Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
УДК 530.1
ББК 22.3
Т19
Тарасов Л. В. Закономерности окружающего мира. В 3 кн. Кн. 2. Вероятность в современном обществе. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 360 с. — ISBN 5-9221-0516-7.
Данная книга демонстрирует принципиальную роль теории вероятностей в современном обществе, которое основывается на высокоразвитых информационных технологиях. Книга является достаточно популярным и в то же время строго научным развернутым введением в исследование операций и теорию информации. Она имеет четко выраженный учебный характер; ее материал строго структурирован, построен на доказательной основе, снабжен большим количеством графиков и схем; приведено значительное количество задач, из которых часть разбирается в книге, а часть предлагается читателю для самостоятельного решения. Являясь второй книгой трехтомника автора с общим названием «Закономерности окружающего мира» (первая книга: «Случайность, необходимость, вероятность», вторая книга: «Вероятность в современном обществе», третья книга: «Эволюция естественнонаучного знания»), данная книга рассматривается в качестве логического продолжения первой книги, хотя и представляет собой самостоятельный труд.
Для широкого круга читателей и в первую очередь для школьников старших классов (начиная с 8-го класса), а также студентов техникумов и высших учебных заведений.
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
ISBN 5-9221-0516-7ISBN 5-9221-0516-7© Л. В. Тарасов, 2004
ISBN 5-9221-0516-7
ISBN 5-9221-0516-7
Л.В. Тарасов
ВЕРОЯТНОСТЬ
В СОВРЕМЕННОМОБЩЕСТВЕ
Оглавление
Вступительный диалог автора с читателем
ТЕМА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ: ПРОБЛЕМЫ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
и
1.1
Чем занимается «исследование операций»?
и
1.2
Как оптимизировать решение в многокритериальных задачах?
16
1.3
Динамическое программирование
24
1.4
Беседа по поводу выбора решения в условиях неопределенности
30
ТЕМА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ: МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
ПО СХЕМЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
36
2.1
Марковские случайные процессы с дискретными состояниями
и графы
37
2.2
Марковские процессы с дискретными состояниями и дискретным
временем; переходные вероятности марковской цепи
41
2.3
Самая простая марковская цепь с дискретным временем
43
2.4
Сколько потребуется выстрелов для полного поражения цели?
45
2.5
Поток событий; интенсивность потока
48
2.6
Простейший (пуассоновский) поток событий
51
2.7
Непрерывная марковская цепь и пуассоновский поток событий
53
2.8
Уравнение Колмогорова для предельных вероятностей состояний
57
2.9
Какую рационализацию следует выбрать?
60
ТЕМА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ:
СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
63
3.1
Проблемы массового обслуживания
64
3.2
Основные понятия, используемые в теории массового обслуживания
65
3.3
Виды систем массового обслуживания (СМО)
67
3.4
Схема гибели и размножения
70
3.5
Простейшая СМО — одноканальная система с отказами
74
3.6
Многоканальная СМО с отказами; формулы Эрланга
76
3.7
Сколько требуется каналов обслуживания?
78
3.8
Одноканальная СМО с ограниченной очередью
79
3.9
Насколько целесообразно увеличивать число мест в очереди?
82
3.10
Одноканальная СМО с неограниченной очередью
83
3.11
Какой штраф придется уплатить за ожидание в очереди?
84
3.12
Многоканальная СМО с ограниченной очередью
86
3.13
3.14
3.15
Пример с выбором научно обоснованного решения Многоканальная СМ О с неограниченной очередью Две одноканальных системы или одна двухканальная?
89
91
92
ТЕМА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ: ИГРА И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
95
4.1
Предмет математической теории игр и основные понятия
96
4.2
Платежная матрица игры, чистые стратегии, смешанные стратегии
100
4.3
Как происходит выбор игроком той или иной чистой стратегии
с заданной вероятностью?
104
4.4
Две такие похожие и такие различные игры
105
4.5
Принцип минимакса; нижняя и верхняя цена игры
107
4.6
Игра с седловой точкой; цена игры
111
4.7
Решение игры без седловой точки и оптимальные смешанные
стратегии
112
4.8
Как найти оптимальную смешанную стратегию для каждого
из игроков?
114
4.9
Геометрическое представление игр 2x2
118
4.10
Геометрическое представление игр 2хп и тх2
122
4.11
Игра «самолеты против зениток»
126
4.12
Упрощение игр. Заведомо невыгодные стратегии
129
ТЕМА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ: ИГРЫ С «ПРИРОДОЙ»,
ИЛИ ПРИНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
135
5.1
Особенности игр с «природой»
135
5.2
Матрица рисков
138
5.3
Принятие решения, когда известны вероятности «стратегий природы»
139
5.4
Какой из участков следует выбрать под посадку картофеля?
142
5.5
Критерии выбора решения в отсутствие вероятностей «стратегий
природы»
143
5.6
Три критерия и задача с посадкой картофеля
145
5.7
Три критерия и задача с заказом товара
146
ТЕМА 6. «РАБОТАЮЩАЯ СЛУЧАЙНОСТЬ» (МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО)
150
6.1
Что такое «метод Монте-Карло»?
151
6.2
Единичный жребий (розыгрыш) как основной элемент статистической
модели
157
6.3
Дискретные и непрерывные случайные величины; вероятность
и плотность вероятности
159
6.4
«Число R»
162
6.5
Как на практике разыгрывают «число R»
162
6.6
Разыгрывание дискретной случайной величины
164
6.7
Беседа о том, где и когда применяют метод Монте-Карло
166
ТЕМА 7. КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ И ВЕРОЯТНОСТЬ: ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ
187
7.1
Предварительные замечания об информации вообще и теории информации в частности
188
7.2
Математическое отступление, посвященное логарифмической функции
190
7.3
Игра «Бар-Кохба» — игра в вопросы, предполагающие ответы
только «да» или «нет».
194
7.4
Бит — двоичная единица измерения количества информации
200
7.5
Двоичная система счисления
201
7.6
Формула Хартли. Аддитивность количества информации
203
7.7
Сколько информации можно получить, задавая вопрос, для которого ответы «да» и «нет» не равновероятны?
207
7.8
Формула Шеннона
210
7.9
Об использовании понятия «энтропия» в теории информации
213
7.10
От информации к выбору, от выбора к информации
215
ТЕМА 8. КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ И ВЕРОЯТНОСТЬ:
ПЕРЕДАЧА ИНФОРМАЦИИ ПО КАНАЛУ СВЯЗИ
219
8.1
Общая схема канала связи
220
8.2
Передача сообщений по каналу связи (общие замечания)
224
8.3
Кодирование с использованием равномерных двоичных кодов. Код Бодо
229
8.4
Кодирование с использованием неравномерных префиксных
двоичных кодов
230
8.5
Энтропия «буквы» и среднее число двоичных цифр, приходящееся на одну «букву»
233
8.6
Код Хаффмена
237
8.7
Эффективность канала связи с помехами. Взаимная информация о сообщениях на входе и на выходе
239
8.8
Пропускная способность канала с помехами
246
8.9
Кодирование с целью уменьшения влияния помех и основная теорема Шеннона
250
ТЕШ 9. ЭНТРОПИЯ В ТЕРМОДИНАМИКЕ
257
9.1
Три этапа в развитии понятия «энтропия»
257
9.2
Краткий экскурс в термодинамику
259
9.3
Цикл Карно
267
9.4
Энтропия как функция состояния макросистемы
269
9.5
Второе начало термодинамики как закон возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых процессах
272
9.6
Загадки термодинамики
274
ТЕМА 10. ЭНТРОПИЯ, ВЕРОЯТНОСТЬ, ИНФОРМАЦИЯ276
Формула, объясняющая возрастание энтропии при расширении теплоизолированного газа в пустоту277
Микросостояния и макросостояния системы. Статистический вес (термодинамическая вероятность) макросостояния279
Формула Больцмана. Энтропия как мера беспорядка в системе282
Статистическое объяснение второго начала термодинамики283
Немного о флуктуациях случайных величин285
Вероятностная природа второго начала термодинамики291
Незапланированный диалог292
«Демон», владеющий информацией295
Формула Больцмана и формула Хартли. Связь между энтропией и информацией297
Формула Шеннона и формула Больцмана299
Демонстрация антиэнтропийного (информационного) процесса при формировании письменных текстов301
Между абсолютным порядком и абсолютным беспорядком308
ТЕМА 11. ЭНТРОПИЯ И ЖИЗНЬ312
Краткий экскурс в биологию, посвященный метаболизму312
Метаболизм как обмен энтропией (негэнтропией) организма с окружающей средой314
Энтропийные и антиэнтропийные процессы в живом организме 315
Генетический код; его универсальность317
Эволюция жизни на Земле как глобальный антиэнтропийный процесс 320
ТЕМА 12. ЭВОЛЮЦИЯ РОЛИ ВЕРОЯТНОСТИ В ЧЕЛОВЕЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ(ОТ ИГРЫ В КОСТИ К НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ
И ИНФОРМАЦИОННОМУ ВЗРЫВУ)ззо
Завершающая беседа: информатика и вероятность336
Часть первая, в которой обсуждается весь спектр проблем, охватываемых сегодня информатикой336
Часть вторая, в которой вероятность снова оказывается в центре внимания 344
Часть третья, в которой сообщаются впечатляющие результаты вычислительного эксперимента по прогнозу глобальных климатических последствий ядерной войны352
Список литературы358
Вступительный диалог авторас ЧИТАТЕЛЕМ
Какой шаг более важен — первый или второй? Без первого шага второй был бы невозможен. Однако без второго первый шаг мог бы оказаться ненужным.
Восточная мудрость
Автор. В нашем разговоре о закономерностях окружающего мира первый шаг был сделан в предыдущей книге, озаглавленной «Случайность, необходимость, вероятность».
*%«#6<1#6а#«. Там этот разговор был всего лишь начат. Не более того. А на самом деле упомянутая книга являлась развернутым введением в теорию вероятностей. Закономерностей окружающего мира она, по сути дела, не рассматривала.
Автор. Можно сказать, что она их не рассматривала в явном виде. Однако неявно она имеет к ним (к закономерностям мира) самое прямое и непосредственное отношение. Ведь именно вероятности явились тем математическим аппаратом, который позволил сформулировать закономерности, адекватно отражающие реалии окружающего нас мира. Эти закономерности принято называть статистическими в отличие от закономерностей динамических, которые, хотя и позволяют делать однозначные предсказания, но дают весьма упрощенное представление о мире, ограничиваясь рассмотрением идеализированных схем. Именно через вероятности выражается присущее реальному миру диалектическое единство таких противоположностей как необходимость и случайность. Так что книгу «Случайность, необходимость, вероятность» следует рассматривать отнюдь не только как введение в теорию вероятностей, но и как начало разговора о закономерностях окружающего нас мира (см., в частности, темы 1 и 2, имеющие названия: «Случайные события: против и за» и «Порядок и беспорядок»),
'ЧмАаАем.. По-видимому, теперь настало время сделать второй шаг — поговорить о закономерностях окружающего мира обстоятельно и напрямую?
Автор. Именно такова цель данной книги. Закономерности окружающего мира мы постигаем в процессе познания мира. Этот процесс теснейшим образом связан с развитием нашей способности активно и целенаправленно действовать в реальном мире. Мир полон случайностей. И чтобы познать его, человек должен был научиться учитывать эти случайности в своей целенаправленной деятельности, рассматривая их не только в качестве своих противников, но также в качестве союзников и помощников.
*Ч*АеиИе<<*. В том, что мир полон случайностей, человек убедился давно. Поэтому-то с давних времен он и относится к случайностям как к фактору, препятствующему его целенаправленной деятельности. Возможность же использовать случайности в качестве каких-то помощников человек усматривал, пожалуй, лишь в гаданиях, толкованиях снов, различных предметах. В основном он уповал на божий промысел. И вполне понятно, что издавна закономерности мира отождествлялись, по большому счету, с законами религии.
Автор. Надо признать, что ничего другого и не оставалось делать человеку в обществе, где понятие вероятности еще не родилось. Когда же оно родилось, ситуация принципиально изменилась. Теперь вопрос о постижении мира, его закономерностей, места человека в мире вышел, по сути дела, за религиозные рамки. Открылась возможность научного рассмотрения этого вопроса, а именно возможность постижения мира через вероятность, через вероятностные закономерности.
Мы намерены рассмотреть данную тему в двух аспектах, посвятив им, соответственно, вторую и третью книги нашего трехтомника.
Первый аспект предполагает обращение к современному обществу. Сегодня на дворе XXI-й век. Он начался с информационного взрыва. Ему пророчат название века информации. Многообразные информационные системы, как и само понятие количества информации (равно как и понятие информационной энтропии), органически связаны с понятием вероятности. Уже поэтому вероятность оказывается «ключевым словом» в современном обществе. Об этом мы и поговорим во второй книге трехтомника, озаглавленной «Вероятность в современном обществе».
Второй аспект предполагает обращение к истории естествознания, а точнее, к эволюции естественнонаучной картины мира, связанной с постепенно углубляющимся процессом научного познания человеком окружающего его мира. Этот процесс убедительно продемонстрировал фундаментальность вероятностных (статистических) закономерностей, которые стали сегодня подлинной основой научного миропонимания. Об этом мы будем говорить в третьей книге трехтомника, озаглавленной «От динамических закономерностей к вероятностным».
ТЕМА 1
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ:ПРОБЛЕМЫ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Потребности практики вызвали к жизни специальные научные методы, которые удобно объединять под названием «исследование операций». Под этим термином мы будем понимать применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.
Е. С. Вентцелъ
Чем занимается «исследование операций»?
В самых общих чертах ответ на этот вопрос содержится в приведенном выше эпиграфе: исследование операций занимается применением
математики для принятия обоснованных решений в различных областях человеческой деятельности.
Принимать решения всем нам приходится постоянно, изо дня в день. На какое время завести будильник? Что выбрать на завтрак? Брать ли с собой зонтик, выходя из дома? С кем сегодня связаться по телефону? И так далее. Разумеется, все подобные решения принимаются без каких-либо специальных математических расчетов и не имеют отношения к «исследованию операций». Нельзя считать «исследованием операций» и принятие более серьезных решений. Куда отправиться отдыхать летом? Как уберечься от гриппа в период эпидемии? Как обезопасить квартиру от грабителей? Как наладить хорошие отношения с родителями жены (мужа)? Оптимизация подобных решений (т. е. выбор наиболее разумных и эффективных решений) происходит на основе жизненного опыта, с учетом советов окружающих людей, информации, получаемой из телевидения, журналов, газет. Математические расчеты тут не применяются. Выбор не совсем удачного решения здесь не очень страшен — ведь он затрагивает интересы всего лишь одного или нескольких человек. Как известно, на ошибках учатся.
Иное дело, если приходится принимать решения, затрагивающие интересы многих людей, а потому требующие весьма ответственного отношения. Допустим, требуется организовать в городе работу общественного транспорта. Пусть это будут автобусы. В этом случае нужно принять целый ряд решений. Какие маршруты выбрать? Как разметить остановки? Как выбрать частоту следования автобусов в зависимости от времени суток? Сколько автобусов направлять по тому или иному маршруту? Как организовать техническое обслуживание парка автобусов? Неоптимальный выбор совокупности подобных решений может существенно усложнить нормальную жизнь горожан. Поэтому здесь было бы уместно воспользоваться соответствующими математическими расчетами, т. е., иначе говоря, заняться «исследованием операций». К сожалению, нередко решения в таких случаях принимаются интуитивно, исходя из опыта и соображений здравого смысла. И если у страдающего манией собственной непогрешимости руководителя окажется недостаточно опыта и здравого смысла, то принятые им «волевые» решения вполне могут «подарить» горожанам постоянную проблему с общественным транспортом. Да и не только с ним.
Чем сложнее, масштабнее планируемое мероприятие, тем менее позволительны «волевые» решения. Тем более важными становятся предварительные математические расчеты, которые могут помочь выбрать научно обоснованные оптимальные решения и предостеречь от ис-
пользования тех или иных неудачных вариантов (вариантов, менее выгодных в экономическом или социальном отношении). Именно такими математическими расчетами и занимается наука, называемая «исследованием операций».
Под операцией понимается в этой науке любая совокупность действий (любое мероприятие), преследующих достижение какой-то цели. Рассматривая конкретную операцию, мы ищем оптимальное (наиболее разумное) решение, т. е. определяем такой набор зависящих от нас параметров (факторов), который бы в наибольшей степени обеспечивал достижение поставленной цели. В зависимости от выбора этих параметров принятые решения могут оказаться в той или иной мере менее разумными или же вообще явно неудачными. Набор параметров, определяющих то или иное решение, образует множество элементов решения. Предположим, составляется план перевозок однотипных грузов из пунктов отправления АХАЪ Л3в пункты назначения Въ Въ В3, В4и выбрано решение, согласно которому грузы из пункта Ах поступают в пункты Вх, Въ В3в количестве, равном, соответственно пп, пп, п13, а грузы из А3 и Л3 поступают в В4 в количестве, равном, соответственно, л24, л34. В данном случае числа пи, пп, пхз, п24, п34 являются элементами выбранного решения.
Как оценивать степень разумности (лучше сказать, степень эффективности) того или иного решения? Для этого вводят количественный критерий, называемый показателем эффективности. Его выбирают, исходя из той цели, которая ставится в данной операции. Оптимальным считается то решение, при котором показатель эффективности (его обычно обозначают через ИД окажется экстремальным — максимальным или минимальным. Если, например, критерием эффективности выбран доход от данной операции, то желательно, чтобы показатель эффективности оказался максимальным (записывают так: lE^max). Если же критерием выбраны затраты на проведение операции, то желательно, чтобы показатель эффективности оказался минимальным (записывают: W=> min).
Приведем несколько достаточно простых примеров.
Пример 1. Операция — снабжение ряда предприятий сырьем со складов с тем, чтобы потребности в сырье были обеспечены при минимуме расходов на перевозки. Показатель эффективности W — расходы на перевозки, скажем, за месяц; lE^min.
Пример 2. Операция — сооружение участка железнодорожной магистрали в минимально возможные сроки (необходимо распределить технику и рабочих по участкам пути, продумать земляные работы, обеспечить
участки шпалами и рельсами, предусмотреть ремонтные работы и т. д.). Показатель эффективности W — среднее ожидаемое время завершения стройки; jy=>min.
Пример 3. Операция — проведение медицинского обследования жителей некоторого района, где обнаружены случаи опасного заболевания, с целью выявления заболевших и носителей инфекции (необходимо определить число медпунктов, разместить их по территории района, установить последовательность осмотров специалистами, проведения анализов и т. д.). Показатель эффективности W — средний процент выявленных больных носителей инфекции; И^шах.
Пример 4. Операция — проведение выборочного контроля изделий, выпускаемых некоторым заводом, с целью обеспечения заданного качества изделий при минимальных расходах на контроль (необходимо выбрать объем контрольной партии, набор соответствующих тестов, правила браковки и т. д.). Показатель эффективности W— средние ожидаемые расходы на контроль за единицу времени; IK^min.
Пример 5. Операция — продажа сезонных товаров с целью получения максимального дохода (необходимо определить число торговых точек и характер размещения их с учетом спроса, учесть ассортимент товаров, предусмотреть рекламу ит. д.). Показатель эффективности W — средний ожидаемый доход по окончании распродажи; Инглах.
Заметим, что в четырех из пяти приведенных примеров показатель эффективности имеет эпитет «средний». Дело в том, что при рассмотрении данных операций надо принимать во внимание различные случайные факторы. Как говорят, в подобных случаях решение принимается в условиях неопределенности. Именно с такими случаями как раз и приходится обычно иметь дело на практике. Поэтому позднее мы поговорим о них подробнее.
А пока отметим еще одну особенность приведенных примеров. Здесь рассматривался всякий раз лишь один показатель эффективности. Однако эффективность операции, как правило, нельзя охарактеризовать одним критерием. Особенно если речь идет о достаточно серьезных и крупномасштабных операциях, направленных на достижение сразу нескольких различных целей. В соответствующих задачах исследования операций приходится использовать не один, а несколько показателей эффективности. Такие задачи называют многокритериальными.
Допустим, организуется работа некоторого промышленного предприятия. Конечно, хотелось бы получить максимальный возможный доход И^ (И^ =^ max}. В то же время хотелось бы минимизировать себестои-
мость продукции W2 (W2 => min). При этом желательно, чтобы оказалась максимальной производительность труда И^з (И3 => max).
Возвращаясь к примеру с продажей сезонных товаров, отметим, что получение наибольшего дохода может являться отнюдь не единственной целью, так что средняя ожидаемая прибыль И^ (Wx => max) — это всего лишь один из показателей эффективности. Возможно, что организаторы продажи заинтересованы также в том, чтобы время проведения торгов было поменьше (ведь аренда торговых точек стоит недешево); поэтому возникает еще один показатель эффективности — время проведения торгов W2 (H^^min). Чтобы побыстрее распродать товары, надо позаботиться о хорошей рекламе, об увеличении числа торговых точек и продавцов. Все это потребует, конечно, дополнительных расходов, которые хотелось бы минимизировать. В результате появляется третий показатель эффективности — расходы, связанные с организацией и проведением торгов W3 (Чз=>тах). Можно, наконец, предположить, что организаторы продажи, думая «на перспективу» (т. е. заботясь об успешности распродажи товаров в последующие сезоны), пожелают представить свои товары наибольшему количеству посетителей (потенциальных покупателей). В связи с этим появляется четвертый показатель эффективности — среднее число людей И4, посетивших в данном сезоне соответствующие торговые точки (И^^тах).
Итак, как правило, есть несколько показателей эффективности, одни из которых желательно обратить в максимум, а другие, напротив, в минимум. Выбор совокупности показателей эффективности — задача не такая простая и, конечно же, не имеющая в каждом конкретном случае однозначного решения. Как выбор показателей эффективности, так и расположение их по степени важности существенно зависят от того, с точки зрения чьих интересов оптимизируется решение в данной операции.
Различают прямые и обратные задачи исследования операций. Обозначим через Xмножество решений хь х2, х3,..., хь хп,..., которые возможны при рассмотрении некоторой конкретной операции. Выберем какое-то решение Xj из множества X и выясним, чему равен показатель эффективности для данного решения. Это есть прямая задача. При необходимости ее следует рассмотреть для всех п возможных решений. Другой подход к исследованию операций состоит в том, чтобы выявить такое решение х* из множества X, при котором показатель эффективности примет экстремальное значение. Это есть обратная задача — задача отыскания оптимального решения. Понятно, что обратная задача сложнее прямой. Особенно, если она является многокритериальной.
Предположим, что число возможных решений, образующих множество X, относительно мало. В этом случае для решения однокритериальной обратной задачи можно попросту рассмотреть прямую задачу для каждого из решений хь х2,..., х№ получить, соответственно, п значений показателя эффективности W, сравнить их между собой и непосредственно указать один или несколько оптимальных вариантов. Такой способ отыскания оптимального решения называют способом простого перебора.
Если учитываются несколько критериев, то надо рассмотреть прямую задачу для каждого из п возможных решений и каждого из показателей эффективности. При учете, например, трех критериев надо получить Зи величин: Wy, Wy,..., W"; W^, №%,..., Ш”; W3, W^,..., W^ (здесь и в дальнейшем нижний индекс фиксирует номер показателя эффективности в многокритериальной задаче, а верхний индекс фиксирует номер решения из множества Х\ Сравнивая друг с другом все эти Зи величин, можно попытаться выбрать то решение (или те решения), которое представляется наиболее разумным.
Когда число возможных решений велико, метод простого перебора даже в однокритериальных задачах может оказаться затруднительным или вообще непригодным. В таких случаях используют методы направленного перебора вариантов. Все они основаны на том, чтобы отыскать оптимальное решение путем последовательных «попыток» (последовательных «приближений»), которые шаг за шагом приближают нас к разумному решению.
Как оптимизировать решение
В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ?
*%«#6<1#6б*«. Большинство задач исследования операций многокритериальные; они учитывают несколько показателей эффективности. Как я понимаю, многокритериальность не создает особых проблем при рассмотрении прямых задач. На зато возникают серьезные проблемы с обратными задачами, т. е. задачами на отыскание оптимальных решений. Можно ли полностью оптимизировать решение в многокритериальной задаче? Иначе говоря, существуют ли способы отыскания решения, которое являлось бы оптимальным сразу по всем показателям эффективности, рассматриваемым в многокритериальной задаче?
Автор. Надо сразу сказать: такое невозможно в принципе. Решение, обращающее в максимум (минимум) один из показателей эффектив-
ности, не может обеспечить экстремальные значения также и всех остальных показателей эффективности.
'ЧмАеийм*. Однако нередко можно слышать призывы добиться максимального эффекта при минимуме затрат.
Автор. Это не более, чем красивая фраза. В математических расчетах ее не надо принимать во внимание. Невозможно сделать так, чтобы, как говорится, «и волки были сыты, и овцы были целы». Возьмем, к примеру, уже обсуждавшуюся нами операцию по продаже сезонных товаров. Мы рассматривали четыре показателя эффективности: среднюю ожидаемую прибыль И^ (^ => шах), время проведения торгов И^ (B^=>min), расходы на их организацию и проведение W3 (W^min), среднее число посетителей торговых точек В4 (И^=>шах). Очевидно, что, максимизируя прибыль, невозможно минимизировать расходы. Минимизируя расходы, нельзя максимизировать прибыль. Стремясь увеличить число посетителей (потенциальных покупателей), мы, естественно, должны увеличивать число торговых точек и число продавцов, подумать о дополнительной рекламе. Значит, мы должны не уменьшать, а увеличивать расходы и, уж во всяком случае, не должны стремиться к сокращению времени проведения торгов. Легко видеть, что оптимизация по одним показателям оказывается несовместимой с оптимизацией по другим показателям.
*4w&aAe**. К нельзя ли свести многокритериальную задачу к однокритериальной, составив из различных показателей эффективности какой-то обобщенный показатель, который и следует максимизировать или минимизировать?
Автор. Есть ли у Вас идея, как это сделать?
"ЧиЛлАмл. Да, такая идея есть. Почему бы не представить обобщенный показатель И^д в виде дроби! Числитель дроби — произведение всех показателей эффективности, которые желательно максимизировать, а знаменатель — произведение показателей, которые желательно минимизировать. Оптимальным можно считать решение, обращающее в максимум показатель И^б, т. е. эту дробь. В нашем примере с продажей товаров показатель W^ можно было бы представить дробью
^06=^4/^.(*)
При увеличении И^и И4И уменьшении И^и W3 обобщенный показатель И^ будет, очевидно, возрастать. Вот и надо из всех возможных решений выбрать то, для которого этот показатель окажется наибольшим. Оно и будет оптимальным решением.
Автор. На первый взгляд, такая идея может показаться разумной. Однако рекомендовать ее не следует.
*Ч*Абийе<*. Почему же?
Автор. По той простой причине, что из факта максимизация показателя Wo6 отнюдь нельзя заключить, что состоялась оптимизация по каждому из показателей И^, И^, ^ц ^4- Вы исходили из утверждения, состоящего в том, что, если бы удалось максимизировать И^и И4И минимизировать W^ и W3, то произойдет максимизация И^ ...
*4w&aAe**. Простите, но разве это утверждение неверно?
Автор. Это утверждение верно. Но суть Вашей идеи заключается в том, чтобы воспользоваться обратным утверждением. А вот оно-то неверно. Нельзя утверждать, что, если произошла максимизация Wo6, то удалось максимизировать И) и И-) и минимизировать W3 и W3. Мы встречаемся здесь с ситуацией, когда прямая теорема справедлива, а обратная несправедлива.
*4w&aAe**. Уточните, о каких теоремах идет речь.
Автор. Пусть обобщенный показатель эффективности есть дробь, где числителем является произведение частных показателей, подлежащих максимизации, а знаменателем — произведение показателей, подлежащих минимизации. Прямая теорема; если частные показатели эффективности максимизированы (минимизированы), то обобщенный показатель в виде упомянутой дроби будет максимизирован. Эта теорема справедлива, поскольку при увеличении числителя и уменьшения знаменателя дроби сама дробь возрастает. Обратная теорема; если дробный обобщенный показатель эффективности максимизирован, то частные показатели эффективности будут максимизированы (минимизированы). Это теорема несправедлива.
'ЧаАаАем. Вообще-то следовало бы доказать последнее утверждение.
Автор. Дело в том, что увеличение числителя и уменьшение знаменателя дроби есть достаточное, но отнюдь не необходимое условие возрастания самой дроби. Дробь может расти, например, и при уменьшении числителя, если при этом знаменатель будет уменьшаться еще быстрее. Так, в примере с продажей товаров может оказаться, что решение Xj с наибольшим показателем И^ будет обеспечивать явно низкие показатели И^и Д4, если при этом показатели И^и Избудут особенно низкими. Иначе говоря, максимум И^б вполне может быть достигнут при недостижении целей 1 и 4 (получение дохода и привлечение покупателей) за счет «перевыполнения» по целям 2 и 3 (сокращение времени торгов и сокращение расходов). Понятно, что в данном случае оптимизация по обобщенному показателю отнюдь не решает проблемы оптимизации по всем частным показателям. Коротко говоря, нельзя «компенсировать» неполучение доходов за счет сокращения расходов.
*4eufc<ufce**. Все-таки хотелось бы иметь доказательство несправедливости обратной теоремы в общем виде.
Автор. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что обратная теорема справедлива, т. е. из оптимизации по обобщенному показателю эффективности следует оптимизация по всем частным показателям. Это будет означать, что оптимизация одновременно по всем частным показателям эффективности в принципе осуществима. Но такое невозможно. Следовательно, предположение о том, что обратная теорема справедлива, не проходит и необходимо признать, что эта теорема несправедлива.
'ЧмАеийм*. Пожалуй, обобщенные показатели в виде дроби в самом деле не годятся. А если попытаться скомбинировать частные показатели эффективности не в виде дроби, а как-то иначе?
Автор. Одна из таких попыток состоит в том, чтобы составить из показателей В^, В2, W3, ..., Ws обобщенный показатель в виде «взвешенной суммы»:
^б = а^у + 02^2 + a3W3 + ... + asWs, (**)
где ах, а2, а3,..., as — весовые коэффициенты, выбираемые с учетом степени важности соответствующего показателя эффективности. Эти коэффициенты положительны для показателей, подлежащих максимизации, и отрицательны для показателей, подлежащих минимизации.
'ЧаАоАм*. Весовые коэффициенты — это разумно! Принимая решение с учетом различных факторов, мы часто взвешиваем мысленно все «за» и все «против» и приписываем больший вес тем факторам, которые представляются нам более важными. Формула (**) мне нравится.
Автор. Однако не спешите брать ее на вооружение. Различные показатели эффективности — это величины, имеющие, как правило, разные размерности. Получается, что в (**) надо складывать слагаемые разной размерности, что, очевидно, недопустимо. В примере с продажей товаров пришлось бы, например, складывать деньги со временем и числом покупателей.
'ЧссАоАмь. Выходит, что с помощью математики можно оптимизировать решения лишь для однокритериальных операций, а в многокритериальных операциях следует ограничиваться только прямыми задачами?
Автор. Нет, это не так. Математический аппарат может быть с успехом применен также и к обратным многокритериальным задачам. Просто не надо пытаться заменить совокупность показателей эффективности неким обобщенным показателем — это заведомо тупиковый путь, поскольку нельзя свести несколько различных целей к одной. Вместо
этого надо воспользоваться идеей компромисса — когда каждый из показателей эффективности максимизируется (минимизируется) не в полной мере.
'ЧссАаАе**. Чтобы в какой-то мере были сыты волки и в какой-то мере сохранялось поголовье овец?
Автор. Примерно так. Но прежде, чем искать компромиссное решение, целесообразно выявить из множества X возможных решений те решения, которые уступают по всем рассматриваемым критериям хотя бы одному решению из X. Эти решения как заведомо менее удачные можно в дальнейшем не рассматривать. После отбрасывания заведомо менее удачных решений множество X может существенно сократиться. Останутся только те решения, среди которых не окажется ни одного, уступающего по всем показателям эффективности какому-либо из остальных решений. Такие решения называют эффективными или паретовскими (по имени итальянского экономиста Вилъфредо Парето (1848-1923), который пытался математически обосновать концепцию взаимозависимости различных экономических факторов). Окончательное решение выбирают из совокупности паретовских решений в процессе поиска компромисса.
'ЧкАдАм*. Хорошо бы все это как-то проиллюстрировать.
Автор. Это удобно сделать, рассматривая некоторую задачу с двумя показателями эффективности И^ и W-^ (двухкритериальную задачу). Пусть для определенности оба показателя требуется максимизировать (Wx => max, И2 => max). Решая прямую задачу, мы можем найти значения показателей И^и И^для каждого из возможных решений. На рис. 1 в таблице 1 рассмотрены 4 решения (хь хъ х^, х4\ По оси Wx отложены отвечающие этим решениям значения показателя Wx (они обозначены через И^1, Wx, W3, И^4), а по оси IP) — значения показателя W^ (И^, W^, W^, И^); сами решения изображены в виде точек на плоскости Wx — W^ (точки 1, 2, 3, 4). Будем полагать, что всего для данной операции рассматриваются 18 возможных решений — все они показаны точками на плоскости Wx - И^иа рисунках 2, Зи 4в таблице 1. Рассмотрим рисунок 2. При условии И^ =^ max и И^ => max множество паретовских решений состоит из решений 13, 2, 6, 9, 7. Любое из остальных тринадцати решений уступает по обоим показателям эффективности хотя бы одному из пяти паретовских решений и может в дальнейшем не рассматриваться. Например, решение 16 вытесняется (принято говорить «доминируется») решением 13 (И/116< И^13; W26 < И^3), а решение 11 доминируется решением 9 (Wxn = IK9; И^" < IK,9).
Таблица 1. Двухкритериальные задачи исследования операций
*Ч*АиАе**. К если количество показателей эффективности будет больше двух? Предположим, рассматриваются четыре показателя, из которых три (И^, ВЫ, ^з) надо максимизировать, а один (ВЫ) минимизировать. Как быть в этом случае?
Автор. Представить ситуацию графически тут уже нельзя. Но можно для каждого из п возможных решений (хь х2,х2,..., х^ отыскать четверку показателей эффективности: (ВЫ1, W2, W2, В41), (W^, W2, W^, ВЫ2),---, (ВЫ”, W2, W^, W4). Затем надо сравнить все п получившихся четверок показателей между собой и забраковать каждую четверку (а значит, и соответствующее решение), для которой найдется хотя бы одна среди остальных четверок, доминирующая над этой четверкой. Иначе говоря, если найдется хотя бы одна четверка, для которой показатели Wx, W2, W2 больше, а показатель W4 меньше по сравнению с данной четверкой.
"%«#й«#й&»*. Ну, хорошо. Допустим, мы выявили паретовские решения. Что делать дальше?
Автор. Возвращаемся к примеру с двухкритериальной задачей. Оценив ситуацию, мы можем потребовать, чтобы показатель W2 был не меньше некоторой определенной величины w2. Предположим, эта величина находится между ВЫ6 и ВЫ9 — см. рис. 2 в таблице 1. В этом случае паретовские решения 9 и 7 следует исключить, а из оставшихся паретовских решений (решений 13, 2 и 6) надо выбрать то, для которого окажется наибольшим показатель ВЫ- Это есть решение 6.
"%«#й«#й&»*. Как я понимаю, после того, как было наложено ограничение 1Г2на показатель эффективности W2, задача стала, по сути дела, однокритериальной и нам осталось оптимизировать по показателю Wx все решения хь для которых W2 > w2.
Автор. Совершенно верно. Мы могли бы, кстати говоря, и не отыскивать паретовские решения, а сразу изъять из рассмотрения те решения х,-, для которых W2 < ш2. тогда у нас остались бы решения 16, 1, 13, 12, 2, 6 — см. рис. 3 в таблице 1. Среди этих решений выбираем то, для которого показатель Выявляется наибольшим. Получаем решение 6.
'ЧаАаАм*. Предположим, что мы считаем показатель ВЫ значительно более важным, чем показатель ВЫ- Наверное, в этом случае следует выбрать из паретовских решений (решений 13, 2, 6, 9, 7) то решение, для которого показатель эффективности ВЫ наибольший, т. е. следует остановиться на решении 7. Не так ли?
Автор. Не совсем так. Существует метод отыскания компромиссного решения, называемый методом последовательных уступок. Допустим, показатель ВЫ важнее показателя ВЫ- Находим сначала решение, обращающее в максимум показатель ВЫ — это есть, как мы уже выяснили,
решение 7. Затем, исходя из практических соображений (из того, насколько более важен показатель В^) назначаем некоторую «уступку» АВр которую мы соглашаемся сделать, чтобы максимизировать показатель Вд. В связи с этим потребуем, чтобы выполнялось условие Wx > Wx - АВр При таком условии выбираем из паретовских решений то, которое обращает в максимум показатель Вд. Это есть решение 9 — см. рис. 2 в таблице 1.
'ЧсййаАе**. По-видимому, мы могли бы воспользоваться данным методом, не тратя времени на поиск паретовских решений?
Автор. Да, могли бы. Из восемнадцати возможных решений xf надо убрать из рассмотрения те, для которых В? < В^-АВр Тогда останутся решения 8, 7, И и 9 — см. рис. 4 в таблице 1. Из этих решений выбираем решение с наибольшим В^; это есть решение 9.
'Ча^а^е.еб. Данный метод Вы назвали «методом последовательных уступок». Какие последовательные уступки имеются здесь в виду?
Автор. Предположим, что рассматриваются не два, а 5 критериев. Расположим s показателей эффективности в порядке постепенного убывания их важности: Bp W^, Bg,..., В^. Наиболее важен показатель Wx, наименее важен показатель Ws. После первой уступки (уступки АВ^) мы максимизировали показатель В^и нашли решение, для которого этот показатель имеет значение В^. Далее назначаем вторую уступку величиной АВ2, ценой которой максимизируем показатель Bg, и находим решение с показателем Bg*. Затем назначаем третью уступку величиной в АВд, ценой которой максимизируем показатель Wv И так далее — до тех пор, пока не будет максимизирован показатель Ws.
'HttAaAe**. На рисунках 2, 3 и 4 рассматривались двухкритериальные ситуации, когда В^ => max и Bg => max. Неплохо бы рассмотреть графически также ситуации: а) В^ => min, В^ => min, б) В^ => min, В^ => max, в) В^ =^ max, В2 =^ min.
Автор. Ситуации а), б), в) представлены графически, соответственно, на рисунках 5, 6 и 7 в таблице 1. Паретовские решения изображены здесь кружочками с точками внутри. Горизонтальные пунктирные прямые задают ограничения на значения показателя эффективности Вр Попробуйте самостоятельно выбрать окончательное (компромиссное) решение в каждой из трех ситуаций двумя способами — учитывая ограничение по показателю Bgи используя метод последовательных уступок.
'HttAaAe**. Возвращаясь к проблеме компромисса, хотелось бы поговорить о том, каким образом определяется степень важности того или иного показателя эффективности в многокритериальных задачах.
Автор. Это решается отдельно для каждой конкретной операции и является выбором, который должен сделать руководитель операции. Именно за ним остается последнее (и подчас решающее) слово.
'Чбоигине-**.. Получается, что здесь есть немало произвола?
Автор. Конечно. Важно, чтобы этот произвол не сводился к принятию решений наобум, а опирался на предварительные математические расчеты. Понятно, что эти расчеты не приведут к жестким, однозначным решениям. Однако они позволят избежать принятия заведомо неудачных решений и подскажут решения, которые могут считаться достаточно разумными.
'Чбоигине-**.. Выходит, что исследование операций — это не просто наука, но и в какой-то степени искусство?
Автор. Вы правы. Тут уместно привести шутливое высказывание одного из зарубежных специалистов. Он заметил, что «исследование операций представляет собой искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами».
Динамическое программирование
В качестве конкретного примера оптимизации решения в детерминированном случае (в случае, когда все условия операции известны заранее и не содержат неопределенности) рассмотрим одну из задач динамического программирования. Термин «программирование» является данном случае синонимом термина «планирование»; его не надо путать с программированием на ЭВМ. Под динамическим программированием понимают метод оптимизации решений, применяемый в операциях, которые можно разбить на последовательные «шаги». На каждом шаге выбирается оптимальное решение, позволяющее получить максимальный выигрыш в операции в целом.
Для иллюстрации метода динамического программирования рассмотрим следующую задачу с намеренно упрощенными условиями. Нужно соорудить дорогу от пункта а до пункта со, лежащего к северо-востоку от а. Для простоты полагаем, что весь путь от а до со разбит на восемь отрезков (восемь «шагов») и что на каждом отрезке дорога идет или строго на восток (горизонтальный отрезок), или строго на север (вертикальный отрезок). Полагаем также, что из восьми отрезков пути четыре отрезка являются горизонтальными и четыре — вертикальными. Все
возможные в нашей задаче отрезки можно видеть на рис. 1 в таблице 2. Здесь прямоугольниками с латинскими буквами изображены точки на местности, являющиеся границами отрезков, а числа показывают стоимость в некоторых условных единицах сооружения соответствующих отрезков пути. Мы можем спланировать путь от а до со разными способами, но всякий раз он будет иметь вид ступенчатой ломаной линии, состоящей из четырех горизонтальных и четырех вертикальных отрезков. Всего возможных путей столько, сколько существует выборок из восьми по четыре, что составляет С84 = 70. Иначе говоря, существует 70 возможных решений при выборе пути от а до со.
Вот, например, четыре решения (четыре возможных пути а до со):
a-G2 - F3 - Е3 - D4 -С4 -В3 -Л2 -со (путь1), а - Gx - Fx - Ех - D2 - С2 - В2 - ^ - со (путь 2), а - Gx - Е2 - Е2 - D3 - С3 - В2 - А2 - со (путь 3), а - G2 - Е3 - Е3 - D4 - С3 - В2 - А2 - со (путь 4).
Советуем взять карандаш и наметить все эти пути на рисунке 1, а заодно подсчитать для каждого из этих четырех вариантов стоимость прокладывания пути от а до со. Она равна сумме чисел для соответствующих восьми отрезков пути. Убедитесь, что стоимость пути составляет:
для пути1:11 + 10 + 9+10 +13 + 10 + 14 + 10 = 87 единиц,
для пути2:10 + 8 + 11+10 +13 + 10 + 14 + 10 = 86 единиц,
для пути3:10+ 9+10+7+11 + 8+11 +10 = 76единиц,
для пути4:11 +10 + 9+10 +11 + 8 + 11 +10 = 80единиц.
Ставится задача: найти оптимальное решение, при котором стоимость прокладывания пути от а до со была бы наименьшей. Таким образом, показателем эффективности является в данном случае стоимость сооружения дороги; этот показатель требуется минимизировать.
Конечно, можно было бы рассмотреть все 70 возможных путей, посчитать для каждого из них стоимость сооружения пути и найти наименьшую из семидесяти стоимостей. Тем самым будет выявлено искомое оптимальное решение. Это есть отмечавшийся в § 1.1 метод простого перебора. Однако перебирать все 70 вариантов достаточно хлопотно; поэтому попробуем поступить иначе.
Попробуем воспользоваться методом, который можно назвать методом простой пошаговой оптимизации. Первый шаг делается из пункта а либо в пункт G2 (затраты: 11 единиц). Оптимизация этого шага означает выбор отрезка аСь поскольку 10 единиц меньше, чем 11 единиц.
Таблица 2. Пример решения задачи динамического программирования
ПёНН
12
—— 10
Ei
С
10
13
R
12
10
►
Восток
Рис.1
14
ь2
10 е2
10
F2
14 g2
11
с2
12
D3
12
Ь3 9
Ьз
т _1_
10 в2 8 С3 И
Ь4 14 ь4
10 8
И—— и
а2|
14
12——
В3|
10
12
t и
-*-1—12
Д.8
1 10
-111
а
7
9
10
11
10
8
В результате такого выбора мы окажемся в пункте Gx. Второй шаг делается из пункта G) либо в пункт Ех (затраты: 8 единиц), либо в пункт Еъ (затраты: 9 единиц). Оптимизируя этот шаг, выбираем отрезок GXFX и оказываемся в пункте Ех. Оптимизируя третий шаг, выбираем отрезок ЕХЕХ и оказываемся в пункте Ех. Оптимизируя четвертый шаг, выбираем отрезок ExD2 и оказываемся в пункте D2. И так далее — до тех пор, пока не окажемся в пункте со. В результате определится путь, показанный пунктирными стрелками на рис. 1 в таблице 2. Это есть путь 2 из (*); стоимость его сооружения равна 86 единицам.
На первый взгляд, идея простой пошаговой оптимизации может показаться привлекательной. Учитывая трудность оптимизации операции в целом, мы разбиваем операцию на ряд шагов (на ряд маленьких операций) и оптимизируем один за другим каждый шаг. Все это представляется вполне разумным. Однако простая пошаговая оптимизация не позволяет отыскать оптимальное решение, что видно уже из сопоставления стоимостей путей, представленных в (*). Легко видеть, что сооружение путей 3 и 4 оказывается менее дорогостоящим по сравнению с сооружением пути 2, выбранного по методу простой пошаговой оптимизации. Не имеет смысла оптимизировать каждый шаг без учета последующих шагов. Выиграв что-то на данном шаге, мы можем значительно больше потерять на последующих шагах.
Итак, планируя многошаговую операцию, надо выбирать управление на каждом шаге с учетом последствий, к каким приведет этот выбор на последующих шагах. Именно в этом и заключается идея динамического программирования. Подчеркнем, что в отличие от простой пошаговой оптимизации динамическое программирование предполагает оптимизацию на каждом шаге, исходя не из выигрыша именно на данном шаге, а из суммы выигрышей на данном и всех последующих шагах (в нашем случае максимизация выигрыша означает минимизацию стоимости сооружения пути). При использовании идеи динамического программирования весь процесс планирования разворачивают в обратном направлении — от конца к началу. Это означает, что планировать начинают не с первого, а с последнего шага, последовательно перемещаясь к предшествующим шагам — до того, пока не выйдут на первый шаг.
Естественно, возникает вопрос: как можно планировать последний шаг, если мы еще не знаем, чем окончится предпоследний шаг? Для этого надо сделать возможные предположения о том, чем закончился предпоследний шаг. И для каждого предположения надлежит выбрать условное оптимальное управление для последнего шага. Здесь используется термин «условное», так как выбор делается при условии, что предпоследний
шаг закончился соответствующим образом. Затем мы переходим к выбору предпоследнего шага и делаем возможные предположения о том, чем закончился предпредпоследний шаг. Для каждого предположения выбираем условное оптимальное управление для предпоследнего шага. И так далее. Постепенно «пятясь назад», оптимизируем управление на разных шагах — ив конечном итоге доходим до первого шага. В результате выявляется искомое оптимальное решение; это есть решение, состоящее из тех выборов, какие мы сделали в процессе нашего мысленного перемещения от конца многошаговой операции к ее началу.
А теперь проделаем все это на конкретном примере, обратившись к нашей операции по минимизации затрат на сооружение пути от а до со. Итак, начинаем с рассмотрения последнего (восьмого) шага — см. рис. 2 в таблице 2. Если в результате предпоследнего (седьмого) шага мы оказались в пункте Ах, то последний шаг будет состоять в сооружении отрезка пути Ахш стоимостью в 14 единиц. Если в результате седьмого шага мы оказались в пункте Аъ то последний шаг будет состоять в сооружении отрезка пути Л2со стоимостью в 10 единиц. Короче говоря, мы с необходимостью отправляемся в со как из пункта Ах, так и из пункта А^ (см. на рисунке короткие стрелки). Тут нам пока выбирать нечего.
Далее рассматриваем предпоследний, т. е. седьмой шаг — см. рис. 3 в таблице 2. Тут следует сделать три предположения. Первое: после шестого шага мы оказались в пункте Вх. Дальнейший путь в этом случае предопределен, тут нам выбирать нечего. Это есть путь Вх - Ах - со; указываем его с помощью двух коротких стрелок — от Вхк Ах, а затем от Ахк со. Сооружение данного пути имеет стоимость 12 + 14 = 26 единиц; число 26 записываем в прямоугольнике Вх. Второе предположение: после шестого шага мы оказались в пункте В3. И в этом случае дальнейший путь предопределен: 53-+2-ю (его стоимость: 14 + 10 = 24 единицы). Третье предположение: после шестого шага мы оказались в пункте В2. Вот теперь у нас появляется выбор-, либо сооружать путь В2 - Ах - со стоимостью в 10 + 14 = 24 единицы, либо сооружать путь 52-Э2-со стоимостью в 11 + 10 = 21 единицу. Поскольку 21 меньше, чем 24, мы выбираем путь В2 - А2 - со и отмечаем это на рисунке двумя короткими стрелками — от В2 к Аъ а затем от А2 к со. Тем самым мы осуществили в отношении седьмого шага условное оптимальное управление (оно осуществлено при условии, что после шестого шага мы оказались в В2\
Далее рассматриваем, продолжая «пятиться назад», шестой шаг — см. рис. 4 в таблице 2. Тут следует сделать четыре предположения. Первое: после пятого шага мы оказались в Q. В этом случае дальнейший путь предопределен: Сх - Вх - Ах - со (его стоимость: 10 + 12 + 14 = 36 еди-
ниц). Второе предположение: мы оказались после пятого шага в С4. И в этом случае дальнейший путь предопределен: С4 - В3 - Л2 - со (его стоимость: 10+14+ 10 = 34 единицы). Третье предположение: после пятого шага мы оказались в С2. Тут у нас есть выбор-, либо из С2 отправиться в Вх, а затем в Ах и со (стоимость сооружения пути из С2: 11 + 12 + 14 = 37 единиц), либо из С2 отправиться в В2, а затем проследовать по уже выбранному нами на седьмом шаге маршруту от В2 к А2, от А2 к со (стоимость сооружения такого пути из С2: 10+11 +10 = 31 единица). Осуществляя условное оптимальное управление, мы выбираем второй вариант, поскольку 31 меньше, чем 37. Отмечаем сделанный выбор короткими стрелками от С2к В2, от В2к А2, от А2к со и записываем число 31 в прямоугольнике С2. Четвертое предположение: после пятого шага мы оказались в С3. Тут тоже есть выбор-, либо путь С3- В3- А2- со стоимостью в 12 + 14 + 10 = 36 единиц, либо путь С3-В2-А2-ю стоимостью в 8 + 11 + 10 = 29 единиц. Осуществляя условное оптимальное управление, выбираем второй вариант, поскольку 29 меньше, чем 36. Отмечаем этот выбор короткими стрелками и записываем число 29 в прямоугольнике С3.
Аналогичным образом рассматриваем последовательно пятый, затем четвертый, третий, второй, первый шаги. В итоге получаем схему, изображенную на рис. 5 в таблице 2. Здесь число внутри того или иного прямоугольника показывает суммарную стоимость прокладывания оптимального пути от данного прямоугольника (от данного пункта) до конечного пункта со. Этот оптимальный путь прослеживаться по коротким стрелкам. Возьмем, к примеру, пункт Е3. В соответствующем прямоугольнике стоит число 50. Значит, оптимальный (наиболее дешевый) путь от Е3 к со имеет стоимость в 50 единиц. Этот путь прослеживается по коротким стрелкам: от Е3 к D4, от /)4к С3, от С3к В2, от В2к А2, от А2 к со (10 + И + 8 + 11 + 10 = 50).
Оптимальный путь из начального пункта а в конечный пункт со имеет, как показано на рисунке 5, стоимость в 76 единиц. Проследив его по коротким стрелкам, убеждаемся, что есть путь 3 из (*):
а - Gx - Е2 - Е2 - D3 - С3 - В2 - А2 - со.
Так как это как раз и есть искомое оптимальное решение, изобразим данный путь на рис. 5 с помощью толстых стрелок.
Метод динамического программирования применяют для оптимизации решения в самых различных операциях — лишь бы их можно было разбить на этапы (шаги). Понятие «этапа» (шага) в различных операциях может иметь разный смысл. В рассмотренном выше примере под
«этапами» понимались отдельные участки прокладываемого пути от а к со. Восемь участков пути (восемь отрезков) — восемь этапов.
«Шагами» многошаговой операции часто бывают временные этапы. Например, планируется на т лет работа двух групп предприятий, из которых первая выпускает предметы потребления, а вторая ремонтирует и производит оборудование и механизмы для производства предметов потребления, т. е. обслуживает предприятия первой группы. Цель операции — получение за т лет максимального объема выпуска предметов потребления. В соответствии с этим требуется оптимально определить долю капиталовложений в первую группу предприятий (а значит, и во вторую группу) на первый год, на второй год, на третий год и так далее. Недальновидный руководитель в погоне за сиюминутным выигрышем может вложить уже в первом году почти все выделенные средства в предприятия первой группы, практически проигнорировав поддержание и развитие предприятий второй группы. Дальновидный руководитель воспользуется методом динамического программирования и подсчитает, сколько средств следует вкладывать каждый год в предприятия первой группы и предприятия второй группы, чтобы в целом за т лет (а не только в первые один-два года!) объем выпуска предметов потребления оказался максимальным.
Укажем еще один пример многошаговой операции, которую можно исследовать, используя метод динамического программирования. Рассматривается вывод на орбиту многоступенчатой космической ракеты. Пусть число ступеней равно т. Процесс вывода ракеты на орбиту состоит из т этапов, каждый из которых завершается сбрасыванием очередной ступени. Динамическое программирование позволяет ответить на вопрос: как надо распределить массу по т ступеням ракеты, чтобы скорость ракеты при ее выходе на орбиту оказалась максимальной?
. Беседа по поводу выбора решения
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Автор. В общем случае показатель эффективности W (или совокупность таких показателей) зависит от трех групп факторов: заранее известных факторов (обозначим их всех через а), случайных факторов (обозначим их через ^), решения х, выбранного нами из множества X возможных решений. Мы можем представить: W= ИД ос, ^; х). Если фактор ^ отсутствует, то говорят о выборе решения в детерминированном
случае. В общем же случае этот фактор присутствует — и мы имеем дело с выбором решения в условиях неопределенности.
'Ч«АаАм&. Ранее мы рассматривали пример с распродажей товаров. Давайте уточним, какие факторы входят здесь в группу а, а какие — в группу £. Ограничимся показателем эффективности И^ связанным с получением прибыли от продажи. Этот показатель нужно максимизировать.
Автор. Под а здесь следует понимать выделенные средства на приобретение товаров для продажи (или сами товары), средства на оплату труда продавцов и на рекламу, предоставленные под торги помещения, длительность торгов, сезон года и т. д. Под ^ следует понимать количество покупок в день (оно изменяется случайным образом от одного дня к другому), а также выбор покупателями тех или иных товаров (спрос на те или иные товары колеблется во времени).
'ЧссАоАе**. Поскольку факторы ^ случайные, то должен быть случайной величиной и показатель эффективности W. Не так ли?
Автор. Совершенно верно.
'ЧиАаАель. А как можно максимизировать случайную величину? И возможно ли такое в принципе?
Автор. Очевидно, что такое невозможно. Какое бы решение х мы ни выбрали, величина И7 все равно остается случайной, а потому нельзя гарантировать, что она окажется максимальной.
'ЧиАаАе**. Какой же в таком случае смысл заниматься поиском оптимального решения? Да и какое решение надо теперь считать оптимальным?
Автор. В условиях неопределенности мы действительно не можем со стопроцентной гарантией сделать показатель эффективности максимальным (или минимальным). Однако за счет соответствующего выбора решения мы можем добиться этого с достаточно большой вероятностью.
"ЧиАаАе**. Значит, существуют все-таки приемы, используемые при принятии разумных решений в условиях неопределенности?
Автор. Существуют. Самый простой прием состоит в замене случайных величин их средними значениями. Тем самым мы переводим факторы ^ в группу факторов а и фактически заменяем выбор решения в условиях неопределенности выбором решения в детерминированном случае.
'ЧиАаАель. Как это могло бы выглядеть в примере с распродажей товаров?
Автор. В этом случае следовало бы исходить из того, что ежедневно делается такое-то число покупок и спрос на такие-то товары составляет ежедневно такие-то проценты от общего спроса. Короче говоря, колебания спроса и самого числа покупателей в течение всего
времени распродажи попросту игнорируются. Уместно заметить, что такой прием широко используется в физических задачах. Ведь почти все величины в таких задачах (температура, давление, электрическое сопротивление и напряжение, сила тока, освещенность и т. д.) являются, строго говоря, случайными величинами. Решая задачи, мы не учитываем случайных изменений величин, обусловленных случайностями в поведении элементарных частиц вещества и света, поскольку эти изменения незначительны по сравнению со средними значениями величин. Случайные изменения силы тока, напряжения, сопротивления являются всего лишь очень малыми флуктуациями и в задачах не учитываются. Мы используем известный закон Ома 1= U / А, не принимая во внимание флуктуаций силы тока I, напряжения U, сопротивления R.
'ЧкАоАм*. По-видимому, прием, состоящий в замене случайных величин их средними значениями, не будет удовлетворительно работать, если отклонения случайных величин от средних значений (иначе говоря, флуктуации случайных величин) будут существенны? Полагаю, что в примере с распродажей товаров мы имеем дело именно с таким случаем. Количество покупателей и спрос на те или иные товары могут заметно флуктуировать во время распродажи.
Автор. Тут Вы правы. Отмеченные Вами факторы выступают как существенно случайные факторы. Такое, кстати говоря, встречается и в физических задачах. Например, при рассмотрении шумов в электронной аппаратуре принципиально нельзя пренебрегать случайностями в поведении электронных потоков.
'Чшна&ель. Как надо действовать тогда, когда замена случайных величин их средними значениями недопустима?
Автор. В таких случаях нередко используется прием, называемый оптимизацией в среднем. Он состоит в том, чтобы в качестве показателя эффективности рассматривать не саму случайную величину W, а ее математическое ожидание (И^), и пытаться максимизировать (минимизировать) именно (WY Напомним, что в примерах, приведенных в § 1.1, имелся в виду именно этот прием. Там предполагалось минимизировать не само время завершения стройки, а среднее ожидаемое время ее завершения, не просто расходы на контроль качества изделий, а средние ожидаемые расходы. Предполагалось максимизировать не доход от распродажи товаров, а средний ожидаемый доход от этой распродажи.
<Ч«АаАе<<*. Можно ли считать, что оптимизация в среднем устраняет неопределенность?
Автор. Нет, так считать нельзя. Неопределенность, конечно, сохраняется. Эффективность того или иного решения, выбранного при ис-
пользовании оптимизации в среднем, может весьма сильно отличаться от ожидаемой эффективности. Однако мы можем надеяться, что после многих повторений операции в итоге обязательно будем иметь выигрыш. Дело в том, что оптимизация в среднем используется тогда, когда выигрыши при повторении операции суммируются, так что «минусы» в одних случаях могут компенсироваться «плюсами» в других. Так, оптимизация в среднем оправдана, когда стремятся повысить прибыль от распродажи товаров. Прибыли, получаемые в разные дни, суммируются, так что случайно возникающие «неудачные» дни могут быть скомпенсированы случайно возникшими «удачными» днями.
'ЧшОл&ыб.. Но, однако, не всегда такая компенсация возможна! Предположим, рассматривается эффективность работы службы неотложной медицинской помощи большого города. В качестве показателя эффективности выберем время ожидания врача по вызову. Это время желательно минимизировать. Очевидно, что в данном случае нельзя использовать оптимизацию в среднем. Ведь слишком долгое ожидание врача одним больным отнюдь не компенсируется быстрым обслуживанием другого больного.
Автор. Вы правы. В подобных случаях выдвигают дополнительное требование (ограничение). Пусть время ожидания врача W не должно превышать некоторого значения И^. Поскольку Wслучайная величина, то нельзя просто потребовать выполнения неравенства W< Вд. Но можно потребовать, чтобы это неравенство выполнялось с достаточно большой вероятностью, например с вероятностью 0,9. Учет этого требования означает, что из множества X должны быть изъяты те решения х, для которых рассматриваемое требование не удовлетворяется. Подобные требования называют стохастическими ограничениями (или, иными словами, вероятностными ограничениями). Понятно, что использование таких ограничений заметно усложняет проблему принятия решения.
*Ч«АаАе<<*. Я вижу, что отыскивать разумные решения в условиях неопределенности в принципе возможно. Хотелось бы теперь более конкретно познакомиться с тем, как это делается на практике.
Автор. Именно этим мы теперь и займемся. Сначала мы познакомимся со специальным типом случайных процессов, довольно часто встречающихся на практике, — т. н. марковскими случайными процессами с дискретными состояниями. Затем мы поговорим о системах массового обслуживания и о теории игр (игровых методах обоснования решения). Завершая знакомство с «исследованием операций», мы рассмотрим моделирование операций методом статистических испытаний, известным как метод Монте-Карло.
ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ 1
В примере 2 в § 1.1 операция имеет один показатель эффективности. Укажите возможные дополнительные показатели эффективности для данной операции.
Такое же задание по отношению к операциям, представленным в примерах 1, 3 и 4 в § 1.1.
Попробуйте самостоятельно сформулировать одну или более конкретных операций и укажите для каждой операции несколько возможных показателей эффективности.
Рассмотрите внимательно рис. 2 в таблице 1 и укажите, какими решениями вытесняются (доминируются) следующие решения: а) 12, б) 15, в) 4, г) 16, д) 1, е) 18.
Ответы: а) 2 и 6; б) 2, 6 и 9; в) 6, 11 и 9; г) 13; д) 13, 2, 12 и 6; е) 2, 15, 6, 9 и 11.
Для двухкритериальной ситуации, представленной на рис. 5 в таблице 1, выберите окончательное решение: а) учитывая ограничение по показателю И/2, б) используя метод последовательных уступок и считая при этом, что показатель Неважнее, чем И/2.
Ответы: а) 9, б) 7.
Такое же задание для ситуации, представленной на рис. 6 в таблице 1.
Ответы: а) 2, б) 2.
Такое же задание для ситуации, представленной на рис. 7 в таблице 1.
Ответы: а) 9, б) 10.
Используя схему на рис. 1 в таблице 2, подсчитайте в принятых здесь условных единицах стоимость сооружения пути от пункта ос до пункта со при выборе следующих решений (следующих возможных путей):
осG^F^Е3ОдОдВдА2со,
ос - G2- F3 - Ед - Од - С3 - В2 - А1 - со;
осG^F^82О3С3В3Д2со,
осG2F3Е3ОдОдВ2Д 2со .
Ответы: а) 85 единиц, б) 86 единиц, в) 84 единицы, г) 86 единиц.
Приступив к сооружению дороги от ос до со (см. таблицу 2), руководитель строительства, не будучи знаком с динамическим программированием, избрал метод простой пошаговой оптимизации. Он успел соорудить два отрезка пути, после чего его заменили другим руководителем (который был знаком с динамическим программированием) и предложили ему завершить сооружение дороги. Во сколько в итоге обошлось государству строительство дороги от ос до со?
Ответ: 77 единиц.
Во сколько бы обошлось государству строительство дороги от ос до со, если бы замена руководителя в предыдущей задаче произошла после сооружения не двух, а трех отрезков пути?
Ответ: 83 единицы.
Начав сооружение дороги от ос до со (см. таблицу 2), руководитель применил динамическое программирование, но успел соорудить лишь два отрезка пути, после чего был отправлен на повышение. Дорогу достраивал новый руководитель, который о динамическом программировании даже не слышал и действовал попросту — по методу простой пошаговой оптимизации. Во сколько в итоге обошлось государству сооружение дороги от ос до со?
Ответ: 81 единица.
После того, как в процессе сооружения дороги от ос до со (см. таблицу 2) строители оказались в пункте О4, явился руководитель, знакомый с динамическим программированием, который и достроил дорогу. Во сколько обошлось государству сооружение дороги от ос до со: а) в наилучшем возможном случае, б) в наихудшем случае (когда строительство от ос до О4 велось по наиболее дорогостоящему варианту)? Ответы: а)78 единиц, б) 83 единицы.
Предложите одну или более ситуаций с выбором решения в условиях неопределенности, когда оптимизацию в среднем применять не следует, а надо ввести стохастическое ограничение.
ТЕМА 2
ИССЛВДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ:МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ ПО СХЕМЕМАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Многие операции, которые приходится анализировать под углом зрения выбора оптимального решения, развиваются как случайные процессы, ход и исход которых зависят от ряда случайных факторов... Для математического описания многих операций, развивающихся в форме случайного процесса, может быть с успехом применен математический аппарат, разработанный в теории вероятностей для так называемых марковских случайных процессов.
Е. С. Вентцелъ
Справка. Андрей Андреевич Марков (1856-1922) — выдающийся российский математик, один из учеников П.Л. Чебышева (1821-1894). Понятие «цепи Маркова» оказалось весьма ценным в различных приложениях, например, в теории диффузии, теории массового обслуживания, теории надежности, а также в квантовой механике и генетике. Развитие идеи марковской цепи привело к созданию важного раздела теории вероятностей — теории случайных процессов, в которой исключительную роль сыграли труды Л.Я. Колмогорова (1903-1987) ^А.Я. Хинчина (1894-1959).
Марковские случайные процессыС ДИСКРЕТНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ И ГРАФЫ
В книге «Случайность, необходимость, вероятность» тема 11 была у нас посвящена испытаниям Бернулли — независимым испытаниям с двумя исходами, образующими полную группу событий («успех» и «неудача»), Независимые испытания Бернулли можно рассматривать как частный случай цепей Маркова. Последние представляют собой последовательность испытаний, в каждом из которых появляется одно не из двух, а из п образующих полную группу несовместных событий Аъ Л2, Л3,..., Ат причем испытания теперь не являются полностью независимыми, а связаны между собой в определенного рода цепь. Конкретно: вероятность наступления того или иного события Ах, А^,..., Ап при очередном испытании (пусть это будет k-ое испытание) зависит от результата предыдущего испытания (результата (Л-1)-го испытания) и только от него. Упомянутая вероятность не зависит от результатов более ранних испытаний: (Л-2)-го, (Л-3)-го, (Л-4)-го и др.
Рассмотрим терминологию, которая обычно используется при изложении цепей Маркова. Упомянутым выше п независимым событиям Аъ Аъ..., Ап сопоставляют п состояний Sx, 8Ъ 53,..., Sn, в одном из которых находится в данный момент времени некоторая система. Итак, пусть 5Ь 8Ъ S^,..., Sn — возможные дискретные состояния некоторой системы. В любой момент времени система находится в каком-то из этих состояний. В некий момент может произойти изменение состояния системы, после чего система окажется в каком-то другом из возможных состояний. Таким образом, событие теперь — это нахождение системы в соответствующем состоянии, а испытание связывается с изменением состояния. Если состояние системы меняется во времени случайным образом, то говорят, что в системе протекает случайный процесс, в связи с чем цепь Маркова называют также марковским случайным процессом. Точнее говоря, марковским случайным процессом с дискретными состояниями.
Специфика марковского случайного процесса состоит в том, что вероятность системе оказаться (в результате очередного изменения состояния, т. е. при очередном испытании) в некотором состоянии Sj зависит только от того, в каком состоянии 5) она (система) находилась непосредственно перед данным испытанием, и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в состояние Sb т. е. в каких состояниях она побывала ранее. Таким образом, марковский случайный процесс можно определить как случайный процесс, в котором для каждого момента времени t^ вероятность того или иного состояния системы в будущем (т. е. при t > t^ зависит от ее состояния в настоящем (при t= t^ и не зависит от развития процесса в
прошлом {при t<t0\ Иногда это свойство системы называют отутствием у нее долговременной «памяти»; система запоминает только свое последнее состояние, но напрочь «забывает» о всех более ранних.
В общем случае состояния системы могут меняться непрерывным образом, плавно. Так, процесс изменения напряжения в электросети является случайным процессом с непрерывными состояниями. Но мы ограничимся рассмотрением процессов с дискретными состояниями — когда возможные состояния системы (5Ь 8Ъ 53,...) можно перенумеровать одно за другим. При этом сам процесс состоит в том, что время от времени система скачком (мгновенно) переходит (можно сказать: перескакивает) случайным образом из одного состояния в другое. Для процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой, называемой графом состояний. Граф геометрически изображает возможные состояния системы (в виде, например, квадратиков, кружков или просто точек) и соединяющие эти состояния стрелки, показывающие возможные переходы из одного состояния в другое.
Графы некоторых марковских процессов показаны на рисунках в таблице 3. На рисунках 1-5 даны графы состояний для системы, представляющей собой некоторое техническое устройство, имеющее два узла.
5] — оба узла работают,
S3 — первый узел отказал, он не работает; второй работает,
83 — второй узел отказал, он не работает; первый работает,
54 — оба узла не работают.
На графе показаны четыре стрелки: 5) -> 52, S2 -> S4, ^ —> S3, S3 —> 5*4. В какой-то момент вследствие каких-то случайных факторов первый узел отказал — система перескочила в этот момент из состояния ^в состояние S2. Через некоторое время отказал также и второй узел — система перескочила из состояния S2b состояние S4. Возможен также иной вариант: сначала отказал не первый, а второй узел и система перескочила из 5щ S3. Затем отказал первый узел и система перескочила из 53 в 5*4. На рисунке нет стрелки ^ ^ S4, поскольку вероятность того, что оба узла откажут вдруг точно в один и тот же момент времени, равна нулю (какой-то из узлов откажет хотя бы чуть-чуть раньше).
На рис. 2 рассматриваются следующие состояния системы:
^ — оба узла работают,
83 — первый узел отказал, он ремонтируется; второй работает,
83 — второй узел отказал, он ремонтируется; первый работает, ^4 — оба узла ремонтируются.
На графе показаны восемь стрелок. Стрелки ^ -> S2, S2 —> 54, 5) -> 83,53^54 связаны с отказами узлов, а стрелки 54^52, 52->5ь 54^53,S3 -> ^ связаны с ремонтом узлов. Допустим, система оказалась в38
Таблица 3. Графы некоторых марковских процессов
состоянии S4 (оба узла ремонтируются). В какой-то момент времени один из узлов (например, второй) начинает работать — в этот момент система перескакивает из 54в У2. Через некоторое время заканчивается ремонт также и первого узла — система перескакивает из У2в Ур Другой вариант соответствует тому, что сначала завершается ремонт первого узла (У4 —> Уд), а затем также и второго (У3 -> У^.
На рис. 3 граф содержит шесть стрелок. Рассматриваются состояния:
] — оба узла системы работают,
2 — первый узел отказал, он ремонтируется; второй работает,
3 — второй узел отказал и не ремонтируется (предполагается, что ремонт второго узла в принципе невозможен); первый узел работает,
4 — оба узла не работают; первый узел ремонтируется.
С ситуацией, граф которой изображен на рис. 4, читатель вполне может разобраться самостоятельно.
В ситуации на рис. 5 предполагается, что ремонтировать узлы порознь в данной системе нельзя, а надо ремонтировать их одновременно — уже после того, как они оба выйдут из строя. Состояния Sx, 8Ъ S3 здесь такие же, что и на рис. 1. Состояние У4 — оба узла не работают и одновременно ремонтируются (по окончании ремонта они начнут функционировать одновременно).
На рис. 6 дан граф устройства, которое может находиться в следующих состояниях:
] — устройство нормально функционирует,
2 — устройство вышло из строя; оно ожидает квалифицированного осмотра, У3 — устройство осматривается и ремонтируется на месте,
4 — устройство доставлено в ремонтную мастерскую, где оно подвергается более серьезному ремонту.
Различают два типа марковских случайных процессов с дискретными состояниями. Первый тип; цепи Маркова с дискретным временем — изменение состояний системы происходит случайным образом в фиксированные моменты времени: tx, t3, t3,..., tk,... Второй тип; цепи Маркова с непрерывным временем — изменения состояний системы происходят случайным образом в случайные моменты времени.
Заметим, что на практике чаще всего приходится иметь дело с марковскими случайными процессами с непрерывным временем. Все примеры, приведенные на рисунках в таблице 3, относятся, как нетрудно сообразить, именно к таким процессам.
Ниже мы подробнее познакомимся с обоими типами марковских процессов. И начнем с процессов с дискретными состояниями и дискретным временем.
Марковские процессы
С ДИСКРЕТНЫМИ состояниями
И ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ;
ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ МАРКОВСКОЙ ЦЕПИ
Для марковского процесса с дискретным временем существует последовательность фиксированных моментов времени
когда как раз и совершаются переходы (перескоки) системы из состояния в состояние. Можно сказать, что именно в эти моменты осуществляются испытания; исходом испытания является попадание системы в то или иное состояние. Фиксированные моменты времени принято называть «шагами» или «этапами» процесса.
Допустим, данная система может находиться в одном из четырех возможных состояний: АД 52, S3, S4. Конкретный смысл этих состояний, равно как и самой системы, пока не уточняем. Происходящий в системе процесс может иметь, например, такой вид:
Ai S2 -э S2 S3 S4 -э Ai
Эту запись надо понимать так: на первом шаге (т. е. в момент /Д система перескочила из состояния 5| в состояние S2; на втором шаге (в момент /Д состояние системы не изменилось (система задержалась в состоянии АД; на третьем шаге (в момент /3) система перескочила из S2 в АД И так далее. Процесс является случайным; поэтому возможны, в принципе, различные его реализации:
s^s2^s3^s3^s4^s4^...
SX->S\^ S2->S3-> S4^S\->
SX->S2^ S3->S4-> Sx^S\->...
Характеристикой процесса в данной системе служит набор вероятностей перескакивания системы из одного состояния в другое (вероятность перехода системы из А) в Sj будем обозначать через Ру) и вероятностей задержки системы в том или ином состоянии (вероятность задержки системы в состоянии 8( будем обозначать через Ри\ Применительно к системе с четырьмя состояниями указанный набор вероятностей можно представить в виде матрицы 4x4:
Al Аз Al Р22 Al Аг Ai АгAl Аз Al Р22 Al Аг Ai АгАз А4Аз А4Аз А4Аз А4Аз А4Аз А4Аз А4Аз А4
Al Аз Al Р22 Al Аг Ai Аг
Al Аз Al Р22 Al Аг Ai Аг
Аз А4
Аз А4
Аз А4
Аз А4
Аз А4
Аз А4
Аз А4
Аз А4
В общем случае, когда число возможных состояний системы равно п (5Ь 8Ъ S3,..., Sn), надо рассматривать матрицу пхп:
AiАгАз... Ри ...AnAiАгАз... P2j ...AnAiАгАз... P3j ...AnАтАгАз... Ру ...AnAiАгАз... Pnj ...pnnAiАгАз... Ри ...AnAiАгАз... P2j ...AnAiАгАз... P3j ...AnАтАгАз... Ру ...AnAiАгАз... Pnj ...pnn(1)(1)
Ai
Аг
Аз
... Ри ...
An
Ai
Аг
Аз
... P2j ...
An
Ai
Аг
Аз
... P3j ...
An
Ат
Аг
Аз
... Ру ...
An
Ai
Аг
Аз
... Pnj ...
p
nn
Ai
Аг
Аз
... Ри ...
An
Ai
Аг
Аз
... P2j ...
An
Ai
Аг
Аз
... P3j ...
An
Ат
Аг
Аз
... Ру ...
An
Ai
Аг
Аз
... Pnj ...
p
nn
(1)
(1)
которую кратко будем обозначать как ||А||- Вероятности, входящие в матрицу (1), называют переходными вероятностями процесса.
Случайная последовательность, образованная событиями (состояниями) 515 8Ъ S3,..., Sn, может рассматриваться как марковская цепь (как марковский случайный процесс), если для любого шага вероятность Ру не зависит от того, когда и как система пришла в состояние S;. Именно так можно сформулировать определение марковского случайного процесса с дискретными состояниями и дискретным временем; поэтому, сторого говоря, здесь следует вместо слова «если» употребить словосочетание «тогда и только тогда, когда» (напомним в связи с этим нашу беседу о необходимости и достаточности в § 8.4 в книге «Случайность, необходимость, вероятность»).
Как уже отмечалось, возможные состояния системы образуют полную группу событий. Значит, на любом шаге должна равняться единице вероятность перехода системы из любого состояния St или в состояние 5Ь или в состояние 8Ъ или в состояние S3, ..., или в состояние Sn (задержку в состоянии S; рассматриваем формально как переход Sj^Sj). Таким образом,
(2)(2)ЕА=1 (/ = 1,2,3,...л).
(2)
(2)
7=1
Будем обозначать через р^к) вероятность того, что после к-го шага система окажется в состоянии S^ Предположим, что перед первым шагом система находилась в состоянии Sm. В результате первого шага она перейдет в одно из состояний Аь 52, S3,..., Sn с вероятностью, равной, соответственно, PmV Рт2, Рт3,..., Ртп. Следовательно, вероятности состояний системы после первого шага таковы:
Pl(l) = ^b Р1^ = РтЪ Рз^) = РтЗ^-^ Pn("V) = Ртп. (*)
Чтобы найти вероятности состояний системы после второго шага, воспользуемся формулой полной вероятности (мы рассматривали эту формулу в § 10.2 в книге «Случайность, необходимость, вероятность»), учитывая, что Ру есть не что иное, как условная вероятность Psj^S^ — вероятность системе оказаться в состоянии Sj при условии, что она ранее находилась в состоянии Sj. По формуле полной вероятности находим, что вероятности состояний системы после второго шага определяются соотношениями:
И
Pi^^PjWPji (/ = 1,2,3,...,й),(3)
j=v
где ру (1) даны в (*).
Нетрудно сообразить (надо снова воспользоваться формулой полной вероятности), что после третьего шага вероятности состояний системы будут определяться соотношениями:
И
Pi^^pj^Pji (i = 1, 2, 3,... ,п),(4)
;=i
а после к-го шага — соотношениями:
И
Pi (к) =^Pj(k-l)Pjt (z = 1, 2, 3,...,п).(5)
j=v
Самая простая марковская цепь
С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
Рассмотрим предельно упрощенную систему с двумя состояниями на примере предприятия, выпускающего какую-то продукцию. Предположим, что по окончании каждой недели производится подсчет объема
выпущенной продукции. Условимся считать: если план по недельному объему продукции окажется выполненным (перевыполненным), то система переходит в состояние 5) (или задерживается в состоянии 5J; если план не будет выполнен, то система переходит в состояние S2 (или задерживается в состоянии S2\ Таким образом, фиксированные моменты времени (иначе говоря, шаги) — это моменты tb /2, h,..., tk,..., где tk — окончание Аэой недели (£-й шаг). На рис. 1 в таблице 4 схематически представлены различные возможные реализации рассматриваемой марковской цепи. Здесь последовательные шаги разделены равными промежутками времени (неделей). В общем случае равенство промежутков времени между последовательными шагами отнюдь не обязательно.
Предположим, что после к-го шага (по окончании £-ой недели) система оказалась в состоянии 5Р Значит, за к-ю неделю план был выполнен (перевыполнен), все этим удовлетворены и нет необходимости предпринимать в течение предстоящей недели какие-либо дополнительные действия. Пусть в этом случае вероятность того, что план выпуска продукции за неделю будет выполнен (перевыполнен), равна 0,5 и, соответственно, равна 0,5 вероятность не выполнить план; таким образом, Ри = 0,5 и Р12 = 0,5. Предположим теперь, что после ^-го шага система оказалась в состоянии S2. Значит, за к-ю неделю план не был выполнен и в связи с этим требуется предпринять какие-то действия (возможно, предусмотреть на (к+ 1)-ой неделе сверхурочную работу). Мы не будем обсуждать эти действия, а просто отметим, что благодаря им вероятность выполнить недельный план повысилась до 0,7, а вероятность не выполнить его понизилась до 0,3; таким образом, Р21 = 0,7 и Р22 = 0,3. Матрица переходных вероятностей имеет вид:
Рц РпР21 Р22Рц РпР21 Р220,5 0,50,7 0,30,5 0,50,7 0,3
Рц Рп
Р21 Р22
Рц Рп
Р21 Р22
0,5 0,5
0,7 0,3
0,5 0,5
0,7 0,3
На рис. 2 в таблице 4 изображен граф состояний нашей системы. Числа вблизи стрелок — это соответствующие переходные вероятности. Граф, на котором указаны значения переходных вероятностей, называют размеченным графом.
Найдем, чему равны вероятности состояний ^ и S2 после пятого шага, если перед первым шагом система находилась в состоянии 5^ Зная матрицу переходных вероятностей, заключаем, что после первого шага вероятности состояний ^и S2 будут равны:
Р1(1) = 0Л р2(1) = 0,5.
После второго шага вероятности состояний ^и 52 можно легко найти, используя соотношения (3):
рх (2) = л(1)Рц+р2(1)Л1 =0,5-0,5+ 0,5-0,7 = 0,6;
А (2) = А (ЦРц+А (1)Р22 =0,5-0,5 + 0,5-0,3 = 0,4.
После третьего шага (с учетом соотношений (4)):
рх (3) = а(2)Рц+А (2)Р21 =0,6-0,5 + 0,4-0,7 = 0,58;
А (3) = рх ^Рп^р2 (2)Р22 =0,6-0,5 + 0,4-0,3 = 0,42.
После четвертого шага:
рх (4) = рх (3) Рп + А (3) Р21 = 0,58 - 0,5 + 0,42 ■ 0,7 = 0,584;
Р1 (4) = рх (3) Р12 + а (3) Р22 = 0,58 - 0,5 + 0,42 ■ 0,3 = 0,416.
После пятого шага:
рх ^ = рх (4)РП +р2(4)Р21 =0,584-0,5+0,416-0,7 =0,5832;
р^ (5) = рх №А-Р1 (4)Р22 =0,584-0,5+0,416-0,3 =0,4168.
Теперь найдем вероятности Pi(5) и р2(5) состояний ^и 52 после пятого шага, если перед первым шагом система находилась не в состоянии 5Ь ав состоянии 52. После первого шага имеем:
A(1) = P2i=0,7 и аЦ) = Р22=0,3.
Предлагаю читателю самостоятельно убедиться в том, что искомые вероятности имеют значения:
А (5) = 0,5835 и а (5) = 0,4165.
Мы видим, что независимо от того, каково было состояние системы перед первым шагом (^или УЦ, через несколько шагов ситуация вполне стабилизируется — в состояние ^ система будет попадать с вероятностью около 0,58.
Сколько ПОТРЕБУЕТСЯ ВЫСТРЕЛОВЛДЯ ПОЛНОГО ПОРАЖЕНИЯ ЦЕЛИ?
11о некоторой цели производятся выстрелы в моменты времени tx, f2, f3,... Возможные состояния системы (точнее говоря, цели) таковы: Ai — цель невредима,
S2 — цель повреждена не очень существенно,
S3 — цель повреждена существенно,
S4 — цель полностью поражена (не может функционировать). Размеченный граф состояний представлен на рис. 3 в таблице 4. Здесь числами показаны вероятности соответствующих переходов; они образуют матрицу:
0,100,10ОООО0,4 0,3 0,20,3 0,4 0,30 0,4 0,60010,4 0,3 0,20,3 0,4 0,30 0,4 0,6001(*)(*)
0,10
0,10
О
О
О
О
0,4 0,3 0,2
0,3 0,4 0,3
0 0,4 0,6
001
0,4 0,3 0,2
0,3 0,4 0,3
0 0,4 0,6
001
(*)
(*)
Обратим внимание на то, что для каждой строки матрицы сумма переходных вероятностей равна 1 — в полном согласии с соотношением (2). Учитывая этот факт, будем показывать на графе вероятности переходов лишь между разными состояниями, а переходы из любого состояния в это же состояние вообще не будем изображать на графе. В результате изображение графа заметно упростится (см. рис. 4 в таблице 4). Вероятности не показанных на графе переходов St —> Sj легко вычисляются с помощью соотношения (2) (например, Pn = 1 - (Рп + Р13 + Ри)).
До того, как начались выстрелы, система (цель) находилась в состоянии Ур После первого выстрела (после первого шага) вероятности состояний системы определяются из первой строки матрицы (*):
Pi (1) = 0,1,р2(1) = 0,4,Л(1) = 0,3,р4(1) = 0,2(**)
Таким образом, после первого выстрела вероятность полного поражения цели составляет всего лишь 0,2.
Поставим вопрос: сколько надо сделать выстрелов, чтобы вероятность полного поражения цели оказалась не менее 3/4 ?
Делаем второй шаг (второй выстрел). Используя (3), а также (*) и (**), находим:
Р1(2) = Р1(1)А1 + Р2(1)^21 + Рз(1)А1 + р*4( 1)^41 =
= 0,1 0,1 +0 + 0 + 0 = 0,01;
Р^) = Р1(1)Лг + Рг(1)^22 + Рз(1)Лг + р*4( 1)^42 =
= 0,1 ■ 0,4 + 0,4 ■ 0,3 + 0 + 0 = 0,16;
Рз(2) =?1(1)Аз + /7г( 1)^23 + Рз(1)Аз +?4(1)Аз =
= 0,1 ■ 0,3 + 0,4 • 0,4 + 0,3 • 0,4 + 0 = 0,31;
Р^) = Р1(1)Л4 + Р1( 1)^24 + Рз(1)А4 + Р*4( 1)^44 =
= 0,1 ■ 0,2 + 0,4 • 0,3 + 0,3 ■ 0,6 + 0,2 = 0,52.
Итак, после второго выстрела вероятности четырех возможных состояний системы распределяются следующим образом:
Рх (2) = 0,01, р2 (2) = 0,16, р3 (2) = 0,31, р4 (2) = 0,52. (***)
Мы видим, что вероятность полного поражения цели равна теперь 0,52. (Хороший способ проверить правильность расчетов — убедиться, что сумма полученных вероятностей равна 1, как того требует соотношение (2)).
Делаем третий шаг (третий выстрел). Используя (4), а также (*) и (***), находим:
^(3) = Рх^РХ\ +^2(2)Д21 +^з(2)Дз1 +A(2)Ai =
= 0,01 0,1 + 0 + 0 + 0 = 0,001;
^(З) = Pll^Pn + Pl^Pn +Рз(^)Рз2 +Р4^)Р42 =
= 0,01 • 0,4 + 0,16 • 0,3 + 0 + 0 = 0,052;
Рз(3) =/,1(2)Р1з + Р2(2)Р2з +Рз(2)Р3з + р4(2)Р43 =
= 0,01 ■ 0,3 + 0,16 • 0,4 + 0,31 ■ 0,4 + 0 = 0,191;
А(3) =/'1(2)Р14 +Р1(^Р24 +Рз^)Рз4 +Р4^)Р44 = = 0,01 ■ 0,2 + 0,16 ■ 0,3 + 0,31 ■ 0,6 + 0,52 = 0,756.
Итак, после третьего выстрела вероятности состояний распределяются следующим образом:
^(3) = 0,001, р2 (3) = 0,052, ^з(3) = 0,191, ^4 (3) = 0,756. (****) Мы видим, что вероятность полного поражения цели равна теперь 0,756, т. е. больше 3/4. Значит, требуется сделать три выстрела, чтобы вероятность полного поражения цели превысила 3/4?
Поток СОБЫТИЙ; ИНТЕНСИВНОСТЬ потока
1 Хрежде чем начать знакомиться с марковскими процессами с непрерывным временем, познакомимся с понятием «поток событий». Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Примеры потоков событий: поток вызовов на АТС, поток заказов такси по телефону, поток вызовов, поступающих в пункт неотложной медицинской помощи, поток клиентов, посещающих предприятие бытового обслуживания или магазин, поток неисправностей (сбоев) в работе некоторого устройства,
поток восстановлений (окончаний ремонтов) этого устройства, поток заряженных частиц, регистрируемых счетчиком Гейгера, и т. д.
Предположим, в каком-то таксомоторном парке фиксируют моменты поступления заказов такси в течение определенного промежутка времени, например от 12.00 до 14.00. Обозначая эти моменты с помощью кружочков на оси времени, получили картину, показанную на рис. 1«в таблице 5. Это есть одна из реализаций потока заказов такси для рассматриваемого промежутка времени. Еще три реализации потока событий показаны на рисунках 16, 1в, 1г; они зафиксированы в другие дни. Моменты появления событий в каждой реализации потока случайны. Однако полное число событий на рассматриваемом двухчасовом промежутке времени слабо меняется от одной реализации потока к другой: числа событий в представленных на рисунках реализациях равны 19, 20, 21, 19. Это говорит о том, что поток событий обнаруживает статистическую устойчивость.
Наличие статистической устойчивости — веский аргумент в пользу применения методов теории вероятностей. Но вычислять вероятность того или иного исхода случайного события в потоке событий, очевидно, не имеет смысла. Ведь все события в потоке являются однородными-. они не отличаются друг от друга. Любой заказ такси есть всего лишь одна из заявок, которая сама по себе ничем не отличается от других заявок. Тут надо рассматривать иные вероятности — например, вероятность того, что на некотором участке времени (скажем на участке от / до 1 + т, выделенном на рис. 1) событие наступит столько-то раз. Или наступит хотя бы один раз. Или вообще не наступит.
Важной характеристикой потока событий является его интенсивность X. Это есть среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Возвратимся к примеру, представленному на рис. 1 в таблице 5, и предположим, что зафиксированы не четыре реализации потока заказов такси, а п реализаций (рассмотрены п разных дней), причем п > 1.
Пусть количество заказов, приходящихся на участок времени от t до ? + т, образовали для п дней последовательность тъ т2, ..., тп. Интенсивность потока заказов такси Х(/) может быть определена с помощью соотношения:
1 "х^У^ = -Тлч-(*)
п /=1
Здесь принято во внимание, что интенсивность потока зависит от t, т. е. от того, где именно на протяжении суток выбирается участок времени длительности т. Вполне очевидно, что, если бы этот участок времени
был выбран не днем между 12.00 и 14.00, а, например, глубокой ночью где-то между 2.00 и 4.00, то интенсивность потока заказов такси была бы значительно ниже.
Поток событий называется стационарным, если вероятность появления того или иного числа событий на участке времени (/; t + т) зависит только от т и не зависит от t (не зависит от того, где именно на оси времени расположен данный участок протяженностью т). Понятно, что интенсивность стационарного потока событий не зависит от /; она является постоянной величиной. Стационарным можно считать, например, поток сбоев в работе некоторой непрерывно функционирующей технической системы, в частности, некоторого электронно-вычислительного комплекса. Поток частиц, регистрируемых счетчиком Гейгера, также является стационарным. Многие нестационарные потоки событий (в том числе и поток заказов такси) можно считать стационарными, если рассматривать их на ограниченном промежутке времени. Именно так, заметим, обстоит дело со многими физическими процессами, которые принято считать стационарными.
Следует иметь в виду, что стационарность потока событий отнюдь не предполагает строгой регулярности следования событий. В стационарном потоке событий (коль скоро рассматриваются случайные события) обязательно наблюдаются местные «сгущения» и «разрежения»; они случайны и не носят закономерного характера. При этом среднее число событий, происходящих в единицу времени, остается одним и тем же во всем интервале времени, в пределах которого поток может считаться стационарным.
Простейший (пуассоновский) поток событий
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением потоков событий, называемых простейшими (а также пуассоновскими) потоками, поскольку именно они обусловливают марковские процессы с непрерывным временем. Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который наряду со свойством стационарности обладает еще двумя свойствами — отсутствием последействия и свойством ординарности.
Отсутствие последействия означает, что вероятность появления того или иного числа событий на любом участке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого участка. Свойство ординарности
потока означает, что на любом участке времени, если он достаточно мал (если Хт = 1), может появиться не более одного события.
Примем без доказательства (оно приводится во всех систематических курсах по теории вероятностей) следующее утверждение: если поток случайных событий является простейшим и характеризуется интенсивностью X, то вероятность Рт (т) появления т событий на любом участке времени длительность определяется формулой Пуассона-.
/’„(т) = (Хт)"'(6)
Недаром простейший поток событий называют также пуассоновским потоком.
На рис. 2 в таблице 5 даны графики функций Рт (т) для т = 0, 1, 2, 3, 4, описывающих для пуассоновского потока с X = 1 мин-1 вероятность появления в интервале т (от т = 0 до т = 8 мин) одного события (т = 1), двух событий (т = 2), трех событий (т = 3), четырех событий (т = 4), а также вероятность непоявления события (т = 0). Заметим, что из (6) следует, например, что вероятность появления двух событий меньше вероятности появления одного события в 4 раза для Хт = 0,5 и в 20 раз ддя Хт = 0,1 (эти результаты можно получить, если воспользоваться таблицей 45 из книги «Случайность, необходимость, вероятность»).
Рассмотрим пуассоновский поток событий с интенсивностью X и произвольно выберем на оси времени весьма малый (элементарный) участок времени А/, в пределах которого в силу ординарности потока практически не может появиться более одного события (надо, чтобы выполнялось неравенство ХМ-с 1). Найдем вероятность Р^А?) того, что участок времени М не окажется «пустующим», т. е. что на этом участке появится какое-то событие. Обозначим через Р0(А/) вероятность того, что на участке М никакого события не появится. Для ординарного потока:
Ро (А?) + Pi (А?) = 1(*)
и значит, Pi(A/) = 1 -Р0(А/). Используя (6), находим отсюда:
Pi(Ar) = l-e-w(**)
При ХМ < 1 можно приближенно представить:
е-Хм ss 1 — ХМ,(***)
после чего соотношение (**) принимает вид:
Рх (А/) » ХМ.(7)
Итак, для простейшего (пуассоновского) потока событий, характеризующегося интенсивностью X, вероятность Р^А/) появления события на очень малом (элементарном) участке времени А/ равна ХА/. Этот результат пригодится при рассмотрении марковских процессов с непрерывным временем.
Непрерывная марковская цепь
И ПУАССОНОВСКИЙ ПОТОК СОБЫТИЙ
JMapKOBCKHe процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем кратко называют непрерывными марковскими цепями. Как уже отмечалось, чаще всего на практике приходится иметь дело именно с такими марковскими процессами (а не с процессами с дискретным временем).
В основе рассмотрения непрерывных марковских цепей лежит простая идея: перескоки системы из одних состояний в другие происходят под действием соответствующих потоков событий (потоков вызовов, потоков отказов, потоков восстановлений ит. п.). В некоторый случайный момент времени появляется событие из соответствующего потока — и тут же (мгновенно) система совершает скачок из одного состояния в другое. Непрерывные марковские цепи реализуются под действием простейших (пуассоновских) потоков. Это связано с тем, что пуассоновский поток характеризуется отсутствием последействия, — вероятность появления события в этом потоке не зависит от «предыстории» процесса. Понятно, что и вероятность вызванного таким событием перехода системы в новое состояние не будет зависеть от развития процесса в прошлом. А это и есть марковский процесс.
В случае марковских цепей с дискретным временем мы рассматривали вероятности Ру перехода системы из состояния St в состояние Sy; эти переходы (перескоки) совершались в фиксированные моменты времени под действием каких-то актов, происходивших в эти моменты (напомним § 2.2, 2.3, 2.4). В случае же непрерывных марковских цепей, когда перескоки Sj —> Sy совершаются под действием событий, появляющихся в случайные моменты времени, вероятность перескока системы точно в какой-то момент /0 равняется нулю (так же, как и вероятность того, что в этот момент появится событие из соответствующего потока событий).
Напомним, что точно так же равна нулю вероятность любого конкретного значения непрерывной случайной величины. Как уже отмечалось
в книге «Случайность, необходимость, вероятность» (см. § 12.11), говорят не о вероятности Р(х) значения х непрерывной случайной величины, а о вероятности Р(х; Ах) значений этой величины, попадающих в промежуток (х; х + Ах). Предел
.. Р(х; Ах)lim ———-
Лх^О Ах
называется плотностью вероятности значения х непрерывной случайной величины — см. соотношение (*) в упомянутом выше § 12.11.
По аналогии с непрерывными случайными величинами рассматривают для непрерывных марковских цепей не вероятность перехода из Sj в Sj в тот или иной момент времени, а плотность вероятности перехода Ху (ф
(8)(8)Ху (t) = lim
(8)
(8)
J д/-о А/
Здесь Ру kt; At) — вероятность того, что система, находившаяся в момент t в состоянии Sb перейдет в состояние Sj за время от / до / + А/. Ограничиваясь рассмотрением стационарных потоков событий, можем считать, что вероятность Ру kt', Аф (а значит, и плотность вероятности ХукЛ) не меняется с изменением t Учитывая это, упростим соотношение (8):
Хц = lim4 д^оХц = lim4 д^оРу (АфAtРу (АфAt(9)(9)
Хц = lim
4 д^о
Хц = lim
4 д^о
Ру (Аф
At
Ру (Аф
At
(9)
(9)
Здесь Ру (At) — вероятность перехода системы из 5) в^в течение промежутка времени А/, выбираемого произвольно на оси времени. Плотность вероятности перехода Ху является теперь постоянной величиной.
Каков «физический смысл» величины, называемой плотностью вероятности перехода? Его легко установить, если учесть, что при достаточно малых А/ предел в (9) можно приближенно представить как PykSt) / А/, в результате чего соотношение (9) принимает вид:
Ху^РукМ^М.(10)
Нам остается сопоставить (10) и (7). Напомним: входящая в (7) вероятность Р\к^ есть вероятность того, что на участке времени At появится событие из соответствующего пуассоновского потока, характеризующегося интенсивностью X. Если это есть тот самый поток событий, под действием которого происходит переход системы из состояния S( в состояние Sj (т. е. если P^kSt) = PykAt)), то соотношения (10) и (7) можно рассматривать как тождественные и, значит, Ху = X. Таким образом, плотность вероятности перехода из S; в Sj есть не что иное, как интенсив-
ностъ пуассоновского потока событий, под действием которого происходит указанный переход.
Если положить М= 1, то Ру(М) следует понимать как вероятность перехода Sj —> Sj, отнесенную к единице времени. При этом соотношение (10) принимает вид: Ху» Ру(М = 1). Следовательно, интенсивность пуассоновского потока X можно рассматривать в равной мере и как плотность вероятности перехода S, —> Sj, и как отнесенную к единице времени вероятность этого перехода.
На рисунках 1-6 в таблице 3 были приведены графы нескольких марковских процессов с непрерывным временем. На рисунках 1-6 в таблице 6 приведены размеченные графы тех же процессов; здесь вблизи каждой стрелки указана интенсивность потока событий, под действием которого происходит данный переход (интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке).
На рисунках 1-4 в таблице 6:
Xt — интенсивность потока отказов первого узла,
Х2 — интенсивность потока отказов второго узла, щ — интенсивность потока окончаний ремонта первого узла, ц2 — интенсивность потока окончаний ремонта второго узла.
На рисунке 5 в таблице 6:
Xt и Х2 — то же, что и на рисунках 1-4, ц — интенсивность потока восстановлений функционирования обоих узлов.
На рисунке 6 в таблице 6:
Xj — интенсивность потока выходов из строя нашего устройства,
Х2 — интенсивность потока событий, представляющих собой квалифицированный осмотр устройства и ремонт на месте,
р.] — интенсивность потока окончаний ремонта на месте, завершившихся восстановлением функционирования устройства,
Х2 — интенсивность потока событий, представляющих собой серьезный ремонт, ц2 — интенсивность потока окончаний серьезного ремонта.
Примечания.
Мы говорим о том, что переход системы из состояния Sj в состояние Sy происходит под действием соответствующего потока событий. На самом деле подразумеваем действие всего лишь одного события из данного потока. Имеется в виду событие, которое появилось в потоке первым после того, как система оказалась в состоянии S,.
Очевидно, что не имеет смысла рассматривать плотность вероятности перехода из какого-либо состояния в то же самое состояние, поскольку не может быть потоков событий, которые бы обусловливали подобные переходы.
Рис.1Рис.2
Уравнение Колмогорова
ДЛЯ ПРЕДЕЛЬНЕЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ
Если известен размеченный граф непрерывной марковской цепи с п состояниями, то можно вычислить вероятностиpx^t),p2{t), р^),...,рп (/), где Pj{t) — вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии Sf. Поскольку в любой момент система должна находиться в каком-то из и состояний, то
п
/=1
Заметим, что соотношение (11) выражает хорошо известное в теории вероятностей правило: сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. Кстати говоря, мы уже встречались с этим правилом, знакомясь с марковскими процессами с дискретным временем; нетрудно убедиться, что равна единице каждая из сумм в (**), (***), (****) в § 2.4.
Выдающийся российский математик академик Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) рассмотрел систему уравнений, позволяющую найти вероятности px(t), p^t), p^t),..., pn(t) (так называемые уравнения Колмогорова). Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями и поэтому не могут быть рассмотрены в данной книге, ориентированной на читателей, которые пока еще не познакомились с математическим анализом. Однако мы можем рассмотреть уравнения Колмогорова для предельной ситуации — когда по прошествии достаточно большого времени (строго говоря, при t -> оо) устанавливаются постоянные, не зависящие от времени и, в частности, от начальных условий вероятности состояний системы. Это есть так называемый стационарный режим, достигнув которого, система, конечно, продолжает случайным образом менять свои состояния, но при этом вероятности состояний от времени больше не зависят. Теперь это уже не функции от времени px(t), p2(t), P^t),---, Рп (t), а просто некоторые числа рх, р2, Рз,..., рп (а потому уравнения Колмогорова теперь уже не дифференциальные, а алгебраические уравнения). Вероятности состояний системы рх, р2, Рз,..., рп называют предельными вероятностями (а также финальными вероятностями).
Предельную (финальную) вероятность рх состояния А; можно рассматривать как среднее относительное время пребывания системы в состоянии Sj. Предположим, у системы есть четыре возможных состояния (5b S2, S3, S^) и их предельные вероятности равны, соответственно, 57
0,3; 0,4; 0,1; 0,2. Это значит, что при установлении стационарного режима система в среднем три десятых времени будет находиться в состоянии 5Ь четыре десятых времени — в состоянии 8Ъ одну десятую — в состоянии 53, две десятых — в состоянии 54. Если имеется достаточно большое количество N одинаковых систем, то произведение Np, можно рассматривать как число систем, находящихся в состоянии Sj.
Примем без доказательства утверждение, что отличные от нуля предельные вероятности устанавливаются со временем, если, во-первых, число состояний системы конечно, и если, во-вторых, из каждого состояния можно попасть за то или иное число переходов в каждое другое состояние. В случае, представленном на рисунке 1 в таблице 6 второе условие не выполнено. Так, нельзя попасть в ^ни из 8Ъ ни из 53, ни из 54. В данном случае при t^oo все системы «свалятся», в конечном счете, в состояние 54и предельные вероятности будут иметь вид:
Р1=Р2=Рз=^ ^4=1-(*)
А вот в случае, представленном на рис. 2 в таблице 6, выполнены оба указанных выше условия. Поэтому представляется интересным получить в этом случае уравнения Колмогорова для предельных вероятностей. Прежде всего рассмотрим состояние Ур Из этого состояния возможны переходы в состояния У и 53 с отнесенными к единице времени вероятностями Xi и Х2, соответственно. Следовательно, число уходов из 5! в единицу времени в коллективе из N систем равно
Npi (Xj + Х2)(**)
(число систем, находящихся в 5Ь равно Npv; мы умножаем его на отнесенную к единице времени суммарную вероятность Xt + Х2ухода из состояния ^i). Приходы в состояние ^ совершаются из состояния S^ (с отнесенной к единице времени вероятностью щ) и из состояния 53 (с вероятностью ц2). Число приходов в ^ в единицу времени равно
Ар2Ц! + Ар3ц2.(***)
В стационарном режиме количества уходов и приходов для состояния ^ (как и для любого другого состояния системы) должны быть сбалансированы. Следовательно, можно приравнять друг другу выражения (**) и (***). В результате получаем для состояния ^ уравнение:
(Л1 + Х^Рх = Ц1/>2 + Р1Рз-(****)
Уравнение (****) демонстрирует общее правило:
Для каждого состояния системы сумма слагаемых, отвечающих выходящим из данного состояния стрелкам, равна сумме слагаемых, отвечаю-
щих входящим стрелкам; при этом каждое слагаемое равно интенсивности потока событий, переводящих систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка.
Применив это правило к каждому из четырех состояний системы, граф которой представлен на рис. 2 в таблице 6, получим следующую систему уравнений для рх, р2, р3, р4:
(****)(****)для состояния ^ : (Xj + Х2) А = Pi/?2 + Рз^з^ для состояния S2 : (Х2 + pj)^ = Ххр2 + WiP^ для состояния 53 : (Xj + р2).р3 = Х2рх + Ц|Д4; для состояния S4 : (pj + р2)р4 = Х2р2 + Ххр3.
(****)
(****)
Нетрудно убедиться, что четвертое уравнение получается сложением первых трех уравнений. К счастью, у нас есть соотношение (11), которое в данном случае имеет вид:
Рх + р2 + р3 + р4 — 1.
Заменив четвертое уравнение в (****) соотношением (И), мы получим систему уравнений Колмогорова:
(Xi + ^2)а = Pi/>2 + р2д3;
(12)(12)(Х2 + Pi)/>2 = Ххрх + р2/?4;(^1 + Рг)^ = Х2Рх + Р1Ац
(12)
(12)
Рх + Pi + Рз + Рх — 1 • -
Читатель может без труда получить систему уравнений Колмогорова для случая, который представлен в виде графа состояний на рис. 6 в таблице 6. Эта система уравнений выглядит так:
ХхРх = Р^з +Р2/4;
Х2Р2 = ^1А;
(13)(13)(^3 + РОРз = Х2Р2*,
(13)
(13)
Рх + Pi + Рз + Рх — 1- .
Сформулированное выше правило в сочетании с соотношением (И) позволяет без труда получить результат (*) для случая, представленного на рис. 1 в таблице 6. В этом случае уравнения Колмогорова имеют вид:
(М + Х2)/>1 = 0;
Х2р2 = ХхРх»
ХхРз = Х2рх;
Рх + Pi + Рз + Рх = 1-
Из первого уравнения сразу видно, что рх = 0 и, следовательно, р2 = О ир3 = 0. Используя четвертое уравнение, заключаем отсюда, что р4 = 1.
Интересен случай, представленный на рис. 3 в таблице 6. Уравнения Колмогорова имеют в данном случае вид:
(Л1 + ^2)/Й = \ЦРъ
(Л 2 + Pl)^ = ^xPv
^хРз = ^1Р1 +
Рх + Рз + Рз + Ра = 1- -
Решая эту систему уравнений, находим:
А =^2 = 0; Лз = 01 / (^1 + Р1); ^4 = ^1 / (^1 + Р1)-
Мы видим, что, войдя в стационарный режим, система «сосредотачивается» лишь на состояниях 53и 54. В состоянии А3она проводит Pi / (X! + цД-ю часть времени, а в состоянии 54 — ^ / (Xi + цД-ю часть. Что же касается состояний А, и 8Ъ то вероятность обнаружить систему в этих состояниях равна нулю.
Какую рационализацию следует выбрать?
11роанализируем конкретную ситуацию, используя уравнения (12) (см. рис. 2 в таблице 6). Будем полагать, что каждый из двух узлов системы производит независимо друг от друга некоторую продукцию. Предположим, что второй узел является более современным и имеет производительность вдвое более высокую, чем первый узел. Первый узел приносит в единицу времени доход, равный, скажем, 5 условно выбранным единицам, а второй —10 единицам. К сожалению, отказы второго узла происходят в среднем вдвое чаще, чем первого; положим Х3 = 1, Х2 = 2. Интенсивности потоков окончаний ремонтов узлов примем равными щ = 2 и ц2 = 3. Используя заданные интенсивности потоков отказов и окончаний ремонтов, перепишем (12) в виде:
3^1 =2^2 +З^3;
4р2 = Рх +3р4;
(*)(*)4^з =2рх + 2^4;
(*)
(*)
Рх + р^ + Рз + Ра = 1-
Решая эту систему уравнений, находим: рх = 0,4, р2 = 0,2, р3 = 0,27,р4 = 0,13. Получается, что в среднем 40% времени оба узла работаютодновременно (система находится в состоянии АД, 20% времени ра-60
ботает первый узел, а второй ремонтируется (состояние 52), 27% времени работает второй узел, а первый ремонтируется (состояние 53), 13% времени оба узла ремонтируются (состояние 54). Нетрудно подсчитать доход, который дает наша система в единицу времени:
(5 + 10) ■ 0,4 + 5 ■ 0,2 + 10 ■ 0,27 = 9,7 единиц.
Допустим, что предлагается некоторая рационализация, позволяющая вдвое сократить время ремонта либо первого, либо второго узла. По ряду причин мы можем применить рационализацию лишь к одному из узлов. Спрашивается, какой узел следует выбрать — первый или второй? Перед нами конкретный пример практической ситуации, когда, пользуясь теорией вероятностей, надо научно обосновать принятие решения.
Предположим, мы выбрали первый узел. В результате рационализации интенсивность потока окончаний этого узла увеличивается вдвое, так что теперь щ = 4 (остальные интенсивности остаются прежними: Xi = 1, Х2 = 2, ц2 = 3). Уравнения (12) принимают теперь вид:
За = 4а +За;
6 а = а +За;
4 а = 2а +4а;
Р\ + Ру + Ру + р^ = 1.
Решая эту систему, находим: а = 0,48; а = 0,12; а = 0,32; а = 0,08. С учетом полученных предельных вероятностей определяем доход, который теперь будет давать наша система:
(5 + 10) ■ 0,48 + 5 0,12+ 10- 0,32 = 11 единиц.
Если мы выберем не первый, а второй узел, то в результате рационализации удвоится интенсивность потока окончаний ремонтов второго узла — теперь ц2 = 6 (остальные интенсивности: 2^ = 1, Х2 = 2, а = 2). Уравнения (12) принимают теперь вид:
За = 4а +6а;
(***)(***)4 А = А +6а;
(***)
(***)
7 А = 2а +2 а;
Р\ + Ру + Ру + р^ = 1.
Решая эту систему, находим: рх = 0,5; а = 0,25; Ру = 0,17; а = 0,08. Подсчитываем доход:
(5 + 10) ■ 0,5 + 5 ■ 0,25 + 10 ■ 0,17 = 10,45 единиц.
Мы видим, таким образом, что выгоднее применить рационализацию к первому узлу.
ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ 2
Что представляют собой четыре состояния на графе, изображенном на рис. 4 в таблице 3?
Подсчитайте, чему будут равны после шестого шага вероятности состояний S± и S2 в системе, рассматривавшейся в §2.3. Предполагается, что перед первым шагом система находилась в состоянии S1.
Ответы: ^(6) = 0,58336, р2(6) = 0,41664.
Убедитесь, что, если система, рассматривавшаяся в § 2.3, находилась перед первым шагом в состоянии S2, то после пятого шага вероятности состояний S± и S2 будут равны, соответственно, 0,5835 и 0,4165.
Сколько надо сделать выстрелов, чтобы вероятность полного поражения цели в задаче из § 2.4 оказалась более 0,9?
Ответ: Не менее пяти выстрелов (р4(4) =0,8864, р4(5) = 0,9497)
Воспользовавшись соотношением (6) определите значение Хт, при котором вероятность появления одного события на промежутке т точно равна вероятности непоявления ни одного события на данном промежутке времени (рассматривается пуассоновский поток событий с интенсивностью X).
Ответ: Хт = 1.
Такой же вопрос, но при условии, что вероятность появления одного события на промежутке т равна вероятности появления на этом промежутке двух событий. Ответ: Хт = 2.
Такой же вопрос, но при условии, что вероятность появления на промежутке т двух событий равна вероятности непоявления на этом промежутке ни одного события.
Ответ: Хт = V2.
Такой же вопрос, но при условии, что вероятность появления на промежутке т двух событий в 100 раз меньше вероятности появления на этом промежутке одного события.
Ответ: Хт =1/50.
Подсчитайте предельные вероятности состояний St, S2, S3, S4b случае, представленном на рис. 6 в таблице 6, полагая, что интенсивности потоков событий имеют значения: Х± = 2, Х2 = 1, Х3 = 1, ^ = 3, ц = 2.
Ответы: ^ = 4 / 15, р2 = 8 / 15, р3 = 2 / 15, р4 = 1 /15.
Чему равны предельные вероятности состояний St, S2, S3, S4b случае, представленном на рис. 4 в таблице 6?
Ответы: р± = р3 = 0, р2 = ц2 / (Х2 + ц2), р4 = Х2 / (Х2 + ц2)
Подсчитайте предельные вероятности состояний St, S2, S3, S4b случае, представленном на рис. 5 в таблице 6, полагая, что Х1 = 2, Х2 = 3, ц = 4.
Ответы: р1 = 12 / 53, р2 = 8 / 53, р3 = 18 / 53, р4 = 15 / 53.
ТЕМА 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ:СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
При исследовании операций часто приходится сталкиваться с работой своеобразных систем, называемых системами массового обслуживания. Примеры таких систем: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, магазины, парикмахерские и т. п. Процесс работы системы массового обслуживания представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Состояние системы меняется скачком в моменты появления каких-то событий — или прихода очередной заявки, или окончания обслуживания, или момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь...
Е. С. Вентцелъ
Первоначально вопросы, приведшие к возникновению теории массового обслуживания (теории очередей), появились в связи с эксплуатацией телефонных сетей. Затем оказалось,
что подобные же задачи возникают при рациональной организации торговли, целесообразной эксплуатации производственного оборудования, расчете пропускной способности дорог, мостов, переездов, аэродромов, шлюзов, морских портов и т. д.
Б. В. Гнеденко
Проблемы массового обслуживания
В первой четверти ХХ-го столетия возникло и начало развиваться новое направление в тории вероятностей, названное по предложению видного российского математика Александра Яковлевича Хинчина (1894-1959) «теорией массового обслуживания». А.Я. Хинчин не только подарил название новоявленной теории, но и внес весьма существенный вклад в ее развитие.
А началось все с работ сотрудника Копенгагенской телефонной компании датского ученого Агнера Эрланга (1878-1929), который заинтересовался проблемами телефонных станций. В начале века телефонная техника делала лишь первые шаги. В те годы на телефонных станциях напряженно трудились телефонистки, которые по мере поступления вызовов должны были быстро соединять одних абонентов с другими. Первая проблема заключалась в том, что телефонные вызовы поступали в случайные моменты времени. В течение малого промежутка могло поступить чрезмерно большое число вызовов и, наоборот, в течение какого-то времени вызовы могли совсем не поступать. Вторая проблема заключалась в непредсказуемости длительности каждого отдельного телефонного разговора. Продолжительность разговоров являлась случайной величиной. И вот в условиях такой «двойной случайности» необходимо было принимать решения по проектированию телефонной системы, определять объем оборудования, количество телефонисток, режим их работы.
С того времени интерес к проблемам массового обслуживания начал быстро расти. Стремление более эффективно обслуживать большие массы людей потребовало изучения закономерностей образования очередей. Очереди в магазинах, поликлиниках, парикмахерских, билетных кассах, на предприятиях общественного питания и бытового обслуживания — все они оказались в центре внимания теории массового обслуживания и дали ей второе название — теория очередей.
Скоро стало ясно, что задачи, рассматриваемые в данной теории, выходят за рамки сферы услуг, имеют более широкую область применения, предполагающую более широкую трактовку самого термина «обслужива-
ние». Возьмем, например, работу крупного морского порта, в который прибывают суда из разных стран. Все эти суда требуется обслужить — провести разгрузку, погрузку, ремонт, заправку и т. д. Для этого необходимо организовать соответствующим образом работу порта, предусмотреть оптимальные количества причалов, кранов, автопогрузчиков, рабочих. Все решения приходится принимать в условиях неопределенности, обусловленных как случайностью времени прихода судов в порт, так и непредсказуемости продолжительности обслуживания каждого конкретного судна.
При организации работы промышленного предприятия необходимо учитывать, что различные его узлы и устройства время от времени выходят из строя и требуют обслуживания, представляющего собой проведение соответствующих ремонтных работ. Эта система массового обслуживания также имеет дело с «двойной случайностью» — случайностью моментов выхода из строя того или иного узла (устройства) и случайностью моментов окончания ремонтных работ.
С теорией массового обслуживания мы встречаемся и тогда, когда рассматриваем работу счетчика Гейгера. Он применяется в ядерной физике для счета заряженных частиц. Когда частица попадает внутрь счетчика Гейгера, там возникает разряд, по которому и фиксируется появление частиц. Пока происходит разряд, новая частица не может быть зарегистрирована (не может быть «обслужена») данным счетчиком. Случайны моменты появления частицы в счетчике, случайные колебания испытывает длительность разряда (время «обслуживания»). Налицо ситуация, характерная для систем массового обслуживания.
Итак, большие массы людей, массы судов в порту, массы технических устройств, массы частиц — все они должны быть обслужены (в том или ином смысле). Во всех подобных примерах случайны моменты начала обслуживания и случайны моменты окончания обслуживания. Этим обуславливается случайный характер процессов, происходящих во всех системах массового обслуживания. Во многих случаях эти процессы можно представлять в виде марковских случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Основные понятия, используемые
В ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Система массового обслуживания (СМО) имеет одну или несколько обслуживающих единиц — так называемых каналов обслуживания. Когда вы, приходя в парикмахерскую, интересуетесь количеством работающих
мастеров, вы тем самым выясняете, чему равно в данном случае число каналов обслуживания. В других ситуациях число каналов обслуживания есть число телефонов на переговорном пункте, число кассиров в билетной кассе, число колонок на автозаправочной станции, число причалов в порту и т. п. Приходя в поликлинику к определенному врачу, мы имеем дело с одноканальной СМО.
Каждая СМО предназначена для обслуживания потока заявок, которые поступают в систему в случайные моменты времени. В роли заявки может выступать появление пассажира в билетной кассе, пациента в кабинете врача, клиента в парикмахерской, автомобиля на автозаправочной станции, судна в порту, частицы в счетчике Гейгера ит. д. Интенсивность потока заявок X есть среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени.
Важной характеристикой СМО является производительность канала ц — среднее число заявок, которое может обслужить канал в единицу времени. Величина ц есть интенсивность потока событий, являющихся окончаниями обслуживания заявок (короче говоря, интенсивность потока обслуживании). Этот поток рассматривается по отношению к тому или иному каналу обслуживания.
Введем также величину Тобсл — среднее время обслуживания каналом одной заявки.
Поскольку среднее число заявок, обслуживаемых в канале в единицу времени, есть ц, то ясно, что
^обсл=1/й-(1)
Переходы СМО из одних дискретных состояний в другие происходят случайным образом под действием указанных выше двух потоков событий — потока заявок и потока обслуживании. Будем полагать, что оба эти потока простейшие (пуассоновские) и поэтому процессы в СМО можно рассматривать по схеме марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем. Обозначим через Р^3®®^) вероятность появления в системе т заявок в промежутке времени т, а через Р^*бсл (т) обозначим вероятность обслуживания в рассматриваемом канале системы т заявок (вероятность т обслуживания в канале) в промежутке времени т. Так как потоки заявок и обслуживаний простейшие (пуассоновские), то, следовательно,
Р^ЧЧ^тГ^Ут1.М
Чтобы судить об эффективности работы СМО, вводятся величины: А — абсолютная пропускная способность системы (среднее число заявок, которые система может обслужить в единицу времени); q — относительная пропускная способность системы (средняя доля поступивших заявок, которую может обслужить система, или, иными словами, вероятность того, что поступившая в систему заявка будет обслужена); Ротк — вероятность того, что поступившая в систему заявка не будет обслужена (иными словами, это есть средняя доля необслуженных заявок, которые поступили в систему).
Очевидно, что
А = qX(2)
и что
Атк = l-q.(3)
Казалось бы, зная ц, можно найти А с помощью простого равенства А = pTV, где N — число каналов обслуживания в системе. Так бы оно и было, если бы каждый канал был занят обслуживанием все время. Однако обычно часть времени различные каналы «простаивают»; поэтому нужно в указанном выше равенстве использовать не N, а среднее число занятых каналов N:
А = pN.(4)
Будем рассматривать еще две характеристики системы:
ГСИст — среднее время пребывания заявки в системе,
/ — среднее число заявок, находящихся в системе.
Эти величины связывает друг с другом соотношение (так называемая формула Литтла)-.
^сист=7А,(5)
которое мы приводим без доказательства. Среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.
Вычисляя те или иные характеристики различных СМО (например, q, N, Тсист), мы будем рассматривать стационарный (установившийся) режим и будем использовать предельные вероятности состояний системы.
Виды СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Хрежде всего отметим, что СМО подразделяются на одноканальные (N= 1) и многоканальные (N> 1). Как те, так и другие бывают
двух видов: системы с отказами и системы с очередью (или, иными словами, системы с ожиданием).
Если заявка поступает в систему с отказами в тот момент, когда все каналы системы заняты, то она получает «отказ» и покидает систему не будучи обслуженной. С подобными системами мы все знакомы на примере обычного телефона. Если абонент занят, ваша заявка получает отказ, и вы можете повесить трубку. Повторно набирая номер абонента, вы тем самым посылаете новую заявку.
Более часто на практике встречаются системы с очередью, называемые также системами с ожиданием. Недаром теорию массового обслуживания называют также теорией очередей. В таких системах заявка, появившаяся в момент, когда все каналы обслуживания заняты, встает в очередь и ожидает, пока не освободится какой-то из каналов. Существуют системы с неограниченной очередью (стоящая в очереди заявка рано или поздно будет обслужена; при этом число мест в очереди не ограничено) и системы с ограниченной очередью. Используются также термины «система с неограниченным ожиданием» и «система с ограниченным ожиданием».
Ограничения могут быть разными:
по числу заявок, одновременно стоящих в очереди (в очереди должно быть не более некоторого количества заявок; всякая дополнительная заявка получает отказ);
по времени пребывания заявки в очереди (после некоторого срока пребывания в очереди заявка, если она не начала обслуживаться, покидает систему);
по времени работы системы (прием заявок к обслуживанию происходит в течение определенного времени, по истечении которого все заявки в очереди, которые не начали обслуживаться, покидают систему).
Может учитываться также дисциплина обслуживания. Обычно заявки обслуживаются в порядке их поступления в систему (раньше пришла — раньше обслуживается). Возможно также обслуживание в случайном порядке. Нередко встречается так называемое обслуживание с приоритетом — когда некоторые заявки обслуживаются вне очереди. При этом заявка с более высоким приоритетом, поступив в систему, может оборвать уже начавшееся обслуживание заявки с меньшим приоритетом, но может дождаться окончания предыдущего обслуживания. В первом случае говорят об абсолютном приоритете, а во втором — об относительном.
Заметим, что для СМО с неограниченной очередью несущественны как абсолютная, так и относительная пропускная способность системы.
Ведь каждая поступившая заявка будет обслужена рано или поздно. Зато для таких СМО весьма важными характеристиками являются:
г — среднее число заявок в очереди и
Гож — среднее время ожидания заявки в очереди.
Очевидно, что
г=ХТ0Ж.(6)
Теперь среднее время пребывания заявки в системе (Теист) складывается из среднего времени ожидания в очереди (Тож) и среднего времени обслуживания (Гобсл), умноженного на вероятность обслуживания, т. е. на относительную пропускную способность системы (q);
-^сист = ^ож + ^обсл ' 9-(7)
Среднее число заявок в системе ^ складывается теперь из среднего числа заявок в очереди (г) и среднего числа заявок, находящихся под обслуживанием, т. е. среднего числа занятых каналов (#):
f=r+N.(8)
Для СМО с ограниченной очередью представляют интерес обе группы характеристик: как характеристики ожидания, так и абсолютная и относительная пропускная способности системы.
Системы массового обслуживания всегда являются многокритериальными. Они характеризуются набором показателей эффективности. В качестве таковых могут выступать:
среднее число заявок, которое может обслужить система в единицу времени,
среднее число занятых каналов обслуживания,
среднее число заявок, находящихся в очереди,
среднее время ожидания заявки в очереди,
средняя доля необслуженных заявок из тех заявок, которые поступили в систему,
вероятность того, что поступившая в систему заявка начнет немедленно обслуживаться.
Возможны также другие показатели эффективности.
Представляется естественным, что при организации работы той или иной СМО следует стремиться к сокращению среднего числа заявок, находящихся в очереди, к сокращению времени ожидания обслуживания. Хотелось бы максимизировать вероятность того, поступившая в систему заявка начнет немедленно обслуживаться, а долю необслуженных
заявок хотелось бы свести к минимуму. Для этого надо повышать производительность системы (уменьшать время обслуживания заявки), рационализировать режим работы системы, увеличивать число каналов обслуживания. Однако при увеличении числа каналов неизбежно снижается такой показатель как среднее число занятых каналов. Это означает, что возрастает время, в течение которого тот или иной канал не будет занят обслуживанием, будет простаивать.
Таким образом, возникает необходимость оптимизации работы системы. Число каналов обслуживания не должно быть чрезмерно малым (чтобы не возникали длинные очереди и не возрастало число необслу- женных заявок), но оно не должно быть слишком большим (чтобы не возрастали число и длительность простоев в каналах обслуживания).
Отметим, что оптимизация работы СМО может производиться как с точки зрения интересов владельцев (организаторов) СМО, так и с точки зрения интересов обслуживаемых клиентов. С первой точки зрения желательно «выжать все, что возможно» из системы и добиться, чтобы ее каналы были предельно загружены. С точки зрения клиентов желательно уменьшение очередей. Разумный подход к оптимизации СМО предполагает комплексное и по возможности полное рассмотрение всех последствий каждого решения.
Построение и анализ математической модели позволяет достаточно разумно (с учетом различных «за» и «против») подойти к проблеме оптимизации СМО. Поэтому не будем выделять в задачах массового обслуживания какого-либо одного показателя эффективности, а будем сразу рассматривать эти задачи как многокритериальные. Для многих систем массового обслуживания подходит математическая модель, известная как «схема гибели и размножения». Познакомимся с ней поближе и получим для нее предельные вероятности состояний системы в общем виде, не интересуясь конкретным содержанием системы и ее состояний.
Схема гибели и размножения
Непрерывные марковские цепи, моделируемые по схеме гибели и размножения, могут быть достаточно разнообразными в отношении содержания. Не вникая пока в конкретное содержание процессов, рассмотрим схему гибели и размножения в общем виде, представив ее графом состояний, показанным в таблице 7.
(13)(13)Р° < I ^01 | ^оЛ12 | ^01^12^23 ,, ^oA12_ii^21zL«
(13)
(13)
11Хю ХгДю X32X2iX10 ^л,л.1-ЛАю
1
1
Р° 1 + Р1 /Ро+ Р2/Ро + Рз/Ро+ • • • + Рл/Ро
Особенность графа состояний для схемы гибели и размножения в том, что состояния (пусть их число равно п + 1) можно представить в виде цепочки (So- Sx - S2- S3-...- 8п), в которой каждое из состояний 5b S2, S3, S4,..., S„_। связано парой входных и парой выходных стрелок с левым и правым соседями — состояниями, ближайшими к данному состоянию. Так, из состояния ^выходят стрелки к состояниям 50и S2 (интенсивности потоков — Х10и Х12 соответственно) и входят в состояние ^стрелки из состояний 50и S2 (интенсивности потоков — Х01 и Х21 соответственно). Что касается двух крайних состояний (50и 8^, то каждое из них связано входной и выходной стрелками только с одним из соседей (или левым, или правым).
Термин «схема гибели и размножения» имеет биологическое происхождение — подобной схемой моделируют процессы, связанные с изменениями численности популяции. Если под 8, понимать состояние, в котором численность популяции равна i, то переход 5Z 5/+1 означает возрастание популяции на единицу (процесс размножение), а переход 5,—>-У,^ означает уменьшение популяции на единицу (процесс гибели).
(рассматриваем состояние 50) (состояние У,) (состояние S2) (состояние 53)(рассматриваем состояние 50) (состояние У,) (состояние S2) (состояние 53)Будем исходить из размеченного графа состояний, данного в таблице 7, и воспользуемся правилом, сформулированным в §2.8. Рассмотрев п состояний (50, 5b S2,..., «У^), получим следующие п уравнений для п + 1 предельных вероятностей р0, рх, р2,..., рп:
(рассматриваем состояние 50) (состояние У,) (состояние S2) (состояние 53)
(рассматриваем состояние 50) (состояние У,) (состояние S2) (состояние 53)
^oi^o — ^юА;
(9)(9)^ыА + МоА = ^01А) + 'XllPl’ Х^Рг +^-23Т)2 = М2А +^32А; ^34А + ^32А = Х23Р2 "VX43p4;
(9)
(9)
(состояние 8^ Хи+хрх + Хм_хр{ = Х^р^х + Хмлрих;
(состояние^) Хп_Хлрп_х +Хп_Хл_2рп_х = Хп_2^п_хрп_2 +Хпл_хрп.
В качестве (л + 1)-го уравнения воспользуемся соотношением (11) из § 2.8:
(Ю)(Ю)Ро + Pl + Pl + Рз + ••• + Рп — 1-
(Ю)
(Ю)
Легко видеть, что с учетом первого уравнения второе уравнение в (9) приводится к виду:
^12^1 = МхР2-(*)
С учетом (*) третье уравнение из (9) приводится к виду:
^23^2 = ^32Рз-(**)
С учетом (**) четвертое уравнение из (9) приводится к виду:
^34/*3 = ^-43Рл-
И так далее.
Последнее уравнение из (9) приводится к виду:
^л-1, п Рп-Х ^п, п-ХРп •
В результате получаем следующую систему п уравнений для предельных вероятностей рй, pv ръ..., рп:
^ОХРо = ^lolb
(И)(И)= ^2ХРЪ ^23 Pl = ^32^3 i ^“34/,3 = ^43АЙ ^45^4 = ^54^5;
(И)
(И)
\-X,iPi-X ^4,i-XPh
^п-Х,пРп-Х ^п,п-ХРп-
Эту систему уравнений надо дополнить (л + 1)-м уравнением — уравнением (10).
Рассматривая последовательно (начиная с 1-го и кончая л-м) уравнения (11), мы можем выразить каждую из вероятностей pt (i = 1, 2, 3,..., п) через вероятность />0 — см. своеобразную «пирамиду» равенств в таблице 7 (соотношения (12)). А чтобы найти р0, надо воспользоваться соотношением (10) — в результате получаем для р0 соотношение (13) (оно также приведено в таблице 7).
Соотношения (12) и (13), полученные при использовании графа состояний для схемы гибели и размножения, будут использованы ниже — при рассмотрении некоторых задач теории массового обслуживания.
Простейшая СМО — одноканальная системас ОТКАЗАМИ
Будем рассматривать данную СМО как систему, которая может находиться в двух состояниях:
So — канал обслуживания свободен, система готова к обслуживанию, 5) — канал обслуживания занят, система обслуживает заявку.
Переход Ао —> ^ происходит под действием потока заявок, характеризующегося интенсивностью А. Переход А) -> 50 происходит под действием потока обслуживаний с интенсивностью ц.
Граф состояний данной СМО может рассматриваться как частный случай графа, данного в таблице 7. Нужно оставить на том графе только состояния Ад и ^ и две стрелки — для перехода Ао -> 5) (теперь А01 есть интенсивность А потока заявок) и для перехода ^ —> Ао (теперь А10 есть интенсивность ц потока обслуживаний). В результате получим очень простой граф состояний — см. рис. 1 в таблице 8. Соотношениям (13) и (12) отвечают теперь соотношения:
-1_ И .
+ (Х/ц)А + ц ’
(14)(14)А А
(14)
(14)
^ = ц^ = хТ1Г
Предельная вероятность р0 состояния 50 есть вероятность того, что по установлении стационарного режима (при t —> оо) наша система будет находиться в состоянии Ао и поступившая в систему заявка будет обслуживаться. Иными словами, это есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q. Итак, для рассматриваемой одноканальной СМО с отказами можем записать:
(15)(15)q = Ло = в/(А+ц).
(15)
(15)
С учетом (2) получаем отсюда абсолютную пропускную способность нашей системы:
А = qX = Ац/(А + ц).
Вероятность отказа:
^отк = 1-9 = А/(А+ц).
Предположим, что в некотором поселке есть единственная телефонная линия, характеризующаяся интенсивностью потока вызовов
Одноканальная СМО с отказами
Рис.1Рис.1
Рис.1
Рис.1
q — канал обслуживания свободен,
। — канал обслуживания занят, система обслуживает заявку.
Эд — все N каналов свободны,
Si — занят один канал (под обслуживанием одна заявка), S2 — заняты два канала (под обслуживанием две заявки),
S3 — заняты три канала (под обслуживанием три заявки),
S„ — заняты все N каналов (под обслуживанием N заявок).
Интенсивность потока обслуживаний для каждого канала — р Если заняты (находятся в работе) I каналов, то интенсивность потока обслуживаний системы — /ц
Рис.2
X = 0,8 мин"1. Учитывая, что линия единственная, власти ввели ограничение — длительность телефонного разговора не должна превышать одной минуты. Благодаря этому ограничению среднее время обслуживания заявки Тобел оказалось равным 50 с. Следовательно, интенсивность потока обслуживания равняется ц = 1 / Т^^ = 1: 5 / 6 = 1,2 мин-1. С учетом (15) заключаем, что
q= 1,2/(0,8 + 1,2) =0,6.
Это означает, что в установившемся режиме система обслуживает около 60% поступающих вызовов, а 40% поступивших заявок получают отказ.
Для снижения вероятности того, что поступившая в систему заявка получит отказ, надо или еще больше ограничивать допустимое время телефонного разговора (уменьшать Гобсл и тем самым увеличивать ц), или просить пореже пользоваться телефоном (уменьшать X). Если не предпринимать мер принуждения, то в этом случае надо увеличивать число каналов обслуживания, т. е. создать несколько телефонных линий.
3.6 Многоканальная СМО с отказами; формулы Эрланга
Рассмотрим JV-канальную систему массового обслуживания с отказами. Занумеруем возможные состояния системы по числу занятых каналов, или, иначе говоря, по числу заявок, находящихся под обслуживанием. Состояния рассматриваемой системы:
Ад — все каналы свободны,
Ai — занят один канал (под обслуживанием одна заявка),
52 — заняты два канала (под обслуживанием две заявки),
Аз — заняты три канала (под обслуживанием три заявки),
SN — заняты все N каналов (под обслуживанием N заявок).
Граф состояний системы представлен на рис. 2 в таблице 8. По стрелкам в направлении слева направо систему переводит поток заявок с интенсивностью X. Этот поток переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое. С интенсивностями потоков обслуживаний все обстоит намного сложнее. Пусть система находится в состоянии 5) (занят один канал). Как только закончится обслуживание заявки, находящейся под обслуживанием в этом канале, система перейдет из 5) в Ао. Предположим, что поток событий, переводящий систему по стрелке S, —> So имеет интенсивность ц. Рассмотрим теперь систему в состоянии А2
(заняты два канала). Чтобы системе перейти из 52в Sx, нужно, чтобы либо закончил обслуживание первый канал, либо закончил обслуживание второй канал. Суммарная интенсивность потоков обслуживаний двух каналов равна 2ц; поэтому полный поток событий, переводящий систему по стрелке S2=> Sx, имеет интенсивность 2ц. Понятно, что полный поток событий, переводящий систему по стрелке 53 -> 52, имеет интенсивность Зц. И вообще: полный поток событий, переводящий систему по стрелке 5,- —> 8Х_Х и имеет интенсивность /ц.
Чтобы найти предельные вероятности р0, рх, ръ Рз,..., р№ воспользуемся результатами (12) и (13), положив там Х;-1> , = Х и Xj ,_1 = /ц для i = 1, 2, 3,..., N. Мы получим:
Pi = 5—3~ц • 2ц • Зц... ;ц1 ш2Ро = 1 + -+ - ц ШPi = 5—3~ц • 2ц • Зц... ;ц1 ш2Ро = 1 + -+ - ц ШРо=№У р0/п, / = 1,2, з,...,А;Ро=№У р0/п, / = 1,2, з,...,А;1 Ш3 J_2! +[ц] 3!1 Ш3 J_2! +[ц] 3!ц] А!ц] А!-1-1(16)(16)
Pi = 5—3~
ц • 2ц • Зц... ;ц
1 ш2
Ро = 1 + -+ - ц Ш
Pi = 5—3~
ц • 2ц • Зц... ;ц
1 ш2
Ро = 1 + -+ - ц Ш
Ро=№У р0/п, / = 1,2, з,...,А;
Ро=№У р0/п, / = 1,2, з,...,А;
1 Ш3 J_
2! +[ц] 3!
1 Ш3 J_
2! +[ц] 3!
ц] А!
ц] А!
-1
-1
(16)
(16)
Вводя обозначение Х/ц = р, где р — так называемая «приведенная интенсивность» потока заявок, перепишем (16) в виде:
Pi=plpJiV i=l,2,3,...,N;
(17)(17)Ро =[1+р + р2/2! +р3/3! +... + p^/TV ?]
(17)
(17)
Соотношение (17) называют формулами Эрланга.
Заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все N каналов заняты. Вероятность этого равна:
P««=PN = VN pjNV(18)
Отсюда следует, что вероятность принятия заявки к обслуживанию (иными словами, относительная пропускная способность q) равна
« = 1--Р»тк = 1-р^Ро/ЛЧ.(19)
Абсолютная пропускная способность:
A = Xq = X(l-pNpjN'YA = Xq = X(l-pNpjN'Y(20)(20)
A = Xq = X(l-pNpjN'Y
A = Xq = X(l-pNpjN'Y
(20)
(20)
Среднее число занятых каналов N найдем, воспользовавшись соотношениями (4) и (20):
А = Я/ц = р(1-р^д0/№).(21)
Ранее мы ввели такую характеристику системы как среднее число заявок, находящихся в системе /. Для многоканальной СМО с отказами: 7 = N .
ЪП Сколько ТРЕБУЕТСЯ КАНАЛОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ?
Предположим, что на станцию телефонного обслуживания поступают в среднем 1,5 заявки в минуту, а среднее время обслуживания одной заявки любым каналом составляет 2 мин. Значит, р = Х/ ц=1,5/(1/2) = 3. Пусть число каналов обслуживания (число телефонных линий) равно N= 3. Используя соотношения (17), находим:
^0 =[1 + р + р2/2 + р3/б]“1 =1/12 «0,08.
Учитывая этот результат и используя (19), определяем вероятность того, что поступившая в систему заявка будет обслужена (определяем относительную пропускную способность системы):
^ = 1-р3^0/б« 1-27-0,08/6 «0,64.
При этом среднее число занятых каналов равно, с учетом (21):
7У = р(1-р3^0/б)« 3-0,64 = 1,92,
что составляет 64% от всего числа каналов.
Итак, вероятность отказа составляет 0,36 (в среднем 36% поступающих в систему заявок к обслуживанию не принимаются). Это многовато. Поэтому мы принимаем решение увеличивать число каналов обслуживания.
Попробуем добавить еще один, четвертый, канал. В этом случае подсчитываем:
^0 =[1 + р + р2/2 + р3/б + р4/24]"1 =1/15,38 «0,065
и, значит, 5=1- р4/^ / 24 « 1 - 81 ■ 0,065 / 24 « 0,78. При этом число занятых каналов становится равным N «2,34, что составляет 59% от всего числа каналов.
По-видимому, решение о добавлении четвертого канала являлось вполне обоснованным, поскольку при сравнительно небольшом снижении доли занятых каналов (с 64% до 59%) происходит довольно значительное увеличение вероятности обслуживания — с 0,64 до 0,78.
Дальнейшее увеличение числа каналов может оказаться невыгодным из-за снижения эффективности использования СМО вследствие простоев в каналах. Здесь необходим более детальный анализ с учетом стоимости каждого канала.
Одноканальная СМО с ограниченной очередью
Самая простая СМО с ожиданием (с очередью) — это одноканальная система (N= 1), у которой число мест в очереди ограничено; пусть оно равно т. Предположим, что в систему поступает поток заявок с интенсивностью X (т. е. в среднем X заявок в единицу времени.) Интенсивность потока обслуживаний обозначим через ц (непрерывно занятый канал обслуживает в среднем р заявок в единицу времени). Заявка, поступившая в систему в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Если заявка пришла в момент, когда в очереди уже стоят т заявок, она покидает систему необслуженной.
Состояние системы будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе. Граф состояний показан на рис. 1 в таблице 9. Изображенная на рисунке схема есть, как легко видеть, схема гибели и размножения, представленная в таблице 7, в которой надо положить:
Ьщ+1 = X, Xi+U = ц (z = 0,1,2,3,..., т +1). (*)
Используя (12) и (13), находим, с учетом (*):
Л=(Ш'Ро (z =1,2,3,...,/и+1);
(22)(22)(23)(23)Ро = [1 + ^/й +(^-/ц)+(А/ц)]
(22)
(22)
(23)
(23)
Введя обозначение р = X / ц, преобразуем (22) к виду:
Pi=p‘Po (z = 1,2,3,..., zzz + 1);
Ро = [l+p + p2+p3 + ...+ pm+1] 1 = (1— р)/(1— pm+2).
Здесь мы учли, что стоящая в квадратных скобках сумма есть геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем р.
Заметим, что при р = 1 второе соотношение в (23) принимает особенно простой вид:
Ро =1/(/и + 2).
Таблица 9. Одноканальные системы массового обслуживания с очередьюТаблица 9. Одноканальные системы массового обслуживания с очередьюОдноканальная СМО с ограниченной очередью(имеются т мест в очереди)Одноканальная СМО с ограниченной очередью(имеются т мест в очереди)— канал свободен,— канал свободен,SoSis2S3SoSis2S3— канал занят,— канал занят,очереди нет,очереди нет,— канал занят, одна заявка стоит в очереди,— канал занят, одна заявка стоит в очереди,— канал занят, две заявки стоят в очереди,— канал занят, две заявки стоят в очереди,/и+1/и+1— канал занят, т заявок стоят в очереди (все места— канал занят, т заявок стоят в очереди (все местав очереди заняты).в очереди заняты).Рис.1Рис.1Одноканальная СМО с неограниченной очередьюОдноканальная СМО с неограниченной очередью
Таблица 9. Одноканальные системы массового обслуживания с очередью
Таблица 9. Одноканальные системы массового обслуживания с очередью
Одноканальная СМО с ограниченной очередью(имеются т мест в очереди)
Одноканальная СМО с ограниченной очередью(имеются т мест в очереди)
— канал свободен,
— канал свободен,
So
Sis2
S3
So
Sis2
S3
— канал занят,
— канал занят,
очереди нет,
очереди нет,
— канал занят, одна заявка стоит в очереди,
— канал занят, одна заявка стоит в очереди,
— канал занят, две заявки стоят в очереди,
— канал занят, две заявки стоят в очереди,
/и+1
/и+1
— канал занят, т заявок стоят в очереди (все места
— канал занят, т заявок стоят в очереди (все места
в очереди заняты).
в очереди заняты).
Рис.1
Рис.1
Одноканальная СМО с неограниченной очередью
Одноканальная СМО с неограниченной очередью
q — канал свободен,
! — канал занят, очереди нет,
i — канал занят, /-1 заявок стоят в очереди
( / = 2, 3, 4, 5,...).
Стационарный режим устанавливается при условии X < Ц .
Если X > Ц, то стационарный режим не устанавливается и очередь при t^ ос растет неограниченно.рис 2
Очевидно, что поступившая в нашу систему заявка получает отказ тогда, когда канал занят и при этом заняты также все т мест в очереди, т. е. когда система находится в состоянии Л^р Значит, вероятность отказа равна
=Л„+| =Р"+1(1-Р)/(1-р'"+!)-(24)
Относительная пропускная способность системы:
Интересно найти среднее число г заявок, находящихся в очереди. С вероятностью ^2В очереди стоит одна заявка. С вероятностью />3в очереди стоят две заявки, с вероятностью р^ — три заявки, с вероятностью Pi — z -1 заявок. Величину г можно определить, подсчитав сумму:
т+1
r = ^U-^Pi-(26)
Z=2
С учетом (23) перепишем (26) в виде:
/тт+1т+1т
г = Po^i-^W = Ро^Ц^-^^"1 =Po^HV"X- (***) Z=2Z=2к=\
(мы ввели по ходу дела обозначение к = i - 1). Без вывода приведем соотношение:
ттк=1к=11 + р™ (тр - т -1)(1-Р)21 + р™ (тр - т -1)(1-Р)2(27)(27)
т
т
к=1
к=1
1 + р™ (тр - т -1)(1-Р)2
1 + р™ (тр - т -1)(1-Р)2
(27)
(27)
Используя это соотношение, получаем из (***):
-7 1 + Р™ (^Р - ^ - 1)
г = ^Р ———^
или, с учетом того, что р0 = (1 - р) / (1 - рт+2),
(28)
Среднее время ожидания заявки в очереди Гож равно среднему числу заявок в очереди г , деленному на интенсивность потока заявок — см. (6). Следовательно,
г р[1 + Рт (тр - т -1)]°Ж X
Результат (29) можно было бы получить также из следующих рассуждений. Вот в какой-то момент времени в систему поступает заявка. Вероятность того, что в этот момент канал будет занят, а все места в очереди свободны, есть вероятность рх. В этом случае заявка будет ждать начала обслуживания в течение времени 1 / ц. Вероятность того, что в момент поступления заявки в систему канал занят и занято одно место в очереди, есть вероятность р2. В этом случае заявка будет ждать начала обслуживания в течение времени 2 / ц. Вероятность того, что в момент поступления заявки в систему канал занят и заняты I- 1 мест в очереди, есть вероятность р,. В этом случае заявка будет ждать начала обслуживания в течение времени i / ц. Нетрудно сообразить, что
т№ = рД+р2^- + ...+р^+...+рт^.(30)
Отсюда можно получить результат (29).
Насколько целесообразно увеличиватьЧИСЛО МЕСТ В ОЧЕРЕДИ?
^вое предпринимателей задумали построить на обочине некоторого шоссе автозаправочную станцию. Они оценили, что на данном участке шоссе следует ожидать поток заявок с интенсивностью X = I мин"1 (в среднем одна машина в минуту будет заворачивать на автозаправочную станцию). Длительность обслуживания машины, по оценкам предпринимателей, будет составлять в среднем 2 мин (ц = 0,5 мин"1). Для начала было решено построить станцию с одной заправочной колонкой и с двумя местами в очереди (заметим, что станция будет находиться на обочине шоссе, так что для каждого места ожидания нужно заасфальтировать определенную площадь).
Прежде чем начать строительство, предприниматели подсчитали вероятность отказа Ротк и время ожидания в очереди Гож. Итак, N = 1, т = 2,
Х=1мин-1, ц = 0,5 мин", р = Х/ц = 2. Используя (24), они получили Ругк = 8 / 15 = 0,533, а используя (29), получили Тож = 20 / 15 = 1,33 мин.
Вполне справедливо предприниматели рассудили, что вероятность отказа 0,533 довольно высока и желательно ее снизить. Первый предприниматель считал, что для этого достаточно увеличить число мест в очереди, тогда как второй предлагал запланировать строительство еще одной колонки.
Допустим, что по-прежнему N= 1, но зато теперь т = 3. Используя (24) и (29), находим: Ротк = 16 / 31 = 0,516; Тож = 68 / 31 = 2,2 мин. Мы видим, что при добавлении одного места в очереди вероятность отказа в самом деле уменьшилась, однако не очень заметно (была 0,533, стала 0,516). Зато время ожидания Гож возросло более, чем в полтора раза. Добавим еще одно (четвертое) место в очереди; теперь т = 4. Используя (24) и (29) находим: Ротк= 32/63 = 0,508; Тож = 196/63 = 3,1 мин. Просматривается тенденция: при увеличении числа мест в очереди время отказа уменьшается все незначительнее, а вот время ожидания продолжает заметно возрастать. При дальнейшем увеличении т эта тенденция подтверждается. Расчеты дают такую таблицу:
т
2
3
4
5
6
8
р
отк
0,533
0,516
0,508
0,504
0,502
0,5005
Тож, МИН
1,3
2,2
3,1
4
5
7
В результате было принято предложение второго предпринимателя и решено было построить еще одну колонку.
Одноканальная СМО с неограниченной очередью
Хредположим, что в одноканальной СМО число мест в очереди не ограничено; оно, в принципе, может быть сколь угодно большим (т —> оо). Граф состояний такой системы показан на рис. 2 в таблице 9. До сих пор мы рассматривали системы с конечным числом состояний. Теперь же мы имеем систему, у которой число дискретных состояний бесконечно. Возникает вопрос: можно ли говорить о стационарном режиме (и, значит, о предельных вероятностях состояний) для такой системы? Оказывается, можно. Но при условии, что р < 1 (т. е. при условии, что X < ц). Если это условие выполнено, то входящая в (23) сумма
превращается при т -> оо в сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, и мы можем записать:
1 + р + р2+р3+... = 1/(1-р).
В результате соотношения (23) преобразуются к виду:
А=Р/Ро (/ = 1,2,3,...);
(31)(31)Ло = 1 - Р-
(31)
(31)
Если же условие р < 1 не выполнено, стационарный режим не устанавливается; очередь при i —> оо растет неограниченно.
Будем полагать, что р < 1. Переходя в (24) к пределу при /и^оо, получаем:
Ротк = (1 - Р) lim 7 = (1 - Р) • Аг = 0.
отк ',я-х. i-p"'+2 v v 1-0
Итак, Ротк = 0 и, следовательно, q = 1. Этого следовало ожидать, поскольку при неограниченном числе мест в очереди отказа никому не будет.
Рассмотрим теперь, чему равно среднее время ожидания заявки в очереди Тож. Переходя в (29) к пределу при /и —> оо (и учитывая при этом, что lim р'" = 0), находим: т—х
Т =' о жТ =' о жРРц(1-р)'ц(1-р)'(32)(32)
Т =
' о ж
Т =
' о ж
Р
Р
ц(1-р)'
ц(1-р)'
(32)
(32)
Отсюда следует, что среднее число заявок, стоящих в очереди:
г = ХГОЖ = р2/(1 - р).г = ХГОЖ = р2/(1 - р).(33)(33)
г = ХГОЖ = р2/(1 - р).
г = ХГОЖ = р2/(1 - р).
(33)
(33)
Как уже отмечалось (см. (7)), среднее время пребывания заявки в СМО Гсист равно среднему времени ожидания в очереди Гож плюс среднее время обслуживания Тобсл, умноженное на q. Для нашей системы q= 1; поэтому с учетом (32) можем записать:
(34)(34)Т =£А =iсист ц(1-Р) ц ц(1-рГ
(34)
(34)
Какой штраф придется уплатитьЗА ОЖИДАНИЕ В ОЧЕРЕДИ?
В качестве одноканальной СМО с неограниченной очередью рассмотрим разгрузочный пункт, к которому время от времени прибывают
автомобили с грузом. Если при подъезде к пункту разгрузки автомобиль обнаруживает очередь ожидающих обслуживания (разгрузки) автомобилей, то он становится в конец очереди и начинает ждать, пока будут последовательно обслужены все стоящие впереди автомобили. А тем временем позади нашего автомобиля могут появиться новые автомобили, прибывшие для разгрузки. Число мест в очереди не ограничено; рано или поздно каждый автомобиль будет обслужен. Если интенсивность потока заявок X (интенсивность потока прибывающих на пункт автомобилей) меньше интенсивности потока обслуживаний р и если оба потока событий являются пуассоновскими, то, как уже отмечалось, установится стационарный режим, характеризующийся постоянным (не зависящим от времени) средним временем ожидания автомобиля в очереди, определяемым соотношением (32).
Разгрузочный пункт обязан уплачивать штраф в размере А рублей за каждый час ожидания в очереди каждого автомобиля. Если в час к пункту прибывают в среднем X заявок (автомобилей), то средняя величина штрафа в час (обозначим ее через Л/) может быть подсчитана по формуле:
М = РУ6- (*)
Предположим, что на наш разгрузочный пункт поступает пуассоновский поток автомобилей с интенсивностью X = 2 ч-1 (в среднем 2 автомобиля в час) и что разгрузка автомобиля происходит в среднем в течение времени Гобсл = 1 / 3 ч (ц = 3 ч"1), так что р = 2 / 3. Требуется подсчитать М.
Если бы поток заявок (автомобилей) был строго регулярным (иначе говоря, если бы автомобили подъезжали разгружаться по расписанию — через каждые полчаса) и если бы время разгрузки каждого автомобиля составляло точно 1/3 часа, то в этом случае очередь автомобилей, очевидно, не возникала бы и никакого штрафа пункту не начислялось бы. Однако и поток заявок, и поток обслуживаний являются потоками случайных событий. Поэтому неизбежно существование очередей автомобилей, а значит, неизбежен штраф за простой этих автомобилей.
Поскольку потоки событий здесь пуассоновские, то можно говорить о непрерывной марковской цепи, рассматривать граф состояний, изображенный на рис. 2 в таблице 9, и использовать соотношение (32). В результате находим, что Гож = 2 / 3 ч; поэтому, согласно (*): М = 4 А / 3 руб. В сутки набегает 32 Л руб.
Чтобы снизить размер штрафа за простой автомобилей, стоящих в очереди на обслуживание, следует или уменьшить время разгрузки автомобиля (увеличить ц), или увеличить число каналов обслуживания (число разгрузочных модулей), или сделать и то, и другое.
Многоканальная СМО с ограниченной очередью
Рассмотрим систему массового обслуживания с N каналами, у которой число мест в очереди равно т. В систему поступает поток заявок с интенсивностью X; интенсивность потока обслуживаний для каждого канала равна ц. Состояния системы будем нумеровать по числу находящихся в системе заявок — как тех, что находятся под обслуживанием, так и тех, что стоят в очереди на обслуживание. Легко сообразить, что полное число дискретных состояний системы равно N + т + 1. Граф состояний системы показан на рис. 1 в таблице 10.
Изображенная на этом рисунке схема есть схема гибели и размножения, представленная на таблице 7, в которой следует положить:
XZ;Z+1=X (i = ОД, 2,3,4,..., N+ т);
^i,i+i=^ U = 0,1, 2,3, 4,..., N);
\i+1 = Np. (i = N + 1,N + 2,N + 3,...,N + т).
Используя (12) и (13), находим с учетом (*) следующие выражения для предельных вероятностей р0, рх, ръ р3,..., pN+m состояний нашей системы (попутно введем обозначение р = X / ц):
Рх = РАь Р2 ^pJ^V, р3 = р3^0/3!;...;^ = pNpjNV,
Pn+i =pn+1pq/(N -Nl);
(35)(35)Pn+2 = pN+2p0/(N2 -Nt);
(35)
(35)
Pn+3=PN+3PoKn3-N')’
pN+m=pN+mp0/Qvm.N'.).
Po = [^- + Рх/Po + Р2/Po + Рз/Po + -+ PN+т/ Po] 1 =
1+pA1+pA2!2!3N3!AC3N3!ACPW f P I P2AC p N2PW f P I P2AC p N2...+ ^-N3 Nm )...+ ^-N3 Nm )(**)(**)
1+pA
1+pA
2!
2!
3N
3!AC
3N
3!AC
PW f P I P2
AC p N2
PW f P I P2
AC p N2
...+ ^-
N3 Nm )
...+ ^-
N3 Nm )
(**)
(**)
Сумма в круглых скобках в (**) есть сумма т членов геометрической прогрессии с первым членом р / N и знаменателем р / N:
JL + _pL + jA +, р” - р 1-(р/-у>” _ P/-V - (Р'-У)"' („,)
N N2 N3 Nm N ^-P/N1-p/N
Таблица 10. Многоканальные системы массового обслуживания с очередью
Многоканальная СМО с ограниченной очередью (N каналов, т мест в очереди)
р 2р Np Np Np Np Npр 2р Np Np Np Np NpSoSiS2SoSiS2Очереди нет
р 2р Np Np Np Np Np
р 2р Np Np Np Np Np
So
Si
S2
So
Si
S2
все канале свободны,
занят один канал, остальные свободны,
заняты два канала, остальные свободны,
S^- заняты N каналов, свободных каналов нет, очереди нет, S^+"j" заняты N каналов, одна заявка стоит в очереди, S^+У заняты N каналов, две заявки стоят в очереди,
8^+^" заняты N каналов, т заявок стоят в очереди (все места в очереди заняты),рис ^
Многоканальная СМО с неограниченной очередью
(N каналов, мест в очереди неограниченно) Очереди нет
SoSiSoSi— все канале свободны,— все канале свободны,р 2р Np Np Np Np Np Np
So
Si
So
Si
— все канале свободны,
— все канале свободны,
занят один канал, остальные свободны,
Dn — заняты N каналов, свободных каналов нет, очереди нет, SN+y заняты N каналов, z заявок стоят в очереди (/= 1,2,3,4,...),
Рис.2
Используя (***), перепишем (**) в виде:
р0 = 1 + р4р0 = 1 + р423р_2!3!23р_2!3!N NК- +к_N\ 'N\N NК- +к_N\ 'N\р/лМр/лТ^1- p/TVр/лМр/лТ^1- p/TV-1.(36)-1.(36)
р0 = 1 + р4
р0 = 1 + р4
23
р_
2!3!
23
р_
2!3!
N N
К- +к_
N\ 'N\
N N
К- +к_
N\ 'N\
р/лМр/лТ^
1- p/TV
р/лМр/лТ^
1- p/TV
-1
.(36)
-1
.(36)
Поступившая в систему заявка получает отказ в обслуживании тогда, когда заняты все N каналов и все т мест в очереди, т. е. когда система находится в состоянии SN+m. Значит, вероятность отказа Ротк равна вероятности pN+m:
(37)
Относительная пропускная способность системы (вероятность того, что поступившая в систему заявка будет обслужена):
9 = 1 - Ротк = 1 - Р^Ро/^"1 • ^!) •(38)
Абсолютная пропускная способность системы (среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени):
A = Xq = X\l-pN+mp0/(Nm-N'^.(39)
Среднее число занятых каналов А есть, согласно (4), N = Л/ц. Подставляя (39), находим:
А = р[1 - р^+^РоДА”” • А!)].(40)
Среднее время ожидания заявки в очереди Тож найдем, воспользовавшись суммой (30), в которой, однако, будем рассматривать р, не для i = 1, 2, 3,..., т, а для i = А, А+ 1, А + 2, А+ 3,..., А + т - 1, и вместо ц будем использовать Ац:
Рож = ^^Pn + 2Pn+i +3pN+2 +4^+3 AmpN+m-\Y (****)
С учетом (35) перепишем (****) в виде:
Nу Р Роож “ ^и^!Nу Р Роож “ ^и^!1+4+3Ш1+4+3Ш3/\т-1I Р+ - + т А3/\т-1I Р+ - + т А
N
у Р Роож “ ^и^!
N
у Р Роож “ ^и^!
1+4+3Ш
1+4+3Ш
3/\т-1
I Р
+ - + т А
3/\т-1
I Р
+ - + т А
(41)(41)Р^Ро АЦА!
(41)
(41)
Стоящая здесь сумма — это не что иное, как сумма в (27), в которой вместо р используется р/ N. С учетом (27) соотношение (41) принимает вид:
(42)(42)т _ pwp0 1 + кт (тк - т -1)ож —X Л
(42)
(42)
vvivv •(1 - к)
где введено обозначение к = р / N. Наконец, из (42) находим, с учетом (6), среднее число заявок в очереди г :
Г = ХТ = -—ожГ = ХТ = -—ож(43)(43)1 + кт (тик - т -1)(1-к)2
Г = ХТ = -—
ож
Г = ХТ = -—
ож
(43)
(43)
В заключение обратим внимание, что если на рис. 1 в таблице 10 принять N= 1, то мы получим граф с т + 2 состояниями, представленный на рис. 1 в таблице 9. Соотношение (**) из § 13.2 принимает при N= 1 вид:
Ро =[1+р + р(р + р2 +-+Р"1)]’1 = [1+Р + Р2 +Р3 +...+рж+1]’1, т. е. мы приходим к соотношению для ^оиз (23). Легко видеть, что при N= 1 формулы (37) и (42) переходят в (24) и (29), соответственно.
313 Пример с выбором научно обоснованного решения
Вернемся к тем двум предпринимателям из § 3.9, которые собираются построить автозаправочную станцию на обочине шоссе. Напомним, что по предварительным оценкам ожидается интенсивность потока заявок X = I мин-1, а длительность обслуживания заявки предполагается в среднем 2 мин (ц = 0,5 мин-1), так что р = 2. Наши предприниматели уже поняли, что для того, чтобы сделать вероятность отказа меньше 0,5, бесполезно увеличивать число мест в очереди при наличии одной единственной колонки. И вот они решили ограничить очередь тремя местами (т = 3), но предусмотреть не одну, а две колонки (7У= 2), т. е. перейти к двухканальной СМО.
Итак, они рассмотрели СМО с N= 2, т = 3, X = 1 мин-1, р = 2. Прежде всего подсчитали вероятность р0. При этом нельзя было воспользовать-
,p/N-(p/N)m+1
ся соотношением (36), потому что при р/ N= 1 дробь ,
дает неопределенность вида -q . Поэтому воспользовались исходным соотношением (**) из §3.12, которое для рассматриваемой СМО выглядело так:
' 2 ( 2 3
^о=1 + Р + Р2/2!+^| + ^ + ^- • (*)
Подставляя в (*) р = 2, получили р0 = 0,091.
Затем с помощью (37) подсчитали вероятность отказа в обслуживании; нашли, что Ротк = 0,182. С помощью (40) определили среднее число занятых каналов: N = 1,64. Отсюда следовало, что каждый канал обслуживания (каждая колонка) будет работать 82% времени (ведь 1,64 : 2 = 0,82), а простаивать будет всего лишь 18% времени. Наконец, было подсчитано среднее время ожидания в очереди Тож по формуле (41); оказалось, что Тож = 1,1 мин. Таким образом, результаты получились совсем неплохими. (Напомним, что при N= 1, т = 3 было подсчитано: Ротк = 0,516и Тож = 2,2мин).
Второй из предпринимателей предложил снова увеличить число каналов обслуживания, не меняя при этом числа мест в очереди. Иначе говоря, он предложил рассмотреть СМО с N— 3, т = 3, Х=1мин-1, р = 2. Для такой системы подсчет привел к результатам:
Ротк = 0,094, N /N = 0,6, Тож = 0,8 мин.
Как мы видим, и Ротк, и Тож существенно сократились, что, конечно, хорошо. Однако при этом существенно (более, чем в два раза) возросло среднее время простаивания каждого канала — оно стало составлять 40% (вместо прежних 18%). А это, разумеется, нежелательно. Какой смысл тратиться на сооружение третьей колонки, если при этом каналы обслуживания будут простаивать 40% времени?
Первому из предпринимателей пришла в голову мысль оставить два канала обслуживания, но увеличить не единицу число мест в очереди, т. е. рассмотреть СМО с N= 2, m = 4, X = 1 мин-1, р = 2. Расчеты для такой СМО дали результаты:
Ротк = 0,154, N /N = 0,85, Гож = 1,54 мин.
Эти результаты очень хорошие. Колонки теперь простаивают всего лишь 15% времени. Средняя доля заявок, не принятых к обслуживанию тоже невелика (15,4). И время ожидания Тож тоже уменьшилось: с 2,2 мин (при N= 2, m = 3) до 1,54 мин.
Именно такую автозаправочную станцию и решили построить наши предприниматели. Так было выбрано научно обоснованное решение, принятое в условиях неопределенности — когда и поток заявок, и поток обслуживания представляют собой потоки случайных событий.
Многоканальная СМО с неограниченной очередью
Как и в §3.10, посмотрим, что будет, если число мест в очереди станет сколь угодно большим (т^оо). Граф состояний системы с N каналами обслуживания и неограниченной очередью представлен на рис. 2 в таблице 10. Без доказательства примем, что стационарный режим устанавливается в такой системе при выполнении условия к < 1 (т. е. при условии p/N< 1). При этом р не обязано быть меньше 1.
Предельные вероятности состояний системы, находящейся в стационарном режиме, можно получить из (35) и (36) при переходе к пределу при т —> оо:
23NN+\"Г1
Ло = 1 + Р + ^Г + ДГ + - + 1уТ + ^!(^-p)’
2N
РРР
(44)(44)Л1=рл0; л2 = ^гло; лз=^-л0;-; pn=^po, Pn+i =PN*XPoKn-N^;
(44)
(44)
Pn+2 = PN+2PoRn2
Pn+3=PN+3PORn3.N'.);
Поскольку каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то можем записать:
Ротк = 0; q = 1; А = Xq = X; N = Ajp, = р.(45)
Среднее время ожидания в очереди Т№ найдем из (42) при т -> оо:
Nу Р Ло1 О Ж —zо •Ац№(1-к)2Nу Р Ло1 О Ж —zо •Ац№(1-к)2Среднее число заявок в очереди г :Среднее число заявок в очереди г :г = ХТ№ =г = ХТ№ =Р ЛоР Ло^•^!(l-к)2 '^•^!(l-к)2 '(46)(47)(46)(47)
N
у Р Ло
1 О Ж —zо •
Ац№(1-к)2
N
у Р Ло
1 О Ж —zо •
Ац№(1-к)2
Среднее число заявок в очереди г :
Среднее число заявок в очереди г :
г = ХТ№ =
г = ХТ№ =
Р Ло
Р Ло
^•^!(l-к)2 '
^•^!(l-к)2 '
(46)
(47)
(46)
(47)
Две одноканальных системы или одна двухканальная?
Вернемся к разгрузочному пункту, о котором мы говорили в § 3.11. Предположим, что на этот пункт прибывают автомобили из двух районов — районам и района В, причем в среднем прибывают в час два автомобиля из района А и два автомобиля из района В. Район А решил построить в разгрузочном пункте еще один канал обслуживания (второй разгрузочный модуль), но при этом выдвинул условие, чтобы этот второй канал обслуживал исключительно автомобили из района А. При таком условии мы имели бы дело с двумя одноканальными СМО с неограниченной очередью, для каждой из которых Х = 2ч~', ц=3ч~', р = 2 / 3. Используя соотношение (32), получаем, что в этом случае время ожидания в очереди Т№ = 2 / 3 = 0,67 ч. Отсюда следует, что среднее число стоящих в очереди автомобилей г = 4 /3 = 1,33.
Однако специалист в области исследования операций посоветовал так не делать, а создать одну двухканальную систему с неограниченной очередью. Это означало, что по прибытии к разгрузочному пункту все автомобили (как из районам, так и из района В) выстраиваются в общую очередь и очередной автомобиль ставится на обслуживание в том из каналов, который раньше освободится. В этом случае СМО с неограниченной очередью имеет характеристики: N= 2, А = 4 ч"1, ц = 3 ч"1, р = 4 / 3, £ = p/jV=2/3. Поскольку к< 1, то можно говорить об установлении стационарного режима и использовать соотношения, полученные в § 3.14.
-1-1(*)(*)При N= 2 первое соотношение из (44) принимает вид:
-1
-1
(*)
(*)
Г3
1РР
Ро= i + P + TT + 2-(2-р)
Подставляя в (*) р = 4 / 3, получаем р0 = 0,2. Затем из (46) находим среднее время ожидания в очереди: Тож = 0,27 ч. Отсюда следует, что г = ХТох = 1,08 .
Как видим, при переходе от двух одноканальных систем к одной двухканальной заметно снижается как среднее время ожидания в очереди (с 0,67 ч до 0,27 ч), так и среднее число автомобилей в очереди (с 1,33 до 1,08). Оказывается, специализированное обслуживание (когда в одном канале обслуживаются автомобили из района М, а в другом — из района В) менее эффективно по сравнению с неспециализированным обслуживанием. Оно и понятно. Ведь при неспециализированном обслуживании освободившийся канал не будет простаивать в ожидании, когда поступит «подходящая» заявка, а начинает обслуживать любую поступившую в систему заявку.
ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ 3
Докажите равенство (1), воспользовавшись соотношением (**) из § 3.2 и учитывая, что ^(цт/Д! = ецт. к=0
Подсказка. Надо найти среднее число т обслуживаний в канале, приходящееся на промежуток времени т, используя соотношение:
т = £тР°6сл(т).
Вернитесь к «пирамиде» соотношений в (12) (см. таблицу 7).
Используя систему уравнений (9), убедитесь в правильности соотношений, представленных в этой «пирамиде». Найдите закономерности в расположении множителей Ху в числителях и в знаменателях указанных соотношений.
Имеется одноканальная система с отказами; Х = 0,5 мин-1. Каким должно быть среднее время обслуживания заявки, чтобы система могла обслуживать не менее 80% поступающих заявок.
Ответ: Не более 0,5 мин.
В примере с телефонными линиями, рассмотренном в § 3.7, подсчитайте q и N/N для двух случаев: a) N = 5, б) N = 6.
Ответы: a) q = 0,88, N/N =53%; q = 0,93, б) q = 0,93, N/N =47%.
В OTK цеха работают три контролера. Если деталь поступает в цех, когда все контролеры заняты обслуживанием (проверкой) ранее поступивших деталей, то она проходит непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение часа, равно 24. Среднее время, затрачиваемое контролером на проверку одной детали, равно 5 мин. Какова вероятность того, что деталь пройдет ОТК необслуженной? Какую часть времени (в процентах) простаивает каждый контролер?
Ответы: 0,21; 27%.
Возвращаясь к предыдущей задаче, поставим следующие два вопроса. Сколько следует иметь контролеров, чтобы вероятность того, что деталь будет обслужена (проверена) в ОТК, превысила 0,95?
Какую часть времени будет при этом простаивать каждый контролер? Ответы: /V = 5; 61%.
Выведите соотношение (29), используя (30) и (27).
Автозаправочная станция имеет одну колонку и три места в очереди. В дневное время интенсивность потока заявок Х = 0,8 мин-1, а в ночное — Х = 0,4 мин-1. Интенсивность потока обслуживаний от времени суток не зависит, она равна ц = 0,5 мин-1. Подсчитайте вероятность отказа и среднее время ожидания заявки в очереди для дневного и вечернего времени.
Ответы: днем — 0,415, 2,4 мин; ночью — 0,122, 2,15 мин.
Те же вопросы, что и в предыдущей задаче, но при условии, что теперь среднее время обслуживания заявки сократилось с 2 минут до 1,5 минут.
Ответы: днем — 0,279, 1,9 мин; ночью — 0,056, 1,3 мин.
Обратимся к примеру, рассмотренному в § 3.11. Желая сократить время ожидания автомобиля в очереди, руководитель разгрузочного пункта увеличив количество рабочих и тем самым вдвое снизил среднее время обслуживания 7обсл каждой заявки. Во сколько раз уменьшится средняя величина штрафа, начисляемого пункту за простой автомобилей в очереди?
Ответ: в 8 раз.
Автозаправочная станция с двумя колонками имеет три места в очереди; Х = 2 мин-1, ц = 0,5 мин-1. Подсчитайте для данной СМО вероятность отказа Ротк, относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А, среднее число занятых колонок N , среднее число автомобилей в очереди г , среднее время ожидания в очереди для каждого автомобиля 70Ж.
Ответы: Ротк = 0,512, q = 0,488, 4 = 0,976 мин"1, N =1,95, г =2,18, Тож = = 1,09 мин.
Вернемся на автозаправочную станцию, рассмотренную в предыдущей задаче. На сколько снизится вероятность отказа и на сколько сократится время ожидания в очереди, если среднее время обслуживания одной заявки будет сокращено с 2 минут до 1,5 минут?
Ответы: на 0,13; на 0,18 мин.
Убедитесь, что соотношения (35) и (36) превращаются при в соотношения (31), а соотношения (46) и (47) — в соотношения (32) и (33), соответственно.
Самостоятельно разберитесь в ситуации, рассматривавшейся в § 3 со случаем, когда М = 2, m = 5, X = 1 мин-1, р = 2.
ТЕМА 4
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ:ИГРА И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
Игр теория — раздел математики, в котором изучаются математические модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта... Схемы теории игр охватывают как собственно игры (шахматы, домино, карты ит. д.), так и различные ситуации, возникающие в экономических, военных и других вопросах.
Большой энциклопедический словарь, Москва — Санкт-Петербург, 1997.
Теория игр ценна прежде всего самой постановкой задач, которая учит, выбирая решение в конфликтной ситуации, не забывать о том, что противник тоже мыслит. Пусть рекомендации, вытекающие из игрового подхода, не всегда определённы и не всегда осуществимы — все же полезно, выбирая решение, ориентироваться, в числе других, и на игровую модель.
Е. С. Вентцелъ
Предмет математической теории игр
И ОСНОВНЫЕ понятия
1 Хонятие «игра» часто используется в нашей жизни; оно имеет весьма широкое толкование. Вспомним: «вся наша жизнь — игра!» Психологи исследуют игру как специфическую форму деятельности, выделяя различные ее стороны и виды. В частности, они рассматривают игру как деятельность, в которой складывается и совершенствуется управление поведением. Мы еще более сузим предмет рассмотрения, имея в виду поведение, связанное с принятием решения в тех или иных конфликтных ситуациях.
«Конфликт» в переводе с латинского означает «столкновение». Следует понимать столкновение сторон, мнений, сил. В общем случае под конфликтной ситуацией понимают любую ситуацию, в которой эффективность решения, принимаемого одной из сторон, зависит от действий другой стороны (других сторон). Различают антагонистические и неантагонистические (кооперативные) конфликтные ситуации. Конфликтная ситуация рассматривается как антагонистическая, если увеличение выигрыша одной из сторон приводит к уменьшению выигрыша другой стороны (других сторон). В данной книге будут рассматриваться только антагонистические конфликты.
Подобные конфликты встречаются довольно часто. Они характерны для военных операций и игровых видов спорта. Каждая из конфликтующих сторон борется за то, чтобы обеспечить наибольший собственный успех и воспрепятствовать достижению успеха другой стороне (другим сторонам). С такими ситуациями мы имеем дело также в сфере экономики при наличии рыночных отношений, при проведении предвыборных кампаний, в арбитражных спорах — везде, где происходит столкновение противостоящих друг другу интересов.
Участникам антагонистических конфликтных ситуаций приходится принимать решения с учетом не только состоявшихся, но и возможных действий со стороны других участников. Так, шахматист, принимая всякий раз то или иное решение, исходит не только из расположения фигур на доске в данный момент, но старается предвидеть возможные действия другого игрока, а также свои возможные ответы на эти действия. Решение о проведении той или иной военной операции принимается с учетом не только сложившейся обстановки, но и возможных ответных действий противника. Принимая решение об установлении цены товара, продавец на рынке учитывает не только общую конъюнктуру, но и возможную реакцию покупателей, а также других продавцов на эту цену.
Конфликтные ситуации (как антагонистические, так и неантагонистические) можно анализировать с привлечением математического аппарата, в частности, аппарата теории вероятностей. В этом случае мы приходим к математической теории игр или, короче, к теории игр. Возникновение теории игр принято связывать с именами двух американских ученых — Джона фон Неймана (1903-1957) и Оскара Моргенштерна (1902-1977), которые опубликовали в 1944 году монографию «Теория игр и экономическое поведение». С тех пор и началось бурное развитие теории игр.
Коротко говоря, теория игр — это математическое моделирование различных конфликтных ситуаций, анализируемых по определенным, заранее условленным правилам. Цель теории игр состоит в выработке для каждого из участников конфликта рекомендаций по рациональному образу действий. Точнее сказать, теория игр разрабатывает методы обоснования оптимальных решений в конфликтных ситуациях, обладающих свойством многократной повторяемости. Обратим внимание на слова «многократная повторяемость». Дело в том, что сама по себе отдельная игровая партия (однократная реализация данной игры), как правило, не позволяет выработать те или иные рекомендации для участников игры. Эти рекомендации вырабатываются и приобретают практическую значимость лишь при многократных повторениях игры. Именно поэтому теорию игр следует рассматривать как одно из применений теории вероятностей.
В отличие от реального конфликта игра в теории игр проводится по определенным правилам, четко определяющим как права и обязанности участников игры, так и исход игры (выигрыш или проигрыш каждого участника). Задолго до появления теории игр широко использовались подобные упрощенные модели конфликтов — игры в буквальном смысле этого слова (шахматы, шашки, домино, карточные игры, бильярд и т. д.). Собственно говоря, отсюда и происходят как название самой теории, так и многие термины, используемые в ней. Так, конфликтующие стороны называют игроками, одну реализацию игры партией, выбор игроком того или иного действия (в пределах правил) ходом и т. д. В качестве игроков могут выступать не только отдельные лица, но также команды, предприятия, фирмы, воюющие стороны. В зависимости от числа игроков различают игры парные (два игрока) и множественные (больше двух игроков). Для простоты, мы ограничимся рассмотрением парных игр. Точнее говоря, парных антагонистических игр.
Отметим, что парные антагонистические игры относятся к классу так называемых игр с нулевой суммой. В таких играх сумма выигрышей
всех сторон равна нулю. В парной антагонистической игре один игрок выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой игрок. Игры с нулевой суммой наиболее разработаны в настоящее время.
Ходы в игре подразделяются на личные и случайные. Личный ход предполагает сознательный выбор игроком того или иного действия, разрешенного правилами данной игры. Случайный ход не зависит от воли игрока — он может быть определен по результату бросания монеты или игрального кубика, вынимания карты из колоды и т. и. Игры, состоящие только из случайных ходов, называются азартными. Характерный пример — игра в лото. Игры, в которых имеются личные ходы (в отсутствие или при наличии случайных ходов), называются стратегическими. Пример стратегической игры, состоящей только из личных ходов, — шахматы. Пример стратегической игры, состоящей как из личных, так и из случайных ходов — многие карточные игры (например, игра в преферанс). Отметим, что в играх с личными и случайными ходами неопределенность выступает как бы в двух обличьях — в виде неопределенности результатов случайных ходов и в виде неопределенности поведения противника в его личных ходах.
Сразу подчеркнем: теория игр азартными играми не интересуется. Она занимается стратегическими играми. Одним из основных понятий в этой теории является понятие «стратегии».
В играх, где игроки делают всего лишь по одному личному ходу в каждой конкретной партии (будем называть такие относительно простые игры одноходовыми), выбор стратегии определяется выбором игроком того или иного возможного действия. Здесь совокупность стратегий каждого игрока охватывает все его возможные действия, предусмотренные правилами данной игры. В более сложных (многоходовых) играх понятия «стратегия игрока» и «вариант возможных действий игрока» отличаются друг от друга. Понятие стратегия значительно шире: оно включает в себя выбор при каждом личном ходе данного игрока тех или иных действий в зависимости от ситуации, сложившейся к данному ходу в процессе игры. Хороший пример многоходовой игры — шахматы.
Простоты ради мы ограничимся ниже рассмотрением игр, где каждый игрок делает только один личный ход и где, следовательно, набор стратегий игрока есть выбор его возможных личных ходов. При многократном повторении игры игрок в каждой партии выбирает ту или иную стратегию (делает тот или иной личный ход). В одной партии он может выбрать одну стратегию, а в другой — другую (возможно, с учетом исхода предыдущей партии).
Игра называется конечной, если набор стратегий конечен как для одного, так и для другого игрока. Если, например, у одного игрока имеется т стратегий, а другого п стратегий, то такую игру называют игрой тхп (или п/ту Если хотя бы у одного из игроков набор стратегий бесконечен, то игру называют бесконечной.
Казалось бы, что, соглашаясь участвовать в некоторой многоходовой конечной игре, игрок должен ознакомиться со всем набором как собственных возможных стратегий, так и возможных стратегий противника. После этого он мог бы заранее, еще не приступая к игре, выбрать ту или иную стратегию (в форме: «если противник сделает такой-то ход, то я поступлю так-то»). Теоретически это возможно для любой конечной игры. Практически же это трудно или даже невозможно осуществить, если число ходов в игре достаточно велико, что приводит, как легко догадаться, к сильному возрастанию количества возможных стратегий. Поэтому на практике выбор при каждом личном ходе принимается игроком не заранее, а в процессе игры, с учетом изменяющейся ситуации. Именно так играют, например, шахматисты. Здесь предварительный просчет всевозможных стратегий в силу их огромного количества практически невозможен. Во всяком случае он не под силу человеческому мозгу. В какой-то степени с этой задачей справляются лишь ЭВМ, обучающие играть в шахматы.
Как уже отмечалось, цель теории игр — выработка рекомендаций игрокам для принятия ими оптимальных решений в тех или иных конфликтных ситуациях. Теперь можно уточнить: речь идет о выработке рекомендаций для выбора каждым из игроков стратегии, которая являлась бы для него оптимальной. Какую же стратегию следует считать оптимальной? Отвечая на этот вопрос, теория игр исходит из двух основных принципов. Во-первых, каждый игрок должен считать другого игрока столь же разумным, как и он сам, и не должен рассчитывать не его промахи. В теории игр не учитываются просчеты и ошибки игроков, равно как и элементы азарта. Во-вторых, каждый игрок должен быть достаточно осторожным и должен придерживаться такой линии поведения, которая независимо от действий противника гарантировала бы выигрыш не менее какой-то величины (или проигрыш не более какой- то величины). Это есть т. н. принцип осторожности. Его называют также принципом гарантированного результата и принципом минимакса.
Исходя из указанных принципов, определяется понятие «оптимальной стратегии». Оптимальной стратегией называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры гарантирует данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что то же самое,
минимально возможный средний проигрыш) независимо от действий противника. Если, разумеется, эти действия не выходят за рамки правил для данной игры.
В теории игр доказывается, что оптимальные стратегии игроков обладают своеобразным свойством «устойчивости». Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому игроку не может быть выгодно отступать от своей оптимальной стратегии. Основная теорема теории игр (примем ее без доказательства), называемая теоремой о существовании решения игры, утверждает: любая конечная антагонистическая игра имеет решение, т. е. оптимальные стратегии для обоих игроков, а также соответствующую цену игры. Поясним: ценой игры называется выигрыш (проигрыш), соответствующий оптимальным стратегиям игроков.
Забегая немного вперед, отметим, что решение конечной парной антагонистической игры лежит в области чистых или смешанных стратегий. Решение в чистых стратегиях наблюдается в играх с седловой точкой. Если игра не имеет седловой точки, то существует решение в смешанных стратегиях. Все эти понятия мы рассмотрим в следующих параграфах.
Платежная матрица игры, чистые стратегии,СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ
Будем рассматривать антагонистические игры с двумя игроками (игроками А и В). Иными словами, будем рассматривать парные игры с нулевой суммой. Выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. Так как проигрыш игрока В можно представить как выигрыш игрока А, взятый с обратным знаком, то мы можем интересоваться только выигрышем а игрока Л. Будем отождествлять себя мысленно с игроком Л, а игрока В будем считать нашим «противником». Нам желательно максимизировать наш выигрыш а, а противнику желательно его минимизировать.
Предположим, что рассматривается игра тхп. Конкретное содержание игры пока не имеет значения. У нас (у игрока Л) есть т стратегий; обозначим из через Ль Л2, Л3,..., Ат. У нашего противника (у игрока 5) есть п стратегий: Вх, В3. В3,..., Вп. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор каждым из игроков той или иной стратегии однозначно определяет исход игры, т. е. величину нашего выигрыша. Будем обозначать через ау наш выигрыш, реализуемый в том случае, если мы выбрали стратегию Л„ а наш противник выбрал стратегию Bf Не будем
забывать, что слово «выигрыш» следует понимать здесь расширительно: проигрыш — это тоже «выигрыш», но взятый со знаком «минус». Если известны выигрыши а у для всех i от 1 до т и для всех j от 1 до п, то можно представить игру в матричной форме, т. е. в виде прямоугольной таблицы (матрицы), изображенной на рис. 1 в таблице 11. Это есть платежная матрица игры. Ее называют также матрицей выигрышей.
Заметим, что приведение к матричной форме той или иной игры (особенно если в каждой партии игроки должны сделать не один, а несколько личных ходов) может представлять весьма трудную или даже практически невыполнимую задачу из-за огромного количества возможных стратегий. Если, тем не менее, удается привести некую многоходовую игру к матричной форме, то тем самым, как нетрудно сообразить, это многоходовая игра сводится фактически к одноходовой. Ведь теперь от каждого игрока требуется сделать один ход — выбрать ту или иную стратегию из стратегий, указанных в платежной матрице.
Чтобы поближе познакомиться с платежной матрицей, рассмотрим три весьма простых одноходовых игры в качестве конкретных примеров.
Пример 1: игра с монетой. Игроки А и В, не глядя друг на друга, кладут на стол по монете либо вверх орлом, либо вниз орлом, по своему усмотрению. Если окажется, что оба игрока положили монету одной и той же стороной (или обе орлом вверх, или обе орлом вниз), то игрок А получает от игрока В плату, например один цент. Если же окажется, что монеты положены разными сторонами, то игрок А выплачивает один цент игроку В. У нас (т. е. у игрока А) есть две стратегии: Ах — положить монету орлом вверх, Л2 — положить монету орлом вниз. У противника (у игрока В) тоже есть две стратегии, причем такие же, как у нас: Вх — положить монету орлом вверх, В^ — положить монету орлом вниз. Значит, данная игра есть игра 2x2 и ее платежная матрица имеет элементы: an = <z22 = 1 (цент), а12 = а21 = -1 (цент). Эта матрица приведена на рис. 2 в таблице 11.
Пример 2: игра «два пальца». Игроки, не глядя друг на друга, показывают либо один, либо два пальца. Величина выигрыша или проигрыша равна в каждой партии общему числу показанных пальцев. Если это число четное, то соответствующее количество центов игрок А получает от игрока В. Если это число нечетное, то соответствующее количество центов игрок А выплачивает игроку В. Стратегия игрока А: Ах — показать один палец, А^ — показать два пальца. Такие же стратегии у игрока В: Вх — показать один палец, Вг — показать два пальца. Перед нами игра 2x2. Ее платежная матрица приведена на рис. 3 в таблице 11.
Таблица 11. Платежная матрица игры
Рис.2Рис.З
Bi
в2
В3
Ai
©
А2
@
©
©
Аз
©
©
Рис.5
Bi
в2
В3
Ai
©
©
©
А2
©
©
A3
©
©
©
Рис.6
Пример 3: игра «три пальца». Она похожа на предыдущую игру, только теперь каждый из игроков располагает тремя стратегиями: показать один палец (стратегии Л! и В^, показать два пальца (стратегии Л2и В^, показать три пальца (стратегии Л3и В3\ Это игра 3x3. Ее платежная матрица приведена на рис. 4 в таблице 11.
Вернемся к самому простому из рассмотренных примеров — к игре с монетой. Уже этот простой пример дает возможность затронуть некоторые существенные для теории игр идеи. Прежде всего заметим, что, если игра выполняется только один раз, то не имеет смысла говорить каких-то более разумных или менее разумных «стратегиях» игроков. Иное дело, если игра повторяется много раз. Допустим, мы выбрали стратегию Aj (класть монету орлом вверх) и придерживаемся ее от одной партии к другой. Тогда по результатам нескольких партий противник может догадаться о нашей стратегии и начнет выбирать стратегию В2 (класть монету орлом вниз). Чтобы по результатам многих партий нам не оказаться в проигрыше, мы должны менять стратегию — в каких-то партиях выбирать стратегию Ль а в каких-то — стратегию А2. Если мы будем чередовать стратегии, придерживаясь какого-то порядка, то рано или поздно противник это уловит. Поэтому надежнее всего чередовать стратегии Ах и Л2 случайным образом.
Эти нехитрые рассуждения подвели нас к одному из важнейших понятий теории игр — понятию смешанной стратегии. Такая стратегия представляет собой случайное чередование с определенными частотами всех или некоторых стратегий, указанных в платежной матрице игры. В отличие от смешанных стратегий, стратегии, указанные в платежной матрице, называют чистыми стратегиями. Как будет показано позднее, именно среди смешанных стратегий можно найти оптимальное для обоих игроков решение в игре с монетой (а также в играх «два пальца» и «три пальца»).
Имея в виду в общем случае игру тхп, будем обозначать смешанные стратегии игрока А следующим образом:
А А А- Ат.A Рг Рз- Рт,А А А- Ат.A Рг Рз- Рт,или, проще, SA = (рх, ръ рз,или, проще, SA = (рх, ръ рз,Рт) ’ (1 • А)Рт) ’ (1 • А)
А А А- Ат.A Рг Рз- Рт,
А А А- Ат.A Рг Рз- Рт,
или, проще, SA = (рх, ръ рз,
или, проще, SA = (рх, ръ рз,
Рт) ’ (1 • А)
Рт) ’ (1 • А)
где ръ ръ рз,..., рт — вероятности выбора игроком А соответствующих чистых стратегий (Аь А2, А3,.„, Ат). Аналогично обозначаются смешанные стратегии игрока В:
55в —в —А В2 В3... Вп. 91 92 9з-9п ,А В2 В3... Вп. 91 92 9з-9п ,или, проще,или, проще,^в — (91, 92, 9з,—,^в — (91, 92, 9з,—,9пА9пА(1.В)(1.В)
5
5
в —
в —
А В2 В3... Вп. 91 92 9з-9п ,
А В2 В3... Вп. 91 92 9з-9п ,
или, проще,
или, проще,
^в — (91, 92, 9з,—,
^в — (91, 92, 9з,—,
9пА
9пА
(1.В)
(1.В)
где qx, q2, q3,-., qn — вероятности выбора игроком В соответствующих чистых стратегий (Вь В2, В3,..., В^. Очевидно, что
Р\ + Pi + Рз + ••• + Pm = 1; 91 + 9г + 9з + ••• + 9» = 1- (2)
Заметим, что среди вероятностей рх, р2,..., рт и qx, q2,..., qn некоторые могут быть равны нулю. Это означает, что соответствующие чистые стратегии в создании данных смешанных стратегий не участвуют. Заметим также, что, например, чистая стратегия Ах может рассматриваться как смешанная стратегия SA, для которой рх = 1, р2 = р3 = ... =рт = 0.
При очень большом количестве партий вероятность р, практически равна относительной частоте выбора игроком А стратегии А,. Аналогично: вероятность qj фактически равна относительной частоте выбора игроком В стратегии Bj. Поэтому о вероятностях р, и qj нередко говорят как о частотах применения игроками соответствующих чистых стратегий. Говорят также о «частотах, в которых смешиваются чистые стратегии». Отсюда и термин «смешанная стратегия».
43 Как происходит выбор игроком той
ИЛИ ИНОЙ ЧИСТОЙ СТРАТЕГИИ С ЗАДАННОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ?
'Члинеине^й.. Я понимаю, что на протяжении большого числа партий каждый из игроков должен менять свою стратегию случайным образом, поскольку в противном случае другой игрок сможет соответствующим образом сориентироваться и увеличить собственный успех.
Автор. Совершенно верно. Именно поэтому могут пригодиться смешанные стратегии — когда игрок (как один, так и другой) случайным образом чередуют свои чистые стратегии.
'Чи&а&ы*. Как только что было сказано, игрок чередует их «с определенными частотами». Иными словами, игрок выбирает ту или иную стратегию А, (если это игрок А) с определенной вероятностью Р{. По правде сказать, я этого не понимаю. Мне понятно, когда говорят: «игрок Л выбрал стратегию Ах». Но как понимать фразу: «игрок А выбрал стратегию Ах с вероятностью рх, стратегию Л2с вероятностью р2, а стратегию Л3с вероятностью р3»? Как в действительности совершается такой «выбор»?
Автор. Дело в том, что такой выбор игрок А (это же относится и к игроку В) делает перед началом каждой партии, бросая жребий. Он бросает жребий и выбирает ту из своих чистых стратегий, которая при этом случайным образом выпадет. Можно сказать, что игрок как бы «передоверяет» свой выбор фактору случайности, обращаясь перед каждой партией к какому-то механизму случайного выбора.
'ЧесАеийе**. Но как тут учитываются вероятности рр.
Автор. Чтобы их учесть, нужно организовать бросание жребия соответствующим образом. Иными словами, надо воспользоваться соответствующим механизмом случайного выбора.
'Ч««йайёе*&. Здесь без конкретного примера, наверное, не разобраться.
Автор. Предположим, что игрок А намерен придерживаться вот такой смешанной стратегии:
О _ f Л ^2 ^3А [1/6 1/3 1/2,
"ЧшИаЛмл.. Как я понимаю, ему предстоит выбирать стратегию Ах с вероятностью 1/6, стратегию Л2с вероятностью 1/3, стратегию Л3с вероятностью 1 / 2. И как же в этом случае происходит бросание жребия?
Автор. Можно взять мешок, внутри которого находятся шесть одинаковых наощупь шаров, из которых один красный, два желтых, три синих. Вероятность вытащить наугад из мешка красный шар равна 1/6, вероятность вытащить желтый равно 1/3, вероятность вытащить синий равна 1 / 2. И вот перед каждой партией игрок вытаскивает наугад шар из мешка. Допустим, он вынул синий шар. Значит, в данной партии ему следует выбрать стратегию А3. После этого вынутый шар возвращается обратно и мешок с шарами основательно встряхивается.
'Члипате*^. Я понял. Перед каждой партией игрок А вынимает наугад шар из мешка, после чего выбирает стратегию Аъ если шар окажется красным (ведь вероятность вынуть красный шар равна 1/6), выбирает стратегию И2, если шар окажется желтым (вероятность вынуть желтый шар 1/3), выбирает стратегию А3, если вынутый шар окажется синим (вероятность вынуть синий шар 1/2). Это и означает, что игрок А придерживается смешанной стратегии (*)?
Автор. Да, это как раз и означает, что игрок выбирает стратегии Ах, Аъ А3с вероятностью 1/6, 1/3, 1/2, соответственно.
'Чатате*^. Тут можно поступить проще. Закрасим одну из граней кубика красным, две грани желтым, а остальные красным. Перед каждой партией игрок подбрасывает кубик и смотрит, какого цвета выпала грань.
Две такие похожие и такие различные игры
Обе игры (игра 1 и игра 2) на одну и ту же тему. В нашем распоряжении три вида вооружения (Ах, А2, А3), а у противника три вида самолетов (Вх, Въ В3\ Противник посылает всякий раз (в каждой партии) 105
какой-то самолет, а мы, используя тот или иной вид вооружения, пытаемся сбить его. Всякий раз мы выбираем вид вооружения, не имея информации о том, какого вида самолет будет послан противником. Элемент платежной матрицы а у — это вероятность того, что мы добьемся успеха в случае, когда мы выбрали стратегию А,, а противник выбрал стратегию Bj. Платежная матрица для игры 1 приведена на рис. 5 в таблице 11, а платежная матрица для игры 2 приведена на рис. 6 в той же таблице.
Рассматриваемые две игры действительно похожи одна на другую. В чем же заключается различие? Понятно, что оно связано с тем, что в одной игре применяются одни виды вооружения и самолетов, а в другой игре — другие, вследствие чего платежные игры 1 и игры 2 описываются разными наборами вероятностей а у. Принципиально ли это различие? Оказывается, принципиально.
Обратимся к платежной матрице игры 1 (рис. 5 в таблице 11) и немного порассуждаем. Предположим, что мы выбрали стратегию Av Тогда в зависимости от того, какую стратегию выберет противник (Вь В2или В^, мы добьемся успеха с вероятностью либо 0,5, либо 0,6, либо 0,8. Наименьшая из этих вероятностей равна 0,5 (она отвечает выбору противником стратегии Вх\ Выбирая стратегию Ах, мы обеспечиваем свой успех с вероятностью не ниже 0,5. Предположим далее, что мы выбрали стратегию А2. Теперь в зависимости от выбора стратегии противником мы добьемся успеха с вероятностью либо 0,9, либо 0,7, либо 0,8. Наименьшая из этих трех вероятностей равна 0,7 (она отвечает выбору противником стратегии В2\ Наконец, предположим, что мы выбрали стратегию А3. В зависимости от выбора, сделанного противником, мы добьемся успеха с вероятностью либо 0,7, либо 0,5, либо 0,6. Наименьшая из этих вероятностей равна 0,5. Итак, для нас наилучшая стратегия — это стратегия Э2: она гарантирует нам успех с вероятностью не ниже 0,7. Это больше, чем гарантированные вероятности успеха в случае выбора нами стратегии Ах (не ниже 0,5) и стратегии А3 (тоже не ниже 0,5).
Теперь встанем на точку зрения противника. Если он выберет стратегию Вх, то в зависимости от нашего выбора он будет сбит с вероятностью либо 0,5, либо 0,9, либо 0,7. Наибольшая из этих вероятностей равна 0,9. Выбирая стратегию Вх, противник «терпит неудачу» с вероятностью не более 0,9. Если он выберет стратегию В3, то в зависимости от нашего выбора «потерпит неудачу» с вероятностью либо 0,6, либо 0,7, либо 0,5. Наибольшая из этих вероятностей равна 0,7. Если противник выберет стратегию В3, то в зависимости от нашего выбора, он «потерпит неудачу» с вероятностью либо 0,8, либо 0,6. Наилучшая стратегия для противника — это стратегия В2. она дает ему гарантию, что неудача постигнет его с вероятностью не более ^,7 (а это меньше, чем 0,8 или 0,9).
Итак, в игре 1 минимальный гарантированный успех для одной стороны (для нас) и максимальная неудача для другой стороны (для противника) оцениваются одной и той же вероятностью: а22 = 0,7.
А вот в игре 2 мы встречаемся с принципиальной иной ситуацией. Используя платежную матрицу, представленную на рис. 6 в таблице 11, мы заключаем, что успех нам гарантирован либо с вероятностью не ниже 0,2 (если мы выберем стратегию Я, или стратегию Л3), либо с вероятностью не ниже 0,3 (если мы выберем стратегию Л2). Очевидно, нам выгоднее выбрать стратегию Л2. В этом случае наш минимальный гарантированный успех оценивается вероятностью а12 = 0,3. Теперь займемся нашим противником. Ему гарантирована неудача либо с вероятностью не более 0,9 (если он выберет стратегию В^, либо с вероятностью не более 0,7 (при выборе стратегии В^, либо с вероятностью не более 0,8 (при выборе стратегии В^. Понятно, что противнику выгоднее всего выбрать стратегию В2. В этом случае максимальная возможная неудача оценивается вероятностью а32 = 0,7. Как видим, в игре 2, в отличие от игры 1, минимальный гарантированный успех для одного игрока и максимальная возможная неудача для другого оцениваются разными вероятностями. Ниже мы обсудим, насколько принципиален этот факт.
Принцип минимакса; нижняя и верхняя цена игры
Настал момент обстоятельно поговорить об объявленном еще в § 4.2 принципе минимакса (принципе гарантированного результата). Тем более, что фактически мы уже начали знакомиться с этим принципом, обсуждая игру 2 в § 4.4.
Будем рассматривать в общем случае игру тхп. Элемент а у ее платежной матрицы определяет наш выигрыш в случае, когда мы выбрали стратегию А,, а наш противник выбрал стратегию Bj. У нас есть т возможных стратегий, а у противника — п стратегий (стратегии Ах, А2, А3,.„, Ат и Вх, В2, В3,..., Вп соответственно).
Сначала попробуем найти нашу наиболее разумную стратегию. Будем перебирать мысленно все наши стратегии — от Ах до Ат. Для каждой из них найдем тот элемент платежной матрицы, который является наименьшим. Обозначим такие элементы через ах, а2, а3,..., ат;
а,- = min ам (z = 1, 2, 3,..., т) (3) l<j<n
(знак min читается так: «минимум по всем j от 1 до п»; а. — это мини- 1<У<»
мальный по отношению ко всем j от 1 до п выигрыш а у для случая, 107
когда мы выбрали стратегию А;). Выпишем числа а, рядом с платежной матрицей в виде добавочного столбца справа — см. рис. 1 в таблице 12.
Итак, выбирая стратегию Аь мы выиграем не менее а, . Можно сказать, что при таком выборе нам гарантирован выигрыш не менее а,. Естественно, что из т имеющихся у нас возможных стратегий целесообразно выбрать ту стратегию, для которой число а, является наибольшим. Обозначим это число через а:
а = max az.(4)
1</<т
(5)(5)Объединяя (3) и (4), запишем:
(5)
(5)
а = max I min а„1<1<т \l<j<n
Величину а называют нижней ценой игры, а также максиминным выигрышем (проще: максимином). Число а находится в некоторой строке платежной матрицы. Стратегия игрока А, соответствующая этой строке, называется максиминной стратегией. Для нас (для игрока А) максимин- ная стратегия является в определенном смысле наиболее разумной. Это осторожная (можно сказать, перестраховочная) стратегия. Если мы будем ее придерживаться, то при любом поведении противника нам гарантирован выигрыш, во всяком случае не меньший, чем а. Отсюда и название «нижняя цена игры».
А теперь поставим себя на место противника. Он тоже перебирает мысленно возможные стратегии — стратегии от Вх до Вп. Для каждой из них он находит наибольший элемент матрицы и обозначает такие элементы через рь р2, р3,..., р„:
Р .■ = шах а« (/ = 1, 2, 3,..., п). (6) J l<i<m J
Здесь Ру — наибольший по отношению ко всем i от 1 до т выигрыш ау в случае выбора стратегии Bj (числа Ру записываем рядом с платежной матрицей в виде добавочной строки внизу — см. рис. 1 в таблице 12). Выбирая стратегию Bj, противник ограничивает наш выигрыш величиной ру-; иными словами, теперь он проиграет не более Ру. Естественно, что из п имеющихся у него стратегий противник выберет ту, где число Ру наименьшее. Обозначим это число через р:
3 = Ру- (7)
l<J<n
Таблица 12. Принцип минимакса. Игра с седловой точкой
(8)(8)Объединяя (6) и (7), запишем:
(8)
(8)
р = min max а»l<j<n \l<i<m
Величину р называют верхней ценой игры, а также минимаксом. Придерживаясь минимаксной стратегии, противник, конечно, перестраховался; но зато он получил гарантию: независимо от наших действий он во всяком случае проиграет не более р.
Принцип, согласно которому игрок А выбирает максиминную стратегию, а игрок В выбирает минимаксную стратегию, — это и есть принцип минимакса (он же принцип осторожности, или принцип гарантированного результата).
На рисунках 2, 3, и 4 в таблице 12 наглядно показано, как найти нижнюю и верхнюю цену в играх с монетой, «два пальца» и «три пальца», соответственно. Матрица не рис. 5 получена из матрицы на рис. 4 путем прибавления числа 6 к каждому элементу исходной матрицы — для того, чтобы все элементы платежной матрицы стали положительными. С точки зрения анализа оптимальных стратегий обе матрицы эквивалентны.
Возвращаясь к игре 2 в §4.4 (см. рис. 6 в таблице 11), отметим, что здесь нижняя цена игры равна 0,3 (игрок А должен придерживаться стратегии А2), а верхняя цена игры равна 0,7 (игрок В должен придерживаться стратегии В2). На примере этой игры продемонстрируем неустойчивость минимаксных (максиминных) стратегий. Допустим, мы от партии к партии придерживаемся максиминной стратегии А2, а противник придерживается минимаксной стратегии В2, в результате наш выигрыш составляет 0,6. Он больше нижней, но меньше верхней цены игры. Как долго это будет продолжаться? — Очевидно, лишь до тех пор, пока один из игроков не догадается о стратегии, какой придерживается другой игрок. Как только противник поймет, что мы придерживаемся стратегии А2, он скорее всего, не удержится от того, чтобы не ответить нам стратегией Вх, в результате чего наш выигрыш снизится до 0,3 (т. е. до нижней цены игры). Ясно, что и эта ситуация не может долго продолжаться. На стратегию противника Вх мы можем ответить стратегией Ах и тем самым увеличить вероятность собственного успеха до 0,9. И так далее. Как мы видим, ситуация и в самом деле неустойчивая — она меняется, как только один из игроков начинает понимать стратегию другого игрока.
Ипра с седловой точкой; цена игры
Существует, однако, игры, для которых минимаксные (максимин- ные) стратегии оказываются устойчивыми. Это игры, для которых нижняя цена и верхняя цена равны:
а = р. (9)
Общее значение нижней и верхней цены называют ценой игры (а также чистой ценой игры). Будем обозначать ее через v.
В игре 1 в §4.4 нижняя и верхняя цена игры одна и та же: 0,7 (и, значит, цена игры v = 0,7). Это хорошо иллюстрирует рис. 6 в таблице 12. Элемент а22 = 0,7, выделенный в платежной матрице, является одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Точка на поверхности, соответствующая минимуму по одной координате и максимуму по другой, называется в геометрии седловой точкой — см. рис. 7 в таблице 12 (изображенная на этом рисунке поверхность в самом деле напоминает седло; точка С — седловая точка). По аналогии термин «седловая точка» применяют также в теории игр. Говорят, что игра, для которой выполняется условие (9), есть игра с седловой точкой. Рассматриваемая нами игра 1 — пример игры с седловой точкой. Элемент а22 = 0,7 платежной матрицы этой игры есть седловая точка матрицы.
Напомним (см. §4.1), что оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимум успеха (минимум неуспеха) независимо от действий другого игрока. Стратегия игрока, содержащая седловую точку (точнее говоря, стратегия, при которой среди возможных элементов матрицы присутствует седловая точка матрицы), как раз и есть его оптимальная стратегия. Это относится в равной мере как к игроку А, так и к игроку В. Совокупность оптимальных стратегий обоих игроков называют решением игры. Чтобы найти решение игры с седловой точкой, нужно найти седловую точку платежной матрицы; решение игры есть совокупность стратегий А) и Вь определяющих эту точку.
Если в игре 1 в § 4.4 игрок А придерживается своей оптимальной стратегии (стратегии А2), а игрок В придерживается своей оптимальной стратегии (стратегии В-^, то игрок А будет иметь в среднем минимальный гарантированный выигрыш, равный цене игры v = 0,7 (его выигрыш не может быть меньше 0,7). При этом игрок В будет иметь в среднем максимальный гарантированный проигрыш, тоже равный цене игры v = 0,7 (его проигрыш не может превысить 0,7).
Пусть игрок А придерживается своей оптимальной стратегии Аъ а игроку В вдруг захотелось отойти от своей оптимальной стратегии и выбрать, например, стратегию Bv В этом случае выигрыш игрока А оказывается больше цены игры (он теперь равен 0,9). Соответственно увеличивается и максимальный гарантированный проигрыш игрока В (теперь ему уже не гарантирован проигрыш не более 0,7; теперь ему гарантирован проигрыш не менее 0,9).
Мы убеждаемся, что в игре с седловой точкой всякое отклонение одного из игроков от своей оптимальной стратегии идет во вред этому игроку и, напротив, полезно для противника. Таким образом, оптимальные стратегии как одного, так и другого игрока характеризуются устойчивостью — ни одному из игроков не может быть выгодно отклоняться от собственной оптимальной стратегии. Понятно, что в игре с седловой точкой (в отличие от игры без седловой точки) нет необходимости скрывать свои намерения. И нет необходимости в случайных изменениях стратегии.
Если игра имеет седловую точку, то можно сказать, что ее исход заранее предрешен. Строго говоря, такая игра имеет смысл только для лиц, которые не знают ее решения (которым неизвестна седловая точка игры). В теории игр доказывается, что седловую точку имеет любая игра с полной информацией. Так называют игру, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает результаты всех предыдущих ходов. К играм с полной информацией относятся, в частности, шахматы. Правда, решение шахматной игры до сих пор не найдено из-за исключительно большого числа возможных стратегий. Практически невозможно составить платежную матрицу этой игры и найти ее седловую точку.
Решение игры без седловой точкиИ ОПТИМАЛЬНЫЕ СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ
Поговорим об играх, не имеющих седловой точки (для них а<0). Как мы уже выяснили (см. § 4.5), если в такой игре игрок А будет придерживаться максиминной стратегии, то ему гарантирован выигрыш не менее а. А если игрок В будет придерживаться минимаксной стратегии, его проигрыш не превысит р. Мы выяснили также, что эти стратегии неустойчивы. Как только, например, игрок А поймет, что его противник намерен придерживаться минимаксной стратегии, он тут же найдет более выгодную для себя стратегию, отличающуюся от максиминной.
Такова общая ситуация в игре без седловой точки, когда оба игрока придерживаются только чистых стратегий. Предположим теперь, что от партии к партии оба игрока свои чистые стратегии случайным образом меняют с определенными вероятностями. Это означает, что каждый игрок придерживается некоторой смешанной стратегии, в которой все или некоторые его чистые стратегии «смешаны» в соответствии с определенными вероятностями. Возникает вопрос: можно ли найти такую смешанную стратегию 8д (для игрока Л) и такую смешанную стратегию 8в (для игрока В), которые были бы оптимальными стратегиями и как таковые обладали бы устойчивостью? Иными словами, можно ли, воспользовавшись смешанными стратегиями, найти решение (а значит, и цену) игры без седловой точки?
Положительный ответ на этот вопрос дает основная теорема теории игр. Вот ее краткая формулировка: каждая конечная игра имеет по крайней мере одно решение (возможно, в области смешанных стратегий). Эта теорема была впервые доказана фон Нейманом в 1928 году.
Как и при игре с седловой точкой, средний выигрыш, получаемый в случае, когда найдено решение игры, называют ценой игры. Из основной теоремы следует, что каждая конечная игра имеет цену. Легко сообразить, что цена игры v должна удовлетворять соотношениям:
a<v<p. (10)
В самом деле, a — это наш наибольший гарантированный выигрыш, если применяем только свои чистые стратегии. Поскольку смешанные стратегии включают в себя, в частности, чистые стратегии, то, применяя кроме чистых еще и смешанные стратегии, мы не можем ухудшить свое положение; следовательно, v > а. Аналогичные рассуждения, относящиеся к нашему противнику, позволяют заключить, что v < р. В результате приходим к соотношениям (10).
Оптимальные смешанные стратегии в играх без седловой точки, как и оптимальные чистые стратегии в играх с седловой точкой, характеризуются устойчивостью. Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то другому игроку невыгодно отступать от собственной оптимальной смешанной стратегии. В этом случае каждый игрок имеет в среднем выигрыш (проигрыш), равный цене игры V.
В игре тхп у игрока А есть т возможных чистых стратегий, а у игрока В — п чистых стратегий. Оказывается, что в оптимальные смешанные стратегии 8д и S^ могут входить не все, а только некоторые из имеющихся у игроков чистых стратегий. Эти некоторые стратегии называют
активными (или полезными). В теории игр доказывается теорема: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его выигрыш (проигрыш) остается неизменным и равным цене игры независимо от того, что делает другой игрок — лишь бы он не выходил за пределы своих активных стратегий. Он может, например, воспользоваться любой из своих активных стратегий по отдельности, но может также смешать их в любых пропорциях. Данная теорема играет важную роль в теории игр. Мы воспользуемся ею в следующем параграфе.
Как найти оптимальную смешанную стратегиюДНЯ КАЖДОГО ИЗ ИГРОКОВ?
Покажем, как отыскать оптимальные смешанные стратегии SA и SB*, т. е. как найти цену игры v, а также вероятности чистых стратегий, если известны элементы ау платежной матрицы. Простоты ради мы не станем рассматривать в общем случае игру тхп, а ограничимся играми 2x2 и 3x3.
Начнем с игры 2x2. Нам известны элементы платежной матрицы: аи, ап, Оги °22- Надо найти v и вероятности рх, ръ qx, ^2для оптимальных смешанных стратегий. Допустим, мы выбрали оптимальную смешанную стратегию SA = (рх,р^,ъ противник выбрал чистую стратегию Вх. В этом случае наш средний выигрыш при многократном повторении игры будет аххрх + «цРг- Согласно теореме, сформулированной в конце предыдущего параграфа, указанный выигрыш должен равняться цене игры v:
а11Р1 + «21Р2 = V. (*)
(**)(**)При выборе нами стратегии SA и выборе противником стратегии Въ мы получим средний выигрыш аххрх + а-^р^, который, согласно упомянутой выше теореме, тоже должен равняться цене игры v:
(**)
(**)
^12^1 + а22?2 = V.
В итоге можем записать систему уравнений, которая позволяет найти Ль Рг» v:
апРх +«21Л2 = v;
(11.А)(11.А)ад! + а22р2 = v;
(11.А)
(11.А)
Р\ + Л2 = 1
Используя первое и второе уравнения из (И.А), запишем:Используя первое и второе уравнения из (И.А), запишем:°11Р1 + а21Р2 — «12^1 + «22^2-°11Р1 + а21Р2 — «12^1 + «22^2-(***)(***)Учитывая, что р2 = 1 - Р^ преобразуем (***) к уравнению относительно рх. В результате получаем:Учитывая, что р2 = 1 - Р^ преобразуем (***) к уравнению относительно рх. В результате получаем:°22 - °21.°\\ + °22 - ^12 - ^21 ’аП -аП.«II + «22 -012 -021 ’°22 - °21.°\\ + °22 - ^12 - ^21 ’аП -аП.«II + «22 -012 -021 ’(12-А)(12-А)v = аирх +а21(1-р!) =v = аирх +а21(1-р!) =«ц«22 - ^21^12а11 + а22 ~а12 -а21«ц«22 - ^21^12а11 + а22 ~а12 -а21Теперь предположим, что наш противник выбрал оптимальную стратегию SB = (qx, q-^, а мы выбираем либо стратегию Ах, либо стратегию Л2. По аналогии с (П.А) получаем следующую систему уравнений, которая позволяет найти qx, и q2 (цена игры v уже найдена):Теперь предположим, что наш противник выбрал оптимальную стратегию SB = (qx, q-^, а мы выбираем либо стратегию Ах, либо стратегию Л2. По аналогии с (П.А) получаем следующую систему уравнений, которая позволяет найти qx, и q2 (цена игры v уже найдена):«1151 + «1252 = У«2151 + «2252 = У51 + 52 = 1-«1151 + «1252 = У«2151 + «2252 = У51 + 52 = 1-(11.В)(11.В)Отсюда находим:Отсюда находим:_У-^12.1 «ц +«22 — «12 — «21 ’_У-^12.1 «ц +«22 — «12 — «21 ’52 = 1-51 =52 = 1-51 =°Н —^21«11 +«22 — °12 — °21°Н —^21«11 +«22 — °12 — °21(12-В)(12-В)Обратимся к игре с монетой (см. рис. 2 в таблице 11). В этой игре: ап = а22 = 1, «i2 = a2i = -1. Подставляя эти значения в (12.А) и (12.В), получаемv = 0, рх = р2 = 1 / 2, qx = 52 = 1 / 2.Обратимся к игре с монетой (см. рис. 2 в таблице 11). В этой игре: ап = а22 = 1, «i2 = a2i = -1. Подставляя эти значения в (12.А) и (12.В), получаемv = 0, рх = р2 = 1 / 2, qx = 52 = 1 / 2.Итак, v = 0, 5^ =Итак, v = 0, 5^ =А\ А2 1U/2 1/2]А\ А2 1U/2 1/2]8 в —8 в —Вх В2 1U/2 1/2)'Вх В2 1U/2 1/2)'
Используя первое и второе уравнения из (И.А), запишем:
Используя первое и второе уравнения из (И.А), запишем:
°11Р1 + а21Р2 — «12^1 + «22^2-
°11Р1 + а21Р2 — «12^1 + «22^2-
(***)
(***)
Учитывая, что р2 = 1 - Р^ преобразуем (***) к уравнению относительно рх. В результате получаем:
Учитывая, что р2 = 1 - Р^ преобразуем (***) к уравнению относительно рх. В результате получаем:
°22 - °21.
°\\ + °22 - ^12 - ^21 ’
аП -аП.
«II + «22 -012 -021 ’
°22 - °21.
°\\ + °22 - ^12 - ^21 ’
аП -аП.
«II + «22 -012 -021 ’
(12-А)
(12-А)
v = аирх +а21(1-р!) =
v = аирх +а21(1-р!) =
«ц«22 - ^21^12а11 + а22 ~а12 -а21
«ц«22 - ^21^12а11 + а22 ~а12 -а21
Теперь предположим, что наш противник выбрал оптимальную стратегию SB = (qx, q-^, а мы выбираем либо стратегию Ах, либо стратегию Л2. По аналогии с (П.А) получаем следующую систему уравнений, которая позволяет найти qx, и q2 (цена игры v уже найдена):
Теперь предположим, что наш противник выбрал оптимальную стратегию SB = (qx, q-^, а мы выбираем либо стратегию Ах, либо стратегию Л2. По аналогии с (П.А) получаем следующую систему уравнений, которая позволяет найти qx, и q2 (цена игры v уже найдена):
«1151 + «1252 = У«2151 + «2252 = У51 + 52 = 1-
«1151 + «1252 = У«2151 + «2252 = У51 + 52 = 1-
(11.В)
(11.В)
Отсюда находим:
Отсюда находим:
_У-^12.
1 «ц +«22 — «12 — «21 ’
_У-^12.
1 «ц +«22 — «12 — «21 ’
52 = 1-51 =
52 = 1-51 =
°Н —^21
«11 +«22 — °12 — °21
°Н —^21
«11 +«22 — °12 — °21
(12-В)
(12-В)
Обратимся к игре с монетой (см. рис. 2 в таблице 11). В этой игре: ап = а22 = 1, «i2 = a2i = -1. Подставляя эти значения в (12.А) и (12.В), получаем
v = 0, рх = р2 = 1 / 2, qx = 52 = 1 / 2.
Обратимся к игре с монетой (см. рис. 2 в таблице 11). В этой игре: ап = а22 = 1, «i2 = a2i = -1. Подставляя эти значения в (12.А) и (12.В), получаем
v = 0, рх = р2 = 1 / 2, qx = 52 = 1 / 2.
Итак, v = 0, 5^ =
Итак, v = 0, 5^ =
А\ А2 1
U/2 1/2]
А\ А2 1
U/2 1/2]
8 в —
8 в —
Вх В2 1
U/2 1/2)'
Вх В2 1
U/2 1/2)'
НЕЗАПЛАНИРОВАННЫЙ ДИАЛОГ
'Члииеииг*^.. Цена игры равна нулю. Значит, в данной игре ни игрок А, ни игрок В в среднем (за много партий) ничего не выигрывают!
Автор. Но для этого игроки должны придерживаться оптимальных смешанных стратегий 8д и 5/.
*Ч«АаАе<<*. Поскольку рх = р2 = 1 / 2 и qx = q2 = 1 / 2, то каждый из игроков должен одинаково часто прибегать то к одной, то к другой из двух своих чистых стратегий. Иначе говоря, каждый игрок должен в половине всех партий класть монету орлом вверх, а в половине партий орлом вниз. Проще всего, наверное, чередовать стратегии: «орлом вверх», «орлом вниз», «орлом вверх», «орлом вниз» и т. д.
Автор. Нет, так не годится. Дело не только в том, чтобы в половине партий была выбрана одна стратегия, а в половине другая. Принципиально важно, чтобы этот выбор производился случайным образом. Можно поступить, например, так: перед каждой партией каждый игрок подбрасывает монету. Если подброшенная монета упадет орлом вверх, то игрок и кладет ее на стол орлом вверх, т. е. выбирает стратегию А^^). Если подброшенная монета упадет орлом вниз, то игрок и кладет ее на стол орлом вниз, т. е. выбирает стратегию А^В^. Можно также бросать игральный кубик, условившись, что при выпадении грани с нечетным числом очков монета кладется орлом вверх, а при выпадении грани с четным числом очков — орлом вниз. Мы используем тот факт, что вероятности выпадения четной грани и нечетной грани равны.
Продолжая рассматривать игры 2x2, обратимся к игре «два пальца» (см. рис. 3 в таблице 11). В этой игре: ап = 2, а12 = а21 = -3, ап = 4. Подставляя эти значения в (12.А) и (12.В), получаем:
v = —1 / 2, 8д =v = —1 / 2, 8д =А\ А2 1 ^27/12 5/12/ 5 7/12 5/12/
v = —1 / 2, 8д =
v = —1 / 2, 8д =
Итак, в данном случае цена игры v = -1 /12. Значит игра не выгодна игроку А. Придерживаясь оптимальной смешанной стратегии, игрок должен выбирать стратегию Ахс вероятностью 7/12, а стратегию Л2с вероятностью 5/12. Так же должен поступать со своими стратегиями игрок В. На практике это означает, что перед очередной партией каждый игрок должен наугад вынуть шар из мешка, в котором находятся 7 белых и 5 черных шаров. Если вынутый шар окажется белым, игрок выбирает стратегию Ах (В^, а если черным, то стратегию Аг (В2\ Можно также воспользоваться правильным двенадцатигранником (додекаэдром), у которого семь любых граней белые, а остальные пять граней черные. Перед каждой партией игрок подбрасывает додекаэдр и выбирает ту или иную из двух своих чистых стратегий в зависимости от цвета грани, оказавшейся верхней.
Рассмотрим теперь игру 3x3, полагая, что все три чистые стратегии как игрока А, так и игрока В участвуют в создании оптимальных смешанных стратегий, т. е. являются активными стратегиями. Цену игры и вероятности рх, ръ р3, qx, q2, q3оптимальных смешанных стратегий можно найти с помощью систем уравнений, аналогичных системам (11.А) и (11.В):
8 а и Вх :
а11Р1 + а21Р2 +азхРз = +
S*A и В2 :
°12Р1 +О22?2 +°32РЗ = VS
■(13.А)
8 А и ^з :
<213.P1 4~ ^23/^2 +a33P3 = VS
Pl + Р2 + Рз = .
S*B и Ах :
аи91 +ап92 +а1з9з = VS
Sp и И2 *
<22191 +<72292 +°239з = vi
-(13.В)
8в и +з :
°3191 +°32У2 +азз9з = vi
Qi +9г +9з = 1- .
Обратимся к игре «три пальца». Подставляя в (13.А) элементы платежной матрицы, представленной на рис. 4 в таблице И, получаем систему уравнений:
2^1 -3^ + 4р3 = v;
(****)(****)-3^1 +4^ -5^з =v;
(****)
(****)
4^i -5р2 +6^з = v;
Pl + Р2 + Рз = ^-
Исключим v, приравняв левые части 1-го и 2-го, а также 1-го и 3-го уравнений из (****)’
2pi - Зр2 + 4^з = -Зрх + 4^2 - 5р3;
2pi - Зр2 + 4^з = 4рх - 5^2 + 6^3 •
Мы получили систему трех уравнений с тремя неизвестными:
5^1 -1Р2 + 9р3 =0;
-pi +Р2-рз =°; •
Pl + Р2 + Рз = + .
Подставляя в первые два уравнения /)3 = 1 - д । - р2, приходим к системе двух уравнений с двумя неизвестными:
4^+16/22 = 9; 1
2^2 = 1. I
В результате получаем: v = О, S*A =В результате получаем: v = О, S*A =А11/4А11/4A A 'i1/2 1/4/A A 'i1/2 1/4/
В результате получаем: v = О, S*A =
В результате получаем: v = О, S*A =
А
11/4
А
11/4
A A 'i
1/2 1/4/
A A 'i
1/2 1/4/
Используя v = 0 и систему уравнений (13.В), нетрудно получить:
55f51U/4f51U/4S2 В21/2 1/4,S2 В21/2 1/4,
5
5
f51
U/4
f51
U/4
S2 В2
1/2 1/4,
S2 В2
1/2 1/4,
Чтобы реализовать полученные оптимальные смешанные стратегии на практике, можно, например, воспользоваться мешком, внутри которого находятся один красный, один желтый и два синих шара. Можно также воспользоваться додекаэдром, у которого три каких-то грани выкрашены в красный цвет, три грани в желтый и шесть граней в синий. Перед каждой партией каждый игрок либо вынимает наугад шар из мешка, либо подбрасывает додекаэдр.
Геометрическое представление игр 2x2
Нам известны элементы платежной матрицы некоторой игры 2x2: аи, а|2, ^20 ап- Требуется найти цену игры v и оптимальные стратегии игрока А и игрока В. Рассматривая общий случай, будем полагать, что игра не имеет седловой точки (случай с седловой точкой может рассматриваться как частный случай). В отсутствие седловой точки оптимальные стратегии игроков надо искать в области смешанных стратегий. Нам предстоит найти вероятности рхи р2для оптимальной смешанной стратегии SA игрока А и вероятности ^и д2для оптимальной стратегии SB* игрока В. Покажем, как с помощью геометрических построений можно найти v и упомянутые вероятности.
Проведем отрезок прямой, длина которого равна 1. Концы отрезка обозначим через Ах и Л2. Восстановим из концов отрезка перпендикуляры и отложим на них отрезки АХВХ = ап и А2В{' = а21 — см. рис. 1 в таблице 13 (масштаб длин для отрезка АхА2и упомянутых перпендикуляров различен). Напомним, что аи — наш выигрыш, если мы выберем стратегию Ах, а противник выберет стратегию Вх. Соответственно, а21 —
наш выигрыш при выборе нами стратегии Л2и выборе противником стратегии By.
Соединим отрезком прямой точки By и By'. Теперь можно геометрически найти выигрыш, который мы получим, применив смешанную
стратегиюстратегиюSA =SA =^1.Рх^1.РхЛ21, при условии, что противник по-прежнему Рг)Л21, при условии, что противник по-прежнему Рг)
стратегию
стратегию
SA =
SA =
^1.Рх
^1.Рх
Л21
, при условии, что противник по-прежнему Рг)
Л21
, при условии, что противник по-прежнему Рг)
выбирает стратегию By. Для этого надо фиксировать на отрезке Латочку SA — такую, чтобы отрезок ЛД имел длину ръ а отрезок 8Д — длину pv Восстановим перпендикуляр к отрезку Л|Л2из точки 5^. Длина отрезка SAB{" как раз и будет равна нашему выигрышу при применении
нами смешанной стратегиинами смешанной стратегииSA =SA =А.АА.АAlРг,AlРг,и применения противникоми применения противником
нами смешанной стратегии
нами смешанной стратегии
SA =
SA =
А
.А
А
.А
Al
Рг,
Al
Рг,
и применения противником
и применения противником
стратегии By. Известно, что этот выигрыш должен равняться QyyPy + я21Р2. Докажем, что именно такую длину имеет отрезок SABy". Для этого достаточно рассмотреть треугольник, заштрихованный на рисунке 1, и треугольник В(В” L Треугольники подобные; поэтому для их катетов мож
но составить пропорцию:
B\L _ р2
LB! sX-ayy '
Перепишем ее в виде:
Р1+Р2 = Ргагх~ахх SABy-ayy
Отсюда находим:
(Рх +p2)SABy~anPi -alvp2 =а2Хр2-аХуръ
или
(Рх + Pi)SABy - аууРу + а2хр2.
Так как рх + р2 = 1, то SABX" = QyyPy + «гхРг» чт0 и требовалось доказать.
На рисунке 2 в таблице 13 выполнены аналогичные рисунку 1 построения, но для случая, когда мы выбираем ту же, что и раньше, сме
шанную стратегиюшанную стратегиюSa =Sa =А.РхА.РхЛ2Р2,Л2Р2,, а противник выбирает теперь страте-, а противник выбирает теперь страте-
шанную стратегию
шанную стратегию
Sa =
Sa =
А.Рх
А.Рх
Л2
Р2,
Л2
Р2,
, а противник выбирает теперь страте-
, а противник выбирает теперь страте-
гию не By, а В2. В этом случае наш выигрыш составит:
SAB2 - ^12^1 + a22Pl-
Для доказательства приведенного равенства надо составить пропорцию для катетов двух подобных треугольников — треугольника B{LB{' и треугольника, заштрихованного на рис. 2.
Понятно, что при произвольном разбиении единичного отрезка Л^ на отрезки длиной рх и р2 смешанная стратегия 5^ не может рассматриваться как оптимальная для игрока А. Как хорошо видно из сравнения рисунков 1 и 2,
а\\Р\ + а21Рг * апР1 + а22р2.
Это означает, что, используя одну и ту же смешанную стратегию
SA =SA =А.РхА.РхАР2,АР2,мы получаем различные выигрыши — в зависимости отмы получаем различные выигрыши — в зависимости от
SA =
SA =
А.Рх
А.Рх
А
Р2,
А
Р2,
мы получаем различные выигрыши — в зависимости от
мы получаем различные выигрыши — в зависимости от
того, какой из своих стратегий (^или В^) воспользуется наш противник. Естественно, такая стратегия не может быть оптимальной. Необходимым условием того, что SA есть оптимальная смешанная стратегия для игрока А (будем обозначать такую смешанную стратегию как 5/), явля
ется условие:
аХХРх + а21Р2 — апР1 + а22Р2-
Напомним, что с этим равенством мы уже имели дело — см. соотношение (***) в предыдущем параграфе.
Чтобы с помощью геометрии найти оптимальную для игрока А смешанную стратегию SA (т. е. чтобы найти соответствующие вероятности рх и р^, надо на единичном отрезке АХА2 построить трапецию АХВ{В{'А2 и трапецию АХВ2 В2А2 и найти точку пересечения их боковых сторон, т. е. отрезков В{В" и В2В2. Отрезки В{В{' и В2В2 будем рассматривать как геометрическое представление стратегии В,хх стратегии В2, соответственно. Точка пересечения М стратегий Вх и В2 показана на левом чертеже на рис. 3 в таблице 13. На этом рисунке геометрически представлена конкретная игра 2x2 с платежной матрицей, приведенной на том же рисунке. Точка пересечения М позволяет ответить на интересующие нас вопросы — надо только опустить из нее перпендикуляр MSA на отрезок АХА2. Длина отрезка MSA есть цена игры v, длины отрезков АД* и ДА — соответственно вероятностиp2wpx, задающие оптимальную смешанную стратегию игрока А. С помощью штриховки на данном чертеже выделена ломаная линия В{МВ2', определяющая величину наименьшего гарантированного выигрыша А при выборе им той или иной пары вероятностей рх и р2. Эту линию называют нижней границей выигрыша. Обратим внимание на то, что цена игры v определяется по наивысшей точке нижней границы выигрыша.
На правом чертеже на рис. 3 показаны соответствующие геометрические построения, которые выполняет наш противник, когда он отыскивает свою оптимальную смешанную стратегию SB. Точка пересечения Nотрезков АХА^ и А^А^' (иными словами, точка пересечения стратегии Ахи стратегии А^ определяют цену игры v (она равна длине отрезка NSB*; понятно, что NSB = MS/) и вероятности ^ и цъ задающие оптимальную смешанную стратегию игрока S/(длины 5вВ^и В// соответственно). Штриховкой выделена ломаная линия A^NA/ определяющая величину максимального гарантированного проигрыша нашего противника, — так называемая верхняя граница проигрыша. Заметим, что цена игры может быть определена по наинизшей точке верхней границы проигрыша.
В рассматриваемой игре нижняя цена игры а = А^В-^' = 4, а верхняя цена игры 0 = ВХА{ = 6. Как и следовало ожидать (это хорошо видно на рис. 3), а < v < 0.
Условие (*) является, как отмечалось выше, необходимым условием оптимальности смешанной стратегии SA. Но оно не является достаточным условием. В этом можно убедиться, обратившись к рис. 4 в таблице 13. Предложим читателю самостоятельно исследовать левый и правый чертежи на этом рисунке. Особенность рассматриваемой ситуации в том, что данная игра есть игра с седловой точкой; поэтому она решается в чистых стратегиях игроков. Их оптимальные стратегии: Л2для игрока А и 52ддя игрока В. Седловая точка матрицы: о22 = 6, v = а = 0 = 6. Как и в предыдущей игре, цену игры можно определить по наивысшей точке нижней границы выигрыша, которая в данном случае есть не точка пересечения стратегий ^и Въ а точка В/ Цену игры можно определить также по наинизшей точке верхней границы проигрыша, которая в данном случае не есть точка пересечения стратегий Ах и А^ (эти стратегии здесь вообще не пересекаются), а точка Л2".
410 Геометрическое представление игр 2хп и тх2
В теории игр доказывается следующая теорема: у любой конечной игры тхп имеется решение, для которого число активных стратегий как игрока А, так и игрока В не превосходит наименьшего из чисел т и п. Из этой теоремы следует, что в играх 2хп и тх2 оптимальные смешанные стратегии каждого игрока образуются с использованием только двух его чистых стратегий. Остальные стратегии в решении игры не участву-
ют; их можно вычеркнуть из платежной матрицы. Это означает, что игры 2хл и тх2 сводятся фактически к играм 2x2. Ниже мы убедимся в справедливости этих утверждений, воспользовавшись геометрическим представлениям таких игр.
В игре 2хп мы (игрок А) располагаем двумя чистыми стратегиями Ахи Аъ а наш противник (игрок В) имеет п чистых стратегий: Вх, В2, В3,..., Вп. Платежная матрица игры состоит из двух строк и п столбцов. На рис. 1 в таблице 14 приведена в качестве примера платежная матрица для некоторой игры 2x5. Там же дано геометрическое представление такой игры, рассматриваемое с точки зрения игрока А. Мы поступаем здесь аналогично тому, как поступали в предыдущем параграфе, рассматривая игру 2x2 (напомним левый чертеж на рис. Зв таблице 13). Только теперь на чертеже будут изображаться отрезками прямых не две, а пять стратегий игрока В. Имеются в виду отрезки: В{В{' (стратегия Вх), В{В{' (стратегия В^,..., В^В^' (стратегия В^. Определяем нижнюю границу выигрыша — ломаную линию, выделенную на рисунке с помощью штриховки. Отыскиваем на этой линии наивысшую точку; это есть точка М. Опускаем из М перпендикуляр на отрезок АХА2. Длина перпендикуляра MSд есть цена игры v. Отрезки В/^и AxSa* определяют вероятности рхи р2для оптимальной смешанной стратегии игрока А: ^/^2 = Pi 1 AxSa = р2.
В рассмотренном случае наивысшая точка нижней границы выигрыша определяется пересечением стратегий В2и В4. Поэтому именно эти две стратегии являются в данной игре активными стратегиями игрока В. Вычеркивая в платежной матрице игры столбцы Вх, В3, В5, мы приходим к игре 2x2 с матрицей:
3 9
6 3 '
Подставляя в (12.А) и (12.В) элементы этой матрицы (ахх = 3, а12 = 9, я21 = 6, а22 = 3), находим решение рассматриваемой здесь игры 2x5:
v = 5, рх = 1 / 3, р2 = 2 / 3, qx = 2 / 3, q2 = 1 / 3.
Итак, оптимальные смешанные стратегии:
* _ Ах А2 ।* _ В2 ВА ।
Л Ц/3 2/3/в\2/3 1/3/
Игрок А должен выбирать стратегию Ах с вероятностью 1 / 3 и стратегию А2 с вероятностью 2/3. Игрок Одолжен выбирать стратегию В2с вероятностью
2 / 3 и стратегию S4c вероятностью 1 / 3, а стратегии Вь В3, В5 он вообще не должен применять. Заметим, что в качестве «механизма случайного выбора» в данной игре можно использовать, например, игральный кубик, у которого две произвольные грани как-то закрашены, а остальные четыре грани оставлены незакрашенными.
В игре /ях2у нас т стратегий (Д, Л2, Л3,..., Лт), у противника две стратегии (^и В^; платежная матрица состоит из т строк и двух столбцов. На рис. 2 в таблице 14 можно видеть платежную матрицу и геометрическое представление (с позиции игрока В) некоторой игры 7x2. По аналогии с правым чертежом на рис. 3 в таблице 13 изобразим здесь в виде отрезков прямых семь стратегий игрока А (от Ах до А7), выявим верхнюю границу выигрыша (она выделена на рисунке штриховкой) и отыщем на ней наинизшую точку. Это есть точка N. Опускаем из N перпендикуляр на 5^2- Длина перпендикуляра NSB* есть цена игры v. Отрезки SBB2w Вх8в определяют, соответственно, вероятности ^и 52для оптимальной смешанной стратегии SB игрока В.
Как видно из рис. 2, наинизшая точка верхней границы выигрыша определилась в результате пересечения стратегий А^ и Л6. Значит, именно эти две стратегии являются активными стратегиями игрока Л. Вычеркивая в платежной матрице строки Ах, Л2, А3, А5, Л7, приходим к игре 2x2 с матрицей:
8 11
13 3 '
Подставляя в (12. А) и (12. 5) элементы этой матрицы (ап = 8, ап =11, я21 = 13, o22 = 3), находим решение игры 7x2:
v = 9,2, ^=10/13, /?2 = 3 / 13, 51 = 8/13, 52 = 5/13.
Итак, оптимальные смешанные стратегии:
5^ =5^ =Л4 А6 1_ Г Вх В^ 1
5^ =
5^ =
ДО/13 3/13/ в “1,8/13 5/13/
Игрок А должен выбирать стратегию Л4с вероятностью 10/ 13 и стратегию Л6с вероятностью 3/13, а стратегиями Ах, Аъ А3, А5, Л7он вообще не должен пользоваться. Игрок В должен выбирать стратегию Вх с вероятностью 8 / 13 и стратегию В2с вероятностью 5/13.
Рассмотрим особый случай — игру 2x4, платежная матрица и геометрическое представление которой даны на рис. 3 в таблице 14. Особенность данной игры в том, что ломаная линия, изображающая
нижнюю границу выигрыша (см. штриховку на рисунке), включает в себя отрезок, ориентированный горизонтально. Это отрезок М'М". На первый взгляд, в данном случае у игрока В не две, а три активных стратегии: Въ В^, В3. Но это не так; у игрока В (как и у игрока Л) имеются две активные стратегии. Просто у игрока В есть две альтернативы: он может выбрать в качестве активных либо стратегии Вх и Въ либо стратегии В2 и В3. Точнее говоря, он должен выбрать в качестве оптимальной стратегии чистую стратегию В2и не смешивать ее ни со стратегией Вх, ни со стратегией В3. Что же касается игрока А, то его оптимальная стратегия лежит в области смешанных стратегий, причем у него не одна, а бесконечно много оптимальных смешанных стратегий. К ним относит
ся любая смешанная стратегия SA =ся любая смешанная стратегия SA =4.А4.АЛ2РъЛ2Ръ, для которой р2 попадет в, для которой р2 попадет в
ся любая смешанная стратегия SA =
ся любая смешанная стратегия SA =
4.А
4.А
Л2
Ръ
Л2
Ръ
, для которой р2 попадет в
, для которой р2 попадет в
интервал значений от pj до р{ (см. рисунок), а вероятность рх определяется всякий раз из соотношения рх = 1 -р2. Ясно, что цена игры v = 4. Чтобы найти р{, надо рассмотреть пересечение стратегий Вх и 52, а чтобы найти р2* — пересечение стратегий В2 и В3. Нетрудно подсчитать, что р2 = 1 / 3 и р^ = 3 / 4.
Игра «САМОЛЕТЫ ПРОТИВ ЗЕНИТОК»
В §§ 4.9 и 4.10 задавались, а затем анализировались платежные матрицы игр. При этом не рассматривалось, каким образом появилась та или иная платежная матрица, какую конкретную игровую ситуацию она выражает. В данном параграфе мы рассмотрим конкретную игру под названием «самолеты против зениток». Мы получим платежную матрицу этой игры и, используя ее, найдем решение игры — определим ее цену и оптимальные стратегии игроков.
Мы (нападающая сторона А) посылаем два самолета-бомбардировщика с целью уничтожить некий объект, а противник (обороняющаяся сторона В) старается с помощью четырех зенитных орудий сбить наши самолеты. Оговорим условия игры. Имеются четыре коридора (I, II, III, IV), по которым могут подлететь к объекту наши самолеты, и именно в этих коридорах противник размещают свои орудия. Если хотя бы один из наших двух самолетов-бомбардировщиков прорвется к объекту, тот обязательно будет уничтожен. Каждое орудие может обстрелять только один самолет, пролетающий в пределах коридора, в котором находится это орудие. Обстрелянный самолет оказывается сбитым с вероятностью 1.
Мы не знаем, где и как размещены четыре орудия противника. Противник не знает, откуда прилетят наши два самолета-бомбардировщика.
У нас есть две стратегии:
Ах — послать по одному самолету в двух разных коридорах (безразлично, в каких именно),
Л2 — послать два самолета в каком-то одном из коридоров.
У противника есть пять стратегий:
Вх — выставить по орудию в каждом коридоре,
В^ — выставить по два орудия в двух разных коридорах,
В3 — выставить два орудия в одном из коридоров и по одному орудию в двух других коридорах,
В^ — выставить три орудия в одном из коридоров и одно орудие в каком-то другом коридоре,
В5 — выставить все четыре орудия в одном из коридоров.
Стратегия ^является заведомо невыгодной, поскольку ни в одном из коридоров не появятся три самолета (у нас есть только два самолета), так что три орудия в одном коридоре — это ненужное излишество. Тем более невыгодна стратегия В5. Таким образом стратегия В^ и В5 надо исключить, после чего у противника останутся только три стратегии (Бь Въ В3), и мы приходим к игре 2x3. Найдем элементы платежной матрицы этой игры, т. е., иными словами, найдем вероятности уничтожения объекта при выборе игроками тех или иных стратегий.
Предположим, что мы выбрали стратегию Ах — посылаем по одному самолету в разных коридорах. Если при этом противник выберет стратегию Вх, то, как легко сообразить, ни один из наших двух самолетов не сможет прорваться к объекту. Вероятность уничтожения объекта в этом случае равна нулю: ахх = 0. Допустим, что противник выбрал стратегию В2 и разместил два орудия в коридоре I и два орудия в коридоре II. У нас есть шесть равновероятных вариантов выбора пар коридоров, по которым мы можем направить наши самолеты: I—II, I—III, I—IV, П-Ш, П-ГУ, Ш-ГУ. Из этих шести вариантов проигрышным для нас является только один вариант; в данном случае это вариант I-II. Если бы противник разместил две пары орудий как-то иначе, например в коридорах I и ГУ, то и в этом случае из шести указанных выше вариантов проигрышным для нас оказался бы только один вариант (вариант I-ГУ). Таким образом, вероятность уничтожения объекта при выборе стратегий Т, и В2 есть я12 = 5 / 6. Предположим теперь, что противник выбирает стратегию В3 — размещает два орудия в одном из коридоров и по одному орудию в других коридорах, в результате чего один из коридоров остается незащищенным. Пусть это будет коридор I. Как и в предыдущих случаях, наши самолеты могут выбрать
шесть равновероятных вариантов. В половине вариантов (варианты I—II, I—III, I-IV) в незащищенном коридоре I окажется самолет; он уничтожает объект. Значит вероятность уничтожения объекта при выборе стратегий Ах и В3 есть о13 = 1 / 2.
Разберемся теперь с вероятностями уничтожения объекта при условии, что мы выбрали стратегию А2 — по какому-то одному из коридоров направили оба самолета. Пусть это будет коридор I (с равным успехом можно было бы выбрать любой другой коридор). Допустим, противник при этом выберет стратегию Вх — защитит каждый коридор одним орудием. Ясно, что для пары самолетов такая защита недостаточна. один самолет будет, конечно, сбит, зато другой достигнет объекта. Значит, объект обязательно будет уничтожен: <z21 = 1. Допустим, противник выбрал стратегию В2. У него шесть вариантов размещения пар орудий по коридорам: I—II, I—III, I-IV, П-Ш, II—IV, Ш-ГУ. В половине вариантов наши оба самолета будут сбиты (варианты I—II, I—III, I-ГУ), а в половине вариантов оба самолета достигнут объекта (варианты П-Ш, II—IV, Ш-ГУ). Следовательно, вероятность уничтожения объекта будет равна ап=\ ( 2. Наконец, предположим, что противник выбрал стратегию В3. Мы посылаем самолеты не поодиночке, а парами; поэтому противник выиграет только в том случае, если наша пара самолетов окажется в коридоре, защищенном двумя орудиями. Вероятность того, что это произойдет, равна 1/2. Значит, вероятность нашего выигрыша в данном случае (вероятность уничтожения объекта) есть а23 = 3 / 4.
Итак, мы нашли элементы платежной матрицы игры 2x3, в которой два самолета-бомбардировщика выступают против четырех зенитных орудий. Эта платежная матрица, а также геометрическое представление данной игры, рассматриваемое с точки зрения нападающей стороны А, даны на рис. 4 в таблице 14. Далее, как говорится, дело техники. Построив соответствующие отрезки для стратегий противника Вх, В2, В3, выявляем верхнюю границу выигрыша (ломаная ВХМВ2') и ее наивысшую точку (точка М\ Оказывается, активными стратегиями игрока В являются стратегии Вх и В2, так что столбец В3 можно вычеркнуть из полученной ранее платежной матрицы, после чего мы придем к матрице:
О 5/61 1/2 '
Подставляя в (12.А) и (12.В) ап = 0, аХ2 = 5/6, а2Х = 1, а22 = 1 /2 находим решение рассматриваемой игры:
V _ с/оС* _ ( А^2 1П* _ ( Вх В2 1
' ’А [з/8 5/8/в [1/4 3/4/
При многократном повторении игры нам выгодно выбирать стратегию Ах с вероятностью рх = 3 / 8 и стратегию Л2 с вероятностью р2 = 5 / 8. Противнику же выгодно выбирать стратегию Вх с вероятностью qx = 1 / 4 и стратегию В2с вероятностью q2 = 3/4, а стратегии В3, В4, ^вообще не следует применять. Цена игры v = 5 / 8 (вероятностью уничтожения объекта есть 5/8, а вероятность его сохранения есть 1 - 5/ 8 = 3/8). Любое наше отклонение от оптимальной смешанной стратегии 8д нам невыгодно — оно может лишь привести к тому, что вероятность уничтожения объекта окажется меньше 5/8. Любое отклонение противника от оптимальной смешанной стратегии SB* ему невыгодно — оно может лишь привести к тому, что вероятность сохранения объекта окажется меньше 3/8. Если каждая из сторон желает действовать целесообразно, то она должна придерживаться своей оптимальной смешанной стратегии.
Упрощение игр. Заввдомо невыгодные стратегии
Играя в «самолеты против зениток», мы существенно упростили игру, исключив сразу же стратегии В4 и В5 как стратегии, заведомо невыгодные для игрока В. С заведомо невыгодными стратегиями мы встречались также в играх, представленных на рисунках в таблице 14. Так, заведомо невыгодны для игрока В стратегия А5 на рис. 1 и стратегия В4 на рис. 3. Заведомо невыгодны для игрока А стратегии Ах, А2, Л3на рис. 2.
Нетрудно сообразить, что, если в платежной матрице все элементы некоторой строки, определяющей стратегию Ах, не больше соответствующих элементов какой-либо другой строки, то стратегия Ах является заведомо невыгодной для игрока А. О стратегии, определяющей упомянутую «другую строку», говорят, что она доминирует над стратегией А,. Выбрав стратегию А,, игрок получит выигрыш, который будет меньше или, в крайнем случае, будет равен выигрышу при выборе доминирующей стратегии. Ясно, что такой выбор заведомо невыгоден.
Если все элементы некоторого столбца, определяющего стратегию Bj, не меньше соответствующих элементов какого-либо другого столбца, то стратегия Bj является заведомо невыгодной для игрока В. О стратегии, определяющей «другой столбец», говорят, что она доминирует над стратегией Bj.
Предположим, что нам удалось формализовать игру, т. е. привести ее к матричной форме (составить платежную матрицу игры). После этого следует проверить, совпадают ли нижняя и верхняя цена игры, т. е. имеется ли в данной игре седловая точка. Если она имеется, то решение игры определяется немедленно — это те стратегии игроков, в пересечении которых находится седловая точка матрицы. Если игра не имеет седловой точки, то нужно попробовать упростить ее, вычеркнув из платежной матрицы те строки и столбцы, которые отвечают заведомо невыгодным стратегиям (если, конечно, таковые просматриваются). Кроме того надо проверить, не имеются ли дублирующие стратегии, т. е. такие стратегии, для которых все элементы одной строки равны соответствующим элементам другой (или все элементы одного столбца равны соответствующим элементам другого). Из дублирующих стратегий достаточно сохранить в платежной матрице только одну стратегию (безразлично, какую именно).
Только после того, как произведено упрощение игры, начинается поиск оптимальных смешанных стратегий игроков и определяется цена игры. Иными словами, отыскивается решение игры.
Рассмотрим в качестве примера следующую платежную матрицу для игры 4x7 (конкретная игровая ситуация, соответствующая такой матрице, в данном случае не обсуждается):
^i 52 В3 В4 В5 В6 В-
4Л2 ^зЛ44Л2 ^зЛ422432243655465542456134546854564245613454685456433213321
4
Л2 ^з
Л4
4
Л2 ^з
Л4
2
2
4
3
2
2
4
3
6
5
5
4
6
5
5
4
2456
1345
4685
4564
2456
1345
4685
4564
3
3
2
1
3
3
2
1
Для данной игры: а = 2, р = 3. Следовательно, это есть игра без седловой точки. Попробуем ее упростить прежде, чем начнем искать решение игры.
Легко видеть, что стратегия Л, доминирует над стратегией Аъ а стратегия A3 доминирует над стратегией А4. Значит, стратегия Л2 и Л4 являются заведомо невыгодными для игрока А. Вычеркивая эти стратегии, приходим к матрице:
51 В2 Вз В4 В5 В^ В^~А{ 2 6 2 4 5 6 ГАз 4 5 4 6 8 5 2
Сравнивая элементы столбцов, обнаруживаем несколько заведомо невыгодных для игрока В стратегий. Это стратегии Въ В4, В5, В6; вычеркивая их, получаем матрицу:
ААААBy В3 В-,1 2 Г
А
А
А
А
442
Стратегии Вх и В3 оказались дублирующими; убираем одну из них, например, стратегию В3. В результате мы свели игру 4x7 к игре 2x2:
^i А
АААА23
А
А
А
А
42
Теперь совсем нетрудно найти решение игры — достаточно воспользоваться соотношениями (12.А) и (12.В). Решение игры:
v = 8/3, s; =v = 8/3, s; =А ААз 1/зА ААз 1/з8*8 =8*8 =А АМ3 2/3/А АМ3 2/3/
v = 8/3, s; =
v = 8/3, s; =
А А
Аз 1/з
А А
Аз 1/з
8*8 =
8*8 =
А А
М3 2/3/
А А
М3 2/3/
Итак, оптимальная смешанная стратегия игрока А предполагает выбор им стратегии Ах с вероятностью 2 / 3 и стратегии А 3 с вероятностью 1/3 (стратегии Л 2 и Л 4 применять нс надо). Оптимальная смешанная стратегия игрока В предполагает выбор им стратегии Вхс вероятностью 1/3и стратегии В^ с вероятностью 2/3 (стратегии Въ В3. В^ В5, Вбприменять не надо).
ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ 4
Найдите нижнюю цену ос и верхнюю цену р игры и укажите максиминную стратегию игрока А и минимаксную стратегию игрока В в играх, платежные матрицы которых представлены на рисунках 1-7 в таблице 15.
Ответы: на рис.1:ос = 3,р = 5;стратегииД3и В^,
на рис.2:а = -1,р = 1;стратегииД2 и В2;
на рис.3:а = 0,4,Р = 0,5;стратегииАг и В3;
на рис.4:а = -5,р = 4;стратегииА1? А2, В^
на рис.5:а = 5,Р = 16;стратегииА^ В±, В2;
на рис.6:а = 4,Р = 5;стратегииД5 и В5;
на рис.7:а = 0,8,Р = 1,2;стратегииД5 и Б4.
Укажите заведомо невыгодные стратегии: а) на рисунке 6 в таблице 15 и) на рисунке 7 в таблице 15.
Ответы: а) А2, А^ В3; б) А1? Аб.
Таблица 15. Каковы нижняя и верхняя цена игры?
Присмотритесь внимательнее к матрице на рисунке 4 в таблице 15. Не сможете ли предложить игру, для которой эта матрица могла бы служить платежной матрицей? Ответ: игра «четыре пальца».
Можно ли считать, что матрица на рисунке 5 в таблице 15 есть платежная матрица игры «пять пальцев»?
Ответ: можно; но при подсчете цены игры придется вычесть 10 из полученного результата.
Найдите цену игры и оптимальные смешанные стратегии для игры 2, сформулированной в § 4.4.
Подсказка. Для удобства умножьте на 10 все элементы матрицы, приведенной на рисунке 6 в таблице 11.
Ответ: v = 0,535.
g* _ Г ®1^2®3 )в —[э/26 6/13 5/26рg* _ Г ®1^2®3 )в —[э/26 6/13 5/26р$* ( А A AL f А А ^з I Л 1^19/52 29/52 4/52) ~ 1.5/13 7/13 1/13/
g* _ Г ®1^2®3 )
в —[э/26 6/13 5/26р
g* _ Г ®1^2®3 )
в —[э/26 6/13 5/26р
Найдите цену игры и оптимальные смешанные стратегии в игре, платежная матрица которой представлена на рисунке 4 в таблице 15.
Ответ: v = О,
[ А А А А I. _ f ^2 ^3 А I
А 1.1/8 3/8 3/8 1/8/6 U/8 3/8 3/8 1/8/
7.7.Найдите решение игры в играх с седловой точкой, заданных следующими набора-
7.
7.
мимиэлементов платежной матрицы:
ми
ми
a1:L = 5, а21 = 8, a3i = 9, аи = А, a2i ~ 5, а31 = ^, а41 = А а51 = 5,a1:L = 5, а21 = 8, a3i = 9, аи = А, a2i ~ 5, а31 = ^, а41 = А а51 = 5,а12 = 4,а22 = 7,а32 = 4,а12 = 4,а22 = 4,а23 ~ 5, ^24 ~ ^’а25 = 2,а12 = 4,а22 = 7,а32 = 4,а12 = 4,а22 = 4,а23 ~ 5, ^24 ~ ^’а25 = 2,а13 = ^’ а23 ~ ^’ азз ~ 5, а13 = 2, а23 ~ ^’ а33 = 2, а43 = 2, а53 = ^’а13 = ^’ а23 ~ ^’ азз ~ 5, а13 = 2, а23 ~ ^’ а33 = 2, а43 = 2, а53 = ^’а14 ~ $’ ^24 = 7 ’ а34 = $, а14 = 2, а24 = 6, а34 = 3’а44 = 2, а54 — ^-’а14 ~ $’ ^24 = 7 ’ а34 = $, а14 = 2, а24 = 6, а34 = 3’а44 = 2, а54 — ^-’а15 = 3,а25 = 4,а35 = 2,а45 = 4,а55 = 5,а15 = 3,а25 = 4,а35 = 2,а45 = 4,а55 = 5,
a1:L = 5, а21 = 8, a3i = 9, аи = А, a2i ~ 5, а31 = ^, а41 = А а51 = 5,
a1:L = 5, а21 = 8, a3i = 9, аи = А, a2i ~ 5, а31 = ^, а41 = А а51 = 5,
а12 = 4,
а22 = 7,
а32 = 4,
а12 = 4,
а22 = 4,
а23 ~ 5, ^24 ~ ^’
а25 = 2,
а12 = 4,
а22 = 7,
а32 = 4,
а12 = 4,
а22 = 4,
а23 ~ 5, ^24 ~ ^’
а25 = 2,
а13 = ^’ а23 ~ ^’ азз ~ 5, а13 = 2, а23 ~ ^’ а33 = 2, а43 = 2, а53 = ^’
а13 = ^’ а23 ~ ^’ азз ~ 5, а13 = 2, а23 ~ ^’ а33 = 2, а43 = 2, а53 = ^’
а14 ~ $’ ^24 = 7 ’ а34 = $, а14 = 2, а24 = 6, а34 = 3’
а44 = 2, а54 — ^-’
а14 ~ $’ ^24 = 7 ’ а34 = $, а14 = 2, а24 = 6, а34 = 3’
а44 = 2, а54 — ^-’
а15 = 3,
а25 = 4,
а35 = 2,
а45 = 4,
а55 = 5,
а15 = 3,
а25 = 4,
а35 = 2,
а45 = 4,
а55 = 5,
стратегии: Д2и В3;стратегии: Д2и В3;Ответы: a) v = 6, оптимальные
стратегии: Д2и В3;
стратегии: Д2и В3;
v = 3, оптимальные стратегии: Д2и В3.
8.8.Найдите решение следующих игр 2x2 аналитически и графическим способом:
8.
8.
а) а11 — ^’ б) ац = 2, в) ац = 1,а) а11 — ^’ б) ац = 2, в) ац = 1,а12 — 7, 312 = 7, ^12 ~ О,а12 — 7, 312 = 7, ^12 ~ О,a2i — ^’ a2i ~ 8, а21 = 4,a2i — ^’ a2i ~ 8, а21 = 4,а22= А;а22 = 2;а22 = 2.а22= А;а22 = 2;а22 = 2.
а) а11 — ^’ б) ац = 2, в) ац = 1,
а) а11 — ^’ б) ац = 2, в) ац = 1,
а12 — 7, 312 = 7, ^12 ~ О,
а12 — 7, 312 = 7, ^12 ~ О,
a2i — ^’ a2i ~ 8, а21 = 4,
a2i — ^’ a2i ~ 8, а21 = 4,
а22= А;
а22 = 2;
а22 = 2.
а22= А;
а22 = 2;
а22 = 2.
Ответы: a) v = 6,Ответы: a) v = 6,S* = fД1А [2/36) v = 52 / И, е* _ f АлА [б/11S* = fД1А [2/36) v = 52 / И, е* _ f АлА [б/11А2 /1/3/А2 /1/3/Аг5/11Аг5/11611/2611/2Вл5/11Вл5/11в2\1/2Гв2\1/2ГВг 1. 6/11/Вг 1. 6/11/
Ответы: a) v = 6,
Ответы: a) v = 6,
S* = fД1
А [2/3
6) v = 52 / И, е* _ f Ал
А [б/11
S* = fД1
А [2/3
6) v = 52 / И, е* _ f Ал
А [б/11
А2 /
1/3/
А2 /
1/3/
Аг
5/11
Аг
5/11
61
1/2
61
1/2
Вл
5/11
Вл
5/11
в2\
1/2Г
в2\
1/2Г
Вг 1. 6/11/
Вг 1. 6/11/
v = 22/7,
о* = f ^1^2 \ С* = f ^1^2 ]
А ^2/7 5/7? s ^4/7 3/7?
9. Найдите решение следующих9. Найдите решение следующиха) Зц = 2, з21 = 8, б) ац = 3, з21 = 7,в) Зц = 4, 32i — 6,Ответы: з)а) Зц = 2, з21 = 8, б) ац = 3, з21 = 7,в) Зц = 4, 32i — 6,Ответы: з)3i2 — 3, з22 — 6, 3i2 — 6, з22 — О, 3i2 — 5, а22 = 4, v = 5,3i2 — 3, з22 — 6, 3i2 — 6, з22 — О, 3i2 — 5, а22 = 4, v = 5,а13 = 7, а23 = 4, а13 = ^, а2з = 2, а13 = ^, а2з = О,а13 = 7, а23 = 4, а13 = ^, а2з = 2, а13 = ^, а2з = О,а14 = 9;а24 = 4;а14 = 9;а24 =а14 — 8;а24 = 2.а14 = 9;а24 = 4;а14 = 9;а24 =а14 — 8;а24 = 2.игр 2x4 аналитически и графическим способом:
9. Найдите решение следующих
9. Найдите решение следующих
а) Зц = 2, з21 = 8, б) ац = 3, з21 = 7,
в) Зц = 4, 32i — 6,
Ответы: з)
а) Зц = 2, з21 = 8, б) ац = 3, з21 = 7,
в) Зц = 4, 32i — 6,
Ответы: з)
3i2 — 3, з22 — 6, 3i2 — 6, з22 — О, 3i2 — 5, а22 = 4, v = 5,
3i2 — 3, з22 — 6, 3i2 — 6, з22 — О, 3i2 — 5, а22 = 4, v = 5,
а13 = 7, а23 = 4, а13 = ^, а2з = 2, а13 = ^, а2з = О,
а13 = 7, а23 = 4, а13 = ^, а2з = 2, а13 = ^, а2з = О,
а14 = 9;
а24 = 4;
а14 = 9;
а24 =
а14 — 8;
а24 = 2.
а14 = 9;
а24 = 4;
а14 = 9;
а24 =
а14 — 8;
а24 = 2.
Q* = ( ^1C*=f^2^3 L
А 1.1/3 2/3?8 1.1/2 1/2?
v = 21/5, * (Ад)
л ”1.7/10 3/10? еЧз/5 2/5?
v = 9 / 2, е* _ f А^2 1 е* = [ ®1®3 ?
А ^3/4 1/4)’8 [з/4 1/4J’
Найдите решение следующих игр 4x2 аналитически и графическим способом:
^ц ~ 2, з21 — 3, 3i2 — 6, ^22 ~ ^’^ц ~ 0, ^21 ~ ^’3i2 — 8, ^22 ~ ^’^ц ~ 3, ^21 ~ ^’ 3i2 — 5, ^22 ~ ^’^ц ~ 2, з21 — 3, 3i2 — 6, ^22 ~ ^’^ц ~ 0, ^21 ~ ^’3i2 — 8, ^22 ~ ^’^ц ~ 3, ^21 ~ ^’ 3i2 — 5, ^22 ~ ^’З31 — 5, ^41 — ^’ а32 — А, з42 = 4;а31 ~ ^’ а41 ~ ^’ аз2 — ^’ а42 — 2;З31 — 8, ^41 ~ ЮЗз2 — 0, 342 —— 0.З31 — 5, ^41 — ^’ а32 — А, з42 = 4;а31 ~ ^’ а41 ~ ^’ аз2 — ^’ а42 — 2;З31 — 8, ^41 ~ ЮЗз2 — 0, 342 —— 0.
^ц ~ 2, з21 — 3, 3i2 — 6, ^22 ~ ^’
^ц ~ 0, ^21 ~ ^’
3i2 — 8, ^22 ~ ^’
^ц ~ 3, ^21 ~ ^’ 3i2 — 5, ^22 ~ ^’
^ц ~ 2, з21 — 3, 3i2 — 6, ^22 ~ ^’
^ц ~ 0, ^21 ~ ^’
3i2 — 8, ^22 ~ ^’
^ц ~ 3, ^21 ~ ^’ 3i2 — 5, ^22 ~ ^’
З31 — 5, ^41 — ^’ а32 — А, з42 = 4;
а31 ~ ^’ а41 ~ ^’ аз2 — ^’ а42 — 2;
З31 — 8, ^41 ~ Ю
Зз2 — 0, 342 —— 0.
З31 — 5, ^41 — ^’ а32 — А, з42 = 4;
а31 ~ ^’ а41 ~ ^’ аз2 — ^’ а42 — 2;
З31 — 8, ^41 ~ Ю
Зз2 — 0, 342 —— 0.
Ответы: a) v = 5,
^=[Ал41(влв21
А U/21/2)’8U/43/4J’
v = 34 / 5,
* ( АдД3 1( ВдВ^ )
12/5 3/5?8 ”1.2/5 3/5?
v = 25 / 6,
^=[ А. Д4\[ Вл В2 1
А 1.5/6 1/6?8 1.5/12 7/12?
ТЕМА 5
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ: ИГРЫС «ПРИРОДОЙ», ИЛИ ПРИНЯТИЕСТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
Близкой по идеям и методам к теории игр является теория статистических решений. От теории игр она отличается тем, что неопределенная ситуация не имеет конфликтной окраски — никто никому не противодействует, хотя элемент неопределенности налицо... Соответствующие ситуации часто называют «играми с природой». «Природа» мыслится как некая незаинтересованная инстанция, «поведение» которой неизвестно, но во всяком случае не злонамеренно.
Е.С. Вентцелъ
Особенности ипр с «природой»
1\ак уже говорилось, теория игр не интересуется азартными играми (играми, в которых нет личных ходов); она интересуется играми стратегическими. Недаром одним из основных понятий этой теории является
понятие стратегии игрока. В антагонистических парных играх каждый из противоборствующих игроков придерживается разумной стратегии — он предпринимает именно те действия, которые наиболее выгодны ему и наименее выгодны противнику.
К теории игр примыкает так называемая теория статистических решений. Здесь тоже есть игрок А, заинтересованный в получении некоего максимально возможного выигрыша. Однако теперь ему «противостоит» не игрок В, желающий максимально уменьшить выигрыш игрока А и за счет этого обеспечить собственный успех, а некая объективная действительность, которую в данной теории принято называть природой. При этом игрока А называют просто игроком, а также статистиком. Можно ли, однако, говорить о противостоянии статистика и природы? Строго говоря, противостояния как такового здесь нет, поскольку нет двух заинтересованных сторон с противоположными целями. Есть только одна заинтересованная (а потому активно действующая) сторона — статистик. Другая же сторона (природа) является незаинтересованной инстанцией. Ее «поведение» (точнее сказать: реализация ею тех или иных возможных состояний) неизвестно статистику (игроку), так что тот вынужден принимать решение в условиях неопределенности. Однако, во всяком случае, «поведение» природы не содержит какой-либо нарочитой враждебности и сознательного противодействия. Это только в художественных произведениях природа иногда выступает как «сила», враждебная человеку. Вспомним у Баратынского:
Чья неприязненная сила, Чья своевольная рука Сгустила в тучи облака И на краю небес ненастье зародила?
Будем полагать, что у игрока есть т возможных стратегий: Ах, А3, А3, А4,..., Ат, а у природы есть п возможных состояний: Nx, N3, N3, N4,...,Nn. Эти состояния будем условно называть стратегиями природы. У игрока есть цель — выбрать такую чистую стратегию А, (или такую смешанную стратегию), которая бы обеспечивала ему наибольший выигрыш. У природы, разумеется, никакой цели нет.
В принципе можно представить ситуацию в матричной форме — составить матрицу выигрышей тхп (матрицу ||агу||):
Ny
^2
^3
n4 .
- Nn
Л
«11
«12
«13
«14•
•• «1»
д2
«21
«22
«23
«24■
-«2»
А
^ml
^m2
^m3
^m4.
•• ^mn
Здесь ay есть выигрыш, который получит в том случае, если он выберет стратегию Л; , а природа реализует состояние Nj (или, условно говоря, выберет стратегию Nj\
Казалось бы, при таком подходе теория статистических решений превращается в некоторый вариант теории игр (ведь матрицу \\ау\\ в (*) можно рассматривать как платежную матрицу игры). Однако это не так. Принципиальное отличие от теории игр связано с незаинтересованностью нашего «противника»; природа не вредит нам целенаправленно и не отыскивает выгодные для себя стратегии (возможные состояния). Конечно, можно и должно говорить о том, что для природы может быть полезно, а что вредно, и в этом смысле выгодно или невыгодно. Однако понятия собственной осознанной выгоды для природы не существует (в отличие, разумеется, от нас, т. е. от статистика).
Отсюда следуют два важных отличия теории статистических решений от теории игр. Во-первых, здесь нам проще принять решение (коль скоро никто нам целенаправленно не противодействует). Во-вторых, здесь нам труднее обосновать свой выбор (именно потому, что нет целенаправленного противодействия и мы не догадываемся, чего же добивается наш «противник», т. е. матушка-природа). Целенаправленность действий сознательного противника в теории игр в какой-то мере уменьшает для нас степень неопределенности. В теории же статистических решений мы имеем дело с неопределенностью в «полной мере». Тут возможны разные варианты. Один крайний вариант отвечает ситуации, когда нам известны вероятности состояний природы. Будем обозначать
И
эти вероятности через Рь Ръ Р3,., Рп; очевидно, что У^Р, =1- Другой 7=1
крайний вариант отвечает ситуации, когда мы ничего не знаем о вероятностях состояний природы или, более того, когда даже понятие вероятности, строго говоря, неприменимо. Оба эти варианта неопределенности мы обсудим позднее.
Формулируя кратко сущность различия между теорией игр и теорией статистических решений, говорят, что в теории игр каждый игрок принимает решение в условиях стратегической неопределенности, а в теории статистических решений игрок принимает решение в условиях стохастической неопределенности. Последняя обусловлена не непредсказуемыми действиями другого игрока, а отсутствием у нас точных знаний о тех или иных условиях проведения операции. Так, например, мы можем не знать заранее, как сложатся погодные условия, каков будет покупательский спрос на данную продукцию, каков будет объем перевозок или объем поставок и т. д.
Начиная работать с матрицей ЦауЦ мы должны предварительно ее «почистить», т. е. вычеркнуть заведомо невыгодные стратегии (если они есть). В отличие от теории игр здесь могут оказаться заведомо невыгодными лишь какие-то из стратегий А,. Что же касается «стратегий природы» Nj, то они принципиально не могут быть выгодными или невыгодными. Так что теперь мы можем вычеркивать только строки матрицы выигрышей, но никак не столбцы.
В заключение сделаем одно важное замечание. По большому счету, задача принятия решения в играх с природой должна быть не однокритериальной, а многокритериальной. Мы должны учитывать не только, насколько та или иная стратегия выигрышна для нас (экономический критерий), но и насколько выбор той или иной нашей стратегии может навредить природе (экологический критерий). Игры с природой должны быть отнюдь не чисто экономическими играми, а играми эколого-экономическими. Простоты ради, мы ограничимся ниже однокритериальными играми.
Матрица рисков
В теории статистических решений применяют наряду с матрицей выигрышей ||а;у|| также матрицу рисков \\гу\\.
Поскольку игрок, выбирая ту или иную стратегию, не знает, какую стратегию «выбрала» природа, он, естественно, в какой-то мере рискует. Величина риска зависит от того, какое из и возможных состояний природы на самом деле реализуется при том или ином выборе игрока. Если, например, реализуется состояние Му, то риск игрока, связанный с выбором им стратегии А,, принимается равным
rtj = ^j — °У ’(1)
где
В,- = шах а,;.(2)
J l<i<m J
Если бы игрок знал заранее, что реализуется состояние Му, то он выбрал бы такую стратегию Aj, для которой выигрыш ау был бы наибольшим из всех выигрышей в у-м столбце матрицы ||azy||, т. е. был бы равен Ру. В этом случае не было бы никакого риска или, иными словами, риск сводился бы к нулю: Гу = 0. Выбирая наугад стратегию А, игрок, разумеется, рискует; при этом величина риска Гу будет тем больше, чем меньше ау по сравнению с max a;i.
l<i<m J
Сравните две приведенные ниже матрицы 4x6. Левая матрица — это матрица выигрышей ||а;-,||. Правая матрица — матрица рисков Цг^-Ц. Она получена из левой матрицы с помощью соотношения (1).
^ N3 N3 N4 M5 M6
N, N, N3 N4 M5 M6
А ^2 А 4
2357564
343825A3
656734A3
567665A4
432110
324041
011132
100201
Поясним понятие риска на конкретном примере данной игры. Если бы игрок знал, что реализуется, например, состояние #4, то в этом случае он, конечно, выбрал бы стратегию Л2 и получил бы наибольший для такого состояния природы выигрыш а24 = 8. Но игрок не знает, какое
состояние реализуется, и поэтому он принимает решение рискнуть и выбрать стратегию наугад. (В последующих параграфах будет показано, что наугад выбирать стратегию все-таки не нужно, поскольку можно
воспользоваться вероятностями состояний или, в крайнем случае, оп
ределенными критериями выбора). Допустим, что игрок выбрал страте
гию 4- При таком выборе его риск будет равен:
гп = 4, если окажется, что реализуется состояние Nx;
гп = 3, если окажется, что реализуется состояние Му,
гхз = 2, если окажется, что реализуется состояние М3;
ru= 1, если окажется, что реализуется состояние М4;
r15 = 1, если окажется, что реализуется состояние М5;
г16 = 0, если окажется, что реализуется состояние М6.
Допустим, игрок выбрал стратегию А4. При таком выборе его риск ра
вен нулю для трех состояний природы из шести, а для остальных состояний он равен либо 1, либо 2. При выборе стратегии А4 игрок рискует меньше, чем при выборе стратегии Av Уже отсюда видно, что не следует выбирать наугад, т. е. случайным образом.
53 Принятие решения, когда известны вероятности«СТРАТЕГИЙ ПРИРОДЫ»
Играя с природой, мы не знаем точно, какую именно из своих стратегий «выбрала» в том или ином случае природа. Приходится принимать решение в условиях неопределенности (точнее, стохастической
неопределенности). Однако в ряде случаев нам могут быть известны вероятности Ръ Ръ Р3,..., Рп возможных состояний (стратегий) природы. Они могут быть известны, например, на основе данных статистических наблюдений. Если вероятности состояний известны, то оптимальная стратегия выявляется относительно просто — это есть стратегия, соответствующая наибольшему (по сравнению с другими стратегиями) среднему значению выигрыша. Среднее значение выигрыша при выборе игроком стратегии А,:
п
(CLj') = й^Р^ + @12^2 "^^Чз^З + ••• + ^in^n = ^ ' ^ii^i•(3)
7=1
Максимальный средний выигрыш (цена игры с природой):
а =а =max (az) = max\<i<m\<i<mmax (az) = max\<i<m\<i<m(4)(4)
а =
а =
max (az) = max
\<i<m\<i<m
max (az) = max
\<i<m\<i<m
(4)
(4)
Оптимальной стратегией можно считать также ту стратегию, которая соответствует наименьшему (по сравнению с другими стратегиями) среднему значению риска. Среднее значение риска при выборе игроком стратегии Aj:
7=17=1(5)
7=1
7=1
г = min (rz) = min1</<т\<i<mг = min (rz) = min1</<т\<i<mМинимальный средний риск:
г = min (rz) = min
1</<т\<i<m
г = min (rz) = min
1</<т\<i<m
(6)
Убедимся, что оптимальная стратегия, определенная по максимуму выигрыша, и оптимальная стратегия, определенная по минимуму риска, — это одна и та же стратегия. Рассмотрим сумму (а,) + (г^. Используя (3), (5), (1), находим:
ппп
=-“nW, = Y.f>ipi =с’
1-11-1i-l
где через С обозначена постоянная величина. Отсюда видно, что, если (а,) обращается в максимум, то (г,) принимает минимальное значение.
Воспользуемся матрицами ||а(-,-|| и Цг^.Ц из предыдущего параграфа. Для простоты предположим, что все состояния системы имеют одну и ту же вероятность (такое предположение принято называть принципом недостаточного основания Лапласа). Итак, Рх = Р2 = Р3 = Р4 = Р5 = Р6 = 1/6. В этом случае значения (ocz) для Av Аъ А3, А4 равны, соответственно, 4,67; 4,17; 5,17; 5,83; max (аД = 5,83. Оптимальная стратегия есть стра
тегия А4; выбирая ее, игрок получает выигрыш 5,83. Значения (г,) для Ль Л2, А3, А4 равны, соответственно, 1,83; 2,33; 1,33; 0,67; min ^) = 0,67 . 1</<4
Как видим, и при рассмотрении матрицы риска оптимальная стратегия есть стратегия А4; выбирая ее, рискуем меньше всего.
Обратим внимание на то, что полученная оптимальная стратегия является чистой стратегией. Есть правило: если известны вероятности состояний природы, то пользоваться смешанными стратегиями игроку нет смысла — любая смешанная стратегия обеспечит игрока средним выигрышем, который не будет превышать (а скорее всего окажется меньше) среднего выигрыша, получаемого при выборе оптимальной чистой стратегии. Это правило нетрудно доказать. Возьмем какую-нибудь
смешанную стратегию SA =смешанную стратегию SA =т42 ... АтР1 - Рт,т42 ... АтР1 - Рт,и рассмотрим среднийи рассмотрим средний
смешанную стратегию SA =
смешанную стратегию SA =
т42 ... Ат
Р1 - Рт,
т42 ... Ат
Р1 - Рт,
и рассмотрим средний
и рассмотрим средний
выигрыш а , усредненный не только по п возможным состояниям природы, но и по т чистым стратегиям игрока:
а = рх + ^а2) р2 + <а3) р3 +... + <ат) рт.(7)
Пусть оптимальная чистая стратегия есть стратегия Ах и, значит,
(«1) = max (а,-) = а.\<i<m
Учитывая это, перепишем (7) в виде:
а=«Р1 + («2>А + («3>РЗ + -+МРт =
= « A + P2^L+P3^L+-+Pm^1L(а аа
Поскольку а > (а2), а > <а3),..., а > (аот), то, заменив дроби (а2) / а, (а3) / а, ..., (а2) / а на единицы, мы можем лишь увеличить или, в крайнем случае, оставить без изменения выражение в скобках в (*). Следовательно,
«(А + А (а2)/« + Рз («з)/« + - + Рт {^т)/^ <
< о(а + р2 +... + рт) = а. (**)
Сопоставляя (*) и (**), находим, что
(8)(8)а < а = max (а,-)
(8)
(8)
\ 1<Кт
Это и требовалось доказать.
Какой из участков следует выбратьПОД ПОСАДКУ КАРТОФЕЛЯ?
(*)(*)Имеются четыре участка, одинаковые по площади, но разные по степени влажности почвы: участок I с повышенной влажностью, участок II со средней влажностью, участок III с пониженной влажностью, участок IV с особенно низкой влажностью. Нам предстоит выбрать участок под посадку картофеля. У нас четыре стратегии: Аъ Аъ А3, А^ отвечающие выбору участков I, II, III, IV, соответственно. Для получения хорошего урожая картофеля требуется определенное количество влаги в почве в период вегетации. При излишней влажности картофель может частично сгнить на корню и, кроме того, может быть сильно забит сорняками. При недостатке влаги в почве картофель будет плохо развиваться. Выделим три состояния природы: ^ — в период вегетации выпало много осадков, заметно больше нормы; N2 — осадки в норме; N3 — осадков заметно меньше нормы. Средняя урожайность картофеля на одном аре, т.е. на ста квадратных метрах, различна для разных участков и для разных погодных условий. Усреднение здесь предполагается по площади участка, которая может измеряться большим числом аров. Предположим, что указанная средняя урожайность картофеля описывается следующей матрицей ||а;у||:
(*)
(*)
^i N2 N3
Л
12 2,4
1,2 2,3 2
2 2,2 1
Л4
1,8 1,4 0,5
Здесь ау — средняя урожайность картофеля в центнерах на ар для z-ro участка при условии, что погода реализовала состояние Nj.
Стратегия А^ (выбор участка IV) является заведомо невыгодной стратегией; над ней доминирует стратегия А3. Значит, сажать картофель на
(**)(**)участке IV заведомо невыгодно. После вычеркивания стратегии Л4 матрица (*) упрощается:
(**)
(**)
nx n2 n3
12 2,4
л2
1,2 2,3 2
л3
2 2,2 1
Теперь стратегия N2 формально доминирует над стратегией Nx (все элементы 2-го столбца больше соответствующих элементов 1-го столбца). Однако считать стратегию Nx заведомо невыгодной (и на этом основании вычеркнуть ее) нельзя, поскольку это есть стратегия природы, а природа, как уже отмечалось, не различает выгодные и невыгодные стратегии.
Предположим, что многолетние метеонаблюдения в данной местности позволяют оценить вероятности состояний Nx, N2, N3. Пусть Рх = 0,2, Р2 = 0,3, Р3 = 0,5. В этом случае находим с учетом (**) следующие средние (усредненные по состояниям природы) значения выигрыша:
при выборе стратегии Лр (а^ = 2
при выборе стратегии Л2: (а2) = 1,93,
при выборе стратегии Л3: (а3) = 1,52.
Оптимальной стратегией является, таким образом, стратегия Ах. Следует принять решение засадить картофелем участок I. Определенно не следует выбирать участок III.
Предположим, что Рх = 0,3, Р2 = 0,4, Р3 = 0,3. В этом случае: (а^ = 1,82; (а2) = 1,88; (а3) = 1,72. Значит, следует выбрать под посадку картофеля участок II.
Критерии выбора решения
В ОТСУТСТВИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ «СТРАТЕГИЙ ПРИРОДЫ»
Если вероятности состояний природы нам не известны даже приблизительно (или понятие вероятности состояний в данной ситуации вообще неприменимо), можно рискнуть выбрать разумную стратегию, используя критерии, называемые в теории статистических решений критериями Вальда, Гурвица, Сэвиджа.
Максиминный критерий Вальда. В качестве наиболее разумной стратегии этот критерий предлагает стратегию, которая гарантирует
игроку (статистику) наибольший выигрыш в наихудших возможных условиях. Этот выигрыш выражается уже знакомой нам формулой:
а = max min ан,(9)
l<f<m l<j<n J
определяющей не что иное, как максиминную стратегию игрока. Величина а играет роль нижней цены игры с природой. Используя данный критерий, игрок придерживается позиции «крайнего пессимизма» (хуже этого не будет!). Такая позиция игрока понятна, если он очень боится проиграть и, не желая рисковать, предпочитает перестраховаться.
Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Конечно, крайнему пессимизму можно противопоставить крайний оптимизм и выбирать ту стратегию, для которой выигрыш может оказаться (при счастливом раскладе состояний природы) наибольшим как для всех п состояний, так и для всех т возможных чистых стратегий игрока:
а' = max min ац.(10)
X<i<m X<j<n J
(И)(И)Такой оптимизм выглядит весьма легкомысленным (авось повезет!). Поэтому подобный критерий выбора решений практически не применяется. Зато применяется критерий «умеренного оптимизма», который называют критерием пессимизма-оптимизма Гурвица (а также критерием обобщенного максимума). Он рекомендует выбирать стратегию, для которой выигрыш у удовлетворяет соотношению:
(И)
(И)
1</<т1</<ту = max X min аИ + (1 - X) max ац ,X<i<m\ X<j<n JX<j<n J.
1</<т
1</<т
где X — некоторый параметр (0 < X < 1), задаваемый подчас из соображений правдоподобия, здравого смысла или просто из интуитивных соображений. Его называют коэффициентом пессимизма. При X = 0 соотношение (11) превращается в (10) (у=а'; это соответствует позиции крайнего оптимизма). При Х = 1 соотношение (11) превращается в (9) (у = а; это соответствует позиции крайнего пессимизма). Чем больше игрок желает подстраховаться при выборе разумной стратегии, тем ближе к единице задает он X.
Итак, допустим, что X выбран. После этого мы должны для каждой стратегии A) (j= 1, 2, 3,..., т) выполнить две операции: найти для всех п состояний наибольший выигрыш max ац и найти для всех п состоя- x<j<n J
ний наименьший выигрыш min а,.-. Затем вычисляем для выбранного X<j<n J
значения X величину
Ъ = X min ай +(1 - X) max ан(12)
x<j<n Jx<j<n J
и, наконец, отыскиваем ту из т стратегий, для которой ^; оказывается наибольшим, т. е. равным у = max ^. Вот эту стратегию и рекомендует \<1<т
выбирать критерий Гурвица.
(13)(13)Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Этот критерий, как и критерий Вальда, нужно отнести к крайне пессимистическому. Просто он рекомендует ориентироваться при выборе наиболее разумной стратегии не на выигрыш, а на риск. Точнее говоря, он рекомендует выбирать ту стратегию, при которой величина риска будет минимальной даже в наихудших условиях, т. е. будет равна
(13)
(13)
г = min max r„ .l<f<m l<j<n J
Три критерия и задача с посадкой картофеля
Вернемся к задаче выбора стратегии, обсуждавшейся в § 5.4. Предположим, что мы не располагаем данными о вероятностях состояний погоды (или просто не доверяем этим данным). Будем пользоваться приводившейся в § 5.4 платежной матрицей (**).
Сначала обратимся за помощью к критерию Вальда. Для стратегий Аъ Аг, А3 величина min а^ принимает значения 1, 1,2 и 1, соответственно.
X<j<n J
Наибольшее из этих значений равно 1,2; оно получается для стратегии Л2. Значит, рекомендуемой по Вальду стратегией является стратегия Л2.
Далее обратимся к критерию Гурвица. Выбирая X, не будем отдавать предпочтения ни пессимизму, ни оптимизму и положим X = 0,5. Впрочем, не помешает немного подстраховаться и рассмотреть также случай с X = 0,7. Используя платежную матрицу (**) из § 5.4, составим следующую таблицу:
Ai
Аз
Аз
min си
1</<3 J
1
1,2
1
max си
1</<3 J
2,4
2,3
2,2
^,- для X = 0,5
1,7
И
1,6
^;- для X = 0,7
1,42
и
1,36
Мы видим, что при X = 0,5 критерий Гурвица рекомендует выбрать стратегию Л2. Такую же стратегию рекомендует этот критерий и при X = 0,7.
Наконец, воспользуемся критерием Сэвиджа. Предварительно выпишем матрицу рисков Цг^Ц, исходя из матрицы (**) и используя (1):
Nx N3 N3
А
1 0,3 0
л2
0,8 0 0,4
л2
0 0,1 1,4
Величина шах г„ принимает для z= 1, 2, 3 значения, равные, соответ- 1</<з J
ственно, 1, 0,8, 1,4. Наименьшее значение равно г =0,8. Такой риск соответствует выбору стратегии Л2.
Итак, в рассмотренной «картофельной» задаче все три критерия с завидным единодушием рекомендуют выбрать стратегию Л2, т. е. рекомендуют выбрать под посадку картофеля участок II.
Три критерия и задача с заказом товара
Руководству некоторого универмага нужно принять решение о заказе того или иного количества экземпляров некоторого изделия для продажи в универмаге. Специалисты по маркетингу утверждают, что спрос на это изделие лежит в пределах от 6 до 10 экземпляров. Покупательский спрос выступает в данном случае в качестве «природы», которую можно охарактеризовать пятью состояниями: Nx = 6, N2 = 7, N3 = 8, N4 = 9, N5 = 10. Руководству предстоит принять решение, сколько именно экземпляров рассматриваемого изделия надо заказать: шесть (соответствует выбору стратегии Л^, семь (стратегия Л2), восемь (стратегия Л3), девять (стратегия Л4), десять (стратегия Л5). Если спрос окажется меньше заказанного (и потому имеющегося в наличии) количества экземпляров, то нереализованный товар поступит на склад; его хранение обойдется универмагу в 1 условную денежную единицу за каждый нереализованный экземпляр изделия. Если спрос, напротив, окажется больше заказанного количества экземпляров, то потребуются срочный дополнительный заказ и доставка недостающих экземпляров. Это обойдется универмагу в 2 условных денежных единицы за экземпляр. Руководство универмага заинтересовано в том, чтобы минимизировать выплаты за хранение на складе, а также за срочный заказ и доставку изделий.
Нетрудно составить платежную матрицу ||(?у|| и соответствующую ей матрицу рисков Цг^-Ц для данной «игры с природой» (точнее, «игры» руководства универмага с потребительским спросом). Эти матрицы таковы:
ыNx^2^3^4^50-2-4-6-8-10-2-4-6-2-10-2-4-3-2-10-2^5-4-3-2-10ыNx^2^3^4^50-2-4-6-8-10-2-4-6-2-10-2-4-3-2-10-2^5-4-3-2-10ы7V1^40246810246^32102432102^543210ы7V1^40246810246^32102432102^543210
ы
Nx
^2
^3
^4
^5
0
-2
-4
-6
-8
-1
0
-2
-4
-6
-2
-1
0
-2
-4
-3
-2
-1
0
-2
^5
-4
-3
-2
-1
0
ы
Nx
^2
^3
^4
^5
0
-2
-4
-6
-8
-1
0
-2
-4
-6
-2
-1
0
-2
-4
-3
-2
-1
0
-2
^5
-4
-3
-2
-1
0
ы
7V1
^4
0
2
4
6
8
1
0
2
4
6
^3
2
1
0
2
4
3
2
1
0
2
^5
4
3
2
1
0
ы
7V1
^4
0
2
4
6
8
1
0
2
4
6
^3
2
1
0
2
4
3
2
1
0
2
^5
4
3
2
1
0
Здесь ||tz,y || — количество условных денежных единиц, выплачиваемых универмагом в том случае, если руководство универмага выбрало стратегию А;, а покупательский спрос «выбрал» стратегию Nj. Впрочем, лучше говорить не о «выборе стратегий» покупательским спросом, а о реализации того или иного «состояния» покупательского спроса.
Посмотрим, какие стратегии должно выбрать руководство универмага, используя тот или иной критерий. Предварительно составим на основе представленных выше матриц Ца^Ц и \\гу\ следующую таблицу:
Ai
Ai
Аз
^4
As
max ан 1<У<5 4
0
0
0
0
0
min ап 1<У<5 4
-8
-4
-2
-з
-4
max Гц 1<У<5 4
8
6
4
3
4
—8Х
—4Х
—2Х
-зх
—4Х
Нетрудно убедиться, что на основании критерия Вальда следует выбрать стратегию А3 (заказать 8 экземпляров изделия), поскольку именно
для этой стратегии величина min о,7 достигает максимума (он равен i</<5 J
-2). На основании критерия Сэвиджа следует выбрать стратегию А^ (заказать 9 экземпляров изделия), поскольку именно для этой стратегии
величина тжг^ обращается в минимум (он равен 3). На основании
критерия Гурвица предпочтительна стратегия А3, причем при любых X, удовлетворяющих неравенствам 0 < X < 1. Понятно, что руководство уни
вермага будет считать оптимальной стратегию А3 и закажет 8 экземпля
ров изделия.
Заметим, что, если бы мы предположили равновероятность покупки
шести, семи, восьми, девяти и десяти изделий (т.е. исходили бы из принципа недостаточного основания Лапласа), то пришли бы к любопытно
му выводу. В этом случае все пять стратегий Л,- оказались бы в равной
шах аи = О i<;<5 4шах аи = О i<;<5 4мере «оптимальными». Такой вывод следует из того, что
шах аи = О i<;<5 4
шах аи = О i<;<5 4
для всех At. Специалисты по маркетингу будут, естественно, категорически нс согласны с ним. И будут правы.
3О3ОЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ 5
3
О
3
О
Дана следующая матрица рисков в игре 2x3:
Известно, что р± = 3, р2 = -2, рз = 1. Постройте платежную матрицу.
Подсказка. Согласно (1), можем представить: а™ Ру - г^. Воспользуйтесь этим соотношением.
3 -6 -2Ответ:3 -6 -2Ответ:1 -21 -211
3 -6 -2
Ответ:
3 -6 -2
Ответ:
1 -2
1 -2
1
1
Элементы платежной матрицы игры 2x2 таковы: а^ = 5, а12 = 3, а21 = 4, а22 = 6. Найдите вероятности состояний природы Р± и Р2, если известно, что при использовании оптимальной стратегии игрок получает выигрыш, равный 11/2. Найдите также оптимальную стратегию.
Ответ: Р1 = 1/4, Р2 = 3/4. Оптимальная стратегия — стратегия А2.
Платежная матрица \\ац\\ имеет вид:
N, N2 N3 N4 N5 N6
А А А А4 а^
779453
235635
325346
456675
534536
Найдите заведомо невыгодные стратегии, если таковые имеются. Определите оптимальную стратегию, если известно, что вероятности всех шести состояний равны.
Ответ: А2 — заведомо невыгодная стратегия. Оптимальная стратегия — стратегия А^, при выборе ее игрок получает средний выигрыш 5,83.
Платежная матрица имеет вид, представленный в задании 3. Известно, что /^ = Рб = 1 / 24, Р2 = Р3 = Р5 = 1 / 6. Подсчитайте средние выигрыши, получаемые при выборе различных стратегий. Найдите оптимальную стратегию.
Ответ: (а^ = 5,59; <а2> = 4,63; <а3) = 3,54; <а4) = 5,88; <а5> = 4,21.
Оптимальная стратегия — стратегия А4.
Платежная матрица имеет вид, представленный в задании 3. Вероятности состояний природы неизвестны. Найдите оптимальные стратегии из критерия Вальда и из критерия Сэвиджа.
Ответы: из критерия Вальда — оптимальная стратегия есть Д4;
из критерия Сэвиджа — оптимальные стратегии — Д1 и Д4.
Платежная матрица имеет вид, представленный в задании 3. Используя критерий Гурвица, найдите оптимальные стратегии:
а) при Х = 0,5, б) при Х = 0,8.
Ответы: а) стратегия Ар б) стратегия Д4.
В игре, рассмотренной в § 5.4, найдите оптимальную стратегию, используя критерий Гурвица при Х = 0,2. Вычислите ^ (/ = 1, 2, 3) Ответ: стратегия А1; ^ = 2,12, ^2 = 2,08, ^3 = 1,96.
ТЕМА 6
«РАБОТАЮЩАЯ СЛУЧАЙНОСТЬ»(МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО)
В чем суть метода Монте-Карло? Если очень коротко, то она заключается в использовании случайности для расчетов.
Л.А. Растригин
При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования, заставляем ее «работать на нас»...
Е.С. Вентцелъ
Во-первых, метод Монте-Карло позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют случайные факторы. Во- вторых, для многих математических задач, не связанных с какими-либо случайностями, можно искусственно придумать вероятностную модель, позволяющую решать эти задачи. Таким образом, можно говорить о методе Монте-Карло как об универсальном методе решения математических задач.
И.М. Соболь
Что такое «метод Монте-Карло»?
Л/1онте-Карло — это город в крохотном (площадью всего в 2 км2) княжестве Монако, расположенном в Средиземноморье на берегу Лигурийского моря на границе Франции и Италии. Монте-Карло широко известен крупнейшими в мире игорными домами со знаменитой рулеткой. Никакими математическими исследованиями этот город никогда не славился. Однако в 1949 году в одном из научных журналов появилась статья с кратким названием «Метод Монте-Карло». Ее авторы, американские математики Н. Метрополис и С. Удам, так назвали предложенный ими метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин, имея в виду монте-карловскую рулетку — прекрасный генератор случайных чисел. Такое экстравагантное название научного метода прижилось и вскоре стало широко использоваться в научной литературе.
Наряду со «строгими» названиями данного метода: метод статистического моделирования и метод статистических испытаний. Иногда спрашивают: «Помогает ли метод Монте-Карло выигрывать в рулетку?» Ответ однозначен: нет, не помогает и не может помочь. Более того, вообще не занимается этим.
Что же представляет собой метод Монте-Карло (он же: метод статистических испытаний и метод статистического моделирования)?
В книге автора «Случайность, необходимость, вероятность» немало говорилось о том, что случайность должна рассматриваться не только в качестве нашего противника (нарушителя наших планов, разрушителя порядка), но также в качестве нашего союзника. Метод Монте-Карло — хороший тому пример, поскольку он основывается на использовании случайности для решения тех или иных математических задач. Можно сказать, что, применяя этот метод, мы заставляем случайность «работать на нас», используем ее в роли нашего активного помощника при решении различных задач.
Конечно, прежде всего (и главным образом) имеются в виду задачи, в которых рассматриваются случайные факторы; будем называть их вероятностными задачами. Вместе с тем метод Монте-Карло может использоваться также и при решении многих задач, не связанных с какими-либо случайностями. Одну из таких задач мы подробно рассмотрели в книге «Случайность, необходимость, вероятность» — см. там § 7.5, пункт 7.5.2 («Случайные числа и число тс»). Правда, мы не упоминали там о методе Монте-Карло и рассматривали задачу нахождения числа тс через вычисление площади четверти круга как пример, иллюстрирующий одно
из возможных применений таблицы случайных чисел. А между тем эта задача решалась именно методом Монте-Карло. Мы определили программу единичного розыгрыша; надо было получить (разыграть) случайную точку в квадрате и проверить, попадет ли она в четверть круга. Розыгрыш мог быть организован по-разному. Можно, например, случайным образом бросить песчинку на лист бумаги с чертежом квадрата и вписанной в него четвертью круга. Но можно (и это много удобнее) воспользоваться таблицей случайных чисел, взяв оттуда координаты случайной точки. Именно такой розыгрыш и производился в упомянутом пункте 7.5.2. Разумеется, сам по себе единичный розыгрыш (единичное испытание) проблемы не решает. Метод Монте-Карло предполагает многократное повторение однотипных розыгрышей. Он предполагает многократные испытания. Недаром этот метод называют также методом статистических испытаний. В упомянутом пункте 7.5.2 испытания выполнялись 100 раз, в результате чего для числа к было найдено значение 3,12. При большем числе испытаний метод Монте-Карло позволил бы найти значение числа к с большей точностью.
Таблица 16 — это заготовка для самостоятельного нахождения читателем числа л по методу Монте-Карло. Выполните сначала 15, а потом 150 испытаний; сравните результаты.
Итак, определение программы единичного розыгрыша (единичной случайной реализации моделируемого явления) и затем многократное повторение розыгрыша, выполняемое или в физическом опыте, или с использованием таблицы случайных чисел — вот два принципиальных момента, характеризующих метод Монте-Карло. Именно при многократном повторении розыгрыша неуправляемая случайность начинает фактически «работать на нас». Легко сообразить, что это полностью согласуется с неоднократно отмечавшейся идеей об обнаружении закономерности (необходимости) в «толпе случайностей». Напомним также, что на этой идее основывается понятие статистической устойчивости и, как следствие, закон больших чисел.
Пример с числом к — это не более как демонстрация возможности использовать метод Монте-Карло для нахождения площади фигуры. На практике для вычисления площади плоских фигур этот метод не используют; применяют иные методы, хотя и сложные, но зато более точные. Впрочем приведенный пример позволяет понять, в принципе, как с помощью метода Монте-Карло можно было бы найти объем тела и, более того, «объем тела» в многомерном пространстве. В таких случаях метод Монте-Карло оказывается единственным численным методом, позволяющим решить задачу.
Таблица 16. Самостоятельный поиск числа л методом Монте-Карло
4467
4889
2335
4862
4635
5320
4647
6993
6919
2254
9224
8144
6006
9910
2627
6271
8638
1736
7791
7959
2523
0010
0063
2837
8865
0709 4331
6157 3135 5704
3384
7429 0174
5848 0653
2607 0307
3775 8941
3682
0655
5255
6314
3157
9052
9265
7516
9284
7730
1970
6675
1126
■ 1787
6256
6279
7989
6345
2391
1303
6307
3759 5059
5618 4081
4977
4320
3466
9313
5179 ЗОЮ
5592
4576
4245
6503
7935
2545
9926
2464
3361
3300
4436
7429
2575
0109
9979
3431 7746 0146
4754 0501
3187 6727 7013 1562 0754
1596
0368
8288
0756
2013
7802 7956
8851
5392 0466
3180
2304
9928
2986
7526
6859
0604
6560
6346
0927
9403
4746
4785
5761
0830
4312
5580
4631
9869
2222
4499 8417 2439 2018 6610
4105 1437 4064 1037 5718
6692
7264
9659
3333
7300
5590 ■ 0247
1863
8967
6298
2455 0583
0532
3383
6673
6463
7942
3199
0639
5951
9599
4242
3585
5950
8462
3963
7679
6313
3016
6406
8740
6247
5014
0276
6582
6666
4911
6328
4503
8605
1609 2482 7619 2007 7427
1392
6301
4153
9849
9785
9651
0650
4125
5579
4471
6265
1863
6650
0159
8900
7877
9182
8567
2260
7852
1023
5998
6380
9844
3724
8922 0400
9854 4171
2873
4413
2611
2544
9886
5678
4733
9032
5045
1314
5843
5127 9401
4064 5458
2461
3756 0653 1014
7894 9307
2436 5519
■ 0228 ■ 9050
3371
2408
9720
5460
1378
3243
5707
4745
3294
3756
4738
0456 0672
5163 4995
6751
4477 0111
2835 2220
2958
3058 8697 0413 5273 4991
2545 5409 3043
1293
6458
5441
7979
3674
9795
3996
8453
5161
8951
9764
9565
1
0,9
4105
2851
4171
5765
8791
0,8
0,7
2302 2423 5228 1402
3497
0,6
4558 8269 7489 8081 5081
0,5
0,4
9828
3961
9123
3384
3145
0,3
0,2
0944
1281
9690
9115
6447
0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Как уже отмечалось, основная область применения метода Монте- Карло — это задачи, в которых присутствуют случайные факторы. Вероятностные задачи могут быть решены либо аналитически (с применением аппарата теории вероятностей), либо численно (с применением метода Монте-Карло). В качестве конкретного примера рассмотрим следующую достаточно простую задачу.
Производится сборка изделия из четырех одинаковых деталей. Детали изготавливают цех I и цех II. Цех I изготавливает детали с небольшим отрицательным отклонением их размера от номинала, а цех II — с небольшим положительным отклонением. Известно, что 60% всех деталей поставляет цех I, а 40% — цех II. Все детали складываются в беспорядке в один большой ящик, откуда сборщик берет наугад всякий раз по четыре детали. Если все четыре или три детали из четырех оказываются с положительным отклонением от номинала, то собранное из них изделие нормально функционировать не будет. Какова вероятность сборки нормально функционирующего изделия?
Сначала рассмотрим аналитическое решение данной задачи. Вероятность того, что наугад вынутая из ящика деталь будет иметь положительное отклонение, есть р+ = 0,4, а отрицательное отклонение — р_ = 0,6. Вероятность того, что все четыре детали будут с положительным отклонением, есть р*. Вероятность того, что из четырех наугад взятых деталей три окажутся с положительным отклонением, а одна с отрицательным, есть С%р+р_, где С4 — число сочетаний из четырех по три. Вероятность того, что собранное из четырех наугад взятых деталей изделие не будет нормально функционировать, есть р^ + С^р^р,. Значит, искомая вероятность р есть
Р = 1-(р+ +С4р+р_).
Подставляя сюда р+ = 0,4 и р_ = 0,6, находим:
р = 1 - (0,44 + 4 ■ 0,43 ■ 0,6) = 1 - 0,1792 = 0,8208.
А теперь решим эту же задачу методом Монте-Карло. Нам нужно организовать розыгрыш так, чтобы его условный результат имел вероятность, равную вероятности соответствующего случайного события. Таким событием в данном случае будем считать событие А — случайно вынута деталь с положительным отклонением от номинала; вероятность события А есть р+ = 0,4. Событие, представляющее собой случайное вынимание детали с отрицательным отклонением, можно рассматривать как противоположное событие А; его вероятность есть р_ = 0,6.
Розыгрыши организуем с помощью таблицы случайных чисел. Условимся считать, что цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5 в таблице соответствуют деталям с отрицательным отклонением, а цифры б, 7, 8, 9 — деталям с положительным отклонением. Каждая цифра появляется в таблице случайно с вероятностью 0,1. Следовательно, вероятность появления в таблице или нуля, или единицы, или двойки, или тройки, или четверки, или пятерки равна 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,6. Это есть вероятность наступления события А. Вероятность появления в таблице или шестерки, или семерки, или восьмерки, или девятки равна 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,4. Это есть вероятность наступления события А.
Воспользуемся таблицей случайных чисел, приведенной на рис. 1 в таблице 17. Весьма кстати то, что все цифры здесь разбиты на группы по четыре цифры в каждой группе. Ведь для сборки каждого изделия нужны четыре детали. В целом процесс разыгрывания организуется следующим образом. Берем четверку цифр из нашей таблицы и смотрим, каким деталям соответствуют цифры, встречающиеся в данной четверке. Если три раза или все четыре раза встречаются цифры, соответствующие деталям с положительным отклонением, то данное изделие будем считать бракованным. Мы обнаруживаем, что в нашей таблице такие четверки (и, следовательно, бракованные изделия) встретились 49 раз — см. подчеркнутые четверки на рис. 1 в таблице 17. Всего здесь имеем 300 четверок. Поделив 49 на 300, получаем 0,1633. Отсюда находим, что искомая вероятность р приблизительно равна р » 1 - 0,1633 = 0,8367. (Напомним, что аналитическое решение дало результат 0,8208.)
По-видимому, уместно напомнить нашу беседу в § 4.3, где использовалось понятие жребия. Там рассматривались разные способы бросания (лучше сказать: разыгрывания) жребия в связи с проблемой организации на практике случайного выбора той или иной стратегии с той или иной вероятностью. Случайный розыгрыш, условный результат которого реализуется с определенной вероятностью, — это и есть как раз разыгрывание соответствующим образом организованного жребия.
Но вернемся к нашей задаче со сборкой изделия из четырех деталей. Мы решили ее двумя способами. Наверное, читатель сделает вывод не в пользу метода Монте-Карло. Проверять 300 четверок цифр — занятие достаточно утомительное. А результат, как видим, не блещет точностью. Значительно проще (и к тому же абсолютно точно) можно вычислить вероятность р аналитическим способом с использованием соответствующих правил теории вероятностей.
Рис.ЗРис.ЗРис.7Рис.7
Рис.З
Рис.З
Рис.7
Рис.7
0655
8453
4467
3384
5320
0709
2523
9224
6271
2607
9599
9828
8740
6666
6692
5255
5161
4889
7429
4647
4331
0010
8144
8638
0307
4242
3961
6247
4911
7264
6314
8951
2335
0174
6993
6157
0063
6006
1736
3775
3585
9123
5014
6328
9659
3157
9764
4862
5848
6919
3135
2837
9910
7791
8941
5950
3384
0276
4503
3333
9052
9565
4635
0653
2254
5704
8865
2627
7959
3682
8462
3145
6582
8605
7300
4105
4105
3187
4312
1596
9403
6859
7802
3180
4499
0456
0944
3058
2545
3756
1437
2851
6727
5580
0368
4746
0604
7956
2304
8417
0672
1281
8697
5409
0653
4064
4171
7013
4631
8288
4785
6560
8851
9928
2439
5163
9690
0413
3043
1014
1037
5765
1562
9869
0756
5761
6346
5392
2986
2018
4995
9115
5273
1293
7894
5718
8791
0754
2222
2013
0830
0927
0466
7526
6610
6751
6447
4991
6458
9307
5127
2302
1392
4413
9651
8922
1023
6265
7877
4733
5590
2455
3963
6463
1609
9401
2423
6301
2611
0650
0400
5998
1863
9182
9032
0247
0583
7679
7942
2482
4064
5228
4153
2544
4125
9854
6380
6650
8567
5045
1863
0532
6313
3199
7619
5458
1402
9849
9886
5579
4171
9844
0159
2260
1314
8967
3382
3016
0639
2007
2461
3497
9785
5678
4471
2873
3724
8900
7852
5843
6298
6673
6406
5951
7427
4320
4558
2545
4436
9265
6675
7989
5592
3759
3431
2436
2408
4477
5707
5441
3466
8269
9926
7429
7516
1126
6345
4576
5059
7746
5519
9720
0111
4745
7979
9313
7489
2464
2575
9284
1787
2391
4245
5618
0146
0228
5460
2835
3294
3674
5179
8081
3361
0109
7730
6256
1303
6503
4081
4754
9050
1378
2220
3756
9795
ЗОЮ
5081
3300
9979
1970
6279
6307
7935
4977
0501
3371
3243
2958
4738
3996
Читатель совершенно прав. Мы привели здесь оба метода решения конкретной вероятностной задачи лишь для того, чтобы более наглядно представить сущность метода Монте-Карло. Разумеется, если не составляет особого труда решить вероятностную задачу аналитически, никто не станет прибегать к методу Монте-Карло. К сожалению, нередко аналитическое решение или необычайно затруднено, или практически вообще невозможно из-за необходимости учитывать большое число разных факторов. Вот тогда приходится применять метод Монте- Карло (как правило, в сочетании с теми или иными аналитическими расчетами). При этом для организации розыгрыша применяют на практике не таблицу случайных чисел, предполагающую работу вручную, а современные быстродействующие компьютеры. Именно благодаря развитию современной электронной вычислительной техники метод Монте-Карло находит в наши дни весьма широкое применение.
Единичный жребий (розыгрыш) КАК ОСНОВНОЙ ЭЛЕМЕНТСТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Действуя по методу Монте-Карло, мы многократно разыгрываем жребий. Не будет лишним дать дополнительные разъяснения по поводу того, как организуется такой акт.
Начнем с цитаты, взятой нами из книги Е.С. Вентцель «Исследование операций: задачи, принципы, методология» (М.: «Наука», 1980): «Основным элементом, из совокупности которых складывается статистическая модель, является одна случайная реализация моделируемого явления... Отдельная реализация разыгрывается с помощью специально разработанной процедуры, в которой важную роль играет «бросание жребия». Каждый раз, когда в ход явления вмешивается случай, его влияние учитывается не расчетом, а жребием».
Чтобы разыграть жребий, нужно воспользоваться каким-нибудь механизмом случайного выбора — бросанием монеты или игрального кубика, выниманием наугад шарика из мешка или барабана лототрона, выбором цифры или групп цифр из таблицы случайных чисел и т.п.
Допустим, мы разыгрываем жребий с целью выяснить, произошло или не произошло некоторое случайное событие А, имеющее вероятность р. Непосредственно за самим событием мы в данном случае не следим; имеется в виду имитация данного события с помощью соответствующего розыгрыша. В данном случае нужно организовать розыгрыш
так, чтобы его условный результат имел вероятность р. Если, например, вероятность наступления события А равна 1/2, то можно воспользоваться бросанием монеты (условившись считать, что событие А наступило, если монета выпала, скажем, орлом вверх) или бросанием игрального кубика (условившись считать, что событие А наступило, если кубик выпал, скажем, гранью с нечетным числом очков). Можно было бы воспользоваться также таблицей случайных чисел, условившись считать, что событие А наступило, если мы попали, например, на нечетную цифру. Если событие А имеет вероятность 1/3 (или 2/3, или 1/6, или 5 / 6), то для розыгрыша (для бросания жребия) очень подходит бросание игрального кубика. Если событие А имеет вероятность р = т/ п, где т и п — натуральные числа, то в качестве механизма случайного выбора удобно выбрать мешок, внутри которого находятся т белых и п черных шаров. Вместо мешка можно воспользоваться вращающимся барабаном с перенумерованными шариками (шарики надо перенумеровать от 1 до т + п).
Розыгрыш со случайным исходом, называемый единичным жребием, позволяет ответить на следующие принципиальные вопросы.
Вопрос первый: произошло или не произошло случайное событие А? Этот вопрос можно сформулировать иначе: какое из двух событий произошло — событие А или противоположное событие А ? Предполагается, что известна вероятность р события А. В задаче со сборкой изделия (см. предыдущий параграф) было показано для конкретной ситуации, как можно получить ответ на такой вопрос.
Вопрос второй: какое из случайных событий Аь Аъ А3,..., Ак произошло? Предполагается, что эти события имеют вероятности pv, ръ р3,..., рк и образуют полную группу. Напомним, что для полной группы событий:
Р\ + Pi + Рз + + Рк = 1- (*)
Отвечая на первый вопрос, мы разыгрываем взаимно противоположные события. Отвечая на второй вопрос, мы разыгрываем полную группу событий, состоящую из к событий. Легко сообразить, что первый вопрос представляет собой частный случай второго вопроса (этот частный случай соответствует к= 2).
Как мы уже знаем, разыгрывать события можно разными способами, с использованием различных механизмов случайного выбора. Однако есть стандартный способ, с помощью которого можно разыграть любую разновидность жребия. Этот способ заключается в разыгрывании так называемого «случайного числа от 0 до 1», обычно для краткости именуемого «числом R» (от английского RANDOM — случайный). Этим
«числом» называют непрерывную случайную величину, принимающую значения от 0 до 1 с плотностью вероятности, равной единице. По-видимо- му, все это требует разъяснения; поэтому сделаем небольшую паузу и напомним, чем отличается непрерывная случайная величина от дискретной случайной величины.
Дискретные и непрерывные случайные величины;ВЕРОЯТНОСТЬ И ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ
В книге «Случайность, необходимость, вероятность» мы достаточно подробно познакомились с дискретными случайными величинами (см. там тему 12). Напомним, что дискретная случайная величина описывается законом распределения, который можно представить в виде таблицы из двух строк: первая строка содержит возможные значения Xj дискретной величины X, а вторая — соответствующие этим значениям вероятности Рр
Х1
х2
*3
х4
*5
Pi
Рг
Рз
Рд
Р5
Рк
Вероятности подчиняются соотношению:
(и(ик
(и
(и
Ел = 1.
На рис. 2 в таблице 17 в качестве примера представлена графически дискретная случайная величина, имеющая закон распределения:
1
2
3
4
5
6
7
0,06
0,11
0,2
0,26
0,20
0,11
0,06
Возможные значения х непрерывной случайной величины X изменяются непрерывно, например от некоторого значения а до некоторого значения Ь. Напомним (см. §12.11 в книге «Случайность, необходимость, вероятность»), что для непрерывной случайной величины не имеет смысла рассматривать вероятности ее значений, поскольку эти вероятности равны нулю (для любого значения х от а до Ь\ Непрерывную случайную величину характеризуют не вероятностями ее значений, а функцией /(х), называемой плотностью вероятности значения х. На
рис. 3 в таблице 17 в качестве примера приведен график функции /(х) для некоторой непрерывной случайной величины. Площадь 5 (а; Ь) под графиком /(х), рассматриваемая на промежутке от а до b (эта площадь на рисунке заштрихована вертикальными линиями), равна вероятности того, что будет реализовано хотя бы какое-то значение нашей случайной величины из промежутка от а до Ь. Следовательно, эта площадь равна единице:
S(a;b) = l.(2)
Обратим внимание, что соотношение (2) является аналогом соотношения (1). Площадь, заштрихованная на рис. 3 косыми линиями, есть вероятность Р(хх; х2) того, что наша случайная величина примет какое-то значение из промежутка от х, до х2 (точки хх и х2 выбраны произвольно):
5(х1; х2) = Р(х^ х2).(3)
Полезно заметить, что
Р^а; xj + Р(х^ х2) + Р(х2; b] = 1.(4)
Этот результат повторяет, очевидно, результат (2).
Обратим внимание: вероятность Р(х) любого конкретного значения х непрерывной случайной величины равна нулю, но не равна нулю вероятность Р(х; х +Ах) того, что значение непрерывной величины реализуется где-то внутри промежутка от х до х + Ах. Коротко говоря, вероятность попадания непрерывной случайной величины в точку равна нулю, а вероятность ее попадания в какой-либо промежуток не равна нулю.
НЕЗАПЛАНИРОВАННЫЙ ДИАЛОГ
'ЧсбАвийех*. Но позвольте! Получается какой-то парадокс! Вероятность в точке х равна нулю, а вероятность на промежутке от х до х + Ах не равна нулю! Но ведь вероятность на промежутке складывается (согласно правилу сложения вероятностей) из вероятностей в различных точках промежутка, т. е. складывается из нулей. Разве сумма нулей на равна нулю?
Автор. Сумма нулей, конечно, равна нулю. Но только при условии, что число слагаемых в сумме конечное. Число точек на любом промежутке (как бы он ни был мал) бесконечно велико. Фактически речь идет об умножении нуля на бесконечность. Такое произведение вполне может иметь конечное численное значение, отличное от нуля.
*ЧеийаАе<**. Какое же именно?
Автор. Какое именно, в общем случае сказать нельзя. Это зависит от конкретной задачи.
‘ЧитАте**.. Нельзя ли привести какой-нибудь пример?
Автор. Рассмотрим, например, следующие две бесконечные числовые последовательности:
«„=1/3, 1/6, 1/9, 1/12, 1/15,..., 1 /3«,...
6„ = 2, 4, 6, 8, 10,..., 2л,...
Легко видеть, что Иш ап = 0, lim bn = сю.
Это означает, что при п —> ос первая последовательность стремится к нулю, а вторая к бесконечности. А теперь сообразим, к чему будет стремиться последовательность, члены которой являются произведением членов последовательностей ап и Ьп? Короче говоря, к чему будет стремиться последовательность а„Ьп?
'ЧаАоАм*. Но апЬп = -^ ■ 2и = 2/3 . Значит, последовательность апЬп есть 2/3, 2/3, 2/3, 2/3, 2/3, ...И так до бесконечности.
Автор. Вот мы и получили, что в данном конкретном примере: 0-оо = 2/3.
*Чит<ине**.. Признаться, я никогда над этим не задумывался...
Возвращаясь к разговору о вероятности попадания непрерывной случайной величины в промежуток от х до х + Ах, предположим, что промежуток весьма мал — см. рис. 4 в таблице 17. Если Ах достаточно мал, то можно приближенно полагать, что
S (х; х + Ах) « / (х) Ах.(5)
В этом соотношении слева стоит площадь под графиком / (х) на промежутке от х до х + Ах, а справа стоит площадь прямоугольника со сторонами /(х) и Ах (она на рис. 4 заштрихована). Чем меньше Ах, тем точнее равенство (5). Таким образом, произведение /(х)Ах можно считать приблизительно равным вероятности Р (х; х + Ах) того, что наша случайная величина примет какое-нибудь значение из промежутка от х до х + Ах:
Р (х; х + Ах) « / (х) • Ах.(6)
Это соотношение нам уже знакомо (см. соотношение (*) в §12.11 в книге «Случайность, необходимость, вероятность»).
Рассмотрим теперь непрерывную случайную величину (обозначим ее через Р) которая принимает значения х от « = 0 до 6 = 1 и для которой
плотность вероятности /(х) = 1 — см. рис. 5 в таблице 17. Величина R как раз и есть то, что ранее было объявлено как «случайное число от О до 1», или как «число R».
«Число R»
На рис. 5 в таблице 17 выбрано некоторое значение р, попадающее в промежуток от 0 до 1. Вероятность Р(0; р) того, что непрерывная случайная величина R (иначе говоря, «число R») примет какое-нибудь значение в промежутке от 0 до р, равна, согласно (3), площади 5(0; р); эта площадь на рис. 5 заштрихована. Вычислить данную площадь не составляет труда: S (0; р) = 1 ■ р =р. Таким образом, вероятность того, что значение случайной величины 7? окажется в промежутке от 0 до р^ равна р.
Теперь понятно, как можно использовать величину R для выяснения того, произошло или не произошло событие А, имеющее вероятность р. Надо разыграть эту величину (воспользовавшись, например, таблицей случайных чисел) и, если ее значение х окажется меньше р, то можно считать, что событие А произошло (см. рис. 6а в таблице 17). Если же полученное при разыгрывании значение х величины R окажется больше р, то можно считать, что событие А не произошло, а произошло событие А (см. рис. 66 в таблице 17).
Наконец, покажем, как можно воспользоваться разыгрыванием величины R («числа R») для выяснения того, какое произошло событие из совокупности событий Аъ А2, А3,..., Ak, образующих полную группу и обладающих вероятностями ръ р2, р3,..., рк, соответственно. Будем рассматривать конкретный пример, когда к = 4. Разобьем промежуток от 0 до 1 на четыре частичных промежутка (промежутки Аь А2, А3, А4) так, чтобы длины этих промежутков равнялись ръ р2, р3, р^, соответственно — см. рис. 7 в таблице 17. Разыгрываем «число R» и, если окажется, что значение х попало, например, в промежуток А3, то это будет указывать на наступление события А3. Именно этот случай показан на рис. 7.
Как на практике разыгрывают «число R»
Чтобы разыграть «число R», можно воспользоваться, например, вращающимся барабаном, внутри которого находятся перенумерованные
шарики. Допустим, мы хотим разыграть «число R» с точностью до 0,0001. Тогда надо заложить в барабан 10 000 шариков с номерами от 1 до 10 000. Приводим барабан во вращение и после остановки вынимаем из него первый попавшийся шарик. Читаем его номер и мысленно делим на 10 000 — это будет первое значение «числа R», разыгранное нами с точностью до 0,0001. Оно будет иметь вид десятичной дроби с четырьмя знаками после запятой.
Однако у нас нет под рукой вращающегося барабана с десятью тысячами шариков. Зато есть таблица случайных чисел, в которой все встречающиеся цифры разбиты на группы по четыре цифры. Мы имеем в виду таблицу случайных чисел, представленную на рис. 1 в таблице 17. Каждую четверку цифр a, b, с, d будем сопоставлять с десятичной дробью 0, abed. Она как раз и есть одно из значений «числа R», разыгранных с точностью до 0,0001.
Выполним следующее несложное задание. Используя упомянутую ранее таблицу случайных чисел, требуется разыграть 20 жребиев для некоторого случайного события А, имеющего вероятность 0,485.
Прежде всего выберем из таблицы на рис. 1 какие-нибудь 20 четверок и образуем для них 20 десятичных дробей вида 0, abed. Предположим, мы выбрали все четверки, находящиеся в первом столбце таблицы. Мы тем самым получили следующие 20 случайных значений «числа R»;
0,0655;
0,5255;
0,6314;
0,3157;
0,9052;
0,4105;
0,1437;
0,4064;
0,1037;
0,5718;
0,5127;
0,9401;
0,4064;
0,5458;
0,2461;
(*
0,4320;
0,3466;
0,9313;
0,5179;
0,3010. .
Если дробь оказывается меньше 0,485, то это означает, что событие А наступило. Если же дробь оказывается больше 0,485, то событие А не наступило, а наступило противоположное событие А. Сравнив с 0,485 все дроби из (*), мы получим следующую последовательность событий:
А, А, А, А, А, А, А, А, А, А, А, А, А, А, А, А, А, А, А, А.
Вот так мы разыграли на практике 20 испытаний с целью выяснения, наступило или не наступило событие А, для которого вероятность наступления равна 0,485.
Если статистическое моделирование осуществляется не вручную, а с использованием компьютера, то применение таблиц случайных чисел
оказывается нерациональным, поскольку они чрезмерно перегружают память компьютера. В этом случае для розыгрыша «числа R» применяют специальные датчики, которыми оснащены многие современные компьютеры. Используются как «физические датчики» случайных чисел, основанные на преобразовании случайных электрических сигналов (например, при случайным образом меняющемся напряжении), так и вырабатываемые самим компьютером так называемые псевдослучайные числа.
Рассмотрим один из наиболее простых способов получения псевдослучайных чисел, предложенный Нейманом. Его называют методом средних квадратов. Берем произвольную десятичную дробь вида Vyabcd. Пусть для конкретности, это будет дробь 0,3452. Рассматриваем ее в качестве первого случайного значения «числа 7?». Возводим 0,3452 в квадрат — получаем 0,11916304. Подчеркнем группу из четырех цифр, оказавшихся здесь на среднем месте (0,11916304) и образуем из нее дробь 0,9163, которую рассматриваем в качестве второго значения «числа R». Возведя 0,9163 в квадрат, получим 0,83960569. Используя подчеркнутую группу цифр, образуем дробь 0,9605 — третье значение «числа R». Далее поступаем аналогичным образом:
0,96052 = 0,92256025 -> 0,2560 — четвертое значение «числа R»;
0,25602 = 0,06553600 -> 0,5536 — пятое значение «числа R»;
0,55362 = 0,30647296 -> 0,6472 — шестое значение «числа R»;
0,64722 = 0,41886784 -> 0,8867 — седьмое значение «числа 7?»
Этот способ генерации псевдослучайных чисел достаточно прост и легко может быть реализован в компьютере.
Разыгрывание дискретной случайной величины
Разыгрывание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения
Х1
х2
*3
х4
ч
А
А
А
А
Рк
производится с целью ответить на вопрос: какое значение приняла случайная величина X в том или ином испытании?
Предварительно разбивают промежуток от 0 до 1 на к частичных промежутков Аь А2, А3, А4,..., АЛ:
Ар от 0 до Рх (длина промежутка равна Р^;
А2: от Рх до Рх + Р2 (длина промежутка равна Р2);
А3: от Рх + Р2 до А + А + А (длина промежутка Р3);
А4: от А + А + Рз до Р| + Р2 + Р3 + Р4 (длина промежутка Р4);
А^ А + Р2 + ... + Рк_х до 1 (длина промежутка Рк\
Затем разыгрывают «число R» и смотрят, в какой из частичных промежутков попало то или иное значение «числа R». Если в некотором испытании значение «числа R» оказалось внутри промежутка А,-, то это означает, что в данном испытании разыгрываемая дискретная случайная величина X приняла значение хк
Допустим, требуется разыграть десять возможных значений дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:
3
5
2
6
А
0,2
0,35
0,15
0,3
Сначала разобьем промежуток от 0 до 1 на частичные промежутки с длинами 0,2; 0,35; 0,15 и 0,3, равными значениям соответствующих вероятностей Р,. Вот начальные и конечные точки этих участков:
Ар от 0 до 0,2;А2: от 0,2 до 0,55;
А3: от 0,55 до 0,7;А4: от 0,7 до 1.
Затем воспользуемся уже знакомой нам таблицей случайных чисел (см. рис. 1 в таблице 17) и разыграем десять значений «числа Р», представленных десятичными дробями с четырьмя знаками после запятой. Выберем, например, четверки цифр, оказавшиеся в верхней половине четвертого столбца таблицы. Мы могли бы, конечно, выбрать любой другой набор из десяти четверок цифр, но выбрали в данном случае такой. Для выбранного набора четверок цифр получаем следующую последовательность случайных значений «числа R»:
0,3384; 0,7429; 0,0174; 0,5848; 0,0653;
0,4312; 0,5580; 0,4631; 0,9869; 0,2222.
Выясняем, в какие из четырех частных промежутков попадают эти дроби. Получаем такую последовательность промежутков:
а2, а4, а1? а3, а1? а2, а3, а2, а4, а2,
Теперь мы можем сказать, какие значения случайной величины X и в какой последовательности реализовались в десяти рассмотренных испытаниях:
5, 6, 3, 2, 3, 5, 2, 5, 6, 5.
Вот так, воспользовавшись десятикратным розыгрышем «числа R» на основе имеющейся в нашем распоряжении таблицы случайных чисел, мы разыграли десять возможных значений xf дискретной случайной величины, заданной законом распределения (**).
Нетрудно сообразить, что разыгрывание полной группы случайных событий Ах, А^, Ау,..., Ак, характеризующихся вероятностями Рь Р2, Рт,, -, Рк^ можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины, заданной законом распределения:
Действительно, можно считать, что наступило событие Аь если при разыгрывании дискретной случайной величины, заданной законом распределения (***), реализовалось значение Xj = г.
В заключение заметим, что разыгрывание взаимно противоположных событий (события А с вероятностью Р и события А с вероятностью 1 - Р) можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины, заданной законом распределения:
1 - Р
(По аналогии с (***) здесь надо бы вместо 0 поставить 2. Просто нуль хорошо ассоциируется с событием А, означающим тот факт, что событие А не наступает).
6.7 Бесцда О ТОМ, ГДЕ и КОГДА ПРИМЕНЯЮТметод Монте-Карло
'Чкйкийе**. Насколько я понял из того, о чем говорилось, метод Монте-Карло — это какой-то всемогущий метод. Он помогает решать не только задачи, где случайных факторов нет, но также и всевозможные вероятностные задачи. Он позволяет каким-то образом учитывать различные случайные факторы и отыскивать, несмотря на наличие таких
факторов, решение задачи. Получается что-то вроде «панацеи от всех бед». Однако чудес не бывает и поэтому возникает вопрос: За счет чего обеспечивается такая универсальность метода Монте-Карло? В чем тут секрет?
Автор. Весь секрет в том, что, применяя метод Монте-Карло, мы против случайности используем саму же случайность. Мы не стараемся проникнуть в глубь сложных случайных процессов, не утруждаем себя тем, чтобы смоделировать и аналитически рассмотреть эти процессы. Вместо этого мы как бы предлагаем самой же случайности «разобраться» в тех сложностях, которые она породила. Случайность усложняет картину, случайность же используется как инструмент, помогающий отыскать в этой картине ответы на те или иные вопросы. Существенно, что при этом не нужно ограничиваться рамками каких-либо предположений, допущений, упрощений и вообще моделей. Этим и объясняется универсальность метода Монте-Карло.
'ЧкАдАмб.. «Случайность против случайности» — звучит красиво. Но как это понять практически? Как на практике случайность, используемая в методе Монте-Карло, «разбирается» со случайностями, присутствующими в конкретной задаче?
Автор. Вспомним задачу о сборке изделия из четырех деталей; мы рассматривали ее в § 6.1. В задаче присутствовали случайности, связанные с тем, что рабочий выбирает четыре детали наугад (случайным образом); при этом деталь с положительным отклонением размера от номинала подворачивается ему под руку с вероятностью 0,4, а деталь с отрицательным отклонением — с вероятностью 0,6. Эта задача допускала аналитическое решение, требовавшее знания комбинаторики и правил умножения и сложения вероятностей. При использовании метода Монте-Карло мы можем обойтись без этих знаний, разыграв 300 (или более) случайных комбинаций из четырех цифр, содержащихся в таблице случайных чисел. Случайный характер этих комбинаций — это и есть та случайность, которую мы использовали против случайностей, содержавшихся в рассматриваемой задаче.
'ЧссАаАем.. Приведенный Вами пример вполне понятен. Однако он не очень убедителен, поскольку случайности, содержащиеся в той задаче, были достаточно просты. Использование против них других случайностей не представлялось необходимым.
Автор. Рассмотрим более интересный пример. Он имитирует в предельно упрощенном виде задачу о вычислении вероятности того, что нейтроны, рождающиеся в активной зоне атомного реактора, не пройдут сквозь защитную стенку и, таким образом, не окажутся в рабочем
зале атомной электростанции. Как я уже сказал, задача будет предельно упрощена и может рассматриваться как задача-игра. Мы назовем ее «Разыгрыванием «судьбы» отдельных нейтронов».
РАЗЫГРЫВАНИЕ «СУДЬБЫ» ОТДЕЛЬНЫХ НЕЙТРОНОВ
Пусть «защитная стенка» состоит всего из трех слоев атомных ядер — внутреннего, среднего, наружного (реальная стенка, разумеется, значительно толще). Движение нейтрона будем полагать одномерным — перпендикулярно к слоям (в действительности же нейтроны могут распространяться в самых разных направлениях). Подлетая к тому или иному из трех слоев, нейтрон может либо пролететь сквозь слой (обозначим это событие буквой С — от слова «сквозь»), либо отразиться от слоя назад (событие О — от слова «отразиться»), либо поглотиться одним из атомных ядер слоя (событие П — от слова «поглощение»). Предельно упрощая реальную ситуацию, будем считать, что каждое из этих событий наступает с определенной вероятностью — Рс, Ро, Рп, соответственно. Поскольку в данном случае у нас игра, мы вправе задать произвольно значения этих вероятностей. Пусть в нашей игре Рг = 0,52, Ро = 0,25, Р„ = 0,23 (события образуют полную группу, поэтому РС + ^о + ^п = 1)-
В задаче-игре требуется найти вероятность Р того, что находящийся в активной зоне нейтрон, не преодолеет нашу трехслойную стенку. Если бы «стенка» состояла из одного слоя атомных ядер, то искомая вероятность вычислялась бы весьма просто:
Р = 1-Рс = Р0+Р„ =0,48.(*)
Но у нас три слоя; случайности подстерегают нейтрон в каждом слое до которого он доберется. Тут имеется много вариантов, так что рассчитать искомую вероятность аналитически весьма сложно.
Поэтому воспользуемся методом Монте-Карло и устроим многократное разыгрывание «судьбы» отдельного нейтрона (или, что то же самое, разыграем «судьбу» многих нейтронов по отдельности). Пусть этих нейтронов будет тридцать. Все тридцать розыгрышей представлены в таблице 18. Для каждого из разыгрываемых нейтронов приведены используемые при розыгрыше «числа R» четверки цифр из таблицы случайных чисел и схематически показано движение нейтрона от момента его подлета к внутреннему слою до момента, когда он будет либо поглощен, либо вылетит назад в активную зону, либо вылетит за внешний слой.
Процедура разыгрывания нам уже известна. Разбиваем промежуток от 0 до 1 на три частичных промежутка:
промежуток Ас: от 0 до 0,52 (длина промежутка равна Рс), промежуток Ао: от 0,52 до 0,77 (длина промежутка равна Ро), промежуток Аи: от 0,77 до 1 (длина промежутка равна Р^.
Покажем, как был разыгран жребий, например для нейтрона 1. Вот нейтрон подлетает к внутреннему слою «стенки». Что с ним произойдет? Ответ дает первое
Таблица 18. Задача-игра «Разыгрывание “судьбы” отдельных нейтронов»
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0,0655
0,8453
0,4467
0,3384
0,5320
0,0709
0,2523
0,9224
0,6271
0,2607
0,5127
0,2302
0,1392
0,4413
0,9651
5255
5161
4889
7429
4647
4331
0010
8144
8638
0307
9401
2423
6301
2611
0650
6314
8951
2335
0174
6993
6157
0063
6006
1736
3775
4064
5228
4153
2544
4125
3157
9764
4862
5848
6919
3135
2837
9910
7791
8941
5458
1402
9849
9886
5579
9052
9565
4635
0653
2254
5704
8865
2627
7959
3682
2461
3497
9785
5678
4471
4105
4105
3187
4312
1596
9403
6859
7802
3180
4499
4320
4558
2545
4436
9265
1437
2851
6727
5580
0368
4746
0604
7956
2304
8417
3466
8269
9926
7429
7516
4064
4171
7013
4631
8288
4785
6560
8851
9928
2439
9313
7489
2464
2575
9284
1037
5765
1562
9869
0756
5761
6346
5392
2986
2018
5179
8081
3361
0109
7730
5718
8791
0754
2222
2013
0831
0927
0466
7526
6610
ЗОЮ
5081
3300
9979
1970
*
4г
-4т-
н
4г
с
п
с
с
О
с
с
п
О
с
с
с
с
с
п
О
с
с
с
с
с
п
с
О
с
О
с
с
О
с
с
О
с
с
с
с
с
п
О
с
п
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
п
28
29
30
0,8922 0400
9854 4171
2873 6675 1126 1787 6256 6279
0,1023 5998
6380
9844
3724
7989
6345
2391
1303
6307
0,6265
1863
6650
0159
8900
5592
4576
4245
6503
7935
0,7877 9182
8567
2260 7852
3759 5059
5618 4081
4977
0,4733 0032
5945 1314
5843 3431
7746 0146
4754 0501
0,9599 4242 3585 5950 8462 0456 0672 5163 4995 6751
0,9828 3961
9123 3384
3145 0944
1281 9690
9115 6447
0,8740 6247 5014 0276 6582 3058 8697 0413 5273 4991
0,0666 4911
6328 4503
8605 2545
5409 3043
1293 6458
0,6692 7264 9659 3333 7300 3756 0653 1014 7894 9307
0,5590 0247 1863 8967 6298 2436 5519 0228 9050 3371
0,2455
0583
0532
3382
6673
2408
9720
5460
1378
3243
0,3963 7679 6313 3016 6406 4477 0111
2835 2220
2958
0,6463 7942 3199 0639 5951
5707 4745
3294 3756
4738
0,1609 2482
7619 2007
7427 5441
7979 3674
9795 3996
4г-
4г-
4г-
4г-
4г-
к
®
к
п
> с
О О п
J3
п
>
С С О с
п
п
п
с с
О с
J3
О
с с с
3
с О О с
с с
О с
Ас Ао
0-
0,52 -
- 0,52
- 0,77
О п
п
О с с
О п
Ап
0,77 -
■ 0,1
значение «числа R» — 0,0655. Оно попало в промежуток Ас; значит, наш нейтрон пролетел сквозь внутренний слой и достиг среднего слоя. Что произойдет с ним теперь? Ответ дает второе значение «числа R» — 0,5255. Оно попало в промежуток Ао; значит, нейтрон отразился от среднего слоя и вернулся к внутреннему слою. Третье значение «числа R» (0,6314) попало в Ао; значит, нейтрон снова отразился и вернулся к среднему слою. Четвертое значение «числа R» (0,3157) попало в Ас; значит, нейтрон пролетел сквозь средний слой и достиг наружного слоя. Пятое значение «числа R» (0,9052) попало в А^; нейтрон поглощен одним из ядер в наружном слое. На этом «история» нейтрона 1 завершилась.
Как можно видеть из таблицы 18, чрезвычайно короткой оказалась «история», во-первых, у нейтронов 2, 8, 15, 16, 19, 21, 22, 23 и, во-вторых, у нейтронов 5, 9, 18, 25, 26, 29. Первые поглотились ядрами атомов сразу же, как только подлетели к внутреннему слою, а вторые сразу отразились от внутреннего слоя назад в активную зону. В нашем случае пять нейтронов из тридцати (нейтроны 3, 7, 10, 14, 27) прошли сквозь трехслойную защиту. Получается, что искомая вероятность есть Р = 1 - 5/30 = 0,83. Это примерно вдвое больше вероятности (*). Впрочем, результат 0,83 следует считать приблизительным — ведь мы рассмотрели всего лишь 30 случайных реализаций моделируемого процесса. Для получения относительно точного результата следовало бы разыграть «судьбу» не тридцати, а, по крайней мере, трехсот нейтронов.
‘ЧвийаАм^ Задача-игра с нейтронами мне понравилась. Ес интересно было бы разыграть с участием тридцати (или более) участников, каждый из которых мог бы «изображать» отдельный нейтрон и, пользуясь таблицей случайных чисел, мог бы разыграть свою «судьбу». Однако все это — детская игра, не более того.
Автор. Тем не менее в эту «детскую игру», называемую разыгрыванием случайных реализаций по методу Монте-Карло, всерьез «играют» ученые, стремящиеся обеспечить безопасность людей, работающих на атомной электростанции или на подводном атомном крейсере. Конечно, им приходится решать существенно более сложную задачу, чем та, которую мы только что рассмотрели. Им приходится иметь дело со многими процессами, насыщенными случайностями. Случайны энергия и направление движения каждого нейтрона в момент его перехода из активной зоны реактора в защитную стенку, случайна длина пробега нейтрона до его столкновением с каким-то ядром вещества стенки, случаен результат столкновения (поглощение нейтрона или его рассеяние на тот или иной угол), случайны энергия и направление движения рассеянного нейтрона и т.д.
'ЧитателДи. Нс могу себе представить, каким образом можно аналитически просчитать все эти процессы. Какой же неимоверно сложной должна быть аналитическая модель такой задачи!
Автор. Совершенно справедливо. Поэтому ученые вынуждены ограничиться упрощенной (а значит приближенной) аналитической моделью, а для практических расчетов использовать метод Монте-Карло. Они вводят в компьютер данные о потоке нейтронов, входящем в стенку, данные о веществе стенки, а главное, ряд вероятностей, полученных на основе статистических измерений в сочетании с теоретическими расчетами. Сюда входят вероятность реализации той или иной длины пробега нейтрона от одного столкновения с ядром атома до другого, вероятность поглощения нейтрона при столкновении, вероятность его рассеяния на тот или иной угол. Затем ученые, используя быстродействующий компьютер, многократно разыгрывают «судьбу» отдельного нейтрона с учетом упомянутых данных и вероятностей. Такой розыгрыш выполняется с момента попадания нейтрона внутрь защитной стенки вплоть до момента его выхода из игры (т.е. до его поглощения ядром либо до его возвращения обратно в активную зону, либо до его вылета в рабочий зал). В итоге получают множество возможных траекторий нейтронов внутри защитной стенки — вроде тех, что схематически показаны на рисунке 3 в таблице 29 в книге «Случайность, необходимость, вероятность». Каждая траектория — исход какого-то одного испытания, представляющего собой розыгрыш «судьбы» отдельного нейтрона. Огромный набор таких испытаний, проведенных не с реальными, а с воображаемыми нейтронами компьютерного датчика псевдослучайных чисел, дает в целом картину прохождения нейтронов через защитную стенку и позволяет выработать практические рекомендации, касающиеся выбора состава и толщины стенки.
*Ч((АлЛл^. Пожалуй, теперь действительно начнешь уважать метод Монте-Карло. Однако, как известно, за все надо платить. Преимущество метода Монте-Карло в его универсальности, в возможности применения для изучения практически любых процессов. А в чем заключаются недостатки метода? Чем приходится расплачиваться за его универсальность?
Автор. Во-первых, метод Монте-Карло весьма трудоемок, коль скоро он предполагает многократные розыгрыши, многократные реализации моделируемого процесса. Во-вторых, слабым местом здесь является не слишком высокая точность, которая немедленно дает о себе знать, если количество случайных реализаций оказывается не слишком большим.
'Члмпбипе*^. К как велико должно быть число реализаций для получения достаточно точных результатов методом Монте-Карло?
Автор. Мы не будем сейчас обсуждать этот вопрос. Замечу только, что на практике для получения результата с точностью до е = 0,01 нужно
разыграть число реализаций N, измеряемое на десятками и не сотнями, а тысячами. Приблизительно можно полагать:
^«l/E2. (**)
В § 6.1 упоминалось о вычислении числа я с помощью метода Монте- Карло. В результате разыгрывания N= 100 реализаций было получено значение л = 3,12. Таким образом, число л было получено с точностью до 0,1. Это согласуется с соотношением (**).
'ЧаАаАм*. Чтобы получить число л = 3,14, надо обеспечить точность е = 0,01. Согласно (**), в этом случае число реализаций должно быть порядка 10 000. Значит, чтобы получить число л не с одним верным знаком после запятой, а с двумя верными знаками, нужно выполнить уже не 100, а примерно 10 000 реализаций! Действительно, точность в методе Монте-Карло достигается с большим трудом!
Автор. Все это подводит нас к двум выводам. Во-первых, метод Монте-Карло может использоваться для серьезных расчетов лишь при применении современных быстродействующих компьютеров. Во-вторых, метод Монте-Карло должен сочетаться (везде, где это целесообразно) с применением аналитических методов расчета с использованием теории вероятностей.
'Чшна&ель. Но как понимать оговорку «везде, где это целесообразно»? Чем определяется тут целесообразность!
Автор. Есть простой критерий. Чтобы применение метода Монте- Карло было более целесообразным по сравнению с аналитическими методами, надо, чтобы вся процедура розыгрыша была проще, а не сложнее применения аналитических методов.
'Члипате*^. Наша беседа подходит к концу. И хотелось бы спросить напрямик: В каких ситуациях применяют на практике метод Монте- Карло?
Автор. Я бы выделил три группы ситуаций. Во-первых, в ситуациях, когда аналитический расчет весьма затруднен или просто невозможен. Сюда относятся ситуации, когда случайные процессы не являются марковскими и не поддаются разработанным вероятностным методам расчета. Сюда относятся также ситуации, когда надо рассматривать несколько взаимосвязанных случайных процессов, вследствие чего задача весьма усложняется (как, например, при расчете защитной стенки атомного реактора). Сюда относятся, наконец, ситуации, когда имеющаяся в нашем распоряжении информация о происходящих процессах недостаточна или попросту ненадежна. Во-вторых, метод Монте-Карло при-
меняют при необходимости проверки того, насколько корректны те или иные аналитические модели. Всякий математический аппарат использует те или иные допущения и упрощения. Метод Монте-Карло — единственная возможность проверить корректность этих допущений и упрощений. По образному выражению Е.С. Вентцель, «метод Монте-Карло в задачах исследования операций играет роль своеобразного Отдела технического контроля». В-третьих, метод Монте-Карло весьма ценен в ситуациях, когда начинаются исследования принципиально новых операций, на стадии начальных поисков, проектирования. Его ценность заключается в том, что он дает возможность как-то корректировать направление поисков. В заключение отмечу, что метод Монте-Карло широко используется при апробировании деловых игр, моделирующих различные производственные процессы.
'Члипате*^. Удивительно, но факт: случайность, этот разрушитель порядка, может выступать в роли универсального инструмента в исследовании операций! И даже может помогать корректировать поиск неведомого! Получается, что случайность способна помочь в оптимизации самого процесса поиска оптимальных решений. Интересно, как это происходит на практике?
Автор. Вы коснулись проблемы случайного поиска, интенсивно разрабатываемой в наши дни. Со временем мы специально поговорим об этом.
ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ 6
(Выполняя задания, будем пользоваться таблицей случайных чисел,разбитой на блоки 00-59, — см. таблицу 19)
Рабочий собирает изделие, состоящее из четырех одинаковых деталей. Он берет детали наугад; вероятность того, что при этом попадется деталь с положительным отклонением размера от номинала, равна 0,4, а с отрицательным отклонением — 0,6. Чтобы изделие нормально функционировало, нужно, чтобы все четыре детали оказались с отрицательным отклонением от номинала. Какова вероятность сборки нормально функционирующего изделия?
Найти как аналитическое решение задачи (вероятность Рд), так и решение по методу Монте-Карло с использованием всех блоков с 00 по 59 таблицы случайных чисел (вероятность Рмк\
Ответ: РА =0,1296, Рмк = 48/300 = 0,16.
Такое же, что и задание 1, но теперь будем полагать, что изделие нормально функционирует, если в нем не более одной детали отклоняется от номинала в положительную сторону.
Ответ: РА =0,4752, Рмк = 152/300 = 0,507.
Таблица 19. К заданиям по теме 6
000102030405060708090655845344673384532007092523922462712607525551614889742946474331001081448638030763148951233501746993615700636006173637753157976448625848691931352837991077918941905295654635065322545704886526277959368210111213141516171819410541053187431215969403685978023180260714372851672755800368474606047956230403074064417170134631828847856560885199283775103757651562986907565761634653922986894157188791075422222013083009270466752636822021222324252627282951272302139244139651892210236265787747339401242363012611065004005998186391829032406452284153254441259854638066508567504554581402984998865579417198440159226013142461349797855678447128733724890078525843303132333435363738394320545825454436926566757989559237593134346682699926742975161126634545765059774693137489246425759284178723914245561801465179808133610109773062561303650340814754ЗОЮ50813300997919706279630779354977050140414243444546474849959998288740666666925590245539636463160942423961624749117264024705837679794224823585912350146328965918630532631331997619595033840276450333338967338230160639200784623145658286057300629866736406595174275051525354555657585904560944305825453756243624084477570754410672128186975409065355199720011147457979516396900413304310140228546028353294367449959115527312937894905013782220375697956751644749916458930733713243295847383996000102030405060708090655845344673384532007092523922462712607525551614889742946474331001081448638030763148951233501746993615700636006173637753157976448625848691931352837991077918941905295654635065322545704886526277959368210111213141516171819410541053187431215969403685978023180260714372851672755800368474606047956230403074064417170134631828847856560885199283775103757651562986907565761634653922986894157188791075422222013083009270466752636822021222324252627282951272302139244139651892210236265787747339401242363012611065004005998186391829032406452284153254441259854638066508567504554581402984998865579417198440159226013142461349797855678447128733724890078525843303132333435363738394320545825454436926566757989559237593134346682699926742975161126634545765059774693137489246425759284178723914245561801465179808133610109773062561303650340814754ЗОЮ50813300997919706279630779354977050140414243444546474849959998288740666666925590245539636463160942423961624749117264024705837679794224823585912350146328965918630532631331997619595033840276450333338967338230160639200784623145658286057300629866736406595174275051525354555657585904560944305825453756243624084477570754410672128186975409065355199720011147457979516396900413304310140228546028353294367449959115527312937894905013782220375697956751644749916458930733713243295847383996
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
0655
8453
4467
3384
5320
0709
2523
9224
6271
2607
5255
5161
4889
7429
4647
4331
0010
8144
8638
0307
6314
8951
2335
0174
6993
6157
0063
6006
1736
3775
3157
9764
4862
5848
6919
3135
2837
9910
7791
8941
9052
9565
4635
0653
2254
5704
8865
2627
7959
3682
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
4105
4105
3187
4312
1596
9403
6859
7802
3180
2607
1437
2851
6727
5580
0368
4746
0604
7956
2304
0307
4064
4171
7013
4631
8288
4785
6560
8851
9928
3775
1037
5765
1562
9869
0756
5761
6346
5392
2986
8941
5718
8791
0754
2222
2013
0830
0927
0466
7526
3682
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
5127
2302
1392
4413
9651
8922
1023
6265
7877
4733
9401
2423
6301
2611
0650
0400
5998
1863
9182
9032
4064
5228
4153
2544
4125
9854
6380
6650
8567
5045
5458
1402
9849
9886
5579
4171
9844
0159
2260
1314
2461
3497
9785
5678
4471
2873
3724
8900
7852
5843
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
4320
5458
2545
4436
9265
6675
7989
5592
3759
3134
3466
8269
9926
7429
7516
1126
6345
4576
5059
7746
9313
7489
2464
2575
9284
1787
2391
4245
5618
0146
5179
8081
3361
0109
7730
6256
1303
6503
4081
4754
ЗОЮ
5081
3300
9979
1970
6279
6307
7935
4977
0501
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
9599
9828
8740
6666
6692
5590
2455
3963
6463
1609
4242
3961
6247
4911
7264
0247
0583
7679
7942
2482
3585
9123
5014
6328
9659
1863
0532
6313
3199
7619
5950
3384
0276
4503
3333
8967
3382
3016
0639
2007
8462
3145
6582
8605
7300
6298
6673
6406
5951
7427
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0456
0944
3058
2545
3756
2436
2408
4477
5707
5441
0672
1281
8697
5409
0653
5519
9720
0111
4745
7979
5163
9690
0413
3043
1014
0228
5460
2835
3294
3674
4995
9115
5273
1293
7894
9050
1378
2220
3756
9795
6751
6447
4991
6458
9307
3371
3243
2958
4738
3996
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
0655
8453
4467
3384
5320
0709
2523
9224
6271
2607
5255
5161
4889
7429
4647
4331
0010
8144
8638
0307
6314
8951
2335
0174
6993
6157
0063
6006
1736
3775
3157
9764
4862
5848
6919
3135
2837
9910
7791
8941
9052
9565
4635
0653
2254
5704
8865
2627
7959
3682
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
4105
4105
3187
4312
1596
9403
6859
7802
3180
2607
1437
2851
6727
5580
0368
4746
0604
7956
2304
0307
4064
4171
7013
4631
8288
4785
6560
8851
9928
3775
1037
5765
1562
9869
0756
5761
6346
5392
2986
8941
5718
8791
0754
2222
2013
0830
0927
0466
7526
3682
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
5127
2302
1392
4413
9651
8922
1023
6265
7877
4733
9401
2423
6301
2611
0650
0400
5998
1863
9182
9032
4064
5228
4153
2544
4125
9854
6380
6650
8567
5045
5458
1402
9849
9886
5579
4171
9844
0159
2260
1314
2461
3497
9785
5678
4471
2873
3724
8900
7852
5843
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
4320
5458
2545
4436
9265
6675
7989
5592
3759
3134
3466
8269
9926
7429
7516
1126
6345
4576
5059
7746
9313
7489
2464
2575
9284
1787
2391
4245
5618
0146
5179
8081
3361
0109
7730
6256
1303
6503
4081
4754
ЗОЮ
5081
3300
9979
1970
6279
6307
7935
4977
0501
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
9599
9828
8740
6666
6692
5590
2455
3963
6463
1609
4242
3961
6247
4911
7264
0247
0583
7679
7942
2482
3585
9123
5014
6328
9659
1863
0532
6313
3199
7619
5950
3384
0276
4503
3333
8967
3382
3016
0639
2007
8462
3145
6582
8605
7300
6298
6673
6406
5951
7427
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0456
0944
3058
2545
3756
2436
2408
4477
5707
5441
0672
1281
8697
5409
0653
5519
9720
0111
4745
7979
5163
9690
0413
3043
1014
0228
5460
2835
3294
3674
4995
9115
5273
1293
7894
9050
1378
2220
3756
9795
6751
6447
4991
6458
9307
3371
3243
2958
4738
3996
7^ДТ-тГГ27^ДТ-тГГ2= 1-(1-^)2-= 1-(1-^)2-
7^ДТ-тГГ2
7^ДТ-тГГ2
= 1-(1-^)2-
= 1-(1-^)2-
Аналитическое решение "Задачи о встрече"
Двое договорились о встрече в некотором определенном месте. Они условились, что каждый появляется в том месте в произвольный момент от / = 0 до /= Т, ждет в течение времени Т и сразу уходит. Какова вероятность Р того, что встреча состоится?
На рисунке х — момент прихода на место встречи одного участника, а у — момент прихода другого. Точка с координатами х,у — одна из случайных реализаций. Реализации, для которых встреча состоялась, попадают в заштрихованную область. Вероятность Р равна отношению заштрихованной площади к площади квадрата:
(Задача о встрече обсуждалась в §6.9 в книге автора "Случайность, необходимость, вероятность")
Такое же, что и задание 1, но теперь будем полагать, что для нормальной работы изделия нужно, чтобы не менее одной детали отклонялось от номинала в отрицательную сторону.
Ответ: РА =0,9744, Рмк = 290/300 = 0,967.
Такое же задание, что и задание 1. Однако теперь изделие собирается не из четырех, а из двух деталей. Оно нормально функционирует, если обе детали отклоняются от номинала в отрицательную сторону.
Замечание. Каждую четверку цифр в таблице случайных чисел разбиваем на левую и правую двойки. В результате полное число случайных реализаций становится равным 600.
Ответ: РА = 0,36, Рмк = 232 / 600 = 0,387.
Такое же, что и задание 4, но теперь полагаем, что изделие нормально функционирует, если хотя бы одна из двух деталей отклоняется от номинала в отрицательную сторону.
Ответ: РА = 0,84, Рмк = 507 /600 = 0,845.
Двое друзей договорились встретиться в новогоднюю ночь в парке под елкой. Они условились, что каждый приходит на место встречи в любой момент между 0.00 и 1.00 и ждет ровно 5 минут (иными словами, 0,1 часа), после чего немедленно уходит. Какова вероятность того, что два друга встретятся под елкой? Дайте аналитическое решение (вероятность РА) — см. рисунок 1 в таблице 19. Найдите также решение по методу Монте-Карло (вероятность Рмк), воспользовавшись блоками с 00 по 39 таблицы случайных чисел.
Подсказка. Разбиваем каждую четверку цифр a, b, с, d в таблице на две двойки: а, b и с, d. Момент времени 0, ab (час) — момент появления под елкой одного из друзей, а момент времени 0, cd (час) — момент появления другого. Друзья встретятся, если будет выполнено соотношения:
| 0, ab - 0, cd\< 0,1.(*)
Ответ: РА = 0,19, Рмк = 45 /200 = 0,225.
В задании 6 предлагается найти Рмк, используя блоки с 10 по 49 таблицы случайных чисел.
Ответ: Рмк = 43 /200 = 0,215.
В задании 6 предлагается найти Рмк, используя блоки с 20 по 59 таблицы случайных чисел.
Ответ: Рмк = 43 /200 = 0,215.
Такое же, как задание 6. Но теперь каждый из двух друзей ждет другого под елкой не 0,1 часа, а 0,4 часа (24 минуты). Дайте аналитическое решение (вероятность РА) — см. рисунок 2 в таблице 19. Найдите также решение по методу Монте-Карло (вероятность Рмк), воспользовавшись блоками с 00 по 29 таблицы случайных чисел.
Ответ: Рд = 0,64, Рмк = 102 /150 = 0,68.
В задании 9 предлагается найти Рмк, используя все блоки с 00 по 59 таблицы случайных чисел.
Ответ: Рмк = 201 /300 = 0,67.
Используя блоки с 50 по 53 таблицы случайных чисел, разыграйте 20 жребиев (случайных реализаций) для некоторого случайного события А, наступающего с вероятностью 0,341.
Ответ: А, А, А , А , А , А, А, А , А , А , А, А , А, А , А , А, А , А, А.
Используя те же блоки, разыграйте 20 жребиев для случайного события А, наступающего с вероятностью 0,659.
Ответ: А, А, А, А, А , А, А, А , А , А, А, А , А, А, А, А, А, А, А, А.
Используя блоки с 56 по 59 таблицы случайных чисел, разыграйте 20 случайных реализаций для полной группы событий Аг, А2, А3, А4, имеющих вероятности, равные, соответственно, 0,25, 0,35, 0,22, 0,18.
Подсказка. Разбейте промежуток от 0 до 1 на четыре частичных промежутка (от О до 0,25, от 0,25 до 0,6, от 0,6 до 0,82, от 0,82 до 1) и посмотрите, в какой из них попадет то или иное из двадцати значений «числа R».
Ответ: Ajj А4, A2l А^, A2l А2, А^, A2l А^, A2l А2, A2l А2, A2l А2, А21 ^3, A2l А4, А2.
Дискретная случайная величина задана законом распределения:
20
15
10
5
0,08
0,12
0,33
0,47
Разыграйте 25 значений этой случайной величины, используя блоки с 05 по 09 таблицы случайных чисел.
Ответ: 20, 10, 5, 10, 5, 10, 20, 20, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 10, 5, 5, 15, 5, 5, 10, 20, 10, 5, 10.
Монету подбрасывают 4 раза. Случайная величина — число выпадений орла в четырех бросаниях (возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4). Случайная величина задается биномиальным законом распределения:
Xi
0
1
2
3
4
Pi = С4716
0,0625
0,25
0,375
0,25
0,0625
Разыграйте 10 значений данной случайной величины, используя блоки 24 и 25 таблицы случайных чисел.
Ответ: 4, 1, 2, 2, 2, 3, 0, 4, 2, 1.
Используя калькулятор, получите из числа 0,4248 десять псевдослучайных чисел методом средних квадратов.
Ответ: 0,0455, 0,2070, 0,2849, 0,1168, 0,3642, 0,2641, 0,9748, 0,0235, 0,0552, 0,3047.
Вернитесь к задаче-игре, рассмотренной в § 6.7. Повторите эту игру (найдите с помощью метода Монте-Карло вероятность Р того, что нейтрон преодолеет трехслойную «защиту») при условии, что теперь Рс = 0,41; Ро = 0,19; Рп = 0Д. При разыгрывании тридцати нейтронных «судеб» воспользуйтесь случайными значениями «числа R», применявшимися в рассмотренной ранее задаче-игре.
Интермедия: возможен ли случайный поиск?
Интермедия — небольшая легкая пьеса, исполняемая между действиями спектакля.
Из Энциклопедического Словаря
Случайный поиск обобщает детермини
рованный, а всякий детерминированный поиск является лишь частным случаем одного или нескольких алгоритмов случайного поиска.
Л.А. Растригин — доктор технических наук, руководитель лаборатории случайного поиска
Автор. Тема нашей беседы: возможен ли случайный поиск?
'ЧссАа&е,**. И в самом деле: возможен ли? Случайная находка, разумеется, возможна. А как что-то искать с помощью случайностей? По- моему, поиск всегда предполагает целенаправленность. А целенаправленность не согласуется со случайностями.
Автор. Почему же не согласуется? Предположим, наша цель — найти оптимальное решение некоторой задачи в условиях неопределенности. Разве мы не можем в процессе поиска такого решения действовать случайным образом?
'Члмпбипе*^. Поиск, осуществляемый случайным образом? Так это же есть известный метод проб и ошибок) Разве можно относиться серьезно к попыткам найти оптимальное решение наугад) Действуя случайным образом, мы можем вообще не найти оптимального решения. Думаю, что скорее всего именно так оно и будет.
Автор. Согласитесь, что действовать наугад и действовать случайным образом по определенной схеме — это далеко не одно и то же. А относительно Вашего замечания о том, что при случайном поиске можно случайно вообще не найти оптимального решения, я бы заметил следующее. Вероятность найти решение при случайном поиске можно сопоставить, например, с вероятностью того, что при многократном бросании монеты орел когда-нибудь непременно выпадет. Вероятность того, что он ни разу не выпадет, уже при двадцати бросаниях оказывается меньше одной миллионной (тут надо учесть, что (1/2)20 = 1/1048576).
'ЧссАа&е,**. Сравнение с бросанием монеты представляется мне некорректным. Одно дело — бросание монеты, а другое — случайный поиск оптимального решения.
Автор. Согласен. Однако не будем забывать, что в отличие от монеты, где «поиск» орла действительно производится наугад, случайный поиск оптимального решения в той или иной задаче предполагает следование какой-то определенной схеме.
'Чшиа&ель. Хотелось бы познакомиться с какими-нибудь примерами, доказывающими, что случайный поиск практически возможен. В том смысле, что он может быть результативен.
Автор. За примерами далеко ходить не нужно. Ими могут служить любые живые организмы. Еще в XIX столетии французский физиолог Клод Бернар (1813-1878) высказал идею о том, что в живых организмах должны происходить физиологические процессы, поддерживающие постоянство внутренней среды организма несмотря на случайные воздействия внешней среды. Эту идею позднее подтвердил и развил американский физиолог Уолтер Кеннон (1871-1945). В 1929 году он предложил использовать термин «гомеостаз» (от греческих «гомос» и «статис», означающих соответственно «подобное» и «состояние» для характеристики процессов, обеспечивающих динамическое постоянство состава и свойств внутренней среды организма (например, постоянство температуры тела птиц и млекопитающих, постоянство артериального давления и так далее).
'Httwame*^. Но причем тут случайный поиск?
Автор. Можно сказать, что живой организм, подвергшийся какому- либо неожиданному воздействию внешней среды, немедленно предпринимает случайный поиск необходимых в данной ситуации решений (механизмов регуляции), обеспечивающих ему (организму) устойчивость его состояния. Живой организм — это самоорганизующаяся на основе случайного поиска система; благодаря этому поиску она способна приспосабливаться (адаптироваться) к окружающей среде с ее разнообразными изменениями. В известном смысле, организм все время находится в процессе случайного поиска целесообразного состояния.
'Чшна&ель. Живой организм — это объект живой природы. А может ли человек создать техническое устройство, которое было бы способно к самоорганизации на основе случайного поиска?
Автор. Может. Вот, например, автопилот — устройство для автоматической стабилизации и управления полетом авиалайнера. Оно немедленно реагирует на случайные воздействия на авиалайнер со стороны внешней среды и быстро отыскивает необходимые решения, позволяющие удерживать авиалайнер на заданном курсе.
*Ч«АаАе<<*. Когда впервые появились устройства, осуществляющие случайный поиск?
Автор. В начале 50-х годов прошлого столетия. Впервые самоорганизующееся устройство на основе случайного поиска было сконструировано английским ученым Уильямом Эшби (1903-1972) в 1948 году. Эшби назвал свое устройство гомеостатом.
'Чшиа&ель. Как устроено и как функционирует это устройство?
Автор. Для этого надо познакомиться с рисунками 1, 2, 3 в таблице 20. На рис. 1 схематически показан электромагнитный измерительный прибор, который может использоваться, например, в качестве амперметра. На основе такого прибора конструируется электромагнитный блок гомеостата; он частично изображен на рис. 2 (катушка электромагнита и ферромагнитный сердечник здесь не показаны). Обратим внимание: при повороте стрелки ползунок скользит по обмотке реостата, подключенной к электромагниту, вследствие чего изменяется сила тока в обмотке катушки электромагнита. В целом гомеостат Эшби представлен схематически на рис. 3. Здесь S — система из четырех электрически взаимосвязанных электромагнитных блоков (четырех электромагнитов с кольцевыми реостатами). Углы поворота сердечников (углы аь а2, а3, а4) являются параметрами системы 5. Блок Р — генератор случайных изменений параметров а,-, включающийся как только ползунок любого из четырех кольцевых реостатов случайно достигнет крайнего положения (либо А, либо By На рис. 3 этот генератор представлен четырьмя шаговыми переключателями (7?b Т?2, R3, R4). Возможны до 400 000 комбинаций положений переключателей, им соответствует столько же комбинаций параметров аь а2, а3, а4.
Пока система S находится в состоянии устойчивого равновесия, стрелки ее электромагнитных блоков неподвижны (они фиксируют конкретный набор равновесных параметров системы). При этом переключатели генератора Р бездействуют. Но вот, предположим, на систему оказано какое-то воздействие извне, нарушившее ее равновесие.
'Чшна&ель. Но каким образом?
Автор. Например, внезапно изменилась сила тока, питающего электромагниты. Тотчас сердечники электромагнитов придут в движение и, значит, придут в движение ползунки кольцевых реостатов. В какой-то момент какой-то из ползунков достигнет крайнего положения (А или By Немедленно начнут действовать шаговые переключатели генератора Р. Это означает, что гомеостат начал случайный поиск новой комбинации параметров системы S, соответствующей ее новому состоянию устойчивого равновесия. Как только этот поиск успешно завершился, контролирующий блок F подаст команду управляющему блоку V и тот остановит работу генератора случайных изменений параметров системы. В системе наступит покой — вплоть до нового воздействия на нее.
При протекании тока по обмотке катушки 1 электромагнита ферромагнитный сердечник 2 втягивается внутрь катушки; ось 3 и стрелка 4 при этом поворачиваются. Когда ток в обмотке катушки прекращается, пружина 5 поворачивает ось и возвращает стрелку в исходное положение.
На стрелке, поворачивающейся на оси 3, закреплен ползунок 6 кольцевого реостата 7, включенного в общую цепь с обмоткой катушки электромагнита. Через А и В обозначены крайние положения ползунка кольцевого реостата.
Все это напоминает поведение спящей кошки. Если ее толкнуть, потревожить, она проснется, предпримет своеобразный случайный поиск (поищет новое удобное положение) и снова заснет. Гомеостат, «проснувшись» в результате внешнего воздействия, осуществляет случайный поиск новых значений равновесных параметров и, найдя их, как бы снова «засыпает».
'HtuSiaAe**. Чувствую, что придется отказаться от сомнений по поводу возможности реализации результативного случайного поиска в технике. Однако насколько такой поиск целесообразен? Разве регулярный поиск не привлекательнее? Разве он не быстрее приводит к цели?
Автор. Вы предлагаете сопоставить случайный поиск и поиск регулярный (последний лучше называть детерминированным). Не будем рассматривать относительно несложные задачи. Там предпочтительность детерминированного поиска вполне очевидна. Иное дело сложные многокритериальные задачи, характеризующиеся многими факторами (в том числе случайными). Здесь преимущество на стороне случайного поиска.
‘ЧитАте**.. И в чем же оно заключается?
Автор. Во-первых, любой детерминированный метод по самой природе своей является узко специализированным. Он работает лишь в рамках определенных ситуаций и вне этих рамок оказывается несостоятельным. Оно и понятно, коль скоро он предлагает строго определенные действия. Случайный же поиск самой своей сути не ограничен выбором задач. Случайность может «работать» (и помогать находить оптимальное решение) практически в любых ситуациях. Включая ситуации достаточно сложные и запутанные. Практически неограниченные возможности случайного поиска объясняются просто: Его Величество Случай есть, в конечном счете, источник всех и всяческих возможностей. В том числе и тех, которые требуются для отыскания оптимального решения в той или иной ситуации.
Во-вторых, случайный поиск в определенном смысле ничего не стоит.
'ЧаАаАе.с*. Простите, как это «ничего не стоит»? А современные компьютеры? А составление программ?
Автор. Я заметил, что не стоит «в определенном смысле». Имелись в виду затраты на исследование той или иной конкретной ситуации вместе с ее различными модификациями, требующими использования различных приборов и устройств. В детерминированных методах учет какого-либо изменения той или иной ситуации неизбежно потребует дополнительных затрат. А при применении случайного поиска подобных затрат нет. По-прежнему нужен только компьютер и соответствующее программное обеспечение.
'ЧеийаАы*. Думаю, Ваши аргументы в пользу случайного поиска достаточно убедительны.
Автор. Но это еще не все аргументы. Отметим, в-третьих, что эффективность случайного поиска с ростом числа параметров системы при ее усложнении снижается существенно медленнее, чем в случае любого детерминированного поиска. Пусть число параметров системы равно п. Установлено, что трудоемкость решения задачи детерминированным методом в лучшем случае пропорциональна п. Для случайного же поиска она пропорциональна V« . Именно поэтому при принятии решений в достаточно сложных задачах (с большим числом параметров) целесообразнее обращаться к случайному поиску.
Наконец, в-четвертых, не следует забывать, что в условиях неопределенности мы не всегда в состоянии оценить даже приблизительные вероятности тех или иных параметров. В этих случаях детерминированными методами можно пользоваться лишь на отдельных этапах поиска. В целом же картина может быть рассмотрена только в ходе случайного поиска.
*%«#6<1#6а#«. «Всемогущество» случайного поиска имеет, как я понимаю, те же корни, что и «всемогущество» метода Монте-Карло. По- видимому, случайный поиск сродни методу Монте-Карло?
Автор. В обоих случаях мы заставляем случайность «работать на нас». В обоих случаях исследователь прибегает к случайным шагам или, иными словами, к розыгрышу случайной реализации.
"ЧиЛлЛмб.. Остается рассмотреть, как на практике осуществляется случайный поиск. Гомеостат Эшби — это всего лишь частный пример. Наверное, есть какие-то общие приемы, касающиеся технологии случайного поиска?
Автор. В небольшой беседе невозможно сколь-либо подробно обсудить технологию случайного поиска. Ограничимся тремя основными алгоритмами случайного поиска.
'Чшна&е**.. Термин «алгоритм» впервые появляется в наших беседах...
Автор. Алгоритм (или, иначе, алгорифм) — это перечень последовательных действий, которые следует предпринять, чтобы перейти, в конечном счете, от исходных данных к искомому результату. Понятие алгоритма — одно из основных понятий математики и кибернетики. Слово «алгоритм» («алгорифм») происходит от имени арабского математика IX-го столетия Мухаммеда алъ-Хорезми, описавшего правила выполнения арифметических действий, которые можно рассматривать как один из первых алгоритмов в истории математики.
*ЧеийаАе<**. Значит, алгоритм случайного поиска — это последовательность действий, которые надлежит выполнять в процессе поиска?
Автор. Верно. Начнем с алгоритма случайного поиска, называемого алгоритмом с линейной тактикой. Он представлен на рис. 1 в таблице 21. После того как сделан случайный шаг (это действие изображено в виде прямоугольника «Random»), производится изображаемое по традиции в виде ромба контролирующее действие — проверка результата на предмет выполнения условия ДЖ> 0. Здесь ДЖ — приращение показателя эффективности Ж, который в данном случае желательно максимизировать. Если в результате выполнения действия «Random» произошло приращение показателя эффективности (иначе говоря, если ДЖ> 0), то сделанный случайный шаг следует признать удачным, а если АИ/< 0, то случайный шаг считается неудачным. В первом случае надо следовать далее по стрелке с надписью «Да», а во втором случае — по стрелке с надписью «Нет» — см. рисунок. Следуя по стрелке «Да», приходим к новому действию, представленному на рисунке в виде прямоугольника «Repeat». Это действие: «повторить предыдущий шаг». Следуя же по стрелке «Нет» (в случае неудачного случайного шага), мы возвращаемся к действию: «сделать случайный шаг». После действия «Repeat» снова проверяем результат, т.е. проверяем условие ДЖ> 0. Если проверка направит нас по стрелке «Да», то возвращаемся к действию: «повторить предыдущий шаг». Если же проверка направит нас по стрелке «Нет», возвращаемся к действию: «сделать случайный шаг».
'ЧсййаАе**. Получается, что, следуя линейной тактике, мы повторяем удачные шаги (когда ДЖ> 0), а после неудачного шага всякий раз обращаемся к случаю — снова делаем случайный шаг.
Автор. Такое поведение характерно для животных: в случае удачи повторяется то действие, которое привело к удаче, а в случае неудачи отыскивается какой-нибудь случайный ход. Следует согласиться с мнением Л .А. Растригина о том, что здесь «проявилась мудрость природы». «Чем хороша здесь случайность? — Прежде всего тем, что она содержит все возможности, в том числе и хорошие, которые приводят к удаче (и последующему повторению удачного поведения)» (см. Л.А. Растригин, «По воле случая», М.: «Молодая гвардия», 1986, стр. 166).
'ЧкАдАмб.. Алгоритм с линейной тактикой мне понравился.
Автор. Однако он имеет и свои слабые стороны. Одна из них заключается в том, что здесь исследователь, активно используя удачные шаги (повторяя их), ничего не предпринимает в отношении неудачных шагов. Он как бы предоставляет случаю разбираться с ними, что чревато возможным накоплением (пусть даже временным) неудачных шагов.
Накопление неудачных шагов исключено при использовании алгоритма с нелинейной тактикой. Он представлен на рис. 2 в таблице 21. Здесь при неудаче делается не случайный шаг, а шаг, обратный предыдущему шагу; это действие изображено на рисунке в виде прямоугольника «Back». Тем самым восстанавливается предыдущая ситуация. И уже после этого снова делается случайный шаг.
'ЧсййаАе**. Из рис. 2 следует, что в случае удачи предлагается вернуться к случайному шагу. В этом есть какая-то нелогичность.
Автор. Такая тактика, состоящая в том, чтобы не повторять удачных шагов (кстати, именно поэтому ее называют нелинейной), имеет свой смысл. Особенно если мы находимся уже недалеко от цели, когда надо быть предельно осторожным и не слишком доверять предыдущему опыту, даже если он был удачным.
'ЧсййаАе**. И все-таки не хотелось бы отказаться от тактики повторения удачных шагов. Может быть, можно совместить обе тактики (линейную и нелинейную) и использовать плюсы как той, так и другой?
Автор. Именно это и предлагает алгоритм случайного поиска, представленный на рис. 3 в таблице 21 (назовем его алгоритмом, сочетающим линейную тактику с нелинейной). Здесь удачный шаг повторяется, а неудачный поправляется.
‘ЧитАте**.. Вернемся к проблеме случайного шага. Как я понимаю, сделать случайный шаг — это все равно, что бросить жребий, разыграть одну из реализаций случайного события. Но, как известно, розыгрыш случайного события выполняется обычно не наугад, а с учетом его вероятности. Значит, можно (даже не можно, а нужно) говорить о том, что случайные шаги делаются с учетом неких вероятностей? Может быть, следует учитывать некие вероятностные свойства случайных шагов.
Автор. Хорошее замечание. Действительно, учитывая вероятностные свойства случайных шагов, можно существенно улучшить эффективность случайного поиска.
*Ч«А<ийе<**. Но как это делается практически?
Автор. Допустим, случайный шаг заключается в случайном выборе того или иного направления в пространстве или того или иного возможного значения какого-то параметра х (если он представляет собой дискретную случайную величину). Как направление в пределах того или иного угла, так и возможные значения параметра х мы можем выбирать, делая случайные шаги не наугад, а с учетом вероятностей. Существенно, что эти вероятности можно в ходе случайного поиска корректировать, изменяя их так, чтобы количество удачных шагов возрастало.
*ЧеийаАе<**. Это похоже на самообучение'. Значит, алгоритм случайного поиска способен к самообучению?
Автор. Вот именно. Самообучение — это привилегия случайного поиска. Оно происходит в процессе корректировки вероятностей случайных шагов. При детерминированном поиске оно (самообучение) принципиально невозможно.
*%«#6<1#6а#«. Однако в гомеостате Эшби вероятности случайных шагов не корректировались.
Автор. И тем не менее система в результате случайного поиска адаптировалась к изменившимся условиям. Процесс такой адаптации и есть самообучение. Это отмечал «отец кибернетики» известный американский ученый Норберт Винер (1894-1964). В связи с выходом в свет в 1952 году книги Эшби «Конструкция мозга» Винер писал: «Машина доктора Эшби в известной степени способна обучаться, коль скоро она может приспособляться формами своего поведения к устойчивому равновесию с окружением».
ТЕМА 7
КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИИ ВЕРОЯТНОСТЬ:ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯИ ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ
Процесс получения и использования информации является процессом нашего приспособления к случайностям внешней среды и нашей жизнедеятельности в этой среде.
Норберт Винер
Информация проникает во все поры жизни людей и обществ... Жизнь невозможна ни в вещественно-энергетическом, ни в информационном вакууме.
Аксель Иванович Берг, российский академик (1893-1979)
С одной стороны, мы понимаем под информацией конкретную информацию (сообщение), с другой — ее численную меру, то есть выраженное в битах количество абстрактной информации, содержащейся в интересующей нас конкретной информации. Название «информация» удобно сохранить
только за конкретной информацией, а численную меру абстрактной информации, содержащуюся в конкретной информации, называть «количеством информации»...Когда нам необходимо измерить количество информации и выразить его числом, то мы умышленно и вполне сознательно оставляем без внимания содержание и значение информации.
Альфред Ренъи, венгерский математик (1921-1970)
Предварительные замечания об информации вообщеИ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ В ЧАСТНОСТИ
Практически каждому человеку знаком нынче термин «информация». В наше время он употребляется необычайно широко. Широта применения, естественно, приводит к размытости термина. Поэтому необходимо отграничить от «информации вообще» ту информацию, которой занимается хотя и очень молодая, но весьма быстро развивающаяся наука, называемая теорией информации.
Начнем с цитаты, взятой из книги Е.А. Седова «Одна формула и весь мир» (М: «Знание», 1982): «До создания теории информации в понятие «информация» никто не пытался вкладывать строгий научный смысл. Слово «информация» толковалось как простое осведомление о чем-либо. Факты, новости, сведения, полученные путем общения, чтения или наблюдения, и все подобное этому объединялись в одном слове «информация» практически во всех толковых словарях и энциклопедических справочниках. Такое определение информации казалось вполне исчерпывающим как для науки, так и для повседневной практики до тех пор, пока не возникла необходимость в количественном измерении всех этих новостей, сведений, знаний...».
Подчеркнем слова «необходимость в количественном измерении». Да, такая необходимость действительно возникла и сделалась достаточно острой, начиная примерно с середины ХХ-го столетия. Она выражала требования научно-технического прогресса. Появились такие понятия как «массив информации», «информационные потоки», «информационный взрыв». Возникла проблема переработки и передачи огромных массивов информации, хранения их в памяти компьютеров. Понятно, что говорить об «огромных массивах информации», их переработке,
хранении, передаче можно лишь при условии, что информация количественно измеряется.
Мы не умеем количественно измерять ценность той или иной конкретной информации, ее значимость в зависимости от того или иного содержания, поскольку все подобные оценки по необходимости субъективны. Поэтому первое, что нужно было сделать для того, чтобы научиться измерять количество информации, — это абстрагироваться от конкретного содержания информации и не обсуждать ее ценность и значимость для тех или иных потребителей информации.
Именно так и поступил создатель теории информации известный американский математик и инженер Клод Элвуд Шеннон (1916-2001), занимавшийся в середине прошлого столетия в лаборатории компании «Белл систем» проблемами математической теории связи. Рождение теории информации связывают с выходом в свет в 1949 году монографии Шеннона «Математическая теория связи». В течение ряда последующих десятилетий именно с математической теорией электрической связи ассоциировалось понятие «теория информации».
Говоря о создании Шенноном теории информации, отметим два принципиальных шага, сделанных создателем этой теории, который, следует заметить, вряд ли сам осознавал в то время, к каким серьезным последствиям все это приведет в ближайшем будущем.
Первый шаг состоял в отказе от рассмотрения конкретного содержания информации, что позволило сосредоточить внимание на ее объективных свойствах, которые можно было описывать математическим языком на основе использования теории вероятностей. При этом Шеннон ввел единицу измерения количества информации — бит.
Второй шаг Шеннона состоял в том, что для подсчета количества информации он предложил воспользоваться вероятностной формулой энтропии, введенной в термодинамике еще в 1877 году выдающимся австрийским физиком Людвигом Больцманом (1844-1906). В этом оказался глубокий смысл, поскольку объективные (количественные) характеристики информации — одни и те же не только в канале связи, книге, памяти человека или компьютера, но также в живой клетке, кристалле и вообще в любых объектах и системах окружающего мира. Вероятностную формулу энтропии математики и кибернетики называют сегодня формулой Шеннона, а физики и биологи — формулой Больцмана. Нередко ее называют также формулой Больцмана-Шеннона, что представляется справедливым, поскольку Шеннон не просто воспользовался готовой формулой, но фактически превратил ее из «формулы для термодинамики» в формулу, работающую практически во всех областях знания — от физики и кибернетики до языкознания и психологии.
Отмеченные два шага Шеннона как раз и оказались теми основополагающими шагами, которые привели к возникновению теории информации. Как справедливо отмечает Е.А. Седов, «благодаря этому случилось неожиданное даже для самого Клода Шеннона великое чудо: наука приобрела инструмент для исследований информационно-энтропийных соотношений, справедливых для всех форм информации, существующих в мире, будь то информация книг, радио, телевидения, газет и журналов или информация, циркулирующая по нервным тканям и по цепям электронных машин». Оценивая теорию информации с самых общих позиций, подчеркнем, что она является теорией математической, в основе которой лежит теория вероятностей. Как отмечает Джон Пирс в книге «Символы, сигналы, шумы: закономерности и процессы передачи информации» (перевод с англ., М.: «Мир», 1967), «пользоваться теорией информации могут и инженеры, и психологи, и физики, однако она остается теорией математической, а не физической, психологической или инженерной».
Родившись как математическая теория электрической связи, теория информации давно уже вышла за рамки проблем электрической связи или, точнее сказать, проблем передачи сигнала по каналу связи. Это, конечно, не означает, что упомянутые проблемы в какой-либо мере остались без внимания. Значительный вклад в исследования проблемы распространения неизвестных сигналов определенного типа по каналу связи с шумом (иначе говоря, со случайными помехами) внесли Норберт Винер и выдающийся российский математик академик Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987).
В темах 7 и 8 мы познакомимся с информацией под углом зрения идей, разработанных Клодом Шенноном и другими учеными на основе исследований по математической теории связи. В теме 10 мы поговорим об информации под более широким углом зрения, включающем идеи Людвига Больцмана. Иными словами, рассмотрим информацию с точки зрения так называемого информационно-энтропийного подхода.
Математическое отступление, посвященноеЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Прежде всего напомним, что такое показательная функция. Так называют функцию вида у = <Л, где число а, называемое основанием, положительно и не равно единице. Частным случаем показательной функ-
ции является экспонента; для нее основанием выбрано число е = 2,71828... (график этой функции мы приводили в § 11.10 в книге «Случайность, необходимость, вероятность» — см. рис. 2 в таблице 45). По определению, логарифм числа х по основанию а (записывается: loga х) есть показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить х; основание а логарифма положительно и не равно единице. Из определения логарифма следует, что
(1)
Логарифмическая функция у = loga х является обратной функцией по отношению к показательной функции у=ах. Графики этих функций зеркально симметричны; ось симметрии — биссектриса угла уОх, т. е. прямая, для всех точек которой у = х. На рис. 1 в таблице 22 приведены графики функций у = Iх и у = log2 х, а на рис. 2 — графики функций
и y = log1/2x. Пунктиром на обоих рисунках показана ось
симметрии графиков показательной и логарифмической функций.
Отметим свойства показательной функции у = ах:
область задания функции: -оо < х < оо;
на всей области задания функция принимает положительные значения;
при а > 1 функция у = ах — возрастающая функция, а при 0 < а < 1 — убывающая;
при х = 0 функция у = ах принимает значение 1 при любом а;
при любом основании: ах ■ аг = ях + г; ах] аг = ах-г; (ах)г=ахг. Отметим свойства логарифмической функции у = loga х:
область задания функции: 0 < х < оо;
при а > 1 функция положительна, если х > 1 и отрицательна, если 0<х< 1;
при 0 < х < 1 функция положительна, если 0 < х < 1 и отрицательна, если х > 1;
при а > 1 функция у = loga х — возрастающая функция, а при 0 < а < 1 — убывающая;
при х = 1 функция у = loga х обращается в нуль при любом а. Особо отметим следующие свойства логарифма:
(2)(2)(3)(3)10ga (xz) = loga X + 10ga 2
(2)
(2)
(3)
(3)
(логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей);
loga(x/z) = loga X -loga 2
(логарифм частного равен разности логарифмов числителя и знаменателя);
Таблица 22. Логарифмическая функция
loga(xc) = c-logax(4)
(логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания).
Следствием из (3) является соотношение:
logo(l/x) = -logox.(5)
Для перехода от log а х к log ь х используют соотношение:
log6 х = log6 а ■ logfl х •(6)
Это соотношение легко вывести, используя (1) и (4). Действительно, из равенства х = аХо&аХ получаем log6 х = log6 ^*°8аХ). С учетом (4) можем записать: log ь ас = с ■ log ь а. Положив с = log а х, преобразуем последнее равенство к виду:
log,, (a10ge х) = logo х' 1°§б °-
Таким образом,
log,, х = log6 (а108а х) = log6 а • logo х,
что и требовалось получить.
Положив в (6) х = b и учтя, что log6 b = 1, получим еще одно полезное соотношение:
logbalogab = 1.(7)
Заметим, что логарифм по основанию е является обратной функцией по отношению к экспоненте. Его называют натуральным логарифмом и используют для него специальное обозначение: 1пх.
Наиболее часто применяют логарифмы по основанию 10 (десятичные логарифмы); для них тоже есть специальное обозначение: 1g х. Широко используются таблицы десятичных логарифмов.
В теме 7 мы будем пользоваться логарифмами по основанию 2 (двоичными логарифмами). На рис. Зв таблице 22сопоставляются графики функций у = 1g х и у = log2 х. Для перехода от десятичных логарифмов к двоичным можно воспользоваться соотношением (6), положив в нем а=10и6 = 2и учтя, что log 210 = 1 / 1g 2 = 3,32:
log2 х = log210 ■ Igx = 3,321gx.(8)
Для любого x > 0 значение log 2 х легко найти из 1g х, умножив 1g х на 3,32 (см. рис. 3 в таблице 22).
В дальнейшем нам понадобится функция f^ = х log 2 (1 / х). Эта функция определена на промежутке 0 < х < оо. Поскольку в качестве х мы будем рассматривать вероятность, то нам достаточно знать функцию f^ лишь для х, не превышающих 1. График этой функции на промежутке от 0 до 1 представлен на рис. 4 в таблице 22. В таблице 23 эта же функция представлена в табличной форме (для значений х от 0,001 до 0,999 приведены значения функции/ (х) с точностью до четвертого знака после запятой). Заметим, что в точке х = 0 функция/(х) не определена, но это в данном случае не страшно, поскольку
11m х log2 (1/х) = 0 . (9) х^О
Игра «Бар-Кохба» — игра в вопросы,ПРЕДПОЛАГАЮЩИЕ ОТВЕТЫ ТОЛЬКО «ДА» ИЛИ «НЕТ»
В 135 г. н.э. в Иудее вспыхнуло восстание против владычества римлян. Предводителем восставших был человек по имени Бар-Кохба. Посланный им в лагерь римлян лазутчик был схвачен и подвергнут пыткам, после чего тому отрезали язык. Лазутчику удалось бежать; однако, будучи без языка, он не мог рассказать Бар-Кохбе о том, что удалось высмотреть в стане противника. Тогда Бар-Кохба стал задавать лазутчику такие вопросы, на которые надо было отвечать только либо «да», либо «нет». Например, посредством кивка или отрицательного покачивания головой. Действуя так, Бар-Кохба сумел выведать у немого лазутчика все нужные сведения и тем самым получить ценную информацию о противнике.
Официальные исторические источники умалчивают о таком эпизоде Иудейской войны. Возможно, что все это не более, чем легенда, сочиненная много позднее. Однако для нас это несущественно. Важна идея получения информации за счет ответов «да-нет». Заметим, что эту идею использовал Александр Дюма (1802-1870) в своем романе «Граф Монте-Кристо». Один из героев романа, старик Нуартье, разбит параличом; он не может ни говорить, ни двинуть рукой. Тем не менее родственники общаются с ним, предлагая ему лишь такие вопросы, на которые требуется ответить «да» или «нет». В первом случае Нуартье закрывает глаза, а во втором несколько раз мигает.
Итак, ту или иную конкретную информацию можно представить в виде набора ответов «да-нет» на соответствующим образом поставленные
Таблица 23. Значения функции / (х) = xlog2 ^ для х от 0,001 до 0,999
0
1
2
3
4
5
6
7
8
10
llog2l/i
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0 09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0.20
0,0664 0,1129 0,1518 0,1858 0,2161 0,2435 0,2686 0,2915 0,3127 0,3322 0,3503 0,3671 0,3826 0,3971 0,4105 0,4230 0,4346 0,4453 0,4552 0.4644
0,0100 0,0716 0,1170 0,1554 0,1889 0,2190 0,2461 0,2709 0,2937 0,3147 0,3341 0,3520 0,3687 0,3841 0,3985 0,4118 0,4242 0,4357 0,4463 0,4562 0.4653
0,0179 0,0766 0,1211 0,1589 0,1921 0,2218 0,2487 0,2733 0,2959 0,3167 0,3359 0,3537 0,3703 0,3856 0,3999 0,4131 0,4254 0,4368 0,4474 0,4571 0,4661
0,0251 0,0815 0,1252 0,1624 0,1952 0,2246 0,2513 0,2756 0,2980 0,3187 0,3378 0,3555 0,3719 0,3871 0,4012 0,4144 0,4266 0,4379 0,4484 0,4581 0,4670
0,0319 0,0862 0,1291 0,1659 0,193-3 0,2274 0,2538 0,2780 0,3002 0,3207 0,3398 0,3571 0,3734 0,3886 0,4026 0,4156 0,4277 0,4390 0,4494 0,4590 0,4678
0,0382 0,0909 0,1330 0,1693 0,2013 0,2301 0,2563 0,2803 0,3023 0,3226 0,3414 0,3588 0,3750 0,3900 0,4040 0,4169 0,4289 0,4400 0,4504 0,4599 0,4687
0,0443 0,0955 0,1369 0,1727 0,2043 0,2329 0,2588 0,2826 0,3044 0,3246 0,3432 0,3605 0,3766 0,3915 0,4053 0,4181 0,4301 0,4411 0,4514 0,4608 0,4695
0,0501 0,0999 0,1407 0,1760 0,2073 0,2356 0,2613 0,2848 0,3065 0,3265 0,3450 0,3622 0,3781 0,3929 0,4066 0,4194 0,4312 0,4422 0,4523 0,4617 0,4704
0,0557 0,1043 0,1444 0,1793 0,2103 0,2383 0,2637 0,2871 0,3086 0,3284 0,3468 0,3638 0,3796 0,3943 0,4079 0,4206 0,4323 0,4432 0,4533 0,4626 0,4712
0,0612 0,1086 0,1481 0,1825 0,2132 0,2409 0,2661 0,2893 0,3106 0,3303 0,3485 0,3654 0,3811 0,3957 0,4092 0,4218 0,4335 0,4443 0,4543 0,4635 0,4720
0,21
0*23 0,24 0*25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40
0,4728 0,4806 0,4877 0,4941 0,5000 0,5053 0,5100 0,5142 0,5179 0,5211 0,5238 0,5260 0,5278 0,5292 0,5301 0,5306 0,5307 0,5304 0,5298 0,5288
0,4736 0,4813 0,4883 0,4947 0,5006 0,5058 0,5105 0,5146 0,5132 0,5214 0,5240 0,5262 0,5280 0,5293 0,5302 0,5306 0,5307 0,5304 0 5297 0,5286
0,4744 0,4820 0,4890 0,4954 0,5011 0,5063 0,5109 0,5150 0,5186 0,5217 0,5243 0,5264 0,5281 0,5294 0,5302 0,5307 0,5307 0,5303 0,5296 0,5285
0,4752 0,4828 0,4897 0,4960 0,5016 0,5068 0,5113 0,5154 0,5189 0,5220 0,5245 0,5266 0,5283 0,5295 0,5303 0,5307 0,5307 0,5303 0,5295 0,5284
0,4760 0,4835 0,4903 0,4966 0,5022 0,5072 0,5118 0,5153 0,5192 0,5222 0,5247 0,5268 0,5284 0,5296 0,5304 0,5307 0,5307 0,5302 0,5294 0,5283
0,4768 0,4842 0,4910
0,4971 0,5027
0,5077 0,5122 0,5161 0,5196 0,5225 0,5250
0,5270 0,5286
0,5297 0,5304 0,5307 0,5306 0,5302 0,5293 0,5281
0,4776 0,4849 0,4916 0,4977 0,5032 0,5082 0,5126 0,5165 0,5199 0,5228 0,5252 0,5272 0,5287 0,5298 0,5305 0,5307 0,5306 0,5301 0,5292 0,5280
0,4783 0,4856 0,4923 0,4983 0,5038 0,5087 0,5130 0,5169 0,5202 0,5230 0,5254 0,5273 0,5288 0,5299 0,5305 0,5307 0,5306 0,5300 0,5291
0.5278
0,4791 0,4863 0,4949 0,4989 0,5043 0,5091 0,5134 0,5172 0,5205 0,5233 0,5256 0,5275 0,5289 0,5299 0,5305 0,5307 0,5305 0,5300 0,5290 0,5277
0,4798 0,4870 0,4935 0,4994 0,5048 0,5096 0,5138 0,5176 0,5208 0,5235 0,5258 0,5277 0,5290 0,5300 0,5306 0,5307 0,5305 0,5299 0,5289 0,5275
0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54
0*56 0,57 0,58 0,59 0,60
0,5274 0,5256 0,5236 0,5211 0,5184 0,5153 0,5120 0,5083 0,5043 0,5000 0,4954 0,4906 0,4854 0,4800 0,4744 0,4684 0,4623 0,4558 0,4491 0,4422
0,5272 0,5255 0,5233 0,5209 0,5181 0,5150 0,5116 0,5079 0,5039 0,4996 0,4950 0,4901 0,4849 0,4795 0,4738 0,4678 0,4616 0,4551 0,4484 0,4415
0,5271 0,5253 0,5231 0,5206 0,5178 0,5147 0,5112 0,5075 0,5034 0,4991 0,4945 0,4896 0,4844 0,4789 0,4732 0,4672 0,4610 0,4545 0,4477 0.4408
0,5269 0,5251 0,5229 0,5204 0,5175 0,5144 0,5109 0,5071 0,5030 0,4987 0,4940 0,4891 0,4839 0,4784 0,4726 0,4666 0,4603 0,4538 0,4471 0,4401
0,5267 0,5249 0,5226 0,5201 0,5172 0,5140 0,5105 0,5067 0,5026 0,4982 0,4935 0,4886 0,4833 0,4778 0,4720 0,4660 0,4597 0,4532 0,4464 0,4393
0,5266 0,5246 0,5224 0,5198 0,5169 0,5137 0,5102 0,5063 0,5022 0,4978 0,4930 0,4880 0,4828 0,4772 0,4714 0,4654
0,4591 0,4525 0,4457 0,4386
0,5264 0,5244 0,5222 0,5195 0,5166 0,5133 0,5098 0,5059 0,5017 0,4973 0,4926 0,4875 0,4822 0,4767 0,4708 0,4648 0,4584 0,4518 0,4450 0,4379
0,5262 0,5242 0,5219 0,5193 0,5163 0,5130 0,5094 0,5055 0,5013 0,4968 0,4921 0,4870 0,4817 0,4761 0,4702 0,4641 0,4578 0,4512 0,4443 0,4372
0,5260 0,5240 0,5217 0,5190 0,5160 0,5127
0,5090 0,5051
0,5009 0,4964 0,4916 0,4865 0,4811 0,4755 0,4697 0,4635 0,4571 0,4505 0,4436 0,4365
0,5258 0,5238 0,5214
0,5187 0,5157 0,5123
0,5087 0,5047
0,5004 0,4959 0,4911
0,4860 0,4806
0,4750 0,4691
0,4629 0,4565 0,4498 0,4429 0,4357
0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0 77 0,78 0,79 0,80
0,4350 0,4276 0,4199 0,4121
0,40-40 0,3957 0,3871 0,3784 0,3694 0,3602 0,3508 0,3412 0,3314 0,3215 0,3113 0,3009 0,2903 0,2796 0,2687 0,2575
0,4343 0,4268 0,4192 0,4113 0,4032 0,3948 0,3862 0,3775 0,3685 0,3593 0,3499 0,3403 0,3304 0,3204 0,3103 0,2999 0,2893 0,2785 0,2676 0,2564
0,4335 0,4261 0,4184 0,4105 0,4023 0,3940 0,3854 0,3766 0,3676 0,3583 0,3489 0,3393 0,3295 0,3194 0,3092 0,2988 0 2882 0,2774 0,2664 0,2553
0,4328 0,4253 0,4176 0,4097 0,4015 0,3931
0,3845 0,3757 0,3666 0,3574 0,3480 0,3383 0.3285 0,3184 0,3032 0,2978 0,2871 0,2763 0,2653 0,2542
0,4321 0,4246 0,4168 0,4089 0,4007 0,3922 0*3836 0,3748 0,3657 0,3565 0,3470 0,3373 0,3275 0,3174 0,3071 0,2967 0,2861 0,2753 0,2642 0,2531
0,4313 0,4238 0,4160 0,4080 0,3998 0,3914 0,3828 0,3739 0,3648 0,3555 0,3461 0,3364 0,3265 0,3164 0,3061 0,2956 0,2850 0,2741 0,2631
0,2519
0,4306 0,4230 0,4153 0,4072 0,3990 0,3905 0,3819 0,3730 0,3639 0,3546 0,3451 0,3354 0,3255 0,3154 0,3051 0,2946 0,2839 0,2731 0,2620 0,2503
0,4298 0,4223 0,4145 0,4064 0,3982 0,3897 0,3810 0,3721 0,3430 0,3536 0,3441 0,3344 0,3245 0,3144 0,3040 0,2935 0,2828 0,2720 0,2609 0,2497
0,4291 0,4215 0,4137 0,4056 0,3973 0,3888 0,3801 0,3712 0,3621 0,3527 0,3432 0,3334 0,3235 0,3133 0,3030 0,2925 0,2818 0,2709 0,2598 0.2485
0,4383
0,4207
0,4129
0,4048
0,3965
0,3880
0,3792
0,3703 0,3611.
0,3518
0,3422
0,3324
0.3225
0,3123
0,3019
0,2914
0,2807
0,2698
0,2587
0.2474
0,81 0,82 0,83 0,84
0,85 0,86 0,37 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93
0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99
0,2462 0,2348 0,2231 0,2113 0,1993 0,18'1 0,1748 0,1623 0,1496 0,1363
0,1238 0,1107 0,0974 0,0839 0,0703 0,0565 0,0426 0,0286 0.0140
0,2451 0,2336 0,2220 0,2101
0,1951 0,1859 0,1735
0,1610 0,1484 0,1355 0,1225 0,1094 0,0960 0,0826 0,0689 0,0552 0,0412 0,0271 0,0129
0,2440 0,2324 0,2208 0,2089 0,1969 0,1847 0,1723 0,1598 0,1471 0,1342 0,1212 0,1080 0,0947 0,0812 0,0675 0,0538 0,0398 0,0257
0,0115
0,2428 0,2313 0,2196 0,2077
0,1957 0,18.34 0,1711
0,1585 0,1458 0,1329 0,1199 0,1067 0,0933 0,0793 0,0662 0,0524 0,0384 0,0243 0,0101
0,2417 0,2301 0,2184 0,2065
0,1944 0,1822 0,1698 0,1572 0,1445 0,1316 0,1186 0,1054 0,0920 0,0785 0,0648 0,0510 0,0370 0,0230 0,0086
0,2405 0,2290 0,2172 0,2053 0,1932 0,1810 0,1686 0,1560 0,1432 0,1303 0,1173 0,1040 0,0907 0,0771 0,0634 0,0496 0,0356 0,0214
0,0072
0,2394 0,2278
0,2160 0,2011
0,1920 0,1797
0,1673 0,1547 0,1419 0,1290 0,1159 0,1027 0,0893 0,0758 0,0621 0,0-182 0,0342 0,0201 0,0058
0,2382 0,2266 0,2149 0,2029 0,1908 0,1785 0,1661 0,1534 0,1407 0,1277 0,1146 0,1014 0,0880 0,0744
0,0607 0,0468 0,0328 0,0186 0,0043
0,2371 0,2255 0,2137 0,2017 0,1896 0,1773 0,1648 0,1522 0,1394 0,1264 0,1133 0,1000 0,0866 0,0730 0,0593 0,0454 0,0314 0,0172 0,0029
0,2359 0,2243 0,2125 0,2005 0,1884 0,1760 0,1635 0,1509 0,1381 0,1251
0,1120 0,0987 0,0853 0,1717 0,0579 0,0440 0,0300 0,0158 0,0014
вопросы. Именно эта идея и используется в игре «Бар-Кохба», появившейся в начале ХХ-го столетия сначала в Венгрии, а затем в других странах. Один игрок что-то загадывает (задумывает). Он может, например, загадать некое пожелание, слово, целую фразу. Другой должен выяснить, что же именно задумал партнер. Для этого он задаст партнеру различные вопросы, на которые тот честно отвечает. Существенно, чтобы задаваемые вопросы предполагали лишь ответы «да» или «нет».
Предположим, что первый игрок загадал слово «вероятность». Предположим также, что игроки условились заранее рассматривать только существительные, не являющиеся к тому же именами собственными (заметим, что в принципе этого можно было не делать). Как выбрать загаданное слово из всех существительных, встречающихся в русском языке? У второго игрока исключительно богатый выбор. Понятно, что необходима информация, которая позволила бы сделать нужный выбор. Чтобы получить эту информацию, наш игрок начинает задавать вопросы. Разыграем следующую возможную картину.
Вопрос 1-й: Это существительное одушевленное? Ответ*. Нет.
Вопрос 2-й: Оно начинается с согласной буквы? Ответ*. Да.
Вопрос 3-й: Эта согласная находится в последней пятерке букв русского алфавита? Ответ*. Нет.
Вопрос 4-й*. Она находится в первой пятерке? Ответ*. Да.
Вопрос 5-й: Это буква «б»? Ответ: Нет.
Вопрос 6-й: Эту буква «в»? Ответ: Да.
Вопрос 7-й: Вторая буква загаданного слова гласная? Ответ: Да.
Вопрос 8-й: Это буква «а»? Ответ: Нет.
Вопрос 9-й: Эту буква «е»? Ответ: Да.
Вопрос 10-й: Третья буква слова согласная? Ответ: Да.
Вопрос 11-й: Она находится в первой половине алфавита? Ответ: Нет.
Вопрос 12-й: Она среди первых пяти согласных букв? Ответ: Нет.
Вопрос 13-й: Она во второй пятерке согласных букв? Ответ: Нет.
Вопрос 14-й: Это буква «п»? Ответ: Нет.
Вопрос 15-й: Это буква «р»? Ответ: Да.
Вопрос 16-й: Четвертая буква слова согласная? Ответ: Нет.
Вопрос 17-й: Это «а», «и», «е» или «о»? Ответ: Да.
Вопрос 18-й: Эту буква «и» или «е»? Ответ: Нет.
Вопрос 19-й: Это буква «о»? Ответ: Да.
Используя информацию, содержащуюся в ответах на 19 заданных вопросов, а также знание букв русского алфавита, второй игрок выяснил, что заветное слово начинается с «веро».
Вопрос 20-й: Пятая буква слова согласная? Ответ: Нет.
Итак, после «веро» идет какая-то гласная буква. Теперь выбор становится довольно ограниченным. Надо подумать. «Вероотступник»? «Вероисповедание»? «Вероятие»? «Вероятность»?
Вопрос 21-й". Есть ли в слове мягкий знак? Ответ". Да.
Вопрос 22-й". Было загадано слово «вероятность»? Ответ". Да.
Уместно задать вопрос: Можно ли оценить, насколько велико количество информации, необходимое для выявления в процессе игры «Бар- Кохба» того или иного загаданного слова? Невольно напрашивается ответ: Это количество информации можно оценить по числу вопросов с ответами «да-нет», которое потребовалось для разгадывания. Чем богаче у второго игрока выбор, тем более велико количество информации, в котором он нуждается, и тем больше, следовательно, он должен задать вопросов. Впрочем, вопросы можно задавать по-разному. По-видимо- му, от характера вопросов также зависит, больше или меньше придется их задать, чтобы получить нужную информацию.
Дальнейшее обсуждение проблемы будем проводить, используя следующий конкретный и притом простой пример игры «Бар-Кохба». В списке 16 фамилий, значащихся под номерами 0, 1, 2, ..., 15. Первый игрок загадывает одну из фамилий (один из номеров), а второй игрок должен разгадать эту фамилию, т.е. произвести выбор определенного (загаданного) элемента из множества, содержащего 16 элементов. Как уже говорилось, чтобы произвести правильный выбор, необходимо располагать соответствующим количеством информации. Уместно заметить, что, если выбора нет, то никакой информации не требуется; иными словами, «соответствующее» количество информации равно нулю. Следует заметить также, что существование какого-то выбора в том или ином опыте говорит о неопределенности опыта. Естественно связывать необходимое для выбора количество информации со степенью неопределенности опыта.
В нашей игре «Бар-Кохба» с шестнадцатью фамилиями (в нашем опыте) второй игрок может по-разному сконструировать систему вопросов с ответами «да-нет». Рассмотрим три возможных варианта.
Вариант 1:
Вопрос 1-й; Загаданный номер (загаданная фамилия) находится среди номеров с 0 по 7? Ответ; Нет.
Значит, номера с 0 по 7 можно исключить из дальнейшего рассмотрения.
Вопрос 2-й; Загаданный номер среди номеров с 8 по 11? Ответ; Да.
Вопрос 3-й; Загаданный номер — это или 8, или 9? Ответ; Да.
Значит, исключаются также номера 10 или 11.
Вопрос 4-й; Загаданный номер — это 8? Ответ; Нет.
Значит, была загадана фамилия под номером 9. Игра окончена.
Потребовалось задать четыре вопроса, на которые были последовательно получены ответы:
нет-да-да-нет.(*)
Вариант 2:
Вопрос 1-й: Загаданный номер среди номеров с 0 по 3? Ответ*. Нет.
Исключаем номера с 0 по 3.
Вопрос 2-й: Загаданный номер среди номеров с 12 по 15? Ответ*. Нет.
Исключаем также номера с 12 по 15.
Вопрос 3-й: Загаданный номер среди номеров с 4 по 7? Ответ*. Нет.
Исключаем также номера с 4 по 7.
Вопрос 4-й*. Загаданный номер — это или 8, или 11? Ответ*. Нет.
Вопрос 5-й: Загаданный номер — это 9? Ответ: Да.
Игра окончена. Теперь потребовалось задать пять вопросов, на которые была получена цепочка ответов:
нет-нет-нет-нет-д а.(* *)
Вариант 3:
Вопрос 1-й: Загаданный номер среди номеров с 0 по 2? Ответ: Нет.
Вопрос 2-й: Он среди номеров с 3 по 5? Ответ: Нет.
Вопрос 3-й: Он среди номеров с 6 по 8? Ответ: Нет.
Вопрос 4-й: Он среди номеров с 9 по 11? Ответ: Да.
Вопрос 5-й: Это номер 9 или 10? Ответ: Да.
Вопрос 6-й: Это номер 9? Ответ: Да.
Игра окончена. Теперь пришлось задать шесть вопросов, на которые была получена цепочка ответов:
нет-нет-нет-да-да-д а.(* * *)
Возможны, разумеется, и другие варианты опыта (игры).
Рассмотренные три варианта иллюстрирует рис. 1 в таблице 24. Строки соответствуют разным вопросам. Перечеркнем тс номера (те фамилии в списке), которые после ответа на данный вопрос (и всех предшествующих ответов) должны быть исключены из дальнейшего рассмотрения.
Как мы убедились, число вопросов с ответами «да-нет», приводящее к разгадыванию задуманного другим игроком номера, изменяется от одного варианта опыта к другому. Однако степень неопределенности и определяемое ею количество информации, необходимое для отыскания задуманного номера, не могут меняться от опыта к опыту. Возникает естественный вопрос: действительно ли можно по числу заданных вопросов (точнее говоря, по числу полученных ответов «да-нет») судить о количестве информации, необходимой для осуществления выбора? Ответ на этот вопрос дан в следующем параграфе.
Таблица 24. Единица измерения количества информации — 1 бит
Бит — двоичная единицаИЗМЕРЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ
Ответ на заданный выше вопрос таков: Да, можно, но при условии, что для каждого вопроса ответы «да» или «нет» равновероятны. В этом случае каждый ответ (либо «да», либо «нет») сообщает спрашивающему количество информации в 1 бит. Слово «бит» происходит от словосочетания binary digit, что в переводе с английского означает «двоичная цифра».
Сформулируем определение двоичной единицы измерения количества информации, именуемой «битом»:
Бит — количество информации, которое содержится в ответе на вопрос, допускающий два равновероятных ответа.
Условие равновероятности ответов «да» или «нет» для всех заданных вопросов выполнятся лишь в первом из трех рассмотренных в § 7.3 вариантов. Что же касается второго и третьего вариантов, то указанное условие нарушается уже при первом вопросе. Вот, например, задан вопрос: Находится ли загаданный номер среди номеров с 0 по 3? Ясно, что ответ «да» имеет вероятность 1/4 (поделив четыре упомянутых в вопросе номера на полное число номеров, получаем 4/16 = 1/4); соответственно, ответ «нет» имеет вероятность 3/4. Заметим, что для второго вопроса в варианте 2 ответ «да» имеет вероятность 1/3 (надо поделить четыре на число номеров, оставшихся для рассмотрения, т. е. на число 12).
В варианте 1 второй игрок получает из ответов первого игрока информацию в 1 бит после каждого своего вопроса. Задав четыре вопроса, он получил информацию в четыре бита, вследствие чего смог выбрать загаданный номер. Таким образом, для выбора одного определенного элемента из множества, содержащего 16 элементов, потребовалось количество информации, равное 4 бит. Эту информацию можно представить в виде цепочки (*):
нет-да-да-нет, но лучше закодировать ее с помощью двух цифр: 1 («да») и 0 («нет») — и представить в виде:
0110.(****)
Здесь каждая цифра (0 или 1) содержит ровно один бит информации. Цифр всего две, поэтому бит называют двоичной единицей измерения количества информации.
Заметим, что подобное кодирование цепочек (**) и (***) не имело бы смысла, поскольку в вариантах 2 и 3 не все ответы «да-нет» являлись равновероятными; следовательно, не все они содержали по одному биту информации.
Понятие бита информации можно наглядно продемонстрировать на следующем примере. Железнодорожная станция имеет 8 путей: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. Предположим, к станции приближается поезд. Диспетчер, осуществляя дистанционное управление, может направить поезд на любой из восьми путей (будем считать, что все пути свободны, так что диспетчер может выбрать для прибывающего поезда любой путь). У диспетчера под рукой три переключателя (Л, В, С), каждый из которых может быть поставлен либо в левое, либо в правое положение. Переключатель А подает управляющий сигнал на входную стрелку а. Переключатель В подает управляющий сигнал одновременно на стрелки Ьх и Ь^. Переключатель С подает управляющий сигнал одновременно на стрелки q, с2и q. Схема железнодорожных путей с указанием всех входных стрелок показана на рис. 2 в таблице 24. Закодируем сигнал, подаваемый постановкой переключателя в левое положение, цифрой 0, а в правое положение — цифрой 1. Если на стрелку подается сигнал 0, она открывает перед поездом левый путь, а если подается сигнал 1, то правый путь. Ставя переключатель в левое либо правое положение, диспетчер всякий раз посылает управляющий сигнал (0 или 1), содержащий информацию в 1 бит. Поставив в соответствующие положения все три переключателя, диспетчер сформирует управляющий сигнал, который направит поезд на тот или иной из восьми путей. Восемь путей — восемь управляющих сигналов, каждый из которых содержит 3 бита информации. Вот кодовая запись этих сигналов:
Путь
Путь
Путь
Путь
Путь
Путь
Путь
Путь
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
(*****
ООО
001
010
011
100
101
ПО
111
Кодовые записи (****) и (*****) — примеры кодирования информации с использованием двоичной системы счисления. Уместно, по-види- мому, напомнить, что такое двоичная система счисления.
Двоичная система счисления
Проще всего сразу обратиться к конкретному примеру. Возьмем, например, число 235. Оно представлено в привычной для нас десятичной системе счисления, где для записи различных чисел используются
десять цифр: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Вот мы произносим «двести тридцать пять» и, как правило, не задумываемся над тем, что перед нами сумма двух сотен, трех десятков и пяти единиц:
235 = 2 ■ 102 + 3 • 101 + 5 • 10°.
Это же число можно представить в двоичной системе счисления, т. е. с помощью всего двух цифр — 0 и 1. Оно будет выглядеть так:
1110 10 11,
что следует рассматривать как сумму:
1 • 27 +1 • 26 +1 • 25 + 0 ■ 24 +1 • 23 + 0 ■ 22 +1 • 21 + 0 ■ 2°.
1110 10 11
В самом деле, 27 = 128, 26 = 64, 25 = 32, 23 = 8, 21 = 2.
2° = 1, так что представленная в (*) сумма есть
128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 235.
Покажем ход рассуждений, когда нужно записанное в десятичной системе число закодировать в двоичной системе счисления. Пусть это будет число 1349. Прежде всего находим наибольшее натуральное число п, для которого 2й < 1349. Нетрудно сообразить, что п = 10; ведь 210 = 1024, а 211 = 2048. Значит, в двоичной системе число 1349 является 11-значным числом (оно состоит из одиннадцати нулей и единиц). Представим:
1349 = 1 • 210 + а • 29 + b • 28 + с • 27 + d-26 +
+ е-25+/- 24 + g-23 + h-2^ i-2x + у2° =
= 1024 + 512a + 256b + 128c + 64 г/ + 32e + 16/+ 8g +4h + 2/ + j.
Здесь буквы равны либо 0, либо 1. При а= 1 сумма 1024 + 512 превысит 1349. Значит, а = 0. Понятно, что b = 1, поскольку (1024 + 256 = 1280) < 1349. Разность 1349- 1280 равна 69. Она меньше 128 (и, значит, с = 0), но больше 64 (и, значит, d = 1). Разность 69-64 равна 5. Она меньше 32, 16 и 8 (и, значит, е =f= g = 0), но больше 4 (и, значит, h = 1). Поскольку 5-4 = 1, то ясно, что z = 0, и j = 1. Таким образом, число 1349 в двоичной системе имеет вид: 10101000101.
Вернемся к обсуждавшемуся выбору загаданного номера из списка с шестнадцатью фамилиями. Количество битов информации, необходимое для осуществления выбора, определялось числом вопросов, заданных таким образом, чтобы ответы «да» и «нет» были равновероятными. Это число, как оказалось, равно четырем. При этом второй, третий и четвертый вопросы задавались после того, как был получен ответ на
предыдущий вопрос, и учитывали эти и предыдущие ответы. Оказывается, однако, что можно разгадать нужный номер, задав сразу четыре вопроса и уже потом (после того, как все они заданы) рассмотрев ответы на них. Для этого следует воспользоваться двоичной системой счисления и предварительно закодировать в этой системе все шестнадцать номеров
0
►0
(0000),
1 -г
► 1
(0001),
2 -г
►10
(0010),
3
►11
(ООП),
4 -г
►100
(0100),
5 -э
.101
(0101),
6 -э
. по
(ОНО),
7 -э
. 111
(ОШ),
8 -э
. 1000,
9 -э
. 1001,
10 -э
. 1010,
11 -э
. 1011,
12 -э
. 1100,
13 -г
► 1101,
14 -ч
► 1110,
15
► 1111.
(Каждый из номеров с 0 по 15 закодирован четырехзначным числом из нулей-единиц; поэтому в номерах с 0 по 7 пришлось добавить слева соответствующее число нулей).
Теперь мы можем задать обещанную четверку вопросов. Она такова: Верно ли, что в двоичной записи загаданного номера равна единице первая слева цифра?Вторая цифра? Третья цифра? Четвертая цифра ? Предположим, что мы получим на эти четыре вопроса такую цепочку ответов: да-нет-нет-да, или, другими словами, 1001. Отсюда следует, что был загадан номер 9 (в двоичной системе это как раз и есть 1001).
Формула Хартли.
Аддитивность КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ
В § 7.3 мы выбирали загаданную фамилию из списка, содержавшего N= 16 фамилий (выбирали определенный элемент из N= 16 равновероятных элементов). Мы выяснили, что для этого нужно задать 4 вопроса
с равновероятными ответами «да-нет». Отсюда следовало, что необходимое для выбора количество информации равно Н= 4 бит (будем обозначать буквой Н степень неопределенности опыта и, соответственно, количество информации, необходимое для избавления от этой неопределенности; величина Низмеряется в битах).
Если N= 1, то, очевидно, Н= 0.
При N= 2 (две фамилии в списке) нужно задать всего один вопрос, так что в этом случае Н= 1 бит.
При N= 4 нужно задать 2 вопроса с равновероятными ответами «да- нет»; в этом случае Н= 2 бит.
При N= 8 нужно задать 3 вопроса с равновероятными ответами «да-нет»; в этом случае Н=3 бит.
Нетрудно самостоятельно убедиться, что если N= 32, то для выбора загаданной фамилии нужно задать 5 вопросов с равновероятными ответами «да-нет»; следовательно Н= 5 бит.
Нетрудно также убедиться, что при N= 64 понадобятся 6 вопросов с равновероятными ответами «да-нет» и, значит, 6 бит информации.
Составим следующую таблицу:
N
1 = 2°
2 = 21
4 = 22
8 = 23
16 = 24
32 = 25
64 = 26
Н, бит
0
1
2
3
4
5
6
В таблице (*) выбраны числа N, равные 2" где п = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... Для каждого N в этой таблице количество информации Н, выраженное в битах, равно п. В связи с этим можно записать:
N=2H, (10)
Откуда немедленно следует, что
Н = log2 7У| (11)
Формулу (11) принято называть формулой Хартли — по имени американского инженера-связиста Р.В.Л. Хартли (1888-1970). В 1928 году он предложил характеризовать степень неопределенности опыта с N равновероятными исходами числом log2/V. Понятно, что выбор загаданной фамилии из списка с N фамилиями — один из примеров подобной ситуации.
Формула (11) не вызывает сомнений в случаях, когда N= Т. Логично полагать, что она работает также и для прочих натуральных чисел N. Докажем, что это предположение верно, с помощью следующих рассуждений.
Пусть Н— количество информации, которое необходимо, чтобы выбрать определенный элемент из множества у содержащего N равновероятных элементов. Иными словами, Н есть степень неопределенности опыта, заключающегося в выборе определенного элемента из множества v, т. е. в осуществлении определенного исхода из N равновероятных исходов. Понятно, что Н есть некоторая функция от N, или H(N). Относительно функции H(N) можно сразу сделать два утверждения:
Я(1) = 0,(12)
Н№>Н№, где Я2>Я1.(13)
Утверждение (12) означает, что если множество у состоит всего из одного элемента, то выбор однозначен, тут никакой информации не требуется. Утверждение (13) означает, что чем больше элементов в множестве у, тем больше степень неопределенности опыта, тем больше количество информации, необходимое для нахождения конкретного элемента этого множества.
Предположим теперь, что есть два множества: у и Я. Множество у состоит из N равновероятных элементов, а множество Q — из М элементов. Каково количество информации Н', необходимое для того, чтобы выбрать два определенных элемента, один из которых находится в множестве у, а другой в множестве Q? Естественно считать, что
Н' = H(N) + H(M).(**)
А теперь образуем множество Q, каждый элемент которого представляет собой пару, составленную из какого-либо элемента множества у и какого-то элемента множества Q. Всего в множестве Q будет, очевидно, MN элементов. Упомянутые выше «два определенных элемента» являются одним из элементов множества Q: следовательно,
H' = H(NM).к**^
Из (*) и (***) следует, что
Н (NM^ = Я(А) + ад\(14)
Итак, функция H(N) удовлетворяет двум условиям: (12), (13), (14). Всем этим условиям удовлетворяет функция
H(N) = togaN, гдеа>1.(15)
В самом деле, loga 1 = 0 и loga х при а > 1 является возрастающей функцией. Так что условия (12) и (13) выполнены. А выполнение условия
следует из свойства логарифма произведения — см. (2). Можно доказать (мы этого делать не станем), что совокупности условий (12), (13) и (14) удовлетворяет только функция (15).
Выбор основания логарифма а связан с выбором единицы измерения количества информации Н. Обычно полагают а = 2, что соответствует использованию двоичной единицы измерения — бита. Если положить а = 10, то будет использоваться десятичная единица измерения количества информации, называемое дитом. Чтобы найти соотношение между дитом и битом, воспользуемся тем, что
lg N дит = log2 N бит(16)
и, следовательно,
дит = (log2 N/ lg N) бит.
С учетом (8) находим отсюда:
1 дит = (3,32 • lg#/lg N) бит = 3,32 бит.(17)
Результат (15) подтверждает справедливость формулы Хартли (11) для любого натурального числа N. Эту формулу можно озвучить так:
Количество информации, необходимое для выбора определенного варианта из N равновероятных вариантов, равно log2N бит.
Отсюда получаем, что для выбора загаданного номера из списка, содержащего, например, N= 100 номеров, требуется информация
Н= log2100 = 3,32 • 2 = 6,64 бит.
Если, например, #=650, то
#=log2 650 = 3,32 ■ 1g 650 = 3,32 ■ 2,813 = 9,34 бит
(результат 1g 650 = 2,813 взят из справочника с таблицей десятичных логарифмов).
В заключение отметим, что соотношение (14) указывает на аддитивность количества информации. Аддитивность (от лат. aditivus — прибавление) — это свойство величин, означающее, что значение величины, соответствующее всему объекту, равно сумме значений этой величины, соответствующих всем частям, на которые каким-либо образом разбит объект. Так, информация, необходимая для отгадывания фамилии из одного списка и фамилии из другого списка, равна сумме количеств информации, из которых одно необходимо для отгадывания фамилии из первого списка, а другое — для отгадывания фамилии из другого списка. Пусть а — опыт с выбором фамилии из первого списка, р —
опыт с выбором фамилии из второго списка, а у — опыт с выбором одной фамилии из первого списка и одной из второго. Естественно считать, что неопределенность, характеризующая опыт у, складывается из неопределенностей, характеризующих опыты аир.
Сколько ИНФОРМАЦИИ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ,ЗАДАВАЯ ВОПРОС, ДЧЯ КОТОРОГО ОТВЕТЫ «ДА» И «НЕТ»НЕ РАВНОВЕРОЯТНЫ?
Когда в § 7.4 говорилось, что в ответе на вопрос, предполагающий равновероятные ответы «да-нет», содержится информация в один бит, у читателя должен был невольно возникнуть вопрос: А сколько информации содержится в ответе на вопрос в том случае, когда ответы «да» и «нет» не равновероятны! Пришло время разобраться с этим вопросом.
Сразу можно сказать: если событие А имеет существенно меньшую вероятность, чем противоположное событие А, то неопределенность опыта, заключающегося в наблюдении того, какое из событий А и А произойдет, должна быть существенно меньше бита. Утверждение, что дворовая футбольная команда проиграет команде высшей лиги, содержит фактически нулевую информацию. Это и так ясно. Неопределенность опыта (а значит, и количество информации, которое может ликвидировать эту неопределенность) равна нулю, если одно из событий А и А является достоверным (его вероятность равна 1), а другое невозможным (вероятность равна нулю).
Пусть вероятность ответа «да» на поставленный вопрос равна р, а вероятность ответа «нет» равна, соответственно, 1 -р. Количество информации, которое мы получим, задав такой вопрос, есть
(18)(18)Н = Р log 2 j + (1 - Р) log 2 y4j
(18)
(18)
Примем это соотношение без доказательства. Определяемая данным соотношением функция Н (р) представлена на рис. 1 в таблице 25. При желании, читатель может самостоятельно построить график функции Н (р), воспользовавшись таблицей 23.
Из (18) немедленно следует, что если ответы «да» и «нет» равновероятны, т.е. если р = 1 / 2, то
Н = Ilog2 2 + | log2 2 = 1/2 +1/2 = 1 бит.
Таблица 25. Неравновероятные ответы «да-нет»
Вопросы
Ответы^
[ Н, бит V
1
Загадан или 1, или 2?
Загадан 1?
Да Нет
^0,918 1
2
Загадан или 1, или 2?
Загадан 2?
Да Да
0,918 1
3
Загадан или 2, или 3?
Загадан 2?
Да Да
0,918 1
4
Загадан или 2, или 3?
Загадан 3?
Да Нет
0,918 1
5
Загадан или 2, или 3?
Да
0,918
6
Загадан 2?
Да
0,918
Рис.2
Если р = 1 или р = 0, то оба слагаемые в (18) обращаются в нуль (тут необходимо принять во внимание (9)).
Рассмотрим, например, случай, когда р = 1 / 3. Воспользовавшись таблицей 23, находим, что в этом случае Н= 0,918 бит, так как Н= = 0,333 • log2(l / 0,333) + 0,667 ■ log2(l /0,667) = 0,5283 + 0,3897 = 0,918.
НЕЗАПЛАНИРОВАННЫЙ ДИАЛОГ
'ЧаАаАм*. Ваш пример с р = 1 / 3 побудил меня заняться небольшими подсчетами. Предлагаю сыграть в короткую игру «Бар-Кохба» и найти количество информации Н, необходимое для выбора загаданного номера в списке, где всего три номера: 1, 2, 3.
Автор. Как, по-Вашему, могла бы проходить такая игра?
*Ч((АлЛл^. Например, вот так:
Вопрос 1-й; Загаданный номер есть 1? Ответ-. Нет.
Вопрос 2-й; Загаданный номер есть 2? Ответ; Да.
Игра окончена. Мы выяснили, что был загадан номер 2. И вот я хочу воспользоваться соотношением (18) и подсчитать, сколько информации мне понадобилось, чтобы выяснить загаданный номер. Я задал два вопроса. Для первого вопроса вероятность ответа «да» равна, очевидно, 1/3; значит, согласно (18), этот вопрос позволил мне получить информацию, равную 0,918 бит. Для второго вопроса вероятность ответа «да» (как и ответа «нет») равна 1/2 (ведь после исключения номера 1 из дальнейшего рассмотрения остается сделать выбор между двумя равновероятными исходами — 2 и 3). Значит, второй вопрос позволил мне получить информацию в 1 бит. Получается, что задав два вопроса и разгадав тем самым номер, который был загадан, я использовал информацию
Я = 0,918 + 1 = 1,918 бит.(*)
Однако я мог бы подсчитать Я, воспользовавшись формулой Хартли (11) для Я= 3:
Я= log23 = log210 ■ Ig3 = (l/lg2) lg3.
Я выписал из справочника значения 1g 3 и 1g 2:
1g 3 = 0,4771; lg 2 = 0,3010.
В результате я получил:
Я= 0,4771 /0,3010= 1,585.(**)
Результат (**) весьма сильно отличается от результата (*). Какой же из них верен?
Автор. Верен результат (**). Кстати, он прекрасно ложится на график функции у = log2x — см. рис. 3 в таблице 22.
'Чи«н<ине*^. А как быть с результатом (*)? Он получен с использованием формулы (18). В чем тут дело?
Автор. Дело в том, что опыт, в котором задаются вопросы с целью выяснения загаданного номера, можно реализовать в данной ситуации (при N= 3) в шести случаях, причем (это как раз и важно!) в четырех случаях количество информации, получаемое при ответах на вопросы, равно 1,918 бит, а в двух случаях — всего 0,918 бит. Это поясняет рис. 2 в таблице 25. Чтобы получить искомое количество информации, нужно выполнить усреднение по шести постановкам опыта:
Н= (4 ■ 1,918 + 2 ■ 0,918) / 6 = 9,508 / 6 = 1,585 бит. (***)
Как видите, результат (***) точно совпадает с результатом (**).
Формула Шеннона
В § 7.6, обсуждая формулу Хартли, мы с помощью рассуждений достаточно общего характера убедились в аддитивности количества информации (полная информация складывается из «частичных» информаций) и пришли к весьма важному заключению, которое удобно сформулировать так:
количество информации, связанное с реализацией определенного варианта из Nравновероятных вариантов, равно log2N бит.
Словосочетание «связанное с реализацией определенного варианта» можно понимать по-разному. Например, как «необходимое для реализации (иначе говоря, выбора) какого-то конкретного варианта». Или как «содержащееся в сообщении о том, какой именно вариант оказался реализован (выбран)».
Функция 77(A) = log2y— возрастающая функция. Чем больше число вариантов N, тем больше неопределенность опыта, предполагающего выбор определенного варианта, тем больше количество информации, связанное с этим выбором. При N= 1 нет проблемы выбора, нет неопределенности.
Предположим теперь, что рассматриваются А неравновероятных вариантов. Каково количество информации, связанное с выбором определенного варианта в этом случае? Ответ на этот вопрос дал в 1948 году Клод Шеннон (и независимо от него Норберт Винер). Шеннон и Винер показали, что
количество информации, связанное с реализацией определенного варианта из N вариантов, характеризующихся вероятностями рх, р2,
N]
Ру,..., р№ равно ^2^zlog2— бит.
1=\р*
Соотношение
(19)(19)Я = ^^1ов2 —
(19)
(19)
/=1 Pi
называют в теории информации формулой Шеннона. Она имеет, по сути дела, такой же вид, что и знаменитая формула Больцмана, в которой Н рассматривается как термодинамическая энтропия в вероятностном представлении. Разумеется, Шеннон не просто использовал готовую формулу Больцмана, но вывел ее, применив теорию вероятностей, самостоятельным образом. Можно сказать, что Шеннон (а также Винер) сначала вывел соотношение (19), а уже потом обнаружил сходство его с формулой Больцмана. Мы не станем воспроизводить этот вывод, а вот причины упомянутого сходства мы, конечно обсудим. И сделаем это в теме 10.
Учитываемые в формуле Шеннона Я вариантов исчерпывают все возможные для рассматриваемой ситуации варианты. Поэтому
(20)(20)(21)(21)N
(20)
(20)
(21)
(21)
Z=1
Если N= 2, то (19) принимает вид:
н = Рх ^2 — + р2 log2—.
Р\^2
Обозначая рх через р и учитывая (20), получаем из (21) уже знакомое нам соотношение (18).
Если все N вариантов равновероятны, т.е. если
Р\=Р1=Рз = - = Pn=(22)
то из (19) получаем:
N 11
Н = ^2^tog2N = ^ log2N+ log2N+ ... + log2N = log2N.
N слагаемыхN слагаемыхZ=1
N слагаемых
N слагаемых
Легко видеть, что в частном случае, когда выполняется (22), формула Шеннона превращается в формулу Хартли (11).
Обратим внимание на то, что неравновероятность вариантов снижает степень неопределенности опыта; поэтому количество иноформации, связанное с реализацией определенного варианта, уменьшается. На примере с N = 2 мы в этом наглядно убедились, познакомившись с графиком зависимости Н от вероятности р (см. рис. 1 в таблице 25).
Рассмотрим в качестве примера случай с N= 5 вариантами, имеющими следующие вероятности реализации:
Р! = 0,15; р2 = 0,2; р3 = 0,25; р4 = 0,1; р5 = 0,3.
Количество информации, которое мы получаем, когда нам сообщают, какой именно из пяти вариантов реализован, не зависит от варианта, а определяется по формуле (19). Применяя эту формулу и используя данные таблицы 23, запишем:
ff = O.I5 -log ' +0,2 -log ‘ +0,25 -log ‘ + 0,llog ‘ +
+ 0,3. log2 ^3=0,4105 + 0,4644 + 0,5 + 0,3322 + 0,5211 = 2,228 бит.
Если бы пять вариантов были равновероятными, то в этом случае по получении сообщения о том, какой именно вариант реализован, мы получили бы, согласно (11), количество информации:
Ярагш = log2 5 = 3,32 • 1g 5 = 2,321 бит.
Мы убеждаемся, что Н < Яравн.
Формулу Шеннона удобно интерпретировать, рассматривая дискретную случайную величину, принимающую Nзначений. Пусть некая дискретная случайная величина X задана законом распределения:
Х1
х3
xN
Р1
Р1
Рз
Pn
Иными словами, случайная величина Xпринимает Nзначений хь х2, х3, ..., xN с вероятностями, равными, соответственно, рх, р2, р3,..., р^- Опыт, состоящий в наблюдении над данной случайной величиной, выявляет некоторое определенное значение этой величины. Количество информации Н, которое мы получаем в результате произведенного наблю-
N
дения, есть Н = ^jpi log2 (1/р,) бит.
/=1
То же самое можно выразить немного иначе. Величина У может принимать либо значение хь либо х2, либо х3, ..., либо х^с вероятностями, соответственно, рх, ръ Рз,..., Pn- Налицо неопределенность, и степень этой неопределенности равна Н бит, где Н определяется по формуле Шеннона. Именно такое количество информации устраняет упомянутую неопределенность в опыте, состоящем в наблюдении над случайной величиной X.
Обратим внимание на то, что определяемое формулой Шеннона количество информации Н не зависит от того, какие именно значения принимает в том или ином испытании случайная величина, или какие именно варианты реализованы. Содержание возможных значений случайной величины или возможных вариантов вообще не рассматриваются. Все определяется исключительно вероятностями значений случайной величины или вариантов.
В связи со сказанным подчеркнем еще раз два принципиальных момента, относящихся к понятию количества информации, используемому в теории информации. Во-первых, это понятие абстрагируется от конкретного содержания информации. Во-вторых, это понятие формируется исключительно на основе понятия вероятности. Благодаря именно этим двум моментам теория информации смогла стать сегодня в полном смысле слова всеобъемлющей теорией.
Уберите понятие вероятности и тем самым вы уничтожите теорию информации. В своем постепенно углубляющемся (и расширяющемся) изучении окружающего мира человечество вышло сегодня на уровень, когда невозможно обойтись без широкого применения теории информации в самых разных областях человеческой практики. А это означает, что сегодня научное исследование окружающего мира невозможно без обращения к вероятности и ее закономерностям. Иными словами, постижение мира на современном этапе — это постижение его через вероятность.
Об использовании понятия «энтропия»
В ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ
%«#6<1#6а#*. Насколько мне известно, Шеннон называл величину Н в своей формуле энтропией.
Автор. Вы правы. Он рассматривал некий опыт, в результате которого могли реализоваться исходы Аъ Аъ А3, ..., AN с вероятностями рх,Рз,Рз, --ч Pn- Существование А возможных исходов опыта, каждый
из которых можно предсказать лишь с какой-то вероятностью, говорит о наличии в опыте неопределенности. Вот меру этой неопределенности {степень неопределенности опыта) Шеннон и предложил называть энтропией опыта и обозначать буквой Н.
'4w4<A4te<<*. Мы называли эту величину количеством информации. И мне это больше нравится.
Автор. Связь количества информации со степенью неопределенности опыта мы достаточно подробно обсудили. Тем самым мы фактически обсудили связь количества информации с понятием энтропии, введенным в теорию информации Шенноном.
*Чи«н<ине*^. Получается, что одна и та же величина имеет целых три названия: «количество информации», «степень неопределенности опыта», «энтропия опыта». Не многовато ли названий? Тут нетрудно запутаться. Тем более, что понятие энтропии родилось еще в XIX веке как одно из понятий термодинамики и статистической физики.
Автор. Действительно, понятие энтропии впервые ввел в науку (в термодинамику) в 1865 году известный немецкий физик Рудольф Клаузиус (1822-1888), а в 1877 году Людвиг Больцман дал этой энтропии вероятностное толкование. Больцман предложил для энтропии формулу, которую примерно через столетие снова вывел Шеннон, используя теорию вероятностей. Возможно, именно сходство формулы, выведенной для измерения степени неопределенности опыта, с формулой Больцмана побудило Шеннона использовать термин «энтропия».
%«#6<1#6м*. Вот и возникает вопрос: Как связаны друг с другом (не с точки зрения структуры формулы, а с точки зрения содержания) энтропия Шеннона и энтропия Больцмана-Клаузиуса? Насколько существенна и глубока эта связь?
Автор. Связь есть и притом глубокая. Однако, знакомясь с теорией информации, целесообразно, по-видимому, последовать совету, данному Джоном Пирсом в его книге «Символы, сигналы, шумы»: «Чтобы понять, что такое энтропия в теории информации, лучше выкинуть из головы все, что хоть как-то связано с понятием «энтропия», применяемым в физике. А разобравшись в том, что собой представляет энтропия в теории информации, можно попробовать связать ее и с энтропией в физике». Продолжая в теме 8 знакомиться с теорией информации, мы воспользуемся советом Пирса и не будем касаться энтропии в физике.
%«#6<1#6м*. Значит, пока для нас энтропия — это всего лишь неопределенность опыта при наличии выбора, или, иначе говоря, количество информации, связанное с этим выбором?
Автор. Совершенно верно. В теме 8 мы познакомимся с теорией информации с точки зрения той проблемы, которая как раз и породила саму эту теорию. Я имею в виду проблему передачи сообщений по каналу связи. Здесь уместно еще раз процитировать Джона Пирса: «В математической теории связи рассматривается источник сообщений, например человек, который в определенной ситуации может создать любое из множества возможных сообщений. Количество информации, которое несет в себе сообщение, возрастает при увеличении неопределенности относительно того, из скольких возможных сообщений производится выбор. Одно из десяти возможных сообщений несет в себе меньшее количество информации, чем одно из миллиона. Энтропия в математической теории связи есть мера этой неопределенности, и эта неопределенность или (что то же самое) энтропия, берется в качестве меры количества информации, которое несет в себе сообщение от данного источника».
*%«#6<|#6а#*. Как я понимаю, мы все-таки будем пользоваться понятием «энтропия» в рамках теории информации?
Автор. Будем. Но не будем пока обсуждать связь этой энтропии с той энтропией, которая используется в физике. Об этом в теме 10.
7.10 От ИНФОРМАЦИИ К ВЫБОРУ, ОТ ВЫБОРА К ИНФОРМАЦИИ
'HctiUtuHieM.. В самом начале §7.8 сделаны два уточнения словосочетания «количества информации, связанное с реализацией определенного варианта». Получается, что, с одной стороны, количество информации — это то, что нам необходимо иметь для того, чтобы реализовать определенный выбор (выбор определенного элемента из некоторого множества). А с другой стороны, количество информации — это то, что мы получаем после того, как определенный выбор реализован. По-моему, речь идет о разных вещах.
Автор. Не торопитесь с таким заключением. Допустим, рассматривается количество информации, связанное с выбором определенной фамилии из списка, содержащего 16 фамилий. Известно, что это количество информации равно четырем битам.
*Ч«АаАм*. Данную ситуацию мы уже обсуждали. И притом довольно подробно.
Автор. Вот потому я сейчас и обращаюсь к ней. Некто загадал какую-то фамилию из шестнадцати и тем самым создал неопределенность,
измеряемую четырьмя битами. Чтобы устранить эту неопределенность, я должен выявить (выбрать) загаданную фамилию и для этого (т. е. для того, чтобы реализовать нужный выбор) мне понадобится информация в четыре бита, которую я могу получить от загадавшего фамилию посредством соответствующим образом сконструированных вопросов к нему. Итак, я использую полученную из ответов на мои вопросы информацию для того, чтобы устранить неопределенность и сделать нужный выбор.
*Чи«н<ине*^. Вот и получается, что количество информации — это то, что необходимо иметь, чтобы реализовать определенный выбор.
Автор. Простите, я еще не закончил. Теперь я действительно знаю загаданную фамилию. Я владею информацией и количество этой информации равно четырем битам. Однако другие-то пока этой информацией не владеют! (Для чистоты картины полагаем, что обмен вопросами и ответами происходил в отдельной комнате, а не на виду у всех). Эти «другие» должны наблюдать, как я буду делать выбор, указав загаданную фамилию. И в результате наблюдения за моим выбором они получат, в свою очередь, ту же самую информацию в четыре бита. Теперь количество информации — это то, что получают после того, как определенный выбор реализован (сделан, показан, объявлен).
Обратите внимание: здесь все время идет разговор об одном и том же количестве информации.
*Чи«н<ине*^. Я бы сказал, что речь идет о передаче одного и того же количества информации — от загадавшего фамилию к Вам и затем от Вас к «наблюдателям».
Автор. Вы нашли весьма точное выражение: «передача количества информации». Именно этому мы и посвятим тему 8.
ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ 7
Чему равна разность (1 / 2)log22 - 2log2(l / 2)?
Ответ: 2,5.
Чему равно значение функции f(x) = x log2(l/x) в точках х=2, х=4, х=8, х= 16? Начертите график функции на промежутке от 0 до 8.
Ответ: -2, -8, -24, -64.
Выразите log2x через натуральный логарифм In х. Ответ: log2 х = log2 е • Inx=(lge/lg2)lnx = 1,44 ■ In х.
Поиграйте с партнером в игру «Бар-Кохба». Можно предложить ему отгадать какое-нибудь задуманное Вами существительное, состоящее, скажем, из восьми букв. А потом пусть он загадает существительное из такого же числа букв. Кому из вас потребуется меньшее число вопросов для выявления загаданного слова?
В списке 64 фамилии. Загадана одна из них. Покажите, как надо сконструировать систему вопросов с ответами «да-нет», чтобы каждый вопрос позволял получить информацию в один бит.
Имея в виду рисунок 1 в таблице 24, найдите вероятность ответа «да»: а) для каждого из пяти вопросов в варианте 2, б) для каждого из шести вопросов в варианте 3.
Ответы: а) 1 / 4, 1 / 3, 1 / 2, 1 / 2, 1 / 2;
б) 3 / 16, 3 / 13, 3 / 10, 3 / 7, 2 / 3, 1 / 2.
Представьте в десятичной системе счисления следующие числа, закодированные в двоичной системе: а) 1111111, б) 1010101, в) 0101010, г) 1001001, д) 1100011.
Ответы: а) 111111112 7, б) 101010185, в) 0101010 ^42, г) 10010017 3,
д) 110001199.
Укажите, какое число следует сразу после представленных здесь в двоичной системе чисел: 11111, 11001, 10011, 11011, 10101.
Ответы: 11111 ^ 100000, 11001 ^ 11010, 10011 ^ 10100, 11011 ^ 11100, 1010110110.
Закодируйте в двоичной системе счисления следующие числа, представленные в десятичной системе: а) 38, б) 60, в) 75, г) 100, д) 110, е) 203.
Ответы: а) 100110, б) 111100, в) 1001011, г) 1100100, д) 1101110, е) 11001011.
Попробуйте закодировать в троичной системе счисления следующие числа, представленные в десятичной системе: а) 46, б) 100, в) 200.
Подсказка: 46 = 1 • З3 + 2 • З2 + 0 ■ З1 + 1 • 3°1201.
Ответы: а) 1201, б) 10201, в) 21102.
Таинственный незнакомец находится в списке, состоящем из Л/фамилий. Подсчитайте, какое количество информации мы получаем, когда нам сообщают фамилию таинственного незнакомца в случаях:
а) Л/ = 10, б) Л/ = 100, в) Л/ = 1000.
Ответы: а) 3,32 бит, б) 6,64 бит, в) 9,96 бит.
Дискретная случайная величина задана законом распределения:
Xi
Xl
х2
хз
х4
Х5
Pi
0,12
0,24
0,26
0,15
0,23
Подсчитайте, воспользовавшись данными таблицы 23, чему равно количество информации, которое мы получим в результате наблюдения над этой случайной величиной, позволившего определить значение, которое она приняла.
Ответ: 2,265 бит.
Насколько меньше подсчитанное в задании 12 количество информации по сравнению со случаем, когда все пять значений случайной величины равновероятны? Ответ: На 0,056 бит.
В двух мешках находятся по 25 шаров. В первом мешке находятся 10 белых, 8 красных и 7 синих шаров. Во втором мешке находятся 9 желтых, 11 синих и 5 зеленых шаров. Опыт состоит в том, что из каждого мешка вынимают наугад один из шаров. Подсчитайте, чему равно количество информации, которое мы получим из сообщения о том, какого цвета шар оказался вынутым: а) в опыте с первым мешком, б) в опыте со вторым мешком. Исход какого из опытов следует считать более неопределенным?
Ответы: а) 1,569 бит, 2) 1,516 бит. Более неопределенным является исход опыта с первым мешком.
Из многолетних наблюдений над выпадением осадков в некотором заданном пункте известно, что 1 ноября вероятность дождя там равна 0,3, а вероятность выпадения снега — 0,15. А вот 20 ноября вероятность дождя равна 0,15, а выпадение снега — 0,45. В какой из двух указанных дней погода в данном пункте оказывается более неопределенной? На сколько битов более велика степень неопределенности?
Ответ: 20 ноября; на 0,52 бит.
ТЕМА 8
КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИИ ВЕРОЯТНОСТЬ: ПЕРЕДАЧАИНФОРМАЦИИ ПО КАНАЛУ СВЯЗИ
Центральной проблемой теории информации является проблема передачи информации по каналу связи с помехами.
Альфред Ренъи
Когда адресат принимает сообщение, переданное по каналу с шумом, он знает, какое сообщение он принял, но не может быть уверен, что именно это сообщение было послано отправителем. Таким образом, неопределенность относительно того, какой символ был выбран отправителем, устраняется не полностью даже после приема. Эта остаточная неопределенность зависит от вероятности того, что принятый символ будет отличаться от отправленного. Указанная вероятность характеризует шум (помехи) в данном канале связи.
Джон Пирс
Общая схема канала связи
Канал связи служит для передачи сообщений (информации) от отправителя к адресату. Отправителя следует рассматривать в качестве источника сообщений (источника информации), а адресата — в качестве приемника сообщений (приемника информации).
Каналы связи чрезвычайно многочисленны и разнообразны. Вот, например, первый человек обращается с какими-то словами ко второму. Здесь источник сообщений — первый человек. В качестве канала связи (точнее сказать: линии связи) выступает воздушная среда, в которой сообщения распространяются благодаря звуковым волнам. Приемник сообщений — второй человек (тот, что слушает). Звуковые сигналы, несущие определенную информацию, достигают уха слушающего человека и воздействуют на барабанную перепонку.
Если первый человек и второй человек находятся на большом расстоянии друг от друга, то для передачи информации от одного к другому используется телефонная связь. В этом случае работа канала связи осуществляется либо посредством переноса электрических сигналов по обычному телефонному кабелю, либо посредством переноса световых сигналов по оптическому волоку, либо посредством сигналов, распространяющихся в виде электромагнитных волн (радиотелефон).
Вот мы читаем книгу, смотрим на телеэкран или просто рассматриваем то, что находится перед нами. Во всех этих случаях мы оказываемся частью канала связи, а точнее говоря, адресатом, принимающим информацию, поступающую к нам благодаря электромагнитным волнам оптического диапазона, т. е. в виде световых изображений-сигналов. Затем полученная информация поступает в следующий канал связи — канал, где линией связи является живой нерв (зрительный нерв), а приемником сообщений — сетчатка глаза. По зрительному нерву нервные импульсы (импульсы возбуждения) передаются от сетчатки глаза в затылочный отдел головного мозга, где они превращаются в зрительные образы.
Канал связи может быть весьма сложным (как, например, канал, благодаря которому мы можем видеть, т. е. получать информацию посредством зрения), но может быть и простым (например, пересылка письма по обычной почте). Знакомиться с передачей информации по каналу связи начинают, как правило, обращаясь к электротелеграфной связи. Математическая теория связи (т. е. теория информации) возникла в результате изучения именно электросвязи. Сначала телеграфной, а затем также телефонной.
Справка. В 1837 году американский художник и изобретатель Сэмюэл Морзе (1791 — 1872) придумал первый электромеханический телеграфный аппарат. В 1838 году аппарат был усовершенствован и приспособлен для передачи сообщений посредством кода Морзе (азбуки Морзе). В 1874 году телеграфную связь существенно усовершенствовал выдающийся американский изобретатель и предприниматель Томас Эдисон (1847-1931). В числе его многочисленных изобретений есть, в частности, фонограф (он был изобретен в 1877 году). История науки и техники отмечает видную роль, которую сыграл в изобретении телефона и телефонной связи шотландец Александер Белл (1847-1922), работавший, начиная с 1871 года в США. Упомянем также имя американского физика Гарри Найквиста (1889—1976), внесшего существенный вклад в развитие телеграфной и телефонной связи.
Рассмотрим общую схему канала связи. Она приведена на рис. 1 в таблице 26. Одним из главных элементов канала связи является линия связи. Именно по ней происходит передача информации в виде электрических или световых сигналов-импульсов, нервных импульсов или просто писем, пересылаемых по почте. Отметим, что процесс передачи информации по линии связи — это материальный процесс, связанный с переносом вещества или энергии. В качестве линии связи могут выступать электрический кабель, оптическое волокно, нерв, а также просто пространство, разделяющее отправителя и адресата.
Распространяясь по линии связи, информационный сигнал неизбежно трансформируется: он в той или иной мере ослабляется и искажается. Это происходит вследствие неустранимых помех (шумов), имеющих статистический характер. Они связаны с происходящими как внутри канала, так и вокруг него случайными процессами, в основном тепловыми. Идеальных каналов связи (каналов без помех) не существует; всякая реальная линия связи как-то ослабляет и искажает передаваемый по ней информационный сигнал. Проблема повышения точности сигнала на выходе канала связи по отношению ко входному сигналу — важнейшая проблема теории информации.
На входном конце канала связи находится кодирующее устройство, с которым имеет дело отправитель информации, а на выходном конце канала — декодирующее устройство; с ним имеет дело адресат. В кодирующем устройстве сообщение на входе (будем обозначать его через ф) преобразуется в последовательность «элементарных сигналов» — сигнал на входе (обозначим его через \|/). Именно сигнал \|/ и поступает в линию связи. Кодирование — это операция отождествления сообщения на входе с последовательностью элементарных сигналов (с сигналом на входе), приспособленных для передачи по данной линии связи. На выходном конце канала связи происходит обратная операция — принятая
Таблица 26. Общая схема канала связи
адресатом последовательность элементарных сигналов (будем называть ее сигналом Q) преобразуется в декодирующем устройстве в сообщение на выходе (обозначим его через со).
Возьмем для примера обычную телефонную связь. Входное сообщение ф реализовано в виде звука (в виде определенных колебаний давления воздуха). Кодирующее устройство — микрофон; он преобразует звуки в электрические сигналы \|/, распространяющиеся по линии связи — телефонному кабелю. Та часть телефонной трубки, которую мы подносим к уху, выполняет роль декодирующего устройства. В нем выходные электрические сигналы Q преобразуются обратно в звуки (в сообщение на выходе со).
На этом процесс передачи информации не заканчивается. Выходящие из телефонной трубки звуки играют роль входного сообщения для другого канала связи — канала, функционирующего у нас в голове. Во внутреннем ухе человека звуковое сообщение кодируется, превращаясь в последовательность нервных импульсов; эти импульсы передаются по слуховому нерву в височный отдел головного мозга, и там происходит операция декодирования, преобразующая нервные импульсы в слуховые образы.
Приведенный пример показывает, что понятия «отправитель» и «адресат» могут иметь условный смысл. Они не всегда должны пониматься буквально и связываться с разными людьми (разными участниками процесса передачи информации).
Рисунок 2 в таблице 26 иллюстрирует идеальный канал связи (помехи в линии связи предполагаются отсутствующими), а рис. 3 — аналогичный канал связи, но с помехами. На обоих рисунках представлены два случая: а) сообщение ф — буквенный текст (точнее говоря, одно слово), последовательность входных элементарных сигналов v — последовательность символов азбуки Морзе: точек, тире, пауз между буквами; б) сообщение ф — число в десятичной системе счисления, \|/ — последовательность единиц и нулей, представляющих число ф в двоичной системе.
В идеальном канале связи сигнал на выходе Q точно повторяет сигнал на входе V- А вот в канале с помехами соответствие сигнала Q сигналу \|/ оказывается неточным. Мы видим, что при передаче информации в канале с помехами (см. рис. 3) была случайно утеряна точка в коде Морзе для буквы «Г». Вместо посланной отправителем последовательности элементарных сигналов
адресат принял последовательность сигналов
в результате сообщение «ГОРЕ» на входе канала превратилось в сообщение «МОРЕ» на выходе.
При кодировании числа 3429 была сформирована последовательность элементарных двоичных сигналов:
110101100101.
Из-за помех в линии связи второй слева сигнал «0» случайно превратился в сигнал «1», так что адресат принял последовательность двоичных сигналов:
110111100101.
В результате сообщение «3429» на входе канала превратилось в сообщение «3557» на выходе.
Передача сообщений по каналу связи(общие замечания)
Передача дискретных сообщений. Разнообразие каналов связи обусловлено прежде всего разнообразием характера сообщений, которые требуется передать по каналу. Сообщения на входе могут быть как дискретными, так и непрерывными.
Передачу дискретного сообщения можно рассматривать как передачу «букв» какого-то «алфавита». Это могут быть буквы русского, латинского, греческого или какого-либо другого алфавита. В качестве «букв» могут выступать также отдельные слоги, слова, словосочетания, цифры, числа.
Каждая «буква» сообщения кодируется набором элементарных сигналов-, этот набор называют кодовым обозначением «буквы» (применяется также термин «кодовое слово»). Цепочка элементарных сигналов образуется из кодовых слов, представляющих последовательно все «буквы» данного сообщения.
Чаще всего используются двоичные элементарные сигналы. Каждый такой сигнал — это либо импульс электрического тока длительностью т (он кодируется единицей), либо пауза длительностью т (кодируется нулем). Импульсам длительностью 2т, Зт, 4т, ит.д. соответствуют 11, 111, 1111 и т. д. Аналогично паузам длительностью 2т, Зт, 4т, и т.д. соответ-
ствуют 00, 000, 0000 и т.д. На рис. 1 в таблице 27 представлено в виде соответствующих импульсов тока и пауз некое сообщение, закодированное последовательностью двоичных элементарных сигналов, имеющей следующий вид:
1011 10100001 10 1. (*)
Передача данного сообщения занимает время, равное 15т.
Кодовая запись (*) содержит 15 двоичных цифр. Однако из этого не следует, что соответствующее сообщение содержит 15 битов информации. Можно утверждать только, что оно содержит не более 15 битов информации. А вот на сколько меньше пятнадцати битов — это зависит от того, как было закодировано сообщение на входе канала.
Предположим, что по данному каналу связи за одну секунду можно передать не более С двоичных элементарных сигналов и, следовательно, не более С битов информации, подаваемой на вход. Величину С, имеющую размерность бит/с, называют пропускной способностью (иначе говоря, емкостью) данного канала связи. Заметим, что здесь пока имеется в виду линия связи без помех (идеальный канал связи). Если же говорить о реальном канале связи (учитывать помехи в линии связи), то для оценки емкости канала следует рассматривать не просто количество информации, которое подается на вход (т. е. создается источником сообщений), а количество информации относительно сигнала на входе, содержащееся в сигнале на выходе. Это понятие мы обсудим в свое время (см. § 8.7 и § 8.8). Отметим, что лишь при условии отсутствия помех в линии связи количество информации в сигнале на выходе совпадает с количеством информации в сигнале на входе.
Передача непрерывных сообщений. Весьма часто сообщение не входе является непрерывно изменяющимся во времени. Например, разговорная речь или музыка представляют собой непрерывные изменения давления воздуха, воспринимаемые ухом слушающего. В телефонном канале связи изменения давления воздуха, представляющие собой речевые сообщения, преобразуются в непрерывные изменения во времени электрического напряжения.
В теории информации при передаче непрерывных сообщений используют так называемую теорему отсчетов. Она утверждает, что непрерывный сигнал можно отобразить достаточно точно в виде последовательности отсчетов его величины, взятых через равные промежутки времени. На рис. 1а в таблице 27 изображен некий непрерывный сигнал, а на рис. 16 этот сигнал представлен в виде совокупности отсчетов, изображаемых вертикальными отрезками. Отсчеты берутся через
100110111111101100010001010100
Рис.2
а 00000
и 01000
р 10000
ш 11000
б 00001
й 01001
с 10001
щ 11001
в 00010
к 01010
т 10010
ы ПОЮ
г 00011
л 01011
у 10011
ь,ъ 10011
д 00100
м 01100
ф 10100
э 11100
е,ё 00101
н 01101
х 10101
ю 11101
ж 00110
о 01110
ц 10110
я 11110
з 00111
п 01111
ч 10111
- 11111
Рис.З
достаточно малые промежутки времени (меньше половины периода, соответствующего наивысшей частоте, имеющейся в данном сигнале). Так, для речевого сигнала, содержащего частоты до 4000 Гц, нужно брать не менее 8000 отсчетов в секунду. В телевизионном сигнале присутствуют частоты до 4 МГц; тут нужно брать до 8 000 000 отсчетов в секунду.
Отсчеты отличаются друг от друга по амплитуде. Естественно, что амплитуда отсчета может иметь любое значение от нуля до некоторого максимального для данного сигнала значения U. В связи с этим выполняют так называемое квантование отсчетов — делят U на 100 и приближенно представляют каждый отсчет двузначным числом, равным количеству отрезочков длиной С7/ 100, укладывающихся на амплитуде данного отсчета. В результате непрерывный сигнал преобразуется в набор двузначных чисел от 00 до 99. Таким образом, непрерывный сигнал оказывается представленным в виде дискретного сообщения, в котором роль «букв» играют указанные выше двузначные числа. Данное дискретное сообщение содержит столько «букв», сколько взято отсчетов.
В целях иллюстрации идеи квантования отсчетов первые десять отсчетов на рис. 16 в таблице 27 проквантованы в упрощенном варианте — максимальное значение сигнала делится здесь не на 100, а на 8. Если при этом амплитуда отсчета оказывается, например, между 4 и 5, то ей приписывают значение 5. В результате такого квантования десяти отсчетов возникает следующая последовательность десяти однозначных чисел:
578865323 5.
Воспользовавшись двоичной системой счисления, преобразуем эту последовательность однозначных чисел в цепочку двоичных элементарных сигналов:
100 ПО 111 111 101 100 010 001 010 100.
Так как непрерывное сообщение можно в принципе отобразить в виде дискретного сообщения, ограничимся в дальнейшем рассмотрением только дискретных сообщений на входе канала связи. При этом будем использовать для кодирования только двоичные элементарные сигналы (двоичные коды}.
Условия передачи сообщений. Отметим условия, которые должны быть выполнены при передаче сообщений по каналу связи.
Прежде всего необходимо, чтобы полученная при кодировании сообщения цепочка элементарных сигналов (цепочка единиц и нулей) могла быть правильно «прочитана» адресатом, т. е. однозначно преобразована при декодировании в сообщение, посланное отправителем.
Коротко говоря, нужно кодировать сообщение на входе таким образом, чтобы не возникало проблем при его декодировании на выходе канала. Адресат должен уверенно распознавать, где в принятой им цепочке единиц и нулей кончается одна «буква» посланного отправителем сообщения и где начинается следующая. (Напоминаем, что пока мы не учитываем наличие помех в линии связи).
Максимальная скорость ввода информации в канал связи должна быть согласована с его пропускной способностью. Допустим, что отправитель вводит «буквы» сообщения в канал связи с некоторой постоянной скоростью, равной и «буквам» в секунду. Обозначим через Н энтропию «буквы», т. е. рассматриваемую в расчете на одну «букву» сообщения степень неопределенности, скрывающую в себе соответствующее количество информации, предназначенное для адресата (Я имеет размерность бит/«буква»). Энтропия Н отражает статистические свойства сообщения, передаваемого по каналу связи; подробнее об этом понятии мы поговорим в §8.5. Если С бит/с — пропускная способность (емкость) данного канала связи, то требование согласования скорости ввода информации в канал с емкостью канала можно представить в виде соотношения:
v<C/H. (1)
Знак «=» определяет максимальную скорость ввода информации при заданных С иН.
Есть условия не столь обязательные, но весьма желательные. По ним судят об эффективности кодирования сообщения. Речь идет, во-первых, об экономности кода. Общее пожелание: используемый код должен быть максимально экономным. Иными словами, важно, чтобы для кодирования было использовано поменьше элементарных сигналов и тем самым было сокращено, насколько это возможно, время, затрачиваемое на передачу этого сообщения. Напомним, что время, затрачиваемое на передачу сообщения, состоящего из Я двоичных сигналов, равно Nt, где т — длительность однократного импульса или однократной паузы (см. рис. 1 в таблице 27). Заметим однако, что в действительности вопрос об экономности кода отнюдь не прост. Необходимо принимать во внимание, что разные «буквы» сообщения могут кодироваться разным числом двоичных сигналов и при этом могут иметь разную вероятность появления. Об этом будет разговор в §8.5, где и будет сформулировано условие наибольшей экономности кода.
Во-вторых, весьма важно, чтобы используемый код обеспечивал максимально возможную помехозащищенность передачи сообщения. Жела-
тельно кодировать так, чтобы насколько это возможно снизить вероятность искажений передаваемой по данному каналу информации, обусловленных помехами в линии связи. При этом можно, в частности, пожертвовать в какой-то мере экономностью кода, передавая, например, каждую «букву» сообщения два или даже три раза. В § 8.9 мы познакомимся с тем, как можно бороться с помехами за счет использования соответствующего кодирования сообщения на входе.
Кодирование с использованиемравномерных двоичных кодов. Код Бодо
11ри использовании равномерных кодов каждая «буква» сообщения представляется кодовым обозначением (кодовым словом), состоящим из одного и того же количества п элементарных сигналов. При этом автоматически выполняется условие уверенного декодирования адресатом принятой им цепочки единиц и нулей. Адресату надо просто разбить эту цепочку на «кусочки» по п двоичных цифр. Каждый такой «кусочек» есть кодовое слово, представляющее соответствующую «букву» сообщения.
Примером равномерного двоичного кода является код Бодо, сопоставляющий каждой букве алфавита кодовое слово из пяти двоичных цифр. Почему именно пяти? Дело в том, что, комбинируя п двоичных цифр, можно составить 2й различных кодовых слов. Если, например, п = 2, то существует четыре кодовых слова:
00, 01, 10, 11.
Если п = 3, можем составить восемь кодовых слов:
ООО, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.
Если п = 4, то можно составить шестнадцать кодовых слов:
0000,0001,0010,ООП,0100,0101,ОНО,0111,
1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111.
При п = 5 существует 25 = 32 кодовых слова. В греческом алфавите 24 буквы, в латинском — 27 буквы, в русском 33 буквы. Буквы каждого из этих алфавитов можно кодировать, используя код Бодо. В том числе и буквы русского алфавита, если не делать различия между «е» и «ё», а также между «ь» и «ъ» (при этом останется кодовое слово для обозначения пробела между словами). Недаром двоичный код Бодо (именно он, 229
а не азбука Морзе) чаще всего применяется в современных буквопечатающих телеграфных аппаратах.
Код Бодо для букв русского алфавита представлен на рис. 3 в таблице 27 (здесь тире означает пробел между словами). Он получен с помощью двоичной системы счисления. Буквы алфавита были по порядку перенумерованы от 0 до 30, а затем каждый из номеров был записан в двоичной системе счисления. Чтобы каждое кодовое слово содержало пять двоичных цифр, там, где это потребовалось, были приписаны нули слева. Например, номер 5 (буква «е») получил в качестве кодового слова не 101, а 00101.
Познакомившись с кодом Бодо, мы можем возвратиться к кодовой записи (*) в § 8.2 и декодировать ее, разбив 15 двоичных цифр на три кодовых слова, состоящих из пяти цифр:
10111 - 01000 - 01101.
Закодированное кодом Бодо слово есть, как легко убедиться, слово «ЧИН».
В качестве примера закодируем кодом Бодо поговорку «ДЕЛО ДЕЛУ УЧИТ». В закодированном виде эта поговорка выглядит так:
00100001010101101110111110010000101010
11100111111110011101110100010010.
Кодирование с использованием неравномерныхПРЕФИКСНЫХ ДВОИЧНЫХ кодов
Является ли равномерный двоичный код достаточно экономным? — Вряд ли. Обратим внимание на то, что, например, буквы «ц», «щ», «ш», «э», «ф» кодируется пятью двоичными цифрами наряду с буквами «о», «а», «е», «и», «н». Однако вторая пятерка букв встречается в тексте значительно чаще (более, чем в 10 раз!), чем первая пятерка. Из соображений экономности кода следовало бы буквы второй пятерки кодировать более короткими кодовыми словами, нежели относительно редко встречающиеся в тексте буквы первой пятерки. Тем самым мы приходим к идее неравномерных кодов — когда длина кодового слова может различаться для разных «букв».
Однако сможет ли адресат уверенно декодировать цепочку единиц и нулей в случае использования неравномерного кода? — Да, сможет, если неравномерный код будет удовлетворять условию: никакое кодовое
слово не совпадает с началом какого-либо другого более длинного кодового слова. Если это условие выполнено, то, просматривая слева направо цепочку единиц и нулей и имея перед собой список всех кодовых слов, адресат сможет точно распознать, где кончается кодовое обозначение одной «буквы» и начинается обозначение следующей. Данное условие называют префикс-условием, а удовлетворяющие ему двоичные коды — префиксными двоичными кодами.
Как получить префиксный код? — На этот счет есть простое правило. Надо построить дерево кода с числом свободных вершин, равным числу «букв», подлежащих кодированию. Дерево кода строится следующим образом. От некоторой точки (исходной точки) проводим две ветви; левую ветвь помечаем нулем, а правую единицей. Одну из ветвей или обе «расщепляем» на две вторичных ветви и снова помечаем левую ветвь нулем, а правую единицей. От вторичных ветвей могут рождаться пары третичных ветвей, от третичных — пары четверичных ветвей и так далее. После каждой развилки левую ветвь помечаем нулем, а правую единицей. Процесс ветвления прекращается, когда число свободных вершин станет равным числу «букв», которые предстоит закодировать. Каждой из этих вершин соответствует «буква» сообщения; кодовое обозначение (кодовое слово) этой буквы есть совокупность единиц и нулей, которые встречаются последовательно на пути от исходной точки дерева к данной свободной вершине.
Понятно, что для одного и того же количества «букв» можно построить разные кодовые деревья и, следовательно, составить разные префиксные двоичные коды. Предположим, что сообщение состоит из десяти «букв», которые условно будем обозначать как А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3, И, К. На рисунках 1-4 в таблице 28 представлены четыре варианта дерева для кодирования этих «букв». Там же показаны соответствующие префиксные двоичные коды.
Префиксный код на рис. 1 содержит 2 двузначных кодовых слова, 2 трехзначных, 3 четырехзначных, 1 пятизначное, 2 шестизначных.
Общее число двоичных цифр:
М1 = 2- 2 + 2- 3 + 3- 4+1-5 + 2- 6 = 39.
Префиксный код на рис. 2 содержит 2 двузначных кодовых слова, 2 трехзначных, 2 четырехзначных, 4 пятизначных. Общее число цифр:
Л/2 = 2 ■ 2 + 2 • 3 + 2 • 4 + 4 • 5 = 38.
Префиксный код на рис. 3 содержит 2 двузначных кодовых слова и 8 четырехзначных. Общее число двоичных цифр:
М3 = 2 ■ 2 + 8 ■ 4 = 36.
Таблица 28. Неравномерные префиксные двоичные коды
„И К А 00
В Го •/ Б 01
X / д J Vl В 1000 oVi ^ ж\% г 1001
М Е \°/1 Д 101 \ \ ОУ1Е110
а*бХ 00Ж1110
ММ311110
0У OVIишпо
о\/1 Рис.1 К 111111
Ж 3 И К А 00 \0> X Л Б 01 В г\1 °У1 В 100 „ Хол \/г101
в ГУ1 ОуД1100
А КХК/1Е1101
а Б\1 иУж11100
dvf oVi3 11101
X 7И НПО
оу/1Рис.2 К 11111
Ж 3И К А 01
\/ВГДЕ\/Б 10 0\/1Х / Х/°У* В 0010
\ °yX т°х / г оои о\Х АБ X/1 Д 1Ю0
X /X XЕ 1101
о\4 оу1ж оооо
\/3 0001
о\/1И1110
V Рис.З к 1111
Д Е Ж 3 И К А 010
X Х1/ Хо/ / б он дО/АБВЕХ1/ В 100 °У1Х/Х/(Х/ г 101
X oyi OVi °/д ООО
0\/о\/1Е 0010
X /ж 0011
\/3 1100
ОХ/1и 1101
^Рис.4 К 111
0,29
0,29
0,29
0,29
0,22
0,22
0,22
0,15
0,15
0,15^
0,15^
0,11
0,11\
0,110^^
0,10
0,10^21
ОДО^О,21 у 0,28
ОДО^21 у °’28
0,08 \
0,08^
0,08 ^у
0,08 ^у
0,05 0М3
0,05^13
0,05^3
0,05^3
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Рис.5
Префиксный код на рис. 4 содержит 6 трехзначных кодовых слов и 4 четырехзначных. Общее число двоичных цифр:
М4 = 6 ■ 3 + 4 ■ 4 = 34.
Если бы мы применили равномерный код, то, учитывая, что 23 < 10 < 24, должны были бы каждую из десяти наших «букв» кодировать четырьмя двоичными цифрами. Общее число цифр равнялось бы Мравн = 10 ■ 4 = 40.
Сравнивая Мравн с Мх, М2, М3, М4, мы поневоле приходим к выводу, что неравномерный код более экономный, нежели равномерный. Согласитесь, что использовать для кодирования сообщения из десяти «букв» 34 двоичных цифры вместо сорока — это явная экономия времени, затрачиваемого не передачу данного сообщения. Действительно, неравномерный код экономнее равномерного, чем и объясняется предпочтительность использования неравномерных двоичных кодов (разумеется, префиксных). Однако вопрос о степени экономности кода определяется отнюдь не только общим числом М двоичных цифр в кодовой цепочке. Необходимо принимать во внимание также статистические свойства сообщения, т. е. вероятности появления в нем тех или иных «букв». Иными словами, надо учитывать, насколько часто используются те или иные «буквы». На первый взгляд, может показаться, что код не рис. 4 более экономен, чем код на рис. 1. Это, однако, зависит от вероятностей «букв». Вполне может оказаться, что более экономен код на рис. 1, в чем мы как раз и убедимся в следующем параграфе.
Энтропия «буквы» и среднее число двоичных цифр,ПРИХОДЯЩЕЕСЯ НА ОДНУ «БУКВУ»
В предыдущих параграфах, где было дано общее представление о канале связи и об операции кодирования, мы фактически не обращались к понятию вероятности. Поэтому вряд ли можно было понять, какую роль в проблеме передачи сообщений по каналу связи играет теория информации. Пришло время поговорить об этом.
Отправитель, используя некий «алфавит», создает сообщение на входе канала, представляющее собой некоторую последовательность «букв» «алфавита». Появление в сообщении той или иной «буквы» (выбор отправителем той или иной «буквы») вносит в сообщение на входе какое- то количество информации Н, которое принято называть энтропией (точнее: энтропией «буквы» сообщения). С точки зрения адресата, Н — это степень неопределенности, отнесенная к одной «букве». Адресат знает, каким «алфавитом» пользуется отправитель, но он пребывает в неведении
относительно выбранных отправителем «букв». Эта неопределенность будет устранена, когда адресат примет присланное ему по каналу связи сообщение, в результате чего он получит количество информации, равное Н (в расчете на одну «букву» сообщения). Собственно говоря, цель и результат процесса передачи информации по каналу связи как раз и состоят в устранении указанной выше неопределенности. Устранение неопределенности будет полным в случае идеального канала связи и неполным в случае канала связи с помехами. В первом случае адресат получает количество информации, в точности равное Н, а во втором случае — количество информации, равное Н- Н', где Н' — количество информации (в расчете на «букву» сообщения), потерянное в канале связи вследствие случайных помех.
О частичной утрате информации в канале с помехами мы поговорим в § 8.7, а пока вернемся к разговору об Н — энтропии «буквы» сообщения на входе канала. Понятно, что чем богаче выбор «букв», тем больше неопределенность и, следовательно, больше энтропия Н «буквы». Если «алфавит» содержит N «букв» и если все «буквы» равновероятны, то Н определяется (в битах) по уже знакомой нам формуле Хартли:
Н = log2 N.(2)
Во многих случаях, однако, различные «буквы» характеризуются разной вероятностью появления. Пустьхь х2, х3,..., xN— Nразличных «букв», образующих данный «алфавит», и пусть ръ ръ р^,..., pN — вероятности
N
этих «букв». Понятно, что ^ pz = 1. Совокупность вероятностей р, как /=1
раз и выражает статистические свойства сообщения, передаваемого по каналу связи. В соответствии с формулой Шеннона (с которой мы также уже знакомы) энтропия «буквы» сообщения есть
Я = ^pz log2(3)
z = lPi
Наряду с энтропией «буквы» в теории информации рассматривают среднее число двоичных цифр, приходящееся на одну «букву». Будем обозначать это среднее число через X. Легко сообразить, что X есть не что иное, как средняя длина кодового слова (кодового обозначения «буквы»), Она определяется через вероятности р-.
(4)
Z=1
где /; — длина кодового слова для z-ой «буквы». Подчеркнем, что именно X характеризует степень экономности кода. Чем меньше средняя длина кодового слова, тем более экономен код.
Пусть М — общее число двоичных цифр, соответствующее совокупности всех N различных «букв» данного «алфавита». Понятно, что
м = £/,.(*)
Z=1
Если каждая «буква» имеет одну и ту же вероятность (равную, очевидно, 1 / N), то в этом случае соотношение (4) принимает простой вид:
^=ЕТ', =(5)
Z=1
В этом (и только в этом) случае экономность кода полностью определяется общим числом двоичных цифр в кодовой записи сообщения. Если бы в примерах, которые иллюстрируют рисунки 1-4 в таблице 28, «буквы» А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3, И, К характеризовались одной и той же вероятностью (вероятностью 1 /10), то мы могли бы уверенно утверждать, что код на рисунке 1 более экономен, чем равномерный код (поскольку 4 > 39 / 10) степень экономности кодов на рисунках 1, 2, 3, 4 постепенно возрастает от кода к коду (это следует из неравенств: 39 /10 > 38 / 10 > >36/10 >34/10).
Теперь предположим, что наши десять «букв» имеют вероятности:
А
Б
В
г
д
Е
Ж
3
И
К
0,3
0,25
0,06
0,04
0,12
0,12
0,04
0,02
0,02
0,03
Сравним для данного случая неравномерные коды на рис. 1 и на рис. 4. Для кода на рис. 1 находим:
Xi = (0,3 + 0,25) • 2 + (0,12 + 0,12) • 3 + (0,06 + 0,04 + 0,04) • 4 +
+ 0,02 ■ 5 + (0,02 + 0,03) ■ 6 = 2,78
Для кода на рис. 4 находим:
Х4 = (0,3 + 0,25 + 0,06 + 0,04 + 0,12 + 0,03) ■ 3 +
+ (0,12 + 0,04 + 0,02 + 0,02) ■ 4 = 3,2.
Итак, неравномерный код на рис. 1 оказывается для вероятностей (**) существенно более экономным, чем неравномерный код на рис. 4.
В первом случае X, = 2,78 элементарных сигналов (двоичных цифр) на «букву», а во втором случае Х4 = 3,2 сигнала на «букву». Для сравнения подсчитаем энтропию «буквы» с учетом вероятностей (**). Соотношение (3) принимает вид:
//= 0,3 • log2/у+ 0,25 • log2+ 0,06 • log2 + 2 ■ 0,04 • log2++ 2 ■ 0,12 • log2-/—+ 2 ■ 0,02 • log2+ 0,03 ■ log2 —.
Используя данные таблицы 23, получаем:
Н= 2,75 бит/«буква».
Итак, Xi = 2,78 двоичная цифра/«буква» и Н= 2,75 бит/«буква». Мы видим, что неравномерный код на рис. 1 оказывается для рассматриваемой совокупности вероятностей Pj весьма экономным. При использовании этого кода каждая двоичная цифра содержит в среднем почти целый бит информации (ведь 2,78 « 2,75). Этого отнюдь не скажешь о коде на рис. 4; он в значительной мере менее экономен.
Рассмотрим теперь в качестве «алфавита» русский алфавит, а в качестве «букв» буквы этого алфавита плюс пробел между словами (при этом не будем различать буквы «е» и «ё», а также «ь» и «ъ»). В данном случае N= 32 и, если бы мы использовали равномерный двоичный код, то имели бы X = 5. Его неэкономность вполне очевидна. Поэтому имеет смысл поискать достаточно экономный неравномерный двоичный код (разумеется, префиксный). Набор вероятностей р, мы позаимствуем из книги А.М. Яглома и И.М. Яглома «Вероятность и информация» (М.: «Наука», 1973):
пробел — 0,174
р - 0,040
я - 0,018
х - 0,09
о - 0,090
в - 0,038
ы — 0,016
ж - 0,007
е, ё — 0,072
л - 0,035
з - 0,016
ю — 0,006
а - 0,062
к - 0,028
ь, ъ — 0,014
ш — 0,006
и - 0,062
м — 0,026
б - 0,014
ц - 0,004
т - 0,053
д - 0,025
г - 0,013
щ — 0,003
н - 0,053
п - 0,023
ч - 0,012
э - 0,003
с - 0,045
у - 0,021
й - 0,010
ф - 0,002
Предварительно подсчитаем с учетом вероятностей (6), чему равна энтропия одной буквы русского алфавита. Воспользуемся формулой Шеннона (3) и данными таблицы 23. Подсчет показывает, что с учетом
пробела между словами буква русского алфавита имеет энтропию (информацию) :
Н= 4,35 бит. (***)
Теперь предстоит рассмотреть для заданных вероятностей (6) наиболее экономный неравномерный двоичный код. Таким кодом является код Хаффмена. Покажем, как его можно построить.
Код Хаффмена
Лучше всего сразу рассмотреть конкретный пример. Он приведен на рисунках 5 и 6 в таблице 28. Здесь «алфавит» состоит из семи «букв», имеющих вероятности: 0,29; 0,22; 0,15; 0,11; 0,10; 0,08; 0,05. Код Хаффмена строится путем постепенного (шаг за шагом) конструирования соответствующего дерева кода, причем процесс конструирования дерева развивается нс от исходной точки к свободным вершинам, а наоборот, от свободных вершин к исходной точке. В качестве свободных вершин на рисунках рассматриваются вероятности соответствующих «букв» нашего «алфавита». Выпишем в столбец все семь вероятностей в порядке их постепенного убывания — от 0,29 до 0,05, после чего приступим к конструированию хаффменовского дерева кода.
На 1-м шаге (см. рис. 5) находим две наименьшие вероятности из семи; это вероятности 0,05 и 0,08. Складывая их, получаем на будущем кодовом дереве «развилку», которой соответствует вероятность 0,05 + 0,08 = 0,13. В результате такого сжатия «алфавита» у нас остаются шесть вероятностей: 0,29; 0,22; 0,15; 0,11; 0,10; 0,13.
На 2-м шаге находим две наименьшие вероятности из шести; это вероятности 0,10 и 0,11. Складывая их, получаем «развилку», которой соответствует вероятность 0,10 + 0,11 = 0,21. В результате очередного сжатия «алфавита» у нас остаются пять вероятностей: 0,29; 0,22; 0,15; 0,21; 0,13.
На 3-м шаге находим две наименьшие вероятности из пяти; это вероятности 0,15 и 0,13. Складывая их, получаем «развилку», которой соответствует вероятность 0,15 + 0,13 = 0,28. В результате остаются четыре вероятности: 0,29; 0,22; 0,21; 0,28.
На 4-м шаге находим две наименьшие вероятности из четырех; это вероятности 0,22 и 0,21. Складывая их, получаем «развилку», которой соответствует вероятность 0,22 + 0,21 = 0,43. В результате остаются три вероятности: 0,29; 0,43; 0,28.
На 5-м шаге находим две наименьшие вероятности из трех; это вероятности 0,29 и 0,28. Складывая их, получаем «развилку», которой соответствует вероятность
0,29 + 0,28 = 0,57. В результате остаются всего две вероятности: 0,57 и 0,43. Сложив их на 6-м шаге, мы приходим, наконец, к исходной точке дерева, которой соответствует, как и полагается, вероятность 1.
В отличие от кодовых деревьев, представленных на рисунках 1-4 наше дерево как бы положено набок; поэтому вместо выходящих из развилок левых и правых ветвей будем рассматривать здесь верхние и нижние ветви. Условимся все верхние ветви обозначать единицей, а все нижние — нулем (см. рис. 6).
Перемещаясь теперь по дереву кода от его исходной точки к той или иной свободной вершине, будем фиксировать последовательно все встречающиеся на нашем пути единицы и нули. В результате получим кодовое слово для той «буквы», которая соответствует данной свободной вершине.
На рис. 6 показан рядом с построенным деревом код Хаффмена для «букв» нашего «алфавита»; последние представлены здесь своими вероятностями.
Используя полученный код Хаффмена, подсчитаем среднюю длину кодового слова для «буквы» нашего «алфавита»:
X = (0,29 + 0,22). 2 + (0,15 + 0,11 + 0,10) • 3 + (0,8 + 0,5) • 4 = 2,62.
Для сравнения подсчитаем по формуле Шеннона (3) с использованием таблицы 23 энтропию «буквы» нашего «алфавита»:
Я =0.29-log2^+0,22-log' +
+ 0,15. log2 ^ +... + 0,05. log2 ^ = 2,60.
Как видим Х« Н, что свидетельствует о высокой экономности кода Хаффмена.
Нетрудно понять, почему код Хаффмена оказывается весьма экономным (более того, специалисты считают, что он наиболее экономен). Дело в том, что, конструируя дерево кода, мы начинали перемещаться к исходной точке дерева сначала от «букв» с самыми малыми вероятностями, постепенно включая в процесс «буквы» с увеличивающимися вероятностями. Поэтому весь путь вдоль дерева от «буквы» до исходной точки (а значит, и длина кодового слова) получался более длинным для менее вероятных «букв» и более коротким для более вероятных «букв».
Теперь можно построить код Хаффмена для русского алфавита с учетом вероятностей букв, представленных в (6). Это построение показано в таблице 29 (там изображено соответствующее дерево кода). После того, как мы познакомились с технологией построения кода Хаффмена на
примере «алфавита» с семью «буквами», нетрудно понять, как было сконструировано кодовое дерево Хаффмена в случае 32-буквенного русского алфавита.
Используя (4), (6) и дерево кода, изображенное в таблице 29, подсчитаем среднюю длину кодового слова:
X = (0,174 + 0,090) ■ 3 + (0,072 + 20,062 + 20,053) ■ 4 + 0,260 ■ 5 +
+ 0,134 • 6 + 0,028 ■ 7 + 0,007 ■ 8 + 0,005 • 9 = 4,40.
Сравнивая этот результат с энтропией буквы русского алфавита, равной, как мы уже знаем, 4,35 бит, убеждаемся еще раз в высокой экономности кода Хаффмена.
Эффективность канала связи с помехами.
Взаимная информация о сообщениях на входе и на выходе
До сих пор, говоря о сообщении, передаваемом по каналу связи, мы употребляли термины «алфавит» и «буква». Используя терминологию теории вероятностей, можно заменить эти термины терминами «дискретная случайная величина» и «значение случайной величины». Вместо вероятности появления той или иной «буквы» следует рассматривать теперь вероятность реализации того или иного значения дискретной случайной величины.
Итак, будем говорить, что на вход канала связи поступает дискретная случайная величинах, значения которой хъ х2, х3,..., xN реализуются с вероятностями, равными, соответственно, pY, р2, р3,..., pN. На выходе канала принимается дискретная случайная величина Z, значения которой zx, z2, z3,..., zN реализуются с вероятностями, равными, соответственно, qx, q2, q3,---, Qn- Можно сказать, что отправитель посылает дискретную случайную величину X, а адресат принимает случайную величину Z. Можно также говорить, что отправитель посылает сообщение X, содержащее сигналы хх, х2, х3,..., xNc вероятностями рх, р2, р3,..., р№ а адресат принимает сообщение Z, содержащее сигналы zv z2, z3,..., zNc вероятностями йЪ ^ йЗ,-., QN-
Замечания. 1. Помехи воздействуют на сигналы, передаваемые по линии связи. А по линии связи передаются элементарные сигналы, сформированные в результате кодирования. Поэтому под используемым здесь понятием «сигнал» понимается значение элементарного сигнала.
Таблица 29. Кодирование букв русского алфавита по методу Хаффмена
0,174 0,090 0,072 0,062
0,062 0,053 0,053 0,045
0,040 0,038 0,035 0,028
0,026 0,025 0,023 0,021
0,018 0,016 0,016 0,014
0,014 0,013 0,012 0,010
0,009 0,007 0,006 0,006
0,004 0,003 0,003 0,002
1
0,336
1
1,00
1>Р
1
0,
Ю 0,134
1
■00,106 1
^0,085
1
1
0.
0,162
^0,162ОДИ/\У/
1
0
X /О в,058/
о,
0,599/°
1 />■ "/0^217
О 1
1 0,067
20,263,
/О
Х),129у
1
Л—7*0,401 /О
Vo,184
0
о
.1^0,048
1 / >•0,039 О
0,053
о
0
1
1
О
1
О
1
о
1
о1
о
0,030
О
1
0,025
о
'0,027
1
1
0,013.
'о,оог
0,005
0,016/О
"/0,011 /о
г 0,03/^ ^^0,046
О
0,021
0,174
- 0,090 - 0,072 - 0,062 - 0,062 - 0,053
- 0,053
о е а и т н
111 001
1011 1010 1001 0111 ОНО
С -0,045
р -0,040
в -0,038
л -0,035
к - 0,028
м - 0,026
Д -0,025
п - 0,023
у -0,021
я -0,018
ы - 0,016
з -0,016
ь -0,014
б -0,014
г -0,013
ч -0,012
й - 0,010
х -0,009
ж - 0,007
ю - 0,006
ш — 0,006
ц - 0,004
щ - 0,003
э -0,003
ф - 0,002
1
0,094
0
ПОП ПОЮ 11001 10001 01011 01001 00011 00010 110001 110000 100001 010101 010100 010001 000011 000010 000001 1000001 0100001 0100000 0000001 10000001 10000000 000000001 000000000
Полагаем для простоты, что число сигналов в сообщении Z совпадает с числом N сигналов в сообщении X (как если бы рассматривался идеальный канал связи). В общем случае для канала с помехами указанные числа совпадать не обязаны.
В отсутствие помех в линии связи можно считать, что, если отправитель послал сигнал хь то адресат будет наблюдать сигнал 2^1= 1, 2, 3,..., N). Тут вся неопределенность связана исключительно с энтропией Н(Х) посланного сообщения; она обусловлена тем, какой из сигналов хь х2, х3,..., xN выбирает отправитель. Напомним, что энтропия Н (X) опреде-
х 1
ляется формулой Шеннона: Н(Х) = ^ pt log2 — •
/=1 Pi
При наличии помех в линии связи ситуация становится более неопределенной. Теперь отправитель, послав сигнал хь не может сказать с уверенностью, какой из сигналов гь г2, z3v.., Zj,..., zN будет принят (будет наблюдаться) адресатом. Отправитель послал сигнал хь а адресат может наблюдать в принципе любой из сигналов zx, z2, z3,..., Zj,..., zN — см. рис. 1 в таблице 30. В связи с этим рассматривается условная вероятность Рх ^,\ Это есть вероятность наблюдения адресатом сигнала Zj при условии, что был послан сигнал х,. Строго говоря, речь идет не об одной, а об А2 условных вероятностях, т. е. о матрице \\РХ (зу)||:
Рхх (21) РХх (г2)... РХ1 (zj)... РХ1 (zN)
PY (21) PY (z2\... PY (z,A...PY (zn)
(7)(7)A21 / A2 Z / A2 \ J ) X^ /
(7)
(7)
PxN (21) PXn (22) ••• PxN ^гй ••• PxN (^w)
При наличии помех в линии связи адресат тоже ни в чем не уверен. Приняв сигнал Zj, он не может сказать с определенностью, какой из сигналов хь х2, х3,..., X), х^был послан отправителем. Адресат принял сигнал Zj, а отправитель мог послать в принципе любой из сигналов xb х2, х3,..., х; , xN — см. рис. 2 в таблице 30. В связи с этим рассматривается условная вероятность РгАхА- Это есть вероятность посылки отправителем сигнала Xj при условии, что адресатом принят сигнал Zj. Строго говоря, речь идет о (АхА)-матрице условных вероятностей ^Р2 (х;-)||, аналогичной матрице (7).
Вероятности Рх< (z^ и Р2 (х,) связаны друг с другом. В этом легко убедиться, вспомнив основы теории вероятности. Пусть А, — случайное событие, состоящее в посылке отправителем сигнала Xj, a Bj — случайное событие, состоящее в приеме
Таблица 30. Неопределенности, обусловленные случайными помехами в линии связи
адресатом сигнала z^. Обозначим: Р^А^ — вероятность наступления события xi? P(Bj) — вероятность наступления события z^ PAi (В^ — вероятность наступления события Bj при условии наступления события At, Рв (А;) — вероятность наступления события Ai при условии наступления события Вр P^oBj) — вероятность совместного наступления событий At и Bj. Из теории вероятности следует (см., например, §9.4 в книге автора «Случайность, необходимость, вероятность»):
рл (в у -РШ = pBj (4) -р^ву = Р(4) n в у..(8)
У нас Р(4) = Pi; Р(В^ = q;, РА, (В^ = Рх, ^у РВ] (4) = Рг.
Поэтому равенства (8) можно переписать в виде:
PXi ДА" Pi ^z^iMj = Р^пВД.(9)
Подчеркнем, что условные вероятности Рх ДД и Р2 (х; ) (имеются в виду, конечно, матрицы \\РХ. (зу)| и ||Рг (х;)||) обусловлены случайными помехами в линии связи; они являются статистическими характеристиками помех. В отсутствие помех (для идеального канала связи):
РхДзД=РгДх^=Ьу,(10)
где бу — так называемый символ Кронекера: 5;у = 0 при i^j и бу = 1 при i=j.
Из-за помех в линии связи адресат, наблюдая сообщение Z, получает количество информации, которое меньше количества информации, содержавшегося в посланном сообщении X и определявшегося энтропией Нуху Будем обозначать количество информации о посланном отправителем сообщении X, содержащееся в принятом адресатом сообщении Z, через Н{Х, Z) и будем называть кратко это количество информации взаимной информацией о сообщениях X и Z (этот термин поясним немного позднее). Как только что было отмечено, Н(Х, Z) < <Нуху Разность
Н' = Я(4)-Я(4,4)(11)
следует рассматривать, очевидно, как количество информации, потерянное при передаче вследствие случайных помех. Понятно, что, чем больше взаимная информация Я (4, Z) (точнее сказать: чем она ближе к Я (4)), тем меньше количество информации, потерянное при передаче, и тем, следовательно, больше эффективность данного канала связи.
Отметим два предельных случая. В первом случае канал связи максимально эффективен. Это означает, что в принятом адресатом сообщении
содержится полностью то количество информации, которое послал отправитель: РКХ, Z} = Н(Х). В данном случае Н' = 0. Мы имеем здесь дело с каналом связи без помех.
Во втором предельном случае канал связи совершенно неэффективен (можно сказать, что его эффективность равна нулю). Это означает, что в принятом адресатом сообщении не содержится вовсе количества информации, которое послал отправитель: Н(Х, Z) = 0. В данном случае Н' = Н(X) — вся посланная информация утрачена из-за помех.
Приведем без доказательства соотношение, выражающее Н(Х, Z) через вероятности р, и qj и условные вероятности Рх ^Zj^:
(12)(12)
(12)
(12)
Мы простоты ради опустили вывод соотношения (12). Зато покажем, что в отсутствие помех в линии связи правая часть этого соотношения действительно превращается в энтропию ЩХ). Если нет помех, то условные вероятности принимают вид (10). Для всех j, не равных /, имеем
, ., . Рх ^ 2 Л
Рх ^Zj) = 0 и, соответственно, Рх \Zj)р, log2 —!—— = 0 (поскольку
Нт(щ1о§2щ) =0). Таким образом, в (12) остаются только слагаемые с i = j, в результате чего это соотношение принимает вид:
Так как, в соответствии с (10), Рх ^ =1, то получаем
/=1 4i
В отсутствие помех адресат принимает в точности то сообщение, какое послал отправитель, так что qt = р;, и таким образом, правая часть равенства (*) превращается в ^2,Pj log2 — = Н(X). Итак, при исчезнове- iPi
нии помех взаимная информация ЩХ, Z) становится равной энтропии Н(Х) посланного сообщения, что и требовалось доказать.
Найдем количество информации Н', утраченное при передаче сообщения X из-за случайных помех в линии связи. Используя (11) и (12), запишем:
(**)(**)
(**)
(**)
Далее учтем, что для наступления события At нужно, чтобы наступило или событие А,ПВЪ или событие ХП^, или событие Л;П53,..., или событие AjV\BN, а поскольку все события Л;П5у (/'= 1, 2, 3,..., N) попарно несовместны, то
Р(4)=Е^(4П5у)7=1Р(4)=Е^(4П5у)7=1(13)(13)
Р(4)=Е^(4П5у)7=1
Р(4)=Е^(4П5у)7=1
(13)
(13)
(это есть не что иное, как формула полной вероятности; см., например, § 10.2 в книге «Случайность, необходимость, вероятность».
Учитывая, что Р^А^ = р, и что, согласно (9), P(At r\Bj) = Рх. [z^- р,, перепишем (13) в виде:
N
(14)(14)Pi = ЕРх (zAPi-7=1
(14)
(14)
С учетом (14) соотношение (**) преобразуется следующим образом:
н' = ЕЕ Рх. ^j^Pitogн' = ЕЕ Рх. ^j^Pitogi ji j12 T"Pi12 T"Pi-PXi (Zj)Pi^g2-PXi (Zj)Pi^g2p (гp (г
н' = ЕЕ Рх. ^j^Pitog
н' = ЕЕ Рх. ^j^Pitog
i j
i j
1
2 T"Pi
1
2 T"Pi
-PXi (Zj)Pi^g2
-PXi (Zj)Pi^g2
p (г
p (г
Поскольку
1Px 2;Qi
то окончательно получаем:
(15)(15)H' = ЕЕРх ^Pi log2 n ( x—у у12 Px.^p,
(15)
(15)
В заключение объясним, почему Н^Х, Z) называют взаимной информацией о сообщениях X и Z. Напомним, что через Н(X Z) мы обозначили количество информации о посланном отправителем сообщении X,
содержащееся в принятом адресатом сообщении Z. Обозначим теперь через Н(X Z) количество информации о принятом адресатом сообщении Z, содержащееся в посланном отправителем сообщении X. Из соображений симметрии соотношение для Н(X Z) должно получаться из соотношения для Я(Х Z\ если в последнем заменить Рх. ^г^ на Рг ^х^, а также поменять местами р, и qj. В результате соотношение (12) превратится в соотношение:
(16)(16)
(16)
(16)
Поскольку, в соответствии с (9) Рг ^x^qj = Рх. (z^p,, откуда немедленно следует, что Р2 'Х,\ р, = Рх. {z^/qj , то из сравнения правых частей (12) и (16) можно придти к заключению:
(17)(17)щх,г^ =H{z,x}.
(17)
(17)
Это равенство можно выразить словами: наблюдение случайной величины (сообщения) Z дает такое же количество информации о случайной величине (сообщении) X какое наблюдение случайной величины (сообщения) X дает о случайной величине (сообщении) Z. Отсюда и термин «взаимная информация».
Пропускная способность канала с помехами
О пропускной способности С канала связи (иначе говоря, о емкости канала) мы уже упоминали в §8.2, где выяснили, в частности, что единица измерения Сесть бит/с. Настало время уточнить содержание этого понятия и рассмотреть его применительно не только к идеальному каналу связи, но и к каналу с помехами.
Для идеального канала связи пропускная способность канала определяется просто как наибольшее количество единиц информации (битов), которое можно в единицу времени ввести в линию связи и, соответственно, получить на приемном конце линии. В случае канала с помехами ситуация усложняется — теперь отнюдь не все количество информации, поступающее на вход линии связи, принимается на ее выходе и тем самым оказывается переданным по линии связи. Переданное по линии связи количество информации в расчете на один принятый адресатом элементарный сигнал равно теперь не Н (X) (как это
было в отсутствие помех), а Н^Х, Z). Нас интересует, однако, не просто Н(Х, Z), а самое большое количество взаимной информации по отношению к различным наборам вероятностей р, и qj. Иначе говоря, нас интересует наибольшее количество информации, которое можно получить на выходе канала с помехами при приеме одного элементарного сигнала: с = тахН(Х, Z) (с измеряется в единицах бит/элементарный сигнал). Чтобы выразить пропускную способность С канала с помехами, нам остается умножить с на число L элементарных сигналов, передаваемых в единицу времени (Z = 1 / т, где т — длительность одного элементарного сигнала, например, паузы или импульса тока):
С = cL = LmaxH(X,Z).\(18)
Из (11) следует, что
max H(X,Z) = max\H)Х) - Н'\.(*)
Отсюда видно, что в отсутствие помех (т. е. при н' = 0):
С = L max Н( X).(**)
Энтропия Н(X) в общем случае описывается формулой Шеннона (3). Ее максимум достигается, как мы уже знаем, когда все Nвозможных значений элементарного сигнала равновероятны; он составляет, согласно формуле Хартли (2), log2/Vбит/элементарный сигнал. Таким образом, в отсутствие помех пропускная способность канала связи есть
С = Zlog2 7У.|(19)
Как и следовало ожидать, этот результат представляет собой частный случай соотношения (18).
Рассмотрим простой пример канала с помехами. Его линия связи есть так называемая двоичная симметричная линия связи. Она представлена схематически на рис. 1 в таблице 31. По данной линии можно передавать двоичный элементарный сигнал; здесь %! = 1, х2 = 0, zx = 1, г2 = 0. Вероятность безошибочного приема как сигнала 1, так и сигнала 0 равна 1 - р, а вероятность принять сигнал 0 вместо посланного сигнала 1 или принять сигнал 1 вместо посланного сигнала 0 равна р. Таким образом, матрица условных вероятностей (7) имеет в данном случае вид:
1-1 р
р 1-1
(20)
Таблица 31. Пропускная способность канала с помехами
Найдем пропускную способность такого канала связи. Используя (18), (12) и (20), представим:
С = Lc = L max (1 — р) рх log2С = Lc = L max (1 — р) рх log25i(1-^)А5i(1-^)А+ М 1о§2^- +РР\+ М 1о§2^- +РР\+ РР1 log2 4г + (!-?) ?2 log2 n Q\РРт(1 - Р) Pi+ РР1 log2 4г + (!-?) ?2 log2 n Q\РРт(1 - Р) Pi(***)(***)
С = Lc = L max (1 — р) рх log2
С = Lc = L max (1 — р) рх log2
5i(1-^)А
5i(1-^)А
+ М 1о§2^- +
РР\
+ М 1о§2^- +
РР\
+ РР1 log2 4г + (!-?) ?2 log2 n Q\
РРт(1 - Р) Pi
+ РР1 log2 4г + (!-?) ?2 log2 n Q\
РРт(1 - Р) Pi
(***)
(***)
В нашем случае N= 2, поэтому max ЩХ) = log22 = 1 бит. Указанный максимум достигается при рх = р^ = 1 / 2. Полагая, что при этом также ^ = ^2 = 1 / 2, можно убедиться (мы этого делать на будем), что Н* не зависит от Pj и qj. Итак, максимум выражения, стоящего в квадратных скобках в (***), достигается при условии, что
Pi =Р2 = 51 = 52= I/2-(****)
Используя (****), преобразуем (***) к виду:
С = Lc = LС = Lc = L1-Jplog2j-(I-/?) log 21-Jplog2j-(I-/?) log 21V-P1V-P(21)(21)
С = Lc = L
С = Lc = L
1-Jplog2j-(I-/?) log 2
1-Jplog2j-(I-/?) log 2
1V-P
1V-P
(21)
(21)
Обратим внимание на то, что С/L=\ - Н(р), где Н(р) — хорошо знакомая нам функция; ее график приведен на рис. 1 в таблице 25. Зависимость С/ L от р изображена на рис. 2 в таблице 31. Наибольшее значение, равное 1 бит/элемент. сигнал, С/L принимает, во-первых, при р = 0 (т. е. в отсутствие помех) и, во-вторых, при р = 1. В последнем случае помехи переводят каждый сигнал 1 в сигнал 0, а каждый сигнал 0 в сигнал 1; такие помехи нисколько не мешают понять, какой сигнал передавался, и фактически соответствуют случаю отсутствия помех. При /1=1/2 пропускная способность канала обращается в нуль. Действительно, для любого из двух сигналов на входе мы в этом случае получаем на выходе с вероятностью 1/2 сигнал 1 и с вероятностью 1/2 сигнал 0, так что принятый сигнал не будет содержать какой-либо информации о том, какой сигнал посылал отправитель. С тем же успехом адресат мог бы попросту подбрасывать монету и считать, что при выпадении, скажем, орла он принял сигнал 1, а при выпадении решки — сигнал 0.
Заметим, что уже при сравнительно небольших отклонениях р от нуля или от единицы пропускная способность нашего канала связи заметно снижается. Допустим, что в секунду передаются 100 элементарных сигналов, и подсчитаем для нескольких значений р пропускную способность канала, используя формулу (21). Получаем, что при р = 0,01 (когда
в среднем только 1 элементарный сигнал принимается с ошибкой) пропускная способность канала снижается со 100 бит/с до 92 бит/с; при р = 0,05 (искажаются 5 из 100 передаваемых сигналов) пропускная способность канала снижается до 71 бит/с; при р = 0,1 (искажаются 10 из 100 сигналов) пропускная способность канала снижается до 53 бит/с.
Рассмотрим еще один простой пример канала с помехами — линию связи со «стиранием». Она показана схематически на рис. 3 в таблице 31. Подаваемые на вход линии сигналы 1 и Олибо с вероятностью 1 - р передаются по линии без искажения, либо с вероятностью р «стираются», что связано с появлением на выходе некоего третьего сигнала £, который нельзя расшифровать. Матрица условных вероятностей есть в данном случае (2x3)-матрица; она имеет вид:
К(^)11 =К(^)11 =V-p0V-p0о Р\-р ро Р\-р ртата
К(^)11 =
К(^)11 =
V-p0
V-p0
о Р
\-р р
о Р
\-р р
та
та
Приведем без вывода выражение для пропускной способности рассматриваемого канала (см. рис. 4 в таблице 31):
(23)(23)С = Lc = U\-pV
(23)
(23)
Из L посылаемых отправителем элементарных сигналов Lp сигналов «стираются» (они не переносят информации), а остальные £(1 -р) сигналов будут правильно расшифрованы на приемном конце линии связи.
Кодирование с целью уменьшения влияния помехИ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ШЕННОНА
'Чшна&ель. В энциклопедии в статье «Кодирование» я прочитал: «Кодирование в теории информации применяют для достижения следующих целей: во-первых, для уменьшения так называемой избыточности сообщений и, во-вторых, для уменьшения влияния помех, искажающих сообщения при передаче по каналам связи». Насколько я понимаю, использование экономных кодов (например, кода Хаффмена) как раз и предназначено для уменьшения избыточности сообщений за счет уменьшения средней длины кодового слова (кодового обозначения «буквы» сообщения). А это, в свою очередь важно для сокращения времени, затрачиваемого на передачу сообщения. Тут мне все ясно. А вот каким образом за счет выбора соответствующего кодирования можно уменьшить влияние помех на передачу сообщения по каналу связи?
Автор. Это можно сделать довольно просто. Можно, например, каждую двоичную цифру сообщения передавать по линии связи дважды. Например, вместо того, чтобы передавать последовательность цифр
10 11010100,(*1)
отправитель посылает последовательность цифр
1100111100110011000 0.(*2)
Предположим теперь, что одна из цифр последовательности (*2) передана неправильно. Скажем, вместо единицы, стоящей на 5-м месте в (*2), прошел по линии связи нуль, так что адресатом была принята последовательность цифр
11 0 0 [0^ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 .(*3)
Адресат должен сразу заметить непорядок в цифрах, выделенных в прямоугольнике. Именно здесь случайным образом появилась ошибка.
'Члипате*^. Но как исправить эту ошибку? Адресат вправе считать, что была послана как последовательность цифр (*2), так и последовательность цифр
1100001100110011000 0.(*4)
Какую ему выбрать, чтобы выявить, какая именно цифра передана неправильно?
Автор. Вообще-то в данном случае адресат может попросить отправителя повторить посылку сообщения. Но возможен и иной вариант. Чтобы адресат мог не только обнаружить факт появления ошибки при передаче сообщения, но и имел возможность исправления ошибки, можно каждую двоичную цифру передавать трижды. Так, вместо последовательности цифр (*1) отправитель может передавать последовательность:
И 1 0 0 0 И И 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0.(*5)
Предположим теперь, что адресат принял последовательность цифр
11100001111100011000011101000 0.(*6)
Разбив принятую последовательность цифр на тройки, он увидит, что вместо нуля в 3-й и в 6-й тройках должна быть единица, а вместо единицы в 9-й тройке должен быть нуль. Ошибки однозначно установлены и могут быть исправлены. Лишь бы в пределах одной и той же тройки не появились сразу две или три ошибки.
'ЧаАаАе**. Все это напоминает ситуацию, когда в телефонном разговоре какое-нибудь незнакомое слово передают «по буквам». Например, передавая слово «каптоприл» (название одного из лекарств), произносят в телефонную трубку набор слов: «Кузьма, Андрей, Петр, Татьяна, Ольга, Петр, Роман, Иван, Леонид».
Автор. Вы совершенно правы. Тут действительно есть аналогия с повторением каждой передаваемой двоичной цифры несколько раз.
'HctiiUuSie**. Однако такой способ уменьшения влияния помех в канале связи существенно увеличивает избыточность сообщения, а значит, и время, затрачиваемое на передачу сообщения. Получается, что уменьшение вероятности ошибки при приеме сообщения достигается ценой значительного снижения скорости передачи сообщения.
Автор. Да, это так.
'Члипате*^. В таком случае цели кодирования следовало бы сформулировать немного иначе, чем это сделано в энциклопедии. Надо было бы говорить, что кодирование применяют либо для уменьшения избыточности сообщения (с целью увеличения скорости передачи информации) , либо для уменьшения влияния помех в канале связи (за счет увеличения избыточности сообщения).
Автор. Можно было бы Вам сразу возразить. Почему бы сначала не уменьшить насколько возможно среднюю длину кодового обозначения (с помощью, например, кода Хаффмена), а уже затем все двоичные цифры удвоить или утроить? Однако в любом случае утроение передаваемых по линии связи двоичных цифр существенно снизит скорость передачи сообщения. Так что поневоле возникает мысль: существенно уменьшить вероятность ошибки при приеме сообщения в принципе невозможно без значительного увеличения избыточности сообщения.
'Ч^жхгте.*^. Я именно это имел в виду.
Автор. Так же думали и ученые до того, как Клод Шеннон доказал в начале 40-х годов прошлого столетия свою знаменитую «основную теорему о кодировании при наличии помех». Согласно этой теореме, для обеспечения сколь угодно малой вероятности ошибки при приеме сообщения отнюдь не обязательно идти по пути простого увеличения избыточности сообщения; возможен другой и притом более эффективный путь — использование специальных «помехоустойчивых кодов».
'Ч*АаАе*&. Сразу возникают два вопроса. Первый: Как отражается на скорости передачи сообщения использование «помехоустойчивых» кодов? Второй вопрос: Что представляют собой «помехоустойчивые» коды?
Автор. Отвечая на первый вопрос, я просто приведу одну из формулировок основной теоремы Шеннона;
Для любой линии связи с помехами всегда можно подобрать специальный код, позволяющий передавать сообщения по этой линии с заданной скоростью, сколь угодно близкой к максимально возможной скорости и = С/ Н, так, чтобы вероятность ошибки в определении каждой переданной буквы оказалась меньше любого заранее заданного числа е.
'Чшна&ель. А если это «любое заранее заданное числе е» очень мало? Скажем, равно 0,001; или 0,00001; или еще меньше? Неужели и тогда можно подобрать такой специальный «помехоустойчивый» код, который позволил бы, не снижая скорости передачи сообщения, обеспечить столь незначительную вероятность ошибки при приеме сообщения?
Автор. Да, именно это утверждает основная теорема Шеннона, доказательство которой мы, естественно, опустим.
'Чшна&ель. Однако все это похоже на чудо!
Автор. Недаром теорема Шеннона в свое время буквально потрясла инженеров и математиков, занимавшихся теорией связи.
%«<г«м1, Что же представляют собой эти волшебные «помехоустойчивые» коды? Как они выглядят? Как их строить применительно к тем или иным значениям вероятности ошибки?
Автор. Сама теорема Шеннона ответа на этот вопрос не дает. Она утверждает лишь, что существует возможность построения таких кодов. Благодаря тому, что такая возможность была доказана, возникло и стало интенсивно развиваться новое научное направление в теории информации — так называемая теория кодирования. Эта теория как раз и занимается разработкой кодов, обнаруживающих и исправляющих ошибки, связанные со случайными помехами в каналах связи. Из первых «помехоустойчивых» кодов упомянем коды Хэмминга, разработанные в 1950 году.
'Чшна&ель. Какова общая идея построения подобных кодов?
Автор. Общая идея заключается в том, чтобы использовать кодирование не отдельных букв, а сразу достаточно длинных «блоков» из большого числа букв.
'Чшна&ель. Признаться, такое пояснение ничего мне не дает. Я не представляю, как следует кодировать какие-то блоки из элементарных сигналов с тем, чтобы можно было обнаружить и исправить ошибочный сигнал, случайно появившийся внутри блока.
Автор. Тут нам поможет весьма простой пример. Пусть блок состоит из 16 двоичных цифр, образующих такую последовательность:
1 0 1 1 10001100100 1. (*7)
Кодирование данного блока состоит в том, что к последовательности цифр (*7) добавляют 8 т. н. проверочных двоичных цифр: 0110110 0. В результате по линии связи вместо последовательности цифр (*7) будет передаваться последовательность:
10111000110010010110110 0.(*8)
Адресату известно, что в каждом блоке из 24 двоичных цифр первые 16 цифр несут информацию о передаваемом сообщении {информационные цифры), а остальные 8 цифр являются проверочными.
*Ч((АлЛл^. Предположим, что при передаче какая-то из цифр в (*8) оказалась переданной неправильно (единица «превратилась» в нуль или нуль «превратился» в единицу). Каким образом адресат обнаружит и исправит ошибку?
© Ф Ф ©Ф Ф © ©© Ф Ф ©Ф Ф © ©Автор. Адресат должен превратить принятую им последовательность из 24 двоичных цифр в такую таблицу:
© Ф Ф ©
Ф Ф © ©
© Ф Ф ©
Ф Ф © ©
10 11
И)И)10 0 0
И)
И)
110 0
10 0 1
Здесь внутри квадрата выписаны четыре четверки информационных цифр, а кружочками выделены проверочные цифры. Адресат подсчитывает суммы цифр для каждого столбца и каждой строки квадрата (включая цифры в кружочках). Если окажется, что каждая из восьми сумм четная (0, 2 или 4), то это будет означать, что все цифры последовательности (*8) переданы правильно, ошибок нет. Именно этот случай демонстрирует таблица (*9). Если окажется, что для одного из четырех столбцов и для одной из четырех строк сумма получилась нечетной, то это будет означать, что передана неправильно та информационная цифра, которая находится на пересечении данного столбца и данной строки. Если окажется, что только для одного столбца сумма цифр получилась нечетной, то это будет означать, что передана неправильно та проверочная цифра, которая попадает в данный столбец. Если окажется, что только для одной строки сумма цифр получилась нечетной, то это будет означать, что передана неправильно та проверочная цифра, которая попадает в данную строку.
'Чаждлие*^. Действительно, проверка на четность столбцов и строк позволяет выявить в данном блоке неправильную цифру (если она там появилась). Это впечатляет.
Автор. Правда, тут принципиально важно, чтобы в каждом блоке только одна из 24 цифр могла оказаться неправильной. Этим замечанием мы и завершим нашу беседу, оставляя в стороне более сложные примеры.
ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ 8
Число 4651 было представлено в двоичной системе счисления и в таком виде передано по каналу связи. Четвертая, считая слева, двоичная цифра оказалась переданной неправильно. Какое число в результате этой ошибки было принято адресатом?
Ответ: 4139.
В результате квантования второго десятка отсчетов на рисунке 26 в таблице 27 получена следующая последовательность однозначных чисел: 65433357 8 7. Выпишите соответствующую цепочку двоичных цифр.
Ответ: 101100011010010010100110111110.
Докажите, что, комбинируя п двоичных цифр, можно составить 2П различных кодовых слов.
Адресат получил следующую цепочку двоичных цифр, составленную с использованием кода Бодо: 0000100101100000010100011010001111110111001011000110 010110111111110001011000111001011011100010010011.
Выполните декодирование и прочтите переданную отправителем фразу.
«Алфавит» состоит из пяти «букв», характеризующихся вероятностями: 0,3; 0,25; 0,2; 0,15; 0,1. Выполните три задания:
постройте два варианта кода Хаффмена; выпишите для каждого варианта кодовые слова для «букв» по мере уменьшения вероятностей «букв»; б) убедитесь, что для обоих вариантов средняя длина кодового обозначения одна и та же (подсчитайте ее); в) подсчитайте, чему равна энтропия «буквы» нашего «алфавита».
Ответы: а) первый вариант: 11, 10, 01, 001, 000; второй вариант: 11, 01, 00, 101, 100;
2,25;
2,228 бит.
«Алфавит» состоит из восьми «букв» с вероятностями 0,32; 0,2; 0,16; 0,12; 0,08; 0,05; 0,04; 0,03. Чему равны: а) энтропия «буквы»? б) средняя длина кодового слова для «буквы» при использовании кода Хаффмена? в) длина кодового слова для «буквы» при использовании кода Бодо?
Ответ: а) 2,203 бит, б) 2,24; в) 3.
Закодируйте кодом Хаффмена фразу: «ДО ПОРЫ ДО ВРЕМЕНИ НЕ СЕЮТ СЕМЕНИ». Подсчитайте полное число двоичных цифр, необходимое для передачи данной фразы с использованием кода Хаффмена. На сколько меньше это число числа двоичных цифр, которое потребовалось бы при использовании кода Бодо? Ответ: 138; на 27.
Такое же задание применительно к фразе: «ДОБРОЕ ДЕЛО БЕЗ НАГРАДЫ НЕ ОСТАНЕТСЯ».
Ответ: 155; на 25.
Рассматривая линию связи, представленную на рисунке 1 в таблице 31, сравните пропускную способность Сг (при р = 0,3) с пропускной способностью С2 (при Р = 0,6).
Ответ: С1/С2 = 4,1.
Адресат принял следующие блоки из 16±8 двоичных цифр (16 информационных и 8 проверочных цифр):
0100 ООН 1011 01011111,
1010 0001111110111101 0111,
1100 0010 1001 ОНО ООН 0100,
1110 01011010 ООН 0010 1000.
Проверяя каждый из этих блоков на четность, выясните, появилась ли при приеме ошибка в том или ином блоке. Если ошибка появилась, то укажите какая именно двоичная цифра передана неправильно.
Ответы: а) неправильно передана 6-я цифра из последовательности информационных цифр;
неправильно передана Н-я цифра из последовательности информационных цифр;
неправильно передана 3-я цифра из последовательности проверочных цифр; г) в данном блоке ошибок нет.
ТЕМА 9
ЭНТРОПИЯ В ТЕРМОДИНАМИКЕ
Чтобы рассмотреть принцип получения движения из тепла во всей полноте, надо его изучить независимо от какого-либо определенного механизма...
Сади Карно
Второе начало термодинамики говорит, что в природе для каждой системы тел существует величина, обладающая следующим свойством: при всех изменениях, которые затрагивают только эту систему, она или остается постоянной (обратимые процессы), или увеличивается (необратимые процессы). Величина эта, по Клаузису, называется энтропией системы.
Макс Планк
Три этапа в развитии понятия «энтропия»
В своем развитии понятие «энтропия» прошло три этапа.
Первый этап следует назвать термодинамическим. Как мы уже отмечали, энтропию ввел в науку Рудольф Клаузиус в 1865 году. Это понятие
(Клаузиус обозначал его через 5) появилось в контексте теории тепловых машин и выступало наряду с внутренней энергией тела Е в качестве одной из функций состояния макроскопических объектов, исследовавшихся термодинамикой. Клаузиус писал: «Если искать для S характерное наименование, то подобно тому, как мы говорили о величине Е, связывая ее с тепло- и работосодержанием, можно говорить и о величине S, связывая ее с превращениями теплоты и работы. Учитывая всю важность величины S для естествознания, необходимо придумать и соответствующее наименование для нее». Клаузиус предложил назвать S энтропией тела, исходя из греческого слова сутролш, означающего «превращение». Он заметил: «Слово “энтропия” я намеренно подобрал ближе к слову «энергия», так как обе соответствующие этим выражениям величины настолько близки по своему смыслу, что они, по моему мнению, требуют однородного обозначения. Состояние тела, независимо от способа, каким оно приходит в данное состояние, определяется энергией и энтропией».
С самого начала было понятно, что энтропию, как и энергию, невозможно ограничить рамками теории тепловых машин. Уже в цитированной выше работе Клаузиуса содержится вот такая предельно краткая формулировка первого и второго начал термодинамики: «1) энергия мира постоянна, 2) энтропия мира стремится к максимуму». Едва появившись в научном обиходе, понятие «энтропия» уже рассматривалось как понятие, равнозначное понятию «энергия». Известный швейцарский астрофизик и геофизик Роберт Эмден (1862-1940) отмечал в своих воспоминаниях: «Будучи студентом, я с пользой прочел небольшую книгу Вальда «Царица мира и ее тень». Имелись в виду энергия и энтропия. Достигнув более глубокого понимания, я пришел к выводу, что их надо поменять местами. В гигантской фабрике естественных процессов принцип энтропии занимает место директора, который предписывает вид и течение сделок. Закон сохранения энергии играет лишь роль бухгалтера, приводящего в равновесие дебет и кредит».
Однако на термодинамическом этапе своего развития понятие энтропии, оставаясь в области динамических (жестко определенных) закономерностей, не могло обнаружить своего физического смысла и выглядело как хотя и весьма важное, но, по сути дела, достаточно загадочное понятие. Физическая сущность энтропии раскрылась на более глубоком уровне ее понимания — на уровне статистических (вероятностных) закономерностей. В 1877 году Людвиг Больцман привел вероятностную трактовку энтропии и тем самым обосновал второе начало термодинамики. Он подчеркивал: «Второе начало является законом вероятностным и поэтому его вывод только посредством одних уравнений динамики невозможен... Его аналитическое доказательство возможно
только на таких основаниях, которые предполагают применение исчисления вероятностей».
Формально именно с этого времени следует отсчитывать второй этап в развитии понятия энтропии — когда она стала рассматриваться как мера числа возможных микросостояний в макросостоянии системы, или, выражаясь проще, как мера «внутреннего беспорядка», характеризующего макросистему. Фактически этот этап (его можно назвать статистическим этапом) начался несколько позднее появления знаменитой работы Больцмана «Об отношении второго начала механической теории теплоты и исчисления вероятностей в соответствии с теоремами о тепловом равновесии» (октябрь, 1877). Потребовалось время для преодоления учеными старых стереотипов, в результате чего возникла новая физическая наука — статистическая физика.
Переход от термодинамического понимания энтропии к статистическому (вероятностному) — это выход на более глубокий уровень познания. А выход на более глубокий уровень является, как правило, одновременно выходом на более широкий уровень. Ведь по мере углубления процесса познания неизбежно раздвигаются и рушатся всевозможные «перегородки» в наших понятиях, расширяется область применения более глубоких понятий.
Именно это и произошло с понятием «энтропия». В 40-х годах прошлого столетия начался третий этап в развитии этого понятия после работ Клода Шеннона и Норберта Винера, который естественно назвать информационным этапом. Теперь энтропия выходит за рамки исследования микроявлений и становится мерой неопределенности, которую можно измерить соответствующим количеством информации. На этом уровне энтропия оказывается одним из важнейших понятий, позволяющим осмысливать глобальные проблемы эволюции. В ходе такого осмысления выявляется вся важность взаимодействия энтропийных процессов (процессов, связанных с увеличением энтропии и уменьшением информации) и антиэнтропий- ных, или, иначе говоря, информационных процессов (процессов, связанных с уменьшением энтропии и увеличением информации).
Краткий экскурс в термодинамику
Первое начало термодинамики. Совершим небольшой экскурс в термодинамику — раздел физики, где с наиболее общих позиций исследуются процессы обмена энергией между макроскопическим объектом (будем называть его макросистемой, или, проще, системой) и окружающей средой (между данной макросистемой и другими макросистемами).
Термодинамика рассматривает разные способы обмена энергией (разные каналы энергообмена'). Ограничимся, для простоты, двумя каналами: 1) через передачу теплоты и 2) через совершение работы при перемещениях внешних по отношению к данной макросистеме тел. Если макросистема (например, газ) перемещает внешние тела в процессе своего расширения, то при этом она совершает работу. Если внешние тела, перемещаясь, сжимают систему, то при этом над ней совершается работа. Заметим, в частности, что при расширении газа в пустоту работа не совершается.
Предположим, что система находилась в состоянии 1 и характеризовалась внутренней энергией Ev Системе передана теплота Q, и одновременно система совершила работу А. В результате она (система) перешла в состояние 2 с внутренней энергией Е2. В этом случае справедливо равенство:
E2-E1=Q-A. (1)
Равенство (1) выражает первое начало термодинамики и представляет собой не что иное, как закон сохранения энергии, учитывающий возможность энергообмена по двум каналам.
Обратим внимание на существенное отличие величины Е от величин Q и А. Энергия Е является функцией состояния системы: она изменяется при переходе системы из одного состояния в другое и при этом (что принципиально!) изменение величины Е не зависит от того, как совершатся переход. В отличие от Е величины Q и А не являются функциями состояния системы. Не имеет смысла говорить, что в данном состоянии у системы имеется столько-то теплоты или столько-то работы. Теплота Q и работа А — это просто изменения энергии системы, осуществляемые по двум разным каналам.
Напомним, что энергия системы Е однозначно связана с ее абсолютной температурой Т (если система находится в состоянии термодинамического равновесия, вследствие чего можно говорить о какой-то определенной для всей системы температуре).
Отметим в качестве примера случай изотермического расширения, т. е. расширения, при котором температура, а значит, и энергия системы не изменяются. Согласно (1), в этом случае:
Q=A. (2)
Теплота, полученная системой, полностью превращается в работу системы, совершаемую ею над внешними телами.
Термодинамическое равновесие. Обратимые и необратимые процессы. Термодинамическое равновесие — одно из важнейших понятий в термодинамике. Предположим, что на систему как-то подействовали, а
затем поместили в условия, в которых систему можно считать замкнутой (изолированной). Иначе говоря, начиная с какого-то момента времени, система оказалась изолированной от среды и предоставленной самой себе. (Напомним, что система называется замкнутой, или изолированной, если между ней и средой нет обмена энергией.) Предоставленная самой себе макросистема придет, спустя некоторое время, в характерное для нее как целого состояние и будет оставаться в этом состоянии сколь угодно долго; это есть состояние термодинамического равновесия.
Рассмотрим две макросистемы, каждая из которых в отдельности находится в состоянии термодинамического равновесия. Приведем эти системы в контакт друг с другом; иными словами, нарушим замкнутость каждой из систем, предоставив им возможность энергообмена друг с другом. При этом будем полагать, что в целом пара систем остается изолированной от окружающей среды и представляет собой замкнутую систему. Будем говорить, что имеется замкнутая система, состоящая из двух подсистем.
Предположим, что наблюдается нескомпенсированный энергообмен между нашими подсистемами: передача энергии от одной подсистемы к другой не компенсируется передачей энергии в обратном направлении. Наличие такого энергообмена свидетельствует о том, что до приведения в контакт подсистемы не находились в равновесии по отношению друг к другу. Спустя некоторое время после приведения в контакт нескомпенсированный энергообмен прекратится — подсистемы придут в равновесие по отношению друг к другу. Это будет означать, что вся система в целом пришла в состояние термодинамического равновесия.
Пусть некоторая подсистема А находится в равновесии с подсистемой Б и одновременно с подсистемой В. Опыт показывает, что в этом, случае будет наблюдаться равновесие также между подсистемами Би В. Отсюда следует, что должны существовать какие-то физические параметры, которые будут количественно характеризовать состояние термодинамического равновесия системы (подсистемы). У всех подсистем, находящихся в равновесии друг с другом, соответствующие параметры должны быть одинаковыми. Указанные параметры называют термодинамическими параметрами (а также интенсивными параметрами).
Число таких параметров определяется числом каналов энергообмена данной системы со средой. В нашем случае (когда рассматриваются только два канала — через передачу теплоты и совершение работы) термодинамическими параметрами являются температура Т и давление Р. Температура играет роль «регулятора» энергообмена через передачу теплоты, а давление «регулирует» энергообмен через совершение работы. Если система находится в термодинамическом равновесии, то как температура,
так и давление должны иметь одно и то же значение для всех ее подсистем. В этом случае можно говорить, что каждый термодинамический параметр имеет определенное значение для всех точек системы и, таким образом, характеризует систему как целое. Заметим, что под «точкой системы» следует, строго говоря, понимать соответствующую подсистему, хотя и весьма малую с точки зрения наших масштабов, но все-таки макроскопическую.
Переход макросистемы из одного равновесного состояния (назовем его начальным) в другое равновесное состояние (назовем его конечным) может происходить двумя принципиально разными способами; а) квазистатически (если внешние условия изменяются относительно медленно) и б) неквазистатически (если внешние условия изменяются быстро). В первом случае макросистема все время находится в термодинамическом равновесии, переходя постепенно из одних равновесных состояний в другие — пока не достигнет конечного состояния. Во втором случае макросистема в результате быстрого изменения внешних условий (в результате «возмущения») выводится из начального равновесного состояния, становится термодинамически неравновесной и затем приходит к равновесию в новом (конечном) состоянии.
Благодаря медленному изменению внешних условий в случае квази- статического перехода макросистемы имеется возможность «руководить» процессом перехода на всех его промежуточных стадиях. Отсюда следует, что квазистатический процесс можно обратить вспять — осуществить его в обратном направлении. Поэтому квазистатические процессы называют обратимыми процессами.
В случае же неквазистатического перехода говорить об обратимости принципиально невозможно. Выведя макросистему из исходного равновесного состояния, мы затем предоставляем ей самой придти к новому равновесному состоянию (как если бы она стала замкнутой). Мы не можем контролировать процесс в замкнутой системе и, в частности, не можем обратить его вспять. Поэтому неквазистатические процессы называют необратимыми процессами (а также неравновесными процессами).
Допустим, в результате неодинакового нагрева частей макросистемы возникло некоторое распределение значений температуры по ее объему. Система как целое оказалась термодинамически неравновесной. Ее можно представить в виде большого числа подсистем, которые по отдельности находятся в термодинамическом равновесии, причем каждая при своей температуре. Если в какой-то момент прекратить нагрев системы и предоставить ее самой себе (изолировать ее), то в системе начнется перенос теплоты от более нагретых подсистем к менее нагретым. Этот процесс, называемый теплообменом, приведет к тому, что через
некоторое время распределение температуры по системе выровняется (все подсистемы окажутся при одной и той же температуре) и система как целое придет в состояние термодинамического равновесия.
Процесс теплообмена (переход теплоты от нагретого тела к холодному) — один из примеров необратимого процесса. Необратимыми являются также, например, процесс расширения газа в пустоту или процесс перемешивания двух разных газов, оказавшихся в общем объеме. Все эти процессы протекают самопроизвольно, без управления извне. В то же время не наблюдается самопроизвольный переход теплоты от холодного тела к нагретому. Не происходит самопроизвольное разделение газовых компонентов из смеси газов. Не было случаев, чтобы газ вдруг самопроизвольно сжался. Следует подчеркнуть: всякий необратимый процесс характеризуется определенной направленностью. Он развивается в каком-то одном направлении и не развивается в обратном. Какое направление развития процесса оказывается дозволенным, а какое запрещенным, — этими вопросами ведает второе начало термодинамики.
Второе начало термодинамики. Обращаясь ко второму началу термодинамики, традиционно приводят две его формулировки. Одна принадлежит Рудольфу Клаузиусу:
Теплота сама собой не может переходить от тела холодного к телу нагретому.
Другая формулировка известна как формулировка Кельвина—Планка:
Невозможно построить такую машину, которая могла бы только за счет поглощения теплоты из некоторого резервуара совершать эквивалентное количество работы, не вызывая при этом никаких других эффектов.
Справка. Лорд Кельвин, он же Уильям Томсон (1824-1907) — выдающийся английский физик; являлся автором многих работ по термодинамике и теории электрических и магнитных явлений; предложил абсолютную шкалу температур (шкала Кельвина).
Макс Планк (1858—1974) — выдающийся немецкий физик, один из основоположников квантовой механики; автор работ по термодинамике и теории относительности.
Согласно формулировке Клаузиуса, менее нагретое тело не может самопроизвольно передавать часть своей внутренней энергии более нагретому телу за счет передачи теплоты. Согласно формулировке Кельвина-Планка, невозможен двигатель (по сути дела, вечный), который работал бы только за счет получения некоторого количества теплоты от другого тела (например, от Мирового океана).
На рисунках 1 и 2 в таблице 32 схематически представлены оба запрещенных процесса. Процесс на рис. 1 запрещен согласно формулировке Клаузиуса. Процесс на рис. 2 запрещен согласно формулировке Кельвина—Планка. На рисунках кружком показано рабочее тело тепловой машины или холодильника. С помощью штриховки показаны термостаты — макросистемы, сохраняющие свою температуру постоянной даже при наличии энергообмена с рабочим телом (для этого макросистемы должны быть достаточно велики).
Принципы, содержащиеся в формулировках Клаузиуса и Кельвина- Планка, внешне выглядят различными. В действительности же обе формулировки эквивалентны. Любая из них может служить формулировкой второго начала термодинамики.
На рисунках 3 и 4 в таблице 32 схематически представлены процессы, не запрещаемые вторым началом термодинамики. На рис. 3 показан т.н. холодильник Карно (обращенная машина Карно): при условии получения работы А рабочее тело может «забрать» у холодильника (термостата с температурой ТА теплоту Q2 и передать нагревателю (термостату с температурой 7^; ^ > Т2) теплоту Qb равную Q2 + А. На рис. 4 показана машина Карно: рабочее тело может совершить работу А за счет полученной от нагревателя теплоты Qx при условии передачи холодильнику теплоты Q2, равной Qx - А.
Справка. Сади Карно (1796-1832) — талантливый французский физик и инженер, один из основателей термодинамики; рассмотрел идеальную тепловую машину с коэффициентом полезного действия, равным (Тх - ТА / Тх — см. § 9.3.
Обратимое изотермическое расширение идеального газа. В дальнейшем нам придется обратиться к необратимому изотермическому расширению идеального газа (расширение теплоизолированного газа в пустоту). В связи с этим предварительно рассмотрим обратимое изотермическое расширение газа (когда газ квазистатически расширяется, отодвигая поршень и тем самым совершая работу). О теплоизоли- рованности газа в данном случае не может быть и речи — ведь совершаемая газом работа берется за счет передачи теплоты газу от внешней среды (см. соотношение (2)).
Напомним современную запись уравнения состояния идеального газа, находящегося в термодинамическом равновесии (уравнения Клайперо- на—Менделеева):
PV = NkT. (3)
Здесь Р и V — термодинамические параметры (давление и температура), V — объем газа, N — число молекул газа в данном объеме. Величина
Таблица 32. Экскурс в термодинамику
к — универсальная физическая постоянная, называемая постоянной Больцмана {к = 1,381 • I (Г23 Дж/град = 3,296 • КГ24 кал/град).
Из (3) следует, что состояние термодинамического равновесия идеального газа с N молекулами можно задать, указав любую пару величин: или Р и V, или Ии Т, или Ри Т. Таким образом, состояние газа можно задать точкой на любой из плоскостей Р- У, V- Т, Р- Т, а обратимый процесс — как линию на этой плоскости.
Если обратимый процесс рассматривается на плоскости Р- V, то работу, совершаемую газом в этом процессе при расширении от Ух до И2, можно найти как площадь под графиком зависимости Р от V на отрезке абсциссы от Ух до И2. Это утверждение легко доказывается в случае изобарического расширения газа, т. е. расширения, при котором давление газа поддерживается постоянным:
А = Р-{У2-УХ).(4)
Данный случай представлен на рис. 5 в таблице 32.
Заметим, что изобарическое расширение осуществляется, если увеличение объема будет сопровождаться пропорциональным возрастанием температуры. В самом деле, из (3) видно, что давление постоянно (Р= const), если NkT/ У= const, откуда следует, что в данном случае У~ Т {закон Гей-Люссака).
При изотермическом расширении зависимость Р от У является обратно пропорциональной: Р~ 1 / V {закон Бойля-Мариотта). Это немедленно следует из (3), если учесть, что при изотермическом процессе температура газа постоянна {Т= const). Работа, совершаемая газом при изотермическом расширении от Ух до Уъ равна заштрихованной площади на рис. 6 в таблице 32. Чтобы найти эту площадь, нужно проинтегрировать от Ух до У2 функцию Р(Р) = NkT/ У. Для тех, кто незнаком с интегрированием, сообщим результат:
Л=Л%Т1п^(5)
(через In обозначается, напомним, натуральный логарифм, т. е. логарифм по основанию ф.
С учетом (2) заключаем отсюда, что количество теплоты, полученное газом при изотермическом обратимом расширении от Ух до У2 при температуре V, есть
Q = NkT\n^.(6)
Именно это соотношение нам и понадобится в дальнейшем.
93 Цикл Карно
В 1824 году в Париже вышла книга 28-летнего инженера Сади Карно «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу». Глубина мыслей, изложенных в этой книге, была оценена лишь много лет спустя, уже после смерти автора. Карно исследовал вопросы, связанные с получением работы в тепловых машинах. Он показал, что для получения работы недостаточно иметь только нагретое тело; требуется еще и второе тело, имеющее более низкую температуру (первое тело называют нагревателем, второе — холодильником). Кроме нагревателя и холодильника необходимо рабочее тело (жидкость, пар, газ), которое передает теплоту от нагревателя к холодильнику и попутно совершает полезную работу (см. рис. 4 в таблице 32). Отметим, что идея о невозможности создания вечного двигателя, работающего только за счет передачи теплоты от некоторого резервуара, была осознана Карно за четверть века до исследований Кельвина (Томсона) и Клаузиуса и, по сути дела, предопределила эти исследования.
Выбрав в качестве рабочего тела идеальный газ, Карно рассмотрел цикл, представленный для плоскости Р- V на рис. 7 в таблице 32. Цикл Карно состоит из четырех обратимых процессов:
изотермического расширения при температуре нагревателя Тх (процесс 12);
адиабатического расширения, приводящего к охлаждению газа до температуры холодильника Г2 (процесс 2^3);
изотермического сжатия при температуре холодильника Тг (процесс 3^4);
адиабатического сжатия, приводящего к нагреванию газа до температуры нагревателя Тх (процесс 4 —► 1).
Итак, цикл состоит из двух изотерм и двух адиабат.
Напомним, что адиабатическими называются процессы, при которых можно пренебречь теплообменом системы с окружающей средой. Этого можно достичь, когда система специально теплоизолирована или когда процесс протекает достаточно быстро, так что передача тепла просто не успевает произойти (впрочем, при всей быстроте адиабатического процесса он должен быть достаточно медленным, чтобы процесс можно было рассматривать как квазистатический, т. е. обратимый). При адиабатическом расширении система совершает работу за счет своей внутренней энергии; поэтому температура системы уменьшается. При адиабатическом сжатии работа совершается над системой и увеличивает ее внутреннюю энергию; поэтому температура системы повышается.
Но вернемся к циклу Карно для идеального газа. В процессе 12
газ, расширяясь от Ух до И2 получает от нагревателя теплоту Qv равную, согласно (6),
Qx=Nkl\\i&(*1)
За счет этой теплоты он совершает работу Ах:
AX=QV(*2)
В процессе 2 ^ 3 газ, расширяясь от И2 Д° ^з» совершает работу Л2 за счет уменьшения внутренней энергии, равного Ех- Е3.
Ех — Е3 = Л2(*3)
(поясним: Ех - Е3 = (Д - Е^ + (Е2 - Е3) = 0 + (Е2 - Е^ = 0 + Л2).
В процессе 3^4 газ сжимают от У3 до J^ и тем самым совершают над ним работу А3, равную, согласно (5),
Л3 = Л%Г21п^.(*4)
Эта работа тут же передается газом холодильнику в виде теплоты Q2.
Qi = ^з-(*5)
В процессе 4 —► 1 газ сжимают от У4 до Ух и тем самым совершают над ним работу А4, которая идет на увеличение внутренней энергии:
А4 = Ех - Е3.(*6)
Коэффициент полезного действия ц тепловой машины, работающей по циклу Карно, есть отношение полезной работы за цикл, равной ^ + А2 - А3 - А4, к теплоте Qb полученной газом от нагревателя:
^1 4" А3 — А3 — А4, -х
(полезная работа за цикл численно равна площади внутри контура, образованного изотермами и адиабатами цикла на плоскости Р-У). С учетом (*2), (*3), (*5), (*6) перепишем (*7) в виде:
„ _ 01 + Фх - E3)-Q2 - (Ех - Е3) _ Qx - Q2,„х
QiQi 'М
Из (*1) следует, что
^- = Л%1п^.(*8)
Из (*4) и (*5) следует, что
^ = Л%1п^.(*9)
7 2
Докажем, чтоДокажем, что
Докажем, что
Докажем, что
(8)(8)Qi _ Ог
(8)
(8)
учитывая, что для обратимого адиабатического процесса:
PV1 = const,(9)
где у зависит от числа атомов в молекуле газа (для газов с одноатомными молекулами у = 1,67; для газов с двухатомными молекулами у = 1,4).
Доказательство. Для адиабатического расширения 2^3 запишем, с учетом (9): УРУ-УР = РУУ • Это соотношение перепишем в виде:
pyyvp =у3у3ууУ(*Ю)
Так как, согласно (3), Pp3 = NkTv Ру^ = Nky, то из (*10) следует:
тур = Тур.(*11)
Аналогично для адиабатического сжатия 4 —> 1 запишем: Ру^ = Руу. Переписав это соотношение в виде (Рууу1 = (РУУУр и воспользовавшись уравнением (3), получаем:
Тур1 = ТурУ(*12)
Разделив (*11) на (*12), приходим к соотношению (l^/l7!)7-1 ^Ц/Ю7-1. откуда следует, что Ц / Vv = Ц / Ц и, значит,
1п^ = Ш^.(ИЗ)
Используя (*13), получаем из (*8) и (*9) соотношение (8), что и требовалось доказать.
Соотношение (8) позволяет переписать выражение (7) для коэффициента полезного действия машины Карно в виде:
Pi
Л =пн
1Тх
Это есть наибольший возможный коэффициент полезного действия для тепловых машин. В реальных тепловых машинах коэффициент полезного действия всегда меньше — из-за неизбежных необратимых процессов.
Энтропия как функция состояния макросистемы
Работа рано ушедшего из жизни Сади Карно, в которой был рассмотрен идеальный обратимый цикл (названный впоследствии циклом
Карно), долгое время не привлекала должного внимания со стороны ученых. В 1865 году, спустя сорок лет после появления работы Карно, Рудольф Клаузиус, размышляя над установленным Карно соотношением (8), усмотрел в нем своеобразный закон сохранения: «отобранная» рабочим телом у нагревателя величина Qx / Тх равна «переданной» затем холодильнику величине Q2 / ^2- Что это за величина? Клаузиус сначала даже присвоил ей специальное название; он назвал ее «приведенной теплотой». Но затем он пришел к мысли, что Q/ Т лучше рассматривать как происходящее в изотермическом процессе при температуре Т изменение некоторой величины, являющейся функцией состояния тела. Эту величину Клаузиус обозначил через S и дал ей название «энтропия».
Если рабочему телу (в данном случае идеальному газу) передается теплота Q при температуре Т, то энтропия тела S возрастает; при этом приращение энтропии S определяется соотношением:
Л5 = у. (11)
Если от рабочего тела отбирается теплота Q, при температуре Т, то энтропия тела S уменьшается. В этом случае приращение энтропии является отрицательной величиной (будем говорить об отрицательном приращении)-.
^S = -^. (12)
Из (И) немедленно следует формула для возрастания энтропии твердого тела в результате его плавления, а также формула для возрастания энтропии жидкости в результате кипения. Ведь оба эти процесса теплопередачи происходят при определенных (постоянных) температурах. Плавление увеличивает энтропию тела на величину
^S = ^, (13)
1 пл
где qx — удельная теплота плавления, М — молярная масса (масса вещества, взятого в количестве одного моля), 7^ — температура плавления. Кипение увеличивает энтропию жидкого тела на величину
^S = ^, (14)
1 кип
где 52 — удельная теплота парообразования при температуре кипения, Гкип — температура кипения при заданном давлении. Изменение энтропии в (13) и (14) рассматривается по отношению к одному молю
(это означает, что число молекул N в теле равно числу Авогадро Ад = 6,02- 1023).
Заметим, что энтропия имеет размерность энергия/градус, как это видно, например, из (11). Она измеряется в единицах Дж/К или кал/К (К — Кельвин, градус шкалы Кельвина). Заметим также, что 1 кал = 4,187 Дж.
Обратим внимание на то, что формулами (13) и Д4) описывается также уменьшение энтропии тела при соответствующих обратных фазовых переходах — когда теплота не передается телу, а напротив, отбирается от него.
Согласно тепловой теореме Нернста, называемой также третьим началом термодинамики, при стремлении температуры к абсолютному нулю энтропия системы стремится к нулю, так что
S(T = ^ = d.(15)
Третье начало термодинамики было установлено в 1906 году немецким физико-химиком Вальтером Нернстом (1864-1941).
Вернемся к циклу Карно, представленному на рис. 7 в таблице 32. В процессе 1 —> 2 происходит приращение энтропии газа А^ = Qx / Т. В процессе 2 —> 3 приращение энтропии газа равно нулю (поскольку нет передачи теплоты). В процессе 3^4 происходит отрицательное приращение энтропии газа А52 = - Qi! Тг. В процессе 41 приращение
энтропии газа равно нулю. Суммарное изменение (приращение) энтропии газа за весь цикл равно, таким образом,
^цикл =_+ 0-
С учетом (8) получаем отсюда, что
^цикл=0,(16)
т. е. в целом за обратимый цикл (в результате перехода из данного состояния в это же состояние) энтропия газа не изменилась. Можно было бы доказать (мы этого делать не будем), что результат (16), установленный в данном случае для цикла Карно, в действительности справедлив ддя любого обратимого цикла. Так оно и должно быть, коль скоро энтропия является функцией состояния системы. Разумеется, то же относится и к любой другой функции состояния системы, например к внутренней энергии. Так, для внутренней энергии идеального газа имеем в случае цикла Карно, представленного на рис. 7 в таблице 32: -^цикл ^2 Т 0 Т ^4
Обратим внимание на то, что процессы в цикле Карно — это процессы, при которых либо не изменяется внутренняя энергия газа, а его энтропия изменяется (изотермы), либо не изменяется энтропия газа, а его внутренняя энергия изменяется (адиабаты). Энтропия макросистемы может быть определена как такая функция ее состояния, которая сохраняется при адиабатических процессах. Соответственно, внутреннюю энергию можно рассматривать как функцию состояния макросистемы, которая сохраняется при изотермических процессах.
Второе начало термодинамики как закон возрастанияЭНТРОПИИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ ПРИ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССАХ
Р1спользуя формулировку второго начала термодинамики, данную Клаузиусом, легко получить из (11) и (12) весьма важный результат: необратимый процесс в замкнутой (изолированной) макросистеме сопровождается возрастанием энтропии макросистемы.
Пусть некая замкнутая система состоит из подсистем 1 и 2, имеющих температуры Тх и Г2, соответственно; причем Тх > Т2. Обозначим через \Q весьма малое количество теплоты, которое в необратимом процессе теплопроводности передается от нагретой подсистемы (от подсистемы 1) к холодной подсистеме (к подсистеме 2). Величина AQ мала настолько, чтобы можно было считать, что температуры подсистем при таком теплообмене не изменились. В этом случае энтропия подсистемы 1 уменьшается или, иными словами, получает отрицательное приращение, равное, согласно (12),
а энтропия подсистемы 2 увеличивается, т. е. получает приращение, равное, согласно (11),
А52=4Я.(**)
'2
Поскольку энтропия — величина аддитивная, то АУ = АХ, + А^ и, следовательно,
АХ = AQ[-^+ ^1.(***)
I 7 I '2 /
Так как 7) > Г2, то из (***) следует, что
АХ > 0.(17)
Мы убедились, что необратимый процесс передачи теплоты от нагретой подсистемы к холодной действительно сопровождается возрастанием энтропии замкнутой систем, состоящей из рассматриваемых подсистем.
Обобщая полученный результат, отметим, что любой необратимый процесс в замкнутой системе идет таким образом, чтобы энтропия системы при этом возрастала. Возрастание энтропии происходит до тех пор, пока система не придет в состояние термодинамического равновесия. Все это справедливо, в частности, для процессов расширения газа в пустоту и взаимного перемешивания двух различных газов, попавших в общий объем. Второе начало термодинамики можно, таким образом, трактовать как закон возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых процессах.
А если система не является замкнутой? Если происходит теплообмен между системой и средой? — Этот случай уже рассматривался в § 9.4. Поэтому ответ ясен: при передаче системе при температуре Т теплоты \Q в систему поступает энтропия \S= \Q( Т, а при передаче теплоты А 0 от системы с температурой Т в окружающую среду происходит удаление из системы энтропии \S=\Qf Т. Значит, у незамкнутой (точнее сказать, нетеплоизолированной) системы энтропия может как возрастать, так и уменьшаться.
В общем случае следует рассматривать приращение энтропии А5 системы в виде двух слагаемых:
А«У А1УВНурр + А5внеш, (18) где А5внутр — количество энтропии, которое производится внутри системы при необратимых процессах, а А5внеш — количество энтропии, поступающее в систему из внешней среды в процессе передачи теплоты. Поскольку АА^иугр > 0 (согласно (17)), а А5внеш = А0/ Т, то (18) можно преобразовать к виду:
AQТ
Здесь знак «больше» относится к необратимым процессам, а знак равенства — к обратимым.
Выражение (19) есть не что иное, как формулировка второго начала термодинамики. Именно в таком виде сформулировал Клаузиус второе начало в работе «Об определении энергии и энтропии тел», опубликованной в 1867 году. (Приведенная в 9.2.3 первоначальная формулировка второго начала была дана Клаузиусом в 1850 году и была им названа «тепловой аксиомой».)
Загадки термодинамики
С помощью понятия энтропии соотношение (19) дает математически лаконичную формулировку второго начала термодинамики. Но можно ли считать, что тем самым второе начало получило объяснение! Предписывая определенную направленность процессов в природе, это начало ввело принципиальную необратимость. Однако первопричины этой необратимости оставались по-прежнему необъясненными, поскольку оставалась невыясненной физическая сущность самой энтропии.
В рамках классической термодинамики необратимость наблюдаемых в природе процессов всего лишь констатировалась. Уже одно это было, по сути дела, огромным достижением, поскольку ранее ученые рассматривали процессы, всегда предполагая их обратимость. О какой-либо необратимости вообще не было речи. Обнаружившаяся в рамках термодинамики необратимость процессов, конечно же, нуждалась в объяснении.
Почему выведенная из термодинамического равновесия система сама по себе (самопроизвольно, спонтанно) возвращается в равновесное состояние и сама по себе из него не выходит? Почему теплота переходит от нагретого тела к холодному, а обратно сама по себе не переходит? Почему газ не сжимается самопроизвольно? Почему, оказавшись в одном и том же объеме разные газы перемешиваются, тогда как самопроизвольного разделения компонентов смеси газа не происходит? Нас не удивляет некоторое повышение температуры наковальни, когда по ней ударяет молот. Но почему, сколько бы мы ни нагревали наковальню с лежащим на ней молотом, мы не можем добиться обратного эффекта — отскакивания молота от наковальни?
Подобных «почему» можно было бы предложить очень много. Классическая термодинамика не отвечает на все эти «почему». Для нее это — загадки, остающиеся без ответов. Ответы дала молекулярно-кинетическая теория вещества, которая показала, что второе начало термодинамики является не динамической, а статистической закономерностью и что энтропия должна рассматриваться как понятие вероятностной природы.
ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ 9
Докажите эквивалентность принципов, содержащихся в формулировках Клаузиуса и Кельвина-Планка для второго начала термодинамики.
Указание. Убедитесь, что отказ от первого принципа приводит к отказу от второго принципа и наоборот: отказ от второго принципа приводит к отказу от первого принципа.
Выведите соотношение (4).
Подсказка. Работа по перемещению поршня на расстояние / равна F- I, где F — сила, действующая на поршень со стороны газа.
Рассматриваются три случая сжатия газа, находящегося под поршнем: 1) необратимое сжатие, 2) обратимое изотермическое сжатие, 3) обратимое адиабатическое сжатие. Расположите эти случаи в порядке уменьшения скорости движения поршня, сжимающего газ.
Ответ: 1; 3; 2.
Соотношением PVy = const для обратимого адиабатического процесса в идеальном газе удобно пользоваться, если рассматривать процесс на плоскости P-V. Найдите соотношение для адиабатического процесса, которым удобно пользоваться, рассматривая процесс: а) на плоскости V-T, б) на плоскости Р-Т.
_. COI1St Т' COnSt
Ответы: a) TV4 1 =—-— ; б) =.
Nk J ^Nky
Подсчитайте увеличение энтропии в расчете на 1 моль при плавлении: а) льда, б) свинца, в) алюминия. Воспользуетесь таблицей:
М(г)
qi (кал/г)
Тпл (°C)
лед
18
79,7
0
свинец
207
5,9
327
алюминий
27
94,5
659
Ответы: а) 5,25 кал/К, б) 2,04 кал/К, в) 2,74 кал/К.
Подсчитайте увеличение энтропии в расчете на 1 моль при кипении: а) водорода, б) метана, в) воды, г) бензола. Воспользуйтесь таблицей:
М(г)
q2 (кал/г)
Ткип (°C)
водород
2
108
-253
метан
16
138
-159
вода
18
540
100
бензол
78
94
80
Ответы: а) 10,8 кал/К, б) 19,37 кал/К, в) 26,06 кал/К, г) 20,77 кал/К.
Сравните результаты, полученные при выполнении заданий 5 и 6. Что можно заключить из этого сравнения и как это объяснить?
Обратимый цикл для идеального газа из N молекул состоит из трех процессов: изотермического расширения от ^ до V2, изобарического сжатия, адиабатического сжатия. Изобразите этот цикл на плоскости Р-V. Каково изменение энтропии газа при изобарическом сжатии в данном цикле?
Ответ: энтропия газа возрастает на величину, равную Nk\n(V2 / V^.
Докажите, почему две адиабаты не могут пересекаться друг с другом.
Указание. Предположите, что это возможно и рассмотрите на плоскости P-V обратимый цикл из двух адиабат и одной изотермы.
ТЕМА 10
ЭНТРОПИЯ, ВЕРОЯТНОСТЬ,ИНФОРМАЦИЯ
Энтропия стала мерой беспорядка, царящего в системе, и, следовательно, мерой неопределенности наших знаний о внутренней структуре системы.
П. Шамбадалъ
(«Развитие и приложения понятия энтропии» Пер. с французского. М.: «Наука», 1967)
Благодаря теории информации наука стала исследовать энтропию не только незримых микропроцессов, но и таких доступных для непосредственных наблюдений объектов, как изображение на телеэкране или печатный текст.
Е.А. Седов
(«Одна формула и весь мир: книга об энтропии». М.: «Знание, 1982)
Формула, объясняющая возрастание энтропии
ПРИ РАСШИРЕНИИ ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОГО ГАЗА В ПУСТОТУ
АУ = Л%1п^-АУ = Л%1п^-Ихшользуя соотношения (6) и (11) из темы 9, получаем, что при обратимом изотермическом расширении газа от объема Vx до объема И2 энтропия газа возрастает на величину
АУ = Л%1п^-
АУ = Л%1п^-
(1)
где N — число молекул в газе. Таково изменение энтропии при квази- статическом (обратимом) переходе газа из состояния (Иь Г) в состояние (Г2, Т\ Энтропия является функцией состояния газа; следовательно, ее изменение при переходе (Гь Г) (Г2, Г) не зависит от того, как происходит переход — обратимо или необратимо. Значит, соотношение (1) справедливо также для необратимого изотермического процесса — расширения газа в пустоту от объема Vx до объема Р2 при условии, что газ теплоизолирован (и, следовательно, согласно первому началу термодинамики, его начальная температура Тне изменяется).
Итак, есть два разных процесса. Первый: обратимое изотермическое расширение газа от Vx до Г2 (газ совершает работу за счет получаемой извне теплоты). Второй процесс: необратимое расширение от Vx до Г2 теплоизолированного газа (газ не совершает работы и не обменивается теплотой с окружающей средой). Процессы разные, но в обеих энтропия газа возрастает на одну и ту же величину AS, определяемую соотношением (1). «Природа» этого возрастания энтропии различна. Если воспользоваться соотношением (18) из темы 9, то можно отметить, что для первого процесса:
ААвнутр — 0, ААвнеш — Nk In ,(*)
а для второго процесса:
ААвнутр = In, АУвнеш0.(**)
Короче говоря, в первом процессе энтропия AS поступает в газ из окружающей среды, тогда как во втором процессе энтропия AS производится внутри газа.
Сейчас нас интересует второй процесс. Чтобы его реализовать, надо воспользоваться теплоизолированной полостью (обозначим ее объем через Pg) с перегородкой. По одну сторону перегородки находится газ; он занимает объем Vx. По другую сторону перегородки находится вакуум.
Убирая перегородку, мы предоставляем газу возможность расширяться в пустоту. Представим себе, что в процессе расширения объем газа увеличился от начального значения Vx до некоторого значения К2. В этом необратимом процессе будет произведена в газе энтропия, величина которой нам известна — она определяется соотношением (1).
Благодаря чему, спрашивается, состоялась эта генерация энтропии? Ответ напрашивается сам собой: благодаря тому, что объем газа увеличился от Ух до И,- Причем не просто «благодаря тому», а «только благодаря тому», поскольку при этом никакого энергообмена газа со средой не происходит. Почему же таким важным оказалось в данном случае увеличение объема газа от Vx до К2? И почему, достигнув объема К2, газ продолжал расширяться, а не стал сжиматься к объему Ух?
Людвиг Больцман предположил, что все дело в вероятности молекуле газа оказаться в том или ином объеме. Эта вероятность тем больше, чем больше объем. В нашем примере с полостью объема Ио вероятность молекуле оказаться в объеме Кх равна Кх / Ио, а вероятность оказаться в объеме К2 равна К2 / Ко. Всего в газе N молекул. Вероятность того, что все они окажутся в объеме Nx, равна
I Vx \N
,(2,а)
а вероятность всем им оказаться в объеме К2 равна
iy.\N
w2 =,(2,6)
\ Го /
AS = к In — WAAS = к In — WAТеперь соотношение (1) можно переписать в виде:
AS = к In — WA
AS = к In — WA
(3)
Согласно (3), изменение энтропии газа в рассматриваемом необратимом процессе его расширения от Vx до К2 равно помноженному на к логарифму отношения вероятностей w^wv Поскольку w^ > wx, то AS > 0, что означает возрастание (генерацию) энтропии. Возрастание энтропии получает, таким образом, простое объяснение: газ переходит из менее вероятного состояния (когда весь газ собирается в пределах объема Ух) в более вероятное состояние (когда газ собирается в объеме И2). Обратный процесс, соответствующий самопроизвольному сжатию газа, а значит, уменьшению его энтропии, предполагал бы переход газа из более вероятного состояния в менее вероятное.
Итак, следуя идеям Больцмана, мы пришли к формуле (3), которая благодаря обращению к вероятностям wx и w^ вполне объяснила, почему
возрастает энтропия теплоизолированного газа при его расширении в пустоту. Естественным образом возникает мысль, что не только изменение энтропии, но и сама энтропия газа должна выражаться через логарифм вероятности. Имеется в виду вероятность состояния, в котором находится газ. В самом деле, почему бы не принять, что состояниям газа с вероятностями wx и ш2 соответствуют значения энтропии газа, равные, соответственно,
А) = к In wx и S2 = к In ш2 ?(4)
Ведь это согласовывалось бы с формулой (3), поскольку AS= S2- ^ и, значит, из (4) следовало бы, что
AS = к (In w2 - In w2) = к In .
Ничего не имея против соотношения (3), мы, тем не менее, не можем согласиться с соотношениями (4). Чтобы понять, в чем тут дело, мы должны предварительно познакомиться с понятием «число микросостояний в данном макросостоянии». Это понятие Больцман именовал «числом комплексий». В настоящее время для данного понятия используют два термина: «термодинамическая вероятность макросостояния» и «статистический вес макросостояния».
Микросостояния и макросостояния системы.
Статистический вес (термодинамическая вероятность)макросостояния
Рассмотрим для начала крайне простую систему, состоящую всего из четырех частиц, каждая из которых с равной вероятностью может находиться в одном из двух состояний. Можно представить себе полость, мысленно разделенную на две одинаковые половины (левую и правую), и всего четыре молекулы внутри полости. Каждая молекула с равной вероятностью может быть обнаружена в левой или правой половине полости. В данном случае возможны пять макросостояний системы; будем различать их по числу п молекул в одной из половин полости (например, в левой половине). Вот эти пять макросостояний:
п = 0 — в левой половине молекул нет;
п = 1 — в левой половине одна молекула;
п = 2 — в левой половине две молекулы;
и = 3 — в левой половине три молекулы;
п = 4 — в левой половине все четыре молекулы.
Различные макросостояния могут быть реализованы разным числом равноправных (равновероятных) способов. Иными словами, различным макросостояниям соответствуют разные числа Wn микросостояний. Это видно на рис. 1 в таблице 33, где для молекул использованы четыре разных изображения. Видно, что макростояния 0 и 4 могут быть реализованы каждое одним способом; каждому из них соответствует одно микросостояние (В^о = С 4 = 1; В^ = С4 = 1). Макросостояниям 1 и 3 соответствуют по четыре микросостояния (В^ = С] = 4; В^ = С4 = 4). Макросостоянию 2 соответствуют шесть микросостояний (В^ = С4 = 6). Всего в данном случае имеется 16 микросостояний. Все они равновероятны.
В общем случае вероятность «-го макросостояния (обозначим ее через щ„) пропорциональна числу Wn микросостояний, которые соответствуют данному макросостоянию (реализуют данное макросостояние):
W wn = (5)
где со — полное число микросостояний. В нашем простом примере со = 16 и, следовательно,
113 11^1 = 4’ ^2=8’ ^ = 4, “4 = —.
Наиболее вероятным оказывается в данном случае макросостояние 2 (когда «газ» из четырех молекул «заполнил» весь объем полости). Наименее вероятны макросостояния 0 и 4 (когда «газ» собрался полностью либо в первой, либо во второй половине объема полости).
Число Wn микросостояний, соответствующих «-му макросостоянию, называют статистическим весом, или, иначе, термодинамической вероятностью «-го макросостояния. Согласно (5), термодинамическая вероятность макросостояния пропорциональна его вероятности w, но отнюдь не равна ей. Вероятности принимают, как хорошо известно, любые значения от 0 до 1, а термодинамическая вероятность принимает значения: 1, 2, 3,... Чтобы не путать термодинамическую вероятность с вероятностью, лучше всего избегать пользоваться не очень удачным термином и применять термин «статистический вес».
Рассмотрим теперь газ из Nмолекул, полагая #» 1. Пусть при расширении газа в пустоту его первоначальный объем V увеличивается вдвое. Используя формулу (3), где теперь следует принять w2 / W\ = wK0H / ivHa4 =
= 2 Г/ К= 2 (через и?нач и шкон обозначены начальное и конечное макросостояния газа, соответственно), получаем
А5 = ^ In ^^ = ^ In 2. (*)
Как выразить в данном случае отношение вероятностей шкон / шнач через числа микросостояний (через статистические веса) начального и конечного макросостояний газа? — Будем рассуждать так же, как мы только что делали в примере с четырьмя молекулами.
Делим мысленно объем 2 V газа на две равные половины и обозначаем макросостояния газа числом п молекул в левой половине; л=1,2,3,..., N. Число макросостояний равно W+ 1, но, конечно, единицей здесь можно пренебречь и полагать, что число макросостояний есть N. Поэтому можно считать, что
«!(7V-«)!’ Wn
Начальное состояние газа, характеризующееся вероятностью щнач = щ0, есть макросостояние с п = 0 (в левой половине объема 2 V нет ни одной молекулы, все они находятся в правой половине). Конечное макросостояние характеризуется вероятностью ЩКон = ^/2- Это есть состояние с п = N/2 — когда молекулы заняли весь объем 2V(при очень больших Nможно, очевидно, считать, что N — четное число). Воспользовавшись (6), представим формулу (3) в виде:
Л С 7 1^
Д5 = к In ' ^0
Для #» 1 справедливо соотношение (т. н. формула Стирлинга)'.
(7)(7)ln№ = jVlnJV.
(7)
(7)
(АП(АПИспользуя (7), преобразуем (**) к виду:
(АП
(АП
I 2I 2^S = k 1пЛИ-21пЮ! =к NlnN=^1п2.
I 2
I 2
222
Таким образом, мы пришли к результату (*) и тем самым на конкретном примере необратимого увеличения объема газа вдвое подтвердили
общее положение: при необратимом переходе газа из щ-го макросостояния в и2-е макросостояние происходит самопроизвольное увеличение (генерация) энтропии газа:
(8)(8)S„2-S„, =*111-^
(8)
(8)
' ' ^2
Формула Больцман.
Энтропия как мера беспорядка в системе
Соотношение (8) справедливо в общем случае — для необратимого процесса в любой макросистеме (газе, жидкости, твердом теле). При необратимом переходе макросистемы из макросостояния со статистическим весом W в более вероятное макросостояние со статистическим весом W энтропия макросистемы возрастает на величину
А5=£1п^.(9)
Само по себе это соотношение совпадает с (3). Однако, в отличие от формулы (3), оно позволяет перейти от АУ к S, если принять, что для макросостояния со статистическим весом, равным единице, энтропия равна нулю:
S^W = ^ = Q(10)
(что, кстати говоря, согласуется с третьим началом термодинамики; см. (15) из темы 9). Из соотношений (9) и (10) следует:
|А =^1пРИ.|(11)
Перед нами знаменитая формула Больцмана, высеченная на каменном памятнике, установленном на могиле ученого в Вене. Энтропия S системы, находящейся в макросостоянии со статистическим весом W, равна ЫпВ<
Как следует из (5), статистический вес макросостояния тем больше, чем больше вероятность макросостояния. Значит, энтропия системы должна возрастать по мере ее перехода из менее вероятных в более вероятные макросостояния. Мы убеждаемся, таким образом, что энтропия имеет статистическую (вероятностную) природу.
Здесь обнаруживается, заметим, принципиальное различие между энтропией и энергией. Оно вполне отвечает приводившемуся в § 9.1
образному сопоставлению энтропии с директором предприятия, а энергии — с бухгалтером. Если бухгалтер должен точно подсчитывать дебет и кредит, то директор должен иметь свободу выбора, позволяющую ему принимать решения, обладающие более высокой вероятностью успеха.
Вспоминая рис. 1 в таблице 33, обратим внимание на то, что макросостояния с я = 0 и с я = 4 четко выявляют определенную структуру системы: в одной половине системы находятся молекулы, а в другой половине молекул нет. Макросостояние с п = 2, напротив, структуры не выявляет — все молекулы одинаковым образом распределены по обеим половинам системы. Наличие определенной внутренней структуры связывают с порядком в системе, тогда как отсутствие структуры указывает на беспорядок. Чем выше степень упорядоченности макросостояния, тем меньше его статистический вес (тем меньше число соответствующих микросостояний). Достаточно сильно разупорядоченные макросостояния со слабо выраженной внутренней структурой имеют большой статистический вес; они могут быть реализованы многими способами, иначе говоря, многими микросостояниями.
Все это позволяет рассматривать энтропию как меру беспорядка в системе. Чем больше беспорядок в данном макросостоянии, тем больше его статистический вес и тем, следовательно, больше энтропия системы, находящейся в рассматриваемом макросостоянии.
Статистическое объяснение второго началаТЕРМОДИНАМИКИ
(формула Больцмана позволила весьма просто объяснить постулируемое вторым началом термодинамики возрастание энтропии при необратимых процессах в замкнутой системе. Возрастание энтропии объясняется тем, что система переходит из менее вероятных в более вероятные состояния. Рассмотренный выше пример с расширением газа в пустоту хорошо это продемонстрировал.
Реально протекающие в природе процессы — это, строго говоря, необратимые процессы; обратимость следует рассматривать как некую идеализацию, соответствующую некой упрощенной схеме. Представляется естественным, что природным процессам соответствуют переходы в более вероятные состояния. Больцман подчеркивал: «Во всех случаях, где применим закон больших чисел, т. е. в явлениях природы, обнимающих огромное число молекул, всякое изменение, которое может произойти само
Таблица 33. Вероятностная природа второго начала термодинамики и флуктуации
W, =4 со, = 1/4W, =4 со, = 1/4
W, =4 со, = 1/4
W, =4 со, = 1/4
собой (т. е. без компенсации), есть переход от менее вероятного состояния к более вероятному состоянию». Планк в своей книге «Теория теплового излучения» (1906), характеризуя сущность второго начала термодинамики, связывал ее с тем, что «в природе отдается предпочтение более вероятным состояниям по сравнению с менее вероятными».
При вероятностном подходе энтропия выступает как мера беспорядка в системе. Поэтому закон возрастания энтропии в замкнутых системах можно рассматривать как закон увеличения степени беспорядка в этих системах. Иначе говоря, переход из менее вероятных в более вероятные состояния соответствует переходам «порядок ^ беспорядок». Когда, например, молот ударяет по наковальне, упорядоченная составляющая движений молекул молота, связанная с поступательным движением молота как целого, переходит в неупорядоченное тепловое движение молекул наковальни и молота.
Количество энергии в замкнутой системе с течением времени не изменяется. Однако изменяется качество энергии. Уменьшается ее способность совершать работу. Возрастание энтропии в замкнутой системе есть, по сути дела, постепенное разрушение системы, постепенная ее деградация. Всякая замкнутая система со временем неизбежно деградирует, разупорядочивается. Изоляция системы отдает ее во власть разрушающих случайностей, направляющих систему по пути к беспорядку. Как выразился известный французский физик Леон Бриллюэн (1889-1969) «второе начало термодинамики говорит о смерти вследствие изоляции».
Чтобы поддерживать или, тем более, повышать степень упорядоченности системы, необходимо ею управлять, для чего нужно, прежде всего, чтобы не было изоляции системы, чтобы система была открытой. Конечно, после того как система лишается «защитной оболочки», открывается доступ к ней для различного рода внешних дезорганизующих факторов. Однако наряду с этим открывается доступ и для управляющих факторов. Действие последних может приводить к уменьшению энтропии системы.
Немного о флуктуациях случайных величин
Прервем на короткое время обсуждение второго начала термодинамики и поговорим о флуктуациях случайных величин.
Флуктуации микровеличин и макровеличин. Напомним, что случайная величина может принимать различные значения, характеризующиеся либо вероятностью (если величина дискретная), либо плотностью
вероятности (если величина непрерывная); см., например: «Случайность, необходимость, вероятность», тема 12. Следя за случайной величиной, можно наблюдать случайную смену ее значений; эти случайные изменения и называют флуктуациями. Говорят, что случайная величина флуктуирует (колеблется) около своего среднего значения.
Будем обозначать через (X) математическое ожидание случайной величины X. Полагая, что число испытаний, реализующих всякий раз то или иное значение величины, достаточно велико, будем отождествлять математическое ожидание величины с ее средним значением. В качестве меры отклонения случайной величины от ее среднего значения (математического ожидания) рассматривают дисперсию D(X) случайной величины, являющуюся математическим ожиданием квадрата отклонения величины X от ее математического ожидания (X):
DlX^\X (12)
Дисперсию D (X) называют квадратичной флуктуацией величины X. Отношение к (X1) называют относительной флуктуацией величины; обозначим относительную флуктуацию через £:
(13)
Рассматривая флуктуации в макросистеме, содержащей большое число молекул, различают флуктуации микровеличин и флуктуации макровеличин. Микровеличины — это случайные величины, характеризующие отдельные молекулы. Например, скорость v или энергия е поступательного движения молекулы. Макровеличины — это случайные величины, относящиеся к макросистеме из большого числа N молекул. Например, внутренняя энергия Е или энтропия S макросистемы.
Для примера рассмотрим £е и ^ — относительные флуктуации соответственно для £ и Е термодинамически равновесного идеального газа. Энергия молекулы £ является непрерывной случайной величиной; она характеризуется плотностью вероятности
/^ = 1Е<кТТ31ге-£1кТ. (14)
На всякий случай поясним, что вероятность молекуле иметь энергию в интервале от е до е + Де (обозначим ее через щ(е; Де)) равна /(е)Де при условии достаточной малости Де. Строго говоря,
Де) = lim w^^ . (15) ’ де^о Ae v ’
Примечание. Мы не будем выводить соотношение (14). Заметим лишь, что это соотношение вытекает из соотношения для плотности вероятности скорости молекулы, полученного в 1859 году выдающимся английским физиком Джеймсом Клерком Максвеллом (1831-1879) и известного ныне как максвелловское распределение скоростей молекул газа. Это распределение имеет вид:
/(f) = 4ли2 U^j e-mu2^kT,
(16)
где т — масса молекулы.
Используя (15), можно получить:
_ ЗкТ .
Оба эти результата мы приводим без вывода.
Из (17) и (18) следует (с учетом (12) и (13)):
(17)
(18)
(19)
(20)
Как видим, «размах» флуктуаций микровеличины (в данном случае энергии молекулы идеального газа) оказывается примерно равным среднему значению микровеличины — см. рис. 1а в таблице 33.
Теперь будем рассматривать не одну молекулу, а макросистему из
N
/V молекул. Ее внутренняя энергия Е есть сумма Е = 57е,- и, следовательно,
Е = N{e).
(21)
Дисперсию D(E) = (^Е - (Г)]2) можно преобразовать, с учетом (21), следующим образом:
D(E) =
где через Зе, обозначена разность 8ez = ez
( N
Выражение ^ $£ t
1
представим в виде:
(к
2 к
N N
Таким образом,
IN\I N\I N N\
(E<8eE = E<seE + EE8^ ; w
\ zI\ iI\ i^j/
Выполняя усреднение, получаем:
/f»2 = W«8e,)2) = Л>, -W]2) = ™<E);(»)
\ z/
/ N N\ N N
так как при i^j. (5ez6Ey) = (бЕ,)(бЕу) (математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин) и так как (6ez) = ([ez — (е)]) = (е) — (е) = 0.
Используя (*), (**), (***), заключаем, что
D (£) = ND (е) = 3N^ .(22)
Из (21) и (22) следует (с учетом (13) и (20)), что 1 _ [2"1
'VT(23)
Итак, как мы убедились, относительная флуктуация внутренней энергии газа из N молекул пропорциональна 1/Vn" . В кубическом сантиметре газа при нормальном давлении содержится около 1019 молекул. Значит, для газа объемом порядка 10 см3 относительная флуктуация внутренней энергии составляет всего лишь 10”10, т. е. ничтожно мала. На рис. 2,5 в таблице 33 сделана попытка изобразить графически характер изменения величины Е со временем. Полезно сопоставить рис. 2,а и 2,5. В отличие от энергии молекулы внутренняя энергия газа, содержащего большое число молекул, может рассматриваться не как случайная величина, а как величина с определенным значением. Оно равно математическому ожиданию (среднему значению) (Е^.
Таково общее положение: если число N молекул в системе достаточно велико, то для ее макровеличин:
^VE^1',24>
что позволяет на практике пренебрегать, как правило, флуктуациями мак-ровеличин и оперировать с их средними значениями. Глядя, например, науравнение Клапейрона-Менделеева PV= NkT или на закон Ома 1= U/ R,288
многие даже не подозревают, что все присутствующие в этих формулах буквы (за исключением постоянной Больцмана к) обозначают, строго говоря, случайные величины, которые представлены здесь своими средними значениями.
Однако следует помнить, что в действительности все макровеличины (не только внутренняя энергия, но также энтропия, давление, температура, электрическое напряжение и пр.) флуктуируют около своих средних значений и эти флуктуации могут становиться существенными при уменьшении N.
Броуновское движение и голубой цвет неба — примеры, наглядно демонстрирующие существование флуктуаций в макросистемах. В 1827 году английский ботаник Роберт Броун (1773-1858) обнаружил с помощью обычного микроскопа хаотическое движение мелких частиц (пыльцы растений), взвешенных в воде. «Движение это, как я убежден, — писал Броун, — обусловлено не потоками в жидкости, не постепенным ее испарением, а принадлежит самим частицам». Объяснение природы броуновского движения дал в 1905 году Альберт Эйнштейн. Он показал, что причиной броуновского движения является хаотическая бомбардировка взвешенных мелких частиц молекулами окружающей жидкости, находящимися в тепловом движении.
Представим себе взвешенный в жидкости маленький диск (диаметром, скажем 10”4см). Отнесенное к единице времени число ударов молекул жидкости по одной стороне диска равно в среднем числу ударов по другой стороне. Но равенство соблюдается только в среднем. В действительности же число ударов по одной из сторон диска в течение какого-то малого промежутка времени может оказаться заметно больше числа ударов по другой стороне. В результате диск получит неском- пенсированный импульс и совершит в соответствующем направлении скачок. Можно сказать, что причиной скачков диска являются флуктуации давления, оказываемого молекулами жидкости на разные стороны диска. В пределах объема 10-4 х 10-4 х 10-4 = 10-12 см3 эти флуктуации оказываются достаточно ощутимыми.
На рис. 3 в таблице 33 представлена картина броуновского движения трех частиц гуммигута в воде, наблюдавшаяся французским физиком Жаном Батистом Перреном (1870-1942). Точками отмечены положения частиц через каждые 30 с. Радиус частиц 0,5 10-6м; расстояние между делениями сетки на рисунке 3,4 • 10~6 м. Отметим, что выполненные Перреном исследования броуновского движения позволили экспериментально определить постоянную Больцмана и число Авогадро.
Теперь о голубом цвете неба. Цвет неба мы воспринимаем вследствие рассеяния солнечных лучей в земной атмосфере. Мысленно разобьем воздушное пространство атмосферы на маленькие ячейки-кубики с длиной ребра, соответствующей длине световой волны (около 0,5 • 10"6м). Хаотическое движение молекул воздуха приводит к тому, что число молекул в пределах кубика будет случайно изменяться от одного кубика к другим. Оно будет случайно изменяться также в пределах одного и того же кубика, если производить наблюдения в разные моменты времени. На этих флуктуациях плотности воздуха, достаточно существенных в пределах каждого кубика (ввиду его малости), и происходит рассеяние света.
Согласно современной теории, интенсивность света, рассеянного объемом воздуха А Г при температуре Т, пропорциональна ^VT|X4, где X — длина волны света. Отсюда видно, что рассеяние света происходит тем интенсивнее, чем меньше длина световой волны. Поэтому спектр рассеянного в атмосфере света оказывается смещенным в коротковолновую область, что и объясняет наблюдаемый нами голубой цвет неба.
Формула Найквиста. Из закона Ома следует, что если в электрической цепи нет электродвижущей силы, то ток в ней идти не будет. Это, однако, не совсем верно. Дело в том, что флуктуации, связанные с тепловым движением электронов в проводнике, приводят к возникновению флуктуационных токов, так что можно говорить о наличии флуктуационной электродвижущей силы.
В 1928 году американский физик Найквист показал, что на концах проводника с сопротивлением 7?, имеющего температуру Т, возникает флуктуация напряжения U, дисперсия которого D(U) = QU — (Ц)]2) описывается формулой:
ПШр-RT. (25)
Флуктуации электрических величин играют важную роль в современных приборах и устройствах. Они являются принципиально неустранимым источником шума (помех) в каналах связи. Они определяют пределы чувствительности различных измерительных приборов.
Флуктуации и абсолютная температура. Обратим внимание на то, что в соотношения (22) и (25) входит абсолютная температура Т. Мы видим, что квадратичная флуктуация макровеличин возрастает с ростом Т. Чем выше абсолютная температура тела, тем сильнее флуктуируют его физические параметры.
Известно, что абсолютная температура тела может рассматриваться как мера средней энергии молекул тела (это хорошо видно на примере идеального газа — см. (17)). Следует, однако, помнить, что это справедливо лишь
при условии, что тело находится в термодинамическом равновесии. Если же состояние некоего коллектива частиц существенно неравновесно (предположим, рассматривается космический ливень или пучок частиц из ускорителя), то в этом случае средняя энергия частиц уже не может измеряться температурой.
Более общий подход к понятию температуры тела предполагает ее связь не со средней энергией частиц, а с флуктуациями физических параметров тела. При этом температура может рассматриваться как мера флуктуации. Измеряя флуктуации, можно, в принципе, измерять абсолютную температуру тела. Для такой цели весьма подходят флуктуации электрических величин.
Связь температуры с флуктуациями указывает, в частности, на то, что понятие температуры, строго говоря, не имеет аналога в классической механике. Температура предполагает наличие вероятностных процессов, она выступает в качестве меры дисперсии случайных величин.
Вероятностная природа второго началаТЕРМОДИНАМИКИ
Продолжим наш разговор о втором начале термодинамики. Мы выяснили, что предписываемые этим началом необратимые процессы имеют статистическое объяснение — это есть процессы, связанные с переходом системы из менее вероятных состояний в состояния, характеризующиеся более высокой вероятностью.
Зададимся вопросом: являются ли требования второго начала термодинамики абсолютно жесткими! Иными словами, означает ли это начало, что процессы обязательно должны идти в направлении от менее вероятных к более вероятным состояниям? Ответ на этот вопрос отрицателен. Переходы системы в более вероятные состояния происходят не в обязательном порядке, а всего лишь с некоторой вероятностью. Диктуемое вторым началом термодинамики направление развития необратимых процессов не является в действительности жестко предопределенным. Это есть лишь более вероятное направление.
Нарушения второго начала термодинамики в принципе возможны. Обычно мы не наблюдаем их лишь по той причине, что они оказываются весьма маловероятными. Газ самопроизвольно расширяется в пустоту. Это есть наиболее вероятное направление процесса. Однако в принципе возможна ситуация, когда скорости молекул в газе окажутся
вдруг (иными словами, случайно) ориентированными таким образом, чтобы газ самопроизвольно сжался. Такая ситуация маловероятна для макрообъема газа, содержащего огромное число молекул. Но она может стать вполне вероятной в малом объеме газа.
Самопроизвольное сжатие газа следует рассматривать как флуктуацию его плотности. Чем больше молекул в газе, тем меньше относительная флуктуация плотности (напомним, что она пропорциональна 1/Vvv), тем, следовательно, меньше вероятность наблюдать такую флуктуацию в макроскопических масштабах. Допустим, однако, что некоторое явление наблюдается в микромасштабе, т. е. требует участия относительно небольшого числа молекул. В этом случае уже нетрудно наблюдать различного рода флуктуации, свидетельствующие о нарушениях второго начала. В предыдущем параграфе мы говорили о флуктуациях плотности воздуха в пределах достаточно малого объема, линейные размеры которого соответствовали длине световой волны. Эти флуктуации проявляются в самопроизвольных сжатиях и разрежениях воздуха, которые и обусловливают наблюдаемый нами голубой цвет неба.
Для броуновской частицы наиболее вероятно получить в единицу времени одинаковое число ударов молекулы жидкости с той и с другой (противоположной) стороны. Однако вследствие малости размеров частицы вполне вероятны флуктуации давления, связанные с нескомпен- сированностью ударов с разных сторон. В результате частица совершает скачки в тех или иных направлениях. Совершая очередной скачок, броуновская частица наглядно демонстрирует самопроизвольное превращение теплоты, отбираемой от жидкости, в кинетическую энергию своего поступательного движения.
Следует заключить, таким образом, что второе начало термодинамики имеет вероятностную природу. Рассматриваемые в рамках этого начала закономерности являются не динамическими (жестко детерминированными), а статистическими (вероятностными). Это убедительно подтверждает существование флуктуаций, демонстрирующих вероятностную природу необратимых процессов.
НЕЗАПЛАНИРОВАННЫЙ ДИАЛОГ
'HttAaAe**.. Вот Вы произнесли слова «вероятностная природа необратимых процессов». Я понимаю, что если процесс стохастический (т. е. случайный, вероятностный), то он должен быть необратимым. Как
известно, развивающаяся случайным образом система утрачивает свою предысторию и уже по этой причине ее развитие оказывается необратимым. Короче говоря, из стохастичности процесса следует его необратимость. Однако можно ли утверждать, что из необратимости процесса следует его стохастичность?
Автор. Прежде, чем ответить на Ваш вопрос, я хотел бы сделать некоторые замечания общего характера. В математике, кроме прямой и обратной, рассматриваются также противоположная теорема и теорема, обратная противоположной.
'ЧкАаАе**. О противоположных теоремах я не слышал.
Автор. Прямая теорема: если есть А, то есть Б.
Обратная теорема: если есть Б, то есть А.
Противоположная теорема: если нет А, то нет Б.
Теорема, обратная противоположной: если нет Б, то нет А. Впрочем, не все эти теоремы требуется доказывать. Если, например, верна противоположная теорема, то будет верна и обратная теорема.
'ЧкАаАех.^. Откуда это следует?
Автор. Предположим, дано: если нет А, то нет Б. Докажем, что если есть Б, то есть А. Предположим противное: допустим, что Б есть, но А нет. Мы тут же «приходим в тупик», поскольку нам дано, что если нет А, то не должно быть и Б. «Выход из тупика» ясен — надо отказаться от сделанного допущения и принять, что если есть Б, то есть А.
*%«#6<1#6а#<. Но зачем нам все эти доказательства? Какое они имеют отношение к стохастичности и необратимости процессов?
Автор. Пусть утверждение А таково: данный процесс является стохастическим. Утверждение Б: данный процесс является необратимым. Тогда прямую теорему можно сформулировать так: если процесс стохастический, то он необратимый. А как Вы сформулируете противоположную теорему?
*Ч«АаАе<<*. Если процесс нестохастический, то он не является необратимым.
Автор. Верно. Только это можно сформулировать получше: если процесс динамический (жестко детерминированный), то он обратимый. Надо ли доказывать эту теорему?
'ЧкАаАе**. Думаю, что не надо. Вполне очевидно, что всякий жестко детерминированный процесс можно заставить идти в обратном направлении.
Автор. Вы правы. Это хорошо иллюстрируют процессы, рассматриваемые в рамках классической механики. Итак, противоположная теорема верна. А как в нашем случае выглядит обратная теорема?
^ЧмАалйм^. Если процесс необратим, то он стохастический.
Автор. Вот Вам ответ на вопрос, который Вы задавали. Как видите, из самых общих соображений следует, что коль скоро из стохастичнос- ти (случайности) процесса можно заключить о его необратимости, то точно так же из необратимости процесса можно сделать вывод о его стохастичности.
Мы пришли к весьма важному выводу: в основе необратимости процессов в природе лежит стохастичность, т. е. вероятностный характер этих процессов. Все это подсказывает нам, что именно вероятностные закономерности (отражающие необратимые процессы) являются фундаментальными, тогда как динамические закономерности (отражающие обратимые процессы) оказываются при ближайшем рассмотрении некоторым упрощением, идеализацией. Эту мысль мы надеемся развить в третьей части данной книги. А пока отмстим лишь, что обнаружившиеся благодаря второму началу термодинамики необратимые процессы (например, теплопроводность диффузия, вязкость) впервые в истории естествознания заставили ученых рассматривать наряду с динамическими закономерности иной природы — статистические закономерности.
В заключение приведем отрывок из речи Макса Планка «Динамическая и статистическая закономерность», произнесенной им в Берлинском университете в августе 1914 года:
«Во всей совокупности физических явлений нет более резко выраженного различия, чем то, которое существует между обратимыми и необратимыми процессами. К первым принадлежат явления, зависящие от тяготения, механические и электрические колебания, акустические и электромагнитные волны. Все их нетрудно подвести под один динамический закон — принцип наименьшего действия, который содержит в себе также и принцип сохранения энергии. К необратимым явлениям относятся теплопроводность, электропроводность, трение, диффузия, а также химические реакции. Для этих явлений Клаузиус вывел свое необычайно плодотворное для физики и химии второе начало термодинамики, значение которого состоит в том, что оно предписывает каждому необратимому процессу определенное направление. Но лишь Больцману впервые удалось, введя атомистические представления, установить глубокие основы содержания второго начала и вместе с тем всей совокупности необратимых процессов, своеобразие которых представляло непреодолимые трудности для общего динамического объяснения... Для физика не остается никаких сомнений: материя состоит из атомов, теплота есть движение молекул и теплопроводность, равно как и все остальные необратимые процессы, управляется не динамическими, а статистическими законами, т. е. законами вероятности (курсив наш. — Автору
«Демон», владеющий информацией
В 1871 году Джеймс Максвелл в своем труде «Теория теплоты», обсуждая второе начало термодинамики, рассмотрел воображаемую ситуацию, в которой второе начало не работает. Для этого ему пришлось придумать некое «существо со столь изощренными способностями, что оно в состоянии следить за каждой отдельной молекулой во всех ее движениях». (Это придуманное Максвеллом существо Уильям Томсон заменил позднее термином «демон Максвелла»). Максвелл поручил этому существу управлять клапаном (задвижкой, дверцей) в отверстии перегородки, разделяющей два равных объема (А и Б) с газом — см. рис. 4 в таблице 33. «Пусть существо, способное различать отдельные молекулы, — писал Максвелл, — открывает и закрывает попеременно отверстие в перегородке таким образом, чтобы только более быстрые молекулы могли переходить из А в Б и только более медленные молекулы могли переходить из Б в А. Такое существо без затраты работы повысит температуру в Б и понизит ее в А — вопреки второму началу термодинамики».
Демон Максвелла, коль скоро он способен различать отдельные молекулы, мог бы также открывать дверцу в отверстии перегородки перед молекулами, подлетевшими к этому отверстию из объема А, и, напротив, закрывать дверцу перед молекулами, подлетевшими к отверстию из объема Б. Тем самым происходило бы самопроизвольное возрастание плотности газа в объеме Б — наблюдался бы эффект самопроизвольного сжатия газа. Тоже вопреки второму закону термодинамики.
Демон Максвелла мог бы сортировать молекулы в смеси двух разных газов, пропуская через отверстие в одном направлении молекулы одного компонента смеси, а в обратном направлении — другого компонента смеси. В результате происходило бы самопроизвольное разделение компонентов смеси — в одном объеме накапливались бы молекулы одного газа, а в другом объеме молекулы другого газа. Опять-таки вопреки второму началу термодинамики.
Итак, возникала парадоксальная ситуация: демон Максвелла опровергал второе начало термодинамики. Этот парадокс обсуждало несколько поколений физиков. Было высказано немало соображений по поводу неосуществимости устройства, которое действовало бы подобно демону Максвелла. Указывалось, например, что флуктуации должны были бы приводить к случайному открыванию и закрыванию дверцы, что неизбежно нарушило бы действие всей системы. Указывалось также, что для того, чтобы демон мог различать молекулы, нужно было бы освещать молекулы с помощью какого-то источника излучения, что
потребовало бы затраты энергии. Это означало бы, что вопреки мнению Максвелла активность демона не могла быть даровой и, значит, нельзя было рассматривать вызываемые действиями демона процессы самопроизвольными (иначе говоря, внешний источник излучения нарушал бы замкнутость системы, а в открытой системе второе начало не обязано работать).
На самом деле попытки доказать, что демон Максвелла не может существовать (в виде какого-либо хитроумного устройства), особого интереса не представляют. По сути дела, нет смысла заниматься «изгнанием» этого демона по двум причинам. Во-первых, демон Максвелла отнюдь не опровергает второе начало термодинамики, а только доказывает, что это начало имеет не жестко детерминированную, а вероятностную природу. Во-вторых, проблема, поставленная Максвеллом, касалась не возможности или невозможности существования такого демона, а смысла тех действий, которые он мог бы производить, если бы существовал.
Надо признать, что смысл действий демона Максвелла был осознан по-настоящему только в ХХ-м столетии. Как подчеркивал Бриллюэн в книге «Наука и теория информации» (1956), «проблема демона Максвелла представляет прекрасный случай для применения теории информации и ясно указывает на связь между информацией и энтропией» (курсив наш. — Автор). Впервые на существование такой связи указал венгерский физик Лео Сцилард (1898-1964) в 1929 году. Впрочем, эта связь проглядывается уже в словах самого Максвелла, который указывал, что придуманное им «существо» способно «следить за каждой отдельной молекулой». Ведь фактически это означает, что такое «существо» должно владеть информацией. Только имея необходимую информацию о молекулах, движущихся слева и справа от отверстия в перегородке, демон Максвелла может предпринимать действия, приводящие к уменьшению энтропии системы.
В общих чертах смысл действий демона Максвелла можно сегодня объяснить следующим образом. В отсутствие демона система (например, газ) существенно разупорядочена, имеет максимальную энтропию и минимальное количество информации. Обладая каким-то количеством информации, демон Максвелла вносит в систему соответствующее количество отрицательной энтропии (информации), соответствующим образом снижает энтропию системы и тем самым уменьшает степень беспорядка в системе. Как отмечал Норберт Винер (в книге «Кибернетика, или управление и связь в животном и машине», 1961), «демон способен действовать лишь на основании принимаемой информации, а эта информация представляет собой отрицательную энтропию».
Формула Больцмана и формула Хартли.Связь МЕЖДУ ЭНТРОПИЕЙ И ИНФОРМАЦИЕЙ
(формула Больцмана (соотношение (11) в данной теме):
|А = НпИЦ
Читается: энтропия системы в некотором состоянии есть произведение постоянной Больцмана на натуральный логарифм числа равновероятных микросостояний, соответствующих данному состоянию системы.
Формула Хартли (соотношение (11) в теме?):
Н = log2N
Читается: количество информации, связанное с реализацией (выбором) определенного варианта из N равновероятных вариантов, равно log2^
На первый взгляд может показаться, что речь идет о двух разных формулах, не имеющих связи друг с другом. К тому же величина S измеряется в единицах Дж/К (имеет размерность энергия/температура), тогда как Н измеряется в битах (иначе говоря, Н безразмерна). Легко, однако, заметить два обстоятельства, являющиеся общими для рассматриваемых формул:
В обе формулы входит логарифм (использование логарифмов с разными основаниями непринципиально; ведь Inx = In 2 • log2x =1,44 log2x).
В обеих формулах под знаком логарифма стоят числа равновероятных вариантов. В формуле Больцмана речь идет о равновероятных вариантах данного состояния макросистемы (варианты отождествляются с микросостояниями), а в формуле Хартли равновероятные варианты вообще не уточняются (просто указывается их количество N\
При более пристальном рассмотрении обнаруживается, что отмеченные обстоятельства принципиальны, причем не только в математическом отношении (в обоих случаях используется логарифм), но также в физическом отношении. Так что S«H оказываются по сути своей взаимосвязанными величинами.
Начнем с формулы Хартли. Как понимать используемые в этой формуле слова «количество информации, связанное с реализацией (выбором) определенного варианта»? В § 7.8 мы обращали внимание на то, что это можно понимать двояко. Во-первых, как количество информации, которое надо внести в систему, чтобы произошел выбор в системе какого-то конкретного варианта. Так, чтобы направить прибывающий на станцию
поезд на какой-то конкретный из N путей, диспетчер должен послать соответствующий управляющий сигнал, обладающий информацией, равной log2 Лабитам. Во-вторых, речь может идти о количестве информации, содержащемся в сообщении о том, какой именно вариант был выбран в системе. Так, выяснив, на какой из N путей был направлен поезд, мы получаем количество информации, равное log2 N битам.
В обоих случаях величина Н, равная log2TV, характеризует степень неопределенности опыта. Как опыта, состоящего в посылке управляющего сигнала, так и опыта, состоящего в отыскании поезда на станционных путях. Чем больше число равновероятных вариантов (чем больше N), тем выше степень неопределенности. И, соответственно, тем больше то количество информации, которое содержится как в управляющем сигнале диспетчера, так и в сообщении о том, где находится прибывший на станцию поезд. Поэтому естественно рассматривать Н одновременно и как меру степени неопределенности, и как количество информации, которое устраняет неопределенность.
Наличие неопределенности связывают с наличием беспорядка (точнее сказать, разупорядоченности), а устранение неопределенности — с упорядочиванием. Тут уместно вспомнить, что энтропия состояния системы может рассматриваться как мера разупорядоченности (беспорядка) для данного состояния. В формуле Больцмана степень разупорядоченности измеряется числом микросостояний в состоянии системы (если имеется только одно микросостояние, то И/= I и, следовательно, S = 0 — случай «полной упорядоченности»), В формуле Хартли степень разупорядоченности измеряется числом равновероятных вариантов (если имеется только один вариант, то N= 1 и, следовательно, Н= 0 — случай «полной упорядоченности»). Сообщение системе количества информации Н= log2/V приводит к соответствующему уменьшению степени ее неопределенности, что отвечает повышению энтропии системы на величину S = k In W, если в качестве равновероятных вариантов рассматривать равновероятные микросостояния. Мы приходим к важному заключению: величина Н в формуле Хартли (измеряющая степень неопределенности опыта, или, что то же самое, количество информации, связанное с этим опытом) может интерпретироваться как энтропия, рассматриваемая с более общей точки зрения — когда равновероятные варианты не сводятся только к равновероятным микросостояниям физической макросистемы.
Итак, с более общей точки зрения, процесс получения информации соответствует процессу упорядочивания, и следовательно, процессу понижения энтропии. И напротив, процесс повышения энтропии связан с
процессом разупорядочивания и, следовательно, процессом потери информации, «Процессы, ведущие к потере информации, — писал Винер, — весьма сходны с процессами, ведущими к росту энтропии». Подчеркнем, что все эти утверждения имеют общий характер и не ограничиваются рассмотрением каких-либо физических макросистем. Именно поэтому можно говорить, что в теории информации энтропия выходит на новый этап своего развития, связанный с исключительно широким применением этого понятия.
Возвращаясь к рассмотрению физических макросистем, будем теперь пользоваться, наряду с понятием энтропии, понятием информации, понимая под последней информацию, которой мы располагаем относительно микроструктуры данной системы. Винер называл эту информацию отрицательной энтропией, а Бриллюэн — негэнтропией. Когда энтропия системы возрастает, негэнтропия системы уменьшается. Закон возрастания энтропии в замкнутых системах может теперь интерпретироваться как закон уменьшения негэнтропии в таких системах. Изоляция системы чревата не только возрастанием энтропии, но и потерей содержащейся в системе информации. Обратим внимание на то, что теперь энтропия физической макросистемы — это не только мера ее разупорядоченности, но и мера неопределенности нашего знания внутренней структуры макросистемы, или, по выражению Бриллюэна, «мера недостатка информации о действительной структуре системы».
Формула Шеннона и Формула Больцмана
Обобщением формулы Хартли на случай, когда N вариантов не являются равновероятными, а характеризуются вероятностями ръ ръ р3, ..., р№ является формула Шеннона (соотношение (19) в теме 7):
n1Я = £/>,. log2—;/=1Pin1Я = £/>,. log2—;/=1PiN^Pi = L
n1
Я = £/>,. log2—;
/=1Pi
n1
Я = £/>,. log2—;
/=1Pi
Неравновероятность вариантов, как уже отмечалось в § 7.8, снижает степень неопределенности и тем самым уменьшает количество информации Н. В зависимости от того, каков набор из N вероятностей р,, количество информации Н может варьироваться от 0 до log2 N. Если одна из вероятностей равна единице, а все остальные равны нулю, то Н= 0. Если каждая из N вероятностей равна 1 / N, то Н= log2 N. В первом случае
реализован (или может быть реализован) только один вариант — тот, для которого вероятность равна единице. Тут выбора нет, неопределенность отсутствует и, следовательно, энтропия Н как мера «недостатка информации» равна нулю. Во втором случае, напротив, степень неопределенности максимальна. Ведь тут не только возможны все N вариантов, но, кроме того, тут нельзя отдать предпочтение каким-либо из этих вариантов. Поэтому во втором случае энтропия Н максимальна и, следовательно, максимально то количество информации, которое требуется для выбора любого конкретного варианта.
В предыдущем параграфе проводилось сопоставление формулы Хартли с ее «предшественницей» — формулой Больцмана. Это сопоставление позволило нам обсудить связь энтропии с информацией. У формулы Шеннона также есть «предшественница» в теории Больцмана. Соответствующее выражение можно вывести из нижеследующих достаточно несложных (хотя и несколько упрощенных) рассуждений.
Пусть макросистема содержит N молекул и пусть в данном состоянии макросистемы пх молекул имеют энергию в интервале 1 (от 0 до Ае), л2 молекул имеют энергию в интервале 2 (от Ае до 2Ае), л3 молекул имеют энергию в интервале 3 (от 2Ае до ЗАе) и т. д. Число таких интервалов, в каждом из которых находится достаточно большое число молекул, обозначим через т. Обозначим через wz вероятность молекуле оказаться в z-м интервале, т. е. в интервале значений энергии от (z - 1)Ае до i • Ае. Понятно, что
(26)(26)Число микросостояний, соответствующее макросостоянию, характеризующемуся вероятностями wv мъ w3,..., wm обнаружить молекулу в интервалах соответственно 1, 2, 3,..., т, равно
(26)
(26)
zz1!zz2!zz3!... пт\
(микросостояния различаются перестановками молекул внутри каждого из интервалов; на рассматриваемое макросостояние системы эти перестановки, очевидно, не влияют). Таким образом, согласно формуле Больцмана (11), энтропия данного макросостояния системы есть
S = kVtvW = кS = kVtvW = ктIn N!- ^2 to ni!./1.тIn N!- ^2 to ni!./1.
S = kVtvW = к
S = kVtvW = к
т
In N!- ^2 to ni!
./1.
т
In N!- ^2 to ni!
./1.
Учитывая, что все числа молекул, входящие в выражение (26), много больше единицы и применяя в связи с этим формулу Стирлинга (7), перепишем (**) в виде:
— = N In N — У п. In п, = N In N + У и. In —.(***)
i\Z=11
С учетом (*) представим:
m.mi
У П; In = NV W: In— =
mii mm<
= NV W; In — + N In У У Wi = NV w. In — - N In N.
V ' ш,N ^ 1-^ 1 wf
/11/1/11
Используя этот результат, перепишем (***) в виде:
т1т
S-^^ln-L; 22^=1.(27)
Z=1z Z=1
Соотношение (27), являющееся одним из представлений формулы Больцмана (11), аналогично формуле Шеннона и действительно может рассматриваться в качестве ее «предшественницы».
В случае, когда все вероятности wt равны и, значит, w^ 1 / т (z = 1, 2, 3, ..., , т), из (27) получаем:
5 = kNXnm.(****)
Этот же результат получается из соотношения S = On ИД если учесть, что в данном случае для всех i имеем nt = N / т, и поэтому вместо (26) следует рассматривать
N\
W =.(*****)
\\т Л
Используя (*****), получаем
^ = 1пЩ = ln№-mln[—^! = NlnN-m — Yn— = ^ In ^ - ^ In ^ + ^ In от. к\ т /т т
Демонстрация антиэнтропийного(информационного) процесса при формированииПИСЬМЕННЫХ ТЕКСТОВ
Отвлечемся от каких-либо физических систем и поговорим об общих закономерностях взаимодействия энтропии и информации. Для
этой цели весьма удобным объектом оказывается письменный текст. Его формирование позволяет буквально воочию видеть и даже искусственно изменять энтропию (и следовательно, также информацию). Клод Шеннон продемонстрировал это, работая с английскими текстами. Подобными исследованиями с русскими текстами занимался математик Р.Л. Добрушин.
В работе Р.Л. Добрушина «Математические методы в лингвистике» (1961) дан энтропийно-информационный анализ текста, построенного с использованием 32 букв русского алфавита (буквы «е» и «ё», а также «ь» и «ъ» не различаются, зато учитывается в качестве еще одной буквы пробел между словами). Представим себе урну с тридцатью двумя карточками-буквами. Извлекая наугад из урны всякий раз какую-то карточку (с последующим возвращением ее в урну) и записывая соответствующую букву, Добрушин получил, в частности, вот такой текст:
Текст № 1
СУХЕРРОБЬДЩ ЯЫХВЩИЮАЙЖТЛФВНЗАГФОЕНВШТЦРПХГБКУЧТЖЮРЯПЧЬКЙХРЫС
Каждая буква здесь (включая пробел) появляется с одной и той же вероятностью, равной 1 / 32. Согласно формуле Хартли, энтропия (степень неопределенности) буквы равна Нх = log2 32 = 5 бит. Так как вероятности появления всех букв в данном опыте равны, то энтропия Нх есть максимальная энтропия буквы; она соответствует наибольшему беспорядку в системе «текст на основе русского алфавита». Понятно, что такой «текст» ни в какой мере не похож на обычный текст, который используется на практике. Его даже озвучить невозможно, не говоря уже о явной бессмысленности написанного.
Теперь предположим, что учтены вероятности появления различных букв в русскоязычном тексте — эти вероятности даны в (6) в §8.5. В этом случае в опыте с урной пришлось бы использовать не 32, а гораздо больше карточек — с тем, чтобы выполнялись пропорции пД Hj = рДPj, где nt и nj — числа карточек соответственно с z-й и /-й буквами, — характеризующимися вероятностями рх и рр Вынимая наугад карточки из этой урны и записывая извлеченные буквы, можно сформировать текст, подобный следующему тексту, полученному Добрушиным:
Текст № 2
ЕЫНТ ЦИЯЬА ОЕРВ ОДНГ ЬУЕМЛОЛЙК ЗБЯ ЕНВТША
В данном случае можно было бы обойтись без урны с карточками, а просто выбирать наугад буквы из текста какой-либо русской книги, например, сочинения Льва Толстого. Можно, раскрыв книгу наугад, выписывать, скажем, каждую десятую букву из первой, второй, третьей и так далее строк, считая буквой пробел, но не принимая во внимание знаки препинания.
По сравнению с текстом № 1, текст № 2 несколько более похож на обычный текст: исчезли ненормально длинные «слова», наблюдается вполне правдоподобное распределение числа гласных и согласных. Но, конечно, тут еще очень далеко до разумного текста.
Используя (6) из § 8.5 и формулу Шеннона, несложно вычислить энтропию буквы в тексте № 2: Н2 = 4,35 бит (этот результат мы приводили в §8.5). Как видим, энтропия буквы несколько снизилась — с 5 бит до 4,35 бит. Это произошло благодаря использованию информации, содержащейся в наборе вероятностей в (6) из § 8.5.
Впрочем, те вероятности рассматривались в предположении, что вероятность появления в тексте той или иной буквы не зависит от того, какая буква ей предшествовала. На практике это предположение не выполняется. Если, например, появилась в тексте гласная, то велика вероятность появления на следующем месте согласной. Вероятность появления буквы «ь» сразу после пробела или гласной равна нулю. Как и вероятность появления «й» сразу после согласной. Равна нулю также вероятность появления букв «ы», «ю», «я» сразу за буквой «ч». Скорее всего после «ч» появятся буквы «и», «е», «а», «у», но не «о». Таких примеров можно привести очень много.
Чтобы учесть вероятность появления в тексте той или иной пары букв, можно выполнить следующий опыт. Надо взять 32 урны, обозначив каждую одной из букв алфавита (включая пробел). В каждую урну надо поместить карточки с различными двухбуквенными сочетаниями, которые начинаются с буквы, обозначенной на данной урне. Числа карточек с определенными парами букв должны быть пропорциональны вероятностям появления в обычном русскоязычном тексте соответствующих двухбуквенных сочетаний. Выбираем произвольно любую урну, например, урну «а», и извлекаем наугад карточку из нее. Допустим, это есть карточка «ав». Записываем вторую букву карточки — букву «в». Затем подходим к урне «в» и извлекаем наугад карточку из нее. Допустим, это есть карточка «вр». Записываем вторую букву карточки — букву «р». Затем подходим к урне «р» и извлекаем наугад карточку из нее. Допустим, это есть карточка «ра». Записываем вторую букву карточки — букву «а». Затем подходим к урне «а»... И
так далее. Вот у нас уже начал формироваться текст из последовательно записанных букв: «вра...».
Рассмотренный опыт можно видоизменить, весьма существенно упростив его. Не будем заготавливать карточки-буквосочетания и не будем (что особенно приятно!) заниматься выяснением вероятностей появления в обычных текстах различных буквенных пар. А просто воспользуемся снова какой-нибудь русской книгой. Текст, учитывающий вероятности появления тех или иных буквенных пар, будем формировать следующим образом. Наугад извлечем из текста книги какое- нибудь сочетание из двух букв. Допустим, это есть «вр». Записываем «р» и начинаем скользить взглядом по строке, начав с только что выбранного сочетания «вр», — до тех пор, пока не наткнемся на букву «р». Смотрим, какая буква в тексте книги следует сразу после этой «р». Допустим, следует буква «а». Записываем «а». Продолжаем скользить взглядом по строке (переходя при необходимости на следующую строку), пока не обнаружим букву «а». Смотрим, какая буква в тексте следует за этой «а». Допустим, следует буква «с». Записываем «с» и продолжаем далее скользить по строке... И вот у нас уже начал формироваться текст из записанных букв: «рас...»
Выполнив описанный опыт, Добрушин получил вот такой текст:
Текст № 3
УМАРОНО КАЧ ВСВАННЫЙ РОСЯ НЫХ КОВКРОВ НЕДАРЕ
Нетрудно заметить, что текст № 3 является более упорядоченным и более легко произносимым по сравнению с текстом № 2. Здесь уже попадаются привычные сочетания букв (например, «мар», «оно», «ванный», «рос», «ных», «кров», «еда», «дар»). Хотя, конечно, это еще не разумный текст.
Введение в нашу систему некоторого количества информации, представленной, в частности, правилами грамматики (причем введение не продуманное, а посредством случайного поиска, осуществляемого с помощью урн или текста книги), приводит к дополнительному уменьшению энтропии буквы. Как показали исследования с использованием компьютера, теперь энтропия буквы равна Н3 = 3,52 бит, что почти на целый бит ниже энтропии буквы в тексте № 2.
Можно пойти еще дальше и счесть, что в нормальном тексте вероятность появления каждой буквы зависит не только от предыдущей буквы, но и от сочетания двух предыдущих букв. Соответствующий опыт потребовал бы использования 32 х 32 = 1024 урн, каждая из которых
должна быть обозначена каким-нибудь двухбуквенным сочетанием и должна содержать в соответствующих количествах всевозможные трехбуквенные сочетания, начинающиеся с данной пары букв. Такой опыт реализовать безумно хлопотно. Поэтому Добрушин воспользовался текстом, взятым из некоторой русской книги. Предоставим читателю самому сообразить, как надлежит работать с текстом книги в данном случае, и ограничимся тем, что просто приведем один из примеров сформированного Добрушиным текста:
Текст № 4
ПОКАК ПОТ ДУРНОСКАКА НАКОНЕПНО ЗНЕ СТВОЛОВИЛСЕ ТВОЙ ОБНИЛЬ
Обратим внимание на то, что текст стал еще более походить на обычный текст. Тут даже появились известные слова («пот» и «твой»), В получившихся непонятных «словах» можно разглядеть такие известные слова, как «пока», «нос», «носка», «кон», «ствол», «ловил». Как показали машинные расчеты, энтропия буквы в данном случае равна Я4= 3,01 бит.
Еще более упорядоченным становится текст, когда принимается во внимание тот факт, что вероятность появления той или иной буквы зависит также от сочетания трех предшествующих букв. Соответствующий опыт предполагает извлечения из 32 х 32 х 32 = 32 768 урн карточек, содержащих различные четырехбуквенные комбинации. Значительно более предпочтителен опыт, аналогичный описанному выше эксперименту с русской книгой. Подобный опыт позволяет сформировать текст, подобный следующему тексту:
Текст № 5
ВЕСЕН ВРАТЬСЯ НЕ СУХОМ И НЕПО И КОРКО
Этот текст состоит из «почти русских» слов и претендует на некоторую осмысленность. Согласно приблизительным оценкам, энтропия буквы равна в данном случае Я5 to 2,5 бит.
Дальнейшее введение информации в систему приведет рано или поздно к формированию нормального литературного текста. Оценки показывают, что в литературном тексте энтропия буквы равна Ялит « 1 бит.
Итак, мы продемонстрировали антиэнтропийный (иными словами, информационный) процесс на примере постепенного формирования
Лит.текстЛит.текстписьменного текста. Этот процесс можно воочию наблюдать; он связан с переходами:
Лит.текст
Лит.текст
|Текст 1| —> |Текст 2| —> |Текст 3| —> |Текст 4| —> |Текст 5| —>
Я1 Я2 Я3 Я4 _ Я- Ялит (28) 5 бит 4,35 бит 3,52 бит 3,01 бит 2,5 бит 1 бит
В данном процессе энтропия буквы в тексте (а значит, и энтропия всего текста) постепенно уменьшается; степень упорядоченности текста возрастает и вместе с этим увеличивается количество информации (не- гэнтропии), содержащейся в тексте; он постепенно приближается к осмысленному тексту.
Обратный процесс {энтропийный процесс) можно наблюдать, рассматривая последовательность текстов в обратном порядке — от литературного текста к тексту № 1. В этом процессе энтропия буквы в тексте возрастает; растет беспорядок в тексте и соответственно уменьшается содержащаяся в нем информация. Текст постепенно приближается к полнейшей абракадабре в виде текста № 1, которую даже просто озвучить не представляется возможным.
Важно отметить, что все энтропии от Нх до Ялит могут быть последовательно получены из формулы Шеннона
Н = ^Pi log 2 2-(29)
Z=1Pi
в процессе постепенно увеличивающейся дифференциации вероятностей — когда какие-то вероятности всё более и более возрастают, причем, разг
зумеется, за счет уменьшения других вероятностей, коль скоро ^pz = 1.
/=1
Энтропия Нх получается, когда рх= р2= р3 = ... = рзъ т. е. когда дифференциации вероятностей вообще нет. Энтропия Я2 получается, когда вероятности рх, р2, р3,..., р32 описываются соотношением (6) из § 8.5, учитывающего безусловную вероятность появления той или иной буквы в тексте, т. е. вероятность безотносительно от вероятности появления других букв. Последующие энтропии учитывают условные вероятности появления букв; для них наборы рх, р2, р3,..., р32 становятся постепенно все более и более дифференцированными.
Если в антиэнтропийном процессе энтропия системы уменьшилась от
НХ = Ка?^2-т до #" = ZAIIlog24r,гPiгPi
то это означает, что в системе произошло накопление количества информации (негэнтропии), которое равно Н1 - Ни; оно может быть представлено формулой:
Нх-Н11 = ^^Р^— ^/>z-log2 р}.(30)
ii
В частности, поскольку при переходе от текста № 1 к литературному энтропия буквы уменьшается с 5 битов до одного, то это означает, что произошло накопление информации в тексте, равное 4 битам в расчете на одну букву.
Заканчивая данный параграф, коснемся вопроса о сочинении письменных текстов компьютерами. Многочисленные эксперименты показали, что компьютеры могут печатать вполне осмысленные (на наш взгляд) тексты, в которых энтропия буквы оказывается равной двум битам или даже менее того. Для этого надо вложить в компьютер соответствующее количество информации — снабдить его достаточным запасом слов и «познакомить» с различными грамматическими правилами. «Познакомив» компьютер с правилами стихосложения, можно получить от него нечто вроде поэтического текста. Вот одно из машинных стихотворений, опубликованное в журнале «Автоматика и телемеханика» в 1977 году:
ДОБРЫЙ РЕЕТ ШЕЛЕСТ
ПЛАЧЕТ ПУСТОТА
СЛУШАЮТ КАЧЕЛИ
И ПОЕТ БЕДА
СТАНЬ ПОКОРНО ГОРЕ
ТОМНО ЛИШЬ ЛЕТИТ И ПРОЗРАЧНО МОРЕ ТАЙНО ШЕЛЕСТИТ И БЕЖИТ ЗЕМНАЯ НЕЗАМЕТНО ТЕНЬ МЕДЛЕННО ЛЕСНАЯ СЛАВИТ ВЛАЖНЫЙ ДЕНЬ.
Бесполезно обсуждать, какой «смысл» вкладывал компьютер в этот текст. Не обладают компьютеры мышлением. Но сравнить такой текст с текстом
№ 5 достаточно интересно. В отличие от текста № 5 здесь значительно больше упорядоченности и, соответственно, меньше энтропии. Отдельные строки машинного стихотворения мы можем осмысленно воспринимать, хотя, конечно, можно заметить, что качели не могут слушать, пустота не может плакать, тишь (тишина) не может летать и к тому же томно. И непонятно, кто же славит влажный день. Впрочем, не следует забывать об аллегориях и метафорах...
Метвду абсолютным порядком
И АБСОЛЮТНЫМ БЕСПОРЯДКОМ
На примере письменных текстов мы наглядно продемонстрировали два противоположных типа процессов — антиэнтропийный (информационный) и энтропийный. В первом случае энтропия системы уменьшается, а негэнтропия (содержащееся в системе количество информации) возрастает. Во втором случае всё происходит наоборот. Фактически эти два типа процессов мы уже рассматривали ранее — в книге «Случайность, необходимость, вероятность» (см. тему 2, озаглавленную «Порядок и беспорядок»), Антиэнтропийные процессы выступали там под именем конструктивных процессов; они приводили к переходам беспорядок -^ порядок. Энтропийные процессы выступали под именем деструктивных процессов; они приводили к переходам порядок —► беспорядок.
В упомянутой теме 2 из предыдущей книги параграф 2.2 имел заглавие «Абсолютный беспорядок и абсолютный порядок — две нелепые крайности». Нелепость воображаемого мира абсолютного беспорядка аргументировалась тем, что в таком мире должны были бы отсутствовать какие-либо причинно-следственные связи, так что всё должно было бы «выглядеть» как мгновенная сиюминутная данность, не обусловленная прошлым и не влияющая на будущее (что эквивалентно исчезновению самого понятия времени). Нелепость воображаемого мира абсолютного порядка, на первый взгляд, не столь очевидна. Жесткая предопределенность и абсолютная упорядоченность может многими восприниматься позитивно несмотря на то, что это исключает полностью какое-либо развитие. Убедительное свидетельство нелепости мира абсолютного порядка появляется после того, как устанавливаются параллели между беспорядком и асимметрией, а также между порядком и
симметрией (см. § 4.5 в книге «Случайность, необходимость, вероятность»), Абсолютно упорядоченный мир оказывается абсолютно симметричным миром, т. е. миром, где все сохраняется при любых преобразованиях, в частности, геометрических — отражениях в зеркале, поворотах, переносах. Очевидно, что в таком мире принципиально невозможно существование каких-либо конкретных объектов; ведь требование полной симметрии (симметрии относительно любых преобразований) могло бы выполняться разве лишь для абсолютно однородной «каши», заполняющей все пространство. Понятно, что ни о каком развитии, ни о какой эволюции не может быть и речи как в абсолютно беспорядочном, так и в абсолютно упорядоченном мире.
Возвращаясь снова к антиэнтропийному процессу формирования письменных текстов, подумаем над тем, к чему в пределе при Н ^ О должен приводить этот процесс. Мы наблюдали, как по мере уменьшения энтропии буквы текст становился все более осмысленным, и знаем, что при Н« 1 бит на букву реализуется текст, соответствующий обычному литературному тексту. Понятно, что продвижение от текста № 1 к литературному тексту рассматривается как некий позитивный процесс, к которому относятся эпитеты «упорядочивающийся», «конструктивный», «информационный». Давайте же доведем этот позитивный процесс до логического завершения, продолжая накапливать информацию и упорядоченность или, иными словами, продолжая уменьшать степень беспорядка и неопределенности (т. е. энтропию).
При некотором уменьшении Н ниже одного бита на букву мы перейдем от литературных текстов к текстам специализированным, понятным лишь для соответствующих специалистов. Возрастание степени дифференциации вероятностей букв в этих текстах связано с увеличением частоты применения каких-то определенных слов и словосочетаний, словесных штампов. При этом уменьшается степень вариативности языка за счет снижения степени его образности и эмоциональности. Текст становится более информационным, более строгим, более упорядоченным. И в то же время (правильнее сказать: по той же причине) он становится более непонятным для непосвященных (иначе говоря, недостаточно информированных) потребителей этого текста.
Продолжая антиэнтропийный процесс дальше, мы, в конечном счете, придем к ситуации, отвечающей предельно большой дифференциации вероятностей букв — когда одна из букв (например, буква А) имеет вероятность 1, а все остальные буквы имеют нулевую вероятность. Очевидно, это как раз и будет предельная ситуация абсолютного порядка,
при которой энтропия обращается в нуль. Согласно формуле Шеннона, имеем в данном случае:
321
Я = llogl +J201og2-^ = 10 + 310 = 0.
/=2U
Вот мы и убедились (теперь уже на «языке» теории информации), что абсолютный порядок (когда Н= 0) выглядит как нелепость. Процесс постепенного упорядочивания письменного текста привел нас в пределе к тексту:
Текст № 6
Итак, в предельном случае полного беспорядка мы имели текст № 1. И вот, потратив немало усилий на то, чтобы все более и более упорядочить текст, мы пришли в предельном случае полного порядка к тексту № 6. Плохо, когда энтропии очень много, и плохо, когда ее очень мало. Мы убедились в этом на примере письменных текстов. Но данный вывод справедлив и в общем случае — для систем любой природы. Чрезмерное увеличение энтропии (чрезмерное увеличение беспорядка в системе) приближает нас к миру хаоса — абсолютно энтропийному миру, характеризующемуся отсутствием причинно-следственных связей. Чрезмерное увеличение негэнтропии (чрезмерное увеличение порядка в системе) приближает нас к абсолютно упорядоченному миру, который можно назвать абсолютно антиэнтропийным миром. В нем полностью отсутствует какое-либо разнообразие, какой-либо выбор.
Реальный мир, окружающий нас, — это мир, где диалектически сочетаются порядок и беспорядок, мир систем, характеризующихся наличием как негэнтропии, так и энтропии. Негэнтропия обеспечивает определенную стабильность системы, ее устойчивость при взаимодействиях с окружающей средой. Энтропия обеспечивает динамичность системы, возможность ее развития, адаптации к непредсказуемо изменяющимся условиям. Об этом надо напоминать любителям чрезмерного упорядочивания, чрезмерной унификации.
В реальном мире совершаются как антиэнтропийные, так и энтропийные процессы. Это хорошо наблюдается в живых организмах. Конечно, письменный текст и живой организм — весьма разные системы. То, что их можно рассматривать с общих позиций (позиций энтропийно-информационного подхода), указывает на общезначимость такого подхода.
ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ 10
Объем V разделен перегородкой на объемы ^ и У2. В объеме V^ находится газ 1 при температуре Т и давлении Р. В объеме У2 находится газ 2 при температуре Т и давлении Р. Перегородку убирают, и газы 1 и 2 смешиваются. Используя соотношение (1), найдите увеличение энтропии системы из двух газов, происходящее в результате их смешивания.
р ( V V Ответ: AS =^ 1п^+У21п^-
Подсчитайте количество макросостояний, их статистические веса и вероятности для системы из восьми частиц, каждая из которых с равной вероятностью может находиться либо в состоянии 1 либо в состоянии 2.
Указание. Макросостояния системы нумеруем по числу / частиц, находящихся в состоянии 1.
Ответ: Система имеет 9 макросостояний, поскольку / = 0,1, 2, ..., 8. Статистические веса макросостояний равны, соответственно, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1. Вероятности макросостояний: 1 /256, 1 /32, 7 /64, 7 /32, 35 /128, 7 /32, 7 /64, 1/32, 1/256.
Подсчитайте, чему равна энтропия системы, рассмотренной в предыдущем задании, для /-го макросостояния в случаях: а) / = 0, б) /= 2, в) / = 4.
Ответы: а) 0, б) 1,1 • 10“23 кал/К, в) 1,4 • 10“23кал/К.
Воспользовавшись каким-либо литературным текстом, сформируйте собственный текст № 2, состоящий в общей сложности из 50 букв.
Воспользовавшись каким-либо литературным текстом, сформируйте собственный текст № 3, состоящий в общей сложности из 50 букв.
ТЕМА 11
ЭНТРОПИЯ и жизнь
Средство, при помощи которого организм поддерживает себя постоянно на достаточно высоком уровне упорядоченности (на достаточно низком уровне энтропии), в действительности состоит в непрерывном извлечении упорядоченности из окружающей среды.
Эрвин Шрёдингер
Краткий экскурс в биологию,ПОСВЯЩЕННЫЙ МЕТАБОЛИЗМУ
/Кивой организм — открытая (незамкнутая, неизолированная) система, которая в течение всей жизни обменивается с окружающей средой, во-первых, веществом и, во-вторых, энергией. Этот обмен называют метаболизмом и рассматривают как основу жизнедеятельности организма, как главную отличительную особенность живого.
Одна из главных сторон метаболизма — питание организма, которое расширительно трактуется как извлечение организмом из окружающей среды как вещества (в частности, углерода), так и энергии. Различают
два основных вида питания — автотрофное (его называют фотосинтезом) и гетеротрофное. Соответственно подразделяют организмы на две группы — автотрофы и гетеротрофы.
Автотрофы добывают углерод, поглощая содержащийся в атмосфере диоксид углерода (углекислый газ), а гетеротрофы добывают углерод, поглощая различные органические соединения, содержащиеся в автотрофах и других гетеротрофах. Для обеспечения себя энергией автотрофы используют световую энергию солнечного излучения, а гетеротрофы — химическую энергию, т. е. энергию, накопленную в химических связях поглощенных гетеротрофами органических соединений. К автотрофам относятся растения и некоторые бактерии. К гетеротрофам относятся все животные и все грибы, а также большинство бактерий.
Итак, организмы-автотрофы забирают из среды только неорганические вещества (в частности, диоксид углерода и воду) и синтезируют из этих веществ органические соединения (прежде всего глюкозу, из которой затем формируются цепочки полисахаридов — крахмала, гликогена, целлюлозы). Забирая из среды световую энергию, автотрофы используют ее для синтеза органических соединений, и тем самым превращают световую энергию в химическую энергию, «упаковывая» последнюю в химических связях синтезируемых соединений.
В отличие от автотрофов, гетеротрофы не синтезируют органических соединений из неорганических веществ, а используют соединения, синтезированные другими организмами — автотрофами или другими гетеротрофами. Прежде, чем синтезировать собственные белки, углеводы, липиды, гетеротрофы расщепляют соединения, синтезированные другими организмами. За счет освобождающейся при расщеплении энергии гетеротрофы и осуществляют собственный синтез. Если автотрофы превращают световую энергию в энергию химических связей, то гетеротрофы превращают энергию одних химических связей в энергию других химических связей.
Метаболизм реализуется в виде большой совокупности процессов. Все эти процессы разделяют на две группы. В одну группу относят процессы анаболизма (ассимиляции) — когда в живых организмах синтезируются сложные органические соединения из достаточно простых молекул. Примеры анаболизма: фотосинтез (из молекул воды и диоксида углерода синтезируются органические соединения — углеводы) и биосинтез белка (из молекул аминокислот «собираются» цепочки молекул белков). В другую группу относят процессы катаболизма (диссимиляции) — когда в организме сложные органические соединения расщепляются на более простые молекулы. Пример катаболизма: процессы дыхания. Происходящее в организмах-гетеротрофах расщепление поглощенных ими
органических соединений также является катаболизмом. Процессы анаболизма нуждаются в получении энергии извне; они превращают ее в энергию химических связей синтезируемых соединений, В процессах катаболизма происходит высвобождение химической энергии расщепляемых соединений.
Метаболизм как обмен энтропией(НЕГЭНТРОПИЕЙ) ОРГАНИЗМА С ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДОЙ
./Кивые организмы — это обладающие низкой энтропией весьма упорядоченные системы. Упорядоченность тем больше, чем выше уровень их организации. Человек, например, — в значительной мере более упорядоченная система, чем, скажем, червь или, тем более, амеба.
Смерть и последующее разложение организма следует рассматривать как его постепенный переход в состояние термодинамического равновесия. Но пока организм живет, он пребывает в неравновесном состоянии при достаточно низкой энтропии, поддерживая это состояние благодаря метаболизму. Как отмечал в своей книге «Что такое жизнь с точки зрения физика» выдающийся австрийский физик Эрвин Шрёдингер (1887-1961), «живой организм питается отрицательной энтропией, чтобы тем самым компенсировать увеличение энтропии, производимое им в процессе жизни, и таким образом поддерживать себя на постоянном и достаточно низком уровне энтропии». Можно сказать, что живой организм — это открытая неравновесная система, непрерывно черпающая порядок (негэнтропию) из окружающей среды. Иными словами, эта открытая неравновесная система благодаря метаболизму постоянно освобождается от энтропии, которую она столь же постоянно производит всю свою жизнь.
Таким образом, метаболизм представляет собой не просто обмен организма со средой энергией и веществом; благодаря метаболизму организм получает от среды негэнтропию или, иными словами, передает в среду энтропию.
В определенном смысле, борьба за существование — это борьба за негэнтропию. Степень успешности борьбы определяется, в частности, тем, насколько эффективно организм противодействует различным разу- порядочивающим факторам, в том числе факторам, вызывающим заболевания. Отметим в этой связи способность живого организма адаптироваться к изменениям внешней среды, оперативно и гибко реагировать на случайные изменения. Эта способность тем выше, чем выше уровень организации того или иного живого организма.
Автотрофы получают негэнтропию, поглощая энергию солнечного света; гетеротрофы извлекают негэнтропию из живых организмов, в том числе из организмов-автотрофов. И всегда пища, потребляемая организмом, имеет более низкую энтропию, чем отходы данного организма.
Первоисточником негэнтропии для живых организмов является, в конечном счете, солнечный свет. Так что Солнце с полным основанием следует рассматривать как первоисточник информации. Воображение рисует глобальный канал передачи информации (канал связи), где отправителем является Солнце, а адресатом — все живые организмы на Земле. По меткому выражению Е.А. Седова, «не люди придумали информацию; информацией их снабжает природа, а человек изобрел только способы получения информации и ее обработки». Добавим сюда способы передачи, хранения и практического использования информации.
Энтропийные и антиэнтропийные процессы
В ЖИВОМ ОРГАНИЗМЕ
Илак, с самой общей точки зрения, живые организмы являются системами, в которых энтропийные процессы, вызывающие старение и приводящие в конечном итоге к смерти, сочетаются с антиэнтропий- ными процессами, противостоящими старению. В первых процессах происходит накопление энтропии в организме, а во вторых процессах происходит освобождение организма от энтропии.
При более детальном подходе обнаруживается сочетание в организме энтропийных и антиэнтропийных процессов в виде сочетания непрерывно происходящих в нем процессов, соответственно, катаболизма и анаболизма. Катаболизм — это диссимиляция, разрушение, расщепление. Понятно, что процессы катаболизма — это энтропийные процессы; они сопровождаются возрастанием энтропии организма. Анаболизм — это ассимиляция, созидание, синтез. Понятно, что процессы анаболизма — это антиэнтропийные процессы; они сопровождаются уменьшением энтропии организма. Пока организм живет, в нем происходят одновременно как те, так и другие процессы. Так что жизнедеятельность следует рассматривать одновременно и как созидание, и как разрушение.
Как уже отмечалось, примером катаболизма является дыхание. На «языке» химических формул дыхание можно проиллюстрировать с помощью реакции окисления глюкозы:
С6Н12О6 + 6О2 6Н2О + 6СО2. (1)
Противоположным процессом (процессом анаболизма) является фотосинтез. Если опустить промежуточные стадии и рассматривать лишь начальные и конечные продукты, то реакцию фотосинтеза можно представить в следующем виде:
6Н2О + 6СО2 СН12О6 + 6О2. (2)
В реакции (1) происходит разрушение относительно сложной молекулы глюкозы С6Н12О6; в результате образуются простые молекулярные структуры, характеризующиеся более низкой организацией. В реакции (2), напротив, из простых молекул «собирается» (синтезируется) относительно сложная молекула С6Н12О6. Повышение энтропии в процессе описываемом реакцией (1), связано не только с возрастанием степени молекулярной неупорядоченности в системе, но и с понижением качества энергии при превращении энергии химических связей молекулы С6Н12О6 в тепловую энергию молекул Н2О и СО2. Соответственно, понижение энтропии в реакции (2) связано как с уменьшением степени молекулярной разупорядоченности, так и с превращением «малокачественной» тепловой энергии молекул в «высококачественную» химическую энергию, которая оказывается «упакованной» в химических связях молекулы глюкозы.
Ярким примером сочетания энтропийных и антиэнтропийных процессов служит пищеварительный процесс, протекающий в организме животных (в частности, человека). Попадающие с пищей в пищеварительный тракт животного полимерные молекулы белков или углеводов расщепляются, превращаясь, соответственно, в молекулы аминокислот и глюкозные мономеры. Эти процессы расщепления являются, очевидно, энтропийными процессами. Затем организм синтезирует из образовавшихся мономерных молекул собственные полимерные органические соединения, что нужно отнести к антиэнтропийным процессам.
Отметим, что энтропийные процессы катаболизма и антиэнтропий- ные процессы анаболизма происходят как в организме в целом, так и в отдельных его клетках. В каждой клетке организма есть, например, маленькие образования (размером 1-10 мкм), называемые митохондриями. Они выполняют обе функции — энтропийную и антиэнтропийную. Энтропийная функция заключается в том, что в митохондриях реализуется процесс клеточного дыхания. Химическая реакция для этого процесса может быть описана уже знакомой нам формулой (1). Антиэнтро- пийная функция митохондрии заключается в том, что она синтезирует так называемые молекулы АТФ (молекулы аденозинтрифосфорной кислоты) и при этом превращает освободившуюся в процессе дыхания тепловую энергию в энергию химических связей молекул АТФ. Именно
эта «упакованная» в химических связях молекул АТФ энергия и используется клеткой в процессе ее жизнедеятельности. Недаром митохондрии нередко называют «внутриклеточными энергостанциями». Количество митохондрий в одной клетке измеряется тысячами (доходит до 100 тысяч).
Генетический код; его универсальность
Говоря об антиэнтропийных процессах внутри клеток организмов, нельзя не коснуться хотя бы вкратце биосинтеза белка — процесса синтезирования молекул-цепочек белка из молекул аминокислот. Этот антиэнтропийный процесс совершается на вкрапленных в большом количестве в цитоплазму каждой клетки весьма маленьких (всего 20 нм = 2 • 10-5 мм в поперечнике) образованиях, называемых рибосомами. Количество рибосом в клетке доходит до 100 тысяч. Каждая рибосома «собирает» белковую молекулу-цепочку, образующую длинную последовательность молекул аминокислот. Число «звеньев» белковой цепочки может превышать тысячу, но все они имеют всего 20 разновидностей (20 типов аминокислот), чередующихся по длине белковой цепочки определенным образом.
Процесс «сборки» белковой цепочки управляется соответствующей молекулой-цепочкой РНК (молекулой рибонуклеиновой кислоты). Молекула РНК дублирует всю наследственною информацию, «записанную» в двойной спирали молекулы ДНК (молекулы дезоксирибонуклеиновой кислоты), находящейся в ядре клетки. Заметим, что каждая молекула ДНК — это основа соответствующей хромосомы. Непосредственно управлять «сборкой» белковых цепочек молекулы ДНК не могут, так как не выходят за пределы ядра клетки. Они «поручают» управление молекулам РНК. «Прибыв на место», т. е. приблизившись к какой-то рибосоме, молекула РНК начинает подобно некой ленте протягиваться сквозь рибосому. По мере того, как эта «лента» протягивается, рибосома «считывает» содержащуюся в молекуле РНК информацию (полученную от молекулы ДНК) и, руководствуясь ею, постепенно «собирает» соответствующую белковую цепочку из находящихся вокруг молекул аминокислот. Эта «сборка» напоминает процесс нанизывания бусинок на нить; бусинками здесь служат молекулы аминокислот.
Мы имеем здесь дело со своеобразным каналом связи, где отправителем является ядро клетки, а адресатом — одна из великого множества рибосом, находящихся в клетке (правильнее говорить о множестве каналов
связи). Обращаясь к схеме канала связи, изображенной на рис. 1 в таблице 26, заметим, что сообщению на входе \|/ соответствует в данном случае наследственная информация, записанная в молекуле ДНК. Каждая из двух цепочек-спиралей молекулы ДНК содержит последовательность «звеньев», называемых нуклеотидами. Они различаются молекулами т. н. азотистых оснований. В молекуле ДНК чередуются вдоль каждой из спиралей в некотором определенном порядке четыре типа азотистых оснований; они имеют названия: Ц — цитозин, Г — гуанин, X — аденин, Т — тимин. Всего в одной молекуле ДНК (и значит, в одной хромосоме) насчитывается свыше десяти тысяч нуклеотидов. Значит, используя четыре различных нуклеотида, можно «записать» на одной хромосоме количество информации не менее log2 410000 = 20 000 бит. Заметим, что число хромосом в клеточном ядре может равняться нескольким десяткам; например, у человека в каждой половой клетке (гамете) имеются 23 хромосомы, а в каждой соматической (неполовой) клетке — 46 хромосом. Заметим также, что отдельные участки хромосомы (и следовательно, молекулы ДНК), «ответственные» за те или иные наследственные признаки, называют генами. Каждая хромосома содержит несколько сотен генов.
Но вернемся к схеме канала связи на рис. 1 в таблице 26. Сигнал на входе Т содержится в молекуле РНК, которой предстоит отправиться от ядра клетки к рибосоме-адресату — такова в данном случае линия связи. Молекула-цепочка РНК точно копирует порядок чередования четырех типов нуклеотидов в одной из спиралей молекулы ДНК; только везде «звено» с азотистым основанием Т (тимином) заменяется в молекуле РНК «звеном» с другим азотистым основанием — урацилом (У). Так что сигнал V представляет собой некоторую последовательность четырех элементарных сигналов (Ц, Г, А, У).
Наш канал связи может считаться идеальным, т. е. не подвергающимся действию случайных помех. Адресат-рибосома принимает сигнал на выходе Q, тождественный сигналу Т, и должна, приступая к «сборке» белковой цепочки из молекул аминокислот, выполнять декодирование сигнала fl в сообщение на выходе со, представляющее собой последовательность аминокислот двадцати типов. Таким образом, выполняя декодирование выходного сигнала, требуется перевести информацию, закодированную четырьмя элементарными сигналами (Ц, Г, А, У), в информацию, закодированную двадцатью элементарными сигналами (двадцатью типами аминокислот).
Как же природа решила эту проблему? Как она реализовала переход от четырехбуквенного алфавита РНК (и ДНК) к двадцатибуквенному
алфавиту белка? Ответ на этот вопрос был найден в 1961-1963 годах группой биохимиков, возглавляемой американским биохимиком Маршаллом Ниренбергом (род. 1927). Оказывается, природа «придумала» генетический код, в котором «буквы» алфавита белка (т. е. аминокислоты) кодируются тройками (триплетами), составленными из «букв» алфавита РНК. Из четырех «букв» (Ц, Г, А, У) можно образовать 4 х 4 х 4 = 64 триплета. Этого с избытком хватает для кодирования двадцати аминокислот. Более того, почти все аминокислоты кодируются не одним, а несколькими триплетами (от двух до шести триплетов на одну аминокислоту). При этом три триплета используются в качестве «знаков препинания», показывающих, когда начинается и когда заканчивается последовательность триплетов, кодирующих информацию, хранящуюся в данном гене.
Посмотрите, как выглядит Таблица генетического кода. В таблице в левом столбце даны все двадцать аминокислот (их названия и сокращенные обозначения). В правой стороне таблицы даны триплеты нуклеотидов, кодирующие соответствующую аминокислоту. Ученые называют эти триплеты кодонами (от глагола «кодировать»).
Таблица генетического кода
Аминокислота
Кодирующие триплеты — кодоны
Аланин
ала
ГЦУ
гцц
ГЦА
ГЦГ
Аргинин
арг
ЦГУ
ЦГЦ
ЦГА
ЦГГ
АГА
АГГ
Аспарагин
асн
ААУ
АЦЦ
Аспарагиновая
асп
ГАУ
ГАЦ
кислота
вал
ГУУ
ГУЦ
ГУА
ГУГ
Валин
Гистидин
гис
ЦАУ
ЦАЦ
Глицин
гли
ГГУ
ГГЦ
ГГА
ГГГ
Глутамин
глн
ЦАА
ЦАГ
Глутаминовая кислота
глу
ГАА
ГАГ
Изолейцин
иле
АУУ
АУЦ
АУА
Лейцин
лей
ЦУУ
ЦУЦ
ЦУА
ЦУГ
УУА
УУГ
Лизин
лиз
ААА
ААГ
Метионин
мет
АУГ
Пролин
про
ццу
ццц
ЦЦА
ЦЦГ
Серин
сер
УЦУ
УЦЦ
УЦА
УЦГ
АГУ
АГЦ
Тирозин
тир
УАУ
УАЦ
Треонин
тре
АЦУ
АЦЦ
АЦА
АЦГ
Триптофан
три
УГГ
Фенилаланин
фен
УУУ
УУЦ
Цисстсин
цис
УГУ
УГЦ
Знаки препинания
УГА
УАГ
УАА
Совсем нетрудно научиться пользоваться данной таблицей. Допустим, цепочка РНК представлена вот такой последовательностью десяти кодов:
гцц
ГАА
УУЦ
АЦА
АУА
ГАГ
ААЦ
ГУЦ
УЦУ
ААГ
Первым идет кодон ГЦЦ. Смотрим в таблицу. Видим, что этим кодоном кодируется аминокислота аланин. Записываем: «ала». Затем идет следующий кодон: ГАА. Тут надо заметить, что кодоны следуют по цепочке друг за другом, не пере- крываясь и не оставляя промежутков в один или более нуклеотидов. Согласно таблице, кодону ГАА соответствует аминокислота «глу». И так далее. И вот перед нами белковая цепочка из десяти аминокислот:
ала
глу
фен
тре
иле
глу
асн
вал
сер
ЛИЗ
Обратим внимание на удивительный факт. Оказывается, что у всех организмов (у человека, собаки, бабочки, инфузории, бледной поганки, моркови и т. д.) наследственная информация записана в молекулах ДНК с использованием одних и тех же четырех нуклеотидов, а белковые молекулы собраны из одних и тех же двадцати аминокислот. При этом во всех случаях реализуется универсальная схема перевода четырехбуквенного алфавита нуклеиновых кислот в двадцатибуквенный алфавит белков. Иначе говоря, приведенная выше таблица генетического кода является одной и той же для всех организмов на Земле. Это есть, наверное, самое убедительное доказательство единства происхождения всех живых организмов. Это потрясающее обстоятельство внутренне роднит нас, людей, со всеми, кто живет вместе с нами на планете, — со всеми животными, растениями, грибами, бактериями.
Эволюция жизни на Земле как глобальныйАНТИЭНТРОПИЙНЫЙ ПРОЦЕСС
Решающая роль мутаций. Эволюция жизни на Земле представляет собой глобальный антиэнтропийный процесс. Существенно, что именно энтропия является необходимым условием существования этого процесса. Ведь в основе эволюции лежат мутации — неупорядоченные (случайные) изменения наследственных свойств организма в результате непредвиденных перестроек и различного рода нарушений в хромосомах и генах. Как известно, эволюция происходит путем естественного отбора случайно возникающих мутаций. Естественный отбор формирует
комбинации признаков и свойств, обеспечивающих адаптацию организмов к условиям внешней среды.
Отдельная мутация — это флуктуация. Она может быть вызвана тепловым движением молекул живого вещества, а также различными внешними факторами (т. н. мутагенными факторами). К мутагенным факторам относятся различные излучения (например, радиоактивное) и многие химические вещества. Допустим, произошла такая флуктуация в зиготе (клетке, образующейся при слиянии мужской и женской гамет). В результате в зиготе появились гены-мутанты, изменяющие как-то свойства организма. По мере развития данного организма произойдут многократные деления его клеток, и в итоге ген-мутант будет продублирован примерно 1015 раз. Если мутация наградила данный организм свойствами, помогающими ему адаптироваться к внешним условиям, то увеличится вероятность этому организму выжить и дать потомство, которое унаследует благоприобретенные свойства.
С точки зрения эволюции, мутации, безусловно, полезные — более того, они необходимы. Огромное разнообразие генов у каждого вида, а также многообразие существующих на Земле видов (около двух миллионов) — все это есть следствие многочисленных мутаций, которые происходили на протяжении многих миллионов лет (происходят и поныне). С точки же зрения отдельного организма, мутации, как правило, вредны; в отдельных случаях даже смертельны. Как следствие длительной эволюции, организм появляется на свет со сложным генотипом, достаточно хорошо приспособленным к условиям обитания. Случайное изменение генотипа скорее всего вызовет какие-то нарушения в отлаженном биологическом механизме.
Появление мутаций в половых клетках организмов способствует расширению фонда генов, которым обладает тот или иной вид, что делает вид более многообразным и может приводить к появлению новых видов. Опасно, если у данного вида мутации будут возникать слишком редко. В этом случае повышается вероятность того, что при каком-нибудь внезапном и значительным изменении внешних условий данный вид не сумеет приспособиться к новым условиям и погибнет. Например, мамонты не сумели приспособиться к резкому похолоданию во время очередного ледникового периода, оказавшегося особенно мощным, и в итоге вымерли. Опасно также, если мутации будут возникать слишком часто (например, вследствие радиоактивного заражения среды обитания). В этом случае может сильно повыситься смертность многих организмов, что тоже может привести к гибели тех или иных видов.
Многообразие видов как результат длительной эволюции. Наблюдаемое ныне многообразие видов, где наряду с простейшими сосуществуют и весьма сложные виды, есть результат эволюции, длившейся более трех миллиардов лет. Примерно 3,5 миллиарда лет назад сформировались первые одноклеточные организмы, не имевшие ни ядра, ни митохондрий, ни других внутриклеточных образований (ученые называют их прокариотами). Первичными прокариотами были анаэробные гетеротрофы; они питались накопившимися в древних водоемах органическими соединениями, расщепляя их и затем синтезируя из продуктов расщепления свои собственные структуры. Процесс расщепления происходил в отсутствие свободного кислорода; это было бескислородное (анаэробное) расщепление (такой процесс называют также гликолизом).
Отметим, что эволюция жизни на Земле не привела к исчезновению анаэробных гетеротрофов. Они сохранились в виде бактерий, играющих весьма важную роль в природе, превращая органику в неорганику в результате процессов брожения и гниения. Если бы на Земле не было анаэробных бактерий-гетеротрофов, то куда бы девались останки животных и прекратившие жизнедеятельность растения?
Возвращаясь на 3 миллиарда лет назад, отметим, что в те времена запасы органической пищи в водоемах постепенно всё более истощались, и анаэробным гетеротрофам грозило вымирание. Но развитие жизни не зашло в тупик. Примерно 3 миллиарда лет назад эволюция нашла выход: появились бактерии, способные превращать с помощью солнечного света неорганические вещества в органические. Эти были первичные автотрофы (бактерии-фотосинтетики). С их появлением на Земле возник фотосинтез.
Сначала зародились бактерии-фотосинтетики, которые не выделяли кислорода в атмосферу. Такой фотосинтез называется аноксигенным, т. е. бескислородным. Одними из первых бактерий-фотосинтетиков были зеленые серобактерии, потреблявшие сероводород (H2S) и диоксид углерода (СО2) из продуктов извержения многочисленных вулканов. Как и обычный фотосинтез (с выделением кислорода) фотосинтез у серобактерий имел две стадии (две фазы) — световую, которая протекала с помощью солнечного света, и темновую, которая не нуждалась в свете. В световой фазе бактерии поглощали сероводород и расщепляли его молекулы на атомы, используя энергию света. В темновой фазе бактерии поглощали диоксид углерода и вырабатывали глюкозу и воду. При этом некоторые продукты, появившиеся в световой фазе, поглощались в темновой фазе. Не рассматривая по отдельности реакции, протекав-
шие в световой и в темновой фазах, приведем реакцию, выражающую суммарный результат:
12H2S+АПоглощается бактериями в световой фазе12H2S+АПоглощается бактериями в световой фазе6СО2А6СО2АПоглощается бактериями в темновой фазеПоглощается бактериями в темновой фазе=12S+С6Н12О6 + 6Н2О=12S+С6Н12О6 + 6Н2ОВыделяетсяВыделяетсябактериямибактериямив световой фазе в темновой фазеВыделяетсяВыделяетсябактериямибактериямив световой фазе в темновой фазе
12H2S+
А
Поглощается бактериями в световой фазе
12H2S+
А
Поглощается бактериями в световой фазе
6СО2А
6СО2А
Поглощается бактериями в темновой фазе
Поглощается бактериями в темновой фазе
=12S+С6Н12О6 + 6Н2О
=12S+С6Н12О6 + 6Н2О
ВыделяетсяВыделяется
бактериямибактериями
в световой фазе в темновой фазе
ВыделяетсяВыделяется
бактериямибактериями
в световой фазе в темновой фазе
Аноксигенный фотосинтез
Как бы ни старались вулканы, однако рано или поздно запасы сероводорода на Земле должны были истощиться. Назревал новый кризис в развитии жизни. Он был преодолен благодаря появлению примерно 2,3 миллиарда лет назад синезеленых водорослей. Название «водоросли» не должно вводить в заблуждение, так как фактически это не растения, а бактерии (т. н. цианобактерии). В отличие от серобактерий синезеленые водоросли «научились» расщеплять молекулы воды (что, кстати, значительно труднее, чем расщеплять молекулы сероводорода). При фотосинтезе синезеленых водорослей в атмосферу стал выделяться кислород. Такой фотосинтез называют оксигенным, т. е. кислородным. Все зеленые растения участвуют именно в оксигенном фотосинтезе. Суммируя реагенты, участвующие в световой и темновой фазах оксигенно- го фотосинтеза, получаем следующее уравнение (оно работает при фотосинтезе не только синезеленых водорослей, но и вообще всех зеленых растений):
12Н2О12Н2О6СО26СО26О26О2С6Н12О6 + 6Н2ОС6Н12О6 + 6Н2О
12Н2О
12Н2О
6СО2
6СО2
6О2
6О2
С6Н12О6 + 6Н2О
С6Н12О6 + 6Н2О
Поглощаетсябактериямив световой фазеПоглощаетсябактериямив световой фазеПоглощается бактериями в темновой фазеПоглощается бактериями в темновой фазеВыделяется бактериями в световой фазеВыделяется бактериями в световой фазеВыделяется бактериями в темновой фазеВыделяется бактериями в темновой фазе(4)(4)
Поглощаетсябактериямив световой фазе
Поглощаетсябактериямив световой фазе
Поглощается бактериями в темновой фазе
Поглощается бактериями в темновой фазе
Выделяется бактериями в световой фазе
Выделяется бактериями в световой фазе
Выделяется бактериями в темновой фазе
Выделяется бактериями в темновой фазе
(4)
(4)
Оксигенный фотосинтез
Фактически реакция (4) нам уже знакома (см. (2)).
После того, как синезеленые водоросли начали подпитывать земную атмосферу кислородом, настал черед возникновения прокариот,
способных поглощать кислород. Такие прокариоты появились примерно 2 миллиарда лет назад; это были аэробные бактерии.
Таким образом, в результате эволюции прокариот на Земле возникли несколько разных типов одноклеточных организмов. Наряду с самыми первыми прокариотами (анаэробными гетеротрофами) существовали бактерии-фотосинтетики (в том числе синезеленые водоросли) и аэробные бактерии. И тут эволюция сделала два важных хода.
Первый ход заключался в том, что первичные прокариоты и аэробные бактерии вступили в симбиоз. Таким термином принято называть взаимополезное «сожительство». Аэробные бактерии внедрились внутрь первичных прокариот, поскольку жизнь внутри другой клетки имеет свои преимущества с точки зрения обеспечения питанием. Первичные прокариоты при этом тоже выиграли — они могли пользоваться энергией, запасенной в химических связях молекул аэробных бактерий. Со временем аэробные бактерии внутри клетки превратились в митохондрии («внутриклеточные энергостанции»). Симбиоз двух столь разных прокариот потребовал единого управления новой (объединенной) клеткой, поэтому начало формироваться внутриклеточное ядро — прокариоты стали превращаться в эукариоты. Так эволюция привела к возникновению примерно 1,7 миллиарда лет назад одноклеточных эукариот-гете- ротрофов. Это были далекие предки животных и грибов.
Далее эволюция сделала второй важный ход. Некоторые эукариоты- гетеротрофы вступили в симбиоз с синезелеными водорослями. Точнее говоря, синезеленые водоросли внедрились внутрь эукариот-гетеротро- фов и со временем превратились в хлоропласты (органеллы растительных клеток, в которых как раз и происходят процессы фотосинтеза). В результате эукариоты-гетеротрофы перешли на автотрофный тип питания. Так возникли примерно 1,5 миллиарда лет назад одноклеточные эукариоты-автотрофы — далекие предки растений.
Схема возникновения одноклеточных эукариот с гетеротрофным питанием и с автотрофным питанием на основе симбиоза прокариот разного типа представлена на рис. 1 в таблице 34.
Возникнув полтора миллиарда лет назад, одноклеточные эукариоты долгое время не формировали многоклеточных организмов. Можно предположить, что первые многоклеточные эукариоты появились лишь спустя 500 миллионов лет, т. е. примерно 1 миллиард лет назад. А до того происходил процесс постепенного совершенствования эукариот- ной клетки: приживались к новой «обстановке» аэробные бактерии и синезеленые водоросли, превращаясь, соответственно, в митохондрии
Таблица 34. Эволюция жизни на Земле
и хлоропласты, формировалось клеточное ядро, отрабатывался механизм деления клетки.
Без сомнения, все многоклеточные эукариоты возникли в ходе эволюции из одноклеточных эукариот благодаря естественному отбору, поскольку многоклеточностъ давала много преимуществ живому организму. Она привела к специализации клеток внутри организма и к появлению у организма различных органов, выполняющих те или иные функции.
Рассматривая зарождение и развитие жизни на Земле, ученые выделяют два периода — криптозой (в переводе с греческого «скрытая жизнь») и фанерозой («явная жизнь»). Криптозой начался более 4 миллиардов лет назад (еще до появления первичных прокариот) и завершился 570 миллионов лет назад. Затем начался фанерозой, продолжающийся и поныне.
Эволюция многоклеточных эукариот в криптозое происходила исключительно в водоемах. По-видимому, наблюдались различные пути эволюционных превращений первых многоклеточных. Некоторые перешли к сидячему образу жизни и превратились в организмы типа губок. Другие ползали, перемещаясь по дну с помощью ресничек; от них произошли плоские черви. Третьи сохранили плавающий образ жизни, приобрели ротовое отверстие и дали начало кишечнополостным. Никаких скелетов — ни внутренних, ни внешних — у организмов, обитавших в морях криптозоя, не было. Скелеты появились позднее — в начале фанерозоя.
Весь фанерозой разбивают на три эры — палеозой, мезозой и кайнозой. Эры подразделяют на периоды. Всего выделяют 12 периодов — см. рис. 2 в таблице 34. Числа в кружочках на этом рисунке показывают, сколько миллионов лет назад начался тот или иной период. Используя их, легко подсчитать длительность каждого периода в миллионах лет. На этом же рисунке можно видеть, что постепенно в ходе эволюции из менее сложных организмов возникали более сложные.
Конечно, процесс эволюции нельзя рассматривать как простой переход от менее сложных видов и организмов к более сложным. Наиболее простые организмы — прокариоты (бактерии) и одноклеточные эукариоты — до сих пор существуют на Земле, равно как существуют беспозвоночные, рыбы, земноводные и др. Строго говоря, эволюция шла (и идет) не от простого к сложному, а от менее приспособленного к более приспособленному, поскольку именно так действует естественный отбор. И главным результатом такого процесса является увеличение числа видов, все большее и большее их разнообразие.
Тем не менее в целом можно констатировать постепенное появление в ходе эволюции всё более и более сложных видов, так что эволюция жизни на Земле должна рассматриваться как глобальный антиэнтропий- ный процесс.
Почему эволюция идет в целом в направлении постепенного усложнения видов? Мы приблизились, наконец, к самому острому вопросу. Почему эволюция жизни на Земле идет в целом в направлении постепенного усложнения видов? Иными словами, почему, несмотря на решающую роль энтропии, эволюционный процесс оказывается в целом глобальным антиэнтропийным процессом?
Попытаемся ответить на этот вопрос. Прежде всего заметим, что исторически первыми были не сложно организованные, а простые и, более того, простейшие организмы и виды. Уже отсюда следует, что обусловленное случайными факторами (т. е. мутациями) появление новых видов не могло обойтись без появления более сложных видов. При общем возрастании разнообразия адаптированных к условиям среды видов неизбежно случайное появление видов с более высокими уровнями организации.
Далее отметим, что случайный характер возникновения видов предопределяет не только их уникальность (невосполнимость в случае гибели), но и необратимость всего эволюционного процесса. Так, возникновение на каких-то этапах амфибий от рыб, рептилий от амфибий, млекопитающих от рептилий — это процессы необратимые. Обратные переходы (от млекопитающих к рептилиям, от рептилий к амфибиям, от амфибий к рыбам) принципиально невозможны. Вернувшись в водную среду, некоторые позвоночные (такие рептилии как ихтиозавры или такие млекопитающие как киты) отнюдь не превращались в рыб.
Отметим, наконец, еще одно немаловажное обстоятельство. Более высокие уровни организации обладают более значительным количеством негэнтропии (информации), помогающей более оперативно и гибко приспосабливаться к внешним условиям и тем самым повышают вероятность выживания при тех или иных изменениях внешних условий.
Казалось бы, вполне понятно, почему эволюционный процесс оказывается в целом антиэнтропийным процессом. И тем не менее было бы преждевременно ставить точку. Почему бы не принять точку зрения, согласно которой эволюционный процесс, являясь на начальных этапах по необходимости антиэнтропийным, становится с течением времени в какой-то степени сбалансированным — когда возникновение более сложных видов как бы уравновешивается возникновением
менее сложных видов? Почему бы не допустить, что если более сложные виды выживают за счет своей более высокой организации, то менее сложные виды выживают за счет более быстрого и массового размножения?
В этой связи уместно вспомнить выступление эстонского академика Густава Наана на Всесоюзной конференции по философским вопросам естествознания в Москве в 1959 году. «При анализе совокупности фактов, известных науке, — говорил академик, — трудно избавиться от подозрения, что список фундаментальных законов природы существенно не полон, что в нем не хватает по крайней мере одного очень общего закона. В самом деле. Мы имеем законы, ответственные, грубо говоря, за стабильность. Это законы сохранения, прежде всего закон сохранения энергии. Мы имеем закон, ответственный за направленность процессов природы, — второй закон термодинамики. Он говорит об универсальной эволюции в направлении всё большего беспорядка. Между тем мы наблюдаем в природе разнообразные процессы антиэнтропий- ного характера — процессы возникновения сложного из более простого. Быть может, возникновение звезд, планет, галактик, происхождение жизни и ее эволюция именно потому с трудом поддаются раскрытию, что нам неизвестен соответствующий общий закон, и мы находимся во власти сильно укоренившегося представления о том, что все эти явления могут получить объяснение только как достаточно редкое исключение из общего правила».
ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ 11
1. Цепочка РНК представлена следующей последовательностью кодонов:
ЦУУ
ццу
ГГА
ГЦА
АГЦ
ААА
ГАЦ
ГУУ
УУУ
ЦАГ
ЦГУ
ААУ
УГУ
УГГ
ГАА
ЦАУ
Напишите соответствующую последовательность аминокислот.
Ответ: лей-про-гли-ала-сер-лиз-асп-вал-фен-глн-арг-асн-цис-трп-глу-гис.
2. Используя четыре нуклеотида (А, Г, Ц, У), составьте все возможные их пары. Ответ: АА, ГА, ЦА, УА, АГ, ГГ, ЦГ, УГ, АЦ, ГЦ, ЦЦ, УЦ, АУ, ГУ, ЦУ, УУ.
3. Подсчитайте, сколько различных четверок (квартетов) можно образовать, используя четыре разных нуклеотида.
Ответ: 256.
4. Предположим, что нуклеотидный алфавит состоял бы не из четырех, а из пяти «букв». Сколько кодирующих триплетов можно было бы составить в этом случае? Ответ: 125.
В целом процесс фотосинтеза — это процесс анаболизма. Однако в нем есть составляющая, которую следует отнести к катаболизму. В чем заключается эта составляющая?
Ответ: Эта составляющая — расщепление молекул воды, происходящее в световой фазе.
Откуда берется свободный кислород при оксигенном фотосинтезе — из воды или из диоксида углерода?
Ответ: из воды, как это хорошо видно из реакции (4).
Используя данные, представленные в 11.5.2, оцените, во сколько раз длительность существования на Земле бактерий больше длительности существования на ней; а) рыб, б) земноводных, в) пресмыкающихся, г) млекопитающих.
Ответы: а) 8, б) 9, в) 10, г) 14.
Почему случайность возникновения новых видов живых организмов обусловливает необратимость процесса видообразования (процесса эволюции)? Выскажите свои соображения на этот счет.
ТЕМА 12
ЭВОЛЮЦИЯ РОЛИ ВЕРОЯТНОСТИВ ЧЕЛОВЕЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ(ОТ ИГРЫ В КОСТИК НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙРЕВОЛЮЦИИИ ИНФОРМАЦИОННОМУ ВЗРЫВУ)
Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания.
Пьер Симон Лаплас
Раскроем поэму Данте (1265-1321) «Божественная комедия». В той ее части, которая называется «Чистилище», есть такие строки (см. начало песни шестой):
Когда кончается игра в три кости.
То проигравший снова их берет И мечет их один в унылой злости...
Перед нами свидетельство того, что уже в XIV столетии была известна игра в кости. Есть основания полагать, что играть в кости люди
начали гораздо раньше. Ну кто бы мог тогда предположить, что эти безобидные развлечения приведут со временем к подлинному перевороту в представлениях людей о закономерностях окружающего мира?
В современных автомобилях используются, в частности, карданные механизмы — шарнирные механизмы, обеспечивающие вращение двух валов под переменным углом. Прообразом карданного механизма является подвес, изобретенный в XVI столетии итальянцем Джероламо Кардано (1501-1576). Этот талантливый итальянец был также врачом, философом, математиком. После кончины Кардано в его бумагах была найдена работа, озаглавленная «Книга об игре в кости». Есть основания считать, что именно с этой работы и началась теория вероятностей. Классического определения вероятности, да и самого этого понятия в данном труде мы не находим — там просто подсчитываются величины ставок и шансы игроков. Но эти подсчеты фактически предвосхитили как теорему сложения вероятностей для несовместных событий, так и теорему умножения вероятностей для независимых событий.
Становление и первые шаги теории вероятностей как математической науки связывают с такими видными учеными XVII столетия как Блез Паскаль (1623-1662), Пьер Ферма (1601-1665), Христиан Гюйгенс (1629-1695), Якоб Бернулли (1654-1705). Дальнейшее развитие теории вероятностей происходило в XVIII-XIX столетиях благодаря трудам многих видных математиков, среди которых следует особо отметить выдающихся представителей французской науки Пьера Симона Лапласа (1749-1827) и Симеона Дени Пуассона (1781-1840) и Петербургской математической школы Пафнутия Львовича Чебышева (1821-1894), Андрея Андреевича Маркова (1856-1922), Александра Михайловича Ляпунова (1857-1918). Во второй половине XIX-го столетия теория вероятностей проникает в физику (благодаря работам Джеймса Клерка Максвелла (1831-1879), Людвига Больцмана (1844-1906), Джозайи Уилларда Гиббса (1839-1903)), а также в биологию (благодаря не получившим должного признания современников работам Грегора Иоганна Менделя (1822-1884)). В ХХ-м столетии весьма существенный вклад в развитие теории вероятностей внесли российские ученые: Сергей Натанович Бернштейн (18801968), Александр Яковлевич Хинчин (1894-1959), Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987), Борис Владимирович Гнеденко (1912-1995).
В своем развитии теория вероятностей прошла долгий путь, на котором ей пришлось испытать весь спектр оценок — категорическое неприятие, сомнения по поводу корректности получаемых результатов, предсказания огромного успеха. Известный английский философ Джон
Толанд (1670-1722) утверждал: «Величайшей нелепостью представляется мне обожествление случайного, этой противоположности всякому порядку, разуму и плану». Известный английский химик Джозеф Пристли (1733-1804) высказывался столь же категорично: «Согласно установленным законам природы ни одно событие не могло произойти иначе, чем оно произошло или произойдет; все явления в прошедшем, настоящем и будущем в точности таковы, как задумал их Творец природы». Выдающийся французский математик и физик Жан Лерон Д’Аламбер (1717-1783) опубликовал работу, озаглавленную «Сомнения и вопросы относительно теории вероятностей». В одном из своих трудов (1761) Д’Аламбер прямо заявлял, что теорию вероятностей «нельзя отнести к точным и верным исчислениям ни по принципам, ни по результатам». А вот знаменитый Лаплас, живший в те же годы, совсем иначе оценивал значение теории вероятностей. Вот некоторые из его высказываний: «Большей частью важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами из теории вероятностей... Нет науки более достойной наших размышлений и результаты которой были бы более полезны».
Эти пророческие слова произнесены где-то в начале XIX-го века. И только сто лет спустя пророчество Лапласа начало сбываться. А до того вероятность в широкой общественной практике по сути дела не применялась, серьезным отношением со стороны общественного мнения не пользовалась, в рамках общего среднего образования не изучалась. Вспомним, что блестящие исследования Больцмана, Гиббса, Менделя не нашли признания и поддержки у их современников. И даже великий Эйнштейн, немало сделавший в свое время для становления статистической физики (мы имеем в виду его теорию броуновского движения и квантовую статистику, известную ныне как статистика Бозе—Эйнштейна), пытался до конца жизни «освободить» физическую науку от вероятностей, заявляя, что «Бог не играет в кости».
Двадцатый век награждают разными эпитетами. По нашему мнению, наиболее правильно было бы называть его «веком вероятностей», или, точнее говоря, «веком осознания человеческим обществом принципиальной и исключительной важности вероятности». Причем важности как для процесса познания человеком окружающего мира, так и для конкретной практической деятельности людей, реализующей то, что именуют научно-техническим прогрессом. Проще говоря, двадцатое столетие — это столетие, в котором люди стали, наконец, по-настоящему осознавать, какие широкие возможности таятся в теории вероятностей, в вероятностных подходах, моделях, системах. Человеческий ра-
зум стал, наконец, преодолевать веками складывавшийся стереотип негативного отношения к случайному.
Итак, в двадцатом столетии вероятность, образно выражаясь, вышла в жизнь, в человеческую практику. Можно считать, что этот «выход в жизнь» в существенной мере связан с развитием исследований в трех областях. Во-первых, отметим активно развивающуюся, начиная с первой четверти столетия, область научно-технической деятельности, называемую исследованием операций, или, иначе говоря, теорию принятия решений. Во-вторых, отметим состоявшийся в первой трети столетия мощный прорыв физики в изучении свойств материи. Этот прорыв ознаменовался возникновением квантовой механики, от которой затем родились квантовая электродинамика, квантовая электроника, квантовая химия, квантовая теория твердого тела. В-третьих, отметим создание в сороковых годах первых компьютеров на электронных лампах, последовавшее затем бурное развитие компьютерной техники, появление кибернетики и, наконец, информатики.
Работы в области исследования операций показали, что обращение к вероятности позволяет решать многие практически важные задачи планирования, проектирования, управления в разных сферах человеческой деятельности с учетом реальных условий, предполагающих наличие различного рода неопределенностей. Применение теории вероятностей дало возможность моделировать случайные процессы и, в частности, просчитывать системы массового обслуживания и разрабатывать игровые методы обоснования оптимальных решений. Выяснилось, что теория вероятностей позволяет успешно использовать против случайностей сами же случайности и находить решения в сложнейших ситуациях с помощью метода Монте-Карло.
Уже сказанного достаточно для того, чтобы признать исключительную полезность вероятности для человеческой практики и найти ей место в рамках современного общего образования. Однако ценность вероятности этим отнюдь не исчерпывается. Идеи Максвелла, Больцмана, Гиббса о фундаментальной роли вероятностных закономерностей в физике вещества получили в первой трети ХХ-го века мощное развитие, которое привело к созданию квантовой механики — новой физической теории, причем теории принципиально вероятностной. В определенном смысле все новейшее естествознание (начиная с середины ХХ-го столетия) опирается на квантовую механику или, более широко, на квантовую физику. В третьей части книги мы уделим идеям и принципам квантовой механики достаточное внимание. А пока отметим лишь, что построенная на вероятностных принципах квантовая
физика оказалась теоретической основой современного учения о структуре и свойствах материи.
Не будет преувеличением сказать, что именно появление и развитие квантовой физики привело к тому, что в середине ХХ-го столетия наука превратилась в ведущий фактор развития общественного производства. Это «превращение» принято называть научно-технической революцией (сокращенно: НТР). Как отмечал академик Б.М. Кедров, «самая важная особенность НТР в том, что развитие науки опережает развитие техники, как бы прокладывая путь для дальнейшего ее развития» (курсив наш. — Автор).
Вспомним промышленную революцию XIX-го столетия, связанную с изобретением паровой машины. В тот период техника опережала в своем развитии науку, заставляя последнюю заниматься обоснованием технических достижений (вспомним, что термодинамика возникла поначалу как «теория паровых двигателей»), В случае же НТР мы имеем качественно иную ситуацию — когда ведущим (движущим) фактором научно-технического прогресса оказывается наука. Во многом это объясняется тем, что достижения в области квантовой физики позволили не только вычислять те или иные параметры вещества, но и создавать вещества с наперед заданными свойствами. Нелишне подчеркнуть при этом, что все расчеты тех или иных параметров вещества проводились на основе вероятностных закономерностей.
Отметим три выдающихся изобретения, во многом предопределивших НТР, — ядерный реактор (1942), транзистор (1948), лазер (1960). Благодаря этим трем изобретениям возникли, соответственно, ядерная энергетика, полупроводниковая техника, лазерная техника. Существенно, что и физика ядерного реактора, и физика транзистора, и физика лазера являются, по большому счету, разделами квантовой физики.
Говоря об НТР, нужно особо отметить появление и весьма быстрое развитие компьютеров:
в 1953-1954 годах на электронных лампах (с быстродействием до 104операций в секунду),
в 1958-1960 годах на транзисторах (до 106 операций в секунду),
в 1965-1966 годах на полупроводниковых малых интегральных схемах (до 107 операций в секунду),
в 1976-1979 годах на больших интегральных схемах (до 108 операций в секунду).
в 1990-1992 годах на сверхбольших интегральных схемах (до 1012 операций в секунду).
Мы отметили здесь лишь пять первых поколений компьютеров. Отметим также, что если мировой парк компьютеров в 1960 году составлял всего 5000 штук, то в 1975 году парк компьютеров вырос до 300 000 штук, а в 1992 году — превысил 100 000 000 штук.
Бурное развитие компьютерной техники во второй половине ХХ-го столетия вывело НТР на новый уровень — привело к развитию космонавтики и кибернетики. Впрочем, дело тут не только в появлении все более и более совершенных компьютеров. Другим решающим фактором явилось превращение теории электрической связи в теорию информации. И тут вероятность еще раз (и притом особенно громко) заявила о себе — само понятие количества информации, как выяснилось, выражается через вероятность, а задачи кодирования, передачи и обработки информации являются вероятностными задачами. Как тут не вспомнить пророческие слова Лапласа, сказанные сто лет назад!
О кибернетике и информатике мы поговорим в беседе, которая завершит вторую часть данной книги. А пока подчеркнем главное (если не главнейшее) достижение человечества в конце ХХ-го столетия — весьма и весьма многообещающий «симбиоз» в виде взаимовыгодного тесного союза вычислительной техники и основанной на вероятности теории информации. Наблюдаемый сегодня информационный взрыв можно рассматривать как апофеоз вероятности, которая, наконец, явила человеческому обществу свою подлинную значимость.
ЗАВЕРШАЮЩАЯ БЕСЕДА:
ИНФОРМАТИКА И ВЕРОЯТНОСТЬ
...Человечество вступило в пору информационной революции и встало на путь перехода к информационному обществу. Конечно, овладение информацией невозможно без появления науки о ней. Информатика играет такую же фундаментальную роль, как те науки, которые помогли человечеству проникнуть в тайны вещества и энергии. Поэтому информатику по праву называют царицей наук в информационном обществе.
Д.А. Поспелов, академик, Президент Ассоциации искусственного интеллекта
Часть первая,в которой обсуждается весь спектр проблем,ОХВАТЫВАЕМЫХ СЕГОДНЯ ИНФОРМАТИКОЙ
'ЧатаА&х.й. Наша беседа посвящена информатике. Хотелось бы прежде всего уточнить, что же сегодня называют информатикой. И чем она отличается от кибернетики. В книге В.Д. Пекелиса «Кибернетика от А до Я: Маленькая энциклопедия» (Москва: «Детская литература», 1990) о кибернетике говорится, что это есть «наука о процессах управления в сложных динамических системах», а об информатике говорится, что это есть «комплексная научная и инженерная дисциплина, изучающая все аспекты разработки, проектирования, создания, функционирования систем переработки информации». Короче говоря, кибернетика — это наука об управлении в разных системах, а информатика — наука о системах переработки информации, т. е. наука о компьютерах. Но вот я 336
заглянул в более поздний литературный источник — Большой энциклопедический словарь, изданный в 1997 году в научном издательстве «Большая российская энциклопедия». Там написано, что информатика — это «отрасль науки, изучающая структуру и общие свойства информации, а также вопросы, связанные с ее сбором, хранением, поиском, переработкой, преобразованием, распространением и использованием в различных сферах деятельности». Кибернетику же Большой энциклопедический словарь определяет как «науку об управлении, связи и переработке информации». Там же отмечается, что «теоретическое ядро кибернетики составляют теория информации, теория алгоритмов, теория автоматов, исследование операций, теория оптимального управления, теория распознавания образов». Кроме того, в Словаре говорится, что «кибернетика разрабатывает общие принципы создания систем управления и систем для автоматизации умственного труда».
Автор. Что же Вам тут непонятно?
*Ч*АеиИе<<*. Многое. Почему, например, информатика в Словаре именуется отраслью науки? Какой именно науки? Если информатика изучает структуру и общие свойства информации, а также занимается ее переработкой, то почему она «отдает» кибернетике теорию информации? Почему в одной книге кибернетика занимается только процессами управления, а в другой — также и переработкой информации? В чем отличие переработки информации в кибернетике от переработки информации в информатике? Наконец, я заглянул в Энциклопедию ддя детей издательства «Аванта+» (том 11: Математика; издан в 1998 году). Там я прочитал: «Совокупность наук об информационных процессах называют информатикой. Одна из них — наука об измерении и передаче информации — называется теорией информации». И теперь я уже не в состоянии разобраться, где работает информатика и где работает кибернетика.
Автор. Итак, нам с Вами следует прежде всего разобраться с понятиями «информатика» и «кибернетика». Как Вы поняли, четкого разграничения этих понятий в настоящее время нет. Однако вполне просматривается точка зрения, которой сегодня придерживается большинство ученых. Прежде чем ее сформулировать, вспомним, когда возникли понятия «кибернетика» и «информатика» и какой смысл вкладывался в эти понятия первоначально.
‘ЧиАаАе*^.. Я знаю, что сначала возникло понятие «кибернетика». В первой половине XIX-го столетия французский физик Ампер предложил назвать так науку управления людьми. Он исходил из греческого слова «кибернетикос», что означает «искусный в управлении». Термин
«кибернетика» возродил в середине ХХ-го столетия Норберт Винер, написавший книгу под названием «Кибернетика, или управление и связь в животном и машине»; книга была издана в 1948 году. А что касается термина «информатика», то, насколько мне известно, он стал использоваться в научной литературе позднее — где-то в 60-х годах прошлого столетия.
Автор. Действительно, термин «информатика» впервые вошел в научный обиход в 60-х годах. Он родился во Франции и может рассматриваться как соединение двух слов: information («информация») и automatique («автоматика»). Таким образом, «информатика» означала автоматическую обработку информации, или, более широко, применение средств вычислительной техники для работы с информацией. В знаменитой Французской энциклопедии Ларусса издания 1985-1987 гг. информатика определяется как «совокупность дисциплин, способствующих автоматической и рациональной обработке информации». В США и Великобритании аналогичное научно-техническое направление получило название computer science, что переводится как наука о вычислительной технике, или, дословно, вычислительная наука.
'ЧсййаАе**. Итак, информатика родилась как автоматическая обработка информации или, иными словами, как наука о вычислительной технике. А как складывались (и как в конце концов сложились) взаимоотношения этой новоявленной науки с кибернетикой?
Автор. Очевидно, что корни информатики лежат в кибернетике. В известном смысле информатика выросла из кибернетики. Некоторые исследователи придерживаются той точки зрения, что «отпочковавшаяся» от кибернетики информатика превратилась в науку, которая, хотя и взаимодействует тесным образом с кибернетикой, но тем не менее существует самостоятельно. Согласно такой точке зрения, кибернетика рассматривается как теоретическая наука о переработке информации в целях управления системами, а информатика — прикладная дисциплина, изучающая использование компьютеров для переработки информации. Короче говоря, сама информация изучается кибернетикой, а перерабатывается информация информатикой. Своеобразное «разделение труда».
‘ЧиАаАе*^.. Достаточно четкое «разделение труда», по-моему.
Автор. Однако такая точка зрения все больше и больше уступает место другой точке зрения, согласно которой информатика — это не «ответвление» кибернетики, решающее свои собственные задачи, а существенно более общий Феномен. Это действительно совокупность наук об информационных процессах. И в эту «совокупность наук» входят, в
частности, кибернетика, теоретические аспекты вычислительной техники, программное обеспечение компьютеров. Принципиально, что научные и научно-технические направления, объединяемые ныне информатикой, с одной стороны, не растворились в ней, а с другой стороны, не оказались автономными, сугубо самостоятельными образованиями под общим названием. Как составляющие части общей науки — информатики — все эти направления теснейшим образом взаимодействуют друг с другом и открывают в таком взаимодействии новые возможности для своего собственного дальнейшего развития. Именно это взаимодействие является главной чертой, определяющей современный облик информатики.
‘ЧиААте*^.. И как же структурно выглядит этот современный облик информатики?
Автор. Представить достаточно полно структуру информатики невозможно в одной беседе. Относительно полно структура информатики как «совокупности наук об информационных процессах» представлена в книге «Информатика: энциклопедический словарь для начинающих» под редакцией академика Д.А. Поспелова (Москва: «Педагогика-Пресс», 1994). А мы наметим здесь лишь основные контуры этой структуры. Информатика включает в себя шесть основных направлений: 1) теоретическая информатика, 2) кибернетика, 3) искусственный интеллект, 4) программирование, 5) вычислительная техника (без разработки элементной базы компьютеров), 6) информационные системы. Отдельно отмечают информатику в природе и информатику в обществе.
'Ч*«йаАе<<*. Наверное, нужно хотя бы кратко охарактеризовать каждое из перечисленных направлений.
Автор. Начнем с теоретической информатики. Рассматривая общие свойства информации, проблемы, связанные с ее рождением, кодированием, обработкой, передачей, потерей, теоретическая информатика объединяет целый ряд теоретических дисциплин, в том числе математическую логику, теорию информации, теорию кодирования. Она исследует информационные математические модели различных объектов и разрабатывает алгоритмы обработки информации для этих моделей. Тем самым теоретическая информатика охватывает такие дисциплины, как исследование операций (включая системы массового обслуживания, теорию игр, теорию статистических решений), имитационное моделирование, системный анализ, теория алгоритмов. Отдельно отметим исследования, выполняемые с помощью компьютеров на математических моделях; такие исследования называют вычислительным экспериментом.
'ЧеийаАе**. Однако Большой энциклопедический словарь объявляет теорию информации, теорию кодирования, исследование операции разделами кибернетики.
Автор. Надо признать, что это — несколько устаревшая классификация. До середины 70-х годов вообще не использовался термин «теоретическая информатика», а использовался термин «теоретическая кибернетика», или, иначе, «математическая кибернетика».
'Чсмнате*^. Чем же должна заниматься кибернетика теперь, когда она стала одним из направлений информатики?
Автор. Именно теми проблемами, с которых и начиналась в свое время. Я имею в виду проблемы организации эффективного управления в системах различных типов на основе обработки информации с помощью компьютеров. Естественным образом кибернетика подразделяется на дисциплины, соответствующие разным типам управляемых систем: техническую кибернетику, биологическую кибернетику (включая нейрокибернетику), медицинскую кибернетику, экономическую кибернетику, математическую лингвистику. Особенно активно развивается техническая кибернетика, включающая в себя, в частности, системы автоматического регулирования и автоматического управления, гомеостатику, техническую диагностику. Сила кибернетики именно в том, что она рассматривает закономерности управления, общие для самых разных систем. Уместно напомнить, что многие оппоненты Винера заявляли в свое время, что принципиально недопустимо искать какие-то общие процессы в таких разных системах как животное и машина. В этом была причина первоначального неприятия кибернетики рядом ученых. Как пишет Л.А. Растригин в книге «Этот случайный, случайный, случайный мир» (Москва: «Молодая гвардия», 1974), «до появления кибернетики процессы управления в электрическом генераторе рассматривались электротехникой, управление движением часового маятника исследовалось в механике, управление динамикой популяций — в биологии. Винер впервые указал на универсальность управления и показал, что процесс упорядочения объекта можно производить стандартными приемами, т. е. применять методы кибернетики независимо от физических особенностей объектов».
‘ЧиАаАе*^.. Наверное, в техническую кибернетику следует включить также робототехнику?
Автор. Давайте прежде всего уточним, что такое робототехника сегодня. Это наука, занимающаяся созданием специальных технических систем (роботов), которые, во-первых, способны функционировать в реальной среде и, во-вторых, способны в той или иной степени заме-
нить человека в некоторых сферах его деятельности. При этом имеется в виду деятельность не только чисто механическая (выполнение тех или иных производственных операций), но и интеллектуальная. Выделяют четыре типа роботов: программные, адаптивные, интеллектуальные, интегральные. Самые простые роботы — это программные роботы; они многократно повторяют те или иные действия в соответствии с некоторой жесткой программой (например, взял заготовку, положил под пресс, включил пресс, вынул изделие из-под пресса, перенес его в другое место). Адаптивные роботы, в отличие от программных, имеют своеобразные «органы чувств» в виде тех или иных (световых, тактильных, температурных и др.) датчиков. В такие роботы встраивают компьютер, который обрабатывает сигналы от датчиков и формирует соответствующие управляющие сигналы. Адаптивные роботы способны подстраиваться под изменения, возникающие в окружающей среде (способны в определенной мере адаптироваться к изменениям среды). Интеллектуальные роботы способны в какой-то мере распознавать образы, в какой-то мере обучаться, принимать решения и даже составлять планы. Интегральные роботы (их называют также суперроботами) — это автономные роботы, способные самонастраиваться и менять программу своих действий в зависимости от обстоятельств. Согласно новейшей классификации, интеллектуальные и тем более интегральные роботы (а значит, и в целом робототехнику, если понимать ее в широком смысле) относят к третьему направлению современной информатики — направлению, именуемому искусственным интеллектом.
*Ч«АаАе<<*. По-видимому, термин «искусственный интеллект» надо понимать условно? Ведь не может же компьютер в самом деле мыслить!
Автор. Дискуссии на тему «Может ли компьютер мыслить?» ведутся довольно давно — с середины 50-х годов. Высказывались различные точки зрения, в том числе самые крайние.
'Чшна&ель. С тех пор прошло полвека. Прекратились ли эти дискуссии? Какие точки зрения возобладали? Родилась ли истина в споре?
Автор. Спор отнюдь не обязательно завершается «рождением истины» (если под «рождением истины» понимать получение определенного ответа на вопросы, волновавшие спорящих). Довольно часто в споре рождаются новые вопросы, требующие дальнейшего анализа поставленной проблемы.
*Ч((АлЛл^. Но, наверное, появились какие-то разумные, а также конструктивные соображения, определяющие направление (или направления) нынешних исследований в области искусственного интеллекта?
Автор. Весьма разумно высказался Уильям Эшби еще несколько десятков лет назад. В своей статье «Что такое разумная машина» этот большой энтузиаст исследований по искусственному интеллекту подчеркнул: «Разум машины ограничивается количеством информации, которое мы в нее внесли. Мы можем получить от машины столько разума, сколько мы хотим, но только при условии, что в нее заложено соответствующее количество информации». Конструктивный подход к проблеме искусственного интеллекта требует различать две разные цели. Одна цель (ее можно назвать дальней целью) — это создание компьютеров, способных воспроизводить те мыслительные процессы, которые совершаются в человеческом мозгу. Здесь речь идет о возможности создания искусственного мозга, который мог бы успешно конкурировать с мозгом человека. Другая цель (ее можно назвать ближней целью) — это создание компьютеров, способных имитировать не самый процесс мышления, а всего лишь некоторые интеллектуальные действия человека, которые тот совершает в результате своей мыслительной деятельности. Такие компьютеры могут принимать оптимальные решения в сложных ситуациях, характеризующихся неопределенностью. Причем могут делать это быстрее, чем человек, поскольку способны быстро перебирать и анализировать огромное число вариантов. Сразу отметим, что «ближняя цель» во многих случаях уже достигается. С помощью компьютеров и соответствующих программ автоматизируются многие виды человеческой деятельности из тех, которые называют интеллектуальными и традиционно считают доступными лишь человеку. Сегодня компьютеры могут хорошо играть в шахматы, осуществлять перевод письменного текста с одного языка на другой, распознавать образы, имитируя процесс осознанного восприятия, моделировать рассуждения, планировать поведение, общаться с человеком в диалоговом режиме и т. д. Всеми этими проблемами как раз и занимаются теоретически и на практике сегодняшние специалисты по искусственному интеллекту.
'Hwtfiatfte**. Какие дисциплины входят в направление, называемое искусственным интеллектом?
Автор. Среди этих дисциплин отметим распознавание образов, компьютерную лингвистику (анализ, синтез, понимание текстов, зрительное «оживление» текстов), представление знаний (формализация и ввод в память компьютера знаний из различных областей), экспертные системы (моделирование рассуждений), диалоговые системы и, конечно, робототехнику.
'Чшна&ель. Однако все это не решает проблему моделирования мозга.
Автор. Конечно, специалисты по искусственному интеллекту не забывают о дальней цели — создании искусственного мозга. Проблема упирается прежде всего в создание соответствующих программ. Одни специалисты полагают, что надо совершенствовать программы, отталкиваясь от программ, которые используются в существующих компьютерах. Другие считают, что этот путь бесперспективен и что надо создавать принципиально новые программы — не для игры в шахматы или перевода текстов, а для моделирования тех реальных процессов, которые протекают в нашем мозгу. Вот только сами эти процессы во многом еще не известны. Не надо забывать, в частности, что два полушария мозга человека функционально различны. Если левое полушарие ответственно за абстрактно-логическое мышление, то образным мышлением «заведует» правое полушарие. Можно пытаться «запрограммировать» процессы в левом полушарии мозга, но как подступиться к правому полушарию? Можно ли в принципе использовать в этом случае технические структуры, применяемые в существующих компьютерах? Может быть, следует обратиться к нейрокибернетике и пойти по пути создания нейрокомпьютеров на основе моделирования нервной системы живых организмов? Все эти и многие подобные вопросы остаются пока без ответа.
'Httwame*^. Остаются еще три направления информатики — программирование, вычислительная техника, информационные системы.
Автор. Отмечу, что эти три направления как раз и охватывают тот спектр проблем, которым ограничивалась информатика поначалу — тогда, когда она рассматривалась только как «наука о вычислительной технике» и еще не образовала симбиоза с кибернетикой. Говоря о программировании, или, иными словами, о программном обеспечении компьютеров (просьба не путать с линейным программированием или с динамическим программированием!), отметим создание разнообразных языков программирования и специальных программ (так называемых трансляторов), позволяющих программу, написанную на том или ином языке программирования, переводить на язык команд компьютера. Особо остановимся на направлении информатики, имеющем название «информационные системы». Фактически это направление начало развиваться еще до появления компьютеров (имеются в виду документалистика, а также сбор и анализ научно-технической информации). Сегодня в рамках данного направления осуществляются: а) анализ и прогнозирование потоков разнообразной информации, циркулирующей в обществе; б) исследование способов представления, хранения и быстрого извлечения информации; в) создание компьютерных сетей хранения, обработки
и передачи информации. Каждая компьютерная сеть представляет собой группу компьютеров и их периферийных устройств, соединенных линиями связи. За последние тридцать лет в мире созданы десятки и сотни тысяч больших и малых компьютерных сетей. В 1973 году произошло объединение компьютерных сетей Великобритании и Норвегии, положившее начало процессу формирования глобальной компьютерной сети, образованной десятками тысяч локальных сетей (миллионами больших и малых компьютеров). Сегодня такая глобальная компьютерная сеть, объединяющая сети многих стран мира, существует. Эта «сеть сетей» получила название Интернет (от английских international — «международный» и net — «сеть»), Интернет обладает общим (единым) информационным полем, которым может воспользоваться в принципе любой человек.
'ЧесАаАм&. Наверное, единое информационное поле Интернета можно сравнить с радиоэфиром или телевизионным эфиром?
Автор. Конечно, можно. Однако тут есть принципиальная особенность — в этом «эфире» (в Интернете) информация может храниться и каждый пользователь может, при желании, ее востребовать.
Часть вторая,В КОТОРОЙ ВЕРОЯТНОСТЬ СНОВА ОКАЗЫВАЕТСЯ
В ЦЕНТРЕ ВНИМАНИЯ
Автор. Как видите, сегодня в понятие «информатика» вкладывается существенно большее содержание по сравнению с тем, какое вкладывалось в него тридцать или даже двадцать лет назад. Сегодня информатика — это не просто «наука о вычислительной технике», а наука, рассматривающая весь комплекс проблем, связанных с анализом, моделированием и практическим применением многообразных информационных процессов в современном обществе. В этот комплекс входят как проблемы, отвечающие нынешнему уровню развития науки и техники, так и проблемы, рождающиеся в ходе научно-технического прогнозирования, проблемы информационного общества XXI-го столетия.
'Члмпбипе*^. По-видимому, к последним проблемам относится, в частности, проблема создания искусственного мозга, который по своим возможностям превосходил бы человеческий мозг.
Автор. Не будем гадать, насколько реально решение в ближайшем будущем такой проблемы, как и некоторых других проблем, относя-
щихся к сфере искусственного интеллекта. Но в любом случае можно утверждать, что одним из принципиальных условий при рассмотрении таких проблем является решительный выход за рамки жесткой детерминированности и опора на вероятностные подходы и методы теории вероятностей.
'Чшиа&ель. Означает ли это, что информатику следует рассматривать как принципиально вероятностную (статистическую) науку?
Автор. Именно так и надо относиться к информатике в ее сегодняшнем понимании. Ведь ее «теоретическим ядром» является теория информации. А основным понятием в этой теории является понятие количества информации, которое «конструируется», согласно формуле Шеннона, из соответствующих вероятностей. Можно напомнить также, что степень неопределенности того или другого опыта измеряют количеством информации, необходимым для устранения этой неопределенности. Обо всем этом мы уже неоднократно говорили.
*Ч((АлЛл^. Но информатика — это не только теория информации. Хорошо бы почувствовать, насколько глубока связь с вероятностью информатики в целом.
Автор. Мы живем в мире, насыщенном случайностями. Чтобы успешно функционировать в этом мире, достигать тех или иных целей, управлять какими-то процессами, мы постигаем в ходе научного познания различные закономерности окружающего мира, разрабатываем на их основе и затем проверяем на практике различные алгоритмы своего общения с миром. И все это вместе взятое может быть названо по большому счету процессом получения и использования информации. Вероятностная природа мира, естественно, предопределяет вероятностную сущность этого процесса. Кратко, образно, емко это выразил Норберт Винер; он писал в своей книге «Кибернетика и общество» (1954): «Процесс получения и использования информации является ничем иным, как процессом нашего приспособления к случайностям внешней среды и нашей жизнедеятельности в этой среде».
'Члмпбипе*^. Да, вероятность и в самом деле играет в информатике принципиальную роль.
Автор. Это становится еще очевиднее, если учесть, что «процесс нашего приспособления к случайностям внешней среды и нашей жизнедеятельности в этой среде» во многих случаях означает на практике принятие оптимального решения в условиях неопределенности. Сегодня буквально на каждом шагу мы обнаруживаем вероятностный облик информатики — в системах массового обслуживания,
игровых моделях для отнюдь не игровых ситуаций, методах принятия статистических решений в «играх с природой», в широком применении в самых различных областях метода статистических испытаний (когда мы используем против случайностей внешней среды сами же случайности).
'Члипате-хл. Лучше, наверное, противопоставлять случайностям внешней среды соответствующим образом организованное управление?
Автор. Да, лучше. Если, конечно, мы всякий раз в состоянии его организовать. Как раз этим и занимается кибернетика, исследуя возможность эффективного управления в самых различных системах (от машин и живого организма до промышленного объединения, экономики отрасли, биосферы в целом). Управление — это процесс упорядочивания, иначе говоря, негэнтропийный (информационный) процесс. Он противостоит энтропийным процессам разупорядочивания, происходящим благодаря действию «случайностей внешней среды».
'Члипате*^. Наверное, можно сказать, что осуществляя управление, принимая то или иное решение, мы вносим в окружающую среду какое-то количество информации и тем самым уменьшаем в какой-то мере энтропию среды, иначе говоря, степень ее неупорядоченности.
Автор. Совершенно верно. Винер говорил, что при этом возникает «локальная зона организации в мире, общей тенденцией которого является разрушение». Подчеркивая роль информационных процессов, он говорил: «В мире, где энтропия в целом стремится к возрастанию, существуют местные и временные островки уменьшающейся энтропии, и наличие этих островков дает возможность некоторым из нас доказывать наличие прогресса».
'Читатель. Кибернетика исследует информационные процессы управления, благодаря которым возникают в мире «локальные зоны организации», «островки уменьшающейся энтропии». Короче говоря, управление действует против случайностей. Оно противостоит случайностям. Можно ли утверждать, что в гипотетической ситуации абсолютного управления мы должны были бы придти к миру без случайностей, иначе говоря, к абсолютно упорядоченному (абсолютно детерминированному) миру?
Автор. В наших беседах мы уже приходили к заключению о принципиальной невозможности (более того, бессмысленности) абсолютно упорядоченного мира. Что же касается противостояния управления случайностям и хаосу, то нужно принять во внимание, что сама возможность осуществления управления предполагает существование случайнос-
тей. Чтобы управлять, надо иметь выбор, иметь неопределенность. Нет смысла выбирать то или иное решение, если все предопределено. Избежать предопределенности помогают как раз случайности. Именно они делают возможным управление. В этом лишний раз проявляется диалектическое единство необходимого и случайного в реально существующем мире. И выражается это единство на математическом языке через вероятность.
*Ч((АлЛл^. Я понимаю: в абсолютно беспорядочном мире управление невозможно, а в абсолютно упорядоченном мире оно просто не нужно.
Автор. На рис. 1 в таблице 35 представлена общая схема управления в кибернетической системе. Она включает в себя четыре принципиальных элемента: управляемую систему (РУ— выходной сигнал, рассматриваемый как результат управления системой), управляющее устройство (V — управляющее воздействие на систему), линию прямой связи, линию обратной связи. Система подвергается действию случайных возмущений. Чтобы управляющее устройство было в состоянии при этом корректировать управляющий сигнал V, оно должно все время получать информацию о результатах управления. Для этого и служит линия обратной связи. Любая реальная схема управления предполагает наличие обратной связи. Управление без обратной связи не только неэффективно, но и фактически всегда нежизнеспособно.
'Члмпбипе*^. Как показано на рисунке, случайности воздействуют не только на управляемую систему; они создают также помехи в обеих линиях связи — прямой и обратной.
Автор. Всё это и обусловливает стохастический (случайный) характер процесса управления в кибернетических системах.
'ЧссАа&е,**. К вот в схеме на рис. 2 в таблице 35 нет каких-либо случайных воздействий или помех.
Автор. Просто они там не показаны. Схема на этом рисунке есть схема так называемого ситуационного управления. Допустим, в результате управления система должна реализовать некую ситуацию, которой отвечает выходной сигнал W. В силу различного рода случайных воздействий и, в частности, вмешательства внешней непредусмотренной ситуации наша система может «выдать» нештатную ситуацию. Необходима оперативная корректировка управляющего воздействия К Поэтому информация о выходном сигнале системы вместе с информацией о внешней ситуации передается по линии обратной связи в «Анализатор», который определяет, необходима или нет корректировка управляющего воздействия. Если она необходима, то информация передается в
Таблица 35. Случайность в кибернетических системах
«Классификатор», связанный с «Базой данных». В памяти последней хранятся данные о различных типах ситуаций и соответствующие им необходимые решения. «Классификатор» отыскивает нужное решение и передает информацию о нем в «Решатель», который и осуществляет корректировку управляющего воздействия. Если в «Классификаторе» отсутствует готовое нужное решение, то он сообщает об этом «Решателю» и тот пытается подобрать приемлемое решение с помощью «Имитатора». «Имитатор» хранит в своей памяти всю необходимую информацию об управляемой системе и пытается спрогнозировать управляющее воздействие, перебирая разные варианты. Наиболее подходящий вариант он сообщает «Решателю».
'Чшиа&ель. Я вижу, что если в схеме на рис. 1 надо рассматривать всего два информационных потока (по линии прямой и линии обратной связи), то в схеме на рис. 2 число информационных потоков заметно больше. Их здесь восемь, если судить по числу стрелок.
Автор. Теперь обратимся к рис. 3 в таблице 35. Здесь представлена в упрощенном виде схема наиболее простого технического устройства для распознавания образов. В данном случае имеется в виду распознавание букв в письменном тексте.
'Чшна&ель. Разве распознавать буквы в тексте трудно?
Автор. Речь идет о распознавании той или иной буквы с учетом ее различных возможных изображений, положений, размеров. Иначе говоря, необходимо распознать объект с учетом неопределенности его представления. В общем способность распознавать образы связывают с осознанным восприятием — когда воспринимаются некие общие, характерные для данного образа (объекта) признаки, а конкретные частные признаки как бы отступают на второй план. Благодаря этой способности человек относит воспринимаемый объект к какой-то категории, определенному понятию (это — яблоко, это — собака и т. д.).
'Чшна&ель. Но можно ли говорить об осознанном восприятии в применении не к человеческому мозгу, а к техническому устройству?
Автор. Вот об этом сейчас и идет речь. Для распознавания букв американский кибернетик и психолог Фрэнк Розенблат (1928-1971) сконструировал еще в 1957 году техническое устройство, названное им персептроном (от латинского perceptio, что означает «восприятие»). Оно-то и представлено схематически на рис. 3. Персептрон Розенблата можно рассматривать как весьма упрощенную модель системы «глаз — мозг». Роль глаза, а точнее, сетчатки глаза, выполняет экран 1, составленный из большого числа светочувствительных элементов (рецепторов). На
экран проецируется изображение. Рецепторы преобразуют световые сигналы в электрические, которые поступают по многочисленным линиям связи к экрану-анализатору 2, разбитому на большое число ассоциативных элементов — формальных нейронов с управляемым усилением. Каждый формальный нейрон имитирует живой нейрон; он способен возбуждаться и передавать сигнал возбуждения по искусственному аксону. Формальные нейроны являются изобретением американского нейрофизиолога Уоррена Мак-Каллока (1898-1969); они широко применяются в нейрокибернетике. В персептроне Розенблата сигналы от нейронов передаются по линиям связи решающим элементам 3, фиксирующим результаты операции распознавания.
'Члмпбипе*^. Все это хорошо бы пояснить немного подробнее.
Автор. В этом нет необходимости. Сам по себе персептрон Розенблата сегодня уже не представляет особого интереса. Я обратил на него внимание лишь для того, чтобы отметить весьма любопытное и принципиальное обстоятельство: электрические связи между рецепторами и формальными нейронами, а также между нейронами и решающими элементами имеют случайный характер. Мы наблюдаем здесь случайную структуру связей между элементами технического устройства.
*Ч«АаАе<<*. Получается, что рецепторы и нейроны, а также нейроны и решающие элементы соединяют проводочками, используя таблицу случайных чисел?
Автор. Фактически так оно и есть.
*Чл*т<ине*ъ. Но как же может работать техническое устройство на основе полной «неразберихи» соединений между его элементами? Оно же никуда не годно!
Автор. Поначалу персептрон и вправду не годен. Его предстоит обучить — настроить на распознаваемые образы. И именно случайный характер связей в персептроне делает возможным такое «обучение». Не вникая в процедуру «обучения», отметим лишь, что оно происходит в процессе подбора величины усиления для различных нейронов при многократных предъявлениях персептрону распознаваемых образов.
*Ч((АлЛл^. Насколько я понимаю, случайности выступают здесь уже не в роли возмущения и помех, а в роли позитивного фактора, позволяющего реализовать в техническом устройстве восприятие, аналогичное человеческому осознанному восприятию. Значит, можно говорить, что сделан хотя бы первый шаг на пути создания модели мозга!
Автор. И заметьте (это особенно важно!), что уже первый шаг указывает на стохастическую природу модели мозга. Чтобы рассчитывать
на какой-то успех, мы должны выбрать путь стохастического моделирования мозга.
'ЧаАоАе**. Стохастическое моделирование... Но мне всегда казалось, что для моделирования системы нужно иметь определенную информацию об ее внутреннем устройстве.
Автор. Вы неправы. В кибернетике применяется моделирование сложных систем на основе использования модели «черного ящика». Так называют любую управляемую систему, в которой исследуются только реакции ее выходных сигналов на входные воздействия и при этом не рассматривается внутреннее устройство системы. «Черный ящик» условно изображен на рис. 4 в таблице 35. Современные системы оказываются все более и более сложными, а их функциональные возможности (то, что они могут делать) становятся все более богатыми. Понятно, что в этих условиях на первый план выдвигается исследование именно функциональных возможностей систем. Исследование же внутренней структуры систем отступает на второй план. Тем более что во многих случаях такое исследование в полном объеме оказывается практически невозможным из-за сложности систем. Подобное смещение акцентов приводит нас к качественно новой точке зрения, когда главной задачей становится изучение общих закономерностей процессов управления и самоуправления независимо от конкретного устройства тех или иных управляемых систем. Именно эта точка зрения и привела к кибернетике как науке об управлении (самоуправлении) в сложных системах. Оказалось, что отнюдь не обязательно вникать во все детали внутренней структуры системы. Более того, расчленение сложной системы на составные части может даже приводить к утрате принципиально важной информации. В этой ситуации модель «черного ящика» приобретает принципиальное значение.
'HttAaAe^. Моделирование на основе «черного ящика» оставляет «за кадром» информацию о внутреннем устройстве системы; эта информация не используется. Иными словами, такое моделирование выполняется при наличии в системе соответствующего количества энтропии (неопределенности). Стохастическое моделирование, предполагающее наличие в системе случайных связей, также выполняется, несмотря на присутствующую в системе неопределенность. На мой взгляд, просматривается связь моделирования на основе «черного ящика» и стохастического моделирования.
Автор. Действительно, связь просматривается. Если моделирование на основе «черного ящика» показывает, что можно обойтись без
информации о детальном устройстве сложной системы, то стохастическое моделирование исходит из того, что не только можно, но и в известном смысле нужно обходиться без указанной информации. Давно подмечено, что для достаточно надежного функционирования сложных систем необходимо отсутствие в их внутренних связях жесткой детерминированности. В сложной системе много элементов. И если все они будут жестко взаимосвязаны, то выход из строя любого из них может нарушить функционирование всей системы. Коротко говоря, чем сложнее система, тем опаснее ее жесткая детерминированность. Сложная система будет достаточно надежной только при условии ее стохастично- сти, т. е. при наличии в ней случайных связей. «Как доказано кибернетикой, — пишет Е.А. Седов в своей книге “Одна формула и весь мир”, — случайный, стохастический энтропийный характер внутрисистемных связей является необходимым условием надежности сложных систем. Только при наличии гибких, недетерминированных (вероятностных) связей между элементами система приобретает возможность перестраивать свои элементы, перераспределять их функции, если вышел из строя какой-нибудь элемент. Благодаря этому свойству существуют не только организмы, но и вообще все живое».
Часть третья,
В КОТОРОЙ СООБЩАЮТСЯ ВПЕЧАТЛЯЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ПО ПРОГНОЗУ ГЛОБАЛЬНЫХКЛИМАТИЧЕСКИХ ПОСЛЕДСТВИЙ ВДЕРНОЙ ВОЙНЫ
Автор. Информатика позволяет нам не только «приспособиться к случайностям внешней среды», но и прогнозировать глобальные последствия многих наших серьезных решений. Как известно, на ошибках учатся. Подразумеваются ошибки, которые уже были сделаны. Но с возрастанием технических возможностей общества увеличивается опасность необратимых последствий допущенных ошибок. Поэтому весьма важно переходить от обучения на тех ошибках, которые уже совершены, к обучению на ошибках, которые пока не совершены, но могут быть совершены. Такое обучение предполагает проведение вычислительных экспериментов — когда математически моделируются и анализируются вероятные последствия принятия людьми того или иного серьезного решения.
*Чи«иате*й. Хорошо бы привести конкретный пример такого эксперимента.
Автор. Познакомимся с результатами вычислительного эксперимента по прогнозу глобальных климатических последствий ядерной войны, выполненного в 1980-1984 гг. в Вычислительном центре АН СССР под руководством академика Никиты Николаевича Моисеева (1917-1998). Была создана система «Гея», включающая в себя гидродинамическую модель общей циркуляции атмосферы (тропосферы и стратосферы) и термодинамическую модель верхних слоев Мирового океана. Наряду с относительно устойчивыми факторами (такими, как глобальные ветры у поверхности Земли и вблизи границы тропосферы) ученые постарались учесть значительное число факторов, характеризующихся большой степенью неопределенности: движение циклонов, образование облачности, дыхание наземной растительности, колебания концентрации углекислого газа в атмосфере и др. Было выполнено большое число вероятностных расчетов с использованием электронно-вычислительной машины БЭСМ-6. В расчеты заложили предположительный сценарий ядерной войны, согласно которому на ряд крупных городов в Северном полушарии были сброшены в течение одних суток атомные бомбы общей мощностью порядка 100 мегатонн в тротиловом эквиваленте.
'Члмпбипе*^. Это много или мало?
Автор. Ядерный взрыв одного килограмма урана-235 или плутония-239 эквивалентен по количеству выделившейся энергии химическому взрыву 20 тысяч тонн тротила. О такой атомной бомбе говорят, что она обладает мощностью в 20 килотонн в тротиловом эквиваленте. Именно такова была мощность каждой из двух атомных бомб, сброшенных 5 августа 1945 года американскими летчиками на Хиросиму и Нагасаки. Водородная бомба примерно таких же размеров обладает мощностью в 20 раз большей; следовательно, мощность сравнительно небольшой водородной бомбы можно оценивать в 0,5-1 мегатонну. Ядерная война мощностью 100 мегатонн предполагает, как мы видим, использование 5000 атомных бомб типа тех, что были сброшены на японские города, или всего 100-200 не очень крупных водородных бомб.
'Чшна&ель. Как я понимаю, именно к такой войне применим известный термин «ограниченная ядерная война».
Автор. И тем не менее результаты расчетов оказались весьма впечатляющими. Прежде всего отметим, что в результате нанесения такого
«ограниченного» ядерного удара по нескольким крупным городам Северного полушария должна будет полностью перестроиться циркуляция воздушных масс в тропосфере. Как можно видеть на рис. 1 в таблице 36, эта циркуляция, рассматриваемая в меридиональнальной плоскости, характеризуется в настоящее время шестью циклами (шестью «ячейками») — тремя в Северном полушарии и тремя в Южном. На рисунке буквой Н отмечены области широт с пониженным давлением (в этих областях воздушные массы поднимаются от Земли к границе тропосферы), а буквой В отмечены области широт с повышенным давлением (эти области на рисунке заштрихованы; здесь воздушные массы опускаются к поверхности Земли). Не вникая в детали, заметим, что образование таких «ячеек» обусловлено двумя факторами — конвекцией воздушных масс и вращением Земли вокруг своей оси. В результате ядерной бомбардировки все эти ячейки исчезнут и установится циркуляция воздушных масс, изображенная на рис. 2. В Северном полушарии из-за массовых пожаров возникнут грандиозные облака сажи, которые достаточно быстро распространятся в направлении к Южному полюсу и в конечном счете накроют сплошным черным покрывалом весь земной шар. На рис. 3 видно, как постепенно на Земле наступит «ядерная ночь»: а — первые сутки после бомбардировки, б — через неделю, в — через две недели, г — через три недели. На несколько месяцев Земля будет окутана сплошным черным покрывалом из сажи, практически не пропускающим солнечное излучение. Верхние слои тропосферы разогреются до сотен градусов, зато у поверхности Земли существенно похолодает — наступит «ядерная зима». Установившиеся через месяц после ядерной бомбардировки среднесуточные температуры на Земле (впрочем слово «среднесуточные» излишне, поскольку смены дня и ночи не будет) показаны в виде изотерм на рис. 4 в таблице 36. Везде на суше температуры будут ниже О °C, местами опускаясь до 40-50 градусов ниже нуля; в приповерхностных водах океанов тоже понизится, хотя и в меньшей степени (благодаря большой теплоемкости воды) — она опустится примерно до 0 °C. Но это еще не все. Вследствие сильного нагрева верхних слоев тропосферы начнется активное таяние вечных снегов и ледников в высокогорных местностях. Образовавшаяся огромная масса воды устремится в низовья и там превратится в ледяной массив, который накроет почти всю площадь Европы, Северной Америки, Азии. В итоге замерзнут все источники пресной воды и погибнет земная растительность. Вследствие большой разницы температур поверхности суши и поверхности океанов возникнут многочисленные
Таблица 36. Вычислительный эксперимент: прогноз глобальных климатических последствий ядерной войны
свирепые штормы в прибрежных районах. Кроме того, может заметно повыситься уровень Мирового океана из-за таяния снегов и льдов на высокогорьях Антарктиды.
'Члмпбипе*^. Страшная картина. А ведь ядерная бомбардировка может оказаться более мощной, — например, до 1000 или 10 000 мегатонн.
Автор. Накопленных на Земле сегодня ядерных боезапасов с избытком хватило бы для более мощной бомбардировки. Разумеется, в этом случае последствия оказались бы еще более катастрофичными. Похолодание было бы более глубоким, все океаны покрылись бы льдом. На рис. 5 в таблице 36 показаны температуры поверхности Земли в случае ядерной бомбардировки мощностью 10 000 мегатонн не через месяц, а через восемь месяцев. Можно видеть, что сохранились глубокие низкие температуры на суше и, кроме того, сохранилась отрицательная температура на большей части Мирового океана. Были выполнены расчеты на период в 380 дней после ядерной бомбардировки. Обнаружено, что к концу года произойдет существенное повышение температуры Земли вследствие передачи теплоты от нагретых сажевых облаков в нижние слои тропосферы. Тогда наступит настоящий всемирный потоп.
'Чшна&ель. А какова вероятность человечеству выжить?
Автор. Даже в случае «ограниченной» ядерной войны человечество вряд ли выживет. Добавьте к гибели растительности, глобальному промерзанию всех источников пресной воды, всемирному оледенению, отсутствию солнечного света еще и такие губительные для жизни факторы, как мощное радиоактивное заражение земной поверхности, изменение химического состава атмосферы, разрушение практически всех производственных объектов, а также медицинских учреждений — и после этого судите сами, сколь ничтожны шансы уцелеть человечеству даже в виде немногочисленных одичавших групп.
'Чшна&ель. А как же насчет ответного ядерного удара возмездия, о котором и поныне говорят некоторые политики?
Автор. Он попросту не понадобится. Ведь погибнут не только те, кто подвергнется ядерной бомбардировке, но также и те, кто эту бомбардировку предпринял. «Ядерная зима» и радиоактивное заражение — это не локальные, а глобальные бедствия. Они не пощадят никого.
'ЧаАаАе**. То, что последствия ядерной войны будут катастрофичны, признается всеми. Но считалось (а кто-то, может быть, считает до сих пор), что они катастрофичны лишь для непосредственных участников ядерного конфликта. А остальное человечество могло
бы «находиться на холме и оттуда наблюдать, как тигры дерутся в долине».
Автор. Как показал вычислительный эксперимент (проведенный не только в СССР, но также и в США), такое представление — это всего лишь иллюзия. Никому не удастся «отсидеться на холме». Благодаря возможностям современной информатики человечество получило серьезное предупреждение. Это предупреждение звучит так: существует вероятность того, что информационное общество, едва сформировавшись на планете Земля, может самоуничтожиться, взорвав хотя бы сравнительно небольшую часть тех ядерных боеприпасов, которыми оно сегодня располагает. Ядерная война, если она будет кем-либо развязана, окажется той последней ошибкой, на которой больше некому будет учиться. Возможно, что этот мрачный прогноз является наиболее важной информацией, которой мы сегодня обладаем.
Список ЛИТЕРАТУРЫ
Популярные издания
Л.А. Растригин. Этот случайный, случайный, случайный мир. М.: Молодая гвардия, 1974.
Л.А. Растригин. По воле случая. М.: Молодая гвардия, 1986.
Е.С. Вентцелъ. Элементы теории игр. М.: Физматгиз, 1961.
Е.С. Вентцелъ. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2001.
Г.А. Платонов, М.А. Файнберг, М.С. Штилъман. Поезда, пассажиры и... математика. М.: Транспорт, 1977.
И.М. Яглом. Теория информации. М.: Знание, 1961.
Дж. Пирс. Символы, сигналы, шумы: Закономерности и процессы передачи информации. Пер. с англ. М.: Мир, 1967.
А. Ренъи. Трилогия о математике (Записки студента по теории информации). Пер. с венгерского. М.: Мир, 1980.
Е.А. Седов. Одна формула и весь мир: Книга об энтропии. М.: Знание, 1982.
Дж. Фен. Машины, энергия, энтропия. Пер. с англ. М.: Мир, 1986.
Т.Н. Алексеев. Энергия и энтропия. М.: Знание, 1978.
Н. Винер. Кибернетика и общество. Пер. с англ. М.: ИЛ, 1958.
А.Я. Лернер. Начала кибернетики. М.: Наука, 1967.
Л.П. Теплое. Очерки о кибернетике. М.: Московский рабочий, 1963.
В.Д. Пекелис. Кибернетика от А до Я: Маленькая энциклопедия. М.: Детская литература, 1990.
И.И. Артоболевский, А.Е. Кобринский. Знакомьтесь — роботы. М.: Молодая гвардия, 1979.
Н.П. Моисеев. Экология человечества глазами математика. М.: Молодая гвардия, 1988.
Информатика: Энциклопедический словарь для начинающих. Под ред. Д.А. Поспелова. М.: Педагогика-Пресс, 1994.
Л.В. Тарасов. Мир, построенный на вероятности. М.: Просвещение. 1984.
Научные издания
Е.С. Вентцелъ. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972.
А.Я. Хинчин. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963.
Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.
Л.А. Овчаров. Прикладные задачи теории массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1969.
А.Кофман, Р. Крюон. Массовое обслуживание: Теория и практика. Пер. с франц. М.: Мир, 1965.
А. Кофман, Р. Фор. Займемся исследованием операций. Пер. с франц. М.: Мир, 1966.
Н.П. Бусленко, Ю.А. Шрейдер. Метод статистических испытаний. М.: Физматгиз, 1961.
Теория прогнозирования и принятия решений. Под ред. С. Саркисяна. М.: Высшая школа, 1977.
К. Шеннон. Работы по теории информации и кибернетике. Пер. с англ. М.: ИЛ, 1963.
Л/И. Яглом, И.М. Яглом. Вероятность и информация. М.: Наука, 1973.
А.Д. Урсул. Информация: Методологические аспекты. М.: Наука, 1971.
Р. Фано. Передача информации: Статистическая теория связи. Пер. с англ. М.: Мир, 1965.
Л. Бриллюэн. Наука и теория информации. Пер. с англ. М.: ГИФМЛ, I960.
Л. Бриллюэн. Научная неопределенность и информация. Пер. с англ. М.: Мир, 1966.
П. Шамбадалъ. Развитие и приложения понятия энтропии. Пер. с франц. М.: Наука, 1967.
Н. Винер. Кибернетика или Управление и связь в животном и машине. Пер. с англ. М.: Советское радио, 1968.
УР. Эшби. Введение в кибернетику. Пер. с англ. М.: ИЛ, 1958.
М. Аптер. Кибернетика и развитие. Пер. с англ. М.: Мир, 1970.
Учебное издание
ТАРАСОВ Лев Васильевич
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ОКРУЖАЮЩЕГО МИРА
Книга 2
ВЕРОЯТНОСТЬ В СОВРЕМЕННОМ ОБЩЕСТВЕ
Редактор Ю.Г. РудойОригинал-макет: О.А. ПелипенкоОформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 04.08.04.
Формат 70x100/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 29,17. Уч.-изд. л. 25. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИ К «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru; http://www.fml.ru
Отпечатано с диапозитивовв ОАО «Чебоксарская типография № 1»428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0516-7
9 785922 105163