Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ
СОВРЕМЕННЫЙ УЧЕБНИК
Я.С. БугровС.М. Никольский
ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА
1
Элементы линейной алгебрыи аналитической геометрии
Издание шестое, стереотипное
Рекомендовано Министерством образованияРоссийской Федерации в качестве учебникадля студен ов высших учебных заведений,обучающихся по инженерно-техническим специальностям
врофа
МОСКВА • 2004
УДК 512.6(075.8)
ББК 22.143я73
Б90
Рецензенты:
кафедра высшей математики Московского государственного инженерно-физического института (Технического университета) (зав. кафедрой проф. А. И. Прилепко)', акад. В. А. Ильин, чл.-кор. РАН С. И. Похожаев; чл.-кор. РАН Л. Д. Кудрявцев
Серия «Высшее образование'. Современный учебник»основана в 2001 году
Бугров Я. С.
Б90 Высшая математика: Учеб, для вузов: В 3 т. /Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — (Высшее образование: Современный учебник).
ISBN 5-7107-8420-6
Т. 1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — 288 с.: ил.
ISBN 5-7107-8421-4 (т. 1)
Учебник (1-е изд. — 1980 г.) вместе с другими учебниками тех же авторов — «Дифференциальное и интегральное исчисление» (том 2) и «Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного» (том 3) — соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.
В книге содержатся основные сведения по теории определителей и матриц, линейных систем уравнений, а также элементы векторной алгебры. Рассматриваются основные вопросы линейной алгебры: линейные операторы, самосопряженные операторы, квадратичные формы, линейное программирование. Включены элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.
УДК 512.6(075.8)
ББК 22.143я73
ISBN 5-7107-8421-4 (т. 1)
© ООО «Дрофа», 2003© ООО «Дрофа», 2003ISBN 5-7107-8420-6
© ООО «Дрофа», 2003
© ООО «Дрофа», 2003
СОДЕРЖАНИЕ
11рсдисловие4
Определители второго порядка7
Определители третьего и n-гопорядка..8
Матрицы-- 22
Система линейных уравнений. Теория Кронекера-Капелли -25
Трехмерное пространство. Векторы. Декартова система координат48
n-мерное евклидово пространство. Скалярное произведение59
Отрезок. Деление отрезка в данном отношении67
Прямая линия69
Уравнение плоскости80
Прямая в пространстве89
Ориентация прямоугольных систем координат93
Векторное произведение96
Смешанное (векторно-скалярное) произведение....104
Линейно независимая система векторов105
Линейные операторы114
Базисы в Rn122
Ортогональные базисы в Rn128
Инвариантные свойства скалярного и векторного произведений138
Преобразование прямоугольных координат в плоскости141
Линейные подпространства в Rn145
Теоремы фредгольмова типа 152
Самосопряженный оператор. Квадратичная форма....161
Квадратичная форма в двухмерном пространстве.... 173
Кривая второго порядка178
Поверхность второго порядка в трехмерном пространстве196
Общая теория поверхности второго порядка в трехмерном пространстве217
Плоскость в Rn223
Линейное программирование241
Предметный указатель282
ПРЕДИСЛОВИЕ
В комплект учебников «Высшая математика» авторов Я. С. Бугрова и С. М. Никольского, выходящий в издательстве «Дрофа» в серии «Высшее образование: Современный учебник», вошли следующие книги:
«Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии».
«Дифференциальное и интегральное исчисление».
«Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного».
Комплект получил широкое признание как в нашей стране, так и за рубежом (все книги переведены на английский, французский, испанский и португальский языки) и был удостоен в 1984 г. премии МВ и ССО СССР и ЦИК профсоюзов работников просвещения, высшей школы и научных учреждений, а в 1987 г. — Государственной премии.
За короткий срок эти книги выдержали четыре издания и в настоящее время пользуются огромным спросом и популярностью у студентов вузов*
Данная книга является первым томом комплекта учебников «Высшая математика». Здесь излагаются основные вопросы теории определителей.
элементы теории матриц, теория систем линейных уравнений, векторная алгебра. Рассмотрены линейные операторы, ортогональные преобразования, самосопряженные операторы, квадратичная форма и приведение ее к каноническому виду, линейное программирование.
Включены элементы аналитической геометрии: прямая линия, плоскость, прямая в пространстве, кривые и поверхности второго порядка.
Материал, изложенный в учебнике, соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.
Большое значение придается уравнениям прямой и плоскости в нормальном виде. Обобщение этих понятий на л-мерный случай дает возможность по аналогии легко провести геометрическую интерпретацию гиперплоскости в л-мерном пространстве.
Комплексные матрицы рассматриваются наряду с действительными. Однако доказательства, как правило, приводятся отдельно для действительного и комплексного случаев, чтобы комплексный случай при необходимости можно было опустить.
Рассуждения в большинстве случаев сопровождаются полными доказательствами. Однако изложение построено так, что доказательства для общего л-мерного случая мотуг быть опущены, но при этом остается не только формулировка утверждения, но и детальное разъяснение того, как обстоит дело в двух- и трехмерных случаях.
Канонические виды кривых и поверхностей второго порядка изложены в этой книге весьма кратко, так как предполагается, что они дополнительно будут изучаться в виде задач методами математического анализа. Квадратичная форма рассматривается методами математического или функционального анализа.
Материал этого и второго тома (посвященного дифференциальному и интегральному исчислению) тесно переплетается.
Авторы выражают благодарность первому заместителю председателя НМС по математике при Министерстве образования РФ члену-корреспонденту РАН Л. Д. Кудрявцеву и коллективу кафедры высшей математики Санкт-Петербургского государственного технологического института (технического университета) за обсуждение этого учебника и ценные замечания и предложения, которые, несомненно, способствовали улучшению его содержания.
Они также благодарны профессору А. И. При- лепко и кафедре высшей математики Московского государственного инженерно-физического института (технического университета) за тщательное рассмотрение комплекта учебников и ценные замечания.
Кроме того, авторы признательны Ю. И. Волкову, М. Ш. Коссу, Я. М. Тобольцеву и ряду других читателей за ценные конструктивные предложения.
Определители второго порядка
Пусть заданы числа ар с2, bv b2 (действительные или комплексные). Они определяют число ахЬ2 — а2Ьу, которое называется определителем или детерминантом второго порядка и записывается следующим образом:
«1Ьг«1Ьг«2^2«2^201^2®2^101^2®2^1(1)(1)
«1
Ьг
«1
Ьг
«2
^2
«2
^2
01^2®2^1
01^2®2^1
(1)
(1)
Числа ар а2, Ьу, Ьг называются элементами определителя (детерминанта). В определителе (1) различают первую строку Ср с2 и вторую строку by, b2, первый столбец av by и второй, столбец а2, Ь2.
Легко проверяются следующие свойства определителя.
Величина определителя:
не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами:
°1 °2^1^2°1 °2^1^2°1 &1С2 ^2°1 &1С2 ^2
°1 °2
^1^2
°1 °2
^1^2
°1 &1
С2 ^2
°1 &1
С2 ^2
меняет знак, если у него переменить местами строки (столбцы):
а^ 02ЬуЬ2
bx b2а^а2
а^ а2
bi ь2
с2 ах
Ьг Ьц
умножается на число к (действительное или комплексное), если элементы какого-либо его столбца или строки умножить на к, например:
каг Ьх аг Ьг
ка2 Ь2 ” к а2 Ь2 ’
т. е. общий множитель, присутствующий в строке или столбце, можно выносить за знак определителя;
равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю, например:
О О^ ь2О О^ ь2= 062 - 0Ьх - 0;= 062 - 0Ьх - 0;
О О
^ ь2
О О
^ ь2
= 062 - 0Ьх - 0;
= 062 - 0Ьх - 0;
равна нулю, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны, например:
В дальнейшем вводятся определители третьего и вообще n-го порядка. Для них свойства а), б), в), г), д) сохраняются.
Определители третьего и n-го порядка
Определители третьего порядка. Число
А - апа22а33 + а12а23а31 + а^а^ -
” °13°22а31—°11О23°32— ^12^21^33* П) записываемое в форме
°п а12 а13
д =«21 °22 а23 ,(2)
а31 °32 °33
где ам — числа (действительные или комплексные), называется определителем или детерминантом третьего порядка.
В определителе (2) различают первую, вторую и третью строки, так же как первый, второй и третий столбцы. Число ам называется элементом определителя; при этом первый индекс к указывает номер строки, а второй индекс I — номер столбца, к которому принадлежит данный Элемент. Будем также говорить, что элемент аы находится на пересечении ^-й строки и Z-ro столбца. Элементы определителя аи> .а22, а33 образуют главную диагональ определителя, а элементы а13, а22, а31 - побочную. Можно также говорить, что диагональ, на которой расположены элементы ап, а229 а^ называется главной диагональю определителя (2).
Структура выражения (1) довольно проста. Это есть число, вычисляемое по элементам аы по следующему наглядному правилу (Саррюса): составим таблицу (Саррюса), полученную из элементов определителя (2), если приписать к ним первый и второй столбцы определителя (рис. 1). Мы видим, что надо взять всевозможные произведения элементов, зачеркнутых прямыми; при этом три произведения, соответствующие прямым, параллельным главной диагонали, надо взять со знаком плюс, а остальные три произведения, соответствующие прямым, параллельным побочной диагонали, надо взять со знаком минус.
Рис. 1
Каждое произведение с указанным знаком называется членом определителя (2). Среди входящих в произведения элементов имеются представители от каждой строки и от каждого столбца. Эти элементы можно в каждом члене расположить в порядке возрастания первого индекса, т. е. номеров строк, к которым они принадлежат. Это и сделано в сумме (1). Что же касается номеров столбцов, к которым принадлежат эти элементы, то их расположения даются ниже:
12 3,
(3)(3)23 1,
(3)
(3)
31 2,
32 1,1
13 2’[(4)
213,]
Это всевозможные перестановки из чисел 1, 2, 3. Перестановку
2, 3(5)
из чисел 1, 2, 3 назовем основной.
Говорят, что в перестановке произведена транспозиция двух определенных ее элементов, если эти элементы заменены местами. После транспозиции перестановка переходит в другую перестановку. В этой последней можно сделать в свою очередь транспозицию, в результате получится третья перестановка (но не исключено, что и первая).
Например, перестановка
3, 2, 1(6)
получена транспозицией первого и третьего элементов перестановки (5), а перестановка
3, 1(7)
транспозицией первого и второго элементов перестановки (6).
Важно отметить, что, если некоторая перестановка получена из основной посредством N транспозиций и если эта же перестановка получена из основной каким-либо другим путем посредством Nt транспозиций, то оба числа N и Nl одновременно либо четные, либо нечетные. Перестановка чисел 1, 2, 3 называется четной (нечетной), если она получается из основной перестановки при помощи четного (нечетного) числа транспозиций.
Пусть дана перестановка / = (jp j2> у3), где jp jp j3 это числа 1, 2, 3, взятые в некотором порядке. Число транспозиций, с помощью которых можно получить эту перестановку из основной перестановки, обозначим через t(j). Тогда перестановка / является четной (нечетной), если t(j) — четное (нечетное) число.
Перестановки (3) — четные, а (4) — нечетные.
После сказанного можно дать другое эквивалентное определение определителя 3-го порядка.
Определителем или детерминантом 3-го порядка (2) называется число А, равное сумме
А = ^-^Л °iHa2j2»3j3(8)
i
произведений вида (-y'^Oj^^^Og^ , где / = (/,, /2, /а) - всевозможные различные перестановки основной перестановки 1, 2, 3.
Это определение обобщается на определители или детерминанты n-го порядка (п = 1, 2, 3,...).
Определители п-ro порядка. Определителем или детерминантом то порядка называется число, записываемое в виде
СИ *‘1 °1и
(9)(9)а21 ... а2п
(9)
(9)
®П1 • • • ^пп
и вычисляемое по данным числам а1к (действительным или комплексным) — элементам определителя — по следующему закону: А есть сумма
А = £(-1),О)«1йа272-°П,п .j
распространенная на всевозможные различные перестановки / = (jp .... /л) из чисел 1, 2, ..., п. Число t(j) равно числу транспозиций, которые нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки 1, 2, ..., п к перестановке j = Qp .... 7л). Произведение (-^'^а^ ...а„ул называется членом определителя.
Определители п-го порядка удовлетворяют свойствам. а), б), в), г), д), перечисленным в предыдущем параграфе.
Доказательство, а) После замены у определителя соответствующих строк столбцами теперь уже номера строк будут обозначаться вторыми индексами. Например, для определителя третьего порядка (2) будем иметь
°11 а21 °31
^11^22^33 "*" ^21^32^13 "*" ^31^21^23^11^22^33 "*" ^21^32^13 "*" ^31^21^23°12 °22 а32
^11^22^33 "*" ^21^32^13 "*" ^31^21^23
^11^22^33 "*" ^21^32^13 "*" ^31^21^23
а13 °23 °33
^31^22^13®11О32О23^21^12^33△'
В общем случае общий член нового определителя запишется
HY^a^aHY^a^a•акп ••акп •
HY^a^a
HY^a^a
•акп •
•акп •
Упорядочим множители произведения а;-1ау2 2.. - а,пП по первому индексу, т. е. мы переходим от перестановки / = ■ Оц •••• /„) к основной перестановке 1, 2, ..., п. При этом мы должны совершить <0) транспозиций. Тогда основная перестановка вторых индексов перейдет в некоторую перестановку i = (ip ..., in) и число i(i) будет той же четности, что и число 10)- Таким образом,
НУ^а^-.а^ = (-l)1(i)aUia2i2...a„in.
Нетрудно видеть, что разным перестановкам jv .... jn соответствуют разные перестановки ip .... in. Но тогда
^-^ак1...а1в„ = X^’^i-0^ - А- i‘
Поменяем местами, например, первую и третью строки определителя третьего порядка (2). Тогда получим определитель, который обозначим через А', он будет равен
°31 °32 °33
Д' =
а21 °22 °23
= Х^'Ч^з
°Н а12 °13
/
-ХН^Чл^ЗА =- X ('^Ч^^А1 ="А’
)f=(A.A.A)
так как перестановка / = (jv jv /3) отличается от перестановки f = U3, /2, /1) = (А*. Л1» 73*) одной транспозицией.
Будем говорить, что число к умножается на строку (столбец) определителя, если на самом деле к умножается на все элементы строки (столбца).
Умножение на число к какой-либо строки (столбца) определителя сводится к умножению всех его членов на к, потому что каждый член содержит один элемент указанной строки (столбца). Но тогда величина суммы членов умножится на к.
Определитель, у которого элементы какого-либо столбца или строки равны нулю, равен нулю, потому что все его члены, очевидно, равны нулю.
Определитель равен нулю, если он имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца. Это следует из свойства б) (Д' = —Д, Д' = Д, откуда Д = 0).
Вычеркнем из определителя (9) п-го порядка f-ю строку и А-й столбец. Оставшееся выражение порождает определитель (и - 1)-го порядка М^ называемый минором элемента а,к. Величина же
А№ = (-1У+кМ№
называется алгебраическим дополнением или адъюнктом элемента aik.
Свойство е) Сумма произведений элементов а^ некоторой строки (столбца') определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя;
^=^а№А1к0=1, ..,п),^=^а№А1к0=1, ..,п),(Ю)(Ю)△ = ^°1кАи△ = ^°1кАи(А = 1, ..., п),(А = 1, ..., п),(Ю')(Ю')
^=^а№А1к0=1, ..,п),
^=^а№А1к0=1, ..,п),
(Ю)
(Ю)
△ = ^°1кАи
△ = ^°1кАи
(А = 1, ..., п),
(А = 1, ..., п),
(Ю')
(Ю')
Докажем это свойство для определителя третьего порядка в случае третьей строки. Имеем
а12 я13а12 я13°и°21°и°21*13°23*13°23+ °33+ °33ап °12°21 °22ап °12°21 °22
а12 я13
а12 я13
°и
°21
°и
°21
*13
°23
*13
°23
+ °33
+ °33
ап °12°21 °22
ап °12°21 °22
^зД^хг^гз О1з°22^ + О32(°13°21 ^и^гз) +
+ ОззС^ц ^23°12°21)△*
Сумму (10) называют разложением определителя по элементам i-й строки, а сумму (10') — разложением определителя по элементам k-го столбца.
Пример 1. Если в определителе А (см. (9)) а2х = а31 = * ... * ап1 = 0, то А = axvAxv т. е. вычисление этого определителя сводится к вычислению одного его адъюнкта, т. е. определителя (и - 1)-го порядка.
Пример 2 Если все элементы А, стоящие ниже (выше) главной диагонали А, равны нулю (ак1 = 0, если к > I (к < Z)), то А = ахха22 ... апп. Это следует из предыдущего примера.
Свойство ж) Сумма произведений элементов а.к некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие адъюнкты элементов другой строки (столбца) равна нулю:
П
^OikAik= LqmAm= 0 (11) £=1 *=1
(t * i; t, i = 1, . .. пу
В самом деле, зафиксируем наше внимание на первой сумме. Эта сумма не зависит от элементов /-й строки. Заменим в нашем определителе элементы /-й строки на соответствующие элементы i-й строки. От этого рассматриваемая сумма не изменится. Между тем теперь ее можно рассматривать как разложение нового определителя по элементам /-й строки, но тогда она равна величине нового определителя. Но последний равен нулю на основании свойства д), потому что он имеет одинаковые строки — i-ю и /-ю.
Свойство з) Пусть даны два определителя п-го порядка Aj и А2, у которых все строки (столбцы) одинаковы. кроме определенной одной (одного). Сумма таких определителей равна определителю А п-го порядка, у которого указанная строка (столбец) состоит из сумм соответствующих элементов этой строки (столбца) определителей Aj и Д2. Например,
аи ... а1п_х а1паи ... а1п_х а1паи ... а1п_у Ъ1паи ... а1п_у Ъ1п
аи ... а1п_х а1п
аи ... а1п_х а1п
аи ... а1п_у Ъ1п
аи ... а1п_у Ъ1п
Ai + Д2 =
°ni ... апп_г апп°ni ... апп_г аппап1 ••■ &п,п--1 ^ппап1 ••■ &п,п--1 ^пп
°ni ... апп_г апп
°ni ... апп_г апп
ап1 ••■ &п,п--1 ^пп
ап1 ••■ &п,п--1 ^пп
°11 -•• а1.п-1(°1л+^1л)
=А.
^п! ... ^л,Л-1 ^апп ^ ^Пл)
В самом деле, разлагая данные определители по эле
ментам п-го столбца, получим
пп
А. 4- Д9 = Дж А. 4- А. = ^' (а. 4- Ь. )А. — А.
12пп кпj кп kn *—4 ' кп кп" кп
6=16=1^=1
Свойство и) Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (стол- бца), умноженные на число k. Например:
аН ••• а1паН ••• а1пwnlL ПЛwnlL ПЛаХ1 ••* °1,п-1 а1я + ^°ц)
аН ••• а1п
аН ••• а1п
wnlL ПЛ
wnlL ПЛ
ап1 ••• °п,л-1 апп + kanO
а11 ••• а1.п-1°11
+ k+ kl°J + А • 0 = |aj.l°J + А • 0 = |aj.
+ k
+ k
l°J + А • 0 = |aj.
l°J + А • 0 = |aj.
ап1 ••• ап.п-1 ап1
в силу свойств з), в), д).
Надлежащее применение этого свойства приводит вычисление данного определителя к вычислению определителя более низкого порядка.
Пример 3.1 4 52 3 18 1 1Пример 3.1 4 52 3 18 1 114 5О -5 -98 1 114 5О -5 -98 1 1145О -5 -9О -31 -39145О -5 -9О -31 -39
Пример 3.
1 4 5
2 3 1
8 1 1
Пример 3.
1 4 5
2 3 1
8 1 1
14 5
О -5 -9
8 1 1
14 5
О -5 -9
8 1 1
145
О -5 -9
О -31 -39
145
О -5 -9
О -31 -39
-5-9-31 -39-5-9-31 -395 931 395 931 39= 5-39 - 9-31 = -84.= 5-39 - 9-31 = -84.
-5-9
-31 -39
-5-9
-31 -39
5 9
31 39
5 9
31 39
= 5-39 - 9-31 = -84.
= 5-39 - 9-31 = -84.
Пример 4.
2112111 13 24 61 13 24 6О-5-7О-5-71 О3 -14 21 О3 -14 2-5 -15-7 2-7-5 -15-7 2-711
2
1
1
2
1
1
1 1
3 2
4 6
1 1
3 2
4 6
О
-5
-7
О
-5
-7
1 О
3 -1
4 2
1 О
3 -1
4 2
-5 -15
-7 2-7
-5 -15
-7 2-7
1
1
Пример 5. Определитель
порожденный числами а,, а2, .... ап называется степенным или определителем Вандермонда *.
Этот определитель равен нулю, если какие-либо два числа а, и ак равны между собой. Если все а; различны, то
дл ” Ч * а1)<°„ 1 - °.) - А " °,)'‘(°л - п2)(ал , - а2) ... (а3 - щ)-
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И n-го ПОРЯДКА19 Последний определитель есть также определитель Вандермонда порядка (к -1), порожденный числами а2, ..., ак, поэтому, по предположению, имеем
Ак = (°* - °1)(а* 1 “ а1) ••■ А "" °1)""А "" ^^^^k-l - Q2> — (°3 * ^
(12)(12)^2^21 ах1 «21 ах1 «2°2°2
(12)
(12)
^2
^2
1 ах
1 «2
1 ах
1 «2
°2
°2
‘К " “JK-! - Оп2)"
•К * «„-Л
В самом деле, при п = 2
т. е. формула (12) верна. Допустим, что формула (12) верна при п = к - 1, и докажем, что она верна при п = к. Будем использовать свойства и), в) определителя. Умножим fc-1-й столбец в определителе Дк на а, и вычтем из к-го, к-2-й столбец умножим также на ах и вычтем из к- 1-го и т. д.; тогда получим
' ^ак ak-2)^ak-i ак-^ *
*(ак - а^).
Таким образом, в силу метода математической индукции формула (12) верна при любом п > 2.
Свойство к) Пусть
Д1 = 1Ь*Л Д2 = l°J‘
Произведение двух определителей то порядка с элементами Ьк1, аы есть в свою очередь определитель то порядка с элементами
т. е.т. е.1 «й-Oi ак(ак-ах) ... ак'2(ак-ах)1 «й-Oi ак(ак-ах) ... ак'2(ак-ах)ДА =ДА =^ьы°н'^ьы°н'= А.= А.
т. е.
т. е.
1 «й-Oi ак(ак-ах) ... ак'2(ак-ах)
1 «й-Oi ак(ак-ах) ... ак'2(ак-ах)
ДА =
ДА =
^ьы°н'
^ьы°н'
= А.
= А.
10 О ... о
1 а2-ах 02(02-0^ ... о^2(а2-ог)
А. Т. Вандермонд (1735-1796) - французский математик.А. Т. Вандермонд (1735-1796) - французский математик.Таким образом, элемент ^к1, принадлежащий к к-й строке и l-му столбцу определителя А, равен, как говорят, произведению к-й строки определителя At на l-й столбец определителя Д2. На самом деле это есть сумма произведений элементов к-й строки определителя А] на соответствующие элементы Z-ro столбца определителя Д2.
А. Т. Вандермонд (1735-1796) - французский математик.
А. Т. Вандермонд (1735-1796) - французский математик.
Так как в определителях Д1 и Д2 можно менять строки со столбцами, то, очевидно, элементы yw произведения Д можно строить также, беря произведение к-й строки Д, на l-ю строку Д2 или произведение А-го столбца Д, на 1-й столбец Д2 или к-го столбца на l-ю строку.
Доказательство. Убедимся в справедливости свойства на примере определителей второго порядка:
ДД$п$п$12$12$21$21$22$22^2^2«и«и°12°12Д =Д =¥ц¥ц¥12¥12°21°21°22°22¥21¥21¥22¥22
Д
Д
$п
$п
$12
$12
$21
$21
$22
$22
^2
^2
«и
«и
°12
°12
Д =
Д =
¥ц
¥ц
¥12
¥12
°21
°21
°22
°22
¥21
¥21
¥22
¥22
где
¥п - $ii°ii¥п - $ii°ii$12°21>$12°21>¥12^¥12^$11°12$11°12$12^22*$12^22*¥21$21 а11¥21$21 а11$22^21*$22^21*¥22¥22$21°12$21°12$22^22"$22^22"
¥п - $ii°ii
¥п - $ii°ii
$12°21>
$12°21>
¥12^
¥12^
$11°12
$11°12
$12^22*
$12^22*
¥21$21 а11
¥21$21 а11
$22^21*
$22^21*
¥22
¥22
$21°12
$21°12
$22^22"
$22^22"
В силу свойств з), в), д)
Д =Д =$11^11$11^11$11°12 + $12^22$11°12 + $12^22$12^21$12^21$11^12 + $12°22$11^12 + $12°22$21^11$21^11$21^12 + $22^22$21^12 + $22^22$22°21$22°21$21^12 + $22^22$21^12 + $22^22” ^11^12” ^11^12$11$11$11$11$21$21$21$21$12$12$12$1221 2221 22~ ^12^21~ ^12^21а11°22а11°22$11$11$21$21$12$12$22$22°12°21°12°21$12$12$22$22$22$22$22$22°И°12°И°12о +о +аиааиа2222$11$11$21$21$11$11$21$21$12$12$22$22$11$21$11$21$12$22$12$22"^ ^21^22*^^11^22^1°12°21^1"^ ^21^22*^^11^22^1°12°21^1
Д =
Д =
$11^11
$11^11
$11°12 + $12^22
$11°12 + $12^22
$12^21
$12^21
$11^12 + $12°22
$11^12 + $12°22
$21^11
$21^11
$21^12 + $22^22
$21^12 + $22^22
$22°21
$22°21
$21^12 + $22^22
$21^12 + $22^22
” ^11^12
” ^11^12
$11
$11
$11
$11
$21
$21
$21
$21
$12
$12
$12
$12
21 22
21 22
~ ^12^21
~ ^12^21
а11°22
а11°22
$11
$11
$21
$21
$12
$12
$22
$22
°12°21
°12°21
$12
$12
$22
$22
$22
$22
$22
$22
°И°12
°И°12
о +
о +
аиа
аиа
22
22
$11
$11
$21
$21
$11
$11
$21
$21
$12
$12
$22
$22
$11
$21
$11
$21
$12
$22
$12
$22
"^ ^21^22*^^11^22^1°12°21^1
"^ ^21^22*^^11^22^1°12°21^1
^1(°И°22°12°21^^1^2*
В общем случае определителей n-го порядка можно записать:
п
п
п
^ °1SX ^811
^а131^2
*** ^L°isi^sin
S1=l
S! = l
81=1
п
п
п
^О28гЬ821
^°2so^S92
- * *^ °2s2 ^s2”
32=1
82=!
s2=l
5L ansn ^i
s„=l
п
ansn ^8п^
sn=lsn=l8л=18л=1S1=1S2=1 sn=lS1=1S2=1 sn=l^s^l ^Sj2 ••* ^s^nЬе I Ье О • • • Ье —
sn=l
sn=l
8л=1
8л=1
S1=1S2=1 sn=l
S1=1S2=1 sn=l
^1 ^s„2 ™ ^snn
X “is, °2s2 • • • Gnsn М)"’’^ = ДД.
S=(S!,S2s„)
любой индекс суммирования s (у,. =любой индекс суммирования s (у,. =п2п2а^ bslV но для даль-а^ bslV но для даль-При вычислении отдельных элементов △ мы вправе выбирать
любой индекс суммирования s (у,. =
любой индекс суммирования s (у,. =
п
2
п
2
а^ bslV но для даль-
а^ bslV но для даль-
s=l
нейшего удобно для первой строки А взять в качестве такого индекс sp для второй s2 и т. д. Второе равенство имеет место на основании свойств з) и в); при этом кратная сумма
распространяется на всевозможные перестанов
ки (sp s2, ..., sn), где 1 < s} < п. Однако если в какой-либо
системе (s,, s2, ..., sn) две компоненты sf и s} равны между собой (s. = s., i * j), то определитель |^г|= 0. Поэтому на самом деле в кратной сумме можно оставить только члены, соответствующие разным перестановкам (s,, ..., sn) и натуральных чисел (1, ..., п). При этом, очевидно, окажется, что определитель
м = (-ly^r
Матрицы
Таблица чисел af. (действительных или комплексных)
вида
а11 ••■ «1ла11 ••■ «1л(«11 ••• «1»(«11 ••• «1»
а11 ••■ «1л
а11 ••■ «1л
(«11 ••• «1»
(«11 ••• «1»
А =А =«ml ' * * ^тп«ml ' * * ^тп«л:1 • • • ^тп ,«л:1 • • • ^тп ,
А =
А =
«ml ' * * ^тп
«ml ' * * ^тп
«л:1 • • • ^тп ,
«л:1 • • • ^тп ,
- kjl = (^), а)
состоящая из т строк и п столбцов, называется матрицей. Числа ц. называются ее элементами. Это прямоугольная матрица. При т = п она называется квадратной матрицей п-го порядка.
Если задана вторая матрица В = ||pj с элементами pjy, тоже состоящая из т строк и п столбцов, то она считается равной матрице А тогда и только тогда, когда соответствующие элементы обеих матриц равны (ои = р0). В этом случае пишут А ~ В. Матриа ||aj| не есть число — это таблица. Однако для квадратной матрицы можно рассматривать число |aj — определитель, порожденный этой матрицей.
Пусть к — натуральное число, не превышающее т и п (к < т, п). Зачеркнем в таблице (1) какие-либо к столбцов и к строк. Элементы а/е, находящиеся на пересечении
зачеркнутых столбцов и строк, образуют квадратную матрицу, которая порождает определитель Л-го порядка. Полученный определитель называется определителем к- го порядка, порожденным матрицей А.
Рангом матрицы А называется наибольшее натуральное число к, для которого существует не равный нулю определитель &-го порядка, порождаемый матрицей А (см. § 4).
(2)(2)Если в матрице А сделать ее строки столбцами с тем же самым номером, то получим матрицу
(2)
(2)
«11
. . .
«ml
«1л
• • •
«тп
называемую транспонированной к А матрицей.
Если в матрице А ее элементы ак1 заменить на им комплексно сопряженные, то получим матрицу
ап ... а1п
= II а J,
аш ... апп
называемую комплексно сопряженной с А матрицей. Далее матрица
ап ... ап1
А* ^ (АУ ^
аы ... апп
называется сопряженной с А матрицей.
Если А — действительная матрица, т. е. имеющая действительные элементы (a w = o.k), то, очевидно,
Матрицы одного и того же размера, т. е. состоящие из одинакового числа строк и столбцов, можно складывать. Суммой двух таких матриц А = |aj;.|| и В = UpJI называется матрица С = ЦУц||* элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В; у = сс. + Ру. Символически этот факт будем записывать так:
А + В = С.
Легко видеть, что
А + В = В + А,
(А + В) + С = А + (В + С).
Произведением числа. X на матрицу А (или произведением матрицы А на число X) будем называть матрицу, элементы которой равны произведению числа X на соответствующие элементы матрицы А. Таким образом, ХА = АХ.
Система линейных уравнений.
Теория Кронекера—Капелли1
^1. Система из п линейных уравнений с п неизвестными. Будем называть произвольную систему из л чисел (xf, .... хп) п-мерным вектором и обозначать его также одной (жирной) буквой х:
X = (х„ .... хп).
Числа х. (действительные или комплексные) называют компонентами вектора х. Вектор
О = (О, .... 0)
называется нулевым вектором.
Зададим систему из п линейных уравнений с п неизвестными
«П^-Ь ... *alnxn=yv
Пример. Пусть
Ч О
А= (2 3
2
1
2 0
<2 1 1J
“ni^i + ••• + «„„*„ = Уп-
(1)
Найти матрицу ХА + цВ.
На основании определения суммы матриц и умножения матрицы на число имеем
Числа аы (действительные или комплексные), называемые коэффициентами системы (1), заданы. Будем еще говорить, что система (1) определяется матрицей
all •" °ln
ХА =
'X О 2X^1
^Х ЗХ X J
цВ =
"2ц
<2ц
О
Ц
Ц
ха + цв —
Х + 2ц
2Х + 2ц
О
ЗХ + ц
2Х + цX + ц
А = И°Л =
a„i ... a,
(2)
ее коэффициентов.
Нас будет интересовать вопрос о разрешимости системы (1) для каждого вектора (системы чисел)
У ” (У1У „У
Система чисел (вектор)
X = (хр .... хп)
называется решением системы уравнений (1), если числа х. удовлетворяют этим уравнениям.
Формулы Крамера.
Теорема 1. Если определитель системы (1) не равен нулю-.
Ь = Ы * °’
то система (1) имеет единственное решение для любого вектора у, вычисляемое по формулам (Крамера)
х. = Д'/Д 0 = 1 п),(3)
где Д' - определитель, получаемый из определителя Д, если в нем заменить числа j-го столбца соответственно на числа yLуп:
°п ••• °ij-i Ух °xj+x ••• а1л
(4)(4)Д' =
(4)
(4)
“„1 - - - ®п,/"-1 Уп ^n,j+l "" * ^пп
Таким образом.
- хХ^". и-1S=1- хХ^". и-1S=1(3')(3')
- хХ^". и-1
S=1
- хХ^". и-1
S=1
(3')
(3')
где Asj есть адъюнкт элемента asj в определителе А.
Доказательство. Пусть (хр .... хп) есть решение системы (1). Чтобы найти неизвестное число х,, умножим первое уравнение системы (1) на адъюнкт Ап, второе - на А,^ .... п-е — на Ап1 и сложим все уравнения системы. Тогда, учитывая, что
пп
^«ы^А. = ^^«ыА. = х А
ИИ5L% xAi5L% xAi^Х°л7 Ai = v° = ° (у * 1)1Al^Х°л7 Ai = v° = ° (у * 1)1Alполучаем XjA = А1, гдеполучаем XjA = А1, гдеУ1 а12 •■• а1пУ1 а12 •■• а1пА1 = ^У.А,ХS=1А1 = ^У.А,ХS=1Уп ап2 ••" °ппУп ап2 ••" °ппJh=lА1
И
И
5L% xAi
5L% xAi
^Х°л7 Ai = v° = ° (у * 1)1
Al
^Х°л7 Ai = v° = ° (у * 1)1
Al
получаем XjA = А1, где
получаем XjA = А1, где
У1 а12 •■• а1п
У1 а12 •■• а1п
А1 = ^У.А,Х
S=1
А1 = ^У.А,Х
S=1
Уп ап2 ••" °пп
Уп ап2 ••" °пп
Следовательно, так как по условию А * О, то х, = А*/А.
В общем случае при произвольном / умножаем первое уравнение системы (1) наА^, второе - на Л2;, .... п-е — на Anj, складываем эти уравнения и получаем на основании свойств определителей е), ж) равенство
Xi ^ °kj Akj^ У к Ahj,
т. е.т. е.к=1к=1
т. е.
т. е.
х&= Д’,/
где
А' = ^УкА,.=к=1А' = ^УкА,.=к=1аН ••• °1,/-1 У\ °1,;+1 ••• °1п
А' = ^УкА,.=к=1
А' = ^УкА,.=к=1
^nl • * ‘ ^ntj—l Уп ^nj+l * ■ • ^пп
Отсюда в силу того, что А ^ 0, следует равенство (3).
Мы доказали, что если (хр .... хл) есть решение системы (1), то числа х. определяются формулами (3').
Обратно, совокупность чисел х. = Д'/Д U = 1» -.., п) является решением системы (1). В самом деле, подставляя x.(j = 1, .,., л) в левую часть А-го уравнения (k = 1, ..., и) системы (1), на основании свойств е), ж) определителя, имеет
= Т Z^ Alt = ^УЛ'= у к- s=l 7=1
Таким образом, числа (3') действительно являются решением системы (1).
Однородная система. Система уравнений вида
®п*1 + ... + a]nxn=O, 1
(5) anlXi + ... + аппхп = О
называется однородной. Она является частным случаем системы (1) при уг = ... = уп = О. Ясно, что нулевой вектор
xt - О, . . . , хп = О
удовлетворяет однородной системе (5). Но может случиться, что однородная система (5) удовлетворяется не нулевым вектором х = (хр ..., х^^ т. е. вектором, имеющим хотя бы одну компоненту xt Ф О. Его называют нетривиальным решением однородной системы (5), а нулевой вектор поэтому называют тривиальным решением однородной системы (5).
Теорема 2. Если определитель А однородной системы (5) не равен нулю (А Ф 0), то эта система имеет только тривиальное решение.
В самом деле, в силу свойства г) все определители Д' = * 0 (см. (4)), поэтому в силу равенств (3) х. = 0 V = 1, ..., и).
Теорема 3. Если система уравнений (5) имеет нетривиальное решение, то ее определитель А необходимо равен нулю (А = 0).
В самом деле, если бы А Ф 0, то по теореме 2 система (5) имела .бы только одно тривиальное решение.
Выше мы исследовали линейную систему (1) в случае, когда ее определитель A 9fc 0. В этом случае было показано (теорема 1), что система (1) имеет для любой правой части У ” (Ур •••> У„) единственное решение, вычисляемое по формулам (3).
Правило решения системы линейных уравнений. Теперь мы переходим к исследованию системы (1) в случае, когда ее определитель А = 0. Будем предполагать, что хотя бы один элемент матрицы А (см. (2)) нс равен нулю и обозначим ранг А через k (к = = ранг А). Таким образом, 1 < к < п.
Нашей целью будет доказать следующие правила (явным образом они сформулированы и доказаны Кронеке- ром и Капелли).
Если мы хотим решить систему (1), для которой известно, что ранг матрицы А ее коэффициентов равен к, то мы должны узнать ранг расширенной матрицы
Оц — °1п уг
»nl ••• Опп Уп
полученной присоединением к А столбца
У1
Уг
' Ух '
Уг
Лп >
и потому имеет единственное вычислить по формулам
х = Д‘/Д,
где
решение, которое
У = А7А,
можно
Если ранг В больше ранга А (ранг В > ранг А = ft), то система (1) вовсе не имеет решений. Она противоречива — не существует вектора х = (хр .... хп), удовлетворяющего одновременно всем уравнениям (1).
Если ранг В равен рангу А (ранг В = ранг А = ft), то система (1) имеет решения. Чтобы найти их, мы должны выбрать из системы (1) какие-нибудь ft уравнений, матрица коэффициентов которых имеет ранг ft, и решить эти ft уравнений. Решений у этой системы из ft уравнений будет бесконечно много, но их можно записать в обозримом виде.
При этом любое решение взятых нами ft уравнений автоматически является решением остальных п — к уравнений системы (1).
Правила 1) и 2) исчерпывают возможные ситуации, потому что ранг В не может быть меньшим к.
Ведь матрица А по условию порождает не равный нулю определитель ft-го порядка, который порождается также и матрицей В.
Д' =
1
2
1
-1
= -з,
Д2 =
1
1
1
2
1,
т. е.
-3
-2
3
2 ’
1
i
2 '
Пример 2. Система
х+ у = 1, х^у = 2
(6)
имеет определитель, равный нулю. Матрица
1
1
1
1
имеет ранг А = 1. Л матрица
1 1
1 2
4.5. Примеры приложения правил.
Пример 1. Система
х + у = 1, х-у = 2
имеет ранг В = 2. Так как ранг В > ранг А, то система (6) не имеет решений. Это видно, впрочем, и без пашей теории: одно и то же число не может равняться и 1 и 2.
Пример 3. Система
имеет определитель
= -2*0
2х + 2у = 2, Зх + Зу = 3
(7)
имеем определитель Д 0 Матрица
2 2 IIл Г II з 3 ||
имеет ранг А = 1. Расширенная матрица
II2 2 2IIв = 3 3 3
тоже имеет ранг В = 1. Так как ранг А = ранг В = 1, то берем одно уравнение
2х + 2у = 2.(8)
Коэффициент при у не равен нулю, поэтому это уравнение можно решить относительно у.
2-2х
У = —g— = 1 ~ *•(9)
Формула (9) дает все решения уравнения (8). Мы можем задать любое значение х (-«> < х < <») и вычислить значение у по формуле (9). Получим систему (вектор) (х, у), удовлетворяющую уравнению (8). Множество всех систем (х, 1 — х), где х е (-<*>, °°), образует множество всех решений уравнения (8). Эти решения автоматически являются решениями и второго уравнения системы (7), потому что ранг А = ранг В. В данном случае этот результат очевиден без применения теории о рангах матриц. Коэффициенты уравнений (7) вместе с их правыми частями соответственно пропорциональны, поэтому ясно, что всякое решение одного из этих уравнений является также решением другого.
Пример 4. Система
х + у + 2 = 1,2х + у + 2г = 1, •
х + у + Зг = 2
имеет определитель
1
1
1
А =
2
1
2
= -2*0
1
1
3
и поэтому имеет единственное решение, которое можно вычислить по формулам
А1
А
А2
А3
Пример 5. Система
имеет определитель
2 Бугров. Т. 1
111
112
2 13
1 1
1 2
2 3
1 1
1 1
1 2
X + у + 2 = 1, х + у + 2г = 1, х + у + Зг = 2
1 1
1 2
1 3
= О.
£
2 ’
1
2 '
Матрица
1 1
1 2
1 3
имеет ранг А = 2, так как Д = О, но имеется определитель второго порядка, порожденный матрицей А, не равный нулю. Например,
1
1
1
2
= 1*0.
1
Д =
1
2
1 1
1 2
2 4
Легко подсчитать, что матрицы
1
1
2
1 1
1 2
2 4
= 0.
В = 1
2
111
12 1
2 4 2
Матрица
111
12 1
13 2
имеют равные ранги, причем ранг А = ранг В = 2. Выберем из системы (10) два уравнения так, чтобы ранг матрицы А из коэффициентов этих уравнений был равен 2. В данном случае можно взять первое и второе уравнения или первое и третье. Итак, рассмотрим систему
имеет ранг В = 3, так
этой матрицей.
как определитель, порожденный
X + у + 2 = 1, X + у + 22 = 1.
(И)
1 1
1 2
1 3
1
1
2
= 1*0.
Перенесем в правые части этих уравнений одно из неизвестных так, чтобы коэффициенты при оставшихся неиз- естных образовывали матрицу А', у которой ранг А' = 2.
В данном случае можно перенести или х или у.
Итак, неоднородная система
Так как ранг В > ранг А,
то система не имеет решения.
Пример 6. Система
х + 2 = 1 - у, х + 2г = 1 — у
(12)
имеет определитель
х + у + 2 = 1, х + у + 2г = 1, ■
2х + 2у + 42 = 2
имеет определитель
(Ю)
1
2
= 1*0,
поэтому она имеет единственное решение при любой правой части:
^-у
1-У
1
= 1 - У,
1
1
1-У
1-0
= О.
Таким образом, тройки чисел (1 — у, у. О) при всяком у 6 (—оо, оо) дают все решения системы (12) и автоматически решения третьего уравнения системы (10) (это уравнение получается из второго умножением на 2).
Обоснование правил.
Теорема 4. Если система (1) совместна, т. е. имеет хотя бы одно решение х, то необходимо ранг В = ранг А.
Теорема 4 дает обоснование правилу 1) (стр. 29), по которому, если ранг В > ранг А, то не выполняется необходимое условие совместности (непротиворечивости) системы (1).
Доказательство теоремы 4. Пусть система (1) имеет решение и ранг А = к. Нам надо доказать, что ранг В = к. Так как по условию ранг А = к, то существует не равный нулю определитель к-го порядка, порождаемый матрицей А, следовательно и матрицей В. Поэтому ранг В > к. Остается доказать, что всякий определитель (А + 1)-го порядка, порождаемый матрицей В, равен нулю. Если такой определитель состоит только из элементов ау, то он заведомо равен нулю, потому что он порождается также и матрицей А, которая по условию имеет ранг к. Таким образом, нужно доказать, что любой определитель (к + 1)-го порядка, порождаемый матрицей В и содержащей в себе столбец из чисел ур равен нулю. Не нарушая общности, можно считать, что это определитель
°11••• а1к У1
ак+1Д ••• °k+l,h У к+1
К этому можно свести любой случай, перенумеровывая соответствующим образом уравнения и неизвестные xf По условию система (1) совместна, т. е. существует вектор х = (х,xj, удовлетворяющий уравнениям этой системы. Но тогда х, в
частности, удовлетворяет первым Л + 1 уравнениям заново перенумерованной системы. Следовательно,
Q1A + ... + а1кхк + ХА = О, (13) ак+1ДхХ + "• + аА+1,Л + ^”fe+l = О,
где
Хг — аХ,к+1Хк+Х + •" + °Хпхп Ух*
(14)
Хк+1 = ак+Х,к+Ххк+Х + ■ • • + ик+Х,пХп Ук+Х
Составим систему с неизвестными zv zy .... zA+1.
(15)(15)G1121 + • • • + аХкгк + ^12Л+1^’
(15)
(15)
°й+1Д21 + •" + ak*X,kZk + ^k+XZk+X ^‘
На основании (13) и (14) эта система удовлетворяется числами Xj xN, 1, среди которых во всяком случае одно не равно нулю. Но тогда определитель однородной системы (15) равен нулю (см. теорему 3), т. е.
аи ... alk a1-fe+1xk+1 + ... +а1пхп -Уг
О =
°к+1Д ■•• °к+1,к ак+1,к+1Хк+1 + ■•• + ак+1пХп Ук+Г
s=h+ls=h+lОц ••• а\к alsОц ••• а\к alsак+1Д •" ак+1,к ^A+l.sак+1Д •" ак+1,к ^A+l.sа11... а1кУх°к+1Д••• ак+1,кУк+Ха11... а1кУх°к+1Д••• ак+1,кУк+Х
s=h+l
s=h+l
Оц ••• а\к als
Оц ••• а\к als
ак+1Д •" ак+1,к ^A+l.s
ак+1Д •" ак+1,к ^A+l.s
а11
... а1к
Ух
°к+1Д
••• ак+1,к
Ук+Х
а11
... а1к
Ух
°к+1Д
••• ак+1,к
Ук+Х
°11"■ а1к У\°11"■ а1к У\(16)(16)
°11"■ а1к У\
°11"■ а1к У\
(16)
(16)
ah+l,l ••• ak+l,k У к+1
потому что определители ((А + 1)-го порядка!), входящие в
у
сумму A-t , равны нулю — ведь ранг матрицы А равен к.
S
Мы доказали, что любой определитель (А + 1)-го порядка, порождаемый матрицей В, равен нулю, что и требовалось доказать.
Перейдем теперь к обоснованию правила 2) (стр. 29). Так как ранг матрицы А равен А (ранг А = А), то система (1) содержит к уравнений, матрица коэффициентов которых порождает не равный нулю определитель А-го порядка. Перенумеровывая заново уравнения и неизвестные, можно достигнуть того, что первые к уравнений системы (1)
°ы^ + ••• + а1пхп = У1,1
«ИХ1+ ... *акпхп=ук«ИХ1+ ... *акпхп=ук(Г)(Г)
«ИХ1+ ... *акпхп=ук
«ИХ1+ ... *акпхп=ук
(Г)
(Г)
будут иметь определитель
С =С =°11 ••• °Тк
С =
С =
* 0.
ак1 •■■ акк\
Перенумерованную систему (1') перепишем еще так:
°иж1 + • • • + а1кхк = У1~ а1.к+1хк+1 ~ — - аХпхп, ]
аых1 + ... + аккхк — ук — ак к+1хк+1 - ... - акпхп.
В силу того, что определитель а * О, любой системе чисел хл+], .... хп соответствует единственная система чисел хх, .... хк, которые, очевидно, можно записать следующим образом:
1 1 ”
Хх = = — У1, (j/s — Us,k+lXk+l—-' -—Osnxn^sV
(18)(18)О о , S=1
(18)
(18)
Хк == — / , Vils — as.tiXhVT' • --osnxn^sk’
О О “
где А,, — адъюнкты элементов ав1 в определителе о. Следовательно, все решения системы (17) записаны по формуле (18). Числам хк+х, .... хп можно придавать любые значения, а числа хх, ..., хк будут вычисляться по формулам (18). Отсюда мы видим, что система (17) имеет бесконечное множество решений.
Мы хотим обосновать, что, если ранг А = ранг В = к, то любое найденное нами решение х первых к уравнений системы (1) автоматически является решением остальных уравнений этой системы. Для определенности докажем, что оно является решением (А + 1)-го уравнения. Итак, рассмотрим первые (А + 1) уравнений системы (1), которые мы запишем в виде (13). Надо доказать, что всякое решение х первых к уравнений (13) автоматически является решением (А + 1)-го уравнения в (13). Пусть х есть вектор, удовлетворяющий первым А уравнениям в (13). Составим уравнения (15) относительно неизвестных zv ..., zA+1, где числа X,, .... Х4+1 вычисляются по формулам (14) через компоненты хккХхп векторах. Определитель системы (15) равен нулю. Это видно из равенств (16), которые надо читать справа налево. По условию определитель справа равен нулю. Но тогда система (15) имеет нетривиальное решение zv гг, .... zttl. Здесь число zkvx * О, потому что, если допустить, что система (15) имеет решение вида zv .... zk, О, то числа zv ..., zk должны обратиться в нули, потому что определитель о * О. Но тогда zx = ... = zk = zkkX = = О и система zv ..., zkn была бы тривиальной. Вследствие
однородности системы (15) не только числа zv .... zA+1 удовлетворяют этой системе, но и числа (zAH * 0)
z\ = ZJZM z\ ” ^J^v
обладают тем же свойством. Но тогда числа z',, .... z'A удовлетворяют системе первых к уравнений (13), имеющей определитель а * 0. Мы уже знаем, что эта последняя система имеет решения хр ..., xt и в силу единственности
z, — хр ...» z к — хк.
Обращаясь к последнему уравнению (15), мы видим, что оно удовлетворяется числами (хр ..., хА, 1), т. е. числа (хр .... хА) удовлетворяют (к + 1)-му уравнению системы (13), и в силу (14) рассматриваемый нами вектор х = (хр .... хр хА+1, .... хл) удовлетворяет (А + 1)-му уравнению системы (1). Этим утверждение 2) доказано.
Метод решения системы путем исключения неизвестных. Можно рекомендовать следующий метод решения систем линейных уравнений, который является методом исключения неизвестных (или методом Гаусса1). Пусть дана система
(Г')(Г')ЗД + ••• +t4nxn=bv
(Г')
(Г')
a„iXi+ ... +аппхп=Ьп.
Если мы умножим какое-либо уравнение системы (1") на постоянное число и прибавим его к другому уравнению системы, то получим новую систему, эквивалентную прежней. Новая система уравнений будет иметь свою матрицу В', соответствующим образом преобразованную из матрицы В (В => В'). Преобразование заключается в том, что некоторая строка матрицы В видоизменяется прибавлением к ней другой строки, умноженной на соответствующее число.
Подобным образом, если умножить какое-либо из уравнений системы на число к Ф 0, оставив остальные уравнения прежними, то получим новую систему, очевидно, эквивалентную исходной. Новая система будет иметь свою матрицу В', соответствующим образом преобразованную из матрицы В (В => В'). На этот раз преобразование заключается в том, что строка, соответствующая указанному уравнению, умножается на к.
Появляется также необходимость переставлять местами два уравнения системы (1"), получив, таким образом, формально новую, но эквивалентную исходной систему. В этом случае преобразование В => В' сводится к перестановке местами двух строк матрицы В.
Указанные три преобразования В => В' называют элементарными преобразованиями матрицы.
Технически, вместо того чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что пишут только соответствующую ей матрицу В'. Всегда можно, применяя подходящим образом элементарные операции над системой уравнений или, что все равно, над матрицей В, добиться либо решения заданной системы (1"), либо прийти к явно противоречивой системе. Так как последняя эквивалентна системе (1")> то это докажет противоречивость системы (1").
Ниже приводятся примеры применения этого метода.
Операция В => В' обозначает, что В' получается из В посредством одной или нескольких элементарных преобразований.
Пример 7. Решить систему
хг + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 5,
х2 "*" 2^з + Зх4 = 1,хг + Зх3 + 4х4 = 2,jq + х2 + 5^з + ^х4 = !•
Конечно, согласно теореме 1, мы могли бы просчитать все пять определителей четвертого порядка и найти xv х2, х3, х4. Здесь было бы много повторяющихся вычислений.
Составим матрицу В:
1 2 3 4 5'
0 12 3 1В= 10342’
Д 1 5 6 1,
где, как мы видим, последний столбец состоит из правых частей нашей системы. Умножая первую строку на (—1) и прибавляя ее к третьей и четвертой строкам, получим матрицу
в; =
1 2 3 4 5
0 12 3 1
0 -2 0 0 -3 ^-122 -4
В матрице В^ элементы третьей строки, являющиеся коэффициентами при неизвестных, кроме одного, равны нулю. Переместим эту строку на место второй строки. Тогда элемент, не равный нулю, окажется на главной диагонали:
1
2 3 4 5'
В" = °
0
-200-3
12 3 1
.0
-12 2-4,
Вторую строку можно еще умножить на (-1), чтобы запись была проще:
1
2 3 4 5'
0
2 0 0 3
Bt = о
<0
12 3 1
-122 -4,
10 3 420 2 0 030 0 2 3 -1/20 0 2 2 -5/2,10 3 420 2 0 030 0 2 3 -1/20 0 2 2 -5/2,Дальнейшие преобразования матриц очевидны
10 3 42
0 2 0 03
0 0 2 3 -1/2
0 0 2 2 -5/2,
10 3 42
0 2 0 03
0 0 2 3 -1/2
0 0 2 2 -5/2,
В, => В2
1
0
0
<0
0 3 4 2
2 0 0 3 023 -1/2 0 0-1-2;
1030-6
02003
0020-1
^0012
\
3/2
>
В4 =
=^ В6
1
0
0
<0
0 3 4 2 ' 2 0 0 3 023 -1/2
0 0 12,
10001
0200
0020-
J)001
5/4' ?
13/2
2 >
в5 =
Отсюда х4 = 2, х3 = -13/4, х2 = 3/2, xt = 15/4. Чтобы не допустить ошибки, рекомендуется осуществить проверку, подставив полученные значения в исходные уравнения системы.
Рассмотрим с этой точки зрения пример 5:
хг + х2 + х3 = 1, х^ + х2 + 2^з = ^ хх + х2 + Зх3 = 2,
1111'112 11 1 3 2>1111'112 11 1 3 2>=> В,=> В,1111'0 0 10.0 0 2 1>1111'0 0 10.0 0 2 1>=>В2 ==>В2 =1 о<01 о<0111'0 100 0 1,111'0 100 0 1,
1111'
112 1
1 1 3 2>
1111'
112 1
1 1 3 2>
=> В,
=> В,
1111'0 0 10
.0 0 2 1>
1111'0 0 10
.0 0 2 1>
=>В2 =
=>В2 =
1 о
<0
1 о
<0
111'
0 10
0 0 1,
111'
0 10
0 0 1,
Таким образом, исходная система эквивалентна следующей:
*1 + х2 + х3 = 1,О • Ху + 0 ■ х2 + х3 = 0, -О • хг + 0 • х2 + 0 • х3 = 1,
В последней строке свободный член равен единице, а коэффициенты при неизвестных равны нулю, поэтому система несовместна.
Наконец, в примере 6
Till'
- 0 0 1® = R - f1 1 1 И = R . (* 1 ° Ч о о о о) 3 1° о 1 о) 4 1° 0 1 °г
Отсюда
х3 = 0,хх + х2 = 1,
т. е. система имеет бесконечное множество решений:
Х1 = ХРХ2 = 1 - ХРХ3 = 0>
где xv — любое число (—°° < xv < =°).
Нахождение ранга матрицы. Если нас интересует только вопрос о ранге матрицы В, то указанные выше элементарные операции В => В' распространим не только на строки, но и на столбцы матрицы. При этом, если в процессе этих преобразований в матрице появляются строка или столбец, целиком состоящие из нулей, то их надо удалить из матрицы, т. е. рассматривать далее матрицу меньшего размера.
Следующие примеры иллюстрируют этот метод.
Пример 8. Найти ранг матрицы
"1 2 3 4 5 6 7'0 10 10 1112 12 12 1'.0 0 0 0 0 4 5,
Ясно, что ранг матрицы В не больше 4. В данном случае ап = 1 * 0. Умножая первую строку на (-1) и прибавляя ее к третьей строке, получаем
"1 2 3 4 5 6 7'
ВхВх0 10 10 11
Вх
Вх
0 0-2-2 -4 -4 -6.0 0 0 0 0 4 5,
Теперь, умножая первый столбец на соответствующие
числа и прибавляя его к остальным столбцам, получим
матрицу
"1 0 0 0 0 0 О'0 10 10 11
О 0-2-2 -4 -4 -6.0 0 0 0 0 4 5,
Второй столбец уже состоит из нулей, кроме элемента а22 = 1 * 0. Умножая второй столбец на (-1) и прибавляя его к 4, 6, 7 столбцам, получим
"1 0 0 0 0 0 О'
0 1 0 0 0 0 0
в ==> в =
30 0 -2-2 -4 -4 -64
.0 0 0 0 0 4 5,
Определитель четвертого порядка матрицы В7 не равен нулю, следовательно, ранг В = ранг В7 = 4.
Пример 9. Найти ранг матрицы
В =
"1 с .С
"12 11 0 111 110 0
ООО''
) 1 1 1
-1 -1-1J
>
^вх =
^в3 =
"12 11 0 111
0 -1 -1 -1
"1 0 0 0^
0 111 к0 0 0 0,
>
/
^Вг =
^В4 =
= f1 0 0 °L R = f1 0 О 0^ R = Г1 °) (О 1 1 1)5 (о 1 о о) 6 (о 1J*
т. е. ранг матрицы В равен двум.
Рассуждения в примерах 8 и 9 основаны на следующем общем утверждении: при элементарном преобразовании В => В'ранг матрицы сохраняется, т. е. выполняется равенство
ранг В - ранг В'.
Это утверждение очевидно, если элементарное преобразование сводится к замене местами строк или столбцов матрицы или к выкидыванию из матрицы ее строки или столбца, состоящих из нулей.
Остается еще один случай, который мы выразим в виде теоремы.
Теорема 5. Пусть матрица В подвергнута преобразованию В => В', заключающемуся в том, что к некоторой ее строке (столбцу) прибавляется другая какая-либо строка (столбец), умноженная на число С.
Тогда ранги матриц В и В'равны.
Доказательство. Будем доказывать эту теорему для строк (для столбцов рассуждения аналогичны).
Пусть к есть номер строки матрицы В = (6Ы), умножаемой на число С и прибавляемой к другой строке В, которую будем считать имеющей номер I (таким образом, l-я строка матрицы В' состоит из элементов СЬМ + ЪЦ1 j = = 1п). Пусть
ранг В = г, ранг В' = /.
Достаточно показать, что / < г, потому что по аналогии доказывается также, что г < /, откуда г = /.
Если г = О, то все элементы матрицы В равны нулю и, следовательно, равны нулю все элементы матрицы В', откуда г = / = 0.
Пусть теперь г > 0. Тогда существует матрица А порядка г, порождаемая матрицей В, с неравным нулю определителем (|Д| * 0), а все матрицы А, порождаемые В, порядка, большего г, имеют определители, равные нулю. При преобразовании В => В' матрица А преобразуется в некоторую матрицу А' (А => Д'). Пусть матрица А имеет порядок, больший г.
Если l-я строка матрицы В не участвует в образовании А, то, очевидно, А = А и 0 = |А| = |А'|.
Если в образовании А участвуют обе строки В с номерами й и Z, то 0 = |А| = |А'|. Ведь чтобы получить определитель |А'|, надо к некоторой строке определителя Щ прибавить определенную другую его строку, умноженную на число С, от чего величина определителя не меняется.
Наконец, пусть в образовании матрицы А участвует Z-я строка, но не участвует Л-я строка. Очевидно (см. свойство з) определителя),
И = и + С]А|,(19)
где Л — матрица порядка, большего г, получаемая из А заменой элементов Z-й строки на соответствующие элементы к-й строки матрицы В. Но такая замена не меняет ранг В и так как |Aj = 0, то |л| = 0.
Из (19) получаем |А'| = 0 + С • 0 = 0.
Мы пересмотрели все случаи, когда матрица А' имеет порядок, больший чем г, и всякий раз оказывалось, что |А'| = 0. Это показывает, что
г' = ранг В' < г, что и требовалось доказать.
§ 5= Трехмерное пространство. Векторы.
Декартова система координат
Понятие вектора. В этом параграфе мы будем рассматривать реальное пространство. Понятие вектора в реальном пространстве читателю известно из элементарной геометрии.
Вектором (в реальном пространстве) называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной
точкой В, который можно передвигать параллельно самому себе. Таким образом, считается, что два направленных отрезка АВ и Л1В1, имеющие равные длины (|АВ| = ИД!) и одно и то же направление, определяют один и тот же вектор а, и в этом смысле пишут а = АВ = AjBj (рис. 2).
Длиной | АВ | = |а| вектора АВ = а называется число (неотрицательное), равное длине отрезка АВ, соединяюще-
—>
го точки А и В. Будем также писать | АВ | = |АВ|.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Если точки А и В совпадают, то
АВ = АА = О считают тоже вектором - нулевым вектором. Его длина д равна нулю (|0| = О), а направление для него не имеет смысла.
В геометрии рассматривают сложение и вычитание векторов и умножение их на действительные числа. По
определению произведение аа = аа вектора а на число а или числа а на вектор а есть вектор, длина которого равна |аа| = |а| • |а|, а направление совпадает с а, если а > 0, или противоположно а, если а < 0. При а = 0 длина |аа| равна нулю и вектор аа превращается в нулевой вектор (точку), не имеющий направления.
Вектор е называется единичным, если его длина равна 1, т. е. |е| = 1. Если Ь = ае и е - единичный вектор, то И = = |а|, потому что
1Ы = |а|-И = |а|-1 = |а|.
По определению векторы а, Ъ, с, .... взятые в конечном числе, складываются по правилу замыкания цепочки этих
Рис. 3Рис. 4Рис. 5векторов. Рис. 3 и 4 напоминают нам, как это делается. На рис. 5 показано, кроме того, как вычитаются векторы.Рис. 3Рис. 4Рис. 5векторов. Рис. 3 и 4 напоминают нам, как это делается. На рис. 5 показано, кроме того, как вычитаются векторы.
Рис. 3Рис. 4Рис. 5
векторов. Рис. 3 и 4 напоминают нам, как это делается. На рис. 5 показано, кроме того, как вычитаются векторы.
Рис. 3Рис. 4Рис. 5
векторов. Рис. 3 и 4 напоминают нам, как это делается. На рис. 5 показано, кроме того, как вычитаются векторы.
Проекция вектора. Проекцией точки А на прямую L (рис. 6) называется точка А', в которой пересекают-
Рис. 6Рис. 6Рис. 7Рис. 7
Рис. 6
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 7
ся прямая L с плоскостью, перпендикулярной к L, проходящей через точку А.
Зададим направленную прямую L (рис. 7) и вектор а = = АВ . Проекцией вектора а = АВ на направленную пря- ->
мую L называется вектор А 'В', где А', В - соответственно проекции точек А, В на L (см. рис. 7).
Проекцию вектора а на направленную прямую L будем обозначать символом пр£а .
—>
При данной направленной прямой L проекции А'В' —>
любых векторов АВ на L лежат в L и направлены, как
L, либо - в противоположную сторону.
->
Впрочем, если вектор АВ нулевой или перпендикулярен к L, то его проекция на L есть, очевидно, нулевой вектор, не имеющий направления.
Наряду с проекцией вектора а на направленную прямую L, которая представляет собой вектор, введем еще новое понятие — числовую проекцию вектора а на направленную прямую L. Это есть число, обозначаемое нами символом пр£а (без стрелки) и определяемое следующим образом.
Числовой проекцией вектора а = АВ на направленную прямую L называется произведение длины вектора а = = АВ на косинус угла to между вектором а и направлением L:
npLa = |a|cos(a, L) = |a|cos to (0 < to < л).
Отметим следующие случаи: если а = 0 или если со = лл
—, то пр£а = 0; если а#0и0<й)< —, то числовая
проекция положительна (пр£а > 0) и равна, очевидно, длине вектора А'В': прLa = | АВ |cos to = [ А'В' |; при этом —>
сам вектор А'В' направлен так же, как L; если же а * 0 л
и — < со < л, то числовая проекция отрицательна (пр£а <
< 0) и равна, очевидно, длине вектора А'В', взятой со
знаком минус:
пр£а - I^bIcosm = Чд'В'1 = -U'B'L —>
при этом сам вектор А'В' направлен в сторону, противоположную L.
Справедливо очевидное равенство, выражающее связь между проекцией вектора а на направление L и его числовой проекцией на L:
->
npLa = enpLa.
Здесь е — единичный вектор, направленный, как L.
Если векторы а и Ь лежат на направленной прямой L, то их можно записать в виде
a = ae, b = Ре,
где е — единичный вектор, направленный так же, как L, а а и Р - числа. Эти числа могут быть положительными, отрицательными или нулем.
Справедливы очевидные равенства
ае ± Ре = (a ± Р)е,(1)
показывающие, что сложение и вычитание указанных векторов сводится к сложению или вычитанию соответствующих чисел а, р.
Свойства проекций векторов. Числовые проекции векторов а, b на данное направление L обладают следующими свойствами:
пр£а + пр£Ь = пр£(а + Ь),(2)
пр£(аа) = апр£а.(3)
Свойство (2) усматривается на рис. 8:
npLa + npLb = А'В' + В'С' = А’С' = npLc = npL(a+b).
Рис. 8
Но тогда enpLa + епр£Ь = enp£(a + 6), откуда следует (2) (см. (1)).
Так как a = (a — Ь) + Ъ (см. рис. 5), то пр£(а — 6) + пр£Ь = пр£а, и, следовательно, пр£а - пр£Ь = пр£(а - 6).(2')
Докажем (3). Считая, что угол между вектором а и направлением L равен со, имеем при a > 0:
np£(aa) = |aa]cos со = a|a|cos со = anp£a;
при a < 0:
np£(aa) = |aa|cos (л - co) = -a|«|cos(n - co) =
= a|a|cos co = anp£a.
Ведь при a < 0 вектор cm направлен в сторону, противоположную направлению а, и если а образует с L угол со, то aa образует с L угол л — со.
При a = 0 левая и правая части (3) обращаются в нуль.
Скалярное произведение векторов. Назовем скалярным произведением двух векторов а и Ь число (а, Ъ), равное произведению длин этих векторов, помноженному на косинус угла оз между ними:
аЪ = (a, b) = |a||&|cos(a, 6) = |a||b|cos оз. (4)
Очевидно, можно еще сказать, что скалярное произведение векторов а и Ъ есть произведение длины вектора |Z>| на числовую проекцию вектора а на направление Ъ или произведение длины |а| на числовую проекцию Ъ на направление а:
аЪ = (а, 6) = |а|проЬ = |&|прьа.
Скалярное произведение обладает свойствами:
(а, 6) = (Ь, а),(5)
(а, Ъ + с) = (а, 6) + (а, с),(6)
(а, аЬ) = а(а, 6).(7)
Равенство (5) непосредственно вытекает из определения скалярного произведения.
Равенство (6) доказывается так:
(а, 6 + с) = |а]пра(Ь + с) = |а|проЬ + |а|прас =
= (а, 6) + (а, с).
Равенство (7) доказывается следующим образом:
(а, оЛ) = |а|пра(а5) = |а|апроЬ = а(а, 6).
Из (6) и (7), учитывая, (5), следует
(а + 6, с) = (а, с) + (6, с),(6')
(аа, 6) = а(а, 6).(7Э
Пример (из физики). Если тело под действием силы а передвинулось прямолинейно вдоль вектора 6, то работа W, выполненная силой а, как известно из физики, равна
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ 55 произведению величины силы |а| на путь |б| и еще на косинус угла между векторами а и Ъ;
W = |а| |6|cos(a, 6).
Но тогда
W - (а, Ь),
т. е. указанная работа равна скалярному произведению векторов а и Ъ.
Прямоугольная система координат. Теперь мы переходам к аналитическому описанию векторов ц точек пространства — при помощи чисел. Введем в пространстве прямоугольную систему координат х, у, г, т. е. три взаимно перпендикулярные направленные прямые, проходящие через некоторую точку О, называемые осями координат х, у» z (рис. 9). Предполагается, что для данной
Рис. 9Рис. 9системы координат выбран единичный отрезок, при помощи которого измеряются все прочие отрезки. Точка О называется началом координат.
Рис. 9
Рис. 9
Зададим произвольную точку А трехмерного ^ пространства. Направленный отрезок ОА называ-
ется радиус-вектором точки А. Радиус-вектор в свою очередь определяет вектор а (а = ОА), который можно переносить в пространстве параллельно самому себе. Числовые проекции радиус-вектора а на оси х, у, z обозначим соответственно х, у, z. Это координаты точки А; при этом координата х называется абсциссой, координата у - ординатой и координата z — аппликатой точки А.
Между точками А пространства и их радиус-векторами ОА или, что все равно, тройками чисел (х, у, z), являю- щимися координатами точки А или проекциями ОА на оси, имеется взаимно однозначное соответствие. В силу сказанного не будет путаницы, если мы будем называть тройку чисел (х, у, z) точкой А, имеющей эти числа своими координатами или радиус-вектором а, имеющим эти числа своими проекциями.
Мы будем писать а = (х, у, г^ и говорить, что а или (х, у, г) есть вектор, равный радиус-вектору точки А, имеющему координаты х, у, z. Но, конечно, можно считать, что вектор а равен какому-либо другому направленному отрезку CD, равному ОА (CD = ОА), т. е. имеющему то же направление и ту же длину, что и ОА. В этом случае проекции а на оси координат часто обозначают символами ах, ау, аг и пишут а = (ах, ау, а^.
Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора а = (хр ух, zx) и Ъ = = (х2, yv z2) равны тогда и только тогда, если выполняются одновременно равенства: х, = х2, ух = у2, zx = z2. Справедливы равенства
(х, у, г) ± (х', у', z') = (х ± х', у ± у’, Z ± z'),(8)
а(х, у, z) = (ах, ay, аг).(9)
Равенство (8) следует из того, что проекция суммы или разности векторов (на ось х или у или z) равна сумме или разности проекций слагаемых.
Равенство же (9) следует из того, что проекция вектора аа (на ось х или у или z) равна произведению а на проекцию а.
Обозначим через i, j, к единичные (имеющие длину, равную 1) векторы, имеющие соответственно то же на-
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ 57 правление, что и оси х, у, г. Векторы i, j, к называют ортами осей х, у, z. Произвольный вектор (х, у, z) может быть записан в виде
(Ю)(Ю)(х, у, z) = xi + у/ + zk.
(Ю)
(Ю)
В самом деле,
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), к - (0, 0, 1).
Поэтому в силу (8) и (9)
xi + yj + zk = х(1, 0, О) + у(0, 1, О) + z(0. О, 1) =
= (х, 0, 0) + (0, у, 0) + (0, 0, z) = (х; у, г).
Отметим равенства, имеющие место для скалярных произведений ортов осей
й = jj = кк = 1, ij = ik = jk = 0.
Пусть теперь а = (х, у, z) и Ъ = (х\ у', г'). Тогда аЪ = (а, 6) = хх* + уу* + zz'.(11)
В самом деле, на основании (6), (7), (6'), (7')
аЪ = (xi + yj + zfe)(x'i + y'j + z'k) =
= хх'й + xy'ij + xz'ik + yx'ji + yy'jj + yz’jk + + zx'ki + zi/kj + zz'kk = xx' + yy' + zz'.
В частности, положив в этой формуле Ъ = а, получим, что |а|2 = аа = х2 + у2 + z2,В
откуда длина вектора а равна^/^\^-аг
|а| = + ^х2 + у2 + z2 .О а А
Отсюда расстояние между точками а =
= (х, у, г) и 6 = (х*, z/, z') равно (рис. 10) Рис. 10
|АВ| = )Ь - а| = + ^(х - х^ *(у’- у? + (z' - zf .
Для дальнейшего будет важно подвести итог сказанному. Для этого введем несколько иное наименование координат. Именно, введем в пространстве прямоугольную систему координат хр х2, ху В силу этого каждая точка пространства представлена тройкой чисел
X = (хр Х2, х3).
Эту точку мы обозначили жирной буквой х и назвали также вектором х с компонентами xv х2, х3.
Мы доказали, что сложение и вычитание векторов и умножение их на числа выражаются на языке троек (хп х2, х3) следующим образом:
(х1,Х2,Х3)±(х;,Х2,Х3) =
= (х1±х;,х2±х',х3±х'), ■(12)
a(Xi, х2, х3) = (ах!, ах2, ах3).
Скалярное произведение векторов х = (xv х2, х3) и х' = = (х 1, х'2, х'3) выражается через координаты векторов х и х' по формуле
XX* = (х, хЭ = ххх\ + х2х'2 + х3х'3.(13)
Длина вектора х = (хр х2, х3) есть неотрицательное число, равное
Ы = T^+^F+ЯГ -(14)
Наконец, расстояние между точками х = (хр х2, х3) и х' = (х'р х'2, х 3) равно
|х - х1 = 7^1 - *1)2 + (^ - х^ + (х' - х3)2 -(15)
Реальное пространство, геометрию которого мы здесь изучали, называется трехмерным пространством, потому что его точки естественным образом представляются тройками действительных чисел. Мы будем его обозначать через R^.
Произвольную плоскость естественно обозначить через Д2. В Д2 можно задать прямоугольную систему координат xv х2, с помощью которой любую точку R2 или ее радиус- вектор можно представить парой чисел (xv х2). Операции сложения и вычитания и умножения на число для векторов, принадлежащих к плоскости, очевидно, подчиняются выведенным нами условиям (12), где в скобках надо только всюду выбросить третьи компоненты. Скалярное произведение векторов, принадлежащих к нашей плоскости, тоже выражается формулой (13), где в правой части надо выбросить третий член. То же самое относится и к формулам (14) и (15).
Обобщением пространств R2 и R3 является пространство Rn, где п — произвольное натуральное число.
Пространство Rn при п > 3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях.
ЗАДАЧИ
Найти длину векторов (1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 2, 3).
Найти угол между векторами (1, 0, 1), (1, 2, 3).
Дан единичный куб (с длиной ребра, равной 1). Найти угол между выходящими из его вершины: а) главной диагональю и диагональю грани; б) между двумя диагоналями двух граней.
п-мерное евклидово пространство.
Скалярное произведение
п-мерное пространство. Множество всевозможных систем (xt, .... х,) действительных (комплексных) чисел называется п-мерным действительным (комплексным) пространством и обозначается через Rn. Каждую систему мы будем обозначать одной (жирной) буквой без индекса:
X = (X,, ..., х„)
и называть точкой или вектором Rn (пространства Rn). Числа хр .... хп называют координатами точки (вектора) х или еще компонентами вектора х.
Две точки
х =.... х х' =.... х' )
считаются равными, если их соответствующие координаты равны
х, = x'i ^ “ 11 —’ ”>•
В других случаях х и х' различны (х * х').
Системы (векторы) х = (хр .... хп), у = (yv .... у,) можно складывать, вычитать и умножать на числа а, Р, ... — действительные, если Rn есть действительное пространство, и комплексные, ели Rn — комплексное пространство.
По определению суммой векторов х и у называется вектор
X + у = (х, + yv Х2 + Уу ..., хл + у,),(1)
а разностью — вектор
х - у = (х,- ух хп - уп\(2)
Произведением же числа а на вектор х или вектора х на число а называется вектор
ах = ха = («Хр .... ахл).
Наконец, вектор -х определяется равенством
-х = (-1)х = (-Хр -х2, .... -х„).
Вводится еще понятие нулевого вектора, компоненты которого равны нулю: О = (0, ..., 0).
Очевидно, выполняются свойства:
х + у = у + х,
(х + у) + z = х + (у + z),
X - у = х + (—1)у,
ах + ау = а(х + у),
ах + рх = (а + Р)х,
а(рх) = (ар)х,
1 *х = х,
х + (—х) = 0,
где а, р — числа, а х, у е Rn.
Пространство Rn называется линейным пространством, потому что для него выполняются перечисленные выше свойства 1) — 8), см. ниже замечание 1.
Число (неотрицательное)
называется длиной или нормой вектора х = (хр ..., хл) в действительном пространстве Rn.
Расстояние между точками х = (Хр .... хл) и у = = (ух, .... ул) действительного пространства Rn определяется по формуле
к - у! = aL^"»^ ■(4)
Скалярное произведение в действительном пространстве Rn. Скалярным произведением двух векторов х = (Хр ...» хл) и у = (yv .... ул) в действительном пространстве Rn (числа хр yv действительные) называется число
(х, у) = Xiyt •(5)
i=i
Скалярное произведение в действительном пространстве Rn обладает свойствами:
62§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
^х» х) > О; при этом равенство нулю имеет место тогда и только тогда, когда х = 0 = (0, ..., 0),
(х, у) = (у, х),
(ах + Ру, z) = а(х, z) + Р(у, z).
В самом деле,
п(х, х) - 5^ > 0,7-1
и равенство может быть лишь, если х, = ... = хп = 0. Далее,
пп
(х, у) = ^L^ = ^L^j^j = (у, х)7=17=1
И
п
(ах + Ру, z) = X < аху + pyy)zy =
пп
= a^xjzj + p5L^7z7 = а(х, z) + Р(у, z). 7-17-1
Скалярное произведение в комплексном пространстве Rn. Скалярным произведением двух векторов х = (хр ..., хп) и у = (ух, ..., уп) в комплексном пространстве Rn называется число
п
(X, у) = Z Х1У1 ,(5')
7=1
где уj есть комплексное число, сопряженное к числу у^ (по определению, если z = а + pi, где аир действительные, то 2 = а - pi).
Скалярное произведение в комплексном пространстве обладает свойствами:
а') (х, х) > 0; при этом равенство нулю имеет место тогда и только тогда, когда х = О = (0, .... 0),
б') (х, у) = (у, х),
в') (ах + ру, z) = а(х, z) + р(у, z).
В самом деле,
пп
(х, X) = У^ XjXj = '^ | xj2 > 0,
7=17-1
и равенство может быть, лишь если хг = ... = хп = 0. Далее,
пп
^^i ^y^j = ^- ^
7=17=1
Здесь мы воспользовались свойствами операции сопряжения
2*2г = 2 + 2t и 22г = 2 • 2г. Наконец,
(ах + Ру, z) = У (ах,- + py,)zy =7=1
лл
= «У XjZj + ру У^z, = а(х, z) + Р(у, 2).
В комплексном пространстве Rn длина вектора х определяется при помощи равенства
(3')(3')
(3')
(3')
а расстояние между точками х = (х^ ..., хп) и у = (ур ..., у,)
f лу|= JXl^-yyl2f лу|= JXl^-yyl2(43(43
f л
у|= JXl^-yyl2
f л
у|= JXl^-yyl2
(43
(43
Легко видеть, что при действительных х^ у. выражении (3)
и (4) являются частными случаями выражений (3')» (4').
Пространство Rn (действительное или комплексное), в котором введено понятие скалярного произведения по формуле (5) (соответственно (5')), называется евклидовым п-мерным пространством.
Неравенства Буняковского. Для скалярного произведения в действительном и комплексном пространстве справедливо неравенство (Буняковского1)
|(х, у), < -J(x^xj-J(y~yj.(6)
Докажем его только в действительном случае. В самом деле, для любого действительного числа X
О < (х + Ху, х + Ху) =
= (х, х) + Х(у, х) + Х(х, у) + Х2(у, у) =
= (х, х) + 2(х, у)Х + (у, у)Х2 = а + 2ЬХ + сХ2, где а = (х, х), b = (х, у), с = (у, у). Мы видим, что квадратный многочлен
а + 2ЬХ + сХ2 > 0(-о» < X < =о)
неотрицателен для любого действительного X. Поэтому весь его график лежит выше оси X, а это может быть, только если дискриминант многочлена отрицателен или равен нулю, т. е. если Ь2 — ас < 0 или Ь2 < ас, и мы получили неравенство Буняковского (6).
На языке компонент векторов х и у неравенство (6) можно записать так:
В. Я. Буняковский (1804-1889) - русский математик.
Таким образом, каковы бы ни были действительные числа Хр ур выполняется неравенство (7).
В силу (3) неравенство Буняковского можно написать так:
1(*, у)1 S |х]|у|.
Но тогда существует и притом единственное число X, удовлетворяющее неравенствам —1 < X 5 1, для которого имеет место точное равенство
(ас, у) = Х|х||у|.
Отметим, что на [О, к] функция cos t имеет однозначную строго убывающую обратную функцию, с областью значений на [-1, 1]. Поэтому для каждого X (-1 < X < 1) существует единственный угол со (0 < со < л) такой, что X = = cos со. Таким образом, мы доказали равенство
(ас, у) = |x||y|cos со.(8)
Число со называется углом между п-мерными векторами х и у, хотя на самом деле при п > 3 векторы х и у являются вовсе не реальными отрезками, а математическими абстракциями.
Векторы ас и у называются ортогональными, если скалярное их произведение равно нулю
(х, У) = Iх ^i = °-/=1
Из (8) следует, что для того, чтобы ненулевые векторы х и у были ортогональными, необходимо и достаточно, чтобы угол между ними со = л/2.
Неравенство Минковского. Отметим важное неравенство (Минковского1)
|х + у| 5 |х| + |у|,(9)
Г. Минковский (1864-1909) - немецкий математик.
3 Бугров. Т. 1
или на языке компонент
(Ю)(Ю)
(Ю)
(Ю)
Его можно доказать так:
|х + у|2 = (х + у, X + у) = (х, х) + 2(х, у) + (у, у).
Используя неравенство Буняковского (6), имеем
|х + у|2 < (х, х) + 27(^Г5> V^y) + (У’ У) =
- (з/(^х) + ^у~у))2,
откуда следует (9). Из (9) следует неравенство
IW - 1у|1 ^ |х - у[,(11)
потому что
М = [х - у + у[ < |х - у\ + [у|,
М = |у - х + х| < |х - у| + |х|.
Задача. Найти угол между векторами (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1).
Замечание 1. Произвольное множество Е, состоящее из элементов х, у, г, ... любой природы, называется линейным пространством, если существует закон, в силу которого для любых двух элементов х, у е Е определены элементы х + у е Е и х — у е Е, называемые соответственно суммой, разностью х и у, и для любого действительного или комплексного числа а и элемента х е Е определен элемент ах = ха е Е, называемый произведением а на х или х на а, так что выполняются перечисленные выше в этом параграфе свойства 1) — 8), где —х = = (-1)х, и О = Ox, Vх е Е.
Rn можно рассматривать как пример линейного пространства, но существуют и другие интересные примеры. Например, совокупность С непрерывных на отрезке [а, Ь] функций /, ф, уесли считать, что / + ф, / - ф, а/ определены соответственно как /(х) + ф(х), /(х) - ф(х), аДх), есть линейное пространство.
Линейное пространство с умножением его элементов на действительные (комплексные) числа называется действительным (комплексным) линейным пространством.
Замечание 2. Если в каком-либо линейном пространстве Е каждым двум его элементам х, у приведено в соответствие число (х, у), удовлетворяющее сформулированным выше свойствам а), б), в) в действительном случае и а'), б'), в') в комплексном случае, то говорят, что в Е введено скалярное произведение.
Выше было дано определение zt-мерного евклидова пространства — это пространство Rn, в котором определено скалярное произведение по формулам соответственно (5) или (5').
§ 7. Отрезок. Деление отрезка в данном отношении
Зададим произвольные точки х, у е Rn и введем множество точек (векторов):
г = Хх + цу (X, ц > О, X + ц — 1),(1)
определяемых неотрицательными числами X, ц, сумма которых равна 1. Имеем
z = (1 - ц)х + цу = х + ц(у - х) (0 5 ц 5 1)(2)
или
z = у -V Х(х - у) (0 5X5 1).(2')
Из равенства (2) видно, что в трехмерном пространстве точки 2 за- полняют отрезок, соединяющий х $1 гу/у'/^°'~'''~- и у. Ведь радиус-вектор 2 есть сум- / ма вектора х и вектора ц(у — х), коллинеарного с у — х (рис. 11). ^
Таким образом, множество точек
представляет собой отрезок Рис. 11
2 Вида (1).2 Вида (1).1)У & Rn на1)У & Rn на(3)(3)междумежду(4)(4)
2 Вида (1).
2 Вида (1).
1)
У & Rn на
1)
У & Rn на
(3)
(3)
между
между
(4)
(4)
[х, у] в Ry соединяющий точки х и у. При ц = О z = х, при р = 1 z = у, для любого р > 0 (0 < р < 1) z есть произвольная точка [х, у].
По определению отрезком [х, у], соединяющим точки х, у g Rn, называется множество всех точек Справедлива
Теорема 1. Точка
z = Хх + цу (X, у > О, X + р = делит отрезок [х, у], соединяющий точки х, отрезки с длинами, находящимися в отношении р : X.
Доказательство. Из (2) следует, что z — х = р(у — х), и потому расстояние между точками х и z равно
|z - х| = р|у - х|.
Далее, из (2') z — у = Х(х — у), и потому расстояние точками z и у равно
|z - у| = Х|х - у|.
Из (3)и(4) следует
|z - х| : |z - у| = р : X, что и требовалось доказать.
Задача. Требуется найти на отрезке [х, у], соединяющем точки х, у е Rn, точку z, делящую этот отрезок в отношении р : q (р > О, q > О).
Решение. Возьмем числа
■’е координаты z = (zt, .... z^ выражаются через координаты х = (хр .... хп), у - (yt, ..., у„) при помощи равенств
„,.(61
' p+q
В частности, середина отрезка получается при р = q = 1, т. е. X = р = 1/2.
Отметим, что, как доказывается в механике, точка z, определяемая равенством (5) или (5'), есть центр тяжести системы точек х и у, в которых сконцентрированы массы соответственно q и р.
Отметим, что в R3 множество точек
z = Хх + ру, X + р = 1,
где X и р любого знака представляет собой прямую, проходящую через точки х и у. Это видно из равенства (2').
В пространстве же Rn (л > 3) это множество называют прямой по определению.
Пример 1. Найти координаты центра тяжести системы материальных точек х* = (х* , х^, х^ ) соответственно с массами pt (А = 1, ..., М). Применяя формулы (5') для точек х1, х2, найдем центр тяжести z1 точек х1 и х2. Затем находим центр тяжести z2 точек z1 и х3 соответственно с массами pv + р2 и р3. Продолжая этот процесс на (М - 1)-м шаге, получаем
Х=-Л_P + q*Х=-Л_P + q*Р^-^ ^0,р + у>0).Р^-^ ^0,р + у>0).Они удовлетворяют свойствам X, р > 0 X + и « 1Р/q. Поэтому на основании теоремы’1 искомая точкаОни удовлетворяют свойствам X, р > 0 X + и « 1Р/q. Поэтому на основании теоремы’1 искомая точка2= Хх + ру = 5Е±РУ P + q2= Хх + ру = 5Е±РУ P + q(5)(5)§ 8. Прямая линияПонятие прямой является первичным в геометрии. Из аксиом геометрии мы знаем, что через две точки проходит единственная прямая и через точку, лежащую на данной§ 8. Прямая линияПонятие прямой является первичным в геометрии. Из аксиом геометрии мы знаем, что через две точки проходит единственная прямая и через точку, лежащую на даннойм
Х=-Л_
P + q*
Х=-Л_
P + q*
Р
^-^ ^0,р + у>0).
Р
^-^ ^0,р + у>0).
Они удовлетворяют свойствам X, р > 0 X + и « 1
Р/q. Поэтому на основании теоремы’1 искомая точка
Они удовлетворяют свойствам X, р > 0 X + и « 1
Р/q. Поэтому на основании теоремы’1 искомая точка
2= Хх + ру = 5Е±РУ P + q
2= Хх + ру = 5Е±РУ P + q
(5)
(5)
§ 8. Прямая линия
Понятие прямой является первичным в геометрии. Из аксиом геометрии мы знаем, что через две точки проходит единственная прямая и через точку, лежащую на данной
§ 8. Прямая линия
Понятие прямой является первичным в геометрии. Из аксиом геометрии мы знаем, что через две точки проходит единственная прямая и через точку, лежащую на данной
Рис. 12прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.В плоскости зададим прямоугольную систему координат х, у и прямую L, не параллельную оси у (рис. 12).Из школьного курса мы знаем, что уравнение прямой L имеет видРис. 12прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.В плоскости зададим прямоугольную систему координат х, у и прямую L, не параллельную оси у (рис. 12).Из школьного курса мы знаем, что уравнение прямой L имеет виду = кх * I,(1)
Рис. 12
прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.
В плоскости зададим прямоугольную систему координат х, у и прямую L, не параллельную оси у (рис. 12).
Из школьного курса мы знаем, что уравнение прямой L имеет вид
Рис. 12
прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.
В плоскости зададим прямоугольную систему координат х, у и прямую L, не параллельную оси у (рис. 12).
Из школьного курса мы знаем, что уравнение прямой L имеет вид
где к = tga и a — угол, образованный прямой L с положительным направлением оси х, а Z - ордината точки пересечения L с осью у (Z = ОБ).
Когда говорят, что уравнение (1) есть уравнение прямой L, этим хотят выразить, что L есть геометрическое место точек, координаты которых (х, у) удовлетворяют уравнению (1). Справедливость этого утверждения легко усмотреть из рис. 12. Точка А есть произвольная (текущая) точка прямой L, имеющая координаты (х, у) ВС = х, АС = у - Z и
y-Z
А = tga = —,(Г)
х
откуда следует (1). Обратно, равенство (1) эквивалентно равенству (1'), а последнее выражает, очевидно, тот факт, что точка (х, у^ лежит на прямой L. На рис. 12 угол a острый. В случае тупого угла а можно провести подобные рассуждения.
Зададим уравнение
Ах + By + С = 0,
(2)(2)где А, В, С — заданные числа и к тому же Аи В одновременно не равны нулю.
(2)
(2)
Если В * 0, то уравнение (2) можно записать в следующем виде:
А С
У = —(2)
или, полагая
АС
к =
ВВ
в виде (1). Так как уравнения (2) и (2') эквивалентны — любая точка (х, у), удовлетворяющая одному из них, удовлетворяет и другому, — то равенство (2) при В *0 есть уравнение прямой, наклоненной к положительному направлению оси х под углом а, тангенс которого равен -A/В (tga = —А/В), и пересекающей ось у в точке, имеющей ординату -С/В (Z = -С/В). При В = 0 уравнение (2)
принимает видАх + С = 0принимает видАх + С = 0(А * 0!),(А * 0!),или
принимает вид
Ах + С = 0
принимает вид
Ах + С = 0
(А * 0!),
(А * 0!),
х = a (а = -С/А).
Это тоже уравнение прямой, но только параллельной оси у. Именно, это есть геометрическое место точек (х, у), — абсциссы х которых равны одному и
тому же числу а. На рис. 13 изобра- рис. 13 жена такая прямая при a > 0.
Из сказанного следует, что уравнение (2), где А, В, С
заданные числа и при этом А и В одновременно не равны нулю, есть уравнение некоторой прямой. При В * 0 эта
прямая не параллельна оси у. В частности, при А = 0 она параллельна оси х (у = -С/В). В случае же, если В = О, то она параллельна оси у. Отметим, что ось х имеет, очевидно, уравнение у = 0, а ось у имеет уравнение х = 0.
Уравнение (2) называется уравнением прямой в общем виде. Любая прямая, как угодно расположенная по отношению к системе координат, может быть описана уравнением вида (2) при подходящих постоянных числах А, В, С, Подчеркнем, что числа А и В в уравнении (2) прямой одновременно не равны нулю. Отметим, что число k в уравнении (1) называют угловым коэффициентом прямой.
Решим несколько важных задач.
Задача 1. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным числу к, проходящей через заданную точку (х0, у0\
Решение. Прямая с угловым коэффициентом к имеет вид
у = кх + I, (3)
где I может быть любым числом. Так как точка (х0, у0) должна находиться на данной прямой, то должно выполняться равенство
Уо = кхо + L (4)
Вычитая (4) из (3), получим искомое уравнение
У - Уо = Кх - х0) (5) прямой, проходящей через точку (х0, z/0) с угловым коэффициентом к.
Задача 2. Написать уравнение прямой, проходящей через заданные две точки (хр у^ и (х2, у2\ Предполагается, что эти точки разные.
Решение. Пусть хх * х2. Тогда, очевидно, искомая прямая не параллельна оси у и потому может быть записана в виде
у - У1 = Кх - xj,(6)
где к — некоторое число. Уравнение (6) уже выражает, что прямая проходит через точку (хр ухУ Чтобы она проходила также через точку (х2, у^, надо чтобы выполнялось
(7)(7)равенство
(7)
(7)
У2~ Уу = ^хг ~ Х^'
Деля (6) на (7) (т. е. деля левую часть (6) на левую часть (7), а правую часть (6) на правую часть (7)), получим
У-Ух _ х XL(8)
У 2 -УхХ2 ' А '
Это и есть уравнение прямой, проходящей через точки (Хр yj и (Х2, у2).
Замечание 1. Могло случиться, что у2 - yv = 0, тогда формально мы получили бы равенство
У-Ух _ x-xYО х2 - Xi ‘
Несмотря на бессмысленность этого равенства, так пишут - считают удобным. Если освободиться от знаменателей, то получим верное равенство
У - Ух = 0*У - Ух = 0*X - ХуХ2-ХхX - ХуХ2-Хх= О= О
У - Ух = 0*
У - Ух = 0*
X - Ху
Х2-Хх
X - Ху
Х2-Хх
= О
= О
или У = УгО)
Случай х, = х2 = с приводит к решению х = с.
Задача 3. Найти угол <о между прямыми
У = kvx + Zp у = к2х = 1Г
Решение. Имеем кх = tgocp к2 = tga2, где at, a2 — соответственно углы, образованные данными прямыми с
7474RO nnan a r-r rr.».RO nnan a r-r rr.».положительным направлением оси х. Имеем (рис. 14)положительным направлением оси х. Имеем (рис. 14)tg<o = tg(at - a ) - ^1= ^ -^2l + ^a1#g'a21 + ^ 'tg<o = tg(at - a ) - ^1= ^ -^2l + ^a1#g'a21 + ^ '(Ю)(Ю)и мы получили формулу угла между прямыми. Случай 1 + А^ = 0 илии мы получили формулу угла между прямыми. Случай 1 + А^ = 0 или
74
74
RO nnan a r-r rr.».
RO nnan a r-r rr.».
положительным направлением оси х. Имеем (рис. 14)
положительным направлением оси х. Имеем (рис. 14)
tg<o = tg(at - a ) - ^1= ^ -^2
l + ^a1#g'a21 + ^ '
tg<o = tg(at - a ) - ^1= ^ -^2
l + ^a1#g'a21 + ^ '
(Ю)
(Ю)
и мы получили формулу угла между прямыми. Случай 1 + А^ = 0 или
и мы получили формулу угла между прямыми. Случай 1 + А^ = 0 или
Если прямая, удовлетворяющая уравнению (2), проходит через точку (х°, у0), то
Ах° + Ву° + С = 0.(14)
Вычитая (14) из (2), получим
А(х - х°) + В(у - у0) = 0.(15)
Уравнение (15) называется уравнением прямой, проходящей через точку (х°, у0).
Если ввести в рассмотрение векторы N = (А, В), р = = (х, у), р° = (х°, у0), то левую часть(15) можно рассматривать как скалярное произведение вектора N на вектор р — р°. Поэтому уравнение (15) в векторной форме имеет вид
N(p - ро) = 0.(15')
Вектор р — р° принадлежит прямой L (рис. 15). Таким образом, из (15') видно, что вектор N = (А, В) ортогонален
Рис. 16Рис. 16Рис. 15Рис. 15
Рис. 16
Рис. 16
Рис. 15
Рис. 15
^•^ = -1(И)
выражает условие перпендикулярности прямых. Условие параллельности прямых (tgco = 0), запишется так
^ - к2.(12)
Зададим уравнение прямой в общем виде:
Ах + By + С = 0.(2)
При А Ф 0, В * 0, С * 0 уравнение (2) можно записать в
х у(- С
a b I А В J"
Уравнение (13) называется уравнением прямой в отрезках. Эта прямая пересекает ось х (прямую у = 0) в точке (а, 0) и ось у в точке (0, 6).
(перпендикулярен) данной прямой, и тем самым мы выяснили геометрический смысл коэффициентов Аи В.
Рассмотрим две прямые
Atx + BYy + С, = 0(Z.J,
Агх + В2у + С2 = 0(L2).
(16)
(17)
(18)(18)AjA2 + BtB2 = 0.AjA2 + BtB2 = 0.(19)(19)
(18)
(18)
AjA2 + BtB2 = 0.
AjA2 + BtB2 = 0.
(19)
(19)
Так как векторы Nt = (Av В^ и N2 = ^А^ В^ перпендикулярны к прямым (16) и (17) соответственно, то угол (р между прямыми (16) и (17) равен углу между векторами Nt и N2 (рис. 16). Угол <р можно вычислить по формуле
cos (0 = ^l’^) _-^1-^2 + £1^2
I ^11 ^1^ + £2 ^2 + В2 ■
Замечание 2. Если ср — угол между прямыми, то л - <р также является углом между этими прямыми. Число (18) может быть положительным и отрицательным. Одно из них соответствует углу <р, а другое - углу л — (р.
Из (18) получаем условие перпендикулярности L^ и Ь2 (<р = -|, cos <р = 0):
Если прямые Lt и Ь2 параллельны, то векторы Nv и N2 коллинеарны и ^ = XN2, где X — некоторое действитель
ное число. Отсюда условие параллельности прямых выражается равенствомное число. Отсюда условие параллельности прямых выражается равенством-^1 _ fi(20)Пусть дана произвольная прямая L в прямоугольной системе координат (рис. 17), не-^1 _ fi(20)Пусть дана произвольная прямая L в прямоугольной системе координат (рис. 17), неРис. 17проходящая через начало координат, и пусть а — вектор, выходящий из начала координат и перпендикулярный к прямой L с концом, лежащим на прямой. Вектор а полностью определяет прямую L (через конец вектора а проходит единственная прямая, перпендикулярная к нему).Рис. 17проходящая через начало координат, и пусть а — вектор, выходящий из начала координат и перпендикулярный к прямой L с концом, лежащим на прямой. Вектор а полностью определяет прямую L (через конец вектора а проходит единственная прямая, перпендикулярная к нему).
ное число. Отсюда условие параллельности прямых выражается равенством
ное число. Отсюда условие параллельности прямых выражается равенством
-^1 _ fi
(20)
Пусть дана произвольная прямая L в прямоугольной системе координат (рис. 17), не
-^1 _ fi
(20)
Пусть дана произвольная прямая L в прямоугольной системе координат (рис. 17), не
Рис. 17проходящая через начало ко
ординат, и пусть а — вектор, выходящий из начала координат и перпендикулярный к прямой L с концом, лежащим на прямой. Вектор а полностью определяет прямую L (через конец вектора а проходит единственная прямая, перпендикулярная к нему).
Рис. 17проходящая через начало ко
ординат, и пусть а — вектор, выходящий из начала координат и перпендикулярный к прямой L с концом, лежащим на прямой. Вектор а полностью определяет прямую L (через конец вектора а проходит единственная прямая, перпендикулярная к нему).
Пусть р есть длина а (р = |а|), V = (cos а, cos р) есть единичный вектор, направленный в ту же сторону, что и а. Здесь а, Р — углы между а (или v) и соответственно положительным направлением оси х и оси у; cos 2а + cos 2Р = 1 (cos Р = sin а). Обозначим через р = (х, у) радиус- вектор произвольной (текущей) точки прямой L. Проекция вектора р на единичный вектор V, очевидно, равна р, т. е. скалярное произведение радиус-вектора произвольной точки р прямой L на вектор V равно р;
(р, V) = |v|npvp = р-(21)
Итак, мы получили векторное уравнение L, потому что, и обратно, если радиус-вектор точки удовлетворяет уравнению (21), то точка лежит на L (точка, не лежащая на L, имеет проекцию на V, отличную от р).
Если прямая L проходит через начало координат, то ее уравнение можно записать тоже в виде (21), где v — единичный перпендикулярный к ней вектор и р = 0.
В координатной форме уравнение (21) имеет вид
xcos а + ycos р = р(р 2 0)(21')
или
xcos а + psin а = р(р > 0).(21")
Уравнение (21') (или (21")) называется уравнением прямой в нормальном виде.
Если прямая L задана общим уравнением
Ах + By + С = 0,
то его можно привести к нормальному виду, умножив на число
М = ±1/Va2+B2 ,(22)
где надо выбрать знак, противоположный знаку С (р = = —МС > 0). Число М называется нормирующим множителем. Так как
(ЛМ)2 + (МВ)г = 1,(ЛМ)2 + (МВ)г = 1,то существует и притом единственный угол а, удовлетворяющий неравенствам 0 < а < 2л, для которого
(ЛМ)2 + (МВ)г = 1,
(ЛМ)2 + (МВ)г = 1,
МА = cos а, МВ = sin а.МА = cos а, МВ = sin а.(23)(23)В результате мы получаем уравнение (21), где р = -МС > > 0. Отметим еще раз, что число р равно расстоянию от начала координат до прямой.
МА = cos а, МВ = sin а.
МА = cos а, МВ = sin а.
(23)
(23)
Задача 4. Найти расстояние d от точки до прямой L, определяемой уравнением
Ах + By + С = 0.(24)
Решение. Пусть
(р, V) - р = 0(25)
есть нормальное уравнение прямой (24). Таким образом, если С * 0, то р (р > 0) есть длина вектора ОР, опущенного из начала координат О на L (перпендикулярно к L), а v — единичный вектор, направленный как ОР(р = |ОР|» v = ОР /р (рис. 18)). Пусть р = (х, у) есть радиус-вектор произвольной точки L. Тогда, очевидно, чтобы найти расстояние от точки Q", имеющей радиус-вектор р° = (х°, у°) до L, надо спроектировать вектор р — р° на направление вектора v и взять абсолютную величину проекции: d = |npv(p - р°)| = |(р - р°, v)| =
= 1(Р> V) - (р°, v)| = |р - (р°, v)| = |(р°, V) - р|. Мы получили формулу
d = |(р°, V) - р|.(26)
Таким образом, чтобы получить расстояние d, надо привести уравнение (24) к нормальному виду, перенести р
в левую часть, подставить в левую часть вместо х, у соответствующие координаты х°, у° точки Q° и взять абсолютную величину полученного выражения.
На языке коэффициентов А, В, С равенство (26) выглядит так:
d = [Ах° + Ву° + С\/4^Т^.(26х)
При С = 0 формула (26), а следовательно и (26'), остается тоже верной. В этом случае р = 0, v — один из двух единичных векторов, перпендикулярных к L (рис. 19). Теперь
d = |npv(p - р°)| = |(р - р°, v)| - |(р, v) - (р°, v)| = |(р°, v)| или
d = |Ах° + By°|/V^2 +В2 ,
т. е. формула (26') верна при С = 0.
Замечание 3. Из рис. 18 видно, что: а) если начало О и точка Q° находятся по одну сторону от L, то угол между V и р — р° острый и d = р - (р°, v); б) если же О и Q° находятся по разные стороны от L, то угол между р — р° и V тупой и d - (р°, V) - р.
Задача 5. Найти расстояние от точки (1, 1) до прямой
2х + у -2х + у -'5 - 0.'5 - 0.Уравнение плоскости
2х + у -
2х + у -
'5 - 0.
'5 - 0.
Уравнение плоскости в нормальном виде. В пространстве Д3, где введена прямоугольная система координат х, у, z, зададим вектор а, выпущенный из начала О. Через конец а проведем плоскость П перпендикулярно к а (рис. 20). Произвольную (текущую) точку плоскости П обозначим через Q = (х, у, z). Буква р обозначает радиус-вектор точки Q.
Пусть р = |а| — длина вектора а и
v = (cos a, cos 0, cos у)
- единичный вектор, направленный в ту же сторону, что и а. Здесь а, 0, у - углы, образуемые вектором v соответственно с положительными направлениями осей х, у, z. Проекция любой точки Q е П на вектор v есть, очевидно, величина постоянная, равная р:
(р, v) = р (р > 0). (1)
Уравнение (1) имеет смысл и при р = 0. В этом случае плоскость П проходит через начало координат О (а = 0) и v - единичный вектор, выпущенный из О перпендикулярно к П, неважно в каком направлении, т. е. вектор v определяется с точностью до знака. Уравнение (1) есть уравнение плоскости П в век торной форме. В координатах оно записывается так:
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ81 xcos а + ycos 0 + zcos у = р (р > 0)(1')
и называется уравнением плоскости в нормальном виде.
Уравнение плоскости в общем виде. Если уравнение (1') умножить на какое-либо не равное нулю число. То получим эквивалентное ему уравнение в виде
Ах + By + Cz + D = 0,(2)
определяющее ту же плоскость. Здесь числа А, В, С не равны нулю одновременно. Уравнение (2), где числа А, В, С не все равны нулю, называется уравнением плоскости в общем виде.
Произвольное уравнение вида (2), где числа А, В, С одновременно не равны нулю, можно привести к нормальному виду, умножив его на число
м = ±1/ Тл^Тв^+с^,
где знак берется противоположным знаку числа D. Тогда число р = —MD будет неотрицательным, а уравнение (2) преобразуется в следующее, ему эквивалентное,
МАх + МВу + МСг = р (р > 0).(3)
Здесь
(МЛ)2 + (МВ)2 + (.МСУ - 1.
Это показывает, что вектор
v = (МЛ, МВ, МС)
единичный (|v| = 1). Его проекции на оси координат равны
МА = cos а, МВ = cos 0, МС = cos у, где а, 0, у - углы, образованные вектором v соответственно с положительными направлениями осей х, у, г. В силу введенных обозначений уравнение (3) имеет вид
xcos а + ycos р + zcos у = р (р > О), (3') т. е. мы получили уравнение плоскости (2) в нормальном виде.
Если задано уравнение плоскости в общем виде (2) и надо узнать ее расположение относительно системы координат, то достаточно уравнение (2) привести к нормальному виду, умножив его на нормирующий множитель М.
Из самого же уравнения (2) без каких-либо вычислений можно заключить только следующие два факта: 1) если D = 0, то плоскость проходит через начало координат, а если D * 0, то она не проходит через начало координат; 2) вектор N = (А, В, С) перпендикулярен плоскости, ведь он коллинеарен единичному вектору v = = (МА, МВ, МС^ = MN, перпендикулярному к данной плоскости.
Уравнение
Ах + By + D = 0 (4) есть частный случай уравнения (2). В плоскости (х, у) уравнение (4) определяет прямую, а в пространстве (х, у, z) оно есть уравнение плоскости П, перпендикулярной к координатной плоскости (х, у) и проходящей через эту прямую. Какова бы ни была точка (х, у, z), принадлежащая к плоскости П, ее координаты х, у удовлетворяют уравнению (4) независимо от того, какую она имеет третью координату г. Уравнение
Ах + D = О (А * 0) (5) есть частный случай уравнения (4). Его можно записать еще в виде
х = С (С = -D/A). (5') Уравнение (5') в пространстве (х, у, г) есть геометрическое место точек (х, у, z), имеющих первую координату, равную числу С. Координаты же у, г могут быть любы-
ми. Ясно, что (5') определяет плоскость, параллельную координатной плоскости (у, z) (или перпендикулярную оси х).
Уравнение плоскости в отрезках. Если числа А, В, С, D не равны нулю, то уравнение (2) можно
записать так:
X У Z
- + 7 + -= 1, (6) а о с
где а = -D/А, b = -D/В, с = —D/C.
Уравнение (6) называется уравнением плоскости в отрезках. Эта плоскость (рис. 21) пересекает ось х в точке (а, 0, 0), ось у —
в точке (0, Ь, 0), ось z - в точке Рис. 21
(0, 0, с). По уравнению (6) легко
представить себе расположение плоскости относительно
систему координат.
Уравнение плоскости, проходящей через точку. Если точка (х°, у0, z°) лежит на плоскости (2), то ее координаты удовлетворяют уравнению (2):
Ах° + By0 + Cz° + D = 0.(7)
Вычитая (7) из (2), полушм
А(.х - х°) + В^у - у0) + C(z - z°) = 0.(8)
Уравнение (8) называется уравнением плоскости, проходящей через точку (х°, у”, z”). В векторной форме уравнение (8) имеет вид
Мр - р°) = 0,(8')
где N, р, р° — векторы, определяемые равенствами
N = (Л, В, С), р = (х, у, z), р° = (х°, у0, z°).
Здесь N - вектор, перпендикулярный к плоскости (2), р — радиус-вектор текущей ее точки, р° - радиус-вектор заданной ее точки. Так как вектор р — р°, приложенный к точке (х°, у0, z°), принадлежит плоскости (2), то равенство (8) говорит о том, что вектор N ортогонален плоскости (2), что мы установили ранее из других соображений.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Даны три точки
(х,, yv zj, (х2, у2, z2), (3, уу z3),
не лежащие на одной прямой. Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Из геометрии известно, что такая плоскость существует и единственная. Так как она проходит через точку (хр yv, zt), то ее уравнение имеет вид
А(х - xj + В(у - у,) + C(z - zj - 0, (9) где А, В, С одновременно не равны нулю. Так как она проходит еще через точки (х2, у2, z2), (х3, у3, z3), то должны выполняться условия
(Ю)(Ю)А(х2 - х^ + В(у2 - у^ + C(z2 - zj = О, А(х3 - xj + В(у3 - yj + C(z3 - zj = О.
(Ю)
(Ю)
Составим однородную линейную систему уравнений относительно неизвестных и, v, w:
(11)(11)(x-x^u + (y-y1')v + (z - z^w = 0, (x2 - xju + (y2 - y^u + (z2 - Zj)w = 0, • (X3 -x^u + tyg- y^v + (z3 - z^w = 0,
(11)
(11)
Здесь (x, y, z) есть произвольная точка, удовлетворяющая уравнению плоскости (9). В силу (9) и (10) системе (И) удовлетворяет нетривиальный вектор N = (А, В, С), поэтому определитель этой системы равен нулю
X - Хг У-У1Х2 — ХХ У2 ~ УхX - Хг У-У1Х2 — ХХ У2 ~ УхZ -Zvz2 — 2ХZ -Zvz2 — 2Х= 0.= 0.(12)(12)
X - Хг У-У1
Х2 — ХХ У2 ~ Ух
X - Хг У-У1
Х2 — ХХ У2 ~ Ух
Z -Zv
z2 — 2Х
Z -Zv
z2 — 2Х
= 0.
= 0.
(12)
(12)
хз ~ хх Уз~ Ух 2з 2х
Мы получили уравнение вида (9), т. е. уравнение плоскости, в чем легко убедиться, разложив полученный определитель по элементам первой строки. При этом эта плоскость проходит через точки (xr yv z^, (х2, у2, z^, (х3, у3, z3), что вытекает из свойств определителя. Наша задача решена.
Уравнение (12) можно еще написать и в следующем виде:
X у Z 1
(13)(13)хх Ух 2х 1х2 УЗ 22 1хз Уз 2з 1
(13)
(13)
Если из первой, третьей и четвертой строк определителя в (13) вычесть вторую строку, то он не изменится. Разлагая результат по элементам четвертого столбца, получим уравнение (12).
Угол между двумя плоскостями. Зададим две плоскости
Ах + By + Cz 4- D = 0,(14)
А' х + В'у + C'z + D' = 0.
Мы знаем, что векторы N = (А, В, С) и N' = (А', В', С') перпендикулярны соответственно данным плоскостям, поэтому угол (р между N и N' равен углу (двугранному) между данными плоскостями. Но скалярное произведение
NN' = |AT||^|cos ф.
NN'NN'АА' + ВВ' + СОАА' + ВВ' + СОcos ф =cos ф =
NN'
NN'
АА' + ВВ' + СО
АА' + ВВ' + СО
cos ф =
cos ф =
поэтому
I^H^I л!а2 + В2 +С2 ^(А')2 + (В')2 + (С')2
Достаточно считать, что 0 < ф < л.
Отметим, что две пересекающиеся плоскости на самом деле образуют два двугранных угла ф1 и ф2. Их сумма равна л (фг + ф2 = л), а их косинусы равны по абсолютной величине, но отличаются знаками (cos ф1 = —cos ф2). Если заменить в первом уравнении (14) числа А, В, С соответственно на числа -А, -В, -С, то полученное уравнение будет определять ту же плоскость, но угол ф в (15) заменится на л — ф.
Две плоскости (14) перпендикулярны тогда и только тогда, когда cos ф = О, т. е.
NN' = АА' + ВВ' + СС' = 0(16)
Две плоскости (14) параллельны тогда и только тогда, когда (перпендикулярные к ним) векторы N к N' коллинеарны, т. е. выполняются условия пропорциональности
АВС
=<17)
Если дополнительно к этому выполняются расширенные условия пропорциональности
А В С D
А' “ В' " С' " D' ’(18)
то это говорит о том, что плоскости (14) совпадают, т. е. оба уравнения (14) определяют одну и ту же плоскость.
Хотя на нуль делить нельзя, но удобно писать символические пропорции (17) или (18) с нулями в знаменателях. Но тогда, если, например. S' = 0, то надо считать, что и В = 0. Или если D' = 0, то D = 0.
Пример 1. Уравнения
2х + 4у + 1 = 0,х + 2у + 5 = 0
определяют пару параллельных плоскостей, а уравнения
2х + 4у + 2 = 0,
х + 2у + 1 = 0
- пару совпадающих плоскостей.
Расстояние от точки до плоскости. Требуется найти расстояние от точки (х0, у0, z0) = Q° до плоскости П, определяемой уравнением
Ах + By + Сг + D = 0.
Для этого приведем уравнение П к нормальному виду:
(Р. v) = р (р> 0).
Здесь р = (х, у, г) - радиус-вектор текущей точки Q плоскости П, р - длина перпендикуляра а к П, выпущенного из нулевой точки, и v — единичный вектор, направленный как а. Из рис. 22 видно, что разность р — р° радиус- вектора произвольной точки Q = (х, у, z) плоскости П и
радиус-вектора точки Q0 — (х0, у0, z0) есть такой вектор, что абсолютная величина его проекции на v равна искомому расстоянию d от Q0 = (х0, у0, z0) до П:
d = |(р — р°, v)|, но
(р - Р°, V) = (Р, V) - (Р°, V) = Р - (ро, V).
Следовательно, d = |(р°, V) - р\.
Мы видим, что, для того чтобы вычислить расстояние d от точки Q° до плоскости П, надо записать уравнение плоскости П в нормальном виде, перенести р в левую часть и подставить в последнюю (х0, у0, z0) вместо (х, у, г).
Абсолютная величина полученного выражения и есть искомое число d.
На языке параметров плоскости, очевидно, d = |Ах0 + By0 + Cz0 + D|/ 4 А2 + В2 +С2 .
Легко видеть, что если точка Q0 и начало координат находятся по разные стороны от плоскости П (как на рис. 22), то вектор р — р° образует с v тупой угол, и поэтому
d = -(р - р°, V) = (р°, V) - р > 0.
Если же точка Q0 и начало координат находятся по одну сторону от П, то указанный угол острый, и тогда
d = (р — р°, V) = р - (р°, V) > 0.
Следовательно, в первом случае (р°, v) > р, а во втором (р°, V) < р.
Пример 2. Расстояние d от точки (1, 1, 1) до плоскости П
х + 2у + z = 3 равно
х + 2у + z -31
d = ,=.
VI+ 4 + 1 я=1у=1г=1 V6
В данном случае точка (1, 1, 1) и начало координат находятся по разные стороны от плоскости П, так как М > 0 и
[х + 2у + г - 3]_,^ = 1 > О.
ЗАДАЧИ
Привести уравнения плоскостей
х - у + 2 = 2, 2х - у + к нормальному виду.
Найти угол между плоскостями
420z = 10420z = 10X + у + 2 = 1 ИX + у + 2 = 1 ИУ = 0;У = 0;х-у+а=2и X + у + 2 = 3.
420z = 10
420z = 10
X + у + 2 = 1 И
X + у + 2 = 1 И
У = 0;
У = 0;
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0).
Написать уравнение шаровой поверхности с центром в начале координат, касающейся плоскости 2х - бу + 7z = 2.
Прямая в пространстве
Уравнение прямой в каноническом виде. Рассмотрим в пространстве произвольную прямую L. От
метим на ней точку (х0, у0, z0), определяющую радиус, вектор р° = (х0, у0, Zo) и лежащий на ней вектор а = (av а2, а3) ^ 0, приложенный к точке Q0 = (х0, у0, 20) (рис. 23). Произвольную текущую точку прямой L обозначим через Q = (х, у, z) и ее радиус-вектор через р = (х, у, г\ Вектор р — р° можно записать в виде
р — р° = ta, где t — некоторое
число (скаляр). Если действительная переменная t пробегает интервал (—=, =), то конец вектора р = р° + ta про
бегает всю прямую L. Поэтому говорят, что равенство
(1)(1)р — р° = ta(—°° < t < °°)
(1)
(1)
есть уравнение прямой, проходящей через точку Q0 = (х0, у0, z0) и направленной в сторону вектора а.
На языке координат уравнение (1) распадается на три уравнения:
Таким образом, рассматриваемая прямая есть пересечение двух плоскостей, определяемых уравнениями (2").
Пример 2. Уравнения прямой
х-х0 = tav У-Ур =ta2, z-z0 =ta2.
х- 1 _у-2
1
0
z - 3
0
(Г)
Исключая из них параметр t, получим уравнения прямой (систему из двух уравнений)
эквивалентны следующим:
у - 2 = 0, z
-3 = 0.
х~х0 . У~Ур = z-z0
10.2. Расположение двух j даны уравнения двух плоскостей
плоскостей. Пусть за-
«1
°2
°3
где числа ар а2, а3 одновременно не равны нулю. Уравнения (1") называются уравнениями прямой в каноническом виде.
Ах + By + Cz + D = 0,А'х + В'у + Cz + D' = 0.
(3)
(4)
Замечание. Может случиться, что одно или два из чисел аи а2, а3 равно нулю. Тогда все же принято писать равенства (1") с нулем или двумя нулями в знаменателях. Такая запись становится тогда символической, но она удобна.
Если коэффициенты первого из них соответственно пропорциональны коэффициентам второго (А : В : С = А': В' : СЭ, то плоскости (3) и (4) параллельны или даже совпадают (при условии А : В : С : D = А' : В' : С' : Л') (см. § 9, (17) и (18)). В противном случае плоскости (3) и (4) пересекаются по прямой. В этом случае один из определителей
Пример 1. Уравнения
х -1 _ у - 2 _ z - 3
1
0
2
(2)
определяют прямую в пространстве, проходящую через точку (1, 2, 3) в направлении вектора (1, 0, 2).
Эти уравнения можно заменить на следующие им эквивалентные:
у - 2 = 0-(х - 1),2(х - 1) = z - 3,
А
В
В' ’
А С
А' С”
В С
В' С'
т. е.
у = 2, z = 2х + 1.
(2')
не равен нулю, первый
Для
определенности
А В
А' В'
* 0.
будем считать, что
(5)
Тогда уравнения (3), (4) можно решить относительно х и у, и мы получим
х = az + ц,
У = 0Z + V,
(6)
где а, р, ц, v - некоторые числа. Уравнения (6) эквивалентны следующим:
л-Ц = y|v = £7
а р 1 '
Мы видим, что при условии (5) уравнения двух плоскостей (3), (4) определяют прямую (7), т. е. геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям (3), (4). Она проходит через точку (ц, V, 0) и имеет направление вектора (а, р, 1). Числа а, р или одно из них могут быть равными нулю, тогда уравнения (7) будут иметь символический характер.
Пример 3. Прямая, определяемая уравнениями х = 0, у = 0, есть, очевидно, координатная ось г. К этому результату можно прийти и формально. Имеем
X = 0*2, у = 0*2, откуда
£ = £ = £о о 1 ’
т. е. мы получили уравнения прямой, проходящей через начало координат (0, 0, 0) в направлении вектора (0, 0, 1). Ясно, что эта прямая есть ось 2.
Пример 4. Найти угол между прямыми
X- Хлу - ул2-2,
^Г' = ~Г- = ^-’<8>
“1С1
^-^2 У'Уг г-гг
7-<9>
о2 с2
Векторы тх = (av bv q), r2 = (а2, b2, c2) лежат на наших прямых и, как мы условились, они приложены соответственно к точкам (хр Ур 2^, (х2, Уу 22). Поэтому угол ф
§11. ОРИЕНТАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ 93 между Этими векторами и будет углом между прямыми (8) и (9):
ага2 + bYb2 + cYc2
cos <р =cos <р =
cos <р =
cos <р =
ЗАДАЧИ
Написать уравнение прямой, проходящей через точку (2, -1, О) перпендикулярно к плоскости 2х + z - 4у = 7.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1, -1, 2) и перпендикулярной к прямой, определяемой уравнениями 2х + Зу = 1, Зх - z = 1.
Ориентация прямоугольных систем
* координат
Двумерная система координат. На рис. 24 и 25 изображены системы координат х, у. Они различны - про них говорят, что они ориентированы противоположно. В случае рис. 24 поворотом оси х вокруг точки О
на угол л/2 можно совместить направление осей х и у, лишь если этот поворот совершить против часовой стрелки. В случае же рис. 25 этой цели можно достичь, лишь поворачивая ось х по часовой стрелке. Невозможно систему координат, изображенную на рис. 24, передвигая ее в рассматриваемой плоскости (!) как твердое тело, совме-
94 §11. ОРИЕНТАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ стить с системой, изображенной на рис. 25, так, чтобы направления соответствующих осей совпали.
На рис. 24, так же как на рис. 25, изображена пара неколлинеарных, выходящих из некоторой точки А векторов а и Ь. Передвигая эту пару как твердое тело в плоскости, достигнем того, чтобы точка А совпала с началом координат О. Поставим себе задачу путем вращения каждого из векторов а и Ъ вокруг точки О достигнуть того, чтобы вектор а принял направление оси х, а вектор Ъ оказался лежащим на оси у. При этом мы требуем, чтобы во время этого процесса векторы а и & все время находились в рассматриваемой плоскости и чтобы угол между ними не был равен Ойл. Очевидно, всегда можно достигнуть этой цели. Вначале мы вращаем систему векторов а и Ъ как твердое тело около точки О до совпадения вектора а с положительным направлением оси х. Так как векторы а и Ь не коллинеарны, то вектор Ъ окажется в верхней или нижней полуплоскости. Затем вектор Ъ поворачиваем на необходимый угол, чтобы он оказался на оси у, при этом не разрешается, чтобы вектор Ъ попадал на ось х. Поэтому может случиться, что направление вектора Ъ совпадает с направлением оси у (это возможно, когда вектор Ъ был в верхней полуплоскости) или же вектор b окажется направленным в сторону отрицательного направ-
Рис. 26
1. ОРИЕНТАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ 95 ления оси у (см. рис. 26, где показана динамика процесса). В первом случае мы будем говорить, что пара векторов (а, Ь) ориентирована как система координат х, у, а во втором, что пара (а, Ь) ориентирована противоположно ориентации х, у (как это случилось на рис. 26).
.2. Трехмерная система координат. Прямоугольные системы координат х5 у, z в пространстве, изображенные на рис. 27 и 28, тоже различны. Рассматривая систему координат рис. 27 как твердое тело, можно после соответствующего его передвижения совместить оси хи у обеих систем координат. Но положительное направление оси z первой системы не совпадает с положительным направлением оси z второй системы. Мы говорим, что систе
мы рис. 27 и 28 ориентированы противоположно. Система рис. 27 называется левой системой координат, а система рис. 28 - правой системой координат. Если винт с правой (левой) нарезкой ввинчивать по направлению оси z, поворачивая его по стрелке рис. 28 (рис. 27), то он будет двигаться поступательно в этом направлении. Можно также распознавать систему координат по следующему правилу. Если смотреть из какой-либо точки положительной полуоси Ог на положительную полуось Оу, то положительная полуось Ох может быть направлена влево или
вправо. В первом случае система координат называется левой (рис. 27), а во втором - правой (рис. 28).
Векторы а, 6, с называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или же находятся в параллельных плоскостях.
Возьмем систему некомпланарных векторов а, Ъ, с, приложенных к некоторой точке А. Будем вращать в плоскости векторов а и Ъ вектор Ъ вокруг точки А до тех пор, пока Ъ не окажется перпендикулярным а. Во время движения будем следить, чтобы угол между а и Ь все время не равнялся нулю и к. После этого будем вращать вектор с около А с целью придать ему направление, перпендикулярное векторам а, Ъ„ При этом будем следить за тем, чтобы вектор с ни на один момент не совпал с плоскостью векторов а и К В результате векторы а, Ъ, с окажутся перпендикулярными. Теперь перенесем эту тройку как твердое тело в точку О и будем ее вращать вокруг точки О с целью, чтобы векторы а и Ъ получили соответственно направления осей х, у. Может оказаться два случая: 1) вектор с будет направлен как положительная ось z, 2) он будет направлен в противоположную сторону. В первом случае будем говорить, что система векторов а, Ъ, с ориентирована как система координат х, у, 2, а во втором — она ориентирована противоположным образом (см. соответственно рис. 27 и 28).
§ 12. Векторное произведение
Два определения векторного произведения. Зададим в некоторой прямоугольной системе координат трехмерного действительного пространства векторы
а = (ах> ау> ОЛ Ъ = (6х« Ьу- Ь^
и назовем векторным произведением а и Ь вектор
с=ахЬ"[ахЬ] =
= («А “ а=ьА + (аА - “АМ + (° А - аД)6 =
i j k
= ах ау а2 , Ц) ь, Ьу ьг
В качестве последнего члена этой цепи написан «обобщенный определитель», первая строка которого состоит из векторов i, /, к (ортов системы координат). Во втором члене показано, как этот обобщенный определитель понимать (определитель третьего порядка мы разлагаем по элементам первой строки так, как если бы i, /, к были числами).
Очевидно, что [а х (-6)] * -[а X 6].
Векторное произведение векторов а и Ь можно также определить следующим образом:
если а и 6 коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору;
если а и Ъ не коллинеарны, то вектор с направлен перпендикулярно к а и Ъ и притом так, что система (а, Ь, с) ориентирована так же, как данная система координат. Длина же вектора с равна
Icj = |а| |b|sin со (0 < со < л).(2)
где со есть угол между а и 6, т. е. длина с равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ъ (рис. 29).
Докажем эквивалентность сформулированных двух определений.
Если вектор с = 0, то из (1) следует, что компоненты векторов а и 6 пропорциональны
а : а := b : b : Ь,»
х у г х у г'
4 Бугров. Т. 1
Рис. 29
т. е. а и Ъ коллинеарны, но тогда векторное произведение и по второму определению равно нулевому вектору. Обратно, если а и Ъ коллинеарны, то по второму определению а х Ь = 0. Так как компоненты векторов а и Ь при этом пропорциональны, то, согласно первому определению, с = 0.
Пусть теперь а и Ъ — неколлинеарные векторы и с — их векторное произведение согласно (1). Очевидно, что (с, а) = (a^b, - аЬ)ат + (azbz - ab>v + (а,Ьу - аД)а = 0 и аналогично
(с, Ь) = 0.
Итак, вектор с перпендикулярен к а и 6.
Докажем, что система векторов (а, Ь, с) ориентирована так же, как система координат х, у, z. Будем непрерывно вращать векторы а и Ъ вокруг точки О, каждый раз вычисляя по ним вектор с, но так, чтобы все время а и Ъ были неколлинеарными. Но тогда вектор с все время будет ненулевым (с * 0) и система (а, Ь, с) все время будет некомпланарной. Совершим такие повороты, чтобы векторы а и b получили направления соответственно осей х и у, т. е. чтобы они имели вид а = (|а|, 0, 0), Ъ = (0, |&|, 0). Этого всегда можно достигнуть, потому что в данном случае плоскость векторов а, Ь может вращаться в пространстве. Но тогда вектор с,.-вычисленный по формуле (1), имеет
вид с = (О, О, |а| |Ь|). Мы видим, что векторы (а, Ь, с) в последний момент нашего процесса ориентированы так же, как оси (х, у, z). Но тогда, согласно определению ориентации (см. § 11) и исходная система а, Ъ, с ориентирована так же, как система координат х, у, 2.
Итак, векторное произведение с = а х Ь, определенное по формуле (1), есть вектор, перпендикулярный к векторам а и Ь и система векторов (а, Ь, с) ориентирована так же, как рассматриваемая система координат х, у, 2.
Нам еще надо доказать формулу (2). Пусть векторы а и Ь образуют с осями координат углы, соответственно равные а, Р, у и а', Р', Y- Так как
ах = |a|cos а,ау = |a|cos Р,а2 = |a|cos у,
bx = |b|cos a',by = |b|cos P',bz = |6|cos /,
то
H2 = («Д * ubyY + <a2bx - axb2Y + (аД - аД)2 = = |a|2|&|2[(cos p cos Y - cos у cos P')2 +
+(cos у cos a' - cos a cos Y)2 +(cos a cos P' - cos Pcos a')2]=
= |a|z|b|z[(cos2a + cos2P + cos2y) x
x (cosza' + coszP' + cos2Y) ~*
- (cos a cos a' + cos P cos P' + cos у cos Y)2] = = |a]2|b|2[l • 1 — cos2w] = |a[2|bjzsin zw,
где to - угол между векторами аиЪ (cos to = cos a cos a' + + cos P cos P' + cos у cos Y)-
Итак, мы доказали (2).
Таким образом, мы полностью доказали, что из определения векторного произведения по формуле (1) следует второе его определение.
Обратно, если вектор подчиняется второму определению, тогда он единственный, потому что может быть только один вектор, перпендикулярный к а и Ъ, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на
а, Ь, и притом такой, что система (а, Ъ, с) ориентирована так же, как система х, у, z. Но тогда это есть вектор с, определенный по формуле (1), потому что последний, как мы убедились, обладает указанными свойствами.
Отметим еще раз, что условие а х Ь = 0 есть необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов а и Ь.
где к — орт оси 2. По определению векторного произведения система (а, Ъ, с) ориентирована, как система координат х, у, 2. Поэтому, очевидно, если определитель
«х ау
12.2. Геометрический смысл определителя второго порядка. Рассмотрим теперь специально два ненулевых плоских вектора
то система векторов (а, Ъ^ должна быть ориентирована, как оси координат (х, у). Если же определитель
а
а = (а,, а) , Ъ = (Ь„ Ь,) (3) в некоторой прямоугольной системе координат х, у (рис. 30, 31). Будем считать, что рассматриваемая плоскость находится в пространстве и добавим к осям х, у
b
ау by
то система (а, 6) ориентирована противоположно ориентации х, у. На рис. 30 изображена первая ситуация расположения векторов (а, Ь), а на рис. 31 — вторая. Мы знаем также, что площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, равна (см. (4))
“х “у
ьх ьу
т. е. абсолютной величине определителя
(5)
с = а х Ь =с = а х Ь =°Х ау°Х ауbx byk’bx byk’(4)(4)
с = а х Ь =
с = а х Ь =
°Х ау
°Х ау
bx byk’
bx byk’
(4)
(4)
перпендикулярную к ним ось 2. Векторы а, Ъ будут теперь иметь координаты
« - (а,, ау, 0), Ъ = (Ьх, Ь, 0).
Векторное произведение их равно
Итак, мы доказали, что: 1) абсолютная величина определителя (5) равна площади параллелограмма, построенного на векторах а = (ах, ау) и 6 = (Ьх, Ь^\ 2) знак определителя (5) зависит от расположения этих векторов относительно прямоугольной системы координат х, у. Знаку + соответствует система (а, Ь), ориентированная, как х, у, а знаку - соответствует система (а, 6), ориентированная противоположным образом.
12.3. Свойства векторного произведения. Справедливы свойства
а х Ъ = -[6 х а].
(6)
а х (аЬ) = а[а х Ь],
(7)
а х (Ь + с) = [а х Ь] + [а х с].
(8)
где а, Ъ, с - произвольные векторы, а — скаляр.
Если векторные произведения, входящие в равенства (6), (7), (8), выразить по формуле (1) через компоненты векторов
а = (а , а , а,), Ъ = (6 , b , Ь ), с = (с ,. с , с ). то легко получить эти равенства.
Формулы (6) и (7) легко следуют также из геометрических соображений. Пусть а и Ь - неколлинеарные векторы. Если в векторном произведении заменить местами а и Ь, то площадь параллелограмма, построенного на а и б, и перпендикуляр к а и Ь не изменятся. Изменится лишь направление с = а X Ъ на противоположное, что влечет изменение ориентации (а, Ь, а х Ь).
Умножение на положительное число а вектора Ь увеличивает лишь в а раз площадь параллелограмма, построенного на а и Ь, а направление векторного произведения останется прежним. Если же а < 0, то
а х (об) = а х (~|а|б) = |а|[а х ( Ь)] =
= -|а][а х Ь] = а[а х Ь].
Заметим еще, что из (6) и (7) следует также, что
(ан) х Ь = -[Ь х (аа)] = а[Ь х а] = <х[а х Ь].
Пример 1. Определить угол А треугольника АВС с вершинами А = (1, 2, 3), В = (2, 2, 2), С = (1, 2, 4).
Обозначим искомый угол через ю. Таким образом, со
—>♦
это угол между векторами АВ и АС. Из второго опреде
ления векторного произведения имеем
| АВ х АС |sin to =_> »
|АВ||АС|
где АВ = (1, 0, -1), АС = (0, 0, 1), | АВ | = V2 , | AC I = L
АВ х АС =АВ х АС =t10t10/ к0 -1О 1/ к0 -1О 1-л-л
АВ х АС =
АВ х АС =
t
1
0
t
1
0
/ к
0 -1
О 1
/ к
0 -1
О 1
-л
-л
Рис. 32Рис. 32
Рис. 32
Рис. 32
Отсюда
1лЗл
sin to = -7= , to = — , to = —.
V244
Так как ВС = (-1, 0, 2) и |ВС I2 = 5 > |АС I2 + |АВ |2 = = 1 + 2 = 3, то необходимо взять to = Зл/4.
Замечание. Если в треугольнике АВС угол А прямой, то |ВС |2 = ВС? = АС2 + АВ2; если А - тупой угол, то ВС? > > АС2 + АВ2; если А - острый угол, то ВС2 < АС2 + АВ2.
Пример 2 (из механики). Пусть заданы две точки А и
В. К точке В приложена сила, определенная вектором F. Пусть а = АВ . Моментом силы F относительно точки А называется векторное произведение вектора а на вектор F:
Ъ = а х F
(см. рис. 32, АО = ВС ).
Вектор Ь (момент силы F) перпендикулярен к векторам а и F и имеет длину, равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и F. Направление же вектора Ь зависит от той прямоугольной системы координат, которая задана в этом вопросе.
На рис. 32 взята левая система координат. Направление Ь взято так, чтобы векторы a, F, b тоже образовали левую систему.
§ 13. Смешанное (векторно-скалярное) произведение
Векторно-скалярным (смешанным) произведением векторов а, Ь, с (в трехмерном действительном пространстве) называется скаляр, равный скалярному произведению вектора а х Ъ на вектор с:
(а х Ъ)с - (abz - aby)cx + (axbx - abz)cy +
°х ау “г
+ (axby - aybx)cz -+ (axby - aybx)cz -(1)(1)Ьх bybz
+ (axby - aybx)cz -
+ (axby - aybx)cz -
(1)
(1)
Сх Су^
В силу определения скалярного произведения
(а х Ъ)с = |а х Ь|прох4с = (|а| |b|sin ю)прохЬс.
Поэтому можно еще, очевидно, сказать, что смешанное произведение (а х Ь)с равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ъ, с со знаком + или — в зависимости от того, будет ли система векторов а, Ъ, с ориентирована как система координат х, у, z или противоположным образом. Отметим, что [пр^с] равна высоте параллелепипеда.
Имеют место равенства
(2)(2)(а х Ь)с = (с х а)Ъ = (Ь х с)а.
(2)
(2)
которые легко следуют из свойств определителя (1).
Если векторы а, Ь, с лежат в одной плоскости, то
(а х 6)с = 0,
так как а х Ь перпендикулярен вектору с. Обратно, если (а х Ь)с = 0, то вектор с перпендикулярен вектору а х Ь и, следовательно, лежит в плоскости векторов а и 6 или в плоскости, параллельной этой плоскости.
Таким образом, условие
(а х Ь)с = О
есть необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов а, Ъ, с.
Пример 1. Найти условие принадлежности четырех точек к одной плоскости.
Пусть даны четыре точки А} = (х^ Ур z^ (j: = 1, 2, 3, 4). Если эти точки лежат в одной плоскости, то векторы АгА2 , ^1^з • ^1-^4 также лежат в этой плоскости, и, следовательно, их смешанное произведение равно нулю:
А1^2 ^ ^Ад l^^А1^2 ^ ^Ад l^^О.О.^2-^1 У2-У1 Z2~Z1 ^3-^1 Уз~У1 Z3~Z1 Х4 ~ Х1 У4 ~ У1 Z4 — Z1
А1^2 ^ ^Ад l^^
А1^2 ^ ^Ад l^^
О.
О.
Это и есть условие принадлежности четырех точек од- ной плоскости (ср. § 9, (12)).
§ 14. Линейно независимая система векторов
Зададим в Rn (действительном или комплексном) систему из к векторов
«' = (“,р “■., •— “J (s = !» —* кУ (!)
По определению система (1) линейно независима, если из векторного равенства
Х,а* + Х2а2 + ... + ХАа* = О,(2)
где Хр Х2Xt - числа (соответственно действительные или комплексные), следует, что
хр = х2 = ... = X, = О.
Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существуют числа Хр Х2Xh, одновременно не равные нулю, для которых выполняется равенство (2). Если для определенности считать, что Хк * О, то из (2) следует, что
°* = ц^1 + ... + Ц61а*Л1,(3)
где
^1Ц‘ Xk * - ‘ ' 'Ц11^1Ц‘ Xk * - ‘ ' 'Ц11^■А-1^■А-1
^1
Ц‘ Xk * - ‘ ' 'Ц11
^1
Ц‘ Xk * - ‘ ' 'Ц11
^■А-1
^■А-1
Таким образом, если система из к векторов линейно зависима, то один из них есть, как говорят, линейная комбинация остальных, или, как еще говорят, зависит от остальных.
Так как все время будет идти речь о линейной зависимости, то термин линейный будем позволять себе иногда опускать. Будем также говорить зависимые или независимые векторы вместо зависимая или независимая система векторов.
Один вектор а1 тоже образует систему — линейно независимую, если а1 * 0, и зависимую, если а1 = 0.
Если система векторов а1, ..., а* линейно независима, то любая часть этой системы а1, .... а* (s < X) тем более линейно независима. Иначе нашлась бы нетривиальная система чисел Хр .... Х$, для которой выполнялось бы
Х1а1 + ... + Xaas = 0,
Л-s раз
но тогда для системы Хр .... X,, 0, .... 0 » которая тоже нетривиальна, имело бы место
XjC1 + ... + Ха8 + 0-а,н + ... + 0-а* = 0.
Из сказанного следует, что если система векторов а1, .... а* линейно зависима, то любая пополненная система
а1, . . . , я’, а’+1, . . . , а*
обладает тем же свойством. В частности, система векторов, содержащая в себе нулевой вектор, всегда линейно зависима.
Составим матрицу, определяемую векторами системы (1):
Яц °12 ■•• а1п
«И ак2 ■ • • акп
Теорема 1. Если ранг А = к, т. е. ранг А равен числу векторов, то система (1) линейно независима.
Если лее ранг А < к, то система (1) линейно зависима.
Пример 1. Два вектора а1 = (ап, а12), а2 = (а21, а22) в действительном пространстве Нг образуют линейно независимую систему, если определитель
°11 °12°21 °22°11 °12°21 °22* 0,* 0,
°11 °12
°21 °22
°11 °12
°21 °22
* 0,
* 0,
потому что векторное уравнение
Х^1 + Х^2 = 0(4)
эквивалентно двум уравнениям для соответствующих компонент
(5)(5)ОцХ1 + 021^-2 = ®’
(5)
(5)
<^2X1 + Я22^2 = O'-
(6)(6)Но если А * О, то система (5) имеет единственное тривиальное решение
(6)
(6)
X, ^ х2 = 0.
Если же А = 0, то уравнениям (5) удовлетворяет некоторая нетривиальная система (Xt, Х2), т. е. при А = О система векторов а1, а2 линейно зависима.
Очевидно, сказать, что в действительном пространстве Нг векторы а1 и а2 коллинеарны или линейно зависимы — это все равно. Но тогда сказать, что векторы а1 и а2 не коллинеарны или линейно независимы — это тоже все равно.
вольный вектор и а,вольный вектор и а,Пример 2. Система векторов а1, а2, ..., а* (А > 3) в действительном пространстве R2 всегда линейно зависима. Геометрически это ясно из рис. 33: если с - произ- Ъ — неколлинеарные векторы, то
вольный вектор и а,
вольный вектор и а,
всегда можно указать такие числа X, ц, что
с = Ха + цЬ.
Это показывает, что система а, Ъ, с линейно зависима. Если же а и b - коллинеарные векторы, то они линейно зависимы. Тем более линейно зависимы а, Ь, с.
По теореме 1, чтобы исследовать пару векторов а1, а2, мы должны записать матрицу из их координат
А =А =°11 °12
А =
А =
°21 °22
В данном случае к = 2.
Если ранг А = 1 < 2 = к, то теорема утверждает, что векторы а1, а2 линейно зависимы.
Если же ранг А = 2 = к, то векторы а1, а2 линейно независимы.
Это совпадает с приведенными выводами, потому что в случае а) А = О и б) А ^ О.
Тот факт, что три произвольных вектора а1, а2, а3 в R2 линейно зависимы, тоже предусмотрен теоремой - ведь
ранг А < 2 < 3 = к.
4. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ 109 Пример 3. В трехмерном действительном пространстве R3 два вектора
О1 " (Оц, °12’ °1зЬ П2 = (°21» °22’ °2з) линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
В самом деле, пусть а1, а2 коллинеарны. Если один из данных векторов нулевой, то они линейно зависимы. Если же а1 и а2 коллинеарны и не нулевые, то
а1 = Ха2, где X - некоторое число. Последнее означает, что а1, а2 линейно зависимы.
Обратно, если а1, а2 линейно зависимы, то один из них зависит от другого, например
а2 = ца1, т. е. векторы коллинеарны.
Если в этом случае рассмотреть матрицу
°11 °12 °13
А =»
°21 °22 С23 ||то элементы строк матрицы пропорциональны, и поэтомуранг А = 1 < 2 — к,
т. е. наше утверждение согласуется с теоремой 1.
Пример 4. Рассмотрим теперь три вектора в R3:
“' = (°ip “и* а1з>* а2 = (°21’ О22* °2з)’ а3 = (а31, а32, а33).
Пусть
а11 °12 °13
А =
°21 °22 а23
°31 °32 °33
Векторному уравнению
(7)(7)(7')(7')Х^1 + Х2а2 + Х3а3 = Оэквивалентна система из трех уравнений
(7)
(7)
(7')
(7')
«11^1 +^21^2 + «зАз " 0>«12^1 + #22^2 ^ «31^3 = ^’
«13^1 + «23^2 + «33^3 ~ 0-
Если А ^ 0, то система (7') имеет единственное тривиальное решение Х1 = Х2 = X3 = О. Но тогда и уравнение (7) имеет единственное тривиальное решение и система векторов а1, а2, а3 линейно независима.
Если А = 0, то система (7'), следовательно, и уравнение (7) имеют нетривиальное решение (Хр Х2, Х3). Но тогда система векторов (а1, а2, а3) линейно зависима. Но здесь можно различать детали:
Пусть ранг А = 1, где
«11
«12
«13
«21
«22
«23
«31
«32
«33
Тогда по крайней мере одна из строк А, пусть для определенности первая, имеет хотя бы один элемент, не равный нулю. Рассмотрим матрицу
«11 а12 о13«21 «22«11 а12 о13«21 «22«23«23(8)(8)
«11 а12 о13
«21 «22
«11 а12 о13
«21 «22
«23
«23
(8)
(8)
Она имеет ранг 1, поэтому все порождаемые ею определители второго порядка равны нулю
«11«21«11«21«12«11«22«21«12«11«22«21«13«23«13«23«12«22«12«22«13«23«13«23
«11
«21
«11
«21
«12«11
«22«21
«12«11
«22«21
«13
«23
«13
«23
«12
«22
«12
«22
«13
«23
«13
«23
Но тогда, очевидно, компоненты векторов а1 и а2 пропорциональны
°21 _ °22 _ g23 _
#11#12#13
т. е.
#21 " #11 ^#22 " #12^*°23 “ #13^
или
а2 = Ха1.
Аналогично, учитывая, что в матрице
°п а12 а13
#31 #32 #зз
тоже все определители второго порядка равны нулю, получим, что
а3 = ра1,
где р — некоторое число. Таким образом, в этом случае векторы а1, а2, а3 коллинеарны.
Пусть теперь ранг А = 2. Тогда одна из матриц, состоящих из двух строк матрицы А, имеет ранг 2. Пусть для определенности это есть матрица А (см. (8)). На основании примера 3 векторы а1 и а2 линейно независимы. Но система а1, а2, а3 зависима, т. е. для некоторой нетривиальной тройки чисел (Хр Х2, Х3)
Х^1 + Х2а2 + Х3а3 = 0.(9)
Здесь Х3 ^ 0, потому что иначе Х1а1 + Х2а2 = 0, и в силу независимости системы а1, а2 было бы Xt = Х2 = 0. Но тогда равенство (9) можно разрешить относительно а3:
а3 = ща1 + ц2а2, ц1 - —— ,ц2 = -—.
А3
Таким образом, если А = 0, а ранг А' = 2 (см. (8)), то векторы а1 и а2 неколлинеарны, а вектор а3 принадлежит к плоскости этих векторов.
Приведенные рассуждения не противоречат теореме 1. В самом деле, если А * О, то ранг А = 3 = к и по теореме 1 система векторов а1, а2, а3 линейно независима. Если же А = О, то ранг А < 3 и система векторов а1, а2, а3 линейно зависима.
Доказательство теоремы 1. Векторное равенство (2) эквивалентно следующим п уравнениям для компонент векторов:
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ 113х, = х2 = ... = хл = о,
и система векторов (1) линейно независима. Утверждение теоремы в этом случае доказано.
Пусть теперь ранг А = s < к. Перенумеруем переменные к( и коэффициенты akj системы (23 так, чтобы
°11 • • • °sl
* о.
^1S• • • ^ss
Тогда систему первых s уравнений можно записать так:
Х^П^| 4" ^2^21 4* • • • 4- Х^б!^ — О, Х1^12 + X2°22 + ••• + ^как2 = ®’
^1а1п + ^2а2п + ••• + *^какп = О'.
(2')
Пусть ранг А = к. Тогда, очевидно, к < п. Существует не равный нулю определитель к-го порядка, порождаемый матрицей А. Не ограничивая общности, можно считать, что это определитель из коэффициентов первых к уравнений системы (2'):
^1°11 + ••• + ^-какХ ~ О,
^1°1л + - • • + ккакк = О,
(10)
ОцХ1 + ... + aslXs - -as+i,iXs+1 - ... a^X^,
«is^i + ... + assXs — — as+i.sXs+i ... ^ks^k
Если положить Xs+1 = ... = Xt = 1, то данную систему можно решить относительно Хр .... X,. В результате получим нетри
виальное решение
Хр —» Х4
(Н)
первых s уравнений (2'). Теперь мы можем присоединить к этим s уравнениям любые другие к - s уравнений (2'), и полученная система все равно будет иметь найденную нетривиальную систему в качестве решения. Чтобы объяснить это утверждение, запишем формально систему (2') следующим образом:
Х1а11 + ... +ХАаА1 +ХА+1 0 + ... +Х„ 0-0,
(23(23
(23
(23
°11 ••• °к!
* 0.
°1к ••• °кк
Так как однородная система (10) имеет определитель, отличный от нуля, то она имеет только тривиальное решение:
Хга1п + ... + kkakn +XA+i 0+ ... +Х„ 0 - 0.
Матрица из коэффициентов полученных уравнений все равно имеет ранг S, так же как и расширенная (справа нулями!) матрица. Первые s уравнений системы (23 удовлетворяются найденными числами Хр .... Хк (см. (11)) и произвольными числами Хр .... Хп. На основании утверждения 2) § 4 (правила
решения систем) числа Хр .... Хп удовлетворяют и остальным уравнениям системы (2'), т. е. числа Xv .... Хк (не все равные нулю) удовлетворяют остальным уравнениям системы (2')-
Таким образом, векторы а1, ..., а* линейно зависимы, и теорема доказана и в этом случае.
§ 15. Линейные операторы
Зададим произвольную квадратную матрицу
°11 ••• а1п
А = Ы =
(1)(1)«Л1 ••• а,
(1)
(1)
Матрицу А можно рассматривать как оператор, приводящий в соответствие каждому вектору х = (хр ..., х^ g Rn вектор у = (ур ..., у,) g Rn, компоненты которого вычисляются по формулам
У1 = оих1 + ...+о1„х„.
Уп ап^Ху + ... + аппхп,Уп ап^Ху + ... + аппхп,(2)(2)или, короче,
Уп ап^Ху + ... + аппхп,
Уп ап^Ху + ... + аппхп,
(2)
(2)
У, = (i = 1. -. "У(2')
/=1
Говорят, что i-я координата вектора у записывается с помощью t-й строки А. Этот оператор коротко будем записывать так:
У = АхУ = Ах(*, у е RnY(*, у е RnY(2")(2")Замечание 1. Если ак1 и далее Ьк1 - комплексные числа, то Rn надо считать комплексным пространством. Если же ак1, Ъы — действительные числа, то Rn может быть и действительным и комплексным пространством.
У = Ах
У = Ах
(*, у е RnY
(*, у е RnY
(2")
(2")
В случае одномерного пространства Rx векторы х и у суть числа, и оператор (2") превращается в функцию
У = «пх.
Оператор (2") линейный. Это значит, что он удовлетворяет условию
А^ах + рх') = оАх + РАх'для любых векторов х, х' е Rn и чисел а, р. В самом деле,
^„(ах,+рх') = а^а^х, + ^а^' (i - 1, .... п).
7=17=17=1
Если матрицы А = ||aj| и В = ||6j| равны, т. е. имеют равные соответствующие элементы аы = Ьк1, то они определяют тождественно равные операторы:
Ах = Вх, V х g Rn.(3)
Обратно, из равенства (3) вытекает, что
aH = bkl <k, I = 1, ..., пу
т. е. равенство матриц А и В (А = В). В этом легко убедиться, если положить в (3)
х = х* = (О, .... О, 1, 0, ..., 0),
где 1 стоит на Z-м месте (Z = 1, .... пУ
Таким образом, различным матрицам А соответствуют различные операторы — если две матрицы А, и А2 отличаются хотя бы одним элементом, то обязательно существует вектор х, для которого
Ахх * А2х.
Пусть, кроме А, задан еще другой оператор В, определяемый квадратной матрицей n-го порядка
в = ММ-
Каждому х 6 Rn соответствует при помощи оператора А вектор у е Кп, которому при помощи оператора В соответствует вектор z с компонентами, вычисляемыми по формулам
zk =(А = 1, .... п).
<=1
В результате получим сложный линейный оператор
2 = ВАх (х g R),(4)
где
z^ Lbkiyt - Хьы zL°uxj = X Хм/ xi - Ул^
1=1i=l 7=1y=l\i=l J 2=1
с матрицей ||yj|, называемой произведением матриц В иА и обозначаемой так:
BA = ||yj,(5)
где
^м " УЛ^- (к, ) = 1, .... п),(6)
1=1
т. е. чтобы получить элемент уу матрицы ВА (принадлежащий к ее к-й строке и у-му столбцу), надо элементы к-й строки матрицы В умножить на соответствующие элементы у-того столбца матрицы А и результат сложить.
Определитель матрицы ВА равен произведению определителей матриц В и А:
|ВА| = [В| 14|.(7)
Это свойство вытекает из формулы для произведения определителей (см. § 2, свойство к)).
Пусть матрица оператора А (см. (1)) имеет определитель, не равный нулю:
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ117 а = KJ * °-
В этом случае (см. § 4, теорема 1) система уравнений (2), или, что все равно, операторное уравнение у = Ах имеет единственное решение х е Rn при любом заданном у е Rn. При этом формулы, по которым находится х для заданного у g Rn, имеют вид
х, - ^bjsys (у = 1 п).(8)
S-1
Здесь
b„ = А„/А (s, у - 1, .... n) (9)
(см. § 4, (3')), где А’1 - алгебраическое дополнение элемента asj в определителе А.
Впрочем, для нас сейчас важно только отметить, что числа Ь.. являются элементами матрицы
в = liy,
обладающей следующими замечательными свойствами:
ВАх = хХ/х е Rn,(10)
АВу = уV у 6 Rn.(11)
В самом деле, произвольный вектор х е Rn переходит посредством оператора А в некоторый вектор у, который переходит посредством оператора В обратно в х. С другой стороны, каждому у g Rn соответствует при помощи оператора В (см. (8)) некоторый х и притом такой, что Ах = у.
В равенстве (11) можно, очевидно, вместо у поставить другую букву, поэтому мы получили тождества
ВАх = АВх = х, Х/х.
Оператор х = Ex ( Х/х g R,) называется единичным оператором. Матрица, ему соответствующая, имеет вид
1 О ... О
О 1 ... о
О О ... 1
и называется единичной. Мы доказали, что
АВ = BA - Е.
Оператор В, обладающий этим свойством, называется об- ратным к оператору А и обозначается через А1. Соответственно его матрица называется обратной матрицей к матрице А и обозначается тоже через А-1. Элементы матрицы А-1 находятся по элементам матрицы А с помощью формул (9).
Мы доказали, что если определитель Щ квадратной матрицы А не равен нулю, то она имеет обратную матрицу А-1. Для А *, таким образом, выполняются свойства
А^А = АА-1 = Е.
Если определитель матрицы А равен нулю (Щ = О), то она не имеет обратной матрицы. Достаточно сказать, что уравнение у = Ах имеет решение не для всякого у. Между тем свойство АА'у = у, если оно выполняется, утверждает, что каждому у е Rn соответствует (при помощи оператора А1) такой х, что он есть решение уравнения у = Ах.
Замечание. Операцию умножения матриц можно распространить и на неквадратные матрицы В и А, лишь бы число столбцов матрицы В совпадало с числом строк матрицы А. Тогда умножение матриц производим по формулам, подобным (6). Например, если
Произведение АВ в данном случае рассматривать нельзя, так как у матрицы А два столбца, а у матрицы В три строки.
Для квадратных матриц А и В произведения АВ и ВА имеют смысл, но далеко не всегда АВ равно ВА. Например, если
<1 1)
и =В =
(1 1J’ (о о/
то,х,х
лв = (о 1J ’вл = [о О J ’
т. е. АВ * ВА.
Легко проверить, что (АВ)С = А(ВСу
Если А — линейный оператор, то запись Ах можно рассматривать как произведение матрицы А на одностолбцовую матрицу
Пусть заданы линейные операторы А и В. Суммой их называется оператор А + В, определяемый равенством
(А + В^х = Ах + Вх X/ х е Rn.
Очевидно, матрица оператора А + В совпадает с матрицей, равной сумме матриц операторов А и В.
Легко проверить, что
А(В + С) - АВ + АС.
Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице
'1 2 О"
0 11
Д 1 °,
Матрица А определяет линейный оператор у = Ах, приводящий в соответствие каждому вектору х = (хр х„ х3) вектор у = (ур уг, у^ при помощи равенств
Ут = х, + 2х2, У г хг ^ ^з» Уз = х, + 2х2,
Эти равенства можно рассматривать также как линейную систему трех уравнений относительно неизвестных х,, х2, х3. Определитель этой системы не равен нулю. Но тогда ее можно решить при любых заданных yv у2, уу В результате получим равенства
х, = -У1 + 2у3,
Х2 = У, * Уз*
хз = "Ут + У2 + Уз*
определяющие оператор х = А"1 у, обратный к оператору А. Матрица этого оператора
02'О -11 L02'О -11 L
02'
О -1
1 L
02'
О -1
1 L
Это и есть матрица, обратная к матрице А.
Элементы матрицы А-1 можно получить путем вычислений по формулам (9).
Обозначим элементыИмеем Д = 1, Ь. = АОбозначим элементыИмеем Д = 1, Ь. = Аобратной матрицы А-1обратной матрицы А-1через b)s.через b)s.
Обозначим элементы
Имеем Д = 1, Ь. = А
Обозначим элементы
Имеем Д = 1, Ь. = А
обратной матрицы А-1
обратной матрицы А-1
через b)s.
через b)s.
Д1Д111111о1о= -1, Д2= -1, Д2О1О11О1Оо1о11111= -1= -12121ооооО, А22О, А221111000011112121= 1= 1
Д1
Д1
1
1
1
1
1
о
1
о
= -1, Д2
= -1, Д2
О
1
О
1
1
О
1
О
о
1
о
1
1
1
1
1
= -1
= -1
2
1
2
1
о
о
о
о
О, А22
О, А22
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
2
1
2
1
= 1
= 1
-^31-^312121ОО11= 2, Л32= 2, Л321012= д =0 1’ 330 11012= д =0 1’ 330 1Таким образом,^и ~ -^и — ~1*^21 ~ -^12 “ 1'^31 — "^13 "1»Итак,Таким образом,^и ~ -^и — ~1*^21 ~ -^12 “ 1'^31 — "^13 "1»Итак,^12 = А1 = о.^22 ~ ^22 ~ ^’^32 ~ ^23 ~ 1>^12 = А1 = о.^22 ~ ^22 ~ ^’^32 ~ ^23 ~ 1>^13="^31=2*^23~^32~~1’^33~^33—1*^13="^31=2*^23~^32~~1’^33~^33—1*-1 02'А*1 =10 -1-1 02'А*1 =10 -11-1 1 1)1-1 1 1)Пример 2. Вычислить произведение матриц ВА, гдеПример 2. Вычислить произведение матриц ВА, где10 10 121 1 110 10 121 1 1В -В -2 0 00 3 22 1-12 0 00 3 22 1-1
-^31
-^31
2
1
2
1
О
О
1
1
= 2, Л32
= 2, Л32
1012
= д =0 1’ 330 1
1012
= д =0 1’ 330 1
Таким образом,
^и ~ -^и — ~1*
^21 ~ -^12 “ 1'
^31 — "^13 "1»
Итак,
Таким образом,
^и ~ -^и — ~1*
^21 ~ -^12 “ 1'
^31 — "^13 "1»
Итак,
^12 = А1 = о.
^22 ~ ^22 ~ ^’
^32 ~ ^23 ~ 1>
^12 = А1 = о.
^22 ~ ^22 ~ ^’
^32 ~ ^23 ~ 1>
^13="^31=2*
^23~^32~~1’
^33~^33—1*
^13="^31=2*
^23~^32~~1’
^33~^33—1*
-1 02'
А*1 =10 -1
-1 02'
А*1 =10 -1
1-1 1 1)
1-1 1 1)
Пример 2. Вычислить произведение матриц ВА, где
Пример 2. Вычислить произведение матриц ВА, где
10 1
0 12
1 1 1
10 1
0 12
1 1 1
В -
В -
2 0 0
0 3 2
2 1-1
2 0 0
0 3 2
2 1-1
Вычисление можно произвести по формулам (5), (6), но можно рассуждать и следующим образом.
Матрица А определяет оператор у = Ах, приводящий в соответствие векторам х = (хи х2, х3) векторы у = (у,, у2, у3) при помощи равенств
У1 = X, + х3,
У2 = Ж2 + 2х3’
Уз = ^1 "1" ^2 "I" ^3*
Матрица же В определяет оператор z = By, приводящий в соответствие векторам у = (ур у2, у3) векторы z = = (zp z2, z3) при помощи равенств
2, = 2ур
Z2 = Зу2 + 2у3,
z3 = 2у, + у2 - у3.
Но тогда оператор
z = ВАх
определяется равенствами
2] = 2(х, + х2) = 2х, + 2х3, г2 = 3(х2 + 2х3) + 2(х, + х2 + х3) = 2х, + 5хг + 8х3, 23 = 2(Xj + х2) + (х2 + 2х3) - (х, + х2 + х3) = х, + Зх3.
Следовательно, произведение ВА матриц В и А есть матрица
ВА = 2
11
О 2'
5 8
0 з,
Так как из равенства а = (хи ..., хл) = О следует, что х, = ... = хл = О, то система (i1i")линейно независима.
Зададим произвольную систему из п линейно независимых векторов
а1 — (а11, ..., а^.
ап = (ап1, .... апп\
(3)
Как мы знаем (см. § 14, теорема 1), система (3) линейно независима, если определитель
а11 •■■ а1п
А =
* о.
(4)
§ 16. Базисы в Rn
В пространстве Rn (действительном или комплексном) введем п векторов:
i1 = (1, О, .... О),
i2 = (О, 1, ОО),
(1)
in = (О, ОО, 1),
называемых ортами осей пространства Rn.
Осью хк пространства Rn называется множество точек вида (0, .... О, хк, 0, ..., О), где хк стоит на fc-м месте и пробегает все действительные (комплексные) значения, а вектор i* называется ортом оси хк.
Если а = (Xjхл) есть произвольный вектор (действительный в действительном Rn или комплексный в комплексном R^, то его можно, очевидно, записать в виде линейной комбинации из векторов (1) следующим образом:
а = х^1 + х^2 + ... + xin.(2)
^П1 • • • ^пп
Если же А = О, то система (3) линейно зависима.
Согласно теореме 1 § 14 любые п + 1 векторов в пространстве Rn линейно зависимы, так как ранг матрицы из компонент этих векторов не превышает п. Поэтому, если а = (х,, ..., хл) — произвольный вектор и система векторов (3) линейно независима (А ^ О), то система векторов а1, ..., ал, а линейно зависима, т. е. существуют числа Хр ..., Хл, Хл+1, одновременно не равные нулю, такие, что
"кхах + ... + Хлял + Хл^1д О,
где Хл+1 * О (иначе система (3) была бы линейно зависимой). Отсюда
а = £*ла*,(5)
к=1
где хк =- (к = 1, ..., п). Выразим сумму (5) через
орты i* (см. (2)):
С другой стороны, по (2)
Ла = 5^ ^ V.z=l
В силу линейной независимости системы i1, .... i" коэффициенты при одинаковых векторах V должны быть равны
^= £°м^ Ц = 1, .... и).(6)
к=1
Таким образом, если компоненты х, вектора а по системе **, ..., in известны, то компоненты х*к этого вектора по системе а1, ..., ап находятся из (6) и притом единственным образом, так как определитель системы (6) есть А * О.
Мы доказали, что, какова бы ни была линейно независимая система векторов а1, .... ап, любой вектор а е Rn можно разложить по этой системе, т. е. представить в виде суммы (5), где х^х'п — некоторые числа, определяемые из (6) и притом единственным образом.
В этом смысле систему векторов а1, ..., ап называют базисом в Rn, желая этим сказать, что любой вектор а е Rn можно представить в виде линейной комбинации (5) из этих векторов и притом единственным образом. Мы доказали, что произвольная линейно независимая система из п векторов в Rn есть базис в Rn.
Линейно независимая система из т векторов
где т < п, не есть базис в Rn. В самом деле, ранг матрицы компонент этих векторов равен т. Будем считать, что первые т столбцов этой матрицы образуют определитель, не равный нулю. Расширим эту матрицу, приписав к ней внизу строку
атИ = (О, .... О, 1, О, .... О),
где 1 стоит на (т + 1)-м месте. Расширенная матрица имеет ранг т + 1, и, следовательно, система векторов а1, .... а”, ат+1 линейно независима. Но тогда вектор am+1 не может быть линейной комбинацией из векторов системы а1, .... а”, и эта система не есть базис в Rn.
Обозначим через
а11 °12 • • • °1п
°nl °п2 • •' Qnn
матрицу векторов (а1, .... ап).
Переход от базиса (i1, .... i”) к базису (а1а") осуществ
ляется при помощи матрицы А:
п
^-^а^ Vk-1 П),(7)
8=1
т. е. вектор а* выражается через векторы t* с помощью А-й строки матрицы Л. Обратный переход от (а1, ..., а") к (*’, .... i") происходит при помощи обратной матрицы А1 (см. § 15, (9))
?= ^^/А (S - 1 nV<8>
1=1
элементы которой вычисляются по формулам Ъа1 = —^—, где Аи — адъюнкт элемента аи в определителе А (обратим
внимание, что элемент bsP принадлежащий s-й строке и /-му столбцу, выражается через адъюнкт Аи элемента аи, принадлежащего Z-й строке и s-му столбцу). Отметим еще, что
ллX ^ X bsl "'S=1Z=1ллX ^ X bsl "'S=1Z=11=11=1пп
лл
X ^ X bsl "'
S=1Z=1
лл
X ^ X bsl "'
S=1Z=1
1=1
1=1
а- ^х'( а' = ^xsV
1=1s=l
откуда
n
Xl = X bSlXS(9)
S=1
t. e. переход от координат (xv ..., xn) к (x'p ..., x'J происходит при помощи матрицы (см. § 3)
<A^Y = (АУ>.
Из (9) видно, что х\ выражается через хр ..., хп с помощью Z-ro столбца матрицы А1 или Z-й строки матрицы (A"lY, транспонированной к А1.
Далее по формуле (6)
п
Хж = ^ ^ ^Zs^Z (s “ 1» •■•> *0
1=1
видно, что переход от (х'р ..., х* ^ к (х,, ..., х,) совершается при помощи матрицы А' транспонированной к А, т. е. xs выражается через х^, ..., х'п с помощью s-й строки матрицы А' или s-ro столбца матрицы А.
Замечание. В § 15 было установлено, что произвольная квадратная матрица
(Ю)
определяет линейный оператор у = Ах (х € Rn, у е Rt), задаваемый по формулам
Уь = ^akjxj ^ = 1* » пУ (n)
Но имеет место и обратное утверждение: каков бы ни был линейный оператор у = Ах (хе Rn> у е R^, он определяется некоторой матрицей (10) так. что вектор у = Ах вычисляется по вектору х по формулам (11).
В самом деле, пусть задан произвольный линейный оператор у = Ах (х е Rn> у е R,). Обозначим образы ортов I" при его помощи следующим образом:
п
(s = 1, ..., n).(s = 1, ..., n).А^ = (аь, а21. -., aj = ^/W
(s = 1, ..., n).
(s = 1, ..., n).
к-1
Тогда в силу линейности А любой вектор
х - х^1 + ... +х - х^1 + ... +xV' = X xs V5=1xV' = X xs V5=1
х - х^1 + ... +
х - х^1 + ... +
xV' = X xs V5=1
xV' = X xs V5=1
отображается при помощи А в вектор у, определяемый равен
ствамиствами- ^Х8^ =S=1- ^Х8^ =S=1
ствами
ствами
- ^Х8^ =
S=1
- ^Х8^ =
S=1
откуда следует, что к-я компонента у определяется по формуле (11). Таким образом, оператор А порождает матрицу (10), у которой в столбцах стоят координаты образов базисных векторов (ортов) при помощи оператора А.
Пример 1. Найти матрицу линейного оператора (преобразования) А, заключающегося в повороте векторов плоскости Ry выходящих из начала, на угол а (0 < а < к/2) против часовой стрелки.
Рис. 34Рис. 34у = ПТу = ПТ(Ы - 1).(Ы - 1).(1)(1)
Рис. 34
Рис. 34
у = ПТ
у = ПТ
(Ы - 1).
(Ы - 1).
(1)
(1)
Возьмем за базис векторы i1 = = (1, О), i2 = (О, 1). Тогда, очевидно, что (рис. 34)
А(Р) = (cos a, sin а),
Л(£2) = (-sin а, cos а).
Поэтому матрица нашего оператора имеет вид
fcos a -sin а Л =
(sin а cos а.
§ 17. Ортогональные базисы в Rn
Говорят, что два ненулевых вектора х, у е Rn, имеют одинаковое (одно и то же) направление, если существует положительное число X такое, что х = Ху.
Произвольный ненулевой вектор х е Rn можно, как говорят, нормировать, заменив его на единичный вектор
имеющий то же направление, что и вектор х.
Единичный (имеющий норму (длину), равную 1) вектор называют нормальным.
Два вектора х и у в пространстве Rn называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (X, у) = 0.
Здесь Rn может быть действительным или комплексным. В случае комплексного Rn скалярное произведение определяется, как в § 6, (5').
Система векторов
х1, ... xv е Rn
называется ортогональной, если любые два ее вектора ортогональны. Система векторов (1) называется ортогональной и нормальной или ортонормированной, если
=0 - A - to, Ulv)>
т. e. все векторы системы нормальны и попарно ортогональны. Если система векторов (1) ортогональна и ни один вектор системы не равен нулевому, то, нормируя их, получим, очевидно, ортонормированную систему. Ортонор- мированная система (1) линейно независима. В самом деле, пусть
Х,х* + Х2х2 + ... + Xvx* = 0,
где Х1, .... Xv — числа. Умножив это равенство скалярно на Xе, получим, очевидно,
Х^х1, х*) = X, = 0(8=1 V).
Но тогда ортонормированная система из п векторов в Rn есть базис и, следовательно, каждый вектор а е Rn можно представить в виде линейной комбинации
а =(2)
6=1
Умножая это равенство скалярно на Xе, получим
(а, х’) - X, (з = 1, .... п)
и, следовательно,
п
а = о. х^х*. V а е Rn.
6=1
Число (а, х*) (|х‘| = 1!) называется проекцией вектора а на направление вектора х*.
В реальном действительном пространстве R3 величина (а, х*) есть обычная числовая проекция вектора а на направление вектора х*.
5 Бугров. Т. 1
130§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ Б Дл
Теорема 1. Ортонормированную систему векторов
X1, х2, ..., xv (V < и)
можно пополнить до ортонормированного базиса в Rn. Иначе говоря, можно указать векторы xv+1, .... хп такие, что система
хх, .... х\ х^х, .... х”(3)
будет ортонормированной и, следовательно, будет базисом в Rn.
Доказательство. Так как v < п, то в Rn существует вектор а, не зависящий линейно от Xх, ..., xv. Но тогда
V
а = X ( а, x*)xk + у,6=1
где у *0. Вектор у ортогонален ко всем векторам х1, .... х*. В самом деле,
(у, х8) = (я - X (°» x^xk, X') =6=1
= (я, Xs) - (я, хе) = 0 (4)
(S - 1, .... V).
Пронормировав у, получим вектор
*v+i=i^y см = п, и система
х1, .... xv, xv+1
будет ортонормирована. Если v + 1 = п, то мы получили базис в Rn. Если нет, то этот процесс продолжаем. На (п - у)-м этапе получим базис (3) в Rn.
Система ортов осей в Rn
Iх = (1, 0, 0, .... 0, 0),
i2 = (0, 1, 00,0),
Г = (0, 0, 0, .... 0, 1)
может служить примером ортонормированного базиса в Rn. Произвольный вектор а = (xv .... хп) е Rn разлагается по ортам следующим образом:
а = х^1 + ... + xi" - X ^ i"»(5)
6=1
где xk = (a, ifc) (к = 1 п)- проекция вектора я на
направление орта i*.
Пусть задана некоторая определенная ортонормирован- ная система из п векторов
л1 = («и“ы)*
(6)
я"=(ял1, ...,а„„).
ИЛИ
я* = ^/Ч^№ = 1 п).(7)
S=1
Переход от векторов (i1, ... i”) к (я1, .... я”) здесь осуществляется при помощи матрицы
а11 • • • °1п
(8)
“П1 • • • ^пп
т. е. вектор я* выражается через Iх, .... in с помощью к-й строки матрицы А.
5*
В дальнейшем мы считаем пространство Rn и матрицу А действительными (см. далее замечание 1).
Матрица Л ортогональна, т. е. обладает следующим свойством:
§17, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Дп 133 доказали, что ортогональная матрица А обладает следующим замечательным свойством (в действительном Дп):
(13)
Из (12)следует
У«^“й = 5« ^, 1 = 11 "’ ")•<9)
S=1
В самом деле, так как в данном случае система а1, .... ап ортонормирована, то
8.
= (а*, а') - У,
\8=1
п пп
= УУ^М"3- «Г) = У^А^' <14)
s=l r=lS—1
= У У “^ «j**. и = У У ^ “А - У ак5 аи- (Ю) 8=1 Г=18=1 Г=13=1
Мы видим, что и, обратно, ортогональность матрицы (8) влечет за собой ортонормируемость системы векторов а1, ..., а”, определенных по формулам (7).
Это показывает, что формулы (7), где ||aj - произвольные ортогональные матрицы, определяют все возможные ортонормированные базисы в Rn.
Помножим вектор i' на вектор а* скалярно:
(»', а») = аы.(11)
Отсюда
Пп
V = У (i', а^а* - У ан а*.(12)
*=1Л=1
Таким образом, переход от базиса (а1, .... а") к базису (i1, .... 1”) осуществляется при помощи матрицы А', транспонированной к А. Так как преобразование (12) обратно преобразованию (7) (см. § 15), то мы попутно
Ортогональная матрица была определена нами как такая матрица, у которой строки (векторы, представляющие их) нормальны, а разные строки ортогональны. Из этого определения, как это видно из (14), автоматически следует, что у ортогональной матрицы и столбцы нормальны, а разные столбцы ортогональны.
Переход от (хр .... хп) к (х'р ..., х'л) совершается при
п
помощи матрицы, так как (считая, что а = У, xt а1 =
1=1
= У Xs Is) (см. (11))
6=1
(15)
Переход же от (х'р ..., х,п) к (хр .... хл) совершается при помощи (см. (13)) матрицы А' транспонированной к А, т. е.
Л
X.- ^<ЧХ-
II
Отметим, что определитель произвольной ортогональной матрицы А (см. (6)) по абсолютной величине равен 1: 11АЦ-1 KJ | = 1.
Это следует из того, что
Л
✓^ks^is s=l
1 О О ... О
О 1 0 ... О
Покажем, что ортонормированная система векторов (6) в комплексном Rn порождает ортогональную матрицу А (см. (8)). В самом деле, в комплексном Rn скалярное произведение векторов х, у подчиняется свойствам (см. § 6, б'), в'))
(х, у) = (у. х). (ах + РУ’ z) = ^ z) + Р(у’ ^*
О О 0 ... 1
где а, Р - комплексные числа. Поэтому
(х, оу + Pz) = (ay,+ Pz,x) — (ay, *) + (Pz, х)
Здесь мы считаем, что элемент у*, произведения определителей равен сумме произведений элементов Л-й строки на соответствующие элементы i-й строки (см. § 2, свойство к)).
Отметим еще, что определитель из компонент векторов базиса i1, ..., i” равен 1:
= a(y, х) + p(z, х) = а (х, у) + Р (х, z).
Но тогда для ортонормированной системы векторов а1а” имеет место
1 0 0 ... О
О 1 О ... О
О О О ... 1О О О ... 1Если ортогональный базис а1, ..., ап имеет определитель |Л[ = 1 (см. (6)), то говорят, что этот базис ориентирован так же, как базис i1, ..., i". Если же |Л| = -1, то - противоположным образом. Эти определения согласуются с соответствующими определениями в двумерном и трехмерном случаях, сделанными в§11ив§12.Если ортогональный базис а1, ..., ап имеет определитель |Л[ = 1 (см. (6)), то говорят, что этот базис ориентирован так же, как базис i1, ..., i". Если же |Л| = -1, то - противоположным образом. Эти определения согласуются с соответствующими определениями в двумерном и трехмерном случаях, сделанными в§11ив§12.-^к,“и, (ЮЭs—1-^к,“и, (ЮЭs—1т. е. матрица А ортогональна. Мы видим, что и, обратт. е. матрица А ортогональна. Мы видим, что и, обратЗамечание 1. В комплексном пространстве Rn матрица (8), где аы комплексные, называется ортогональной, если п^а^ = 8« ^а = т,.... п). озS=1Замечание 1. В комплексном пространстве Rn матрица (8), где аы комплексные, называется ортогональной, если п^а^ = 8« ^а = т,.... п). озS=1но, ортогональность А влечет ортонормированность векто ров а1, ..., а", определенных по формулам (7).Помножим вектор i' на а* скалярно (см. (7)):но, ортогональность А влечет ортонормированность векто ров а1, ..., а", определенных по формулам (7).Помножим вектор i' на а* скалярно (см. (7)):п= ^aks (i1, i^ = аы .s—1п= ^aks (i1, i^ = аы .s—1ОтсюдаОтсюда
О О О ... 1
О О О ... 1
Если ортогональный базис а1, ..., ап имеет определитель |Л[ = 1 (см. (6)), то говорят, что этот базис ориентирован так же, как базис i1, ..., i". Если же |Л| = -1, то - противоположным образом. Эти определения согласуются с соответствующими определениями в двумерном и трехмерном случаях, сделанными в§11ив§12.
Если ортогональный базис а1, ..., ап имеет определитель |Л[ = 1 (см. (6)), то говорят, что этот базис ориентирован так же, как базис i1, ..., i". Если же |Л| = -1, то - противоположным образом. Эти определения согласуются с соответствующими определениями в двумерном и трехмерном случаях, сделанными в§11ив§12.
-^к,“и, (ЮЭ
s—1
-^к,“и, (ЮЭ
s—1
т. е. матрица А ортогональна. Мы видим, что и, обрат
т. е. матрица А ортогональна. Мы видим, что и, обрат
Замечание 1. В комплексном пространстве Rn матрица (8), где аы комплексные, называется ортогональной, если п
^а^ = 8« ^а = т,.... п). оз
S=1
Замечание 1. В комплексном пространстве Rn матрица (8), где аы комплексные, называется ортогональной, если п
^а^ = 8« ^а = т,.... п). оз
S=1
но, ортогональность А влечет ортонормированность векто ров а1, ..., а", определенных по формулам (7).
Помножим вектор i' на а* скалярно (см. (7)):
но, ортогональность А влечет ортонормированность векто ров а1, ..., а", определенных по формулам (7).
Помножим вектор i' на а* скалярно (см. (7)):
п
= ^aks (i1, i^ = аы .
s—1
п
= ^aks (i1, i^ = аы .
s—1
Отсюда
Отсюда
= XXafts“Zr(?’?) = 2Lz-laksair^ =8=1 г=1$=1 Г=1
(123(123V = ^ (i', а*)а* = амак -
(123
(123
Таким образом, переход от базиса (а1, ..., а") к базису (i1, ..., i”) осуществляется при помощи матрицы
аи — °л1аи — °л1
аи — °л1
аи — °л1
Так как преобразования (11') обратны преобразованиям (7), то попутно показано, что ортогональная матрица Л обладает следующим свойством (в комплексном Кп\.
(16)(16)Л"1 = Л*, (ЛЗ1 - (ЛЗ* = (Л") = Л .
(16)
(16)
Из (123 следует
5« = (**, i') =5« = (**, i') =У “лХ<s=lУ “лХ<s=lУ ап«-г г=1У ап«-г г=1
5« = (**, i') =
5« = (**, i') =
У “лХ
<s=l
У “лХ
<s=l
У ап«-г г=1
У ап«-г г=1
л л л
- У У ask ari 8sr. = У ask а,s=l r=lS=1
Следовательно, равенства
n
(^, I = 1, ..., n)(^, I = 1, ..., n)8И= У^*а^
(^, I = 1, ..., n)
(^, I = 1, ..., n)
S=1
(так же, как (93) могут служить определением ортогональной матрицы Л.
На основании (14) и общих фактов, полученных в § 16 (петит), отметим матрицы, осуществляющие нижеследующие ортогональные отображения:
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Вп
A: (i1, .... И -> (я1, ...» я") (см- <7));
Л*: (я1, ..., я") -> (i1, .... i”) (см. (12'));
Л':..., х'„) -> (хр ..., х„) (см. (6) § 16);
Л: (х,х„)-> (х,1, .... x'J (см. (16)),
где (Хр .... х„) и (х'р ..., x'J - координаты произвольноговектора в комплексном пространстве Rn относительнобазиса (i1, .... i”) и ортонормированного базиса (я1, .... я").
Наконец, равенство | |Л| | = 1 в комплексном случае доказывается так:
W2 =W2 =|aj|ay|= ^ак8а185=1|aj|ay|= ^ак8а185=11 о о ... ОО 1 о ... о1 о о ... ОО 1 о ... оО О 0 ... 1О О 0 ... 1
W2 =
W2 =
|aj|ay|= ^ак8а18
5=1
|aj|ay|= ^ак8а18
5=1
1 о о ... О
О 1 о ... о
1 о о ... О
О 1 о ... о
О О 0 ... 1
О О 0 ... 1
Ортогональные матрицы называют еще унитарными
§ 18. Инвариантные свойства скалярного и векторного произведений
Замечание. В трехмерном действительном пространстве пусть заданы две прямоугольные системы координат хр х2, х3 и ^р ^2, у3 с системами ортов соответственно (г1, Р» is) и (у1, Р» /3)- Пусть
з
/* = 5L«*.ie (* - 1.» 2, 3)(1)
5=1
(ср. (7) и (13) §17. Тогда матрица (действительная!)
А - ЦехJ
ортогональна и (ср. (13) §17)
з
Hi = a/s^s G ~ 1» 2, 3).(2)
5=1
Одна и та же точка (вектор) пространства имеет в первой системе (координат) координаты (компоненты) (хр ху х^, а во второй - координаты (уп Уу у^. При этом формулы преобразования координат (перехода (хр х2, х3) к ^yv y2t #3)) в точности такие же, как формулы преобразования системы ортов (i1, i2, г3) в систему ортов (у1, у2, у3). В обоих случаях применяется одна и та же ортогональная матрица (см. (13) и (7) § 17)
А = ||aj.
В первом случае матрица А применяется к системе чисел (Хр х2> х3), чтобы получить систему чисел <yv у у у^9 а во втором та же матрица А применяется к ортам (i1, i2, i3), чтобы получить орты (у1, у2, у3).
Дадим общее определение вектора, принятое в тензорном исчислении.
Вектором в трехмерном пространстве называется вещь, выражаемая в каждой прямоугольной системе координат некоторой тройкой чисел» которые преобразуются так же (при помощи той же матрицы)» как тройки ортов соответствующих систем координат.
Подобная терминология употребляется и в случае п- мерных пространств.
Пусть а и Ъ — векторы трехмерного пространства (действительного!), определяемые в системах координат с ортами (i1, i2, i3) и (j1, /2, j3) следующим образом
а = «х, ** + «х2 У + ^3 i3 = aU1 Р + “у2 Р + “Уз Л
ъ - ЬЯ1р + ь,2 i* + 6,3 £3 = ьН1р + ьУ2 р + ьУэ р.
Имеет место равенство
зз
об = 5L°xs^e = ^ауЛг ,S=1F=1
показывающее, что скалярное произведение инвариантно относительно преобразований прямоугольных систем координат.
В самом деле, так как системы векторов (i1, i2, i3) и (р» j2, j3) ортонормированы, то они преобразуются по формулам (1), где |а J - некоторая ортогональная матрица. Компоненты вектора a (axV а^» ах^ преобразуются в компоненты (ау1, а#у а^) при помощи той же матрицы (см.(2)). Поэтому
У г У гУ г У г
У г У г
У г У г
з
(3)(3)X ах.Ьх. = <*•8=1
(3)
(3)
Мы доказали инвариантность скалярного произведения аЬ вычислительным путем. Впрочем, из другого, геометрического определения скалярного произведения векторов (направленных отрезков), в силу которого ab = И*пр^а, непосред
ственно видно, что это число есть инвариант — ведь это
140§18. ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА определение не связано ни с какой системой координат.
Что касается векторного произведения а х Ь, то оно инвариантно относительно прямоугольных систем координат с одинаковой ориентацией. В системах, имеющих орты (i1, i2, i3) и U1» Р» Р)> векторные произведения выражаются следующим образом:
[а х 6]^ ^2 ^3[а х 6]^ ^2 ^3<4 °х2 «х3^1^2^3<4 °х2 «х3^1^2^3
[а х 6]^ ^2 ^3
[а х 6]^ ^2 ^3
<4 °х2 «х3
^1^2^3
<4 °х2 «х3
^1^2^3
[а X 6]^ ^2 уЗ -[а X 6]^ ^2 уЗ -ахх °Х2 °х3^1 ^2 ^3ахх °Х2 °х3^1 ^2 ^3
[а X 6]^ ^2 уЗ -
[а X 6]^ ^2 уЗ -
ахх °Х2 °х3^1 ^2 ^3
ахх °Х2 °х3^1 ^2 ^3
В силу формул (1) и (2)
333
IL^8 ^La2s^s ^^s®8
S=1S=1S=1
333
[а х Ь]^ _2 ^3 =[а х Ь]^ _2 ^3 =^lalsax8 ^°2$°Х, ^^х, S=1S=1S=1
[а х Ь]^ _2 ^3 =
[а х Ь]^ _2 ^3 =
(4)(4)333
(4)
(4)
all a12 a13
i1 i2 i3
a21 a22 a23
= ±
*1^2 x3
a31 a32 a33
*1 x2 x3
Cls^xs °2s^xe a3s^xfi s=ls=ls=l
ax<
X1*2x3
*1x2X3
« +[ax 6]^ ^2 .3 ,
где надо поставить знак 4- или — в зависимости от того, будет ли определитель |aj равен 4-1 или -1, что все равно, меняет или нет рассматриваемое преобразование координат ориентацию.
При перемножении определителей мы в данном случае пользовались следующим правилом: элемент у^ матрицы произведения ||yj| определяется как произведение i-й строки первого определителя на к-ю строку второго (см. § 2, свойство к)).
Итак, мы доказали вычислительным путем, что векторное произведение двух векторов инвариантно относительно преобразований прямоугольных систем координат, не изменяющих их ориентацию.
Преобразования (3), (4) интересны тем, что они обобщаются на случай, когда роль вектора а играет важный в математичес
ком анализе символический вектор V —ком анализе символический вектор V —дЭХ1 ’дЭХ1 ’Э ЭЭх2 * Эх3Э ЭЭх2 * Эх3
ком анализе символический вектор V —
ком анализе символический вектор V —
д
ЭХ1 ’
д
ЭХ1 ’
Э Э
Эх2 * Эх3
Э Э
Эх2 * Эх3
§ 19. Преобразование прямоугольных координат в плоскости
Рассмотрим плоскость Е2, где задана прямоугольная система координат хр х2. Пусть
У = (1, О), t2 - (О, 1)
- орты осей хр х2. Орты i1, i2 образуют ортонормирован- ный базис в JF?2.
Произвольный единичный (нормальный) вектор 61 может быть записан следующим образом:
Ь1 = (cos a, sin a) (О < a < 2л).
Единичный ортогональный (перпендикулярный) к 61 вектор, который мы обозначим через Ь2, может соответ-
л
л
ствовать только либо углу а 4- —, либо a - —. Так как
COSCOS= -sina, sin= -sina, sin= cos a.= cos a.coscos(0 < a < 2л),(0 < a < 2л),(Г)(Г)Рис. 35Рис. 35
COS
COS
= -sina, sin
= -sina, sin
= cos a.
= cos a.
cos
cos
(0 < a < 2л),
(0 < a < 2л),
(Г)
(Г)
Рис. 35
Рис. 35
л a + —
2
= sina, sinla-^l = -cosa.
то всевозможные ортонормированные системы b1, b2 в R2 определяются либо равенствами (рис. 35)
61 = i1 cos a + i2 sin a, b2 = -iv sin a + i2 cos a
соответствующими вращению осей около начала на угол а и сохранению ориентации, либо равенствами (рис. 36)
b1 = i1 cos a + i2 sin a,
b2 = i1 sin a -t2 cos a,
соответствующими вращению осей около начала на угол а и изменению ориентации.
Оба преобразования объединяются в следующей формуле:
Рис. 36
где матрица преобразования
Л =Л =«п «21«п «21«12«22«12«22(2)(2)
Л =
Л =
«п «21
«п «21
«12
«22
«12
«22
(2)
(2)
ортогональна (сумма квадратов элементов каждой из ее строк или столбцов равна 1, а скалярное произведение двух разных строк или столбцов равно 0).
Любое определенное ортогональное преобразование (1) есть на самом деле одно из преобразований (I'), (1") при некотором а.
Из (1) в силу ортогональности матрицы (2) следует, что
(3)(3)i1 = ап6т + а21&2,
(3)
(3)
<2 = а12Ьт -а2262,
и мы получили преобразование, обратное преобразованию (1), с матрицей
сопряженной к Л.
Зададим в плоскости произвольный вектор (точку) а. Пусть он имеет в старой и новой системе координаты (хр х2) и (х'р х'2). Тогда
а = х^1 + x2i2 = х^б1 4- х'2Ь2.(4)
В силу формул (3) и (4)
х' Ь1 + х'Л? = х («„Ь1 + а21Ь2) + х2(а12У + аЬ2) =
(«11^1 "*" «12^2^ "^(«21^1 + «22*^2^ "
Поэтому, приравнивая компоненты при одинаковых ортах 61, 62, получим
(5)(5)x^ = а^ + а12х2, ^2 = «21^1 + «22^-2 •.
(5)
(5)
В силу же формул (1) и (4)
^i1 + x2i2 - sVc^r1 + a12i2) + x^j1 + a22t2) =
(^11^1 "^ ^21^ 2^ ^ 0^12^ 1 + ^22^ г)^2’
откуда, приравнивая компоненты при Ри Р, получим формулы, обратные к (5):
Хц ^anx^a21x^lх2 = a12x^ + a22x2.J
Если наряду с преобразованием (6) перенести еще начало осей х'р х'2 в точку О', имеющую координаты xt = xf > х2 s х2 , то формулы (6) усложнятся, очевидно, следующим образом:
Х1 = Х1 + all^ + a21x2’
х2 = х£ + a12x{ + a22x2.J
Итак, произвольное преобразование прямоугольных координат (хр х2) в прямоугольные координаты (я'р х'2) с переносом начала системы (хр х2) в точку (У = (xf, х£) выражается формулами (7), где матрица
||ап а21 II
И а12а22
ортогональная.
Соответствующее преобразование, сохраняющее ориентацию системы координат, имеет вид
хг = х^ + Ху cosa - х2 sin а, о , -,(7')
х2 = х2 + хг sin а + Х2 cosa
и преобразование, меняющее ориентацию, имеет вид
Xi = х? + cos a + Xo sin a,о , .,<7")
x2 = x2 + Xj sin a - x2 cos a
(матрицы коэффициентов при x\ и x'2 в (7') и (7") соответственно транспонируют (1') и (1")).
§ 20. Линейные подпространства в Rn
Множество L в Rn (L a R^ называется линейным подпространством пространства Rn или, короче, подпространством в Rn» если из того, что два каких-либо вектора х и у принадлежат к L (х, у е L), автоматически следует, что вектор ссх + ру тоже принадлежит к L (ax + Ру е L), где а, р — числа. Подпространство L называется т-мер- ным, если в нем имеется линейно независимая система а1, ..., ат, состоящая из т векторов, и нет системы, состоящей из т + 1 линейно независимых векторов.
Таким образом, если а — произвольный вектор в L (a g L), то система а1, ..., атэ а линейно зависима, т. е. существует нетривиальная система чисел X,, ..., Xm, Хт+1 такая, что
Х.а1 + ... + Хат + Хт,.а = 0.(1)
1ММ+1х z
Здесь ^ 0, иначе было бы
\ау + ... + X ат = 0,
и вследствие линейной независимости системы а1» ..., ат было бы Xt = ... = Xm = 0, и вся система Xt, ..., ХтЭ Хт+1 была бы тривиальной. Тогда уравнение (1) можно решить относительно а:
а = ща1 + ... + gmam (ц, = -X Ат+1),(2)
т. е. представить в виде линейной комбинации из векторов а1, ..., ат. С другой стороны, линейная комбинация
146§20. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В Rn вида (2) принадлежит к L, потому что L - подпространство. В этом смысле говорят, что система а1, ..., ат есть базис в L. Очевидно, любая другая линейно независимая система векторов 61, .... 6™, принадлежащих к L, есть базис в L.
Если разложить векторы 6' по векторам а1, .... ат, то получим
т
У-^Ь^а* (А = 1т\5=1
По аналогии с тем, как мы рассуждали в § 16 для Rn (где теперь надо заменить Is и а* соответственно на а8, Ь*), можно получить, что система Ь1, .... Ът линейно независима тогда и только тогда, когда определитель |bj # 0, и что любая независимая система, состоящая из I < т векторов, уже не может быть базисом в L.
Пространство Rn можно рассматривать как подпространство Rn, имеющее п измерений.
Множество, состоящее из одного нулевого вектора 0, есть линейное подпространство («0 + р0 = 0). Про него говорят, что оно имеет 0 измерений. Вектор 0 не образует линейно независимой системы — из равенства Х0 = 0, где X - число, не обязательно следует, что X есть нуль.
Если вектор х° * 0, то множество векторов вида Хх°, где X - произвольное число, есть одномерное подпространство. В качестве базиса в нем можно взять вектор х°.
Пусть L есть линейное подпространство в Rn. Будем говорить, что вектор и е Rn ортогонален к L, если он ортогонален к любому вектору и е L. Обозначим через L' множество всех векторов, ортогональных к L. L' есть подпространство. В самом деле, пусть и, о' е L', т. е.
(у, и) = 0, Vu е L;
(у', и) = 0, Vu е L.
Тогда для любых чисел а, р
(аи + Ри', и) = а(и, и) + р(и', и) = 0, Vue L,
т. е. аи + Ри' 6 U.
По определению подпространство L' g Rn называется ортогональным к данному подпространству L g Rn, если L' есть множество всех векторов, каждый из которых ортогонален к L.
Ниже доказывается теорема, выясняющая структуру произвольного подпространства L a Rn и ему ортогонального подпространства L'cIL В частности, из нее следует, что если L' ортогонально к L, то и, обратно, L ортогонально к U.
Теорема 1. Пусть L есть линейное подпространство, отличное от Rn и нулевого подпространства. Тогда;
существует целое число т, удовлетворяющее неравенствам
1 < т < п,(3)
и ортонормированный базис
а1, .... ат(4)
в L; если этот базис продолжить любым способом до ортонормированного базиса в Rn:
а1, .... ат, ат+1, ..., а",(5)
то линейное подпространство I/ с базисом
ат+х, .... а”(6)
обладает следующими свойствами:
I/ есть подпространство, ортогональное к L;
L есть подпространство, ортогональное к П;
любой вектор а е Rn можно представить в виде суммы
а = и + и,где и g L, v g П и при этом единственным образом.
Доказательство. По условию L отлично от нулевого подпространства, следовательно, в L существует вектор х, отличный от 0. Нормируя х» получим нормальный вектор
Обозначим через а2 любой, принадлежащий к L нормальный вектор, ортогональный к а1 (|а2| = 1, (а2, а1) = 0), если такой существует. Далее, обозначим через а3 принадлежащий к L нормальный вектор, ортогональный к а1 и а2 (|a3j = 1, (а3, а1) = (а3, а2) = 0), если такой существует. Этот процесс закончится на некотором zn-м этапе, где т удовлетворяет неравенствам (3), т. е. найдется ортонорми- рованная система векторов (4), принадлежащих к L, но уже не будет в L единичного вектора, ортогонального к векторам а1, ..., ат. В самом деле, т > 1, потому что заведомо a1 g L. С другой стороны, т не может быть равным п. В противном случае векторы а1, ..., ап принадлежали бы к L и вместе с ними принадлежали бы к под-
п
пространству L все линейные комбинации ^ Хк а^ и тогда к=1
получилось бы, что L совпадает с R^ но L отлично от Rn. Полученная ортонормированная система а1, ..., ат есть базис в L. В самом деле, вместе с векторами а1, ..., ат
т принадлежат к L и все их линейные комбинации ^ Хк ак.
Но больше в L других векторов нет, потому что, если допустить, что некоторый вектор a g L не есть такая
линейная комбинация, то а можно было бы записать в виде суммы
а = ^(а, а*)а* + у,(7)
*=1
где у * 0. Так как векторы а и а* принадлежат к подпространству L, то пришлось бы заключить, что вектор
т
У = а - 5/ ». а*)а*
А1
тоже принадлежит к L. Но вектор у ортогонален ко всем a8 (s = 1, ..., т) (см. §17, (4)). Пронормированный вектор
ь = Ду(8)
тоже принадлежал бы к L и был бы ортогональным ко всем ак (k = 1, ..., тп). Но это невозможно в силу максимального свойства числа т. Этим доказано утверждение а) теоремы.
Дополнение ортонормированной системы (4) до орто- нормированного базиса (5) осуществляется на основании теоремы 1 § 17. Обозначим через U подпространство всех
п
линейных комбинаций и = цл а* из векторов системы Л?=т+1
. Каждый такой вектор, очевидно, ортогонален к любому вектору и е L, который представляется в виде суммы
т
и = ^ Хк ак. С другой стороны, если a g Rn есть произ-
вольный вектор, ортогональный ко всем векторам и е L, в частности к а1, ..., ат, то его разложение по базису (5) имеет вид
па = У (а, а*)а* = У (а, а*)а*,^=1к-т+1
т. е. a g U. Мы доказали утверждение б) теоремы.
Далее, любой вектор и = У^а" е L ортогонален ко6=1
всем векторам v = У pfc a* е U и, если известно, что к—тл-Х
п
какой-либо вектор а = ^, (а, ак)ак ортогонален ко всем *=1
векторам из L', в частности к am+1, .... а", то a = ^ ( a, a*)a*, fc=i
т. е. a е L. Мы доказали утверждение в).
Наконец, если а е Rn — произвольный вектор, то его единственным образом можно представить в виде суммы
п
а = У (а, а^а* = u + V,t=i
где
*=1*=1(a, а*)а* е L, и = У (а, а*)а* е L*.
*=1
*=1
к-т*1
Этим теорема 1 доказана полностью.
Теорема 2. Пусть L есть подпространство т измерений в Rn. Тогда подпространство L' с Rn, ортогональное к L, имеет п — т измерений и при этом L есть в свою очередь подпространство, ортогональное к U.
Доказательство. Если L отлично от Rn и от нулевого подпространства, то данная теорема содержится, очевидно, в теореме 1.
Пусть L есть нулевое подпространство. Так как любой вектор а е Д ортогонален к О, то L' = Rn и измерение Rn равно п - О = п. Обратно, вектор О ортогонален ко всем векторам а е Rn = L', Других векторов, ортогональных ко всем векторам Rn, нет, потому что всякий отличный от О вектор уже не ортогонален к самому себе. Мы доказали, что L ортогонально к L'.
Если L = Rn, то рассуждаем подобным образом.
Следствие 1. Пусть задана система векторов
х1, .... хт,(9)
и пусть L' есть подпространство векторов о, каждый из которых ортогонален к векторам этой системы:
(и, х*) = О (А = 1, .... тп).
Пусть, далее, дан вектор а, ортогональный ко всем указанным векторам и, т. е. ортогональный к подпространству L'. Тогда а есть некоторая линейная комбинация из векторов заданной системы (9)
Доказательство. Рассмотрим подпространство L, состоящее из всевозможных линейных комбинаций векторов системы (9), т. е. всякий вектор и е L есть некоторая линейная комбинация
В этом случае будем также говорить, что подпространство L натянуто на векторы системы (9).
(4)(4)n2, = ^n2, = ^<ЧА h= (ж. АЧу<ЧА h= (ж. АЧу
(4)
(4)
n
2, = ^
n
2, = ^
<ЧА h= (ж. АЧу
<ЧА h= (ж. АЧу
Так как всякий вектор у е L* ортогонален к векторам системы (9), то он, очевидно, ортогонален к любому вектору и е L. Это показывает, что подпространство L' ортогонально к подпространству L. Но тогда по теореме 2 и L ортогонально к П, т. е. L состоит из всех векторов и, ортогональных к L'. По условию а есть один из таких векторов и, следовательно, а есть некоторая линейная комбинация из векторов системы (9).
§ 21, Теоремы фредгольмова типа
В этом параграфе излагается теория линейных уравнений, параллельная теории, изложенной в § 4.
Это бездетерминантная теория. В ее формулировки определитель системы уравнений явно не входит. Преимущество ее заключается в том, что она послужила основой и аналогом для многих обобщений в математическом анализе. Первые такие важные обобщения принадлежат Фредгольму1.
Мы снова рассматриваем линейный оператор (см. § 15) А
У = Ах (хе RnY(1)
приводящий в соответствие каждому вектору х е Rn вектор у е Rn при помощи равенств
У, = ^“is^s U = 1, .... л).(2)
S=1
Здесь
A = IM =
au ai2 ••• °in
(3)
°nl °n2 • - • ann
Э. И. Фредгольм (1867—1927) — шведский математик.
- заданная квадратная матрица. Оператору А соответствует сопряженный ему оператор
у = А*х (х е R^,(1*)
пределяемый сопряженной к (3) матрицей
A* =
°11 a21 “• °nl
.(3*)
^ln ^2n • • • ^nn
При помощи компонент векторов х, у он записывается в виде
п
У,- = У?^ а = 1»")■(2*>
z=i
т. е. компонента у. выражается через координаты вектора х с помощью у-й строки матрицы А* или у-го столбца
матрицы А.
Справедливо равенство
(Ах, z) = (х, A*z) Vx, z е Rn,
верное для всех х, z е Rn. В самом деле, для действительных Rn и а1е
пп
(Ах, z) = ^ylzi = 2_l X i=l i=lV$=l
В комплексном случае
nn ( n AA
(Ax, z) = ^УА = X ^V’ ^i = ХХ«Ха>я^ = y=i 7=1 Vs=i J S=1 i=1
n n
= X*-X ^ = <*>A*^-
s=l 7=1
Равенство (4) характерно для сопряженного оператора, потому что, если для некоторого линейного оператора В выполняется равенство
(Ах, z) = (х, Bz), Vx, 2 6 Rn,(5)
то необходимо В = А*. Действительно, (В = Цб(1||), для действительных oto, bla, Rn
(Ах, 2) = ^Оь*^i=l s=l* *•
s—1 i=li=l *=1
Из (5) следует, что
X X °'® XZ- = X X ^ XA V*« 2 G R„- (6> (=1 s=li=l s=l
откуда ata = bu (i, s = 1, .... n), в чем можно убедиться, если положить в (6) х = (О, ...,0, 1, О, .... О) и 2 = (0, ..., О, 1, О, ..., О), где у х единица стоит на s-м месте, а у z на i-м месте. В комплексном случае
(Ах, 2) = ХХвяхЛ.
;=i s=i
Пп п
(*, Bz) = Х^Х6^2/ - Х^ХМ; =s=l 7=1s=l 7=1
л л
= Z / Ь-;Х,2; А—4 ^М SJ 8 J , 7=1 8=1
откуда а^ = bgj или b8j = ajs.
Таким образом, сопряженный оператор А* к линейному оператору А можно также определить как такой линейный оператор, для которого выполняется равенство (4).
Равенства (1) и (1*) можно рассматривать как уравнения - задан вектор у е Rn, и мы ищем х g Rn, для которого выполняется равенство (1) или (1*).
Соответствующие однородные уравнения имеют вид
Ах = О(10)
или
^“is^s = О (i = 1, п)(20)
5=1
ИA*z - О(10‘)
или
п
^aljZl=0 0 = 1п).(20*)
1=1
Обозначим через L образ пространства Rn при помощи оператора А:
L = А(Д )
- и через L' подпространство всех векторов z, удовлетворяющих однородному сопряженному уравнению (10*).
Мы назвали U подпространством, потому что вместе с z, z' к нему принадлежат также az + pz', где а и р - числа:
A*(az + pz') = aA*z + ^AV = 0.
L есть тоже подпространство, потому что, если у, у е L, то существуют векторы х, х‘ е Rn такие, что у = Ах, у1 = = Ах', и, следовательно,
ay + Ру' = аАх + РАх' = А(ах + рх'),
т. е. ay + Ру' g L.
Справедлива лемма (см. § 20, теорема 2).
Лемма 1. Подпространства L и L' взаимно ортогональны, т. е. I/ есть множество всех векторов 2, каждый из которых ортогонален к L, a L в свою очередь есть множество всех векторов у, каждый из которых ортогонален к V. Если L имеет к измерений, то L* имеет n—k измерений.
Доказательство. Обратимся к равенству
(Ах, 2?) = (х, А* г).
верному для всех х, 2 е Rn. Пусть 2 есть вектор, ортогональный к L, тогда для него левая часть (7) равна нулю для всех х € Rn, но тогда и правая часть равна нулю для всех xg Rn, в частности для х = А* 2:
(А*2. А*2) - 0.
Следовательно, А*2 = 0. Мы доказали, что если вектор 2 ортогонален к L, то он удовлетворяет уравнению А*2 = 0 (т. е. 2 е U^.
Обратно, пусть вектор 2 удовлетворяет уравнению А*2 = 0. Для такого 2 правая часть (7) равна нулю при любых х, но тогда и левая равна нулю, т. е. 2 ортогонален ко всем векторам вида Ах, т. е. ко всем векторам у е L. Другими словами, 2 ортогонален к L.
Мы доказали, что П есть множество всех векторов 2, ортогональных к подпространству L. Но тогда на основании теоремы 2 § 20 и, обратно, L есть множество всех векторов у, ортогональных к Г, и сумма измерений L и U равна п. Лемма доказана.
Справедлива теорема.
Теорема 1. Для того чтобы уравнение
(Г)(Г)у = Лх
(Г)
(Г)
имело решение для данного вектора у е Rn, необходимо и достаточно, чтобы вектор у был ортогональным ко всем векторам й» удовлетворяющим однородному сопряженному уравнению
А*г = 0.(10*)
Решение х уравнения (1), если оно существует^ можно записать в виде суммы
х = х0 4- и,
где х0 — какое-либо частное решение уравнения (1), а и — произвольное решение однородного уравнения
Аи - 0.(10)
Любая указанная сумма есть решение (1').
Доказательство. В силу леммы 1, если L = Д(Вп), a U есть множество всех 2, удовлетворяющих уравнению А% = О, то £ и Г суть подпространства, ортогональные взаимно. Но тогда, если для у существует решение уравнения (1), то у е Ьи необходимо все a е U ортогональны к у. Если же вектор у ортогонален ко всем 2 е U, то у е L, т. е. существует х, для которого у = Ах.
Пусть теперь для вектора у существует решение уравнения (V). Обозначим его через х°:
у = Ах°.
Тогда, очевидно, сумма х° 4- и, где Аи = 0, есть тоже решение уравнения (I'):
А(х° + и) = Лх° 4- Аи = у 4 0 = у.
Обратно, если х есть произвольное решение уравнения (1')> а х° — определенное частное решение, то
у = Ах, у = Ах°,
и, следовательно,
О = Ах - Ах° = А(х - х°) = Аи» где и = х - х°, т. е. х = х° + и, где и удовлетворяет уравнению Аи = 0.
Замечание. Поясним на примере действительного пространства Н2 связь теоремы 1 с теорией Кронекера-Капелли. Пусть вектор у = (уР у2) ортогонален ко всем решениям системы
(8)(8)л1121 + л2122 — 0»
(8)
(8)
а1221 + a22z2 " ^*
Покажем, что тогда ранги матрицы А и расширенной матрицы
°11 а12 91
а21 а22 9г
равны между собой. Если ранг А * 2, то, очевидно, ранг В = 2. Пусть ранг Л = 1. Всегда ранг В > ранг Л = 1. Поэтому нам необходимо доказать, что
°п 91°12 1/1
= о Л ===а21 922а22 1/2
В самом деле, так как у ортогонален к решениям системы (8) (нетривиальным), то yxzx + у^2 = 0. Поэтому, считая, что zx ^ 0,
^анУ2 - «219, ” аП% + а21“— = ” <*П21 + а2122) = °>
^2~а12У2 ~" °22^1 " °12^2 “^ °22 “= 7 (°122! + °2222^ ~ ^"
Отсюда следует, что ранг В = ранг А = 1.
Обратно, пусть вектор у = (у,, у2) таков, что ранг В = =рангЛ, тогда (1) имеет некоторое решение (х,, х2\ Дока-
жем, что у ортогонален к решениям 2 = (2t, 22) системы (8). В самом деле,
ух2х + y2z2 - (с^х, + аг2х>г + ^а2Ххг + а22х2^22 =
— (а1121 + ct2122)x1 + (п122| + a22z2)x2 = 0 • xt + 0 • х2 = 0.
Теорема 2. Однородные уравнения
do)do)do*)do*)Ах = 0
do)
do)
do*)
do*)
А‘х = 0
имеют одинаковое число линейно независимых решений.
В частности, если одно из этих уравнений имеет только тривиальное решение О, т. е. имеет нуль независимых решений, то это верно и для другого.
Замечание. В последнем случае уравнение (1) имеет единственное решение.
Доказательство. Матрицы А и А* имеют один и тот же ранг, который обозначим через к. Они имеют также один и тот же определитель А.
Если к = п, то А ^ 0 и уравнения (10) и (10*) имеют только тривиальные решения 0. В этом случае, согласно теореме 1, уравнение (1) имеет единственное решение при любых у е Rn.
Пусть теперь 1 < к < п. После соответствующей перенумерации уравнений и компонент определитель
аи • - • °1 а
* 0.
ак1 • • • акк
Первые к уравнений (1°) теперь запишем в виде
°i А +•.. + а1кхк — ^i^+i^^+i • • • а^, I '(9)
«Nl^l + •- + аккхк = -^к.к^М ~е ~ акпХп'
Ниже приводится таблица п — к векторов
X1 = (xj, .... х^, 1, 0,.... 0),
X2 = (xf,.... х2, 0, 1, О .... 0),
хп-А=(хГЛ....х;Г*,0,...,0,1),
Чтобы получить первый вектор, подставляем в систему (9) ^t+i = 1> хкл,2 — 0, ..., хп — О
и решаем ее относительно xv ..., хк. Единственные решения, которые здесь получаются, обозначим через xj* ..., xj. Чтобы получить второй вектор, подставляем в (9)
х^+1 = 0, хкл,2 — 1, х^3 = О, ..., хп — О
и находим числа х^ > •••» хк и т. д. Векторы (10) обладают следующими свойствами.
Система векторов (10) линейно независима, потому что ранг матрицы этих векторов равен числу этих векторов ц = п - к.
Каждый вектор системы (10) есть решение (любых!) уравнений (20) или Ах = 0.
Всевозможные решения уравнения Ах = 0 имеют ВИД
Xtxl + ... + Хп_кх^\
где Xv ...» Хп_к - произвольные числа.
Обычно эти три утверждения заменяют словами: уравнение (10) имеет п - к линейно независимых решений.
Подобными рассуждениями, учитывая, что ранг А = —ранг А*, доказываем, что уравнение А*х = 0 тоже имеет п-к линейно независимых решений. Теорема доказана.
Теорема 3. Если одно из однородных уравнений (10) или (10*) имеет к линейно независимых решений, то и другое имеет к линейно независимых решений; образы же L = AKR^ uU = A*VR^ пространства Rn> получаемые при помощи операторов А и А*, суть подпространства п — к измерений.
Доказательство. Первое утверждение теоремы о равенстве количеств линейно независимых решений однородных уравнений (10) и (10*) есть теорема 2, а второе - есть лемма 1, в силу которой измерение подпространства L равно п — к, где к - измерение подпространства U векторов 2, удовлетворяющих уравнению А* 2 = 0. Аналогично измерение L* равно п - к, где к — количество измерений подпространства векторов и, удовлетворяющих уравнению Аи = 0.
§ 22. Самосопряженный оператор. Квадратичная форма
Линейный оператор
Ук = Х°«х' ^к = 11 "’* п) С1)
или, коротко,
у = Ах (х е Rn, у е RJ(2)
называется самосопряженным, если он равен своему сопряженному (А = А*), т. е. если
6 Бугров. Т. 1
Ах = А*х Vx g Rn,(3)
иначе говоря, если матрица А симметрическая:
ам = аи (^ 1 ^ ^ -, ")(4)
(см. (3) и (3*) § 21). Мы считаем ак1 и Нп действительными (см. ниже замечание 1).
Для самосопряженного оператора имеет место характерное равенство
(х, Az) = (Ах, г) Vx, z е Rn
(см. § 21, (4)). Очевидно, п пп п
(х, Ах) = ^^а^0*/^/ = ^^“и^А^г (аы = а1к\ (4') Л=1Z=1A=1Z-1
Выражение справа в (4') называется квадратичной формой п-го порядка. Это непрерывная функция от вектора х или, что все равно, от переменных хр ..., хп.
Будем рассматривать эту функцию на множестве S значений х, имеющих единичную норму (|х| = 1). Множество S есть сфера в Rn радиуса 1 с центром в точке 0. S — ограниченное множество. Кроме того, оно замкнуто х): если точки последовательности (xv) (v = 1, 2, ...) принадлежат к S (т. е. |xv| = 1, v = 1, 2,...) и эта последовательность стремится к некоторой точке х° g Rn (xv —> х°, v -> сю), то неминуемо х° g 8, т. е. |х°| = 1, потому что |1 ~|х°|| = Ц - |х°|| < |xv - х°| -> 0, откуда |х°| - 1.
Найдем максимум квадратичной формы (4') на сфере S. Так как форма (4') есть непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве, то максимум ее на 8 достигается для некоторого единичного вектора х1 (|х*| = 1). Обозначим этот максимум через Хр
X, = (Ах1, х1) > (Ах, х) Vx : |х| = 1.(5)
Введем подпространство U^ ортогональное к вектору х1, т. е. множество всех векторов и, каждый из которых
ортогонален к х1. В U возьмем произвольный единичный вектор v° (|и°| = 1). Вектор
cos а • х1 + sin а • и0
зависит от а и имеет единичную норму |cos а • х1 + sin а • v°| =
= (cosa-x1 + sin а-и0, cosa-x1 + sina-v°)1/2 =
= (cos2a 4- sin2a)1/2= 1.
При a = 0 этот вектор обращается в х1. Но тогда функция
y(a) — (A(cos a • х1 + sin a • v°), cos a • xl + sin a • u°) достигает своего максимума в точке a = О (у(0) = (Ах1, х1)) и в силу необходимого условия экстремума
х/(0) = 0.
Вычислим эту производную. Имеем
y(a) = cos^Ax1, х1) + sin2a(Ax1, и0) + sin2a(Au°, и0).
Следовательно,
\/(a) = -sin2a(Ax\ х1) 4- 2cos2a(AxI, и0) + sin2a(Av°, v°) и
1/(0) = 2<Ах\ v°) = 0.
Мы получили, что вектор Ах1 ортогонален ко всем единичным векторам и0 g L\ следовательно, и к любым векторам d g U. Но тогда Ax1 отличается от х1 лишь множителем (см. следствие 1 в конце § 20), т. е.
Ах1 = Хх1,
где X — некоторое число.
Из первого соотношения (равенства) в (5), учитывая, что |хт| — 1, следует
См. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление*, § 8.12.
6*
X, = (Хх1, X1) = X.
Таким образом, мы доказали, что максимум квадратичной формы (4') на единичной сфере |х| = 1 достигается в некоторой точке х1,
max (Ах, х) = (Ах1, х1) = X,.
Н=1
При этом
Ах1 = Х,х‘,|х‘| = 1.
Мы видим, что нетривиальный (не равный нулю) вектор х1 отображается при помощи оператора А в вектор Х^1, ему коллинеарный.
Такой вектор называется собственным вектором оператора А, а число Xj — принадлежащим этому вектору собственным значением.
Будем теперь рассматривать оператор А на подпространстве R1, определяемом как множество векторов х (е RJ, ортогональных к вектору х1 (выше мы его обозначали через Ь'У R1 есть (п — 1)-мерное подпространство - в нем имеются ортонормированные базисы, состоящие из п — 1 векторов. Цель наша заключается в подыскании одного такого базиса, как мы увидим, естественно связанного с оператором А.
Важно подчеркнуть, что образ А(/?1) подпространства R1 при помощи оператора А принадлежит к R1, потому что, если (х, х1) = О, то
(Ах, х1) = (х, Ах1) = (х, XjX1) = Х,(х, х1) = О,
т. е. Ах е R1.
Самосопряженность оператора А на R1 тривиальным образом сохраняется, потому что равенство
(Ах, у) = (х, Ау),
верное для всех х, у е Rn, верно также для всех х, у е R1.
Итак, мы теперь рассматриваем самосопряженный линейный оператор А на линейном подпространстве R' измерения п - 1. К нему можно применить приведенные выше рассуждения и обнаружить в R' существование единичного вектора х2 такого, что
max (Ах, х) = (Ах2,х2) = Х2 < Хг
1*1=1|*2|=1
(*,*5=0(х2 ,х5=0
Дело в том, что единичная сфера S1 в R' определяется, очевидно, как множество единичных векторов х, ортогональных к х1. При этом
Ах2 = Х2х2.
Мы нашли второй собственный вектор оператора А — вектор х2 и принадлежащее к нему собственное значение Х2, очевидно, не превышающее Xj (при уменьшении области рассмотрения максимум может только уменьшиться). При этом (х1, х2) = 0.
Подобным образом можно ввести подпространство R2, измерения п - 2, ортогональное к векторам х1 и х2, показать, что оператор А отображает R2 в R2 и определить третий единичный вектор х3, ортогональный к х1 и к х2 такой, что для него имеет место
max (Ах, х) = (Ах3, х3) = Х3 (*,х5=0,(*.*2)=0
И
Ах3 = XgX3 (Х3 < Х2 < X,).
Продолжив этот процесс по индукции до n-го вектора х", мы получим ортонормированную систему векторов
х1, х2 х"(6)
и систему действительных чисел
(7)(7)^1> ^2’ ••'• \>
(7)
(7)
обладающих свойствами
Ахк =Хкхк (k = 1,...» п)Ахк =Хкхк (k = 1,...» п)(8)(8)
Ахк =Хкхк (k = 1,...» п)
Ахк =Хкхк (k = 1,...» п)
(8)
(8)
Мы получили полную систему собственных векторов оператора А и принадлежащих им собственных значений. Так как ортонормированная система (6) принадлежит к Яп и состоит из п векторов, то она есть базис в Rn (см. § 17). Поэтому произвольный вектор х е Rn можно разложить по этой системе:
п
(9)(9)X = У ( X, х^х*.
(9)
(9)
к=1
Тогда наш самосопряженный оператор А может быть записан следующим образом:
лX ^к (*. х^х*'. (10)Л=1лX ^к (*. х^х*'. (10)Л=1Мы доказали теорему.Мы доказали теорему.
л
X ^к (*. х^х*'. (10)
Л=1
л
X ^к (*. х^х*'. (10)
Л=1
Мы доказали теорему.
Мы доказали теорему.
Теорема 1. Самосопряженному оператору А в пространстве Rn соответствует ортогональная система векторов х1,..., хп (базис R^ и система действительных чисел, Хр .... ХЛ такие, что Ах для любого х g Rn представляется в виде суммы (10).
Квадратичная форма (4х) соответственно записывается следующим образом:
\А=1S=1V\А=1S=1Vп
\А=1S=1V
\А=1S=1V
Xs (х, х')=. (4")
S=1
На практике часто мы исходим из некоторой квадратичной формы
п п
X X °ы x»xi ^М = аи)-<4')
Л=1 1=1
Чтобы применить к ней полученные результаты, можно определить в связи с ней линейный оператор
У = Ах, определяемый равенствами
У, = ^ачх) ^ 5=2 Т> — п^ /=1
В силу условия ак1 = а1к это самосопряженный оператор, и к нему применима теорема 1. На языке квадратичной формы теорема 1 может быть переформулирована следующим образом.
Теорема2. Пусть задана квадратичная форма (4') в п-мерной системе координат xv ..., хп пространства Rn
ппс ортами i1.с ортами i1.х = ^ ^х = ^ ^. Существует прямоуголь-. Существует прямоуголь-
п
п
с ортами i1.
с ортами i1.
х = ^ ^
х = ^ ^
. Существует прямоуголь-
. Существует прямоуголь-
k=i
, и сис, и сисная система координат ^, ..., с ортами х1, ..., хл.
, и сис
, и сис
образующими ортогональный базис
тема действительных чисел Хр .... Хп такие, что квадратичная форма (4') в этой системе есть сумма квадратов координат £s вектора х, помноженных соответственно на числа Xs:
п Пп
(4П(4ПX Xaki xkxi= xs^s •k=l 1=1s=l
(4П
(4П
А =А =
А =
А =
Переход от левой части (4"') к правой можно осуществить, если известны разложения векторов х1, .... хп по ортам i1,i". Пусть
S=1
(см. §17, (7), где надо заменить ajs, ак соответственно на Рул, х'). Так как i1, ..., i” и х1, .... хп - ортонормированные базисы в Rn, то матрица
Л = IIPJ
ортогональная. Мы считаем, что она известна. Один и тот же вектор х можно разложить по двум базисам:
- 1^.
8=1/ = 1
Но тогда
7=1/=1 s=ls=l\J=l ,
и в силу линейной независимости системы i1, .... in получим
^ = <s = !. — ")-(И)
у=1
Таким образом, переход от координат ^р ..., ^п к координатам xv .. , хп осуществляется посредством матрицы Л', транспонированной к Л (т. е. с помощью строк матрицы Л' или столбцов матрицы Л).
Если подставить выражения (11) для xg в левую часть (4"'), то должны получить правую. Запишем это равенство:
ЁХ«„£м,Ёра - ШеД^^Н -
*=1Z=11=11=1/=1 i=l *=1\1=17
= 1хй . It
8=1V = 1 i = 1
(О, у * i,
где 8у, = ц у - i ~ символ Кронекера.
Если приравнять коэффициенты при одинаковых Ь,^
то получим равенства
л=1 kz=i 7л=1 kz=i 7О, j = 1, .... n).О, j = 1, .... n).
л=1 kz=i 7
л=1 kz=i 7
О, j = 1, .... n).
О, j = 1, .... n).
которые можно трактовать следующим образом (см. § 15, (6)). Для матрицы
^ = ИПы11 ^ам = at^
самосопряженного оператора А существует ортогональная матрица
Л - IIPJ
такая, что
Л-А-Л1 = А,(12)
где Я - некоторая диагональная матрица
Хт 0 0...0
О %! 0...0
(13)
о о о...хг
(X. - действительные числа), называемая канонической.
Отметим, что для ортогональной действительной матрицы Л
Л"1 = Л'.
Так как определители ортогональных матриц |Л| = = |A-1| = ±1, то из (12) следует
П^ = |Я| = |Л|-|А|-М = |Д|.(14)
1=1
Мы доказали, в частности, следующую теорему.
Теорема 3. Если определитель |Д| самосопряженной матрицы А не равен нулю ([А] * 0), то все ее собственные числа Хр ..., Хл не равны нулю (Х; * 0, j = 1, .... п).
Из теоремы 2 следует, что
Если X, > ... > Хл > 0, то квадратичная форма положительная для любых векторов ^ * 0, а следовательно, и любых векторов х * 0. В этом случае она называется строго положительной.
Если 0 > X, > Х2 > ... > Хл, то форма отрицательная для любых ^ * 0, следовательно, и любых х * 0. В этом случае она называется строго отрицательной.
Если Xt > ... > Хл и Хл = 0, то форма неотрицательная. Существует направление, (ось ^л), вдоль которого она равна нулю. Это положительная форма, но не строго.
Если Xt = 0 > Xj > ... > Хл, то форма отрицательная не строго.
Если Xj > 0, а Хл < 0, то форма неопределенна. Если исключить нулевую точку, то вдоль оси ^ она положительная, вдоль же оси ^л — отрицательная.
Оказывается, что по виду матрицы |[А||, по знаку некоторых порождаемых ею определителей можно узнать, будут ли ее собственные числа все положительные, все отрицательные или среди них есть как положительные, так и
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР 171 отрицательные. В этом заключается теорема Сильвестра1.
Составим ряд главных миноров квадратичной формы (Ах, х):
а11 ■•• °1и
“11 ’ Д2“11 ’ Д2аи°21аи°21°12°22°12°22.-, д„.-, д„аЛ1 ... аппаЛ1 ... апп
“11 ’ Д2
“11 ’ Д2
аи
°21
аи
°21
°12
°22
°12
°22
.-, д„
.-, д„
аЛ1 ... апп
аЛ1 ... апп
Согласно теореме Сильвестра, которую мы не доказываем, имеют место следующие утверждения:
Если А, > О, Д2 > О, .... Дл > 0, то форма строго положительна (случай 1)).
Если Д, < О, Д2 > О, Д3 < 0, „., (-1)"Дп > О, то форма строго отрицательная (случай 2)).
Если Д, > О, Д2 > О, .... Дл > О или
А, < 0, д2 > 0, .... (—1)пДп > о
и имеется у, при котором Д; = 0, то форма заведомо не строго определенна.
Во всех остальных случаях квадратическая форма неопределенна.
Замечание 1. Если Дл - комплексное пространство, а ан = а1к — по-прежнему действительные числа, то рассуждения, приведенные выше, мало отличаются. Формула (4') теперь записывается так:
п пп п
(х. Ах) = ^xk^akixi = ^l^laHxkxi .
*=1Z=1к=11=1
Число (х, Ах) остается действительным, потому что
п пп пп п
(х,Ах) = £X«hVz = ^Ха№хкх1 = ££“^5 =
*=1Z=1к=11=1к=11=1
Дж. Дж. Сильвестр (1814-1897) - английский математик.
= (х, Ах).
Это показывает, что приведенные выше факты (формулы (4')-(10)) остаются неизменными, в частности числа Хг ...» Хп и в случае комплексного Rn действительны. Теорема 1 полностью сохраняется для комплексного Rn. Формула (4") теперь имеет вид
п
(х, Ах) = ^ X, 1<х’ х$)12’
S=1
т. е. теперь уже квадраты чисел (х, Xs) надо заменить на квадраты их модулей. Формула (4'") теперь уже выглядит следующим образом:
"п
= £w.
*=n=iS=1
а в остальном теорема 2 остается в силе.
Замечание 2. Отметим, что действительность собственных значений самосопряженного линейного оператора А и Rn (действительном или комплексном) можно доказать следующим образом. Пусть X — собственное значение оператора А и х° (|х°| = 1) - принадлежащий к нему собственный вектор. Так как Ах° = Хх°, то
X = Х(х°, х°) - (Хх°, х°) = (Ах% х°) = (х°, Ах°) -
= (х°, Хх°) = X (х% х°) = X.
Ортогональность собственных векторов оператора, при надлежащих разным собственным значениям, тоже можно доказать непосредственно.
В самом деле,
Ах1 = Х^1, Ах2 = Х2х2
(lx1! = 1, И - I, xt * Х2), тогда
Х,(х*, х2) - (Х^1, х2) = (Ас1, х2) = (X1, Ас2) =
= (х1, Х2х2) = Х2(х\ х2) = Х2(х1, х2).
Так как X, * Х2, то (х1, х2) = 0.
§ 23. Квадратичная форма в двухмерном пространстве
При п = 2 квадратичная форма имеет вид
°11^12 + °12^1^2 + ^l^^l + а22Х2
= а11%12 + 2о12^1^2 + ^22*^2 ’^^
так как а12 = а21 (мы считаем аы действительными).
Чтобы привести форму (1) к сумме квадратов координат вектора (^ Q в некотором базисе (х1, х2), надо (см. §22) найти базисные орты х1, х2 — собственные векторы самосопряженного оператора А^ порожденного симметрической матрицей
«и°21«и°21а12а22а12а22
«и
°21
«и
°21
а12
а22
а12
а22
Укажем способ нахождения собственных значений (чисел) и собственных векторов оператора А, отличный от метода §22.
Итак, если Хо - собственное число оператора А и х° = =( х(0), x(0) ^ Q _ соответствующий ему собственный вектор, то
А^ = Хох°.
Перепишем это уравнение в координатной форме:
(“11 - ^о)^ +“12х20) = °.
“21Х10> + (“22 * Х0 ^^ = °-' “ ’
или в операторной форме:
(А - Х0Е)х° - 0,(2')
где Е — тождественный оператор.
Таким образом, однородная система (2) имеет ненулевое решение х°, что может быть, если определитель системы (2) или (2') равен нулю:
“11 ~ ^о“12“11 ~ ^о“12“12“22 "~ ^0“12“22 "~ ^0= |А - X0Ej = 0.= |А - X0Ej = 0.
“11 ~ ^о“12
“11 ~ ^о“12
“12
“22 "~ ^0
“12
“22 "~ ^0
= |А - X0Ej = 0.
= |А - X0Ej = 0.
Итак, собственное число Хо является корнем уравнения
|А - Х0Е| = 0,(3)
которое называется характеристическим уравнением оператора А (или квадратичной формы (Ах, х)).
Верно и обратное утверждение. Если Хд является корнем уравнения (3), то нетривиальное решение системы
(А - Х0Е)х - 0(4)
будет собственным вектором самосопряженного оператора А. Следовательно, собственные числа оператора А находятся в данном случае как корни квадратного уравнения (3):
(“|1 — ^)(“22 — ^) ~ “12^’
X2 (Яц + °22^ "*" “11“г2“12^"
Решая это уравнение, получаем
^1 - о “11 + “22^1 - о “11 + “224“i2 + (“и -“гг)24“i2 + (“и -“гг)2
^1 - о “11 + “22
^1 - о “11 + “22
4“i2 + (“и -“гг)2
4“i2 + (“и -“гг)2
(5)(5)
(5)
(5)
^2 ~ 2 °И + “22 ~ V^“12 + (“11 - “22 )2
Отсюда видно, что Xt > Х2, при этом X, = Х2 в случае а12 = О, аи = а22. Будем для определенности считать, что аи > а22 (иначе меняем xt на х2 и х2 на xj. Тогда
\ — оп^1 ~~ ап = ^ t V^5^H“i7^“22)^ — (°и — °2г)1 — ®)-
Из (5) следует, что собственные значения оператора А ^самосопряженного^ — действительные числа.
Теперь по известным собственным числам X, и Х2 найдем собственные единичные векторы, как решения системы (4). Так как [А - Х^ = 0, то
ранг (А - Х,Е) < 1.
Если Xj = Х2, то в этом случае матрица А — ХхЕ состоит из одних нулей (X, = Х2 = аИ = а22, а12 = 0), т. е. ее ранг равен нулю. В этом случае квадратичная форма уже приведена к сумме квадратов (а12 = а21 = 0). Системе (4) удовлетворяет любой вектор х = (хр х^. Поэтому за собственные векторы можно взять орты системы координат х1 = = i = (1, 0), х2 = j = (0, 1). Любая другая система (х1, х2) ортонормальных векторов обладает тем свойством, что в этой системе квадратичная форма по-прежнему состоит из одних квадратов.
Теперь, если X, > Х2, то либо а12 * 0, либо а12 = 0, аи * °22- Второй случай можно не рассматривать, так как форма (1) уже приведена к сумме квадратов. Итак, пусть а12 * 0. Тогда
ранг (А - ХхЕ) = 1.
Поэтому достаточно рассмотреть одно уравнение системы (4):
(an - Х^ + а12х2 - 0.
Отсюда имеем (а12 * 0)
^2 — К”#11 ^ ^i)/^^!^!*
Вектор
является решением системы (4). Нормируя этот вектор, получим собственный вектор
^'«)= ^ =
Проводя элементарные преобразования, можно получить равенства
я™ = ±^~ “^ 74ai2 + (“и - “гг)2 >
•/,-[(6)
Ж(У = ±.а8^2 ^1 - (аи _ а22)/д/4^2 +(а11-а22)2 .
В дальнейшем достаточно брать в формулах (6) знак +. Совершенно аналогично по собственному числу Х2 найдем собственный вектор х2. Оказывается, что
х2 = (х*2*, х® ) = (- х21 , xj”).
Составим теперь матрицу оператора (ортогонального
преобразования) Л, переводящего орты (i, /) в орты (х*, х2):
yd) yd)
*2
_rd) r(Dх2 xt_rd) r(Dх2 xtЛ =m
_rd) r(Dх2 xt
_rd) r(Dх2 xt
(в строках стоят координаты образов базисных ортов i и j при помощи Л, т. е. х1 = х"’ * + х*” j, х2 = - х™ i + х,*1* /). Тогда координаты вектора (х,, х2) в системе (i, j) связаны с координатами (^, ^2) этого вектора в системе (х1, х2) с помощью столбцов матрицы Л:
Xi = х»^ — х^^г,
^2 = ^^i+^i^-J(7)
Подставляя эти значения в квадратичную форму (1) и учитывая формулы (5) и (6), получим
^п^ + 2а12х1х2 + а22х2 — Х1^| + Х2 ^2.(8)
Правая часть этого равенства называется каноническим. видом квадратичной формы.
Если числа Xj и Х2 одного знака, то будем говорить, что квадратичная форма принадлежит эллиптическому типу, если Xj и Х2 разных знаков, то гиперболическому типу; если же одно из чисел Хх или Х2 равно нулю, то параболическому типу.
Из (5) видно, что Х,Х2 = аиа12 - af2 - Поэтому тип формы
можно определить по знаку выражения аИа22 — а22. Квадратичная форма будет эллиптической, гиперболической или параболической, если выражение апа22 - af2 соответственно больше, меньше или равно нулю.
Пример 1. Привести к каноническому виду форму х2 - Vs х,х2 + 2 х2.
Vs
В данном случае аИ = 1, о12 = ——, а22 = 2. Так как
кой. Найдем собственные векторыкой. Найдем собственные векторыи их собственные зна-и их собственные зна-формулам (5), (6):формулам (5), (6):чения почения полилиДалее,Далее,.2.2В системе (х1, х2)В системе (х1, х2)наша квадратичная форма имеет виднаша квадратичная форма имеет вид= cos= cosто преобразование сто преобразование спомощью матрицыпомощью матрицыА =А =,2,2/3 2/3 2121252 ‘52 ‘2 ’2 ’1^2 "1^2 "может служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую.может служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую.у2 = 2рх (р > О)у2 = 2рх (р > О)с центром в начале координат и радиусом а. 2) Уравнение гиперболыс центром в начале координат и радиусом а. 2) Уравнение гиперболыллУз 1 2’2 ’ Х2 =Уз 1 2’2 ’ Х2 =„О)„О)24.2. Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка. Перечислим шесть важнейших частных случаев общего уравнения (1):1) Уравнение эллипса24.2. Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка. Перечислим шесть важнейших частных случаев общего уравнения (1):1) Уравнение эллипса§ 24. Кривая второго порядка§ 24. Кривая второго порядка^р21 р22 Ь1 + 2 ^2 •^р21 р22 Ь1 + 2 ^2 •означает поворот системы х,, х2 на угол а = л/3 около начала координат по часовой стрелке (см. пример 1 в конце § 16).означает поворот системы х,, х2 на угол а = л/3 около начала координат по часовой стрелке (см. пример 1 в конце § 16).(х1 = (х»’, х”), X2(х1 = (х»’, х”), X22 _ о 35°и°22 ~ 012— >0, то форма будет эллиптичес-2 _ о 35°и°22 ~ 012— >0, то форма будет эллиптичес-с полуосями длины а и 6. В частности, при а = Ь уравнение окружностис полуосями длины а и 6. В частности, при а = Ь уравнение окружностиО)О)2 ’2 ’х2 у2х2 у2=1ka>b>0^=1ka>b>0^а bа bс полуосями а и Ь.3) Уравнение параболыс полуосями а и Ь.3) Уравнение параболыго V3 .хУ = —= sinго V3 .хУ = —= sinТак как хУ = —■ 12Так как хУ = —■ 12yd)„(1)yd)yd)yd)„(1)yd)yd)X2 + у2 = —1X2 + у2 = —1Общее уравнение кривой второго порядка. В плоскости, в некоторой прямоугольной системе координат х, у, пусть задана кривая, определяемая неявно уравнением второй степени
кой. Найдем собственные векторы
кой. Найдем собственные векторы
и их собственные зна-
и их собственные зна-
формулам (5), (6):
формулам (5), (6):
чения по
чения по
ли
ли
Далее,
Далее,
.2
.2
В системе (х1, х2)
В системе (х1, х2)
наша квадратичная форма имеет вид
наша квадратичная форма имеет вид
= cos
= cos
то преобразование с
то преобразование с
помощью матрицы
помощью матрицы
А =
А =
,2
,2
/3 2
/3 2
1
2
1
2
5
2 ‘
5
2 ‘
2 ’
2 ’
1^
2 "
1^
2 "
может служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую.
может служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую.
у2 = 2рх (р > О)
у2 = 2рх (р > О)
с центром в начале координат и радиусом а. 2) Уравнение гиперболы
с центром в начале координат и радиусом а. 2) Уравнение гиперболы
л
л
Уз 1 2’2 ’ Х2 =
Уз 1 2’2 ’ Х2 =
„О)
„О)
24.2. Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка. Перечислим шесть важнейших частных случаев общего уравнения (1):
1) Уравнение эллипса
24.2. Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка. Перечислим шесть важнейших частных случаев общего уравнения (1):
1) Уравнение эллипса
§ 24. Кривая второго порядка
§ 24. Кривая второго порядка
^р21 р2
2 Ь1 + 2 ^2 •
^р21 р2
2 Ь1 + 2 ^2 •
означает поворот системы х,, х2 на угол а = л/3 около начала координат по часовой стрелке (см. пример 1 в конце § 16).
означает поворот системы х,, х2 на угол а = л/3 около начала координат по часовой стрелке (см. пример 1 в конце § 16).
(х1 = (х»’, х”), X2
(х1 = (х»’, х”), X2
2 _ о 35
°и°22 ~ 012— >0, то форма будет эллиптичес-
2 _ о 35
°и°22 ~ 012— >0, то форма будет эллиптичес-
с полуосями длины а и 6. В частности, при а = Ь уравнение окружности
с полуосями длины а и 6. В частности, при а = Ь уравнение окружности
О)
О)
2 ’
2 ’
х2 у2
х2 у2
=1ka>b>0^
=1ka>b>0^
а b
а b
с полуосями а и Ь.
3) Уравнение параболы
с полуосями а и Ь.
3) Уравнение параболы
го V3 .
хУ = —= sin
го V3 .
хУ = —= sin
Так как хУ = —■ 12
Так как хУ = —■ 12
yd)„(1)
yd)yd)
yd)„(1)
yd)yd)
X2 + у2 = —1
X2 + у2 = —1
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О, (1) где А, В, С, D, Е, F — заданные действительные числа. При этом числа А, В, С одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка. На самом деле может случиться, что нет вовсе точек (х, у) с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (1). В этом случае говорят, что уравнение (1) определяет мнимую кривую второго порядка. Мы не будем изучать мнимые кривые. Уравнение
22
^ + ^ = 1 (а, Ь > О)а b
Уравнение пары пересекающихся прямых а2х2 - Ь2у2 = 0 (0 < а, 6).
Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых
х2 — а2 = 0 (а £ 0).
Уравнение, определяющее точку, х2 + у2 = 0.
Остановимся вкратце на перечисленных кривых. Эллипс
—U>b>^Y(2)
а b
При а = b эллипс (2) обращается в окружность радиуса а с центром в начале координат, т. е. геометрическое место точек, отстоящих от начала на расстоянии а.
Пусть а> Ь. Положим с = ^а2 _ ^2 . Отметим на оси х точки Fp F2, имеющие абсциссы х = -с и х = с. Это фокусы эллипса. Эллипс (2) можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний которых до фокусов Fv F2 есть величина постоянная, равная 2а.
В самом деле (рис. 37),
MFt = ^x-^-cf-v у2\ MF2 - /(х - с)2 + у2 ,
2а = ^х + с)2 + у2 + ^х — с)2 + у2 , откуда
2а - ^х + с)2 + у2 = 7(^ - с)2 + У2
И
4а2 + (х + с)2 + у2 - 4а ^х + с)2 + у2 = (х - с)2 + у2.
4а2 + 4сх = 4а J(x + с)2 + у2 ,
а2 4- 2а2сх 4- с2х2 = а2[х2 + 2сх 4- с2 4- у2],
-Ъ2х2 = —а2Ъ2 4- a^y2^
а2Ь2 = Ъ2х2 4- а2 у2,
откуда следует уравнение (2). Если проследить эти выкладки в обратном порядке, то получим, что если точка (х, у) удовлетворяет уравнению (2), то сумма ее расстояний до Fj и F2 равна 2а.
Если в уравнении (2) заменить х на -х» то оно не изменится — это показывает, что эллипс (2) есть кривая, симметричная относительно оси у. Аналогично эллипс (2) симметричен относительно оси х, потому что его уравнение не изменяется при замене у на —у. Но тогда достаточно изучить его уравнение в первой четверти (системы координат), т. е. для х, у > О. Часть эллипса, находящаяся в первой четверти, определяется уравнением
У = -Va2 -х2 (О < х < а), а
Из этого уравнения видим, что наш эллипс проходит через точки (0, 6) и (а, 0). При этом его ордината у при непрерывном возрастании х на отрезке [0, а] непрерывно убывает.
Эллипс — ограниченная кривая. Он находится внутри круга радиуса а с центром в начале координат (для координат любой точки эллипса (х, у) имеет место неравенство
х2 -Ь у2 < а2х2 -Ь у2 < а2= а2.= а2.
х2 -Ь у2 < а2
х2 -Ь у2 < а2
= а2.
= а2.
Из рис. 37 мы видим, что эллипс есть непрерывная замкнутая кривая. В первой четверти это выпуклая вверх
кривая. В любой ее точке можно провести касательную1. Все эти свойства и многие другие могут быть с успехом изучены методами математического анализа, который к тому же дает средства для точного определения высказанных выше понятий — непрерывность, выпуклость и т. д.
Уравнение эллипса можно записать еще в параметрической форме
(—©О ■< 0 ^ °°).(—©О ■< 0 ^ °°).(3)(3)х = a cos 6,у — b sin 6,
(—©О ■< 0 ^ °°).
(—©О ■< 0 ^ °°).
(3)
(3)
В самом деле
х2х2а2а2У2Ь2У2Ь2= cos26 + sin26 = 1,= cos26 + sin26 = 1,
х2
х2
а2
а2
У2
Ь2
У2
Ь2
= cos26 + sin26 = 1,
= cos26 + sin26 = 1,
т. е. точка (х, у), определяемая равенствами (3) при любом 6 принадлежит эллипсу (2). Если 6 непрерывно пробегает полуинтервал [0, 2л), то точка (х, у) описывает полный эллипс. При дальнейшем возрастании 6 движение периодически повторяется.
Выясним смысл параметра 6 и попутно укажем способ построения эллипса (рис. 38). Проведем две концентрических
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», §4.2.
Рис. 38
окружности радиусов Ъ и а (Ъ < а) с центром в точке О. Затем проведем радиус-вектор под углом 6 к оси х и обозначим его точки пересечения с окружностями радиуса Ъ и а соответственно Т и N, Из точки N проведем прямую, параллельную оси у, а из точки Т — прямую, параллельную оси х. Точка пересечения этих прямых М принадлежит эллипсу. В самом деле, пусть х — абсцисса точки М, ay — ордината этой точки. Тогда (см. рис. 38)
х = ON • cos 6 = а cos G,
у = ТЕ = ОТ-sin 0 = b sin 6,
т. e. точка M действительно находится на эллипсе (3) и параметр 6 есть угол между осью х и лучом ON. Отметим, что 6 не является полярным углом ср, который образует радиус-
Ь
вектор ОМ с осью х (tg <р = —tg 0). Например, если ср = к/4, а
а — Vs , b = 1, то G = к/3; если <р = 0, то 6 = 0; если <р = к/2, то 6 — к/2.
Рис. 39
Гипербола
х2 у2 .
—= 1 (О < а, by(4)
а о
Положим с = -Ja^ + b2 и отметим на оси х точки Fx и F2 — фокусы гиперболы (4), имеющие абсциссы х = — с и х = с (рис. 39).
Гипербола (4) может быть определена также как геометрическое место точек А = (х, у), разность расстояний которых до фокусов Fx и F2 есть величина постоянная, равная 2а.
Имеем (см. рис. 39)
AFX - AF2 = ^x + cf+y2 - ^х-с^+у2 - 2а,
^(х + с)2 + у2 = -^(х - с)2 + у2 + 2а,
4сх - 4а2 = 4адЦх-с)2 + у2 ,
Ь2х2 — а2у2 = а262, откуда следует уравнение (4).
Мы получили правую ветвь гиперболы (см. рис. 39). Чтобы получить левую ветвь, надо исходить из равенства
AF2 - AFx = 2а.
Рассуждениями, проведенными в обратном порядке, можно заключить, отправляясь от уравнения (4), что точки (х, у) ему удовлетворяющие, принадлежат к указанному выше геометрическому месту.
По виду уравнения (4) заключаем, что гипербола (4) симметрична относительно оси х и оси у. Часть гиперболы (4), находящаяся в первой четверти, имеет уравнение
у = —ijx2 - а2 (а < х < =).(5)
а
Мы видим, что наша гипербола проходит через точку (а, О) и при возрастании х на полуинтервале [а, «>) ордината у возрастает и стремится к бесконечности. Точки В = =(—а, 0) и С = (а, 0), в которых гипербола пересекает ось х называются вершинами гиперболы.
На рис. 39 нарисованы две прямые:
bу = ± —X.
а
Это асимптоты нашей гиперболы.
Пусть на полуинтервале [а, =) (или (—~, а]) задана кривая у = f{x). Говорят, что прямая у = тх + п есть асимптота этой кривой при х —> +о° (х —> — «>), если
11m [/(х) - тх - п] = 0
Х->+оа
(соответственно Пт [/(х) ~ тх — п] = 0).
Рассмотрим кусок нашей гиперболы, определяемый
b равенством (5), и сравним его с прямой у = —х. Предел а
.. Ьх ь о hm —чх-а t->*~ а а.. Ьх ь о hm —чх-а t->*~ а а
.. Ьх ь о hm —чх-а t->*~ а а
.. Ьх ь о hm —чх-а t->*~ а а
b а2пт^== = о.^^а x + yjx2-а2
Это показывает, что прямая у = —х есть асимптота а
рассматриваемого куска гиперболы при х —> +«>. Но тогда
b
говорят, что прямая у = —х есть асимптота (всей!) гипер
болы при х -» +=о. В силу симметрии нашей гиперболы относительно осей, так же как симметрии пары прямых
b
у = +—х относительно осей, можно сказать, что обе эти а
прямые являются асимптотами нашей гиперболы и притом как при х —> +=, так и при х —> —«>.
Правая ветвь гиперболы (4) может быть записана в параметрическом виде
Выясним, как параметр и связан с параметром 6 в параметрическом уравнении эллипса, и попутно укажем способ построения гиперболы с помощью циркуля и линейки. Так как наш способ построения гиперболы будет основан на способе построения эллипса, то мы изложим эти два способа построения совместно (рис. 40). Ограничимся построением частей эллипса (2) и гиперболы (6), находящихся в первой четверти. Проведем две концентрические окружности радиуса а и b с центром в начале координат. Проведем луч, выходящий из начала координат под углом Оо к оси X. Пусть 7, и ^ - точки пересечения этого луча с указанными окружностями ^ОТ х = b, ONX = а). Проводя из точек 7] и Nx прямые, параллельные осям х и у соответственно, получим точку их пересечения Мэ = (х0, у0), принадлежащую эллипсу (2). Затем проводим луч OMV Пусть N2 — точка пересечения этого луча с окружностью радиуса а; Р - точка пересечения этого луча с прямой, параллельной оси у и проходящей через точку эллипса А=(а, 0). Уравнение луча ОР можно записать:
х = a chu = — (eu + е "), 2
у = b shu = (е“ - е~и),
В самом деле, так как
(6)
Отсюда следует, что ордината точки Р равна Уо =.
хо
Далее соединим точку Вх = (х0, 0) с точкой N2 и из точки А
ch2u — sh2u = 1,
(7)
то из уравнений (6) получим
22
х у
~22 = ch2u — sh2 и = 1.
а b
Верхняя половина правой ве^ви гиперболы соответствует изменению и е [0, “), а нижняя — изменению и е (-=*=, 0].
Рис. 40
188§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА проведем прямую, параллельную BvNy которая пересечет луч ОР в точке Q.
Из подобия треугольников OAQ и ОВ^2 получим, что OQ = а2^. Радиусом OQ на оси х отмечаем точку В2=(а2/х0, 0).
Теперь из точек В2 и Р проводим прямые, параллельные осям у и х соответственно. Точка пересечения этих прямых Мг = (Хо, Уо), где Хо = а2/х0 принадлежит гиперболе (4).
В самом деле, так как точка (х0, у0) лежит на эллипсе (2), то
e . e) cos - + sin —
22)
2 6.2
COSsin
2
2
0
2
0.0
cos — + sin—
22
e.e
cossin—
22
.Гл 0^ sin —P —
2J
cos — + —
а2 Ь2
42 2
оо Уо а2Ху х^Ь2
а 1^0
г2 Л2
хо к 6 /
а2 х2
х2 х0
а2
1
t. e.
л 0
I
4 2
y2 = 2px (p > 0).y2 = 2px (p > 0).(8)(8)
y2 = 2px (p > 0).
y2 = 2px (p > 0).
(8)
(8)
т. е. точка Мг принадлежит гиперболе (4).
Отметим, что точка В2 — (а2/х0, 0) является точкой пересечения касательной к эллипсу в точке Мд с осью х (см. сноску на стр. 139).
Таким образом, каждой точке (х, у) эллипса (2) соответствует вполне определенная точка (X, У) гиперболы (4) и обратно.
Теперь, если эллипс (2) задан параметрически, то
х = a cos 6, у = b sin 0.
Поэтому
аауУ = ~ = btg6.COS 6XаауУ = ~ = btg6.COS 6X
аау
У = ~ = btg6.
COS 6X
аау
У = ~ = btg6.
COS 6X
Отсюда, учитывая (6), получаем
Гл 0a = Intgl 7 + -2
Парабола
Отметим на оси x точку F с абсциссой х = р(2, называемую фокусом параболы (8), и проведем прямую х = -р/2, называемую директрисой параболы (8) (рис. 41).
Парабола (8) может быть еще определена как геометрическое место точек А = (х, у), равноудаленных от фокуса и директрисы. В самом деле (см. рис. 41)
AF2 =AF2 =
AF2 =
AF2 =
1ch и = — , sh и = tgO.cos 6Имеют место также следующие формулы:1ch и = — , sh и = tgO.cos 6Имеют место также следующие формулы:Рис. 41Рис. 41
1
ch и = — , sh и = tgO.
cos 6
Имеют место также следующие формулы:
1
ch и = — , sh и = tgO.
cos 6
Имеют место также следующие формулы:
Рис. 41
Рис. 41
0 II —cos 6 Ichu —1 и tg 2 V1 + cos 6 V chu +1 tg 2 '
11 + sin 6
e“ = ch и + sh и = + tg 0 =
cos 6cos 6
следовательно.
-рх + у2 = рх,
т. е.
у2 = 2рх.
Обратно, из этого уравнения следует, что точки, ему удовлетворяющие, принадлежат к указанному геометрическому месту точек.
Из уравнения (8) видно, что парабола (8) симметрична относительно оси х. Ее верхняя половина имеет уравнение у = -Др^ (0 < х < ~),(9)
из которого видно, что когда х пробегает полуинтервал [0, оо) возрастая, ордината у возрастает от 0 до °°.
Укажем простой способ построения параболы (9) с помощью линейки и прямого угла или с помощью циркуля и линейки. Проведем прямую х = -2р (рис. 42). Возьмем на этой прямой произвольную точку К = (-2/?, у), у > 0. Соединим эту точку с началом координат и проведем прямую, проходящую через начало координат, перпендикулярную к прямой ОК. Далее проводим прямую через точку К параллельно оси х. Последние две прямые пересекаются в точке М = (х, у), которая принадлежит параболе (9), так как ОА = у есть среднее геометрическое чисел 2р и х (у = ^рх ).
Парабола (8) не имеет асимптот1.
См. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 4.20.
Пара пересекающихся прямых
а2х2 - Ь^у^ = (ах - Ьу)(ах + by) = О (О < а, 6). (10)
Если какая-либо точка (х, у) удовлетворяет уравнению (10), то она удовлетворяет одному из уравнений
(ЮЭ(ЮЭах — by = 0,ах + by = 0
(ЮЭ
(ЮЭ
или обоим. Обратно, если точка (хэ у) удовлетворяет одному из уравнений (10*)> то она удовлетворяет и уравнению (10). В этом смысле говорят, что (10) есть уравнение пары прямых.
Классификация кривых второго порядка
Ниже будет доказано, что существует прямоугольная система координат такая, что в ней кривая (1), если она не мнимая, имеет одно из перечисленных выше уравнений 1) - 6).
Более детально:
при АС - В2 > 0 кривая (1) есть эллипс, точка (случаи 1), 6)) или мнимая кривая;
при АС — В2 < 0 кривая (1) есть гипербола или пара пересекающихся (разных) прямых (случаи 2), 4));
при АС — В2 = 0 кривая (1) есть парабола, пара параллельных или совпадающих прямых или мнимая кривая (случаи 3), 5)).
Мы позволяем себе говорить «кривая» даже и в случаях 4), 5), 6), когда речь идет о паре прямых или множестве, состоящем из одной точки.
Итак, пусть задано уравнение
Аа? + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F - О, (1) где коэффициенты А, В, С одновременно не равны нулю. Не нарушая общности, можно считать, что А > О, А > С, В > О. К этой ситуации всегда можно прийти с помощью ортогональных преобразований:
X = Т],1 х = -£,
У = £>/ У = П .
и умножения левой и правой частей (1) на —1.
Если В = О, А > С > О, то (1) можно записать в виде
Параллельный перенос
„ DЕ
преобразует уравнение (11) следующим образом:
1 С А1 С А(IV)(IV)
1 С А
1 С А
(IV)
(IV)
- F > О, то уравнение (11')- F > О, то уравнение (11')Е2D2
- F > О, то уравнение (11')
- F > О, то уравнение (11')
Если число + —
СА
представляет собой уравнение эллипса (случай 1)) с полуосями а, Ьэ где
Отметим, что в данном случае АС - В2 = АС > 0.
Если же правая часть уравнения (113 равна нулю, то мы получаем точку (случай 6)).
При отрицательной правой части уравнение (113 дает мнимую кривую.
Если число С = 0, А > 0, то (1) можно записать в виде
+ 2Еу + F -+ 2Еу + F -- 0.- 0.(12)(12)
+ 2Еу + F -
+ 2Еу + F -
- 0.
- 0.
(12)
(12)
Пусть число Е ф 0, тогда параллельный перенос
5 = X + —, Т) = у +5 = X + —, Т) = у +F D22Е 2АЕF D22Е 2АЕ
5 = X + —, Т) = у +
5 = X + —, Т) = у +
F D2
2Е 2АЕ
F D2
2Е 2АЕ
преобразует уравнение (12) в уравнение
(12')(12')Л^2 + 2£т] - 0,
(12')
(12')
которое (после замены, если нужно, ц на — ц) представляет собой уравнение параболы (случай 3)).
Если Е — 0, то в зависимости от знака числа
мы получим пару параллельных прямых или мнимую кривую. Отметим, что здесь АС — В2 = 0.
Далее, если число С < 0, А > 0, то уравнение (1) можно записать:
(13)(13)
(13)
(13)
анализ которого проводится так же, как в случае уравнения (11). Уравнение (13) дает гиперболу или пару пересекающихся прямых (случаи 2) и 4)). Отметим, что в данном случае АС - В2 = АС < 0.
7 Бугров. Т. 1
(14)(14)^2^2А + С + ^В2 + (А - С)2А + С + ^В2 + (А - С)2А + С - ^В2 + (А - С)2А + С - ^В2 + (А - С)2
(14)
(14)
^2
^2
А + С + ^В2 + (А - С)2
А + С + ^В2 + (А - С)2
А + С - ^В2 + (А - С)2
А + С - ^В2 + (А - С)2
Случай А = О, С < 0 сводится к уравнению типа (12).
Итак, при В = 0 уравнение (1) всегда дает один из частных случаев 1)—6).
Пусть теперь В > О, А > С. Тогда, как мы знаем (см. § 23), существует ортогональное преобразование
х = хД-У1т\,У = У^ + ^Л».
где
1 А-С
—н. .. .
274В2 + (А-С)2 ’
НА-С
У1 ^у 2 274В2 + (А - С)2 ’
которое приводит квадратичную форму
Ах2 + 2Вху + Су2
к каноническому виду.
Преобразуем уравнение (1) с помощью (14):
^Л2 + М2 + ^Л - i/jT]) + Е(р£ + ^т)) + В = О, (15) где
(X, > Х2, Х,Х2 = АС - В2). Перепишем уравнение (15) в виде Х^2 + Х2Т|2 + (xyD + у^ + (х,В - У1П^ + В = 0. (15')
Уравнение (15') является частным случаем уравнения
при В = 0, которое мы уже исследовали.
Таким образом, мы можем сказать, что если:
АС - В2 = Х,Х2 > 0, то уравнение (1) представляет собой эллипс, точку или мнимую кривую. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу,
АС - В2 = Х,Х2 < 0, то уравнение (1) представляет собой гиперболу или пару пересекающихся прямых. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит гиперболическому типу,
АС - В2 = Х,Х2 = 0, то уравнение (1) изображает параболу, пару параллельных прямых или мнимую кривую, В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит параболическому типу.
Пример 1. Выяснить характер кривой
2х2 + V3 ху + у2 + 2х + 2 Vs у + В = 0,
где В — произвольное действительное число.
Vs
В данном случае А=2 > С — 1, В = ~^~ > 0, АС — В2 =
5
= — > 0, т. е. уравнение принадлежит эллиптическому
типу. Легко подсчитать (см. пример в § 23), что
_ Уз _ 1 .51
2 ’ У1 2 ’2 * ^2 '
Поэтому с помощью ортогонального преобразования
X = ^(Уз £ - Л)>
У = ^(5 + Уз Л)
наше уравнение запишется
7*
2 4 или2 4 или+ ^Ч2 + (Vs 5 - Т|) + Vs (^ + Vsri) + F = о
2 4 или
2 4 или
116+ ^01 + 2)2 = — - F.2Э116+ ^01 + 2)2 = — - F.2Э
116
+ ^01 + 2)2 = — - F.
2Э
116
+ ^01 + 2)2 = — - F.
2Э
Осуществим еще параллельный перенос
v = т] + 2,
тогда будем иметь
ря. некоторое множество точек в R3, называемое поверхностью второго порядка. Если уравнение (1) не удовлетворяется ни одной действительной точкой х = (хр х2, х3), то говорят, что оно определяет мнимую поверхность. Нас эти случаи не будут интересовать. В некоторых случаях уравнение (1) может определять пару различных или совпадающих плоскостей или одну-единственную точку. Но и такие множества мы будем называть поверхностями.
Перечислим важнейшие частные случаи уравнения (1): 1) Эллипсоид
XU2
~2*+ 2 +-2" = ^(“’ &’ С' > ®)-
аЬс
1 о 16
~и2 =F.
25
(16)
2) Однополостный гиперболоид
16Если - F > О, то (16) будет уравнением эллипса с16Если - F > О, то (16) будет уравнением эллипса с1616Если —- — F = 0, то (16) дает точку. Если — - F < О,а51616Если —- — F = 0, то (16) дает точку. Если — - F < О,а5зззX2aw ^ + Л, х, + В = О, (1) к=1 1=11=1зззX2aw ^ + Л, х, + В = О, (1) к=1 1=11=1где аы = а^, Ар В - заданные постоянные числа, ах = (хрХ2’ хз) — переменная точка в Ry определяет, вообще гово-где аы = а^, Ар В - заданные постоянные числа, ах = (хрХ2’ хз) — переменная точка в Ry определяет, вообще гово-
16
Если - F > О, то (16) будет уравнением эллипса с
16
Если - F > О, то (16) будет уравнением эллипса с
1616
Если —- — F = 0, то (16) дает точку. Если — - F < О,а5
1616
Если —- — F = 0, то (16) дает точку. Если — - F < О,а5
ззз
X2aw ^ + Л, х, + В = О, (1) к=1 1=11=1
ззз
X2aw ^ + Л, х, + В = О, (1) к=1 1=11=1
где аы = а^, Ар В - заданные постоянные числа, ах = (хрХ2’ хз) — переменная точка в Ry определяет, вообще гово-
где аы = а^, Ар В - заданные постоянные числа, ах = (хрХ2’ хз) — переменная точка в Ry определяет, вообще гово-
полуосями а, Ь, где
а2 = 2(16 - 5Е)/25, Ь2 = 2(16 - 5F)/5.
то (16) представляет мнимую кривую.
§ 25. Поверхность второго порядка в трехмерном пространстве
Уравнение
+=1 (a, 6, с > О).
а2 Ь2с2
Двуполостным, гиперболоид
222
X У 2
Эллиптический параболоид
22
X и
Гиперболический параболоид
22
х У
Конус второго порядка
222
XУ2
+ —57 = О (а, Ь, с >О).
а2Ь2с2
Точка
X2 + у2 + 22 = О.
Цилиндры второго порядка: цилиндр эллиптический
22
-^ + ^- = 1 ka,b> 0), а Ь
цилиндр гиперболический
22
X У
= 1 (а, b > 0), а b
цилиндр параболический
у2 = 2рх (р > 0), пара пересекающихся плоскостей
а2х2 - Ь2у2 = 0 (а, b > 0), пара параллельных или совпадающих плоскостей х2 - а2 = 0 (а > 0), г2 = 0,
прямая
х2 + у2 = 0.
При рассмотрении частных случаев уравнения (1) мы считали, что х = xv у = хг, г = ху
Можно доказать, что для каждого частного уравнения (1), если оно не определяет мнимую поверхность, можно найти прямоугольную систему координат, в которой это уравнение имеет один из перечисленных выше восьми видов. Это следует из общей теории § 22. Само преобразование уравнения (1) производится так же, как в § 24. Нахождение собственных значений Хп Х2, Х3 сводится к решению кубического уравнения.
Укажем еще один путь нахождения Собственных чисел и собственных векторов, который мы по сути дела уже рассмотрели в § 23 в двумерном случае. Собственные значения X,, Х2, Х3 самосопряженного оператора Л. и принад-
лежащие им нормированные векторы х1, х2, х3 (|х'| = 1, Ах* = Хх1, / = 1, 2, 3) можно находить следующим образом (обоснование см. ниже). Вводим определитель (aAJ = aIt):
D(X) = |А - Х£| =D(X) = |А - Х£| =аи _ ^°21°31аи _ ^°21°31°12022 ~~ ^а32°12022 ~~ ^а32°13а23°33 — ^°13а23°33 — ^
D(X) = |А - Х£| =
D(X) = |А - Х£| =
аи _ ^
°21
°31
аи _ ^
°21
°31
°12
022 ~~ ^
а32
°12
022 ~~ ^
а32
°13
а23
°33 — ^
°13
а23
°33 — ^
где Е — единичная матрица. Находим корни X,, Х2, Х3 уравнения
(2)(2)|А - ХЕ] = О,
(2)
(2)
которое называется характеристическим уравнением оператора AD(X) = 0, j = 1, 2, 3). Это и есть собственные числа оператора А. Они действительные, причем они могут быть разными, но могут и совпадать — быть кратными. Таким образом,
DM - (\ - Х)(Х2 - Х)(Х3 - X).
Затем для корня Хх ищем нетривиальное решение х —
= (хи х2, х^ однородной системы уравнений:
(«и - Х^ +а12х2+а13х3=О,
(3)(3)а12**"1 "*" (а22^1)^2"*"^ЗЗ^З=О»
(3)
(3)
°31^1 "*" ^зг^з + (а33 — ^l)^ = О
или соответствующего уравнения для оператора А — ХхЕ:
(А - Х^х = О,(3')
где Е - единичная матрица и векторы х = (хр х2, х3), О = (0, 0, 0).
Если Хх - простой корень (т. е. в данном случае X, отлично от Х2 и от Х3), то ранг матрицы системы (3) необходимо будет равен двум (ранг (А - XxE) = 2), и мы получим единственный, с точностью до знака, вектор х1 =
=( xj1*, х^ > Хд^), удовлетворяющий системе (3), т. е.
(А - Х1Е)х1 - 0
или
Ах1 = Х,х*.
Если X, - корень второй кратности (Хх = Х2 * Х3), то система (3) необходимо имеет ранг, равный единице (ранг (А — Х,Е) = 1), и будет иметь два ортонормированных решения х1 и х2 (Jx1) = |х2| =1, (х1, х2) = 0), которые являются собственными векторами, принадлежащими собственному значению X,:
Ах> = Хх» (/ = 1, 2, X, = Х2).
Наконец, если X, — корень третьей кратности (Xt = Х2 = = Х3), то система (3) необходимо имеет ранг, равный нулю (ранг (А - Х3) = 0), и будет иметь три ортонормированных решения х1, х2, х3:
Ах’ = Хх’ U = 1, 2, 3, X, = Х2 = Х3).
Любые три ортонормированных вектора в Д3 могут быть взяты в качестве собственных векторов х1, х2, х3, принадлежащих собственным числам X, = Х2 = Х3.
Обоснуем сказанное. Мы знаем, что в R3 существует система ортонормированных векторов х1, х2, х3 и действительные числа X,, Х2, Х3 такие, что
Axi = X.xj 0=1,2, 3).
При этом можно указать ортогональную матрицу Л такую, что (см. §22)
ЛАЛ'1 =ЛАЛ'1 =Xi о оXi о оо о
ЛАЛ'1 =
ЛАЛ'1 =
Xi о о
Xi о о
х2 о
0 Х3
имеет место тожде-имеет место тожде-Отсюда для переменного числа X
имеет место тожде-
имеет место тожде-
<<ство
<
<
Л(А - XE)A» =Л(А - XE)A» =Xj-XооXj-XоооХ2 — XооХ2 — Xо0оХ3 — X0оХ3 — X(4)(4)
Л(А - XE)A» =
Л(А - XE)A» =
Xj-Xоо
Xj-Xоо
о
Х2 — Xо
о
Х2 — Xо
0о
Х3 — X
0о
Х3 — X
(4)
(4)
VstA-XE^-'-NAA-i-NWv^NAA'^^- ХЕ).
Определитель матрицы А — ХЕ мы обозначили выше через D(X). Он, как это видно из (4), равен определителю матрицы, стоящей в правой части (4), так как
(X, - Х)(Х2 - Х)(Х3 - X) = |Л(Л - ХЕ)Л Ч =
= |л||А - Х£||Л-*| = |А - ХЕ| = D(X).
Таким образом,
D(X) = (X, - Х)(Х2 - ХХХ3 - X).
Мы получили, что корни многочлена D(X) совпадают с собственными значениями Хх, Х2, Х3 оператора А. Они, таким образом, действительны.
Пусть Хх — простой корень и, следовательно, X, ^ Х2 и Хх * Х2. Тогда матрица справа в (4) при X = Хх имеет ранг, равный двум (ранг Л(А - X^jA-1 = 2), но тогда ранг (А — — ХхЕ) = 2. Ведь решения однородной системы (3) и системы
(5)(5)0 • ?! + 0 • z2 + 0 • 23 = 0,0zT+(k3- Xx)z2 + 0 • 23 = 0, •0 • zt + 0 • z2 + (Х3 - Х1)23 = 0,
(5)
(5)
соответствующей матрице (4), преобразуются друг в друга при помощи ортогональной матрицы (системы (3) и (5) эквивалентны). Система же (5) имеет только одно (с точностью до знака) нормированное решение (±1, 0, 0). Но это возможно, лишь если ранг (А — ХхЕ) = 2.
Можно дать и такое объяснение этого факта. Если предположить, что все определители второго порядка, порожденные матрицей А — ХхЕ, равны нулю, то тогда и
все определители второго порядка, порожденные матрицей Л(А - Х^Л”1, также будут равны нулю, так как эти определители являются линейными комбинациями определителей второго порядка из матрицы А - ХхЕ. Но этого не может быть, ибо определитель, порожденный матрицей МД -XxEW\
Х2 — Х^ ОО л3 - Xt * °'
Если теперь Xj = Х2 ^ Х3, то, рассуждая аналогично, получим, что ранг (А — *ХхЕ^ = 1, и тогда существует в точности два ортонормированных решения х\ х2 системы (3), соответствующих Хх = Х2.
Наконец, при Х( = Х2 = Х3 будет ранг (А - ХхЕ) = 0, т. е. все элементы матрицы А — ХхЕ равны нулю. В этом случае любой вектор х = (хп х2, х3) является решением системы (3). Это приводит к тому, что любые три вектора х1, х2, х3, образующие ортонормированную систему, будут собственными векторами, принадлежащими собственному значению X. = Х9 = Х„.
Заметим, что в этой ситуации квадратичная форма уже приведена к сумме квадратов (а1г — а13 = а23 = 0, ахх = =а22 = °зз ~ \)*
Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму
Х1 + Х2 + 2xjX2 + 2ххх3 + 2х2х3-
Здесь ап = а22 = ах2 = а13 = а23 = 1, а33 = 0. Составим характеристическое уравнение:
или
—Х(1 - X)2 4 2 - 2(1 - X) + X - 0, -Х(1 - X)2 + ЗХ = 0.
Легко видеть, что X = 0 является корнем этого уравнения. Найдем два других корня:
з - (1 - X)2 = о, (1 - X)2 - з, 1 - х = ±7з , х = 1 ± 7з .
Таким образом,
xt = 1 + Vs, х2 = о, х3 = i - Vs,
X, > ^з-X, > ^з-Xх. Для этого составимXх. Для этого составимт. е. мы получили случай: Хх > Найдем собственный вектор
X, > ^з-
X, > ^з-
Xх. Для этого составим
Xх. Для этого составим
систему (3):
— VSX^ + Х2 + Ху — 0, хг - \/Зх2 4 х3 = 0, Xj + Х2 — (14 V3)X3 = 0.
Любые два уравнения этой системы линейно независимы. Решая систему из двух первых уравнений, получаем
14-V31 + V3
xi “2 Хз’ Х? 2^3*
Таким образом, вектор
является решением системы и, нормируя его, получим собственный вектор
у^ 14- V3 14 V3 1
х ~ Is1! (2V3+V3 2V3+V3 7з + 7з)"
Найдем х2 (Х^ = 0):
Х1 + ^2 + х3 = ^,Xi + Х2 + х3 = О’Xj + Х2 + О Х3 = 0.
Решая систему из двух последних уравнений (так как определитель из коэффициентов при х2 и х3 не равен нулю), получим х2 = -xv х3 = 0.
Вектор у2 = (х,, -х,, 0) является решением системы, а вектор
- собственный единичный вектор. Легко видеть, что он ортогонален х (скалярное произведение этих векторов
х3х3равно нулю). Наконец, при Х3 = 1 - ^ находим, что
х3
х3
Данное преобразование сохраняет ориентацию (так как |Л| = 1 > 0), т. е. система (х1, х2, х3) ориентирована так же, как исходная система (i, /, fe).
Подставляя в нашу квадратичную форму вместо xv их значения по формулам (6), получим ее канонический вид
(1 + ^)^ + d - ^)^_
Остановимся теперь лишь на более подробном изучении уравнений и описываемых ими поверхностей, указанных выше восьми типов.
Эллипсоид
^ + ТГ + ^ = 1 (°. Ь* с* > °)- <7) а о с
При а = Ъ = с эллипсоид (7) обращается в сферу радиуса а с центром в начале координат, т. е. геометрическое место точек, отстоящих от начала на расстоянии а.
Величины а, Ь, с называются полуосями эллипсоида.
22X у р 2—212а и22X у р 2—212а и< 1.< 1.Если в уравнении (7) заменить (одновременно или порознь) х на —х, у на -у, г на — z, то оно не изменится, — это показывает, что эллипсоид (7) есть поверхность, симметричная относительно координатных плоскостей х = 0, у = 0, z = 0 и начала координат. Поэтому достаточно изучить уравнение (7) в первом октанте (системы координат), т. е. для х > 0, у > 0, z > 0. Часть эллипсоида, находящаяся в первом октанте, определяется явным уравнением, например
22
X у р 2—
212
а и
22
X у р 2—
212
а и
< 1.
< 1.
г = e Ji;--— , х > 0, у > 0, V а Ь
Для определенности будем считать, что а > b > с. Эллипсоид есть ограниченная поверхность. Он находится внутри шара радиуса а с центром в начале координат: для координат любой точки эллипсоида (х, у, z^ имеет место неравенство
х2 + ^2 + 22 < а2
[о2 ъг г)
= а2
1 = а2.
Чтобы составить более точное представление об эллин- соиде, произведем сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Например, пересекая эллипсоид плоскостями z * h(—c < h < с), получим в сечении эллипсы
22
X у
с2с21-
с2
с2
2*2
а Ъ
с полуосями
\ с V с
Отсюда видно, что самый большой эллипс получается в сечении эллипсоида плоскостью 2 = 0. Аналогичная картина будет при сечении плоскостями х = К (-а < й < а), у = h (-й < й < й).
Эллипсоид (7) имеет вид, изображенный на рис. 43.
Точки (±а, 0, 0), (0, ±й, 0), (0, 0, ±с) лежат на эллипсоиде (7) и называются его вершинами.
Если какие-либо две полуоси равны между собой, то эллипсоид (7) будет эллипсоидом вращения, т. е. получа-
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА 207 ется от вращения эллипса относительно соответствующей оси координат.
Однополостный гиперболоид
XU2
— + 77”^ = 1 ^Ъ^О 0).(8)
аbс
По виду уравнения (8) заключаем, что однополостный гиперболоид является поверхностью, симметричной относительно координатных плоскостей и начала координат. Числа а, А, с называются полуосями однополостного гиперболоида. Точки (±а, 0, 0), (0, ±6, 0), лежащие на поверхности (8), называются вершинами однополостного гиперболоида.
222 а о222 а оПересечем поверхность (8) плоскостью 2 = А, тогда в сечении получим эллипс
22
2 а о
22
2 а о
с полуосями
а
b
При изменении Л от -со до +=о этот эллипс описывает поверхность (8).
Если теперь пересечь поверхность (8) плоскостью х = h (или у = й), то получим в сечении гиперболу
у2 z2й2=
Ь2 с2 1 а2 (У с2 Ь2)'
При й = ±а первая гипербола распадается на две пря- b мые у =
Если |й| < а, то действительной осью симметрии соответствующей гиперболы является прямая, параллельная оси Оу, а при |й| > а — прямая, параллельная оси Oz.
Действительной осью симметрии гиперболы мы называем ту из осей симметрии, которую гипербола пересекает.
Если а = Ь, то поверхность (8) в сечении плоскостями z — й будет иметь окружности радиуса а + (й2/с2) • Поверхность (8) в этом случае образуется от вращения 22
X 2
гиперболы —g=- = 1 около оси Oz. Общий вид однопо-
а с
лестного гиперболоида изображен на рис. 44.
22
У ^ —1
.2„2
О С
.2
а2
(9')
Отсюда ясно, что, пересекая поверхность (9') плоскостью х = й (|й| > а), получим в сечении эллипс
с полуосями
b^jah-l , С№!а2) -1 .
При |й| < а число (й2/а2) - 1 < 0, и поэтому нет точек пересечения поверхности (9') и плоскости х = й.
При сечении поверхности (9) плоскостями z = й (у = й) получим гиперболы
22
а2 Ъ2
й2 с2
( 22,2 А
2L_£_ = i+A_
(а2 с2Ъ2 )
Точки (±а, 0, 0) лежат на поверхности (9) и называются вершинами двуполостного гиперболоида. Поверхность (9) изображена на рис. 45.
Двуполостный гиперболоид
XU2
—Г = 1(а, й, с > 0).(9)
аbс
Так как уравнение (9) содержит только квадраты переменных, то данная поверхность симметрична относительно плоскостей х = 0, у = 0, z = 0 и начала координат.
Уравнение (9) запишем еще в виде
Эллиптический параболоидх2 у2
— + —=2z (р,д>ОУ (10)
Так как в (10) присутствуют квадраты переменных х и у, то данная поверхность симметрична относительно координатных плоскостей х = 0, у = 0. Далее, так как мы считаем р, q > 0, то поверхность (10) расположена в полупространстве z >0.
Пересекая поверхность (10) плоскостями z = h (h > 0), в сечении будем получать эллипсы
с полуосями
^2ph , ^2qh .
При изменении h от нуля до ©о данные эллипсы описывают нашу поверхность (10).
Пересекая поверхность (10) плоскостями х = h (или у = Л), мы получим в сечении параболы
^ = ^q^ = ^q2pJ2pJ
^ = ^q
^ = ^q
2pJ
2pJ
й22рй22р
й2
2р
й2
2р
со смещенной вершиной в точке z =
При р — q поверхность (10) будет поверхностью вращения, получающейся от вращения параболы х2 — 2pz около оси Oz. В этом случае поверхность (10) называют параболоидом вращения.
Точка (0, 0, 0) лежит на поверхности (10) и называется вершиной эллиптического параболоида. Эллиптический параболоид изображен на рис. 46.
Гиперболический параболоид
X у= 2z (р, q> 0).X у= 2z (р, q> 0).(И)(И)
X у
= 2z (р, q> 0).
X у
= 2z (р, q> 0).
(И)
(И)
По виду уравнения (11) заключаем, что данная повер- хность симметрична относительно плоскостей х = 0, у — 0. Пересекая поверхность (11) плоскостями z = й, мы будем получать в сечении гиперболы
22
х у„ 2ИЭр q
причем при h > 0 действительная ось симметрии гиперболы будет параллельной оси Ох, а при h < 0 — оси Оу. При h = 0 в сечении будут две пересекающиеся прямые.
При сечении поверхности (11) плоскостями х = h или у = h получим параболы, направленные ветвями вниз или вверх:
„2к2УП— - 2z - —q р„2к2УП— - 2z - —q рX2рX2рй2qй2q
„2к2
УП
— - 2z - —
q р
„2к2
УП
— - 2z - —
q р
X2
р
X2
р
й2q
й2q
Поверхность (11) изображена на рис. 47.
Рис. 46Рис. 46Рис. 47Рис. 47
Рис. 46
Рис. 46
Рис. 47
Рис. 47
Конус второго порядка
222
(12)(12)Xу2~
(12)
(12)
”2^T2—Г = 0(°, Ьэ с > 0).
аг Ъсг
Ясно, что данная поверхность симметрична относительно плоскостей х = 0, у = 0, z = 0 и начала координат.
При сечении поверхности (12) плоскостями 2 = h будем получать эллипсы
х2 /=^а2 + Ь2 с2 "
с полуосями а|Л|/с и b\h\/c.
Если же пересекать поверхность (12) плоскостями х = h или у — h, то в сечении получим гиперболы
с2 Ь2 а2с2 Ь2 а2V_51 = ^kc ° ь )V_51 = ^kc ° ь )
с2 Ь2 а2
с2 Ь2 а2
V_51 = ^kc ° ь )
V_51 = ^kc ° ь )
Если теперь пересекать (12) плоскостями у = Их, то в сечении получим пару пересекающихся прямых
z = ±сх ^Що^Т^Т^
Вид конуса изображен на рис. 48.
Рис. 48Рис. 48
Рис. 48
Рис. 48
Точка
х2 + у2 + г2 = 0.(13)
Уравнению (13) удовлетворяет только она точка х = у = = 2 = 0-
Цилиндры второго порядка
а) Эллиптический цилиндр
22
+(a. Ь>0\(14)
а2 bz
Уравнение (14) не содержит переменной z. На плоскости хОу уравнение (14) определяет эллипс с полуосями а и Ь. Если точка (х, у) лежит на этом эллипсе, то при любом z точка (х, у, г) лежит на поверхности (14). Совокупность таких точек есть поверхность, описанная прямой, параллельной оси Ог и пересекающей эллипс
в плоскости хОу.
Эллипс (14) называют направляющей линией данной поверхности, а все возможные положения указанной движущейся прямой - образующими.
Вообще поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторому заданному направлению и пересекающей данную линию L, называется цилиндрической. Поверхность (14) изображена на рис. 49.
Q Гиперболический цилиндрыQ Гиперболический цилиндрыи параболическийи параболическийх2 у2= 1а их2 у2= 1а и(а, Ъ > 0),(а, Ъ > 0),(15)(15)у2 = 2рху2 = 2рх(Р> 0).(Р> 0).(16)(16)
Q Гиперболический цилиндры
Q Гиперболический цилиндры
и параболический
и параболический
х2 у2
= 1
а и
х2 у2
= 1
а и
(а, Ъ > 0),
(а, Ъ > 0),
(15)
(15)
у2 = 2рх
у2 = 2рх
(Р> 0).
(Р> 0).
(16)
(16)
В данном случае направляющими линиями поверхностей являются гипербола и парабола, а образующими - прямые параллельные оси Oz и проходящие через гиперболу или параболу в плоскости хОу. Поверхности (15) и (16) изображены на рис. 50 и 51.
в) Параллельные и пересекающиеся плоскости. Прямая.
аЧ2 - Ъ2у2 = 0(а, Ъ > 0),(17)
х2 - а2 - 0 (а > 0),(18)
z2 = 0,(19)
х2 + у2 - 0.(20)
Для поверхности (17) направляющими являются прямые линии
ау -
Рис. 51Рис. 51Поэтому поверхность (17) есть пара пересекающихся плоскостей. В уравнении поверхностей (18) и (19) отсутствуют по две координаты. Уравнение (18) в плоскости хОу есть пара прямых х — ±а.
Рис. 51
Рис. 51
Рис. 50
Если мы будем брать х = ±а и любые у и z, то точки (+а, у, z) будут удовлетворять уравнению (18), поэтому поверхность (18) есть пара параллельных плоскостей.
Уравнение (19) описывает плоскость хОу, так как этому уравнению удовлетворяют любые точки вида (х, у» 0), все множество которых и составляет плоскость хОу.
Можно также рассматривать z = 0 как направляющую в какой-либо из плоскостей xOz или yOz» а образующими являются прямые, параллельные оси Оу или оси Ох и проходящие через прямую z = 0.
Уравнению (20) удовлетворяет любая точка с х = у = 0 и любым z. Поэтому (20) изображает прямую, а именно, ось Oz.
Линейчатые поверхности
Некоторые поверхности второго порядка образованы движением прямой. Такими являются все цилиндрические поверхности и конус второго порядка. Однако имеются и другие поверхности, которые также образуются движением прямой.
Поверхность, образованная движением прямой, называется линейчатой» а целиком лежащие на ней прямые — прямолинейными образующими.
К линейчатым поверхностям относятся однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.
Уравнение однополостного гиперболоида (8) можно записать в виде
2 2 2х г и
или, разлагая левую и правую части на множители, получаем
Составим систему уравнений первой степени:Составим систему уравнений первой степени:(22)(22)
Составим систему уравнений первой степени:
Составим систему уравнений первой степени:
(22)
(22)
где к — произвольный параметр.
При определенном значении этого параметра к мы получим прямую линию, а при изменении к — семейство прямых. Если мы перемножим уравнения (22) почленно, то получим уравнение (21) нашей поверхности. Поэтому любая точка (х, у, а), удовлетворяющая системе (22), находится на поверхности (21). Следовательно, каждая из прямых семейства (22) целиком лежит на поверхности однополостного гиперболоида.
Совершенно аналогично система
(23)(23)
(23)
(23)
где I — параметр, также определяет семейство прямых, отличное от семейства (22), принадлежащее поверхности (21).
Через каждую точку гиперболоида (21) проходит по одной прямой каждого семейства, вообще при различных значениях параметров к и I (рис. 52). Например, через
точку (точку (V2
точку (
точку (
а, -^- Ь, с) поверхности (21) проходит прямая
(22) при к = (2 + 7б )/(2 + V2 ) и прямая (23) при I = (2 + + V6 )/(2 -V2).
Рис. 52Рис. 52
Рис. 52
Рис. 52
Отметим, что однополостные гиперболоиды нашли применение в практике строительства. Сооружение различных высотных башен с использованием прямолинейных образующих однополостного гиперболоида сочетает в себе прочность конструкции с простотой ее исполнения. Идея использования однополостного гиперболоида в строительстве принадлежит нашему соотечественнику инженеру В. Г. Шухову (1853-1939). По проекту Шухова построена телевизионная башня на Шаболовке в г. Москве, она состоит из секций однополостных гиперболоидов вращения.
Легко убедиться, что два семейства прямых
(24)(24)
(24)
(24)
(25)
образуют поверхность гиперболического параболоида (11).
Прямые, соответствующие семействам (24) и (25), лежат на этой поверхности и, обратно, любая точка этой поверхности есть пересечение некоторой прямой семейства (24) с некоторой прямой семейства (25).
§ 26. Общая теория поверхности второго порядка в трехмерном пространстве
«м xkxl + 2^Al xt + В = 0,(1)
А=1 г=1г=1
где аы = а№, At, В - постоянные числа — коэффициенты уравнения.
В § 25 было перечислено восемь видов 1)-8) (частных случаев) уравнения (1) и была отмечена возможность доказательства того, что для каждого данного уравнения
218 §26. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА (1), если оно не определяет мнимую поверхность, можно найти прямоугольную систему координат, в которой это уравнение имеет один из указанных видов.
Ниже дается доказательство этого утверждения.
Мы начинаем с того, что рассматриваем квадратичную форму, фигурирующую в левой части уравнения (1).
На основании теоремы 2 § 22 эту форму можно привести при помощи соответствующего ортогонального преобразования
з х^^М (i = 1,2,3)(2)
к следующему виду: 33
Ж ам = X, х{2 + Х2 х2 + Х3 Хд2 , к=1 1=1
где Хр Х2, Х3 — определенные действительные числа.
Подчеркнем, что равенства (2) определяют преобразование исходной прямоугольной системы координат xv х2, х3 к некоторой другой прямоугольной системе х'19 х2 9 Хд. Точка, имеющая координаты (хр х2, х3) в исходной системе, в новой системе имеет координаты ( х^, х2 , Хд ), получаемые посредством обращения операции (2).
В новой прямоугольной системе наша поверхность имеет, очевидно, уравнение
з
\^2 + \х'2 + хз^2+ 2^А'кх'к + В = О, (3) к=1
где А'к — некоторые постоянные числа.
Рассмотрим сначала случай, когда все три числа Xv Х2, Х3 отличны от нуля (X, * 0, i — 1, 2, 3).
В этом случае перенесем систему координат х^9х2 , Хд так, чтобы ее начальная точка перешла в точку (ар а2, а3); тогда получим вторую прямоугольную систему координат ^, ^2’ ^з’ r^e
х\ = а, + ^ (i = 1, 2, 3).
В ней уравнение нашей поверхности имеет вид M°i + ^,)2 + М^ + У2 + М«з + Q2 +
3
+ 2^^(ад+^ + В = 0
или
3
М? + М2 + ^ + 2^^+А^ + В, = О,
где Вх — некоторая константа. Если положить
Ai
а,-^(Z= 1,2,3),
то это уравнение упростится:
^ + Мз + Мз =-Бг(4)
Предположим, что числа Хр Х2, Х3 одинакового знака. Если при этом Вх = 0, то уравнению (4) удовлетворяет единственная точка, именно нулевая точка (0, 0, 0) (см. 7) §25).
Если Вх * 0 и имеет знак чисел Хи Х2, Х3, то, очевидно, нет точек с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (4). В этом случае поверхность (1) мнимая.
(5)(5)Если же Вх Ф 0 и имеет знак, противоположный знаку чисел Xj, Х2, Х3, то уравнение (4) можно записать в виде
(5)
(5)
В! Bv Bv
или, полагая
в видев видек2к2к24142.4зк2к2к24142.4за2Ь2с2а2Ь2с2(а, Ъ, с > 0).(а, Ъ, с > 0).
в виде
в виде
к2к2к2
4142.4з
к2к2к2
4142.4з
а2Ь2с2
а2Ь2с2
(а, Ъ, с > 0).
(а, Ъ, с > 0).
Таким образом, поверхность (1) есть эллипсоид (см. 1) § 25).
Пусть теперь два из чисел Хр Х2, Х3 имеют один знак, а третье — противоположный им знак.
Если при этом В, = 0, то можно считать в уравнении (4), что Xj > 0, Х2 > 0, Х3 < 0, умножая (4), если это нужно, на —1 и переставляя, если это нужно, местами ^.. Тогда, положив
Х1 о2 ’ ^ ъ2’ ХзХ1 о2 ’ ^ ъ2’ Хз11(а, Ь, с > 0),(а, Ь, с > 0),
Х1 о2 ’ ^ ъ2’ Хз
Х1 о2 ’ ^ ъ2’ Хз
1
1
(а, Ь, с > 0),
(а, Ь, с > 0),
получим уравнение конуса (см. 6) § 25)
а2 Ь2 с2
При В] ^ 0 воспользуемся снова формулой (5). Выделим два существенно различных случая:
^1 ^2 ^3
~у + —2г" = 1 кр^нополостный гиперболоид 2) § 25),
аbс
1 (двуполостный гиперболоид 3) § 25).1 (двуполостный гиперболоид 3) § 25).^_^2_Й
1 (двуполостный гиперболоид 3) § 25).
1 (двуполостный гиперболоид 3) § 25).
„2 ,2 „2 аос
К этим двум случаям сводятся и остальные случаи путем соответствующей замены координат ^.
Пусть теперь А = XjX2X3 = 0. Тогда по крайней мере одно из чисел Xj, Х3, Х3 равно нулю. Будем считать, что Х3 = 0, поменяв, если нужно, местами Е.
Итак, пусть Х3 = 0. Выделим сначала случай, когда Ад = 0. Тогда уравнение (3) имеет вид
^Х^ + ^X'2 + 2(А^ Х^ + Ад Хд ) + В = 0, где числа Хр Х2, А^, Л2 > В могут быть любыми.
В плоскости (Xj, х'д ) это есть общее уравнение кривой второго порядка. В пространстве (х[,Хд ,х3) ему соответствует уравнение цилиндрической поверхности (см. 8) § 25), проходящей через плоскую кривую второго порядка с образующей, параллельной оси х'3 (см. 8) § 25).
Далее мы будем всегда считать, что А3 ^ 0 и Х3 = 0, и тогда уравнение (3) имеет вид
(х,х;2 + г а; х;) + (х2х22 + 2а;4)+л^+в = о. (зэ
Существенно различными случаями являются следующие: а) X,, Х2 > 0; б) Xt > 0, Х2 < 0; в) X, > 0; Х2 = 0. Другие случаи сводятся к ним заменой координат или умножением на -1.
Рассматриваем случай а) Хр Х2 > 0. Вынесем за скобки множители Xt и Х2 и дополним выражения в этих скобках до полных квадратов. Тогда получим, учитывая, что Хр Х2, Ag отличны от нуля,
М ^ + а)2 + Х2( х2 + Р)2 + 2 Ад ( х^ + у) = 0, где а, р, у - соответствующие числа. Полагая
^ = x^ + а, д = х' + р, £ = х' + у, получим
Х^2+ Х2п2 = -2А^
или
Е2 п2 2^.(6)
Xi Х2
Если — Ад > 0, то уравнение (6) имеет вид
52 л2
~ + ~ = 2^ ^эллиптический параболоид 4) § 25) (7)
(Р» 9 > 0).
Если же — Ад < 0, то заменяя £ на -£, мы снова получим уравнение вида (7), т. е. эллиптический параболоид.
Рассмотрим теперь случай б) Xf > 0, Х2 < 0 (Ад ^ 0). Воспользуемся уравнением (6). Если Ад < 0, то это уравнение записывается в виде
£2Т)2
= 2^ ^гиперболический параболоид см. 5) § 25) (8)
(Р, 9 > 0).
Если же A3 > 0, то после замены местами ^ и т| снова получим уравнение вида (8), т* е. гиперболический параболоид.
Переходим теперь к случаю в) Xt > О, Х2 = 0 ( А'3 * 0). Тогда уравнение (3*) сводится к следующему:
(х1Х;2 + 2а; х;) + 2( Аг 4 + Ад хд) + в = о.
Вынося за первые скобки Xv дополняя выражение в этих скобках до полного квадрата (учитывая, что Хи A3 ^ 0), получим
X1(x^ 4- а)2 + 2 А' х'2 + 2А'(х' + р) = 0, где а, Р — некоторые числа. После замены
^ = х; + а, Т] = ^2 . £ = *3 + Р это уравнение превратится в следующее:
Х^ + 2( А^ Л + А^ = 0.(9)
Рассмотрим в плоскости (т|, Q вектор со = ^А2» А^У Запишем его в виде
(А2 , A3) = p(cos a, sin а),
где р > 0 — длина со, a (cos a, sin а) — единичный вектор, направленный в сторону со. Другой вектор (sin a, —cos а) тоже единичный и перпендикулярен к первому.
Введем в плоскости (Т|, Q ортогональное преобразование
и = т| cos а + ^sin а, о = т] sin а - ^cos а.
Этим прямоугольная система координат Tj, £ заменяется на прямоугольную систему координат и, и, а прямоугольная система координат £, ть ( заменяется на прямоугольную систему координат ^, и, о. В результате уравнение (9), которое может быть записано так:
Х^2 + 2р(т| cos а + £ sin а) = 0, принимает следующий вид:
Х^2 + 2рп = 0,
или меняя и на —п,
£2 = 2ри (р = р/\ > 0), или наконец, меняя местами £ и и, и2 - 2р^ (р > 0), т. е. мы получили уравнение параболического цилиндра (в прямоугольных координатах (^, и, и)).
Мы рассмотрели все случаи, могущие иметь место для уравнения (1), и в каждом из них нашли прямоугольную систему координат, в которой уравнение (1) имеет один из видов 1)-8) § 25. Утверждение доказано.
Плоскость в Rn
Общие рассмотрения. В§ 6 мы условились называть точкой или вектором л-мерного пространства Rn систему чисел ^xv ..., х^ и обозначать буквой х:
X = (хи ..., хи).
Числа X- назывались координатами точки (вектора) или компонентами вектора х.
В § 7 мы определили отрезок [х°, у0], соединяющий точки
х° = и°, .... х°), 90 = (У1° У^.
как множество точек х g Rn, которые можно представить с помощью равенства
х = Хх° + ру° (X > 0, р > 0, X + р = 1).
Точки х°, у0 называются концами отрезка [х°, у0]. Будем называть х° начальной точкой отрезка [х°, у0], а у0 - его конечной точкой. Тогда можно считать, что [х°, у0] есть направленный отрезок с начальной точкой х° и конечной точкой у0.
Как в случае трехмерного пространства, направленный отрезок [х°, у0] будем считать равным вектору
У°-^ = ку°х - х», .... у» - х").
Если к векторам х°, у0 прибавить произвольный вектор
а = (av ..., ап),
то получим векторы
х' = х° + а, у' = у0 + а,
для которых, очевидно,
у' - х' = у0 - х°.
Это показывает, что точки х' = х° + а, у' = у0 + а, каков бы ни был вектор а, определяют один и тот же вектор, равный у0 — х°.
Направленный отрезок [О, х], начало которого есть нулевая точка О, а конец - точка х, называют радиус- вектором точки х.
Итак,
X = (хр .... хп)
есть точка Rn, х также есть радиус-вектор точки х, т. е. направленный отрезок [0, х] и, наконец, х может обозначать вектор, определяемый любым отрезком [х°, у0], для которого у0 ~ х° = х.
Пример 1. Направленные отрезки [х1, у1], [х2, у2], где
х1 = (0, 0, .... 0), у1 = (1, 1, .... 1),
х2 = (3, 3, .... 3), у2 = (4, 44)
равны одному и тому же вектору а = (1, 1, ..., 1).
Плоскость в Rn. Зададим п действительных чисел А,, .... Ап, одновременно не равных нулю, т. е. таких, что выполняется неравенство
Зададим также действительное число В.
По определению геометрическое место точек х = (хр .... хп), удовлетворяющих уравнению
^AjXj + В - 0,(1)
7=1
называется плоскостью, а уравнение (1) называется уравнением этой плоскости.
Будем еще говорить: плоскость (1) вместо того, чтобы говорить: плоскость, определяемая уравнением (1).
При п = 3 плоскость (1) есть реальная плоскость.
Если умножить уравнение (1) на произвольное число М ^ 0, то получим уравнение
£ А',х, + В' = О (A'j = МА) U = 1, . .. п\ В = МВ), (1') /=1
эквивалентное уравнению (1).
Таким образом, уравнения (1) и (13 определяют одно и то же геометрическое место точек. Учтем еще, что
^А'? = М^А^ >0.
/=1/=1
Но тогда уравнения (1) и (13 суть уравнения одной и той же плоскости.
Систему чисел Ар ..., Ап удобно мыслить как вектор
^-(^АЛ
Этот вектор заведомо ненулевой, потому что его длина положительна:
И = &А/ > °-
Как мы отмечали выше, буквы х = (хр .... xj обозначают не только точки пространства Rn, но и радиус-векторы точек х. Но тогда левую часть уравнения (1) можно записать как скалярное произведение векторов А и х:
Atx, + ... + Апхп = ^AjX, - (А, х),
/=1
а само уравнение (1) записать в виде
(А, х) + В = 0.
Эквивалентное же ему уравнение (13 запишется в виде
(А', х) + В = 0,(23
где А' = МА, М * 0, В = МВ.
8 Бугров. Т. 1
Таким образом. А' есть вектор, коллинеарный вектору А, т. е. Л' получается из вектора А умножением его на число М Ф 0. Число И тоже получается из числа В умножением последнего на это же число М.
Уравнен ие плоскости в нормальном виде. Среди векторов А' особый интерес представляет единичный вектор, т. е. вектор, имеющий длину 1.
Чтобы получить его, множитель М надо подобрать так,
чтобы оказалось, что |Л'| = 1 (|A12 = М2^ А? )е
/=1
Отсюда ясно, что
Будем число М всегда выбирать так, чтобы при В Ф 0 число р = -МВ было положительным. Если В = 0, то за число М можно брать любое из двух возможных его значений.
При таком выборе числа М вектор А' = МА будет единичным, и мы его обозначим через V = (vp ..., vn), т. е.
”п
х, = МА, и - 1, .... П),= М^А^ = 1.
7=1у=1
В силу введенных обозначений уравнение (2') запишется:
п
2^ = р»(3)
/=1
где
и
£v; = 1, р > 0.(4)
Уравнение (3), где числа v^ и р удовлетворяют условиям (4), называется уравнением плоскости в Rne нормальном виде.
Уравнение (1), где Av ..., Ап, В - произвольные числа, но числа А^, ..., Ап одновременно не равны нулю, называется уравнением плоскости в Rn в общем виде.
Мы доказали, что любое уравнение плоскости в общем виде может быть приведено к нормальному виду умножением на определенное выше число М. Число М называется нормирующим множителем.
Очевидно и обратное, если умножить уравнение плоскости (3) в нормальном виде на произвольное не равное нулю число, то получим ему эквивалентное уравнение вида (1), где числа Aj одновременно не равны нулю.
Уравнение плоскости в векторной форме.
Уравнение (3) можно еще записать, очевидно, в виде
(v, х) - р.(3')
Введем в рассмотрение вектор
а - pv = (pvn ..., pv,) = рМА.
При р > О он направлен в сторону единичного вектора V и имеет длину, равную р: |а| = [pv| = p|v| = р.
Если р = 0, то а = О.
Помножим равенство (3') на р > О и учтем, что
р2 = (pv, pv);
тогда получим
(pv, х) = (pv, pv),
или
(а, х) = (а, а).
Учитывая свойства скалярного произведения, последнее равенство можно записать в виде
(а, х - а) = 0.(5)
Обратными рассуждениями из (5) можно снова получить (3')- Это показывает, что равенство (5) эквивалентно уравнению плоскости (1), т. е. уравнение (5) можно считать уравнением рассматриваемой нами плоскости (1). Говорят еще, что уравнение (5) есть уравнение плоскости (1) в векторной форме при В * 0 (т. е. р > 0).
Таким образом, плоскость (1) — это геометрическое место точек х, которые удовлетворяют уравнению (5).
Пусть теперь р = 0 или, что все равно, В = 0.
Тогда уравнение (3') имеет вид
(V, х) - 0.(5')
Уравнение (5') и есть уравнение плоскости (1) в векторной форме при В = 0. Оно выражает, что множество всех точек плоскости (1) состоит из всех точек х е Вп, удовлет-
/ Г"
воряющих (5'), где v = МА (М = ±1/ А? ) - любой из двух возможных единичных векторов.
Геометрическая интерпретация уравнений. Условимся говорить, что вектор с ортогонален к отрезку [х°, у0], если он ортогонален к вектору у0 - х°, т. е. если
(с, у0 - х°) = 0.
Будем также говорить, что вектор с ортогонален к плоскости L, если он ортогонален к любому отрезку, принадлежащему L.
Покажем, что если точки х1 и х2 принадлежат плоскости (5), то и отрезок [х1, х2] принадлежит этой плоскости. В самом деле, по условию
(а, х1 - а) = 0, (а, х2 — а) = 0.
Далее, произвольная точка х отрезка [х1, х2] может быть записана в виде
х = Хх1 + рх2 (X > 0, р > 0, X + р = 1), поэтому
(а, х - а) = (а, Хх1 + рх2 — а) =
=(а, Хх1 + рх2 - (X + р)а) = (а, Х(х* - а) + р(х2 - а)) =
= (а, Х(х* - а)) + (а, р(х2 - а)) =
= Х(а, х1 — а) + р(а, х2 — а) = X • 0 + р • 0 = 0.
Таким образом, х принадлежит плоскости (5), а следовательно, и весь отрезок [х1, х2] принадлежит этой плоскости.
Из уравнения (5) видно, что точка а принадлежит к этой плоскости: (а, а - а) = (а, 0) = 0.
В силу вышесказанного плоскость (1) можно определить как геометрическое место точек х е Rn таких, что разность х — а, где х — радиус-вектор точки х, ортогональна к вектору а.
Покажем еще, что вектор
Д = (А„ ...,А„)
ортогонален к плоскости (5).
В самом деле, в силу равенства а = рМА (р > 0) вектор А коллинеарен вектору а и, следовательно, он ортогонален к любому вектору х - а, принадлежащему, плоскости (5), т. е. ортогонален к плоскости (5) или, что все равно к плоскости (1).
Итак, числа Др ..., Ап в уравнении плоскости (1) имеют геометрический смысл — вектор А = (Ар .... Дп), составленный из коэффициентов при х} этого уравнения, ортогонален к плоскости (1).
Если р = 0 или, что все равно, В = 0, то рассматриваем уравнение (5'), эквивалентное уравнению (1). Уравнение (5') выражает, что множество всех точек х плоскости (1) состоит из точек х, радиус-векторы которых ортогональны к вектору V = МА.
В этом случае вектор А = (Др ..., Дп), коллинеарный вектору V, снова ортогонален к плоскости (1).
Уравнение плоскости, проходящей через п точек
Теорема. Пусть задано п точек х1 = (^ , .... х*),
xn = U*^ .... х"),
определяющих матрицу
Q -Q -xt xt х2 х2xt xt х2 х2(6)(6)х” — Ху х2х” — Ху х2хп -х1хп -х1
Q -
Q -
xt xt х2 х2
xt xt х2 х2
(6)
(6)
х” — Ху х2
х” — Ху х2
хп -х1
хп -х1
Тогда если ранг Q равен п — 1 (ранг Q = п — 1), то через указанные п точек можно провести плоскость и притом единственную.
Если же ранг матрицы Q меньше чем п — 1 (ранг Q < <п — 1), то через указанные п точек можно провести бесконечное множество плоскостей.
Доказательство. Пусть ранг Q = п — 1.
Уравнение искомой плоскости запишем в виде
^А^, + В = 0.(7)
7=1
Так как эта плоскость должна проходить через точку х1, то должно удовлетворяться равенство
£А^ + В = 0.(8)
7=1
Вычитая равенство (8) из равенства (7), получим уравнение
^АДх,-^ = 0,(9)
7=1
справедливое для всех точек х искомой плоскости.
Так как точки х2, ... хп должны принадлежать искомой плоскости, то их координаты должны удовлетворять уравнению (9), т. е. должны выполняться равенства
5L AAxi ~ xi^ = 0, 7=1
- - (10)
'^А^х'1 ~ х^ = 0.
7=1
Итак, числа А} должны быть решениями однородной системы, состоящей из равенства (9) и равенств (10), где х = (xv ..., х,) — произвольная точка искомой плоскости. Но числа Aj должны быть одновременно не равны нулю. Поэтому определитель однородной системы должен равняться нулю:
для всех точек х = (хр ..., хп) искомой плоскости.
Уравнение (11) и есть уравнение искомой плоскости. Если определитель левой части этого уравнения разложить по элементам первой строки, то получим уравнение вида (9) с коэффициентами Ар равными определителям (и — 1)-го порядка, порождаемым матрицей Q с соответствующим знаком. По условию среди этих определителей есть хотя бы один, не равный нулю.
Первое утверждение теоремы доказано.
Пусть теперь ранг матрицы Q меньше п — 1 (ранг Q < < п — 1). Тогда, рассуждая, как прежде, мы придем к тому, что любая точка х плоскости, проходящей через заданные п точек, должна удовлетворять системе, состоящей из уравнения (9) и уравнений (10) при некоторых постоянных Aj, ..., Ап.
Так как ранг Q < п - 2, то система (10) имеет бесконечное число решений А1, ..., Ап. При этом по крайней мере два из чисел Ар пусть А, и А2, могут быть любыми независимыми друг от друга числами - им можно придавать любые числовые значения.
Если подставить найденные числа А,, ..., Ап в уравнение (9), то различным не пропорциональным между собой парам А,, А2 будут соответствовать заведомо разные плоскости, проходящие через заданные п точек.
Второе утверждение теоремы доказано.
Уравнение (11) можно записать в форме
*1х2...х„1
^х2...х^1
-чx2...xn1
Условия ортогональности и параллельности плоскостей. Угол между двумя плоскостями в Rn
^AjXj + В = 0,(12)
"^A'jXj + S' - 0(13)
/=1
определяется по аналогии с трехмерным случаем. А именно, углом между плоскостями (12), (13) называется угол ф между векторами А = (Ар .... AJ и А’ = (А{, .... А'), которые, как мы выяснили, перпендикулярны к плоскостям (12) и (13) соответственно.
На основании формулы (8) § 6 имеем
Плоскости Ц2) и (13) перпендикулярны тогда и только тогда, когда cos ф = О , т. е.
/=1
Две плоскости (12), (13) параллельны тогда и только тогда, когда перпендикулярные к ним векторы А и А' коллинеарны (А = ХА'), т. е. когда
^А;х; + В = О,(16)
то ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости
^А,х9 + В = о.(17)
Вычитая (17) из (16), получаем
^А^-х®) = 0.(18)
/=1
Уравнение (18) называется уравнением плоскости, проходящей через точку Q0 = (х°, -•-, х®).
В векторной форме уравнение можно записать так:
А(р - р°) = 0,(18')
где
А = (Ар .... Ап), р = (Хр ..., хп),
Р0 = (Ч°»-» х").
Здесь, как мы знаем, вектор А перпендикулярен плоскости (16), р — радиус-вектор текущей ее точки, р° — радиус-вектор заданной ее точки Q0.
Прямая в пространстве Бп. Уравнения прямой в пространстве Rn можно вывести по аналогии с трехмерным пространством R3 (см. § 10).
Прямой L в Rn, проходящей через точку Q0 = (х®,
х®) и направленной в сторону вектора а = (а,, .... ап) (|а| > 0), называется геометрическое место точек Q = (х,, .... xn) е Rn, удовлетворяющих уравнениям
27.8. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Если точка (х®, ...» х®) = Q0 лежит на плоскости
хг - х° = tav
^n-^®=tan,
(19)
где t — действительная переменная, пробегающая интер-
вал (-оо, оо). Удобно считать, что вектор а приложен к точке Q0.
Уравнения (19) называются параметрическими уравнениями прямой L.
Если ввести в рассмотрение радиус-векторы точек Q и 0° прямой L;
р = (xv ..., х,), р° = (х®, ..., X®),
то уравнения (19) запишутся:
р - р° = ta,(19')
т. е. вектор р — р° коллинеарен вектору а.
Если действительная переменная (скаляр) t пробегает интервал (—°°, °°), то конец радиус-вектора
р = р° + ta
пробегает всю прямую L.
Уравнение (19') называется уравнением прямой в векторной форме.
Исходя из (19'), мы видим, что вектор а лежит на прямой L, потому что его начало Q0 имеет радиус-вектор р°, а конец — р° +а. Оба эти вектора удовлетворяют уравнению (19') соответственно при t = 0 и t = 1 (см. § 7).
Если исключить параметр t из уравнений (19), то мы получим систему из (п — 1) уравнений:
хг - х? х2 - х®хп - х®
—L = — = ... = ~”.(19")
“1"2“п
Уравнения (19") называются уравнениями прямой L в канонической форме или каноническом виде.
Пусть заданы прямые
Xi - xfх„ - х®
= ... -• (ЬЛ, «1»п1
*1 -У1 __ х„-у®
bi - ьп ■ W
Углом между прямыми L, и L2 называется угол ф между векторами
а = (а,, .... а„), Ъ = (6,, ..., Ъ^,
§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn 235 которые, как мы показали, лежат на соответствующих прямых Lx и LY Они приложены соответственно к точкам (*1°> -• х^Ду»,..., у»).
Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Q” = (х®, -.., х^) и перпендикулярно прямой, определяемой уравнениями
^ = ^=...= ^-_(20)
bl ь2ьп7
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку Q0, имеет вид (см. (18))
^гФ =0.(21)
;=i
Искомая плоскость должна быть ортогональной прямой (20), т. е. ортогональной вектору Ъ = (6,, ..., Ь„).
С другой стороны, вектор А = (А,, ... , Ап) ортогонален плоскости (21). Поэтому векторы А и 6 коллинеарны; А = ХЬ. Следовательно, уравнение искомой плоскости запишется:
^^х,-х^ =0. /=1
Расположение (и - 1) плоскостей. Пусть заданы уравнения (и — 1) плоскостей
А^, + ... + А^хп* В1 = 0,(22.)
А^х, + - + А^хп + В-* = 0.(22n_.)
Если коэффициенты первого уравнения пропорциональны коэффициентам второго ( а} : А2 : -•• : А* = А^ • А2* ... : А„), то плоскости параллельны (см. 27.7).
Если указанная пропорциональность имеет место и для коэффициентов других уравнений, то все плоскости будут
236
(25)(25)
(25)
(25)
параллельны между собой. В этом случае все определите
ли (и - 1)-го порядка, порожденные матрицей А коэф
фициентов А^ уравнений (22^-122^, равны нулю.
Если хотя бы один из определителей (и - 1)-го порядка
1
Aj не равен нулю, то плоскости (22^(22,^^ пересекаются по прямой. В самом деле, пусть для определенности
Ал-1
А2 А2А2
* 0.(23)
ДЛ-1 ДЛ-1дЛ-1
^1•••-^л-!
Тогда уравнения (22t)~(22п1) можно решить относительно хр ..., хп_1 и мы получаем
Решение. Векторы а = (1, 2, 3,4), Ь = (4, 3, 2, 1) лежат на наших прямых, расположенных в четырехмерном пространстве R4. Поэтому угол ф между этими векторами и будет углом между прямыми:
1-4 + 2-3 + 3-2+412
cos(p= Vi^TFTFTFV^TTTTTF = з*
2ф = arccos—.
Расстояние от точки до плоскости. Пусть задана плоскость П, определяемая общим уравнением
ЛЛ
X А^ + в = 0 (И12 = S А > °)-(26)
1=11=1
или векторным уравнением
(А, р) + В = 0,(27)
или же нормальным уравнением
(р, V) = р (р > 0),(28)
где А = (А,, .... Ал), р - радиус-вектор текущей точки
_ АВ
Q = (х„ .... х„) Плоскости П, v = + j^j , р = + । л| .
Зададим некоторую точку Q0 = (х®, .... х®). Радиус- вектор точки Q0 обозначим через р°.
Расстоянием от точки Q0 до плоскости П называется длиной d отрезка, опущенного из нее на П.
Покажем, что
d = |(р - ро, v)|,(29)
т. е. расстояние d до П равно абсолютной величине проекции вектора р — р° на направление единичного вектора
V = +т—г (ортогонального к П).
На рисунках 53 а и 53 б изображена плоскость П и точка Qo. На рис. 53 а точки О и Qo находятся по разные
стороны от П (П пересекает OQ0). А на рис. 53 б — по одну сторону от П (П не пересекает OQ0).
Через точку Qo проведена плоскость По, параллельная П. Из точки О проведена прямая, перпендикулярная к П (и По), пересекающая П и По соответственно в точках В и Во. На ней отмечен единичный вектор V, идущий от точки О по направлению к П.
Обратимся к рис. 53 а. Векторы р0 - р образуют острый угол. Проекция р0 — р на направление у есть положительное число, равное длине отрезка |ВВ0|, которая в свою очередь равна расстоянию от Qo до П:
|5Б0| = d = (V, р0 - р).
На рис. 53 б V образует острый угол с р0 — р и на этот раз расстояние от QO до П равно
|ВВ0| = d = (V, р - р0).
Оба полученные равенства объединяются равенством (29) или, что все равно, равенством:
d = l(v, Ро) - р|.
Таким образом, для того чтобы вычислить расстояние d от точки Q0 до плоскости П, надо записать уравнение плоскости П в нормальном виде (28), перенести р в левую часть и подставить в последнюю (xj, —» х„) вместо (хр ..., хпУ Абсолютная величина полученного выражения и есть искомое число d.
На языке параметров плоскости, очевидно.
Пример 3. Найти расстояние d от точки
пространства Rn до плоскости
х. + V2 х9 + Vs хч + ... + 4п xn + 1 = О.I w3п
Решение. Согласно сказанному выше
Различные задачи.
Привести к нормальному виду уравнения следующих плоскостей (1-3):
1х. + 2х„ + ... + пхп = —1.
12П
У^х,—д
Ответ: -,= , “; ~ .
4<п + 1)(2п +1) V п(п + W2» + !) 2. x+y + z+ t = 0.
7=17=1V>o+dV>o+d
7=1
7=1
V>o+d
V>o+d
п + 1 n/U + l)^п + 1 n/U + l)^Ответ: ^Ответ: ^Ответ: ср =Ответ: ср =л3 "л3 "
п + 1 n/U + l)^
п + 1 n/U + l)^
Ответ: ^
Ответ: ^
Ответ: ср =
Ответ: ср =
л
3 "
л
3 "
+ 1
п
Найти угол ср между плоскостями в /?4: (8 + V59 )*! + 2х2 + Зх3 + 4х4 = О, 4х. + Зх9 + 2х, + (8 + V59 )х, - 1.
Найти угол <р между плоскостями в /?2п:
2л2л _
^Д-^'^ = 0, ^7х =1.
7=17=1 '
Ответ: <р = — (плоскости ортогональны).
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки пространства R :
= (1" 0,0),
Q2 = (0, 1, 0,0),
Qn = (0, .... О, 1).
Ответ: х, + х2 + ... + хп = 1.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1, 2, ..., п) перпендикулярно плоскости:
пхх + (п - 1)х2 + ... + 2хл , + хп = 4.
Ответ:Ответ:^i -1п^i -1п^2 ~ 2П - 1^2 ~ 2П - 1
Ответ:
Ответ:
^i -1п
^i -1п
^2 ~ 2
П - 1
^2 ~ 2
П - 1
Написать уравнение плоскости в R4, проходящей через точки
Qj = (1, 0, 0, 0), Q2 = (1, 1, 0, 0),
Q3 = (1, 1, 1, 0), Q4 = (1, 1, 1, 1).
Ответ: хх = 1 (1 • х, + 0 • х2 + 0 • х3 + 0 • х4 = 1).
Линейное программирование
Введение. Линейное программирование - это раздел математики, изучающий методы нахождения максимальных или минимальных значений линейной однородной формы - линейной функции
/(х,, .... х„) = ^еьхь(1)
6=1
в некоторой области G n-мерного пространства Rn = {—оо < < х. < оо, i = 1л}, где ск - постоянные числа, не все
равные нулю.
Ясно, что если G = Rn, то линейная функция (1) не имеет наибольшего и наименьшего значений: sup/ = +=, inf/ = -оо.
Однако если мы будем рассматривать ограниченную замкнутую область G, то линейная функция / (непрерывная на Rn, а следовательно, и на G) достигает своих максимальных и минимальных значений на G. Так как
Э/
Эх, = с‘ 0=1« — п =")
и с, одновременно не равны нулю, то линейная функция / не имеет стационарных точек. Поэтому наибольшее и наименьшее значения эта функция достигает только на границе 3G.
Так как шах/ = —min(-/), то в дальнейшем мы будем говорить только о минимуме линейной функции / на G.
Транспортная задача. Характерной задачей, приводящей к указанной выше проблеме (нахождения минимума или максимума линейной функции), явля-
ется транспортная задача. Требуется наиболее экономно, в смысле транспортных затрат, перевезти потребителям заказанную ими на данных предприятиях продукцию. Характер продукции в данном случае не имеет значения. Важно, что речь идет об однотипной продукции.
Итак, пусть имеются предприятия (производители) Вр ..., В, выпустившие продукцию в количестве соответственно 6р ..., b тонн. Эту продукцию надо доставить потребителям Ар ..., At в количествах av ..., at тонн соответственно, т. е. ар — количество продукции, заказанное потребителем Ар.
Таким образом, надо считать, что
s/
Е^ = Е°р, 7=1Р=1
т. е. вся произведенная продукция распределена между предприятиями. Стоимость перевозки тонны продукции от В^ к Ар обозначим через с . Пусть количество продукции, доставленной из Bq в Ар, будет х^. Тогда стоимость перевозки продукции будет
s t
9=1 р=1
Требуется так составить план перевозок, чтобы сумма транспортных расходов S была минимальной.
Таким образом, мы пришли к следующей математической задаче.
Дана линейная функция
s t
S =xqp-^2^
9=1 р=1
Требуется найти ее минимум при ограничениях
t
5^ ^ to = i,s),р=1
V —<3>
2^Хдр=аР tp = l>t\ 9=1
т. е. сумма продукции, полученной потребителями Av ..., At от производителя Bq, равна продукции bq1 выработан-
ной этим предприятием, а сумма продукции, полученной потребителем^ от всех производителей Bv ..., Bs, равна потребности ар этого потребителя.
По характеру задачи также ясно, что х £ О.
Таким образом, среди неотрицательных решений {х^ системы (3) необходимо выбрать такое, при котором S достигает наименьшего значения (минимизируется).
Общая задача линейного программирования. В общем случае задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом: даны система линейных уравнений
п
^а1кхк + 6. = 0 (у = 1, .... пг = 17m ) (4) Л=1
(где можно считать, что bj > 0, изменяя, если нужно, знак в соответствующем уравнении (4)) и линейная функция
и
f = ^ckxk , (1) fe=l
Требуется среди неотрицательных решений системы (4) х = (хр ..., хп), х^ > 0, найти такое решение, для которого линейная функция f принимает наименьшее значение.
Уравнения (4) обычно называют ограничениями данной задачи. Конечно, требование, чтобы ху > 0 (у = 1, п ), тоже является ограничением, но оно присутствует во всех задачах подобного типа и его не принято называть ограничением. Любое неотрицательное решение системы (4) будем называть допустимым, а решение, реализующее минимум, - оптимальным.
Отметим, что уравнения системы (4) с геометрической точки зрения представляют плоскости в Rn. Чтобы задача о минимуме / была содержательной, необходимо, чтобы число т ограничений типа равенств было меньше п.
Например, при п = 2 наличие двух ограничений означает, что неотрицательное решение системы должно быть точкой (х0, у^ пересечения прямых, представляющих уравнения системы. Тогда задача о нахождении min/ сводится к вычислению / в этой точке. Если прямые параллельны, то задача теряет смысл. Если ограничений больше двух,
то система или несовместна, или же все прямые принадлежат одному пучку:
А(х - х0) + В^у - у^ - 0.
В этом случае минимум f также равен Дх0, у^.
В ряде практических задач (например, в задаче о диете) ограничения носят вид неравенств
п
^ + X а^хк > о ^- Х^т^ xk>tYk- 1,п\ (5) А=1
Однако от одного типа ограничений легко перейти к другому. В самом деле, если ограничения носят характер неравенств (5), то вводим новые добавочные неизвестные ^п+Р •••> ^п^т с помощью уравнений
п
xn+i = М 5L а»хк ^= 11 m )•
Тогда неравенства (5) равносильны условию хп+. > 0
(j; = 1, т ), хк > 0 (к = 1, п ), и мы пришли к ограничениям типа равенств (4), хотя и с большим числом переменных.
Обратно, пусть имеют место ограничения типа равенств (4). Тогда, решая эту систему (например, методом исключения неизвестных), мы после некоторого числа шагов или убедимся, что система несовместна, или же разрешим систему (4) относительно некоторых неизвестных:
Х1 = «l.r+l^r+1 + - + а1.„Хп + Р1> (6)
Хг = «r.^l^r+1 + ... + V„ + Pr,
Здесь г — ранг матрицы коэффициентов системы (4).
Подставляя эти выражения xv ...» хг в функцию /, получаем
/ = Со + ^г+1 ^г+1 *1* ••• + Сп ^п"
После этого исходная задача может быть сформулирована следующим образом. Даны система
«LrH^l + - + <V„ + Pi ^ О, (7) W*. + - + Vn + Рг > О
г линейных неравенств с п — г неизвестными хм1 ... хп и линейная функция
f = Со + ^+1^гн + - + с'пхп.(8)
Требуется среди всех неотрицательных решений системы (7) найти такое, которое минимизирует f.
Эта задача эквивалентна исходной. В самом деле, если мы нашли решение задачи (7), (8) х^» •-, х®, то, находя по формулам (6) неотрицательные значения х®, --•» х®, мы получим систему чисел
у°оо
которая служит решением задачи (1), (4).
Таким образом, задачу линейного программирования можно ставить с ограничениями типа неравенств. Из такой постановки видно, что область G, в которой мы ищем минимум Д представляет собой «многогранник» в неотрицательном угле Rn (т. е. когда хк > 0, к = 1, п), а ее граница 3G состоит из «плоских граней», находящихся в плоскостях пространства R^.
п
^ajkxk 4- ь, = 0.(9)
Множество G с: Rn называется выпуклым, если Vх, у g G ах + ру е G, а + Р = 1, а, р > 0.
Из системы неравенств (7) ясно, что «многогранник» G выпуклый и G находится по одну сторону от любой из своих граней.
Слово «многогранник» мы пишем в кавычках, так как могут быть случаи, когда этот «многогранник» будет неограниченной частью неотрицательного угла Rn.
Например, при п = 2 и при тех ограничениях типа неравенств «многоугольник» G может быть неограниченным в первой четверти Ry На рис. 54 G - заштрихованная часть.
Рис. 54
В дальнейшем кавычки у слова «многогранник» мы будем опускать.
При нахождении минимума линейной функции / на замкнутой области G = Gn мы последовательно будем переходить на плоские грани Gn меньшей размерности. Отмстим, что граница 3G n-мерного многогранника состоит из нескольких (п - 1)-мерных многогранников. Если Gn - ограниченный замкнутый многогранник, то линейная функция / достигает минимума в некоторой точке границы 3Gn. При рассмотрении линейной функции / на этом новом многограннике меньшего числа измерений она снова будет линейной функцией, но от меньшего числа переменных и, следовательно, будет достигать минимума на границе dGn-1, которая состоит из (п - 2)-мерных многогранников. Продолжая этот процесс, мы придем к случаю, когда линейная функция рассматривается на одномерной грани (ребре G^ границей которой являются точки (вершины многогранника G^.
Таким образом ясно, что если Gn — ограниченный замкнутый многогранник, то линейная функция достигает минимума в некоторой вершине Gn.
Если минимальное значение достигается в двух вершинах, конусах ребра, соединяющего эти точки, то в этой ситуации существует бесконечное множество точек, в которых линейная функция достигает минимума.
п
Замечание 1. Если функция / = ^скхь + В, где В к=1
- постоянное число, то мы исследуем сначала линейную форму ф = / — В, и если min ф = ф0, то min / = ф0 + В.
Из приведенных соображений вытекает следующий геометрический метод решения поставленной задачи о минимуме линейной формы f.
Рассмотрим плоскости уровня функции /:
п
с = £<№ (— < С < ~).(10)
Уравнение (10) при различных С в пространстве Rn изображает семейство параллельных плоскостей (см. § 27). Будем непрерывно и монотонно изменять С от —«> до +оо. Тогда плоскость (10) будет передвигаться в Rn в направлении вектора (ср ..., сп), который, как мы знаем, перпендикулярен плоскости (10). Очевидно, что если сп > 0, то плоскость (10) поднимается вверх относительно оси хп при изменении С от —<х> до -h~; если же сп < 0, то плоскость (10) опускается вниз относительно оси хп. При сл = 0 плоскость (10) движется вправо или влево относительно оси х^ в зависимости от знака числа сп-1 (сп-1 ^ 0). Если сп > О и при всех С < С*, где С* - некоторое действительное число, плоскость (10) пересекает область G, то inf/ — —©о.
Если же этого нет, то при некотором С = Со плоскость (10), двигаясь в направлении вектора (ср ..., cR), впервые встретит замкнутую область G в некоторой точке (xf, - - -» xR). Тогда в этой точке встречи функция / и достигает минимума.
На рис. 54 при п = 2 прямая уровня при возрастании С поднимается и при С = Со впервые встречает замкнутый многоугольник G в точке (хр, х®)- Значит, min/ = /(xf» х°)-
Если грань многогранника G, проходящая через точку первой встречи G с плоскостью уровня, параллельна плоскости (10), то линейная функция / достигает минимума в любой точке этой грани.
Этот геометрический метод решения поставленной задачи эффективен лишь при п = 2, т. е. когда плоскости
(10) — прямые и G - многоугольник, ограниченный или нет. При п = 3 взаимное расположение плоскостей и многоугольника G трудноуловимо, а при п = 4 мы просто не можем прибегнуть к наглядным графическим изображениям.
Пример 1. Найти минимум функции /(х, г/)=3 - х ~у (х > 0, у > 0) при ограничениях (рис. 55)
х - у +1 > 0,- 2у + х - 2 > 0, .
4 - у - 2х > О
Ясно, что область G есть треугольник с вершинами в точках М = (2, 0), N = (1, 2), Р = (0, 1). Прямая уровня функции f:
3 ™ х - у - С,
при возрастании С от -о» до +сю опускается относительно оси у (коэффициент при у отрицателен); ее первая точка встречи с G есть вершина N. Значение функции f в этой точке равно нулю (С = Со = 0). Итак, решение задачи есть х = 1, у = 2, / = 0.
В данном случае можно было бы просто вычислить значение f в точках Af, N, Р и взять наименьшее: f(M) = = /(2, 0) = 1, AN) = AL 2) - 0, АР) = АО, 1) = 2, т. е. min f = f(N) = 0.
Рис. 55Рис. 55Рис. 56Рис. 56
Рис. 55
Рис. 55
Рис. 56
Рис. 56
Пример 2. Найти минимум функции f — 3 - х 4- 2у при тех же ограничениях, что и в примере 1.
В данном случае прямая уровня функции
3 - х 4- 2у = С
при возрастании С от — о» до 4-со поднимается (рис. 56) вверх относительно оси у (с2 = 2 > 0) и ее первая точка встречи с областью G есть вершина М = (2, 0). Значение функции / в этой точке равно 1 (С = Со = 1). Здесь тоже проще всего взять наименьшее среди чисел f(M) = 1, f(N) - 6, HP) = 5.
Пример 3. Найти минимум функции f = -х при ограничениях
х + у - 3 > 0,
х - у 4-1 > 0,G= -х + у+1>0, '
2x4- у > 0
Ясно, что последнее ограничение несущественно, оно перекрывается условием х > 0, у > 0.
Область G неограничена и представляет собой полосу (рис. 57) между прямыми х — у 4- 1 = 0, -х 4- у 4- 1 = 0 и правее прямой х + у — 3 = 0, которая пересекает эти прямые в точках N — (1, 2), М = (2, 1).
При х —> 4-оо функция Дх, у) = — х —> -оо, (х, у) е G. Поэтому линейная функция / не имеет наименьшего значения (inff = —оо).При х —> 4-оо функция Дх, у) = — х —> -оо, (х, у) е G. Поэтому линейная функция / не имеет наименьшего значения (inff = —оо).Рис. 58Рис. 58Рис. 57
При х —> 4-оо функция Дх, у) = — х —> -оо, (х, у) е G. Поэтому линейная функция / не имеет наименьшего значения (inff = —оо).
При х —> 4-оо функция Дх, у) = — х —> -оо, (х, у) е G. Поэтому линейная функция / не имеет наименьшего значения (inff = —оо).
Рис. 58
Рис. 58
В данном примере прямая уровня —х = С при возрастании С от —оо до 4-оо движется влево (Cj = — 1 < 0) и при всяком С < —1 пересекает G, значит, inf/ = —оо.
Пример 4. Найти минимум функции f=4--x-vy-2z при ограничениях
где av ау а3 — положительные числа.
Ясно, что область G (рис. 58) есть часть пространства Д3, находящаяся в первом октанте (х > О, у > О, 2 > 0) между плоскостями
Xи2X U 2
14= 1,14-а^^2аз2а^2а^да3
В данном случае многогранник G имеет шесть извест
ных вершин
(ар 0, 0), (2ар 0, 0), (0, ау О), (0, 2ау 0),
(О, 0, а3), (О, 0, 2а3).
Поэтому, вычисляя функцию / в этих точках, легко находим ее минимум и максимум:
ax > 2o3,o^ < 2a3;ax > 2o3,o^ < 2a3;min/ = min{4 - ар 4 - 2av 4 + a2, 4 + 2ay 4 — 2a3,
ax > 2o3,o^ < 2a3;
ax > 2o3,o^ < 2a3;
I4 — 2a,,
4 - 4oJ = min{4 — 2a., 4 - 4аЛ = 5 313[4-403,
max/ = 4 4- 2a G
Векторно-матричная форма задачи линейного программирования. Задачу линейного программирования можно сформулировать также в векторно-матричной форме. Пусть с = (ср ..., сп), х = (хр ..., хп), О = (0, ..., 0) - векторы пространства Rn; Ъ = (6Р ..., Ъ^ - вектор из пространства Rm;
°11 °12 •** а1п
°21 °22 ••• а2п
&т1 ^т2 ^тп
- матрица размера п х т, составленная из коэффициентов системы ограничений (4). Линейная функция Дх) =
п
= ^ скхк = сх есть скалярное произведение векторов с и х. к=1
Поэтому общую задачу линейного программирования можно записать в следующем виде: требуется минимизировать скалярное произведение сх при условии х > 0 и Ах + Ь = О.
Примем столбцы матрицы А за векторы из Rm-.
^1 ~ (°1Р °12> *-> Qmdt — » Р„ = (а1п^ а2п» •"» ат.г)'
Тогда легко получаем, что
Ах - (auxv + ... + aXnxn> ..., amXxx + ... + ашйхй) =
= (anxv а2Ххх, ..., amlx^ + ... + (а1йхй, ..., а^х,) -
= Р<х. Нг Р у + ... + Рх.
Поэтому систему ограничений можно записать в виде
и
^ixi ” ^*
/=1
Если ранг Л = т> то среди векторов Pv ..., Рп имеется т линейно независимых, которые можно принять за базис в пространстве Rm (см. § 16). Следовательно, любой вектор (—Ь) g Rm может быть разложен по элементам этого базиса. Нам необходимо выбрать такой базис, чтобы вектор (—Ь) разлагался по векторам этого базиса с неотрицательными коэффициентами хр х2, ..., хй.
Различных m-мерных базисов (т < /г) из векторов Pv ..., Рп конечное число. Среди них могут быть базисы, по элементам которых вектор (—6) разлагается с неотрицательными коэффициентами. Тогда минимум скалярного произведения (линейной функции) достигается на конеч-
ном множестве точек х = (хр ..., xj е Rn1 где х. - коэффициенты разложения вектора (—6) по элементам некоторых базисов.
Если базисов указанного типа нет (вектор (-5) не разлагается по элементам базисов с неотрицательными коэффициентами), то задача линейного программирования не имеет решения (неразрешима).
Таким образом, задача состоит в том, как найти базис
(^ ’ ••*’ ^Лп 1
так, чтобы
т
-ь = Xх*А, ч > о,
и
т
minf = mine# = ^Lck,xh. •х;>о м
Симплекс-метод. Реальные задачи линейного программирования содержат, как правило, большое число ограничений и неизвестных. Поэтому естественно, что решение таких задач связано с большим объемом вычислений. Это затруднение преодолевается с помощью быстродействующих электронно-вычислительных машин (ЭВМ). Для каждой задачи разрабатываются алгоритм и программа, и затем ЭВМ в короткий срок дает решение поставленной задачи.
Существуют и другие общие методы, позволяющие найти решение любой задачи линейного программирования в обозримое число шагов.
Таким является симплекс-метод. Опишем идею этого метода.
Пусть надо найти минимум линейной функции
п
К^ = с'о + У,с'^(11)
среди значений х; > 0 (/ = 1, ..., и), удовлетворяющих равенствам
п
^a'k Xj + % = О (А = 1, ...» т; т < п).(4)
Неотрицательные решения системы (4) х) > 0 (j— 1, п) мы условимся называть допустимыми» а точку х = = (хр ...» хп) - допустимой точкой. Покажем, как эту задачу можно решить, применяя симплекс-метод.
Пусть ранг матрицы Д7 = ( а'ц ) равен г < т (г — ранг Д7). Будем считать, что система (4) разрешима относительно хр ...» х;.
п
xh=bk- akxj (А = 1, г),(12)
/=г+1
и числа Ьк неотрицательны (Ьк > 0» h 1, г).
В этом случае говорят, что переменные xv ...» хг образуют базис — базис В = {хр ...» хД. Остальные переменные называются свободны ми или небазисными. Следует обратить внимание, что здесь понятие базиса не совпадает с понятием базиса из § 16-
Вопрос о возможности перехода от системы (4) к системе (12) будет рассмотрен ниже в п. 28.8.
Системы (4) и (12) равносильны, поэтому допустимая точка х системы (4) есть допустимая точка системы (12), и обратно.
Очевидно, точка Ъ =^bv ...» Ьг» 0, ...» 0) допустимая, ее называют базисным решением» отвечающим базису В. Будем писать f^b) = fB. В силу равенств (12) функцию f можно записать в виде линейной функции от переменных ЭС) U = г + 1, —» nY
п
fto= с0- ^с^.(13)
j=r+l
Очевидно, что fB = с^ с0 4- Z^ ri .
/=1
Первый этап симплекс-метода связан с рассмотрением функции f» определяемой равенством (13), и системы ограничений в виде равенств (12).
Рассмотрим четыре возможных случая I, II, III,., Шо.
Случай I. Пусть с. < 0 для всех у = г + 1, ..., п. Тогда минимум /, определяемой равенством (13), относительно всех xj > 0, у = 1, .... л, будет равен с0:
min /(х) = с ху20, /=1,...,л
Этот минимум остается тем же для допустимых jcp ..., хп. Этим задача на минимум решена.
Случай II. Пусть для некоторого у0 Cj > 0 и все коэффициенты а^о матрицы А = ^ак^ неположительны: аЫ0 < О (А = 1, .... г).
Тогда при любом xjg > О (г + 1 < /0 < п) точка
х° = (х,, .... хг, 0 О, xjo, 0 0).(14)
где хк ^к = 1, .... г) вычисляются по формулам (12), будет допустимой, и если ее подставить в f, то получим f = = с0 - СкХк -> ~°° при хк -> +оо. Поэтому
inf /(х) = -оо, Ху>0
и нашу задачу о минимуме можно считать решенной.
Случай III. Пусть для некоторого у0 коэффициент с/0 функции / положительный (с^ > 0) и имеются поло* жительные коэффициенты akj в у0-м столбце матрицы А:
аМо > 0 (к е е),(15)
где е — множество индексов к* для которых выполняется неравенство (15).
Пусть
bh
min—^- = —s- = 5 > 0 (1 << г, к„ е е). (16)
fcer аШ0 аМ«
Элемент ак^о называют разрешающим элементом.
Рассмотрим отдельно случаи 8 > 0 и 8 = О, которые будем обозначать через 1Щ и Шо соответственно.
Случай Ш+. Точка (14) для значений -^ , удовлетворяющих неравенствам 0 < х^ < 8 (8 > О), допустимая. В самом деле, в силу (12) при к "е с непосредственно видно, что
Хк = bfe- akjoxjo>0 (<^„<0),
а при к g е в силу соотношений (15), (16) имеем хк = bk- aM(>xio^bk- akio^ =
= Ьк- ак min к^е аМо= Ьк- ак min к^е аМо'к а^о'к а^о-^- =ьк-ьк = 0. аМо-^- =ьк-ьк = 0. аМо
= Ьк- ак min к^е аМо
= Ьк- ак min к^е аМо
'к а^о
'к а^о
-^- =ьк-ьк = 0. аМо
-^- =ьк-ьк = 0. аМо
Если Xjo непрерывно возрастает от 0 до 8, то все хк > 0 (к = 1, ..., г), а хко = bko - akoioxjo к тому же непрерывно
убывает от Ьк до 0. При дальнейшем возрастании
Xj переменная х^ становится отрицательной и точка (14) перестает быть допустимой.
Функция
fW = с0 - с^
при возрастании х^ от 0 до 8 убывает от /(6) = с0 до
Я^1) = с0 - С,о 8 , где
V = (6, - а1/0 8, .... br - arjo 8, 0, .... 0, 8, 0, ..., 0) (17) и 8 стоит на /0-м месте.
Таким образом,
со = /(Ь) > ДЬ1) = с0 - с/о8.
Отметим, что координата xNq ^к0 g е) в (17) равна нулю:
^0= Ьк- а^.Ъ = Ьк - аМо— = °- “^0/0
Так как o^j > 0, то й0-е уравнение системы (12) можно решить относительно ^ :
х*--« « X ^,о»)
*о/о ^о/о /=Г+1, ^о/о/*/о
Мы выразили Xjo через ^ и остальные переменные ^ U *j0,j>r+ 1).Можно выразить через эти переменные также любую переменную xk (к ^ &0, 1 < к < г), если подставить выражение (18) вместо х^ в равенства (12), соответствующие любым к Ф к0.
Итак, в случае III ь удается решить систему (12) относительно переменных
xv ...» хко„г> xjo , хЛо+1, ..., хг. (19)
Условно запишем соответствующую систему равенств так:
^^ ьк - ^^1^ = 1, ..., г),(20)
/-г+1
хотя на самом деле в этих равенствах только переменные X; (г ^ Ао, /0) остались прежними, а остальные пере-
менные хко и Хуо поменялись местами. Покажем, что свободные члены
(21)(21)b\ > О (А = 1
(21)
(21)
В самом деле, еслиВ самом деле, еслиАе е, то (akjoАе е, то (akjobl =ь„-^-ьк“Mobl =ь„-^-ьк“Moahj0ahj0ЬкЬкЪЪ^^oio >^^oio >ак)оак)оЬк<°МоЬк<°Мо-3 > 0.-3 > 0.
В самом деле, если
В самом деле, если
Ае е, то (akjo
Ае е, то (akjo
bl =ь„-^-ьк“Mo
bl =ь„-^-ьк“Mo
ahj0
ahj0
Ьк
Ьк
Ъ
Ъ
^^oio >
^^oio >
ак)о
ак)о
Ьк
<°Мо
Ьк
<°Мо
-3 > 0.
-3 > 0.
Если же к е е (a-kj0 < О), то
bX = ьк- ^ько=ьк + ^ч =6б+ |OfcyJ5 ^ о °Мо
и неравенства (21) доказаны.
Итак, переменные хи ...^ хг в системе (20) образуют
базис - базис В1 (см. также (19)).
Для базисного решения Ь1 = (&}, ..., Ь^> 0, ..., 0)
fBx = ЛЬ1) = СО- сУо 5 < с0 = ЛЬ) = fB (С/О > О).
Базис Вх отличен от базиса В» и для него можно начать второй этап рассуждений (случай I, II, III).
Таким образом, случай III + рассмотрен.
Случай Шо. Пусть сУо > 0, о^0 > 0 для к е е» б = 0.
В этом случае ^0 = 0 (см. (16)) и равенство с номером к0 в (12) имеет вид
л
Ч=-Х%Л-(22)
J=r+1
Если в равенстве (22) все коэффициенты ^,г*1» •-» акоп положительные, то система (12) имеет единственное допустимое решение xj = О, / = г + 1, ..., л; хк — Ьк > О (к = 1, ..., г). Значение функции f на этом базисном решении будет: / = с0. Задача на минимум функции / в этом случае решена.
Допустим, что в (22) имеются коэффициенты о^ < О для некоторого значения / (/ ^ у0). Тогда, как и в случае Ш+, переходим к новому базису Вх (вводим в базис переменную Xjo и выводим из него ^0, akj0 - разрешающий элемент). Отметим, что в этом случае значение fB” Твх V^-QY
9 Бугров. Т. 1
Итак, рассматривая базис В, мы либо решим нашу задачу на минимум, либо придем к новому базису В^ (Вх * В). К базису Вх снова применяем наш метод - это приведет к решению задачи либо к новому базису В2 (В2 ^ В^. Продолжая этот процесс, получим цепочку базисов
Во, Bv В2, ... (Во = В). (23)
Если для некоторого s будет иметь место случай I или II, то цепочка на этом s оборвется и задача будет решена. Иначе от базиса В, переходим к базису Bi+V
Однако может случиться цикл. Он заключается в том, что хотя каждый последующий базис цепочки и отличается от предыдущего, но для некоторых s и Z (Z > 1) будет происходить совпадение базисов: Bs = В^г
Разберемся, что здесь происходит. Для базиса Bs+1_t произошел случай Шо, т. е. оказалось, что существует /0 (г + 1 < /0 < п) и такое fe0 (1 S^г), что
с/0 > °. °Мо > 0, ЬЬо = о (8 = 0), (24)
и это привело к базису В8 (Вя+1 = В^.
Но пара чисел (Ао, /0), вообще говоря, неединственна, и какая-то другая пара ( к'о, /0), для которой выполняются свойства (24), может привести к базису, отличному от базиса Ве. Это на самом деле и имеет место, как учит теория (см. ниже теорему 1 и замечания к ней).
Таким образом, если для некоторых s и Z случится цикл, то его можно устранить. В этом случае для базиса ВЕ+И надо перебрать всевозможные пары (k0, j^, обладающие свойствами (24). Каждая такая пара приводит к некоторому базису. Среди них есть отличный от базисов So, Bv .... B,4_v
У с т р а н е н и е цикла. На практике циклы бывают очень редко. Все же объясним, как их можно «разорвать» (устранить).
Отметим теорему, доказательство которой будет намечено в п. 28.7.
Теорема 1. От любого базиса В существует путь, ведущий к решению задачи на минимум, т. е. существует цепочка базисов, получаемых симплекс-методом, приводящая к минимуму (или к -оо).
Итак, пусть имеем цикл
в^,в,ч (ВяИ = В).
Тогда, очевидно,
fe8 = fBR+1 = ... = /в,+1 -
Пусть s0 - наименьшее неотрицательное целое число, для которого
^Ввц " fe^i ... ^B^t
^в^ > fBS0 , So<s, B6o - BSo+/).
Очевидно, для базисов
В,о, BSD+1, .... BSo+l(25)
имеет место случай Шо. Переход от любого из этих базисов В8 (s0 < s < s0 + Z) к последующему совершается посредством разрешающего элемента °kojo • Но базису Bs может соответствовать и другой разрешающий элемент, который переводит В8 в базис В'+1, отличный от Вя+1 (В'+1 ^ BSV1Y Может случиться, что для любого s (s = s0, .... s0 + Z) базис B'+1 содержится в цепочке (25). Тогда все базисы (25) решают задачу на минимум, т. е. fe^ = fB^ = ... = = fc^ = minf. Ведь по теореме 1 существует путь, ведущий от B8q к минимуму. Но в данном случае все пути от BSo ведут к базисам цепочки (25).
Однако может случиться, что для некоторого s разрешающий элемент базиса Bg переводит В6 в базис В'и , не входящий в цепочку (25). Тогда мы получим новую цепочку
BSo, Bso+1,.„, в„ в;+1(26)
с новым последним базисом B's+1, который подлежит исследованию симплекс-методом.
Но указанных значений s может оказаться и много. Одна из цепочек может и не привести к нужному результату. Необходимо произвести перебор всех цепочек. Отметим, что сам перебор цепочек становится громоздким.
Если произошел цикл, то можно порекомендовать специальный метод выбора разрешающего элемента. Этот метод связан с дополнительными вычислениями, но зато последовательное его применение необходимо приводит к решению задачи без зацикливания (без образования циклов).
Выбор разрешающего элемента. Симп- лекс-таблицы. Условимся вектор Q = (у0, qv .... q^ называть положительным (отрицательным) и писать Q > 0= - (00) (Q < 0), если его первая не равная нулю ком
понента положительная (отрицательная).
Будем говорить, что вектор Q меньше вектора D = (d0, dp .... dn) или вектор D больше вектора Q, и писать Q < D или D > Q, если D - Q = (d0 - q0, .... dn - gn) > 0.
Замечание 2. Целесообразность приведенных определений >, < для векторов Q можно подтвердить следующими соображениями.
Каждому вектору Q = (q0, ..., q^ поставим в соответствие многочлен от переменной t вида 0(0 = q6-V qxt А- ... + qntn, который является непрерывной функцией и 0(0) = q0. Если q0 > 0, то найдется окрестность нуля такая, что для всех t из этой окрестности Q(0 > 0. Если же 9о=- = Чк = ° и qM > 0, то
6(0 = <м[5м + q^t + ... + qt-^.
Многочлен в квадратных скобках больше нуля Vk+i > ^) в некоторой окрестности нуля. Далее О+1 > 0 для t > 0. Значит, 0(0 > 0 для всех 0 < t < 0, где 0 - некоторое положительное число.
Таким образом, если вектор Q > 0, то соответствующий многочлен 0(0 > 0 для 0 < t < 0 при некотором 0 > 0.
Вернемся теперь к системе ограничений (12), которую мы запишем в форме
Д cd
S £ 5 о й
V : ^ : V
V
ф
3 №
5 з
о Ф и с; О У
о : -°: о
нс
к"
к"
н"
d с^к
е™ : о : е"
55'^
в1в6в*
+ tгt
сГ:Q:в*"
ООгЧ
О:гч:о
гч:о:О
о
о
о
о
со S
Таблица 1
-., г), (12)-., г), (12)** + Ха*А = bk (6^0’ к = 1»/=г+1
-., г), (12)
-., г), (12)
а линейную функцию (13) запишем в виде
п
f* ^CjXj=c0.(13)
/=г+1
Здесь базис В = {хр ..., хД.
Оформим систему равенств (12) и (13) в виде таблицы 1 (матрицы).
Табл. 1 называется симплекс-таблицей. В табл. 1 мы приписали некоторую добавочную матрицу ||d.J| размера гх г и добавочную строку (dp ..., dr\ Введем в рассмотрение векторы
^(^0’ ^V •••* ^3* ^k ^k* ^kl* *••’ ^hr^1 ^1» 2, ...» Г.
Базис В называется положительным, если все векторы Dk (^ = 1, ..., г) положительные Ц\ > 0). Например, если
матрица ||dj| единичнаяматрица ||dj| единичнаяdHdH[0, / * у J[0, / * у Jто базис В пото базис В по
матрица ||dj| единичная
матрица ||dj| единичная
dH
dH
[0, / * у J
[0, / * у J
то базис В по
то базис В по
ложительный, потому что для любого к = 1, ..., г либо Ък > 0, либо первый отличный от нуля элемент Ze-й строки матрицы ||dj| равен 1 > 0.
Будем считать, что числа d,. подобраны так, что базис В положительный и матрица ||dj| невырожденная (т. е. определитель, порожденный матрицей, отличен от нуля). Вектор D выбираем произвольно. Можно считать, что D = (c0, 0, ..., 0).
В дальнейшем при переходе от базиса В к другому базису В' записи систем ограничений (12) и линейной функции (13) будут изменяться, этому соответствует изменение табл. 1 с помощью некоторых элементарных преобразований (см. § 4.7), которые мы распространяем и на добавочную матрицу ||dj и добавочную строку ^dv ..., d). В результате векторы ик и D будут соответственно изменяться.
Напомним, что в случае Шо существует /0 (г + 1 <j(< ri)
такое, что Суо > 0, и akojo > 0, к е е, где е - непустое множество и, кроме того, Ък = 0 хотя бы для одного к е е.
Индексов /0, для которых имеет место П10, может быть несколько. Не имеет значения, какой из них надо взять. Но, если мы остановились на некотором /0, то индекс к0 предлагается выбрать следующим образом:
—"^ =(26)
%/оАее аЫо
Элемент ak0j0 разрешающий. В табл. 1 мы его поместили в рамку.
г, для которого"., - "Г" D4’г, для которого"., - "Г" D4’Минимум в (26) достигается для одного к0, потому что если бы нашлось кх е
г, для которого
"., - "Г" D4’
г, для которого
"., - "Г" D4’
1
°^17о
то в матрице ||dj| были бы две пропорциональные строки и она была бы вырожденной.
ЗамечаниеЗ. Так как мы рассматриваем случай Шо> то среди к е е имеются такие, для которых Ък = 0, поэтому
1minDkк^е akjo1minDkк^е akjo1
1
minDkк^е akjo
1
minDkк^е akjo
= minDkek^e akjbk=0
т. e. индекс k0 находится среди таких к e e, для которых ьк = о-
В п. 28.5 мы брали в качестве к0 одно из значений к g е» для которых Ък = 0. Но таких значений может быть несколько. В данном способе среди них выбирается одно такое определенное значение, обращающее в минимум
Мы уже знаем, что в данном случае Шо базис В = ^хх» ...» хД можно заменить на другой базис В = {хр ...» ^к0-1»
яг,-, ^+1, ..., х^» которому соответствует система ограни
чений, эквивалентная системе (12):
Х1 + ^Atl + •• • + “ij0-l^0l + <Лох*о +
+ <7о+1х/о+1 + ... + <Чпхп = Ц,
xio + а/о.г+1хг+1 + ... + ^„.yg-i^yo-i + ajQ ikQxkQ +
+ “/'о./о+1хуо+1 + • • • + ^n = ^, (27)
Xr + <r+lxr+l + • • • + </0-l^0-l + <мхк0 +
"*" ^r,/o+lXjo+l "*"•••"*" ^m^n — ^r’
bk > 0 (k = 1, ..., kQ - 1, ;0, kQ + 1, .... r), и линейная функция
f + cr+lxr+i + ••• + <0-1хУ0-1 + ckox*o + С>о+1Х/о+1 +
+ ... + c'nxn = Co.(28)
Системе равенств (27)-(28) соответствует таблица 2.
Табл. 2 получается из табл. 1 следующим образом.
Делим А0-ю строку табл. 1 на разрешающий элемент °Аоуо (*0).
Этим к0-е уравнение системы (12) остается равносильным прежнему. Добиваемся теперь, чтобы в /0-м столбце на остальных местах (А ^ Ао) были нули. Для этого из к-й строки вычитаем измененную к0-ю строку, умноженную на число akj0 . (Эту процедуру мы распространяем и на строки добавочной матрицы, в результате числа dkj переходят в числа d'kj').
Этот прием соответствует замене к-го уравнения разностью между ним и видоизмененным к0-м уравнением, умноженным на число okj0 , что приводит к системе (27), равносильной системе (12).
Посмотрим, как видоизменяются векторы Dk. Так как базис В положительный и рассматривается случай Шо, то ько = 0 и
Dk0 - (0, d/,oi, .... dkor) > о.
поэтому
D'koD'koT-D-«- QkoioT-D-«- Qkoioо,о,dkQlако№dkQlако№dk0rakoio ,dk0rakoio ,для А * к0,для А * к0,G 6 <аМ0G 6 <аМ0^к = Dh^к = Dh—о»« “koio—о»« “koio°к)о°к)ов силу правила выбора к0 е ев силу правила выбора к0 е еT-Dk—— ^ > o<akj0 akoio ) и его единственности (см.T-Dk—— ^ > o<akj0 akoio ) и его единственности (см.
D'ko
D'ko
T-D-«- Qkoio
T-D-«- Qkoio
о,
о,
dkQlако№
dkQlако№
dk0r
akoio ,
dk0r
akoio ,
для А * к0,
для А * к0,
G 6 <аМ0
G 6 <аМ0
^к = Dh
^к = Dh
—о»« “koio
—о»« “koio
°к)о
°к)о
в силу правила выбора к0 е е
в силу правила выбора к0 е е
T-Dk—— ^ > o
<akj0 akoio ) и его единственности (см.
T-Dk—— ^ > o
<akj0 akoio ) и его единственности (см.
(26)); для к * kQ, к е е (ukJo 5 0), очевидно.
^=^-^-^>°-koJO
Чтобы получить последнюю строку табл. 2, надо из последней строки табл. 1 вычесть видоизмененную А0-ю строку, умноженную на cjQ . Вектор D = (с0, dv .... dr) переходит в вектор
D' = D" Т5-^"koio
Так как cjQ > 0, akojQ > 0, то
И - D = —^-Dkoakoio
т. е. D' < О.
Новые коэффициенты линейной функции f имеют вид
%%11akoioakoio10 '- сю°кО)о10 '- сю°кО)о
%
%
1
1
akoio
akoio
10 '- сю
°кО)о
10 '- сю
°кО)о
U = г + 1, .... j0 - 1, ;0 + 1, .... п).
Таким образом, мы пришли к положительному базису В*.
Чтобы табл. 2 была полностью аналогичной табл. 1, рекомендуем в табл. 2 переставить местами столбцы, от
вечающие переменным xjQ и хко .
Если для базиса В' снова будет иметь место случай Шо, то к нему можно опять применить описанный прием, который приводит к новому базису В", отличному не только от В\ но и от В, потому что
D" < D' < В.
Замечание 4. Если в процессе применения симплекс- метода мы пришли к циклу (см. (25)), то можно взять один из базисов цикла, например В = BSq+1 , и последовательно применять к нему описанный выше способ однозначного получения нового базиса на основании правила (26) выбора разрешающего элемента. Этим гарантируется получение каждый раз базиса, отличного от всех предшествующих. Так как количество возможных базисов конечно, то мы для некоторого базиса цепи обязательно придем к случаям I, II или 1П+. В последнем случае возникает базис В*, для которого fB > fH. Базисы, возникшие после В', отличаются от базиса В и всех ему предшествующих базисов. Они могут создавать циклы, но состоящие из новых базисов, отличных от В и ему предшествующих.
Итак, вычисления по симплекс-методу производятся следующим образом:
исследуются уравнения (12) с базисом В и функция /; если будут иметь место случаи I или II, то задача на минимум f решена;
если будет случай Ш+, то переходим к новому базису на основании (16), составляя таблицы 1 и 2 без добавочной матрицы ||dj|;
если же будет случай Шо, то можно продолжать наш процесс в надежде, что не случится цикла. Практика показывает, что циклы бывают очень редко;
все же, если случится цикл, то придется, отправляясь, как правило, от базиса В , двигаться дальше, применив добавочную матрицу ||cL||; рассуждения станут более сложными, но они имеют то преимущество, что на каждом их этапе $ будут получаться все новые и новые базисы, отличные от всех предыдущих базисов;
для базиса BSq мы выбираем матрицу ||dj| и вектор В = (с0, dv .... d^ произвольно, как было указано выше; дальнейшие базисы, следуя методу, получаются определенным образом, а вместе с ними определенным образом преобразуются матрицы ||dj| и вектор В;
через конечное число шагов мы выясним, что inf / = = -оо, или же найдем конечный минимум /.Проследим симплекс-метод на конкретном примере.через конечное число шагов мы выясним, что inf / = = -оо, или же найдем конечный минимум /.Проследим симплекс-метод на конкретном примере.Пример 5. Найти минимум линейной функции 31/ - 0 - (-х, - 150х2 + — х3 - 6х4) при ограниченияхПример 5. Найти минимум линейной функции 31/ - 0 - (-х, - 150х2 + — х3 - 6х4) при ограниченияхх5 =— X, (2 1— 90х2хч50 3+ Зх,Х6 = 0 -Г1 иХ1— 60х21Хо25 3+ 9х,х7 = 1-х3.х5 =— X, (2 1— 90х2хч50 3+ Зх,Х6 = 0 -Г1 иХ1— 60х21Хо25 3+ 9х,х7 = 1-х3.Решение. Здесь базис В = {х5, х6, х7}, и ограничения, и функция / записаны в форме (12)—(13). В данном случае3с, = — > О и в первом столбце матрицы ограниченийРешение. Здесь базис В = {х5, х6, х7}, и ограничения, и функция / записаны в форме (12)—(13). В данном случае3с, = — > О и в первом столбце матрицы ограниченийимеются положительные элементы а51имеются положительные элементы а5112 ’ °6112 ’ °611—. От-41—. От-4ношения bs/asx = О, Ьв/аех = О. Поэтомуношения bs/asx = О, Ьв/аех = О. Поэтомуminfet/atl = 8 = 0minfet/atl = 8 = 0БазисХй Х6 ХЧ ^1Х2хзХ4Свобод- Добавоч-ные членыная матрицаХ510 012-90503010 0Х60 1014-601“25400 10х70 0 1001010 0 1форма /0 0 034-150150—600 0 0БазисХй Х6 ХЧ ^1Х2хзХ4Свобод- Добавоч-ные членыная матрицаХ510 012-90503010 0Х60 1014-601“25400 10х70 0 1001010 0 1форма /0 0 034-150150—600 0 0Таблица 1*Таблица 1*1Разделим строку для х6 на а61 = —, т. е. умножим1Разделим строку для х6 на а61 = —, т. е. умножимстроку для х6 на 4 и перенесем ее в табл. 2*.Затем умножим вторую строку (видоизмененную) на 1а5Х = — и вычтем из первой строки. Далее умножим вто-3рую строку на с, = — и вычтем из последней строки.Строку для х7 переносим в табл. 2* без изменений (а71 = 0).Кроме того, мы переставим местами столбцы для х6 и х,, тогда табл. 2* будет иметь вид:IТаблица 2*строку для х6 на 4 и перенесем ее в табл. 2*.Затем умножим вторую строку (видоизмененную) на 1а5Х = — и вычтем из первой строки. Далее умножим вто-3рую строку на с, = — и вычтем из последней строки.Строку для х7 переносим в табл. 2* без изменений (а71 = 0).Кроме того, мы переставим местами столбцы для х6 и х,, тогда табл. 2* будет иметь вид:IТаблица 2*1—, стоящий 41—, стоящий 4БазисХЬ Х1 ХЧ Х6 Х2 Х3Х4СвободныеДобавоч-членыная мат-рицаX.10 0-2 Гзо1 — -1501-2 011 50хх40 1 0 4-240 --3600 4 0Х70 0 1 001010 0 1фор-70 0 0-3 30— -335000-3 0ма /БазисХЬ Х1 ХЧ Х6 Х2 Х3Х4СвободныеДобавоч-членыная мат-рицаX.10 0-2 Гзо1 — -1501-2 011 50хх40 1 0 4-240 --3600 4 0Х70 0 1 001010 0 1фор-70 0 0-3 30— -335000-3 0ма /
через конечное число шагов мы выясним, что inf / = = -оо, или же найдем конечный минимум /.
Проследим симплекс-метод на конкретном примере.
через конечное число шагов мы выясним, что inf / = = -оо, или же найдем конечный минимум /.
Проследим симплекс-метод на конкретном примере.
Пример 5. Найти минимум линейной функции 31
/ - 0 - (-х, - 150х2 + — х3 - 6х4) при ограничениях
Пример 5. Найти минимум линейной функции 31
/ - 0 - (-х, - 150х2 + — х3 - 6х4) при ограничениях
х5 =
— X, (2 1
— 90х2
хч
50 3
+ Зх,
Х6 = 0 -
Г1 иХ1
— 60х2
1
Хо
25 3
+ 9х,
х7 = 1
-х3.
х5 =
— X, (2 1
— 90х2
хч
50 3
+ Зх,
Х6 = 0 -
Г1 иХ1
— 60х2
1
Хо
25 3
+ 9х,
х7 = 1
-х3.
Решение. Здесь базис В = {х5, х6, х7}, и ограничения, и функция / записаны в форме (12)—(13). В данном случае
3
с, = — > О и в первом столбце матрицы ограничений
Решение. Здесь базис В = {х5, х6, х7}, и ограничения, и функция / записаны в форме (12)—(13). В данном случае
3
с, = — > О и в первом столбце матрицы ограничений
имеются положительные элементы а51
имеются положительные элементы а51
1
2 ’ °61
1
2 ’ °61
1
—. От-
4
1
—. От-
4
ношения bs/asx = О, Ьв/аех = О. Поэтому
ношения bs/asx = О, Ьв/аех = О. Поэтому
minfet/atl = 8 = 0
minfet/atl = 8 = 0
Базис
Хй Х6 ХЧ ^1
Х2
хз
Х4
Свобод- Добавоч-
ные члены
ная матрица
Х5
10 0
1
2
-90
50
3
0
10 0
Х6
0 10
1
4
-60
1
“25
4
0
0 10
х7
0 0 1
0
0
1
0
1
0 0 1
форма /
0 0 0
3
4
-150
1
50
—6
0
0 0 0
Базис
Хй Х6 ХЧ ^1
Х2
хз
Х4
Свобод- Добавоч-
ные члены
ная матрица
Х5
10 0
1
2
-90
50
3
0
10 0
Х6
0 10
1
4
-60
1
“25
4
0
0 10
х7
0 0 1
0
0
1
0
1
0 0 1
форма /
0 0 0
3
4
-150
1
50
—6
0
0 0 0
Таблица 1*
Таблица 1*
1
Разделим строку для х6 на а61 = —, т. е. умножим
1
Разделим строку для х6 на а61 = —, т. е. умножим
строку для х6 на 4 и перенесем ее в табл. 2*.
Затем умножим вторую строку (видоизмененную) на 1
а5Х = — и вычтем из первой строки. Далее умножим вто-
3
рую строку на с, = — и вычтем из последней строки.
Строку для х7 переносим в табл. 2* без изменений (а71 = 0).
Кроме того, мы переставим местами столбцы для х6 и х,, тогда табл. 2* будет иметь вид:
IТаблица 2*
строку для х6 на 4 и перенесем ее в табл. 2*.
Затем умножим вторую строку (видоизмененную) на 1
а5Х = — и вычтем из первой строки. Далее умножим вто-
3
рую строку на с, = — и вычтем из последней строки.
Строку для х7 переносим в табл. 2* без изменений (а71 = 0).
Кроме того, мы переставим местами столбцы для х6 и х,, тогда табл. 2* будет иметь вид:
IТаблица 2*
1
—, стоящий 4
1
—, стоящий 4
Базис
ХЬ Х1 ХЧ Х6 Х2 Х3Х4
Свободные
Добавоч-
члены
ная мат-
рица
X.
10 0-2 Гзо1 — -15
0
1-2 0
11 50
хх
4
0 1 0 4-240 --36
0
0 4 0
Х7
0 0 1 0010
1
0 0 1
фор-
7
0 0 0-3 30— -33
50
0
0-3 0
ма /
Базис
ХЬ Х1 ХЧ Х6 Х2 Х3Х4
Свободные
Добавоч-
члены
ная мат-
рица
X.
10 0-2 Гзо1 — -15
0
1-2 0
11 50
хх
4
0 1 0 4-240 --36
0
0 4 0
Х7
0 0 1 0010
1
0 0 1
фор-
7
0 0 0-3 30— -33
50
0
0-3 0
ма /
и этот минимум достигается на двух элементах к = 5, к = 6.
Таким образом, мы имеем случай Шо (/0 = 1). Чтобы избежать образования цикла, используем описанный выше способ однозначного выбора разрешающего элемента (см. (26)). Для этой цели составим таблицу 1*.
Здесь Dx = (0, 1, 0, 0), D2 = (0, 0, 1, 0) и 2D, > 4D2.
Поэтому разрешающим элементом будет а61 =
на пересечении строки для х6 и столбца для х.. Эту строку и столбец мы выделяем стрелками, а разрешающий элемент обводим рамкой. Преобразуем эту таблицу в таблицу 2*.
Таким образом, базис Bt = {х5, xv х^. В табл. 2* коэффициент с2 = 30 > 0 (штрих мы опускаем) и в столбце для х2 имеется один элемент а52 = 30 > 0, который и будет разрешающим элементом (в табл. 2* мы поместили его в рамку). Проводя преобразование табл. 2*, как и выше, мы перейдем к базису В2 = ^х2, х7, х7}, т. е. из базиса Bt мы выводим переменную х5 и вводим переменную х2.
Таблица 3* будет иметь следующий вид (после перестановки столбцов ДЛЯ Х2 И Х5У.
Таблица 3*
Базис
х2 хх
Х7
х6
Х5
хз
Х4
Свободные члены
Добавочная матрица
1
0
0
1
15
1
30
1
500
1
“ 2
0
3015 °
0
1
0
-12
8
8
25
-84
0
8 -12 0
0
0
1
0
0
1
0
1
00 1
£орма f
0
0
0
-1
-1
2
25
-18
0
-1-1 0
Таблица 4*
Базис
х3 хх х7 Х6 Х5
Х2
Х4
Свобод- ные чле
Добавочная матрица
Х3
1
0
0 -
100
3
50
3
500 -
-250
0
50
3 ~
100
Т°
xi
0
1
0
4 “з
8
3
-160
-4
0
8^
3
4
-з °
xi
0
0
1
100
3
50
“ 3
-500
250
1
50
3
100
31
форма
0
0
0
5
3
_7
3
-40
2
0
_7 "з
5
3 0
f
В последней строке табл. 3* имеется только один поло- 2
жительный коэффициент с3 = — > 0. В столбце для х3 все элементы также положительны. В данной таблице
°1 = (°,. 0), п2 = (0, 8, —12, 0), D3 = (1, 0, 0, 1).
Сравнивая векторы 500Dp
25
8 Dv пз’
находим, что мини
мальным будет вектор 500Dx и, следовательно, разрешаю
щим элементом будет а23 = > 0. Минимум (16) равен нулю, т. е. мы опять имеем случай Шо. Преобразуя табл. 3*, получим таблицу 4*.
Базис
Х3 Х1 Х6
хч
Х5
Х2
Х4
Свободные члены
Добавочная матрица
Х3
1
0
0
1
0
0
0
1
0 0
1
xi
0
1
0
1
25
2
-180
6
1
25
2 0
4
3
хв
0
0
1
3
100
_ 1_
2
-15
15
2
3
100
1
"2 1
3
100
форма /
0
0
0
1
20
3
2
-15 -
21
2
_J_ 20
3
4°
20
Таблица 5*
5
Здесь базис В3 = (х3, xv х7}, с6 = — > 0 и в столбце для х6 имеется только один положительный элемент а76 = 100
= —^ > 0, который и будет разрешающим элементом.
3
Минимум (16) равен > 0, т. е. мы имеем случай IIIt.
Преобразуя табл. 4*, получим таблицу 5*.
В последней строке табл. 5* все коэффициенты с. У = 7,
2, 4) отрицательные, следовательно, min/ = ~"^ (случай I).
Базис В4 = {х3, xv х^. Из табл. 5* видно, что базисное
1 з
решение имеет вид х3 = 1, х, = —, х6 =~ х5
= х3 = х4 = 0.
Замечание 5. Если бы мы не следовали правилу однозначного выбора разрешающего элемента, то могли бы получить цикл, выбирая базисы в следующей последовательности:
В = ^х5, х6, х^ -» Вг = (хр х6, х7) -^ Вг =
— {Хр Ху х7} > В3 {^-3» х3, х7} —> В4 —
= (х3, х4, х7} -> В5 = {х5, х4, Х7} -) В6 =
- {х5, Х6, Х7} = В.
Замечание 6. Отметим, что на каждом этапе, начиная с первого, можно было бы изменять нумерацию переменных, приводя систему ограничений и функцию / к виду (12), (13).
Условия существования базиса. Поясним, как можно привести систему ограничений (4)
^LakjXj = bh (к = 1, ..., m)(4)
7=1
к системе вида (12)
^=₽*“ EV/ (Pt > О, А = 1, .... г),(12)
j=r+l
т. е. выясним, когда переменные xv .... хг образуют базис. Как нам известно, система (4) разрешима (совместна) тогда и только тогда, когда ранг матрицы
°п ••• °1п
^ aml • • • атп ,
равен рангу расширенной матрицы
°11 ••• °1п^1
В =
у ml тп т у
Пусть г = ранг А = ранг В. Тогда можно указать г таких уравнений системы (4), что всякое решение системы, состоящей из этих г уравнений, есть решение системы (4). Будем считать, что для данной системы (4) г - т и, кроме того, т < п, потому что при т = п существует только одна точка n-мерного пространства, являющаяся решением системы (4).
Кроме того, всегда можно добиться путем перенумерации переменных того, чтобы
а11 ••• °1т
* 0.
^т1 "*1 ^тт
Теорема 2. Для того чтобы неизвестные xv .... хт из системы (4) образовывали базис, необходимо и достаточно, чтобы
Д*/Д SO VA = 1, т ,
где Д* - определитель, получающийся из определителя Д заменой к-го столбца столбцом свободных членов системы (4).
Доказательство. Пусть — > 0, к = 1, ..., Д
меняя правило Крамера (см. § 4.2), имеем (к = 1
иг. При-
Иг)
1
х. = —
* А
^l - • • °1,А-1(^1 °l,m+lXm+l • • • ^^й^ЛИ • • • °lm
ОП11 ... а„^_](Ьт Ят,т+1Хпи-1 ••• ^тл-Хп^^и^к*! •■• ^тт
Учитывая свойства определителей, получаем равенства вида (12)
5х4 - 5х2 + х3 - 2х4= 1,
- - 2х4 + 2х2- х4 + х5 = 4,
- х, + ах2- 2х4= 5,
где а - некоторое число.
Решение. Если а < 0, то система ограничений несовместна в области Xj > 0 (у = 1, —, 5). Поэтому будем считать а > 0. Выясним, при каком а элементы х4, х2, х3 будут базисом. Имеем
А* х. = —- 4 А
п
IL^j ^ = 1
т),
А =
/=т+1
где число akj равно определителю, который получается из определителя А заменой А-го столбца соответственно на у-й столбец матрицы А (у = т + 1, .... п), деленному на А. Например,
Далее,
А1 =
1
^l.m+l “ Д
а1,т+1 “12 ••• °1т
1
4
5
&т,т+1 &т2 • • • °m,m
Обратно, пусть система xv ...» хт есть базис, т. е. выполняются соотношения (12). Для матрицы равенств (12)
А. - 1, А* = Pt, ~ РА > 0.
Допустимыми элементарными преобразованиями эта матрица переходит в матрицу равенств (4). При этом оп
ределители А* и Д* переходят в определители Д и Д* пропорционально. Поэтому
— = pt > 0.
Д
А3 =
Пример 6. Найти базисные переменные в системе ограничений
5
-2
-1
-5
2
5
-2
-1
Отсюда
д1д^д
а
-5
2
а
2а - 5
1 — а
3
а -1
-5
2
1
О
О
а
4
5
1
О О
= 2(1 - а)*О, а*
= 4а - 10, А2 =
= 22(1 - а).
5
< —;
" 2 '
А3 _ А
1.
5
-2
-1
1
4
5
1
О
О
- -6,
5
Таким образом, при 1<а<~ все отношения Д4А/Д > 0
(А = 1, 2, 3) и {хр х2, х3} - базис.
Для того чтобы написать систему (12), нет необходимости вычислять все нужные определители. Надо просто преобразовывать матрицу В, как мы это делали в § 4.7.
Пусть а = 2. Получим базис из элементов xt, х2, х3. Для этой цели будем матрицу В преобразовывать так,
чтобы в первых трех столбцах по главной диагонали стояли 1, а на остальных местах -- 0.
Итак,
Последняя матрица определяет следующую систему уравнений:
xt - х4 + х5 = 1
31
х2 - 2 ^ “ 2 Хз = 3
95
хз " 2*4 + 2Хь = U"
Аналогичным образом можно проверить, при каком а переменные xv х2, х5 образуют базис.
Задачи. Найти минимум функции /(х) = х4 - х5 при ограничениях:
1)1)2)2)хх + х2 — х3 + х4 — 2х5 = 1, 2хх + х3 - 2х4 + х5 — 2,
1)
1)
2)
2)
хх — х2 - х4 + Зх5 = 3,
2хх+х2- х3
-2х5 = 1, = 2,-2х5 = 1, = 2,-^2-^2х4 + Зх5 = 3,х4 + Зх5 = 3,хх + х2 + 2х3 - 2х4
-2х5 = 1, = 2,
-2х5 = 1, = 2,
-^2
-^2
х4 + Зх5 = 3,
х4 + Зх5 = 3,
3)3)4)4)^2^2Х1 + х2Х1 + х2+ Зх3 - х4 + х5 = 2,- Х4 + 2х5 = 3,+ Зх3 - х4 + х5 = 2,- Х4 + 2х5 = 3,
3)
3)
4)
4)
^2
^2
Х1 + х2
Х1 + х2
+ Зх3 - х4 + х5 = 2,
- Х4 + 2х5 = 3,
+ Зх3 - х4 + х5 = 2,
- Х4 + 2х5 = 3,
хх + 2х2 + Зх3 - х5 = 3, 2хх + х2 — х3 + х4 = 1,
+ х4 - 2х5 - 1,
5)5)^2^2+ 2х4 + х5 = 1, х3- х4 + 4х5 = 4.
5)
5)
^2
^2
Приведем решение первой задачи. Итак, необходимо найти минимум линейной формы f^x^ = х4 - х5 при ограничениях
хх + х2 - х3 + х4 - 2х5 = 1, ■ 2х1+ х3 - 2х4 + х5 = 2,
хх - х2 - х4 + Зх5 = 3,
Согласно рассмотренной выше теории мы должны определить свободные переменные и выделить какой-либо базис, чтобы затем применить симплекс-метод для нахождения минимума функции f.
Так как в системе ограничений три уравнения, то в каждый базис входят какие-либо три переменные из хр х2, х3, х4, х5. Всего из пяти элементов можно составить десять различных комбинаций по три элемента
[гз_5-4 3 и п(п-1)...(п-6+1Й
I 5 -^Г"10’с"=^J-
В принципе, мы должны проверить все тройки элементов и убедиться, какие из них являются базисами.
Выясним, будут ли элементы хр х2, х3 образовывать базис. Определитель А, составленный из коэффициентов при этих неизвестных в системе ограничений, имеет вид
1 1-1
1О1О= 4*0.= 4*0.
1
О
1
О
= 4*0.
= 4*0.
Далее,
1 1-12 0 13-101 1-12 0 13-10= 6, А2 == 6, А2 =1121211 -12 13 01 -12 13 0
1 1-1
2 0 1
3-10
1 1-1
2 0 1
3-10
= 6, А2 =
= 6, А2 =
1
1
2
1
2
1
1 -1
2 1
3 0
1 -1
2 1
3 0
А
Отношение —— = -2 < 0, следовательно, согласно тео- А
реме 2 п. 28.8 элементы xv х2, х3 не образуют базиса.
Проверим тройку хр х3, х4:
1-1 1
= -2*0= -2*02 1-2
= -2*0
= -2*0
10-1
1-1121-230-11-1121-230-1А2 =А2 =221 12 -23 -11 12 -23 -1
1-11
21-2
30-1
1-11
21-2
30-1
А2 =
А2 =
2
2
1 1
2 -2
3 -1
1 1
2 -2
3 -1
< 0 и тройка х< 0 и тройка хх3, х4 также нех3, х4 также неА"
< 0 и тройка х
< 0 и тройка х
х3, х4 также не
х3, х4 также не
Отношение — = -4 А
образует базиса.
Исследуем тройку хр хр х5:
1
1
-2
1
1
-2
А =
2
-2
1
= -10 * 0, Д' = 2
-2
1 - -16
1
-1
3
3
-1
3
1 -22 13 31 -22 13 3= -10, л3 == -10, л3 =1 12 -21 -11 12 -21 -1123123
1 -2
2 1
3 3
1 -2
2 1
3 3
= -10, л3 =
= -10, л3 =
1 1
2 -2
1 -1
1 1
2 -2
1 -1
1
2
3
1
2
3
А*
Таким образом, в данном случае все отношения — Д
(А = 1, 2, 3) положительны и по теореме 2 п. 28.8 элементы xv х4> х5 образуют базис.
Чтобы написать систему ограничений вида (12), преобразуем матрицу В системы ограничений к необходимому виду. Предварительно переставим столбцы коэффициентов при х4 и х5 соответственно на второе и третье места.
Тогда
Последняя матрица определяет систему уравнений
128
(27)(27)5 2 5 3 5 - х3 = !,
(27)
(27)
214
^5-5^2-д^з = g.
Линейная форма / через свободные переменные х2 и х3 запишется следующим образом:
„ х124
Кх) = Х4- Х5= - - -х2 + -Х3
241
или /+ -х2- -Х3=
Таким образом, теперь необходимо найти минимум линейной функции
f +f +2415 Х2 “ 5 Хз "" 52415 Х2 “ 5 Хз "" 5
f +
f +
241
5 Х2 “ 5 Хз "" 5
241
5 Х2 “ 5 Хз "" 5
при ограничениях (27).
Здесь базис ВА = (х^ х4, х5}, ограничения и функция f записаны в форме (12), (13), и мы можем начать применение симплекс-метода.
2
АОтношение _«12АОтношение _«12В данном случае с9 = — > 0 и в первом столбце мат- рицы ограничений имеется положительный элемент "«"I >0.
А
Отношение _«12
А
Отношение _«12
= 8 > 0, т. е. мы имеем случай Ш+ и
«12 “ разрешающий элемент.
Составим первую симплекс-таблицу:
| Таблица 6*
Базис
XY^4*5
*2
х3
Свободные члены
1
2
8
X.
100
—
—
—
1
5
5
5
*4
010
0
-1
1
2
1
4
X-
001-
— —
—
5
5
5
5
Форма
000
,2
5
4
-5
1.
5
Здесь разрешающий элемент а12. Преобразуем таблицу 6* в таблицу 7*. Строку для xt умножим на 5 и перенесем ее в табл. 7*. Строку для х4 перенесем в табл. 7* без изменений (так как а42 = 0).
Затем умножим первую строку на 2 и прибавим результат к последней строке. Далее умножим первую строку на 2 и вычтем из строки для формы f. Кроме того, переставим местами столбцы для хх и х2. В результате табл. 7* будет иметь следующий вид:
Таблица 7*
Базис
Х2
Х4
Х5
Х1
хз
Свободные члены
Х2
1
0
0
5
-2
8
Х4
0
1
0
0
-1
1
Х5
0
0
1
2
-1
4
Форма
0
0
0
-2
0
-3
В табл. 7* коэффициенты формы / неположительны (с, = -2, е3 = 0), поэтому при ограничениях (27)
min f = -з,xf>0 1’
/=1,..,5
и задача решена.
Замечание 7. Можно было бы исследовать все десять троек из элементов хп х2, х3, х4, х5. Затем, найдя все базисы В. (J = 1, 2, ..., /0; у0 < 10), мы можем найти минимум f при ограничениях (27) как минимальное значение среди f^, .... /в>0 .
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса точки 55
Алгебраическое дополнение, адъюнкт 14
Аппликата точки 55
Асимптота
— гиперболы 185
Базис 122
— ортогональный 128
— подпространства 145
— пространства 124
— симплекс-метода 252
Вандермонда определитель 18
Вектор 25
— нормальный 128
— нулевой 25
— отрицательный 260
— положительный 260
— собственный оператора 164
Вектора длина, норма 48
Векторное произведение 96
Векторно-скалярное произведение 104
Векторы коллинеарные 49
— компланарные 104
Гаусса метод 40
Деление отрезка в данном отношении 55
Детерминант, определитель 7
Диагональ определителя 9
Директриса параболы 189
Длина, норма вектора 48
Евклидово n-мерное пространство 64
Зависимые системы векторов 106
Задача транспортная 241
Измерение подпространства 145 — пространства 59
Инвариантность скалярного и векторного произведений 138
Квадратичная форма 161 гиперболического типа 177 неопределенная по зна
ку 170
параболического типа 177
строго отрицательная 170
положительная 170
—■ — эллиптического типа 177
Квадратная матрица 22
Компоненты, координаты вектора 25
Коэффициенты системы уравнений 25
Крамера правило 26
Кривая второго порядка 178
Кронекера—Капелли теория 25
Линейная комбинация векторов 106
Линейно независимая система 106
Линейное программирование 241
Линейные подпространства 145
Линейный оператор 114
Линейчатые поверхности 215
Матрица 22
— единичная 117
— комплексно сопряженная 23
— обратная 118
— произведения 116
— расширенная 29
Матрица сопряженная 23
— транспонированная 23
Матричный способ решения системы 40
Минор 14
Момент силы 103
Направление векторов одинаковое 128
Направляющая линия 213
Начало координат 55
Неравенство Буняковского 64
— Минковского 65
Норма, длина вектора 48
Нормирующий множитель 77
Образ пространства при помощи оператора 155
Образующие поверхности 213
Оператор единичный 117
— линейный 115
— обратный 118
— самосопряженный 161
Определитель, детерминант 7
— Вандермонда 18
— матрицы 23
—, порожденный матрицей 23
Определителя член 10
— элемент 7
Ордината точки 55
Ориентация системы векторов 94
координат 93
левая, правая 95
Ортогональные векторы 65
Ортонормированная система векторов 128
Орты осей координат 57
Оси координат 55
Отрезок 67
Перестановка 10
Плоскость 80
Поверхность второго порядка 196
— линейчатая 215
283
— цилиндрическая 214
Подпространства 145
— линейный 145
— ортогональные 146
— т-мерные 145
Правило Крамера 26
— Саррюса9
Преобразование, не сохраняющее ориентацию 101
Преобразование ортогональное 132
— прямоугольных систем координат 143
—, сохраняющее ориентацию 101
Проекция вектора на прямую 50
— точки 50
Произведение векторов 96
— векторно-скалярное 104
— матриц 116
— матрицы на число 24
— определителей 24
— скалярное 54
Пространство п-мерное 59
Прямая линия 69
Прямолинейные образующие 213
Радиус-вектор 55
Разность векторов 50
Ранг матрицы 23
Расстояние между точками 57
— от точки до плоскости 87
прямой 78
Решение системы уравнений 25
— тривиальное 28
Симплекс-метод 252
— таблицы 262
Система зависимых и независимых векторов 105
— координат прямоугольная 55
— собственных векторов оператора 164
— уравнений однородная 28
совместная 36
Скалярное произведение 59
Собственный вектор оператора 164
Строка, столбец определителя 7
Сумма векторов 50
— матриц 24
— определителей 14
Существование решения системы уравнений 26
Теорема Кронекера—Капелли 25
— Сильвестра 171
— Фредгольма 152
Точка л-мерного пространства 59
Транспозиция элементов 10
Тривиальное решение системы 28
Угол между векторами 65
плоскостями 85
прямыми 74
Умножение вектора на число 49
— матриц на число 24
Уравнение гиперболического параболоида 197
— гиперболы 179
— двуполостного гиперболоида 197
— конуса 197
— однополостного гиперболоида 197
— параболы 179
— плоскости в нормальном виде 80
отрезках 83
общее 80
, проходящей через три точки 84
— прямой 69
в нормальном виде 77
отрезках 74
векторное 74
каноническое 89
общее 72
— —, проходящей через две точки 72
,точку 75
с угловым коэффициентом 74
— характеристическое 199
— цилиндров второго порядка 198
— эллипса 179
— эллипсоида 197
Уравнение эллиптического параболоида 197
Условие коллинеарности векторов 49
— компланарности 105
— параллельности плоскостей 232
прямых 74
— перпендикулярности плоскостей 86
прямых 74
Фокус гиперболы 184
— параболы 189
— эллипса 180
Функция линейная 241
Характеристическое уравнение 199
Центр тяжести 69
Цикл 258
Цилиндрическая поверхность 213
Цилиндры второго порядка 198
Число собственное оператора 164
Числовая проекция вектора 51
Элемент матрицы 22
— определителя 7
— разрешающий 235
Элементарное преобразование матрицы 41
Эллипс 179
Эллипсоид 206
Учебное издание
Бугров Яков Степанович
Никольский Сергей Михайлович
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В трех томах
Том 1
Элементы линейной алгебрыи аналитической геометрии
Учебник для вузов
Заведующий редакцией Б. В. Панкратов
Ответственный редактор Ж. И. Яковлева
Разработка серийного оформления
Т. Е. Добровинская-Владимирова
Художник Е. А. Адамов
Санитарно-эпидемиологическое заключение№ 77.99.02.953.Д.006315.08.03 от 28.08.2003.
Подписано к печати 28.04.04. Формат 84 х 1087зг
Бумага типографская. Гарнитура «Ньютон». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 15,12. Тираж 6600 экз. Заказ № 3960.ООО «Дрофа».
127018, Москва, Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукциииздательства «Дрофа» обращаться по адресу:
127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.: (095) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (095) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник».
109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А.
Тел.: (095) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Магазины: «Переплетные птицы»:
127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1.
Тел.: (095) 912-45-76;
140408, Московская обл., г. Коломна, Голутвин,ул. Октябрьской революции, 366/2.
Тел.: (095) 741-59-76.
Отпечатано с готовых диапозитивов на ФГУП ордена «Знак Почета»Смоленская областная типография им. В. И. Смирнова.
214000, г. Смоленск, пр-т им. Ю. Гагарина, 2.