений'применим к участку дх законы Кирхгофа и Ома. Имеем

и - Rnp (i + -^) dx - (« + -^ ^) - Добр (/ - 4) dx =

= L-^dx, '(7.117)

dLT = —^-dx = Gu + CV^-dx,(7.118)

-T-Tt^-V^f-^-dx,'(7.119)

где Lx — индуктивность единицы половины петли, обусловленная протеканием по проводам линии токов -у.

После простых преобразований окончательно можем записать:

—£ = (Л, + R^l + L^+ ^-^-i,.

—&—°"+с^-<7л20>

дих Rnp — Ro6p . ^пр + ^обр Lx , dlx дх ~21 +4+ 2 dt ’

— 4г = °- дх

Эти дифференциальные уравнения существенно упрощаются, если режим линии таков, что обеспечено равенство прямого и обратного токов (ix = 0).

В этом случае

-4г=ь“ + с^-4г=ь“ + с^(7.121)(7.121)

-4г=ь“ + с^

-4г=ь“ + с^

(7.121)

(7.121)

тд^ R RnP ~Н ^обр*

Переходя от дифференциальных уравнений (7.120) в частных производных к операторным, комплексным и точечным изображениям по переменной t, легко получить соответствующие обыкновенные дифференциальные или же алгебраические уравнения. Получим здесь уравнения линии в предположении, что все токи и напряжения синусоидально изменяются во времени с частотой и.

Вводя обозначения

= Rnp + /?обр + jaL, У = G + }®С,

AR = ^Пр Лобр > ^ = ^пр + ^обр + /2<»LX ,

N=VZY, Zc =N=VZY, Zc =дГТ_V Y *дГТ_V Y *(7.122)(7.122)

N=VZY, Zc =

N=VZY, Zc =

дГТ_V Y *

дГТ_V Y *

(7.122)

(7.122)

После некоторых преобразований получим

и = chyx(/2 + Zcsh ух/2 + -^-shyx/,,

.1 = -Sr °*+ ^xI» —^х- ch ^ ^ ’

йх^_(1 -chух) О» + 4” shyx/2 +

++—-!^У14-/х.(7-123)

где U41 Ц — комплексы напряжения и тока в конце линии; (7, I, 0х — комплексы напряжений и тока на расстоянии х от конца линии.

В, случае 1Х = 0 уравнения (7.123) упрощаются и принимают вид:

U = ch ух Ой + Zc sh ух/2,

/- *Eu, + chvx/„ (7Л24)

Уравнения четырехполюсного трансформатора Т, включенного в сложную электрическую цепь (рис. 7.25), будут те же, что и уравнения (7.95) трехполюсного трансформатора, но схема замещения последнего

(рис. 7.21) уже не будет справедлива в этом случае из-за наличия короткого замыкания между нижними полюсами, которое в четырехполюсном трансформаторе отсутствует. Полная схема замещения такого трансформатора будет получена в следующем параграфе.

Уравнения управляемого варистора (рис. 7.26, а) можно составить, используя мостовую схему замещения его (рис. 7.26, б) и уравнения вольт-амперных характеристик нелинейных полупроводниковых сопротивлений (НПС), являющихся элементами такой схемы. Приближенное уравнение любого из НПС, являющегося плечом мостовой схемы, имеет вид

1 = Ви^(7.125)

где В, р — некоторые постоянные.

В результате получим уравнения вида

(7.126)(7.126)к = кК. иа. “з).к ” к (“1 > ^2» “з)>к ” к (“1 > “а» “з)-

(7.126)

(7.126)

Подобными же уравнениями описывается состояние” полупровод никового триода (рис. 7.27) и вообще любого нелинейного четы рехполюсника (рис. 7.29) при низких частотах.

При работе в режиме малых приращений относительно како го-либо исходного состояния, характеризуемого величинами Iv Za, Z8, Uv U2, Ue, нелинейный четырехполюсник может быть описан уравнениями >

дг«-(-^)0^+№)/“■+№)л-<7Л27)

; ^-№)Л+№)>+(-&)Л-

Входящие сюда частные производные от токов по напряжениям имеют смысл собственных и взаимных динамических проводимостей четырехполюсника при заданных напряжениях UL, U^, U8.

§ 4. Общие схемы еемещении и уревиеиия линейных многополюсников

1. Пусть мы имеем некоторый многополюсник (рис. 7.30, а), элементами которого являются постоянные омические сопротивления, емкости, индуктивности, трансформаторы, а также задающие источ-

а6о

Рис. 7.30

ники напряжения и тока. Подобный активный многополюсник А всегда может быть представлен в виде пассивного многополюсника П (многополюсник П получается из А путем приравнивания нулю токов и напряжений задающих источников, начальных токов в индуктивностях и напряжений на конденсаторах) и системы источников напряжения uv..., ип (рис. 7. 30, б) или токов ?,,..., L (рис. 7. 30, в).

Напряжения ^ип представляют собой напряжения холостого хода многополюсника, т. е. напряжения uv .... ип, полученные в

предположении, что токи полюсов имеют нулевые значения (i^.,. = = in = 0), а токи 1Х, ...Дп представляют собой токи короткого замыкания, т. е. токи ilt.... i„, полученные в предположении, что напряжения полюсов имеют нулевые значения (ut =■.„ = ип =0). ч Поясним сказанное на примере. Пусть дана электрическая цепь, схема которой приведена на рис. 7.31, а. Предположим для простоты, что э. д. с. Е постоянна. Легко видеть, что в режиме холостого хода, когда ^ = 12 = Ч = 0, ток от э. д. с. Е будет протекать по сопротивлению ₽ и индуктивности L.

°6’ ' ' " Рис. 7.31 '°6’ ' ' " Рис. 7.31 '

°6

’ ' ' " Рис. 7.31 '

°6

’ ' ' " Рис. 7.31 '

Изменение его во времени при Холостом ходе цепи определяется пу

тем решения дифференциального уравнения di,

RiL + L-^ = E.(7.128)

Отсюда

ь=4+(^ (°) - 4)(7Л29)

Учитывая эту зависимость, получим

«1 = «с(0) + 1Е-№ь(0)]Г L ,

u2 = [£ —%.(0)И L ,(7.130)

u8 = 0,

где uc (0) и iL (0) соответственно напряжение на конденсаторе и ток в индуктивности при t = 0.

Схема замещения цепи, не содержащая внутренних источников энергии, приведена на рис. 7.31, б. Начальные запасы энергии в емкости С и индуктивности L в этой схеме должны считаться нулевыми. Схему замещения с источниками тока (по типу рис. 7.30, в) получить в данном случае несколько труднее. Для определения токов 4, t2,

ig нужно было бы замкнуть накоротко полюсы 1, 2 и 3 на полюс 4 и произвести расчетчицей цепи.

Возвратимся теперь к рассмотрению общих схем много полюсника (рис. 7.30).

В силу предполагаемой линейности цепи, можно утверждать, что состояние части цепи П многополюсника может быть описано при помощи систем из п линейных уравнений. Характер уравнений определяется режимом цепи. В случае стационарных процессов с постоянными задающими токами и напряжениями это будут обычные алгебраические уравнения

“i= Ruh + Ruh + • • • + Rin in>

• (7.131)

“л = Rnlh + RnS^l Hh Rnn h* или уравнения

<1 = GuU^ + 612^2 + • • • + Gin un»

' (7.132)

in = Gni«i + G^u^ Hb Gnn u„,

в которых Ry и Gy — некоторые вещественные коэффициенты, называемые собственными (при i = /) и взаимными (при i + j) сопротивлениями и проводимостями полюсов многополюсника.

Последние две системы уравнений легко записать в матричновекторной форме.

Уравнения, выражающие напряжения через токи и токи через напряжения, соответственно имеют вид

и = Ri(7.133)

и

i = Gu.(7.134)

В этих уравнениях: и — вектор с компонентами и1( .... ип (рис.

токами итоками и

токами и

токами и

где Е — единичная матрица.

Компоненты матриц 2? и G определяются расчетные или опытным путем на основе очевидных зависимостей, следующих|из уравнений (7.133) и (7.134), а именно для компонент

*« = -^(7.138)

при холостом ходе всех полюсов, кроме Л- го (рис. 7.32), и для компонент

0«=А- ; (7.139) при коротком замыкании всех полюсов, кроме А-го (рис. 7.33).

Наиболее простой эквивалентной схемой замещения многополюсника при стационарных процессах с посте

киями является схема, в которой каждый из полюсов соединяется со всеми остальными при помощи омических двухполюсников (рис. 7.34). Для такой схемы легко установить зависимости между сопротивлениями ее ветвей и коэффициентами уравнений (7.132). Действительно, для А-го узла схемы замещения выполняется следующее уравнение:

in = <7м («* — «1) + qM (йк — и2) +h qkn <ик —ип\ (7.140)

Сравнивая это уравнение с й-ым уравнением системы (7.132), по- лучим числовые зависимости

п

Gkk^^qw. к = \,1,-;П,(7.141)

1=0

Gki = -4ki. к^1.(7.142)

Из этих выражений видно, что матрица G симметричная, так как qhl = 4ik и» кроме того, положительно определенная, поскольку всегда

2|<?66|> |О«Ь ^=1, 2,..., п. (7.143)

Знак равенства здесь будет иметь место только в случае, когда проводимость дм равна нулю.

Многополюсники П в схемах рис. 7.30, б и в не содержат задающих источников и имеют нулевые запасы энергии в емкостях и индук

тивностях, т. е. являются пассивными. Поэтому, если в уравнениях (7.131) и (7.132) заменить действительные токи и напряжения их операторными изображениями, а вместо коэффициентов Rkl и Gkl ввести соответствующие операторные выражения, то мы получим уравнения для расчета переходных процессов в многополюсниках с постоянными параметрами. Эти уравнения в матрично-векторной форме имеют вид

u^-Z^i^,(7.144)

7(р)=*У(р)«(р).(7.145)

Здесь Z (р) и Y (р) — матрицы операторных сопротивлений и проводимостей многополюсника.

Замена в последних уравнениях р на /со приводит к уравнениям

(7.146)(7.147)(7.146)(7.147)О = Z(J<^I,

(7.146)

(7.147)

(7.146)

(7.147)

I = Y(jai)U,

при посредстве которых могут исследоваться стационарные синусоидальные процессы в многополюснике. Величины U, I, I, U представляют собой комплексные амплитуды соответствующих синусоидальных функций времени.

Схемы замещения многополюсника при переходных процессах для операторных величин и при синусоидальных процессах для

комплексных величин будут иметь тот же вид, что и при постоянных напряжениях н токах (рис. 7.34), но с заменой омических проводимостей соответственно на операторные и комплексные сопротивления.

При численных расчетах переходных процессов в электрических цепях, в особенности в цепях с нелинейными и переменными параметрами, часто необходимо иметь уравнения многополюсника, в которые входили бы лишь действительные токи и напряжения полюсов, так как нахождение комплексных и операторных сопротивлений и проводимостей элементов с переменными и нелинейными параметра-

Рис. 7.35Рис. 7.36

ми вызывает большие затруднения. В этих случаях полезно бывает использовать ряд соотношений, основанных на так называемых интегралах Дюамеля. Рассмотрим такие соотношения.

Получим интеграл Дюамеля для линейного двухполюсника с постоянными параметрами.

Допустим сначала, что мы имеем пассивный двухполюсник и для него известны переходное сопротивление г (f) или переходная проводимость у ^t\

Переходным сопротивлением г (^ принято называть напряжение на пассивном двухполюснике с нулевыми начальными запасами энергии в его емкостях и индуктивностях, которое получается под воздействием единичного тока, т. е. постоянного тока, имеющего величину, равную единице (рис. 7.35). Соответственно переходной проводимостью называют ток такого двухполюсника при приложении к нему единичного постоянного напряжения (рис. 7.36).

Покажем, что при приложении к пассивному двухполюснику какого-либо напряжения и = и(^) ток его i = i(0 определяется выражением t■ t

i (t) == 4f $ У (f — V) “Wdv = 4т$ y^W-Vld^, (7.148) . о' о

а при протекании по нему какого-либо тока на полюсах его появляется напряжение

tt

u^ = 4i $2^ — Т)*(¥)4¥ = -^SzMiU — 'tld'Y- (7-149) оо

Эти выражения называются интегралами Дюамеля.

При замене непрерывного напряжения и = и (t), приложенного к двухполюснику, ступенчато изменяющимся во времени напряжени-

ем, можно утверждать, что ток его определяется уравнением

i (О = ^ (0 “ (0) + 5 У ^ — ^^ &и (п^(7.150)

для всех t>kM. Устремляя теперь интервал Д/ к нулю и учитывая, что при этом

Ди(^^(^А/,(7.151)

\ аг Н=ш

получим в пределе

I ^ -У^ифН^- Y) ^ d^.№

С другой стороны, применение формулы дифференцирования определенного интеграла по параметру дает

tt

^^y^a(f-y)dy = y ^ “ (0) + J у (y) -^Е^- dy.(7.153)

00Y

Сравнивая теперь два последних выражения с выражением (7.148), убеждаемся в их эквивалентности.

Совершенно подобным же образом можно установить, что напряжение на двухполюснике определяется выражением (7.149).

Интеграл Дюамеля в форме (7.148) и (7.144) устанавливает связь между током, напряжением и переходной проводимостью или переходным сопротивлением пассивного двухполюсника с постоянными параметрами. Эти выражения, однако, не совсем удобны, так как в них, кроме интеграла, входят еще и производные. Для того чтобы устранить последнее, умножим обе части выражений (7.148) и (7.149) на dt и проинтегрируем их в пределах от нуля до I. В результате получим

ttt

J i(y)dY = Jy(^ — Y)«(Y)dY = JlfW™ Y)dY.(7.154)

000

ttt

Ju(Y)dy = J z(^—Y)«(Y)dY = j z(y)i(Z —y)dy. (7.155) 000

Заметим, что при постоянных у (t) и г (/) данные интегральные зависимости переходят в обычный закон Ома. Нам представляется поэтому, что имеет смысл говорить о том, что для линейного двухполюсника с постоянными параметрами связи между его током и напряжением определяются законом Ома — Дюамеля, математическим выражением которого являются интегральные уравнения (7.154) и (7.155).■

При численных расчетах интегралы в уравнениях закона Ома — Дюамеля следует заменять суммами, используя соответствующие формулы численного интегрирования. Применяя, например, прос-

тейшую (но, правда, очень приближенную) формулу прямоугольников, имеем

71—1/1—1/1—1

.2 (* = 2 ^”—ftti* ~ 2 Укип-к,(7.156)

5 М6 — S ^^-^к = 2 гк^к' п = 1, 2," • •, N. (7.157) 6=06=06=0,,

Здесь: 1к = ЦкК); yk — y{kh); zk = zQihy uk = u(to,y h— шаг интегрирования:

А = -у ;'(7.158)

N — число частей, на которое подразделяется отрезок (0, Т).

Системы линейных алгебраических уравнений (7.156) и (7.157) удобно записывать в матрично-векторной форме

Si = Ynu,Si = Ynu,Su = ZNi,Su = ZNi,(7.160)(7.160)(7.159)

Si = Ynu,

Si = Ynu,

Su = ZNi,

Su = ZNi,

(7.160)

(7.160)

- - t

где i, u — векторы:

Yn =ЛMa, 8,1••MN 'Улг-i•MxZn =, Z11 ‘•••гм•Z1 .Yn =ЛMa, 8,1••MN 'Улг-i•MxZn =, Z11 ‘•••гм•Z1 .(7.162)(7.162)(7.163)’(7.163)’

Yn =

Л

Ma

, 8,1

•

•

MN '

Улг-i

•

Mx

Zn =

, Z1

1 ‘

•

•

•

гм

•

Z1 .

Yn =

Л

Ma

, 8,1

•

•

MN '

Улг-i

•

Mx

Zn =

, Z1

1 ‘

•

•

•

гм

•

Z1 .

(7.162)

(7.162)

(7.163)’

(7.163)’

i =

80

, u =

1«0

•,,(7-161)

ix

Ui

•

^-1

“N-l

представдяющие соответственно точечный ток и точечное напряжение двухполюсника, a Yn, Zn — треугольные матрицы вида

связанные с точечной проводимостью У и точечным сопротивлением

двухполюсника выражениями , , (, •

" U', Y = S-^, ..*(7.164)

^ , » 1 . / 1 г где S — тре)

(7.165)(7.165)оо(7.166)(7.166)Отметим,Отметим,(7.167)(7.167)t,Ut,UС 'целью иллюстрации । вычислений при использовании закона Ома—Дюамеля в численных формах (7.156) и (7.157) рассмотрим простой пример.' i 4. ‘

(7.165)

(7.165)

о

о

(7.166)

(7.166)

Отметим,

Отметим,

(7.167)

(7.167)

t,U

t,U

Пример. Определить напряжение на индуктивности L при протекании» ио; ней тока 11 1’> * 11 '■

на отрезке (О, T).'1।

Переходная проводимость (индуктивности имеет вид

V; У(0=-Гг V

Используя теперь . уравнения (7.156), получим t’o= 9iuo» ? Ц + к^У^ + Ухих, io + <i + ^ = Ув“о + У А + У1“о

^, Т^ д.1! .I ■

(о = 0»9к(о = 0»9ккН' .7“’ ^кН' .7“’ ^Учитывая, что}

(о = 0»9к

(о = 0»9к

кН' .

7“’ ^

кН' .

7“’ ^

аходим

. N,. N,ик = ^к—\^и, к=\Л, ' 77 LI

. N,

. N,

де U ='

Сравним это решение с точным. Имеем и = L = 2U 4 •

Полагая здесь tk = kh, получим

' u^ = 2k-^rU.

Абсолютная погрешность в А-ой точке запишется в виде

6>k = uk-u№ = -^rU

и будет тем меньше, чем меньше шаг интегрирования к.,.

Математические выражения (7.154) и (7.155) для закона Ома’— Дюамеля, полученные для пассивного двухполюсника, легко обобщаются на случай активного двухполюсника, т. е. двухполюсника, содержащего источники задающих токов и напряжений и имеющего ненулевые начальные запасы энергии в емкостях и индуктивностях. Очевидно, что для такого двухполюсника!

J/(Y)dY = $ У kt — W (v) —“(V)l dY = J ykv)№ (/ —y) — оо ,_о

' — и kt — y)]dy,(7.168)

^uk^^^^zkt — ^ И (V) — i(Y)l d? = JZ(V) Hkt — y)*- 000

_— ^ —y)ldy>.(7.169)

где и = йф1 и i = i (0 соответственно напряжение холостого хода и ток короткого замыкания. 1‘1 _-

Данные интегральнее уравнения, если под I, и, i, и понимать соответствующие векторы, а под у = у к^ И z = zkf) — матрицы, имеют место и длй многополюсника (рис. 7.31), причем

1 =ч. и =«1ч <<41•inИя1 =ч. и =«1ч <<41•inИя(7.170)(7.170)

1 =

ч

. и =

«1

ч <

<4

1

•

in

Ия

1 =

ч

. и =

«1

ч <

<4

1

•

in

Ия

(7.170)

(7.170)

y = g(fi =

Уи

—Уи ■

—Ут

. ■(7.171)

-Уи

Ум

•

—Ут

•

*

•

•

—Ут

—У«8

-1

Упп

2п

—Z12

•

—Zln

z = z(0 =

—z»

•

—г2Л

-(7.172)

•

•

•

—zm

—Z/м

•

z«n

Компоненты ykt = ум (t) называются собственными (6 = /) и взаимными (6 Ф Г) переходными проводимостями, а zkl — переходными сопротивлениями многополюсника. .

Рис. 7.37

Поясним определение параметров многополюсника на примере.

Пример. Требуется определить переходные сопротивления и проводимости, а также токи короткого замыкания и напряжения холостого хода, трехполюсннка, изображенного на рис. 7.37, а при условии, что э. д. с. Е постоянна, а ток в индуктивности при / = О равен iL (0). '

Составим дифференциальные уравнения цепи. Используя законы Кирхгофа, получим

Rih. + L -^ + Е = «х,

iL + ^^L-^ + E^Zt + ts- ,

Полагая в этих уравнения^ (рис. 7.37, б) иг = 1, и2= 0,4 — уи, Ч = Уа» Е = О, iL (0) = 0 и решая их, получим

(

' *—ТгА

х Уя- RiRoS ’

Аналогично (рис. 7.37, в) при ut = O. Ua =1,4 = Уи» к = Уи» Е = 0, 4 (0) = 0 находйм

е еь х У»™R^’ ,

В этих выражениях ,,

। , г*'* Ro । Ri RoТаким образом, матрица переходных проводимостей трехполюс-। , г*'* Ro । Ri RoТаким образом, матрица переходных проводимостей трехполюс-Для нахождения напряжений холостого хода следует исходные дифференциальные уравнения решать прн условиях, что 4 = 4 = 0»Для нахождения напряжений холостого хода следует исходные дифференциальные уравнения решать прн условиях, что 4 = 4 = 0»

। , г*'* Ro । Ri Ro

Таким образом, матрица переходных проводимостей трехполюс-

। , г*'* Ro । Ri Ro

Таким образом, матрица переходных проводимостей трехполюс-

Для нахождения напряжений холостого хода следует исходные дифференциальные уравнения решать прн условиях, что 4 = 4 = 0»

Для нахождения напряжений холостого хода следует исходные дифференциальные уравнения решать прн условиях, что 4 = 4 = 0»

Проделывая это, получим .

их = и1 = Е — [£ Ч-/?^ (0)1 е L .

Для определения токов короткого замыкания (рис. 7.37, е) не ходные дифференциальные уравнения решаем при условии, что их = Ыд = 0. Имеем1

т '£т '£^ + ^(0) -Il gRi''^ + ^(0) -Il gRi''

т '£

т '£

^ + ^(0) -Il gRi''

^ + ^(0) -Il gRi''

Наконец, при нахождении компонент матрицы переходных сопротивлений следует решать исходные уравнения при условиях, соответствующих схемам рис. 7.37, гид. После вычислений при условиях: 1) ^ = 1, ta = 0, iL (0) = 0, Е = 0 и 2) ix = 0, ц = 1, к (0) = 0, Е = 0, получим

-4=-t

, Zu = /?! R^ ,

'-’I'1 <n . ■■

,zu = zal = — RoP ,

Zy — Ra R# ^ .

Таким образом,

Rx — R^e L

-Roe '^ L ’

—5l t

-Roe _

Ri ” Rti®

Переходная проводимость у (0 и переходное сопротивление z (0 не являются независимыми величинами. Предполагая, что они одновременно существуют, что вообще говоря не всегда имеет место, установим связь между ними.

Полагая в уравнении (7.154) i (0 = # (0 и я (0 = 1, а в уравнении (7.155) я (0 = z (0И1 (0 = 1, получим интегральное уравнение

it

Sti(t — ^z(,^d^ = ^y(.^z(t — ^d4 = t, (7.173) оо

которое позволяет, если известно у (0, определить z (0 и наоборот. Данное интегральное уравнение справедливо не только для двух

полюсников, но и для многополюсников, если только под у (0 hJz (0

понимать матрицы (7.171) и (7.172) переходных проводимостей и сопротивлений и полагать, что в правой части t представляет диагональную матрицу с одинаковыми компонентами, равными времени t.

При замене в уравнении (7.173) интегралов соответствующими гуммами можно получить связи между у (t) н г {$ в виде системы линейных алгебраических уравнений. Так, воспользовавшись формулой прямоугольников, имеем '

2 Уп-кгк = У1 Ук2п-к = п., я = 1, 2,..., N, (7.174)

где yR = y (Ай), zn = г (kh), h — щаг интегрирования, N — число частей, на которое подразделяется выбранный отрезок (О, Т).

Рис. 7.38

Отметим, что не для всех двухполюсников и, следовательно, многополюсников одновременно существуют переходные параметры у (<) и г (<)• При расчетах нужно в этом случае добавить к элементам цепи соответствующие малые параметры, обычно омические проводимости, так, чтобы имело место одновременное существование этих параметров. Например, для идеальной индуктивности L переходная проводимость уь (t) = ■£-, а переходное сопротивление не существует. Добавляя параллельно L большое сопротивление R, лучше всего, если оно равно сопротивлению утечки вдоль изоляции, будем иметь для полученного таким образом двухполюсника:

Rt

У^Т + Т' ®^»Re L •

Рассмотрим уравнения линейного омического многополюсника с постоянными параметрами, содержащего внутренние источники задающих токов и напряжений, имеющего общий полюс и по я входных и выходных полюсов (рис. 7.38, б).

В силу линейности многополюсника уравнения его могут быть записаны в виде

^а ™ @ооиа ^аЬ^Ь 4" la»,- .

.__ т(7.175)

<6 = — ^baUa + ^bbub 4- lb *

Данным уравнениям соответствует схема замещения многополюсника, приведенная на рис. 7.38, б..

Уравнения многополюсника могут быть записаны также в виде

(7.170)(7.170)“a^aaia *- ^ab^b "Ь “о»■ i

(7.170)

(7.170)

ы» — — Rba^a + ^ыЛь + иЬ •

В этих уравнениях: иа и иь — векторы систем напряжений полюсов а и Ь:'

Ua =Иа1, ub =ublИдеUb»••«апUbnia и ib — векторы токов:ia ”lai, Ц =lbl1а»lb»••IanIbnUa =Иа1, ub =ublИдеUb»••«апUbnia и ib — векторы токов:ia ”lai, Ц =lbl1а»lb»••IanIbn(7.177)(7.177)(7.178)(7.178)

Ua =

Иа1

, ub =

ubl

Иде

Ub»

•

•

«ап

Ubn

ia и ib — векторы токов:

ia ”

lai

, Ц =

lbl

1а»

lb»

•

•

Ian

Ibn

Ua =

Иа1

, ub =

ubl

Иде

Ub»

•

•

«ап

Ubn

ia и ib — векторы токов:

ia ”

lai

, Ц =

lbl

1а»

lb»

•

•

Ian

Ibn

(7.177)

(7.177)

(7.178)

(7.178)

Саа» Сьь—матрицы собственных и взаимных проводимостей систем полюсов а и b; Gab и Gba — матрицы взаимных проводимостей между полюсами а и Ь; Rkl с соответствующими индексами — матрицы сопротивлений.

Матрицы Gab и Gba> а также Rab и Rba взаимнр транспонированные, т. е.

,, Gba = G'ab и Rob = R'ba.(7.179)

Кроме того, матрицы

Gab—Gbb—GbaGbbGab—Gbb—GbaGbbRabRabRba1 RbbRabRabRba1 Rbb(7.180)(7.180)

Gab

—Gbb

—Gba

Gbb

Gab

—Gbb

—Gba

Gbb

Rab

Rab

Rba

1 Rbb

Rab

Rab

Rba

1 Rbb

(7.180)

(7.180)

являются взаимно обратными,являются взаимно обратными,т. е.т. е.

являются взаимно обратными,

являются взаимно обратными,

т. е.

т. е.

GR-i^G^R-E,GR-i^G^R-E,(7.181)(7.181)

GR-i^G^R-E,

GR-i^G^R-E,

(7.181)

(7.181)

где Е — единичная матрица.

Отметим еще, что матрицы R и G не только симметричные, но и положительно определенные. Все эти свойства непосредственно следуют из уравнений (7.131) и (7.132) и общей схемы замещения пассивного омического многополюсника с постоянными параметрами (рис. 7.34). ’

В заключение настоящей главы рассмотрим получение параметров схемы замещения пассивного многополюсника по коэффициентам его уравнений. Схему замещения будем искать в виде полного многоугольника (рис. 7.34).

Данная задача проще всего решается при помощи уравнений (7.141), если искомой является схема замещения при постоянных токах и напряжениях. При замене в этих уравнениях отдельных членов комплексными или операторными выражениями возможно получение параметров схем замещения при синусоидальных и переходных процессах.

Для примера получим полную схему замещения четырехполюсного трансформатора Г, включенного в сложную цепь (рис. 7.25),

Рис. 7.39Рис. 7.39

Рис. 7.39

Рис. 7.39

для случая, когда токи и напряжения цепи синусоидально изменяются во времени.

Схема замещения трансформатора должна иметь вид, указанный на рис. 7.39. Схема является шестиэлементной и ей соответствуют уравнения

(У, + У8 + У^ 1)г - ¥бий - уьй8 = 4,

-УД + (У, + Уг + Уз) иа -ГА-1а,(7.182)

-YbU.-VjO, + (У8 + У4 + У6)(78 = /8,

где У», 0к и 1к соответственно комплексные проводимости, напряжения и токи."

С другой стороны, для самого трансформатора справедливы, очевидно, уравнения

. t\ = ZJ^ ZmIa,

'Ua-U3 = ZniI1 + Ztia,(7.183)

где/8 = —/8,

Z1 = Ri + j^L, Zm = jmM, Z8 = Rg 4~ j^Lg

24124116 г. В. Пухов

241

241

Решая уравнения (7.183) относительно токов и сравнивая ко 4 фициенты полученных таким образом уравнений с уравнениями (7.182), находим искомые параметры полной схемы замещения траш форматора: -

Г

.tz __ iz ■

3—^4Д~'~— ~д-^>

где '

А = 2^8 — 2^-(7.1№"

ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ТРАНСФИГУРАЦИИ

Идея метеда и иекотерые енределення и понятия

Данный метод, называемый еще методом подсхем, а также методом преобразования, основан на возможности замены как цепи в целом, так и отдельных ее частей (подсхем) более простыми эквивалентными цепями по определенным правилам. Весь расчет можно подразделить на следующие этапы:

Заданная цепь подразделяется (расщепляется) на несколько соответствующим образом соединенных подсхем и для каждой in них составляются уравнения в такой форме, чтобы облегчить даль нейшие преобразования цепи.

Путем постепенного преобразования (свертывания) отдельных подсхем заданная цепь приводится к настолько простому виду, чтобы расчет ее не представлял особых затруднений.

После расчета полученной простой цепи производится обрат ное преобразование цепи и приведение ее к исходному виду с одно временным нахождением всех подлежащих опредедению величин.

Метод трансфигурации в том виде, как он здесь будет изложен, применим к расчету сколь угодно сложных электрических цепей с постоянными параметрами. Для нелинейных цепей возможность его применения ограничивается лишь некоторыми частными случаями.

Остановимся на важном для данного метода понятии эквивалентности двух многополюсников и о возможных способах соединении их между собою.

Многополюсник Л будем считать эквивалентным второму многополюснику 5, имеющему то же число полюсов, что и Л, если включение каждого из них в любую электрическую цепь будет приводить к появлению одних и тех же токов и напряжений в точках соединения многополюсника и указанной цепи.

В качестве примера рассмотрим двухполюсники, схемы которых приведены на рис. 8.1, а и б. Обе схемы являются эквивалентными, in к как описываются одинаковыми уравнениями относительно внеш- 1КЗГ0 тока и напряжения. Действительно, для схемы рис. 8.1, а имеем

. и . « + 2Е _ и-V- Е2R 2R — R

ио это есть ни что иное как уравнение двухполюсника (рис. 8.1, б).

ааРис. 8.1Рис. 8.1бб

а

а

Рис. 8.1

Рис. 8.1

б

б

Рассмотрим теперь возможные способы двух многополюсников.

Пусть первый многополюсник имеет т, а второй — п полюсов, причем т может и не равняться п. Объединяя i-ый полюс первого многополюсника с А-ым полюсом Нторого (полученный при этом полюс назовем объединенным), получим параллельное или последо- пптсльное их соединения.

Под параллельным (рис. 8.2, а) будем понимать такое соединение, при котором объединенный полюс остается присоединенным к внеш

ней цепу, а под последовательным (рис. 8.2, б) — соединение, при котором объединенный полюс к внешней цепи не присоединяется, образуя внутреннюю связь между соединяемыми многополюсниками. Иных, кроме указанных, соединений полюсов многополюсников представлять, очевидно, нельзя.

В соответствии со сказанном приходим к трем основным способам соединения двух многополюсников: параллельному, последо- нательному и смешанному.

Рис. 8.3 ление двух холостых полюсовРис. 8.3 ление двух холостых полюсов

Рис. 8.3 ление двух холостых полюсов

Рис. 8.3 ление двух холостых полюсов

Параллельным (рис. 8.3) назовем соединение, при котором объединяемые полюсы, общее число которых равно 2р, соединяются лишь параллельно, причем все они без исключения являются внешними, т. е. полюсами, присоединенными к внешней цепи.

Число внешних полюсов определяется при этом формулой

/пар = « + л —Р-(8Л)

При т> п = р эквивалентная цепь будет иметь tn внешних полюсов. Отметим, что случай т > п = р может рассматриваться и как параллельное соединение многополюсников с одинаковым числом полюсов, равным т, при условии, что т — п полюсов второго многополюсника будут холостыми, т. е. ни с какой цепью электрически не связанными. На рис. 8.4 этот случай иллюстрируется на примере, когда т = 4, п = р = 2. Добав- у второго многополюсника позво

ляет формально считать, что мы имеем дело с двумя параллельно соединенными четырехполюсниками.

Последовательным назовем соединение, при котором несколько, например 2s, полюсов обоих многополюсников соединяются последовательно, а остальные являются внешними. Цепь в целом имеет /поел = «+> — 2s(8.2)

внешних полюсов (рис. 8.5).)

В часто встречающемся случае, когда т = п и s = -|-, число внешних полюсов будет т, а при т > п = s число внешних полюсов /поел = ^ — s, причем все внешние полюсы принадлежат первому многополюснику.

Смешанным естественно называть соединение, при котором полюсы многополюсников соединяются и последовательно и парал-

лельно. При таком соединении (рис. 8.6) число внешних полюсов цепи в целом определяется так:

I = щ + п — р — 2s, .. (8.3)

где р и s имеют прежний смысл.

Смешанное соединение по своему характеру является наиболее общим.

Цееи е двухполюеиыми элементами '

Расчет цепей методом трансфигурации начнем с рассмотрения наиболее простого случая, когда прямые и обратные преобразования совершаются над двухполюсными элементами.

Рис. &7

Как уже указывалось, на первом этапе расчета заданную цепь следует заменить эквивалентной цепью, которая имела бы более простую конфигурацию. В предельном случае такой простейшей цепью может быть цепь, состоящая из одного источника с присоединенным к нему пассивным двухполюсником.

Замена сложной цепи более простой производится при посредстве ряда расчетных приемов, из которых мы далее рассмотрим следующие: замена последовательно и параллельно соединенных двухполюсников эквивалентным, а также преобразование треугольника в эквивалентную звезду и наоборот.

Для того чтобы произвести расчёт электрической цепи любой сложности, знание этих приемов, вообще говоря, недостаточно. Однако это не означает, что подобную цепь нельзя рассчитать методом преобразования. Расчет ее, оказывается, возможно произвести, если воспользоваться методикой, которая будет рассмотрена в следующих параграфах применительно к случаям подразделения исходной цепи на более сложные подсхемы по сравнению с обычными двухполюсниками.

Получим формулы, которые позволяют произвести замену последовательно и параллельно соединенных двухполюсников эквивалентным (рис. 8.7 и 8.8).

Для получения параметров эквивалентного двухполюсника при последовательном соединении составляем уравнения:

и + и — Ri = О,’йх + “i — RJ ~ О,Kg + Кд — /?2< = 0,^®’^

uL + и^ = и.

Отсюда распространяя результат на N последовательно соединенных двухполюсников, получим

N

R = ^Rfe.6=1

N _

« = fcS«6-(8.5)

Таким образом, при последовательном соединении сопротивление R и напряжение и холостого хода эквивалентного двухполюсника соответственно равны суммам сопротивлений Rlt..., RN и напряжений «и .... и у, составляющих двухполюсник. Следует отметить, ч го при вычислении и напряжения и6 следует брать с плюсом, если их направления совпадают с выбранным положительным направ- чспием и.

При параллельном соединении двухполюсников (рис. 8.8, а). составляем уравнения:

.'«— и — Ri = О,

1 -■(8.6)

и^ — и^ R^ia = 0,■

Н Н- Ч = I*

Отсюда после распространения результатов на N параллельно

соединенных двухполюсников, получим

(8.7)(8.7).■c-2g„

(8.7)

(8.7)

Re»

Gu = 2 G^k»

■

где Gfe = -^— проводимость А-го двухполюсника.

Поскольку произведения

(8.8)

соответственно представляют собой ток короткого замыкания. А-го и эквивалентного двухполюсников (рис. 8.8, б), то выражения (8.7) можно переписать еще и в виде

к■■•

0-20..■.

(8.9)

Таким образом, при параллельном соединении проводимость и ток короткого замыкания I эквивалентного двухполюсника соответственно равны суммам проводимостей Glt ..., Gy и токов 4» ••♦> in составляющих двухполюсников. '

Из приведенных выражений следуют важные расчетные формулы, позволяющие производить замену двухполюсника, состоящего из последовательно соединенных сопротивления R и источника напряжения Е эквивалентным двухполюсником,, представляющим собой

параллельное соединение проводимости G и источника тока / (рис. 8.9).••

Пересчет параметров схем рис. 8.9, а и б производится по формулам'

,RG=\, GE = L(8.10)

Приведенные выражения позволяют производить расчет методом преобразования сколь угодно сложных электрических цепей, если их конфигурация такова, что цепь представляет собой совокупность двухполюсников, соединенных только последовательно и параллельно.

Для иллюстрации схемы вычислений рассмотрим простой пример. ■

Пример. Требуется произвести расчет цепи, изобра

женной на рис. 8. 10, а, методом преобразования.

Заменяя двухполюсники 1, 2, 3 эквивалентным двухполюсником 6, имеем..

Полученная схема (рис. 8.8, б) представляет собой параллельное соединение трех двухполюсников. Заменяя ее эквивалентной схемой 7 (рис. 8.8, в), находим'

Gi= Gt + G6 + Gt, i, — it — /•

Из этой элементарной схемы видно, что

Зная напряжение и4 и пользуясь схемой рис. 8.8, б, определим токи i4, it, iv Имеем ,■

■ i 4= G4ut, ib = G6u4,. i4 = i4 + if 1

Теперь можно определить все остальные токи и напряжения исходной цепи. Имеем

«1 - R&,«1 - R&,. Е — «1 —U* ; E — U1 — «4 12= £, <3" R,

«1 - R&,

«1 - R&,

Рассмотрим преобразования СХем, получивших в теории цепей наименования звезды и треугольника (рис. 8.11).

Для того чтобы Треугольник и звезда были эквивалентными, необходимо, чтобы Со^рОтивления и напряжения между одними и те

ми же парами полков обеих схем были равными при одинаковых режимах работы.

Считая для определенности, что и треугольник, *й звезда находятся в режиме холостого хода, составим уравнения для определения сопротивлений и Напряжений источников обеих схем. Имеем

2?д+^в=2?д+^в=Я,(Яа+#б)/?а + Кб 4- Кв ’

2?д+^в=

2?д+^в=

/?в+ Rb —/?в+ Rb —Ra + Кб + Кв *Ra + Кб + Кв *(8.11)(8.11)

/?в+ Rb —

/?в+ Rb —

Ra + Кб + Кв *

Ra + Кб + Кв *

(8.11)

(8.11)

Rb 4- Ra —Rb 4- Ra —Кб (Ка 4- Кв) .Ка + Кб + Кв ’

Rb 4- Ra —

Rb 4- Ra —

Ед •— Еб = Баб — RbЕд •— Еб = Баб — RbБаб 4- ева"У" ебвКа 4" Кб 4" Кв '

Ед •— Еб = Баб — Rb

Ед •— Еб = Баб — Rb

Ев -— Ев = Ебв — R»

Бдб+ ебв 4- Б баКа 4" Кб 4“ Кв

(8.12)

Ев-^~ Ед = Ерд — R6

EAB"VEBB"VEBAКа 4“ Кб 4“ Кв

Из уравнений (8.11) легко получить формулы для определения сопротивлений лучей звезды через сопротивления сторон треугольника:'

Ra = "ЛГ+У+ЛГ’RS= % + R6* Rb \. ^8ЛЗ)

р ЛаЛб

“ Ra + R6 + Rb•

и формулы для определения проводимостей сторон треугольника через проводимости лучей звезды:'

р°5°В.

d Од + Gg + GB ’

G6 = г■<8Л4)

г — .°А°6

.аОд + Gg + GB.

Уравнения (8.12) непосредственно рпределяют э. д. с. источников лучей звезды через э. д. с. источников сторон треугольника и сопротивления последних. Поскольку любое из этих уравнений является следствием двух остальных, то значением одной из э. д. с. следует просто задаваться, например полагать Ев = 0.

Определитель, составленный из коэффициентов правых частей уравнений (8.12), равен нулю. Поэтому э. д. с. источников сторон треугольника определяются через э. д. с. источников лучей звезды тоже при условии, если одной из э. д. с. задаться, например, положив Ева = 0.'■

Цепные схемы не трехпелюсников

1. На практике очень часто встречаются электрические цепи, состоящие из трехполюсников, соединенных между собою так, как это показано на рис. 8.12. ' .

Рис. а 12

По нашей терминологии подобное соединение трехполюсников относится к смешанному соединению. В литературе его называют чаще цепочечным соединением.

При анализе цепных схем параметры каждого составляющего трехполюсника считаются известными. Обычная, задача состоит в нахождении токов и напряжений в местах соединения трехполюс

пиков при условии, что известны какие-либо токи, напряжения или ишисимости между ними на входных и выходных полюсах цепи. При решении этой задачи уравнения составляющих трехполюсни- кон и цепи в целом наиболее удобно записывать в так называемой i/форме, под которой понимают такую форму записи уравнений, когда ток и напряжение на входных полюсах выражаются через юк и напряжение на выходных полюсах. В силу предполагаемой линейности трехполюсников такие уравнения имеют вид

„(6) —II „W

Ui — Оц «2 + #12 12 + Ою ,

.И — “21 “2 T #22 <2 + #20 ,

Рис. 8.13Рис. 8.13где индекс к указывает номер трехполюсника.

Рис. 8.13

Рис. 8.13

4Г4Г(8.16)(8.16)Постоянные коэффициенты о^, о^, O2i\ с^ образуют матрицу'

4Г

4Г

(8.16)

(8.16)

называемую цепочечной матрицей трехполюсника. Величины этих коэффициентов определяются пассивными параметрами трехполюс- иика и не зависят от его внутренних задающих токов и напряжений.

Свободные члены о<*> и а^ уравнений (8.15) зависят как от пассивных параметров трехполюсника, так и от задающих токов и напряжений его. При нулевых значениях последних эти члены также становятся нулевыми.

Если ввести в рассмотрение векторы .

Мй) =

и^

, N^ =

46)

, N^ =

j£

то уравнения (8.15) можно записать в виде

М6) = Л^6) + Ж .(8.17)

Пример. Определить параметры Л *и Уо для трехполюсника, схема которого приведена на рис. 8.13, при синусоидальных и постоянных токах и напряжениях. В первом случае пусть о = = t/msin (и>/ + а), а во втором — и = Е, где (/„, со, а, Е — некоторые известные постоянные.

' Учитывая, что ток''

/=((? + jwC^U,

можем для синусоидального режима записать следующие уравнения.

. иг = й, + й + (R + /®£) (/, + сйа + jtocu^

'Д = Д + (G +/®С)^2>

где U — ите1а — комплексная амплитуда напряжения и =Um х xsin(t»#+a).-

Преобразуя данные уравнения к виду уравнений (8.15), получим■.'

0г = [1 + (jR + j<i>C) (G + jtoE)\ Ua + (jR + jaL) Ua + U,l\ = (G + jtoC) f/2 + Ia.

Отсюда'

1 + (/? + /<о£)(0 + /б)0’

7? —|- jG)Zf

G + /<оС

1

I)

o

Если положить здесь <в = 0 и 17 = E, то получим матрицу А и вектор No при работе рассматриваемого трехполюсника в режиме постоянных токов и напряжений.

Найдем теперь уравнения, позволяющие определить распределение токов и напряжений в цепной схеме (рис. 8.12) в предположении, что для каждого из составляющих трехполюсников известны параметры Л и Af0.' •

Рассматривая схему, видим, что векторы N^ и МА+1) равны, т. е. Mfc) = 'Nak+X\ так как ток и напряжение на выходных полюсах А-го и (А + 1)-го трехполюсников имеют одинаковые значения. Учитывая это, можем написать уравнения

М1) = Л^0 + N£\'

.Af> = A# + А#»,(8.18)

■■' N\ax - AsN^ + N^’

и т. д.-

Очевидно, что для эквивалентного трехполюсника выполняется уравнение

N1 = AN» + N0,(8.19)

где . Nt =N^ и N2 = N^.’.

Исключая из уравнений (8.18)' все векторы, кроме N^V и NVn\ и сравнивая полученное уравнение с уравнением (8.19), находим

параметры цепной схемы, состоящей из п трехполюсных звеньев, в виде .

.A = AA-vAi,(8.20)

No = N^ + Л„^п + Ап An-iN^ + • • • +

+ Л„...Л^и.(8.21)

Таким образом, цепочечная матрица эквивалентного трехполюс- ника равна произведению цепочечных матриц составляющих трех- полюсников. Что касается векторного параметра Ng, то для схемы, состоящей из двух звеньев, он равен сумме, слагаемыми которой являются векторный параметр N^^ второго трехполюсника и произведение его цепочечной матрицы Аг на векторный параметр N^ первого трехполюсника. В общем же случае п звеньев параметр No определяется выражением (8.21). '

Рассмотренные выше формулы преобразования последовательно и параллельно соединенных двухполюсников, преобразования звезды в треугольник и наоборот, а также формулы (8.20) и (8.21) для параметров цепных схем из трехполюсников позволяют рассчитывать методом преобразования очень многие электрические цепи. Область применения метода еще более расширяется, если в расчетах использовать известные, но не рассмотренные здесь формулы преобразования многолучевых звезд и многоугольников. Однако наличие подобных формул преобразования цепей частного вида не позволяет еще производить расчет данным методом цепей произвольной конфигурации. Для того чтобы это можно было делать, необходимо владеть общей методикой преобразования цепей, которая будет изложена в следующих параграфах. После этого мы более подробно рассмотрим расчет цепей их трехполюсных и четырехполюсных элементов, поскольку такие цепи весьма часто встречаются’ в практических расчетах.

Расщеплеппе влажней цопп на подехемы

Сложная электрическая цепь, именно в силу своей сложности, всегда состоит из большего или меньшего числа элементарных цепей сравнительно простой конфигурации. Поскольку каждая из таких подсхем содержит по нескольку полюсов, то ясно, что в результате расщепления исходная цепь как бы распадается на ряд соответствующим образом соединенных многополюсников. Конфигурация последних и вид их соединения между собой, естественно, будут определяться выбранным способом подразделения цепи на подсхемы.

Из многих возможных способов расщеплениц цепи на подсхемы наиболее очевидными и всегда возможными являются способы подразделения цепи на ряд параллельно или последовательно соединенных частей. Рассмотрим эти способы.

Пусть имеем электрическую цепь, которую решили представить в виде трех последовательно соединенных подсхем. Очевидно, что это всегда можно сделать путем двух разрезов (рис. 8.14, а). Если, например, в месте первого разреза подсхемы I и II будут соединяться двумя проводниками, а в месте второго разреза — тремя, то в этом частном случае подсхема I будет двухполюсником, подсхе-

Рис. 8.14Рис. 8.14

Рис. 8.14

Рис. 8.14

ма II — пятиполюсником, а подсхема III — трехполюсником (рис. 8.14, б). '

Эту же цепь, очевидно, можно представить в виде трех параллельно соединенных многополюсников, если к указанным подсхемам добавить холостые полюсы так, чтобы у всех подсхем оказалось по

одинаковому числу полюсов, равному .числу полюсов подсхемы, имеющей максимальное их число. В "нашем примере, добавляя к подсхеме I три, а к подсхеме III два холостых полюса, можем счи

тать, что цепь представляет собой параллельное соединение трех пятиполюс- ников Mv Мг, М3 (рис. 8.14, в).

Составление расчетных уравнений

Рис. 8>15параллельно соединенных многополюс-

’ *ников не вызывает затруднений, но при

этом возрастает порядок решаемой системы уравнений из-за необходимости добавления холостых полюсов. При расчете цепи из последовательно соединенных многополюсников тоже приходится добавлять к некоторым из них холостые полюсы, но необходимое число их обычно бывает меньше, чем в случае представления цепи.

в виде параллельно соединенных подсхем.

Учитывая сказанное, можно считать, что исследование сложной цепи по методу преобразования требует установления способов замены только двух последовательно соединенных подсхем, имеющих в общем случае неодинаковое число полюсов, одним эквивалентным.

Важно отметить, что последовательное соединение двух цепей характеризуется всего тремя числами: числом входных полюсов /Пн, числом объединенных полюсов s и, наконец, числом выходных полюсов пк. Так, например, соединение, соответствующее обозначению 4—2—3, изображается схемой, приведенной на рис. 8.15.

В связи с тем, что число возможных перестановок из трех элементов равно шести (31 = 6), очевидно,- что при рассмотрении цепей

любой сложности может встретиться лишь шесть последовательных расчетных схем. Эти схемы следующие:

тн < s < пк;4)тп > s > пк ;

tnH < s > пк < тн ;5)тн < s > пк > тн;(8.22)

тн> s<nK<mH;6)тн> s<nK> тн.

Примеры, иллюстрирующие данные зависимости, приведенына

рис. 8.16.-

Из общего числа (шести) три вида схем являются обратными остальным и могут быть получены простой перестановкой входных и

выходных полюсов. Таким образом,, при установлении общих зависимостей, относящихся к видам последовательных соединений, достаточно ограничиваться рассмотрением всего трех видов таких соединений. '

Выбор величин, характеризующих сестеянне подсхем

Расчет электрической цепи при подразделении ее на подсхемы можно,; вообще говоря, производить следующим образом. Подразделить цепь на подсхемы, составить уравнения последних и уравнения связь между ними и, наконец, каким-либо способом решить полученные системы уравнений. Основной особенностью метода преобразования является то, что при составлении уравнений подсхем стараются составить их в такой форме, чтобы не появлялось необходимости в составлении и решении уравнений связей [между подсхемами. . ■ ■

Для того чтобы выяснить наиболее целесообразную форму связей между токами и напряжениями подсхем, учитывающую способ соединения их между собою, обратимся сначала к примерам. '

Возьмем последовательное соединение двухполюсников (рис. 8; 7). Основной особенностью подобной цепи является наличие двух величин, роли которых в соединении существенно отличны, а именно ток I везде сохраняет одно и то же значение, а .напряжения двухполюсников складываются. • .

При параллельном соединении двухполюсников (рис. 8.8) мы снова будем иметь суммирующиеся величины — токи двухполюсников и общую величину, в качестве которой здесь выступает уже на

пряжение и..

В указанных случаях следует различать с точки зрения соединения цепей лишь две категории величин, а именно суммирующиеся

Рис. 8.17Рис. 8.17и общие.

Рис. 8.17

Рис. 8.17

В более сложной цепной схеме из трехполюсников появляются новые категории величин: входные, которыми являются напряжение «! и ток ^ каждого звена, и выходные величины — напряжение Uj и ток 1й. Подобное разделение

справедливо как для схемы в целом, так и для каждого из состав

ляющих ее звеньев.

В предыдущем параграфе было установлено, что сколь угодно сложная цепь всегда может быть расщеплена или на параллельно, или на последовательно соединенные подсхемы. Обращаясь к этим общим случаям усматриваем, что никаких новых категорий токов и напряжений не появляется. При параллельном соединении под

схем (рис. 8.4) имеются лишь суммирующиеся величины — токи полюсов — и общие величины — напряжения полюсов. При последовательном соединении (рис. 8.17) имеются входные и выходные величины — токи и напряжения на соответствующих сторонах многополюсников, суммирующиеся величины, которыми являются боковые напряжения, и наконец, есть и общая величина, сохраняющая везде свое значение — сумма токов в любом сечении, что непосредственно следует из первого закона Кирхгофа.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что с точки зрения соединения отдельных подсхем цепи, токи и напряжения их следует подразделять на следующие четыре группы:

входные величины — рн, характеризующие начало подсхемы;

выходные величины — рк, характеризующие конец подсхемы;

суммирующиеся в'еличины — рс;

общие величины — р0.

В общем случае рн, рк, рс и р0 представляют многомерные векторы. Компонентами этих векторов могут быть токи и напряжения полюсов, а также их линейные комбинации. Так, для схемы, состоящей из последовательно соединенных четырехполюсников (рис. 8.18) в качестве входных, выходных, суммирующихся и общих величин могут быть выбраны векторы:

(8.23)(8.23)(8.24)(8.24)

(8.23)

(8.23)

(8.24)

(8.24)

(8.25)

Здесь знаками' и " соответственно отмечены величины, относящиеся к первому и второму четырехполюсникам.

Зависимости■

Рн = Р«, Рк —Ра* Рс = Рс + Ра» Ро = Ро = Ро (8*26) имеют место не только для рассмотренного случая последовательно соединенных четырехполюсников, но и для любого из трех возможных (последовательного, параллельного и смешанного) способов соединения двух, в общем случае различных по числу внешних полюсов, многополюсников, что следует непосредственно из самих определений понятий векторов ри, Рк, рс, и р0.

Осговные уравнения всдсхемы ■

Выше было показано, что токи и напряжения многополюсной подсхемы подразделяются на входные, выходные, суммирующееся и общие. В силу предполагаемой линейности цепи, связь между этими векторными величинами должна выражаться в виде линейных урав-

25725717 Г. К Пухов

257

257

нений, в качестве которых могут быть взяты, например, следующш

(8.27)(8.27)Рн — ^якРк 4* ^ноРо + Рн .'

(8.27)

(8.27)

Рс ~ ^скРк 4" ^ссРо 4" Рс >

где 8цк, 8в0, 5^, 8СС— некоторые матрицы; рн, рс — векторы.

Уравнения (8.27) можно записать короче в виде

гдегде(8.28)(8.28)(8.29)(8.29)

где

где

(8.28)

(8.28)

(8.29)

(8.29)

Уравнение (8.28) является основой общего метода преобразования. Условимся называть его поэтому основным уравнением. Это уравнение построено таким образом, что входные и суммирующиеся величины выражаются через выходные и общие. Мы уже убедились в целесообразности именно такого написания уравнений составляющих цепей при рассмотрении параллельно и последовательно соединяемых двухполюсников и при расчете цепной схемы, составленной из трехполюсннков. Такой способ составления основных уравнений ведет к максимальному упрощению процедуры нахождения параметров эквивалентной цепи, так как она сводится или к простому суммированию матриц и векторов, или к операциям их умножения.

Остановимся на некоторых свойствах основного уравнения (8.28).

Поскольку это уравнение предполагается определенным, то можно утверждать, что общее число компонент входного и суммирующегося векторов должно равняться числу компонент векторов выходного и общего. Далее из самого понятия о входных и выходных векторах следует, что порядок (мерность) векторов рн и рк должен быть один и тот же. Следовательно, порядок суммирующегося вектора должен равняться порядку общего.

Таким образом, если через % с соответствующими индексами обозначить числа компонент рассматриваемых векторов, то сказанному будут отвечать зависимости: . j

(8.30)(8.30)Хн + Хс = т—1,Хк + Хо = /п —LХн = Хк ,Хс = Хо •

(8.30)

(8.30)

где т — число полюсов подсхемы.

Из выражений (8.30) непосредственно следует, что матрицы 8НК и б,т основного уравнения всегда квадратны, а числа строк и столб- поп матрицы 8НО соответственно равны числам столбцов и строк матрицы 8СК. .,

Матрицу 8 в дальнейшем будем называть матричным, а вектор Р - векторным параметрами подсхемы. По поводу этих параметров можно сказать следующее.

Компоненты матрицы 8 зависят лишь от внутренних параметров подсхемы. Что же касается векторного параметра р, то он является собственно параметром подсхемы лишь при отсутствии взаимодей- <твия (например,"через магнитное поле) между данной подсхемой и остальной цепью. Случаи, когда подобное взаимодействие имеет место, должны рассматриваться особо.

Значение векторного параметра р определяется, главным образом, нпутренними источниками задающих токов и напряжений. При отсутствии последних вектор р обязательно имеет нулевое значение.

На методике составления основного уравнения и на получении матричных и векторных параметров для соответствующих вполне определенных цепей, мы остановимся в § 8. Сейчас же рассмотрим весьма-важные зависимости, позволяющие находить параметры 8 и р сложной цепи, составленной из несложных многополюсников.

| 7. Общие формулы сооднноння подохом

Рассмотрим следующие два случая:

цепь подразделяется на параллельно соединенные подсхемы;

цепь подразделяется на последовательно соединенные подсхемы с неодинаковыми в общем случае числ.ами полюсов на входах и выходах.

Представление цепи в виде параллельно соединенных подсхем, как уже было ранее выяснено, всегда возможно. Учитывая, что при таком соединении суммирующимися величинами являются токи, а общими — напряжения, и обозначая токи и напряжения подсхем, как это указано на рис. 8.19, можем написать'

гдеPc=tz. Pc = i" Ро = Ро = Ро = “.’(8-31)

, <" =

, м =

«1

.(8.32)

i' S

и»

•

•

•

^т—1

^-1

°т—1

Поскольку мерности векторов рс и р0 равны Хс = Хо = т — 1, то на основании выражений (8.30) заключаем, что в данном случае

17*259

Хн — Хк = 0 и, следовательно, мерности векторов рн и рк являются нулевыми. Поэтому основные уравнения (8.27) для каждой из подсхем принимают вид

(8.33)(8.33)•рс — ^сс ро + рс ,

(8.33)

(8.33)

Рс = 8сс ро + Рс , а для эквивалентной цепи

Рс 8СС ро + Рс •

Учитывая зависимость рс = Рс + р', заключаем, что параметры эквивалентной цепи выражаются через параметры составляющих под

схем следующим образом:

8СС = 8сс 8се I

-_,_. (8.34)

Рс — Рс + рс •

Очевидно, что матрицы 8СС и векторы рс с соответствующими индексами представляют собой матрицы собственных и взаимных проводимостей У и векторы токов короткого замыкания (О многополюсников.

Таким образом^ при представлении цепи в виде параллельно соединенных Подсхем параметры эквивалентной подсхемы определяются формулами

У = 2 ¥№,^(8.35)

где N — число подсхем.

Данный результат свидетельствует о том, что вне зависимости от фактического способа соединения составляющих цепь элементов, сложности их внутренних схем, наличия или отсутствия зависимых (управляемых) и задающих источников токов и напряжений, а также чисел полюсов отдельных элементов, цепь, во-первых, может быть представлена в виде параллельно соединенных подсхем, имеющих в общем случае, кроме обычных, еще и холостые полюсы, и, во-вторых, параметры эквивалентных подсхем определяются формулами (8.35).

Получим теперь общие формулы для определения параметров эквивалентной цепи при последовательном соединении многополюсников.

Учитывая зависимости (8.26) и записывая основное уравнение для составляющих цепь подсхем, имеем

(8.36)(8.37)(8.38)(8.36)(8.37)(8.38)Ри ” Зик Рк 4" ЗнОрО 4" pH , рс — ®СК Рд 4 ЗссРо 4" рс ;

(8.36)

(8.37)

(8.38)

(8.36)

(8.37)

(8.38)

Рк — Зик Рк 4 ЗнОрО 4" pH > Рс = Зек рк 4 ЗссРо 4 Рс ,' Рс ~ Рс 4 Рс •

Исключая из этих уравнений р^, р', р" и сравнивая полученные уравнения с основными уравнениями (8.27), получим искомые формулы

(8.39)(8.40)(8.39)(8.40)’нк ЗнкЗнК >Зно ЗикЗнО 4" Зяс •

(8.39)

(8.40)

(8.39)

(8.40)

Зек = ЗскЗнк 4" Зек , Зсс = Зсс 4 Зсс 4 ЗскЗнк •

Рн — рн 4" Знкрн 1

' Рс — Рс 4 Рс 4 ЗскРн •

При расчетах часто встречаются цепи, отдельные звенья которых характеризуются лишь входными и выходными величинами. Для этого частного случая приведенные формулы соединения принимают вид

■(М1)

pH рн 4“ ЗнкРн •

С подобного рода формулами мы уже встречались при рассмотрении цепных схем (см. (8.20) и (8.21)).

Отметйм, что подсхемы, для определения состояния которых достаточно оперировать только с входными и выходными величинами, принято именовать проходными.

Общие формулы соединения (8.39) и (8.40) двух подсхем удобны при практических расчетах, но не совсем наглядны. Более наглядные формулы можно получить, если ввести в рассмотрение так называемые удлиненные параметры подсхемы. Сделаем это.

Введем в основные уравнения вместо суммирующегося вектора рс некоторую величину, равную разности двух векторов рсн и рск, значения которых подбираются так, чтобы можно было построить новые векторы подсхемы, обладающие свойствами

1 Rh — Rh ,

., Rk = R»(8.42)

Rk = Rk ,■ .

аналогичными (8.26).,

В соответствии со сказанным, в основном уравнении (8.28) заменим суммирующийся вектор р0 разностью

Рс = Рсн —Рек-(8.43)

Имеем'’.

Для устранения неопределенности, имеющейся в этом уравне-

где Е — единичная матрица.

, Полученное уравнение допускает более краткую запись

.RH=3RK + R. '(8.45)

в которой /?н, RK— удлиненные входной и выходной векторы; 3,

1 Удлиненному основному уравнению (8.45) соответствующим выбором входящих в векторы RH и RK произвольных величин рсн (или рск) можно придать свойства ,(8.42), позволяющие получить

более наглядные формулы для определения параметров эквивалентной подсхемы. Действительно, если в удлиненных векторах

Rh =

Рн

Рк

(8.47)

Рен

Р™

Ро

Ро

для первой и второй подсхем выбрать векторы р^ и р"к равными друг другу, то это автоматически приводит к равенству ^ = ^н и во' обще к выполнению всех условий (8.42).

(8.48)(8.48)Предполагая, что удлиненные векторы выбраны именно таким образом, приходим к выводу о том, что формулы, определяющие удлиненные матричные и векторные параметры эквивалентной цепи должны совпадать с выражениями (8.41), полученными для проходной цепи, т. е. принять вид

(8.48)

(8.48)

3 = 8'3".

Я=Я' + 3'Я".

Из полученного результата видно, что вне зависимости от вида последовательного соединения двух подсхем имеет место следующее:

удлиненный матричный параметр эквивалентной цепи равен произведению удлиненных матричных параметров составляющих подсхем; •

удлиненный векторный параметр эквивалентной цепи равен сумме, слагаемыми которой являются удлиненный векторный параметр первой подсхемы и произведение ее удлиненного матричного параметра на удлиненный векторный параметр второй подсхемы.

Составление еснееных уренненнй

Рассмотрим методику составления основных уравнений для некоторых конкретных цепей и докажем возможность составления их для любого участка расщепленной электрической цепи.

Прежде всего остановимся на получении основных уравнений для сравнительно простых,, но часто встречающихся 2п-полюсных подсхем, имеющих по п входных и выходных полюсов. Очевидно, что нам достаточно будет рассмотреть получение основных уравнений лишь для смешанного соединения многополюсников, так как параллельное и последовательное соединения могут трактоваться как частные случаи.

Напомним, что числа компонент векторов; основного матричновекторного уравнения (8.28) должны отвечать условиям (8.30), которые для 2п-полюсника принимают вид

хн + хс = Х„ + Хо = ®„ + х£ = 2п — 1,(8.49)

Хи Хк > ^С^0 > '

где х„, х/ — соответственно числа компонент векторов независимых напряжений и токов подсхемы.

Итак, пусть мы имеем два смешанно соединенных 2п-полюсника, у которых s объединенных полюсов соединено последовательно, а р — параллельно, причем s + р = п (рис. 8.20, а). Нижние левые

Рис. 8.20

полюсы многополюсников примем за начало отсчета напряжений и обозначим их следующим образом: ui,2n-i = ^,«2.2n-i= «а и т. д.

Из рассмотрения схемы видно, что в качестве входных и выходных векторов можно принять:'

Рн =

- «1

И Рк =

«8

■ '(8.50)

«8

•

“2S-1

«м

Ч

^2

к

-к

*2s—1

^25

Действительно, при таком выборе все компоненты выходного вектора первого многополюсника оказываются равными компонен-

там входного вектора второго многополюсника, т. е. выполняется одно из основных условий (8.26), а именно рк = р".

В качестве компонент суммирующегося и общего вектора естественно выбрать токи параллельно соединенных полюсов и одноименные с ними напряжения. Порядок (мерность) векторов рс и р0 должен быть одинаковым и равным 2п — 1 — 2s. В соответствии с этим,

получим

Рс =

^-н

И Ро =

И2Ж

(8.51)

*2s+2

м2з+2

•

^—2

“2Я-2

Чад

Выражения (8. 50) и (8.51) полностью решают задачу составления основного уравнения для подсхем с равными числами входных и,вы- ходных полюсов. Уравнение это в соответствии с условной схемой, приведенной на рис. 8.20, б, может быть записано и в более компактной форме:

“л

и5

‘л

= 8

+ р.

(8.52)

1в

ив

где величины ыл, 1д и др. представляют собой соответствующие векторы.

При параллельном соединении рассматриваемых подсхем, когда s = 0, входной и выходной векторы обращаются в нулевые и основ

ное уравнение вырождается в зависимость

Рс = 8р0 + Р, (8.53) которая может быть переписана еще’ и так: •

i = Yu + l, (8.54) где У — матричная проводимость; i — ток короткого замы

кания подсхемы.Рнс 821

При последовательном со

единении 2п-полюсников, когда р = 0, принятый выше способ отсчета напряжений от полюса, соединенного параллельно, при-, водит к необходимости иметь холостой полюс (рис. 8.21), относи-

тельно которого и определять напряжения. Основное уравнение принимает в этом случае вид •

«а+ р.(8.55)«4•«ал—*2—к«а+ р.(8.55)«4•«ал—*2—к

«а

+ р.(8.55)

«4

•

«ал

—*2

—к

«а

+ р.(8.55)

«4

•

«ал

—*2

—к

Обратим внимание на то, что в этом уравнении один из токов является зависимым и равным сумме остальных токов, взятой с обратным знаком. '

Особой необходимости в указанном холостом полюсе нет, так как при рассматриваемом последовательном соединении основное уравнение можно построить и следующим образом:

гдегде(8.56)(8.56)<о = к + к НЬ кп—1“ — Ое + к 4Ь W- (8.57)<о = к + к НЬ кп—1“ — Ое + к 4Ь W- (8.57)

где

где

(8.56)

(8.56)

<о = к + к НЬ кп—1“ — Ое + к 4Ь W- (8.57)

<о = к + к НЬ кп—1“ — Ое + к 4Ь W- (8.57)

Скобками отмечены входные, выходные, суммирующиеся и общие величины. Ток 10 естественно трактовать как осевой уравнительный ток, сохраняющий в цепной схеме из 2п-полюсников везде одно и то же значение. Вместо суммирующейся величины U2n.2n-i можно, конечно, было бы взять и любое другое боковое напряжение.

Перейдем теперь к методике составления основных уравнений для цепей самого общего вида.

Ранее уже было выяснено, что любую цепь всегда возможно представить в виде параллельно соединенных подсхем и произвести расчет ее путем использования матриц проводимостей и векторов токов короткого замыкания. В качестве основных уравнений в этом

случае выступают уравнения, выражающие полюсные токи подсхем через напряжения. Существенным обстоятельством, которое привело при этом к упрощению расчетов, явилось то, что параллельное соединение двух многополюсников с неравными числами полюсов свелось к соединению цепей, имеющих равные числа полюсов. Применение подобного приема «уравнивания» чисел полюсов является, в чем мы немедленно убедимся, весьма удобным и при подразделении исходной цепи на последовательно соединенные подсхемы.

Рис. 8.24

Для последовательной цепи вида т^ < s < пк (рис. 8.22) «уравнивание» чисел полюсов приводит к смешанному соединению 2пк- полюсников, входные, выходные, суммирующиеся и общие величины которых определяются найденными выше выражениями (8.50) и (8.51). Остальные пять возможных видов последовательных соединений, сортветствующих неравенствам (8.22), исследуются подобным же образом.

Преобразование двух из этих схем показано на рис. 8.23 и 8.24.

Оставшиеся три вида последовательных соединений рассматривать не нужно, так как они получаются простой заменой входных полюсов на выходные.

Теперь мы можем ответить на вопрос о составлении основных уравнений для любого участка расщепленной на подсхемы электрической цепи. Произведенный анализ показал, что это всегда возможно, так как цепь всегда может быть представлена или в виде параллельно или последовательно соединенных подсхем. *

Общая методика расчета сложных алоктричоских цопой

В соответствии с изложенным выше, порядок определения токов и напряжений электрических цепей методом трансфигурации может быть сформулирован следующим образом:

Заданная цепь расщепляется на ряд параллельно, последовательно или смешанно соединенных подсхем. Операция расщепления

Рис. 8.25

должна, разумеется, производиться с учетом конкретных особенностей цепи, но последняя всегда может быть представлена в виде параллельно или последовательно соединенных многополюсников.

Расщепленная цепь при помощи «уравнивания» чисел полюсов составляющих подсхем приводится к удобному для расчетов виду.

Для составляющих подсхем полученной в п. 2 цепи, составляются основные уравнения и из последних находятся матричные и векторные параметры их. '

Находятся, если это удобно, удлиненные матричные и векторные параметры подсхем. 1

При помощи формул соединения, позволяющих определять параметры эквивалентных Подсхем, исходная цепь (или заданная ее часть) заменяется эквивалентным многополюсником, для которого затем находится распределение токов и напряжений.

При помощи основных. уравнений подсхем совершается переход от эквивалентного многополюсника к заданной цепи с последовательным определением ее токов и напряжений. ’ ‘

Нетрудно заметить, что в своих главных чертах данная общая методика расчета сложных цепей соответствует методике, изложенной в § 2 применительно к цепям из двухполюсных элементов.

Bf качестве примера, иллюстрирующего применение сформулированной последовательности расчетов, рассмотрим получение матричного параметра для цепи, представляющей собой последовательное соединение шестиполюсника и четырехполюсника (рис. 8.25, а). Подобная схема встречается, например, в ряде элементов радиолокаторов. В частности, сочленение волновода с тройником может трактоваться именно как последовательное соединение четырехполюсника (волновод) с шестиполюсником (тройник).

Дополнив четырехполюсник двумя холостыми полюсами, приходим к смешанному соединению двух шестиполюсников (рис. 8.25, б). Основное уравнение эквивалентного шестиполюсника удобно искать в форме

так как для него i, = 0, а величины и^ и ilt очевидно, не зависят от

Теперь можно найти удлиненный матричный параметр эквивалентного шестиполюсника как произведение удлиненных парамет-

ров составляющих шестиполюсников:

После перемножения матриц получим

8ц , 812

821 822 .

8и 812

. 821 8м .

811 812

. 821 822 .

81з

. 823 .

Й1

'8з2

1 ,

833

0

0

1-

0

1

.Вычеркивая отсюда третий столбец и четвертую строку, получаем искомый матричный параметр %, входящий в уравнения (8.58) эквивалентной цепи. ,

Заметим, что выражение для . ' ,

(8.63)

МОЖНО было бы получить И при ПОМОЩИ ГОТОВЫХ формул (8.39), ПО-

8™ =8™ =8нс =8нс =811811$21$2181з81з823823812812822822(8,64)(8,64)

8™ =

8™ =

8нс =

8нс =

811

811

$21

$21

81з

81з

823

823

812

812

822

822

(8,64)

(8,64)

Sai

' 8з2

,. Sec — 0, 8 cc " %3 •

В заключение настоящего параграфа, рассмотрим численный пример., ■.

Пример. Требуется произвести расчет электрической цепи, схема которой приведена на рис. 8.26 при условии, что

Расщепляя цепь на два семиполюсника (рис: 8.27), видим, что она и составляющие ее подсхемы можно характеризовать лишь входными и выходными величинами и записать основные- уравнения в форме 1 '

«1

и»

“8

“4

“е

=8

«в

ix

1»

4

к

<6

/в ,

Для первого семиполюсника основные уравнения имеют видui = ui,'4 = 4 + g0 (Щ — ue) ,

«3 = «4 .4 = 4 + ga («4 — «») .

«б = «6 ,4=4 + ga («в — «J,

где-

&^8a + Sb

Рис. 8.27 '

Подставляя числовые значения проводимостей, получим

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

о.

0,75

-0,25

-0,25

1

0

-0

—0,25

0,75

—0,25

0

1

0

—0,525

-0,26

, 0,75

. 0

0

1

- -“2 + в4 + “б

иЬ751

Основные уравнения для второго семиполюсника запишутся в виде'

W1 = W2>Й = Й + (gc + Sd) “а — Scu4>,

14 = «4,13 —Z* + ( — rt+fe + ^Wj,

.' ' «5 = Ив,<5 = 4 + 5e“6 •,

Подставляя сюда числовые значения. проводимостей, получим

, 1

О';

0

0

0

1 .р

0 :

1

О

о'

> 0

0

■ 0 1

0 t

1+

.0

.1 °'

р

2

—1

, 0

h*.

-4°

—1

2

Q

о ■

1

sO

0.

0

' 0 '

1 '

■ / ^ =

.Матричный параметр всей цепи равен

4

0

°

0

0

О'

• 0

4 ■

к'

0

0 ,

0 -

0

0

'4

0

0

1 0

11"

—5

—1

4

, о1

0

'—5.

И

X—1

. 0

’ 4

.0

6

-1

11

0 '

/ 0

4

8 = 3'8" = 4

; '4

Этой матрице соответствуют уравнения

«1-и2, ’’’ ,;'. и 5 -1А —— “г 57 “4"«1-и2, ’’’ ,;'. и 5 -1А —— “г 57 “4"f3f3z618 г. В Пу^ов ,z618 г. В Пу^ов ,-1* -j-' u^ + —j— M4^" f u4 4- ~4~ ыв , ЙЗ .-1* -j-' u^ + —j— M4^" f u4 4- ~4~ ыв , ЙЗ .4ue + Z2>1 1 s .-V*^- “в + Z4 >4ue + Z2>1 1 s .-V*^- “в + Z4 >

«1-и2, ’’’ ,

;'. и 5 -1

А —— “г 57 “4"

«1-и2, ’’’ ,

;'. и 5 -1

А —— “г 57 “4"

f3

f3

z6

18 г. В Пу^ов ,

z6

18 г. В Пу^ов ,

-1* -j-' u^ + —j— M4

^" f u4 4- ~4~ ыв , ЙЗ .

-1* -j-' u^ + —j— M4

^" f u4 4- ~4~ ыв , ЙЗ .

4ue + Z2>

1 1 s .

-V*^- “в + Z4 >

4ue + Z2>

1 1 s .

-V*^- “в + Z4 >

Подставляя сюда известные значения токов и напряжений, приходим к уравнениям'

'•0 = ~4~ ^ — "J"м» —4~ “в,'

^з ~4* ^2 Ч 4— ^4~4~ “в •■

’ is ~ J~ Ч* Ч* 4™ “в»

'M4 = Ue+12.'

-■ , Рис. 8.28'

■ Учитывая, что при Ц, = z2 — i^ = ц = 0 ток ц = — t8. определяем1

,60 '156120'

“* — 23 в ’U* ~ 23 , в ’ “в ~23 в ’

;.38424

1з —»в — 23 а ’ Ы* ~ 23 ®'

Используя эти числовые величины, находим распределение токов и напряжений в рассматриваемой цепи (рис. 8.28).

Цепе с четырехпвлюспыми элсментамп •

При рассмотрении четырехполюсных цепей будем предполагать, что они могут быть разложены на отдельные пары четырехполюсников, которые соединены между собою так, чтобы каждая из таких пар в свою очередь была четырехполюсной подсхемой. Иными словами, исключим из рассмотрения соединения, приводящие к цепям, имеющим больше, чем четыре полюса.'

■ При указанном предположении иам следует рассмотреть лишь три схемы, приведенные на рис. 8.29, 8.30 и 8.32.,

Схема, показанная на рйс. 8.29, представляет параллельное соединение четырехполюсников. При таком соединении суммирующейся величиной является ток '

Входные и выходные величины вводить в данном случае не имеет смысла, так как состояние четырехполюсников вполне определяется величинами i и и.,

Вследствие этого, основное уравнение может быть записано в- виде уже применявшейся ранее зависимости \

;i = Yu+I,1(8.67}

или более подробно., -,

где Y — матричная проводимость; i — ток короткого замыкания,где Y — матричная проводимость; i — ток короткого замыкания,(8.69)(8.69)ббааРис. 8.30Рис. 8.30

где Y — матричная проводимость; i — ток короткого замыкания,

где Y — матричная проводимость; i — ток короткого замыкания,

(8.69)

(8.69)

б

б

а

а

Рис. 8.30

Рис. 8.30

Формулы соединения, т. е. формулы, определяющие параметры эквивалентного четырехполюсника, очевидно, имеют вид

Y = Y' + Y\ 7=? + ?.(8.70)

Схема, изображенная на рис. 8.30, представляет собой смешанное соединение четырехполюсников.

При. смешанном соединении в качестве входных величин удобно взять напряжение иа и ток 1а, выходных.— напряжение иь и ток ib, суммирующейся величины — ток 1с и, наконец, в качестве общей — боковое напряжение ис. При таком выборе указанных величин основное уравнение, служащее для расчета смешанно соединенных четырехполюсников, имеет вид

где матричный и векторный параметры соответственно запишутся

Смешанное соединение является наиболее общим. Поэтому матрицу b будем именовать общей матрицей. Получение матричных и векторных параметров эквивалентного четырехполюсника производится на основании общих формул соединения, которые в данном случае принимают вид

В = В'В’, (8.73)

М = М' А-В'М", (8.74) где величины В и М представляют собой удлиненные значения параметров b и т, т. е.

в =

Ви

вм

0

в»

, м =

“а

.(8.75)

Ви

Ви

0

Ваз

*а

B$i

В за

.1

Ваз

0

0

0

1

0

Смешанное соединение четырехполюсников при расчетах может встречаться очень часто. С целью иллюстрации вычислений, рассмотрим простой пример.

Пример. Определим усиление ламповой схемы, приведенной на рис. 8.31, а. -

Данная схема легко расщепляется на три смешанно соединенные элементарные подсхемы (рис. 8.31, б). Уравнения подсхем, записанные в форме (8.71), имеют вид

Дка

=

1

0

0

к»

= Ь'

Mb

,(8.76)

Ма

0

1

0

—ib

-Мь

Мс

0

0

8»

^е

Дид

=

1_ И

#< + (1 +р) 7?! И

1 + р И

Мь"

= b"

■ Диь

1

Д<а

0

0

0

—Mb

—Мь

Мс

0

1

0

Mc

Дис

(8.77)

В этих уравнениях: р — коэффициент усиления лампы; Rt — ее внутреннее сопротивление; Ди и Ai с соответствующими индексами представляют приращение токов и напряжений относительно

Рис. 8.31Рис. 8.31

Рис. 8.31

Рис. 8.31

их постоянных составляющих: д, g2, g8 — проводимости элементов усилителя. ;.

После перемножения удлиненных значений матричных, параметров, получим’

1+^8 № + (1 +р) ^J

Rt + (1 + р)Л1

0

1 + р

р

_Р

р

'0

0

0

0

£з

1

1

Л

0

0'

0

1

(8.79)

Искомое усиление р, цепи равно отношению напряжения и4 к ив, т. е.-

И =И =Ди» — &исКиаДи» — &исКиа(8.80)(8.80)

И =

И =

Ди» — &исКиа

Ди» — &исКиа

(8.80)

(8.80)

Из схемы видно, что

(8.81)(8.81)Ди» — Ди, = — RtMb и ic = — I».

(8.81)

(8.81)

Учитывая эти зависимости и то, что матрице В отвечают уравнения

д = _ l+^ma+^RiL АИе + £±а+и)ъ д^ +

+L±JLa„'

Ма = 0,(8.82)

^ic = 8^иь + ^ь + 8^с»' находим

=(8,83)

LJ

Схема, изображенная на рис. 8.32, представляет собой последовательное соединение четырехполюсников.

Рис. 8.32Рис. 8.32

Рис. 8.32

Рис. 8.32

Для этой схемы в качестве входных величин возьмем напряжение иа и ток/„. Тогда выходными величинами, очёвидно, будет напряжение щ = иь — ис и ток — ib. Суммирующейся величиной будет боковое напряжение ис, а в качестве общей — ток t0 = ia + id = = — Vb + icY

При данном выборе входных, выходных, суммирующихся и общих величин основное уравнение, служащее для расчетов последовательно соединенных четырехполюсников, имеет вид ' .

(8.84)(8.84)

(8.84)

(8.84)

в котором матричный и векторный параметр соответственно равны

АцЛ12Л иАнЛааЛаз 'АдЛ заЛ33АцЛ12Л иАнЛааЛаз 'АдЛ заЛ33а =а =«1«аПаia«3Uc«1«аПаia«3Ucп =п =(8.85)(8.85)и,=0 •6=0 1^0

Ац

Л12

Л и

Ан

Лаа

Лаз '

Ад

Л за

Л33

Ац

Л12

Л и

Ан

Лаа

Лаз '

Ад

Л за

Л33

а =

а =

«1

«а

Па

ia

«3

Uc

«1

«а

Па

ia

«3

Uc

п =

п =

(8.85)

(8.85)

Матрица а часто называется цепочечной. Обратим внимание на то, что при отсутствии уравнительного тока 10 (проходной четырехполюсник) уравнения (8.84) превращаются в ранее рассмотренные уравнения (8.15) звена цепной схемы, составленной из трехполюсников.

Получение матричных и векторных параметров при последовательном соединении производится на основании общих формул (8.48), которые принимают вид

А» А'А",А» А'А",(8.88)(8.88)(8.86)

А» А'А",

А» А'А",

(8.88)

(8.88)

(8.87) т. е.

Рассмотрим в качестве примера расчет усиления усилителя постоянного тока, носящего название симметрично параллельно-балансного каскада (рис. 8.33).

Предполагая, что схемой замещения усилителя может служить цепь, показанная на рис. 8.34, а, разложим ее на три последовательно соединенных четырехполюсника.

Эквивалентный четырехполюсник получается при этом с накоротко замкнутыми полюсами а — d и b — с (рис. 8.34, б).

Усиление усилителя,'

(8.89)(8.89)..duBX«ИВЫХ..duBX«ИВЫХв общем виде проще всего найти, заметив, чтов общем виде проще всего найти, заметив, чтоо — ^12 ( — I») + -^13^0 4- ni» i Ывых ^ ^82 (^б) 4" ^88^0 4" Л8 >о — ^12 ( — I») + -^13^0 4- ni» i Ывых ^ ^82 (^б) 4" ^88^0 4" Л8 >(8.91)(8.91)

(8.89)

(8.89)

..duBX

«ИВЫХ

..duBX

«ИВЫХ

в общем виде проще всего найти, заметив, что

в общем виде проще всего найти, заметив, что

о — ^12 ( — I») + -^13^0 4- ni» i Ывых ^ ^82 (^б) 4" ^88^0 4" Л8 >

о — ^12 ( — I») + -^13^0 4- ni» i Ывых ^ ^82 (^б) 4" ^88^0 4" Л8 >

(8.91)

(8.91)

где A ik —; компоненты матрицы А эквивалентного' четырехполюсника.,/

Из уравнений (8.91) получим''

Увых Увых ’^ЛуИз —Л^лх’^ЛуИз —Л^лхЛ12Л121 А« ^isl ‘ j?H Л32 Лаз!1 А« ^isl ‘ j?H Л32 Лаз!, (8.92), (8.92)Таким образом, '” _ 1 d, 1^4tigxТаким образом, '” _ 1 d, 1^4tigx■412^8 — Л33П1■412^8 — Л33П14И=- (ЛиЛ^ — Л^Дза)4И=- (ЛиЛ^ — Л^Дза)(8.93),(8.93),

Увых

Увых

’^ЛуИз —Л^лх

’^ЛуИз —Л^лх

Л12

Л12

1 А« ^isl ‘ j?H Л32 Лаз!

1 А« ^isl ‘ j?H Л32 Лаз!

, (8.92)

, (8.92)

Таким образом, '” _ 1 d

, 1^4tigx

Таким образом, '” _ 1 d

, 1^4tigx

■412^8 — Л33П1

■412^8 — Л33П1

4И=- (ЛиЛ^ — Л^Дза)

4И=- (ЛиЛ^ — Л^Дза)

(8.93),

(8.93),

Для того чтобы воспользоваться этим выражением, необходимо знать величины А^, Л18, Л82, Аю, пх и га2 для эквивалентного четырехполюсника. Произведем соответствующие вычисления. 1

Удлиненные' матричные и векторные параметры составляющих четырехполюсников, очевидно,' равны:, •'

гдегдеО,О,Tg-pUax» 1Tg-pUax» 1А'=А'=Rk — G + Р) Rk > Еа — Е — ЕаВ тRk — G + Р) Rk > Еа — Е — ЕаВ т(8.94)(8.94)(8.95)(8.95)(8.96)(8.96)

где

где

О,

О,

Tg-pUax» 1

Tg-pUax» 1

А'=

А'=

Rk — G + Р) Rk > Еа — Е — ЕаВ т

Rk — G + Р) Rk > Еа — Е — ЕаВ т

(8.94)

(8.94)

(8.95)

(8.95)

(8.96)

(8.96)

Э. д. с. Еап — называется в теории усилителей напряжением приведения. Определяем параметры эквивалентного четырехполюсника.

Имеем ’'’'х .

А = А'А”А"' =

•411Ли^(/?о + /?а(2 + -^4^-^ ' XRk !ЛяЛа\Rk /0,.0 х•411Ли^(/?о + /?а(2 + -^4^-^ ' XRk !ЛяЛа\Rk /0,.0 х0Д _ р / О 1Н~ \Ли = Kt 11X"kJ01Л# = -^(2+ 'Rk /00Д _ р / О 1Н~ \Ли = Kt 11X"kJ01Л# = -^(2+ 'Rk /0

•411

Ли^(/?о + /?а(2 + -^4^-^ ' XRk !

Ля

Ла

\Rk /

0,

.0 х

•411

Ли^(/?о + /?а(2 + -^4^-^ ' XRk !

Ля

Ла

\Rk /

0,

.0 х

0

Д _ р / О 1Н~ \

Ли = Kt 11

X"kJ

0

1

Л# = -^(2+ 'Rk /

0

0

Д _ р / О 1Н~ \

Ли = Kt 11

X"kJ

0

1

Л# = -^(2+ 'Rk /

0

(8.97)

N = N' + A'N* + A'A’N'" =N = N' + A'N* + A'A’N'" =(8.98)(8.98)

N = N' + A'N* + A'A’N'" =

N = N' + A'N* + A'A’N'" =

(8.98)

(8.98)

Компоненты матрицы Д и вектора N, знание которых не является необходимым для определения искомого коэффициента усиления р, оставлены в этих выражениях в общем виде.

Подставляя в выражение (8.93) найденные значения отдельных членов, получим

*- „Ла ■(8-М)

,к.

В заключение настоящего параграфа рассмотрим вопрос о зависимостях, которые имеют место для компонент матриц У, b и а четырехполюсника, содержащего лишь омические сопротивления, индуктивности, емкости и трансформаторы. .'

Выпишем уравнения, соответствующие матрицам А, b и а такого четырехполюсника. Имеем •

(8.100)(8.100)(8.101)(8.101)(8.102)(8.102)ia = ^1А + Уи«6 + У13“С •Z6 — Y21“а 4* Y22М6 4* ^23UcfZc ” ^зА 4" ^юиь + Y^U,.,

(8.100)

(8.100)

(8.101)

(8.101)

(8.102)

(8.102)

ua — Вциь 4" Ви (— ^») 4" ByUj., za = ByUb + В22 ( — 1е) + Вюис, h = Ваиь + Вю (— i^) + Вюис,

“« = ^i А 4- А2 (— <б) 4- Л1810, Za ~ "^ЗА 4" Дй ( lb) 4" ^28Z0 • UC ~ ^3 А 4" ^32 ( Z») 4" ^32l0 *

При постоянных токах и напряжениях все величины, входящие в эти уравнения, являются вещественными. При синусоидальных режимах они должны быть представлены в комплексной форме, а при переходных — в операторной.

Матрица Y является симметричной. Поэтому для ее компонент имеют место зависимости

Л. = ^1. 713=^, Y^-Y^.Л. = ^1. 713=^, Y^-Y^.(8.103)(8.103)

Л. = ^1. 713=^, Y^-Y^.

Л. = ^1. 713=^, Y^-Y^.

(8.103)

(8.103)

Используя эти зависимости и преобразуя уравнения (8 101) к виду уравнений (8.100), можем получить уравнения, сравнение кото рых с последними позволяет получить выражения

Вц

Bai

Вц

Ваа

=впвм—

ВцВа! = 1 >

Ви

В$а

Вц

Ваз

= В1аВа8—

BisB^a — В8а,

■(8.104)

Вц

В31

Ви

Вза

= ВИВМ

ВцВз! =В18.

Аналогично, преобразуя уравнения (8.100) к виду уравнений (8.103), можно получить выражения

ЛпЛ21Л12Л22~ ЛиЛ22Aia^ai = 1,Л12Л22Ли Лгз= Л^зз— ЛиЛ22 = Л82,ЛиЛ81Л12Л32= АцАзаЛ^Лз! = Л18ЛпЛ21Л12Л22~ ЛиЛ22Aia^ai = 1,Л12Л22Ли Лгз= Л^зз— ЛиЛ22 = Л82,ЛиЛ81Л12Л32= АцАзаЛ^Лз! = Л18(8.105)(8.105)

Лп

Л21

Л12

Л22

~ ЛиЛ22

Aia^ai = 1,

Л12

Л22

Ли Лгз

= Л^зз

— ЛиЛ22 = Л82,

Ли

Л81

Л12

Л32

= АцАза

Л^Лз! = Л18

Лп

Л21

Л12

Л22

~ ЛиЛ22

Aia^ai = 1,

Л12

Л22

Ли Лгз

= Л^зз

— ЛиЛ22 = Л82,

Ли

Л81

Л12

Л32

= АцАза

Л^Лз! = Л18

(8.105)

(8.105)

Интересно отметить, что для рассматриваемого случая взаимосвязи между компонентами цепочечной матрицы а и общей матрицы b оказываются одинаковыми, так как выражения (8.105) получаются из (8.104) путем простой замены компонент В^ на компоненты Atfc.

Таким образом, для определения компонент матриц У, а и 6 четырехполюсников-, элементами которых являются лишь омические сопротивления, индуктивности, емкости и трансформаторы, достаточно определять' по шесть компонент. Остальные можно затем находить по выражениям (8.103), (8.104), (8.105).

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ КООРДИНАТ

Общая идея

Линейные электрические цепи с постоянными параметрами всегда можно рассчитать путем составления и решения уравнений Кирхгофа и Ома. Однако такой метод применяется на практике в чистом виде очень редко, вследствие того, что были разработаны методы, позволяющие сводить задачи расчета к алгебраическим системам, имеющим значительно меньший порядок. В основе этих методов

лежит общая идея о возможности выделения из всех, подлежащих определению неизвестных, группы величин, для которых можно составить и ранить независимые уравнения и которые выбраны так, чтобы все остальные токи и напряжения цепи выражались через неизвестные указанной группы при помощи достаточно простых зависимостей.

К методам определяющих неизвестных, или, как будем их еще называть, определяющих координат, относятся рассматриваемые в следующих параграфах, метод контурных токов, метод узловых напряжений и общий метод определяющих координат.

Рис. 9.1

Здесь, с целью пояснения основной идеи, рассмотрим простой пример расчёта цепной схемы, приведенной на рис. 9.1.

Легко видеть, что для этой схемы все токи и напряжения могут быть выражены через одну величину (например, через ток ц), ко- торую, следовательно, и можно считать определяющей.

Последовательно определение всех токов, и напряжений цепи через ток z\ реализуется выражениями

«1 = R14 , 4 = ^1 4* ^» ^5 = ^5-6». и3 ~ Ы1 + Ы6 ,

?2 = 82^2 • ^6 = — Qi + ^5)» Це — — Rei» >

^а = ы2 + яв 4* £в, t7 = — (za 4* z‘g), ы7 = R^,(9.1)

«4 = «s + «7» 14 = 8^4, i8 = i4 + h. u8 = R8i8,

u» = u4 4- tig.

Ясно, что напряжение ы, и определяющий ток связаны линейным уравнением вида

«9 = 014 4- Ь,(9.2)

в котором а и b — некоторые постоянные коэффициенты. Эти коэффициенты можно определить при помощи системы (9.4), задавшись двумя разными значениями тока 4, например ix = i'v и ix = i”v

В результате получим уравнения

«а = ац 4- 6,

Ыд = aix 4-6 •

из которых определяются а и Ь. Напряжение и, нам известно. Опи равно Е. Это дает возможность определить из уравнения

E = aix + &(9.h

действительные значения определяющего тока ix, а затем при помощи системы (9.1) последовательно вычислить и все остальные токи и напряжения цепи.

Как в этой, так и в других цепях, при расчете их с помощью определяющих величин на разных этапах расчета приходится обыч но непосредственно использовать законы Кирхгофа и Ома. Поэтому прежде чем рассматривать различные варианты метода опре деляющих координат, изложим расчет цепи, основанный на непо средственном использовании законов Кирхгофа и Ома, называемый обычно (неточно) методом уравнений Кирхгофа.

Метод уравнений Кирхгофа

Метод уравнений Кирхгофа заключается в составлении и решении трех групп уравнений: уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов, уравнений по второму закону Кирхгофа для замкнутых контуров и, наконец, уравнений по закону Ома для каждого сопротивления цепи.

Пусть число ветвей цепи равно В, а число узлов — У. Принимая за неизвестные токи в ветвях, заключаем, что число необходимых независимых уравнений должно быть равно В. По первому закону Кирхгофа можно составить, очевидно, только У — 1 независимых уравнений, т. е.

Кг = У-1.‘(9.5)

Число независимых уравнений, которое можно составить используя второй закон Кирхгофа, равно

.к, = В-К1=В-У+1.(9.6)

Учитывая эти зависимости, можно следующим образом сформулировать порядок расчета цепи данным методом:

на схеме цепи выбираются положительные направления токов в ветвях и напряжений на ее элементах; 1

составляется Ki узловых уравнений для токов;

Составляется К2 независимых контурных уравнений;

напряжения на сопротивлениях, входящие в уравнения (в), выражаются через токи при помощи закона Ома;

полученная система из В независимых уравнений решается относительно неизвестных величин.

Рассмотрим применение метода на примере, цепи рис. 9.1.

Эта цепь имеет пять узлов (У = 5) и семь ветвей (В = 7). Следовательно, Ki = К8 = 4.

(9.7)(9.8)(9.7) и(9.9)(9.7)(9.8)(9.7) и(9.9)Составим уравнения по первому закону Кирхгофа *1.—1'5 + «^ = 0» Ц + is + Ч = 0 >‘

(9.7)

(9.8)

(9.7) и

(9.9)

(9.7)

(9.8)

(9.7) и

(9.9)

is + is + i? — 0» i4 4- Ц —t8 = О и по второму закону Кирхгофа-

“1 + «6— «2 = 0, «2 + «, + £, — и3 = 0, «3 + «7 — «4 = 0, «4 + «8Е = 0.

Для исключения лишних неизвестных из уравнений (9.8) составляем уравнения по закону Ома

«д = R^ , & = 1, 2, 4, 5, 7, 8, * Ид — — Raia •

Подставляя эти зависимости в уравнения (9.8), получим Rih “Ь RJb ~'~ Rah = 0, Raia — Reie + Ев — «8 = 0, «,+ ^7-^4 = 0,(9Л0)

R^ 4- ^is — Е = 0.

Восемь уравнений (9.7) и (9.10) содержат восемь неизвестных (семь токов и одно напряжение), величины й направления которых можно определить, решив эти уравнения. ■

5 8. Метед узловых ннпряженнй

Как указывалось, метод уравнений Кирхгофа и Ома на практике применяется в чистом виде очень редко, вследствие того, что имеются методы, в которых порядок решаемой системы меньше, чем число ветвей в цепи.

Одним из таких методов является метод узловых напряжений, в котором за основные неизвестные принимаются напряжения узлов цепи по отношению к одному из них, базисному. Приняв, например, в схеме рис. 9.1 за узловые напряжения и^ иа, ив, и4, можно легко выразить через них остальные токи и напряжения цепи.

Действительно, 4=81^, i6 = g2(«2 — «1), Ч = й«а. ie = 8» (— «я + «2 — Ее). «б = «2 ~ «1 и т- Д- " Для получения уравнений узловых напряжений можно воспользоваться первым законом Кйрхгофа для каждого узла. Так, для

узла с узловым напряжением tq имеем

7 + 5i«i — 52 («2 — «1) = 0 '''(9.12)

или.

.5иы1 — ^“е”^»'.(9.13)

где 8и — собственная проводимость узла:-'\

'. । Su= 81 + 8а» \.

gto — взаимная проводимость между углами:,

1 gia = 8м = 8ъ >(9.14)

11 — ток короткого замыкания узла, т.' е. ток, который протекал бы в проводе, замыкающем данный узел с базисным, при условии, что остальные узлы тоже замкнуты на базисный. В рассматриваемом узле этот ток равен-

-:^=—j. ,(9.15)

Составляя .для остальных узлов уравнения, подобные (9.13), можно получить'_

881*4 + 828*4^23ЫЭ = 12 >

— 8^4 + &»“» —■ 8^4 =\,(9.16)

81^*3 + 844*4= 14»

где'

' 8га = 8а + 8а + 8в» 8аа ~ 8аа = 8в > 8та = 8а + 8и

8№ = 8to=_8i. 844= 84+81 А-8а. ^ = 0,(9.17)

'^з= Z3 + 8вЕв. й = 0 •.*

' Для общего случая, когда каждый узел цепи соединяется с остальными, уравнения метода узловых напряжений принимают ВИД .,

, 8iiui —" Sia1^

. 8ии1 81.8*4 ~

Называя вектор

8inun — к»

+ 8ппип = 4-'

, (9.18)

11 ^ ”

“1

' (9 J9)

«л

28В

Su

— Si*

j—gw

— Sa

> Sm

•

•1— gw

•

•

•