Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ВВЕДЕНИЕВ КОНТУРНЫЙАНАЛИЗ
ПРИЛОЖЕНИЯ К ОБРАБОТКЕИЗОБРАЖЕНИЙ И СИГНАЛОВ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ Я.А. ФУРМАНА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ
УДК 519.2
ББК 22.17
В24
Введение в контурный анализ; приложения к обработке изображений и сигналов/ Я.А.Фурман, А.В Кревецкий, А.К. Передреев, А.А. Роженцов, Р.Г. Хафизов, И.Л Егошина, А.Н. Леухин; Под ред. Я.А. Фурмана. — 2-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 592 с. — ISBN 5-9221-0374-1.
Описаны дискретные комплекснозначные сигналы, представленные на плоскости в виде полигональных контуров. Рассмотрены вопросы спектрального и корреляционного анализа контуров и их линейной фильтрации. Проведен синтез и анализ контурных согласованных фильтров, образующих меру схожести комплекснозначных сигналов. В приложениях контурного анализа даны подходы к обнаружению и прослеживанию границ изображений. Синтезированы устройства оценки параметров и распознавания изображений протяженных и групповых точечных объектов по их форме. Рассмотрены вопросы применения контурного анализа в радиотехнических системах, в системах связи и ориентации летательных аппаратов
Для научных работников и инженеров, работающих в области обработки сигналов и изображений, а также аспирантов и студентов старших курсов соответствующих специальностей.
Первое издание — 2002 г.
ISBN 5-9221-0374-1ISBN 5-9221-0374-1© ФИЗМАЯШ© Я.А.ФурМ№© ФИЗМАЯШ© Я.А.ФурМ№А.А. РоженЦА.Н. Леухин,А.А. РоженЦА.Н. Леухин,^^2003 .В. Кревецк!^^2003 .В. Кревецк!ж А.К. Передреев, юв, И.Л. Егошина,ж А.К. Передреев, юв, И.Л. Егошина,Табл. 37. Ил. 387. Библиогр. 204 назв.
ISBN 5-9221-0374-1
ISBN 5-9221-0374-1
© ФИЗМАЯШ
© Я.А.ФурМ№
© ФИЗМАЯШ
© Я.А.ФурМ№
А.А. РоженЦ
А.Н. Леухин,
А.А. РоженЦ
А.Н. Леухин,
^^2003 .В. Кревецк!
^^2003 .В. Кревецк!
ж А.К. Передреев, юв, И.Л. Егошина,
ж А.К. Передреев, юв, И.Л. Егошина,
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 12
ЧАСТЬ I
ОСНОВЫ КОНТУРНОГО АНАЛИЗА
Глава 1
КОНТУРЫ КАК ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ
Представление изображений в системе технического зрения . . . .15
Кодирование контуров бинарных изображений 17
Линейные пространства вектор-контуров 22
Особые свойства скалярного произведения в пространстве Ск . . . 25
Аналитические преобразования и свойства комплекснозначных моделей контура 27
Модель контурного сигнала 29
Статистические модели контуров 31
Классификация контуров 34
Примеры 39
Основные результаты 43
Задачи и упражнения 44
Глава 2
СПЕКТРАЛЬНЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗКОНТУРОВ
Введение 45
Ортонормированный базис из полного семейства элементарных контуров 45
Основные свойства дискретного преобразования Фурье контурных сигналов 49
Свойства ДПФ контуров, связанные с их замкнутостью и комплекс- нозначностью 53
Спектры контуровспециальноговида 58
Разложение произвольногоконтура 63
Разложение Каппелини (63). 2.6.2. Разложение произвольного контура в базисе из полного семейства элементарных контуров (64).
Изменения спектра при преобразованиях, связанных с вариацией размерности контура 66
Корреляционный анализ контуров 69
Корреляционные функции комплекснозначных сигналов (69).
. Корреляционные свойства контуров специального вида (74).
Обсуждение результатов по спектральному и корреляционному анализу контуров 76
Вопросы и упражнения 79
Глава 3
ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ КОНТУРОВ
Введение 81
Основные соотношения при линейной фильтрацииконтуров....81
Фильтрация контуров в частотной области. Простейшиефильтры..84
Контурный фильтр скользящего среднего 87
Частотный коэффициент передачи фильтра скользящего среднего (87).3.4.2. Свойства фильтра скользящего среднего (89).
Сравнение простейших фильтров, заданных в частотной и пространственной областях (91).
Контурный фильтр скользящей разности 93
Задание фильтра скользящей разности (93). 3.5.2. Свойства фильтра скользящей разности (95).
Контурные согласованные фильтры 97
Основные аналитические соотношения при контурной согласованной фильтрации (97). 3.6.2. Расчет контурного согласованного фильтра (101). 3.6.3. Механизм работы контурного согласованного фильтра (103).3.6.4. Свойства контурного согласованного филь
тра (105).
Оценка степени сходства двух форм 111
Сопряженная согласованная фильтрация 115
Задание векторов в ортонормированном и косоугольном базисах (115). 3.8.2. О соотношении операций разложения и фильтрации векторного сигнала (120). 3.8.3. Разложение сигнала в собственной системе отсчета (123).
Фильтрация широкополосного шумового контура 126
Корреляционная функция и дисперсия процесса на выходе фильтра (126). 3.9.2. Корреляционный момент вещественной и мнимой частей ЭВ выходного шумового контура (127). 3.9.3. Плотности распределения вероятностей случайных величин на выходе фильтра (128).
Согласованная фильтрация зашумленного контура 130
Корреляционный момент вещественной и мнимой частей выходного вектора КСФ (130). 3.10.2. Плотность распределения вероятностей зашумленного выходного вектора фильтра (131). 3.10.3. Функции правдоподобия зашумленного и шумового контуров (133).
Сравнительная эффективность фильтров, согласованных с исходным и сопряженным сигналами 134
Эффективность подавления широкополосных шумов контурным согласованным фильтром (134). 3.11.2. Коэффициент шума сопряженного согласованного фильтра (137).
Обсуждение и обобщение результатов по линейной фильтрации
контурных сигналов 138
Задачи и упражнения 143
Глава 4
ОПЕРАЦИИ НАД ЗАШУМЛЕННЫМИ КОНТУРАМИ
Оценки параметров линейных преобразований контуров 145
Постановка задачи (145). 4.1.2. Оценка параметров зашумленного контура (146).
Обнаружение зашумленных контуров изображений 151
Постановка задачи (151). 4.2.2. Обнаружение полностью известного контура (152). 4.2.3. Обнаружение контура с неизвестным углом поворота (153). 4 2.4. Обнаружение контура с неизвестным сдвигом начальной точки (156). 4.2.5. Обнаружение контура с неизвестным углом поворота и сдвигом начальной точки (156). 4.2.6. Обнаружение контура с произвольным масштабом (157). 4.2.7. Обнаружение контура с неизвестными сдвигом начальной точки, углом поворота и произвольным масштабом (158).
Разрешение контурных сигналов 158
Введение и постановка задачи (158). 4.3.2. Условия обеспечения разрешенного образа на выходе фильтра обнаружителя (161).
Образование отсчетов циклического фильтра для второй фазы фильтрации по результатам первой и третьей фаз (165). 4.3.4. Получение отсчетов циклического фильтра для второй фазы фильтрации по результатам ациклической фильтрации (166). 4.3.5. Геометрическая интерпретация и энергетические соотношения процесса формирования разрешенного образа на выходе фильтра (168). 4.3.6. Формирование разрешенного образа при произвольном расположении окна фильтра (169). 4.3.7. Примеры (171).
Распознавание зашумленных контуров 173
Постановка задачи распознавания контуров (173). 4.4.2. Распознавание полностью известных контуров (174). 4.4.3. Распознавание контуров с неизвестными углами поворотов и сдвигами начальных точек (175). 4.4.4. Общие требования к контурам при их распознава
нии (176).
Обсуждение результатов 179
Задачи и упражнения 181
Глава 5
СИГНАЛЫ В ВИДЕ ПУЧКОВ ВЕКТОРОВ
Аналитическое представление заданных на плоскости пучков . . . .184
Спектральный анализ изображений пучков 185
Связь между спектрами пучка и его контура (185). 5.2.2. Элементарные пучки (186). 5.2.3. Разложение произвольного пучка на эле
ментарные (188).
Влияние преобразований пучка на вид его спектра 189
Согласованная фильтрация пучков 192
Специальные операции обработки пучков 194
Особенности пучка как зашумленного сигнала (194). 5.5.2. Проблема нумерации радиус-векторов зашумленного пучка (196). 5.5.3. Коэффициент устойчивости аналитического описания пучка при естественном порядке следования радиус-векторов (198).
Некоторые подходы к решению проблемы нумерации (упорядочения)
точек ГРТО 200
Аналитическое задание пучков в трехмерном пространстве 204
Кватернионное представление пучков (204).
Скалярное произведение кватернионов 207
Умножение кватернионов, представленных в комплексной форме (207). 5.8.2. Скалярное произведение представленных в комплексном виде кватернионов (208). 5.8.3. Скалярное произведение кватернионных сигналов (209).
Ортогональный базис для спектрального анализа кватернионных
сигналов 209
Спектральные представления кватернионного сигнала 211
Корреляционные функции кватернионных сигналов 214
Согласованная фильтрация кватернионных сигналов 216
Обсуждение результатов 219
Задачи и упражнения 220
ЧАСТЬ II
ПРИМЕНЕНИЕ КОНТУРНОГО АНАЛИЗА В ЗАДАЧАХОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Глава 6
ВЫДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Выделение границ как одна из задач сегментации изображений . . . 224
Согласованно-избирательная фильтрация изображений (пространственный аспект) 229
Принцип согласованно-избирательной фильтрации изображений (229). 6.2.2. Сравнение свойств согласованного и согласованноизбирательного фильтров (231). 6.2.3. Одномерные СИФ для последовательности цифровых отсчетов яркости (234).
Согласованно-избирательная фильтрация одномерного скачка яркости 236
Идеализированные скачки яркости (236). 6.3.2. Импульсная характеристика СИФ (236). 6.3.3. Анализ процесса фильтрации (239).
Согласованно-избирательная фильтрация одномерных идеализированных перепадов яркости с простым видом фронтов (244).
Согласованно-избирательная фильтрация изображений (частотный аспект) 248
Частотный коэффициент передачи фильтра (248). 6.4.2. Механизм работы СИФ при формировании сигнального отклика (251). 6.4.3. ЧКП СИФ для прямоугольного и линейного скачков яркости (254). 6.4.4. ЧКП
СИФ для параболического скачка яркости (256). 6.4.5. Прохождение фоновых шумов через СИФ (257). 6.4.6. Энергетические соотношения при согласованно-избирательной фильтрации зашумленных скачков яркости (259).
Характеристики обнаружения границы изображения при использовании согласованно-избирательной фильтрации
Алгоритм работы обнаружителя (260). 6.5.2. Методика расчета характеристик обнаружения границы (261).
Обнаружение протяженных прямолинейных границ изображений . .
Квазиоптимальный алгоритм обнаружения и его эффективность (267). 6.6.2. Выбор количества сдвинутых копий исходной сцены при обнаружении прямолинейной границы с произвольной ориентацией (272).
Инвариантные к характеристикам сцены обнаружители границ изображений
Обнаружение границы на базе t-критерия (274). 6.7.2. Характеристики t-обнаружителя (276). 6.7.3. Инвариантный к наклону линии границы обнаружитель (278).
Выделение и прослеживание контуров изображений объектов . . .
Прослеживание контуров бинарных изображений (282). 6.8.2. Глобально-оптимальная процедура формирования порогового уровня для получения бинарной сцены (286). 6.8.3. Локально-опимальная процедура формирования порогового уровня для получения бинарной сцены (288). 6.8.4. Алгоритмы прослеживания контуров многоградационных изображений, не связанные с образованием бинарных сцен (292).
Прослеживание прямолинейной границы изображения на многоградационном фоне
Марковская модель процесса прослеживания (295). 6.9.2. Анализ процесса прослеживания прямолинейной границы изображения (297).
Обсуждение результатов
Задачи и упражнения
Глава 7
ИЗОБРАЖЕНИЯ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ ГРАНИЦАМИ
Введение и постановка задачи
Квантование границы, проходящей через базовый сектор
Цепной код произвольно ориентированной прямолинейной границы .
Марковская модель процесса квантования прямолинейной границы .
Синтез цепи Маркова (313). 7.4.2. Анализ марковской модели процесса квантования (316).
АКФ цепного кода прямолинейной границы
Развернутое представление АКФ (319). 7.5.2. Компактное представление АКФ (322).7.5.3. Прямое представление АКФ (324).
Свойства АКФ -q^ (325).
Зависимость ошибок квантования границы от преобразований масштабирования и поворота
Подавление ошибок квантования репрезентативного участка границы .
260260267267273273282282295295300303300303305308311313305308311313318318326328326328Энергия среднего арифметического репрезентативных векторов ошибок квантования (328). 7.7.2. Условие полного подавления ошибок
260
260
267
267
273
273
282
282
295
295
300
303
300
303
305
308
311
313
305
308
311
313
318
318
326
328
326
328
квантования (329). 7.7.3. Расчет коэффициента подавления ошибок квантования (330).
Идеальное восстановление прямолинейной границы 332
Оптимальное квантование прямолинейной границы изображения . .333
Энергетические характеристики ошибок квантования для отрезков кодов произвольной длины 334
Подавление ошибок квантования границы произвольной длины согласованным фильтром 336
Основные соотношения при согласованной фильтрации границы произвольной длины (336). 7.11.2. Анализ процесса согласованной фильтрации прямолинейных границ изображений произвольной длины (338).
Основные результаты 340
Глава 8
ИЗОБРАЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ ПРОТЯЖЕННОЙ ФОРМЫ
Введение 344
Согласованно-избирательная фильтрация импульсов яркости (пространственный аспект) 345
Аналитическое представление одномерного импульса яркости (345). 8.2.2. Импульсная характеристика фильтра (346). 8.2.3. Анализ процесса фильтрации импульса яркости (347). 8.2.4. Согласованноизбирательная фильтрация некоторых видов импульсов яркости (349).
Двумерные СИФ для изображений нитевидных объектов. (351).
Согласованно-избирательная фильтрация прямоугольных импульсов яркости (частотный аспект) 353
Частотный коэффициент передачи СИФ для прямоугольного импульса яркости (353). 8.3.2. Амплитудно-частотная характеристика (354). 8.3.3. Фазочастотная характеристика СИФ (355). 8.3.4. Спектральные характеристики выходного сигнала (355).
Обнаружение изображений объектов нитевидной формы 358
Прослеживание изображений объектов протяженной формы . . . .364
Обсуждение результатов 366
Глава 9
АНАЛИЗ И РАСПОЗНАВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙПО ИХ ФОРМЕ
Специальные операции над контурами изображений 369
Эквализация кода контура (369). 9.1.2. Стандартизация кода контура (371).
Структурный анализ формы изображений фильтрами, согласоваными с классом форм 372
Определение характеристик формы изображения 379
Информативные признаки формы, определяемые по спектру контура
381
Распознавание изображений со случайными формами 384
Распознавание близких по форме детерминированных изображений .390
393393399403407408399403407408410411416410411416422426422426434434440445440445458458
393
393
399
403
407
408
399
403
407
408
410
411
416
410
411
416
422
426
422
426
434
434
440
445
440
445
458
458
Совмещение изображений объекта
Постановка задачи и модели (393). 9.7.2. Оптимальное совмещение контуров на основе контурной согласованной фильтрации (395).
Выбор формы изображения объекта для их наилучшего совмещения (398).
Накопление контуров изображений
Аналитическое представление формы плоского изображения . . . .
Обсуждение результатов
Задачи и упражнения
Глава 10
ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ С ТОЧЕЧНЫМИОБЪЕКТАМИ
Введение
Выделение точечных и малоразмерных объектов в сценах с локально однородным фоном
Прослеживание траекторий точечных отметок
Модель траектории точечной цели на квадратной сетчатке (416).
Алгоритм прослеживания прямолинейной траектории (417).
Глава 11
ОБРАБОТКА ГРУППОВЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОБЪЕКТОВ
Введение
Обнаружение групповых точечных объектов с известной формой ассоциированного сплошного образа
Постановка задачи и модели сигналов (426). 11.2.2. Обнаружение ГрТО с известным положением в кадре (428). 11.2.3. Обнаружение ГрТО с произвольным положением в кадре (432).
Обнаружение групповых точечных объектов с неизвестной формой .
Локализация групповых точечных объектов (434). 11.3.2. Обнаружение локализованных групповых точечных объектов (437).
Распознавание групповых точечных объектов на основе анализа первичного описания
Описание групповых точечных объектов вторичными признаками . .
Введение (445). 11.5.2. Модель ассоциированного сплошного образа и локализация групповых точечных объектов (446). 11.5.3. Критерий компактности групп точечных объектов (449). 11.5.4. Мера компактности групп точек (451). 11.5.5. Обобщенный алгоритм локализации и обнаружения компактных групповых точечных объектов с произвольной формой АСО (453). 11.5.6. Адаптивная локализация и структурный анализ групповых точечных объектов (454).
Распознавание групповых точечных объектов по форме контура ассоциированного сплошного образа
Алгоритм распознавания (458). 11.6.2. Характеристики распознавания групповых точечных объектов по форме контуров ассоциированных сплошных образов (460). 11.6.3. Распознавание групповых точечных объектов в виде изображений звезд (463).
466472473466472473476483476483492501506510518520492501506510518520
466
472
473
466
472
473
476
483
476
483
492
501
506
510
518
520
492
501
506
510
518
520
Различение групповых точечных объектов с нестационарной конфигурацией
Постановка задачи и основные подходы к ее решению (466).
Алгоритм различения «цепочек» и «скоплений» (469). 11.7.3. Характеристики различителя (470).
Обсуждение результатов
Вопросы и упражнения
ЧАСТЬ III
КОНТУРНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ ОБРАБОТКИСИГНАЛОВ
Глава 12
КОМПОЗИЦИОННЫЕ КОНТУРЫ
Обзор кодирующих последовательностей сложных сигналов и подходов к их синтезу
Синтез последовательностей с равномерным энергетическим спектром на основе композиционных контуров
Спектрально-корреляционные свойства кодовых последовательностей с равномерным энергетическим спектром (483). 12.2.2. Вещественные сигналы с РЭС (484). 12.2.3. Алфавит кодовых последовательностей с РЭС в виде композиционных контуров из полного семейства элементарных контуров (486). 12.2.4. Примеры синтеза кодовых последовательностей с РЭС в виде композиционных контуров из полного семейства элементарных контуров (491).
Обработка кодовых последовательностей с равномерным энергетическим спектром
Согласованная фильтрация комплекснозначных контуров с РЭС (493). 12.3.2. Примеры разрешения целей по дальности при использовании алгоритма ЧКШС и кодирующих последовательностей в виде композиционных контуров (496).
Фильтровая версия алгоритма ЧКШС
Фильтр ЧКШС (501). 12.4.2. Аналитическое представление алгоритма ЧКШС (502). 12.4.3. Частотные и временные характеристики фильтра ЧКШС (503). 12.4.4. Механизм работы фильтра ЧКШС (505).
Эффективность алгоритма ЧКШС при разрешении сигналов от целей с различными ЭПР
Особенности обработки сигналов на базе композиционных контуров, отраженных от подвижных целей
Обработка сигналов на базе композиционных контуров с учетом эффекта Доплера (510). 12.6.2. Режим селекции движущихся целей (517).
Основные результаты в области анализа сложных сигналов на базе композиционных контуров и устройств их обработки
Контрольные вопросы и задачи
Глава 13
СИГНАЛЫ В ВИДЕ ФОРМ ВТОРИЧНЫХ СОЗВЕЗДИЙ
Задача ориентации летательного аппарата по изображениям созвездий 522
Формы вторичных созвездий, используемых в качестве квазиоптимал ьных ориентиров для ЛА 525
Требования к форме вторичных созвездий для ориентации летательных аппаратов (525). 13.2.2. Форма уникального вторичного созвездия (526). 13.2.3. Коэффициент монохроматичности формы вторичного созвездия (529).
Характеристики уникальных вторичных созвездий 531
Алгоритм поиска УВС на небесной сфере (532). 13.3.2. Результаты поиска квазиоптимальных ориентиров в виде УВС на небесной сфере (535).
Оптимальные формы вторичных созвездий для идентификации звезд в их составе 544
Результаты экспериментального исследования по поиску УКВС для идентификации звезд в составе УВС 549
Алгоритм поиска УКВС третьего порядка (549). 13.5.2. Алгоритм поиска УКВС четвертого порядка (555).
Основные результаты 558
Примеры 560
Задачи и упражнения 563
Глава 14
КОМПОЗИЦИОННЫЕ КОНТУРЫ В СИСТЕМАХ СВЯЗИ
Введение 564
Основы построения систем связи с применением комплекснозначных сигналов 565
Применение комплекснозначных сигналов в системах связи с кодовым уплотнением каналов 566
Формирование и обработка группового сигнала (566). 14.3.2. Сравнительный анализ потенциальной пропускной способности систем связи с кодовым разделением каналов (570).
Сравнительный анализ помехоустойчивости систем связи с кодовым разделением каналов 572
Обсуждение результатов 574
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 576
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 579
Светлой памяти
Трифона Григорьевича Якутова посвящается
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время разработчики получили в свое распоряжение широкий ассортимент быстродействующих элементов вычислительной техники в микросхемном исполнении, позволяющих создать сложные многофункциональные изделия с перестраивающимися алгоритмами. Это открыло возможность обработки цифровыми методами многомерных сигналов, в первую очередь сцен из изображений объектов, формируемых разнообразными техническими датчиками. Такие сцены являются результатом работы радиолокационных, телевизионных, пассивных и активных ИК систем, гидролокаторов, рентгеновских и других установок и устройств. Чаще всего изображения содержащихся в них объектов весьма несовершенны, обладают недостаточной по отношению к фону контрастностью, четкостью, искажены помехами и шумами. По этим сигналам оператору затруднительно принимать необходимые решения в темпе поступления изображения, т.е. в реальном масштабе времени. Особенно остро стоит эта проблема в полностью автоматизированных системах. Требуемая для решения поставленных задач производительность цифрового процессора составляет 108—1014 и более элементарных операций в секунду, что затрудняет, а в целом ряде случаев исключает получение результатов обработки в реальном или близком к нему масштабах времени. Ситуация усложняется несовершенством теоретических подходов к вопросам обработки изображений. Зрительный аппарат человека и животных имеет эффективность, несравненно более высокую, чем система технического зрения.
Данные факторы привели на современном этапе к кризису в данной области из-за широкого применения эвристических подходов и вызванного этим большого количества слабо проверенных методов [71, 72]. Авторы данных работ отмечают заметное снижение интереса исследователей и потенциальных пользователей к системам машинного зрения. В этой связи представляют интерес подходы, базирующиеся на строгих теоретических проработках, например, использующие аппарат теории сигналов, но применяющие упрощенные модели изображений объектов, не связанные со значительной потерей информации. Один из таких подходов заключается в отказе от обработки каждой точки изображения и переходе к обработке лишь его контуров. Контуры являются областями с высокой концентрацией информации, слабо зависящей от цвета и яркости. Они устойчивы к смене типа датчика, формирующего изображение, к частот-
ному диапазону, в котором он работает, не зависят от времени суток и года. Другие характеристики изображения при этом значительно варьируются. Исключительно важная роль анализа контуров подчеркивается в целом ряде оригинальных и обобщающих работ по, распознаванию зрительных образов [3-16, 21-24, 32-3 7, 39-42].
Представляемая читателю книга посвящена теоретическим и практическим вопросам контурного анализа, под которым будем понимать совокупность методов описания и преобразования контуров. Контур представляется в виде комплекснозначного сигнала, и в этом плане к контурам можно отнести не только функции, определяющие границы изображения, но и различные кривые, графики, векторные диаграммы сигналов.
Контур целиком определяет форму изображения и содержит всю необходимую информацию для распознавания изображений по их формам. Такой подход позволяет не рассматривать внутренние точки изображения и тем самым значительно сократить объем обрабатываемой информации за счет перехода от анализа функции двух переменных к функции одной переменной. Следствием этого является возможность обеспечения работы системы обработки в масштабе времени, более близком к реальному. Но даже в тех задачах, где нельзя пренебречь обработкой внутренних точек, методы контурного анализа дополняют другие и поэтому безусловно полезны.
Совершенствуя датчики и увеличивая объем запоминающих устройств, можно сформировать слабо искаженные шумами многоэлементные изображения. При этом задача распознавания облегчается, но основные трудности не устраняются. Они вызваны влиянием на математическое описание изображения случайных переносов, поворотов и изменения масштаба. Методы контурного анализа в большей степени, чем пространственные методы, дают возможность использовать модели, инвариантные к таким преобразованиям.
Контурный анализ значительно расширяет кругозор специалиста, позволяя с единых позиций подходить к обработке как известных акустических, радиотехнических и оптических сигналов, так и радиолокационных, телевизионных, оптических и других видов изображений.
Монография подготовлена по результатам работ [17-21, 42, 43, 50, 56, 65-69, 74-79, 87-111 и др.]. Она состоит из трех частей. Первая часть связана с рассмотрением вопросов теории контурного анализа, вторая и третья — с его приложениями соотвественно к задачам обработки изображений и сигналов. Монография составлена таким образом, что читатель может получить первое представление о поставленных задачах, подходам к их решению и основных результатах при ознакомлении с первыми и заключительными разделами каждой главы.
Разработка методологии контурного анализа в значительной степени стимулирована грантами РФФИ, Министерства образования РФ, Министерства науки и технологий РФ. Авторы признательны руководителям фондов. Они выражают благодарность акад. РАН Ю.И. Журавлеву, И.Б. Гуревичу, И.П. Цивлину, Ю.С. Лезину, П.А. Бакулеву, В.С. Кири-
чуку, Л.А. Школьному, АТ. Рындыку, В.А. Сойферу, В.В. Сергееву, В.М. Чернову, Ю.А. Рябинину, ЕС. Ощепкову, В.А. Иванову, проф. Ю.В. Захарову за поддержку работ авторов в области обработки изображений и сигналов.
Работа выполнена при финансовой поддержке по следующим грантам и проектам:
грант РФФИ “Анализ сцен и распознавание зрительных образов”, проект 93-012-1063, 1993-1994 гг.;
гранты Министерства общего и профессионального образования РФ: проект ’’Интеллектуальные системы ориентации летательных аппаратов на базе систем понимания изображений”, 1994-1996 гг.;
проект ’’Интеллектуальные системы ориетации летательных аппаратов на базе систем обработки изображений оптимальной формы, расположенных на подстилающей поверхности или небесной сфере”, 1997-1998 гг.;
грант Министерства науки и технологий РФ, проект ’’Распознавание изображений дорог и других нитевидных объектов в сценах с аэроландшафтами”, 1998-1999 гг.;
грант РФФИ “Новые оптимальные сигналы для задач разрешения/рас- познавания”, проект 97-01-00906, 1997-1998 гг.;
грант РФФИ “Оптимальные сигналы в виде форм точечных изображений. Поиск уникальных звездных образований для ориентации летательных аппаратов”, проект 99-01-00186, 1999-2000 гг.;
грант РФФИ “Новые подходы к решению класса задач обработки изображений и сигналов, связанного с фиксацией максимума взаимнокорреляционной функции и подавлением корреляционных шумов”, проект 01-01-00298, 2001-2002 гг.
ЧАСТЬ I
ОСНОВЫ КОНТУРНОГО АНАЛИЗА
Глава 1
КОНТУРЫ КАК ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ
Представление изображений в системе технического зрения
Задачи контурного анализа возникают в системе технического зрения при обработке изображений и распознавании зрительных образов. Структура такой системы в достаточно общем виде приведена на рис. 1.1.
Входные сцены от различных датчиков преобразуются в цифровой вид и поступают на мультиплексор входной информации. Выбор одного
Вцдеодатчик -► АЦП -Вцдеодатчик -► АЦП -Банкматем.обеспеченияБанкматем.обеспеченияБанкизобра-женийБанкизобра-женийЦАП _^|§ЦАП _^|§
Вцдеодатчик -► АЦП -
Вцдеодатчик -► АЦП -
Банкматем.обеспечения
Банкматем.обеспечения
Банкизобра-жений
Банкизобра-жений
ЦАП _^|§
ЦАП _^|§
^5с 5^5с 5Вцдеодатчик -> АЦГ ->рУ^^! информацииВцдеодатчик -> АЦГ ->рУ^^! информацииОЗУ сценОЗУ сценПрограммируемый'процессоризображенийПрограммируемый'процессоризображений
^5
с 5
^5
с 5
Вцдеодатчик -> АЦГ ->рУ^^
! информации
Вцдеодатчик -> АЦГ ->рУ^^
! информации
ОЗУ сцен
ОЗУ сцен
Программируемый'процессоризображений
Программируемый'процессоризображений
Видеодатчик -> АЦГ -Видеодатчик -> АЦГ -ОЗУ ПАП индикатораОЗУ ПАП индикатораИндикаторИндикатор
Видеодатчик -> АЦГ -
Видеодатчик -> АЦГ -
ОЗУ ПАП индикатора
ОЗУ ПАП индикатора
Индикатор
Индикатор
Цифровой индикатор
Рис. 1.1. Структура системы технического зрения
из датчиков производится программируемым процессором изображений (ППИ) или оператором. Отобранные сцены заносятся в ОЗУ сцен. Такое и подобные ему ОЗУ изображений (ОЗУИ) имеют матричную организацию из Му строк и М2 колонок, причем каждая ее ячейка содержит тг разрядов. Обычно число строк равно числу колонок, кратно степени числа 2 и варьируется от 128 до 1024 и более, а разрядность ячейки ОЗУИ не менее 4-х. Объем ОЗУ сцен достигает большой величины и составляет порядка 100 мегабайт и более. При работе в реальном масштабе времени, например, с телевизионного датчика, вся сцена
заносится за 20-40 мс, а время заполнения одной ячейки составляет
порядка 30-100 нс.
ППИ является центральным узлом любой системы технического зрения и выполняет как вычислительные, так и управляющие функции. Для сокращения объема быстродейству-
132.021?Ц11о;212102'1151822311121101118;20141312101121822313018121110091520302202516101108222842441614и0114192118,321513222321114111041210450101213231013021121402132.021?Ц11о;212102'1151822311121101118;20141312101121822313018121110091520302202516101108222842441614и0114192118,321513222321114111041210450101213231013021121402Рис. 1.2. Полутоновое изображе-ние, занесенное в ОЗУ сцен(цифры в клетках соответствуютзначениям яркостей, записанныхв ячейки памяти)Рис. 1.2. Полутоновое изображе-ние, занесенное в ОЗУ сцен(цифры в клетках соответствуютзначениям яркостей, записанныхв ячейки памяти)ющей памяти программирование процессора производится при выполнении каждой конкретной задачи. Хранение обработанных изображений, а также изображений, являющихся эталонными при распознавании образов, осуществляется в специальном банке изображений.
1
3
2.
0
2
1?
Ц
1
1
о;
2
1
2
1
0
2'
1
15
18
2
2
3
1
1
1
2
1
10
11
18;
20
14
13
1
2
1
0
1
12
18
22
31
30
18
12
11
1
0
0
9
15
20
3
0
2
20
25
16
10
1
1
0
8
22
28
42
44
16
14
и
0
1
1
4
1
9
21
18,
32
15
1
3
2
2
2
3
2
1
1
14
11
1
0
4
1
2
1
0
4
5
0
10
12
1
3
2
3
1
0
1
3
0
2
1
1
2
1
4
0
2
1
3
2.
0
2
1?
Ц
1
1
о;
2
1
2
1
0
2'
1
15
18
2
2
3
1
1
1
2
1
10
11
18;
20
14
13
1
2
1
0
1
12
18
22
31
30
18
12
11
1
0
0
9
15
20
3
0
2
20
25
16
10
1
1
0
8
22
28
42
44
16
14
и
0
1
1
4
1
9
21
18,
32
15
1
3
2
2
2
3
2
1
1
14
11
1
0
4
1
2
1
0
4
5
0
10
12
1
3
2
3
1
0
1
3
0
2
1
1
2
1
4
0
2
Рис. 1.2. Полутоновое изображе-ние, занесенное в ОЗУ сцен(цифры в клетках соответствуютзначениям яркостей, записанныхв ячейки памяти)
Рис. 1.2. Полутоновое изображе-ние, занесенное в ОЗУ сцен(цифры в клетках соответствуютзначениям яркостей, записанныхв ячейки памяти)
Выходная информации ППИ в цифровом или аналоговом видах поступает для управления различными исполняющими устройствами: движением платформы с аппаратурой, сортировкой годных и дефектных изделий, захватом деталей определенной формы и т.п. Обработанные изображения передаются также на цифровой индикатор. Каждая ячейка ОЗУ индикатора соответствует определенной точке
на экране дисплея. На графических иллюстрациях фрагмент страницы ОЗУИ будем представлять в виде квадратной сетчатки.
Матричная структура ОЗУ обеспечивает одинаковую пространствен
ную организацию точек исходной и находящихся в ППИ плоских сцен.
Хранящееся в ячейке многоразрядное двоичное число пропорционально усредненной в пределах некоторой окрестности 8 (z) — 8х • бу элемента
(пиксела) яркости исходной сцены. Поэто
му изображение в ППИ имеет мозаичный характер. На рис. 1.2 для мозаики в виде квадратной сетчатки (8х = бу) показано оцифрованное, т.е. продискретизированное и проквантованное изображение. Подобные сетчатки хорошо согласуются с законом движения луча по линии светочувствительного элемента телекамеры или по экрану электронно-лучевой трубки. Поэтому в дальнейшем для представления оцифрованных изображений будем применять только такой вид сетчатки.
Важную роль в контурном анализе играют бинарные по яркости многоточечные
000011000000001111100000111111100011111111100111111111001111111111111111111111111111111000000111100000011000000001111100000111111100011111111100111111111001111111111111111111111111111111000000111100Рис. 1.3. Пример представле-ния бинарного изображения наквадратной сетчаткеРис. 1.3. Пример представле-ния бинарного изображения наквадратной сетчатке(распределенные) изображения. Обозначим через s (х,у) исходное, а через co(mi,m2) — оцифрованное бинарное изображения (рис. 1.3), причем яркости I (х,у) точки (ж, у) и I (mi,m2) клетки (mi,m2) будут
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
Рис. 1.3. Пример представле-ния бинарного изображения наквадратной сетчатке
Рис. 1.3. Пример представле-ния бинарного изображения наквадратной сетчатке
Дж, у) =Дж, у) =при (ж, у) € s,в противном случае,при (ж, у) € s,в противном случае,1(7711,7712) = < о1(7711,7712) = < опри (7711,7712) € си,в противном случае.
Дж, у) =
Дж, у) =
при (ж, у) € s,
в противном случае,
при (ж, у) € s,
в противном случае,
1(7711,7712) = < о
1(7711,7712) = < о
Размер клетки (пиксела) сетчатки обычно выбирается из условия возможности восстановления по оцифрованному (^(7711,7712) исходного изображения s (х, у). Ошибки дискретизации вызываются наличием граничных пикселов, в пределах которых содержатся участки как фона, так и изображения объекта. После оцифровки каждый пиксел однозначно относится либо к фону, либо к изображению. Поэтому формы изображений s (ж, у) и (^(7711,7712) не совпадают. Величина ошибки дискретизации зависит не только от размеров бхбу пиксела, но и от
вида критерия принятия решения о принадлежности каждого из пикселов фону или изображению. Критерий должен определять, какую часть клетки должно занимать изображение объекта, чтобы в ячейку ОЗУ сцен, соответствующую этому пикселу, была бы занесена единица. Для определенности примем следующее правило: если площадь изображения не менее половины площади 5х бу пиксела, то в соответствующую ячейку ОЗУ заносится единица.
Граничные клетки отличаются от внутренних клеток изображения наличием в качестве соседней одной или нескольких фоновых клеток. При этом в качестве соседних к рассмотрению берутся только горизонтальные и вертикальные соседние клетки, либо
0000••00000000•11••00000•11111•000•1111111♦00•1111111♦00е11111111•е111111111♦•••••1111♦000000••••000000••00000000•11••00000•11111•000•1111111♦00•1111111♦00е11111111•е111111111♦•••••1111♦000000••••00Рис. 1.4. Задание точками гра-ничных клеток бинарного изо-бражения при учете соседстватолько по вертикали и горизон-талиРис. 1.4. Задание точками гра-ничных клеток бинарного изо-бражения при учете соседстватолько по вертикали и горизон-талитолько диагональные [9]. Границу бинарного изображения будем задавать
0
0
0
0
•
•
0
0
0
0
0
0
0
0
•
1
1
•
•
0
0
0
0
0
•
1
1
1
1
1
•
0
0
0
•
1
1
1
1
1
1
1
♦
0
0
•
1
1
1
1
1
1
1
♦
0
0
е
1
1
1
1
1
1
1
1
•
е
1
1
1
1
1
1
1
1
1
♦
•
•
•
•
•
1
1
1
1
♦
0
0
0
0
0
0
•
•
•
•
0
0
0
0
0
0
•
•
0
0
0
0
0
0
0
0
•
1
1
•
•
0
0
0
0
0
•
1
1
1
1
1
•
0
0
0
•
1
1
1
1
1
1
1
♦
0
0
•
1
1
1
1
1
1
1
♦
0
0
е
1
1
1
1
1
1
1
1
•
е
1
1
1
1
1
1
1
1
1
♦
•
•
•
•
•
1
1
1
1
♦
0
0
0
0
0
0
•
•
•
•
0
0
Рис. 1.4. Задание точками гра-ничных клеток бинарного изо-бражения при учете соседстватолько по вертикали и горизон-тали
Рис. 1.4. Задание точками гра-ничных клеток бинарного изо-бражения при учете соседстватолько по вертикали и горизон-тали
точками в центрах граничных клеток (рис. 1.4). Если сместить сетчатку
на величину половины длины стороны квадрата вправо и вверх, то граничные точки изображения окажутся в узлах сетчатки. В результате восприятие контура упрощается. В дальнейшем будем использовать оба таких представления контура оцифрованного бинарного изображения.
Кодирование контуров бинарных изображений
Кодирование контура — это этап получения дискретного сигнала, описывающего границы оцифрованного бинарного изображения. Всякая область D плоскости комплексного переменного содержит внутренние точки и точки контура (граничные точки). Первые из них обладают тем свойством, что не только они сами, но и их некоторая окрестность целиком принадлежит области D. Точки контура не являются внутренними, но в сколь угодно малой окрестности таких точек находятся внутренние точки области D и точ-
ки, не принадлежащие области D, — внешние (фоновые) точки. Область
D обладает свойством связности,D обладает свойством связности,Рис. 1.5. Фрагменты контура Г: 1, 2 — выпуклый; 3, 4 — неопределенный; 5, 6 — вогнутыйРис. 1.5. Фрагменты контура Г: 1, 2 — выпуклый; 3, 4 — неопределенный; 5, 6 — вогнутыйсостоящим в том, что любые ее точки соединяются линией, целиком находящейся внутри D [28].
D обладает свойством связности,
D обладает свойством связности,
Рис. 1.5. Фрагменты контура Г: 1, 2 — выпуклый; 3, 4 — неопределенный; 5, 6 — вогнутый
Рис. 1.5. Фрагменты контура Г: 1, 2 — выпуклый; 3, 4 — неопределенный; 5, 6 — вогнутый
Линия контура Г называется выпуклой, если прямолинейный отрезок, соединяющий две ее любые точки, целиком состоит из внутренних точек области D. Участок контура будет вогнутым, если такой отрезок будет включать внешние (фоновые) точки (рис. 1.5).
Область D называется ограниченной, если все ее точки находятся на конечном расстоянии от начала отсчета. Число связных частей, на которые разбивается контур ограниченной области D, называется по
рядком связности этой области. В пределах основного контура Г могут находиться другие изображения Sj(x,y\ J = l,2,..., со своими замкнутыми контурами Г^), Г(2), ... Такое изображение s (ж, у) является многосвязным. Если s (х, у) — бинарное изображение, то находящиеся внутри него изображения образуют полости, в том числе и точечные.
Рис. 1.6. Трехсвязное оцифрованное изображение ш с точечной полостью cui, многоточечной полостью си2, разрезом b и лучом с. Точки bi и ci — основания, bi и С2 — вершиныРис. 1.6. Трехсвязное оцифрованное изображение ш с точечной полостью cui, многоточечной полостью си2, разрезом b и лучом с. Точки bi и ci — основания, bi и С2 — вершиныХарактерными фрагментами бинарного оцифрованного изображения являются лучи и разрезы толщиной в один пиксел (рис. 1.6). Для каждого
Рис. 1.6. Трехсвязное оцифрованное изображение ш с точечной полостью cui, многоточечной полостью си2, разрезом b и лучом с. Точки bi и ci — основания, bi и С2 — вершины
Рис. 1.6. Трехсвязное оцифрованное изображение ш с точечной полостью cui, многоточечной полостью си2, разрезом b и лучом с. Точки bi и ci — основания, bi и С2 — вершины
контура задается начальная точка ао, отправляясь от которой обходится весь контур. Условимся такой обход производить по часовой стрелке. Точки лучей и разрезов при этом будут обходиться дважды. Фундаментальными свойствами контуров реальных изображений являются замкнутость и непрерывность их линий.
Внутренний элемент (пиксел) бинарного оцифрованного изображения w (mi, m2) обладает свойством четырехсвязности, т.е. смежные с ним элементы — верхний, нижний, левый и правый, тоже принадлежат w (mi, m2) (рис. 1.7, а). Для граничных элементов изображения w (mi, m2), образующих контур Г, правило четырехсвязности не выполняется [9] (рис. 1.7, б).
Для обработки контура аналитическим путем или на ЭВМ надо произвести его кодирование, т.е. поставить в соответствие каждому контурному элементу определенное число. Последова-
сти для элемента А оцифрованного изображения: А — внутренний элемент (а); А — элементсти для элемента А оцифрованного изображения: А — внутренний элемент (а); А — элементконтура (б), Ф — элемент фона,ИЗ — элемент изображенияконтура (б), Ф — элемент фона,ИЗ — элемент изображениятельность таких чисел называется кодом контура. Используем следующую терминологию при задании и кодировании контуров на квадратной сетчатке.
сти для элемента А оцифрованного изображения: А — внутренний элемент (а); А — элемент
сти для элемента А оцифрованного изображения: А — внутренний элемент (а); А — элемент
контура (б), Ф — элемент фона,ИЗ — элемент изображения
контура (б), Ф — элемент фона,ИЗ — элемент изображения
Элементарный вектор (ЭВ) 7 (тг) — вектор, соединяющий центры или узлы соседних контурных ячеек сетчатки, проведенный в направлении обхода; тг — номер этого ЭВ, отсчитываемый от точки ао обнаружения контура, тг = 0,1,... ... , к — 1, к — количество ЭВ в контуре данного изображения (рис. 1.8). Такие ЭВ
будем называть стандартными в отличие от ЭВ, длина и аргумент которых задаются произвольными числами. Стандартные ЭВ формируются естественным образом по введенному в ОЗУИ изображению. Получившийсябудем называть стандартными в отличие от ЭВ, длина и аргумент которых задаются произвольными числами. Стандартные ЭВ формируются естественным образом по введенному в ОЗУИ изображению. Получившийся
будем называть стандартными в отличие от ЭВ, длина и аргумент которых задаются произвольными числами. Стандартные ЭВ формируются естественным образом по введенному в ОЗУИ изображению. Получившийся
будем называть стандартными в отличие от ЭВ, длина и аргумент которых задаются произвольными числами. Стандартные ЭВ формируются естественным образом по введенному в ОЗУИ изображению. Получившийся
соседние контурные клетки, называется цепным. Произвольный контур Г, состоящий из ЭВ 7 (тг), тг = 0,1,... , к — 1, запишем в виде
г = (7 (n)}0,fc-i = {7 (0), 7 (1),... ,7 (к - 1)}.(1.2.1)
Контуры будем обозначать прописными буквами греческого алфавита Г,М,Р, , а их ЭВ — соответствующими строчными буквами v (п\ у (п\ р(п), ... ЭВ являются первыми разностями функций, задающих линию контура. В том случае, когда это не приводит к неоднозначному пониманию, код контура, заданный с помощью ЭВ, перед обозначением контура будем ставить букву А, например, АГ.
На квадратной сетчатке возможны восемь различных стандартных ЭВ, соединяющих соседние пикселы (рис. 1.9, а). Рассмотрим некоторые способы кодирования контуров.
Рис. 1.9. К определению элементарных векторов контуров: виды возможных элементарных контуров на квадратной сетчатке (а), нумерация элементарных векторов по Фримену (б)Рис. 1.9. К определению элементарных векторов контуров: виды возможных элементарных контуров на квадратной сетчатке (а), нумерация элементарных векторов по Фримену (б)-1,10,11,1-1,0ж1,0-1,-10,-11,-1-1,10,11,1-1,0ж1,0-1,-10,-11,-1Кодирование по трем признакам: длине текущего ЭВ, направлению поворота при переходе к следующему ЭВ и углу между соседними ЭВ [33].
Рис. 1.9. К определению элементарных векторов контуров: виды возможных элементарных контуров на квадратной сетчатке (а), нумерация элементарных векторов по Фримену (б)
Рис. 1.9. К определению элементарных векторов контуров: виды возможных элементарных контуров на квадратной сетчатке (а), нумерация элементарных векторов по Фримену (б)
-1,1
0,1
1,1
-1,0
ж
1,0
-1,-1
0,-1
1,-1
-1,1
0,1
1,1
-1,0
ж
1,0
-1,-1
0,-1
1,-1
Рис. 1.10. Координаты элементарного вектора при двумерном кодировании
Кодирование текущего ЭВ трехразрядным двоичным кодом (числа от 0 до 7) (рис. 1.9, б). Данный код был предложен Фрименом и получил широкое распространение в задачах обработки изображений [10, 74].
Кодирование текущего ЭВ двумя его проекциями на оси координат с началом отсчета, совмещенным с началом ЭВ — двумерный код (рис. 1.10).
Рис. 1.11. Полигональное представление контура как аппроксимация контура линейными сегментамиРис. 1.11. Полигональное представление контура как аппроксимация контура линейными сегментамиПолигональное представление контура, получающееся при его аппроксимации линейными сегментами (рис. 1.11). Кодирование состоит в фиксации координат концов этих сегментов. Данный способ благодаря компактности получаемых описаний получил широкое распространение. При этом возникает проблема сегментации, сходная с проблемой дискретизации сигналов. В реальных случаях она обычно связана с потерей информации о форме изображений.
Рис. 1.11. Полигональное представление контура как аппроксимация контура линейными сегментами
Рис. 1.11. Полигональное представление контура как аппроксимация контура линейными сегментами
Задание ЭВ контура восемью комплексными числами
{1,1 — г, —г, — 1 — г, —1, — 1 + г,г, 1 + г} (1.2.2)
Комплекснозначный код контура Г = {7 (n)}0 к_х введем как обобщение
цепного кода Фримена АФ на плоскость дискретного комплексного
переменного с квадратной сеткой [50, 43]. Вместо номеров, кодирующих
-1+/
i
1+7
-1
1
-1-7
-i
1-z
Рис. 1.12. Координаты элементарного вектора при комплекснозначном кодированииРис. 1.12. Координаты элементарного вектора при комплекснозначном кодированиитекущие ЭВ 7 (п) контура, каждому ЭВ ставится в соответствие координата его конечной точки в системе отсчета, совмещенной с началом вектора (рис. 1.12). Эти ЭВ являются стандартными. Модули их вещественной и мнимой частей равны либо единице, либо нулю.
Рис. 1.12. Координаты элементарного вектора при комплекснозначном кодировании
Рис. 1.12. Координаты элементарного вектора при комплекснозначном кодировании
Формирование стандартных ЭВ характерно для начального этапа обработки. На этом этапе каждая ячейка ОЗУИ ассоциируется с пикселом квадратной сетчатки и чтобы не пропустить ни одного относящегося к контуру пиксела, элементы кода АГ должны быть стандартными. Дальнейшая обработка может быть оторвана от сетчатки ОЗУИ, на которой
возможны лишь восемь различных значений ЭВ. Более общий характер
имеет полигональное представление контура в виде ориентированного /с-угольника. Выражение для элемента кода АГ в полигональном представлении имеет вид
7 (и) = 71 W + «72 (и) = |7 (п)| ехр {гу> (п)}, (1.2.3) где 7i(n) = Re 7(н); 72(11) = Im 7(11); |7(п)| и y>(n) — модуль и аргумент ЭВ.
F-представление контура основано на проведении в области изображения ряда равноотстоящих сечений параллельно координатной оси и определении координат точек пересечения с контуром. Контур задается вектором, компонентами которого являются координаты граничных точек изображения в каждом сечении. Данное представление полезно при выводе изображения на индикатор, при определении факта пересечения изображений, вычисления некоторых геометрических характеристик [39].
Рис. 1.13. Пример задания фрагмента контура полярным кодом: В — {... ; —4;—3 ■+ г; —3 -h 2г; —2 -+ 4z; —1 4~ 4г; 4i; 1 -+ 2i; • • • }Рис. 1.13. Пример задания фрагмента контура полярным кодом: В — {... ; —4;—3 ■+ г; —3 -h 2г; —2 -+ 4z; —1 4~ 4г; 4i; 1 -+ 2i; • • • }
Рис. 1.13. Пример задания фрагмента контура полярным кодом: В — {... ; —4;
—3 ■+ г; —3 -h 2г; —2 -+ 4z; —1 4~ 4г; 4i; 1 -+ 2i; • • • }
Рис. 1.13. Пример задания фрагмента контура полярным кодом: В — {... ; —4;
—3 ■+ г; —3 -h 2г; —2 -+ 4z; —1 4~ 4г; 4i; 1 -+ 2i; • • • }
Представление линии контура полярным кодом [И]. На изображении си (mi, m2) выбирается полюс — начало отсчета (т. Р) естественной (собственной) системы координат, т.е. системы отсчета, связанной с этим изображением. Центры всех граничных точек изображения соединяются с т. Р. В результате получается последовательность радиус-векторов Р (п), однозначно задающих контур изображения (рис. 1.13). Часто полюс совмещается с центром тяжести изображения.
Представление линии контура в виде функции комплексного переменного [5, 75-78]. Контур как непрерывная замкнутая кривая в комплексной плоскости задается ее координатой z (Z), зависящей от текущей длины I [5]. В работе [78] и ряде других используется инвариантное к группе линейных преобразований аналитическое описание контура угловой функции в виде зависимости 6(1) угла касательной от текущей длины I. На основе коэффициентов Фурье для угловой функции могут быть получены экономные и инвариантные описания контура.
Приведенные способы кодирования контуров изображений являются только незначительной частью известных и применяемых различными специалистами при обработке изображений. В связи с этим ниже с позиции теории сигналов, рассматриваемых как элементы линейных пространств, производится выбор способа кодирования контура в качестве базового для решения задач контурного анализа.
Линейные пространства вектор-контуров
Для оценки эффективности того или иного метода кодирования надо проанализировать степень адекватности кодов бинарным изображениям, по которым они получены, а также метрические свойства пространств, элементами которых эти коды являются.
Контуры изображений, заданные совокупностью ЭВ, в дальнейшем будем рассматривать как /с-мерные векторы, т.е. как вектор-контуры (ВК). Пространство ВК, у которых ЭВ заданы по Фримену, обозначим через Ф^, двумерным кодом — Е2к, а комплекснозначным — Ск. Текущей компонентой В К в пространстве Фк будет ф(п), в пространстве Е2к — (71 (п) ,72 (^)), в пространстве Ск — 7 (п), п = 0,1,... , к — 1. Рассмотрим характер линейных преобразований и представления скалярных произведений для ВК в каждом из пространств.
Под поворотом контура Г на угол Д^ будем понимать линейное преобразование, в результате которого на этот угол поворачивается каждый ЭВ контура. Аналогично изменение масштаба контура в |/z| раз заключается в растяжении каждого ЭВ контура в |/z| раз.
Пространство Фк. Данное пространство является действительным координатным пространством, в котором ВК представляется упорядочен- 4
ным набором из к чисел — ^ (п), п = 0,1,... , к — 1, где ^ (п) — аргумент тг-го ЭВ:
г = {-<рг (п)}•
1тг Jo,fc-1
Два ВК Г = | —^г(^)| ^ и N = |^N(n)| k Равны> если У>г (») = <PN (п), ” = 0,1, • • • , к - 1.
Определим линейные операции в Фк соотношениями
P = r + N= |^r(n) + ^N(n)},
17Г7ГJ 0,к — 1
Р = |д|Г = {м^гМ} ■
I 7Г J0,fc-l
ВК Р, являющийся суммой ВК Г и N, получается поворотом компоненты ВК Г на угол — ^ (п). Нулевой ВК состоит из нулевых ЭВ и в 7Г N
связи с этим не замкнут. Противоположные ВК состоят из ЭВ с противоположными аргументами и одинаковыми модулями.
В Фк скалярное произведение, норма и расстояние между двумя ВК имеют вид
7?=^^) = ^^ ^95r(n)<pN(n);
71=0
к-152^ W;71=0к-152^ W;71=0к-1
к-1
52^ W;
71=0
к-1
52^ W;
71=0
52 [^г (п) -
тг=О
Из приведенных выражений видно, что длина ЭВ при выполнении этих операций не затрагивается. Скалярное произведение к тому же не инвариантно к повороту ВК.
Действительно, повернем контур Г на угол А у? и найдем скалярное произведение ВК Г и Гд^,:
2 к-1
(г, Гду) = (-) 52 уг ^ ^г (п)+ ^ =
71=0Гк_^-
= О2 цгц2+д^угм .
_71=0_
Из последнего выражения видно, что скалярное произведение двух ВК, соответствующее одному и тому же контуру при его повороте на угол Ау? относительно исходного положения, является функцией угла Ау?. Это значит, что соответствующие одному и тому же контуру ВК будут иметь разные нормы.
Благодаря своей простоте код Фримена широко применяется целым рядом исследователей при решении задач распознавания на основе контуров изображений. Вместе с тем, проведенный выше анализ общих свойств кода Фримена как сигнала в линейном пространстве Фк показал, что он не отражает длины вектора. Поэтому на его основе нельзя с общих позиций теории сигналов синтезировать оптимальные структуры устройств обработки и осуществить обоснованное принятие решения. Для тех задач, где
важно лишь знать, из каких именно стандартных ЭВ слагается контур и какой вид имеет их конкатенация, код Фримена содержит всю необходимую информацию. Поэтому на его основе можно получить ряд статистических и лингвистических описаний изображения, например, матрицу вероятностей смены ЭВ в контурах изображений определенного класса.
Пространства Е2к и Ск. Сопоставим задание ВК в пространствах Е2к и Ск [46]. Пусть {en}0 ^-i — ортонормированный базис в пространстве Ск и Г = {71 (п) + г72 (п)}0 к_г — разложение произвольного ВК по этому базису. Одновременно с базисом {en}ofc_1 рассмотрим векторы 1т = гет, т = 0,1,... , к — 1. Тогда произвольный ВК Г можно представить в виде Г = {71 (0) е0 + 72 (0) Zo; 71 (1) ei + 72 (1) h; • • • ... ;7i (к - 1) ek_i 4- 72 (к - 1) 1к-1У Теперь ВК можно рассматривать как элемент действительного координатного пространства Е2к. Таким образом, мы получили два представления ВК в координатах пространства Е2к и Ск: Гск = {71 (n) + г 72 (n)}0 fc_v Г^к = {71 (п), 72 (тг)}0Л_г
Два ВК — Г и N — равны, если 71 (n) = z/i (п) и 72 (п) = 1/2 (^), п = 0,1,... к — 1. Сумма ВК Г и N есть ВК Р, определяемый как
РСк = ГСк + NCk = {7 (n) + V (п^ок_г,
Ру2к = ГД2к + Мдгь = {7i (п) + 1/1 (п); 72 (п) + i/2 (и)}о^_1-
ВК Р, являющийся результатом умножения ВК Г на произвольный коэффициент р (комплексный для Ск и действительный для Е2к\ имеет вид
РСк = ^ГСк = {м7 (n)}ofc_v3
РД2к = рТЕ2к = {/Z71 (n) ,Д72 (п)}ол_г" '
При умножении в пространстве Ск контур растягивается в |д| раз и поворачивается на угол Д<^ = arg р, а при умножении в пространстве Е2к только растягивается.
В качестве ортонормированного базиса в Е2к обычно выбирается канонический базис. В пространстве Ск выбор базиса, аналогично каноническому, неоднозначен. В качестве такого базиса может служить любой базис вида [46] во = (/г,0,... ,0); б] = (0, р, 0,... , 0); ... ; ek_i = = (0,0,... , р), где р — комплексное число с единичным модулем.
Скалярные произведения ВК в пространствах Е2к и Ск при ортонор- мированном базисе имеют вид
к-1
(r,N) ,.=^hiWviW^^Wv2^Y (1.3.2) X / Е2к п=0
к-1
(r’N)cfc = (r’N)s2fc + ^52 [72 (») z^i (п)-71 (^^(п)].(1.3.3)
Сравнивая эти выражения, видим, что скалярное произведение в Ск содержит в качестве своей действительной части скалярное произведение в Е2к [46]. Вследствие этого скалярное произведение в унитарном пространстве за счет своей мнимой части более информативно, чем скалярное произведение в пространстве Е2к. Отсюда, например, следует, что ВК, ортогональные в Е2к, могут не быть ортогональными в Ск. Ортогональность сохраняется лишь при Im (Г, N)^ = 0. В то же время нормы ВК Г в обоих пространствах совпадают, т.е.
/к — 1к — 1\ ^/^/к—1\ ^12
1|Г||^ = ||ГЬ = Е 7? ^ + Е 72 И I = Е 17 Н2 \п=0п=0/\п=0/
Выражения для расстояния в Е2к и Ск имеют вид:
RV = (Г - N,r - N)S2. = ||Г||2 + ||N||2 - 2(r,N)^;d-3.4)
Я^ = (Г - N, Г - N)ck = 11Г152 + 11N112 - (Г, N)ck - (N, Г)с,. (1.3.5)
Так как в унитарном пространстве (Г, N) = (N, Г)*, то Rg2k — RCk, т.е. оба пространства изометричны. Отметим следующий факт: если ||Г||2 = ||N||2 = |(Г^)^|, то Rck=0.
Особые свойства скалярного произведенияв пространстве Ск
Скалярное произведение в действительном координатном пространстве Е2к позволяет ввести не только норму для вектора этого пространства, но и обобщить понятие утла между векторами:
cosy? = £—-^.(1.4.1)
ЦГ||
Величину, задаваемую этим выражением, будем называть нормированным скалярным произведением (НСП). В пространстве Ск НСП в общем случае является комплексной величиной и не может быть косинусом какого-либо действительного угла [49]. Рассмотрим более подробно вопрос о том, какие характеристики ВК задает их скалярное произведение в пространстве Ск.
Экстремальное свойство НСП в Ск. В соответствии с неравенством Коши-Буняковского для комплексных чисел имеем
ЫН(Г^)С*Ы|Г|||№(1.4.2)
причем равенство возможно лишь при Г = /zN, где /z = |/z| exp {гД^?} — произвольное комплексное число. На основании выражений (1.4.1) и (1.4.2) можно заключить следующее.
Положение 1. Модуль НСП в пространстве Ск l^fcl = |т7|/(||Г|| ||N||) равен нулю, если ВК Г и N ортогональны, и принимает максимальное значение, равное единице, если Г и N — это один и тот же контур, причем
контур N может быть повернут относительно контура Г на произвольный угол Д^ и изменен в масштабе в |/z| раз. НСП в пространстве Е2к проявляет близкие экстремальные свойства. Однако из-за действительного характера множителя р вектор-контуры Г и егЛуТ имеют значение НСП, не достигающее единицы. Таким образом, НСП в Ск позволяет обнаружить высокую степень близости для значительно больших значений ВК, чем в Е2к.
Положение 2. Максимальное значение модуля НСП в Ск инвариантно к преобразованию поворота ВК, т.е. если Г = exp{zA^}N, то модуль НСП сохраняет свое экстремальное значение независимо от угла поворота Ду?: |т/Ск| = / (А^) = const. При этом НСП в Е2к таким свойством не обладает.
Положение 3. Значение максимума модуля НСП инвариантно к изменению масштаба контура за счет растяжения каждого его ЭВ в \р\ раз. Положение справедливо для НСП в пространствах Е2к и Ск.
Инвариантность максимума модуля НСП в Ск к углу поворота контура позволяет считать повернутые относительно друг друга контуры одними и теми же, в то время как НСП в Е2к не позволяет сделать такой вывод. В случае, когда угол Ду? будет равен значению тг/2, расстояние между этими контурами было бы максимально возможным, что свидетельствовало бы об отсутствии схожести между контурами, а модуль НСП в Ск показал бы, что мы имеем дело с одним и тем же контуром.
Так как цепные коды обладают инвариантностью к сдвигу контура в плоскости рецепторного поля, то модуль НСП в Ск представляет собой характеристику близости двух контуров, инвариантную к линейным преобразованиям сдвига, поворота и масштаба (трансляции, ротации и гомотетии).
Показательная и тригонометрическая формы скалярного произведения в пространстве Ск. Запишем выражения для скалярного произведения в Ск в показательной и тригонометрической формах:
к — 1
Л = 7?1 + гЛ2 = 52 I7 (п)1 ^ (п)1 ехР {*Д<^ (п)} =
п=0
к-1
” У^ 1^ (n)l lp (n)l {cos △^ (n) + zs^n ^^ W^ 1 (1.4.3) п=0
где Ду? (n) = arg 7 (n) — arg v (п).
Для случая, когда N = \р\ ехр {гДу?}Г, будем иметь р = |//|||Г||2 х х (cos Ду? 4- i sin Ду?). Из полученного выражения следует, что линейные преобразования контура приводят к аналогичным преобразованиям вектора скалярного произведения ВК. В этом случае tgAy? = Im 77/Re 77; М = м1|г||2.
По результатам приведенного в этом разделе анализа можно сделать следующие выводы.
Скалярное произведение в Ск является в общем случае комплексным числом. Вследствие изометричности пространств Е2к и Ск значе-
ния норм ВК в них совпадают. Реальная часть скалярного произведения в Ск равна значению скалярного произведения в Е2к. Таким образом, скалярное произведение в Ск включает в себя скалярное произведение в Е2к как частный случай и поэтому обладает большой информативностью.
Модуль нормированного скалярного произведения ВК в пространстве Ск является характеристикой близости двух контуров, инвариантной к линейным преобразованиям сдвига, поворота и масштабирования контуров. Скалярные произведения ВК в пространствах Фк и Е2к таким свойством не обладают.
Поворот контура на угол А у? приводит к такому же преобразованию вектора скалярного произведения ВК, соответствующих исходному и преобразованному контурам. Поэтому аргумент вектора скалярного произведения в Ск равен углу поворота контура.
Таким образом, комплексное линейное пространство Ск является предпочтительным для представления контуров изображений.
Аналитические преобразования и свойства комплекснозначных моделей контура
г(4)г(4)Рис. 1.14. Задание контура элементарными векторами первой разности и суммарным кодомРис. 1.14. Задание контура элементарными векторами первой разности и суммарным кодомЭлементы кода Г = {7 (п)}0 к_х равны первым векторным разностям линии контура. Поэтому целесообразно данный код назвать кодом первой разности. Аналогично можно ввести описание контура разностями более высокого порядка, например, код второй разности А2Г = {A7(n)}0fc_1 = = {7 W -7(«~ l)}0,fc-i-
г(4)
г(4)
Рис. 1.14. Задание контура элементарными векторами первой разности и суммарным кодом
Рис. 1.14. Задание контура элементарными векторами первой разности и суммарным кодом
Текущая сумма 3 (п) элементов кода АГ задает другой код контура, который назовем суммарным и обозначим как В:
В= {/3(п)}0Л_1, ^(п) = ^7(г),г=0п = 0,1,... ,к-1,
причем 3 (0) =причем 3 (0) =(1.5.1) 7 (0) и Р (к - 1) =
причем 3 (0) =
причем 3 (0) =
= 0. ЭВ 3 (п) суммарного кода задает вектор, соединяющий начальную точку во контура с концом ЭВ 7 (п) (рис. 1.14).
Перечислим наиболее важные свойства комплекснозначных кодов. 1. Коды АГ и В инвариантны к переносу изображений;
При смещении на d элементов начальной точки ао происходит сдвиг номера ЭВ на величину d, т.е.
7^) (п) = 7 (n + d),(1.5.2)
где 7^) (п) — ЭВ кода, полученного в результате сдвига начальной точки.
При изменении начала отсчета элементы нового суммарного кода 3* (тг) выражаются через элементы исходного 3 (тг) следующим образом:
З'^-ЗИ^(1.5.3)
где Зо — комплексное число, определяющее положение начальной точки контура относительно начала новой системы координат. Так как при этом разностный код не изменился, то элементы нового суммарного кода задаются рекуррентным соотношением 3’ W — 3' (^ — 1) +7 W- Суммарный код является частным случаем полярного кода при совмещении полюса с начальной точкой ад.
При многократном обходе контура элементы его кода задают периодическую последовательность с периодом к, т.е.
7 (тг) = 7 (п ± ак), 3 (п) — 3 (^ ^ а^ , а = 0,1,2,... к. (1.5.4)
Сумма элементов кода ДГ замкнутого контура равна нулю, т.е.
7(0) + 7(1) + ... + 7(А: - 1) = 0.(1.5.5)
Важнейшим достоинством принятого подхода к описанию контуров последовательностью комплексных чисел, задающих их ЭВ, является возможность преобразования этих контуров аналитическим путем. Как было показано в п. 1.3, код Фримена таким свойством не обладает, так как его элементы задают лишь аргументы стандартных ЭВ. Рассмотрим связь между цепными кодами преобразованного и исходного контуров.
При умножении контура на комплексный множитель /z = |/z| exp {г'Д^} происходит растяжение этого контура в |/z| раз и поворот на угол Д^:
Гм = дГ — {|д| ехр {гДу>}7 (n)}o fc_1.(1.5.6)
Используя выражение (1.5.2), можно установить связь между кодами контуров со сдвинутыми на d ЭВ начальными точками, т.е. между кодами {7^ (п)} и {7(п)}:
r(d) = {7(d) И0,к-1 = № + <mok_v (1.5.7)
Из последних двух выражений следует, что между кодами исходного Г и преобразованного путем поворота, растяжения и сдвига начальной точки ’ контуров существует связь вида
Г^1 = (М ехР {*д^}7 (n + ^ок_г.(1.5.8)
Еще одним видом линейных преобразований контура является операция отражения контура относительно оси, составляющей угол 6 с осью абсцисс. В отличие от рассмотренной выше тройки линейных преобразований отражение связано с выходом контура из плоскости и поворотом его вокруг оси. Рассмотрим, как связаны между собой коды отраженного и исходного контуров.
При отражении изменяется направление следования ЭВ контура. Код и элементы контура с обходом против часовой стрелки будем отмечать верхним индексом (+).
Наиболее просто определяется код ДГ^ = {^отр^ (n)}0 ^-i отраженного контура при совпадении оси симметрии с осью абсцисс, т.е. при угле наклона этой оси 0 = 0. Здесь происходит переход к комплексно сопряженному коду (рис. 1.15)
△Г^ДГ* и 7^=74»).(1-5.9)
Рис. 1.15. Отражение ЭВ контура относительно горизонтальной осиРис. 1.15. Отражение ЭВ контура относительно горизонтальной осиЕсли же угол 9 имеет произвольную величину, то для нахождения кода отраженного контура следует поступить следующим образом:
Рис. 1.15. Отражение ЭВ контура относительно горизонтальной оси
Рис. 1.15. Отражение ЭВ контура относительно горизонтальной оси
повернуть систему отсчета на угол 9 и задать в нем исходный контур Г. Для этого каждый его ЭВ необходимо повернуть на угол (—9). В результате получим контур Гу = ехр{—г0}Г. Теперь ось симметрии совпадает с осью абсцисс и можно
воспользоваться соотношениями (1.5.9)
перейти к комплексно сопряженному коду
дг0 = {|7(n)|exp{-iHn) - 6*]}}0>fc_1, (1.5.10)
вернуться в исходную систему отсчета. Тогда
АГ^ = {|7(п)|ехр{-4р(п) -20]}}ОЛ_Г(1.5.11)
Отметим, что смена направления прослеживания приводит к изменению знака и порядка следования ЭВ в контуре. Если от контура Г с ориентацией ЭВ по часовой стрелке перейти к контуру Г^+) с противоположным направлением обхода, то коды этих контуров будут связаны следующим образом:
Г(+) = {7(+) (n)}0,fc-i = {-7(k - 1 - п)}0Л_!
И
Г = {7(71)10,^! = {-7(+) (к - 1 - n)}0 fc_r(1.5.12)
Элементы суммарного кода 0^ (п) отличаются от элементов 0 (тг) только порядком следования, т.е.
В(+) = ^1+) (п))о= (к _ 2 - n)}0>fc_r(1.5.13)
В последнем выражении для получения значений номеров векторов, лежащих в пределах от 0 до к — 1, необходимо использовать свойство периодичности суммарных векторов: 0 (тг) = 0 (п ± ак).
Модель контурного сигнала
Интерпретируя обработку полигональных комплекснозначных контуров, обладающих свойствами периодичности (см. (1.5.4)) и замкнутости (см. (1.5.5)), как дискретных сигналов, введем понятие сигнального контура. Этот контур представляет собой исходный (эталонный) контур Г, подвергнутый группе заданных преобразований. Наиболее распространен-
ными преобразованиями контуров является тройка преобразований F = = (|/г|, A<^,d): растяжение (масштабирование), поворот (ротация) и сдвиг начальной точки (рис. 1.16). При этих преобразованиях контур остает-
Рис. 1.16. Процесс формирования сигнального контура квадрата Г = {1; —г; —1; г} путем растяжения в 1,5 раза, поворотом на угол тг/4, сдвигом начальной точки на два ЭВ и отражением относительно оси, проходящей под углом тг/6
ся в плоскости сетчатки, а сигнальный контур Г(с) = {7W (n)}Q fc_1 на основании соотношений (1.2.3) и (1.5.8) связан с эталонным контуром следующим образом:
г(с) = {7(с) (т)}0 к_! = {|м|7 (n + d) exp {г[у (п + d) + Ду]}}^,,.
’(1.6.1)
Обобщенная структурная схема системы связи на базе контурных сигналов приведена на рис. 1.17. Полезным сигналом считается сигнальный контур Г^с\ полученный в результате преобразований (1.6.1) эталонного
Рис. 1.17. Обобщенная схема передачи контурного сигнала по каналу связи
контура. Он передается по каналу связи, где подвергается воздействию шумового контура Z. Суммарный сигнал N, который назовем зашумленным контуром, образуется как аддитивная смесь сигнального и шумового контуров, т.е.
N = Г(с) + Z. (1.6.2)
Поясним процесс формирования зашумленного контура N применительно к системе обработки контура радиолокационного изображения водоема. Эталонный контур Г в данном случае образуется береговой чертой водоема и задается в памяти ППИ по предварительно полученным данным, например, по топографической карте местности. Изображение
контура водоема по данным радиолокационной станции будет повторять контур Г, но в зависимости от направления полета и масштаба формирования изображения этот контур будет иметь другие параметры. Контур водоема, выделенный по принятому изображению, вследствие действия шумов и помех будет содержать случайную составляющую, которая учитывается вводом шумового контура.
Основными отличительными свойствами контура изображения как сигнала являются замкнутость, определяемая выражением (1.5.5), и ком- плекснозначность его ЭВ.
Полигонально заданный контур можно интерпретировать в виде дискретно-кодированного гармонического сигнала из к кодовых интервалов. Каждый его ЭВ 7 (п), п = 0,1,... , к — 1, ассоциирован с ть-м кодовым
Рис. 1.18. Контур треугольника Г — {3; —3 — 4г; 4г} и связанный с ним сложныйсигнал
интервалом сигнала. В его пределах сигнал представляет собой отрезок синусоиды, амплитуда которой определяется модулем |7(п)|, а начальная фаза — аргументом ^>(п) ЭВ. На рис. 1.18 показан дискретно- кодированный сигнал, ассоциированный с контуром треугольника.
Статистические модели контуров
Все виды контуров разделим на два типа: детерминированные и случайные.
Для первого типа справедливо
7 (п, t)/y (m) = const, n, m = 0,1,... , к — 1,(1-7.1)
т.е. соотношения между ЭВ контура Г^с^ при преобразованиях масштабирования и поворота исходного изображения s (х, у) не меняются с течением времени t.
Детерминированность контура является идеализацией, так как даже операции дискретизации и квантования при оцифровке изображения
8 кх^ У) приводят к нарушению соотношения (1.7.1). Однако нам принципиально важно отличать изображения, форма которых постоянна, например, векторной диаграммы зондирующего сигнала радиолокационной станции или изображения водоема, от изображений со случайной формой, например, облачности или пламени. Среди случайных контуров особую роль
играет шумовой контур Z, представляющий собой комплекснозначный дискретный аналог широкополосного флуктуационного шума. Зашумленные контуры N = Г^ + Z, являющиеся суммой детерминированного сигнального контура l5c) и шумового контура Z, можно рассматривать как квазидетерминированные. К квазидетерминированным контурам относятся также контуры введенных в ППИ любых изображений постоянной формы, случайная компонента которых вызвана шумами дискретизации и квантования.
Модель шумового контура. Шумовой контур представим в виде
z = к= {G (п) + г<2 (п)}^.(1.7.2)
Составляющие Ci М, G М, п = О, 1,... , k — 1, шумового ЭВ ((п) — независимые для любого п отсчеты шума со следующими характеристиками: дисперсией
^[<1 (п)] = £>[<2 (п)] = <72,(1.7.3)
корреляционной функцией
^[<1 (s) , <2 (п)] = К[С1 (s), <1 (п)] = К\<^ (s) , <2 (п)] = <тЧ (з-п),s^n = 0,1,... , к — 1,
(1.7.4)
где 5 (п) — символ Кронекера:
ф[-Р(1.7.5)
[О при п ^ s.
Закон распределения величин Ci (п) и £2 М предполагается нормальным. Случайная величина £ М является комплексной, и поэтому ее математическое ожидание и дисперсия будут равны [25]
т( = 0; £>[< (п)] = 2<т2.(1.7.6)
Статистическая модель зашумленного контура. В рамках принятой аддитивной модели (1.6.2) образования зашумленного контура N и описанных выше статистических характеристик шумового контура Z зашумленный ЭВ контура N равен
v (п) = 7 (п) + С W > п — 0,1,... , к — 1.(1-7.7)
ЭВ v (п) является суммой постоянной величины 7 (п) со случайной независимой величиной £ (п), имеющей нулевое математическое ожидание, дисперсию 2(ТвХ и подчиняющейся нормальному закону распределения. Поэтому z/(n) также будет распределен по нормальному закону с такой же дисперсией, но с математическим ожиданием, равным
т^) = 7 W > п — 0,1, • • • , к — 1,(1.7.8)-
причем v (s) и v (т^ s / m, s,m = 0,1,... , к — 1, будут независимыми, а следовательно, некоррелированными случайными величинами.
Полиномиальная и марковская модели контуров. В целом ряде случаев цепной код контура со стандартными ЭВ целесообразно рассматривать
как дискретный случайный процесс Р (Г). Случайную величину 7(71), принимающую в соответствии с (1.2.2) одно из восьми значений 71 = 1, 72 — 1 - ^ -у3 = -г, 74 = -1 - г, 75 = -1, 75 = -1 4- г, 77 = г, 73 = 1 4- г, зададим распределением вероятностей
fhW] = {PhW = 1], Р[?(п) = 1 — г], .Р[7(п) = 1+г]}.
При условии стационарности процесса смены ЭВ одномерные распределения в сечении процесса перестают быть функцией от п. Если дополнительно предположить независимость случайных величин на каждом шаге, то контур изображения j-ro класса описывается полиномиальным распределением вероятностей
8 /8
,к8) = к!Птг^ /П^!, (1.7.9)
Р=1 / 17=1
где k = [foi, &2,... , /из] — вектор частот ЭВ 71 = 1; 72 = 1 — г; 73 = —г; 74 = -1 - i; 75 = -1; 76 = -1 + г; 77 = г; 73 = 1 4- г; тт^ = Р ^vj^ — вероятность появления ЭВ 7Р в контуре изображения j-ro класса.
Дальнейшее уточнение модели контура связано с учетом зависимости между случайными величинами 7^. Предполагая, что процесс Р (Г) обладает простым марковским свойством, получим
Р(Г) = Р{7(0)}П^^44)|- (1.7.10)
При условии стационарности мы приходим к простой цепи Маркова с вектором начальных вероятностей тг[О] = {тг1/[0]}18, где 7гр[0] — вероятность того, что 7Р будет начальным элементом кода контура Г, и матрицей вероятностей переходов восьмого порядка с вероятностями переходов Рар, о^Р = 1,2,... ,8:
Pap =Р(7(п) = 7э/7(«-1) =7а}. (1.7.11)
Масштабирование изображения приводит к изменению размерности контура (при стандартных ЭВ) и, как следствие, к зависимости элементов матрицы вероятностей переходов от параметра этого преобразования. Отметим, что полиномиальная модель хотя и менее информативна, чем марковская, однако ее вид не изменяется при масштабировании изображения.
Наиболее полной статистической моделью контура является многосвязанная неоднородная цепь Маркова. Однако ее применение связано со значительным усложнением системы обработки. Например, если контур из 100 ЭВ описывается неоднородной трехсвязной цепью Маркова, то для хранения элементов матрицы вероятности переходов необходимо порядка 2 • 107 многоразрядных ячеек ЗУ. В то же время, как показывают экспериментальные исследования, использование многосвязных цепей Маркова не приводит к значительному росту эффективности распознавания. Последнее обстоятельство является следствием накопления ошибок оценивания с ростом числа признаков и характерно для задач распознавания [51].
Классификация контуров
С произвольным контуром Г = {7 (n)}0 к-1 связаны три следующих вида контуров: обратный контур Гобр, комплексно сопряженный контур Г^*) и модифицированный контур Гмод.
Обратный контур ГОбр получается из исходного контура Г следующим образом:
7обр И = 7 (^ ~ п) > п — 0,1, • • • , к - 1,(1.8.1)
причем 7обР (0) = 7 (fc) = 7 (0).
Все ЭВ комплексно сопряженного контура Г^*^ равны комплексно сопряженным значениям ЭВ исходного контура Г:
7(*) (п) = 7* (п), п = 0,1,... , к - 1.(1.8.2)
Контур Г модифицируется добавлением одного или нескольких равных нулю ЭВ.
Среди большого разнообразия контуров существуют виды контуров, пространственные или спектральные описания которых обладают особыми свойствами. Семейство контуров Гу, j = 0,1,...,& — 1, названных элементарными (ЭК), образуют ортогональный базис, по которому раскладывается произвольный контур. Аналогом символа Кронекера в классе сигналов, обладающих свойством замкнутости (1.5.5), является дельтовидный контур △ = {5(n)}o fc_r
Существует два вида контуров — сопряженно-симметрические (СС) Гс/с и сопряженно-антисимметрические (СА) Гс/О, на которые раскладывается контур произвольного изображения. Рассмотрим задание этих и некоторых других видов контуров с особыми свойствами.
Элементарные контуры. ЭК Гу = {ту (п)}0 к-1 порядка у, j = 0, 1,... , к—1, представляет собой правильный ориентированный /с-угольник с одинаковыми по модулю ЭВ, равными |7| и одинаковыми по величине 2тг .
углами между соседними ЭВ, равными —3:
К
Г, = {7i (п)}0= (|7| exp {^Jn}}0 к_^ 3 = 0,1,... , к - 1.
’(1.8.3)
Например, при j = 1 ЭК Г1 = ||7| ехр р-^г™у у к является правильным fc-угольником с обходом по часовой стрелке, а при j = 2, {г 4тг 1 1
Ы ехр < г—ri > > будет звездчато-правильным V к ) ) о,Лс—1
Ar-угольником (рис. 1.19).
В дальнейшем будем полагать I7I = 1. В табл. 1.1 приведены выражения элементарных векторов для ЭК всех порядков для к = 2,... ,6.
В соответствии с известным тождеством
к — 1
= 0,= 0,ЕГ . 2тг . 1 ехР VTjnJ
= 0,
= 0,
Рис. 1.19. Семейства контуров для А: = 2,... ,9, порядки которых не превышают значения к/2
ЭК Гу, з = 1,2,..., к — 1, являются замкнутыми. ЭК Го = {1}0 к_г представляет собой цепочку расположенных вдоль оси абсцисс единичных векторов и всегда разомкнут (рис. 1.20).
Дельтовидный контур А = {5 (n)}0 k_v как и элементарные контуры Гу = {7у (n)}0 k_v з = 1,2,... , к - 1, относится к виду замечатель-
Таблица 1.1. Элементарные контуры размерностью к = 2,... ,6
Порядок контура
Аналитическое представление
к = 2
Го = {1;1};
Г1 = <1;-1}
к = 3
Го = {1;1;1};
Г1 = {1; -0,5 + 0,866г; -0,5 -0,866г};
Г2 = {1; -0,5-0,866г; -0,5 + 0,866г}
к — 4
Го = {1; 1; 1; 1};
Г1 = {1; г; — 1; — г};
Г2 = {1;-1;1;-1};
Г3 = {1;-г;-1;г}
к = 5
Го = {1; 1; 1; 1; 1};
Г, = {1; 0,309 + 0,951г; -0,809 + 0,588г;
-0,809 - 0,588г; 0,309 - 0,951};
Г2 = {1; —0,809 + 0,588г; 0,309 - 0,951г;
0,309 + 0,951г; -0,809 - 0,588г};
Г3 = {1; -0,809 - 0,588г; 0,309 + 0,951г; 0,309 - 0,951г; -0,809 + 0, 588г};
Г4 = {1; 0,309 - 0.951г; -0,809 - 0,588г;
-0,809 + 0, 588г; 0,309 + 0,951г}
к — д
Го = {1;1;1;1;1;1};
Г1 = {1; 0,5 + 0,866г; -0,5 + 0,866г; -1;
0,5 — 0,866г;0, 5 — 0, 866г};
Г2 = {1; -0,5 +0,866г; -0, 5 -0,866г; 1;
0,5 + 0, 866г; -0, 5-0,866г};
Г3 = {1; —1; 1; —1; 1; —1};
Г4 = {1; -0,5 -0,866г; -0,5 + 0,866г; 1;
0,5 - 0, 866г; -0, 5 + 0,866г};
Г5 = {1; 0,5 — 0,866г; -0,5 -0,866г;-1;
0,5 + 0,866г; 0,5 + 0,866г}
ООГо к=^Го к=^О> ^оО> ^о
О
О
Го к=^
Го к=^
О> ^о
О> ^о
Рис. 1.20. Изображения ЭК Го нулевого порядка
ных контуров. Он является вырожденным /.-угольником. Нулевой ЭВ 5 (0) по модулю равен сумме модулей всех остальных ЭВ5(1)...5(/и — 1). Эти ЭВ имеют одно и то же направление, которое противоположно ЭВ 6 (0).
О
-<—<<<—4—4—4—4—4—
5(9)=-1«С0=-1
Рис. 1.21. Дельтовидный контур при к = 10
Если, например, ЭВ 5 (0) расположен горизонтально, направлен вправо и равен к — 1, то такой контур имеет вид (рис. 1.21)
А = {fc - 1,-1,-1,... ,-1}.(1.8.4)
В дальнейшем, если не будет особо оговорено, дельтовидный контур будет задаваться в виде (1.8.4).
Сопряженно-симметрические и сопряженно-антисгьмметрические контуры. У СС контура Гс/с элементарные векторы связаны условием вида
7 (п) — 7* (~п) = ^* (к — п),(1.8.5)
а у СА контура Гс/а — условием вида
7 (п) = -7* (-п) = -7* (к - п).(1.8.6)
Начальный элементарный вектор 7 (0) у СС контура является чисто вещественным, так как равенство 7 (0) = 7* (0) возможно лишь при Im 7(0) = 0. Соответственно, у С А контуров 7(0) = —7* (0), что возможно лишь при чисто мнимом характере его ЭВ 7 (0). СС контуры сим-
ааббРис. 1.22. Примеры сопряженно-симметрических (а) и сопряженно-антисимметрических (б) контуровРис. 1.22. Примеры сопряженно-симметрических (а) и сопряженно-антисимметрических (б) контуров
а
а
б
б
Рис. 1.22. Примеры сопряженно-симметрических (а) и сопряженно-антисимметрических (б) контуров
Рис. 1.22. Примеры сопряженно-симметрических (а) и сопряженно-антисимметрических (б) контуров
метричны относительно вертикальной оси, а СА контуры — относительно горизонтальной оси, проходящих через середины ЭВ 7 (0) (рис. 1.22).
Равнодолъный контур. В таком контуре ЭВ связаны соотношением вида
7 (п) = —7 (п 4- к/^ , п = 0,1,... , А:/2 — 1.(1.8.7)
Размерность равнодольного контура к всегда четное число. Ось, проходящая через концы ЭВ 7 (п) И7(п + к/2), делит контур на две одинаковые фигуры. Простейший (при к = 4) равнодольный контур образует параллелограмм (рис. 1.23).
Рис. 1.23. Пример равнодольного контураРис. 1.23. Пример равнодольного контураРис. 1.24. Наложенный контур степени s = 2Рис. 1.24. Наложенный контур степени s = 2
Рис. 1.23. Пример равнодольного контура
Рис. 1.23. Пример равнодольного контура
Рис. 1.24. Наложенный контур степени s = 2
Рис. 1.24. Наложенный контур степени s = 2
Наложенные контуры. Наложенным контуром степени s назовем контур в виде к/s-угольника, повторенного s раз, причем все /u/s-угольники совмещены друг с другом. Примером такого контура является ЭК Г2 для к = 6 (рис. 1.24). Степень наложения для него равна s = 2. ЭВ наложенного контура Г степени s обладают свойством
k/sA-l — 1
4 (тг) = 7 f п + l—j , У^ 7 (п) = О, I = 0,1,... , s — 1.(1.8.8)
п=1
Любая выборка из к/s ЭВ наложенного контура образует замкнутый контур. Симметричные и антисимметричные контуры. Контур Гс, для ЭВ которого выполняются условия
7 (п) = 7 (—п) = 7 (к — п),(1.8.9)
назовем симметричным (рис. 1.25, а), а контур Га, у которого
Рис. 1.25. а — симметричный контур Гс, б — антисимметричный контур Га = = {0; 0, 5г; 1; -г; -1 - г; 1; -1; 1 + г; г; -1; -0, 5г}Рис. 1.25. а — симметричный контур Гс, б — антисимметричный контур Га = = {0; 0, 5г; 1; -г; -1 - г; 1; -1; 1 + г; г; -1; -0, 5г}
Рис. 1.25. а — симметричный контур Гс, б — антисимметричный контур Га = = {0; 0, 5г; 1; -г; -1 - г; 1; -1; 1 + г; г; -1; -0, 5г}
Рис. 1.25. а — симметричный контур Гс, б — антисимметричный контур Га = = {0; 0, 5г; 1; -г; -1 - г; 1; -1; 1 + г; г; -1; -0, 5г}
7 (n) = —7 (—n) = —7 (к — n),(1.8.10)
— антисимметричным. Поскольку для антисимметричного контура 7 (0) = — “7 (0), то 7 (0) = 0. Поэтому контур Гс является еще и модифицированным. При четном значении к имеем ^^к/^ = —7(^/2) и поэтому 7 (к/2) тоже равно нулю. Антисимметричный контур описывает скелетообразную фигуру (рис. 1.25, б).
Контур с поворотной симметрией Гпс. Контур Гпс с поворотной симметрией степени г состоит из г одинаковых фрагментов, по к/г ЭВ в каждом. Соседние фрагменты повернуты на угол Ду? = 2тг/т. Примером такого контура с г = s является изображение звезды. При повороте контура на угол, кратный Ду? = Ъъ/г, повернутое и исходное изображение совмещаются. ЭВ контура Гпс связаны между собой соотношениями вида f i к\ / х ( . 2тг 1
7^ + S7)=7(n)exp|-z-S|,(1811)
п = 0,1,... , к/т — 1, s = 0,1,... , г — 1.
Отсюда следует, что сумма соответствующих друг другу по номерам ЭВ каждого из фрагментов равна нулю:
г-1г-1
^7 (п +=7 (п) exp г^з} = 0-(1.8.12)
5=05=0
Делътоподобные контуры Гд. Контуры такого вида имеют один ЭВ, значительно превалирующий по длине над всеми другими ЭВ (рис. 1.26).
Рис. 1.26. Дельтоподобный контур
Если этот ЭВ принять в качестве нулевого, то для контура Гд справедливо следующее условие:
|7 (0)| » |7 (n)|, п = 1,2,... , к - 1.(1.8.13)
Примеры
В этом разделе даны примеры, позволяющие проиллюстрировать способы представления и преобразования контуров.
Пример 1. На квадратной сетчатке расположено бинарное изображение S(ж,?/) (рис. 1.27). Определим координаты пикселей, в которых площадь, занимаемая изображением, — более половины площади пикселя. В ячейки ОЗУИ, соответствующих данным пикселам, будет записана единица:
u? (mi, m2) = {1, 5; 1,6; 2, 2; 2,3; 2,4; 2, 5; 2,6; 3,2; 3, 3; 3,4; 3, 6; 4,2; 4,3;
4,4; 4, 5; 4,6; 4, 7; 5, 2; 5,3; 5,4; 5, 6; 5, 7; 6, 2; 6, 3; 6, 7}.
Центры данных пикселей помечены точками. Теперь, используя понятие четырехсвязанности, учитывая только горизонтальные и вертикальные связи, выделим граничные точки полученного цифрового бинарного изображения. Эти пикселы имеют следующие координаты:
{2, 2; 3, 2; 4, 2; 5, 2; 6, 2; 6, 3; 5,4; 4, 5; 5, 6;
7; 5, 7; 5, 7; 4, 7; 3, 6; 2, 6; 1, 6; 1, 5; 2,4; 2, 3}.
Данные пикселы относятся к контуру изображения и их центры соединены элементарными векторами.
Пример 2. Проведем кодирование на квадратной сетчатке контура бинарного изображения, полученного в примере 1. В качестве начальной точки выбран пиксел (2,2).
Код Фримена: {6; 6; 6; 6; 0; 1; 1; 7; 7; 2; 2; 3; 2; 2; 4; 5; 4; 4}.
Двумерный код: {0,1; 0,1; 0,1; 0,1; 1, 0; 1, -1; 1, -1; 1,1; 1,1; 0, -1; 0, -1;
-1,-1; 0,-1; 0,-1;-1,0;-1,1;-1,0; -1,0}.
Стандартный комплекснозначный код: Г = {г,г,г,г,1,1 — г, 1 — г, 1 + г,
+ г, —г, —г, —1 — г, —г, —г, — 1, —1 + г, —1, —1}.
Полярный код (полюс в пикселе (3,4); клетка заштрихована):
В = {-2 - г; —2; -2 + г; -2 + 2г; -2 + Зг; -1 + Зг; 2г; 1 + г; 2 + 2г; 3 + Зг;
+ 2г; 3 + г; 2, 2 — г; 2 — 2г; 1 — 2г; — г; —1 — г}.
ПримерЗ. Для контуров N и Г, представленных на рис. 1.28 точками ABCD, найти значения расстояния и их скалярного произведения. N и Г являются контурами одного и того же изображения, повернутого на угол (—тг/2). Коды контуров
Равенство нулю скалярного произведения контуров в Е2к говорит об отсут-Равенство нулю скалярного произведения контуров в Е2к говорит об отсут-ствии связи между формами изображений, задаваемых контурами N и Г. В тоствии связи между формами изображений, задаваемых контурами N и Г. В тоN — {5;—2г;—5; 2г}.N — {5;—2г;—5; 2г}.Рис. 1.30 Отражение контура относительно оси, проведенной под углом тг/4Рис. 1.30 Отражение контура относительно оси, проведенной под углом тг/4
Равенство нулю скалярного произведения контуров в Е2к говорит об отсут-
Равенство нулю скалярного произведения контуров в Е2к говорит об отсут-
ствии связи между формами изображений, задаваемых контурами N и Г. В то
ствии связи между формами изображений, задаваемых контурами N и Г. В то
N — {5;—2г;—5; 2г}.
N — {5;—2г;—5; 2г}.
Рис. 1.30 Отражение контура относительно оси, проведенной под углом тг/4
Рис. 1.30 Отражение контура относительно оси, проведенной под углом тг/4
в действительном линейном пространстве и квадраты их норм равны
NE2b = {5,0; 0; -2; -5, 0; 0,2}; ||N||^2)i = 58;
Гв2ь = {0,5; 2,0; 0, -5; -2,0}; ||ГН^ = 58.
Скалярное произведение и квадрат расстояния:
(N,r)s2t = 5-0 + 0- 5 + 0-2 + (-2)-0 + (-5) -0 + 0- (-5) +0- (-2) + 2-0 = 0.R2B2k = 58 + 58 - 2-0 = 116.
Коды контуров в комплексном линейном пространстве и квадраты их норм равны:
Ncfc = {5; -2г; -5; 2г}; ||N||^ = 58;
ГсЬ = {5г; 2; -5г; -2}; ||Г||^ = 58.
Скалярное произведение и квадрат расстояния:
(N,r)ck = 5 • (—5г) + (-2г) • 2 + (-5) • 5г + 21 • (-2) = -58г.
Н2ск = 58 + 58 - 2 ■ Re (-58г) = 116.
же время модуль НСП этих контуров в пространстве Ск, равный
свидетельствует о том, что эти формы абсолютно одинаковы. При этом аргумент значения скалярного произведения позволяет принять решение о том, что угол поворота контуров равен (—тг/2).
Пример 4. Выполним аналитическим путем поворот на угол Аф = тг/4 и растяжение в \р\ = = 1,2 раза контура N = {z/ (п)}0 3, рассмотренного в примере 3.
/1N = 1,2 exp {z^}n = 1,2 (cos ^ 4- г sin ^N = = (4, 2430 4-4, 2430г; 1,6972-1,6972г; -4, 2430- - 4, 2430г; -1,6972 4- 1,6972г}.
Вид преобразованного контура показан на рис. 1.29.
Пример 5. Для контура с кодом АГ = {1; 1 - г; —г; — 1 — г; — 1; — 1 4- г; г; 1 4- г} найдем код отраженного контура относительно оси, составляющей угол 0 = тг/4 с осью абсцисс (рис. 1.30).
Для данного случая формула (1.5.11) принимает вид
△г^ = {|7(n)|exp{-i[y(n) - ^]|) .
IV L2 3 3 3 о,6
Подставляя конкретные значения |7 (п)| и <р (п), получим
ДГ^ = (г; -1 4- г; -1; -1 - г; -г; 1 - г; 1 4- г}.
Пример 6. Для контура из примера 1 (рис.1.27) построить вектор частот к = = {&i, &2, - - • , A:s} его стандартных ЭВ.
Простым подсчетом каждых из восьми возможных стандартных ЭВ получаем, что ЭВ 7i = 1 встречается один раз, 72 = 1 — г встречается два раза, 73 = —г — четыре раза, 74 = — 1 — г — один раз, 75 = -1 — три раза, 7б = — 1 4- г — один раз, 77 = г — четыре раза и 73 = 1 4- г — два раза.
Таким образом: k = {1; 2; 4; 1; 3; 1; 4; 2}.
Пример 7. Поставим в соответствие контуру Г (см. пример 3, рис. 1.28) амплитудно-фазокодированный сигнал с содержанием в пределах одного кодового интервала двух периодов синусоиды.
Сложный сигнал будет состоять из четырех кодовых интервалов. Амплитуда синусоиды в первом и третьем интервалах равна |7 (0)| = (7 (2)| = 2, во втором и четвертом — (7 (1)| = |7 (3)| = 5, а начальные фазы в первом — arg7 (0) = О, во втором — arg7(l) = Зтг/4, в третьем — arg7(2) = тг/2 и в четвертом — arg 7 (3) = тг/2. Вид сигнала показан на рис. 1.31.
Пример 8. Найдем обратный контур ГОбР для контура Г = {5; 2 —2г; —3 —4г; Зг; — 4 4-Зг}.
ЭВ обратного контура находим по правилу: 70бР (ji) = 7 (5 — п);
Гобр = {5; —4 4- Зг; Зг; —3 — 4г; 2 — 2г}.
Для полученного контура ГОбР построим комплексно сопряженный контур Г*бр:
ГобР = {5; -4 - Зг; -Зг; -3 4- 4г; 2 4- 2г}.
Основные результаты
Концепция контурного анализа заключается в рассмотрении контуров изображений как комплекснозначных сигналов, в применении к обработке контуров изображений методов теории сигналов и в распространении этих методов на обработку произвольных, уже не связанных с изображениями контуров, например, контуров с самопересечением линий.
Как следует из результатов работ по вопросам восприятия изображений и распознавания зрительных образов, контур является концентратором информации в изображении и полностью характеризует его форму, т.е. тот аспект воспроизводимого на экране дисплея системы технического зрения изображения, по которому оператор чаще всего производит распознавание. Контуры объекта, в отличии от его остальных точек, устойчивы на изображениях, полученных в разное время, разных ракурсах, условиях погоды и при смене датчика. За счет того, что контурные точки составляют незначительную часть всех точек изображения, работа с ними позволяет резко сократить объем запоминающих устройств ППИ, повысить его быстродействие, улучшить массогабаритные характеристики и снизить энергопотребление. Контуры позволяют создать простые аналитические описания изображений объектов, инвариантных к переносу, повороту и масштабированию изображения.
Одним из основных приведенных в данной главе результатов является обоснование выбора линейного пространства, в котором целесообразно производить контурный анализ. Таким пространством является линейное комплексное пространство Ск. Элементарные векторы контура адекватно отражается в нем комплексными числами. Рассмотрены основные операции над контурами: равенство и сложение двух контуров, умножение контура на комплексный коэффициент, приводящее к растяжению и повороту контура, сдвиг начальной точки и отражение контура относительно оси, проходящей под произвольным углом. Было показано, что модуль нормированного скалярного произведения двух контуров, рассматриваемых как векторы, является характеристикой близости этих контуров, инвариантной к преобразованиям переноса, поворота и масштабирования. При этом на основании значения самого скалярного произведения можно оценить угол поворота и коэффициент масштабирования.
Комплексное координатное пространство контуров включает в себя как частные случаи пространства Ф^ и Е^, в которых задаются часто используемые для обработки контуров изображений коды Фримена и двумерный. Однако эти коды не адекватны линии контура из-за игнорирования длины элементарного вектора (код Фримена), либо не инвариантны к повороту изображения (двумерный код).
Одним из важных результатов данной главы является интерпретация контура как обобщенного сложного сигнала, у которого каждый кодовый интервал характеризуется своими, в общем случае, произвольными значениями амплитуды и начальной фазы несущего высокочастотного колебания.
Сигнал, который ассоциируется с контуром, обладает следующими двумя особенностями: он носит комплекснозначный характер и замкнут,
т.е. сумма составляющих его элементарных векторов равна нулю. В данном случае имеется в виду контур как фигура многоугольника. Многоугольник в отличие от границы бинарного изображения может характеризоваться взаимопересечением ряда своих сторон, а также повторением (наложением) одной фигуры несколько раз. Комплекснозначные сигналы представляют собой класс «криволинейных» сигналов, занимающий промежуточное положение между одномерными и двумерными сигналами.
Задачи и упражнения
Найти норму контура Г = {1 4- г; 2; 5 — г; —2г; —5 — г; —2; — 1 4- г; 2г}.
Проверить замкнутость контура Г = {3 4- 2г; 1 — г; 1 4- г; 3 — 2г; —4}.
Построить контур по его коду Г = {—2 — 2г; 2 — 2г; —4; 2 4- 2г; —2 — 2г; —4}.
Построить контур, равный сумме контуров Г = {2 4- 2г; 3; 2 — 2г; —7} и N = = {2;-2г;-2; 2г}.
Контур задан кодом Фримена Г = {0,0,1,1, 2,2,3,3,4,4,5,5,6,6, 7, 7}. Построить изображение этого контура и записать его комплекснозначный код.
Контур задан в виде Г = {2; 2 — 2г; —2г; —2 — 2г; —2; —2 4- 2г; 2г; 2 4- 2г}. Записать код этого контура в показательной и тригонометрической формах.
Найти комплекснозначный код полигонального контура Г = (8; 3 4- Зг; — 3 — Зг; —8; —6 — 2г; —6 4- 2г} после растяжения его ЭВ в 2 раза, поворота на угол тг/2 и сдвига начальной точки в направлении часовой стрелки на три ЭВ.
Найти скалярное произведение контуров Г = {2г; — 3 — Зг; — 2; 3 4- Зг}; N = = {—2г; —3 4- Зг; —2г; 3 — Зг}. Объяснить полученный результат.
Проверить ортогональность контуров Г = {1; 1; 1; 1} и N = {1;— г; — 1;г}.
Найти суммарный код контура, заданного разностным кодом Г = {3; 2 — 2г; -3;2 - Зг; —4 4-2г; Зг}.
Определить длину контура Г = {3 — г; —3 — г; —Зг; — 2 4- 2г; 2 4- Зг}.
Определить код контура, полученного отражением контура Г = {4; 1 — 2г; —24-г; — 14-г; — 5 — 2г; 34-4г} относительно оси, совпадающей по направлению с ЭВ 7 (0).
Построить график сложного сигнала, ассоциированного с контуром Г = {3; 2 — 2г;—7; 2 4-2г}.
Найти вектор частот ЭВ в контуре Г = {(1 4-1)4; (1 — 2)2; (1 4- г)3; (1 — г)3; (-1)з; (-1 - г)з; (-1 4- 015 (“l^}-
Примечание. Нижний индекс указывает на количество одинаковых следующих друг за другом ЭВ.
Построить контур, обратный контуру Г из упражнения 12.
Вычислить коды семейства ЭК Го, Г1, Г2 размерности к = 3.
Глава 2
СПЕКТРАЛЬНЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗКОНТУРОВ
Введение
Метод анализа и синтеза контуров как замкнутых кривых на плоскости с помощью фурье-описания был разработан P.JL Косгрифом [81]. Кривая представляется параметрически как функция длины дуги или накопленное, начиная с известной начальной точки, изменение кривизны. После нормализации эта периодическая функция разлагается в ряд Фурье и коэффициенты усеченного разложения используются в качестве признаков формы. Коэффициенты более высокого порядка описывают изменения в направлении кривой на протяжении небольшого по длине фрагмента контура и отбрасывание их эквивалентно эффекту низкочастотной фильтрации. При этом снижается уровень зашумленности контура, а оставшиеся коэффициенты Фурье концентрируют в себе макроскопическую информацию о форме.
За работой Р.Л. Косгрифа в этом направлении появился ряд работ, из которых следовало, что похожие формы в пространстве фурье-описания с эвклидовой метрикой образуют кластер. В более поздних работах [7578] внимание уделялось другим теоретическим и практическим аспектам спектрального анализа контуров.
Например, в работе [78] для получения фурье-описания вводится нормализованная интегральная функция, устанавливающая связи между геометрией формы и алгебраическими описаниями свойств фурье-описания контура. Во всех этих работах, использующих понятие спектра Фурье, большое значение играет комплексный гармонический сигнал ехр {гот}. Но так как контур изображения является визуальным образом, то с позиции наглядности проводимого спектрального анализа и интерпретации его результатов целесообразно представить базисные функции также в виде визуальных образов, т.е. в виде контуров. Кроме наглядности это позволяет оперировать при спектральном анализе и фильтрации контуров сигналами, относящимися к одному и тому же классу.
Ортонормированный базис из полного семейства элементарных контуров
Покажем, что любые два ЭК Г7 = ^j (тг) }0 к-1 и Г; = {7; (п)}0 к-1 из полного семейства ЭК (см. п. 1.8) являются ортогональными. В соответствии с выражением (1.8.3) для ЭВ этих контуров
7j (п) = ехр jnj и 7/(п) = ехр Zn|.
Скалярное произведение контуров, рассматриваемых как векторы, равноk — 1z.
п=О4г j 1
Учитывая, что квадрат нормы ЭК не зависит от его порядка и равен ||Tj||2 = к, последнее выражение примет вид
т? = (Гу, Г,) = | Jr^ При/ = 11(2.2.2)
(О при 3 + L
Отсюда видно, что если модули ЭВ взять равными 1/Vk, то полное семейство ЭК одной размерности к с коллинеарными начальными векторами образует в комплексном линейном пространстве ортонормированный базис
= J 1 при j = Z,(2.2.3)
I 0 при
Отметим, что ЭК Tj и Г/ сохраняют свойство ортогональности при повороте каждого из контуров соответственно на произвольные углы Д^- и Д^/ и растяжении каждого из контуров в \p.j\ и \щ\ раз, т.е.
77 = (м,Г,-,№Га-| ° ПР^ ^’.(2.2.4)
I ЫМ11ГЦ при^=/,
где р,, = |/г,| exp {гД^}, щ = |/z(| ехр{гД^(}.
Благодаря свойству ортогональности энергия суммы двух ЭК разного порядка (но одной размерности) равна сумме их энергий, т.е.
||Г, + Г(||2 = ||Г,||2 + ||Г,Ц2 + 2Re (Г„ Г,) = ||Г,-1|2 + ЦГг||2, причем этой же величине будет равен и квадрат расстояния между контурами Г^ и Г/:
Rrjiri = IMI2 + ||г;||2 - 2Re (Г,-,Г,) = ||Г,-||2 + ||Г;||2,
НО
||Г,+Г>||2 = 4||Г>||2ий2^.=0.
При повороте одного ЭК на произвольный угол Ду? свойство ортогональности ЭК сохраняется.
Учитывая важную роль ЭК в контурном анализе, рассмотрим другие свойства этих контуров.
Радиус описанной вокруг ЭК окружности с ростом порядка 3, 3 = 1,2,... , fc/2, уменьшается. Это следует из того, что длина ЭВ контура от з не зависит, но с ростом j увеличивается центральный угол, соответствующий этому ЭВ как хорде. После значения j = к/2 рост j дает обратный эффект, так как этот угол становится больше тг и ЭВ
начинают соединять между собой точки, разнесенные на окружности более, чем на 180°.
Если j < к/2, то угол поворота ЭВ 7/ (1) относительно ЭВ 7/ (0) меньше тг. Витки, которые делает точка, следующая за концом текущего ЭВ по описанной вокруг ЭК окружности, происходят против часовой стрелки. Общее количество витков / равно у, т.е. f = j при j < к/2.
Если предположить, что ЭК замыкается за время равное 1 с, то ЭК Гу, 0 < j < к/2, можно сопоставить периодический процесс с частотой, равной j. При j = к/2 угол поворота одного ЭВ становится равным тг и / = к/2. Дальнейший рост порядка ЭК приводит к тому, что ЭВ 7^ (2) относительно ЭВ 7у (0) делает больше одного поворота. В результате возникающего стробоскопического эффекта витки происходят уже против часовой стрелки и их количество / до замыкания контура отстает от величины^, достигая при j = к — 1 значения / = L Поэтому ЭК высоких
Рис. 2.1. Отношение между круговой частотой вращения элементарных векторов контура Гу и величиной его порядкаРис. 2.1. Отношение между круговой частотой вращения элементарных векторов контура Гу и величиной его порядкапорядков соответствует периодический процесс с частотой, уменьшающейся с ростом у, а именно
Рис. 2.1. Отношение между круговой частотой вращения элементарных векторов контура Гу и величиной его порядка
Рис. 2.1. Отношение между круговой частотой вращения элементарных векторов контура Гу и величиной его порядка
/ = к — j при к/2 < j < к.
Таким образом, с ЭК Гу можно ассоциировать периодический процесс с частотой
у = Г j при 0 < j < к^
[ к — j при к/2 ^ 3<к.
(2.2.5)
Зависимость частоты / от порядка j носит треугольный характер (рис. 2.1), причем высшие частоты сосредоточены в области значений у, близких к к/2, т.е. в центральной части диапазона, а низшие — в его крайних областях.
Сопряженность элементарных контуров. Покажем, что ЭК порядков j и к — j являются комплексно сопряженными, т.е.
(2.2.6)(2.2.6)(2.2.7)(2.2.7)г — г*
(2.2.6)
(2.2.6)
(2.2.7)
(2.2.7)
г т — к-т’
Подставим в выражение (1.8.3), задающее ЭК Гу, т.е.
Г, = (explz^jn}} , j = 0,1,... ,к - 1, I к к J J o,fc-i
вместо j величину к — 3. Тогда
О,к — пО,к — п
О,к — п
О,к — п
Переходя в полученном выражении к комплексно сопряженным величинам, получаем соотношение (2.2.6). Данное свойство свидетельствует о том, что ЭК Гк-j получается из ЭК Гу путем отражения относительно оси абсцисс, что связано с изменением направления обхода (рис. 2.2, а).
Если размерность к является четным числом, то Гд./2 = Г^2. Для таких ЭК угол между соседними ЭВ равен тг и все ЭВ расположены горизон-
/1(2)/1(2)/2(0)/2(0)/2(2)/2(2)ГЗ<2)ГЗ<2)Рис. 2.2. Семейство замкнутых ЭК для к = 4: а — получение ЭК Г3 путем отражения ЭК Г1 относительно оси абсцис, б — вырожденный контур Г 2 (для наглядности его ЭВ разнесены друг от друга)Рис. 2.2. Семейство замкнутых ЭК для к = 4: а — получение ЭК Г3 путем отражения ЭК Г1 относительно оси абсцис, б — вырожденный контур Г 2 (для наглядности его ЭВ разнесены друг от друга)тально, чередуясь по направлениям (рис. 2.2, б), т.е. ЭК 1\/2 четной размерности являются вырожденными.
/1(2)
/1(2)
/2(0)
/2(0)
/2(2)
/2(2)
ГЗ<2)
ГЗ<2)
Рис. 2.2. Семейство замкнутых ЭК для к = 4: а — получение ЭК Г3 путем отражения ЭК Г1 относительно оси абсцис, б — вырожденный контур Г 2 (для наглядности его ЭВ разнесены друг от друга)
Рис. 2.2. Семейство замкнутых ЭК для к = 4: а — получение ЭК Г3 путем отражения ЭК Г1 относительно оси абсцис, б — вырожденный контур Г 2 (для наглядности его ЭВ разнесены друг от друга)
В том случае, когда сумма аргументов текущих ЭВ ^j (тг), 7j (п + 1),... , 7j (тг 4- г — 1) становится равной
^ =a,j = l,2,... ,к-1, (2.2.8) а о: — минимальное целое число, удовлетворяющее равенству (2.2.8), ЭК содержит s наложенных контуров. Если к — нечетное число, то всегда г = к и s = 1. Поэтому эффект наложения возникает лишь при четном к. Отметим, что все вырожденные ЭК одновременно являются наложенными, для них г = = 2 и s = к/2. Применим, например, выражение (2.2.8) к семейству ЭК для к = 10. Результаты представлены в табл. 2.1.
Из табл. 2.1 видно, что семейство содержит ЭК Г2,Г4,Гб и Гб со степенью наложения s = 2 и контур Г5 со степенью наложения s = 5. При этом к/s-угольники для Г4 и Гб является правильными звездчатыми пятиугольниками, а для Г2 и Гб — простыми правильными пятиугольниками.
Таблица 2.1
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
г
10
5
10
5
2
5
10
5
10
а
1
1
3
2
1
3
7
4
9
S
1
2
1
2
5
2
1
2
1
Эргодичность элементарных векторов ЭК. Из выражения (2.2.7) для элементарных векторов ЭК следует, что замена переменной тг на переменную j и наоборот не влияет на значение ЭВ, т.е. 7? (тг) = 7n (j\ n.j = 0,1,... , А; — 1. Если дополнительно воспользоваться свойством сопряженности, определяемым выражением (2.2.6), то получим
5. Сдвиг начальной точки ЭК Г^- на ЭВ эквивалентен умножению кон5. Сдвиг начальной точки ЭК Г^- на ЭВ эквивалентен умножению контура на ехртура на ехр№4№4т.е. повороту на уголт.е. повороту на угол/2тг Л( к3//2тг Л( к3/. Так как при повороте. Так как при поворотеЭК свойство их ортогональности сохраняется, то это свойство сохраняетсяЭК свойство их ортогональности сохраняется, то это свойство сохраняется7> W = 7* (» = 7^ (n) = 7„ (к - J) = 7fc_n (j) = 7^ (fc - n) . (2.2.9)
5. Сдвиг начальной точки ЭК Г^- на ЭВ эквивалентен умножению кон
5. Сдвиг начальной точки ЭК Г^- на ЭВ эквивалентен умножению кон
тура на ехр
тура на ехр
№4
№4
т.е. повороту на угол
т.е. повороту на угол
/2тг Л( к3/
/2тг Л( к3/
. Так как при повороте
. Так как при повороте
ЭК свойство их ортогональности сохраняется, то это свойство сохраняется
ЭК свойство их ортогональности сохраняется, то это свойство сохраняется
и при сдвиге начальных точек ЭК. Поэтому скалярное произведение двух ЭК разных порядков с разными масштабами, углами поворота и сдвигов начальных точек равно нулю:
(2.2.10)(2.2.10)(Г^Г^О.
(2.2.10)
(2.2.10)
Элементарным контурам TjJ = 0,1,... ,k — 1, можно поставить в соответствие фазокодированные сигналы, у которых начальная фаза »2тг п
Г2 = {1.-1,1,-1}Г2 = {1.-1,1,-1}Го ={1,1,U} ^00►►►►Г| — {1, 7, —1, —/}"oi—►Го ={1,1,U} ^00►►►►Г| — {1, 7, —1, —/}"oi—►колебании в пределах n-го кодового интервала равна — п, а не 0 и тг, как к у обычных фазоманипулированных сигналов (рис. 2.3).
Г2 = {1.-1,1,-1}
Г2 = {1.-1,1,-1}
Го ={1,1,U} ^00►►►►
Г| — {1, 7, —1, —/}
"oi—►
Го ={1,1,U} ^00►►►►
Г| — {1, 7, —1, —/}
"oi—►
г, = {1,-/,-1,/}
" «ое—►
4—!'
Рис. 2.3. Фазокодированные сигналы, соответствующие элементарным контурамГо, Г1, Г2 и Гз при к = 4
Важным достоинством этих сложных сигналов является свойство взаимной ортогональности, обеспечивающее их максимальную несхожесть. Данное свойство сохраняется также при разной амплитуде и произвольном добавочном начальном сдвиге фаз каждого из сигналов Г^, j = 1, 2,... , к — 1, в отдельности.
Основные свойства дискретного преобразования Фурье контурных сигналов
Полигональный контур Г = {7(п)}о&-1 представляет собой периодическую последовательность ЭВ 7(п), п = 0,1,... , к — 1. Его ДПФ Р = {р (пг)}0 к_г определим в виде
к-12
р (т) = ^2 7 (п) ехР~
п=0
к-1
= ^2 ,7 (п)| ехР(п)] }, т = 0,1,... , к — 1. (2.3.1)
п=0
ЭВ р(т), т = 0,1,... , к — 1, являются комплексными числами, и их упорядоченная последовательность {р (0), р (1),... , р (к — 1)} также образует на плоскости некоторый контур Р. ЭВ р (т) получаются суммированием всех ЭВ контура Г, каждый из которых предварительно поворачивается на угол, равный ^— — тп ). Обратное ДПФ для контуров
записывается как
k-i
7 (n) = ^ ^ р(т) ехр {г^-mn}, п = 0,1,... , к — 1.(2.3.2)
т=О
Рассмотрим свойства ДПФ, общие для обычных сигналов и контуров.
Спектр суммы контуров. Из линейности преобразования (2.3.1) следует, что ДПФ линейной комбинации контуров Г(5) равно аналогичной линейной комбинации контуров P(s) их спектров, s = 1,2,... , г , т.е.
1>Г(5)’(2.3.3)
3=13=1
где p,s = |ps| exp {гДр5}, а стрелки «<==>» означают переход к преобразованию Фурье и обратно. Из (2.3.3), в частности, следует, что сумме исходных контуров r(s) соответствует сумма P(s) их спектров, а растяжению в \p,s\ раз и повороту на угол Др5 исходного контура Г — аналогичное преобразование его спектра.
Смегцение начальной точки контура. Такое преобразование соответствует смещению аргумента функции и в соответствии со свойствами ДПФ сдвиг начальной точки контура на d ЭВ (переход к контуру Г^) приводит к умножению каждого ЭВ р(т) контура спектра Р =
г 2тг 1
= {р (^)}0)А;-1 на экспоненциальный множитель ехр |г—md|, т.е.
p(d) = Ip (т) exp li^md\|.(2.3.4)
II J J 0,/с —1
Спектр сигнального контура. Сигнальный контур Г^ представляет собой исходный контур Г, подвергнутый заданной группе линейных преобразований (см. п. 1.6). Если эти преобразования F не связаны с выходом из плоскости, в которой расположен контур Г, т.е. F = = {|р|, Др,d}, то, как следует из выражений (2.3.3) и (2.3.4), контур р(с) = {р(с) (m)}0 к-1 связан с контуром спектра исходного контура следующим образом:
р(с) = ехр 1г V^-md + Др] \р (т)|.(2.3.5)
II L кJ JJ 0,/с —1
Соотношение между скалярными произведениями. Для скалярных произведений двух контуров Г = {7 (п)}0 к-1 и N = {z/ (n)}0 k_v и контурами Рг = {рг (тУ^к-1 И PN = {pn (тУ^,к-1 их спектров существуют следующие соотношения:’
к-1к-1
(Г>N) = 52 7 (») ^* (п) = ^ (Рг, Pn) = ^ 52 № (т) р^ (т).(2.3.6)
п=0п=О
При Г= N получаемизвестное равенство Парсеваля
||Г||2 = 1||РЦ2,(2-3.7)
устанавливающее связь между энергиями контура Г и контура Р его спектра. С помощью выражений (2.3.6) и (2.3.7) выражение для квадрата расстояний между контурами Г и N в частотной области примет вид R2 = ||Г||2 + ||N||2 - 2Re (R,N) = | [||Рг||2 + ||PN||2 - 2Re (Рг, PN)1 •
(2.3.8)
Связь между сверткой и спектрами контуров. Если
к-1
Т] (т) = ^2 v (n) 7 (^ — n), т = 0,1,... , к — 1,(2.3.9)
71=0
есть свертка Н = Г * N контуров N = {^ (n)}0,k-i и г = Ы^к^, a Pn = {pn (m)}o k-i и Рг — {рг (m)}o к-1 — соответственно контуры их спектров, то спектр Рн = {рн (т)}о к-i контура Н = {р (т)}0 к-1 равен
Рн (т) = Pn (т) рг (т), т = 0,1,... , к — 1.
Записанное через ЭВ контуров N и Г это выражение примет вид
/с-1 Гк-1/с-1 Гк-1n=o Ls=on=o Ls=oх. 2тгв) ехр < —г —птI кх. 2тгв) ехр < —г —птI к
/с-1 Гк-1
/с-1 Гк-1
n=o Ls=o
n=o Ls=o
х. 2тг
в) ехр < —г —пт
I к
х. 2тг
в) ехр < —г —пт
I к
"к-152 7 (и) ехр_71 = 0"к-152 7 (и) ехр_71 = 0(2.3.10)(2.3.10)"к-1
"к-1
52 7 (и) ехр
_71 = 0
"к-1
52 7 (и) ехр
_71 = 0
(2.3.10)
(2.3.10)
^2v и ехр {- i^mn
,71=0
т = 0,1,... , к - 1.
Последнее соотношение позволяет найти через обратное ДПФ контур свертки Н = {р (т)}0 к_г через контуры спектров Pn и Рг. Подобный подход к нахождению контура Н с помощью быстрого преобразования Фурье при больших значениях размерности контура имеет значительно меньшую трудоемкость, чем при использовании выражения (2.3.9).
Обратное ДПФ. Данное преобразование может быть выполнено над контуром спектра Р по алгоритму прямого ДПФ, если предварительно перейти к обратному контуру Р (см. п. 1.8). После преобразования результаты необходимо разделить на к.
Изменение знака аргумента. Пусть п = — s. Учитывая, что 7 (—s) = = 7 (к — s), с помощью (2.3.1) получим
к—1 к—1
р (т) = ^2 ч(к — s) ехр { — (& — s)} = У^ 7 (^ ~ s) ехР |г-^т«|. 5=0 5=0
Таким образом, при изменении знака аргументов всех ЭВ контура Г на обратный, спектр нового контура получается в результате обратного ДПФ над обратным контуром ГОбР (см. п. 1.8).
Примеры. Проиллюстрируем описанные выше свойства ДПФ на примере контуров размерности к = 5:
N = {3 — 4г; 1 — г; 1 + 5г; -3 - г; -2 + г};
Г = {5 + 2г; 4 - 5г; -2 - Зг; -4г; -7 + Юг}.
Спектры этих контуров, найденные по формуле (2.3.1), имеют соответственно вид:
Pn = {0; 5,93-12,4г; -3,69 - 0, 72г; 10,07 - 4,8г; 2,68 - 2,03г};
РГ = {0; -7,99 - 0,08г; -2,96 - 12,58г; 16,58 + 4,16г; 19,37 + 18,49}.
Сумма контуров N и Г и спектр контура суммы равны
N + Г = {8 - 2г; 5 - 6г; -1 + 2г; -3 - 5г; -9 + 11г};
PN+r = {0; -2,05 - 12,52г; -6, 6 5 - 13, Зг; 26,65 - 0,65г; 22,05 + 16,46г}.
Нетрудно убедиться в том, что спектр суммарного контура равен сумме спектров каждого из контуров в отдельности. Сигнальный контур Г = 1,5 ехр{гтг/6}Г, полученный растяжением контура Г в 1,5 раза, поворотом на угол тг/6 и начальная точка которого сдвинута на d = 2 элементарных векторов, имеет вид
Г = {-0,35 - 5,40г; 3-5, 20г; -16, 59 + 7,74г; 5 + 6,35г; 8,94 - 3,49г}.
Спектр этого сигнального контура Г^с\ полученный по формуле (2.3.5), представляется как
рг(с) = {0; 11,91 - 1,14г; -15,92 - 11, 06г; -11, 26 + 23,03г; 13,53 - 37,82г}.
Скалярные произведения контуров N и Г, Pn и Рг соответственно имеют вид
(N, Г) = 27 - 31г; (PN,Pr) = 135 - 155г.
Квадраты норм контуров N, Г, Pn и Рг равны
||N||2 = 68; ||Г||2 = 248; ||PN||2 = 338,81; ||Рг||2 = 1240,14.
Квадраты расстояний между N и Г, найденные по формуле (2.3.8), имеют следующие значения
Д2 = IIN||2 + ||ГII2 - 2 Re (N, Г) = 262,
Д2 = ^[1ПМ2 + ЦРг||2 - 2Re (PN,Pr)] = 261,79.
Свертка контуров N и Г имеет вид:
N ♦ Г = {46 + 24г; -55 - 43г; 11 + 2г; -1 - 36г; -1 + 53г}.
Найдем поэлементное произведение контуров спектров Pn и Рг и проверим соотношение между ним и спектром полученной свертки. Поэлементное произведение контуров спектров
{0; -48,37 + 98,60г; 1,86 + 48,55г; 186,93 - 37,69г; 89,45 + 10,23г},
а спектр свертки
PN*r = {0; -48,37 + 98,90г; 1,83 + 48, 56г; 186,96 - 37, 75г; 89, 57 + Ю,23г}.
Сравнивая эти выражения, убеждаемся в равенстве спектра свертки двух контуров и поэлементного произведения спектров этих контуров. Найдем обратное
ДПФ для контура Г. Для этого по правилу рг,обР (т) = рг (к — т) определяем обратное представление для контура Рг:
рг,обР (т) = {0; 19,37 + 18,49г; 16,58 + 4,16г; -2,96 - 12, 58г; -7,99 - 0,08г} .
Выполнив прямое ДПФ над массивом контура Рг,обр, найдем код контура Г.
Свойства ДПФ контуров, связанные с их замкнутостью и комплекснозначностью
Особые свойства контуров по сравнению с обычными вещественными сигналами обуславливают ряд характерных особенностей для их преобразований Фурье. Если сигнал X = {ж (п)}0 к-1 является вещественным, то его ДПФ G = {g (m)}0 k_v определяемое выражением
k-igM = ^ж W ехрт=0k-igM = ^ж W ехрт=0. 2тг—г—тпк. 2тг—г—тпкт = 0,1,... , к — 1,т = 0,1,... , к — 1,(2.4.1)(2.4.1)
k-igM = ^ж W ехрт=0
k-igM = ^ж W ехрт=0
. 2тг
—г—тпк
. 2тг
—г—тпк
т = 0,1,... , к — 1,
т = 0,1,... , к — 1,
(2.4.1)
(2.4.1)
обладает свойством сопряженной симметрии:
g(m) = g*(k-m) = g*(-m),|g(m)| = |g(k-m)| = |g(-m)|.
(2.4.2)
Поэтому модули коэффициентов преобразования в симметричных относительно т = 0 и т = к/2 точках одинаковы. Действительно
к-12к-12
g (к — т) = У^ ж (п) ехр { (к — т) п} = У^ ж (п) ехр ^г-^-тп 71=0п=0
Так как по условию ж (п) — вещественное число, то изменение знака в показателе экспоненты привело бы к тому, что комплексное число ж (п) ехр |—г-~тп| заменилось на комплексно сопряженное ж (п) х х ехр {г^тп}. Поэтому g (к - m) = g* (т) и ДПФ вещественного сиг
нала характеризуется симметрично расположенными относительно отсчета т = к/2 комплексно сопряженными парами, и при оперировании с амплитудным спектром вещественного сигнала ограничиваются половиной отсчетов, взятых в точках т = 0,1,... , к/2.
Когда ж (и) становится комплексным, то для замены члена ж (п) х
Г -27Г 1
х ехр < — г—тп > на комплексно сопряженное значение надо изменить I к )
знак не только в показателе экспоненты, но и в аргументе ж (п). Поэтому комплекснозначные сигналы не обладают свойством (2.4.2) сопряженной симметрии и в их амплитудных спектрах надо учитывать все к отсчетов (рис. 2.4, б).
Комплекснозначный характер сигнала определяет несколько иной по сравнению с вещественным сигналом вид АКФ и ВКФ, так как один из сомножителей, стоящих под знаком суммы, в этих функциях является
tlp(m)l t Нот)|
О 1 2 3 4 m о 1 2 3 4 табО 1 2 3 4 m о 1 2 3 4 табРис. 2.4. Амплитудно-частотные спектры: а — вещественного сигнала {3; 5; — 3; 2; —4}, б — комплекснозначного сигнала {2 - г; 1 — г; 5 + 6г; -6; — Зг}Рис. 2.4. Амплитудно-частотные спектры: а — вещественного сигнала {3; 5; — 3; 2; —4}, б — комплекснозначного сигнала {2 - г; 1 — г; 5 + 6г; -6; — Зг}
О 1 2 3 4 m о 1 2 3 4 т
аб
О 1 2 3 4 m о 1 2 3 4 т
аб
Рис. 2.4. Амплитудно-частотные спектры: а — вещественного сигнала {3; 5; — 3; 2; —4}, б — комплекснозначного сигнала {2 - г; 1 — г; 5 + 6г; -6; — Зг}
Рис. 2.4. Амплитудно-частотные спектры: а — вещественного сигнала {3; 5; — 3; 2; —4}, б — комплекснозначного сигнала {2 - г; 1 — г; 5 + 6г; -6; — Зг}
комплексно сопряженным:
k-iТ] (т) = ^2 7 (п)7* (п + т) >71=0k-iТ] (т) = ^2 7 (п)7* (п + т) >71=0к-1т) (т) = У^ v (71)7* (п + т),п=0к-1т) (т) = У^ v (71)7* (п + т),п=0т = 0,1,... , к — 1.т = 0,1,... , к — 1.(2.4.3)(2.4.4)(2.4.3)(2.4.4)
k-i
Т] (т) = ^2 7 (п)7* (п + т) >
71=0
k-i
Т] (т) = ^2 7 (п)7* (п + т) >
71=0
к-1
т) (т) = У^ v (71)7* (п + т),п=0
к-1
т) (т) = У^ v (71)7* (п + т),п=0
т = 0,1,... , к — 1.
т = 0,1,... , к — 1.
(2.4.3)
(2.4.4)
(2.4.3)
(2.4.4)
Определим связь энергетического спектра с АКФ комплекснозначного сигнала. Энергетический спектр Wr контура Г представляет собой распределение «мощности» каждой комплексной составляющей спектра [62] и определяется как Wr = {|р (m)|2}0 к . Его компоненты являются вещественными числами. Сумма этих компонент в соответствии с (2.3.7) равна &||Г||2. Подставим в (2.4.3) вместо ЭВ контура Г их преобразование Фурье:
k-ik-in=o Ln=o Lк-1 Гк-1к-1 Гк-1к-1к-1s=0s=0к-1к-1з=аз=а3 (п + m) п3 (п + m) п‘ Гк —152/ Ь )ехр . Lj=o‘ Гк —152/ Ь )ехр . Lj=o. 2тг .. 2тг .. 2тг .. 2тг .~l~^Jn | СХР \%—к3т~l~^Jn | СХР \%—к3тk-i k-ik-i k-i. 2тг . "г^3т. 2тг . "г^3т
k-i
k-i
n=o L
n=o L
к-1 Гк-1
к-1 Гк-1
к-1
к-1
s=0
s=0
к-1
к-1
з=а
з=а
3 (п + m) п
3 (п + m) п
‘ Гк —1
52/ Ь )ехр . Lj=o
‘ Гк —1
52/ Ь )ехр . Lj=o
. 2тг .
. 2тг .
. 2тг .
. 2тг .
~l~^Jn | СХР \%—к3т
~l~^Jn | СХР \%—к3т
k-i k-i
k-i k-i
. 2тг . "г^3т
. 2тг . "г^3т
Последняя сумма представляет собой сумму ЭВ элементарного контура порядка (s — з\ Она будет не равна нулю лишь при s = j. Поэтому
k —1
(2.4.5)(2.4.5)»?М = У^Ып)\2 ехР \7^пт
(2.4.5)
(2.4.5)
п=0
Таким образом, АКФ контура равна прямому ДПФ его энергетического спектра. Аналогичный результат справедлив и для вещественного сигнала, но его получение базируется на свойствах сопряженной симметрии спектра, которыми не обладают комплекснозначные сигналы [62]. Из (2.4.5) следует, что энергетический спектр контура может быть получен
в результате обратного ДПФ:
[ . 2тг< г—птI к[ . 2тг< г—птI к(2.4.6)(2.4.6)к-1
[ . 2тг
< г—пт
I к
[ . 2тг
< г—пт
I к
(2.4.6)
(2.4.6)
Mn)|2 = ку^7?(т)ехр
п=0
(2.4.7)(2.4.7)Обобщим полученные результаты на случай двух контуров N = = {z'Mlofc-i и Г = {7 (п)}0 к-1. Взаимный энергетический спектр контуров определяется как
(2.4.7)
(2.4.7)
WN,r = {рг (m) Pn (m)}o fc_r
Этот спектр и ВКФ также связаны между собой парой ДПФ. Проводя выкладки, аналогичные случаю одиночного контура, получим
т (т) =т (т) =к-1^22^ Wptк-1^22^ Wpt(n)exp(n)exp. 2тг г—птк. 2тг г—птк(2.4.8)(2.4.8)
т (т) =
т (т) =
к-1
^22^ Wpt
к-1
^22^ Wpt
(n)exp
(n)exp
. 2тг г—пт
к
. 2тг г—пт
к
(2.4.8)
(2.4.8)
/с-1Pn (п) Ру (п) = к^Г т (т) ехр71=0/с-1Pn (п) Ру (п) = к^Г т (т) ехр71=0m = 0,1,... Д-1. (2.4.9)m = 0,1,... Д-1. (2.4.9)
/с-1
Pn (п) Ру (п) = к^Г т (т) ехр
71=0
/с-1
Pn (п) Ру (п) = к^Г т (т) ехр
71=0
m = 0,1,... Д-1. (2.4.9)
m = 0,1,... Д-1. (2.4.9)
Рассмотрим теперь ряд свойств ДПФ контура изображения, связанных не только с комплекснозначным характером его задания, но и с замкнутостью.
Спектр контура с направлением обхода против часовой стрелки. Пусть при сохранении положения начальной точки а^ направление обхода контура изменено на противоположное, т.е. от контура Г перешли к контуру Г^+\ При этом ЭВ контуров связаны соотношением (1.5.12)
7^+) (п) = —7 (к — 1 — п), п = 0,1,... , к — 1.
Используя данное выражение и (2.3.1), запишем
/с-1Pvw (m) = ~22 (n) exp71=0/с-1Pvw (m) = ~22 (n) exp71=0Г -2?ГI—г—т Л — 1 — n) j =Г -2?ГI—г—т Л — 1 — n) j =
/с-1
Pvw (m) = ~22 (n) exp
71=0
/с-1
Pvw (m) = ~22 (n) exp
71=0
Г -2?Г
I—г—т Л — 1 — n) j =
Г -2?Г
I—г—т Л — 1 — n) j =
/c-1
(2.4.10)(2.4.10)Г.27Г/ a С2тг
(2.4.10)
(2.4.10)
= — exp |г—m 7 (тг) exp |г—mn
71=0
Таким образом, для определения спектра контура Г с измененным направлением обхода надо найти обратное ДПФ исходного контура и каж-
( Л27Г U
дую его m-ю составляющую умножить на ехр |г—m J к
Разомкнутостъ контура спектра. Покажем, что контур Р спектра контура Г всегда разомкнут. Используя выражение (2.3.2) для обратного ДПФ при п = 0, получим
к-1
Поскольку в общем случае ЭВ 7 (0) ^ 0, то не равна нулю сумма всех ЭВ контура Р, то есть он будет разомкнут. Замкнутость этого контура достигается дополнением его ЭВ (—£7 (0)) и тогда
k-i
^p(m) - k7(0) =0.(2.4.12)
71 = 0
Последнее выражение полезно для проверки правильности расчетов, связанных с вычислением спектров контуров.
Равенство нулю нулевой составляющей спектра замкнутого контура. Полагая в (2.3.1) т = 0, будем иметь
k-i
р(0) = ^7Н(2.4.13)
71 = 0
По условию контур Г замкнут, поэтому
р(0) =0.(2.4.14)
Спектр комплексно сопряженного контура. Если изменить знаки мнимой части каждого ЭВ на противоположные, то спектр р^ (т), т = = 0,1,... , к — 1, комплексно сопряженного контура Г^*\ выраженный через компоненты р^ (т), т = 0,1,... , к—1, спектра исходного контура Г будет равен [61]
р^ (т) = р* (—т) = р* (к — т).(2.4.15)
С учетом общего свойства ДПФ при изменении знака аргумента (см. свойство 7 п. 2.3.) следует, что спектр комплексно сопряженного контура находится как комплексно сопряженное обратное ДПФ.
Спектр отраженного контура. Из выражения (1.5.11) для ЭВ контура Г, отраженного относительно оси, проходящей под углом 6
7<$ W = 17 (»)| ехр {-г[у> (п) - 20]} = |7 (п)| ехр {-г<р (п)}ехр {20г},
п = 0,1,. .. , к — 1,
(2.4.16)
следует, что процесс отражения связан с переходом от контура Г к контуру Г* и повороту этого контура на угол (—6\ т.е.
Г^ = ехр{20г}Г*.(2.4.17)
С учетом линейности ДПФ и преобразования спектра при переходе к комплексно сопряженному контуру получаем, что компонента рОтр (jn) спектра отраженного контура Готр будет равна
pW =ехр{20г}р*.(2.4.18)
Центральный отсчет спектра. Как было показано в п. 2.2, высокочастотная часть спектра соответствует значениям т, сосредоточенным
вблизи т = &/2. Найдем значения ЭВ спектра замкнутого контура р (к/2) для четных значений размерности к. В соответствии с (2.3.1) имеем
к-1
р ^к)^ = ^2 7 W ехр {—гтт}.
71=0
Так как
г . л fl при п четном,ехр гтгп} = <( — 1 при п нечетном,
то исходный ЭВ спектра будет равен разности сумм ЭВ исходного контура Г с четными и нечетными значениями п. В связи с тем, что сумма всех ЭВ контура равна нулю, центральный отсчет спектра замкнутого контура, соответствующий наиболее высокочастотному колебанию, будет равен
к/2-1
p(fc/2) = 2 52 7(2г),(2.4.19)
г=0
т.е. определяется удвоенной суммой четных ЭВ контура Г. Аналогично можно достаточно просто через элементы исходного контура выразить отсчет спектра т = к (4.
Условие равенства нулю четных номеров ЭВ контура спектра. Покажем, что для контура с четным значением его размерности (к — четное число) при выполнении условия
7 (п) = -7 (n + к/Т), п = 0,1,... , к]2 - 1,(2.4.20)
ЭВ контура его спектра с четными номерами равны нулю, т.е.
p(m) = 0, т = 2s, s = 0,1,... , к/2 - 1.(2.4.21)
Условие (2.4.20) при нахождении спектра позволяет объединить пары слагаемых в выражении (2.3.1) следующим образом:
Г f -27Г1 Г .2тг / , АЛ}! л , к л
ехр < — г—тп > — ехр < — г—т I п + - } И, п = 0,1,... , - — 1.
(2.4.22)
Так как ехр{—г2тгв} = 1 для любого целого s, то после раскрытия скобок в аргументе второй экспоненты получим, что последнее выражение будет равно нулю для четных значений т.
При нечетных значениях размерности к контура Г в нем будет отсутствовать ЭВ 7 (к/2) и рассмотренное выше соотношение для его спектра не имеет места.
Примеры. Пусть по-прежнему контуры N, Г, Pn и Рг имеют вид
N = {3 — 4г; 1 — г; 1 + 5г; -3 - г; -2 + г},
Г = {5 + 2г; 4 - 5г; -2 - Зг; -4г; -7 + Юг},
PN = {0; 5,93 - 12,4г; -3,69 - 0, 72г; 10,07 - 4,8г; 2,68 - 2,03г},
Рг = {0; -7,99 - 0,08г; -2,96 - 12, 58г; 16,58 + 4,16г; 19,37 + 18,49}.
Вычислим энергетический спектр контура Г и его АКФ:
Wr = {0; 63,85; 167,02; 292,20; 717,08},
Нг = {248; -26 + 139г; -98 + 53г; -98 - 53г; -26 - 139г},
ДПФ энергетического спектра контура Г равно
PWr = {1240,15; -130, 20 + 694,84г; -489,88 - 264,91г; -130,20 - 694,84г}.
Сравнивая выражения для Нг и Pwr, убеждаемся в справедливости формулы (2.4.6), устанавливающей связь между энергетическим спектром и АКФ контура. Проводя обратное ДПФ для контура АКФ Нг и умножая каждый полученный отсчет на к = 5, будем иметь {0;63,80; 166,91; 292,10; 717, 2}. Сравнивая этот результат с выражением для Нг, видим, что АКФ контура может быть найдена как результат обратного ДПФ от энергетического спектра.
Взаимный энергетический спектр и ВКФ контуров N и Г соответственно равны
WN>r = {0; -46,42 + 99,82г; 20,01 - 44,28г; 146,99 - 121,56г; 14,41 - 89,00г},TN,r = {27 - 31г; 16 + 54г; 23 - 29г; 8 + 5г; -74 + г}.
Выполняя прямое ДПФ над контуром взаимного энергетического спектра, получим
PWn г = {135 - 155г; 78 + 270г; 115 - 145г; 40 + 25г; -370 + 5г}.
Видно, что между контурами Hn,t и PwNr существует ранее установленное соот
. Контур Г*, комплексно сопряженный контуру Г,. Контур Г*, комплексно сопряженный контуру Г,ношение вида HN,r — ^PwN г 5’
. Контур Г*, комплексно сопряженный контуру Г,
. Контур Г*, комплексно сопряженный контуру Г,
и его спектр Р^*^ соответственно равны
Г* = {5 - 2г; 4 + 5г; -2 + Зг; -7 - Юг},PW = {0; 19,37 - 18,49г; 16,58 - 4,16г; -2,96 + 12,58г; -7,99 + 0,08г}-
Сравнивая полученный контур спектра с контуром Рг, видим, что в соответствии с выражением (2.4.15) их комплексно сопряженные ЭВ располагаются во взаимно обратном порядке. В заключение найдем спектр контура Г, отраженного относительно оси, составляющей угол с осью абсцисс 0 = 30°. Выражение (2.4.18) для данного случая принимает вид: р0Тр (т) = ехр {гтг/З} р* (5 — т), т — 1,2,3,4. Вычисления по этой формуле дают следующий результат:
Ротр = {0; 25,69 + 7,52г; 11,89 + 12,28г; -12,37 + 3,37г; -4,06 - 6,88г}.
Пусть теперь ЭВ контура Г удовлетворяют условию (2.4.20), т.е. Г = {2; 1 + г; 2 — Зг; —2; —1 — г; —2 + Зг}.
Тогда в соответствии с выражением (2.4.21) ЭВ контура его спектра с четным значением т будут равны нулю: Р = {0; —0,46 — 1,20г; 0; 6 — 8г; 0; 6,46 — 9,20г}.
Спектры контуров специального вида
Описание контуров специального вида приведено в п. 1.8. Здесь же будут рассмотрены особенности их спектров.
Сопряженно-симметрические и сопряженно-антисимметрические контуры. При нахождении ДПФ сопряженно-симметрических контуров
образуется пара слагаемых вида
|7 (п)|{ехр {г ^ (п) — ^гтп^ } + ехР { — [^ (п) — ”^"тп^ }}’ а для сопряженно-антисимметрических контуров — пары вида
|7 (п)|{ехр ^г[^ (п) — ^"шп] } “ ехР ^[^ (п) — "^"тп^ }}’
В первом случае получаются вещественные, а во втором — мнимые числа. Поэтому СС контуры имеют чисто вещественное, а СА контуры — чисто мнимое значения их спектров.
Равнодолъный контур. Покажем, что ЭВ спектра равнодольного контура с четными номерами равны нулю, т.е.
р (т) = О при т — 2s, s = 0,1,... , k/2 — 1.(2.5.1)
Соотношение (1.8.7) для ЭВ равнодольного контура дает возможность для нахождения спектра объединить в выражении (2.3.1) пары слагаемых следующим образом:
।I -2тг 1/ -27Г( ।
|7 (п)|{ехр г—mnj - ехр(п + -) )),(2 52)
п = 0,1,... ,£/2-1.
Так как ехр {—г2тгз} = 1 для любого целого s, то после раскрытия скобок в аргументе второй экспоненты, получим, что для четных т выражение (2.5.2) равно нулю. Так как отсчет спектра получается суммированием всех слагаемых данного вида, то результат будет нулевым.
Наложенные контуры. Определим особенности спектра наложенного контура (см. п. 1.8 и выражение (1.8.8)).
Очевидно, что при нахождении его спектра по формуле (2.3.1) можно образовать цепочки из s слагаемых, которые в соответствии с (1.8.8) будут связаны с одним и тем же ЭВ 7 (п) (п = 0,1,... , k/s — 1):
2s—12
7 (п) ехр |—г-~тп|У^ехр {—^~mr}-(2.5.3)
г—О
Сумма экспонент в этом выражении отлична от нуля лишь для значений т = Zs, Z = 0,1,... , k/s — 1. Для них слагаемые (2.4.8) будут равны 57 (п) ехр {—i^-mn}. Таким образом, спектр наложенного контура степени s содержит не более (k/s — 1) не равных нулю компонент, соответствующих значениям т, равных s,2s,... , (k/s — 1) s. Величина р (0) = 0, так как контур Г замкнут. Если Ps==i — спектр одного наложенного контура Г, то ненулевые компоненты спектра контура Г будут в s раз больше соответствующих компонент Ps=i.
Отсюда следует, что если произвести прореживание спектра произвольного контура нулями, т.е. после каждой его компоненты добавить по s — 1 нулей, то новый спектр будет соответствовать сжатому в s раз исходному контуру со степенью наложения s.
Симметричные и антисимметричные контуры. В выражении (2.3.1) для ЭВ р (т) спектра симметричного контура с учетом (1.8.9) можно выделить пары
/ х.7 (п) ехрг—тп/ х.7 (п) ехрг—тпии7(k -7(k -п) ехрп) ехр—г—тк—г—тк(fc-n)},(fc-n)},сумма которых равнасумма которых равнао / х 2тг27 ^п) cos —тп.о / х 2тг27 ^п) cos —тп.(2.5.4)(2.5.4)Аналогично, в выражении для р (к — т) можно выделить пары слагаемыхАналогично, в выражении для р (к — т) можно выделить пары слагаемыхии7 (к - п7 (к - псумма которых равна величине, определяемой выражением (2.5.4). Поэтомусумма которых равна величине, определяемой выражением (2.5.4). ПоэтомуРис. 2.5. Контур спек-р (т) = р (к — т),(2.5.5)тра симметричного контура Гс, показанного на и контур спектра симметричного контура Гс так- рис. 1.25, аже является симметричным. На рис. 2.5 показанспектр симметричного контура.Проводя подобный анализ для антисимметричного контура Га, приходим к выводу, что для него соотношение, аналогичное (2.5.5), имеет видр (т) = — р (к — т), т = 0,1,... , к — 1,(2.5.6)Рис. 2.5. Контур спек-р (т) = р (к — т),(2.5.5)тра симметричного контура Гс, показанного на и контур спектра симметричного контура Гс так- рис. 1.25, аже является симметричным. На рис. 2.5 показанспектр симметричного контура.Проводя подобный анализ для антисимметричного контура Га, приходим к выводу, что для него соотношение, аналогичное (2.5.5), имеет видр (т) = — р (к — т), т = 0,1,... , к — 1,(2.5.6)причем р (0) = 0.Таким образом, контур Р спектра антисимметричного контура Га также является антисимметричной фигурой, к тому же замкнутой.5. Контур с поворотной симметрией. В соответствии с выражением (1.8.11) для контура Гпс степени т его можно разделить на г групп, в каждой из которых ЭВ имеет один и тот же модуль:причем р (0) = 0.Таким образом, контур Р спектра антисимметричного контура Га также является антисимметричной фигурой, к тому же замкнутой.5. Контур с поворотной симметрией. В соответствии с выражением (1.8.11) для контура Гпс степени т его можно разделить на г групп, в каждой из которых ЭВ имеет один и тот же модуль:5=05=0
/ х.
7 (п) ехрг—тп
/ х.
7 (п) ехрг—тп
и
и
7(k -
7(k -
п) ехр
п) ехр
—г—тк
—г—тк
(fc-n)},
(fc-n)},
сумма которых равна
сумма которых равна
о / х 2тг
27 ^п) cos —тп.
о / х 2тг
27 ^п) cos —тп.
(2.5.4)
(2.5.4)
Аналогично, в выражении для р (к — т) можно выделить пары слагаемых
Аналогично, в выражении для р (к — т) можно выделить пары слагаемых
и
и
7 (к - п
7 (к - п
сумма которых равна величине, определяемой выражением (2.5.4). Поэтому
сумма которых равна величине, определяемой выражением (2.5.4). Поэтому
Рис. 2.5. Контур спек-р (т) = р (к — т),(2.5.5)
тра симметричного кон
тура Гс, показанного на и контур спектра симметричного контура Гс так- рис. 1.25, аже является симметричным. На рис. 2.5 показан
спектр симметричного контура.
Проводя подобный анализ для антисимметричного контура Га, приходим к выводу, что для него соотношение, аналогичное (2.5.5), имеет вид
р (т) = — р (к — т), т = 0,1,... , к — 1,(2.5.6)
Рис. 2.5. Контур спек-р (т) = р (к — т),(2.5.5)
тра симметричного кон
тура Гс, показанного на и контур спектра симметричного контура Гс так- рис. 1.25, аже является симметричным. На рис. 2.5 показан
спектр симметричного контура.
Проводя подобный анализ для антисимметричного контура Га, приходим к выводу, что для него соотношение, аналогичное (2.5.5), имеет вид
р (т) = — р (к — т), т = 0,1,... , к — 1,(2.5.6)
причем р (0) = 0.
Таким образом, контур Р спектра антисимметричного контура Га также является антисимметричной фигурой, к тому же замкнутой.
5. Контур с поворотной симметрией. В соответствии с выражением (1.8.11) для контура Гпс степени т его можно разделить на г групп, в каждой из которых ЭВ имеет один и тот же модуль:
причем р (0) = 0.
Таким образом, контур Р спектра антисимметричного контура Га также является антисимметричной фигурой, к тому же замкнутой.
5. Контур с поворотной симметрией. В соответствии с выражением (1.8.11) для контура Гпс степени т его можно разделить на г групп, в каждой из которых ЭВ имеет один и тот же модуль:
5=0
5=0
Каждой такой группе ЭВ при нахождении спектра контура Гпс будет соответствовать группа слагаемых
, х Г . 2тг7 (п) ехр < — г—-тп, х Г . 2тг7 (п) ехр < — г—-тп. 2тгг—sт
, х Г . 2тг
7 (п) ехр < — г—-тп
, х Г . 2тг
7 (п) ехр < — г—-тп
Сумма в выражении (2.5.7) не равна нулю при m + 1 = 0, г — 1, 2г — 1,... , к — 1. В результате спектр контура Гпс с поворотной симметрией степени г может иметь отличные от нуля значение лишь при значениях (m + 1), кратных г (рис. 2.6), т.е. при
т = sr — 1, s = 1,2,... , k/r.(2.5.8)
Контур с равномерным спектром. Определим вид полигонального замкнутого контура, все ЭВ спектра которого равны между собой
Р Р Р Р Р
0 12 3£-2£-1 тРис. 2.7. Равномерный спектрзамкнутого контура0 12 3£-2£-1 тРис. 2.7. Равномерный спектрзамкнутого контура-X—X—X—К——X Х-Н X » О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 "1
0 12 3£-2£-1 т
Рис. 2.7. Равномерный спектрзамкнутого контура
0 12 3£-2£-1 т
Рис. 2.7. Равномерный спектрзамкнутого контура
Рис. 2.6. Примерный вид амплитуд-ного спектра для контура с поворот-ной симметрией при к = 10, г = 5
(за исключением р(0) = 0). Обозначим спектр такого контура как Р = = {0, р. р,... , р} (рис. 2.7). В соответствии с (2.4.12) нулевой ЭВ контура — 1
будет равен 7(0) = —-—р. Покажем теперь, что все остальные ЭВ искомого контура равны между собой и равны 7 (п) = —p/к, п = 1,2,... ... , к — 1. Предварительно отметим, что
/с-1
^^ ехр |г—mnj = — 1, п = 1,2,... , к — 1.
С учетом этого равенства найдем обратное ДПФ для 7 (п), п = 1,2,... ... , к — 1, искомого контура:
/с-1
7 W = £ 52 ехР { V"™} = "к"
Таким образом, полигональный замкнутый контур с равномерным спектром имеет вид: ^{А; — 1,—1,—1,... , — 1}. Сравнивая данное представление с (1.8.4), приходим к выводу, что искомый контур является дельтовидным. Дельтовидный контур имеет равномерный амплитудно-частотный спектр {р (т)}0 к-1 = {р}о fc—i и равномерный фазо-частотный спектр {argp (m)}0 к-1. Но если сместить начало отсчета на d ЭВ, то фазо-ча- стотныи спектрприобретает линейную зависимость от т.
Дельтоподобные контуры. С учетом значительного превалирования по длине для таких контуров ЭВ 7 (0) над всеми остальными ЭВ (см. (1.8.13)) при нахождении спектра по формуле (2.3.1) этот ЭВ вынесем
за знак суммы:
/> (т) = 7/> (т) = 7к-1(°) + 52 7 (и) ехр71=1к-1(°) + 52 7 (и) ехр71=1. 2тгг—тпк .. 2тгг—тпк .т = 1,2,... ,к- 1-т = 1,2,... ,к- 1-
/> (т) = 7
/> (т) = 7
к-1
(°) + 52 7 (и) ехр
71=1
к-1
(°) + 52 7 (и) ехр
71=1
. 2тг
г—тпк .
. 2тг
г—тпк .
т = 1,2,... ,к- 1-
т = 1,2,... ,к- 1-
Сумма в этом выражении задает вектор, замыкающий цепочку векторов 7 (n) exp { — z^mnj, п = 1,2,... , к — 1, для которых
,7(0)1 »,7(0)1 »к-152 7 (") ехр71=1к-152 7 (") ехр71=1. 2тг—г—тпк. 2тг—г—тпкт = 1, 2,... , к - 1,т = 1, 2,... , к - 1,
,7(0)1 »
,7(0)1 »
к-1
52 7 (") ехр
71=1
к-1
52 7 (") ехр
71=1
. 2тг
—г—тпк
. 2тг
—г—тпк
т = 1, 2,... , к - 1,
т = 1, 2,... , к - 1,
т.е. ЭВ спектра контура Гд задаются в основном только одной компонентой, равной 7 (0), т.е.
Р^и^^, т = 1,2,... Л-1-(2.5.9)
Следовательно, превалирование по длине одного ЭВ над остальными ЭВ контура Гд приводит к расширению и выравниванию его амплитудного спектра.
Пример 1. Коды СС и С А контуров, показанных на рис. 1.21, имеют соответственно вид
Гс/с = {2; 1 + г; — 2 — г; —2 4- г; 1 — г},Гс/а = {2г; 4; 1 — г; —1 — г; 1 — 4},
а их спектры
Ргс/с = {0; 6,58; 2,22; -3,93; 5,12},
Ргс/а = {0; —5,17г; — 1,41г;4,18г; 12,4г}.
Спектр контура Гс/с является чисто вещественным, спектр контура Гс/а — мнимым. Нулевые компоненты этих спектров равны нулю, так как контуры замкнуты.
Рис. 2.8. Равнодольный кон-тур Г и его долиРис. 2.8. Равнодольный кон-тур Г и его долиПример 2. Найдем спектр равнодольного контура, показанного на рис. 2.8: Г = {2; 1 4- г; -2 - Зг; -2; -1 — г; —2 4- Зг}.
Рис. 2.8. Равнодольный кон-тур Г и его доли
Рис. 2.8. Равнодольный кон-тур Г и его доли
Используя формулу (2.3.1), получаем Р = {0; —0,46-1,20г; 0; 6 —8г; 0; 6,46 — — 9,20г}.
Видно, что ЭВ спектра с четными значениями т, т.е. р (0), р (2), р (4), равны нулю.
Пример 3. Пусть задан наложенный степени k/s контур Г, где к = 12 и s = = 3:
Г = {4; 2 4- Зг; 3 - г; -9 - 2г; 4; 2 4- Зг; 3 - г; -9 - 2г; 4; 2 4- Зг; 3 - г; -9 - 2г}.
Спектры контура Г и контура одного наложения Г = {4; 2 4- Зг; 3 — г; —9 — 2г;} имеют вид
Р = {0; 0; 0; 18 - 30г; 0; 0,42 - 6г; 0; 0; -12 - 36г; 0; 0},
Ps=] = {0; 6 - Юг; 14 - 2г; -4 + 2г}.
Из этих выражений видно, что в спектре контура Г от нуля отличны компоненты р (3), р (6) и р (9). Кроме того, эти компоненты равны утроенным значениям соответствующих компонент спектра Ps=i.
Пример 4. Контур изображения пятиконечной звезды характеризуется поворотной симметрией степени г = 5 (рис. 2.9) и имеет вид Где = {1 4- Зг; 1 — Зг; 3,162 - 0,024г;-2, 544 - 1,878г; 0,954 - 3,015г;
Рис. 2.9. Контур с поворотной симметрией степени г = 5Рис. 2.9. Контур с поворотной симметрией степени г = 5-2,572 + +1,840г;-2, 572 - 1,840г; 0,954 + 3,015г;
Рис. 2.9. Контур с поворотной симметрией степени г = 5
Рис. 2.9. Контур с поворотной симметрией степени г = 5
-2,544 + 1,878г; 3,162 + 0,024г}.
При повороте контура на угол, кратный Ду? = 72°, повернутое и исходное изображения совмещаются. Спектр контура Гпс имеет вид Р = {0; 0; 0; 0; —7,862 4- 24,196г; 0;0;0;0;17,862 + 5,804г}.
Не равными нулю в спектре контура являются компоненты
р(т) = p(r- 1) = р(4),p(m) = р (2г - 1) = р(9У
Пример 5. Антисимметричный контур Га на рис. 1.25, б имеет код Га = {0; 0, 5г; 1; —г; — 1 — г; 1; 1 4- г; г; —1; —0, 5г}.
Спектр этого контура равен
Р = {0; -2,95 - 0,87г; 3,45 - 2,41г; 1, 73 4- 0,13г; -0,89 + 4,36г; 0,59 - 2, 72г; - 0,59 + 2,72г; 0,89 - 4,36г; -1,73 - 0,13г; -3,45 + 2,41г; 2,95 + 0,87г}.
Разложение произвольного контура
Разложение Каппелини. Как следует из приведенных в [61] соотношений для СС и СА последовательностей, произвольный контур Г является суммой соответствующих ему контуров Гс/с и Гс/а, т.е.
Г = Гс/с + Гс/а,(2.6.1)
где
2ГС/С = Г + ГЦ и 2Гс/а = Г - Г^,(2.6.2)
Г^ — обратный комплексно сопряженный контур Г (см. п. 1.8).
Рис. 2.10. Исходный (а) и обратный (б) комплексно сопряженный контурыРис. 2.10. Исходный (а) и обратный (б) комплексно сопряженный контуры
Рис. 2.10. Исходный (а) и обратный (б) комплексно сопряженный контуры
Рис. 2.10. Исходный (а) и обратный (б) комплексно сопряженный контуры
Найдем, например, разложение контура (рис. 2.10, а)
Г = {2 4- 2г; 5 + г; -1 - 2г; -3; -3 - г}.
Соответствующий ему контур Г^ имеет вид (рис. 2.10, б)
Г^ = {2 - 2»; -3 + г; -3; -1 + 2г; 5 - г}-
Используя выражение (2.6.2), получаем (см. рис. 1.22)
Гс/с — {2; 1 + г; —2 — г; —2 4- г; 1 — г}, Гс/а = {2г; 4; 1 — г; —1 — г; —4}.
В спектральной области соотношение (2.6.1) принимает вид
РГ =Ргс/с +РГс/а(2.6.3)
"^чташя данное соотношение и свойства спектров СС и СА контуров, приходим к выводу, что реальная часть спектра контура Г равна спектру соответствующего СС контура, а мнимая часть спектра контура Г — спектру соответствующего СА контура, т.е.
Ргс/с = Не Рг и РГс/а = Im Рг.(2.6.4)
Разложение произвольного контура в базисе из полного семейства элементарных контуров. Определим вид восстановленного контура при условии, что его спектр содержит только один не равный нулю ЭВ р(ш), т = 1,2,... , А; — 1, причем р(т) = к. Используя выражение (2.3.2) для обратного ДПФ, получим
Гт = {7m(m)}0 fc_1 = (ехр(г^тп^^ , т = 1,2,... , к - 1.
’(2.6.5)
Сравнивая данное выражение с выражением (1.8.3), приходим к выводу, что восстановленный контур является ЭК порядка т. В общем случае при р (т) = sk и arg р (m) = а (т) контур Гш представляет собой правильный А;-угольник с описанными в п. 1.8 свойствами, причем длина каждой стороны равна s, угол поворота которого по отношению к А;-угольнику (2.6.5) равен а (ш).
Экспоненциальная компонента ехр \г—ттг| является ЭВ 7Ш (п) элементарного контура порядка т. Поэтому выражение (2.3.2) для обратного ДПФ элементарного вектора произвольного контура можно записать как к-1
(п) = ^ 52 Р (m)7rn (п), п = 0,1,... ,к - 1.(2.6.6)
т=0
Видно, что ЭВ 7 (п) является взвешенной комбинацией п-х ЭВ каждого элементарного контура Гш, т = 1,2,... , к — 1. Весами служат компоненты р (т) спектра контура Г. Если контуры Гт рассматриваются как элементы комплексного линейного пространства Ск (см п. 1.3), то сумма двух контуров Г7- и Гг есть контурГ5, ЭВ которого равны сумме соответствующих ЭВ контуров Vj и 1\, т.е. Г5 = Г^ + 1\ = {7^ (п) + 7?: W}0,fc-r С учетом этого правила сложения контуров и выражения (2.6.6) получим
к-1
Г = тУ,Р№т.(2.6.7)
т=1
Данный результат имеет фундаментальное значение для контурного анализа. В соответствии с ним произвольный контур Г равен взвешенной сумме ЭК Гш, m = 1,2,... ,к — 1. В качестве весовых коэффициентов служат ЭВ р (т) контура спектра разлагаемого контура. Спектральный
р(1)г,р(2)г2 р(з)г3 р(4)г4
аб
Рис. 2.11. Полигонально заданный контур изображения (а) и его составляющие (б)
анализ контуров, выполненный по правилам спектрального анализа обычных сигналов, дает возможность решать задачи прохождения контурных сигналов через различные устройства. На рис. 2.11 показаны произвольный полигональный контур Г и найденные в соответствии с выражением (2.6.7) составляющие его ЭК р (т) Гт с весами р (т), а на рис. 2.12 про-
Рис. 2.12. Синтез контура Г (см. рис. 2.11,а) и его элементарных векторов
иллюстрирован процесс синтеза данного контура Г и его ЭВ из контуров Гт. В том случае, когда разлагаемый контур является дельтовидным, формула (2.6.7) предельно упрощается. Спектр этого контура имеет вид р(т) = р, т = 1,2,... , к — 1. При условии р — к выражение (2.6.7)
/1(2)/\У1(1)Р 3
/ *1 \
Г1(о)=10 12 т
Г2(0)=1
а
/2(1)ЛП(1) А Г(О):2,
Г1(О),/Г2(О)\ _г(2)=-1 К0=-1
^£^£££^tZ(0)=2 Р 3 3
Д/О/ /О) ч,
Г2(2)\ /уД)0 12 т
*6в
Рис. 2.13. Синтез дельтовидного контура для к = 3: а — элементарные контуры Г1и Г2 и их спектры; б — формирование дельтовидного контура; в — дельтовидныйконтур и его спектр
к-1
принимает вид А = ^2 Гш. На рис. 2.13 показан синтез контура А для к = 3 из двух ЭК в виде треугольников. Таким образом, произвольный контур размерности к разлагается в базисе из полного семейства ЭК Г1, Г2,... , I\-i, причем координатами контура в пространстве Ск будут компоненты его спектра.
Изменения спектра при преобразованиях, связанных с вариацией размерности контура
Ранее было рассмотрено влияние на спектр контура преобразований поворота, масштабирования, отражения и смещения начальной точки, не приводящих к изменению формы изображения. При этом предполагалось, что размерность контура к, определяемая количеством ЭВ в его составе, является неизменной. Необходимо заметить, что представление контура цепочкой ЭВ в определенной степени есть следствие процесса дискретизации непрерывной линии границы исходного изображения при вводе в систему технического зрения. В зависимости от правила дискретизации и архитектуры такой системы размерность контура, введенного в ППИ изображений, может варьироваться при неизменной форме изображения.
Необходимость вариации размерности полигонального контура возникает при получении меры схожести форм двух изображений. Контуры этих изображений имеют векторное представление и их размерности обычно не совпадают. В то же время для нахождения мер схожести в виде расстояния между контурами или их скалярного произведения, размерности векторов должны быть одинаковыми.
В этом разделе мы рассмотрим связь между спектрами исходного контура и контура с измененной размерностью при преобразованиях модификации и дробления ЭВ.
Модификация контура. Модифицированный контур Гмод был определен в п. 1.8 как контур, код которого дополнен некоторым количеством равных нулю ЭВ. Если при этом еще и 7 (0) = 0, то из взаимного соответствия между операциями прямого и обратного ДПФ следует, что контур Рмод спектра будет замкнутым.
Пусть модификация контура Г производится дополнением к его ЭВ 7 (0), 7 (1),... , 7 (А: — 1) еще к ЭВ 7 (А:), 7 (к + 1),. • • ,7 (2А: — 1):, каждый из которых равен нулю. ДПФ ЭВ модифицированного контура равно
/с-1^7(n) exp|-z^mnп=0/с-1^7(n) exp|-z^mnп=02 к-1
/с-1
^7(n) exp|-z^mn
п=0
/с-1
^7(n) exp|-z^mn
п=0
Рмод (т) = 52 7 (n) exp {-i^mn п=0
т = 0,1,... , к — 1.
Примем, что т = 21 (I = 0,1,... , к — 1). Тогда
0,1,... ,к- 1.0,1,... ,к- 1./с-1
0,1,... ,к- 1.
0,1,... ,к- 1.
Рмод (0 = 52 М ехр
п=0
Сравнивая данное выражение с выражением для спектральной компоненты р (т) исходного контура, приходим к выводу, что для четных значений т рмод (т) = р (т). Компоненты рмод (т) с нечетными т, расположенные между компонентами с четными значениями т, соответствуют интерполированным значениям спектра.
Таким образом, дополнение кода исходного контура к нулевыми ЭВ не приводит к нарушению формы, но и не улучшает разрешающую спо-
Рис. 2.14. Изменения амплитудно-частотного спектра контура при дополнении его кода нулями: а — для контура Г = {1,г,— 1,— г}; б — для контура Г = = {1; г; — 1; —г; 0; 0; 0; 0}; в — для контура Г = {1; г; — 1; —г; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0}; г — для контура Г = {1; г; -1; —г; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0}Рис. 2.14. Изменения амплитудно-частотного спектра контура при дополнении его кода нулями: а — для контура Г = {1,г,— 1,— г}; б — для контура Г = = {1; г; — 1; —г; 0; 0; 0; 0}; в — для контура Г = {1; г; — 1; —г; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0}; г — для контура Г = {1; г; -1; —г; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0}
Рис. 2.14. Изменения амплитудно-частотного спектра контура при дополнении его кода нулями: а — для контура Г = {1,г,— 1,— г}; б — для контура Г = = {1; г; — 1; —г; 0; 0; 0; 0}; в — для контура Г = {1; г; — 1; —г; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0}; г — для контура Г = {1; г; -1; —г; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0}
Рис. 2.14. Изменения амплитудно-частотного спектра контура при дополнении его кода нулями: а — для контура Г = {1,г,— 1,— г}; б — для контура Г = = {1; г; — 1; —г; 0; 0; 0; 0}; в — для контура Г = {1; г; — 1; —г; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0}; г — для контура Г = {1; г; -1; —г; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0}
собность спектра, а лишь позволяет получить сглаженное за счет интерполяции представление спектра. При этом возможно устранение неопределенностей в спектре и повышение точности оценивания его пиковых значений [65]. На рис. 2.14 показано
абвабвРис. 2.15. Преобразование размерности контура: а — исходный контур Г, б — контур Г!/2, полученный делением элементарных векторов исходного контура на два, в — контур Г2, полученный повторением два раза каждого элементарного вектора исходного контураРис. 2.15. Преобразование размерности контура: а — исходный контур Г, б — контур Г!/2, полученный делением элементарных векторов исходного контура на два, в — контур Г2, полученный повторением два раза каждого элементарного вектора исходного контураизменение амплитудно-частотного спектра ЭК Г — {1, г, — 1,— г} при последовательном наращивании его размерности: к = 4,^, 12,16.
абв
абв
Рис. 2.15. Преобразование размерности контура: а — исходный контур Г, б — контур Г!/2, полученный делением элементарных векторов исходного контура на два, в — контур Г2, полученный повторением два раза каждого элементарного вектора исходного контура
Рис. 2.15. Преобразование размерности контура: а — исходный контур Г, б — контур Г!/2, полученный делением элементарных векторов исходного контура на два, в — контур Г2, полученный повторением два раза каждого элементарного вектора исходного контура
Дробление или повторение ЭВ контура. Пусть размерность контура меняется путем деления каждого его ЭВ на s одинаковых ЭВ или же каждый его ЭВ повторяется s раз (рис. 2.15). Естественно, что при этом форма изображения, задаваемая контуром, не нарушается. Рассмотрим связь между спектрами исходного и преобразованного контуров. Для конкретности будем
рассматривать контур Г5, полученный повторением s раз каждого ЭВ контура Г. Размерность преобразованного контура Г5 становится равной ks. При нахождении компоненты спектра контура Г5
sk — 1$
Ps(m)—/ Is М ехР i — г—гтп м т ~ 0,1,... , sk — 1,(2.7.1)
I sk J n=0
РРт = 0,1,... , к — 1,т = 0,1,... , к — 1,видим, что в выражение для нее входит составляющая
Р
Р
т = 0,1,... , к — 1,
т = 0,1,... , к — 1,
являющаяся компонентой спектра исходного контура. Кроме того, в выражение (2.7.1) входят составляющие
р (т) ехр |— г—2тр (т) ехр |— г—2тРР(т) ехр |—г— (s — 1(т) ехр |—г— (s — 1
р (т) ехр |— г—2т
р (т) ехр |— г—2т
Р
Р
(т) ехр |—г— (s — 1
(т) ехр |—г— (s — 1
Поэтому
s-lPs = р (т) ехр < —г—ттz—'I skr=0s-lPs = р (т) ехр < —г—ттz—'I skr=0m = 0,1,... , sA: — 1.(2.7.2)m = 0,1,... , sA: — 1.(2.7.2)
s-l
Ps = р (т) ехр < —г—ттz—'I sk
r=0
s-l
Ps = р (т) ехр < —г—ттz—'I sk
r=0
m = 0,1,... , sA: — 1.(2.7.2)
m = 0,1,... , sA: — 1.(2.7.2)
На рис. 2.16 показаны спектры контуров при повторении два и три раза каждого ЭВ контура квадрата Г1 (см. рис. 2.15).
При преобразовании размерности контура путем дробления на s одинаковых частей каждого его ЭВ спектр преобразованного контура будет
в
Рис. 2.16. Спектры контуров, полученных путем повторения ЭВ: а — для исходногоконтура Г = {1; г; — 1; —г}, б — для контура Г = {1; 1; г; г; — 1; — 1; —г; —г}, в —для контура Г = {1; 1; 1; г; г; г; — 1; — 1; — 1; —г; —г; —г}
равен
P1/S (m) =P1/S (m) =1 ~sP1 ~sP8-1(m) 52 exPr=08-1(m) 52 exPr=0( .2tf5 —г—rmI sk( .2tf5 —г—rmI skm = 0,1,... ^sk-l. (2.7.3)m = 0,1,... ^sk-l. (2.7.3)
P1/S (m) =
P1/S (m) =
1 ~sP
1 ~sP
8-1
(m) 52 exP
r=0
8-1
(m) 52 exP
r=0
( .2tf
5 —г—rm
I sk
( .2tf
5 —г—rm
I sk
m = 0,1,... ^sk-l. (2.7.3)
m = 0,1,... ^sk-l. (2.7.3)
Как следует из полученных выражений, спектры преобразованного и исходного контуров функционально связаны, причем, если какая-то компонента спектра исходного контура, например р(0), равна нулю, то нулевыми окажутся компоненты ps (0), ps (0 + k), ps (0 + 2A:)... спектра преобразованного контура. При пользовании выражениями (2.7.2) и (2.7.3) необходимо учитывать свойство периодичности значений компонент спектра исходного контура:
р (m) = р(т + ак), а = 0, ±1, ±2,...
В следующих разделах будут рассмотрены процедуры эквализации и стандартизации ЭВ контура Г, также сохраняющие при изменении его размерности информацию о форме изображения.
Корреляционный анализ контуров
Корреляционные функции комплекснозначных сигналов. ВКФ и АКФ дискретных комплекснозначных сигналов могут быть введены на основе скалярного произведения (N, Г) в пространстве Ск векторов N = {^(™)} и Г = {7(71)}, задающих эти сигналы. По определению (см. п. 1.3 и [46])
к-1к-1
(N.T) = ^2 1/(тг) 7* (п) и (Г, N) = (N,T)* = 52^(n)*7(n)- (2-8.1) n=0n=0
Для получения ВКФ т (т) сигналов N и Г полагаем, что эти сигналы обладают свойством периодичности
v (п) = v (п ± «А;) и 7 (п) = 7 (тг ± ак^, п = 0,1,... , к — 1, (2.8.2) где а — целое число, а начало одного из сигналов, например Г, меняется скользящим образом. Тогда для каждого положения начальной точки сигнала Г можно получить отдельные значения скалярного произведения; к различных значений этих скалярных произведений образуют ВКФ сигналов N и Г:
к-1
т (т>) ~ 52 v (n) 7* (n + т^ т ~ ^’ 1’' * * ^ — 1.(2.8.3)
п=О
При N = Г ВКФ переходит в АКФ
к-1
т (т) = 52 7 W 7* (го + m), т = 0,1,... , к — 1.(2.8.4)
п=О
Из выражения (1.3.5) для квадрата расстояния между векторами N и Г в пространстве Ск следует, что ВКФ т ^т\ как полный набор значений скалярных произведений вектора N на вектор Г^ш^ со смещенным положением начальной компоненты 7 (т), т = 0,1,... , к — 1, является характеристикой близости векторов N и Г^ш\
Аналогично АКФ т (т) вектора Г служит характеристикой близости этого вектора со своей копией Г^ш\ имеющий в качестве начальной компоненты ЭВ 7 (т). Все особые свойства скалярного произведения в пространстве Ск, рассмотренные в п. 1.4, имеют место для ВКФ и АКФ векторов N и Г в этом же пространстве. Поэтому ВКФ в пространстве Ск позволяет обнаружить высокую степень близости векторов N и Г инвариантно к углу их взаимного поворота, сдвигу начальной точки и масштабу. ВКФ в пространстве Е2/с такими возможностями не обладает. Так как масштаб и угол взаимного поворота двух изображений, а также положения начальных точек их контуров не должны влиять на результаты распознавания изображений по их форме, то ВКФ в пространстве Ск будет в дальнейшем применяться как базовая аналитическая конструкция при рассмотрении контуров изображений.
Отсчеты ВКФ и АКФ являются комплексными числами и могут быть представлены последовательностью векторов на плоскости, т.е. в виде контура Т = {T(m)}o,k-1 <РИС- 2Л7)-
Рис. 2.17. Контуры Г и N и контур Т их взаимнокорреляционой функции
Рассмотрим свойства ВКФ и АКФ, заданных выражениями (2.8.3) и (2.8.4). Договоримся переменную т называть внешней, а переменную п — внутренней.
Периодичность. Из выражения (2.8.2) следует, что
/с-1
г (m ± ак^ = ^2 v W Ч* (n + m ± ак) = т (т).
71 = 0
Отсюда также вытекает, что т (—т) = т (к — т\
Симметричность. Отсчет ВКФ в момент (—т) с учетом выражения (2.8.3) равен
к-1к-1
т {—т) = т (к — т) = ^2 v (n) ^* (п -V к — т) = У2 v (п) 7* (n — mY п=0п=0
Таким образом, изменение знака внешней переменной т приводит к обратному порядку следований отсчетов ВКФ. Если ВКФ т (т) представлена к-1
в виде т (т^) = ^2 v (n + т) 7* И, т.е. если внешняя переменная отнесе- п=0
на к первому, а не ко второму сомножителю, то свойство симметричности определяется соотношением
/с-1
т (к — т) = У2 v (п — т^) у* (п).
п=0
Эквивалентность. Выясним связь между ВКФ, в которых внешняя переменная относится к разным сомножителям. Покажем, что
/с-1/с-1
т (т) = ^2 v W1* (п + m) = У2 ^ (^ — m) 7* (п).(2.8.5)
п=0п=0
Для этого введем новую переменную s = п + т. Тогда первая сумма в
выражениях (2.8.5) примет вид т (т) = ^ v(s — т)^* (п). Учитывая п=0
периодичность отсчетов и (п) и 7 (п) и обозначая s через п, получаем, что
к-1
т (т) = У2 v (п — т) ч* (nY
п=0
Таким образом, перенос внешней переменной в выражении для ВКФ от одного сомножителя к другому при сохранении значения ВКФ приводит к изменению знака этой переменной. Аналогично показывается, что
к-1к-1
т {к — т) = ^2 ^ (^ + т) 7* (п) = ^2 v (п) 7* (n “ mYп=0п=0
Комплексная сопряженность. Перенос знака комплексной сопряженности в выражении (2.8.3) для ВКФ от одного сомножителя к другому
приводит к комплексно сопряженному виду отсчета ВКФ, т.е. т* (т) = /с-1
— ^ v* W (тг-Гт). Справедливость этого выражения основана на том, п=0
ЧТО
"/с-1I *к-1
^^ v (п) 7* (n + т) = У^ v* (п) 7 (n + т).
_n=0Jп=0
к — 1
Аналогично показывается, что т* (m) = ^ v* (п ~ т) Ч (п\
п=0
Таким образом, основные свойства ВКФ комплекснозначных периодических сигналов заключаются в следующем:
ВКФ является периодической функцией с периодом к;
изменение знака внешней переменной тп приводит к обратному порядку следования отсчета функции;
изменение места внешней переменной тп также приводит к обратному порядку следования отсчетов функции;
одновременное изменение знака и места внешней переменной сохраняет первоначальный порядок отсчетов ВКФ:
к —1к—1
т (т) = ^2 v W У* (п + тп) = ^ v (п — m) Wi (2.8.6) п=0п=0
к-1к-1
т (к — тп) = ^^ v (п) (тг — тп) = ^^ ^ (^ + т) 7* (п);(2.8.7)
п=0п=0
смена положения стоящей под знаком суммы комплексно сопряженной функции приводит к комплексной сопряженности отсчетов ВКФ
к-1к-1
Т* (тп) — У^ V* (п) 7 (п + тп) = ^2 ^* (тг — тп)^ (п), п=0п=0(2.8.8)
к-1к-1V 7
т* (к — тп) = У^ v* (п) у (п — тп) = ^2 v* (п + тп)^ (п).
п=0п=0
Свойства АКФ сигнала Г, представленного в пространстве Ск, вытекают из того, что АКФ представляет собой частный случай ВКФ при N = Г. Однако в виду важности этой функции для целей контурного анализа рассмотрим свойства АКФ более подробно. /с-1
АКФ т (тп) = 52 7 W У^ (п + ш) контура Г = {7 (п)}0 А._1 явля- п=0’
ется периодической функцией с периодом к;
Нулевой отсчет АКФ равен квадрату нормы (энергии) контура Г, причем этот отсчет по модулю является максимальным, т.е. г (0) = ||Г||2 и г (0) ^ |т(т)|, тп = ±1,±2,... Действительно, при тп = 0 выраже-
ние (2.8.4) принимает вид
/с-1/с —1
т (°) = 52 7 М 7* (n) = 52 !'">' Ml2 = нгп2-
п=0п=0
Покажем теперь, что т (0) является максимальным по модулю отсчетом ВКФ. В общем случае т(т) = (Г, Г^), где Г^ — вектор Г с начальной компонентой 7 (т). В соответствии с неравенством Коши- Буняковского |(Г,ГМ)| < ||Г||||г(т)||. Так как норма вектора не зависит от выбора его начальной компоненты, то ||Г^т^|| = ||Г||. Поэтому ||(Г,Г(-))||^||Г||2=т(0);
Смена знака или места внешней переменной т приводит к обратному порядку отсчетов АКФ:
/с-1/с-1
т (А; — т) = ^2 7 W (тг — т) — У2 7 (п + т) 7* (п);
п=0п=0
Одновременная смена места и знака внешней переменной сохраняет первоначальный порядок отсчетов АКФ:
/с —1/с—1
т (т) = ^2 7 (п) 7* (n-V т?) = ^ 7 (п ~ ш) 7* (п)-п=0п=0
Отсчеты т (т) и т (к — т) АКФ являются комплексно сопряженными числами, т.е. т (т) = т* (к — т); т (т) = т* (—т).
Отсюда следует, что смена знака аргумента АКФ приводит к комплексной сопряженности отсчета функции. Из последнего выражения также вытекает, что |т(т)| = |т(—m)| = |т (А: — т)| и arg т(т) = = — arg г (—m) = — arg г (А; — m). Если построить график модулей отсчетов АКФ т(т), то он будет характеризоваться центральной симметрией относительно отсчета т(0) = ||Г||2, периодичностью отсчетов с периодом, равным к, и симметрией внутри каждого периода относительно центрального отсчета (рис. 2.18).
Рис. 2.18. Фрагмент графика модулей отсчетов АКФ контура Г = {1 4- 3г;3; 1 — 2г; 3; 2г; —2 + 2г; —6; —5г}
Относительно контура АКФ отметим, что его ЭВ получаются соотношением (1.8.5) т (т) = т* (к — т) = т* (—т), т.е. контур Т = {г (т)}0 к-1 является сопряженно-симметрическим (см. рис. 2.19) и как показано в п. 2.5,
Рис. 2.19. Контур Г и контур Т его автокорреляционой функции
его спектр носит чисто вещественный характер. Это становится понятным, если учесть, что роль такого спектра играет энергетический спектр исходного контура Г. При четной размерности контура т (к/2) = т* (к/2), что возможно лишь при Im г (к/2) = 0. Поэтому величина т (к/2) будет чисто вещественным числом, а ЭВ т^к!2\ как и ЭВ т(0), будет расположен горизонтально.
Корреляционные свойства контуров специального вида. Корреляционные функции элементарных контуров. Выражение для АКФ элементарного контура Гу, j = 1,2,... , к — 1, понимаемое в данном случае как набор скалярных произведений ЭК Гу и TyS\ s = 0,1,... , к — 1, Г^ — тот же контур Гу, но со сдвинутой на s ЭВ начальной точкой, имеет вид
Tj (s) = (г>, Г^’) = 52 7,- W ^ (n + s),(2 8 9)
j = 1,2,... ,к - 1, s = 0,1,... ,*-1.
Прежде всего отметим, что отсчеты определенной таким образом АКФ для произвольного замкнутого контура Г будут комплексными числами и рассматриваются как упорядоченная последовательность ЭВ т (s), з = 0,1,... , /с — 1. Данные отсчеты образуют замкнутый контур Т = = (т (5)}о k-v Действительно, суммируя компоненты АКФ, будем иметь
к-1к-1 к-1к-1к-1
52 T(s) ~ 52 52^7* (n+ s)= 52 7 (п)52 7* (n +s)'(2.810)
s=Oз=0 п=0п=0з=0
Внутренняя сумма впоследнем выражениидля исходного замкнутого
контура равна нулю. Поэтому нулю будет равна и сумма всех компонент АКФ. Отсюда следует, что Т — замкнутый контур. Подставляя в (2.8.10) выражение для ЭВ элементарного контура, получим
к-1
Tj (8) = £ exp ^-г2^ =kexp^-i^jsy
п=0'
7 = 1,2,... ,к — 1,8 = 0,1,... ,к- 1.
Из данного результата следует, что отсчеты АКФ элементарного кон
тура порядка j, рассматриваемые как ЭВ, образуют элементарный контур
тарный контур Г1 и контур Ti его АКФ для к = 4тарный контур Г1 и контур Ti его АКФ для к = 4Tj того же порядка, но растянутый в к раз. При этом контур Т^ = {ту (s)}0 к-1 прослеживается в направлении, обратном контуру Г, и ортогонален ему (рис. 2.20). С учетом выражения (2.8.11) и свойства сопряженности ЭК получим, что
тарный контур Г1 и контур Ti его АКФ для к = 4
тарный контур Г1 и контур Ti его АКФ для к = 4
Tj = Г^ = Г*. (2.8.12)
Таким образом, контур АКФ Tj исходного элементарного контура Г^ есть ЭК Vk_j. ВКФ элементарных контуров представляет собой набор скалярных произведений ЭК Ги
и Гр\ где s = 0,1,... к — 1, параметр сдвига начальной точки контура Г/, причем j I:
к-1
(2.8.13)(2.8.13)Тз1 (з) = (г,-, Г,М) = ^ Ъ W 71* (n + s),п=О
(2.8.13)
(2.8.13)
У I = 1, 2,... , к — 1, j ф I, s = 0,1,... , к — 1.
На основании свойства 5 элементарных контуров (см. (2.2.10)) ВКФ т^(5)=0, 5 = 0,1,... , к- 1. (2.8.14)
Таким образом, ВКФ элементарных контуров разных порядков, имеющих произвольные масштабы, углы поворотов и сдвиги начальных точек, везде равна нулю.
АКФ дельтовидного контура. Код дельтовидного контура А = = {5 (п)}0 к-1 был определен в п. 1.8 виде
А = ^к - 1, -1, -1,... , -1}. (2.8.15)
Квадрат нормы такого контура равен || А||2 = к (к — 1). Найдем АКФ Т = {г (s)}0 к-1 контура А. При 5 = 0 значение т (0) = || А||2 = к2 — к. Для других 5 все значения АКФ т (s), определенные в соответствии с выражением (2.8.4) и (2.8.5), будут одинаковыми и равными (-к\ Поэтому Т = ^к (к — 1), —к, —к^... , —kY Если данную АКФ пронормировать по величине размерности, то Т = к А. Таким образом, АКФ дельтовидного контура А представляет собой увеличенный в к раз контур А. Если эту АКФ изобразить в виде графика т (s) = р (s) /к, то ее составляющая т (0) будет по модулю в (к — 1) раз больше любой другой ее составляющей (рис. 2.21). При больших значениях к вид АКФ Т близок к виду символа Кронекера.
При анализе комплекснозначных сигналов, обладающих свойством замкнутости (1.5.5), контур А играет такую же роль, как и 5-функция при анализе обычных сигналов. Ему соответствует сложный радиосигнал из к кодовых интервалов. Амплитуда синусоиды в пределах нулевого
r(s)
9
-9 -8 -7 -6-5 -4-3-2-10 123 456789
। । । । । । и।Г ।।। ।।।।II*
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-15
Рис. 2.21. АКФ дельтовидного контура при к = 10
интервала равна &—1, а на всех других интервалах — единице. Начальная фаза синусоиды нулевого интервала также равна нулю, а для всех других интервалов — тг (рис. 2.22).Как и у кодов Баркера [55], АКФ дельтовидного контура имеет боковые лепестки, не превышающие единичный уровень, причем для любого значения размерности к. Однако энергетика сигнала в виде контура А значительно хуже, чем у сигналов в виде кодов Баркера или псевдослучайных сигналов. Основная энергия дельтовидного сигнала сосредоточена в пределах нулевого кодового интервала и в (к — 1) раз превышает суммарную энергию во всех других кодовых интервалах. Это объясняется большим значением амплитуды синусоиды нулевого кодового интервала, в (к — 1) раз большей амплитуды синусоиды в любом другом кодовом интервале. В то же время амплитудаинтервала равна &—1, а на всех других интервалах — единице. Начальная фаза синусоиды нулевого интервала также равна нулю, а для всех других интервалов — тг (рис. 2.22).Как и у кодов Баркера [55], АКФ дельтовидного контура имеет боковые лепестки, не превышающие единичный уровень, причем для любого значения размерности к. Однако энергетика сигнала в виде контура А значительно хуже, чем у сигналов в виде кодов Баркера или псевдослучайных сигналов. Основная энергия дельтовидного сигнала сосредоточена в пределах нулевого кодового интервала и в (к — 1) раз превышает суммарную энергию во всех других кодовых интервалах. Это объясняется большим значением амплитуды синусоиды нулевого кодового интервала, в (к — 1) раз большей амплитуды синусоиды в любом другом кодовом интервале. В то же время амплитудаЛЛоо0: L 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:0: L 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:ппРис. 2.22. Сложный сигнал, соответ-ствующий дельтовидному контуру прик = 10Рис. 2.22. Сложный сигнал, соответ-ствующий дельтовидному контуру прик = 10
интервала равна &—1, а на всех других интервалах — единице. Начальная фаза синусоиды нулевого интервала также равна нулю, а для всех других интервалов — тг (рис. 2.22).
Как и у кодов Баркера [55], АКФ дельтовидного контура имеет боковые лепестки, не превышающие единичный уровень, причем для любого значения размерности к. Однако энергетика сигнала в виде контура А значительно хуже, чем у сигналов в виде кодов Баркера или псевдослучайных сигналов. Основная энергия дельтовидного сигнала сосредоточена в пределах нулевого кодового интервала и в (к — 1) раз превышает суммарную энергию во всех других кодовых интервалах. Это объясняется большим значением амплитуды синусоиды нулевого кодового интервала, в (к — 1) раз большей амплитуды синусоиды в любом другом кодовом интервале. В то же время амплитуда
интервала равна &—1, а на всех других интервалах — единице. Начальная фаза синусоиды нулевого интервала также равна нулю, а для всех других интервалов — тг (рис. 2.22).
Как и у кодов Баркера [55], АКФ дельтовидного контура имеет боковые лепестки, не превышающие единичный уровень, причем для любого значения размерности к. Однако энергетика сигнала в виде контура А значительно хуже, чем у сигналов в виде кодов Баркера или псевдослучайных сигналов. Основная энергия дельтовидного сигнала сосредоточена в пределах нулевого кодового интервала и в (к — 1) раз превышает суммарную энергию во всех других кодовых интервалах. Это объясняется большим значением амплитуды синусоиды нулевого кодового интервала, в (к — 1) раз большей амплитуды синусоиды в любом другом кодовом интервале. В то же время амплитуда
Л
Л
о
о
0: L 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:
0: L 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:
п
п
Рис. 2.22. Сложный сигнал, соответ-ствующий дельтовидному контуру прик = 10
Рис. 2.22. Сложный сигнал, соответ-ствующий дельтовидному контуру прик = 10
синусоид в псевдослучайных сигналах и сигналах, связанных с кодами Баркера, во всех кодовых интервалах одинакова, что, с энергетической точки зрения, обеспечивает эффективность сжатия таких сигналов.
Сигнал в виде дельтовидного контура замечателен тем, что при данном значении размерности к в классе замкнутых сигналов он имеет наиболее сложную форму. Сложность формы сигнала понимается в данном случае как практически полное отсутствие корреляционной связи между отсчетами АКФ при любых значениях s, кроме s = 0. Степень схожести растет пропорционально увеличению размерности к контура А.
Обсуждение результатов по спектральному и корреляционному анализу контуров
Вопросам спектрального анализа сигналов посвящено значительное количество работ. Их рассмотрение традиционно в учебной литературе по радиоэлектронике, автоматике, цифровой обработке информации и др. отраслям знаний, связанных с обработкой сигналов.
Аппарат ДПФ широко применяется для получения спектров сигналов в частотной области и изучения их свойств. Хотя принципи-
ально применение этого аппарата не накладывает ограничений на вид аналитического представления сигнала, обычно рагаиатрмваетса лишь случай, когда сигнал носит вещественный характер. В работе [102], посвященной цифровому спектральному анализу и его приложениям, подчеркивается это обстоятельство и указывается, что с комштексноанач- ными сигналами приходится встречаться, в основном; при умножении вещественного сигнала на комплексную синусоиду exp {ш/t}.. В нашем случае, связанным с обработкой полигональных контуров, исходный сигнал является комплекснозначным по своей природе. Он описывается цепочкой компланарных ЭВ, каждый из которых определяется комплексным числом.
Контур в виде набора действительных чисел является вырожденным и представляет сугубо частный случай. Поэтому основные результаты спектрального анализа действительных сигналов не всегда непосредственно применимы к сигналам в виде полигональных контуров. Кроме того, контур изображения из-за непрерывности границы реального изображения всегда замкнут и сумма его ЭВ равна нулю. Этот фактор также влияет на свойства контуров в частотной области.
Подводя итог проведенному в данной главе анализу, в первую очередь необходимо отметить особенности спектров полигональных контуров, вызванных комплекснозначным характером их представления и замкнутостью. При этом предполагается сравнение спектров одномерных вещественных и комплекснозначных сигналов.
Спектр вещественного сигнала из к отсчетов обладает свойством сопряженной симметрии и его значения характеризуются симметрично расположенными комплексно сопряженными парами. Поэтому амплитудный спектр вещественного сигнала симметричен относительно центрального отсчета и при его использовании достаточно учитывать лишь одну половину значений спектра. Спектр комплекснозначного сигнала в общем случае свойством сопряженной симметрии не обладает, в связи с чем необходимо рассматривать все к отсчетов.
Ряд преобразований контуров приводит к тому, что для определения спектра нового контура используется уже не прямое, а обратное ДПФ исходного контура. К таким преобразованиям относятся операции комплексной сопряженности, отражения и смены направления обхода.
При переходе от исходного к комплексно сопряженному контуру спектр нового контура находится как комплексно сопряженное обратное ДПФ исходного контура.
Спектр контура, отраженного относительно оси, проходящей под углом 6, определяется так же как и спектр комплексно сопряженного контура, но дополнительно каждая его компонента поворачивается на угол 20.
Если изменяется направление обхода и контур обходится против часовой стрелки, то для нахождения спектра нового контура также применяется обратное ДПФ исходного контура. Кроме того, при этом каждая его компонента поворачивается на угол 2и:т/к и изменяется по знаку.
Замкнутость линии контура при многократном обходе приводит к периодичности значений его ЭВ. Период равен числу к ЭВ, составляющих полигональный контур. Следствием этого является периодичность значений спектра контура с той же величиной периода. Сдвиг начальной точки замкнутого контура на d ЭВ приводит к повороту каждой компоненты спектра исходного контура на угол ^Tvmd/k.
Наиболее важным для приложений следствием замкнутости линии контура является равенство нулю нулевой компоненты его спектра.
Отметим, что замкнутость линии исходного контура не связана с замкнутостью контура, образуемого компонентами спектра. Если нулевой ЭВ исходного контура не равен нулю, что чаще всего имеет место, то контур спектра всегда разомкнут.
Вторым важным результатом рассмотрения частотного представления контуров является введение двух видов контуров, обладающих замечательными спектральными свойствами.
Аналогом вещественного дискретного сигнала с равномерным спектром, каким является единичный импульс, в классе комплекснозначных сигналов, обладающих свойством замкнутости, служит дельтовидный контур.
Аналогом гармонического сигнала, спектр которого содержит только одну ненулевую компоненту, в рассматриваемом классе сигналов являются элементарные контуры. Эти контуры задают правильные или звездчатоправильные fc-угольники и для каждого значения к существуют к — 1 замкнутых ЭК. Элементарный контур нулевого порядка не замкнут, так как представляет собой цепочку из к коллинеарных контуров. С элементарным контуром порядка т ассоциируется понятие частоты, равной т оборотов, при 0 < т ^ к/2 и к — т, при к/2 < т < к, при вращении точки по окружности от начала до конца контура. Таким образом, максимальная частота, соответствующая контуру, равна к (I.
Семейство ЭК с одним и тем же значением к образуют ортогональный базис. По этому базису разлагается произвольный полигональный контур, причем проекциями контура являются компоненты его спектра. Таким образом, подобно тому как любой вещественный сигнал представляется взвешенной суммой синусоид, так и любой контур равен взвешенной сумме ЭК.
Следующий, заслуживающий внимания результат спектрального анализа контуров касается соотношения между элементарными векторами контура и шириной спектра. Под шириной спектра будем понимать частотный интервал, в пределах которого модули компонент спектра не меньше наперед заданного уровня. Для действительных сигналов, например, прямоугольного видеоимпульса, имеет место хорошо известная закономерность: чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр и наоборот.
Для рассматриваемых видов контуров аналогичное соотношение формулируется так: увеличение одного ЭВ контура по модулю приводит к расширению его спектра и обратно — если одна компонента спектра контура по модулю растет, то модули ЭВ контура уравниваются по величине. В первом случае мы имеем широкополосный (дельтоподобный), во втором — узкополосный (квазиэлементарный) контуры.
Чем чаще встречаются изломы линии контура и чем резче меняется ее направление, тем больше энергия составляющих этот контур высокочастотных элементарных контуров.
Корреляционная функция Т = {т(ш)}ол-1 nePn°AH4eCKIlx комплекснозначных дискретных сигналов вводится как упорядоченный набор скалярных произведений вектора Г одного из сигналов на вектор N(m) другого сигнала со смещенными на т элементов точками. По сравнению с определением корреляционной функции вещественных сигналов отличие заключается в том, что при нахождении каждого из отсчетов один из векторов берется комплексно сопряженным. Это позволяет модуль каждого такого отсчета рассматривать как взаимную энергию связи векторов Г и N^m\
Контур Т = {т (т)}0 к-1 автокорреляционной функции контура Г = = {7(п)} является сопряженно-симметрическим. Его ЭВ подчиняются соотношению т (т) = т* (к — т). ЭВ т (0) равен квадрату нормы ||Г||2, расположен горизонтально и направлен вправо. Вертикаль, проходящая через середину ЭВ т(0), является осью симметрии контура АКФ Т = = {т (т)}0 /с_1. Спектр контура АКФ является чисто вещественным и является энергетическим спектром контура Г.
АКФ Ту = ^Tj (т^0 к_г элементарного контура Гу представляет собой также элементарный контур, но сопряженный с контуром Гу и измененный в масштабе, т.е. Ту = kr^-j, 3 = 0,1,... , к — 1. Все значения ВКФ элементарных контуров Гу и Г/, I / j равны нулю, т.е. ту (т) = 0, j 0 Ц тп = 0,1,... , к — 1.
АКФ Т = {г (т)}0 к-1 дельтовидного контура Д также является дельтовидным контуром, т.е. Т = &Д и при большом значении размерности к она мало отличается от символа Кронекера. ВКФ дельтовидного контура Д и произвольного замкнутого контура Г представляет собой измененный в масштабе комплексно сопряженный контур Г, т.е. Тдг = кГ^*Х
Вопросы и упражнения
Какая связь существует между скалярным произведением векторов и их ДПФ?
В чем заключаются характерные особенности спектров Фурье вещественных дискретных сигналов?
Почему при анализе амплитудного спектра вещественного дискретного сигнала из к отсчетов достаточно использовать половину отсчетов с р (0) по Р(^/2)?
Какая характеристика полнее характеризует контур — его спектр или АКФ?
Дайте определение энергетического спектра контура.
В чем состоят различия между спектрами Фурье вещественных и комплекснозначных сигналов?
Как с помощью алгоритма прямого ДПФ найти обратное ДПФ контура?
Во сколько раз энергия суммы ЭК Г^ и Г/ при j = I больше энергии их суммы при у ^ Z?
Как изменяется форма ЭК при изменении его порядка от m = 1 дот = k — Р
Каким преобразованиям подвергается контур спектра, если исходный контур поворачивается на угол Ду? = тг/6 и растягивается в 2 раза?
Почему контур спектра исходного замкнутого контура Г при 7 (0) ^ О всегда не замкнут?
Каким преобразованиям подвергается контур спектра при отражении исходного контура относительно оси, проходящей под углом 6 = 45° ?
Почему постоянная составляющая р (0) спектра замкнутого контура всегда равна нулю?
Какое свойство приобретает контур спектра Р, если в исходном контуре Г положить 7 (0) = 0?
Будет ли контур Г = {2г; —г; —г} дельтовидным?
Изобразите график спектра правильного шестиугольника.
Проверьте ортогональность правильных треугольников Г1 = {1; —0,5 4- 0,866г; 0,5 - 0,866г}; Г2 = {1; -0,5 - 0,866г; -0,5 4- 0,866г}.
Может ли контур спектра Р = {0; 2 — г; 1 + г} соответствовать контуру Г = = {1 + г;1-г;-2}?
Как изменится вид спектра замкнутого контура, прослеживаемого по часовой стрелке, при изменении направления его обхода?
В чем отличие контура свертки двух контуров от контура взаимной корреляции этих контуров?
Найдите спектр квадрата Г = {1; г; — 1; —г} при сдвиге его начальной точки на d = 1 элементарный вектор.
Какова характерная особенность спектра контура, у которого один ЭВ по модулю значительно превалирует над другими ЭВ?
Представьте контур Г = {5 + 2г; 4 — 5г; —2 - Зг; -4г; — 7 4- 10г} в виде суммы сопряженно-симметрического и сопряженно-антисимметрического контуров.
Получите разложение контура Г = {3 — 4г; 1 — г; 1 4- 5г; —3 — г; —2 4- г} на ЭК.
Найдите обратное ДПФ контура Р = {0; —7,987 — 0,077г; —2,959 — 12, 576г;
16,577 4- 4,160г; 19,369 4-18,494г}.
Вычислите спектр контура А = {5,-1,—1,-1,-1,-1}.
Как связаны между собой спектры контуров Г = {2; —1 + г; —1 - г} nN = = {2; —1 — г; —1 4- г}?
Найдите АКФ контура Г = {4г; 5 4-2г; 2 — 6г;-7} с помощью ДПФ его энергетического спектра.
Глава 3
ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ КОНТУРОВ
Введение
В данном разделе развиваются основные положения спектрального анализа полигональных контуров, связанные с целенаправленным изменением весовых коэффициентов при задании произвольного контура линейной комбинацией элементарных контуров. Роль этих коэффициентов играют элементы спектра преобразуемого контура. Уменьшение по модулю коэффициентов при ЭК в низкочастотной области спектра контура приводит к подчеркиванию ЭК, порядок которых близок к т = к/2, т.е. происходит эффект высокочастотной фильтрации. В результате преобразованный контур станет более изрезанным и в нем даже могут появиться самопересекающиеся фрагменты. Обратная процедура, т.е. уменьшение по модулю коэффициентов при высокочастотных ЭК, приводит к эффекту низкочастотной фильтрации, и преобразованный контур приобретет сглаженные очертания.
Таким образом, спектральное представление контуров позволяет естественным образом перейти к их линейной фильтрации — низкочастотной, высокочастотной и полосовой. Особенности работы контурных линейных фильтров вызваны комплекснозначным характером такого сигнала, как контур.
К контурным линейным фильтрам в данном разделе не предъявляются требования к равномерности характеристики в заданном диапазоне частот, крутизне среза и затуханию в полосе непрозрачности. Фильтр рассматривается в целом как система анализа формы изображения по его контуру [62].
Основные применения контурных линейных фильтров при обработке изображений связаны с подавлением контурных высокочастотных шумов, сжатием описания контуров, получением информативных признаков для распознавания изображений, а также вычисления меры схожести двух изображений по их форме.
Основные соотношения при линейной фильтрации контуров
Контурный линейный фильтр представим в виде линейного четырехполюсника с импульсной характеристикой (ИХ) Л = {А^)}^-^ и частотным коэффициентом передачи П = {w (т)}0 ^р На вход фильтра
поступает сигнал Г =поступает сигнал Г =Рис. 3.1. Контурный линейный фильтр как четырехполюсникРис. 3.1. Контурный линейный фильтр как четырехполюсник{7 (пИо k-i’ формирующий на выходе сигнал H = h(s)}0,fc-i (Рис- 31)-
поступает сигнал Г =
поступает сигнал Г =
Рис. 3.1. Контурный линейный фильтр как четырехполюсник
Рис. 3.1. Контурный линейный фильтр как четырехполюсник
k-i^s) 7 52 A(n^(s -п) =n=0k-i^s) 7 52 A(n^(s -п) =n=0k-1k-1^EA(n) 52 P(m)expn=0m=0k-1k-1^EA(n) 52 P(m)expn=0m=0£ 52 ^(m) exp (iy ms m=0£ 52 ^(m) exp (iy ms m=0. 2тг г—тпk. 2тг г—тпkСигналы Г, Н и характеристики фильтра Л и П будем рассматривать как контуры с размерностью, равной А:. Отсчет выходного сигнала — ЭВ ту (s) контура Н, представленный как ЭВ свертки контуров Л и Г, с учетом обратного ДПФ вектора 7 (п) записывается в виде
k-i
^s) 7 52 A(n^(s -п) =
n=0
k-i
^s) 7 52 A(n^(s -п) =
n=0
k-1k-1
^EA(n) 52 P(m)exp
n=0m=0
k-1k-1
^EA(n) 52 P(m)exp
n=0m=0
£ 52 ^(m) exp (iy ms m=0
£ 52 ^(m) exp (iy ms m=0
. 2тг г—тп
k
. 2тг г—тп
k
s = 0,1,... , A: — 1.
Введем обозначение для внутренней суммы
m = 0,1,... , k — 1.m = 0,1,... , k — 1.(3.2.1)(3.2.1)k-1
m = 0,1,... , k — 1.
m = 0,1,... , k — 1.
(3.2.1)
(3.2.1)
cu (m) = У^ A (n) exp
n=0
Тогда, принимая во внимание выражение (1.8.3) для ЭК, получим
Величина w (т) = рВых(тп)/р (т) есть ЭВ контура частотного коэффициента передачи фильтра. Из выражения (3.2.2.) следует, что выходной контур Н равен взвешенной сумме ЭК Тт1т = 0,1,... , к — 1, весами в которой служит ЭВ рвых (т) контура спектра на выходе фильтра. Из этого же выражения становится понятным механизм работы контурного линейного фильтра: для получения s-ro отсчета каждый s-й элементарный вектор ЭК порядка т, взятый с весом соответствующей спектральной составляющей р (т), умножается на комплексное число w (т) и полученные произведения суммируются, т.е.
k-i
7/(s) = ^52 шНрН7т(з), s = 0, l,...,fc —1.(3.2.3)
m=0
Контурный линейный фильтр обладает всеми свойствами, характерными для цифровых линейных фильтров. Эти свойства хорошо известны (см. например, [61-63]). Учитывая комплекснозначный характер и свойства замкнутости контура, рассмотрим, какими дополнительно особыми свойствами обладает этот фильтр.
Условие подавления постоянной составляющей. Пусть т = 0, тогда из (3.2.1) следует, что
к — 1
а,(0) = 52 А (п).(3.2.4)
71 = 0
Таким образом, нулевой ЭВ контура П частотного коэффициента передачи равен сумме всех ЭВ контура Л импульсной характеристики фильтра.
к-1
Если контур Л замкнут, т.е. если 52 А (п) = 0, то w (0) = 0. Покажем, п=0
что имеет место и обратное утверждение. С учетом выражения (2.3.2) для обратного ДПФ и представления (2.1.1) для ЭК получим
fc-i
Л = 152шИГт.(3.2.5)
7П=0
Если ^ (0) = 0, то контур Л как взвешенная сумма замкнутых контуров Гт, т = 1,2,... , к - 1, будет замкнут.
Сумма ЭВ контура частотного коэффициента передачи. Запишем выражение для обратного ДПФ элементарного вектора контура Л:
1k-i2
А (п) = - ^2 ш (т) ехР^ = 0,1,... , к — 1.
т=0
Пусть п = 0. Тогда
к — 1
52 (т) = кХ (0),(3.2.6)
7П=0
т.е. ЭВ кХ (0) контура Л замыкает контур П частотного коэффициента передачи. Отсюда также следует, что если нулевой вектор А (0) контура Л импульсной характеристики фильтра не равен нулю, то контур частотного коэффициента передачи всегда разомкнут. Соотношение (3.2.6) полезно при проверке правильности расчетов по контурным фильтрам.
Условие замкнутости выходного контура фильтра. Пусть фильтруемый контур Г замкнут. Тогда нулевая компонента его спектра равна нулю, т.е. р(0) = 0. Учитывая замкнутость ЭК Гш,т = 1,2,...
k-i
... , к — 1, из выражения (3.2.3) получим 52 ^ (s) = 0, т.е. замкнутость 5=0
входного контура определяет замкнутость выходного контура фильтра при любом виде его ИХ. Отсюда следует периодичность отсчетов фильтра: у (s) = у (s ± afc)
Симметричность ЭВ контура частотного коэффициента передачи. Сравним между собой ЭВ w (т) и ш (к — т) контура П частотного коэффициента передачи фильтра. С помощью выражения (3.2.1) получим
к-1
и; (к — m) = ^ А (n) exp p-^mn}, m = 0,1,... , к — 1.
п=0
Сравнивая полученное выражение с выражением (32.1), приходим к выводу, что только при вещественном характере ИХ фильтра имеют место симметричность модулей и антисимметричность аргументов ЭВ контура Q частотного коэффициента передачи фильтра, т.е.
w(m) = ш*(к-т), Mm)| = |w(k-m)|,/\/1\
arg w = — arg w — m).
Таким образом, если ИХ фильтра носит вещественный характер, то амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра, т.е. |w(m)|, т = = 0,1,... , к — 1, будет симметричной, а фазочастотная характеристика — антисимметричной.
Сохранение параметров линейных преобразований фильтруемого контура. Пусть фильтруемый контур Г растягивается в |/z| раз, поворачивается на угол Ду>, а его начальная точка сдвигается на d ЭВ, т.е. вместо контура Г = {7 (n)}0 к-1 фильтруется сигнальный контур Г^с^ = = {7W (n)}o fc l = д{7 (n + d)}^.,, где д = |^|ехр{гДу). При этом каждая компонента спектра исходного контура (см. разд. 2.3) умножается на комплекс позначный, зависящий от т коэффициент рехр <г—та>.
I к j
С учетом этого на основании выражения (3.2.3) для ЭВ выходного контура получим
к-1
у (s) = р^ ш ^т^Р (m) 7m ($ + d), s = 0,1,... , к — 1.(3.2.8)
т=0
Таким образом, при фильтрации контуров параметры их линейных преобразований сохраняются.
Собственные векторы контурного линейного фильтра. Каждый из ЭК Гт, т = 0,1,... , к — 1, при прохождении через фильтр сохраняет свою форму и подвергается лишь линейным преобразованиям. Для доказательства воспользуемся выражением (3.2.2) и учтем, что контур Ррт спектра элементарного контура Гт содержит лишь одну, не равную нулю составляющую, равную р^т\ т.е. РГт = {0,0,... , 0, р (т), 0,... ,0}. Тогда Н = ш (т) р (т) Гт, т.е. выходной контур фильтра, равен контуРУ г„ г, растянутому в [w (m)| |р (т)| раз и повернутому на угол Ду> = = arg [w (m) р (m)]. Таким образом, любой ЭК размерности к является собственным вектором контурного линейного фильтра.
Фильтрация контуров в частотной области.
Простейшие фильтры
Аналитическое выражение для выходного сигнала контурного линейного фильтра позволяет определить отсчет через элементы спектра или через ЭВ фильтруемого контура. В первом случае будем говорить о контурной фильтрации в частотной, во-втором — в пространственной областях.
В первом случае основной подход базируется на выражении (3.2.2) и состоит из следующих двух этапов.
I — спектр фильтруемого контура Г преобразуется в соответствии с видом контура частотного коэффициента передачи.
II — с помощью обратного ДПФ определяется вид отфильтрованного контура Н. При этом, естественно, должен быть определен или задан спектр Р контура Г. Рассмотрим случай простейшей фильтрации в частотной области, когда одни спектральные составляющие фильтруемого контура отбрасываются, т.е. полагаются равными нулю, другие — проходят через фильтр без изменения. Частотный коэффициент передачи простейшего контурного фильтра состоит из нулей и единиц. Множество номеров ЭВ контура частотного коэффициента передачи разобьем на подмножества Мо и Му. Первое из них включает значения т, для которых uj (т) = 0, второе — значения т, для которых и) (m) = 1. Рассмотрим ряд свойств простейших контурных фильтров.
Выходной сигнал фильтра в соответствии с выражением (3.2.2) имеет вид
Н = {77(r)}ofc_i = i ^ РМГт-тЕМу
Нулевой ЭВ импульсной характеристики фильтра всегда отличен от нуля. Это следует из выражения (3.2.6), которое в данном случае принимает вид 52 ш (т) = ^А (0)- Так как стоящая слева сумма является т^Мл
положительным числом, то А (0)0.
Контур ИХ простейшего фильтра в соответствии с выражением (3.2.5) равен Л = {А (п)}0 к-1 = ~ 52 Гт. Отсюда следует, что
А (п) = 2 ^ ехр ^г^тп|, П = 0, 1, . . . , к — 1.
тЕМу
0)10)1а б вРис. 3.2. Узкополосная фильтра-ция: исходный контур (а), частот-ной коэффициент передачи филь-тра (б), результат фильтрации (в)а б вРис. 3.2. Узкополосная фильтра-ция: исходный контур (а), частот-ной коэффициент передачи филь-тра (б), результат фильтрации (в)Если номер т, равный нулю, принадлежит подмножеству Мо, т.е. 0 € € Мо, то ио (0) = 0 и, в соответствии со свойством 1 контурных линейных фильтров (см. п. 3.2), контур ИХ простейшего фильтра будет замкнут. Справедливо и обратное: если ИХ простейшего фильтра представляет собой замкнутый контур, то номер m = 0 принадлежит подмножеству Мо и си(О) = 0. Таким образом, простейший фильтр, у которого контур ИХ является замкнутым, не пропускает постоянной составляющей сигнала.
0)1
0)1
а б в
Рис. 3.2. Узкополосная фильтра-ция: исходный контур (а), частот-ной коэффициент передачи филь-тра (б), результат фильтрации (в)
а б в
Рис. 3.2. Узкополосная фильтра-ция: исходный контур (а), частот-ной коэффициент передачи филь-тра (б), результат фильтрации (в)
Если подмножество Му состоит из одного элемента m = то, то выходной
сигнал фильтра Н = р (г) Гг, а его ИХ равна Л = Уг/к. Таким образом,
простейший фильтр с полосой пропускания шириной в один элемент воспроизводит на своем выходе независимо от формы входного сигнала элементарный контур Гг. Форма входного сигнала определяет лишь масштаб и угол поворота этого контура (рис. 3.2). ИХ фильтра совпадает с Гг.
Простейший низкочастотный фильтр имеет частотный коэффициент передачи вида Q = {w (0); 1,1,... , 1; 0,0,... , 0; 1,1,... , 1}, а его вы
ходной сигнал равент°т°
Н = i кН = i к" то к — 1 ' ш(О)р(О)Го + р(т)Гт + У^ р(т)Гт . т=1 т=к — то .
Н = i к
Н = i к
Простейший высокочастотный фильтр характеризуется частотным коэффициентом передачи П = {0,0,... , 0,1,1,... , 1,1,0,0,... ,0}. Подмножество Mi такого фильтра содержит значения от т = то, до т = к—то — 1
= к — то — 1. Выходной сигнал фильтра равен Н =^2 Р (т^т- Так
т=то
как т0 > 0, то w (0) = 0 и контур ИХ замкнут.
Пример 1. Осуществим простейшую фильтрацию показанного на рис. 3.3, а замкнутого контура Г:
Г = {—Зг; 5; -3 - 5г; -10,5 + 2г; -2 + 2г; 5 + 4г}.
Разложение контура в базисе ЭК имеет вид
Г = (1,033 + 5,843г) Г1 + (-0,137 - 12,102г) Г2 + (-9,227 + 4, 923г) Г3 +
+ (-12,802 - 22,762г) Г4 + (-1, 539 + 12, 221г) Г5 + (22, 672 - 9,124г) Г6.
На рис. 3.3, б представлен результат низкочастотной фильтрации контура Г с параметром то = 1. Частотный коэффициент передачи такого фильтра равен П = {си (0), 1,0,0,0,0,1}. Так как контур Г замкнут, то р(0) = 0 и поэтому
Рис. 3.3. Фильтрация контуров: исходный контур Г (а), результат НЧ-фильтрации контура Г (б), результат ВЧ-фильтрации контура Г (в)Рис. 3.3. Фильтрация контуров: исходный контур Г (а), результат НЧ-фильтрации контура Г (б), результат ВЧ-фильтрации контура Г (в)
Рис. 3.3. Фильтрация контуров: исходный контур Г (а), результат НЧ-фильтрации контура Г (б), результат ВЧ-фильтрации контура Г (в)
Рис. 3.3. Фильтрация контуров: исходный контур Г (а), результат НЧ-фильтрации контура Г (б), результат ВЧ-фильтрации контура Г (в)
конкретное значение ш (0) не влияет на результат фильтрации. Спектр выходного контура имеет вид РВЫх = {0; 1,033 + 5, 843г; 0; 0; 0; 0; 22,672 - 9,124г}, а контур, найденный в результате обратного ДПФ и равный сумме контуров р (1) Г1 +
+ р (6) Ге, записывается как
н = р (1) Г! + р (6) Г6 = {3, 387 - 0,469г; 0,440 - 2,709г; - 2,812 - 2,910г;
- 3,979 - 0,919г; -2,123 + 1, 764г; 1,331 + 3,118г; 3, 783 + 2,125г}.
В результате низкочастотной фильтрации (рис. 3.3, а и рис. 3.3, б) происходит сглаживание линии контура из-за устранения резких изломов. На рис. 3.3, в показан результат высокочастотной фильтрации контура Г. Частотный коэффициент передачи равен П = {0,0,1,1,1,1,0}. Спектр и аналитическое представление выходного контура соответственно равны
Рвых = {0; 0; -0,137 - 12,102г; -9,227 + 4,923г; -12,802 - 22,762г;
— 1,539 + 12,221г; 0},
Н = Г - р (1) Г1 - р (6) Г6 = {-3,386 - 2,531г; 4,560 + 2,709г; -0,162 - 2,090г;
-6,021 + 0,919г; 7,123 + 0,236г; -3,331 - 1,118г; 1,217 + 1,875г}.
После фильтрации (см. рис. 3.3, в) получился контур с самопересечением сторон, что свидетельствует о преобладании в его спектре ЭК в виде звездчатоправильных многоугольников.
Контурный фильтр скользящего среднего
При обработке контуров в пространственной области широко используются две разновидности линейных нерекурсивных фильтров: фильтр скользящего среднего (ФСС) и фильтр скользящей разности (ФСР). Эти фильтры обладают свойствами соответственно фильтров низкой и высокой частот. В этом разделе мы рассмотрим свойства ФСС.
Частотный коэффициент передачи фильтра скользящего сред
него. ФСС имеет в пространственной области чрезвычайно простую ре
ализацию. Его выходной сигнал равен сумме ЭВ фильтруемого контура Г = {?(n)}ofc-i в пределах фиксированного положения окна из s элементов. При перемещении такого окна на
Рис. 3.4. Расположенное на контуре скользящее окно фильтра шириной s = 5 элементовРис. 3.4. Расположенное на контуре скользящее окно фильтра шириной s = 5 элементовn-м шаге фильтрации на одну позицию ЭВ 7 (п) выходит за пределы окна, а ЭВ 7 (п + s) входит в это окно (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Расположенное на контуре скользящее окно фильтра шириной s = 5 элементов
Рис. 3.4. Расположенное на контуре скользящее окно фильтра шириной s = 5 элементов
T)sW= ^ 7 (г).T)sW= ^ 7 (г).(3.4.1)(3.4.1)Выходной сигнал ФСС будет равен
T)sW= ^ 7 (г).
T)sW= ^ 7 (г).
(3.4.1)
(3.4.1)
Определим спектр выходного контура Н = {т/5 (п)}0Л_г Для этого учтем, что при фильтрации по методу скользящего среднего находится сумма s контуров Г, Г^\ ... , Г(5-1) со сдвину-
тыми на один по отношению друг к другу ЭВ. Найденное через спектр исходного контура Г дискретное преобразование Фурье контура Г^\
у которого начальная точка сдвинута на d элементарных векторов, равно {2тг 3
г—md>. Поэтому спектр Ps отфильтрованного
контура Н будет
{
s — 1
(m) Z2 {*Tmd} ।■(3'4,2)
d=0J 0,/с-1
Теперь можно записать выражение для контура П = {cjs (m)}0 к_г частотного коэффициента передачи ФСС с окном шириной в з элементов
_ у е ii^mdVm = 0,1,... , к — 1.(3.4.3)
р (m)' I к J
Рис. 3.5. Фильтрация контура Г (см. рис. 3.3, а) по методу скользящего среднего с окном з = 2: выходной контур Н2 (а), нормированная АЧХ фильтра (б)
представления для частотного коэффициента передачи ФСС, не содержащие выражений в виде суммы. Запишем выражение для суммарного вектора ЭК порядка т:
Зт (п) ~ 52 7m (г) = £ехр {*^тг}-(3"4'4)
г=0г=0
Сравнивая выражения (3.4.3) и (3.4.4), приходим к выводу, что ЭВ u)s (m) частотного коэффициента передачи ФСС равен суммарному вектору рт (з - 1) ЭК Гт,т.е.ws (т) = Зт(з - 1). Рассматривая выражение (3.4.3) как сумму з членов геометрической прогрессии с начальным членом,
Г. 2тг 3 равным единице, и знаменателем ехр | г"дГтр получим
1 — ехр < г — sm > ws (т) =т = 0,1,... , к — 1.(3.4.5)
1 — ехр < г — s >
Найдем выражение для АЧХ |cus (т)|, т = 0,1,... , к — 1. Для этого в последнем выражении вычислим отдельно модули числителя и знаме-
нателя и учтем известное тригонометрическое соотношение 1 —cos 2а = = 2 sin2 а. В результате получим
. 2 тг ms
9 8Ш
Н(Н|2 = кт^ m = 0A,...,k-V(3.4.7)
sin ——
k
Данные соотношения позволяют пояснить механизм работы ФСС. На основании выражения (3.4.6) фильтр можно представить двумя последовательно соединенными звеньями. Первое из них характеризуется коэффициентом передачи си5д (m) = 1/sin (тит/к\ т = 0,1,... , к — 1. Так как в заданном диапазоне изменения т функция smivm/k имеет вид одной положительной полуволны (рис. 3.6, а), то первое звено являет-
Рис. 3.6. Графики модулей частотного коэффициента передачи ФСС и его звеньев для к = 8, s = 2: а — первого звена, б — второго звена, в — фильтра в целом
ся фильтром низкой частоты. Второе звено с коэффициентом передачи |^s,2 (^)| = |sin (тг ms/к) |, т = 0,1,... , к — 1, является режекторным фильтром с точками режекции, для которых величина ms/к есть целое число (рис. 3.6, б). Совместное действие этих звеньев приводит к тому, что амплитудно-частотная характеристика ФСС будет обладать хорошо выраженным глобальным спадом в области высоких частот и иметь ряд локальных минимумов во всей фильтруемой полосе частот (рис. 3.6, в).
Свойства фильтра скользящего среднего. 1. График АЧХ ФСС симметричен (за исключением нулевой составляющей |от (0)|) относительно центрального значения аргумента. Это следует из общего соотношения (3.4.3):
s—1s—1
ujs (к - т) = ^exp |z^d(A; — т)^ =^ехр { — v^md^ = uj* (m). d=0d=0
Таким образом, ujs (m) = w* (k — m) и |cus (m)\ = |ws (k — m)\.
Отметим также, что отсюда следует не только симметричность отсчетов графика АЧХ, но и, в соответствии со свойствами линейных контурных фильтров (см. п. 3.3), — вещественный характер ИХ фильтра, т.е. Im А (п) = 0, п = 0,1,... Д — 1.
Нулевой ЭВ частотного коэффициента передачи ФСС, как следует из выражения (3.4.3), ujs (0) = s. Так как величина ujs (0) есть сумма k-i
ЭВ контура ИХ фильтра, т.е. ^2 ^ (п) — ^5 (0) + 0, то контур ИХ будет разомкнут.п-°
В соответствии с выражением (3.4.3) ЭВ cj (т) частотного коэффи
циента передачи ФСС есть сумма s векторов вида ехр
= 0,1,... , s — 1, модули которых равны единице. При т = 0 эти з
векторов, имея одинаковые аргументы, складываются синфазно и образуют максимально возможный по модулю отсчет ш (0) = з. Если же т = 1,2,... ,fc — 1, то эти векторы из-за влияния параметра d уже не совпадают по направлению. Поэтому |a/s (m)| < ujs (0) или |w5 (m)| < < s, m = 1, 2,... , к — 1.
Таким образом, АЧХ фильтра имеет при m = 0 максимальный отсчет, равный s, т.е. нулевая составляющая спектра входного сигнала проходит через фильтр с наименьшим затуханием. При фильтрации замкнутого контура эта составляющая всегда отсутствует и на процесс образования выходного контура влияет лишь ЭВ о; (m), m = 1,2,... , к — 1.
Из п.п. 1 и 2 данного раздела следует, что импульсная характеристика ФСС задается вырожденным незамкнутым контуром, состоящим из вещественных ЭВ. Получим теперь выражение, определяющее эти ЭВ. Обратное ДПФ от частотного коэффициента передачи ФСС, задающее ИХ фильтра, имеет вид
к — 1 s —1
А (п) = ~ У? ехР + п)}’ ™ = 0,1, • • • , fc - 1. m=0 d=0
Изменим порядок суммирования
s-1 к — 1
А ^ = ^52 52 ехр {^Т™ ^ П)}’ П = ^’ '' * ’ — d—О т—0
Вторая сумма в этом выражении будет равна нулю для всех значений d + п, не равных нулю или к. Для них величина А (тг) будет равна к/к, т.е. единице. Таким образом, А (тг) = 1, для тг = 0, к — з-^1,к — s + 2,... , к — 1 и А (п) = 0 для n = 1,2,... , к — з.
Определим нулевые значения АЧХ ФСС. Согласно выражению (3.4.3) ЭВ ws (m) частотного коэффициента передачи есть сумма векторов вида ехр {г-^md}, d = 0,1,...,s — 1. Возможны случаи, когда эти векторы образуют замкнутый контур. В результате формируется равное нулю значение ws (m). Из выражения (3.4.6) следует, что это достигается, когда
аргумент синуса будет кратен тг, т.е. ws (m) = 0 при т = ka/s, а — целое число, 0 < т < к.
Рассмотрим поведение ЭВ ws (т) при варьировании аргумента т, т = 0,1,... , к—1, для фиксированного значения ширины окна з фильтра (рис. 3.7).
В соответствии с выражением (3.4.3) ЭВ ws (m) есть сумма единичных векторов, угол между которыми равен 2тхт)к. Этот угол растет с увеличением т, но пока он не превышает тг, т.е. пока т < к/2, суммарный вектор, равный ws (m), будет характеризоваться уменьшающимся модулем. В результате происходит подавление высокочастотных гармоник входного контура, т.е. наблюдается эффект низкочастотной фильтрации контура. При т > к/2 характер зависимости ws (m) меняется в силу свойства 1 на противоположный.
Рис. 3.7. Формирование элементарных векторов cug (m), т = 0,1,... ,7, частотного коэффициента передачи ФСС для s = 3 и к = 8Рис. 3.7. Формирование элементарных векторов cug (m), т = 0,1,... ,7, частотного коэффициента передачи ФСС для s = 3 и к = 8Рис. 3.8. Формирование элементарных векторов u)s (m), s = 0,1,... , 7, частотного коэффициента передачи ФСС для т = 1 и к = 8Рис. 3.8. Формирование элементарных векторов u)s (m), s = 0,1,... , 7, частотного коэффициента передачи ФСС для т = 1 и к = 8
Рис. 3.7. Формирование элементарных векторов cug (m), т = 0,1,... ,7, частотного коэффициента передачи ФСС для s = 3 и к = 8
Рис. 3.7. Формирование элементарных векторов cug (m), т = 0,1,... ,7, частотного коэффициента передачи ФСС для s = 3 и к = 8
Рис. 3.8. Формирование элементарных векторов u)s (m), s = 0,1,... , 7, частотного коэффициента передачи ФСС для т = 1 и к = 8
Рис. 3.8. Формирование элементарных векторов u)s (m), s = 0,1,... , 7, частотного коэффициента передачи ФСС для т = 1 и к = 8
Исследуем теперь поведение ЭВ
г) (т) = ^^2 l^9 (s)|2 ехР {^^"s + m)}’ m = 0,1,...,fc — 1, 5=0
при варьировании ширины окна s, з = 2,3,... для фиксированного значения т (рис. 3.8).
При суммировании з единичных компланарных векторов, образующих, в конечном счете, при з = к замкнутый контур, модуль суммарного вектора с ростом з будет все больше отличаться от величины s, равной модулю суммарного вектора при синфазном суммировании единичных векторов. Поэтому модуль ЭВ ws(m) с ростом ширины окна уменьшается от ш8 (а) = з до единицы при з = к — 1 и нуля при s = к.
3.4.3. Сравнение простейших фильтров, заданных в частотной и пространственной областях. Простейший фильтр, заданный в частотной области, имеет частотный коэффициент передачи, значения которого равны либо единице, либо нулю. Фильтр скользящего среднего имеет аналогичные отсчеты, но только для ИХ и поэтому является простейшим фильтром в пространственной области.
№
Характеристика
Задание фильтра
В частотной области
В пространственной области
1
Частотный коэффициент передачи
си(т) =
_ J 1, при т = то,... , то + s — 1;
1 0 для других т.
1г 2тг -1
1 — ехр < г—ms >
~Г.2тг 1 ’
1 — ехр <>
m = 0,1,... Л - 1.
2
Импульсная характеристика
w х 1/.2тг1
КV кJг. 2тг )
1 — ехр < г——ns >
_ V k J
1_ехр{^п}
1 1 при п = 0,1, 2,... , s — 1 А(п) = <и п — к — 1;
1 0 для других п, п = 0,1,... .к - 1.
3
Выходной контур
mg+s-1
н = £ рИГ™.
m=mo
S-1
Н = 52 F^d), d — параметр сдвига d=0
начальной точки контура
4
Спектр выходного контура
Рвых(^1) —
_ 1 р(т) при т = то,... , то + s — 1;
1 0 для других т.
з 12тг 1
Рвых(т) = р(т) 52 ехР 1 i—rndV, d=O1J
т = 0,1,... , к — 1.
5
Симметричность характеристик
А(п) = Х*(к — п); |А(п)| = |А(/с — п)|; arg А(п) = — arg Х(к — п); п = 0,1,... ,/с-1.
и;(т) = ш*(к — т); |с^(т)| = |qj(A: — т)|; arg ш(т) = — arga?(/c — т); т = 0,1,... , к — 1.
6
Нули графиков характеристик
А(п) = 0 при п = akfs; а — целое число, n = l,2,... ,к-1.
си(т) = 0 при т = ak/s, а — целое число, т = 1,2,... , к — 1.
7
Максимальное значение отсчетов
|A(n)|max = А(о) = s/k; п = 0,1,... , к - 1.
|^(т)|тах = lj(O) = s, т = 0,1,... , к — 1.
Таблица 3.1. Аналитические соотношения для простейших контурных фильтров
Гл. 3. Линейная фильтрация контуров
Поскольку частотный коэффициент передачи и ИХ контурного фильтра связаны парой преобразований Фурье, то следует ожидать, что ФСС будет обладать свойствами, аналогичными свойствам простейших фильтров, но только в пространственной области (табл. 3.1). Рассмотрим соответствие некоторых из этих свойств.
Импульсную характеристику простейшего фильтра, заданного в частотной области, можно рассматривать как сумму s членов геометри-
Vг.2тт 1
ческой прогрессии с начальным членом ехр < г—пто г и знаменателем k к )
Г.2тг 1
ехр 4 г—nV где то — номер первого, равного единице отсчета, as — количество равных единице отсчетов частотного коэффициента передачи фильтра. Поэтому ИХ такого фильтра можно записать как
1 Г 1 1-exp{^ns}
А (п) = - ехр < г—пто >п = 0,1,... , к — 1. (3.4.8) к к к J 1 Г ) 1-ехр|г-п)
Сравнивая данное выражение с выражением (3.4.3) для частотного коэффициента передачи ФСС, видим, что они совпадают с точностью до углового множителя т ехр < г—пто >. Выражение (3.4.8) справедливо к к к )
для фильтра, у которого равные единице значения частотного коэффициента передачи раполагаются одним массивом, последовательно друг за другом. В противном случае, например, для низкочастотного фильтра, при получении выражения для ИХ надо формировать несколько сумм геометрической прогрессии из комплексных экспонент.
Контурный фильтр скользящей разности
5.1. Задание фильтра скользящей разности. Фильтр скользящей разности (ФСР) имеет окно, содержащее четное количество элементов, т.е. s = 2,4,... Весовые коэффициенты для элементов окна ФСР равны {1,1,... ,1,-1,—!,... , — 1}. Выходной эффект фильтра образуется как s/2s/2
разность между суммами ЭВ фильтруемого контура в пределах двух половин окна:,
s/2 —1+пs —1+п
v м = ^2 7 м - 52 7 и •(3-51)
r=nr=s/2+n
Определим связь спектра Ps = {ps (77г)}0А,_1 выходного контура Hs со спектром Р = {р (т)}0 к-1 фильтруемого контура Г. При этом учтем, что при фильтрации по методу скользящей разности отдельно находятся суммы контуров Г,Г^\... , Г^/2-1) и Г^/2\ Г^/2+1\ ... , Г^-1\ где P(d) — контур Г со сдвинутой на d ЭВ начальной точкой. Далее определяется разность этих сумм. Так как компоненты спектра р^ (т) контура r^d) связаны с компонентами спектра р(т) исходного контура Г
соотношением (2.3.4), то спектр выходного контура будет равен
Ps (т) = р (т)Ps (т) = р (т)*s/2—152 еХРd=0*s/2—152 еХРd=0s — 152 ехрd=s/2s — 152 ехрd=s/2(3.5.2)(3.5.2)
Ps (т) = р (т)
Ps (т) = р (т)
*s/2—1
52 еХР
d=0
*s/2—1
52 еХР
d=0
s — 1
52 ехр
d=s/2
s — 1
52 ехр
d=s/2
(3.5.2)
(3.5.2)
т = 0,1,... , к - 1.
Теперь определим частотный коэффициент передачи ФСР:
/ \ Ps (m)Г-2тг ,1 f.7r 1
ш5 (m) = —7—7- = > exp < г—md > — exp < г-sm > x p\m)I к J к к )
s-ls-1
Е
Г.27Г,1 A f. 2тг slXv^ Г-2тг ,
exp у,—ma j =— expm- j J 2 v exP
d=0d=0
Второй сомножитель в виде суммы экспонент в последнем выражении есть ЭВ коэффициента передачи ФСС с окном, равным s/2, т.е.
5/2-1( 2тг 1
^5/2,фсс (т) — 12 ехР) i-r-Tnd >. С учетом этого получим
’d=0
ш5 (т) = ш5/2,фсс (1 - ехр |i^md)) .(3.5.3)
ФСР можно представить как два последовательных звена: в виде ФСС и звена с частотным коэффициентом передачи
{
От* 1 i—md>.(3.5.4)
Оба звена характеризуются окнами по s/2 элементов. Используя выражение (3.4.5), получим следующее компактное представление для частотного коэффициента передачи ФСР
(3.5.5)(3.5.5)
(3.5.5)
(3.5.5)
Выражение (3.5.3) целесообразно применять при анализе работы фильтра, а выражение (3.5.5) — при расчете его частотного коэффициента передачи. На рис. 3.9 приведен пример фильтрации контура по методу скользящей разности. Из графика АЧХ видно, что рассматриваемый ФСР обладает свойствами фильтра высоких частот: нулевая составляющая подавляется полностью, а наиболее высокочастотная составляющая частотного коэффициента передачи (при т = 2) в V2 по модулю превышает соседние. Наличие самопересечений в отфильтрованном контуре свидетельствует об усилении высокочастотных ЭК по сравнению с другими ЭК, составляющими контур Г.
Получим теперь выражение для импульсной характеристики ФСР. Поступая так же, как и при определении импульсной характеристики
Рис. 3.9. Фильтрация контура Г по методу скользящей разности (s = 2): а — исходный контур; б — выходной контур; в — амплитудно-частотная характеристика фильтраРис. 3.9. Фильтрация контура Г по методу скользящей разности (s = 2): а — исходный контур; б — выходной контур; в — амплитудно-частотная характеристика фильтра
Рис. 3.9. Фильтрация контура Г по методу скользящей разности (s = 2): а — исходный контур; б — выходной контур; в — амплитудно-частотная характеристика фильтра
Рис. 3.9. Фильтрация контура Г по методу скользящей разности (s = 2): а — исходный контур; б — выходной контур; в — амплитудно-частотная характеристика фильтра
ФСС, с учетом выражения (3.5.2) для частотного коэффициента передачи ФСР запишем
1к1кs/2-l к-1s/2-l к-1s—1 к—1s—1 к—1d=0 m=0d=0 m=0d—s/2 т=0d—s/2 т=0
1
к
1
к
s/2-l к-1
s/2-l к-1
s—1 к—1
s—1 к—1
d=0 m=0
d=0 m=0
d—s/2 т=0
d—s/2 т=0
Внутренние суммы в этом выражении будут равны нулю для всех значений п, кроме n + d = dk, d = 0, ±1, ±2,... Если п = к, к — 1,... ^к-з^А- 4-1, то А (п) — |т/ (к - 1) |, если же п = k — s/2^ к — s/2 — 1,... , к — s + 1, то Л (п) = -1. Таким образом,
А (п) = <А (п) = <1 при п = 0, к — 1, к - 2,... , к - s/2 4- 1;
А (п) = <
А (п) = <
(3.5.6)(3.5.7)(3.5.6)(3.5.7)— 1 при п = к — s/2, к — s/2 — 1,... , к — з 4-1;
(3.5.6)
(3.5.7)
(3.5.6)
(3.5.7)
О при п = 1, 2,... ^к — з.
Структура контура ИХ имеет вид
Л = { 1,0,0,... ,0,-1,-!,... ,-1,1,1,... ,1 }.
k — ss/2s/2—1
т.е. контур импульсной характеристики ФСР является замкнутым, а его ЭВ задаются вещественными числами.
5.2. Свойства фильтра скользящей разности. 1. Нулевые значения АЧХ. Из выражения (3.5.5) следует, что нулевые значения отсчетов на выходе фильтра достигаются при т = a2k/s, а = 0,1,2,... Сравнивая это соотношение с аналогичным для ФСС, видим, что положение нулей в АЧХ обоих фильтров, ФСР и ФСС, совпадает, за исключением точки т = 0. В данной точке ФСС образует максимальный отсчет, а у ФСР по сравнению с ФСС появляется добавочный нуль. В результате происходит подавление постоянной составляющей фильтруемого сигнала.
Локальные максимумы АЧХ. Такие максимумы будут при значени- м1. 2тг s)
ях 7П, для которых частотный коэффициент передачи 1 — ехр Аг-т- >
I к 2) второго звена ФСР будет равен максимальному значению, т.е. двум. Это достигается при т — ак)з, а — 1,3,5,...
Особенности работы ФОР с окном из двух элементов. При s = 2 первое звено ФСР представляет собой ФСС с окном s = 1. Такой ФСС имеет при любом значении т равный единице коэффициент передачи,
Рис. 3.10. К определению модуля коэффициента передачи ФСР при s = 2Рис. 3.10. К определению модуля коэффициента передачи ФСР при s = 2т.е. wi(m) = 1, т = 6,1,... , к — 1. Поэтому работа ФСР с окном s = 2 целиком определяется звеном с w (m) = CJ2 (jn?) = = 1 — ехр{г^т}. Модуль |cj2(^)| =
Рис. 3.10. К определению модуля коэффициента передачи ФСР при s = 2
Рис. 3.10. К определению модуля коэффициента передачи ФСР при s = 2
{7Г 1
—т >. На рис. 3.10 показано форк )
мирование вектора ш^ (т) как разности
Г.2тг 1
двух векторов: 1 и ехр г—m >. Векторы имеют единичные модули, а угол между ними равен 2тгт/к. Вектор ш^ (т) находится как основание равнобедренного треугольника с углом при вершине 2кт/к и единичными сторонами. Величина |cj2 (ш)| с ростом т изменяется по закону синуса от
нуля при т = 0 до двух при т = к/2 и затем падает до нуля. Отметим, что ФСР с окном из двух элементов является в чистом виде фильтром высоких частот, а алгоритм его работы совпадает с алгоритмом работы системы однократной череспериодной компенсации в радиолокационной станции.
Механизм работы ФСР с числом элементов в окне, большим двух. В данном случае первое звено фильтра проявляет интегрирующие свойства и ведет себя как ФСС с окном s/2 (см. п. 3.4). Второе звено имеет частотный коэффициент передачи ш^ (т) = 1 — ехр{^^~т^} и АЧХ |w2 (т)| = 2 |sin ^т^|, т = 0,1,... , к — 1. При изменении т от нуля до к — 1 вектор exp {^^"т^} Делает ms/2 оборотов. Поэтому АЧХ может иметь ms/2 нулей и столько же максимумов, значения которых равны двум. Реальное количество экстремумов определяется в соответствии со свойствами 1 и 2 ФСР. Например, если к = 16 и s = б, то возможен лишь один нуль (при т = 0) и один максимум (при m = 8) (рис. 3.11, б). Если же & = 16и£ = 8, то будут наблюдаться четыре нуля и четыре максимума (рис. 3.11, в).
При s = к частотный коэффициент передачи содержит чередующиеся ЭВ, равные нулю и единице (рис. 3.11, г). Фильтр с таким окном формирует на своем выходе контур из нечетных гармоник исходного контура, прошедшего через ФСС с окном s/2.
Таким образом, механизм работы ФСР состоит:
в подавлении постоянной составляющей входного контура,
в подчеркивании составляющих спектра на частотах т = ak/s, q = 1,3,5,... ,
в подавлении оставляющих спектра на частотах т = 2ak/s, а = = 0,1,2,... ,
вгвгРис. 3.11. Графики амплитудно-частотных характеристик дифференциального звена ФСР для разных значений ширины окна s, к = 16Рис. 3.11. Графики амплитудно-частотных характеристик дифференциального звена ФСР для разных значений ширины окна s, к = 16
вг
вг
Рис. 3.11. Графики амплитудно-частотных характеристик дифференциального звена ФСР для разных значений ширины окна s, к = 16
Рис. 3.11. Графики амплитудно-частотных характеристик дифференциального звена ФСР для разных значений ширины окна s, к = 16
в модуляции спектра входного контура дифференциальным звеном . 7Г S по закону 2 sin — т-
Контурные согласованные фильтры
Основные аналитические соотношения при контурной согласованной фильтрации. Формирование меры схожести двух сигналов является основной задачей при решении вопросов, связанных, в первую очередь, с обнаружением, распознаванием, разрешением, измерением параметров сигналов. Образование данной меры сводится к получению ВКФ этих сигналов (см. п.п. 1.5 и 1.6). Рассмотрим линейный фильтр, структура которого определена формой одного из сигналов и вырабатывающего сигнал в виде ВКФ при подаче на его вход другого сигнала. Пусть необходимо получить смещенную на к отсчетов ВКФ контуров N = {у(п)}0 и Г =
к-1
г](т) = У^ z/(n)7*(n — т + к — 1),(3.6.1)
п=0
с помощью линейного фильтра, заданного в виде свертки
к-1
г](т) = У^ v^X^m — п\(3.6.2)
п=0
Найдем ИХ Л = {А(п)}0 к-1 такого фильтра. Приравнивая выражения (3.6.1) и (3.6.2), получим 7*(п — т 4- к — 1) = А(т - п). Введем переменную s = т — п. Тогда п = т — s и последнее выражение примет вид
7*(А: — s — 1) = A(s).7*(А: — s — 1) = A(s).(3.6.3)(3.6.3)
7*(А: — s — 1) = A(s).
7*(А: — s — 1) = A(s).
(3.6.3)
(3.6.3)
Запишем выражение (3.6.2) с учетом изменения пределов суммирования при замене переменной п на т — s:
7](т) = У^ v(m - s^*(k — s - 1).(3.6.4)
В этом выражении так же, как и в (3.5.1) и (3.6.2), последовательно суммируются к произведений. Величина к является периодом сомножителей v и 7, т.е. р(п) = i/(n ± аЦ и 7(71) = 7(71 ± ак\ где а — целое число. Поэтому результат суммирования не будет зависеть от порядка суммирования элементов и сумму (3.6.3) можно записать в тех же пределах, что и сумму (3.6.1):
к-1к-1
г](т) = У2 v(m — ^Уч*^ — п — 1) = У2 v^n^^n — т 4- к — 1). (3.6.5)
п=0п=0
Выражения (3.6.1) и (3.6.5) задают в пространственной области линейный фильтр с ИХ 7*(fc—s—1), вырабатывающий значения смещенной на к отсчетов ВКФ двух контуров. Данное устройство является согласованным фильтром [29,55]. Особенность его работы для циклически определенных сигналов заключается в более широком условии физической реализуемости. В связи с периодичностью сигналов v (п) и 7(тг), ИХ А (тг) и входной сигнал v (тг) заданы не только для нулевого и положительного, но и отрицательного значений тг, т.е. Л (—тг) = А (к — тг) / 0.
Отметим также, что ИХ А (тг) фильтра, согласованного с комплекснозначным сигналом, каким является контур, повторяет этот сигнал в обратном порядке с задержкой на число отсчетов к, составляющих продолжительность сигнала. Это совпадает с результатами согласованной фильтрации вещественных сигналов. Но при согласованной фильтрации комплекснозначного сигнала ИХ фильтра является еще и комплексно сопряженной копией этого сигнала.
Рассмотрим теперь контурный согласованный фильтр (КСФ), заданный в частотной области. Частотный коэффициент передачи Q = = {cj (тп)}0 к_г связан с ИХ Л = {А (—тг)}0 к-1 дискретным преобразованием Фурье:
т = 0,1,... , к - 1.т = 0,1,... , к - 1.к-1
т = 0,1,... , к - 1.
т = 0,1,... , к - 1.
О)О)(тгг) = У^ 7* (^— п) ехР
О)
О)
Г.2тг z, о—тгг (к — 1) > хГ.2тг z, о—тгг (к — 1) > хп=0
Г.2тг z, о—тгг (к — 1) > х
Г.2тг z, о—тгг (к — 1) > х
Умножим обе части этого выражения на 1 = ехр х ехр {—^^"т (^ ~ !)}• Тогда
2к-12
и? (тгг) = ехр ^г-^ттг|У2 7* (& — 1 — тг) ехр ^-г^-гп п=0
Осуществим под знаком суммы замену переменных: s = к — 1 — тг. В результате пределы суммирования станут равными: нижний, если тг = 0,
то s = к — 1; верхний, если п = к — 1, то s = 0. Пределы суммирования сохранились, но порядок суммирования изменился на обратный. Результат суммирования при этом сохраняется, поэтому
к-1
bj (m) = exp ^“^"m|52 7* (n) exP
n=0
С учетом выражения (2.3.1) для ДПФ контура Г получаем
{
2тг )
г—mV т = 0,1,... ,к — 1.(3.6.6)
Данный результат совпадает со случаем согласованной фильтрации вещественных сигналов: частотный коэффициент передачи КСФ с точностью до фазового множителя повторяет комплексно сопряженный спектр контура, с которым он согласован. Определим спектр Рвых = {рвых (т))о к-1 выходного контура Н = {77 (т)}0 к-1 фильтра:
{
2тг 1
т = 0,1,... , к — 1.
Здесь ^pv (ш)}0 к-1 — спектр фильтруемого контура N. Если контур N согласован с фильтром, т.е. N = Г, то
Рвых (тп) = |р(т)|2 ехр {г^"т}> т = 0,1,... , к - 1.
Используя обратное ДПФ, запишем выражение для выходного сигнала фильтра:
к-1
/ \ V г \ f -2тг 1
77 (т) = ^2^^вых(5)ехР{г"ут5/ =
5=0
к-1
= j^p^pj^expltystl + m)). (3.6.7) 5=0
При N = Г будем иметь
/с-1
77 (т) = ^^2 |р (s)|2 ехр ^г^8 (1 4-т)|, т = 0,1,... , к — 1. (3.6.8) 5=0
Обозначим т + 1 = п. Тогда выражение (3.6.8) примет вид fc—1
77 (тг — 1) = ^^2 \Р (s)|2 ехР 01Tsn}’ п — 0,1,... , к — 1.(3.6.9)
5 = 0
Отсюда видно, что смещенный на один ЭВ выходной контур может быть найден как результат обратного ДПФ от энергетического спектра входного контура. Процесс согласованной фильтрации контура иллюстрируется рис. 3.12.
0 1 2 3 4 т О 1 2 3 4 т
гд
Рис. 3.12. Согласованная фильтрация контура Г: а — фильтруемый контур, б — контур импульсной характеристики, в — выходной контур, г — графики амплитудно-частотного спектра контура Г и АЧХ фильтра, д — амплитудно-частотный спектр выходного контура
Смещение отсчетов ИХ КСФ на к, равное размерности контура, не является принципиальным, так как в силу периодичности ЭВ контура при условии хранения контура в запоминающем устройстве известны все его ЭВ. С учетом этого выражения, например, для КСФ в пространственной области могут быть записаны в виде
к-1к-1
г/ (т) = v (п) 7* (п — т — 1) = У^ v (т — п) 7* (—п — 1) =
п=Оп=О
к-1
= У^ v (т + п + 1) 7* (п)> т = 0,1,... , к — 1. (3.6.10) п=0
Определим теперь форму сигнала, для которого фильтр 77(771) = к-1
= 52 z/ (тг) А (тп — тг), 771 = 0,1,... , А; — 1, с произвольным контуром Л = п=О
= {А(т7)}оа._1 импульсной характеристики будет согласованным. Сравнивая приведенное выражение с выражениями (3.6.10), приходим к выводу, что поставленное требование выполняется, если v (п) = А* (—77 — 1) или и (т — п) = А* (?7 — 771 — 1), т = 0,1,... , к — 1. Контур согласованного с фильтром сигнала будет иметь вид: N = Mn)}0,fc-l = = {А* (к — 1 — тг)}0А._1, т.е. ЭВ данного контура являются комплексно сопряженными ЭВ контура ИХ и следуют в обратном порядке.
Например, если Л = {А(п)}03 = {4г; 5 4- 2г; 2 - 6г; -7}, то N = = {г/ (3 — тГ)^0 3 = —{—7; 2 + 6г; 5 — 2г; —4г}. Последний, (к — 1)-й, отсчет такого КСФ будет равен
з
Ч (3) =(п)л (3 - п) =
П=°= р (0) А (3) + V (1) А (2) + V (2) А (1) + р (3) А (0) = 134.
Приведенные выше соотношения относились к случаю, когда ширина окна s фильтра совпадала с размерностью к фильтруемого контура. Часто встречающейся задачей является выделение с помощью фильтра фрагмента контура заданной формы. Окно шириной s, s < к, элементов такого фильтра скользит вдоль контура N = {^ (гг)}о fc—i и на каждом m-м шаге вычисляется скалярное произведение текущего фрагмента {р (п + m), v (n + т + 1),... , v (п + s — 1)} фильтруемого контура и эталонного фрагмента {7 (0), 7 (1),... , 7 (s — 1)}. ЭВ 7 (п), п = 0,1,... , s - 1, служат весовыми коэффициентами окна и определяются формой искомого в контуре фрагмента. Предполагаем, что все ЭВ фильтруемого контура N хранятся в ОЗУИ процессора изображений и нет необходимости организовывать встречное движение ЭВ v (тг) и 7 (п), как при поступлении отсчетов фильтруемого сигнала в реальном времени. С учетом этого выходной сигнал фильтра для выделения в пределах контура N = {р (п)}0 к_г фрагмента, форма которого определяется контуром Г = {7 (71)}0,fc-l> имеет ВИД
s —1
у (т) = 52 ^ (т + п) 7* (^)> m = 0,1,... , к — 1.(3.6.11)
п=0
Расчет контурного согласованного фильтра. Фильтрация согласованного с фильтром контура. Рассчитаем фильтр, согласованный с контуром Г = {7; -6 + г; 2 + 5г; —3; —6г}. Здесь к = 5. Основные формулы (3.6.1), (3.6.10) и (3.6.8), по которым определяется выходной вектор фильтра в пространственной и частотной областях, принимают вид
4
у (т) = У^ 4 (п) 4* (п — т + 4),(3.6.12)
п=О
4
(т) — у^ 7 (т — п) 7* (4 — п), т — 0,1,2,3,4,(3.6.13)
п=0
4
у (п — 1) = -V^ \р (s)|2 exp {0.4тг$ш}, п = 0,1,2,3,4.(3.6.14)
5 п=О
Выходной контур, найденный по формулам (3.6.12) и (3.6.13), равен
Н = {-55 + 50г; -25 - Юг; -25 + Юг; -55 - 50г; 160}.
Для расчета фильтра в частотной области по формуле (3.6.14) вначале определяем комплексный, амплитудный и энергетический спектры контура Г:
Рг = {0; 15,55 - 2,82г; 10,90 + 13,87г; 12,19 - 2,69г; -3,64 - 8,36г},{|р(т)|}04 = {0; 15,8; 17,64; 12,48; 9,12},{|р(т)|2}04 = {0; 249,64; 311,7; 155, 75; 83,17}.
Теперь с помощью обратного ДПФ найдем выходной контур Н:
to to -1)}0,4 = {16°; -55 +50г; -25 ~10i; ~25 +10i; -55 - 500-
Учитывая смещение начала выходного контура на один ЭВ, мы получили такой же результат, как и при расчете по формулам (3.6.1) и (3.6.10). Определим частотный коэффициент передачи КСФ по формуле
4
си (т) = Ел* п) ехр {—0,47гтт}, т = 0,1,2,3,4.(3.6.15)
п=О
В результате получим
П = {w (m)}04 =
= {0; 212 + 15,66г; -0,67 + 17,63г; -8,28 - 9,34г; -6,82 + 6,05г}.
АЧХ фильтра: {|си (т)|}04 = {0; 15,8; 17,64; 12,48; 9,11} .
Видно, что данная АЧХ, как и положено для согласованного фильтра, совпадает с амплитудно-частотным спектром {|р (т)|}0 4 контура Г.
Найдем частотный коэффициент передачи фильтра как отношение соответствующих компонент спектров выходного и входного контуров КСФ. Спектр выходного контура
Рн — Рвых(^)о,4 =
= {0; 77,2 + 237,58; -251,88 + 183г; -126 - 91,54г; 25,68 - 79,04г} =
= {0; 249,8 ехр {0,4ттг}; 311,34 ехр {0, 8ттг};
155, 74 ехр {—0,8ттг}; 83,11 ехр {—0,4ттг}}.
Спектр входного контура в показательном виде
{0; 15,81 ехр {—0,057ттг}; 17,64 ехр {0,288ттг};
12,48 ехр {0,069ттг}; 9,12 ехр {—0,631ттг}}.
Тогда
г // Рвых (^l) 1 Г ,Рвых (^)| Г.г / \/ ХП 1
Н}0)4 = < —7—Г f = ) т; 7^1 ехр i^L^Bbix (rn - (^вых m) } У =
’ lPr(m)J04 t |pr(m)|J0 4
= {0; 2,12 + 15,66г; -0,66 4- 17,63г; -8, 29 - 9,35г; 6,82 4- 6,04г} =
= {15,81 ехр {0,457ттг}; 17,64 ехр {0,512ттг}; 12,52 ехр {-0, 731ттг};
9,11 ехр {0,231ттг}}.
Видно, что результат совпадает с результатом, полученным по формуле (3.6.15). Найдем также частотный коэффициент передачи фильтра по формуле си (т) = р* (т) ехр {0,4тгтг}, т = 0,1,2,3,4:
{рг (т)}0)4 = {0; 15,81 ехр {0,057тгг}; 17,64{-0,288тгг};
12,48 ехр {0,069тгг}; 9,12 ехр {0,631тгг}},
{си (m)}0)4 = {0; 15,81 ехр {0,457тгг} ; 17,64ехр {0,512тгг} ;
12,52 ехр {—0,731тгг} ; 9,11 ехр {0,231тгг}} .
Результаты вычисления по всем трем формулам совпадают.
Фильтрация несогласованного с фильтром контура. Фильтруемый контур N и его спектр Pn равны
N = {9г;-5;-4г; 3; 2-5г},
PN = {0; -0,95 + 19,11г; 10,1 + 13,07г; -3,39 + 10,55г; -5,76 + 2,27г}.
Определим по формулам (3.6.1) и (3.6.10) выходной контур:
44
Т) (т) ~ У^ v W ~ т + 4) = У^ (ттг — тг) 7* (4 — п) =
= {-93 + 24г; -39 - 108г; 88 + 46г; 13 - 34г; 31 + 72г}.
Найдем спектр Pn выходного контура Н как ДПФ контура Н = {77 (т)}04 и как Рн = {^ (т) pN (m)}04;
Рн = {0; -301,35 + 25,66г; -237,2 + 169,31г;
126,37 - 55,64г; -53, 02 - 19,32г}.
Механизм работы контурного согласованного фильтра. При фильтрации согласованного контура на выходе фильтра образуется контур
fc-i
Л (т) — У^ 7 (п) 7* (n - m + fc — 1), т = 0,1,... , к — 1.(3.6.16)
п=0
Данное выражение задает смещенную на к отсчетов АКФ фильтруемого контура Г. В момент т = к — 1 получим
к-1к-1
Ч (& - 1) = 52 7 М 7* (") = 52 I7 (п)|2 = пгп2•п=0п=0
Аналогичный результат получается, если воспользоваться выражением (3.6.8) для КСФ в частотной области и учесть равенство Парсеваля. Таким образом, при фильтрации согласованного контура в момент к — 1 образуется действительный отсчет, равный энергии фильтруемого контура. Для выяснения механизма работы КСФ представим выражение (3.6.16) в показательном и тригонометрическом видах:
fc-i
Т) (т) = У^ I7 (п)||7 (тг - т + к — 1)| ехр {г[у? (n) — р (тг — т + к — 1)]}, п=0
(3.6.17) к—1
т) (т) = У? I? (n)ll7 (п ~ т + к — 1)| cos [у? (п) — р (п — т + к — 1)] + п=0
/с —1
+ г ^ I7 (п)||7 (п - т + к - 1)| sin [^ (п) - р (п - т + к - 1)], (3.6.18) п=0
т = 0,1,... , к — 1.
Из выражения (3.6.18) следует, что КСФ может быть представлен двумя параллельными звеньями: косинусным и синусным, — формирующими соответственно действительную и мнимую части выходного сигнала Т] (т) = т/1 (т) + гт]2 (тп), m = 0,1,... , к — 1. При m = к — 1 сигнал на выходе косинусного звена будет равен ||Г||2, а на выходе синусного — нулю.
Выражение (3.6.16) можно также рассматривать как развернутую запись к скалярных произведений контура Г на этот же контур Г^ со смещенной на d элементов начальной точкой, d= к — 1, fc — 2,... ,1,0, т.е.
77(771) = (Г, r(fc-n-1)), m = 0,1,... , fc — 1.(3.6.19)
При m = к—1 данное выражение принимает вид 77 (fc — 1) = (Г, Г) = = ||Г||2. В соответствии с неравенством Коши-Буняковского имеем: | (Г, Г^) | ^ ||Г||||Г^ ||. Так как норма контура не изменяется при вырь- ировании его начальной точки, т.е. ||Г|| = ЦГ^Ц, то т/ (d) = | (Г,Г^) | ^ ||Г||2. Равенство здесь достигается лишь при d = 0, т.е. при m = к — 1. Применительно к КСФ это означает, что отсчет в момент m = к — 1 будет не только вещественной величиной, но и максимально возможным по модулю для любого т, т.е. т] (к — 1)\т] (к — 1)|, m = 0,1,... , к — 2.
Формирование такого отсчета можно объяснить следующим образом. Как следует из выражений (3.6.17) и (3.6.18), при m = к - 1 аргументы ЭВ фильтруемого контура и контура ИХ становятся равными друг другу по модулю и разными по знаку, а их сумма будет равна нулю. В результате происходит компенсация разности фаз всех векторов вида
|7 (п)||7 (^ ~ m + к ~ 1)1 ехР {Я^ (тг) — ^ (n — m + fc — 1)]}, в сумме образующих отсчет т] (тп). При m = к — 1 этот отсчет будет арифметической суммой квадратов модулей ЭВ 7 (п), п = 0,1,... ... , fc — 1, входного контура, т.е. происходит синфазное сложение векторов (рис. 3.13). Если же фильтруется несогласованный с фильтром контур N = {|7 (п)| ехр{г^ (п)}}0 ^.р то компенсация аргументов векторных слагаемых не произойдет и при образовании выходного эффекта не будет синфазного сложения векторов (рис. 3.13, б).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 О б
Рис. 3.13. Формирование выходного эффекта КСФ: а — контур исходного изображения (входной сигнал); б — векторный выходной сигнал КСФ
Таким образом, при поступлении на вход линейного фильтра последовательности контуров с одинаковой энергией максимальный по модулю отсчет на выходе фильтра достигается лишь для контура, согласованного с фильтром. Этот отсчет образуется в момент т = к — 1 и равен по модулю энергии контура. Каждый ЭВ 7(п) = |7 (п)| ехр ^г<р (п)} этого контура поворачивается на угол [—у? (п)] и получает горизонтальную, направленную вправо ориентацию. Затем производится квадрирование длины каждого ЭВ и их сложение. КСФ «выпрямляет» линию контура, с которой он согласован.
Свойства контурного согласованного фильтра. КСФ является линейным устройством, и поэтому он обладает всеми рассмотренными в п. 3.2 свойствами контурных линейных фильтров. Если контур ИХ замкнут, то фильтр не пропускает постоянной составляющей, т.е. его реакция на отрезок прямой линии из к ЭВ равна нулю, а если фильтруемый контур замкнут, то замкнутым останется и выходной контур. Любой ЭК проходит через КСФ без искажения формы, а поворот, растяжение и сдвиг начальной точки фильтруемого контура вызывают аналогичное преобразование выходного контура. При этом поворот фильтруемого контура по отношению к эталонному на угол А у? приводит к умножению выходного контура на комплексный коэффициент ехр {г А у?} и отсчет КСФ в момент т = к — 1 будет уже не вещественным, а комплексным числом ||Г||2 ехр {гАу?}. Сдвиг начальной точки фильтруемого контура на d ЭВ обусловливает такой же сдвиг максимального по модулю отсчета КСФ. Кроме того, отсчеты КСФ периодичны, т.е. р (т) = ту (т ± ак).
Рассмотрим несколько особых свойств КСФ. Необходимо отметить, что любой контурный линейный фильтр является согласованным с сигналом, форма которого задается его ИХ. Поэтому эти особые свойства являются общими для любого линейного фильтра и базируются на сравнении процессов обработки согласованного и несогласованного сигналов.
Обобщенная инвариантность КСФ к линейным преобразованиям фильтруемого контура. Пронормируем отсчет КСФ путем его деления на произведения норм фильтруемого и эталонного контуров: рн (т) = = f?(m)/||r||||N||. 2
При N = Г величина |т/(то)| = ||Г||2 и |т7н(то)| = 1. Здесь то — отсчет КСФ с максимальным значением модуля. Поскольку при повороте контура и сдвиге его начальной точки норма контура не меняется, то данное соотношение сохраняется при линейных преобразованиях фильтруемого контура. Если же N ^ Г, то |т?(то)| < ||r||||N|| и |т,„(то)| < 1. Таким образом, величина |?7Н (то)| инвариантна к линейным преобразованиям контура и достигает максимального значения, равного единице, лишь при прохождении через фильтр согласованного контура. Поэтому КСФ является устройством, вырабатывающим количественную меру схожести двух контуров, двух форм плоских изображений, инвариантную к масштабу и повороту этих изображений, а также к сдвигу начальных точек их контуров.
Связь между выходным сигналом фильтра и ВКФ фильтруемого и эталонного сигналов. Ранее было отмечено, что при обработке согла-
Рис. 3.14. Соответствие между модулями отсчетов АКФ и КСФ для контура Г = = {4г; 5 +2г; 2-6г;-7}Рис. 3.14. Соответствие между модулями отсчетов АКФ и КСФ для контура Г = = {4г; 5 +2г; 2-6г;-7}ИИТ^Н^ и Н^.Т^Н^ и Н^.(3.6.21)(3.6.21)
Рис. 3.14. Соответствие между модулями отсчетов АКФ и КСФ для контура Г = = {4г; 5 +2г; 2-6г;-7}
Рис. 3.14. Соответствие между модулями отсчетов АКФ и КСФ для контура Г = = {4г; 5 +2г; 2-6г;-7}
И
И
Т^Н^ и Н^.
Т^Н^ и Н^.
(3.6.21)
(3.6.21)
сованного с фильтром сигнала на выходе образуется смещенная на к отсчетов АКФ этого сигнала. Принимая во внимание рассмотренные в
п. 2.8 свойства ВКФ и АКФ комплексных сигналов, уточним характер
связи между АКФ и выходным сигналом КСФ. Сравнивая между собой
выражения (2.8.4) для АКФ т (т) и (3.6.1) для выходного сигнала т] (m\ m = 0,1,... , к— 1, согласованного фильтра:
к — 1
т (т) = ^^ 7 (п) 7* (n + т)
п=0
к — 1
г] (т) = У^ 7 (п) 7* (п — т + к — 1),
п=О
приходим к выводу, что отношения соответствия между ними имеют вид
(3.6.20)(3.6.20)Т) (т) = т (к — m — 1)т (т) = т^к — т — V).
(3.6.20)
(3.6.20)
Отсюда следует, что выходной сигнал КСФ, определяемый выражением (3.6.1), представляет собой не только сдвинутую на к отсчетов АКФ фильтруемого согласованно
го сигнала, но и порядки следования отсчетов г] (т) и т (т) у них противоположны (рис. 3.14).
Между контурами Т = {т (т)}0 к_х и Н = {ту (т)}0 к_г существует следующая зависимость:
Рис. 3.15. Соотношение между контурами Т и Н для контура Г = {4г; 5 + 2г; 2- 6г; -7}Рис. 3.15. Соотношение между контурами Т и Н для контура Г = {4г; 5 + 2г; 2- 6г; -7}
Рис. 3.15. Соотношение между контурами Т и Н для контура Г = {4г; 5 + 2г; 2- 6г; -7}
Рис. 3.15. Соотношение между контурами Т и Н для контура Г = {4г; 5 + 2г; 2- 6г; -7}
Здесь Н^р ^ — контур, обратный к контуру Н со сдвинутой на к — 1
ЭВ начальной точкой; Т^ — контур, обратный к контуру Т со сдвинутой на один ЭВ начальной точкой (рис. 3.15). Соотношения между отсчетами выходного сигнала т?(т) фильтра и ВКФ т (тп) контуров произвольного фильтруемого сигнала и ИХ также определяются выражениями (3.6.20).
Представляет интерес рассмотрение вопроса о том, каким образом некоторые
свойства АКФ, приведенные в п. 2.8, преобразуются в свойства КСФ.
Свойство 5 АКФ т (тп) (см. п. 2.8), обусловливающее сопряженную симметрию
контура АКФ, меняется следующим образом. С помощью формул (3.6.20) определим, какому отсчету т) (т) КСФ соответствует отсчет т {к — т)
АКФ. Вводя новую переменную s = к - т, найдем, что т (к — т) = = р^т — 1). Учитывая соотношение т (т) = т* (к — т), окончательно получаем
р (jn) = р* (к — m - 2), m = 0,1,... , к — 1.(3.6.22)
Из формул (3.6.20) и рис. 3.15 видно, что контуры АКФ и КСФ прослеживаются в противоположных направлениях: первый — против, а второй — по часовой стрелке. Выражение (3.6.22) показывает, что ЭВ контура Н расположены симметрично. Отсчет ту (к — 1) = ||Г||2 представляет собой горизонтально расположенный вектор и из (3.6.22) для него следует равенство р (к — 1) = ту* (к — 1). Поэтому вертикальная ось симметрии будет проходить через середину этого вектора. Если размерность контура к является четным числом, то т/ (А;/2 — 1) = ту* (fc/2 — 1), т.е. и этот ЭВ будет задаваться чисто вещественным числом. В результате контур Н будет содержать второй горизонтально расположенный вектор.
Спектральный анализ контуров. Запишем выражение для прямого ДПФ контура Г:
fc-i
р (s) = ^2 7 W ехР {—г^-sn}, s = 0,1,... , к — 1.
п=О
{
2тг )
—г—зп^ является элементарным вектором 75 (п) ЭК Г5. Поэтому в соответствии с выражением (3.6.1) составляющая спектра исходного контура может рассматриваться как отсчет фильтра, согласованного с контуром Г5 в момент т = к — 1, т.е. р (s) = ps (к — 1). Меняя параметр з, т.е. последовательно согласовывая фильтр со всеми ЭК при данном значении к, можно осуществить спектральный анализ контура на базе алгоритма контурной согласованной фильтрации. Данное свойство КСФ основано на том, что алгоритмы ДПФ и согласованной фильтрации используют скалярное произведение векторов.
Выделение главного примитива произвольного контура. Как было показано в п. 2.4, произвольный контур Г может быть представлен линейной комбинацией ЭК Го,Г15... , 1\-1, весами в которой служат компоненты спектра. Под главным примитивом контура Г будем понимать контур p(s)rs с максимальной энергией, т.е. ||р(s) rs|| > ||р(т)Гш||, m = 0,1,...,& — 1, т ^ s. Поскольку энергии всех ЭК одинаковы, то главный примитив будет соответствовать такому значению s, при котором |р (s)| > |p(m)|. Спектр контура на выходе КСФ определяется соотношением рвых (т) = \р (т)|2 ехр {г^"т}> т = 0,1, • •. , к — 1, т.е. происходит квадрирование модулей компонент спектра. Модуль каждой из них увеличивается в |р(т)| раз. Отсюда вытекает достаточно простая процедура формирования главного примитива. Для этого необходимо провести цепочку согласованных фильтраций: после фильтрации исходного контура Г получить контур Hi, затем профильтровать контур Hi согласованным с ним фильтром и получить контур Н2 и т.д. После каждого
шага фильтрации возрастает степень доминирования компоненты спектра р (s) над всеми остальными компонентами и последние перестают влиять на процесс образования контура. Начиная с определенного r-го шага, контуры Нг и Hr-i практически не
Рис. 3.16. Результат выделенияглавного примитива контура Г == {5г; 1 — 5г; —1}Рис. 3.16. Результат выделенияглавного примитива контура Г == {5г; 1 — 5г; —1}отличаются друг от друга и их вид определяет главный примитив контура Г (рис. 3.16).
Рис. 3.16. Результат выделенияглавного примитива контура Г == {5г; 1 — 5г; —1}
Рис. 3.16. Результат выделенияглавного примитива контура Г == {5г; 1 — 5г; —1}
Фильтрация отраженных контуров. Обычно входной контур задается с точностью до параметров линейных преобразований. Если в качестве ме-
ры сходства фильтруемого контура N с контуром Г, с которым фильтр согласован, принимается модуль |7/н(то)|
максимального нормированного отсчета фильтра, то, как следует из свойства 1, эта величина инвариантна к параметрам преобразований поворота, растяжения и сдвига начальной точки контура. Теперь рассмотрим влияние преобразования отражения контура на результат согласованной фильтрации.
Как следует из п. 1.6., записанный через ЭВ контура Г код контура, отраженного относительно оси, проходящей под углом 0, имеет вид
Готр = (7отр («)}ол-1 = ехР i20’} {|7 (п)1 ехР (~^ (п)))ол-1 •
Контур Г при отражении подвергся повороту на угол 20, а его ЭВ стали комплексно сопряженными. Это позволяет записать для спектра контура Готр следующее выражение (см. п. 2.3.2):
Ротр (т) = ехр {20г}р* (к — т), т = 0,1,... , к — 1.
Таким образом, в процессе отражения спектр контура претерпевает значительные изменения из-за замены m-й компоненты спектра на (к — т) компоненту. Так как амплитудно-частотная характеристика КСФ повторяет модульный спектр {|р(^)|}0^_1 контура Г, т.е. |^(ш)| = = \р (т)\, т = 0,1,... , к - 1, то отраженный контур Готр проходит через фильтр, согласованный с контуром Г, в общем случае, без каких-либо преимуществ по сравнению с контурами, которые с данным фильтром не согласованы. С учетом выражений для отраженного контура результат фильтрации контура Готр для т = к — 1 в экспоненциальном виде (см. (3.6.17)) представляется как
fc-i
г/ (к — 1) = 2е20г^2 17 (п)1 ехр {~^2(^ (п)}.(3.6.23)
п=О
Видно, что при т = к — 1 уже не происходит компенсация аргументов слагаемых и компоненты входного контура суммируются не арифметически, а геометрически. Поэтому ц^к — 1) < ||Г||2, причем неравенство часто является значительным. Если предварительно известно, что фильтруемый контур N может быть отраженным контуром Готр, то для по-
лучения с помощью КСФ меры схожести форм необходимо провести две фильтрации: контура N и контура N*, а для дальнейшего- анализа взять из полученных 2 к отсчетов отсчет с максимальным модулем.
Полосовая фильтрация на базе КСФ. Фильтр с шириной полосы Ат можно получить при параллельном соединении фильтров,, согласованных
Рис. 3.17. Частотный коэффициент передачи полосового фильтра на основе набора фильтров, согласованных с элементарными контурамиРис. 3.17. Частотный коэффициент передачи полосового фильтра на основе набора фильтров, согласованных с элементарными контурамис ЭК Гт, т = т^та^ -Ь I,.. ~ ... , т0 4- Ат — 1. Фильтр, согласованный с одним из ЭК Гт, пропустит на выход только одну, т-ю составляющую спектра фильтруемого контура. Набор таких фильтров реализует полосовой фильтр с прямоугольной формой АЧХ (рис. 3.17).
Рис. 3.17. Частотный коэффициент передачи полосового фильтра на основе набора фильтров, согласованных с элементарными контурами
Рис. 3.17. Частотный коэффициент передачи полосового фильтра на основе набора фильтров, согласованных с элементарными контурами
частотного коэффициента передачичастотного коэффициента передачиОпределим выражение для выходного сигнала такого полосового фильтра. Вначале найдем значение спектральной составляющей p(s) фильтруемого контура Г, при которой соответвующий ЭВ uj (s)
частотного коэффициента передачи
частотного коэффициента передачи
согласованного фильтра будет равен единице. Из выражения (3.6.6) для {2тг 3
i—SJ
Применяя обратное ДПФ к последнему выражению, находим вид кон
тура Г5:
fl. ("»0Л-. = М“Р ^Т*(" + 1)}}о,1-,'
ЭВ контура импульсной характеристики А = {А (п)}0 к-1 будет равен 1 г 2тг 1
As (п) = у* (к — п — 1) = - ехр ^г—sn|. Тогда согласованный с контуром Г5 фильтр
^5 ^ = ^52~ п^ ехР {г^“5П}? г = 0,1,... , к — 1,
п=О
будет иметь частотный коэффициент передачи, везде равный нулю, кроме w (s) = 1. Объединяя Ат таких фильтров при s = mo, получаем требуемый фильтр:
к — 1mo+Am —1
ту (г) = УУ 7 (г — п) У^ exp p-^-mn|, г = 0,1,... к — 1.
п=От=то
(3.6.24)
Из общего выражения для линейного фильтра, представленного в виде свертки (см. п. 3.2), следует, что ИХ фильтра равна
Д(п) = 1 УУ ехр^г^-тп|, п = 0,1,... , к — 1.(3.6.25)
т=то
п=0ТП=ТПоп=0ТП=ТПоЕсли АЧХ должна быть не прямоугольной, а описываться произвольной весовой функцией g (т), то
п=0ТП=ТПо
п=0ТП=ТПо
(3.6.26)
Синтезируем, например, фильтр для контуров размерностью к = 7 с коэффициентом передачи w (m) = {0,1,1,0,0,0,0}, т.е. mo = 1, Ат = 2. В соответствии с выражением (3.6.24)
т] (г) = (г ~ п) 52 ^ (ш) ехР I f > г = 0,1,... ,6.
п=Отп=1'
Импульсная характеристика фильтра на основании (3.6.25) равна
Проверим, что коэффициент передачи имеет заданный вид. Для этого найдем ДПФ от контура импульсной характеристики:
6
ш (т) = 52 (п) ехР
п=0
1( . 2тг ,. 11V—\( . 2тг , х 1
= exp j -г— (m - 1) + -^exp j -г— (т - 2) к
п=Оп=0
Эти суммы не будут равны нулю лишь при m = 1 (для первой суммы) и m = 2 (для второй суммы). В результате w (т) = {0,1,1,0,0,0,0}.
Согласованная фильтрация контуров со стандартными ЭВ. Рассмотрим имеющий важное значение случай согласованной фильтрации контура со стандартными ЭВ. Такие контуры получаются при прослеживании границ изображения после ввода сцены в систему технического зрения, т.е. естественным образом формируются в ОЗУ. Стандартные ЭВ на квадратной сетчатке принимают восемь возможных значений: ±1; ±г; ± (1 ± г) (см. п. 1.2). Особенность согласованной фильтрации таких контуров заключается в использовании таблицы из 64 комплексных чисел для нахождения произведения v (тг) 7* (тг — т + к — 1), что значительно сокращает время фильтрации. Эта таблица имеет вид (см. табл. 3.2).
Предположим, что ППИ оперирует с десятиразрядными двоичными числами. Если операция умножения двух чисел в этом процессоре реализуется программным путем, то для этого потребуется, ориентировочно, порядка двадцати тактов для вычисления произведения и порядка пяти тактов для организации операции. В результате для нахождения произведения двух комплексных чисел, представленных в алгебраическом виде, необходимо порядка 130 тактов машинного времени. Выполнение
Таблица 3.2
7 \ ^
1
1 — г
—г
— 1 — г
-1
-1 + г
г
1 + г
1
1
1-г
—г
— 1 — г
-1
-1 + г
г
1 + г
1-г
1 - г
2
( 1 + i
—2г
— 1 + i
-2
. -1 - г
—2г
—г
г
1 + г
1
1 + г
—г
-I - г
-1
-1 + г
— 1 — г
— 1 + г
2г
1 + г
2
1 + г
—2г
— 1 — г
-2
-1
-1
— 1 + г
г
1 + г
1
1-г
—г
— 1 — г
-1 + г
-1 + г
-2
— 1 — г
2г
1+г
2
1 — г
—2г
г
—г
— 1 — г
-1
-1 + г
г
1 + г
1
1-г
1 + г
1 + г
—2г
—1 + г
-2
-1 + г
2г
’ 1 + г
: 2
умножения двух стандартных комплексных чисел в соответствии с приведенной таблицей потребует порядка 10 тактов. Таким образом, выигрыш в трудоемкости фильтрации составляет около 10*15 раз.
При индикации обработанных контуров на экране дисплея необходимо проведение операции стандартизации, в результате которой произвольный ЭВ преобразуется в цепочку стандартных ЭВ [42]. Эта операция достаточно трудоемка, но в рассмотренном выше случае чрезвычайно упрощается, так как она тоже выполняется табличным путем. Например, нестандартный ЭВ, равный 2, представляется двумя стандартными ЭВ, равными единице. При этом таблицы для нахождения произведения стандартных ЭВ и для осуществления процедуры стандартизации легко объединяются в одну.
Из сказанного следует, что операция полигонализации контура, обычно предпринимаемая для сокращения его размерности, и, следовательно, с целью упрощения расчетов, не всегда целесообразна. Если задачи обработки связаны с согласованной фильтрацией контура, то снижение при полигонализации его размерности в пределах одного порядка не дает выигрыша во времени выполнения операций из-за невозможности использования табличных способов умножения ЭВ и их стандартизации. Так как полигонали- зация связана с повторной дискретизацией линии контура, то потери из-за большей трудоемкости расчетов сопровождаются еще и неизбежными ошибками в представлении формы изображения. Приведенные выше соображения, связанные с целесообразностью проведения операции полигонализации, имеют смысл лишь в том случае, когда размерности контуров ИХ фильтра и фильтруемого контура совпадают. В противном случае для выравнивания размерностей необходимо выполнить операцию эквализации линии контура (см. п. 9.1.1). При этом ЭВ теряют свойство стандартности и возможность использования табличного способа умножения исключается.
Оценка степени сходства двух форм
Контуры плоских изображений задают не только формы этих изображений, но и содержат дополнительную информацию, связанную с масштабом, углом поворота и положением начальной точки. При установлении степени сходства формы двух изображений по их контурам эта
информация позволяет однозначно оценить такое сходство. В связи с этим возникает задача «подгонки» изображений, т.е. нахождения комбинации параметров линейных преобразований изображения — масштаба |/z|, угла поворота Ду? и сдвига d начальной точки контура, при которых расстояние R между контурами двух изображений становится минимальным [75, 76, 17, 68]. Величина /7ть этого расстояния принимается в качестве меры сходства изображений по их форме. Контуры изображений будем считать заданными в полигональном комплекснозначном виде. Расстояние между двумя контурами в Ск будем определять в соответствии с выражением (1.3.5)
A2 = ||r||2 + ||N||2-2Re(r,N).(3.7.1)
Рассмотрим основанный на согласованной фильтрации подход к определению меры сходства форм, задаваемых контурами Г и N, путем максимизации реальной части их скалярного произведения (Г, N).
Влияние линейных преобразований контуров на величину расстояния между ними. Пусть Г^ контур Г, повернутый на угол Ду?, растянутый в |/z| раз и со сдвинутой на d ЭВ начальной точкой, т.е.
Г^ = {М7(« + d^o,k-v М = 1И ехр(гДу).
Исследуем изменение расстояния между этими контурами для случая, когда их начальные точки совпадают, т.е. d = 0, а параметры \ц\ и Ду? — произвольны. Тогда
гм = {М7(п)}0Л_! = {|д|ехр{гДу}7(п)}ок_1.
Норма преобразованного контура равна ЦГ^Ц = |д|||Г||, а искомый нормированный квадрат расстояния
Кц = Д2/||Г||2 = 1 + 1мР - 2|р| cos Ду.(3.7.2)
Из данного выражения следуют частные случаи: Ду? = О, R^ = = (1 - |/z|)2, и Ду? = 0, \ц\ = 1, R^ = 2(1 - cos Ду?).
Графики зависимости расстояния между контурами от \р,\ и Ду? для этих случаев представлены на рис. 3.18.
Рис. 3.18. Графики зависимости нормированного расстояния между подобными контурами при d = 0 от изменения масштаба (а) и от изменения угла поворота (б)
Если Ду? = О, |/z| = 1 и происходит сдвиг начальных точек подобных контуров, то
R2h = 2[1 - Re тун],(3.7.3)
где г)н = туЦГЦ2 — нормированные скалярные произведения контуров в комплексном линейном пространстве Ск.
В наиболее общем случае, когда контур подвергается растяжению, повороту и сдвигу начальной точки
77н — 1 + |м|2 — 21| Re T]H(d) cos Ду?.(3.7.4)
Полученные для R^ соотношения показывают, что данная величина является функцией параметров \р,\, Ду? и d линейных преобразований контура. Поскольку эти преобразования не меняют формы изображения, то расстояние (3.7.4) из-за неинвариантности к указанным параметрам не может быть принято в качестве меры сходства двух форм.
Инвариантность расстояния между нормированными контурами к масштабу и сдвигу начальных точек контуров. Пусть Nh = N/||N|| и Гн = Г/||Г|| — два произвольных нормированных контура. Квадрат расстояния между ними
Rh = 2 (1 - Re %).(3.7.5)
Отсюда видно, что единственной существенной операцией для нахождения R^ является получение НСП т)н. Рассмотрим влияние отдельных видов линейных преобразований на величину R^.
Масштабирование. Пусть один из контуров растянут в |/z| раз, например, Г|м( = |//|Г. Тогда
^ = 2[1 - |^| Re (TV, r)/|M|||TV|| ||Г||] = 2 (1 - Re %).
Сравнивая полученное выражение для расстояния с предыдущим, видим, что они совпадают, т.е. масштабирование не привело к изменению расстояния между нормированными контурами.
Поворот и сдвиг начальных точек. При повороте изображения на произвольный угол Ду? норма его контура не меняется. С учетом этого выражение (3.7.5) принимает вид
Ян = 2 - тун ехр {—гА<^} - ту* ехр {гДу} =
= 2 (1 — Re % cos Ду? — Im т)н sin Ду?).
Если d = 0, то Re % = 1 и Im % = 0. В этом случае
R^ = 2 (1 — cos Ду?),
т.е. имеется зависимость расстояния от величины угла Ду?. Также остается зависимость расстояния от сдвига начальной точки любого из контуров. Если считать, что угол взаимного поворота нормированных контуров Ду? = 0, то квадрат расстояния между ними будет характеризовать различие задаваемых ими форм и параметрически зависеть от величины взаимного сдвига d начальных точек:
Я^ = 2[1-Re тун (</)].(3.7.6)
При совпадении начальных точек контуров реальная часть скалярного произведения становится максимальной, а расстояние — минимальным.
Таким образом, если угол взаимного поворота Ду? контуров равен нулю, то для исключения влияния на величину расстояния между ними преобразований масштабирования необходимо перейти к нормированным контурам и использовать значение НСП с максимально возможной реальной частью.
Исключение влияния угла взаимного поворота между контурами на расстояние. Пусть контуры N и Г нормированы, их начальные точки совпадают, т.е. d = 0, а угол взаимного поворота Ду? произволен. НСП контуров при Ду? ^ 0 является комплексным числом
%,Д^ № = ехР {*Д^}^ № ,
а величина его реальной части будет меньше реальной части при Ду? = 0. Этим и проявляется, в конечном счете, влияние поворота на расстояние. Для исключения этого необходимо до вычисления R^ повернуть вектор НСП ту^ду, (d) = |т7н,2Ху> №\ехр ^гф (т)} на угол, равный
—ф (т) = —arctg—ф (т) = —arctgIm 7/н,Ду>Re y^AvIm 7/н,Ду>Re y^Av
—ф (т) = —arctg
—ф (т) = —arctg
Im 7/н,Ду>
Re y^Av
Im 7/н,Ду>
Re y^Av
В этом случае вектор НСП контуров становится горизонтальным и направленным вправо, а его реальная часть совпадает с его модулем, т.е. Re т^Лч» № = |т7н,а^ (4I- Тогда величина
Д^ = 2 [1 -(rf)|](3.7.7)
при данном значении параметра d сдвига начальных точек будет минимальной. Максимальное значение этого расстояния равно
^2min = 2[l-K^)lmaxb <7 = 0,1,... , fc — 1.(3.7.8)
Полученное значение R^min может определять сходство двух плоских форм, так как влияние разных масштабов устранено выравниванием энергий контуров до стандартного единичного уровня, угол поворота между ними сведен к нулю, а сдвиг начальных точек выбран таким образом, чтобы формы оказались максимально близкими.
Если N = Г^, то в этом случае модуль НСП равен единице и величина Лнтт Для контуров Г и N равна нулю. Чтобы в соответствии с выражением (3.7.8) найти меру различия форм, задаваемых произвольными контурами N и Г в виде расстояния R^in между ними, необходимо:
сформировать комплекснозначные коды контуров N =
и Г = {7(n)}0>fc_1;
вычислить к значений их НСП
■Пн № =
определить модуль каждого из этих НСП 17yH (d)|, d = 0,1,... , к-1, и выбрать максимальный из них 1% (d)|max;
подставить найденное максимальное значение |77н(^)|тах НСП в выражение (3.7.8) и найти квадрат расстояния между контурами.
Формирование меры сходства на базе КСФ. Выражение (3.7.8) для оценки сходства форм плоских изображений содержит только одну переменную - максимальное значение модуля НСП контуров этих изображений. Данная величина получается в результате работы КСФ путем выделения максимума модуля выходной величины p^d) и деления его на произведение норм входного контура N и контура Г его ИХ (рис. 3.19).
Рис. 3.19. Структура устройства для оценки степени сходства двух форм
Проведенный анализ показал возможность получения количественной оценки сходства форм плоских изображений в виде эвклидова расстояния между комплекснозначными кодами их контуров, рассматриваемых как векторы. Независимость данной оценки от угла поворота, изменения масштаба изображения и сдвига начальной точки его контура достигается в результате использования в выражении для расстояния между комплекснозначными векторами максимального значения модуля НСП этих векторов.
Значение этого модуля получается при фильтрации контура одного из изображений фильтром, согласованным с контуром другого изображения.
Сопряженная согласованная фильтрация
Задание векторов в ортонормированном и косоугольном базисах Кроме контурной согласованной фильтрации мы рассмотрим еще два линейных фильтра, параметры которых связаны с характеристиками изображения. Это инверсный фильтр, или фильтр, согласованный с сопряженной формой сигнала (ССФ), и согласованно-избирательный фильтр (СИФ), импульсная характеристика которого определяется контуром изображения. В данном разделе будет рассмотрена работа ССФ. На базе такого фильтра эффективно решается задача разрешения, т.е. разделения перекрывающихся контурных сигналов, с последующим их обнаружением, оценкой параметров и распознаванием. Работа ССФ связана с заданием сигнала в косоугольном базисе. Поэтому предварительно приведем необходимые сведения из векторного анализа.
Пусть X = {хп}г к — система векторов из n-мерного векторного пространства (нижний индекс при хп является номером вектора). Умножим каждый вектор на произвольное число ап, п = 1,2,... , к, и, сложив
полученные произведения, получим новый вектор у:
к
у = atXi + a2x2 + ... + акхк = У^ апхп.(3.8.1)
П=1
Вектор у называется линейной комбинацией векторов {хп}1 к, а числа {an}i к — координатами вектора у. Если существует равная нулю линейная комбинация
к
у=У2 a"Xn=°’(3-8-2)
П=1
в которой хотя бы один из коэффициентов ап не равен нулю, то система векторов называется линейно зависимой.
Определитель линейно зависимой системы векторов равен нулю. В противном случае система будет линейно независимой. В /с-мерном линейном пространстве любые к +1 векторов будут линейно зависимыми, т.е. в fc-мерном пространстве не существует более, чем к линейно независимых векторов.
Набор из к линейно независимых векторов ^-мерного векторного пространства Ек называется базисом этого пространства. Пусть {еп}1 к — такой базис. Любой другой /с-мерный вектор х вместе с векторами базиса образует систему k-Vl векторов, которые будут уже линейно зависимыми. Тогда
к
х 4-^ ( З^п) ®п — 0>
71=1
где (—хп\ п = 1,2,... , к, — коэффициенты линейной комбинации векторов. Отсюда следует, что
к
"X — ^ ^ Хп^п — 371^1 4“ $2^2 + - . • + Хк^к'(3.8.3)
п=1
Числа хп, п = 1,2,... , к, являются координатами вектора х в базисе {е^ ^ а запись (3.8.3) — разложение этого вектора по векторам базиса. Если векторы базиса попарно ортогональны, т.е.
(«,,е„) = (° "Р”(М.4)
(Ие^П - ||еу|| при 3=^
то базис называется ортогональным или прямоугольным, а при ||en|| = 1, п = 1,2,... , к, — ортонормированным.
Выберем в качестве базиса в Ек векторы {un}1 fc, имеющие произвольную длину и направление. В этом случае получаем косоугольную систему координат, в которой соотношение (3.8.4) не выполняется. Сравним методы определения координат вектора в прямоугольной и косоугольной системах координат.
Используя (3.8.3), запишем выражение для скалярного произведения векторов хиип:
(х, U„) = (foui + ж2и2 + .. . + XfcUfc], Un) .
Если базис {un}ofc_1 ортонормирован, т.е.
/\ I 0 при 7 +п _
(u,,un) = <(3.8.5)
[1 при 3 = 72,
ТО
(х,ип) = жп.(3.8.6)
В косоугольном базисе соотношение (3.8.5) не выполняется и для определения координат вектора х вводится еще один косоугольный базис V = = {vn}1 к. Базисы U = {un}lfc и V = {vn}i ^ находятся в биортогональ- ном соотношении, т.е.’
/ х 11 при з = п._
(u,-,v„) = ^(3.8.7)
при з п.
к
Если теперь вектор х = ^ жпип умножить скалярно на вектор vn п=1
^ учесть (3.8.7), то получим искомую координату вектора х в направлении базисного вектора ип
(х,у„) = жп.(3.8.8)
Таким образом, если базисные векторы задают косоугольную систему отсчета, то для задания в ней произвольного вектора необходимо иметь еще одну косоугольную систему отсчета, связанную с первой соотношением биортогональности (3.8.7). Поэтому в теории обработки сигналов косоугольная система отсчета применяется значительно реже, чем орто- нормированная. Другим преимуществом ортонормированной системы по сравнению с косоугольной является совпадение понятий проекций и координат вектора.
В соответствии с выражением (3.8.8) координатами вектора х являются коэффициенты ап в линейной комбинации
к
X =й"и"’(3-8-9)
П=1
определяемые для случая ортонормированного базиса {un}1 к как
ап = (х, un), п =(3.8.10)
а для случая косоугольного базиса {un}1 к с привлечением ортонормированного с ним базиса {vn}1 к — как
ап = ^х^п), п = 1,2,... , fc.(3.8.11)
В то же время проекция Ъп вектора х на вектор un, угол между которыми равен ip, записывается в виде
Ьп = ||x||cos^=п = 1,2,... ,к.(3.8.12)
Проекция Ъп есть прилегающий к углу у? катет прямоугольного треугольника, образованного вектором х и перпендикуляром, опущенным с конца вектора х на вектор un. Образуем новый вектор у в виде линейной комбинации базисных векторов U = {un}1 к с весовыми коэффициентами Ьп, п = 1,2,... , к*.
У = 52 bnU" = 52 ^||un|/Un’(3.8.13)
и выясним, в каком случае у = х. Для этого скалярно умножим обе части последнего выражения на вектор и/:
Если базис U = {un}1 fc ортонормирован, то ||un|| = 1,
и
(У, и<) = (x,uz).
Таким образом, в ортонормированном базисе проекция Ъп вектора х на базисный вектор un равна координате ап, п = 1,2,... ,к, этого вектора х, т.е.
ап = Ъп, п = 1,2,... ,к- 1.(3.8.14)
Пусть теперь U = {и^ к — косоугольный базис. Образуем сопряженный с ним базис V = {v^ к, причем
!
1 при п = I._ „
(3.8.15) О при п ^ I.
Умножим скалярно обе части каждого из выражений (3.8.9) и (3.8.12) на вектор V/, I = 1,2,... , к. В результате получим
an = (x,vn), Ьп = —Цт (х, un), п = 1,2, ...,к.(3.8.16)
Отсюда видно, что при задании вектора в косоугольном базисе его координаты не равны проекциям на соответствующие базисные векторы:
а-п Ьп, п = 1,2,... .к.(3.8.17)
У^Е1;0} У2=[°;11У^Е1;0} У2=[°;114 =4 =2_.L12’122_.L12’12ЬА=[1,453; 1300].ЬА=[1,453; 1300].
У^Е1;0} У2=[°;11
У^Е1;0} У2=[°;11
4 =
4 =
2_.L
12’12
2_.L
12’12
ЬА=[1,453; 1300].
ЬА=[1,453; 1300].
Рис. 3.20. Представление вектора в ортонормированном и косоугольном базисах
Рассмотрим численный пример. Имеются две базисные системы векторов: ортонормированный базис Y с ортами yi = {1,0}, уг = {0,1} и косоугольный базис U = {ui, U2} (рис. 3.20).
Координаты векторов ui и U2 в ортонормированном базисе X равны ui = = (1,2) и U2 = (2,1), т.е. ui = yi + 2уг и U2 = 2yi + уг- Сигнальный вектор х в базисе Y имеет координаты (0,75; 1,25), т.е. ai,y = 0,75 и 02,у = 1,25: х = 0,75yi + 1,25у2.
Его проекции на оси yi и у2 будут равны: 61,у = -г—- (х, щ) = 0, 75 • 1 + НУ111
+ 1,25 • 0 = 0,75, Ь2,у = —(х, у2) = 0,75 • 0 + 1,25 • 1 = 1,25.
Таким образом, координаты вектора х в базисе Y совпадают с его проекциями на соответствующие векторы базиса: ai,y = bi,y = 0,75, 02,у = Ь^1У = 1,25.
Найдем теперь координаты ах^ и 02 ,к вектора х в косоугольном базисе U = = {ui, U2} и проекции 61 и 62 вектора х на векторы щ и U2 этого базиса. Зададим вектор х через векторы ui и U2:
X = ai.fcUi + a2,fcU2,A: = afcU,
г1 тт “И “12
где ак = {ai)fc,a2,fc} и U ==
lt21 U2221
Умножая обе части векторно-матричного равенства на матрицу U”1, получим а = xU-1. Обратная матрица U-1 в общем случае будет равна
|j-l _ 1U22—U12
А —^21 Иц
где А — определитель матрицы U. В результате для координат вектора х в базисе U = {ui, U2} найдем
X1U22 — X2U2I—X1U12 A-X2U11.
Ql,fc = —, Q2,k д, △'U11U22 — U12U21.
С учетом конкретных значений координат векторов х, ui, U2 в ортонормиро- 71
ванном базисе Y = {yi,y2} получаем ai^ = — « 0,583; а2,к ~~ 0,083,
71
т.е. х = —ui + —U2.
Легко проверить, что последнее выражение в численном виде равно [0,75; 1,25] = 71
= — [1,2] + — [2,1] и представляет собой тождество.
Найдем теперь проекции bi)k и b2ik вектора х на векторы щ и U2 косоугольного базиса
bi,k = A(X1U1> =;-- --([0,75; 1,25], [1,2]) = °’75 + 2,5 «1,453, НМ V22 +12Vs
b2,k = й-Цг (xiu,) = -=^= ([0,75; 1,25], [2,1]) = ’°t-° « 1,300.
IIM v ' Vl2 + 22Vs
Видно, что ai,fc + bi,k и a2,k + b2,k.
Из приведенных теоретических сведений и численного примера видно, что координата ап вектора х — это мера близости векторов х и vn, где vn — п-й вектор базиса V = {vn}T k, находящегося в биортогональном отношении к базису U = {un}1 к, в котором задан вектор х. В то же время проекция Ьп вектора х на вектор un — это мера близости векторов х и un. Если базис, в котором задан вектор х, обладает свойством ортонормиро- ванности, то координата ап равна проекции Ьп, так как это базис является самосопряженным. В общем же случае координата ап и проекция Ьп, п = 1,2,... , к, являются мерами близости вектора х к разным, хотя и взаимосвязанным эталонным сигналам, задаваемым векторами {vn} и {пп}. Отсюда становится ясно, что необходимость вычисления множества координат {an}i ^, или множества проекций {&n}i к вектоРа сигнала х в выбранном базисе зависит от постановки задачи исследования. Если определяется степень близости обрабатываемого сигнала х к каждому из эталонных сигналов un, п = 1,2,... , к, то определяются проекции этого вектора в базисе U = {un}lfc: bn = (х, un), п = 1,2, ...,к, а если к алфавиту сигналов V = {vn}1 к, находящемуся в биортогональном отношении к алфавиту сигналов U, то координаты вектора х в том же базисе U: ап = (х, v), п = 1,2,... , к.
Отметим, что в любом базисе — ортонормированном или косоугольном — базовая операция обработки сигнала сохраняет свой вид и представляет собой скалярное произведение двух векторов, одним из которых является вектор принятого, а другим — вектор эталонного сигналов.
О соотношении операций разложения и фильтрации векторного сигнала. Ранее было отмечено, что в общем случае линейные операции над сигналом сводятся к получению скалярного произведения обрабатываемого сигнала с базисными векторами системы отсчета. Существенно также, что эти операции не приводят к увеличению содержащейся в сигнале информации: искомый сигнал можно полностью восстановить обратным преобразованием. Количество содержащейся в сигнале информации инвариантно относительно преобразования координат. В связи с этим возникают два вопроса: с какой целью необходимо переходить из одной системы отсчета в другую и имеются ли какие-либо преимущественные системы отсчета?
Вот что говорит по этому поводу известный математик К. Ланцош [86]: «Вопрос о «наиболее адекватной системе координат» часто имеет ... большое значение. Мы можем начать с заданной системы координат, которая, возможно, не соответствует общим свойствам ... проблемы. Мы можем получить лучшую основу для данного анализа, если перейдем от первоначальной системы к более адекватной системе. Однако в принципе все системы координат одинаково допустимы. Системы координат можно сравнить с лесами при возведении здания. Леса не принадлежат зданию. Они служат только для того, чтобы иметь доступ ко всем участкам здания. И после того, как здание сооружено, леса могут быть сняты. Нельзя смешивать свойства, принадлежащие лесам, со свойствами самого здания. Сущность системы состоит в том, что она является вспомогательной конструкцией, дающей только возможность некоторого определенного описания природы, но не принадлежащей к ее подлинной сути».
Ответы на поставленные вопросы заключаются в следующем: выбор системы координат производится для выявления наилучшим образом определенных свойств сигнала. Среди используемых при обработке сигналов систем координат чаще всего используются два класса систем.
Первая система задается каким-либо ортонормированным базисом, например, базисом Фурье. При этом понятия координат а = {ап}о л:—1 векторного сигнала s = {s(n)}ofc_1 и его проекции b = {Ьп}0 к-1 на базисные векторы системы отсчета U = {un}0 к-1 совпадают, т.е. а = Ь.
Определение векторов а = b в данном случае называют разложением сигнала s в базисе U, а компоненты этих векторов — спектром сигнала s. В результате разложения s на базе операции скалярного произведения (s,un), п = 0,1,... , к — 1, мы находим набор мер близости к некоторой системе стандартных сигналов, определяемых U. Выбор этих стандартных сигналов определяется задачей анализа сигнала s.
Чаще всего используется базис Фурье, что вызвано следующими причинами. Мы живем в мире акустических, электромагнитных и других полей — музыки, речи, радиоволн, излучений в инфракрасном, оптическом и ультразвуковом и др. диапазонах. Внутренняя структура этих явлений хорошо интерпретируется лежащими в их основе синусоидальными колебаниями с разными амплитудами, частотами и фазами. Наши органы чувств — слух и цветовое зрение обеспечивают восприятие окружающего мира именно с этих позиций. Кроме того, синусоидальное колебание относится к классу собственных функций линейного оператора: сигнал в виде синусоиды при линейных преобразованиях, например, фильтрации, сохраняет свою форму. Преобразование Фурье позволяет найти скрытые регулярности, обычно трудно выявляемые при временном представлении сигнала. Оно обладает следующим замечательным свойством: если выполнить обратное преобразование с целью восстановления исходного сигнала через его проекции (координаты), отбросив при этом часть проекций (координат), то среднеквадратическая погрешность восстановленного сигнала будет меньше, чем при использовании любого другого приближения сигнала [86].
Вторая система векторов U, используемая для анализа векторного сигнала s, связана не с системой стандартных функций, как первая, а с самим сигналом s. Проведение такого анализа называется фильтрацией сигнала. При этом система U = {un} не обязательно должна представлять ортогональный базис, и даже просто базис, т.е. к линейно независимых векторов, где к — размерность векторного пространства. Векторы un, п = 0,1,2,..., могут быть линейно зависимыми, а угол между ними и их количество — произвольными. Задача фильтрации связана с нахождением мер близости векторного сигнала с каждым из векторов un системы U в виде проекции
^ = (s,un)/||un||(3.8.18)
вектора s на вектор un. Действительно, в соответствии с п. 3.2, работа линейного фильтра описывалась выражением свертки
к-1
г) (т) = У^ s (п) А (т — п), т = 0,1,... , к — 1.(3.8.19)
п=0
Представим это выражение в виде ВКФ двух векторных сигналов s и un:
k —1
-q (т) = У2 8 С71) ^ (n — т).(3.8.20)
п=О
Сравнивая эти выражения, приходим к выводу, что ИХ фильтра должна быть равна
А (г) = и^г),(3.8.21)
или, учитывая условие физической реализуемости фильтра,
А (г) = и (к - 1 - г).(3.8.22)
Тогда выражение (3.8.19) примет вид
к-1
Л (т) = У2 8 (п)и (п — т к — 1), т = 0,1,... , к — 1,(3.8.23)
п=О
ИЛИ
Т) (т) = (s, u^-i-m), т = 0,1,... , к - 1.(3.8.24)
Сравнивая (3.8.18) и (3.8.24), видим, что при ||ufc-i_n|| = 1 они отличаются лишь номером вектора, входящего в состав системы U. Таким образом, линейный фильтр вырабатывает значения последовательности проекций сигнала s на векторы системы U, или, что то же самое, отсчеты ВКФ сигнала s с векторами этой системы.
Отметим важную особенность векторов системы U = {ufc-i-m}0 k_v Их компоненты и порядок следования компонент одинаковы, а один вектор отличается от другого лишь номером начальной компоненты. Выписывая эти векторы в виде столбца, получим определяющую работу фильтра матрицу
0
1
2..
. к - 1
0
" и (к — 1)
и (А;-2)
и (к — 3) ..
и(0) "
1
и (к)
и (к — 1)
и (к — 2)..
..и(1)
U= 2
и (к + 1)
и (к)
и (к — 1)..
..и(2)
к-1
-и (2к - 2)
u(2fc-3)
u (2k - 4) .
.. и (к — 1).
Принимая во внимание свойства периодичности
п
0
1
U= 2
т
0
"и (к — 1) и (к) и(1)
1
и (А;-2)
и (к — 1) и(0)
2..
и (к — 3) ..
и (к - 2) ..
и (к — 1) ..
.к-1
.и (0)"
•и(!)
•«(2)
(3.8.25)
к —
1
.-и (к - 2)
и (к — 3)
и (к — 4) ..
. и (к — 1).
и (г ± ак) = и {г), представим эту матрицу в виде
компонент векторовкомпонент векторовС учетом матричного представления ИХ линейного фильтра его работа описывается следующим векторно-матричным выражением: Н = sU, где н = {?7(0), 17(1),... , i7(k —1)}.
компонент векторов
компонент векторов
Система отсчета из линейно независимых векторов U образует в общем случае косоугольный базис. Она имеет важнейшее значение в теории обработки сигналов, так как решение основных задач — обнаружение, разрешение, распознавание и оценка параметров, сводится к нахождению в ней проекций сигнала s. Особенно интересным является случай, когда векторы Ufc-i-m представляют собой смещенные копии фильтруемого сигнала s. Такую систему отсчета назовем собственной или естественной. Получающийся при этом фильтр является согласованным. Он формирует количественные меры схожести (3.8.24) сигнала s с каждой из своих смещенных копий.
Разложение сигнала в собственной системе отсчета. Собственная система отсчета состоит из системы векторов, представляющих собой сдвинутые копии вектора сигнала s = uq. Название системы подчеркивает тесную связь между вектором сигнала uq и векторами системы отсчета.
"s (к — 1) s (к — 2) s (к — 3) ..."s (к — 1) s (к — 2) s (к — 3) ...з(0) з(1)з(0) з(1)s (к —1) s(fc-2)s (0) s (к — 1) ...s (к —1) s(fc-2)s (0) s (к — 1) ...з(0) з(1) з(2)з(0) з(1) з(2)(3.8.26)(3.8.26)Для обозначения базисных векторов заменим букву «и» на букву «s», т.е. соответствующую систему отсчета будем задавать как S = = {sfc-i-m}0 k_v Матрица собственной системы отсчета примет вид
"s (к — 1) s (к — 2) s (к — 3) ...
"s (к — 1) s (к — 2) s (к — 3) ...
з(0) з(1)
з(0) з(1)
s (к —1) s(fc-2)
s (0) s (к — 1) ...
s (к —1) s(fc-2)
s (0) s (к — 1) ...
з(0) з(1) з(2)
з(0) з(1) з(2)
(3.8.26)
(3.8.26)
_s (к - 2) s (к - 3) s (к - 4) ... s (к - 1).
Вектор последнего столбца равен самому сигналу, т.е. So = s. Все базисные векторы имеют одинаковые наборы компонент, поэтому
(3.8.27)(3.8.27)llsoll = ||S1|| = ... = IlSfc-xll = ||s||.
(3.8.27)
(3.8.27)
Определим координаты сигнального вектора s в собственной системе отсчета, т.е. найдем вектор а = {am}0 k_v компоненты которого являются весами в линейной комбинации векторов s^-i-m, т = 0,1,... ,к — 1, равной s:
к-1
(3.8.28)(3.8.28)S =(ZmS^ — i_
(3.8.28)
(3.8.28)
т=0
Для этого введем сопряженную к S систему V = {vfc-i_m}0 к-1, где Vk-1-т = {^ (^ — ^ + к — 1)}0 А._1; S и V образуют биортогональную систему отсчета, т.е.
^к — Х—т^к—А-—!^ —^к — Х—т^к—А-—!^ —1о1опри m = Z, при т ф I.при m = Z, при т ф I.(3.8.29)(3.8.29)
^к — Х—т^к—А-—!^ —
^к — Х—т^к—А-—!^ —
1
о
1
о
при m = Z, при т ф I.
при m = Z, при т ф I.
(3.8.29)
(3.8.29)
Последнее соотношение в матричном виде запишется как SV = I, I — единичная матрица. Отсюда следует, что матрица сопряженной системы отсчета обратна матрице, задающей собственную систему отсчета, т.е. V = S-1. Обе части выражения (3.8.28) скалярно умножим на вектор vk_i_b Z = 0,1,... , к - 1 :
/с —1
(s, V^—i—j) = ^ ^ CLm (s^_i_m, Vk—i—/) = (Ц.m=O
Таким образом, координаты ami т = 0,1,... , к — 1, вектора сигнала s в собственной системе отсчета равны скалярному произведению векторов s и Vfc-i-уп :
ат = (s,vfc_i_m), m = 0,1,... , fc — 1,(3.8.30)
или с учетом того, что s0 = s,
ат = (so,vfc_i_m), m = 0,l,... ,&-1.
Принимая во внимание соотношение биортогональности (3.8.29), приходим к выводу, что
{
1 при т = к — 1,
0 для остальных т.
Данное выражение определяет смещенный символ Кронекера, т.е.
{ат}Ь1 = {0,0,... ,0,0,1}.(3.8.31)
Таким образом, все координаты сигнального вектора s в собственной системе отсчета, за исключением последней ak-i, равны нулю. Данное обстоятельство становится понятным, если учесть, что вектор сигнала s = = So ортогонален каждому из базисных векторов v^-i-m собственной
системы отсчета, за исключением последнего из них vq. В свою очередь скалярное произведение (so,vq) = 1.
Если же фильтруется зашумленный сигнал u = s + п, то любая из его координат
«т = (u, Vfc_!_m) = (s, Vfc_i_m) + (n, Vfc_i_m) , m = 0,1,... , fc - 1,может оказаться не равной нулю. В отличие от случая обычной согла-сованной фильтрации здесь лишь координата a^-i будет содержать по-лезную сигнальную составляющую, а все остальные — только шумовыесоставляющие. В результате разница между пиковым и любым другим от-счетом будет больше, что в итоге увеличивает отношение сигнал/помеха.
Рассмотрим теперь фильтр, вырабатывающий отсчеты в виде координат вектора s. Такой фильтр был назван сопряженным согласованным фильтром (ССФ). На основании выражения (3.8.27) скалярное произведение (3.8.30), выраженное через компоненты векторов s = {s(n)}0A;_1 и vk_i_m = {v(n-m + k- 1)}0)А._1, примет вид
/с —1
ат = У^ s (п) -и (п — т + к — 1), т = 0,1,... , к — 1.(3.8.32)
т=0
Определим частотный коэффициент передачи фильтра в виде отношения спектров выходного рвых (т) и входного рвх (т) сигналов
ш (т) = Рвых^ т = 0,1,... , к — 1.(3.8.33)
рвх (т)
ДПФ выходного сигнала (3.8.31) фильтра равно
к-1
Рвых (ттг) ^ “п ехр (-г-^тп п=0
dfc-iexpdfc-iexp{-^тм} ={-^тм} =
dfc-iexp
dfc-iexp
{-^тм} =
{-^тм} =
Тогда
си (т) = —7—7 ехРт = 0,1,... , к — 1.(3.8.34)
Рвх(т) I к J
Полагая
Рвх (т) = |рвх (т)| ехр{г^> (т)},
для АЧХ и ФЧХ сопряженного согласованного фильтра получим 12тг
(т)| = ч;—-, arg to (т) = — т — (m), т = 0,1,... , к — 1.
|Рвх(т)|х 7 к,
(3.8.35)
Таким образом, АЧХ фильтра обратно пропорциональна амплитудно-частотному спектру сигнала, а ФЧХ повторяет с обратным знаком и дополнительным слагаемым задержки фазочастотный спектр эталонного сигнала. Подобного типа фильтры называются инверсными [21].
Таким образом, при фильтрации сигнального вектора s согласованный фильтр вырабатывает сигналы в виде проекции вектора s на базисные векторы S = {sfc_i_m}0 А._1 собственной системы отсчета, а сопряженный согласованный фильтр — в виде координат вектора s в этой системе отсчета. Отметим, что система отсчета S = {sfc_i_m}0 k-1 должна содержать линейно независимые векторы. В противном случае матрица S не будет иметь обратной и нельзя построить биортогональную систему отсчета.
Фильтрация широкополосного шумового контура
Решение таких важных задач обработки контуров как их обнаружение, оценка параметров, разрешение и распознавание, связаны с вопросами фильтрации шумового контура Z = {((n)}0 k-1 = {<i (n) + (2 (™)}o,fc-i> одна из моделей которого описана в п. 1.7. Для данной модели шумового контура Z, действующего на входе контурного линейного фильтра, найдем такие характеристики выходного контура Н = {ту (т)}0 А._1, как:
корреляционную функцию и дисперсию;
корреляционный момент вещественной и мнимой частей его ЭВ;
распределение вероятностей модуля и аргумента ЭВ;
распределение вероятностей квадрата модуля ЭВ.
9.1. Корреляционная функция и дисперсия процесса на выходе фильтра. Определим характеристики дискретного случайного процесса на выходе контурного линейного фильтра. Среднее значение выходного комплекснозначного шума с учетом выражения (1.7.6) равно p(s) = /с-1_
= 52 А (n) С (s — п) = 0. Тогда выражение для выходной АКФ п=0
Квьк (тп) = Ч (з) Ч (s + m) = m|t?(s) ^(s + m)), где т? (s) = r) (s) — у (s) — центрированное значение ц (з), примет вид {k-lrfc-11*']
57 A (n) С (s - п) 57 А («)С (з - П + т) к п—О_п=0_ )
Комплексно сопряженная сумма (произведение) чисел равна сумме (произведению) комплексно сопряженных чисел. Поэтому
{
/с —1/с —1
57 А (п) с (з - п)57 А* (п) С (з - п + т)
п=0п=О
/с —1 /с —1
= 57 57 Л М Л* ММ^ (s-п)С* (s + m- г)}.
п=0 г=0
Принимая во внимание выражение (1.7.4), получаем
к-1 к-1
Квых (т) = 2<т2^2 52 А (п)Л* И 5 (г - п - т).
п=0 т=0
Данное выражение равно нулю для всех значений г, кроме г = п + т. В результате
к-1
^вых (т) = 2сг2^2 A (n) A* (n + т), т = 0,1,... , к — 1.(3.9.1)
п—О
Отсюда следует, что комплекснозначный случайный процесс на выходе линейного фильтра будет коррелированным, причем максимальное значение АКФ, достигаемое при т = 0, равно
к-1
^вых (0) = Увых = <т2ых - 2а2£ |А (п)|2 = 2<72||Л||2.(3.9.2)
п=0
Таким образом, мощность выходного шума пропорциональна квадрату нормы контура ИХ фильтра. Приведем выражение для коэффициента корреляции выходного шумового процесса
к-1
Явых н = ^^1 =1 £Л(п)А*(п + т).(3.9.3)
вых п=0
9.2. Корреляционный момент вещественной и мнимой частей ЭВ выходного шумового контура. Элементарный вектор шумового контура на выходе фильтра равен
к-1
Чш (s) = 52 Л (n) С(8~п) = ^ (s) + г»7ш2 (s), S = 0,1,... , к - 1, п=0
причем (д (п) (д (п) = ^2 (^) С2 W = cr25 (т). Определим корреляционный момент случайных величин т)Ш1 (s) и т)Ш2 (s):
к-1
Пт (s) = 52 1Л1 (п) + гЛ2 00][<i (з - п) + г<2 (з - п)] =
п=0
к-1
= £{[А1 (п) Cl (8 - п) - А2 (п) <2 (s - п)] +
п=0
+ г [Ai (п) (2 (s - n) - А2 (n) <i (з - п)]}. (3.9.4)
Отсюда получаем
к-1
7?Ш1 (з) = Нет/ш (з) = 52 [Ai (”) <i (s - тг) - А2 (тг) (2 (з - п)],
п=0
к-1
^Ш2 (з) = 1т??ш (з) = 52 [А1 М & (S - П) - A2 (n) Cl (s - n)].
n=0
В общем виде выражение для корреляционного момента величин уШ1 (з) и Т7Ш2 (з) записывается следующим образом:
/с — 1
^^(s) = Чш! (з) »7ш2 (з) = 52 К1 (S “ П) Л1 (п) - & (« ~ п) А2 (п)] X п=0
/с — 1
х 52 К2 (s “ п)Л1 ^ - Ci (з - п) Аг (»)]• (3.9.5) п—О
При перемножении этих сумм для одного и того же значения аргумента получаются слагаемые четырех видов, дающих при усреднении:
Ci (з - п) Сг (з - п)А2 (тг) = 0;
Ci (« - n) Ci (s - n)Ai (п) Аг (тг)=<t2Ai (тг)А2 (тг);
—Сг (з - тг) Сг (з — n)Ai (тг) А2 (тг)=—<t2Ai(тг) А2 (тг);
-Сг (з - тг) Сг (з - п)А^ (тг) = 0.
При перемножении слагаемых сумм (3.9.5) для разных значений аргументов из независимости случайных величин (д (п), £2 (^), Ci (г) и ^i (г), тг ^ т, п, г = 0,1,... , к — 1, получим при усреднении для каждого произведения нулевые значения. В результате искомый корреляционный момент будет равен нулю, т.е. К^ ^^ = 0, з = 0,1,... , к - 1.
9.3. Плотности распределения вероятностей случайных величин на выходе фильтра. Плотность распределения вероятностей вещественной и мнимой частей выходного вектора фильтра. Из выражения (3.9.4) для уш (з) фильтра видно, что как действительная, так и мнимая его части получаются при суммировании большого количества нормально распределенных случайных величин. Поэтому законы распределения вероятностей для уШ1 и уШ2 будут также нормальными.
Рассматривая уш (з) как двумерную нормально распределенную случайную величину с корреляционным моментом R^ ^Ш2 (3.9.3), для плотности ее вероятности можно записать
р 0/ш (з)) = р fom, (з), т?Ш2 (з)) =
= Гч ехр <Ду [тг2 (з) + 772 (з)1 >. (3.9.6) 2тга2||Л||2 Р( 2а2||Л||2 L/ni1 V 7'™3 к 7] J к /
Из некоррелированности нормально распределенных действительной и мнимой частей р следует их независимость. Таким образом, комплекснозначные шумовые векторы на выходе линейного фильтра коррелиро- ваны, в то время как вещественные и мнимые части отдельного вектора не только не коррелированы, но и независимы между собой.
Плотность распределения модуля и аргумента выходного вектора. Перейдем в распределении Р(уш (8)) от переменных уШ1 (з) и уШ2 (з)
к переменным |?7 (s)| и ^(5), т-е- к модулю и аргументу вектора т]ш (з). При этом учитываем, что |т7ш (s)|2 = |т7Ш1 (з)|2 + |т7Ш2 (s)|2, т]Ш1 (з) = = |т7ш (s)| cos^ (s), т?Ш2 (s) = |77ш (s)| sin^ (s). Якобиан этого преобразования
D =D =cosф (s) sin^ (s)cosф (s) sin^ (s)— [т/ш (s)| sin ^ (s)|т7ш(з)|со8^(з)— [т/ш (s)| sin ^ (s)|т7ш(з)|со8^(з)= |т?ш (s)|.= |т?ш (s)|.
D =
D =
cosф (s) sin^ (s)
cosф (s) sin^ (s)
— [т/ш (s)| sin ^ (s)|т7ш(з)|со8^(з)
— [т/ш (s)| sin ^ (s)|т7ш(з)|со8^(з)
= |т?ш (s)|.
= |т?ш (s)|.
Тогда
2<т2||Л||22<т2||Л||2^(|т7ш(8)|,^(з)) = -^^LexpZ
2<т2||Л||2
2<т2||Л||2
2тг<7 ||Л||(
1>7ш(з)| 2тга2||Л||21>7ш(з)| 2тга2||Л||2Ьш(з)|2 2а2||Л||2Ьш(з)|2 2а2||Л||2|Т?Ш1 (s)|2 cos2 ф (s) 4- |т?Ш2 (s)|2 sin2 ^ (s
1>7ш(з)| 2тга2||Л||2
1>7ш(з)| 2тга2||Л||2
Ьш(з)|2 2а2||Л||2
Ьш(з)|2 2а2||Л||2
(3.9.7)
Плотность распределения вероятности модуля выходного шумового вектора. Проинтегрируем распределение Р (|туш (s)|, ^ (s)) по всем значениям ф (з):
2тг
р (Ы (з)|) = [ Р (Ы (S)|, ф (s)) ^ (з) =4S exp {-М< I
Jст ||Л||[ 2(7 ||Л|| J
о
(3.9.8)
Данное выражение показывает, что величина |7/ш (з)| подчиняется распределению Релея. При этом среднее значение модуля |?7Ш| = 1,2530г||Л||, дисперсия 7?{|т/ш|} = 0,4292сг2||Л||2 и среднеквадратическое отклонение а^, = 0,655<т||Л||.
Плотность распределения вероятности аргумента выходного шумового вектора. Для определения искомой плотности Проинтегрируем выражение (3.9.7) по всем значениям |т7ш (з)|:
P(^ (з)) =P(^ (з)) =р (|т?ш(з)|,^(з)) ^|77ш(з)| =
P(^ (з)) =
P(^ (з)) =
о_
1 Г27га2||Л||2] О1 Г27га2||Л||2] О-М^4)фш(з)|. 2<т2||Л||2 J 1 ' V 71
1 Г
27га2||Л||2] О
1 Г
27га2||Л||2] О
Используя значение табличного интеграла J zexp{z/2} dz = 1 [26], по- о
лучаем Р (ф (з)) = 1/(2тг), т.е. величина ф (з) имеет равномерное распределение. При этом среднее значение ф (з) и дисперсия В^ф^з^ равны соответственно ф (з) = тг и D (ф (з)) = 2тг/3.
Плотность распределения вероятности квадрата модуля выходного шумового вектора. С вычислительной точки зрения |?7Ш (з)|2 является более удобно определяемой выходной величиной, чем сама величина |туш (з)|.
В этом случае не надо вычислять квадратный корень при вычислении норм контуров для получения результата фильтрации в нормированном виде, т.е. в виде |т/н (з)|2 = |т/ (s)|2/[||N||2||A||2]. Выше было показано, что плотность распределения вероятностей модуля выходного шумового вектора подчиняется закону Ре лея (3.9.8). Вводя новую случайную величину в виде |77ш(з)|2, по правилам нахождения преобразованных плотностей распределения вероятностей [25] получаем, что величина |?уш (з)|2 подчиняется экспоненциальному закону [26]
X /2а ||Л||[ 2а ||Л|| J
Это распределение характеризует мощность шума на выходе фильтра. Числовые характеристики этого распределения равны |т^|2 = 2а2||Л||2, Г>{Ы2}=4а4||Л||4
Согласованная фильтрация зашумленного контура
Рассмотрим один частный, но важный случай фильтрации зашумленного контура N = Г + Z, когда фильтр согласован с контуром Г. Статистическая модель зашумленного контура была описана в п. 1.7. Нас будут интересовать, как и в п. 3.9, характеристики выходного контура, но для одного, (к — 1)-го отсчета фильтра, когда достигается пиковое значение выходного сигнала КСФ. В соответствии с выражением (3.6.1) для данного случая получим
/с —1/с —1
■q^Ti^k-l^^v^Y W=^2, И (n) + iv2 (пЖз, (п) - ^2 (п)] = п—Оп=О
к-1
= 52 И"1 (П) 71 (П) + Р2 (П) 72 (П)1 + ^ М 71 ^ ~ 1/1 ^ 72 МП' п—О
(3.10.1)
Корреляционный момент вещественной и мнимой частей выходного вектора КСФ. Покажем, что для случая согласованной фильтрации в момент т = к — 1, так же как и для случая фильтрации шумового контура Z, вещественная и мнимая части выходного вектора будут некоррелированными. Определим вначале математические ожидания тт и т^ величин Т)у и т]2*
к-1/с —1
П = Th + гт^ = ^ v ln) 7* W = 52 I7 (n) + W =
n=0n=O
/с—1"kZl
= 527 (n)7* w + 52 (n)7* ^ = nrii2-
n=On=0
Таким образом, тт = ||Г||2 и т^ = 0. Запишем выражение для корреляционного момента величин 771 и 772: Ктт = 711(771,772} - m^m^ = = 74(771,772}. С учетом (3.10.1) будем иметь
к — 1к — 1
^7it?2 — 52 [р1 (п) 71 W + ^2 (п) 72 (п)]52 ^2 М 71 (п) - ^1 (П) 72 (п)]. п=0п=0
При перемножении сумм для одного и того же значения аргумента получаются слагаемые следующих четырех видов:
V1 (тг) 1/2 (тг) 71 (и),- ^1 (и) "1 (и) 71 (и) 72 (тг),
1/2 (тг) v2 (тг) 71 (тг) 72 (тг),- 1/1 (п) 1/2 (71)72 (гг).
После перемножения величин в этих слагаемых и усреднения соответственно получаем
7? (п) 72 (п),— 7i (n) 72 (п) — 71 (n) 72 (и) О'2,(31()2)
71 (тг) 7г (п) + 71 (тг) 72 (тг) <т2,- 71 (п) 7г (и) •
Для неравных между собой значений аргументов в суммах выражения для Ктт также получаем четыре вида сомножителей, для которых после усреднения можно записать
1/1 (тг) 71 (тг) v2 (s) 71 (s) = 72 (тг) 72 (s) 71 (s),
-1/1 (тг) 7i (тг) рг (s) 72 (s) = -7, (тг) 71 (s) 72 (s),
1/2 (тг) 72 (тг) v2 (s) 71 (s) = 72 (тг) 71 (s) 72 (s),(3.10.3)
-i/2 (тг) 72 (тг) ц (s) 71 (s) = -72 (тг) 71 (s) 72 (s),n, s = 0,1,... , к — 1.
С учетом выражений (3.10.2) и (3.10.3) получи^, что К^ = 0.
Плотность распределения вероятностей зашумленного выходного вектора фильтра. Распределение вероятностей вещественной и мнимой частей выходного вектора. Как следует из (3.10.1), действительная 771 и мнимая т]2 части выходного вектора КСФ будут результатом суммирования большого количества нормально распределенных величин и поэтому также имеют нормальное распределение. При этом математические ожидания, дисперсии величин 771 и 772 и их корреляционный момент в соответствии с выражением (3.10.2) и выражениями, полученными в 3.10.1, будут равны
т^=||Г||2, т„2=0, < = < = а2||Г||2, КП1Т)1=О.(3.10.4)
Для плотности распределения вероятности величин (771,772) теперь можно записать
ГИ=Р (ч, ,4,1 = ^4= «хр | - ^ ^(У+ ”’ I.(3.10.5)
Плотность распределения вероятностей модуля и аргумента выходного вектора. Модуль вектора у и тригонометрическое представление его частей равны (ту]2 = у^ 4- 77 2, 771 = |t7|cos<^, 77 2 = |77|sin^. Якобиан преобразования для определения искомой плотности распределения по- прежнему равен |т7|. Тогда
Р (I7?!, У*) = 2^2 еХР *
27га2||Г||2 р
hl2Т<72||Г||2
||Г||2)2] +W2sin2^ ЭД||Г||2)2] +W2sin2^ ЭД2<72||Г||22<72||Г||2Р(Ы) =Р(Ы) =hl<72||Г||2hl<72||Г||2ехрехрf hl2 + lir||4I 2<г2||Г||2f hl2 + lir||4I 2<г2||Г||22т}^Рхро2т}^Рхро{|?7| cosy?{|?7| cosy?dtp =dtp =hl^пгц2hl^пгц2hl2 + lir||4 2а2||Г||2hl2 + lir||4 2а2||Г||2Плотность распределения вероятностей модуля выходного вектора. Интегрируя распределение P(h|,ip) по всем значениям аргумента выходного вектора, получим
||Г||2)2] +W2sin2^ ЭД
||Г||2)2] +W2sin2^ ЭД
2<72||Г||2
2<72||Г||2
Р(Ы) =
Р(Ы) =
hl<72||Г||2
hl<72||Г||2
ехр
ехр
f hl2 + lir||4
I 2<г2||Г||2
f hl2 + lir||4
I 2<г2||Г||2
2т}^Рхро
2т}^Рхро
{|?7| cosy?
{|?7| cosy?
dtp =
dtp =
hl
^пгц2
hl
^пгц2
hl2 + lir||4 2а2||Г||2
hl2 + lir||4 2а2||Г||2
2 2тг
где Iq (1771/ст2) = — J exp {(Ml/0"2) cos tp^ dtp— модифицированная функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента. Учитывая неотрицательность величины модуля вектора 77, для плотности распределения вероятности его модуля можно записать
Р /ША Ml / Ml + Ill'll Тт ( Ml АП
ЧЛ/ а2||Г||22<т2||Г||2 J \<t2/1,1’
и
^(Ь1) = о при Н<о.^(Ь1) = о при Н<о.(3.10.6)(3.10.6)
^(Ь1) = о при Н<о.
^(Ь1) = о при Н<о.
(3.10.6)
(3.10.6)
Данное распределение является распределением Райса. Рассмотрим случай больших отношений сигнал/шум. При этом выходной эффект КСФ в основном определяется контуром фильтруемого изображения, т.е. Т7^||Г||2^ «М| и |т7|^>сг2. При выполнении последнего условия для модифицированной функции Бесселя существует следующее разложение в ряд [47]:
1о (у) =1о (у) =ехр {у} х/2тгуехр {у} х/2тгу92! (8у)292! (8у)22253! (8у)32253! (8у)3у»1. (3.10.7)у»1. (3.10.7)
1о (у) =
1о (у) =
ехр {у} х/2тгу
ехр {у} х/2тгу
9
2! (8у)2
9
2! (8у)2
225
3! (8у)3
225
3! (8у)3
у»1. (3.10.7)
у»1. (3.10.7)
В данном случае у = hl/c2, и, принимая во внимание (3.10.7), получим
p(l,l,=?fc“pp(l,l,=?fc“p(hl4ffl!l2<т2 J(hl4ffl!l2<т2 J
p(l,l,=?fc“p
p(l,l,=?fc“p
(hl4ffl!l
2<т2 J
(hl4ffl!l
2<т2 J
Таким образом, при больших отношениях сигнал/шум модуль выходного вектора КСФ в момент т = к — 1 имеет распределение вероятностей, близкое к нормальному. При этом математическое ожидание модуля вектора у равно |?7| = ||Г||2. Выразим распределение (3.10.6) через отношение сигнал/шум двых по длине линии контура на выходе фильтра дВЬ1Х = = ||Г||2/[сгвх||Г||] = ||Г||/ствх. Введя переменную у = |т?|/<7вых = Ы/[<твх||Г||] и переходя к ней в распределении (3.10.6), получим
Р М = р у еХР 1о Ных) .
Плотность распределения вероятности аргумента выходного вектора. Интегрируя распределение Р (|?7|, у>) по всем значениям модуля [77!, получим
^М = | (1^1,9^) rfl’?! =
expjW/^} 2Т(72||Г||2expjW/^} 2Т(72||Г||2hl2 - 2||r||2|?7|cos9? 2<72||Г||2hl2 - 2||r||2|?7|cos9? 2<72||Г||2
expjW/^} 2Т(72||Г||2
expjW/^} 2Т(72||Г||2
hl2 - 2||r||2|?7|cos9? 2<72||Г||2
hl2 - 2||r||2|?7|cos9? 2<72||Г||2
Это выражение приводится к виду
Р ^ = 57 СХРР ^ = 57 СХР||Г|| cosy> 2V2KCT||Г|| cosy> 2V2KCTl + erf(E^X V2<7l + erf(E^X V2<7l|T|£sin^ 2(72l|T|£sin^ 2(72
Р ^ = 57 СХР
Р ^ = 57 СХР
||Г|| cosy> 2V2KCT
||Г|| cosy> 2V2KCT
l + erf(E^
X V2<7
l + erf(E^
X V2<7
l|T|£sin^ 2(72
l|T|£sin^ 2(72
где erf (ж) = —^J exP {—t2}^ — функция ошибок. При ||Г||/сг > 3, т.е. v^o
при достаточно большом отношении сигнал/шум, данное распределение переходит в нормальное, а при ||Г||/сг<^3 все значения аргумента выходного вектора становятся равновероятными [25].
Функции правдоподобия зашумленного и шумового контуров. При подстановке в качестве независимых переменных в выражение fc-мерной плотности вероятностей р (z/), найденной в процессе статистического эксперимента fc-мерной выборки {z/ (n)}0 k_v получим функцию A (N), называемую функцией правдоподобия. Эта функция по форме своей записи совпадает с выражением для плотности распределения вероятностей, но зависит уже не от г/, а от параметров данного распределения, т.е. от математического ожидания, дисперсии и др. Функция A (N) является мерой схожести распределения р (z/) и распределения, к которому относится выборка {z/ (n)}0 k_v
Найдем выражение для функции правдоподобия зашумленного контура N = {^(^Hofc-i при условии, что его модель обладает свойствами, описанными в п. 1.7. Запишем выражение для совместной плотно-
сти вероятностей вещественной и мнимой частей ЭВ v (n) = vi (п) + + iv2 (n), п = 0,1,... , к — 1, зашумленного контура N. При этом учтем, что математические ожидания случайных величин vy (п) и V2 (п) равны 1/1 (п) = 71 (n) + С1 (п) = 71 (п), 1/2 (п) = 72 (п) + <2 (п) = 72 (п), а их корреляционный момент
^l(n)^(n) = [71 (п) + <1 (п)][7г (п) + <2 (п)] - 71 М 72 (п) =
= 71 (”) <2 (п) + 72 (п) <1 (п) + <1 (п) <2 (п) +
+ 71 W 'll W - 71 (™) 72 (п) = о.
С учетом полученных значений для параметров vi (n), V2 (п) и ^иИ^п), а также независимости случайных величин ^ (п) и C2W выражение для fc-мерной плотности распределения вероятностей вещественной и мнимой частей ЭВ зашумленного контура будет иметь вид
f^i (0), Pl (1),... , Pl (k - 1) , P2 (0) , P2 (1), • • • , P2 (k - 1)] =
{
k —1A
- A-52 tpi w - ^ wi2+[^ w -72 (n)i2 г=n=0)
= cexp {-^ [||N||2 + ||Г||2 - 2Re (N,Г)] }, (3.10.8)
c = 1/(27rcr2)fe.
После того как в это выражение будут подставлены конкретные значения ЭВ v^n^ п = 0,1,... ,к — 1, получим функцию правдоподобия Л (N) зашумленного контура. Для случая чисто шумового контура N = = Z функция правдоподобия принимает вид
Л (Z) = сехрЛ (Z) = сехрb?|N|’rb?|N|’r(3.10.9)(3.10.9)
Л (Z) = сехр
Л (Z) = сехр
b?|N|’r
b?|N|’r
(3.10.9)
(3.10.9)
Отметим тот факт, что выражение ||N||2 + ||Г||2 - 2Re(N,F) равно квадрату расстояния Я2 между зашумленным N и эталонным Г контурами. Поэтому
Л (N) = Л (Г + Z) = сехр {-Я2/2(т2}. (3.10.10)
Отсюда становится ясным физический смысл функции правдоподобия зашумленного контура: если контуры N и Г близки между собой, то Л2 « О и Л (N) = Л (Г + Z) = с, т.е. равна максимально возможной величине.
Сравнительная эффективность фильтров, согласованных с исходным и сопряженным сигналами
Эффективность подавления широкополосных шумов контурным согласованным фильтром. Пусть на вход КСФ подается зашумленный контур N = Г(с) + Z. Здесь Z — шумовой контур, а Г^ = = |/z| ехр{гДу>}Г — сигнальный контур, полученный масштабированием
и поворотом эталонного контура Г. Сам фильтр согласован с контуром Г. Аддитивное представление контура N дает возможность записать результат фильтрации в виде суммы реакций фильтра на сигнальный Г(с) и шумовой Z контуры, т.е. т/с (s) + т]ш (s). Эффективность КСФ определим как выигрыш т = ^вых/^вх в отношении сигнал/шум по энергии на выходе и входе фильтра.
S«,= _ ||Г<С>||2S«,= _ ||Г<С>||2Получим вначале величину q^x. Для этого учтем, что ЭВ сигнального контура Гс = {7с (n)}0 к-1 последовательно поступают на вход фильтра и текущее значение энергии полезного сигнала при этом будет SBx, с (и) = = 7с W 7* (п) = |7с (п)|2, п = 0,1,... , fc — 1. Так как ЭВ контура Г^ принимают произвольные значения, то целесообразно перейти к среднему значению энергии сигнала на входе фильтра Евх<с = ЦГ^Ц А- Аналогично можно говорить о средней энергии ЭВ £ (п), п = 0,1,... ... , к — 1, шумового контура ЕВХ) ш = 2сг2. Усредненное входное отношение сигнал/шум будет равно
S«,= _ ||Г<С>||2
S«,= _ ||Г<С>||2
9вХ =
•^ВХ.Ш^AiCT
При согласованной фильтрации после предварительного изменения фазы и модуля компонент входного сигнала происходит их суммирование. Далее каждая компонента задерживается таким образом, чтобы при образовании выходного сигнала все эти компоненты существовали одновременно. При фильтрации сигнального контура Г(с) фильтром, согласованным с эталонным контуром Г, пиковое значение модуля выходного сигнала будет равно |ту (sq)| = |//| ||Г||2. Если начальные точки контуров Г(с) и Г совпадают, то sq = к — 1. В общем случае такого совпадения нет, поскольку s0 может быть любым числом в пределах от 0 до к—1. Величина |t/(so)| обычно используется в качестве полезного отсчета фильтра, поэтому целесообразно определить выходное отношение сигнал/шум лишь для этого значения s.
Согласованный фильтр будем рассматривать как совокупность двух независимых звеньев — косинусного и синусного, вырабатывающих соответственно сигналы ?7i и 772:
Л (s) = Th. (s) + гт?2 (s) =
fc-1
= ^2 lp (n)ll7 (n ~ s + к — 1)1 cos [^ (n) — p (n — s + к — 1)] + n=0
k — 1
+ г57 \v (n)ll7 (n - s + fc - 1)| sin [^ (n) - 9? (n - s + fc - 1)], (3.11.2) n=0
где ^ (n) и ^ (n) — соответственно аргументы ЭВ p (n) и 7 (n). Найдем вначале эффективность фильтра для полностью известного контура, т.е. когда начальные точки фильтруемого и эталонного контуров совпадают,
|/z| = 1 и А^ = 0. В этом случае Г(с) = Г, so = к — 1. Часть выходного сигнала, а именно т]с (к — 1), образованная только полезным входным сигналом, равна ||Г||2, а его энергия — Евъщш = ||Г||4. При этом энергия шума в соответствии с (3.9.2) на выходе будет #Вых,ш = 2сг2||Г||2. Тогда эффективность фильтрации
(3.11.3)(3.11.3)г = 9вых =||Г||4 2ка2
(3.11.3)
(3.11.3)
9вх 2а2||Г||2||Г||2
Отметим, что для случая согласованной фильтрации полностью известного контура весь полезный эффект получается на выходе косинусного звена фильтра. На выходе синусного звена будет лишь чистый шум с дисперсией а^ых = сг2||Г||2. Поэтому в качестве полезного эффекта целесообразно брать сигнал только с косинусного звена и тогда д2ых = |]Г||2/сг2 и rcos = 2к.
Пусть теперь угол поворота сигнального контура по отношению к эталонному будет случайным, т.е. Г(с) = ехр {гД(^}Г,Д99 — случайная величина. Для получения полезного эффекта фильтрации образуется модуль комплекснозначного сигнала на выходе КСФ, равный \т)(к — 1)| = ||Г||2,
Рис. 3.21. Зависимость выигрышей в отношении сигнал/шум при согласованной фильтрации для косинусного и синусного звеньев КСФ от угла Д^ между фильтруемым и эталонным контурамиРис. 3.21. Зависимость выигрышей в отношении сигнал/шум при согласованной фильтрации для косинусного и синусного звеньев КСФ от угла Д^ между фильтруемым и эталонным контурами
Рис. 3.21. Зависимость выигрышей в отношении сигнал/шум при согласованной фильтрации для косинусного и синусного звеньев КСФ от угла Д^ между фильтруемым и эталонным контурами
Рис. 3.21. Зависимость выигрышей в отношении сигнал/шум при согласованной фильтрации для косинусного и синусного звеньев КСФ от угла Д^ между фильтруемым и эталонным контурами
и поэтому г = к. В этом случае интересен вклад каждого из звеньев КСФ. Выходной сигнал фильтра равен т]с (к — 1) = ||Г||2 cos Д^4-г||Г||2 sin Д^.
Выигрыши в отношениях сигнал/шум для косинусного и синусного звеньев будут соответственно иметь вид (рис. 3.21)
rcos = ^к cos2 Д^, rSin = 2к sin2 Д<р.(3.11.4)
Для сигнального контура, отличающегося от эталонного не только случайным значением угла поворота, но и масштабом, т.е. когда Г(с) = = \р.\ ехр {гД<^}Г, выигрыши rcos и rsin определяются также выражениями (3.11.4). Сдвиг начальной точки сигнального контура на d ЭВ по отношению к эталонному приводит к такому же сдвигу пикового значения
выходного сигнала без изменения его модуля. Поэтому сдвиг начальной точки контура при использовании в качестве полезного выходного эффекта отсчета с максимальным модулем не приводит к изменению полученного значения г.
Таким образом, выигрыш в отношении сигнал/шум по энергии не зависит от угла поворота, масштаба и сдвига начальной точки фильтруемого контура по отношению к эталонному и равен к — размерности контура. Если сигнальный контур известен точно, то выигрыш становится равным 2к за счет игнорирования синусного канала фильтра, на выходе которого полезного сигнала нет. Данный фактор позволяет повысить эффективность согласованной фильтрации следующим образом. Как показывают графики зависимостей выигрыша г от угла Ду?, на выходе синусного и косинусного звеньев КСФ в достаточно широком диапазоне значений утла Ду? этот выигрыш слабо отличается от максимально возможного значения, равного 2к, и значительно превышает выигрыш, достигаемый при формировании выходной величины в виде модуля. Например, для косинусного
Рис. 3.22. Согласованная фильтрация контура с предварительной оценкой угла его поворота
звена при Ду?, изменяющегося в пределах ±90°, этот диапазон составляет ±15°. Если обеспечить предварительную оценку угла Ду? зашумленного контура в диапазоне ±15° для косинусного звена или 75° — 105° — для синусного и воспользоваться выходом только одного соответствующего звена, то эффективность фильтрации возрастет примерно в 2 раза. На рис. 3.22 представлена система обработки зашумленного контура, реализующего данный подход.
Коэффициент шума сопряженного согласованного фильтра. Определим коэффициенты шума г для фильтров, согласованных с исходным s и сопряженным v сигналами. На вход фильтров поступает один и тот же зашумленный сигнал u = s 4- п, где п — вектор реализации флуктуационного шума с дисперсией сг^. (рис. 3.23). Средняя энергия сигнала и отношение сигнал/шум соответственно равны
Е _Н2. О2_Н2 П11,, ^с,вх - -77-, 9вх — (d.ll.t))
В момент т = к — 1 согласованный фильтр образует пиковый сигнал, равный энергии сигнала s, т.е. ||s||2, с энергией ||s||4 и шумовой отсчет с энергией сг^ЦвЦ2. В результате выходное отношение ^сфвых сигнал/шум
9сф,вых = ||s||2/crBX2, а коэффициент шума г равен
ГСФ — ^СФ.вых/ ^вх — ^-ГСФ — ^СФ.вых/ ^вх — ^-(3.11.6)(3.11.6)
ГСФ — ^СФ.вых/ ^вх — ^-
ГСФ — ^СФ.вых/ ^вх — ^-
(3.11.6)
(3.11.6)
Определим аналогичные характеристики ССФ, задаваемого выражением (3.8.32). В момент т = к — 1 на его выходе образуется сигнал 7/ссф,вых (^ ~ 1), равный скалярному
Рис. 3.23. К оценке сравнительной эффективности фильтровРис. 3.23. К оценке сравнительной эффективности фильтровпроизведению сигналов s = so и v = = vo- В соответствии с (3.8.29) это произведение равно единице, т.е.
Рис. 3.23. К оценке сравнительной эффективности фильтров
Рис. 3.23. К оценке сравнительной эффективности фильтров
7?ССФ,с(к-1) = (8,У) = 1. (3.11.7)
Энергия шума на выходе ССФ равна cr2x||v||2 (см- п- 3.9). Тогда 9ССФ,вых2 (к - 1) = l/y2x||v||2 И КОэффициент шума ССФ
Сравнивая (3.11.6) и (3.11.8), видим, что коэффициент шума ССФ bjD = ||v||2||s||2 раз хуже, чем согласованного фильтра.
Например, пусть s = {1,1,—1} — простейший код Баркера. Сопряженный с ним сигнал равен v = {0,5;0,5;0}. Тогда ||s||2 = 3; ||v||2 = 0,5 и D = 1,5. Видно, что коэффициент шума ССФ для данного сигнала в D = 1,5 раза хуже, чем у согласованного с ним фильтра. Выходные сигналы фильтров при этом равны Нсф = {0,33; 0,33; 1}; Нсф = {0,0,1}, т.е. кроме пикового, у согласованного фильтра имеются два других не равных нулю отсчета, являющихся помехами при фильтрации перекрывающихся сигналов. ССФ таких помех не создает.
D — характеристика обобщенно описывает степень равномерности амплитудно-частотного спектра сигнала s. Если этот спектр равномерен, то D = 1 и оба фильтра, согласованный и ССФ, имеют одинаковую эффективность. Величина D тем выше, чем сильнее отличаются между собой модули компонент спектра сигнала s. В пределе, когда одна из компонент спектра равна нулю, то D = сю. Такая ситуация соответствует случаю, когда определитель матрицы, задающей собственную систему отсчета, равен нулю, т.е. векторы s^-i-m являются линейно зависимыми. В частности, такая ситуация имеет место, когда сигнал s соответствует замкнутому контуру.
Обсуждение и обобщение результатов по линейной фильтрации контурных сигналов
В данной главе были получены представления для контурного линейного фильтра в пространственной и частотной областях и его частотного коэффициента передачи. Особенности работы такого фильтра связаны с
комплекснозначным характером фильтруемых контуров и контуров импульсных характеристик, их замкнутостью и структурой системы технического зрения.
Рассмотрим, к каким особенностям по сравнению со случаем фильтрации вещественных сигналов приводит комплекснозначный характер сигналов. Сравним выражения (3.2.1) частотного коэффициента передачи фильтра для двух значений внешней переменной т;
к-1и) (т) = 52 ^ (п)ехрп=0к-1и) (т) = 52 ^ (п)ехрп=0.2тг—г—тпк.2тг—г—тпкш(к -ш(к -к-1т) = 52 (п) ехРп=0к-1т) = 52 (п) ехРп=0(.2тг< г—тпI к(.2тг< г—тпI к
к-1
и) (т) = 52 ^ (п)ехрп=0
к-1
и) (т) = 52 ^ (п)ехрп=0
.2тг
—г—тпк
.2тг
—г—тпк
ш(к -
ш(к -
к-1
т) = 52 (п) ехРп=0
к-1
т) = 52 (п) ехРп=0
(.2тг
< г—тп
I к
(.2тг
< г—тп
I к
Эти выражения будут комплексно сопряженными, если А (п) = Л* (п), т.е. когда ИХ фильтра задается вещественными числами. Следовательно,
к-1*
и) (к — т) = 52 (п) (ехР {~^^~шп}) =’
п=0
т = 0,1,... , к — 1,
и и) (т) = ш* (к — т), |си (т)| = |си (к — т)|, arg cu (т) = — arg си (к — т). В этом случае для полного задания частотного коэффициента передачи фильтра необходимо знать си (0) и еще к/2 первых значений П = = {cu (т)}0 k_v Однако это еще не позволяет сократить трудоемкость расчетов. В соответствии с выражением (3.2.3)
() = 52 (m) Р (т} ехР {^^"ms}’ s = 0,1,... , к — 1, т=0
для получения выходного сигнала фильтра необходимо знать поведение {2тг 1
г—ms> с изменением т. Выражения
к—1л2^лк—1< 2тг3
р (т) = 52 7 (п) ехР ) —^"Ттп > и р {к - т) = 52 7 (п) ехр < г—тп > п=оI/сJn=oI к)
будут комплексно сопряженными лишь в том случае, когда 7 (п) = 7* (п), т.е. все отсчеты входного сигнала 7 (п) должны быть не комплексными, а вещественными числами. Тогда р (т) = р* (к — т), \р (т)| = \р (к — т)|, argp (т) = — arg р(к — т), т = 0,1,... , к — 1.
Таким образом, когда ИХ Л = {А (п)}0 к-1 фильтра и входной контур Г = {7 (п)}0 к-1 состоят только из вещественных отсчетов, для выходного сигнала в момент к — s можно записать
77(k-s) =77(k-s) =А:-152 (т) р (т) ехрт=0А:-152 (т) р (т) ехрт=0.2тг—г—msк.2тг—г—msк}=77* W,}=77* W,
77(k-s) =
77(k-s) =
А:-1
52 (т) р (т) ехр
т=0
А:-1
52 (т) р (т) ехр
т=0
.2тг—г—msк
.2тг—г—msк
}=77* W,
}=77* W,
редко, а ЭВ входного контура практически всегда комплекснозначны, то фильтрация контуров, в отличие от фильтрации вещественных сигналов, связана с необходимостью определения в два раза большего числа отсчетов. При этом высшие частоты соответствуют центральной части, а низшие — краям частотного диапазона т = {0,1,... ,k — 1}.
Замкнутость линии контура изображения, а также тот фактор, что ЭВ входного контура хранятся в ОЗУИ системы технического зрения, естественным образом обусловливает подход к фильтрации контуров на основе периодической (циклической или круговой) свертки. В большинстве же задач, где используется свертка, имеется в виду апериодическая свертка [63].
Краевые эффекты, характерные для апериодической свертки из-за неполного заполнения окна фильтра отсчетами сигнала в начале и в конце фильтрации, при циклической свертке отсутствуют. Подача ЭВ входного контура из ОЗУИ, где они все хранятся, изменяет требования к ИХ фильтра, связанные с условием его физической реализуемости. Обычно предполагается, что отсчеты сигнала поступают в реальном масштабе времени и система обработки к текущему моменту времени обладает не всем, а лишь теми значениями сигнала, которые поступили к рассматриваемому времени. Поэтому отсчеты ИХ физически реализуемого фильтра должны быть равны нулю до начала момента поступления сигнала. В нашем же случае сигнал полностью известен и все его значения, «прошлые» и «будущие», могут быть учтены. Поэтому ИХ фильтра не имеет ограничений на свои значения до некоторого момента времени.
Замкнутость контура Л импульсной характеристики фильтра обусловливает равенство нулю нулевого отчета ш (0) частотного коэффициента передачи фильтра и наоборот. В этом случае фильтр задерживает постоянную составляющую входного контура. Замкнутость входного контура обеспечивает замкнутость контура на выходе фильтра независимо от вида ИХ. Каждый элементарный контур Гш,т = 0,1,...,А: — 1, при прохождении через контурный линейный фильтр сохраняет свою форму, т.е. является собственным контуром.
Размерность входного контура должна совпадать с контуром ИХ. На практике это условие обычно не имеет места. Поэтому перед началом фильтрации необходимо выравнять (эквализироватъ) порядки этих контуров (см. п. 9.11).
Контурный согласованный фильтр производит вычисление ВКФ эталонного и фильтруемого контуров. Он позволяет определить количественную меру схожести двух плоских форм. ИХ фильтра воспроизводит в обратном направлении обхода зеркально отраженный относительно горизонтальной оси эталонный контур со смещенной начальной точкой. Частотный коэффициент передачи фильтра с точностью до фазового множителя повторяет комплексно сопряженный спектр контура, с которым он согласован. Каждый отчет КСФ представляет собой скалярное произведение эталонного и фильтруемого контуров с циклическим сдвигом начальной точки одного из контуров. Последний, (к — 1)-й отсчет есть скалярное произведение эталонного контура и контура, с которым фильтр согласо-
ван при совпадении начальных точек. В этот момент выходной сигнал равен энергии эталонного контура. Механизм работы КСФ заключается в компенсации углов поворота каждого ЭВ, квадрировании его модуля с последующим арифметическим сложением всех ЭВ. В результате синхронного накопления происходит «выпрямление» ломаной линии контура, с которым фильтр согласован. Полученный при этом суммарный вектор имеет квадрат модуля, равный квадрату нормы всего контура, т.е. максимально возможную энергию. Если же фильтруется несогласованный с фильтром контур, компенсация углов поворота его ЭВ отсутствует. В результате ЭВ имеют произвольные аргументы и модуль вектора их суммы всегда меньше суммы модулей его ЭВ. Поэтому энергия выходного сигнала фильтра в этом случае будет меньше, чем при фильтрации согласованного контура.
Модуль нормированного выходного отсчета КСФ инвариантен к линейным преобразованиям фильтруемого контура и достигает максимального значения, равного единице, лишь при прохождении через фильтр согласованного с ним контура. Свойство сопряженной симметрии АКФ применительно к КСФ принимает вид г] (т) = rf (к — т — 2). Отметим тот факт, что любой линейный контурный фильтр может рассматриваться как согласованный. Так, например, фильтр скользящего среднего является согласованным с прямолинейными фрагментами контура, а фильтр скользящей разности — с фрагментами контура в форме «лучей».
В отличие от согласованных фильтров для вещественных сигналов, в фильтрах для контуров используется алгоритм периодической свертки, его ИХ представляет собой комплексно сопряженную копию эталонного контура и выходной сигнал является ВКФ комплекснозначных сигналов.
Возможны два вида согласованной фильтрации контуров — ориентированная и неориентированная. В первом случае угловые положения фильтруемого и эталонного контуров совпадают. Решение здесь принимается по выходной величине косинусного звена фильтра, т.е. по величине реальной части выходного вектора. Во втором случае угловое положение фильтруемого контура по отношению к эталонному считается случайным и решение принимается по величине модуля выходного вектора фильтра. Ориентированная фильтрация за счет использования априорной информации обладает большей избирательностью. Это объясняется тем, что в данном случае отрицательные и положительные значения Не т] (т) находятся по разные стороны горизонтальной оси и маскируют максимальное значение Не т] (т) в меньшей степени, чем в случае принятия решения по величине |т/(т)|. Кроме того, ориентированная фильтрация за счет одноканальной схемы формирования выходного эффекта обеспечивает более высокое отношение сигнал/шум.
Переход от неориентированной фильтрации к ориентированной может быть осуществлен следующим образом. Определяется выходной вектор т] (то) КСФ с максимальным значением модуля и находится аргумент ip (то) этого модуля. Далее контур поворачивается на угол —у> (то), в результате чего вектор г] (то) задается чисто вещественным числом |т/(то)| и выходная величина КСФ определяется выходом только косинусного звена фильтра.
На рис. 3.24 проиллюстрированы результаты неориентированной и ориентированной фильтрации контура N фильтром, согласованным с контуром (рис. 3.24, а). Сплошная линия графика на рис. 3.24, б показывает
Рис. 3.24. Неориентированная и ориентированная согласованная фильтрация контуровРис. 3.24. Неориентированная и ориентированная согласованная фильтрация контуров
Рис. 3.24. Неориентированная и ориентированная согласованная фильтрация контуров
Рис. 3.24. Неориентированная и ориентированная согласованная фильтрация контуров
Рис. 3.25. Фиксация точек зрения при осмотре портрета: а — исходный портрет; б — траетория точек фиксации зрения [70]Рис. 3.25. Фиксация точек зрения при осмотре портрета: а — исходный портрет; б — траетория точек фиксации зрения [70]
Рис. 3.25. Фиксация точек зрения при осмотре портрета: а — исходный портрет; б — траетория точек фиксации зрения [70]
Рис. 3.25. Фиксация точек зрения при осмотре портрета: а — исходный портрет; б — траетория точек фиксации зрения [70]
зависимость модуля выходного вектора фильтра от внешней переменной т. Отсчет ту (0) = 1 — 13г имеет максимальное значение модуля, равное 13,06. При этом arg г) (0) = —85,6°. Поворачиваем контур N на угол А^ = = 85,6°. Отсчет т/д^ (0), равный 13,06, по-прежнему является максимальным по модулю, но имеет чисто вещественный характер. Расстояние между контуром Г и повернутым контуром N стало минимально возможным, и в качестве меры схожести берем вещественные части каждого отсчета фильтра. Зависимость значений этих вещественных частей от т показана
на рис. 3.24, б пунктирной линией. Вид-
но, что зависимость выходного сигнала фильтра имеет хорошо выраженный глобальный максимум в момент наибольшей схожести контуров N и Г.
Обобщим процесс согласованной фильтрации контуров изображений с учетом информативности различных фрагментов контура. Проанализируем траектории точек фиксации зрения при осмотре портрета (рис. 3.25).
Большая концентрация этих точек наблюдается в области деталей лица, особенно в области носа и глаза. В других частях изображения точек фиксации зрения значительно меньше.
Этот пример свидетельствует о различной важности отдельных фрагментов изображения для принятия решения о его принадлежности к определенному классу. Некоторые фрагменты без ущерба для принятия решения могут меняться в значительной степени, например, форма при-
чески. С этих позиций целесообразно при обнаружении и распознавании изображений по их форме использовать обобщенную (весовую) КСФ:
к-1
Tj (jn) = У^ Р (m) v (п) 7* (п — т 4- к — 1), т = 0,1,... , к — 1,
п=0
где р (п) — вес n-го ЭВ фильтруемого контура.
Контур как сигнал занимает промежуточное положение между одномерными и двумерными сигналами, представляя класс «криволинейных» сигналов. Рассмотренный аппарат контурной фильтрации дает возможность решать задачи преобразования таких сигналов и определять меру их схожести.
КСФ является основой построения устройств обнаружения и распознавания изображений по их форме, задаваемой контуром, а также устройств оценки параметров линейных преобразований контуров изображений.
Задачи и упражнения
Импульсная характеристика контурного линейного фильтра имеет вид Л = = {2;3 — г; 5г; —5 — 4г}. Вычислить контур Q частотного коэффициента передачи фильтра.
О т в е т. П = {0; 5 — 13г; 4 4- Юг; — 1 + Зг}.
Для фильтра из задачи 1 проверить, что сумма ЭВ частотного коэффициента передачи равна кХ (0), а сумма ЭВ импульсной характеристики равна и> (0).
Для фильтра из задачи 1 найти результат фильтрации контура Г = {г; 2;
—3 — 2г; 1 + г}. Вычисления выполнить по формулам, задающим фильтр в частотной и пространственной областях.
Ответ. Н = {4- 19г; 7 4- 30г; —6 — 15г; —5 4- 4г}.
В каком случае нулевой ЭВ си (0) частотного коэффициента передачи контурного линейного фильтра равен нулю?
Какой вид имеет условие замкнутости выходного контура линейного фильтра?
В каком случае контурный линейный фильтр не пропускает постоянной составляющей входного сигнала?
При каких условиях амплитудно-частотная характеристика фильтра будет иметь симметричный вид?
Какие контуры при прохождении через линейный фильтр сохраняют свою форму?
Какой вид имеет выходной контур при линейной фильтрации дельтовидного контура?
Обладает ли фильтр скользящего среднего свойствами режекторного фильтра?
На какой угол повернется выходной контур линейного фильтра при повороте входного контура на угол тг/6?
Для каких фрагментов контура фильтры скользящего среднего и скользящей разности будут согласованными?
Вычислить результат согласованной фильтрации контура N = {4г; 5 4- 2г; 2 — 6г; —7}.
О т в е т. Н = {-8 - 124г; -118; -8 + 124г; 134}.
Найти с помощью таблицы умножения результат согласованной фильтрации контура со стандартными значениями ЭВ Г = {1 — г; — г; 1 — г; — 1; — 1; — 1 + г; — 1; 1 + г; 1 4-г}.
Ответ.
Н = {5 - 4г; 1 - 9г; -5 - 7г; -8 - 5г; -8 4- 5г; -5 + 7г; 1 + 9г; 5 4- 4г; 14}.
Какими способами можно проверить правильность результата фильтрации произвольного контура согласованного с фильтром контура?
Синтезируйте фильтр для выделения на контурном изображении танка Г = = {I4; — 1 + i; г; 1 4* г; 1з; 1 — г; 1?; ~i; ~ 1?; — 1 — г; I5; 1 — Ц —^2\ ~ 1 — % —1125 — 1 4- г; ii \ 1 + 0 фрагмента в виде ствола его пушки.
Примечание. При задании контура обозначение ^Т означает г следующих подряд ЭВ 7.
Проведите ориентированную и неориентированную фильтрации контура N = {1з; —г; —1; —гг; —1; гг; —1; г} фильтром, согласованным с контуром Г = (1; г; —г; I2; —г; I4; О
Для какого сигнала фильтр с импульсной характеристикой Л = {3 4- г; 1 — 2г; -4 + г} будет согласованным?
При каких условиях результатом фильтрации контура с обходом по часовой стрелке будет контур с обратным направлением обхода?
На вход контурного линейного фильтра с импульсной характеристикой Л = = {2; —1 4- г; г; —1 — 2г} подается шумовой контур, ЭВ которого соответствуют требованиям п. 3.9.11 и имеют дисперсию 2<т2 = 8. Определить корреляционную функцию и дисперсию ЭВ выходного контура.
Для условий задачи 20 вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение модуля и аргумента выходного вектора фильтра.
Определить математические ожидания ЭВ на выходе фильтра, согласованного с контуром Г — {5 — 2г; —6 — г; 1 4- Зг}.
Для случая согласованной фильтрации зашумленного контура с дисперсией на входе 2<т2 — 8 и эталонным контуром из задачи 22 записать выражение для плотности распределения вероятностей модуля выходного вектора и определить отношение сигнал/шум на выходе фильтра для момента m = 2.
Определить, на какой угол надо повернуть исходный зашумленный контур по отношению к эталонному, чтобы уровень выходного сигнала косинусного звена уменьшился на 5%.
Найти эффективность КСФ при фильтрации зашумленного контура размерностью к = 12 при условии, что в качестве выходного эффекта берутся: 1) модуль выходного вектора фильтра; 2) величина с выхода косинусного звена при отсутствии рассогласования по углу поворота с эталонным контуром; 3) величина с выхода синусного звена для случая, когда фильтруемый контур повернут по отношению к эталонному на угол Д^ = 30°.
Определить выражения для функций правдоподобия зашумленного контура N = {3 4- 2г; 1 — 3,5г; —1,8 4- 0,5г} и шумового контура Z при условии, что эталонный контур имеет вид Г = {2 4- Зг; —Зг; —2}, дисперсия шумовых ЭВ на входе 2<т2 — 2, а модель контура N соответствует требованиям, приведенным в п. 3.9.1.
Глава 4
ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ЗАШУМЛЕННЫМИКОНТУРНЫМИ СИГНАЛАМИ
Оценки параметров линейных преобразований контуров
1.1. Постановка задачи. Часто встречающимся на практике классом задач является оценка параметров преобразования контура, которая формулируется следующим образом. Пусть Г — полигональный контур эталонного (исходного) изображения объекта (сигнала), заданный в комплексной плоскости, а Г(с) — сигнальный контур, полученный растяжением контура Г в |^| раз, поворотом на угол Д^ и сдвигом начальной точки на d ЭВ, т.е.
Г(с) = {|м1М™ + ^)|ехр{г[^(п + й) +Д^]}}^(4.1.1)
На вход устройства обработки подается зашумленный контур N = Г(с) + + Z, где Z = {С (п)}0 к-1 — шумовой контур. Характеристики ЭВ £ (п) = = Ci (^) + ^2 (^), тг = 0,1,... , к — 1, этого контура приведены в п. 1.7. Устройство оценки параметров должно по контуру N определить оценки параметров: Д^, |Д|, d. В качестве способа нахождения этих оценок используем широко применяемый на практике метод максимального правдоподобия (МП) [26], в соответствии с которым требуемая оценка параметра равна тому значению параметра, при котором функция правдоподобия Л достигает максимума. Эта функция для контура N = Г^ + Z имеет вид (см. п. 3.10.3)
Лс (N/d, Ду, И = сехр {-^ [||N||2 + ||Г<С) ||2 - 2Re(N, Г^)]},
(4.1.2) где
к—1к—1
с = тА^- 11< = 5>Н2, lir^l^EbHI2; (4.1.3) I2™ )n=0n=O
Re(N, Г(с)) — действительная компонента скалярного произведения контуров N и Г(с\ Принимая во внимание (4.1.1), запишем
Re(N, Г^) = Re^ \m-\\v (n)ll7 (n + d)\ exp{z[0 (n) — <p (n + d) — Д^]} = n—0 /с — 1
= |mI^2 ^ (n)ll7(n + d)\cos[0(n) - tp (n + d) - Ду]. (4.1.4) n=O
Здесь 9 (п) — аргумент ЭВ v (п) зашумленного контура N. Мнимая компонента этого скалярного произведения равна
fc-i
Im(N, Г^) = |м|^2 ^v (n)ll7 (п + d)| sin Р (п) — <£ (n + d) — Д(^].
"=0(4.1.5)
Для получения оценок чаще всего используется не сама функция Л, а ее логарифм, имеющий более простой вид. Логарифмируя выражение (4.1.2) и учитывая выражение для расстояния между контурами N и Г, получим
InA (N/d, Д^, |д|) = Inc — Я2/2ст2,(4.1.6)
где
R2 = ||N||2 + ||Г^|| — 2Re(N,r^).(4.1.7)
1.2. Оценка параметров зашумленного контура. Получим выражения для оценок МП параметров d, Д<^ и |^| зашумленного контура. Для этого в общем случае необходимо составить систему из трех уравнений правдоподобия. Левая часть каждого из уравнений системы представляет собой частную производную функции правдоподобия (4.1.2) или ее натурального логарифма (4.1.6) по оцениваемому параметру. Такая система уравнений имеет вид
( д1пЛ(№,д^,и)d(d)и’
dlnA^N/d^.M))
ёО— " °’(4L8)
Данная система должна быть дополнена системой неравенств, связанной со вторыми частными производными функцией правдоподобия, позволяющими убедиться в том, что решения системы задают максимум, а не минимум этой функции. Параметр d сдвига начальной точки контура N принимает только дискретные значения, что исключает применение операции дифференцирования для нахождения максимума функции правдоподобия. Его можно найти лишь путем непосредственного перебора значений этой функции, получаемых при варьировании d и определения значения d, обеспечивающего минимум расстояния (4.1.7), т.е.
d = d при R —> min, d = 0,1,... к — 1.(4.1.9)
Как следует из выражения (4.1.7) для расстояния R с учетом (4.1.1) изменение величины d влияет только на значение скалярного произведения Re(N,r(c)). Поэтому правило (4.1.9) эквивалентно следующему правилу
d = d при Re(N, Г^) —> max, d = 0,1,... , к — 1.(4.1.10)
В свою очередь, величина Re (N, Г^) зависит не только от d, но и от |м1 и Ду>. Параметр \р,\, как видно из (4.1.4), в отличие от Д^ играет роль линейного множителя и поэтому не влияет на определение оценки d. Этого
нельзя сказать о параметре Ду>, который вместе с величинами ф (п + d) и 6 (п) входит под знак косинуса. Поэтому предварительно необходимо оценить угол Д(^, а затем уже станет возможным определение параметра сдвига начальных точек d.
Параметры растяжения |м| и угла поворота Д99 являются непрерывными и для них существуют производные расстояния между контурами N и Г(с\ имеющие вид
2к-1
^т = 2|м11|Г||2 - 2^2 1р (П)1Ь (и + d)| cos [У (п) - у (n + d) - Ду], п=0
2к-1
—2Im|52 1^П^ (^IH (та + d)|sin[0(n) -y(n + d) - Ду].
Приравнивая эти выражения к нулю, получим второе и третье уравнения из системы уравнений (4.1.8) для оценки параметров \р,\ и Дух
к-1
ЫНГ1|2 - 52 I^WI^^ + d)l cos [У (n) -y(n + d) -Ду] . =0,
к_г(4ЛЛ1)
yX||i/(n)||7(n + d)|sin[0(n) - y(n + d) - Ду] л-=0. (4.1.12)
Остановимся на последнем уравнении, служащем для оценки Ду?. В нем неизвестная величина Ду? влияет только на один из трех входящих в него сомножителей, а именно, на величину синуса, который в свою очередь зависит еще и от параметра Ду?. Поскольку величины \v (п)| и \v (п + d)\ предполагаются положительными, то решение уравнений достигается при sin [0 (п) — у? (n + d) — Ду>] = 0.
Для перехода к фильтровой схеме оценки параметров запишем выражение для выходного сигнала т/д^ (т 4- с?) фильтра, согласованного с эталонным контуром Г = {7 (п)}0 к_г. При подаче на его вход контура N, начало которого смещено на d ЭВ, а сам контур повернут на угол Ду?, получим fc-i
т/д^ (т + d) = У^ \v (n)||7 (n + d - m + к - 1)| x
° x exp {г[0 (n) — ф (n + d — m + к - 1) — Ду?]}.
В момент т = к — 1 на выходе этого фильтра образуется сигнал
к-1
Т)^ (к - 1 + d) = У2 \v (n)ll7 (n + cQ| cos{[0 (n) - <р (n + d) - Д99]} + n=0
k-1
+ ^У2 lp (n)ll7 (n + ^)l sin {[^ (n) - ^p(tl-\- d) - Д^]}, (4.1.13) n=0
Сравнивая приведенное выражение с уравнением правдоподобия (4.1.2) для оценки параметра Д99, видим, что это уравнение можно записать как Im^ (А: - 1 + rf) |Д¥,=_Д~ = 0,(4.1.14)
т.е. оценку параметра А 99 по выходному сигналу фильтра следует искать в том случае, когда этот сигнал за счет вариации значений Ду? становится строго вещественным. Для этого вектор Т]^ (к — 1 + d) выходного сигнала фильтра, получаемый в момент т = к — 1, надо повернуть на такой угол a (d) , чтобы он стал горизонтальным и направленным вправо. Данный угол равен (с обратным знаком) аргументу вектора выходного сигнала: a(d) =-arctg^^^-l-^’ ^ = 0,1,... ,к- 1.(4.1.15)
v 7& Re Viz^ (A: - 1 + d)]> >>к /
В результате поворота на угол a (d) получим к отсчетов фильтра
т^а^ (к - 1), d = 0,1,... , А; — 1,(4.1.16)
каждый из которых задает максимум для конкретного значения d производной натурального логарифма функции правдоподобия по Д(^.
Выражение (4.1.16) является реальной частью скалярного произведения (N,r(c)). При этом на его значение исключено влияние параметра Д(^, т.е. от функции трех переменных \р,\, Zkip и d мы переходим к функции двух переменных . Поскольку энергетический параметр |д| при вычислении скалярного произведения выполняет роль масшабного множителя, то положение максимума скалярного произведения при варьировании d не зависит от величины |д|. Теперь правило (4.1.10) для оценки параметра d сдвига начальной точки конутра N принимает вид
d = d при Мт/д^^) (к - 1 + d) -> max.(4.1.17)
Отметим следующее важное обстоятельство. Для нахождения оценки параметра d по приведенному правилу нет необходимости поворачивать на угол a (d) вектор каждого из к отсчетов согласованного фильтра, и, далее, в соответствии с (4.1.17) находить максимальный отсчет фильтра. При повороте на угол a (d) каждый отсчет г)^ (к — 1 + d) становится вещественным. Поэтому достаточно вычислить модули отсчетов фильтра, ^д^ (к — 1 + d)|, d = 0,1,... к - 1, выбрать из них максимальный |^7д^ (к — 1 + ^)|тах = кд^ (то)| и взять в качестве оценки МП параметра сдвига начальной точки контура N величину d = d, при котором достигается максимум модуля отсчета туд^ (к — 1 4- d) т.е.
d = d при ^д.^ (к — 1 + d)| —> max.(4.1.18)
Обозначим через то номер к - 1 + d отсчета фильтра с максимальным модулем. Тогда окончательно правило нахождения оценки МП параметра d будет иметь вид
Значение оценки d, подставленное в качестве величины d в выражение (4.1.13) для (к — 1) отсчета согласованного фильтра, максимизирует модуль выходного вектора. Аргумент вектора при этом равен
—a^d) = arctg—a^d) = arctgIm^A^fA; — 1 + с?)]Не^д^А: - 1 + d)]Im^A^fA; — 1 + с?)]Не^д^А: - 1 + d)]_(m0)]gRe[W (mo)]'_(m0)]gRe[W (mo)]'
—a^d) = arctg
—a^d) = arctg
Im^A^fA; — 1 + с?)]
Не^д^А: - 1 + d)]
Im^A^fA; — 1 + с?)]
Не^д^А: - 1 + d)]
_(m0)]
gRe[W (mo)]'
_(m0)]
gRe[W (mo)]'
Если вектор г^Дк — 1 + d) повернуть на угол аЦ\ то он станет горизонтальным и направленным вправо, причем его мнимая часть равняется нулю, а реальная будет максимально возможной среди реальных частей других выходных векторов фильтра. Таким образом, в результате поворота вектора ^^(А: — 1 + d) на угол a(d?) произошла максимизация его реальной части. Теперь в соответствии с методом МП оценка параметра Д^ будет с обратным знаком равна тому значению угла, на который был повернут этот вектор, т.е.
(4.1.20)(4.1.20)М3 - -а(5) - arete ^^МaW- arctg Re[^(mo)]-
(4.1.20)
(4.1.20)
Определим теперь оценку МП параметра |/ф Для этого в уравнение правдоподобия (4.1.11) подставим оценки параметров d и Д99. Так как при Д92 = Д£> мнимая компонента выходной величины КСФ равна нулю, то второе слагаемое в левой части уравнения, равное вещественной компоненте, есть модуль этой величины, т.е.
А: —1
У^ |z/(n)||7(n + d)|cos[0 (п) - ^(n + d) - Дй = |^(т0)|.
Тогда из уравнения (4.1.11) следует
|Д| = Ы™о)|/||Г||2-(4.1.21)
Таким образом, для нахождения оценок МП параметров зашумленного контура N = Г^с) + Z необходимо:
вычислить к отсчетов при фильтрации контура N фильтром, согласованным с эталонным контуром Г;
определить номер т0 отсчета фильтра с максимальным значением модуля и инкрементированием значения то получить оценку параметра d;
найти аргумент отсчета 77 (то) и принять его в качестве оценки угла поворота Д99;
вычислить оценку растяжения |^| как отношение максимального модуля выходной величины КСФ к квадрату нормы эталонного контура.
Структура устройства оценки параметров (рис. 4.1) содержит два фильтра КСФ1 и КСФ2, согласованных с эталонным контуром Г. КСФ1 при подаче на его вход контура Г совместно с формирователем модуля ФМ1 и экстремальным устройством ЭУ1 вычисляет значение ||Г||2.
КСФ2 фильтрует зашумленный контур N, а экстремальное устройство ЭУ2 определяет его отсчет с максимальным значением модуля |т/ (то)| и само значение то. Далее в соответствии с выражениями (4.1.19)-(4.1.21) находятся оценки d, Д99 и |Д|.
Рис. 4.1. Структура устройства оценки параметров контураРис. 4.1. Структура устройства оценки параметров контура
Рис. 4.1. Структура устройства оценки параметров контура
Рис. 4.1. Структура устройства оценки параметров контура
Рис. 4.2. Полигонально заданные эталонный контур Г (а), и шумовой контур Z (б)
Рис. 4.3. Контуры: сигнальный Г^ (а), зашумленный N (б)Рис. 4.3. Контуры: сигнальный Г^ (а), зашумленный N (б)
Рис. 4.3. Контуры: сигнальный Г^ (а), зашумленный N (б)
Рис. 4.3. Контуры: сигнальный Г^ (а), зашумленный N (б)
Пример 1. Используя полученные результаты, оценим параметры линейных преобразований контура N. Эталонный контур имеет вид Г = {1; —г; —г; 1 — г; —г; —г; —г; —г; — 1 + г; —1; -1 — г; г; г; г; г; 1 + г; г; г}, ||Г||2 = 22 (рис. 4.2).
Для получения сигнального контура Г^ контур Г поворачивается на угол △9? = 36,87° (для этого каждый ЭВ умножается на 0,8 + 0,6г), растягивается в \р\ = 2,5 раз и его начальная точка сдвигается на d = 4 ЭВ (рис. 4.3): Г^ = = {0,8 + 0,6г; 0,6 - 0,8г; 0,6 - 0,8г; 0,6 - 0,8г; 1,4 - 0,2г; 0,6 - 0,8г; 0,6 - 0,8г; 0,6 - 0,8г; 0,6 - 0,8г; -1,4 + 0,2г; -0,8 - 0,6г; -0,2 - 1,4г; -0,6 + 0,8г; -0,6 + + 0,8г; -0,6 + 0,8г; -0,6 + 0,8г; 0,2 + 1,4г; -0,6 + 0,8г; -0,6 + 0,8г}.
Контур Г^ зашумляется контуром Z (рис. 4.2) со значением 2сг2 = 2,268:
Z = {0,464 - 0,137г; 0,06 - 2,526г; 1,486 - 0,354г; 1,022 - 0,472г; 1,394 - 0,55г}.
Зашумленный контур N = Г^ + Z имеет вид (рис. 4.3):
N = {1,964 - 1,863г; 1,560 - 4,526г;
2,986 - 2,354г; 2,522 - 2,472г; -2,106 - 0,055г}.
Квадраты норм контуров Г^ и Z и отношение сигнал/шум соответственно равны: ||Г<С’||2 = 137,5; ||Z||2 = 40,848; q = ||Г<С>||/||Z|| = 3,366. После фильтрации контура N фильтром, согласованным с контуром Г, получаем контур
Н = {42,32e°’058i;; 24,74e°’256i35,65e°’6H; 60,48e°’707i; 36,54e°’944i;
22,72e1,433i; 34,62e1,792i; 35,82e2’2611; 21,39e2 862i; 37,89e3’085*;
50,05e~3,131i; 40,16e"2,505i; 30,68e"2,31H; 33,45e"2’228i; 44,05e"1,64i;
31,10e"1’326i;27,17e"1’104i;34,62e"°’546i}.
Отсчет фильтра с максимальным модулем равен ту (3) = 60,48 ехр {0,707г}. Таким образом, то = 3 и т) (то) = 60,48. В соответствии с формулами (4.1.15) и (4.1.17) получаем d = mo + 1 = 4, А^ = 0,707рад = 40,49°, \р\ = 60,48/22 = = 2,73.
Для сравнения приведем точные значения этих параметров: d = 4, А^ = = 36,86°, \р\ = 2,5.
Обнаружение зашумленных контуров изображений
Постановка задачи. Пусть Г(с) = |/z| ехр {гД^}Г^^ — сигнальный контур, полученный путем растяжения в |/z| раз эталонного контура Г, поворота его на угол Ду> и сдвига начальной точки на d ЭВ. На вход обнаружителя поступают либо зашумленный контур N = = Г(с) + Z, либо шумовой контур N = Z, элементарные векторы которого характеризуется дисперсией 2сг2 и имеют приведенные в п. 1.7 характеристики. Необходимо принять обоснованное решение, какой из контуров, зашумленный или шумовой, находятся на входе обнаружителя. С учетом выражений (3.10.7) и (3.10.8) для логарифмов функций правдоподобия зашумленного и шумового контуров логарифм отношения правдоподобия запишется как
Как известно, оптимальный обнаружитель должен формировать отношение правдоподобия и сравнивать его с порогом. Класс решающих правил, основанный на этом алгоритме, является полным. Изменение критерия обнаружения приводит лишь к выбору соответствующего значения порога [52].
Обнаружение полностью известного контура. Контур Г^ считается полностью известным, если контуры Г и Г^ равны между собой, т.е. d = О, А 99 = 0 и |^| = 1. Принимая во внимание выражение (4.2.1) для отношения правдоподобия, алгоритм обнаружения будет иметь вид
(4.2.2)(4.2.2)Re (N,r) ^ <т21пЛ0 + 0,5||Г||2 = [/0,
(4.2.2)
(4.2.2)
где Ло = RqiP(N = Z)/НюР (N = Г + Z) — пороговое значение, Roi и Rio — соответственно риски, связанные с ложной тревогой и пропуском, Р (N = Z) и Р (N = Г + Z) — априорные вероятности отсутствия и наличия сигнального контура Г(с) в контуре N, Uo — порог, учитывающий энергии эталонного и шумового контуров,
Рис. 4.4. Структуры обнаружителей полностью известного контураРис. 4.4. Структуры обнаружителей полностью известного контураа также риски и априорные вероятности.
Рис. 4.4. Структуры обнаружителей полностью известного контура
Рис. 4.4. Структуры обнаружителей полностью известного контура
Обнаружитель состоит из формирователя скалярного произведения (ФСП) и порогового устройства (ПУ) (рис. 4.4, а).
Рассмотрим некоторые интерпретации структуры обнаружителя. Выходной вектор фильтра, согласованного с контуром Г, в момент т = k — 1 равен
к-1
Т)(к-О = ^t/ (п) 7* (n) = (N, Г).
п=0(4.2.3)
Отсюда видно, что в качестве ФСП можно использовать КСФ, причем решение принимать по выходу его косинусного звена (рис. 4.4, б). Другая
интерпретация алгоритма связана с понятием расстояния R между контурами МиГ (рис. 4.4, в). С учетом выражения (4.1.7) для R? алгоритм (4.2.2) можно записать в виде
(4.2.4)(4.2.4)В? ^ ||N||2 - 2<т21пЛ0 = Уо-
(4.2.4)
(4.2.4)
Определим эффективность обнаружителя, взяв для конкретности структуру на основе КСФ. Для принятой модели шума совместная плотность распределения вероятностей вещественной и мнимой частей выходного шумового вектора 7?ш = 771Ш 4- г^щ фильтра подчиняется нормальному закону, причем его вещественная и мнимая части независимы (см. п. 3.9). Тогда на основании выражения (3.10.6) для вещественной части вектора в момент т = = к — 1 получим
р (Т]1и1) =р (Т]1и1) =7?1ш12<72||Г||2)7?1ш12<72||Г||2)(4.2.5)(4.2.5)
р (Т]1и1) =
р (Т]1и1) =
7?1ш1
2<72||Г||2)
7?1ш1
2<72||Г||2)
(4.2.5)
(4.2.5)
Вероятность ложной тревоги
F = Р (т71Ш ^ [70) = Р (т71Ш) (/т71Ш = 0, 5[1 - erf (а0)Ь(4.2.6)
Uo
где erf (q0) — интеграл вероятности [26] , До — нормированный порог,
«О = C70/VMr||. (4.2.7)
f^l) =f^l) =2а2||Г||2/‘2а2||Г||2/‘Совместная плотность вероятностей вещественной и мнимой частей вектора КСФ при фильтрации зашумленного контура также подчиняется нормальному закону (см. п. 3.10). Учитывая некоррелированность этих частей для плотности вероятностей вещественной части вектора, на основании выражения (3.10.4) для момента т = к - 1 можно записать
f^l) =
f^l) =
2а2||Г||2/‘
2а2||Г||2/‘
(4.2.8)
l+erf(S-a0) .(4.2.9)l+erf(S-a0) .(4.2.9)Тогда вероятность правильного обнаружения контура
l+erf(S-a0) .(4.2.9)
l+erf(S-a0) .(4.2.9)
D^P^^Uo^ [ P^d^ =0,5 Uo
Характеристики обнаружения полностью известного контура, представляющие семейство зависимостей вероятностей D от отношения q = = ЦГЦ/сг при фиксированных значениях вероятностей F, совпадают с характеристиками обнаружения полностью известного сигнала [26]. Отметим лишь, что отношение сигнал/шум на выходе КСФ равно q = ЦГЦ/х/^бт, а не ||Г||/<т.
Обнаружение контура с неизвестным углом поворота. Пусть теперь сигнальный контур равен Г(с) = ехр{гД<^}Г, т.е. каждый его ЭВ повернут по отношению к соответствующему ЭВ эталонного контура на угол Ду>. Величину Д^ будем считать равномерно распределенной, т.е.
Р (Д^) = 1/(2тг) при 0 < Ду> < 2тг.(4.2.10)
При повороте контура его норма не меняется, т.е. ||Г^С^|| = ||Г||. Поэтому условное отношение правдоподобия
Г/^Т Л X Г 1|Г(с)||2 Re(N,r(c))l
L (N, Ду>) = ехр 2^2" + —^ j =
{
НГЦ21 л
— —у- Н21/1 ^ Ь1 (n) cos ^^ ~ ^2 (П) ^ ^1 +
2(7(7 Z
п=О
1 к-1
+ — ^za, (п)[71(72) sin Ду? - 72 (n) cos
17 п=0
= ехр/-В- + АУ^1р(п)117(^)|со8[Д^ + 9?(п) -0(n)] L (4.2.11)
Интегрируя по всей области изменения угла Ду?, определим безусловное отношение правдоподобия:
A(N) =A(N) =Г ||Г||21/177^-1)1(2а2 J Д а2Г ||Г||21/177^-1)1(2а2 J Д а22тг
A(N) =
A(N) =
Г ||Г||21/177^-1)1
(2а2 J Д а2
Г ||Г||21/177^-1)1
(2а2 J Д а2
Л (N, Ду?) Р (Ду?) d (Ду>) = ехр о
Благодаря монотонности функции Бесселя 1о{ж} решение можно принимать при сравнении с порогом любой монотонной функции от ж. Поэтому решающее правило примет вид
|(N,r)H 177^-1)1^ Л.|(N,r)H 177^-1)1^ Л.(4.2.12)(4.2.12)
|(N,r)H 177^-1)1^ Л.
|(N,r)H 177^-1)1^ Л.
(4.2.12)
(4.2.12)
Таким образом, оптимальный обнаружитель зашумленного контура, повернутого на неизвестный угол по отношению к эталонному, должен формировать модуль скалярного произведения (N,F) или модуль соответствующего отсчета КСФ и сравнивать его с порогом h (рис. 4.5, а, б).
Рис. 4.5. Структуры обнаружителей контуров с неизвестным углом поворотаРис. 4.5. Структуры обнаружителей контуров с неизвестным углом поворота
Рис. 4.5. Структуры обнаружителей контуров с неизвестным углом поворота
Рис. 4.5. Структуры обнаружителей контуров с неизвестным углом поворота
Рассмотрим подход к обнаружению контура, основанный не на интегрировании отношения правдоподобия по параметру Ду>, а на сведении к задаче обнаружения полностью известного контура путем определения оценки параметра Ду? (см. п. 4.1). Если предварительно контур N повернуть на угол (—Ду>), то мы будем иметь случай полностью известного контура, так как с точностью до погрешности оценки контуры Г(с) и Г согласованы по углу. Тогда в соответствии с выражением (4.2.1) логарифм безусловного отношения правдоподобия станет равным
= [l|r(-ljr-2Re(N_Av,rW
Так как в этом случае вектор скалярного произведения повернутых на угол (—Ду>) контуров N и Г^ стал горизонтальным и направленным вправо, то его реальная часть совпадает с его модулем и правило обнаружения принимает вид
|(КГ,Г<С>)| = |^-1)1 > ^(4.2.13)
Из сравнения выражений (4.2.12) и (4.2.13) следует, что решающие правила, полученные интегрированием отношения правдоподобия и предварительной оценкой параметра Д<^, совпадают. По сравнению со случаем обнаружения полностью известного контура достаточной статистикой здесь служит модуль выходного вектора, а не его реальная часть. Как следует из п. 3.11, при этом отношение сигнал/шум по энергии уменьшается вдвое. Если воспользоваться величиной расстояния, то алгоритм обнаружения можно представить в виде
^in^||N||2-2<72lnAo = Vo,(4.2.14)
где -Rmin — минимальное расстояние между контурами N и Г, достигаемое варьированием угла их взаимного поворота. Обнаружитель (рис. 4.5, в) содержит блок поворота эталонного контура на угол Ду> (ВПК), измеритель расстояния ИР между контурами N и Гд^, экстремальное устройство ЭУ, фиксирующее минимум этого расстояния, и пороговое устройство ПУ.
Определим эффективность обнаружения контура. Вероятность ложной тревоги Fa^ = J Р (hm|) dhm|> где |т7ш| — модуль выходного вектора и0
КСФ и N = Z. Модуль этого вектора распределен по закону Релея (см. п. 3.9). С учетом выражения (3.9.8) будем иметь
2? — Г _ЫЬ ехп /1^щ|2 V|„
J <72||Г||2е Р1 2<72||Г||2 J™-
Uo(1
(4.2.15)(4.2.15)I Ро 1 Г 21
(4.2.15)
(4.2.15)
= ехр <5- > = ехр < —к
Р[ 2<72||Г||2) РХ о/
Величина нормированного порога, обеспечивающего данный уровень ложной тревоги, равна а^ = Inl/F^. Вероятность правильного обнаружения определяется как D = J Р (|т]|) с^ту), где Р (|ту|) — плотность распре деле- и0
ния вероятностей модуля т] (к — 1) = ту = 771 + г?72 выходного вектора КСФ при фильтрации контура N = Г^ + Z. Это распределение подчиняется закону Райса (см. п. 3.10). Поэтому
D =D =/о/оhlст2||Г||2hlст2||Г||2ехрехр/ Ы2 + ЦГ||21г I 2<Т2||Г||2 J °/ Ы2 + ЦГ||21г I 2<Т2||Г||2 J °Ф1-Ф1-
D =
D =
/о
/о
hlст2||Г||2
hlст2||Г||2
ехр
ехр
/ Ы2 + ЦГ||21г I 2<Т2||Г||2 J °
/ Ы2 + ЦГ||21г I 2<Т2||Г||2 J °
Ф1-
Ф1-
Введем обозначения t = |т7|/сг||Г||, I = ||Г||/сг. Тогда
г ( А
D = texpl >Io(UW(4.2.16)
aov^
Данное выражение является табличным интегралом для распределения Релея-Райса. Характеристики обнаружения зашумленного контура со случайным углом поворота аналогичны характеристикам обнаружения сигнала со случайной фазой [26].
Обнаружение контура с неизвестным сдвигом начальной точки. Пусть сигнальный контур Г(с) = Г^ получен сдвигом на d ЭВ начальной точки эталонного контура Г, т.е. 7С (п) = 7 (n + d), п = 0,1,... ... , к — 1. По остальным параметрам контуры 15е) и Г совпадают. Алгоритм обнаружения контура Г(с) получим путем перехода к обнаружителю полностью известного контура за счет учета оценки величины d. Для этого при использовании метода МП необходимо найти, при каком значении d достигается максимум функции правдоподобия
L (N, d) = с ехр | — —^L (N, d) = с ехр | — —^||N||2 + ||r||2-2Re(N,rd)]}.(4.2.17)
L (N, d) = с ехр | — —^
L (N, d) = с ехр | — —^
В данном случае величина d будет максимальной, когда реальная часть скалярного произведения (N,Fj) достигает наибольшей величины при варьировании d. Поэтому решение об обнаружении выносится при
Re (N, rd)max ^ 0,5||Г|| + а21пЛ0 = Uo. (4.2.18)
Таким образом, оптимальный алгоритм обнаружения состоит в сравнении с порогом Uo максимального значения реальной части скалярного
Рис. 4.6. Структура обнаружителя контура с неизвестным сдвигом начальной точки произведения (N, ГД Если в обнаружителе применен КСФ, то решение принимается по правилу (рис. 4.6)Рис. 4.6. Структура обнаружителя контура с неизвестным сдвигом начальной точки произведения (N, ГД Если в обнаружителе применен КСФ, то решение принимается по правилу (рис. 4.6)
Рис. 4.6. Структура обнаружителя контура с неизвестным сдвигом начальной точки произведения (N, ГД Если в обнаружителе применен КСФ, то решение принимается по правилу (рис. 4.6)
Рис. 4.6. Структура обнаружителя контура с неизвестным сдвигом начальной точки произведения (N, ГД Если в обнаружителе применен КСФ, то решение принимается по правилу (рис. 4.6)
^Uo, d = 0J,... ,к-1.^Uo, d = 0J,... ,к-1.(4.2.19)(4.2.19)
^Uo, d = 0J,... ,к-1.
^Uo, d = 0J,... ,к-1.
(4.2.19)
(4.2.19)
- к — 1-
771 (d) = НеУ^ v (п) 7* (n — d + fc — 1)
- n=0-I тах
Обнаружение контура с неизвестным углом поворота и сдвигом начальной точки. В данном случае ЭВ сигнального контура Г^с) = = ^ь<р4 имеет вид 7С (п) = [7 (тг + d) | ехр {г[<^ (п) + А^]}, а функция
Рис. 4.7. Структура обнаружителя контура с неизвестными значениями угла поворота и сдвига начальной точкиРис. 4.7. Структура обнаружителя контура с неизвестными значениями угла поворота и сдвига начальной точки
Рис. 4.7. Структура обнаружителя контура с неизвестными значениями угла поворота и сдвига начальной точки
Рис. 4.7. Структура обнаружителя контура с неизвестными значениями угла поворота и сдвига начальной точки
правдоподобия
Л (N, А 92, d) = с ехр |2< 2(7Л (N, А 92, d) = с ехр |2< 2(7||N||2 + ||r||2-2Re(N,^id)]}.
Л (N, А 92, d) = с ехр |2
< 2(7
Л (N, А 92, d) = с ехр |2
< 2(7
После оценки методом МП параметров d и Ау> и перехода от контура Гд^ к контуру Г функция правдоподобия становится безусловной и записывается как
Л (N) = сехр {-^ [||N||2 + ||Г||2 - 2|Ч(d)|max]}.(4.2.20)
В результате алгоритм обнаружения будет иметь вид
ItMU о, 5||ГН2 + <т2 In Ло = Uo.(4.2.21)
Таким образом, для оптимального обнаружения контура необходимо осуществить контурную согласованную фильтрацию, сформировать модуль выходного вектора, найти его максимальное значение и сравнить с порогом Uo (рис. 4.7).
Обнаружение контура с произвольным масштабом. Рассмотрим задачу обнаружения контура 15е) = |^|Г = {|^|т (n)}o k-v Отношение правдоподобия для контура N = |^|Г + Z равно
Л (N, |д|) = ехр {-^ [М2||Г||2 - 2[/z|Re(N, Г)]}.(4.2.22)
Оценка энергетического параметра |д| определяется выражением (4.1.21). Подставив значение этой оценки в (4.2.22), приходим к случаю обнаружения полностью известного контура. При этом логарифм отношения правдоподобия InL(N) = [Re(N,Г)]2/2<т2||Г||2, а правило принятия решения имеет вид
[Re (N, Г)]2 > 2<т2Л0 = U^.(4.2.23)
Таким образом, для обнаружения зашумленного контура с произвольным
■»|Квадрирование[-■»|Квадрирование[-7i0-07i0-0
■»|Квадрирование[-
■»|Квадрирование[-
7i0-0
7i0-0
Рис. 4.8. Структура обнаружителя контура с произвольным масштабом
масштабом необходимо сформировать квадрат вещественной части скалярного произведения контуров МиГи сравнить его с порогом U^. Учитывая, что Re(N,F) = 771 (А: — 1), структуру обнаружителя можно представить в виде, показанном на рис. 4.8.
Обнаружение контура с неизвестными сдвигом начальной точки, углом поворота и произвольным масштабом. Рассмотрим теперь наиболее общий случай обнаружения зашумленного контура, когда сигнальный контур Г(с) определяется выражением (4.1.1) и все его параметры неизвестны. Функция правдоподобия для контура
Л (N, МЛ l/zl) = сехр {-^ [||N||2 + |д|2||Г||2 - 2|M|Re (N, Гд^)]}. Используя оценки МП параметров Д<^, d, определяемые выражениями (4.1.19) и (4.1.20), получим функцию правдоподобия для контура с неизвестным масштабом:
Л (N, М) = сехр {~^ [||< + Ы2||Г||2 - 2|/ф №|тах] }■ Учитывая теперь оценку МП параметра |д| (4.1.21), запишем выражение для квадратного корня из логарифма ОП: InL (N) = |ту (^)|max/v^<7||F||. Тогда правило обнаружения зашумленного контура будет иметь вид
k№lmax> ^||Г||х/ЬЛ;=^|.(4.2.24)
Таким образом, оптимальный обнаружитель формирует к отсчетов КСФ, находит их модули, выбирает максимальный по величине модуль и сравнивает его с порогом U^.
Пример 1. Для иллюстрации расчетов, связанных с обнаружением зашумленных контуров, рассмотрим контур из примера к п. 4.1. Зададимся отношением рисков R01/R10, связанных с ложной тревогой и пропуском, равным 1000, и отношением Р (N = Z)/P(N = Г(с) + Z) априорных вероятностей отсутствия и наличия сигнального контура, равным 50. Тогда пороги Ло = R01P (N = Z)/ [Лю х х P(N = Г^ 4- Z)] = 50000 и (7|р| = \/2(т||Г|| Vin Ло = 58,098. Максимальное значение модуля выходного вектора фильтра, согласованного с контуром Г, достигается при d = 4 и равно \т) (4)|тах = 60,48. Сравнивая это значение с порогом (7|р|, видим, что принимается правильное решение об обнаружении сигнального контура при практическом отсутствии ложных тревог в условиях, когда появление изображения объекта с контуром Г маловероятно.
Разрешение контурных сигналов
Введение и постановка задачи. Под разрешением понимают операции, в результате которых из группы перекрывающихся или близко расположенных сигналов выделяется каждый из них. Когда сигнал характеризуется несколькими параметрами, то данная задача решается отдельно для каждого параметра или совместно по группе параметров. Например, в радиолокации сигналы разрешаются по дальности, скорости,
угловым координатам и др. При чтении слитного рукописного текста разрешение сигналов состоит в разделении непрерывной линии, соответствующей одному слову, на отрезки кривых, изображающих отдельные буквы. Для изображения реки задача разрешения заключается в отделении изображения главного русла от основных притоков и т.д. В данном разделе рассмотрим задачу разрешения перекрывающихся контуров, представленных как комплекснозначные сигналы.
Пусть ЕЬЕ2,... ,Et — последовательность контурных сигналов одинаковой размерности к, отличающихся от эталонного сигнала Е = = {е (п)}0 к_г масштабом \p,j\ и углом поворота <р^ т.е.
Ej = ДуЕ, /zy = |^| exp {z^}, By = {e, (n)} = {|ey (n)| exp{i^y}},3 = 1,2,... ,t.
Начальный ЭВ Ej (0) каждого из сигналов Ej смещен в пространстве (во времени) относительно начального ЭВ Si (0) контура Ei на величину dj. Сигналы Ej, j = 1,2,... ,f, образуют сигнал N = {^(п)} путем суммирования с учетом параметра смещения dj своих ЭВ с одинаковым номером п. Для случая к = 3 и t = 2 образование суммарного контурного
Рис. 4.9. К постановке задачи разрешения контурных сигналов: а — исходные сигналы Ei и Е2; б — представление отсчетов сигналов с учетом смещения начала Е2 на d2 ЭВ и образования суммарного сигнала N; в — векторное представление суммарного сигнала NРис. 4.9. К постановке задачи разрешения контурных сигналов: а — исходные сигналы Ei и Е2; б — представление отсчетов сигналов с учетом смещения начала Е2 на d2 ЭВ и образования суммарного сигнала N; в — векторное представление суммарного сигнала N
Рис. 4.9. К постановке задачи разрешения контурных сигналов: а — исходные сигналы Ei и Е2; б — представление отсчетов сигналов с учетом смещения начала Е2 на d2 ЭВ и образования суммарного сигнала N; в — векторное представление суммарного сигнала N
Рис. 4.9. К постановке задачи разрешения контурных сигналов: а — исходные сигналы Ei и Е2; б — представление отсчетов сигналов с учетом смещения начала Е2 на d2 ЭВ и образования суммарного сигнала N; в — векторное представление суммарного сигнала N
сигнала N = ^v (п)}0 4 поясняется на рис. 4.9. Здесь Ex = {1, г, 1} и Е2 = = {2г, — 2,2г} — контурные сигналы, имеющие по отношению к контурному сигналу Е = {1, г, 1} параметры Д1 = 1, ^ = Ои д2 = 2 ехр {гтг/2}, d^ = 2. Суммарный сигнал равен N = {1, г, 1 + 2г, — 2,2г}.
В результате разрешения необходимо по информации об эталонном сигнале Е и суммарном сигнале N получить информацию о параметрах pLj и dj^ з = 1,2,... , f, каждого из сигналов Ei, Е2,... , Et. Нас будет интересовать случай взаимного перекрытия сигналов. Подобная задача характерна для радиолокации. Сигналы Ej представляют собой задержанные относительно зондирующего сигнала Е отраженные от цели сигналы, отли-
чающиеся масштабами и начальными фазами. С такой задачей приходится сталкиваться также при автоматическом чтении чертежей, выборе одной из однотипных деталей в бункере межоперационного запаса и др.
В общем случае будем представлять следующую ситуацию при решении задачи разрешения как комплекснозначных (контурных), так и вещественных сигналов. Отсчеты суммарного сигнала N = {^(п)} располагаем на горизонтальной оси, отражающей изменение времени или длины (рис. 4.10). Положение суммарного сигнала на этой оси будем считать неизвестным.
LxIaJjlJLiI^^^
г —1|Я0ф(1)Ь(2)|
г =2Ь(0)Ь(1)Ь(2)|
► Фаза 1
г =3, р = 0|s(0)|s(D Ь(2)|
Фаза 2
р=2|Н0)|41)|я2)|
►Фаза 3
Рис. 4.10. Фазы процесса взаимодействия сигнала и с окном s согласованного фильтра
Поэтому окно согласованного фильтра скользит вдоль оси и для каждого фиксированного положения окна образуется выходной отсчет фильтра. Выделим следующие три фазы взаимодействия окна с сигналом.
Первая фаза характеризуется нарастанием количества элементов, общих для сигнала и окна. Во время второй фазы происходит полное совпадение их положений. Для третьей фазы количество общих элементов с течением времени уменьшается.
Все, кроме одного, отсчеты ВКФ образуются фильтром в течение первой и третьей фаз, когда он пространственно не согласован с сигналом: в пределах его окна находится лишь часть сигнала. Согласование во времени имеет место лишь во время второй фазы. Тогда образуется пиковый отсчет фильтра, содержащий в качестве полезной составляющей величину, равную энергии незашумленного входного сигнала.
Зашумленный входной сигнал и = (и(0) ,и(1),... ,u(k- 1)} = {иО)1оА:-1 представим в виде суммы полезного (эталонного) s = = {s O))o,t-i и шумового п = {n (j)}0 ^-i сигналов, т.е. u = s + п.
Учитывая, что пиковый выходной сигнал т) согласованного фильтра появляется с задержкой, не меньшей длительности входного сигнала и, для первой и третьей фаз можно соответственно записать
г —1
Л? — 52 и U) 8 (^ "^ 3 ” r = 1) 2, • • • , к — 1,(4.3.1)
j—о к-i
Лр™* =^ии)8и -py Р = 1,2,...1.(4.3.2)
з=р
Здесь г и р — соответственно номера шагов фильтрации во время первой и третьей фаз. Если г = к или р = 0, то данные выражения определяют выходной сигнал фильтра для второй фазы. На рис. 4.10 поясняется значение параметров г и р для к = 3 и при отсутствии шумов. Видно, что на каждом шаге фильтрации с фильтром взаимодействуют разные сигналы: при г — 1 сигнал равен (0,0, и(0)), а при р = 1 — (u(l), и(2), 0) и т.д.
При взаимодействии фильтра с сигналом образуется не один (как надо с точки зрения разрешения перекрывающихся сигналов), а 2к — — 1 ненулевых отсчетов. В общем случае 2к — 2 из них будут лишними и играют роль коррелированной помехи. Действие такой помехи особенно опасно, когда перекрывающиеся сигналы значительно различаются по масштабу. Негативный характер данной ситуации усугубляется, естественно, из-за неизбежного воздействия флуктуационного шума и других помех. Описанная ситуация является следствием применения согласованного фильтра, формирующего на своем выходе ациклическую ВКФ сигналов и и s. В условиях пространственной (временной) рассогласованности фильтра с сигналом формируемая во время фаз I и III мера схожести не может быть везде равной нулю.
Мы рассмотрим задачу разрешения на основе сопряженного согласованного фильтра (ССФ) (см. п. 3.8), формирующего меру схожести сигнала и сигналом v, сопряженным с сигналом s. Как было показано в п. 3.8, ССФ при отсутствии шумов ставит в соответствие сигналу и только один ненулевой отсчет.
Условия обеспечения разрешенного образа на выходе фильтра обнаружителя. Фильтр обнаружителя вырабатывает статистику, по которой решающее устройство выносит решение о наличии сигнала на входе. На рис. 4.11, а в качестве примера представлены поданные на вход обнаружителя дискретные сигналы Ui, U2, из и U4 с амплитудами 2, 5, 1
7 U1
лш
11 и 111111 II 111.■.. , iiiiIhii
Рис. 4.11. Сигнал на входе (а) и выходе (б, в) фильтра обнаружителя при отсутствии шумов и помех
и 3 длительностью к = 5. Шумы и помехи отсутствуют. Интервал между сигналами Ui и U2 равен двум, а сигналы U2 и из не только перекрываются, но значительно, в пять раз, отличаются по амплитуде. На рис. 4.11, б показаны выходные сигналы согласованного фильтра. Пиковый уровень на его выходе для каждого из сигналов достигается в момент последнего дискрета. Кроме пиковых отсчетов, фильтр образует на каждый из входных сигналов 2к — 2 = 8 боковых отсчетов (лепестков) размахом в к = 5 раз меньших пикового отсчета. Они частично перекрываются для сигналов щ, U2 и из, причем из-за значительной разницы амплитуд сигналов и2 и и3, боковые лепестки сигнала и2 по величине равны пиковому отсчету для сигнала U3. в результате сигнал из не может быть обнаружен на фоне сигнала и2 даже, как оговаривалось выше, в отсутствие шумов и помех.
На рис. 4.11, в показана желательная картина выходных сигналов фильтра: каждый его выходной отсчет 771, 772, 773 и 774 соответствует по времени последнему дискрету входных сигналов щ, U2, из и U4.
Величина этого отсчета пропорциональна амплитуде входного сигнала, а боковые лепестки равны нулю. Такое распределение сигналов при отсутствии шумов на выходе фильтра назовем разрешенным образом. Если фильтр формирует разрешенный образ, то сохраняется информация не только об амплитудах входных сигналов, но и о временном положении каждого из сигналов.
Рассмотрим основные требования к процессу формирования выходного сигнала фильтра, достаточные для получения разрешенного образа суммарного сигнала.
Первым условием является формирование выходного сигнала только в момент временного (пространственного) согласования фильтра с сигналом, т.е. только в момент второй фазы.
Рассмотрим, в чем заключается сущность второго условия.
Пусть и = ^иЖ,к-1И w “ (wO)}o,fc-i — Два Дискретных сигнала размерности к, причем для них справедливы соотношения прямого и обратного ДПФ
2 k—1 2
«с?)= к 52 и^ехр {^т^}’ и^ = 52u^)ехр {^т^™}’ m=0 j=0
к-Т 2 k-i 2
w(j) = ^52 ^(m)exP {г-yJ^}, W(m) = ^w(j)exp|-i-^jm|, m=0 j=0
где U(т) и W(m) — соответственно спектры сигналов u и w. Из периодичности функций ехр ^"^"jm^ = ехР {^^"(^ а^)(т ^)}> гДе а и /3 — целые числа, вытекает периодичность сигналов и и w, а также их спектров U и W:
и^ = u(j ± ак), го (j) = ш 0к). (4.3.3)
Отсюда следует, что отсчеты линейного фильтра
к — 1
77 (Z) = ^ u (j) w (Z - j), Z = 0,1,—1,(4.3.4)
з=о
обладают свойством периодичности, т.е. r)(j) = r)(j^iak^ а фильтр в соответствии с выражением (4.3.4) и с учетом (4.3.3) образует отсчеты циклической свертки сигналов и и w. Полагая w(j^ = s (к — 1 — j^ у из (4.3.4) получаем
к-1
77 (Z) = ^u0)s(j — l + k — 1), Z =0,1,... ,k - 1.(4.3.5)
j=o
Данное выражение представляет собой смещенную на к — 1 отсчетов циклическую ВКФ периодических сигналов и и s. Такая ВКФ не имеет
краевых эффектов. Отсчеты сигналов и и s удобно представлять не на прямой, а на кольце. На рис. 4.12 дана иллюстрация образования отсчетов циклического фильтра при вычислении ВКФ сигналов и и s при I = 0. Каждому значению Z, I — 0,1,2,... , к—1, соответствует свой угол против часовой стрелки внешнего кольца, равный 2тг//А:.
Для образования одного выходного отсчета ту(/) в пределах каждого сектора перемножаются значения и(е) и s(e), а затем получившиеся произведения суммируются.
Итак, второе условие обеспечения на выходе фильтра разрешенного образа состоит в применении свободной от краевых эффектов
Рис. 4.12. Образование отсчетов циклического фильтра при I — 0Рис. 4.12. Образование отсчетов циклического фильтра при I — 0циклической процедуры, основанной на периодичности входных сигналов фильтра и сигнала, определяющего его ИХ.
Рис. 4.12. Образование отсчетов циклического фильтра при I — 0
Рис. 4.12. Образование отсчетов циклического фильтра при I — 0
Отметим, что при ациклической обработке сигнала, описываемой выражениями (4.3.1) и (4.3.2), отсчеты сигнала и ИХ фильтра считаются непериодическими. При вычислении выходных отсчетов фильтра не происходит сдвиг отсчетов его ИХ. Каждому положению окна соответствует не к, как при циклической фильтрации, а лишь один отсчет. Результатом фильтрации является смещенная ациклическая ВКФ Нас, которая, как и соответствующая циклическая ВКФ Нс, имеет отсчет, равный скалярному произведению (u, s). Ее (к — 1)-й отсчет совпадает по величине с (к — 1)-м отсчетом циклической ВКФ Нс и по величине является максимальным (пиковым). Остальные отсчеты циклической и ациклической ВКФ, как правило, не совпадают.
Рассмотрим третье условие обеспечения разрешенного образа на выходе фильтра обнаружителя. Спектр Рл = ^р^ (m)}0 к-1 выходного сигнала ту циклического линейного фильтра (4.3.4) равен произведению спектров Pn = ^ри (m)}0A,_1 и Pw = ^pw (m)}^^ сигналов и и w, т.е.
рл (тп) = ри (т) • pw (т), тп = 0,1,... , к — 1.(4.3.6)
Для обеспечения разрешенного образа фильтр должен формировать в качестве реакции на каждый входной сигнал единичный импульс (символ Кронекера), спектр Р^ которого равен
P^ = {l}o,fc-i или ^(О)=^(1) = ...-Рч(к-1) = 1.(4.3.7)
Действительно, в этом случае обратное ДПФ будет иметь вид
к-1
П W рч (m)exp|i^mz| =
Кк К )
тп=0
к-1
f. 2тг I 1 при 6 = 0,
= - > ехр < г—ml > = <(4.3.8)
m=01° ДЛЯ ДРУГИХ l.
Выполнение условия (4.3.7) возможно при
\ри (^)|2 = |Pw (^)|2 = 1, тп = 0,1,... , к - 1,(4.3.9)
и (или)
Ыт)|2 =1 m = 0,l,... ,к-1.(4.3.10)
|pw (m)|
Далее будем рассматривать следующие два соотношения спектров сигналов и и w: 1) случай равномерных энергетических спектров и 2) случай взаимнообратных энергетических спектров.
В первом случае фильтр (4.3.4) является циклическим, согласованным с сигналом u = s, имеющим равномерный энергетический спектр:
k-i
ту (/) = У^ s (J) з (j - I + к — 1), I = 0,1,... , к — 1. j=0
Во втором случае фильтруемый сигнал u = s обрабатывается сопряженным согласованным (инверсным) фильтром
к-1
ту ^ = 52 8(з)т>(з — I -Vk —2 = 0,1,.
j=o
где s и v — сигналы со взаимнообратным спектром.
Условие (4.3.9) для обеспечения процесса сжатия сигнала без корреляционных шумов является достаточно жестким в том плане, что допускается только одна форма энергетического спектра.
Условие (4.3.10) включает первое условие в качестве частного случая. Оно допускает значительное расширение класса допустимых сигналов с нулевым уровнем корреляционных шумов. Если не принимать во внимание проблему помехоустойчивости обнаружителя, то единственным
препятствием для получения нулевого корреляционного шума является равенство нулю хотя бы одной компоненты спектра сигнала s.
Следовательно, для получения на выходе фильтра обнаружителя разрешенного образа необходимо:
совпадение положений сигнала и окна фильтра (пространственное или временное согласование);
формирование циклической ВКФ обрабатываемого и эталонного сигналов;
равномерный либо взаимно обратный характер спектров обрабатываемого и эталонного сигналов (согласование спектра сигнала и частотного коэффициента передачи фильтра).
Образование отсчетов циклического фильтра для второй фазы фильтрации по результатам первой и третьей фаз. На первый взгляд выполнение первого условия получения разрешенного образа по сравнению с двумя другими условиями кажется наиболее сложным. Окно фильтра должно перемещаться скачками и после каждого скачка должно точно (в условиях априорной неопределенности положения сигнала) совмещаться с ним. В действительности это условие достаточно просто выполнить следующим образом.
Назовем комплементарными два примыкающих друг к другу положения окна фильтра (рис. 4.13, б, в). Правая граница первого окна совпада-
, ,,|„(»)|„|1)|„(2)р.р>|
а г =\
s(0)|s(l) |s(2)|s(3)j]।।।।]! г
в
Рис. 4.13. Комплементарное расположение окон фильтра для г = 1, к = 4
ет с положением левой границы второго окна, а стык окон расположен в пределах сигнала и. Он смещен на г элементов от левого края сигнала. Первое окно реализует первую, а второе — третью фазы фильтрации.
В течении первой фазы к — г элементов окна не пересекаются с сигналом и при отсутствии шумов первые к — г отсчетов сигнала равны нулю, а ненулевые отсчеты сигнала смещены на величину г. Выражение (4.3.5) для первой фазы фильтрации будет равно
fc—1
TL к О’ + г) s О" - Z + fc - 1) , 3=к—т
Z = 0,1,... ,k-l, г = 1,2,... ,fc-l.
Во время третьей фазы фильтрации окно выходит за правую границу сигнала и р = г — к, г = /с + 1, А: + 2,... , 2к — 1, отсчетов сигнала будут нулевыми. Ненулевые отсчеты сигнала смещены от начала сигнала и на величину р = г - к. Выражение (4.3.5) для третьей фазы принимает вид 2к—г—1
4,41)= 52 uO+r)s(j-Z + fc-l), j=0(4.3.12)
I = 0,1,... , к - 1, г = к + 1, к + 2,... , 2к - 1.
Образуем сумму последних двух выражений, беря все значения аргументов по модулю к:
к — 1
Пт (О + Ч™ (Z) = 52 ы О' + r) 8 и - / + А: - 1),
3=0(4.0.13)
/ = 0,1,... Л~1, г = 1,2,... Л~1-
Данная сумма с точностью до обозначений и смещения выходного сигнала на величину т совпадает с выражением (4.3.5) для выходного сигнала циклического фильтра во время второй фазы:
7?= (Z) + т?”1 (/) = 7?” (О , Z = o, 1,... ,к-1, г = 1,2,... ,к~ 1.
(4.3.14)
Таким образом, для определения реакции циклического фильтра при точном совпадении окна с сигналом достаточно найти сумму реакций этого фильтра для двух произвольных комплементарных положений окна (т.е. со смещением окна на к шагов) и учесть величину сдвига т стыка окон относительно положения фильтруемого сигнала и. Такой способ получения необходимой серии отсчетов циклического фильтра, соответствующих второй фазе фильтрации, назван алгоритмом ЧКШС («через к шагового суммирования»).
Пример 1. Для сигналов и = {1,2,3,4} и s = {2, — 1, —2,4} найдем отсчеты циклического фильтра для второй фазы фильтрации по результатам первой и третьей фаз при т = 1. Применение формул (4.3.11) и (4.3.12) дает 771 = = {-2, - 1,2,4} и т/5 = {Ю, 16,8, - 7}.
Суммируя в соответствии с выражением (4.3.14), получим 77 = {8,15,10, — 3}. Расчет по формуле (4.3.5) дает вектор 77 = {—3,8,15,10}. Сравнивая эти векторы, видим, что с учетом циклического смещения на г = 1 элемент они совпадают.
Получение отсчетов циклического фильтра для второй фазы фильтрации по результатам ациклической фильтрации. В п. 4.3.3 была решена задача получения на основе алгоритма ЧКШС, примененного к двум сериям отсчетов циклического фильтра и полученных для комплементарного положения окон, результатов второй фазы фильтрации, т.е. когда окно точно совпадает с сигналом. Однако высокая трудоемкость циклической фильтрации, в к раз большая, чем при ациклической фильтрации, сохранилась. Учитывая, что характеристики циклического и ациклического фильтров определяются одним и тем же эталонным
сигналом s, следует ожидать определенной зависимости между результатами их работы.
Выходные сигналы ациклического фильтра для первой и третьей фаз фильтрации задаются выражениями (4.3.1) и (4.3.2). Сумма выходных сигналов в этих фазах равна
г—1k—1
4 + 4“ = 52 « 0) s (А: + > - г) + 52 u (j) s (j - р),j=0j=p
г = 1,2,... ,k~V Р = 1,2,... ,к- 1.
Если сигналы и и s обладают свойством периодичности (4.3.3), а положения окон фильтра комплементарны, то г = р 4- к или г = (рУ- Последняя запись означает, что величина р берется по модулю к. Тогда
г—1к—1
4 + Т]™ = ]>2 и 0) s (А: + j - г) + ^2 u (j) s (А: + j - г) =
j=0э—т
к-1
= ^2u(j) s (к 4- j — г), г = 1, 2,... , к — 1. (4.3.15) з=о
Сравнивая полученное выражение с (4.3.5), приходим к выводу, что оно определяет сдвинутый на единицу отсчет циклического фильтра при точном совпадении окна фильтра с сигналом, т.е. для второй фазы фильтрации
р (т - 1) = р\ + 77рП, г = р = 1,2,... , к - 1.(4.3.16)
Данное соотношение дает возможность находить отсчеты циклического фильтра только для второй фазы по результатам работы значительно менее трудоемкого ациклического фильтра. Алгоритм остается тем же, что и при обработке выходных сигналов циклического фильтра — это ЧКШС. Для получения по результатам работы ациклического фильтра (I — 1)-го отсчета циклического фильтра для второй фазы фильтрации, необходимо просуммировать Z-й и (I 4- к)-й отсчеты ациклического фильтра, Z = 1,2,...
Пример 2. Для сигналов и и s из примера 1 по формулам (4.3.1) и (4.3.2) при к = 4 найдем семь значащих отсчетов ациклического фильтра:
р = {4,6,7, 10, -7,2,8}.
Фаза I Фаза II Фаза III '
Применим алгоритм ЧКШС к данной последовательности. В соответствии с (4.3.16) получаем
/ = 0, 77 (—1) = 4 — 7 = —3;/ = 2, р (1) = 7 4- 8 = 15;
/ = 1, 7/(0) = 64-2 = 8;/ = 3, 77(2) = 104-0 = 10.
Таким образом, р = {—3,8,15,10}. Сравнивая этот результат с результатом из примера 1, видим, что с учетом смещения на один элемент они совпадают.
Геометрическая интерпретация и энергетические соотношения процесса формирования разрешенного образа на выходе фильтра. Как было показано выше, разрешенный образ на выходе фильтра обнаружителя может быть сформирован циклическим фильтром с последующей обработкой его отсчетов по алгоритму ЧКШС. Если сигнал s имеет равномерный спектр, то этот фильтр будет согласованным. Когда сигнал s характеризуется спектром произвольной формы, но без нулевых значений — то фильтр будет согласован с сопряженным сигналом v. Сущность циклической фильтрации с позиции векторного представления незашумленного сигнала s = {s(n)}ofc_1 была рассмотрена в п. 3.8. Согласованная циклическая фильтрация является процедурой вычисления проекций вектора s в собственной системе отсчета, образованной к базисными векторами, полученными в результате циклического сдвига вектора s. Сигнальный вектор s является одним из базисных векторов данной системы. При этом предполагается линейная независимость этих векторов, т.е. определитель матрицы S (3.8.26) собственной системы отсчета не равен нулю:
detS /0.(4.3.17)
Данное условие накладывает весьма слабые ограничения на вид сигнального вектора s. Поэтому угол между базисными векторами собственной системы отсчета может быть достаточно произвольным, т.е. базис, в общем случае является косоугольным. Для формирования разрешенного образа путем циклической согласованной фильтрации вектора s
к-1
тИГ^^вО^-l + k-V), I = 0,1,... ,к - 1(4.3.18)
>=о
необходимо обеспечить выходной сигнал в виде символа Кронекера:
т)^ = {0,0,... ,0,1},(4.3.19)
т.е. чтобы все его отсчеты, кроме одного, были нулевыми. Применительно к рассматриваемой задаче это означает требование равенства нулю всех, кроме одной, проекций сигнала s в косоугольной системе отсчета. Проекция одного вектора на другой будет нулевой лишь при ортогональности этих векторов. Отсюда становится понятным, что в собственной косоугольной системе отсчета невозможно обеспечить попарную ортогональность одного из базисных векторов, роль которого играет фильтруемый сигнал, с каждым из базисных векторов. В этом и заключается причина возникновения корреляционных шумов при согласованной фильтрации сигнала. Если бы вектор s задавал собственную ортонормированную систему отсчета, то условие (4.3.19) обеспечивалось автоматически. Такая ситуация имеет место при равномерном энергетическом спектре сигнала s, когда скалярное произведение вектора s на свою сдвинутую копию равно нулю.
Когда мы переходим к согласованной обработке сигнала v, сопряженного с сигналом s, то как показано в п. 3.8, это эквивалентно определению координат вектора s в собственной биортогональной системе отсчета.
Данный процесс реализуется фильтром
к-1
Т)^ = ^s(j)-u(j — l + k — 1), I = 0,1,... ,к- 1- (4.3.20) 1=0
Поскольку сигнальный вектор s является одним из базисных векторов собственной системы отсчета, то одна из его координат будет строго равна единице, а остальные — нулю. Это обуславливает следующие важные свойства процедуры нахождения координат сигнального вектора в собственной биортогональной системе отсчета по сравнению с определением проекций данного вектора при обычной согласованной фильтрации сигнала:
формирование разрешенного образа выходного сигнала фильтра, т.е. образование только одного ненулевого отсчета на каждый входной неза- шумленный сигнал при нулевом корреляционном шуме, что дает возможность наилучшим образом разрешить перекрывающиеся сигналы.
возможность оценки параметров линейных преобразований сигнального вектора u = /is, где /i = |/i| ехр{гД(^}, по отношению к базисному (эталонному) вектору s.
Данные преимущества ССФ по сравнению с обычным согласованным фильтром достигаются, в конечном счете, за счет ухудшения отношения сигнал/шум на выходе фильтра (4.3.20) по сравнению с фильтром (4.3.18). Частотная характеристика ССФ будет иметь полюсы на тех частотах, где энергетический спектр сигнала s равен нулю, что и объясняет условие (4.3.17) реализуемости фильтра. Чем сильнее неравномерность энергетического спектра сигнала s, тем больше прозрачность ССФ для флуктуационных шумов на частотах, слабо выраженных в спектре сигнала s.
Данное обстоятельство является решающим для применения рассматриваемого алгоритма разрешения сигналов: чем более равномерен спектр сигнала s, тем он более предпочтителен.
В п. 3.10.3 было показано, что при одинаковом входном отношении сиг- нал/шум, входное отношение сигнал/шум у ССФ в D раз хуже, чем у согласованного фильтра, где D = ||s||2||v||2. Если сигнал s характеризуется равномерным спектром, то эффективность обоих фильтров одинакова.
Формирование разрешенного образа при произвольном расположении окна фильтра. Процедура ЧКШС производит суммирование отсчетов фильтра с интервалом, равным размерности к сигнала. Она осуществляется на участке ММ длиной L кодовых интервалов, L > к, на котором расположены перекрывающиеся эхо-сигналы (рис. 4.14, а). В результате образуется участок NN, на котором координаты отметок, пересчитанные к началу эхо-сигнала, изменяются в пределах от 0 до к — 1 (рис. 4.14, б).
Происходит сокращение размерности пространства значений дальности, причем новая координата R' сигнала (на участке NN) связана с исходной R (на участке ММ) соотношением
R = Rf + хк, (4.3.21)
Рис. 4.14. Уменьшение размерности пространства отсчетов при ЧКШС для к = 4: а — положение сигналов А, В и С до обработки; б — модифицированные отсчеты ЧКШС сигналов А, В и С
где R’ = (Н)к — остаток вычета R по модулю к, равный координате модифицированного отсчета ЧКШС, х — порядок этого вычета.
Пусть L ^ к, т.е. начала всех перекрывающихся эхо-сигналов расположены на интервале 0,1,... , к-1. Тогда х = 0 и R = R', т.е. координаты сигналов до и после ЧКШС совпадают. В данной ситуации разрешаются до /^сигналов. Для реально встречающихся ситуаций, связанных с разрешением эхосигналов, величина к должна быть порядка 10... 15. в связи с тем, что каждый шаг ЧКШС увеличивает энергию флуктуационного шума, целесообразно искусственно ограничить интервал ММ на уровне L = = к, положив отсчеты эхо-сигналов за его границей равными нулю. Предварительно, по возможности, необходимо убедиться в отсутствии других эхо-сигналов в непосредственной близости от установленной границы.
Если же L > к, то порядок вычета неизвестен, что приводит к неоднозначности определения R по значению R’. На рис. 4.14,а расстояние до цели, задаваемой сигналом С, больше к, т.е. R = 5^ а к = 4. В результате для этого сигнала R' = 1, т.е. не совпадает со значением R = 5. В данной ситуации для уточнения истинной координаты R сигнала по оси времени, кроме отсчета R' необходима дополнительная информация. Она может быть получена при последовательном применении сигналов разной размерности. Пусть хх порядок вычета R по модулю кх, а х^ — по модулю к^^ ку ^ к^. Тогда на основании (4.3.21) можно получить следующее уравнение в целых числах первого порядка с неизвестными хх и х^*.
хукх - х^к2 + (Лг - Аг) = 0,(4.3.22)
где Ах = (R\x и Аг = ^к2 — модифицированные отсчеты ЧКШС.
Как известно [134], общее решение такого уравнения равно
хх ^ = zoi + k^t^ Х2 (£) = ^02 4- kxt^ t = 0, ±1, ±2,... ,(4.3.23)
где [жо1,^о2] — частное решение этого уравнения, причем кх и к2 — взаимно простые числа. Для нахождения частного решения дробь кх/к2 представляется в цепном виде и отбрасывается ее последнее, п-е звено. Получающая при этом (п — 1)-я подходящая дробь записывается в виде P12/Q12- Тогда частное решение уравнения (4.3.22) будет
[^01,^02] = [МГ"1^^! - Л2); (-l)"^^, - Л2)].(4.3.24)
Выражения (4.3.23) и (4.3.24) позволяют записать последовательность [ж1(^), жгМЬ t = 0, ±1, ±2,... , общих решений уравнения (4.3.22) через отсчеты ЧКШС Ai и А2 и поставить им в соответствие последовательность значений вычета R:
R(f) = kyXy(t) 4- Ay = k2x2(t) 4- 4г, t = 0, ±1, ±2,...
Тогда с учетом (4.3.23) получим
R(t) = (^oi 4~ k2t^ky 4* Ay — x^yky 4* kyk2t 4* Ay. (4.3.25)
Отсюда следует, что интервал вычета для соседних значений R равен ДД = R^ — R^t — 1) = kyk2. Данный результат означает, что на интервале ММ существует зона шириной уже не ку или к2, а кук2 кодовых интервалов, в пределах которой по найденному частному решению уравнения (4.3.22) и отсчету Ау^ полученного в результате ЧКШС, может быть однозначно определена истинная координата (задержка) R. Можно показать, что в общем случае, когда последовательно используются сигналы размерностью к^ г = 1,2,... , п, при условии, что любые два значения к^ и kj — взаимно простые числа, интервал однозначности равен ЛЯ = П ^1
Пусть, например, R = 10. Используются сигналы с ку = 3, к2 = 4 и кз = 5. Модифицированные отсчеты ЧКШС при этом соответственно равны Ai = 1, А2 = = 2 и Аз = 0. Определим по этим данным значение R. Решая соответствующие уравнения в целых числах, получим следующую таблицу возможных значений R.
Таблица 4.1
t
-3
-2
-1
0
1
2
3
RW
-110
-50
10
70
130
190
250
Поскольку кук2кз — 60, то как видно из таблицы, возможные значения R разделены интервалом ZXR = 60. Так как R > 0, то значения —110 и —50 можно не учитывать. Если предположить, что интервал ММ с перекрывающимися эхосигналами не превышает 60-ти кодовых интервалов (для радиолокационных задач этому значению при длительности кодового интервала 0,1 мкс соответствует достаточно большой интервал дальности величиной 900 м), то величина R однозначно будет равна 10.
Поскольку максимальное значение дальности ограничено конечным значением Лтах? то однозначное измерение R обеспечивается достаточно просто, если выбрать П kt га Rmax- Результаты данного анализа сохраняет
ются на случай, когда на интервале ММ находится не один, а несколько эхо-сигналов, по крайней мере, не менее к^ где к^ — размерность сигнала, имеющего минимальную размерность.
Примеры.
Пример 3. Пусть s = {1,2,3,4}. Сопряженный с s сигнал v = ^{—9, 1,1,1}. График энергетического спектра сигнала s показан на рис. 415, а.
. р(™У1008 2 80 ' 2 3а. р(™У1008 2 80 ' 2 3а1 ^ссф | О 1 2 3*/ б1 ^ссф | О 1 2 3*/ б24 22 24 30I I I .0 12 3 /в24 22 24 30I I I .0 12 3 /в
. р(™У
100
8 2 8
0 ' 2 3
а
. р(™У
100
8 2 8
0 ' 2 3
а
1 ^ссф | О 1 2 3*/ б
1 ^ссф | О 1 2 3*/ б
24 22 24 30
I I I .
0 12 3 /
в
24 22 24 30
I I I .
0 12 3 /
в
Рис. 4.15. Результаты обработки одиночного сигнала: а — энергетический спектр сигнала s = {1,2,3,4}, б — выходной сигнал циклического ССФ для второй фазы, в — выходной сигнал циклического согласованного фильтра для второй фазы
При перемещении окна ССФ отклик фильтра в соответствии с выражением (4.3.20) равен
77r(Z) = ^sr(j)t,(j-Z + 3), I = 0,1,2,3,4,5,6,(4.3.26)
3=0
где г — номер позиции окна по отношению к положению сигнала. Взаимное положение сигнала и окна фильтра при г = 1 имеет вид
0
0
0
1
-0,225
0,025
0,025
0,275
Для значения шага г = 1 вектор сигнала s = {0,0,0,1}, для г = 2 он равен S2 = {0,0,1,2} и т.д. Ациклическая ВКФ сигналов s и v, найденная в соответствии с (4.3.21) и записанная в виде прямоугольной матрицы форматом (г х 2) = (4х 2), имеет вид
0,275 0,575 0,9 1
-0,275 -0,575 -0,9 0 '
Применение алгоритма ЧКШС эквивалентно суммированию элементов каждого столбца матрицы. Проводя такое суммирование, получаем результат циклической сопряженной согласованной фильтрации туСсф для второй фазы, то есть при совпадении окна ССФ с сигналом: ту = {0, 0,0,1}. Таким образом, пиковый отсчет фильтра равен единице, а корреляционный шум отсутствует (рис. 4.15, б).
Для сравнения на рис. 4.15, в приведен вид выходного сигнала туСф циклического согласованного фильтра для второй фазы. В данном случае уровень корреляционных шумов очень высок. Коэффициенты шума фильтров для рассматриваемого сигнала s = {1,2,3,4}, определенные по формулам (3.10.8) и (3.10.6), равны Мсф = 1,05 и ЛГСф = 4. Ухудшение отношения сигнал/шум ССФ по сравнению с согласованным фильтром в данном случае порядка 6 дБ. Это является платой за разрешение перекрывающихся сигналов.
Пример 4. Рассмотрим задачу разрешения перекрывающихся по двум отсчетам сигналов s = {1,2,3,4} и 10s = {10, 20,30,40}, образующих суммарный сигнал {1,2,13,24,30,40}:
s 1 1 1 2
3
4
10s
10
20
30 I 40
суммарный | । | 2 сигнал
13
24
30 | 40
Результаты фильтрации суммарного сигнала фильтром, согласованным с сигналом s = {1,2,3,4} и v = {—0.225; 0.025; 0.025; 0.275}, показаны на рис. 4.16.
0 12 3/0 12 3/аа10
0 12 3/
0 12 3/
а
а
^ссф I ]
б 1 2 М
б
Рис. 4.16. Результаты обработки перекрывающихся сигналов согласованным филь-тром (а), сопряженным согласованным фильтром (6)
В первом случае уровень корреляционных помех настолько велик, что ставить вопрос о разрешении сигналов нецелесообразно, во втором случае эта задача решена идеально. Отметим, что при ССФ сохраняется информация о параметрах разрешенных сигналов, в данном случае — о их временных соотношениях и энергиях.
Пример 5. Разрешим и оценим параметры перекрывающихся контурных сигналов Ei и Е2 (см. рис. 4.9) Ei = {1,г, 1}, Е2 = {2г, —2,2г} по суммарному контуру N = {1, г, 1 + 2г, — 2,2г}.
Эталонный контур равен Е = Ei = {1,г, 1}, а сопряженный с ним контур v = {0.3 4- 0.1г; — 0.2 — 0.4г; 0.3 4- 0.1г}. В результате ациклической фильтрации суммарного контура фильтром, согласованным с сопряженным контуром, получаем
0.3 4- 0.1г;-0.3 - 0.1г;0.8 + 0.6г;
-0.1 4- 0.7г;0.3 +2.1г;0.2 - 0.6г;
—0.2 +0.6г;00
Применяя алгоритм ЧКШС, то есть суммируя столбцы матрицы, получаем: Н = = {0, 2г, 1}. Отсюда видно, что суммарный контур N состоит из контура Е = Ei и контура Е2 = 2 ехр {гтт/2}Е, смещенного на две позиции, растянутого в два раза и повернутого на угол тг/2 по отношению к контуру Е.
Распознавание зашумленных контуров
Постановка задачи распознавания контуров. Сформулируем на примере двух классов задачу распознавания зашумленных контуров. ПустьГ^ = {^(i)(n)}0А._1 иГ^ = {7(2) (n)}Qfc l — эталонныеконту- ры соответсвенно классов Ai и А2. На устройство распознавания подается либо зашумленный контур первого класса, равный N^) = Г^ + Z, либо второго класса, равный N(2) = Г^) 4- Z, где Z — шумовой контур и
ГЦ - |//(1)|ехр{гД^(1)}{7(1) (п + d^ ^Ok_v(4.4.1)
Г(2) = 1^(2)| ехр {гД^(2)}{7(2) (п + }o fc_r(4.4.2)
Параметры |/г|, Ду> и d предполагаются неизвестными.
Задача распознавания состоит в обоснованном отнесении зашумленного контура N к одному из классов Ai или А2. Для принятия решения необходимо сформировать безусловное отношение правдоподобия и сравнить его с пороговым значением. Функции правдоподобия контуров N(i) и N(2) имеют соответственно вид (см. п. 3.10.3)
Лс (N, |//(1)|, Д^(1),</(1)) =
= сехр {-^ [||N||2 + ||rg||2 - 2Re (N, rg)] }, (4.4.3)
Лс (N, |Д(2)|, ДУ(2),^(2)) =
= сехр {-^ [||N||2 + ||ГЦ||2 - 2Re (N, Г§)] }. (4.4.4)
Тогда логарифм условного отношения правдоподобия запишется как
In [L (N, |д(1)|, |д(2) |, △¥>(!), Д^),^!),^))] =
= -^{||гЦ||2 - ||rg||2 -2[Re(N,rg) -Re(N,rg)]}. (4.4.5)
Перейдем к рассмотрению вопроса о распознавании полностью известных контуров. Полученные при этом результаты являются основой построения распознающих устройств для более сложных случаев, когда контуры содержат неизвестные параметры.
Распознавание полностью известных контуров. Для данного случая N(1) = Г(1) 4- Z и N(2) = Г(2) 4- Z логарифм безусловного отношения правдоподобия будет иметь вид
ln£(N) =
= -i{llrwl|2 - 11Г(2)|Г -2[Re(N,r(1)) -Re(N,r(2))]}. (4.4.6)
Правило принятия решения в пользу класса Ai запишется как Re(N,r(1)) -Re (N,r(2))[/1)2,
где 1/1,2 = ст2 In Ло 4-0,5(||Г(1) ||2 — ||Г(2)||2). Таким образом, для принятия решения о классе полностью известного контура надо сформировать разность реальных частей скалярных произведений распознаваемого зашумленного контура N с каждым из эталонных контуров. Далее эта разность сравнивается с пороговой величиной [/i,2, зависящей от разностей энергий эталонных контуров, дисперсии ЭВ шумовых контуров Z, отношений рисков и априорных вероятностей классов, учитываемых величиной Ло (рис. 4.17, а). Оптимальное распознающее устройство можно выполнить на базе двух КСФ, один из которых согласован с эталонным контуром Г(1), а второй — с Г(2) (рис. 4.17, б). Если воспользоваться выражением (4.1.7) для квадрата расстояния между зашумленным и эталонным контурами, то логарифм ОП для полностью известных контуров (4.4.6) можно представить как InL (N) = — [й^,г(1) - ^n,!^, ] Z^2^2)* Решение
Рис. 4.17. Структуры распознающих устройств полностью известных контуров
в пользу класса Ах в данном случае будет приниматься при условии ^n г(1) ~ ^nf(2) 2<т21пЛо, т.е. считается, что контур относится к классу Ai, когда точка, задающая контур N, будет расположена ближе (с заданным запасом) к точке, задающей эталонный контур Г^), чем к точке, задающей контур Г(2) (рис. 4.17, в).
Распознавание контуров с неизвестными углами поворотов и сдвигами начальных точек. Пусть Г$ = ехр {гД^) Jr^) и Г^) = = ехр {гДу?(2)}Г(2), т.е. сигнальный контур Г^ повернут по отношению к своему эталонному контуру Г^) на угол Д^), а контур Г^ — на угол Ду)(2) к контуру Г(2). Сведем задачу распознавания таких контуров к задаче распознавания полностью известных контуров, используя оценки Д^х) и Д^2) (см- п- 4-1). Также учтем, что от поворота контура его энергия не меняется, т.е. ЦГ^^Ц = ||Г(1)|| и ||Г^)|| = ||Г(2)||. Тогда решающее правило для отнесения контура к первому классу будет иметь вид
1№Г(1))1 - | (^, Г(2)) | ^ <т21пЛ0 + 0,5 (Цг^)^2 - ||Г(2)||2). (4.4.7)
Если потребовать, чтобы эталонные контуры обладали одинаковой энергией, т.е. чтобы ||Г(!) ||2 = ||Г(2)|| , то решающее правило запишется как
^N,r(1))| — |(N,r(2))| <т21пЛ0.
Структура распознающего устройства для данного случая содержит два формирователя модуля скалярного произведения зашумленно-
Рис. 4.18. Структура распознающего устройства контуров с неизвестными углами поворотов
го контура N с каждым из эталонных контуров, вычитающее и пороговое устройства (рис. 4.18).
Если теперь у каждого из сигнальных контуров дополнительно произведены сдвиги начальных точек соответственно на d^ и d^, то для получения алгоритма распознавания находим по контуру N оценки величин </(!), d^, A^(i) и Ау^г/см- п- 4.1) и сводим данный случай к задаче распознавания полностью известных контуров. Решающее правило в пользу класса Ai при одинаковых энергиях эталонных контуров имеет вид |т7(1) (m)|max - (^ (т)|юах > <т21пЛ0, где |т7(1) (m)|max и 1^(2) (m)|max — максимальные значения модулей отсчетов фильтров, согласованных соответственно с эталонными контурами Г^) и Г(2). Рас-
Рис. 4.19. Распознающее устройство контуров с неизвестными сдвигами начальных точек, углами поворотов и при ||Г(1)|| = ||Г(2)||
познающее устройство содержит два фильтра КСФ1 и КСФ2, согласованных с эталонными контурами, формирователи модулей отсчета фильтра, экстремальные устройства для определения максимальных значений этих модулей, вычитающее и пороговое устройства (рис. 4.19).
Общие требования к контурам при их распознавании. Рассмотрим теперь случай распознавания контуров в составе алфавита из М классов Л1, Л2,... , Ам- Как показано в работе [53], устройство распознавания содержит набор из М фильтров, каждый из которых согласован с одним из эталонных сигналов алфавита. Решающее устройство определяет номер фильтра с максимальным по модулю выходным сигналом
и при превышении порогового уровня выносится решение в пользу класса, номер которого совпадает с номером фильтра (рис. 4.20). Рассмотрим вопрос о том, какими свойствами должны обладать контуры {Г(П)}1М, чтобы результаты распознавания ’
при использовании данного алгоритма были наилучшими.
Поскольку максимальный по модулю выходной сигнал фильтра равен энергии контура и поэтому не зависит от вида контура, то оценивать качество алфавита контуров, с точки зрения эффективности их распознавания, надо по реакции фильтра на контуры тех классов, с которыми он не согласован. Наилучшим будет такой алфавит, который в этом случае обеспечит на выходе фильтра при отсутствии шумов нулевой выходной сигнал. Так как при обработке применяются согласованные
Рис. 4.20. Структура устройства распознавания образов для алфавита из М классовРис. 4.20. Структура устройства распознавания образов для алфавита из М классовфильтры, то преимущество алфавита сохранится и при воздействии
Рис. 4.20. Структура устройства распознавания образов для алфавита из М классов
Рис. 4.20. Структура устройства распознавания образов для алфавита из М классов
на распознаваемые сигналы широкополосных шумов. КСФ (см. п. 3.6) вырабатывает к значений скалярных произведений фильтруемого и эта
лонного контуров при циклическом сдвиге начальной точки одного из них. Как известно, скалярное произведение равно нулю, если контуры ортогональны. Отсюда следует, что контуры, входящие в состав алфавита, должны быть взаимно ортогональны при любом сдвиге их начальных точек, т.е. их ВКФ везде должна быть равна нулю для любой пары эталонных контуров Г^и Г(/) из рассматриваемого алфавита:
(4.4.8)(4.4.8)Tr^.Vw И =0,m = 0,l,... ,k-l, j,l = 1,2,... ,к, 3^1-
(4.4.8)
(4.4.8)
Отметим, что требование равенства нулю всех отсчетов ВКФ двух контуров является более сильным, чем требование их ортогональности. Пусть, например, контуры NT и N2 имеют вид: Ni = {1,1,1, — 1} и N2 = = {1,—1,1,1}. Эти контуры ортогональны, т.е. (Ni,N2) = 0. Их ВКФ имеет вид: Т = {0,0,4,0}, т.е. один отсчет этой функции не равен нулю. Если сдвинуть начало одного из контуров на два ЭВ, то контуры теряют свойство ортогональности и, более того, становятся идентичными. В результате ошибочное распознавание из-за неудачного выбора контуров Ni и N2 в составе алфавита неизбежно.
Таким образом, алфавит контуров, наиболее эффективных для распознавания, должен составлять ортогональный базис в fc-мерном пространстве. Поэтому объем алфавита равен М = к. Если же в процессе обработки контуров допускается произвольный сдвиг начальной точки любого
из контуров, что практически часто имеет место, то ортогональный базис должны составлять любые к контуров разных классов с произвольными сдвигами начальных точек.
Лучше всего этим условиям отвечает алфавит из полного семейства ЭК Го, Г1,... , Г^-!. Элементарные контуры попарно ортогональны, а их ВКФ везде равны нулю (см. п. 2.2 и п. 2.8).
Таким образом, дельтовидный характер взаимно непересекающихся спектральных составляющих контуров (рис. 4.21) обеспечивает везде равную нулю ВКФ и является условием эффективности алфавита контуров максимального объема с позиции их
к "1(11►О1к-Хтк'О1к-Хт-111►О1к-ХтРис. 4.21. Энергетические спектрыэталонных контуров алфавита, оп-тимального для распознаванияк "1(11►О1к-Хтк'О1к-Хт-111►О1к-ХтРис. 4.21. Энергетические спектрыэталонных контуров алфавита, оп-тимального для распознаванияраспознавания. Отметим, что для эффективного решения задачи разрешения контурных сигналов, как было показано в п. 4.3, их энергетический спектр должен быть равномерным, т.е. требования к контурам, эффективным для задач разрешения и распознавания, взаимно противоположны. На выбор алфавита существенное влияние оказывает лишь преобразование сдвига начальной точки контура. Этот сдвиг начальной точки контура может даже в отдельных случаях, как было видно из примера, преобразовать два ортогональных контура в идентичные.
к "
1(11►
О1к-Хт
к'
О1к-Хт
-111►
О1к-Хт
Рис. 4.21. Энергетические спектрыэталонных контуров алфавита, оп-тимального для распознавания
к "
1(11►
О1к-Хт
к'
О1к-Хт
-111►
О1к-Хт
Рис. 4.21. Энергетические спектрыэталонных контуров алфавита, оп-тимального для распознавания
Рис. 4.22. Структура распознающего устройства для алфавита из полного семейства элементарных контуровРис. 4.22. Структура распознающего устройства для алфавита из полного семейства элементарных контуровВ то же время поворот контура на произвольный угол или его масштабирование, благодаря свойствам скалярного произведения в комплексном линейном пространстве Ск (см. п. 1.4), не нарушают ортогональности векторов. Поэтому, если алфавит содержит взаимно ортогональные контуры Г0,Г1,... ,rfc_i, то алфавит /10Г0,Д1Г1,... , ^-хГ^.!, где
Рис. 4.22. Структура распознающего устройства для алфавита из полного семейства элементарных контуров
Рис. 4.22. Структура распознающего устройства для алфавита из полного семейства элементарных контуров
P-j = \Pj\ ехР {~^ф^ — произвольные комплексные числа, будет обладать такой же высокой эффективностью при распознавании.
Таким образом, если ВКФ контуров алфавита везде равны нулю, то произвольные сдвиги начальных точек распознаваемых контуров, их масштабирование и повороты не влияют на результаты работы несогласованных с ними контурных фильтров. Эти преобразования отражаются лишь на выходном сигнале канала, согласованного с поданным на вход устройства распознавания контуром. Чтобы исключить влияние данных преобразований распознаваемого контура на работу согласованного с ним фильтра, поступаем так же, как и в случае обнаружения контура: определяется модуль каждого отсчета фильтра, выбирается его максимальное значение и сравнивается с порогом U^, величина которого зависит от оценки масштаба контура, уровня шумов, допустимых рисков и априорных вероятностей классов. Структурная схема устройства распознавания, реализующая данный алгоритм, показана на рис. 4.22.
Обсуждение результатов
В данном разделе рассмотрены основные операции над зашумленными контурами. Использовалась аддитивная модель зашумленного контура N. Сигнальный контур Г(с) по отношению к эталонному был повернут на угол Д<^, растянут в |/z| раз, а его начало сдвинуто на d ЭВ. Параметры Ду>, \ц\ и d предполагались неизвестными. В процессе прохождения по каналу связи сигнальный контур Г(с) подвергался воздействию комплексного шума. Реальная и мнимая компоненты этого шума считались независимыми нормально распределенными числами с нулевым математическим ожиданием.
Первая задача заключалась в получении по зашумленному контуру N оценок МП параметров Д<^, |/z| и d. Все оценки находятся по вектору с максимальным значением модуля, формируемым фильтром, согласованным с эталонным контуром Г. Оценка угла поворота Д^? сигнального контура Г(с) равна аргументу вектора, оценка растяжения \р\ — отношению модуля вектора к квадрату нормы эталонного контура, а оценка сдвига начальной точки контура Г^ инкрементированному номеру вектора.
Следующей была задача обнаружения зашумленного сигнального контура. В отличие от классической постановки задачи обнаружения синусоидального сигнала на фоне белого шума [52], где неинформативными параметрами являются его начальная фаза, распределенная по равномерному закону, и амплитуда, распределенная по закону Релея, здесь имеются некоторые особенности. Во-первых, из-за двумерного характера задачи в данном случае есть два неинформативных угловых параметра — угол поворота и сдвиг начальной точки сигнального контура. Второй параметр задается не угловыми единицами измерения, а количеством ЭВ. Во-вторых, закон распределения вероятностей значений масштаба зависит от способа формирования изображения. При этом часто масштаб является
не случайной, а просто неизвестной величиной. Данные особенности не приводят к значительному изменению известных решающих правил. Основной результат заключается в следующем: для оптимального обнаружения контура необходимо сформировать максимальное значение модуля выходного вектора фильтра, согласованного с эталонным контуром, и сравнить его с пороговым значением, учитывающим дисперсию шума, риски ошибок и априорные вероятности наличия и отсутствия сигнального контура.
Третья задача связана с разрешением сигналов и, в частности, контурных. При сравнительно слабых ограничениях, накладываемых на спектр сигнала, показана возможность получения на его основе статистики для принятия в условиях нулевых корреляционных шумов решения об его обнаружении и разрешении в случае нескольких перекрывающихся сигналов. Задача решена путем представления вектора сигнала в биорто- гональном базисе, задаваемом циркулянтом этого сигнала, причем сам сигнал является одним из векторов этого базиса. Алгоритмически обработка сигнала осуществляется свободным от краевых эффектов циклическим фильтром, согласованным с сопряженной формой сигнала. Рассмотрена также возможность решения задачи по результатам более простой ациклической фильтрации с последующим суммированием выходных отсчетов, взятых с интервалом, равным размерности вектора сигнала (алгоритм ЧКШС). Линейность процедуры гарантирует возможность разрешения произвольного количества перекрывающихся сигналов с сохранением информации об их параметрах — амплитудах, фазах, задержках и др. Платой за подавление корреляционных шумов является увеличение уровня флуктуационных шумов.
Четвертая задача заключалась в распознавании изображений по их форме, задаваемой контуром. Если на вход распознающего устройства подается зашумленный контур из некоторого алфавита объемом М классов, то алгоритм распознавания предусматривает многоканальную по числу классов процедуру. В каждом канале находится фильтр, согласованный с эталонным контуром класса, и устройство, выбирающее из всех к его отсчетов отсчет с максимальным модулем. Далее отмечается канал, модуль выходного сигнала которого превышает модули выходных сигналов остальных каналов. Если величина максмимального модуля больше порогового значения, то распознаваемый контур относится к классу, номер которого равен номеру канала.
Были также рассмотрены свойства алфавита контуров, обеспечивающего наибольшую эффективность распознавания. Показано, что контуры всех классов должны быть попарно ортогональны при любом сдвиге своих начальных точек, т.е. отсчеты ВКФ контуров любых двух классов равны нулю. Максимальный объем алфавита равен к. Этим требованиям удовлетворяет алфавит из полного семейства ЭК Го, Г1,... , Г^-р
Таким образом, если мы хотим получить алфавит изображений из к классов, которые наилучшим образом распознаются по своей форме при наличии шумов, то эталонные контуры изображений каждого из классов должны представлять собой один из элементарных контуров.
Задачи и упражнения
Проверить равенство нулю всех отсчетов ВКФ элементарных контуров Гт = = {1, г, — 1, —г} и Гз = {1, —г, — 1, г}.
Найти расстояние между контурами а) Го = {1,1,1,1}, Гз = {1, — г, -1, г}, б) Г = {2; г; 1 - 2г; -3 + г} и N = {1 + г; 4; -6 - 2г; 1 + г}.
На базе эталонного контура Г = {12 + 6г; — 9 — Зг; —3 — 6г; Зг} сформировать сигнальный контур с параметрами \р,\ = 1/3, Д<£ = 30° и d = 2.
По методу максимального правдоподобия получить оценки параметров Д<р, d и \ц\ зашумленного контура N = {10,9 — 3, 5г; —1,8 — 9,2г; —8, 2 + 5, Зг; —0,6 + 7,4г}. Эталонный контур равен Г = {4; —2 — 5г; —5 + г; 3 + 4г}.
Решить задачу обнаружения сигнального контура по данным задачи 4 при условии, что отношение рисков Roi/Rio = 100, отношение априорных вероятностей P(N = Z)/P(N = Г(с) + Z) = 10 и а = 0,64.
Алфавит контуров состоит из двух классов с эталонными контурами Г^) = = {1; -0,5 + 0,86г; -0,5 -0,86г} и Г(2) = {1;-0,5 - 0,86г;-0,5 + 0,86г}. Определить класс точно известного зашумленного контура N = {1,2 — 0,4г; —1 + 0,96г; —0,2 — 0,56г} с а = 0,33 для случая когда величина 1пЛ0 = 4. Решение. Пороговый уровень при распознавании точно известных контуров для двух классов равен
[712 = <т21пЛо + 0,5(||Г11|2 - ||г2||2) =0,11-4 + 0,5-(3-3) = 0,44.
С этим пороговым уровнем надо сравнить достаточную статистику ДНет7(1)2) = = Re?j(i)(2) - Не^(2)(2), где /?(1)(2) и Tj^^ — результаты фильтрации контура N фильтрами, согласованными с контурами Г(1) и Г(2) в момент т = к — 1 = 2. Определяем эти значения:Нет7(1)(2) = 3,01; Не?7(2)(2) = = 2,53 и ДНет7(1)2) = 2,53. Условие ДНет7(1)2) ^ wi2 (в числовом виде 2,53 ^ 0,48) выполняется и поэтому контур N относим к первому классу.
Алфавит контуров состоит из двух классов с эталонными контурами Г(1) = = {1,4; -0,7; —0,7г} и Г(2) = {1 - 0,5г; -0,5 + г; -0,5 - 0,5г}. Определить классы точно известных зашумленных контуров с а = 0,33, N = {1,6 — — 0,4г; -1,2+0,1г; -0,4+0,33г} и М = {1,1 - 0,2г; -0,2 + 0,5г; -0,9 - 0,3г} для случая In Ло = 4.
Решение. Определяем пороговые уровни для принятия решения. Квадраты норм эталонных контуров равны ||Г(1)||2 = ||Г(2)||2 = 3. Поэтому величины пороговых уровней для обоих случаев будут одинаковыми и равными wi2 = = a2 In Ло = 0,44.
Принимаем решение о классе контура N. Для этого определяем реальную часть скалярных произведений (N, Г(1)) и (М,Г(2)):
Re (N,r(i}) = 3,36; Re (N,r(2)) = 2,66.
Проверяем неравенство Re (N,T(i)) — Не (М,Г(2)) ^ ст2 In Ло. Числовой вид неравенства: 3,36 — 2,66 ^ 0,44; 0, 7 ^ 0,44. Неравенство справедливо, поэтому контур N относим к классу А2.
Принимаем решение о классе контура М.
Re (М, Г(1)) = 2, 31; Re (М, Г(2)) = 2,4.
Проверяем неравенство 2,31 — 2,4 ^ 0,44; —0,09 ^ 0,44. Неравенство не выполняется, поэтому контур М относим к классу Л2.
Алфавит контуров состоит из трех классов Ло, Л1 и Л 2 с эталонными контурами Г(0) = {1; 1; 1}; Г(1) = {1;—0, 5 + 0,86г;—0, 5 — 0, 86г} и Г(2) = = {1; — 0, 5 — 0,86г; —0, 5 + О,86г}. Для распознавания предъявляются три зашумленных точно известных контура
N = {1, 2 — О,4г; -1 + 0,96г; -0,2-0, 56г},
М = {1,1 + О, Зг; -0,2-1, 36г; -0,9+1,06г},П = {1,3 - 0,4г; 1,2 + 0,1г; 0,5 + 0, Зг}.
Определить классы этих контуров, выбрав для принятия решения пороговый уровень (7о,1,2 = 1.
Решение. При распознавании одного из контуров, например, контура N, сначала проверяем его принадлежность к одному из двух классов, Ло или Ль Для этого находим статистику Re (N,F(0)) — Re (N,F(i)) и сравниваем ее с порогом t/0,1,2. Пусть, например, решение принято в пользу класса Ло. Далее проверяем принадлежность контура N к одному из классов Ло или Аг. Определяем статистику Re (N,F(0)) — Re (N,F(2)) и сравниваем ее с порогом. Принятое теперь решение является окончательным. Из данного подхода к распознаванию контура N следует, что надо найти скалярное произведение с максимальной реальной частью [Re (N, F(j))]maxj = 0,1,2, и вычесть из него реальную часть [Re (N, F(r))]max, I = 0,1,2, 3 ^ I. Получившуюся разность сравниваем с порогом £/0,1,2. Если порог превышен, то контур N относится к классу Aj, в противном случае принимается решение об отказе от распознавания.
Распознавание контура N:
Re (N, Г(о)) = 0, Re (N, Г(1)) = 3,01, Re (N, Г(2)) = 0,48.
Неравенство 3,01 — 0,48 > 1 справедливо, поэтому контур N относим к классу Ль
Распознавание контура М:
Re (М,Г(0)) = 0, Re (М,Г(1)) = -0,42, Re (М,Г(2)) = 3,72.
Неравенство 3,72 — 0,42 > 1 справедливо, поэтому контур М относим к классу Л2.
Распознавание контура П:
Re (П,Г{0)) = 3, Re (П,Г(1)) = 0,3, Re (П,Г(2)) = 0,62.
Неравенство 3 — 0,62 > 1 справедливо, поэтому контур П относим к классу Ло.
Алфавит контуров из трех классов имеет эталонные контуры
Г(1) = {4 + 5г; 4 - 5г; -8г}, Г(2) = {Зг; 8; -8 - Зг},
Г(з) — {8 — 5г; —4; —4 — 5г}.
Для распознавания предъявляется зашумленный контур N = {6,5 — 14, 5г; —4,5 — 2,5г;—2 + 17г} с дисперсией ст2 = 2,6, случайными значениями угла поворота, масштаба и сдвига начальной точки по отношению к эталонному контуру. Опрелить класс контура N при пороговом уровне решающего устройства U^ = 230 и найти оценки его параметров Ду?, d и |/г|.
Решение. Квадраты норм эталонных контуров одинаковы и равны ||Г||2 = = 146. Определим отсчеты согласованных с контурами Гц), Г(2), Г(3) фильтров при прохождении через них контура N:
H(i) = {-175, 5 + 186, 5г; 211,5 + 72, 5г; -36 - 253г},
Н(2) = {-32 + 285г; 146,5 - 103, 51г; -114 - 181, 5г},Н(з) = {235,5 - 131, 5г; —114 - 85г; -121, 5 + 216, 5г}.
Находим отсчет фильтра с максимальным модулем. Это будет |т?(2)(0)| = = 286,8, т.е. нулевой отсчет фильтра, согласованного с эталонным контуром второго класса. Отсчет превышает пороговый уровень U^ = 230, контур N относим ко второму классу. Определяем оценки параметров контура N:
Г1т?7(2) (0)1Г 285 1 .о
^ = arctg ——= arctg — = 96,4 .
LRe7/(2) (0)JJ
Истинные значения параметров: d — 2, |/z| = 2, A 9? = 90°.
Составить наиболее помехоустойчивый в рамках принятых в данном разделе моделей сигналов и шумов алфавит контуров размерностью к = 5.
Глава 5
СИГНАЛЫ В ВИДЕ ПУЧКОВ ВЕКТОРОВ
Аналитическое представление заданных на плоскости пучков
Одним из способов рассмотренного в п. 1.2 представления контура было задание его полярным кодом (см. рис. 1.13). Из произвольно расположенной на плоскости точки Р (полюса) проводятся радиус-векторы (РВ) /3 (п), п = 0,1,... , к — 1, к концам ЭВ 7(п), п = 0,1,... , к — 1, контура. В результате формируется пучок
В = {^ (п)}0= |^ (п)| ехр {г^ (n)}0>k_1(5.1.1)
в виде упорядоченного набора РВ. ЭВ 7 (п) контура Г являются первыми разностями РВ Р (п), т.е.
7 (п) = Р (п + 1) — Р (п) = АД (п), п = 0,1,... , к — 1.(5.1.2)
Как было отмечено в п. 1.5, суммарный код контура Г является частным случаем полярного кода при совмещении полюса Р с начальной точкой oq.
К пучкам в виде (5.1.1) приводит задача аналитического представления заданного на комплексной плоскости упорядоченного множества точек s = {€ W}o,fc-i (рис- 51)-
Выражение (5.1.2) представляет собой систему линейных уравнений относительно РВ Р (п), п = 0,1,... , к — 1. Для ее решения зададим на-
Рис. 5.1. Пучок и контур, порождаеРис. 5.1. Пучок и контур, порождаемые упорядоченным множеством точекмые упорядоченным множеством точекРис. 5.2. Соотношение между положением центра тяжести и полюсом фигурыРис. 5.2. Соотношение между положением центра тяжести и полюсом фигурыа — {€ (П)}о,3а — {€ (П)}о,3
Рис. 5.1. Пучок и контур, порождае
Рис. 5.1. Пучок и контур, порождае
мые упорядоченным множеством точек
мые упорядоченным множеством точек
Рис. 5.2. Соотношение между положением центра тяжести и полюсом фигуры
Рис. 5.2. Соотношение между положением центра тяжести и полюсом фигуры
а — {€ (П)}о,3
а — {€ (П)}о,3
чальные условия в виде конкретного РВ 0 (п), определяющего положение полюса Р. Пусть это начальное условие дано в виде РВ 0 (0). Тогда
71 — 1
/3(п) =/3(0) + 52 1(т),(5.1.3)
т=О
или рекуррентно 0 (п) = 0 (п — 1)+7 (п — 1), n = 1,2,... , k—1. Воспользовавшись (5.1.3), запишем выражение для суммы всех РВ пучка через значения ЭВ кода контура и 0 (0):
к — 1к — 1 п —1к — 1
52 р w = кр (о) + 52 52 (т)= к^ (°) + 52 ^к -n) ^ М- (5ЛЛ) п=0п=0 т=071=0
С учетом замкнутости контура получим
к-1к-1
52 ^м = кР (°) - 52n7(n)-(5Л-5)
71=071=0
Величина
к-1 к-1к-1
а0о = -р (о) = ^ 52 52 (т)= 52 (n)(5Л-6)
71=0 7П=0п=0
задает вектор, соединяющий начальную точку ао контура Г с центром тяжести О фигуры (рис. 5.2). Как следует из (5.1.6), сумма всех РВ пучка есть вектор, равный растянутому в к раз вектору РО, соединяющему полюс Р с центром тяжести О:
к-1
РО = ^Е^н<5Л-7)
71=0
Спектральный анализ изображений пучков
Связь между спектрами пучка и его контура. ДПФ пучка, заданного в виде (5.1.1), имеет вид
к-1Рв (т) = у^0 (п) ехр71=0к-1Рв (т) = у^0 (п) ехр71=0. 2тг—г—тпк. 2тг—г—тпкm = 0,1,... , к — 1.m = 0,1,... , к — 1.(5.2.1)(5.2.1)
к-1
Рв (т) = у^0 (п) ехр
71=0
к-1
Рв (т) = у^0 (п) ехр
71=0
. 2тг
—г—тпк
. 2тг
—г—тпк
m = 0,1,... , к — 1.
m = 0,1,... , к — 1.
(5.2.1)
(5.2.1)
Выясним характер связи между спектром Рв пучка В и спектром Рг контура Г, задаваемых одним и тем же упорядоченным множеством точек Е. Используя выражение для ДПФ контура Г, с учетом (5.1.2) запишем
Рг (rn) =
к-1к-1
= ^2 7 W ехР {~г~^тп} “ У? [/3 (п 4-1) — Д (п)] ехр ^-i^mnj = 71=071=0
f .2тг 1\ f .2тг
0 \Ti + 1) ехр— 2 v 0 \п) ехР ~г—тп
п=0п=0
Первая сумма в этом выражении определяет компоненты рв (^) спектра пучка, а вторая — спектра пучка, смещенного на один отсчет, т.е. ехр {г^тп} • рв (^)- Поэтому
m = 0,1,... , к — 1.
Отсюда следует, что
(5.2.2)(5.2.2)Рв (тп) =££1™), т = о, 1,... , к — 1.
(5.2.2)
(5.2.2)
J I 1
ехр < г—т > — 1
I к I
При m = О знаменатель выражения становится равным нулю и нулевая компонента должна быть получена другим путем, например, из (5.2.1):
к-1
(5.2.3)(5.2.3)Рв (о) =
(5.2.3)
(5.2.3)
п=0
т.е. эта компонента спектра пучка равна сумме его РВ.
Элементарные пучки. Найдем аналоги ЭК в классе пучков В = = {/3 (n)}0 k_v т.е. пучки, спектр которых состоит из одной нулевой компоненты’, причем скалярное произведение двух разных пучков одной и той же размерности должно быть равно нулю. Полное семейство таких пучков одной размерности образует ортогональный базис, по которому может быть разложен произвольный пучок той же размерности. Воспользуемся выражениями (5.2.2) и (5.2.3). В результате получим, что спектр пучка Pbj , соответствующего ЭК Гу, также будет состоять из нулевых компонент, кроме рв (0) и рв (j) (рис. 5.3):
рв ^ — 0 при т = 1,2,... ,j — 1 и т = j 4- 1,... , к — 1;
Г . 2тг )
/с-1ехр < — г—з > — 1
№ (0) = 52 /3 (п), рв Ь) = 2^•
n=01 - COS —j
(5.2.4)
Выясним условие, при котором спектр пучка В, соответствующего контуру Гу, станет монохроматичным за счет обращения в ноль компоненты р(0). Как следует из (5.1.7) и (5.2.3), эта компонента определяется вектором РО, соединяющим полюс пучка В с центром тяжести контура Г. Поэтому необходимо в качестве полюса Р выбрать точку центра тяжести О. Тогда
0 при т = 0,1,... , j — 1 и т = j 4- 1,... , к — 1, к
Рв5 = <Рв5 = <-г——х при m = у, j = 1, 2,... , к — 1.
Рв5 = <
Рв5 = <
ехр < г—з > - 1
(5.2.5)
0(0=
= 0,6+ 0,4/
Р<2)=
= -0,4—0,6/
= 0,6-0,6/
|р6”^|р6”^
|р6”^
|р6”^
|р0»^ 2,84
НН—I—к-> 6 0 12 3 m
0,56
I—I—I——> г 0 12 3m
Рис. 5.3. Соотношения между спектрами ЭК и соответствующего ему пучка с про-извольным положением полюса: а — ЭК Г3, б — спектр ЭК Г3; в — пучок В, г —спектр пучка В
Из монохроматичности спектров преобразованных таким образом пучков следует попарная ортогональность пучков разных порядков j:
(В,- В,) = 1(Рв,,РВ|) =(В,- В,) = 1(Рв,,РВ|) =0 при j ф I, з,1 = 1,2,... ,k — 1, к,.
(В,- В,) = 1(Рв,,РВ|) =
(В,- В,) = 1(Рв,,РВ|) =
-7277 при 1=1,
2 (1 - cos — з )
(5.2.6)
т.е. семейство таких пучков задает ортогональный базис. Из полученного выражения видно, что квадрат нормы пучка В7 зависит от значения его порядка j. Для исключения этой зависимости и перехода к орто- нормированному базису надо, как следует из (5.2.5), каждый РВ пучка В5 умножить на i (ехр{г^у| — 1). Преобразованные таким образом пучки назовем элементарными (ЭП) и будем обозначать как П^:
П, = {тг,- (тг)}0Л_1 = 1 (exp {iyj} - 1) {& (п)}ок_г (5.2.7)
Спектр ЭП порядка j равен
(5.2.8)(5.2.8)I 0 при т ф 3^при т = з-
(5.2.8)
(5.2.8)
Обратное ДПФ элементарного пучка П7 позволяет найти РВ тг7- такого
пучка:
1 Г 2тг 1
(п) — ехР p-^-j^j, 3 — 1, 2,. • • , к — 1.(5.2.9)
Как следует из выражений (1.8.3) и (5.2.9), ЭК и ЭП одинакового порядка и размерности при |7| = 1 имеют одинаковое (с точностью до коэффициента 1/й) аналитическое представление. Это означает, что все свойства ЭК, описанные в п. 2.2, распространяются на ЭП. Формально можно ввести ЭП нулевого порядка По в виде обратного ДПФ от последовательности отсчетов спектра, все значения которых равны нулю за исключением рп0 (0) = 1, т.е. от рц0 (0) = {1,0,... , 0}. В результате получим По = = {1/^}0 k_v ЭП По можно представить как к наложенных друг на друга
О Р Л-о (о) = 1/4о *о(О = 1/4 я0(2) = 1/4 о►^о(3)=1/4 О►О Р Л-о (о) = 1/4о *о(О = 1/4 я0(2) = 1/4 о►^о(3)=1/4 О►^(l)=l/4/^(l)=l/4/= -1/4= -1/4(0) = 1/4—= -1/4/(0) = 1/4—= -1/4/яг2(1) = -^/4_о^Р^2(0) = 1/4 л 2 (з) = -1/4л2(2)=1/4яг2(1) = -^/4_о^Р^2(0) = 1/4 л 2 (з) = -1/4л2(2)=1/4^з(3)=1/4'/О.Р^з(3)=1/4'/О.Рл3(2)=-1/4л3(2)=-1/4^з(0) = 1/45г3(1) = —1/4/^з(0) = 1/45г3(1) = —1/4/
О Р Л-о (о) = 1/4
о *о(О = 1/4 я0(2) = 1/4 о►
^о(3)=1/4 О►
О Р Л-о (о) = 1/4
о *о(О = 1/4 я0(2) = 1/4 о►
^о(3)=1/4 О►
^(l)=l/4/
^(l)=l/4/
= -1/4
= -1/4
(0) = 1/4
—
= -1/4/
(0) = 1/4
—
= -1/4/
яг2(1) = -^/4_о^Р^2(0) = 1/4 л 2 (з) = -1/4л2(2)=1/4
яг2(1) = -^/4_о^Р^2(0) = 1/4 л 2 (з) = -1/4л2(2)=1/4
^з(3)=1/4'
/О.Р
^з(3)=1/4'
/О.Р
л3(2)=-1/4
л3(2)=-1/4
^з(0) = 1/4
5г3(1) = —1/4/
^з(0) = 1/4
5г3(1) = —1/4/
Рис. 5.4. Семейство элементарных пучков размерности к = 4
одинаковых коллинеарных векторов, равных 1/к, выходящих из одного полюса. На рис. 5.4 представлено семейство ЭП размерности к = 4.
Отметим, что ЭП более высоких порядков j, чем нулевой, получаются из пучков, соответствующих ЭК, путем поворота последних, как это следует из (5.2.7), на угол
Фэ = arctgФэ = arctgи растяжением в т3и растяжением в т32тг . cos —3К .2тг . cos —3К .. 2тг .smTJCOS ^J - 1. 2тг .smTJCOS ^J - 1раз, з = 1,2,... , к — 1.раз, з = 1,2,... , к — 1.
Фэ = arctg
Фэ = arctg
и растяжением в т3
и растяжением в т3
2тг . cos —3
К .
2тг . cos —3
К .
. 2тг .
smTJ
COS ^J - 1
. 2тг .
smTJ
COS ^J - 1
раз, з = 1,2,... , к — 1.
раз, з = 1,2,... , к — 1.
Разложение произвольного пучка на элементарные. Пусть В = {Д (п)}0 к-1 — произвольный пучок, а Р^ = {рв (т)}0 к-1 — ег0 спектр, полученный в соответствии с (5.2.1). Обратное ДПФ от спектра Рв даст РВ Р (п), п = 0,1,... , к — 1, исходного пучка:
к-Х
Р ^и^ — ^Е1 Р^т^ ех^п — 0,1, • • • , к — 1.(5.2.10)
п=0
Рис. 5.5Рис. 5.5С учетом перехода от отдельного РВ ко всему пучку и выражения (5.2.9) получим
Рис. 5.5
Рис. 5.5
к-1
В=^№НПт. (5.2.11)
т=0
Таким образом, произвольный пучок раскладывается в ортонормированном базисе {Пт}0А._1, причем координатами являются коэффициенты его ДПФ рр (т), т = 0,1,... , к - 1.
Пример. Разложим по ЭП пучок, образованный соединением полюса Р с вершинами фигуры, определяемой контуром Г = {3 4- 4г; — 1 - 5г; — 2 + г} (рис. 5.5). Полюс Р совпадает с центром тяжести О фигуры контура
551 35
5
5
и поэтому РВ р (0) = - 22 п7 (п) = —1 - 5г + 2 • (-2 + г) = -- - г. 3 П=13
Найдем остальные два ЭВ пучка:
41
0 (1) - 3 (0) + 7 (0) - - + Зг, Р (2) = Р (1) + 7 (1) = $ - 2г.
Пучок В и его спектр Рв равны
Р^ = {0; 1,831 - 2,366г; -6,829 - 0,634г}.Р^ = {0; 1,831 - 2,366г; -6,829 - 0,634г}.Рв( 2)^(0^PbWW)/РвС^Ъ^ГРв( 2)^(0^PbWW)/РвС^Ъ^Гв = {-| - г; +3г;| - 2г},
Р^ = {0; 1,831 - 2,366г; -6,829 - 0,634г}.
Р^ = {0; 1,831 - 2,366г; -6,829 - 0,634г}.
Рв( 2)^(0^
PbWW)/
РвС^Ъ^Г
Рв( 2)^(0^
PbWW)/
РвС^Ъ^Г
РвбМО/ PbOWO
РвО)^)/РвОХСЛ/
Рв0к(<\ б Рв(2)^2(2)
Рис. 5.6. Синтез пучка В: а — пучок рр (1) П1, б — пучок рр (2) П2, в — синте-зированный пучок В
В соответствии с выражением (5.2.11) данный пучок В разлагается по элементарным следующим образом: В = рр (1)П1 + рр (2) П2 (рис. 5.6), где
рр (1) П1 = {0,61 - 0,79г; 0,38 + 0,922г; -0,988 - 0,136г},
рр (2) П2 = {-2,227 - 0,221г; 0,951 + 2,079г; 1,317 - 1,869г}.
Влияние преобразований пучка на вид его спектра
При повороте пучка на произвольный угол Ду? каждый РВ пучка В и каждая компонента его спектра умножаются на одно и то же комплексное число ехр {г А у?}, т.е.
В Ду = ехр{гД^}В, РвДу = ехр{гДу>}Рв. (5.3.1)
При смещении начала отсчета РВ пучка В на d элементов нулевым РВ в новом пучке В^ будет Д^(п), т.е. ^(n) = Рд^п -V d\ а компонента Рвй (пг) спектра пучка В^ станет равной
(5.3.2)(5.3.2)PBa (т) = exp ^i—md^pB (т).
(5.3.2)
(5.3.2)
Приведенные выше два вида преобразований пучка являлись точными аналогами преобразований контура, описанными в п. 1.5 и п. 2.3. Ниже рассмотрим преобразования, характерные, в основном, для пучков.
Варьирование длины произвольного РВ пучка. Пусть деформация пучка В происходит за счет изменения длины каждого его РВ Р (п) на величину Д/3 (п). Новый пучок имеет вид А = В + ДВ, где А = {а (п)}0 к_г, В = {Р (п)}0 А._1, ДВ = {Д/? (n)}0 Jk_1. Из линейности ДПФ следует, что спектр Рд деформированного пучка запишется как
(5.3.3)(5.3.3)Ра = Рв + Рдв,
(5.3.3)
(5.3.3)
где Рдв — спектр деформирующего пучка ДВ, равный
к-1Р^в (rn) = ^2 Д/? (п) ехрп=0к-1Р^в (rn) = ^2 Д/? (п) ехрп=0. 2тг—г—тпк. 2тг—г—тпкт = 0,1,... , к — 1.т = 0,1,... , к — 1.(5.3.4)(5.3.4)
к-1
Р^в (rn) = ^2 Д/? (п) ехр
п=0
к-1
Р^в (rn) = ^2 Д/? (п) ехр
п=0
. 2тг
—г—тпк
. 2тг
—г—тпк
т = 0,1,... , к — 1.
т = 0,1,... , к — 1.
(5.3.4)
(5.3.4)
малых деформаций пучка В,малых деформаций пучка В,деформированного поворотом РВ р (п) на малый угол Zkipдеформированного поворотом РВ р (п) на малый угол ZkipД/3 ~ rb = —Ду?/3 (п) г.Д/3 ~ rb = —Ду?/3 (п) г.(5.3.5)(5.3.5)
малых деформаций пучка В,
малых деформаций пучка В,
деформированного поворотом РВ р (п) на малый угол Zkip
деформированного поворотом РВ р (п) на малый угол Zkip
Д/3 ~ rb = —Ду?/3 (п) г.
Д/3 ~ rb = —Ду?/3 (п) г.
(5.3.5)
(5.3.5)
Изменение аргумента произвольного РВ пучка. Рассмотрим случай
возникающих при изменении аргумента произвольного РВ на величину |Ду?(п)| < 10°. При этом приближенно можно считать, что вектор Д/З (п) расположен перпендикулярно к р (п) и Р (п) 4- ДД (п) « р (п) (рис. 5.7).
Если а = р (п) — исходный РВ, то b = — ip (п) будет перпендикулярным к нему вектором. Выделим на нем точку Е и проведем вектор с = ОЕ, представляющий РВ р (п) после поворота на малый угол Ду?.
Отрезок DE составляет r-ю часть длины вектора Ь. При принятых условиях деформации Ду? ^ г, а вектор DE, являющийся приращением РВ Р (п) при повороте на угол Ду?, будет
равен
Рассмотрим связь между спектрами исходного и деформированного пучков. Пусть вначале деформация происходит за счет поворота на угол —Ду? (j) только одного РВ Р ^з\ В этом случае в соответствии с (5.3.5) РВ
деформированного пучка ДВ = {Д^ (п)}0 А._1 имеют вид
Д/3(„)= (° дая
I - Ду 0) 0 У) для п = j, а спектр деформирующего пучка будет равен
Рдв =-A^U)£U) {exp[-z^jm}} =-А^О)^О)Пк_,-.
v v К ) 0,к — 1
Тогда для спектра деформированного пучка можно записать Рв+дв = = Рв — А у? (j) Р (j) Щ_7. В результате для общего случая, когда деформируется каждый РВ пучка В, спектр результирующего пучка В + ДВ представляется в виде
fc-ifc-i
Рв+ДВ = Рв - У^ ^^ (п) ^ (п) Пь-п = Рв - У2 ^ ^ Hfc_n. п=0п=0
(5.3.6)
Децентрализация пучка. Пучок р = ^р (n)}0 k-v У К0Т0Р0Г0 полюс Р совмещен с его центром тяжести, назовем центрированным. В противном случае пучок является децентрированным, причем, чем больше модуль вектора смещения полюса РО = Ро, тем сильнее степень его децентрирования. Как следует из выражений (5.1.7) и (5.2.3),
^0 = РО = ^р (0),(5.3.7)
К
т.е. децентрирование, связанное с изменением модуля вектора РО, влияет только на значение нулевой компоненты спектра, также приводя к изменению ее модуля. У центрированного пучка эта компонента равна нулю, т.е. у такого пучка р (0) = 0. Произвольный РВ Р (п) децентриро- ванного пучка связан с соответствующим РВ Р (п) центрированного пучка соотношением
Р (n) = р (п) + Ро. п = 0,1,... , к - 1.(5.3.8)
Децентрирование приводит к увеличению нормы пучка. Квадрат нормы преобразованного пучка В связан с квадратом нормы центрированного пучка следующим образом:
||В II2 = ||в||2 + i|p (0)|2 = ||в||2 + Ц(30\2.(5.3.9)
По мере удаления полюса Р от центра тяжести О, т.е. при увеличении степени децентрирования, различие между РВ пучка уменьшается из-за того, что \Р (п)| -+ |^о| и argР (п) -+ arg^0, п = 0,1,... , к — 1. Отсюда следует, что все сильно децентрированные пучки слабо отличаются друг от друга (рис. 5.7). Если А и В — два сильно децентрированных одинаковой размерности произвольных пучка, то их нормированное скалярное произведение
|ПАВ| - КА,В)|
l4A,B'N ||А||.||В|| ~ •
У этих пучков модуль нулевой компоненты их спектров доминирует над модулями остальных спектральных компонент:
|/>А (0)| » |ра (т)|, |рв (0)| » |рв (m)|, т = 1,2,... , к - 1.
Поэтому нормы и модули скалярных произведений сильно децентри- рованных пучков определяются лишь нулевыми компонентами спектров, что и объясняет слабую степень их различия. Следствием данного обстоятельства является требование обеспечения высокой точности расчетов при работе с такими пучками. Таким образом, максимальным различи-
Рис. 5.8. Влияние децентрирования на степень различия пучков: а, в — центрированный пучок А и модули его спектра; б, г — центрированный пучок В и модули его спектра; д, ж — децентрированный пучок А и модули его спектра; е, з — децентрированный пучок В и модули его спектра
ем обладают центрированные пучки, а их де центрирование приводит к нивелированию меры схожести в виде нормированного скалярного произведения пучков. Например, для показанных на рис 5.8 центрированных пучков А и В величина модуля НСП равна 0,8, а для децентрированных пучков А и В — 0,98775.
Согласованная фильтрация пучков
Согласованный фильтр для заданного в комплекснозначном виде пучка работает аналогично контурному согласованному фильтру (см. п. 3.6). Его ИХ имеет вид А (п) = 3* (к — п — 1), а выходной сигнал при филь-
трации пучка А = {а (n)}0 к-1 равен k-i
р (т) = 53 а(п) Р* ^ ™ т к - 1), т = 0,1,... , к — 1.(5.4.1)
п=О
При расчетах, связанных с линейной фильтрацией пучков, необходимо учитывать свойство периодичности РВ пучка или ЭВ его контура (см. (1.5.4)). В этом случае номера векторов будут находиться в пределах от 0 до к — 1. В момент т = к — 1 на выходе фильтра образуется величина, равная скалярному произведению пучков А и В:
к-1
П^к - 1) = ^а(п)/3* (п\
п=0
При фильтрации согласованного пучка выходная величина фильтра ь-12
в этот момент равна энергии сигнала: р (к — 1) = 52 /3 (п) (3* (п) = ||В|| .
п=0
Такое значение р(к — 1) становится возможным благодаря компенсации значений аргументов всех РВ пучка, квадрированию их модулей и суммированию получившихся коллинеарных векторов (рис. 5.9). Данный выход-
|Д(о)|2 |Д(1)Г |^(2)|2 |^(з)|2
•>N>►
б пО)
Рис. 5.9. К образованию пикового выходного отсчета согласованного фильтра: а —фильтруемый пучок В = {^ (п)}0 3, б — выходной отсчет р (3)
ной отсчет является максимальным по модулю по отношению к остальным отсчетам фильтра: т/ (А: — 1) = |т/ (ni)|max, m = 0,1,... , к — 1.
Модуль выходного отсчета согласованного фильтра представляет собой меру схожести фильтруемого пучка А и пучка В, задающего ИХ фильтра. В нормированном виде значение этой меры равно
1чнН1 = ||АП||В|Г (5А2)
Если пучки идентичны, т.е. А = В, то |т?н (m)| = 1, если же |?7Н (т)| = = 0, то пучки ортогональны. Аргумент выходного сигнала в момент m = — к —1 определяет угол поворота Д9? фильтруемого пучка А относительно эталонного пучка В, т.е.
arg р (к — 1) = arctgarg р (к — 1) = arctgImp (к — 1)Кету (к — 1)Imp (к — 1)Кету (к — 1)(5.4.3)(5.4.3)
arg р (к — 1) = arctg
arg р (к — 1) = arctg
Imp (к — 1)
Кету (к — 1)
Imp (к — 1)
Кету (к — 1)
(5.4.3)
(5.4.3)
Результат согласованной фильтрации Н = {т/ (m)}0 к-1 пучка В = = V (n)}o k-i также может рассматриваться как некоторый пучок (рис. 5.10). При этом его РВ т) (к — 1) будет расположен горизонтально и направлен вправо. Если полюс фильтруемого пучка совмещен с центром тяжести, то сумма всех РВ выходного пучка будет равна нулю. Отметим,
5-2 + 3/-2-3/5-2 + 3/-2-3/
5-2 + 3/
-2-3/
5-2 + 3/
-2-3/
Рис. 5.10. Согласованная фильтрация пучка: а — фильтруемый пучок В = = {г, 1, — 1 — г}, б — пучок на выходе фильтра Н = {—2 — Зг; —2 + Зг; 4}
что ЭП является собственным сигналом любого линейного фильтра и поэтому он проходит через фильтр без деформации, но с измененным масштабом и повернутым на некоторый угол. В то же время, если фильтр согласован с ЭП П^, то при фильтрации пучков П/, / / j, других порядков, выходной сигнал фильтра равен нулю. Это следует из того, что ВКФ ЭП всюду равна нулю. Согласованный фильтр формирует меру схожести эталонного и фильтруемого сигналов и в этом плане на его основе решаются задачи обнаружения, распознавания и оценки параметров зашумленных пучков. Алгоритмы решения этих задач не отличаются от аналогичных алгоритмов для зашумленных контуров (см. гл. 4).
Специальные операции обработки пучков
Особенности пучка как зашумленного сигнала. Полярная система отсчета, в которой задается пучок, обуславливает его некоторые особенности как зашумленного сигнала. Рассмотрим случай, когда зашумленный пучок формируется из эталонного в результате действия ошибок измерения координат точек множества S = {£(^)}0^-1, за” дающих пучок В.
Предполагаем, что такие ошибки для каждой из точек £ (п) независимы, подчиняются нормальному закону распределения вероятностей с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением ^Re — ^im = (т, а зашумленный РВ £ (n) = £1 (п) + г£2 (тг) является суммой эталонного 0 (п) = /31 (п) + г02 (и) и шумового < (n) = q (п) + + К2 (тг), п = 0,1,... , к - 1, радиус-векторов (рис. 5.11). Выражение для плотности распределения вероятности модуля |е(п)| и аргумента ^ (п)
Рис. 5.11. Диаграмма суммы радиус-вектора эталонного пучка с шумовым радиус- вектором
зашумленного РВ £ (п) в данном случае имеет вид
J(|£(П)1) = кНехр/ н< _£Ш./VkWkw), (5.5.1) ст(2(72 J у ст у
/ (^) = — -—V^q (n) cos [^ (n) — р (n)]] х
2тг L J
х ехр | il^l^S^til^—^А1})! ^ Ф (g (n) cos [^ (п) — р (п)]), (5.5.2) где Iq (•) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента, Ф (ж) = (1/V2tt) J ехр {—z2/2}dz — интеграл вероятностей, g(n) = = |/3(71)|/(7.
Выражение (5.5.1) при принятых условиях представляет собой распределение Релея-Райса. Оба распределения / (|е (п)|) и / (^ (п)) при g^> 1 нормализуются, причем первое из них при этом характеризуется параметрами (д(п),(т2), а второе — параметрами (^ (п), ст2). При q(n) «С <С 1 первое распределение переходит в распределение Релея, а второе — в равномерное [177].
Степень различия эталонного /3 (п) и зашумленного £ (n) РВ зависит при заданном значении среднеквадратического отклонения ст ошибки измерения координат точки А (рис. 5.11) от величины q (п), играющей роль отношения сигнал/шум для зашумленного вектора £ (п). Действительно, чем больше модуль РВ /3 (п), тем меньше, при фиксированной величине ст, угол Уф (п) — р (п)| и разница между модулями |/3 (п)| и |е (п)|. Аналогичная зависимость наблюдается и при уменьшении дисперсии ошибки измерения координат точки А. Отсюда следует, что каждый РВ /3 (п) эталонного пучка В определяет со своей стороны величину отношения сигнал/шум для зашумленного РВ £ (п) пучка Е: при одинаковой для всех РВ пучка В дисперсии ошибок ст2 измерения координат их концевых точек отношение
сигнал/шум q для каждого РВ пропорционально его модулю. Как следует из выражения (5.5.2), при больших значениях \3 (п)| уменьшается вероятность больших значений угла |^ W — ^(п)|. Это означает, что падает вероятность выполнения одного из следующих неравенств:
1^ W - 95 (n)l ^ ly (n + 1) - <р (п)|, (5.5.3)
№ (”) - Р («)| ^ I99 W - Ф (п - 1)1, (5-5.4) связанных с нарушением порядка следования РВ /3 (?г Ч-1) и /3 (п) или РВ 3 (п) и 3 (п — 1). Если такое событие имеет место, то при разной длине этих РВ существенно меняется математическое описание зашумленного пучка по отношению к эталонному, что может привести к увеличению ошибок распознавания пучка.
Таким образом, характерная особенность пучка состоит в том, что его РВ могут характеризоваться различными значениями отношения сигнал/шум. Достаточно иметь в составе пучка либо один РВ с небольшим значением модуля, либо два РВ с очень близкими значениями аргумента, как из-за ошибок измерения координат концевых точек его РВ происходит не только изменение параметров этих векторов, но и значительно повышается вероятность нарушения порядка следования РВ.
Проблема нумерации радиус-векторов зашумленного пучка. Данное в п. 5.1 определение пучка, как совокупности РВ, соединяющих точку полюса Р с точками Е = {£ (п)}0 к-1 упорядоченного множества, позволяет однозначно задать лишь эталонный пучок В. При этом номер п текущего РВ 3 равен номеру текущей точки £ (п) множества Е. Когда в нашем распоряжении имеется зашумленный пучок Е = B^s^ + Z, то информация об упорядоченности концевых точек его РВ отсутствует.
Наиболее просто можно решить проблему нумерации РВ пучка Е при условии естественного порядка следования РВ пучка В. Естественным назовем такой порядок следования РВ, при котором два РВ 3 (п) и 3 (О имеют соседние номера, т.е. 3 W — 3 W и 3 (0 = 3 (™ + 1), если угол Д^ (тг) между ними имеет минимально возможное для данного пучка значение:
м („) = Д»„, = [„со, Щ§П^| | • (5.5.5) п, I = 0,1,... , к — 1, п = I.
В соответствии с данным определением естественного порядка при графическом представлении пучка РВ 3 (^) и 3 (п + 1) непосредственно следуют друг за другом в направлении часовой стрелки.
На рис. 5.12, а в качестве пучка с естественным порядком следования ЭВ показан центрированный пучок
В = {4 + 4г; 1; 5 — г; 1 - 5г; -3 - Зг; -5 - 2г; -2 + г; -1 + 6г}.
Номер концевой точки текущего РВ совпадает с номером этого РВ при обходе по часовой стрелке. На рис. 5.12, б показан тот же пучок, но вектор смещения полюса для него равен уже не нулю, а единице:
В = {5 + 4г; 2; 6 — г; 2 — 5г; —2 — Зг; —4 — 2г; —1 + г; 6г}.
Рис. 5.12. К определению естественного порядка следования РВ в пучке: а — центрированный пучок фо = 0); б, в — децентрированные пучки соответственно с вектором смещения полюса /5о = 1 и /Зо = -7г
Здесь обход по часовой стрелке также приводит к правильной нумерации точек множества Е = {£(п)}07. На рис. 5.12, в показан этот же пучок В, но с другим вектором смещения Ро = —7г:
В = {4 + Иг; 1 + 7г; 5 + 6г; 1 + 2г; -3 + 4г; -5 + 5г; -2 + 8г; -1 + 13г}.
Если РВ этого пучка пронумеровать в естественном порядке их следования, то код пучка будет равен
В = (4 + Иг; 1 + 2г; 5 +6г; -5 + 5г; —3 + 4г; -2 + 8г; -1 + 13г; 1 + 7г}.
В этом случае только подчеркнутые РВ сохранили соотвествие своих номеров номерам точек множества Е исходного ГРТО. В результате произошедшего нарушения РВ мера схожести в виде НСП пучка с самим собой снизилась от единицы до 0,87.
Из приведенных примеров видно, что естественный порядок нумерации не инвариантен к изменению положения полюса Р пучка. К такому же эффекту перепутывания номеров РВ приводит зашумление сигнала, например, из-за ошибок определения положения точек. Возвращаясь к показанному на рис. 5.12, а центрированному пучку В, отметим, что в нем наиболее вероятно событие перепутывания. РВ Р (1) = 1 и /3 (2) = = 5 — г. В результате этого мера схожести в виде НСП пучка с самим собой падает с единицы до 0,9. К нарушению естественного порядка следования РВ зашумленного пучка по сравнению с эталонным пучком приводят также такие события, как пропуск некоторых точек ГРТО и появление ложных отметок.
Учитывая простоту естественного подхода к нумерации РВ пучка, целесообразно исследовать устойчивость аналитического описания пучка к воздействию ошибок измерения координат точек, задаваемого множеством Е. Кроме того, необходимо также рассмотреть и другие подходы к нумерации точек этого множества. Если полученные при этом номера точек будут совпадать с номерами точек эталонного множества, то проблема правильной нумерации РВ пучка с произвольным порядком их следования снимается.
Коэффициент устойчивости аналитического описания пучка при естественном порядке следования радиус-векторов. Как уже отмечалось в п. 5.5.2, из-за ошибок измерения положения точек множества S в зашумленном пучке по отношению к эталонному может нарушаться естественный порядок следования РВ. В результате их перепутывания изменяется аналитическое описание пучка. Чем сильнее два соседних РВ отличаются по величине модуля, тем больше изменяется это описание. А чем меньше модуль РВ /3 (п) и угол Д-0 (п) = arg/3 (п + 1) — arg/3 (п) между соседними РВ, тем вероятнее это событие. Отсюда следует, что помехоустойчивость пучка зависит от его формы. Наиболее помехоустойчивой формой, а, следовательно, наиболее устойчивым к воздействиям помех аналитическим описанием обладают ЭП (см. п. 5.2.2 и рис. 5.4). В этих пучках соседние РВ разнесены на максимально возможный угол, равный 2ir/k, а их модули одинаковы. Произвольные пучки такими свойствами не обладают. В связи с этим для количественной характеристики устойчивости аналитического описания пучка введем коэффициент устойчивости kst (КУП). КУП равен вероятности события, состоящего в сохранении естественного порядка следования РВ пучка при воздействии ошибок измерения с дисперсией а2 = 1:
kst ~ 1 Pconf 5
где pconf — вероятность нарушения порядка следования РВ из-за их перепутывания.
Определим вероятность pConf нарушения порядка следования двух произвольных РВ, например (3 (j) и (3 (Г) (рис. 5.13).
Нормальным порядком следования будем считать такой порядок, при котором ^ji = Ф U) — Ф W ^ 0. Для нахождения вероятности pConf необходимо определить плотность распределения вероятности случайной величины Д/фр. Учитывая, что закон распределения вероятностей р ^ф) разности двух случайных величин ф (j) и ф (/) вычисляется через свертку законов распределения этих величин, запишем
/(Д^) = j fp(n (^) fo^ (^ + Д^) йф,(5.5.6)
где /^(у) (V>) и /^(j) (^) — плотность распределения вероятности аргу-
Рис. 5.13. Диаграммы двух РВ пучка: а — нормальный прядок следования РВ /3 (j) и Р (I), б — нарушение порядка следования из-за перепутывания РВ
ментов соответственно РВ /3(j) и 0(1), задаваемых выражением (5.5.2). Вероятность pConf нарушения порядка следования РВ 0 (j) и 0 (I) находится путем интегрирования плотности вероятности / (Д^) на интервале от —тг до 0, т.е.
о
Pconf = | /(А^)^. (5.5.7)
Ниже, в табл. 5.1 приведены зависимости КУП, полученные теоретическим и экспериментальным путями для ЭП (к — 1)-го порядка размерностью к = 20, 30, 40. ЭП этого вида имеют естественный порядок следования (нумерации) своих РВ. Как уже отмечалось ранее, из-за
Таблица 5.1. Значения коэффициента устойчивости элементарного пучка
Размерность пучка, к
Величина модуля радиус-вектора
10
20
30
40
50
20
расчет
0,759
0,99983
1
1
1
эксперимент
0,741
1
1
1
1
30
расчет
0,113
0,95500
0,99978
1
1
эксперимент
0,081
0,963
1
1
1
40
расчет
0
0,586
0,983
1
1
эксперимент
0
0,594
0,981
0,99973
1
равной длины РВ и максимально возможного угла между соседними РВ элементарные пучки обладают наибольшей помехоустойчивостью. Поэтому приведенные значения kst являются верхней границей КУП для пучков размерностью к.
Рассмотрим влияние операции децентрализации пучка на величину его КУП. Когда положение полюса варьируется в пределах окрестности пучка, возникает значительный параллакс точек. В результате радиус- векторы и их взаимное расположение для пучков произвольной формы меняются в широких пределах. Поэтому выявление тенденции зависимости КУП от величины модуля |/Зо | вектора смещения полюса целесообразно проводить на пучках определенной формы, например, элементарных пучках. При децентрализации пучка по мере роста модуля |/?о| увеличивается модуль каждого РВ пучка. Это приводит к росту отношения сигнал/шум, что способствует повышению помехоустойчивости пучка. Но, с другой стороны, в результате децентрализации уменьшается угол Д^ между РВ пучка (рис. 5.8). Этот фактор влияет отрицательно на помехоустойчивость пучка. В конечном счете, превалирует второй фактор, так как центрированный пучок имеет максимально возможное значение kst. Поэтому в результате децентрирования КУП пучка уменьшается. На рис. 5.14, а приведен график зависимости kst от модуля вектора |/Зо| для ЭП третьего порядка для к = 4. На рис. 5.14, б и в показаны представления этого пучка для некоторых значений |/Зо|. Как видно из графика, при
303030303030
303030
303030
0о=10о=20о=5
Рис. 5.14. Децентрализация пучка П = {1 4- г, 1 — г, — 1 — г, — 1 4- г}: а — зависимость коэффициента устойчивости пучка от модуля вектора смещения полюса; б, в — изображения центрированного и децентрированного пучков
|/Зо| = 1 величина A:st минимальна.
При данном значении |До| модули двух РВ пучка, а, следовательно, и отношение сигнал/шум для них имеют наименьшие значения, равные единице (рис. 5.14, в при |/3q| = 1) Если данный пучок сильно децентриро- вать, например, если |/3o | = Ю0, величина kst = 0,24.
Один из подходов к повышению помехоустойчивости пучков состоит в исключении из их состава РВ с низким отношением сигнал/шум. Для этого с центром в полюсе формируется в виде окружности окрестность. Радиус окружности определяется значением дисперсии ошибок измерения положения множества В и допустимым отношением сигнал/шум в РВ пучка. Все точки в пределах данной окружности исключаются из состава как эталонного, так и зашумленного пучков. Например, исключение РВ /3 (1) = 1 в пучке на рис. 5.12, а повышает величину КУП с kst = 0,36 до kst = 0,82, а дополнительное исключение РВ (3 (6) = —2 + г — до kst — = 0,91. Подобная процедура целесообразна лишь при высокой дисперсии ошибок измерений, поскольку исключаемые точки обладают высокой информативностью.
Некоторые подходы к решению проблемы нумерации (упорядочения) точек ГРТО
Как было отмечено в п. 5.5.2, если нумерация РВ пучка производилась не на основе естественного подхода, обработка зашумленного пучка должна начинаться именно с этой процедуры. Затем по известному правилу смены номеров РВ в эталонном пучке можно построить зашумленный пучок и приступить к его обработке. Задачу нумерации точек множества В поставим следующим образом.
Пусть Е = {€(0}ofc-i — множество заданных в плоскости сцены точек с координатами {£1 (Z), £2 (Z)}0 k-v Первичный номер Z, Z = 0,1,... ... , к — 1, присваивается точке по какому-либо стандартному правилу, одинаковому для всех рассматриваемых классов пучков, например, в порядке появления точки при строчном сканировании сцены (рис. 5.15, а). Понятно, что при повороте сцены каждой точке множества S будет присваиваться другой номер (рис. 5.15, б).
Рис. 5.15. Присваивание первичных номеров точкам множества при строчном сканировании сценыРис. 5.15. Присваивание первичных номеров точкам множества при строчном сканировании сцены
Рис. 5.15. Присваивание первичных номеров точкам множества при строчном сканировании сцены
Рис. 5.15. Присваивание первичных номеров точкам множества при строчном сканировании сцены
Необходимо, используя закономерности взаимного расположения точек множества Е, присвоить каждой из них номер m, m = 0,1,... ... , к — 1, значение которого инвариантно к повороту, изменению масштаба и переносу точек, а также устойчиво при изменениях, в определенных пределах, положений точек, вызванных ошибками измерения их координат (координатным шумам). Подобная процедура проводится для эталонного и зашумленного множеств. Когда дополнительно известно правило, по которому РВ эталонного множества присваивается номер п, то появляется возможность пронумеровать и РВ зашумленного пучка. В результате номера РВ /3 (тг), п = 0,1,... , к — 1, будут отличаться от номера соответствующего РВ е (п + d) зашумленного пучка на константу d. Если, дополнительно, оговорено правило выбора нулевого РВ /3(0), то номера РВ в эталонном и зашумленном пучках можно сделать идентичным. Из приведенного описания задачи нумерации видно, что она представляет задачу идентификации точек зашумленного и эталонного множеств при их принадлежности к одному и тому же классу.
Нумерация точек в системе отсчета с началом в центре тяжести. Это наиболее простой способ нумерации точек зашумленного пучка. Он заключается в следующем.
Определяется центр тяжести О множества точек Е = {£ (Z)}0 к-1.
Строится пучок с полюсом, совмещенным с точкой О.
Выбирается РВ с минимальным (или максимальным) значением модуля и обозначается как (3 (0).
В естественном порядке следования производится нумерация всех остальных РВ пучка.
Если нумерация РВ эталонного пучка была осуществлена не в естественном порядке, а по другому правилу, то с учетом этого правила производится перенумерация РВ зашумленного пучка.
Выбор центра тяжести в качестве полюса зашумленного пучка оправдан тем, что дисперсия флуктуаций его положения в п раз меньше дисперсии ошибки измерения положения любой из точек £ (п), п = 0,1,... , к — 1. При к > 10 случайность положения точки О по сравнению с флуктуациями точек £ (п) может практически не приниматься во внимание. Специфичным недостатком данного метода является высокая вероятность ошибочной, по сравнению с эталоном, нумерации для случая, когда соседние РВ сильно различаются по модулю. Кроме того, ошибка нумерации возникает также при пропуске точки или появлении ложной отметки.
Алгоритм «Минимальное дерево». Рассмотрим задачу упорядочивания множества точек как задачу минимизации длины сети, связывающую заданное количество точек кабелем минимальной длины [204]. Пусть в результате наблюдения к точек произведена их первичная нумерация и построена матрица расстояний R. Элемент R^ l,j = 0,1,... , А; — 1, матрицы равен расстоянию между точками £ (Z) и £ (jy Кроме того, получена матрица геометрии П, элементы ш^ которой представляют собой РВ, проведенные из точки £ (iy как из полюса, к точке £ (jy Элементы матрицы R являются модулями соответствующих элементов матрицы П. Эти матрицы имеют вид
R =
■ 0 Rio
Roi
0
R02•
R12•
• • НоД-1
• • Rl,k-1
Rk-1,0
" 0
Rk-гд
^01
Нк-1Д •
^02• ■
0 .
■ •^0,fc-l
(5.6.1)
И =
^10
0
^12• -
• • ^i,k-i
^fc-i,i
^fc-1,2
0 .
Построение минимального дерева может быть начато с произвольной точки, т.е. для этого может быть использована любая строка матрицы расстояний. Выбранная начальная точка £ (Z) соединяется с ближайшей к ней точкой £ (j) . Элемент Rij должен быть минимальным в Z-й строке матрицы R. В этом случае u?ij является первым ЭВ минимального дерева. Точки £ (Z) и £ (j) образуют упорядоченное подмножество N, а остальные (к — 2) оставшиеся точки — неупорядоченное подмножество М. Дальнейшее упорядочение происходит за счет поочередного включения в подмножество N точек из М по правилу
и = arg mint minRmn >, т Е М, n Е N,m I m J
где г) — номер последующей точки минимального дерева, arg — оператор взятия аргумента £ ^иУ Отметим, что для определенности в качестве на-
чальной точки минимального дерева можно выбрать точку, ближайшую к центру тяжести множеств ГРТО, либо к началу системы отсчета.
Упорядочивание точек на основе алгоритма объективной группировки «Спектр» [132]. В соответствии с данным алгоритмом в качестве нулевой точки может быть выбрана произвольная точка множества S. Для определенности точкой £ (0) будем считать ближайшую к ее центру тяжести. Первой точкой, т.е. точкой £ (1), будем считать ближайшую к точке £(0). Далее находится точка £01, являющаяся центром тяжести системы точек £ (0) и £ (1). Второй точкой £ (2) будет точка из неупорядоченного подмножества М, ближайшая к точке £0 Р Затем находится центр тяжести £0 1 2 системы точек £ (0), £ (1), £ (2) и ищется в качестве третьей точка £(3), ближайшая к этому центру тяжести. В связи с тем, что положение центра тяжести системы точек устойчиво к ошибкам измерения положения точек ГРТО, следует ожидать большую помехоустойчивость рассмотренного алгоритма по сравнению с алгоритмом минимального дерева.
Пример. На рис. 5.16 приведено изображение из семи точек. Начало системы отсчета находится в точке Р. РВ, проведенные из полюса Р к этим точкам, при первичной нумерации путем строчного сканирования сцены образуют пучок В = {5 + 11г; 10 + 11г; 1 + 2г; 15 + 8г; 24 + 8г; 15 + Зг; 21 + Зг}. Центр тяжести точек находится в точке О, характеризующейся РВ Д = 13 +
Рис. 5.16. Изображение ГРТО с нумерацией точек, получающейся при строчном сканировании кадра
+ 7,57г. Ниже, в табл. 5.2, указаны номера точек, получающиеся при использовании описанных выше подходов. Из табл. 5.2 видно, что первичная нумерация точек в результате применения этих подходов не сохранилась. Точка, первично занумерованная в качестве третьей, стала нулевой, а номера остальных точек полностью нигде не совпадают.
Таблица 5.2
Первичная нумерация точек
0
1
2
3
4
5
6
Номера точек в естественном порядке
5
6
4
0
1
3
2
Номера точек минимального дерева
3
2
4
0
6
1
5
Номера точек по алгоритму
группировки
5
4
6
0
3
1
2
На рис. 5.17 приведены результаты статистического эксперимента по определению наиболее устойчивого к координатным шумам метода нумерации точек пучка, показанного на рис. 5.16. Приведенные графики представляют собой зависимости ве-
Рис. 5.17. Результаты эксперимента по оценке устойчивости методов нумерации концевых точек пучка, приведенного на рис. 5.16, при нумерации точек в естественном порядке (а), по методу минимального дерева (б), по алгоритму «Спектр» (в)
роятности рр ошибочной нумерации точек от СКО координатного шума для каждого из трех подходов. Число экспериментов для получения одной точки графика равно 105. Как видно из графиков, наилучшей является нумерация РВ пучка, проводимая в естественном порядке и по алгоритму «Спектр». Оба этих подхода характеризуются вероятностью ошибочной нумерации порядка рр = Ю-4 при СКО координатного шума <т = 0,09. При этом же уровне шума метод минимального дерева обеспечивает Pf = 0,17, т.е. значительно уступает в эффективности первым двум.
Аналитическое задание пучков в трехмерном пространстве
Кватернионное представление пучков. Пусть OABCD — заданный на сфере единичного радиуса пространственный пучок с радиус- векторами ОА, ОВ, ОС и OD (рис. 5.18). Подобные пучки будем обозначать прописными латинскими буквами Q, Р, С и др., а входящие в их состав РВ — соответствующими строчными буквами с указанием их порядкового номера. Пространственный пучок в самом общем виде записывается как Q = = ^q (тг)}0 5-1, где s — его размерность. Далее такой пучок будет рассматриваться как кватернионный сигнал (КТС). Каждый РВ q (п), задающий точку на сфере единичного радиуса с угловыми координатами а(п) и /3(п), где сх(п^ и /3(п) — соответственно углы в горизонтальной и вертикальной плоскостях, пеленг и угол места, описывается векторным кватернионом
Q(n) = cos0(n) cosa(n) • г + cos/3(n) sina(n) • j + sin/3(n) • k, (5.7.1)
Аналитическое задание пучков в трехмерном пространстве 205
а сам пучок — в виде
Q = {cos/3(n) cosа(п) • г + cosР(п) sina(n) • j + sin/3(n) • k^o s-i.
’ (5.7.2)
Здесь i^k — мнимые единицы, правила умножения которых задаются следующими таблицей и схемой [150]:
(5.7.3)(5.7.3)
(5.7.3)
(5.7.3)
В отличие от умножения комплексных чисел операция умножения кватернионов, как следует из (5.7.3), является некоммутативной: ij = — ji, ik = —ki, jk = —kj. Кватернион тесно связан с комплексными числами и выражается через них [150]. Его можно представить как сумму двух комплексных чисел, одно из которых берется с весом, равным мнимой единице. Для кватерниона q = go + iqi + jq2 + kq^, qo, qi, q2 и q3 — вещественные числа, входящего в состав эталонного (исходною) сигнала, эти комплексные числа обозначим через t и w, а для кватерниона в составе принятого сигнала, подвергшегося преобразованиям — через и и v.
Верхний индекс при каждом из этих чисел будет обозначать мнимую единицу, которая используется в данном комплексном числе. В дальнейшем будем пользоваться следующими тремя комплексными представлениями кватерниона q;
— первая комплексная форма, или г-представление:
q = t^-V-w^-j, где t№ = q0 + qx * i и w^ = q2 + ^3 • г; (5.7.4)
— вторая комплексная форма, или j-представление:
q — t^A-w^-k, где t^ = qQ + q^ * j и w^ = q^ + qx • j; (5.7.5)
— третья комплексная форма, или ^-представление:
q = t^ + w^ • г, где t^ = q0 + qs * j и w^ = qx + q^ • j. (5.7.6)
Целесообразность задания таких представлений кватерниона связана с возможностями использования аппарата контурного анализа при обработке КТС Q = tiM}os-i, а также в проведении коммутативного умножения t^ и w^ на х + гу, и w^ — на х + зу, № и w^ — на х + ку, где х и у — произвольные вещественные числа.
Для каждой из введенных комплексных форм можно задать представление кватерниона в показательном или в тригонометрическом видах. Например, для первой комплексной формы
q = t^ + w^ • j = \t^ I exp {гу?} + |w^^ | exp {г^} • j =
= |^г) | (cos ip + % sin ^ + Iw^ I (cos ф + г sin ^) * j =
= \t^ I cos <p + i • \t^ I sin tp + 3 • Iw^ I cos ^ + к • |w^| sin ^, (5.7.7) где tp = arg<W, ф = argw^.
Трем формам представления кватернионов соответствуют три формы КТС:
Т^ = |f^ (п)}оT(fc) = hw (пЛТ^ = |f^ (п)}оT(fc) = hw (пЛQ = Т^ + W^ • 3 = Т^ + W^ • к = Т(А:) + W(/c) • г, (5.7.8) где
Т^ = |f^ (п)}о
T(fc) = hw (пЛ
Т^ = |f^ (п)}о
T(fc) = hw (пЛ
иW(^=,(5.7.9)
Иw(>)= (ww(n)|,(5.7.10)
I) O,s —1
ИWw= (w(fc)(n)),(5.7.11)
I) O,s —1
— комплекснозначные сигналы, свойства и анализ которых был рассмотрен выше. Выбор формы представления КТС зависит от того, вокруг какой оси, х, у или z, возможно вращение РВ кватернионного сигнала.
Пример 1. Показанный на рис. 5.18 КТС предсталяется в следующем виде:
Q = {0,5j + 0,86/с; 0,86г + 0,5А:; 0,86г - 0,5J; 0,5j - 0,86/с}.
Запишем три формы этого КТС в комплексном виде:
Q = Tw + Ww-j = {0;0,86г;0,86г; 0} + {0,5 + 0,86г; 0,5г; 0,5; 0,5 - 0,86i}j;
Q = Т0) + W№-k = {0,5J;0;0,5J;0,5j} + {0,86; 0,5 + 0,86г; 0,86г; -0,86} к-,Q = Т w + W w-г = {0,86fc; 0,5ft; 0; -0,86ft} + {0,5А:; 0,86; 0,86 + 0,5ft; 0,5Л:} г.
Приведенные выше соотношения носят общий характер и применимы к КТС, заданным не только на сфере. В следующих разделах данной главы будем пользоваться только первой комплексной формой представления кватернионов.
Таблица 5.3. Операции сопряжения для комплексных чисел и кватернионов
Комплексные числа
Кватернионы
•и = U1 4- Ш2
q = qo + iqi+ jqi + kq3
и* = U1 — Ш2
q* = qo - iqi - jq^ - kq3
(и + t)* = и* + f
Iq + pY = q* + p*
(и • ty = и* - Г
IqpY =p* -q*
и • i = i ’ и
u- j j -u
В табл. 5.3 даны сводки формул, связанные с операциями сопряжения комплексных чисел и кватернионов.
Скалярное произведение кватернионов
Умножение кватернионов, представленных в комплексной форме. Произведение заданных в комплексной форме двух кватернионов q = t + wj и р = и + vj, полученное с учетом некоммутативности для них этой операции, т.е. с учетом (5.7.3) и данных табл. 5.3, имеет вид q • р = (t + wj) (и + uj) = (ut — Vw) + j (uw* + D*t*) =
= (ut — u*w) + (u*w + ut) • j. (5.8.1)
Основной базовой операцией при линейной обработке сигналов является скалярное произведение, служащее мерой их схожести. К образованию скалярного произведения обрабатываемого и эталонного сигналов сводятся такие операции как разложение и фильтрация сигналов, а также получение их АКФ и ВКФ.
В действительном линейном пространстве Е скалярное произведение его элементов (векторов) вводится аксиоматически и обладает следующими свойствами [82]:
1-(Х,у) = (у,х);2. (x + y)z = (x,z) + (y,z);
((Ах), у) = А(х,у);4. (х,х)/0.
З^съ А — произвольное вещественное число.
В комплексном линейном пространстве С первая операция становится некоммутативной, так как (х, у) = (у,х)*. Но если первое свойство для
пространства Е записать в виде (х, у) = (у,х)*, что не меняет его вид, то свойства скалярного произведения в пространствах Е и С одинаковы. Ниже приведены формулы для вычисления скалярных произведений комплексных слагаемых и = u-i + Ш2 и t = ti + г!^ кватернионов.
(щ Z) = (t, u)* = (i*, u*) = и • t*
(u, t) = W1 • ti + ^2 • t2 — Ui • ^2 • ?■ + ^2 • ^i * ^(5.8.3)
(ll*, t) = Ui • ti — U2 • t2 — Ui • t2 • i — 112 • ti ' i.
Скалярное произведение представленных в комплексном виде кватернионов. Введем с учетом некоммутативности операции умножения скалярное произведение кватернионов q = t + wj и р = и + vj, обладающее свойствами (5.8.2):
(?,?) = (рлУ = q-P*-(5.8.4)
Так как для кватернионов имеют место распределительный и сочетательный законы, то выполняются также остальные приведенные в (5.8.2) операции:
((q + pM = (g,c)-r (р,с); ((Ag) ,р) = А (д,р);
(д, д) 0 при д0 /О, qx^ 0, д2 / 0, д3 0 0.' "
Здесь с = со + cii + С23 + c^k = I + т • j — еще один произвольно заданный кватернион. На основании выражений (5.8.4) и (5.8.5) скалярное произведение кватернионов q и р записывается следующим образом:
(q, р) = (t + wj, и + uj) = (t, и) + (f, ^j) + (wj, u) + (wj, uj).(5.8.6)
В табл. 5.4 приведены найденные с помощью табл. 5.3, формул (5.8.3), (5.8.4) и (5.8.5) выражения для слагаемых скалярного произведения (5.8.6).
Скалярное произведение (5.8.6), полученное на основании формул табл. 5.4, имеет вид
(Ч^Р) = (^1^1 + ^2^2 + WVUi + W2V2) +г (-till2 + t211i - W1U2 + w2vi) + + j (-tiWi + t2W2 + W1U1 " W2U2) + к (-^2 - ^2^1 + WCU^ + W2Ui) .
(5.8.7)
Квадрат модуля (нормы) кватерниона получается из выражения (5.8.7) при q = р:
(q, q) = kl2 = £i +12 + wi + wi = И2 + №•(5-8-8)
Таблица 5.4
x = Ж1 + гж2; У = ух + гу2
1.
(я.уз) = - (ж,у‘) -3 = -3 (ж*,у) = -з -х* - у*
2.
к®^^ = (ж,У*) 3=3 (ж*,у) = j - х* - у*
3.
к®3,уУ = U®. ЗуУ = (х,у) = х- у*
4.
U®,y) = з ($,у) = (у.хй = 3® • У*
5.
(xjJy) = (я, У*) = х • у
6.
и®,у:Г) = (ж*,у) = ®* - у*
На основании введенных определений для скалярного произведения и нормы можно записать выражение для квадрата расстояния между двумя кватернионами:
^p = k|2 + |p|2-2Re(9,p).(5.8.9)
Данное представление удовлетворяет всем аксиомам, введенным для такого рода мер [82]: 1) Rqq = 0. 2) Rqp = Rpq. 3) Rqp Rqc + Rcp.
Скалярное произведение кватернионных сигналов. Скалярное произведение двух КТС Р = U + Vj = {и (п) + d (n) j}0 5-1и Q = = Т + Wj = {f (n) + uj (n) j}0 s-1, выраженное через скалярные произведения составляющих их комплексных сигналов, имеет вид
(P,Q) = {U + VJ,T + WJ} =
= (U, Т) + (U, W .» + (V - J, Т) + (V - J, W • j). (5.8.10)
Скалярное произведение двух комплекснозначных сигналов U = = {и (п)}0,«-1 и Т = {t (n)}0 g_1 равно
S —1
(U,T) = £4(n)f(n).(5.8.11)
П=1
Используя приведенные в табл. 5.3 формулы сопряжения, для остальных слагаемых выражения (5.8.10) получим
(U, W •» = - (U, W*) • з - -з • (U*, W),
(V . з, Т) - (V, Т) . з - 3 • (V*, Т),(5.8.12)
(V • j, W •= U • V J • W) = (V, W).
Тогда скалярное произведение двух КТС можно представить через скалярные произведения комплексных слагаемых в виде
(Р, Q) - (U, Т) + (V, W) - з • [(U*, W) - (V*, Т)].(5.8.13)
Каждое из скалярных произведений, входящих в (5.8.13), находится аналогично скалярному произведению (5.8.11).
Ортогональный базис для спектрального анализа кватернионных сигналов
Метод удвоения [150] дает возможность получить на основе ортогонального базиса Фурье в виде элементарных контуров (см. п. 2.2) ортогональный базис для представления кватернионных сигналов. Запишем на основе (5.7.7) представление КТС в показательной форме:
Q = {|t (n)| exp Vv W}} + |w (n)| exp {г^ W}0,s-i-(5-9л)
Каждый из комплексных сигналов Т = {t (n)}0 S-1 и W = {w (n)}0 S-1 может быть разложен в базисе из элементарных контуров соответствующей размерности. Учитывая линейность данной процедуры, получаем следующее правило построения полного семейства элементарных КТС размерности s:
Qm — {^m (^)}o,s —1 — ^m ^~ "^m * 3 — ^*m (^ "^ ^) ’ m — 0, 1, . . . , S 1, ’(5.9.2)
где m — порядок ЭКС, Гт — элементарный контур размерности s,
гт = {7т (п)}0= (ехр {г^ттг}} , т = 0,1,... , s - 1.
’I IS ) ) 0,3 — 1
(5.9.3)
Таким образом,
Qrn = {?т (n)}^-! = {exp{iy7nn}(l+5)}Osi, (т = 0,1,... , s — 1.
Если элементарный вектор ^т (п) ЭК Гт записать в виде Чт (тг) = = 7im (^) + П2т М, то элементарный КТС можно представить как
Qm = {71m (^) Н- ^72т (^) Н” J71m (^) “Ь ^72т (^)}о,з —1‘(5.9.5)
Комплексные слагаемые элементарного КТС равны
Tm=Wm=Tm.(5.9.6)
Приведем для справки представления для элементарных КТС размерностей s = 2, 3, 4.
s = 2:
Qo = {1 + J! 1+j}, Qi = <1 + j;-1 - j}.(5.9.7)
s 3:
Qo = {i + j;i+j;i + j},
Qi = {1 + 5; -0,5 + 0,867г - 0,55 + 0,867k;
-0,5 - 0,867г - 0,55 - 0,867k},(5.9.8)
q2 = {1 + j- -o,5 - 0,867г - 0,55 - 0,867k;
-0,5 + 0,867г - 0,5J + 0,867k}.
s = 4:
Qo = {i + 5; 1 + j; i + 5;1 + iY Qi = {i + j;^ + *; -i - j; -* - k^Q2 = {1 +5; -1 - j; 1+5; -1 -5}, Q3 = {1 + 5; -i - ^; -1 -5;« + *}■(5.9.9)
Рассмотрим некоторые свойства ЭКС.
Замкнутость ЭКС. Сумма кватернионов, составляющих элементарный КТС порядка т, т = 1,2,... , s — 1, равна нулю:
3 — 1
52gm(n)=O, m = l,2,... ,s-l.(5.9.10)
n=0
Справедливость этого соотношения вытекает из аналогичных свойств элементарных контуров Гт, т = 1,2,... ,s — 1, и выражения (5.9.2), связывающего ЭКС с элементарными контурами.
Изометричностъ ЭКС. Квадраты норм элементарных КТС любого порядка размерности s одинаковы и, как следует из (5.9.2), равны ||Qm||2 = 2s, m = 0,l,... ,s-l.
Попарная ортогональность элементарных КТС:
{
2s при т = L
р ’(5.9.11)
О при т ф I-
Данное свойство следует из ортогональности элементарных контуров. Пронормируем каждый из элементарных КТС. Тогда
( 1 гл 1 гл АJ 1 ПРИ Ш = ^7 _ П 11
IQ/ I — \771, 1 — 0, 1, . . . , S 1.
\V2sV2s /10 при m^L
(5.9.12)
Отсюда следует, что полное семейство элементарных КТС размерности s задает ортонормированный базис, в котором может быть разложен произвольный КТС Q = {q (n)}0 s_r
Частичная сопряженность. Из свойства сопряженности элементарных контуров (см. п. 2.2) и выражения (5.9.12) следует, что
Q,_m = r;_m + r:_m.j, m = 0,1,... , s — 1.(5.9.13)
Это означает, что Qm и Qs_m будут сопряжены только по мнимым единицам г и к, а знак мнимой единицы j у них одинаков:
Qr^Q^, m = 0,1,... ,s-l.(5.9.14)
Верхний индекс при Q указывает по каким мнимым единицам надо проводить сопряжение.
Эргодичность компонент ЭКС. Элементарные контуры Гт, т = = 0,1,... ,s — l, обладают важным для обработки сигналов свойством эргодичности, основанном на равноправности переменных т и п в выражении (5.9.3): 7т (п) = 7П (т^ п, т = 0,1,... , s — 1. Аналогичное свойство характерно и для кватернионов, входящих в состав КТС: qm (n) = qn (m), n, m = 0,1,... ,5 — 1.
Свойство частичной сопряженности позволяет расширить количество равных между собой кватернионов, входящих в состав полного семейства элементарных КТС фиксированной размерности. При этом набор равных между собой кватернионов в пределах этого семейства имеет вид
Qm (n) = q^_* ) (п) = q^***'1 (s - m) = qn (m) =
= Qs-m = Qm’k'4s-n)- (5.9.15)
В частности, кватернионы qm (n) и qm (s — n) отличаются только знаками при мнимых единицах г и к.
Спектральные представления кватернионного сигнала
Спектр КТС Q — {q (тг)}0 5-1 определим как набор его проекций (координат) С = {c(tti)}Os_1 в ортогональной системе отсчета, задаваемой
полным семейством {Qm}o s-i элементарных КТС размерности s. При таком подходе m-я компонента с (т) спектра равна
c(m) = (Q,Qm), т = 0,1,... , s — 1.(5.10.1)
Используя представление кватерниона q (п) через комплексные слагаемые t (п) и w (п), выразим спектр С через спектры Pt = {pt (m)}o s-i и Pw — {Pw■ (m)}0 s_x этих слагаемых. Тогда
c (m) = (Т + W • j, Гт + Гт • j) =
= (T, Pm) - j (T*, Pm) + j (W*, Pm) + (W, Pm), (5.10.2)
m = 0,1,. .. , s — 1.
Учитывая, что pt (m) = (Т,Гт) и pw (m) = (W,Fm), получим c (m) = pt (m) + p„ (m) - j [p^ (m) - p^ (m)], где p^ (m) и p^ (m), m = 0,1,... , s — 1, — компоненты спектров T^*^ и W^*\ комплексно сопряженных со слагаемыми Т и W. Как следует из (2.4.15), р^ (т) = р* (з — т). Тогда
с (т) = pt (т) + pw (т^ - [pt (з - т) - pw (s - т^ • j. (5.10.3)
Таким образом, спектр КТС Q = ^q (n)}0 5-1 полностью определяется через спектр составляющих КТС комплексных сигналов.
Определим спектр элементарного кватернионного сигнала Qm, m = = 0,1,... ,s—l. Для данного случая ри (m) = pv (т^ = р (т\ Тогда
с (m) —- 2р (т).(5.10.4)
Поскольку спектр элементарного контура Гт содержит только одну ненулевую компоненту, равную р (т) = з, то спектр элементарного КТС в соответствии с (5.10.4) также будет состоять только из одной нс равной нулю компоненты с (m) = 2s и иметь вид
при I = т,|5105|
[О при I / т.
Пример 1. Найдем спектр КТС вида
Q — {^ (п)}о з — {1 + ~ 3"-> 2^ + j + к; — 2 + к; 1 — Зг — 2А:}.
Комплексные слагаемые Т и W и их спектры Рт и Pw для этого сигнала равны
Т = {1 + г; 2г; -2; 1 - Зг}, Рт = {0; 8 + 2г; -2 + 2г; -2},W = {-1; 1 + г; г; -2г}, Pw = {0; 2 - 2г; -2 + 2г; -4}.
Так как pt (0) = pw (0) = 0, то нулевая компонента спектра КТС также будет равна нулю, т.е. с (0) = 0. Для нахождения остальных компонент спектра воспользуемся выражением (5.10.3)
с(1) = pt (1) + Pw (1) - Ipt (3) - Pw (3)]j = 10 - 2j,c (2) = pt (2) + pw (2) = -4 + 4г,
с (3) = pt (3) + Pw (3) - Vpt (1) - pw (1)]3 = -6 - dj - 4k.
Спектр KTC равен С = {c (m)}0 3 = {0; 10 — 2J; —4 — 4j; —6 — 6j — 4Ц.
Найдем квадрат нормы ||C||2 спектра KTC:
s —1
iicii2 = 52c(m)-c* м =
m=0
s —1
= 52 [/’T (m) + Pw (m) - PT (s - m)^ + Pw(s- m) j] x m=0
x [pt (m) + Pw (m) + jpt (s - m) - jp^ (s - m)] =
- 252 [l^ (m)|2 + ^w (m)!2] = 2 (|1рт||2 + ||pw||2)- m=0
Учитывая, что ||W||2 = |11PW||2, ||W||2 = |||РШ||2 и ||Q||2 = ||T||2 + + ||W||2, получим
IIQII2 = ;||C||2.(5.10.6)
Данное выражение является аналогом равенства Парсеваля для КТС. Таким образом, спектр КТС полностью определяется через компоненты спектров его комплексных слагаемых. Определим обратное ДПФ как скалярное произведение вида
qH =(С, Q:), 71 = 0,1,... ,8-1-(5.10.7)
Пусть U и V — комплексные слагаемые кватерниона С = {c(n)}o,s-i, т.е. С = U + Vj. Тогда выражение (5.10.7) приводится к виду
^(c,Q:) = i(u+vj,r:_,.-jr„) =
= ^[(U, г;) (1 + » + (V, гп) (-1 + у)]. (5.10.8)
Скалярное произведение (и,Г*) = sF”1 (U) есть обратное с весом s ДПФ от комплексного слагаемого U, а (V, Гп) = Fn (V) — прямое ДПФ от комплексного слагаемого V. Тогда для кватерниона, получаемого в результате обратного ДПФ от КТС С = {c(n)}o,s-i, можно записать
q^ = i(C, Qn) = sF"1 (U) (1 + j) + Fn (V) (-1 + j),
n = 0,1,... , s — 1.
Пример 2. Найдем обратное ДПФ для КТС спектра из предыдущего примера С = {0; 10 — 2j; — 4 4- 4г; — 6 — 6j — 4kY Комплексные составляющие U и V равны U = {0; 10; —4+4г; -6}, V = {0; —2; 0; —6—4г}. Обратное ДПФ сигнала U (с весом s) и прямое ДПФ сигнала V имеют соответственно вид
{4г; 4 + 12г; -8 + 4г; 4 - 20г}, {-8 - 4г; 4 - 4г; 8 + 4г; -4 - 4г}.
Воспользовавшись выражением (5.10.7), получим
q(0) = 1 4- г — j, q(l) = 2г + j 4- k, q^ = — 2 4- к, g(3) = 1 — Зг — 2к.
В заключение данного раздела рассмотрим вопрос о разложении произвольного КТС Q = U 4- V • j = {qWIos-i в базисе из полного семейства элементарных КТС {Qm}o s-i — i^m (1 + ^)}о s-r Для этого выражение (5.10.7) запишем в виде
s —1
т=О
При переходе от кватернионов q (п) и qn (m) к КТС Q и Qm последнее выражение примет вид
s-l
Q = ^52 cHQm.(5.10.10)
2s
m=O
Отсюда следует, что произвольный КТС может быть представлен взвешенной суммой элементарных КТС с весовыми коэффициентами в виде кватернионов спектра разлагаемого сигнала.
Пример 3 Спектр КТС из примера 1 равен С = {с(п)}о,з = {0; 10 — 2j; —44-4г; — 6—Qj—4/с}. Представим данный сигнал в виде (5.10.10), т.е. в виде суммы Q = 0,125-{с (0) Qo4-c(l) Qi4-c(2) Q2+c(3) Q3}. Используя выражение (5.9.9) для элементарных КТС Qo, • • •, Qs, найдем слагаемые суммы
с (0) Qo = {0}0 3, с (1) • 8 • Qi = {12 4- 8j; 8г 4- Ш; -12 - 8у; -8г - 12£},
с (2) • 8 • Q2 = {—4 4- 4г — 4j — 4к; 4 — 4i-V4j — 4к;
—4 4- 4г — 4j 4- 4к; 4 — 4г 4- 4j — 4к^
с (3) • 8 • Q3 = {4г - 12J - 4к* -4 4- 12г 4- 4j; -4г 4- 12J 4- 4к; 4 - 12г - 4j}.
Проверка:
j[c(!)9i(0) + c(2)g2(0) + c(3)g3(0)] = 1 + г - j = g(0),
|[c(l)gi(l) + c(2)g2(l) + c(3)g3(l)] = 2г + j + к = g(l),
1 [с(1)91 (2) + c(2)g2(2) + с(3)д3(2)] = -2 + к = д(2),j[c(l)gi(3) + с(2)д2(3) + с(3)дз(3)] = 1 - Зг - 2k = д(3).
Корреляционные функции кватернионных сигналов
Отсчет ВКФ двух комплексных сигналов U = {w(n)}o,s-i и Т = = {f(n)}o,s-i равен скалярному произведению
s-l
т?и,т = (U, Т^) = ^2u(n)t*(n 4- d), d = 0,1,... , s - 1,(5.11.1)
s=0
где Т^ = {f(n + d)}o,s-i — комплексный сигнал со смещенным на d элементарных векторов началом. Тогда ВКФ двух кватернионных сигналов Р = U + V • j и Q = T + W • j, представленных суммой комплексных слагаемых, запишется как
t/p.q^) = (Р^, Q) = (U + V • j, T<d) + W^ . j) =
= (U, T<d)) + (U, W<d) • j) + (V • j, T^) + (V • j, W(d> - j\
Используя формулы из табл. 5.4, получим
^p,q(^) — ^и,т(^) + t/v,w(^) - j * h7u*,w(d) - W*,T(d)]-(5.11.2)
ЗдесьS_T
T]v,w№ = (V,W(d)) = ^v(n)w*(n + d),
n=0
s —1
W,w(d) = (V.WW) = £uWW- (5.11.3) n=0
s-1
- (V*,T^) = £ ”*№ + d\
n=0
Данные выражения позволяют найти ВКФ двух КТС, выраженных через комплексные слагаемые. При Q = Р и, следовательно, при U = Т nV = W, с их помощью можно вычислить АКФ кватернионного сигнала. В этом случае выражение (5.11.2) принимает вид
Лр№ = T]vM +4v(dVj ' fou-,v(<0 - »7v,u(d)],._.. .,
. n ,1(5.11.4)
a = 0,1,... , s — 1.
Рассмотрим корреляционные свойства элементарного КТС Qm, т = = 0, !,...§ — 1. Для таких кватернионных сигналов U = V = Т = = W = Гт и выражение (5.11.2) с учетом свойств АКФ элементарных контуров Гт (см. п. 2.8) принимает вид
Ят = {^q Jd)}0,s-i - 2^m = 0,1,... s — 1. (5.11.5)
Таким образом, АКФ элементарного КТС порядка т является чисто комплексной функцией и определяется элементарным контуром Гт такого же порядка.
Пример 1. Определим АКФ элементарных кватернионных сигналов размерности s = 4. Используя выражение (5.11.5) и значения элементарных контуров размерности s = 4 (см. (5.9.9)), получим:
Но = 8Г0 = 8{1,1,1,1}, Hi = 8Г3 = 8{ 1, -г, -1, г},Н2 = 8Г2 = 8{1, —1,1, — 1},Я3 = 8Г1 = 8{1, г, —1, —г}.
Определим выражение для ВКФ ^Qm.Qi W = (Qm, Qz) элементарных КТС, где Qm = Гт(г + j) и Qz = Гг(1 + j) В этом случае U = V = Гт, Т = W = Г/. Тогда выражение (5.11.2) запишется как
^Qm.Qi № = 277гт,г, <А d = 0,1, • ■ • , s - 1.
ВКФ элементарных контуров т?гт,гг (d), d = 0,1,... , s — 1, благодаря свойству попарной ортогональности этих контуров везде равна нулю. Поэтому
^Qm,Qr = ^Qm^Ad^o^-i = {O}o,s—1-
Таким образом,
_ f2s7m(d) при m = Z,,(5.11.6)
[О при т I.
Отсюда видно, что корреляционные свойства элементарных КТС целиком совпадают с корреляционными свойствами элементарных контуров соответствующего порядка. В частности, следует отмстить, что |7m(d)| = = 1, d, т = 0,1,... , s — 1, и поэтому модули всех отсчетов АКФ элементарных КТС одинаковы, т.е. они представляет собой жестко коррелированный сигнал.
Согласованная фильтрация кватернионных сигналов
Согласованный фильтр реализует на своем выходе смещенную на s отсчетов ВКФ двух сигналов. Один из сигналов служит эталонным и определяет ИХ фильтра, а второй является фильтруемым и для него в процессе фильтрации вычисляется набор мер схожести (близости) к эталонному сигналу. При этом один из параметров сигналов, фильтруемого или эталонного, варьируется в заданных пределах. Если фильтруемый и эталонный сигналы совпадают, то существует отсчет фильтра, равный энергии фильтруемого сигнала. Он является максимальным (пиковым) по отношению ко всем остальным отсчетам. Так как для вычисления энергии сигнала необходимо учесть все отсчеты входного сигнала, то пиковый отсчет является последним выходным отсчетом фильтра и поэтому смещен на s отсчетов по отношению к начальному. В п. 3.6 рассмотрены вопросы согласованной фильтрации дискретных комплексных сигналов. Согласованный фильтр для сигналов U = Iм (и))о.5-1 и Т = {t (п)}0 , вырабатывает текущий выходной отсчет т/и.т (d) следующим образом:
s-l
№,т № = (и, Т^1)} = £ u ^t* (п - d + s - 1),
Х 7(5Л2Л)
d = 0,1,... ,s-l, где
T(«-d-i) = ^n_d+s_ i)}0 g-1(5.12.2)
— комплексный сигнал со смещенным на s — d — 1 началом.
Поскольку кватернионный сигнал представляется суммой, в состав которой входят два комплексных сигнала, то целесообразно, учитывая правила (5.7.3) действия с мнимыми единицами г, j и к, представить согласованный фильтр для КТС как композицию двух согласованных фильтров для комплексных сигналов.
Поскольку Q = Т 4- W • j и Р = U 4- V • j, то в соответствии с (5.12.1) и (5.12.2) согласованный с КТС Q = {д (п)}0 5-1 фильтр должен выполнять операцию ’
т/о,р № = т?и,т № + gv,w № - j • [t/u*,w № - gv*,T (d^ = s —1s—1
= ^2 u (n) ^* (n “ d 4- s — 1) 4- ^2 ^ W w* (n “ d + s — 1) —n=0n=0
"s-lУ^ u* (n) w* (n — d 4- 8_n=0"s-lУ^ u* (n) w* (n — d 4- 8_n=0s —1"
"s-l
У^ u* (n) w* (n — d 4- 8
_n=0
"s-l
У^ u* (n) w* (n — d 4- 8
_n=0
— 1) - У^ D* (n)t* (n- d + s — 1)
n=0.
(5.12.3)
Данное выражение можно записать еще и следующим образом:
s—1s—1
t/qp (d) = У^ и (п) t* (n - d 4- 8 — 1) 4- У^ W w* (п ~ 4- 8 — 1) —
п=0п=0
s—1s—1
— У^ 3 • u* (n) w* (n - d 4- s — 1) 4- У2 3 ' ^* W ^* (^ — d 4- 8 — 1),
п=0п=0
(5.12.4)
s-l
^Q.P № — У^ [^ (^) + ^ (п) • j^t* (п - d 4- 5 - 1) 4- п=0
s —1
У^ [^ (n) — u (п) ' З^ш* (^ ~ d 4- 8 — 1). (5.12.5)
п=0
Таким образом, кватернионный согласованный фильтр представляет собой совокупность двух фильтров. Один из них согласован с комплексным сигналом Т, второй — с W.
При d = s — 1 выходной отсчет фильтра равен
s-l
^Q.P (s - 1) = 52 U (n) t* (n) + 52 y (n) w* (n) -
n=0
"s —1s —1'
(5.12.6)(5.12.6)У2 (n)w* w — У2v* (n) ^* ^
(5.12.6)
(5.12.6)
_n=0n=0.
В соответствии с (5.8.13) данный результат показывает, что в момент d = s — 1 фильтр вырабатывает отсчет в виде скалярного произведения КТС.
Если фильтруется согласованный сигнал, т.е. когда Р = Q, U = Т и V = W, выражение (5.12.4) принимает вид
s-ls-l
^Q W = 52 u ^ n* (n — ^ + s — 1) + 52 v W^* (ti — d-V s — 1^ — п=0n=0
"s—1s —1"
УУ w* (тг) v* (тг — d + s — 1) — 52 v* (n) u* (n “ d + s — 1) ,
_n=0n=0_
(5.12.7) d = O,l,... ,s- 1.
Нормированные выходные отсчеты кватернионного согласованного фильтра получаются при делении выходных сигналов на ||Q|| • ||Р||:
^’P-H^^^MPii’ d = 0,1,..., s-l. (5.12.8)
Нормы (модули) текущих нормированных отсчетов не превышают единицы, а если фильтруется согласованный сигнал, то
^.Н № =^.Н № =>7Q W _ % (d)||U||2.||V||2 IIQH2>7Q W _ % (d)||U||2.||V||2 IIQH2(5.12.9)(5.12.9)
^.Н № =
^.Н № =
>7Q W _ % (d)
||U||2.||V||2 IIQH2
>7Q W _ % (d)
||U||2.||V||2 IIQH2
(5.12.9)
(5.12.9)
(5.12.10)(5.12.10)и
(5.12.10)
(5.12.10)
^Q.h (s - 1) = I-
Пример LB качестве примера рассмотрим согласованную фильтрацию КТС Q = {1 + г - j; 2г 4- j + к; -2 + к; 1 - Зг - 2А:}.
Комплексные компоненты этого сигнала равны
U = {1 4- г; 2г; -2; 1 - Зг}, V = {-1; 1 + г; г; -2г}.
Расчетная формула (5.12.7) в данном случае принимает вид
зз
^Q W — 52 и (п) и* (п — d Л-3) Л- ^2 и (n) v* (п — d Л-3) — п=Оп=0
" 33'
УУ и* (п) и* (n — d 4- 3) — УУ и* (п) и* (п — d 4- 3)
_п=Оп=О.
J = 0,1,2,3.
Результаты фильтрации сигналов U, U*, V и V* равны
з| УУ и (тг) и* (п — d 4- 3) | п=О3|52 v ^ (п — d Л- 3. п=О3| УУ и* (тг) и* (п — d 4- 3) |з|УУ и* (тг) и* (тг - d 4- 3) j n=Oз| УУ и (тг) и* (п — d 4- 3) | п=О3|52 v ^ (п — d Л- 3. п=О3| УУ и* (тг) и* (п — d 4- 3) |з|УУ и* (тг) и* (тг - d 4- 3) j n=O2 4- 16г;-16; -22 4- 16г;-16; -22 - 2г; -4;2 - 2г; -4;3 + 5г; 9 4- г; —3 — 9г;3 + 5г; 9 4- г; —3 — 9г;
з
| УУ и (тг) и* (п — d 4- 3) | п=О
3
|52 v ^ (п — d Л- 3. п=О
3
| УУ и* (тг) и* (п — d 4- 3) |
з
|УУ и* (тг) и* (тг - d 4- 3) j n=O
з
| УУ и (тг) и* (п — d 4- 3) | п=О
3
|52 v ^ (п — d Л- 3. п=О
3
| УУ и* (тг) и* (п — d 4- 3) |
з
|УУ и* (тг) и* (тг - d 4- 3) j n=O
2 4- 16г;-16; -2
2 4- 16г;-16; -2
2 - 2г; -4;
2 - 2г; -4;
3 + 5г; 9 4- г; —3 — 9г;
3 + 5г; 9 4- г; —3 — 9г;
Обсуждение результатов
Точечные объекты, особенно групповые точечные объекты (ГРТО), представляют часто встречающийся на практике класс изображений. Ограниченность разрешающей способности датчиков в зависимости от условий наблюдения приводит к необходимости рассматривать в качестве точки изображения любого объекта — от пылинки до звезды. Хотя отдельную точку нельзя охарактеризовать формой, однако закономерности расположения точек ГРТО дают возможность рассматривать его как некоторый образ и говорить о его форме как о форме некоторого сплошного изображения, ассоциированного с ГРТО. В данной главе рассматривались вопросы представления ГРТО в качестве сигналов и применения для их обработки описанных ранее методов контурного анализа. Основной результат такого рассмотрения заключается в том, что методы обработки контурных сигналов распространены на сигналы в виде пучков радиус-векторов, соединяющих произвольно выбранный полюс Р с каждой из точек ГРТО.
Более конкретные результаты состоят в следующем.
Заданное на плоскости упорядоченное множество точек представляется в виде пучка комплекснозначных векторов, направленных из одной точки — полюса Р. Между этим пучком и замкнутым контуром из элементарных векторов, соединяющих точки множества, существует взаимно однозначное соответствие. Спектры контура и пучка полностью совпадают за исключением нулевой компоненты спектра, определяемой вектором, соединяющим центр тяжести множества точек с полюсом пучка.
Для заданных на плоскости пучков получен ортонормированный базис из полного семейства элементарных пучков. В этом базисе раскладывается произвольный пучок, причем проекциями пучка на базисные векторы являются компоненты его спектра Фурье. Элементарные пучки обладают свойствами, аналогичными элементарным контурам соответствующей размерности и порядка. Отличие между ними заключается в зависимости нормы элементарного пучка нс только от размерности к, но и от порядка j. Это вызвано тем, что радиус окружности, описанной вокруг элементарного контура, соответствующего элементарному пучку, с ростом j уменьшается.
Особенности пучка как зашумленного сигнала связаны с тем, что при одной и той же дисперсии координатного шума, вызванного ошибками измерения положения точек множества, каждый радиус-вектор характеризуется своим отношением сигнал/шум. Чем больше модуль радиус- вектора, тем выше это отношение. Поэтому радиус-векторы с небольшим значением модуля искажаются шумом, т.е. изменяются по модулю и величине аргумента, в значительно большей степени по сравнению с другими радиус-векторами. Специфическим результатом действия шумов является нарушение порядка следования радиус-векторов. Вероятность этого события увеличивается в ситуациях, в которых угол между соседними радиус-векторами имеет незначительную величину или когда соседние радиус-векторы в большей степени отличаются величинами своих модулей.
Поскольку длина радиус-векторов зависит от положения полюса пучка, то соответствующим выбором этого положения можно добиться примерного равенства величин модулей радиус-векторов и уменьшения вероятности перепутывания номеров радиус-векторов. Однако надо иметь
ввиду, что сильное децентрирование пучка при согласованной фильтрации приводит из-за увеличения нулевой компоненты коэффициента передачи к ухудшению отношения сигнал/шум на выходе фильтра.
Еще одной специфической операцией обработки пучков по сравнению с контурами является операция упорядочения (нумерации) точек подмножества. Экспериментальные исследования различных подходов к выполнению данной операции показали, что достаточно высокой помехоустойчивостью к перепутыванию номеров радиус-векторов пучка при его зашумлении обладает процедура присвоения очередного n-го номера тому радиус-вектору, который составляет наименьший угол с (п — 1)-м радиус-вектором.
Для множества пространственно расположенных точек получена модель в виде пучка векторных кватернионов. Введено с учетом некомму- тативности операции умножения кватернионов скалярное произведение двух кватернионов.
В связи с тем, что кватернион допускает представление в виде двух комплексных чисел, на кватернионные сигналы были распространены понятия спектра, авто- и взаимно корреляционной функций, согласованной фильтрации и получены попарно ортогональные элементарные кватернионные сигналы с монохроматичным спектром. Произвольный кватернионный сигнал разлагается в базисе из полного семейства элементарных кватернионных сигналов. Эти результаты позволили с единых позиций рассматривать обработку как контуров, так и ГРТО, заданных на плоскости или в трехмерном пространстве.
Задачи и упражнения
Для контура Г = {1 + г; 2; 5 — г; —2г 4- 2; —5 — г; —2; — 1 4- г; 2г} записать полярный код, когда положение полюса совпадает с положением центра тяжести и когда полюс смещен относительно центра тяжести в точку с координатами (10,5). Найдите спектры полученных пучков и проанализируйте влияние децентрирования пучка на вид спектра.
Найдите коды элементарных пучков для к = 5. Постройте полученные пучки. Проверьте их ортогональность.
Найдите импульсную характеристику согласованного фильтра для пучка В = {1 + 5г; 3; 4 - 2г + 1; -г; -5 + г; -3; -2 + 2г; Зг}.
Найдите отношение сигнал/шум для элементов пучка В = {1 +5г; 3; 4 — 2г +
1; —г; —5 + г; —3; —2 4- 2г; Зг} при ст = 2,5.
Пронумеруйте точки ГРТО пучка В = {1 4- 5г; 3; 4 — 2г 4-1; —г; —5 4- г; —3;
—2 4- 2г; Зг} в естественном порядке, по алгоритму «Минимальное дерево» и на основе алгоритма объективной группировки.
На примере кватернионов (1 4- г 4- j 4- к) и (2 — г — j — к) продемонстрируйте некоммутативность операции их умножения. Найдите их скалярное произведение.
Найдите г-, j-, ^-представления кватерниона Q = (2 4- Зг — 4j 4- 5к\
Найдите все элементарные КТС для s = 5.
На примере для s = 5 покажите свойства замкнутости, ортогональности, частичной сопряженности и эргодичности элементарных КТС.
Для кватернионного сигнала Q = {1 4- г 4- j; г 4- j 4- к; 1 4- j 4- к; 1 4- г 4- к^ найдите спектр, АКФ и результат согласованной фильтрации.
ЧАСТЬ II
ПРИМЕНЕНИЕ КОНТУРНОГО АНАЛИЗАВ ЗАДАЧАХ ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Введение
Достоинство методов контурного анализа в задачах обработки изображений и распознавания зрительных образов заключается в возможности решения этих задач с единых теоретических позиций. При этом изменение параметров положения, поворота и масштаба изображения слабо влияет на объем вычислений.
Вместе с тем эти методы применимы лишь в том случае, когда в нашем распоряжении имеются сами контуры, по крайней мере, локализована область сцены, в которой сосредоточены граничные точки (края, границы) конкретного изображения. Задача выделения контуров многоградационного изображения на статистически сложном многоградационном фоне эквивалентна задаче обнаружения двумерного сигнала на фоне шумов и других сигналов, играющих роль помех. Важность решения этой задачи не подлежит сомнению, поскольку при отсутствии линии контура нельзя применить описанные в части I методы.
Вопросам выделения контуров посвящена обширная литература (например, [4, 5, 9, 40, ИЗ]). В обзорной статье известного американского специалиста в области обработки изображений и распознавания образов А. Розенфельда подчеркивалось, что «до сих пор нет сколько-нибудь удовлетворительной модели краев областей цифровых изображений, хотя она была бы очень полезна при построении оптимальных операторов обнаружения границ» [112]. Данное утверждение в значительной степени отражает ситуацию с выделением контуров изображений на современном этапе. Часто используемые на практике методы формирования статистик для принятия решений, базирующихся на операторах Кирша, Собела, Робертса, Превитта и др., являются сугубо эвристическими. Отсутствие адекватных моделей сигналов и помех для большинства реальных сцен приводит к тому, что в общем случае неизвестны оптимальные решающие процедуры выделения контуров изображений. Такое положение вызвано значительно более сложной и разнообразной по сравнению со случаями обработки одномерных сигналов структурой сигналов и помех.
Ниже будет рассмотрен один из подходов к выделению контуров изображений в реальной сцене, базирующийся на гипотезе экспоненциальнокосинусной АКФ фоновых шумов и слабой информативности низкочастотной части спектра изображения. При данных допущениях, основанных на экспериментальных данных, для сцен определенного, но широко распространенного класса, решена задача обнаружения краев изображений с прямолинейными границами.
Инвариантность КСФ к преобразованиям переноса, поворота и изменения масштаба изображения наблюдается лишь при преобразованиях
уже оцифрованных изображений. Если же преобразованиям подвергается изображение до его ввода в ПНИ, то из-за нелинейного характера процедуры квантования линии в плоскости сетчатки, размерность получаемого контура оказывается случайной величиной. Данный фактор делает невозможной процедуру контурной согласованной фильтрации, так как вектор- контур Г, сформированный по эталонному изображению и определяющий ИХ фильтра, и фильтруемый вектор-контур N имеют разную размерность. Поэтому предварительно должна быть проведена операция эква- лизации (выравнивания размерностей) вектор-контуров Г и N. Следует заметить, что такая операция приводит к дополнительному зашумлению фильтруемого контура N, так как по своей сути является повторным квантованием сигнала.
Флуктуации амплитуд и фаз сигналов на входе датчиков изображений приводят, в конечном счете, к флуктуациям интенсивностей сигналов, формирующих цифровое изображение о; (mi, m2) в ОЗУИ ППИ. В результате получающиеся силуэтные изображения становятся многосвязными из-за образующихся полостей и разрывов, причем значительно искажается линия края (контура) (рис. Bill).
Рис. BILL Образование многосвязного бинарного цифрового изображения1 а — многоградационное изображение микросхемы, б — сформированное бинарное изображение
Разрушение из-за указанных факторов односвязной структуры цифрового изображения си (mi, m2), а также воздействие шумов и помех в области изображения приводят к тому, что вместо одного контура, описывающего форму исходного изображения s^yY мы получаем набор контуров пятен различной формы в пределах контура исходного изображения. Контурный анализ этих пятен не дает необходимой информации о классе обрабатываемого изображения. В данном случае целесообразно переходить к пространственным методам обработки, например, к бинарной пространственной согласованной фильтрации, или к выделению подозрительных областей сцены по признаку наличия сгущений и к другим методам, рассмотренным в [42].
Существенное влияние на возможность применения методов контурного анализа оказывает количество пикселов в составе изображения объекта. С уменьшением числа пикселов из-за искажения формы шумами дискретизации падает отношение сигнал/шум. Маскирующее влияние шумов дискретизации приводит к потере отдельных, в первую очередь, мелких деталей изображений, т.е. к потере информативных признаков формы в их контурах.
Необходимое количество пикселов связано с шириной спектра контура и должно выбираться исходя из теоремы Котельникова. Однако в целом ряде случаев оно определяется возможностями ППИ и применяемых датчиков изображений, например, шириной диаграммы направленности антенны РЛС.
В том случае, когда изображение зашумлено и (или) количество пикселов цифрового изображения меньше необходимого для неискаженной передачи формы объекта, эффективность распознавания становится функцией количества распознаваемых классов. При заданном алфавите классов на качество принятого при распознавании решения будут влиять информативные для каждого класса признаки, т.е. такие признаки, которые хорошо выражены в изображениях одного класса и слабо — в изображениях остальных классов. При этом в контурах изображений рассматриваемого алфавита классов могут присутствовать характерные фрагменты, которые сохраняются даже при незначительном количестве пикселов, составляющих изображение. Однако они не могут улучшить результаты распознавания в том случае, когда они являются общими для изображений всех классов.
Если информативные признаки связаны не с контуром, а с внутренней структурой изображения, то применение методов контурного анализа становится нецелесообразным, т.к. форма изображения при этом не несет достаточной информации для принятия решения о классе изображения. Как показывают экспериментальные исследования по распознаванию таких изображений, при условии одинаковой информативности ЭВ, задающих его контур и внутреннюю структуру, приемлемые для практики результаты получаются до тех пор, пока длины контуров внутренних областей не превышают 30-40% от длины внешнего контура.
Вредное влияние флуктуаций может быть снижено за счет процедур предварительного накопления изображений одного и того же объекта. Снижение одного из наиболее опасных помеховых факторов — шума зернистости в изображениях, получаемых в когерентном свете, достигается путем усреднения нескольких независимых изображений одного и того же участка поверхности. Рост эффективности от количества накапливаемых изображений наблюдается при этом до тех пор, пока число накапливаемых кадров не превысит ^ ^ 25 [107]. Улучшение формы сильно зашумленных контуров, в том числе и шумами квантования, может быть достигнуто в результате накопления контуров.
Во второй части монографии будут рассмотрены вопросы выделения границ изображений в реальных сценах со статистически сложными фонами. Обнаружители границ строятся на основе согласованно-избирательных фильтров (СИФ), подробный анализ работы которых проводится в гл. 6~8. Такие фильтры вырабатывают статистики для принятия решений об обнаружении изображений и их границ. СИФ является ква- зиоптимальным устройством и согласован с сигналом в области средних и высоких пространственных частот. Следующими вопросами, решение которых подробно рассматривается в девятой главе, являются структурный анализ формы изображений и распознавание изображений по их форме, задаваемой контурами. Десятая и одиннадцатая главы посвящены вопросам обработки точечных изображений. Здесь рассмотрены математические модели групповых точечных объектов (ГРТО), вопросы их обнаружения, локализации и распознавания.
Глава 6
ВЫДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Выделение границ как одна из задач сегментацииизображений
Сегментация является одним из способов группировки пикселов в сцене. Она проводится с целью разбиения сцены на части со сходными свойствами, например, на области с близкими значениями яркости. В ландшафтных сценах, характерной особенностью которых является сложный статистический характер яркости пикселов, сегментация проводится для разбиения сцены на статистически однородные части. Различным подходам к сегментации изображений посвящены обстоятельные обзоры [3, 4].
Границам изображений в полутоновой продискретизированной сцене соответствуют скачки яркости, как положительные, так и отрицательные. Эти скачки вызваны разницей средних уровней яркости фона и объекта (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Гистограмма яркости (а) и скачки яркости в области границы для изображений ярче фона (б), темнее фона (в)
Гистограмма яркости пикселов в этой области носит хорошо выраженный двугорбый характер. Фронту скачка яркости соответствует наименьшее по сравнению с фоном и изображением объекта число пикселов, что и приводит к провалу в центре графика гистограммы. Гистограммы яркостей, построенные в областях фона или в областях изображения объекта, не имеют таких хорошо выраженных максимумов. Поэтому ориентируясь на наличие провала в центральной части гистограммы яркостей или же на скачок яркости в пределах небольшого участка сцены, можно все пикселы этого участка разделить на три подмножества: фон, изображение объек-
та, граница фон/изображение. При таком подходе выделение граничных точек можно рассматривать как один из видов сегментации сцены.
Решение задачи выделения границы изображения объекта состоит из последовательности операций, основными из которых являются (рис. 6.2): сканирование сцены, обнаружение контура изображения и прослежива-
Рис. 6.2. Структура процесса сегментации границы изображения объекта
ние линии контура в условиях воздействия фоновых шумов, формирование кода контура и предварительная обработка контура. Коды контуров хранятся в ОЗУ контуров ПНИ.
В процессе сканирования сцены F с функцией яркости f (х, у) происходит перебор по определенному закону ее пикселей. Если только текущий пиксель не был отнесен к ранее обнаруженному изображению, то решается задача обнаружения начальной точки а^ контура нового изображения. Сцена F содержит изображения фона g (х, у) и объекта s (ж, у), а также флуктуационный шум п (х, у). Изображение з (х, у) имеет подмножество точек ^ (х^у), относящихся к границе Г = ^(х^у)^ объект/фон. Граница Г изображения з (ж, у) характеризуется двумерным скачком (перепадом) с функцией яр-s(x, р)
кости 7 (ж, у) (рис. 6.3)./
Пространственные положения то-/
чек границы Г сильно коррелирован
ны. Граница реального изображения,"
как уже отмечалось ранее, представляет непрерывную замкнутую одно-
витковую кривую. Каждая граничная Рис" 6'3' ^Щ^, ГраНИЦЫ точка имеет в качестве соседей две
других граничных точки. Поэтому информация о положении в сцене F хотя бы одной граничной точки, получаемая в процессе операции обнаружения границы, в значительной степени облегчает нахождение ее остальных точек, особенно если форма изображения априорно известна.
Часто переход фон/объект происходит на интервале нескольких пикселов и поэтому скачок яркости характеризуется крутым фронтом. Иногда из-за ухудшения освещенности в пограничной части объекта этот скачок становится пологим. В ряде случаев в области границы могут
находиться представляющие интерес отдельные точечные объекты. Тогда разрешение границы должно быть достаточно высоким, что приводит к увеличению протяженности скачка.
Утверждается [114, 21], что для решения задач обнаружения изображений функция яркости / (ж, у) имеет более сложный вид, чем его задает аддитивная модель сигнала и шума
/ (ж, у) = 3 (ж, у) + П (ж, у) , (6.1.1)
используемая при обнаружении сигналов на фоне белого шума. В качестве такой, более адекватной модели в работе [21] используется аддитивномультипликативная модель, имеющая с точностью до параметров смещения изображения з (ж, у) вид
/ (ж, у) = go + з (ж, у) + g (ж, у) П (ж, у), (6.1.2) где go — постоянная составляющая яркости, обеспечивающая неотрицательность функции / (ж, у). В ландшафтных сценах эта модель описывает локально однородное поле случайных значений яркости. Статистическая неоднородность вызвана медленно меняющейся детерминированной составляющей. Поэтому при обработке таких сцен сегментация производится с целью формирования локально однородной в статистическом плане областей («лес», «поле», «водоем» и др.)
Функция з(х,уУ х^у Е FSi изображения объекта, как и функция g(x^y) фона, является детерминированной функцией или реализацией случайного поля. Эти функции всегда имеют различные первые моменты, т.е. разные средние яркости. Поэтому переход от одной функции к другой, т.е. от фона к объекту или от объекта к фону, всегда сопровождается скачком яркости, расположенным в области границы фон/объект.
Несмотря на разнообразие законов распределения вероятностей значений фонового шума, их одномерные АКФ в сценах природных аэроландшафтов, вещательного телевидения и некоторых других классов в пределах локально однородной области хорошо аппроксимируются экспоненциально-косинусной функцией вида [116, 118]
R (О = °"вх ехР {-Q/O COS К, (6.1.3) где а^х — дисперсия фонового шума, а — декремент затухания непериодической, а /3 — круговая частота периодической составляющей АКФ.
В рамках аддитивной модели (6.1.1) решение об обнаружении изображения объекта принимается путем сравнения с порогом значения статистики, формируемой оптимальным фильтром с частотным коэффициентом передачи (ЧКП) [21]:
н (ш„, Шу) = ехР {-* (^ж0 + ШуУо)}, (6.1.4)
где Н (шЖ1шу) — преобразование Фурье от ИХ А (х^у) фильтра, S* (шЖ1шу) — комплексно сопряженный спектр функции з^уУ |7V (оЛе,^))2 — спектральная плотность мощности (энергетический
спектр) шума n^yY хо, уо — координаты центра тяжести изображения, С — нормирующий множитель.
В случае белого шума |7V (шж, wy)|2 = No = const, а сам фильтр становится согласованным с сигналом s (х, у) и формирует на своем выходе сигнал в виде ВКФ входного и эталонного сигналов. Если же энергетический спектр фона неравномерен, то оптимальный фильтр (6.1.4) можно представить последовательным соединением двух звеньев: фоноподавляющего (обеляющего) звена с ЧКП
Нфп(шХ1шу) = ———J(6.1.5)
и согласованного звена с ЧКП
Нс (Шх^у) = s ^Q^" ехр G^o + шуУо)У (6.1.6)
Фоноподавляющее звено является инверсным фильтром и служит для выравнивания спектра фона.
Рис. 6.4. Структуры оптимальных обнаружителей изображения объекта на фоне: а — с равномерным энергетическим спектром, б — с энергетическим спектром произвольной формы
В рамках аддитивно-мультипликативной модели (6.1.2), несмотря на ее значительно более сложный, чем у аддитивной модели (6.1.1), вид, ЧКП оптимального фильтра усложняется незначительно [21]:
н (шх,Шу) = .^^’^.г ехР {-’ (^жо + ШуУо)},(6.1.7)
где |G (шХ1Шу)\2 — энергетический спектр функции фона g^yY х0 и уо — координаты центра изображения объекта. Согласованное звено оптимального фильтра нс изменилось, а ЧКП фоноподавляющего звена стал равен
Нфп (шх, Шу) = ———2-(6.1.8)
[G^x,^)!
Задача обнаружения начальной точки контура изображения объекта в рамках модели (6.1.2) ставится аналогично задаче обнаружения самого объекта, только вместо функции яркости всего изображения s (х, у) обнаруживается наличие в смеси (6.1.2) функции яркости ^ (ж, у) толь-
ко границы Г. Обнаружитель, проводя анализ функции яркости / (х, у) сцены F, должен обоснованно выбрать одну из альтернативных гипотез: гипотеза I —
/ (ж, у) = go + 7 ($, у) + g (ж, у) • п (ж, у);
гипотеза II —
f(x,y) = g0 + g (ж, у) • п (ж, у).(6.1.9)
В начале анализа предполагается справедливость второй гипотезы, т.е. окно фильтра обнаружителя заведомо расположено в области фона. Фильтр обнаружителя начальной точки контура изображения должен содержать два звена (без учета фазового звена ехр {-г (шжх0 4- wyy0^Y фоноподавляющее и согласованное с формой скачка яркости на границе фон/объект (рис. 6.5).
Рис. 6.5. Структура обнаружителя начальной точки контура изображения
При анализе статистических характеристик изображений фонов из-за высокой трудоемкости расчетов, вызванной нестационарностью этих фонов, пользуются характеристиками, найденными на основе одномерного сигнала, например, отсчетами яркости вдоль строки или столбца сцены. Полученные при этом результаты целиком переносятся на изотропные двумерные поля. Результаты ряда работ по фильтрации анизотропных фонов фильтрами, синтезированными для изотропных фонов, показывают, что для представляющих интерес размеров окон этих фильтров наблюдается незначительное уменьшение выходного соотношения сигнал/фоновый шум [21, 108, 117]. Поэтому качественные результаты фильтрации сцен со сложным, статистически неоднородным фоном, могут быть получены при использовании одномерных фильтров с соответствующим образом ограниченной апертурой.
В соответствии со структурой процесса сегментации границы изображения, представленной на рис. 6.2, после обнаружения начальной точки контура следует операция прослеживания контура. Данная операция предназначена для определения непрерывной последовательности относящихся к контуру изображения пикселов. Она обычно совмещается с кодированием выделенных контурных точек. В дальнейшем код контура используется для решения разнообразных задач, связанных с извлечением содержащейся в нем информации о форме изображения объекта. Над сформированным контурным сигналом проводится ряд предварительных операций, связаннык с уменьшением контурных шумов, например, с помощью ФСС, установлением стандартной размерности контура на основании процедуры эквализации (см. п. 9.1.1), выделением главного контурного примитива (см. п. 3.6.4) и др.
Согласованно-избирательная фильтрация изображений (пространственный аспект)
Принцип согласованно-избирательной фильтрации изображений. Корректно поставленная задача обнаружения сигнала в условиях априорной неопределенности его появления требует, как следует из выражения (6.1.4), информацию об энергетическом спектре фонового шума |G(u?)|2, спектральной плотности No широкополосного флуктуационного шума и спектре S (w) обнаруживаемого сигнала.
Использование оптимальных фильтров для обработки реальных сцен затруднено, главным образом, сложностью законов распределения вероятностей фоновых шумов и их нестационарностью. Удачным моментом при обработке различных ландшафтных сцен, рентгенограмм, ряда классов телевизионных изображений является одинаковый характер поведения АКФ и, следовательно, энергетических спектров фоновых шумов. Эти АКФ с точностью до параметров хорошо аппроксимируются экспоненциально-косинусной функцией (6.1.3), а энергетические спектры фоновых шумов в области средних и высоких частот — квадратичной гиперболой [21, 111, 116]
2
|СИ2«^.(6-2.1)
си
Пространственный энергетический спектр фонового шума представляется в виде
2
|G(^,cvy)|2«4^,(6.2.2)
где а^р и аСр — соответственно дисперсия и декремент затухания АКФ фона, полученные усреднением по всем направлениям в локальной области сцены, в каждой из которых одномерная спектральная плотность описывается выражением (6.2.1).
Как отмечается в работах [21, 30,115], низкие пространственные частоты в изображениях несут избыточную информацию и даже оказывают мешающее воздействие при распознавании. Поэтому при синтезе алгоритма обработки надо в наибольшей степени учитывать свойства спектра в области средних и высоких частот. Фильтр, построенный с учетом представлений (6.2.1) или (6.2.2), учитывает эту особенность. Но при этом он теряет свойство оптимальности и становится квазиоптимальным. Он согласован с поведением энергетического спектра фона только в области средних и высоких пространственных частот. Такой фильтр назван согласованноизбирательным (СИФ) [21]. Используя (6.1.8) и (6.2.2), запишем выражение для ЧКП фоноподавляющего звена СИФ в виде
= 2(w|+±j).(6.2.3)
^ср^ср
Обозначим
м = тг4—.(6.2.4)
О^ср^ср
Тогда, подставив (6.2.2) в (6.1.8), можно записать следующее выражение для ЧКП СИФ:
Н^Шх.Шу) и MS* (шж,шу) (w2 + w2) exp {—г (wxx0 + wy?/o)}-(6.2.5)
Основное отличие СИФ от оптимальных фильтров заключается в том, что для определения его структуры нет необходимости в априорной информации о конкретных изображениях окружающего объект фона. Физический смысл данного вида обработки можно пояснить при рассмотрении ИХ А (ж, у) фильтра, получаемой в результате обратного преобразования Фурье от Н (шХ)ШуУ Для пространственного согласованного фильтра с ЧКП (6.1.6) результат такого обратного преобразования Фурье имеет вид
Л (ж, т/) = Сs (ж0 - ж, у0 - у),
т.е. ИХ повторяет форму сигнала з(х,у\ но со смещением на (жо^о) и при противоположных знаках для х и у. Как следует из (6.2.5), ЧКП СИФ с точностью до константы отличается от ЧКП согласованного фильтра наличием сомножителя ^шх +^у), зависящего от суммы квадратов пространсвенных частот. При обратном преобразовании Фурье такой сомножитель приводит к результату
Л (ж, у) = -М^з (х0 -х,уо-у^(6.2.6)
где
охоу
Оператор Лапласа V2s(;r, ?/) носит дифференциальный характер и применительно к значениям яркости пикселов сцены будет подчеркивать перепады яркости. Таким образом, ИХ СИФ представляет собой смещенное на (жо,т/о) контурное изображение эталонного обнаруживаемого объекта с обратным порядком следования отсчетов. Здесь имеются в виду не только внешний контур, но и внутренние контуры изображения.
Рис. 6.6. Структура согласованно-избирательного фильтра
Параметры (жо,т/о) смещения результата фильтрации обеспечивают накопление всех отсчетов фильтра, пока его ИХ взаимодействует со всеми пикселами изображения. Отсчет СИФ при обработке сцены F на основании полученного выражения для его ИХ равен
•Стах Утах
=52 52(6.2.7)
® = Жт|п У —Утт
или
Я-шах Утах
^) = -М£^ Hx,y)V2s^-x0 + x,p-y0 + yY (6.2.8)
ж —^min У — 3/min
Таким образом, реализация СИФ сводится к вычислению степени схожести анализируемой сцены F с контуром обнаруживаемого объекта (рис. 6.6).
Сравнение свойств согласованного и согласованно-избирательного фильтров. Наиболее часто применяемой моделью зашумленного сигнала является аддитивная модель
/ (х, у) = s (ж, у) + п (х, у), f(t) = s (t) + n (t),(6.2.9)
причем n(x, у), п^ — нормально-распределенный белый шум. Оптимальный обнаружитель сигнала при использовании данной модели содержит в качестве вычислителя достаточной статистики согласованный фильтр с ЧКП
Н (си) = ^ (™ exp ^iwto^(6.2.10)
No
где S (ш) — спектр сигнала s^, No — спектральная плотность мощности белого шума, to — момент времени, в который формируется отсчет, равный энергии сигнала s (t). Вопросы, связанные с работой таких фильтров, достаточно подробно рассмотрены в ряде работ, в частности [55]. При обработке ландшафтных сцен более адекватной является аддитивномультипликативная модель (6.1.2) зашумленного сигнала и, как следует из п. 6.2.2, для формирования статистики, по которой принимается решение об обнаружении изображений объекта, целесообразно использовать не согласованный, а согласованно-избирательный фильтр. В связи с этим рассмотрим вопрос о связи отсчетов согласованного фильтра и СИФ.
В одномерном случае фильтр при подаче на его вход согласованного с ним сигнала з (£) формирует на своем выходе сигнал в виде смещенной АКФ данного сигнала:
^(r)=c з (t) s (t 4- Т - to)dt,(6.2.11)
а СИФ — сигнал в виде ВКФ сигнала s (t) со своей второй производной, т.е.
т?СИФ (т) = -С j з (t) s" (t + т- t0)dt.(6.2.12)
Производные стационарной случайной функции X (t) имеют следующие взаимно ковариационные функции [119]
Kx^x^tW-^K^M, р, q = 0,1,2,...(6.2.13)
Рис. 6.7. Функциональная структура согласованно-избирательного фильтраРис. 6.7. Функциональная структура согласованно-избирательного фильтра
Рис. 6.7. Функциональная структура согласованно-избирательного фильтра
Рис. 6.7. Функциональная структура согласованно-избирательного фильтра
В частности, взаимно ковариационные функции случайной функции X (t) и ее второй производной (р = 0, q = 2) связаны соотношением
КхЯтМхИ.(6.2.14)
Отсюда следует, что выходной сигнал СИФ с точностью до константы и знака равен второй производной выходного сигнала согласованного фильтра (рис. 6.7):
7?СИФ (г) = -^ф (т).(6.2.15)
Учитывая, что АКФ сигнала является симметричной функцией, т.е. К (т) = К (—т), а операция двойного дифференцирования не нарушает эту симметрию, то отсчеты СИФ при обработке согласованного с ним сигнала будут также симметрично расположены относительно центрального отсчета р (то):
7?СИФ (то + т) = тусиФ (то - т).(6.2.16)
Центральный отсчет т/сиф (то) СИФ, соответствующий максимальному отсчету т/сиф (то) = т?сф (^о) согласованного фильтра, для широкого
Рис. 6.8. Связь выходного сигнала СИФ с выходным сигналом согласованногоРис. 6.8. Связь выходного сигнала СИФ с выходным сигналом согласованногофильтрафильтра
Рис. 6.8. Связь выходного сигнала СИФ с выходным сигналом согласованного
Рис. 6.8. Связь выходного сигнала СИФ с выходным сигналом согласованного
фильтра
фильтра
класса АКФ сигнала также является максимальным, т.е.
(6.2.17)(6.2.17)77СИФ (то) = щах 7?СФ (т).
(6.2.17)
(6.2.17)
Такими АКФ являются функции вида, например, К (т) = ехр {—ат2}.
На рис. 6.8, а показан вид этой функции. После первого дифференцирования К* (то) = 0, но величина производной в окрестности точки то имеет большее значение (рис. 6.8, б). Вторая производная К (т) (рис. 6.8, в) в точке т0 имеет отрицательный экстремум. На рис. 6.8, г показан вид
Рис. 6.9. К формированию выходного сигнала СИФ при входных сигналах s (i) разной длительностиРис. 6.9. К формированию выходного сигнала СИФ при входных сигналах s (i) разной длительности
Рис. 6.9. К формированию выходного сигнала СИФ при входных сигналах s (i) разной длительности
Рис. 6.9. К формированию выходного сигнала СИФ при входных сигналах s (i) разной длительности
выходного сигнала СИФ, представляющий собой симметричную относительно точки то функцию с максимумом в этой точке.
Широкий класс сигналов характеризуется показательной АКФ вида
Кх {т} = с' ехР{—^Н}(6.2.18)
или показательно-косинусной АКФ
Кх — с* ехР {—^Н} * cos/Зт.(6.2.19)
Эти функции имеют в начале координат угловую точку. В результате первая производная функции в этой точке характеризуется разрывом, а вторая — не существует. Но поскольку при цифровой обработке мы имеем дело с дискретной последовательностью отсчетов АКФ, для которой всегда существует вторая разность А2К (т), то при согласованноизбирательной фильтрации сигналов с подобными АКФ центральный отсчет СИФ, соответствующий пиковому отсчету согласованного фильтра, также остается максимальным. Отметим, что в зависимости от правила получения конечной разности (справа или слева от точки), максимум и вся выходная последовательность могут быть смещены на один отсчет при сохранении ее симметричного характера.
Таким образом, выходной сигнал СИФ при обработке незашумленного согласованного сигнала представляет собой симметричную относительно центральной точки to функцию с максимальным значением, расположенным в этой точке. Величина пикового отсчета у (то) СИФ зависит от ширины спектра сигнала s (t\ для которого он построен. Чем шире этот спектр, тем уже АКФ К (т) сигнала s^t\ тем круче будет проходить в точке то линия графика первой производной К* (г), тем больше значение второй производной Кп ^ при т — то, т.е. тем значительней величина экстремума в этой точке (рис. 6.9).
При этом также сужается область значащих значений выходного сигнала фильтра, т.е. растет его избирательность. В пределе, когда фильтруемый сигнал по своему виду стремится к 5-функции, мы получаем максимально возможный по величине центральный отсчет — Кн (г)|т при минимальной ширине области его выходных сигналов.
Следует также отметить, что из-за дифференциального характера работы СИФ величина постоянной составляющей фильтруемого сигнала не оказывает влияния на уровень его выходного сигнала.
Одномерные СИФ для последовательности цифровых отсчетов яркости. При обработки отдельной строки сцены на вход фильтра подается одномерная последовательность отсчетов яркости. В процессе фильтрации непрерывные функции f (х, у), s(x,y) и V2s (ж, т/) заменяются их конечно-разностными аналогами. Функцию яркости вдоль строки изображения обозначим как / (п), входной сигнал — как s (п), выходной — у (п), а ИХ фильтра — через А (п). Оператор Лапласа V2s (ж, у") в одномерном случае для дискретной функции яркости заменяется оператором второй разности A2s (п) функции s (п):
A2s (n) = As (n) — As (п — 1).
Так как As (n) = s (n) — s (п - 1), то
д2б (n) = s (n) - 2s (п - 1) + S (п - 2).(6.2.20)
Отсюда
-△2s (n) = 2s (п - 1) - s (n) - s (п - 2).(6.2.21)
С учетом (6.2.21) и (6.2.6) ИХ СИФ для случая фильтрации одномерной дискретной последовательности отсчетов яркости будет равна
А (п) = М[2s (по — п 4-1) — s (по — n) — s (п0 — п 4- 2)],(6.2.22)
а дискретные аналоги выражений (6.2.7) и (6.2.8) для выходных сигналов запишутся как
к-1
Т) (m) = —ТИ^ f (т — n)[2s (п0 — п + 1) — s (jio — n) — s (tiq — тг-V 2)], 71=0
(6.2.23)
к-1
т/ (т) = —М^^ / (n) [2s (т — 710 + ri — 1) - s (т — по + п) — 71=0
—s (m — no 4- п — 2)], (6.2.24) где к — число отсчетов ИХ А (п) (ширина окна СИФ), коэффициент М определяется выражением (6.2.4). Величина смещения по результата фильтрации равна количеству значащих отсчетов I фильтруемого сигнала. Положив для простоты, что момент возникновения фронта скачка 1г = 0,(6.2.25)
получим
По = I.(6.2.26)
Введем понятие стандартного СИФ, как фильтра описываемого выражениями (6.2.22)-(6.2.26), но при М = — 1. Для такого фильтра
Ast (п) = 2s (Z — п 4-1) — s (I — п) — s (Z — ri 4- 2), п = 0,1,... , к — 1,
(6.2.27)
к-1
?7st кт^ — ^2 ^ ^т — n)[2s (/ — тг 4-1) — s (Z — тг) — s (Z — 71 4- 2)],
71 = 0
(6.2.28)
к-1
T)st {т) =/ (тг) [2s (m - / + п - 1) -
71 = 0
— s (т — Z 4- тг) — s (т — Z 4- п — 2)]. (6.2.29)
В дальнейшем при отсутствии особой необходимости будем рассматривать только стандартные СИФ, причем нижний индекс «st» опустим.
Для удобства сравнения между собой фильтров, избирательно-согласованных с сигналами разной формы и длительности, введем нормировку
выходных сигналов. Для этого в выражении для выходного сигнала введем коэффициент, обратный по величине пиковому значению 7/st (t — 1). Тогда максимальная выходная реакция СИФ на согласованный с ним сигнал будет равна единице, т.е.
(6.2.30)(6.2.30)T]N (t - 1) = 1,
(6.2.30)
(6.2.30)
где буква N в нижнем индексе указывает на нормировку выходного сигнала.
Согласованно-избирательная фильтрация одномерного скачка яркости
0 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 п0 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 пРис. 6.10. Идеализированный скачок яркостиРис. 6.10. Идеализированный скачок яркостиИдеализированные скачки яркости. Введем понятие идеализированного скачка (перепада) яркости {s (n)}0 t_v Фронт скачка описывается функцией 5ф (п). Участок изменения яркости содержит I отсчетов. Кроме них при задании скачка будем учитывать по одному отсчету s (п), равных нижнему и верхнему значениям уровня яркости, т.е. s = 0 и s = 1. Поэтому общее количество t учитываемых отсчетов идеализированного скачка, т.е. его длительность, равна I + 2, а длительность фронта Тф будет на единицу меньше, т.е.
0 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 п
0 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 п
Рис. 6.10. Идеализированный скачок яркости
Рис. 6.10. Идеализированный скачок яркости
t = I + 2, тф = t - 1 = l-V 1. (6.3.1) Показанный в качестве примера на рис. 6.10 идеализированный скачок начинается при пн = 4 с последнего нулевого значения яркости и заканчивается в мо
мент пв = 7, участок нарастания яркости состоит из I = 2 отсчетов, равных 0,2 и 0,8. Для этого импульса t = 4, Тф = 3.
В дальнейшем при изображении скачка будем полагать, что скачок начинается не в произвольный момент, а при п = 0. Тогда в аналитическом виде положительный и отрицательный скачки яркости запишутся как
0 при0 при1 при1 прип = 0,-1, -2,-3,... при п — 1,2,... , Z, n = Z4-l,Z + 2,... *,п = 0,-1, -2,-3,... при п — 1,2,... , Z, n = Z4-l,Z + 2,... *,(6.3.2)(6.3.2)1 приS- (п) = Дф (п)0 при1 приS- (п) = Дф (п)0 прип = 0,-1,-2,-3,... при n = 1,2,... , Z, tz = Z4-1,Z + 2,...п = 0,-1,-2,-3,... при n = 1,2,... , Z, tz = Z4-1,Z + 2,...
0 при
0 при
1 при
1 при
п = 0,-1, -2,-3,... при п — 1,2,... , Z, n = Z4-l,Z + 2,... *,
п = 0,-1, -2,-3,... при п — 1,2,... , Z, n = Z4-l,Z + 2,... *,
(6.3.2)
(6.3.2)
1 при
S- (п) = Дф (п)
0 при
1 при
S- (п) = Дф (п)
0 при
п = 0,-1,-2,-3,... при n = 1,2,... , Z, tz = Z4-1,Z + 2,...
п = 0,-1,-2,-3,... при n = 1,2,... , Z, tz = Z4-1,Z + 2,...
Импульсная характеристика СИФ. Найдем количество ненулевых отсчетов ИХ при фильтрации одномерной функции яркости. Для образования текущего отсчета ИХ фильтра вдоль строки скользит окно из трех примыкающих друг к другу элементов с весовыми коэффициентами
{-1,2, —1}. Если I = t — 2 — количество элементов, образующих непосредственно скачок яркости, то при скольжении трехэлементного окна будет образовано t не равных нулю отсчетов. Когда окно полностью находится на нижнем или на верхнем уровнях яркости отсчеты ИХ из-за дифференциального характера оператора второй разности будут равны нулю. Таким образом, число значащих отсчетов ИХ СИФ равно длительности I скачка
л - {А (п)}01+1 = {А (0), А (1),... , A (Z), A (Z + 1)}.
Для случая, приведенного на рис. 6.11, будем иметь
s (п) = {0; 0; 0;... ; 0; 0,1; 0, 3; 0,6; 0,85; 1; 1;... ; 1}, t = 6;
А (n) = 2s (5 — n) — s (4 — n) — s (6 — тг), п = 0,1,2,3,4,5;
Л (0) = 2s (5) - s (4) - s (6) = 2 - 0,85 - 1 = 0,15; А (1) = 0,1;
А (2) =0,05; А(3) = -0,1; А (4) = -0,1; А (5) = -0,1.
Таким образом, Л = {0,15; 0,1; 0,05; —0,1; —0,1; —0,1}.
Рис. 6.11. К определению количества учитываемых отсчетов ИХ: а — положительный дискретный скачок яркости; б — отсчеты яркости в пределах строки изображения; в — первое положение окна; г — последнее положение окна; д — ИХ фильтра
Аналитическое представление для положительного s+ (п) и отрицательного s_ (п) скачков яркости связаны между собой соотношениями s+ (n) = s_ (^ — п), 8_ (та) = s+ (^ — п).
Отсюда следует, что и ИХ Л+ = {А+ (п)}0 /+1 и Л_ = {А_ (п)}0 /+1 скачков яркости связаны аналогичными соотношениями’
А+ (п) = А_ (Z — п), А_ (та) = А+ (f — п),(6.3.3)
т.е. ИХ фильтра для одного вида скачка яркости получается изменением порядка следования отсчетов ИХ фильтра для другого вида скачка яркости.
Определим теперь крайние , А (0) и A (Z 4- 1), отсчеты ИХ фильтра. В соответствии с выражением (6.3.2) для положительного скачка яркости получим
А (0) = 2s (Z + 1) - 8 (Z) - 8 (Z + 2), A (Z + 1) = 2s (0) - s (-1) - s (1).
Учитывая, что s(0) = s (-1) = 0, a s (Z + 1) = s (Z + 2) = 1, будем иметь
A(O) = l-s(Z), A(Z + 1) = -s(l).(6.3.4)
Аналогично, для отрицательного скачка яркости получим
А_ (0) = -з (Z), А_ (Z 4-1) = 1 - s (1).(6.3.5)
Покажем, что сумма всех отсчетов ИХ дискретного СИФ для положительного скачка яркости равна нулю, т.е.
t-iz+i
^А(п) = ^А(п)=0.(6.3.6)
п=0п=0
Используя выражение (6.2.27) для ИХ стандартного СИФ:
А (та) = 2s (Z — та + 1) — s (Z — та) — s (Z — та + 2) =
= 2s (t - 1 - та) - s (t - n) - s (t - 2 - Ta) , n = o, 1,... ,t - 1, (6.3.7) запишем
z+iz+iz+iz+i
52A w =2Xs v- n+- 52s - 52s(l-n + 2\ n=0n=0n=0n=0
Поскольку значения A (0) и A (Z + 1) уже найдены и определяются выражением (6.3.4), остается вычислить сумму:
iiII
£Л(„) =2^„(i-n+ 1) — ^2 (Z — п) — ^2 s (Z — п 4- 2). (6.3.8) П=1П=1П —1П=1
Отметим, что
Iz+lZZ-1
У^ 8 (Z - 71)=У2 S (Z- 71 4- 1),У2 S (Z- 71 4- 2)= У^ S(Z - 71 4- 1).
71 = 1П=271 = 171=0
Тогда выражение (6.3.8) примет вид
II/4-1/-1
У^ А (тг) = 2^2 s (Z — тг + 1) — УУ s (Z — тг 4-1) — УУ s (Z — п 4- 1) = п=1п=1п=2п=0
= s (Z) - s (0) + з (1) - s (Z + 1) .
С учетом последнего результата и выражения (6.3.4), получим
/4-1
УУ Л (тг) —s (Z) - s (0) 4- s (1) - s (Z 4-1) 4-1 - s (Z) - s (1) = 0. п=О
Докажем теперь, что взвешенная сумма отсчетов ИХ одномерного СИФ для положительного скачка яркости равна
/-Н
У2^(п) = -1.(6.3.9)
п=О
Используя (6.3.7), для взвешенной суммы отсчетов ИХ можно записать
/4-1/4-1/4-1/4-1
УУ пХ(тг)= 2УУ ns (Z — тг 4-1) — УУ ns (Z —тг)— УУ ns (Z —п 4- 2) =
п=Оп=Оп=Оп=О
- - (Z + 2) s (-1) 4- (Z 4-1) з (0)4-s (0) + s (-1)- s (I + 1).
Так какs (—1) = s (0) =0, a s (Z 4-1) =1,то последнеевыражение
равно минус единице. Для отрицательного скачка яркости аналогичная сумма равна единице.
Таким образом, текущее значение отсчета ИХ дискретного СИФ для одномерного идеализированного скачка яркости определяется тремя отсчетами сигнала s (тг) — текущим, предыдущим и последующим. Сумма всех отсчетов характеристики равна нулю.
Анализ процесса фильтрации. Определим вначале количество значащих отсчетов СИФ при фильтрации изображения в виде одномерного скачка яркости (рис. 6.12). ИХ фильтра в соответствии с выражением (6.3.1) имеет ширину окна (апертуру) t = Z 4- 2. При скольжении окна фильтра вдоль отсчетов сигнала первый ненулевой выходной отсчет образуется, когда нулевой элемент окна фильтра совпадает с первым значащим отсчетом скачка яркости (рис. 6.12, б,г,б), а последний ненулевой отсчет фильтра — когда последний, Z-ый значащий отсчет фронта скачка пересечется с последним элементом окна фильтра. Поэтому количество не равных нулю отсчетов фильтра L будет равно уменьшенной на единицу сумме значащих отсчетов фронта скачка и окна ИХ фильтра, т.е.
b = Z + Z + 2 — 1 = 2Z4-1-(6.3.10)
Отметим, что независимо от Z величина L всегда является нечетной.
Определим с помощью выражений (6.3.7) и (6.3.10) сумму выходных отсчетов фильтра при обработке идеализированного скачка (6.3.2).
| 0 | 0 | О | О | О I О,1| О,3| 0,6|о,85| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | -0,1|-0,1|-0,1|0,05| 0,110,15]
в
|0,1^0,1|0,05|-0,1|-0,1'|-0,1|
г
1
1
0,85
0,6
0,31
|о,1
0
0
0
0
0 1
10
0
0
0
0
1
1 1
1 |о,85|о,б|о,3
0,1| 0 1
0
0
1 о |
1 0
0
0 1
|о |
1 0 |
1 1
|1
П"
| 1 |0,85|0,6 |
10,3 I 0,11 0 I
1 0
|о !
|о
|о
0
0
0
1
1
1
1
1
0,85
0,6
0,3
0,1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0,85
0,6
0,3
0,1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0,85
0,6
0,3
0,1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0,85
0,6
0,3
0,1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0,85
0,6
0,3
0,1
0
0
0
1 1
|1
11
111
1' 1
11|
И
11
111
| 1 |о,85| 0,б| 0,з[ 0,11 0 1
|о
д
|0,015|0,055| 0,12510,1925,0,225|0,192^0,125|0,055| 0,015| е
Рис. 6.12. К определению количества значащих отсчетов СИФ: а — скачок яркости; б — отсчеты скачка яркости; в — вторая разность сигнала; г — отсчеты ИХ; д — положения фильтруемого сигнала; е — отсчеты выходного сигнала; ж — график выходного сигнала
Так как для идеального положительного скачка яркости / (n) = s (п) и s (п) = 1 при 71 = I + 1,I + 2,.., 21 + 1, то
2г+1
^ т? (т) = А (0) [Z + 1 + s (1) + s (2) + ... + з (Z)] + А (1) [Z + з (1) +
+з (2) + ... + з (Z)] + ... + A (Z + 1) [з (1) + s (2) + ... + в (Z)] = [s (1) + г+1
+s (2) + • • • + s (Z)] ^ ^ A (ti) 4- (Z 4-1) A (0) + ZA (1) + ... 4- A (Z + 1).
n=0
Сумма выходных отсчетов фильтра в общем случае равна
2i+l2Z+1 Z+12J+1
^ т? (т) = ^ ^ / (ттг - тг) А (тг) = А (0) ^ / (тг) +
7П = 1771 = 1 П=0П = 1
2121 — 1I
+ A(l)£/(77)+A(2)£/(77)+...+A(Z+l)£/H
п=1п=1п=1
Так как сумма всех отсчетов ИХ равна нулю, а взвешенная сумма отсчетов ИХ — минус единице, окончательно получим
2/+1г+iг+1
^ т? (m) = (Z + 1) ^ А (тг) - ^ пЛ (п) = L (6.3.11) т=1п=0п=0
Аналогичное соотношение справедливо и при фильтрации идеального отрицательного скачка яркости. Таким образом, сумма всех отсчетов СИФ при фильтрации идеализированных скачков яркости равна единице. Нетрудно также показать, что первый 77 (1) и последний 77 (L) = 77 (2Z 4-1) отсчеты выходного сигнала СИФ при этом равны
77 (1) = 77 (L) = -А (0) A (Z + 1).(6.3.12)
В разделе 6.2 с общих позиций было показано, что выходной сигнал СИФ равен (с обратным знаком) второй производной выходного сигнала обычного согласованного фильтра. Кроме того, выходные отсчеты СИФ образуют симметричную последовательность, а центральный отсчет этой последовательности является максимальным отсчетом фильтра. Рассмотрим какой вид эти положения принимают для дискретного варианта СИФ, задаваемого выражением
г+1
(6.3.13)(6.3.13)7} (т?1) = У2 s (тр — n) [2s (Z — тг 4-1) — s (Z — тг) — s (Z — п 4- 2)],
(6.3.13)
(6.3.13)
п=0
Tn — 1,2,... , 2Z 4-1.
Покажем, что отсчеты СИФ расположены симметрично относительно центрального отсчета т = I + 1, т.е. что
77 (Z 4-1 — г) = 77 (Z 4-1 4- г), т = 1,2,... , Z 4-1.
Полагая т = I 4- 1 — г, найдем r = Z + l — mnZ + l+ r = Z + l + Z + + 1 — m = 2Z + 2 - m. Таким образом, необходимо показать, что
р (т) = р (2Z + 2 — т) = 77 (L - т + 1), т = 1,2,... , L. (6.3.14) Выражение (6.3.13) представим в виде
г+iг+1
77 (т) = 2^2 s (m — n) s (Z — тг + 1) — У^ s (т — n) s (I — 71) —
п=0п=0
г+1
— У2 s (т — 71) s (Z — 71 + 2). (6.3.15) п=0
Обозначим I4-1 — и = к, откуда тг = I4-1 — к. Если тг = 0, то к = I4-1, если тг = / 4-1, то к = Z +1 - Z -1 = 0. Тогда выражение (6.3.15) запишется как
г+iI
п (т) = 2 52 s (т 4- к — I — 1) s (к) — У^ з (тт1 4- к — I) s (к) —
к=0к= — 1
г+2z+i
— У^ 8 (т 4" к — I 4- 2) s (к) = 2^ s (m + к — I — 1) 8 (к) —
к=1к=0
г+iг+1
- У2 8 (т + к - I - 1) 8 (к — 1) - У2 8 (т 4- к - I - 1) 8 (к 4- 1). к=0к=0
(6.3.16)
Определим вид последнего выражения при т = 2Z 4- 2 - т: г+iг+i
т/ (2Z 4- 2 - 7?1) = 2У2 8 V 4" 1 4- к - т) s (к) - У^ s (Z 4-1 4- к - ттг) х
/с=0к=0
1+1
х з (к - 1) — У2 8 V 4-1 4- к - m) s (к 4-1). (6.3.17) к=О
Обозначим р = т — Z - 1. Тогда выражения (6.3.16) и (6.3.17) примут следующий вид: г+1г+iz+i
77(771) = 2У2 8к^+р) s№ -52 s(^+р) 8(^— 1) ~У2s^+
к=0к=ок=о
(6.3.18) г+iz+i
77 (2Z 4- 2 - 771) = 2У2 8 (к - р) з (к) - У^ s (к - р) s (к - 1) -
/с=0к=0
г+1
- ^2,8 (к-р) 8 (к-V-1). (6.3.19)
к=0
Каждое из этих выражений есть сумма трех АКФ входного сигнала з(п). Так как АКФ К (р) есть симметричная функция, то
р (т) = р (21 + 2 — т), т = 1,2,... , L. (6.3.20)
При этом максимальный отсчет СИФ, являющийся центральным отсчетом выходной последовательности, равен
•Птах (т) = 7, (Z + 1) = 7? (2Z + 2 - Z - 1) =
Л-1Л-1л-1
= 2^2 s2 W - У^ 8 W s (к — 1) — У^ s (к) s (к + 1). (6.3.21)
к=0к=0к=0
Для пояснения полученных результатов на рис. 6.13, а представлен построенный для случая а = 1 график скачка яркости, задаваемого функцией вида [29]
(6.3.22)(6.3.22)1
(6.3.22)
(6.3.22)
1 4- ехр {—ап} ’
а на рис. 6.13, б, в, г — соответственно графики ненормированных корреляционной функцииК (т), ее первой разностиД/С (т)
П1 — П2П1 — П2
и второй разности (—• Д2/С (r)Y взятой с обратным знаком.
X П1 — П2/
Функция К (т) определялась в интервале ni = 10 до П2 = -10.
Корреляционная функция скачка имеет треугольный симметричный вид с угловой точкой при т = 0. Первая разность содержит массив положительных значений и массив отрицательных значений, расположенных по обе стороны от точки т = 0,5. Оба массива имеют по одинаковому
0,071 -0,05Д2^(г)
вв0,05IIIIIIIII-8 -6 -4 -2-0,050,05IIIIIIIII-8 -6 -4 -2-0,050,05Д^(г)0,05Д^(г)0,05-0,05-0,03о 0,01’I1 -6 -4 -2-0,03.0,03о 0,01’I1 -6 -4 -2-0,03.II<0 2 4 6 8 1 гII<0 2 4 6 8 1 г
в
в
0,05
IIIIIIIII-8 -6 -4 -2-0,05
0,05
IIIIIIIII-8 -6 -4 -2-0,05
0,05Д^(г)
0,05Д^(г)
0,05-
0,05-
0,03
о 0,01
’I
1 -6 -4 -2
-0,03.
0,03
о 0,01
’I
1 -6 -4 -2
-0,03.
II<0 2 4 6 8 1 г
II<0 2 4 6 8 1 г
Рис. 6.13. Скачок яркости (а), его корреляционная функция (б), первая разность(в) и результат согласованно-избирательной фильтрации (г)
количеству отсчетов. Необходимо отметить, что значение первой разности в угловой точке т = О незначительно отличается от соседних значений, что объясняется дискретным способом задания функции.
График второй разности корреляционной функции (отсчеты представлены с обратным знаком) задает симметричную функцию с единственным центральным отсчетом, имеющим максимальную величину. Процедура взятия конечной разности привела к смещению этого отсчета на т = 1 по сравнению с положением центрального отсчета корреляционной функции.
Согласованно-избирательная фильтрация одномерных идеализированных перепадов яркости с простым видом фронтов. Прямоугольный перепад яркости. Изображение s^ в виде прямоугольного
ббаа~ 1~ 1ООРис. 6.14. Фильтрация положительного прямоугольного перепада яркости: а — вид перепада; б — ИХ фильтра; в — выходной сигнал фильтраРис. 6.14. Фильтрация положительного прямоугольного перепада яркости: а — вид перепада; б — ИХ фильтра; в — выходной сигнал фильтра
б
б
а
а
~ 1
~ 1
О
О
Рис. 6.14. Фильтрация положительного прямоугольного перепада яркости: а — вид перепада; б — ИХ фильтра; в — выходной сигнал фильтра
Рис. 6.14. Фильтрация положительного прямоугольного перепада яркости: а — вид перепада; б — ИХ фильтра; в — выходной сигнал фильтра
положительного перепада яркости задается в виде (рис. 6.14, а)
(6.3.23)(6.3.23)О при п = 0, —1, —2,... , 1 при п = 1,2,3,...
(6.3.23)
(6.3.23)
В данном случае Z = 0 и количество значащих отсчетов ИХ СИФ будет равно t = I 4- 2 = 2. Используя формулы (6.3.2), (6.3.4) и (6.3.23), а также
учитывая, что
з (Z) = s (0) = 0, А (0) = 1 - s (Z) = 1, А (1) = -8 (1) = -1,получим общее выражение для ИХ Л = {А (п)}0 /+1 фильтра (рис. 6.14, 6)Л = {А(п)}01 = {1,-1}.(6.3.24)
Результат фильтрации изображения (6.3.23) фильтром с ИХ (6.3.24) имеет вид (рис. 6.14, в)
Ч (™) = 52 Pm ~ n)A (n) = / (m) - / (m - 1) = Р при m ф’ 10 при т + 1.
(6.3.25)
В случае отрицательного прямоугольного перепада яркости будем иметь (рис. 6.15)
( \11 при п = 0, —1, —2,... ,
[0 при п = 1, 2,3,... ,
л = {-1,1}, т?(т) =/(m - 1) -/(m) = Р ПРИ т
I 0 для остальных т.
Таким образом, при согласованно-избирательной фильтрации идеализированного скачка яркости с прямоугольной формой фронта образуется
ааРис. 6.15. Фильтрация отрицательного прямоугольного перепада яркости: а — вид перепада, б — ИХ фильтра, в — выходной сигнал фильтраРис. 6.15. Фильтрация отрицательного прямоугольного перепада яркости: а — вид перепада, б — ИХ фильтра, в — выходной сигнал фильтра
а
а
Рис. 6.15. Фильтрация отрицательного прямоугольного перепада яркости: а — вид перепада, б — ИХ фильтра, в — выходной сигнал фильтра
Рис. 6.15. Фильтрация отрицательного прямоугольного перепада яркости: а — вид перепада, б — ИХ фильтра, в — выходной сигнал фильтра
только один отсчет фильтра. Этот отсчет положителен и равен единице. Линейный перепад яркости. В данном случае эталонное изображение
обнаруживаемого объекта задается в виде (рис. 6.16, а)
{
О при п = 0, -1, —2,... ,
у^ при п = 1,2,... , Z,(6.3.26)
1 при п = I + 1,1 + 2,...
Число отсчетов, образующих фронт с линейно-нарастающим перепадом яркости, равно I и определяется тангенсом угла наклона фронта, равным
Рис. 6.16. Согласованно-избирательная фильтрация положительного дискретногоперепада яркости с линейным фронтом: а — вид перепада, б — ИХ фильтра, в —результат фильтрации
1/(Z + 1). Число значащих отсчетов ИХ фильтра равно t = I4-2. Определим в соответствии с выражением (6.3.4) крайние значения отсчетов ИХ:
А (0) = 1 - S (Z) = 1 -= -А-, A (Z + 1) = -s (1) = -^.
I Т 1 t т 1I + 1
Остальные, промежуточные значения ИХ А (п), п = 1,2,...,/, равны нулю.
Таким образом, ИХ фильтра имеет вид (рис. 6.16, б)
Л = {А И }0,г+1 = {ТТГ °’1~ 7TIУ(6'327)
Результат согласованно-избирательной фильтрации скачка яркости с линейно-нарастающим фронтом будет равен
т] (т) = ^2 f (jn — п) X (п) = А (0) / (m) + A (Z + 1) / (т — Z — 1) = п=0
= ^y[/(m)-/(m-Z-l)], т = 1,2,...,Л (6.3.28)
Выходной сигнал фильтра представляет дискретную последовательность из L = 2Z + 1 элементов (рис. 6.16, в). Поскольку положительный линейный скачок яркости представляет собой монотонно-нарастающую функцию, то / (т) > / (т — п), п = 1,2,... Поэтому из выражения (6.3.27) следует, что все отсчеты фильтра будут положительными, т.е. т] (т)0, т = 1,2,... , L.
Рис. 6.17. Согласованная фильтрация отрицательного перепада яркости с линейным фронтом: а — вид перепада, б — ИХ фильтра, в — вид выходного сигнала
Фильтрация отрицательного перепада яркости с линейным фронтом иллюстрируется рис. 6.17. ИХ фильтра и результат фильтрации для данного перепада имеют вид
А = {А (п)}0 г+1 — { — —Цг,О,... ,0,-^-},(6.3.29)
77 (т) = У2 / (т — п) А (п) = А (0) / (т) + A (Z + 1) / (т — Z — 1) = п=0
^^[/(m-Z-lWH], т = 1,2,... , L. (6.3.30)
В районе фронта отрицательный линейный скачок яркости представляет собой монотонно-убывающую функцию. Поэтому / (m) < f (т — п), п = 1,2,..., и в соответствии с выражением (6.3.30) все L отсчетов фильтра будут положительными, т.е. 77 (т) ^ 0, т = 1, 2,... , L.
Таким образом, при согласованно-избирательной фильтрации скачка яркости с линейно-нарастающим или линейно-спадающим фронтом все
отсчеты фильтра будут положительными и в сумме равны единице. Это означает, что каждый отсчет фильтра меньше единицы, т.е. О < 77 (т) < < 1, т = 1,2,... ,£.
Параболический перепад яркости. Одномерное изображение в виде положительного скачка яркости с параболическим фронтом имеет вид (рис. 6.18, а)
О при(г + 1)2О при(г + 1)21 при1 прип = 0,-1,-2,... , при п = 1, 2,... , /,7i = Z + l,Z + 2,...п = 0,-1,-2,... , при п = 1, 2,... , /,7i = Z + l,Z + 2,...(6.3.31)(6.3.31)
О при
(г + 1)2
О при
(г + 1)2
1 при
1 при
п = 0,-1,-2,... , при п = 1, 2,... , /,
7i = Z + l,Z + 2,...
п = 0,-1,-2,... , при п = 1, 2,... , /,
7i = Z + l,Z + 2,...
(6.3.31)
(6.3.31)
отличается от предыдущего s (п — 1)отличается от предыдущего s (п — 1)
отличается от предыдущего s (п — 1)
отличается от предыдущего s (п — 1)
Число отсчетов, образующих фронт, равно I, причем текущий s (тг)
на величину 1/(Z + I)2. Количество
Рис. 6.18. Согласованно-избирательная фильтрация положительного дискретного одномерного скачка яркости с параболическим фронтом1 а — вид скачка, б — импульсная характеристика фильтра, в — результат фильтрации
значащих отсчетов ИХ СИФ равно Z + 2, причем крайние отсчеты А (0) и A (Z + 1) равны
Общее представление для ИХ СИФ записывается как
А = {А (п)}0/+1 = 77^775^1 + 1; -2; -2;... ; -2; 1}.(6.3.32)
V +
Выражение для выходного сигнала СИФ в данном случае равно
Г) (т) = 5? / (т - п) А (п) = / (т) А (0) + / (m - 1) А (1) + ... п=0
... + / (m - Z) A (Z) + / (m - Z - 1) A (Z + 1), т = 1,2,... , L.
1(* + 1)21(* + 1)2С учетом представления (6.3.32) для ИХ СИФ, последнее выражение примет вид
1
(* + 1)2
1
(* + 1)2
(6.3.33)(6.3.33)(2Z + 1) s (т) — У^ s (т — п) — s (т — Z — 1)
(6.3.33)
(6.3.33)
■П=1■
т = 1, 2,... , L.
Отсчеты яркости в пределах фронта являются монотонно возрастающими, т.е. / (т) > / (т — 71), п = 1,2,... Поэтому при фильтрации идеального скачка яркости (6.3.28)
i
(21 + 1) 8 (Т71) > 8 (т — Z — 1) + У^ S (т?1 — 71),/ (т?1 — 71) = S (т71 — 71) .
7? = 1
Отсюда следует, что все отсчеты фильтра будут положительными, т.е. -q (т) > 0, т = 1, 2,... , L. На рис. 6.18, б и в представлены графики ИХ и выходного сигнала СИФ.
Согласованно-избирательная фильтрация изображений (частотный аспект)
Частотный коэффициент передачи фильтра. Частотный коэффициент передачи СИФ П = {^(m)}ot-i определим как результат обратного ДПФ от ИХ фильтра. Используя в качестве представления ИХ фильтра выражение (6.3.7), получим
\ / -2?Г 71) exp <—г — тп\ / -2?Г 71) exp <—г — тп£-1
\ / -2?Г 71) exp <—г — тп
\ / -2?Г 71) exp <—г — тп
uj (m) = 2^2 s (t — 1 -
n=0
t-i— ^2 s (t — n) expn=0t-i— ^2 s (t — n) expn=0. 2тгг — 77171 к ,. 2тгг — 77171 к ,2 — 71) exp г—771712 — 71) exp г—77171
t-i
— ^2 s (t — n) exp
n=0
t-i
— ^2 s (t — n) exp
n=0
. 2тг
г — 77171 к ,
. 2тг
г — 77171 к ,
2 — 71) exp г—77171
2 — 71) exp г—77171
(6.4.1)(6.4.2)(6.4.1)(6.4.2)
(6.4.1)
(6.4.2)
(6.4.1)
(6.4.2)
= 2^ (m) — CU2 (m) — сиз (^) ?
где
t-i
wY (m) = ^2 s (^ — 1 — 7i) exp
n=0
t-1
^2 (тп) = У2 S (^ — 71) exp
71 = 0
,2тг—г—тп,2тг—г—тп(6.4.3)(6.4.3)г-1
,2тг
—г—тп
,2тг
—г—тп
(6.4.3)
(6.4.3)
сиз (^) = 53 s (^ ~ 2 — п) ехр
п=0
Введя переменную к = t — 1 — п, для wi (m) получим
{—г^т (t — 1 — к)^ ={—г^т (t — 1 — к)^ =t-i
{—г^т (t — 1 — к)^ =
{—г^т (t — 1 — к)^ =
(ш) = 53s ^ ехр
г-1= 52s ^ехрк=0г-1= 52s ^ехрк=0/с=0
г-1
= 52s ^ехр
к=0
г-1
= 52s ^ехр
к=0
= ехр рутj-goit_! (т), (6.4.4) где got-i(m) — комплексно сопряженный спектр эталонного сигнала {s (кууо t-1, по которому синтезировалась ИХ СИФ.
Аналогично, вводя переменную к = t — 1 — п для Ш2 (т), будем иметь
а^2 (тп) = 53 8 W ехР |—г-^m (t — к)| = к=1
t
= 53 8 W ехР {^^"т^} СХР {—з2тгт}.
к=0
Пределы суммирования здесь по сравнению с (6.4.2) изменились. Чтобы сохранить пределы суммирования {0,^ — 1}, добавим и вычтем крайние члены этих сумм:
t
w2 (т) = 53 8 № ехР {г^"т^} + s (0) — s (0) + s (t) ехр ^i^mt^ -
— s (t) ехр {г^т^} = 53 8 W ехР {^^"т^} — s (0) + s (t) =к=0
= go* г-i (т) - 8 (°) +8 (^) • (6А5)
Для и)3 (т) с помощью аналогичного приема получаем
^з (тп) = ехр Y2m}go,t-i (m) + s (-1) ехр |-г^т| -
— s (t — 1) ехр |— т^-тп|. (6.4.6)
Теперь с помощью выражений (6.4.4)-(6.4.6) для cui (тп), Ш2 (тп) и сиз (тть) запишем формулу для ЧКП СИФ:
си (m) = gQ t_i (тп) j^2exp {^^"mJ “ ехР {^^~^т} ~ -*•] + s (0) — s (t) — — ехр {z^m}[s (—1) — s (t — 1)], тп = 0,1,2,... ,t — 1. (6.4.7)
Если СИФ предназначен для идеального скачка яркости {s (n)}0 t-1 произвольной формы, то s (—1) = s (0) = 0 и s (£ — 1) = s (t) = 1 и (6.4.7) примет вид
ехр О—2т
4- exp {t^-mj - 1. (6.4.8)
Получим более компактное, чем (6.4.7), выражение для ЧКП СИФ. Для этого представим входящие в состав для выражения ЧКП слагаемые CU2 (т) и сиз (т) в следующем виде:
W2W2(т) = У^ s (к) ехр |г-у-тА: к=1(т) = У^ s (к) ехр |г-у-тА: к=1tt= ехр= ехрГ.2тг 1Пх Г . 2тго—т > • 2 s (к) ехр тк=1Г.2тг 1Пх Г . 2тго—т > • 2 s (к) ехр тк=1(к-1)}.(к-1)}.
W2
W2
(т) = У^ s (к) ехр |г-у-тА: к=1
(т) = У^ s (к) ехр |г-у-тА: к=1
t
t
= ехр
= ехр
Г.2тг 1Пх Г . 2тг
о—т > • 2 s (к) ехр т
к=1
Г.2тг 1Пх Г . 2тг
о—т > • 2 s (к) ехр т
к=1
(к-1)}.
(к-1)}.
Последняя сумма равна комплексно сопряженному спектру смещенного входного сигнала {s (n)}0 t_v Поэтому
^2 (т) = ехр {г^т} • g^t (m), т = 0,1,... , t — 1.
Аналогично,
^з (го) = ехр {г^2т| ^ s (к) ехр ^г^тк к=-1
Последняя сумма в данном выражении равна комплексно сопряженному спектру glT t_2 (т) смещенной входной последовательности {*(п)}_м_2- Тогда
шз (m) = ехр {iym}gllt_2 (m), т = 0,1,... , t — 1.
В результате для ЧКП СИФ получим
w (т) = cji (m) + cj2 (го) 4- сиз (го) =
= ехр {iym} [2go,t-1 (т) - Si,t (т) - 6-1,t-2 (т)] ■ (6.4.9)
Выражение в квадратных скобках можно рассматривать как разность второго порядка A2go,t-i (^г) для комплексно сопряженного спектра эталонного сигнала {s (n)}0 t_v Тогда
uj (т) = ехр ^г^т| A2gQ t_1 (m), m = 0,1,... , t — 1.(6.4.10)
Учитывая выражение для ЧКП обычных согласованных фильтров [26], из (6.4.10) следует, что СИФ согласован с сигналом в виде разности второго порядка эталонного сигнала {s (n)}0 t_r Известное выражение для ЧКП согласованного фильтра с точностью до коэффициента С имеет вид ш (m) = S* (т) exp { — i^mt^.
Так как это выражение отличается по виду от полученного выражения (6.4.10) для ЧКП, покажем, что они идентичны по содержанию. Подставим в это выражение to = t — 1. Тогда
Ш (т) = S*Ш (т) = S*(<-!)} =(<-!)} == S* (т) ехр= S* (т) ехр.2тг ,1[ ,2тг—г—me j ехрг —т.2тг ,1[ ,2тг—г—me j ехрг —т
Ш (т) = S*
Ш (т) = S*
(<-!)} =
(<-!)} =
= S* (т) ехр
= S* (т) ехр
.2тг ,1[ ,2тг
—г—me j ехрг —т
.2тг ,1[ ,2тг
—г—me j ехрг —т
t-1-7 52lgo,t-i(m)|2expm=0t-1-7 52lgo,t-i(m)|2expm=0
t-1
-7 52lgo,t-i(m)|2exp
m=0
t-1
-7 52lgo,t-i(m)|2exp
m=0
Полученный результат совпадает с (6.4.10).
Механизм работы СИФ при формировании сигнального отклика. Используя (6.4.8), запишем выражение выходного сигнала СИФ для произвольного идеализированного импульса яркости {s (n)}0 t_1:
Т) (п) = | У^ go,t-i (m) w (m) exp ^г^тп m=0
= 7 52 go,t-i Wgo t-! (m) • (2 exp ^yrn] - exp |iy2m) - 1) x m=0
(ly mn) - 7 У2 ko,t-i(m)|2exp ^i^m(n + 2m=0
В момент n = no = ^ — 1 будем иметь
= 2E0,t-i - 7 J2 S'o.t-i (m) -go,t-i (m)exp-[-zym m=0
- 7 52 g^- ^So,t-i (m) • exP {^ym}’ (6-4-11) m=0
где Eo,t-i — энергия сигнала {s(n)}ot_r Вторая и третья сумма здесь равны соответственно скалярным произведениям сигнала {s^lo^-i на сдвинутые вправо и влево на один отсчет копии {s (пУ^ t и {s (n)}_1t_2. Тогда
77 (Z — 1) = 2Е0,г-1 — (so,t-i, si,t) — (so,t-i, s_1)t-2) =
= 2 • [Eq^-i — (so,t-i, si^)].
Полученные выражения (6.4.8) и (6.4.9) позволяют представить работу СИФ как суммарный результат работы трех линейных звеньев (рис. 6.19).
Рис. 6.19. Структура СИФ
На входы этих звеньев подается один и тот же скачок яркости {s (n)}0 t_r Первое звено имеет ЧКП wi (m), согласованное с этим скачком, т.е.
и?! (т) = exp ^уго^ ■ g^^ (m).
Второе звено имеет ЧКП вида
ш2 (ш) = ехр {г^т} • g^t (т), согласовано со сдвинутой на один отсчет вправо входной последовательностью {s^lot-p т.е. с последовательностью {s(n)}lt. Третье звено имеет ЧКП вида
Шз (т) = ехр {г^т} ' g-V-2 (т) ’ согласовано со сдвинутой на один отсчет влево входной последовательностью {s(n)}Of_1, т.е. с последовательностью {s(n)}_lf_2. При формировании отсчета Т) (t — 1) первое звено компенсирует фазовые сдвиги гармоник входного сигнала и формирует выходной сигнал в виде суммы энергий каждой гармоники, т.е. в виде энергии сигнала {s (n)}0 t_v Второе и третье звенья в момент тг — t — 1 оказываются несогласованными с входным сигналом и формируют отсчеты АКФ входного сигнала для случая задержки на один интервал времени. Далее все три отсчета складываются с весами 2, — 1 и — 1.
Рассмотрим фазовые соотношения для выходного сигнала при согласованно-избирательной фильтрации в момент п — t — 1. Все гармоники сигнала на выходе согласованного звена в этот момент имеют одинаковый, равный нулю, аргумент, а на выходе остальных звеньев такое положение уже не имеет места. Однако сумма выходных сигналов этих звеньев, равцая
t-i
у 52 Isb,t-1 (m)|2 exp (—z^mn} +
m=0
t-1t-X
+ 7 52 ko,t-i (m)|2exp{z^mn| = |52 ko,t-i (m)|2 cos ^mn,
m=0m=0
является суммой действительных чисел. Таким образом, второе и третье звенья, так же как и первое, формируют в момент времени п = t—1 сигналы, все гармоники которых имеют одинаковые аргументы, т.е. одинаковые фазы. Такая же картина имеет место в обычном согласованном фильтре. Однако при образовании результирующего отсчета из удвоенного
-З^г-МГсозутп
Рис. 6.20. Векторная диаграмма выходных сигналов звеньев СИФ в момент п = = t - 1
выходного сигнала первого звена вычитаются выходные сигналы второго и третьего звеньев, т.е. гармоники выходных сигналов этих звеньев имеют в результирующем сигнале фазовый сдвиг, равный тг (рис. 6.20).
Таким образом, в отличие от согласованной фильтрации, при согласованно-избирательной фильтрации в момент образования максимального выходного сигнала одна часть гармоник имеет фазу, противоположную фазе другой части гармоник, что является следствием дифференциального характера работы СИФ.
Целесообразность согласования ЧКП фильтра со спектром изображения именно в области средних и высоких частот поясняется на рис. 6.21.
На рис. 6.21, а и б показаны соответственно энергетические спектры фонового шума и изображения объекта в ландшафтной сцене. Сравнивая графики спектров, можно отметить много общих черт: значительные по мощности нулевая и низкочастотные составляющие и очень малые по своим значениям средне- и высокочастотные составляющие. Если учесть, что график на рис. 6.21, а характеризует помеху, а график на рис. 6.21, б —
ввРис. 6.21. Энергетический спектр: а — фонового шума; б — сплошного объекта; в — контура объекта
в
в
полезный сигнал в виде сплошного изображения, то становится ясным, что из-за практически полного перекрытия спектров проблема выделения такого сигнала является сложной.
На рис. 6.21, в показан график энергетического спектра контура изображения, соответствующего сплошному объекту, для которого был построен спектр на рис. 6.21, б. Хорошо видно, что в средне- и высокочастотной областях спектра появились достаточно мощные составляющие, причем именно там, где спектральная плотность фонового шума практически близка к нулю. В результате выходные отсчеты СИФ, амплитудночастотная характеристика которого прозрачна в области средних и высоких частот и непрозрачна в области нулевой и низких частот, будут формироваться в значительной степени отсчетами полезного сигнала.
ЧКП СИФ для прямоугольного и линейного скачков яркости. В предыдущем разделе были получены выражения для ИХ фильтров, избирательно согласованных с прямоугольным, линейным и параболическим скачками яркости. Основываясь на этих выражениях, определим ЧКП этих фильтров в виде прямого ДПФ от ИХ, т.е.
t-i
^(ш) ~ 52 ^^ ехр{—г—тп}, т = 0,1,... , t — 1. (6.4.12) 71=0
ИХ СИФ для двух первых видов скачков имеют всего лишь две ненулевые компоненты. Поэтому ЧКП СИФ таких скачков будет определяться суммой двух экспонент:
ш^тп) = А(п1) ехр{—г^ттг^ + Л(п2) ехр{—7-^771712},где Til и 712 — номера ненулевых компонент ИХ. Отсчеты ИХ начинаются
с момента п = 0, а их количество равно t. Поэтому пх = О, П2 = t — 1 = тф. Тогда
ш(т) = А(0) + X(t — 1) ехр{ — i~-m(t — 1)} = А(0) + А(£ — 1) ехр{г^т} . Отметим, что прямоугольный скачок является частным случаем линейного скачка с параметрами I = 0 и t = 2. Воспользовавшись выражени-
Таблица 6.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
0
2
3
0
0,866
0,866
4
0
0,471
0,666
0,471
5
0
0,294
0,476
0,476
0,294
6
0
0,2
0,346
0,4
0,346
0,2
7
0
0,145
0,261
0,325
0,325
0,261
0,145
8
0
0,109
0,202
0,264
0,286
0,264
0,202
0,109
9
0
0,086
0,161
0,217
0,246
0,246
0,217
0,161
0,086
ем (6.3.27) для отсчетов ИХ фильтра, избирательно согласованного с линейным скачком яркости, получим
2тг . . 2тг
। z2тг \1 — cos—m 4-г sin— т
=~ exp{iym}J =t__1, (М 13)
т = 0,1,... , t — 1.
Для прямоугольного скачка t = 2 и
w(jn?) = 1 — совтгт + zsinTrm.(6.4.14)
С учетом того, что переменная т в этом случае принимает значения только 0 и 1, будем иметь
Рис. 6.22. Амплитудно-частотная характеристика СИФ для линейного скачка яркости длительности t = 8Рис. 6.22. Амплитудно-частотная характеристика СИФ для линейного скачка яркости длительности t = 8w(0) = 0,си(1) = 1 + г. (6.4.15)
Рис. 6.22. Амплитудно-частотная характеристика СИФ для линейного скачка яркости длительности t = 8
Рис. 6.22. Амплитудно-частотная характеристика СИФ для линейного скачка яркости длительности t = 8
Определим амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) СИФ как модуль ЧКП. Тогда используя (6.4.13), получим
I / \ ।2. 7Г
идти =sin —т,_
1 v лt-X t ’(6.4.16)
т = 0,1,... ,2-1.
В табл. 6.1 приведены отсчеты АЧХ СИФ для линейного скачка яркости, найденные по формуле (6.4.16).
На рис. 6.22 показан вид АЧХ СИФ для линейного скачка яркости с t = 8 И = 6).
На основании полученных выражений для АЧХ фильтра можно сделать следующие выводы.
Фильтр не пропускает постоянной составляющей яркости.
Огибающая АЧХ представляет собой положительную полуволну функции sin х.
АЧХ фильтра содержит t отсчетов, причем нулевой отсчет |w(0)| = — О и |w(m)| = |cj(Z — m)|.
Полоса пропускания Дто,7О7 фильтра на уровне 0,707 равна
Дто,7О7 = 0,5Л(6.4.17)
Величина Д?тго,7О7 прямо пропорциональна длительности скачка.
4.4. ЧКП СИФ для параболического скачка яркости. ЧКП фильтра, избирательно согласованного с идеализированным параболическим скачком яркости, заданного в виде (6.3.31) с учетом выражения (6.3.32) для его ИХ, будет равен
2^ — 3 _ ^Р\г^ (* " I)2 (t - I)22^ — 3 _ ^Р\г^ (* " I)2 (t - I)22(t - l)22(t - l)2t—252exP n=lt—252exP n=l. 2тгг—mn t. 2тгг—mn t
2^ — 3 _ ^Р\г^ (* " I)2 (t - I)2
2^ — 3 _ ^Р\г^ (* " I)2 (t - I)2
2
(t - l)2
2
(t - l)2
t—2
52exP n=l
t—2
52exP n=l
. 2тг
г—mn t
. 2тг
г—mn t
Последнее слагаемое этого выражения можно представить в виде суммы (Z — 2) членов геометрической прогрессии со знаменателем Г .2тг 1 т
exp | — г—ту Тогда
ш^т) =ш^т) =1(t - I)21(t - I)22t — 3 — exp2t — 3 — expВыполнив преобразование, получимВыполнив преобразование, получим0 при т = 0; w(m) = < 2t — 1 + exp f г-0 при т = 0; w(m) = < 2t — 1 + exp f г-(t - I)2(t - I)2при т = 1, 2,... , t — 1.при т = 1, 2,... , t — 1.(6.4.18)(6.4.18)Например, ЧКП СИФ для скачка, показанного на рис. 6.18, равенНапример, ЧКП СИФ для скачка, показанного на рис. 6.18, равенш(т) = <ш(т) = <0 при т = 0;п ! Г •27Г9 + ехр < г—т0 при т = 0;п ! Г •27Г9 + ехр < г—тпри т = 1,2,3,4,при т = 1,2,3,4,илиилиQ = Mm)}0)4 = {0; 0,58 + 0,06г; 0,51 + 0,04г; 0,51 - 0,04г; 0,58 - 0,06г}.АЧХ СИФ для параболического скачка, определяемая как модуль w(m), имеет видQ = Mm)}0)4 = {0; 0,58 + 0,06г; 0,51 + 0,04г; 0,51 - 0,04г; 0,58 - 0,06г}.АЧХ СИФ для параболического скачка, определяемая как модуль w(m), имеет вид0 при т = 0;0 при т = 0;|w(m)| = <|w(m)| = <1(< - I)21(< - I)22(2i — 1) cos ( ^m| + 1 при m = 1,2,... , t — 1.2(2i — 1) cos ( ^m| + 1 при m = 1,2,... , t — 1.
ш^т) =
ш^т) =
1
(t - I)2
1
(t - I)2
2t — 3 — exp
2t — 3 — exp
Выполнив преобразование, получим
Выполнив преобразование, получим
0 при т = 0; w(m) = < 2t — 1 + exp f г-
0 при т = 0; w(m) = < 2t — 1 + exp f г-
(t - I)2
(t - I)2
при т = 1, 2,... , t — 1.
при т = 1, 2,... , t — 1.
(6.4.18)
(6.4.18)
Например, ЧКП СИФ для скачка, показанного на рис. 6.18, равен
Например, ЧКП СИФ для скачка, показанного на рис. 6.18, равен
ш(т) = <
ш(т) = <
0 при т = 0;
п ! Г •27Г
9 + ехр < г—т
0 при т = 0;
п ! Г •27Г
9 + ехр < г—т
при т = 1,2,3,4,
при т = 1,2,3,4,
или
или
Q = Mm)}0)4 = {0; 0,58 + 0,06г; 0,51 + 0,04г; 0,51 - 0,04г; 0,58 - 0,06г}.
АЧХ СИФ для параболического скачка, определяемая как модуль w(m), имеет вид
Q = Mm)}0)4 = {0; 0,58 + 0,06г; 0,51 + 0,04г; 0,51 - 0,04г; 0,58 - 0,06г}.
АЧХ СИФ для параболического скачка, определяемая как модуль w(m), имеет вид
0 при т = 0;
0 при т = 0;
|w(m)| = <
|w(m)| = <
1
(< - I)2
1
(< - I)2
2(2i — 1) cos ( ^m| + 1 при m = 1,2,... , t — 1.
2(2i — 1) cos ( ^m| + 1 при m = 1,2,... , t — 1.
При значении t ^ 4 без больших потерь в точности АЧХ фильтра можно найти как
1 v л (t — 1)'1 v л (t — 1)'m = 1,2,... ,t- 1.m = 1,2,... ,t- 1.(6.4.20)(6.4.20)
1 v л (t — 1)'
1 v л (t — 1)'
m = 1,2,... ,t- 1.
m = 1,2,... ,t- 1.
(6.4.20)
(6.4.20)
4.5. Прохождение фоновых шумов через СИФ. Как следует из выражения (6.3.28), при прохождении через фильтр, избирательно-согласованный с линейным скачком яркости, происходит вычитание двух отсчетов входного сигнала, разнесенных на интервал Тф = t — 1. Рассмотрим, каким при этом преобразованиям подвергается фоновый шум.
Как следует из п. 6.1, для широкого класса реальных сцен фоновый шум представляет собой сильнокоррелированный случайный процесс с экспоненциально-косинусной АКФ:
R(n) = а^х ехр{—a|n|} cos^Sn, п = 0, ±1, ±2,... , ±(f — 1)/2, (6.4.21) где <7цХ — дисперсия фонового шума, а — декремент затухания АКФ и ^ — частота периодической составляющей АКФ. Дисперсия разности а^ двух, разнесенных на интервал Тф = < — 1, отсчетов фонового шума равна [25]
(6.4.22)(6.4.22)22 п 2 2 I 2
(6.4.22)
(6.4.22)
^вых = ^i -Зсг^зПг + о-з,
где <7j и <72 — дисперсии вычитаемых фильтром отсчетов фонового шума, разнесенных на интервал Тф , a ri2 — коэффициент корреляции этих отсчетов. Так как предполагается, что фильтрация производится в пределах локально однородного участка сцены, то <ti = <т2 = <тВх- Тогда последнее выражение принимает вид
°"вых/°"вх = 2(1 - г12)-°"вых/°"вх = 2(1 - г12)-(6.4.23)(6.4.23)
°"вых/°"вх = 2(1 - г12)-
°"вых/°"вх = 2(1 - г12)-
(6.4.23)
(6.4.23)
Рис. 6.23. АКФ R(n) фонового шума с параметрами Ствх = 1, а = 0 = 0,1 и зависимость Я(п) /Я(1)Рис. 6.23. АКФ R(n) фонового шума с параметрами Ствх = 1, а = 0 = 0,1 и зависимость Я(п) /Я(1)
Рис. 6.23. АКФ R(n) фонового шума с параметрами Ствх = 1, а = 0 = 0,1 и зависимость Я(п) /Я(1)
Рис. 6.23. АКФ R(n) фонового шума с параметрами Ствх = 1, а = 0 = 0,1 и зависимость Я(п) /Я(1)
При Г12 = 1 дисперсия а^ых фонового шума равна нулю, а при ri2 = = 0, т.е. в случае некоррелированного шума, <7цЫХ = 2<jgX. На рис. 6.23
представлены график АКФ (6.1.3) для случая <7gX = 1, а = Р = = 0,1 и зависимость Д(?1)/Д(1), п = 1,2,... ,12.
Из последней зависимости видно как уменьшается коэффициент корреляции отсчетов фонового шума по мере перехода от фильтра, избирательно-согласованного с прямоугольным скачком яркости (n = 1) к фильтру, избирательно-согласованному с линейным скачком яркости с нарастающей длительностью фронта (п = 2,3,... 12). По данной зависимости и с помощью
выражения (6.4.23) можно оценить
рост дисперсии фонового шума на выходе нормированного стандартного СИФ при увеличении длительности фронта линейного скачка яркости.
Как видно из графика на рис. 6.24, при выбранных параметрах а = = /3 = 0,1 автокорреляционной функции фонового шума минимальная дисперсия <7ЬЫХ получается в том случае, когда фильтр избирательно
согласован с прямоугольным скачком яркости.
За счет сильной декорреляции фонового шума СИФ примерно в пять раз снижает его дисперсию. С увеличением фронта линейного скачка
дисперсия фонового шума на вы-
Рис. 6.24. Зависимость дисперсии выходного фонового шума от длительности фронта скачка яркости для нормированного стандартного СИФРис. 6.24. Зависимость дисперсии выходного фонового шума от длительности фронта скачка яркости для нормированного стандартного СИФходе монотонно нарастает и при Тф = 6 она становится равной дисперсии этого шума на входе фильтра, т.е. «(Ту
Рис. 6.24. Зависимость дисперсии выходного фонового шума от длительности фронта скачка яркости для нормированного стандартного СИФ
Рис. 6.24. Зависимость дисперсии выходного фонового шума от длительности фронта скачка яркости для нормированного стандартного СИФ
Поясним с частотной точки зрения эффект снижения дисперсии фонового шума на выходе нормированного стандартного СИФ по мере уменьшения длительности фронта скачка яркости. Фоновый шум, как сильно коррелированный
Рис. 6.25. Фильтрация фонового шума нормированным стандартным фильтром, избирательно согласованным с линейным скачком яркости: а — реализация фонового шума; б — выходные отсчеты фильтра для скачков с длительностью фронта Тф = = 1 и Тф = 6; в — зависимость СКО шумовых отсчетов на выходе фильтра от длительности фронта скачка, с которым избирательно согласован фильтрРис. 6.25. Фильтрация фонового шума нормированным стандартным фильтром, избирательно согласованным с линейным скачком яркости: а — реализация фонового шума; б — выходные отсчеты фильтра для скачков с длительностью фронта Тф = = 1 и Тф = 6; в — зависимость СКО шумовых отсчетов на выходе фильтра от длительности фронта скачка, с которым избирательно согласован фильтрпроцесс, характеризуется энергетическим спектром, сосредоточенным в области нулевой и низших частот (рис. 6.21, а). С ростом частоты энергия фонового шума падает. В то же время СИФ, как фильтр высоких частот, имеет коэффициент передачи, увеличивающийся с ростом частоты, причем, чем меньше длительность фронта Тф = t — 1 скачка яркости, тем больше завал АЧХ в области низких частот. Поэтому СИФ для прямоугольного скачка по сравнению с фильтром, избирательно согласованным с линейным скачком любой длительности, подавляет большую часть энергетического
Рис. 6.25. Фильтрация фонового шума нормированным стандартным фильтром, избирательно согласованным с линейным скачком яркости: а — реализация фонового шума; б — выходные отсчеты фильтра для скачков с длительностью фронта Тф = = 1 и Тф = 6; в — зависимость СКО шумовых отсчетов на выходе фильтра от длительности фронта скачка, с которым избирательно согласован фильтр
Рис. 6.25. Фильтрация фонового шума нормированным стандартным фильтром, избирательно согласованным с линейным скачком яркости: а — реализация фонового шума; б — выходные отсчеты фильтра для скачков с длительностью фронта Тф = = 1 и Тф = 6; в — зависимость СКО шумовых отсчетов на выходе фильтра от длительности фронта скачка, с которым избирательно согласован фильтр
спектра фонового шума. Данная закономерность работы нормированного стандартного СИФ иллюстрируется на рис. 6.25. Реализация фонового шума на входе СИФ приведена на рис. 6.25, а, на рис. 6.25, б представлены отсчеты фильтра, избирательно согласованного с прямоугольным (тф = 1) и линейным (тф = 6) скачком яркости. На рис. 6.25, в показана зависимость СКО фонового шума на выходе фильтра от длительности фронта линейного скачка, с которым он избирательно согласован.
При Тф — 1 дисперсия <ТвЫХ выходного шума в 3,4 раза ниже дисперсии а2х входного шума, при Тф = 3 значения обеих дисперсий примерно одинаковы, а при Тф = 6 величина <ТвЫХ более, чем в два раза превышает значение а2х.
6.4.6. Энергетические соотношения при согласованно-избирательной фильтрации зашумленных скачков яркости. Отношение сигнал/фоновый шум на входе фильтра определим как6.4.6. Энергетические соотношения при согласованно-избирательной фильтрации зашумленных скачков яркости. Отношение сигнал/фоновый шум на входе фильтра определим как
6.4.6. Энергетические соотношения при согласованно-избирательной фильтрации зашумленных скачков яркости. Отношение сигнал/фоновый шум на входе фильтра определим как
6.4.6. Энергетические соотношения при согласованно-избирательной фильтрации зашумленных скачков яркости. Отношение сигнал/фоновый шум на входе фильтра определим как
Рис. 6.26. Энергетические характеристики процесса согласованно-избирательной фильтрации идеализированного линейного скачка яркостиРис. 6.26. Энергетические характеристики процесса согласованно-избирательной фильтрации идеализированного линейного скачка яркости
Рис. 6.26. Энергетические характеристики процесса согласованно-избирательной фильтрации идеализированного линейного скачка яркости
Рис. 6.26. Энергетические характеристики процесса согласованно-избирательной фильтрации идеализированного линейного скачка яркости
где ||s||2 = ^ s2 (п) — квадрат нормы вектора отсчетов яркости в фрон- п=0
те незашумленного скачка яркости; Е = ||s|| /(1 + Тф) — удельная энер-
Таблица 6.2
t = Тф ч-1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ve/a
0,707
0,645
0,623
0,612
0,605
0,598
0,595
0,523
гия отсчетов фронта скачка. В табл. 6.2 приведены значения VE для идеализированных удельных скачков с амплитудой А.
Как и следовало ожидать, величина VE с ростом длительности фронта скачка стабилизируется. Определим отношение сигнал/шум на выходе фильтра как частное квадрата пикового выходного скачка нормированного
стандартного СИФ в момент п = t — — 1 и дисперсии сг^ фонового шума, т.е.
<7В2ЫХ =(6.4.25)
^ВЫХ^вых
На рис. 6.26 приведены графики зависимостей входного (кривая 1) Qbx (тф) и выходного (кривая 2) 9вых (тф) отношения сигнал/шум для СИФ при условии, что дисперсия ^вх (тф) фонового шума на входе равна единице, а параметры АКФ
фонового шума выбраны равными а = Р = 0,1. Значения <7вЫХ (тф) соответствуют графику на рис. 6.24 при о^х = 1. На рис. 6.26 приведена также зависимость (кривая 3) выигрыша т (тф) в отношении сигнал/фоновый шум при фильтрации линейного скачка яркости, как функции длительности фронта Тф = t — 1 = I +1. Как видно из графика, этот выигрыш максимален для СИФ, избирательно согласованного с прямоугольным скачком яркости. Для данного случая он равен т = 3,08. По мере роста длительности фронта скачка выигрыш постепенно уменьшается и становится равным г = 1,5 при тд = 7 и г = = 1,27 при тф = 12.
Характеристики обнаружения границы изображения при использовании согласованно-избирательной фильтрации
Алгоритм работы обнаружителя. Оптимальный обнаружитель границы фон/объект в пределах локально однородного участка сцены в общем случае содержит фоноподавляющее, согласованное и пороговое звенья (см. п. 6.1). Реальные фоны в ландшафтных сценах в области средних и высоких пространственных частот характеризуются убывающим по закону квадратичной параболы энергетическим спектром. Поэтому статистику для работы обнаружителя целесообразно получать на основе квазиоптимал ьного фильтра, согласованного со спектром фона именно в этих областях его энергетического спектра, или, что то же самое, с формой скачка яркости на границе фон/объект (см. п. 6.2). Роль фильтров, вырабатывающих с учетом этих подходов статистику для обнаружения начальной точки контура изображения, играют согласованно-избирательные фильтры, анализ работы которых был проведен в пп. 6.2-6.4.
В момент образования пикового выходного сигнала СИФ выполняет над входным сигналом операцию (см. п. 6.2.3)
t-i
>7 (^ - !) = 52 / (») A (n) = с2 7?st (t — 1),(6.5.1)
где
£-1
r/st (< - 1) = 52 / (n) l2s (n) - s (n - 1) - s (n + 1)].(6.5.2)
71=0
Для обеспечения заданной надежности принимаемого решения в пользу гипотезы о наличии на входе СИФ скачка яркости заданной формы величина r)(t — 1) сравнивается с порогом Ло, учитывающим риски ошибочных решений и априорные вероятности наличия и отсутствия этого скачка: rj (£ — 1) ^ Ло, или, с учетом (6.5.2),
>?st (t - 1) ^ ^0N0^xa.(6.5.3)
Таким образом, обнаружитель границы фон/объект сравнивает с позиции критерия минимального среднего риска пиковое значение выход-
кого сигнала стандартного СИФ с порогом, величина которого прямо пропорциональна величине Ло, спектральной плотности мощности широкополосного шума No, дисперсии а2х и декременту затухания АКФ фонового шума.
При работе с реальными сценами априорные вероятности наличия и отсутствия в пределах апертуры СИФ скачка яркости на границе фон/объект чаще всего неизвестны. Поэтому возникает сложность в определении величины порога Ло и как принято, например, в радиолокации, в качестве критерия работы обнаружителя выбирается критерий Неймана-Пирсона [55]. В соответствии с ним обнаружитель должен обеспечивать максимум вероятности правильного обнаружения D при заданном уровне вероятности ложной тревоги F. В рассматриваемом случае обнаружения границы фон/объект близкое к максимуму значение вероятности D достигается за счет применения СИФ и использования величины г] (t — 1) в качестве сравниваемой с порогом 6 статистики. Величину этого порога определяет уровень вероятности ложной тревоги F. Таким образом, принятие решения об обнаружении границы фон/объект происходит, если Т) (t — 1) ^ 6. С учетом (6.5.2) это правило принимает вид
т/st (t - 1) ^ Uo, (6.5.4) где
Uy = ^Nya^a. (6.5.5)
Кроме априорных вероятностей обычно также неизвестны спектральная плотность мощности No входного широкополосного шума, дисперсия а2х и декремент затухания а фонового шума. Последние два параметра, а^х и а, сильно варьируются при переходе из одного локально однородного участка сцены в другой.
Таким образом, квазиоптимальное обнаружение границы фон/объект производится по результатам сравнения с порогом Uo пикового выходного сигнала стандартного СИФ. При этом вопрос выбора величины порога Uo, обеспечивающего необходимую надежность принимаемого решения, остается открытым..
Методика расчета характеристик обнаружения границы. Один из подходов к определению порогового уровня обнаружения Uo основан на гипотезе о том, что закон распределения вероятностей отсчетов фонового шума на выходе СИФ близок к нормальному с нулевым математическим ожиданием [94, 111].
Нормализации процесса способствует декорреляция входных отсчетов шума при прохождении через фильтр. Величина дисперсии сг2 определяется значениями No, а2х и а. Если по выборочным отсчетам СИФ, взятым в пределах локально однородного участка сцены, получить оценку этой дисперсии, то появляется возможность определения порогового уровня Uo, гарантирующего непревышение заданного уровня вероятности F
(рис. 6.27), где(рис. 6.27), где
(рис. 6.27), где
(рис. 6.27), где
ОО
(6.5.6)(6.5.6)F = j P^stWt-
(6.5.6)
(6.5.6)
Uo
При этом отпадает необходимость нахождения оценок N^a^ и а, определяющих выходной сигнал фильтра. Таким образом, обнаружитель границы должен состоять из блока оценки дисперсии стандартных выходных отсчетов фильтра, вычислителя порогового уровня Uq по заданномуПри этом отпадает необходимость нахождения оценок N^a^ и а, определяющих выходной сигнал фильтра. Таким образом, обнаружитель границы должен состоять из блока оценки дисперсии стандартных выходных отсчетов фильтра, вычислителя порогового уровня Uq по заданномуРис. 6.27. К определению порогового уровня для сигнала стандартного СИФРис. 6.27. К определению порогового уровня для сигнала стандартного СИФзначению F и порогового устройства (рис. 6.28). Несмещенная оценка а2Ъ1Х дисперсии находится по выборочным отсчетам СИФ в пределах локально однородного участка:значению F и порогового устройства (рис. 6.28). Несмещенная оценка а2Ъ1Х дисперсии находится по выборочным отсчетам СИФ в пределах локально однородного участка:-2 у вых-2 у вых1п — 11п — 1(6.5.7)(6.5.7)J=1J=1где п — число используемых выборочных отсчетов яркости.Вероятность правильного обнаружения Dгде п — число используемых выборочных отсчетов яркости.Вероятность правильного обнаружения D
При этом отпадает необходимость нахождения оценок N^a^ и а, определяющих выходной сигнал фильтра. Таким образом, обнаружитель границы должен состоять из блока оценки дисперсии стандартных выходных отсчетов фильтра, вычислителя порогового уровня Uq по заданному
При этом отпадает необходимость нахождения оценок N^a^ и а, определяющих выходной сигнал фильтра. Таким образом, обнаружитель границы должен состоять из блока оценки дисперсии стандартных выходных отсчетов фильтра, вычислителя порогового уровня Uq по заданному
Рис. 6.27. К определению порогового уровня для сигнала стандартного СИФ
Рис. 6.27. К определению порогового уровня для сигнала стандартного СИФ
значению F и порогового устройства (рис. 6.28). Несмещенная оценка а2Ъ1Х дисперсии находится по выборочным отсчетам СИФ в пределах локально однородного участка:
значению F и порогового устройства (рис. 6.28). Несмещенная оценка а2Ъ1Х дисперсии находится по выборочным отсчетам СИФ в пределах локально однородного участка:
-2 у вых
-2 у вых
1
п — 1
1
п — 1
(6.5.7)
(6.5.7)
J=1
J=1
где п — число используемых выборочных отсчетов яркости.
Вероятность правильного обнаружения D
где п — число используемых выборочных отсчетов яркости.
Вероятность правильного обнаружения D
границы при заданных значениях порогового уровня Uq и входного отношения сигнал/фоновый шум qBX может быть найдена при известном законе распределения вероятностей пикового выходного сигнала СИФ и расположении окна фильтра на этой границе. В соответствии с принципом суперпозиции для такой линейной системы
Рис. 6.28. Структура обнаружителя границы фон/объект с вычислением текущего значения порогового уровняРис. 6.28. Структура обнаружителя границы фон/объект с вычислением текущего значения порогового уровня
Рис. 6.28. Структура обнаружителя границы фон/объект с вычислением текущего значения порогового уровня
Рис. 6.28. Структура обнаружителя границы фон/объект с вычислением текущего значения порогового уровня
как СИФ это распределение также будет нормальным, с дисперсией сГдЫХ, но с математическим ожиданием, равным выходному сигналу фильтра 77st (^ - 1) ПРИ подаче на его вход незашумленного скачка:
ш (t -1)] =ш (t -1)] =1х/2тг<7вых1х/2тг<7вых[t?st (t - 1) - %t (t - l)]2[t?st (t - 1) - %t (t - l)]2^^вых^^вых
ш (t -1)] =
ш (t -1)] =
1
х/2тг<7вых
1
х/2тг<7вых
[t?st (t - 1) - %t (t - l)]2
[t?st (t - 1) - %t (t - l)]2
^^вых
^^вых
Если фильтр избирательно согласован с прямоугольным скачком яркости амплитудой А, то rfa (t — 1) = А и
f^st (t - 1)] = -=^expf^st (t - 1)] = -=^expМ~1М£М~1М£V 27Г(ТВЫХV 27Г(ТВЫХ(6.5.9)(6.5.9)
f^st (t - 1)] = -=^exp
f^st (t - 1)] = -=^exp
М~1М£
М~1М£
V 27Г(ТВЫХ
V 27Г(ТВЫХ
(6.5.9)
(6.5.9)
В общем случае вероятность правильного обнаружения будет равна
exp <exp <^st (t - 1) - ^t (t - 1)^st (t - 1) - ^t (t - 1)>dps{(t-1).(6.5.10)>dps{(t-1).(6.5.10)
exp <
exp <
^st (t - 1) - ^t (t - 1)
^st (t - 1) - ^t (t - 1)
>dps{(t-1).(6.5.10)
>dps{(t-1).(6.5.10)
^0
Для экспериментального подтверждения полученного таким путем вероятности D необходимо пиковый незашумленный выходной сигнал 7/st (t — 1) располагать в различных местах строки сцены и суммировать его с фоновыми отсчетами. После сравнения каждого такого суммарного отсчета с порогом Uq находится доля превышающих порог отсчетов. Отношение сигнал/фоновый шум на входе СИФ определяется отношением (6.4.23).
Для расчета характеристик обнаружения границы фон/объект можно использовать следующую методику, основанную на приведенных выше соображениях.
Подготовительный этап.
Формируем в пределах локально однородного участка сцены F строку отсчетов яркости фоновых шумов (файл strn\
Задаемся видом идеализированного скачка яркости и синтезируем для него СИФ.
Формируем массив отсчетов стандартного СИФ (файлы spr, spl и др.).
Построение зависимости вероятности ложной тревоги F от величины порогового уровня Uq.
По формуле (6.5.7) находим оценку дисперсии о-^ых отсчетов фоновых шумов на выходе фильтра. Варьируя пороговый уровень Uq, по формуле (6.5.6) с учетом нормального характера выходных фоновых шумов строим зависимость / (Uq).
Построение зависимости D = / (двх) при F = const (экспериментально-теоретический подход).
Находим оценку дисперсии а^ отсчетов яркости в массиве strn.
Задаемся амплитудой А идеализированного скачка яркости и в соответствии с выражением (6.4.23) находим величину отношения сигнал/фоновый шум двх на входе СИФ.
Цр - t?st (t - 1)Цр - t?st (t - 1)Определяем реакцию psv (t - 1) стандартного СИФ на незашумленный скачок яркости. По графику F = / (Uq) для заданного значения F находим соответствующий пороговый уровень. По таблице для нормального закона распределения вероятностей определяем искомое значение вероятности D*.
Цр - t?st (t - 1)
Цр - t?st (t - 1)
1 Гli|
D = 1= I exp < — — >dt, где х =
х/2тг JI 2 I
Построение зависимости D = f (gBX) при F = const ^экспериментальный подход).
Суммируем пиковый отсчет ^t (t — 1) стандартного СИФ с каждым входным шумовым отсчетом фильтра (массивы spr, spl и др.). Определяем количество w модифицированных таким образом отсчетов массива, равных или превышающих установленный порог Uq. Находим оценку вероятности D как значение относительной частоты D* = w/W, где W — объем массива выходных отсчетов фильтра.
Теоретический аспект экспериментально-теоретического подхода к построению характеристик обнаружения базируется на нормальном характере закона распределения вероятностей отсчетов фонового шума на выходе СИФ, а экспериментальный аспект — на получении оценки дисперсии этих отсчетов по конкретной выборке. Экспериментальный подход не требует никакой информации о законе распределения вероятностей отсчетов и позволяет оценить степень адекватности экспериментальнотеоретического подхода методике.
В качестве иллюстрации методики рассмотрим задачу обнаружения границы фон/объект в области изображения дороги в типовой ландшафтной сцене «Forest 2», приведенной на рис. 6.29. Необходимо построить характеристики обнаружения края дороги в пределах одной строки прямоугольного фрагмента ABCD.
Рис. 6.29. Ландшафтная сцена с вертикально ориентированным изображением дорогиРис. 6.29. Ландшафтная сцена с вертикально ориентированным изображением дорогиРис. 6.30. Яркостный портрет строки сцены на рис. 6.29Рис. 6.30. Яркостный портрет строки сцены на рис. 6.29
Рис. 6.29. Ландшафтная сцена с вертикально ориентированным изображением дороги
Рис. 6.29. Ландшафтная сцена с вертикально ориентированным изображением дороги
Рис. 6.30. Яркостный портрет строки сцены на рис. 6.29
Рис. 6.30. Яркостный портрет строки сцены на рис. 6.29
На рис. 6.30 показано сечение яркости вдоль этой строки. 117 отсчетов яркости оформлены в виде массива strnl. Используем в качестве модели скачка яркости на границе фон/объект прямоугольный скачок и сформируем массив sprl выходных отсчетов СИФ.
По данным массива sprl в соответствии с п. 2 методики получается зависимость вероятности ложной тревоги при обнаружении прямоугольного скачка от порогового уровня Uo (рис. 6.31). Непрерывная кривая построена на основании предположения о нормальном законе распределения выходных отсчетов sprl значения F. Точками нанесены экспериментально
Рис. 6.31. Зависимости вероятности ложной тревоги F при обнаружении края дороги от величины порогового уровня UqРис. 6.31. Зависимости вероятности ложной тревоги F при обнаружении края дороги от величины порогового уровня UqРис. 6.32. Характеристики обнаружения границы при использовании фильтра, избирательно согласованного с прямоугольным скачком яркостиРис. 6.32. Характеристики обнаружения границы при использовании фильтра, избирательно согласованного с прямоугольным скачком яркостиполученные по массиву sprl значения F. На рис. 6.32 приведены характеристики обнаружения.
Рис. 6.31. Зависимости вероятности ложной тревоги F при обнаружении края дороги от величины порогового уровня Uq
Рис. 6.31. Зависимости вероятности ложной тревоги F при обнаружении края дороги от величины порогового уровня Uq
Рис. 6.32. Характеристики обнаружения границы при использовании фильтра, избирательно согласованного с прямоугольным скачком яркости
Рис. 6.32. Характеристики обнаружения границы при использовании фильтра, избирательно согласованного с прямоугольным скачком яркости
Судя по ним, эффективность обнаружителя прямоугольного скачка яркости на фоне сильнокоррелированного шума, построенного на базе СИФ, нс очень сильно отличается от эффективности обнаружителя этого скачка на фоне белого шума, построенного на основе согласованного
Рис. 6.33. Характеристики обнаружения при F = 0,1Рис. 6.33. Характеристики обнаружения при F = 0,1фильтра [55]. На рис. 6.33 приведены для случая F = 0,1 характеристики обнаружения на базе СИФ линейного скачка яркости {0; 0,33; 0,66; 1} (кривая 3). Здесь же для сравнения приведены графики характеристик обнаружителя на базе СИФ прямоугольного скачка (кривая 2), а также линейного скачка яркости фильтром, избирательно согласованным с прямоугольным скачком (кривая 1). При одинаковых уровнях пикового выходного сигнала фильтров и дисперсии фонового шума,
Рис. 6.33. Характеристики обнаружения при F = 0,1
Рис. 6.33. Характеристики обнаружения при F = 0,1
первый их этих фильтров имеет большее значение дисперсии фонового шума на вь!ходе, что привело к более низкой эффективности обнаружения. С теоретических позиций это было обосновано в п. 6.4.5. На рис. 6.34 приведены результаты обнаружения уже не идеализированного скачка
Рис. 6.34. Обнаружение правого края дороги при разных пороговых уровнях с использованием СИФ для прямоугольного скачка яркости
яркости, по которому построены приведенные выше характеристики обнаружения, а правого края дороги в пределах фрагмента АВ CD сцены «Forest 2». Фильтр обнаружителя был избирательно согласован с прямоугольным скачком яркости.
Цель эксперимента заключалась в оценке полезности синтезированного обнаружителя в условиях реальных скачков яркости на границе фон/объект и значительной неоднородности фона (области I, II и III, рис. 6.30), а также в нахождении пороговых уровней, при которых ложные тревоги не оказывают существенного влияния на процесс обнаружения. Как видно из приведенных фотографий, такой пороговый уровень равен Uo = 53,3.
Обнаружение протяженных прямолинейных границизображений
Квазиоптимальный алгоритм обнаружения и его эффективность. Если априорно известна конфигурация линии границы, т.е. имеется информация о форме изображения или о ее фрагментах, то можно
решить задачу квазиоптимального обнаружения не одной, а множества ее точек в пределах такого фрагмента. За счет накопления большого количества точек границы возрастает отношение сигнал/шум и, как следствие, достигается значительно более высокая эффективность обнаружения. Наиболее просто с этих позиций решается задача обнаружения протяженной прямолинейной границы (см. рис. 6.29).
Рассмотрим особенности организации процесса согласованно-избирательной фильтрации границы Г для случая, когда область Г пред-
6-8-4 04 8 126-8-4 04 8 12Рис. 6.35. Двумерная модель фрагмента сцены с вертикальной прямолинейной границей (а) и сечение по яркости в произвольной строке (б)Рис. 6.35. Двумерная модель фрагмента сцены с вертикальной прямолинейной границей (а) и сечение по яркости в произвольной строке (б)ставляет собой вертикально ориентированную прямолинейную полосу длиной Р, постоянной ширины t с одинаковым в каждом горизонтальном сечении одномерным скачком яркости 7(71) (рис. 6.35), т.е.
6-8-4 04 8 12
6-8-4 04 8 12
Рис. 6.35. Двумерная модель фрагмента сцены с вертикальной прямолинейной границей (а) и сечение по яркости в произвольной строке (б)
Рис. 6.35. Двумерная модель фрагмента сцены с вертикальной прямолинейной границей (а) и сечение по яркости в произвольной строке (б)
7(77, р) = 7(77), р = 1, 2, ...^Р.(6.6.1)
Рис. 6.36. Структура СИФ для вертикально расположенной прямолинейной границы изображения объектаРис. 6.36. Структура СИФ для вертикально расположенной прямолинейной границы изображения объектаТакая модель даст возможность применить результаты по согласованноизбирательной фильтрации для одномерного случая. Выходной сигнал двумерного СИФ в данном случае получается либо суммированием Р выходных сигналов одномерных СИФ (рис. 6.36, а), либо накоплением яркостей Р строк и дальнейшей фильтрацией накопленной строки
Рис. 6.36. Структура СИФ для вертикально расположенной прямолинейной границы изображения объекта
Рис. 6.36. Структура СИФ для вертикально расположенной прямолинейной границы изображения объекта
яркостей (рис. 6.36, б)
р t-i
rj^m) = ^2 У2 /(^,p)[2v(m — t 4- п + 1) - Цт — t + п) — p=ln=°г рр_х
— и^т — t + п + 2)] = 52^n,p) 5Zt2v(m — t + п + 1) —_р=1_ п=0
— v(m — t + n) — u^m — t + n + 2)]. (6.6.2) Если же угол у?, под которым проходит прямолинейная граница Г, не равен тг/2, т.е. линия границы не перпендикулярна строкам сцены, то необходимо получить набор копий фильтруемой сцены F, в каждой из которых изображения повернуты на небольшой угол 0п = па, а = = тг/Я, п = 0,1,... F — 1, R — число копий. В одной из таких копий ориентация прямолинейной границы будет ближе всего к вертикальной и выходной сигнал СИФ окажется самым большим. По величине этого сигнала и принимается решение об обнаружении границы.
Таким образом, квазиоптимальный обнаружитель протяженной прямолинейной границы изображения объекта содержит R одинаковых по структуре каналов. Сцена в r-м канале повернута на небольшой угол а,
Рис. 6.37. Структура многоканального квазиоптимального обнаружителя прямолинейной границы произвольно ориентированного изображения объекта (а) и структура одного из его каналов (б) для сцены с изотропным по мощности фоновым шумом
а^5° —10°, относительно сцены в (г — 1)-м канале. В каждом из каналов производится скользящее суммирование яркостей Р соседних строк, где Р — длина прямолинейного участка границы.
Накопленная строка яркости обрабатывается фильтром, избирательно согласованным с формой скачка яркости на границе фон-объект. Результаты фильтрации каждого из каналов сравниваются с пороговой величиной Uq, вычисляемой исходя из заданной вероятности ложной тревоги F. Если дисперсии фонового шума одинаковы для всех направлений анализа, то используется одно пороговое устройство, к которому подключается канал с максимальным выходным сигналом max7/st(£ - 1). Структура обнаружителя приведена на рис. 6.37.
В том случае, когда фоновый шум в пределах сцены характеризуется значительной анизотропностью, оценка его дисперсии, вычисление порогового уровня и принятие решения проводятся для каждого канала в отдельности.
Рис. 6.38. Образование накопленной строки яркостей: а — исходная сцена, б — график изменения яркости в наклонной строкеРис. 6.38. Образование накопленной строки яркостей: а — исходная сцена, б — график изменения яркости в наклонной строкеТаким образом, одной из существенных особенностей обнаружения прямолинейной границы по сравнению с обнаружением только одной точки границы, имеющей произвольную ориентацию, является обеспечение режима синхронного накопления яркостей Р смежных строк и образование одной строки с суммарной яркостью, отсчеты которой подаются на вход СИФ. Как видно из рис. 6.38, прямолинейному, вертикально расположенному участку границы ML соответствует крутой скачок яркости в пикселе по в суммарной строке сцены.
Рис. 6.38. Образование накопленной строки яркостей: а — исходная сцена, б — график изменения яркости в наклонной строке
Рис. 6.38. Образование накопленной строки яркостей: а — исходная сцена, б — график изменения яркости в наклонной строке
Повышение отношения сигнал/шум для скачка яркости, соответствующего вертикально ориентированной границе, происходит одновременно с уменьшением размаха скачков яркостей от границ всех других изображений. Это уменьшение связано с усреднением яркостей изображений в сцене, происходящим в пределах накапливаемых строк. Для сцены «Forest 2» (см. рис. 6.29) на рис. 6.39 приведены яркостные портреты суммарных строк при различных количествах N суммируемых строк в пределах прямоугольного фрагмента ABCD. Сечение по яркости одной строки этого же фрагмента, т.е. для TV = 1, было показано на рис. 6.30. Из анализа сцены и приведенных яркостных портретов видно, что в пределах обрабатываемого фрагмента имеется
1200 7 i N=5
:WkH
2000
ЛМО
6000
г
О 50 100 150 200 250
050 100 150 200 250
б 050 100 150 200 250
4000
N=ZO
12000
х
а о 50 100 150 200 250
О 50 100 150 200 250
12000
4000
1 к N=400
N=400
е 050 100 150 200 250
Рис. 6.39. Яркостные портреты суммарных строк для сцены «Forest 2» (см. рис. 6.29)
ряд существенных неоднородностей, оказывающих негативное влияние на процесс обнаружения края дороги. Это вертикально ориентированные, т.е. расположенные параллельно обнаруживаемому участку границы изображения нитевидных объектов, яркость которых ниже яркости фона. Кроме этих неоднородностей имеются еще множество других. Они вызваны изображениями объектов, не имеющих вертикальной ориентации. Поэтому при сложении яркостей большого количества строк эти однородности будут разрушаться, что хорошо видно на яркостных портретах для N = 80 и N = 100. Следует также отмстить, что процесс образования суммарной яркостной строки способствует лучшей нормализации отсчетов на выходе СИФ.
На рис. 6.40, а в качестве примера приведены построенные в соответствии с методикой (см. п. 6.5.2) характеристики обнаружения прямолинейной границы при накоплении N = 10 строк. При вероятности ложной тревоги F = 0,05 вероятность правильного обнаружения D = 0,9 достигается при входном отношении сигнал/шум qBX ^0,6. Как следует из характеристик обнаружения одной точки границы (TV = 1), приведенных на рис. 6.32, вероятности F = 0,05 и D = 0,9 обеспечиваются при величине qBX порядка 1. Аналогичные характеристики обнаружения, но при N = 100, приведены на рис. 6.40, б. В этом случае вероятности F = 0,05 и D = 0,9 обеспечиваются уже при qBX ^0,2.
Рис. 6.40. Характеристики обнаружения прямолинейной границы: а — для N = = 10; б — для N = 100. Фильтр обнаружителя согласован с прямоугольным скачком яркости
Л'=30
Л’=60
Рис. 6.41. Обнаружение правого края дороги в сцене «Forest 2» при различном количестве суммируемых строк в сцене
Таким образом, выигрыш в отношении сигнал/шум при обнаружении границы длиной 100 пикселов по сравнению с обнаружением одной точки границы по мощности составляет порядка 15 дБ. На рис. 6.41 представлены результаты обнаружения правого края дороги в сцене «Forest 2» в условиях различного количества N накопленных строк яркости при фиксированном пороговом уровне Uq = 18,4, вероятности ложной тревоги F = 0,2 и СИФ для прямоугольного скачка.
Выбор количества сдвинутых копий исходной сцены при обнаружении прямолинейной границы с произвольной ориентацией. Если угол ориентации прямолинейной границы произволен, то как было отмечено в предыдущем разделе, необходимо иметь набор из R копий фильтруемой сцены, каждая из которых повернута относительно соседней на угол 0п = = па, а = тг/R, п = 0,1,... , R — 1. Рассмотрим на примере двумерного скачка яркости из каких соображений следует выбирать число R, определяющее количество параллельных каналов в схеме обнаружителя границы.
На рис. 6.42, а представлено произвольное положение прямолинейной границы Г в пределах сектора с центральным углом а. Биссектриса этого угла ориентирована вертикально по отношению к линиям строки. Граница Г отклонена от биссектрисы на угол Д^. Если Ду> = 0, то при накоплении строк сцены образуется прямоугольный скачок яркости с Тф = 1.
По мере увеличения угла Д^? амплитуда скачка яркости не изменяется, но увеличивается длительность Тф его фронта (рис. 6.42, б). Из-за
Рис. 6.42. К выбору количества R копий сцены при обнаружении прямолинейной границы Г (Д<^6 > Д<^5 > ... > Д<^1)
дифференциального характера механизма работы СИФ это приводит к уменьшению удельной энергии скачка при сохранении энергии фонового шума, т.е. к снижению отношения сигнал/фоновый шум.
Предположим, что угол Д^? случаен и распределен равномерно. Отметим, что отклонение границы Г на углы ±Ду> от биссектрисы приводит к одинаковому выходному эффекту. Поэтому при анализе влияния отклонения линии границы от вертикали можно ограничиться вдвое меньшим значением угла а. Отсюда следует, что среднее значение и СКО угла между границей и биссектрисой равны Д^ = а/4, « а (7. Если прямолинейная часть границы имеет длину Р пикселов, то среднее значение длительности фронта скачка будет равно
тф = Р tg (а/4) + 1 « 0,25Ра + 1. (6.6.3)
Пусть известна зависимость выходного отношения двых сигнал/фоновый шум от длительности скачка яркости и построено семейство характеристик обнаружения при фиксированном значении вероятности ложной тревоги F, но для разных значений Тф (рис. 6.43, а). Если известно отношение
Рис. 6.43. К определению углового шага «о между соседними каналами обнаружителя
сигнал/фоновый шум, то варьируя значение угла а, можно построить при данной величине F зависимость вероятности правильного обнаружения D от а (рис. 6.43, б). Исходя из минимально допустимого значения вероятности F, заданной вероятности F и известного отношения сигнал/шум на входе СИФ с помощью графика на рис. 6.43, б можно найти величину «о шага углового смещения копий сцены или количество этих копий R.
Инвариантные к характеристикам сцены обнаружители границ изображений
Рассмотрим задачу обнаружения границ изображений объектов со случайным значением яркости в каждом из пикселов на полутоновом случайном фоне инвариантно к наклону линии границы и слабыми ограничениями на статистические характеристики яркости изображений и фона. В отличие от задач обнаружения границы, рассмотренных в п. 6.5 и 6.6, в данном случае обнаруживается не одна, а группа точек произвольно проходящей границы. При этом нет необходимости в информации о форме скачка яркости на границе фон-объект, поведении корреляционных функций и энергетических спектров фоновых шумов. Основное требование к распределениям яркостей на участке сцены, содержащем фон и изображение объекта или изображения двух объектов, заключается в статистически достоверной разнице математических ожиданий этих распределений, причем конкретные значения математических ожиданий заранее не известны. Естественно, что эффективность подобного обнаружителя за счет использования минимума информации о фоне и изображениях объектов будет ниже ранее рассмотренных обнаружителей. Она соответствует интуитивному представлению изображений в сцене, когда глаз реагирует на разность средних значений яркостей между различными областями сцены и интерпретирует их как отдельные изображения. Принцип рассматриваемого в данном разделе обнаружения границ заключается в установлении статистически достоверной разницы средних яркостей двух смежных участков сцены.
Обнаружение границы на базе t-критерия. Пусть Si и S2 — примыкающие друг к другу области изображений произвольной формы. При неизвестной конфигурации границы знание формы областей Si и S2 не играет роли и в целях упрощения анализа примем, что Si и S2 — два квадратных окна, содержащие по т2 = т х т пикселов. Пусть также
Si = {si (п)}1го2 И S2 = {s2 (n)}l m2(6.7.1)
— векторы яркостей пикселов в областях (окнах) Si и S2, причем отсчеты яркостей в отдельных пикселях независимы.
По выборкам, состоящим из компонент векторов Si и S2, необходимо получить оценки генеральных средних и проверить гипотезу Но о том, что генеральные средние Mi и М2 статистически не отличаются друг от друга, т.е. наблюдаемая между ними разница носит не систематический, а случайный характер. Альтернативная гипотеза Hi предполагает, что разница между оценками генеральных средних Mi и М2 носит систематический характер, и, следовательно, области Si и S2 принадлежат либо фону и изображению, либо двум разным изображениям. Количество пикселов т2 в каждом из окон достаточно велико и составляет порядка 20-100 и более. В связи с этим создаются предпосылки для выполнения условий центральной предельной теоремы теории вероятностей. Поэтому можно считать, что оценка 5 генеральной средней М
т2
з = Л5>(п)<6-7-2)
т
тг = 1
подчиняется нормальному закону распределения вероятностей
, /_х т Г m2 (s - М)21п
/ (s) = -=- exp - Г ’(617'3)
V2tT(7 (2(7 J
где а2 — дисперсия генеральной совокупности значений яркостей пикселов, составляющих окно S. Разность оценок si и S2 также распределена нормально:
хтГ т2 (si - «2 - Mi + М2)2 1 гпплх
f (S1 - S2) = -—=== exp 2 ->,(6.7.4)
I 2((71+<72))
ттгде Mi, М2 и а2, а2 — генеральные средние и дисперсии для выборок Si и S2. Поскольку нас интересует лишь абсолютное значение разности оценок si и s2, то случайная величина | (si — «2) | будет подчиняться распределению вероятностей модуля нормальной случайной величины [25]:
т
т
‘ Г m2(\si-s2\-Mi-rM2f6ХР 1"7z227~
. I2(<7Х + (72)
+ ехр+ ехр|S1-S2|>0. (6.7.5)|S1-S2|>0. (6.7.5)т2 (|si — S2I + Mi - М2)22((Т2 + ^2)
+ ехр
+ ехр
|S1-S2|>0. (6.7.5)
|S1-S2|>0. (6.7.5)
Если справедлива нулевая гипотеза Но, то генеральные средние Mi и М2 равны между собой, т.е. Mi = М2 = М и ai = 02 = а. Тогда
распределение (6.7.5) принимает вид
f 2 /|—— I\2 Л
, -lx т Im ( si - s2 ) Iex
f (|S1 - s2|) = -7=- exp (6.7.6)
VTT^ (4(7 J
Введем нормированную разность оценок генеральных средних с учетом того, что вместо генеральной средней а2 имеются ее оценки а2 и?^ полученные по выборкам Si и S2:
Тогда при t < tst окна Sy и S2 обнаружителя расположены либо на фоне, либо в пределах внутренних точек изображения. Здесь tst — стандартное значение критерия, установленное в соответствии с принятой величиной уровня значимости (доверительной вероятности). При t £st нулевая гипотеза отвергается. В том случае, когда объемы выборок в окнах Sy и 52 равны соответственно ту и m2 (jny ^ щ}, выражение (6.7.7) принимает вид
t = / I^.-..S?1.(6.7.8)
у/Яу/ту + aXImi
Величина принятого уровня значимости р при определении величины t по формуле (6.7.8) позволяет поставить каждому значению ist вероятность F = 1 — р ложной тревоги. В табл. 6.3 даны значения tst и соответствующие
Таблица 6.3
^st
2
2,5
3
3,5
5
F = 1 -р
0,45
0,12
0,03
0,0005
0,0000006
им вероятности F, для случая нормального закона распределения выборок в окнах Sy и 52 [121]. При небольших объемах выборок распределения вероятностей средних значений яркостей в окнах Sy и S2 отличаются от нормального. В этой ситуации случайная величина
/Ш1Ш2 (ту + Ш2 — 2) Si — S2
11 = \ -—===,
V Ш1 + Ш2
где Si и S2 — две независимые нормально распределенные выборки с объемами mi и т2, имеет распределение Стьюдента с ту + m2 — 2 степенями свободы [121]. Этот результат сохраняется и тогда, когда выборки берутся из распределений близких к нормальному. В табл. 6.4 для случая малых
Таблица 6.4
t
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
mi+m2=18
0,063
0,024
0,008
0,003
0,001
0,0003
14-IO"5
F mi+m2=50
0,051
0,016
0,0046
0,001
22-IO"5
ЗЮ"6
110"5
mi+m2=98
0,0495
0,0134
0,0036
0,0007
12-10"5
110"5
—
выборок приведены значения tst и соответствующие им вероятности ложной тревоги для случаев, когда объем обеих выборок mi + m2 равен 18, 50 и 98.
Из табл. 6.3 и 6.4 видно, что для малых значений F наблюдается сильная зависимость данной вероятности от объема выборок. Таким образом, значение t-критерия позволяет ответить на вопрос: проходит ли граница в пределах окон Sy и S2 или нет. Следовательно, t-критерий может быть применен для решения задач обнаружения границ изображений. В дальнейшем оператор выделения граничных точек по величине |t| будем называть t-обнаружителем.
Характеристики t-обнаружителя. В реальных случаях линия границы между фоном и изображением или между смежными изображениями может располагаться не только точно между окнами Si и S2, а занимать относительно их произвольное положение. Это затрудняет расчет характеристик обнаружителя, работающего по t-критерию.
Поэтому такие характеристики целесообразно получать в результате статистического эксперимента. Определим зависимости вероятностей D
Рис. 6.44. Взаимное расположение линии границы и окон t-обнаружителяРис. 6.44. Взаимное расположение линии границы и окон t-обнаружителя
Рис. 6.44. Взаимное расположение линии границы и окон t-обнаружителя
Рис. 6.44. Взаимное расположение линии границы и окон t-обнаружителя
и F от размеров mi и т2 окон Si и S2, взаимного расположения окон Si и S2 и границы (рис. 6.44) от величины отношения сигнал/фон. При этом используется следующая модель сцены.
Рис. 6.45. Зависимости вероятности правильного обнаружения от отношения сиг-нал/помеха для размеров окон Si и S2, равных 3 х 3, 5 х 5, 7 х 7, 9 х 9: а — приt = 2, б — при t = 4
Вначале точки фона и изображения объекта имеют постоянные значения яркостей Шф и тс. Далее производится аддитивное зашумление сцены нормальным шумом с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2. Форма границы фон/объект имеет вид прямой линии. Вероятность ложной тревоги F определяется функцией распределения величины t для случая, когда в обоих окнах обнаружителя имеются только точки фона или точки только одного изображения и принимается решение об обнаружении границы.
На рис. 6.45, 6.46 приведены полученные по достаточно представительным выборкам графики следующих зависимостей: 1) вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал/помеха q при t = 2 и t = 4 для разных значений размеров окон Si и S2; 2) вероятности правильного обнаружения от величины t для окон Si и S2 размерами 5 х 5 и 9 х 9 при различных значениях параметра I сдвига параллельно расположенных
Рис. 6.46. Зависимости вероятности правильного обнаружения от величины t: а, б — при разных взаимных сдвигах I параллельно расположенных линии границы и стыка окон Si и S2* а — для окна 5 х 5, б — для окна 9 х 9; в, г — для размеров окон Si и S2, равных 3x3, 5 х 5 и 9 х 9, при угле а между линиями границы изображения в — 30°, г — 60°; б, е — для разных значений углов ^ между линиями границы и стыка окон при разных взаимных сдвигах I параллельно расположенных линии границы и стыка окон Si и S2 для размеров окон: г — 5 х 5, е — 9x9
линий границы и стыка окон Si и Si; 3) вероятности правильного обнаружения от величины t при углах р между линиями границы и стыка окон Si и Si, равных 30° и 60° для размеров окон Si и Si, равных 3 х 3, 7 х 7 и 9 х 9; 4) вероятности правильного обнаружения от величины t для окон Si и Si размером 9x9 при разных углах а наклона линии границы.
При построении графиков вероятностных характеристик обнаружителя отношение сигнал/шум q определялось как
q = А/а = (тф — m^ja. (6.7.9)
Представленные на рис. 6.46 зависимости получены для отношения сигнал/шум q — 1. Значения вероятностей ложных тревог F на приведенных графиках могут быть ориентировочно оценены с помощью табл. 6.4.
Приведенные выше аналитические соотношения и вероятностные характеристики могут служить основой для расчета эффективности обнаружителей границ изображений в зашумленной сцене при минимальном объеме требуемой статистической информации. Как следует из этих характеристик, обнаружитель достаточно эффективен. Например, при q = — 1,5'i = S2=:7x7h совмещении линий границ и стыка окон вероятности D и F соответственно равны 0,96 и 0,003.
Инвариантный к наклону линии границы обнаружитель. Как следует из полученных характеристик, эффективность обнаружителя, работающего по t-критерию, быстро падает при смещении линии стыка окон Si и Si от линии границы фон/объект (при их параллельном расположении) или при увеличении угла у? между этими линиями, Первый фактор играет скорее положительную, чем отрицательную роль, позволяя при скольжении окон точнее зафиксировать момент точного расположения одного из окон на фоне, а другого — на изображении. Второй фактор требует на каждом шаге вращения линии стыка окон в пределах угла 180°, что резко увеличивает время принятия решения и вероятность ложных решений.
Рассмотрим инвариантный к началу линии границы t-обнаружитель. Для достаточно протяженной границы изображения в диапазоне углов р = 0-90° инвариантность к углу наклона линии границы у него достигается при расположении окон Si и Si как показано на рис. 6.47, а, а при
Рис. 6.47. Расположение окон обнаружителя при произвольной ориентации границы
р = 90°-180° — как показано на рис. 6.47, б. Колебания угла р при этом не оказывают существенного влияния на содержание окон Si и Si.
Объединяя оба случая, приходим к апертуре фильтра t-обнаружителя, показанной на рис. 6.48, а, обеспечивая инвариантность к углу наклона гра
ницы изображения. Взвешивание энергии фона и изображения производится попарно в диагонально расположенных окнах. Для каждой пары окон S^, S2 и Si, So определяется величина t и сравнивается с порогом et- Решение в пользу гипотезы Щ принимается при превышении этого порога хотя бы в одной паре стробов. Апертура фильтра, представленного на рис. 6.48, б, позволяет частично исключить участок с постепенным нарастанием яркости и более четко фиксировать момент обнаружения границы.
Необнаружение Обнаружение Обнаружение
Рис. 6.49. Структура алгоритма работы /-обнаружителя границы
Критерий обнаружения границы изображения реализуется алгоритмом, структура которого приведена на рис. 6.49. При реализации t- обнаружителя необходимо иметь ввиду следующее обстоятельство. Для малых значений дисперсий сг^ и (г^ (т.е. при работе на равномерном детерминированном или слабо зашумленном фоне или изображении) вычисление величины t представляет собой неустойчивый процесс. Как следует из выражений (6.7.7) и (6.7.8), величина оценок дисперсий ст^ и (72 определяет значение знаменателя и при указанных условиях величина t будет иметь очень большой разброс. Для устранения этого негативного фактора необходимо оценить степень влияния случайной составляющей поля яркости.
Если ?i + ?2 < £а> гДе £<т — пороговый уровень суммарной дисперсии, обнаружение производится не по значению величины t, а по условию
l^i - s2| e/xMi
где е^м — пороговый уровень для разницы оценок математических ожиданий в окнах Si и 52. Величины ti, AMi и ах вычисляются для пары окон ^ и S2, а величины t2, ДМ2 и сг2 — для окон ST и S2.
На рис. 6.50-6.52 приведены результаты работы t-обнаружителя с окном, показанным на рис. 6.48, б, цо двум сценам. Первая сцена представляет собой яркостный клин в виде зашумленного прямоугольни-
Рис. 6.50. Исходные сцены для обнаружения границ объектов: а — тестовое изображение зашумленного яркостного клина (егш = 10); б — реальное зашумленное изображение географического объекта
ка с плавно изменяющейся в широких пределах яркостью. Вторая сцена содержит реальное зашумленное изображение географического объекта. На рис. 6.51 представлены результаты обнаружения границ яркостного клина при четырех режимах, параметры которых занесены в табл. 6.5.
Результаты работы t-обнаружителя по зашумленной сцене с изображением географического объекта показаны на рис. 6.52, а режимы его работы — в табл. 6.6.
Как видно из представленных фотографий, рост апертуры фильтра t-обнаружителя способствует снижению количества ложных контуров, но приводит к более значительному размыванию границ изображения объекта и исключению мелких деталей. Выбор размеров окон Si
Рис. 6.51. Результаты обработки тестового изображения, представленного на рис. 6.50 (комментарии даны в тексте)
Таблица 6.5
Номер рисунка
mi х m2
£а
£дм
St
Рис. 6 51, а
3x3
2
3
3
Рис. 6.51, б
5x5
2
3
3
Рис. 6.51, в
9x9
2
3
3
Рис. 6.51, г
9x9
2
3
5
Рис. 6.52. Результаты обработки сцены с географическим объектом, показанным на рис. 6.50 (комментарии даны в тексте)
Таблица 6.6
Номер рисунка
mi х m2
^<7
et
Рис. 6.52, а
3x3
2
2
8
Рис. 6.52, б
5x5
2
2
12
Рис. 6.51, в
9x9
2
2
20
и 5*2 t-обнаружителя, кроме учета его влияния на помехоустойчивость и разрешающую способность, зависит еще и от априорной информации о размерах самого изображения, границы которого надо обнаружить, минимального расстояния между несколькими изображениями.
Выделение и прослеживание контуров изображенийобъектов
Для формирования контура изображения в целом ряде случаев нет необходимости решать задачу обнаружения всех его точек в соответствии с алгоритмами, описанными в разделе 6.7, и с последующей проверкой обнаруженных точек на связность. Учитывая сильную пространственную корреляцию контурных точек и непрерывность линии контура, после обнаружения одной или небольшой группы точек, резко сужается область пространства, где располагается последующая контурная точка. В результате этого операция обнаружения начальной контурной точки сменяется операцией прослеживания контура, понимая под этим непрерывный переход от текущей точки контура к последующей до замыкания линии контура. Наиболее просто она осуществляется для бинарного изображения.
Прослеживание контуров бинарных изображений. Пусть в бинарной сцене содержится совокупность {^J}1 2 т оцифрованных изображений. Начальной точкой aoj изображения Wj назовем принадлежащую ему точку с минимальным номером строки и номером столбца, минимальным в этой строке. Упорядочивание изображений выполним по правилу: если проранжировать линейные адреса в ОЗУИ всех их начальных точек, то номер начальной точки будет равен номеру изображения. Линейный адрес Алин точки связан с номером пстр ее строки и номером пст ее столбца следующим образом: Алин = тт^стр 4- П2ст, где m2 — количество точек в строке изображения. Наиболее просто путем строчного поиска в порядке нарастания линейных адресов находится начальная точка изображения о?1. Для определения ЭВ 7(0) контура необходимо найти следующую точку ау контура, которая определяется осмотром окружающих точку а0 точек (рис. 6.53).
Алгоритм поиска точки а0, как первой заполненной ячейки ОЗУИ, дает правильные результаты лишь для изображения a?i. Поиск начальных
Рис. 6.53. Формы стробов для выделения контурных точек
точек изображений Wj, j = 2,3,..., связан с исключением из рассмотрения точек изображений o?i, W2,..., Wj-i-
С этой целью формируется сопряженное по адресам ячеек ОЗУИ другое ОЗУК (ОЗУ контуров), в котором хранятся контуры ранее обнаруженных изображений.
Таблица 6.7. Состояние автомата поиска начальной точки нового изображения
Номер
Число ОЗУИ иОЗУК
Состояние
шаг п — 1
шаг п
1
00
00
Точки фона (1а) или внутренние точки полости (16)
2
00
10
Точка нового изображения (2а) или выход из полости (26)
3
00
11
Вход в ранее обнаруженное изображение (1-й шаг)
4
10
00
Обнаружение полости
5
10
10
Точка внутри изображения
6
10
11
Выход из ранее обнаруженного изображения (1-й шаг)
7
11
00
Выход из ранее обнаруженного изображения (2-й шаг)
8
11
10
Вход в ранее обнаруженное изображение (2-й шаг)
9
11
11
Движение по контуру вдоль строки
Система поиска изображений в бинарной сцене работает как конечный автомат с памятью. В табл. 6.7 приведены возможные состояния автомата поиска, а на рис. 6.54 — его граф. В качестве базового алгоритма прослеживания линии контура, при котором последовательно, без разрывов выделяются контурные точки изображения и формируется код контура, це-
Рис. 6.54. Упрощенный граф автомата поиска первой точки контура нового изображения
лесообразно использовать алгоритм, предложенный Розенфельдом [9]. По сравнению с другими алгоритмами (например, алгоритмом «жука» [40]), он не приводит к зацикливанию при любых конфигурациях контура и до-
Рис. 6.55. Выделение контурной точкиРис. 6.55. Выделение контурной точкипускает простую реализацию. По данному алгоритму на п-м шаге прослеживания формируется строб Сп размером 3x3 элемента. Его центр совмещается с текущей точкой ап контура (рис. 6.55). Благодаря непрерывности линии контура предыдущая, текущая и последующая точки контура всегда находятся в пределах этого строба, т. е. {an_i, ап, a„+i} £ Сп.
Рис. 6.55. Выделение контурной точки
Рис. 6.55. Выделение контурной точки
Поиск последующей точки an+i состоит в осмотре по часовой стрелке ячеек строба Сп, начиная от предыдущей точки ап_у. Первая заполненная ячейка считается содержащей точкуап+1. Если проанализировать положения стробов Сп-1 и Cn, то оказывается, что первая точка строба СП) взятая в направлении часовой
стрелки от точки an_i, всегда будет принадлежать фону. Следующая за ней вторая точка строба Сп тоже всегда будет относиться к фону, но при условии, что предыдущий ЭВ не был диагональным.
На рис. 6.56 показаны конфигурации строба прослеживания, которые в соответствии с базовым алгоритмом будут оптимальными с позиции ми
нимального требуемого количества просматриваемых ячеек. Рассмотрим получающее при этом сокращение времени прослеживания.
Для определенности алгоритм прослеживания контура, при котором начиная от точки an-i последовательно до точки an+i просматриваются все точки строба Сп, назовем алгоритмом ПВЭ, а алгоритм, при котором
просматриваются только точки, в которых возможно нахождение контурной точки an+i — алгоритмом ПТВЭ. Для среднего времени прослеживания линии контура из к ЭВ можно записать:
М77
Tfc = ^^ V Р3 у ^'^^ > PvlP-)vl)(6.8.1)
j=l 17=01=0
где Pj — априорная вероятность изображения j-ro класса, j = 1,2,... , М; ivjv — безусловная вероятность ЭВ 7^; PjVi — переходная вероятность смены вектора 7^ вектором 7/ для изображения 7-го класса. Весовые коэффициенты (3^, равные количеству шагов, которые надо совершить в стробе Сп от an_i до an+i, определяются алгоритмом поиска точки an+i и задаются в виде матрицы В = V^vkY Для алгоритмов ПТВЭ и ПВЭ эти матрицы имеют, соответственно, вид:
01234567
012Вптвэ =4567012Вптвэ =456723456001"
0
1
2
Вптвэ =
4
5
6
7
0
1
2
Вптвэ =
4
5
6
7
23456701
01234560
01234567,
60012345
67012345
45600123
45670123,
01234567
0 12П - 3 пвэ — , 45 670 12П - 3 пвэ — , 45 6745678123"
0 1
2
П - 3 пвэ — , 4
5 6
7
0 1
2
П - 3 пвэ — , 4
5 6
7
34567812
23456781
12345678•
81234567
78123456 67812345
56781234,
Pvl =Pvl =Сравним алгоритмы для двух крайних случаев. В первом случае смена ЭВ есть независимый процесс, все векторы равновероятны, т. е. тг^ = 0,125, 1/6 при v = 0,2,4,6, 1/7 при v = 1,3, 5,7.
Pvl =
Pvl =
Во втором случае смена ЭВ представляет сильно коррелированный процесс, причем по-прежнему все векторы равновероятны, т. е. тг^ = 0,125,
Pvl =Pvl =1 при I = V,0 при I ф v.
Pvl =
Pvl =
Таблица 6.8. Среднее число шагов поиска в окне последующей точки контура
Алгоритм
Процесс
Независимый
Сильно коррелированный
ПВЭ
5,57
4
ПТВЭ
3,75
2,5
В табл. 6.8 приведены значения среднего времени поиска контурной точки, рассчитанные по формуле (6.8.1) для случая, когда все классы равновероятны.
Как и следовало ожидать, наличие корреляции снижает время поиска, так как при сильной корреляции ЭВ сохраняют свое значение, т. е. 7 (п) = = 7 (п — 1), и количество элементов в стробе Сп от точки ап_у до точки an+i равно четырем для алгоритма ПВЭ и двум или трем — для ПТВЭ.
Если смена ЭВ представляет собой независимый процесс, то точка an+i с одинаковой вероятностью может находиться в любом элементе строба. Алгоритм ПТВЭ (табл. 6.8) обеспечивает по сравнению с алгоритмом ПВЭ ускорение процесса прослеживания линии контура примерно в полтора раза.
Глобально-оптимальная процедура формирования порогового уровня для получения бинарной сцены. Один из распространенных подходов к выделению контуров изображений в многоградационной по яркости сцене F базируется на получении бинарной сцены /^о, в которой формы изображений объектов минимально искажены. При наличии сцены F6;0 контуры изображений достаточно просто выделяются на основе базового алгоритма (см. 6.8.1).
Будем рассматривать сцену F со статистически однородным фоном, характеризующимся гистограммой яркости /ф (J). Примем для простоты, что яркости изображений различных объектов в ней близки между собой
Рис. 6.57. Разбиение диапазона яркостей сцены на областиРис. 6.57. Разбиение диапазона яркостей сцены на областии характеризуются компактной гистограммой яркости fc(J) (рис. 6.57).
Рис. 6.57. Разбиение диапазона яркостей сцены на области
Рис. 6.57. Разбиение диапазона яркостей сцены на области
При этих условиях для получения сцены Рб)0 можно сформировать одно значение /ГЛОб порогового уровня ограничения сцены F по яркости. Этот уровень назовем глобальнооптимальным порогом /ГЛОб опт-
бинарной сцены будут, в основном,бинарной сцены будут, в основном,Весь диапазон яркостей сцены F, от 0 до /max, условно разделим на пять областей. Если /ГЛОб находится в первой области, то точки единичными, а если в пятой — то
бинарной сцены будут, в основном,
бинарной сцены будут, в основном,
нулевыми. Вторая область характеризуется практическим отсутствием точек изображения, а четвертая — точек фона. Но в четвертой области потеряно много точек, составляющих изображение объекта (рис. 6.58). Таким образом, нахождение величины /ГЛОб во второй и четвертой
Рис. 6.58. Зависимость степени зашумления контура от величины порога: а — порог ниже оптимального; б — оптимальный порог; в — порог выше оптимальногоРис. 6.58. Зависимость степени зашумления контура от величины порога: а — порог ниже оптимального; б — оптимальный порог; в — порог выше оптимального
Рис. 6.58. Зависимость степени зашумления контура от величины порога: а — порог ниже оптимального; б — оптимальный порог; в — порог выше оптимального
Рис. 6.58. Зависимость степени зашумления контура от величины порога: а — порог ниже оптимального; б — оптимальный порог; в — порог выше оптимального
областях приводит к недопустимо большим искажениям формы объекта и в этих областях диапазона яркостей также нецелесообразно выбирать порог. Как отмечается в целом ряде работ, например, в [3], единственной областью существования такого порога является третья. Сдвиг в этой области величины /глоб вправо приводит к тому, что линия контура будет преимущественно проходить по внутренним точкам изображения, а сдвиг влево дает противоположный эффект: линия контура проходит вблизи
Линия границыЛиния границыв области фонав области фонав области изображенияв области изображенияРис. 6.59. Искажения линии границы изображения при различных подходах к выбору ВеЛИЧИНЫ 77ГлобРис. 6.59. Искажения линии границы изображения при различных подходах к выбору ВеЛИЧИНЫ 77Глоб
Линия границы
Линия границы
в области фона
в области фона
в области изображения
в области изображения
Рис. 6.59. Искажения линии границы изображения при различных подходах к выбору ВеЛИЧИНЫ 77Глоб
Рис. 6.59. Искажения линии границы изображения при различных подходах к выбору ВеЛИЧИНЫ 77Глоб
границы, но включает большое количество фоновых точек (рис. 6.59). В обоих случаях длина контура увеличивается по сравнению с длиной контура при ограничении полутоновой сцены на уровне 1глоб. Опт •
Таким образом, характер зависимости длины контура от величины порога яркости позволяет выработать подход к получению бинарной сцены F6,o с минимальными искажениями формы изображений.
Пусть lj — длина контура изображения Wj (j = 1,2,..., г), в бинарной сцене Fg, полученной ограничением по яркости полутоновой сцены F. Тогда величина глобально-оптимального порога обеспечивает минимум суммы длин контуров всех изображений, т.е.
Л-лоб ~ Л-лоб опт. при ^ ^ lj > min.(6.8.2)
Из практических соображений целесообразно ввести ограничение на длину контура текущего изображения:
^min < I-3 < ^max-(6.8.3)
Чаще всего контуры очень большой и очень малой длины являются помеховыми. В соответствии с критерием (6.8.2) операция определения глобально-оптимального порога является адаптивной. Определенным образом назначается величина начального порога /ГЛОб нач = Ллоб(1) и фиксируется сумма длин контуров при этом пороге:
^нач =j,1)(6.8.4)
J=1
где Цд — длина контура j-ro изображения при начальном значении порога Далее последовательно инкрементируется величина /ГЛОб Нач и измеряется сумма длин контуров изображений в получающихся бинарных сценах. На всех этапах должно выполняться условие (6.8.3). При достижении условия (6.8.2) этот процесс прекращается. В качестве начального значения порога /ГЛОб нач. можно выбрать инкрементированное значение средней яркости JCp полутоновой сцены F, т.е. 1глоб Нач = Лр + 1
В реальных сценах величина Jcp не намного превышает среднюю яркость фона 7ф, а изображения объектов имеют яркость, как выше, так и ниже средней яркости Jcp.. Поэтому целесообразно формировать из полутоновой сцены F не бинарную, а трехградационную сцену: один уровень яркости соответствует изображениям объектов с яркостью ниже яркости фона, третий уровень — объектам с яркостью выше яркости фона, а второй уровень соответствует средней яркости фона 7ф.
Локально-опимальная процедура формирования порогового уровня для получения бинарной сцены. Формирование бинарной сцены F^ из исходной полутоновой сцены F при наличии только одного, глобально-оптимального /глоб опт порога по яркости является сравнительно простой операцией. При этом контуры изображений объектов с малой длиной границы и характеризующиеся низким отношением сигнал/фон будут искажены значительно сильнее, чем контуры изображений объектов с большой величиной этого отношения. Более высокое качество выделенных контуров может быть достигнуто при вычислении оптимального
порогового уровня ограничения по яркости для каждого изображения Wj, j = 1,2,..., г, в отдельности. Если же сцена характеризуется статистически неоднородным фоном, особенно неоднородностью первого начального момента, то формирование только одного порогового уровня для получения сцены ^бд теряет смысл. В этом случае для каждого изображения u)j в пределах локально однородного участка сцены F необходимо вычислять локально-оптимальный уровень ограничения сцены по яркости. Применение локально оптимальных порогов по яркости связано с решением двух основных вопросов:
выбора меры для оценки степени зашумления контура отдельного изображения ujj\
организации локальной процедуры выделения контура изображения внутри области, ограниченной произвольной замкнутой кривой.
При автоматическом формировании величины глобально-оптимального порога /глоб опт. в качестве меры зашумления линии контура была выбрана величина его удлинения при воздействии шума. Для случая локальнооптимальных порогов, когда обработке подвергается только одно конкретное изображение Wj, в качестве такой меры целесообразно взять не только степень удлинения контура, но и учесть размеры изображения ujj. Это позволит отбросить ряд помеховых контуров, например, узкие протяженные контуры.
В качестве такой меры может служить значение коэффициента формы изображения
^ф1 = л/^/^ист»(6.8.5)
где з — площадь, а /ист — длина незашумленного контура, периметр изображения,
/с-1
^ист = 52 М71)!-(6-8-6)
п=0
Так как с уменьшением контурных шумов длина контура падает, то оптимальное значение локального порога 1лок опт.Ь) для изображения Uj будет соответствовать максимуму коэффициента формы контура при варьировании величины порога /ЛОКЬ):
ЛюкО)=ЛоК оптЬ) при кф1(»-> max, j = 1,2,... ,r.(6.8.7)
Кроме того, по-прежнему должно выполняться условие (6.8.3) ограничения длины контура, обеспечивающее исключение изображений с очень большими или очень малыми длинами контуров, чаще всего являющихся помеховыми.
Чтобы снизить влияние на величину площади изображения граничных (контурных) точек, что важно при определении коэффициента формы узких протяженных изображений, коэффициент формы для определения /лок опт целесообразно вычислять в виде
кф2 = Vs - k/lu„,(6.8.8)
где к — количество ЭВ в контуре изображения. В результате условие
принимает вид
ЛокЬ^Лок опт U) при &ф2 0)-> max, j = l,2,...,r. (6.8.9)
Алгоритм формирования бинарной сцены F^ на основе ограничения по яркости полутоновой сцены F на уровне локально-оптимального порога 1ЛОк опт 0) работает следующим образом.
Формируется начальная бинарная сцена F^ при ограничении по яркости на уровне Д = 1ГЛОб = 7^ + 1 полутоновой сцены F.
Проводится строчный поиск и обнаружение начальной контурной точки aoj текущего изображения Wj.
Выделяется контур j-ro бинарного изображения и если выполняется условие (6.8.3), то вычисляется коэффициент формы. При не превышении заданного порогового уровня считается, что обнаружен шумовой контур и производится поиск следующего, (j + 1)-го изображения.
Для обнаруженного изображения Wj путем инкрементации предыдущего порогового уровня формируется следующий пороговый уровень: 12.3 = -^глоб 4"
В пределах контура изображения, выделенного на уровне порога 11, производится поиск начальных точек всех контуров, полученных при ограничении на уровне /2 ( процедура «контур внутри контура»).
Для новых контуров, расположенных внутри контура у-го бинарного изображения, выделенного по пороговому уровню Д, проводится селекция по длине контура в соответствии с выражением (6.8.3). Для оставшихся контуров вычисляется значение коэффициента формы и производится селекция по величине коэффициента формы. Процедура «контур внутри контура» необходима из-за возможного дробления контура изображения при повышении порогового уровня ограничения полутоновой сцены F. Благодаря проверкам по длине периметра и величине коэффициента формы исключаются помеховые контуры. Для оставшегося контура путем перехода к следующему пороговому уровню 1з3 = I23 4- 1 проверяется условие достижения максимума коэффициента формы.
Как только величина коэффициента формы при каком-то значении порога начинает уменьшаться, считается что такой максимум достигнут и процедура поиска локально-оптимального порога закончена. Получившийся контур считается контуром изображения Wj. Он кодируется, запоминается в ОЗУК, а всем пикселям изображения ш3 в пределах первого выделенного контура на пороговом уровне /1 присваиваются значения средней яркости сцены F. Это позволяет исключить изображение uj3 при поиске контура следующего изображения
На рис. 6.60-6.63* приведены иллюстрации к формированию бинарных и трехградационных сцен и выделению контуров изображений при пороговой обработке исходной полутоновой сцены путем ограничения каждого из изображений на уровне локально-оптимальных порогов. На рис. 6.60
Рис. 6.60. Исходная сцена (а) и результат низкочастотной фильтрации (б) окномфильтра, содержащим 5x5 элементов
Рис. 6.61. Бинарная сцена для изображений ярче фона (а) и контуры этих изображений (б)
Рис. 6.62. Негативное представление исходной сцены (а) и контуры изображений темнее фона (б)
Рис. 6.63. Карта порогов (а) и трехградационная сцена (б)
показана исходная сцена и результат ее низкочастотной фильтрации пространственным фильтрам с окном 5x5 элементов, проводимой для уменьшения контурных шумов.
На рис. 6.61 представлена бинарная сцена для изображений ярче фона, сформированная на основании локально-оптимальных порогов для каждого из изображений и контуры этих изображений.
На рис. 6.62 дано негативное представление исходной сцены и показаны контуры изображений с яркостью, ниже яркости фона. Для данного случая также формировались локально-оптимальные пороги для каждого из изображений. На рис. 6.63 представлена так называемая «карта порогов» и трехградационная сцена. Карта порогов формируется на базе сцены из выделенных контуров изображений. Пикселам внутри каждого из контуров присваивается яркость, равная средней яркости соответствующего изображения.
Алгоритмы прослеживания контуров многоградационных изображений, не связанные с образованием бинарных сцен. Рассмотрим несколько подходов к обобщению базового алгоритма прослеживания контуров бинарных изображений на случай многоградационных изображений. При обнаружении и прослеживании контуров бинарных изображений перепады яркостей на границах были идеальными. Это дает возможность получить контуры изображений и их комплекснозначные коды, минуя стадию формирования силуэтных изображений. При решении аналогичных задач для многоградационных изображений перепад яркости на границах фон/изображение или изображение/изображение становится в реальных случаях чаще всего пологим и зашумленным. В результате линия
Рис. 6.64. Строб для прослеживания кон-Рис. 6.64. Строб для прослеживания кон-контура в пределах ширины этого перепада, как линия внешней границы изображения, становится неопределенной, а действие шумов приводит к ошибкам выделения контуров. Подавление таких ошибок проводится методом накопления. В этом случае строб Сп для прослеживания линии контура будет иметь более сложную структуру: каждый его элемент представляет собой квадратное окно из большого количества пикселей (рис. 6.64).
Рис. 6.64. Строб для прослеживания кон-
Рис. 6.64. Строб для прослеживания кон-
При прослеживании контуров многоградацион-
туров изображений в ных изображений решение на каждом шаге це- зашумленной много- лесообразно выносить с учетом принятых на пре- градационной сцене дыдущих шагах. В первую очередь, в условиях
мультипликативных помех по яркости, это относится
к выбору порога «г по яркости, при превышении которого точка в стробе прослеживания считается контурной. Величина сц, в простейшем случае определяется как
где Ь^ — яркости предыдущих контурных точек; N — число этих точек; Act — некоторая константа, превышающая приращение средней яркости сцены за один шаг. Предполагается, что предыдущие контурные точки принадлежат границе фон/объект и по значениям их яркостей могут быть получены оценки средней яркости в окрестности последующей контурной точки. Из-за мультипликативных помех уровень средней яркости в пределах сцены может варьироваться в значительной степени. Поэтому прогноз средней яркости на основании такой оценки позволяет подстраивать порог обнаружения последующей контурной точки.
Начальная точка ао контура определяется обнаружителем на базе СИФ или t-критерия (см. п. 6.6, 6.7). Необходимо отметить следующую принципиальную трудность, возникающую при прослеживании контура по алгоритму с адаптивным порогом по яркости. Так как порог определяется по конкретной выборке отсчетов яркости, то при приближении к точке замыкания контура (к начальной точке а^ его прогнозируемое значение скорее всего не совпадает со значением яркости в точке ао. В результате точка ао окажется обойденной (см. рис. 6.65.). Для устранения замыкания линии контура на другую, кроме ао, контурную точку можно использовать следующий подход.
Если при прослеживании контура появляется тенденция оставить точку ао снаружи (рис. 6.65, а), то возврат к ней происходит вдоль линии уже выделенного контура. При тенденции оставить точку ао внутри контура
Рис. 6.65. Сложные случаи замыкания контура при его прослеживании на базе адаптивного порога по яркости
(рис. 6.65, б) область объекта ограничивалась сверху до уровня точки ао и по показанной на рисунке пунктирной линией происходит возврат к точке ао- Эти способы несколько искажают форму контура, но достаточно просто реализуются.
Рассмотрим алгоритм прослеживания контуров многоградационных изображений с классификацией точек в стробе по яркости с учетом средних значений яркости, полученных на предыдущих шагах.
На рис. 6.66, а показаны два положения строба, формирующего линию контура, причем Cn_i — это строб на предшествующем шаге, а Сп — на текущем. Буквами «Ф» здесь отмечены точки фона, «к» — контурные точки и «О» — точки изображения объекта. Этим точкам соответствуют полученные на предшествующих шагах средние значе-
ния яркостей (рис. 6.66, б): яркость объекта bo (п — 1), контурных точек bk (п — 1) и точек фона 6ф (п — 1). Центр строба Cn_i находится в точке 1к. На n-м шаге центр строба переместится в точку ^к, найденную также на (п — 1)-м шаге.
Порядок просмотра строба Сп показан стрелками (рис. 6.66, а). Анализ базируется на допущении, что контурные точки относятся к объекту. В процессе анализа для каждой непроклассифицированной точки строба Сп вычисляется расстояние по яркости точки от средней яркости контурных и фоновых точек, полученных на (п — 1)-м шаге (рис. 6.66, б):
Кф = |МП) -Ьф(п- 1)|, Rk = |Mn) -bk(n- 1)|.
Решение о принадлежности точки к контуру выносится при выполнении условия Нф > Rk. В противном случае принимается решение о том, что точка является внутренней для изображения. После окончания классификации точек в стробе производится коррекция оценок яркостей Ьф (п — 1), bk (п — 1), &о (^ ~ 1) с учетом интенсивностей вновь полученных точек в стробе Сп.
В заключение рассмотрим один из подходов к формированию силуэтных изображений при наличии только их контуров.
До сих пор рассматривались вопросы, связанные с контуром изображения, образованным граничными точками изображения. Пусть Q — множество точек изображения. Внутренняя точка этого множества обладает свойством четырехсвязности, т.е. смежные с ней точки — правая, левая, нижняя и верхняя — тоже принадлежат Q. Точка этого множества будем граничной в том случае, когда не все эти смежные точки относятся к Q [9].
Любое изображение окаймлено границей из фоновых точек. Последовательность точек такой границы будем рассматривать как внешний контур изображения. На рис. 6.67 приведен пример изображения объекта с выделенными внешними и внутренними контурами.
Рассмотрим, каким образом наличие внешнего контура облегчает решение задачи формирования силуэтного изображения при наличии внешнего и внутреннего контуров. На рис. 6.67 показана ситуация, связанная с наличием узкого участка толщиной в один элемент. При сканировании изображения по строке А после первой точки внутреннего контура всем последующим ячейкам строки присваивается единичная яркость до тех пор, пока не встретится следующая точка внутреннего контура Ь^Х
^ — точки внутреннего контура (множество S)
[х]—точки внешнего контура (множество ^
Рис. 6.67. Внешний и внутренний контуры изображений объекта
При сканировании по строке В точки а^ и Ь^ внутреннего контура совмещены. Поэтому значение единичной яркости будет присвоено всем точкам фона, находящимся правее точки а^2\
Наличие внешнего контура меняет ситуацию. При сканировании по строке заполнение точек единичной яркостью начинается после появления первой точки внешнего контура и прекращается при появлении второй точки внешнего контура.
Прослеживание прямолинейной границы изображения на многоградационном фоне
9.1. Марковская модель процесса прослеживания. Процедура прослеживания линии контура является одной из разновидностей сегментации изображения. Получим математическую модель процесса прослеживания границы (контура) изображения, заданного на помеховом фоне, для случая, когда эта граница является прямолинейной и достаточно протяженной [122].
Пусть плотность распределения вероятности интенсивностей элементов фона на локально однородном участке сцены равна f$(J), а соответствующая плотность для объекта — fc(J\ Для определенности будем считать, что отношения фон/шум и сигнал/шум достаточно велики. Тогда эти распределения будут близки к нормальным. Выборки фона и объекта подвергаются бинарному квантованию с порогом а. При этом необходимо оптимизировать значение порога, при котором максимизируются вероятности недостижения на каждом шаге прослеживания заданной максимально допустимой ошибки smax выделения контура.
Рассмотренная задача относится к общей задаче срыва слежения конечного автомата и является разновидностью многошаговой процедуры принятия решения [42].
В качестве состояния марковской цепи, описывающей процесс прослеживания прямолинейной границы, возьмем значение вектора ошибки,
соединяющего точку в сцене с истинной контурной точкой, и значение выделенного ЭВ 7. Будем считать, что события превышения значения интенсивности в каждой ячейке сетчатки порогового значения независимы и для области фона их вероятность равна рф, а для области изображения объекта — рс. Выбор состояния цепи поясняется на рис. 6.68, а, а процесс смены состоянии — на рис. 6,68, б. На первом рисунке представлен строб
Рис. 6.68. К определению состояния и переходной вероятности марковской цепи
прослеживания. Линия истинного контура проходит через правую колонку его элементов. В качестве ЭВ контура на рассматриваемом шаге принят вектор г, при этом получилась ошибка еп задаваемая вектором 1, который соединяет кратчайшим путем начало вектора ошибки с точкой истинного контура. Данное состояние цепи обозначается как (1, г). Рис. 6.68, б фиксирует момент выделения следующего ЭВ контура равного 1 + г. При этом имеется вектор ошибки, равный 1. Таким образом, произошла смена состояний цепи: (1,г) -+ (1,1 + г) свероятностью р(1,г/1,1 + г) = p|pc, где p^ = 1 — Рф. Ниже приводится выражение для (1, г)-й строки матрицы вероятностей переходов цепи.
1, г
1,1-г
1,-г
— 1,1 — г
1,-1
1,-1 + г
1,г
1,1 + г
1, г
РфРсРс
—2—2
РфРеРс
—2 —3 РфРе
0
0
РФ
РфРф
РФ
Обобщенная структура матрицы вероятностей переходов (МВП) G для произвольного smax приведена на рис. 6.69, а, а на рис. 6.69, б представлены положения строба прослеживания относительно линии контура для О и +1-го блоков матрицы.
Первый квадрат в матрице G определяет МВП для етах = 1, второй — ^тах = 2 для и т. д. Блоки в матрице G имеют размер 8x8 элементов, причем необозначенные блоки являются нулевыми. Таким образом, при ^тах = 1 прослеживание контура описывается матрицей вероятностей переходов 24-го порядка, при етах = 2 матрицы 40-го порядка и т.д. Блоки Bi, В2 и В3 задают блуждание внутри изображения объекта, блоки Во, В-1, В_2 — внутри фона, а блоки I — на границе фон- объект. Все блоки с одним и тем же индексом одинаковы. В зависимости от значения бтах некоторые состояния в крайних блоках объявляются
Рис. 6.69. К получению марковской цепи, описывающей процесс прослеживания прямолинейной границы: а — структура матрицы вероятностей переходов цепи, б — положения строба прослеживания относительно границы 0-го и ±1-го блоков матрицыРис. 6.69. К получению марковской цепи, описывающей процесс прослеживания прямолинейной границы: а — структура матрицы вероятностей переходов цепи, б — положения строба прослеживания относительно границы 0-го и ±1-го блоков матрицыГра-Гра-
Рис. 6.69. К получению марковской цепи, описывающей процесс прослеживания прямолинейной границы: а — структура матрицы вероятностей переходов цепи, б — положения строба прослеживания относительно границы 0-го и ±1-го блоков матрицы
Рис. 6.69. К получению марковской цепи, описывающей процесс прослеживания прямолинейной границы: а — структура матрицы вероятностей переходов цепи, б — положения строба прослеживания относительно границы 0-го и ±1-го блоков матрицы
Гра-
Гра-
поглощающими. Матрица G имеет блочно-ленточную структуру (не более чем три ненулевых блока в каждой строке), что облегчает ее анализ.
Перейдем к рассмотрению задач прослеживания контуров изображений объектов, которые можно решить с помощью данной модели. Методика решения этих задач базируется на теории цепей Маркова с матрицами вероятностей переходов, приведенными к нормальному виду Фробениуса и теории срыва слежения конечного автомата [196, 43]. Особенность рассматриваемой здесь задачи в том, что переход от частной задачи срыва слежения к общей состоит в накладывании ограничения не на время пребывания автомата в состояниях определяющих срыв слежения, а на сами состояния подмножеств Ар и Л7, соответствующих объекту и фону.
9.2. Анализ процесса прослеживания прямолинейной границы изображения.
Распределение вероятностей достижения максимальной ошибки ^тах за к шагов. Объединим все состояния цепи, соответствующие значениям ошибки, большим smax, в одно подмножество. При любом значении е цепь имеет три состояния поглощения: {(sC) 1 + г), (sC) 1), (sC) 1 — г)}, соответствующие достижению максимальной ошибки прослеживания ес в теле изображения, и три состояния поглощения {(сф, —1 — г), (бф, — 1), (^Ф> —1 +0}> соответствующие достижению максимальной ошибки прослеживания в области фона. На рис. 6.70 приведены МВП для значений максимальных ошибок ес = £ф = 1. Значения вероятности поглощения 5j,
1000
-\-i\РсРсРсЙРсРс
-1,-1-/0000
-1,-10000
-1-1 + /0000
-и86Рс00
0,157 РсРсРсРс Р=
0,1-/5g РсРсРсРсРсРс
Q-i0000
0,-1-/510000
0,-15И000
0,-1 + /512000
0,/0000
0,1+ /314РсРсР?0
1,10000
1,1-/0000
1,-/5П000
1,/8lg000
1,1 + /0000
000000000000000
Р=Р?А50000000000000
000AР=Р=Р?РфЙРфРфР?РфРфР.ЙРфР=Рф00000
00Р^ф00АфАфЛРфРфрХР=Р.Рф00000
00Р=Р$фА3Аф0РфРфРфРфРфР=РфАААф300000
Р= P«R 0000000000000
000000000000000
А6 00000000000000
000АсААЙРфР?РфРфАс2АФАФ ЙРф 000000
00000000000А Р.Рф Р.РфРф &Рф
0000000000Р=Рф00РфРфР=Рф
0000000000 Р=Р=РфР^Рф0РфРфР«Рф
00А.ААфАсАсАфРеРф00РфРсРф РсРсРф 00000
ААА0000000 0 00000
00АААА2АА3Р?РфР?Рф0ОАО0000
00АААА2АА3Р=РфР?РфРфР?РфОАО0000
00000000000АР=РфКРф0
0000000000 ААРфР«Р?РфР=РфРфРфР«Рф
00АА2АР«Р?РфР.Р-РфР?Рф0РфР«Рф Р=Р=Рф 00000
Рис. 6.70. МВП для значений максимальных ошибок ес = Еф = 1
-l-i-l.-1-i-1,-1-l-l + i-U 0,10,1-10,-i 0,-l-i 0,-1 O-l + i 0,i 0Д + /1,11,1-i 1,-; l,i l,l + i
Гл. 6. Выделение границ изображений
дополняют до единицы сумму остальных элементов j-й строки. В связи с высоким порядком матрицы G текущую вероятность 1У[к] достижения подмножества поглощения Ае целесообразно вычислять с помощью рекуррентных соотношении
W[fc] = ^2 ftW\k - »]- причем Ж[0] = ^ ^1°],(6.9.1)
г=1г£АЕ
где fi, i = 1,2,..., п — 5 — коэффициенты характеристического полинома матрицы G, п — общее количество состояний цепи до объединения всех поглощающих состояний в одно.
Средняя длина контура Zcp до достижения ошибки Етах- Величина Zcp является математическим ожиданием в распределении W^fc] и находится в соответствии с выражением
6
/ср = £ JmW- - и - 1], W[n] = 1 - W[n],(6.9.2)
Z/=1
где коэффициенты yv равны
(
v-\\/ /п-6\
’ J = 1,2,... ,n — 6.(6.9.3)
Для случая, когда вероятности достижения подмножества Ае мало изменяются за один шаг прослеживания (а именно такой случай и представляет практический интерес), величину Zcp находят с помощью более простого соотношения
п—6
<ср = ^[О]=52^.(6.9.4)
Влияние результатов обнаружения линии контура на процесс прослеживания. При определении двух первых точек контура, задающих ЭВ 7(0), возможны ошибки, определяющие качество дальнейшего прослеживания линии контура. Эти ошибки определяются начальным вектором тг[О] цепи. Варьируя его, можно оценить влияние условий обнаружения на процесс прослеживания контура.
Выбор оптимального порога квантования а. Данная задача является одной из наиболее важных при обработке изображений. Она может быть решена следующим образом. Зададим критерий качества в виде Zcp —> max или а/срф + Ысрс -7 max, где Zcpф, 1срс — соответственно, средние длины контура области фона и сигнала до достижения максимальных значений ошибок ёф и ес, а и b — весовые коэффициенты. Определяя в соответствии с выражением (6.9.2) средние значения длин Zcp для выбора значений порога ос, выбираем то значение а = аопт, при котором выполняется данный критерий.
На рис. 6.71 и 6.72 приведены графики характеристик процесса прослеживания прямолинейной границы изображения для случая, когда распределения вероятностей интенсивностей фона и изображения являются
Рис. 6.71. Зависимость средней длины выделенного контура от величины порога квантования по интенсивностиРис. 6.71. Зависимость средней длины выделенного контура от величины порога квантования по интенсивностиРис. 6.72. Зависимость величины оптимального порога квантования от разности математических ожиданий интенсивностей сигнала и фонаРис. 6.72. Зависимость величины оптимального порога квантования от разности математических ожиданий интенсивностей сигнала и фона
Рис. 6.71. Зависимость средней длины выделенного контура от величины порога квантования по интенсивности
Рис. 6.71. Зависимость средней длины выделенного контура от величины порога квантования по интенсивности
Рис. 6.72. Зависимость величины оптимального порога квантования от разности математических ожиданий интенсивностей сигнала и фона
Рис. 6.72. Зависимость величины оптимального порога квантования от разности математических ожиданий интенсивностей сигнала и фона
нормальными с математическими ожиданиями т^ и тс и дисперсиями (Тф = сг^ = 1 для smax = 1 [122]. Из них видно, что величина порога, определяемого в соответствии с критерием обеспечения максимальной средней длины выделенного контура, приближенно равна 0,5 (тс 4- Шф).
Обсуждение результатов
Важнейшим условием использования описанных в части I методов контурного анализа является наличие самих контуров и их аналитических представлений. Проблема выделения контуров изображений заключается в обнаружении одной или нескольких его взаимосвязанных точек и дальнейшим прослеживанием, т.е. последовательным, точка за точкой без разрывов, определением всех остальных точек до момента замыкания контура.
Наиболее просто эта проблема разрешается для бинарной сцены. Применение алгоритма Розенфельда дает возможность проследить контур бинарного (силуэтного) изображения сколь угодно сложной формы. Поэтому значительная часть методов выделения контуров изображений в многоградационной сцене сводится к получению бинарной сцены и применению алгоритма Розенфельда. Эта задача не проще задачи выделения контуров изображений непосредственно по исходной многоградационной сцене, но переход к бинарной сцене упрощает проблему с методической стороны.
Чаще всего бинарная сцена получается из многоградационной путем сравнения яркости каждого его пиксела с заданным пороговым значением. В том случае, когда эта яркость ниже порогового значения, в соответствующую ячейку ОЗУИ бинарной сцены заносится нуль, а в противном случае — единица.
Основная сложность формирования бинарной сцены связана с определением оптимального в соответствии с принятым критерием порогового значения яркости.
Критерии оптимальности так или иначе связаны с обеспечением минимальных искажений формы изображения объекта, задаваемой контуром этого изображения в бинарной сцене. Если порог ниже оптимального, то форма изображения объекта искажается за счет сильного влияния фоновых шумов. При этом контур изображения расширяется вследствие включения в его состав участков фона. Когда порог выше оптимального, то форма изображения искажается из-за того, что значительная часть точек этого изображения отнесена к фону.
Если пороговый уровень ограничения сцены по яркости одинаков для всех пикселов сцены, т.е. носит глобальный характер, то наименьшее искажение форм достигается, когда средняя яркость фона во всех пикселах сцены одинакова и также одинаковы средние яркости расположенных в этой сцене изображений объектов. В качестве критерия выбора порогового уровня был рассмотрен критерий минимальной длины суммы всех контуров изображений.
Более эффективный критерий получения бинарной сцены с минимально искаженными формами объектов требует выработки индивидуального для каждого из изображений порогового уровня ограничения по яркости. Критерий выбирается из условия обеспечения максимума коэффициента формы изображения. В этом случае важно не абсолютное увеличение длины выделенного контура, вызванное действием помех (как при глобальнооптимальном пороге), а относительное, с учетом размера изображения.
Важной задачей при решении проблемы выделения контура изображения является обнаружение контура в условиях сложной фоновой обстановки, когда фоновые шумы представляют собой статистически неоднородное случайное поле.
Если контур обнаружен, т.е. определена одна или несколько его точек, то анализируя форму перепада яркости на границе фон/объект можно определить локально-оптимальный пороговый уровень ограничения изображения по яркости. При этом отпадает необходимость в трудоемкой процедуре получения бинарных срезов изображения и их анализа при варьировании этого уровня, начиная от уровня средней яркости сцены.
Обнаружение контура представляет собой задачу обнаружения сигнала в виде скачка яркости на фоне слабокоррелированных (широкополосных флуктуационных шумов) и сильно коррелированных статистически неоднородных фоновых шумов.
Рассмотренный в данной главе один из видов обнаружителей использует для формирования статистики принцип согласованно-избирательной фильтрации. Такой фильтр является квазиоптимальным устройством, так как не учитывает форму низкочастотной части энегетического спектра изображения. Но его несомненным преимуществом является инвариантность структуры фоноподавляющего звена к виду спектра фоновых шумов. Корректируя пороговый уровень принятия решения по результатам измерения дисперсии фонового шума на выходе фильтра, можно учесть влияние изменений, вызванных неоднородностью постоянной составляющей и дисперсии яркости фоновых шумов, а также декремента затухания их АКФ.
Разработанная методика построения характеристик обнаружителя дает возможность оценить его эффективность. Рассмотренный на базе СИФ обнаружитель позволяет обосновано подходить к решению задачи обнаружения контура, учитывая статистические характеристики фоновых шумов и конфигурацию скачка яркости на границе фон/объект. В этом плане его применение более предпочтительно по сравнению с обнаружением контуров на основе многочисленных масочных операторов (Робертса, Собела и др.).
Другим рассмотренным видом обнаружителей контура является обнаружитель, принимающий решение на основе t-критерия. Он устанавливает статистическую достоверность разницы средних яркостей двух смежных массивов. При обнаружении в сцене такой разницы яркостей один из этих массивов располагается в области фона, а другой — в области изображения. В этом случае граница между массивами является границей фон/объект. t-обнаружитель инвариантен к виду распределений вероятностей яркостей фона и объекта, а при соответствующем пространственном расположении анализируемых на статистическую достоверную разницу средних яркостей массивов — и к углу наклона линии контура.
Один из заслуживающих внимания подходов к прослеживанию линии контура базируется на прогнозировании положения последующей контурной точки по информации о яркости предыдущих, уже выделенных точек контура. Благодаря такому прогнозу сужается область нахождения этой точки, что позволяет выделить контур непосредственно по многоградационной сцене, не прибегая к формированию на ее основе бинарных по яркости сцен.
Эффективность и трудоемкость выделения линии контура зависит от количества априорной информации об изображении, так как аналитическое представление контура лежит в основе ИХ СИФ обнаружителя. Но обычно ни форма изображения, ни такие его параметры, как масштаб и угол поворота, заранее неизвестны. В результате как единственно возможная решается задача обнаружения одной или нескольких смежных контурных точек.
Существует один важный класс объектов, для которых можно принять решение об обнаружении контура их изображений не по одной, а по значительно большему количеству его точек. Таким классом являются объекты антропогенного вида, границы изображений которых содержат протяженные прямолинейные фрагменты. Если фрагмент такой границы расположить вертикально к направлению строк сцены и сложить яркости строк, через которые проходит этот фрагмент, то возникает скачок яркости, значительно превосходящий по величине значение яркости остальных изображений в других точках суммарной строки. В результате накопления энергии всех пикселов прямолинейного участка контура изображения создаются благоприятные условия его обнаружения. Поскольку ориентация прямолинейного фрагмента контура произвольна, описанную выше процедуру необходимо проводить для целого ряда сцен, получаемых последовательным поворотом исходной на небольшой угол. Решение об обнаружении в этом случае принимается только для той сцены, в которой эта граница расположена вертикально.
В заключение отметим, что проблема выделения контуров изображений в реальных сценах далека от ее положительного решения. По крайней мере, эффективность используемых обнаружителей границ по сравнению с возможностями, например, человека, несоизмерима. Но несомненно, один из успешных путей совершенствования автоматических обнаружителей границ изображений состоит в рассмотрении его как одного из видов квазиоптимальных обнаружителей на базе общей теории обнаружения зашумленных сигналов [52, 55], не отказываясь при необходимости от различных эвристических решений в качестве вспомогательных для более глубокого понимания проблемы.
Задачи и упражнения
Какой вид имеют выражения ИХ СИФ для следующих видов скачков яркости:
s = {О, 0, 0, 1, 1, 1, 1};
s = {0; 0,25; 0,5; 0,75; 1};
s = {0; -0,2; -0,4; -0,6; -0,8; -1};
s = {2; 2; 4; 6; 8; 10; 10; 10}.
Найти выходные отсчеты СИФ при подаче на его вход одного из следующих скачков:
s = {0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1};
s = {0; 0; -1; -1; -1}
s = {0; 0,5; 0,8; 0,6; 1; 1}
В чем заключаются отличия между работой согласованного и согласованноизбирательного фильтров?
Рис. 6.73
С какой характеристикой изображения согласован согласованно-избирательный фильтр?
Почему согласованно-избирательный фильтр не пропускает постоянной составляющей яркости сцены?
В чем заключается целесообразность применения огласованно-избирательных фильтров в качестве формирователей статистики для работы обнаружителей границ изображения?
Какой вид имеет частотный коэффициент передачи согласованно-избирательного фильтра?
Какие факторы способствуют нормализации отсчетов фонового шума на выходе согласованно-избирательного фильтра?
Почему ИХ фильтра, избирательно-согласованного с идеализированным линейным скачком яркости, имеет всего два неравных нулю отсчетов?
В чем заключается разница между обычным и стандартным согласованноизбирательным фильтром?
Почему фильтр, избирательно-согласованный с прямоугольным скачком яркости, наилучшим образом подавляет сильно коррелированные шумы?
Из каких соображений выбирается количество параллельно работающих каналов обнаружителя прямолинейной границы?
Как должны быть расположены по отношению к границе изображения окна t-обнаружителя?
При каком значении tst можно считать разность средних значений яркости следующих выборок статистически достоверной:
{0,66; 0,16; 0,72; 0,52; 0,99; 0,78; 0,96; 0,06; 0,59; 0,54; 0,36; 0,35};
{0,22; 0,18; 0,20; 0,69; 0,87; 0,01; 0,10; 0,37; 0,53; 0,14; 0,23; 0,28}.
Сформировать по алгоритму Розенфельда контуры следующих бинарных изображений (рис. 6.73).
Глава 7
ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ ПРОТЯЖЕННЫМИ ГРАНИЦАМИ
Введение и постановка задачи
Объекты с протяженными прямолинейными границами чаще всего являются антропогенными. Это возделанные участки почвы, дороги, каналы, различные элементы конструкций машин и механизмов и др. Задача обработки таких изображений представляют собой частный случай задач обработки изображений произвольной формы. Существуют, по крайней мере, две причины, позволяющие рассматривать обработку изображений с протяженными прямолинейными границами как отдельную задачу:
высокая информационная ценность данных изображений, вызванная их антропогенным характером;
простая форма границ изображений дает возможность существенно уменьшить необходимое количество операций при их обработке, связанных с обнаружением границы и подавлением ошибок квантования грани-
Рис. 7.1. Фрагмент ландшафтной сцены размером 61 х 161 пикселов (а), б — отсчеты яркости вдоль одной строки, виг — отсчеты яркости при накоплении соответственно 50 и 100 строкРис. 7.1. Фрагмент ландшафтной сцены размером 61 х 161 пикселов (а), б — отсчеты яркости вдоль одной строки, виг — отсчеты яркости при накоплении соответственно 50 и 100 строк
Рис. 7.1. Фрагмент ландшафтной сцены размером 61 х 161 пикселов (а), б — отсчеты яркости вдоль одной строки, виг — отсчеты яркости при накоплении соответственно 50 и 100 строк
Рис. 7.1. Фрагмент ландшафтной сцены размером 61 х 161 пикселов (а), б — отсчеты яркости вдоль одной строки, виг — отсчеты яркости при накоплении соответственно 50 и 100 строк
цы, вызванных оцифровкой, по сравнению с общим случаем, когда изображение имеет произвольную форму.
На рис. 7.1, а показан фрагмент данной сцены, форматом 61x161 пикселов, состоящий из части лесного массива, опушки с хорошо выраженной прямолинейной границей, изображения тени и части примыкающей к ней поляны. На рис. 7.1, б даны отсчеты яркости вдоль строки фрагмента. В районе 26-28 пикселов виден скачок яркости при переходе от изображения лесного массива к изображению отбрасываемой им тени. На рис. 7.1, в и г показаны отсчеты яркости, полученные в результате накопления яркостей 50 и 100 строк. Хорошо видно снижение дисперсии яркости с ростом числа накапливаемых строк. Скачок яркости на границе лес/тень становится все более пологим, что объясняется отклонением линии границы от вертикали.
В данной главе с аналитических позиций рассматриваются вопросы, связанные с искажениями формы таких границ при вводе изображения объекта в одноразрядное ОЗУИ с матричной структурой и квадратной формой пиксела со стороной А = 1. В ячейках такого ОЗУИ, относящихся к внутренним точкам изображения, будут занесены единицы, а в ячейках, относящихся к фону — нули. В области границы фон/изображение
00000000001000000000ч111111111111111111111100000000001000000000ч1111111111111111111111Рис. 7.2. Пример квантования прямолинейных границ на квадратной сетчатке: а — записанное в ЗУ бинарное цифровое изображение; б — исходная А и прокванто- ванная Г прямолинейные границыРис. 7.2. Пример квантования прямолинейных границ на квадратной сетчатке: а — записанное в ЗУ бинарное цифровое изображение; б — исходная А и прокванто- ванная Г прямолинейные границы
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ч
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ч
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 7.2. Пример квантования прямолинейных границ на квадратной сетчатке: а — записанное в ЗУ бинарное цифровое изображение; б — исходная А и прокванто- ванная Г прямолинейные границы
Рис. 7.2. Пример квантования прямолинейных границ на квадратной сетчатке: а — записанное в ЗУ бинарное цифровое изображение; б — исходная А и прокванто- ванная Г прямолинейные границы
в зависимости от степени перекрытия изображения с поверхностью соответствующего пиксела в ячейку ОЗУИ будет записан либо ноль, либо единица (рис. 7.2, а). Этот процесс назовем квантованием линий границы (контура) изображения.
При квантовании форма изображения объекта искажается. Ошибки квантования зададим контуром Ф = {^№}ог-1, определяемым из соотношения
Г = А + Ф,(7.1.1)
где А = {a(^)}02_i — контур бинарного по яркости изображения до ввода, а Г = {7(^)}о z-i — код контура после ввода в ОЗУИ (рис. 7.2, б). Если граница прямолинейная, то ЭВ а ^ контура А представляют собой последовательность одинаковых комплексных чисел а = |а|ехр{г^}, где ц) — угол наклона прямолинейной границы.
Как было условлено в п. 1.1, в ячейку ОЗУ заносится единица, когда площадь Sim изображения в пределах пиксела квадратной формы с единичной площадью не меньше половины площади пиксела, т.е. если
(7.1.2)(7.1.2)Sim > 0,56х6у = 0,5Д2 = 0,5.
(7.1.2)
(7.1.2)
Процесс квантования на сетчатке является цепочкой последователь
ных решений об обнаружении изображения в каждой граничной клетке. При этом часть граничных ячеек изображения будет отнесена к фону («пропуски»), а часть — к объекту. Как пропуски, так и правильные обна
ружения контурных ячеек приводят к искажению формы изображения,
что учитывается контуром Ф. Детерминированный характер формы границы и последующая интерполяция обуславливают сильную коррелированность ошибок квантования и их зависимость не только от размера пиксела, но и от угла наклона р линии границы. В связи с этим общепринятый подход к оценке влияния ошибок квантования [131,133], при котором они считаются независимыми между собой и некоррелированными с сигналом, в рассматриваемом случае неприемлем.
Значение угла р разобьем на восемь одинаковых секторов (рис. 7.3). Сектор, для которого 0 ^ р < тг/4, назовем базовым и присвоим ему номер и = 0. Назовем также базовыми ЭВ и элементы кода границы в пределах этого сектора. Прямолинейный
ллРис. 7.3. Номера секторов угла наклона границыРис. 7.3. Номера секторов угла наклона границыРис. 7.4. Взаимные положения прямолинейной границы и клетки сетчаткиРис. 7.4. Взаимные положения прямолинейной границы и клетки сетчаткиотрезок назовем полузакрепленным, если его начальная точка совпадает с узлом клетки. Рассмотрим несколько положений прямолинейной границы в базовом секторе относительно клетки сетчатки (пиксела) (рис. 7.4). Из центра нижней стороны клетки (точка F) проведем перпендикуляр до пересечения с линией границы. Этот перпендикуляр назовем зондом и обозначим через Д/г. Для случая на рис. 7.4, а площадь изображения в пределах квадрата равна 8^т = — 0,5/с + b = Д/г, где b = АС, к =
л
л
Рис. 7.3. Номера секторов угла наклона границы
Рис. 7.3. Номера секторов угла наклона границы
Рис. 7.4. Взаимные положения прямолинейной границы и клетки сетчатки
Рис. 7.4. Взаимные положения прямолинейной границы и клетки сетчатки
= tg 99. Отсюда следует, что условие Sim ^ 0,5А2 эквивалентно условию Ah ^ 0,5. Это условие сохраняется и для случая, приведенного на рис. 7.4, б. Таким образом, клетка сетчатки относится к изображению, если длина зонда составляет не менее половины длины стороны клетки. В данной главе на основе анализа вырожденной дискретной цепи Маркова, описывающей процесс квантования незашумленной прямолинейной границы изображения на квадратной сетчатке, решаются следующие задачи: получение аналитическим путем кода Г = {7(^)} границы и его АКФ; оценка влияния угла наклона 99 линии границы и ошибок квантования на искажение контура изображения; уменьшение и полное подавление ошибок квантования; идеальное восстановление формы проквантованной границы и выбор оптимального шага квантования.
Квантование границы, проходящей через базовый сектор
Под выполнением шага квантования в пределах базового сектора бу
дем понимать действие по формированию контурных клеток в пределах одной колонки сетчатки. Приращение ординаты А?/ границы за один шаг
Рис. 7.5. Прохождение прямолинейной границы через соседние вертикально расположенные клеткиРис. 7.5. Прохождение прямолинейной границы через соседние вертикально расположенные клеткив пределах базового сектора будет Ду = кь = = tg99, а максимальное приращение А?/тах
Рис. 7.5. Прохождение прямолинейной границы через соседние вертикально расположенные клетки
Рис. 7.5. Прохождение прямолинейной границы через соседние вертикально расположенные клетки
1. Поэтому за один шаг прямая может пройти не более чем через две соседние вертикально расположенные клетки (рис. 7.5). Максимально возможное значение зонда в верхней клетке, равное 0,5, достигается лишь для полузакреп- ленной границы при 99 = тг/4. Поэтому, при пересечении границей двух соседних вертикально расположенных клеток площадь изображения в верхней клетке будет меньше, а в нижней — больше 0,5. В результате нижняя клетка будет отнесена к изображению, а верхняя — к фону.
Отсюда следует
Положение 1. За один шаг квантования находящейся в базовом секторе прямолинейной границы возможно появление только одной контурной клетки. Поскольку кь ^ 0,
то с ростом числа шагов квантования площадь под линией границы не уменьшается. Поэтому в коде границы могут присутствовать только элементы вида 1, 1 + г, г.
Элемент г приводит к появлению за один шаг двух клеток, относящихся к изображению, что в соответствии с положением 1 невозможно.
Положение 2. В базовом секторе код прямолинейной границы изображения содержит только два элемента: 1 и 1 + г.
Рассмотрим вопрос о структуре кода проквантованной границы. Приращение ординаты границы за один шаг равно Ду = кь = tg99. Пусть величина п/к — точно целое число. Если прямая полузакреплена, то
через n/kb = п/^у шагов она снова пройдет через узел сетчатки. Пусть ngr — значение п, при котором получается минимальное целое число
7^ = ngTjkb.(7.2.1)
Число шагов квантования, равное Т^, является периодом последова-
Рис. 7.6. Образование периодической структуры цепного кода прямолинейной границы (кь = 3/7, Тр = 7, ngr = 3)
ницы (рис. 7.6), т.е. 7 (£) = 7 (f + аТр\ а = 0,1,2 ... Здесь и далее а — целочисленная константа.
Положение 3. Код прямолинейной границы изображения в базовом секторе является периодической последовательностью комплексных чисел 1 и 1 + г с периодом в Тр элементов, задаваемым величиной тангенса угла наклона прямой kb = ngr/Tp, причем ngT и Тр — взаимно простые числа.
Величина ngr = kbTp равна количеству элементов 1 + г в одном периоде кода границы. Если kb = tgy> — иррациональное число, то величина Тр не может быть целым числом и код границы теряет свойства периодичности. С общих позиций в данном случае можно полагать, что период является бесконечно большим. Однако из-за конечной разрядности используемых чисел величина Тр всегда будет ограниченной.
Рассмотрим структуру кода полузакрепленной линии границы в пределах одного периода Тр. С этой целью для каждой n-й строки определим номера tn столбцов сетчатки, в которых находится первая контурная точка. Например, для случая, показанного на рис. 7.6, в первой строке (п = 1) первая контурная точка появляется во втором столбце (ty =2), во второй строке (п = 2) — эта точка появляется в четвертом столбце (^2 = 4) и в третьей строке (п = 3) — в седьмом столбце (^з = 7). Именно этим контурным точкам будет соответствовать элемент кода 7 = 1 + i, а остальным — элементы кода 7 = 1. Вначале найдем абсциссы I точек, в которых прямая принимает значения, равные половине стороны клетки, у = 0,5; 1,5; 2,5;... = п - 0,5, n = 1,2,3,... , ngT. (7.2.2)
Если такая точка прямой является еще и абсциссой центра клетки, т.е. I = t — 0,5 = 0,5; 1,5; 2,5;..., где t — целое число, равное номеру столбца, для которого выполняется одно из равенств (7.2.2), то значение зонда Ah = 0,5 и данная клетка будет первой контурной клеткой в п-и строке. При этом у = kb(t — 0,5) = п — 0,5, а величина t будет номером tn колонки с первой контурной точкой в 71-й строке. Поэтому
tn = t = n/kb - 0,5 (Д/кь - 1).(7.2.3)
В общем случае значение абсциссы I, удовлетворяющее равенству (7.2.2), будет нецелым числом. Это значит, что равенство (7.2.2) выполняется правее центра клетки, расположенной в ]Z[ — столбце, где ]Z[ — целая часть числа Z, и первая контурная точка в п-и строке сетчатки будет расположена в следующем, (]Z[ 4- 1)-м столбце. Пусть Е (Z) — ближайшее целое число к числу Z, не меньшее, чем Z. Тогда номер столбца с первой контурной точкой в 71-й строке будет равен
tn = Е (п — 0,5/&ь 4- 0,5) и Е (п/къ), п = 1,2,... ngT. (7.2.4)
Каждый переход с нижней строки на верхнюю связан с появлением элемента кода 7 = 1 4- г. Для ti-й строки это происходит в столбце tn — — 1, 71 = 1,2,... ,ngT. Между этими периодами элементы кода равны 7=1. Если нумерацию элементов кода внутри периода Тр начать не с единицы, а с нуля, то номера элементов кода 7 = 14-1 будут равны tn - 2,71 = 1,2,... , ngT. Таким образом, внутри периода элементы кода можно разбить на ngT групп. Каждая группа состоит из одного элемента 7 = 1 4- г и последовательности элементов 7 = 1: {1 4- г, 1,1,... , 1}. Приращение за один шаг точного значения tn равно
Мп = (п 4- 0,5/А:6 4- 0,5) - (п - Q^/kb 4- 0,5) = 1/кь.
Поэтому каждая группа будет содержать либо ] 1/А:ь[, либо ]1/А:ь[ 44- 1 элементов кода. Следовательно, внутри периода Тр код будет иметь локальную периодическую структуру и поэтому величину Тр целесообразно в дальнейшем называть макропериодом. Значение величины Z, при котором выполняется условие (7.2.2), зависит от номера шага квантования и количество элементов кода в текущей группе определяется предысторией процесса квантования.
Пример 1. Найдем в пределах одного макропериода код границы изображения скь — 3/7 (рис. 7.7). Дробь 3/7 является несокращаемой, поэтому макропериод кода Тр = 7, число групп ngr = 3, а группы будут состоять либо из двух, либо из трех элементов кода. По формуле (7.2.4) определяем номера tn — 2, тг = 1,2,3 элементов кода 7 = 1 4- г в пределах макропериода:
п = 1; <!-2 = е(^+0,5) - 2 = Е(12/3)-2 = 0;
n = 2; t2-2 = 5^^ +0,б) — 2 = 5(4)—2 = 2;
п = 3; t3 — 2 = 5^^^ + 0,б) - 2 = 5 (6 V3) ~ 2 = 5.
Таким образом, нулевой, второй и пятый элементы кода будут равны 1 4- г, а первый, третий, четвертый и шестой — равны 1: Г = {... ;1-Ьг;1;1-Ьг;1;1; 14г;1;...}.
Проведенный анализ относится к случаю, когда граница проходила через начало координат. Однако, все полученные результаты, связанные с периодичностью элементов кода и его локальной внутрипериодной структуры, не меняются при произвольном перемещении изображения в плоскости сетчатки. Если угол наклона границы сохраняется, то такое перемещение приведет лишь к изменению номера элемента кода, соответствующего определяемому столбцу.
Цепной код произвольно ориентированной прямолинейной границы
Определим вначале цепной код границы АВ, проходящей через пер
вый сектор, т.е. u = 1 (рис. 7.7). В этом случае угол ф наклона границы находится в пределах тг/4ф < тг/2. Ре
Рис. 7.7. К определению кода границы, проходящей через первый секторРис. 7.7. К определению кода границы, проходящей через первый секторшение данной задачи проведем путем выполнения трех следующих операций: — перевод исходной границы в базовый сектор (и = 0);
Рис. 7.7. К определению кода границы, проходящей через первый сектор
Рис. 7.7. К определению кода границы, проходящей через первый сектор
— определение кода границы в базовом секторе;
— нахождение элементов кода исходной границы по элементам кода в базовом секторе.
При отражении фигуры относительно оси, проходящей под углом 0, зеркальный ЭВ 7ref(^) проквантованной границы связан с исходным ЭВ 7(£) = = |7(^)| ехр{гу?(£)} (t = 0,1,2,...) соот-
ношением (1.5.11)
7ref(<) = |7tol exp{-i[p(t) - 26»]}. (7.3.1)
Если 0 = тг/4, то находящийся в первом секторе исходный ЭВ поворачивается на угол A^(t) = тг/2 — 2у>(£). Поскольку аргументы ^(t), t = = 0,1,2,..., стандартных ЭВ кратны тг/4, то угол поворота А^(^) также будет кратен величине тг/2.
Поэтому подобная операция не приведет к нарушению стандартности ЭВ границы и переход из первого сектора в базовый целесообразно выполнять с использованием операции отражения. Прямолинейный участок границы А’В’ при отражении фигуры относительно оси, проходящей под углом 0 = тг/4, будет иметь угол наклона y?ref = —</?(£) 4- тг/2, т.е. она окажется в базовом секторе. Код проквантованной границы АВ, расположенной в первом секторе, будет состоять из двух элементов: 7 = 1 и 7 = 1 + г. В соответствии с выражением (7.3.1) элемент 7 = 2 =
= ехр{гтг/2} перейдет в е° = 1, элемент 7 = 1+г сохранит свое значение, а угловой коэффициент ее станет равным кь = 1//с. Обобщим теперь полученные результаты на произвольный номер сектора. Так как при повороте ЭВ на угол, кратный тг/2, стандартность значений элементов кода не нарушается, то результаты, полученные для базового сектора (и = 0), распространяются на секторы с номерами и = 2,4 и 6, а для нулевого сектора и = 1 — на секторы с номерами и = 3,5 и 7.
Если у? — угол наклона границы, то номер сектора, через который она проходит, и = ]4^/тг[. Приведенный к базовому сектору угол наклона <рь границы задается соотношением
^ = (-1Г^ = (-1Г7г2и + 1- (-If ^247г2и + 1- (-If ^24
^ = (-1Г
^ = (-1Г
7г2и + 1- (-If ^24
7г2и + 1- (-If ^24
В табл. 7.1 даны значения ерь для произвольных углов наклона у? прямолинейной границы, порядок смены ЭВ 71 и 72 базового сектора элементарными векторами при переходе в другой, произвольный сектор.
Таблица 7.1
и
0
1
2
3
4
5
6
7
^ь
ч>
тг/2 — ф
ф — тг/2
7Г — (^
(^ — 7Г
Зтт/2 — ср
р — Зтт/2
2тт — ^
71
1
г
г
-1
—г
—г
—г
1
72
1+г
1 + г
— 1 + г
—1 + г
— 1 — г
— 1 — г
1 — г
1 -г
Поскольку код границы находится по величине кь = tg 995, а заданной является величина к = tg у?, то при определении характера связи между кь и к надо иметь в виду, что величину к = tgy? надо задавать в виде натуральной дроби с сохранением знаков числителя и знаменателя, т.е.
Таблица 7.2
и
0
1
2
3
к
0 ^ к < 1, №<1 а ^ 0, b > 0
1 ^ к < оо,
а > 0, Ъ > 0
—оо < к < —1, №>1 а > 0, 6^0
-1 < к < 0,
а 0, Ь < 0
кь
к
1/к
-1/к
-к
и
4
5
6
7
к
0 ^ к < 1, №<1 а ^ 0, b < 0
1 ^ к < оо,
а < 0, b < 0
—оо < к < —1, №>1 а < 0, Ъ ^ 0
-1 ^ к < 0, а < 0, 6 > 0
кь
к
1/к
-1/к
—к
в виде к = t^tp = а/b. В табл. 7.2 отражена связь между величинами к, \к\, а, Ь, номером сектора и и значением кь.
Пример 1. Пусть к = —5/4, т.е. а < 0, Ъ > 0. Граница (см. табл. 7.2) находится в шестом секторе (и = 6) и кь = — 1/к = 4/5. Макропериод Т^ = = 5, количество групп ngr = 4. По формуле (7.2.4) находим ^ — 2 = 0,^ —
— 2 = 1, /з — 2 = 2,/4 — 2 = 4. Таким образом, отрезок цепного кода длиной в макропериод состоит из пяти элементов, причем первые четыре равны 7 = = 1 + i, а пятый — 7 = 1: {... , 1 4- г, 1 4 г, 1 4- г, 1 4- г, 1,...}. По табл. 7.1 определяем, что в шестом секторе элементу 14г будет соответствовать элемент 1 — г, а элементу 1 — элемент —г. В результате один макропериод искомого кода будет иметь вид {... , 1 — г, 1 — г, 1 — г, 1 — г, —г,...}.
Учитывая связь между кодом произвольно ориентированной прямолинейной границы и ее кодом в базовом секторе, в дальнейшем остановимся лишь на случае когда 0 у? < тг/4, т.е. и = 0.
Марковская модель процесса квантования прямолинейнойграницы
Ранее были рассмотрены основные закономерности формирования цепного кода прямолинейной границы изображения и выяснена его структура. Однако они не дают возможности осуществить аналитическим путем исследование процесса квантования. В данном разделе будет получена математическая модель процесса, позволяющая провести такой анализ. Выше было отмечено, что количество элементов в группе и, следовательно, значения самих элементов кода зависят от предыстории процесса квантования. Так как данный процесс детерминирован, то следует ожидать, что он будет описан вырожденной цепью Маркова. В этой цепи вероятности перехода будут равны либо нулю, либо единице, а матрица вероятностей переходов (МВП) будет перестановочной. Для таких матриц можно в общем виде получить спектральное представление для вероятностного вектора [130].
Синтез цепи Маркова. В качестве состояния цепи примем величину зонда Д/i, 0 ^ Д/г ^ 1, граничной клетки. Если у = kb(t 4- 0,5), t = 0,1,... , 7^ — 1, величина ординаты точки границы по центру /-го столбца, то величина зонда представляет собой дробную часть у:
kht = Е^ -у = (Т^Е^у) - ngrt - 0,5ngr)/TM = yt/T^. (7.4.1)
Рассмотрим, какие последовательности образуют значения зонда в пределах одного макропериода.
Положение 4. В пределах макропериода нет двух одинаковых значений зонда Ыц. Допустим обратное. Пусть зонды Д/гт и Д/гу,т 7^ у; т^з = 0,1,... , Тм — 1, равны между собой, т.е.
E\kb<m + 0,5)] - къ(т + 0,5) = Е^кь(з 4- 0,5)] - kbU + 0,5).
Тогда E\kb(jn 4- 0,5)] — E\kb(J 4- 0,5)]А?ь(т—j). Правая часть этого выражения, как разность целых чисел, также будет целым числом. Поэтому минимальное значение n = т — j, при котором величина кьп является целым числом, равно Т^, a |m — j\ ^ Т^. Следовательно, допущение о равенстве двух значений зонда внутри макропериода не имеет места.
Определим значения зонда Д/г^ соответствующие различным состояниям цепи. Число Т^Е^у) — ngrt в выражении (7.4.1), как разность произве-
дений целых чисел, также будет целым числом. Если ngT — четное число, то числитель yt останется целым числом при любом t. Так как 0 ^ yt < < 7^, то в соответствии с Положением 4 в пределах одного макропериода он примет значения всех целых чисел в пределах от 0 до Тм — 1 (необязательно в нарастающем порядке): yt = 0,1,... ,7^ — 1. Поэтому значения зонда, а, следовательно, и состояния цепи Маркова имеют вид
△ftt =(7.4.2)
± Р ± Р± р
Если ngr — нечетное число, то, рассуждая аналогично, приходим к выводу, что yt = 0,5; 1,5;... ,— 0,5 и
(743) V гр 7 гр 7 гр 77 грX/
J- р J- р -I рJ- р
Таким образом, цепь имеет Тм различных состояний, которые пронумеруем как 1,2,... , Т^. Зонды, соответствующие двум соседним состояниям, отличаются на 1/7^. Состояния цепи периодичны с периодом 7^.
Рис. 7.8. Граф марковской цепи, описывающей процесс квантования прямолинейной границы при кь = 3/7Рис. 7.8. Граф марковской цепи, описывающей процесс квантования прямолинейной границы при кь = 3/7
Рис. 7.8. Граф марковской цепи, описывающей процесс квантования прямолинейной границы при кь = 3/7
Рис. 7.8. Граф марковской цепи, описывающей процесс квантования прямолинейной границы при кь = 3/7
Поскольку приращение зонда за один шаг квантования равно £vy = кь = = п^/Т^ = tgy>, то s-e состояние сменяется с вероятностью, равной единице, состоянием s + ngT = n + кьТ^ (рис. 7.8).
При таком подходе к выбору состояний процесс квантования границы описывается вырожденной циклической цепью Маркова [43]. МВП этой цепи для случая кь — ^П имеет вид (см. рис. 7.8)
1 23П= 4 5 6 71 23П= 4 5 6 71"оо о о1 о о1"оо о о1 о о20000010200000103 о о о о о о13 о о о о о о141 о о о о о о41 о о о о о о5 о1 о о о о о5 о1 о о о о о6 о о1 о о о о6 о о1 о о о о7 о" о о1 о о о7 о" о о1 о о о(7.4.4)(7.4.4)
1 2
3
П= 4 5 6 7
1 2
3
П= 4 5 6 7
1"о
о о о
1 о о
1"о
о о о
1 о о
2
0
0
0
0
0
1
0
2
0
0
0
0
0
1
0
3 о о о о о о
1
3 о о о о о о
1
4
1 о о о о о о
4
1 о о о о о о
5 о
1 о о о о о
5 о
1 о о о о о
6 о о
1 о о о о
6 о о
1 о о о о
7 о" о о
1 о о о
7 о" о о
1 о о о
(7.4.4)
(7.4.4)
Матрица П служит адекватной моделью процесса квантования: она имеет порядок Тм, тангенс угла наклона прямой кодируется номером кьТц + 1 единичного элемента первой строки; смена элементов кода с 7 = 1 на 7 = l + z происходит при попадании в подмножество Пц-ь содержащем ngT состояний.
Пусть so — номер первоначального состояния, для которого A/iSo ^ ^ 0,5, a (t^n) — координаты столбца и строки клетки Vt^n), которая в этом случае будет отнесена к изображению. Тогда предыдущая граничная клетка V(t — 1,п — 1) будет ее левым и нижним соседом, а обе клетки У(£ — 1,п — 1) и V^n?) задают элемент кода 7 = 1 + г. Состояние so является начальным для подмножества Пц-ь Покажем, что это подмножество включает подряд ngT состояний цепи, от so до sq + + ngT — 1. Действительно, в следующем, (so + 1)-м состоянии величина зонда в клетке Ко+1 будет A/iSo+i = A^So + 1/^м ^ ^,5, а приращение зонда за один шаг квантования при rigT > 1
ngr 0,5 । 1
Поэтому величина зонда в соседней, расположенной в данной строке слева клетке, меньше 0,5, ив качестве граничной будет выбрана клетка, являющаяся левым нижним соседом клетки V5o+i- В результате формируется элемент кода, равный 1 + г. Такая ситуация имеет место для всех ngT состояний: so, so + 1,... , so + ngT — 1.
Номер начального состояния для подмножества Qi+i равен
= s (^) + ^c_i>2^
Вектор вероятностей состояний тг[£] дискретной цепи Маркова на t-м шаге определяется как тг[£] = тг[0]П*, t = 0,1,2,... Компонента тг^], j = 1,2,... 7^, этого вектора равна вероятности попадания процесса за t шагов в состояние j при заданном векторе тг[О] начальных состояний.
Пример 1. Найдем элементы цепного кода за макропериод для случая кь = = 3/7 при начале процесса из первого состояния (Т^ = 7, ngr = 3).
В этом случае тг[О] = [1000000], а МВП задается выражением (7.4.4). Опреде-
лим семь векторов вероятностей состояний и запишем их в виде матрицы
0
1234567
" 1000000 "
1
0 0 0 1 0 0 0
2
0 0 0 0 0 0 1
Ro,6 = 3
0 0 1 0 0 0 0'
4
0 0 0 0 0 1 0
5
0 1 0 0 0 0 0
6
. 0 0 0 0 1 0 0 .
По формуле (7.4.5) находим, что подмножество Qi+i начинается с состояния so = 4. Оно включает подряд три состояния: 4, 5 и 6. В этих состояниях
зонд соответственно равензонд соответственно равен3,5 4,5 5,57’7’73,5 4,5 5,57’7’7. По матрице Ro,6 определяем элементы. По матрице Ro,6 определяем элементы
зонд соответственно равен
зонд соответственно равен
3,5 4,5 5,57’7’7
3,5 4,5 5,57’7’7
. По матрице Ro,6 определяем элементы
. По матрице Ro,6 определяем элементы
цепного кода контура за макропериод, начиная с положения, соответствующего положению первого состояния цепи: {... , 1,1 + г, 1,1,1 + г, 1,1 + г,. • •}.
Анализ марковской модели процесса квантования. В общем случае матрица перестановок В записывается в виде [130]:
‘ 0 0 0 О 1 ’
100...ОО
01о...ОО
ооо...оо
ООО...1о
Характеристические числа матрицы располагаются на линии окружности единичного радиуса: Xj = ^ t j = 1,2,... , Тм, где е = ехр {^тг/Т^}. Семейства ортонормированных правых (р^ и левых ф^ j = 1,2,... , 7^, собственных векторов матрицы В равны
где evi v = 1,2,... , Тм, — вектор с Тм компонентами, причем одна, и-я компонента равна единице, а остальные — нулю. С учетом ортонормиро- ванности семейства векторов eV) v = 1,2,... ,Тц, для элементов матриц Фт = {^/} и Ф = {^j} получим следующие выражения: (pji = ^^~^\ Ф13 = е1^ l)j = 1,2,... ,Тр. Определим спектральное представление матрицы В [43]:
где матрица Dv = Фт11/1/Ф, 1Р1/ — матричная единица. На основании выражений для элементов матриц Фти Ф для элемента матрицы Dv можно записать dijv = £КТи.-^-н^ v _ 1,2,... ,ТР. При возведении матрицы в целую положительную степень t результирующая матрица остается перестановочной. Ее ленточная структура сохраняется, однако единица в каждой строке циклически сдвигается на t столбцов. Поэтому, возведя матрицу В в степень с = Т^ — ngT, получим матрицу Ф, т.е. Ф = = Вс. Так как при возведении матрицы в степень ее собственные векторы не изменяются, а характеристические числа возводятся в ту же степень, то спектральное представление МВП запишется как
П‘ =
Умножая обе части этого равенства на начальный вектор тг[О] = ер1 получим независимое представление для вектора состояний цепи на произвольном t-м шаге квантования прямолинейной границы изображения: ^РЧ^ = ^У>1сийР\(7.4.6)
где
= epDv = (еН^-^)+>| ,
,Т^ t = 1,2,... ,^-1.
Данное представление обладает свойствами развязки по состояниям и шагам [43]. Поэтому на его основе с помощью (7.4.6) можно записать следующее выражение для вероятности P^Ct) попадания на t-м шаге в подмножество состояний Пц-i при начале процесса из состояния р:
Of) = Е ^^Е6"^ Е
J=fll4-i^ zv —1У=П1-н
(7.4.7)
В последнем выражении поменяем порядок суммирования и учтем конкретные состояния, образующие подмножество Qi+i и начинающиеся состоянием «о (см. (7.4.5)). В результате получим
So + TT-g-y- 1 Тц
pwW-^ Е Е^^-(7А8>
j = S0 V = 1
Введем обозначение
/(ci + / - р) = ^Е= (1 При Ct + j ~ р = аТр' (7.4.9)
v==i(0 в противном случае.
Тогда
s0+ngr-l
= Е M+j-pY(7.4.10)
3=s0
Элемент 7^ (t) цепного кода проквантованной границы при начальном состоянии цепи, равном р, через найденную вероятность P^V^) в общем случае будет иметь вид
^(tW+^i+Vt)-(74.11)
В дальнейшем нас также будет интересовать выражение для отдельной компоненты 7rjp\t), равной вероятности попадания на t-м шаге в состояние j при начальном векторе ер:
^(t) = — ^£^+i-p) = J1 ПРИ ct а-j - р = аТИ, (7.4Д2) ^р==1[О в противном случае.
Пример 2. Для случая, рассмотренного в примере 1, проведем анализ цепи Маркова, описывающей процесс квантования границы. Так как кь = 3/7, Ту = 7, ngT = 3, то с = Ту — ngri Xj = ecj = е43, е = е^^7.
Матрицы правых и левых собственных векторов МВП (7.4.4) будут равны Фт = ^е1^7-3^У Ф = ^е^УШ = 1,2,3, 4, 5,6, 7. При начальном векторе тг[О] = = ei = [1000000] необходимые для независимого определения вектора вероятностей состояний тг[^] векторы dv имеют вид: cL = {е7-" 4 j^J^J = 1,2,... ,7.
Вероятность попадания на t-м шаге в j-e состояние цепи равна (см. (7.4.12))
7rW(t) =-^e^^+j-1), j = 1,2,3,4,5,6, 7, t = 0,1,2,3,4,5,6.
Найдем распределение вероятностей попадания процесса в первое состояние (j = 1). Вероятность тг^1^ [Z] будет равна при любом t нулю, кроме значения t, при котором ct 4-3 — р = 4t = 7а, а = 0,1, 2,... Выполнение этого равенства возможно лишь при а = 0, т.е. попадание в первое состояние цепи будет лишь на первом шаге, и искомое распределение равно {1000000}. Найдем вероятность принятия элементом кода границы значения 7 = 1 4 г. Подмножество Qi+i, как следует из примера 1, включает 4, 5 и 6 состояния цепи. Тогда в соответствии с (7.4.7)
7 6 г 7 7 7 "
pW. — e4t= ” £^(4^+з) 4- у^еИ4^+5) 17=1 3=4 _1/=1 17=1 17=1 _
Подставляя значения 1 = 0,1, 2,... 6, найдем распределение моментов попадания в подмножество Qi+i: {0,1,0,0,1,0,1}. В соответствии с этим распределением отрезок цепного кода длиной в макропериод при первом начальном состоянии будет иметь вид {... ; 1; 1 4 г; 1; 1; 1 4 г; 1; 1 4 г;... }.
В выражениях (7.4.7), (7.4.8) и (7.4.10) для элемента цепного кода 7(Z) границы параметры j и р, характеризующие соответственно сдвиг изображения в плоскости квадратной сетчатки и начало отсчета кода, одинаково влияют на величину 7^). В связи с этим можно сформулировать эргодическое свойство цепного кода проквантованной прямолинейной границы изображения
t = 0,1,2,... , (7.4.13) где 7j (t) — код границы после сдвига изображения, j — параметр сдвига, р — смещение начала отсчета кода. В соответствии с этим свойством код границы после сдвига изображения в плоскости сетчатки может быть найден путем смещения элементов кода любой проквантованной реализации. Эргодическое свойство позволяет находить любые характеристики процесса квантования прямолинейной границы как по одной реализации кода длиной 2ТМ элементов, так и по Ту реализациям длиной Ту элементов.
АКФ цепного кода прямолинейной границы
При анализе процесса квантования целесообразно дать количественную оценку степени разрушения образа прямолинейной линии. Такую оценку можно получить, построив кластер проквантованных прямолинейных границ. Центр кластера Л будет задаваться точкой исходной грани-
цы, а различные реализации проквантованной границы образуют в выбранном многомерном пространстве компактную область точек, рассеянных относительно центра. Расстояния от каждой точки области до центра служат количественной мерой степени искажения линии границы при ее квантовании. Данный кластер представляет собой множество выходных сигналов контурного фильтра, импульсная характеристика (ИХ) которого согласована с линией границы.
Благодаря прямолинейности формы границы вид кластера будет инвариантен к преобразованию масштабирования изображения. Зависимость структуры кластера от поворота изображения определяется значением к = = tg у?, которое является параметром марковской модели процесса квантования (см. п. 7.4) и задает порядок Тр и значащие диагонали МВП П.
Для оценки влияния преобразования сдвига изображения на вид кластера надо найти АКФ последовательности значений вероятности P^tt) принятия элемента кода границы на ^-м шаге квантования при начальном состоянии р (см. (7.4.7), (7.4.8), (7.4.10)). Если предположить, что в результате сдвига изображения его граница может занимать по отношению к линиям сетчатки произвольные положения, то такое преобразование приводит к произвольным смещениям элементов цепного кода, что, собственно говоря, и характеризуется АКФ. Рассмотрим несколько представлений АКФ для проквантованной прямолинейной границы изображения, проходящей в базовом секторе, и ее наиболее важные свойства.
Развернутое представление АКФ. АКФ т/(т) проквантованной границы можно найти, принимая во внимание, что сдвиг элементов кода происходит либо при вариациях начального вектора цепи тг[О] = еР1р = = 1,2,...,^, либо номера шага квантования t^t = 0,1,2,... , Тр — 1. Сначала определим АКФ последовательности из значений вероятности 7^(2) попадания на t-м шаге в j-e состояние цепи при начальном векторе ер. Применяя выражение (7.4.12) и учитывая комплекснозначный характер величины s, запишем
тм-1 Г тмтц"
^р)_ ^Е Е^(ct+cr+j-p)^-©(ct+j-p)
^ t=o v=l0=1
При т = О величина ту^(О) = 1. При г ^ 0 выражение для АКФ содержит две группы слагаемых — с равными и отличными друг от друга индексами v и ©. Слагаемое первой группы можно записать как
si/(ct+cr+j-p)s-0(ct+j-p) _ £РСТ^ V — 0^ т ^ 0.
Количество таких слагаемых будет Тц и при суммировании по v в соответствии с учетом тождества
Е = Еехр ]i । = 0<7"51)
они дадут ноль. Слагаемое второй группы равно е^ p^v ^£VCT£tc^v е\ При суммировании этих слагаемых по t с учетом тождества (7.5.1) получим, что т^^т) равно единице при т = 0, а для остальных значений т — нулю. Данный результат становится очевидным, если учесть, что мы находим скалярное произведение ортонормированных векторов ер,р = = 1,2,...,^.
Найдем теперь АКФ последовательности вероятностей P1+i (f) принятия элементом цепного кода на ^-м шаге значения 7 = 1 + г как АКФ суммы последовательностей тгу(^), 3 = 1,2, ...ngr. Так как АКФ имеет интегральный характер, то она не зависит от порядка следования образующих ее слагаемых. Поэтому АКФ ту (т) будет инвариантна к номеру состояния з = so при условии сохранения количества состояний подмножества Пц-». Массив номеров состояний, образующих это подмножество, должен включать подряд ngT = къТр номеров. С учетом данного замечания для упрощения выкладок величины sq и р положим равными s0 = 0, р = 1 и опустим в обозначениях верхний индекс. В результате получим
Тм-1тмngr-l
Ч(т) = £ P^tA-T^P^ = ^>-тЕ (ngr -
t=0M„=l ^=-(ngr-l)
Поменяем порядок суммирования в последнем выражении и используем тождество (7.5.1). Так как процесс квантования прямолинейной границы имеет периодический характер, то зададим главные значения шага t и задержки т в виде
(7.5.2)(7.5.2)(7.5.3)(7.5.3)О^М^<ТР, 0^М{т}<Тр.
(7.5.2)
(7.5.2)
(7.5.3)
(7.5.3)
Тогда выражение для АКФ запишется в виде
£ (ngr - |/3|) при ст ± /3 = аТ^, ^Т) =^=-(ngr-l)
^0 в противном случае.
Это представление АКФ р (т) назовем развернутым. Его исследование связано с решением уравнения в целых числах:
ст ± Р = аТр^ (7.5.4) относительно целых значений неизвестных тиа при варьировании свободного члена р. В соответствии с данным уравнением каждое значение Р, входящее в выражение (7.5.3), связано с определенным значением т. Хотя формально данная сумма включает 2ngT слагаемых, но отсчет АКФ для заданного конкретного т может формироваться одним или несколькими слагаемыми ngr —|^|. Для получения значений АКФ г/ (т) с помощью развернутого представления надо решить уравнение в целых числах (7.5.4), установить, какие значения коэффициента Р соответствуют заданному значению т и подставить их в выражение (7.5.3). Из общих свойств любого АКФ, а также из периодичности цепного кода границы следует,
ЧТО Т)(т) = Т^-т), Г}(т) = Т)(т ± оТцУ Поэтому ту (т) = ту (т* — 7^) = = г) (Ту — т), т.е. в пределах одного макропериода каждое значение АКФ повторяется дважды.
Найдем величину т, соответствующую в уравнении (7.5.4) 3 = 0. При этом уравнение примет вид тТИ(1 — къ) = аТу. Откуда т = aTy/ngr. Поскольку т — целое число, то а должно нацело делиться на величину ngr, т.е. в данном случае принимает ряд значений: а = 0, ngr, 2ngr,... Этому ряду ставится в соответствие ряд значений т: т = 0,TMngr,2TMngr,... Но так как т должно удовлетворять еще и условию (7.5.2), то из данного ряда подходит лишь т = 0. Поэтому а = 0 и ту(О) = ngT = кТу.
Для нахождения остальных решений уравнения (7.5.4) необходимо иметь хотя бы одно ненулевое решение. Удобнее всего найти его корень ri, положив значение 3 = 1. Тогда остальные ненулевые решения уравнения определяются как [134]
тр = М^т^, 3 = -1, ±2, ±3,... , ±(тг5г - 1). (7.5.5)
Для получения решения и исходное уравнение перепишем в виде: Л 7^(1 - къ) + аТу +1 = 0, а отношение коэффициентов при неизвестных 7^(1 — къ)/Ту = 1 — къ представим в виде цепной дроби [134]. Тогда
где £ — количество звеньев разложения величины 1 — къ в цепную дробь; О^—х — знаменатель (£ — 1)-й подходящей дроби для 1 — къ- После определения ri с помощью выражения (7.5.5) находим остальные решения т уравнения (7.5.4) при 3 = — 1, ±2, ±3,... ,±(тгяг — 1). В соответствии с (7.5.2) при полученных значениях т АКФ будет отличаться от нуля.
Пример 1. Получим развернутое представление АКФ ту (т) для прямолинейной границы изображения с къ = 3/7, Ту = 7, ngr = 3, с = 4. Формула (7.5.4) принимает вид
±2±2чИ = <чИ = <Z (з-|^|) 3=0Z (з-|^|) 3=0при 4т ± /3 = 7а,при 4т ± /3 = 7а,
±2
±2
чИ = <
чИ = <
Z (з-|^|) 3=0
Z (з-|^|) 3=0
при 4т ± /3 = 7а,
при 4т ± /3 = 7а,
0, в противном случае.
При т = 0 значение АКФ равно т(0) = къТу = 3. Так как знак при а не играет роли, уравнение (7.5.4) принимает вид 4т + 7а ± 3 = 0. Представим отношение коэффициентов при неизвестных тиа, равное 4/7, в виде цепной дроби, отбросим последнее звено и переведем ее в натуральную. Получим 1/2. Г^41-8 + 7-1й
Составим разность дробей — - + - = ——— = —. Приведем дроби к общему
знаменателю и отбросим его: —4-2 + 7- 2 + 1 = 0.
Сравнивая полученное выражение с уравнением 4т + 7а ± 3 = 0, видим, что т = л = — 2,3 = 1. Главное значение т в данном случае будет М{—2} = 7 — -2 = 5.
По формуле (7.5.3) получим ту (5) = 2. На основании полученного решения и уравнения (7.5.5) найдем, какие решения соответствуют значениям /3 = — 1 и ± ±2. Результаты расчетов для 3 и т представим в виде табл. 7.3.
Рис. 7.9. АКФ цепного кода прямолинейной границы с къ = ^ПРис. 7.9. АКФ цепного кода прямолинейной границы с къ = ^П001-12-2т05234001-12-2т05234Таблица 7.3Таблица 7.3Получили пять значений для т, причем одному значению Р соответствует только одно значение т. Для двух значений т, равных единице и шести, коэффициент Р отсутствует и поэтому ту (1) = ту (6) = = 0. Результаты расчетов данной АКФ по формуле (7.5.3) показаны на рис. 7.9.Получили пять значений для т, причем одному значению Р соответствует только одно значение т. Для двух значений т, равных единице и шести, коэффициент Р отсутствует и поэтому ту (1) = ту (6) = = 0. Результаты расчетов данной АКФ по формуле (7.5.3) показаны на рис. 7.9.
Рис. 7.9. АКФ цепного кода прямолинейной границы с къ = ^П
Рис. 7.9. АКФ цепного кода прямолинейной границы с къ = ^П
0
0
1
-1
2
-2
т
0
5
2
3
4
0
0
1
-1
2
-2
т
0
5
2
3
4
Таблица 7.3
Таблица 7.3
Получили пять значений для т, причем одному значению Р соответствует только одно значение т. Для двух значений т, равных единице и шести, коэффициент Р отсутствует и поэтому ту (1) = ту (6) = = 0. Результаты расчетов данной АКФ по формуле (7.5.3) показаны на рис. 7.9.
Получили пять значений для т, причем одному значению Р соответствует только одно значение т. Для двух значений т, равных единице и шести, коэффициент Р отсутствует и поэтому ту (1) = ту (6) = = 0. Результаты расчетов данной АКФ по формуле (7.5.3) показаны на рис. 7.9.
Компактное представление АКФ. Развернутое представление АКФ позволяет находить значения ту (т), задаваясь каждый раз упорядоченными значениями коэффициента Р = -1, ±2, ±3,... , ±(ngr — 1). При этом значения т следуют в произвольном, заранее неизвестном порядке. Поэтому, если с помощью (7.5.3) находится значение АКФ ту (т = то), то необходимо вычислять ряд ненужных значений т до тех пор, пока не встретим значение т = то- Найдем теперь другое, свободное от этого недостатка представление АКФ ту (т). Величина свободного члена уравнения тТД1 - кь) ± Р = аТц обладает свойством, обеспечивающим для всех Р ± аТц одно и тоже значение АКФ. Действительно, учитывая, что ату — целое число, получим ту (/3ri) = ту[(/3 ± Т^) ri] = ту фту ± а/иТ^) = = т)(Рт1У Периодичность АКФ значений приводит к тому, что в пределах макропериода имеются следующие две области ал и о;2 значений Р по ngr — 1 не равных нулю отсчетов ту (т) (кроме ту(О) = ngr) (рис. 7.10, а): ал = {1,2,... , ngr - 1}, а;2 = {^ - ngr 4-1,... , Тц - 2, Тц - 1}.
Область главных
модифицированных значений р
-I11
12 п -1
ааgr
а
а
Область главных значений р
Область главных модифицированных значений р
111!1
012Т^-п^Т-1 Т„
11 1 11 V —'
Область главных значений р
Рис. 7.10. Области значений коэффициента Р в пределах главного макропериода: а — ngr < Тм/2, б — ngr > Т^Iе!
Если эти области не перекрываются, то между ними находится область шз из Тц — 2ngr — 1 отсчетов, в которых АКФ равна нулю: сиз = = {ngr, ngr 4- 1, • • • ,7^ — ngrY Величины /3 = М^ЗЪ удовлетворяющие условиям 0 ^ 3 ^ Тр — 1, назовем главными значениями этого коэффициента. Так как отсчеты АКФ в областях wi и о>2 эквивалентны, то целесообразно ввести понятие модифицированного главного значения 3*
{
М{3}, если /3 = 0 или М^3^^ш^
Тр - M{3Y если М^ 6 w2, (7.5.6) ngr, если М^З^ 6 ыз.
Из данного определения следует, что М*^3^ — М*{~3}- Для получения искомого представления АКФ выразим коэффициент /3 через т и подставим результат в формулу (7.5.3). В уравнении тТД! - къ) ± 3 = = аТр в качестве неизвестных используем а и /3, а величину тТИ(Д — — к^ будем рассматривать как варьируемый за счет т свободный член уравнения. Учитывая, что с = Тр — ngr = Тр — к^Тр, запишем: /3 + 4- аТр + ст = 0. Если принять 3 = ~ст, то при этом аТр = 0 и а = 0. Данное значение а входит в область его допустимых значений. Используя в развернутом представлении АКФ значение 3 = —сти. применяя его модифицированное главное значение М*^3^ = М*{—ст} = М*{ст}, получим следующее представление АКФ, которое назовем компактным:
*) =*) =п8Т-М*^-т^ при М{-т} € Ш1 Л w2, (? 2ngT — Тр при М{ — т} 6 Ш1 Л а^-
*) =
*) =
Выражение для т) (т) в ситуации, когда часть значений М^ст^ одновременно принадлежат областям cui и CU2, получается в соответствии с (7.5.3) путем суммирования значений АКФ для обоих случаев, т.е.
т)М = ngT - М{3} - Тр + М^З^ = ^gr - Тр.
В развернутом представлении АКФ величина /3 задавалась в пределах 0,1,... , ±(ngr — 1), а величина а при этом получается произвольной. В данном же случае величина а фиксируется на уровне а = 0, а коэффициент 3 приобретает произвольные значения, которые за счет перехода к модифицированному главному значению находятся в интервале от 0 до ngT. В компактном представлении АКФ можно пользоваться заданием коэффициента 3 в виде /3 = ст, что по сравнению со случаем, когда 3 = = —ст, приведет к взаимной смене областей wi и и)2, в которое попадает получающееся значение 3- При этом модифицированное главное значение /3, по которому определяется отсчет АКФ, не меняется.
Пример 2. Найдем с помощью компактного представления АКФ ту (т) для границы с характеристиками къ = 5/7, ngT = 5, Тр = 7, с = 2.
В этом случае область ал состоит из значений 3 = {1,2,3,4}, а область ^2 из значений 3 = {3,4,5,6}. Видно, что эти области перекрываются и нулевых значений АКФ не будет. Выражения (7.5.6) и (7.5.7) для М*^ст^ и ту (г)
принимают видпринимают видМ*{ст^ = М*{2т}М*{ст^ = М*{2т}ЛГ{2т}, если 0 ^ М{2т} ^ 4,
принимают вид
принимают вид
М*{ст^ = М*{2т}
М*{ст^ = М*{2т}
7 — М{2т}, если 3М{2т}6,
, . I 5-М*{2т} при /3 = —т = 0,1,2,5,6, ТНТ) = <к J7 7
V )[ 3 при /3 = —т = 3,4.
Задаваясь последовательными значениями т, получим
77(0) = 5 —М*{0} = 5-0 = 5,
77(1) = 5- М*{2} = 5-2 = 3, М{2т} Есл,
77 (2) = 3,М{2т} Е cut Л W2,
77 (3) = 5 - ЛГ {6} = 5-1 = 4, М{2т} Е ы2,
77 (4) = 5 - М*{8} = 5-1 = 4, М{2т} Е ал,
т) (5) = 3, ЛГ{2т} Е ел Л сиг,
77 (6) = 5 - М*{12} = 5-2 = 3, М{2т} Е w2.
Прямое представление АКФ. Компактное представление по сравнению с развернутым значительно облегчает расчеты, но не позволяет проанализировать поведение АКФ при изменении значений кь = = tg tp. Для получения такой возможности приведем без детального вывода еще одно представление АКФ, условно названное прямым, в котором 77 (т) явно зависит от кь и Т^. Нахождение прямого представления АКФ основано на выражении модифицированного главного значения М*^ст^ (см. (7.5.6)) и величины ngT через кь и Т^, и подставлении найденного значения М*^ст^ в выражение (7.5.7). В результате получим
кьТц - М*^тТц (1 - кь^ при М\тТц (1 - кьУУ € wi Л си2,
Л (т) - 7^ ^kb - 1) при М\тТц (1 - кь^ £ wi Л си2,
О при М{тТц (1 - кь)^ € w3.
(7.5.8)(7.5.8)Вычисление АКФ 77 (т) связано с анализом взаимного расположения областей cui, си2 и си3 (рис. 7.10) значений коэффициента 3 = M*^ctY С изменением кь = ngr/Tp их взаимное расположение также меняется, так как их положение определяется величинами ngT и 7^. В табл. 7.4 приведены значения АКФ, рассчитанные на основе прямого представления.
(7.5.8)
(7.5.8)
Пример 3. Запишем представление АКФ для кь = 3/7 и кь = 5/7. Для кь = 3/7 формулы табл. 7.4 принимают вид
77(0) = 3; 77(1) = 0; 77(2) = Т^Зк- 1) = 2;
77(3) = ТД1 - 2А;) = 1;77(4) = ТДбк - 2) = 1.
Соответственно, для кь = 3/7 получаем
77(0) = 5; 77(1) = ТД2к - 1) = 3; 77(2) = ТД2к - 1) = 3;
77(3) = ТД2 - 2А;) = 4; 77(4) = ТДбк - 3) = 4.
тчНИнтервал для к = tgp0кТ^0 ^ к < 1100 ^ к ^ 0,5Тд (2к - 1)0,5 < к ^ 1200 ^ к ^ 1/3Тд (Зк - 1)1/3 < к 0,5TM (1 - к)0,5 < к ^ 2/3Тд (2к - 1)2/3 < к < 1300 ^ к < 0,25Тд (4к - 1)0,25 < к ^ 1/3TM (1 - 2к)1/3 < к 0,5Тд (4к - 2)0,5 < к ^ 2/3Тд (2 - 2к)2/3 < к ^ 0,75Тд (2к - 1)0,75 < к < 1тчНИнтервал для к = tgp0кТ^0 ^ к < 1100 ^ к ^ 0,5Тд (2к - 1)0,5 < к ^ 1200 ^ к ^ 1/3Тд (Зк - 1)1/3 < к 0,5TM (1 - к)0,5 < к ^ 2/3Тд (2к - 1)2/3 < к < 1300 ^ к < 0,25Тд (4к - 1)0,25 < к ^ 1/3TM (1 - 2к)1/3 < к 0,5Тд (4к - 2)0,5 < к ^ 2/3Тд (2 - 2к)2/3 < к ^ 0,75Тд (2к - 1)0,75 < к < 1тч(т)Интервал для к = tg<p400 к 0,2тц (5к - 2)0,2 < к ^ 0,25Тд (1 - 3k)0,25 < к < 1/301/3 к 0,4Тд (5k - 2)0,4 < к < 0,5Тд (2 - 3k)0,5 < к 0,6Тд (2k - 1)0,6 < к < 2/3Тд (5k - 3)2/3 ^ к ^ 0,75Тд (3 - 3k)0,75 < к ^ 0,8Тд (2k - 1)0,8 < к < 1тч(т)Интервал для к = tg<p400 к 0,2тц (5к - 2)0,2 < к ^ 0,25Тд (1 - 3k)0,25 < к < 1/301/3 к 0,4Тд (5k - 2)0,4 < к < 0,5Тд (2 - 3k)0,5 < к 0,6Тд (2k - 1)0,6 < к < 2/3Тд (5k - 3)2/3 ^ к ^ 0,75Тд (3 - 3k)0,75 < к ^ 0,8Тд (2k - 1)0,8 < к < 1Таблица 7.4. Прямые представления АКФТаблица 7.4. Прямые представления АКФ
т
чН
Интервал для к = tgp
0
кТ^
0 ^ к < 1
1
0
0 ^ к ^ 0,5
Тд (2к - 1)
0,5 < к ^ 1
2
0
0 ^ к ^ 1/3
Тд (Зк - 1)
1/3 < к 0,5
TM (1 - к)
0,5 < к ^ 2/3
Тд (2к - 1)
2/3 < к < 1
3
0
0 ^ к < 0,25
Тд (4к - 1)
0,25 < к ^ 1/3
TM (1 - 2к)
1/3 < к 0,5
Тд (4к - 2)
0,5 < к ^ 2/3
Тд (2 - 2к)
2/3 < к ^ 0,75
Тд (2к - 1)
0,75 < к < 1
т
чН
Интервал для к = tgp
0
кТ^
0 ^ к < 1
1
0
0 ^ к ^ 0,5
Тд (2к - 1)
0,5 < к ^ 1
2
0
0 ^ к ^ 1/3
Тд (Зк - 1)
1/3 < к 0,5
TM (1 - к)
0,5 < к ^ 2/3
Тд (2к - 1)
2/3 < к < 1
3
0
0 ^ к < 0,25
Тд (4к - 1)
0,25 < к ^ 1/3
TM (1 - 2к)
1/3 < к 0,5
Тд (4к - 2)
0,5 < к ^ 2/3
Тд (2 - 2к)
2/3 < к ^ 0,75
Тд (2к - 1)
0,75 < к < 1
т
ч(т)
Интервал для к = tg<p
4
0
0 к 0,2
тц (5к - 2)
0,2 < к ^ 0,25
Тд (1 - 3k)
0,25 < к < 1/3
0
1/3 к 0,4
Тд (5k - 2)
0,4 < к < 0,5
Тд (2 - 3k)
0,5 < к 0,6
Тд (2k - 1)
0,6 < к < 2/3
Тд (5k - 3)
2/3 ^ к ^ 0,75
Тд (3 - 3k)
0,75 < к ^ 0,8
Тд (2k - 1)
0,8 < к < 1
т
ч(т)
Интервал для к = tg<p
4
0
0 к 0,2
тц (5к - 2)
0,2 < к ^ 0,25
Тд (1 - 3k)
0,25 < к < 1/3
0
1/3 к 0,4
Тд (5k - 2)
0,4 < к < 0,5
Тд (2 - 3k)
0,5 < к 0,6
Тд (2k - 1)
0,6 < к < 2/3
Тд (5k - 3)
2/3 ^ к ^ 0,75
Тд (3 - 3k)
0,75 < к ^ 0,8
Тд (2k - 1)
0,8 < к < 1
Таблица 7.4. Прямые представления АКФ
Таблица 7.4. Прямые представления АКФ
По мере роста т в прямом представлении АКФ происходит сильное дробление интервалов для т^тУ Это приводит к громоздкой записи значений АКФ при больших значениях т. Однако отсчеты АКФ, полученные для ограниченного количества значений аргумента на основании свойств АКФ, приведенных ниже в п. 7.5.4, позволяют получить достаточную информацию о всей АКФ. Отметим также, что полученные выше выражения для АКФ относятся к последовательности Р^^ вероятностей принятия на t-м шаге квантования кода контура значения 7 = 1 + г. Данная АКФ связана с АКФ К^т) цепного кода контура соотношением
К(т) = т](т) + Т^ 0 ^ т < Тц.(7.5.9)
Действительно, учитывая, что элемент кода границы, проходящей в базовом секторе, в общем случае имеет вид 7 = l-ViPi^i(ty для АКФ границы можно записать
Тм-1Тм-1
= £ [1 + i^1+i(<)][1 - iPi+i(t + т)] = Т^ + г ^ М<) +t=0t—0
Тм-1Тм-1
+ i УУ Fi+i(t + r)+ УУ Pi+i(t)Pi+i(t + т). t=0t=0
Так как последовательность Pi+i(t) за макропериод содержит ровно ngT единиц, а остальные ее элементы равны нулю, то первая и вторая суммы в последнем выражении одинаковы. Учитывая, что последняя сумма равна T)(ty получим приведенные выше выражения для К^тУ
Свойства АКФ ^(т).
Максимальное значение: т)(т) = 77(0) = ngT = kT^.
Периодичность: т)(т) = т)(т ± аТ^).
Внутрипериодная симметрия: у(г) = tj^—t) = уУТр — т).
Непрерывность значений. АКФ р(т) принимает за макропериод каждое целое значение в интервале от 0 до ngr = кТр. Благодаря свойству внутрипериодной симметрии каждое, не равное 0 или ngT значение, встречается ровно два раза.
Сумма всех элементов АКФ. В пределах макропериода АКФ содержит два одинаковых набора значений от 1 до ngT — 1 (свойства 3 и 4) т —1
и одно значение 77(0) = ngT (свойство 1). В результате ^ лМ т-е- т=0
сумма всех значений АКФ за макропериод равна квадрату количества групп элементов в коде проквантованной границы.
Взвешенная сумма элементов АКФ:
^2 ^(т) =0,5T2(ngr - 1).
т=0
Нули АКФ. Нули АКФ имеют место, когда существует область сиз значений коэффициента /3, т.е. при условии Тр > 2ngT или 0 ^ к < < 0, 5. С учетом главного значения корня уравнения тТДА. — къ) ± 0 = = аТр следует выражение для значений т, при которых ^(т) = 0: т = = M^Ti(ngT + j)}, j = 0,1,... ,Тр — 2ngr. В частности, 77(1) = т^Тр — — 1) = 0. Количество нулевых значений АКФ равно Тр - 2ngr + 1, а значащих — 2ngT — 1.
Вещественность и неотрицательность значений АКФ. Из развернутого представления АКФ (7.5.3) следует, что 77 (т) либо равна нулю, либо т)(т) = ngT — 3, т = 0,1,... ,7^ — 1. При этом значения 3 не превышают положительного числа ngr = къТр. Поэтому ни одно из значений АКФ не может быть отрицательным числом, т.е. 77(т) 0.
Рассмотренные выше свойства относились к АКФ 77 (т) последовательности Pi+i(t) вероятностей появления на t-м шаге квантования элемента кода 7 = 1+г. Данная АКФ отличается от АКФ К(т) комплекснозначного кода проквантованной границы изображения на величину Тр (см. п. 7.5.3). Поэтому свойства АКФ К(т) просто связаны со свойствами АКФ ^тУ Важным моментом, который необходимо при этом отметить, является вещественность ее значений, т.е. Im К^ = 0.
Зависимость ошибок квантования границы от преобразований масштабирования и поворота
Участок проквантованной границы из Тр элементов назовем репрезентативным. Такой участок, полученный при векторе начальных вероятностей тг [0] = ер, обозначим как Г(р) = {т^рЧ^)}0 т -v пРичем> ПРИ Г = 1 верхний индекс опустим. Модель (7.1.1) проквантованной границы запишется в виде Г^А 4- ф(р\ А = {<^(t)}0^_1, Ф^ = ^^P4^OT _р р = 1,2,... ^Тр. Для составляющих модели (7.1.1) в пределах базового
сектора получим
2
£7^) = тД1 + М, Цг(р)11 = T^i + kb^
^а^ЗД + М, ||А||2=7;(1 + кь2),(7.6.1)
^p4t) = 0, ЦФ^Ц = ТДкь-к2ь\
Отметим, что данные выражения сохраняют свой вид при любом значении р, т.е. не зависят от сдвига начальной точки контура. При масштабировании угол поворота рассматриваемого участка границы не меняется, а также сохраняется положение его начальной точки. Преобразование приводит к изменению количества стандартных ЭВ, составляющих прямолинейную границу. Условие репрезентативности обеспечивает постоянство значений ЭВ проквантованной границы в пределах макропериода. Отсюда следует, что код репрезентативного участка границы не изменяется. Поэтому преобразование масштабирования изображения не оказывает влияния на уровень ошибок квантования прямолинейного участка его границы.
Для оценки влияния на уровень ошибок квантования угла поворота изображения и сдвига начальной точки проквантованного участка его контура рассмотрим основные соотношения при согласованной фильтрации прямолинейной границы.
Контурный фильтр, согласованный с линией такой границы, проходящей под углом р = arctg к, вырабатывает меру схожести фильтруемого участка границы до и после квантования. Чем больше величина этой меры, тем меньше влиияние на конфигурацию линии оказывает процесс квантования, тем меньше уровень ошибок. Контур ИХ фильтра имеет вид
Л = {A(n)}1T^ = {a W^i^ = О — ^01,тм’
т.е. все ЭВ контура одинаковы и равны 1 — кг. Нормированный выходной эффект фильтра с учетом (7.6.1) равен
т^(то) = —1—= JL^ =-7^^ (7.6.2)
Из полученного выражения видно, что результат согласованной фильтрации репрезентативного участка границы не зависит от шага фильтрации т, положения начальной точки, определяемой параметром р = 1,2,... ,7^ и определяется лишь тангенсом угла наклона линии границы.
Таким образом, мера схожести исходной и проквантованной участков границы остается постоянной при любом положении начальной точки
и, следовательно, уровень ошибок квантования не зависит не только от масштаба, но и от выбора положения, с которого начинается процесс
квантования.
Рис. 7.11. Зависимость меры схожести прямолинейной границы до и после квантования от тангенса угла ее наклонаРис. 7.11. Зависимость меры схожести прямолинейной границы до и после квантования от тангенса угла ее наклонаВлияние угла tp, под которым ориентирована прямолинейная граница, на уровень ошибок квантования можно оценить по нормированной реакции согласованного фильтра, задаваемой выражением (7.6.2). При к = 0 и к = 1 величина t)n = 1, т.е. А и Г^ максимально схожи между собой. Это значит, что при углах поворота у) = 0иу) = 7г/4 ошибки квантования равны нулю. Анализ последнего выражения в (7.6.2) показывает, что величина т)n имеет минимум при к = 0,414 (^ = 22,48°), равный 0,91 (рис. 7.11).
Рис. 7.11. Зависимость меры схожести прямолинейной границы до и после квантования от тангенса угла ее наклона
Рис. 7.11. Зависимость меры схожести прямолинейной границы до и после квантования от тангенса угла ее наклона
линия границы проходит под углом ip = 22,48°.линия границы проходит под углом ip = 22,48°.Таким образом, уровень ошибок квантования становится максимальным, когда
линия границы проходит под углом ip = 22,48°.
линия границы проходит под углом ip = 22,48°.
Подавление ошибок квантования репрезентативного участка границы
Энергия среднего арифметического репрезентативных векторов ошибок квантования. Для оценки эффективности подавления ошибок квантования при усреднении s проквантованных репрезентативных участков границы Г^ с различными начальными точками найдем выражение для энергии среднего арифметического s, 1 < s ^ 7^, репре-
1 511^
зентативных векторов ошибок квантования, т.е. Gn^ = - 5D Ф^ • llsp=i
В соответствии с определением нормы вектора для Gh^ запишем
4 ^ фМ’ S ф(Р)) = [з(Ф(1), Ф(1)) + 2(з - 1)(Ф(1), Ф(2)) + • • •
Р Р...+ 2(Ф(1),Ф(з))]. (7.7.1)
Скалярное произведение векторов ошибок квантования зависит лишь от модуля разности индексов сомножителей. Определим с учетом выражений (7.6.1) скалярное произведение векторов ошибок квантования
(фО^фКО) = (г(р) - А,Г(9) - А) = (Г^,Г(0)) -Тц-к2ТИ.
Скалярное произведение (Г^,Г^) равно отсчету АКФ К(т), т = = \р — е|, кода проквантованной границы. С учетом (7.5.8) окончательно получаем
(Ф(р), ф(О) = ^р _ У| _ k2T^ = ^ _ k2T^-
С помощью этого результата выражение (7.7.1) преобразуется к виду s —1
Он м = 4 Е tti (s~t)+skT^ (i -ks^ •<7-7-2)
Найдем в качестве примера зависимость энергии ошибок квантования при усреднении проквантованных репрезентативных участков границы с к = 3/7(см. примеры 1 и 3 из п. 7.5). Выражение (7.7.2) для к = 3/7 принимает вид
G^s) - 4SG^s) - 4S2Е tti^s -т)+^^ ~ Is)2Е tti^s -т)+^^ ~ Is)в = 1,2,3,4,5,6,7.в = 1,2,3,4,5,6,7.
G^s) - 4S
G^s) - 4S
2Е tti^s -т)+^^ ~ Is)
2Е tti^s -т)+^^ ~ Is)
в = 1,2,3,4,5,6,7.
в = 1,2,3,4,5,6,7.
В табл. 7.5 приведены результаты расчета энергии ошибок квантования по этой формуле. Из таблицы видно, что наибольшее уменьшение
Таблица 7.6
S
1
2
3
4
5
6
7
Gh (s)
1,71
0,214
0,158
0,089
0,034
0,048
0
энергии шума достигается при усреднении двух векторов ошибок квантования с соседними значениями индексов. Если бы ошибки квантования носили статистический характер, то энергия этих ошибок монотонно падала бы с ростом объема накапливаемых выборок. В данном же случае ошибки носят детерминированный характер и, в связи с этим, при увеличении от 5 до 6 выборок энергия ошибок не уменьшается, а возрастает с 0,034 до 0,048. При накоплении s = Тм = 7 репрезентативных выборок Gh^Tp.) = 0. Покажем, что данный результат носит общий характер. Из соотношения (7.7.2) при s = Тм получаем
1 Г1
Gh(s) = А 2 £ ту(Тм - тНкТ> ~ кТц) •
L т=1.
Используя свойства 3 и 6 АКФ т/(т) (см. п. 7.5.4), последнее выражение приводим к виду Gh^ = -^ (fc2T^ - кТ2 + кТ2 - кТ^ = 0.
Таким образом, энергия ошибок квантования среднего арифметического Т/ репрезентативных участков проквантованной прямолинейной границы изображения равна нулю.
Условие полного подавления ошибок квантования. Определим скалярное произведение векторов АиГ^ границы до и после квантования: (А, Г^) = (А, А + ф(^)) = (А, А) 4- (А, Ф^^).
Векторы А и Ф^ ортогональны. Действительно, с учетом (7.6.1) полу
чим (А, Ф^) = (1 + кг) 52 ^W — 0. Поэтому (А, Г^)) = || А||2 = ТД1 + t=i
+ к2). Так как работа согласованного фильтра сводится к образованию
отчетов в виде набора скалярных произведений вектора фильтруемого сигнала с вектором ИХ, то из полученного соотношения следует, что результаты фильтрации репрезентативного участка прямолинейной границы до и после квантования одинаковы. Поэтому согласованный фильтр с ИХ Л = {с/»}, т = {1 — кг^г т , т.е. с окном шириной s = 7^, при фильтрации подобных участков производит полное подавление ошибок квантования (см. (7.6.1)):
nW = £yp)(i)(l - кг) = ЗД + ki^l - кг) = ||A||2.
t=l
Из этого выражения следует, что на каждом шаге он образует величину, равную энергии репрезентативного участка исходной границы из Тц элементарных векторов а = 1 + кг.
Расчет коэффициента подавления ошибок квантования. Зададим коэффициент подавления ошибок квантования репрезентативного участка прямолинейной границы изображения как отношение энергии сигнала А и ошибок квантования Ф^: r8 = GaJGk(s). Обработка заключается в формировании среднего арифметического s участков границы Г^р\ р = 1,2,... , s, либо, в соответствии со свойством эргодичности (см. п. 7.5), в скользящем суммировании ЭВ границы в окне из s элементов на Тц шагах. Подставляя в выражение для коэффициента подавления т8 значения числителя из выражений (7.6.1) и знаменателя из выражения (7.7.2), получим
ts = —.(7.7.3)
2^tt7(s — г) + skT^(l — ks^)
T —1
Ниже приведены полученные с помощью прямого представления для АКФ (см. табл. 7.4) формулы для расчета коэффициента т8 для значений 8 = 1,2,3,4:
s = 1;
(l + fc2)
Г1 = (к
при 0 к 0,5;
s = 2;
(l + fc2)
Г2 ='
при 0 ^ к ^ 0,5;
(0,5к — к )
f1 + А:2
при 0 к 0,33,
s = 3; г3 =
. 0,ЗЗА; — А:2
:<l+fc2
при 0,33 < к 0,5;
к - к2 - 2/9
'l + fc2
при 0 ^ к ^ 0,25,
s = 4; Т4 = <
0,25А: — к2 l + fc2
— при 0,25 < к 0,5
k 0,75А: - к - 1/8
На рис. 7.12 представлены рассчитанные по этим формулам графики зависимостей rs(ky Из них видно, что коэффициент подавления сильно зависит от величины k = tg<p. В области малых значений к, 0 < к < < 1/s, выигрыш от накопления з реализаций приближенно равен s/к т.е.
Рис. 7.12. Зависимость логарифма коэффициента ошибок квантования репрезентативных участков границы от величины кРис. 7.12. Зависимость логарифма коэффициента ошибок квантования репрезентативных участков границы от величины кпропорционален количеству накопленных реализаций. Для одной прокван- тованной реализации коэффициент г растет с уменьшением к. Накопление двух реализаций целесообразно при значениях к, близких к 0,5, т.е. когда величина г стремится к бесконечности. Накопление трех реализаций целесообразно при значениях к, близких к 0,33. В этих случаях коэффициент подавления стремится к бесконечности.
Рис. 7.12. Зависимость логарифма коэффициента ошибок квантования репрезентативных участков границы от величины к
Рис. 7.12. Зависимость логарифма коэффициента ошибок квантования репрезентативных участков границы от величины к
7.5), при фильтрации скользящего7.5), при фильтрации скользящегоГрафики на рис. 7.12 иллюстрируют резонансный характер накопления з репрезентативных реализаций про- квантованной границы или, в соответствии с принципом эргодичности (см. п.
7.5), при фильтрации скользящего
7.5), при фильтрации скользящего
среднего одной реализации проквантованной границы с окном шириной з. Покажем, что резонанс, характеризующийся резким увеличением коэффициента подавления г, наблюдается при значениях к = 1/s. В этом случае процесс квантования характеризуется параметрами ngT = 1 и Т^ = з. В соответствии со свойствами АКФ г](т) (см. п. 7.5) количество не равных нулю значений этой функции равно ngT = 1, т.е.
, . J 1 при т = 0,
[0 при т = 1,2,... ,7^ — 1.
В результате взвешенная сумма значений АКФ, представляющая первое слагаемое знаменателя выражения (7.7.3), будет равна нулю. Второе слагаемое знаменателя, имеющее вид зкТИ(1 — кз\ при к = 1/s также будет равно нулю. Таким образом, при значении к, приближающемся к 1/s, знаменатель выражения (7.7.3) равен нулю, а коэффициент подавления ошибок квантования стремится к бесконечности.
Более общее условие достижения резонанса имеет вид к = а/s, где а и s — положительные целые числа, не приводящие к значениям к > > 1. В качестве доказательства отметим тот факт, что если в окне фильтра скользящего среднего шириной з — 1/к достигается нулевой уровень ошибок квантования, то этот же уровень сохранится и при фильтрации с окном шириной а/к.Ъ этом случае ошибки квантования в каждой а-й части окна будут равны нулю, а выходной сигнал фильтра получается суммированием его реакций на все области окна. Таким образом, для наиболее эффективного подавления ошибок квантования необходимо осуществить фильтрацию кода проквантованной границы по методу скользящего среднего в окне шириной з = а/к, где з и а — целые числа, 0 < к ^ 1.
Идеальное восстановление прямолинейной границы
Рассмотрим решение задачи, обратной задаче квантования и состоящей в восстановлении формы исходной границы А по коду Г(р\
Восстановление при накоплении Т^ реализаций кода. Найдем среднее арифметическое Т^ репрезентативных реализаций кода Г(р\ р = = 1,2,... , 7^. Элемент усредненного кода Г = {7(^)}i г , полученный на основании выражений (7.4.8) и (7.4.11), будет равен
ТуsoH-^gr 1 Т*д Ту
Е ЕЕ6*'""'1-
0=1^ J=So 0=1 ^ = 1
Сумма в данном выражении равна нулю при ct + j — р / аТ^. Учитывая, что индекс р последовательно принимает значения от 1 до 7^, при каждом значении t, t = 0,1,2,... , Тм — 1, существует решение уравнения в целых числах ct + j — р = аТц. Принимая во внимание, Г. 2тг)
что е = ехр < г— > и а — произвольное целое число, получим
Ту ТуТу
У^ У2 ev^ct"^~P) = У^ ехР {i^Tri/a} =Т^.
0=1 v=l1/=1
Тогда выражение для элемента кода 7 (t) принимает вид
8 о ~H^1-gr1
7^ = 1 + ^ g T^Y^^ = 1^ik.(781)
Таким образом, при накоплении 7^ различных репрезентативных отрезков кода и соответствующем нормировании комплексный цепной код получившегося отрезка контура будет равен Г = {...,1 + гА;,1 + гА;,1 + +ifc,... }, т.е. совпадает с кодом прямолинейной границы до ее квантования.
Восстановление границы при фильтрации сколъзягцего среднего с окном s = 7^. Организуем скользящее суммирование 7^ элементов кода одной реализации проквантованной границы. Независимо от начального состояния р, р — 1,2,... ,7^, отрезок цепного кода длиной Т^ элементов содержит ngT = кТц элементов 7 = 1 + г и 7^ — ngT элементов 7 = 1. Поэтому
7" 52 7(^ + 1") = 1 + гк.т=0
Данное равенство соблюдается при любом значении t исходного шага квантования. Поэтому снова приходим к соотношению (7.8.1). Следовательно, при фильтрации по методу скользящего среднего с окном в 7^ элементов происходит идеальное восстановление формы границы. Необходимо отметить, что накопление большего или меньшего, чем 7^, числа элементов кода всегда менее эффективно. В отличие от накопления
случайных независимых величин, в результате которого дисперсия результата уменьшается с ростом объема выборки [125], в данном случае имеются фиксированные объемы выборки, кратные Т^, когда дисперсия результата строго равна нулю. Такое поведение дисперсии вызвано детерминированным характером процесса квантования и свидетельствует о наличии резонансных явлений. Заметим, что восстановление формы исходной границы при фильтрации методом скользящего среднего в окне шириной s = Тр применимо для проквантованных реализаций произвольной длины £ при условии, что I ^ Тр. На рис. 7.13 показаны результаты
Рис. 7.13. Результат фильтрации скользящего среднего границы с кь = 3/7: 1 — исходная граница и результат фильтрации с окном s = 7; 2 — проквантованная граница; 3 — результат фильтрации с окном s = 3; 4 — результат фильтрации с окном S = 10
восстановления формы прямолинейной границы для к = 3/7 при скользящем суммировании в окнах с s = 3, 7 и 10. Видно, что с учетом краевых эффектов при s = 7 = Тр форма границы безошибочно восстановилась, а при s = 3 < Тр и з = 10 > Тр восстановленная граница отличается от исходной.
Оптимальное квантование прямолинейной границыизображения
Задача формулируется следующим образом. Необходимо определить оптимальный размер стороны Дж = Ду = Д квадрата сетчатки, на которой происходит квантование проходящей под углом у? = arctg к границы длиной £, в соответствии со следующим практически важным критерием
max Д при Од = 0, I = const.(7.9.1)
Критерий обеспечивает наименьшее количество контурных клеток, занимаемых прямолинейной границей на сетчатке, при условии равенства нулю энергии Си ошибок квантования после одного шага фильтрации скользящего среднего. Если обеспечивается выполнение критерия (7.9.1), то идеальное восстановление формы границы достигается при минимальном количестве шагов фильтрации и объеме ЗУ рецепторного поля. Выбор оптимального шага квантования основывается на том, что для идеального восстановления границы необходимо найти хотя бы один отсчет фильтра
скользящего среднего с окном s — Т^. Для этого проквантованный участок границы должен содержать ровно 7^ элементарных векторов, т.е. должно быть выполнено ровно 7^ шагов квантования. Меньшее число шагов не обеспечит безошибочного восста-
Рис. 7.14. К выбору размера пиксела при оптимальном квантовании прямойРис. 7.14. К выбору размера пиксела при оптимальном квантовании прямойновления формы границы, а большее — является избыточным.
Рис. 7.14. К выбору размера пиксела при оптимальном квантовании прямой
Рис. 7.14. К выбору размера пиксела при оптимальном квантовании прямой
Для определения величины △ запишем следующее, вытекающее из показанных на рис. 7.14 простых геометрических соотношений, выражение:
,, ngr sin р
к = tep ==-.
ТИ cos р
Поскольку угол р считается
Аж — Ау —Аж — Ау —t cos р _ I sin рТрTlgrt cos р _ I sin рТрTlgr(7.9.2)(7.9.2)заданным, то известными являются величины к = ngr/Tp = tgy>, sin р и cos р, а также 7^ и ngT. Горизонтальная проекция границы равна С cos р, а вертикальная — £ sin р. Поэтому размеры клетки будут равны
Аж — Ау —
Аж — Ау —
t cos р _ I sin рТрTlgr
t cos р _ I sin рТрTlgr
(7.9.2)
(7.9.2)
Энергетические характеристики ошибок квантования для отрезков кодов произвольной длины
В реальных ситуациях квантование не является оптимальным, а отрезок прямолинейной границы — репрезентативным. В связи с этим целесообразно найти энергетические характеристики ошибок квантования и коэффициент подавления этих ошибок для произвольного значения длины £ проквантованной границы. Получим на основании (7.4.10) и (7.4.11) общее выражение для энергии отрезка кода Г(р) из I ЭВ:
G^G^SQ-V-Tlgr — 1
G^
G^
1 + г ^ f^ct + j-p1)j = SQ
С помощью результирующей формулы (П7.1.2) приложения 7.1 получим
£ s0+ngr-l
G^-t^ Е f^t + j-p\
t=l j=s0
Определим отношение т^ (I) энергий ||А^||2 исходной границы А и энергии т^ (I) ошибок ее квантования. Величина ЦА^Ц2 равна
£
t=i
Для энергии ошибок квантования в общем случае можно записатьсЦ = (г'р) - А^,!?^ - А.) = ||r€||2 + IIА€||2 - 2 Re (г^, А<) .
Скалярное произведение проквантованной и исходной границ с учетом выражений (7.4.11) и (7.4.10) будет равно
££ Г so+ngr-1’
(r^Ai) = а^у^ (t) = (1 - Н)^ 1 +г" 52=
£=1t = l Lj — So-
£. So^-Tlgr 1So^-Tlgr 1
= i+52 52 f ^ct+i - p) - гk- TL f^d+з - p) • t=l j=S0L j=S0-
Обозначим
£ so+ngr-1f^^IL 52 и^+з-руt=l j=so
Тогда для реальной части скалярного произведения можно записать Не (г^р) - А£) = £ + kF^ (I).
Принимая во внимание полученные выражения для [[Г^Ц2, ЦА^Ц2 и (Г^ — Af), энергию ошибок квантования границы длины I запишем в виде
(7.10.1)(7.10.1)сЦ = tt2 + (1 - 2fc) F^ (£).
(7.10.1)
(7.10.1)
Тогда отношение энергии исходной границы и ошибок ее квантования равно
(7.10.2)(7.10.2)rW w = IIAzll2 = ___ф+£)__
(7.10.2)
(7.10.2)
1 1^№2 + (1 - 2k) FM (£)'
Проведем анализ данного выражения, учитывая, что значение функции F^ (I) равно количеству ЭВ 7 = 1 + г в цепном коде границы за £ шагов.
Влияние начального состояния р (сдвига начальной точки кода). Начальное состояние дискретной цепи Маркова задается вектором тг[О] и определяет момент первого появления в коде F^ элементарного вектора 7 = 1 + г. До этого момента F^ (£) = 0. Таким образом, величина р определяет момент включения слагаемого (1 — 2k) в знаменателе (7.10.2). Влияние начального состояния будет сказываться на интервале длительностью 1/к, в течении которого в силу детерминированного характера процесса квантования обязательно появится один ЭВ 7 = 1 + г. При этом , ,(р)1 +fc2 1 + к2
коэффициент Ту (£) будет меняться в пределах от — ^—^ Д° —р—• Особенно сильно сказывается влияние начального состояния при больших значениях к, когда время до появления первого ЭВ 7 = 1 + г велико.
Влияние величины к = tg у? (преобразование поворота изображения). Рассмотрим случай малых значений к, 0 < к < 0,1, при фиксированном значении р. До появления первого ЭВ 7 = 1 4- г коэффициент r^ (£) to to 1/к2, а после появления этого вектора происходит резкое уменьшение этого коэффициента за счет того, что знаменатель становится близким к единице. В результате т^ (£) to £. При значениях к = tg<^ близким к 0,5, величина 1—2к в знаменателе (7.10.2) становится очень малой и тг (1)~5, т.е. исчезает зависимость коэффициента гх(£) как от угла наклона р, так и от начального состояния р. Из-за скачкообразного поведения функции F (£) зависимость коэффициента 74 (£) также носит скачкообразный характер.
Влияние длины отрезка кода. При £ = аТр величина F^ (£) перестает зависеть от начального состояния и равна акТр. Отсюда следует, что для £ = аТр выражение (7.10.2) принимает вид
Г1(аТ„) = 1±^, а = 1,2,...к - к
Так как значение функции F (£) равно количеству элементов кода 7 = = 1 4- г, полученных при квантовании отрезка границы длиной £, а при £ — Тр эта функция точно равна кТр, то
F(£UkTJl + WV\
где \£/Тр\ — целая часть числа £/Тр. При больших значениях числа VJTp^ его дробной частью можно пренебречь и тогда
F(£^£k при £^кТ2.
Отсюда следует асимптотическое представление
П w = 4^, 1»кТ2.(7.10.3)
к — к
Таким образом,, при £ ^> кТ2 = ngrTp отношение энергий исходной границы и ошибок ее квантования стабилизируется и определяется его значением М при £ = Тр. При этом оно не зависит, как и следовало ожидать, от начального состояния р и с ростом угла наклона границы р сначала падает, достигая значения 77 = 4,83 при к = 0,414 (р = 22,48°), и далее снова возрастает.
Подавление ошибок квантования границы произвольной длины согласованным фильтром
Основные соотношения при согласованной фильтрации границы произвольной длины. Фильтр, согласованный с прямолинейным отрезком границы длиной £, производит, как следует из (7.6.2), равновесное суммирование элементов кода проквантованной границы:
£
W =(t).
В этом плане полученные в предыдущем разделе соотношения характеризуют сигнал на входе фильтра. Учитывая, что 7^) (£) = а 4- ф^ (I), а также выражения (7.4.10) и (7.4.11), определим реакции фильтра т/а (I) и т/ф (I) соответственно на сигнал в виде исходной границы А = {^К и сигнал в виде ошибок ее квантования ф(р) = ^-ф^ (£)}г г Первый сигнал равен 7/а = Ga,^ = I (1 + А:2). Для определения второго из сигналов предварительно найдем сумму £ компонент вектора ф(^:
е€
52 ^ W = 52 НР) W - «] =
= 2^^ (I) -Ifc],= 2^^ (I) -Ifc],(7.11.1)(7.11.1)t ГSo+ngr-l■
= 2^^ (I) -Ifc],
= 2^^ (I) -Ifc],
(7.11.1)
(7.11.1)
= 52 1 +2 52 / (^+j - -1 - fcz
t=i L 3—S0.
В результате реакция фильтра на вектор ошибок квантования выразится как
= (1 - гк) = 52 ^Р) W = (k + i) [f^ (£) - £к].
Определим отношение сигнал/помеха г^ ^ на выходе согласованного фильтра как частное квадрата реакции фильтра на сигнал в виде векторов А = {а?}1 £ и ф(р) = ^ф^ (т)}1 £:
2Ыр)(<[F^^-^]2'2Ыр)(<[F^^-^]2'(7.11.2)(7.11.2)
2Ыр)(<[F^^-^]2'
2Ыр)(<[F^^-^]2'
(7.11.2)
(7.11.2)
Функция F^ (I) — к£ является периодической с периодом £ = ТЦ. Это следует из того, что функция F^ (£) в точке £ равна количеству элементарных векторов 7 = 1 + г в отрезке кода проквантованной границы за £ шагов, а к£ — есть среднее число этих векторов за это же число шагов. Из периодичности кода границы и следует периодичность функции F^ (£) — — к£. Следствием периодического характера данной функции является возможность ее представления через главные значения на интервале £ = = 1,2,
F^^ ~ Ы = F^V Ьк,(7.11.3)
где L = М^ — числитель дробной части числа £/Т^.
Коэффициент q^ (I) подавления фильтром ошибок квантования определим как отношение величин т^ (£) и т^ (I) (см. (7.11.2) и (7.10.3)):
(„> f . = £F^W-2k№^
1[Г(р) ГО]2 - 2k£Fw (I) + Fk2
Данное выражение дает возможность найти коэффициент подавления ошибок квантования для прямолинейной, ориентированной под углом
Рис. 7.15. Характеристики процесса согласованной фильтрации прямолинейной границы произвольной длины для къ — ^(Ч
Ф границы и длиной I с учетом начального состояния р. На рис. 7.15 приведены графики для отношений сигнал/помеха на входе и выходе согласованного фильтра и коэффициента подавления q (I) для р = 1, к — = 3/7 в зависимости от длины £ границы.
Анализ процесса согласованной фильтрации прямолинейных границ изображений произвольной длины.
Резонансные явления при согласованной фильтрации. Пусть £ = Т^. Тогда F^(P) = F (7^) = кТ^. В этом случае знаменатель выражения (7.11.1) будет равным нулю, а отношение сигнал/помеха перестанет зависеть от начального состояния р и становится бесконечно большим. Данное свойство проявляется при любом £ = аТ^.
Следует отметить, что для входного отношения т^ (£) при £ = аТ^ также исчезает зависимость от начального состояния р, но резонансные явления отсутствуют (см. рис. 7.15). Так как с ростом длины £ прокван- тованного отрезка входное отношение стабилизируется на уровне, задаваемом выражением (7.10.3), то в асимптотике поведение коэффициента q^ (I) подавление ошибок квантования при согласованной фильтрации 1 + А:2 повторяет поведение г2 (£) с масштабным коэффициентомз. к — к
Зависимость коэффициента подавления от длины границы. Выразим отношение т^ (I) сигнал/помеха на выходе фильтра через главное значение L длины границы £. Если величина £ меньше, чем 7^, то L = £ и в соответствии с (7.11.2)
т^ ^ = L2 1 + fc2-.
2[F(p) (L) - kL]2
Для произвольного значения £ с учетом данного выражения и равенства (7.11.2) получим
= тр^-Ч = ^^АРЧьУ (7.11.5) [Гм (^) - М]2 VD * v '
/ п \ 2/ п \ 2Так как входное отношение сигнал/помеха г^ (I) слабо зависит от длины границы, то аналогичное равенство имеет место и для коэффициента подавления согласованным фильтром ошибок квантования:
/ п \ 2
/ п \ 2
(7.11.6)
Отсюда следует, что выигрыш в подавлении ошибок квантования при согласованной фильтрации растет пропорционально квадрату объема входной выборки, но с учетом тонкой структуры величины q на главном интервале значений £.
Усредненные по начальным состояниям энергетические характеристики ошибок квантования на выходе фильтра. Энергия суммы компонент вектора ошибок квантования за £ шагов в соответствии (7.11.1) равна
^^(р)(<) = [^(р) (I) - to] ,
а энергия среднего арифметического компонент этого вектора, т.е. средняя
энергия G^ компоненты вектора Ф^, будет
Тогда выражение (7.10.2) можно переписать в виде
где Сад — энергия одного элемента кода исходной границы. Найдем теперь выражение для выходного отношения сигнал/помеха т^ (I), усредненное с равным весом по всем начальным состояниям р. Для этого используем представление для энергии Сид ошибок квантования прямолинейной границы среднего арифметического £ проквантованных репрезентативных реализаций (см. (7.7.2)). Удельная энергия ошибок квантования при равновероятных начальных условиях будет Gh^ = Gh^/T^. Тогда
2^ тц (I - г) + №ТМ (1 - И)
Если £ ^ Ту, то при использовании этого выражения надо переходить к главным значениям аргумента АКФ (см. (7.5.2)).
Усредненный по начальным состояниям коэффициент подавления ошибок квантования. Определим этот коэффициент как частное усредненных отношений сигнал/помеха на входе и выходе фильтра. Усредненное по начальным состояниям отношение сигнал/помеха на входе фильтра равно частному квадратов норм исходной границы А = {1 4- кг^у Т
и вектора ошибок квантования Ф = ^W^^, взятых для отрезков границы длиной в макропериод 7^. Принимая во внимание (7.6.1), получим Г! = ||А||2/||Ф||2 = (1 + А;2) / (А; — А;2). Теперь с учетом (7.11.7) можно записать
(7.11.8)(7.11.8)Й (А - Ml -
(7.11.8)
(7.11.8)
г^тт? (/-т)+Ы(1-№)
Получение более удобного выражения для усредненного коэффициента кода подавления q (£) базируется на свойстве периодичности суммы компонент вектора ошибок квантования:
£L
L^M^ = 1^,... ,ТЦ.
t=lt=l
Данное обстоятельство приводит к тому, что зависимость энергии суммы компонент вектора ошибок от длины С отрезка границы также будет носить периодический характер:
лучимлучимРис 7.16. Зависимость усредненного коэффициента подавления фильтром ошибок квантования, къ = 3/7Рис 7.16. Зависимость усредненного коэффициента подавления фильтром ошибок квантования, къ = 3/7L252 ^w t=lL252 ^w t=l£2
лучим
лучим
Рис 7.16. Зависимость усредненного коэффициента подавления фильтром ошибок квантования, къ = 3/7
Рис 7.16. Зависимость усредненного коэффициента подавления фильтром ошибок квантования, къ = 3/7
L2
52 ^w t=l
L2
52 ^w t=l
52 ^м t=l
/л2Ш=^)Ч<М(7.11.9)/л2Ш=^)Ч<М(7.11.9)На основании данного выражения по
/л2
Ш=^)Ч<М(7.11.9)
/л2
Ш=^)Ч<М(7.11.9)
На рис. 7.16 приведена зависимость
усредненного по начальным состояниям коэффициента подавления согласованным фильтром ошибок квантования от длины £ исходной границы при к = 3/7. Полученные соотношения показыва
ют, что коэффициент подавления ошибок квантования при согласованной
фильтрации пропорционален квадрату длины отрезка границы с учетом тонкой структуры зависимости этого коэффициента на интервале главного макропериода. Данное свойство обеспечивает простоту определение коэффициента подавления q(l^ согласованным фильтром ошибок квантования при произвольном значении L
Основные результаты
В данной главе были рассмотрены различные аспекты представления в ЭВМ протяженных прямолинейных границ изображений. Помимо того, что изображения с такими границами очень распространены и, в силу своего антропогенного характера, обладают высокой информативностью, простая форма границы позволила аналитическим путем, не привлекая
эмпирических подходов, полностью описать процесс квантования на квадратной сетчатке, образованной рецепторным полем ОЗУ изображений.
Основное содержание главы включает описание процесса квантования прямолинейной границы, математическую модель этого процесса в виде вырожденной дискретной цепи Маркова, представления для элементов кода проквантованной границы и их автокорреляционной функции, исследование возникающих при квантовании ошибок, вопросы согласованной фильтрации проквантованной границы с целью уменьшения и, в ряде случаев, полного подавления этих ошибок. Кроме того, рассмотрены задачи, связанные с выбором размера пиксела для оптимального квантования прямой и идеального восстановления прямой после ее квантования.
Основные полученные результаты состоят в следующем:
Показано, что код проквантованной прямолинейной границы представляет собой последовательность не более, чем из двух разных чисел с макропериодом, определяемым тангенсом угла наклона прямой.
Сформулировано свойство эргодичности процесса квантования прямолинейной границы, в соответствии с которым одинаковые результаты могут быть получены как при обработке кодов отдельных реализаций проквантованной границы, так и по отрезку кода одной реализации в пределах скользящего окна.
Показано, что ошибки квантования зависят от угла наклона прямолинейной границы. Они достигают максимального значения при углах 22,48°; 67,52°; 112,48°; 157,52°; 202,48°; 247,52°; 292,48°; 337,52° и минимального значения при углах 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°.
Синтезирован фильтр, согласованный с линией прямолинейной границы до ее квантования. При ширине окна импульсной характеристики фильтра, равной величине макропериода кода, происходит полное подавление ошибок квантования. Исследованы случаи подавления ошибок квантования при произвольных значениях ширины окна импульсной характеристики фильтра.
Решена обратная задача, связанная с восстановлением формы границы по ее коду, полученному в результате квантования. Идеальное восстановление, без учета краевых эффектов, достигается при фильтрации скользящего среднего кода границы с окном шириной в макропериод кода.
Рассмотрен вопрос оптимизации процесса квантования прямолинейной границы, состоящей в выборе максимально возможных размеров пиксела (что обеспечивает минимальную длину кода), при которых число элементов кода достаточно для идеального восстановления формы границы.
Получены энергетические характеристики ошибок квантования на входе и выходе согласованного фильтра. Показано, что выигрыш в подавлении ошибок квантования при согласованной фильтрации растет пропорционально квадрату длины границы, но с учетом тонкой структуры процесса подавления ошибок квантования на главном интервале значений длины, равном макропериоду.
Приложение 7.1
Произведение двух сумм вида
Г 2тг1 где е = ехр < г— >, равно
_ J 0 при а ^ О,(Т^ при а = 0.
Доказательство. Произведение (П7.1.1) можно представить в виде Туе
_ ^ £apj Где ае — одно из значений 1,2,..., Ту. Так как (см. (7.5.1)) i/=i
yp av _ /о при а + О,
^=1кТу при Q = О,
то и Т/
— ot аз ^ "^ ^OtV । При OL О,
\JTy при Q = 0.
Из последнего выражения следует справедливость равенства (П7.1.2).
Упражнения и задачи
Приведите примеры квантования прямолинейных границ на квадратной сетчатке, проходящих под углами 45°, 60°.
Запишите код прямолинейной границы, проходящей под углом 30°,40°,80°.
Найдите в пределах одного макропериода код границы изображения с кь = = 2/9.
Найдите в пределах одного макропериода код границы изображения, находящейся не в базовом секторе, т.е. если кь = —2/5.
Определите элементы цепного кода контура границы за макропериод для случая кь = 2/9 при начале процесса из первого состояния.
Для случая, рассмотренного в упражнении 5, проведите анализ цепи Маркова, описывающей процесс квантования границы.
Получите развернутое представление АКФ для прямолинейной границы изображения с кь = 3/5.
Определите зависимость энергии ошибок квантования при усреднении s про- квантованных репрезентативных участков границы с кь = 2/9, s = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Приведите условие полного подавления ошибок квантования и проанализируйте его для кода прямолинейной границы с кь = 3/5.
Осуществите фильтрацию кода проквантованной границы с кодом в пределах макропериода Г^р^ = {1 + г; 1; 1 + г; 1,1,1 + г; 1} по методу скользящего среднего в окне шириной s = 1, 2,3,4 элементов.
Решите задачу восстановления прямолинейной границы с кодом в пределах макропериода Г^р^ = {Ц-г;1;1 + г;1,1,1 + г;1} при накоплении Тм реализаций кода.
Решите задачу восстановления прямолинейной границы с кодом в пределах макропериода Г^ = {1+г; 1; 1-М; 1,1,14-г; 1} при фильтрации скользящего среднего с окном s = Тм.
Определите оптимальный размер стороны △ квадрата сетчатки, на которой происходит оптимальное квантование проходящей под углом <р = 30° границы длиной 1 = 6.
Определите коэффициент подавления согласованным фильтром ошибок квантования прямолинейной границы для случая кь = 2/9 и длиной I = 7.
Определите коэффициент подавления ошибок квантования для прямолинейной, ориентированной под углом 50° границы при начальном состоянии р = 1 в зависимости от длины границы I = 5,10,15.
Глава 8
ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ ОБЪЕКТОВПРОТЯЖЕННОЙ ФОРМЫ В ЛАНДШАФТНЫХСЦЕНАХ
Введение
Одной из важных задач обработки изображений в ландшафтных сценах является обнаружение, оценка параметров, прослеживание и распознавание изображений коммуникационных объектов, часто являющихся протяженными и имеющими нитевидную структуру [14, 124-129]. Такими объектами являются шоссейные, грунтовые и железные дороги, реки, лесные просеки, дамбы, плотины, мосты, взлетно-посадочные полосы и т.п. В основном они являются результатами хозяйственной деятельности человека. Характерными особенностями, кроме большой протяженности, являются небольшая ширина (1-10 пикселов) и наличие значительной длины прямолинейных участков (рис. 8.1). Часто такие изображения имеют
Рис. 8.1. Сцены с протяженными нитевидными объектами
высокую контрастность по отношению к окружающим объектам и фону. Однако, как отмечается в работе [126], из-за относительно небольшой ширины требуется проведение обработки с целью еще большего повышения контраста. Нередко исходные изображения коммуникационных объектов имеют по отношению к окружающему фону низкий контраст, меняющийся случайным образом. В этом случае их обнаружение, оценка параметров и прослеживание становятся сложной проблемой.
В данной главе будут рассмотрены задачи обнаружения и прослеживания коммуникационных объектов нитевидной формы. Решение задачи обнаружения основано на математической модели сцены, рассмотренной в п. 6.1, и заключается в использовании в обнаружителе фильтров, избирательносогласованных с обнаруживаемыми изображениями (см. п. 6.2-6.5). Обработка изображений коммуникационных объектов базируется на том, что они содержат участки прямолинейной формы. Как следует из п. 6.6.1,
в этом случае при условии вертикальной ориентации этих участков путем формирования суммарной яркостной строки достаточно просто обеспечить высокое отношение сигнал/шум.
На рис. 8.2 показан пример формирования суммарной яркостной строки для стилизованной сцены в пределах прямоугольного фрагмента АВ CD. Видно, что вертикально ориентированный прямолинейный участок EF протяженного нитевидного объекта создает импульс яркости, превышающий по амплитуде значения накопленной яркости от фрагментов RN и LM. При этом импульс яркости хорошо отражает форму фрагмента ЕЕ, в то время, как информация о форме других фрагментов при накоплении яркости разрушилась. После уверенного обнаружения на сложном статистически неоднородном фоне, характерном для ландшафт-
Рис. 8 2. Стилизованная сцена с нитевидными протяженными объектами (а) и результат накопления яркости строк в пределах прямоугольного фрагмента ABCD (б)Рис. 8 2. Стилизованная сцена с нитевидными протяженными объектами (а) и результат накопления яркости строк в пределах прямоугольного фрагмента ABCD (б)ных сцен, прямолинейного участка нитевидного фрагмента, достаточно про
Рис. 8 2. Стилизованная сцена с нитевидными протяженными объектами (а) и результат накопления яркости строк в пределах прямоугольного фрагмента ABCD (б)
Рис. 8 2. Стилизованная сцена с нитевидными протяженными объектами (а) и результат накопления яркости строк в пределах прямоугольного фрагмента ABCD (б)
сто организовать выделение всех остальных участков изображения нитевидного объекта. Поэтому использование информации о форме изображения объекта позволяет увеличить энергию сигнала и, благодаря этому, значительно упростить процесс его обработки. Если задача обнаружения прямолинейных границ изображений сводилась к обнаружению скачка яркости на фоне одновременно действующих слабо и сильнокоррелированных шумов, то теперь в аналогичных условиях необходимо обнаружить импульс яркости.
Согласованно-избирательная фильтрация импульсов яркости (пространственный аспект)
Аналитическое представление одномерного импульса яркости. Узкий, шириной до 8~10 пикселов импульс отсчетов яркости (как положительный, так и отрицательный), получаемый вдоль строки сцены, характерен для изображений дорог и других нитевидных изображений, ориентированных преимущественно в вертикальном направлении. Идеа-
Рис. 8.3. Идеализированные положительный и отрицательный импульсы яркости: а — s+ (п) = {... ; 0; 0; 0; 0,2; 0,8; 1; 1; 1; 1; 1; 0,6; 0,4; 0; 0; 0;...}; б — s_ (п) = = {...;!; 1; 1; 0,8; 0,2; 0; 0; 0; 0; 0; 0,4; 0,6; 1; 1; 1;...}; h = 12 = 2; т = 5; t = 11Рис. 8.3. Идеализированные положительный и отрицательный импульсы яркости: а — s+ (п) = {... ; 0; 0; 0; 0,2; 0,8; 1; 1; 1; 1; 1; 0,6; 0,4; 0; 0; 0;...}; б — s_ (п) = = {...;!; 1; 1; 0,8; 0,2; 0; 0; 0; 0; 0; 0,4; 0,6; 1; 1; 1;...}; h = 12 = 2; т = 5; t = 11
Рис. 8.3. Идеализированные положительный и отрицательный импульсы яркости: а — s+ (п) = {... ; 0; 0; 0; 0,2; 0,8; 1; 1; 1; 1; 1; 0,6; 0,4; 0; 0; 0;...}; б — s_ (п) = = {...;!; 1; 1; 0,8; 0,2; 0; 0; 0; 0; 0; 0,4; 0,6; 1; 1; 1;...}; h = 12 = 2; т = 5; t = 11
Рис. 8.3. Идеализированные положительный и отрицательный импульсы яркости: а — s+ (п) = {... ; 0; 0; 0; 0,2; 0,8; 1; 1; 1; 1; 1; 0,6; 0,4; 0; 0; 0;...}; б — s_ (п) = = {...;!; 1; 1; 0,8; 0,2; 0; 0; 0; 0; 0; 0,4; 0,6; 1; 1; 1;...}; h = 12 = 2; т = 5; t = 11
лизированный импульс (рис. 8.3) состоит из идеализированных положительных и отрицательных скачков яркости, соответствующих его фронтам, и плоской вершины.
Количество не равных нулю или единице отсчетов переднего фронта обозначим через Zi, заднего фронта — через 12, плоской вершины — через т. Таким образом, общая длительность импульса равна
t = 1 4* Zi + т + Z2 4-1.
Аналитическое представление идеализированного положительного импульса яркости имеет вид
0 при
п = 0,-1, -2,-3,... ,
3ф1 (л)
при п = 1,2,... , Zi,
s+ (п) = <
1 при
72 = Zi 4~ 1, Zi 4* 2,... , Zi 4~ т,
8ф2 (л)
при п = Zi 4* т 4* 1, Zi 4* т 4" 2,... , Zi 4* т 4* Z2,
0 при
72 = Zi 4~ т 4- Z2 4-1, Zi 4* т 4-I2 4* 2,...
(8.2.1)
Импульсная характеристика фильтра. Количество значащих отсчетов ИХ СИФ равно t = li-V т А-12А-2. Поэтому в общем случае для ИХ фильтра можно записать следующее представление:
Л = {А Mlo^-i — {А (0), Л (1),... , A (Zi 4- т 4- Z2), A (Zi 4- т 4- Z2 4-1)}.
Выражение (6.2.22) для ИХ СИФ применительно к фильтрации одномерного импульса яркости при по = Zi 4- т 4- I2 принимает вид
A (72) = 2s (t — 1 — п) — s (t — 2 — п) — з (t — п).(8.2.2)
На рис. 8.4 приведенны ИХ СИФ для показанных на рис. 8.3 импульсов яркости. ИХ СИФ для идеализированного импульса яркости состоит из трех частей. Одна из них соответствует переднему фронту, другая — вершине и третья — заднему фронту. Вершина характеризуется постоянным уровнем яркости и величина второй разности равна при т > 2 нулю. Поэтому вершине идеализированного импульса соответствуют нулевые
Рис. 8.4. Импульсные характеристики СИФ для импульсов яркости: а — для импульса на рис. 8.3, а; б — для импульса на рис. 8.3, бРис. 8.4. Импульсные характеристики СИФ для импульсов яркости: а — для импульса на рис. 8.3, а; б — для импульса на рис. 8.3, б
Рис. 8.4. Импульсные характеристики СИФ для импульсов яркости: а — для импульса на рис. 8.3, а; б — для импульса на рис. 8.3, б
Рис. 8.4. Импульсные характеристики СИФ для импульсов яркости: а — для импульса на рис. 8.3, а; б — для импульса на рис. 8.3, б
значения ИХ. Переднему и заднему фронтам соответствуют отсчеты ИХ для скачков яркости с противоположными знаками (см. п. 6.3.2).
Если т ^ 3, то ИХ фильтра вначале содержит отсчеты ИХ Л2 для скачка яркости, относящегося к заднему фронту импульса, далее следуют т — 2 нулевых значения, вызванных плоским характером вершины, а затем следуют отсчеты ИХ Ai для скачка яркости, относящегося к переднему фронту, т.е.
Л = {Л2,0,0,... ,0,Л1}, т^З. (8.2.3)
т-2
При т = 2 ИХ имеет вид Л = {Л2, Ai}.
Наличие нулевой группы отсчетов в выражении (8.2.3) вызвано дифференциальным характером оператора второй разности A2s (пУ Поскольку ИХ фильтра для идеализированного импульса яркости получается в результате конкатенации ИХ фильтров для противоположных по знаку скачков яркости и нулевой группы отсчетов, то принимая во внимание выражения (6.3.3) и (6.3.6), приходим к выводу, что сумма отсчетов ИХ СИФ для импульса яркости равна нулю.
Анализ процесса фильтрации импульса яркости. Общее количество значащих отсчетов фильтра, соответствующее числу шагов, в течении которых импульс взаимодействует с ИХ фильтра, равно М = 2t — 3 = 2 (/1 4- т 4- /2) + 1. Процесс согласованно-избирательной фильтрации импульса можно представить как последовательность пяти этапов фильтрации скачков яркости (рис. 8.5). На рис. 8.5, а в виде трех блоков условно представлены ИХ Л фильтра и идеализированный импульс яркости s. ИХ фильтра содержит блок Л2 для заднего фронта, блок 0, для вершины и блок Ai для переднего фронта импульса. Сигнал s состоит из блока отсчетов Fy переднего фронта, блока единиц (или нулей) вершины и блока F2 заднего фронта импульса.
На первом этапе фильтрации (рис. 8.5, б) перекрываются блоки Л2 и Fi, т.е. происходит обработка переднего фронта фильтром, избирательно-согласованным по отношению к заднему фронту импульса F2. Как было показано в п. 6.5, в этом случае все отсчеты фильтра будут отрицательны-
Рис. 8.5. Основные этапы фильтрации импульса яркости
ми. На пятом этапе (рис. 8.5, е) отсчеты также будут отрицательными, так как задний фронт импульса F2, обрабатывается фильтром, избирательносогласованным по отношению к переднему фронту.
На втором (рис. 8.5, в) и четвертом (рис. 8.5, б) этапах происходит перекрытие фронтов сигнала с нулевыми зонами ИХ и выходные сигналы будут нулевыми. Лишь на третьем этапе (рис. 8.5, г) происходит перекрытие участков ИХ с согласованными участками сигнала, т.е. Ai с Fi и Л2 с F2. В этом случае образуется положительный выходной сигнал. Так как при согласованно-избирательной фильтрации идеализированных скачков яркости сумма отсчетов равна единице, то сумма выходных отсчетов фильтра на первом и пятом этапах равна по минус единице, на третьем — двум (рис. 8.6). Отсюда же следует, что сумма всех выходных отсчетов СИФ равна нулю. При обычной согласованной фильтрации образуется выходной сигнал,
Рис. 8.6. Структура и полярность выходного сигнала СИФ
равный энергии идеализированного входного сигнала [55]. В связи с этим максимальный отсчет выходного сигнала такого фильтра пропорционален длительности входного сигнала. В нашем же случае при согласованно-избирательной фильтрации идеализированного импульса, максимальный выходной отсчет не зависит от длительности импульса и не превышает величины у (тп) = 2. Данное обстоятельство является следствием дифференциального характера процесса фильтрации, в результате которого происходит накопление энергии лишь в пределах фронтов импульса.
Как следует из общих свойств СИФ (см. п. 6.2), его отсчеты симметричны относительно центральной точки. Так как количество отсчетов СИФ при обработке импульса яркости равно М — 2t — 3 = 2(Zi4-t4-Z2)4-1,to центральный отсчет соответствует значению mo =t — 1 = Zi4-t4-Z2 4-1 и свойство симметрии выходного сигнала СИФ принимает вид т/ (т) = = т/ (2t — 2 — т) или т) (т) = ту[2 (Zi 4- г 4- Z2) — т], т = 1,2,... ,М.
Максимальный пиковый отсчет р (то) = у (t — 1) является центральным и равен сумме максимальных отсчетов для СИФ скачков яркости, соответствующих фронтам импульса. Текущий отсчет СИФ при обработке импульса яркости равен
t-i
т) (т) = 52 5 (т + ^ " ^ + l)[2s (/с) - s (/с - 1) - s (/с 4- 1)], (g 2 4) к=°т = 1,2,... ,М.
Согласованно-избирательная фильтрация некоторых видов импульсов яркости.
Импульс с прямоугольными фронтами. В аналитическом виде такой импульс задается как (рис. 8.7)
, х (о при п = 0, -1, -2,... и п = т 4-1, т 4- 2,... ,
s^n) — <(8.2.5)
[1 при п = 1,2,... , т.
Длительности фронтов равны нулю, т.е. Zi = Z2 = 0. Поэтому величи-
sQ*) 1
012345678”
а
2
п(т)
Рис. 8.7. Согласованно-избирательная фильтрация прямоугольного импульса яркости: а — вид импульса яркости; б — ИХ фильтра; в — выходной сигнал
на Z = т 4- 2 и ИХ СИФ в соответствии с выражением (8.2.2) имеет вид А (n) = 2s (т 4- 1 — п) — s (т — п) — s (т 4- 2 — п), п = 0,1,... , t — 1.
С учетом (8.2.5) получим (рис. 8.7, б)
Л = {A (n)}01-1 = {-1; 1;0;0;... ;0;0;1; -1}.(8.2.6)
т-2
-1т? (т) = < 20-1т? (т) = < 20Выходные сигналы СИФ будут равны (рис. 8.7, в)
-1
т? (т) = < 2
0
-1
т? (т) = < 2
0
для т = 1 и т = М = 2т 4-1, для т = т 4-1, для остальных значений т.
Таким образом, при обработке прямоугольного импульса яркости СИФ образует всего три ненулевых из М = 2т 4- 1 возможных отсчетов. Два из них отрицательны, равны по минус единице, и один положительный, равный двум. Фильтрация прямоугольного импульса яркости интересна с точки зрения реализации потенциальных возможностей СИФ. Так как длительность фронтов у такого импульса равна нулю, то его спектр имеет максимально возможную ширину. Поэтому СИФ формирует максимально возможный по величине выходной сигнал.
Импульс с линейными фронтами. Идеализированный положительный импульс с линейными фронтами задается как
0 при ?1 = 0, —1, —2,...
и 77 — Zi 4- т 4- Z2 4-1? Zi 4* т 4- Z2 4* 2,... ,
при 77 = 1, 2, . . . , /1,
1 при 77 = Zi 4-1, li 4- 2,... , Zi 4- т,
1 _ ™ Jl2 ПрИ п — 1г _р Т 4-1, /т -р т + 2,... , Zi 4- т 4- Z2.
12 + 1
00аа83830,0,Л (л)Л (л)0,50,5-0,3-0,3, , I . .-^а123456789б, , I . .-^а123456789бппnWnW-0,5-0,50123450123450,4720Д10,4720Д10АТ10АТ10Д10Д1-0,165-0,165-0,33-0,33-0,33-0,331516171819201516171819201 6 7 8 9 1011121314 '1111165-0,16511-о,:1 6 7 8 9 1011121314 '1111165-0,16511-о,:вв-0,33-0,33-0,33-0,33. тп 165. тп 165Рис. 8.8. Согласованно-избира-тельная фильтрация импульсаяркости с линейными фронтами:а — вид импульса; б — ИХСИФ; в — выходной сигналСИФРис. 8.8. Согласованно-избира-тельная фильтрация импульсаяркости с линейными фронтами:а — вид импульса; б — ИХСИФ; в — выходной сигналСИФ
0
0
а
а
83
83
0,
0,
Л (л)
Л (л)
0,5
0,5
-0,3
-0,3
, , I . .-^а
123456789б
, , I . .-^а
123456789б
п
п
nW
nW
-0,5
-0,5
012345
012345
0,472
0Д1
0,472
0Д1
0АТ1
0АТ1
0Д1
0Д1
-0,165
-0,165
-0,33-0,33
-0,33-0,33
151617181920
151617181920
1 6 7 8 9 1011121314 '1111
165-0,16511-о,:
1 6 7 8 9 1011121314 '1111
165-0,16511-о,:
в
в
-0,33-0,33
-0,33-0,33
. тп 165
. тп 165
Рис. 8.8. Согласованно-избира-тельная фильтрация импульсаяркости с линейными фронтами:а — вид импульса; б — ИХСИФ; в — выходной сигналСИФ
Рис. 8.8. Согласованно-избира-тельная фильтрация импульсаяркости с линейными фронтами:а — вид импульса; б — ИХСИФ; в — выходной сигналСИФ
ИХ фильтра определяется выражением
А (n) = 2s (t — 1 — n) — s (t — n) — s (t — 2 — n), n = 0,1,2,... , t — 1.
Первые Z2+2 отсчета данной характеристики являются ИХ СИФ для заднего фронта, а последние Zi + 2 — ИХ СИФ для переднего фронта импульса. Между этими отсчетами располагаются г — 2 нулевых отсчетов, соответствующих плоской вершине импульса яркости (рис. 8.8). Выходные отсчеты равны t-1
77 (m) = ^2 s(m-\- k — li — т — I2 - 1)[2s (k) — s (k — 1) — s (k 4- 1)], k=0
m = 1,2,... , M*, M = 2Z — 3; t = ly 4~ т 4~ Z2 4* 2.
Двумерные СИФ для изображений нитевидных объектов. В качестве модели s (п,р) изображения идеализированного нитевидного объекта с яркостью выше фона выберем изображение вертикально расположенной полосы на нулевом фоне (рис. 8.9). Сечение полосы по
Рис. 8.9. Двумерная модель нитевидного изображения (а) и сечение изображения по произвольной строке (б)
строкам одинаково и представляет собой положительный идеализированный импульс яркости s (п), задаваемый выражением (8.2.1), т.е.
s (п,р) = s (п) при любом р.(8.2.7)
СИФ для данного изображения задается следующим образом:
р t-i
77 (m, г) = У^ У2 8 (^iPW28 (m “ тго 4- тг, г - р0 - р),(8.2.8)
р=1 п=0
где t — Zi + т 4- Z2 + 2; Р — длина изображения; V2s(m — по 4- тг, г — ро — р) — дискретный аналог лапласиана.
Найдем дискретное приближение оператора Лапласа при выбранной модели изображения. Для первых разностей Ans (тг,р) и Aps (тг,р) запишем
Ans (тг,р) = s (п,р) -- s (тг — 1,р), Aps (тг,р) = s (п,р) — s (тг,р — 1).
Вторые разности будут иметь вид
V^S (п,р) = Дпз(тг,р) - Д„з (п - 1,р) =
= s (тг,р) — 2s (тг — 1,р) 4- s (тг — 2,р),
VpS (п, р) = Др$ (п, р) - Др8 (п, р - 1) =
= s (п^р) — 2s (п^р — 1) 4- s (тг,р — 2). Тогда
V2s (тг,р) = A2s (тг,р) 4- A2s (тг,р) = 2s (тг - 1,р) 4- 2s (п,р - 1) -
— 2s (п,р) — s (тг — 2,р) — s (тг,р — 2).
В нашем случае при задании изображения нитевидного объекта зависимость s (п,р) в направлении р отсутствует. Поэтому
V2s (n,p) = s (тг) — 2s (тг - 1) 4- s (тг — 2), и выражение (8.2.8) для СИФ примет вид
ту(т) = ^2 52s(n?P) A (m — по 4-тг) == n=0 Lp=i-
t-1
= Р^^ s(n)[2s(m — no 4- тг — 1) —s(m — тго 4- тг) —s(m — тг0 + тг — 2)] = п=0
= Р J2 s (m — ™)[2s (по — тг 4-1) — s (no — n) — s (по — тг 4- 2)], (8.2.9) п=О
тп = 1,2,... , М^ по = Zi 4~ т 4~ 12*
Если же фильтруется не идеальная полоса s(n,p), а произвольное вертикально ориентированное изображение f {п^р) нитевидного объекта, яркостный профиль которого может быть описан как s (тг), то выходной сигнал СИФ будет равен
^н = 52 У2^п’р^ i2s(^н = 52 У2^п’р^ i2s(t-i г рt-i г рn=O Lp=ln=O Lp=lm — по 4- тгm — по 4- тг-1)--1)-
^н = 52 У2^п’р^ i2s(
^н = 52 У2^п’р^ i2s(
t-i г р
t-i г р
n=O Lp=l
n=O Lp=l
m — по 4- тг
m — по 4- тг
-1)-
-1)-
— s (тгг — тго 4- тг) — s (ттг — тг0 4- тг - 2)], (8.2.10)
тп — 1,2,... , М^ По — li 4~ т 4~ Z2.
Рис. 8.10. Структура СИФ для вертикально расположенного изображения нитевидного объектаРис. 8.10. Структура СИФ для вертикально расположенного изображения нитевидного объекта'/("О^
Рис. 8.10. Структура СИФ для вертикально расположенного изображения нитевидного объекта
Рис. 8.10. Структура СИФ для вертикально расположенного изображения нитевидного объекта
9,8 9,8
1,81,8
13тТ 11 13 ,
-7-7-7-7
Рис. 8.11. Согласованно-избира-тельная фильтрация изображе-ния нитевидного объекта, пред-ставленного на рис. 8.9
Таким образом, фильтрация изображения вертикально расположенного нитевидного объекта сводится к накоплению в пределах вертикального размера апертуры фильтра отсчетов изображения и дальнейшей согласован
но-избирательной фильтрации накопленного одномерного импульса яркости (рис. 8.10). На рис. 8.11 представлен результат такой фильтрации изображения, приведенного на рис. 8.9.
Согласованно-избирательная фильтрация прямоугольных импульсов яркости (частотный аспект)
Частотный коэффициент передачи СИФ для прямоугольного импульса яркости. В разделе 6.4.1 было получено следующее выражение ЧКП СИФ:
w (m) = g^f_i (m) |^2 exp {г^т} “ exP {^^"^m} “ 1] + s (0) ~
— s (t) — exp p^m}[s (—1) — s (Z — 1)], m = 0,1,2,... , t — 1.
Если СИФ предназначен для произвольного идеализированного импульса яркости {s (7V)}01-1, определяемого выражением (8.2.1), то s (0) = s (t) = = s(-l) = s(t-l) = 0n выражение для ЧКП принимает вид
Ы = go,t-i (m) (i - ехР {г'тт}) =
К
2тг \2тг "1
cos — т — 11 + г sin — ml . (8.3.1)
ЧКП СИФ для сигнала в виде идеализированного прямоугольного импульса (8.2.5), определяемый прямым ДПФ от ИХ Л = {^(n)}ot_1 = = { —1,1,0,0,... ,0,0,1, — 1}, будет равен
т-2
ш (т) = У^ А (п) ехр { — г^тп} = п=0
о . 2тг Г . 2тг . / 2тг \1л 1 о1
= 2 sin —т • — sin —т 4- г cos —т — 1 , т = 0,1, 2,... , t — 1.
t I t \ t Л’ ’ ’’
(8.3.2)
Так как величина sin2 ж всегда не отрицательна, то вещественная часть ЧКП, равная —2sin2^m, не больше нуля, т.е. Re uj (m)0. Из ве
щественности значений ИХ СИФ и свойств ДПФ вытекает комплексная сопряженность значений ЧКП: uj (m) = w* (t — т). Отсюда следует, что вектор uj (т), т = 0,1, 2,... , t — 1, ЧКП СИФ для прямоугольного импульса всегда располагается во втором и третьем квадрантах, т.е. тг/2 < arg о; (т) ^ Зтг/2. Нулевой отсчет ЧКП всегда равен нулю: uj (0) = 0, т.е. СИФ не пропускает постоянной составляющей фильтруемого сигнала.
Амплитудно-частотная характеристика. Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) СИФ для прямоугольного положительного импульса яркости определим как отсчеты модуля ЧКП (8.3.2):
I / \|2 о . 2 2тг Л 2тг \_ . 2 2тг . 2 тг
|o?(m)| =8 sin —т I 1 — cos—ml =16 sin—т • sin —т =
= 64 sin —m • cos — m.
Отсюда получим
|cu (m)| = 4 • Isin • sin —ml = 2 • Icos —m — cos —3 • ml.(8.3.3)
Рассмотрим некоторые свойства АЧХ СИФ, вытекающие из полученного выражения (8.3.3).
Симметричность отсчетов АЧХ. Из соотношения ш (т) = = uj* (t — т), т = 0,1,2,... , t — 1, следует, что график АЧХ представляет симметричную относительно центрального отсчета m = ^/2, функцию: uj (т) = uj (t — m), т = 1, 2,... , t — 1.
Нули АЧХ;
{
0 при m = 0 для нечетного t,
0 при т = 0, ^/2 для четного t.
Таким образом, график АЧХ |ш (т)|, т = 0,1,... , t — 1, представляет собой две положительные полуволны, причем, если величина t — четное число, эти полуволны разделены нулем.
Положения максимумов АЧХ. Запишем производную по т функции (8.3.3) и приравняем ее нулю:
II 7Г . 7Г о 7Г . Зтг I
си (т) =2- sin —т + 3—• sin—т = 0.
1 v лt t t I
Отсюда следует, что sin ^-mmax = ±0,816 и первое значение m, при котором достигается максимум АЧХ, будет равно mmax i = ]0,304t[, где ]ж[ —
ближайшее целое к х. Второй максимум АЧХ с учетом симметричности ее отсчетов достигается при mmax2 = ]0,694i[.
Максимальные отсчеты АЧХ. С учетом значений mmax i и mmax 2 и выражения (8.3.3) для |w (m)| получим
Mm)|max = 1^ (mmax)| = 2 • |cos 54,72° - cos 164,16°| = 3,0792.
cos — т — cos —cos — т — cos —• 3m = 0,7698.• 3m = 0,7698.Полоса пропускания СИФ. Для граничных значений АЧХ на уровне половины значения максимального отсчета АЧХ, т.е. на уровне 1,5396, можно записать
cos — т — cos —
cos — т — cos —
• 3m = 0,7698.
• 3m = 0,7698.
(8.3.4)(8.3.4)ф (m) = arg си (т) =ф (m) = arg си (т) =к-V кт/t при m ^/2;к-V кт/t при m ^/2;кт/t при т > £/2кт/t при т > £/2(8.3.5)(8.3.5)
(8.3.4)
(8.3.4)
ф (m) = arg си (т) =
ф (m) = arg си (т) =
к-V кт/t при m ^/2;
к-V кт/t при m ^/2;
кт/t при т > £/2
кт/t при т > £/2
(8.3.5)
(8.3.5)
С учетом симметричности АЧХ/ \/ \
и ее структуры в виде поло-J \ J \
жительных полуволн существуют ’ Z \\
четыре значения т, соответству-А/!!\
ющие краям полосы пропусканияV—1
СИФ, mi, т2, тз и Ш4 (рис. 8.12):° т\ тг^^ тз тд т
mi — 0,154^, т2 — 0,435£,рис g-^. Положения граничных точек по-
т3 = 0,564^, тд = 0,845Лл осы пропускания СИФ для прямоуголь-
тПМЛМ УПУЛЛЛ V JIOVCl I П^ЛЛМ^рШЛЭППЛУЛ АхЛУТПУЛ/
СИФ имеет две полосы пропуска
ния, равные Ami = m2 — mi =
= 0,281t и Ат2 = т4 — т3 = 0,281t Общая ширина полосы пропускания рассматриваемого СИФ равна Ат = 0,562t Рассмотренные свойства позволяют достаточно просто охарактеризовать АЧХ СИФ даже без ее построения по формуле (8.3.3).
Фазочастотная характеристика СИФ. Фазочастотную характеристику СИФ найдем как аргумент ЧКП для прямоугольного импульса. Из (8.3.2) получим
. 2тг / 2тг .
sin —т • I cos —т — 1
arg a; (m) = arctg
т = 0,1,... ,t- 1.
Вектор и) (т) находится во втором или в третьем квадрантах. В последнем случае величину argu (т), определенную по формуле (8.3.4), необходимо увеличить на к. Таким образом,
Спектральные характеристики выходного сигнала. Определим спектр ^р (m)}0 f_T сигнала на выходе СИФ при фильтрации идеализированного прямоугольного импульса яркости в момент образования пикового выходного отсчета, т.е. когда входной сигнал имеет вид
{s (n)}01-1 = {0,1,1,... , 1,1,0}. Спектр этого входного сигнала равен:{s (n)}01-1 = {0,1,1,... , 1,1,0}. Спектр этого входного сигнала равен:t-2g (m) = У^ s (п) ехр {-iymn}, т = 1,2,... , t — 1.t-2g (m) = У^ s (п) ехр {-iymn}, т = 1,2,... , t — 1.Принимая во внимание, что для т = 1,2,... , t — 1Принимая во внимание, что для т = 1,2,... , t — 1t-i.2тг exp^—г— n=0t-i.2тг exp^—г— n=0t-2t-2. 2тг —г—тп. 2тг —г—тп+ ехр+ ехрО,О,получимполучим1 + ехр1 + ехрт = 1,... ,/ — 1.т = 1,... ,/ — 1.
{s (n)}01-1 = {0,1,1,... , 1,1,0}. Спектр этого входного сигнала равен:
{s (n)}01-1 = {0,1,1,... , 1,1,0}. Спектр этого входного сигнала равен:
t-2
g (m) = У^ s (п) ехр {-iymn}, т = 1,2,... , t — 1.
t-2
g (m) = У^ s (п) ехр {-iymn}, т = 1,2,... , t — 1.
Принимая во внимание, что для т = 1,2,... , t — 1
Принимая во внимание, что для т = 1,2,... , t — 1
t-i
.2тг exp^—г— n=0
t-i
.2тг exp^—г— n=0
t-2
t-2
. 2тг —г—тп
. 2тг —г—тп
+ ехр
+ ехр
О,
О,
получим
получим
1 + ехр
1 + ехр
т = 1,... ,/ — 1.
т = 1,... ,/ — 1.
При m = 0 значение g (0) = t—2. Таким образом, спектр входного сигнала {0,1,1,... ,1,0}, при котором образуется пиковый выходной сигнал СИФ,
равен
g (™) = <g (™) = <t — 2 при m = 0, Л , 2тг \.. 2тг1 n1
g (™) = <
g (™) = <
— ^1 + cos — mj — г • sin — m при m = 1,2,... , t — 1.
(8.3.6)
Действительная часть компоненты спектра входного сигнала всегда отрицательна. Поэтому точки, соответствующие этим компонентам, как и точки ЧКП, располагаются во 2-м и 3-м квадрантах.
Определим теперь амплитудно-частотный |g(m)| и фазочастотный argg(m), т = 0,1,... , t — 1, спектры входного сигнала. Воспользовавшись последним выражением, получим
I / \i2 i .2 2тг n 2тг . 2 2тг|g(m)| = l+cos — m + 2 cos — m + sin — mI / \i2 i .2 2тг n 2тг . 2 2тг|g(m)| = l+cos — m + 2 cos — m + sin — mtttt2тг '1 + cos — т2тг '1 + cos — тт — 1,... , t — 1.т — 1,... , t — 1.Таким образом,Таким образом,|g(m)| = <|g(m)| = <£ — 2 при m = 0, 2-|cosym| при т = 1,2,... , t — 1.£ — 2 при m = 0, 2-|cosym| при т = 1,2,... , t — 1.(8.3.7)(8.3.7)Найдем фазочастотный спектр входного сигнала:Найдем фазочастотный спектр входного сигнала:. 2tt sin —marg g (m) = arctg^2тГ~1 + COS. 2tt sin —marg g (m) = arctg^2тГ~1 + COS7Г= — т.t7Г= — т.tКогда вектор компоненты спектра находится в третьем квадранте, к этому результату надо прибавить тг. Итак,Когда вектор компоненты спектра находится в третьем квадранте, к этому результату надо прибавить тг. Итак,/ х |тг4-7гтД при т < t 2. z.Tgg\m) = <**\jrm/t при т > t/2./ х |тг4-7гтД при т < t 2. z.Tgg\m) = <**\jrm/t при т > t/2.(8.3.8)(8.3.8)
I / \i2 i .2 2тг n 2тг . 2 2тг
|g(m)| = l+cos — m + 2 cos — m + sin — m
I / \i2 i .2 2тг n 2тг . 2 2тг
|g(m)| = l+cos — m + 2 cos — m + sin — m
t
t
t
t
2тг '
1 + cos — т
2тг '
1 + cos — т
т — 1,... , t — 1.
т — 1,... , t — 1.
Таким образом,
Таким образом,
|g(m)| = <
|g(m)| = <
£ — 2 при m = 0, 2-|cosym| при т = 1,2,... , t — 1.
£ — 2 при m = 0, 2-|cosym| при т = 1,2,... , t — 1.
(8.3.7)
(8.3.7)
Найдем фазочастотный спектр входного сигнала:
Найдем фазочастотный спектр входного сигнала:
. 2tt sin —m
arg g (m) = arctg^2тГ~
1 + COS
. 2tt sin —m
arg g (m) = arctg^2тГ~
1 + COS
7Г
= — т.t
7Г
= — т.t
Когда вектор компоненты спектра находится в третьем квадранте, к этому результату надо прибавить тг. Итак,
Когда вектор компоненты спектра находится в третьем квадранте, к этому результату надо прибавить тг. Итак,
/ х |тг4-7гтД при т < t 2. z.Tgg\m) = <**
\jrm/t при т > t/2.
/ х |тг4-7гтД при т < t 2. z.Tgg\m) = <**
\jrm/t при т > t/2.
(8.3.8)
(8.3.8)
Теперь воспользовавшись выражением р (т) = ш (т) g (т\ т = 0,1,... ...,£ — 1, получим спектр выходного сигнала СИФ. Определим вначале амплитудно-частотный спектр. Используя (8.3.3) и (8.3.7), получим
|р (ттг)| = |tu (m)| • |g(m)| = 4sin2 ^m, m = 0,1,... , t — 1.(8.3.9)
Компонента фазочастотного спектра argp(m) выходного сигнала равна
arg р (m) = argg (m) + argcv (m), m = 0,1,... , t — 1.
Воспользовавшись выражениями (8.3.5) и (8.3.8), будем иметь
arg р (m) = — m, m = 0,1,... , t — 1.(8.3.10)
Окончательно, с учетом выражений (8.3.9) и (8.3.10) для спектра выходного сигнала СИФ при фильтрации прямоугольного импульса можно записать
(8.3.11)(8.3.11)р(т) = |р(т)| • exp{zargp (m)} = 4 sin2 ~~т * ехр {г^т
(8.3.11)
(8.3.11)
т = 0,1,... ,1-1.
Теперь на основании обратного ДПФ от {р (m)}0t-1 получим пространственное представление пикового значения выходного сигнала СИФ. Для этого найдем последнюю, (t — 1)-ю компоненту этого преобразования:
Т) (< - 1) = | • 52 (та) exp (ут • (г - 1
771=0
Рис. 8.13. Спектр сигнала на выходе СИФ приобработке прямоугольного импульса с т = 6: а —амплитудно-частотный спектр; б — фазочастотныйспектр; в — комплекснозначный спектр
Подставляя значение р (т) из (8.3.11), получим
^ (< - 1) = 7 • 52 sin2 Тт'т=0
Далее воспользуемся известным представлением синуса в комплекснозначном виде. Тогда
771=0771=0
Последние две суммы в этом выражении как суммы компонент замкнутого контура равны нулю. Поэтому ту (t — 1) = 2. Этот результат совпадает с результатом анализа СИФ, представленного в пространственной области.
Определим в качестве примера спектр выходного сигнала СИФ при обработке прямоугольного импульса с т — б. Применяя выражения (8.3.9), (8.3.10) и (8.3.11), получим (рис. 8.13)
{р W}0,7 = {°; М14 + 1,414г; 4г; -1,414 - 1,414г; 0;
-1,414 + 1,414г; -4г; 1,414 - 1,414г};
{|р (т)|}0,7 — {0; 2; 4; 2; 0; 2; 4; 2};
{arg р (т)}07 = {0°; 45°; 90°; 135°; 180°; 225°; 270°; 315°}
Обнаружение изображений объектов нитевидной формы
Рассмотрим вопросы, связанные со структурой обнаружителя изображений нитевидных объектов. Предполагаем, что изображение имеет длину Р пикселей, расположено в пределах локально однородного участка сцены. Импульс яркости в пределах поперечного сечения изображения имеет известную форму и характеризуется длительностью т = t — 2 пикселей. Смесь / (п) фонового и широкополосного шумов с сигналом s (п) описывается моделью (6.1.2). Энергетический спектр в области средних и высоких частот подчиняется закону квадратичной гиперболы (6.2.2). В качестве формирователя достаточной статистики используется СИФ. Задача заключается в принятии обоснованного решения о том, что входной сигнал / (п) представляет собой смесь шумов и импульса s (п) (гипотеза Hi), либо только шумы (гипотеза Но). В момент получения пикового значения выходного сигнала ту (t — 1) СИФ выполняет над входным сигналом одну из операций (6.2.7) или (6.2.8). При этом обеспечивается достаточно большое превышение выходного сигнала ту (£ — 1) при истинности гипотезы Hi над сигналом при истинности гипотезы Hq.
Обнаружитель изображений нитевидных объектов имеет структуру, аналогичную обнаружителю прямолинейных границ изображений (см. п. 6.5.2). Отличия между ними вызваны типом используемого СИФ. Характеристики обнаружения строятся в соответствии с методикой, описанной в п. 6.5.2.
В качестве примера ландшафтной сцены для построения характеристик обнаружения изображения типа «дорога» взята сцена, представленная на рис. 6.29. Для обнаружения был выбран участок дороги в пределах прямоугольника ABCD. Яркостные портреты накопленных строк приведены на рис. 6.30. На рис. 8.14 представлены экспериментально
Рис. 8.14. Зависимости отношения сигнал/фоновый шум, дисперсии фона и контрастности изображения дороги на входе СИФ от числа накопленных строк
полученные зависимости отношения сигнал/фоновый шум q^, дисперсии бг^ фонового шума и средней контрастности Jф и Jc изображения дороги на входе фильтра от числа N накопленных строк. Отношение сигнал/фоновый шум определялось как
й I Jф - Л12М> (8.4.1)
где «Тф и «7С — средние яркости изображений фона и дороги. Из графиков видно, что дисперсия фона уменьшается с ростом количества накопленных строк N и соответственно увеличивается отношение сигнал/шум. При этом средняя контрастность изображения остается практически неизменной. Эффективность согласованно-избирательной фильтрации изображения дороги при наличии большого количества локально однородных участков фона приближенно можно оценить как
(8-4.2)
Здесь ту^ах — пиковый отсчет СИФ при нахождении окна фильтра в области дороги; 6Г2 — дисперсия выходного фонового шума. Для получения оценки величины сг^ используется массив выходных отсчетов фильтра, из которых исключены отсчеты, соответствующих изображению дороги. Приближенность значения q^ вызвана тем, что т/^ах — это реакция СИФ не на чистый полезный сигнал, а на его смесь с фоновым шумом.
На рис. 8.15 представлены выходные отсчеты фильтра для значений N = 1,40, и 90. Центральный (нулевой отсчет) на каждом из графиков соответствует максимальной реакции фильтра, а отсчеты ±1, ±2 — другим выходным сигналам СИФ. Непронумерованные отсчеты соответствуют участкам фона справа и слева от дороги. Из графиков видно, что
Рис. 8.15. Согласованно-избирательная фильтрация изображения дороги с прилегающими участками фона при различных количествах накопленных строк:
a — N = 1; б — АГ = 40; в — АГ = 90
пиковый отсчет тутах, соответствующий изображению дороги, превышает любой из фоновых отсчетов. Отметим также, что рост количества N накопленных строк слабо сказывается на величине 77тах и, в основном, приводит снижению дисперсии фоновых отсчетов.
Рис. 8.16. Зависимости отношения сигнал/фоновый шум от длины изображения дорогиРис. 8.16. Зависимости отношения сигнал/фоновый шум от длины изображения дорогиНа рис. 8.16 приведены зависимости величины q^, когда фильтр избирательно согласован с импульсом прямоугольной формы длительностью т = 3,4,5,9 от длины Р изображения дороги. Видно, что наибольшее значение q^ достигается при г = 4. При т = 9 фильтр полностью рассогласован с изображением дороги и величина q^ уменьшается примерно в 2 раза. Если бы фильтровался идеализированный прямоугольный импульс яркости, то снижение q^ должно было бы быть в два раза больше. Отметим, что фильтр при обработке реальных изображений оказался
Рис. 8.16. Зависимости отношения сигнал/фоновый шум от длины изображения дороги
Рис. 8.16. Зависимости отношения сигнал/фоновый шум от длины изображения дороги
некритичным к вариациям своей апертуры: для т = 3 и т = 5 уменьшение #2 незначительно. Из графиков также следует, что рост отношения сигнал/фоновый шум с увеличением Р замедляется. Это можно объяснить непрямо линейностью реального изображения дороги, что сказывается на работе фильтра при больших значениях Р.
Аналогичные зависимости были исследованы при согласовании фильтра с импульсами, имеющими линейный и параболический фронты. Характер этих зависимостей такой же, как и для случая согласования фильтра с импульсом прямоугольной формы. При этом выигрыш в отношении сигнал/фоновый шум за счет лучшего учета яркостного профиля дороги, очень незначителен. Отсюда следует важный для практических целей вывод: в реальных сценах рассматриваемого вида фильтрацию изображений нитевидных объектов целесообразно проводить фильтрами, избирательно согласованными с импульсами яркости прямоугольной формы, как наиболее простыми.
В соответствии с методикой, описанной в п. 6.5.2, был построен ряд семейств характеристик обнаружения изображения дороги. На рис. 8.17
Рис. 8.17. Характеристики обнаружения изображения дороги, количество накопленных строк 2V = 1, длительность импульса т = 3: а — для яркостного профиля в виде прямоугольного импульса; б — в виде импульса с линейными фронтамиРис. 8.17. Характеристики обнаружения изображения дороги, количество накопленных строк 2V = 1, длительность импульса т = 3: а — для яркостного профиля в виде прямоугольного импульса; б — в виде импульса с линейными фронтами
Рис. 8.17. Характеристики обнаружения изображения дороги, количество накопленных строк 2V = 1, длительность импульса т = 3: а — для яркостного профиля в виде прямоугольного импульса; б — в виде импульса с линейными фронтами
Рис. 8.17. Характеристики обнаружения изображения дороги, количество накопленных строк 2V = 1, длительность импульса т = 3: а — для яркостного профиля в виде прямоугольного импульса; б — в виде импульса с линейными фронтами
представлены характеристики обнаружения дороги длиной в один пиксел для профиля дороги в виде импульса с прямоугольными (рис. 8.17, а) и линейными (рис. 8.17, б) фронтами длительностью т = 3.
Характеристики построены экспериментально-теоретическим (сплошная кривая) и экспериментальным (пунктир) способами. Из графиков видно, что обеспечиваемые каждым из способов результаты с достаточной для практических целей точностью совпадают. Из сравнения соответствующих графиков также видно, что пороговые сигналы слабо зависят от формы импульса яркостного профиля дороги.
На рис. 8.18 показаны характеристики обнаружения изображения дороги шириной т = 3 пиксела и прямоугольным профилем при накоплении яркости N = 10, 30 и 100 строк прямолинейного участка дороги. Как следует из этих характеристик при накоплении пороговый сигнал (в приведенном диапазоне изменения ^) уменьшается примерно в VN раз.
Рис. 8.18. Характеристики обнаружения дороги: т — 3, прямоугольный яркостный профильРис. 8.18. Характеристики обнаружения дороги: т — 3, прямоугольный яркостный профильРис. 8.19. Характеристики обнаружения дороги с яркостным профилем в виде прямоугольного импульса: 1) СИФ, фоновые шумы, т = 3; 2) СИФ, фоновые шумы, т = = 5; 3) СИФ, фоновые шумы, т — 7; 4) при согласованной фильтрации импульса т = = 3 на фоне белого шумаРис. 8.19. Характеристики обнаружения дороги с яркостным профилем в виде прямоугольного импульса: 1) СИФ, фоновые шумы, т = 3; 2) СИФ, фоновые шумы, т = = 5; 3) СИФ, фоновые шумы, т — 7; 4) при согласованной фильтрации импульса т = = 3 на фоне белого шума
Рис. 8.18. Характеристики обнаружения дороги: т — 3, прямоугольный яркостный профиль
Рис. 8.18. Характеристики обнаружения дороги: т — 3, прямоугольный яркостный профиль
Рис. 8.19. Характеристики обнаружения дороги с яркостным профилем в виде прямоугольного импульса: 1) СИФ, фоновые шумы, т = 3; 2) СИФ, фоновые шумы, т = = 5; 3) СИФ, фоновые шумы, т — 7; 4) при согласованной фильтрации импульса т = = 3 на фоне белого шума
Рис. 8.19. Характеристики обнаружения дороги с яркостным профилем в виде прямоугольного импульса: 1) СИФ, фоновые шумы, т = 3; 2) СИФ, фоновые шумы, т = = 5; 3) СИФ, фоновые шумы, т — 7; 4) при согласованной фильтрации импульса т = = 3 на фоне белого шума
На рис. 8.19 приведены характеристики обнаружения изображения дороги при ^ = 1 с яркостным профилем в виде прямоугольных импульсов длительностей т — 3, 5 и 7 при воздействии, как и в других ранее рассмотренных случаях, слабо и сильнокоррелированных фоновых шумов.
В отличие от случая согласованной фильтрации при согласованноизбирательной фильтрации из-за дифференциального характера работы фильтра пиковый уровень выходного сигнала не зависит от длительности импульса, с которым этот фильтр избирательно согласован. Однако увеличение длительности импульса приводит к сужению полосы пропускания фильтра (см. п. 6.2) и, как следствие, — к уменьшению дисперсии выходного шума. Поэтому выходное отношение сигнал/шум на выходе СИФ с увеличением апертуры ИХ растет, хотя и не в такой степени, как при согласованной фильтрации. Данное обстоятельство и иллюстрируется графиками 1, 2 и 3 на рис. 8.19.
Значительный интерес при рассмотрении обнаружителей изображений нитевидных объектов представляет сравнение эффективности обнаружителя на базе СИФ с эффективностью обнаружителя, реализующего потенциальные возможности. В этом плане была сопоставлена эффективность оптимального обнаружителя импульса с т = 3 на фоне только широкополосных помех (кривая 4 на рис. 8.19) с эффективностью обнаружителя, использующего СИФ при воздействии широкополосных и сильнокоррелированных фоновых шумов (кривая 1 на рис. 8.19). Как и следовало ожидать, за счет того, что фильтр согласован не со всем, а лишь с частью спектра шумов, наблюдается проигрыш в уровне порогового сигнала. Однако проигрыш не является значительным: для вероятности D = 0,7 входное отношение сигнал/шум при согласованной фильтрации равно qi = 0,67, а при согласованно-избирательной фильтрации qi = 1,23, т.е. прогрыш составляет примерно ЗдБ.
Для проверки эффективности обнаружителя исследовались ландшафтные сцены с изображениями дорог (рис. 8.20, а, рис. 8.21, а).
На рис. 8.20 показана последовательность работы обнаружителя: рис. 8.20, б — входной сигнал СИФ в виде строки накопленной яркости,
Рис. 8.20. Сцена с изображением земной поверхности, содержащая изображение протяженного объекта и промежуточный результат его обнаружения (а), изменение яркости вдоль суммарной строки (б) и сигнал на выходе СИФ (в)
рис. 8.20, в — сигнал на выходе СИФ. На рис. 8.20, в хорошо виден сигнал от изображения протяженного объекта. Результат обнаружения в каждой строке сцены отображается на рис. 8.20, а.
На рис. 8.21, б представлен результат обнаружения изображений протяженных объектов, показанных на рис. 8.21, а. При этом согласованно-
Рис. 8.21. Сцена земной поверхности, содержащая изображение протяженногообъекта (а) и результат работы обнаружителя (б)
избирательный фильтр, формирующий достаточную статистику для принятия решения, имел следующие параметры: размер апертуры фильтра по вертикали (количество накапливаемых строк) N = 40, фильтр избирательно согласован с отрицательным импульсом яркости прямоугольной формы, длительность вершины импульса т — 4, количество каналов обнаружения — 18.
Прослеживание изображений объектов протяженнойформы
После обнаружения фрагмента изображения протяженного объекта благодаря сильной корреляции между пространственными положениями его других фрагментов достаточно просто осуществить прослеживание всего изображения. Под этой операцией будем понимать последовательное определение характерных точек изображения.
При прослеживании протяженного объекта нитевидной формы на многоградационном изображении из-за его небольшой ширины (2-10) пиксела целесообразнее выделять не граничный контур фон/изображение или изображение/изображение, а осевую линию объекта.
Следует отметить, что осевая линия изображений таких объектов,
как дорога, взлетно-посадочная полоса и т.п., однозначно характеризует
Рис. 8.22. Вид строба для прослеживания протяженных объектовРис. 8.22. Вид строба для прослеживания протяженных объектовположение объекта в сцене. Поэтому под прослеживанием протяженных объектов будем понимать процесс формирования контура их осевой линии.
Рис. 8.22. Вид строба для прослеживания протяженных объектов
Рис. 8.22. Вид строба для прослеживания протяженных объектов
Поскольку интересующий нас объект на реальном изображении представляет собой узкую полосу, то была принята форма строба, показанная на рис. 8.22.
Этот строб представляет собой три примыкающие друг к другу области Si, S2 и S3. Пусть Si, S2 и S3 — три прямоугольных окна, каждое из которых содержит пу = dy • D, П2 = d2 • D ипз = d3 • D пикселей соответственно. Необходимо
на основании фрагментов случайных полей в пределах пар областей Si, S2 и S3 вынести решение в пользу гипотезы Hi по отношению к конкурирующей Hq. Гипотеза Hi соответствует утверждению о том, что точки, образующие область S2, относятся к протяженному объекту, а точки, образующие области Si и S3 принадлежат либо более светлому фону Qф, либо изображению ГЦ и фону Оф, либо двум разным изображениям Vlj и Qi, смежным с изображением протяженного объекта, 3 = 1^... .Д, г = = 1,2,... Д, з 7^ г. Гипотеза Но соответствует утверждению о том, что области Si, S2 и S3 или одна из пар областей Si, S2 и S2, S3 принадлежат либо фону Qф, либо одному и тому же изображению flj.
ПуСТЬ £1 = (£1,1, £1,2, • • • , £1,п1), & = (^2,1, £2,2, • • • , ^2,п2) и £3 = = (£з,1? ^з,2? • • • , £з,пз) — независимые выборки значений яркости в окнах Si, S2 и S3 соответственно. Проверяемая гипотеза Но состоит в том, что все три области сцены, либо одна из пар областей Si, S2 и S2, S3, из которых взяты эти выборки статистически не отличаются друг от друга (т.е. распределены одинаково), и наблюдаемая между ними разница носит случайный характер. Конкурирующая гипотеза Hi предполагает, что разница между выборками £1 и £2 и выборками £2 и £3 носит систематический характер.
По выборкам £1, £2 и £3 получим оценки генеральных средних Му для области Sy, М2 для области S2 и М3 для области S3. Объем выборки
Прослеживание изображений объектов протяженной формы 365
в пределах одного окна достаточно велик и, в связи с этим, создаются предпосылки для выполнения центральной предельной теоремы теории вероятностей. Поэтому оценка £ генеральной средней М;
22подчиняется нормальному закону распределения
2
2
п
=—ехр
где сг2 — дисперсия генеральной совокупности. Разница оценок ^ и £2, как и разница оценок £3 и £2, также будет иметь нормальное распределение вероятностей:
2- (a?/ni + 02/^2)2- (a?/ni + 02/^2)(8.5.1)(8.5.1)/ (€1 - G) = ,1- ехр
2- (a?/ni + 02/^2)
2- (a?/ni + 02/^2)
(8.5.1)
(8.5.1)
у 2тг (<7?/щ + ff^/na)
^2тг ^l/n3 + al/n2) (2-(<7з/пз + <72/п2) J
(8.5.2)
где <7i, <72 и 03 — дисперсии для выборок Ci, €2 и £3 соответственно.
Если справедлива гипотеза Но, то либо генеральные средние Му и М2, либо М2 и М3, либо Му, М2 и М3 равны между собой. Тогда распределения (8.5.1) и (8.5.2) принимают вид
/ (€з - €2) = "^ : 1"—ехР <у 2тг ^/пз -4- ^/п2)/ (€з - €2) = "^ : 1"—ехР <у 2тг ^/пз -4- ^/п2)(7з/пз 4-а2/п2(7з/пз 4-а2/п2
/ (€з - €2) = "^ : 1"—ехР <
у 2тг ^/пз -4- ^/п2)
/ (€з - €2) = "^ : 1"—ехР <
у 2тг ^/пз -4- ^/п2)
(7з/пз 4-а2/п2
(7з/пз 4-а2/п2
В качестве наблюдаемой статистики используем нормированную разность оценок генеральных средних с учетом того, что в нашем распоряжении вместо дисперсии генеральной совокупности сг2 имеются ее оценки, полученные по выборкам £1, £2 и £3:
Тогда при ty,2 ^ tn и ^з,2 ^ tn, где tn — пороговое значение критерия, установленное в соответствии с принятой величиной доверительной вероятности Р, принимается гипотеза Hi. Во всех остальных случаях принимается нулевая гипотеза.
Исходная точка для прослеживания определяется в результате обнаружения протяженного объекта. Нахождение второй и последующих точек производится следующим образом. Центр строба устанавливается на исходную точку. Затем происходит адаптация строба, т.е. определение оптимального направления перемещения и ширины d2 центральной части строба S2. Считается, что состояние строба выбрано оптимально, если в результате вариации направления перемещения и ширины d2 достигнуты максимальные значения £ц2 и £3,2- Если выполняются условия
^1,2 шахИ И ^3,2тах>^п,
то принимается данное направление движения и значение ширины центральной части строба. После адаптации центр строба перемещается в выбранном направлении на один пиксел и в массив памяти заносится единичный вектор, соединяющий предыдущую точку, в которой находился центр строба, с текущей. Набор векторов перемещения строба образует контур.
Прослеживание протяженного объекта прекращается, если значения ^1,2 max и ^з,2 max оказываются ниже порога срыва слежения.
После того, как протяженный объект был прослежен в одном направлении, строб возвращается в начальное положение, т.е. центр строба вновь устанавливается на начальную точку, и осуществляется прослеживание в противоположном направлении.
Обсуждение результатов
В данной главе рассмотрена задача обнаружения изображений объектов протяженной формы, например, дорог, лесных просек, рек, каналов и т.п., имеющих незначительную ширину (до 10 пикселов) в реальных ландшафтных сценах. Изображение характеризуется отношением сиг- нал/фоновый шум, близким к единице. Для формирования статистик, по которым принимается решение, принят метод согласованно-избиратель
ной фильтрации.
Получено аналитическое представление для частотного коэффици
ента передачи фильтра, избирательно-согласованного с идеальным прямоугольным импульсом яркости длительностью т = t — 2, образующимся в поперечном сечении изображения объекта. Амплитудно-частотная характеристика фильтра симметрична относительно центрального отсчета т = t/2 и имеет вид двух полуволн с нулевыми отсчетами при т = 0 и т = 1/2. Максимумы характеристики расположены в точках т = 0,304^ и т = 0,694£ и равны |си(т)| = 3,0792. Общая ширина полосы пропускания фильтра равна 0,562f
В отличие от обычных согласованных фильтров амплитудно-частотная характеристика СИФ не повторяет амплитудно-частотный спектр сигнала. Каждый ее отсчет отличается от соответствующего отсчета амплитудно-частотного спектра сигнала множителем sin —т. Фазочастотная характеристика СИФ в отличие от подобной характеристики согласованного фильтра полностью совпадает с фазочастотным спектром сигнала.
Пиковое значение полезного сигнала на выходе фильтра не зависит от параметров импульса яркости и равно 2С/R (0) а, где R (0) — дисперсия, а — декремент затухания АКФ фонового шума. СИФ подавляет постоянные и низкочастотные составляющие спектра фонового шума и изображения объекта, но хорошо пропускает высокочастотные составляющие спектра контура обнаруживаемого изображения. Отношение сигнал/шум на выходе фильтра из-за дифференциального характера его работы слабо зависит от длительности импульса яркости. Рост его при этом связан не с увеличением энергии полезного сигнала, а с уменьшением дисперсии фонового шума на выходе фильтра из-за сужения полосы пропускания.
Показано, что процедура согласованно-избирательной фильтрации для изображения нитевидного, вертикально ориентированного объекта постоянной ширины длиной Р пикселей состоит из накопления значений яркости Р строк и дальнейшей фильтрации накопленного импульса.
Экспериментальным путем получена зависимость выходного отношения сигнал/фоновый шум по мощности от длины Р изображения нитевидного объекта. Она имеет характер, близкий к прямолинейному.
Обнаружитель, работающий по критерию Неймана-Пирсона, содержит фильтр и пороговое устройство. Фильтр избирательно согласован с изображением вертикально ориентированного объекта шириной т и длиной Р пикселей с известной формой импульса яркости в поперечном сечении объекта. Чтобы исключить необходимость определения оценок декремента затухания АКФ фонового шума и его дисперсии, обнаружитель содержит блок вычисления дисперсии с^ фонового шума на выходе СИФ и использует ее для формирования порогового уровня. Построены характеристики обнаружения изображения дороги в ландшафтной сцене для различных значений т, Р и формы фронтов импульса яркости, образующегося в поперечном сечении изображения. Из характеристик следует, что уровни пороговых сигналов слабо зависят от формы фронтов импульса. Поэтому яркостный профиль поперечного сечения изображения целесообразно аппроксимировать импульсом прямоугольной формы. В этом случае упрощается алгоритм работы СИФ и имеется возможность аналитическим путем рассчитать параметры фильтра. Сравнение эффективностей обнаружителя на базе СИФ, работающего в условиях сильнокоррелированного фонового шума, и оптимального обнаружителя на базе согласованного фильтра при воздействии белого шума показало, что проигрыш в пороговом сигнале у первого незначителен и имеет порядок 3 дБ. Это позволяет считать рассмотренный обнаружитель изображений нитевидных объектов, использующий для формирования достаточной статистики согласованно-избирательный фильтр, квазиоптимальным устройством. Поскольку изображения данных объектов в сцене имеют произвольную ориентацию, то необходимо осуществить поворот сцены таким образом, чтобы обнаруживаемое изображение было расположено вертикально. Для этого можно использовать априорную информацию, например, топографического плана. В противном случае образуется набор из R копий фильтруемой сцены, в каждой из которых изображения повер-
нуты на угол а^/НУ а = 0,1,... , R — 1. Каждая сцена подвергается согласованно-избирательной фильтрации и в качестве статистики для принятия решения об обнаружении принимается максимальный по всем копиям отсчет фильтра.
Задачи и упражнения
Почему при согласованно-избирательной фильтрации идеального импульса яркости максимально возможный отсчет фильтра не зависит от длительности импульса?
Чем определяется количество М не равных нулю отсчетов на выходе фильтра? Постройте зависимость количества М значащих отсчетов СИФ от длительности / фронта скачка яркости.
Рассчитайте импульсную характеристику и отклик фильтра, избирательносогласованного с идеализированным положительным импульсом яркости: вид переднего фронта — прямоугольный с /1 = 0; вид заднего фронта — линейный с Ь = 3; длительность вершины т = 5.
Рассчитайте отклик фильтра, определяемого параметрами предыдущей задачи, при подачи на его вход сигнала в виде идеализированного положительного импульса яркости: вид переднего фронта — прямоугольный с Zi = 0; вид заднего фронта — линейный с Ь = 3; длительность вершины т = 3. Сравните полученные результаты с результатами предыдущей задачи.
Предложите структуру обнаружителя изображений объектов протяженной формы для случая, когда ширина объекта неизвестна.
Рассчитайте импульсную характеристику и отклик на выходе фильтра, избирательно-согласованного с идеализированным отрицательным импульсом яркости: вид переднего фронта — линейный с h = 2; вид заднего фронта — линейный с Z2 = 3; длительность вершины т = 2.
Рассчитайте и постройте импульсную характеристику фильтра, избирательно согласованного с прямоугольным импульсом яркости с длительностью вершины т = 3.
Оцените изменение пикового выходного сигнала двумерного СИФ при наличии углового рассогласования апертуры пространственного фильтра с изобра- женим объекта.
Определите спектр сигнала в виде идеализированного импульса яркости с прямоугольными фронтами при т = 3. Рассчитайте и постройте амплитудно-частотный и фазочастотный спектры.
Определите спектр сигнала на выходе фильтра, избирательно-согласованного с идеализированным импульсом яркости с прямоугольным фронтом при т = = 3, при воздействии аналогичного сигнала.
В соответствии с методикой, описанной в п. 6.5.2, рассчитайте и постройте теоретические и экспериментальные характеристики обнаружения объектов в виде импульсов яркости с прямоугольными фронтами при т — б.
В соответствии с методикой, описанной в п. 6.5.2, рассчитайте и постройте теоретические и экспериментальные характеристики обнаружения объектов в виде импульсов яркости с линейными фронтами при т = 4, Zi = 3, Z2 = 3.
Глава 9
АНАЛИЗ И РАСПОЗНАВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙПО ИХ ФОРМЕ
Специальные операции над контурами изображенийЭквализация кода контура. Процедуру выравнивания размерностей двух контуров назовем эквализацией контуров. Эта процедура является вторичной дискретизацией контура изображения. Рассмотрим один из подходов к эквализации путем деления контура Г = {7 (72) }0 А._1 на заданное количество р одинаковых по длине отрезков, концы которых соединены векторами. Эти векторы являются ЭВ е (г) нового эквализо- ванного контура Е = {s(r)}o,p-i. Каждый ЭВ е (г) состоит из трех частей: 1) остатка Д70СТ (^) вектора 7(72); 2) (t - 1) полных ЭВ 7(724- 1),Специальные операции над контурами изображенийЭквализация кода контура. Процедуру выравнивания размерностей двух контуров назовем эквализацией контуров. Эта процедура является вторичной дискретизацией контура изображения. Рассмотрим один из подходов к эквализации путем деления контура Г = {7 (72) }0 А._1 на заданное количество р одинаковых по длине отрезков, концы которых соединены векторами. Эти векторы являются ЭВ е (г) нового эквализо- ванного контура Е = {s(r)}o,p-i. Каждый ЭВ е (г) состоит из трех частей: 1) остатка Д70СТ (^) вектора 7(72); 2) (t - 1) полных ЭВ 7(724- 1),А/исП (^ + 3) /(”+3) , у(п + 4)А/исП (^ + 3) /(”+3) , у(п + 4)/(” + 1) A/ocU”)/(” + 1) A/ocU”)Рис. 9.1. Образование элементарного вектора эквализованного контураРис. 9.1. Образование элементарного вектора эквализованного контурагО)/1^(г-1)гО)/1^(г-1)£(r + l\V(” + 5)£(r + l\V(” + 5)
Специальные операции над контурами изображений
Эквализация кода контура. Процедуру выравнивания размерностей двух контуров назовем эквализацией контуров. Эта процедура является вторичной дискретизацией контура изображения. Рассмотрим один из подходов к эквализации путем деления контура Г = {7 (72) }0 А._1 на заданное количество р одинаковых по длине отрезков, концы которых соединены векторами. Эти векторы являются ЭВ е (г) нового эквализо- ванного контура Е = {s(r)}o,p-i. Каждый ЭВ е (г) состоит из трех частей: 1) остатка Д70СТ (^) вектора 7(72); 2) (t - 1) полных ЭВ 7(724- 1),
Специальные операции над контурами изображений
Эквализация кода контура. Процедуру выравнивания размерностей двух контуров назовем эквализацией контуров. Эта процедура является вторичной дискретизацией контура изображения. Рассмотрим один из подходов к эквализации путем деления контура Г = {7 (72) }0 А._1 на заданное количество р одинаковых по длине отрезков, концы которых соединены векторами. Эти векторы являются ЭВ е (г) нового эквализо- ванного контура Е = {s(r)}o,p-i. Каждый ЭВ е (г) состоит из трех частей: 1) остатка Д70СТ (^) вектора 7(72); 2) (t - 1) полных ЭВ 7(724- 1),
А/исП (^ + 3) /(”+3) , у(п + 4)
А/исП (^ + 3) /(”+3) , у(п + 4)
/(” + 1) A/ocU”)
/(” + 1) A/ocU”)
Рис. 9.1. Образование элементарного вектора эквализованного контура
Рис. 9.1. Образование элементарного вектора эквализованного контура
гО)/1^(г-1)
гО)/1^(г-1)
£(r + l\V(” + 5)
£(r + l\V(” + 5)
7(724-2), ..., 7(п4-£-1); 3) использованной части Д7ИСП (72 4-^) элементарного вектора 7 (72 4- £) контура Г (рис. 9.1). Длина отрезков, на которые разбивается контур Г, равна
/с —1
£= j^M»)!-(9.1.1)
п=0
На каждом r-м шаге эквализации вначале проверяется условие |д7«(тф£.(9.1.2)
е (г) = |е|е (г) = |е|При выполнении этого условия в состав ЭВ е (г) не входят полные ЭВ контура Г и ЭВ е (г) выделяется из остатка Д70СТ (^) элементарного вектора 7 (72) исходного контура Г. Тогда
е (г) = |е|
е (г) = |е|
MS(n)|'’
и остаточный вектор Д70СТ (72 — 1) для следующего, (г 4- 1)-го шага эква-
лизации, равен
А7„(сГт+1) W = Д7М (п) - е (г).
(9.1.4)
Если же условие (9.1.2) не выполняется, то проверяется значение t, при котором начинает выполняться условие
t
|А7Й (п)| + 52 h (n + j)l 2, ■ • • 7=1
(9.1.5)
Определив его, далее для получения ЭВ е (г) находим модуль и само значение части использованного ЭВ 7 (п + t) контура Г:
|А7„сп (п +1)| = |е| - IA7M (п)1 - 52 Ь (п + ^1>
7 = 1(9.1.6)
Д7«. (" + «)= 7 (П + «)^^!.
В этом случае ЭВ е (г) для г-го шага эквализации и остаточный вектор А7ост+1) (^ + ^) на (г + 1)-й шаг эквализации будут иметь вид
е (г) = Д7М (п) + Д7исп (п + t) + 52 7 (n + j),(9.1.7)
А7ост+1) (n + i) = 7 (n + i) ~ A7„cn (n +1).(9.1.8)
Для эквализованного контура характерно: 1) концы и начало векторов е (г) принадлежат линии исходного контура Г; 2) процесс эквализа-
Г = {7(п)}о7 (сплошные линии)
в контур Е = {е (п)}0 п (штриховые линии)
ции является сходящимся, так как начало вектора е (0) совпадает с концом вектора е (р — 1).
При
р^к(9.1.9)
модули всех ЭВ е (г) мало отличаются друг от друга, т.е.
кН = £>
г = 0, L ... ,р — 1.
(9.1.10)
Это значительно упрощает операции обработки эквализованных контуров, компенсируя в определенной степени затраты на эквализацию.
На рис. 9.2 в качестве примера показан результат эквализации контура из к = 7 ЭВ:
Г = {2; 2 - 2г; -г; -2 - 2г; -2 + 2г; г; -1 + г; 1 + г}.
Эквализованный контур Е содержит р = 12 ЭВ и имеет вид
Е = {1,27; 1,11 - 0,39г; 0,90 - 0,90г; 0,71 - 0,98г; -0,39 - 1,11г; -0,90 - 0,90г;
0,90 - 0,51г; -0,90 + 0.90г; -0,90 + 0,90г; -0,20 + 1,20г;
0,71 + 0,90г; 0,91 + 0,89г}-
Стандартизация кода контура. При различных операциях, связанных с линейными преобразованиями контуров со стандартными значениями элементов их разностного кода, равными
1,1 — г, —г, — 1 — г, —1, —1 4- г, г, 1 4- г,
элементы разностного кода теряют свойство стандартности. Например, поворот контура, заданного стандартными ЭВ, на угол, не кратный тг/2, всегда сопровождается таким явлением. В то же время для индикации контуров изображений, занесенных в ОЗУИ системы технического зрения, использования табличных методов умножения ЭВ, формирования гистограммы частот ЭВ контура и ряда других случаев необходимо иметь контур со стандартными ЭВ. В связи с этим рассмотрим одну из возможных процедур стандартизации ЭВ произвольного полигонального контура.
На рис. 9.3 представлен фрагмент контура с двумя нестандартными элементарными векторами О А и АВ, причем вектор О А начинается из центра ячейки ОЗУИ. Пусть, например, проекции вектора О А на
оси х и у системы координат, совмещенной с началом вектора, больше
Рис. 9.3. Формирование стандартных элементов комплексного кода
и построим стандартный элементарный вектор ОА. Если хотя бы одна из проекций вектора аА = ОА — Оа превышает единицу, то процесс надо продолжить. В противном случае складываем этот вектор с вектором АВ и получаем новый вектор аВ с началом в центре ячейки. С ним поступаем так же, как и с ОА. В результате получаем вектор ab, задающий второй стандартный вектор, и разностный вектор ЬВ. Продолжая этот процесс, получим последовательность стандартных ЭВ преобразованного по размерности контура Г. Если полученный вектор аВ = аА 4- АВ
не имеет проекций, больших единицы, то складываем его со следующим вектором контура до тех пор, пока не создадутся условия выделения из просуммированных векторов стандартного вектора.
Описанный процесс стандартизации является сходящимся, т.е. последний разностный вектор исходного нестандартного кода равен нулю. Последний шаг процесса связан с образованием вектора, конец которого совпадает с началом нулевого вектора ОА. По принятому условию вектор О А начинается в центре ячейки. Поэтому полученный код так- S —1
же задает замкнутый контур, т.е. 52 7с (^) = 0, где s — размерность п=0
контура, состоящего из стандартных ЭВ 7С (n), п = 0,1,... , s - 1. Из этого выражения следует равенство нулю последнего разностного вектора при проведении процесса стандартизации полигонального контура с произвольными значениями составляющими его ЭВ.
Структурный анализ формы изображений фильтрами, согласоваными с классом форм
Согласованные фильтры, задаваемые выражениями (3.6.1) и (3.6.4), обеспечивают образование количественной меры схожести между фильтруемым контуром N и эталонной формой, определяемой контуром Г. Нередки случаи, когда эталонные формы имеют ряд общих признаков, связанных с некоторыми их общими свойствами, например: прямолинейность линии фрагмента контура, симметричность ЭВ, степень правильности задаваемой контуром фигуры и т.п. При наличии таких общих признаков можно говорить о классе форм и появляется возможность учесть закономерности определенного класса форм в выражении для КСФ. В результате такой КСФ будет вырабатывать меру схожести с эталоном не для одного конкретного контура, а для целого класса контуров с общими свойствами.
Фильтрация прямолинейных фрагментов контура в сочетании с другими фрагментами. Пусть контур N = {z/ (n)}0 k_v наряду с фрагментами произвольной конфигурации, содержит горизонтально ориентированный и направленный вправо прямолинейный фрагмент из I стандартных ЭВ z/ (г), z/ (г 4-1), ... , v (г + I — 1), задающих с учетом дискретизации на квадратной сетчатке данный фрагмент (рис. 9.4, а). Изображения с контурами такого вида часто встречаются при обзоре земной поверхности, например: изображения аэродромов, дорог, участков рек и каналов, возделанных полей и т.п. Преимущественно изображения с протяженными прямолинейными участками внешних и внутренних границ носят антропогенный характер. Найдем выражение для фильтра с окном С из s, s ^ Z, элементов, вырабатывающего максимально возможный уровень выходного сигнала при попадании окна в пределы прямолинейного фрагмента. Процесс фильтрации, когда ширина окна фильтра меньше размерности контура, определяется выражением (3.6.11). В данном случае 7* (0) = 7* (1) = ... = 7* (s - 1) = 1 s-l
и это выражение принимает вид: г] (m) = 52 v (п Ц- т^т = ОД,... , k—1. п=0
Квадрат модуля выходного нормированного сигнала фильтра будет равен
Здесь s — квадрат нормы эталонного фрагмента {1}0 s_p 52 \v (п + m)|2 — ’ 71=0
квадрат нормы фильтруемого фрагмента контура N в пределах окна С на m-м шаге. Когда окно С расположено на прямолинейном фрагменте контура, то v (п 4- т)«| zz (п 4- т) |«1. При этом величина |?7Н (т)| слабо отличается от единицы, т.е. от максимально возможной выходной величины фильтра. Так как нормированный выходной эффект КСФ инвариантен к повороту контура (см п. 3.6), то соотношение (9.2.1) справедливо для фильтрации
не только для горизонтально, но и произвольно ориентированных прямолинейных фрагментов контура. Отметим также, что выражение (9.2.1) задает алгоритм фильтрации скользящего среднего (см. п. 3.4).
Если ЭВ контура не являются стандартными, то для фильтрации прямолинейных отрезков контура в соответсвии с выражением (9.2.1) возможны два следующих подхода. Первый из них состоит в проведении процедуры стандартизации ЭВ, а второй — процедуры эквализации линии контура. Эквализация должна быть проведена таким образом, чтобы модули эква- лизованных ЭВ незначительно отличались друг от друга, что достигается выбором достаточно большой размерности преобразованного контура.
Таким образом, алгоритм фильтрации скользящего среднего обеспечивает квазисогласованную фильтрацию произвольно ориентированных
Рис. 9.4. Выделение прямолинейного фрагмента в контуре: а — исходный контур; б — зависимость выходной величины фильтра с окном s = 20 от числа шагов фильтрацииРис. 9.4. Выделение прямолинейного фрагмента в контуре: а — исходный контур; б — зависимость выходной величины фильтра с окном s = 20 от числа шагов фильтрации
Рис. 9.4. Выделение прямолинейного фрагмента в контуре: а — исходный контур; б — зависимость выходной величины фильтра с окном s = 20 от числа шагов фильтрации
Рис. 9.4. Выделение прямолинейного фрагмента в контуре: а — исходный контур; б — зависимость выходной величины фильтра с окном s = 20 от числа шагов фильтрации
прямолинейных фрагментов контура, состоящих из близких по модулю ЭВ. При этом, чем меньше отношение квадрата модуля суммы ЭВ к сумме квадратов модулей ЭВ в пределах окна фильтра отличается от величины 1/s, тем ближе фильтруемый фрагмент контура к прямолинейному.
На рис. 9.4 показан пример выделения прямолинейного отрезка. Окно фильтра шириной s = 20 элементов начинает двигаться от точки а^. Если принять пороговый уровень равным 0,8, то величина |7/н| превышает его на интервале шагов т = 10... 19. Этим шагам соответствует участок контура в пределах от 7(10) до 7(39), который визуально близок к прямолинейному отрезку. Если порог повысить до 0,85, то величина |т7н| превышает его на интервалах шагов т = 14,15,16 и при т = = 18. В этом случае в качестве прямолинейных будут признаны участки контура в пределах 7(14) до 7(34) и 7(17) до 7(37). Эти участки по своей конфигурации слабо отличаются от прямолинейных.
Пусть теперь необходимо выделить фрагмент контура в виде «луча» (см. п. 1.2). Этот фрагмент содержит два прямолинейных противоположно ориентированных отрезка. Поэтому для его выделения можно применить два фильтра для прямолинейных отрезков, каждый с окном, равным s:
Mm)|2Mm)|2(9.2.2)
Mm)|2
Mm)|2
Рис. 9.5. Выделение фрагмента в виде луча: а — исходный контур; б — зависимость выходного сигнала согласованного фильтра от числа шагов фильтрацииРис. 9.5. Выделение фрагмента в виде луча: а — исходный контур; б — зависимость выходного сигнала согласованного фильтра от числа шагов фильтрацииПример выделения фрагмента типа «луч» фильтром (9.2.2) с окном s = 6 показан на рис. 9.5. Отметим, что фильтр (9.2.2) для выделения фрагментов «луч» есть ФСР. Если в общем случае необходимо выделить фрагмент из прямолинейных отрезков, составляющих угол Д<р, то второй прямолинейный отрезок надо повернуть на угол тг — Д(/9, т.е. каждый ЭВ этого отрезка умножить на — ехр {—гД^}. В результате обе стороны угла образуют один прямолинейный отрезок. Когда окно С фильтра равно 2s, то результат
Рис. 9.5. Выделение фрагмента в виде луча: а — исходный контур; б — зависимость выходного сигнала согласованного фильтра от числа шагов фильтрации
Рис. 9.5. Выделение фрагмента в виде луча: а — исходный контур; б — зависимость выходного сигнала согласованного фильтра от числа шагов фильтрации
фильтрации, равный сумме половинных нормированных выходных эффектов фильтров, согласованных со сторонами фигуры угла, имеет вид
1% WI =
1
s —1
У2 (n + m)
п=0
2s —1
У2 v (п + т)
.(9.2.3)
2 Vs
S— 1
^^(n + m)!2.
п=0\
2s—1
52 ^(и + т)]2
Фильтр для выделения фрагмента контура в виде фигуры угла можно также сделать в виде двух фильтров для выделения произвольно ориентированных и примыкающих друг к другу прямолинейных отрезков, инвариантных к угловой ориентации этих отрезков
1% (т)| =1% (т)| =S-1У^ v (п + т)п=0S-1У^ v (п + т)п=0v (тг + т)v (тг + т)|z/ (п + т)|2|z/ (п + т)|2(9.2.4)(9.2.4)
1% (т)| =
1% (т)| =
S-1
У^ v (п + т)
п=0
S-1
У^ v (п + т)
п=0
v (тг + т)
v (тг + т)
|z/ (п + т)|2
|z/ (п + т)|2
(9.2.4)
(9.2.4)
На рис. 9.6 показаны результаты обработки контура, содержащего фрагмент в виде угла, равного 45°, фильтрами с окнами по s = 5, работаю-
Рис. 9.6. Выделение фрагмента контура в виде угла: а — исходный контур; б — зависимость выходной величины фильтра от числа шагов фильтрацииРис. 9.6. Выделение фрагмента контура в виде угла: а — исходный контур; б — зависимость выходной величины фильтра от числа шагов фильтрации
Рис. 9.6. Выделение фрагмента контура в виде угла: а — исходный контур; б — зависимость выходной величины фильтра от числа шагов фильтрации
Рис. 9.6. Выделение фрагмента контура в виде угла: а — исходный контур; б — зависимость выходной величины фильтра от числа шагов фильтрации
щими по формулам (9.2.3) и (9.2.4) (соответственно кривые 1 и 2). Видно, что первый фильтр, как использующий большую, чем второй, априорную информацию, обеспечивает большую избирательность.
Фильтры, согласованные с элементарными контурами. Такие фильтры будут хорошо реагировать на правильные фигуры, задаваемые ЭК Го, Гъ... , Г/c-i. С учетом выражения (1.8.3) для ЭК Г5 порядка s выражения (3.6.1) и (3.6.4) для КСФ примут вид
ПзПз
Пз
Пз
Если через фильтр проходит согласованный с ним ЭК, то
/ \7 Г • 2тг 1 f. 2тг )
7/s= к exp s exp sm
m = 0,1,... , к — 1 и tjs (к — 1) = к.
к-1к-1,2тгг—пк,2тгг—пкРезультатом фильтрации является тот же ЭК, но растянутый в к раз и повернутый на угол Д^ = 'lavs(к. При фильтрации несогласованного с фильтром ЭК Г/, I ^ s, получим
к-1
к-1
,2тгг—пк
,2тгг—пк
Пв (m) = exp
71=0
Внутренняя сумма при s ^ Z всегда равна нулю. Поэтому t?s (m) = = 0, т.е. при несовпадении порядков ЭК, Г/ не проходит через фильтр, согласованный с ЭК Г5. Если через фильтр, согласованный с ЭК Г5, проходит произвольный контур N = {z/ (n)}0 k_v то
т)8 (™) = pv (s)exp {^s (rn + 1)},
s = 0,1,... л- 1,
где pv (s) = T]s (к — 1) — s-я компонента спектра контура N (см. п. 3.6.4).
Набор фильтров, согласованных с ЭК Го,Г1,... ,Г^-i, осуществляет полный спектральный анализ контура N. Так как ||N||2 = ^||Р||2, то чем ближе величина ylp^so)!2 к IINH2, где so — номер доминирующей по к
модулю компоненты спектра контура N, тем ближе форма фильтруемого контура N к правильной фигуре Г5о. Отметим связь между направлением обхода контура N и его спектром. Если энергия спектральных составляющих в левой половине спектра больше энергии составляющих в правой половине спектра, то в контуре N преобладают ЭК с обходом против часовой стрелки и контур N будет прослеживаться в этом же направлении и наоборот.
На рис. 9.7 показан контур N размерностью к = 4. В спектре контура значительно доминирует составляющая |р (3)|. Это означает, что фигура, задаваемая контуром, близка к фигуре квадрата с обходом по часовой
Рис. 9.7. Контуры с противоположными направлениями обходов и модули их спектровРис. 9.7. Контуры с противоположными направлениями обходов и модули их спектров
Рис. 9.7. Контуры с противоположными направлениями обходов и модули их спектров
Рис. 9.7. Контуры с противоположными направлениями обходов и модули их спектров
стрелке. Контур N(+) отличается от контура N только направлением обхода. Это отражается на его спектре, в котором доминирует составляющая \р (1)|, соответствующая квадрату с обходом против часовой стрелки.
Фильтры, согласованные с симметричными и антисимметричными контурами. ЭВ симметричных контуров связаны соотношением 7 (п) = = 7 (—п) = 7 {к — п), п = 0,1,... , к — 1. Используя эту информацию, определим выражение для фильтра, согласованного с симметричным контуром. Обозначим s = п — т + к — 1. Тогда — s = т — п — A: -h 1 и для симметричных контуров выражения (3.6.1) и (3.6.4) принимают вид
fc—iк-1
Л^^^^ (71)7* (m - n + 1) = ^ 7 (т - п) 7* (n + 1), 71=0п=0V • • /
т = 0,1,... , к — 1.
Аналогично, фильтр к-1к-1
77(т) =-^7(71)7* (т-п+1) = -527(т-п)7*(п + 1), п=0п=0
т = 0,1,... , к — 1,
является согласованным для антисимметричных контуров, ЭВ которых обладают свойством 7 (п) = —7 (—п) = —7 (А: — п).
Исследуем характер связи между аргументами перемножаемых функций, стоящих под знаком сумм в выражениях (9.2.5) и (9.2.6). Суммируя эти аргументы в любой из формул, получаем, что результат равен (т + 1)^., т.е. не зависит от внутренней переменной п, а определяется лишь значением внешней переменной т. Запись (^ означает, что выражение в скобках берется по модулю к. Данный результат является следствием разных знаков внутренней переменной п, входящей в значения аргументов перемножаемых функций. При этом для получения отсчета р (т) фильтра ЭВ v и 7 выбираются путем обхода контуров N и Г в противоположных направлениях. Если аргумент первого сомножителя равен п, то аргумент второго равен (т 4-1 — п)^, и наоборот. Это соотношение приводит к тому, что под знаком суммы все сомножители разбиваются на пары вида 7 (п) 7* (т 4-1 — п)^ и 7 (т 4-1 — п)^ 7* (п). При фильтрации согласованного с фильтром контура v (п) = 7 (n), п = 0,1,...,А: — 1, и эти сомножители в сумме будут давать чисто вещественное число
7 (п) 7* (т 4-1 - п)^ 4- 7 (т 4-1 - тг)7* (п) = 2 Re [7 (тг) 7 (тп - тг 4-1)]
(9.2.7)
Таким образом, все отсчеты фильтра при согласованной фильтрации симметричных и антисимметричных контуров будут вещественными числами. Данное свойство позволяет значительно снизить трудоемкость согласованной фильтрации, уменьшив в два раза число суммируемых слагаемых и определяя лишь их реальные части.
Аргументы п и (т — п 4- !)& функций, входящих в выражение (9.2.7), могут быть разными или одинаковыми числами. Аргументы будут одина-
новыми, когда п = (т — n+l)fc или 2n = /с + т +1, причем п по условию является целым числом. Пусть к — нечетное число. Тогда если т — четное число, то п = {к 4-1 4- т)/2 — целое, ап = (14т)/2 — нецелое число. Если же т — нечетное число, то п = (к 4-1 4- т)/2 — нецелое, а п = (1 4- т)/2 — целое число. Таким образом, при нечетной величине к совпадение аргументов происходит только в одном случае и для получения одного отсчета фильтра необходимо суммировать ((к — 1)/2 4-1) слагаемых.
Пусть теперь к — четное число. При четном т числа n = (A:4-14-m)/2 и п = (1 4- т)/2 будут нецелыми. Поэтому при четном значении размерности к фильтруемого контура для каждого четного значения внешней переменной т в суммах (9.2.5) и (9.2.6) не будет ни одного слагаемого с совпадающими аргументами, зато для каждого нечетного т два слагаемых будут иметь совпадающие аргументы. В первом случае для получения одного отсчета фильтра необходимо будет суммировать к/2 слагаемых, а во втором случае ((fc — 2)/2 4- 2) = к/2 4-1 слагаемых.
Пусть, например, к = 3. Выпишем в две строки значения аргументов для
каждой величины т = 0,1,2: т = 0
т = 1
т = 2
0 12
0 12
0 12
10 2
2 10
0 2 1
Видно, что для каждого значения т имеется по одному совпадению аргументов первого и второго сомножителя. Пусть теперь к = 4. Выпишем аналогичным образом значения аргументов:
т = 0
т = 1
т = 2
т = 3
0 12 3
0 12 3
0 12 3
0 12 3
10 3 2
2 10 3
3 2 10
0 3 2 1
Видно, что для нечетных т нет ни одного совпадения аргументов, а для четных т имеется по два совпадения.
Если для к = 4 найти отсчеты фильтра, то
77 (0) — 2 Re 7 (0) 7* (1) 4- 2 Re 7 (2) 7* (3),г, (1) = 2 Re 7 (0) 7* (2) + |7 (1)I2 + |7 (3)|2,г, (2) = 2 Re 7 (0) 7* (3) + 2 Re 7 (1) 7* (2),4 (3) = |7 (0)|2 + 2Re 7 (1) 7* (3) + ,7 (2)|2.
Результат фильтрации симметричного контура Г = {3 + 2г; 2 — г; — 7; 2 — г}, определенный по этим формулам, равен Н = {—20; —32; —20; 72}.
Филътръь, согласованные с сопряженно-симметрическими и сопряженно-антисимметрическими контурами. Для элементарных векторов СС и СА контуров соответственно имеют место следующие соотношения:
7 (п) = 7* (—п) = 7* (к — п), 7 (п) = —7* (—п) = —7* (к — п).
Вводя переменную s = п — т — 1, для фильтра, согласованного с СС контуром, на основании выражений (3.6.1) и (3.6.4) получим
/с —1к-1
(9.2.8)(9.2.8)г] (т) = 52 7 (п) 7 (т — n + 1) = 52 7 (т — ^) 7 (^ + 1)?
(9.2.8)
(9.2.8)
п=0п=0
т = 0,1,... , к — 1.
Аналогично для СА контура
/с-1к-1
(9.2.9)(9.2.9)г) (т) = — 52 7 (п) 7 (т ” 72 + 1) = ~52 7 (ш — п) 7 (п + 1)?
(9.2.9)
(9.2.9)
п=0п=0
т = 0,1,... , к — 1.
Поскольку знаки внутренней переменной тг в этих формулах для сомножителей, стоящих под знаком суммы, разные, то, как показано для симметричных контуров, все произведения, стоящие под знаком суммы, разбиваются на пары 7 (п) 7 (т 4-1 — п) и 7 (m + 1 — п) 7 (п), либо одно из них принимает вид 72 (m + 1 — п). В результате количество произведений уменьшается примерно вдвое и трудоемкость фильтрации падает. В отличие от фильтрации симметричных и антисимметричных контуров из-за отсутствия комплексной сопряженности ЭВ импульсной характеристики отсчеты фильтров (9.2.8) и (9.2.9) уже не будут вещественными.
Например, результаты фильтрации СА контура Гс/а = {2г; 7; 1 — г; —1 — г; —7} будут иметь вид
17 (0) = - [27 (0) 7 (1) + 27 (2) 7 (4) + 72 (3)] = 14 - 44г,
= - [27 (0) 7 (2) + 27 (3) 7 (4) + 72 (1)] - -67 - 18г,г? (2) = - [27 (0) 7 (3) + 27 (1) 7 (2) + 72 (4)] = -67 + 18г,т? (3) = - [27 (0) 7 (4) + 27 (1) 7 (3) + 72 (2)] = 14 + 44г,V (4) = - [72 (О) + 27 (1) 7 (4) + 27 (2) 7 (3)] = 106.
Определение характеристик формы изображения
Распространенной числовой характеристикой формы фигуры является коэффициент формы, определяемый как отношение квадрата периметра L к площади 5, т.е. к^ = L2/S. Периметр L через элементы разностного кода ДГ находится как
(9.3.1)(9.3.1)к-1
(9.3.1)
(9.3.1)
n=0
Получим выражение для площади полигонального контура изображения, рассматриваемого как к-угольник. Площадь /с-угольника без самопересечения его сторон находится как сумма площадей составляющих его треугольников, образованных векторами суммарного кода:
к-1к-15 = 0,5 £[/3(n-l),/3(n)]5 = 0,5 £[/3(n-l),/3(n)](9.3.2)(9.3.2)
к-1
к-1
5 = 0,5 £[/3(n-l),/3(n)]
5 = 0,5 £[/3(n-l),/3(n)]
(9.3.2)
(9.3.2)
Здесь [/3 (п — 1) ,3 (п)] — векторное произведение текущих векторов суммарного кода 3 (п - 1) = Д (п — 1) + гЗ^ {п — А^^З (™) — А (п) + + г31 (п). Из представления для векторного произведения векторов
для площади фигуры получаем
к-1к-1S = 0,5 ^2 [А (п “ т) & (п) - 01 (п) 02 (п - 1)] .S = 0,5 ^2 [А (п “ т) & (п) - 01 (п) 02 (п - 1)] .(9.3.3)(9.3.3)
к-1
к-1
S = 0,5 ^2 [А (п “ т) & (п) - 01 (п) 02 (п - 1)] .
S = 0,5 ^2 [А (п “ т) & (п) - 01 (п) 02 (п - 1)] .
(9.3.3)
(9.3.3)
При данном подходе площади одних составляющих фигуру треугольников входят с положительным знаком, других — с отрицательным.
Применим выражение (9.3.3) для вычисления площади фигуры, контур которой образует вогнутый многоугольник. Суммарный код этого контура равен В = = {7,74-6г;6 + 2г;2-|-г;6г;0}. Площадь фигуры, найденная с помощью сумм векторных произведений векторов суммарного кода контура, будет равна S = = ^ |(7 • 6 - 7 • 0) + (7 • 2 - 6 • 6) + (6 • 1 - 2 • 2) + (2 • 6 - 0 • 1)| = 17.
Использование выражений (9.3.1) и (9.3.2) позволяет записать представление для коэффициента формы фигуры через ЭВ ее контура Г в виде
^Ф^Ф(9.3.4)(9.3.4)
^Ф
^Ф
(9.3.4)
(9.3.4)
В ряде случаев, например при автоматическом дешифрировании изображений, приходится сталкиваться с двумя видами задач по определению ширины фигуры. В задачах первого вида необходимо найти длину горизонтального отрезка с началом в текущей точке aj контура и окончанием в первой найденной контурной точке (рис. 9.8, а). Задача решается на основе суммарного кода В. Текущая ширина h фигуры определяется
Рис. 9.8. Определение текущей ширины фигуры: а — ширина фигуры в горизонтальном направлении, б — ширина фигуры как минимальное расстояние между противоположными сторонамиРис. 9.8. Определение текущей ширины фигуры: а — ширина фигуры в горизонтальном направлении, б — ширина фигуры как минимальное расстояние между противоположными сторонами
Рис. 9.8. Определение текущей ширины фигуры: а — ширина фигуры в горизонтальном направлении, б — ширина фигуры как минимальное расстояние между противоположными сторонами
Рис. 9.8. Определение текущей ширины фигуры: а — ширина фигуры в горизонтальном направлении, б — ширина фигуры как минимальное расстояние между противоположными сторонами
вектором суммарного кода контура с началом в точке aj и для которого п
выполняется условие Im /3 (n) = ^2 Im 7 W — 0. Тогда ширина фигуры з=о
на уровне точки aj равна h = Re 0 (n).
Второй вид задач связан с определением текущей ширины h фигуры, например ширины реки, по ее оптическому или радиолокационному изображению. Под шириной в точке aj понимается модуль вектора с началом в этой точке, имеющий минимальную длину, и с концом в другой контурной точке (исключая точки, соседние с точкой aj\ Определение вектора также производится с помощью суммарного кода контура реки. Для этого с началом в точке aj строится пучок суммарных векторов и в момент достижения модулем его радиус-вектора глобального минимума производится отсчет значения ширины h (рис. 9.8, б).
Еще одной полезной геометрической характеристикой формы фигуры являются ее габариты — максимальные размеры в горизонтальном Джтах и вертикальном Дт/тах направлениях. Эти размеры находятся через элементы суммарного кода контура следующим образом
A^max = max Re /3 (n) - min Re 0 (n);
△2/max = maxim g (n) — minim ^ (n).’ '
Информативные признаки формы, определяемыепо спектру контура
Спектр контура, вычисленный с помощью ДПФ, содержит такое же количество информации о форме изображения, как и сам контур, заданный в аналитическом виде на плоскости, например, разностным или суммарным кодами. Однако некоторые информативные признаки формы легко находятся именно по спектру контура. Кроме того, в ряде случаев имеется только спектральное представление контура. Базируясь на сведениях, приведенных в гл. 2, рассмотрим связь особенностей формы изображения со спектром его контура. При этом определяемые по спектру характеристики формы не должны зависеть от параметров линейных преобразований изображения, таких, как масштаб, поворот и положение начальной точки контура.
Степень замкнутости контура. Сумма всех ЭВ контура Г равна нулевой компоненте его спектра, т.е.
к-1р<9) = 527 м-п=0
Поэтому величина модуля этой компоненты может определить степень замкнутости контура. Если контур замкнут, то |р(0)| = 0. В противном случае он разомкнут, причем, чем больше величина |р(0)|, тем дальше находятся друг от друга концы линии контура. Отношение
где L — периметр контура, равно нулю для замкнутого контура и единице для контура в виде прямолинейного отрезка, т.е. для контура с максимальной степенью разомкнутости. Поэтому величину t удобно принять в качестве количественной характеристики степени замкнутости контура. Вместо периметра L в выражении (9.4.1) может быть использована величина нормы контура
ЦГ|| =ЦГ|| =к-1к-1
ЦГ|| =
ЦГ|| =
к-1
к-1
определяемая через элементы спектра контура. В этом случае для замкнутого контура величина t по-прежнему равна нулю, однако контур в виде прямолинейного отрезка уже не характеризуется значением t = 1.
Мера схожести двух изображений. Как показано в разделе 1.4, в качестве меры схожести форме двух изображений может быть принят модуль нормированного скалярного произведения контуров этих изображений. Учитывая связь между скалярными произведениями, определяемыми через ЭВ контура и ЭВ его спектра, мера схожести двух форм изображений с контурами N и Г имеет вид
In | = K^n, Рг)|(9 4 2)
Величина 1^1 находится в пределах от нуля до единицы.
Особенности формы. Ряд следующих характеристик формы вытекает из свойств спектров контуров специального вида (см. п. 2.5).
Если спектр контура носит чисто вещественный характер, то контур является сопряженно-симметрическими, т.е. 7 (п) = 7* (к — п) п = = 0,1,... ,к — 1, а если спектр является чисто мнимым - то сопряженноантисимметрическим, т.е. 7 (п) = —7* (к — п), п = 0,1,... , к — 1.
Если для контура с четным значением к ЭВ спектра равны нулю, то контур обладает свойством равнодольности, т.е.
7 (п) = -7 (п 4- А;/2).
Если контур спектра Р обладает свойством симметричности, т.е. р (т) = р (к — т), то исходный контур Г, задающий форму изображения, благодаря взаимному соответствию между операциями прямого и обратного ДПФ тоже будет симметричным, т.е.
7(п) = 7(/г - п).
Аналогично, если контур Р будет антисимметричным, т.е. р(т^ = = — р(к — т), то такими же свойством будет обладать исходный контур Г, т.е.
7(™) = -7(^ - ^) ■
Если код контура спектра Р можно разбить на цепочки из г элементарных векторов, г — 1 из которых подряд равны нулю, а г-й — отличен от нуля, то исходный контур Г обладает свойством поворотной симметрии степени г.
Если спектр характеризуется ЭВ с близкими значениями их модулей, т.е. \р (1)| « \р (2)| « ... « \р (т — п)|, то в исходном контуре Г один
Рис. 9.9. Вытянутый в на-Рис. 9.9. Вытянутый в на-правлении элементарноговектора 7 (0) широкопо-лосный контур изображе-нияправлении элементарноговектора 7 (0) широкопо-лосный контур изображе-нияЭВ будет превалировать по длине, по отношению к другим ЭВ. Вследствие этого форма, задаваемая контуром Г, будет характеризоваться вытянутостью в направлении, задаваемом этим превалирущим ЭВ. Эффект вытянутости проявляется наилучшим образом при небольшом разбросе аргументов ЭВ р (jn\
Рис. 9.9. Вытянутый в на-
Рис. 9.9. Вытянутый в на-
правлении элементарноговектора 7 (0) широкопо-лосный контур изображе-ния
правлении элементарноговектора 7 (0) широкопо-лосный контур изображе-ния
Например, пусть Р = {0; 0,5 4- 1,9г; 1,4 + 1,4г; 2г; 1,1 + 1,67г}. Видно, что модули ЭВ контура спектра Р близки к двум. Обратное ДПФ для контура Р задает исходный контур Г, который имеет следующий вид (рис. 9.9):
Г = {0,6 + 1,394г; -0,1 - 0,28г; -0,314 - 0,704г;
- 0,032 - 0,03г; -0,154 - 0,38г}-
Превалирующий ЭВ 7 (0) имеет модуль 7 (0) =
= 1,518, а сам контур характеризуется сильной вытянутостью в направлении этого ЭВ.
Контур с узкополосным спектром. Такой контур имеет одну составляющую спектра, превалирующую по модулю над другими составляющими. Если s — номер этой составляющей, то
\р (s)| ^> \р (m)|, т ^ s, т = 0,1,... , к — 1.
Контур с подобным спектром будет близок к элементарному, т.е. модули его ЭВ и углы между соседними ЭВ имеют малый разброс по своей величине.
I IIга 0 1 2 34 ”»I IIга 0 1 2 34 ”»|р0”)|
I IIг
а 0 1 2 34 ”»
I IIг
а 0 1 2 34 ”»
Рис. 9.10. Узкополосный контур: а — амплитудно-частотный спектр, б — вид кон-тура
Например, если спектр контура равен Р = {0; 1 + 2г; 20; Зг; 2 + 2г}, (см. рис. 9.10), то исходный контур Г имеет вид:
Г = {4,6 + 1,4г; -2,698 + 1,922г; 0,18 - 4,382г; 1,32 + 3,46г; -3,402 - 2,4г} .
Модули его ЭВ и углы между соседними ЭВ соответственно равны
{4,81; 3,31; 4,39; 3,70;4,16}; {127,6°; 127,8°; 156,8°; 146,1°; 161,7°}.
Контур нитевидной формы. Контур такой формы характеризуется антисимметричностью своих ЭВ. Из взаимного соответствия между пря
Рис. 9.11. Контур нитевидной формы (а) и его спектр (б)Рис. 9.11. Контур нитевидной формы (а) и его спектр (б)мым и обратным ДПФ и свойством спектра контура такого вида следует, что если контур спектра Р является антисимметричным, то исходный контур Г будет задавать нитевидную форму.
Рис. 9.11. Контур нитевидной формы (а) и его спектр (б)
Рис. 9.11. Контур нитевидной формы (а) и его спектр (б)
Например, контур Г, спектр которого равен Р = {0; 2; г; 1 + 2г; — 1 — 2г; —г; —2}, имеет вид
Г = {0; -0,53 + 0,57г; 0,57 + 0,33г;
- 0,33 +0,53г; 0,33- 0,53г;
-0,57-0,33г; 0,53 +0,57г}-
Как следует из рис. 9.11, форма, задаваемая этим контуром, имеет хорошо выраженный нитевидный характер. Отметим, что контур спектра Р также задает форму такого вида.
Распознавание изображений со случайными формами
Примерами случайных изображений могут служить изображения облачности, листьев деревьев, пламени, профиля лица человека и т.п. Существенная вариабельность формы изображений со случайными контурами (см. п. 1.7) не позволяет рассматривать их как зашумленные изображения некоторых эталонных объектов. При распознавании этих изображений последовательность ЭВ контура представляется как случайный дискретный процесс. В п. 1.7 описаны полиноминальная и марковская модели случайных контуров. Первая из них предполагает независимость ЭВ 7 (п) контура Г и известную вероятность Р (7 (п)) появления каждого из них. Поскольку количество ЭВ в контуре часто встречающихся изображений сравнительно невелико, не более к = 100... 200, то при произвольных значениях ЭВ эти вероятности определить достаточно сложно.
В связи с этим количество разных ЭВ в контуре должно быть небольшим. Лучше всего здесь подходят стандартные ЭВ 7^, естественным образом формирующиеся при вводе изображения в ОЗУИ. При кодировании по Фримену
71=0; 72 = 1; 7з = 2; 74=8; 75=4;
к «(9.5.1)
76 = 5; 77 = 6; 73 = 7,а при комплекснозначном кодировании
71 = 1; 72 = 1 - г; 73 = -г; 74 = -1 - г;
1(9.5.2)
75 =76 = -1 +г; 77 = г; 73 = 1 4-г.
При сравнительно небольшом количестве разных ЭВ статистическая достоверность частостей ки/к ЭВ 7^, v = 1,2,... , 8 в контуре изображе-
ния j-ro класса, j = 1,2,... ^М будет выше. Отметим, что статистические модели контуров удобней формировать с применением кода Фримена (9.5.1) (см.п. 1.2).
При решении задачи распознавания изображений со случайными формами целесообразно рассмотреть вопрос об адекватности результатов их классификации машиной и человеком. Эксперимент по машинному агрегированию выборки объемом R случайных изображений классов Ai, Л2,... ... , Ам может быть осуществлен следующим образом.
С субъективной точки зрения в этой выборке находятся с^ j = 1,2,... м
... , М, изображений каждого из классов, С = 52 сг В качестве ана- 3=1
литического описания контура принимается его разностный код ДГ = = {7 И}0 к-1» а в качестве признаков — частоты kv, v = 1,2,... , 8, появления его ЭВ 7 (п) = 7^. Для каждого из контуров Г^ по его коду можно составить вектор частостей Р = {-f^j }j g> гДе ^j = ^j/^j > ^з — размерность контура Гу. В качестве меры близости двух контуров Aj и Ai выбирается евклидовое расстояние между векторами Ру и Р/ их частостей
8
Rh = £ - pvif- (9.5.3)
V=1
Процедура оптимальной классификации сходна с процедурой типа «Спектр» [132]. Случайным образом из С изображений выбирается одно в качестве первого. Вторым служит изображение ближайшее к первому. С помощью векторов частостей Pi и Р2 контуров этих изображений находится вектор Pi2, компоненты которого равны средним значениям соответствующих компонент исходных векторов. В качестве третьего изображения из оставшихся (С — 2)-ых выбирается то, у которого вектор Р наиболее близок к вектору Pi2 и т.д. Для уменьшения переходного периода процедуры в дальнейшем для образования усредненного вектора частостей берутся последние 10-20 отобранных векторов Ру.
Результаты ранжирования изображений по степени близости их друг к другу можно охарактеризовать матрицей, номера строк и столбцов которой равны номерам классов изображений. Элемент (jZ) матрицы представляет собой отношение числа изображений, субъективно отнесенных к классу Z и попавших в интервал класса j. При совпадении результатов субъективной и объективной классификации матрица должна быть близка к единичной, а при полном не совпадении все элементы — одинаковы и равны 1/М. В первом случае создаются серьезные предпосылки для успешного решения задачи распознавания изображений со случайными формами.
Определение статистических характеристик классов теоретическим путем связано со значительными затруднениями и вопрос решается путем обработки достаточно представительных выборок изображений каждого класса. При использовании полиномиальной модели случайного контура такой характеристикой является стохастический вектор тт^ = {тг^ }т 8.
Его компоненты тг^- равны вероятностям появления ЭВ 7^ в контуре изображения j-ro класса. Оценки компонент вектора iTj всегда существуют, причем оценкой максимального правдоподобия является частость Pvj = = ^vj/kj, v = 1,2,... , 8, соответствующего ЭВ [135]. Лишь для небольшого количества классов можно теоретическим путем решить вопрос о виде вектора частостей Р. Таким классом являются, например, изображения облачности. Здесь все ЭВ равновероятны и вектор вероятностей для контуров изображений этого класса имеет вид
{0,1464; 0,1056; 0,1464; 0,1056; 0,1464; 0,1056; 0,1464; 0,1056}.
Разница в значениях компонент вектора вызвана разной длиной ЭВ 7 = 1, —г, — 1,ги7 = 1 — г, —1 — г, —14-г, 14-г.
Если в качестве математической модели контура используется полиномиальное распределение вероятностей, то целесообразно убедиться в слабой взаимной зависимости между частостями ЭВ из построенных на основании экспериментального материала эмпирических корреляционных матриц.
Получим алгоритм классификации случайных изображений по их контурам, используя полиномиальную модель, задаваемую выражением (1.7.8). Для этого случая функция правдоподобия по изображениям класса А^ j = = 1,2,..., М, будет иметь вид
где k = [fci,^,... ^g] — вектор частот ЭВ; iTj = [Tivy^ 8 — вектор вероятностей этих ЭВ в контуре изображения j-ro класса.
Представим логарифм этой функции как
8
1п£ (k/Ау) = В 4- У^ kv 1п7г^,(9.5.5)
р=1
где В — константа, значение которой определяется вектором к.
Введем матрицу
П = {1птгр7}(9.5.6)
порядка М х 8. Тогда вектор значений логарифмов функции правдоподобия с точностью до постоянной составляющей, одинаковой для всех классов, будет иметь вид
Г=Ш, l = VLjL j = 1,2,... ,М.(9.5.7)
Матрица П является эталонной при классификации изображений на базе полиномиальной модели контура. Отношение правдоподобия для класса Aj представляется как
_ 1Дк/А^ м
У. ^к/А^
Данный классификатор реализует критерий заданного превышения максимальной апостериорной вероятности над суммарной апостериорной вероятностью всех остальных гипотез [136]. Подобный классификатор в дальнейшем будем обозначать как ПК1. Применение классификатора ПК1 обосновано в тех случаях, когда принятие решения связано со значительным риском. Более простая структура классификатора обеспечивается при использовании критерия заданного превышения максимальной вероятности гипотезы по отношению к ближайшей к ней [12]. Такой классификатор в дальнейшем будем обозначать как ПК2. Для классификатора ПК2 обеспечивается соотношение
(9.5.9)(9.5.9)P(Aj/Bt)maxP(AU/Bi)
(9.5.9)
(9.5.9)
где P(Aj/Bi)max — максимальная апостериорная вероятность; Р^Аи/В^ — ближайшая к максимальной апостериорная вероятность; а — пороговое значение, зависящее от требуемой надежности распознавания.
Логарифм отношения правдоподобия для ПК2 запишется в виде
8
(9.5.10)(9.5.10)In Lj — ^ ^ Ру (InTTpj 1П7Гр7тг)*
(9.5.10)
(9.5.10)
С учетом выражения (9.5.7) решающее правило для классаAj, представляется как lj — 1т ^ а, где т — номер класса, наиболее близкий к классу Aj.
Таким образом, классификатор ПК2 выполняет следующие операции:
Вектор частот к ЭВ умножается на эталонную матрицу П:
рТ = Пк'.
Для вынесения решения по классу Aj, j = 1,2,... , М, отбирается компонента pj вектора р, а среди оставшихся М — 1 компонент определяется максимальная рт (j).
Формируется и сравнивается с порогом разность
Рэ = Pj - Pm U) °4 j = 1,2,... ,M.(9.5.11)
Для получения конкретной структуры классификатора ПК1 выражение (9.5.8) запишем в виде
Lj = expLj = exp(9.5.12)(9.5.12)
Lj = exp
Lj = exp
(9.5.12)
(9.5.12)
Lj = exp{^}Lj = exp{^}exp {pj.exp {pj.
Lj = exp{^}
Lj = exp{^}
exp {pj.
exp {pj.
С учетом того, что
8
(9.5.13)(9.5.13)Pj = ^ ^ kv In 7Гvj,
(9.5.13)
(9.5.13)
получим
(9.5.14)
Выражение (9.5.13) задает цифровой фильтр восьмого порядка, ИХ которого определяется структурой эталонного вектора тг^-. С учетом этого на рис. 9.12 показана структурная схема классификатора ПК1. Он со дер
Рис. 9.12. Структура классификатора ПК 1 изображений с сильной вариабельностью формы для четырех классов
жит М одинаковых по структуре и взаимосвязанных каналов. В каждом канале содержится цифровой фильтр ЦФ, устройство возведения в степень pj, сумматор, устройство деления и пороговое устройство ПУ.
Более простой вид имеет классификатор ПК2 (рис. 9.13). Кроме известных цифровых фильтров в каждом канале содержатся устройства: экстремальное (ЭУ), вычитающее и пороговое (ПУ). Как и в классификаторе
Рис. 9.13. Структура классификатора ПК 2 для четырех классов
ПК1, в данном случае все каналы также взаимосвязаны. Выходной сигнал фильтра j-ro канала подается на входы ЭУ всех других каналов и на входы вычитающего устройства. ЭУ J-ro канала выделяет максимальный сигнал с выходов фильтров всех других, кроме J-ro, каналов и направляет его на второй вход вычитающего устройства. Экстремальное устройство в отдельном канале выделяет из всех компонент pj, других каналов компоненту рт (J). Это устройство формирует в соответствие с (9.5.10) зна-
чение логарифма отношения правдоподобия, которое сравнивается с пороговым значением. При оценке эффективности полиномиального классификатора непосредственное определение вероятности ошибки классификации наталкивается на серьезные вычислительные трудности, и поэтому эффективность оценивается на основе математического моделирования по методу статистических испытаний. Эксперимент целесообразно проводить в соответствии с методикой, изложенной в [136].
Для получения структуры марковского классификатора сформируем матрицу k = [Ajpj], v = 1,2,... , 8, j = 1,2,... , М, двухмерных частот ЭВ контура текущего изображения. Тогда отношение правдоподобия для класса Ат запишется как
(9.5.15) где
8
Рт = ^ ^ kvj ]np^jm.(9.5.16)
Последнее выражение задает цифровой фильтр 64-го порядка. Структурная схема марковского классификатора совпадает со структурой полиномиального классификатора. Она является многоканальной по числу классов, построения всех каналов одинаковы и взаимосвязаны. В каждом канале содержится цифровой фильтр, устройства деления, возведения в степень и суммирования.
Для критерия заданного превышения максимальной вероятности гипотезы по отношению к ближайшей к ней отношение правдоподобия может быть записано в виде
8
InLm = ^ ^ kvj (InPvjmlnpyjs^(9.5.17)
где s — номер класса с ближайшим к m-у классу значением функции правдоподобия.
Вектор функций правдоподобия определяется как
рт = П кт,(9.5.18)
где П — эталонная матрица, строками которой являются логарифмы вероятностей переходов каждого из классов.
Матрица П имеет размер 64 х 64, а вектор к представляет собой вектор из 64 двухмерных частот ЭВ контура распознаваемого изображения. Алгоритм принятия решения в пользу класса Ат имеет вид
р-т = рт- Ps (rn) >(9.5.19)
где рт — компонента вектора р для m-го класса, ps (т)— максимальная компонента этого вектора без учета компоненты рт.
Пример 1. Рассмотрим классификацию изображения листьев ивы и сирени. Обучающая выборка листьев ивы имела объем 71, а сирени — 75. Обучение сводилось к определению оценок компонент вероятностных векторов тгива и 7гСИрень- Эталонная матрица П имеет вид
V
" 1
2
3
4
5
6
7
8 "
П = сирень
7,60
3,16
0,89
2,96
5,17
3,13
0,95
2,84
ива
4,41
2,04
1,52
2,70
1,88
2,66
1,67
1,83
КлассСреднее значениеско1 - F^Сирень119,524,40,25Ива74,810,60,28КлассСреднее значениеско1 - F^Сирень119,524,40,25Ива74,810,60,28Таблица 9.1Таблица 9.1Рис. 9.14. Зависимость ошибок распознавания породы деревьев по контурам их листьев от величины порогаРис. 9.14. Зависимость ошибок распознавания породы деревьев по контурам их листьев от величины порогаЭлементы матрицы П равны с обратным знаком натуральному логарифму вероятности появления соответствующего ЭВ ^vj в контуре эталонного изображения. Учитывая сложности с получением отношения правдоподобия в аналитическом виде, ошибки распознавания были найдены косвенным путем — методом
Класс
Среднее значение
ско
1 - F^
Сирень
119,5
24,4
0,25
Ива
74,8
10,6
0,28
Класс
Среднее значение
ско
1 - F^
Сирень
119,5
24,4
0,25
Ива
74,8
10,6
0,28
Таблица 9.1
Таблица 9.1
Рис. 9.14. Зависимость ошибок распознавания породы деревьев по контурам их листьев от величины порога
Рис. 9.14. Зависимость ошибок распознавания породы деревьев по контурам их листьев от величины порога
интегрирования распределения отношения правдоподобия [11]. Для рассматриваемого примера распределение вероятности отношения правдоподобия аппроксимируются нормальным законом с параметрами, приведенными в табл. 9.1.
Графики зависимостей вероятностей ложного распознавания F и отказа от распознавания М от величины порога а
представлены на рис. 9.14. Как видно из этих графиков, распознавание породы деревьев по форме их листьев на основе полиномиальной модели производится с высокой степенью надежности.
Распознавание близких по форме детерминированных изображений
Контурный согласованный фильтр служит дискриминатором форм плоских изображений. Выходная величина КСФ характеризует степень схожести (различия) форм фильтруемого изображения и эталонного изображения, по которому был синтезирован фильтр. Найдем условие наилучшей эффективности такого дискриминатора. При отсутствии шумов эффективность дискриминатора будем характеризовать его чувствительностью, определяемой как приращение выходной величины КСФ при изменении формы изображения.
Ряд изображений, например озер, очертания лесных массивов, символов и т.п. могут иметь близкие формы, что приводит к получению сла- боразличающихся сигналов при согласованной фильтрации их контуров.
Два одномасштабных изображения с контурами
А = {а (п)}ол^ = {|а (n)| exp {г[^ (п) 4- Др (n) + Ap]}}0,fc-i,г = {7 00 }0,Jb-i = {|7 0)1 exp {ip (n)}}M_v
имеющих совпадающие начальные точки этих контуров, назовем близкими по форме, если
|а (n)| « |7 (п)|; | Ду> (п)| ^ тг/1О, тг = 0,1,..., к — 1.(9.6.1)
При фильтрации контура Г согласованным с ним фильтром, когда угол взаимного поворота Ду> контуров А и Г равен нулю, отсчет для т = к — 1 будет равен
л-1
т^к - 1) = т/1 + гт)2 ~ У^ |7(n)|2[cos Ду)(п) + г sin Ду>(п)] .
71=0
При выполнении условий (9.6.1) cos Ду? (п)~1 и sin Ду) (тг) « Ду) (тг). Тогда
л-1
П (к - 1) « ||Г||2 + г 52 17 О) |2Д^ (п).
71=0
Отсюда видно, что из-за малости Ду> (п) величина т/i на выходе косинусного звена части фильтра значительно превышает величину Т72 на выходе синусного звена фильтра и в то же время незначительно меняется при вариации формы. Синусное звено хорошо реагирует на небольшие изменения формы, т.е. несет полезную информацию. В результате из-за того, что 771 <2 772, вся величина |т7 (fc — 1) |, используемая в качестве меры близости форм А и Г, слабо меняется при их вариации, т.е. происходит маскировка полезного выходного эффекта фильтра. Выясним на качественном уровне структуру меры близости форм, которая получается на выходе КСФ
к—1к—1
Ч (к - 1) « 52 la W 1,7 О) I + г52 la W Н7 W I sin Др (п) 71=0п=0
при нулевом сдвиге начальных точек контуров А и Г и Ду) = 0.
Первое слагаемое будет тем больше, чем меньше отличие соответствующих ЭВ контуров А и Г по модулю и аргументу. Второе же слагаемое ведет себя противоположным образом. Поэтому косинусная часть КСФ определяет степень схожести двух близких форм, а синусная — степень различия. Так как интервал значений угла Ду) (п) расположен вблизи нулевых значений, то из-за большой скорости изменения синуса в этом интервале дискриминатор на базе синусной части КСФ будет чувствителен к слабым изменениям формы. В то же время дискриминатор на основе косинусной части КСФ из-за слабого изменения косинуса в нулевом диапазоне значений Ду) (тг) будет незначительно реагировать на степень несовпадения форм.
Проиллюстрируем эффект маскировки на примере близких по форме к контуру Г контуров А1,Аг и А3, представленных соответственно на рис. 9.15. Коды
Рис. 9.15. Контуры близких по форме изображений стрелки
этих контуров имеют вид
Г = {20; г; 5 — Зг; —5 — Зг; г; —20; 4г},
Ai = {20 + г; г; 5 — Зг; —5 — Зг; г; —20 — г; 4г},
Аг = {20 + 2г; г; 5 — Зг; —5 — Зг; г; —20 — 2г; 4г},Аз = {20 + г; г; 5 — Зг; —5 — Зг; г; —20 + г; 2г}.
Нормированные отсчеты фильтра, согласованного с контуром Г, и модули этих отсчетов в момент т = к — 1 = 6 равны
т/АьН (6) = 0,9987 - 0,04510г; |т7А1 ,н (6) | = 0,99989,
7?а2,н (6) = 0,99552 - 0,08989г; |т?а2,н (6) | = 0,99957,
77а3,н (6) = |т7а3,н (6) | = 0,99661.
Результаты показывают, что по величине |т/н (^ — 1) | трудно судить о степени отличия контуров Ai,A2 и Аз от контура Г, если все они близки по форме. Поэтому в качестве результата фильтрации, определяющего меру различия близких форм, целесообразно использовать только мнимую часть выходного результата фильтра, образующегося на выходе его синусного звена:
к-1
^2 « 52 («) l2^^ (")•(9.6.2)
71=0
Рассмотрим теперь вопрос о дискриминации близких по форме изображений, фрагменты контуров которых имеют ось симметрии. Наличие таких фрагментов приводит к тому, что аргументы симметричных ЭВ будут отличаться только знаками. В результате синусные составляющие разных знаков компенсируют друг друга, а косинусные накапливаются (рис. 9.16).
Поэтому выходной эффект при фильтрации симметричных участков близких по форме изображений определяется только косинусными, слабо меняющимися для разных изображений компонентами, и эффект контурной согласованной фильтрации изображений в плане получения существенных различий между ними будет очень низким. Действительно, к-1s/2-l5-1
%«52^(п)12д*’(п)= 52 i7 w i2^ м - 52 i7(n)i2^(n),
71=071 = 0n—s/2
Рис. 9.16. К компенсации синусных и накопления косинусных составляющих на выходе согласованного фильтра
где s — количество примыкающих друг к другу ЭВ в контуре, характеризующихся симметрией. Обе суммы в этом выражении близки между собой и поэтому т/2 ~ 0, т.е. результат фильтрации оказывается нулевым для разных (но близких по форме) изображений.
Таким образом, для симметричных и близких по форме изображений полезный эффект фильтрации не только маскируется слабоменяющейся, но превалирующей косинусной составляющей, но и значительно компенсируется за счет равных между собой по величине и разных по знаку синусных компонент.
Демаскировка выходного эффекта КСФ может быть достигнута путем устранения косинусной составляющей, а компенсация синусных компонент может быть устранена суммированием модулей этих компонент. В этом случае выходной эффект фильтрации будет иметь вид
к-1
??2,Н = TTzL Ь Wl2!^ (П)Ь (9 6-3) 71=0
Представленный на рис. 9.15 контур Аз указательной стрелки имеет симметричные фрагменты. При фильтрации происходит полная компенсация мнимых компонент и результат оказывается чисто вещественным: 77а3,н = 0,99661, т.е. 772,н = 0. Результат слабо отличается от единицы, так как различие между контурами Г и A3 не только маскируется, но и компенсируется. Если же воспользоваться выражением (9.6.3), то получим, что 772,н = 0,045, т.е. мера различия между контурами Г и А3 такая же, как и между контурами Г и Ар
Совмещение изображений объекта
Постановка задачи и модели. Ряд практически важных задач, связанных с навигацией по карте местности, повышения помехоустойчивости устройств распознавания визуальных образов и др., сводятся к задаче совмещения двух изображений. Изображение W9 является эталонным и хранится в ОЗУИ системы технического зрения. Второе изображение W оперативно формируется датчиком системы и представляет собой искаженное шумами и помехами изображение W9, повернутое на
некоторый угол Ду> и измененное в масштабе в \р,\ раз. Традиционно задача совмещения изображений W3 и W решается на основе процедуры пространственной корреляции. Этот подход неизбежно связан со следующими недостатками: чувствительностью алгоритмов к изменению масштаба и взаимной угловой ориентации совмещаемых изображений, а также с обработкой большого количества (а часто и всех) точек совмещаемых изображений. Если параметры Ду> и |/z| произвольны и неизвестны, то при совмещении изображений требуется перебор с небольшим шагом значений каждой комбинации этих параметров, что приводит к значительным временным затратам. Для достижения приемлемых значений времени обработки используются различные эмпирические подходы, в частности, метод характерных черт [138].
Рассмотрим подход к решению данной задачи на основе методов контурного анализа, в частности, с помощью контурной согласованной фильтрации. Этот метод использует всю информацию, имеющуюся в контурах N3 и N изображений Ж, и W, и инвариантен к параметрам линейных преобразований. Из-за небольшого, по сравнению со всеми изображениями, количества контурных точек, временные затраты будут сравнительно невысокими. Рассмотрим основные аспекты решения этой задачи.
Пусть получен ряд изображений Wj, j = 1,2,... ,М, одного и того же объекта, причем положение объекта при формировании изображения не фиксировано: возможны линейные преобразования соответственно с параметрами h, Д.ср и \р,\ переноса, поворота, масштабирования. Кроме того, каждое из изображений Wj содержит в качестве неизбежных составляющих помехи, вызванные действием ошибок дискретизации D и широкополосного шума п. Ансамбль полученных изображений объекта запишем как
{Ж^,Д^,И + £ + п^ (9.7.1)
Пусть, далее, в результате применения к Wj оператора выделения контура и последующей эквализации сформирован ансамбль контуров этих изображений, имеющих одну и ту же размерность к. Дополнительно осуществим нормировку этих контуров, разделив ЭВ Vj (m) каждого контура на величину своей нормы ||Nj||. Ансамбль нормированных контуров имеет вид
(9.7.2)
Все мешающие факторы, имеющие место в представлении (9.7.1), оказывают влияние на вид комплекснозначных контуров Ny^, причем добавились шумы эквализации. Контуры, входящие в этот ансамбль, содержат одинаковое количество ЭВ и имеют одинаковую, равную единице норму. Они отличаются друг от друга только произвольным углом поворота и наличием у каждого вектор-контура случайной составляющей. Процедуру совмещения контуров одного и того же объекта определим следующим образом.
Пусть |?7^; (т)| — модуль ВКФ контуров NJ)H и N^H изображений Wj и W^ причем |т7^ (mo)| — максимальное значение этого модуля, т.е. |^г (т0)| = |^/|тах- Сдвинем начальную точку ао одного из изображений
Рис. 9.17. Изменение модуля ВКФ двух контуров: а — при случайном положении контуров; б — при оптимальном совмещении контуров
на то ЭВ таким образом, чтобы отсчет ВКФ |^7 (0)| стал максимальным, т.е. чтобы ^ц (0)| = |^z|max (рис. 9.17). Тогда контуры N^o) и NijH будут оптимально совмещены по критерию максимальной схожести, задаваемой модулем их ВКФ. Отсюда следует, что для оптимального совмещения при неизвестном сдвиге начальной точки контуров одного и того же изображения необходимо:
сформировать нормированные и эквализованные представления этих контуров;
вычислить количественную меру схожести совмещенных контуров в виде отсчета |^7 (т)| их ВКФ при т = 0;
варьируя положение начальной точки одного из контуров, получить максимальное значение меры
I^WHI^I^.(9.7.3)
Оптимальное совмещение контуров на основе контурной согласованной фильтрации. Выходной сигнал КСФ представляет собой смещенную ВКФ фильтруемого контура и контура его ИХ. Поэтому если этот фильтр согласовать с одним из совмещаемых контуров, КСФ естественным образом позволяет оптимально решить задачу совмещения двух контуров. В рассматриваемом случае выходной сигнал КСФ будет суммой двух составляющих: сигнальной и помеховой, причем последняя обусловлена действием помех не только на фильтруемый сигнал, но и на ИХ фильтра. Если решается задача совмещения контура N^H с контуром N3,H эталонного изображения, то уровень помеховой составляющей выходного сигнала фильтра будет ниже, так как зависит лишь от фильтруемого контура.
Максимальное значение 1^71 не превышает единицы и зависит от степени зашумления линии контура. Шумовая составляющая приводит к размыванию максимума модуля ВКФ, что связано с появлением ошибок совмещения контуров (рис. 9.18, а). Поэтому перед совмещением целесообразно провести подавление этой составляющей фильтром, в пределах полосы режекции которого находится значительная часть энергии шума и сравнительно небольшая часть энергии сигнала. Для таких целей хорошо подходит ФСС, пропускающий низшие частоты спектра. Следует заметить, что при совмещении контура NJ>H текущего изображения Wj
Рис. 9.18. ВКФ зашумленных контуров: а — вид ВКФ при различных отношениях отношения сигнал/шум q; б — определение положения точки то при деформации шумами графика ВКФ
с контуром N3)H эталонного изображения Ш3 подобная фильтрация малоэффективна. Это объясняется тем, что согласованный фильтр по сравнению с другими фильтрами наилучшим образом обеспечивает подавление широкополосных шумов. В результате ФСС может воздействовать лишь на шумы дискретизации. Если же фильтр вырабатывает меру схожести двух текущих изображений Wj и Wi, то его ИХ формируется по зашумленному контуру одного из изображений. Поэтому подавление шумовой составляющей этого контура обеспечит лучшие результаты совмещения контуров.
Важным моментом является фиксация максимума модуля ВКФ. Пиковое значение модуля ВКФ |^z|max = ^ji (mo)| будет хорошо выражено лишь для широкополосных контуров (см. п. 9.7.3) и при незначительном уровне шумовой составляющей выходного сигнала КСФ. Шумовая составляющая деформирует вид графика ВКФ. Особенно опасна эта деформация в области нахождения точки то, по положению которой принимается решение о наилучшем совмещении контуров.
Рис. 9.19. Структура алгоритма оптимального совмещения контуров изображения объекта W3 по результатам согласованной фильтрации
На рис. 9.19 приведена структура алгоритма оптимального совмещения зашумленных контуров одного и того же объекта. После получения комплекснозначных кодов контуров совмещаемых изображений производится низкочастотная контурная фильтрация по методу скользящего среднего. Далее происходит эквализация кода контура с размерностью контура эталонного изображения, причем величина этой размерности для снижения влияния ошибок дискретизации линии контура должна быть достаточно большой, порядка к « 200*500. Подобные операции проводятся над контурами всех изображений объекта W3. Сопряженный, комплекснозначный и отсчитываемый в обратном направлении обхода код контура эталонного изображения Жэ используется в качестве ИХ КСФ, а в качестве фильтруемого сигнала — эквализованный комплекснозначный код контура изображения Wj. Результат фильтрации нормируется и находятся оценки угла взаимного поворота Д^ и смещения то начальных точек контуров WHj, WH)3 (см. п. 4.1):
Д^ = arctgД^ = arctgIm t/Ji3 {т0) Re т^3 (mo)'Im t/Ji3 {т0) Re т^3 (mo)'(9.7.4)(9.7.4)
Д^ = arctg
Д^ = arctg
Im t/Ji3 {т0) Re т^3 (mo)'
Im t/Ji3 {т0) Re т^3 (mo)'
(9.7.4)
(9.7.4)
По найденным оценкам осуществляется коррекция угла поворота и положения начальной точки контура NHj.
Величины то и Д^ являются выходными сигналами системы оптимального совмещения изображений. Они могут быть применены для
Рис. 9 20. Совмещение контуров изображений а — контур эталонного изображения, б — зашумленное изображение на случайном поле, распределение х2 с одной степенью свободы, аф = 2, сгИ = 4, в — контур зашумленного изображения; г — результат совмещенияРис. 9 20. Совмещение контуров изображений а — контур эталонного изображения, б — зашумленное изображение на случайном поле, распределение х2 с одной степенью свободы, аф = 2, сгИ = 4, в — контур зашумленного изображения; г — результат совмещения
Рис. 9 20. Совмещение контуров изображений а — контур эталонного изображения, б — зашумленное изображение на случайном поле, распределение х2 с одной степенью свободы, аф = 2, сгИ = 4, в — контур зашумленного изображения; г — результат совмещения
Рис. 9 20. Совмещение контуров изображений а — контур эталонного изображения, б — зашумленное изображение на случайном поле, распределение х2 с одной степенью свободы, аф = 2, сгИ = 4, в — контур зашумленного изображения; г — результат совмещения
Рис. 9.21. Пример совмещения контуров [139]Рис. 9.21. Пример совмещения контуров [139]различных целей, в том числе, для коррекции траектории летательного аппарата по результатам совмещения эталонного изображения ориентира в полетной карте с изображение этого ориентира, сформированного в текущий момент времени бортовыми датчиками.
Рис. 9.21. Пример совмещения контуров [139]
Рис. 9.21. Пример совмещения контуров [139]
Процесс оптимального совмещения контуров стилизованного изображения танка по результатам контурной согласованной фильтрации представлен на рис. 9.20.
На рис. 9.21 показан результат совме
щения зашумленного контура с эталонным, проведенного на основании результатов спектрального анализа контуров.
Выбор формы изображения объекта для их наилучшего совмещения. Задача совмещения зашумленных изображений одного и того же объекта относится к классу задач, эффективность решения которых сильно зависят от формы объекта. К этому же классу, например, относится рассмотренная в п. 4.3 задача разрешения контурных сигналов, а также задача накопления контуров изображения (см. п. 9.8). Эффективность их решения лишь до определенной степени зависит от примененного алгоритма. Есть «хорошие» и «плохие» формы изображений для решения этой задачи.
Чтобы ответить на вопрос, какой должна быть форма «хорошего» изображения, вернемся к рассмотренному в п. 9.7.1 алгоритму совмещения изображений по результатам контурной согласованной фильтрации. В соответствии с ним необходимо зафиксировать момент то достижения выходного сигнала КСФ своего пикового значения (рис. 9.17 и 9.18). Неточность фиксации этого момента приводит, в конечном счете, к ошибке совмещения. Очевидно, что максимум ВКФ, представляющей выходной сигнал КСФ, должен быть хорошо выражен. Для этого остальные отсчеты и, в первую очередь, соседние с максимальным, должны составлять (по модулю) незначительную часть максимального отсчета, т.е.
Уп (то)| > Vn (то ± г)|, г = 1, 2,3,... (9.7.5)
Поскольку фильтруемый сигнал отличается от эталонного лишь степенью своей зашумленности, то условие (9.7.5) наилучшим образом будет выполнено для изображений, контуры которых имеют АКФ дельтовидного типа, или, что то же самое, энергетический спектр которых абсолютно равномерен, т.е.
^(т)! =^(т)! =(9.7.6)(9.7.7)(9.7.6)(9.7.7)1 при т — то,0 при т ^ то,
^(т)! =
^(т)! =
(9.7.6)
(9.7.7)
(9.7.6)
(9.7.7)
\р (т)| = |р|, т = 0,1,... , fc - 1.
Таким образом, «хорошая» с точки зрения совмещения зашумленных изображений форма объекта должна задаваться контуром с широким и равномерным энергетическим спектром. Контуры «плохих» для совмещения изображений характеризуются узкополосным энергетическим спектром, причем наихудшими в этом плане будут зашумленные правильные /г-угольники, спектр которых имеет лишь одну ненулевую компоненту. Отсчеты АКФ правильных А;-угольников, как элементарных контуров, все одинаковы и определение ее максимума становится невозможным. Одним из подходов к улучшению результатов совмещения контуров, энергетический спектр которых не является равномерным, но и не содержит составляющих, равных или близких к нулю, является использование принципов фильтрации одного из совмещаемых контуров фильтром, согласованным с сопряженным контуром другого изображения, т.е. применение сопряженных согласованных фильтров (см. п. 3.8). ССФ вырабатывает координаты фильтруемого контура в биортогональной системе отсчета, связанной с другим контуром, причем один из базисных векторов данной системы задается этим контуром. В результате при отсутствии шумов и помех ССФ формирует только один, не равный нулю единичный отсчет, определение положения которого не представляет никаких сложностей. При наличии шумов кроме этого единичного отсчета появляются соседние ненулевые отсчеты (боковые лепестки). Но в отличие от согласованной фильтрации, при которой боковые лепестки определяются входным сигналом и шумом, в данном случае они обусловлены только шумом. Поэтому при ССФ эффект маскировки пикового отсчета боковыми лепестками будет ниже, чем при использовании КСФ, и, как следствие, возможно более точное определение параметра то — разницы между начальными точками совмещаемых контуров. Но применение ССФ для контуров с неравномерным энергетическим спектром приводит к худшему, по сравнению с согласованным фильтром, выходному отношению сигнал/шум. В связи с этим форма любого объекта, зашумленные копии которого необходимо совместить, связана с критическим отношением сигнал/шум gi)Kp на входе ССФ. Если совмещаемые контуры характеризуются отношением сигнал/шум q большим критического, т.е. при q > qKpi то применение ССФ нецелесообразно. Величина qKp связана с D-характеристикой эталонного контура (см. п. 3.11.2). Чем больше значение D, тем ниже критическая величина отношения сигнал/шум на входе ССФ.
Накопление контуров изображений
При трактовке контура изображения как некоторого сигнала и при наличии его адекватного аналитического представления естественно возникает подход к подавлению широкополосных шумов путем «синхронного» накопления зашумленных контуров изображений одного и того же объекта. В результате экспериментальных исследований было получено, что зависимость между отношением сигнал/шум диз в исходном изображении и дконт в сформированном по этому изображению контуру близка
к логарифмической (рис. 9.22):
^из ^ ^ In ^КОНТ)(9.8.1)
го значения логарифма отношения сигнал/шум в контуре от величины отношения сигнал/шум в исходном изображенииго значения логарифма отношения сигнал/шум в контуре от величины отношения сигнал/шум в исходном изображениигде к — коэффициент пропорциональности, равный примерно 1,2. Эксперимент проводился при зашумлении сцены нормально распределенным шумом и формировании бинарной сцены, выделенной на уровне глобально-оптимального порога по яркости (см. п. 6.8.2). Как следует из приведенной зависимости, контурные шумы резко увеличиваются при малом значении отношения сигнал/шум исходного изображения: при диз «1,2 отношение сигнал/шум в контуре будет qKoht « 0,6, но уже при диз « « 4 величина qK0HT близка к 30. При указанных условиях проведения эксперимента контурные шумы имели широкополосный характер.
го значения логарифма отношения сигнал/шум в контуре от величины отношения сигнал/шум в исходном изображении
го значения логарифма отношения сигнал/шум в контуре от величины отношения сигнал/шум в исходном изображении
Важным условием подавления этих шумов является равенство между собой значений параметров линейных преобразований разных накопленных контуров. Они должны иметь одинаковый масштаб |д|, нулевое значение угла А^ взаимного поворота и совпадающие положения начальных точек ад. Выравнивание этих параметров производится в процессе совмещения контуров накапливаемых изображений.
Пусть Nj — текущий зашумленный контур изображения Wj, получаемого в процессе зашумления эталонного изображения W3, имеющего контур N3. Если согласиться с аддитивной моделью зашумленного контура, то
Nj = N3 + Zy, 3 = 1,2,... , М,(9.8.2)
где Z — шумовой контур с параметрами, описанными в п. 1.7.
Выполнив процедуру оптимального совмещения контуров Ny и просуммировав поэлементно их комплекснозначные коды, получим мм
2nj = MN3 + ^Zj.(9.8.3)
J=17=1
При M -^ оо сумма шумовых контуров стремится к нулевому контуру и м
VNj = М • N3.(9.8.4)
' М-^оо
Таким образом, суммирование ряда реализаций оптимально совмещенных контуров изображений одного и того же объекта приводит к по-
давлению широкополосных контурных шумов и позволяет в пределе с точностью до масштабного коэффициента получить контур эталонного изображения объекта. Следует отметить принципиальную роль тремора при вводе изображений в ОЗУИ системы технического зрения. Благодаря тремору, реализации контуров ошибок квантования становятся незави- м
симыми случайными векторами и процесс схождения ^ Nj к М • N3 ускоряется.з=Т
Рассмотрим особенности алгоритма нахождения контуров ряда изображений одного объекта (рис. 9.23).
Рис. 9.23. Структура алгоритма накопления контуров изображений
На каждом шаге производится коррекция ИХ КСФ. Исходная ИХ формируется по коду контура М. В дальнейшем эта характеристика корректируется по результатам накопления контуров. Непосредственно для накопления используются контуры, для которых модуль пикового нормированного выходного отсчета близок к единице. Из экспериментальных результатов следует, что при |^н|тах < 0,8 ошибки совмещения становятся недопустимо большими и такие контуры отбрасываются. Рассмотренный алгоритм реализует процедуру безэталонного накопления контуров.
Процесс накопления контуров сопровождается эффектом низкочастотной фильтрации, вызванным ошибками их совмещения. В преде-
Рис. 9.24. Результаты накопления зашумленных реализаций контура по мере увеличения выборки
ле накопленный контур вырождается в окружность, представляющую первую гармонику линии контура при большой величине его размерности (рис. 9.24).
Рис. 9.25 поясняет возникновение эффекта низкочастотной фильтрации. Как видно из рисунка, чем больше ошибка совмещения, тем сильнее сглаживание фрагмента контура в виде прямого угла. Степень зашум-
Рис. 9.26. Приближенное определение отношения сигнал/шум в контуре изображенияРис. 9.26. Приближенное определение отношения сигнал/шум в контуре изображенияРис. 9.25. Эффект низкочастотной фильтрации, вызванный ошибками совмещения при накоплении контуров
Рис. 9.26. Приближенное определение отношения сигнал/шум в контуре изображения
Рис. 9.26. Приближенное определение отношения сигнал/шум в контуре изображения
ленности линии контура можно оценить по отношению скачка его АКФ при m = 0 к величине примыкающего к значению т] (0) отсчетов т] (1) (рис. 9.26) [13]. Данный скачок обусловлен действием только широкополосных шумов, а величина отсчета ту (1) близка к значению энергии контура.
Рис. 9.27. Накопление совмещенных контуров изображений: а — исходная сцена, б — контур зашумленного объекта, в, г — результаты накопления соответственно двух и восьми контуровРис. 9.27. Накопление совмещенных контуров изображений: а — исходная сцена, б — контур зашумленного объекта, в, г — результаты накопления соответственно двух и восьми контуровПриведенный алгоритм использует для совмещения контуров результаты работы КСФ. На рис. 9.27 показаны результаты накопления совмещенных контуров стилизованного изображения танка. На фотографиях изображения накопленных зашумленных контуров совмещены с изображениями их АКФ, что позволяет судить о степени уменьшения шума.
Рис. 9.27. Накопление совмещенных контуров изображений: а — исходная сцена, б — контур зашумленного объекта, в, г — результаты накопления соответственно двух и восьми контуров
Рис. 9.27. Накопление совмещенных контуров изображений: а — исходная сцена, б — контур зашумленного объекта, в, г — результаты накопления соответственно двух и восьми контуров
Как и в случае анализа процесса совмещения контуров, рассмотрим вопрос о «хороших» и «плохих» формах изображений с позиции наилучшего подавления шумов при накоплении их контуров, т.е. с позиции восстановления формы. Дать однозначный ответ, как в случае решения задачи совмещения изображений, здесь трудно. Из-за неизбежного негативного влияния ошибок совмещения возникающий эффект низкочастотной фильтрации приводит к искажению формы восстановленного изображения за счет потери мелких деталей контура из-за подавления высокочастотных составляющих спектра контура. Поэтому лучшие результаты по восстановлению формы достигаются для контуров, у которых такие детали отсутствуют, т.е. у контуров со слабо выраженными высокочастотными составляющими спектра.
С другой стороны, информация о параметре сдвига контуров получается в результате выполнения операции совмещения контуров. Чем точнее ее результаты, тем меньше получаемая ошибка совмещения и тем выше эффект подавления контурных шумов. Но, как показано в п. 9.7.3, для обеспечения таких результатов контуры должны иметь равномерный энергетический спектр, т.е. высокочастотные компоненты их спектра должны иметь такую же интенсивность как и в других частях спектра. Таким образом, требования, предъявляемые к формам контуров для их эффективного накопления, оказываются противоречивыми и необходим компромиссный подход к их выбору.
Аналитическое представление формы плоскогоизображения
В задачах обработки изображений и распознавания визуальных образов широко используется понятие геометрической формы физического объекта или его изображения. Представление формы должно обладать метрическими свойствами, так как, например, решение о классе изображения принимается по степени близости форм двух изображений (см. п. 4.4). Общепринятое определение формы отсутствует. В большинстве работ, где определение этого термина является важным моментом, указывается на сложность данного вопроса. Учитывая, что на понятии формы изображения базируются важные вопросы контурного анализа, рассмотрим один из подходов к его формализации.
В качестве рабочего понятия «форма изображения» примем понятие, основанное на семантике слова «форма» и расширение трактовки этого термина Т. Павлидисом [142] и некоторыми другими авторами применительно к бинарным по яркости изображениям: форма Ф изображения W представляет собой информацию, содержащуюся в контуре Г. Здесь предполагается, что контур Г, кроме информации о контуре, содержит дополнительную информацию, или что форма Ф является инвариантой представленного в аналитическом виде контура Г к ряду преобразований, которым может подвергаться изображение W, а, следовательно, и контур Г, без искажения формы, т.е.
Ф = 1п^с=1пуГр,(9.9.1)
где Inv — обозначение инвариантности аналитического описания изображения W к некоторым пока не оговоренным функциональным преобразованиям G или к преобразованиям F, касающихся аналитического описания контура Г.
Как следует из п. 3.7, минимизация расстояния между двумя контурами Г и N, задающими соответственно формы Фг и Ф^ приводит к устранению влияния линейных преобразований на величину этого расстояния. Минимальное значение расстояния будет мерой разности форм, если форму определить в соответствии с выражением (9.9.1) как аналитическое представление контура, инвариантное к определенному классу преобразований, в данном случае к классу F = (p,,h,d), где ^ = = |^| ехр{гД^}, преобразование масштабирования в \р,\ раз и поворотом на угол £vp,d — параметр сдвига начальной точки а^ на d ЭВ, a h — h\ + + г/12 — смещение изображения по горизонтали на hy и по вертикали на /12- Поскольку минимальное нормированное расстояние (см. (3.78))
Яя.тт-аЦ-^тах^о)!](9.9.2)
характеризует различие двух форм Фг и ФN, то форму Фу произвольного изображения Wj с контуром "Tj можно задавать следующим образом.
Пусть контур П обладает особыми свойствами по отношению к большому количеству классов изображений. Такой контур назовем тестовым. Примем, что форма Фп изображения с тестовым контуром задается его контуром, т.е.
Фп = п.(9.9.3)
Совместим начало отсчета системы координат, в которой задаются вектор-контуры Гу, j = 1,2,... , с концом вектор-контура П. Тогда форма изображения Wj есть контур Гу, полученный в результате линейных преобразований F-1, минимизирующих его расстояние до тестового контура П, т.е.
Ф = Г^^-1 при RH min,(9.9.4)
где F-1 — линейное преобразование, не связанное с выходом из плоскости и минимизирующее расстояние вектор — контура Гу от начала отсчета. Тогда вектор-форма Ф^ запишется в виде
фз = ii^ii^7 ^ " ^1ехр ^ ^ ^П’ ^ - ^^o.t-r(9'95)
Таким образом, для данного подхода к заданию формы изображения характерно следующее.
Понятие «форма изображения» является относительным, поскольку форма задается относительно другого, особого, тестового изображения.
Форма изображения является метрической величиной, поскольку она задается вектором и можно говорить об энергии формы и о расстоянии между вектор-формами двух изображений.
Форма изображения определяется его контуром, представленным таким образом, что его расстояние до тестового контура минимально. Это необходимо для фиксации параметров линейных преобразований контура.
Смена тестового изображения, а также вида линейных преобразований контура приводят к изменению вектор-формы изображения.
Выбор тестового изображения осуществляется на основании практически полезных критериев. Один из подходов состоит в том, чтобы в качестве тестового выбрать изображение с наиболее сложной при фиксированном значении размерности к формой.
Контур такого изображения характеризуется равномерным спектром Фурье и дельтовидной АКФ. Поскольку контуры реальных изображений всегда замкнуты, то таким изображением будет дельтовидный контур А = {^(n)}o/c-i (см- п- ^^)- Именно такой контур, как следует из п. 2.5, обладает в классе замкнутых контуров равномерным спектром. Наибольшую сложность дельтовидного контура по сравнению с другими контурами следует понимать как возможность пренебречь взаимной энергией связи ЭВ контура, задаваемого отсчетами его АКФ 71UY 3 — 1,2,.., fc — 1, по сравнению с энергией контура, равной р (0) = = || А ||2 = к2 — к. Центральный отсчет АКФ контура А значительно, в к — 1 раз, превышает любой другой отсчет АКФ -q (j) (см. п. 2.8). Это свидетельствует о максимальной непредсказуемости, а, следовательно, и максимальной сложности дельтовидного контура.
Конкретизируем аналитическое представление формы плоского изображения при выборе дельтовидного контура в качестве тестового в классе преобразований F = (^, h, d).
Принятие контура А в качестве тестового значительно упрощает определение формы Ф произвольного изображения W по его контуРУ Г в классе линейных преобразований, не связанных с выходом из плоскости. Фильтрующее свойство дельтовидного контура позволяет непосредственно по представлению контура Г = {7(п)}о&-1 выбрать отсчет на выходе фильтра, согласованного с контуром А. Этот отсчет с точностью до масштабного множителя совпадает с максимальным по длине элементарным вектором контура Г, т.е.
Hmo)| = MHImax = ” 1) Ытах> где то — номер отсчета с максимальным модулем.
Таким образом, аналитическое представление формы плоского изображения W при выборе контура А в качестве тестового в классе линейных преобразований, не связанных с выходом из плоскости, находится следующим образом.
Определяется в полигональном виде контур Г = {7(n)}ok-i И30" бражения W.
Выбирается ЭВ 7 (so) этого контура, имеющий максимальную длину.
Начало отсчета контура Г совмещается с началом ЭВ 7 (so).
Контур Г нормируется и поворачивается таким образом, чтобы ЭВ 7 (so)/||r|| стал горизонтальным и направленным вправо.
Аналитическое представление преобразованного таким образом контура Г и будет формой Ф изображения W.
Квадрат расстояния В?н min от вектор-формы Ф до вектор-контура А может быть принят в качестве количественной характеристики степени простоты формы изображения W. Коэффициент простоты формы введем в виде
Ч = 0,57^.(9.9.6)
Данный коэффициент меняется в пределах от 0 до единицы и чем он больше, тем проще форма изображения. Учитывая фильтрующее свойство контура А, с помощью выражения (9.9.2) получим
L _ Л К о2 _ 1 _ /|7($о)|/п Q
КПр —— 1 у д, _ 1 црц '
В качестве примера найдем форму изображения, имеющего код контура Г = = {3; 5г; 5 - Зг; -10г; -2 + 5г; -2 - 2г; -4 + 5г} (рис. 9.28, а).
Размерность контура к = 7, квадрат нормы ||Г||2 = 246. При к = 7 код дельтовидного контура равен: А = {6, — 1, —1, — 1, — 1, —1, — 1}.
Рис. 9.28
Максимальным по длине ЭВ контура будет вектор 7(3) = — 10г, so = 3. Переносим точку ао в начало этого ЭВ, нормируем контур и поворачиваем на тг/2. В результате получим (рис. 9.28, б):
Ф = -^{10; -5 - 2г; 2 - 2г; -5 - 4г; Зг; -5; 3 + 5г}.
V246
Коэффициент простоты этой формы равен кпр = 0,362.
Полученное аналитическое представление для формы конкретизировало наметившийся в последнее время подход к понятию формы изображения как инварианты к заданной группе аналитических преобразований этого изображения.
Обсуждение результатов
Понятие формы изображения является важнейшей предпосылкой как для понимания восприятия человеком окружающего его визуального мира, так и для применения аналитических методов обработки сформированных техническим датчиком сцен.
В экспериментальных исследованиях по психологии оператора радиолокационной станции обзора земной поверхности было показано, что процесс предварительного формирования у него зрительного образа состоит из следующих этапов: грубое различение общих пропорций изображения объекта и его положения на экране индикатора, мерцание формы, различение резких перепадов яркости, выделение отдельных деталей, восприятие формы и контура изображения объекта [11].
В работе [31] приводится гипотеза о формировании зрительного образа в сознании человека. Предполагается, что при восприятии глаз осуществляет отслеживание границы изображения объекта. В результате в сознании человека отличаются характерные особенности формы объекта. В работе [32] высказывается мнение о том, что при восприятии в сознании человека вырабатываются два образа: образ формы и образ внутренней части изображения объекта.
Вместе с тем, общепринятое определение формы объекта отсутствует. Например, в [120] понятие формы используется более сотни раз, но его определение не приводится. В связи с этим становится понятным стремление специалистов ввести аналитически определенное и отражающее воспринимаемое нами по умолчанию содержание этого термина [142, 143]. Один из подходов к получению понятия формы, рассмотренный в п. 9.9, основан на том, что форма изображения задается его контуром при определенных требованиях к параметрам его линейных преобразований. Для наделения формы метрическими свойствами введен объект тестовой формы. Формы изображений других объектов задаются относительно формы этого тестового объекта. В качестве тестового выбрано изображение наиболее сложной при заданной размерности пространства формы. В результате расстояние между контурами тестового и анализируемого изображений служит количественной мерой степени простоты формы.
Недостатком представления контура в виде вектора размерности к является невозможность проведения операций с контурами изображений, имеющих разную размерность. Такие изображения могут иметь близкие формы, но сравнивать их между собой при разных значениях к нельзя. Для устранения этого недостатка разработана специальная операция эк- вализации, по существу являющаяся операцией повторной дискретизации линии контура. Она позволяет привести размерность к анализируемого контура к заданному значению размерности р. Если величина р в несколько раз превышает значение к, то связанные с эквализацией искажения контура будут незначительными.
Структурный анализ формы изображения, связанный с обнаружением и выделением контуром характерных фрагментов — лучей, разрезов, прямолинейных отрезков, углов заданной величины, оценкой степени пра-
вильности формы (близости к правильным А;-угольником), симметричности и антисимметричности, обнаружения свойств сопряженной симметрии и антисимметрии, эффективно осуществляется контурными фильтрами, ИХ которых согласована с фрагментами эталонных контуров, обладающих искомыми свойствами.
Определение количественных характеристик формы изображения — периметра, площади, коэффициента формы, ширины изображения в заданном месте, габаритных размеров и др. аналитическим путем с единых позиций проводится по разностному и суммарному кодам контура. Спектр контура дает возможность найти еще целый ряд информативных признаков для принятия решения о классе изображения по его форме, задаваемой его контуром. Количество информации в коде контура и в его спектре одинаково, но при спектральном подходе некоторые признаки становятся более полезными и легко определяемыми, например, степень его узкополосности или широкополосности.
Форма значительного числа окружающих нас объектов случайна. Тем не менее мы всегда уверенно отличаем их друг от друга и успешно распознаем такие объекты: морские волны, горную гряду, лист клена, крону дерева, язык пламени и т.п. Для машинного распознавания таких объектов контур представляется в виде отсчетов дискретного случайного процесса. На этапе обучения происходит оценка параметров этого процесса, а распознавание — по величине отношения правдоподобия.
Антропогенные объекты, как правило, характеризуются детерминированной формой. Распознавание таких объектов по их форме успешно осуществляется по результатам фильтрации контурным фильтром, ИХ которого согласована с эталонным изображением класса.
В данной главе с позиции контурного анализа рассмотрена важная для технических изображений задача совмещения двух плоских изображений. Эта задача интерпретируется как совмещение контуров этих изображений и решается по результатам фильтрации контура одного из изображений фильтром, согласованным с контуром второго изображения. Требуемое количество операций при таком подходе значительно меньше, чем при использовании пространственных методов, требующих обработки каждой точки в пределах изображения. Показано, что ошибка совмещения зашумленных контуров тем меньше, чем шире энергетический спектр контура. Ее минимальная величина достигается при совмещении контуров с дельтовидной АКФ.
Задачи и упражнения
Проведите эквализацию контура Г = {1, 2 — г, —2 — 2г, —г, —5,4 4- 4г}. Размерность эквализованного контура равна р = 10.
Стандартизируйте элементарные векторы следующих контуров:
Г = {3, —5г, —3,4г} и Г = {2 + Зг, -1 - Зг, 0.5 - 4г, -3 + г, 1.5 + Зг}.
Определите площади плоских изображений, ограниченных контурами из задачи 2.
Определите габаритные размеры фигуры, контур которой равен
Г = {3 4- г, -5 - 5г, Зг, -1, -1 + г, 2г, -2г, 5}.
Найдите вектор частот ЭВ контура, заданного кодом Фримена
Г = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,3,3,4,4, 2,2, 2, 2,2, 2,4,4,4,4, 7,
6,6,6,6,6,6,4,4,5,5}.
Определите степень замкнутости контура Г = {4 4- Зг, — 7г, — 6, Зг, 1}.
Вычислите степень схожести изображений, спектры контуров которых имеют вид
PN = {4 + 2г, -2 - Зг, -7 - 4г, -4 4- Зг},РГ — {3, —Зг, —8 — г, — 1 4- Зг}.
Какие общие требования предъявляются к сигналам, эффективным для решения задач разрешения и совмещения контуров?
Какая характеристика контурного сигнала инвариантна к сдвигу начальной точки и повороту контура?
Чем вызван эффект низкочастотной фильтрации при накоплении контуров изображений?
Почему совмещение контура изображения объекта с эталонным контуром при прочих равных условиях дает меньшую ошибку, чем при совмещении контуров двух изображений объекта?
Глава 10
ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ С ТОЧЕЧНЫМИИ МАЛОРАЗМЕРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
Введение
При локационном наблюдении в задачах ориентации и навигации летательных аппаратов, управления воздушным движением, картографирования местности и т.д. часто представляют интерес объекты искусственного происхождения. Например, для целей ориентации необходимо опознать наблюдаемый ориентир с тем, чтобы по ■ #; рассогласованию его координат с коорди-
. *•* натами эталонных объектов определить
*.'. свое положение в пространстве.
.в ,Такие объекты имеют небольшие по
. •сравнению с географическими объекта-
•* * * ;■ • ми размеры. Поэтому при наблюдении
♦#с больших расстояний их изображения
‘•*. близки к размерам элемента разрешения
..;. датчика, т.е. вырождаются в отметки
в один пиксел или несколько смежных •‘. пикселей, обладающих яркостным или
цветовым контрастом (рис. 10.1). Подоб- Рис. 10.1. Наблюдаемое изобра- НЬ1й характер изображений позволяет жение созвездиявыделить соответственно классы точеч
ных и малоразмерных объектов. В ландшафтных сценах к такому классу относятся изображения опор ЛЭП, отдельные строения, автомобили и т.п.
В дальнейшем, когда рассматриваемые операции для точечных и малоразмерных объектов будут одинаковыми, для сокращения записи эти объекты будем называть точечными.
В изображениях точечных объектов (ТО) пропадает один из самых информативных признаков изображений — форма, а также отсутствует возможность пространственного сглаживания яркостных шумов. Особенно такая ситуация характерна для радиолокационных изображений со спекл-шумами (шумами зернистости), где дисперсия шума достаточно высока, что приводит к сильному маскированию полезных точечных отметок. Это усложняет обнаружение точечных объектов, а задачу их распознавания по одиночному кадру без учета контекстных признаков делает
практически невозможной, В то же время решение задачи определения координат объектов упрощается до определения номеров пикселей, где вынесено положительное решение.
Такие условия наблюдения накладывают определенную специфику на подходы к обработке и пониманию рассматриваемых изображений. В частности, для повышения отношения сигнал/шум на входе обнаружителя используют временное накопление кадров. С целью обеспечения возможности пространственного усреднения (накопления) отсчетов, используют координатную информацию, например, при радиолокационном обнаружении — проверяют наличие радиолокационной тени, ориентированной заранее известным образом по отношению к положению наблюдателя, при наблюдении движущихся объектов — выполняют экстраполяцию траектории отметки, и т.д.
Материалы настоящего раздела посвящены особенностям обработки изображений точечных и малоразмерных объектов на сложном фоне из крупноразмерных площадных объектов, а также прослеживанию их траекторий в условиях больших ошибок дискретизации изображений этих траекторий, представленных на квадратной сетчатке.
Выделение точечных и малоразмерных объектов в сценах с локально однородным фоном
В ландшафтных сценах, содержащих точечные отметки, все остальные изображения играют роль фона. Поэтому при решении задач выделения этих отметок статистическая неоднородность фона усиливается за счет включения в его состав участков с изображениями крупно- или среднеразмерных объектов. Под решением задачи выделения точечных объектов будем понимать операции, позволяющие из исходной многоградационной по яркости сцены с локально однородным фоном получить бинарную сцену, состоящую из точечных и малоразмерных объектов. Поскольку решение задачи носит статистический характер, то часть из содержащихся в сцене объектов будет потеряна и дополнительно появится некоторое количество ложных объектов.
Задачу выделения точечных объектов в ландшафтной сцене целесообразно решать после распознавания находящихся в сцене крупно и среднеразмерных объектов. Это позволяет увеличивать контекстную информацию, на основании которой принимается решение о том, является точечная отметка ложной или нет. Например, если в сцене распознано изображение дороги и в пределах этого изображения выделен точечный объект, то вероятность ошибочного решения будет намного ниже, чем его появление на изображении пахотного поля. Даже при невозможности решить задачу распознавания крупно-среднеразмерных объектов целесообразно выделить их контуры и определить статистические характеристики полей яркости в пределах контуров. Это дает возможность в случае расположения там точечных объектов использовать их в качестве характеристик локального фона.
Обнаружение точечных объектов является первой из операций по формированию сцены из точечных и малоразмерных объектов. Эти объекты создают короткие импульсы яркости, обнаружение которых на сильно коррелированном статистически неоднородном фоне, характерном для ландшафтных сцен, производится по результатам работы согласованноизбирательного фильтра.
Рис. 10.2. Согласованно-избирательная фильтрация импульса яркости, соответствующего точечному объекту: а — идеализированный импульс яркости; б — ИХ фильтра; в — выходной сигнал фильтраРис. 10.2. Согласованно-избирательная фильтрация импульса яркости, соответствующего точечному объекту: а — идеализированный импульс яркости; б — ИХ фильтра; в — выходной сигнал фильтра
Рис. 10.2. Согласованно-избирательная фильтрация импульса яркости, соответствующего точечному объекту: а — идеализированный импульс яркости; б — ИХ фильтра; в — выходной сигнал фильтра
Рис. 10.2. Согласованно-избирательная фильтрация импульса яркости, соответствующего точечному объекту: а — идеализированный импульс яркости; б — ИХ фильтра; в — выходной сигнал фильтра
Построение обнаружителей импульсов яркости на базе СИФ было рассмотрено в гл. 8. Импульсная характеристика СИФ для импульса яркости, соответствующего изображению ТО, имеет вид (рис. 10.2, а, б)
А = {—1, 2,-1}.(10.2.1)
Выходной сигнал фильтра при подаче на его вход дискретных отсчетов яркости / (п) равен
7/(n) = 2/(п) - /(п - 1) - f(n + 1).(10.2.2)
При фильтрации идеализированного импульса яркости s(n) = {0,1,0} (рис. 10.2, а) выходной сигнал фильтра равен
лМ = V"V 2,-1}.лМ = V"V 2,-1}.(10.2.3)(10.2.3)
лМ = V"V 2,-1}.
лМ = V"V 2,-1}.
(10.2.3)
(10.2.3)
Рис. 10.3. Фильтрация импульса яркости точечного объекта и отсчетов яркости сильнокоррелированного фонаРис. 10.3. Фильтрация импульса яркости точечного объекта и отсчетов яркости сильнокоррелированного фонательно сильнее, чем, например, нательно сильнее, чем, например, на
Рис. 10.3. Фильтрация импульса яркости точечного объекта и отсчетов яркости сильнокоррелированного фона
Рис. 10.3. Фильтрация импульса яркости точечного объекта и отсчетов яркости сильнокоррелированного фона
тельно сильнее, чем, например, на
тельно сильнее, чем, например, на
На рис. 10.3 в качестве иллюстрации работы такого СИФ приведен график отсчетов яркости сильнокоррелированного фона, взятых вдоль строки фрагмента ABCD ландшафт
ной сцены, представленной на рис. 6.29, (кривая 1) и результат фильтрации этих отсчетов (кривая 2). Восемнадцатый отсчет этой последовательности, равный 184, значительно превышал соседние с ним, равные 152 и 132. Поэтому
он может рассматриваться как отсчет яркости ТО. Как видно из поведения кривой 2, реакция фильтра на этот отсчет значи- отсчеты 5~10, превосходящие по
величине 18-й отсчет, но образующие импульс яркости, на который СИФ не настроен по длительности.
Особенность обработки сцены, содержащей точечные объекты, по сравнению, например, с задачей обнаружения зашумленного импульсного эхо-сигнала, заключается в следующем. Задача обнаружения эхо- сигнала носит энергетический характер и ее решение оптимизируется на основе учета статистических характеристик сигнала и шума. Выделение точечных объектов является более сложной и далеко не в такой степени теоретически проработанной задачей. Решение о их наличии в определенной области ландшафтной сцены принимается по результатам анализа целого ряда признаков, а не по одному энергетическому признаку, как в операции обнаружения. Такими признаками, например, могут быть:
наличие оптической или радиолокационной тени;
уровень контраста импульса яркости по отношению к прилегающему фону;
характер подстилающей поверхности в окрестности импульса яркости — объект естественного происхождения, антропогенный объект, фон, граница фон/объект, граница объект/объект и т.п.;
степень изолированности анализируемого импульса яркости по отношению к другим импульсам яркости;
групповой или одиночный точечный объект.
Рассматриваемая с этих позиций задача выделения точечных объектов близко смыкается с задачей распознавания образов. На рис. 10.4 представлена структура одного из возможных алгоритмов.
Анализируемая сцена
Сцена из точечных объектов
Рис. 10.4. Алгоритм выделения точечных и малоразмерных объектов в ландшафтной сцене
Работу алгоритма прокомментируем на примере смоделированной ландшафтной радиолокационной сцены, содержащей 11 точечных объектов (рис. 10.5, а). На рис. 10.5, б показана сформированная карта порогов
Рис. 10.5. Формирование карты порогов: а — исходная сцена с точечными объектами, б — карта порогов, сформированная по исходной сцене
(см. п. 6.8.3). В исходной сцене не были обнаружены изображения острова и одного из полей. Поэтому изображения этих объектов на карте порогов отсутствуют. В результате яркость пикселов сцены в пределах данных изображений равна не средней яркости изображения объекта, как для других объектов, а определяется средней яркостью фона. Так как средняя яркость фона ниже средней яркости изображений этих объектов, то проверка по величине контраста не улучшит результаты обнаружения по яркости точечных объектов, расположенных в их пределах. Этот эффект мы и наблюдаем в бинарных по яркости сценах на рис. 10.6.
Здесь представлены результаты операций обнаружения по яркости и селекции по контрастности. Хотя в исходной сцене находятся всего
Рис. 10.6. Результаты обнаружения по величине яркости и селекции по значению контрастности: а — точечных; б — малоразмерных объектов
лишь 11 точечных объектов, в сценах на этих рисунках наблюдается несколько сотен точечных объектов. Особенно велико количество этих объектов в области изображений необнаруженного поля и острова. Далее осуществляется селекция точечных объектов по наличию у них тени.
Предполагается, что в направлении освещения сцены за обнаруженными в бинарной сцене точечными объектами имеется область пониженной
яркости, вызванная наличием оптической или радиолокационной тени. Такая тень будет отсутствовать у ложных объектов. Изображение тени обнаруживается как изображение отдельного объекта в исходной сцене F путем сравнения с пороговым значением яркости. Тень, образованная точечным объектом, считается обнаруженной, если яркость J элемента периферийного строба размером 3x3 элемента, в центре которого находится объект, удовлетворяет условию J < Jm (рис. 10.7). Для обнаружения изображения тени малоразмерного объекта производится обход по его контуру и для каждой контурной точки в направлении тени формируется строб 3x3 элемента и проверяется наличие тени.
Проверка на изолированность изображений точечных и малоразмерных объектов базируется на том, что истинные объекты, например, опоры ЛЭП, в отличие, от ложных располагаются друг от друг не ближе некоторого расстояния. Для оценки изолированности формировался строб 7 х х 7 элементов. Точечный объект в бинарной сцене считается изолированным, если
Направление^ освещенияНаправление^ освещенияРис. 10.7. Проверка наличия тени точечного объектаРис. 10.7. Проверка наличия тени точечного объектаРис. 10.8. Проверка точечного объекта на изолированностьРис. 10.8. Проверка точечного объекта на изолированностьколичество содержащихся в стробе точек не превышает двух (включая центральную точку) (рис. 10.8).
Направление^ освещения
Направление^ освещения
Рис. 10.7. Проверка наличия тени точечного объекта
Рис. 10.7. Проверка наличия тени точечного объекта
Рис. 10.8. Проверка точечного объекта на изолированность
Рис. 10.8. Проверка точечного объекта на изолированность
При проверки на изолированность малоразмерного объекта вокруг каждой его контурной точки образуется строб 7x7 элементов и проверяется
Рис. 10.9. Результат выделения то-чечных объектов в исходной сцене,представленной на рис. 10.5, аРис. 10.9. Результат выделения то-чечных объектов в исходной сцене,представленной на рис. 10.5, аколичество точек в его пределах. Точки самого объекта блокируются и нс учитываются. Малоразмерный объект считается изолированным, если для всех положений строба обнаруженное количество точек не превышает заданного порогового уровня.
Рис. 10.9. Результат выделения то-чечных объектов в исходной сцене,представленной на рис. 10.5, а
Рис. 10.9. Результат выделения то-чечных объектов в исходной сцене,представленной на рис. 10.5, а
Анализ контекста сцены в окрестности обнаруженного точечного объекта также позволяет отбросить целый ряд ложных отметок. Область фон/объект или объект/объект являются участками с повышенным уровнем ложных отметок. Такими же участками являются
изображения некоторых антропогенных объектов, например, моста. Как радиолокационная цель он обладает высокой эффективной поверхностью рассеивания. Если на его поверхности и располагаются какие либо точечные объекты, то их радиолокационная контрастность будет очень низкой. Поэтому вероятность того, что наблюдаемые там отметки являются ложными, очень велика и целесообразно их вообще исключить. На рис. 10.9 приведено изображение исходной сцены (см. рис. 10.5, а) после осуществления описанных выше операций. Все одиннадцать точечных объектов выделены правильно, а ложные отметки практически полностью исключены.
Дальнейшие операции с сформированной точечной бинарной сценой связаны с анализом групповых точечных объектов.
Прослеживание траекторий точечных отметок
Модель траектории точечной цели на квадратной сетчатке. В системе управления воздушным движением широко используются цифровые индикаторы, содержащие аналого-цифровые преобразователи, ОЗУИ, цифро-аналоговый преобразователь и дисплей. Между ОЗУИ и ППИ происходит двухсторонний обмен информацией. Представленное оператору на экране дисплея изображение поступает из ОЗУИ, имеющего формат порядка 512 х 512 пикселов и выше. В ряде случаев дискретизация изображения оказывается достаточно грубой и ошибки дискретизации становятся сравнимыми с ошибками измерения координат цели или даже превышают их.
На экране современной РЛС УВД ГВФ наблюдается несколько десятков и более отметок от точечных целей в условиях неизбежного присутствия помех, создаваемых соседними РЛС, отметками от птиц и т.п. Для нормальной работы оператору необходимо отнести отметку к одной из ранее обнаруженных траекторий, решить задачи предотвращения столкновения в воздухе, идентификации целей и т.п.
Автоматизация всех процессов обработки информации, наблюдаемой на экране дисплея, существенно повышает безопасность воздушного движения и уменьшает психофизическую нагрузку на оператора.
Традиционно решение задач траекторной обработки проводилось для случая, когда информация поступала с выхода детектора приемника и роль основного мешающего фактора играли ошибки измерения координат цели, распределенные по нормальному закону [144]. В данном же случае основными мешающими факторами являются ошибки дискретизации. Эти ошибки, обычно, имеют равномерный закон распределения вероятностей. Рассмотрим алгоритмы автоматического прослеживания траектории точечной цели, наблюдаемой на экране дисплея для случая значительного превышения уровня ошибок ее дискретизации уровня ошибок измерения координат цели.
Модель прямолинейной траектории точечной цели на экране индикатора можно рассматривать как частный случай контура изображения, имеющего прямолинейные границы. В процессе квантования прямолиней-
ной траектории на сетчатке происходит искажение формы. Вследствие детерминированности формы исходной траектории и последующей линейной интерполяции ошибки квантования оказываются сильнокоррелированными и зависящими не только от размеров клетки поля, но и от угла наклона ф прямолинейной траектории.
Математическая модель процесса квантования прямой линии, заданной на квадратной сетчатке и ее анализ рассмотрены в гл. 7. Этот процесс описывается вырожденной цепью Маркова с матрицей вероятностей переходов в виде матрицы перестановок. Для такой матрицы известны в общем случае выражения ее собственных элементов — характеристических чисел и собственных векторов. Это дает возможность получить выражение для вероятностей попадания процесса в заданное состояние на конкретном шаге. Относительно к процессу квантования прямолинейной траектории на квадратной сетчатке это означает, что известны вероятности значений элементарных векторов проквантованной траектории.
Алгоритм прослеживания прямолинейной траектории. Будем считать, что цель по каждой независимой координате (ж, у, г) движется с постоянной скоростью. В этом случае траекторию цели по отдельной независимой координате можно представить как протяженную прямолинейную границу (рис. 10.10) и обработку такого сигнала можно производить на основе методов контурного анализа.
Рис. 10.10. Траектория цели в виде прямолинейной границыРис. 10.10. Траектория цели в виде прямолинейной границы
Рис. 10.10. Траектория цели в виде прямолинейной границы
Рис. 10.10. Траектория цели в виде прямолинейной границы
Процесс формирования комплекснозначного кода Г с учетом ошибок квантования ее на квадратной сетчатке описывается рассмотренной в гл. 7. марковской цепью. Наша задача будет состоять в распознавании точек траектории и ставится она следующим образом: исходная, не искаженная шумами квантования, линейная траектория задана кодом А = {а}, а = = 1 4- г'У, где V — скорость движения цели по одной из независимых координат. После квантования на сетчатке она образует траекторию Г. Пусть к 71-му обзору получен код Г = {7(m)}i,n-i, а на n-м обзоре поступило t новых точечных отметок. Если каждую из новых отметок соединить с последней точкой траектории, полученной на (п—1)-м обзоре, то будем иметь t ЭВ 7^(71),^^(п),... п^Чп) (Рис- Ю.П).
Необходимо по критерию минимума расстояния в признаковом пространстве между исходной траекторией А и t полученными на сетчатке
траекториями выбрать траекторию Г, т.е. найти правило, по которому отнести к траектории Г один из векторов ^1\п).
Отметим, что даже при наличии в пространстве одной цели, создающей один отраженный импульс, из-за ошибок квантования на прямоугольной сетчатке может получиться несколько отметок и одну из них надо выбрать как продолжение траектории Г.
Распознавание точек нефлуктуирующей цели. В соответствии с рис. 10.11 сформируем на n-м обзоре на основе траектории Г(п_!) и полученных отметок ^-траекторий Г^ = {7(т)}1)П. Каждая из траекторий Г(п-1) рассматривается как контур и задает в признаковом пространстве точку. В качестве продолжения траектории на n-м обзоре выберем ЭВ ^(п) = 7^(п), I ^ ^, который обеспечивает в этом пространстве максимальную близость к точке истинной траектории А. Решение о близости точек будем принимать по величине нормированного скалярного произведения (НСП) вектор-контура А = {1 + iV^ с одним из вектор-контуров г(п)>г(п)> ■ • • >г(п)> т'е- модуль НСП будет равен
(10.3.1)(10.3.1)(10.3.2)(10.3.2)(1 — IV) ^(п) 4- У^ 7(т)
(10.3.1)
(10.3.1)
(10.3.2)
(10.3.2)
ЦАЦ Нг^Н
Тогда для квадрата модуля НСП получим
п — 12
ы2ы2+ 52 7(m)
ы2
ы2
i7(i,(n)i2 + 52 h(m)i2i7(i,(n)i2 + 52 h(m)i2m=l
i7(i,(n)i2 + 52 h(m)i2
i7(i,(n)i2 + 52 h(m)i2
Как следует из этого выражения, для случая линейной траектории модуль НСП не зависит от конкретного значения скорости объекта и определяется лишь значениями элементов цепного кода траектории, сформированной на экране индикатора. Решение о принадлежности одного из векторов 7^1^(7i),7^2^(n),... ^^(п) траектории Г принимается по максимальному значению модуля полученного НСП, т.е.
7^(п) е Г, если |т/(п)|2 -> max. (10.3.3)
Распознавание точек флуктуирующей цели. Если наблюдается пропуск отметки, то при принятии решения по критерию (10.3.3) в качестве продолжения траектории Г на n-м обзоре будет принята отметка, принадлежащая другой траектории. Для исключения подобных ошибок критерий принятия решения должен содержать пороговую процедуру, учитывающую степень достоверности того, что вектор ^1\п^ принадлежит траектории Г. Для оценки степени такой достоверности, рассмотрим влияние на величину |т/(п)|2 ошибок квантования.
Введем функцию F(n^ равную количеству значений диагональных ЭВ за п-шагов траектории, и далее будем рассматривать случаи, когда |У| < 0,5. С учетом функции F(n) будем иметь
(10.3.4)(10.3.5)(10.3.4)(10.3.5)(10.3.6)(10.3.6)||Г||2-£|7(т)|2=п + ад,
(10.3.4)
(10.3.5)
(10.3.4)
(10.3.5)
(10.3.6)
(10.3.6)
У^ 7(т) = и + iF(n\
Тогда выражение для квадрата модуля НСП принимает вид
। /= t^+f^j = LtV^WM
п2 + nF(n) l-VF^Jn
При больших значениях п функция F(n) близка к ее математическому ожиданию и тогда
г = lim |т?(п)|2 =(10.3.7)
п—>ОО1 + I У I
Таким образом, в ассимптотике значение модуля НСП стабилизируется на уровне г, определяемом величиной скорости движения цели по независимой координате. Данный уровень будет определять величину порога при принятии решения о принадлежности той или иной отметки к траектории. Так как величина скорости V при распознавании отметок траектории неизвестна, то необходимо перейти к текущим граничным оценкам величины V. Из того, что F(n) = Ун, следует выражение для текущей оценки скорости цели У = F^jn.
Отклонение оценкиУ от истинного значения в данном случае определяется вариациями величины F(n). Из определения функции F(n) следует неравенство Vn_i < F(n) ^ Уп+1- Тогда для текущих граничных оценок величины У можно записать
V > V^n) = ^1—^,(10.3.8)
V Ув(п) =(Ю.3.9)
71
С ростом п каждая из оценок сходится к истинному значению скорости У Учитывая нелинейный характер зависимости |7/(тг)|2 от У, с помощью граничных оценок для скорости цели нельзя получить граничные оценки для модуля НСП. Поэтому целесообразно разделить операции отбора векторов 7^(п), служащих вероятными продолжениями траектории Г (операция стробирования), и выбора только одного вектора ^1\п) С Г (операция селекции).
Для стробирования рассчитываются две граничные траектории: верхняя Гв и нижняя Гн, образующие в плоскости сетчатки область, включающую исходную траекторию цели. Граничные траектории на каждом обзоре задаются текущими суммарными векторами /Зн(п) и /Зв(тг). Для
получения вектора /Зн(п) используется нижняя оценка 14 (n ~ 1) цели, вычисленная по данным n—1 обзоров, а вектора /Зв(п) — соответствующая верхняя оценка К(п — 1):
Рн^п) = п[1 + г¥н(п - 1)], рв(п) = п [1 4- iV^n - 1)].
При стробировании отбираются векторы 7^(п), удовлетворяющие условиям
nVH(n - 1) ^ YmP^^ ^ пУв(тг - 1).(10.3.10)
С учетом выражений для VH(n — 1) и VB(n — 1) эти условия имеют вид
F(n - 1) - 1—- Ym^tn) F(n - 1) + 1.(10.3.11)
Векторы 7^(п), удовлетворяющие данному условию, подвергаются процедуре селекции. Следует отметить, что результаты операции стробирования и селекции, полученные по каждой из независимых координат, должны совпадать для отметок одной траектории. Если условию (10.3.11) не удовлетворяет ни один вектор 7^) (п), то принимается решение о пропуске отметки данной траектории на n-м обзоре. В этом случае для расчета значений граничных траекторий Рн(п + 1) и Д(п+ 1) используются оценки скорости Ун и Ув, рассчитанные для n-го обзора.
Если происходит подряд ( пропусков, то стробирование отметок на (п = £)-м обзоре производится в соответствии с выражением
(n + <)[F(n) - 1] ^ ^ Ym^^n + <)[F(n - 1) - 1].(10.3.12)
На рис. 10.12 приведены результаты расчетов граничных траекторий для нескольких значений скорости по данным цепного кода прокванто- ванной траектории.
Рассмотренные выше вопросы согласованной фильтрации относились к случаю прямолинейной траектории У = const. Для общего случая, когда V(п) — произвольная функция, описывающая скорость движения точки по независимой координате, реакция согласованного фильтра в момент наилучшего согласования проквантованной траектории с исходной запи-
сывается в виде -
Например, если цель движется равноускоренно со скоростью V(п) = = ап, то
77(71) = У^ 7(771) + ^ У^ 7717(771).т=1т=1
Реакция согласованного фильтра в виде модуля НСП позволяет определить меру близости к распознаваемой траектории полученных на п-м обзоре отметок и отобрать одну из них в качестве продолжения данной траектории по критерию максимальной близости.
Глава 11
ОБРАБОТКА И ПОНИМАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ГРУППМАЛОРАЗМЕРНЫХ И ТОЧЕЧНЫХ ОБЪЕКТОВ
Введение
В большом числе приложений для наблюдателя представляют интерес не отдельные точечные объекты, а их множества (группы). В этих множествах точечные объекты могут объединяться по различным наборам признаков, например, по признаку пространственной близости, физическому происхождению, яркостным или цветовым характеристикам и т.д. После объединения каждое множество приобретает групповые признаки, становится групповым точечным объектом (ГрТО). Групповые признаки по сравнению с признаками отдельных малоразмерных объектов обладают большей устойчивостью к действию мешающих факторов (шумам, помехам) и имеют большую информативность для задач понимания изображений.
Классическими примерами ГрТО являются: изображения созвездий на небесной сфере (рис. 11.1, а); символы матричной печати (рис. 11.1, б); точечные коды или ключи (рис. 11.1, в); отверстия и реперные знаки печатных плат (рис. 11.1, г); локационные изображения строев самолетов, автомобильных потоков и скоплений (рис. 11.1, б), строений, опор ЛЭП; изображения выборочных реализаций случайных процессов на плоскости (рис. 11.1, е) или в трехмерном признаковом пространстве. Кроме того, к ГрТО могут быть преобразованы изображения, состоящие из крупноразмерных объектов, например для описания их взаимного положения или формы, когда объекты заменяются точками в центрах тяжести или характерными точками перегибов (рис. 11.1, ж).
Для выделения групповых признаков таких объектов обычно необходимо вначале обнаружить ГрТО в зашумленной сцене, провести сегментацию (пространственную локализацию) ГрТО, выполнить измерения групповых признаков и их представление (кодирование).
В гл. 5 были рассмотрены вопросы, связанные с заданием ГрТО как сигнала в виде пучков векторов, соединяющих произвольно выбранную точку полюса Р с каждой точкой ГрТО. В данной главе в соответствие ГрТО будет поставлено сплошное изображение — ассоциированный сплошной образ (АСО), форма которого отражает закономерности расположения его точек. Данная модель позволяет непосредственно использовать описанные в части I методы контурного анализа для обработки ГрТО.
Рис. 11.1. Примеры групповых точечных объектов
При обработке изображений ГрТО анализируется не вся сцена, а лишь ее небольшой участок, содержащий данный объект. Этот участок сцены в дальнейшем будем называть машинным кадром и также обозначать s (ж,у).
Пусть имеется исходный (эталонный) машинный кадр
5 (^у) = 5? J^n5^ - уЛ (11.1.1)
в виде поля точечных объектов с координатами (хП1уп) и яркостью (интенсивностью, светимостью) J3in. С учетом хаотичности изменения параметров среды распространения сигнала и ошибок измерения координат сформированный сигнальный машинный кадр представим как
$с ^i у) ~ Jc^n^n^ (ж Хп Д®, У Уп Ду) ) (11.1.2)
где J^n — яркость п-й точки, ^п — случайная величина, имитирующая пропуск полезных отметок с вероятностью рПр, причем Р (^п = 0) = рПр и Р (^п = 1) = 1 — рпр, (АЖ) Ду) — ошибки измерения координат — координатный шум.
Кроме сигнального, ППИ формирует еще и шумовой машинный кадр
(11.1.3)(11.1.3)^ф (^) ^/) —^ ^,71^ (^^П) У ^/п) )
(11.1.3)
(11.1.3)
представляющий собой случайное, равномерно распределенное поле ложных точечных отметок с вероятностью рф и яркостью Jф. Обработке подвергается суммарный машинный кадр s (х^ у) = зс (х, у) + 5ф (ж, у). В оцифрованном виде он дополнительно содержит шумы дискретизации и квантования. Если яркости точечных отметок не информативны для решения последующих задач обработки изображений ГрТО, то более компактно машинный кадр может быть представлен в виде множества координат содержащихся в нем точечных отметок, т.е. в виде s = {xn}0 k_v где хп = {жп,Уп}-
Поставим в соответствие изображению ГрТО, рассматриваемому как фрагмент машинного кадра, сплошное изображение N (х), форма которого отражает в определенной степени закономерности взаимного расположения и яркости всех точечных объектов. Это изображение назовем ассоциированным сплошным образом (АСО).
Яркость и положение АСО определяется кумулятивным вкладом каждой точки ГрТО. Поэтому помехоустойчивость подобного представления ГрТО будет более высокой, чем при его задании отдельными точками. Кроме того, появляется возможность по контуру АСО решать ряд таких важных задач, как оценка параметров и распознавание ГрТО.
В качестве преобразований ГрТО для получения АСО могут быть использованы следующие линейные операции.
Низкочастотная пространственная фильтрация (расфокусировка) поля точек (рис. 11.2):
N
■^(х) = ^ у Л ' ^пф (ж ~ жп? У ~ Уп К) ’(11.1.4)
71 = 1
где /гпф (х |г0) — ИХ пространственного фильтра, например, колоколооб-
Рис. 11.2. Формирование ассоциированного сплошного образа ГрТО: а — исходная точечная сцена; б — результат расфокусировки точечной сценыРис. 11.2. Формирование ассоциированного сплошного образа ГрТО: а — исходная точечная сцена; б — результат расфокусировки точечной сцены
Рис. 11.2. Формирование ассоциированного сплошного образа ГрТО: а — исходная точечная сцена; б — результат расфокусировки точечной сцены
Рис. 11.2. Формирование ассоциированного сплошного образа ГрТО: а — исходная точечная сцена; б — результат расфокусировки точечной сцены
разного вида
^пф (х|г0) = ехр{ — (ж2 + у2) /г2 } , (11.1.5) го — параметр, определяющий скорость затухания отклика фильтра на дельта-импульс и согласованный с плотностью расположения точек ГрТО в плоскости машинного кадра.
Построение модели потенциальных физических полей, где в качестве источников поля принимаются заряды, пропорциональные яркости точечных отметок и размещенные в этих точечных отметках. Во втором случае математическая запись для кумулятивного поля аналогична (11.1.4), происходит лишь замена понятия ИХ фильтра на потенциальную функцию.
Построение модели векторного поля, где помимо абсолютного значения влияния каждого источника учитывается и направление действия этого поля:
N
N (х) = Фвп [s(x),/гПф (х |г0)] = 52 Л • ^пф (ж - хп,У - Уп к 0) ехрг^,
П=1
(11.1.6) где фп = arctg ((?/ — Уп)/(х — хп^ — направление на источник с номером п, Фвп — оператор формирования векторного поля на множестве точек [185, 201].
Идею последних двух методов легко представить, если предположить, что каждая точечная отметка является источником потенциального или векторного полей (например, аналога поля электрического заряда), убывающего по силе с удалением от источника. Очевидно, что форма суммарного поля в окрестности любой точечной отметки будет связана с взаимным расположением ее ближайших соседей.
Совокупность всех значений поля в анализируемом кадре изображения оказывается избыточной с точки зрения уникальности описания формы классов ГрТО [88, 165]. Поэтому для повышения вычислительной эффективности процедуры обработки изображений ГрТО целесообразно использовать сечения кумулятивного поля (рис. 11.3), напри-
Рис. 11.3. Сечения яркостного рельефа ассоциированного сплошного образа в виде линий уровня
мер горизонтальные (в виде линий уровня поля) или цилиндрические (в виде значений поля по окружности определенного радиуса с центром в точке-источнике).
В зависимости от вида поля (потенциальное или векторное) можно предложить два основных способа дискретного кодирования формы перечисленных сечений:
— цепным комплекснозначным кодом полигональных аппроксимаций линий уровня потенциального поля, т.е. контуром областей высокой концентрации точечных объектов;
— комплексными значениями отсчетов векторного поля, взятых с некоторым шагом по опорной окружности вокруг анализируемой точки [185, 201].
Более высокая помехоустойчивость формы расфокусированного изображения множества точек объясняется несколькими причинами. Во-первых, информация о координатных шумах точек преимущественно сосредоточена в высокочастотных составляющих спектра пространственных частот исходного изображения, а они в значительной степени отфильтровываются во время низкочастотной фильтрации (расфокусировке). Во-вторых, как видно из формулы (11.1.6), более яркие точки вносят наибольший вклад в форму расфокусированного изображения, а, следовательно, более частые пропуски обнаружителем меньших по яркости отметок носят менее ощутимый характер. В-третьих, ошибки при обнаружении отметок, расположенных в средней части сгущения отметок, слабо влияют на положение границ АСО, а именно границы (области наибольших перепадов яркости) концентрируют информацию о форме АСО.
Обнаружение групповых точечных объектов с известной формой ассоциированного сплошного образа
Постановка задачи и модели сигналов. Задача обнаружения ГрТО решается после обнаружения точечных объектов в сцене и заключается в обоснованном принятии решения о том, что некоторая совокупность этих объектов обладает признаками, соответствующими ГрТО.
Стохастический характер формирования изображения обуславливает случайные ошибки при обнаружении точечных объектов. Если фон по яркости статистически однороден, то вероятность ошибки первого рода рф одинакова для любого пиксела с изображением фона. Вероятность ошибок второго рода рпр, связанных с пропуском точечных отметок, в общем случае зависит от светимостей точечных объектов.
Будем для упрощения предполагать, что светимости точечных объектов, составляющих ГрТО, мало отличаются друг от друга. Поэтому вероятности рпр для любого точечного объекта будут одинаковыми.
В данном разделе мы рассмотрим задачу обнаружения ГрТО в точечной сцене при условии, что известен его АСО.
Бинарное по яркости изображение АСО зададим в виде замкнутого множества А отсчетов внутренней области АСО и опишем его двумерной
функцией — огибающей поля точек ГрТО:
Zl(x,xo,y>o)1хо=О, v?o=OZl(x,xo,y>o)1хо=О, v?o=O1 если х Е ДО в противном случае,1 если х Е ДО в противном случае,(11.2.1)(11.2.1)
Zl(x,xo,y>o)
1хо=О, v?o=O
Zl(x,xo,y>o)
1хо=О, v?o=O
1 если х Е Д
О в противном случае,
1 если х Е Д
О в противном случае,
(11.2.1)
(11.2.1)
где хо, фо — соответственно вектор параллельного переноса и поворота АСО в сцене. На рис. 11.4 дан пример АСО гипотетического ГрТО с ну-
Рис. 11.4. Изображение группового точечного объекта и его «плоского» ассоциированного сплошного образаРис. 11.4. Изображение группового точечного объекта и его «плоского» ассоциированного сплошного образа
Рис. 11.4. Изображение группового точечного объекта и его «плоского» ассоциированного сплошного образа
Рис. 11.4. Изображение группового точечного объекта и его «плоского» ассоциированного сплошного образа
левыми значениями параметров линейных преобразований изображения (хо, фо = 0). Например, такой АСО может быть получен объединением элементарных площадок вокруг точечных объектов, в пределах которых любое положение этих объектов считается равновероятным.
Примем, что в пределах АСО точечные объекты расположены равномерно, т.е. ГрТО является выборкой из равномерного поля точек с усредненной вероятностью (плотностью) р’с появления отметки в каждом пикселе.
Возможность события пропуска точечного объекта уменьшает эту плотность до величины рс < р’с^ ложные отметки, появляющиеся в пределах АСО с вероятностью рф, рф С 1, увеличивают ее до величины рсм = = рс + рф. Таким образом, в области АСО плотность появления точечной отметки равна рсм, а в области фона — рф.
Принятая модель машинного кадра s(x), в котором содержится ГрТО с известной формой АСО и статистически однородный фон, является моделью двумерного случайного поля точечных отметок с плотностями точек в области фона, равной рф, а в области АСО — равной рсм:
s(x) = 5ф (х) + h (х, х0, (Ро) sc (х). (11.2.2)
Далее будем предполагать, что машинный кадр s(x) образован по результатам обнаружения точечных отметок, т.е. любая точечная отметка в нем имеет единичную яркость. Обозначим через pi (х) и ро (х) вероятности появления отметки в п-м пикселе машинного кадра, т.е.
Р (s (хп) = 1) = рг (хп) и Р (s (хп) = 0) = Ро (хп) .
Если этот пиксел находится в пределах фона, то pi (хп) = рф ир0 (хп) = 1-рф, а если в пределах АСО, Topi (хп) = рсм ир0 (xn) = 1— Рсм- В этом случае распределение вероятности событий в n-м пикселе
можно записать как
Р (з (хп)) = Р (з (х„) = 1, 3 (х„) = 0)
(Ро (хп) при з (хп) = 0.
Отсчеты в каждом пикселе считаем независимыми событиями. Поэтому с учетом (11.2.3) совместное распределение вероятностей Р (S) появления нулевых и единичных отсчетов в пикселах машинного кадра будет равно произведению распределений Р (s (xn)), п = 1,2,... ,N:
P(S) = П Р(з(хп)) =й« (1 -рСм)п°™р;1ф (1 -РфП . (11.2.4)
П = 1
Здесь N — общее количество пикселов в машинном кадре S = = {s (xi), s (Х2),... , s (х^)} , П1 и по — соответственно количество единичных и нулевых отсчетов, no + ni = N; niCM и посм — соответственно количество единичных и нулевых отсчетов в области АСО, П1ф и пОф — в области фона; niCM + П1ф = пу; пОсм + пОф = п0.
Распределение (11.2.4) является условным, зависящим от положения АСО в кадре, которое определяется вектором параллельного переноса х0 и углом поворота фо, а также тем, к какому из классов Аг, г = 1,2,... , М, относится.
Не нарушая общности модели машинного кадра, выражение (11.2.4) для распределения вероятностей отметок в нем можно распространить и на случай отсутствия ГрТО. Введение нулевой гипотезы требует лишь уточнения вида огибающей h (х) в выражении (11.2.2), которая равна нулю для любого xn: ho (хп) = 0 V xn. С учетом принятой модели машинного кадра, содержащего или не содержащего ГрТО, задача обнаружения объекта формулируется следующим образом.
Пусть по результатам обнаружения отдельных точечных объектов на статистически однородном фоне сформирована точечная сцена з (х) и выделен машинный кадр, содержащий N пикселов. Для этого кадра возможна одна из двух альтернативных ситуаций: 1) он представляет собой выборку равномерного поля «ф из ложных отметок с плотностью рф (гипотеза Но\ либо 2) кадр представляет собой суперпозицию поля ложных отметок «ф и множества точек ГрТО h (х, х0, у>о) sc(x) некоторого класса А^, являющегося фрагментом равномерного поля с плотностью рс (гипотеза Ну\ Результирующая плотность отметок во втором случае равна рсм. Необходимо принять решение в пользу одной из двух приведенных гипотез.
Обнаружение ГрТО с известным положением в кадре. Положение ГрТО в машинном кадре считается известным, если задан вектор его параллельного переноса хо и угол поворота фо- Кроме того, заданы закон распределения числа его точек и форма АСО. На основание выражения (11.2.4) можно получить функции правдоподобия для гипотез Ну
и Яо и записать следующий алгоритм обнаружения на основе отношения правдоподобия:
(11.2.5)(11.2.5)~ J Я1 если Л > Ло,[Яо если Л < Ло,
(11.2.5)
(11.2.5)
. = Р(8|Я1,хо,уо) =
р(8|Яо)р^а-РФ)7*0
где Ло — пороговый уровень, определяемый принятым критерием оптимальности.
После приведения подобных членов и монотонного преобразования отношения правдоподобия в виде линейной функции логарифма отношения правдоподобия получаем эквивалентный по характеристикам алгоритм на основе минимальной достаточной статистики
^пор?^пор?^пор?^пор?(11.2.6)(11.2.6)- I Я1 если П1см > [Яо если п1см < где
^пор?
^пор?
^пор?
^пор?
(11.2.6)
(11.2.6)
_ (1пЛо-Ь)'^ПОр —^_ (1пЛо-Ь)'^ПОр —^а = Inа = InРем_ РФ -Рем_ РФ -+ 1п+ 1п1 - РФ1 Рем1 - РФ1 Рем52h^,711см = ^s (хп) • h (х„ - Хо, У>о) = 52 h (х‘ ~ хо> Уо).(11.2.7)П=11 = 152h^,711см = ^s (хп) • h (х„ - Хо, У>о) = 52 h (х‘ ~ хо> Уо).(11.2.7)П=11 = 1b = Е • Inb = Е • In1 — Рем1 — Рем1 -РФ_1 -РФ_Е =Е =NN
_ (1пЛо-Ь)
'^ПОр —^
_ (1пЛо-Ь)
'^ПОр —^
а = In
а = In
Рем
_ РФ -
Рем
_ РФ -
+ 1п
+ 1п
1 - РФ
1 Рем
1 - РФ
1 Рем
52h^,
711см = ^s (хп) • h (х„ - Хо, У>о) = 52 h (х‘ ~ хо> Уо).(11.2.7)
П=11 = 1
52h^,
711см = ^s (хп) • h (х„ - Хо, У>о) = 52 h (х‘ ~ хо> Уо).(11.2.7)
П=11 = 1
b = Е • In
b = Е • In
1 — Рем
1 — Рем
1 -РФ_
1 -РФ_
Е =
Е =
N
N
Отсюда следует, что решение о наличии или отсутствии ГрТО в машинном кадре выносится при сравнении количества точечных объектов в области АСО с пороговой величиной пПОр-
Значение порога ппор устанавливается исходя из принятого критерия обнаружения. Например, для байесовского алгоритма
_ 1^пор —\ Ша_ 1^пор —\ Ша-bV-bV№1-Яоо)Р(Яо) (Рю-Ри) F (ЯО
_ 1
^пор —\ Ш
а
_ 1
^пор —\ Ш
а
-bV
-bV
где Яо1 — стоимость ложной тревоги, Ню — стоимость пропуска ГрТО, Яоо, Иц — стоимости правильных решений, а Р(Н0) и Р(Нх) — априорные вероятности гипотез Яо и Ну соответственно. В условиях априорной неопределенности относительно Р(Я0) и Р(Н^ практически значимым является критерий Неймана-Пирсона. В этом случае значение порога ппор находится из граничного условия Р(п1см > ппор|Я0) = F, где F — фиксированный уровень ложных тревог.
Как следует из (11.2.7), вычисление статистики niCM связано с получением отсчета ВКФ функции, задающей машинный кадр s(x) и АСО h (х,хо,(^о) в точке х — х0. Устройство для получения такого отсчета представляет собой пространственный согласованный фильтр с ИХ
h (хо — х, (^о) • На рис. 11.5 приведена структура обнаружителя из согласованного фильтра СФ и порогового устройства ПУ, на которое подается отсчет фильтра, соответствующий пикселу xq.
Рис. 11.5. Структурная схема обнаружителя ГрТО с известным положением в машинном кадре
Для определения эффективности обнаружителя запишем общие выражения для вероятности ложной тревоги F и правильного обнаружения D:
ОО
F — Р (tiicm > ппор|Ио) = J F (п1см|Н0) ^^-icmj(11.2.8)
^пор
71 пор
Р = 1-Р(П1СМ < ппор|Н1) = 1 - J P(nlcM|H1)dniCM, (11.2.9) О
где Р(п1СМ|Но), P(^1cm|^i) — соответствующие условные распределения вероятностей достаточной статистики п1см.
Раскроем структуру статистики обнаружения в условиях истинности соответствующих гипотез Но и Hi: niCM|Ho = Пф, niCM|Hi = Пф 4- nc, где Пф — количество ложных отметок в области АСО, пс — количество обнаруженных точек ГрТО в области АСО.
Так как события, соответствующие появлению ложных отметок в пикселах машинного кадра S, считаем независимыми и наступающими с вероятностью рф, то вероятность появления ровно п таких отметок в пределах АСО, содержащего Е пикселов, подчиняется биномиальному закону
Для практических значений Е (как правило, Е > 100) биномиальное распределение асимптотически стремится к нормальному
Рсм (п|Я0) » —^— ехр (-^—^~) = ^(”Ф> ^ф),(11.2.10)
(7фу2тГ (2(7ф J
где йф = Е • рф — среднее число, а сг^ = Е • рф(1 - рф) — дисперсия плотности ложных отметок. Подставив (11.2.10) в (11.2.8), получим
F = 1 - Ф ( Ппор ,(11.2.11)
где Ф(е) — функция Лапласа.
(11.2.12)(11.2.12)Предположим, что вероятность пропуска точек ГрТО при формировании точечной сцены S ничтожно мала, а мощность (количество точек) ГрТО априорно задана. Тогда пс является детерминированной величиной и имеет место случай полностью известного ГрТО. При этом условная статистика niCM|77i представляет собой сумму асимптотически нормальной случайной величины Пф и константы пс, и, следовательно, также распределена нормально
(11.2.12)
(11.2.12)
Р (П1см|Я1) И ^(nc + Пф, <7ф)
с параметрами М [niCM|77i] = пс + Пф, ^D [niCM|Hi] = <Тф. В результате подстановки (11.2.12) в (11.2.9) находим вероятность правильного обнаружения
79 = 1 — Ф ( Ппор п^ Пс79 = 1 — Ф ( Ппор п^ Пс<7ф<7ф= 1 - ф ( ZW_Z1?1 _ q= 1 - ф ( ZW_Z1?1 _ q
79 = 1 — Ф ( Ппор п^ Пс
79 = 1 — Ф ( Ппор п^ Пс
<7ф
<7ф
= 1 - ф ( ZW_Z1?1 _ q
= 1 - ф ( ZW_Z1?1 _ q
Рис. 11.6. Характеристики обнаружения ГрТО с детерминированным числом точек (сплошная линия) и ГрТО со случайным числом точек (пунктир)Рис. 11.6. Характеристики обнаружения ГрТО с детерминированным числом точек (сплошная линия) и ГрТО со случайным числом точек (пунктир)
Рис. 11.6. Характеристики обнаружения ГрТО с детерминированным числом точек (сплошная линия) и ГрТО со случайным числом точек (пунктир)
Рис. 11.6. Характеристики обнаружения ГрТО с детерминированным числом точек (сплошная линия) и ГрТО со случайным числом точек (пунктир)
где q = nJсгф — расстояние Махаланобиса [40] (в рассматриваемом случае — эквивалент отношения с/ш на выходе фильтра).
Зависимости вероятности правильного обнаружения от расстояния Махаланобиса при различных значениях относительного порога принятия решений для случая двух гауссовских статистических гипотез хорошо известны и могут быть построены, например, с помощью таблиц [202].
В связи с этим ограничимся иллюстрацией лишь нескольких зависимостей для практических значений уровня ложных тревог, графики которых приведены на рис. 11.6 сплошными линиями. График 1 соответствует F = 10~3, график 2 — F = 10~4, график 3 — F = 10~5, график 4 — F = 10-6.
Рассмотрим ситуацию, при которой количество обнаруженных точечных объектов в ГрТО из-за пропусков случайно и их распределение описывается нормальным законом. При этом условное распределение вероятности достаточной статистики П1СМ|7Го не меня-
ется и описывается выражением (11.2.10). Вероятность ложной тревоги также может определяться на основании (11.2.11).
Поскольку достаточная статистика при истинности гипотезы Hi в данной ситуации представляет собой сумму независимых гауссовских величин пс и Пф, то условное распределение P(niCM|Hi) также будет гауссовым:
РЫ^) « ^ (пс + Пф, ^<Т^ + 0-2) ,(11.2.13)
где пс и а? — соответственно среднее значение и дисперсия числа обнаруженных точек ГрТО. Тогда вероятность правильного обнаружения ГрТО равна
0 = 1 - Ф2 Ппор -Пф-Пс I(11.2.14)
I у'о'ф + 'Гс2 J
Характеристики обнаружения ГрТО со случайным значением пс являются многомерными функциями нескольких параметров. В связи с этим выберем для иллюстрации несколько сечений многомерных характеристик для частного случая равенства дисперсий числа ложных отметок и точек ГрТО (сгс = сгф). На рис. 11.6 пунктиром показаны графики данных характеристик. График 5 соответствует F = 10~3, график 6 — F = 10~4, график 7 — F = 10~5, график 8 — F = 10~6.
Из приведенных графиков видно, что проигрыш в пороговом значении q^ вызванный отсутствием априорной информации о точном значении мощности ГрТО, для вероятности правильного обнаружения D = = 0,9 приблизительно равен 1,13, что составляет около 1,1 дБ. Так например, при среднем числе ложных отметок в машинном кадре с размерами 256 х 256 = 216 элементов разрешения, равном 50 (т.е. рф = = 50/216), при F = 10“3, любой полностью известный ГрТО, содержащий 4 и более точечных отметок, на площади АСО в 1000 элементов, будет обнаружен не хуже, чем с вероятностью 0,9. Для этих же условий, при неизвестной мощности ГрТО минимальное среднее число точек ГрТО, требуемое увеличивается до пГ ~ 4,3.
Обнаружение групповых точечных объектов с произвольным положением в кадре. Воспользуемся для преодоления априорной неопределенности о положении изображения ГрТО в машинном кадре способом, основанным на предварительном получении оценок МП параметров положения ГрТО и подстановке этих оценок в условное отношение правдоподобия. Получим алгоритм оценок МП неизвестных параметров xq и фо на основе логарифма функции правдоподобия (11.2.4), записанного с учетом этих параметров:
lnF(S^1; Хо, Уо) = П1СМ(х0, ^о)С1 + П1С2 + ЕСз + С4,(11.2.15)
где
Ci=ln(^)+ln(l^-L С2=1п(-^-Г
I J I 1 Гем J1 Рф )
С3 = ln/L^kc4 - Wln(l -рф).
[1 - РФ J
Поскольку все члены (11.2.15), кроме niCM, являются постоянными или независящими от хо, фо величинами, и Ci ^ О для любых рс, рф, то функция (11.2.15), в свою очередь, будет монотонной функцией псм. Следова-
(11.2.16)(11.2.16)тельно, алгоритм получения оценок МП хо и фо эквивалентен алгоритму
(11.2.16)
(11.2.16)
х0, Уо = arg max niCM(x0, у>0)-Хо, <Ро
Таким образом, для нахождения искомых оценок необходимо вычислить ВКФ машинного кадра s (х) и изображения АСО h (х — х0, фо) для всех возможных положений АСО в кадре и определить значения xq = хо и ф0 = фо, при которых ВКФ достигает максимума.
НьЯ0)НьЯ0)Отношение правдоподобия (11.2.5) монотонно зависит от псм, являющейся минимальной достаточной статистикой при обнаружении ГрТО с известными значениями Xq и фо- Поэтому из (11.2.16) с учетом (11.2.6) следует оптимальное решающее правило обнаружения ГрТО
Нь
Я0)
Нь
Я0)
(11.2.17)(11.2.17)если niCM (хо,уо) > ^пор?если П1СМ(хо,у>о) < ^пор*
(11.2.17)
(11.2.17)
Таким образом, алгоритм обнаружения ГрТО с неизвестным положением в сцене заключается в вычислении ВКФ машинного кадра s(x) и изображения АСО h(x — xq, фо) при всех возможных положениях АСО в кадре и сравнении максимального отсчета этой функции с величиной ппор, назначаемой исходя из принятого критерия оптимальности. При фиксированном значении фо искомая ВКФ получается в результате работы пространственного фильтра с ИХ h(—х, фо)*.
Р ^сц
(11.2.18)(11.2.18)П1см(х, ^о) = в(€)М€ - X, у>о)^ = ^З ^ ~ Х’ ^°)’
(11.2.18)
(11.2.18)
где Q — область определения координат пикселей машинного кадра s(x).
Структура обнаружителя ГрТО с неизвестным вектором смещения содержит согласованный фильтр СФ, экстремальное устройство ЗУ и пороговое устройство ПУ (рис. 11.7).
Рис. 11.7. Структура обнаружителя группового точечного объекта с неизвестным смещением в кадреРис. 11.7. Структура обнаружителя группового точечного объекта с неизвестным смещением в кадре
Рис. 11.7. Структура обнаружителя группового точечного объекта с неизвестным смещением в кадре
Рис. 11.7. Структура обнаружителя группового точечного объекта с неизвестным смещением в кадре
В связи с неинвариантностью пространственного согласованного фильтра к угловой ориентации АСО, обнаружитель ГрТО с неизвестными значениями хо и фо должен быть многоканальным устройством. Каждый n-й канал содержит обнаружитель, показанный на рис. 11.7, для значения фо = пАф, где Ду? — шаг дискретизации по углу. Чем медленнее изменяется АКФ изображения АСО, тем меньшее число каналов требуется для достижения заданного качества обнаружения ГрТО.
На рис. 11.8 представлены характеристики обнаружения ГрТО с неизвестным вектором смещения Хо в кадре. Графики 1, 5 соответствуют
Рис. 11.8. Характеристики обнаружения ГрТО с неизвестным смещением в машинном кадреРис. 11.8. Характеристики обнаружения ГрТО с неизвестным смещением в машинном кадреF = 10 3, графики 2, 6 — F = = 10~4, 3, 7 — F = 10"5 и 4, 8 — F = 10“6. Сплошной линией обозначены характеристики для случая детерминированного числа точечных объектов ГрТО, а штриховой — для случайного числа точек ГрТО. При построении этих характеристик под ложной тревогой подразумевается событие niCM(xO)^o) > > ^пор> имеющее место хотя бы для одного значения х из N возможных в машинном кадре. Из приведенных графиков видно,
Рис. 11.8. Характеристики обнаружения ГрТО с неизвестным смещением в машинном кадре
Рис. 11.8. Характеристики обнаружения ГрТО с неизвестным смещением в машинном кадре
что проигрыш относительно пороговых значений сигнал/шум q по сравнению со случаем известного положения ГрТО в кадре, размером 256 х 256 пикселов и АСО, состоящего из 1000 пикселов, примерно равен 1,3.
Обнаружение групповых точечных объектов с неизвестной формой
Рассмотрим подход к обнаружению ГрТО в точечной сцене, когда форма АСО неизвестна. Заданной считается статистика фона из ложных отметок, причем плотность точечных объектов в области фона ниже, чем в области расположения ГрТО. В этом случае обнаружитель ГрТО может быть построен на основе измерителя плотности отметок, инвариантного к форме АСО, и решающего устройства, принимающего положительное решение, когда превышение плотности точек в анализируемой области над плотностью точек фона статистически значимо.
Расстояние между соседними точечными объектами и их плотность статистически связаны: чем выше плотность, тем меньше среднее расстояние между соседними точками и наоборот. Процедура обнаружения ГрТО как области с повышенной по сравнению с фоном интенсивностью точек может быть условно разделена на два этапа: 1) оптимальная локализация компактных групп точек; 2) обнаружение ГрТО на основе анализа мощности (количества точек), сформированных на первом этапе компактных групп.
Локализация групповых точечных объектов. Из кластерного анализа [40] известна процедура, упорядочивающая подмножества наблюдений — точек в признаковом пространстве по степени их пространственной близости rmin. Для двумерного точечного изображения она состоит
в построении связного графа — минимального дерева, вершинами которого являются точки, а ребрами — соединяющие их отрезки (см. п. 5.6). Каждое ребро такого графа объединяет два непересекающихся подмножества точек, а длина ребра характеризует пространственную близость объединяемых подмножеств.
После разрушения всех ребер минимального дерева, которые нельзя с заданной доверительностью отнести к области с повышенной плотностью точек, полный связный граф сцены распадается на несколько несвязных между собой подграфов. Каждый из них объединяет точки компактного
подмножества, т.е. локализует компактную группу точек.
Таким образом, локализация ГрТО на основе анализа минимального дерева для точечной сцены заключается в обнаружении ребер этого де
рева, соединяющих области с разной плотностью точек.
С помощью решающего правила надо обоснованно принять в качестве
истинной одну из двух альтернатив: Но — статистическая гипотеза о том,
что ребро минимального дерева связывает между собой ложные отметки,
Hi — статистическая гипотеза о принадлежности одного из концов ребра к области с повышенной по сравнению с фоном плотности точек, т.е. к ГрТО.
Рассмотрим один из подходов к получению такого решающего правила. Вероятность того, что в случайном равномерном поле точечных отметок с плотностью р на расстоянии т от данной точки не будет ни одной соседней точки равна [97]
wo(r) = exp {-ртгг2/2} . (11.3.1)
Введем случайную величину £ как
Рис. 11.9. Распределения длин ребер минимального дерева для равномерных полей точекРис. 11.9. Распределения длин ребер минимального дерева для равномерных полей точекдлину интервала до первой соседней точки. Функция распределения этой
Рис. 11.9. Распределения длин ребер минимального дерева для равномерных полей точек
Рис. 11.9. Распределения длин ребер минимального дерева для равномерных полей точек
случайной величины будет равна
Р(£ < г) = 0 при г ^ 0.Р(£ < г) = 0 при г ^ 0.(11.3.2)(11.3.2)Р(£ < г) = 1 — w0(r) = 1 — exp (— ркт2 jty при г > О,
Р(£ < г) = 0 при г ^ 0.
Р(£ < г) = 0 при г ^ 0.
(11.3.2)
(11.3.2)
Тогда плотность вероятности значений £
w^ = ap^<^sатw^ = ap^<^sат(11.3.3)(11.3.3)
w^ = ap^<^sат
w^ = ap^<^sат
(11.3.3)
(11.3.3)
подчиняется закону Рэлея с параметром а2 = 1/тгр.
Для области фона р = рф, а2 = cr| = 1/тгрф. На рис. 11.9 показаны теоретические (графики I и 2) и полученные экспериментальным путем (графики 3 и 4) по методу Монте-Карло плотности распределения и соответствующие им гистограммы длин ребер минимального дерева. Для графиков 1, 3 параметр рф = 50/(256 х 256), а для графиков 2, 4 — Рф = = 20/(256 х 256). Как видно из графиков, эксперимент свидетельствует
в том, что распределение (11.3.3) достаточно хорошо описывает реальные значения длин ребер минимального дерева.
Примем, что длины ребер минимального дерева, построенного на множестве точек ГрТО, также распределены по закону Релея с параметром ас. Полагая, что Рф<^1, для области наложения ГрТО и фона приближенно можно считать, что <тс ~ 1/тг(рс + рф).
Функции правдоподобия для гипотез Но и Hi будут отличаться лишь параметром а и равны
г 2)Г - 2)
И^(г|Я0) = -^exp <! -^ к И^(г|Я1) =-^exp j-^ L (11.3.4) (Тф ( JО*с ( 2(ТС J
если Лг > Лог,если Лг > Лог,если Лг < Лог,если Лг < Лог,Таким образом, обнаружение ребер минимального дерева, связывающих точки ГрТО, является задачей проверки гипотез о параметре а распределения Релея. Решающее правило имеет вид
если Лг > Лог,
если Лг > Лог,
если Лг < Лог,
если Лг < Лог,
(11.3.5)
адн>) Г_Л1/о£-1/£ф))
r WtW а2 Р\ 2 J"
Переходя к логарифму отношения правдоподобия, получим
я - J^1’ ссли 7,2 < г^ г2 - ^L^ziZztl^^
(Но, если т2 > Гд,° ^Мас ~ 1/^)
Учитывая, что величина т всегда положительная, получим решающее правило в окончательном виде
я = (я"(пм|
(Но, если т > то-
Вероятность ложной тревоги, получающаяся при данном правиле принятия решений, равна
го
ГГ _ 2 )
Ег = Р^г < т0\Н^ = W$(r|H0)dr = l-expj-^k (11.3.7)
JI 2<тф J
О
Из этого выражения можно найти величину оптимального порога обнаружения (локализации) гд. Так, например, для критерия Неймана- Пирсона величина порога будет равна
го = y^jh^T^Lo-го = y^jh^T^Lo-(11.3.8)(11.3.8)
го = y^jh^T^Lo-
го = y^jh^T^Lo-
(11.3.8)
(11.3.8)
Вероятность правильного обнаружения ребра минимального дерева из области расположения ГрТО определяется как
Dr = Р(тDr = Р(т< го\НО = 1 - ехр< го\НО = 1 - ехр{ -гр )I 2<т2 J ’{ -гр )I 2<т2 J ’
Dr = Р(т
Dr = Р(т
< го\НО = 1 - ехр
< го\НО = 1 - ехр
{ -гр )
I 2<т2 J ’
{ -гр )
I 2<т2 J ’
или, с учетом (11.3.8),
f 2 1
Dr = 1 — exp < ln(l - FT^ } . (11.3.9) I J
Из полученных выражений следует, что при ас < сгф (т.е. рс > Рф) для всех <7С выполняется неравенство DT > FT1 причем DT монотонно возрастает с уменьшением <тс. Поэтому алгоритм (11.3.6) является несмещенным равномерно наиболее мощным алгоритмом и для сложной альтернативной гипотезы Hi: а < сгф.
Таким образом, оптимальный алгоритм локализации компактных групп точек в машинном кадре заключается в построении минимального дерева точечной сцены и разрушении всех ребер этого графа с длиной более го- При этом исходное множество разделяется на компактные подмножества из связных компонент дерева.
Обнаружение локализованных групповых точечных объектов. На втором этапе обнаружения ГрТО с неизвестной формой АСО необходимо проанализировать мощность каждой полученной компактной группы и обоснованно определить какая из двух статистических гипотез, Hi или Ко, является истинной. Гипотеза Hi предполагает образование анализируемой группы точками ГрТО, а гипотеза Но — точками только ложных отметок.
Введем случайную величину г — мощность компактной группы. Обозначим через g вероятность того, что длина ребра минимального дерева меньше порогового значения, т.е. g = Р(£ < го). Из независимости событий отнесения ребер минимального дерева к ГрТО или к фону следует, что вероятность нахождения в компактной группе более к точек равна P^z > к^ = gk. Тогда функция распределения вероятности величины z равна
P(z ^ к) =P(z ^ к) =1 — gk при к ^ 2,
P(z ^ к) =
P(z ^ к) =
О при к < 2,
а вероятность того, что компактная группа включает ровно к точечных отметок будет P^z — к} — P^z к) — P(z к — 1) = (1 — g) • gfc-1, к = = 1,2,... Поскольку для группы точек величина к ^ 2, то распределение вероятностей должно иметь вид
Wz^ = P(z = к) = (1 - g)gfe~2, к = 2,3,... (11.3.10)
Данное выражение задает геометрический закон распределения вероятностей. Если компактная группа состоит только из ложных отметок (гипотеза Ко), то соответствующая функция правдоподобия имеет вид
Wz(k\H0) - Wz(k\g = F^ = (1 - FT)FTk-2, (11.3.11) где Fr — вероятность ложной тревоги (11.3.7) на этапе локализации. Функция правдоподобия для гипотезы Ki, т.е. при предположении, что компактная группа образована точками ГрТО, отличается лишь значением
параметра q распределения (11.3.10):
(11.3.12)(11.3.12)W2(k\HT^ = W2(Mg = Dr) = (1 - Dr) D^2.
(11.3.12)
(11.3.12)
На рис. 11.10 приведены графики функции правдоподобия (11.3.10) (сплошные линии) и соответствующие им гистограммы распределений
Рис. 11.10. Распределение вероятностей мощности компактных группРис. 11.10. Распределение вероятностей мощности компактных групп(пунктир), полученные путем моделирования на ЭВМ и использующие данные первого этапа обнаружения компактных групп точек — этапа локализации. Графики изображают многоугольники распределений дискретной случайной величины. Вершины этих многоугольников задают отсчеты распределения вероятности. Графики 1, 3 получены при р^ = = 20/(256 х 256), графики 2, 4 — при
Рис. 11.10. Распределение вероятностей мощности компактных групп
Рис. 11.10. Распределение вероятностей мощности компактных групп
Рф = 50/(256 х 256), г0 = 30.
Таким образом, алгоритм обнаружения ГрТО, как компактной группы из области с повышенной по сравнению с фоном интенсивностью отме
ток, является алгоритмом проверки гипотез о параметре g распределения (11.3.10) и заключается в следующем:
Я =Я =(11.3.13)(11.3.13)Я1 при Л > Ло/с,Яо при Л < AOfc,
Я =
Я =
(11.3.13)
(11.3.13)
== (1 - Dr)Г(к _ 2х, FDr 11
к W2(k\H0)(1-Fr) PV*
где Ло/с — порог, выбираемый согласно заданному критерию оптимальности. Эквивалентное решающее правило на основе минимальной достаточной статистики к для Dr > Fr имеет вид
o-f^i при k>kQ, _ ln(Aofc)-ln[(l-Pr)/(l-Fr)]
И _ <Ко — ;—г
[Яд при к < ко,ln[Pr/Fr]
(11.3.14)
Отсюда следует, что алгоритм обнаружения ГрТО с неизвестной формой АСО сводится к определению числа точек в полученных при локализации всех компактных групп и сравнении этих чисел с порогом ко, назначаемым согласно принятому критерию обнаружения. Основные этапы работы этого алгоритма показаны на рис. 11.11.
При использовании алгоритма (11.3.14) вероятность ложной тревоги и правильного обнаружения соответственно равны
Fk = Р(к к^Н^ = Fk°~\(11.3.15)
Dk = Р(к ^ ко\НО = D^-1 = [1 - (1 - ГТ^ко-\(11.3.16)
a = ст^1а^.
Рис. 11.11. Основные этапы работы алгоритма обнаружения ГрТО с произвольной формой: а — исходное радиолокационное изображение подстилающей поверхности с обнаруженными точечными объектами; б — связывание точечных объектов минимальным деревом; в — локализация ГрТО разрушением длинных ребер минимального дерева; г — представление результата локализации и обнаружения ГрТОРис. 11.11. Основные этапы работы алгоритма обнаружения ГрТО с произвольной формой: а — исходное радиолокационное изображение подстилающей поверхности с обнаруженными точечными объектами; б — связывание точечных объектов минимальным деревом; в — локализация ГрТО разрушением длинных ребер минимального дерева; г — представление результата локализации и обнаружения ГрТО
Рис. 11.11. Основные этапы работы алгоритма обнаружения ГрТО с произвольной формой: а — исходное радиолокационное изображение подстилающей поверхности с обнаруженными точечными объектами; б — связывание точечных объектов минимальным деревом; в — локализация ГрТО разрушением длинных ребер минимального дерева; г — представление результата локализации и обнаружения ГрТО
Рис. 11.11. Основные этапы работы алгоритма обнаружения ГрТО с произвольной формой: а — исходное радиолокационное изображение подстилающей поверхности с обнаруженными точечными объектами; б — связывание точечных объектов минимальным деревом; в — локализация ГрТО разрушением длинных ребер минимального дерева; г — представление результата локализации и обнаружения ГрТО
Из условия Dr > Fr следует, что D^ > F^, причем значение D^ монотонно увеличивается с ростом вероятности DT. Поэтому правило (11.3.14) является несмещенным равномерно наиболее мощным для сложной альтернативы Н^ где DT > FT и, следовательно, сгс < а^ т.е. когда сведения о ГрТО исчерпываются лишь тем, что плотность его точек выше плотности фоновых точек. Значение порога обнаружения при использовании критерия Неймана-Пирсона определяется из (11.3.15) и равно
(11.3.17)(11.3.17)InF^In Fr
(11.3.17)
(11.3.17)
Вероятность правильного обнаружения на основании (11.3.16) и (11.3.17) будет равна
1 - Fk°-11 - Fk°-1(11.3.18)(11.3.18)
1 - Fk°-1
1 - Fk°-1
(11.3.18)
(11.3.18)
На рис. 11.12, а приведены характеристики обнаружения, рассчитанные согласно выражению (11.3.18) для четырех фиксированных значений вероятности ложных тревог и к = 10, а на рис. 11.12, б — для F^ = 10”2
Рис. 11.12. Характеристики обнаружения ГрТО с произвольной формой ассоциированного сплошного образаРис. 11.12. Характеристики обнаружения ГрТО с произвольной формой ассоциированного сплошного образа
Рис. 11.12. Характеристики обнаружения ГрТО с произвольной формой ассоциированного сплошного образа
Рис. 11.12. Характеристики обнаружения ГрТО с произвольной формой ассоциированного сплошного образа
и к = 5,7,9,11 и 13. Как видно из графиков, например, при плотности ложных отметок рф = 50/(256 х 256) для обеспечения вероятности Dk > > 0,9 при Fk = 10~2 необходимо, чтобы среднее расстояние между соседними точками ГрТО, содержащего не менее 10 точечных объектов, было не менее 11,4 пиксела, а для ГрТО из не менее 5 точечных объектов это расстояние должно быть не более 8.
Для оценки величины платы за незнание конфигурации ГрТО сравним пороговые сигналы обнаружителя, реализующего алгоритм (11.3.14) и обнаружителя ГрТО с известным положением в исходной сцене и заданной формой АСО (см. п. 11.2.2). Для приведенных в п. 11.2.2 условий (площадь АСО — 1000 элементов разрешения; интенсивность ложных отметок рф = = 50/(256 х 256); уровень ложных тревог Fk = 10“2; вероятность правильного обнаружения ГрТО — 0,9) и при заданном среднем расстоянии между соседними точками ГрТО г = 8 пикселов для обнаружителя ГрТО с известной формой АСО пороговое число точек равно 3.
Таким образом, платой за отсутствие априорной информацией о конфигурации ГрТО является увеличение порогового числа точек ГрТО (на 40% для перечисленных условий), или соответствующее ему увеличение порога го-
Распознавание групповых точечных объектов на основе анализа первичного описания
Предположим, что в машинном кадре s (х) обнаружен ГрТО. Далее необходимо решить задачу его распознавания, т.е. обоснованно отнести к одному из М известных классов.
Используя полученные в п. 11.2 выражения для функций правдоподобия расположенного в машинном кадре ГрТО, найдем вид решающего правила, минимизирующего полную вероятность ошибки распознавания. Оптимальный для данного критерия алгоритм распознавания должен реализовать стратегию максимума апостериорной вероятности:
Hi = argmax(P(^)-P(S|H^)), г = 1,2,... , М, (11.4.1) где Р (Но) — априорная вероятность, a P(S|PJ — функция правдо-
подобия гипотезы Hi. Используя выражение (11.2.14) для натурального логарифма функции правдоподобия гипотезы Hi в задаче обнаружения ГрТО, запишем выражение для алгоритма распознавания ГрТО, относящегося к одному из М классов:
Hi = arg max {п^С, + ni<72 + EiC^ + С4 + 1п[Р(Я^)]} ,
«(11.4.2)
г = 1,2,... ,М,
где
С2 = 1пС2 = 1п/ РФ 1I (1 - рф) // РФ 1I (1 - рф) /Си = In Jf^L±P*) I + in / .CL—РФ.) I
С2 = 1п
С2 = 1п
/ РФ 1
I (1 - рф) /
/ РФ 1
I (1 - рф) /
C3i = InC3i = InГ (1 ~Pci ~Рф) 1I (l-Рф) J’Г (1 ~Pci ~Рф) 1I (l-Рф) J’C4 = N. ln(l - Рф).C4 = N. ln(l - Рф).(11.4.3)(11.4.3)[ РФ J Ц1-Рсг-Рф))
C3i = In
C3i = In
Г (1 ~Pci ~Рф) 1
I (l-Рф) J’
Г (1 ~Pci ~Рф) 1
I (l-Рф) J’
C4 = N. ln(l - Рф).
C4 = N. ln(l - Рф).
(11.4.3)
(11.4.3)
Рис. 11.13. Механизм формирования достаточной статистики распознаванияРис. 11.13. Механизм формирования достаточной статистики распознавания
Рис. 11.13. Механизм формирования достаточной статистики распознавания
Рис. 11.13. Механизм формирования достаточной статистики распознавания
Поскольку второе и четвертое слагаемые в (11.4.2) не зависят от номера класса г, то достаточными статистиками будут величины {^4, г = = 1,2,... , М, где
Ei - П1смг • Си + Ei . C^i + 1п[Р(Яа],(11.4.4)
а алгоритм распознавания (11.4.1) преобразуется к виду
Hi = arg max{ci}, г = 1, 2,... , М,(11.4.5)
или, в другой записи,
Н = Н^ если Ei — Ej = ^.Eij > 0 при з = 1,2,... , М, г / j.
(11.4.6)
Так как статистики Ei зависят от параметров xq, <^о, то в случае
отсутствия априорных данных число проверяемых гипотез растет про
порционально количеству положе
ний ГрТО в машинном кадре. Для исключения этого необходимо предварительно найти оценки параметров положения ГрТО. В результате операция распознавания проводится в два этапа: этап получения оценок хо^ и ^о,г и этап определения класса ГрТО. Методика получения этих оценок была рассмотрена в п. 11.2.3. Далее, для сокращения записи при рассмотрении вопросов, связанных именно с определением класса ГрТО, под обозначением Ei будем подразумевать еДх0>;, $0,г\
Как следует из выражений для
статистики распознавания (11.4.4), оптимальный алгоритм распознавания ГрТО состоит в вычислении множества значений {^}, г = 1,2,... , М,
с помощью фильтров, согласованных с изображениями АСО hi (х) соответствующих классов ГрТО (рис. 11.13), и выборе номера фильтра с максимальным взвешенным и скомпенсированным с учетом площади АСО выходным эффектом.
Проанализируем эффективность полученного алгоритма распознавания. Вероятности ошибок распознавания при его использовании определяются как
о
Р(Н5\Н^ = Р(^5 < 0\Н^ = Р^е^Н^ДЬе^ (11.4.7)
где Р(Де^\Н^ — условное распределение вероятности статистики распознавания. Найдем вид этого распределения. Для этого раскроем структуру значения AEij:
^^ij — (^1смi^li ^Icmj^lj) ^Pi-C^i EjC^j^ 4* In \/
N
= c3iij + 52 «(xnXC'ii • Mxn) - Cij • h.^xn^, (11.4.8) n=l
где C3^ = (ЕгС31 - EjC^ + In (Р(Я;)/Р(Я,)}.
Разобьем машинный кадр s (х) на области, где выполняются следующие условия: 1) hi(xn) = 1 и hj(xn) = 1; 2) h^x.^ = 1 и hj^x^ = 0; 3) к^хп) = 0 и hj(xn) = 1; 4) hi(xn) = 0 и hj^x^ = 0. Тогда при условии истинности гипотезы Hi получим
uiи2из
AcijlTTi = (Сн ^ij)^3 ^см(^п) ^it^ ^ sCM(xn) ^ij^^ ^Ф^тО-Ь^з,^-? n=ln=ln=l
(11.4.9) где
N
^i = ^5Vhi(xn)hj(xn) - 1],n=l
N
U2 = 52 ^M - h^x^ - 1],(11.4.10)
n=l
N
«3 = 52 ^t^^") _ ^(Xn) + 1]
n=l
— число отсчетов, где выполняются условия 1, 2 и 3 соответственно.
Как было определено ранее (см. п. 11.2), область смеси точек ГрТО и точек фона из ложных отметок представляет собой двумерное дискретное случайное поле точечных отметок sCM(x) с интенсивностью pCi +рф, а область фона — поле отметок с интенсивностью рф. С учетом этого
первые три суммы выражения (11.4.9) представляют собой биномиально распределенные случайные величины £i, ^2? €з соответственно. С точно— 1/2-1/2-1/2
стью до малых порядка иг ' , и2 ' , и3 ' их можно считать нормально распределенными с математическими ожиданиями
М[£1] = 7711 = (Си - Cij) (Pci+Рф) ■ ui,
М[^2] = ТП2 = Си • (pci +Рф) -и2,(11.4.11)
^Кз] = т3 = С^ ■ рф ■ и3,
и среднеквадратическими отклонениями
<71 = (Сн - Ci,) ^/(р^Г+Рф)(Г^р™-Рф)^
<72 = Cn^Pci +рф)(1 - Pci -Рф)«2,(11.4.12)
<73 = С'1,^/рф(1 -рф)и3.
Последнее слагаемое выражения (11.4.9) является независящей от содержания машинного кадра постоянной для каждой пары классов величиной Сз^. Таким образом, статистика As^lHi как сумма нормальных независимых случайных величин также распределена нормально с параметрами
M[A^-|Hi] = mi + m2 - m3 + Сз^ P[A^|HJ — (^ + 02 + o^ .
(11.4.13)
Подставляя полученное распределение вероятности в выражение (11.4.7), находим вероятность ошибки распознавания
о
Р№\н^ = j N ^[Деу^], уБ[Д^щТ) dAe^ =
= Ф (zMI^d^lA(11.4.14)
где Ф(е) — функция Лапласа.
Так как вероятность ошибки зависит от множества параметров, то характеристики распознавания в общем случае являются многомерными. Чтобы показать как изменяется избирательность устройства распознавания, реализующего алгоритм (11.4.5), от изменения тех или иных параметров ГрТО, приведем несколько сечений многомерных характеристик. Графики будем строить в виде зависимостей вероятности условной ошибки распознавания от интенсивности ложных отметок.
На рис. 11.14, а приведено семейство сечений характеристик при фиксированных следующих параметрах: 1) pci = pCj = рс; 2^ Е{ = Ej = Е = = 1000, откуда следует, что ^2 = из = и. Значение и фиксировалось на уровнях, взятых из ряда и = (0,25; 0,35; 0,45; 0,55). График 1 соответствует минимальному, а график 4 — максимальному значениям и.
На рис. 11.14, б приведено семейство сечений при фиксированных значениях: 1) pCi = рс j = 1/100; 2) U2 = U3 = и = 0,4Е. Значения Ег = = Ej = Е брались из ряда Е = (800,1000,1200). График 1 соответствует минимальному, а график 3 — максимальному значениям Е.
На рис. 11.14, в приведено семейство сечений характеристик для условий: 1) U2 = из = 0,4Е; 2) Ei = Ej = 1000 3) pCi = pcj = pc. Значение pc выбиралось из ряда рс = (1/75,1/100,1/125). График 1 соответствует минимальному, а график 3 — максимальному значениям рс.
Рис. 11.14. Характеристики распознавания групповых точечных объектов
Рис. 11.14, а иллюстрирует зависимость дискриминационных свойств распознающего устройства от степени непохожести форм АСО, характеризуемой узостью интервала взаимной корреляции изображений АСО классов г и j ГрТО. Как видно из графиков, с увеличением максимальной площади и неперекрывающихся участков АСО объектов из классов г и j избирательность классификатора увеличивается.
Рис. 11.14, б показывает, что с увеличением площади АСО происходит улучшение избирательности классификатора.
Рис. 11.14, в характеризует зависимость избирательности классификатора от компактности точек ГрТО. Избирательность классификатора также увеличивается с ростом плотности точек ГрТО. Повышение качества распознавания как при увеличении площади АСО, так и при увеличении плотности отметок рс, имеет одну и ту же природу. В обоих случаях повышается энергия полезного сигнала за счет увеличения числа точек ГрТО по сравнению с энергией фона из ложных отметок.
Из приведенных характеристик видно, что в условиях сложной помеховой обстановки, при интенсивности ложных отметок 100/65536 даже для ГрТО, состоящих в среднем из 10 точечных объектов, с максимальным коэффициентом корреляции изображений АСО 0,8, вероятность ошибки распознавания не превышает 0,1, т.е. полученный алгоритм распознавания обладает хорошей помехоустойчивостью.
Описание групповых точечных объектов вторичными признаками
Введение. В предыдущем разделе были получены алгоритмы распознавания ГрТО, которые следуют из принятой в п. 1.2 обобщенной модели ГрТО и исходного двумерного описания. Данные алгоритмы обладают достаточно высокой помехоустойчивостью, однако при неопределенном положении ГрТО в кадре требуют существенного увеличения объема вычислений по сравнению с ситуацией, когда положение ГрТО задано. Это ограничивает область применения указанных алгоритмов системами с низким темпом обновления информации, либо системами с производительностью, превышающей 109 операций в секунду, способными решать подобные задачи в реальном масштабе времени.
Преодоление вычислительных трудностей при априорной неопределенности может быть достигнуто с использованием модели ГрТО на основе минимизированного описания вторичными признаками. В работах [5, 186] приведены базовые рекомендации, которым следует придерживаться при выборе множества вторичных признаков минимизированного описания наблюдений. В соответствии с ними вторичные признаки должны обладать меньшей размерностью, быть статистически независимыми, выражать оригинальные свойства каждого из распознаваемых классов, обладать устойчивостью к воздействию шумов и помех, быть инвариантными к возможно широкому классу преобразований анализируемого изображения.
Поскольку на вход распознающего устройства подается исходное описание наблюдения, определяемое, например, типом датчика, или форматом представления данных на выходе устройств предварительной обработки, то весь процесс распознавания образов на основе минимизированного описания условно разделяется на два этапа: 1) выделение признаков (преобразование первичного описания образа в описание вторичными признаками) и 2) формирование достаточной статистики распознавания на основе анализа вторичного описания с принятием решения в пользу одной из гипотез.
Согласно модели ГрТО на основе ассоциированного сплошного образа, а также с учетом полученных в п. 11.4 для данной модели алгоритмов распознавания, информативными с точки зрения распознавания являются всего три параметра: 1) форма АСО — инварианта к линейным геометрическим преобразованиям подобия изображения, характеризующая отношения между элементами множества точек ГрТО; 2) количество точек ГрТО — параметр к, также независящий от масштаба и положения объекта в кадре; 3) степень пространственной близости точек ГрТО — параметр г2, характеризующий плотность рс точек фрагмента поля, ограниченного АСО и связанный с масштабом изображения (рис. 11.15).
Статистически однородным по плотности ГрТО соответствует односвязный [5] АСО, множество элементов которого замыкается одним внешним контуром. Такие объекты далее будем называть простыми ГрТО. Существует также целый ряд сложных ГрТО, которые состоят из нескольких пространственно разнесенных простых ГрТО (подгрупп). Эти объекты являются статистически неоднородными по плотности и им
подгруппа 2 подгруппа 1 y^oL сложный . \ Л-<^ггрто простои \ Ф »
Грто V ^*'
ееоо©© о© 1©© о© 1; ®6 6 €; ®6 6 €подгруппа 3подгруппа 3"С(х)-ЛСО"С(х)-ЛСО"G<x)-ACO* k = kt + к^ + к3Г1Г-количество подгруппpv -плотность точек в подгруппах"G<x)-ACO* k = kt + к^ + к3Г1Г-количество подгруппpv -плотность точек в подгруппах1\ч
е
е
о
о
©© о© 1
©© о© 1
; ®6 6 €
; ®6 6 €
подгруппа 3
подгруппа 3
"С(х)-ЛСО
"С(х)-ЛСО
"G<x)-ACO
* k = kt + к^ + к3
Г1Г-количество подгрупп
pv -плотность точек в подгруппах
"G<x)-ACO
* k = kt + к^ + к3
Г1Г-количество подгрупп
pv -плотность точек в подгруппах
А'-мощность ГрТО
р^ -плотность ТО
Рис. 11.15. Примеры описания групповых точечных объектов вторичными призна-ками
соответствует многосвязный АСО с несколькими контурами, ограничивающими односвязные фрагменты ассоциированного сплошного образа. Для описания сложных ГрТО введем два дополнительных признака: 4) число подгрупп Кг — параметр, характеризующий степень сложности ГрТО; 5) степень пространственной близости подгрупп ri.
Таким образом, в самом общем виде моделью вторичного описания произвольного ГрТО является следующая:
Q (г, k, Vnr, ri, r2) = F[s(x)], где F[«] — оператор формирования вторичного описания.
Как видно из названий перечисленных признаков ГрТО, все они характеризуют структуру ГрТО, т.е. его элементы: к, Кп связи между элементами: п, Г2, распределение точек ГрТО на плоскости изображения. В связи с этим первый этап распознавания ГрТО, связанный с выделением признаков, в дальнейшем будем называть структурным анализом ГрТО.
Модель ассоциированного сплошного образа и локализация групповых точечных объектов. Рассмотрим введенные в п. 11.1 полевые модели ассоциированных сплошных образов ГрТО в терминах теории линейной фильтрации. Так, примем, что математической моделью «рельефного» АСО является многоградационное изображение G (х) с ограниченным спектром пространственных частот. ГрТО Q (х) будем рассматривать как результат дискретизации (выборку) изображения G (х). Согласно теореме Котельникова, для восстановления функции G (х) по ее дискретным отсчетам необходимо осуществить низкочастотную пространственную фильтрацию (расфокусировку) ГрТО:
G(x) = [G(x) = [кс
G(x) = [
G(x) = [
Q(^ • hn*(x - ^)d^ = ^Jf /гпф(х - хг), (11.5.1)
Z=1
где /гПф (х) — ИХ низкочастотного фильтра.
Рассмотрим результат фильтрации исходной точечной сцены s (х), в которой наряду с точками ГрТО присутствуют ложные отметки:
Ncu
F(x) =XF(x) =X(11.5.2)(11.5.2)s^ • /1пф(х - ^^ = 'F/f ^(х - Х().
F(x) =
X
F(x) =
X
(11.5.2)
(11.5.2)
/=1
Восстановленное изображение (рис. 11.16) представляет собой двухмерное поле — «холмистый» яркостный рельеф. Каждый яркостный «холм» соответствует своей точечной отметке.
На рис. 11.16 даны иллюстрации к процессу формирования результата фильтрации F (х) машинного кадра с изображениями ГрТО.
Рис. 11.16. Пространственная фильтрация ГрТО: а — машинный кадр $ (х), б — ИХ фильтра /гпф(х), в, г — яркостный портрет выходного изображения F (х) соответственно с линейной и логарифмической шкалами яркости (256 уровней), д — карта линий уровней яркости, е — рельефный портрет F (х)Рис. 11.16. Пространственная фильтрация ГрТО: а — машинный кадр $ (х), б — ИХ фильтра /гпф(х), в, г — яркостный портрет выходного изображения F (х) соответственно с линейной и логарифмической шкалами яркости (256 уровней), д — карта линий уровней яркости, е — рельефный портрет F (х)
Рис. 11.16. Пространственная фильтрация ГрТО: а — машинный кадр $ (х), б — ИХ фильтра /гпф(х), в, г — яркостный портрет выходного изображения F (х) соответственно с линейной и логарифмической шкалами яркости (256 уровней), д — карта линий уровней яркости, е — рельефный портрет F (х)
Рис. 11.16. Пространственная фильтрация ГрТО: а — машинный кадр $ (х), б — ИХ фильтра /гпф(х), в, г — яркостный портрет выходного изображения F (х) соответственно с линейной и логарифмической шкалами яркости (256 уровней), д — карта линий уровней яркости, е — рельефный портрет F (х)
При условии согласования ширины полосы пропускания фильтра с плотностью точек ГрТО, группы из компактно расположенных «холмов», соответствующих ГрТО, образуют более яркие «хребты». «Хребты» разделе-
Рис. 1117. Результат пороговой обработки машинного кадра (см. рис. 11.16) на уровне а = 30: а, б — яркостный портрет G (х) соответственно с линейной и логарифмической шкалами яркости; в — карта линий уровня яркости; г — рельефный портрет G (х)Рис. 1117. Результат пороговой обработки машинного кадра (см. рис. 11.16) на уровне а = 30: а, б — яркостный портрет G (х) соответственно с линейной и логарифмической шкалами яркости; в — карта линий уровня яркости; г — рельефный портрет G (х)
Рис. 1117. Результат пороговой обработки машинного кадра (см. рис. 11.16) на уровне а = 30: а, б — яркостный портрет G (х) соответственно с линейной и логарифмической шкалами яркости; в — карта линий уровня яркости; г — рельефный портрет G (х)
Рис. 1117. Результат пороговой обработки машинного кадра (см. рис. 11.16) на уровне а = 30: а, б — яркостный портрет G (х) соответственно с линейной и логарифмической шкалами яркости; в — карта линий уровня яркости; г — рельефный портрет G (х)
ны темными протяженными областями с яркостью, пренебрежимо малой по сравнению со значениями яркости вблизи точечных объектов. Поэтому пороговая обработка изображения F (х) приводит к разбиению машинного кадра на область фона и связные области повышенной яркости (рис. 11.17)
G(x) =G(x) =F(x), если F(x) ^ а.0, если F(x) < а,F(x), если F(x) ^ а.0, если F(x) < а,(11.5.3)(11.5.3)
G(x) =
G(x) =
F(x), если F(x) ^ а.
0, если F(x) < а,
F(x), если F(x) ^ а.
0, если F(x) < а,
(11.5.3)
(11.5.3)
где а — порог по яркости.
Бинарное квантование машинного кадра G (х) на произвольном уровне яркости /3
1,0,1,0,если F(x) > /3, если F^x) < [3если F(x) > /3, если F^x) < [3(11.5.4)(11.5.4)
1,
0,
1,
0,
если F(x) > /3, если F^x) < [3
если F(x) > /3, если F^x) < [3
(11.5.4)
(11.5.4)
приводит к образованию машинного кадра из изображений «плоских АСО». Таким образом, в результате проведенных операций мы перешли от точечных к бинарным по яркости изображениям.
Свойство плоских АСО ограничивать область точечных отметок ГрТО позволяет попутно с выделением признаков формы решать задачи локализации и разрешения ГрТО. При этом локализация сводится к из-
Рис. 11.18. Образование плоских АСО, соответствующих ГрТО на рис. 11.16: а — результат бинарного квантования G(x) на уровне 0 = 80, б — рельефный портрет бинарного по яркости машинного кадра, в — контуры плоских АСОРис. 11.18. Образование плоских АСО, соответствующих ГрТО на рис. 11.16: а — результат бинарного квантования G(x) на уровне 0 = 80, б — рельефный портрет бинарного по яркости машинного кадра, в — контуры плоских АСО
Рис. 11.18. Образование плоских АСО, соответствующих ГрТО на рис. 11.16: а — результат бинарного квантования G(x) на уровне 0 = 80, б — рельефный портрет бинарного по яркости машинного кадра, в — контуры плоских АСО
Рис. 11.18. Образование плоских АСО, соответствующих ГрТО на рис. 11.16: а — результат бинарного квантования G(x) на уровне 0 = 80, б — рельефный портрет бинарного по яркости машинного кадра, в — контуры плоских АСО
Рис. 11.19. Представление яркостного рельефа линиями уровняРис. 11.19. Представление яркостного рельефа линиями уровня
Рис. 11.19. Представление яркостного рельефа линиями уровня
Рис. 11.19. Представление яркостного рельефа линиями уровня
вестной задаче сегментации изображений крупноразмерных объектов путем выделения их границ (контуров) Г^-), где j — номер ГрТО в кадре (рис. 11.18).
Приведенная модель АСО задает отображение Q (х) -> G (х), которое позволяет представлять модель ГрТО моделью АСО [167] в задачах выделения признаков формы ГрТО и распознавания формы ГрТО. Для статистически однородных по плотности ГрТО и соответствующих им однородных по яркости АСО вся инфор
мация о форме сосредоточена на границе объекта и фона [42,5], т.е. в контурах АСО. Это иллюстрирует рис. 11.19, на котором линии уровня имеют максимальную плотность на границах ГрТО.
В связи с этим, для распознавания целесообразно ограничиться моделью плоского АСО Мх) или его контура Г, которая получается в результате пороговой обработки расфокусированного точечного изображения.
При этом удается отойти от много-
численных эвристических попыток рас
познавания формы ГрТО и свести данную задачу к распознаванию контуров бинарных изображений крупноразмерных распределенных объектов.
Критерий компактности групп точечных объектов. Из рассмотренной модели АСО следует «естественный» в данном случае критерий компактности множества точек и условие согласованности полосы прозрачности низкочастотного фильтра шв с компактностью точек ГрТО.
Два множества точек Q^n Q^ при заданном уровне ограничения по яркости Р и фиксированной ширине полосы пропускания восстанавлива-
ющего фильтра шв, являются компактными, если все их элементы располагаются во внутренней области общего АСО (т.е. их АСО пересекаются):
^KOMn(Qi) Qj) = 1? если hi(x) П hj(x) ф 0,^^ ^ ^
Ломп(9г, Qj) = 0 в противном случае.
Выбор полосы пропускания 0... сив восстанавливающего низкочастотного фильтра выбирается из следующих соображений.
С точки зрения обеспечения заданной разрешающей способности при распознавании нескольких ГрТО, расположенных в плоскости машинного кадра, значение шв должно обеспечивать получение неперекрывающихся АСО. Чем больше шв, тем выше разрешающая способность алгоритма. Верхняя граница шв должна в соответствии с (11.5.5) не должна для одиночного ГрТО приводить к JK0Mn — 0. Аналогичное требование предъявляется к полосе пропускания восстанавливающего фильтра для наилучшего соответствия между формами АСО и ГрТО.
При изменении масштаба изображения в машинном кадре необходимо изменять значение шв таким образом, чтобы сохранить заданную разрешающую способность и точность описания формы ГрТО с помощью АСО. Случайный характер изображения ГрТО приводит к тому, что значения признака компактности Ломп при шв = const является случайным событием, появляющимся с вероятностью рКомп- Для обеспечения инвариантности результатов локализации к повороту исходной сцены, дополнительно сузим класс низкочастотных фильтров до имеющих пространственно изотропные Кпф (х):
^пф(х) = /гпф(||х||).(11.5.6)
Форма плоского АСО, полученная путем квантования рельефного АСО G (х) по яркости на уровне /3, зависит в определенной степени от величины /3. В связи с этим возникает задача выбора уровня /3, обеспечивающего наилучшую устойчивость формы АСО при возможных вариациях 0 в заданных пределах.
Для рассматриваемого случая, когда машинный кадр s (х) строится по результатам бинарного обнаружения точечных отметок, эта задача является задачей определения глобального порога при сегментации непрерывных изображений. Для фильтра, согласованного с плотностью точек ГрТО, величина /3 в этом случае будет соответствовать значению функции /1пф (х) в точке с максимальным градиентом [149]:
0 = ^пф (|хопт|) ) где
|хОпт| = arg max (dhn^ (|х|) /d |х|).(11.5.7)
Данное значение 0 будет оптимальным с позиции максимума устойчивости формы для одиночной точечной отметки при условии монотонного характера затухания потенциальной функции. Поскольку в многоточечных ГрТО сильное влияние на форму АСО оказывают лишь его граничные точки, то значение порога /3, задаваемое (11.5.7), будет квазиоптимальным
при получении плоского АСО для ГрТО с произвольным количеством точечных отметок.
После нахождения плоского АСО hj (х) ГрТО Qj можно получить оценку мощности ГрТО Qj*.
kj = ^ s (х) hj (х)- (11.5.8)
X
Мера компактности групп точек. Для решения задачи распознавания ГрТО необходимо оценивать степень компактности подмножеств точек. Базируясь на введенном в п. 11.5.3 понятии компактности двух подмножеств точек, введем меру этой компактности.
Иерархическая группировка. Рассмотрим процесс разделения п точек на С групп, основанный на критерии компактности (11.5.5). Первый уровень разделения дает С = п, т.е. получаем п групп по одной точке в каждой.
Этому разделению соответствует максимальное значение шв = wmax полосы пропускания восстанавливающего фильтра. Каждый последующий уровень разделения уменьшает уменьшает количество групп на единицу и соответственно сужает полосу пропускания фильтра. Примем, что находимся на /-м уровне разделения и С = п — I +1.
Данная последовательность разделений является агломеративной иерархической группировкой, так как любые две точки, попадающие в одну группу на уровне Z, остаются вместе на более высоких уровнях [40]. На
Рис. 11.20. Дендрограмма иерархической группировки множества точечных отметок
рис. 11.20 представлена дендрограмма группировки, в которой исходное множество содержит к = 5 точек.
Когда возникает необходимость измерить степень компактности групп, дендрограмма снабжается вертикальной шкалой. Деления шкалы на каждом уровне группировки дают значение шв полосы пропускания восстанавливающего фильтра, при котором происходит объединение нескольких подмножеств в одно.
Таким образом, данное значение wB является мерой компактности. Чем выше сив, при котором происходит объединение подмножеств, тем выше степень компактности множества из объединяемых подмножеств.
В ряде случаев удобней пользоваться не значением шв, а обратной величиной г = e(ujBl е = const, е > 0. Эта величина служит мерой удаленности подмножеств друг от друга. Можно показать, что неотрицательная величина т является метрикой (расстоянием), так как удовлетворяет следующим аксиомам:
T^QiiQ^^^ ПРИ Qi — Qji т ^QitQj^ = т ^Qj^ Qi^r^Qm^r^QjHT^Qj.QmV
Проанализируем на примере двух частных случаев характер связи между введенной мерой компактности подмножеств точек и ИХ восстанавливающего фильтра. Первый случай соответствует цилиндрической ИХ. В плоскости пространственных координат она образует круг радиусом г/2:
11 при |х| ^ r/2, ^пф = <, ,,(11.5.10)
[0 при |х| > г/2.
Метрика г в данном случае задает не только полосу прозрачности фильтра, но и совпадает с евклидовым расстоянием между двумя точками, которые в результате фильтрации образуют компактное множество. Операция иерархической группировки на основе данной метрики г = = train приводит к известной процедуре построения минимального дерева для группы точек [40]. Алгоритм локализации компактных групп при таком виде ИХ фильтра эквивалентен к описанному в работе [189] алгоритму перекрытия эталонных элементов. Отличие заключается только в том, что в этой работе рассмотрен не круглый, а прямоугольный эталонный элемент.
Второй случай соответствует выбору в качестве ИХ функции, обладающей свойствами потенциальной функции [187], например:
^пф(х|г) = ехр{—|х|2/г2}. (11.5.11)
Фильтрация точечной сцены таким фильтром соответствует процедуре построения кумулятивного потенциального поля точек сцены, которым условно присваивается некоторый заряд, а результаты известных процедур иерархической группировки и локализации компактных групп точек по методу потенциальных функций соответствуют результатам для метода на основе пространственного восстанавливающего фильтра.
Таким образом, перечисленные алгоритмы группировки и локализации являются частными случаями рассмотренного в данном разделе алгоритма локализации ГрТО на основе введенных критерия и меры компактности.
Следует отметить, что выбор различных видов ИХ восстанавливающих фильтров обуславливает отличие некоторых свойств результатов локализации. Например алгоритм группировки при ИХ вида (11.5.11) имеет тенденцию объединять в первую очередь группы из большего числа точек, в то время как при ИХ (11.5.10) мощность групп не имеет значения. Проиллюстрируем данные свойства на примере гипотетических групп с различным числом точек, но с совпадающим расстоянием между соседними точками. При иерархической группировке на основе евклидовой меры г = rmin (т.е. вид ИХ соответствует (11.5.10)) эти группы будут
получены объединением точек на одном уровне (рис. 11.21). В то же время,
Рис. 11.21. Дендрограммы иерархической группировки, иллюстрирующие влияние видов ИХ восстанавливающих фильтров на свойства меры компактности групп точек
кумулятивности группы точек с большей мощностью будут объединены на более низком уровне, т.е. более мощная группа является и более компактной.
Отметим еще одну особенность результатов локализации компактных групп точек описанным в данном разделе методом. В результате более плавного затухания функции (11.5.11) по сравнению с функцией (11.5.10) при выборе ИХ вида (11.5.11) происходит сглаживание влияния независимых флуктуаций координат отдельных точек на форму контура АСО, что обуславливает большую помехоустойчивость формы контуров АСО.
В связи с отличием некоторых свойств алгоритмов локализации групп точек на основе восстанавливающего фильтра при переходе от одного вида ИХ к другому, можно дать следующие рекомендации к выбору ИХ.
Для ситуаций, когда критическим является время принятия решений и качество восстановления границ АСО не имеет существенного значения, целесообразно использовать фильтр с плоской ИХ вида (11.5.10) и евклидову метрику г = rmin, поскольку для данного случая существуют разработанные алгоритмы локализации, с невысокой трудоемкостью [40].
В противоложном случае, т.е. когда время принятия решений не критично, а определяющим является качество решений, следует использовать ИХ в виде потенциальных функций (11.5.11) и соответствующую метрику г. При этом восстановленные границы АСО обладают большей помехоустойчивостью, однако алгоритм локализации характеризуется существенно большим объемом вычислений по сравнению с предыдущей ситуацией.
Обобщенный алгоритм локализации и обнаружения компактных групповых точечных объектов с произвольной формой АСО. Статистический характер фона из ложных отметок в исходном множестве точек приводит к случайным всплескам компактности ложных отметок. Даже если степень компактности этих локальных всплесков достигает степени компактности точек ГрТО, то с большой вероятностью они будут образованы меньшим, чем в ГрТО, числом точек. Это свойство полезно для решения задачи обнаружения ГрТО с неизвестной формой АСО, т.е. когда в исходной сцене могут присутствовать ГрТО различных классов, отличающиеся формой АСО, или ГрТО с нестационарной формой АСО.
Сформулируем задачу обнаружения ГрТО с неизвестной конфигурацией на основе введенных в предыдущем разделе признака и меры компактности групп точек. Предположим, что масштаб наблюдаемого изображения известен и задана статистика фона из ложных отметок. По предъявленной к анализу компактной группе точек Q со степенью компактности, не превышающей го, выдвигаются две альтернативные гипотезы: 1) Но — группа образована исключительно ложными отметками; 2) Hi — группа представляет собой смесь точек ГрТО и ложных отметок. Необходимо вынести обоснованное решение Н в пользу одной из данных гипотез, если условные относительно величины г распределения вероятностей мощности к для групп из смеси точек ГрТО и фона Р (ЦН^т ^ то), а также групп исключительно из точек фона Р (к\Н0) г то) заданы.
Оптимальное решающее правило на основе отношения правдоподобия для фиксированного значения то имеет вид
Нъ если Ль ^ Ак0, Л _ Р(к\Н1,т ^ го) если Ль < Льо, P(k\HOlr г0)
где Льо — порог, назначаемый согласно принятому критерию обнаружения. Такой алгоритм сводится к локализации групп точек с компактностью, не превышающей го, определению мощности к компактной группы в пределах восстановленного при локализации и неизвестного заранее ассоциированного сплошного образа, подстановке к в (11.5.12) и сравнению найденного значения отношения правдоподобия с порогом Льо •
Выбором соответствующих функций /1пф(х), используемых для локализации компактных групп и определяющих свойства меры компактности r(Q), можно получать различающиеся по трудоемкости и вероятностным характеристикам алгоритмы обнаружения ГрТО. В частности, в п. 11.3 подробно рассмотрен алгоритм обнаружения ГрТО с неизвестной конфигурацией. Использование евклидовой метрики в этом алгоритме эквивалентно применению восстанавливающего фильтра с цилиндрической ИХ (11.5.10), а выбор данной ИХ сделан с целью минимизации трудоемкости алгоритма. При такой ИХ для группировки трудоемкую операцию пространственной фильтрации точек можно заменить значительно более простой процедурой построения минимального дерева.
Достоинства описанного алгоритма обнаружения ГрТО заключаются в следующем: 1) инвариантность к параллельному переносу и повороту исходного машинного кадра вследствие инвариантности алгоритмов локализации ГрТО к данным преобразованиям; 2) инвариантность к форме АСО и, следовательно, к номеру класса, поскольку в полученном алгоритме локализации происходит восстановление неизвестного априори АСО и точки группируются естественным образом по критерию компактности.
Адаптивная локализация и структурный анализ групповых точечных объектов. В предыдущих разделах были разработаны алгоритм перехода от ГрТО к изображению АСО и алгоритм локализации, позволяющий восстанавливать границы АСО и группировать компактные
множества точек. Также была введена мера компактности произвольных групп точек. Рассмотрим применение этих результатов к структурному анализу сложных ГрТО. Задача структурного анализа заключается в локализации расположенных в пределах исходного ГрТО пространственно разнесенных подгрупп точек, подсчете количества этих подгрупп и числа точек в каждой из них. Результаты структурного анализа могут быть использованы в качестве дополнительных информативных признаков для распознавания сложного ГрТО.
Для удобства дальнейшего описания введем обобщенное понятие ребра, как синонима связи между двумя множествами связных точек Qi и Qj (по аналогии с таким же понятием из теории графов). Договоримся, что каждому ребру назначается определенная длина (вес), равная принятой в предыдущем разделе мере компактности г (Qi^Qj) подмножеств, связываемых данным ребром. Тогда иерархическую группировку сложного (т.е. состоящего из нескольких компактных подгрупп) ГрТО можно отобразить на плоскости в виде графа — минимального дерева. Пример минимального дерева гипотетического ГрТО из двух подгрупп проиллюстрирован на рис. 11.22. Каждое ребро минимального дерева показыва-
Рис. 11.22. Изображение дендрограммы иерархической группировки сложного ГрТО в виде графа на плоскости исходной точечной сцены
ет на каком уровне компактности происходит объединение групп точек, связанных ребрами меньшей длины. В частном случае, когда метрика г (Qi, Оу) совпадает с евклидовой метрикой г = rmin, ребра данного минимального дерева становятся прямолинейными отрезками, равными по длине евклидовому расстоянию между точками.
Разбиение ГрТО на компактные подгруппы точек при таком рассмотрении осуществляется путем разрушения длинных ребер, превышающих заданный порог т0. Для удобства последующих записей введем некоторые обозначения: R = {rn}i k-\ — множество ребер в графе иерархической группировки обнаруженной группы точек Q, R2 и R± — множества ребер внутри подгрупп и между подгруппами соответственно (R = R2 U R\\
Предположим, что нам известны законы распределения длин ребер внутри подгрупп ГрТО И^г^) и длин связей между подгруппами W (r| Ri), а также среднее число точек в каждой из подгрупп кпт. Тогда
задачу разбиения ГрТО на подгруппы можно решать методом проверки статистических гипотез.
После разрушения г обнаруженных ребер получаем оценку числа подгрупп Кг = ^ + 1. Если распределения W(r|7^i) и W(r|7^2) перекрываются, то возможны ошибки первого и второго родов. В качестве критерия оптимальности целесообразно принять критерий минимальной погрешности оценки числа подгрупп Упг. Он приводит к ситуации, когда ошибки обоих родов одинаково нежелательны, т.е. к различению «длинных» и «коротких» ребер графа иерархической группировки методом максимального правдоподобия.
На рис. 11.23 приведены зависимости вероятностей ошибок от отношения средних внутригрупповых и межгрупповых расстояний р = гГ/г2,
Рис. 11.23. Характеристики обнаружения длинных междугрупповых связей в графе иерархической группировки при анализе степени сложности ГрТО: а — вероятности ошибок первого рода, б — вероятности ошибок второго родаРис. 11.23. Характеристики обнаружения длинных междугрупповых связей в графе иерархической группировки при анализе степени сложности ГрТО: а — вероятности ошибок первого рода, б — вероятности ошибок второго рода
Рис. 11.23. Характеристики обнаружения длинных междугрупповых связей в графе иерархической группировки при анализе степени сложности ГрТО: а — вероятности ошибок первого рода, б — вероятности ошибок второго рода
Рис. 11.23. Характеристики обнаружения длинных междугрупповых связей в графе иерархической группировки при анализе степени сложности ГрТО: а — вероятности ошибок первого рода, б — вероятности ошибок второго рода
если эти расстояния подчиняются релеевскому закону распределения вероятностей, а в качестве критерия оптимальности используется «максимальное правдоподобие».
Отметим, что повышение плотности ложных отметок увеличивает вероятность неразъединения сложного ГрТО. Этот факт иллюстрируется семейством графиков на рис. 11.23, б. На этом рисунке приведены три кривые зависимости 1—D = / (р), построенные для следующих значений плотностей ложных отметок: рс = 0, рс = 40/216 и рс = 80/216. При больших значениях р фоновые отметки оказывают слабое влияние на вероятность объединения подмножеств ГрТО и поэтому три графика этих зависимостей практически совпадают.
Теперь предположим, что масштаб изображения ГрТО не известен, но задан вид законов распределения W (r| Ri )и W (г|Г?2) с точностью до неизвестного масштабного множителя параметров этих распределений. Аналогично тому, как это было сделано в п. 11.2.3, для преодоления априорной неопределенности такого рода предварительно оценим по результатам наблюдений параметры распределений и подставим полученные значения в соответствующие плотности распределения вероятности. Далее поступаем как при решении задачи обнаружения задачи полностью известного сигнала.
Из-за малого числа подгрупп реальных ГрТО по одной выборке — обнаруженной группе точек — невозможно получение достоверных (с ма-
лой дисперсией) оценок параметров распределения ^(rl#!). В то же время часть выборки, составленная из внутриподгрупповых ребер минимального дерева обнаруженной группы точек, является репрезентативной (как правило не менее 10). Следовательно становится возможным получение достаточно достоверных оценок параметров только распределений W (г|2?2) • В связи с этим при принятии решения можно гарантировать заданное значение вероятности ошибки только одного рода. Поэтому в качестве критерия обнаружения междуподгрупповых связей целесообразно использовать критерий Неймана-Пирсона.
Результат адаптивной локализации и структурного анализа групповых точечных объектов по данному алгоритму приведен на рис. 11.24. Внешний контур ассоциированных сплошных образов ГрТО получен при
Рис. 11.24. Адаптивная локализация и структурный анализ ГрТО: а — исходная сцена, б — предварительная локализация ГрТО с глобальным значением параметров расфокусирующего фильтра, в — адаптивная локализация с локальнооптимальными значениями параметров расфокусирующего фильтра, г — результат адаптивной локализации и структурного анализаРис. 11.24. Адаптивная локализация и структурный анализ ГрТО: а — исходная сцена, б — предварительная локализация ГрТО с глобальным значением параметров расфокусирующего фильтра, в — адаптивная локализация с локальнооптимальными значениями параметров расфокусирующего фильтра, г — результат адаптивной локализации и структурного анализа
Рис. 11.24. Адаптивная локализация и структурный анализ ГрТО: а — исходная сцена, б — предварительная локализация ГрТО с глобальным значением параметров расфокусирующего фильтра, в — адаптивная локализация с локальнооптимальными значениями параметров расфокусирующего фильтра, г — результат адаптивной локализации и структурного анализа
Рис. 11.24. Адаптивная локализация и структурный анализ ГрТО: а — исходная сцена, б — предварительная локализация ГрТО с глобальным значением параметров расфокусирующего фильтра, в — адаптивная локализация с локальнооптимальными значениями параметров расфокусирующего фильтра, г — результат адаптивной локализации и структурного анализа
назначении степени расфокусировки исходного изображения по моде глобальной гистограммы компактности точечной сцены с большим запасом (рис. 11.24, б), т.е. на этапе предварительной локализации. Внутренний
контур сформирован локально-оптимальным образом (рис. 11.24, в) для каждого ГрТО, локализованного на первом этапе. Очевидно, что адаптивность такого алгоритма обеспечивает более точное соответствие формы контура АСО и формы ГрТО. Потенциально это должно привести к повышению эффективности последующих алгоритмов распознавания ГрТО.
Анализ характеристик описанного алгоритма локализации подгрупп показывает, что проигрыш в отношении р за счет незнания точного значения масштаба наблюдения составляет около 1,2 дБ, т.е. невелик. В то же время выигрыш по трудоемкости пропорционален числу классов ГрТО. Дополнительным преимуществом алгоритма является минимальное число параметров — в простейшем случае единственный коэффициент Сзап, связывающий величину оценки г2 и пороговую длину ребра графа иерархической группировки: г о = г 2 • Сзап.
Распознавание групповых точечных объектов по форме контура ассоциированного сплошного образа
Алгоритм распознавания. Соответствие между АСО и ГрТО позволяет решать задачу распознавания ГрТО путем распознавания изображений плоских АСО по форме их контуров. Основные этапы формирования дискретного контура АСО показаны на рис. 11.25.
Общие вопросы, связанные с распознаванием изображений по их форме, задаваемой контуром, в рамках аддитивной модели зашумленного
Рис. 11.25. Этапы кодирования формы ГрТО: а — наблюдаемый ГрТО; б — результат восстановления АСО; в — контур АСО; г — конкатенация элементарных векторов в контуре АСОРис. 11.25. Этапы кодирования формы ГрТО: а — наблюдаемый ГрТО; б — результат восстановления АСО; в — контур АСО; г — конкатенация элементарных векторов в контуре АСО
Рис. 11.25. Этапы кодирования формы ГрТО: а — наблюдаемый ГрТО; б — результат восстановления АСО; в — контур АСО; г — конкатенация элементарных векторов в контуре АСО
Рис. 11.25. Этапы кодирования формы ГрТО: а — наблюдаемый ГрТО; б — результат восстановления АСО; в — контур АСО; г — конкатенация элементарных векторов в контуре АСО
сигнала (см. п. 1.6, 1.7, 3.9, 3.10), рассмотрены в п. 4.4. Поскольку изображение АСО получается в результате пространственной НЧ фильтрации, то линии их контуров будут плавными, без резких изломов. Поэтому соседние ЭВ этих контуров сильно коррелированы, а спектры контуров всех АСО являются достаточно узкими и сосредоточены в одной и той же области низких частот. В результате контуры АСО разных классов имеют мало индивидуальных признаков, что приводит к значительному снижению эффективности распознавания. Поэтому целесообразно проанализировать влияние корреляции контуров изображений АСО разных классов на результаты их распознавания.
В общем случае для равновероятных возможных параметров ро = = Ду), \р,\ и d линейных преобразований контура АСО решающее правило в пользу класса Д, г ^ j, j = 1,2,... ,Af, по методу максимальной апостериорной вероятности имеет вид
P^W^Hi^^iAMdi) > PiH^w^Hj,^,^,^),
(11.6.1)
где Д^, |/2| и d — оценки МП параметров угла поворота, масштаба и сдвига начальной точки контура для класса, номер которого указан в нижнем индексе, М — число классов, N — контур зашумленного АСО. После логарифмирования с учетом нормального характера закона распределения вероятностей W для одной из частей выражения (11.6.1) получим
In (р (Н) W (м|я, Д^, |Д|, d\ } = InP (Я) + In С - M^jJ^M^,
I\ I) J2(jBX
(11.6.2)
где
В? = ||N||2 + ||ГМ||2 - 2Re (Ы,ГДу,м>(1)(11.6.3)
— расстояние между контуром N зашумленного АСО, полученного в машинном кадре, и контуров Г эталонного АСО с произвольными значениями параметров линейных преобразований, С = (vc2Tv^~"k^ <у-к 1 к — размерность продискретизированного контура АСО.
Преобразуем выражение для реальной части скалярного произведения:
Re (N, rA¥)j|M|id) = |^| Re {exp (-г'Др) (N, rd)} =
= |^[cosAi-Re(N,rd)+sinA^Im(N,rd)]. (11.6.4)
Подставим в это выражение оценки сдвига d начальной точки контура и угла поворота Ду? (см. п. 4.1):
Re f N Г Д — max / Ы S^Q^iiJ^^1 —
|(N,rd)|J”
= max{|^| ■ |(N,rd)|}.
Так как оценка МП масштаба контура равна |Д| = |(N, Г)| / ||Г||2 , то
Re (^гд^|,а) -niax{|(N,rd)|2/||r||2},ЦГН12 = 1Д12 ||r||2 = |(N,rd)|2/||r||2.
С учетом значений оценок параметров линейных преобразований контура АСО выражения (11.6.3) и (11.6.2) соответственно примут вид
^(n,^,-,^) H|N||2-mjoc{|(N,rd)|2^^^(11.6.6)
1п{я(я<)1г (n|^,a&,|#|,5)} =
-||N||2V (11.6.7)-||N||2V (11.6.7), fmax|(N,rd)|2
-||N||2V (11.6.7)
-||N||2V (11.6.7)
= InP (H) + In С + -Л- ^ ^5
2^1||Г||2
Теперь можно конкретизировать вид алгоритма (11.6.1) принятия решения о классе ГрТО по контуру его АСО. После исключения слагаемых, независящих от номера класса, запишем
НгНг= arg max з= arg max зl(N,rd,,)|21|Г,||l(N,rd,,)|21|Г,||+ 2a2xlnP(^)+ 2a2xlnP(^)з = 1,2,... ,М.(11.6.8)з = 1,2,... ,М.(11.6.8)
Нг
Нг
= arg max з
= arg max з
l(N,rd,,)|21|Г,||
l(N,rd,,)|21|Г,||
+ 2a2xlnP(^)
+ 2a2xlnP(^)
з = 1,2,... ,М.
(11.6.8)
з = 1,2,... ,М.
(11.6.8)
Номер класса г равен значению j, при котором это выражение достигает максимума.
Характеристики распознавания групповых точечных объектов по форме контуров ассоциированных сплошных образов. Условные вероятности ошибок распознавания P(Hj\Hi) соответствуют вероятности превышения максимальным выходным эффектом j-ro канала максимальный выходной эффект г-го канала устройства распознавания, при условии, что истина гипотеза Н^
Р(Н№ =Р(Н№ =W^^d^,W^^d^,(11.6.9)(11.6.9)
Р(Н№ =
Р(Н№ =
W^^d^,
W^^d^,
(11.6.9)
(11.6.9)
где
д,ц , тах^Ы^ -. (11.6.10)
61|Г.||24||Г,1=" VVW 1'
Теоретический расчет ошибок P(Hj\Hi) довольно сложен из-за ненулевой взаимно корреляционной функции эталонов. Однако для случая сильных сигналов, т.е. когда q = ||Г|| /сгвх)^> 1, и при равенстве априорных вероятностей гипотез P(Hi) = P(Hj) его можно упростить и получить соотношения для верхних пределов значений этих ошибок. Так, вследствие неотрицательности модулей величин, входящих в (11.6.10), условная
вероятность ошибки равна
р№\н^ =р№\н^ =оWtAV^H^dAVij,оWtAV^H^dAVij,
р№\н^ =
р№\н^ =
о
WtAV^H^dAVij,
о
WtAV^H^dAVij,
где
...|(N, Г<ц)||(N, rdj)|П1в11х
iv« = "flrF “ T цг,ц ■ (1Lell)
С целью сокращения записей обозначим:
Vi-Vi-l(N,rdii)|ITil(N,rdii)|ITiv |(N,rdJ)|^ = т-|йгv |(N,rdJ)|^ = т-|йг% max|(N,rdii)|% max|(N,rdii)|11 = max|(N,rjj)|11 = max|(N,rjj)|
Vi-
Vi-
l(N,rdii)|ITi
l(N,rdii)|ITi
v |(N,rdJ)|
^ = т-|йг
v |(N,rdJ)|
^ = т-|йг
% max|(N,rdii)|
% max|(N,rdii)|
11 = max|(N,rjj)|
11 = max|(N,rjj)|
В этих выражениях нижний индекс Hi означает, что на вход фильтра, формирующего отсчет скалярного произведения, подан контур зашумленного АСО класса Ai. Используя правила преобразования законов распределения случайных величин, найдем условные распределения слагаемых Vi и Vf.
(11.6.12)(11.6.12)wvi (о = и • w^ «- ]|гл|^),^(с) = цг,-||-т^,.(М|г,|цяа.
(11.6.12)
(11.6.12)
Запись Wyi (£), например, означает плотность вероятности случайной величины Vi в точке £. Распределение вероятностей модулей выходного сигнала КСФ описываются законом Райса (см. п. 3.10). Предполагая, что на входы контурных фильтров, согласованных с сигналами классов Ai и А^ подается зашумленный эталонный контур АСО класса Ai, для распределений на выходе фильтров можно записать
^№) = -Т^ехр[-£^^^0, (11.6.13)
^вхН-*-i||Li|| J \ ^вх /
№) — 22 exp<твх||м||№) — 22 exp<твх||м||il+ИН J2<т;х||Г,||2 J ’il+ИН J2<т;х||Г,||2 J ’№,r,)|\^Х||Г,||2 )№,r,)|\^Х||Г,||2 )^0.(11.6.14)^0.(11.6.14)
№) — 22 exp
<твх||м||
№) — 22 exp
<твх||м||
il+ИН J2<т;х||Г,||2 J ’
il+ИН J2<т;х||Г,||2 J ’
№,r,)|\
^Х||Г,||2 )
№,r,)|\
^Х||Г,||2 )
^0.
(11.6.14)
^0.
(11.6.14)
Используя выражения (11.6.12), получим
Wvi ^ - 4 exp М2^ 'f^2] • Io f ^) , ^0,(11.6.15)
^вх L 2<ТВХ J \ (7ВХ /
wVj (С) = — ехр ^ВХwVj (С) = — ехр ^ВХ£2 + |(Г<,Г,)Н 2<7вх||Г^||2]'£2 + |(Г<,Г,)Н 2<7вх||Г^||2]'/ек^.г^лV ^пг,!! 7 ’/ек^.г^лV ^пг,!! 7 ’е^о.(н.6.16)е^о.(н.6.16)
wVj (С) = — ехр ^ВХ
wVj (С) = — ехр ^ВХ
£2 + |(Г<,Г,)Н 2<7вх||Г^||2]'
£2 + |(Г<,Г,)Н 2<7вх||Г^||2]'
/ек^.г^л
V ^пг,!! 7 ’
/ек^.г^л
V ^пг,!! 7 ’
е^о.
(н.6.16)
е^о.
(н.6.16)
Для случая сильных сигналов, т.е. когда q ^ 1, распределение Райса аппроксимируется нормальным законом:
^(€)~^(||^||,авх),(11.6.17)
Wvj (О ~ N (|(^^.(11.6.18)
Тогда величина А^-, как линейная комбинация произвольно зависимых гауссовских величин, подчиняется нормальному закону распределения:
W (^Vi^Hi) to N ^М№^,О1/2№^ ,(11.6.19)
где
м[дту = ад - M[V,.] = ЦГЛ -1^^1,
= ОД + D\Vj\ - 2cov (Ц, V,) = 2<ТвХ - 2cov ^ V^ , а условная вероятность ошибки находится как значение функции Лапласа
р (н^нЛ to ф (—^Ш, Л5дИ1.(н.6.20)
V я )\ р1/2[ду^]7 <7вх*
Так как ковариация модулей реакций КСФ отличается для каждой возможной пары классов, то для верхней оценки вероятностей P(Hj\Hi) примем крайний случай: cov (K,Vy) = 0. На рис. 11.26 приведены характеристики распознавания по алгоритму (11.6.8) для данного крайнего
Рис. 11.26. Зависимости средней вероятности ошибочных решений при распознавании контуров АСО от отношения сигнал/шумРис. 11.26. Зависимости средней вероятности ошибочных решений при распознавании контуров АСО от отношения сигнал/шумРис. И 27. Эмпирическая зависимость СКО квадратур элементарных векторов шумового контура от СКО координат точечных отметокРис. И 27. Эмпирическая зависимость СКО квадратур элементарных векторов шумового контура от СКО координат точечных отметок
Рис. 11.26. Зависимости средней вероятности ошибочных решений при распознавании контуров АСО от отношения сигнал/шум
Рис. 11.26. Зависимости средней вероятности ошибочных решений при распознавании контуров АСО от отношения сигнал/шум
Рис. И 27. Эмпирическая зависимость СКО квадратур элементарных векторов шумового контура от СКО координат точечных отметок
Рис. И 27. Эмпирическая зависимость СКО квадратур элементарных векторов шумового контура от СКО координат точечных отметок
случая в виде зависимости средней вероятности ошибочных решений от отношения сигнал/шум двых = ||Г||/<гвх для условий Р (Н^ = Р (Н^ ||Гг|| = ||Г||, г = 1,2,... , М. Номера графиков последовательно соответствуют следующим значениям модуля НСП |^| контуров 1\ и Г?: 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9.
Так как контурные шумы АСО определяются координатными шумами точечных объектов ГрТО, то целесообразно установить характер их взаимосвязи. С этой целью на рис. 11.27 приведена в качестве примера
эмпирическая зависимость отношения сигнал/шум qBX = р7| /ствх для контура АСО на входе фильтра к отношению q^ = г/а^ среднего расстояния т междуточечными объектами к СКО <7ВХ координатного шума. Пунктиром на графике указан доверительный интервал для Рдов = 0,9. С помощью
данного графика можно оценить
Рис. 11.28. Зависимость вероятности ошибок распознавания ГрТО от интенсивности ложных отметок в машинном кадреРис. 11.28. Зависимость вероятности ошибок распознавания ГрТО от интенсивности ложных отметок в машинном кадревероятность ошибки распознавания контура АСО от уровня координатных шумов.
Рис. 11.28. Зависимость вероятности ошибок распознавания ГрТО от интенсивности ложных отметок в машинном кадре
Рис. 11.28. Зависимость вероятности ошибок распознавания ГрТО от интенсивности ложных отметок в машинном кадре
На рис. 11.28 приведены эмпирические характеристики распознавания контуров АСО, полученные при моделировании условий наблюдения на ЭВМ для программных реализаций
алгоритма (11.6.8) в результате проведения серии статистических испытаний. Графики иллюстрируют устойчивость алгоритма (11.6.8) к присутствию
в исходном изображении ложных отметок. Все эксперименты проводились для двух классов ГрТО с |^|н ~ 0,7 при фиксированной вероятности пропуска сигнальных отметок рпс = 0,05, СКО отклонений
точек <7Т0 = 0,2 Г2, масштабе изображения, соответствующем г 2 = 5
элементов разрешения. График 1 соответствует средней вероятности ошибочного распознавания Рош, график 2 условной вероятности ошибки Р^Н^ график 3 — Р^н/у
Как следует из приведенных характеристик, для практических ситуаций, когда ||Г|| ^ 100, Г2 = 5, сгто ^ 0,2г2, рпс ^ 0,05, достаточно высокое качество принимаемых решений (1 — Рош) > 0,9 обеспечивается во всем исследованном диапазоне интенсивностей ложных отметок рф 6 [0; 80/216].
Таким образом алгоритм распознавания ГрТО по форме контуров АСО на основе КСФ можно считать устойчивым к аномальным ошибкам в виде ложных отметок и пропусков точек ГрТО вплоть до рф = 80/216 и рпс = = 0,05 соответственно.
Распознавание групповых точечных объектов в виде изображений звезд. Проиллюстрируем применение рассмотренных алгоритмов к распознаванию ГрТО в виде изображений созвездий. На рис. 11.29 приведен комплексный алгоритм обработки сцены звездного неба, а на рис. 11.30 — результаты работы основных этапов алгоритма.
1. Этап предварительной обработки. На этапе предварительной обработки выполняется подавление яркостного шума путем накопления нескольких кадров изображения, а также обнаружение звезд по признакам яркости и площади. Результатами операции обнаружения является точечная сцена зэт(ж, р) (для отображения на экране дисплея) и массив координат обнаруженных изображений звезд {(ж^, Рг)}х к*
2. Этап выделения созвездий. Оператор выделения созвездий осуществляет локализацию созвездий по угловым расстояниям между отметками. Результатом этой процедуры является множество групп точек2. Этап выделения созвездий. Оператор выделения созвездий осуществляет локализацию созвездий по угловым расстояниям между отметками. Результатом этой процедуры является множество групп точекРис. 11.29. Укрупненная блок схема комплексного алгоритма астроориентацииРис. 11.29. Укрупненная блок схема комплексного алгоритма астроориентацииVQmh,Nv^ ГДС Nt ” К0ЛИ“ чество выделенных созвездий с числом точек, не меньшим заданногоТУтш-
2. Этап выделения созвездий. Оператор выделения созвездий осуществляет локализацию созвездий по угловым расстояниям между отметками. Результатом этой процедуры является множество групп точек
2. Этап выделения созвездий. Оператор выделения созвездий осуществляет локализацию созвездий по угловым расстояниям между отметками. Результатом этой процедуры является множество групп точек
Рис. 11.29. Укрупненная блок схема комплексного алгоритма астроориентации
Рис. 11.29. Укрупненная блок схема комплексного алгоритма астроориентации
Этап формирования ассоциированного сплошного образа созвездий. Оператор формирования изображений АСО реализует алгоритм расфокусировки точечного изображения каждого из выделенных созвездий и формирует на своем выходе набор изображений АСО {hm (ж, у^Лт*
Этап выделения контуров АСО созвездий. Следующий оператор осуществляет выделение контура каждого АСО на изображении с помощью алгоритма Розенфельда и формирует цепной стандартный комплекснозначный код контуров: {rmCT}1Nr. Здесь же осуществляется приведение стандартного кода контура случайной размерности кт к коду фиксированной размерности к (эквализация) и, как следствие, переход к произвольному коду контура {Гт}, N„.
Этап идентификации созвездий. Оператор идентификации созвездий предназначен для распознавания контуров АСО методами контурной согласованной фильтрации. Для отказа от распознавания созвездий, не входящих в множество базовых, алгоритм дополнен процедурой обнаружения контура по критерию не превышения заданного расстояния от эталона в признаковом пространстве. Результатом работы оператора служит множество идентификаторов Н, присваиваемых номерам созвездий
Этап предварительной идентификации звезд в созвездиях. Оператор предварительной идентификации звезд производит идентификацию звезд только в распознанных созвездиях по критерию ближайшего соседства отметок в эталонном и наблюдаемом изображении созвездий. Работа оператора заканчивается присвоением номерам г обнаруженных отметок созвездий идентификаторов Ni эталонных звезд из каталога: ^(i О N^
бб
б
б
Рис. 11.30. Результаты основных этапов комплексного алгоритма астроориентации: а — исходное изображение участка звездного неба; б — результат обнаружения светил; в — эталонные контуры АСО созвездий; г — контуры АСО наблюдаемых созвездий; д — нумерация астрономических ориентиров в банке эталонов; е — результат идентификации отдельных светил распознанных созвездий; ж — идентифицированные наблюдаемые созвездия; з — множество всех идентифицированных ориентиров
Этап совмещения изображений АСО. Оператор совмещения АСО выполняет совмещение наблюдаемого кадра с опознанным АСО созвездия и эталонного кадра с одноименным эталонным АСО. Совмещение осуществляется путем совмещения центров тяжести контуров АСО и поворота одного из кадров на угол, равный полученной оценке Ду> при распознавании.
Этап идентификации множества обнаруженных звезд. Оператор идентификации звезд с учетом полученной предварительной оценки ориентации реализует окончательную идентификацию всех звезд кадра изображения по критерию ближайшего соседства: {(г О N^T N .
Основными достоинствами рассмотренного подхода к распознаванию ГрТО на основе анализа вторичного описания, отличающими его от пространственного подхода, описанного в предыдущей главе, являются:
низкая трудоемкость (в среднем до 0,8-2,5 млн операций типа сложение/умножение при алфавите из 10 классов ГрТО) за счет малой размерности описания (обычно не более 100), а также инвариантности алгоритма распознавания к масштабу и угловой ориентации изображения;
принципиальная возможность принимать решения о классе ГрТО, когда априорные данные о возможных значениях части признаков отсутствуют (например, неизвестна форма ГрТО).
При этом надежность принимаемых решений по совокупности признаков остается в рамках значений, представляющих практический интерес, т.е. не хуже 0,9-0,95 в диапазоне интенсивностей ложных отметок до 1,57 • 10“3, что подтверждается расчетными и эмпирическими, полученными статистическим моделированием, характеристиками алгоритмов.
11.7. Различение групповых точечных объектов с нестационарной конфигурацией
Постановка задачи и основные подходы к ее решению. Для различных семейств ГрТО (множеств классов с близкими свойствами) наборы информативных признаков могут отличаться. В связи с этим для оптимизации надежности и быстродействия распознавания необходима предварительная классификация семейств ГрТО. Если форма ГрТО между сеансами наблюдения изменяется, т.е. ГрТО является нестационарным, то детальная классификация бывает невозможной и определение его семейства имеет самостоятельное значение.
Примером семейств ГрТО, существенно отличающихся по своим свойствам, являются «цепочки» и «скопления» (рис. 11.31). Идеализированный (в отсутствии шумов) цепочечный ГрТО представляет собой множество точек на плоскости изображения, расположенных с некоторым (возможно случайным) шагом вдоль гладкой линии с малой кривизной. «Скопления» — множества точек, распределенных по площади. Очевидно, что семейства данных объектов отличаются закономерностью расположения точек независимо от параметров линейных геометрических преобразований исходного изображения, т.е. отличаются формой.
В данном разделе предлагается методика различения этих семейств по спектрально-корреляционным характеристикам контуров ассоциированных с ГрТО сплошных образов.
ГрТО семейства"Цепочка" tГрТО семейства"Цепочка" tГрТО семейства "Скопление"ГрТО семейства "Скопление"Рис. 11.31. Изображения семействгрупповых точечных объектов «це-почка» и «скопление»Рис. 11.31. Изображения семействгрупповых точечных объектов «це-почка» и «скопление»Моделью контура АСО могут служить, например, эквипотенциальная линия поля, образованного зарядами, размещенными в точках ГрТО, линия одинаковой яркости расфокусированного изображения ГрТО, а также минимальное дерево — граф с минимальной суммарной длинной ребер, где точки ГрТО вершины, а ребра — соединяющие их отрезки. Эти модели АСО имеют близкие с точки зрения различения семейств «цепочки» и «скопления» характеристики. С учетом этого в качестве рабочего выбран
ГрТО семейства"Цепочка" t
ГрТО семейства"Цепочка" t
ГрТО семейства "Скопление"
ГрТО семейства "Скопление"
Рис. 11.31. Изображения семействгрупповых точечных объектов «це-почка» и «скопление»
Рис. 11.31. Изображения семействгрупповых точечных объектов «це-почка» и «скопление»
наименее трудоемкий метод описания формы ГрТО — посредством контура минимального дерева ГрТО (рис. 11.32). Примем, что в результате цепного комплекснозначного кодирования полигональной аппроксимации контура N(x) формируется вектор-контур N = {^(n)}0 k-1.
Рис. 11.32. Описание и кодирование формы «цепочек» и «скоплений»Рис. 11.32. Описание и кодирование формы «цепочек» и «скоплений»
Рис. 11.32. Описание и кодирование формы «цепочек» и «скоплений»
Рис. 11.32. Описание и кодирование формы «цепочек» и «скоплений»
Контуру N в пространстве Ск соответствуют свой спектр мощности и нормированная АКФ
к-1
Ч ^ == ^ U ^ V* ^ ’
Ч Ч п=о
где ||N112 — квадрат нормы (энергия) контура N, d - смещение начальной точки контура.
Упорядоченность точек цепочечного ГрТО вдоль линии слабой кривизны обуславливает сильную корреляцию направлений элемент ЭВ контура минимального дерева «цепочки» Nu, медленно убывающую с удалением одного ЭВ от другого, и, следовательно, широкий интервал корреляции и сосредо-
точенный в области низких частот спектр мощности. Для контура минимального дерева «скопления» Nc, вследствие сильной разветвленности графика минимального дерева, степень корреляции направлений ЭВ убывает значительно быстрее. В результате, для контура Nc характерен узкий интервал корреляции, и, следовательно, существенно более широкий спектр.
Таким образом, контуры минимальных деревьев ГрТО являются реализациями либо низкочастотного узкополосного, либо широкополосного
процесса соответственно с широким и узким интервалами корреляции.
Рис. 11.33. Графики нормированных АКФ «цепочек» и «скоплений»Рис. 11.33. Графики нормированных АКФ «цепочек» и «скоплений»Графики модулей нормированной АКФ контуров Гц и Гс, идеализированных ГрТО типа «цепочка» и «скопление» соответственно, приведены на рис. 11.33 (модуль АКФ Nu — сплошная линия, модуль АКФ Nc — пунктир).
Рис. 11.33. Графики нормированных АКФ «цепочек» и «скоплений»
Рис. 11.33. Графики нормированных АКФ «цепочек» и «скоплений»
отметок становится неотличимым от спектра «скопления». Тем не менее,отметок становится неотличимым от спектра «скопления». Тем не менее,Следует отметить, что при наличии ложных отметок, отнесенных на этапе обнаружения к ГрТО, в минимальном дереве объектов появляются дополнительные, со случайной ориентацией ложные ребра. В результате спектр контура АСО «цепочки» расширяется, а при значительной плотности ложных
отметок становится неотличимым от спектра «скопления». Тем не менее,
отметок становится неотличимым от спектра «скопления». Тем не менее,
до определенного предела контур минимального дерева «цепочки» можно считать статистически более узкополосным по сравнению со спектром «скопления». В отличие от «цепочки», зашумление «скопления» практически не меняет широкополосный характер спектра контура его минимального дерева, т.е. контур Nc является шумоподобным.
В связи с тем, что лишь ширина спектра контура, а не каждый его отсчет в отдельности, несет информацию о принадлежности ГрТО к одному из семейств классов, целесообразно в качестве информативного признака выбрать именно данную характеристику ГрТО. С учетом связи шири
ны спектра мощности и ширины интервала корреляции сигналов для минимизации вычислений выберем в качестве меры сосредоточенности энергетического спектра контура в области низких частот размер его интервала корреляции т, определяемый как ширина главного лепестка модуля АКФ вектор-контура N: т = inf [[ту (d)\ < ?;0].
Вследствие случайного характера шума размер интервала корреляции в обоих случаях становится случайной величиной с плотностью вероятности РГц(т|д) для «цепочки» и Wc(r|g) для «скопления», где q — параметр, характеризующий относительную мощность шума. Плотности вероятности показаны условными, так как могут меняться с изменением мощности шума.
Предположим, что после построения АСО обнаруженной группы и выделения его границ на вход различителя подается контур N. Необходимо путем анализа ширины интервала корреляции т контура N принять обое-
нованное решение Н в пользу одной из гипотез: Hi — контур «цепочки», Н2 — контур «скопления», если статистика помех задана и, следовательно, известны условные плотности вероятности W (r\Hi,q) = ^(т^), W(r^H2,q) = И^д).
Алгоритм различения «цепочек» и «скоплений». Оптимальный в смысле критерия отношения правдоподобия различитель должен реализовать алгоритм
Я =Я =HiН2HiН2при Ат ^ Ао, при Ат < Ао,при Ат ^ Ао, при Ат < Ао,Ж(т|Я1,д)W^\H2,qYЖ(т|Я1,д)W^\H2,qY(11.7.1)(11.7.1)
Я =
Я =
Hi
Н2
Hi
Н2
при Ат ^ Ао, при Ат < Ао,
при Ат ^ Ао, при Ат < Ао,
Ж(т|Я1,д)
W^\H2,qY
Ж(т|Я1,д)
W^\H2,qY
(11.7.1)
(11.7.1)
где Ао — порог, назначаемый согласно заданному критерию оптимальности.
Степень зашумленности контура изображения минимального дерева наблюдаемого ГрТО будем характеризовать величиной q, равной отношению энергии эталонного контура Ер = ||Г||2 к средней энергии шумовых составляющих Яш, отличающих наблюдаемый контур N от эталонного Г: q = Ер/Еш [166].
Анализ результатов серии экспериментов для определения порогового уровня т/о различителя с минимальной вероятностью ошибок [164]
покивает, что различимость классов улучшается с понижением уровня ту0, а начиная со значения т/о ~ 0,2 резко падает. Это объясняется обо
стрением пика главного лепестка АКФ
высокочастотными шумовыми спектральными компонентами. Спад различимости классов на низких уровнях ?7о < 0,2 обусловлен нечеткой границей главного лепестка с остальной частью модуля АКФ.
Значение оптимального уровня ту0 приблизительно равно 0,3. Это значение взято в дальнейшем за фиксированный уровень измерения интервала
корреляции в различителе «цепоч- Рис. 11.34. Гистограммы распределе- ка» — «скопление». На рис. 11.34 при- ний ширины интервала корреляции ведены оценки условных плотностей контуров «цепочек» и «скоплений» вероятности W^Hi^q) (сплошная
линия) и W (T\H2lq) (штриховая) при q = 4,47 дБ для выбранного уровня туо • По оси абсцисс откладывается значение т, взятое в процентах
от размерности к контура.
Анализ оценок W (т|Я1, q) и W (r\H2,q) показал, что до тех пор, пока средняя плотность ложных отметок не превышает плотности точек ГрТО, можно предположить, что отношение правдоподобия Ат является монотонной функцией величины т на интервале т е ]0, arg max {W (т|Я1, д)}], а на интервале т е ] arg max {W (t|jETi, g)}, 100%] выполняется неравенство AT ^> 1.
Тогда решающему правилу (11.7.1) эквивалентно следующее правило
(11.7.2)(11.7.2)Я1 при т ^ T^qY
(11.7.2)
(11.7.2)
Н^ при т < T0(qY
где т0 (q) — функция порога различения от отношения с/ш, значение которого определяется из равенства Лт = Ло.
Сравнение алгоритмов (11.7.1) и (11.7.2) показывает, что для реализа
ции второго алгоритма требуется существенно меньший объем запоми-
Рис. 11.35. График значений оптимального порога различения при различной величине шумовРис. 11.35. График значений оптимального порога различения при различной величине шумовнающего устройства так как достаточно хранить единственную зависимость то (q), в отличие от алгоритма (11.7.1), где требуется одновременно хранить множество условных плотностей вероятностей. Кроме того, алгоритм (11.7.2) менее трудоемок.
Рис. 11.35. График значений оптимального порога различения при различной величине шумов
Рис. 11.35. График значений оптимального порога различения при различной величине шумов
На рис. 11.35 приведен график зависимости оценочного значения то от отношения сигнал/шум q для критерия минимума суммы условных вероятностей ошибок различения (Ло = 1). Сплошной линией показано выбороч
ное среднее, а пунктиром — доверительный интервал истинного значения порога т0 (д) для доверительной вероятности 90%.
Характеристики различителя. Разнообразие классов семейств групповых точечных объектов затрудняет и делает нецелесообразным построение теоретических характеристик эффективности работы полученных алгоритмов. Для иллюстрации качества работы различителя приведем лишь результаты его статистических испытаний для конкретных условий наблюдения. В качестве эталонов взяты идеализированные ГрТО: 1) цепочечный ГрТО из 16 точек, расположенных равномерно вдоль остов- ной линии с кривизной, соответствующей т = 13%; 2) «скопление» из 16 точек, расположенных в виде квадратной матрицы. Масштаб изображений обоих объектов устанавливался исходя из равенства средних расстояний между соседними точками обоих ГрТО. При формировании исходной сцены точки флуктуировали относительно эталонных положений по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и СКО, равным 10% от гс. Вероятность пропуска точки ГрТО была зафиксирована на уровне 0,05.
График оценки характеристик оптимального различителя в виде зависимости вероятности принятия ошибочного решения РОш = {Р(Я2 1^1) + 4- Р(Щ |Я2)}/2 от величины ^(дБ), представлен на рис. 11.36. В узлах сплошной ломаной линии значения оценок Рош получены, как выборочное среднее нескольких независимых оценок Рош. Причем, в каждом случае число оценок выбиралось, исходя из равенства их доверитель-
ных интервалов. Пунктиром даны границы доверительного интервала для истинного значения Рош, найденные по методу Стьюдента для доверительной вероятности 90%.
Результаты статистических испытаний различителя, реализующего алгоритм (11.7.2), продемонстрировали практическое совпадение его ха
рактеристик с характеристиками алгоритма (11.7.1). Это объясняется слабой чувствительностью алгоритма (11.7.2) к погрешностям в выборе порога то на выбранном интервале q. так как значения производных функций правдоподобия на этом интервале в окрестностях т0 (д) , заданных полученным доверительным интервалом, близки к нулю.
Для наглядной интерпретации ха
рактеристик рассмотренных различи-
телей отметим, что указанный диа- ^ис* И*36, Характеристики разли- /- чителя «цепочек» и «скоплений»
пазон д(дБ) для оговоренных условии
проведения экспериментов и масштаба
изображения ГрТО, соответствующего среднему расстоянию между соседними точечными объектами тс — Ь элементов разрешения, пере
крывает диапазон интенсивностей ложных отметок от рф = 0 до р^ = = 80/216 = 1,27 • 10-3. Причем, даже для наихудшей ситуации вероятность ошибки различения остается меньшей 10-2.
На рис. 11.37 приведены результаты работы алгоритма распознавания ГрТО, где на первом этапе выполнено различение семейств «цепочка»
IliiBiiMliiililllil^
■iilililiilliiiill^^
JglglgJglglgОбъект № 1СкоплениеОбъект № 1Скоплениесреднее число ложных отметок в сцене. 10
Jglglg
Jglglg
Объект № 1
Скопление
Объект № 1
Скопление
вероятность ложной тревоги 0,001
среднее расстояяние между соседними точками 10
порог обнаружения по расстояние 28,2426406871193
порог обнаружения по кол-ву точек 4,95047047057715
вероятность правильного обнаружения ГрТО 0,992506168355629
Объект № 3СкоплениеОбъект № 3СкоплениеОбъект № 2 СкоплениеОбъект № 2 Скопление^Объект № 4Цепочка^Объект № 4Цепочка1 Скопление'СкоплениеЦепочка ...| №> 0 9999Р(Н2> 0.9787Р(Н> 0.9241Р(Н4> 0 99661 689124 .1 8896.58388 92435.3964| 0 93250.93250,9'325.0.9925|1 31. 2SJ(198.62)1 62. 721(222 180)1418.11I13.8'1 Скопление'СкоплениеЦепочка ...| №> 0 9999Р(Н2> 0.9787Р(Н> 0.9241Р(Н4> 0 99661 689124 .1 8896.58388 92435.3964| 0 93250.93250,9'325.0.9925|1 31. 2SJ(198.62)1 62. 721(222 180)1418.11I13.8'|Тип J _ Класс'‘ ,В<слоТсГ|Тип J _ Класс'‘ ,В<слоТсГпорог классификации по интервалу корреляции 10
Объект № 3
Скопление
Объект № 3
Скопление
Объект № 2 Скопление
Объект № 2 Скопление
^Объект № 4
Цепочка
^Объект № 4
Цепочка
1 Скопление
'Скопление
Цепочка ...
| №> 0 9999
Р(Н2> 0.9787
Р(Н> 0.9241
Р(Н4> 0 9966
1 6
8
9
12
4 .1 889
6.5838
8 9243
5.3964
| 0 9325
0.9325
0,9'325.
0.9925
|1 31. 2SJ
(198.62)
1 62. 721
(222 180)
1
4
18.1
1I
13.8'
1 Скопление
'Скопление
Цепочка ...
| №> 0 9999
Р(Н2> 0.9787
Р(Н> 0.9241
Р(Н4> 0 9966
1 6
8
9
12
4 .1 889
6.5838
8 9243
5.3964
| 0 9325
0.9325
0,9'325.
0.9925
|1 31. 2SJ
(198.62)
1 62. 721
(222 180)
1
4
18.1
1I
13.8'
|Тип J _ Класс'‘ ,В<слоТсГ
|Тип J _ Класс'‘ ,В<слоТсГ
Рис 11.37. Представление результатов автоматического распознавания групповыхточечных объектов
и «скопление». На этом же рисунке даны условия наблюдения и значения вторичных признаков по которым выполнялось распознавание.
Как следует из приведенных результатов исследований, различитель, реализующий один из рассмотренных алгоритмов, является достаточно помехоустойчивым и обеспечивает высокую различимость ГрТО типов «цепочка» и «скопление». Трудоемкость вычисления достаточной статистики распознавания не зависит от параметров геометрических преобразований подобия исходного изображения и составляет около 0,3 млн операций типа сложение/умножение.
Обсуждение результатов
В данной главе рассматривались подходы к решению задач обнаружения и распознавания ГрТО в зашумленных точечных сценах. Основная идея заключается в применении методов контурного анализа для обработки и понимания изображений групповых точечных объектов. При этом термин «понимание изображений» в соответствии с [5] здесь предполагает операции анализа сцены с целью обнаружения, измерения параметров, структурного анализа и распознавания групповых точечных объектов. Эти операции базируются на математических моделях ассоциированного сплошного образа (АСО) и мере пространственной компактности произвольных множеств точек на плоскости.
Математической моделью АСО является изображение с ограниченным спектром пространственных частот, которое считается исходным по отношению к результату его дискретизации в виде ГрТО. Данная модель задает однозначное линейное отображение — расфокусировку изображения ГрТО (построение кумулятивного потенциального поля), которое позволяет представлять модель ГрТО моделью АСО в задачах выделения признаков формы и распознавания формы объектов. Поскольку для статистически однородных по плотности точек ГрТО и соответствующих им однородных по яркости АСО вся информация о форме сосредоточена на границе объекта и фона, то для распознавания данных объектов использована модель контура АСО, которая получается в результате пороговой обработки расфокусированного точечного изображения. При этом удается отойти от многочисленных эвристических попыток распознавания формы ГрТО и свести данную задачу к описанной ранее задаче распознавания контуров изображений распределенных объектов.
Из данной модели АСО следует естественный критерий пространственной компактности или группировки произвольных множеств точек. Множество точек считается компактным, если все точки этого множества принадлежат одному АСО. При этом естественной мерой пространственной компактности служит ширина полосы пропускания расфокусирующего фильтра, при которой множество точек становится компактным.
Модель АСО и мера компактности позволили ввести количественные характеристики плотности расположения точек ГрТО с произвольной
(в том числе и нестационарной) формой АСО, меру схожести формы ГрТО, и других вторичных признаков, задать правила их выделения, получить распределения вероятностей значений этих признаков, необходимых для синтеза оптимальных решающих правил распознавания ГрТО.
Так, использование меры компактности позволяет упорядочить все подмножества обнаруженной группы точек по степени их пространственной близости — получить граф иерархической группировки точек или минимальное дерево, где вершины — точки, а ребра — связи между подмножествами с длиной, равной степени их пространственной близости. Разрушение любого ребра такого графа приводит к разбиению группы на два непересекающихся компактных подмножества. С учетом этого, задачи локализации компактных групп точек (группировка точек и пространственное ограничение групп) и анализа степени сложности ГрТО (выделения однородных компактных подгрупп неоднородных по плотности точек ГрТО) при формировании вторичного описания объекта сведены к задачам обнаружения соответственно коротких и длинных связей между подгруппами, и решены оптимально с позиций принятых в математической статистике и радиолокации критериев качества.
На основе данной меры синтезирован по методу отношения правдоподобия обобщенный алгоритм обнаружения ГрТО с неизвестной формой АСО и получена его конкретная реализация для случая цилиндрической ИХ расфокусирующего фильтра. В этом случае мера компактности соответствует минимальному евклидовому расстоянию между всеми подмножествами заданного множества точек на плоскости. Инвариантность алгоритма к форме АСО и положению объекта в сцене достигается за счет восстановления АСО на этапе локализации компактных групп точек. При этом потери в качестве принимаемых решений из-за неопределенности относительно формы АСО являются приемлимыми: снижение порогового значения плотности ложных отметок в 1,5-2 раза по сравнению с использованием пространственного согласованного фильтра. Благодаря инвариантности алгоритма к положению ГрТО в сцене и номеру класса достигается существенный выигрыш в быстродействии.
Вопросы и упражнения
В чем заключается задача понимания изображений в точечной сцене?
Какими признаками характеризуются ГрТО?
Составьте несколько видов аналитического описания точечной сцены на рис. 11.38, а.
Каковы основные мешающие факторы при обработке групповых точечных объектов?
Какими способами группе точек можно поставить в соответствие сплошное изображение?
Получите граф минимального дерева для группы точек на рис. 11.38, а.
Проведите локализацию ГрТО (рис. 11.38, б), используя алгоритм на основе минимального дерева.
Рис. 11.38Рис. 11.38
Рис. 11.38
Рис. 11.38
Задайте необходимые параметры и постройте кумулятивное потенциальное поле для сцены на рис. 11.38, в.
Выполните на уровне максимального градиента потенциальной функции бинарное квантование полученного в упражнении 8 кумулятивного поля и постройте код контура плоского АСО.
Проведите иерархическую группировку точечных объектов в сцене на рис. 11.38, г.
ЧАСТЬ III
КОНТУРНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
Глава 12
СЛОЖНЫЕ СИГНАЛЫНА БАЗЕ КОМПОЗИЦИОННЫХ КОНТУРОВ
Введение
Применение методов теории сигналов к задачам обработки изображений позволило выработать подходы к синтезу эффективных алгоритмов анализа и понимания сцен. Это стало возможно за счет перехода от поточечного анализа изображений к обработке наиболее информативной их части — контуров. При этом контуры рассматривались как дискретные комплекснозначные сигналы, к которым применимы все операции, характерные для обработки сигналов: спектральный анализ, различные виды фильтрации, обнаружение, оценка параметров, распознавание, разрешение и др. Именно переход от действительных сигналов к комплексным позволил увеличить информативность результата вычисления их скалярного произведения, являющегося базовой операцией обработки сигналов.
«Сигнальный» подход к обработке изображений дает возможность ставить и решать задачи поиска оптимальных для различных задач форм изображений. Полученные при этом результаты могут быть полезны и в традиционных для обработки сигналов областях — локации и связи. Здесь, в силу широкого применения гармонических сигналов, часто используется их комплексное представление. Модуль вектора, заданного на комплексной плоскости, определяет величину амплитуды гармонического сигнала, а аргумент вектора — начальную фазу сигнала. Если сигнал состоит из нескольких кодовых интервалов, то каждому кодовому интервалу ставится в соответствие свой вектор. Векторная диаграмма, получаемая конкатенацией векторов, образует контур, однозначно задающий описываемый сигнал (см. п. 1.6). Поэтому ряд результатов, полученных в контурном анализе, может быть успешно применен для синтеза и обработки радиотехнических сигналов.
В данной главе рассматриваются вопросы синтеза и анализа кодирующих последовательностей сложных сигналов и методов их обработки для решения задач обнаружения, разрешения, распознавания и оценки параметров. Требования к параметрам сигнала при решении этих задач взаимнопротиворечивы. Ниже, в качестве кодирующих последовательностей рассматриваются особые контурные сигналы — композиционные контуры. Их структура позволяет в определенной степени сгладить упомянутые противоречия. Составными частями композиционных контуров являются ЭК, обладающие дельтовидными спектрами (см. п. 2.2). Они образуют алфавит сигналов, имеющих максимальную взаимную различимость, что важно для их эффективного распознавания (см. п. 4.4). В целом композиционные контуры обладают равномерным энергетическим спектром (РЭС), дельтовидной циклической АКФ, единичным пик-фактором, что делает их также эффективными при обнаружении, разрешении и оценке параметров. С целью сравнения со свойствами композиционных контуров проводится обзор некоторых распространенных видов сложных сигналов.
Обзор кодирующих последовательностей сложных сигналов и подходов к их синтезу
Сигналы с линейной частотной модуляцией. Сигнал с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ) был одним из первых сложных сигналов, примененных в радиолокации. Аналитические представления такого сигнала и (£) и закона частотной / (t) модуляции имеют вид [55, 57, 151]
«(D-^rect^)^-1,
где ти — длительность сигнала, ос — параметр частотной модуляции, Ф (^ — функция, задающая закон изменения мгновенной фазы сигнала. Функция неопределенности ЛЧМ сигнала имеет ножевидную форму с областью высокой корреляции, сосредоточенной вдоль прямой ост + 4- ф = 0. Поэтому сигналы, удовлетворяющие такому условию, являются неразрешимыми. Одиночный ЛЧМ сигнал широко используется как зондирующий сигнал, обладающий высокой энергией за счет большой длительности, позволяющий при сжатии обеспечить хорошее разрешение по дальности и высокое отношение сигнал/шум.
В качестве фильтра сжатия используются устройства с прямоугольной АЧХ и квадратичной ФЧХ, например, дисперсионные линии задержки. Импульс на выходе фильтра имеет огибающую вида (sin ж)/ж, что создает опасность маскировки основного лепестка сжатого радиоимпульса, отраженного от цели с малой эффективной поверхностью рассеяния, боковыми лепестками сильного сигнала.
Дискретно-кодированные сигналы. В общем случае дискретно-кодированные сигналы (ДКС) представляют собой упорядоченные последовательности, которые воздействуют через фиксированные промежутки времени (кодовые интервалы) на амплитуду, фазу и частоту когерентной
непрерывной несущей [57]. Общее описание этих сигналов задается в виде {к
52 anP„(t)exp[j{(w0+ш„) < + ©„}], Os$tOrm
п=1(12.1.1)
О при других t,
где ri = 1,2,... ,£:; ап, шП1 0П — амплитуда, частота и фаза модулирующей (кодирующей) последовательности; Рп (£) — импульс единичной амплитуды фиксированной длительности тки определяется следующим образом
р f f* (t - fa - 1]Тки) = 1 при (тг - 1) тки ПТки, (о при других t.
Функция неопределенности ДКС в общем случае записывается как [57]
к кк кUn W U*mUn W U*m(t + т) ехр [—г2тг<^ (^)]^,(t + т) ехр [—г2тг<^ (^)]^,п=1 т=1п=1 т=1
к к
к к
Un W U*m
Un W U*m
(t + т) ехр [—г2тг<^ (^)]^,
(t + т) ехр [—г2тг<^ (^)]^,
п=1 т=1
п=1 т=1
причем
к
и (t) ехр [—гсио^] = 52Un^-тг=1
ДКС условно делятся на три основные группы, характеризуемые соотношениями:
— группа I: {0П} = 0; {wn} - 0; {an = (1,0)};
группа II: {wn} = 0;
группа III: {an = (1,0)}; {6П} = 0.
ДКС группы I. Эти сигналы представляют собой последовательности импульсов с постоянными значениями несущей частоты и начальной фазой. Аналитическое представление таких ДКС имеет вид:
{
к
52 a„P„(t) ехр [jaV], 0 t ктт,
п=1(12.1.2)
0 при других t.
Последовательности, описываемые (12.1.2), могут быть регулярными и нерегулярными. Функция неопределенности |%(т, у>)| регулярной последовательности является многопиковой, поэтому возможно появление неоднозначностей измерения дальности и скорости. Если статистическая связь при чередовании нулей и единиц мала, то вид функции неопределенности приближается к кнопочной. Один из способов уменьшения этой связи состоит в варьировании интервалов между импульсами. Подобные сигналы называют нерегулярными импульсными последовательностями. Функция неопределенности таких сигналов имеет при |т| = тки кнопочный вид, причем боковые лепестки ее не превышают 1//с. Преимущества этого сигнала заключаются в возможности одновременного разрешения по дальности и скорости при отсутствии неоднозначности по дальности.
ДКС группы II. Бинарные фазовые коды. Общее представление для бинарных фазовых кодов имеет вид [57]:
т J Е Fn Wexp[i(w0^ + ^n)], 0^fcT„,
I О при других t,
где 9n = {0, тг}.
Коды Баркера. Это семейство бинарных последовательностей характеризуется соотношением
{
к при п = О,
±1,0 при 71^0.
Нормированная АКФ комплексной огибающей ФМ сигнала, кодированного последовательностью Баркера, при временном сдвиге, кратном длительности кодового интервала тки, равна
у (птки) = ^53^^+™’(12.1.4)
где d,H = cos 0П. Величина 6n = {0, тг} играет роль начальной фазы гармонического колебания v = V cos (wq£ ± ^п) с частотой wo и амплитудой V, существующего в пределах n-го кодового интервала.
Существует всего девять последовательностей Баркера (см. табл. 12.1). Элементы кодов Баркера с нечетным значением к связаны между собой
Таблица 12.1. Последовательности Баркера
к
{Сп}
x(n,0), n = 0,1,... , к — 1
2
1; 1
2; 1
2
-1; 1
2; -1
3
1; 1; -1
3; 0; 1
4
1; 1; -1; 1
4; -1; 0; 1
4
1; 1; 1; -1
4; 1; 0; -1
5
i; i; i; -i; i
5; 0; 1; 0; 1
7
1; 1; 1; -1; -1; 1; -1
7; 0; -1; 0; -1; 0; -1
11
1; 1; 1; -1; -1; -1; 1; -1; -1; 1; -1
11; 0; -1; 0; -1; 0; -1; 0; -1; 0; -1
13
1; 1; 1; 1; 1; -1; -1; 1; 1; -1; 1;
-1; 1
13; 0; -1; 0; -1; 0; -1; 0; -1; 0; -1;
0; -1
рекуррентной формулой сп = Ck-n-i (—1)п+^ 1^2, где сп = ехр{г6п}, сп = ±1.
М-последовательности. ^-последовательности или коды максимальной длины образуются с помощью рекуррентных соотношений. Очередной, (г ± 1)-й элемент М-последовательности находится из соотноше-
ния «i+i = «1^ ф «2»г-1 Ф • • • Ф «па^_п, где коэффициенты « равны либо 0, либо 1 и определяются на основе неприводимых полиномов [85].
^-последовательности содержат k = 2п — 1 знаков, где п — разрядность формирующего регистра. Аналитически сигналы этого вида можно представить выражением
Г 1(1тки\Г 1(1тки\к + 12к + 12-1/2 к
Г 1(
1тки\
Г 1(
1тки\
к + 1
2
к + 1
2
Cn rect
П=1
=
где ап и фп — амплитуда и фаза n-го импульса. Функция неопределенности усеченной ^-последовательности приближается к кнопочной с уровнем боковых лепестков 1 / Vk.
Для периодической корреляционной функции выполняется условие
I 2П — 1, п = 0 mod (kV [—1, п ф 0 mod (&).
Это свойство аналогично результату, полученному для последовательностей Баркера.
Коды Фрэнка. Дискретным аналогом сигнала, частота которого модулирована по линейному закону, является многофазный сигнал Фрэнка [55, 57]. Он имеет постоянные амплитуду и несущую частоту, состоит из к = п2 элементарных радиоимпульсов длительностью тки. Значения начальных фаз на кодовых интервалах определяются соотношением
(12.1.5)(12.1.5)ср (тг) = 2тг^7 (п) ,
(12.1.5)
(12.1.5)
,1 n — 1 Г 11к — I —-— I п — 1 j,,1 n — 1 Г 11к — I —-— I п — 1 j,где р — число, взаимно простое с к, ^ (тг) = ] """"j"
,1 n — 1 Г 11
к — I —-— I п — 1 j,
,1 n — 1 Г 11
к — I —-— I п — 1 j,
]ж[ — целая часть числа х. Закон изменения фазы аппроксимирует квадратичный закон, характерный для ЛЧМ-сигнала. Поэтому функция неопределенности сходна с функцией неопределенности ЛЧМ-сигнала.
Превышение максимума АКФ над наибольшим боковым выбросом возрастает при увеличении числа элементарных импульсов в многофазном сигнале и при к ^ 9 слабо отличается от ^Vk.
Коды Хаффмана. Предыдущие примеры включали в себя только дискретные фазовые последовательности для которых {an} = 1. Отказ от этого ограничения позволяет получить последовательности, которые обладают свойством
2Е
при
п — 0,
X (и, о) = <
0
при и
т^ 0 и |п| к — 1,
±1
при
|п| = к — 1,
где Е — энергия сигнала. Метод, используемый для получения таких последовательностей, был предложен Хаффманом [57]. Общее представ-
ление сигналов Хаффмана имеет вид
и (t) = <и (t) = <к52 bnPn (t) exp [jwot], n=lк52 bnPn (t) exp [jwot], n=lо < ^о < ^ктКИ1ктКИ1
и (t) = <
и (t) = <
к
52 bnPn (t) exp [jwot], n=l
к
52 bnPn (t) exp [jwot], n=l
о < ^
о < ^
ктКИ1
ктКИ1
О при других ^
где Ьп = ап ехр {г6п}. Например, одна из последовательностей Хаффмана длиной 14, включающая только действительные коэффициенты, имеет
вид
{6П} = {-0,57; 0,27; -0,56; 0,55; -0,14; -0,28; -0,31;
- 1; -0,43; 0,5; 0,037; -0,34; 0,22; 0,43}.
ДКС группы III. К этой группе относятся сигналы с дискретной частотной модуляцией. Чаще всего используется ступенчатый линейный закон изменения частоты. Функция неопределенности при этом имеет характерную для ЛЧМ-сигнала гребнеобразную структуру.
Корреляционные свойства сложных сигналов характеризуются коэффициентом ф = т/(0) /т/б,max, равным отношению амплитуд главного и максимального бокового лепестков АКФ кодирующей последовательности. Чем больше значение ф, тем лучше эти свойства. В пределе сигнал с «хорошими» корреляционными свойствами не должен иметь боковых лепестков, т.е. его АКФ являться дельтовидной, а энергетический спектр — равномерным. Разработка импульсных сигналов с такими свойствами в течении более чем сорока последних лет продолжает оставаться актуальной задачей.
На рис. 12.1 представлены графики энергетических спектров последовательностей Баркера [55], являющихся одними из лучших кодирующих
Рис. 12.1. Амплитудные спектры последовательностей Баркера [55]Рис. 12.1. Амплитудные спектры последовательностей Баркера [55]
Рис. 12.1. Амплитудные спектры последовательностей Баркера [55]
Рис. 12.1. Амплитудные спектры последовательностей Баркера [55]
последовательностей сложных сигналов. Хорошо видна их зависимость от изменения частоты, представленной в безразмерном виде. Аналогично ведут себя и графики энергетического спектра для последовательностей Френка [57], свойства которых еще лучше, чем у кодов Баркера. В связи
с этим возникает вопрос, почему требование равномерности энергетического спектра кодирующих последовательностей не ставится при синтезе реальных ДКС?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим критерии, на основании которых происходит синтез кодирующих последовательностей для таких распространенных ДКС, как импульсные ФМ сигналы. Пример синтеза кодов Баркера приведен в [55].
Элемент dj = cos^j, j = 1,2,... , к, находится из условия непревы- шения боковыми лепестками АКФ г) (птки) по абсолютной величине единичного уровня. С учетом этого условия на основании (12.1.4) получается система (к — 1) нелинейных уравнений относительно неизвестных значений dj, j = 1,2,... , к. Принимая одно из значений d равным единице и решая полученную систему уравнений, находим приведенные в табл. 12.1 коды Баркера.
Таким образом, синтез кодов Баркера происходит по критерию непревы- шения боковыми лепестками АКФ кодирующей последовательности заранее определенного уровня. Как следует из [153], оптимальные кодирующие последовательности синтезируются на основе минимаксного критерия:
найти minL при условии |т? (птки)| < L,
п —1,2,... , А; — 1, d — -1,1.
Этот подход связан с решением целочисленной задачи минимизации линейной функции при нелинейных ограничениях. Для больших к она не имеет эффективной вычислительной процедуры, позволяющей определить глобальное экстремальное значение. Поэтому, как утверждается в [153], отсутствует не только регулярный метод синтеза импульсных ФМ сигналов, оптимальных по минимаксному критерию, но затруднен даже ответ на вопрос, насколько известные сигналы с большим значением к близки к оптимальным. Указывается, что, по крайней мере, существуют два эффективных метода синтеза.
Первый базируется на алгоритмах итерационного типа. Их недостатки заключаются в том, что они приводят к локальному экстремуму и при больших значениях к резко увеличивается требуемое количество расчетных операций.
Второй метод использует связь между циклической и ациклической АКФ кода, имеющей вид [153]
^7цикл(^) — ^ациклС^) "Ь ?7ацикл(^ ш). (12.1.6)
Для заданного значения к получаются коды с одно или двухуровневыми периодическими АКФ для всех возможных параметров, при которых It/цикл (^)| ^ у, m ^ 0. Из них отбирается код с ациклической АКФ, у которой max |7/ацикл(т)|, т ^ 0, имеет наименьшее значение. Значения т берутся по модулю к. Коды для известных импульсных ФМ сигналов с хорошими свойствами ациклической АКФ — индексные коды, М-последовательности, могут быть получены по этому методу.
Лучшими, по сравнению с ФМ сигналами, корреляционными свойствами могут обладать фазокодированные (многофазные) сигналы, кодовые
последовательности которых имеют не два, а больше значений начальной фазы синусоиды в пределах кодового интервала. Примером может служить код Фрэнка, характеризующийся значением ф « 3/V^.
Рассмотренные подходы к синтезу ФМ сигналов не отвечают на вопрос, насколько используемый сигнал является оптимальным в смысле наилучшего приближения его функции неопределенности к заданной. В работе [154] синтез ФМ сигналов базируется на другом, т.е. не на минимаксном подходе, оценивающим качества сигнала по величине коэффициента ф. Для приема эхо-сигналов от целей с малой эффективной поверхностью рассеяния (ЭПР) на фоне целей с большой ЭПР важен критерий, учитывающий не соотношение пикового значения АКФ ФМ сигнала к уровню максимального бокового лепестка, а средний уровень этих лепестков. Реализация данного подхода возможна регулярными методами и заключается в минимизации расстояния между точками, задающими идеальный и реальный сигналы. При этом неизвестно, как получить сигнал, обращающий это расстояние в ноль, и, следовательно, как получить сигнал с нулевыми боковыми лепестками, т.е. с минимальным корреляционным шумом.
Ответ на поставленный ранее вопрос о том, почему энергетический спектр зондирующих сигналов с целью снижения корреляционных шумов, создаваемых боковыми лепестками сжатого эхо-сигнала, не является равномерным, основан на анализе условий получения разрешенного образа (см. п. 4.3.2).
Обычно при обработке эхо-сигнала с неизвестным временем прихода окно ациклического согласованного фильтра скользит по дальности, т.е. его положение на дистанции плавно, с точностью до дискрета разрешения, изменяется от минимального до максимального значений измеряемого РЛС расстояния. В этих условиях, даже при наличии эхо-сигнала с РЭС получить только по одному на каждый эхо-сигнал ненулевому отсчету фильтра невозможно по следующим причинам.
Фильтр, согласованный с формой (спектром) сигнала, все время, за исключением кратковременной второй фазы, пространственно рассогласован с ним. Окно фильтра из-за его перемещения может совпасть с сигналом только в один из 2к — 1 моментов времени их взаимодействия, где к — количество кодовых интервалов (см. п. 4.3.1).
Реакцию фильтра в виде символа Кронекера на входной дискретно- кодированный сигнал с РЭС можно обеспечить лишь при использовании циклического, а не ациклического согласованного фильтра (см. п. 4.3.2).
Поскольку эти два условия, т.е. пространственное согласование фильтра с эхо-сигналом и циклический характер работы фильтра, не выполняются, то применение сигнала с РЭС само по себе не приводит к формированию разрешенного образа. Поэтому применяемые к синтезу дискретно-кодированных импульсных сигналов подходы лишь минимизируют, а не полностью устраняют эффект корреляционного шума. Если же в процессе обработки эхо-сигналов обеспечить их пространственное согласование с циклическим согласованным фильтром, то требование РЭС остается единственным для полного подавления корреляционных шумов при минимальном уровне флуктуационных шумов (см. п. 4.11.2).
В связи с этим возникает проблема формирования кодовых последовательностей ДКС с равномерным энергетическим спектром. Ниже будут рассмотрены некоторые подходы к решению этой задачи.
Синтез последовательностей с равномерным энергетическим спектром на основе композиционных контуров
Спектрально-корреляционные свойства кодовых последовательностей с равномерным энергетическим спектром. Покажем, что большинство сигналов с РЭС являются комплекснозначными. Пусть Г = = {7 (п)}о к-1 — цифровой комплекснозначный сигнал размерности к на входе согласованного фильтра, состоящий из последовательности элементарных сигналов 7 (п), т.е.
Г = {7(0),7(1),... ,7^-1)}, (12.2.1)
где
7 (п) = |7 (п)| ехр \гф (п)}, п = 0,1,... , к — 1.
ДПФ такого сигнала имеет вид
к-1Р (т) = ^2 7 (п) ехрп=0к-1Р (т) = ^2 7 (п) ехрп=0. 2тг—г—тпк. 2тг—г—тпкт = 0,1,... , к — 1,т = 0,1,... , к — 1,
к-1
Р (т) = ^2 7 (п) ехр
п=0
к-1
Р (т) = ^2 7 (п) ехр
п=0
. 2тг
—г—тпк
. 2тг
—г—тпк
т = 0,1,... , к — 1,
т = 0,1,... , к — 1,
причем
р (m) = \р (т)| ехр {г© (т)}, т = 0,1,... , к — 1.
(12.2.2)(12.2.2)Пусть сигнал (12.2.1) характеризуется РЭС (рис. 12.2, а) |p(0)|2 = |p(l)|2 = ...^|p(fc-l)|2.
(12.2.2)
(12.2.2)
Энергетический спектр и АКФ
77 (п) = ^^2 7 (г) 7* (r + n)> 71 — 0,1,. • • , к — 1, г=0
этого сигнала связаны соотношением
к-1
(12.2.3)(12.2.3)Т](п) = \р (т)|2 ехр {-t^rnn}, п = 0,1, • • • , к — 1. т=0
(12.2.3)
(12.2.3)
Аналогичный результат имеет место и для вещественных сигналов, но его получение базируется на свойстве сопряженной симметрии спектра,
1 । Lxxxxx 1 1 1 .^тххххххххххххх ►а 0£-1б 0п1 । Lxxxxx 1 1 1 .^тххххххххххххх ►а 0£-1б 0пРис. 12.2. Энергетический спектр (а) и АКФ (б) сигнала, обеспечивающего идеальное разрешение по времени (дальности)Рис. 12.2. Энергетический спектр (а) и АКФ (б) сигнала, обеспечивающего идеальное разрешение по времени (дальности)
1 । Lxxxxx 1 1 1 .^тххххххххххххх ►
а 0£-1б 0п
1 । Lxxxxx 1 1 1 .^тххххххххххххх ►
а 0£-1б 0п
Рис. 12.2. Энергетический спектр (а) и АКФ (б) сигнала, обеспечивающего идеальное разрешение по времени (дальности)
Рис. 12.2. Энергетический спектр (а) и АКФ (б) сигнала, обеспечивающего идеальное разрешение по времени (дальности)
не имеющего места для комплексного случая. При выполнении условия (12.2.2) выражение (12.2.3) принимает вид
туехр — г —тп7П=0туехр — г —тп7П=0(12.2.4)(12.2.4)||Г||2 при п = О, О при остальных п.
туехр — г —тп
7П=0
туехр — г —тп
7П=0
(12.2.4)
(12.2.4)
Здесь ||Г||2 — квадрат нормы входного сигнала, величина равная его энергии Е. Таким образом, если цифровой комплекснозначный сигнал характеризуется РЭС, то его АКФ имеет только один значащий отсчет ту (0) = Е, соответствующий главному лепестку функции. Все остальные отсчеты, образующие боковые лепестки АКФ, равны нулю (рис. 12.2, б).
Выражение для сигнала 7(71), полученное в результате обратного ДПФ от его спектра, равно
(™)]}>(™)]}>7 (тг) = т (ш) ехр|г^тптг| = V^ \р (т)| ехр|г[^ттг + 6
(™)]}>
(™)]}>
Кк К ) К zk L К
т—0т=0
n = 0,1,... , Л: — 1.n = 0,1,... , Л: — 1.(12.2.5)(12.2.5)
n = 0,1,... , Л: — 1.
n = 0,1,... , Л: — 1.
(12.2.5)
(12.2.5)
Если сигнал обладает РЭС, т.е. \р (0)| = \р (1)| = ... = \р (к — 1)| = |р|, то последнее выражение примет вид
тп 4-0 (ттп 4-0 (т4- г sin4- г sin| —тп 4-L к| —тп 4-L к61 (™)]}61 (™)]}
тп 4-0 (т
тп 4-0 (т
4- г sin
4- г sin
| —тп 4-
L к
| —тп 4-
L к
61 (™)]}
61 (™)]}
п = 0,1,... , к — 1.
Отсюда следует, что такой сигнал в общем случае является комплекснозначным. Для обеспечения его вещественного характера фазочастотный спектр {0 (ттг)}0 к-1 должен удовлетворять весьма специфическому условию вида
/с-1
sin [^-тп 4- 0 (т)Т = 0, п = 0,1,... , к — 1.(12.2.6)
L к х Ч
7П=0
Вещественные сигналы с РЭС. В предыдущем разделе было показано, что сигналы с РЭС являются преимущественно комплекснозначными. Однако некоторые известные действительные кодирующие последовательности также обладают РЭС, но их количество ограничено. Кроме того, модификация вещественных последовательностей с целью выравнивания энергетического спектра может приводить к увеличению пик-фактора. Это уменьшает среднюю энергию сигнала и снижает качество решения задачи обнаружения [156].
В качестве примера рассмотрим код Баркера при & = 4:Г = {1,1,1, — 1}. Его спектр имеет вид Р = {р(тп)}03 = {2^5 —2г; 2; 2г}. Этот вещественный сигнал обладает РЭС, т.к. |р (0)| = |р (1)| = |р (2)| = |р (3)| = 2. Из дальнейшего анализа станет понятным, почему данный код Баркера имеет РЭС. Проверим, как для него выполняется условие (12.2.6).
Фазочастотный спектр сигнала равен: 9 (0) = 0°; 9 (1) = 270°; 9 (2) = = 0°; 9(3) = 90°. Тогда
з
п=0, У^ sin[0(m)] = sin0°4- sin 270°+ sin0°+ sin 90° — 0;
m=0
3
n = l, y^sin[90°m 4- 0(m)] = sin0° + sin360°+ sin 180°+ sin360° = 0;
m=0
3
n = 2, y^sin [180°m 4- 9(m)^ = sin 0°4- sin 450° 4- sin 540° 4- sin 630° = 0;
m=0
3
n = 3, y^sin [270°m 4- ^(m)] = sin0° + sin 540° 4- sin 540°4- sin 180° = 0.
m=0
Таким образом условие (12.2.6) для сигнала Г = {1,1,1, -1} соблюдается. Расчеты показывают, что амплитудные, а следовательно, и энергетические спектры кодов Баркера других размерностей везде равномерны, за исключением точки m = 0 (табл. 12.2).
Нарушение равномерности энергетических спектров может быть легко скомпенсировано. Результаты такого преобразования кодов Баркера при-
Таблица 12.2
к
Код Баркера в цифровом виде
Амплитудный спектр
3
{1,1,-!}
{1, 2, 2}
5
{1,1,1, -1,1}
{3, 2, 2, 2, 2}
7
{1, 1, 1, -1, -1, 1, -1}
{1; 2,83; 2,83; 2,83; 2,83; 2,83; 2,83}
11
{1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, 1,-1}
{1; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46}
13
{1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, •1, -1, 1}
{5; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46}
Таблица 12.3
к
Вещественный сигнал
Амплитудный спектр
3
{1,33; 1,33; -0,67}
{2, 2, 2, 2}
5
{0,8; 0,8; 0,8; -1,2; 0,8}
{2, 2, 2, 2, 2, 2}
7
{1,26; 1,26; 1,26; -0,74; -0,74;
1,26; -0,74}
{2,83; 2,83; 2,83; 2,83; 2,83; 2,83;
2,83}
11
{1,405; 1,405; 1,405; -0,595;
-0,595; -0,595; 1,405; -0,595;
-0,595; 1,405; -0,595}
{3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46}
13
{0,882; 0,882; 0,882; 0,882; 0,882;
-1,118; -1,118; 0,882; 0,882;
-1,118; 0,882; -1,118; 0,882}
{3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46;
3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46; 3,46;
3,46}
ведены в табл. 12.3. Все полученные таким образом вещественные сигналы обладают РЭС.
На основе этих кодов могут быть получены ФМ сигналы. Однако по сравнению с представляющими практический интерес сигналами, здесь синусоиды в отдельных кодовых интервалах могут иметь разные амплитуды. В результате пик-фактор этих сигналов будет отличаться от единицы, что усложняет их практическое использование.
Алфавит кодовых последовательностей с РЭС в виде композиционных контуров из полного семейства элементарных контуров. Пусть As = {as (г)}0 fc_1, s = 0,1,... , k — 1, произвольные кодовые последовательности, входящие в состав композиционной кодовой последовательности ГАо)А1)Лк-1 = {As}0 А._1 = {a(n)}0fc2_r Через as (г), г = 0,1,... , к — 1, обозначены ЭВ последовательностей As, а через a (n), п = 0,1,... , к2 — 1, эти же ЭВ, но уже в составе композиционной последовательности. Спектр последовательности As обозначим как Ра, = {да, (^)}о &—1* Найдем теперь выражение для спектра Рг = {рг (т)}0 к2-1 композиционной последовательности. В общем случае ДПФ последовательности As = {as (r)}0 fc_1) s = 0,1,... , к — 1, имеет вид’
a?2-i
Рг (т) = ^2 а (п) ехР ^mn},п=0
m = 0,1,... , к2 - 1, или в развернутом виде
рг М =
= «о (0) е-VO m+ao (1) e-’^l m +... +а„ (fc _ 1) e-^(fc-D-m+ +«! (0) е~^к'т +«! (1) е-^(к+1) т+ +а1 (fc _ !) e-i^(fc-l+fc) m +
+ ak_i (0) е-^к^-^т + ак_г (1) е-ф^-Ч+Ч™ + ...
... + ak_i (к - 1)
(12.2.7)
Данная сумма состоит из к строк и к столбцов. Рассмотрим в транспонированном виде только один, s-й столбец:
а0 (s) е^8т + ai (s) е-^8^™ + ... + а^ (s) e-’B[*+fc4-i)l™
(12.2.8)
Для выявления закономерностей экспоненту в каждом элементе запишем в виде произведения двух экспонент. Тогда выражение (12.2.8) примет вид
к-1
Г .2тг\ Г - 2тг 1
ехр г-^sm J ctr expг—rm j,
а компонента спектра композиционной последовательности будет равна
Рг (т) = У^ехр |-ip^sm)y^ar (s)exp {~^rm}>s=0кr=0
т = 0,1,... , fc2 — 1.
Пусть теперь ЭВ последовательностей As, s = 0,!,...,& — 1, обладают свойством эргодичности, т.е. as (г) = ar (s), г, s = 0,1,... , к — 1 (см. п. 2.2). Тогда внутренняя сумма в (12.2.9) есть m-я компонента спектра Ра5 (^) последовательности As и это выражение примет вид
-i^smkm = 0,1,... , А;2 —1.(12.2.10)к2 J-i^smkm = 0,1,... , А;2 —1.(12.2.10)к2 Jк-1
-i^smkm = 0,1,... , А;2 —1.(12.2.10)
к2 J
-i^smkm = 0,1,... , А;2 —1.(12.2.10)
к2 J
Рг (т) = У2 ^А» (т)ехр 5=0
Рассмотрим случай, когда последовательности As образуют алфавит сигналов, эффективных для решения задачи распознавания, т.е. их спектры не пересекаются, а объем алфавита составляет к. Данному условию отвечают комплекснозначные последовательности в виде элементарных контуров (см. п. 2.2).
Семейство ЭК можно задать ортогональной матрицей А = {7S (п)} порядка к, т-я строка которой состоит из ЭВ ^s (п) контура Г5. В соответствии со свойством эргодичности матрица А будет симметрической. Этой матрице можно сопоставить матрицу В = {(mn)^} индексов ЭВ полного семейства ЭК, взятых по модулю к. Матрица В также имеет порядок к и будет симметрической.
7о (0)7о (1) - • • 7о (fc - 1)
71(0)71(1) ... 7i (А:-1)
.7fc-i(0) 7k-i(l) ••• 7fc-i (^ ~ Ц
В =В =00ооооок-12(к-1)ок-12(к-1)(12.2.11)(12.2.11)
В =
В =
0
0
о
о
о
о
ок-12(к-1)
ок-12(к-1)
(12.2.11)
(12.2.11)
.0 к - 1 2 (к - 1) ... (к - 1) (к - 1),
Например, для к = 4 (см. рис. 12.3, а) эти матрицы равны
На основании того, что спектры ЭК разных порядков не пересекаются, последнее выражение для спектра базового композиционного контура, полученного конкатенацией ЭК с последовательным возрастанием индексов,
примет следующий вид:
РГо,Г1, .. ,rk-i ("О = Рбг (™) = k exp (-1^ (т)к т},к > (iz.z.iz)m = O, 1,... .к2 - 1.
Величина (т)к равна тому значению s, s = 0,!,...,& — 1, при котором составляющая рт (т) ЭК Гт отлична от нуля. Из (12.2.12) следует, что при т = О^к^к,... Дк - 1) к компонента спектра базового контура строго веществена и равна к. Отсюда же следует, что базовый контур характеризуется РЭС вида {|рб1 (m)|2}0,p-i = {^2}o,fc2-i ^рис* 12,3’ г^*
Из полного семейства ЭК размерности к можно составить М композиционных контуров. Однако не все полученные таким образом контуры
«о Го о►► ► ►«о Го о►► ► ►
«о Го о►► ► ►
«о Го о►► ► ►
pWk4pWk4P(s)kp(slp(s)±
pWk4
pWk4
444
nW А16nW А160 1 20 1 2б 0 12 3 50 1 2 3 50 1 2 3 50 12 3 5
nW А
16
nW А
16
0 1 2
0 1 2
>■*--••• -■ ►
501231415м
д
Рис. 12.3. Композиционный контур для к = 4: а — семейство элементарных контуров; б — энергетические спектры элементарных контуров; в — композиционный контур Го,1,2,з; 2 — энергетический спектр композиционного контура Го,1,2,3; б — циклическая АКФ композиционного контура Го,1,2,3
будут обладать РЭС. Поэтому необходимо определить, какие комбинации из полного семейства ЭК образуют композиционные контуры с РЭС. Для этого найдем связь ЭК, состоящего из ЭВ с кратным значением аргумента, {2тг)
г—mrnV с ЭК, содержащими ЭВ, задаваемые к)
выражением (12.2.11). Из свойства эргодичности элементарных векторов ЭК (см. п. 2.2), следует, что эти векторы для контуров порядка т с аргументами кратности т образуют ЭК порядка (тт^. Поэтому s-я строка матрицы А, s = 2,3,... , к — 1, задает ЭК Гг с элементарными векторами кратности s.
Свойство суммы, выражаемое (12.2.7) и заключающееся в том, что каждый ее столбец задает выражение для спектра ЭК, будет сохраняться
только при следующих строго определенных условиях, которым должна соответствовать матрица В.
Симметричность матрицы А, а значит, и матрицы В. Только в этом случае можно воспользоваться свойством эргодичности ЭК при преобразовании суммы (12.2.7). Данное условие выполняется при умножении матрицы В на любое целое число г. При этом сумма элементов s-ro столбца в (12.2.7) будет равна спектру контура Г5 со сдвинутой начальной точкой. В результате суммы всех столбцов станут нулевыми за исключением одной суммы, по модулю равной к.
Матрицы А и В должны содержать элементарные векторы всех ЭК. В них не должно быть повторяющихся строк или столбцов. В противном случае в сумме (12.2.7) одни спектральные компоненты будут повторяться несколько раз, а другие будут отсутствовать, т.е. нарушится равномерность энергетического спектра композиционного контура. Это произойдет в том случае, если при умножении матрицы В на г возникнут строки с одинаковой (по модулю к") кратностью, т.е.
^Si)k = (rs2)k => rsi + ак = TS2,
где si и 82 — номера строк. Тогда а = г (s2 — si)/k, г = 1,... , к — 1, (s2 — si) = 1,... , к — 1. Для целых а, а = 0,1,... , к — 1, данное условие может выполняться только в случае, если числа г и (s2 — si) содержат множители, кратные к, т.е. не являются взаимно простыми с к. Следовательно, чтобы получить последовательность ЭВ композиционных контуров с РЭС достаточно умножить матрицу В на число, взаимно простое с к, и взять ее элементы по модулю к. Тогда для семейства ЭК размерностью к существует у? (к) композиционных контуров с РЭС, где ф (ж) — функция Эйлера [198].
К аналогичным результатам приводит и другой подход. В матрице В s-я строка задает элементарные векторы ЭК порядка s. Следовательно, первая строка задает последовательность ЭК в базовом композиционном контуре. Умножение первой строки на целое число г, г = 1,... ,& — 1, или переход к строке с номером г даст последовательность чисел в данной строке, задающую порядок следования ЭК в композиционном контуре, как и при непосредственном умножении матрицы В на число г. Следовательно, строки матрицы В, номера которых являются взаимно простыми с к числами, задают последовательности ЭК в базовых композиционных контурах.
Найдем выражение для спектра любого из базовых контуров порядка г. Так как такой контур состоит из ЭК, элементарные векторы которых имеют аргументы кратности г, то выражение (12.2.10) примет вид
. 2тгк2. 2тгк2m = 0,l,... ,к2-1. (12.2.13)m = 0,l,... ,к2-1. (12.2.13)к-1
. 2тгк2
. 2тгк2
m = 0,l,... ,к2-1. (12.2.13)
m = 0,l,... ,к2-1. (12.2.13)
рт 1™) = ^ Prs (m) exp
s=O
Prs (m) -Prs (m) -Здесь рТ8 (т1) — компонента спектра ЭК порядка rs, равная
Prs (m) -
Prs (m) -
при з = (m)fc + ак, a, s = 0,1,... , к — 1, для остальных a, s.
Отсюда следует, что в сумме (12.2.7) необходимо учитывать только ненулевые компоненты, которые получаются при целом s = [(m)fc 4- аЩт, т.е.
(12.2.14)(12.2.14)pr (m) = к ехр < г
(12.2.14)
(12.2.14)
а = 0,1,... , к - 1, т = 0,1,... , к2 - 1.
Полученное выражение позволяет сделать следующие выводы о свойствах спектра композиционного контура.
Амплитудный и энергетический спектры равномерны
|рб (^)| = ^? |Гб (т)|2 = к2, т = 0,1,... , к2 — 1.
Фазочастотный спектр в общем случае имеет вид
z x 2тг m argp6 Vm) = T2 — к •z x 2тг m argp6 Vm) = T2 — к •m = 0,1,... , к2 — 1.m = 0,1,... , к2 — 1.
z x 2тг m argp6 Vm) = T2 — к •
z x 2тг m argp6 Vm) = T2 — к •
m = 0,1,... , к2 — 1.
m = 0,1,... , к2 — 1.
Новые композиционные контуры на основе базовых можно получить, проводя преобразования, не затрагивающие форму их энергетических спектров. Преобразуя компоненты спектра по закону
(12.2.15)(12.2.15)Гвых О) = p6 (m) • exp•
(12.2.15)
(12.2.15)
< к
получаем контуры со сдвинутой на d ЭК начальной точкой. Величина d может изменяться в диапазоне 1,2,... , к — 1. Следовательно, если существует возможность фиксации момента поступления сигнала, то такой способ позволяет получить от каждого базового контура еще к — 1 композиционных контуров с равномерным энергетическим спектром.
Таким образом, алфавит содержит р (к) к композиционных контуров из полного семейства элементарных контуров с РЭС.
Найдем ВКФ базового контура Гб = Год,.. д-i и контура со сдвигом на d ЭК, т.е. контура Г^ = r^d+i,.. ,fc-i+d- Если р^ (т), т = 0,1,... ... , к2 — 1, — компонента спектра базового контура, то соответствующая компонента спектра контура Г^ с учетом выражения (12.2.15) равна
(12.2.16)(12.2.16)Р^ (т) = Гб (m) ехр {z^md};
(12.2.16)
(12.2.16)
m = 0,1,... , fc2 — 1, d= 1,2,... ,k~ 1-
ВКФ t^ (s), s = 0,1,... , к2 — 1, контуров первой группы Гб и Г^ связана со взаимным энергетическим спектром этих контуров ^р^т) р^(т)} преобразованием Фурье, т.е.
. 2тг г—^зтк2. 2тг г—^зтк2r7(d) ($) = 4 52 ^ ^рб ^ ехрк ^0r7(d) ($) = 4 52 ^ ^рб ^ ехрк ^0fc2-i
. 2тг г—^зт
к2
. 2тг г—^зт
к2
r7(d) ($) = 4 52 ^ ^рб ^ ехрк ^0
r7(d) ($) = 4 52 ^ ^рб ^ ехрк ^0
k2-i
= 4 52 1РбМ|2ехр{-г^тт=и
Так как |/?б (^)l = &, m = 0,1,... , к2 — 1 (см. (12.2.14)), то
ПП(d)(d)А:2 — 1(з) = ^ ехрт=0А:2 — 1(з) = ^ ехрт=0. 2тг г-х-тк2. 2тг г-х-тк2(kd + s)}.(kd + s)}.(12.2.17)(12.2.17)
П
П
(d)
(d)
А:2 — 1
(з) = ^ ехр
т=0
А:2 — 1
(з) = ^ ехр
т=0
. 2тг г-х-т
к2
. 2тг г-х-т
к2
(kd + s)}.
(kd + s)}.
(12.2.17)
(12.2.17)
Данная сумма при любом s равна нулю, кроме значения s = к2 — kd (рис. 12.4, а). При этом значении s-й отсчет ВКФ будет равен к2. Итак,
(12.2.18)(12.2.18)\ I к2 при s = к2 — kd.
(12.2.18)
(12.2.18)
10 для остальных s.
Покажем теперь, что в отличие от ВКФ г](п), п = 0,1,... , к — 1, элементарных контуров, ВКФ различных базовых контуров с РЭС не является везде нулевой. Строки матрицы В, номера которых являются с к взаимно простыми числами, задают комбинации ЭК в композиционном контуре. Так как первым в композиционном контуре всегда будут ЭК ну-
1616П^к
16
16
8 -
а 0 2^ 6 МОЬУ 14” п б 0 2 4 б 8 10* 12 14 п
Рис. 12.4. Примеры ВКФ композиционных контуров: а — для контура Го,1,2,3 и Г2,3,0,1, полученного циклическим сдвигом контура Го, 1,2,3; б — для контура
Го,1,2,3 и контура Г2,1,0,3, полученного циклическим сдвигом контура Го,3,2,1
левого порядка, ВКФ которых равна к, а ВКФ последующих ЭК равна О, то по крайней мере один отсчет ВКФ двух базовых КК не будет равен 0. Следовательно, в отличие от составляющих их ЭК композиционные контуры не являются ортогональными (рис. 12.4, б). Так как при обработке композиционных контуров предполагается использование циклической свертки, то аналогичными взаимнокорреляционными свойствами будут обладать и контуры, полученные путем сдвига начальной точки в базовых композиционных контурах.
Следовательно, композиционные контуры, имея дельтовидную циклическую АКФ и являясь оптимальными для решения задачи разрешения, не являются таковыми для задачи распознавания. Решение данной задачи возможно, например, при использовании структурного анализа композиционных контуров, основанного на свойстве ортогональности составляющих композиционные контуры ЭК.
.2.4. Примеры синтеза кодовых последовательностей с РЭС в виде композиционных контуров из полного семейства элементарных контуров. Рассмотрим базовый композиционный контур Год. В соответствии с выражением (1.8.3) для ЭК и общим представлением для композиционного контура при к = 2 получаем: ГОд = {Гт}0 т = {1,1,1, -1}.
Вид контура Год совпадает с видом кода Баркера при к = 4. Композиционные контуры с другими значениями к будут комплекснозначными. Таким образом, данный код Баркера является частным случаем комплекснозначного композиционного контура с РЭС. Другим частным случаем композиционных контуров с РЭС являются коды Фрэнка (см. п. 12.1).
В качестве примера получения алфавита композиционных контуров с РЭС рассмотрим случай к = 9. Существует шесть чисел, взаимно простых с числом 9. Таким образом, для к = 9 имеем шесть базовых композиционных контуров с РЭС. Записывая последовательность взаимно простых с числом 9 чисел от 0 до 8, умножая эти числа на s = 1,2,4,5,7,8 и переходя к значениям по модулю 9, получаем конкретные комбинации порядков ЭК, образующих базовые контуры с РЭС:
0,1,2,3,4,5,6,7,8; 0,5,1,6,2, 7,3,8,4; 0,2,4,6,8,1,3,5, 7;
О, 7,5,3,1,8,6,4,2; 0,4,8,3, 7,2,6,1,5; 0,8, 7,6,5,4,3, 2,1.
Осуществляя циклический сдвиг порядков ЭК в каждом из шести базо
вых контуров, получаем, что для к = 9 алфавит сигналов имеет размерность
Рис. 12.5. Базовый композиционный контур Го,1,2,3,4,5,6,7,8Рис. 12.5. Базовый композиционный контур Го,1,2,3,4,5,6,7,8На рис. 12.5 представлен базовый композиционный контур Г0,1,2,3,4,5,6,7,8-
Рис. 12.5. Базовый композиционный контур Го,1,2,3,4,5,6,7,8
Рис. 12.5. Базовый композиционный контур Го,1,2,3,4,5,6,7,8
С каждым из ЭК {Гт}0 /с_1, составляющих композиционный контур контур, можно связать периодический процесс с некоторой круговой частотой Q (см. п. 2.2). Отсюда следует, что базовый композиционный контур
Год,... ,a?-i, У которого порядки составляющих его ЭК последовательно возрастает от О до к — 1, является аналогом дискретного
линейного У-образного ЧМ сигнала. Базовые композиционные контуры
характеризуются сложным законом смены частоты составляющих их ЭК. Поэтому они задают ЧМ колебания с более сложным, чем линейный, законом девиации. Например ступенчатый ЧМ сигнал при к = 9, у которого при смене ступеньки из к кодовых интервалов частота меняется по закону 0, 5, 1, 6, 2, 3, 8, 4 (базовый контур Го,5,1,6,2,3,8,4) будет обладать РЭС и при соответствующем алгоритме может быть сжат без боковых лепестков.
Обработка кодовых последовательностей с равномерным энергетическим спектром
В предыдущих разделах было показано, что для получения идеальной разрешающей способности по дальности кодирующая последовательность сложного зондирующего сигнала должна иметь РЭС. Обработка сигнала должна выполняться циклическим согласованным фильтром в момент совпадения положений сигнала и окна фильтра. Невыполнение этих условий для существующих сигналов и систем их обработки приводит к возникновению боковых лепестков.
В данном разделе рассматриваются методы обработки кодовых последовательностей с РЭС на базе композиционных контуров из полного семейства ЭК, позволяющие реализовать эффект идеального разрешения.
Согласованная фильтрация комплекснозначных контуров с РЭС. Устройством, формирующим смещенную АКФ сигнала, является согласованный фильтр. В общем случае для контура, обладающего спектром р (т), т = 0,1,... , к — 1, частотный коэффициент передачи контурного согласованного фильтра равен (см. п. 3.6.1)
Г 2тг 1
ш (т) = р* (т) ехр Н—mj, т = 0,1,... , к — 1.
Если фильтр согласован с базовым композиционным контуром, то
ш (т) = к ехр ^г^тп[(т)к + 1]}, т = 0,1,... , к2 — 1.(12.3.1)
Отсюда видно, что АЧХ фильтра является равномерной, т.е.
\w(m)\=k1 т = 0Д,... ,к2-1.(12.3.2)
Спектр выходного сигнала при согласованной фильтрации базового композиционного контура
Рвых W =ш(т)рб (т) = |рб (т)|2 ехр= к2 ехр(г^т),
т = 0,1,... , fc2 — 1.(12.3.3)
Видно, что амплитудно-частотный спектр выходного контура остается равномерным, а отсчеты фазочастотного спектра линейно нарастают
Рис. 12.6. Амлитудно-частотная и фазо-частотная характеристика фильтра, согласованного с базовым композиционным контуром Го,1,...,к-1Рис. 12.6. Амлитудно-частотная и фазо-частотная характеристика фильтра, согласованного с базовым композиционным контуром Го,1,...,к-1
Рис. 12.6. Амлитудно-частотная и фазо-частотная характеристика фильтра, согласованного с базовым композиционным контуром Го,1,...,к-1
Рис. 12.6. Амлитудно-частотная и фазо-частотная характеристика фильтра, согласованного с базовым композиционным контуром Го,1,...,к-1
в пределах от 0 до 2тг с шагом 2тг/А:2 (рис. 12.6). Выходной контур, определенный с помощью обратного ДПФ от спектра (12.3.3), равен
О при п = 0,1,... , к2 — 2, к2 при п = к2 — 1.
Таким образом, контур на выходе согласованного фильтра при обработке базового композиционного контура имеет уникальный вид: все его ЭВ равны нулю, кроме последнего, величина которого равна энергии
16б 0123-• -1415 л16б 0123-• -1415 л
16
б 0123-• -1415 л
16
б 0123-• -1415 л
Рис. 12.7. Согласованная фильтрация базового композиционного контура: а — видконтура Го,1,2,з; б — выходной сигнал согласованного фильтра
фильтруемого контура (рис. 12.7). В отличие от кодов Баркера, псевдослучайных ФМ последовательностей и др., сигнал в виде базового композиционного контура не имеет боковых лепестков при любом значении к, т.е. допускает идеальное сжатие и концентрирует всю энергию в пределах одного кодового интервала.
Если через фильтр, согласованный с базовым контуром, проходит произвольный контур N = {z/ (п)}0 ^2_1? имеющий спектр {р (m)}0 k2_v то спектр выходного контура и сам выходной контур Нт = \г^т (п)}0 к2_г будут соответственно равны
Рвых (т) = кр (m) exp (г-утп^(т)к + 1]}, т = 0,1,... , к2 — 1,
к (12.3.5)
/с2 —1
= — У^ р (m) exp p-^m^m)*. + n + 1]}, п = 0,1,... , к2 - 1. т=0
(12.3.6)
Как следует из (12.3.5), при фильтрации несогласованного сигнала амплитудно-частотный спектр выходного сигнала, равный кр(т), т = = 0,1,... , к2 — 1, является функцией т, т.е. в общем случае перестает быть равномерным. Следствием этого является неравенство значений выходного сигнала rj (п) нулю при п = 0,1,... , к2 — 2, т.е. появляются не равные нулю боковые лепестки.
Как показано в разделе 4.3, для идеального разрешения сигналов должны выполняться условия согласования фильтра с сигналом, циклический характер обработки сигнала и равномерность спектра сигнала на выходе устройства обработки. Выполнение последнего условия обеспечивается равномерностью энергетического спектра композиционных контуров и применением согласованных фильтров, а выполнение первых двух условий — использованием процедур обработки, позволяющих
получить результат эквивалентный циклической фильтрации принятого сигнала, в частности за счет применения алгоритма ЧКШС (см. п. 4.3.4).
Структура устройства обработки сигнала в канале дальности, реализующего алгоритм ЧКШС, показана на рис. 12.8. Сигнал с выхода ациклического фильтра сохраняется в запоминающем устройстве ЗУ и одновременно подается на вход решающего устройства для принятия
Рис. 12.8. Структура устройства обработки сигналов в канале дальности с использованием алгоритма ЧКШС
решения об обнаружении. В случае положительного решения блок управления разрешает прохождение запомненных выходных сигналов ациклического фильтра на сумматор и устройство задержки на время к21М. Второй вход сумматора связан с выходом этого устройства.
Обычно решение об обнаружении принимается в момент получения пикового отсчета сигнала. Этот отсчет отстоит на к2 кодовых интервалов от первого отсчета ациклического фильтра, с которого начинает работать алгоритм ЧКШС. Поэтому блок управления по сигналу обнаружителя выдает на вход линии задержки и сумматора из ЗУ необходимый массив выходных отсчетов ациклического фильтра, который назовем локусом. Обычно локус содержит порядка 2 k2 выходных отсчетов фильтра, соответствующих одиночной цели. Если имеется априорная информация о том, что возможно обнаружение перекрывающихся целей, то в зависимости от количества целей блок управления увеличивает размер локуса в несколько раз.
Таким образом, дополнительная обработка сигнала по алгоритму ЧКШС не приводит к разрушению традиционно применяемых в канале дальности РЛС структур, а является совместимой с ними. Возрастание трудоемкости, обусловленное применением алгоритма ЧКШС, является крайне незначительным. На каждый отсчет выходного сигнала дополнительно требуется только одна операция комплексного сложения. Плата за получение эффекта идеального разрешения по дальности заключается в ухудшении отношения сигнал/шум на выходе из-за необходимости суммировать несколько зашумленных выходных отсчетов ациклического фильтра. Однако это не приводит к снижению эффективности работы обнаружителя, так как суммирование отсчетов происходит не в канале обнаружения, а в канале разрешения. В результате в этом канале создается дополнительный шумовой фон, причем он тем выше, чем больше относитель-
ная протяженность локуса, определяемая отношением его длительности к размерности к2 сигнала. Этот фон, как и ненулевые боковые лепестки сжатого сигнала, приводят, в конечном счете, к маскировке слабого сигнала от находящейся рядом цели с малой ЭПР. В связи с этим возникает задача определения порогового отношения ЭПР перекрывающихся целей, при котором целесообразно применение алгоритма ЧКШС.
ввггддееРис. 12.9. Разрешение трех перекрывающихся сигналов Год с разными амплитудами: а, б, в — исходные сигналы; г — суммарный сигнал (локус); д — результат ациклической согласованной фильтрации, е — результатРис. 12.9. Разрешение трех перекрывающихся сигналов Год с разными амплитудами: а, б, в — исходные сигналы; г — суммарный сигнал (локус); д — результат ациклической согласованной фильтрации, е — результатабабПримеры разрешения целей по дальности при использовании алгоритма ЧКШС и кодирующих последовательностей в виде композиционных контуров. Операции ациклической согласованной фильтрации, а также через-А:2-шагового суммирования являются линейными. Поэтому обработка композиционных контуров в соответствии с данными алгоритмами при отсутствии шумов обеспечивает формирование по одному ненулевому отсчету для каждого из перекрывающихся эхо-сигналов с сохранением масштабных соотношений.
в
в
г
г
д
д
е
е
Рис. 12.9. Разрешение трех перекрывающихся сигналов Год с разными амплитудами: а, б, в — исходные сигналы; г — суммарный сигнал (локус); д — результат ациклической согласованной фильтрации, е — результат
Рис. 12.9. Разрешение трех перекрывающихся сигналов Год с разными амплитудами: а, б, в — исходные сигналы; г — суммарный сигнал (локус); д — результат ациклической согласованной фильтрации, е — результат
а
б
а
б
При перекрытии эхо-сигналов от нескольких целей суммарный сигнал на входе устройства обработки имеет более чем к2, а выходная функция ациклического фильтра — более 2к2 — — 1 отсчетов. Поэтому при использовании алгоритма ЧКШС приходится суммировать больше двух слагаемых, причем каждый отсчет в локусе используется только один раз.
Пусть, например, три контурных сигнала Год с масштабами один, два и три расположены таким образом, что три последних отсчета первого перекрываются с тремя первыми отсчетами второго, а два последних отсчета второго — с двумя первыми отсчетами третьего (рис. 12.9). Суммарный контурный сигнал Ns и результат ациклической согласованной фильтрации НАЦ имеют соответственно вид: Ns = {1,3,3,4,1,3,-3}, НАц = {-1,-2,1,3,9,5,11,1,0,-3}.
По виду дискретной последовательности Нац достаточно сложно принять правильное решение о том, что имеются три сигнала, как они расположены относительно друг друга и каковы их масштабы. Применение
ЧКШСЧКШСпопоалгоритма ЧКШС для к2 = 4 дает следующие результаты: Т) (0) = 771 + + 775 + 77 9 = — 1 + 9 + 0 = 8, г] (1) = 77 2 + 775 + 7710 = —2 + 5 — 3 = 0, 77 (2) = 773 + 777 = 1 + 11 = 12, 77 (3) = 774 + 778 = 3 + 1 = 4.
ЧКШС
ЧКШС
по
по
Таким образом, Нц = {8,0,4,12} (рис. 12.9, е). Отсчеты, 77(0), 77(1) и 77 (2) дают четкое представление о взаимном положении и масштабах
входных сигналов: сигнал с единичным масштабом отстает на один дискрет от сигналов с масштабами два и три.
Рассмотрим более сложный случай, когда при перекрытии двух эхо- сигналов процедура сжатия этих сигналов ациклическим согласованным фильтром приводит даже при нулевых шумах к полной маскировке пикового отсчета одного сигнала боковыми лепестками другого. Пусть с параметром j = 7 перекрываются два сигнала в виде базовых композиционных контуров Го,1,2 с масштабами 1 и 5 (рис. 12.10). Пиковый отсчет ациклического фильтра, соответствующий первому сигналу, является по номеру
1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617181 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16171822 23 24 25 т22 23 24 25 т
1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161718
1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161718
22 23 24 25 т
22 23 24 25 т
21 2 3 4 5 6 7 8 9 т
Рис. 12.10. Обработка двух перекрывающихся разномасштабных сигналов, зада-ваемых контуром Го, 1,2: а — первый сигнал; б — второй сигнал; в — модуливыходных сигналов ациклического фильтра; г — результат применения алгоритмаЧКШС
десятым и равен 4. Пиковый отсчет для второго сигнала имеет номер 17 и равен 44. Энергия первого сигнала равна 9, однако из-за маскировки его боковым лепестком второго, величина пикового отсчета уменьшается более, чем в два раза. В результате этот пиковый отсчет превышается боковыми лепестками второго сигнала в 11 точках из 23 (рис. 12.10, в). Поэтому обнаружить первый сигнал по данной выборке отсчетов ациклического фильтра непросто. В то же время алгоритм ЧКШС при к2 = = 9, используя комплекснозначные отсчеты фильтра, дает однозначно интерпретируемый результат (рис. 12.10, г): {9,0,0,0,0,0,0,45,0}.
На рис. 12.11 и рис. 12.12 представлены результаты комплексной обработки зондирующих фазокодированных сигналов. Рис. 12.11 иллюстрирует
Рис. 12.11. Пример обработки сигнала Фрэнка с эффектом идеального сжатия: а — исходный фазокодированный сигнал Фрэнка; б — амплитудно-частотный спектр исходного фазокодированного сигнала; в — амплитуда сигнала на выходе амплитудно-фазового детектора; г — фаза сигнала на выходе амплитуднофазового детектора; д — контур, сформированный по результатам амплитуднофазового детектирования е — результат ациклической согласованной фильтрации контура; ж — результат обработки отклика ациклического фильтра по алгоритму ЧКШС
результаты обработки одиночного сигнала Фрэнка, полученного на основе базового композиционного контура r0,i,2,3,4- Для формирования по принятому фазокодированному сигналу кода композиционного контура используется амплитудно-фазовый детектор. Полученные с его выхода отсчеты (рис. 12.11, в, г, д) подвергаются ациклической согласованной фильтрации. Боковые лепестки при этом сохраняются, что создает опасность маскирования одного сигнала другим (рис. 12.11, е). Применение алгоритма ЧКШС позволяет полностью подавить боковые лепестки и достичь идеального сжатия сигнала (рис. 12.11, ж).
Рис. 12.12. Обработка трех пересекающихся фазокодированных сигналов: а — взаимное расположение сигналов; б — суммарный сигнал на входе амплитудно-фазового детектора; в — амплитудный спектр суммарного сигнала; г — амплитуда сигнала на выходе амплитудно-фазового детектора; д — фаза сигнала на выходе амплитудно-фазового детектора; е — контур, сформированный по результатам амплитудно-фазового детектирования; ж — амплитудный и фазовый спектры контура; з — результат ациклической согласованной фильтрации контура; и — результат обработки отклика ациклического фильтра по алгоритму ЧКШС
На рис. 12.12 приведены диаграммы обработки трех пересекающихся во времени фазокодированных сигналов. На вход амплитудно-фазового детектора поступает суммарный сигнал, по которому сложно непосредственно определить количество и взаимный сдвиг сигналов (рис. 12.12, б). После амплитудно-фазового детектирования (рис. 12.12, г, 0, е) и ациклической согласованной фильтрации возникают боковые лепестки, способные замаскировать отклик от цели с малой ЭПР (рис. 12.12, з). В результате применения алгоритма ЧКШС боковые лепестки оказываются полностью подавленными и достигается эффект идеального разрешения сигналов (рис. 12.12, и).
До сих пор предполагалось, что кодовые интервалы эхо-сигнала совпадают с положением окна фильтра (рис. 12.13, в, г). В действительно-
0 шшшшшшшшж
п
б е•••••••-►
п
И
г е I е е I . .
п
е ••—- •е—L
п
Рис. 12.13. Взаимное положение эхо-сигнала и окна фильтра: а — тактовые импульсы в канале дальности; б — положения кодовых интервалов зондирующего сигнала; в, г — взаимное положение эхо-сигнала и окна фильтра при совпадении элементов окна с границами кодовых интервалов; д, е — произвольное расположение сигнала и окна фильтра
сти расположение окна относительно эхо-сигнала является произвольным (рис. 12.13, б, е). В связи с этим рассмотрим на примере сигнала Год как сказывается такая ситуация на результате работы алгоритма ЧКШС. Для простоты предполагаем установку положения эхо-сигнала с точностью периода тактового генератора.
Пусть, например, продолжительность кодового интервала равна четырем периодам At тактового генератора, т.е. I = 4. Тогда кодовая последовательность сигнала Год запишется в виде
{1,1,1,1, /1,1,1,1/1,1,1,1/ - 1, -1, -1, -1}
а результат ациклической фильтрации будет равен
Нац = {-1, -2, -3, -4, -3, -2, -1, -0,1,2,3,4,7,
10,13,16,13,10,7,4,3,2,1,0, -1, -2, -3, -4, -3, -2, -1}.
Суммирование этой последовательности с шагом Ik2 = 16 дает следующий результат (рис. 12.14): Нц = {12,8,4,0,0,0,0,0,0,0,0,0,4,8,12,16}.
Таким образом, произвольное положение эхо-сигнала по дальности привело к размыванию главного максимума выходного сигнала (график
16
121уТ\
^ X к
J—I—LX—к- к- х- х х х х——•————*—*—21►
2 3 4 5 6 7 8 9 101112 1314 151617 18 1920 п | 1-й | 2-й | 3-й | 4-й | Кодовые интервалы
Рис. 12.14. Результат обработки сигнала Год при делении кодового интервала начетыре части
на рис. 12.14), но в пределах одного кодового интервала. Как и следовало ожидать, увеличение количества дискретов позволило более точно построить корреляционную функцию сигнала, состоящую из одного главного лепестка и с нулевыми боковыми лепестками, т.е. эффект идеального разрешения по дальности сохраняется.
Фильтровая версия алгоритма ЧКШС
Фильтр ЧКШС. Устройство, реализующее алгоритм через- к2-шагового суммирования (рис. 12.15), можно рассматривать как фильтр.
На его вход поступает сигнал НАц = = {t/nh^, где и — размерность этого сигнала, а на выходе образуется сигнал X = {Xm}i ^2. Размерность выходного сигнала равна к2.
Для выяснения механизма рабо-
ты фильтра ЧКШС определим видыРис 1215. фильтр ЧКШС
преобразований, которым подверга
ется выходная последовательность НАц = {^7n}iv и ее спектр РАц = = {Pm}i v, получим выражение, связывающее сигналы НАц и X, а также частотный коэффициент передачи фильтра.
Пусть к2 — размерность зондирующего сигнала, равная количеству
составляющих его кодовых интервалов. Последовательность h отсчетов
из нескольких перекрывающихся эхо-сигналов на входе ациклического согласованного фильтра ранее мы определили как локус. Обозначим ее через Е = {^(^)}Оп_1- Если перекрываются г эхо-сигналов с параметрами л, j2,- ,Л-1, то
г-1
h = k2 + ^jn.(12.4.1)
П=1
Параметр jn отсчитывается по положению n-го эхо-сигнала относительно (п — 1)-го эхо-сигнала. После циклической фильтрации локуса
образуется последовательность из I отсчетов. При этом надо иметь ввиду, что фильтр согласован не со всем локусом, а только с сигналом, повторяющим по форме эхо-сигнал. Когда фильтруется одиночный эхо-сигнал, то I = 2k2 — 1. Если же локус образован т перекрывающимися сигналами с параметрами ji,^, • • • dr-i, то
г —1
l — 2k2 -l + ^jn.(12.4.2)
n=l
Введем понятие окна фильтра ЧКШС, состоящего из з элементов. Величина s равна количеству суммируемых элементов из I выходных отсчетов фильтра, необходимых для получения одного выходного отсчета. Так как складываются отсчеты, взятые через к2 шагов, то
в =(12.4.3)
где ]а:[ — ближайшее целое число, большее чем х.
Из регулярности алгоритма ЧКШС, т.е. из того, что все время необходимо находить сумму из з выходных отсчетов ациклического фильтра, вытекает необходимость дополнения I выходных отсчетов последовательностью нулей (вначале или в конце), так чтобы общая длина последовательности на выходе фильтра ЧКШС была равна
-u = sk2 = к2^/к2^.(12.4.4)
Например если три эхо-сигнала в виде композиционных контуров Год с масштабами 1, 2 и 3 перекрываются с параметрами ji = 1, 32 = 2, то образующийся локус будет равен (см.рис. 12.9)
Е = {s (п)}06 = {1,3,3,4,1,1,3, -1}.
После ациклической фильтрации этого локуса получаем следующий массив выходных отсчетов НАц = {^n}i ю — {-1, -2,1,3,9,5,11,1,0, -3}. При этом’
г-1
I = 2к2 - 1 + 5? Зп = 2 ■ 4 - 1 + 1 + 2 = 10,
71=1
а ширина окна фильтра ЧКШС будет s =]Z/A;2[=]10/4[= 3.
Тогда в соответствии с (12.4.4) длина входной последовательности фильтра ЧКШС будет -и = зк2 = 3 • 4 = 12, а сама последовательность равна
{-1, -2,1,3,9,5,11,1,0, -3,0,0}.
Аналитическое представление алгоритма ЧКШС. Фильтр ЧКШС для получения одного выходного отсчета образует массив входных данных путем извлечения из модифицированной последовательности отсчетов НАЦмод = {тумод (n)}o,v-i каждого к2-го отсчета, т.е. это фильтр с расщепленной апертурой. Если длина входного массива и = зк2, то окно фильтра содержит з отсчетов. Выходной отсчет фильтра ЧКШС
образуется следующим образом:
S-1
X (т) = У^ т/мод (т 4- к2п), т = 0,1,... , k2s — 1.(12.4.5)
п=0
Фильтруемый сигнал НАцМ0Д имеет размерность v = sk2, а выходной сигнал X — размерность к2. При таком соотношении размерностей дискретных сигналов нельзя сравнивать их спектры. Для уравнивания размерностей сигналов предположим, что входной сигнал периодичен, т.е. что
т/мод (™) = ^7мод (^ 4- ask2) , а — целое число. (12.4.6)
Результатом такой редукции входного массива будет равенство входных и выходных векторов фильтра и, кроме того, периодичность значений выходного вектора X:
X (m) — X (т + ак2) , а = 1,2,... , (s — 1) к2.
С учетом выражения (12.4.5) в общем случае получаем, что выходной сигнал X равен сумме v = sk2 входных сигналов Нд^од со смещенными относительно друг друга начальными точками, т.е.
v г т ।।I I tj((s—i)^2)
Лj i y — iM 4-Пдц мод 4-ПАц мод г• • • "т Пдц мод —
= EHSi (12-4.7)
п=О
Например, для сигнала Го,1 к2 = 4, s = 2, модифицированные последовательности отсчетов ациклического фильтра равны
НАЦмод = {-1,0,1,4,1,0,-1,0},Н^мод = {1,0,-1,0,-1,0,1,4}.
Суммируя почленно эти последовательности, получим
х = Нац мод + Н$ мод = {0,0,0,4,0,0,0,4}.
Частотные и временные характеристики фильтра ЧКШС. Определим частотный коэффициент передачи Q = {^(ттг)}Ои_1 фильтра ЧКШС. Для этого найдем отношение спектров выходного и входного сигналов. Из выражения (12.4.7) следует, что выходной сигнал есть сумма входных сигналов со сдвинутыми начальными точками. В этом случае спектр рх (т), т = 0,1,... , и — 1, определяется как сумма спектров исходных последовательностей, взятых с экспоненциальными весами, определяемыми параметрами сдвига, т.е.
Рх (m) = Рч WРх (m) = Рч WS-1Еехр71 = 0S-1Еехр71 = 0li-^mnk2I sk2li-^mnk2I sk2s-1= Рч (т) 52 ехр71 = 0s-1= Рч (т) 52 ехр71 = 0. 2тгг—тп s. 2тгг—тп s
Рх (m) = Рч W
Рх (m) = Рч W
S-1
Еехр
71 = 0
S-1
Еехр
71 = 0
li-^mnk2
I sk2
li-^mnk2
I sk2
s-1
= Рч (т) 52 ехр
71 = 0
s-1
= Рч (т) 52 ехр
71 = 0
. 2тг
г—тп s
. 2тг
г—тп s
т = 0,1,... , sk2 — 1.
Тогда выражение для частотного коэффициента передачи будет равно S-1
w (m) == у ехр J^—mnV т = 0,1,... , sk2 — 1. (12.4.8)
Данное выражение представляет собой сумму s членов геометрической прогрессии с равным единице начальным членом и знаменателем ехр —т-п Поэтому
/ х 1 - ехр {г2тгт}n п? 21
си (т) =т = 0,1,... , sk — 1.
1 J •27Г I
1 — ехр < г—т >
В результате выражение для АЧХ рассматриваемого фильтра примет вид
. , х.при т = as, а = 0,1,... , k2 -- 1,
|ш(т)| = <(12.4.9)
(О для остальных т.
Отсюда видно, что фильтр ЧКШС имеет к2 линий прозрачности, отстоящих друг от друга на s дискрет (рис. 12.16).
Рис. 12.16. АЧХ фильтров ЧКШС для сигнала Год: s = 2 (a); s = 3 (б)Рис. 12.16. АЧХ фильтров ЧКШС для сигнала Год: s = 2 (a); s = 3 (б)
Рис. 12.16. АЧХ фильтров ЧКШС для сигнала Год: s = 2 (a); s = 3 (б)
Рис. 12.16. АЧХ фильтров ЧКШС для сигнала Год: s = 2 (a); s = 3 (б)
В пределах каждой линии прозрачности модуль Q равен s. Общая полоса пропускания фильтра состоит из к2 линий и не зависит от ширины окна s, т.е. А/ — к2 = const.
Определим теперь ИХ Л = {A (n)}0 V-1 фильтра. Учитывая, что ИХ и частотный коэффициент передачи линейного четырехполюсника связаны между собой преобразованиями Фурье, получаем
1 sk2-12
Л (п) = —2 7 и) (т) ехр < г—-тп ?, п = 0,1,... , sk2 — 1. skV sk J
m=0
В соответствии с выражением (12.4.9) к2 значений w(m), m = 0, s, 2s,... , (к2 — l)s, равны s, а все остальные — нулю. Поэтому выражение для А(п) можно записать в виде
х / х 1 П . Г. 2тг 1 , Г. 2тг о 1
Д (п) = 2 1 + еХР ) г2ms I + еХР 1 г2^mS ( + ' ' •
sk LI sk 1v sk 1~
k2-i
... + exp ^i-^2 (^2 ~ 1) sn}] = “2 exP ^^mn^.
m=0
а 01234567 пб 0 1 2 3 4 5 6 7 8910 и
Рис. 12.17. ИХ фильтра ЧКШС для сигнала ГОд: s = 2 (a); s = 3 (6)
А(п) =А(п) =Полученная сумма не будет равна нулю лишь в тех случаях, когда аргумент экспоненты равен 2ttcl Поэтому
А(п) =
А(п) =
1 при 72 = 0, к2, 2к2,... , (s — l)k2, 0 для остальных п.
Отсюда следует, что ИХ фильтра состоит из s единичных значений на позициях п = 0, к2,2к2,... , (s — 1) к2 (рис. 12.17).
Рис. 12.18. Соотношения для сигналов при последовательном прохождении ациклического и ЧКШС фильтров: а — входной сигнал Год; б — амплитудный спектр сигнала Год; в — выходной сигнал ациклического фильтра; г — спектр сигнала на выходе ациклического фильтра; б — АЧХ фильтра ЧКШС для s = 2 и к2 = 4; г — спектр сигнала на выходе фильтра ЧКШСРис. 12.18. Соотношения для сигналов при последовательном прохождении ациклического и ЧКШС фильтров: а — входной сигнал Год; б — амплитудный спектр сигнала Год; в — выходной сигнал ациклического фильтра; г — спектр сигнала на выходе ациклического фильтра; б — АЧХ фильтра ЧКШС для s = 2 и к2 = 4; г — спектр сигнала на выходе фильтра ЧКШСМеханизм работы фильтра ЧКШС. Механизм работы фильтра ЧКШС с частотной точки зрения поясним на примере обработки сигнала на базе композиционного контура Год (рис. 12.18). Пространственное
Рис. 12.18. Соотношения для сигналов при последовательном прохождении ациклического и ЧКШС фильтров: а — входной сигнал Год; б — амплитудный спектр сигнала Год; в — выходной сигнал ациклического фильтра; г — спектр сигнала на выходе ациклического фильтра; б — АЧХ фильтра ЧКШС для s = 2 и к2 = 4; г — спектр сигнала на выходе фильтра ЧКШС
Рис. 12.18. Соотношения для сигналов при последовательном прохождении ациклического и ЧКШС фильтров: а — входной сигнал Год; б — амплитудный спектр сигнала Год; в — выходной сигнал ациклического фильтра; г — спектр сигнала на выходе ациклического фильтра; б — АЧХ фильтра ЧКШС для s = 2 и к2 = 4; г — спектр сигнала на выходе фильтра ЧКШС
И8 8 8 8
- X X X х>
е 0123456 7W
представление этого сигнала, его спектр РгОд и модуль спектра |Pr0,i|, а также результат ациклической согласованной фильтрации НАц равны (см. рис. 12.18, а, б, в)
Год = {1,1,1, -1}, РГо , = {2; —2г; 2; 2г},
'(12 410)
|РГод| = {2; 2; 2; 2}, НАЦ = {-1,0,1,4,1,0, -1,0}. v г
Спектр РнАц и модуль спектра |РнАЦ| выходной последовательности ациклического фильтра равны (рис. 12.18, г)
РНац = {4; -4,828 - 4,828г; 4г; 0,828 - 0,828г;
— 4; 0,828 4- 0,828г; —4г; —4,828 4- 4,828г}, ^2 4 ц^ |РНад | = {4; 6,828; 4; 1,171; 4; 1,171; 4; 6,828}.
Сравнивая выражения (12.4.10) и (12.4.11), видим, что компоненты амплитудного спектра входного сигнала совпадают с квадратом значений четных элементов амплитудного спектра выходной последовательности фильтра. Известно, что при согласованной фильтрации именно такая зависимость наблюдается между амплитудными спектрами входного и выходного сигнала фильтра. Таким образом, в спектре выходного сигнала ациклического фильтра имеются все необходимые для согласованной фильтрации компоненты, но результирующий эффект страдает из-за наличия ненулевых нечетных компонент в спектре.
В АЧХ фильтра для данного случая линии прозрачности строго соответствуют четным значениям т (рис. 12.18, б). На выход фильтра проходят только четные компоненты спектра выходных отсчетов ациклического фильтра (рис. 12.18, е). Сравнивая спектры |Pr0,i| входного сигнала Год и |Рд | выходного сигнала X фильтра, видим, что получен эффект, характерный для второй фазы циклической согласованной фильтрации.
Таким образом, механизм работы фильтра ЧКШС состоит в режекции компонент спектра выходного сигнала ациклического фильтра, искажающих процесс согласованной фильтрации входного сигнала с РЭС.
Эффективность алгоритма ЧКШС при разрешении сигналов от целей с различными ЭПР
Применение алгоритма ЧКШС позволяет полностью устранить влияние корреляционного шума, но приводит к увеличению уровня флуктуационных шумов. В связи с этим возникает задача определения порогового отношения ЭПР перекрывающихся целей, при котором целесообразно применение алгоритма. Если рассматривать задачу разрешения как задачу обнаружения одного сигнала на фоне других, то в этом случае необходимо определить, при каком отношении сигнал/шум алгоритм ЧКШС обеспечивает более высокую, по сравнению с ациклическими алгоритмами обработки, вероятность правильного обнаружения при фиксированной вероятности ложной тревоги.
Задача разрешения сигналов от целей с малой ЭПР на фоне сигналов от целей с большой ЭПР ставится следующим образом. Необходимо принять обоснованное решение об обнаружении сигнала от цели с малой ЭПР при наличии на входе белого гауссовского шума с нулевым математическим ожиданием и сигнала от цели с большой ЭПР. При этом расстояние между сигналами составляет не менее одного кодового интервала. Для решения задачи будем руководствоваться критерием оптимальности Неймана-Пирсона, обеспечивающим максимум вероятности правильного обнаружения D при фиксированной вероятности ложной тревоги F.
В случае полностью известного сигнала на входе фильтра имеется шум с дисперсией ствх и отношение сигнал/шум на выходе фильтра при наличии на его входе только одного сигнала составит q^ = ||Г|| /о-вх. Вероятность ложной тревоги в этом случае составит F = 1 — Ф(а:), а вероятность правильного обнаружения D = Ф (q^ — а), где а — нормированный порог обнаружения, Ф (а;) = 1 / х/2тг J exp (—t2/2) dt — интеграл вероятности.-°°
Использование алгоритма ЧКШС приводит к увеличению среднеквадратического отклонения шума в Vs раз (s — количество суммируемых отсчетов), однако влияние корреляционных шумов исключается. Выражение для вероятности ложной тревоги останется прежним, а вероятность правильного обнаружения составит
Р = Ф (^/V5 - а) -(12.5.1)
Пусть теперь в апертуре ациклического фильтра полностью находится слабый сигнал и присутствует часть сильного сигнала, причем эти сигналы взаимно независимы. Сильный сигнал создает корреляционные шумы с дисперсией ок- Определим отношение сигнал/шум q на выходе фильтра для этого случая. Энергия сигнала на выходе фильтра составляет ||Г||4, а дисперсия флуктуационного шума на выходе а2 = o'bxII^II2- Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Следовательно дисперсия случайной величины на выходе согласованного фильтра с учетом корреляционных шумов составит
^вых - ° + ^К — ^bxII1 II + ^К’
Тогда отношение сигнал/шум можно найти по формуле
=||Г||4=
СТРИГИ21 + а^/ЦГЦ4-
Вероятность правильного обнаружения для этого случая будет равна
D = Ф (q - а).(12.5.2)
Поскольку в качестве критерия качества работы обнаружителя был выбран критерий Неймана-Пирсона, необходимо определить условия, при которых вероятность D, вычисляемая в соответствии с (12.5.1), будет больше вычисляемой в соответствии с (12.5.2) при одинаковой вероятности ложной тревоги. Поскольку функция Ф (а;) является монотонной, то достаточно потребовать, чтобы
s 1 + <т^/||Г||4'
Из данного неравенства можно получить величину отношения сигнал/шум для слабого сигнала при заданной величине дисперсии корреляционных шумов, начиная с которого целесообразно применение ЧКШС:
(12.5.3)(12.5.3),ф > V(^T)1<
(12.5.3)
(12.5.3)
Данное соотношение определяет область значений отношения сигнал/шум, при которых применение алгоритма ЧКШС дает выигрыш в качестве принимаемых решений для полностью известного сигнала.
В случае сигнала со случайной начальной фазой вероятность правильного обнаружения определяется по формуле D = 1 — Q (ск,д), где а = = 21n(F) — нормированный порог, Q (и, и) — Q-функция Маркума (интегральное распределение Рэлея-Райса). Для сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой вероятность правильного обнаружения составляет D = F1^1^ X Пороговое значение отношения сигнал/шум определяется по аналогии со случаем полностью известного сигнала.
В качестве меры эффективности применения алгоритма ЧКШС введем коэффициент
к О = ^ЧКШС/^АЦ,
где 2?чкшс и В^ц — вероятности правильного обнаружения более слабого сигнала на фоне флуктуационных шумов и корреляционного шума, создаваемого более сильным сигналом соответственно при использовании дополнительно к ациклической согласованной фильтрации фильтра ЧКШС и без него.
На рис. 12.19 представлены примеры графиков характеристик обнаружения одного сигнала на фоне другого сигнала.
Основные выводы и рекомендации по использованию алгоритма ЧКШС состоят в следующем.
Эффективность применения алгоритма ЧКШС тем выше, чем выше пороговый уровень обнаружителя, т.е. чем меньше вероятность ложной тревоги F. Например, для полностью известного сигнала на базе композиционного контура Го,2,4,6,8,1,з,5,7 при отношении сигнал/шум q = 9, отношении амплитуд ку = 0,1 и F = 10-1 величина ку = 1,1, для F = = 10-4 величина ко = 3,3, а для F = 10-7 этот коэффициент достигает ко =80. Такая зависимость ко от порогового уровня обнаружителя объясняется тем, что с его ростом уменьшается степень маскировки слабого сигнала флуктуационным шумом, а корреляционный шум нс оказывает никакого влияния, так как он полностью подавляется фильтром ЧКШС.
Эффективность применения фильтра ЧКШС тем выше, чем больше отношение амплитуд ку слабого и сильного сигналов. При ку = 1 амплитуды сигналов одинаковы и алгоритм ЧКШС лишь ухудшает условия обнаружения сигналов из-за уменьшения отношения сигнал/шум. Уровень корреляционных шумов при этом значительно меньше уровня пикового отсчета любого из сжатых сигналов и шумы в одинаковой степени влияют на процесс обнаружения любого из сигналов. По мере уменьшения коэффициента ку боковые лепестки сильного сигнала все в большей степени маскируют пиковый отсчет слабого сигнала и эффективность обнаружения за счет применения алгоритма ЧКШС увеличивается.
Например, для полностью известного сигнала на базе контура Го,2,4,6,8,1,з,5,7, В = Ю-7, отношения сигнал/шум q = 12 и ку = 0,2 коэффициент ко = 1,9, а при ку = 0,1 величина этого коэффициента достигает значения ко = НО.
Рис. 12.19. Характеристики обнаружения комплекснозначной последовательности на фоне корреляционного и флюктуационного шумов и зависимость коэффициента кп*. а. — полностью известный контур Го,2,1, ки = 1; б — полностью известный контур Го,2,1, ku = 1; в — контур Го,2.1 со случайной начальной фазой, ки = = 1; г — контур Го,2,1 со случайной начальной фазой, ku = 1; б — контур Го,2,1 со случайными параметрами, ku = Г, е — контур Го,2,1 со случайными параметрами, ku = 1Рис. 12.19. Характеристики обнаружения комплекснозначной последовательности на фоне корреляционного и флюктуационного шумов и зависимость коэффициента кп*. а. — полностью известный контур Го,2,1, ки = 1; б — полностью известный контур Го,2,1, ku = 1; в — контур Го,2.1 со случайной начальной фазой, ки = = 1; г — контур Го,2,1 со случайной начальной фазой, ku = 1; б — контур Го,2,1 со случайными параметрами, ku = Г, е — контур Го,2,1 со случайными параметрами, ku = 1
Рис. 12.19. Характеристики обнаружения комплекснозначной последовательности на фоне корреляционного и флюктуационного шумов и зависимость коэффициента кп*. а. — полностью известный контур Го,2,1, ки = 1; б — полностью известный контур Го,2,1, ku = 1; в — контур Го,2.1 со случайной начальной фазой, ки = = 1; г — контур Го,2,1 со случайной начальной фазой, ku = 1; б — контур Го,2,1 со случайными параметрами, ku = Г, е — контур Го,2,1 со случайными параметрами, ku = 1
Рис. 12.19. Характеристики обнаружения комплекснозначной последовательности на фоне корреляционного и флюктуационного шумов и зависимость коэффициента кп*. а. — полностью известный контур Го,2,1, ки = 1; б — полностью известный контур Го,2,1, ku = 1; в — контур Го,2.1 со случайной начальной фазой, ки = = 1; г — контур Го,2,1 со случайной начальной фазой, ku = 1; б — контур Го,2,1 со случайными параметрами, ku = Г, е — контур Го,2,1 со случайными параметрами, ku = 1
Необходимо отметить, что коэффициент ко = ^чкшс/^ац не в полной мере характеризует выигрыш от применения фильтра ЧКШС. Для случая ки = 0,2 мы получим, что отношение вероятностей правильного обнаружения равно ки = 0,2, но при этом /^чкшс = 0,98, а Идц = 0,5. По мере приближения вероятности D к единице для получения одного и того же приращения этой вероятности требуется значительно более высокое отношение сигнал/шум, чем при сравнительно небольших значениях D. Поэтому полученное значение ко = 1,8 в данном случае свидетельствует о высокой эффективности алгоритма ЧКШС.
По мере увеличения размерности к2 композиционного контура растет отношение между размахом главного лепестка сжатого сигнала и ближайшего к нему по амплитуде бокового лепестка, т.е. с ростом размерности к2 увеличивается отношение сигнал/корреляционный шум. Поскольку фильтр ЧКШС полностью подавляет корреляционный шум, то эффект от его применения будет больше для контуров с меньшей размерностью к2. Например, для случая полностью известного сигнала, F = = 10-7, ку = 10, s = 3 и отношения сигнал/шум q = 9 коэффициент ку для контура Г012,4,6,8,1,з,5,7 равен 80, для контура Г0,2,4,1,з — 1400 и для контура Го?2,1 — 5000.
Особенности обработки сигналов на базе композиционных контуров, отраженных от подвижных целей
Применение кодирующих последовательностей с РЭС позволяет повысить качество функционирования радиотехнической системы за счет подавления эффекта маскировки отклика от слабого сигнала боковыми лепестками корреляционной функции от сильного сигнала, особенно в случаях, когда на ее входе присутствуют сигналы с большим отношением амплитуд. На практике приходится иметь дело с сигналами, отраженными от подвижных объектов. Доплеровское смещение частоты эхо-сигнала приводит к рассогласованию параметров сигнала и устройства обработки и, следовательно, к возникновению корреляционных шумов.
Обработка сигналов на базе композиционных контуров с учетом эффекта Доплера. Рассмотрим влияние эффекта Доплера на процесс сжатия сигналов в виде композиционного контура с РЭС. В качестве физического носителя для кодирующей последовательности выберем фазокодированный сигнал. Из-за изменения частоты эхо-сигнала от подвижной цели на каждом кодовом интервале возникает набег фазы А^д:
△^д ~ 2тгткиу?д = 2о;нтки —, (12.6.1)
где шн = 2тг/н — частота несущей, тки — длительность кодового интервала, уц — радиальная скорость цели, /д — частота Доплера.
В результате ЭВ 7 (п) композиционного контура в принятом сигнале будет равен
1/(п) = 7 (п) ехр {гпАу^д}, п = 0,1,... , к2 — 1. (12.6.2)
Отсюда следует, что в случае движущейся цели выделенный после амплитудно-фазового детектора контур будет деформирован из-за того, что каждый его ЭВ 7 (n), п = 0,1,... , к2 — 1, дополнительно повернется на угол пА(/?д, не равный в общем случае углу поворота других ЭВ.
Рассмотрим вопрос о характере вызванного этим искажения спектра контура. С учетом выражения (12.6.2) для спектральной составляющей рд (т) контура получим:
А:2 —1Рд (™) = 52 7 (п) ехрп=0А:2 —1Рд (™) = 52 7 (п) ехрп=0{тДу7д} exp { — ip-mn{тДу7д} exp { — ip-mnfc2 —152 ^ (п) ехр п=0fc2 —152 ^ (п) ехр п=0m —m —Введем обозначение s = m — Д^дА;2/2тг. ТогдаВведем обозначение s = m — Д^дА;2/2тг. Тогда△с^д/с22тг△с^д/с22тг(12.6.3)(12.6.3)
А:2 —1
Рд (™) = 52 7 (п) ехр
п=0
А:2 —1
Рд (™) = 52 7 (п) ехр
п=0
{тДу7д} exp { — ip-mn
{тДу7д} exp { — ip-mn
fc2 —1
52 ^ (п) ехр п=0
fc2 —1
52 ^ (п) ехр п=0
m —
m —
Введем обозначение s = m — Д^дА;2/2тг. Тогда
Введем обозначение s = m — Д^дА;2/2тг. Тогда
△с^д/с22тг
△с^д/с22тг
(12.6.3)
(12.6.3)
Отсюда следует, что в результате воздействия эффекта Доплера каждая составляющая исходного контура сдвинулась «по частоте» на постоянную величину Лтд = А;2 Д^д/2тг. Эта величина практически всегда является дробным числом. Из предположения, что эффект Доплера не приводит к нарушению амплитудных соотношений в спектре композиционного контура следует, что энергетический спектр деформированного контура остался равномерным. Поэтому имеется принципиальная возможность идеального сжатия деформированного сигнала, т.е. возможность полного подавления его боковых лепестков. Проиллюстрируем это на примере последовательности Год = {1,1,1, -1} при Д^д = тг/4. Деформированная последовательность имеет вид (рис. 12.20, б)
N = {1; 0,707 + 0,707г; г; 0,707 - 0,707г}.
Ее спектр, найденный без учета группового сдвига всех спектральных к2 составляющих на величину Дтд = —Дод = 0,5, равен (рис. 12.20, в)
Рд = {2,414 + г; 2,414 - г; 0,414 + г; 0,414 - г}.
Видно, что модули спектральных составляющих не равны между собой. Поэтому ациклический и ЧКШС фильтры не обеспечивают идеаль-
Рис. 12.20. Деформация контура Poi в результате движения цели с набегом по фазе Дод за кодовый интервал, равным тг/4: а — исходный контур; б — деформированный контур; в — спектр деформированного контура для целых значений т; г — спектр деформированного контура для т = — 0,5;0,5;1,5;2,5Рис. 12.20. Деформация контура Poi в результате движения цели с набегом по фазе Дод за кодовый интервал, равным тг/4: а — исходный контур; б — деформированный контур; в — спектр деформированного контура для целых значений т; г — спектр деформированного контура для т = — 0,5;0,5;1,5;2,5
Рис. 12.20. Деформация контура Poi в результате движения цели с набегом по фазе Дод за кодовый интервал, равным тг/4: а — исходный контур; б — деформированный контур; в — спектр деформированного контура для целых значений т; г — спектр деформированного контура для т = — 0,5;0,5;1,5;2,5
Рис. 12.20. Деформация контура Poi в результате движения цели с набегом по фазе Дод за кодовый интервал, равным тг/4: а — исходный контур; б — деформированный контур; в — спектр деформированного контура для целых значений т; г — спектр деформированного контура для т = — 0,5;0,5;1,5;2,5
ного сжатия деформированного сигнала. В то же время, спектр контура, найденный в точках т = —0,5; 0,5; 1,5; 2,5, имеет вид Р = {2г; 2; 2г; 2} (рис. 12.20, г), а модули этих спектральных составляющих равны {2,2,2, 2}, т.е. контур характеризуется равномерным энергетическим спектром, хотя и при дробном значении т.
На основании рассмотренного процесса деформации композиционного контура получаем алгоритм работы циклического согласованного фильтра, осуществляющего во время второй фазы взаимодействия сигнала с фильтром полное подавление корреляционных шумов:
fc2-i
Ч kN^^v (и) ехр {-шД^д}7* (п - т + k2 - 1),(12.6.4)
п=0
m = 0,1,... ,к2 - 1.
В этой формуле произведение v (п) ехр {—тДу?д}, п = 0,1,... ... , к2 — 1, равно ЭВ 7 (п) исходного, не деформированного контура. Соответственно, выражения для выходных сигналов ациклического фильтра для первой и третьей фаз принимают вид
j-i
^ = 52 17 ^ ехР(^2 + п ~ j) > J = I? 2,... , А;2,
п=о(12.6.5)
fc2-i
^F11^ = 52 v W ехР {“^А^дИ* (А:2 + n — Z), I = 0,1,... , к2 — 1.
п=1(12.6.6)
Фильтровая схема для рассматриваемого вида сигналов должна содержать амплитудно-фазовый детектор АФД, вырабатывающий по принятому эхо-сигналу значения ЭВ композиционного контура N = {^ (^)}0,а?-1>
Рис. 12.21. Структура устройства обработки эхо-сигнала на базе композиционного контура при неизвестной частоте Доплера (а) и структура блока компенсации доплеровского набега фазы (б)
компенсаторы доплеровских набегов фазы, каждый из которых настроен на соответствующий доплеровский диапазон с центральной частотой ^2д^, j = 1,2,... ,/, набор ациклических согласованных фильтров АСФ (рис. 12.21).
Рассмотрим несколько примеров обработки сигнала на базе композиционного контура Год = {1,1,1,-!}, когда набег фазы за один кодовый интервал составляет Ду>д = тг/4. В этом случае деформированный контур принимает вид N = {1; 0, 707 + 0,707г; г; 0,707 - 0,707г}.
Система обработки имеет вид, представленный на рис. 12.21, и содержит пять каналов, настроенных на доплеровские сдвиги частоты, приводящие к набегам фаз за кодовый интервал, равным Ду? = {0; тг/12; тг/6; тг/4; тг/З}.
В первом примере рассматривается случай одиночной цели. Ниже приведены результаты обработки ациклическим фильтром АСФ1 ... АСФ5 деформированного композиционного контура N:
Ндцд = {-1; 0,293 - 0,707г; 1,707 - 0,293г; 1 + 2,414г; 1,414 + г;
0,707 + 0,293г; 0,707 - 0,707г},
Нац,2 = {-1; 0,134 - 0,5г; 1,366 - 0,366г; 2,366 + 2,366г;
1,366 + 0,366г; 0,5 - 0,134г; -г}, Ндц,з = {-1; 0,034 - 0,259г; 1,1 - 0,241г; 3,539 + 1,466г; 1,125 + 0,052г;
0,159 - 0,207г; -0,707 - 0,707г},
НАц,4 = {-1; 0; 1; 4; 1; 0; -1}, НАц,5 = H^,3.
3,833,83На рис. 12.22 приведены значения модулей отсчетов ациклических фильтров. Видно, что в четвертом канале (Ду>д = тт/4), как и следовало ожидать, достигается максимальный отсчет сигнала, а наибольший уровень боковых лепестков
3,83
3,83
3,346
2,61 А<Рд=0°2,61 А<Рд=0°А^д =15°А^д =15°1,732 ! 0,7651,732 ! 0,7651,7320,765 ?1,7320,765 ?111,414 ,5181,414 ,5181,414 1 0,51811,414 1 0,5181111,1261,1261 2 3 4 5 6 71 2 31 2 3 4 5 6 71 2 3А^д =30°А^д =30°1,12611,12611 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 755446 76 7Рис. 12.22. Значения модулей выходных сигналов ациклических фильтров при обработке одиночного сигнала с А^д = 45°Рис. 12.22. Значения модулей выходных сигналов ациклических фильтров при обработке одиночного сигнала с А^д = 45°3,3463,3463,833,83443,833,832,61 22,61 2.61.611,08 1,081,08 1,081,9310,890,51 11,9310,890,51 11,031,03;1 2 35 6;1 2 35 6IIIIII7 ;i7 ;i0,5 I0,13 | I0,5 I0,13 | I1,031,030,5 I0,13 I I0,5 I0,13 I I;8*9 1011 12й йЙ 1}617 18 19 joI III I IV I VI;8*9 1011 12й йЙ 1}617 18 19 joI III I IV I VI
2,61 А<Рд=0°
2,61 А<Рд=0°
А^д =15°
А^д =15°
1,732 ! 0,765
1,732 ! 0,765
1,732
0,765 ?
1,732
0,765 ?
1
1
1,414 ,518
1,414 ,518
1,414 1 0,5181
1,414 1 0,5181
1
1
1,126
1,126
1 2 3 4 5 6 71 2 3
1 2 3 4 5 6 71 2 3
А^д =30°
А^д =30°
1,1261
1,1261
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
5
5
4
4
6 7
6 7
Рис. 12.22. Значения модулей выходных сигналов ациклических фильтров при обработке одиночного сигнала с А^д = 45°
Рис. 12.22. Значения модулей выходных сигналов ациклических фильтров при обработке одиночного сигнала с А^д = 45°
3,346
3,346
3,83
3,83
4
4
3,83
3,83
2,61 2
2,61 2
.61
.61
1,08 1,08
1,08 1,08
1,931
0,890,51 1
1,931
0,890,51 1
1,03
1,03
;1 2 35 6
;1 2 35 6
I
I
II
II
7 ;i
7 ;i
0,5 I
0,13 | I
0,5 I
0,13 | I
1,03
1,03
0,5 I
0,13 I I
0,5 I
0,13 I I
;8*9 1011 12й йЙ 1}617 18 19 jo
I III I IV I VI
;8*9 1011 12й йЙ 1}617 18 19 jo
I III I IV I VI
Рис. 12.23. Результат пространственно-временной обработки сигнала с примене-нием алгоритма ЧКШС
минимален. На рис. 12.23 показан результат пространственно-временной обработки сигнала с применением алгоритма ЧКШС. Вначале идут модули отсчетов, соответствующих первому каналу, затем второму и т.д. В четвертом канале произошло полное подавление корреляционных шумов с сохранением значения максимального отсчета.
Для рассмотренной ситуации решающее устройство достаточно уверенно выберет в качестве окончательного варианта выходные сигналы четвертого канала
Таблица 12.4
Номер канала
Макс, модуль отсчетов
Сумма модулей всех отсчетов
1
2,613
9,607
2
3,346
9,208
3
3,831
8,605
4
4
4
5
3,831
8,605
по критерию максимального модуля и минимальной суммы модулей отсчетов для каждого из каналов. Значения этих признаков для каждого из каналов приведены в табл. 12.4.
Во втором примере рассмотрен случай, когда перекрывается один кодовый интервал двух сигналов с амплитудами 1 и 5 и набегом фазы за кодовый интервал, равным Д<рд = тг/4. Коды Ni и N2 этих сигналов и код суммарного деформированного сигнала равны
Ni = {5; 3,536 + 3,536г; 5г; 3,536 - 3,536г},
N2 = {1; 0,707 + 0,707г; г; 0,707 - 0,707г},
{5; 4,536 + 3,536г; 0,707 + 5,707г; 3,536 - 2,536г; 0,707 - 0,707г}.
Модули выходных сигналов ациклических фильтров представлены в виде графиков на рис. 12.24, а, а результат пространственной обработки сигнала решающим устройством с применением алгоритма ЧКШС — на рис. 12.24, б. Как и в первом примере, видно, что по результатам ациклической обработки сложно судить о наличии двух целей с разными амплитудами, хотя на выходе фильтра четвертого канала уровень корреляционного шума минимален. Применение алгоритма ЧКШС обеспечивает, как и в случае одиночной цели, полное подавление корреляционного шума в четвертом канале. В результате здесь проявляется эффект идеального разрешения целей с сохранением амплитудных и временных соотношений. Таблица значений максимальных модулей отсчетов в каждом из каналов и сумм модулей для каждого из каналов имеет вид (табл. 12.5).
Согласно табл. 12.5, максимальные значения модулей наблюдаются на выходе четвертого и пятого каналов, но по сумме модулей всех отсчетов решающее устройство уверенно отбирает в качестве окончательного результата отсчеты четвертого канала.
Рассмотренный случай идеального разрешения находящихся в одном импульсном объеме перекрывающихся сигналов от целей является наиболее важным, так как перекрытие сигналов из-за одинаковости или близости скоростей целей будет происходить в течении длительного времени. Если же скорости целей значительно отличаются друг от друга, то перекрытие сигналов будет кратковременным собы-
1 2 31 2 313,6 Лрд=о°10,955,5 5,3- I I I \4 5 6 7 813,6 Лрд=о°10,955,5 5,3- I I I \4 5 6 7 817,210’3 Дфд=15°5 У 3,95-3I VI I I 1, 1 2 3 4 5 6 7 817,210’3 Дфд=15°5 У 3,95-3I VI I I 1, 1 2 3 4 5 6 7 819,619,620.7Дрд=45°20.7Дрд=45°20,220,2Д^д =60°Д^д =60°8,355I1 2 3 4 5 6 7 88,355I1 2 3 4 5 6 7 812 3 412 3 47,348■Л !5 6 7 87,348■Л !5 6 7 8Рис. 12.24. Обработка перекрывающихся сигналов с одинаковым набегом фазы Дод = 45° и амплитудами 5 и 1: а — графики модулей выходных отчсетов ациклических фильтров; б — пространственно-временное представление результатов обработки после фильтра ЧКШСРис. 12.24. Обработка перекрывающихся сигналов с одинаковым набегом фазы Дод = 45° и амплитудами 5 и 1: а — графики модулей выходных отчсетов ациклических фильтров; б — пространственно-временное представление результатов обработки после фильтра ЧКШС
1 2 3
1 2 3
13,6 Лрд=о°
10,95
5,5 5,3
- I I I \
4 5 6 7 8
13,6 Лрд=о°
10,95
5,5 5,3
- I I I \
4 5 6 7 8
17,2
10’3 Дфд=15°
5 У 3,95-3
I VI I I 1, 1 2 3 4 5 6 7 8
17,2
10’3 Дфд=15°
5 У 3,95-3
I VI I I 1, 1 2 3 4 5 6 7 8
19,6
19,6
20.7
Дрд=45°
20.7
Дрд=45°
20,2
20,2
Д^д =60°
Д^д =60°
8,3
55I
1 2 3 4 5 6 7 8
8,3
55I
1 2 3 4 5 6 7 8
12 3 4
12 3 4
7,3
48
■Л !
5 6 7 8
7,3
48
■Л !
5 6 7 8
Рис. 12.24. Обработка перекрывающихся сигналов с одинаковым набегом фазы Дод = 45° и амплитудами 5 и 1: а — графики модулей выходных отчсетов ациклических фильтров; б — пространственно-временное представление результатов обработки после фильтра ЧКШС
Рис. 12.24. Обработка перекрывающихся сигналов с одинаковым набегом фазы Дод = 45° и амплитудами 5 и 1: а — графики модулей выходных отчсетов ациклических фильтров; б — пространственно-временное представление результатов обработки после фильтра ЧКШС
тием. При разных скоростях движения целей ациклический фильтр, задаваемый выражениями (12.6.5) и (12.6.6), настроенный на компенсацию набега фаз ЭВ одного контура, не в состоянии это выполнить для другого контура. В результате фильтр ЧКШС не сможет подавить корреляционные шумы, возникающие за счет сжатия сигнала с нескомпенсированными набегами фаз ЭВ. Однако его применение целесообразно, так как фильтр ЧКШС подавит корреляционные шумы, вызван-
Таблица 12.5
Номер канала
Макс, модуль отсчетов
Сумма модулей всех отсчетов
1
14,4
41,02
2
16,4
37,39
3
18,3
31,26
4
20
24
5
20,05
32,07
ные сжатием одного из сигналов. Наиболее сложным является случай перекрытия сигналов одинаковой амплитуды, так как при этом эффективность фильтра ЧКШС будет наименьшей. Например, если такие сигналы задаются контуром Год, разность набегов фаз за кодовый интервал равна Ду>д = тг/4 и перекрытие происходит с параметром j — 1, то результат ациклической фильтрации равен (рис. 12.25, а)
Ндц = {-1; -1; 1,3 - 0,7г; 5,7 - 0,3г; 2 4- 2,4г; 1,4 + г; -0,3 + 0,3г; 0,7 - 0,7г},|НАц| = {1; 1; 1,48; 5,71; 3,14; 1,73; 0,414; 1}.
Из приведенных соотношений и диаграммы на рис. 12.25, а видно, что несмотря на определенную маскировку корреляционными шумами второго из сигналов,
2 61
1,08 1,08
шх
6 0 12 3
Рис. 12.25. Зависимость модулей отсчетов на выходе фильтра для перекрываю-щихся с параметром j = 1 сигналов Г01 одинаковой амплитуды для целей, движу-щихся с разными скоростями (А^д = 0° и Ау>д = 45°): а — после ациклическойфильтрации; б — после ациклической фильтрации и ЧКШС
отсчеты модулей сигналов, равные соответственно 5,71 и 3,12, значительно превышают уровень максимального бокового лепестка, равного 1,72. Это обеспечивает достаточно уверенное разрешение сигналов, особенно после ЧКШС.
Если в первом случае отношение модуля отсчета второго сигнала к максимальному боковому лепестку было равно 3,12/1,72 = 1,82, то после фильтра ЧКШС это отношение станет равным 2,8/1,08 = 2,6. Еще больший эффект от применения алгоритма ЧКШС достигается, когда амплитуды эхо-сигналов разные. Если предположить, что в рассмотренном примере амплитуда одного из сигналов превышает амплитуду другого в пять раз, то результаты обработки таких сигналов будут иметь вид (рис. 12.26)
НАц = {-5; -1; 5,293 - 0,707г; 21,707 - 0,293г; 6 + 2,414г;
1,414 + г; -4,293 4- 0,293г; 0,707 - 0,707г},
|НАц| = {5; 1; 5,34; 21,709; 6,47; 1,73; 4,3; 1},
X = {1 4- 2,414г; 0,414 + г; 1 - 0,414г; 22,414 - г},|Х| = {2,61; 1,08; 1,08; 22,44}.
Из этих данных видно, что отношение модуля сигнала, соответствующего второму сигналу, к модулю максимального бокового лепестка после циклического
22,43
2,61
1,08 1,08
11 L
£ 0 1 2 3
Рис. 12.26. Результат обработки сигналов с отношением амплитуд пять к одному:а — выход ациклического фильтра; б — выход фильтра ЧКШС
фильтра равно 6,47/5,34 = 1,21. В результате разрешение целей становится проблематичным. После фильтра ЧКШС это отношение стало равным 2,61/1,08 = = 2,42, т.е. увеличилось в два раза.
Режим селекции движущихся целей. Для подавления пассивных помех в импульсно-доплеровских РЛС применяются устройства селекции движущихся целей, построенные на базе устройств череспе- риодной компенсации (ЧПК). Для улучшения подавления сигналов от неподвижных объектов часто применяют многократные системы ЧПК, состоящие из нескольких последовательно включенных устройств че- респериодной компенсации.
Рассмотрим работу системы однократной ЧПК в РЛС, использующей сложные сигналы. Вследствие влияния эффекта Доплера ЭВ ^s М на s-m периоде повторения на входе ЧПК равен
7s (и) = ,71 exp {г[р (п) + пДу?ки + зД^п]},
где Дуки — i——^-/изл — доплеровский набег фазы на одном кодовом С
интервале, /изл — частота несущей, и — скорость цели, тки — длитель- д, 47rTnv .
ность кодового интервала, с — скорость света, Дущ = =Ь/изл — с
доплеровский набег фазы за один период повторения сигнала тщ Пусть амплитуда сигнала не изменяется от периода к периоду сигнала и равна единице. Тогда ЭВ A7S (п) на выходе ЧПК, определяемый как разность векторов на соседних периодах повторения запишется в виде
д7 (n) = 7s+i (п) - 7s (п) = Н ехр {г[^ (п) + пД^ + (s +1) Д^п]} - - Ы ехр {г[у> (п) + пД^ки + sAyn]} =
= Ы ехр {г[у (п) + пД9?ки + зД^п]} • (ехр {г^п} - 1) •
При рассмотрении работы системы ЧПК не имеет значения, на каком периоде обзора анализируется ее работа, поэтому положим s = 0. Тогда
А 7 (п) = |7| ехр {г[у> (п) + пД^ки]} • (ехр {гуп} - 1) •
Пусть сигнал с выхода системы ЧПК поступает на вход согласованного фильтра, т.е. v (п) = Д7 (п). В этом случае для момента совпадения сигнала с окном фильтра можно записать
Ь2-1fc2-l
77 (0, Д^ки) = 52 ^(п) 7* (п) = 52 ехР {’I*’ (п) + пД^ки]} • 7* (п) = п=0п=0
fc2-l
= (exp {г^п} - !) 52 7 (п)ехр {^1™} • 7* W-
n=0
Пусть модуль вектора 7(22) равен единице. Тогда с учетом выражения для суммы геометрической прогрессии получим
Если обработка сигнала происходит в канале, согласованном с сигналом поЕсли обработка сигнала происходит в канале, согласованном с сигналом по^..)-=:<^7^
Если обработка сигнала происходит в канале, согласованном с сигналом по
Если обработка сигнала происходит в канале, согласованном с сигналом по
||Д'7(«)|||Д'7(«)|2л 4л Д^п2л 4л Д^пРис. 12.27. Модуль отклика согласованного фильтра при использовании системы ЧПКРис. 12.27. Модуль отклика согласованного фильтра при использовании системы ЧПКчастоте Доплера, то последнее выражение примет вид 27 = к2 (ехр {г</?п} ~ 1), а модуль отклика согласованного фильтра при использовании системы ЧПК станет равен |/7| = A;2V2sin Д^п/2 (рис. 12.27).
||Д'7(«)|
||Д'7(«)|
2л 4л Д^п
2л 4л Д^п
Рис. 12.27. Модуль отклика согласованного фильтра при использовании системы ЧПК
Рис. 12.27. Модуль отклика согласованного фильтра при использовании системы ЧПК
Таким образом, применение системы ЧПК при обработке контурных сигна
лов позволяет осуществлять режекцию спектральных составляющих пассивных помех.
Основные результаты в области анализа сложных сигналов на базе композиционных контуров и устройств их обработки
В данной главе рассмотрены кодирующие последовательности, интерпретированные как заданные на плоскости контуры. Показано, что для обеспечения идеального временного разрешения сигналов их энергетические спектры должны быть равномерными, обработка — циклической, а сами сигналы, как правило, являются комплекснозначными.
Синтезированы комплекснозначные сигналы в виде композиционных контуров из полного семейства элементарных контуров, представляющих собой последовательности следующих друг за другом элементарных контуров, образующих одно полное семейство. Показано, что базовый композиционный контур Го,1„.. д-i из последовательности элементарных контуров Го,Г1,... ,Г^_1, имеет равномерный энергетический спектр.
Рассмотрен метод формирования алфавита композиционных контуров из полного семейства элементарных контуров с равномерным энергетическим спектром. Показано, что для каждого значения к имеется <р (к) базовых контуров с равномерным энергетическим спектром, где у? (&) —
функция Эйлера от числа к. Из каждого базового контура путем циклического сдвига составляющих его ЭК получаются еще к—1 контуров с равномерным энергетическим спектром, и общее количество композиционных контуров с данным видом спектра равно кср(к\ Конкретная структура такого контура в виде последовательности элементарных контуров разных порядков находится путем умножения ряда 0,1,...,^ — 1 на одно из чисел, взаимно простых с к и переходом в полученных произведениях к значениям по модулю к.
Рассмотренный метод синтеза позволяет аналитическим путем получить кодовую последовательность длиной к2, к = 2,3,4,..., с равномерным энергетическим спектром.
Исследованы вопросы обработки синтезированных кодовых последовательностей. Показано, что амплитудно-частотная характеристика согласованного с ней фильтра является строго равномерной, а фазо-частотная — линейно-нарастающей в пределах от нуля до 2тг. Выходной сигнал фильтра состоит только из одной составляющей, равной энергии входной последовательности. Такой вид сжатого сигнала, а также возможность формирования достаточно протяженных последовательностей позволяют считать композиционные контуры с равномерным энергетическим спектром эффективными с точки зрения решения задач обнаружения, разрешения и оценки параметров.
Показано, что необходимым условием получения дельтовидной АКФ при согласованной фильтрации сигнала с равномерным энергетическим спектром является циклический характер обработки. Только в этом случае существует взаимное положение окна фильтра и сигнала, причем только одно, для которого при нулевом уровне шумов реализуются идеальные разрешающие свойства сигналов на базе композиционных контуров, когда один отсчет сжатого сигнала равен энергии входного сигнала, а остальные — нулю. При этом циклической согласованной фильтрации присущи два недостатка.
Возрастание в к2 требуемого объема вычислений по сравнению с традиционно применяемой для обнаружения и разрешения сигналов ациклической фильтрацией, где к2 — размерность композиционного контура;
Неопределенность выбора из (2к2 — 1) получающихся при скольжении окна циклического фильтра серий отсчетов только одной, обладающей необходимыми свойствами.
Использование алгоритма ЧКШС позволяет по результатам ациклической согласованной фильтрации композиционного контура с равномерным энергетическим спектром для комплементарных положений окна фильтра найти серию выходных отсчетов, состоящую из одного ненулевого и всех остальных, равных нулю значений.
Показано, что применение алгоритма ЧКШС к выходным отсчетам ациклического согласованного фильтра при обработке сигнала с равномерным энергетическим спектром дает результаты, аналогичные результатам циклической согласованной фильтрации, т.е. позволяет с низкой трудоемко-
стью получить сжатый сигнал без боковых лепестков. При этом происходит удвоение энергии шума из-за расширения вдвое апертуры фильтра.
Выяснены условия, при которых целесообразно использование алгоритма ЧКШС для разрешения сигналов по дальности. Эффективность применения алгоритма ЧКШС тем выше, чем больше различие между ЭПР близко расположенных целей, чем ниже уровень ложных тревог на выходе обнаружителя и чем меньше размерность кодирующей сигнал последовательности элементарных векторов композиционного контура с РЭС.
Таким образом, проведенный анализ показывает, что сигнал в виде композиционного контура обладает дельтовидной автокорреляционной функцией и равномерным энергетическим спектром, т.е. позволяет получить идеальное разрешение по дальности. В то же время составляющие его элементарные контуры вследствие своей взаимной ортогональности являются оптимальными при решении задачи распознавания этого сигнала. Так как свойства композиционного контура сохраняются при любых к, становится возможным формирование энергоемкого сигнала, а поскольку, кроме того, амплитуда сигнала на всех кодовых интервалах одинакова (пик фактор сигнала равен единице), то сигнал является хорошим и для решения задачи обнаружения. Следовательно, сигнал в виде композиционного контура позволяет решать ключевые задачи радиолокации: обнаружение, распознавание, измерение параметров и разрешение сигналов.
Контрольные вопросы и задачи
Каким амплитудным спектром должен обладать сигнал с дельтовидной циклической АКФ?
Каким требованиям должен удовлетворять фазовый спектр действительного сигнала с РЭС?
Какими свойствами обладают элементарные контуры?
Дайте определение композиционного контура.
Как формируется алфавит композиционных контуров из полного семейства элементарных контуров с РЭС?
Запишите отсчеты базового композиционного контура для к = 3.
Вычислить отсчеты амплитудного и фазового спектров базового композиционного контура для к = 3.
Запишите порядок следования элементарных контуров для всех базовых композиционных контуров при к = 5.
Вычислить отсчеты ВКФ двух базовых композиционных контуров Г0,1,2 и Го,2,1.
Предложите алгоритм и структурную схему устройства распознавания композиционного контура по входящим в его состав элементарным контурам.
Покажите, что АЧХ согласованного с базовым композиционным контуром фильтра является равномерной, а ФЧХ — линейно-нарастающей в пределах от нуля до 2тг.
Как определяются отсчеты на выходе циклического согласованного фильтра для трех фаз взаимодействия сигнала и фильтра?
Покажите, что на первой стадии фильтрации положение максимального отсчета на выходе циклического согласованного фильтра соответствует моменту начала сигнала, а на последней — моменту его окончания.
Каким образом формируются отсчеты циклического согласованного фильтра для случая полного совпадения сигнала с окном фильтра по результатам первой и третьей фаз взаимодействия циклического фильтра с сигналом?
Каким образом формируются отсчеты циклического согласованного фильтра для случая полного совпадения сигнала с окном фильтра по результатам первой и третьей фаз взаимодействия ациклического фильтра с сигналом?
Приведите структуру устройства обработки сигналов в канале дальности с использованием алгоритма ЧКШС.
Как зависит эффективность применения алгоритма ЧКШС от вероятности ложной тревоги?
Как зависит эффективность применения алгоритма ЧКШС от отношения амплитуд разрешаемых сигналов?
Как зависит эффективность применения алгоритма ЧКШС от размерности композиционного контура?
Глава 13
СИГНАЛЫ В ВИДЕ ФОРМ ВТОРИЧНЫХ СОЗВЕЗДИЙДЛЯ ОРИЕНТАЦИИ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Задача ориентации летательного аппарата по изображениям созвездий
Ориентация летательных аппаратов (ЛА) в пространстве по положению астрономических объектов является достаточно актуальной задачей. При ее решении выделяют следующие этапы: 1) получение изображений участков звездного неба; 2) определение координат изображений звезд в системе координат астродатчика; 3) идентификация изображений этих звезд по данным бортового каталога; 4) расчет параметров ориентации.
Для астрономических ориентиров самыми общими отличительными признаками являются их положение в пространстве в некоторый момент времени и характер излучения. В связи с тем, что расстояния до звезд
Рис. 13.1. Характерные точки и сечения небесной сферы
на много порядков превосходят любые расстояния между двумя возможными точками наблюдения на поверхности Земли, звезды проецируются на небесную сферу единичного радиуса с центром в точке наблюдения. Для наблюдателя, расположенного в пределах Земли и вращающегося вместе с Землей, приняты характерные точки и сечения на небесной сфере, показанные на рис. 13.1.
При решении задачи трехосной ориентации ЛА по изображениям астрономических объектов в инерциальной базовой системе коор-
Рис. 13.2. Системы координат для ориентации летательных аппаратов в инерциальном базисе
динат вводятся три правых ортонормированных координатных базиса (рис. 13.2) с совмещенным началом координат в точке О.
{61,63,63} — базовая экваториальная система координат (СКЭ) с базисными векторами, направленными из точки наблюдения соответственно: el — к точке весеннего равноденствия 7, 63 — к северному полюсу мира Р, 62 — дополняет базис до правого и задает вместе с е| плоскость небесного экватора.
{ei, 62,63} — координатный базис летательного аппарата (СКЛ) с базисными векторами, ориентированными вдоль главных осей ЛА: 61 — вдоль фюзеляжа, 63 — вертикальной плоскости ЛА, е^ — дополняет базис до правого.
{61,62,63} — координатный базис астродатчика (СКД) с базисными векторами: 63 — вектор оптической оси датчика, е^е^ — векторы, ориентированные вдоль главных осей плоскости изображения. Произвольный вектор Xj (вектор, проведенный из центра сферы к светилу) в каждом базисе задается матрицей-столбцом из координат этого вектора:
ж1.
ггЛ
хэ- = 3
хл- "
’J
X2j
ТД
_x3j.
Ь^з>_
где верхний индекс обозначает соответствующий координатный базис. Группу из п векторов {х7}1п задает матрица X, размерностью 3 х п элементов. ’
Координаты вектора Xj в различных координатных базисах связаны линейными однородными преобразованиями. Запишем переход из СКД в СКЭ:
Хэ = D Хд,Хэ = D Хд,d-nD = d2i_^31d-nD = d2i_^31^12^13^22^23^32 ^зз-^12^13^22^23^32 ^зз-
Хэ = D Хд,
Хэ = D Хд,
d-n
D = d2i
_^31
d-n
D = d2i
_^31
^12^13
^22^23
^32 ^зз-
^12^13
^22^23
^32 ^зз-
Рис. 13.3. Системы координат для ориентации ЛА в неинерциальном базисеРис. 13.3. Системы координат для ориентации ЛА в неинерциальном базисес началом координат в центре Земли гс началом координат в центре Земли г
Рис. 13.3. Системы координат для ориентации ЛА в неинерциальном базисе
Рис. 13.3. Системы координат для ориентации ЛА в неинерциальном базисе
с началом координат в центре Земли г
с началом координат в центре Земли г
Каждый j-й столбец в матрице D есть множество координат j-ro базисного вектора астродатчика в СКЭ. Поскольку оба координатных базиса ортонормированны, то процедура обращения матрицы преобразования
эквивалентна процедуре транспонирования, т.е.
D1 = DT = [d0]T = [^i].
Таким образом, каждую г-ю строку матрицы D можно рассматривать как координаты г-го базисного вектора СКЭ в СКД. Аналогично устанавливается связь и для двух других пар систем координат.
Для решения задачи ориентации ЛА в неинерциальной системе координат вводятся два дополнительных координатных базиса.
{61,62,63} — вращающаяся относительно СКЭ с угловой скоростью о,3 географическая система координат Земли (СКЗ) базисными векторами: 61 — лежит
в плоскости экватора и направлен в сторону гринвичского меридиана, 63 — ориентирован к северному полюсу мира, е^ — лежит в плоскости экватора и дополняет координатный базис до правого. Данная система координат является базовой для определения географического положения воздушного ЛА.
{ci, 63,63} — вращающаяся вместе с СКЗ горизонтальная система координат (СКГ) с базисными векторами: 63 — направлен от центра Земли к зениту наблюдателя; 61 и 62 — задают плоскость параллельную математическому горизонту, причем е^ лежит в плоскости небесного меридиана и направлен как вектор из точки наблюдателя О' (рис. 13.3), касательный к меридиану наблюдателя в сторону северного полюса мира; 61 — дополняет базис до правого. Данная система координат является базовой для определения ориентации ЛА относительно поверхности Земли.
Наиболее удобными для описания положения светила являются сферические координаты (5j,aj\ где 6j — угол между плоскостью (ei, 62,0) и вектором Xj j-ro светила, aj — угол между базисным вектором ei и проекцией вектора светила на плоскость (ei,e2,0). В СКЭ а — прямое восхождение, 6 — склонение (рис. 13.11). Склонение и прямое восхождение каждой звезды являются известными для наблюдателя и практически не изменяются во времени. Значения этих координат, измеренные с очень высокой точностью, публикуются в звездных каталогах и по ним формируются бортовые электронные каталоги ЛА.
Развитие элементной базы, повышение требований к быстродействию, надежности и точности ориентации ЛА приводят к необходимости поиска оптимальных методов ориентации ЛА. Существующие системы ориентации ЛА по изображениям звездного неба не оптимизированны по входному сигналу. Поэтому такая система обработки сигналов имеет меньшую эффективность, чем, например, радиолокационная, сигналы для которой могут быть выбраны наилучшим образом с заданным критерием качества. Целесообразность поиска оптимальных ориентиров объясняется двумя факторами: такой ориентир обеспечивает в условиях координатных шумов наибольшую эффективность решения задач, возникающих при ориентации, и устраняет необходимость поиска других, более эффективных, форм объектов для ориентации ЛА.
Далее проведем исследования с позиции теории сигналов изображения объектов, расположенных на небесной сфере, используемых в целях ориентации ЛА. Для этого определим форму вторичных созвездий, оптимальных для распознавания и идентификации составляющих их светил. Также приведем результаты экспериментов по поиску оптимальных ориентиров на небесной сфере и идентификации светил в их составе на фоне всевозможных созвездий в заданном диапазоне светимостей звезд и ограниченном телесном угле наблюдения.
Формы вторичных созвездий, используемых в качестве квазиоптимальных ориентиров для ЛА
Понятие формы плоского изображения, введенное в разделе 9.9, может быть успешно применено для решения задач ориентации ЛА по изображениям звездного неба. В данном разделе сформулируем требования к формам вторичных созвездий, представляющих собой оптимальные сигналы для решения задач астроориентации ЛА.
Требования к форме вторичных созвездий для ориентации летательных аппаратов. Изображения звездного неба относятся к классу точечных изображений. Форму изображения в виде группы точек зададим контуром, получающимся при соединении по определенному правилу этих точек векторами (рис. 13.4). Таким образом подход к определению формы плоского изображения можно распространить на форму точечного изображения.
Сформулируем требования к вторичным созвездиям, позволяющим использовать их для ориентации ЛА при полной априорной неопределенности углового положения оптической оси оптико-телевизионного датчика (ОТД).
Ограничение на величину углового диаметра 9 вторичного созвездия.
При малом значении 9 сильное мешающее воздействие будут ока
зывать ошибки определения координат (координатные шумы) отдельных
Рис. 13.4. Контур вторич-Рис. 13.4. Контур вторич-звезд, а при большом значении 9 резко возрастает количество вторичных созвездий, которые надо проанализировать для поиска искомого созвездия. Величина 9 должна определяться размерами телевизионного кадра.
Рис. 13.4. Контур вторич-
Рис. 13.4. Контур вторич-
Яркость звезд в составе вторичного созвездия должна быть выше определенной пороговой величины.
Количество звезд, наблюдаемых в пределах
ного созвездия, получив- телевизионного кадра, определяется чувстви- шийся при соединении тельностью ОТД. Звезды, входящие в состав точек 1,2,3,4,5 векторамис
’ ’ ’ ’ н вторичного созвездия, должны уверено обнаруживаться на фоне собственных шумов ОТД. Поэтому светимость отдельных звезд вторичного созвездия должна быть
достаточно высокой. В дальнейшем используемый в качестве примера для
поиска вторичных созвездий каталог звезд содержит звезды светимостью не выше 4m звездной величины.
Ограничение на количество звезд к, образующих вторичное созвездие.
Чем больше величина к, тем больше комбинаций и тем больше разных контуров можно составить из N точек. В результате резко возрастает время анализа звездных скоплений при поиске вторичного созвездия. Кроме того, с ростом к сильно уменьшается вероятность существования необходимого вторичного созвездия (с учетом ограничения на яркость звезд).
Форма вторичного созвездия размерности к должна быть уникальной.
Данное требование предполагает отсутствие в заданной области небесной сферы других созвездий не только с такими же, но даже и с близкими свойствами формы. Причем эти свойства должны легко распознаваться благодаря достаточно большому расстоянию в пространстве форм, образуемых уникальными вторичными созвездиями (УВС) заданной размерности к и остальными всевозможными вторичными созвездиями.
Форма уникального вторичного созвездия. Как следует из требования уникальности формы вторичного созвездия и понятия формы плоского изображения (см. п. 9.9), форму УВС целесообразно искать в классе форм, максимально удаленных от формы тестового изображения, т.е. от формы, задаваемой дельтовидным контуром, в классе максимально простых по форме изображений, для которых
ДН = Плн - ГнII2 шах,ДН = Плн - ГнII2 шах,(13.2.1)(13.2.1)
ДН = Плн - ГнII2 шах,
ДН = Плн - ГнII2 шах,
(13.2.1)
(13.2.1)
где Гн = {7н(п)}0Л_1, 7н(п) = 7(п)/||Г|| — нормированный контур УВС, Ан = {5Н (n)}0 k_v 5Н (п) = 5 (п)/||А|| — нормированный дельтовидный контур. ’
С учетом этих обозначений условие (13.2.1) принимает вид
'R^ = 2[1 - Re (АВ) Г„)] -> шах(13.2.2)
или же
Не (АН,ГН) -> min.Не (АН,ГН) -> min.(13.2.3)(13.2.3)Для скалярного произведения контуров Гн и Ан получимДля скалярного произведения контуров Гн и Ан получим^н — (△н? Гн) —^н — (△н? Гн) —11V&2 — & И^И11V&2 — & И^И■Ar —1■7* (0) (*-l)-J27* О»).п=1.■Ar —1■7* (0) (*-l)-J27* О»).п=1.к—1Когда контур Г замкнут, т.е. когда ^2 7* (п) = 0, то п=0к—1Когда контур Г замкнут, т.е. когда ^2 7* (п) = 0, то п=0=^7* (0)||r||V* (*-!)'=^7* (0)||r||V* (*-!)'(13.2.4)(13.2.4)В результате выражение для нормированного расстояния принимает ВИДВ результате выражение для нормированного расстояния принимает ВИДДи2 = 2 1 -Ди2 = 2 1 -Не 7 (0) ”WНе 7 (0) ”W(13.2.5)(13.2.5)
Не (АН,ГН) -> min.
Не (АН,ГН) -> min.
(13.2.3)
(13.2.3)
Для скалярного произведения контуров Гн и Ан получим
Для скалярного произведения контуров Гн и Ан получим
^н — (△н? Гн) —
^н — (△н? Гн) —
11
V&2 — & И^И
11
V&2 — & И^И
■Ar —1■
7* (0) (*-l)-J27* О»)
.п=1.
■Ar —1■
7* (0) (*-l)-J27* О»)
.п=1.
к—1
Когда контур Г замкнут, т.е. когда ^2 7* (п) = 0, то п=0
к—1
Когда контур Г замкнут, т.е. когда ^2 7* (п) = 0, то п=0
=^7* (0)
||r||V* (*-!)'
=^7* (0)
||r||V* (*-!)'
(13.2.4)
(13.2.4)
В результате выражение для нормированного расстояния принимает ВИД
В результате выражение для нормированного расстояния принимает ВИД
Ди2 = 2 1 -
Ди2 = 2 1 -
Не 7 (0) ”W
Не 7 (0) ”W
(13.2.5)
(13.2.5)
Полученная величина характеризует не только различие форм, задаваемых контурами Г и А, но еще и зависит от их взаимного поворота и смещения начальных точек. Принимая во внимание полученное в п. 3.7 выражение для расстояния между контурами, зависящее только от степени различия задаваемых ими форм, будем иметь
ЯнА.г2 =21-ЯнА.г2 =21-|7 (по)| / к||Г|| \к-1|7 (по)| / к||Г|| \к-1
ЯнА.г2 =21-
ЯнА.г2 =21-
|7 (по)| / к||Г|| \к-1
|7 (по)| / к||Г|| \к-1
где 7 (по) — максимальный по модулю ЭВ исходного контура Г. Тогда условие Ry —> max становится эквивалентным условию
А =min.(13.2.6)
Таким образом, контур УВС должен характеризоваться минимальным значением параметра А, равного отношению модуля максимального по длине ЭВ 7 (по) к норме ||Г||.
Условие (13.2.6) однозначно определяет требования к модулям ЭВ контура изображения с максимально простой формой. Квадрат величины А равен
\2 .|7(SO)|2l7(«)lmax
к-1к-1’
52,7(п)|252|7(п)|2
п=0п=0
Из этого выражения видно, что в контуре изображения с наиболее простой формой отношение квадрата модуля максимального по длине ЭВ к сумме квадратов длин всех ЭВ должно быть минимальным. Это возможно лишь в случае, когда все ЭВ контура одинаковы по длине, т.е.
Ь(0)| = |^(1)| == |^(fc - 1)|.(13.2.7)
Отметим, что снижение степени доминирования по длине одного из ЭВ над остальными ЭВ приводит к сужению спектра контура. Наиболее узким спектром в виде одной спектральной линии обладает ЭК, стороны которого обладают свойством (13.2.7). Таким образом, наиболее простой формой обладает изображение, контур которого будет элементарным. Следовательно, форма УВС должна определяться контуром именно этого класса. Для замкнутого ЭК Гт, т = 1,2,... , к — 1, параметр А удовлетворяет условию (13.2.6) и равен
X _ l7m(n)| = ЦГ|| vT’
а квадрат нормированного расстояния между дельтовидным и ЭК Гт, т = 1,2,..., к — 1 равен
Я„ - 2[1 - Не (А,Гт)] = 2 f 1 -•(13.2.8)
у V к — 1 /
Отсюда видно, что это расстояние увеличивается с ростом к, т.е. рост к приводит к упрощению формы, причем порядок ЭК не играет роли. Максимальное значение нормированного расстояния, как следует из (13.2.8), равно V5, причем Ru = 1 при к = 5. Дальнейшее увеличение размерности ЭК слабо влияет на степень упрощения формы. Так, например, при к = 50
Рис. 13.5. Зависимость расстояния между формами ориентира и помехового созвездия от порядка элементарного контура
величина RH увеличивается всего лишь на 31% и становится равной 1,309. Как видно из графика на рис. 13.5, ЭК минимальной размерности к = 3 уже обеспечивает большое значение RH.
Таким образом, с точки зрения получения простейшей формы необходимо выбирать форму УВС в виде ЭК большой размерности. Однако, чем выше к, тем ниже вероятность наличия такого созвездия. Эта вероятность растет с увеличением к значительно быстрее, чем R^ что приводит к росту степени уникальности созвездия.
Коэффициент монохроматичности формы вторичного созвездия. Для выбора оптимальной формы вторичного созвездия были проведены экспериментальные исследования распределения квадрата расстояний произвольных форм полигональных замкнутых фигур, образуемых точечными отметками в изображениях звездного неба, от тестового дельтовидного контура (рис. 13.6), обладающего, как и широкополосная помеха, наиболее
N,80000 72000 640005600048000400003200024000160008000N,80000 72000 640005600048000400003200024000160008000r^iftfflfflffifir^iftfflfflffifiОО111111 III I III II11111IIIIIIII1111Гiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiii iri^eggi^eggi llllllllllllllllllllllllll lllllll llllllllillimMMHMI IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIII 111111Н1111111ГнПтМ ll■l■llll■l■llll■l■l ill in nnin ill111111 III I III II11111IIIIIIII1111Гiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiii iri^eggi^eggi llllllllllllllllllllllllll lllllll llllllllillimMMHMI IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIII 111111Н1111111ГнПтМ ll■l■llll■l■llll■l■l ill in nnin illR2R20,06 0,12 0,18 0,24 0,3 0,36 0,42 0,48 0,54 0,60,06 0,12 0,18 0,24 0,3 0,36 0,42 0,48 0,54 0,6
N,
80000 72000 64000
56000
48000
40000
32000
24000
16000
8000
N,
80000 72000 64000
56000
48000
40000
32000
24000
16000
8000
r^iftfflfflffifi
r^iftfflfflffifi
О
О
111111 III I III II11111IIIIIIII1111Г
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiii iri^eggi^eggi llllllllllllllllllllllllll lllllll llllllllillimMMHMI IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIII 111111Н1111111ГнПтМ ll■l■llll■l■llll■l■l ill in nnin ill
111111 III I III II11111IIIIIIII1111Г
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiii iri^eggi^eggi llllllllllllllllllllllllll lllllll llllllllillimMMHMI IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIII 111111Н1111111ГнПтМ ll■l■llll■l■llll■l■l ill in nnin ill
R2
R2
0,06 0,12 0,18 0,24 0,3 0,36 0,42 0,48 0,54 0,6
0,06 0,12 0,18 0,24 0,3 0,36 0,42 0,48 0,54 0,6
Рис. 13.6. Экспериментальная гистограмма квадрата расстояний форм вторичныхсозвездий третьего порядка от дельтовидного контура
сложной формой. Электронный каталог звезд составлен на основе астрономического календаря [148]. Условия проведения эксперимента: размерность ориентира к = 3, угол зрения 6 = 60°, рассматриваемая область — вся небесная сфера.
Как следует из рис. 13.6, количество форм с наибольшим расстоянием от помехового контура незначительно. Следовательно, в качестве распознаваемой формы следует использовать ЭК в виде правильного А;-угольника, задающий наиболее простую форму. Реально весьма маловероятно, что будет найдена группа из к звезд в заданном диапазоне их светимости и ограниченном по угловым размерам стереосекторе, точно лежащих в вершинах правильного А;-угольника. Речь может идти лишь о квазиправильных выпуклых многоугольниках, т.е. о поиске созвездий с квазиправильной формой.
Вершины многоугольников, задающих ЭК любого порядка, за исключением Го, совпадают. Поэтому, располагая лишь к точками, являющимися вершинами правильных многоугольников Pi, Г2,... , Г&_ i, необходимо оговорить, какой порядок т ЭК из этих к точек будет предпочтительным. Решающим фактором для такого выбора могут быть затраты машинного времени при поиске созвездия. В этом плане предпочтительными являются ЭК Г1 или Г^—i, представляющие собой правильные выпуклые многоугольники. Выберем, для определенности, ЭК Pi. При таком подходе упрощается процедура нумерации точек, принимаемых
в качестве вершин многоугольника. Контур обходится против часовой стрелки. ЭВ соединяют между собой ближайшие точки, а получающийся многоугольник должен быть выпуклым. Амплитудный спектр ЭК Г1 состоит из одной спектральной линии р (1) = к (рис. 13.7, а). Поскольку
|р("0|'|р("0|'а 0 1 2 3 4к-2к-1та 0 1 2 3 4к-2к-1тб 0 1 2 3 4к-2к-\тб 0 1 2 3 4к-2к-\тРис. 13.7. Амплитудные спектры элементарного (а) и квазиэлементарного (б) контуровРис. 13.7. Амплитудные спектры элементарного (а) и квазиэлементарного (б) контуров
|р("0|'
|р("0|'
а 0 1 2 3 4к-2к-1т
а 0 1 2 3 4к-2к-1т
б 0 1 2 3 4к-2к-\т
б 0 1 2 3 4к-2к-\т
Рис. 13.7. Амплитудные спектры элементарного (а) и квазиэлементарного (б) контуров
Рис. 13.7. Амплитудные спектры элементарного (а) и квазиэлементарного (б) контуров
форма реальных вторичных созвездий описывается квазиэлементарным контуром Г1, спектр которого не является строго монохроматическим (рис. 13.7, б), то целесообразно ввести количественную меру монохроматичности квазиэлементарного контура. В качестве такой меры примем величину М, определяемую в виде отношения модуля спектральной составляющей р (1) к модулю наиболее интенсивной составляющей |р (т0)| в оставшейся части спектра А;-угольника, т.е.
|p(m0)||p(m0)|(13.2.9)
|p(m0)|
|p(m0)|
Для созвездий с простейшей формой коэффициент монохроматичности формы (КМФ) М будет бесконечно большим, так как р(то) = 0. В случае квазипростейшей формы, характеризующейся видом спектра,
Рис. 13.8. Примерный вид гистограммы распределения параметра МРис. 13.8. Примерный вид гистограммы распределения параметра Мпоказанного на рис. 13.7, б, компонента |р(1)| по-прежнему будет обладать наибольшей интенсивностью, но величина М будет конечной.
Рис. 13.8. Примерный вид гистограммы распределения параметра М
Рис. 13.8. Примерный вид гистограммы распределения параметра М
Подавляющее количество вторичных созвездий из к произвольных звезд будут иметь сильно изрезанный контур и в спектре их формы наибольшей интенсивностью обладает не первая, а другие компоненты спектра, и коэффициент М для них будет меньше единицы. Именно таким значением КМФ будут характери
зоваться подавляющее большинство вторичных созвездий. На рис. 13.8 показан примерный вид распределения значений М.
Площадь этого распределения в основном сосредоточена в области значений КМФ, не превышающих единицы. Только несколькие, претендующие на уникальность вторичные созвездия, имеют величины КМФ, обозначенные буквами А, В и С. В области этих значений КМФ характерно наличие обширных «мертвых зон» dA, dAB и dec, в пределах которых нет ни одной точки.
Введем следующие количественные условия принятия вторичного созвездия в качестве уникального в пределах заданного участка Q небесной сферы:
Мувс = шахМ при k = const, к = 3,4,5 ...;(13.2.10)
7М(п)еП, п = 0,1,... ,к- 1; s = 1,2,3...;(13.2.11)
9 = — ^ 9о!(13.2.12)
(7
Р - ^ ^ №-(13.2.13)
а
Здесь к — размерность УВС, ^^ (п) — ЭВ s-ro вторичного созвездия; а — среднеквадратическое отклонение КМФ, вычисленное по всем вторичным созвездиям в пределах области Q, d — ширина мертвой зоны.
Первое и второе условия требуют, чтобы КМФ УВС имел максимальное значение по отношению к КМФ всех остальных вторичных созвездий в области Q. Третье условие задает отношение сигнал/помеха для формы УВС не ниже величины qo, а четвертое определяет степень изолированности КМФ УВС в пределах гистограммы значений М. Как следует из экспериментальных данных, для уверенного распознавания УВС на фоне остальных вторичных созвездий величины qo и ро должны удовлетворять следующим условиям:
qo = Ю, ро = 3.(13.2.14)
Увеличение размерности правильного fc-угольника снижает вероятность появления УВС. При этом рост к увеличивает степень различия между правильным и произвольным /с-угольниками.
Таким образом, к звезд, образующие УВС размерности к, должны находиться в вершинах правильного fc-угольника, степень правильности которого оценивается КМФ. Величина КМФ УВС должна быть максимальной из значений КМФ всех остальных вторичных созвездий, отношение сигнал/помеха формы УВС по отношению к формам любого другого вторичного созвездия q = M^ja ^ Ю, относительный размер мертвой зоны КМФ УВС р = M^(d ^ 3.
Алгоритм распознавания УВС к-го порядка заключается в следующем:
формируются всевозможные групповые точечные объекты (ГрТО) в виде замкнутых й-угольников из точечных отметок от изображений светил, попавших в пределы зрения ОТД,
на основании выражений (13.2.10)-(13.2.14) выносится решение о распознавании или не распознавании УВС на звездном небе.
13.3. Характеристики уникальных вторичных созвездий
В данном разделе представлены результаты экспериментальных исследований по поиску УВС на небесной сфере и приведены количественные характеристики их формы.
Алгоритм поиска УВС на небесной сфере. Блок-схема алгоритма поиска УВС представлена на рис. 13.9.
После чтения файла из базы данных, составленной в соответствии с каталогом [148], и вычисления угловых расстояний между всеми звездами, проверяется гипотеза о компактности текущей фигуры, согласно
Рис. 13.9. Блок-схема алгоритма поиска уникальных вторичных созвездий
которой угловое расстояние между звездами не должно превышать порогового значения 9. Далее происходит формирование фигур из всех возможных сочетаний звезд на небесной сфере, и выполняются все возможные перестановки звезд в текущей фигуре. Яри этом исключаются полученные циклическим сдвигом комбинации. Для каждой полученной комбинации определяется амплитудный спектр формы и находится КМФ М. На основании полученных данных строится гистограмма значений М и проверяются условия (13.2.14).
Вторичные созвездия с уникальной монохроматичностью формы условно названы созвездиями класса МарГТУ. Название также содержит числовую часть в виде дроби, числитель которой равен размерности к элементарного контура Г1 (число звезд в созвездии), а знаменатель — порядковому номеру созвездия.
^ «еНЕ
Рис. 13.11. Задание координат звезд в СКЭРис. 13.11. Задание координат звезд в СКЭРис. 13.10 Изображение небесной сферы в СКЭ
Рис. 13.11. Задание координат звезд в СКЭ
Рис. 13.11. Задание координат звезд в СКЭ
Поиск УВС проводился на множестве из 519 звезд со светимостью от — 1,5m до 4,0m звездной величины (рис. 13.10), взятых из каталога [148] в СКЭ.
Для некоторой звезды sj ее координаты в СКЭ задаются следующими угловыми величинами: прямым восхождением aj, отсчитываемым по линии небесного экватора от точки весеннего равноденствия 7 до
пересечения с меридианом светила, и склонением 6^ измеряемым по меридиану по линии небесного экватора до пересечения с параллелью светила (рис. 13.11). В качестве расстояния на небесной сфере между звездными
Рис. 13.12 Вид шаровых поясов при различных угловых расстояниях между светилами. Дун < 90°, Ду2 = 90°, Ду3 > 90°Рис. 13.12 Вид шаровых поясов при различных угловых расстояниях между светилами. Дун < 90°, Ду2 = 90°, Ду3 > 90°отметками зг («г,^) и Sj ^а^б^отметками зг («г,^) и Sj ^а^б^было выбрано угловое расстояние Rij, определяемое какбыло выбрано угловое расстояние Rij, определяемое какRij — R (^г (^г? ^i) 5 Sj kpj ’ ^j )) —
Рис. 13.12 Вид шаровых поясов при различных угловых расстояниях между светилами. Дун < 90°, Ду2 = 90°, Ду3 > 90°
Рис. 13.12 Вид шаровых поясов при различных угловых расстояниях между светилами. Дун < 90°, Ду2 = 90°, Ду3 > 90°
отметками зг («г,^) и Sj ^а^б^
отметками зг («г,^) и Sj ^а^б^
было выбрано угловое расстояние Rij, определяемое как
было выбрано угловое расстояние Rij, определяемое как
= arccos[cos Si • cosSy • cos (a^ — a^ + sin^ • sinSj]. (13.3.1)
На угловое расстояние 6 между светилами в составе вторичного созвездия должно быть наложено ограничение (см. раздел 13.2). Один из критериев ограничения величины 9 базируется на законе распределения этих угловых расстояний при различных способах упорядочивания светил.
При равномерном распределении светил на небесной сфере, отстоящих от данного на определенное угловое расстояние, их количество пропорционально площади шарового пояса некоторой толщины h, в который попадают эти светила (рис. 1312). Площадь шарового пояса максималь-
на при наибольшей длине проходящей через его середину окружности. Данная площадь пропорциональна синусу утла Ду?, поэтому и закон распределения расстояний между светилами будет синусоидальным.
На рис. 13.13 приведена гистограмма угловых расстояний между светилами на небесной сфере, построенная на основании экспериментальных
2500
Рис. 13.13. Гистограмма угловых расстояний между светилами на небесной сфере
данных. Проверка гипотезы о синусоидальной форме закона распределения расстояний между светилами по критерию х2 дает следующие результаты.
В соответствии с данным законом распределения наиболее частым будет угловое расстояние 9 = 90°. Учитывая слабо выраженный максимум синусоидальной функции можно считать, что при 10% допуске отклонения от максимума наиболее часто встречаются значения 9 в пределах 64° < 9 < 116°.
Упорядочивание светил по критерию максимума расстояния при построении графа «минимального дерева» дает несколько другие результаты. Эксперимент в этом случае показал, что максимальное угловое расстояние (максимальный угловой размер ребра графа минимального дерева) не превышает 23°, причем практически угловые размеры минимального дерева не превышают 12° (рис. 13.14). Следовательно, при угле
Рис. 13.14. Гистограмма угловых расстояний между светилами на небесной сфере, соединенными минимальным деревом
9 порядка 20° в телевизионном кадре будут находиться либо компактные группы, либо части этих компактных групп и становится возможным поиск УВС, рассматриваемого как ГрТО.
При проведении эксперимента по поиску УВС пороговые значения угла 9 были выбраны равными 20°, 40° и 60°. При 9 = 20° в пределы кадра в среднем попадает около 40 звезд светимостью не выше четвертой звездной величины. Данного количества достаточно, чтобы были высокими как вероятность проявления монохроматичности формы вторичного созвездия, так и возможность обеспечения необходимой точности определения угловых координат звезд в кадре, хранящихся в оперативной памяти видеопроцессора. Важным доводом для выбора стереокадра со значением 9 = 20° является возможность обеспечения разумного значения времени поиска УВС, резко возрастающего при увеличении количества звезд в пределах кадра.
Результаты поиска квазиоптимальных ориентиров в виде УВС на небесной сфере. Результаты эксперимента в соответствии с алгоритмом, описанным в п. 13.3.1, по данным каталога, составленного по астрономическому календарю [148], приведены в табл. 13.1. Каждая строка этой таблицы соответствует описанным ниже конкретным условиям эксперимента. Введены следующие обозначения столбцов таблицы: N — количество рассмотренных комбинаций; М — среднее значение коэффициента монохроматичности; а — среднеквадратическое отклонение КМФ; Мтах — максимальное по значению КМФ вторичное созвездие; d — «мертвая» зона вокруг значения коэффициента М; q — значение коэффициента; р — значение коэффициента; 1* — индикатор определения уни-
Таблица 13.1. Сводная таблица результатов поиска УВС в электронном каталоге
N
М
(7
•Л^тах
d
q
Р
1*
1
8920
1,97
7,17
503,76
208,45
70,27
2,41
4-
2
47094
0,76
0,7
22,54
4,99
32,16
4,51
—
3
244080
0,52
0,39
11,25
1,82
29,03
6,18
—
4
119374
1,88
5,05
589,1
85,34
116,6
6,9
—
5
2475792
0,77
0,71
146,27
100,75
206,4
1,45
4-
6
441054
1,83
5,79
2205,9
927,57
381,3
2,37
+
7
34552
1,84
8,32
1405,6
1227,3
168,9
1,14
+
8
392328
0,76
0,67
33,41
13,883
49,99
2,41
+
9
4422384
0,53
0,39
12,22
0,3305
30,97
36,9
—
10
346342
1,77
4,99
1405,5
490,69
281,2
2,86
+
11
12333270
0,76
0,66
79,83
5,9876
120,7
13,33
—
12
12025588
1,76
5,18
2915,6
1510,1
563,2
1,93
+
13
45368
1,87
7,98
1405,5
901,78
176,2
1,56
4-
14
45226
0,76
0,67
33,44
10,9
494,7
3,07
—
15
480936
0,53
0,39
12,22
0,33
31,01
36,97
—
16
529150
1,83
5,02
1405,5
901,78
280
2,86
4-
17
2131714
1,84
5,43
2915,6
709,72
536,7
4,11
—
кальности вторичного созвездия (+, если выполняется условие (13.2.14); —, если условие (13.2.14) не выполняется).
Сектор обзора — Северное полушарие; пороговое расстояние между изображениями соседних звезд 9 = 20°; порядок контура к = 3. Гистограмма значений КМФ приведена на рис. 13.15.
10000.00
8000.001 ■
6000.00 :
4000.00 I
2000.00
0.00 г •1•■= чг> :11~।
Рис. 13.15. Гистограмма величины М (Северное полушарие, 9 = 20°, к — 3)
Лидирующее по величине КМФ вторичное созвездие состоит из звезд:
а1 Геркулеса, ^Геркулеса, о Геркулеса. (13.3.2)
Условие (13.2.14) выполняется и данное вторичное созвездие следует считать уникальным. Обозначим его как МарГТУ 3/1.
Далее для краткости будем приводить только сектор обзора, значения 9 и к, состав лидирующего по величине КМФ вторичного созвездия и отмечать, является оно уникальным или нет.
12000.0010000.008000.006000.004000.002000.000.0012000.0010000.008000.006000.004000.002000.000.00Рис. 13.16. Гистограмма величины М (Северное полушарие, 9 = 20°, к = 4)Рис. 13.16. Гистограмма величины М (Северное полушарие, 9 = 20°, к = 4)
12000.00
10000.00
8000.00
6000.00
4000.00
2000.00
0.00
12000.00
10000.00
8000.00
6000.00
4000.00
2000.00
0.00
Рис. 13.16. Гистограмма величины М (Северное полушарие, 9 = 20°, к = 4)
Рис. 13.16. Гистограмма величины М (Северное полушарие, 9 = 20°, к = 4)
Северное полушарие, 9 = 20°, к = 4, созвездие не является уникальным:
71 Андромеды, р Персея, 41 Овна, а Треугольника. (13.3.3)
Северное полушарие, 9 = 20°, к = 5, созвездие не является уникальным:
50 Кассиопея, 5 Кассиопея, 0 Кассиопея, l Цефея, 7 Цефея.
(13.3.4)
50000.0050000.00^? V* ^ ^ ^ ^.Л^.^ О? Ч5 <£Ъ* \. гу Пу ^. бу ^- <\- (у су а/^? V* ^ ^ ^ ^.Л^.^ О? Ч5 <£Ъ* \. гу Пу ^. бу ^- <\- (у су а/
50000.00
50000.00
^? V* ^ ^ ^ ^.Л^.^ О? Ч5 <£
Ъ* \. гу Пу ^. бу ^- <\- (у су а/
^? V* ^ ^ ^ ^.Л^.^ О? Ч5 <£
Ъ* \. гу Пу ^. бу ^- <\- (у су а/
Рис 13.17. Гистограмма величины М (Северное полушарие, 9 = 20°, к = 5)
120000 ■
юоооо |||^^
80000 в^^
60000 ||Д
40000 |||^^
20000 |I
Рис. 13.18. Гистограмма величины M (Северное полушарие, 9 = 40°, к = 3)Рис. 13.18. Гистограмма величины M (Северное полушарие, 9 = 40°, к = 3)
Рис. 13.18. Гистограмма величины M (Северное полушарие, 9 = 40°, к = 3)
Рис. 13.18. Гистограмма величины M (Северное полушарие, 9 = 40°, к = 3)
2500000.00 -
2000000.00 •
1500000.00 -
1000000.00
500000.00
0.00 А
О° t? П> ^ 5s Ч^ ^»' ^ ^' ^- ^ ^ ^^
Рис. 13.19. Гистограмма величины М (Северное полушарие, 9 = 40°, к = 4)
Северное полушарие, 0 = 40°, к = 3, созвездие не является уникальным:
(13.3.5)(13.3.5)7 Персея, а. Возничего, о Персея.
(13.3.5)
(13.3.5)
Северное полушарие, 6 = 40°, к = 4. Уникальное созвездие МарГТУ 4/1:
(3 Волопаса, т Геркулеса, ^ Геркулеса, а Северной Короны. (13.3.6)
500000 ;
400000 ■
300000 -
200000 •
100000 -
$ <? О ль ^ ^ ^ ХО £ ^ ^ °- ^ ^ ^- ^- /^V -^ <^>-
Рис. 13.20. Гистограмма величины М (Северное полушарие, 9 = 60°, к = 3)
40000.00 i
35000.00 -
30000.00 -
25000.00 -
20000.00 - 15000.00 ■ 10000.00 ■
5000.00 - 0.00 -
^ ^ .v Лг -^ ^ 4^ ^ .v Лг -^ ^ 4х ❖ ❖ ^ ^ «^
^ ^ .v Л
г -^ ^ 4
^ ^ .v Л
г -^ ^ 4
Д' <Д- пк- rb- ЯГ Ф Л njp ^
Рис. 13.21. Гистограмма величины М (Южное полушарие, 0 = 20°, к — 3)
Северное полушарие, 9 = 60°, к = 3. Уникальное созвездие МарГТУ 3/2:
С Лебедя, а Малой Медведицы, а Треугольника. (13.3.7)
Южное полушарие, 9 = 20°, к = 3. Уникальное созвездие МарГТУ 3/3:
а Киля, 5 Голубя, ЯР64440 Кормы.(13.3.8)
Южное полушарие, 9 = 20°, к = 4. Уникальное созвездие МарГТУ 4/2:
7 Мухи, и Киля, HD 94510 Киля, е Южного Креста. (13.3.9)
Южное полушарие, 9 = 20°, к = 5. Созвездие не является уникальным:
к Скорпиона, С Стрельца, а Стрельца, а Телескопа. (13.3.10)
Южное полушарие, 9 = 40°, к = 3. Уникальное созвездие МарГТУ 3/3:
а Киля, 6 Голубя, HD 64440 Кормы.(13.3.11)
140000.00
120000.00
100000.00
80000.00
60000.00
40000.00
20000.00 0.00
^ ^ ^ ^° ^ ^ ^ <^ <v* ^- ^- ^- ^- ^ ^
Рис. 13.22. Гистограмма величины М (Южное полушарие, 6 = 20°, к = 4)
900000.00
800000.00
700000.00
600000.00
5 00000.00 400000.00 300000.00 200000.00 100000.00 0.00
Рис. 13.23. Гистограмма величины М (Южное полушарие, 0 = 20°, к = 5)
400000 -
350000 -
300000 -
250000 -|
200000 -
150000 -
100000 -{
50000 I
0 ^
Ф ^ ^ ^ ^ ^ ^ Ф с^ Оf ^ ^ ^V ^ ^' ^ / ^
Рис. 13.24. Гистограмма величины М (Южное полушарие, 6 = 40°, к = 3)
9000000.00 8000000.00 7000000.00 6000000.00 5000000.00 4000000.00 3000000.00 2000000.00 1000000.00
ф ofc с^ cf> с^ cj4 ^ ^ ^ <£ <^
Рис. 13.25. Гистограмма величины М (Южное полушарие, 9 = 40°, к = 4)
1400000.00
1200000.00
1000000.00 [
800000.00 j
600000.00
400000.00
200000.00
0.00-
Ф S^ "О' .l?’ ^ .Л^ гЬ) 9s ^ О’ -я ^ 5Ъ Ч\Ь ^ ^ ^ ^ ^
Рис. 13.26. Гистограмма величины М (Южное полушарие, 9 = 60°, к = 3)
Южное полушарие, 9 = 40°, к = 4. Созвездие не является уникальным:
Р Мухи, v Киля, HD 92139 Паруса, а Центавра. (13.3.12)
Южное полушарие, 9 = 60°, к = 3. Уникальное созвездие МарГТУ 3/4:
v Весов, т/Павлина, ст Кентавра.(13.3.13)
Оба полушария, 9 = 20°, к = 3. Уникальное созвездие МарГТУ 3/3 а Киля, S Голубя, HD64440 Кормы.(13.3.14)
Оба полушария, 9 = 20°, к = 4. Созвездие не является уникальным: 7 Мухи, и; Киля, HD94510 Киля, е Южного Креста. (13.3.15) 15. Оба полушария, 9 = 20°, к = 5. Созвездие не является уникальным: к, Скорпиона, 72 Стрельца, ( Стрельца, а Стрельца, а Телескопа.
(13.3.16)
50000 ;
40000 |
30000 |
20000 J
10000 |
о
С? ф Д ^о r^ ^ ^ (^
^’ b^' q?V а\‘ ^* /У Д’ (Д’ аЬ
V V 5° ЯГ ХУ
Рис. 13.27. Гистограмма величины М (оба полушария, 9 = 20°, к = 3)
160000
140000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
Рис. 13 28. Гистограмма величины М (оба полушария, 9 = 20°, к = 4)Рис. 13 28. Гистограмма величины М (оба полушария, 9 = 20°, к = 4)
Рис. 13 28. Гистограмма величины М (оба полушария, 9 = 20°, к = 4)
Рис. 13 28. Гистограмма величины М (оба полушария, 9 = 20°, к = 4)
160000
140000 J
120000 j
100000 А
80000 I
60000 |
40000 • |
20000 4
0 ^^
Q^ л^ ф ф ^ , Л^ j° ^ , Л^ ^ Ь^ ъ- V ь- О* Jo- A$V Д’ аЬ-
Рис. 13.29. Гистограмма величины М (оба полушария, 9 = 20°, к = 5)
600000
500000
400000
300000
200000
100000
0 "
ф ^ ^ ^ ^ ^ Ф £ Дf ^' ^' ^' ^ ^ ^ <^‘ ^ £'
Рис. 13.30. Гистограмма величины М (оба полушария, 9 — 40°, к = 3)
2500000 <
2000000
1500000 -
1000000
500000 •
0
Рис. 13.31. Гистограмма величины М (оба полушария, 9 = 60°, к = 3)
Оба полушария, 9 = 40°, к = 3. Уникальное созвездие МарГТУ 3/3: а Киля, 5 Голубя, HD64440 Кормы.(13.3.17)
Оба полушария, 9 = 60°, к = 3. Созвездие не является уникальным:
г? Весов, г) Павлина, а Кентавра.(13.3.18)
Эксперимент убедительно подтвердил наличие уникальных звездных образований.
Сведения о шести УВС приведены в табл. 13.2, а их изображения показаны на рис. 13.32.
УВС найдены на небесной сфере среди звезд с яркостью от —1,5m до 4,0m звездной величины. Несмотря на огромное количество форм, образуемых группами звезд, количество найденных УВС весьма невелико и равно шести, т.е. составляет тысячные доли процента, и при этом они имеют очень низкую размерность ЭК, определяющего их форму: к = 3,4.
-Л--Л-Геркулеса Ц.Т.ОLо\<₽Геркулеса Ц.Т.ОLо\<₽ттtecateca-4*-4*дд-а / •\°--Северной ° р-"Короны I Волопаса। А* । | -1'। । ।-а / •\°--Северной ° р-"Короны I Волопаса। А* । | -1'। । ।
-Л-
-Л-
Геркулеса Ц.Т.О
Lо\<₽
Геркулеса Ц.Т.О
Lо\<₽
т
т
teca
teca
-4*
-4*
д
д
-а / •\°-
-Северной ° р-
"Короны I Волопаса। А* । | -1'। । ।
-а / •\°-
-Северной ° р-
"Короны I Волопаса। А* । | -1'। । ।
Рис. 13.32. Изображения вторичных созвездий с уникальной монохроматичностьюформы: а — Северное полушарие МарГТУ 3/1, 0 = 20°, б — Северное полушариеМарГТУ 3/2, 0 = 60°, в — Южное полушарие МарГТУ 3/3, 9 = 20°, г — Южноеполушарие МарГТУ 3/4, 9 = 60°, д — Южное полушарие МарГТУ 4/2, 9 = 40°,е — Южное полушарие МарГТУ 4/2, 9 = 20°
Таблица 13.2
№
Название
Состав созвездия
к
Координаты центра
У гл. диам.
Коэф. МОН.
1
МарГТУ 3/1
£ Геркулеса Ц.Т., о Геркулеса, а Геркулеса
3
17ч 21м 16,1с
25°11'14,4"
21,75°
503,76
2
МарГТУ 3/2
а М. Медведицы, а Треугольника, С Лебедя
3
23 ч 34 м 28 с 54° 24'45"
70,13°
2205,9
3
МарГТУ 3/3
5 Голубя, а Киля, HD6440 Кормы
3
6 ч 53 м 34 с
—42°—43'—14,1"
22,29°
1405,5
4
МарГТУ 3/4
v Весов, а Кентавра, р Павлина
3
15ч 4м 8,7с
—51°—40'—40,5"
48,7°
2915,6
5
МарГТУ 4/1
т Геркулеса, С Геркулеса Ц.Т., а Северной Короны, 3 Волопаса
4
15ч 54м 22с 36°38'35"
21,81°
146,27
6
МарГТУ 4/2
HD94510 Киля, и; Киля, 7 Мухи, е Южного Креста
4
11ч 29м 49,8с
-66°-0'-0,3"
16,27°
33,441
АМарГТУ 3/1
—111|111►
0 100 200 300 400 500
АМарГТУ 3/2
—11г-11——Д—1►
0 500 1000 1500 2000 2500
АМарГТУ 3/3
к ,,J 1 т,, 0 300 600 900 1200 1500
।А. МарГТУ 3/4
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 *
АМарГТУ 4/1
—1г—кГ- t 11►
0 30 60 90 120 150
АМарГТУ 4/2
—1—।—,—।—h—।—f—г* 0 510 15 20 25 30
Рис. 13.33. Иллюстрация степени изолированности уникальных вторичных созвездий (А — область значений коэффициентов М всех вторичных созвездий, кроме уникальных)
На рис. 13.33 приводится иллюстрация степени изолированности УВС по значению коэффициента монохроматичности формы от всех других вторичных созвездий.
Оптимальные формы вторичных созвездийдля идентификации звезд в их составе
Как следует из п. 13.2, УВС имеет форму правильных ^-угольников. Правильные k-угольники обладают поворотной симметрией, т.е. если пронумеровать вершины этих фигур, а затем одну из фигур повернуть на угол ^{к, то определить на какой угол была повернута фигура после
окончания поворота невозможно. При этом происходит сдвиг вершин фигуры, что ведет к изменению номера вершины k-угольника, зафиксиро
Рис. 13.34. Изменение нумерации вершин правильного треугольника относительно направления АВ при повороте на 240°Рис. 13.34. Изменение нумерации вершин правильного треугольника относительно направления АВ при повороте на 240°ванного в определенном направлении. Поворот не влияет на положение центра тяжести фигуры (т. 4 на рис. 13.34).
Рис. 13.34. Изменение нумерации вершин правильного треугольника относительно направления АВ при повороте на 240°
Рис. 13.34. Изменение нумерации вершин правильного треугольника относительно направления АВ при повороте на 240°
Данная ситуация является следствием того, что правильная фигура обладает монохроматическим спектром и является оптимальным сигналом для решения задачи распознавания. Полезным результатом при этом может быть визирование центра тяжести фигуры. Задача определения номеров правильного k-угольника является задачей
оценки параметров сигнала и для ее оптимального решения этот сигнал должен иметь широкий равномерный спектр. Поэтому правильный к- угольник является наихудшим сигналом для этой задачи. В дальнейшем задачу нумерации вершин правильного fc-утольника назовем задачей идентификации его вершин. Компромиссным решением при выборе одного и того же сигнала для решения задач распознавания и оценки параметров может быть сигнал в виде композиционного контура (см. п. 12.2.3). Энергетический спектр такого контура равномерен, а его составные части — ЭК, имеют монохроматический спектр.
Целесообразность решения идентификации вершин fc-угольника УВС показана на рис. 13.35. Летательный аппарат находится в т. О — начале отсчета СКЭ. Оптическая ось его ОТД расположена в направлении О А, причем ее угловые координаты в данной системе отсчета неизвестны.
Рис. 13 35. Ориентация ЛА по звездам уникального вторичного созвездияРис. 13 35. Ориентация ЛА по звездам уникального вторичного созвездия
Рис. 13 35. Ориентация ЛА по звездам уникального вторичного созвездия
Рис. 13 35. Ориентация ЛА по звездам уникального вторичного созвездия
Необходимо чтобы в результате ориентации эта ось совпала с направлением ОС, на котором расположена звезда 5. Пусть в процессе поиска было найдено и распознано У ВС, звезды которого являются вершинами правильного треугольника 12 3, расположенного в пределах телевизионного кадра ТК.
Если бы было известно соответствие звезд 1, 2, 3 звездам в машинном кадре, то с помощью векторов 1,5; 2,5 и 3,5 можно было бы найти звезду 5 и задать по лучу ОС направление ориентации ЛА. Однако треугольник 123, как правильная фигура, обладает поворотной симметрией. Угол его поворота относительно такого же треугольника известен с точностью ±120°. Поэтому однозначная локализация группы звезд 5 на основе распознанного УВС невозможна. Единственная полезная информация о положении оптической оси датчика может быть получена в результате визирования по лучу ОВ центра тяжести фигуры УВС, т.е. точки S. Угловое положение этой точки инвариантно к углу поворота треугольника 123.
В п. 13.2 было показано, что с ростом порядка ЭК искомого УВС резко возрастает количество контуров, образованных к точками, и уменьшается вероятность существования такого созвездия на небесной сфере. В то же время ЭК при минимальной размерности к = 3 позволяет решать задачу распознавания УВС. Поэтому, целесообразно, в первую очередь, рассмотреть, как наиболее простую, задачу идентификации вершин УВС такой размерности.
Из рис. 13.35 следует, что соседние с УВС звезды могут образовывать совместно с УВС произвольные вторичные созвездия. Рассматриваемый подход к решению задачи идентификации вершин заключается в выборе вторичного созвездия, включающего УВС и соседние с ним звезды, наиболее сложной формы, т.е. с наиболее равномерным спектром, или, что то же самое, с наиболее узкой АКФ. Для такого созвездия задача оценки параметров может быть решена достаточно точно. Вторичное созвездие на базе УВС и ряда соседних звезд назовем композиционным, а композиционное созвездие с дельтовидной АКФ — уникальным композиционным вторичным созвездием (УКВС). Желательно, чтобы УКВС включало минимальное количество соседних звезд, в идеале — только одну. В качестве контура с РЭС, более простого, чем композиционный, выберем контур, ассоциированный с многофазным аналогом ЛЧМ сигнала третьего порядка, фаза которого определяется в соответствии с выражением:
^П = ^(п2 + п), n = 0,1,,к-1. (13.4.1)
Вид контура размерности к = 3 показан на рис. 13.36, а. Он является незамкнутым и содержит три ЭВ. Его код и спектр имеют вид: Г = = {-1; 0,5 - 0,866г; -1}; Р = {-1, 5 -0,866г; -1, 5 - 0, 866г; 1, 732г}.
Существование УКВС обусловлено совместным действием трех следующих факторов: 1) наличие УВС; 2) существование четвертой звезды, образующей с заданной точностью контур со свойством (13.4.1); 3) отсутствие других звезд, образующих с заданной точностью с остальными вершинами УВС контур со свойством (13.4.1).
IpG”)!1,732”IpG”)!1,732”п(п)• 3п(п)• 36 012 т6 012 тв -2 -1 О 1 2 пв -2 -1 О 1 2 п
IpG”)!
1,732”
IpG”)!
1,732”
п(п)
• 3
п(п)
• 3
6 012 т
6 012 т
в -2 -1 О 1 2 п
в -2 -1 О 1 2 п
Рис. 13.36. Контур с равномерным спектром размерности к = 3: а — вид контура;б — амплитудный спектр; в — АКФ контура
Рассмотрим требования к форме УКВС для идентификации вершин УВС с к = 3. УВС данного порядка образует на сфере квазиправильный сферический треугольник 1, 2, 3 (см. рис. 13.37). Образуем три правильных сферических треугольника 1,2,1'; 2,3,2'; 3,1,3', каждый из которых включает одну сторону треугольника УВС. Для каждой из вершин 1', 2', 3' этих треугольников найдем из бортового каталога ближайшие звезды. На рис. 13.37 они обозначены как 12 3”. Вторичные созвездия, задаваемые
Рис. 13.37. Возможные композиционные вторичные созвездия для выбора УКВС при к = 3Рис. 13.37. Возможные композиционные вторичные созвездия для выбора УКВС при к = 3
Рис. 13.37. Возможные композиционные вторичные созвездия для выбора УКВС при к = 3
Рис. 13.37. Возможные композиционные вторичные созвездия для выбора УКВС при к = 3
контурами 2", 2,3,1 (рис. 13.37, б), 3",3,1,2 (рис. 13.37, в) и 1", 1,2,3 (рис. 13.37, г), а также с не показанными на рис. 13.37 контурами 1,2,3,2"; 2,3,1,3" и 3,1,2,1", являются кандидатами для выбора из них УКВС. Для этого контур должен обладать квазидельтовидной АКФ и квазиравномерным спектром.
Аналогично тому, как для оценки степени правильности k-угольника УВС был введен коэффициент монохроматичности формы М, для оценки степени дельтовидности контура УКВС введем коэффициент V дель- товидности формы (КДФ) контура как отношение модуля отсчета т? (0) циклической АКФ контура к модулю максимального ее бокового отсчета
п = 1,2,... ,fc-l.п = 1,2,... ,fc-l.(13.4.2)(13.4.2)Y_ h(Q)l ,max [|ту (п)|] ’
п = 1,2,... ,fc-l.
п = 1,2,... ,fc-l.
(13.4.2)
(13.4.2)
Таким образом подход к выбору формы УКВС заключается в поиске максимального КДФ по результатам вычислений нескольких циклических АКФ, соответствующих контурам {1", 1,2,3}, {2", 2,3,1} и {3", 3,1,2}. После выбора контура с максимальным КДФ порядок чередования вершин однозначно идентифицирует все вершины в распознанном УВС.
Рис. 13.38. Контур с равномерным спектром размерности к = 4: а — вид контура, б — амплитудный спектр, в — АКФ контураРис. 13.38. Контур с равномерным спектром размерности к = 4: а — вид контура, б — амплитудный спектр, в — АКФ контураРассмотренный подход для идентификации вершин УВС применим для созвездий произвольных размерностей.
Рис. 13.38. Контур с равномерным спектром размерности к = 4: а — вид контура, б — амплитудный спектр, в — АКФ контура
Рис. 13.38. Контур с равномерным спектром размерности к = 4: а — вид контура, б — амплитудный спектр, в — АКФ контура
В качестве формы контура с РЭС (дельтовидной АКФ) при к = 4, выберем контур, фаза которого определяется в соответствии с выражением:
(13.4.3)(13.4.3)ip = {0;тг/2; — тг; тг/2}.
(13.4.3)
(13.4.3)
Такой контур относится к семейству композиционных контуров, ассоциированных с многофазным кодом класса р при к2 = 4. Вид контура
размерности к2 = 4 показан на рис. 13.38, а.
Рис. 13.39. Возможные композиционные вторичные созвездия для выбора УКВС при к2 = 4Рис. 13.39. Возможные композиционные вторичные созвездия для выбора УКВС при к2 = 4Он является незамкнутым и содержит четыре ЭВ. Его код и спектр имеют вид: Г = {1,г,-1,г}; Р = {2г, 2,—2г, 2}. На рис. 13.39 представлен вид УВС четвертого порядка и восемь соответствующих ему композиционных контуров, претендующих на роль УКВС.
Рис. 13.39. Возможные композиционные вторичные созвездия для выбора УКВС при к2 = 4
Рис. 13.39. Возможные композиционные вторичные созвездия для выбора УКВС при к2 = 4
Результаты экспериментального исследования по поиску УКВС для идентификации звезд в составе УВС
Распознавание УВС, форма которых характеризуется монохроматич- ным спектром, позволяет решить лишь задачу визирования ЛА точки центра тяжести УВС, положение которой не зависит от угла поворота и начальной точки контура УВС. Для решения задачи ориентации ЛА этого недостаточно, так как точка визирования может служить лишь началом отсчета новой системы координат, в которой задаются координаты ЛА и звезд. Необходимо также однозначно задать направление осей системы, для чего следует провести идентификацию вершин распознанного УВС. Теоретически эта задача рассмотрена в разделе 13.4. Для ее решения необходимо на базе УВС перейти к другому вторичному созвездию — к УКВС, форма которого имеет РЭС. С этой целью УВС дополняется соседними звездами до образования сложных контуров. Получим алгоритм поиска УКВС для идентификации вершин УВС: МарГТУ 3/1, МарГТУ 3/2, МарГТУ 3/3, МарГТУ 3/4, МарГТУ 4/1 и МарГТУ 4/2.
Алгоритм поиска УКВС третьего порядка. Для решения задачи идентификации звезд, образующих УВС третьего порядка, воспользуемся следующим алгоритмом поиска УКВС.
Пусть заданы координаты звезд, образующих УВС третьего порядка (рис. 13.40): А (я?1, уъ гД В (ж2> 2/2, ^2), С (ж3, ?/3, г3). Необходимо найти
Рис 13.40. Пояснение к выбору соседних звезд для поиска УКВС третьего порядка координаты точек D^E^F, одна из которых в случае обнаружения близко от нее звезды, образует с точками А, В и С УВС требуемый широкополосный контур (см гл. 12): D (x^y^z^, Е (х^у^ z2Y F^x’^y^z^y Зафиксируем сторону АВ сферического треугольника АВС и определим координаты точки D. Вычисления координат точек D, Е, F удобно
произвести в алгебре кватернионов. Координаты точек А, В, С образуют
соответственно векторные кватернионы:
Рис. 13.41. Определение угла поворота кватернионаРис. 13.41. Определение угла поворота кватернионаqi = 0 + ку •г + уг•j+zy • к,
Рис. 13.41. Определение угла поворота кватерниона
Рис. 13.41. Определение угла поворота кватерниона
qi = 0 + ж2 •г + у2•3+г2 • к,(13.5.1)
9з = 0 + ха ■г + уз■j+z3 • к,
где г, j, к — мнимые единицы.
Для вычисления координат D, Е, F необходимо выполнить поворот кватернионов 93 вокруг qi, qi вокруг 92 и 92 вокруг 9з на определенные углы. При этом будут образованы кватернионы 9^, 92 и 93. Угол поворота се должен определяться исходя из условия, что образуемые сферические треугольники ABD, АСЕ и ВСЕ должны быть правильными. Рассмотрим треугольник ABD (рис. 13.41). Требуется определить ABQD = а при заданном угле
A АО В = ф и при условии, что ABAD = Р = 60°.
Так как модули векторных кватернионов 9^, 92 и 93 равны 1 (точки А, В, D принадлежат поверхности сферы единичного радиуса), a BQVAO,
се = arccosсе = arccos— 1 + cos ф 4- 2 cos /31 4- cos -ф— 1 + cos ф 4- 2 cos /31 4- cos -ф(13.5.2)(13.5.2)то имеем:
се = arccos
се = arccos
— 1 + cos ф 4- 2 cos /31 4- cos -ф
— 1 + cos ф 4- 2 cos /31 4- cos -ф
(13.5.2)
(13.5.2)
где cos^ = ж 1^2 4- У1У2 + ^1^2 — скалярное произведение векторов О А иОВ.
При Р = 60°: се = arccos (—^—Y
гV1 + cos ^ /
Чисто векторный кватернион 9^ = 0 + x^i 4- y^j 4- Ахк определим как
91 = 91 (^) * 9з • 91 ^Y91 = 91 (^) * 9з • 91 ^Y(13.5.3)(13.5.3)
91 = 91 (^) * 9з • 91 ^Y
91 = 91 (^) * 9з • 91 ^Y
(13.5.3)
(13.5.3)
где 9i (се) = cos (се/2) 4- sin (се/2) [ж 1 • i-V у\ • j F zi • fc] — вспомогательный кватернион, а 91 (се) = cos (се/2) — sin (се/2) [ж] • г 4- у у • j + 24 • Ц — кватернион, сопряженный с ним. Произведение кватернионов (13.5.3) должно выполняться в соответствии с правилами умножения кватернионов. Пусть первый кватернион Qi = си + bit 4- Cij + dyk, второй кватернион Q2 = а2 + Ь^г + с^з 4- d2k, тогда их произведение Q3 = = Qi • Qi определится как
Qb =
(ai • а2 — ^i • ^2 — Ci • С2 — c/ic/2) 4- (<И • 62 4- bi • a>2 4- Ci • d2 — diC2^ i 4-4" (di • C2 4" Ci • a,2 4- di • 62 ~ bid2^ j + (ai * ^2 4- di • 02 4" bi • C2 — 01^2) k.
(13.5.4)
Найденные из выражения (13.5.4) значения х^ yi, г^ являются координатами точки D. Аналогично, определяются координаты точек Е и F.
Определяем по данным электронного каталога ЛА, составленного в соответствии с [148], координаты звезд, являющихся ближайшими
к точкам D, Е и F, т.е. координаты точек К^х’^ у1^ Р{), L^x’^ у^ > ^) и ЭД'^'Л).
Для УВС МарГТУ 3/1: А — £ Геркулеса Ц.Т., В — al Геркулеса, С — о Геркулеса, К — t Геркулеса, L — 7 Змеи, S — 72 Змееносца.
Для УВС МарГТУ 3/2: А — а М.Медведицы, В — £ Лебедя, С — а Треугольника, К — е Близнецов, L — £ Геркулеса, S — 98 Водолея.
Для УВС МарГТУ 3/3: А — 6 Голубя, В — а Киля, С — HD64440 Кормы, К — £ Кормы, L — а Часов, S — £ Киля.
Для УВС МарГТУ 3/4: А — 77 Павлина, В — ст Центавра, С — и Весов, К — 72 Л.Рыбы, L — а Девы, S — р Стрельца.
Исследуем свойства контуров АВ К, ВСЬи CAP. Для этого выполним проецирование координат звезд А, В, С, К, L, S в плоскость, параллельную экваториальной плоскости ЖпдОпл^пл (см- рис* 13.40) следующим способом.
Для контура УВС определим центр тяжести Ц (ггц, уЦ1 z^Y где
Х1Л-Х2РХ^У1 +г/2 РУЗZ1^Z2+Z3
Жц =g, Уц = з, 2ц =з•(13.5.5)
В сферической системе координат центр тяжести имеет координаты Ц(а, 5), а — прямое восхождение, 5 — долгота в ЭСК:
а = arctg [ —5 = arctg (. 2ц = ).(13.5.6)
\х«/\УхнРУц/
С целью нахождения проекций точек A (xi,^i, zi), В (ж2, Уъ, ^2), С(х31уз^, К (x^y^z^Y L^.y^^Y S^x^y^z^ на плоскость ЖплОплУпл, выполним следующие преобразования. Составим матрицу
Ж1
ж2
хз
^1
ж2
жз
(Х3)т =
2/1
2/2
Уз
у"
У2
Уз
.(13.5.7)
л
^2
^3
Z"
4
41
Матрицу координат повернутых звезд определим как
^ ЗЧпов^1пов-^Гпов ^
^2пов^2пов-2’2пов
Х30В = Хэ • Ry(—ац) • Rz (—^ — <5Ц) =
^Зпов^Зпов-^Зпов
V' 1ПОВу 1пов1ПОВ
тП-у11
X 2повУ 2повz 2пов
, иии
\ж Зпов у Зпов ^3 пов /
(13.5.8)
где Rz(^), Ry(^) — матрицы вращения соответственно вокруг осей OZ (ось OZ совпадает с осью ОР в СКЭ (см. рис. 13.40)) и ОУ (ось OY совпадает с осью ОН в СКЭ (см. рис. 13.40)) на угол р (вращение происходит
против часовой стрелки, если смотреть с конца оси):
(cos (^)- sin (^)О(cos (^)- sin (^)Оsin (^)cos ((^)Оsin (^)cos ((^)О0\/ cos (у>)О j , Ry(<r) = I О 1/\—sin(^)0\/ cos (у>)О j , Ry(<r) = I О 1/\—sin(^)О sin (у?)\ 10.О1 /О sin (у?)\ 10.О1 /
(cos (^)
- sin (^)О
(cos (^)
- sin (^)О
sin (^)cos ((^)О
sin (^)cos ((^)О
0\/ cos (у>)
О j , Ry(<r) = I О 1/\—sin(^)
0\/ cos (у>)
О j , Ry(<r) = I О 1/\—sin(^)
О sin (у?)\ 10.
О1 /
О sin (у?)\ 10.
О1 /
При повороте точки А^В/С, К, L, S будут иметь новые координаты
■^пов (^1пов, Шпов, ^1пов) ) ^пов (^2пов? ^2пов? ^2пов) ,
^ПОВ (^Зпов? J/ЗпОВ, ^Зпов) , -^ПОВ (^ 1ПОВ5 У 1пов, 2 1П0в) )
•^пов (^ 2пов5 У 2пов? ^ 2пов) , ^пов (^ Зпов? У SnoB?-2 Зпов) •
Следует предположить, что координаты г повернутого У ВС будут примерно одинаковыми (для идеального ЭК — одинаковые). Поэтому для формирования кода контура в плоскости жпл0пл2/пл из матрицы Х„ов достаточно использовать только координаты х и у, т.е. первый и второй столбцы матрицы Х^ов. Это условие можно записать в виде
хэхэ= augment (х’ов(1>,Х’ов<2>)= augment (х’ов(1>,Х’ов<2>)^1пов У1пов^^2 по в£/2пов•^Злов 2/Зпов•^InOB ^1пов*ь2пов У2пов\*^3пов У Зпов)^1пов У1пов^^2 по в£/2пов•^Злов 2/Зпов•^InOB ^1пов*ь2пов У2пов\*^3пов У Зпов)(13.5.9)(13.5.9)
хэ
хэ
= augment (х’ов(1>,Х’ов<2>)
= augment (х’ов(1>,Х’ов<2>)
^1пов У1пов^^2 по в£/2пов
•^Злов 2/Зпов•^InOB ^1пов*ь2пов У2пов
\*^3пов У Зпов)
^1пов У1пов^^2 по в£/2пов
•^Злов 2/Зпов•^InOB ^1пов*ь2пов У2пов
\*^3пов У Зпов)
(13.5.9)
(13.5.9)
Спроецированные в плоскость точки A^B^C^K^L^S будут иметь координаты
^пл (^1пов 5 2/1пов) ) ВПЛ (Ж2пов? ^2пов) , Сил (^Зпов? 2/Зпов) ,-^пл (^ Inos? У 1пов) ^пл (^ 2пов5 У 2пов) ^пл (^ Зпов, У Зпов) •
На рис. 13.42 показан вид УВС МарГТУ 3/1, МарГТУ 3/2, МарГТУ 3/3, МарГТУ 3/4 и соответствующих выбранных соседних звезд, спроецированных в плоскость, параллельную плоскости небесного экватора в СКЭ: а — спроецированное созвездие МарГТУ 3/1 и выбранные соседние с ним звезды; б — вид УКВС, обладающего наибольшим значением КДФ для идентификации звезд, образующих УВС МарГТУ 3/1; в — спроецированное созвездие МарГТУ 3/2 и выбранные соседние с ним звезды; г — вид УКВС, обладающего наибольшим значением КДФ для идентификации звезд, образующих УВС МарГТУ 3/2; д — спроецированное созвездие МарГТУ 3/3 и выбранные соседние с ним звезды; е — вид УКВС, обладающего наибольшим значением КДФ для идентификации звезд, образующих УВС МарГТУ 3/3; ж — спроецированное созвездие МарГТУ 3/4 и выбранные соседние с ним звезды; з — вид УКВС, обладающего наибольшим значением КДФ для идентификации звезд, образующих УВС МарГТУ 3/4.
Треугольники АПЛВПЛЬПЛ, ВПЛСПЛ8ПЛ и СПЛАПЛКПЛ имеют большую асимметрию формы, что сказывается на значениях КМФ соответствующих контуров (табл. 13.3).
72 ЗмееносцаАш Q*72 ЗмееносцаАш Q*о Геркулеса Я™ ^пл ] |у> I Геркулесао Геркулеса Я™ ^пл ] |у> I Геркулеса1। ^IDlj«АГеркулеса^АL^ С Геркулеса Ц.Т.1। ^IDlj«АГеркулеса^АL^ С Геркулеса Ц.Т.ааtecateca“^-^^ I«1 Геркулеса^0^Геркулеса Ц.Т.Апл" /Змеи“^-^^ I«1 Геркулеса^0^Геркулеса Ц.Т.Апл" /Змеибба Треугольникаа Треугольника/Змеи/Змеиа Треугольникаа Треугольника£ Лебедя£ Лебедя£ Близнецов£ БлизнецовСгСг98 Вододея98 ВододеяAdi бгМ.МедведицыAdi бгМ.Медведицывв^Геркулеса^ГеркулесаАтл^ ЛебедяАтл^ Лебедя£Близнецов£Близнецов«М.Медведицы«М.МедведицыггHD 64440 КиляHD 64440 КиляL АL АсКилясКиляплплАплАпл• «Киля1• «Киля1/\/ ^Кормы Г/ Аш . о 5 Голубя./\/ ^Кормы Г/ Аш . о 5 Голубя.HD 64440 КиляS™ _ С™ 'HD 64440 КиляS™ _ С™ '"пл ^пл -«Киля 5 Голубя -"пл ^пл -«Киля 5 Голубя -е
72 Змееносца
Аш Q*
72 Змееносца
Аш Q*
о Геркулеса Я™ ^пл ] |у> I Геркулеса
о Геркулеса Я™ ^пл ] |у> I Геркулеса
1। ^IDlj
«АГеркулеса^А
L^ С Геркулеса Ц.Т.
1। ^IDlj
«АГеркулеса^А
L^ С Геркулеса Ц.Т.
а
а
teca
teca
“^-^^ I
«1 Геркулеса^0^Геркулеса Ц.Т.
Апл
" /Змеи
“^-^^ I
«1 Геркулеса^0^Геркулеса Ц.Т.
Апл
" /Змеи
б
б
а Треугольника
а Треугольника
/Змеи
/Змеи
а Треугольника
а Треугольника
£ Лебедя
£ Лебедя
£ Близнецов
£ Близнецов
Сг
Сг
98 Вододея
98 Вододея
Adi бгМ.Медведицы
Adi бгМ.Медведицы
в
в
^Геркулеса
^Геркулеса
Атл^ Лебедя
Атл^ Лебедя
£Близнецов
£Близнецов
«М.Медведицы
«М.Медведицы
г
г
HD 64440 Киля
HD 64440 Киля
L А
L А
сКиля
сКиля
пл
пл
Апл
Апл
• «Киля1
• «Киля1
/\/ ^Кормы Г/ Аш . о 5 Голубя.
/\/ ^Кормы Г/ Аш . о 5 Голубя.
HD 64440 Киля
S™ _ С™ '
HD 64440 Киля
S™ _ С™ '
"пл ^пл -
«Киля 5 Голубя -
"пл ^пл -
«Киля 5 Голубя -
«Часов«Часовдд„ - Аш-
«Часов
«Часов
д
д
7 Павлина Q^^jS^
‘ К^ \«9 Весов'
/2 Л.Рыбы**” Аш - кст Центавра-
ззРис. 13.42. Проекции звезд, образующих УВС 3-го порядка и отобранных соседнихзвезд
з
з
Для определения оптимального контура УКВС определим КДФ V широкополосных контуров КплСплАПдВпЛ) K^A^C^B^, ^пл^пл-^пл^пл, ^пдВпдАпдСпзх, ^ПЛВПЛСПЛАПЛ1 8плСплВплАпл (см. рис. 13.42). Результаты приведены в табл. 13.4.
В силу того, что взаимное положение звезд в течение продолжительного времени сохраняется с очень высокой точностью, то и проекционные ошибки при одном и том же способе проецирования сохраняются. Причем, чем больше угловое расстояние между звездами, тем меньшее влияние оказывает координатный шум на значение КДФ контуров при предложен-
Таблица 13.3. Значения КМФ контуров, прилегающих к спроецированному в плоскость УВС третьего порядка
Наименов. созвездия
Максимальное значение КМФ
АпЛ-^ПЛ^пЛ
АплВПлВПл
ВплСпл^пЛ
АплСплКПл
МарГТУ 3/1
503,761
165,669
4,983
31,413
МарГТУ 3/2
2205,861
7,608
8,157
9,275
МарГТУ 3/3
1405,538
6,019
15,589
15,589
МарГТУ 3/4
2915,584
12,424
7,66
7,66
Таблица 13.4. Значения КДФ контуров, ассоциированных с УВС
Наименов. созвездия
Значение КДФ
КПЛ Спл Адл Впл
1
-Кпл Апл С'пл Впл
2
Впл -Апл Впл Спл
3
Впл Впл
Апл Спл
4
*5пл Впл Сил Апл 5
$ПЛ Спл Впл Адл 6
МарГТУ 3/1
33,581
29,229
162,652
143,511
33,51
5,255
МарГТУ 3/2
9,833
9,045
7,297
8,338
9,27
7,69
МарГТУ 3/3
37,178
7,393
11,548
5,109
311,757
15,66
МарГТУ 3/4
50,111
13,107
19,206
11,085
15,325
7,029
ном способе проецирования. Таким образом, можно считать, что фигуры, представленные на рис. 13.42, образуют устойчивую форму.
Приведенные в табл. 13.4 значения КДФ могут использоваться для поиска УКВС, а в дальнейшем — в качестве входных параметров при решении задачи идентификации звезд, образующих УВС. Приведем алгоритм идентификации звезд в УВС, использующий распределение значений КДФ.
Определяем максимальное значение КДФ для каждого УКВС.
Определяем индекс ind, соответствующий максимальному значению КДФ. Для МарГТУ 3/1 ind = 3, для МарГТУ 3/2 ind = 1, для МарГТУ 3/3 ind = 5, для МарГТУ 3/4 ind = 1.
Определив максимальное значение КДФ для каждого созвездия, мы тем самым идентифицируем одну из его сторон. Остальные звезды, образующие УВС, идентифицируются также в силу неизменяемости их местоположения при определенном направлении обхода.
Для УВС МарГТУ 3/1 учтем, что два наибольших значения КДФ при ind = 3 и ind = 4 определяют одну и ту же сторону. Поэтому окончательно алгоритм идентификации выглядит следующим образом: МарГТУ 3/1 = true if (ind (шах (КДФ)) = 3) or (ind (max (КДФ)) = 4) false otherwise,(13 510)
МарГТУ 3/2 = true if (ind (max (КДФ)) = 1)
•(13.5.11)
false otherwise,
МарГТУ 3/3 = true if (ind (max (КДФ)) = 5)
•(13.5.12)
false otherwise,
МарГТУ 3/4 = true if (ind (max (КДФ)) = 1), ..
_ _,.(13.5.13)
false otherwise.
.5.2. Алгоритм поиска УКВС четвертого порядка. Получим алгоритм поиска УКВС для решения задачи идентификации звезд, образующих УВС четвертого порядка.
Пусть заданы координаты звезд, образующих УВС четвертого порядка (рис. 13.43): A(a:1,y1,z1), В (к2, №, z2), С (х3,у3, z^, D(x4,y4,z4).
Рис. 13.43 Пояснение к выбору соседних звезд для поиска УКВС четвертого порядкаРис. 13.43 Пояснение к выбору соседних звезд для поиска УКВС четвертого порядка
Рис. 13.43 Пояснение к выбору соседних звезд для поиска УКВС четвертого порядка
Рис. 13.43 Пояснение к выбору соседних звезд для поиска УКВС четвертого порядка
Необходимо найти координаты соседних звезд (см. рис. 13.43), которые вместе с координатами УВС образуют требуемый контур:
qy = 0 4- Ж1 • г 4- уу • 3 + хх • k, q2 = 0 + ж2 * г + У2 * 3 + ^2 • к,
, (13.5.14)
q3 = 0 + ж3 • г + т/з 1 J • /с, q4 = 0 4- ж4 * г + у^ • 3 + z4 • к, где г, у, к — мнимые единицы.
Для вычисления координат Ап, Вц, Си, Dyy определим ближайшие координаты звезд из электронного каталога к точкам, образованным при вращении кватернионов q2 вокруг qy, q^ вокруг q2, q^ вокруг q^ и qy вокруг q4 на угол
а = arccosа = arccos-14- cos0 4- 2 • cos (тг/2)1 4- cos 0-14- cos0 4- 2 • cos (тг/2)1 4- cos 0= arccos= arccos— 14- cos 01 4- cos 0— 14- cos 01 4- cos 0
а = arccos
а = arccos
-14- cos0 4- 2 • cos (тг/2)1 4- cos 0
-14- cos0 4- 2 • cos (тг/2)1 4- cos 0
= arccos
= arccos
— 14- cos 0
1 4- cos 0
— 14- cos 0
1 4- cos 0
Для вычисления координат Ay2, By2, Cy2, Dy2 определим ближайшие координаты звезд из электронного каталога к точкам, образованным при вращении кватернионов qy вокруг q2, q2 вокруг Q3, д3 вокруг д4 и д4 вокруг qy на угол (—а).
В результате имеем:
для У ВС МарГТУ4/1: А — (3 Волопаса, В — т Геркулеса, С — £ Геркулеса, В — а Сев. Короны, Ап — ту Б. Медведицы, Вц — 7 Дракона, Си — al Геркулеса, Вц — а Волопаса, Ац — р Волопаса, Вц — I Дракона, С12 — о Геркулеса, Вц — 7 Змеи;
для УВС МарГТУ4/2: А — ш Киля, В — HD94510 Киля, С — е Юж. Креста, В — 7 Мухи, Ап — HD76728 Киля, Вц — р Паруса, Си — (3 Центавра, Вц — а Г. Птицы, Ац — £ Л. Рыбы, Вц — X Паруса, С12 — <7 Центавра, Вц — « Циркуля.
Исследуем свойства контуров АплВплВшпгДиц, ВплСПлСплцВплц, СпяВтВпдцСплц, ОтАтАш12ОтП. Для этого спроецируем точки А, В, С, В, Лц, Вц, Сц, Вц, Ац, Вц, Сц, Вц В ПЛОСКОСТЬ ЖплОплУпл- Выполним преобразования для этих точек, аналогичные преобразованиям (13.5.5)-( 13.5.9), относительно центра тяжести фигуры А, В, С, В.
На рис. 13.44 показан вид УВС МарГТУ 4/1, МарГТУ 4/2 и соответствующих выбранных соседних звезд, спроецированных в плоскость, параллельную плоскости небесного экватора в СКЭ.
С ГеркулесаС Геркулесаal Геркулеса тчРплПal Геркулеса тчРплПО ГеркулесаО Геркулеса^пл12^пл12^пл12( |/Змеи*^пл12( |/Змеи*DxDx^пл^ПЛ,^пл^ПЛ,^пл11у Дракона^пл11у Драконаа Сев.Короньга Сев.Короньгт Геркулеса ^^\^ПЛ12к Драконат Геркулеса ^^\^ПЛ12к ДраконаааВпл11Впл11w р Волопаса^^-ЦД I а Волопасар^х*w р Волопаса^^-ЦД I а Волопасар^х**Д Волопаса*Д ВолопасаI I I I i ।1 I I"С^цР 0 ГеркулесаС Геркулеса/__ ^ш1*\гГеркулеса- а Сев.Короны / ^*"Д Волопаса "I I I I i ।1 I I"С^цР 0 ГеркулесаС Геркулеса/__ ^ш1*\гГеркулеса- а Сев.Короны / ^*"Д Волопаса "Л Б.МедведицыЛ Б.МедведицыббДпл12 ст Циркуляа Г. ПтицыГ Мухисо КиляДпл12 ст Циркуляа Г. ПтицыГ Мухисо КиляАтл12£ Л.РыбыАтл12£ Л.РыбыввHD 76728 КиляHD 76728 Киля^пл11р Центавра ^пл12 ст Центавра£ Юж.Креста ^пл11 I Ц ПарусаHD 94510 Киля ^пл12 X Паруса^пл11р Центавра ^пл12 ст Центавра£ Юж.Креста ^пл11 I Ц ПарусаHD 94510 Киля ^пл12 X ПарусаС„„и /? Центавра'ЙОж.Креста плВпл _<уКиля mjj у45 10 КиляС„„и /? Центавра'ЙОж.Креста плВпл _<уКиля mjj у45 10 Киля22
С Геркулеса
С Геркулеса
al Геркулеса тчРплП
al Геркулеса тчРплП
О Геркулеса
О Геркулеса
^пл12
^пл12
^пл12( |/Змеи*
^пл12( |/Змеи*
Dx
Dx
^пл
^ПЛ,
^пл
^ПЛ,
^пл11
у Дракона
^пл11
у Дракона
а Сев.Короньг
а Сев.Короньг
т Геркулеса ^^\^ПЛ12
к Дракона
т Геркулеса ^^\^ПЛ12
к Дракона
а
а
Впл11
Впл11
w р Волопаса^^-ЦД I а Волопасар^х*
w р Волопаса^^-ЦД I а Волопасар^х*
*Д Волопаса
*Д Волопаса
I I I I i ।1 I I
"С^цР 0 Геркулеса
С Геркулеса/_
_ ^ш1*\гГеркулеса
- а Сев.Короны / ^*
"Д Волопаса "
I I I I i ।1 I I
"С^цР 0 Геркулеса
С Геркулеса/_
_ ^ш1*\гГеркулеса
- а Сев.Короны / ^*
"Д Волопаса "
Л Б.Медведицы
Л Б.Медведицы
б
б
Дпл12 ст Циркуля
а Г. ПтицыГ Мухи
со Киля
Дпл12 ст Циркуля
а Г. ПтицыГ Мухи
со Киля
Атл12
£ Л.Рыбы
Атл12
£ Л.Рыбы
в
в
HD 76728 Киля
HD 76728 Киля
^пл11
р Центавра ^пл12 ст Центавра
£ Юж.Креста ^пл11 I Ц Паруса
HD 94510 Киля ^пл12 X Паруса
^пл11
р Центавра ^пл12 ст Центавра
£ Юж.Креста ^пл11 I Ц Паруса
HD 94510 Киля ^пл12 X Паруса
С„„и /? Центавра'
ЙОж.Креста пл
Впл _
<уКиля mjj у45 10 Киля
С„„и /? Центавра'
ЙОж.Креста пл
Впл _
<уКиля mjj у45 10 Киля
2
2
Рис. 13.44. Проекции звезд, образующих УВС 4-го порядка и отобранных соседнихзвезд: а — спроецированное созвездие МарГТУ 4/1 и выбранные соседние с нимзвезды; б — вид созвездия, обладающего наибольшим значением КДФ для иден-тификации звезд, образующих УВС МарГТУ 4/1; в — спроецированное созвездиеМарГТУ 4/2 и выбранные соседние с ним звезды; г — вид созвездия, обладаю-щего наибольшим значением КДФ для идентификации звезд, образующих УВСМарГТУ 4/2
Как и следовало ожидать, четырехугольники АПЛВПЛВПЛ12АПЛЦ, ВплСплСпл12Впл11) СпдОпдОдд^СплИ и ВпЛ-^-ПЛ-^П.л12Вплц имеют большую асимметрию формы, что сказывается на значениях КМФ соответствующих контуров (табл. 13.5).
Таблица 13.5. Значения КМФ контуров, прилегающих к спроецированному в плоскость УВС четвертого порядка
Наименов. созвездия
Максимальное значение КМФ
ABCD
-4пл ВПД Впл12 ^4пл11
-4-ПЛ С'пл
С'пл12 Вплц
Сил ВПЛ Впл12 СплЫ
Вдл АПЛ -^4пл12 Вплц
МарГТУ 4/1
146,2712
6,635
9,905
8,438
8,183
МарГТУ 4/2
33,441
3,999
4,393
7,07
3,849
Для поиска УКВС определим КДФ V широкополосных контуров. 1) -Аплц-^пл-^пл^пл-^пл, 2) ВПЛ12ВПЛЛПЛРПЛСПЛ, 3) ВплцВшт Сил Одл ^пл > 4) СПЛХ2СПЛВПЛАПЛОПЛ) 5) Сплх1СплОплАплВпл, 6) Опл^ОПлСплВплАп;1Ъ 7) Оплц!^плАплВплСпЛ) 8) А^^А^О^С^Вдд (см. рис. 13.44 и табл. 13.6).
Таблица 13.6. Значения КДФ контуров, ассоциированных с УВС
Наименов. созвездия
Значение КДФ
1
2
3
4
5
6
7
8
МарГТУ 4/1
27,904
29,212
67,099
117,47
14,626
7,89
10,147
5,374
МарГТУ 4/2
32,292
18,807
6,473
10,847
36,313
12,272
7,683
12,421
Значения КДФ, приведенные в табл. 13.6, могут использоваться для поиска УКВС, а в дальнейшем в качестве входных параметров при решении задачи идентификации звезд, образующих УВС. Приведем следующий алгоритм идентификации звезд в УВС, используя распределение значений КДФ. Сгруппируем контуры, оканчивающиеся на одну и ту же звезду, т.е.: a) A^A^B^C^D^ и ^пл 12 Спл Впл Апл Впл, б) Вдд^ВддА^О^Сдд И Впл]д Впл Vl^B^лСщв в) 5плц5плС7плТ)пл?1Ш1 и О ПЛ 12 Впл Спл Впл Аил» г) С^плЫ^пл^пл^пл-^пл И Апл12АдЛОплСдЛВпл. В ЭТОМ случае для идентификации могут применяться уже не только сами значения КМФ, но и их линейные комбинации. Например, хорошие результаты для идентификации представляет распределение отношений КДФ, приведенных в табл. 13.7.
Таблица 13.7. Значения отношений КДФ контуров, ассоциированных с УВС и заканчивающихся одной и той же звездой
Наименов. созвездия
Значение отношений КДФ
КДФ1/КДФ4
КДФ2/КДФ7
КДФЗ/КДФ6
КДФ5/КДФ8
МарГТУ 4/1
0,238
2,879
8,505
2,722
МарГТУ 4/2
2,977
2,488
0,527
2,923
Согласно значениям, приведенным в табл. 13.7, алгоритм идентификации звезд в составе УВС четвертого порядка строится следующим образом.
Определяем минимальное значение отношения КДФ для каждого ассоциированного с УВС контура.
Определяем индекс ind, соответствующий минимальному значению отношений КДФ. Для МарГТУ 4/1 ind = 1, для МарГТУ 4/2 ind = 3.
Определив минимальное значение отношения КДФ для каждого ассоциированного с УВС контура, в котором последняя точка является общей, мы тем самым идентифицируем эту точку, являющуюся одной из вершин УВС. При обходе в определенном направлении наименование звезд нам известно, поэтому все звезды, образующие данное УВС становятся проидентифицированными.
Описанный алгоритм можно представить в виде:
МарГТУ 4/1 = true if (ind (min (У31)) = 1)(1М ]5)
false otherwise,
МарГТУ 4/2 = true if (i„d (miu (g^) ) = з) цз 516) false otherwise,
где
. 1/КДФЦ л . ,/КДФ2\ o . . /КДФЗ\ Q . ,/КДФ5\.
md= 1, md= 2, ind= 3, ind ——— = 4.
\КДФ4/\КДФ7/\КДФ6/\КДФ8/
Основные результаты
Сформулированы требования к форме вторичных созвездий, используемых для ориентации летательных аппаратов при полной априорной неопределенности углового положения оптической оси ОТД. Они связаны с ограничением на величину углового диаметра вторичного созвездия, на яркость и количество составляющих его звезд, а также на уникальность формы. Последнее предполагает отсутствие на небесной сфере других созвездий не только с такими же, но даже и с близкими свойствами формы. Эти свойства должны легко обнаруживаться благодаря очень большому отношению сигнал/шум в пространстве форм.
Показано, что при заданной размерности к форма изображения вторичного созвездия максимально отличается от форм остальных вторичных созвездий на небесной сфере. Форма задается элементарным контуром, т.е. имеет равномерную АКФ и дельтовидный спектр. Порядок контура не играет роли, а с позиции удобства формирования контура по к точкам выбран элементарный контур Г1, все компоненты спектра которого, за исключением р (1), равны нулю. Степень отличия формы, задаваемая элементарным контуром, от формы контуров, образуемых к звездами, взятых в качестве вершин многоугольника, увеличивается с ростом к, причем наиболее резко в области небольших значений к, а время поиска УВС при переборе всевозможных комбинаций форм,
образуемых всеми звездами на небесной сфере в заданном диапазоне их светимости, резко возрастает при больших значениях к. Поэтому с позиции реализуемости данного метода ориентации целесообразно ограничиться формой вторичного созвездия в виде элементарного контура с размерностями к = 3,4,5.
Реальными ориентирами могут быть лишь вторичные созвездия, задающие квазиправильные к-угольники. Введена мера степени монохроматичности — коэффициент монохроматичности формы М — такого многоугольника в виде отношения модуля спектральной составляющей р(1) к модулю наиболее интенсивной составляющей в оставшейся части спектра. КМФ характеризует степень эффективности вторичного созвездия в качестве ориентира. Величина отношения КМФ конкретного вторичного созвездия к среднеквадратичному отклонению КМФ, вычисленному по всем остальным вторичным созвездиям, задает отношение сигнал/помеха q на входе системы ориентации. Для подавляющего большинства вторичных созвездий КМФ меньше единицы.
Сформулированы в аналитическом виде условия, при которых вторичное созвездие может быть признано уникальным. В соответствии с первым условием КМФ УВС должен превышать КМФ любого вторичного созвездия в заданной области небесной сферы, в соответствии со вторым — величина отношения сигнал/помеха q должна при этом превышать некоторое пороговое значение qo, а третье задает степень изолированности р КМФ УВС в пределах гистограммы значений М. Степень изолированности р определяется в виде отношения КМФ УВС к ширине d «мертвой зоны» вокруг значения КМФ УВС на гистограмме. Чем меньше при этом величина р, тем шире мертвая зона и тем больше степень изолированности. Эксперимент показал, что для уверенного распознавания УВС должны выполняться условия: q ^ 10, р ^ 3.
При принятых ограничениях эксперимент убедительно доказал существование на небесной сфере уникальных звездных образований на примере шести УВС.
Задача оценки параметров местоположения летательного аппарата может быть успешно решена не по форме УВС, а по другому сигналу, ассоциированному с изображением УВС. Один из подходов к получению такого сигнала заключается в использовании отсчетов яркости звезд УВС. Другой подход, реализованный в данной работе, основан на контексте точечной сцены в районе УВС. На базе звезд УВС и соседних звезд получается уникальное композиционное вторичное созвездие, контур которого в отличие от узкополосного контура УВС является максимально широкополосным. В качестве контура УКВС третьего порядка выбран контур, ассоциированный с многофазным аналогом ЛЧМ сигнала третьего порядка, а в качестве контура УКВС четвертого порядка контур, ассоциированный с кодом класса р. Оба вида этих контуров требуют минимального количества новых звезд, имеют равномерный энергетический спектр и дельтовидную АКФ, т.е. являются наилучшими сигналами для решения задачи оценки параметров.
Таким образом, материал данной главы подтвердил существование квазиоптимальных ориентиров в виде уникальных вторичных созвездий, обладающих высокой монохроматичностью формы и сильной изолированностью от других возможных вторичных созвездий, а также ассоциированных с ними уникальных композиционных созвездий с дельтовидной АКФ формы.
Примеры
В этом разделе приведены примеры для иллюстрации наиболее важных теоретических и прикладных вопросов, связанных с обработкой сигналов, задаваемых точечными образами.
Пример 1. Найти коэффициент монохроматичности М формы изображения, задаваемой контуром изображения Г = {3; 5г; 5 — Зг; 10г; —2 4- 5г; —2 — 2г; —4 4- 5г} (рис. 13.45). Вычислим амплитудно-частотный спектр контура: Р = = {0; 0,848; 1,729; 1,494; 3,731; 1,76; 3,491}.
Получим в соответствии с выражением (13.2.9) коэффициент монохроматичности формы М = 0,848/3,731 = 0,227.
Пример 2. В плоскости ОТД координаты 4-х звезд принимают следующие значения А (0,2; 0,15); В (0,2; -0, 35); С (-0,3; -0,1) и D (-0,3; 0,2) (рис. 13.46).
Требуется найти КМФ всевозможных вторичных созвездий, состоящих из трех звезд.
Для нахождения форм третьего порядка из четырех звезд можно образовать четыре группы по три звезды {А, В, С}, {А, В, В}, {A, С, D} и {В, С, В}.
Каждая группа образует по шесть правильных ориентированных многоугольников. Например, для группы звезд {А, В, С} имеем следующие ориентированные конфигурации звезд: А, В, С; В, С, А; С, А, В; А, С, В; С, В, А; В, А, С.
Коды контуров, образуемых первыми тремя конфигурациями и последними тремя конфигурациями, являются циклически сдвинутыми. Поэтому для амплитудно-частотных спектров контуров выполняются следующие равенства:
|Равс| = |Рвса| = |Рсав| и |Расв| = |Рсва| = |Рвас|.
Следовательно, рассчитаем амплитудно-частотные спектры следующих контуров:
Гавс, Гасв, Гавр, Гарв, Гаср, Гарс, Гвср, Гврс-
Разностный код каждого контура имеет вид:
Г две = {—0,68г; -0,4 4- 0,43г; 0,4 4- 0,25г},Г лев = {-0,4 - 0,25г; 0,4 - 0,43г; 0,68г},Гдвв — {—0,68г; —0,5 4- 0,73г; 0,5 — 0,05г},Гавв — {—0,5 4- 0,05г; 0,5 — 0,73г; —0,68г}Гдсв = {-0,4 - 0,25г; -0,1 4- 0,3г; 0,5 - 0,05г},Гдрс = {-0,5 + 0,05г; 0,1 - 0,3г; 0,4 4- 0,25г},Гbcd = {-0,4 4- 0,43г; -0,1 4- 0,3г; 0,5 - 0,73г},Гвпс = {-0,5 4- 0,73г; 0,1 - 0,3г; 0,4 - 0,43г}.
Выполнив прямое ДПФ, найдем амплитудно-частотный спектр контуров: |Равс| = {0; [0,156 - 0,327г|; [-0,156 - 1,713г|} = {0; 0,362; 1,72}, [Рдсв| = {0; [-0,52 - 0,24г|; [0,12 - 0,01г| = {0; 0,573; 0,121}}, |Равр| = {0; [0,675 - 0,154г|; [-0,675 - 1,886г| = {0; 0,693; 2,003}}, |Рарв| = {0; [—0,675 — 0,119г|; [0,157 4-0,169г| = {0; 0,668; 0,231}}, [Рдсв| = {0; [-0,297 4- 0,145г|; [-0,903 - 0,895г|} = {0; 0,33; 1,271}, |Рдвс| = {0; [-0,409 4- 0,112г|; [-0,091 - 0,062г|} = {0; 0,424; 0,11}, |Рвсо| = {0; [0,292 4- 1,165г|; [-1,492 4- 0,125г|} = {0; 1,201; 1,497}, |Рввс| - {0; [-0,212 4- 0,452г|; [-0,288 4- 0,278г|} = {0; 0,499; 0,4}.
Рассчитаем КМФ каждого контура:
Мавс — 0,211, Масв = 4,746, Mabd — 0,346, Mabd — 2,892, Macd — 0,26, Madc — 3,849, Mbcd = 0,802, Mbdc — 1,247.
Пример 3. Определим КДФ незамкнутого контура Tdcab (рис. 13.46). Разностный код контура имеет вид
Гdcав — {0,1 — 0,3г; 0,4 4- 0,25г; — 0,68г}.
Циклическая АКФ контура имеет вид
|N| = {|0,785|; [-0,001 4- 0,059г|; [-0,001 - 0,059г|} = {0,785; 0,059; 0,059} .
Коэффициент дельтовидности формы определим в соответствии с выражением (13.4.2): V = 0,785/0,059 = 13,301.
Пример 4. Рассмотрим УВС МарГТУ 3/1, образованное звездами: А — £ Геркулеса Ц.Т. с координатами (ai = 16 ч 41 мин 17,5 с; £i — 31°36'7"), В — о Геркулеса («2 — 18ч 7мин 32,5 с, 62 — 28°45'45"), С — al Геркулеса (аз = — 17 ч 14 мин 38,9 с, 5з — 14°23'25"). Вычислим КМФ УВС.
Преобразуем сферические координаты УВС в радианы: г = 1,2,3, 15тт / аМинг ас j \ " 180 \“4i + 60 + 3600/ ’ г 15ТГ / -<5минг . ^с i \
“ 180 \ rpaai + 60 + 3600) 'В результате получаемai = 4,3689591, 51 = 0,551558,а2 = 4,7452957, 52 = 0,5020003,аз = 4,514505, 83 = 0,2511577.
Перейдем из сферической системы координат в декартовую. Для этого выполним следующие преобразования:
х = cos (5) • cos (а), у = cos (5) • sin (а), z — sin (5).
в результате получаем
хуz
А -0,2867864 -0,8019738 0,5240148 В 0,0288415-0,87614720,48118
С -0,1904269 -0,9497224 0,2485255.
Вычислим центр масс созвездия (А, В, С):
Результат: хц = -0,1494573, уц = -0,8759478, zu = 0,4179068.
Длина вектора, проведенного из центра сферы к точке, являющейся центром масс, определится как: |ОЦ| —— 0,981976.
Найдем координаты центра тяжести УВС в сферической системе координат. С учетом квадранта для arctg получаем
5ц5ц— 0,439602рад.— 0,439602рад.
5ц
5ц
— 0,439602рад.
— 0,439602рад.
включающего УВС:включающего УВС:XL - X3 Ry (-ац) . RzXL - X3 Ry (-ац) . Rz^1 пов^2 пов ^Зпов^1 пов^2 пов ^ЗповВ результате получимВ результате получим’-0,2867864 -0,8019738 0,5240148’хэ =0,0288415-0,87614720,48118,-0,1904269 -0,9497224 0,2485255 ’ 0,1172228-0,1478146 -0,9820436*Х’ов —0,06993620,1757923-0,9819399-0,1871589 -0,0279777 -0,9819312’-0,2867864 -0,8019738 0,5240148’хэ =0,0288415-0,87614720,48118,-0,1904269 -0,9497224 0,2485255 ’ 0,1172228-0,1478146 -0,9820436*Х’ов —0,06993620,1757923-0,9819399-0,1871589 -0,0279777 -0,9819312Х1 пов3^2 пов2^3 повХ1 пов3^2 пов2^3 пов?/1 пов 2/2пов t/Зпов?/1 пов 2/2пов t/Зпов
включающего УВС:
включающего УВС:
XL - X3 Ry (-ац) . Rz
XL - X3 Ry (-ац) . Rz
^1 пов
^2 пов ^Зпов
^1 пов
^2 пов ^Зпов
В результате получим
В результате получим
’-0,2867864 -0,8019738 0,5240148’
хэ =
0,0288415-0,87614720,48118,
-0,1904269 -0,9497224 0,2485255 ’ 0,1172228-0,1478146 -0,9820436*
Х’ов —
0,06993620,1757923-0,9819399
-0,1871589 -0,0279777 -0,9819312
’-0,2867864 -0,8019738 0,5240148’
хэ =
0,0288415-0,87614720,48118,
-0,1904269 -0,9497224 0,2485255 ’ 0,1172228-0,1478146 -0,9820436*
Х’ов —
0,06993620,1757923-0,9819399
-0,1871589 -0,0279777 -0,9819312
Х1 пов
3^2 пов
2^3 пов
Х1 пов
3^2 пов
2^3 пов
?/1 пов 2/2пов t/Зпов
?/1 пов 2/2пов t/Зпов
Осуществим поворот вокруг осей OZ и OY фрагмента звездного неба,
Осуществим параллельный перенос в плоскость, параллельную экваториальной ПЛОСКОСТИ ЖплОпл^/пл-
Следует предположить, что координаты z поернутых звезд, составляющих УВС, будут примерно одинаковыми (для ЭК — точно одинаковыми). Поэтому для формирования кода контура в плоскости жПл0пл2/пл из матрицы XL достаточно использовать только координаты х и у, т.е. первый и второй столбцы матрицы XL-
0,1172228-0,1478146
Результат: Х„р =Результат: Х„р =0,06993620,1757923
Результат: Х„р =
Результат: Х„р =
-0,1871589 -0,0279777
Отброшенная третья координата z, может в любое время использоваться при
обратном переходе из плоскости на сферу.
Сформируем код контура в плоскости жПл0пл2/пл
7 (1) = (0,066993 - 0,117228) 4- г (0,1757923 + 0,1478146) =
= -0,0472866, + Ю,323607,
7 (2) = (-0,1871589 - 0,066993) 4- г (-0,0279777 - 0,1757923) =
= -0,2570951 - гО,20377,
7 (0) = (0,117228 4- 0,1871589) 4- г (-0,1478146 4- 0,0279777) =
= -0,3043817 + г0,1198369.
Запишем амплитудно-частотный спектр контура:
р (0) = 0, р (1) = -0,1436181 4- гО,9716636,р(2) = -0,0017582 - гО,0008427.
Вычислим КМФ контура УВС.
Модули соответствующих гармоник запишутся как
\р (1)| = 0,9822201, \р (2)| = 0,0019498.
Тогда
М = КОШ = 503,7608192.
|р(2)|’
Задачи и упражнения
Найти коэффициент монохроматичности формы контура Г — {1,1,1, -1, -1,-1}.
Найти коэффициенты монохроматичности формы всевозможных вторичных созвездий, состоящих из 4-х звезд, представленных на рис. 13.46.
Определить коэффициент дельтовидности формы незамкнутых контуров Tadbc, Vbcad, Гспва (рис. 13.46).
Координаты трех звезд на небесной сфере в экваториальной системе координат имеют значения
ai = 16ч 40мин Юс; 51 = 30°40'7", а2 = 15ч 48мин 40с, д2 = 25°20'10", а3 = 16ч 40мин Юс, 53 = 30° 15'45".
Вычислить коэффициент монохроматичности формы вторичных созвездий, образованных этими звездами, предварительно спроецировав их относительно центра тяжести созвездия.
Докажите, что КМФ циклически сдвинутых замкнутых контуров принимает одно и то же значение, т.е.
М (Г1,2,... ,к —1) — ^ (Г2,3,... ,к —1,1) — • • • — М (Гк_ 1,1,...,к-2) .
Вычислите коэффициент дельтовидности формы замкнутого контура, представленного на рис. 13.45.
Глава 14
СИГНАЛЫ НА БАЗЕ КОМПОЗИЦИОННЫХ КОНТУРОВВ СИСТЕМАХ СВЯЗИ С КОДОВЫМ УПЛОТНЕНИЕМКАНАЛОВ
Введение
Применяемые в системах связи сигналы и методы их обработки нацелены, как правило, на минимизацию взаимного влияния сигналов от различных источников. Обычно речь о полном устранении взаимного влияния не идет. Например, в системах связи с кодовым разделением каналов взаимное влияние сигналов из-за возникновения корреляционных шумов при их обработке ухудшает отношение сигнал/помеха и тем самым снижает пропускную способность канала связи. При этом требования снижения уровня боковых лепестков корреляционной функции может вступать в противоречие с другими требованиями, предъявляемыми к сигналам, например, максимизации расстояния между сигналами в признаковом пространстве. В системах связи с временным разделением каналов сильное влияние могут оказывать переходные помехи.
Рассмотренные в гл. 12 комплекснозначные последовательности в виде композиционных контуров из полного семейства ЭК обладают равномерным энергетическим спектром и дельтовидной циклической АКФ, что позволяет исключить при их обработке влияние корреляционных шумов. Составляющие их элементарные контуры, обладающие дельтовидными непересекаю- щимися спектрами, образуют алфавит последовательностей, эффективных для распознавания (см. п. 4.4). Поэтому описанные сигналы могут использоваться как для разрешения, так и для распознавания, т.е. для задач, предъявляющих к спектру сигнала противоречивые требования.
Практика построения современных телекоммуникационных систем и сетей показывает, что наиболее дорогостоящими звеньями трактов передачи являются линии связи [195]. Поскольку экономически нецелесообразно использовать дорогостоящую линию связи для передачи информации единственной пары абонентов, то возникает задача построения многоканальных систем передачи информации. Структурная схема простейшей многоканальной системы связи изображена на рис. 14.1. Первичные сигналы al (t), 02 (t),... , or (t), подлежащие передаче, преобразуются посредством модуляторов Му, М2,... , Мт в электрические сигналы tti (0 > ^2 (^), • • • , ur (t), а затем смешиваются в аппаратуре уплотнения. Полученный таким образом групповой сигнал u (t) передается по линии
связи. Приемник из принятого зашумленного колебания z (t) = и (t)+n (t) с помощью устройства разделения селектирует канальные сигналы и^ (£), преобразуемые посредством демодуляторов (детекторов) D^D*^... ,DT в соответствующие первичные сигналы ау (^) ^^ ^... ,аТ (t).
Чтобы разделяющие устройства были в состоянии выделять канальные сигналы из группового, должны существовать определенные признаки, присущие только сигналу данного канала. Такими признаками в общем случае могут быть параметры переносчика, например, амплитуда, частота или фаза в случае модуляции синусоидального переносчика, временное положение, длительность или форма сигнала при модуляции импульсных переносчиков. Соответственно различают и способы разделения сигналов: частотный временной, фазовый, разделение по форме сигналов и др.
В последние годы отчетливо прослеживается тенденция роста интереса к системам связи, использующим кодовое разделение каналов. Это объясняется рядом преимуществ, которыми обладают такие системы: эффективным использованием частотного диапазона, высокой помехоустойчивостью, скрытностью передачи информации и др. При кодовом разделении каналов все абоненты могут работать в общей полосе частот, а разделение их возможно за счет различия сигналов, выделенных каждому абоненту. Системы связи с кодовым разделением являются адресными системами, так как сигналы абонента выполняют роль его адреса. Ниже рассматривается возможность применения сложных сигналов на базе композиционных контуров в системах связи с кодовым уплотнением каналов.
Основы построения систем связи с применениемкомплекснозначных сигналов
Рассмотрим одноканальную систему связи, в которой в качестве алфавита сигналов используются композиционные контуры с дельтовидной АКФ. Как было показано в гл. 12, для каждого значения размерности к существует не менее чем ф (к) к контуров с такой АКФ, ф (к) — функция Эйлера, к — размерность элементарного контура. Структурная схема системы связи представлена на рис. 14.2. В таблице соответствий ТС передатчика задаются алфавит допустимых символов и соответствующие им номера комбинаций ЭК в композиционном контуре. Массив комбина-
Рис. 14.2. Структурная схема системы связи
ций ЭК содержится в генераторе композиционных контуров ГКК, а сами элементарные контуры — в массиве ЭК (МЭК). Поступающему на вход системы символу в ТС ставится в соответствие композиционный контур, который генерируется ГКК и будет передан по каналу связи КС. Шумы, воздействующие на композиционный контур при его передаче, имитируются генератором шумовых контуров ГШК.
Далее зашумленный сигнал поступает на вход приемника, где происходит его распознавание. В случае полностью известного сигнала контурные согласованные фильтры (КСФ1, ... , КСФм), количество которых равно количеству эталонных контуров, вычисляют реальную часть (А:2 - 1)-го отсчета ВКФ зашумленного и соответствующего эталонного контуров:
Re (N, Г,) = Re ( 53 " (п) 7* (п) ),п=0 '
где з — номер эталона. Для сигналов с неизвестными параметрами статистикой для принятия решения является нормированное скалярное произведение (см. п. 4.4).
Экстремальное устройство ЭУ выбирает реальную часть отсчета с максимальным значением. Если она превышает порог Uq, то по таблице соответствий выбирается символ алфавита в качестве элемента сообщения. Пороговый уровень Uq определяется допустимым значением риска ошибочных решений, априорными вероятностями наличия и отсутствия символа, среднеквадратическим отклонением шума авх и нормой контура ЦГ^Ц.
Эффективность системы связи характеризуется вероятностями правильного и ошибочного распознаваний каждого символа и зависит от объема передаваемого алфавита.
Применение комплекснозначных сигналов в системах связи с кодовым уплотнением каналов
Формирование и обработка группового сигнала. Использование комплекснозначных последовательностей с РЭС в системах связи с кодовым разделением каналов основано на возможности идеального раз-
деления каналов при корреляционной обработке сигнала за счет нулевой величины скалярного произведения между сигналами различных каналов, полученных путем циклического сдвига общей базовой кодирующей последовательности. При дальнейшем изложении будем полагать, что по каналу передается двоичная информация, т.е. для передачи сообщений в каждом канале необходимо кодирование только двух символов (нулей и единиц). Возможно использование двух методов кодирования. В первом для передачи как нулей, так и единиц используются соответствующие кодирующие последовательности. Во втором для передачи единиц используется некоторая кодирующая последовательность, а нули передаются паузами. Первый способ является более помехоустойчивым, но требует в два раза большего количества кодирующих последовательностей. Использование второго способа возможно в условиях благоприятной помеховой обстановки, когда требуется увеличить количество каналов за счет некоторого снижения помехоустойчивости.
Рассмотрим методику кодирования канальных сообщений и формирования группового сигнала. Пусть имеется базовая кодирующая последовательность Гб = {7 (™)}о/с2-г При первом способе кодирования последовательности для нуля 1*9 и единицы Г1 в j-m канале получаются циклическим сдвигом базовой последовательности соответственно на 2j и 2j 4-1 элементов, т.е.
Г? ~ {^ (n)}o,fc2-i = {7 (^ +
1 г 1.(14.3.1)
Г, = {7,- W}0,fe=-i = {7 (» + 2j + l)jv}o>fc2-i.
где ^k2 — операция взятия по модулю к2. При втором способе кодирования, т.е. при передаче нулей паузами, кодирующие последовательности имеют вид
Г? = {0}0Л2_1; Г} = М + Мл’-г (14.3.2)
Групповой сигнал формируется путем векторного суммирования канальных сигналов, т.е.
М-1zM-lX
Г6г = Е rf = Е 7f (") [,(14.3.3)
3=0< 3=0J 0,к2-1
где М — количество каналов, X — символ, передаваемый в j-m канале. На приемной стороне вычисляется скалярное произведение между эталонной кодирующей последовательностью каждого символа и принятым групповым сигналом Fgr:
А:2 —1
(rgr, Г,) = % = Е 7gr W 7* (п).(14.3.4)
п=0
Поскольку все используемые сигналы ортогональны, то взаимное влияние каналов при обнаружении и распознавании сигналов исключе-
но. С учетом выражения (14.3.1) последнее соотношение можно расписать в следующем виде:
fc2-i
^о = (rgr, Го) = 52 7gr (п) 7о (п),п=0
Р-1Р-1
% = (rgr, rj = ^ 7gr (n) 71 (n)fe2 = ^ 7gr (n) 7o (™ + !)к=» n=0n=0
(14.3.5)
fc2-i
%M-1 = (rgr,r!) = ^ 7gr W72M-1 Wk2 =n=0
P-1
= 52 ^gr ^ ^ (n + 2M- l)fe2.
n=0
При кодировании нулей паузами необходимо вычислять не 2М, а М скалярных произведений. Операция обработки принятой кодовой последовательности сводится к вычислению ее циклической ВКФ с базовой кодовой последовательностью:
fc2-l
% = ^ Г^г7о (n + Ofc2» г = 0,1,... , 2М - 1.(14.3.6)
п=0
Для декодирования сигнала может использоваться устройство вычисления циклической ВКФ принятого сигнала и базового композиционного контура.
Рассмотрим пример построения одного кадра такой многоканальной системы связи на базе композиционного контура Го,1,2,3 = {1,1,1, 1/1, г, —1, — г/1, ~ 1) 1) “ 1/1, —^ “М}- Пусть по каждому из каналов передается двоичная информация, т.е. символы 0 и 1. Отдельному символу в каждом канале ставится в соответствие свой композиционный контур, получаемый последовательным сдвигом базового композиционного контура на один элемент (см. табл. 14.1).
Количество каналов составляет при указанном методе кодирования А:2/2 = 8, где к = 4 — размерность ЭК, из которых составлен композиционный контур. Допустим, что в очередном кадре передается следующая комбинация {0,1,1,0,0,0,1,0}, т.е. в первом канале передается 0, во втором — 1, в третьем — 1 и т.д. Групповой сигнал для этого случая будет иметь вид rgr = {3 — г; 1 — г; 5 + г; — 2; 2; 2; 2; 3 — г; Зг; 1 + г; 5 — г; 0; 0; 4; 0; 3 + г}. Соответствующие ему векторная диаграмма и сигнал с амплитудно-фазовой манипуляцией приведены на рис. 14.3, а и б. На рис. 14.3, в показан результат вычисления ВКФ между групповым сигналом и базовой кодирующей последовательностью. Видно, что положение ненулевых элементов соответствует символам исходного сообщения, а взаимное влияние каналов при обработке отсутствует.
Таблица 14.1. Кодирование символов в многоканальной системе связи с кодовым уплотнением и сигналами на базе композиционных контуров
Канал
Символ
Кодовая комбинация
1
0
1,1,1,1/1, г, -1, —г/1, -1,1, -1/1, -г, -1, г
1
г/1,1,1,1/1, г, -1, -г/1, -1,1, -1/1, -*, -1
2
0
-1, г/1,1,1,1/1, г,-1,-г/1,-1,1,-1/1,-г
1
-г, -1, г/1,1,1,1/1, г, -1, -г/1, -1,1, -1/1
3
0
1, -г, -1, г/1,1,1,1/1, г, -1, -г/1, -1,1,-1
1
-1/1, —г, — 1, г/1,1,1,1/1,г, -1, -г/1, -1,1
4
0
1, -1/1, —г, -1, г/1,1,1,1/1, г, -1, -г/1, -1
1
-1,1, -1/1, —г, — 1,г/1,1,1,1/1,г, -1, -г/1
5
0
1, -1,1, -1/1, —г, -1, г/1,1,1,1/1, г, -1, -i
1
-г/1,-1,1,-1/1,-г, — 1, г/1,1,1,1/1,г, — 1
6
0
-1, —г/1,— 1,1, -1/1, -г, -1, г/1,1,1,1/1, г
1
г, -1, -г/1, -1,1, -1/1, —г, -1,г/1,1,1,1/1
7
0
1, г, -1, -г/1, -1,1, -1/1, -г, -1, г/1,1,1,1
1
1/1, г,-1,-г/1,-1,1,-1/1,-г,-1, г/1,1,1
8
0
1,1/1, г, -1, —г/1, -1,1, -1/1, -г, -1, г/1,1
1
1,1,1/1, г, -1, -г/1, -1,1, -1/1, -г, -1, г/1
Таким образом, формирование группового сообщения сводится к суммированию отдельных кодирующих последовательностей, образуемых на основе базовой путем циклического сдвига и выбираемых в соответствие с передаваемым сообщением. На рис. 14.4 представлена структурная схема системы связи с кодовым уплотнением каналов.
Символы каждого канала поступают на вход таблицы соответствий ТС, где каждому символу ставится в соответствие номер кодовой комбинации. На основании каждого номера в генераторе композиционных контуров ГКК формируется дискретная комплекснозначная последова-
КаналыКаналыРис. 14.3. Векторная диаграмма суммарного сигнала (а) при использовании кодирующих последовательностей на базе композиционных контуров, соответствующий ему фазокодированный сигнал (б) и результат вычисления взаимно корреляционной функции (в)Рис. 14.3. Векторная диаграмма суммарного сигнала (а) при использовании кодирующих последовательностей на базе композиционных контуров, соответствующий ему фазокодированный сигнал (б) и результат вычисления взаимно корреляционной функции (в)1'2'3'4. 5- 6' 7'81'2'3'4. 5- 6' 7'8вв
Каналы
Каналы
Рис. 14.3. Векторная диаграмма суммарного сигнала (а) при использовании кодирующих последовательностей на базе композиционных контуров, соответствующий ему фазокодированный сигнал (б) и результат вычисления взаимно корреляционной функции (в)
Рис. 14.3. Векторная диаграмма суммарного сигнала (а) при использовании кодирующих последовательностей на базе композиционных контуров, соответствующий ему фазокодированный сигнал (б) и результат вычисления взаимно корреляционной функции (в)
1'2'3'4. 5- 6' 7'8
1'2'3'4. 5- 6' 7'8
в
в
Рис. 14.4. Структурная схема системы связи с кодовым уплотнением каналов с сигналами на базе композиционных контуров
тельность в виде композиционного контура. В сумматоре образуется групповой сигнал и передается в канал связи, где на него воздействуют шумы и помехи. В приемном устройстве сигнал подвергается обработке контурным согласованным фильтром КСФ, вычисляющем циклическую взаимно корреляционную функцию принятой и эталонной кодовых последовательностей. Решающее устройство РУ определяет, из каких композиционных контуров составлен групповой сигнал, и передает эти данные в таблицу соответствий, где восстанавливаются переданные сообщения.
Рассмотренная система связи относится с синхронным адресным система связи, в которой для нормального функционирования необходимо обеспечение синхронизации.
Сравнительный анализ потенциальной пропускной способности систем связи с кодовым разделением каналов. Предельная пропускная способность системы передачи с равномерной АЧХ и линейной ФЧХ в пределах полосы пропускания ZXF тракта передачи при наличии стационарного гауссовского шума средней мощностью Рш и сигналов со средней мощностью Рс определяется по формуле Шеннона [195]
С = AFlog2 (1 + Рс/Рш). (14.3.7)
Как правило, при многоканальной передаче возникают специфические переходные помехи между каналами, обусловленные неидеально- стью разделяющих устройств на приемной стороне и устройств формирования сигналов на передающей, линейными и нелинейными искажениями в групповом тракте передачи. Качество многоканальной системы с точки зрения переходных помех можно охарактеризовать величиной затухания
Aik-1^№/Pik^ (14.3.8)
где Pi и Pik — мощности на входе влияющего и выходе подверженного влиянию каналов. Величина затухания А^к характеризует защищенность канала от переходных помех. В соответствии с (14.3.8) для мощности помех, наводимых г-м каналом на выходе А;-го канала, имеем Ргк = = Т^Ю-0,1"4^, а общая мощность переходных помех равна РП = рРс, где
N
р = 52 Ю-0’1^ (г / к) — коэффициент взаимных переходных помех г=1
между каналами. Если формулу Шеннона (14.3.7) переписать с учетом действия переходных помех, то
С = ДР log2 (1 + Ъ"7р ) • (14.3.9)
Поскольку обычно Рш ^ /1РС, то для пропускной способности системы многоканальной связи можно записать: С = ДР Iog2 (1 + 1//Д Последнее выражение позволяет учесть ограничение пропускной способности из-за действия переходных помех.
В качестве адресных сигналов в системах связи с кодовым разделением сигналов используются линейные рекуррентные М-последова- тельности. Для усеченной ^-последовательности отношение главного максимума к максимальному боковому лепестку автокорреляционной функции растет приближенно как VN, где N — число импульсов в по-
Таблица 14.2
N
М-последовательность
Aik
Р
3
1,1, - 1
4,77
0,66
7
1,1,1, - 1, - 1,1, - 1
8,45
0,857
15
-1,1,1,1, - 1, - 1, - 1, - 1,1, - 1,1, -1, -1,1,1
11,76
0,933
следовательности. В табл. 14.2 представлены результаты расчета коэффициента переходных помех между каналами при использовании М-
последовательностей в качестве адресных сигналов.
На рис. 14.5 представлены зависимости пропускной способности канала С /ДР от отношения сигнал/шум в канале.
При использовании в качестве адресных сигналов дискретных комплекснозначных последовательностей (ДКП) на базе композиционных контуров, обладающих дельтовидной автокорреляционной функцией, величина затухания между влияющим г-м каналом и подверженным влиянию /ь-м каналом в выражении (14.3.8) стремится к бесконечности. Коэффициент взаимных переход-
Рис. 14.5. Зависимость пропускной способности канала от отношения сигнал/ шум при использовании комплекснозначных последовательностей с РЭС и усеченных М-последовательностейРис. 14.5. Зависимость пропускной способности канала от отношения сигнал/ шум при использовании комплекснозначных последовательностей с РЭС и усеченных М-последовательностейных помех р, при этом стремится
Рис. 14.5. Зависимость пропускной способности канала от отношения сигнал/ шум при использовании комплекснозначных последовательностей с РЭС и усеченных М-последовательностей
Рис. 14.5. Зависимость пропускной способности канала от отношения сигнал/ шум при использовании комплекснозначных последовательностей с РЭС и усеченных М-последовательностей
к нулю. Пропускная способность канала определяется при этом выражением (14.3.7) и намного превышает пропускную способность, обеспечиваемую усеченными ^-последовательностями (см. рис. 14.4).
Сравнительный анализ помехоустойчивости систем связи с кодовым разделением каналов
Качество работы системы связи можно охарактеризовать как вероятностями ошибок при приеме символов, так и вероятностями правильного распознавания. В симметричных каналах связи без памяти, в которых используются ортогональные сигналы для кодирования нулей и единиц, в отдельном канале вероятность правильного распознавания не зависит от передаваемого сообщения и равна
Рпр = 0,5 + Ф(\/2д),(14.4.1)
где Ф (ж) = -^=J е-”1 l^dq — функция Крампа, q = ||Г||/<твх — отноше- у 2тг о
ние сигнал-шум на выходе устройства обработки, ||Г|| — норма сигнала, <твх — среднеквадратическое отклонение шума на входе устройства обработки [197].
В системах связи, где кодирование нуля осуществляется паузой, вероятность правильного распознавания можно определить следующим образом. Случайная величина на выходе КСФ имеет гауссовское распределение с математическим ожиданием либо 0, либо ||Г||2 в зависимости от того, присутствует на входе только шум (передается ноль), либо смесь сигнала с шумом (передается 1) и среднеквадратическим отклонением сгвых = сгвх||Г|| (см. п. 3.9.1). Поскольку функции плотности вероятности при этом симметричны и имеют одинаковую дисперсию, порог принятия решения в пользу нуля или единицы составит Uq = ||Г||2/2. Тогда вероятность правильного приема нуля и единицы определяется соотношением
СЮUq
РПр = —^ [) /^^di] _ 1 [
у2тгсгвых Jу2тг СГвых J
и0"СЮ
Поскольку отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра q = = ||Г||/сгвх [42], среднеквадратическое отклонение шума будет равно сгвых = = ЦГЦ2/#. Окончательно имеем
ЦГ1Р/2р — f е~д2т12/2^4 du(14 4 2)
np~V2<r||2 J(}
На рис. 14.6 приведены характеристики распознавания полностью известного сигнала. Теоретическая характеристика построена в соответствии с соотношениями (14.4.1) (рис. 14.6, а) и (14.4.2) (рис. 14.6, б). Экспериментальные характеристики получены методом математического моделирования. Для кодирующих последовательностей с РЭС на базе композиционных контуров экспериментальные характеристики распознавания не зависят от числа каналов, размерности кодирующей последовательности и близки
Сравнительный анализ помехоустойчивости систем связи 573
♦^ экспериментальная характеристика для композиционного контура
* экспериментальная характеристика для усеченной ЛГ-последова- тельности (к = 9, М = 4)
— теоретическая характеристика
Рис. 14.6. Характеристики распознавания полностью известных сигналов в систе-ме связи: а — при кодировании нулей сигналами; б — при кодировании нулейпаузами
к теоретическим характеристикам, отражающим потенциальную помехоустойчивость. В случае ^-последовательностей вид характеристик распознавания существенно зависит от числа каналов и размерности кодирующей последовательности. Для рассмотренного случая при количестве каналов М = 4 и длине усеченной М-последовательности к = 9 помехоустойчивость системы существенно ниже потенциальной и практически не улучшается при увеличении отношения сигнал/шум.
При приеме сигнала с неизвестной начальной фазой решение выносится на основании величины модуля отсчета на выходе согласованного фильтра. При кодировании нуля и единицы соответствующими сигналами решение, как и в случае полностью известного сигнала, принимается в пользу того сигнала, для которого получен максимальный отклик на выходе фильтра. Вероятность правильного приема символа определяется по формуле [197]
Рпр = 1 - 0,5 exp {—0,5g2}.(14.4.3)
При кодировании нуля паузой плотность распределения модуля выходного отсчета фильтра описывается законом Релея-Райса, причем параметры закона и, соответственно, форма получаемого распределения существенно зависят от вида передаваемого сообщения и отношения сигнал/шум. При передаче нуля закон распределения соответствует реле- евскому, при передаче единиц и больших отношениях сигнал/шум закон распределения приближается к гауссовскому [58]
В режиме приема сообщений порог выбирается из условия равенства вероятностей правильных решений при передаче любого из символов. Его величина будет зависеть от отношения сигнал/шум и определяется из соотношения
Д.Р ('«о, q) - Рпр («о, 0) = 0,(14.4.4)
Pn9(u0,q) = j texp{-( *g jl0(g-t)dt, (14.4.5) h
Uo
^np(wo,O)= M • exp <-—>I0 (O)df,(14.4.6)
о
где Pnp (uq, q) — вероятность правильного приема единицы, Рпр (ио, 0) — вероятность правильного приема нуля, 1о (ж) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, uq — нормированный порог. Знание относительного порога позволяет определить теоретическое значение вероятности правильного приема символов при данном значении отношения
**▲ экспериментальная характеристика для усеченной М-последова- тельности (к = 9, М = 4)
— теоретическая характеристика
Рис. 14.7. Характеристики распознавания сигналов с неизвестной начальной фазой в системе связи: а — при кодировании нулей сигналами; б — при кодировании нулей паузами
сигнал/шум q путем непосредственной подстановки найденного значения ио в выражение (14.4.5) или (14.4.6). На рис. 14.7 приведены характеристики распознавания сигнала с неизвестной начальной фазой. Теоретическая характеристика построена в соответствии с соотношениями (14.4.3) (рис. 14.7, а) и (14.4.5) (рис. 14.7, б). Как и в случае характеристик распознавания при известной начальной фазе, последовательности с РЭС обладают значительным преимуществом в помехоустойчивости.
Обсуждение результатов
Композиционные контуры обладают равномерным энергетическим спектром и дельтовидной циклической АКФ, что обуславливает их эффективность при решении задачи разрешения сигналов по времени. Элементарные контуры образуют алфавит ортогональных сигналов, эффективных для решения задачи распознавания, что позволяет распознавать составленные из них композиционные контуры. Последовательности,
полученные циклическим сдвигом композиционных контуров, при известном времени прихода сигнала, являются эффективными и для решения задачи распознавания и могут применяться в системах связи с кодовым уплотнением каналов. Кодовые комбинации в подобных системах формируются путем циклического сдвига элементов базового композиционного контура. Скалярное произведение полученных таким образом кодовых последовательностей равно нулю, что позволяет исключить взаимное влияние каналов при их разделении. Обработка принятой кодовой последовательности сводится к вычислению ее циклической ВКФ с базовой кодовой последовательностью. Положение ненулевых элементов на графике ВКФ соответствует сдвигам относительно базового контура последовательностей, кодирующих переданные в этих каналах символы.
Характеристики распознавания последовательностей с РЭС в системе связи с кодовым разделением каналов близки к потенциальным и не зависят от количества каналов и длины кодирующей последовательности. При использовании усеченных ^-последовательностей, характеристики распознавания зависят от числа каналов и размерности кодирующих последовательностей. Рост числа каналов приводит к росту корреляционных шумов и, соответственно, к ухудшению характеристик. Уменьшение размерности кодирующей последовательности приводит к увеличению относительного уровня боковых лепестков корреляционной функции последовательности и также ухудшает характеристики распознавания. Методика формирования сигнала с кодированием нулей и единиц в сообщениях обладает более высокой помехоустойчивостью и дает выигрыш в отношении сигнал/шум в 2 раза. Приемник сигналов с неизвестной начальной фазой, как и следовало ожидать, обладает меньшей помехоустойчивостью. Проигрыш в отношении сигнал/шум составляет 2 раза.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Одной из тенденций развития теории обработки сигналов является адаптация ее методов к работе современных высокопроизводительных средств. Примером может служить работа [200]. Следует заметить, что большие ресурсы в производительности вычислителей и величине объема запоминаемых данных не всегда служат основой успешного решения поставленной задачи. В качестве примера, когда эти факторы не играют решающей роли, можно привести ситуацию, связанную с подавлением боковых лепестков сжатого дискретно-кодированного радиолокационного сигнала. Как известно, лучший из таких сигналов получен Р. Френком. После сжатия его пиковый отсчет примерно в 3 V& раз превышает уровень максимального бокового лепестка, где к — количество кодовых интервалов в сигнале. Боковые лепестки сжатого сигнала являются помеховым фактором (“корреляционные” шумы). Они маскируют сигнал от цели с малой эффективной площадью рассеяния на фоне сигнала от близко расположенной цели с большой эффективной площадью рассеяния. Для борьбы с корреляционными шумами их сглаживают, увеличивают количество кодовых интервалов в сигнале, компенсируют шумами специального комплементарного сигнала. Однако эти подходы не устраняют эффект корреляционных шумов принципиально, так как направлены на борьбу с симптомами явления, а не с его причиной. Выяснение механизма появления этих шумов показало, что для их полного подавления необходимо осуществить циклическую согласованную фильтрацию сигнала Френка, представленного в комплекснозначном виде. Аналогичный результат справедлив и для кода Баркера {1, 1, 1, — 1}, имеющего равномерный энергетический спектр.
Контурный анализ является основой обработки комплекснозначных сигналов и содержит традиционные для теории сигналов разделы. При этом не только сами сигналы, но и их спектры и корреляционные функции, а также импульсные и частотные характеристики фильтров для их обработки представляются в виде контуров. Также вид контуров приобрели элементарные сигналы, на которые раскладывается произвольный контур, и тестовый сигнал с равномерным в классе замкнутых контуров спектром — дельтовидный контур.
Комплекснозначные сигналы по сравнению с вещественными обладают важными свойствами. В первую очередь — это простота получения сигналов с заданными спектрально-корреляционными свойствами. Один из видов комплекснозначных сигналов — композиционные контуры с равномерным энергетическим спектром, может наряду с простыми и сложными сигналами рассматриваться как новый, третий класс сигналов: спек-
трально-корреляционные свойства такого сигнала в целом противоположны аналогичным свойствам его структурных частей — элементарных контуров. Это дает возможность решения пакета задач с противоречивыми требованиями к характеристикам сигнала. Композиционый контур имеет равномерный энергетический спектр и дельтовидную автокорреляционную функцию, что делает его эффективным для решения задач оценки параметров и разрешения. Семейство элементарных контуров — структурные единицы композиционного контура, характеризуются дельтовидным спектром, причем у контуров разных порядков положения ненулевых компонент спектра не совпадают. Данное свойство делает наборы композиционных контуров также эффективными сигналами для решения задачи распознавания.
Подобные композиционные сигналы были применены для распознавания и идентификации звезд уникальных вторичных созвездий, форма которых является квазиоптимальным сигналом для систем ориентации летательных аппаратов. Использование этих же сигналов в системах с кодовым разделением каналов обеспечивает близкую к потенциальной эффективность устройств передачи информации.
Комплекснозначные сигналы естественным образом вписываются в задачи обработки изображения. Они позволяют аналитически задать форму плоского изображения и использовать для обработки весь аппарат теории сигналов. Если точечные изображения рассматривать как источники потенциальных полей или как выборки некоторого сплошного изображения, то обработка этих изображений также сводится к обработке контуров.
Комплекснозначные сигналы имеют самостоятельное математическое значение. Они являются эффективным приложением к геометрии А:-уголь- ников. Новое качество, достигаемое при таком подходе, заключается в раскрытии атомарной структуры произвольного А:-угольника: его неделимыми структурными единицами являются произвольные выпуклые и звездчатые правильные /с-угольники — полное семейство элементарных контуров размерности к.
Прикладной аспект контурного анализа также представляет определенный интерес. Мера близости двух комплекснозначных сигналов в виде их скалярного произведения за счет наличия мнимой части является более информативной, чем скалярное произведение вещественных сигналов. Модуль нормированного скалярного произведения в комплексном линейном пространстве инвариантен к изменению масштаба (амплитуды) и угла поворота (начальной фазы) сигналов. Это значительно сокращает по сравнению с вещественными сигналами требуемый объем вычислений при решении задач обнаружения, оценки параметров, разрешения и распознавания. Весьма вероятны случаи, когда применение вещественных сигналов приводит к отрицательному результату при распознавании сигналов одного и того же класса. В то же время применение комплекснозначных сигналов в подобных ситуациях дает не только правильное решение, но и дополнительную информацию об угле взаимного поворота сравниваемых сигналов.
Таким образом, контурный анализ можно рассматривать как математический аппарат, обеспечивающий единый подход к решению задач обработки изображений и сигналов, включающий в качестве частного случая применяемые подходы к обработке вещественных сигналов. В свою очередь, контурный анализ является частным случаем кватернионного анализа, позволяющего решать задачи обработки пространственно заданных, в частности, на сфере, изображений.
За рамками данной книги остался обширный материал, связанный с задачами генерации комплекснозначных сигналов, их физических носителей, анализа векторных полей, порождаемых точечными изображениями и рекурсивной фильтрации контуров. Особый интерес, на наш взгляд, представляет также не рассмотренный здесь анализ непрерывных комплекснозначных сигналов, позволяющий в полной мере привлечь в качестве базы теорию комплексного переменного.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Журавлев Ю.И. Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания и классификации // Проблемы кибернетики. Вып. 33. — М.: Наука, 1978. — С. 5-68.
Гуревич И.Б., Журавлев Ю.И., Сметанин Ю.Г. Алгебры изображений: исследовательские и прикладные задачи/ Труды IV конференции РОАИ. — Новосибирск, 1998. — С. 74-78.
Бакут П.А., Колмогоров Г.С., Ворновицкий И.Э. Сегментация изображений: Методы пороговой обработки // Зарубежная радиоэлектроника. — 1987. — № 10. — С. 6-24.
Бакут П.А., Колмогоров Г.С. Сегментация изображений: Методы выделения границ областей // Зарубежная радиоэлектроника. — 1987. — № 10. — С. 2547.
Прэтт У. Цифровая обработка изображений. Кн. 1,2. — М.: Мир, 1982.
Анисимов Б.В., Курганов В.Ф., Злобин В.К. Распознавание и цифровая обработка изображений. — М.: Высшая школа, 1983.
Денисов Д.А., Низовкин В.А. Сегментация изображений на ЭВМ // Зарубежная радиоэлектроника. — 1985. — № 10. - С. 5-30.
Бутаков ЕА.., Островский В.И., Фадеев И.Л. Обработка изображений на ЭВМ. — М.: Радио и связь, 1987.
Розенфельд А. Распознавание и обработка изображений. — М.: Мир, 1972.
Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника: Пер. с англ. — М.: Мир, 1989.
И. Вопросы статистической теории распознавания/ Ю.Л. Барабаш, Б.В. Барский, В.Т. Зиновьев и др.; Под ред. Б.В. Барского. — М.: Сов. радио, 1977.
Селекция и распознавание на основе локационной информации/ А.Л. Горелик, Ю.Л. Барабаш, О.В. Кривошеев, С.С. Эпштейн.; Под ред. А.Л. Горелика. — М.: Радио и связь, 1990.
Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. — М.: Сов. радио, 1979.
Обработка и отображение информации в растровых графических системах/ О.И. Семенков, С.В. Абламейко, В.И. Берейщик, И.И. Старовойтов. — Минск: Наука и техника, 1989.
Применение цифровой обработки сигналов/ Под ред. Э. Оппенгейма. — М.: Мир, 1980.
Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. — М.: Мир, 1979.
Furman Ya A.., Yanshin V.V. Extraction and Linear Filtering of Closed Polygonal Contours of Images // Pattern Recognition and Image Analysis. — 1994. — V. 4, №2. — P. 146-166.
Фурман Я.А. Спектральный анализ замкнутых полигональных контуров плоских изображений // Радиотехника. — 1994. — №12. — С. 41-44.
Фурман Я.А. Согласованная фильтрация контуров изображений // Радиотехника. — 1995. — №6. — С. 30-33.
Фурман Я.А. Обнаружение зашумленных контуров изображений // Радиотехника. — 1994. — №10. — С. 13-17.
Василенко Г.И. Голографическое опознавание образов. — М: Сов. радио, 1977.
Системы технического зрения (принципиальные основы, аппаратное и математическое обеспечение)/ А.Н. Писаревский, А.Ф. Чернявский, Г.К. Афанасьев и др.; Под общ. ред. А.Н. Писаревского, А.Ф. Чернявского — Л.. Машиностроение, 1988.
Техническое зрение роботов/ Под ред. А. Пью. — М.: Машиностроение, 1987.
Техническое зрение роботов/ В.И Мошкин, А.А Петров, В.С. Титов, Ю.Г. Якушенков; Под общ ред. Ю.Г. Якушенкова. — М: Машиностроение, 1990. ~
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М/ Наука, 1969.
Лезин Ю.С. Введение в теорию и технику радиотехнических систем: Уч. пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1986.
Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех — М.: Радио и связь, 1981.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного: Учеб пособие для ун-тов. — М.: Наука, 1987.
Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. — М/ Высшая школа, 1983
Лебедев Д.С., Цуккерман И.И. Телевидение и теория информации — М Сов радио, 1974.
Зинченко ВЛ., Ломов В.Ф. О функциях движения руки и глаза в процессе восприятия изображения Ц Вопросы психологии. — 1960. — № 1. — С 29-41
Распознавание образов Исследование живых и автоматических решающих систем. — М.: Мир, 1970.
Грановская Р.М., Березная И.Я. Запоминание и узнавание фигур. — Л.: ЛГУ, 1974.
Интегральные роботы: Сб. статей/ Пер. с англ; Под ред. ГЕ. Поздняка. — М.: Мир, 1973.
Интегральные роботы Вып. 2 Сб. статей/ Пер. с англ, и яп; Под ред Г.Е Поздняка. — М.: Мир, 1975
Фор А Восприятие и распознавание образов. — М.: Машиностроение, 1989
Надь Г. Цифровая обработка изображений, получаемых при дистанционном зондировании природных ресурсов // Распознавание образов при помощи вычислительных машин/ Под ред. Л. Хармона. — М.: Мир, 1972.
Шибанов ГЛ. Распознавание в системах автоконтрсля. — М.: Машиностроение, 1973.
Чукин Ю.В. Структуры данных для представления изображений // Зарубежная радиоэлектроника. — 1983 — № 1 — С. 85-107.
Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен — М/ Мир, 1977.
Небабин В.Г., Сергеев В.В. Методы и техника радиолокационного распознавания. — М.: Радио и связь, 1984.
Фурман Я.А., Юрьев АЛ., Яншин В.В. Цифровые методы обработки и распознавания бинарных изображений. — Красноярск: Изд-во Красноярск, ун-та, 1992.
Фурман Я.А., Яншин В.В. Многошаговые процедуры принятия решений. — Красноярск: Изд-во Красноярского ун-та, 1989.
Furman Ya.A., Krevetskii AV. Compression of Signals during Teir Representation in a Biorthjgonal Basis // Pattern Recognition and Image Analisis. — 2001. — V. 11, № 1. — P. 159-160.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1968.
Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: Наука, 1974.
Радиотехнические цепи и сигналы: Учебн пособие для вузов/ Д.В. Васильев, МР. Витоль, Ю.Н. Горшенков, К.А. Самойло. — М.: Радио и связь, 1982.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.К. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. — Лейпциг. Тойбнер, 1981; М.: Наука, 1981.
Колмогоров А.В., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа. — М/ Наука, 1972.
Фурман Я.А. К вопросу о распознавании изображений с сильной вариабельностью формы // Автоматизация анализа и распознавания изображений. Вып. 2; Науч. тр. АН ЛатвССР. — Рига: Зинатне, 1979. — С131-157.
Ли Ц., Джадж Д., Зелънер А. Оценивание параметров марковских моделей по агрегативным временным рядам/ Под ред. Райбмана. — М/ Статистика, 1977.
Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. — М : Сов радио, 1978
Сосулин Ю.Г. Разрешение и распознавание радиосигналов: Уч. пособие. — М.: МАИ, 1983.
Фурман Я.А., Кревег^кий А.В., Хафизов Р.Г. Изображения ориентиров оптимальной формы // Вестник ВВО АТН РФ. Серия “Высокие технологии в радиоэлектронике, информатике и связи”, 2000. — С. 19-28.
Лезин Ю.С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигналов. — М. Сов. радио, 1969.
Фурман Я.А. О двух замечательных видах замкнутых контуров изображений Ц Радиотехника и электроника, 1993. — Т. 38, №6. — С. 1054-1061.
Кук Ч., Бернфелъд М. Радиолокационные сигналы/ Пер. с англ.; Под ред. В.С. Кельзона — М- Сов. радио, 1971.
Радиотехнические системы: Учебн. для вузов по спец. “Радиотехника”/ Ю.П. Гришин, ВП. Инашев, Ю.М. Казаринов и др.; Под. ред. ЮМ. Казаринова. — М.: Высшая школа, 1990.
Кревег^кий А.В. Распознавание трехмерных объектов по форме пространственных контуров // Автометрия. — 2001. — №2. — С. 21-31.
Леухин А.Н. Влияние пространственных искажений формы уникальных вторичных созвездий на значение коэффициента монохроматичности // ВВО АТН РФ. Высокие технологии в радиоэлектронике. — 1999. — № 1(6) — С. 69-73.
Каппелини В., Константинидис А.Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. — М.: Энергоатомиздат, 1983.
Введение в цифровую фильтрацию/ Под ред. Р. Богнера и А. Константини- диса; Пер с англ. — М.: Мир, 1976.
Гоулд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов/ Пер. с англ.; Под. ред. А.М. Трахтмана. — М/ Сов. радио, 1973.
Куля В.И. Ортогональные фильтры. — Киев: Техника, 1967.
Фурман Я.А. Оценки параметров линейных преобразований зашумленных контуров изображений Ц Автометрия. — 1992. — №3. — С. 112-120.
Фурман Я.А. О понятии формы плоского изображения // Автометрия — 1992 — №5 — С 113-120.
Фурман Я.А. Помехоустойчивые символы для передачи сообщений // Автометрия. — 1996. — № 1. — С. 42-52
Егошина И.Л., Михайлов А.И., Фурман Я.А. Оценка степени сходства двух плоских форм Ц Автометрия. — 1995. — № 4. — 0. 19-26.
Фурман Я.А., Роженцов А.А., Хафизов Р.Г. Дискретно-кодированные сигналы на базе композиционных контуров // Автометрия — 1996. — № 1. — С. 72-79.
Демидов В.Е. Как мы видим то, что видим. — М/. Знание, 1987.
Comment on Ignorance, Myopia and Navlete in Computer Vision Systems by M.A. Snuder/ Ramech C. Jain, Thomas 0. Binford // CVGIP: Image Understand — 1991. — V. 53, № 1. — P. 112-117.
Jain R.C., Binford T.O. Revolutions and experimental computer vision/ Bowyer K.W., Jons J.P. // CVGIP: Image Understand. — 1991. — V. 53, № 1. — P. 127-128.
Jain A.K. Advances in Mathematical Models for Image Processing // Proceedings of the IEEE. — 1981. — V. 69, №5. — P. 9-39.
Freeman H. On the digital-computer classification of geometric line pattern // Proc. Nat. Electron. Conf. — 1962. — № 18. — P. 312-324.
Person E., Fu K. Shape discrimination Using Fourier Descriptors // IEEE Transactions, Man and Cybernetics. — 1977. — V. SMC-7, №3. — P. 170-179.
Richard C.W., Hemani H. Identification of Three-Dimentionall Objects Using Fourier Descriptions of the Boundary Curve // IEEE Transactions on Systems, Vf Man and Cybernetics. — 1974. — V. SMC-4, №4. — P. 371-378.
Grandlund G.H. Fourier Preprocessing For Hand Print Character Recognition // IEEE Transactions on Computers. — 1972. — V. C-21, №2. — P. 195-201.
Zahn C.T., Roskies R.Z. Fourier Descriptors For Plane Closed Curves // IEEE Transactions on Computers. — 1972. — V. C.-21, №3. — P .269-281.
Furman Y.A., Janshin W.W. Spectral Analysis and Filtering of Closed Polygonal Contours of Images/ Pattern Recognition and Image analysis. — 1992. — V. 2, №3 — P. 306-318.
Пат. 4097845 США, МКИ G06 K9/00. Method and Apparatus for Automatic Classification of Red Blood Gells. J.W. Bacus (USA), №825673. Опубл. 27.06.78.
Cosgriff R.L. Identification of Shape, Ohio State University Research Foundation, Columbus, Ohio, Report 820—11, ASTIA AD-25-4792, December, 1960.
Харкевич A.A. Борьба с помехами. — M.: Сов. радио, 1965.
Бакулев П.А., Сосновский A.A. Радиолокационные и радионавигационные системы: Учеб, пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1996.
Компьютерная оптика/ Под общ. ред. В.А. Сойфера. — М.: Наука, 2000.
Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. — М.: Радио и связь, 1985.'
Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. — М.: Физматгиз, 1961.
Фурман Я.А. Основы теории обработки контуров изображений: Учебн. пособие. — Йошкар-Ола: МарГТУ, 1997.
Кревецкий А.В. Обработка изображений в системах ориентации летательных аппаратов. — Йошкар-Ола: Изд-во МарГТУ, 1998.
Furman Y.A. Visual structure contours with special spectrocorrelation properties // Pattern Recognition and Image Analysis. — 1996. — №4. — P. 734-746.
Леухин A.H., Роженцов A.A., Фурман Я.А. Метод идентификации светил в системах ориентации космических аппаратов на базе вторичных созвездий с уникальной монохроматичностью спектра их формы // Космонавтика и ракетостроение. — 2001. — № 24. — С. 47-64.
Фурман Я.А., Роженцов А.А., Леухин А.Н. Метод идентификации светил в системах ориентации летательных аппаратов на базе вторичных созвездий с уни-
калькой монохроматичностью спектра формы // 3 Международная НТК “Космонавтика, радиоэлектроника, геоинформатика”: Тез. докл. — Рязань, 2000.
Балузсто А.Н. Нейросетевая идентификация астрообъектов на цифровых изображениях участков звездного неба в системах астроориентации космических аппаратов // Сб. докл. 3-й Междунар. НТК “Цифровая обработка сигналов и ее применение”. — Москва, 2000. — С. 4-7.
Furman Ya.A., Rozhentsov А.А., Leukhin A.N. Unique Point Images on Celestial Sphere // Pattern Recognition and Image Analysis. — 2001. — V. 11, No. 2. — P. 309-312.
Khafizov R.G., Furman Ya.A. Detection of Object Image in Optical Scenes // Pattern Recognition and Image Analysis. — 1998. — №2. — P. 267-268.
Krevetskii A.V. Improvement of the Efficiency of Recognition from Contours by Intelligent Contour Code Equalization // Pattern Recognition and Image Analysis. — 1998. — V. 8, №. 2. — P. 200.
Фурман Я.А., Кревецкий A.B. Автоматический контроль визуально различимых дефектов корпусов интегральных схем // Вестник ВВО АТН РФ. Серия: Высокие технологии в радиотехнике. — 1995. — С. 9-14.
Плекин В.Я., Кревецкий А.В. Обнаружение групповых точечных объектов с нестационарной конфигурацией // Известия вузов. Радиоэлектроника. — 1994.— Т. 37, №3. —С. 8-21.
Furman Y.A. The discrete coded signals processing with an ideal permission capacity // The 1st International conference “Digital signal processing and its Application” (June 30 — July 3, 1998). Moscow, V. 3~E, P .40-43.
Фурман Я.А., Кревецкий A.B., Роженцов A.A., Хафизов Р.Г., Смирнов Д.Л. Технология распознавания номерных знаков транспортных средств для целей электронного контроля и управления дорожным движением // Вестник ВВО АТН РФ. Серия: Высокие технологии в радиоэлектронике. — 1996. — №1(2).— С. 19-26.
Furman Ya.A., Rozhentsov А.А. Visual Contour-Signal Models Efficient in the Combined Solution of Location Problems // Pattern Recognition and Image Analysis. — 1998. — № 3. — P. 466.
Леу зеин A.H., Роженцов А.А. Физическая реализация сигналов на базе композиционных контуров из полного семейства элементарных контуров // Вестник ВВО АТН РФ. Серия: Высокие технологии в радиоэлектронике. — 1997.— № 2(4). —С. 76-82.
Марпл С.Л., мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. — М.: Мир, 1990.
Роженцов А.А. Алгоритм, реализующий восстановление отсчетов сигналов, ассоциированных с композиционными контурами // Вестник ВВО АТН РФ. Серия: Высокие технологии в радиоэлектронике. — 1997. — № 2(4). — С. 6770.
Егошина И.Л. Подавление ошибок квантования прямолинейных границ изображений, заданных на квадратной сетчатке // Вестник ВВО АТН РФ. Серия: Высокие технологии в радиоэлектронике. — 1996. — С. 50-56.
Фурман Я.А., Егошина И.Л. Обработка изображений антропогенных объ- енктов с протяженными прямолинейными границами // Тезисы V Всерос. НТК “Методы и средства обработки сложной графической информации”. — Нижний Новгород, 1998. — С. 86.
Фурман Я.А. Микромир форм изображений // Природа. — 1999. — №4. — С. 64-75.
Elachi С., Bicknell Т., Jarden R.L., Chialin W. Spaceborne Synthetic aperture Images Reader’s applications. Techniques and Technology // Proceedings of the IEEE. — 1982. — V. 70, № 10. — P. 78-82.
Измерение радиотеплового и плазменного радиоизлучений/ А.Е. Башари- нов Л.Т. Тучков, В.М. Поляков, Н.И. Ананов. — М.: Сов. радио, 1968.
Фурман Я А, Егошина И.Л. Обработка контуров изображений с протяженными прямолинейными границами Ц Автометрия. — 1999. — №6. — С. 93-104.
ПО. Фурман Я А., Роженцов АА. Класс кодирующих последовательностей, не приводящих к корреляционным шумам // Радиотехника. — 2000. — №5. —С. 38-43.
Фурман Я А., Хафизов Р.Г. Согласованно-избирательная фильтрация изображений протяженной формы в реальных ландшафтных сценах // Автометрия. — 1999. — №2. — С. 12-27.
Розенфельд А., Дейвис Л.С. Сегментация и модели изображений // ТИИЭР. — 1979.— Т.67, №5.— С. 71-82.
Абду И.Э., Прэтт У.К. Количественный расчет детекторов контуров, основанный на подчеркивании перепадов яркости с последующим пороговым ограничением // ТИИЭР. — 1975. — Т. 67, №5. — С. 59-70.
Trabco Е.А., Roctleng P.G. Shape detection using incoherent illumination // J. Opt. Soc. Am. — 1967. — V. 57, № 1
Глезер В.Д. Механизмы опознавания зрительных образов. — Л/. Наука, 1966.
Сергеев Г.А., Янутш ДА. Статистические методы исследования природных объектов. — Л.: Гидрометеоиздат, 1973.
Левшин В.Л. Пространственная фильтрация в оптических системах навигации. — М.: Сов. радио, 1971.
Kretzmer E.R. Statistics of television signals // Bell. Syst. Tech. J. — 1952. — V. 31, №7.
Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. — М.: Наука, 1990.
Математическая энциклопедия. Т. 5. — М.: Сов. энциклопедия, 1977.
Крамер Г. Математические методы статистики. — М: Мир, 1975.
Фурман Я А., Мальгин Ю.Ю. Задача прослеживания прямолинейных границ изображений/ Йошкар-Ола: МарПИ, 1987. — 13 с. — Деп. в ВИНИТИ 11.08.87.— №5818 —В-87.
Фурман Я.А., Егошина И.Л. Выделение контуров изображений с протяженными прямолинейными границами Ц Тез. докл. НТК РОАИ-4-98. — Новосибирск, 1998. — 4.1. — С. 76-80.
Попов АА., Галкина Т.В., Орлова Т.Н. и др. Метод выделения контуров протяженных детерминированных объектов в стохастических полях // Радиотехника и электроника. — 1991. — Т. 36, вып. 11. — С. 2240-2242.
Поветко В.Н., Понькин В А. Оценка качества обнаружения пространственнопротяженных объектов по их изображениям // Радиотехника и электроника. — 1993. — Т. 35, №4. — С. 685-688.
Information from SAR Images/ Oliver C.J. // Phys. D. — 1991. — V. 24, № 9. — P. 1493-1514.
Lalltha L. A technique for road detection from high resolution satellite image // IGARSS’89: Remote Sens.: Econ. Tool Ninetes [and] 12th Can. Symp. Remote Sens Vancouver, July 10-14, 1989, V. 4, NY, 1990. — P. 2246-2249.
Grieter P. Joint STARS does its stuff Ц Air Force Mag. — 1991. — V. 74, №6. — P. 38-42.
Furman Y.A., Khafizov R.G. Detection of Images of Extended-Shape Object Among the Scenes of Underlying Surface // Pattern Recognition and Image Analysis. — 1998. — V. 8, №4. — P. 612-640.
Маркус M., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. — М.: Наука, 1972.
Маркюс Ж. Дискретизация и квантование. — М.: Энергия, 1969.
Аркадьев А.Г., Браверман В.Н. Обучение машин классификации объектов. — М.: Наука, 1971.
Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации. — М/ Сов. радио, 1973.
Гельфонд А.О. Уравнения в целых числах. — М.: Физматгиз, 1974.
Кендалл М., Стюарт Д. Теория распределений: Пер. с англ. — М.: Наука, 1996
Горелик А.А., Скрипкин В.А. Методы распознавания. — М.: Высшая школа, 1984.
Михайлов А.И. Обнаружитель изображений, инвариантный к ориентации границы. — Йошкар-Ола: МарГТУ, 1996. — Деп. в ВИНИТИ №3115 — В96.
Принципы совмещения изображений в системах наведения управляемых ракет // Новости зарубежной науки и техники. Информационный бюллетень. — 1982. — № 18 (639). — С. 11-28.
Передреев А.К., Роженуов А.А. Совмещение плоских изображений на основе анализа спектров контурных линий/ МарГТУ, Йошкар-Ола, 1996. — 16 с. — Деп. в ВИНИТИ 29.05.96. №1673-В96.
Передреев А.К., Роженуов А.А. Накопление контуров, заданных комплекснозначными кодами. — МарГТУ, Йошкар-Ола, 1999. — Деп. в ВИНИТИ 9.07.99, №2236-В99.
Фурман Я.А., Егошина И.Л. Анализ процесса квантования протяженных прямолинейных границ на квадратной сетчатке // Тез. докл. НТК РОАИ- 3-97. — Нижний Новгород, 1997. — Ч. 2. — С. 76*80.
Павлидис Т. Алгоритмы машинной графики и обработки изображений: Пер. с англ. — М/ Радио и связь, 1986.
Ковязин С.А. О понятии средней формы случайного измеримого множества // Динамика химических и биологических систем: Сб. науч, тр./ Под ред. В.И. Быкова. — Новосибирск: Наука, 1989.
Кузьмин С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации. — М.: Сов. радио, 1974.
Марр Д. Зрение. Информационный подход к изучению представления и обработки зрительных образов: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1987.
Фурман Я.А., Роженцов А.А., Леухин А.Н. Оптимальное решение задачи ориентации летательных аппаратов по изображениям звездного неба // Автометрия. — 2001. — № 1.
Furman Ya. A., Rozentsov А.А., Leukhin A.N. The shapes of unique star formations as efficient signals for their recognition and parameter estimation // Pattern Recognition and Image Analysis. — 2000. — V. 10, №3.
Астрономический календарь на 1999 год/ Под ред. О.С. Угольникова. — М.: Звездочет, 1998.
Кревеукий А.В. Распознавание образов, заданных множеством характерных точек на плоскости изображения // Автометрия. — 1999. — №2. — С. 28-36.
Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973.
Справочник по радиолокации/ Под. ред. М. Скольника. Т. 1. — М.: Сов. радио, 1976.
Ипатов В.П. Троичные последовательности с идеальными периодическими автокорреляционными свойствами // Радиотехника и электроника. — 1979. — № 10.
Свердлин М.Б. Оптимальные дискретные сигналы. — М.: Сов. радио, 1975.
Вакман Д.Е. Регулярный метод синтеза фазоманипулированных сигналов. — М.: Сов. радио, 1967.
Сосулин ЮТ. Теоретические основы радиолокации и радионавигации: Учеб, пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1992.
Фурман Я.А., Роженцов АЛ. Сигналы с равномерным энергетическим спектром на базе кодов Баркера. — Йошкар-Ола: МарГТУ, 1998. — 7 с. — Деп. в ВИНИТИ 25.02.98 №556"В98.
Сергеев В.В., Чернов А.В. Методы восстановления изображений, основанные на принципах теории распознавания образов' Тез. докл. РОАИ-3. — Нижний Новгород, 1997. — Ч. 1. — С. 256-260.
Быков Р.Е., Гуревич С.Б. Анализ и обработка цветных и объемных изображений. — М.: Радио и связь, 1984.
Фурман Я.А., Кревецкий А.В. Методика устранения боковых лепестков при разрешении дискретных сигналов // Тез. докл. 3-й Междунар. НТК “Цифровая обработка сигналов и ее применение”. — Москва, 2000. — С. 29-31.
Фурман Я.А., Кревецкий А.В. Сжатие сигналов при их представлении в биор- тогональном базисе // Труды междунар. НТК РОАИ, 2000. — 4 с.
Фурман Я.А., Хафизов Р.Г. Обнаружение изображений объектов протяженной формы в оптических сценах // Тез. докл. междунар. НТК РОАИ-3. — Нижний Новгород, 1997. — 4.1. — С. 283-285.
Furman Y.A., Rozentsov А.А., Leukhin A.N. Digital Processing of Signals, Effective for Solution of the Problems of Detection, Parameters Estimation, Permission and Recognition // The 1st International Conference “Digital Signal Processing and its Applications”, June 30 — July 3, 1998, Moscow.
Фурман Я.А., Роженцов А.А. Визуальные модели контурных сигналов, эффективных при совместном решении локационных задач // Тез. докл. междунар. НТК РОАИ. — Нижний Новгород, 1997. — Ч. 2.
Ильин В.А. Интеллектуальные роботы: теория и алгоритмы. — Красноярск: САА, 1995.
Кревецкий А.В. Технология контурного анализа для реализации задач астроориентации летательных аппаратов // Вестник ВВО АТН РФ. — 1997. — 2(4) — С. 83-87.
Кревецкий А.В., Митрофанов В.И., Плекин В.Я. Различение групповых точечных объектов по форме ассоциированного сплошного образа // Известия вузов. Радиоэлектроника. — 19 9 7. — Т. 40, №3. — С. 44-52.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1968.
Фурман Я.А., Михайлов А.И., Роженцов А.А. Оптимальные информационные структуры в контурной среде // Тез. докл. междунар. НТК РОАИ-2. — Ульяновск, 1996.
Роженцов А.А. Фазоразностное кодирование сигналов в виде композиционных контуров // 2 науч, сессия., поев. Дню радио. — М., 1997. — 1 с.
Leuhin A.N., Rozentsov А.А. Synthesis Method of Complex Signals by Ambiguity Function // The 1st International Conference “Digital Signal Processing and
its Applications”.- June 30 — July 3, 1998, Moscow.
Кревецкий A.B. Группировка точечных объектов методом потенциальных функций Ц Тезисы докладов Всесоюзной н/т конференции “Цифровые методы обработки сигналов и изображений”. — М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1990. — С. 47-48.
Фурлан Я.А., Роженцов А.А., Леухин А.Н. Метод идентификации светил в системах ориентации космических аппаратов на базе вторичных созвездий с уникальной монохроматичностью спектра формы // Космонавтика и ракетостроение. — 2000. — № 24.
Плекин В.Я., Кревецкий А.В. Обнаружение групповых точечных объектов с известной формой ассоциированного сплошного образа // Известия высш, учебн. заведений. Радиоэлектроника. — 1992. — Том 35, №4. — С. 66-73.
Бурый А.С., Михайлов С.Н. Методы идентификации астроориентиров в задачах ориентации и навигации космического аппарата по изображениям звездного неба // Зарубежная радиоэлектроника. — 1994. — № 7-8. — С. 44-52.
Передреев А.К. Аналитическое описание группового точечного объекта, максимизирующего меру разделимости объектов. — Йошкар-Ола: Мар- ПИ, 1988. — Деп. в ВИНИТИ, №4210-В88.
Фурман Я.А., Кравцова Н.М. Задания групповых точечных объектов и алгоритмы нумерации составляющих их точек // Цифровая обработка многомерных сигналов: Межвуз. сб. науч, тр./ МарПИ, ЛЭТИ, МАИ, МИРЭА. — Йошкар-Ола, 1992. — С. 25-31.
Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — М.: Радио и связь, 1989.
Плекин В.Я., Кревецкий А.В. Обнаружение групповых точечных объектов со случайными параметрами // Известия высш, учебн. заведений. Радиоэлектроника. — 1992. — Т. 35, № 12. — С. 18-27.
Кревецкий А.В. Устройство для вычисления двумерной свертки. — Патент РФ №2042209, приоритет от 30.06.92.
Chernou V.M., Chichyeva М.А. “One step” short — length DCE algorithms with data representation in the direct scum of associative algeloras // Processing CAIP’, 1997, Springer, LNCS 1296. — P. 590-596.
Смирнов Д.Л. Сравнение информативности методов вторичного описания, основанных на модели векторного описания поля точечной сцены // Труды 3 НТК РОАИ. — Нижний Новгород, 1997. — Ч. 1. — С. 266-270.
Орлов А.А., Садыков С.С., Жизнянов А.А. Применение преобразования Хоха для выделения и подавления изображений ребер на флюорограммах // Труды НТК РОАИ-5. — Самара, 2000. — С. 584-588.
Васильев К.К., Ташлинский А.Г. Оценка параметров деформации многомерных изображений, наблюдаемых на фоне помех // Труды НТК РОАИ-4. — Новосибирск, 1998. — С. 261-264.
Завалишин Н.В., Мучник И.Б. Модели зрительного восприятия и алгоритмы анализа изображений. — М.: Наука, 1974.
Смирнов Д.Л. Вторичное описание стохастической точечной сцены по методу сечения яркостного векторного поля // Тез. докл. Всерос. НТК “Информационные технологии в электронике и электротехнике”. — Чебоксары: ЧувГУ, 1996.
Автоматический анализ сложных изображений: Сборник переводов/ Под ред. Э.М. Бравермана. — М.: Мир, 1969.
Ту Д., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. — М.: Мир, 1978.
Кревегрсий А.В. Выделение особых точек в групповом точечном объекте Ц Цифровая обработка многомерных сигналов. Межвуз. сборник, науч, трудов МарПИ, ЛЭТИ, МАИ, МИРЭА. — Йошкар-Ола, 1992. — С.70-76.
Warnekar C.S., Krishna G. A heuristic clustering algorithm using union of overlapping pattern-cells // Pattern Recognition. — 2000. — V. 11, №2. — P. 85.
Айзерман M.A., Браверман Э.М., Розаноэр Л.И. Метод потенциальных функций в теории обучения машин. — М.: Наука, 1970.
Репин ВТ., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. — М.: Сов. радио, 1977.
Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. — М.: Сов. радио, 1966
Ogawa Н. Labeled Point Pattern Matching by Fuzzy Relaxation // Pattern Recognition. — 1984. — P. 569-573.
Пытъев О.П. Морфологический анализ изображений групповых точечных объектов // Тезисы докладов 6-й н/т конференции “Математические методы распознавания образов”. — М.: РАН, ВЦ РАН, 1993. — С. 49-50.
Теория электрической связи: Учебник для вузов/ А.Г. Зюко и др.; Под ред. Д.Д. Кловского. — М.: Радио и связь, 1998.
Фурман Я.А. Марковская цепь с матрицей переходов, приведенной к нормальному виду Фробениуса // Математика. Изв. вузов. — 1978. — № 4. — С. 191-123.
Теория передачи сигналов/ А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский, М.В. Назаров, Л.М. Финк: Учебник для вузов. — М.: Связь, 1980.
Справочник по специальным функциям/ Под ред. М. Абрамовица и И. Сти- ган. Пер с англ. — М.: Наука, 1979.
Киричук В.С., Коршевер И.И. Алгоритмы обработки последовательностей изображений и системы реального времени для их реализации // Тез. докл. РОАИ-3. — Нижний Новгород, 1997. — 4.1. — С. 256-260.
Сверхбольшие интегральные схемы и современная обработка сигналов/ Под ред. С. Гуна, X. Уайтхауса, Т. Кайлата. — М.: Радио и связь, 1989.
Кревецкий А.В., Чесноков С.Е. Помехоустойчивое кодирование и идентификация изображений подмножеств полей точечных ориентиров // Тезисы всероссийской НК “Вавиловские чтения”, Йошкар-Ола, 2000. — 2 с.
Келли Т.Л. Статистические таблицы. — М.: ВЦ АН СССР, 1966. — 194 с.
Фурман Я.А., Роженцов А.А., Хафизов Р.Г. Комплекснозначные сигналы и их применение в связи: Учеб, пособ. — Йошкар-Ола: МарГТУ, 2001.
Ермолаев Ю.М., Мельник И.Н. Экстремальные задачи на графах. — Киев: Наукова думка, 1968.
СПИСОК ОСНОВНЫХ СОКРАЩЕНИИ
АКФ — автокорреляционная функция
АФД — амплитудно-фазовый детектор
АЧХ — амплитудно-частотная характеристика
ВК — вектор-контур
ВКФ — взаимнокорреляционная функция
ГРТО — групповой точечный объект
ДКС — дискретно-кодированный сигнал
ДПФ — дискретное преобразование Фурье
ИХ — импульсная характеристика
КДФ — коэффициент дельтовидности формы
КМФ — коэффициент монохроматичности формы
КСФ — контурный согласованный фильтр
КТС — кватернионный сигнал
КУП — коэффициент устойчивости пучка
ЛА — летательный аппарат
МП — максимум правдоподобия
НСП — нормированное скалярное произведение
ОЗУИ — оперативное запоминающее устройство изображений ОП — отношение правдоподобия
ПК — полиномиальный классификатор
ППИ — программируемый процессор изображений
ПУ — пороговое устройство
РЛС — радиолокационная станция
РЭС — равномерный энергетический спектр
СА — сопряженно—антисимметрический контур
СИФ — согласованно-избирательный фильтр
СКД — система координат астродатчика
СКО — среднеквадратическое отклонение
СКЭ — система координат экваториальная СС — сопряженно-симметрический контур ССФ — сопряженно-согласованный фильтр УВС — уникальные вторичные созвездия УКВС — уникальные композиционные вторичные созвездия ФМ — фазовая манипуляция
ФСП — формирователь скалярного произведения
ФСР — фильтр скользящей разности
ФСС — фильтр скользящего среднего
ФЧХ — фазочастотная характеристика
ЧКШС — через-А:2-шаговое суммирование
ЭВ — элементарный вектор
ЭК — элементарный контур
ЭУ — экстремальное устройство
Отпечатано с диа1Отпечатано с диа1[ТИВОВ[ТИВОВ
Отпечатано с диа1
Отпечатано с диа1
[ТИВОВ
[ТИВОВ
Научное издание
ФУРМАН Яков АбрамовичКРЕВЕЦКИЙ Александр ВладимировичПЕРЕДРЕЕВ Анатолий КонстантиновичРОЖЕНЦОВ Алексей АркадьевичХАФИЗОВ Ринат ГафиятулловичЕГОШИНА Ирина ЛазаревнаЛЕУХИН Анатолий Николаевич
ВВЕДЕНИЕ В КОНТУРНЫЙ АНАЛИЗ;ПРИЛОЖЕНИЯ К ОБРАБОТКЕИЗОБРАЖЕНИЙ И СИГНАЛОВ
Под редакцией Я. А. Фурмана
Редактор Е.Ю. ХоданОригинал-макет Е.Ю. МорозоваОформление обложки А.Ю. Алехиной
ЛР № 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 03.03.03.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 37. Уч.-изд. л. 41,2. Заказ № 666.
Издательская ф; «Физико-математическай
МАИК «Наука/Инт&рер]117864 Москва, ул. Пщоф(^
в РГУП «Чебоксарская тип^428019 Чебоксары, пр. И. Як<
YA.A. FURMAN, A.V. KREVETSKY, A.K. PEREDREYEV,A.A. ROZENTSOV, R.G. HAFIZOV, LL. YEGOSHINA, A.N. LEUKHIN
CONTOUR ANALYSIS INTRODUCTION AND ITS IMAGEAND SIGNAL PROCESSING APLLICATION
PHYSICS AND MATHEMATICS PUBLISHERS
International Academic Publishing Company “Nauka”Russian Academy of Sciences
Moscow, 2002, 592 pages
The authors of this book are the specialists in the field of signal and image processing and recognition. Reported results were obtained on the bases of the contour analysis methods developed by the authors of the Radio System Department of Mari State Technical University. They received high appraisal of Russian Association of Pattern Recognition and Image Analysis, Russian Federation of Cosmonautics as well as a number of leading Research institutions and higher educational establishments.
The contour analysis based on the theory of signal processing is a totality of methods of the contour description and transformation. The contour analysis conception was based on the works of N. Wiener, A. Rozenfeld, K. Fu, E. Person, C.W. Richard, H. Hemani, G.H. Grandlund, C.T. Zahn, R.Z. Roskies, R. Duda, P. Hart, W.K. Pratt, T. Paulidis, V.V. Yanshin, B.V. Varsky and the others. The contour is represented in the form of a complex signal and so it is possible to consider as a contour not only the lines of the image boundaries but also different kinds of curves, graphs, vector diagrams of signals.
The complex linear space choice for the contour setting in the analytical form is connected with the fact that the vector scalar product in this space is more informative than in the real linear space due to the existence of the linear part. Considering this fact it is possible to estimate more accurately the similarity measures of signals and the standardized scalar product module of these signals is invariant to their rotation and scalar operations.
The image contours are the high informative regions faintly dependent on their color, brightness, observation conditions, sensor type, frequency range in which the sensor works. The contour wholly determines the image form and contains all necessary information for the image recognition by its form. The above mentioned factors allow to obtain the simple and effective data processing algorithms on the bases of the contour analysis.
The contour classification, the contour model description and the analytical transformation techniques are given in this monograph. Special contour
types — elementary and deltoid are introduced. They are analog to the sinusoids of different frequencies and delta functions in the substantial signal class. Spectral and correlation analysis problems as well as the problems of arbitrary contour decomposition and linear filtration of complex signals are considered. Special attention is paid to the synthesis and analysis of the contour coordinated filters forming a measure of two complex signals similarity.
The contour analysis application to the image processing problems is described and the methods of the boundary detection and tracing, image processing peculiarities concerning expanded rectilinear boundaries are given. The parameter estimation algorithms and image recognition by its form arc synthesized.
The class of complex signals on the bases of the composed contour consisting of the full family of elementary contours mastering complex code sequence is adduced here. The cyclical coordinated signal filtration on the bases of the composed contours with the inform energetic spectrum allows to realize their compression without side lobes. Such a signal application in the data transmission systems with the coded division of channels and for the group star form finding making quasioptimal signal for the flying vehicle orientation system is considered.
The monograph is of interest for the specialists in the field of image processing, pattern recognition and scene analysis, digital signal processing and scene analysis, and radar orientation and navigation of flying vehicle and communication.