Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ
ЕВТ.ЧБУШКИН М.Р ЕФИМОВА И.М.ИПАТ( )ВА НЛЯКОНЛЕВА
Т. В. РЯБУШКИН, М. Р. ЕФИМОВА, И. М. ИПАТОВА, И. И. ЯКОВЛЕВА
ОБЩАЯ
ТЕОРИЯ
СТАТИСТИКИ
ДОПУЩЕНО МИНИСТЕРСТВОМ ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ИНЖЕНЕРНОЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ВУЗОВ
МОСКВА «ФИНАНСЫ И СТАТИСТИКА» 1981
ББК 60 6
0-28
!
Авторы учебника:
Т. В. Рябушкин— гл. 1, 3; М\ Р. Ефимова — гл. 7, 8, 9; Н. И. Яковлева — гл. 2, 4; Т. В. Рябушкин, М. Р. Ефимова, И. М. Ипатова — гл. II; М. Р. Ефимова, И. М. Ипатова — гл. 6, 10; Т. В. Рябушкин, Н. И. Яковлева — гл. 5.
Общая теория статистики: Учебник/Т. В. Рябушкин, 0-28 М. Р. Ефимова, И. М. Ипатова, Н. И. Яковлева. — М.: Финансы и статистика, 1981. — 279 с., ил.
В пер.: 1 р.
Излагаются вопросы, предусмотренные программой курса общей теории статистики. Подробно рассматриваются вариация признаков и ее зависимость от окружающих условий, индексный метод анализа, прогнозирование, временных рядов. Углубленно изложено использование математико-статистических методов. Обращено Внимание на методы анализа точности и надежности статистических показателей.
Для студентов инженерио-экоиомических специальностей вузов и практических работников, занятых управлением производства.
ББК 60.631ББК 60.63110805—024_ Л
ББК 60.6
31
ББК 60.6
31
О 31—81 (С) 0702000000
010(01)—81
© Издательство «Финансы и статистика», 1981
ГЛАВА 1. ПРЕДМЕТ, МЕТОД И ЗАДАЧИ
статистики
СТАТИСТИКА КАК МЕТОД УЧЕТА оВш
ЯВЛЕНИЙ И КАК ОБЩЕСТВЕННАЯ Нд^СТВЕННЫХ
Статистика является основным методом учета явлений, основным источником информации о развиТи 1ЦесТвенНЫХ ных явлений и важнейшим методом их изученИя И °бществен- Советского государства и Коммунистической парТИи' Основатель уделял много внимания статистике в своих научных и °* ^’ Ленин и практичёской государственной работе. В воспомиНаССЛедованиЯХ кова-Ланнита приводятся следующие слова В. Ц ^иях Л. Вол- характеризующие его отношение к статистике:ннна’ ЯРКО
статистику и у меня осталась привычка к совершу Чень люблю числениям»1. Какое большое значение придавал В. тл ТОчным вы* тистике как методу общественного познания, видно * Ленин ста- щих слов: «Социально-экономическая статистика п его следую- . могущественных орудий социального познания»2. ^н° из самых
В социалистическом обществе статистика выступ из средств, с помощью которого осуществляется пук ^ как одно родным хозяйством и государственное планирован» ОВодство на- ского и социального развития страны. С помощЬю ЭКономнче“ собираются и анализируются материалы, необход» статистики ставления планов экономического и социального ра~ Ь1е для со“ и контроля за их выполнением. , •вития страны
Роль статистики в постановке и анализе крупнейп ственных проблем? можно видеть на примере рещ№ыт<>их г°судар- съездов и Пленумов ЦК КПСС. В этих материалах да паРтниных ронняя характеристика развития экономики СССР п ется всесто‘ ее успехи в целом и отмечаются отстающие участки и°казываются родного хозяйства, которые требуют пристального отРасли на- лий всего народа.в«имания и уси-
Учет и статистика возникли давно, еще при
ком строе. Значительного развития они достигли в°владельчес" тическом обществе, где служат целям укрепления сот капиталис' комического строя этого общества, защищая Интеле 1ально“эко' листов.ресы капита-
Социалистическая революция коренным образ0м циальные аспекты учета. Он становится всенародныМеНЯСТ С°" ваясь средством организации производства и обеспеч И> °СТТ циплины труда, не противостоит народу, а выражает 6ПИЯ ДИС ные интересы.его к0Рен'
В ленинской работе «Очередные задачи Советской власти» идея всенародности учета развивается Применительно к статис
Правда, 1957, 11 окт.
Л е н и н В. И. Поли. собр. соч., т. 19, с. 334.
тике. «Статистика, — писал В. И. Ленин, — была в капиталистическом обществе предметом исключительного ведения «казенных людей» пли узких специалистов, — мы должны понести ее в массы, популяризировать ее, чтобы трудящиеся постепенно учились сами понимать и видеть, как и сколько надо работать, как- и . сколько можно-отдыхать, — чтобы сравнение деловых итогов хозяйства отдельных коммун стало предметом общего интереса и изучения...».
Развитию всенародности учета способствовала отмена коммерческой тайны, обязательное представление отчетности о работе предприятий и учреждений государственным статистическим органам, публикация в прессе результатов работы отдельных предприятий, освещение хода • выполнения народнохозяйственных планов и заданий. Широкое освещение в прессе данных учета ставилось В. И. Лениным в качестве одной из важнейших задач Советской власти. В. И. Ленин говорил о необходимости создания такой прессы, которая бы «вопросы повседневной экономики несла на суд массы, помогала серьезно изучать их».
Всенародность учета органически сочетается с его действенной, активной ролью в организации социально-экономических процессов и управлении ими. Всенародность учета ярко сказалась на принципиально новом подходе к проведению больших статистических работ, в первую очередь таких, как переписи. Каждая перепись населения, начиная с первой советской переписи 1920 г. и кончая переписью населения 1979 г., всегда рассматривалась как большое общенародное дело. В проведении переписей принимали активное участие, кроме работников государственной статистики, сотни тысяч трудящихся. Большое значение имеют регулярные публикации сообщений о ходе выполнения планов экономического и социального развития как в целом по стране, так и по отдельным республикам, областям и районам.
Перейдем теперь к выяснению основных понятий статистики как особой отрасли знания, как науки. В настоящее время в нашей литературе следующим образом определяется содержание статистической науки: статистика как общественная наука изучает закономерности количественных отношений общественных явлений, рассматриваемых в непосредственной связи с их качественным содержанием.
В этом определении нужно подчеркнуть два момента: во-первых, что статистика имеет дело с количеством, с величинами явлений; во-вторых, что она рассматривает количество в связи с качеством явлений и процессов в конкретных условиях места и времени.
Философия марксизма учит нас, что мир сложен и многообразен. Каждое явление может быть изучено с качественной и количественной стороны. Для примера возьмем движение за. коммунистическое отношение к труду. Оно качественно отличается от старых форм социалистического труда, так как связано с новой техникой, с ломкой старых взглядов на технику и высокой квалификацией рабочих. Это движение подготавливает условия для перехода от социализма к коммунизму. Анализ качественной стороны его — объект политической экономии. Можно изучать это движение и с количественной стороны. Узнать, сколько у нас передовиков труда; вычислить, во сколько раз выросла производительность труда, насколько увеличилась продукция, как выросла заработная плата — все это дело статистики.
Качественную и количественную сторону конкретных явлений не следует отрывать друг от друга, но и не следует отождествлять. Исследуя качество движения за коммунистический труд, необходимо привлекать массу статистического материала. И наоборот, понимание его количественных особенностей немыслимо без качественного анализа.
Таким образом, статистическая наука изучает количественные связи и соотношения между явлениями. Математика тоже изучает количественные отношения, но изучает она их в самой абстрактной форме, в которой количество абстрагировано от конкретного качества. Статистика изучает количественные соотношения в их конкретной форме. Далеко не всякие количественные соотношения изучает статистика:, она изучает особые количественные соотношения. В химии, например, изучаются количественные связи, не имеющие никакого отношения к статистике. Так, химики давно установили, что в составе молекулы воды два атома водорода и один атом кислорода. Вода, взятая из глубины Тихого океана, с вершины Эльбруса (в виде снега), из подземных родников, имеет одно и то же соотношение числа атомов, равное 2 : 1. Для установления этого факта вовсе не нужно исследовать всю воду, омывающую материки, и нет необходимости в статистическом изучении.
Иное положение, когда изучается, например, выполнение плана внедрения новой техники в какой-либо отрасли. Здесь недостаточно рассмотреть одно или несколько предприятий. Общая закономерность выполнения плана наиболее полно выявится только в том случае, если мы соберем данные со всех предприятий. Если нужно узнать, на сколько процентов повысилась производительность труда и снизилась себестоимость на заводах отрасли или региона, то следует собрать данные со всех заводов, потому что на отдельных заводах повышение производительности труда и снижение себестоимости происходят неодинаково.
Таким образом, можно сказать, что предметом статистики являются количественные соотношения и связи как выражение про-
цессов, протекающих в соовокупностях и между ними. Совокупности эти характеризуются следующими особенностями:
они охватывают массу единиц;
входящие в них единицы обладают признаками, которые варьируют, т. е. изменяются от одной единицы совокупности к другой;
закономерности, присущие в целом процессам, протекающим в этих совокупностях, проявляются через индивидуальные отклонения.
Статистика всегда зависит от той конкретной науки, явления которой изучаются статистическими методами. Только эта конкретная наука может вскрыть важнейшие законы в соответствующей области. С другой стороны, всякое познание качеств невозможно без дополнения его количественным изучением.
Каждая отраслевая статистика, используя методы общей теории, развивает и конкретизирует их, дополняет их специфическими приемами исследования.
Социально-экономическая статистика изучает как капиталистическую, так и социалистическую экономику. Статистика социалистического хозяйства имеет своим объектом новое содержание, которого не может быть у статистики капиталистического общества. Количественные отношения, с которыми имеет дело статистика в системе социалистического хозяйства, суть отношения плановой, социалистической экономики. Они выражают собой не стихийную, антагонистическую экономику, какова экономика капитализма, а экономические отношения, которые создаются сознательной и планомерной деятельностью социалистического государства.
В деле формирования советской статистики, в воспитании ее боевого духа в борьбе с буржуазной статистикой первостепенную роль сыграли труды В. И. Ленина. Особенно плодотворным для советской статистики оказалось то обстоятельство, что в распоряжении ее были не только общие принципы статистического анализа, сформулированные В. И. Лениным, но и блестящие примеры осуществления этих принципов в конкретной социально- экономической ситуации, а также прямые указания о направлении и характере работ статистики социалистического государства.
Глубокий аналйз статистических материалов и большое внимание к методам статистики характерны для всей общественной и научной деятельности В. И. Ленина. Естественно, что в различные исторические периоды формы использования статистики и характер применения тех или иных статистических методов видоизменялись, на первый план выдвигался какой-либо один аспект связи статистики с другими общественными науками и общественной деятельностью: Однако для всех работ В. И. Ленина
и всей его деятельности характерно твердое и последовательное развитие определенных принципов экономико-статистического анализа, их непрерывное совершенствование и обогащение.
Развивая общие принципы марксистской методологии экономического анализа и используя самые детальные и разносторонние по тому времени данные, В. И. Ленин приходит к важнейшим социально-экономическим выводам и вместе с тем . формирует принципы и положения новой статистики, которую по праву можно назвать марксистско-ленинской статистикой. В ленинских работах сформулированы такие важнейшие принципы последней, как единство в научном исследовании экономической науки и статистики, обусловленность статистических приемов анализа характером и формами социально-экономических процессов. В работах рассмотрены основные принципы организации массового статистического наблюдения, принципы построения программы обработки результатов наблюдения применительно к конкретным условиям русской экономики в период развития капитализма. В этих работах впервые в истории науки дана обширная и глубокая критика недостатков буржуазной статистики. Хотя исследования В. И. Ленина были ограничены временем и местом определенных экономических процессов, они имели огромное общетеоретическое и общеметодологическое значение, сохранившее свою силу до наших дней.
Возглавляя Коммунистическую партию и Советское правительство, В. И. Ленин систематически использует статистику в постановке и решении важнейших социально-экономических и политических проблем Советской страны.
Под руководством В. И. Ленина создается централЛованная система государственной статистики, о которой в прошлом только мечтали видные теоретики и практические деятели в области статистики. Принципы сбора статистической информации, как организации всего дела статистической службы в стране, разработанные В. И. Лениным в его работах, начали практически осуществляться в деятельности Центрального статистического управления. При активной помощи В. И. Ленина впервые в нашем государстве проводятся крупнейшие статистические обследования комплексного типа, например перепись 1920 г.
В личных беседах и в своих письмах к управляющему ЦСУ и председателю Госплана В. И. Ленин намечает программу работы ЦСУ. С гениальным мастерством он концентрирует внимание статистиков на таких показателях, которые позволили бы анализировать основные хозяйственные и политические проблемы, стоявшие перед страной в самом начале социалистического строительства. Но общие научные положения, сформулированные тогда В. И. Лениным, полностью сохранили свою действенность и получили дальнейшее развитие на последующих этапах социалистического строительства.
Важной идеей, высказанной В. И. Лениным в самом начале организации советской статистики, явилось положение о мето-
дическом изучении народного хозяйства в целом как важнейшей задачи советской статистики. Венцом осуществления этой идеи явился баланс народного хозяйства, к работе над которым ЦСУ приступило в 1918 г.
Государственный статистический орган — Центральное статистическое управление (ЦСУ) В. И. Ленин рассматривал как орган социалистического строительства, проверки, контроля, учета. В статьях, докладах, письмах В. И. Ленина в послеоктябрьский период мы не раз встречаем мысли о статистике как виде социалистического учета. Это последнее положение объясняет, почему у. советской статистики появились новые функции и задачи, которых не имела статистика в буржуазном обществе.
Классовая убежденность, партийность подняли советскую статистику на новую ступень, сделали ее более совершенной и объективной, обогатили широким и всесторонним кругозором, освободили от узости, техницизма и ограниченности, свойственных старой статистике.
Новая марксистско-ленинская статистика была заинтересована в объективном, глубоком отображении действительности со всеми ее противоречиями. Такая направленность статистики вытекает из положения рабочего класса в современном обществе, наиболее передового и самого революционного класса, заинтересованного в подлинно научном познании -законов общественного развития.
В ходе социалистического строительства формировалась и совершенствовалась единая система социалистического учета. Организационные формы учета менялись с постановкой новых экономических и политических задач. В конечном итоге был накоплен богатейший опыт развития всей системы учета и, в частности, государственной статистики. Этот опыт получил международное признание. Социалистические страны использовали (с учетом своих национальных особенностей) общие принципы, методы и формы социалистического учета и статистики, разработанные в СССР. Единая система учета, подчиненность ее задачам планирования и регулирования народного хозяйства, ведущая роль централизованной государственной статистики — таковы общие черты, свойственные всем социалистическим странам. Изучение специфики в национальных системах учета и статистики обогащает теорию и практику социалистического учета. Взаимный обмен опытом в этой области между странами — членами СЭВ — одна из форм дальнейшего обогащения и развития социалистического учета.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ
В своем становлении и развитии марксистско-ленинская статистика преодолела недостатки буржуазной статистики, которые вытекали прежде всего из неправильных общетеоретических положений и принципов. Методологической базой для новой статистики явилось марксистско-ленинское учение: диалектический
и исторический материализм, политэкономия, научный коммунизм. Только марксизм-ленинизм смог освободить статистику от метафизических, идеалистических пут и дал возможность создать целостную, логически обоснованную теорию статистики.
Диалектический материализм, как всеобщий метод познания, послужил теоретической базой для статистической методологии. Основные понятия статистики были переосмыслены в свете диалектико-материалистической трактовки общих законов развития природы и человеческого общества. Анализ, ряда категорий с позиции диалектического материализма позволил устранить одностороннее понимание важнейших принципов статистики. Достаточно сказать, например, что научная трактовка в марксистско- ленинской философии таких категорий, как сущность и явление, содержание и форма, причина и следствие, необходимость и случайность и т. д„ позволила оценить особенности и содержание статистических методов и по-иному подойти к их практическому применению.1
Значение ленинских трудов для развития статистики выходит далеко за пределы изучения и творческого применения статистических методов в политэкономическом анализе. В трудах разработан ряд основных принципов статистической теории и методологии новой статистики, отличной от буржуазной. Они знаменуют собой формирование марксистско-ленинской статистики как научной дисциплины.
Из основных положений диалектико-материалистической теории познания логически вытекает признание классового, партийного характера науки. В самом деле, категории науки, ее принципы служат своеобразным отражением свойств и особенностей природных и общественных явлений в человеческом сознании. Развитие науки, как и других форм идеологии, происходит как развитие общественной мысли, общественного сознания. Тот факт, что оно совершается в форме деятельности отдельных личностей, не меняет его общественной природы. Но если общество классовое, то естественно, что на характер и результаты отражения объективной действительности в человеческом сознании оказывает решающее влияние объективное положение того или иного класса в общественном производстве и обществе в целом. Этим фактом и обусловливается классовый, партийный характер науки, в том числе и статистики.
Статистика как наука тесно связана с другими общественноэкономическими науками. Так как статистика изучает количественные отношения в связи с качественным содержанием явлений, она исходит из определенных закономерностей и особенностей развития этих явлений при-измерении величин и установлении количественных соотношений. Качественное содержание (или качественную сторону) общественных явлений изучаю,т исторический материализм, политическая экономия и другие общест- . венно-экономические науки. Законы и положения, установленные ими, становятся, таким образом, основой д,пя статистического
исследования. Но и развиваться общественные науки по-настоящему могут лишь тогда, когда они опираются на анализ массового статистического материала, когда выявлена общая закономерность. Классические образцы сочетания, например, политэкономии и статистики в процессе научного исследования даны в трудах В. И. Ленина.
Таким образом, можно сказать, что основные черты, существенные признаки процессов и типов общественных явлений устанавливаются какой-либо конкретной дисциплиной с качественно определенным содержанием объекта ее исследования. Статистика же определяет конкретную форму тех или иных процессов, их своеобразие и количественные особенности в условиях данной территории, данного времени.
Из определения статистики вытекает ее тесная связь и с математикой. Статистика не является отраслью математики. Но она очень тесно с ней связана, потому что для измерения и анализа массовых количественных отношений необходимо применение математических приемов и методов. Особенно большое значение для статистики имеет использование специальных математических дисциплин — математической статистики и теории вероятностей.
Основными разделами статистической науки являются:
Общая теория статистики, в которой излагаются общие принципы и методы статистики.
Социально-экономическая статистика, которая разрабатывает методы построения системы показателей уровня и развития общества.
Отраслевая статистика, которая изучает отдельные области общественных явлений или отдельные отрасли народного хозяйства: социальная статистика (в узком смысле слова), демографическая статистика (статистика населения), статистика промышленности, строительства, сельскохозяйственная статистика, статистика транспорта, торговли и др.
На развитие статистики отдельных ее методов и приемов анализа сильное влияние всегда оказывало развитие других наук: математики, естественных и технических дисциплин. Известно, что многие приемы вариационной статистики и корреляционного анализа (регрессионного анализа) первоначально возникли в области биологических наук, а впоследствии были перенесены в сферу анализа социально-экономических явлений. С гениальной глубиной и прозорливостью В. И. Ленин дал характеристику взаимосвязей естествознания и общественных наук. Более шестидесяти лет назад он писал: «Могущественный ток к обществоведению от естествознания шел, как известно, не только в эпоху Петти, но и в эпоху Маркса. Этот ток не менее, если не более,, могущественным остался и для XX века». В наше
время развитие кибернетики и применение электронно-вычислительной техники оказывают влияние на организацию и методы статистического анализа. В ближайшем будущем это влияние несомненно усилится н скажется также на содержании ряда ста- тистическид понятий. Само собой разумеется, что при всей специфике общественные явления, не отграничены непроницаемой стеной от природных явлений. Помимо общих черт, присущих материальному миру в целом, между обществом и природой идет непрерывный процесс взаимодействия, что в сфере науки проявляется в наличии пограничных областей и стыков между различными научными дисциплинами, во взаимообогащении дисциплин. Поэтому развиваются комплексные дисциплины, изучающие «пограничные области» различных сфер явлений или такие области, где действуют факторы различного типа. К таким дисциплинам относятся, например, технологическая статистика, медицинская статистика, демография и др.
МЕТОД СТАТИСТИКИ
Многообразие общественных явлений, сложность и многоплановость причинных взаимозависимостей, особенности в их формировании приводят к необходимости применять специфические методы их описания и изучения. Таким методом и является, в частности, статистика, которая в состоянии дать общее представление о явлениях и определить их меру. Наиболее полное выражение специфика общественных процессов находит в системе статистических показателей (величин), где непосредственно и конкретно обнаруживается единство качественной и количественной сторон явлений. Не случайно поэтому во всех главных исследованиях В. И. Ленин уделял особое внимание системе показателей.
Своеобразие статистики как науки и метода познания, как мы говорили раньше, состоит в том, что она изучает количественные отношения в неразрывной связи с качественной стороной процессов общественной жизни. Неизбежным следствием такого своеобразия являются и особенности статистического анализа. Эти особенности, в частности, заключаются и в том, что статистические методы исследования органически сочетаются с методами той науки, предмет которой изучается, а исследователь, как правило, является специалистом двух научных дисциплин. Например, в тех разделах экономических трудов, в которых содержится конкретный экономический анализ, В. И. Ленин выступает как ученый политэконом и как ученый-статистик. Аспект конкретности в анализе общественных явлений, обусловленных определенным пространством и временем, предопределяет необходимость сочетания статистических и специфических методов для данной сферы объектов, устанавливаемых определенной научной дисциплиной.
Могущество статистики как метода социального познания вытекает из теоретико-методологических особенностей ее, позволяющих глубоко проникать в содержание изучаемых процессов и обобщать неисчерпаемый поток информации о социально-экономических явлениях. Основываясь на трудах В. И. Ленина, можно назвать по крайней мере три следующие особенности статистической методологии или принципа статистического изучения явлений:
статистика изучает массовые количественные отношения , в неразрывной связи с качественными особенностями процессов и явлений;
статистика рассматривает с помощью сводных показателей любой процесс в целом, в совокупности факторов, черт и сторон изучаемых явлений;
статистика стремится показать совокупность явлений и их развитие в дифференциации, в многообразии.их типов, рассмотреть взашиосвязи и отношения между последними.
Первая черта, или особенность, настолько свойственна статистике, что часто ее определяли как науку о массовых явлениях. Это неточно, ибо все науки имеют дело с массовыми явлениями. Но для статистических методов самым характерным является не изучение отдельных объектов, отдельных единиц совокупности, а измерения общих -количественных соотношений и установление тенденций и закономерностей развития совокупности явлений. Например, статистика изучает изменения производительности труда не отдельного рабочего-, а совокупности рабочих на совокупности предприятий. Так же обстоит дело с изучением себестоимости, движения цен и т. д. Изучая движение цен, статистика совершенно не интересуется уровнем и изменением цен в каждом отдельном случае. Ее задача — показать эти изменения в массе, во всем товарообороте страны.
Большое значение имеет в статистике закон больших чисел. В самом широком понимании закон больших чисел выражает принцип более полного проявления действия различных законов и закономерностей в массовых количественных отношениях определенного типа с увеличением размеров изучаемой совокупности фактов (событий). На таком принципе зиждется вся организация массового статистического наблюдения и обработки статистической информации, применение метода группировок, исчисление сводных показателей и т. д. Вопрос о том, можно ли выразить этот принцип математическим образом, а если можно, то в какой форме и при каких условиях, является дальнейшей конкретизацией самого закона больших чисел, а не условие его существования.
Исторический опыт развития статистики показывает, что математические средства пока дают возможность охватить только самые простейшие случаи действия закона больших чисел и в очень строгих и ограниченных условиях. В то же время следует отметить, что математические формулировки закона больших чисел непрерывно обогащались, что можно проследить на развитии их, начиная с простейших теорем Бернулли и кончая более сложными построениями Чебышева — Ляпунова. Но и после этого в течение XX столетия математиками велись поиски новых, более широких доказательств возможности расширенного толкования (математической интерпретации) общего принципа закона больших чисел.
Закон больших чисел показывает, что в массе событий тенденция, выражающая необходимость, проявляется путем взаимопога- шения случайных элементов (отклонений от основной линии развития). Чрезвычайно-большая распространенность такой формы связи в природе и обществе обусловливает исключительно важное значение закона больших чисел в теории и практике исследований. В этом смысле закон больших чисел является в известной мере универсальным. Свойство этого закона — представить устойчивое в изменчивых явлениях — объясняет, почему так часто приходится прибегать к его поМощи1-
В силу закона больших чисел случайные отклонения и ошибки в измерении величин взаимопогашаются в массе явлений. Опять- таки в силу этого же' свойства следует изучать основные закономерности в большой совокупности объектов, а не на отдельных объектах, на величину которых, кроме основной закономерности, действуют двоякого рода погрешности: индивидуальные особенности данного события (объекта) и неточности, связанные с измерением его величины.
При определенных условиях величину отдельного элемента и совокупности можно рассматривать как случайную величину, имея в виду, что она является не только автоматическим результатом какой-то общей закономерности, но в то же время и сама -определена действием множества факторов, не зависящих от этой общей закономерности. Так, продолжительность жизни отдельного человека определяется общими условиями жизни населения в стране и индивидуальными особенностями организма человека. Невозможно судить о продолжительности жизни людей, об изменении ее за определенный период по небольшой группе отрывочных данных, ибо каждая отдельно взятая величина будет случайной: «...внутренний закон, прокладывающий себе дорогу в этих случайностях и регулирующий их, становится видимым лишь тогда, когда они охватываются в больших массах»2.
Поэтому в основе статистического исследования всегда лежит массовое наблюдение фактов. Но подчеркиваем, что закон боль-
Речь идет о законе больших чисел в широком смысле этого слова, а не о его математическом выражении в теоремах теории вероятностей.
Маркс К., Энгельс Ф. Собр. соч., т. 25, с. 396.
ших чисел не является регулятором процессов, изучаемых статистикой. Ошибочно считали его также основным законом статистики. Он характеризует лишь одну из форм проявления закономерностей в массовых количественных отношениях, которую в науке называют статистической закономерностью.
Статистическая закономерность — одна из форм проявление всеобщей связи явлений в природе и обществе. Впервые этот термин стал употребляться в естественных науках в противоположность понятию динамической закономерности, т. е. такой формы закономерности, когда строго определенным значениям каких-либо факторов всегда соответствуют строго определенные значения величин, зависимых от этих факторов. При динамической закономерности количественные соотношения между величинами, остаются справедливыми для каждого отдельного случая, каждого элемента совокупности, охваченного действием известного закона. Указанные соотношения могут быть выражены математически строго определенными формулами, системой уравнений и т. д. Примером динамической закономерности являются закономерности соотношений силы тяжести, массы и расстояний между телами, определяемые законом всемирного тяготения. Статистическая закономерность — другая форма закономерности, когда какое- либо правило, закон, количественное соотношение выявляются только в достаточно большом числе элементов совокупности, находят свое выражение только в массе явлений. Наступление отдельного события при этой закономерности связано с известной вероятностью (т. е. отдельное событие может наступить или не наступить). Но в массе случаев общая.закономерность необходимо найдет свое проявление. Характеристика связи между числом событий и степенью действия общей закономерности, при некоторых простых условиях, дается законом больших чисел. Одной из форм математического выражения связи причин и следствий при статистической закономерности служат уравнения регрессии (корреляции). Статистическая закономерность выражает единство необходимости'и случайности. Примером статистической закономерности в области общественных явлений может служить колебание норм выработки отдельных рабочих. Многие демографические закономерности также носят характер статистической закономерности. Таковые тенденции изменения уровня рождаемости или продолжительности жизни. Они в полной мере выявляются для большой совокупности людей, а не для отдельной семьи или индивидуума. Обе формы закономерности как в природе, так и в обществе связаны между собой и являются лишь различными формами выра-
жения всеобщей причинной связи между явлениями. Содержание и механизм действия закона больших чисел являются хорошей иллюстрацией диалектики необходимого и случайного, обоснованной в марксистско-ленинской философии.
Научная интерпретация механизма действия закона больших чисел исходит из понятия «однородная совокупность», причем понятие однородности объектов не должно трактоваться метафизически, в абсолютном смысле этого слова. Например, совокупность предприятий текстильной промышленности объединена общим признаком: производством текстильной продукции. Но по другим признакам: размеру, техническому оснащению — предприятия мо- I ут сильно отличаться друг от друга. Моментом однородности совокупности часто служит не только качественная определенность каждого ее элемента, но и признаки известной однородности условий, в которых осуществляется действие данной закономерности. Такой будет совокупность разнородных предприятий одного и того же региона — республики, области. Таким образом, не магическое действие большого числа создает определенные закономерности и тенденции, а именно реальные связи и отношения элементов совокупности, порождаемые общими условиями, общими качественными особенностями этих элементов- На свойствах реальных отношений в однородных совокупностях и основано, например, применение выборочного метода, который в соответствии с законом больших чисел дает возможность путем исследования совокупностей ограниченного размера правильно судить о генеральной совокупности в целом.
Взаимопогашение ошибок, полная или частичная нейтрализация влияния неточности измерений на выяснение основной тенденции в массе явлений часто используются в статистическом анализе. Отсюда не следует делать вывод о том, что в любом случае можно пренебрегать точностью измерения признаков каждого отдельного объекта. В противном случае в статистической информации могут появиться систематические ошибки иного характера, которые серьезно исказят и основную закономерность. Кроме того, в этом случае мы будем лишены возможности оценить действие общей закономерности в отдельных частях или группах исследуемой совокупности. Аналогично этому, используя вместо сплошного обследования выборку, ученый-статистик заранее дает себе отчет в том, что результаты исследования могут быть верны только для достаточно большой массы событий и их нельзя относить к нескольким, произвольно взятым объектам (например, результаты бюджетных обследований достаточно надежны для масштабов всей страны и более или менее условны для небольших районов).
Статистика не обязательно ограничивается исследованиями существенных, основных связей между явлениями. Она может изучить ряд отношений менее существенных, второстепенных, но опять-таки реально существующих. Точно так же мы не должны рассматривать группировки отдельных элементов совокупности по различным признакам как игру воображения исследователя.
Между элементами всякой совокупности существуют многообразные и многочисленные, точнее сказать, даже бесчисленные связи и взаимоотношения. Когда осуществляют группировку объектов по одному или нескольким признакам, то абстрагируются от всех отношений, кроме тех, которые соответствуют данным признакам: Например, общественные классы определяются по месту в исторической системе производства по отношению к средствам производства, по роли в общественной ориентации труда. При этом не имеют значения пол, возраст, место проживания людей, национальность и т. д. От такого приема не теряется ни реальность самих элементов совокупности, ни объективность их связей. Более того, нельзя, например, сказать, что отношения, объединяющие людей в один класс (допустим, рабочие), менее реальны, чем другие отношения, связывающие население района или страны в определенную совокупность. Наоборот, отношения первого рода являются в конечном счете более сильными, более существенными, чем другие отношения и связи между элементами данной совокупности.
Особенностью статистического метода является дифференцированный подход к изучаемым объектам. Совокупность единиц или явлений разбивается всегда на более или менее однородные группы как для того, чтобы установить структуру этой - совокупности, так и для характеристики основных типов явлений. Например, изучение населения ведется в разрезе классов и социально-экономических, а также других групп. Изучение любой отрасли народного хозяйства связано с группировками предприятий по социаль-' но-экономическим и технико-экономическим типам. Так, в нашей промышленности статистические показатели разрабатываются по отраслям, а внутри отраслей — по отдельным группам предприятий в зависимости от их величины, технической оснащенности и т. д.
В распоряжении статистики имеется мощный метод, позволяющий характеризовать и общие закономерности, и тенденции развития, несмотря на то что они осуществляются путем бесчисленных отклонений от основного правила через многочисленные индивидуальные особенности развития. Это метод сводных показателей, средних и индексов, с помощью которых в одной или. нескольких величинах характеризуется все многообразие массовых явлений.
Мы уже пользовались понятием показателя, а в дальнейшем будем встречаться с ним часто.
Показатель — одно из основных понятий статистики, под которым имеется в виду обобщенная количественная характеристика социально-экономических явлений и процессов в их качественной определенности в условиях конкретного места и времени. Примерами конкретных социально-экономических показателей служат: численность населения, валовая и чистая продукция промышленности, уровень производительности труда, величина себестоимости продукции и др. Совокупность показателей, всесторонне отображающих развитие общества, образует систему показателей. Сводные экономические показатели, относящиеся к сложному комплек-
су экономических явлений или к многообразным народнохозяйственным процессам и объектам, иногда называют синтетическими. (например, совокупный общественный продукт, национальный доход, национальное богатство).
Величина показателя определяется в результате измерения объектов (элементов) и меняется в зависимости от методологических особенностей его построения, обусловленных в свою очередь степенью охвата изучаемых процессов. Показатели называются натуральными, когда они выражены в единицах счета или различных физических единицах измерения (в мерах линейных, площади, объема, массы и др.), и денежными, или стоимостными, когда они представляют собой денежную оценку экономических объектов. В статистике часто употребляют условное деление показателей на объемные и качественные. К первым относят показатели, связанные с измерением величины совокупности объектов (элементов), например численность рабочих на предприятии или в отрасли, величина производства продукции и т. д.; ко вторым относят показатели, характеризующие уровень развития явления, например производительность труда работника, себестоимость единицы изде-
ЛИЯ и т. п.
С понятием статистического показателя взаимосвязано и.д ряде случаев употребляется как тождественное понятие признака. Но показатель выражает единство качественной и количественной стороны явления (их меру), а признаки характеризуют отличительные особенности объектов статистической совокупности- Признаки— свойства, характерные черты или особенности объектов (явлений), которые могут быть охарактеризованы рядом статистических величин. Система признаков используется для составления программы статистического наблюдения и последующей группировки материалов. Так, для промышленных предприятий признаками будут: род (или вид) выпускаемых продуктов, размеры производства, степень выполнения народнохозяйственных планов и др. В статистике населения признаками служат: пол, возраст, • профессия, образование и т. д. Иногда в литературе признаки делят на качественные и количественные. Это деление условно, так как всегда существует неразрывная связь качества и количества. Правильнее говорить о признаках, имеющих .непосредственное количественное выражение и не имеющих такового. К первому виду относятся признаки, варианты которых отличаются друг от Друга определенной величиной: размер численности занятых на предприятии (который имеет различные значения: например,
5, ... тыс. чел.); возраст человека (значения 10, 20, 50 лет и т. д.). Во втором случае варианты признаков различаются качественным содержанием, например: профессии •— характером труда (слесарь, механик, тракторист), виды товаров — потребительными стоимостями. Такие качественные признаки называют еще атрибутивными термин недостаточно точный (в философии атрибут — неотъемлемое свойство предмета). Когда имеются два противоположных по значению варианта признаков, то говорят об альтерн.з-
2. Заказ 4789
тивном признаке (грамотный, неграмотный; выполняющий, невыполняющий план). В результате объединения вариантов количественного признака получают качественно различные группы. Например, предприятия в зависимости от величины основных фондов разбивают на мелкие, средние, крупные. Признаки, систематически принимающие различные значения, которые колеблются вокруг определенного среднего уровня или в определенных границах, называются варьирующими признаками (размеры одежды и обуви, нормы выработки при однородных условиях и т. д.). Признаки могут быть основные, определяющие социально-экономическое содержание процессов, и • второстепенные, внешние по отношению к сущности изучаемых явлений, т. е. непосредственно не связанные с внутренней структурой процессов (экстенсивные признаки). Статистическая теория требует выделения в программах наблюдения и группировке в первую очередь главных, основных признаков. Признаки бывают первичные, которые лежат в основе программы сбора первичных статистических материалов, и вторичные, характеризуемые в процессе обработки и анализа данных. Так, группировка предприятий по эффективности капитальных вложений основана на вторичных признаках, ибо для расчета эффективности необходимо-знать первичные признаки предприятий — размер капитальных вложений, прирост прибыли и др.
ЗАДАЧИ СТАТИСТИКИ СОЦИАЛИСТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА
Большое значение статистики в социалистическом обществе объясняется тем, что она представляет собой одно из самых основных, одно из наиболее важных средств, с помощью которых государство ведет учет в народном хозяйстве. В. И. Ленин много раз подчеркивал огромную роль учета и контроля в социалистическом строительстве.
Учет является способом систематического измерения и изучения общественных явлений с помощью количественных методов. Учесть, например, продукцию машиностроительного завода — это значит определить, сколько и каких машин и станков выработано заводом, и подсчитать их стоимость. Учтя продукцию и другие по- ка.затели работы завода, можно определить, насколько он выполнил свой план, какие резервы роста продукции имеются в его распоряжении, что мешало его работе и т. д. Только на основе непрерывного учета можно следить за ходом выполнения плана. Количественные характеристики, которые мы получаем в результате учета, дают нам возможность судить о закономерностях явлений.
Не всякое изучение количественных соотношений есть учет. Различные количественные отношения между явлениями можно представить в виде тех или иных математических формул, и это само по себе еще не будет учетом. Одна из характерных особенностей учета — подсчет отдельных элементов, отдельных единиц, из которых складывается то или иное явление. В учете используются
различные математические формулы, но их применение обязательно связано с подсчетом элементов.
Правильный учет должен быть систематическим. Каждому ясно, что учет выполнения плана заводом за январь еще ничего не скажет о том, как работал завод в феврале. Чем сложнее хозяйство, тем более систематичным должен быть учет; т. е. он должен вестись непрерывно. Такой учет характеризует состояние явления не только на определенный момент, но и его изменения. По данным учета мы всегда можем судить о том, как изменилась наша страна за годы пятилетки, как улучшаются материальные условия трудящихся и т. д.
Таким образом, учет есть систематическое измерение и изучение общественных явлений, опирающиеся на подсчет отдельных элементов. Методы учета очень разнообразны, начиная от самых элементарных, кончая более сложными. Сложность методов учета зависит как от характера стоящей перед учетом задачи, так и от сложности того объекта, который учитывается. Например, учесть имущество одного завода сравнительно просто, для этого достаточно провести инвентаризацию, т. е. описать все имущество, принадлежащее заводу, и произвести соответствующую оценку его.
Совсем иное дело — учет всего имущества, точнее, всей собственности государства. Для этого следует учесть все земли (с распределением их на пашни, луга и леса), заводы, шахты, электростанции, рудники, железные дороги, телеграфные и телефонные станции и линии, совхозы, жилищный фонд в городах и т. д. Учесть имущество совхозов — это значит учесть тракторы, комбайны, скот, который там находится, и т. д. На заводах — заводские здания, различные виды оборудования, продукцию и сырье на складах. Следует пересчитать не только количество предметов, но и определить их стоимость.
Все важнейшие показатели предприятий, отрасли, как то: продукция, производительность труда, себестоимость, заработная плата и др. — планируются. План выполняется в результате активного труда миллионов трудящихся, причем каждый работник полностью выявляет свои индивидуальные особенности, свою энергию, желание достичь высших успехов в социалистическом соревновании. В условиях и возможностях работы предприятий также много специфики. Эти индивидуальные особенности не могут быть учтены заранее с математической точностью. Статистика дает возможность охарактеризовать с качественной и количественной стороны закономерно складывающиеся результаты борьбы за выполнение плана.
Новые процессы, в частности новые планы в области труда, социалистического соревнования, не могут сразу возникнуть как массовые процессы или охватить массу явлений. Следовательно, статистика, если она хочет выявить зарождение и тенденции развития новых явлений, обязательно должна интересоваться и отдельными элементами, выбирая наиболее показательные из них.
Еще сложнее учет всего общества в целом, ибо помимо государственных предприятий следует охватить все колхозно-кооперативные предприятия, дворы колхозников, личные хозяйства рабочих и служащих. Учет в нашей стране как в масштабе всего народного .хозяйства, так и в каждо.м предприятии и учреждении осуществляется государством или под руководством и по указаниям государства. Такой учет называется социалистическим, или народнохозяйственным. Он должен осуществляться в строгом соответствии с принципами научной теории. Например, для точного установления численности населения требуется проведение переписи населения, осуществляемой по правилам, опирающимся на статистическую науку.
Основных видов учета три: статистика, бухгалтерский и оперативно-технический учет. Социалистический, или народнохозяйственный, учет есть единство и система этих трех видов учета.
Методы учета разнообразны и определяются уровнем развития производительных сил и характером производственных отношений общества- Наиболее сложный, многообразный и способный проникнуть в глубину общественных процессов вид учета — статистика. Исторически статистика развивалась параллельно и в связи с другими видами учета. Однако ее ведущая роль во всей системе общественного учета стала особенно проявляться только на более высоких ступенях развития общества, когда производительные , ■ силы достигли зрелости.
Связь развития учета с характером производительных сил была впервые сформулирована К- Марксом в «Капитале». Маркс дал определение учета как средства контроля и мысленного обобщения процесса производства. «Мысленное обобщение» можно понимать так, что учет отражает всю сложность и многоступенчатую систему производства и воспроизводства в общей форме в денежном выражении. Определение Маркса связано с диалектикой стоимости и ее форм, изложенной в первом томе «Капитала». Учет даст единую цельную картину всего процесса производства, что делает возможным регулирование и контролирование этого процесса. Маркс писал по этому поводу: «Бухгалтерский учет как средство контроля и мысленного обобщения этого процесса становится тем' необходимее, чем более процесс производства совершается в общественном масштабе и утрачивает чисто индивидуальный характер».
Учет как средство контроля и мысленного обобщения процесса производства в условиях капитализма неизбежно ограничен рам- • ками отдельных предприятий и монополий. В условиях государственно-монополистического капитализма он в ряде случаев выходит за эти "рамки. Но только в социалистическом обществе учет становится действительно общественным, контролирующим весь общественный процесс производства. «Мысленное обобщение», т. е. выяв-
ление общей картины производства и соотношения его частей, становится условием для реального объединения всех процессов народного хозяйства на основе государственного планирования.
Обилие принципы и методы статистического учета излагаются в статистической науке.
А так как общественные процессы являются вместе с тем и массовыми процессами, статистика занимает важнейшее место в социалистическом народнохозяйственном учете.
Производственный процесс в любом хозяйственном предприятии требует по самой своей природе учета многих конкретных фактбв- Примером такого учета может служить учет сырья, учет произведенной за день продукции и т. д. Характерная особенность этого вида учета заключается в том, что руководителей и организаторов производственного процесса интересует именно данный индивидуальный объект учета. В производственном процессе необходимо знать наличие сырья данного вида, необходимо знать выработку данного рабочего, сдачу на склад таких-то видов готовой продукции и т. д. Этот вид учета называется оперативным или оперативно-техническим учетом. Руководство предприятием невозможно без хорошего, конкретного оперативного учета. Иногда ошибочно усматривают основную особенность оперативного учета в его оперативности и в этом видят его отличие от статистики и бухгалтерии. Ошибочность такого взгляда ясна. Оперативность должна быть отличительной чертой как статистики, так и бухгалтерского учета.
Бухгалтерский учет фиксирует движение ресурсов хозяйственных единиц, состав этих -ресурсов и их источники. Главная задача бухгалтерии состоит в том, чтобы показать, как расходуются средства предприятия, и учесть все его материальные связи с другими предприятиями и государством в целом. Часто бухгалтерский и оперативный учет в отличие от статистики называют просто учетом. Социалистический, или народнохозяйственный, учет производства и распределения продуктов осуществляется тремя указанными видами учета, органически связанными между собой.
Очень многие документы первичного учета обрабатываются затем различными видами учета, в том числе и статистичёским. Каждое предприятие и учреждение, обработав данные первичного учета, составляет из них отчеты для вышестоящих организаций. Отчеты составляются за неделю, декаду, месяц, квартал и год работы предприятия. Иногда первичный учет называют просто учетом, противопоставляя его отчетности.
Все важнейшие отчеты собираются в статистических управлениях областей, краев, республик и для страны в целом — в ЦСУ СССР. Их обработка есть завершающий этап народнохозяйственного учета. Сведенные воедино, все данные, поступившие от различных предприятий и ведомств, дают картину народного хозяйства и общественной жизни СССР в целом-
Советское хозяйство есть хозяйство плановое. Наши планы основываются на глубоком изучении всех ресурсов народного хозяйства. Такое изучение невозможно без учета и, в частности, без статистики. Учет показывает точную картину состояния народного хозяйства и помогает выявить те условия, которые будут увеличивать на род ное. богатство и благосостояние трудящихся. Главное из этих условий — повышение эффективности производства, производительности труда. Точный учет норм выработки и их выполнение, результатов социалистического соревнования показывает, какие вс^можцости роста производительности труда и производства в целом имеются в нашем хозяйстве. На основе этого учета изменяются старые нормы выработки, нормы расходования энергии, сырья, нормы использования оборудования. Эти изменения, затем отражаются в производственных планах.
Учет, в том числе и статистический, является необходимым инструментом при составлении народнохозяйственного плана. Вместе с тем он служит орудием контроля выполнения плана, орудием его постоянного уточнения и улучшения. Учет в социалистическом обществе подчинен задачам планирования народного хозяйства. Контроль выполнения плана является общей задачей статистики социалистического хозяйства. Ее конкретные задачи, следовательно, определяются задачами самого плана.
Статистика контролирует выполнение плана и в отдельных предприятиях, и в масштабе всего народного хозяйства. Последняя ее функция наиболее важная. Здесь в полной мере необходимо все богатство ее методов. Однако учитывать выполнение плана всего народного хозяйства и его важнейших участков невозможно без всесторонних и систематических сведений о каждом предприятии. С другой стороны, эти сведения делают возможным контроль отдельных предприятий государственными организациями.
Важнейшей задачей планирования является обеспечение в плане правильных соотношений и недопущение диспропорций между различными отраслями социалистического хозяйства. В связи с этим статистика обязана учитывать, в какой мере выполняются те соотношения и пропорции между отраслями, которые были установлены в плане- Кроме того, статистический учет должен подготовить материал, который будет использован в составлении самого плана. Правильные соотношения между отраслями могут быть запланированы только при всестороннем изучении народного хозяйства, в котором статистика играет одну из главных ролей.
Установить, в каком отношении мы перегнали самые развитые капиталистические страны, а в каких областях еще отстаем, без статистики было бы невозможно. Для того чтобы все это устано- рить, нужен большой и правильно обработанный статистический материал. Необходимо собрать сведения о численности и составе населения в СССР и капиталистических странах и о выпуске продукции (стали, электроэнергии, нефти, ткани, обуви и т. д.), уровне производительности труда, структуре производства, оборудова-
нии. При этом не за один год, а за несколько лет определить темпы роста различных социально-экономических показателей. Чтобы одержать большие победы в мирном соревновании социалистической системы с капиталистическим миром, план определяет те конкретные мероприятия, которые должны быть осуществлены для того, чтобы превзойти в техническом отношении результаты, достигнутые в наиболее развитых капиталистических странах. Учет того, как выполняется эта задача, является в свою очередь важнейшей задачей статистики. ,
Важнейшими в работе учета являются вопросы охраны социалистической собственности. Учет должен служить острым орудием борьбы со всякого рода недостатками в работе предприятий и учреждений.
В настоящее время в СССР построено развитое социалистическое общество. Крупнейшие социально-экономические задачи, стоящие перед советским народом в этот период, были сформулированы на последних съездах КПСС. В решениях съездов научно обоснована экономическая программа, которую должна осуществить наша страна для решения задач создания материально-технической базы коммунизма и значительного подъема жизненного уровня советского народа. В связи с этим перед статистической теорией и практикой встают новые и ответственные задачи. Именно статистика должна обеспечить перспективные планы глубокой и разносторонней информацией о современном состоянии народного хозяйства, о тенденциях, которые намечаются в развитии нашей экономики, о недостатках и диспропорциях в развитии отдельных элементов и отраслей народного хозяйства. Большая работа ведется статистикой в области совершенствования системы показателей, характеризующих уровень и динамику развития народного хозяйства.
ГЛАВА 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
МАССОВОЕ СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАБЛЮДЕНИЕ —
ПЕРВЫЙ ЭТАП СТАТИСТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
Статистическое наблюдение, или первичный статистический учет, является научной, специально организованной регистрацией признаков каждой единицы совокупности и записью их в определенных документах. Статистическое наблюдение как .первый этап статистического исследования направлено на получение достоверной статистической информации для характеристики не только отдельной единицы совокупности, цо и самое главное массы единиц совокупности при помощи обобщающих статистических показателей. Так, например, чтобы определить численность и состав населения страны, в СССР в 1979 г. проведена Всесоюзная перепись населения и получены сведения о каждом проживающем: пол, возраст, образование, семейное положение и другие. Переписью отраслей народного хозяйства СССР собираются сведения о каждом рабочем и служащем, занятом в каждой отрасли. •
Полученные в процессе статистического наблюдения статистические числа — факты — приобретают огромное познавательное значение. В. И. Ленин отметил, что «марксизм стоит на почве фактов, а не возможностей»1. Материалы статистического наблюдения служат для расчета обобщающих статистических показателей, необходимых оперативному руководству и управлению производством, его планированию и прогнозированию. Без статистической информации, без фактических данных нельзя получить обоснованных решений, учитывающих особенности места, времени, влияния различных факторов на результат производственной деятельности. В. И. Ленин рассматривал сбор статистической информации как фундамент статистического исследования, от которого зависят не только остальные его этапы, но и теоретические, и практические выводы.
Общественные явления находятся в постоянном развитии, претерпевают разнообразные количественные и качественные изменения. Эти изменения возникают под влиянием различных событий; они совершаются в определенной последовательности, с определенной закономерностью. Для изучения процесса развития явления недостаточно располагать данными, характеризующими его 'состояние на определенные моменты времени. Необходимо учитывать факты и события, под влиянием которых наступает изменение явлений, а также определять последовательность его форм и состояния, иначе говоря, исследовать сам процесс изменения данной совокупности на основе сведений о каждой его единице.
Планомерно организованный сбор сведений о каждой единице совокупности представляет общую задачу статистического наблю-
дения: получение сведений о состоянии массы единиц на данный момент времени (например, определение численности рабочих на начало года); учет событий, под влиянием которых происходит изменение состояния единиц совокупности (например, прием и увольнение рабочих влияет на их численность за определенный период времени) и, наконец, изучение во времени закономерно; стой изменения явления (например, выпуск продукции предприятием).
В зависимости от общей задачи статистического наблюдения формулируется цель наблюдения: если необходимо изучить профессиональный состав рабочих, то указывается, о рабочих какой отрасли и каких предприятий следует собирать сведения на дату или за период времени.
Цель статистического наблюдения должна быть конкретная, актуальная по содержанию и направлена на сбор сведений, необходимых для планирования, управления, анализа хозяйственной деятельности предприятий, отраслей народного хозяйства, а также для изучения закономерностей их развития и взаимосвязи. Цель статистического наблюдения может быть направлена на сбор сведений для решения-сравнительно узких вопросов практического характера, например собираются данные о наличии ресурсов материалов для составления плана потребности предприятия в определенных видах материалов. Цель наблюдения может предусматривать и более глубокое познание объекта исследования, выявление его особенностей и закономерностей.
Статистическое наблюдение осуществляется последовательно, по следующим этапам: 1) разрабатывается программа статистического наблюдения по каждой интересующей исследователя едини-; це (рабочий, бригада, цех и т. п.); 2) устанавливается содержание плана сбора и обработки данных о признаках единицы наблюдения; 3) проводится контроль материалов статистического наблюдения. От правильной формулировки цели зависит содержание программы и плана статистического наблюдения изучаемой совокупности.
ПРОГРАММА СТАТИСТИЧЕСКОГО НАБЛЮДЕНИЯ
Программой статистического наблюдения называется перечень вопросов (признаков), па который должны быть получены ответы по единицам наблюдения. Содержание программы и количество помещенных в ней вопросов зависит от особенностей изучаемого общественного явления и от цели статистического наблюдения, направленного на получение предварительно разработанной системы обобщающих показателей. Широкая программа, содержащая ’значительное число вопросов, позволяет получить более разносторонние сведения и поэтому более углубленно исследовать сущность и особенности изучаемой совокупности единиц. Если переписывается население страны, то сведения о каждом человеке позволят, после их статистической обработки, получить характери-
* стику всего населения но образованию, семейному положению К Т. д.
В. И. Ленин настаивал на постановке широкой программы сбора сведений и отдавал предпочтение русской земской статистике перед зарубежной статистикой за применение полных и детальных программ статистического наблюдения крестьянскбго хозяйства России. Узкая программа предусматривает сбор сведений по ограниченному кругу вопросов, часто имеющих лишь практическое значение. Составляются также специализированные программы с учетом специфических особенностей объекта изучения, в частности программы для учета деятельности предприятий в условиях хозяйственной реформы. С целью изучения явления за определенный период времени или на какую-либо дату проводятся специально организованные статистические наблюдения по специально разработанной программе: переписи, единовременные учеты, специальные обследования.
Одновременно с программой статистического наблюдения разрабатывается инструментарий наблюдения: а) основной — формуляры наблюдения (хронокарты, переписные листы, бланки обследования, формы отчетности и т. п.), в которые заносятся вопросы программы; б) вспомогательный — документы с дополнительными данными, необходимыми для проверки полноты и достоверности полученных сведений (табели отчетности, акты приемки объектов строительства, списки предприятий и др.).
Применяются различные типы формуляров: списочный формуляр содержит сведения о нескольких единицах наблюдения и поэтому удобен для машинной обработки; индивидуальный формуляр содержит сведения о единице, одном предприятии. В связи с механизацией процесса обработки статистической информации статистические формуляры заменяются перфокартами, магнитными лентами, дисками и т. д. В самих же формулярах предусматриваются шифры каждого ответа, необходимые для машинной обработки информации.
К инструментарию статистического наблюдения относятся также инструкции, разъясняющие содержание ответов на поставленные вопросы программы. Например, в инструкции к проведению Всесоюзной переписи населения СССР 1979 г. указано, что назвать предприятие, колхоз, учреждение следует так, чтобы можно было определить отрасль или род производства, например не завод «Октябрь», а* машиностроительный завод «Октябрь». Велико значение тщательно разработанной инструкции для заполнения форм статистической отчетности предприятиями и организациями. Инструкция служит средством обеспечения единообразного и правильного составления форм статистической отчетности. К разработке программы статистического наблюдения и инструкций к ней привлекаются работники ЦСУ СССР и специалисты соответствующих отраслей знания.
К составлению программы статистического наблюдения предъявляется ряд требований:
Круг вопросов программы определяется задачами статистического исследования. В программу включаются вопросы о наиболее существенных признаках, характеризующих изучаемое явление; например, в статистической отчетности предприятий помещаются сведения о количестве выработанной продукции, численности рабочих, фонде заработной платы и др. Для обследования рабочих привлекаются не только прямые (пол, возраст), но и косвенные признаки, например тарифный разряд, который характеризует уровень квалификации работ.
Если статистическое наблюдение предусматривает определенную практическую цель, то рекомендуется ограничиться минимальным количеством вопросов, необходимых для достижения этой цели, например собираются сведения для заполнения годовых форм статистической отчетности или же для составления текущей (месячной) отчетности. Текущая отчетность для контроля выполнения плановых заданий и оперативного управления производством ограничивается небольшим кругом вопросов. Годовая же отчетность, более полно отражающая результаты деятельности предприятий, содержит значительное число вопросов в каждой форме и предназначена не только для контроля выполнения плана, но и для анализа деятельности предприятий, для определения их эффективности.
Необходимо разрабатывать для решения поставленных задач оптимальные программы по числу вопросов. Следует избегать «лишних» вопросов, не относящихся непосредственно к цели исследования, так как расширение программы связано с большими затратами труда, времени и денежных средств. В. И. Ленин заметил: «Что касается до вопроса о широте сведений, т. е. до количества вопросов... приходится быть очень осторожным: лучше получить немного сравнительно достоверных, полных и единообразных сведений, чем много сведений отрывочных, сомнительных и несравнимых».
Вопросы программы должны быть сформулированы четко, ясно и не вызывать различного толкования. Чем конкретнее вопрос, тем больше гарантии правильного его понимания и получения точного ответа. В программе следует (в некоторых случаях) давать разъяснение вопроса. В переписном листе Всесоюзной переписи населения СССР 1979 г. вопрос «возраст» содержит разъяснение «год рождения», так как ответ на него может содержать число лет. Если в отчетности предприятий ставится вопрос «объем продукции», то необходимо указать вид продукции и единицы ее измерения с целью сравнения продукции йо предприятиям. Подробная расшифровка вопросов программы дается в инструкции.
Вопросы программы должны записываться в определенной последовательности и взаимопроверяться: в переписном листе переписи населения СССР 1979 г. вопрос «возраст» корреспондирует вопросу «состояние в браке». Вопросы в формах статистической
отчетности предприятий, а также содержание самих форм отчетности по основным сторонам деятельности предприятий (объем продукции, численность персонала, фонд заработной платы, себестоимость продукции и др.) взаимоувязаны. Статистические показатели, вычисленные по такой программе, распространяются на все уровни отрасли народного хозяйства и служат основой планирования и управления.
Целесообразно вопросы программы формулировать так, чтобы полученные ответы за исследуемый период были сравнимы с данными статистических наблюдений предшествующих периодов времени.
В программе помещается адресная часть (название предприятия, его адрес), чтобы оперативно следить за выполнением статистического наблюдения и в случае наличия ошибок в собранных сведениях произвести их повторный сбор. В. И. Ленин неоднократно подчеркивал: «...правильная программа и обеспечение проверки данных, это — два важнейших условия успешной статистики»1.
После статистической обработки материалов статистического наблюдения, собранных по разработанной программе, должна быть получена система обобщающих статистических показателей (абсолютные, относительные, средние величины), характеризующая каждую группу совокупности и всю совокупность в целом. Поэтому предварительно составляют макеты статистических таблиц (с названием граф и строк) к которые отражают результаты обработки первичной статистической информации и получают таким образом статистическую картину изучаемого общественного явления. Ниже приводим макет статистической таблицы, предназначенной для характеристики уровня образования населения, занятого в народном хозяйстве СССР.
Т а б л и ц а 2.1
Год переписи населения
На 1000 человек соответствующего пола приходится с образованием
высшим и средним
(полным й неполным)
в том числе
высшим
средним (полным и неполным)
мужчин
женщин
мужчин
женщин
мужчин
женщин
J959
1970
1979
2.3. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ ПЛАН СТАТИСТИЧЕСКОГО НАБЛЮДЕНИЯ
Научно организованное статистическое наблюдение должно выполняться планомерно, в соответствии с требованиями и правилами, выработанными статистической наукой.
•Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 4, с. 4.
Кроме программы, разрабатывается организационный план данного статистического наблюдения — специальный документ, в который заносятся сведения о субъекте, объекте, единицах наблюдения; разрабатывается положение об организационной стороне статистического наблюдения. Необходимо предварительно выполнить теоретический анализ изучаемой совокупности — знать сущность изучаемого явления, особенности его развития в данных условиях времени и места. Для проверки действенности программы и плана статистического наблюдения выполняются пробные обследования небольшой части изучаемой массы единиц совокупности. В 1976 г. в отдельных районах СССР осуществлены пробные переписи населения.
В организационном плане указывается субъект (исполнитель) статистического наблюдения, который выполняет функции по организации сбора и обработки статистической информации. Функции исполнителя статистического наблюдения выполняют ЦСУ СССР, а так же министерства и ведомства (Госбанк СССР, Государственная комиссия по запасам полезных ископаемых при Совете Министров СССР, Государственный комитет СССР по делам строительства и др.).
В формулировке целей статистического наблюдения заложено общее представление о предмете исследования, о подлежащем изучению общественном явлении. Необходимо точно определить состав и границы массы единиц общественного явления, признаки которой должны быть зарегистрированы. Чтобы получить полные и достоверные данные, необходимо установить в каждом конкретном случае, что представляет собой объект наблюдения, т. е. какие общественные явления подвергаются изучению. Например, для сбора данных по строительным организациям требуется определить, какие организации относятся к строительству, или же к промышленному предприятию; определить, какие категории лиц относятся к группе «рабочие». Иначе говоря, установить так называемый ценз — признаки, отражающие характерные особенности всех единиц изучаемой совокупности: В инструкции о порядке проведения Всесоюзной переписи населения 1979 г. записано, что в списки и переписные листы вносятся все проживающие в каждом помещении, включая и временно проживающих; из числа постоянно проживающих записываются и временно отсутствующие/
С целью единообразия собираемых сведений в плане статистического наблюдения отмечаются границы явления.
Материальные границы (границы по содержанию) определяют группы совокупности, подлежащие регистрации, и дают основания для включения каждой единицы совокупности в ту или иную группу; например, в плане указывают, какие профессии рабочих над-э обследовать, чтобы определить влияние квалификации на уровень средней заработной платы рабочих. С этой целью часто составляются классификации, где сходные разновидности по основным признакам объединяются в более крупные группы, классы, категории. В практике советской статистики действуют разнообразные клас-
сификации, подразделяющие работающих по участию в производственном процессе (рабочие, ИТР, служащие, охрана); капитальные вложения — по назначению, направлению и др. Классификации предполагают логическое, созданное жизнью деление единиц совокупности на категории и классы.
Территориальные границы (границы места) устанавливают в зависимости от задач статистического исследования и особенностей объекта наблюдения. Место сбора сведений часто совпадает с границами административного деления города или района. В отдельных случаях устанавливают границы объекта исследования в зависимости от характера производственных процессов на предприятиях, а также от природных условий. Вопрос о месте наблюдения имеет особое значение для объектов, которые меняют свое пребывание (население города, оборудование строительных организаций).
Временные границы устанавливают в зависимости от особенностей изучаемых объектов, а также от цели исследования. Практически часто получают ответы на вопросы программы за определенный период времени, т. е. период регистрации, в течение которого собирают, проверяют полученные сведения, в частности, для заполнения форм статистической отчетности (месячной, квартальной, годовой). Возможно получить интересующие нас сведения и на определенную дату, т. е. на момент регистрации, называемый критическим моментом. Для инвентаризации Запаса материалов на складе предприятия принимается дата 1 января текущего года; перепись населения СССР проводилась по состоянию на 24 часа 16 января 1979 года. Период регистрации и критический момент выбираются так, чтобы получить данные, отвечающие задачам статистического наблюдения, а также сравнимые в основном с аналогичными данными других статистических наблюдений. Границы времени устанавливаются только для единовременного наблюдения, например для переписи неустановленного оборудования, основных фондов предприятий и др.
Собирать сведения о признаках объекта в целом не представляется возможным; нельзя получать непосредственно сведения о стаже работы всех рабочих цеха, поэтому выбираются единицы наблюдения или составные части (отдельные рабочие) объекта статистического наблюдения. Единицы наблюдения — носители признаков (особенностей, характерных черт), которые подлежат регистрации. Границы между отдельными единицами не всегда легко различаются и поэтому в плане статистического наблюдения помещается список единиц наблюдения и перечень признаков каждой единицы. Признаки наблюдения должны быть существенными, легко различимыми, а не случайными.
Единица наблюдения (рабочий, бригада, предприятие) — это источник сведений, первичной информации для изучения объекта исследования. Единицы наблюдения как первичное звено сбора сведений должны быть качественно однородны и принадлежать к одному типу (виду). Практически выделяются организационные еди-
ницы (завод, строительная организация) и физические единицы (машины или механизмы, если переписывается оборудование). За единицы наблюдения принимаются отдельные события (поступление каждого вида материала на склад прёдприятия, ввод в эксплуатацию объектов строительства). Обоснованное разграничение единиц статистического наблюдения позволит собрать сведения и с определенной степенью точности охарактеризовать по данному признаку объект исследования. Выбирать единицы наблюдения надо так, чтобы обеспечить регистрацию признаков единиц в соответствии с целью исследования и программой статистического наблюдения. При этом нужно учитывать особенности развития отраслей народного хозяйства, предприятий в данных условиях времени и места, а также задачи, поставленные решениями ЦК КПСС и Совета Министров СССР. Если организовано специальное статистическое наблюдение с целью сбора материала для анализа деятельности предприятий по формам статистической отчетности, то устанавливают отчетные единицы. Обычно отчетной (учетной) единицей считаются предприятия, организации, иногда отдельное лицо, к которому адресуются за получением данных; например, при переписи запасов материалов отчетной единицей является завод, а при фотографии рабочего дня — рабочий. Отчетные единицы (предприятия, организации) обязаны представлять отчеты о своей деятельности ЦСУ СССР.
ВИДЫ И СПОСОБЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО НАБЛЮДЕНИЯ
В плане статистического наблюдения отмечаются виды и способы статистического наблюдения, которые следует применить в каждом конкретном обследовании; в этой связи рассматриваются вопросы подготовки кадров учетчиков и организации механизированной обработки собранной статистической информации.
Для изучения особенностей и закономерностей общественных явлений применяются различные виды и способы сбора статистических сведений. В зависимости от задач исследования и конкретных условий статистическое наблюдение может быть единовременным или текущим. Единовременное наблюдение — запись признаков единиц наблюдения, приуроченная к данному «критическому моменту» времени. Единовременное наблюдение или учет состояния проводится через некоторые периоды времени, охватывает длительно существующую совокупность (население страны, численность работающих на предприятии и т. д.). Такое наблюдение, например перепись жилого фонда населенного пункта на 1 января текущего года, проводится для определения численности, состава и качёственных особенностей совокупности. Программа сбора сведений в этом случае должна быть в основном аналогичной содержанию предшествующих единовременных наблюдений: переписей, единовременных учетов и специальных обследований.
Текущее наблюдение или текущий учет ведется для определения изменений состояния явления. Единицы наблюдения и их при-
знаки регистрируются в момент возникновения или же в ближайший после этого момент времени; например, ведется ежедневный учет автомашин, сходящих с конвейера, запись актов гражданского состояния. Первичный учет в производственной деятельности предприятий направлен именно на регистрацию фактбв в момент их наступления (учет явок я неявок на работу). К текущему статистическому наблюдению предъявляется ряд требований:
. Регистрация фактов должна проводиться по мере их возникновения на отдельных .участках производства, на предприятиях, в районе или регионе.
Регистрация фактов должна быть обязательной и систематической, чтобы наиболее полно отразить особенности изучаемого явления, контролировать и анализировать деятельность предприятия.
Текущее наблюдение должно осуществляться на основе единых первичных документов, причем время их составления предшествует времени сбора статистических данных. В зависимости от поставленной цели исследования в первичных документах должны содержаться только необходимые сведения для характеристики объекта исследования.
Желательно соблюдать постоянство в приемах организации и программе сбора сведений с целью их сопоставимости с программами предшествующих обследований.
Значение текущей регистрации неоднократно подчеркивал В. И. Ленин в письмах РКИ, ЦСУ, Госплану. Он считал текущую регистрацию источником важнейших практических сведений для управления производством. Так, текущая регистрация последовательных этапов возведения строительных объектов необходима для контроля и анализа деятельности подрядных строительных организаций.
Материалы единовременного и текущего наблюдений взаимно дополняют друг друга; создается возможность получения данных на любой момент времени или за любой период времени.
Сплошное наблюдение — учет всех без исключения единиц в пределах данной совокупности, например перепись всех видов оборудования или материалов в данном предприятии. Сплошное наблюдение применяется для определения размера общественного явления (численность населения страны), контроля за выполнением плановых заданий, получения текущей информации на всех уровнях управления. Материалы сплошного наблюдения позволяют выделить в составе изучаемой массы единицы качественно однородной группы и определить по каждой группе средние величины по наиболее существенным признакам. Единовременное и текущее наблюдения осуществляются в форме сплошного наблюдения, если необходимо получить сведения об объеме изучаемых явлений.
Организация сплошного наблюдения не всегда возможна и целесообразна, особенно для контроля за качеством продукции* В этом случае сплошное наблюдение приводит к исключению из
AeDbI практического использования массы продукции предприя- Необходимо поэтому осуществлять несплошное (частичное) Наблюдение — учитывать только часть единиц совокупности, по которой составляют представление о характерных особенностях изучаемого явления в целом; например, систематически ведутся записи по бюджету семей определенного круга рабочих, служащих, колхозников и после обработки таких записей судят об изменении материального благосостояния трудящихся в разных отраслях народного хозяйства СССР.
Несплошное наблюдение имеет определенные преимущества по
сравнению со сплошным наблюдением:
требуется значительно меньше затрат труда и средств в связи с уменьшением числа обследуемых единиц;
данные могут быть собраны в более короткие сроки и по более широкой программе, чтобы в заданных пределах всесторонне раскрыть особенности изучаемой совокупности, провести более глубокое научное исследование;
данные несплошного наблюдения привлекаются для контроля материалов сплошного наблюдения;
несплошное наблюдение должно быть репрезентативным. Обследуемые единицы отбираются так, чтобы, опираясь на полученные по этим единицам данные, составить правильное представление о явлении в целом. Поэтому одной из существенных особенностей несплошного наблюдения является организация отбора единиц обследуемой совокупности способами: основного массива, монографически^ анкетным и выборочным наблюдением.
Способ основного массива предусматривает отбор единиц сово- купности, преобладающих по изучаемому признаку (например, отбираются строительные организации, выполняющие объем работ свыше 2 млн. руб.). Достаточно обоснованные данные можно получить, если исследователь уверен, что величина признака у необследованных единиц не окажет искажающего влияния нй статистическую характеристику всей совокупности. Способ не обеспечивает отбора единиц, которые представляли бы все части совокупности.
Монографическое наблюдение — детальное описание небольшого числа единиц совокупности. Типическая монография, как один из способов изучения особенностей единиц совокупности, предусматривает отбор из состава всей совокупности качественно однородных единиц одного типа. Собираются сведения по 1—3 единицам с индивидуальными значениями признака, близкими к типичным значениям признака в группе; например, из бригады рабочих отбираются 2 человека и изучаются затраты ими рабочего времени при помощи фотографии рабочего дня. Типическое монографическое обследование применяется для изучения передового опыта, и программа такого рода статистического наблюдения достаточно широка. Иногда применяется типическая монография и для предварительного ознакомления с особенностями совокупности, чтобы лучше организовать сплошное наблюдение.
К числу недостатков типической монографии относится субъ ективный выбор единиц наблюдения, когда руководствуются толь ко общим представлением об их характерных особенностях. Кро ме того, число отобранных единиц невелико, не соответствует численности самой группы, и полученные данные не позволяют изучить распределение единиц (состав, долю) в пределах отдельной группы. Большая уверенность в репрезентативности данных, полу, ченных типической монографией, достигается, если выбор единиц основан на данных ранее выполненных сплошных наблюдений.
Анкетный способ предусматривает раздачу анкет (иногда .анкеты публикуются) всем единицам совокупности для специальных обследований, например с целью изучения регулярности доставки почтовой корреспонденции, мнений по отдельным вопросам (о прочитанных книгах, просмотренных кинофильмах).
Анкеты заполняются добровольно и поэтому не всегда обеспечивается репрезентативность выборки. Программа анкетного обследования содержит узкий круг вопросов, ответы на которые, часто дают только заинтересованные лица.
Большое распространение получает теперь метод интервью, когда опрос ведется путем личного общения по специально разра-1 ботанной программе. Такой метод широко применяется в социологических исследованиях, в частности для характеристики степени удовлетворения рабочих выполняемой производственной операцией.
Научно организованное выборочное наблюдение предусматривает отбор единиц совокупности и регистрацию по каждой единице сведений по интересующему признаку с целью распространения на всю совокупность полученных после сводки статистических характеристик. Организация выборочного наблюдения требует меньших-затрат труда, времени и средств по сравнению со сплошным наблюдением. Кроме того, создается возможность получить статистическую" информацию по расширенной программе. В современных условиях для характеристики деятельности предприятий все более широко привлекаются методы математической статистики, что в свою очередь способствует организации различных выборочных обследований, например выполнения норм выработки рабочими, расхода материалов на производство продукции определенного вида и т. п. (см. гл. 7).
Сплошное и несплошное статистическое наблюдение осуществляется различными способами: непосредственным наблюдением, опросом и документированной записью (документы первичного учета и статистической отчетности предприятий и организаций).
Непосредственное наблюдение осуществляется на основе пока- , заний приборов (взвешивание продукции на складе, измерение температуры плавки) лицом, выполняющим статистическое наблю- • дение. В результате получается текущая документированная запись. Таким способом фиксируют число пассажиров метрополитена в течение каждого часа суток, получают различные сведения для исследования процесса производства продукции. Материалы
непосредственного наблюдения содержат достоверные статистиче- данные, но этот способ требует больших затрат труда, време-
ни и средств.•
Источником сведений служит опрос. По способу регистрации Жактов опрос имеет разновидности: экспедиционный способ, саморе-' гистрации, корреспондентский способ и документированная запись.
Экспедиционный способ предусматривает сбор сведений на месте возникновения факта. Специальный регистратор производит опрос и сам записывает ответ; например, во время Всесоюзной переписи населения СССР переписчик записывал сведения о каждом проживающем в стране. Этот способ обеспечивает точную информацию, но требует значительных затрат времени, труда и средств.
Саморегистрация осуществляется с участием специального'реги- стратора на месте сбора сведений. Регистратор только разъясняет порядок ответов на поставленные вопросы в бланке, а ответы даются обычно представителями организаций и предприятий. Так, например, при обследовании машиностроительных заводов ответы дают работники плановых отделов, при бюджетных обследованиях — семьи рабочих, служащих и колхозников. Заполненные и проверенные бланки собирает регистратор. В результате получают полные и точные данные. Этот способ требует значительных затрат времени и средств, а также привлечения высококвалифицированных статистических работников.
Корреспондентский способ предполагает рассылку статистическими и другими органами специально разработанных бланков и инструкций по их заполнению предприятиям, организациям или специально выделенным лицам — корреспондентам для изучения определенного вопроса, например спроса населения на товары широкого потребления. Сведения поступают в установленные сроки по почте, телеграфом или доставляются нарочным. Способ не требует особых затрат, но качество информации зависит от уровня знаний и степени подготовки корреспондентов.'
Документированная запись — основная форма статистического наблюдения в отраслях народного хозяйства. Документированная запись или система документов первичного учёта является основным источником расчета статистических показателей, характеризующих деятельность предприятий и отраслей народного хозяйства. ЦСУ СССР и его местные органы разрабатывают формы первичных учетных документов, приспособленных для механизированной обработки, например для учета капитального строительства, , кадров предприятий и др.
На предприятиях организован учет трех видов: оперативнотехнический, бухгалтерский и статистический.
Оперативно-технический учет ведется на основе текущих первичных документов, содержание которых позволяет получать сведения о ходе производственного процесса на отдельных участках предприятий и выполнении ими плановых заданий, контролировать отдельные стороны производственного процесса и Хозяйственной деятельности, например сроки поставки материалов, осущест-
влять текущий контроль выполнения строительства зданий или сооружений. Оперативно-технический учет направлен на получение материалов для характеристики ^единичных явлений (количество бракованных изделий, время простоя машин и механизмов и др.). К особенностям этого вида учета относится:
регистрация фактов в момент их совершения, причем факты фиксируются непрерывно и с достаточной полнотой;
учет ведется в натуральном выражении, так как непосредственно связан с календарным планированием и управлением производственным процессом;
быстрота получения сведений для оперативного руководства предприятием или организацией;
полученные данные подвергаются статистической обработке с целью вычисления различных показателей, а также служат базой для более углубленных статистических расчетов: вычисления показателей вариации признака единиц, взаимосвязи признаков и др.; однако не представляется возможным применять развернутую программу сбора сведений.
Бухгалтерский учет ставит целью отразить в первичных документах хозяйственные и финансовые операции на предприятиях и в организациях.
Статистический учет или собственно статистическое наблюдение имеет объектом массовые общественные явления, сведения о которых необходимы для получения обобщающих статистических показателей.
Все виды учета взаимосвязаны единством объекта изучения, единством методологического руководства ЦСУ СССР, общей задачей — способствовать плановому руководству и управлению. Обобщающие статистические показатели вычисляются по данным учета. Поэтому статистика завершает учет, так как статистические показатели (средние величины и др.) необходимы для анализа всех сторон деятельности предприятий и отраслей народного хозяйства.
В. И. Ленин придавал огромное значение организации учета, в нашей стране. Хорошо известны знаменитые слова В. И. Ленина: «Социализм — это прежде всего учет»1. За подписью В. И. Ленина издан ряд правительственных декретов и постановлений, заложивших основы учета народного хозяйства СССР. В развитом социалистическом обществе уделяется большое внимание организации учета и отчетности. В материалах XXV съезда КПСС записано: «Улучшать систему учета и отчетности, статистическую информа* цию в соответствии с возрастающими требованиями управления и планирования»2.
Статистическая отчетность и специально организованное статистическое наблюдение — основные источники информации о деятельности предприятий, организаций и отраслей народного хозяйства СССР.
. 1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 35, с. 57.
Материалы XXV съезда КПСС, с. 172.
Статистическая отчетность — специально разработанные и утвержденные ЦСУ СССР типовые и специализированные формы (макеты таблиц) — содержит сведения о деятельности предприятий и организаций. В типовые формы отчетности заносятся одинаковые по содержанию показатели для всех предприятий отрасли и даже ряд показателей, одинаковых для отраслей народного хозяйства (показатели по труду и кадрам и др.). Специализированные- формы отчетности содержат статистические показатели, характерные именно для данной отрасли народного хозяйства, для организаций и предприятий, работающих в новых условиях планирования и экономического стимулирования.
ЦСУ СССР утверждает табель отчетности — список форм отчетности, обязательных для представления каждой категорией отчетных единиц (промышленные предприятия, подрядные строительные организации и др.), а также порядок представления (почта, телеграф) и сроки отправки текущей и годовой отчетности; указывается, кому и в какой адрес направляется отчетность. Ведомственная отчетность отсылается министерствам и ведомствам -для оперативного контроля и руководства, а общегосударственная — ЦСУ СССР. Формы статистической отчетности заполняют-’ ся работниками учетного статистического аппарата на основе содержания документов первичного учета и в соответствии с инструкцией ЦСУ СССР.
Отчетность позволяет получать за определенный-период (месяц, квартал, год) или на определенную дату (на начало года) сведения по различной программе для контроля выполнения плановых заданий и анализа деятельности предприятий, организаций, а также вести текущую статистику. Материалы специально организованных статистических наблюдений часто дополняют содержание форм отчетности.
Представленная статистическая отчетность предприятий и организаций подвергается статистической обработке вычислительными центрами ЦСУ СССР. Новый этап в сборе и обработке данных вызван введением автоматизированной системы управления на предприятиях (АСУП) и в отраслях народного хозяйства (ОАСУ), в которую входят подсистемы: сбор и передача информации, обработка информации, размножение, хранение и поиск информации с применением электронно-вычислительных машин. .
В конце IX пятилетки введена в эксплуатацию первая очередь автоматизированной системы государственной статистики (АСГС) для учета планирования и управления народным хозяйством и его отраслями. АСГС представляет собой межотраслевую многоуровневую общегосударственную систему сбора и обработки статисти- - ческой информации в органах государственной статистики. Обработка собранной информации ведется с применением экономикоматематических методов, электронной и другой вычислительной техники.
Первая очередь АСГС включила 5 обеспечивающих и 14 функциональных подсистем (статистика промышленности, труда и за-
работной платы и др.). В основу функциональных подсистем заложены комплексы электронной обработки статистической информации (ЭОИ) по наиболее трудоемким задачам, связанным общей программой статистического наблюдения. Внедрение системы комплексов ЭОИ позволило объединить все вычислительные центры ЦСУ СССР в единую вычислительную сеть.
В X пятилетке создавалась вторая очередь АСГС с более высокой степенью механизации на основе ЭВМ третьего поколения. В АСГС включаются 7 подсистем: статистика промышленности, сельского хозяйства, строительства, материально-технического снабжения, семейных бюджетов, культуры и науки, а также зарубежных стран. Кроме того, ЭВМ предназначены для обработки материалов Всесоюзной переписи населения 1979 г.
Организуются автоматизированные банки данных (АБД) в Главном вычислительном центре ЦСУ СССР и ЦСУ союзных республик. АБД АСГС создаются как автоматизированная территориально-распределительная система, объединяющая информационные, программные и технические средства обработки данных и обеспечивающая накопление, хранение, поиск и выдачу статистической информации. Наличие АБД АСГС способствует совершенствованию комплексного экономико-статистического анализа и более широкому применению методов математической статистики (корреляции, дисперсионного и факторного анализа). Кроме того, создаются условия для унификации отчетных документов и сокращения потоков статистической информации в результате накопления, хранения и многократного использования нормативных документов и рядов динамики за длительные периоды времени.
КОНТРОЛЬ МАТЕРИАЛОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО НАБЛЮДЕНИЯ
Собранные в процессе статистического наблюдения данные о величине признака единиц в изучаемой совокупности должны быть обработаны так, чтобы получился точный и обстоятельный ответ на все вопросы, поставленные с целью исследования. Качество исходного статистического материала предопределяет качество обобщающих показателей, полученных в результате статистической обработки (статистической сводки).
В условиях социалистического хозяйства точность и достоверность материалов статистического наблюдения обеспечивается надлежащим качеством предварительно разработанных программы и плана статистического наблюдения. Однако даже при достаточно совершенной организации статистического наблюдения могут встречаться в полученной статистической информации отдельные ошибки или погрешности, которые следует устранить, чтобы получить доброкачественный исходный статистический материал.
Ошибки статистического наблюдения — расхождение действительных значений признаков единиц наблюдения с их величиной, зарегистрированной в процессе сбора сведений. Ошибки статисти-
ческого наблюдения разнообразны по происхождению и характеру Они могут заключаться в неполном охвате подлежащих регистрации единиц, в пропуске записи или- неясной записи данных по отдельным единицам наблюдения и, наконец, в неправильной записи отдельных ответов (несоответствие их действительным фактам). Ошибки статистического наблюдения возникают часто в связи с отсутствием твердых знаний и .навыков у регистраторов, описками и т. п. В некоторых случаях встречаются и преднамеренные ошибки, которые скрывают или искажают факты; в таких случаях привлекают к ответственности лиц, занятых проведением статистического наблюдения.
Ошибки статистического наблюдения разделяются на категории в зависимости от источника происхождения и значения ошибок. По источнику происхождения различают ошибки непреднамеренные н преднамеренные, а по значению — случайные и систематические.
Случайными ошибками считаются такие погрешности в записи данных по отдельным единицам, в отношении которых предполагают, что они могут с одинаковой вероятностью исказить результаты статистического наблюдения в противоположные стороны. К ошибкам такого вида относятся непреднамеренные ошибки — как следствие описок или недостаточно ясного понимания регистратором сущности регистрируемых признаков, в частности если регистратор не представ'ляет, какие профессии относятся к категории «рабочие». Случайные ошибки при статистическом наблюдении массы единиц не оказывают существенного влияния на конечные результаты обследования: в процессе статистической сводки собранных данных они обычно взаимопогашаются.
Систематические ошибки искажают сведения по отдельным единицам наблюдения в одном направлении (преувеличивают или преуменьшают). К систематическим ошибкам относятся: пропуски единиц наблюдения, ошибки, возникающие в силу неисправности измерительных приборов, а иногда и стремления отдельных лиц округлять величины при устном опросе. Например, при недокументированном сборе сведений возможны округления возраста, стажа работы, заработной платы. Все систематические ошибки являются преднамеренными ошибками и не погашаются в процессе статистической сводки.
К ошибкам статистического наблюдения относятся ошибки, возникающие в процессе организации выборочного наблюдения, назы- . ваемые ошибками представительства, или репрезентативности.
Чтобы обеспечить доброкачественность материалов статистического наблюдения, принимают меры для предупреждения ошибок. Основное значение имеет правильная организация статистического наблюдения: разработка плана статистического наблюдения, бланков и инструкций по их заполнению, подбор регистраторов j и т. п./
Чтобы устранить обнаруженные ошибки в материалах статистического наблюдения, производится контроль собранных данных статистического наблюдения — первичного учета.
В условиях все более широкого применения машинной обработки данных статистического наблюдения постепенно их проверку будет осуществлять ЭВ'М.
Контроль материалов статистического наблюдения, а также записей в статистической отчетности ведется в двух направлениях. Прежде всего осуществляется счетный, или арифметический, контроль с целью проверки- именно счетной согласованности данных, помещенных в формулярах статистического наблюдения, а также правильности подсчета итогов. Например, чтобы проверить, правильность расчета числа рабочих на конец отчетного периода, следует к числу рабочих на начало периода прибавить число поступивших и вычесть число уволенных.
Логический контроль ведется для проверки правильности самого содержания сведений, собранных по каждой единице наблюдения. Логический контроль осуществляется различными способами:
сравниваются ответы на различные вопросы одного и того же формуляра, например сопоставляются в бланке переписи населения сведения о профессии, возрасте, семейном положении;
сопоставляются записи, относящиеся к отчетному периоду, с аналогичными записями предшествующих периодов или же с плановыми данными отчетного периода;
сравниваются фактические данные статистического наблюдения с разработанными нормативами: затрат времени, .удельного расхода материалов и др.;
сопоставляются данные проведенных статистических наблюдений с результатами ■ специальных наблюдений выборочного характера, в силу своих особенностей, позволяющих получить более полные данные по отобранной массе единиц.
Особое значение приобретает устранение возникших ошибок в статистической отчетности и документах первичного учета, необходимых для заполнения форм отчетности.
Проверке документов первичного учета и составленной на их основе статистической отчетности уделяется большое внимание на предприятиях отраслей народного хозяйства. Работники ЦСУ СССР и его местных органов, получая статистическую отчетность предприятий и организаций, проверяют полноту поступления и правильность заполнения утвержденных форм отчетности. В случае поступления материалов отчетности не от всех предприятий или наличия в них ошибочных записей принимают меры к устра- неяию ошибок путем повторных запросов, специальных проверок или прямого исключения неверных сведений. В обязанности работников ЦСУ СССР и его местных органов входит также контроль организации первичного учета в организациях и на предприятиях отраслей народного хозяйства СССР.
Собранные в процессе статистического наблюдения данные о каждой единице совокупности подвергаются статистической обработке — статистической сводке, в результате которой получаем в широком смысле слова содержательную, обширную статистическую информацию.
глава 3. МЕТОД ГРУППИРОВОК
ГРУППИРОВКА —ОСНОВА НАУЧНОЙ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ
В том арсенале средств, которые делают статистику одним из самых могущественных орудий социального познания, группировка является одним из наиболее эффективных и могущественных. Под группировками в статистике понимают объединение в группы однородных по какому-либо признаку объектов и характеристику групп системой показателей. Результаты Группировки могут быть выражены групповыми и комбинационными таблицами. Группировка материала в нау.чно построенных таблицах позволяет изобразить сложную картину общественного процесса в целом. В табл. 3.1 приводится пример группировки.
Социально-экономическая теория предусматривает своеобразие процессов развития, но как именно осуществляется развитие, теория может показать лишь в общих чертах. Здесь-то и проявляется могущество статистики.
Применение метода группировок, после того как теоретически определена сущность изучаемых процессов, является специфической особенностью общественных наук, так же как эксперимент специфичен для естествознания. В естествознании ученый может создать искусственную среду для изучаемых процессов, изолировать одни факторы от других и исследовать влияние каждого из них. Социально-экономическая статистика не может, в отличие от других наук, создать искусственную среду, она не в состоянии устранить влияние многочисленных факторов на исследуемые явления. Однако, используя метод группировок, позволяющий выявить все многообразие объективной действительности, статистика дает возможность проследить взаимоотношение двух или нескольких факторов. Она-то и помогает теории определить, в каком направлении развивается явление, какую конкретную форму принимает процесс развития. _
Необходимо отметить прогрессивную роль русской статистики, внесшей огромный вклад в развитие метода группировок. Русским статистикам принадлежит первенство в изобретении комбинационных таблиц, в установлении классификации таблиц и в проведении многочисленных опытов группировок материалов аграрных переписей и обследований, которые оказали благотворное влияние на другие отраслевые статистики и общую методологию*.
Земские статистики в дореволюционной России много сделали в области применения метода группировок, проделали большое количество экспериментов с различными группировками. Но социально-экономические концепции их и отсутствие прочной мето-
1 В числе первых статистиков, обративших внимание на метод группировок и его значение для статистики, следует назвать известного русского учеиого- статистика Д. П. Журавского.
дологической базы не позволили им превратить метод группировок в мощное орудие научного познания. Отсутствие последовательной научной методологии в разработке группировок привело к тому, что буржуазная статистика не смогла разобраться в специфике явлений русской деревни. Один.из видных русских статистиков Чср- ненков сделал в 1901 г. чрезвычайно любопытное признание в бессилии буржуазной статистики: подойдя к изучению крестьянского двора с групповыми и комбинационными подсчетами, статистики, благодаря поспешности и отсутствию глубокой теоретической разработки, быстро впали в шаблон и, остановись на неудачно выбранных признаках, ничего не выяснили.
Основные, принципиальные вопросы теории группировок были блестяще разрешены В. И. Лениным, превратившим метод группировок в мощное средство социального исследования. Вопрос oi группировках (или статистической сводке) В. И. Ленин считал ос-( новным вопросом статистики. При этом он неоднократно подчеркивал, что этот вопрос не является узкотехническим или второстепенным. Проблема группировок была поставлена В. И. Лениным как большая теоретическая проблема, как центральная проблема статистики. Доведя до совершенства метод группировок, В. И. Ленин решил много коренных вопросов этого метода и" добился того, что не удалось сделать буржуазным статистикам: создал прочные основы для метода группировок. В его трудах богатые данные бур- жуазной статистики были использованы для глубокого анализа, а ее приемы обработки этих данных были заново переосмыслены и развиты.
Поразительно разнообразие группировок в работах В. И. Ленина. В них мы находим очень много группировок, относящихся к земледелию России, США, Германии, Дании. Много группировок, выясняющих первые стадии капитализма в промышленности и капиталистической мануфактуре (группировки, относящиеся к кустарной'промышленности). Есть группировки, относящиеся к фабрично-заводской промышленности, сельскому хозяйству, к населению, к экономической и политической борьбе пролетариата (группировки стачек, партий, партийной печати и т. д.).
Работы В. И. Ленина по анализу социально-экономических отношений эпохи капитализма являются сокровищницей идей и "для советской статистики, так как в них показаны образцы диалектического подхода к применению группировок. Исследуя конкретные общественные явления, В. И. Ленин в то же время решал обше- методологические вопросы группировок, условия и границы их применения для изучения социально-экономических проблем.
Советская статистика имеет большие достижения в применении метода группировок. В конце 30-х годов были разработаны и опубликованы важные группировки по социальной структуре советского общества (в том числе социального состава населения). По материалам торговой переписи 1935 г. разработаны обширные группировки торговых предприятий. В области промышленной статистики "ценная работа, не лишенная, однако, ряда недостатков, бы-
ла проделана по обработке материалов за 1933 и 1934 гг., когда промышленные предприятия были разгруппированы по величине основных фондов, по числу рабочих, по мощности двигателей, по назначению продукции. После Великой Отечественной войны кроме этих группировок были проделаны важные работы пр специализированным группировкам в отдельных отраслях. Широко применялся также во всех отраслевых статистиках новый вид статистической группировки, именно группировка предприятий по степени выполнения плана.
В связи с возрастающими задачами советской статистики группировки приобретают все большее и большее значение. Введение в систему группировочных. таблиц плановых и отчетных показателей, показателен эффективности, рентабельности превращает группировки в метод анализа выполнения плана и вскрытия резервов в народном хозяйстве.
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ГРУППИРОВОК
С помощью метода группировок решаются три основные зада-' чи: определение структуры совокупности; характеристика основных типов явлений и изучение взаимосвязи явлений; определение действия одних факторов на другие.
Исследование структуры совокупности имеет большое практическое значение. Без изучения структуры не решается ни одна экономическая задача. Возьмем, например, следующее распределение промышленных предприятий СССР по численности рабочих (в процентах к итогу) :
Таблица 3.1
Группа предприятий
Число предприятий
Валовая продукция
Среднегодовая численность промышленно-Производственного персонала
Среднегодовая стоимость промышленно-производственных основных фондов
Предприятия со среднегодовой численностью рабочих до 100 101—200 201—500 501—1 000 1 001—3 000
35,2
19,6
22,9
11,3
8,4
4,2
5,9
14,0
14,4
25,9
3,4
5,5
13,9
14,9
26,6
2,9 4,0
11,2 13,2
25,8
6,5
16,4
3Q01—10 000
2,5
24,0
24,1
10 001 и более
0,3
11,6
11,6
Все промышленные предприятия Советского Союза сгруппированы по размеру: показателем размера служит численность рабочих на предприятии. В первые две группы входят предприятия с численностью рабочих до 200 человек. Оказывается, что таких предприятий в Советском Союзе более половины, но они обладают
* всего только 8,5% основных фондов. Наибольший удельный вес по основным фондам занимает группа предприятий, в которых работает от 1001 до 3000 человек.
Распределение (группировка) населения по возрасту необходимо для разного рода расчетов, связанных, например, с медицинским и культурно-бытовым обслуживанием населения, с определением величины пенсионных фондов, контингентов призывников в армию и т. д. Распределение рабочих и служащих по величине заработной платы позволяет уточнить характер их бюджетов и т. д. Если в подобных группировках берутся показатели за несколько лет, то это дает возможность проследить структурные сдвиги, происшедшие в совокупности, закономерности изменения явлений.
Числосемей, тыс.13 078 13078109376 7623 6061638730302202Числосемей, тыс.13 078 13078109376 7623 6061638730302202Статистические ряды, в которых показывается только распределение единиц в изучаемой совокупности в зависимости от величины признака, обычно называют рядами распределения, или вариационными рядами. Ниже приводится в качестве примера ряд распределений семей в СССР по их размерам (данные переписи! населения в 1970 г.). В этом ряду цифры слева называются вари-1 антами признака (в данном случае размеры семьи), числа справа—I численностями, или частотами вариантов. Частоты могут быть вы-’ ражены и в процентах, как это было сделано в предыдущей таблице. Однако там был дан не простой ряд распределения, а более сложная группировка, поскольку кроме численности предприятий мы ввели еще другие показатели, с помощью которых характеризовали каждую группу совокупности.
Числосемей, тыс.
13 078 13078
10937
6 762
3 606
1638
730
302
202
Числосемей, тыс.
13 078 13078
10937
6 762
3 606
1638
730
302
202
Размер семьи, человек
2
3
4
5
6
7
8
9
10 и более человек
Всего 50 333
Задача характеристики типов явлений заключается в том, что в статистической совокупности выделяют основные группы явлений, которые обладают какими-то общими признаками, являются- типичными и характеризуют эти группы с помощью системы показателей.
В примере распределения промышленных предприятий мы имели дело только с чисто количественными группировками и не ставили задачу выделить типы предприятий, т. е. мелкие, средние и крупные предприятия. Мы не можем сказать, например, мелкое или крупное предприятие, имеющее до 200 рабочих. Да и только одного показателя — численности работников — еще недостаточно
для того, чтобы судить о размерах предприятия. Высокомеханизированное, автоматизированное производство может иметь небольшую численность работников.
Приведем пример группировки населения СССР по классовому составу. В переписях населения выделяется ряд социальных групп. Наша статистика обращает большое внимание на детальное изучение социального положения населения, но в сводных таблицах выделяются основные социальные группы: рабочие, служащие, кол- - лозное крестьянство, а для сравнения с прошлым нашей Родины в таблицах приводятся данные и по другим классам и социальным группам. Все население распределяется по этим основным социальным группам; иждивенцы, дети, неработающие члены семьи относятся в группы в соответствии с положением главы семьи.
19131928197817 017,684,9Рабочие и служащиеч14 612 461,8из них рабочиеКолхозное крестьянство и кооперированные кус-2,915,1тариКрестьяне-единоличники и некооперированные66,774,90,0кустариБуржуазия, помещики, торговцы и кулаки16,34,619131928197817 017,684,9Рабочие и служащиеч14 612 461,8из них рабочиеКолхозное крестьянство и кооперированные кус-2,915,1тариКрестьяне-единоличники и некооперированные66,774,90,0кустариБуржуазия, помещики, торговцы и кулаки16,34,6Таблица 3.2Таблица 3.2только втолько вданаданатиповтиповВ целом изменение социальной структуры населения СССР выглядит следующим образом:
1913
1928
1978
17 0
17,6
84,9
Рабочие и служащиеч
14 6
12 4
61,8
из них рабочие
Колхозное крестьянство и кооперированные кус-
2,9
15,1
тари
Крестьяне-единоличники и некооперированные
66,7
74,9
0,0
кустари
Буржуазия, помещики, торговцы и кулаки
16,3
4,6
1913
1928
1978
17 0
17,6
84,9
Рабочие и служащиеч
14 6
12 4
61,8
из них рабочие
Колхозное крестьянство и кооперированные кус-
2,9
15,1
тари
Крестьяне-единоличники и некооперированные
66,7
74,9
0,0
кустари
Буржуазия, помещики, торговцы и кулаки
16,3
4,6
Таблица 3.2
Таблица 3.2
только в
только в
дана
дана
типов
типов
В приведенной таблице характеристика самых общих чертах. Для более подробной -характеристики нужно было бы ввести еще ряд дополнительных показателей. Все же приведенные данные характеризуют не только структуру (страна была аграрной, а стала индустриальной, так как в основном население ее составляют рабочие и служащие), но и основные социальные типы населения. Таблица ярко характеризует ведущую роль
рабочего класса.
Метод группировок открывает широкие возможности для изучения взаимосвязи явлений. Производя группировку изучаемых объектов по одному какому-нибудь признаку и характеризуя группы объектов различными показателями, можно проследить зависимость между признаком, положенным, в основу группировки, и выбранными показателями. Особо важное значение имеет, например, изучение связи между размерами предприятия и его экономической эффективностью. Статистические данные показывают, что, как правило, на более крупном предприятии выше производительность труда, ниже себестоимость. Этот принцип, как правило, выдерживается, но не всегда. Оказывается, что в ряде случаев по мере увеличения размеров предприятия сначала эффективность его повышается, а затем она может снижаться. Значит, существует
# какой-то оптимальный размер предприятия, и статистика может помочь в установлении этого размера.
В сельскохозяйственной статистике представляет большой интерес зависимость между количеством удобрений и урожайностью и т. д. Статистика населения показывает существенное изменение коэффициента смертности в зависимости от возраста и т. д.
Можно предположить, что существует зависимость между образованием рабочего и производительностью его труда: чем образованнее рабочий, тем выше его производительность. Тем не менее этот вывод должен быть подтвержден на конкретном материале. Для изучения этой зависимости необходимо разделить всех рабочих по уровню образования, выделив рабочих, имеющих неполное, полное среднее образование и т, д., и затем найти уровень производительности труда в каждой группе (конечно, в соответствии с профессией и другими признаками). Такой расчет дает возможность проследить, как меняется производительность труда при переходе от одной группы к другой. Конечно, могут быть отдельные [рабочие со средним образованием и низкой производительностью труда. Однако речь идет не о выискивании отдельных примеров, а
*об установлении общей закономерности.
ВИДЫ ГРУППИРОВОК •
Группировки всегда можно составить исходя из различных признаков, свойственных отдельным объектам или явлениям. Например, население какой-либо страны может быть сгруппировано в зависимости от возраста людей, семейного положения, национальности, социального положения. Следовательно, может быть много , различного вида группировок. Можно среди множества различных признаков выделить некоторые общие признаки в зависимости от того, как они отражают характер количественных отношений и характер связи количества с качеством. В зависимости от этого может быть выделено несколько видов группировок.
Прежде всего выделяются группировки по признакам, не имеющим непосредственного количественного выражения. К таким признакам относятся: социальное положение, профессия, пол, вид продукции, вид оборудования, вид сельскохозяйственных культур и т. д. Варианты таких признаков отличаются друг от друга качественным содержанием и не могут быть выражены в виде какого- нибудь числа. Например, учителя от токаря отличает специфический характер труда, пшеницу от каменного угля — различная потребительская стоимость.
При группировке по признакам, не имеющим количественного выражения, могут быть выделены более общие и частные группы. Например, при группировке по профессиям можно выделить такие группы, как металлисты, текстильщики, и в свою очередь разделить эти группы на ряд частных. Металлисты разделяются на несколько видов профессий: слесари, токари, кузнецы и т. д. Наличие промежуточных форм, переходных явлений создает трудность
в отнесении того или иного объекта к определенной группе. 1ак, человек, не умеющий писать, но умеющий читать, занимает промежуточное положение между грамотным и неграмотным.
Выделяются группировки по признакам, имеющим непосредственное количественное выражение. Варианты таких признаков отличаются друг от друга определенной величиной. Продукция, посевная площадь, доход и ряд других аналогичных признаков имеют непосредственно количественное выражение. Вследствие несовершенства в отдельных случаях статистического наблюдения для некоторых объектов не удается установить величину признаков. Тогда такие объекты выделяются в особую группу с названием «без указания» или «не установлено». Такого же рода затруднения встречаются и в группировках по признаку, не имеющему непосредственно количественного выражения. Так, при регистрации профессий могут встретиться рабочие или служащие, которые не укажут определенной профессии, t
Количественные различия, которые кладутся в основу группировки, могут быть выражены любым числом. Например, количество автомашин у предприятия выражается целым числом: 1, 2, 3, 4, 5 и т. д.; продукция в денежном выражении может иметь любые значения: 0,5; 220,8; 3000,0 тысяч рублей и т. д. В тех случаях, когда признак принимает разнообразные значения, группа выражается с помощью интервала: пишут «от — до» (подробнее об интервалах см. ниже).
В количественных различиях статистика устанавливает качественные особенности. На примере вариации любого признака можно убедиться, что в конечном счете наступает такой момент, когда нарастание количественных изменений приводит к образованикУ новых качественных форм. Так, предприятия с 101, 102, 103 и т. д. рабочими составляют одну группу, а предприятия, с числом рабочих свыше 200 можно отнести к другой, которая по своим техникоэкономическим особенностям резко отличается от предыдущей группы. Таким образом, задача статистики заключается в том, чтобы на основе группировки по количественному признаку выделять основные качественные группы объектов.
Применяются группировки по территориальному (пространственному) признаку. В этом случае изучаемые объекты группируются в разрезе районов, территорий. Примерами такого рода группировок являются группировка населения по областям, группировка предприятий по районам и т. д. От простой территориальной группировки можно перейти к выделению групп территорий или районов, обладающих общими качественными особенностями; таковы, например, группировки по экономическим районам СССР. Каждый из районов объединяет группу областей с одинаковыми экономическими условиями.^
Используют группировку по признаку времени. Систематизация данных о каком-либо объекте за ряд лет не является группировкой. Только в том случае, когда группируются данные по определенным периодам, можно говорить о группировках по признаку
^ времени. Примером такого рода группировок будет динамика урожайности зерновых за известные отрезки времени. Путем такой группировки представляется возможным выявить закономерные изменения в пределах длительных промежутков времени и устранить влияние кратковременных обстоятельств (стихийных бедствий и т. д.).
При группировке по признакам, имеющим количественное выражение, особое практическое значение имеет вопрос о размере интервалов. Интервалы могут быть равные и неравные. Приведем примеры тех и других для группировки предприятий по численности занятых:
Равные интервалы, человек
Неравные интервалы, человек
Равные интервалы, человек
Неравные интервалы] 1еловек
До 100
До 100
301—400
1 001—2 000
101—200
101—500
401—500
Свыше 2 000
201—300
501—1 000
и т. д .
Во многих случаях рекомендуется делать только неравные интервалы, так как изменение размера объектов на одну и ту же величину играет различную роль ца разных стадиях развития процесса. Так, при группировке населения по возрасту применяются неравные интервалы. Обычно до 5 лет группируют население по одногодичным интервалам, свыше 5 лет — по пятилетиям. Делается так потому, что один и тот же промежуток времени в различные периоды жизни человека имеет различное значение, что находит свое отражение в различных демографических показателях.
Особую роль играет вопрос о размерах интервала при группировке предприятий, относящихся к различным отраслям промышленности и сельского хозяйства. Наиболее правильным здесь будет выбор специализированных интервалов для каждой отрасли или для нескольких отраслей, сходных по условиям деятельности. То же относится к группировке предприятий по различным экономическим районам. Вопрос о размере торговых предприятий и соответственно о размере интервалов в городе будет решаться иначе, чем на селе. Что касается величины отдельных интервалов, то они должны определяться исходя из конкретных особенностей изучаемого объекта: они не должны быть слишком широкими, так как в противном случае качественно различные объекты могут попасть в одну и ту же группу (нельзя, например, строить такие-возрастные интервалы: 0—15 лет; 16—30 лет), не должны быть и слишком узкими, так как в этом случае число единиц в той или иной группе окажется незначительным и характеристики групп не будут типичг ными.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ТИПОВ ЯВЛЕНИЙ И ВЫБОР ПРИЗНАКОВ
Важнейшей задачей группировок является изучение типов явле-V J ний. Одной из форм проявления закономерности служит понятие типа явлений. В типе явлений представлено основное содержание
данной совокупности явлении, то главное, что характерно для них, в противоположность второстепенным свойствам и индивидуаль- ' ным особенностям. Статистически тип определяется системой показателей, представляющих количественную характеристику основных признаков. Поскольку в средней величине взаимопогашаются всякого рода случайные отклонения от основной закономерности или тенденции развития, именно средние показатели, а не индивидуальные данные привлекаются для характеристики типа.
Изучению типов явления большое значение придавал В. И. Ленин. Понятие типичности (типа явлений) было блестяще им использовано в первую очередь для анализа социально-экономических отношений. Типы хозяйств, их взаимоотношения — вот с чем мы неоднократно встречаемся в его работах. Для того чтобы правильно выделить и охарактеризовать типы явлений, а также для того, чтобы охарактеризовать взаимосвязи явлений, необходимо правильно выбирать признаки, которые должны быть положены в основу группировки. Среди множества признаков, присущих изучаемому объекту, наряду с основными, существенными имеются второстепенные, малозначительные признаки. Для определения существенных признаков надо руководствоваться указаниями марксистско-ленинской
теории.
Анализируя развитие капитализма в сельском хозяйстве России и других стран, В. И. Ленин показал расслоение крестьянства и образование трех основных типов крестьянских хозяйств: бедных, средних, зажиточных.
В. И. Ленин неоднократно критиковал буржуазную статистику за неумение выделить типы явлений, за такую антинаучную разработку данных, при которой терялась общая закономерность, исчезали существенные различия между явлениями. Так, при изучении крестьянских хозяйств западноевропейская статистика проводила группировку их по размерам землевладения на десятки групп. В такой группировке затушевывались различия между бедным, средним и зажиточным крестьянством.
Уделяя главное внимание изучению социально-экономических отношений, В. И. Ленин отнюдь не сводил все типы явлений к этим отношениям. Он, например, рассматривал типы крестьянских хозяйств в зависимости от производственной специализации и других признаков. Но даже признаки, казалось бы, очень далекие от . социально-экономических отношений, на самом деле были тесно с ними связаны. Так, концентрация«районов США в конце 1910 г. в трех крупных районах — Север, Юг, Запад — отражала историкоэкономические особенности развития США, которые дали В. И. Ленину основание для краткой и меткой характеристики их качественных особенностей: промышленный Север, бывший рабовладельчес- • кий Юг, колонизуемый Запад.
Полная и точная характеристика типов" Явлений достигается в процессе содружества экономической науки и статистики. Главная трудность при разработке такой характеристики заключается в оп-
ределении признаков, на основе которых должна производиться группировка статистического материала и выделяться типы явлений.
Изучение типов явления продолжает оставаться самым больным местом современной буржуазной статистики. Как и прежде, буржуазная статистика увлекается делением предприятий, хозяйств, семей на большое количество групп и избегает, как правило, выделять их основные типы. Следует сказать, что до сих пор метод группировок используется в буржуазной статистике очень мало. Как правило, применяются самые простые группировки, т. е. дается распределение совокупности на отдельные группы без детальной характеристики этих групп системой показателей. Так, в американской статистике главной группировкой сельскохозяйственных предприятий до сих пор остается группировка по размерам земельной площади, не выделяются различные типы ферм по их технической вооруженности и по основным экономическим показателям. В промышленности также' нет разработанной группировки технико-экономических типов предприятий. Особенно запутанными являются группировки, связанные с социально-экономическим" анализом населения. Во всех капиталистических странах нет четкого деления населения на классы или социально-экономические группы. Статистики обычно ограничиваются профессиональным составом или делением работников на большие группы на основе каких-либо общих признаков, например на три: наемные рабочие и служащие; хозяева (имеющие самостоятельное дело); лица, помогающие главе семьи.
СИСТЕМА ГРУППИРОВОК
Всестороннее статистическое изучение социально-экономических процессов и явлений наиболее плодотворно в том случае, если в основе его лежит система группировок по признакам, взаимно связанным. Советская статистика разрабатывает систему разнообразных группировок, отражающих особенности социалистического хозяйства и приспособленных для обслуживания потребностей руководства народным хозяйством. Применяются следующие основные виды группировок (в зависимости от их содержания):
группировка по социально-экономическим типам предприятий (хозяйств), основанная на различиях в формах собственности;
группировка по отраслям народного хозяйства;
группировка по ведомственно-административному признаку;
административно-территориальная группировка (в разрезе республик, краев, областей, районов, экономических районов);
группировка по степени выполнения народнохозяйственного плана (или государственных заданий);
группировка по специальным признакам.
Возможны комбинированные группировки, объединяющие два или несколько из перечисленных выше видов группировок.
Группировка, основанная на различиях в формах собственности, в СССР и других социалистических странах выделяет следующие
ряды собственности: всенародную (государственную), колхознокооперативную, личную собственность колхозников, рабочих и служащих. Группировки по признаку формы собственности в отраслях народного хозяйства предусматривают деление промышленных предприятий на государственные и кооперативные, сельскохозяйственных предприятий — на государственные предприятия (совхозы, подсобные хозяйства министерств и ведомств), колхозы, подсобное хозяйство колхозников, предприятий торговли — на государственную, кооперативную и колхозно-базарную торговлю.
В капиталистических странах основной формой собственности является капиталистическая, которая в свою очередь имеет две разновидности: частнокапиталистическая, ■ государственно-капиталистическая и муниципальная. Наряду с ней сохраняется и мелкая частная собственность простых товаропроизводителей — крестьян и ремесленников. В соответствии с этими разновидностями хозяйства (предприятия) делятся на разные группы.
Группировка по отраслям народного хозяйства основана на отнесении отдельных предприятий, учреждений, рабочих и служащих и т. д. к определенной экономической отрасли в соответствии с 1 классификацией отраслей или производства. -
Группировка по ведомственно-административному принципу имеет непосредственное оперативное значение для руководства работой отдельных министерств и ведомств, для контроля выполнения государственных планов и задании. Кроме того, в СССР предприятия и учреждения делятся в зависимости от их подчиненности на общесоюзные, республиканские и местные (находящиеся в ведении местных органов государственного управления).
В качестве примера системы группировок можно привести серию таблиц для промышленности, разработанных в свое время отделом статистической методологии ЦСУ СССР. В серию таблиц • входят группировки промышленных предприятий по следующим признакам: 1) по отраслям'производства средств производства и предметов потребления; 2) по числу .работников; 3) по мощности двигателей, обслуживающих рабочие машины, и по числу работников; 4) по размерам продукции; 5) по проценту выполнения плана производства продукции; 6) по степени рентабельности; 7) по уровню техники.
Уровень техники может быть выражен различными признаками. В частности, можно группировать предприятия по степени механизации производственных процессов, по степени автоматизации и т. д.*
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Результаты группировок обычно находят свое выражение в виде 1 сводных таблиц. Все таблицы можно разделить на 3 группы:
Таблицы простые, или перечневые, в которых содержатся сводные показатели или перечень отдельных объектов без расчленения совокупности на группы.
Групповые таблицы, в которых статистическая совокупность расчленена на отдельные группы и каждая из этих групп охарактеризована рядом показателей.
Комбинационные таблицы, в которых статистическая совокупность также разбита на группы, но не по одному, а по нескольким признакам; таким образом, в таблице получается комбинация групп.
В качестве примера простой, или перечневой, можно привести следующую таблицу, в которой представлены товары производственного и хозяйственного назначения, направленные для продажи населению в 1976 г.:
деловая древесина стандартные домастекло . . . . гвозди проволочные уголь деловая древесина стандартные домастекло . . . . гвозди проволочные уголь 1 737 тыс. м3697 тыс. м2 жилой площади49 млн. м2198 тыс.26,8 млн. т1 737 тыс. м3697 тыс. м2 жилой площади49 млн. м2198 тыс.26,8 млн. т
деловая древесина стандартные дома
стекло . . . . гвозди проволочные уголь
деловая древесина стандартные дома
стекло . . . . гвозди проволочные уголь
1 737 тыс. м3
697 тыс. м2 жилой площади
49 млн. м2
198 тыс.
26,8 млн. т
1 737 тыс. м3
697 тыс. м2 жилой площади
49 млн. м2
198 тыс.
26,8 млн. т
Виды предприя1ичКотичество предприятий, единицКоличество блюд, млн.Число работников, тыс.Количество блюд на одного работника, тыс.Товарообо, о г на одного работника, тыс. руб.Столовые‘13040967233"4,11,51314Рестораны Кафе и прочие8828857ВИДЫ5 653150632,421Виды предприя1ичКотичество предприятий, единицКоличество блюд, млн.Число работников, тыс.Количество блюд на одного работника, тыс.Товарообо, о г на одного работника, тыс. руб.Столовые‘13040967233"4,11,51314Рестораны Кафе и прочие8828857ВИДЫ5 653150632,421Таблица 3.3Таблица 3.3Теперь начнем анализировать содержаниеТеперь начнем анализировать содержаниетаблицы.таблицы.
Виды предприя1ич
Котичество предприятий, единиц
Количество блюд, млн.
Число работников, тыс.
Количество блюд на одного работника, тыс.
Товарообо, о г на одного работника, тыс. руб.
Столовые
‘13040
967
233"
4,1
1,5
13
14
Рестораны Кафе и прочие
882
88
57
ВИДЫ
5 653
150
63
2,4
21
Виды предприя1ич
Котичество предприятий, единиц
Количество блюд, млн.
Число работников, тыс.
Количество блюд на одного работника, тыс.
Товарообо, о г на одного работника, тыс. руб.
Столовые
‘13040
967
233"
4,1
1,5
13
14
Рестораны Кафе и прочие
882
88
57
ВИДЫ
5 653
150
63
2,4
21
Таблица 3.3
Таблица 3.3
Теперь начнем анализировать содержание
Теперь начнем анализировать содержание
таблицы.
таблицы.
В качестве примера групповой таблицы возьмем группировку предприятий общественного питания по их видам:
.Из цифр • мы видим, что по количеству блюд производительность выше всегда в столовых, где на каждого работника в течение квартала приходится 4,1 тыс. блюд. Если анализировать производительность по товарообороту, то будет несколько иная картина: в столовых— 13, в ресторанах—14, в специализированной сети — 21 тыс. руб. на одного работника. Оказывается, специализированная сеть дает Yocy- - дарству наибольшую прибыль, но это не только от того, что там высокая производительность труда, но, очевидно, также от того, что средняя стоимость блюда там выше, чем, например, в столовых. Что было бы, если бы мы не имели такой группировки, а имели бы только общие данные? Могли бы мы получить представление о структуре, об особенностях общественного питания? Нет. Значит, только группировка дает возможность выявить и производительность труда, и экономический характер торгового оборота, и другие показатели, связанные сданными предприятиями.
Теперь мы рассмотрим пример таблицы комбинационной. Так как эта таблица более сложная, представим только часть ее (см. табл. 3.4). Комбинационная таблица — одно из мощных орудий исследования, она позволяет установить взаимосвязь и вскрыть закономерность развития явлений. Идея комбинационной таблицы заключается в том, что каждую из групп в групповой таблице разбивают на подгруппы по какому-нибудь признаку. В нашем примере каждую группу предприятий разобьем на подгруппы по размерам предприятия. В качестве критерия возьмем число посадочных мест..
Таблица 3.4
Виды предприятий
Количество предприятий, единиц
Количество блюд, млн.
Числ) работ- Н1ков, тыс.
Количество блюд на одного работника, тыс.
Товарооборот на одкого работника, тыс. руб.
Столовые — всего в том числе
13040
967
233
4,1
13
посадочных
мест: до 25 26—50
2 353
4618
47
196
16
58
2,8
3,4
17
14
51 — 100
4 175
368
89
4,1
11
101—150
1 109
167
34
4,9 ' .
12
свыше 150
785
189
36
5,2
12
Рестораны — всего
882
88
57
* 1,5
14
в том числе
посадочных
мест:
до 50 и т. д.
114
8
6
1,5
15
Из таблицы сразу можно увидеть, какой тип предприятий преобладает в общественном питании. Оказывается, что преобладает тип предприятий с числом посадочных мест от 26 до 100, потому что на их долю приходится подавляющее число предприятий (около 9 тыс. из 13 тыс.).
Таким же образом можно группировать рестораны-по числу посадочных мест, затем специализированную сеть (кафе и т. д.) тоже разбить по этому признаку; в результате получится очень обширная таблица. Можно -производить группировку не только по двум, но и по трем-четырем признакам; только тогда таблица получилась бы громоздкой. В статистической практике таблицы по нескольким признакам встречаются редко, как правило, ограничиваются груп- пиров'кой по двум признакам. Оценивая значение таких таблиц, В. И. Ленин говорил, что экономические типы явлений могут выступать только по разностороннее и рационально составленным групповым и комбинационным таблицам. Предприятия общественного питания можно группировать не только по числу посадочных мест, но и по другим показателям, например по размерам товарооборота,
по числу работников. Следовательно, можно составить целую систему групповых комбинационных таблиц различных видов.
У В. И. Ленина есть теоретические указания о правилах составления таблиц. Он говорил, что условие рационального составления их прежде всего заключается в том, чтобы процесс развития капитализма проследить во всех разветвлениях и формах. Мы можем перефразировать это указание таким образом: рационально составленная система таблиц представляет процесс развития экономики во всех ее разветвлениях и формах.
КЛАССИФИКАЦИИ
В целях достижения единообразия в обработке статистических данных, в особенности в общегосударственных масштабах, широко применяются классификации и номенклатуры. Под классификацией в статистике понимается однообразная группировка явлений и объектов, имеющая общее методологическое значение и утвержденная, как правило, в качестве национального или международного стандарта.
Следует подчеркнуть три особенности понятия «классификация»:
Классификация — единообразная группировка. Это значит, что создается какая-то система, которая признана всеми лицами и организациями, занимающимися обработкой статистических данных, в противоположность тем группировкам, которые используются каждым исследователем и каждым статистиком по своему усмотрению.
Классификация имеет общеметодологическое значение, так как речь идет об очень важной группировке, которая позволяет строить разветвленную систему исследования и обработки статистического материала.
Классификация как разновидность группировки утверждается в качестве стандарта национальным статистическим управлением или международной организацией.
В каждой стране действуют национальные классификации, которые разрабатываются и утверждаются центральными статистическими органами. В нашей стране, например, создана классификация отраслей народного хозяйства, которая разработана ЦСУ СССР с участием Госплана и других организаций. В СССР разработана классификация оборудования, занятий, многие номенклатуры. В органах СЭВ для социалистических стран — членов СЭВ'также разработан ряд классификаций, например классификация отраслей народного хозяйства, ведется работа над созданием классификаций занятий и др.
Помимо классификаций в статистике широко используются номенклатуры. Под номенклатурой понимается стандартный перечень объектов и групп, входящих в определенную классификацию. В свое время в экономической и статистической науке проводилось различие между этими понятиями: под классификацией понималась
широко разветвленная система групп и подразделений с описанием их, а под номенклатурой — просто перечень объектов, которые входят в эту классификацию. Например, если мы говорим о классификации занятий, то ее можно представить так: занятия в области промышленности, сельского хозяйства, науки, просвещения, внутри каждого из этих разделов ряд подразделений и видов занятий. Номенклатура же — просто перечень занятий, например слесарь, токарь, учитель, парикмахер и т. д. Практически различие в терминологии не везде выдерживается. Однако следует иметь в виду, что классификация представляет собой более глубокое, более научно обоснованное деление групп, а номенклатура — это более узкое, техническое перечисление различных объектов.
Если бы не было всех классификаций, как национальных, так и международных, то невозможно было бы свести и сопоставить различного, рода данные, невозможно было бы провести обобщение статистических материалов./
Рассмотрим более подробно классификацию отраслей народного хозяйства, так как она имеет большое политико-экономическое значение. Прежде всего нужно установить, что такое отрасль народного хозяйства. Это далеко не простой вопрос. К определению отрасли можно подходить с чисто ведомственной точки зрения. Можно, например, исходя из наличия различных министров определить отрасль как совокупность определенных предприятий, которые подчинены определенному ведомству. Но такой подход является очень узким: ведомства изменяются, объединяются, разъединяются. Нужно подыскать экономический критерий, с помощью которого можно было бы выделить отрасль народного хозяйства. С экономической точки зрения под отраслью народного хозяйства понимается совокупность предприятий, учреждений и организаций, выполняющих в процессе общественного воспроизводства одинаковые по экономическому содержанию функции. Такое определение отрасли дает возможность отграничить одну отрасль от другой и четко представить себе структуру народного хозяйства. Совокупность однородных отраслей или отраслей с одинаковыми функциями образует сферу народного хозяйства.
Все народное хозяйство можно разделить на две основные сферы: сфера материального производства, непроизводственная сфера.
Рассмотрим, что входит в каждую из этих сфер. Сфера материального производства включает следующие основные отрасли народного хозяйства:
Промышленность.
Строительство.
Сельское хозяйство.
Лесное хозяйство.
I5. Грузовой транспорт.
Связь, обслуживающую производство.
Торговлю, общественное питание, заготовки.
Прочие отрасли материального производства (киностудии, издательское дело, потребительское рыболовство и т. д.).
Непроизводственная сфера складывается из следующих отраслей:
Пассажирский транспорт.-' .
Связь, обслуживающая население.
Жилищно-коммунальное хозяйство.
Здравоохранение.
Просвещение и наука.
Банки, страховые организации.
Управление и оборона.
Общественные организации.
Мы привели только общую схему классификации отраслей народного хозяйства; в полном виде эта классификация гораздо шире. Промышленность, например, приведена одной строчкой, в то время как ее можно разбить на отдельные отрасли, выделить крупные подразделения (например, добывающую и обрабатывающую промышленность или производство средств производства и производство предметов потребления). В номенклатуре ЦСУ СССР перечисляется около 300 отраслей промышленности. Торговля и общественное питание также записаны одной строчкой, а можно было бы выделить оптовую торговлю, розничную торговлю, общественное питание и т. д.
Иногда к классификации и номенклатуре составляется алфавитный перечень объектов, с указанием шифра их по номенклатурным подразделениям. Такой перечень облегчает сводку первичных материалов.
Одним из наиболее сложных вопросов, связанных с классификацией отраслей народного хозяйства, является вопрос о четком разграничении сферы производства и сферы услуг. Он явился предметом многих дискуссий и обсуждений. Этот вопрос особенно остро ставится потому, что в буржуазной политэкономии и статистике нет разграничения сферы производства и сферы услуг. Вопрос о разграничении производства и услуг поставлен в нашей политической экономии, экономической статистике. • Он имеет важное значение для правильного определения величины общественного продукта и национального дохода. Если народное хозяйство разграничивается на две указанные выше сферы, то получается одна величина, один метод счета, а если оно не разграничивается и смешивается производство и услуги, получится другой метод счета и другие величины.
Одним из спорных вопросов классификации отраслей народного хозяйства является также вопрос о разграничении деятельности грузового и пассажирского транспорта, связи, обслуживающей производство и население. Практически провести такое разграничение нелегко, так как одни и те же железнодорожные пути, одни и те же станции, часто одни и те же люди обслуживают и пассажирский, и грузовой транспорт. Одна и та же почта и телеграф принимают производственную и личную корреспонденцию, одни и те же телеграфисты принимают телеграммы у населения и предприятий. Ясно, что делить эти отрасли на две части (производственную и непроизводственную) можно только условно, приблизительно. Поэ-
тому исходя из практических соображений в ряде социалистических стран и в органах СЭВ весь транспорт и связь включают в производство. Но теоретически это неточно, и наша статистика, когда определяет различного вида народнохозяйственные показатели, строго разграничивает эти две области.
Вопрос об отграничении отдельных отраслей друг от друга также нельзя считать простым. Возьмем такую важную отрасль народного хозяйства, как промышленность. Привыкли считать, что завод — это промышленное предприятие, а совхоз — сельскохозяйственное. Но и в совхозе (и в колхозе) есть переработка продуктов, там есть подсобные промышленные предприятия, маслодельные, консервные и т. д. Возьмем такую отрасль, как рыболовство. Куда отнести эту отрасль — к промышленности или сельскому хозяйству? Долгое время это был дискуссионный вопрос. Но теперь считают, что эта отрасль относится к промышленности, так как ловля рыбы производится организованно, как крупное фабрично-заводское производство; она осуществляется на крупных оснащенных сложнейшими механизмами судах, которые являются промышленными предприятиями. А то, что эти предприятия плавают, а не стоят на одном месте, не имеет значения. Еще пример — издательское дело. Наша статистика относит типографии к промышленности. Что касается собственно издательств (редакций, где литературно обрабатываются рукописи и т. д.), то раньше оНи не включались в отрасли материального производства, а сейчас наша статистика учитывает их в числе «прочих отраслей». В США же считают всю издательскую деятельность от начала до конца отраслью промышленности.
Или куда, например, отнести ремонт различных предметов? Ремонт паровозов, трамваев производится на больших, оснащенных новейшей техникой, заводах; это настоящие промышленные предприятия. А ремонт тракторов в совхозах и колхозах, ремонт домашних вещей, посуды, одежды? Наша статистика весь ремонт относит к промышленности.
Крупные отрасли народного хозяйства (относящиеся к производственной сфере), такие, как промышленность, строительство, сель- . ское хозяйство,-в свою очередь могут быть разделены на более мелкие подразделения: отрасли промышленности, сельского хозяйства и т. д. В первых русских классификациях промышленности (например, в переписях промышленности, проведенных в начале нашего столетия крупным русским статистиком Варзаром) вместо термина «отрасль» употребляли термин «производство». Долгое время в практике промышленной статистики употреблялись классификации производств, В последние годы, однако, термин «отрасль» стал применяться и ко всему народному хозяйству, и к его отдельным частям. Так, для разработки годовых отчетов промышленных предприятий ЦСУ СССР имеет классификацию отраслей промышленности. Само понятие «производство», однако, осталось и в последних классификациях, например «производство чугуна, стали и проката», «производство. металлорежущих станков», «производство стекловолокна» и т. д. Но по существу термины «отрасль» и «производство» теперь
f равнозначны, а классификация производства означает классификацию отраслей. В основе классификации производства могут лежать различные признаки: характер исходного материала (цветная металлургия, деревообрабатывающая промышленность), общность технологического процесса (химическая, трикотажная промышленность),назначение готовой продукции (энергетическое машиностроение, кондитерская промышленность). Практически в современных классификациях применяются все три признака или их комбинации. На крупном предприятии, комбинате может быть несколько производств. Следовательно, в классификации производств отдельные части предприятия будут находиться в разных подразделениях. Отрасли сельского хозяйства — полеводство, животноводство и т. д. — также являются «производствами». Классификация производств в данном случае значительно более краткая, чем в промышленности. Для других отраслей народного хозяйства специальные классификации производств или классификации отраслей не составляются ввиду более простой, по сравнению с промышленностью, структурой этих отраслей. Но и в данном случае проводится внутриотраслевая группировка по видам деятельности, характеру техники и другим признакам. Транспорт делится на водный, железнодорожный, автомобильный и т. д.
Здесь упомянуты только отдельные вопросы проблемы классификации. Конкретные решения их рассматриваются в отраслевых курсах статистики.
ГЛАВА 4. АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
АБСОЛЮТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Государственная статистика призвана улучшать систему статистической информации, совершенствовать методологию расчета обобщающих статистических показателей, повышать уровень экономического анализа статистической информации, в широком смысле характеризующей деятельность предприятий, отраслей народного хозяйства. В процессе, экономико-статистического анализа общественных явлений рассматриваются в единстве абсолютные и относительные величины.
Абсолютные величины — количественные показатели, которые выражают объем или размер общественного явления в определенных границах времени и места: например, в СССР в 1979 г. производство цемента составило 123 млн. т, выпуск экскаваторов достиг 41 тыс. шт.
В результате сбора статистической информации (статистического наблюдения) текущей регистрацией или единовременным обследованием получают абсолютные величины, значений изучаемого признака каждой единицы совокупности,- например величины заработной платы или выработки каждого рабочего цеха. Такие абсолютные величины широко применяются и называются индивидуальными абсолютными величинами.
Для характеристики всей совокупности единиц данные статистического наблюдения подвергают статистической сводке и вычисляют обобщающие абсолютные величины, необходимые для изучения особенностей явлений и процессов промышленных предприятий, различных организаций.
Знание абсолютных размеров общественных явлений необходимо для планирования, управления и анализа деятельности отраслей народного хозяйства страны и предприятий. Абсолютные величины, характеризующие размеры потребностей общества в различных видах продукции, и имеющиеся в народном хозяйстве ресурсы представляют основу для составления планов. Они позволяют осуществить увязку пятилетнего и годовых планов, учесть особенности комплексного планирования и социального развития на предприятиях, в объединениях.
Абсолютные величины необходимы для учета выполнения плановых заданий и анализа факторов, влияющих на достигнутый уровень объема производства промышленной продукции, ввода в эксплуатацию объектов строительства и др.
Анализ результатов научно-технического прогресса, в частности технического перевооружения производства, внедрения более совершенной техники и технологии, обеспечивающих повышение производительности труда и качества продукций, увеличение фондоотдачи и рентабельности производства, нельзя осуществить без привлече-
^ ния абсолютных величин. Закономерности развития общественного производства познаются и при помощи абсолютных величин.
Основной способ получения абсолютных величин — подсчет в процессе статистической сводки данных статистического наблюдения. Таким непосредственным подсчетом устанавливается по определенному признаку общее число единиц всей изучаемой совокупности и ее отдельных, но качественно однородных групп. Например, в 1979 г. численность населения СССР, имеющих высшее и среднее (полное и неполное) образование составила более 140 млн. человек, а в 1939 г. — 15,9 млн. человек. Если статистической сводке подвергают данные единовременного наблюдения, то полученные абсолютные величины (моментные итоги) характеризуют размер явления на определенную дату, например численность населения СССР на 1 января 1980 г. равна 264,5 млн. человек. Если же осуществляется подсчет данных текущего наблюдения, то полученным абсолютным величинам соответствуют интервальные итоги за определенный период времени, например в 1979 г. произведено бумаги 5,2 млн. т. Абсолютные величины подсчитывают с разной степенью точности, в зависимости от характера самих изучаемых- явлений и от целей исследования; например, полезная площадь квартиры вычисляется с точностью до 0,1 м2, а ввод в эксплуатацию жилой площади в м2 (без дробей). Непосредственный подсчет первичных материалов статистического наблюдения позволяет получить простые, одноименные (одинакового содержания) абсолютные величины в натуральном выражении, т. е. в единицах, отражающих природу и потребительные свойства объекта исследования: в единицах длины, массы, объема (протяженность железных дорог—км, уголь—т, газ — м3). Одноименные абсолютные величины сравнивают с аналогичными по содержанию абсолютными величинами плана, с данными выбранного периода времени, с другими объектами. Возможно применение двух единиц измерения для одного и того же вида продукции, например ткани учитываются в м2 и погонных метрах.
В процессе статистической сводки получают и составные абсолютные величины с комбинированными единицами измерения. Комбинированные единицы измерения отражают совместное измерение двух признаков, двух разных сторон явления в определенных условиях времени и места, например время работы машины на строительстве жилого дома — в машино-сменах, а перевозку грузов до строительной площадки за этот же период времени — в тонно-километрах.
Абсолютные величины не всегда можно получить непосредственным подсчетом, особенно в случаях, когда итоги по частям совокупности представлены в различных единицах измерения или же в одинаковых единицах, но каждая часть имеет определенное народнохозяйственное значение, например цемент различных видов применяется для разных строительно-монтажных работ. Для таких разносоставных совокупностей получают при помощи специальных расчетов сложные абсолютные величины (различного содержания) в одинаковых для всех частей явления единицах измерения: в цен-
постном (денежном), трудовом и условно-натуральном выражении. Пересчет в одинаковые единицы измерения осуществляется при помощи специальных переводных коэффициентов соизмерения, часто устанавливаемых по затратам времени на 1 единицу продукции, т. е. по трудоемкости. Рассмотрим пример. ' *
Таблица 4.1
•
Номер детали
Количество, шт.
Трудоемкость, чел.-ч.
Переводной коэффиц 1€ИТ
Условные детали, шт.
1 *
2
3
гр. 4=гр. 3:15
гр. 5—тр. 4> гр. 2
1
2
50
8
0,5
25
70
4
0,25
17,5
3
80
16
1,0
80
В результате несплошнрго наблюдения получают абсолютные величины только по отобранным единицам совокупности. Для целей анализа необходимо приближенно рассчитать абсолютные величины по всей совокупности в целом. Это достигается с помощью нескольких приемов расчета: на основе прямого пересчета, способом разностей и отношений, а также при помощи перегруппировки единиц и уравнения регрессии (см. гл. 9). Кроме того, применяются балансовые расчеты, цель которых, в частности, получить объем явления на последующую дату (если располагаем данными единовременного наблюдения на определенную дату).
В материалах съездов КПСС, Пленумов ЦК КПСС, экономико- статистической литературе, формах статистической отчетности абсолютные величины помещаются с целью характеристики в конкретных условиях времени и места степени выполнения плана, а также уровня развития явлений.
Каждая абсолютная величина отражает состояние лишь одного признака явления и поэтому недостаточна для суждения об изменениях его качественных особенностей и структуры. Кроме того, абсолютная величина не всегда может быть подвергнута непосредственному экономико-статистическому анализу. Так, из следующих данных невозможно получить представление о реальном объеме каждого вида продукции, если за отчетный период выпущено проката черных металлов на 1000 руб. и на 1000 руб. синтетических смол.
Для исследования социально-экономических явлений и процессов в отчетном периоде или же за ряд периодов, для целей планирования и управления необходимо получить более широкое представление о фактах общественной жизни, деятельности предприятий. Поэтому следует привести абсолютные величины в связь друг с другом, сравнить их между собой. Абсолютный показатель уровня развития общественного явления может быть сравним с другим показателем, принятым за базу сравнения: с данными предшествующего периода, с данными по отдельным районам страны или с зарубежными странами.
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Сравнительную оценку явлений общественной жизни дают относительные величины — обобщающие статистические показатели. Относительная величина — числовая мера сравнения Двух статистических показателей, средство обобщения особенностей конкретных общественных явлений. Эта величина вычисляется отношением одного абсолютного показателя к другому абсолютному показателю. Относительные величины широко применяются и выражают степень выполнения плановых заданий, темпы роста производства продукции, уровень научно-технического прогресса, характеризуют степень удовлетворения материальных и культурных потребностей населения СССР.
В зависимости от характера связи между абсолютными показателями и целями исследования различные виды относительных величин объединяются в группы:
относительные величины в статике характеризуют особеннос- ' ти явления в данный момент времени;
относительные величины динамики применяют для характеристики изменений уровня развития явления за отдельные периоды времени;
относительные величины в планировании и учете выполнения плановых заданий отраслей народного Хозяйства, предприятий.
Относительные величины каждой группы могут быть именованными: простыми (кг, шт.) и комбинированными (т/км, кг/шт), а также отвлеченными. Эти относительные величины .могут быть коэффициентами; например, в X пятилетке выпуск приборов и средств автоматизации радиоэлектронной промышленностью увеличивается в 1,6—1,7 раза; выражаются также в процентах (1/100 часть числа) и промилле (1/1000 часть числа) (число родившихся считается на 1000 человек населения). Иногда расчет ведется в продецимилле (1/10000 часть числа). В теории вероятностей, математической статистике и общей теории статистики — в долях, когда объем совокупности принимается равным единице. К- Маркс на страницах «Капитала» принимал для сравнения специально выбранное число —■ 1 000 000 фунтов стерлингов.
В первую группу относительных величин входят относительные величины структуры, для расчета которых необходимо располагать абсолютными величинами по отдельным частям, группам явления и по всему явлению в целом. Отношение числа единиц определенной группы (части совокупности) к общему объему совокупности называется относительной величиной доли (вычисляется в коэффициентах). Если доля признака или объема совокупности выражена в процентах, то вычисляется показатель удельного веса (см. табл. 4,2). Относительные величины удельного веса позволяют выявить отличительные особенности явления в разных условиях времени и места. В статистических таблицах могут содержаться и относительные величины доли по группам совокупности в подлежащем или сказу-
ГодВся продукцияв том числе производствоГодВся продукцияв том числе производствосредств производствапредметов потреблениясредств производстваще шетов * пот ебленкя191310035,164,9196010072,527,5192810039,569,5197010073,426,6194010061,039,0197610074,0'26,0195010068,831,2ГодВся продукцияв том числе производствоГодВся продукцияв том числе производствосредств производствапредметов потреблениясредств производстваще шетов * пот ебленкя191310035,164,9196010072,527,5192810039,569,5197010073,426,6194010061,039,0197610074,0'26,0195010068,831,2Таблица 4.2Таблица 4.2доли, привлекаютсядоли, привлекаютсякак икак иемом. В табл. 4.2 представлен удельный вес производства средств производства и предметов потребления в общем объеме продукции промышленности СССР (%):
Год
Вся продукция
в том числе производство
Год
Вся продукция
в том числе производство
средств производства
предметов потребления
средств производства
ще шетов * пот ебленкя
1913
100
35,1
64,9
1960
100
72,5
27,5
1928
100
39,5
69,5
1970
100
73,4
26,6
1940
100
61,0
39,0
1976
100
74,0'
26,0
1950
100
68,8
31,2
Год
Вся продукция
в том числе производство
Год
Вся продукция
в том числе производство
средств производства
предметов потребления
средств производства
ще шетов * пот ебленкя
1913
100
35,1
64,9
1960
100
72,5
27,5
1928
100
39,5
69,5
1970
100
73,4
26,6
1940
100
61,0
39,0
1976
100
74,0'
26,0
1950
100
68,8
31,2
Таблица 4.2
Таблица 4.2
доли, привлекаются
доли, привлекаются
как и
как и
Показатели удельного веса, равно для изучения процесса развития каждой отрасли народного хозяйства, выражают пропорции между отраслями материального производства, характеризуют размещение производительных сил по районам страны, степень концентрации производства и др. На промышленных предприятиях, в строительных, транспортных организациях показатели удельного веса способствуют раскрытию особенностей части целого, т. е. показывают, какую часть в общей численности занимает та или иная группа единиц, например какую долю механизированных работ в общем объеме работ выполняет строительная организация. Относительные величины структуры применяются и для характеристики тенденций развития явления: пока-
зывают, например, что доля стран социализма в мировой промышленной продукции составляла в 1917 г. менее 3%, а в 1975 г. — более 40%. Сравнение вариантов плана выпуска предприятиями различных видов продукции, т. е. с различной* структурой, поможет выявить народнохозяйственную эффективность каждого варианта плана и принять оптимальное решение.
Для характеристики особенностей развития явления в данной среде, в данный момент времени применяют относительные величины интенсивности и координации — результат сравнения абсолютных величин, относящихся к двум различным, но связанным сторонам явления. Они характеризуют, в частности, обеспеченность населения жилой площадью, средствами связи, оснащенность рабочих машинами и механизмами, использование оборудования; отражают уровень экономического развития на душу населения (производство отдельных видов продукции, потребление воды, газа и т. д.).
Относительные величины интенсивности показывают, как часто событие происходит в данной среде, и вычисляются на основе сопоставления числа интересующих нас событий к численности среды, которая вызывает эти события: для характеристики оборота рабочей силы вычисляют коэффициент оборота по уводьнедию отношением числа уволенных рабочих к средней численности всех рабочих данного предприятия. я
Относительные величины координации (разновидность относительных величин интенсивности) — результат соотношения двух групп единиц в составе одной и той же совокупности, причем одна из них принимается за базу сравнения. Возможно сравнивать два взаимосвязанных признака совокупности, и тогда в числителе помещается результативный, или зависящий признак, а в знаменателе — факторный, или влияющий признак. Относительная величина этого вида покажет, сколько единиц одной категории приходится в среднем на 1, 100, 1000 единиц другой категории данной совокупности, например сколько приходится работников, занятых в подсобных производствах строительной организации, на 100 человек работников, выполняющих строительно-Монтажные работы. Относительные величины координации находят применение в изучении эффективности использования трудовых, материальных и денежных ресурсов предприятия, в определении соотношения между частями совокупности (например, между числом явок и неявок рабочих на работу) .
Оценка уровня развития предприятий, отраслей народного хозяйства достигается на основе расчета относительных величин наглядности или сравнения. Задача вычисления этого вида относительных величин — определить величину данного абсолютного показателя сравнением его с аналогичным показателем по другой совокупности, развивающейся в иных условиях, иначе говоря, по разнохарактерным частям явления; например, сравнивается, число сдельщиков и повременщиков предприятия. Отношения наглядности находят применение для сравнения абсолютных показателей по различным странам, и особенно стран социалистического содружества и капиталистических стран, в частности для определения соотношений производств важнейших видов промышленной продукции в СССР и некоторых капиталистических стран. Большое значение приобретают эти относительные величины для оценки достижений республик, предприятий, бригад, рабочих при сравнении с показателями, достигнутыми передовиками производства.•
Вторая группа — относительные величины динамики, необходимые для характеристики изменений явления во времени. Относительные величины динамики (темпы роста) получают сравнением абсолютных, а также средних величин текущегЬ или отчетного периода с аналогичными показателями базисного периода, т. е. периода, с данными которого сравниваются данные каждого периода (года, квартала, месяца). Таким образом сопоставляются данные об одном и том же явлении, но за различные сроки. В экономикостатистическом анализе применяются относительные величины динамики, как базисные, так и цепные.
Относительные величины динамики базисные — результат сравнения абсолютных величин за ряд последовательных периодов времени с данными периода, принятого за основание или базу сравнения. В табл. 4.3 представлены темпы роста общего объема промышленной продукции СССР.
Год
Вся промыш- лелность
Группа А
Группа Б
Год
Вся промыш- гелность
Группа А
Группа В
1917
1
1
1
1950
21
39
9,2
1928
1,8
1,9
1,8
1970
142
305
49
1910
12
19
7,6
1977 (план)
225
497
73
Таблица 4.3
(1917=1)
Базисные относительные величины динамики показывают изменение объема явления или значений его признака за длительный период времени. В 1977 г. по сравнению с 1917 г. объем промышленной продукции группы «А» (производство средств производства) увеличился почти в 500 раз, а группы «Б» (производство предметов потребления) — более чем в 70 раз.
Цепные относительные величины динамики, иногда называемые переменными, — результат сопоставления абсолютных показателей изучаемого явления за текущий период с показателями предыдущего периода времени. Они характеризуют темпы развития явления за каждый данный период по сравнению с предшествующим периодом времени. Вычислим базисные коэффициенты роста, темпы роста и темпы прироста (относительный прирост) по данным отчетности строительного управления о размере выполненного объема строительно-монтажных работ;, предыдущий период принят за базу сравнения (см. табл. 4.4).
Таблица 4.4
Показатели
1977
1978
1979
Объем строительно-монтажных работ, млн. руб. (Уд
Коэффициенты роста (К=у, : f/i-i)
Темпы роста (Т=К-100)
Темпы прироста (К—1) • 100
1,3
1,0
100
1,6
1,23
123
23
1,9
1,19
119
19
Прирост объема строительно-монтажных работ составлял в 1978 г. 23%, а в 1979 г. — 19%, но объем строительно-монтажных работ увеличился на 0,3 млн. руб. Между базисными и цепными относительными величинами динамики существует определенная взаимосвязь, позволяющая более широко применять относительные величины в экономико-статистическом анализе общественных явлений. Если перемножить цепные относительные величины динамики (по абсолютным данным), то получим базисную относительную величину динамики. По данным табл. 4.4 производим расчет: ^ • ™ = — ^ = 1, 46, или увеличение на 46% объема строительно-монтажных работ в 1979 г. по сравнению с 1977 г.
Если же разделить базисные относительные величины динамики, то получим величину цепной относительной величины динамики: 1,91,61,9, щ
— : — = — = 1,19. В процессе сравнения абсолютных величин в 1,3 1,31,6
динамике возникает проблема выбора базы сравнения.
Базу сравнения для изучения динамики общественных явлений следует выбирать на основе исследования особенности явления, а также цели расчета относительных величин динамики.
В третью группу входят относительные величины в планировании. В десятой пятилетке задача плановых органов, министерств и ведомств, задача экономической! науки состояла в том, чтобы, ориентируясь на повышение эффективности общественного производства, существенно повысить роль качественных показателей плана.
Обычно в плановых документах предусматриваются показатели абсолютного уровня, который должен быть достигнут в планируемом периоде. Показатели плана — средство управления и организации производственной деятельности бригады, цеха, предприятия, отрасли народного хозяйства. Контроль выполнения плановых заданий по установленным показателям — важная задача, для осуществления которой привлекаются относительные величины.
В материалах съездов КПСС, публикациях ЦСУ СССР, в текущей статистической отчетности предприятий и организаций применяются относительные величины: планового задания, выполнения плана и фактического изменения изучаемого показателя. Рассмотрим пример. План выпуска продукции предприятием в мае — 220 тыс. руб. Фактически в мае выработано продукции на 226 тыс. руб. В апреле фактический выпуск продукции составил 210 тыс. руб.
Относительная величина планового задания равна отношению абсолютной величины показателя по плану на отчетный период (май) к фактически достигнутому уровню в абсолютных величи- нахза предшествующий период (апрель):
О.ВПЛЗ= (220:210) • 100 = 105%,
т. е. по плану предусмотрено увеличить объем выпуска продукции в мае по сравнению с достигнутым уровнем в апреле на 5%.
Обращаясь к рассматриваемому примеру, вычислим относительную величину выполнения плана как отношение фактических данных отчетного периода (мая) к плановому заданию на тот же период:
О.В выпил =(226:220)•100 =103%,
т. е. план выпуска продукции в мае перевыполнен на 3%. Относительная величина позволяет оценить результаты деятельности предприятия.
Относительная величина фактического изменения равна отношению данных отчетного периода (мая) к данным предыдущего
периода (апреля) и характеризует величину изменения уровня изучаемого явления:
О.Вф.„зм= (226:210) -100=107,6%.
Эта относительная величина динамики показывает увеличение объема продукции в мае по сравнению с апрелем на 7,6%. Рассмотренные три вида относительных величин в планировании взаимосвязаны, а именно:
О.ВпЛ.З" О-Ввып.пл =О.Вф.изм ‘
В развернутом виде получим: плановые данные отчет- фактические данные фактические данные ного периодаотчетного периодаотчетного периода
фактические данные пре-плановые данныеотчет-фактические данные
дыдущего периоданого периодапредыдущего периода
Взаимосвязь относительных величин позволяет выявить влияние каждого показателя на фактическое изменение уровня явления. Например, по плану на сентябрь предусмотрено увеличение выпуска продукции на 2%; фактически в августе выработано продукций на 200 тыс. руб., а в сентябре — на 210 тыс. руб. Тогда объем продукции по плану равен: 200-1,02=204 тыс. руб.; процент выполнения плана в сентябре: (210 : 204) • 100= 102,9%. Отсюда, зная взаимосвязь относительных величин в планировании, получим: 1,02Х X 1,029= 1,05, т. е. на увеличение фактического объема продукции в сентябре по сравнению с августом на 5% наибольшее влияние оказало перевыполнение плана на 2,9%.
Относительные величины широко применяются для изучения пропорций в народном хозяйстве страны, для характеристики степени удовлетворения материальных и культурных потребностей населения, деятельности отраслей, предприятий, цехов. Относительные величины помогают раскрыть качественные особенности и закономерности общественных явлений, направления и темпы их развития, определить отклонения от намеченных плановых заданий, выявить резервы, дать оценку результатов производственной деятельности. Относительные величины — один из важнейших способов обобщения и анализа статистических данных. Цели и направления исследования определяют выбор вида относительных величин. Для оценки изменения уровня объема продукции текущего года возможно принять разные направления сравнения: с предыдущим годом, с началом пятилетки, с уровнем 1917 г.
При выборе относительных величин необходимо соблюдать ряд требований:
относительные величины вычисляют после критической оценки всех сторон изучаемого явления и четкого определения понятий и категорий явления; например, после раскрытия содержания категорий рабочих, ИТР можно рассчитать, сколько ИТР приходится на 100 рабочих;
сопоставимые данные по качественно однородным группам, в частности относительные величины удельного веса получают на основе типологической и структурной группировки (см. гл. 3);
рассчитывают относительные величины по достаточно большому числу единиц совокупности; для совокупности с малым числом единиц неуместно вычисление относительных величин;
для более полного освещения явлений необходима система относительных величии, вычисленных по ряду существенных признаков. В такой системе объективно отражаются закономерности развития явления: результаты развития отраслей, предприятий и других подразделений. Например, одновременно с расчетом процента выполнения плана предприятием по себестоимости продукции показывают изменение ее величины по сравнению с предыдущим годом;
величина полученной относительной величины зависит от правильно выбранной базы сравнения;
взятые для сравнения абсолютные величины должны быть сопоставимы: а) в границах одного и того же места и периодов времени, с учетом сезонных колебаний; б) по одному и тому же кругу единиц наблюдения; в) по условиям и способам сбора данных первичного учета и их статистической сводки; г) по методологии расчета. Например, процент выполнения плана дневной производительности труда отразит реальное положение, если фактический и плановый показатели труда вычислены одинаковыми методами;
сравнивают логически взаимосвязанные абсолютные величины в числителе и знаменателе отношения. Сопоставимость данных, полученных в результате единовременного и текущего наблюдений, достигается путем специального расчета средних величин и др.;
в процессе экономико-статистического анализа следует рассматривать во взаимосвязи абсолютные и относительные величины. Так, например, для различных предприятий 1% промышленной продукции имеет различное абсолютное значение. Если завод № 1 на 3% перевыполнил план выпуска продукции и 1% перевыполнения плана соответствует 10000 руб., то для завода № 2, перевыполнившего план также на 3%, приходится на 1% перевыполнения плана 15000 руб.
ГЛАВА 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
СУЩНОСТЬ И ОСОБЕННОСТЬ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН
Для изучения общественных явлений необходимы обобщающие статистические показатели, к числу которых принадлежат средние величины, характеризующие качественные особенности явлений в количественном выражении. Средняя величина обобщает данные о численных значениях изучаемого признака у единиц совокупности и определяет характерный, типичный уровень признака для единицы этой совокупности в конкретных условиях времени и места.
В процессе вычисления средних величин необходимо иметь в виду их особенности, раскрытые в трудах классиков марксизма-ленинизма.
Средние характеризуют одной величиной значение изучаемого признака для всех единиц качественно однородной совокупности. К. Маркс отметил: «... средняя величина есть всегда средняя многих различных индивидуальных величин одного и того же вида». Средняя величина, выражая характерный уровень признака, имеет такую же размерность, как и размерность признака у абсолютных величин, т. е. она всегда именованная величина. Выбор признаков совокупности, способ расчета и умелое применение средних величин опирается на знание сущности явления и на учет конкретных условий и форм развития явления. Средняя, как абстрактная характеристика совокупности, отражает типичный уровень (размер) признака, типичные черты и свойства всех единиц изучаемой совокупности, поэтому средняя отвлекается (абстрагируется) от индивидуальных особенностей отдельных единиц. Возможно, что в цехе ни один рабочий не получает заработную плату, соответствующую средней заработной плате, и только в отдельных случаях заработная плата какого-либо рабочего совпадает со средней заработной платой рабочих цеха. В средних величинах заложено диалектическое единство отдельного и общего, общих и индивидуальных особенностей единиц совокупности. Если изучать количественные признаки только отдельных единиц совокупности, то величина их, например заработная плата рабочих, затраты времени на обработку деталей и др., складывается под влиянием факторов: общих или типичных ' для всех единиц совокупности (одинаковая профессия рабочих цеха, одинаковая продолжительность рабочего дня сдельщиков и повременщиков) и индивидуальных (возраст каждого рабочего, его стаж работы, процент выполнения нормы выработки и т. п.). Общие факторы стремятся сделать величину признака, например величину заработной платы, для всех рабочих одинаковой. Индиви- I дуальные же факторы изменяют величину признака в сторону ее увеличения или уменьшения у каждого рабочего. Поэтому вычисляют среднюю величину отдельного признака для всех единиц
Ьсовокупности: среднюю заработную плату, среднюю выработку
и др. Следовательно, в средней величине обобщаются индивидуальные значения признака и отражается влияние главным образом общих условий, наиболее характерных для данной совокупности.
Абстрагируясь от разнообразных индивидуальных значений величины признака у каждой единицы совокупности, средняя величина отражает как бы общую равнодействующую всех объективно влияющих на данную совокупность причин. В трудах классиков марксизма-ленинизма на примерах конкретной действительности показано, как внутренний закон явления объективно регулирует действие случайных причин. Но средняя величина в свою очередь становится выражением механизма, который регулирует отклонения от средней, обусловленные .действием случайных причин. На уровень средней величины оказывают действие наиболее существенные причины (факторы), и поэтому величина средней зависит от определяющего показателя, т. е. суммарного обобщающего показателя по изучаемому признаку для всех единиц совокупности, например для расчета средней заработной платы рабочих цеха фонд заработной платы — определяющий показатель.
Чтобы средняя величина правильно отражала типичные размеры признака совокупности, необходимо располагать данными о значении этого признака у массы единиц совокупности. В таком Случае взаимопогашаются отклонения от типичного значения признака единиц совокупности. Способность средней отражать характерные, типичные размеры изучаемого признака массы единиц объективно существующей совокупности и раскрывать их общие закономерности при условии взаимопогашения случайных колебаний величины признака отдельных единиц совокупности К. Маркс назвал законом средних чисел.
Средняя величина для массы единиц любого состава с различными по-существу свойствами не имеет реального содержания. В. И. Ленин неоднократно отмечал: «Соединение крупных и мелких заведений дает совершенно фиктивные «средние» цифры, не дающие никакого понятия о действительности, затушевывающие кардинальные различия, изображающие однородным нечто совершенно разнородное, разносоставное»1.
Типичность средней величины обеспечивается правильным отграничением качественно однородной совокупности, развивающейся в общих для всех единиц условиях времени и места. Поэтому вычислению средних величин должна предшествовать статистическая группировка, разделяющая изучаемую совокупность единиц на качественно однородные группы. Именно статистическая группировка является научной основой метода средних величин. Статистическая группировка открывает возможность раздельно изучать типы и формы развития изучаемого общественного явления, в частности процесс развития народного хозяйства страны, отраслей материального производства, предприятий и их отдельных
участков. Для каждой группы, выделенной из совокупности, вычисляется средняя, называемая групповой средней. В. И. Ленин писал: «Пользоваться бюджетными данными можно лишь посредством вывода средних для каждой отдельной группы крестьянства».
Групповые средние применяются и в процессе анализа содержания статистической отчетности, в частности для определения на предприятиях характера и направления связи между признаком- фактором, положенным в основу группировки, например стажа рабочих, и результативным признаком — средней производительности труда рабочих (это так называемая аналитическая группировка). Групповые средние применяются и для изучения состава (структуры) совокупности, для раскрытия присущих ей закономерностей.
Общими средними, определенными для всей совокупности, можно пользоваться, в процессе анализа общественных явлений с целью изучения их закономерностей, но лишь при условии сравнения общих средних с групповыми средними, вычисленными по каждой группе отдельно. Для характеристики типов, процессов развития общественного явления также следует сочетать групповые средние с общими средними. В таком случае общая средняя теряет свой «огульный» характер и создает возможность провести более детальный и научно обоснованный анализ изучаемой совокупности.
В планировании широко пользуются расчетами, опирающимися на общие и групповые средние величины: средняя выработка рабочих, их средняя заработная плата, средний расход материалов на единицу продукции и др. Для контроля выполнения плановых заданий нельзя ограничиваться вычислением только общего среднего процента выполнения плана предприятием в целом. Средняя погашает индивидуальные различия, как бы «обезличивает» отдельные участки предприятия, отдельные единицы (бригады, рабочие), тогда как необходимо выявлять отстающие участки предприятий, вскрывать неиспользованные ими резервы. Особенно важно показать успехи передовых цехов, бригад, отдельных рабочих. Наряду со средними величинами необходимо обращать внимание в процессе анализа и на индивидуальные значения признака у каждой единицы наблюдения, особенно для распространения передового опыта.
Средняя величина характеризует изучаемую совокупность еди- • ниц только по одному признаку. Задача каждой средней величины — отразить одну сторону явления, процесса. Но качественные особенности совокупности, ее отличительные черты находят выражение лишь в системе существенных признаков. Задача статистической характеристики явления неизбежно приводит к необходимости отказа от изолированной средней, вычисленной по одному из ) признаков совокупности единиц без учета его взаимосвязи с другими признаками. Изолированная средняя дает только одностороннюю характеристику явления. В этой связи возникает необходи-
мость построения системы средних величин по наиболее существенным признакам совокупности.
В ряде работ В. И. Ленин применял систему взаимосвязанных средних величин по существенным признакам совокупности, характер и форма которых обусловлены основной закономерностью явления. Для социально-экономической характеристики различных групп крестьянских хозяйств В. И. Ленин вычислил систему средних величин: средний размер семьи, средний размер посева, скота на 1 хозяйство и др. В практике советской статистики для целей анализа, планирования, прогнозирования и управления деятельностью предприятий вычисляются различные виды средних величин: средняя численность рабочих, их средний уровень выработки, средний срок строительства объекта, средний темп выпуска продукции и др.
ВЫБОР ФОРМУЛЫ СРЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЫ
Назначение средней величины — отразить уровень признака, характерный для качественно однородной совокупности при условии исключения индивидуальных (случайных) колебаний величины признака у отдельных единиц совокупности. Характерный уровень признака — это такая абсолютная величина признака, которая была бы у каждой единицы совокупности, если бы общий итог (сумма всех абсолютных значений признака) распределялся равномерно между единицами совокупности. Например, если 5 рабочих за смену выработали 225 шт. деталей, то в среднем каждый из них выработал по 45 шт., и тогда 45 шт.Х5 человек=225 шт. деталей. Поэтому каждая единица совокупности не отличается по средней величине (характерному уровню признака) друг от друга в результате влияния индивидуальных факторов; в средней отражается влияние только одинаковых, общих условий. Такое положение находит отражение в средней арифметической и других видах средней.
Формула средней выбирается на основе определяющего показателя. Выбирать формулу средней величины на основе определяющего показателя рекомендуется последовательно, по этапам статистического исследования:
определить характерные особенности изучаемого общественного явления;
сформулировать цель расчета средней величины и определяющий показатель;
найти математическое выражение определяющего показателя— определяющую функцию;
составить уравнение средней, заменяя средней величиной индивидуальные значения признака каждой единицы совокупности в определяющей функции; такая подстановка не изменит величины определяющего показателя;
по уравнению средней найти конкретную формулу искомой средней величины. Входящие в уравнение средних величины дол-
жны быть связаны по смыслу так, чтобы получилась размерность определяющего показателя.
Формулы средних величин могут быть получены и на основе степенной средней, для которой определяющей функцией является уравнение w=Xih. Степенная средняя — корень степени к из^ средней всех вариантов, взятых в к-й степени, имеет следующий вид: х= У • В зависимости от степени к получаются различ- п
пые виды простых средних, формулы расчета которых показаны ниже:
Таблица 5.1
Значение к
Определяющая функция (общий вид)
Формула
Название простой средней
—1
1
X
— п х=
S —
X
гармоническая
0
W = logx
х=УП(Х)
геометрическая
1
w=x
— 5х х= п
арифметическая
2
w=x2
—/ Sx2
Х = 1 /
1/ п
квадратическая
Чем выше показатель степени к в степенной средней, тем больше величина самой средней. В результате расчета различных видов степенных средних по одним и тем же данным статистического наблюдения получают (в математической статистике) следующее соотношение средних величин: Хгарм^^геом^^арифм^^квадр- Это соотношение степенных средних называется мажорантностью средних. В теории статистики известны и другие виды средних величин (третьей, четвертой степени и т. д.), применение которых рассматривается в гл. 6.
СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
Средняя арифметическая величина широко применяется в практике экономико-статистических и плановых расчетов. В^ своей основной форме средняя арифметическая представляет собой частное от деления суммы индивидуальных значений признака у всех единиц совокупности на число единиц данной совокупности.
Рассмотрим пример. Известны следующие данные о количестве деталей, выработанных за смену каждым рабочим бригады:
табельный номер рабочегочисло деталей, шт.табельный номер рабочегочисло деталей, шт.2427324715128412424273247151284124308814 23 2071212127308814 23 2071212127Всего90Всего90
табельный номер рабочего
число деталей, шт.
табельный номер рабочего
число деталей, шт.
2427324715
1284124
2427324715
1284124
308814 23 20
71212127
308814 23 20
71212127
Всего
90
Всего
90
Необходимо вычислить число деталей, вырабатываемых одним рабочим в среднем за смену.
Число деталей, вырабатываемых всеми рабочими (5х<= = 90 шт.), — это определяющий показатель, так как равен сумме индивидуальной выработки Xi каждого рабочего и может быть записан алгебраически:
Х] +Х2 + Х3 + ... +xn = SXj •
Определяющий показатель, выраженный математически, называется определяющей функцией, или уравнением индивидуальных значений (вариантов) признака единиц совокупности.
Определяющей функции соответствует уравнение средних, где индивидуальная заработная плата каждого рабочего заменена средней заработной платой, так как такая замена не изменяет числа выработанных деталей — определяющего показателя: хф-хф-хф- ...-\-x="Sxi. Зная определяющую функцию и уравнение средних, можно получить формулу средней арифметической простой. Для этой цели отметим, что правые части этих уравнений равны, следовательно, можно приравнять их левые части:
Х-рХ-рХ-р. . . +х=Х] +Х2+Х3 + ... +хп ,
или пх=У.хь и далее получаем формулу средней арифметической „— Yxt
простои: х=—, где х,— индивидуальное значение признака
п
каждой единицы совокупности; п— число единиц совокупности.
Средняя дневная выработка одного рабочего бригады вычислена —X х ■90
по формуле: харифм=—— = —=9 шт. Если бы все рабочие бригады имели одинаковую выработку, то они обеспечивали бы за день выпуск: 9 шт.-lO человек=90 шт. деталей.
Для расчета средней арифметической простой необходимо располагать данными статистического наблюдения, т. е. должны быть известны величины индивидуального значения признака у каждой единицы совокупности. Обычно данные статистического наблюдения записываются в первичный ряд распределения, когда едини- ницы с индивидуальным значением признака располагаются в таком ряду без системы. Заметим, что расчеты по первичному ряду распределения целесообразны только при изучении небольшого числа единиц; при наличии данных по большому числу единиц (например, перепись населения) средняя арифметическая вычисляется с применением электронно-вычислительных машин.
Данные статистического наблюдения (первичного учета) подвергаются статистической сводке для образования качественно однородных групп, особенно при наличии повторений значений признака у единиц, т. е. когда признак каждой единицы (вариант) имеет разное число повторений, разные частоты или вес в изучаемой совокупности. Статистическим весом называются числа, учитывающие значение величины признака (варианта) у отдельной единицы совокупности. Иначе говоря, учитывается влияние еди-
нин с каждым значением признака (варианта) на среднюю величину.нин с каждым значением признака (варианта) на среднюю величину.Таблица 5.2Таблица 5.2подсчета по груп-подсчета по груп-Результаты пам заносятся в дискретный рядРезультаты пам заносятся в дискретный рядВыработка в день. шт.Выработка в день. шт.Числорабочих,Числорабочих,Выработкав день всехрабочих, шт.^ОВыработкав день всехрабочих, шт.^Ораспределения. Продолжим расчет и подсчитаем (по данным примера) число повторений значения признака (f— частоты) для каждого его варианта (х,)—выработки каждого рабочего, и Полураспределения. Продолжим расчет и подсчитаем (по данным примера) число повторений значения признака (f— частоты) для каждого его варианта (х,)—выработки каждого рабочего, и Полу4781247812■2215■2215814860814860ИтогоИтого10109090чим: 2 рабочих вырабатывали по 4 детали каждый, еще 2 рабочих— по 7 деталей, один рабочий — 8 деталей и 5 рабочих — по 12 деталей. Следовательно, все 10 рабочих выработали за день 90 деталей (5х1/,)(см. табл. 5.2).Средняя выработка за день одного рабочего равна:чим: 2 рабочих вырабатывали по 4 детали каждый, еще 2 рабочих— по 7 деталей, один рабочий — 8 деталей и 5 рабочих — по 12 деталей. Следовательно, все 10 рабочих выработали за день 90 деталей (5х1/,)(см. табл. 5.2).Средняя выработка за день одного рабочего равна:2xi ft4-2 + 7-2+8-1 +12-52xi ft4-2 + 7-2+8-1 +12-5Х = Г2bХ = Г2b2+2+1+52+2+1+590 =9 шт.1090 =9 шт.10Расчет выполнен по формуле средней арифметической взвешенной. Такую же величину средней арифметической можно получить на базе определяющей функции. Объем продукции, выработанной всеми рабочими за день, равен сумме выработки каждого рабоРасчет выполнен по формуле средней арифметической взвешенной. Такую же величину средней арифметической можно получить на базе определяющей функции. Объем продукции, выработанной всеми рабочими за день, равен сумме выработки каждого рабо
нин с каждым значением признака (варианта) на среднюю величину.
нин с каждым значением признака (варианта) на среднюю величину.
Таблица 5.2
Таблица 5.2
подсчета по груп-
подсчета по груп-
Результаты пам заносятся в дискретный ряд
Результаты пам заносятся в дискретный ряд
Выработка в день. шт.
Выработка в день. шт.
Числорабочих,
Числорабочих,
Выработкав день всехрабочих, шт.
^О
Выработкав день всехрабочих, шт.
^О
распределения. Продолжим расчет и подсчитаем (по данным примера) число повторений значения признака (f— частоты) для каждого его варианта (х,)—выработки каждого рабочего, и Полу
распределения. Продолжим расчет и подсчитаем (по данным примера) число повторений значения признака (f— частоты) для каждого его варианта (х,)—выработки каждого рабочего, и Полу
4
7
8
12
4
7
8
12
■2
2
1
5
■2
2
1
5
8
14
8
60
8
14
8
60
Итого
Итого
10
10
90
90
чим: 2 рабочих вырабатывали по 4 детали каждый, еще 2 рабочих— по 7 деталей, один рабочий — 8 деталей и 5 рабочих — по 12 деталей. Следовательно, все 10 рабочих выработали за день 90 деталей (5х1/,)(см. табл. 5.2).
Средняя выработка за день одного рабочего равна:
чим: 2 рабочих вырабатывали по 4 детали каждый, еще 2 рабочих— по 7 деталей, один рабочий — 8 деталей и 5 рабочих — по 12 деталей. Следовательно, все 10 рабочих выработали за день 90 деталей (5х1/,)(см. табл. 5.2).
Средняя выработка за день одного рабочего равна:
2xi ft4-2 + 7-2+8-1 +12-5
2xi ft4-2 + 7-2+8-1 +12-5
Х = Г
2b
Х = Г
2b
2+2+1+5
2+2+1+5
90 =9 шт.
10
90 =9 шт.
10
Расчет выполнен по формуле средней арифметической взвешенной. Такую же величину средней арифметической можно получить на базе определяющей функции. Объем продукции, выработанной всеми рабочими за день, равен сумме выработки каждого рабо
Расчет выполнен по формуле средней арифметической взвешенной. Такую же величину средней арифметической можно получить на базе определяющей функции. Объем продукции, выработанной всеми рабочими за день, равен сумме выработки каждого рабо
чего:
^1+-V24"^3 + -• • +-^п— 2Xj •
Но одинаковое число деталей вырабатывают несколько рабочих fi, и тогда определяющая функция равна:
Х1?1 + Х212 + '^з + . • • +-^nfn = 5Xifi •_
Заменим значение каждого варианта X; средней х и приравняем уравнение определяющей функции и уравнение средних:
Xifi+X2f2 + ^3f3 + . • • +^п = ^|+^2 + ^з + . . . + ^/п,
ИЛИ 2'Xifi —HXfi •
ОтсюдаОтсюдаХарифм.взвеш —Харифм.взвеш —2^Л2fi2^Л2fi
Отсюда
Отсюда
Харифм.взвеш —
Харифм.взвеш —
2^Л
2fi
2^Л
2fi
где fi — вес.
Нетрудно убедиться, что результаты расчета по сгруппированным данным изучаемой совокупности полностью совпадают с величиной средней арифметической, вычисленной по данным первичного, не подвергнутого группировке, ряда распределения. Поэтому расчет числителя в формуле средней арифметической не обязательно производить непосредственным суммированием выработки каждого рабочего. Если первичные данные статистического наблюдения подвергнуты группировке, то общую сумму значений признака
для всех единиц можно получить как сумму произведений всех вариантов х, на число единиц, или частот fa
Для упрощения расчета средней арифметической статистическими весами могут служить относительные величины структуры (частости), т. е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот: d;= ^ . Если доля единиц выражена в процентах, то
такой показатель удельного веса может служить для расчета средней арифметической. Применяя веса, относительные величины
структуры, ползучим формулу средней арифметической взвешен-
подсчитываются в доляхподсчитываются в доляхческой упрощается: xapn»M=5]Xidi.Рассмотрим тот же пример (см. табл. 5.3).ческой упрощается: xapn»M=5]Xidi.Рассмотрим тот же пример (см. табл. 5.3).Средняя ская):Средняя ская):Харифм —Харифм —2*i di^di2*i di^di900loo900loo= 9 шт.= 9 шт.ной: харифм= -^1 “'— . Если частоты (коэффициентах), то_2(/,= 1, и тогда формула средней арифмети
подсчитываются в долях
подсчитываются в долях
ческой упрощается: xapn»M=5]Xidi.
Рассмотрим тот же пример (см. табл. 5.3).
ческой упрощается: xapn»M=5]Xidi.
Рассмотрим тот же пример (см. табл. 5.3).
Средняя ская):
Средняя ская):
Харифм —
Харифм —
2*i di^di
2*i di^di
900
loo
900
loo
= 9 шт.
= 9 шт.
Выработка, шт. to)
Число рабочих, чел. (/р
Показатели структуры
удельный вес, % И^
частость (ШР
4
2
20
0,2
80
0,8
7
2
20
0,2
140
1,4
8
1
10
0,1
80
0,8
12
5
50
0,5
600
6,0
Итого
10
100
1,0'
900
9,0
Таблица 5.3
выработка одного рабочего (средняя
арифметиче-
Для упрощения расчетов применяется средняя арифметическая с весами — частостями: Харифм =5х{со<=9 шт.
Независимо от характера весов величина средней арифметической имеет одинаковое значение и в данном примере равна 9 шт.
Для расчета средней арифметической в качестве весов иногда применяется относительная величина координации Ок, т. е. отношение каждой частоты к частоте, принятой за единицу; относительная величина координации характеризует соотношение численности групп, входящих в состав одной и той же совокупности, например соотношение инженерно-технических работников и рабочих предприятия.
Для интервального ряда распределения единиц по изучаемому признаку расчет средней арифметической взвешенной ведется по центрам интервалов V, равным полусумме значений признака па начало и конец интервала:
V= (Хн+хк): 2 в каждой группе единиц по формуле харифм.= = ■ —^Vz (см. гл. 6). Среднюю арифметическую целесообразно £ Ji
применять тогда, когда данные сгруппированы, варианты встречаются различное число раз и поэтому имеют различный вес в данной совокупности.
Средняя арифметическая может быть рассчитана и как средняя взвешенная величина из частных средних арифметических, Xi. Рассмотрим пример по данным Строительного участка (табл. 5.4).
Таблица 5.4
Номер бригады рабо- чих-строите. е <
Средняя выработка рабочего за не 1елю, руб. (Ср
Число рабочих в бригаде, чел. (/р
Выработка всех рабочих, руб. (^/г)
1
2
3
32
36
45
40
45
35
1280
1620
1575
Итого
—
120
4 475
Средняя выработка одного рабочего равна: _^Ь 4 475
Харифм— ^ ^12037,3 ру .
Если известны по исходному статистическому материалу общш итоги по каждому взаимосвязанному друг с другом признак (2х и Sy), то из их соотношения определяется средняя арифме тическая простая:
-£х
Харифм—
Если за месяц рабочие бригады строителей выполнили за меся строительно-монтажных работ на 15000 руб. и отработал 500 чел.-дней, то средняя выработка одного рабочего за день pai на 30 руб.
Если известны значения одного признака у, и средние знач' ния другого признака Хг для каждой единицы наблюдения, 1 средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формул ХариФм.= —гг^—, где весами служат значения признака у^. Bi числим среднюю арифметическую величину по следующим да
ным:
Таблица 5.3
Табельный номер рабочего
Отработано часов,
Средняя выработка за час, гит, (х^
Выработано за все часы, шт. (Т^ур
16
64
70
50
6
4
420
200
Итого
120j
620
средняя выработка одного рабочего за час работьп ~£х,- yt 620
^арифм———5,2 ШТ.
Таким образом, различные показатели выступают в качестве веса средней арифметической, что позволяет учесть особенности структуры совокупности.
Средняя арифметическая отличается от других видов статистических средних рядом свойств, которые определяют ее широкое применение в экономических расчетах и в практике статистического исследования.
Свойство 1 (нулевое). Алгебраическая сумма линейных отклонений (разностей) индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю.
Доказательство. Запишем символами это свойство средней арифметической: 2(х;—x)=Zdj = 0 для первичного ряда;
2(^i—x)fi = ’2>dif, = 0 для сгруппированных данных.
Значения признака (варианта) для отдельных единиц:
Определим от средней единицаОпределим от средней единицахХ1х2,Хз,..., хп.
Определим от средней единица
Определим от средней единица
отклонения d значений признака у каждой единицы арифметической и найдем сумму отклонений для всех
xx—x=dx
$.4™ х2 х=d2
Х3 • x=d3
Хп х—dn
xi+x2+x3-\-... +хп—nx=^dt .
или Х1+х2+х3+... + х„-П _^+12+^+---+^
и тогда 2сЛ = 0, а с учетом частот Hdifi=O.
Благодаря этому нулевому свойству средняя арифметическая широко применяется как средство погашения, «сглаживания» случайных колебаний величины изучаемого признака у отдельных 78
единиц наблюдения. «В каждой отрасли промышленности, — отмечает К- Маркс, — индивидуальный рабочий, Петр или Павел, более цли менее отклоняется от среднего рабочего. Такие индивидуальные отклонения, называемые на языке математиков «погрешностями», взаимно погашаются и уничтожаются, раз мы берем значительное число рабочих»1.
На этом свойстве средней арифметической основаны вычисления статистических показателей способом моментов, а также проверка правильности их расчета; если в процессе вычислений показателей вариации обнаружится, что сумма положительных и отрицательных отклонений значений признака у каждой единицы совокупности не равна нулю, то налицо ошибка в расчетах (см. гл. 6).
Свойство 2 (минимальное). Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака каждой единицы совокупности от средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений значений признака каждой единицы от любого значения А этого же признака у выбранной единицы этой же совокупности^ 2(х,—х)2<(х,—Л)2 или 5t/i2=min и представляет минимальную величину.
Доказательство. Выражение 2(х,—Л)2 можно рассматривать как функцию от А, так как его значения будут меняться в зависимости от изменений величины А, и тогда 2(х,—Л)2=фЛ.
Можно поставить вопрос о таком значении величины А, при котором эта функция примет именно минимальное значение; подобная задача решается дифференциальным исчислением. Достаточным условием минимума при некотором значении переменной Л является равенство нулю первой производной этой функции. Дифференцируя по А, найдем первую производную <р(Л), но предварительно возведем функцию А в квадрат;
^(Л)2^^—Л)2=2х< -22Лх,+2Л2 ,
дифференцируя, получим — 22хг+22Л; далее приравниваем первую производную нулю: — 22х;+22Л = 0 и получаем — 2х, + 2Л = 0; затем 2Л = 2х{; nA — 2х, и, следовательно, Л= —— =харИфм. Кри- п
тическим значением А является средняя арифметическая и поэтому 2(xj—Л)2 может принимать минимальные размеры только при условии, что значение А равно средней арифметической. Чтобы функция приняла именно минимальное значение, следует продол жить доказательство и показать, что она положительна при все) значениях величины А. Рассмотрим пример (см. табл. 5.6), иллю стрирующий нулевое и минимальное свойство средней арифмети ческой:
•Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 23, с. 334.
Таблица 5.6
Табельный номер рабочего
Выработано деталей, шт. (хр
Отклонении
от средней арифметической
от значения Д
'•l^r*
d^—дг^—Д
4
20
+ 4
16
+ 10
100
7
16
0
0
+6
36
2
14
—2
4
+4
16
3
20
+ 4
16
+ 10
100
■ 5
10
-6
36
0
0
Итого
80
0 1
72
252
Средняя выработка одного рабочего харИфм = 5 ^ = 80 = _ и 5
= 16 шт., и тогда ад=2(х4—х) = -ф8—8=0. Выберем любое значение признака — выработку любого рабочего и пусть Л=10 шт. В таблицу занесем квадраты отклонений от этой величины и получим 2с?/=2(х—Д)2=252. Следовательно, S(х,—х)2<Х(х,—Д)2, т. е. 72<252. '
Минимальное и нулевое свойства средней арифметической применяются для косвенного определения среднего уровня признака; для изучения закономерностей изменения уровней ряда динамики рассчитываются средние по уравнению такой плавной линии, сумма отклонений от которой индивидуальных уровней равна нулю, а сумма квадратов отклонений — величина минимальная (см. гл. 10).
Свойство 3. Если значения признака каждой единицы совокупности уменьшить или увеличить на одну и ту же величину С, то соответственно изменится и средняя арифметическая.
Для дискретного ряда распределения в расчете средней арифметической по этому свойству следует принимать во внимание и значения частот /+ Рассмотрим примеры, если варианты уменьшены на величину С=100 мм (табл. 5.7), а частоты f, на 10 чел. (табл. 5.8).
Таблица 5.7Таблица 5.7Длинадетали,ММ Vx^Длинадетали,ММ Vx^Числодеталей,ШТ. (/,)Числодеталей,ШТ. (/,)99941001011071039994100101107103235721235721-1-60+ 1 + 7 + 3-1-60+ 1 + 7 + 3—2)—181—20 о)+ 7)+ 141 + 24 +з)—2)—181—20 о)+ 7)+ 141 + 24 +з)Итого 20Итого 20Выработка, шт.Uz)Число рабочих чел. Ut)xi»ifp.cG650ЗОЭ5307805608568604806489109019Итого200143020143Выработка, шт.Uz)Число рабочих чел. Ut)xi»ifp.cG650ЗОЭ5307805608568604806489109019Итого200143020143Таблица 5.8Таблица 5.8
Таблица 5.7
Таблица 5.7
Длинадетали,ММ Vx^
Длинадетали,ММ Vx^
Числодеталей,ШТ. (/,)
Числодеталей,ШТ. (/,)
99
94
100
101
107
103
99
94
100
101
107
103
2
3
5
7
2
1
2
3
5
7
2
1
-1
-6
0
+ 1 + 7 + 3
-1
-6
0
+ 1 + 7 + 3
—2)
—181—20 о)
+ 7)
+ 141 + 24 +з)
—2)
—181—20 о)
+ 7)
+ 141 + 24 +з)
Итого 20
Итого 20
Выработка, шт.
Uz)
Число рабочих чел. Ut)
xi»i
fp.c
G
6
50
ЗОЭ
5
30
7
80
560
8
56
8
60
480
6
48
9
10
90
1
9
Итого
200
1430
20
143
Выработка, шт.
Uz)
Число рабочих чел. Ut)
xi»i
fp.c
G
6
50
ЗОЭ
5
30
7
80
560
8
56
8
60
480
6
48
9
10
90
1
9
Итого
200
1430
20
143
Таблица 5.8
Таблица 5.8
Действительно, по табл. 5.7
- 2(х.—QA2**Б ^Ch _- с
Х~ 2А 2/. “ 2Л
Средняя длина детали равна: харифм.=х<г, + С= — + 100= 100,2 мм.
( Аналогичны расчеты и в случаях, если уменьшить или увеличить значение признака каждой единицы в одно и то же число раз:
Х1С4-Х2С4-.. .*ЬХпС 2^* q "х Спп
Свойство носит расчетный характер и позволяет упростить вычисления средней арифметической.
Свойство 4. Если частоты ряда распределения уменьшить или увеличить в одно и то же число раз, то расчет средней арифметической следует вести по сокращенным частотам и величина средней останется без изменений:
-2^(Л:С)2x.fi
Харифм- 2(fj:C)^
Рассмотрим пример при условии, что С=10 (табл. 5.8) _^xtf<1430
Хапифм = ”" —7,10ШТ.,
тарифы^^2()0
-Ух,(А:С)143
хя1т<ьм===7,15 шт.
Ларифм2(^:С)20
Свойства средней арифметической позволяют ответить на вопрос, является ли статистическая величина средней арифметической, и косвенно вычислить средний уровень признака (см. гл. 10).
Средняя арифметическая широко применяется для изучения общественных явлений; эта средняя обобщает в одной величине специфические особенности массы единиц по какому-либо признаку. В средней арифметической погашаются случайные отклонения значений признака у единиц и выступает типичный размер признака. Благодаря такому свойству улавливать в однородной совокупности «общее в отдельном», устранять влияние случайных величин средняя арифметическая имеет большое значение для выявления тенденций изучаемых явлений общественной жизни, а . также взаимосвязи признаков единиц совокупности. Например, для прогноза общественного потребления отдельных видов продуктов определяется по материалам бюджетных обследований среднее потребление на одну душу. С целью выявления наличия или отсутствия взаимосвязи между признаками выделяются группы по факторному признаку, оказывающему влияние на резуль- | тативный признак, и по каждой группе вычисляют среднюю арифметическую величину. Изменение этих средних величин показывает характер и направление связи между признаками (см. гл. 9).
Средняя арифметическая применяется в плановых расчетах, особенно когда определяются неизвестные абсолютные величины
81816 Заказ 478*1
81
81
по данным, имеющимся в распоряжении исследователя; в частности, если известны средние затраты времени на единицу продукции по норме х и количество продукции q, тогда общие затраты времени (нормативные) на весь объем продукции составят "Lx^xq. Кроме того, средняя арифметическая необходима для расчета таких статистических характеристик, как показатели вариации, тесноты связи между признаками.
ДРУГИЕ ВИДЫ СТЕПЕННЫХ СРЕДНИХ
К числу других видов степенных средних относятся средняя квадратическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.
Если в степенной средней показатель 7С=+2, то получим формулу средней квадратической простой: хкв = j/" ^^. Формулу
средней квадратической можно получить и на основе определяющего показателя. В этом случае определяющая функция w=x2 и уравнение средних щ = х2, и отсюда х=1^у2. Средняя квадратическая применяется главным образом для расчета показателей вариации — среднего квадратического отклонения, вычисляемого на основе квадратов отклонений значений признака X; от средней арифметической (см. гл. 6).
Если в степенной средней показатель К=— 1, то получим фор
мулу средней гармонической простой: хГарм=
Например, в течение рабочего дня один рабочий затратил 2 мин на обработку детали, а второй — 6 мин. Средние затраты времени на обработку одной детали вычисляются по формуле средней арифметической: харифм.== 4 мин. Следовательно, в час вы
рабатывается в среднем (60:4) = 15 шт. одним рабочим, а за 8 ч (15-8) = 120 шт. Два рабочих выработают 240 шт. Проверим правильность расчета на основе затрат времени каждым рабочим. Первый рабочий за час выработает (60: 2) =30 шт., а за 8 ч — 240 шт., второй рабочий — соответственно (60: 6) = 10 шт. и 80 шт. Два рабочих вырабатывают 320 шт. В данном случае формула средней арифметической для расчета средних затрат времени не Соответствует особенностям явления.
Дело в том, что логически средние затраты времени на одну деталь — это отношение затрат времени всеми рабочими к числу обработанных деталей. В рассматриваемом примере нет данных о количестве деталей, фактически обработанных каждым рабочим, чо эти величины можно подсчитать отношением затрат времени к индивидуальным нормам времени каждого рабочего ха Если каждый рабочий затратил по норме 1 мин рабочего времени, то средние затраты времени у всех рабочих равны 3 мин. Такой результат получен по формуле средней гармонической простой:
— п 1 + 1
■^гарм=~ = "] j = МИН,
2 — Т + Т
X; z 6
за час рабочий выработает (60:3) = 20 шт., за день—(8-20)=» = 160 шт. и за день два рабочих — 320 шт. Таким образом, получен ответ, характеризующий реальные величины.
Средняя гармоническая представляет собой величину, обратную средней арифметической, вычисленной из обратных значений признака. В рассматриваемом нами примере
—/ 1 1 \ п1
-^арифм— I ~2 Ь у 1'2— з МИН, а
—•12
Хгарм= —".3 МИН.
Харифм4
Следует иметь в виду, что для одной и той же величины признака можно вычислять арифметическую и гармоническую среднюю; численные значения средних совпадут. Если известны данные о затратах времени (всего) и индивидуальные затраты времени, то применяется средняя гармоническая; если же известны число деталей и индивидуальные затраты времени, то применяется средняя арифметическая. Однако для каждого вида средней применяются в качестве веса различные величины — иначе получится расхождение ответов.
Для средней гармонической определяющая функция равна: w=— , Например, объем продукции q за определенный период времени для отдельного рабочего может быть подсчитан отношением числа часов работы рабочего / в течение того же периода времени к средним затратам времени на единицу продукции х. Вид определяющей функции при наличии совокупности рабочих (единиц) остается без изменения.
Вычислим среднюю заработную плату рабочих двух заводов, применяя формулу средней гармонической взвешенной, по следующим данным:
Таблица 5.9
Завод
Средняя месячная заработная плата рабочего, руб.
Фонд заработной платы рабочих, руб.
А
140
22400
Б
155
29600
Средняя заработная плата одного рабочего равна: фонд заработной платыфонд заработной платы
число рабочихфонд заработной платы
средняя заработная плата
22 400+29 60022 400+29 600,,=148 руб
22 400+29 600
22 400+29 600
— -22 400+ —- -29 600
140155
ЕЛЕЛРасчет выполнен по формуле средней гармонической взвешенной:
ЕЛ
ЕЛ
которая применяется в случаях, если неизвестны данные о численности единиц совокупности (частоты), а располагаем только произведением значений признака х, на численность единиц ft— частоту.
Применение средней гармонической оправдано для расчета средней трудоемкости единицы продукции, средней продолжительности строительства объектов и др.
Если в степенной средней показатель степени К=0, то после преобразований формулы степенной средней получим формулу средней геометрической простои: xV№M = у Xi-X2-x3 • •• хп.
Определяющая функция для средней геометрической имеет вид: w = log х, и тогда уравнение средних равно tw = logx. Преоб- Yw 5 log X ,—„
разуем уравнение средних: = -— = log х. Потенци-
пи
рованием получаем формулу средней геометрической. Этот вид средней нельзя применять для характеристики признака совокупности, но обычно пользуются такой формулой для целей прогнозирования, для расчета среднего годового относительного роста. Необходимо заметить, что среднюю величину нужно вычислять по такой формуле, чтобы замена реальных значений количественного признака у каждой единицы совокупности средней величиной не изменила бы суммарного итога совокупности — определяющего показателя. Если ставится задача определить изменение уровня ряда за весь период времени, то произведение начального уровня на К — коэффициент роста (отношение уровня каждого периода к уровню предшествующего периода), соответствует величине конечного уровня — определяющего показателя: Ух-Кх-Кг ... Кп=Уп, и тогда ух-К-К ... К=У«._
Приравниваем левые части равенства К-К .. .К= Кх - К2 ... К™, а затем получаем формулу средней геометрической простой для расчета среднего коэффициента роста:
К=^аС77кГ-
По данным отчетности строительного управления вычислим средний коэффициент роста:
Таблица 5.10
Показатели
197b
1977
1978
1979
1980
Объем строительно-монтажных работ, млн. руб. (yi)
1,2
1,6
1,7
1,9
2,2
Коэффициент роста (К=1д:уп-1)
1,0
1,33
1,06
1,11
1,16
Средний годовой коэффициент роста объема строительно-монтажных работ, выполняемых строительным управлением, равен:
Хгеом = 71,33-1,06-1,11 -1,16 =1,16, или увеличение объема строительно-монтажных работ в среднем, на 16% ежегодно.
Возникает вопрос: какую форму средней величины применить для характеристики уровня изучаемого признака совокупности? Следует иметь в виду, что каждый вид средней отличается особыми свойствами, благодаря которым она способствует решению определенной задачи исследования. Приведенные выше формулы средних нельзя считать пригодными для одновременного расчета среднего значения признака единиц одной и той же совокупности. Средняя — типичная характеристика единиц совокупности по данному признаку. Поэтому при выборе вида средней в каждом конкретном явлении надо принимать во внимание условия развития и особенности изучаемого общественного явления, характер исходного статистического материала и задачи, поставленные в связи с расчетом средней величины. Кроме того, среднюю надо выбрать так, чтобы необходимые для ее расчета величины (числитель и знаменатель) были логически взаимосвязаны и полученная средняя также должна иметь реальное содержание. Например, средняя выработка продукции одним рабочим представляет результат отношения объема продукции, произведенной всеми рабочими, к числу рабочих в данном отчетном периоде.
Выбор формы средней может быть обоснован определяющим показателем, и в этом случае надо учитывать качество реальной совокупности и характер осредняемого признака.
Для расчета степенной средней по данным об индивидуальных (абсолютных) значениях признака необходима средняя арифметическая, так как определяющий показатель — сумма индивидуальных значений признака единиц совокупности. Например, если известны общий объем продукции во всех партиях в натуральном выражении (шт., м, кг и др.) и себестоимость каждой единицы в партии, то средняя себестоимость одной единицы рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной. Если же известны средняя себестоимость единицы продукции в партиях и себестоимость всей продукции, то для определения средней себестои-
мости единицы продукции во всех партиях применяется формула средней гармонической взвешенной.
Для вычисления степенной средней по данным об абсолютных отклонениях индивидуальных значений признака от средней арифметической величины применяются средняя квадратическая и средняя третьей и четвертой степени (расчет моментов). Такие виды средних необходимы, например, для изучения формы распределения единиц (см. гл. 6). Расчет степенной средней по относительным величинам, характеризующим изменение явления во времени, выполняется по средней геометрической.
СТРУКТУРНЫЕ (ПОЗИЦИОННЫЕ) СРЕДНИЕ
Средняя арифметическая позволяет получить обобщенную характеристику совокупности по определенному признаку, но она не отражает всех особенностей совокупности. Кроме того, величина средней арифметической может быть одинаковой для различных совокупностей. Рассмотрим данные о распределении рабочих по стажу на двух участках.
Таблица 5.11
Учагток 1
Участок 2
Табельный номер рабочего Стаж работы, лет (xt)
45 47 54 69
3 2 1 10
14 18 19 И
4 5 2 5
Средний стаж работы рабочих каждого участка одинаков и 16.
равен: = ——=4 года.
Если опираться только на средние величины, то не обнаружим различий в продолжительности стажа работы рабочих участков 1 и 2. Данные же статистического наблюдения о каждом рабочем указывают на большую однородность по стажу работы рабочих участка 2, где продолжительность стажа работы колеблется от 2 до 5 лет, в то время как на участке 1—от 1 года до 10 лет.
Необходимо отметить, что средняя арифметическая может значительно изменяться по величине в зависимости от присоединения (отпадения) единиц со значением признака, резко отличающимся от значений признака основной массы единиц совокупности. Величина средней арифметической зависит и от значений признака у крайних членов ранжированного ряда распределения, наиболее подверженных случайным колебаниям и наименее характерных для данной совокупности единиц. Если вычислим по участку 1 средний стаж работы рабочих, исключив из общей совокупности рабочего со стажем 10 лет, то получим другую величину среднего стажа работы, а именно харифм.= (2+1+3) : 3=2 года. Уменьшение числа членов ряда распределения только на одну
единицу со значением признака, резко отличного от основной массы единиц, снизило среднюю арифметическую.
Рассматривая теорию прибавочной стоимости, К. Маркс обращает внимание на роль крайних значений признака в расчете средних величин: «Какое сильное влияние на среднюю цифру могут оказывать отдельные обстоятельства — неурожаи, обесценение денег и т. д., показывает любой арифметический пример. Так, например, 30+20+5+5+5=65, среднее 13, хотя здесь все три последних члена — всего лишь пятерки. Напротив, 12+11 + 4-10+9+8=50, среднее=10, хотя, если в первом ряду вычеркнуть составляющие исключение 30 и 20, среднее любых трех годов во втором ряду было бы выше». Следовательно, величина средней арифметической зависит от строения совокупности, и возникает необходимость применять для целей анализа общественных явлений другие виды средних, менее зависящих от состава совокупности и величины признака у крайних членов ряда, т. е. единиц с наибольшими и наименьшими значениями признака.
Часто вычисляют структурные (позиционные) средние, к числу которых относятся мода и медиана (непараметрические средние).
Моду и медиану можно рассматривать и как порядковые характеристики значения признака у единицы, занимающей особое место в ряду распределения. Каждая из этих средних величин соответствует конкретному значению признака, конкретному варианту, в отличие от средней арифметической, являющейся абстрактной величиной, полученной расчетным путем.
Мода — это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Мода — всегда конкретная величина, притом именованная; соответствует именно типичному значению признака. Средняя арифметическая и другие виды некоторых степенных средних также именованные величины, но не совпадающие (за редким исключением) по своей величине ни с одним значением признака у единиц совокупности.
Для первичного ряда распределения расчет моды не имеет смысла. При наличии вариантов и частот в ряду распределения величина моды соответствует значению признака у наибольшего числа единиц (наибольшей частоте). Например, известна выработка рабочих участка за отчетный период времени:
выработка, шт. (х,) 13 14 15 16 число рабочих, чел. ((,) 8 15 24 13
Мода равна 15 шт., т. е. большинство рабочих (24 человека) вырабатывают по 15 шт. изделий каждый.
Для интервального ряда распределения величина моды определяется по особой формуле, а также графически по гистограмме (см. гл. 6). Мода в ряду распределения — наиболее распространенный размер или уровень значений признака единиц совокупности. В результате сопоставлений величины моды нескольких сово-
купностей, признаки которых имеют одинаковые единицы измерения, обнаруживаются изменения уровня наиболее распространенного значения признака единиц совокупности. На основе этого показателя дается характеристика типа явления, в частности при экспертных оценках, и прослеживается их развитие во времени и пространстве.
Медиана — значение признака у единицы совокупности в середине ранжированного ряда распределения, когда все индивидуальные значения признака изучаемых единиц расположены в порядке их возрастания или убывания. Медиана делит все единицы совокупности по изучаемому признаку на две части: со значением признака выше и ниже значения медианы.
Расчет медианы по данным первичного ряда распределения возможен в двух случаях:
Число членов ряда нечетное:
табельный номер рабочего4548336837
дневная заработная плата ра
бочего, руб. (х,)67598
Для определения медианы необходимо ранжировать ряд распределения:
табельный номер рабочего3345483768
дневная заработная плата ра
бочего, руб. (х^56789
Известно правило определения номера медианы, т. е. значение признака у единицы в середине ранжированного ряда; необходимо к числу членов ряда добавить единицу (+1) и полученную сумму разделить на 2. В рассматриваемом примере номер медианы 3= (5+ 1) : 2, или заработная плата третьего рабочего соответствует медиане, равной 7 руб. Следовательно, половина рабочих получает заработную плату менее 7 руб., а вторая половина — более 7 руб. Если ряд содержит четное число членов (п=6), то номер медианы равен 3,5= (6+1): 2, т. е. величина медианы соответствует среднему значению признака у третьей и четвертой единицы ряда.
Возможно определить номер члена ряда, величина признака которого соответствует медиане, и следующим расчетом: если нечетное число членов ряда распределения п=5, то 2«+1 = 5; 2/2=4; /1=2. Номер медианы 2+1 = 3-й член ряда. Если четное число членов ряда распределения /2 = 6, то 2л? + 1 = 6 и п = 2,5; тогда 2,5+1 = 3,5, т. е. величина медианы соответствует среднему значению признака (заработной плате) третьего и четвертого рабочего. Медиана для четного числа членов ряда распределения в большинстве случаев расчетная величина.
Значение медианы в дискретном ряду распределения приближенное и о целесообразности- ее вычисления см. гл. 6. По интервальному ряду распределения расчетным путем определяется медиана, называемая квартиль второй — для 50% единиц; квартиль первый — для 25% единиц и квартиль третий—для 75% еди-
ниц. Если возникает необходимость определить значения признаков для десятой части единиц совокупности, то подсчитывают децили. Кроме того, вычисляют и перцентили — для сотой части единиц совокупности. Медиана, квартили, децили и перцентили представляют собой порядковые характеристики и носят названия квантилей (см. гл. 6).
Отличительное свойство медианы: сумма абсолютных отклонений значений признака у всех единиц ряда распределения от медианы меньше, чем сумма их отклонений от любого (Л) значения признака у единицы в данном ряду распределения:
21 Xi—Me | <51Xi—A | или X | X;—Me | = min.
С целью иллюстрации свойства медианы рассмотрим распределение деталей по их длине; для этого ряда распределения медиана равна 6 см и А принято равным 3 см.
Если наименьшее значение признака (варианта) равно 3, то абсолютная сумма отклонений 2|х,-—Л| равна 29, и эта сумма отклонений больше, чем сумма отклонений от медианы. Свойством медианы можно воспользоваться для определения мест обслуживания, например расположения в цехе места заточки инструмента, а также для контроля качества продукции.
Медиана находит применение, когда средняя арифметическая, выраженная дробным числом, не имеет реального смысла, например среднее число человек (3,5 человека), проживающих в одной квартире. Медиана, как описательная характеристика, менее подвержена случайностям отбора единиц по изучаемому признаку, чем средняя арифметическая, и применяется для расчета других статистических характеристик (см. гл. 6). В процессе анализг результата производственной деятельности, для обоснования при нятых решений, возможно применение медианы.
ПРИМЕНЕНИЕ СРЕДНИХ
В ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
Средние величины находят широкое применение для анализ по данным статистического наблюдения, качественных особеннс стей и закономерностей развития общественных явлений. Научна теория средних величин создана трудами классиков марксизм; ленинизма. К. Маркс в экономических исследованиях часто пол1
зовался понятием средних величин для анализа процесса развития капитализма, когда писал о средней норме прибыли, среднем уровне заработной платы, средней продолжительности рабочего дня. «Ясно во всяком случае, что совокупный рабочий день большого числа одновременно занятых рабочих, будучи разделен на число рабочих, является уже сам по себе днем общественного среднего труда».
В. И. Ленин создал научную теорию средних величин и показал ее применение для анализа социально-экономических процессов и явлений. Ленинские теоретические положения и приемы расчета статистических средних осуществляются в советской статистике. Изучению процессов развития отраслей народного хозяйства, предприятий, а также исследованию производства внутри предприятий согласно марксистско-ленинской методологии средних величин в СССР и странах — членах СЭВ предшествует разделение массы единиц на качественно однородные группы— группировка. Группировки открывают возможность раздельно характеризовать различные типы и формы развития общественных явлений, избежать применения расчета «огульных средних», не раскрывающих качественных особенностей явлений и процессов. В статье «К вопросу о задачах земской статистики» В. И. Ленин отметил недостаток средних величин, вычисленных для качественно разнородных групп: «...общие средние, пообщинные, поволостные, поуездные, губернские, говорят очень мало». В. И. Ленин неоднократно обращал внимание на возможность применения общих средних только в сочетании с групповыми средними.
Средние величины необходимы для получения обобщенной характеристики качественно однородных совокупностей, так как средняя отражает общее, заложенное в индивидуальных особенностях каждой единицы совокупности, например средняя заработная плата рабочих, занятых в отрасли народного хозяйства.
В процессе составления планов развития народного хозяйства страны, его отдельных отраслей, предприятий часто пользуются расчетами, опирающимися на знание нормативных и фактических средних величин, например средних затрат времени на единицу вырабатываемого изделия, средних (удельных) расходов материалов на единицу продукции и т. д. Для контроля выполнения плановых заданий также привлекаются средние величины.
Для анализа деятельности предприятий в практику вводится метод многомерных группировок, когда матрицы натуральных значений факторных и результативных признаков заменяются матрицами отношений индивидуальных значений признака к средней арифметической.
Важное значение приобретают научно обоснованные средние величины для анализа изменений структуры совокупности, которые зависят от изменений удельного веса dt каждой величины
признака xt. Поэтому возможно представить формулу средней арифметической в виде уравнения:
■^арифм = ^1^1+-^2^2 + - • • + ^п^п •
Предположим, если удельный вес величины признака Х| и х^ незначительный, то средняя величина будет приближаться к величине признака, например х3, с наибольшим удельным весом. В процессе анализа необходимо поэтому наряду со средней величиной привлекать и абсолютные показатели не только по каждой единице, но и по группе единиц. Так, анализ выполнения норм выработки рабочими участка за отчетный период следует дополнить показателями выработки каждого рабочего по отдельной профессии.
В результате сравнения средних величин, например средней заработной платы, средней выработки рабочих и др., за ряд периодов времени выявляются основные тенденции и закономерности развития общественных явлений, в частности процессов производства продукции. Сравнение средних величин применяется для характеристики интенсивности изменений уровней ряда динамики, когда вычисляется средний темп роста по формуле средней геометрической. Измерение сезонных колебаний уровня ряда динамики также основано на расчете отклонений от средней арифметической или же от других характеристик центра распределения (медианы).
В практике советской статистики широко применяется индексный метод, представляющий дальнейшее развитие метода средних величин (см. гл. 11). Изучение взаимосвязи признаков-факторов и их влияние на результативные признаки, например влияние степени использования рабочего времени на объем продукции, изучается, в частности, при помощи методов дисперсионного, корреляционного и регрессионного анализа, базирующихся на средних величинах (см. гл. 9).
На фоне среднего уровня производительности труда, трудоемкости, удельного расхода материала и т. д. отчетливо выступает новое, прогрессивное и наиболее распространенное в производственной деятельности отраслей народного хозяйства и их предприятий. Разделение рабочих предприятия (единиц совокупности) на качественно однородные группы, например по проценту выполнения нормы выработки, и вычисление для каждой группы средней величины (групповой средней) поможет обнаружить как отстающие, так и передовые участки предприятия.
Управление деятельностью предприятий, отраслей народного хозяйства, особенно принятие решений и контроль их исполнения, не может выполняться без применения статистических показателей, к числу которых принадлежат средние величины. Для прогнозирования развития производства продукции также привлекаются различные статистические показатели, в частности выравнивание эмпирических уровней по способу наименьших квадратов, непосредственно связанного со средними величинами.
ГЛАВА 6. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ' ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВАРИАЦИЯ ПРИЗНАКА В СОВОКУПНОСТИ И ЗНАЧЕНИЕ ЕЕ ИЗУЧЕНИЯ
Построение рядов распределения является составной частью сводной, обработки данных статистического наблюдения.
В зависимости от того, является ли признак, взятый за основу группировки, качественным или количественным, различают соответственно два типа рядов распределения: атрибутивные и вариационные. Ряды распределения, построенные по качественным признакам, называют атрибутивными. Примером атрибутивных рядов может служить распределение населения по полу, характеру труда, национальности, профессиям и т. д. Ряды распределения, построенные по количественному признаку, называются вариационными рядами. Величины того или иного количественного признака у отдельных единиц совокупности более или менее различаются между собой. Такое различие величины признака носит название вариации. Числовые значения признака, встречающиеся в данной совокупности, называют вариантами значений.
Например, себестоимость 1 кВт-ч электроэнергии по различным тепловым станциям одной энергосистемы характеризуется следующими данными:
номера ТЭЦ12345
себестоимость 1 кВт.ч электроэнергии, коп.0,580,660,590,670,66
В примере перечислены четыре варианта значений признака, колеблющихся в пределах от 0,58 до 0,67 коп. Колебания уровня себестоимости 1 кВт-ч на различных ТЭЦ обусловлены различными факторами, часто действующими в противоположных направлениях (например, снижение удельного расхода топлива ведет к снижению себестоимости 1 кВт-ч электроэнергии, а повышение цен на топливо ведет к увеличению себестоимости). В результате совместного действия многих факторов складывается величина себестоимости 1 кВт-ч на отдельных ТЭЦ.
Изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц, составляющих изучаемую совокупность, является важнейшим вопросом всякого статистического исследования. Представленные выше данные о себестоимости 1 кВт-ч электроэнергии по пяти ТЭЦ без какой-либо их систематизации образуют так называемый первичный ряд. При наличии достаточно большого количества вариантов значений признака первичный ряд становится трудно обозримым и непосредственное рассмотрение его не дает представления о распределении единиц по величине признака в совокупности. Первым шагом в деле упорядочения первичного ряда является его ранжирование, т. е. расположение всех вариантов ряда в возрастающем (или убывающем) порядке.
Расположим значения признака первичного ряда в возрастающем порядке и получим ранжированный ряд:
порядковый номер ТЭЦ себестоимость 1 кВт • ч роэнергии, коп.
13
элект- 0,580,59
254
0,630,660,67
При рассмотрении ряда первичных данных можно видеть, что варианты значений признака у отдельных единиц повторяются. Число повторений отдельных вариантов называют частотой повторения. В дальнейшем частоту повторения будем обозначать буквой /, а сумму частот, равную объему изучаемой совокупности, — п.
По характеру вариации различают дискретные и непрерывные признаки. Дискретные признаки отличаются друг от друга на некоторую конечную величину, т. е. даны в виде прерывных чисел. Например, тарифный разряд рабочих, число детей в семье, число рабочих на предприятии и т. д. Непрерывные признаки могут от
личаться один от другого на сколь угодно малую величину и в определенных границах принимать любые значения. Например, заработная плата рабочих, процент выполнения рабочими норм выработки, стоимость основных фондов предприятия и т. д.
Способы построения вариационного ряда для этих видов признаков различны. Для построения дискретного ряда с небольшим
числом вариантов выписываются все встречающиеся варианты
значений признака, обозначаемые через Xt, а затем подсчитывается частота повторения каждого варианта /<. Ряд распределения при
нято оформлять в виде таблицы. Например, распределение рабочих участка по квалификации характеризуется данными табл. 6.1.
Таким образом, ряд первичных данных, характеризующих квалификацию двадцати рабочих, заменен коротким рядом, состоящим из пяти групп. Вместо абсолютного числа рабочих, имеющих определенный разряд, можно установить долю рабочих этого разряда. Частоты, представленные в относительном выражении, называют частостями и обозначают го, (см. гр. 3 табл. 6.1):
Таблица 6.1
Тарифныйразрядрабочего
Число ра-бочих, их е-ющих дан-ный разряд(/,)
Частости^р
Накоплен-ныечастоты(Sp
1
2
3
4
2
3
4
5
6
1
5
8
4
2
0,05 0,25 0,40
0,20 0,10
1
6
14
18
20
Итого
20
1,00
Частости могут быть выражены в долях единицы или в процентах. Замена частот частостями позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений. Распределение, в ко-
тором вариация признака выражается в виде непрерывно изменяющейся величины, называется непрерывным. Такие распределения наиболее распространены в практике статистической работы.
Для построения ряда распределения непрерывных признаков значения вариантов указываются в интервалах «от—до», так как значения признака у отдельных единиц могут вообще не повторяться. Поэтому при построении интервальных рядов распределения необходимо прежде всего установить число групп (интервалов), на которые следует разбить все единицы изучаемой совокупности. При группировке внутри однокачественных совокупностей появляется возможность применения равных интервалов, число которых зависит от вариации признака в совокупности и от количества обследованных единиц.
Определение величины интервала I для построения вариационного ряда с равными интервалами производится следующим образом: 1) вычисляется разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда (так называемый размах вариации, R^
R = Xmax — Xmin I
2) размах вариации делится на число групп К, т. е. 1=— . Число К
групп приближенно определяется по формуле /<«1+3,322 Ign, где п — число изучаемых единиц совокупности. Указанное выражение почти всегда оказывается дробной величиной, которую округляют до ближайшего целого числа (число групп не может быть дробной величиной).
Величина интервала должна определяться в соответствии с точностью данных наблюдения.' если исходные данные представлены целыми числами, то рассчитанная величина интервала округляется до ближайшего целого числа, если данные представлены с точностью до 0,1, то и величина интервала округляется до целых с десятыми и т. д.
Знание величины интервала позволяет определить границы всех интервалов ряда распределения. Нижнюю границу первого интервала целесообразно принимать равной минимальному значению признака (иногда за начальную границу берется число, ближайшее к минимальному значению). В каждый интервал включаются варианты, числовые значения которых больше нижней границы и меньше или равны верхней границе. Например, имеются данные о размере средней дневной заработной платы 20 рабочих участка (руб.): 3,8; 4,3; 6,7; 5,4; 5,1; 8,2; 4,6; 5,7; 6,4; 5,9; 5,2; 6,2; 6,3; 8,0; 7,9; 5,8; 4,9; 7,6; 7,0; 6,9.
Средняя дневная зарплата, руб. Х{Число рабочих ЛНакопленные частоты S^г233,7—4,6334,6-5,5475,5-6,46136,4—7,33167,3—8,2420Итого20Средняя дневная зарплата, руб. Х{Число рабочих ЛНакопленные частоты S^г233,7—4,6334,6-5,5475,5-6,46136,4—7,33167,3—8,2420Итого20Завод 1Завод 2группы рабочих по проценту выполнении норм выработкиколичество рабочих, % к итогугруппырабочих по процентувыполнения норм выработкию^ о X <и S souК GbSДо 902До 100890—1003100—12040100—11050120—15020110—12030150—18015120—1408180 и17140—1505выше150—1602Итого100100Завод 1Завод 2группы рабочих по проценту выполнении норм выработкиколичество рабочих, % к итогугруппырабочих по процентувыполнения норм выработкию^ о X <и S souК GbSДо 902До 100890—1003100—12040100—11050120—15020110—12030150—18015120—1408180 и17140—1505выше150—1602Итого100100Таблица 6.3Таблица 6.3Группы рабочих по проценту выполнения корм выработкиКоличество рабочих, % к итогузавод 1завод 2До 10058100—1208040120-1501320150 и выше232Итого160100Группы рабочих по проценту выполнения корм выработкиКоличество рабочих, % к итогузавод 1завод 2До 10058100—1208040120-1501320150 и выше232Итого160100Таблица 6.4Таблица 6.4
Средняя дневная зарплата, руб. Х{
Число рабочих Л
Накопленные частоты S^
г
2
3
3,7—4,6
3
3
4,6-5,5
4
7
5,5-6,4
6
13
6,4—7,3
3
16
7,3—8,2
4
20
Итого
20
Средняя дневная зарплата, руб. Х{
Число рабочих Л
Накопленные частоты S^
г
2
3
3,7—4,6
3
3
4,6-5,5
4
7
5,5-6,4
6
13
6,4—7,3
3
16
7,3—8,2
4
20
Итого
20
Завод 1
Завод 2
группы рабочих по проценту выполнении норм выработки
количество рабочих, % к итогу
группы
рабочих по проценту
выполнения норм выработки
ю^ о X <и S sou
К GbS
До 90
2
До 100
8
90—100
3
100—120
40
100—110
50
120—150
20
110—120
30
150—180
15
120—140
8
180 и
17
140—150
5
выше
150—160
2
Итого
100
100
Завод 1
Завод 2
группы рабочих по проценту выполнении норм выработки
количество рабочих, % к итогу
группы
рабочих по проценту
выполнения норм выработки
ю^ о X <и S sou
К GbS
До 90
2
До 100
8
90—100
3
100—120
40
100—110
50
120—150
20
110—120
30
150—180
15
120—140
8
180 и
17
140—150
5
выше
150—160
2
Итого
100
100
Таблица 6.3
Таблица 6.3
Группы рабочих по проценту выполнения корм выработки
Количество рабочих, % к итогу
завод 1
завод 2
До 100
5
8
100—120
80
40
120-150
13
20
150 и выше
2
32
Итого
160
100
Группы рабочих по проценту выполнения корм выработки
Количество рабочих, % к итогу
завод 1
завод 2
До 100
5
8
100—120
80
40
120-150
13
20
150 и выше
2
32
Итого
160
100
Таблица 6.4
Таблица 6.4
Определяем количество групп интервального вариационного ряда! К» 1+3,322 lg 20=l-j-3,322-l,301=5,32. Округляя, получим число групп, равное 5. Величина интервала составит 0,9 руб. / 8,2 — 3,8—\ . в ре3ультате п0ЛуЧИМ ряд распределения рабо-
чих по размеру средней дневной за- Таблица 6.2
работной платы (см. графы 1, 2 табл. 6.2). Значения признака у отдельных единиц совпали с границами интервалов (например, значения 4,6;
6,4 и 8,2). Так как максимальное значение признака совпадает с верхней границей последнего интервала, эти значения признака следует включать в интервал, верхняя граница которого совпадает с указанным значением.
(Например, значение признака 4,6 включается в первый интервал, значение признака 6,4 — в третий.)
Если вариационный ряд дан в неравных интервалах, то для правильного представления о характере распределения необходимо рассчитать абсолютную и относительную плотности распределения, для определения которых вычисляют отношение частот или частостей к величине интервала, т. е. абсолютная плотность — гПга= —— ; относительная плотность —тт° = —^—. Эти показа-
/ I
тели используют для преобразования интервалов, что бывает необходимым при сравнительной оценке данных, собранных по различным совокупностям и по-разному обработанных. Например,
по двум предприятиям известно распределение рабочих по проценту выполнения норм выработки (табл. 6.3). Для перегруппировки данных с целью получения сопоставимых групп и их анализа можно воспользоваться простым укрупнением интервалов, и тогда для двух предприятий будут использоваться одинаковые интервалы (табл. 6.4).
Можно воспользоваться и другой группировкой по проценту выполнения норм выработки, например: группа рабочих12345
процент выполнения норм выработкидо 100100—110110—120120—140140—160
Для такой группировки встает необходимость расщепления интервалов ряда распределения рабочих завода 2. Если известна отно
сительная плотность распределения, то частости соответствующе
го интервала можно определить умножением плотности на величину интервала, т. е. Wi = mi°-i.
По данным табл. 6.3 определяем плотности распределения группы рабочих по проценту выполнения норм выработки для ин
100—120120-150150—180100—120120-150150—180тервалов:
100—120
120-150
150—180
100—120
120-150
150—180
второго
третьего
четвертого
Тогда, например, количество рабочих (в % к итогу) завода 2, выполняющих норму на 140—160%, определится так: — .104-10= 12.
32
представлены в табл. 6.5.представлены в табл. 6.5.Результаты перегруппировки
представлены в табл. 6.5.
представлены в табл. 6.5.
Группы рабочих по проценту выполнения корм выработки
Количество рабочих, % к итогу
завод 1
завод 2
До 100
5
8
100—110
50
20
110—120
30
20
120—140
8
13
140—160
7
12
160 и выше
—
27
Итого
100
100
Таблица 6.5Таблица 6.5ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ РЯДОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Таблица 6.5
Таблица 6.5
Графическое изображение рядов распределения облегчает их анализ и позволяет судить о форме распределения- Для графического изображения дискретного ряда применяют полигон распределения. Для его построения на оси абсцисс отмечают точки, соответствующие величине вариантов значений признака, из них восстанавливаются перпендикуляры, длина которых соответствует частоте (частости) этих вариантов по принятому масштабу на
Рис. 6.1. Распределение рабочих участка по квалификации:х — тарифный разряд; / — число рабочих.Рис. 6.1. Распределение рабочих участка по квалификации:х — тарифный разряд; / — число рабочих.Рис. 6.2. Распределение рабочих участка по размеру средней дневной заработной платы: [— число рабочих; х— средняя дневная заработная плата, руб.Рис. 6.2. Распределение рабочих участка по размеру средней дневной заработной платы: [— число рабочих; х— средняя дневная заработная плата, руб.
Рис. 6.1. Распределение рабочих участка по квалификации:
х — тарифный разряд; / — число рабочих.
Рис. 6.1. Распределение рабочих участка по квалификации:
х — тарифный разряд; / — число рабочих.
Рис. 6.2. Распределение рабочих участка по размеру средней дневной заработной платы: [— число рабочих; х— средняя дневная заработная плата, руб.
Рис. 6.2. Распределение рабочих участка по размеру средней дневной заработной платы: [— число рабочих; х— средняя дневная заработная плата, руб.
оси ординат. Вершины перпендикуляров в последовательном порядке соединяются отрезками прямых. Для замыкания полигона крайние вершины соединяются с точками на оси абсцисс, отстоящими на одно деление в принятом масштабе от хтах и Хтш.
Воспользуемся данными, приведенными в табл. 6.1 для построения полигона (рис. 6.1).
Для графического изображения интервальных вариационных рядов применяется гистограмма. Она строится так, что на оси абсцисс откладываются равные отрезки, которые в принятом масштабе соответствуют величине интервалов вариационного ряда. На отрезках строят прямоугольники, площади которых пропорциональны частотам (или частостям) интервала.
На рис. 6.2 изображена гистограмма ряда распределения рабочих по размеру средней дневной заработной платы (см. табл. 6.2). Гистограмма может быть преобразована в полигон распределения, для чего середины верхних сторон прямоугольников соединяются отрезками прямых. Две крайние точки прямоугольников замыкаются по оси абсцисс на середины интервалов, в которых частоты (частости) равны нулю. При построении гистограммы для вариационного ряда с неравными интервалами следует по оси ординат наносить показатели плотности интервалов (абсолютные или относительные), тогда высоты прямоугольников гистограммы будут отражать величины плотности распределения.
При увеличении числа наблюдений из одной и той же совокупности увеличивается число групп интервального ряда, что соответ-
Рис. 6.3. Кумулята интервального вариационного ряда: S — накопленные частоты; х — средняя дневная заработная плата, руб.Рис. 6.3. Кумулята интервального вариационного ряда: S — накопленные частоты; х — средняя дневная заработная плата, руб.ственно приводит к уменьшению величины интервала. При этом число сторон полигона распределения будет расти, и ломаная линия будет иметь тенденцию превращаться в плавную кривую, которую называют кривой распределения. Кривая распределения характеризует в обобщенном виде вариацию признака и закономерности распределения частот внутри' однокачественной совокупности.
Рис. 6.3. Кумулята интервального вариационного ряда: S — накопленные частоты; х — средняя дневная заработная плата, руб.
Рис. 6.3. Кумулята интервального вариационного ряда: S — накопленные частоты; х — средняя дневная заработная плата, руб.
В ряде случаев для изображения вариационных рядов используется кумулятивная кривая (кумулята). Для ее построения надо рассчитать накопленные частоты или частости. Накопленные ча
стоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значения признака не больше, чем рас- «матриваемое значение, и определяются последовательным суммированием частот интервалов. Построим кумулятивную кривую по приведенным выше данным (см. табл. 6.2) о распределении рабочих по размеру средней дневной заработной платы. (Накопленные частоты рассчитаны в графе 3 табл. 6.2.) При построении кумуля- ты интервального ряда распределения нижней границе первого интервала соответствует частота, равная нулю, а верхней границе — вся частота данного интервала. Верхней границе второго интервала
соответствует накопленная .частота, равная сумме частот первых двух интервалов, и т. д. (рис. 6.3).
Изображение вариационного ряда в виде кумуляты особенно удобно при сравнении вариационных рядов, а также в экономических исследованиях, в частности для анализа концентрации про
изводства.
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА
Для выявления закономерности распределения изучаемого при1 знака недостаточно графического изображения рядов распределения. Для целей анализа и сравнительной характеристики различных рядов распределения применяются обобщающие показатели вариационного ряда. Система таких показателей может быть наглядно представлена при сравнении особенностей нескольких рядов распределения. Допустим, что по пяти производственным уча,- сткам известны данные о распределении 100 рабочих по квалификации.
РаспределенияРаспределениярабочихрабочихпервого и второго участков имеют одинаковый размах вариации и характер распределения частот, но отличаются величиной варьирующего признака, вокруг которого группируются остальные значения, т. е. центром группирования. Таким образом, одну из. групп обобщающих показателей составляют характеристики центра группирования, в качестве которых используют среднюю арифметическую, моду и меди
Распределения
Распределения
рабочих
рабочих
Таблица 6.6Таблица 6.6ану. Распределения рабочих второго и третьего участков имеютану. Распределения рабочих второго и третьего участков имеютодин и тот же центр группирования и симметричное расположение частот вокруг него, но отличаются пределами вариации. Следовательно, кроме показателей центра группирования, для характеристики особенностей распределения необходимо иметь представление о степени колеблемости признака или иметь показатели степе
Таблица 6.6
Таблица 6.6
ану. Распределения рабочих второго и третьего участков имеют
ану. Распределения рабочих второго и третьего участков имеют
ни вариации. Распределения рабочих четвертого и третьего участков имеют Один и тот же центр группирования, одинаковые пределы варьирования признака, симметричный характер расположения частот, но имеют разную степень вытянутости вдоль оси ординат, которая характеризуется показателями эксцесса. И наконец, сравнение распределений рабочих четвертого и пятого участков показывает, что они отличаются характером распределения частот относительно центра. Если в первом случае это распределение носит симметричный характер, то во втором случае распределение не является симметричным. Степень отклонения от симметричной формы характеризуется показателями асимметрии. Показатели эксцесса и асимметрии характеризуют форму распределения.
Таким образом, в зависимости от характеризуемых особенностей распределения обобщающие показатели можно разбить на три группы: 1) показатели центра распределения (центра группирования); 2) показатели степени вариации; 3) показатели формы распределения.
С.4. ПОКАЗАТЕЛИ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используются средняя арифметическая, мода и медиана. Общие понятия о средних величинах и их свойствах даны в гл. 5. В данном параграфе рассмотрим расчет показателей центра распределения для вариационных рядов.
Средняя арифметическая рассчитывается по формуле
- ^-ЬХ" Я»
где Xi — варианты значений признака; ft — частота повторения данного варианта.,
Пример расчета средней арифметической для интервального вариационного ряда приведен в табл 6.7. В отличие от средней арифметической, рассчитываемой на базе всех вариантов значений признака, мода и медиана характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду. Медиана (Me) соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером й/ме = ” 2 ~' г,^е п— чнсл0 изучаемых единиц.
Используем данные примера, приведенного в табл. 6.1, для определения медианы и моды. Мме=—-— =10,5, т. е. медиана
равна средней арифметической из 10-го и 11-го значений признака. По накопленным частотам определяем, что 10-й и 11-й члены ряда имеют величину признака, равную 4-му разряду, т. е. медиана равна четвертому разряду. Мода (Мо) —-наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности — для данного ряда распределения также равна четвертому разряду. В интервальном ряду распределения сразу можно определить интервал, в котором будут находиться мода и медиана. По для определения их величины используются следующие формулы:
'п+1
;5ме
Ме=хме+1;•
/ Ме
где хме— нижняя граница медианного интервала; I — величина интервала; 5ме— накопленная частота интервала, предшествующего медианному; /ме— частота медианного интервала.
Используя данные примера, приведенные в табл. 6.2, рассчитаем медиану. По накопленным частотам определяем, что медиана находится в интервале 5,5—6,4 и тогда
Ме=5,5 + 0,9 =6,0256Ме=5,5 + 0,9 =6,0256руб.руб.
Ме=5,5 + 0,9 =6,025
6
Ме=5,5 + 0,9 =6,025
6
руб.
руб.
Наибольшая частота соответствует интервалу 5,5—6,4, т. е. мода должна находиться в этом интервале и ее величину определяем по формуле
.,, .(мо—f—1
Mo=Хмо+1 —, \ „гт ’
(/ МО—/-1) + u Mo— I+I)
где хмо — начало модального интервала; /мо — частота, соответствующая модальному интервалу; J-i — предмодальная частота; f+i — послемодальная частота.
Приведенная формула моды может быть использована в вариационных рядах с равными интервалами:
6-4
Мо=5,54-0,9-^^—утз)— —5,86 руб.
Медиану и моду можно определить графически. Медиана определяется по кумуляте (см. рис. 6.3). Для ее определения высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумуля- той. Абсцисса точки пересечения является медианой. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяем прямой с правым углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника— с левым верхним углом последующего прямоуголь- ника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения (см. рис. 6.2).
Основной характеристикой центра распределения является средняя арифметическая, опирающаяся на всю информацию об изучаемом явлении. Однако в ряде случаев средняя арифметическая должна быть дополнена и даже заменена модальным значением или медианой. Например, в статистическом контроле качества продукции удобнее пользоваться медианой, а не средней арифметической, так как определение медианы для ранжированного ряда данных не требует специального расчета; кроме того, она не чувствительна к крайним значениям данной пробы. В рядах с открытыми интервалами целесообразнее пользоваться в качестве характеристик центра распределения модой и медианой. Еще одним примером использования позиционных средних является применение моды при изучении спроса населения на товары народного потребления (например, на обувь, одежду и т. д.), когда интерес представляет определение модального размера, т. е. размера, пользующегося наибольшим спросом.
ПОКАЗАТЕЛИ КОЛЕБЛЕМОСТИ (ВАРИАЦИИ) ПРИЗНАКА
Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако два ряда распределения, имеющие одинаковую среднюю арифметическую величину, могут значительно отличаться друг от друга по степени колеблемости (вариации) величины изучаемого признака. Индивидуальные зна-
чения признака в одном ряду могут мало отличаться друг от друга, вследствие чего средняя арифметическая будет достаточно показательной характеристикой данной совокупности. Другой ряд распределения может характеризоваться значительным рассеиванием индивидуальных значений признака, вследствие чего средняя арифметическая будет ненадежной характеристикой этой совокупности и не будет иметь практического значения. Например, выработка рабочих двух бригад за семь дней характеризуется такими данными (шт.):
первая бригада: 4,4,5,5,5,6,6. Средняя выработка в день Xi = 5;
вторая бригада: 1,2,2,2,7,10,11. Средняя выработка в день х2 = 5.
И хотя ср.едние одинаковы, первая бригада работала равномерно, вторая— скачкообразно. *
Для измерения вариации признака применяются различные обобщающие показатели. К абсолютным показателям рассеивания относятся размах колебаний, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Размах колебаний, или размах вариации, R представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:
R~Хтах— Xmin '
Безусловным достоинством показателя является простота расчета. Однако размах вариации зависит от величины только крайних значений признака, поэтому область его применения ограничена достаточно однородными совокупностями. В частности, в практике он находит применение в предупредительном контроле качества продукции. Точнее будет характеризовать вариацию признака показатель, основанный на учете колеблемости всех значений признака. Поскольку средняя арифметическая является обобщающей характеристикой совокупности, большинство показателей вариации основано на рассмотрении отклонений значений признака от этой величины. К таким показателям относятся среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и дисперсия, представляющая собой среднюю арифметическую из отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической, причем среднее линейное отклонение рассчитывается из отклонений в первой степени, среднее квадратическое — из отклонений во второй степени. Так как алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической (согласно нулевому свойству) всегда равна нулю, то для расчета среднего линейного отклонения используется арифметическая сумма отклонений, т. е. суммируются абсолютные значения индивидуальных отклонений независимо от знака.
фор^ 'U‘K““”e огкл<я*с№ d -ычпсляегся по следующим
для первичного ряда
-,Х|х,-х|2|d,|
d=п
средней ариф-средней ариф-отклонение индивидуальных значений_признака от метической обозначим dp, т. е. di = x,—х; для вариационного ряда!
средней ариф-
средней ариф-
— 5|^-х|/,2|^р,
2А 57Г~
Дисперсия о2 —средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины. Дисперсия рассчитывается по следующим формулам: для первичного ряда
я п
для вариационного ряда
lit Vft
ЩИМ Образам"” Рас,ета "“"'Р™" ““к“° "реобразовать следую-
_ ,2——2
^2_ S(X| —х)2 £(х( — 2хХ(+Х )
ппп
п
п
Sx> —2 —2 —2X =х — X пSx> —2 —2 —2X =х — X п^х.^-Зх^х.+пх2х? — 2
Sx> —2 —2 —2
X =х — X п
Sx> —2 —2 —2
X =х — X п
2хх + х =
Пп
т. е. дисперсия равна разности средней из квадратов минус квадрат средней. Этой формулой пользуются и при машинной обработке исходных данных.
Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из которых позволяют упростить ее вычисления:
дисперсия постоянной величины равна нулю;
если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшится;
если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз (А раз), то дисперсия уменьшится в й2 раз.
Среднее квадратическое отклонение о представляет собой корень квадратный из дисперсии:
для первичного рядадля первичного рядао=о=22
для первичного ряда
для первичного ряда
о=
о=
2
2
для вариационного ряда
о=
Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение являются величинами именованными. Они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются наиболее широко применяемыми показателями вариации. Объясняется это тем, что они входят в большинство теорем теории вероятностей, служащих фундаментом математической статистики. Кроме того, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обусловливающих вариацию признака. В последующих главах будет показано, что дисперсия используется для построения показателей тесноты корреляционной связи, при оценке результатов выборочных наблюдений, в дисперсионном анализе и т. д.
Расчет показателей вариации рассмотрим в табл. 6.7.
Таблица 6.7
Дневная заработная плата, руб. х^
Число рабочих /^
Х1
^ih
x'i-x-di
1^1 ^i
d^i
1
2
3
4
5
6
7 _
3,7—4,6
3
4,15
12,45
—1,845
5,535
10,01
4 6—5*5
4
5,05
20,20
—0,945
3,780
3,57
5*5—64
6
5,95
35,70
—0,045
0,270
0,01
6,4—7,3
3
6,85
20,55
+ 0,855
2,565
2,19
7,3—8,2
4
7,75
31,00
+ 1,755
7,020
12,32
Итого
20
119,90
19,170
28,06
—119,90
х = ~—=5,995 руб.;
7^1'2-^-0.9585 ру6.;
^^-^
о=У1,04 =1,18 руб.
Среднее линейное и среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности. Так, в данном примере средняя
всличина колеблемости дневной заработной платы составляет: по среднему линейному отклонению 0,959 руб., а по среднему квадратическому отклонению 1,02 руб.
По свойству мажорантное™ средних величин (см. гл. 5) среднее квадратическое отклонение о всегда больше среднего линейного отклонения d. Если распределение признака близко к нормальному или симметричному распределению, то между о и d существует взаимосвязь о» 1,25d или d«0,8o.
При вычислении обобщающих статистических характеристик для интервальных рядов распределений действительные значения признака заменяются центральными значениями интервалов, которые более или менее отличаются от средней арифметической значений, включенных в интервал. Это приводит к появлению систематической погрешности при расчете дисперсии. В. Ф. Шеппард установил, что ошибка в дисперсии, вызванная применением при расчете сгруппированных данных, составляет */12 квадрата величины интервала, т. е. скорректированная дисперсия равна о2— -Vizi2.
Поправка Шеппарда должна применяться при следующих условиях: 1) распределение относится к признаку с непрерывным характером вариации; 2) распределение характеризуется тесной близостью с осью абсцисс на концах кривой; 3) распределение построено по большому количеству исходных данных (п>500).
Если в качестве показателей центра распределения используется медиана, то для характеристики вариации признаков совокупности можно применить так называемое квартильное отклонение Q. Этот показатель также можно применить вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений.
где Qi и Q3 соответственно первая и третья квартили распределения.
Квартили — это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Qg 25% единиц будут заключены между Q] и Qi, 25% —между Q2 и Q3 и остальные 25% превос- , ходят Q3. Квартили определяются по формулам, аналогичным приведенной выше формуле для расчета медианы:
Qi—.x^t + iQi—.x^t + i4S»‘”7^4S»‘”7^
Qi—.x^t + i
Qi—.x^t + i
4S»‘
”7^
4S»‘
”7^
где Xgt — нижняя граница интервала, в котором находится первая квартиль; Sy, — сумма накопленных частот интервалов, предше-
ствующих интервалу, в котором находится первая квартиль; fQt — частота интервала, в котором находится первая квартиль;
Q2 = Me;
з 'I+1 s
Qs=xqs + ij^
(условные обозначения те же, что и для величины Qi). По данным примера табл. 6.7 вычислим:
21/4-3
Qj = 4,64-0,9=5,106 руб.;
21/2—7
Q2=5,54-0,9g—6,025 руб.;
21 -З^—13
Q3=6,4 + 0,9= 7.225 руб.
Квартильное отклонение равно:
Qs-Q, 7,225-5,106
Q = —-—=2= 1,0595 руб.
Так как на квартильное отклонение не влияют отклонения всех значений признака, его нельзя считать точной мерой вариации,
При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической пользуются относительными показателями рассеивания. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической (или медиане). Используя в качестве абсолютного показателя вариации размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и квартильное отклонение, получим относительные показатели колеблемости (чаще всего они выражаются в процентах):
р коэффициент осцилляции ХБ=^--100% ;
относительное линейное отклонение К-=——-100% ;
d х
коэффициент вариации V——*100% ;
относительный показатель квартильном вариации
Ле=-5—Ю0%
Me 1
или KQ=—.100%.
Наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости— коэффициент вариации. Его используют не только для сравнительной оценки, но и как характеристику однородности со-
вокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации нс превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Для примера, приведенного в табл. 6.7, относительные показатели получились равными:
g 2g j*
Kr=■ ’’ • 1 ОО % = 70,5 % ;
7<d=^5-Ю0% = 16,0%;
V=~-100% =19,7%;
1 072
Kq=-^400% = 17,79%.
Основываясь на коэффициенте вариации, можно сделать вывод, что по размеру дневной заработной платы совокупность является однородной.
Применим коэффициент вариации для сравнительной оценки колеблемости различных признаков. Например, по предприятиям главка средний размер стоимости основных фондов составляет 5,12 млн. руб. и среднее квадратическое отклонение—1,63 млн. руб. Средний размер валовой продукции—11,27 млн. руб. при среднем квадратическом отклонении 2,5 млн. руб. Чтобы ответить на вопрос о том, по какому из показателей (по валовой продукции или по стоимости основных фондов) выше колеблемость величины признака, недостаточно знать только среднее квадратическое отклонение, так как о рассчитывается по отклонениям от средних, а средние уровни признаков различны по величине. В этом случае необходимо соотнести среднее квадратическое отклонение с величиной соответствующей ему средней.
Коэффициент вариации по стоимости основных фондов будет 1,03
V=-——-100% =20,1%, а по стоимости- валовой продукции — соответственно
Г=-~ 100% =22,2%,следовательно, вариация стоимости валовой продукции нескольковыше, чем вариация стоимости основных фондов.
Для оценки влияния различных факторов, определяющих колеблемость индивидуальных значений признака, можно воспользоваться разложением дисперсии на составляющие: на так называемую межгрупповую и внутригрупповую дисперсии.
Если рассчитать дисперсию признака по всей изучаемой совокупности, т. е. общую дисперсию ао2, то полученный показатель будет характеризовать вариацию признака как результат влияния всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц совокупности. Если же поставить дальнейшую задачу — выделить в составе обшей дисперсии ту ее часть, которая обусловлена влия-
нием какого-либо одного определенного фактора, то следует разбить изучаемую совокупность на группы, положив в основу груп-^ пировки интересующий нас фактор. Затем изучить раздельно ва-' риацию признака внутри однородных в отношении данного фак^ тора групп и изменения в величине признака от группы к группе. Выполнение такой группировки позволяет разложить общую дисперсию признака на две дисперсии, одна из которых будет характеризовать часть вариации, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, а вторая — вариацию, происходящую под влиянием прочих факторов (кроме фактора, положенного в основу группировки).
Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия б2, которая является мерой колеблемости частных средних по группам Xj вокруг общей средней Хо и исчисляется по формуле
к
2 (х,—х0)2Щ62=J.,
1
где к — число групп; п, — число единиц в j-й группе; х, — частная средняя по j-й группе; х0— общая средняя по совокупности единиц.
Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия
"i —
2 (Xi-Xj)2
а по совокупности в целом — средняя из внутригрупповых дисперсий
к п. к 2
2 2 (xi-x,)22щ-^
—211—21
Oj — hИЛИ Oj k »
2 "j2 "j
11
Между общей дисперсией o02, средней из внутригрупповых и/ и межгрупповой б2 дисперсиями существует определенное соотношение, которое определяется правилом сложения 'дисперсий. Согласно этому правилу общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:
оо = 62+о,2 ■
Например, при изучении влияния стажа работы рабочих на производительность труда в цехе были получены такие данные;
Группы рабочих по стажу работы, летЧисло рабочих в группах, чел.Средняя часовая выработка рабочих в данной группе в условных единицахДисперсия выработки в каждой группеДо 53020,03,05 и более4023,02,0Группы рабочих по стажу работы, летЧисло рабочих в группах, чел.Средняя часовая выработка рабочих в данной группе в условных единицахДисперсия выработки в каждой группеДо 53020,03,05 и более4023,02,0Т а б л и ц a 6.8Т а б л и ц a 6.8работы будетработы будетВариация признака за счет изменения стажа определяться величиной межгрупповой дисперсии.’ Средняя часовая выработка всех рабочихВариация признака за счет изменения стажа определяться величиной межгрупповой дисперсии.’ Средняя часовая выработка всех рабочих
Группы рабочих по стажу работы, лет
Число рабочих в группах, чел.
Средняя часовая выработка рабочих в данной группе в условных единицах
Дисперсия выработки в каждой группе
До 5
30
20,0
3,0
5 и более
40
23,0
2,0
Группы рабочих по стажу работы, лет
Число рабочих в группах, чел.
Средняя часовая выработка рабочих в данной группе в условных единицах
Дисперсия выработки в каждой группе
До 5
30
20,0
3,0
5 и более
40
23,0
2,0
Т а б л и ц a 6.8
Т а б л и ц a 6.8
работы будет
работы будет
Вариация признака за счет изменения стажа определяться величиной межгрупповой дисперсии.
’ Средняя часовая выработка всех рабочих
Вариация признака за счет изменения стажа определяться величиной межгрупповой дисперсии.
’ Средняя часовая выработка всех рабочих
—20,0-30+23,0-40
^о= уд ^21,7;
межгрупповая дисперсия
(20,0-21.7)г-30+ (23,0-21,7)2-40 _62=70= 2,20.
Вариация выработки под действием всех прочих факторов будет характеризоваться величиной средней из внутригрупповых дисперсий
—3,0-30+2,0-40
о,2=^- = 2,43.
Вариация выработки под действием всех факторов будет характеризоваться величиной общей дисперсии
о02= 2,43+ 2,20 =4,63. ‘
/ 2 20 Л
Это означает, что на 47,6% 1-^’-— -100%дисперсия выработки обусловлена различиями в стаже рабочих, а на 52,4% ( 2 43\
4’63” • 100% 1 —влиянием прочих факторов.
Выше были рассмотрены показатели вариации для количественных признаков. Но наряду с вариацией количественных признаков может наблюдаться и вариация качественных признаков. При наличии двух взаимно исключающих друг друга вариантов говорят о наличии альтернативной изменчивости качественных признаков. Например, при изучении качества изготовленной продукции можно разделить ее на две группы: годную и бракованную. В таком случае будем иметь дело с альтернативным признаком. Можно считать, что эквивалентом качественного признака будет переменная, которая принимает значение 1 или 0, причем значение 1 она принимает в том случае, когда обследуемая единица обладает данным признаком, а значение 0 — когда не обладает им. Допустим, общее число единиц совокупности равно п, число единиц, обладающих данным признаком, f, тогда число -единиц, не обладающих данным признаком, будет равно п—f. Учитывая изложенное, построим ряд распределения по качественному при- - знаку:-—
Значение■переменной1ОИтогоЗначение■переменной1ОИтогоЧастотаповторений/л-/Частотаповторений/л-/Средняя арифметическая такого ряда равна:- Ь(+0.(п-() f■ х=—,ллСредняя арифметическая такого ряда равна:- Ь(+0.(п-() f■ х=—,ллииг. е. равна относительной частоте (частости), которую можно обозначитьг. е. равна относительной частоте (частости), которую можно обозначить
Значение■переменной1
О
Итого
Значение■переменной1
О
Итого
Частотаповторений
/
л-/
Частотаповторений
/
л-/
Средняя арифметическая такого ряда равна:
- Ь(+0.(п-() f■ х=—,
лл
Средняя арифметическая такого ряда равна:
- Ь(+0.(п-() f■ х=—,
лл
и
и
г. е. равна относительной частоте (частости), которую можно обозначить
г. е. равна относительной частоте (частости), которую можно обозначить
через р, тогда х=р.
Таким образом, доля единиц, обладающих данным признаком, равна р; соответственно доля единиц, не обладающих данным признаком, равна q. Следует иметь в виду, что р+^=1. Тогда дисперсия альтернативного признака определится по формуле
, (1-Д)2Д+(0—руч°"- Р+Ч, (1-Д)2Д+(0—руч°"- Р+ЧЧ2Р+Р2Ч-^r-=pq-Ч2Р+Р2Ч-^r-=pq-
, (1-Д)2Д+(0—руч
°"- Р+Ч
, (1-Д)2Д+(0—руч
°"- Р+Ч
Ч2Р+Р2Ч
-^r-=pq-
Ч2Р+Р2Ч
-^r-=pq-
Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака равно:
о=1м '
Например, в результате приемочного контроля качества из 1000 готовых изделий 20 оказались бракованными. Применяя вышеуказанную символику, строим ряд распределения (1 соответствует бракованным изделиям, а 0 — годной продукции).
Значениепеременной10Значениепеременной10Частота повторений 20 980Частота повторений 20 980— 1-20+0-980Р = Х=[обо- ,=— 1-20+0-980Р = Х=[обо- ,=0,02,0,02,Итого1000Итого1000т. е. доля брака составляет 2%. Дисперсия доли оР2 = 0,02 • 0,98=0,0196, а среднее квадратическое отклонение ор = 0,14.т. е. доля брака составляет 2%. Дисперсия доли оР2 = 0,02 • 0,98=0,0196, а среднее квадратическое отклонение ор = 0,14.
Значениепеременной
10
Значениепеременной
10
Частота повторений 20 980
Частота повторений 20 980
— 1-20+0-980
Р = Х=[обо- ,=
— 1-20+0-980
Р = Х=[обо- ,=
0,02,
0,02,
Итого1000
Итого1000
т. е. доля брака составляет 2%. Дисперсия доли оР2 = 0,02 • 0,98=0,0196, а среднее квадратическое отклонение ор = 0,14.
т. е. доля брака составляет 2%. Дисперсия доли оР2 = 0,02 • 0,98=0,0196, а среднее квадратическое отклонение ор = 0,14.
МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Моментом распределения называется средняя арифметическая тех или иных степеней отклонений индивидуальных значений признака от определенной исходной величины.
Момент распределения равен:
S(x,-A)aff
где Л — величина, от которой определяются отклонения; a — степень отклонения (порядок момента).
В зависимости от того, что принимается за величину, различают три вида моментов:
4 начальные М.а получают при Л = 0:
центральные ца получают при А =х:
5(^i-~)afiРа-;
условные та получают при А, не равной средней арифметической и отличной от нуля:
2(х,-Д)^<
В статистической практике пользуются моментами первого, второго, третьего и четвертого порядков. Представим моменты первых четырех порядков в таблице.
Таблица 6.9
Моменты распреде. е- ния порядка
Начальные
Центральные
Условн . e
Первого
Второго
XXjfi
^Xi4i
2(Xi—x)/i
Z(Xj—х)2Д
H2^fi
S (Xi - x) 3fi
m 5(х4-Л)Л
SCx—A^h •
№2 =
'^Xi-Ayh
Третьего
g3 s/L
^x-x^h
m&=
^(Xi-Ayh
Четвертого
4 Sfi
mt 4<
Рассматривая формулы моментов, можно видеть, что начальный момент первого порядка представляет собой среднюю арифметическую и используется как показатель центра распределения. Центральный момент первого порядка (нулевое свойство средней арифметической) всегда равен нулю. Центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию и служит основной мерой колеблемости признака. Центральный момент третьего порядка равен нулю в симметричном распределении и используется для определения показателя асимметрии. Центральный момент четвертого порядка применяется при вычислении показателя эксцесса. Начальные моменты второго, третьего и четвертого порядка, так же как и условные моменты, самостоятельного значения не имеют, а используются для упрощения вычислений центральных моментов. Например, используя начальные моменты первого и второго порядка, можно получить дисперсию по такой формуле:
a2=jl2 = M2-M|2-
Для упрощения вычислений сначала определяют условные моменты относительно величины А, а для нахождения централь-
ных моментов используют формулу перехода от условных моментов к центральным:
рь = тк - С к • тк_х • тх + Ск2тк_г тх^- СЧтк^ XХт^+’-А-^-т^^,
где СЧ, С2к, С\... — числа сочетаний из к по 1, из к по 2, из к ио 3 и т. д.
Пользуясь этой формулой, определим центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков:
Р1 = Ш1 — Ш| = 0;
р2=т2 — ^тх- тх-\- тх^=т2—тх2;
рз=т3—Зт^+З/п,3—mi3=m3 —Зт2тх + Ътх*;€
р4=^4‘-4т3т1 + Зт2т12 — Зт,4 •
Приведем пример. Имеется ряд распределения партий деталей по количеству операций технологического процесса.
В качестве условного начала отсчета отклонений индивидуаль-ных значений признака примем Л = 6. Условный момент первого6В качестве условного начала отсчета отклонений индивидуаль-ных значений признака примем Л = 6. Условный момент первого6порядка тх = —> так какЕ(^-Л)Л"Л —— =порядка тх = —> так какЕ(^-Л)Л"Л —— =Е^Л^ЕЛ Е^ЛЕ^Л^ЕЛ Е^ЛЕЛЕЛЕЛЕЛ_Д = Х-Л,_Д = Х-Л,то х=тх-\-А, т. е. х=6+то х=тх-\-А, т. е. х=6+664040= 6,15 операции. Условный момент= 6,15 операции. Условный моментвторого порядка т2 =второго порядка т2 =84844040=2,1. Дисперсия сР—т2—тх2=2,1 —=2,1. Дисперсия сР—т2—тх2=2,1 —
В качестве условного начала отсчета отклонений индивидуаль-ных значений признака примем Л = 6. Условный момент первого6
В качестве условного начала отсчета отклонений индивидуаль-ных значений признака примем Л = 6. Условный момент первого6
порядка тх = —> так как
Е(^-Л)Л"Л —— =
порядка тх = —> так как
Е(^-Л)Л"Л —— =
Е^Л^ЕЛ Е^Л
Е^Л^ЕЛ Е^Л
ЕЛ
ЕЛ
ЕЛ
ЕЛ
_Д = Х-Л,
_Д = Х-Л,
то х=тх-\-А, т. е. х=6+
то х=тх-\-А, т. е. х=6+
6
6
40
40
= 6,15 операции. Условный момент
= 6,15 операции. Условный момент
второго порядка т2 =
второго порядка т2 =
84
84
40
40
=2,1. Дисперсия сР—т2—тх2=2,1 —
=2,1. Дисперсия сР—т2—тх2=2,1 —
Таблица 6.10
Количество операций х^
Количество партий дета ле.i ц
xt—A
U^A^t
(JTz-^)8/z
UrAyfl
Ul~Ayfl
1
2
3
4
5
6
7
3
1
—3
9
—27
81
4
5
—2
—10
20
—40
80
5
6
—1
-6-
6
5
6
6
12
0
0
0
0
0
7
10
+ 1
+ 10
10
+ 10
10
8
3
4-2
+6
12
4-24
48
9
3
+3
+ 9
27
+ 81
243
Итого
40
+6
84
4-42
468
—0,152=2,1—0,0225 = 2,0775; а =1,442; о4 = 4,318. Условный момент 42
третьего порядка тз=— =1,05. Центральный момент третьегопорядка рз = m3—3m2mi +2mj3= 1,05—3 • 2,1 • 0,15+2 • 0,153= +0,108.Условный моцент четвертого порядка zzz4 = ~- =11,7. Централь-
ный момент четвертого порядка ц4 = ^4—^m^my-V^m^mx7—3mj4= = 12,63.
Если моменты рассчитываются для интервального ряда распределения, то все отклонения х/—А кратны величине интервала. Поэтому для дальнейшего упрощения вычислений можно разделить отклонения на величину интервала, т. е. определить величи-
Средние арифметические из этих величин обозначим т\» т. е.
Для того чтобы получить условные моменты через величины т'^ нужно умножить на 1к, т. е.
mx = my'*i;
т2 = т'2-Р;
т^тг^^\
т^т'^ •
ИЗУЧЕНИЕ ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения (полигон и гистограмму). Число наблюдений, по которому строится эмпирическое распределение, обычно невелико и представляет собой выборку из исследуемой генеральной совокупности. Поэтому эмпирические данные в определенной степени связаны со случайными ошибками наблюдения, величина которых неизвестна. Влияние этих случайностей затемняет основную закономерность изменения величины признака. С увеличением числа наблюдений и одновременным уменьшением величины интервала зигзаги полигона начинают сглаживаться, и в пределе мы приходим к плавной кривой, которая называется кривой распределения.
Кривая распределения характеризует теоретическое распределение, т. е. то распределение, которое получилось бы при полном погашении всех случайных причин, затемняющих основную закономерность. Исследование закономерности или формы распределения включает решение трех последовательных задач: 1) выяснение общего характера распределения; 2) выравнивание эмпирического распределения, которое состоит в том, что на основании эмпирического распределения строится кривая y=f(x) с заданной формой; 3) проверку соответствия найденного теоретического распределения эмпирическому.
8. Заказ*4789 ЦЗ
В практике статистического исследования приходится встречаться с самыми различными распределениями. При изучении -однородных совокупностей имеем дело, как правило, с одновершинными распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин говорит о необходимости перегруппировки данных с целью выделения более однородных групп. Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Сим- -. метричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для симметричных распределений средняя арифметическая, мода и медиана равны между собой (см. гл. 5). Учитывая это, простейший показатель асимметрии j основан на соотношении показателей центра распределения: чем больше разница между средними (х—Мо), тем больше асиммет- v рия ряда.
Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывают относительный показатель Дх;
абыть положительной и отрица- показателя указывает на на- (правая ветвь относительно больше, чем левая, рис. 6.4).абыть положительной и отрица- показателя указывает на на- (правая ветвь относительно больше, чем левая, рис. 6.4).х—Мо Дх = -
а
быть положительной и отрица- показателя указывает на на- (правая ветвь относительно больше, чем левая, рис. 6.4).
а
быть положительной и отрица- показателя указывает на на- (правая ветвь относительно больше, чем левая, рис. 6.4).
Величина показателя As может тельной. Положительная величина личие правосторонней асимметрии максимальной ординаты вытянута
При правосторонней асимметрии между показателями центра распределения существует соотношение Мо<Ме<х. Отрицательный знак показателя асимметрии свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии (см. рис. 6.4). Между показателями центра распределения в этом случае имеется такое соотношение: Мо> >Ме>х.
Рис. 6.4. Распределение: / — с правосторонней асимметрией; 2 — с левосторонней асимметриейРис. 6.4. Распределение: / — с правосторонней асимметрией; 2 — с левосторонней асимметрией
Рис. 6.4. Распределение: / — с правосторонней асимметрией; 2 — с левосторонней асимметрией
Рис. 6.4. Распределение: / — с правосторонней асимметрией; 2 — с левосторонней асимметрией
Другой показатель, предложенный Линдбергом, рассчитывают по формуле•
Л$ = П —50, где П — процент тех значений признака, которые превосходят по величине среднюю арифметическую.
Наиболее точным и распространенным является показатель, основанный на определении центрального момента третьего порядка (в симметричном распределении его величина равна нулю):
Применение этого показателя дает возможность определить не только величину асимметрии, но и ответить на вопрос о наличии или отсутствии асимметрии в распределении признака в генеральной совокупности. Оценка степени существенности этого показателя дается с помощью средней квадратической ошибки, которая зависит от объема наблюдений п и рассчитывается по формуле -
-л Г 6(л-1)
°А$ V («4-1) (п+3)
Если отношение-1L>3, асимметрия существенна и распределе- °As
ние признака в генеральной совокупности не является симметрич- ным. Если отношение 2—<3, асимметрия несущественна, ее на- °As
личие может быть объяснено влиянием различных случайных обстоятельств. Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Линдбергом предложен следующий показатель для оценки эксцесса:
Ех=П —38, 29,
где П — доля (в %) количества вариантов, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения в ту и другую сторону от средней арифметической.
Наиболее точным является показатель, использующий центральный момент четвертого порядка:
Рис. 6.5. 1 — нормальное распределение; 2 — островершинное распределение; 3 — плосковершинное распределение; 4 — нормальное распределение
На рис. 6.5 представлены два распределения: одно — островершинное (величина эксцесса положительная), второе — плосковершинное (величина эксцесса отрицательная). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. В нормальном распределении отношение равно 3.
Средняя квадратическая ошибка эксцесса рассчитывается по- формуле
а г ^^-^У^~у (п-1)2(п+3)(п+5) 'где п — число наблюдений.
Вычислим показатели асимметрии и эксцесса для эмпирического распределения, представленного в табл. 6.10. Центральные моменты третьего и четвертого порядка равны соответственно 4-1,05 и 4-12,63. Дисперсия признака и среднее квадратическое отклонение равны 2,0775 и 1,442. Зная указанные величины, получим:
„1,051,05
As ===0,35.
1,442s2,998
Величина показателя асимметрии свидетельствует о наличии правосторонней асимметрии в распределении отобранных единиц. Рассчитываем ошибку показателя асимметрии:
- У 6-39
0лз=-ТГТ^УО,3464=0,35,
у 41-43 ' ’' '
| vis I 0,35, п| Л$ I
JL == 1,0, т. е. отношение-1—L/3
=As 0-35=As
Таким образом, можно предполагать, что наличие асимметрии эмпирического распределения связано с недостаточно большим объемом наблюдений и что в действительности распределение признака в генеральной совокупности является симметричным. Следовательно, можно рассчитать величину эксцесса:
„12,63
Ех='4318' - 3 = 2,92 - 3 = - 0,08.
• Отрицательная величина показателя эксцесса свидетельствует» о незначительной плосковершинности эмпирического распределения.
Рассчитываем ошибку эксцесса:
, Г24-40-38-37^'-У Темм—0-68-
| Ex I _ ..I Ех |. „
L=0,117, так как отношение-1 <3, следует предположить, аЕх°Ех
что эксцесс не свойствен распределению признака в генеральной совокупности. Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести дан-
ное эмпирическое распределение к-типу кривых нормального распределения.
Если непрерывная случайная величина имеет плотность распределения
-(х-х)2,12а2
2л а
то она подчиняется закону нормального распределения. Для построения _крнвой нормального распределения надо знать два параметра х и и. Для удобства вычислений вероятностей случайные величины нормируются, а затем используются заранее табулированные значения плотности функции распределения нормирован-
то вели-то вели-функцияматема-функцияматема-ной случайной величины. Если обозначим через t,
то вели-
то вели-
функция
матема-
функция
матема-
—<а
чинуназовем нормированной функцией, эта
табулирована. Для нормированной случайной величины
тическое ожидание равно нулю, а дисперсия равна единице. Определенный интеграл вида
ф(о=-4=j/2-чф(о=-4=j/2-ч00
ф(о=-4=
j/2-ч
ф(о=-4=
j/2-ч
0
0
НОСИТ название нормированной функции Лапласа и характеризует площадь под кривой в промежутке от нуля до t.
Чтобы оценить вероятность попадания в интервал от —оо до х, рассчитываем Fw= ——НФ (О- Для определения вероятности попадания нормально распределенной случайной величины х в заданный интервал (хь х2) находим разность F^—F(X^, т. е.
Р(Х]^ХСХ2) =Р(х2)—Е(П)= [2^ Ф«2)] — ["2“ +Ф«1)1 =
= Ф((2)-Ф«1) •
где /1=; <2=•
аа
Укажем на особенности кривой нормального распределения.
Кривая симметрична относительно максимальной ординаты. Максимальная ордината соответствует значению х=Мо=Ме, ее величина равна —=—.
У 2л:а
Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. Следовательно, чем больше значения отклоняются от х, тем реже они встречаются. Одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения значений переменной х от х равновероятны.
Кривая имеет две точки перегиба, находящиеся на расстоянии ± о от X-
При х= const с увеличением о кривая становится более пологой. При о= const с изменением х кривая не меняет свою форму, а лишь сдвигается вправо или влево по оси абсцисс.
В промежутке х±о (при_^=1) находится 68,3% всех значений признака. В промежутке х±2о (при /=2) находится 95,4% всех значений признака. В промежутке х±3о (при /=3) находится 99,7% всех значений признака.
Нормальное распределение возможно в том случае, когда на величину признака влияет большое число случайных причин. Действие этих причин независимо, и ни одна из причин не имеет преобладающего влияния над другими.
Рассмотрим построение кривой нормального распределения на примере, характеризующем распределение партий деталей по длительности производственного цикла (см. табл. 6.10). Нормальное распределение определяется двумя параметрами, и нужно знать оценки этих параметров, а именно оценки средней арифметической и среднего квадратического отклонения. По приводимым данным х=331 ч, о= 157,25 ч. Все последующие расчеты для определения теоретических частот представлены в графах 3—8 табл. 6.11.
Таблица 6.11*
Границы интервала, ч
Наблюдаемая частота
^—х
ф('?)
Р<
h
аЧ
а+
1
2
3
4
5
6
7
8
—°°—28
0
— оо
—1,927
—0,5000
—0,4732
0,0268
1,9
28—113
5
—1,927
—1,393
-0,4732
-0,4177
0,0555
3,94
113—198
12
—1,393
—0,852
—0,4177
—0,3023
0,1154
8,19
198—283
12
—0,852
—0,312
—0,3023
—0,1217
0,1806
12,82
283—368
15
—0,312
+0,229
—0,1217
+0,0910
0,2127
15,11
368—453
У
+0,229
+0,769
+0,0910
+0,2791
0,1884
13,40
453—538
9
+ 0,769
4-1,31
+0,2791
+0,4049
0,1258
8,93
538—623
7
+3,31
+ 1,86
+ 0,4049
+0,4686
0,0637
4,52
623—708
2
+ 1,86
+2,39
+0,4686
1-0,4915
0,0229
1,63
708—Н со
0
+ 2,39
+ ОО
+0,4915
-1-0,5000
0,0085
0,59
Итого
71
71
1 Условные обозначения в графах табл. 6.11: х/ и я/ — нижние и верхние границы нн- н в тервалов; // и </ — нормированные отклонения для нижней и верхней границ интервала; Ф, .и Ф, —значения интегральной функции Лапласа; р. —оценка вероятности попа- ('”) ('/)
Дания в интервал; fl — частота теоретического распределения.
Значения Ф ^ и Ф ^ (графы 5 и 6) определяются по таблицам интегральной функции Лапласа. Оценка вероятности попаЗначения Ф ^ и Ф ^ (графы 5 и 6) определяются по таблицам интегральной функции Лапласа. Оценка вероятности попадания случайной величины в интервал pt (графа 7) определяетсядания случайной величины в интервал pt (графа 7) определяетсяразностью (Фразностью (Ф—Ф—Ф). Теоретическая частота f/ = Pi-n. На-). Теоретическая частота f/ = Pi-n. На-
Значения Ф ^ и Ф ^ (графы 5 и 6) определяются по таблицам интегральной функции Лапласа. Оценка вероятности попа
Значения Ф ^ и Ф ^ (графы 5 и 6) определяются по таблицам интегральной функции Лапласа. Оценка вероятности попа
дания случайной величины в интервал pt (графа 7) определяется
дания случайной величины в интервал pt (графа 7) определяется
разностью (Ф
разностью (Ф
—Ф
—Ф
). Теоретическая частота f/ = Pi-n. На-
). Теоретическая частота f/ = Pi-n. На-
пример, для первого интервала (—со 4-28) // = 0,0268-71=1,9
и т. д. (см. графу 8).
При рассмотрении маловероятных событий, имеющих место в большой серии независимых испытаний некоторое (конечное) число раз, вероятности появления этих событий подчиняются закону Пуассона, или закону редких событий:
X"1 е-Х
Рт = —^\ ‘
где X равна среднему числу появления событий А в п одинаковых независимых испытаниях, т. е. к—пр, где р— вероятность события при одном испытании; е=2,71828; т— частота данного события. Математическое ожидание т равно К
Закон Пуассона можно применять для совокупностей, достаточно больших по объему (п^ 100) и имеющих достаточно малую долю единиц, обладающих данным признаком (р^0,1). Например, количество предприятий, невыполнивших план, количество отказов автоматических линий и т. д. Приведем пример. В результате проверки 1000 партий одинаковых деталей получено следующее распределение количества бракованных деталей в партии:
количество бракованных
деталей, пи01234 Итого
количество партий, содержащих данное число
бракованных деталей, {>604306771211000
Определим среднее число бракованных деталей в партии:
0-604+1-306 + 2-77 + 3-12 + 4-1
Находим теоретические частоты закона Пуассона Г=п-р<тъ ,,(0,5)т-е-е,5
А = -п:
ml
при №1 = 0 при щ,= 1при Шг = 2при №1 = 0 при щ,= 1при Шг = 2Го =1000 0,606=606 ;
при №1 = 0 при щ,= 1
при Шг = 2
при №1 = 0 при щ,= 1
при Шг = 2
Г, = 1000 0,5 0,606=303;
1000-0,25-0,606
Ц2=76;
при т.при т.1000-0,125-0,606
при т.
при т.
.3 Гз=;=13;
1000-0,125-0,5-0,606
при т,-=4 /4==2.
Эмпирическое и найденное теоретическое распределение сона представлены в табл. 6.12.
Таблица 6.12
Количество бракованных деталей
Наблюдаемая частота
Частота теоретического распределения
1
2
3
0
601
606
1
306
303
2
77
76
3
12
13
4
1
2
Итого
1000
1000
Сопоставление наблюдаемых и теоретических частот свидетельствует © соответствии эмпирического распределения распределению Пуассона. Степень расхождений теоретических и эмпирических частот оценивается с помощью особых показателей — критериев согласия (см. гл. 8), на базе которых проверяется гипотеза о законе распределения.
ГЛАВА 7. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
ПОНЯТИЕ О ВЫБОРОЧНОМ НАБЛЮДЕНИИ
Выборочное наблюдение представляет собой один из наиболее широко применяемых видов несплошного наблюдения. В процессе проведения выборочного наблюдения, как и любого несплошного наблюдения, обследуются не все единицы изучаемого явления или, иными словами, обследуются не все единицы генеральной совокупности, а лишь некоторая, так или иначе отобранная часть этих единиц. Однако статистическое наблюдение организовано таким образом, что эта часть отобранных единиц в уменьшенном масштабе репрезентирует (представляет^ всю совокупность. Часть единиц генеральной совокупности, подлежащей непосредственному наблюдению, называют выборочной совокупностью. Применение выборочного метода наблюдения взамен сплошного дает возможность лучше организовать наблюдение, ' обеспечивает быстроту проведения наблюдения, приводит к экономии средств, времени и затрат труда на получение и обработку информации.
Выборочный метод находит широкое применение как самостоятельный метод статистического исследования в различных отраслях народного хозяйства, а также используется для ускорения обработки материалов сплошного наблюдения и проверки данных сплошных переписей и учетов. Объективную гарантию репрезентативности полученной выборочной совокупности дает применение соответствующих научно обоснованных способов отбора подлежащих обследованию единиц. Основной принцип правильности отбора— строго объективный подход к отбору единиц. Нарушение этого принципа, когда наблюдению подвергаются единицы, отобранные на основании субъективного мнения исследователя, приводит к тому, что результаты такого наблюдения могут быть применены не ко всей генеральной совокупности, а только к той ее части, которая была подвергнута наблюдению. В сравнении с другими видами несплошных наблюдений преимущество выборочного наблюдения состоит в том, что по результатам этого наблюдения можно оценить искомые параметры генеральной совокупности. Между характеристиками выборочной совокупности и искомыми характеристиками (параметрами) генеральной совокупности, как правило, существует некоторое расхождение, которое называют ошибкой. Общая величина возможной ошибки выборочной характеристики слагается из ошибок двоякого рода: ошибки регистрации и ошибки репрезентативности. Ошибки регистрации свойственны всякому статистическому наблюдению вообще и появление их может быть вызвано несовершенством измерительных приборов, недостаточной квалификацией наблюдателя, недостаточной точностью подсчетов и т. 'п. Можно полагать, что по сравнению со сплошными наблюдениями опасность возникновения ошибок регистрации при проведении выборочных наблюдений должна быть меньше, так как выборочные наблюдения проводятся с участием
более квалифицированных работников и, следовательно, более тщательно. Значительно уменьшается при выборочном наблюдении и опасность преднамеренных искажений данных, так как специально подобранные и обученные наблюдатели в них не заинтересованы. Ошибки репрезентативности присущи только несплошным наблюдениям и представляют собой расхождение между вели чиноц полученных по выборке показателей и величиной этих показателей, которые были бы получены при проведенном с одинаковой степенью точности сплошном наблюдении.
Ошибки репрезентативности могут быть систематическими и случайными. Систематические ошибки могут возникать в связи с применением недостаточно строго спланированной системы отбора и в связи с нарушением правил отбора. Возникновение случайных ошибок репрезентативности объясняется недостаточно равномерным представлением в выборочной совокупности различных категорий единиц генеральной совокупности, в силу чего распределение отобранной совокупности единиц не вполне точно воспроизводит распределение единиц генеральной совокупности.
Величина случайной ошибки репрезентативности зависит: 1) от принятого способа формирования выборочной совокупности .(формирование выборочной совокупности связано с решением вопросов о единице отбора, о способе отбора единиц, о способе размещения всего объема отбираемых единиц по различным группа.м генеральной совокупности; 2) от объема выборки; 3) от степени колеблемости изучаемого признака в генеральной совокупности. Для каждого конкретного выборочного наблюдения величина ошибки репрезентативности может быть точно определена по соответствующим формулам.
По способу организации различают следующие виды выборочного наблюдения: собственно-случайную, расслоенную (типическую и районированную), серийную, механическую, комбинированную, ступенчатую и многофазную. По степени охвата единиц исследуемой совокупности различают большие и малые выборки.
ПРОСТАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЫБОРКА
Развитие современной теории выборочного наблюдения началось с рассмотрения простой случайной выборки. Лежащие в основе простой случайной выборки понятия и категории являются исходными при разработке других применяемых форм выборочного наблюдения.
При простой случайной выборке отбор производится из всей массы единиц генеральной совокупности без предварительного расчленения ее на какие-либо группы, и единица отбора совпадает с единицей наблюдения.
В зависимости от способа отбора единиц различают: 1) отбор по схеме возвращенного шара, обычно называемый повтерной выборкой. При повторном отборе вероятность попадания каждой отдельной единицы в выборку остается постоянной, так как после
того как какая’-либо единица отобрана, ее возвращают в совокупность и она Снова может быть выбранной; 2) отбор по схеме не- возвращаемого шара, называемый беспоеторной выборкой. В этом случае каждая отобранная единица не возвращается обратно, и вероятность попадания отдельных единиц в выборку все время изменяется (для оставшихся единиц она возрастает).
Наиболее просто случайный отбор единиц можно организовать для совокупностей, учитываемых по состоянию на данный, момент и включающих в себя счетное множество единиц. В таких случаях есть возможность заранее составить пронумерованный список единиц генеральной совокупности. Отбор из списка единиц может быть произведен путем жеребьевки. Для этого на каждую единицу совокупности заготавливают одинаковую карточку (шар) и проставляют на ней соответствующий номер. В соответствии с определенным объемом выборки из тщательно перемешанных карточек (шаров) последовательно отбирают п карточек, записывая каждый раз номер вынутой карточки (шара). Единицы, номера которых были вынуты, подлежат выборочному наблюдению.
Для совокупностей большого объема гораздо удобнее использовать для отбора единиц таблицы случайных чисел (эти таблицы публикуются в приложениях к руководству по математической статистике). Допустим, что в выборку должно войти 75 единиц из списка, содержащего 780 единиц. Открыв таблицу случайных чисел, находим там, например в первой строке, такую последовательность чисел: 5489; 5583; 3156; 0835; 1988; 3912; 0938; 7460;. 0869 и т. д. В выборку могут" войти только единицы с порядковыми номерами трехзначных чисел меньше 780. Поэтому, используя только три последние" цифры каждого числа, например 489; 583; 156 и т. д., отбираем необходимые 75 номеров единиц, которые и будут включены в выборку. Можно было бы использовать и три первые цифры каждого числа, тогда в выборку вошли бы единицы с порядковыми номерами 548; 558; 315; 83 и т. д.
Покажем основные свойства простой случайной повторной выборки на следующем примере. Пусть генеральная совокупность состоит из четырех единиц (W = 4). У этих единиц зарегистрированы следующие значения изучаемого признака:
номер единицы1234
значения приз
нака, х3445
Генеральная средняя х= ~~ и генеральная дисперсия о=
= ^ - ' -соответственно равны х==4,0 и о2=0,5. Из этой гене
ральной совокупности производим случайную повторную выборку объемом в две единицы (п = 2). В нашем примере с одинаковой
Таблица 7.1
s-| si
h
X 3
В
3 га
5g = 2 Ю "Я
I =
С к cl
О «^
3 га
® X
X са
= 5
«“>>
° 3
X
G
« X
К 3 х $
■ = *
S rt
га
BOX
<U«^ X X «
£<s ^
О rt
О x cl
c
га
1
2
3
4
5
6
I
2
3
4
5
6
1
1,1
6
3,0
—1,0
0,0
9
3,1
7
3,5
—0,5
0,5
2
1,2
7
3,5
—0,5
0,5
10
3,2
8
4,0
0,0
1.0
3
1,3
7
3,5
-0,5
0,5
11
3,3
8 ■
4,0
0,0
1,0
4
L4
8
4,0
0,0
0,0
12
3,4
9
4,5
+0,5
0,5
5
2,1
7
3,5
—0,5
0,5
13
4,1
8
4,0
0,0
0,0
6
2,2
8
4,0
0,0
1,0
14
4,2
9
4,5
+0,5
0,5
7
2,3
8
4,0
0,0
1,0
15
4,3
9
4,5
+0,5
0,5
>8
2,4
9
4,5
+ 0,5
0,5
16
4,4
10
5,0
+ 1,0
0,0
степенью вероятности могла бы появиться любая из 16 возможных комбинаций единиц, т. е. любая из 16 возможных выборок. Результаты таких выборок приведены в табл. 7.1.
В рассматриваемом примере можно определить и долю единиц с величиной признака х, например, равной 4. Доля таких единиц 2
в генеральной совокупности равна 0,50 (р = — = 0,50). В 16 воз
можных выборках выборочная доля оказалась равной 0; 0,5; 1,0 (см. графу 6 табл. 7.1).
Возможные варианты значений выборочных средних и отклонения их от генеральной средней представлены в форме ряда распределения* (табл. 7.2).
Т а б л и ц а 7.2
Выборочные средние
Число выборок с дайной выбг| о 1ной средней
Отклонение выборочной средней от генеральной средней
Вероятность появления данного значения выборочной средней (или величины отклонения выборочной сретней от генеральной)
3,0
1
—1.0
0,0625
3,5
4
—0,5
0,2500
4,0
6
0,0
0,3750
4,5
4
+ 0,5
0,2500
5,0
1
1-1,0
0,0625
Итого
16
1,0000
Нетрудно заметить, что в распределении величин выборочных средних и отклонений наблюдаются определенные закономерности.
1 Выборочную среднюю и выборочную дисперсию будем в дальнейшем обозначать х и s!.
Из возможных результатов простой случайной повторной выборки наиболее вероятны такие, при которых величина выборочной средней будет близка к величине генеральной средней и, следовательно, разность между выборочной и генеральной средней будет близка к нулю (например, значение х=4,0, совпадающее с х=4,0, имеет наибольшую вероятность 0,375, а значения х, равные 3,0 и 5,0, имеют наименьшую вероятность 0,0625). Таким образом, чем больше величина случайной ошибки выборки, тем менее вероятно появление такой ошибки. '
В отдельных выборках" (в 10 из 16) значения выборочных средних не будут точно совпадать с величиной генеральной средней, но если мы рассчитаем среднюю из всех возможных значений выборочной средней, то величина этой средней будет совпадать с величиной генеральной средней:
2^/< — 3,0-1+3,5-4+4,0-6+4,5-4+5,0-1
В нашем примере не встречаются ошибки, большие единицы по абсолютной величине, т. е. всегда существует предел расхождений между выборочной и генеральной средней.
В математической теории выборочного метода строго доказыт, вается, что с увеличением объема выборки вероятность появления больших ошибок и пределы максимально возможной ошибки уменьшаются (чем больше обследуется единиц, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характери- с?<к).
Теоретической основой выборочного метода служат неравенство П. Л. Чебышева и теорема А. Н. Ляпунова. Неравенство П. Л. Чебышева в приложении к выборочному методу может быть сформулировано так: при неограниченном увеличении числа независимых наблюдений (zw-oo) в генеральной совокупности с ограниченной дисперсией, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно ожидать, что отклонение выборочной средней от генеральной средней будет сколь угодно мало, т. е.
-- P(|x—х | ^е)—И при п-—>-оо,
где Р— вероятность неравенства, стоящего в скобках; е — любое сколь угодно малое положительное число; х— генеральная средняя.
Таким образом, неравенство П. Л. Чебышева доказывает принципиальную возможность определения генеральной средней по данным простой случайной повторной выборки. Однако, пользуясь нм, мы не можем указать вероятность появления ошибок определенной величины. На этот вопрос отвечает центральная предельная теорема А. М. Ляпунова. Согласно этой теореме при достаточно большом числе независимых наблюдений в генеральной совот. купиости с конечной средней и ограниченной дисперсией вероят-
ность того, что расхождение между выборочной и генеральной средней |х— х| не превзойдет по абсолютной величине некоторой величины /ц, равна интегралу Лапласа.
Можно записать сказанное таким образом:
^[х-х 1^ц)=Ф(0,где Ф (/) представляет собой нормированную функцию Лапласа;-+t г-t н
Ф (/)=—= t е” dt=-L= V ё~ dt.
У2л]/2л J
Величина р есть средняя квадратическая или стандартная ошибка выборки.
Частным случаем неравенства П. Л. Чебышева является теорема Я. Бернулли:
РЦш-р^лЛ _^_]>1_2_
где w и р — доля признака соответственно в выборочной и генеральной совокупности.
Вернемся к примеру, рассмотренному на с. 124. Там были представлены все возможные варианты выборочных средних и их отклонения от генеральной средней. Используя данные табл. 7.2, рассчитаем величину стандартной ошибки выборки по формуле средней квадратической:
/
№^Ъ1/ (-l)M + (-0,5)M+0+0,5M+lM
^■= V16=0,5.
Однако на практике исследователь оперирует данными какой- то одной конкретной выборки, и таким путем определить стандартную ошибку невозможно. Поэтому важно указать, насколько в среднем возможно отклонение выборочной средней от генеральной средней при данных условиях отбора.
В математической статистике доказывается, что величина.средней квадр'атической ошибки простой случайной повторной выборки может быть определена по формуле
где о — среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности; п — объем выборки.
В нашем примере величина генеральной дисперсии равна 0,5, а объем выборки равен 2. Отсюда
^ = V —=V0,25 = 0,5.
Из формулы средней квадратической ошибки простой случайной повторной выборки видно, что величина р~ зависит от колеблемости признака в генеральной совокупности (чем больше вариа-
ция признака, тем больше ошибка выборки) и от объема выборки (чем больше обследуется единиц, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характеристик).
Величину /ц называют предельной ошибкой выборки. Обозначив предельную ошибку выборки А, получим:
Д-=^р- •XX
Предельная ошибка выборки, следовательно, равна t — кратному числу средних ошибок выборки. Допустим, что / = 2. Тогда Р (|х — х| ^2ц) = Ф (f=2) =0,9545, т. е. с вероятностью, равной 0,9545, можно ожидать, что ошибка выборочной средней не превысит удвоенной средней квадратической ошибки выборки. Таким образом, величина предельной ошибки выборки может быть установлена с определенной вероятностью.
Приведем наиболее часто употребляемые уровни вероятности и соответствующие значения / для выборок достаточно большого объема (п^ЗО):
t 1,00 1,96 2,00 2,58 3,00
Ф(0 0,683 0,950 0,954 0,990 0,997
Как видно из последней графы, вероятность появления ошибки, равной или большей утроенной средней, ошибки выборки, т. е. Д^Зц, крайне мала и равна 0,003 (1—0,997). Такие маловероятные события считаются практически невозможными, а поэтому величину Д = 3ц можно принять за предел возможной ошибки выборки.
Распределение выборочной доли для 16 выборок представим в табл. 7.3.
Таблица 7.3
Выборочная доля w^
Число выборок с данной выборочной долей /^
Отклонение выборочной дели от генеральной ХВ:—Р
^IH
V®t-P?h
0,0
4
—0,5
0,0
1,0
0,5
8
0,0
4,0
'0
1,0
4
+0,5
4,0
1,0
Итого
i
16
8,0
2,0
В среднем для всех выборок
- Mi 8,0^=-^-=-^=0,5=^.
Средняя квадратическая ошибка доли по выборке
V £-0.354.
Ранее было показано, что дисперсия доли (о2р) равна—— , поэтому величину средней стандартной ошибки выборочной доли можно определить по следующей формуле:
Предельная ошибка доли Др = /рр. В рассматриваемом примере р=0,5; п = 2 и
/
0,5 0,5 ■—-—=0,354.
В формулы средней ошибки выборки входит дисперсия признака в генеральной совокупности, величина которой, как правило, при проведении выборочного наблюдения неизвестна. Нам приходится использовать выборочную дисперсию в качестве оценки генеральной дисперсии. Можно доказать, что a2=s2——, следовательно, —п—1
генеральную дисперсию можно определить по формуле
#S(Xi—х)2пS^i—х)2
° п/1—1 п—1
При большом объеме выборки (и>30) разница между диспер- сией, вычисленной по формуле о2= ——— и по формуле о2=
ц хaV
—- , очень невелика, и поправка к выборочной дисперсии не- п—1
30 обязательна (для п=30 получим-^—- =1,035, т. е. выборочная дисперсия будет на 3,5% меньше генеральной).
Применение простой случайной повторной выборки в практике очень ограничено. Прежде всего практически нецелесообразно, а иногда невозможно повторное наблюдение одних и тех же единиц, а поэтому однажды обследованная единица повторному учету не подвергается. Применение бесповторного отбора взамен повторного диктуется также требованием повышения степени репрезентативности выборки (особенно при недостаточно больших п).
Средняя квадратическая ошибка случайной бесповторной выборки определяется по формулам:
где N — объем генеральной совокупности. Сопоставление формул стандартной ошибки выборки для повторного и бесповториого отбора свидетельствует о том, что применение бесповториого отбора взамен повторного приводит к уменьшению стандартной ошибки выборки.
В тех случаях, когда численность генеральной совокупности N очень велика по сравнению с числом отобранных единиц п, вели
чина (1—^-)чина (1—^-)будет близка к 1, а поэтому ею можно пренебречь.
чина (1—^-)
чина (1—^-)
Тогда ошибку случайного бесповториого отбора определяют по формуле простой случайной повторной выборки, что повышает надежность оценок генеральных характеристик по выборочным данным. Выборочное наблюдение проводится в целях распространения выводов, полученных по данным выборки, на генеральную совокупность. Одной из основных задач является оценка по данным выборки интересующих нас характеристик (параметров) генеральной совокупности.
Рассмотрим определение величины средней арифметической генеральной совокупности на основе выборочных данных.
Выборочное наблюдение дает возможность определить среднюю
арифметическую выборочной совокупности х и величину предельной ошибки этой средней Af , которая показывает (с определенной вероятностью), насколько выборочная средняя может отличаться от генеральной средней в большую или меньшую сторону. Тогда величина генеральной средней будет представлена интервальной
сценкой, для которой нижняя граница будет равна х — Дг>а верхняя граница — х-\А7 Пределы, в которых с данной степенью вероятности будет заключена неизвестная величина оцениваемого параметра, называют доверительными, а вероятность Р — доверительной вероятностью. Доверительный интервал для генеральной средней может быть записан так:
х—/р-< х < х+/р-.
Чаще всего доверительную вероятность устанавливают равной 0,95 или 0,99 (величины коэффициентов t равны соответственно 1,96 и 2,58). Вероятность того, что величина генеральной средней выйдет за доверительные границы, будет равна 1 — Р, т. е. будет равна 0,05 или 0,01. Событие, обладающее столь малой вероятностью, считается практически невозможным. Аналогичным образом могут быть записаны доверительные пределы генеральной доли:
W — /цр -С р -С W-p/цр •
Величина доверительного интервала для генеральной средней или генеральной доли зависит от величины предельной ошибки
D.01D.01Рис. 7.1. Доверительный интервал генеральной доли:1. при вероятности р—0,954; 2. при вероятности р=0,997.Рис. 7.1. Доверительный интервал генеральной доли:1. при вероятности р—0,954; 2. при вероятности р=0,997.выборки Д; или Др. Чем больше величина Д, тем больше величина доверительного интервала и тем, следовательно, ниже точность оценки. Поскольку величина предельной ошибки выборки равна /р, точность оценки параметров генеральной совокупности будет зависеть от принятого уровня доверительной вероятности и от величины стандартной ошибки выборки. Допустим, что
D.01
D.01
Рис. 7.1. Доверительный интервал генеральной доли:
1. при вероятности р—0,954; 2. при вероятности р=0,997.
Рис. 7.1. Доверительный интервал генеральной доли:
1. при вероятности р—0,954; 2. при вероятности р=0,997.
доля брака по данным выборки составила 0,02 (или 2%) при п= = 1000 и N= 10000. Величина стандартной ошибки случайной бес- повторной выборки равна 0,0042.
Г „(,-«) , /ом* / J0O0X
V " v N j У 1000 10000 )
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что предельная ошибка доли брака не превысит 0,0084 (Др = 2 цр). Если мы примем доверительную вероятность равной 0,9973, то величина предельной ошибки выборки будет равна 0,0126-(0,0042-3), и доля брака в генеральной совокупности будет находиться в интервале 0,02± ±0,0126, т. е. 0,74%^р^3,26%. Таким образом, с вероятностью 99,73% можно ожидать, что количество бракованных деталей будет находиться в интервале от 74 до 326 шт., тогда как с вероятностью 95,4% доверительный интервал составит 1164-284 шт. (рис. 7.1).
Незначительно увеличивая достоверность выводов (с 95,4% до 99,7%), мы существенно снижаем точность оценки. В этой связи в экономических расчетах чаще рекомендуется использовать доверительную вероятность 8=0,95 или 8=0,954 (/=1,96 или / = 2,00).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕОБХОДИМОЙ ЧИСЛЕННОСТИ ВЫБОРКИ
totoСтандартная ошибка выборки зависит от объема выборки и степени вариации признака в совокупности. Уменьшение стандартной ошибки выборки, а следовательно, увеличение точности оценки будет всегда связано с увеличением объема выборки. В этой связи уже на стадии организации выборочного наблюдения приходится решать вопрос о том, каков должен быть объем выборочной совокупности, чтобы была обеспечена требуемая точность результатов наблюдений. Рассмотрим формулу предельной ошибки выборки для случая простой случайной повторной выборки
to
to
Д-
Отсюда объем выборки
Рагп = "дГ™
Величиной предельной ошибки мы задаемся в соответствии с задачами конкретного исследования (следует иметь в виду, что в данной .формуле ДТ"— абсолютная величина предельной ошибки выборки). Величина коэффициента t соответствует принятому уровню доверительной вероятности. Величина а2, характеризующая дисперсию признака в генеральной совокупности, зачастую бывает неизвестна. Поэтому используют приближенные способы оценки генеральной дисперсии:
Можно провести так называемое пробное обследование (обычно небольшого объема), на базе которого определяется величина дисперсии признака, используемая в качестве оценки генеральной дисперсии:
2 (Xi—Хпробв)2Ипробн—1
где Хпробн — средняя арифметическая по результатам пробного обследования; Пдробн — число единиц, попавших в пробное обследование.
Можно использовать данные прошлых выборочных исследований, проводившихся в аналогичных целях, т. е. дисперсия, полученная по результатам предшествующего обследования используется в качестве оценки генеральной дисперсии.
Если распределение признака в генеральной совокупности
подчиняется нормальному закону, то размах вариации примерно равен бег (крайние значения отстоят в ту и другую сторону от средней на расстоянии За), т. е. R~6u, откуда a~YJ6R, где R=xm3x— —Xmin- В условиях производственных наблюдений, как правило, можно с достаточной точностью указать максимально и минимально возможные значения признака в исследуемой совокупности. Например, ставится задача разработать норматив длительности производственного цикла по одному из производственных участков (общее количество обрабатываемых партий в течение месяца примерно 1800). Известно, что минимальная длительность цикла обработки составляет 3 смены, а максимальная — 26 смен. Для календарно-плановых расчетов достаточно, чтобы предельная ошибка выборки не превышала Vz смены при доверительной вероятности Р=0,954. *
123
Тогда 7? = 26—3 = 23 смены; а=—/?=—смены; Дх=0,5 смены; б6
.7=2. Используя формулу для определения объема выборки, полу
чим п= ——— =235 партий. Следовательно, чтобы получить при определении средней продолжительности цикла обработки детали на участке предельную ошибку выборки, не превышающую 0,5 смены, нужно подвергнуть наблюдению не менее 235 партий, (235\'
^^ -100% ) всех партий, обрабатываемых на
участке за месяц. В связи с тем что генеральная дисперсия оцени-
вается приближенно, рекомендуется величину объема выборки, рассчитанную по приведенной на с. 130 формуле, округлить в большую сторону, т. е. в рассматриваемом примере подвергнуть наблюдению не 235, а 250 партий деталей. Эту же формулу рекомендуется применять для определения объема выборки и тогда, когда проводится случайная бесповторная выборка, так как всегда необходим некоторый «запас» для обеспечения требуемой точности результатов.
Нередко на практике задаются не величиной абсолютной пре- , дельной ошибки ^jc» а величиной относительной погрешности, вы-
Д—
раженной в процентах к средней Дотн=—- -100%, откуда
Д- =XД- =XЛотн" XЛотн" X100100
Д- =X
Д- =X
Лотн" X
Лотн" X
100
100
Подставив величину А^» выраженную через относительную по- грешрость, в формулу для определения объема выборки, получим следующее выражение:'
t2 а2п=1002 .2—
Астн * X2
Как известно, отношение-^- -100% представляет собой коэффици-
ент вариации и, и тогда
/2 1)2
П = "7г '
Например, по данным пробного обследования коэффициент вариации составляет 40%. Сколько нужно отобрать единиц, чтобы с вероятностью 0,954 предельная относительная ошибка выборки не превышала 5%?
При и=40%; Лотн=5% и /=2
4-1600п== 256 единиц.
25,
При изучении доли признака, а не средней величины объем выборки определится по следующим формулам:
/2к>(1К!).
для повторного отбора п= д^
/2;у(1 — w)N для бесповторного отбора i "= л/Д2Р+№(1—1«) '
Для случая, когда частость щ даже приблизительно неизвестна, можно произвести примерный расчет численности выборки, вводя в расчет максимальную величину дисперсии доли, равную 0,25. Тогда
для повторного отбора п—4д~ '• _ * 0.25/W для бесповторного отбора п— дд2 q 25^2
Очень часто цель выборочного наблюдения состоит в изучении различных признаков, характеризующих данную совокупность; причем Зачастую по степени колеблемости эти признаки могут сильно отличаться один от другого. Кроме того, для различных признаков может требоваться разная степень точности. В таких случаях следует при определении необходимого объема выборки ориентироваться на тот признак, который при наибольшей колеблемости обладает наименьшей величиной допустимой ошибки.
Например, при проведении выборочного наблюдения требуется определить средний вес изделия и долю изделий первого сорта в совокупности объемом 5000 единиц. Требуемая точность результатов наблюдения: при определении среднего веса — 1 г, при определении доли изделий первого сорта — 5 %.
По данным сплошного обследования изделий первой партии, состоящей из 100 единиц, определили дисперсию веса изделий, равную 36, и дисперсию доли изделий первого сорта, равную 0,05. Требуется определить необходимую численность случайной бес- повторной выборки, обеспечивающей заданную точность с вероятностью 0,954. Ориентируемся на заданную точность результатов наблюдений для определения только среднего веса изделий: Л^= = 5000; 0^=36; Дг = 1 г; ^=0,954; /=2.
t^«xNt^«xN4-36-50004-36-5000Тогда
t^«xN
t^«xN
4-36-5000
4-36-5000
п = = 140 тит
WAL + ^n25000-1 + 4-36
Следовательно, для обеспечения требуемой точности при определении среднего веса требуется отобрать не менее 140 изделий.
Ориентируемся на заданную точность результатов наблюдений для определения доли изделий первого сорта: ^=5000; Др=0,05; <т2р = 0,05; Р=0,954; /=2.
Следовательно,
t-o^pN4-0,05-5000
п == и 80 шт.
„ г5000-0,0025+ 4-0,05
Л + /2ар
Очевидно, что отбор 80 изделий, обеспечивающий требуемую точность определения доли изделий первого сорта, недостаточен, чтобы обеспечить требуемую точность определения среднего веса изделий. Поэтому следует провести отбор не менее 140 изделий, чтобы обеспечить требуемую точность результатов наблюдений по двум признакам.
Вообще говоря, формула предельной ошибки выборочной средней (доли) позволяет решить следующие три группы задач:
определять предел возможной ошибки средней (доли), т. е. величину возможных отклонений показателей генеральной совокупности от показателей выборочной совокупности;
определять необходимую численность выборки, обеспечивающую требуемую точность, при которой пределы возможной ошибки не превысят некоторой наперед заданной величины;
определять вероятность того, что в проведенной выборке ошибка будет иметь заданный предел.
Для решения всех перечисленных задач необходимо знать дисперсию признака в генеральной совокупности и2, а в случае бес- повторной выборки — ее объем N. Для оценки предельной ошибки выборки нужно дополнительно задать определенную вероятность заключений, или величину коэффициента доверия t и объем выборки п. Для расчета объема выборки, необходимого для обеспечения заданной точности, нужно знать предельную ошибку выборки А и величину коэффициента t. Определяя численность выборки и ее точность, следует учитывать, что чем больше абсолютный объем выборки, тем менее ощутимо влияет на точность результата включение в выборку дополнительных десятков и сотен единиц и тем больших затрат требует дальнейшее повышение точности.
Для упрощения определения объема выборки можно воспользоваться заранее рассчитанными таблицами, в которых указывается необходимое число наблюдений при данной величине доверительной вероятности и допустимой ошибке. Например, при определении доли признака в исследуемой совокупности можно воспользоваться табл. 7.4. Необходимое число наблюдений рассчитано исходя из формулы предельной ошибки повторного отбора при максимальной величине дисперсии доли, равной 0,25.
Таблица 7.4
Доверительная вероятность
Предельная ошибка, %
Доверительная вероятность
Предельная ошибка, %
10
5
2
1
10
5
2
1
0,90
67
270
1670
6763
0,99
165
663
4146
16587
0,95
96
384
2400
9 6ОЗ|
0,997
220
880
5 504
22018
Из данных, приводимых в табл. 7.4, видно, что для того, чтобы гарантировать с вероятностью 0,95 величину отклонения от генеральной доли, не превышающую 10%, нужно обследовать 96 единиц. Если предельную ошибку уменьшить до 5%, то нужно подвергнуть обследованию уже 384 единицы, т. е. в четыре раза больше, а для обеспечения с вероятностью 0,95 точности' в 1 % при определении доли нужно обследовать уже 9603 единицы. Таким образом, таблица наглядно показывает целесообразность увеличения выборки, а следовательно, и целесообразность дополнительных затрат на то или иное увеличение точности. Если же заданы предельная ошибка выборки А и объем выборки п, то можно определить величину коэффициента t, зная которую, по таблице можно определить вероятность Ф(!).
Вернемся к примеру, рассмотренному на с. 130.
В выборке объемом 1000 единиц доля бракованных изделий составила 2%. Какова вероятность того, что во всей партии изделий (10000 шт.) доля бракованных изделий не превзойдет 2,5%. Доверительная вероятность, которую требуется определить, является
функцией от t, величина которого может быть определена из фор- ■ мулы предельной ошибки выборки Ap = f рр, откуда t = -^р . Вели-
Vp
чина предельной ошибки выборки может быть определена как разность между максимально допустимой генеральной долей (по условию она равна 2,5%) и долей бракованных изделий в выборке (по условию 2%).
Таким образом, Др = 0,5% (2,5%—2,0%). Так как выборка случайная бесповторная, то величина средней ошибки выборки нахо- _ дится по формуле
Г ” I n V юоо юооо )
Находим величину коэффициента доверия
По таблицам интегральной функции Лапласа вероятность, соответствующая данной величине коэффициента t, равна 0,76595.
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ВЫБОРОЧНОГО НАБЛЮДЕНИЯ
Различные формы организации выборочного наблюдения — типическая (районированная) выборка, серийная (гнездовая) выборка, механическая выборка, комбинированная выборка — представляют собой дальнейшее развитие и видоизменение простой случайной выборки. Применение этих форм вызывается или соображениями удешевления, или облегчения процесса наблюдения, или особым характером объекта наблюдения, или отсутствием необходимой информации для составления списка единиц наблюдения. _ Начнем рассмотрение видов выборки с организации типической выборки. Как правило, социально-экономические явления характеризуются большим разнообразием и не являются достаточно однородными в отношении изучаемых признаков. При наличии в составе генеральной совокупности различных типов явления с разными уровнями признаков желательно так организовать выборку, чтобы обеспечить более равномерное представительство в выборочной совокупности различных частей (типов) явления. Для этого общий список единиц генеральной совокупности в целом предварительно разбивается на отдельные списки, каждый из которых включает единицы, принадлежащие к одной по определенному признаку группе (типу). В качестве типов могут быть использованы группы, сложившиеся в практике планирования и статистики. Например, при обследовании бюджетов рабочих в СССР выделяют группы рабочих в отдельных отраслях промышленности. Можно образовать группы специально, например группы квалифицированных и малоквалифицированных рабочих. Из каждой выделенной группы в случайном порядке отбирается некоторое количество единиц. Таким образом, при проведении типической выбор-
ки необходимо разбить общий объем выборки п между группами и определить число подлежащих наблюдению единиц в каждой группе. Наиболее часто применяется так называемое пропорциональное размещение, тогда количество отбираемых в выборку единиц пропорционально удельному весу данной группы в генеральной совокупности, т. е. число наблюдений по каждой группе определится по формуле
где nt — число наблюдений из i-й типической группы; п — общий объем выборки; Nf—объем i-й типической группы в генеральной совокупности; N — объем генеральной совокупности. Возможен и другой вариант (назовем его условно непропорциональным объему групп), когда из каждой группы отбирают одинаковое число единиц, т. е.
'п
где к — число выделенных типических групп.
Возможен и еще один вариант решения (назовем его условно оптимальным размещением), учитывающий также и степень вариации признака в различных группах генеральной совокупности.
Расчет объема выборки из каждой типической группы производится по формуле
Ni Hi
где Oj — среднее квадратическое отклонение изучаемого признака в i-й группе.
При таком размещении пропорция отбора для групп с большой колеблемостью признака увеличивается, что в свою очередь приводит к соответственному уменьшению возможной случайной ошибки в определении групповой средней. Использование принципа оптимального размещения на практике затрудняется тем, что мы часто не располагаем данными о величинах о, в генеральной совокупности.
При типическом отборе в выборку попадают, таким образом, представители всех типических групп, поэтому вероятность получить большую точность выборки здесь больше, чем при простой случайной выборке. На основе типической выборки можно непосредственно определить средние по группам, т. е. величины х,. Величина же средней для всей совокупности хо есть средняя арифметическая взвешенная из выборочных средних по группам, причем в качестве веса используют объем соответствующей типической
группы в генеральной совокупности Nt, т. е.
- £x4Ni
При применении пропорционального размещения единиц по типическим группам
~ "^XiHi . y.x.Ni
Хо= £щ £jV. "
Из приведенной формулы ' очевидно, что точность типической выборки будет зависеть от степени надежности определения групповых средних, т. е. от того, насколько хорошо отобранные единицы репрезентируют среднюю каждой типической группы, и, следовательно, случайная ошибка типической выборки зависит от величины внутригрупповых дисперсий. Поэтому при определении ошибки выборки для средней величины признака в совокупности берется не общая дисперсия, а средняя из внутригрупповых дисперсий, которую обозначим а,2. Формулы для определения стандартной ошибки типической выборки для пропорционального и оптимального размещения см. в табл. 7.5.
Приведем пример. Определим пределы генеральной средней с вероятностью 0,954 по следу-w
ющим результатам типи- ческой выборки (отбори
10% бесповторный, раз-®
мещение пропорциональ-«
дисперсия признака в соответствующей типической группе.дисперсия признака в соответствующей типической группе.ное):“
дисперсия признака в соответствующей типической группе.
дисперсия признака в соответствующей типической группе.
Т а б л и ц a 7.6
Группы рабочих по квалификации
Отобрано единиц п1
Средняя заработная плата, руб.
^ ■
Дисперсия заработной платы
Л
Низшая*
45
125
106
Средняя
35
140
172
Высшая
20
151
73-
Итого
100
Пределы генеральной средней с вероятностью 0,954 будут равны:
х=х±2ц- •
Рассчитаем:
среднюю заработную плату по данным выборки
ххЦх.П1Цх.П1125-45+140-35+151 • 20125-45+140-35+151 • 20100100= 135,45 руб.;= 135,45 руб.;
х
х
Цх.П1
Цх.П1
125-45+140-35+151 • 20
125-45+140-35+151 • 20
100
100
= 135,45 руб.;
= 135,45 руб.;
среднюю из внутригрупповых дисперсий
= 122,5;= 122,5;106-45+172-35 + 73-20 НЮ106-45+172-35 + 73-20 НЮвеличину средней квадратической ошибки Выборкивеличину средней квадратической ошибки Выборки— Ъа^Пг
= 122,5;
= 122,5;
106-45+172-35 + 73-20 НЮ
106-45+172-35 + 73-20 НЮ
величину средней квадратической ошибки Выборки
величину средней квадратической ошибки Выборки
Вг=
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя заработная плата в генеральной совокупности будет находиться в пределах: 114,45 руб. ^хС156,45 руб.
Так как общая дисперсия признака в генеральной совокупности согласно теореме сложения дисперсий равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий, величина стандартной ошибки типической выборки всегда меньше, чем при простой случайной выборке. Различия между общей дисперсией и средней из внутригрупповых будут тем больше, чем больше различия между группами (т. е. соответственно чем больше величина межгрупповой дисперсии). Таким образом, типическая выборка в сравнении с простой случайной выборкой имеет преимущества jipu наличии в составе генеральной совокупности резко различающихся между собой групп, в то время как колеблемость признака внутри групп незначительна. Для организации типической выборки необходимо располагать данными, позволяющими выделить в составе генеральной совокупности однородные группы, составить списки единиц этих групп и т. д. Такие данные можно получить либо из материалов текущего оперативного учета, либо из данных сплошных переписей или учетов." При "организации простой слу-
чайной или типической выборки единица отбора и единица наблюдения совпадают, т. е. отбираются те единицы, признаки которых подлежат регистрации при наблюдении.
При серийной выборке в случайном порядке отбираются группы (серии, гнезда) единиц, которые подвергаются сплошному обследованию. Серийная выборка перед уже рассмотренными видами выборки имеет преимущества организационного характера и широко используется там, где генеральная совокупность состоит из определенным образом обособленных групп единиц. Например, при статистическом контроле качества готовой продукции серийная выборка находит широкое распространение в случаях применения так называемой «мерной» тары, например сверла одного типоразмера упаковываются в конические ящики со строго установленным количеством в каждом из .них. На практике, таким образом, часто встречается серийный отбор с равными сериями. Так как внутри серии производится сплошное обследование всех входящих в нее единиц, средние по сериям определяются без случайной ошибки. Таким образом, общая средняя х0, рассматриваемая как оценка генеральной средней, будет зависеть от того, насколько точно средние серий х будут репрезентировать генеральную среднюю. Тем самым случайная ошибка средней по всей выборке зависит от величины межсерийной дисперсии б, характеризущей степень колеблемости серийных средних.
При равновеликих сериях стандартная ошибка выборки определится по формулам:
при повторном отборе серий
где S — общее число серий в генеральной совокупности; s — число отобранных серий.
Из приведенных формул следует, что случайная ошибка серийной выборки должна быть тем меньше, чем меньше межсерийная Дисперсия и чем, следовательно, более неоднородны внутри себя серии. Однако на практике крайне редко можно встретиться с таким вариантом, когда отобранные в случайном порядке серии не отличаются одна от другой по величине изучаемого признака, тогда как единицы, входящие в отобранную серию, обычно близки по величине изучаемого признака, что связано с общностью условий их формирования, а это обусловливает малую величину внутри-
групповой дисперсии. Поскольку при серийной выборке, как правило, обследуется незначительное число серий, случайная ошибка серийной выборки получается несколько больше, чем при других способах отбора, т. е. серийная выборка менее точна, чем выборка, основанная на индивидуальном отборе.
Тем не менее серийный отбор широко применяется в практике выборочных обследований, особенно в тех случаях, когда обследование охватывает обширную территорию и гнездами являются территориальные единицы, что связано со значительной экономией денежных средств на проведение наблюдения.
Средняя ошибка выборочной доли серийной выборки в случае равновеликих серий определяется по формулам:
при повторном отборе
где 62р — межсерийная (межгрупповая) дисперсия доли, определяемая по формуле
2(ач—им,)2
s ’•
где wt — доля признака i-н серии; W;— доля признака во всей выборочной совокупности;
при бесповторном отборе
Расчет ошибки серийной выборки покажем на следующем примере: из 1000 ящиков по 200 деталей в каждом, поступивших в течение месяца на склад готовой продукции, в порядке случайной бесповторной выборки отобрано 10 ящиков, все детали которых проверены на вес.
Результаты выборки представим следующим образом:
номер ящика средний весдетали, гномер ящика средний весдетали, г12345678910
номер ящика средний вес
детали, г
номер ящика средний вес
детали, г
57 53 50 56 55 54 58 56 55 52
Определим среднюю ошибку выборки. Средний вес детали по данным выборки хо=~—= 54 г.
Величина межсерийной дисперсии равна:
S (Xi -хо)2(57-54)=+ (53-54)=+ • • - + (55-54)=+ (52-54)=
=*;^[у =6,8.
Средняя ошибка серийной бесповторной выборки равна: _ - Л d2 / S-S \6,8 1000—10
' и* V Т~ s—i j • у ^"1 ооо— 1 =0,821-
Мы рассмотрели так называемую одноступенчатую выборку, когда в случайно отобранных группах генеральной совокупности сплошь обследовали входящие в них единицы. Но можно поступить иначе, сформировав выборочную совокупность в два этапа: сначала в случайном порядке выбираются подлежащие обследованию серии, затем из каждой отобранной серии в случайном порядке отбирается определенное количество единиц, подлежащих непосредственному наблюдению. Ошибка такой выборки будет зависеть от ошибки серийного отбора и от ошибки индивидуального отбора, т. е. многоступенчатый отбор дает, как правило, менее точные результаты по сравнению с одноступенчатым.
При проведении бесповторной выборки в равновеликих сериях ошибка двухступенчатого отбора определяется по формуле
где п — число отобранных в каждой серии единиц; а,2 — средняя из внутрисерийных дисперсий. *
Многоступенчатый отбор характеризуется тем, что на всех ступенях, кроме последней, осуществляется только отбор, а наблюдение единиц производится только на последней ступени. Поэтому списки единиц нужны лишь на последней ступени отбора. При многоступенчатой выборке единицы отбора на первых ступенях обычно представляют собой организационные единства единиц наблюдения и на разных ступенях применяются единицы отбора разных порядков. Например, при текущем изучении бюджетов рабочих единицей наблюдения является семья. Формирование выборочной совокупности производится путем отбора сначала предприятий, а затем лиц, работающих на предприятиях, т. е. членов семей.
Одной из наиболее распространенных форм выборочного наблюдения в советской статистике является механический отбор. При механическом отборе наблюдению подвергаются единицы, находящиеся на равном расстоянии в определенной последовательности расположения единиц генеральной совокупности. Допустим, что имеется список единиц генеральной совокупности и что единицы располагаются в порядке, являющемся случайным по отношению к подлежащим изучению признакам (например, список рабочих по алфавиту). В зависимости от объема выборки из списка для обследования выбирается либо каждая четвертая единица, либо каждая десятая единица и т. д. При проведении механической выборки генеральная совокупность разбивается на равные по численности группы и из каждой группы для обследования отбирается одна единица. В том случае, когда к механическому отбору прибегают в целях повышения репрезентативности выборочного наблюдения, списки единиц генеральной совокупности составляются в иной форме, в форме ранжированной совокупности, т. е. единицы заносятся в списки в порядке возрастания (убывания) какого-либо признака, тесно связанного с изучаемыми признаками и до известной степени определяющего их величину. Например, при изуче-
нии бюджетов рабочих и инженерно-технических работников в советской статистике используют механический отбор из списков, составленных в порядке убывания величины средней месячной заработной платы работников. Механический отбор очень удобен и в тех случаях, когда мы не можем заранее составить список единиц генеральной совокупности. Например, выборка берется из постепенно формирующейся во времени совокупности или из практически бесконечной совокупности. При проведении механической выборки нужно установить шаг отсчета, т. е. расстояние между отбираемыми единицами, и начало отсчета, т. е. номер той единицы, которая должна быть обследована первой. Шаг отсчета устанавливают в зависимости от предполагаемого процента отбора. Например, из 'генеральной совокупности объемом 1000 единиц обследованию подлежат 100 единиц. Это означает, что из каждых 10 единиц обследованию будет подлежать одна единица, т. е. шаг отсчета равен 10. Выбор начала отсчета непосредственно связан со способом расположения единиц генеральной совокупности в списках. В случае неупорядоченного расположения единиц из совокупности единиц первого интервала путем случайного отбора выбирают начальную единицу. Например, на основании жеребьевки номер начальной единицы равен 4. Тогда в выборку попадут единицы, стоящие в списке под номерами 4, 14, 24, 34,..., 984, 994. Если единицы в списке ранжированы по определенному признаку, за начало отсчета принимают единицу, лежащую в середине первого интервала. В данном примере из первых десяти единиц нужно выбрать либо пятую, либо шестую единицу. Тогда в выборку попадут единицы с порядковыми номерами 5, 15, 25, 35, 45,..., 985, 995 (или 6, 16, 26, 36, 46 986,996).
Если генеральная совокупность предварительно не ранжируется и предполагается, что расположение единиц в ней является случайным по отношению к изучаемым признакам, то механический отбор можно рассматривать как разновидность простой случайной бесповторной выборки. Таким образом, величина случайной ошибки такого отбора будет определяться по формуле
В совокупностях бесконечно большого объема отношение——
очень мало, и множитель (1—-—) очень мало отличается от 1.N
Поэтому для практически бесконечных совокупностей величина случайной ошибки механической выборки может быть определена по формуле
При механическом отборе из ранжированной совокупности единицы отбора расположены не в случайном порядке, а в порядке, сознательно направленном на то, чтобы обеспечить более пропор-
ниональное представительство в выборке отдельных групп генеральной. совокупности, различающихся по величине признака; такой отбор можно уподобить типической выборке с пропорциональным размещением. Генеральная совокупность при этом способе отбора как бы разбивается на п однородных групп равного объема и из каждой группы выбирается одна единица. Однако такое сопоставление механического отбора из ранжированной совокупности с типической выборкой не вполне правомерно, кроме того, определение ошибки по формулам типической выборки практически невозможно из-за отсутствия данных о вариации по группам. В этой связи величина ошибки механического отбора из ранжированной совокупности приближенно оценивается по формулам простой случайной выборки.
В целях экономии средств бывает удобно анализировать данные по некоторым интересующим нас признакам на основании изучения всех единиц выборочной совокупности, а по другим признакам — на основании части единиц выборочной совокупности, которые представляют подвыборку из единиц первоначальной выборки. Этот способ называют двухфазным отбором. При наличии нескольких подвыборок можно говорить о многофазном отборе. Многофазный отбор по своей структуре отличается от многоступенчатого отбора, так как при многофазном отборе пользуются на каждой фазе одними и теми же единицами отбора, при многоступенчатом отборе на разных ступенях применяются единицы отбора разных порядков. Многофазным отбором чаще всего пользуются в тех случаях, когда число единиц, необходимых для определения от-: дельных показателей с заданной точностью, весьма различно как вследствие различий в степени колеблемости взаимосвязанных переменных, так и вследствие того, что для различных показателей требуется разная точность. Ошибки при многофазной выборке рассчитывают на каждой фазе отдельно.
Часто бывает целесообразно взять из изучаемой совокупности две или несколько не зависящих друг от друга выборок, применяя для получения каждой из них один и тот же способ отбора. Такие выборки называют взаимопроникающими выборками. Преимущество взаимопроникающих выборок состоит в том, что они позволяют получить отдельные и независимые оценки тех или иных признаков изучаемой совокупности. Если разные выборки поручены разным обследователям, то сравнение результатов обеспечивает взаимную проверку работы самих обследователей.
МАЛЫЕ ВЫБОРКИ
Как уже указывалось, для определенного способа отбора единиц величина стандартной ошибки зависит от объема выборки и степени колеблемости изучаемого признака в генеральной совокупности. Причем чем меньше объем выборки, тем большую величину стандартной ошибки следует ожидать, а это в свою очередь снижает точность оценки параметров генеральной совокупности. При
выборках небольшого объема величина выборочной дисперсии, используемой в качестве оценки дисперсии генеральной совокупности,- может быть в значительной мере подвержена влиянию случайностей выборки. Поэтому при выборках небольшого объема методы оценки результатов выборочного наблюдения видоизменяются в сравнении с применяемыми в теории больших выборок. (К безусловно малым относятся выборки объемом менее тридцати единиц.)1
Для оценки возможных пределов ошибки малой выборки пользуются так называемым отношением Стьюдента:
х—хt=-_=••
s:yn—1
Знаменатель приведенной формулы ✓представляет собой меру случайных колебаний выборочной средней в малой выборке:
$
Цмв = -==— •
где s — величина среднего квадратического отклонения для данной выборки s= 1/ ^(х,—^),не рассматриваемая как оценка гене- * п
ральной дисперсии. 'Таким образом, теоретическое распределение отношения Стьюдента / имеет дело с величинами, определяемыми непосредственно по данным выборки.
Закон распределения величины t носит название «Закон распределения Стьюдента», согласно которому плотность распределения ошибок малой выборки [«ад] равна:
. //2 \ - ^+1,
8^0 = А ^1+-р )2
где к — число степеней свободы варьирования при определении выборочной дисперсии, равное п—1; Д — определяется в зависимости от числа степеней свободы к с помощью гамма-функции (Г-функции)
Вероятность того, что ошибка выборки будет не больше заданной величины /рм.в, определяется интегральной функцией
Рис. 7.2. 1 — кривая распределения Стьюдента; 2—кривая нормального распреде-Рис. 7.2. 1 — кривая распределения Стьюдента; 2—кривая нормального распреде-Следует учитывать, что распределение Стьюдента приложимо только к оценке ошибок выборок, взятых из генеральной совокупности с нормальным распределением /признака.
Рис. 7.2. 1 — кривая распределения Стьюдента; 2—кривая нормального распреде-
Рис. 7.2. 1 — кривая распределения Стьюдента; 2—кривая нормального распреде-
Кривая ^-распределения симметрична относительно оси ординат. Как видно из приводимой функции, плотности ординаты кривой распределения Стьюдента зависят не только от t, но и от числа степеней свободы к. Для больших значений к (больших 30)
кривая бцц очень близка ж кри- ления вой нормального распределения. Но
при малом числе степеней свободы она значительно отклоняется
от кривой нормального распределения, медленнее спускаясь к оси абсцисс (рис. 7.2), а это означает, что большие отклонения от средней имеют здесь большую вероятность, чем для нормального распределения. Следовательно, вероятность больших ошибок в малой выборке больше, чем при больших выборках.
Составленные таблицы распределения Стьюдента облегчают применение отношения t на практике. Приведем выдержку из таблицы вероятностей Skw для некоторых значений к и / (табл. 7.7).
Таблица 7.7
4
5
9
10
15
20
25
Нормальное распределение
1,0
0,813
0,818
0,828
0,830
0,833
0,835
0,838
0,841
2,0
0,942
0,949
0,962
0,963
0,968
0,970
0,973
0,977
3,0
0,980
0,985
0,992
0,993
0,995
0,996
0,997
0,999
формулеформулеПриведенная таблица показывает вероятность того, что фактическое отношение Стьюдента /ф в условиях случайной выборки будет не больше приведенного в таблице, т. е. Р^ф<1) =ShV> Но по этим же таблицам можно определить и вероятность того, что фактическое отношение не превзойдет по абсолютной величине табличное значение, т. е. 7’(#ф<|/|). Эта вероятность определится по
формуле
формуле
Р^ф< р|) =5ад— [1 — Sft(t)] =2Sfc(t)— 1.
145145Например, при Л = 20 вероятность того, что предельная ошибка выборки будет не более Зр, равна 0,996 (см. табл. 7.7). Вероятность того, что ошибка, заключенная в пределах ±3р, будет равна 2-0,996—1=0,992. Таблицу вероятностей Стьюдента часто излагают в краткой удобной для практического использования форме: для каждого числа степеней свободы к указывают величину отношения Стьюдента t, которая с заданной вероятностью (0,95 или
145
145
10. Заказ 4789
0,99) не будет превышена по абсолютной величине в силу случайностей отбора. Представим выдержку из таблицы значений отношения Стьюдента t (табл. 7.8). "
Таблица 7.8
\ р
к\
0,95
0,99
0,997
0,95
0,99
0,997
4
2,776
4,604
6,435
20
2,086
2,845
3,376
9
2,262
3,250
4,024
24
2,064
2,797
3,302
14
2,145
2,977
3,583
28
2,048
2,763
3,250
Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение распределения Стьюдента: по 15 партиям деталей была установлена величина среднего времени межоперационных перерывов между двумя смежными операциями технологического процесса, равных соответственно 1,47; 0,76; 0,61; 1,26; 0,60; 0,57; 1,37; 0,69; 0,52; 0,61; 0,50; 0,37; 0,47; 0,36; 0,32 ч.
Выборочная средняя величина времени межоперационных перерывов составляет х=0,70 ч, а выборочная дисперсия s2=0,l 14: ‘
Stxi-lr)2s2= п —=0,114 •
Средняя квадратическая ошибка выборки составит 0,09 ч:
г/ s2 , / 0,114
[рыв— 1/ —= 1/ ———=0,09 ч].
ул—1V 14
По таблице fe=14 и вероятности 0,99 соответствует t=2,977. Таким образом можно предполагать, что ошибка выборочной средней будет не больше 0,268 ч (2,977X0,09) с вероятностью 0,99.
Можно поставить другой вопрос: какова вероятность того, что величина среднего времени межоперационных перерывов обрабатываемых на участке партий не выйдет за 1 ч?
Исходя из того, что предел расхождений между выборочной и
генеральной средней составляет 0,3 ч (Д7=]х— х| = |0,7—1,0|), Д7 0,3
определим величину /ф: (ф=—- = -^- =3,33.
По таблице распределения Стьюдента 8вд находим, что при 6=14 значению /ф=3,33 соответствует вероятность 0,9^6.
ПРАКТИКА ПРИМЕНЕНИЯ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА (СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА*И ИЗУЧЕНИЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВНУТРИСМЕННОГО ВРЕМЕНИ РАБОЧИХ)
Одним из направлений практического применения выборочного метода является статистический контроль качества продукции.
Статистические методы используют для приемочного контроля качества готовой продукции и для текущего предупредительного контроля качества в процессе изготовления продукции. Выборочный контроль качества готовой продукции заключается в том, что из всей партии изготовленной продукции отбирается на пробу некоторое число изделий и оценивается качество каждого из них. По доле дефектных изделий в пробе судят о качестве всей партии изделий. Если результат контроля дает основание считать, что доля брака по всей партии не превышает некоторого допустимого предела, то партия принимается без сплошного контроля.
Если же по результатам контроля доля брака в отобранной части изделий превышает допустимый предел, то изготовленная партия подвергается сплошной проверке, т. е. проверяются все оставшиеся N — п изделия. Естественно, что сплошной контроль оставшихся изделий невозможен там, где он связан с необходимостью уничтожения или порчи изделия. В таких случаях выборочный контроль качества является единственно возможным источником данных о качестве всей продукции. Предупредительный статистический контроль качества позволяет систематически контролировать ход производственного процесса в целях предупреждения возможных нарушений, создающих угрозу получению требуемого качества продукции. При проведении предупредительного контроля качества на операциях механической обработки деталей осуществляется контроль положения центра настройки и -рассеивания размеров. В качестве показателя центра настройки может быть использована медиана или средняя арифметическая, а рассеивание размеров можно оценить с помощью крайних значений, размаха вариации или среднего квадратического отклонения. В картах статистического контроля содержатся контрольные диаграммы, на которых по оси ординат наносятся линия среднего допускаемого размера и границы поля допуска контролируемого размера.
Выход размера за границы допуска может быть связан с двумя обстоятельствами: 1) со смещением центра группирования относительно середины поля допуска; 2) с увеличением рассеивания.
Рис. 7.3. Увеличение вероятности появления брака в результате смещения центра группирования на величину ДРис. 7.3. Увеличение вероятности появления брака в результате смещения центра группирования на величину ДРассмотрим на графике, какие последствия вызывает изменение указанных факторов. Положим, что распределение размеров детали в пределах межналадочного периода описывается кривой нормального распределения. На рис. 7.3 эта кривая показана сплошной линией.
Рис. 7.3. Увеличение вероятности появления брака в результате смещения центра группирования на величину Д
Рис. 7.3. Увеличение вероятности появления брака в результате смещения центра группирования на величину Д
Густо закрашенная площадь на ветвях кривой нормального распределения оценивает вероятность получения брака при отсутствии смещения центра настройки. Допустим, что произошло смещение центра настройки на величину Д. Тогда пунктирной линией
Рис. 7.4. Увеличение вероятности появления брака в результате возрастания рассеивания.
будет показано положение кривой распределения при смещенном положении центра группирования, а заштрихованная площадь на ее правой ветви покажет вероятность получения брака при смещении центра настройки.
На рис. 7.4 отражено влияние увеличения рассеивания на вероятность получения брака. Пунктирной линией показано положение кривой распределения при увеличении рассеивания размеров. Закрашенные и заштрихованные площади на рис. 7.4 оценивают вероятность получения брака соответственно при малом и увеличенном рассеивании. Как видно из приведенных графиков, и смещение центра настройки, и увеличение рассеивания приводит к существенному увеличению вероятности появления брака. Поэтому целесообразно параллельно контролировать один и тот же процесс в отношении центра группирования и величины рассеивания размеров.
Непременным условием правильной постановки статистического контроля качества продукции является предварительное изуче-' ние закономерностей наблюдаемого процесса, на основе так называемых «больших» выборок, которые проводятся непосредственно перед постановкой текущего предупредительного контроля. «Большая» выборка проводится обычно на протяжении нескольких смен., В ходе такого наблюдения производится сплошной контроль всех изготовляемых изделий, что дает возможность регистрировать все последовательные состояния процесса и оценить его устойчивость по контролируемому параметру. По результатам предварительного наблюдения определяются параметры нормального течения процесса и прежде всего средние уровни и дисперсия. Зная эти параметры, можно установить так называемые «контрольные границы» для медианы и крайних значений.
Контрольные границы будут равны:
для медианы с±^ц ( ц = —^) ,
где с —середина поля допуска; о —среднее квадратическое отклонение контролируемого размера; /— принимается равным от 2,0 до 3,0;
для крайних значений с* to (t принимается равным от 2 до 3).
Сигнал о разладке в ходе процесса подается в том случае, если медиана или какое-либо, из крайних значений в пробе окажутся вне установленных контрольных границ.
Специальной формой организации выборочного наблюдения является метод моментных наблюдений, получивший распространение при изучении использования внутрисменного времени рабочих и при изучении использования производственного оборудования. Сущность метода моментных наблюдений состоит в периодической фиксации состояний наблюдаемых единиц в заранее установленные или случайно выбранные моменты времени.
При подготовке к проведению моментных наблюдений необходимо разработать перечень различных возможных состояний наблюдаемых объектов (например, элементов сменного фонда рабочего времени). Степень детализации элементов затрат рабочего времени или причин простоев и видов работы оборудования зависит от поставленной задачи. Если требуется ■ получить общую информацию, достаточно выделить 3—4 вида простоев и работ. В тех случаях, когда требуется детальная разработка данных о причинах простоев, необходима более развернутая классификация элементов фонда рабочего времени. Элементы классификации должны быть четко сформулированы, не повторяться и иметь достаточный удельный вес, чтобы представлять интерес для анализа. Однако в этом случае потребуется значительно большее количество наблюдений по сравнению с первым вариантом.
Примерный перечень элементов затрат рабочего времени можно представить в таком виде:
Элементы затрат рабочеговремениШифр
Работа (управление станком, установка, снятие заготовок, инструмента, сдача работы и т. п.)О
Заточка инструмента иожидание очереди у заточного станка1
Простой из-за отсутствия материалов, заготовок, инструмента и технической документации2
Хождение за инструментом и приспособлениями, за мастером, наладчиком, контролером3
Простои из-за текущего ремонта оборудования, отсутствия электроэнергии, сжатого воздуха4
Отсутствие на рабочем месте с разрешения администрации, по болезни . . 5 Простои по вине рабочего, вызванные нарушениями трудовой дисциплины (позднее начало и преждевременное окончание работы, посторонние разговоры, отсутствие на рабочем месте без уважительной причины)6
Число моментов, в которые производится фиксация состояний процесса, определяется на основе формулы предельной ошибки доли
.. 1/р(1-р)<2д(1-д)
Ар = t у —-—, откуда п = ——. -
где р— доля данного вида потерь в сменном фонде времени1;
Др — абсолютная величина предельной ошибки выборочной доли.
В практике применения моментных наблюдений величину предельной ошибки задают в относительной форме, т. е. задаются величиной
Лотн —100%, откуда
Дотн • Рюо~'
Тогда необходимое число наблюдений определится по формуле t2p(\—р)
п =. юо2=. 10Q2 .
22
Дотн'Р Лотн'Р
В зависимости от доли данного вида потерь в сменном фонде р и заданной относительной точности (ДОтн) можно получить следующую таблицу необходимого числа моментных наблюдений (доверительная вероятность 0,954, /=2):
Таблица 7.9
Доля элементов зурат
Относительная ошнбка(Дотн), %
Доля элементов затрат
Относительная ошибка (>H)» %
2
5
10
2
5
10
0,02
490 000
78400
19600
0,15
56667
9067
2267
0,05
190 000
30400
7 600
0,20
40000
6400
1 600
0,10
90 000
14 400
3600
Приведенная таблица показывает, что при разработке элементов классификации нужно выделять только группы затрат с удельным весом не менее 5%, так как даже при относительной ошибке Дотн=Ю% и при удельном весе потерь 0,02 нужно было бы провести 19 600 наблюдений, что требует значительных затрат времени и средств. Если же в классификации элементов выделить группы с удельным весом не менее 0,05 при относительной ошибке 10%, требуется 7600 наблюдений и т. д.
В соответствии с рассчитанным числом человеко-моментов и численностью обследуемых рабочих в данной группе устанавли-
вается необходимое число обходов как частное от деления количества наблюдений на число рабочих, подлежащих обследованию. Далее встает вопрос о количестве смен, на которые должно быть распределено общее количество обходов. Для ответа на этот вопрос нужно знать продолжительность одного обихода. Так как наблюдатель должен обходить все рабочие места по заранее установленному маршруту, продолжительность одного обхода может быть установлена с достаточной точностью, учитывая затраты времени на соответствующие записи и перемещение наблюдателя.
Допустим, что наблюдение проводится на участке механического цеха завода, где в смену работает 30 человек. Была поставлена задача — выявить важнейшие причины потерь рабочего времени. В этой связи использовался приведенный вариант классификации элементов затрат рабочего времени. По данным фотографий рабочего дня было известно, что удельный вес потерь рабочего времени по различным причинам составляет не менее 5%, т. е. р=0,05. Приняв Лотн равной 10%, по таблице получим, что необходимое число моментов наблюдения равно 7600. Отсюда общее количество обходов равно 254 (7600:30 = 253,3). Выполнить указанное количество обходов за одну смену практически невозможно, так как это означало бы, что каждая последующая запись должна быть сделана примерно через 2,0 мин^ 8’<^^° =1,93^, В действительности затраты времени на один обход составляют по предварительным прикидкам примерно 7 мин, таким образом, за смену может быть сделано не более 70 обходов (— =70,3). Если принять во внимание, что в некоторых случаях наблюдателю потребуется дополнительное время на выяснение причин простоя, то минимально необходимое время на один обход следует принять равным 10 мин. Тогда за смену наблюдатель сможет сделать 49 обходов (492:10 = = 49,2), а чтобы выполнить все необходимое число обходов, потребуется не.менее 5 смен (254:49=5,2). Таким образом, в нашем примере наблюдение целесообразно проводить ежедневно на протяжении всей рабочей недели (иногда целесообразно провести наблюдение и за более длительный период времени, уменьшив ежедневное число обходов).
Выбор сроков проведения наблюдения обычно должен опираться на дополнительную информацию о закономерностях хода процесса. Наличие известной неравномерности в загрузке оборудования и рабочих всегда имеет место на протяжении рабочих дней недели, а потому выбор пятидневки в качестве периода наблюдения позволит получить более достоверную картину распределения затрат рабочего времени.
Следующим этапом в организации моментного наблюдения является составление графика проведения наблюдений, т. е. речь идет о выборе моментов времени, в которые должны быть сделаны соответствующие записи по наблюдаемым единицам. В зависимости от способа отбора моментов времени различают моментное на-
блюдение со случайным отбором моментов и периодическое моментное наблюдение. В первом варианте момент проведения каждого наблюдения устанавливается по таблице случайных чисел. Сначала в случайном порядке отбирается час каждого обхода, для этого из таблицы случайных чисел подряд выписывается 49 цифр (по числу обходов) от 1 до 9, так как продолжительность смены 8,2 ч. Ранжировав полученные цифры, можно установить количество обходов в каждый час. Затем с помощью таблиц случайных чисел определяется время начала наблюдения в минутах для каждого обхода (для этого из таблицы случайных чисел выписываются двузначные числа, не превышающие 59).
С организационной точки зрения часто более удобно использование периодического моментного наблюдения. В этом случае наблюдение состояний процесса осуществляется через определенные промежутки времени. В нашем примере наблюдатель должен подходить к одному и тому же рабочему месту через каждые 10 мин. В случайном порядке отбирается только момент времени, в который должно начинаться наблюдение. Допустим, что смена начинается в 7 ч 30 мин. С помощью жеребьевки установили, что первый обход начинается в 7 ч 34 мин, тогда второй обход — в 7 ч 44 мин, третий — в 7 ч 54 мин и т. д.
Применение периодического моментного наблюдения позволяет получить сведения об использовании рабочего времени на данном участке на протяжении всей смены, тогда как при применении слу-' чайного отбора моментов принципиально возможны случаи, когда какой-то из часов смены совсем выпадает из рассмотрения. Для выявления же, например, случаев нарушения трудовой дисциплины (в связи с поздним началом работы и ранним окончанием ее) особенно важно получить сведения и в начале, и в конце смены.
Таблица 7.10
Шифр затрат
Рабочие дни недели
понедельник
вторник
среда
четверг
пятница
gag
у х о s «и ч о o*i X X s
S*
И X
Л ® О
Ч X н
= з! и Я <и у = 2 S ч
а 65
= 2»
л о
ч ч s
° X X ” 3 х V X «
у X 2 = " ч
о Ort X Я X
3 ”~
X х ^
Ч S н
Ч ч х
йз = и X ^ у х 2 я " ч Ч Хю
X X X
£^
х х Ч у н Вт х
О X s 5 3 X и X « ухе х " ч Ч Хю О о rt X X к
X х L- ч S Н СМ О 5 Ч Ч >>т х
0
1
2
3
4
5
6
1 103
32.
35
128
35
41
96
75,0
2,2
2,4
8,7
2,4
2,8
6,5
1 173
31
26
88
34
35
83
79,8 2,1
1,8 6,0 2,3
2,4 5,6
1 230
27
13
71
28
25
76
83,7
1,8 0,9
4,8
1,9
1,7
5,2
1 189
28
24
81
41
29
78
1
80,9
1,9
1,6
5,5
2,8 2,0
5,3
1208
31
13
57
41
28
92
82,2 2,1 0,9
3,9 2,8
1,9 6,2
Итого j
1470
100,0 |
1470 j
100,0 j
1470
100,0
1 470
(00,0 j
1 470
100,0
Таблица 7.11
Шифр затрат
Количество моментных наблюдений за пятидневку
Удельный вес элемента, % к итогу
Предельная ошибка, %
Удельный вес элемента с учетов предельной ошибки (доверительный интервал с вероятностью 0, 997), %
I
2
3
4
5
0
5903
80,32
3,11
77,224-83,43
1
149
2,02
1,10
0,92—3,12
2
111
1,52
0,95
0,57—2,47
з
425
5,77
1,82
3,95^-7,59
4
179
2,44
1,20
■ 1,24^-3,64
5
-158
2,16
1,13
1,03—3,29
6
425
5,77
1,82
3,954-7,59
Итого
7350
|100,0
X
X
Для проведения наблюдений ежедневно составляется карта наблюдений или наблюдательный лист. В карте наблюдатель ставит условные обозначения (шифр) элемента затрат рабочего времени в соответствии с разработанной классификацией. Если же причина потерь не учтена в классификации, то в карте делается словесная запись о причине простоя. В конце смены составляется таблица, в которой по данным карты наблюдения определяется удельный вес каждого из элементов затрат рабочего времени (табл. 7.10). За пятидневку в целом распределение фонда рабочего времени по элементам затрат после выполнения всех расчетов удобно представить в таблице (табл. 7.11).
Таким образом, ежедневно по участку в среднем простои по организационно-техническим причинам составляют 3,96% сменного фонда, или около 20 мин (сумма по шифрам 2 и 4), простои по вине рабочего 5,77%, или 28,5 мин, время непроизводительной работы (сумма затрат по шифрам 1 и 3) 7,79%, или 38 мин.
Поскольку моментное наблюдейие является выборочным наблюдением, для того чтобы распространить данные на генеральную совокупность, нужно -указать доверительные интервалы для каждого вида потерь, величина которых будет равна wt±.\№l , где wi — средний удельный вес каждого из рассматриваемых элементов по данным наблюдения за весь период (см. графу 3 табл. 7.11); Дю —предельная ошибка выборки:
д. -.tV У^.
*' п
где п— количество моментов наблюдения в смену (л=1470).
Величина предельной ошибки для каждого из элементов затрат рабочего времени представлена в графе 4 табл. 7.11 (величина коэффициента t принята равной 3, что соответствует вероятности 0,997). Результаты полученных наблюдений служат основой для анализа потерь рабочего времени по разным причинам и разработки системы мероприятий по их устранению.
ГЛАВА 8. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ВЫБОР ТИПА КРИТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
Под статистической гипотезой понимаются различного рода предположения относительно вида или параметров распределения случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке. Следует иметь в виду, что статистическая проверка гипотез имеет вероятностный характер, так как принимаемые заключения основываются на изучении свойств распределения случайной переменной по данным выборки, а потому всегда существует риск допустить ошибку. Однако с помощью статистической проверки гипотез можно определить вероятность принятия ложного решения. Если вероятность последнего невелика, то можно считать, что применяемый критерий обеспечивает малый риск ошибки.
При проверке гипотез существует возможность совершить ошибку двоякого рода:
ошибка первого рода — проверяемая гипотеза (ее обычно называют нулевой гипотезой и обозначают Яо) является в действительности верной, но результаты проверки приводят к отказу от нее;
ошибка второго рода — проверяемая гипотеза в действительности является ошибочной, но результаты проверки приводят к ее принятию..
Для построения статистического критерия, позволяющего проверить некоторую гипотезу, необходимо выполнить следующее:
сформулировать проверяемую гипотезу Но. Наряду с проверяемой гипотезой формулируется также конкурирующая (альтернативная) гипотеза; 2) выбрать уровень значимости а, контролирующий допустимую вероятность ошибки первого рода; 3) определить область допустимых значений и так называемую критическую область; 4) принять то или иное решение.
Уровнем значимости будем называть такое малое значение вероятности попадания критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этого события может расцениваться как следствие существенного расхождения выдвинутой гипотезы и результатов выборки. Обычно уровень значимости принимают равным 0,05 пли 0,01. Исходя из величины уровня значимости можно определить критическую область, под которой понимается такая область значений выборочной характеристики, попадая в которую они будут свидетельствовать о том, что проверяемая гипотеза должна быть отвергнута. К критической области относятся те значения, появление которых при условии верности гипотезы было бы маловероятным. Допустим, что рассчитанное по эмпирическим данным значение критерия попало в критическую область, тогда при условии верности проверяемой гипотезы Но веро- . ятность этого события будет не больше уровня значимости а. Поскольку а выбирается достаточным малым, то такое событие явля-
ется маловероятным, и, следовательно, проверяемая гипотеза Но может быть отвергнута. Если же наблюдаемое значение критерия не принадлежит к критической области и, следовательно, находится в области допустимых значений, то проверяемая гипотеза Но не отвергается. Вероятность попадания критерия в область допустимых значений при справедливости проверяемой гипотезы Но равна 1—а. Нужно учитывать, что попадание критерия в область допустимых значений не означает строгого доказательства гипотезы Но. Оно лишь указывает, что между выдвигаемой гипотезой и результатами выборки нет существенного расхождения. Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность забраковать проверяемую гипотезу, когда она верна, т. е. меньше вероятность совершить . ошибку первого рода. Но при этом расширяется область допустимых значений и, значит, увеличивается вероятность совершения ошибки второго рода. '
При данном уровне значимости возможно по-разному устанавливать критическую область, гарантирующую этот уровень. Пусть мы задаемся уровнем значимости а=0,05. В качестве критической области, отвечающей этому уровню значимости, мы можем взять (для нормально распределенного критерия):
Область больших положительных отклонений так, чтобыPi=P(x>x+/jp) =0,05.
Тогда
со Рt t1
If,1 in —■
Pi= —= \ e a dt== V e ^ dt,
,,2 У2л0
t
и по таблице нормированной функции Лапласа находим, что #1=1,64.
Область больших отрицательных отклонений
Лп=Л(х<х—/цр) =0,05, т. е. Рп.=Р^х<х— 1,64ц).
Область больших по абсолютной величине отклонений
t V
Лп=Р(|х-х|>^пц)=0,05, т. е. 0,05=1-2-1=3 е" dt. г я о
1 с ±21-0,05 _
Тогда”^7^] 2 dt= = 0,475.
'о
По таблице нормированной функции Лапласа находим, что /ш= = 1,96.
Область малых по абсолютной величине отклонений
dt=0,05.dt=0,05.
dt=0,05.
dt=0,05.
t
Тогда -r —I e у rfi=0,025.
V о Величина t, соответствующая вероятности 0,025, равна 0,063.
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ «ВЫДЕЛЯЮЩИХСЯ* НАБЛЮДЕНИЙ
ИССЛЕДУЕМОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ
В составе собранных данных могут встречаться единичные наблюдения, у которых зарегистрированные значения признака заметно отличаются от общего уровня. Происхождение таких отличий может быть различным. Они могут возникать в результате: 1) ошибок наблюдения; 2) случайного стечения различного .рода в отдельности несущественных обстоятельств; 3) нарушения однородности изучаемой совокупности.
Субъективное отбрасывание вариантов значений признака, даже резко отличающихся от средней арифметической, не имеет никакого принципиального оправдания. Для исключения выделяющихся наблюдений из дальнейшей обработки необходимо применение надлежащим образом обоснованных критериев. Допустим, что распределение результатов наблюдений, производимых в_обыч- ных условиях, следует нормальному закону с параметрами х и о. В результате проведения одной из серий наблюдений мы получили п значений xi^x2^x3^ ... ^хп, среди которых максимальное значение хп (или минимальное Xi) резко отличается по своей величине от остальных п—1 наблюдений. Возникает вопрос, относятся ли эти значения к данной, наблюдаемой в определенных условиях генеральной совокупности, или они возникли в результате каких-то экстраординарных обстоятельств? Нулевой гипотезой в этом случае является предположение о том, что xn (xj принадлежит той же совокупности, "как и все остальные п—1 наблюдений, т. е. Хп (или X]) не является результатом ошибки наблюдения или изменения общих условий формирования уровня признака в совокупности.
Проверка этой гипотезы состоит в том, что хп(х() сравнивается по величине с некоторой критической границей х. Если выделяющимся наблюдением является наибольшее, то хп сравнивается с верхней допустимой границей, выбранной таким образом, чтобы вероятность превзойти ее была равна уровню значимости, т. е. в данном случае мы имеем дело с критической областью вида Р (xn>x+to) = а. Гипотеза Нй бракуется, если хп превосходит по величине указанную границу. Если же выделяющимся наблюдением является наименьшее Хь то его сравнивают с нижней допустимой границей, которую принимают равной х — to, т. е. Р (xi<x— —/о)=а. Если же испытанию одновременно подлежат и максимальное, и минимальное значения признака, то критическая область будет иметь вид Р (| х — х | > to) = а.
Навример, известны следующие данные, приведенные в табл. 8.1.
Количество наблюдений
Минимальные значения
Максимальные значения
Разность смежных значений
Среднее значение
Среднее квадратическое отклонение по выборке
X»
ХЛ-1
хл
Xa-Z!
хл— Хл_1
X
S
84
7
13
130
178
6
48
57,3
35,3
Используем критическую область вида Р (хп>х+/ст), так как минимальное значение Xi незначительно отличается от следующего за ним значения в ранжированном ряду, т. е. проверим, принадлежит ли выделяющееся наблюдение хп=178 к рассматриваемой совокупности результатов. При уровне значимости а=0,01 значение нормированной функции Лапласа для рассматриваемой критической области будет равно:
to
-Л=- V е" dt= — —0,01=0,49.
У2Л i2
Этому значению в таблице нормированной функции Лапласа соответствует #=2,33. Тогда верхняя допустимая граница значений признака, которая не может быть превышена с вероятностью 0,99, будет равна 57,3+2,33-35,3= 139,6. .Значение хп=178 выходит за рассчитанную границу, а потому с вероятностью 0,99 можно считать хп=178 не принадлежащим к изучаемой совокупности и исключить его из дальнейших расчетов.
Часто могут иметь_место такие случаи, когда параметры генеральной совокупности х и о неизвестны, и для проверки гипотезы о выделяющихся наблюдениях используются полученные по выборке оценки соответствующих параметров. Однако следует учитывать, особенно для малых выборок, что эти оценки являются не вполне надежными. В этой связи для отбрасывания выделяющихся наблюдений по данным малых выборок можно рекомендовать пользоваться критерием Ф. Груббса.
Критерий Ф. Груббса основан на отношении двух сумм квадратов отклонений.
Для испытания наибольшего наблюдения, являющегося выделяющимся в выборке объема п из нормально распределенной совокупности, рассчитывается отношение
П-1
5 (х.-хпр
Е (х<-42 1 = 1 где
S х*2 хч
—i = i— i = l
'Xi<x2<x3<./. <х„; Хп= ; х= •
п—1п.
Для испытания наименьшего наблюдения, являющегося выделяющимся в выборке объема п, рассчитывается отношение
£ (Xi-Xi)2 'i = 2
гдегде£ (Xi-X)2
где
где
£ хг = 2/
П— *
Рассчитанная величина отношения (обозначим ее /(расч) сравнивается с табличной величиной (/(табл) при определенном числе наблюдений и заданном уровне значимости. Дтабл характеризует ту предельную величину, которая с вероятностью (1—а) может быть объяснена случайными причинами. Если КраСч равно или менее табличного, то наименьшее или наибольшее наблюдение отбрасываются. Если Kpac4<Kia6n, то вероятность того, что расхождения в суммах квадратов отклонений можно объяснить случайными причинами, равна уровню значимости айв силу малой вероятности считается событием практически невозможным. В таком случае выделяющееся наблюдение следует отбросить и для дальнейших расчетов использовать оставшиеся и— 1 наблюдений.
Рассмотрим применение критерия Ф. Груббса на следующих данных: отклонения деталей от номинального размера (мм): 0,07; 0,09; 0,10; 0,12; 0,13; 0,15; 0,16; 0,17; 0,25. Необходимо определить не содержат ли результаты ошибки наблюдения, предполагая, что распределение размеров деталей.в генеральной совокупности следует нормальному закону._
Средняя арифметическая по всем отклонениям х равна 0,138
— 0,07+0,09+0,10+0,12+0,13+0,15+0,16+0,17+0,25-
Х = — .
9
Исключая максимальное отклонение 0,25, получим хп = 0,124 — 0;07+ 0,09+ 0,10 +0,12 +0,13+ 0,15+ 0,16 + 0,17
Сумма квадратов отклонений от х равна 0,0231
[(0,07—0,138)2+ (0,09 — 0,138)2++(0,17-0,138)2+
-+(0,25—0,138)2].
Сумма квадратов отклонений (и—1) значений от хп равна 0,0088 [ (0,07-0,124) 2+ (0,09 -0,124)2+....+(0,1э-
-0,124)2+(0,17-0,124)2].
Отношение двух сумм квадратов отклонений т, 0,0088
Красч0,381.
0,0231
Выдержка из таблицы Ф. Груббса приведена ниже:
Таблица 8.2
Число наблюдений
. К при уровне значимости а
Число наблюдений
К при уровне значимости а
Число наблюдений 1
К при уровне значимости а
0,01
' 0,05
0,01
0,05
0,01
0,05
3
0,0001
0,0027
9
0,2411
0,3742
4
0,0100
0,0494
10
0,2831
0,4154
20
0,5393
0,6379
5
0,0442
0,1270
...
*..
■.•
..-
6
0,0928
0,2032
..•
■■•
...
7
0,1447
0,2696
is
0,4401
0,5559
25
0,6071
0,6923
8
0,1948
0,3261
. . .
...
При числе наблюдений п=9 и уровне значимости 1% Ктабп равно 0,2411, Т. е. Красч>Ктабл-
Полученное расчетное значение больше табличного и при уровне значимости 5% №абл = 0,3742), а потому отклонение от номинального размера 0,25 мм нельзя отнести к ошибкам наблюдения.
Рассмотренные выше критерии для отбрасывания выделяющихся наблюдений базировались на предположении нормального распределения признака в генеральной совокупности. На такого же рода допущениях о нормальности распределения признака основана и оценка существенности коэффициента корреляции и др. Поэтому одним из этапов статистической обработки результатов наблюдений является проверка гипотезы о возможности отнесения эмпирического распределения, полученного по данным выборки, к типу кривых нормального распределения.
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О СООТВЕТСТВИИ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТИПУ КРИВЫХ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Между частотами эмпирического и теоретического распределения всегда имеются определенные расхождения. В некоторых случаях эти расхождения не являются существенными и могут быть объяснены случайностями выборки. В других Случаях эти расхождения объясняются тем, что распределение признака в генеральной совокупности не соответствует нормальному распределению. Для того чтобы дать обоснованный ответ о причинах расхождений эмпирических и теоретических частот, используются критерии соответствия или критерии согласия.
Одним из наиболее часто употребляемых критериев согласия является критерий хи-квадрат (х), предложенный К. Пирсоном;
z =2у
где h и // соответственно частоты эмпирического и теоретического распределения в определенном интервале.
Чем больше будет разность между наблюдаемыми и теоретическими частотами, тем больше будет величина критерия К- Пирсона. Чтобы отличить существенные значения х2 от значений, которые могли возникнуть в результате случайностей выборки, рассчитанное значение критерия сравнивается с табличным значением X2 при соответствующем числе степеней свободы и заданном уровне значимости. Уровень значимости выбираем таким образом, что ^(х2расч>х2табл) =а (величина а принимается 0,05 или 0,01).
Определяя значение критерия К. Пирсона по данным конкретной выборки, мы можем встретиться с такими вариантами:
х2расч>х2табл, т. е. х2 попадает в критическую область. Это означает, что расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами существенно и его нельзя объяснить случайными колебаниями выборочных данных. В таком случае нулевая гипотеза отвергается.
х2расч^х2табл, т. е. рассчитанный критерий не превышает максимально возможную величину расхождений эмпирических и теоретических частот, которая может возникнуть в силу случайных колебаний выборочных данных.
Как выше отмечено, табличное значение критерия Пирсона определяется при фиксированном уровне значимости и соответствующем числе степеней свободы. Число степеней свободы равно к— I, где / число условий, которые мы предполагаем выполненными при вычислении теоретических частот; к — число групп. Так как при вычислении теоретических частот нормального распределения в качестве оценок генеральной средней и ^дисперсии используются соответствующие выборочные характеристики и сумма теоретических частот равна сумме эмпирических частот, то для проверки гипотезы о нормальности распределения число степеней свободы равно к — З1.
Рассмотрим расчет критерия х2 (хи-квадрат) (табл. 8.3):
Т а б л и ц а 8.3
Номер интервала
Эмпирические частоты
/Z
Теоретические частоты .
П
( Ч -ft )=
( h -ri у
ft
1
2
3
4
5
1
5
6
1
0,17
2
12
8
16
2,00
3
12
13
1
0,08
4
15
15
0
0,00
9
13
16
1,23
6
9
9
0
0,00
7
9
7
4
0,57
Итого
71
71
4,05
1 Расчет
теоретических частот кривой нормального распределения был рас-
смотрен в гл. Ь.
Х2расч= 4,05. Число степеней свободы равно 4 (7—3). При уровне- значимости 0,05 и числе степеней свободы 4 х2табл=9,5. Таким образом, рассчитанное значение критерия Пирсона не превышает табличного значения при а=0,05, т. е. проведенный расчет дает право не отвергать гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.
При расчете критерия Пирсона нужно соблюдать следующие условия: 1) число наблюдений должно быть достаточно велико, во всяком случае п^50; 2) если теоретические частоты в некоторых интервалах меньше 5, то такие интервалы объединяют так, чтобы частоты были больше 5.
Используя величину х2, В. И. Романовский предложил оценку близости эмпирического распределения кривой нормального распределения производить по отношению
Х2-(*-3) ,
|'2 (*—3)
где к — число групп, а величина (Л—3) равна числу-степеней свободы при исчислении частот нормального распределения. Если от- ношение>3, то расхождение частот эмпирического рас
пределения и рассчитанных частот нормального распределения нельзя признать случайным, и гипотезу о нормальном законе распределения следует отвергнуть. Если же отношение у--^-^ ^Зг то возможно принять гипотезу о нормальном характере эмпириче- #ского распределения. Продолжая приведенный выше пример, рассчитаем критерий В. И. Романовского:
X2—(А—3) = 4,05-4 = 0,05 =0 0177
у2(Л—3)у2-42,83
Так как рассчитанное отношение значительно меньше трех, следует принять гипотезу о нормальности эмпирического распределения. Для определения соответствия между теоретическим и эмпирическим распределением академик А. Н. Колмогоров предложил рассматривать максимальную 'разность между значениями интегральной функции теоретического распределения Р^ и значениями интегральной функции эмпирического распределения Р'ю* Обозначим символом dn абсолютную величину максимальной разности значений Р^ и Р\х> т. е. dn=шах | Код— f'(x)|. А. Н. Колмогоров установил, что когда п неограниченно возрастает, вероят- ность того, что а„ будет меньше величины-^, будет приближать-
V п
ся к значениям функции
Kw= 52 (-1)^^=Kw= 52 (-1)^^=, т. е. НтРI, т. е. НтРI
Kw= 52 (-1)^^=
Kw= 52 (-1)^^=
, т. е. НтР
I
, т. е. НтР
I
161161В таблицах вероятностей К<я) можно установить величину к, соответствующую дайной величине вероятности К(х> Если известен
161
161
11. Заказ 4789
объем выборки, можно рассчитать отношение -г=. Величина dn
У п'
рассчитанная по данным выборки, сравнивается с величиной —т=- . У «
Если dn<.~—, то с вероятностью Кт можно считать, что рассмат- риваемое распределение следует закону нормального распределения. Если же dn> —т^, то вероятность того, что гипотеза о соответ-
У п
ствии эмпирического и теоретического распределений верна, определяется величиной 1—Кед. Так как величину Ку.) выбирают равной 0,95 пли 0,99, то Р (dn>-^) ^0,05. Приведем краткую вы- держку из таблицы значений функции К^ А. Н. Колмогорова:
X1,231,361,631,802,09
К^ 0,9030 0,9505 0,9902 0,9970 0,9993
накопленных отнакопленных отПокажем расчет критерия А. Н. Колмогорова на примере, приве денном в табл. 8.3 (табл. 8.4):
накопленных от
накопленных от
Таблица 8.4
а
X X
5 5 ° S xS
Частоты
Частоты абсолютные накопленные
Частоты относительные накопленные
1 f(jc)-f'U) 1
7
эмпи- риче- ски
теоретические П
эмпирические
^1
теоретические
эмпирические
FCr)
теоретические
F'(jr)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
5
6
5
6
0,0704
0,0845
0,0141
1
2
12
8
17
14
0,2394
0,1972
0,0422
3
3
12
13
29
27
0,4085
0,3803
0,0282
2
4
15
15
44
42
0,6197
0,5915
0,0282
2
5
9
13
53
55
0,7465
0,7746
0,0281
- 2
6
9
9
62
64
0,8732
0,9014
0,0282
2
7
9
7
71
71
1,0000
1,0000
0,0000
0
Наибольшая по абсолютной величине разность
носительных частот dn=0,0422 соответствует второму интервалу (см. графу 8 табл. 8.4). Принимая уровень значимости а=0,05, т. е. при доверительной вероятности Ку.)=0,95, по таблицам значений функции А. Н. Колмогорова находим Х= 1,36, и, следовательно, для п=71 величина j^ равна 0,1614. Вероятность того, что dn> ^ , была установлена нами равной 0,05 (а=0,05). Такой результат "является практически невозможным, когда проверяемая гипотеза соответствия эмпирического распределения нормальному закону
верна. Поскольку величина dn, рассчитанная по данным приводи
мого примера, получилась меньше величины^-, принимается ги
потеза о нормальности эмпирического распределения.
Для расчета критерия А. Н. Колмогорова можно использовать и максимальную разность абсолютных накопленных частот, т. е величину Z)n = max | 2/.— 2Г<|- Тогда между Dn и К будет соотношение Dn=Mn, т. е. ^Д^ . Максимальная величина разностг
I п
абсолютных накопленных частот равна 3 (см. графу 9 табл. 8.4) Величина X, соответствующая _К(Л)=0,9505, равна 1,36. Следовательно, для м=71 величина t^n равна 11,4594. Так как значение Z?n=3 меньше Л fn= 11,4594, то можно считать, что результать выборки не противоречат предположению о нормальном распреде лении исследуемого признака.
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ВЕЛИЧИНЕ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Например, известно что средний расход сырья на единицу про дукции при существующем методе производства составляет 2,8 ус ловныс единицы. После внесения изменений в существующую тех нологию изготовления продукции по результатам проверки доста точно большой партии изделий средний расход сырья на единицу продукции составил 2,6 условные единицы. Средняя ошибка вы борки оказалась равной 0,1. Возникает- вопрос, действительно ль применение нового метода обработки приводит к снижению мате риалоемкости продукции?
Нулевая гипотеза состоит в том, что между новым и сущест вующим методами производства изделий отсутствуют существен ные различия с точки зрения влияния их на материалоемкость т. е. что между генеральными средними при старом и новом мето де производства нет существенной разницы, а отклонение средне! от достигнутого уровня при существующем методе обусловлен! только^случайностями выборки, т. е. Но означает, что хн=хс, гд< хс и хв — средний расход сырья на единицу продукции соответст венно при существующем и новом методах производства.
Альтернативная гипотеза может быть сформулирована двояко
Применение нового метода обработки приводит к. изменении расхода сырья на единицу продукции, т. е. На состоит в том, чт< ХнТ^с- Примем уровень значимости о равным 0,05 и тогд; Л/|хн —хс[ ^^Цл=0,05, и критическая область задается неравен ством |хн— xc\>ty,r. По таблицам интегральной функции Лаплас; определяем коэффициент доверия f=l,96. Таким образом, величи на предельного расхождения двух средних с вероятностью, равно! 0,95, не должна превышать /щг= 0,196 (1,96-0,1). Следовательно, вероятностью 0,95 доверительные пределы для генеральной сред ней при новом методе будут равны 2,64^хн<2,996 (хс±Дг)- Сред
161611*
16
16
кий расход материала при применении новой технологии составляет 2,6, т. е. попадает в критическую область. Следовательно, данные наблюдения не являются совместимыми с выдвинутой гипотезой Но о том, что между новым и существующим методами производства изделий отсутствуют существенные различия с точки зрения влияния их на материалоемкость.
Применение нового метода обработки приводит к снижению расхода сырья на единицу продукции, т. е. На состоит в том, что хн<хс. В этом случае рассматривается _область больших отрицательных отклонений, т. е. при ct=0,05 Р (хн<хс—/ц7) = 0,05. В данном _варианте критическая область определяется неравенством хн<хс—/ц7" - Нулевая гипотеза не будет опровергаться, если средний расход материала на единицу продукции будет больше 2,636 (2,8—0,1-1,64). По новой технологии расход сырья составляет 2,6 условные единицы, т. е. с вероятностью 0,995 можно считать, что нулевая гипотеза должна быть отвергнута и что, следовательно, применение новой технологии приводит к снижению расхода сырья на изготовление продукции.
Если гипотеза о величине центра распределения проверяется по результатам малой выборки, то следует учитывать, что отношение разности средних к стандартной ошибке выборки, т. е. величина t= *1-*? -имеет распределение Стьюдента с п—1 степенями свободы. Допустим, например, что данные о расходе сырья на единицу продукции были получены по результатам проверки 26 изделий. Используем ранее приведенные данные о среднем расходе -сырья при старом способе обработай (хс=2,8 условные единицы) -и при новом способе обработки (хн=2,6 условные единицы). По результатам наблюдений значение эмпирического среднего квадратического отклонения составило 0,6. Расчетная величина /-критерия определится по формуле
._ |хя-х~| _ [2,6-2,81-5
Грасч—7—ад ' -
yn—1
По таблице распределения Стьюдента значение /-критерия для числа степеней свободы (п—1) =25 и уровня значимости 0,05 равно 2,06. Так как расчетное значение не превышает табличное, то нулевая гипотеза не опровергается, т. е. у нас нет достаточных -оснований считать, что применение новой технологии приводит к -снижению материалоемкости.
На следующем примере рассмотрим проверку гипотезы о существенности различия двух выборочных средних (для случая малой выборки). За март известны данные о выработке рабочего за время работы в первую и во вторую смены (табл. 8.5).
, Можно ли считать, что расхождение между уровнями выработки рабочего в первую и вторую смены несущественно, т. е. можно ли считать, что генеральные средние в двух подгруппах одинаковы,
Таблица 8.5Таблица 8.5
Таблица 8.5
Таблица 8.5
СменаСменаIIIIIIВыработка рабочею нормо-ч.
Смена
Смена
I
II
I
II
12,1; 11,1; 12,6; 12,9; 11,6; 13,1; 12,6; 12,4; 11,6; 17,3; 12,9; 11,6;
12,4
9,9; 11,4; 14,4; 10,4; 12,9; 12,6; 13,9; 13,4; 12,4; 9,9
и, следовательно, выработка рабочего может быть охарактеризована общей средней. Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, рассчитаем среднюю ошибку разности двух выборочных средних |iJn-^ ’•
/ п, — п»
1 /2 (Xil—Х1)2+ £ (XiZ-Xz)2 Л1 + «2
- = у .
' х1—ж2 'Л1 + П2 —2п^-пг
где Xi и х2— средняя выработка рабочего соответственно в первую и вторую смены, п\ — число первых смен в месяце; п2 — число вторых смен в месяце.
В предположении отсутствия существенных различий уровня выработки рабочего в разных сменах (Но состоит в равенстве Xi и х2), величина I, равная отношению^^—, не должна превы-
^-Xj
шать табличного значения t при данном уровне значимости и числе степеней свободы (пг+пг—2). По таблице распределения Стьюдента при уровне значимости а=0,01 и числе степеней свободы 21 (13+10—2) находим, что / равно 2,832. Вероятность получения t, большего по абсолютной величине, чем 2,832, в условиях случайной выборки составляет всего 0,01 и является событием практически невозможным.
Если же по данным конкретной выборки мы все же получим ^расч>^табл, то это свидетельствует о том, что нулевая гипотеза не подтверждается.
Все необходимые данные для определения средней квадратической ошибки разности двух выборочных средних приведены в табл. 8.6.
Таблица 8.6
Смена
Число смей в месяце
Средняя выработка, нормо-ч
Сумма квадратов отклонений вариантов от групповой средне!
I
13
12,63
28,0877
II
10
12,02
20,5960
Итого
23
48,6837
Используя вышеприведенную формулу средней ошибки разности двух выборочных средних, рассчитаем величину р^-л?:
0,64 нормо-ч.0,64 нормо-ч., / 48,683713+10
0,64 нормо-ч.
0,64 нормо-ч.
р- -=1/
ж1-ж213+10-213-10
В рассматриваемом примере расхождение выборочные средних превосходит свою случайную ошибку в 0,953 раза ■—_ _ ■ = ,
\ Н^-л,0,64/
что значительно меньше табличного значения. Следовательно, проверяемая нулевая гипотеза не опровергается, т. е. различия в выработке рабочего в разные смены нельзя признать существенными.
ЭЛЕМЕНТЫ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА
Вопрос о проверке существенности расхождения двух выборочных характеристик может быть поставлен не только при сравнении двух выборочных средних, но и при сравнении двух выборочных дисперсий. Для сравнения дисперсий применяется критерий, предложенный Р. Фишером, который называют дисперсионным отношением, или F-критерием. Критерий Р. Фишера представляет
собой отношение двух дисперсий: F= —, где Si и s22 рассматри-
S22
ваются в качестве оценок одной и той же генеральной дисперсии.
При вычислении дисперсионного отношения в числителе берется большая из оценок S]2 и s22, поэтому величина дисперсионного отношения может быть равна или больше единицы. Если Е-крите- рий равен 1, то это указывает на равенство дисперсий, и вопрос об оценке существенности их расхождения снимается. Если же величина дисперсионного отношения больше 1, то возникает необходимость оценить случайно или нет расхождение между дисперсиями. При этом очевидно, что чем больше величина дисперсион
ного отношения, тем значительнее расхождение между дисперсиями'. Для определения границ случайных колебаний отношения дисперсий Р. Фишером разработаны специальные таблицы Е-рас- пределения. В этих таблицах указываются предельные значения Е-критерия для различных комбинаций числа степеней свободы числителя ^i и знаменателя /г2', которые могут быть превзойдены с вероятностью 0,05 или 0,01; число степеней свободы ^ь соответствующее большей дисперсии, определяет столбец таблицы, а число степеней свободы /г2, соответствующее дисперсии S22,— строку таблицы. Рассчитанная по фактическим данным величина дисперсионного отношения сопоставляется с соответствующей данному сочетанию числа степеней свободы числителя и знаменателя и
принятому уровню значимости табличной величиной дисперсионного отношения ^Табл.
Гипотеза, которая проверяется с помощью этих таблиц, состоит в том, .что сравниваемые дисперсии характеризуют вариацию признака в совокупностях, отобранных из одной и той же нормально распределенной генеральной совокупности или же отобранных из нормально распределенных генеральных совокупностей с одинаковой дисперсией. Если фактическое дисперсионное отношение- будет больше табличного, то лишь с вероятностью 0,05 или 0,01 можно утверждать, что различие между дисперсиями определяется случайными факторами. Однако события, имеющие столь малую вероятность, считаются практически невозможными, а потому в этом случае с вероятностью 1—а можно утверждать существенность различий в величине дисперсий. Если же фактическое значение дисперсионного отношения будет меньше соответствующего табличного значения, например при 1 % уровне значимости, то с вероятностью 99% можно утверждать, что расхождение между дисперсиями несущественно.
Дисперсионный анализ приобретает самостоятельное значение при оценке существенности расхождения нескольких средних, что позволяет проверить гипотезу о наличии связи между признаком, положенным в основу группировки, и результативным признаком. В зависимости от количества факторов, определяющих вариацию результативного признака, дисперсионный анализ подразделяется на однофакторный и многофакторный. Методы дисперсионного анализа позволяют также проверить гипотезу относительно формы корреляционной зависимости и оценить целесообразность включения в модель дополнительных факторов.
Рассмотрим применение дисперсионного анализа для случая однофакторного комплекса. Пусть все п наблюдений разбиты на h групп в соответствии с определенным признаком, и численность наблюдений в /-й группе равна п^. Систему таких наблюдений в общем виде можно записать таким образом:
Таблица 8.7
Комер группы
Значения
результативного признака
1
Ун У12 У1з •
• Ун - Уш,
2
Ум Un Ун ■
• У И — Угп,
У
Ул Ул Уза
•• УН - У,п j
к
Ум УП>Щкз
■• УМ ••• Укп^
Обозначим общую среднюю_для всей совокупности у. а среднюю в соответствующей группе — у,. Каждое индивидуальное отклонение уц от общей средней складывается из двух частей: отклонения
от средней в соответствующей группе, т. е. величины уц—у^, и отклонения средней в группе у, от общей средней, т. е. величины "уз—у". т. е. уц—у=(уц—Уз) + (у— У)- Тогда сумма квадратов отклонений всех наблюдаемых значений уц от общей средней будет равна:
2 2 (Уа-У)г= 2 2 (Ун-^)+ 2 кУз-УУ^ . j=l i=l j=l i=l j=l
где первое слагаемое в правой части представляет собой сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от групповых средних и характеризует вариацию внутри групп, а второе слагаемое-сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней характеризует вариацию между группами.
Колебания изучаемого признака внутри групп вокруг средней возникают под влиянием прочих причин, исключая влияние фактора, положенного в основу группировки. Колеблемость групповых средних вокруг общей средней обусловлена влиянием признака-фактора. Если фактор, положенный в основу группировки, не оказывает влияния на вариацию изучаемого признака, то дисперсия групповых средних будет отражать только влияние тех же самых прочих факторов, которые определяют и вариацию внутри групп, а потому отношение дисперсий будет близко к единице или отличаться от нее в силу наличия случайных колебаний. Предельный размер этих колебаний можно установить по таблицам ^-распределения. При применении дисперсионного анализа для расчета дисперсий учитывается число степеней свободы. Для расчета внутригрупповой дисперсии число степеней свободы равно п—к1, а для расчета межгрупповой дисперсии — равно к—I2.
Тогда межгрупповая Si2 и внутригрупповая дисперсия S22 с учетом числа степеней свободы будут соответственно равны:
2 кУз-У)ггч 2 2 кУи-УзУ
Если группировочный признак оказывает влияние на вариацию результативного признака, то вариацию групповых средних нельзя считать обусловленной только случайными воздействиями и это найдет отражение в различии величины межгрупповой и внутригрупповой дисперсий, т. е. Ерасч будет больше 1. Если при этом Ерасч>Етабл, то с вероятностью 0,95 (0,99) можно утверждать,
что между группировочным и результативным признаком существует взаимосвязь. Рассмотрим дисперсионный анализ на примере, приведенном а с. 165.
Таблица 8.8
Смена
Средняя выработка "у/
Число смей в месяце лу
Сумма квадратов отклонений вариантов от групповой средней
Квадраты отклонений групповых средних От общей средней
I
12,63
13
28,0877
0,0676
11
12,02
10
20,5960
0,1225
Итого
^=12,37
23
48,6837
Число степеней свободы для расчета внутригрупповой дисперсии равно 21 (23—2), а для расчета межгрупповой дисперсии
1(2—1). Следовательно,
,20,0676-13 +0,1225-Ю,20,0676-13 +0,1225-Ю= 2,1038;= 2,1038;48,6837 ~2148,6837 ~21= 2,3182.= 2,3182.
,20,0676-13 +0,1225-Ю
,20,0676-13 +0,1225-Ю
= 2,1038;
= 2,1038;
48,6837 ~21
48,6837 ~21
= 2,3182.
= 2,3182.
Дисперсионное отношение .
■2,1038
Трасч — -9 gigg — 0,9075.
В соответствии с числом степеней свободы числителя 1 и знаменателя 21 в таблице F-распределения для 5% уровня значимости находим ^табл = 4,32, а для 1% уровня значимости Гтабл = 8,02.
Так как Fpacq значительно меньше табличных значений, гипотеза о несущественности различия выработки рабочего в первую и во вторую смены не опровергается, т. е. сменность не оказывает влияния на уровень выработки рабочего.
ГЛАВА 9. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ СВЯЗЬ И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ
СУЩНОСТЬ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ связи
Статистические распределения характеризуются наличием более или менее значительной вариации в.величине признака у отдельных единиц совокупности. Естественно, возникает вопрос о том, какие же причины формируют уровень признака в данной совокупности и каков конкретный вклад каждой из них? Изучение зависимости вариации признака от окружающих условий и составляет содержание теории корреляции*.
Изучение действительности показывает, что каждое общественное явление находится в тесной связи и взаимодействии с другими явлениями. Так,.например, объем продукции предприятия будет зависеть от числа рабочих, количества и совершенства оборудования, уровня производительности труда, степени совершенства технологии и организации производства л множества других самых разнообразных факторов.
При изучении конкретных зависимостей одни признаки выступают в качестве факторов, обусловливающих изменение других признаков. Признаки этой первой группы в дальнейшем будем называть признаками-факторами (факторными признаками); а признаки, которые являются результатом влияния этих факторов, будем называть результативными. Например, при изучении зависимости между показателями производительности и энерговооруженности труда рабочих первый является результативным, а второй — факторным признаком.
Рассматривая зависимости между признаками, необходимо выделить прежде всего две категории связей: функциональные и корреляционные. Функциональные связи характеризуются взаимнооднозначным соответствием между изменением причины и изменением результативной величины, и каждому значению признака- фактора соответствует одно или несколько вполне определенных значений результативного признака. Например, зависимость между радиусом и площадью круга (5 = лг2). В корреляционных связях между изменением факторного и результативного признака нет полного соответствия, влияние отдельных факторов проявляется лишь в среднем при массовом наблюдении фактов. В простейшем случае применения корреляционной зависимости величина результативного признака рассматривается как следствие изменения только одного фактора (например, энерговооруженность труда рассматривается как причина роста производительности труда). Однако выделенный нами в качестве-основного признак-
1 Основоположниками теории корреляции считаются английские биометрики Ф. Гальтон (1822—1911) и К. Пирсон (1857—1936). Термин «корреляция» был заимствован из естествознания и обозначает соотношение, соответствие.
фактор не является единственной причиной изменения результативного- признака, а наряду с ним на величину результативного признака влияет множество других причин. Например, на формирование уровня производительности труда на данном предприятии наряду с энерговооруженностью более или менее существенное влияние оказывают такие факторы, как степень совершенства применяемых технологических процессов, уровень специализации производства, состав работающих, текучесть кадров и т. п. Сам этот признак-фактор в свою очередь — зависимая .величина. Кроме того, в слржном взаимодействии находится результат — в более общем виде он выступает как фактор изменения других явлений. Отсюда результаты корреляционного анализа имеют значение в данной связи, а интерпретация этих результатов в более общем виде требует построения системы корреляционных связей.
Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества самых разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора будет соответствовать целое распределение значений результативного признака, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия. Сравнивая между собой функциональные и корреляционные зависимости, следует принять во внимание, что при наличии функциональной зависимости между признаками, зная величину факторного признака, можно точно определить величину результативного признака. При наличии же корреляционной зависимости с изменением величины факторного признака меняется средняя величина результативного признака.
Необходимо отметить, что экономической теории принадлежит решающее слово в обосновании связей между теми и^и иными признаками. При этом теоретический анализ должен показать, какие факторы влияют на исследуемый признак или же влияние каких факторов должно быть проверено. С помощью статистических методов изучения зависимостей можно установить, как проявляется теоретически возможная связь в данных конкретных условиях. Статистика не только отвечает на вопрос о реальном существовании намеченной теоретическим анализом связи, но дает количественную характеристику этой зависимости. Зная характер зависимости одного явления от других, можно объяснить причины и размер изменений в явлении, а также планировать необходимые мероприятия для дальнейшего его изменения. Чтобы результаты корреляционного анализа нашли практическое применение и дали желаемый результат, должны выполняться определенные требования в отношении отбора объекта исследования и признаков-факторов. Одним из важнейших условий правильного применения методов корреляционного анализа является требование однородности тех единиц, которые подвергаются изучению методами корреляционного анализа. Так, например, при корреляционном анализе зависимостей тех или иных технико-экономических показателей работы предприятий от определенных факторов должны быть ото-
браны предприятия, выпускающие однотипную продукцию, имеющие одинаковый характер технологического процесса и тип используемого оборудования; для предприятий добывающей промышленности определенную роль играет и географическое размещение предприятий.
Другим важным требованием, обеспечивающим надежность выводов корреляционного анализа, является требование достаточного числа наблюдений. Как уже указывалось, влияние существенных причин может быть затушевано действием случайных факторов, «взаимопогашение» влияния которых на результативный показатель в известной мере происходит при определении средней величины результативного показателя для массы единиц.
Определенные требования существуют и в отношении факторов, вводимых в исследование. Все множество факторов, оказывающих влияние на величину результативного показателя, в действительности не может быть введено в рассмотрение, да в этом и нет необходимости, так как их роль и значение в формировании величины результативного показателя могут иметь существенные различия. Поэтому при ограничении числа факторов, включаемых в изучение, наряду с качественным анализом целесообразно использовать и определенные количественные оценки, позволяющие конкретно охарактеризовать степень влияния факторов на исследуемый признак (к оценкам можно отнести парный коэффициент корреляции, ранговые коэффициенты при экспертной оценке специалистами влияния факторов и др.). Включаемые в исследование факторы должны быть независимы друг от друга, так как наличие тесной связи между ними свидетельствует о том, что они характеризуют одни и те же стороны изучаемого явления и в значительной мере дублируют друг друга. Полностью исключаются факторы, функционально связанные с результативным признаком.
Все основные положения теории корреляции разрабатывались применительно к предположению о нормальном характере распределения исследуемых признаков. В этой связи целесообразным является изучение формы распределения, дающее возможность в известной мере обосновать правомерность применения методов корреляционного анализа. Проверку нормальности распределения зависимой переменной можно проводить при каждом фиксированном значении факторного признака или внутри каждого отдельного интервала группирования, на которые разбит диапазон изменения факторного признака, в соответствии с различными критериями согласия. Для проверки исходной предпосылки нормальности распределения необходимо в каждой группе иметь достаточно большое количество наблюдений, что в практических исследованиях встречается довольно редко. Следует отметить, что на практике часто сталкиваются с теми или иными отклонениями от исходных предпосылок. Однако это не означает, что мы должны отказываться от применения методов корреляционно-регрессионного анализа. И наконец, при построении корреляционных моделей факторы должны иметь количественное выражение, иначе сос-
тавить модель корреляционной зависимости не представляется возможным.
В случае наличия корреляционной зависимости между признаками решению подлежит широкий круг вопросов, к которым следует отнести: 1) установление факта наличия связи; 2) определение характера связи, ее направления и формы; 3) нахождение аналитического выражения связи, т. е. определение уравнения, при помощи которого в среднем можно рассчитать величину результативного признака при данном значении признака-фактора; 4) измерение степени тесноты связи между признаками.
Основные принципы корреляционного анализа целесообразно рассмотреть первоначально на примере изучения связей двух признаков, так называемой парной зависимости.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫЯВЛЕНИЯ НАЛИЧИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ СВЯЗИ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРИЗНАКАМИ
Для ответа на вопрос о наличии или отсутствии связи используют так называемые элементарные приемы (параллельное сопоставление рядов значений результативного и факторного признаков, построение групповой, корреляционной и комбинационной таблиц), а также метод дисперсионного анализа. Простейшим приемом обнаружения связи является сопоставление двух параллельных рядов — ряда значений аргумента и соответствующих ему значений функции. Значения аргумента располагают в возрастающем порядке и затем прослеживают направление изменения величины функции. Результативный признак (функцию) в дальнейшем будем обозначать через у, факторный признак — через х.
Например, по десяти предприятиям главка имеются данные об уровне энерговооруженности труда и средней месячной выработке рабочих. Данные ранжированы по уровню энерговооруженности труда.
Для упрощения расчетов условно примем среднюю списочную численность рабочих на всех предприятиях одинаковой.
Таблица 9.1
№ п п
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10J.”
Энерговооруженность труда, кВт-ч/чел.-ч (х)
4,0
4,3
6,7
7,4
7,7
8,3
9,6
12,1
15,0
16,0
Средняя выработка в месяц, тыс. руб./чел.
(У)
8,43
9,79
9,06
11,01
11,69
12,55
10,12
14,58
14,18
20,22
Можно отметить, что в целом увеличение энерговооруженности труда влечет за собой увеличение средней месячной выработки, хотя в отдельных случаях наличие отмеченной зависимости может и не усматриваться. В каждом отдельном случае значение средней месячной выработки будет зависеть не только от уровня энерговооруженности труда, но и от того, как сложатся прочие факторы, которые определяют величину средней выработки. В тех случаях, когда возрастание величины факторного признака влечет за собой возрастание и величины результативного признака, говорят о наличии прямой корреляционной связи. Если же с увеличением факторного признака величина результативного признака имеет тенденцию к уменьшению, то связь между признаками считают обратной.
Однако наличие большого числа различных значений результативного признака, соответствующих одному и тому же значению признака-фактора, затрудняет восприятие таких параллельных рядов, особенно при большом числе единиц, составляющих, изучаемую совокупность. В связи с этим целесообразнее воспользоваться корреляционными таблицами (табл. 9.2) для установления наличия связи.
В корреляционной таблице факторный признак х располагают, как правило, в строках, а результативный признак у — в колонках таблицы. Числа, расположенные на пересечении строк и столбцов таблицы, показывают частоту повторения данного сочетания значения х и у. Построение корреляционной таблицы начинают с группировки единиц наблюдения по значениям факторного и результативного признаков. Так как в рассматриваемом примере оба признака по характеру вариации являются непрерывными, для их группировки необходимо определить величину интервала. Для этого воспользуемся формулой Стерджесса:
Хщах—Хпцп16,0 — 4,012
tx====3,0.
1 +3,3221g п 1 + 3,3224
Так как число групп должно быть целым числом, округляем знаменатель до четырех:
, f/max—ymln20,22—8,4311,79
— *~' ==—■ ■— 2.Уи.
v 1+3,322 lg п 1+3,3224
Корреляционная таблица даже при общем знакомстве дает возможность установить наличие или отсутствие связи, а также выяснить ее направление.
Если частоты в корреляционной таблице расположены по диагонали из левого верхнего угла в правый нижний угол (т. е. большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции), то можно предположить наличие прямой корреляционной зависимости. Если же частоты расположены по диагонали справа налево, то предполагают наличие обратной связи между признаками. Уместно подчеркнуть, что при рассмотрении корреляционной таблицы важно установить расположение основной массы
Т а б л и ц a 9.2
Центральные значения интервалов у'
9,905
12,855
15,805
18,755
Среднее значение
группы по уровни ^-xs^cpeдней выр аботки, . ^^. тыс. руб./чел.
группы по эиер-^\_
говооружен- ности,
кВт-ч/чел.-ч
8,43-
11,33
11,38-
14,33
14,33-
17,28
17,28-
20,25
1х
выработки для предприятий данной группы, тыс.-руб./чел.
I
2
3
4
5
6
7
4,0—7,0 7,0—10,0 10,0—13,0
13,0—16,0
3
2
2
1
1
1
3
4
1
2
9,905
11,380
. 15,805
15,805
/у
5
3
1
1
10
частот. Возможны варианты, когда все клетки корреляционной таблицы окажутся заполненными. Однако это обстоятельство еще не означает, что корреляционная связь между признаками отсутствует. Нужно установить, как расположена в таблице основная масса единиц. Чтобы восприятие корреляционной таблицы сделать более доступным, можно для каждой строки рассчитать средние значения результативного признака, соответствующие определенному значению признака-фактора (каждая строка дает условное распределение у при определенном значении х).
В табл. 9.2 /ж — частота повторения данного варианта значения факторного признака во всей совокупности; fy— частота повторения значений результативного признака во всей совокупности. *
Средняя выработка для предприятий, имеющих уровень энерговооруженности от 4,0 до 7,0 кВт-ч/чел.-ч, будет равна:
—9,905-3
ух = —-— =9,905 тыс. руб./чел.
Найдем среднюю, выработку для предприятий второй группы (с уровнем энерговооруженности от 7,0 до 10 кВт-ч/чел.-ч):
— 9,905-2+12,855-2
у2= ——— = 11,38 тыс. руб./чел.
Рассчитанные таким образом средние представлены в графе 7 табл. 9.2. Таким образом, возрастание средних значений результативного признака с увеличением значения факторного признака еще. раз свидетельствует о возможном наличии прямой корреляционной зависимости уровня средней выработки от уровня энерговооруженности труда.
Корреляционная таблица позволяет сжато, компактно изложить материал, поэтому все последующие расчеты (показателей
тесноты связи и параметров уравнения) можно вести по корреляционной таблице.
Другим возможным приемом обнаружения связи является построение групповой таблицы. Все предприятия разбиваем на группы в зависимости от величины признака-фактора и по каждой группе вычисляем среднее значение результативного признака (табл 9.3).
Т а б л и ц а 9.3
Группы предприятий яо уровню энерговооруженности труда, кВт ■ ч'чел.-ч
Сумма значений результативного признака в группе
Число предприятий в группе, единиц
Сред? ее значе ше результативного признака в группе1, тыс. руб./чел.
I
2
3
4
4,0—7,0
27,28 ’
3
9,093
7,0—10,0
45,37
4
11,343
10,0—13,0
14,58
1
14,580
13,0—16,0
34,40
2
17,200
Итого
121,63
10
12,163
1 Различие в величине средней выработки, вычисленной в корреляционной (см. графу 7 табл. 9.2) и групповой таблицах (см. графу 4, табл. 9.3), объясняется тем, что при вычислении средних по корреляциоииой таблице мы действительные значения выработки заменяем центральными значениями интервалов группировки.
Сравнив средние значения выработки по группам предприятий с различным уровнем энерговооруженности, можно сделать вывод, что рост энерговооруженности труда влечет за собой рост уровня выработки, т. е. предположить в рассматриваемом примере наличие прямой корреляционной зависимости между признаками. Корреляционная зависимость отчетливее обнаруживается только при рассмотрении средних значений результативного признака, соответствующих определенным значениям факторного признака, так как при достаточно большом числе наблюдений в каждой группе влияние прочих случайных факторов при расчете групповой средней будет взаимопогашаться и яснее выступит зависимость результативного признака от фактора, положенного в основу группировки. Иными словами, предполагается, что все прочие причины, если они носят случайный характер, при определении средней по группам взаимопогашаются, т. е. дают в каждой группе один и тот же результат. Следовательно, различия в величине средних будут связаны только с различиями в величине данного факторного признака. Если бы связи между факторным и результативным признаками не было, то все групповые средние были бы приблизительно одинаковы по величине. Оценка существенности расхождения групповых средних лежит в основе использования методов дисперсионного анализа для выявления наличия и оценки существенности связи.
<0 6,0 8,0 10,012,0 1^,0 16,0 д<0 6,0 8,0 10,012,0 1^,0 16,0 дРис. 9.1. Зависимость выработки рабочего от уровня энерговооруженности труда:у—уровень выработки, тыс. руб./чел., эс — энерговооруженность труда, кВт ч/чел.-ч; 1 — теоретическая линия связи; 2 — эмпирическая лниия связиРис. 9.1. Зависимость выработки рабочего от уровня энерговооруженности труда:у—уровень выработки, тыс. руб./чел., эс — энерговооруженность труда, кВт ч/чел.-ч; 1 — теоретическая линия связи; 2 — эмпирическая лниия связиДля предварительного выявления наличия связи и раскрытия ее характера, а- в" известной мере и для выбора формы связи применяют графический метод. Используя данные об индивидуальных значениях признака-фактора и соответствующих ему значениях результативного признака, можно построить в прямоугольной системе координат точечный график, который называют полем корреляции. Для нашего примера поле корреляции имеет следующий вид (рис, 9.1). Положение каждой точки на графике определяется величиной двух признаков — уровнем энерговооруженности труда и соответствующим ему уровнем средней выработки на отдельных предприятиях изучаемой совокупности. Точки корреляционного поля не лежат на одной линии, но вытянуты определенной по
<0 6,0 8,0 10,012,0 1^,0 16,0 д
<0 6,0 8,0 10,012,0 1^,0 16,0 д
Рис. 9.1. Зависимость выработки рабочего от уровня энерговооруженности труда:
у—уровень выработки, тыс. руб./чел., эс — энерговооруженность труда, кВт ч/чел.-ч; 1 — теоретическая линия связи; 2 — эмпирическая лниия связи
Рис. 9.1. Зависимость выработки рабочего от уровня энерговооруженности труда:
у—уровень выработки, тыс. руб./чел., эс — энерговооруженность труда, кВт ч/чел.-ч; 1 — теоретическая линия связи; 2 — эмпирическая лниия связи
лосой слева направо. Имеющийся в нашем распоряжении статистический материал был сгруппирован (см. табл. 9.3) и по каждому интервалу энерговооруженности труда определены значения средней выработки (см. графу 4 табл. 9.3). Эти средние мы и наносим на график. Соединяя последовательно отрезками прямых нанесенные на график точки, получим так называемую . эмпирическую линию связи. Если эмпирическая линия связи по своему виду приближается к прямой линии, имеющей определенный наклон к оси абсцисс, то можно предположить наличие прямолинейной корреляционной связи между признаками. Если же имеется тенденция неравномерного изменения значений результативного признака и эмпирическая линия связи будет приближаться к какой-либо кривой, то это может быть связано с наличием криволинейной корреляционной связи.
УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ
Изучение корреляционных зависимостей основывается на исследовании таких связей между переменными, при которых значения одной переменной, принятой за зависимую переменную, в среднем изменяются в зависимости от того, какие значения принимает другая переменная, рассматриваемая как причина по отношению к зависимой переменной. Как уже было сказано выше, действие данной причины осуществляется в условиях сложной действительности, вследствие чего проявление закономерности затемняется влиянием случайностей. Вычисляя средние значения результативного признака для данной группы значений аргумента, мы отчасти элиминируем влияние случайностей. Вычисляя параметры теоретической линии связи, мы производим дальнейшее их элими-
пирование и получаем однозначное (по форме) изменение у с изменением фактора х.
Теоретической линией регрессии называется линия, вокруг которой группируются точки корреляционного поля и которая указывает основное направление, основную тенденцию связи. Теоретическая линия регрессии должна изображать изменение средних величин результативного признака у по мере изменения величин факторного признака х при условии полного взаимопога- шения всех прочих случайных по отношению к фактору х причин. Следовательно, эта линия должна быть проведена так, чтобы сумма отклонений точек поля корреляции от соответствующих точек теоретической линии регрессии равнялась нулю, а сумма квадратов этих отклонений была бы минимальной величиной. Приблизительное представление об этой линии можно получить на основе эмпирической линии регрессии (или линии групповых средних). Эмпирическая линия обычно является ломаной линией, имеет более или менее значительный излом. Объясняется это тем, что влияние прочих неучтенных причин в средних погашается не полностью в силу недостаточно большого количества наблюдений.
В нашем примере эмпирическая линия регрессии все же ближе всего приближается к прямой, и, следовательно, теоретическая линия регрессии может быть представлена уравнением прямой: ух = а-^-Ьх. Для нахождения параметров ан b уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов. Применяя метод наименьших квадратов для нахождения такой функциц, которая наилучшим образом соответствует эмпирическим данным, мы считаем, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от соответствующих точек теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.
Критерий метода наименьших квадратов можно записать таким образом:
5= Д (у#—y*)2=min, л
или, поскольку ух=а-\-Ьх,
S= S [у»— (a + 6x)]2=min.
Следовательно, применение метода наименьших квадратов для определения параметров а и b прямой, наиболее соответствующей эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум. Функция двух переменных S(a, b) может достигнуть экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т. е. когда
Вычисляя эти частные производные, получим: dsп
-^-=-2 £ (Уг-а-Ьх)=0;
-^-=.-2 22 (Уг-а-Ь*)х=-2 У ^УгХ-ax-bx^ =0.
После несложных преобразований получим систему нормальных уравнений способа наименьших квадратов для определения величины параметров а и b уравнения прямолинейной корреляционной связи по эмпирическим данным:
пп
y = an-vb 22 х;
11
22ух=° У *+б У. -^ ■(9-*)
111
Если данные сгруппированы (например, представлены в виде корреляционной таблицы), то система нормальных уравнений имеет вид:
22 yfy=a 22 fxy+b 22 Xfx >. 111
22 yxfxy = a 22 xk+b 22 X4x ,(9.1a)
11
где ty — частота повторения данного варианта значения у; fx— частота повторения данного варианта значения х; fxy— частота повторения данного сочетания значений х и у.
Если сгруппированы единицы совокупности с непрерывным признаком, то должны быть использованы центральные значения интервалов, т. е. соответственно величины х' и у'.
Воспользуемся составленной ранее корреляционной таблицей, характеризующей взаимосвязь между уровнем энерговооруженности труда и уровнем выработки рабочих для нахождения параметров теоретической линии регрессии.
^y'x'fxy состоит из суммы произведений всех значений х на у с учетом числа встречающихся сочетаний значений аргумента и функции, т. е. по табл. 9.4.
5 у'х'\ху=9,905 • 5,5 • 3+9,905 ■ 8,5 • 2 +12,855 • 8,5 X
Х2+15,805-11,5+18,755-14,5-1 + 12,855-14,51 =
= 1190,46.
Таким образом, все необходимые элементы для расчета параметров уравнения определены:
5у7у= 122,63 ; ^х'км= 1190,46 ;
2х7х=91,0;2(И7х=932,5; Sfxy=10.
Используя результаты расчетов, можно записать для нашего примера систему нормальных уравнений:
f 100 + 916=122,63;
( 910 + 932,56=1190,46.
12*12*Решив систему уравнений, получим: о=5,80; 6 = 0,71.
12*
12*
179
Таблица 9.1
2 " х н ваз о ас
3 х
L о
Центральное значение интервала
Группы по уровню выработки, тыс. р}б.'чег
tx
x’tx
U')’
^Vfx
Л Ух
8,43—
11,38
11,38-
14,33
14,33—
17,28
17,28-
20,25
хГ X
9,905
12,855
15,805
18,755
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U
4,0-
5,5
3
3
16,5
30,25
90,75
9,705
7,0
7,0—
8,5
2
2
4
34,0
72,25
289,00
11,835
10,0
10,0—
13,0
11,5
1
1
11,5
132,25
132,25
13,965
13,0—
16,0
14,5
1
1
2
29,0
210,25
420,50
16,095
Л.
У/у (У')2 (у')7у
5 49,505 98,0 490,0
3 38,565 164,0 495,0
1 15,805 249,6 249,6
1 18,755 351,5 351,5
10
122,63
1586,1
91,0
932,5
л
Уравнение ух=5,80+0,71 х характеризует среднюю зависимость уровня выработки на предприятиях главка от уровня энерговооруженности труда. В последнем столбце корреляционной табл. 9.4 приведены средние уровни выработки, рассчитанные по уравнению корреляционной зависимости.
Правильность расчета параметров уравнения корреляционной п зависимости может быть проверена сравнением двух сумм: £y'fy и Л1
^Ух(х-
Графическое изображение эмпирической и теоретической линии связи представлено на рис. 9.1. Для построения эмпирической линии связи использованы данные графы 4 табл. 9.3, а для построения теоретической линии связи использованы данные графы 11 табл. 9.4. Параметр b в уравнении называют коэффициентом регрессии. При наличии прямой корреляционной зависимости коэффициент регрессии имеет положительное значение, а в случае обратной зависимости коэффициент регрессии получает отрицательное значение. Коэффициент регрессии показывает, на сколько в среднем изменяется величина результативного признака у при 180
изменении факторного признака х на единицу. Геометрически коэффициент регрессии представляет собой тангенс угла наклона прямой линии, изображающей уравнение корреляционной зависимости, относительно осн х (для уравнения yx=a-VbxY Другому параметру уравнения а не имеет смысла придавать какое-то определенное толкование и он, как правило, не имеет независимого значения.
Система нормальных уравнений (9.1) может быть упрощена, если в качестве исходной точки взять точку с координатами (хГ*уУ т. е. если х заменить на dx=x—х, ay — на dv=y—у. Тогда система нормальных уравнений (9.1) может быть записана так:
У dn=axn-Vbx dx\ ii
22 dxdy = a} 22 dx-vbt 22 d^-
iii
nn
Учитывая, что Hdx и Hdy равны нулю, получим упрощенную 11
запись нормальных уравнений:
0^=0;
22 dxd. = bx 22 dx ;11
откуда
dxdy
G1=0; 6i
2 dx 1 Коэффициент регрессии применяют для определения коэффициента эластичности, который показывает, на сколько процентов в среднем изменится величина функции у при изменении признака-фактора х на один процент относительно своей средней.
* Коэффициент эластичности определяется по формуле
(9.2)(9.2)х
(9.2)
(9.2)
ЭХ=Ь.Т .у
Используя данные табл. 9.4, рассчитаем средние значения факторного и результативного признаков:
— 91,0— 122,63
х=-— =9,1 кВт.-ч/чел.-ч; у= ——— = 12,263 тыс. руб.
Тогда для нашего примера коэффициент эластичности будет равен:
9,1Эх=0,71=0,53.
Это означает, что при росте энерговооруженности труда рабочих на 1 % по сравнению с х производительность их труда возрастает в среднем на 0,53%.
Знание корреляционной зависимости между двумя переменны,- ми имеет существенное практическое значение, так как можно составить прогноз значения результативного признака в предположении, что признак-фактор примет определенное значение. Однако при практическом использовании уравнений регрессии следует помнить, что экстраполяция допускается только тогда, когда существенно не изменяются условия формирования уровней признаков, которые лежали в основе определения параметров уравнения регрессии. В противном случае использование уравнений для составления прогнозов должно быть отвергнуто. Необходим новый эмпирический материал, который отразит взаимосвязь между признаками в новых условиях с определенными качественными сдвигами.
Определение средней величины результативного признака для соответствующей величины признака-фактора является первым этапом при практическом использовании уравнений корреляционной зависимости. Как выше отмечено, уравнение корреляционной зависимости дает характеристику связи лишь в среднем. Однако нам уже известно, что средняя величина должна быть дополнена показателями рассеяния, которые дадут возможность выяснить, насколько показательна средняя. Точно так же для оценки степени пригодности рассчитанного уравнения корреляционной зависимости в тех или иных практических целях нужно знать меру рассеяния эмпирических точек относительно найденной нами линии регрессии. Иногда рассеяние эмпирических точек настолько велико, что нет смысла для прогнозов пользоваться рассчитанными уравнениями корреляционной связи, так как погрешность такого прогноза будет чрезвычайно велика. В качестве меры достоверности уравнения корреляционной зависимости используют среднюю квадратическую ошибку уравнения, представляющую собой среднее квадратическое отклонение эмпирических значений относительно значений корреляционного уравнения:
Г п Л
где Sy-— средняя квадратическая ошибка вычисленных значений; Уг — фактические значения результативного признака, полученные по данным наблюдения; у*г — значения результативного признака, рассчитанные по уравнению корреляционной связи и полученные „„л
подстановкой значений факторного признака х в уравнение ух= =a-Ybx; т—число параметров в уравнении.
Чем меньше рассеяние эмпирических "точек вокруг прямой, тем меньше средняя квадратическая ошибка уравнения. Таким образом, величина 8^ служит показателем значимости н полезности прямой, выражающей соотношение между двумя признаками.
Средняя квадратическая ошибка уравнения дает нам возможность в каждом отдельном случае с определенной вероятностью указать, что величина результативного признака окажется в определенном интервале относительно значения, вычисленного по уравнению связи. Покажем определение доверительных границ для результативного признака, т. е. тех границ, в пределах которых с заданной доверительной вероятностью будет находиться теоретическое значение у. Поскольку параметры уравнения регрессии определяются по выборочным данным, являясь функцией наблюденных значений, оценки параметров а и b содержат некоторую г погрешность. Дисперсия значения зависимой переменной, определяемой по уравнению парной зависимости, будет складываться из дисперсии параметра а и дисперсии параметра Ь.
Средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии b определяется по формуле
а ошибка параметра а — соответственно по формуле
SA
8а =,(9.5)
где 5 л для линейной зависимости определится по формуле
5л= V.у г п-2л
Зная дисперсию показателя у и задаваясь уровнем доверительной вероятности, определяем доверительные границы результативного признака при значении факторного признака х0 по формуле
где ta — определяется в соответствии с уровнем значимости а по распределению Стьюдента с (и—2) степенями свободы.
Если нанести доверительные границы на график, то они расположатся выше и ниже линии регрессии в виде ветвей гиперболы, ограничивая доверительную зону (рис. 9.2).
Как видно из приведенной формулы (9.3), расчет средней квадратической ошибки уравнения является весьма трудоемким.
Для упрощения расчета S^ целесообразно воспользоваться слеДля упрощения расчета S^ целесообразно воспользоваться следующей формулой:5лУхдующей формулой:5лУх^УЧи Q^yfll-b^yxfxy^УЧи Q^yfll-b^yxfxyп—т.п—т.(9.3 а)(9.3 а)где а и b являются параметрами уравнения корреляционной зависимости.
Для упрощения расчета S^ целесообразно воспользоваться сле
Для упрощения расчета S^ целесообразно воспользоваться сле
дующей формулой:
5л
Ух
дующей формулой:
5л
Ух
^УЧи Q^yfll-b^yxfxy
^УЧи Q^yfll-b^yxfxy
п—т.
п—т.
(9.3 а)
(9.3 а)
Для нашего примера
О1586,1-5,80-122,63-0,71-1190,4629,6
5 л = — =3,7,
Ух88
откуда S^ = 1,92 тыс. руб./чел.
Например, для уровня энерговооруженности Хо=14,О кВт- •ч/чел.-ч величина средней месячной выработки будет рассчитана л
так: 1) подставляем хо=14,О кВт-ч/чел.-ч в уравнение уж=5,80+ А
+ 0,71х и находим у, =15,74 тыс. руб./чел.; 2) определяем множи
тель Сх,тель Сх,i . (14,0-9,1)= . f 10,44/ ’i . (14,0-9,1)= . f 10,44/ ’0?2 х)-, который будет равен 1,52 X
тель Сх,
тель Сх,
i . (14,0-9,1)= . f 10,44/ ’
i . (14,0-9,1)= . f 10,44/ ’
XX(/(/величину taуД Схо = 2,306•величину taуД Схо = 2,306•1,92 Г То1,92 Г ТоРис. 9.2. Доверительные интервалы линейного уравнения регрессииЗлSAРис. 9.2. Доверительные интервалы линейного уравнения регрессииЗлSA—2. у=а+Ьх; 3. ta--—LCx0У«упс,0=)/" i+J^li .02Х—2. у=а+Ьх; 3. ta--—LCx0У«упс,0=)/" i+J^li .02Х-1,52 = 2,13.По таблицам распределения Стьюдента находим ta = = 2,306 (число степеней свободы равно 8, а=0,05). Следовательно, для уровня энерговооруженности труда х0= 14,0 с вероятностью 95% можно утверждать, что величина средней выработки будет находиться в интервале: 15,74— —2,13^1/^15,74+2,13 или 13,61^ у ^17,87.Выше было отмечено, что методы корреляционного анализа применяют для решения задач обоснованного прогноза. Допустим, что мы, не зная уровня средней выработки рабочих при определенном уровне энерговооруженности труда, должны определить этот показатель. При отсутствии данных о средней выработке рабочих для соответствующих уровней энерговооруженности мы могли йоспользоваться средней вы--1,52 = 2,13.По таблицам распределения Стьюдента находим ta = = 2,306 (число степеней свободы равно 8, а=0,05). Следовательно, для уровня энерговооруженности труда х0= 14,0 с вероятностью 95% можно утверждать, что величина средней выработки будет находиться в интервале: 15,74— —2,13^1/^15,74+2,13 или 13,61^ у ^17,87.Выше было отмечено, что методы корреляционного анализа применяют для решения задач обоснованного прогноза. Допустим, что мы, не зная уровня средней выработки рабочих при определенном уровне энерговооруженности труда, должны определить этот показатель. При отсутствии данных о средней выработке рабочих для соответствующих уровней энерговооруженности мы могли йоспользоваться средней вы-3) для 5 % уровня значимости рассчитываем
X
X
(/
(/
величину taуД Схо = 2,306•
величину taуД Схо = 2,306•
1,92 Г То
1,92 Г То
Рис. 9.2. Доверительные интервалы линейного уравнения регрессии
ЗлSA
Рис. 9.2. Доверительные интервалы линейного уравнения регрессии
ЗлSA
—2. у=а+Ьх; 3. ta--—LCx0
У«уп
с,0=)/" i+J^li .
02Х
—2. у=а+Ьх; 3. ta--—LCx0
У«уп
с,0=)/" i+J^li .
02Х
-1,52 = 2,13.
По таблицам распределения Стьюдента находим ta = = 2,306 (число степеней свободы равно 8, а=0,05). Следовательно, для уровня энерговооруженности труда х0= 14,0 с вероятностью 95% можно утверждать, что величина средней выработки будет находиться в интервале: 15,74— —2,13^1/^15,74+2,13 или 13,61^ у ^17,87.
Выше было отмечено, что методы корреляционного анализа применяют для решения задач обоснованного прогноза. Допустим, что мы, не зная уровня средней выработки рабочих при определенном уровне энерговооруженности труда, должны определить этот показатель. При отсутствии данных о средней выработке рабочих для соответствующих уровней энерговооруженности мы могли йоспользоваться средней вы-
-1,52 = 2,13.
По таблицам распределения Стьюдента находим ta = = 2,306 (число степеней свободы равно 8, а=0,05). Следовательно, для уровня энерговооруженности труда х0= 14,0 с вероятностью 95% можно утверждать, что величина средней выработки будет находиться в интервале: 15,74— —2,13^1/^15,74+2,13 или 13,61^ у ^17,87.
Выше было отмечено, что методы корреляционного анализа применяют для решения задач обоснованного прогноза. Допустим, что мы, не зная уровня средней выработки рабочих при определенном уровне энерговооруженности труда, должны определить этот показатель. При отсутствии данных о средней выработке рабочих для соответствующих уровней энерговооруженности мы могли йоспользоваться средней вы-
работкой рабочих по главку. Точность последующих расчетов будет зависеть от степени рассеивания индивидуальных значений выработки вокруг средней, которая оценивается величиной среднего квадратического отклонения.
тавит 12,263 тыс. руб. ^тавит 12,263 тыс. руб. ^В нашем примере средняя месячная выработка по главку сос- 122,63 \
тавит 12,263 тыс. руб. ^
тавит 12,263 тыс. руб. ^
———I ■, а среднее квадратическое откло
нение — соотв.етственно 2,88 тыс. руб.:
,^2^_ _ (у)2= V1586’! — 12.263210V 10
Но возможен и другой подход к определению средней выработки рабочих, основанный на использовании уравнения корреляционной зависимости. Какой же из предлагаемых вариантов окажется предпочтительнее и целесообразно ли использовать уравнение корреляционной зависимости для определения уровня средней выработки при условии, что известен уровень энерговооруженности? Ответ на эти вопросы может дать сопоставление средней квадратической ошибки уравнения Sy и среднего квадратического отклонения эмпирических значений функции Sy. В нашем примере величина средней квадратической ошибки уравнения меньше среднего квадратического отклонения p(SyA = l,92 тыс. руб., а Sy =2,88 тыс. руб.), а потому дальнейшие вычисления на основе уравнения корреляционной зависимости будут более точными, чем вычисления, базирующиеся на величине средней выработки по главку.
Величину средней квадратической ошибки уравнения можно использовать и при выборе, вида той или иной функции в качестве уравнения связи. Допустим, что в качестве функции, характеризующей зависимость уровня средней выработки от энерговооруженности труда, мы избрали параболу второго порядка
Ух=Со+Я[Х+02-к2 •
Параметры уравнения параболы а0, «1 и я2 находим путем решения следующей системы нормальных уравнений:
^У/у^йоП + с^х^+ЯзЕх2^ ; ^ух\Ху=а^х\х-\-ах^х^х-\-а.^хЧх ; Syxzfxy=а^хЧх+a{Sx^x+а^х^к .
Некоторые из сумм были подсчитаны ранее (см. табл. 9.4). Приведем расчет ЯухЧху, Zxsfx и 2х4Д:
2 УхЧху=9,905 • 30,25 ■ 3 + 9,905 -72,25-2 + 12,855 • 72,25 • 2 +
+ 12,855 • 210,25 -1 + 15,805 -132,25 -1 +18,755 • 210,25=
= 12893,7;
Sx^ = 166,4 • 3+614,1 • 4 + 1521 • 1 + 3048,3 • 2 = 10572,8; 2x^=915,0-3 + 522,0-4+17470-1 +44190-2= 110683.
Используя рассчитанные суммы, составляем систему уравнений:
122,63 = 1 Оао + 91 «1 + 932,5а2;
1190,46=91 а0+932,5а,+10572, 8а2;
12893,75=932,5а0+10572,8а!+ 1Ю683а2 .
Решив систему уравнений, получим:
а0=5,961; а! = 0,672; а2 = 0,002.
Уравнение параболы применительно к приведенному примеру будет выглядеть так:
Ух=5,961 + 0,672х+0,002х2 •
Величина средней квадратической ошибки уравнения параболы, рассчитанная по формуле
сГ^41—ciollyfn—ai^yxfXy—агЭДкЧхц
о Л = I /,,
у |п — т
равна 2,046. Сравнив эту величину со средней квадратической ошибкой уравнения прямой (S^ =1,92), мы видим, что предпочтение следует отдать уравнению линейной зависимости.
Из криволинейных зависимостей наряду с параболой второго порядка на'практике используют и гиперболическую зависимость. Уравнение гиперболы имеет вид
Л Ь
Ух=аА•
X
Параметры уравнения гиперболы а и b находят путем решения следующей системы нормальных уравнений:
1
2 у=ап-\-Ь 2 — ,
S —=аХ — +Ь2— .
XXX-
Вообще говоря, выбор типа уравнения корреляционной зависимости является важной и одновременно сложной задачей.
Для выбора и обоснования типа кривой можно воспользоваться эмпирической линией связи, но при этом число эмпирических данных должно быть достаточно велико. Можно также использовать опыт предыдущих исследований, и там, где выбранные формы уравнений связи давали удовлетворительный результат, можно рекомендовать их использовать и в дальнейшем.
ИЗМЕРЕНИЕ ТЕСНОТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ СВЯЗИ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРИЗНАКАМИ
Показатели тесноты связи дают возможность охарактеризовать степень зависимости вариации результативного признака от вариации признака-фактора. В известной мере они дополняют и развивают уже отмеченные приемы обнаружения связи.
Зная показатели тесноты корреляционной связи, мы„ сможем: 1) ответить на вопрос о необходимости изучения данной связи и целесообразности ее практического применения; 2) сопоставляя показатели тесноты связи для различных ситуаций, судить о степени различий в ее проявлении для конкретных условий; 3) и, наконец, сопоставляя показатели тесноты связи результативного признака с различными факторами, выявить те факторы, которые в данных конкретных условиях являются решающими и воздействуют на формирование величины результативного признака.
К простейшим показателям степени тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков (коэффициент Г. Фехнера), основанный на оценке степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений аргумента и функции от соответствующих средних. Для расчета этого показателя вычисляют средние значения результативного и факторного признаков, а затем проставляют знаки отклонений для всех значений взаимосвязанных признаков. Если число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней обозначить по, а число несовпадений знаков отклонений пь, то коэффициент Г. Фехнера можно записать таким образом:
- ■ Кф=2^_. (9.7)
Коэффициент Фехнера может принимать различные значения в пределах от —1 до +1. Если знаки всех отклонений совпадут, то щ>=0 и тогда показатель будет равен 1, что свидетельствует о несомненном наличии прямой связи. Если же знаки всех отклонений будут разными, тогда па=0 и коэффициент Фехнера будет равен —1, что свидетельствует о наличии обратной связи. .
Рассмотрим расчет Кф на примере, приведенном в табл. 9.5.
Т а б л и ц а 9.5
Порядковый номер предприятия
Энерговооруженность, кВт ■ ч/чел.-ч
Средняя месячная выработка рабочего, тыс. руб., чел.
Знак отклонений индивидуальной величины признака от средней
Совпадение (о) ^ и несовпадение знаков (6)
для х
для у
I
2
3
4
5
6
1
4,0
8,43
—
—
а
2
4,3
9,79
—
—•
а
3
6,7
9,06
—
—
а
4
7,4
11,01
.—
—.
а
5
7,7
12,69
—-
•—
а
6
8,3
10,55
—
+
b
7
9,6
10,12
+
—■
b
8
12,1
14,58
+
+
а
9
15,0
14,18
+
+
а
10
16,0
20,22
+
+
а
Итого
91,1
121,63
Средний уровень энерговооруженности труда составит (х) 9,11 кВт-ч/чел.-ч, а средний уровень месячной выработки—(у) 12,163 тыс. руб./чел. В графах 4 и 5 табл. 9.5 указаны знаки отклонений значений признаков от средней. Используя данные графы 6, g2
получим Па=^ Пъ = 2. Тогда Кф= 1=+0»6. Полученная вели-
8 + 2
чина коэффициента Фехнера свидетельствует о том, что между уровнем энерговооруженности труда и средней месячной выработкой рабочих можно предполагать наличие прямой зависимости. Как видно из приведенной формулы для расчета коэффициента Фехнера, величина этого показателя не зависит от величины отклонений факторного н результативного признаков от соответствующей средней величины. Поэтому нельзя говорить о степени тесноты корреляционной связи, а тем более об оценке ее существенности на основании только коэффициента Фехнера. При малом объеме исходной информации коэффициент Фехнера практически решает ту же задачу, которая ставится при построении групповых и корреляционных таблиц, т. е. отвечает на вопрос о наличии и направлении корреляционной связи между признаками. В том случае, если построена корреляционная или же групповая таблица, дополнительный расчет коэффициента Фехнера не имеет практической ценности.
Более совершенным показателем степени тесноты связи является линейный коэффициент корреляции Го1. При расчете этого показателя учитываются не только знаки отклонений индивидуальных значений признака от средней, но и сами величины таких от> клонений, т. е. соответственно для факторного и результативного признаков величин Хг—х и уг—у. Однако непосредственно сопоставлять между собой полученные абсолютные величины нельзя, так как сами признаки могут быть выражены в разных единицах (например, тарифный разряд и уровень средней выработки в рублях), а при наличии одних и тех же единиц измерения средние могут быть различны по величине. В этой связи сравнению могут подлежать отклонения, выраженные в относительных величинах, т. е. в долях среднего квадратического отклонения. Так, для факторного признака будем иметь совокупность величин tx .=;-£—- , а для результативного 1У1 = ^ ^ е Полученные таким образом нормированные отклонения можно сравнивать между собой. Для того чтобы на основе сопоставления рассчитанных нормированных отклонений получить обобщающую характеристику степени тесноты связи между признаками для всей совокупности,, рассчитывают среднее произведение нормированных отклонений. Получен-
Коэффициент корреляции был предложен английскими статистиками Ф. Гальтоном и К. Пирсоном.
ная таким образом средняя и будет являться линейным коэффи
циентом корреляции г.
п
2 t t
пп! xi vi
п
п
ИЛИ поскольку Ох И Оу для данных рядов являются постоянными и могут быть вынесены за скобку, то формула линейного коэффициента корреляции приобретает следующий вид:
2 ^xi—x)^i-y)
(9.8)(9.8)1•
(9.8)
(9.8)
ПОхОу
Используем данные табл. 9.1 и покажем этапы расчета линейного коэффициента корреляции.
Т а б л и ц а 9.6
Порядковый номер предприя-- ТИЯ |
Уровень энерговооруженности труда, кВт • ч/чел.-ч
Х1
Уровень средней месячной выработки, тыс. руб./чел.
У/
Xf —X
(^ -Х)=
У* —у
W -^*
'П
£ X
1
2
3
4
5
6
7
8"
1
4,0
8,43
-5,11
26,11
—3,733
13,94
4-19,076
2
4,3
9,79
—4,81
23,14
—2,373
5,63
+ 11,41g
3
6,7
9,06
—2,41
5,80
—3,103
9,63
4- 7,478
4
7,4
11,01
—1,71
2,92
—1,153
1,33
4- 1,972
5
7,7
11,69
—1,41
1,99
—0,469
0,22
4- 0,661
6
8,3
12,55
—0,81
0,66
4-0,387
0,15
- 0,313
7
9,6
10,12
0,49
0,24
—2,042
4,17
— L001
8
12,1
14,58
2,99
8,94
+2,417
5,84
4- 7,227
9
15,0
14,18
5,89
34,69
4-2,017
4,07
4-11,880
10
16,0
20,22
6,89
47,47
4-8,057
64,91
4-55,513
Итого
91,1
121,63
151,969
109,897
113,905
По итоговым данным графы 2 и графы 3 определим: х= = 9,11кВт; у= 12,163 тыс. руб.
1—Х)2-7
ох— у—=у 15,1969=3,897 кВтчч/чел.-ч;
°у = ^/^^^-^—=у 10,9897=3,316 тыс. руб./чел.;
— +113»905 _Го-3,897-3,316°»881-
Знак линейного коэффициента корреляции указывает на направление связи — прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратной зависимости — знак минус.
Можно показать, что линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от —1 до +1. Чем х ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Полученная величина линейного коэффициента корреляции свидетельствует о наличии ‘достаточно тесной прямой зависимости между рассматриваемыми7 признаками. Вычисление коэффициента корреляции по указанной формуле (9.8) является трудоемкой операцией. Выполнив несложные преобразования, можно получить следующую формулу для расчета линейного коэффициента корреляции:
(9.8а)(9.8а)П^ху—^х.^уг= ■ ■ '..■ —
(9.8а)
(9.8а)
}№- (5W4 [«^-(Zl/)2]"
При пользовании этой формулой отпадает необходимость вычислять отклонения индивидуальных значений признаков от средней величины. В тех случаях, когда исходная информация представлена в виде корреляционной таблицы, нужно учитывать частоты повторений'как индивидуальных значений аргумента и функции, так и число повторений данного сочетания значений аргумента и функции. При расчете линейного коэффициента корреляции по корреляционной таблице формула (9.8а) имеет такой вид:
«Х^ху-^х-^УГиг=• — '(9-8б1
У№2/х-(2^)2] МЕ^-М)2]
Существенное упрощение расчетов достигается при использовании метода отсчета от условного нуля.
как известно, в этом случае мы определяем отклонения вариантов значения признака не от их средних арифметических, а от произвольно выбранного начала отсчета (Лж—для вариантов значений факторного признака и Ау— для вариантов значений результативного признака).
Если мы обозначим: ах— отклонения индивидуальных значений факторного признака х от принятого начала отсчета в долях интервала по х (т. е. величина ах=—‘; х- ) и % — отклонения ix индивидуальных значений результативного признака от принятого начала отсчета в долях интервала по у (ау= У^Ау ^ то ВЬ]ЧПС.
^у
ление коэффициента корреляции по корреляционной таблице с использованием условных отклонений осуществляется по следующей формуле:
гг5схау(хк 2ах(х"5ау^!/..-
Г= -■ - —■ ■■■•(9.8в)
У№Н№1 №^„-^^ '
Для расчета воспользуемся корреляционной табл. 9.4. В качестве условного начала отсчета для ряда распределения значений х и у примем центральное значение второго интервала, т. е. Лж= = 8,5; Лу= 12,855.
Тогда табл. 9.4 примет следующий вид:
Т а б л и ц а 9.7
Су
-1
0
+1
+2
ах
Xi'
9,905
12,855
15,805
18,755
#г
ах #х
°’х fx
—1
0
+1
+2
5,5
8,5
11,5
14,5
3
2
2
1
1
1
3
4
1
2
—3 0
1
4
3
0
1
8
#У
5
3
1
1
10
2
12
“У /у
«2у /у
5
0
0
+ 1
1
+2
4
—2
10
Sc^^y/xy—ЬЗ+1 + 4—8; Haxfx=2 ; Sflyfy——2;
№fx=12; ZaVy= 10; Sf„=2fy= 10. *
Подставив вычисленные значения в формулу (9.86), получим линейный коэффициент корреляции, равный +0,795:
82(-2)
108+0,48,4
г= == 0,795.
Коэффициент корреляции в обобщенной форме дает представление о фактах, на основе которых он получен. Поэтому нужно помнить, что величина коэффициента корреляции зависит от выбора единицы наблюдения, если эта единица принадлежит к числу изменяемых. Чтобы яснее было дальнейшее изложение, введем понятие неизменяемых и изменяемых единиц наблюдения. Неизменяемые единицы наблюдения — единицы, по которым непосредственно фиксируются признаки, выражающие свойства этих единиц. Например, фиксируется уровень часовой производительности труда у рабочих разной квалификации. В этом случае единицей наблюдения является отдельный рабочий.
Изменяемые единицы наблюдения — это производные группы единиц, полученные на основе статистических расчетов. Так, продолжая приведенный выше пример, можно сгруппировать рабочих по уровню квалификации и определить уровень средней часовой
выработки рабочих одной и той же квалификации. Грубой ошибкой является расчет коэффициента корреляции между средними значениями факторного и результативного признаков, представленных в групповой таблице. Как правило, величина коэффициента корреляции, рассчитанного по средним групповой таблицы, близка к единице, тогда как действительная степень тесноты связи может быть значительно ниже. Объяснение различий в величинах коэффициентов корреляции следует искать в ослаблении по группам влияния прочих, не учитываемых нами причин, «случайных» по отношению к уровню факторного признака. Чем большее число единиц будет объединено в группу, тем относительно меньше будет подвержена действию случайных факторов группа в целом, поскольку результаты действия случайных факторов имеют тенденцию взаимно погашаться. В таких случаях действительная теснота корреляционной зависимости преувеличивается. Поэтому правильные выводы о степени тесноты связи мы можем сделать, коррелируя значения признаков по неизменяемым единицам наблюдения, т. е. следует коррелировать не средние значения факторного и результативного признаков по выделенным группам, а величины этих признаков, полученные в результате наблюдения у отдельных единиц совокупности.
Зная линейный коэффициент корреляции, оценивающий степень тесноты связи между изменениями аргумента х и функции у, л
можно определить коэффициент регрессии в уравнении ум=а + Ьх по следующей формуле:
ь = г—’(9.9)
где оу и Ох — средние квадратические отклонения соответственно значений результативного и факторного признаков.
Наличие соотношения (9.9) дает возможность производить вычисление коэффициента корреляции и параметров уравнения линейной регрессии одновременно.
Воспользуемся данными примера, приведенного на с. 180 для расчета параметров уравнения линейной зависимости. Расчет показателей по сгруппированным данным привел к таким результатам: аж=3,23; оу = 2,88; г=0,795. Тогда в=0,795- 2,88■ —о71 • а—У—Ьх= 12,265—0,71-9,1 = 5,8. И уравнение линейной зависимости уровня средней месячной выработки от уровня энерговоору- л
женности труда примет вид: уж=5,80+0,71%.
Оценка степени тесноты связи с помощью коэффициента корреляции производится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении. В этой связи возникает вопрос о том, насколько правомерно наше заключение о действительном наличии корреляционной связи в той совокупности, из которой была произведена выборка. Принципиально возможны случаи, когда отклонение, от нуля полученной величины
выборочного коэффициента корреляции оказывается целиком обусловленным неизбежными случайными колебаниями тех выборочных данных, на основании которых он вычислен. Особенно осторожно следует подходить к истолкованию полученных коэффициентов корреляции при незначительных объемах выборочной совокупности. В этой связи и возникает необходимость оценки существенности линейного коэффициента корреляции, дающая возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность. В зависимости от объема выборочной совокупности предлагаются различные методы оценки существенности линейного коэффициента корреляции.
В отношении приводимых ниже критериев существенности мож- . но сделать общее замечание, касающееся свойств исходной сово
купности. Этим свойством является нормальное распределение значений признака в исходной совокупности.
Рассмотрим следующие критерии, предлагаемые в статистиче
ской литературе:
При большом объеме выборки, отобранной из исходной нормально распределенной совокупности, можно считать распределение линейного коэффициента корреляции приближенно нормальным со средней, равной г, и дисперсией о2г= ^ » и тогда
средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции равна:
(9.Ю)
где г — линейный коэффициент корреляции, полученный по данным выборки; п— объем выборки.
Если величина линейного коэффициента корреляции превышает величину средней квадратической ошибки более чем в taOr раза, то можно говорить о существенности выборочного коэффициента корреляции, где а— уровень значимости 0,01 или 0,05. Если же отношение—^-окажется меньше ta, то с вероятностью ° г
(1—а) следует предполагать отсутствие корреляционной связи в генеральной совокупности. Доверительный интервал для коэффициента корреляции будет записан так:
1—г21—г2
f — ta -, — ^ Гген^ Г + ta— •
]/п—1У«-1
где ггев — значение коэффициента корреляции в генеральной совокупности.
При малых объемах выборки и линейном коэффициенте корреляции, близком к 1, использование средней квадратической ошибки по формуле (9.10) в качестве критерия существенности г оказывается невозможным в силу того, что распределение выборочного г может значительно отличаться от нормального. •
Для малого объема выборочной совокупности рекомендуется критерий проверки гипотезы об отсутствии корреляционной свя-
зи между исследуемыми переменными, предложенный Р. Фи
шером. Используется тот факт, что величина /расч = -^==гпри условии г=0 распределена по закону Стьюдента с (п—2) степенями свободы. Полученную величину /расч сравнивают с таблич
ным значением /-критерия (число степеней свободы равно п—2). Если рассчитанная величина /расч превосходит табличное значение
отличается существенно от нуля.отличается существенно от нуля.критерия /, то практически невероятно, что найденное значение г обусловлено только случайными совпадениями х и у в выборке из генеральной совокупности, для которой действительное значение коэффициента корреляции равно 0. Если же вычисленная величина /Расч меньше, чем в таблице, то полагают, что коэффициент корреляции в генеральной совокупности в действительности равен нулю и соответственно эмпирический коэффициент корреляции не
отличается существенно от нуля.
отличается существенно от нуля.
Применим указанный метод к оценке существенности корреляции между уровнем энерговооруженности труда и уровнем средней месячной выработки. При объеме выборки, равном 10, и при условии, что величина коэффициента корреляции равна 0,881, получим:
,0.881-—— 0,881.1/8
/расч — —/===У10— 2 =——= 4,1 1.
yi—0.08120,368
В таблице для числа степеней свободы к=п—2 = 8 и уровня значимости 1% находим, что /=3,355*. Таким образом, лишь с вероятностью, меньшей 1%, можно утверждать, что величина /= =4,11 могла появиться в силу случайностей выборки. Такое событие является маловероятным, а потому можно считать, что в генеральной совокупности действительно существует прямая зависимость между изучаемыми признаками, т. е. отличие выборочного коэффициента корреляции от нуля является существенным.
Проверку гипотезы об отсутствии связи можно сделать и без вычислений, пользуясь таблицей, составленной Р. Фишером. В этой таблице показывается величина коэффициента корреляции, которая может считаться существенной при данном количестве наблюдений. При пользовании этой таблицей величину коэффициента корреляции следует искать для числа степеней свободы, равного п—2.
Краткую выдержку из таблицы2 значений коэффициентов корреляции при различных уровнях критерия значимости приводим в табл. 9.8.
Таблица 9.8
л-2
а=0,05
а=0,02
«—0,01 ।
п-2
а—0,05
а=0,02
4-0,01
4
0,8114
0,8822
0,9172
40
0,3044
0,3578
0,3972
8
0,6319
0,7155
0,7646
50
0,2732
0,3218
0,3541
10
0,5760
0,6581
0,7079
60
0,2500
0,2948
0,3248
13
0,5139
0,5923
0,6411
70
0,2319
0,2737
0,3017
18
0,4438
0,5155
0,5614
80
0,2172
0,2565
0,2830
20 .
0,4227
0,4921
0,5368
90
0,2050
0,2422
0,2573
25
0,3809
0,4451
0,4869
100
0,1946
0,2301
0,2510
30
0,3494
0,4093
0,4487
В приведенном выше примере коэффициент корреляции для оценки тесноты связи между уровнем энерговооруженности труда и средней месячной выработкой рабочих был рассчитан всего по 10 данным. По табл. 9.9 находим, что коэффициент корреляции по данным выборки должен быть по крайней мере не ниже 0,7646, для того чтобы он мог считаться существенным при уровне значимости а=0,01. При уровне значимости а=0,05 можно говорить о значимости действительной связи при коэффициенте корреляции, равном или более 0,6319. По расчету линейный коэффициент корреляции получился равным 0,881. Сравнение расчетного и табличных значений линейного коэффициента корреляции дает основание предполагать действительное наличие связи между изучаемыми признаками в генеральной совокупности.
В тех случаях, когда линейный коэффициент корреляции, полученный по данным относительно малой выборки, близок к единице (г^0,8) для проверки его существенности рекомендуется метод преобразованной корреляции, предложенный Р. Фишером. Р. Фишер показал, что распределение логарифмической функции линейного коэффициента корреляции (обозначается эта функция г) приближается к нормальной кривой даже для выборок очень небольшого объема:
z=4-[ln(l +г) -1п(1-г)]=-^-1п-^-*
Средняя квадратическая ошибка г-распределения зависит только от объема выборки и определяется по формуле
Пг = -^=-’(9.П)
уп—3
По таблице соотношений между г и z, дающей возможность избежать вычислений логарифмов, находим, что коэффициенту корреляции 0,881 соответствует z=l,38. Для числа наблюдений п= 10
ую-3 у7 2,646
отношение г к средней квадратической ошибке ог равно 3,65 (1,38: : 0,378). Характеристику ог можно рассматривать как среднее квадратическое отклонение нормального распределения. Поскольку отношение ~~ оказалось больше трех, можно полагать действи- тельное наличие связи между признаками в генеральной совокупности.
Коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тесноты связи лишь в случае наличия линейной зависимости между признаками. При наличии же криволинейной-зависимости линейный коэффициент корреляции преуменьшает степень тесноты связи и даже может быть равен 0, а потому в таких случаях рекомендуется использовать в качестве показателя степени тесноты связи эмпирическое корреляционное отношение1 тр Расчет корреляционного отношения основан на известной теореме сложения дисперсий. Общая дисперсия результативного признака (о20) может быть разложена на две составляющие. Первая составляющая— межгрупповая дисперсия 62 — характеризует ту часть колеблемости результативного признака, которая складывается под влиянием изменения признака-фактора, положенного в основу группировки
h — —
X (Уз—у»Уп4
I
где Уз — средние значения результативного признака в соответствующих группах; уо — общая средняя .для всей совокупности; П) — число наблюдений в соответствующей группе; к — число выделенных групп. Вторая составляющая — средняя из внутригрупповых дисперсий o2j — оценивает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием других случайных причин.
5 п$1
где o-j — дисперсия результативного признака в соответствующей группе.
Общая дисперсия о^ равна: 0q=62+o2 . Зная общую и меж- групповую дисперсии, можно оценить ту долю, которую составляет вариация функции под действием фактора х в общей вариации ре- зультативного признака у, т. е. найти отношение . Извлекая °2о
Показатель был предложен в 1896 г. К. Пирсоном.
квадратный Корень из этого отношения, получим корреляционное .отношение
'. Ч- /^ •'- '(9.12)
Величина корреляционного отношения может быть рассчитана и по следующей формуле:
• n=l/i--4--<912а)
ао
Величина корреляционного отношения будет равна нулю, когда нет колеблемости в величине средних по выделенным группам. В тех случаях, когда внутригрупповая дисперсия близка к нулю, т. е. вся вариация результативного признака обусловлена действием фактора х, величина корреляционного отношения близка к L Направление связи мы легко устанавливаем по данным групповой и корреляционной таблиц.
Воспользуемся данными групповой табл. 9.3 для иллюстрации расчета величины корреляционного отношения.
Таблица 9.9
Группы предприятий по уров -ю энерговооруженности ipvaa, кВт - ч чел -ч
Число предприятий в группе nj
Средняя месячная выработка в группе, тыс. руб./чел.
>7
(У/ -УоР
(у) -у..)^у
1
2
3
4
5
4 0—7 0
3
У,093
9,425
28,275
7,0—10.0
4
11,343
0,672
2,688
$6,0-13,0
1
14,580
5,842
5,842
13,0—16,0
2
17,200
25,370
50,740
Итого
10
12,163
87,545
Средняя выработка по всем 10 предприятиям составит 12,163 тыс. руб./чел. Обозначим ее величину у0. Величина общей дисперсии выработки будет равна:
а2 =у2_ (уо)2_ 158,928-12,1632= 10,99.
Сумма квадратов рассчитана по первичным данным табл. 9.1.
Используем итог графы 5 табл. 9.10 для расчета межгрупповой дисперсии.
62= —^— = 8,7545 = 8,755.
Следовательно, величина корреляционного отношения для рассматриваемого примера составляет:
_/ 8,755
1035- -№796 - 0,892.
Следует отметить, что вычисление корреляционного отношения возможно лишь при наличии достаточно большого числа данных, которые представлены либо в форме корреляционной, либо в форме групповой таблицы. Вычисление корреляционного отношения при малодо числе наблюдений в каждой группе лишается смысла.
Определенный интерес представляет сопоставление величины линейного коэффициента корреляции и корреляционного отношения. Сравнив полученную величину корреляционного отношения с величиной линейного коэффициента корреляции г=0,881, полученной при расчете по несгруппированным данным, можно видеть, что т] незначительно больше г. Когда связь между переменными уклоняется от линейной формы, то т; и г несколько отличаются по величине, причем г] всегда больше г по абсолютной величине1.
Сопоставление линейного коэффициента корреляции и эмпирического корреляционного отношения имеет смысл только в случае, когда эти показатели вычислены для одинаковым образом сгруппированных данных, т. е. при сравнении и коэффициент корреляции и корреляционное отношение должны быть вычислены либо по данным корреляционной таблицы, либо по первичным данным и групповой таблице.
При проверке возможности использования линейной функции, в качестве формы уравнения определяют разность квадратов у2— —г2, и если эта разность менее 0,1, то считается возможным применить линейное уравнение корреляционной зависимости. В нашем случае разность квадратов корреляционного отношения и линейного коэффициента корреляции равна 0,0192. (т)2—/-2=0,8922— —0,8812=0,7957—0,7762), что значительно меньше 0,1.
Более строгая проверка гипотезы о линейности связи может быть осуществлена с помощью величины w2, определяемой отно
шением:
(9.13)(9.13)-t]2—г2 1—г)2
(9.13)
(9.13)
w2=:
к—2 п—к
где к — число групп, на которые разбит диапазон значений факторного признака.
Величина су2 имеет F-распределение с числом степеней свободы числителя (к—2) и знаменателя (и—к).
Рассчитаем w2 для приводимого нами примера:
0.8922—0.8812 1—0,§922ш2=:4—210—40.8922—0.8812 1—0,§922ш2=:4—210—40,01950,0195, 0,2043, 0,2043= 0,2874.= 0,2874.
0.8922—0.8812 1—0,§922
ш2=:
4—210—4
0.8922—0.8812 1—0,§922
ш2=:
4—210—4
0,0195
0,0195
, 0,2043
, 0,2043
= 0,2874.
= 0,2874.
= 2,457:3,742= 2,457:3,742
= 2,457:3,742
= 2,457:3,742
Зададимся уровнем значимости а=0,05 и определим по таблицам /•'-распределения табличное значение /•'-критерия при заданном уровне значимости и числе степеней свободы числителя, равном 2, и знаменателя, равном /?Табл = 5Д4.
Так как w2 оказывается значительно меньше табличного значения F-критерия, то нулевая гипотеза о возможности использования в качестве уравнения регрессии линейной функции не опровергается. Если же w2 окажется больше Етабл, то гипотезу о линейном виде уравнения регрессии следует считать необоснованной.
Проверка гипотезы об общем виде уравнения корреляционной зависимости может быть основана на критерии, использующем конкретный вид уравнения регрессии. В случае правильного выбора вида уравнения регрессии величина
к А
2 2 кУч-уА1 5 = 1 i=l2 2 кУч-уА1 5 = 1 i=lUJi-yxVn, j=i k — m
2 2 кУч-уА1 5 = 1 i=l
2 2 кУч-уА1 5 = 1 i=l
должна иметь /•'-распределение с числом степеней свободы числителя (6—т) и знаменателя (п—А), где п — общее число наблюдений; к— число групп, на которые разбивают диапазон значений факторного признака; п,— число наблюдений в /-й группе; т—число параметров в уравнении регрессии; у,—среднее значение резуль- л
тативного признака в /-й группе; ух/—значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии и полученные подстановкой средних значений факторного признака в уравнение для /-Й группы.
Первое отношение характеризует меру рассеивания групповых средних вокруг линии регрессии, а второе — меру рассеивания эмпирических данных вокруг групповых средних, т. е. если в первом случае рассеивание будет зависеть от выбранного вида линии регрессии, то во втором случае мы имеем меру, независимую от выбранного вида регрессионной линии.
Для проверки гипотезы о линейности связи, т. е. о возмож- Л
ности использования уравнения вида у=а + Ьх; т=2.
Используем данные табл. 9.3 и графы 11 табл. 9.4 для расчета величины (см. табл. 9.10)
ktii-yxyn,
k-m
Основываясь на теореме сложения дисперсий и используя К «1_
расчеты, приведенные на с. 200, определим 2 2 (уц—у,)2 по фор
муле (1—у2)о02 'п= (1—0,892)2-10,99-10=2^453^
4,913 22,453 4-2 'То-Т4,913 22,453 4-2 'То-ТТогда расчетное значение отношения (14) будет равно 0,657.
4,913 22,453 4-2 'То-Т
4,913 22,453 4-2 'То-Т
Таблица 9.10
Группы предприятий по уровню энерговооруженности труда, кВт • ч чел.-ч
Число предприятий в группе nj
Среднее значение результативного признака в группе, тыс. руб., чел.
У/
Л
к^х,? лу
1
2
3
4
5
4,0— 7,0
3
9,093
9,705
1,125
7,0—10,0
4
11,343
11,835
0,968
10,0—13,0
1
14,580
13,965
0,378
13,0-16,0
2
17,200
16,095
. 2,442
Итого
10
12,163
4,913
Табличное значение F-критерия (при уровне значимости а=0,05 и числе степеней свободы числителя, равном 2, и знаменателя, равном 6) составляет 5,14. Поскольку расчетное значение 0,657 значительно меньше табличного 5,14, гипотеза о линейности связи не опровергается.
Для оценки степени тесноты связи в условиях избранной нами формы уравнения используется показатель, называемый индексом корреляции:
2 [У<-У*.]2 112 [У<-У*.]2 11S (у.-у)2S (у.-у)2(9 15)(9 15)
2 [У<-У*.]2 11
2 [У<-У*.]2 11
S (у.-у)2
S (у.-у)2
(9 15)
(9 15)
Индекс корреляции изменяется в пределах от 0 до 1. Если *ух=0, то это означает, что между переменными нет связи, или если она и существует, то не может быть охарактеризована избранной кривой.
Если же i^ = l, то это означает, что связь в данном случае совершенно точно описывается избранной кривой.
Для рассматриваемого выше примера индекс корреляции будет равным 0,88:
U =УхU =Ух,29,6
U =
Ух
U =
Ух
1=0,88.
82,9
Величина индекса корреляции очень незначительно отличается от величины линейного коэффициента корреляции (г=0,881), что свидетельствует о достаточно обоснованном выборе в качестве формы уравнения прямой линии. На величину индекса корреляции влияет соотношение между числом исходных данных (объем выборки) и числом параметров в корреляционном уравнении. Поэ-
тому следует внести поправку в величину индекса корреляции по следующей формуле:
2г2/ л—1 \ 1
U =1— (1—1л ) ( —— ) ,(9.15а)
Ух скор|Ух I ^ ^ / I
где т — число параметров в уравнении связи (для нашего примера т = 2).
м= 1 - (1 -0,7744) ( 2£Z1 \ = 1 _ 0,2256 — = 0,7462,
Ух скору 10—2 J'S
откуда г*л =0,8638.
Ух скор
При рассмотрении индекса корреляции следует.иметь в виду зависимость величины этого показателя от того, какая форма линии регрессии нами была избрана. Поэтому индекс корреляции в известной мере следует считать не показателем степени тесноты связи между изучаемыми признаками, а показателем степени близости выбранной теоретической линии регрессии к фактическим данным.
КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ РАНГОВ
Применение линейного коэффициента корреляции для оценки степени тесноты связи между признаками особенно в той части, которая связана с оценкой его существенности, является обоснованным лишь в условиях нормального или близкого к нормальному распределению признаков в изучаемой совокупности. Кроме того, как видно из приводимых выше формул, для определения величины линейного коэффициента корреляции необходимо знать численные значения соответствующих величин аргументов и функции. В некоторых же случаях мы можем встретиться с такими качествами, которые не поддаются выражению числом единиц. Эти обстоятельства заставляют прибегать к использованию так называемых «непараметрических» методов, позволяющих измерить интенсивность связи как между количественными признаками, форма распределения которых отличается от нормальной, так и между качественными признаками. В основу непараметрических методов положен принцип нумерации вариант статистического ряда. Каждой единице совокупности присваивается порядковый номер в ряду, который будет упорядочен по уровню признака. Таким образом, ряд значений признака ранжируется, а номер каждой отдельной единицы считается ее рангом. Можно получить предварительное представление о наличии или отсутствии связи между признаками, если сопоставить последовательность взаимного расположения рангов факторного и результативного признаков. Для этого ранги индивидуальных значений факторного признака располагают в порядке возрастания, и если ранги результативного признака обнаруживают тенденцию к увеличению, можно предполагать наличие прямой связи; если же с увеличени-
ем величины рангов факторного признака величины рангов результативного признака уменьшаются, то это свидетельствует о возможном наличии между изучаемыми признаками обратной связи.
Коэффициенты корреляции, основанные на использовании рангов, были предложены К- Спирмэном и М. Кендэлом. Коэффициент корреляции рангов Спирмэна основан на рассмотрении разности рангов значений аргумента и функции d. Рассчитаем дисперсию переменной d, соответствующей разности между рангами переменной х и у, т. е.
di=X;—Уг • где 1=1,2,3п.
Рассмотрим дисперсию переменной d—о2:
а2 =_L(^2, где d=x-y. -
Подставим вместо di величины Xi—у, и вместо d разность х—у. Тогда
1 П\2 Xi Уг-хуп 1/1 П\2 Xi Уг-хуп 1/Х^-уЛ1" о2 — _1(х—у\г=ср + о2 — 2 dПX у
1 П\
2 Xi Уг-ху
п 1/
1 П\
2 Xi Уг-ху
п 1/
Как известно, линейный коэффициент корреляции можно определить по формуле '1 п
L*i»i-xy
л 1
Тогда последнее слагаемое можно записать так: / 1 «— \
^— 2 ХгУг — Ху j =2rxy Qxov ,
откуда
OZd — О2х 2Гзсу(ТхОу + О2у<
и222
Ox +Оу -Od
Г^=—^(9161
Применительно к рангам значений аргументов "и функции о^ и Оу характеризуют дисперсию натурального ряда чисел от 1 до у, которая составляет^- (у2—1), а х=у= ^1
Отсюда дисперсия разности рангов
°d = "Г Z кх1-УгУ- кх-УУ= "7Г 2 (хг— У^У ■ 11
Подставим величины о2, и о2 =о2
х ах . у
в формулу (9.16). Тогда
.п 2♦
62 d«
Гж«= 1 ~ «(Л?-!)
и получим формулу коэффициента корреляции рангов Спирмэна, который часто обозначают р:
”2
6 2d>
р=1 (9.17)
Рп(п2—1)'
Рассмотрим определение коэффициента Спирмэна на следующем примере. Для построения многофакторной корреляционной модели производительности труда было отобрано 15 факторов, которые обозначим соответственно хь Хг, Хз, xf,..., Хм, Х15. По результатам экспертной оценки степени влияния факторов на уровень производительности труда специалисты присвоили факторам следующие ранги:
факторых, ха х3 х4 х6 х6 х7 xg Xg Хю хп хи х13 х14 х|5
ранги экспертов 7 4 1 3 14 13 10 12 5 9 8 2 11 15 6
После расчета коэффициентов корреляции интенсивность влияния отобранных факторов оценивалась следующими рангами:
факторых4 Ху х3 х4 Xg Xg х^ xg х8 х4о Хц xla х^ Х14 xIg
ранги после расчета коэффициентов
корреляции 4 6 3 7 15 11 14 12113 5 2,910 8
Возникает вопрос: насколько точно результаты экспертной оценки предугадали действительную степень влияния факторов на уровень производительности труда?
Расчеты для получения коэффициента р представим в табл. 9.11.
6-128
р=1=0,772.
k 15(225-1)
Согласно полученному коэффициенту корреляции рангов Спирмэна между данными экспертной количественной оценки влияния факторов на уровень производительности труда существует довольно тесная зависимость1.
М. Кендэл предложил еще одну меру связи между переменными х и у (коэффициент корреляции рангов Кендэла — т):
, где S= P+Q п(п— 1), где S= P+Q п(п— 1)(9.18)(9.18)
, где S= P+Q п(п— 1)
, где S= P+Q п(п— 1)
(9.18)
(9.18)
Таблица 9.11
Фактор
Ранг по экспертной оценке
Ранг по величине коэффициента корреляции
Разность рангов И/1
<F,
Фактор
Ранг по экспертной оценке
Ранг по величине коэффициента корреляции
Разность рангов
И*1
^’/
-ч
7
4
3
9
Хв
5
1
4
16
Хг
4
6
2
4
Х,0
9
13 .
4
16
X»
1
3
2
4
^п
8
5
3
9
х4
3
7
4
16
Х|?
2
2
0
0
ХЬ
14
15
1
1
^13
11
9
2
4
Х6
13
11
2
4
-^14
15
10
5
25
X,
10
14
4
16
■^15
6
8
2
4
Х8
12
' 12
0
0
Итого
128
Для вычисления т надо упорядочить ряд рангов переменной х, приведя его к ряду натуральных чисел. Затем рассматривают последовательность рангов переменной у:
ранг факторов по экспертной оценке (х)1 2ранг факторов по величине коэффициента корреляции (У).3 2ранг факторов по экспертной оценке (х)1 2ранг факторов по величине коэффициента корреляции (У).3 2345678 9761845 13345678 9761845 131011121314151491211151010111213141514912111510
ранг факторов по экспертной оценке (х)1 2
ранг факторов по величине коэффициента корреляции (У).3 2
ранг факторов по экспертной оценке (х)1 2
ранг факторов по величине коэффициента корреляции (У).3 2
345678 9
761845 13
345678 9
761845 13
101112131415
14912111510
101112131415
14912111510
Для нахождения S (9.18) находят два слагаемых: Р и Q. При определении слагаемого Р нужно установить, сколько чисел, находящихся справа от каждого на элементов последовательности рангов переменной у, имеют величину ранга, превышающую ранг рассматриваемого элемента. Так, например, первому значению в последовательности рангов переменной у, т. е. числу 3, соответствует 12 чисел (7, 6, 8, 4, 5, 13, 14, 9, 12, 11, 15, 10), которые превышают ранг 3; второму значению 2 соответствует 12 чисел (7, 6, 8, 4, 5, 13, 14, 9, 12, 11, 15, 10), превышающих 2, и т. д. Суммируя полученные таким образом числа, мы получим слагаемое Р, которое можно ■ рассматривать как меру соответствия последовательности рангов переменной у последовательности рангов переменной х. Для нашего примера Р = 81 (12+12+8+8+10+7+8+7+24-1 + + 4+I + 1).
Второе слагаемое Q характеризует степень несоответствия последовательности рангов переменной у последовательности рангов переменной х. Чтобы определить Q, подсчитываем, сколько чисел, находящихся справа от каждого из членов последовательности рангов переменной у, имеет ранг меньше, чем этот фактор. Такие величины берутся со знаком минус. В рассматриваемом примере
Q= — 24 (-2—1—4—3—0-2-0-0—4-4—0—2—1 —1). Следовательно,-S= P+Q=81—24 = 57.
2S 2-572S 2-57п(п-1).15-14п(п-1).15-140,543.0,543.Коэффициент корреляции рангов Кендэла в нашем примере равен:
2S 2-57
2S 2-57
п(п-1).15-14
п(п-1).15-14
0,543.
0,543.
Коэффициент корреляции рангов Кендэла также изменяется в " пределах от —1 до +1 и равен нулю при отсутствии связи между рядами рангов. При достаточно большом числе наблюдений между коэффициентами корреляции рангов Спирмэна и коэффициентом корреляции рангов Кендэла существует следующее соотношение:
3р«—т.
Существенность коэффициента корреляции рангов Кендэла проверяется при уровне значимости а по формуле
(9.19)
'9л(л—1)''
где /о — коэффициент, определяемый по таблице нормального распределения для выбранного уровня значимости а. Могут встретиться случаи, когда невозможно установить ранговые различия нескольких единиц или объектов. В этих случаях принято вычислять средний ранг (даже если он будет дробным числом) и полученный средний ранг присваивать каждой такой единице или объекту, т. е. в таком случае переходят к матрице переформированных рангов. Например, два фактора один из экспертов ставит на третье место. Тогда каждому из факторов присваивается ранг I 3+4 \
3,5» (Ь, так как они поделили между собой третье и четвертое места, а следующему за ними фактору присваивается ранг 5 и т. д. При наличии связанных рангов приведенные выше формулы ранговых коэффициентов корреляции Спирмэна и Кендэла необходимо скорректировать*.
Если определяется теснота связи между /г-м и /-м признаками, в рядах значений которых имеется соответственно q и g групп объединенных рангов, то формула коэффициента корреляции рангов Спирмэна примет вид:
л3—л
(Л+Л)- 2 di
61—1
р=— (9.17а)
V27*27, )
Г \ 6 А 6/
См., например: Юл Дж. Э., Кендэл М: Дж. Теория статистики. М., Гос- статиздат, 1960, с. 310—311.
где
th .— tk.tl —tl
9**git
•T-^—'- T-2—-
где t^ и tt. определяют количество единиц в i-й группе объединенных рангов соответствующего признака. Скорректированная формула для вычисления коэффициента корреляции рангов Кендэла будет иметь вид:
(9.18а)(9.18а)
(9.18а)
(9.18а)
где
«g
S ^A^.-i')5б.(б.~1)
1=1<=1 * 1
Для оценки степени тесноты связи между несколькими признаками при использовании ранговой корреляции -применяется коэффициент конкордации w, который вычисляется по формуле
(9.20)(9.20)12Sm2(n3—/г) '
(9.20)
(9.20)
где m — число факторов; п— число ранжируемых единиц;
S — сумма квадратов отклонений рангов.
Если обозначить Гц ранг i-ro фактора у /-й единицы, то величина S будет равна:
Рассмотрим вычисление коэффициента конкордации на следующем примере. Восемь предприятий, выпускающих однотипную продукцию, ранжированы экспертами по уровню качества выпускаемой продукции, спросу на продукцию и уровню рентабельности.
Сумма квадратов отклонений рангов равна 330:
[ S=1 788—[ S=1 788—(108)28(108)28= 330= 330
[ S=1 788—
[ S=1 788—
(108)28
(108)28
= 330
= 330
Величина коэффициента конкордации получится равной 0,873:
w =w =12-33032(83-8)12-33032(83-8)= 0,873.= 0,873.
w =
w =
12-330
32(83-8)
12-330
32(83-8)
= 0,873.
= 0,873.
Это свидетельствует о возможном наличии достаточно тесной зависимости между изучаемыми признаками.
Таблица 9.12
Порядковыйиомер предприя-тияПорядковыйиомер предприя-тияРанг по показателям (г/у)Ранг по показателям (г/у)уровняуровняуровнярентабельностикачестваспросауровняуровняуровнярентабельностикачестваспросаИтогоИтого1234567812345678413756.28413756.2843165827431658273125764831257648т\ГЧm(trzy)11121525636183241728920400861235291081788т\ГЧm(trzy)11121525636183241728920400861235291081788
Порядковыйиомер предприя-тия
Порядковыйиомер предприя-тия
Ранг по показателям (г/у)
Ранг по показателям (г/у)
уровняуровняуровня
рентабельностикачестваспроса
уровняуровняуровня
рентабельностикачестваспроса
Итого
Итого
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
4
1
3
7
5
6.
2
8
4
1
3
7
5
6.
2
8
4
3
1
6
5
8
2
7
4
3
1
6
5
8
2
7
3
1
2
5
7
6
4
8
3
1
2
5
7
6
4
8
т
\ГЧ
m
(trzy)
11
121
5
25
6
36
18
324
17
289
20
400
8
61
23
529
108
1788
т
\ГЧ
m
(trzy)
11
121
5
25
6
36
18
324
17
289
20
400
8
61
23
529
108
1788
МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
В приведенных выше примерах рассматривалась зависимость между двумя признаками, т. е. речь шла о так называемой парной корреляции. На практике же чаще всего изменение изучаемого признака зависит от действия нескольких причин. В таких случаях изучение корреляционной связи не может ограничиться парными зависимостями, и в анализ необходимо включить другие признаки-факторы, существенно влияющие на изучаемую зависимую переменную. Одновременное изучение корреляции нескольких переменных проводится на основе использования методов множественной корреляции. Так, например, рассматривая уровни фондоотдачи- на различных предприятиях одной отрасли, мы можем установить, что величина его зависит от размеров предприятия, удельного веса активной части фондов, степени изношенности фондов, степени их обновления и ряда других факторов.
Если обозначить факторы Хь Хг, Хз, ..., хт, то линейное уравнение множественной зависимости может быть записано так: 1/Х|1И$п1 =604-^1^1+62X2+^3X3+..-+ЬтХт. Обозначим номер
наблюдения (i=l, 2, 3, ...,п), номер независимой переменной 0 = 1, 2, 3,...,т).
Тогда матрицы результатов наблюдений можно записать так:
ХцХ12- ■■ ^1?лХ21Х22- .Х= (Хо) =Х31Хз2- ••^ЗтХщХ«2- ■. Х-птХцХ12- ■■ ^1?лХ21Х22- .Х= (Хо) =Х31Хз2- ••^ЗтХщХ«2- ■. Х-пт¥=(¥,) =¥=(¥,) =У1У2У1У2У»У»
Хц
Х12- ■
■ ^1?л
Х21
Х22- .
Х= (Хо) =
Х31
Хз2- •
•^Зт
Хщ
Х«2- ■
. Х-пт
Хц
Х12- ■
■ ^1?л
Х21
Х22- .
Х= (Хо) =
Х31
Хз2- •
•^Зт
Хщ
Х«2- ■
. Х-пт
¥=(¥,) =
¥=(¥,) =
У1
У2
У1
У2
У»
У»
Введем теперь матричные обозначения. Пусть X — матрица независимых переменных (факторов), размер которой определяется числом наблюдений п и числом переменных m. Y — вектор зависимой переменной.Транспонируем матрицу X и обозначим ее Хт. Система нормальных уравнений в матричной форме записывается следующим ' образом:Введем теперь матричные обозначения. Пусть X — матрица независимых переменных (факторов), размер которой определяется числом наблюдений п и числом переменных m. Y — вектор зависимой переменной.Транспонируем матрицу X и обозначим ее Хт. Система нормальных уравнений в матричной форме записывается следующим ' образом:XTXB = XTY, где В — матрица-столбец из коэффициентов Ьо. Ьь Ьгbm.XTXB = XTY, где В — матрица-столбец из коэффициентов Ьо. Ьь Ьгbm.регрессиирегрессииЛЛВ =В =Ьо bi biЬо bi biЬгпЬгпДля определения элементов матрицы В необходимо найти рицу, обратную матрице ХТХ, т. е. (ХТХ)-1 и вектор XTY:Для определения элементов матрицы В необходимо найти рицу, обратную матрице ХТХ, т. е. (ХТХ)-1 и вектор XTY:мат-мат-ХТХ=ХТХ=2 Xjj 2 X<|Xf2 * " 2 XijXini2 Xjj 2 X<|Xf2 * " 2 XijXini2 Х^Хд 2 Хг2 "2 Х^Хд 2 Хг2 "2 ХцХ^щ!2 ХцХ^щ!; Х?У=; Х?У=2 У1Хц2 У1Хц2 УхХц2 УхХц2 ХгтпХц 2 X-im^-ii* "2 •<i2 ХгтпХц 2 X-im^-ii* "2 •<i2 УгХйп2 УгХйпВ уравнении регрессии обычно имеется свободный член, который мы обозначили Ьо- Чтобы найти оценку этого параметра, расширим матрицу X, введя в нее переменную Xi0=l. Тогда матрицу XВ уравнении регрессии обычно имеется свободный член, который мы обозначили Ьо- Чтобы найти оценку этого параметра, расширим матрицу X, введя в нее переменную Xi0=l. Тогда матрицу Xвиде:виде:в развернутом виде можно записать в следующемв развернутом виде можно записать в следующемХ=Х=1 -Vil *12 • • • X]m1 X21 X22 " 1 " Xim1 X31 ^32 " " " *3m1 -Vil *12 • • • X]m1 X21 X22 " 1 " Xim1 X31 ^32 " " " *3m1 Хщ ХП2‘ • " Xnm1 Хщ ХП2‘ • " XnmТогдаТогдаХ^Х=Х^Х=n 2XnSx$| 2x^1n 2XnSx$| 2x^12 x^m• 2x,[X,m2 x^m• 2x,[X,m
Введем теперь матричные обозначения. Пусть X — матрица независимых переменных (факторов), размер которой определяется числом наблюдений п и числом переменных m. Y — вектор зависимой переменной.
Транспонируем матрицу X и обозначим ее Хт. Система нормальных уравнений в матричной форме записывается следующим ' образом:
Введем теперь матричные обозначения. Пусть X — матрица независимых переменных (факторов), размер которой определяется числом наблюдений п и числом переменных m. Y — вектор зависимой переменной.
Транспонируем матрицу X и обозначим ее Хт. Система нормальных уравнений в матричной форме записывается следующим ' образом:
XTXB = XTY, где В — матрица-столбец из коэффициентов Ьо. Ьь Ьгbm.
XTXB = XTY, где В — матрица-столбец из коэффициентов Ьо. Ьь Ьгbm.
регрессии
регрессии
Л
Л
В =
В =
Ьо bi bi
Ьо bi bi
Ьгп
Ьгп
Для определения элементов матрицы В необходимо найти рицу, обратную матрице ХТХ, т. е. (ХТХ)-1 и вектор XTY:
Для определения элементов матрицы В необходимо найти рицу, обратную матрице ХТХ, т. е. (ХТХ)-1 и вектор XTY:
мат-
мат-
ХТХ=
ХТХ=
2 Xjj 2 X<|Xf2 * " 2 XijXini
2 Xjj 2 X<|Xf2 * " 2 XijXini
2 Х^Хд 2 Хг2 "
2 Х^Хд 2 Хг2 "
2 ХцХ^щ!
2 ХцХ^щ!
; Х?У=
; Х?У=
2 У1Хц
2 У1Хц
2 УхХц
2 УхХц
2 ХгтпХц 2 X-im^-ii* "2 •<i
2 ХгтпХц 2 X-im^-ii* "2 •<i
2 УгХйп
2 УгХйп
В уравнении регрессии обычно имеется свободный член, который мы обозначили Ьо- Чтобы найти оценку этого параметра, расширим матрицу X, введя в нее переменную Xi0=l. Тогда матрицу X
В уравнении регрессии обычно имеется свободный член, который мы обозначили Ьо- Чтобы найти оценку этого параметра, расширим матрицу X, введя в нее переменную Xi0=l. Тогда матрицу X
виде:
виде:
в развернутом виде можно записать в следующем
в развернутом виде можно записать в следующем
Х=
Х=
1 -Vil *12 • • • X]m
1 X21 X22 " 1 " Xim
1 X31 ^32 " " " *3m
1 -Vil *12 • • • X]m
1 X21 X22 " 1 " Xim
1 X31 ^32 " " " *3m
1 Хщ ХП2‘ • " Xnm
1 Хщ ХП2‘ • " Xnm
Тогда
Тогда
Х^Х=
Х^Х=
n 2Xn
Sx$| 2x^1
n 2Xn
Sx$| 2x^1
2 x^m
• 2x,[X,m
2 x^m
• 2x,[X,m
2Xfm2XiiXim " * * 2 Xim
ХТУ=ХТУ=Sy<5 УгХцSy<5 УгХц
ХТУ=
ХТУ=
Sy<
5 УгХц
Sy<
5 УгХц
|| ^ УгХгт ||
Следующим этапом будет определение матрицы (ХтХ)-!, обратной матрице ХТХ. Найдя обратную матрицу (ХТХ)~1, можно определить элементы матрицы В:
В- (XTX)-*(XTY).
После того как вычислены коэффициенты регрессии, запишем
Л
матричное уравнение: Y=XB, где
У=
Л
У1
А
^2
хв=
60^Ю ^1-^12 " * ЬтХ\т ЬоХ2О b^Xai* е * Ь-тХ^т
•
Л
Уп
Ь0Хп0 ^iXni • • •ЬгпХпт
Л
У — вектор-столбец значений результативного признака, полученных по уравнению регрессии. Остаточная сумма квадратов, т. е.
ПЛ
2 (у,—У)2 может быть найдена следующим образом:
*л л л л л л
(У-У)т (y-Y) = YTY-YTy-yTY+yTY .
_• л
Используя матричные уравнения Y=XB и В= (ХТХ)~1ХТ¥, получим:
YTY = YTY= (ХВ)Т¥=ВТХТ¥.
Тогда остаточная сумма квадратов будет равна:
BTXTY - 2BTXTY+YT ¥=YTY- ВТХТ Y.
Зная параметры уравнения множественной зависимости, можно рассчитать значение индекса корреляции по следующей формуле:
где S2^ —дисперсия эмпирических значений относительно зна- чений, рассчитанных по корреляционному уравнению, которая определяется делением остаточной суммы квадратов на (л—т— 1); о2у — дисперсия эмпирических значений результативного признака.
209209По параметрам полученного уравнения мы можем оценить долю каждого из факторов в изменении уровня результативного показателя у. Это может быть сделано путем прямой оценки по
209
209
14. Заказ 4789
величине коэффициентов регрессии при каждом из факторов, а также по коэффициентам эластичности Эху и стандартизированным частным коэффициентом регрессии р-коэффициентам.
Коэффициенты уравнения множественной регрессии показывают степень влияния каждого фактора на анализируемый показатель при среднем уровне других факторов.
Частные коэффициенты эластичности показывают, насколько в среднем изменяется функция с изменением аргумента от среднего значения на один процент при фиксированном положении других-переменных, и рассчитываются по формуле-
. — и з — 3 У
Р-коэффициенты показывают, на какую часть среднего квадратического отклонения оу изменится зависимая переменная у с изменением соответствующего фактора на величину своего- среднеквадратического отклонения оХу. Этот коэффициент позволяет сравнивать влияние колеблемости различных факторов на вариацию исследуемого показателя.
ь,-ь>'—- <922>
При построении многофакторных корреляционных моделей одной из предпосылок обоснованности конечных результатов является требование возможно меньшей коррелированности включенных в модель признаков-факторов (отсутствие мультиколлинеарности).
В случае наличия линейной зависимости между факторами система нормальных уравнений не будет иметь однозначного решения, в результате чего коэффициенты регрессии и другие оценки окажутся неустойчивыми. Кроме того, наличие взаимосвязи факторов затрудняет экономическую интерпретацию уравнения связи, так как изменение одного из факторов влечет, как правило, изменение факторов, с ним связанных. Для исключения мультиколлинеарности было предложено несколько методов. На практике чаще всего используют чисто эмпирический подход к решению этой проблемы1. Рассматривается матрица парных коэффициентов корреляции (индекс 0 присвоен результативному признаку у), по которой можно оценить степень взаимной коррелированности признаков-факторов (см. табл. 9.13).
Если величина парного коэффициента, учитывающего степень тесноты связи между двумя факторными признаками, по абсолютной величине 0,8 и более, то такие факторы считаются коллинеарными. При построении модели в нее следует включать один из этих факторов. Величина совокупного коэффициента
Более эффективным средством решения сформулированной выше задачи исключения коллинеарных факторов является факторный анализ.
Факторы
У
Xi
х4
• • •
XJ
. . .
Хщ
У
1
По
г20
•••
По
■ • •
г то
И
г ю
1
Л2
••.
Л,
■••
Г ml
Х2
По
П2
1
•••
г^з
■••
Г m2
Xi
fjO
HJ
^i
• • •
1
.ее
Г т5
• • 5
•••
• • •
•••
••
■ ее
■ • г
Xm
Г т0
Гт!
Г m2
.••
Гтз
• ••
1
Таблица 9.13
может быть
по значениям парных коэффициентов
корреляцииопределена следующим образом:корреляцииопределена следующим образом:1 По
корреляции
определена следующим образом:
корреляции
определена следующим образом:
г 10 1
^20г 121^20г 121' ГтОГ ml• Г m2' ГтОГ ml• Г m2/?2=1/?2=1Gno r?nl Гт2 ' ' * 1Gno r?nl Гт2 ' ' * 1Г12 ’ * ' Г™1• • • Гm2Г12 ’ * ' Г™1• • • Гm2(9.23)(9.23)г20 П2
^20г 12
1
^20г 12
1
' ГтО
Г ml
• Г m2
' ГтО
Г ml
• Г m2
/?2=1
/?2=1
Gno r?nl Гт2 ' ' * 1
Gno r?nl Гт2 ' ' * 1
Г12 ’ * ' Г™
1• • • Гm2
Г12 ’ * ' Г™
1• • • Гm2
(9.23)
(9.23)
^m2 " * " 1
Величина R2 называемая коэффициентом детерминации, показывает, какая часть общей дисперсии результативного признака обусловлена вариацией признаков-факторов, включенных в рассматриваемое уравнение корреляционной зависимости. Величина совокупного коэффициента корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и численно нс может быть меньше, чем любой из образующих его парных коэффициентов корреляции. Для случая зависимости результативного признака от двух факторных признаков формула совокупного коэффициента корреляции имеет вид:
Ryx к
(9.24)
* Расчет та можно* Расчет та можно
* Расчет та можно
* Расчет та можно
параметров уравнения зависимости для такого вариан-вести по формулам, в которых используются уже вы-
численныё значения парных коэффициентов корреляции и средних квадратических отклонений.
л
Так, для уравнения вида yXl,xa=bo-V-biXi-\-b2x2 параметры bo. bi, b2 могут быть найдены по следующим формулам:
Оу 7*10 — ГаО'Па.
. ■^=-БГ~ - 1-^" ■
112
I ^. TvОу fzo—ria-Tii.
212
Ьй=у-Ьххх-Ь2х2,
где оу, ож„ 0x2 — средние квадратические отклонения соответственно признаков у, Xi и х2; гю, г20, г12— парные коэффициенты корреляции.
Для более глубокого исследования связей между явлениями целесообразно установить степень тесноты связи между результативным признаком у и каждым из факторных признаков при исключении влияния других факторных признаков.
Для решения поставленной задачи определяют так называемые коэффициенты частной корреляции, выявляющие степень «чистого» влияния факторного признака на результативный признак. Для расчета частных коэффициентов корреляции могут быть использованы парные коэффициенты корреляции. Для случая зависимости у от двух признаков можнр будет вычислить два коэффициента частной корреляции:
частный коэффициент корреляции гуХ1.Х1 между результативным признаком у и фактором хх при элиминировании фактора х2 показывает, какую часть колеблемость у, вызванная фактором хь составляет в колеблемости у под действием всех факторов, кроме фактора х2.
^10“ ^20’^12
^‘"^-■yCl-r^z) (1-'2:^Г
второй частный коэффициент корреляции ryX2.Xl характеризует зависимость результативного признака от фактора х2 при исключении влияния фактора хц
,"20—Г10-Г12
ГуХ2'Х,= yd^d-r^'
Для общего случая частные коэффициенты корреляции можно определить таким образом:
г :^1/^~^ .(925)
УХт+1ж1. ”2«т V 1—«2т19ZUJ
где /?2т — коэффициент детерминации результативного признака у с комплексом факторных признаков Хь х2хт; R2m+i — коэффициент детерминации результативного признака у с комплексом признаков Х1, Х2, ..., Хт, Хт+ь ryxm+i-xt,ха,..., хт—част-
ный коэффициент корреляции у с факторным признаком xm+i при исключении влияния факторных признаков хь %2, . - - . хт.
При малых значениях гужт+1.ж1-ж,Жт нет смысла вводить в уравнение (т+0 фактор, так как эффективность нового уравнения регрессии, характеризующего зависимость от (т+1) факторов, возрастает незначительно.
Построение многофакторных регрессионных моделей позволяет дать количественное описание основных закономерностей изучаемых явлений, выделить существенные факторы, обусловливающие изменение экономических показателей, и оценить их влияние. В- основном полученные модели используются в двух направлениях — для сравнительного анализа и прогнозирования. Например, для выявления внутриотраслевых резервов повышения эффективности производства рассчитывается уравнение множественной зависимости, рассматриваемое в качестве экономико- статистической модели • анализируемого показателя эффективности и характеризующее основные закономерности в формировании этого показателя для совокупности предприятий отрасли. На основе такого уравнения можно проанализировать и сравнить влияние каждого фактора на повышение эффективности в среднем по отрасли. Разбив все предприятия на группы, различающиеся по условиям производства (например, крупные, средние, мелкие) или результатам производственной деятельности (например, передовые, средние, отстающие), можно с помощью модели соответствующего показателя эффективности сравнить результаты деятельности этих групп предприятий между собой и со средним отраслевым уровнем. Для этого в каждой выделенной группе находят средние значения результативных показателей и определяющих их величину факторов. Умножая разность средних значений одних и тех же факторных признаков по различным группам на величину соответствующих коэффициентов регрессии в многофакторной регрессионной модели, получим эффект влияния на результативный показатель разницы в уровнях факторов по группам. По результатам такого сравнения можно дать объективную оценку возможностей повышения эффективности производства и выявить внутрихозяйственные резервы в целом по отрасли.
Применение регрессионных моделей в прогнозировании требует осторожности в тех случаях, когда мы сталкиваемся с выходом за границы значений признаков, на основе которых было рассчитано уравнение зависимости. Необходима проверка возможности экстраполяции, связанная с оценкой неизменности общих условий формирования уровней признаков в совокупности.
ГЛАВА ю. РЯДЫ ДИНАМИКИ
ВИДЫ РЯДОВ ДИНАМИКИ. ИХ ПОСТРОЕНИЕ, ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
Важной задачей статистики является изучение изменений явлений общественной жизни во времени. Эти изменения можно изучить, если иметь данные по определенному кругу показателей на ряд- моментов времени или за ряд промежутков времени, следующих друг за другом.
Ряд расположенных во времени статистических показателей, последовательное изменение которых отражает закономерность развития изучаемого общественного явления, представляет собой динамический (временной) ряд. Каждый временной ряд состоит из двух элементов: во-первых, моментов или. периодов времени, к которым относятся приводимые статистические данные об изучаемом общественном явлении (они приводятся в первой графе); во-вторых, статистических показателей, которые характеризуют данное общественное явление на тот момент или за тот период, который указан в первой графе.
Статистические показатели, характеризующие изучаемое общественное явление, называют уровнями ряда. Вид ряда динамики зависит не только от характера показателей, оценивающих изучаемое явление, но и от того, приводится ли показатель за период или на момент времени. Статистические показатели, приводимые в динамическом ряду, могут быть абсолютными, средними или относительными величинами.
* В качестве примера ряда динамики абсолютных величин рассмотрим показатели производства электроэнергии в СССР за девятую пятилетку:
19711972197319741975
Производство
электроэнергии. млрд.
кВт.ч800,0857,0915,0976,01039,0
Каждый уровень приведенного динамического ряда характеризует величину производства электроэнергии за определенный промежуток времени — год. Такие ряды динамики называются интервал иными.
Приведем данные о численности населения СССР, полученные по результатам переписей населения в 1970 и 1979 гг.:
15 января 1970 г. 17 января 1979 г.
Численность населения, млн. чел.241,7262,1
Уровни этого динамического ряда характеризуют состояние явления (численность населения) на определенную дату. -Такой ряд называется моментным динамическим рядом.
Отличительной особенностью интервальных рядов динамики абсолютных величин является возможность суммирования их уровней. Каждый уровень приведенного интервального ряда получился от суммирования уровней за более короткие промежутки времени, а сумма уровней за отдельные годы дает объем производства за более крупный промежуток времени. Так, в частности, объем производства электроэнергии за пятилетие получается суммированием объемов производства за каждый год этого пятилетия. В результате суммирования уровней интервального динамического ряда получаем так называемые накопленные ито-\ ги, которые имеют реальное содержание.
Сумма уровней моментного ряда динамики не имеет никакого реального содержания, и накопленные итоги для этих рядов не рассчитываются. Определенный смысл имеет расчет разностей уровней моментного динамического ряда, которые будут характеризовать изменение уровней за определенный период времени. Например, за период с 15 января 1970 г. по 17 января 1979 г. численность населения СССР возросла на 20,4 млн. человек.
Ряды динамики относительных и средних величин состоят из производных статистических показателей, полученных в результате сопоставления между собой суммарных абсолютных данных.
Рядом динамики относительных величин называется ряд цифровых данных, характеризующих изменение относительных размеров общественных явлений во времени. Темпы роста производительности труда в промышленности СССР за десятую пятилетку характеризуются следующими данными:
1975 1976 1 977 1978 1979
Темпы роста, в % к 1975 г. 100 103 107 111 114
Рядом Динамики средних величин называется ряд цифровых данных, характеризующих изменение средних размеров признаков общественных явлений во времени. Среднемесячная заработная плата рабочих и служащих в народном хозяйстве СССР за девятую пятилетку характеризуется такими данными:
19761976197719771978197819791979
1976
1976
1977
1977
1978
1978
1979
1979
163,3163,3Заработная плата, руб.151,4155,2159,9
163,3
163,3
Важнейшей проблемой построения динамических рядов является проблема сопоставимости уровней этих рядов. Сопоставимость уровней динамического ряда достигается одинаковым подходом к единицам совокупности на разных этапах формирования
этой совокупности. Нарушение единообразия подхода приводит к несопоставимости данных. Имеется в виду невозможность дать
полную характеристику динамики для ряда, составленного из данных, несопоставимых на отдельных отрезках- всего периода.
Соблюдение требования сопоставимости уровней ряда означает, что полезно лишь такое сравнение, которое учитывает существо изучаемого явления и цель, к которой оно приводит. Показатели динамического ряда, подлежащие сопоставлению, должны быть однородны по экономическому содержанию. Однако вследствие многих обстоятельств однородность величин, составляющих динамический ряд, может нарушаться, и таким образом нарушается сопоставимость уровней динамического ряда. Прежде всего должна быть обеспечена одинаковая полнота охвата различных частей явлений. Требование одинаковой полноты охвата разных частей явления означает, что уровни динамического ряда за отдельные периоды времени должны характеризовать размер того или иного явления по одному и тому же кругу входящих в его состав частей. Например, при характеристике динамики численности студентов высших учебных заведений по годам нельзя в одни годы учитывать только численность студентов дневного обучения, а в другие — численность студентов всех видов обучения. Различие круга охватываемых объектов может наблюдаться при оценке деятельности промышленных министерств. На разных этапах своего существования министерство может иметь в своем подчинении разное число предприятий. Считается, что сопоставимость по кругу охватываемых объектов не нарушается, если вводятся" в строй новые предприятия или отдельные предприятия прекратили работу. В том случае, когда изменяется отраслевая структура промышленности и ряд предприятий одного министерства передается в ведение вновь образуемого министерства, условие сопоставимости уровней такого динамического .ряда нарушается. В таких случаях сопоставление показателей рекомендуется производить только по тому кругу предприятий, которые входят в состав министерства (главка, треста) как до, так и после изменения отраслевой структуры.
Вопрос о том, является ли непременным условием сопоставимости уровней динамического ряда одинаковость границ территории, может быть решен различно. Так, при характеристике роста экономической мощи страны надо использовать данные в изменяющихся границах территории, а при изучении темпов экономического развития следует брать данные по территории в одних и тех же границах. Возьмем другой пример. Пусть необходимо проследить закономерность увеличения численности населения страны, принимая во внимание, что это увеличение зависит от величины естественного и механического прироста. Известны данные о численности населения СССР в предвоенные годы:
193819391940
Численность населения, мли. чел. 167,0190,7. 194,1
Уровни динамического ряда численности населения СССР в предвоенные годы (1938—1940 гг.) оказываются несопоставимы в силу того, что в 1939—1940 гг. произошло воссоединение с СССР ряда республик, т. е. увеличение .численности населения СССР бы-
ло вызвано не только увеличением естественного прироста населения, но и изменением состава государства.
При определении уровней динамического ряда необходимо использовать единую методологию их расчета. Например, до 1958 г. уровень производительности труда в промышленности определялся в расчете на одного рабочего, а с 1958 г. определяется в расчете на одного работающего. Поэтому для динамических сравнений уровни производительности труда, рассчитанные до 1958 г., необходимо пересчитывать по новой методологии. Несопоставимость показателей, возникающая в силу неодинаковости применяемых единиц измерения сама по себе очевидна. С различием применяемых единиц измерения часто приходится встречаться при учете продукции в натуральном выражении. Особенно трудной задачей является приведение к сопоставимому виду разнообразной продукции, выраженной в ценностных или трудовых измерителях. При приведении к сопоставимому виду продукции, измеренной в ценностных-единицах, трудность заключается в том, что, во-первых, с течением времени происходит непрерывное изменение цен, а во-вторых, существует несколько видов цен (оптовая цена предприятия, оптовая цена промышленности, розничная цена). Для характеристики изменения объема продукции должно быть устранено влияние изменения цен. На практике количество продукции, произведенное в разные периоды, оценивают в ценах одного периода, которые называют неизменными, или сопоставимыми.
Условием сопоставимости уровней интервального динамического ряда является равенство периодов времени, за которые приводятся данные. Например, для характеристики степени ритмичности работы предприятия данные об удельном весе продукции по определенным декадам сравнивать нельзя, так как число рабочих дней отдельных декад может о'казаться существенно различным, что приводит к различиям в объеме выпуска продукции. Для моментных рядов динамики показатели следует приводить на одну и ту же дату; например, определение численности населения СССР по данным переписей 1959 и 1970 гг. проводилось по состоянию на 12 часов ночи с 14 на 15 января. Существуют специальные приемы приведения уровней ряда динамики к сопоставимому виду. Один из них называется смыканием рядов динамики. Смыкание рядов динамики позволяет преодолеть несопоставимость данных и получить единый сравнимый ряд за весь период. Допустим, имеется ряд показателей за отчетный год, методика получения^ которых в течение рассматриваемого периода претерпела, начиная с мая месяца, некоторое изменение (см. графы 2, 3 табл. 10.1). Необходимо получить единый ряд, который был бы пригоден для характеристики динамики объема продукции за весь рассматриваемый период.
Выразив объем выпуска продукции за январь — апрель и июнь — декабрь в процентах к соответствующему уровню за май (для первого ряда рассчитываем отношение уровней к
Таблица 10.1
Месяц
Объем продукции, тыс. руб.
Относительные данные, в % к маю
Сомкнутый ряд
по старой методике расчета
по новой методике расчета
для первого ряда
для второго ряда
относительных данных
абсолютных величин, тыс. руб.
I
2
3
4
5
6
7
Январь
260
92,2
92,2
262,8
Февраль
265
94,0
94,0
267,9
Март
270
95,7
05,7
272,7
Апрель
280
99,3
99,3
283
Май
282
285
100,0
100,0
100,0
285,0
Июнь
288
101,1
101,0
288
Июль
285
100,0
100,0
285,0
Август
282
98,9
98,9
282
Сентябрь
290
101,8
101,7
290
Октябрь
293
102,9
102,9
293
Ноябрь
297
104,2
104,2
297,0
Декабрь
305
107,0
107,0
305,0
282 тыс. руб., а для второго ряда — к 285 тыс. руб.), получаем два ряда динамики относительных величин (см. графы 4 и 5). Эти ряды динамики можно соединить в один общий ряд (см. графу 6). По сомкнутому ряду определим и ряд абсолютных объемов выпуска, приняв за 100% объем выпуска 285 тыс. руб. (см. графу 7 табл. ЮЛ).
Графическое изображение изменения уровней временного ряда позволяет наглядно представить процесс развития явлений во времени. Способы графического представления динамики весьма разнообразны. Нами рассматриваются только некоторые виды графиков.
Наиболее часто для графического изображения динамических рядов применяется линейная диаграмма. Линейная диаграмма строится в прямоугольной системе координат, в которой на оси абсцисс располагают даты или периоды времени, а на оси ординат— уровни ряда динамики. Каждая точка линейной диаграммы соответствует уровню динамического ряда, относящемуся к определенному моменту или периоду времени. При графическом изображении интервального ряда динамики уровень должен быть отнесен к середине отмеченного на шкале периода.
Рассмотрим графическое изображение интервального ряда динамики, характеризующего объем производства электроэнергии в СССР.
Представленная на рис. 10.1 линия показывает, как изменяется во времени изображаемое явление. Она может менять конфигурацию не только от того, что по-разному изменяются уровни явления, но и из-за различия способов построения кривой (чаще
Рис. 10.1. Производство электроэнергии в СССР за период 1965— 1975 гг.:Рис. 10.1. Производство электроэнергии в СССР за период 1965— 1975 гг.:1 см-20 млн. к 6т ■ v1 см-20 млн. к 6т ■ vРис. 10.2. Производство теплоэнергии ТЭЦ по месяцам: 1968 г.; 1969 г.Рис. 10.2. Производство теплоэнергии ТЭЦ по месяцам: 1968 г.; 1969 г.
Рис. 10.1. Производство электроэнергии в СССР за период 1965— 1975 гг.:
Рис. 10.1. Производство электроэнергии в СССР за период 1965— 1975 гг.:
1 см-20 млн. к 6т ■ v
1 см-20 млн. к 6т ■ v
Рис. 10.2. Производство теплоэнергии ТЭЦ по месяцам:
1968 г.; 1969 г.
Рис. 10.2. Производство теплоэнергии ТЭЦ по месяцам:
1968 г.; 1969 г.
производство электроэнергии, млрд. kBi-ч;— относительное изменение, % к 1965 г.
всего в результате применения разных масштабов шкалы). Неудачно избранное соотношение масштабов по горизонтальной и вертикальной осям диаграммы может значительно изменить внешний вид кривой и создать неверное представление о характере динамики изображаемого явления. При графическом изображении сильно отличающихся по величине уровней целесообразно
■ применять полулогарифмическую сетку, в которой по оси абсцисс откладываются в натуральном масштабе периоды времени, а по
оси ординат — логарифмы уровней динамического ряда.
Значительно усиливает аналитическое содержание графика применение двух и трех шкал. Так, например, на рис. 10.1 на основной шкале нанесены данные о производстве электроэнергии в натуральном выражении, а на сопряженной шкале — относительное изменение в процентах к 1965 г.
Графическое изображение может" быть использовано и для сравнительного анализа развития двух или нескольких явлений. Динамика развития этих явлений представляется на одном и том же графике. Однако рекомендуется на одном графике помещать не более трех, четырех кривых, так как большое их количество
осложняет чертеж, и диаграмма теряет наглядность.
Кроме линейной диаграммы для графического изображения развития явления во времени, применяются радиальные диаграммы. Они удобны в том случае, когда динамика явлений носит периодический характер (например, сезонность). Пример радиальной диаграммы дан на рис. 10.2. В радиальных диаграммах на внешнем круге обозначается время, а на диаметрах отсчиты-
млнпмлнпчугуна ичугуна иРис. 10.3. Производство стали в СССРРис. 10.3. Производство стали в СССРкнх рядов динамики с помощьюкнх рядов динамики с помощьюваются уровни, начиная от центра круга. Получаемые концентрические ломаные изображают весь ряд динамики с повторением колебаний по годам.
млнп
млнп
чугуна и
чугуна и
Рис. 10.3. Производство стали в СССР
Рис. 10.3. Производство стали в СССР
кнх рядов динамики с помощью
кнх рядов динамики с помощью
Для сравнения отдельных уровней ряда динамики используют столбиковые диаграммы. Они широко применяются для популяризации развития во времени явлений за короткие периоды времени. Расположение столбиков строго соответствует последовательности изменения явления во времени. Столбики можно располагать вплотную и раздельно. Графическое изображение несколь- столбиковых диаграмм удобно
Чугун СтальЧугун Сталь19351970197566,285,9103,091,0115,9141,019351970197566,285,9103,091,0115,9141,0производить так называемым «наплывом», когда столбики надвигаются один на другой. По приведенным ниже данным о производстве чугуна и стали в СССР (млн. т) построим столбиковую диаграмму (рис. 10.3):
Чугун Сталь
Чугун Сталь
1935
1970
1975
66,2
85,9
103,0
91,0
115,9
141,0
1935
1970
1975
66,2
85,9
103,0
91,0
115,9
141,0
ПОКАЗАТЕЛИ РЯДА ДИНАМИКИ
При изучении динамики общественных явлений необходимо решить целый ряд задач и осветить широкий круг вопросов с тем, чтобы охарактеризовать особенности и закономерности развития изучаемого явления. К числу основных задач, возникающих при изучении динамических рядов, относятся следующие: 1) характеристика интенсивности отдельных изменений в уровнях ряда от периода к периоду илн от даты к дате; 2) определение средних показателей временного ряда; 3) выявление закономерностей динамики ряда в целом; 4) интерполяция и экстраполяция; 5) выявление факторов, обусловливающих изменение изучаемого явления во времени.
Динамический ряд представляет собой ряд последовательных уровней, сопоставляя которые между собой можно получить характеристику скорости и интенсивности развития явления. В результате сравнения уровней получается система абсолютных и относительных показателей динамики, к числу которых относятся абсолютный прирост, коэффициент роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста и т. д. Если сравне-
нию подлежат несколько последовательных уровней, то возможны два варианта сопоставления:
каждый уровень динамического ряда сравнивается с одним и тем же предшествующим уровнем, принятым за базу сравнения.
В качестве базисного уровня выбирается либо начальный уровень динамического ряда, или же уровень, с которого начинается какой-то новый этап развития явления. Такое сравнение называется сравнением с постоянной базой;
каждый уровень динамического ряда сравнивается с непосредственно ему предшествующим, такое сравнение называют сравнением с переменной базой. *
Показатели динамики с постоянной базой характеризуют окончательный результат всех изменений в уровнях ряда за весь рассматриваемый промежуток от периода, к которому относится базисный уровень, до данного (i-ro) периода. Показатели динамики с переменной базой характеризуют интенсивность изменения уровня от периода к периоду (или от даты к дате) в пределах изучаемого промежутка времени.
Абсолютный прирост ^ определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда и показывает, насколько данный уровень ряда превышает уровень, взятый на базу сравнения:
А1=</,-Убаз -(10.1а)
где А, — абсолютный прирост; yt — уровень сравниваемого периода; t/баз — уровень базисного периода.
При сравнении с переменной базой абсолютный прирост будет равен:
Кг=Уг~Уг-\ -(10.16)
где yi-i — уровень непосредственно предшествующего периода. Абсолютный прирост с переменной базой иначе называют скоростью роста. Коэффициент роста определяется как отношение двух сравниваемых уровней и показывает, во сколько раз данный уровень превышает уровень базисного периода.
Кг—при сравнении с постоянной базой; (10.2а)
Ki— — при сравнении с переменной базой. (10.26)
Если коэффициенты роста выражают в процентах, то их называют темпами роста:
Тр=К-100% •.(Ю.3а)
Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень данного периода больше (или меньше) базисного уровня. Этот показатель может быть рассчитан двояко:
как отношение абсолютного прироста к базисному уровню
Тп= дс-у^ , 1()0% илн Тп=. 100%. (10.36)
</0аэ
как разность между темпом роста в процентах и 1OO°IQ Тп=Тр-100%.
Рассмотрим расчет вышеуказанных показателей по ряду динамики объема производства электроэнергии в СССР, представленного в табл. 10.2.
Таблица 10.2
Год
Произ- -водство элек- тро- энер- гии, млрд, кВт-ч
Абсолютный прирост, млрд. кВт - ч, по сравнению
Коэффициент роста по сравнению
Темп прироста в % по сравнению
Абсолютное значение 1% прибыли роста, млрд. кВт • ч
Пункты роста %
с 1970 г.
с пред- шест- вуго- щим
ГОДОМ
с 1970 г.
с пред- шестг.ую- щим годом
с 1970 г.
с Предшествующим годом
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1970
740
1971
800
60
60
1,081
1,081
8,1
8,1
7,40
8,1
1972
857
117
57
1,158
1,071
15,8
7,1
8,00
7,7
1973
915
175
58
1,237
1,067
23,7
6,7
. 8,57
7,9
1974
976
236
61
1,318
1,067
31,8
6,7
9,15
8,3
1975
1039
299
63
1,404
1,064
40,4
6,4
9,76
8,4
Итого
5 327
299
40,4
.
Между показателями динамики, вычисленными с постоянной и переменной базой, существует определенная связь. Так, сумма абсолютных приростов с переменной базой А, дает общий прирост за исследуемый период.
п-1
^г = Уп У1=Дп/1 '
1
где п— число уровней динамического ряда. В подстрочных обозначениях стоят индексы уровней: в числителе — сравниваемого, а в знаменателе — базы сравнения.
Равным образом может быть осуществлен переход от коэффициентов роста, вычисленных с постоянной базой, к коэффициентам роста, вычисленным с переменной базой, и наоборот. Если известны коэффициенты роста с постоянной базой, что частные от последовательного деления этих коэффициентов равны соответствующим коэффициентам роста с переменной базой.
При наличии коэффициентов роста с переменной базой соответствующий коэффициент роста с постоянной базой находится перемножением коэффициентов роста с переменной базой.
61/1 = Аг/1 *^з/2-. . . "hi—i/i-2-^i/i—I ■
Прн анализе относительных показателей динамики (темпов роста и темпов прироста) не следует рассматривать их изолированно от абсолютных показателей (уровней ряда и абсолютных приростов). Сравнение абсолютного прироста и темпов прироста за одни и те же периоды времени показывает, что замедление темпа прироста не всегда сопровождается уменьшением абсолютных приростов. Обычно такая закономерность наблюдается в динамических рядах с непрерывно растущими уровнями. При замедлении темпов роста может увеличиваться абсолютный размер прироста. Поэтому, чтобы правильно оценить значение полученного темпа прироста, его рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста. Результат выражают показателем, который называют абсолютным значением /% прироста А,:
(10.4)
1 ni/e-i т. е. этот показатель рассчитывают как отношение абсолютного прироста к темпу прироста (в %) за тот же период времени. Если преобразовать эту формулу, то получим следующее выражение:
'■4'-Т^Т^^-0.01».-, ■(10.4а)
■■■ -100%
t/i-1
Абсолютные значения 1% прироста представлены* в графе 9 табл. 10.2. В тех случаях, когда сравнение производится с отдаленным периодом времени, принятом за базу сравнения, рассчитывают так называемые пункты роста, которые представляют собой разность базисных темпов роста (в %) или темпов прирос/а двух смежных периодов (см. графу 10 табл. 10.2).
-^-100% -^--100%100%.
t/базt/базt/баз
В отличие от темпов прироста, которые нельзя ни суммировать, ни перемножать, пункты роста можно складывать, в результате чего получаем темп прироста соответствующего периода по сравнению с базисным периодом, т. е. по данным нашего примера Сумма пунктов роста равна 40,4%, что соответствует темпу прироста уровня 1975 г. по сравнению с 1970 г.
При сопоставлении динамики .развития двух явлений можно Использовать показатель, представляющий собой отношение темпов роста за одинаковые отрезки времени по двум динамическим рядам. Этот показатель называют коэффициентом, опережения.
Копереж — —О0-5)
Ух Ух
где у' и у" — соответствующие уровни сравниваемых динамических рядов.
С помощью этого коэффициента могут сравниваться динамические ряды одинакового содержания, но относящиеся к разным территориям (странам, республикам, районам и т. д.) или к различным организациям (министерствам, предприятиям, учреждениям), или ряды разного содержания, характеризующие один и тот же объект. Так, например, по данным табл. 10.3 рассчитаем коэффициенты опережения роста производительности труда по сравнению с ростом средней заработной платы в промышленности СССР (в % к 1970 г.):
Таблица 10.3
Год
Темп роста производительности труда
Темп роста средней месячной заработной платы рабочих и служащих
Коэффициент опережения (гр. 2 : гр. 3)
1975
1976
134
138
121"
125
1,107
1,104
10.3. СРЕДНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЯДА ДИНАМИКИ
Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определяют различного рода средние показатели. Рассмотрим две категории этих показателей: средние уровни ряда, средние показатели изменения уровней ряда.
Для интервального ряда абсолютных показателей средний уровень за период определяется по формуле простой средней арифметической:
2 У«
У=^-.-(Ю.5)
где п — число уровней ряда.
Средний уровень моментного динамического ряда определяется несколько иначе. Рассмотрим вычисление среднего уровня для такого моментного динамического ряда, когда промежутки между датами одинаковы. Например, определим средний месячный остаток материалов на складе завода в течение первого квартала текущего года, если известно, что остаток материалов на складе составляет (тыс. руб.): на 1 января — 24,2; на 1 февраля — 25,1; на 1 марта —21,3; на 1 апреля—18,6. При вычислении среднего уровня моментного ряда условно предполагается непрерывное, равномерное изменение уровня в промежутках между двумя датами. Основываясь на этом предположении, определяем средние остатки материалов на складе за каждый месяц как полусумму остатков на начало и конец месяца.
Средние остатки за месяц, тыс. руб.: / 24,2+25,1 \_
январь — - у =24,65 ;
) =23,2;= 19,95.) =23,2;= 19,95.,/ 25.1 + 21,3
) =23,2;
= 19,95.
) =23,2;
= 19,95.
февраль —
/ 21,3+18,6март — I
Средний остаток за квартал определяется как средняя арифметическая простая:
— 24,65+23,2+19,95
у=5=22,9 тыс.руб.
Приведенный расчет среднего уровня можно представить формулой средней хронологической:
Ух ,Уп
-2™+У2 + Уз+-"+Уп-1+——
№р ^ 1(1 °7)
где п — число дат; ух, у^уп — уровни ряда в последовательные моменты времени. В нашем примере средние остатки на складе будут равны:
Ухр=^=22,9 тыс.руб.
Для определения среднего уровня моментного ряда с неравными промежутками между временными датами вычисляется средняя арифметическая взвешенная; в качестве весов берется число периодов времени между моментами, в которые происходят изменения в уровнях динамического ряда.
_2 У<б
У=—^■(10.8)
2 б1
где /г- — количество - дней (месяцев) между смежными датами. Например, на 1/1 отчетного года стоимость основных фондов предприятия составила 7,5 млн. руб. В марте были введены основные фонды стоимостью 1,2 млн. руб., в мае выбыло основных фондов на 0,7 млн. руб., в сентябре были введены основные фонды на сумму 0,3 млн. руб. Требуется определить среднегодовую стоимость основных фондов. Для удобства расчета данные представим в табл. 10.4.
Среднегодовая стоимость основных фондов по данным этого примера будет равна:
- 96,8 „
У = 720“=8,07 млн. руб.
Таблица 10.4
Дата
Стоимость основных фондов, млн. руб.
У/
Число месяцев, в течение которых стоимость фонд од не изменялась /;
Ур1
I
2
3
4
1/1
7,5
3
22,5
1/IV
8,7
2
17,4
1/VI
8,0
4
32,0
1/Х
8,3
3
24,9
12
96,8
Средний абсолютный прирост (или средняя скорость роста) рассчитывается как средняя арифметическая из показателей скорости роста за отдельные промежутки времени.
П —1_2 Д<
А—(10.9)
где п— число уровней ряда; А, — абсолютные приросты по сравнению с предшествующим уровнем. По данным приводимого —299 0
8 табл. 10.2 примера Д = - - =59,8 млрд. кВт-ч, т. е. производство электроэнергии в 1971—1975 гг. в среднем ежегодно увеличивалось на 59,8 млрд. кВт-ч. Формулу (10.9) можно преобразовать. Как было отмечено на с. 222.
п-1— Уп~У\
2 \i=yn—у\, тогда А= fi_i~-(10.9а)
где уп и ух — соответственно конечный и начальный уровни динамического ряда.
Средний коэффициент роста вычисляется по формуле средней геометрической из показателей коэффициентов роста за отдельные периоды:
K-^Wk^-... Ф^(Ю.Ю)
где k\, ki, .... к^-х — коэффициенты роста по сравнению с уровнем предшествующего Периода; п — число уровней ряда.
Эту формулу можно написать иначе, если использовать взаимосвязь между коэффициентами роста, вычисленными с переменной базой, и коэффициентами роста, рассчитанными с постоянной базой, т. е. учитывая, что к\-кг-ка- ... .кн-\=——, yt
средний коэффициент роста можно определить по формуле «= V ^" (Ю.Юа)
По данным примера табл. 10.2 средний коэффициент роста равен:
т. е. производство электроэнергии в 1971—1975 гг. в среднем ежегодно возрастало в 1,07 раза. Формула позволяет определить средний коэффициент роста на основе данных о начальном и конечном уровнях ряда динамики. Средний коэффициент роста показывает, во сколько раз в среднем за период изменялись уровни динамического ряда.
Средний темп роста представляет-собой средний коэффициент роста, выраженный в процентах:
Т=Я-100%,Т=Я-100%,(ЮЛ)
Т=Я-100%,
Т=Я-100%,
где Т •—средний годовой темп роста.
Для практического применения средний темп роста, рассчитанный по данным о конечном и начальном уровнях временного ряда, можно использовать только в случае более или менее равномерного изменения уровней. В случае сильной колеблемости уровней ряда использование средней геометрической может приводить к серьезным просчетам.
Средний годовой темп прироста определяют на основании данных о среднегодовых темпах роста. Он показывает, на сколько процентов изменялся в среднем уровень ряда.
Тп=Т-100%.
10.4. ВЫЯВЛЕНИЕ ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ ОБЩЕСТВЕННЫХ ЯВЛЕНИЙ (СГЛАЖИВАНИЕ И ВЫРАВНИВАНИЕ РЯДОВ ДИНАМИКИ)
Одной из задач, возникающих при анализе рядов динамики, является установление закономерности изменения уровней изучаемого общественного явления.
В некоторых случаях закономерность изменения явления, об- -щая тенденция его развития ясно отображается уровнями динамического ряда. В приведенном на с. 222 примере уровням динамического ряда свойственна тенденция к увеличению, не нарушаемая на протяжении всего рассматриваемого периода. В других рядах динамики наблюдается тенденция к систематическому снижению уровня ряда (например, при изучении уровней себестоимости единицы продукции, размера потерь от брака и т. д.). Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, когда уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают) и общая тенденция развития явления не ясна. Для выявления общей тенденции развития явления используют особые приемы обработки рядов динамики, так как глазомерной оценки тенденции недостаточно по следующим при-
чинам: 1) основой для прогнозирования и оценки колеблемости уровней является количественное выражение закономерностей развития явлений; 2) не всегда достаточно точно улавливается форма изменения (прямая, парабола и т. д.).
Эти приемы основаны либо на преобразовании интервалов динамического ряда и вычислении средних уровней для новых интервалов, либо на аналитическом выравнивании уровней динамического ряда. Выявление основной тенденции развития (тренда) называется в статистике также выравниванием временного ряда, а методы выявления основной тенденции — методами выравнивания. Выравнивание позволяет характеризовать особенность изменения во времени данного динамического ряда в наиболее общем виде как функцию времени.
Один из наиболее простых приемов обнаружения общей тенденции развития явления — укрупнение интервала динамического ряда. Смысл приема заключается в том, что первоначальный ряд динамики преобразуется и заменяется другим, показатели которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Так, например, ряд, содержащий данные о месячном выпуске продукции, может быть преобразован в ряд квартальных данных. Вновь образованный ряд может содержать либо абсолютные величины за укрупненные по продолжительности промежутки времени (эти величины получают путем простого суммирования уровней первоначального ряда абсолютных величин), либо средние величины. Покажем применение укрупнения интервалов на примере динамического ряда, характеризующего объем выпуска продукции по месяцам отчетного года. При суммировании уровней или при выведении средних по укрупненным интервалам отклонения в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимопогашаются, сглаживаются и более ясно обнаруживается действие основных факторов изменения уровней (общая тенденция).
Выявление основной тенденции может быть осуществлено методом скользящей средней. Для определения скользящей средней формируем укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получаем, постепенно сдвигаясь от начального уровня динамического ряда на один уровень. По сформированным укрупненным интервалам определяем сумму значений уровней, на основе которых рассчитываем скользящие средние. Полученная средняя относится к середине укрупненного интервала. Поэтому при сглаживании скользящей средней технически удобнее укрупненный интервал составлять из нечетного числа уровней ряда. Нахождение скользящей средней по четному числу уровней создает неудобство, вызываемое тем, что средняя может быть отнесена только к середине между двумя периодами. Покажем порядок расчета скользящих средних на примере, используя данные о дневном выпуске продукции цехом за месяц (см. табл. 10.5).
Таблица 10.5
§ к
£ s
х и
3 * 3
CQ е{ К
Скользящие суммы
Скользящие средние
5
К ed о 5
Скользящие суммы
Скользящие средние
трехдневные
пятидневные
трех- днев- иые
пятидневные
тр?х- днев- ные
пятидневные
трех- дн-в- ные
пятидневные
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
37
13
70
248
393
82,7
78,6
2
42
112
—
37,3
—
14
92
230
387
76,7
77,4
3
33
120
215
40,0
43,0
15
68
253
404
84,3
80,8
4
45
136
233
45,3
46,6
16
93
242
423
80,7
84,6
5
58
158
247
52,7
49,4
17
81
263
425
87,7
85,0
6
55
169
284
56,3
56,8
18
89
264
460
88,0
92,0
7
56
181
308
60,3
61,6
19
94
286
476
95,3
95,2
8
70
195
324
65,0
64,8
20
103
306
494
102,0
98,8
9
69
213
324
71,0
64,8
21
109
311
516
103,7
103,2
10
74
214
340
71,3
68,0
22
99
319
—
106,3
—
М
71
231
370
77,0
74,0
23
111
—
——
.—
12
86
227
370
75,7*
74,0
Возьмем в качестве укрупненного интервала период в 3 дня, тогда первая скользящая сумма будет равна объему выпуска за первый, второй и третий рабочие дни, вторая — за второй, третий и четвертый рабочие дни и т. д. В табл. 10.5 в графах 3 и 4 приведены скользящие суммы за трехдневный и пятидневный промежутки. Скользящая средняя, рассчитанная по трехдневным скользящим суммам, будет отнесена ко второму дню каждой трехдневки (см. графу 5 табл. 10.5). Скользящая же средняя, рассчитанная по пятидневным суммам (см. графу 6 табл. 10.5), относится к третьему дню соответствующей пятидневки.
Первоначальные и выравненные динамические ряды с помощью скользящих средних изображены на рис. 10.4.
Скользящая средняя имеет недостатки: 1) невозможность получения уровней для концов сглаживаемого ряда (сглаженный ряд сокращается с обоих концов на число уровней, равное в итоге (К—1), где К— число уровней, включенное в период сглаживания); 2) произвольность выбора интервала сглаживания.
Изучение основной тенденции развития методом скользящей средней является лишь эмпирическим приемом предварительного анализа.
Рассмотренные приемы выравнивания динамических рядов (укрупнение интервала и метод скользящей средней) дают ряд, отражающий общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Для того чтобы дать количественную модель, выражающую общую тенденцию изменений уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики. В этом случае фактические уровни заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной кривой, выбранной в предполо-
Рис. 10.4. Производство продукции за месяц, тыс. руб.:’отчетные данные выпуска продукции;пятидневная скользящая средняя
женин, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого общественного явления.
При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого общественного явления
ЛЛ
рассчитывается как функция времени yt—f(/), где yt— уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t. В качестве аналитического уравнения может быть использовано уравнение прямой (если рост уровня происходит в арифметической прогрессии), уравнение показательной кривой (если развитие явления идет в геометрической прогрессии) или уравнение параболы 2-го порядка и т. д.
Основанием для выбора вида кривой должен служить содержательный анализ сущности развития данного явления. Во всяком случае при оценке степени пригодности той или иной кривой для выравнивания последнее слово остается за ним. На практике - для этих целей можно использовать графическое изображение уровней динамического ряда (линейную диаграмму). На основе графического представления эмпирических данных не всегда удается произвести однозначный выбор формы уравнения. Поэтому целесообразно воспользоваться графическим изображением сглаженных уровней, в котором случайные и волнообразные колебания в некоторой степени оказываются погашенными.
При выборе вида кривой для выравнивания динамического ряда следует пользоваться методом конечных разностей, который основан на свойствах различных кривых, применяемых для вы-
равнивания. Обязательным условием является равенство интервалов между уровнями динамического ряда. Свойства конечных разностей заключаются в следующем:
Если общая тенденция выразится линейным уравнением л ■
yt=a-Vbt, тогда получим:
постоянными первые разности: &'i=yi— z/i-u
нулевыми вторые разности: Д"<=Д'|— Д'ц. Следует отметить, что равенство А' постоянной величине и А" нулю при вычислении их по фактическим данным рассматривается не для каждого отдельного случая, а лишь в целом ио всей совокупности уровней:
при /—О уо=а,
ДЧ=У1-Уо=Ь,
, ,,А"1=Д,2—Д'1 = 0;
при /= 1 ух = а-\-Ь,.
Д'г=У2-У\ = Ь1
Д2"=Д'з—Д'2=0;
при /=2 уй=а-\-2Ь, f
Д'ъ—Уз~Уг—Ь;
при /=3 Уз=а + ЗЬ.
В случае, если тенденция выражается параболой 2-го по- л
рядка yt = a-Vbt + ct2, получим: постоянными — вторые разности, нулевыми — третьи разности.
Если рассмотрим уравнение параболы при разных t, то по-
*лучим:
при 1=0 Уй=ч\
при t=l yx = a-Vb+c, Д'х=Ь^с,
• *ДГ=2с,
ДГ=О;
при/=2 у2=й+26 + 4с, Д'г^ + Зс,
Л2"=2с,
Д^-О".
при /=3 уз=а+36 + 9с, Д'3=6 + 5с,
Дз"=2с;
при /=4 у4=а+4Ь+ !6с, Д'з=6+7с—
и т.д.
Основываясь на указанных свойствах конечных разностей для различных видов кривых, Б. С. Ястремский, сделал вывод о применимости для выравнивания линейной функции, если любые три
равноотстоящих уровня имеют нулевой вторую разность. При выборе формы уравнения следует исходить и из объема имеющейся информации. Чем больше параметров содержит уравнение тренда, тем больше должно быть наблюдений при одной и той же степени надежности оценивания.
Для определения коэффициентов уравнений используется метод наименьших квадратов. Линия выбранного нами уравнения проводится таким образом, чтобы она была возможно ближе расположена к фактическим уровням динамического ряда, т. е. должна быть средней арифметической. Это означает, что сумма квадратов отклонений фактических уровней, рассчитанных по аналитическому уравнению, должна быть величиной минимальной:
' 2 (.yt—ytj )2=min,i
где п — число фактических уровней динамического ряда; уг—1
А
фактические уровни динамического ряда; ytt —уровни, рассчитанные по аналитическому уравнению. При выравнивании попрямей аналитическое уравнение имеет вид:
yt = a-Vbt,
где /— порядковый номер периодов или моментов времени, а и b — неизвестные коэффициенты (параметры) искомой прямой. Для нахождения коэффициентов а и b используется система нормальных уравнений, которая в данном случае имеет такой вид:
2 Уг=ап+Ь 2 ti* ii
ППП 9
2 yiti=a 2 U-Vb 2 1г ■i11
Нахождение параметров уравнения можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю (т. е. 2/i=0). При
л нечетном числе уровней ряда динамики для получения 2А=0 уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (этому периоду или моменту времени придается нулевое значение). Даты времени, стоящие выше этого уровня, будут обозначаться натуральными числами со знаком минус (—1, —2, —3 и т. д.), а ниже —натуральными числами со знаком плюс (+1, +2, 4-3 и т. д.).
л
При этом условии 2/j будет равна нулю и система нормальных уравнений будет преобразована следующим образом:
.^У^ап;
1
£ у.£ Hit
nn11
у, у^= b^t2, откуда a=,; b = —— •
ii' n£ z2
Рассмотрим аналитическое выравнивание по прямой ряда динамики производства электроэнергии в СССР. Расчет параметров уравнения прямой для выравнивания данных о производстве электроэнергии в СССР представлен в табл. 10.6.
Таблица 10.6
Год
- ш ^ S. й ° Ч
Ст 5 а
« и 2
= с 2 Е о
2 о S " ° Чо^
io S 03 % х
с и 2
^2 Ео
С^
t
t2
У1<
Л
У/
<Т
< ^*
5
О-в
и 5
я
* 5 5
с 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
1965
507
—5
25
—2535
485
22
486
1966
545
38
107,5
7,5
—4
16
—2 180
539
6
36
1967
588
43
107,9
8,4
—3
9
—1 764
593
—5
25
1968
639
51
108,7
10,1
—2
4
—1 278
647
—8
64
1969
689
50
107,9
9,9
—1
1
—689
700
-11
121
1970
740
51
107,4
10,2
0
0
0
754
—14
196
1971
800
60
108,1
11,8
1
1
800
808
—8
64
1972
857
57
107,1
11,3
2
4
1 714
862
—5
25
1973
915
58
106,7
11,3
3
9
2 745
915
0
0
1974
976
61
106,7
12,1
4
16
3 904
969
7
49
1975
1039
63
106,4
12,3
5
25
5195
1023
16
256
Итого
3 295
532
0
110
5 912
8 295
| 1320
Используя итоги Граф 2, 7 и 8, определим параметры уравнения прямой:
8295*5912
-а==754,09; Ь==53,74.
11ИО
Расчет параметров а и b имеет экономический смысл: так, параметр а, равный 754,09 млрд. кВт-ч, представляет средний уровень временного ряда, а параметр Ь, равный 53,74 млрд. кВт-ч,— средний абсолютный прирост. По исчисленным параметрам составляем уравнение прямой ряда динамики производства электроэнергии:
yt = 754,09 + 53,74/.
По уравнению рассчитаем уровни выравненного ряда динамики:
для 1965 г. у<=-5=754,09 +53,74 ( — 5) =485 млрд.кВтч;
для 1966 г. у<=_4=754,09 +53,74 (—4) =539 млрд.кВтч.
Правильность расчета уровней выравненного ряда динамики может быть проверена следующим образом: сумма значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычисленных уров- п ПК
ней выравненного ряда, т. е. Xyi=Syt (см. итоги граф 2 и 9). Продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, носит название экстраполяции. Экстраполируя при #=6, находим А
уровень 1976 г., равный 1077 млрд. кВт-ч (у, = 754,09+53,74-6), а для 1977 г.— ИЗО млрД. кВт-ч.
Возможность экстраполяции обеспечивается двумя обстоятельствами: 1) общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпевают существенных изменений в будущем; 2) тенденция развития явления характеризуется тем или иным аналитическим уравнением.
Ответ на первый вопрос может быть дан с помощью содержательного экономического анализа. Тем не менее анализ таких показателей, как скорость роста, темпы роста, пункты роста, позволяет ориентироваться в наличии или отсутствии устойчивой тенденции развития. Если условия формирования уровней ряда изменяются, то расчет параметров уравнения не следует вести по данным за весь рассматриваемый период времени. В этом случае целесообразно разбить его на более мелкие промежутки времени, ориентируясь на устойчивость абсолютных приростов или пунктов роста. Так, в табл. 10.6 можно выделить два промежутка, т. е. 1965—1970 гг. и 1970—1975 гг.
Для экстраполяции уровней на 1976—1977 гг. рассчитаем параметры линейного уравнения, используя данные о производстве электроэнергии за 1970—1975 гг., и приведем сравнительный анализ результатов экстраполяции с применением первого и второго вариантов уравнений тренда.
Таблица 10.7
Гох
УХ
<
с
У#
А
Nt
Л
УХ-У/
Л ^i-^tY
1
2
3
4
5
6
7
8
1970
740
—5
25
—3 700
739
1
1
1971
800
—3-
9
—2 400
799
1
1
1972
857
—1
1
—857
858
—1
1
1973
915
+ 1
1
915
918
—3
9
1974
976
+ 3
9
2928
977
-1
1
1975
1039
+5
25
5195
1037
2
4
Итого
5327
0
70
2081
5327
17
Во втором случае число уровней динамического ряда четное, поэтому занумеруем периоды времени верхней половины ряда (от середины) числами — 1, —3, —5 и т. д., а временные периоды нижней половины +1, -|-3, +5 и т. д. (см. табл. 10.7).
Рассчитаем параметры уравнения прямой: 5 3272081
a=-g—=88 7,83; Ь = -?г=29,73.
Уравнение тренда для этого случая будет выглядеть так:
yt=887,83 + 29,73/.
Используя это уравнение для экстраполяции, найдем уровни 1976 и 1977 гг.:
yt для 1976 г.= 1 096 млрд.кВт-ч (887,83 + 29,73-7);
yt для 1977 г.= 1154 млрд.кВт-ч,'(887,83+ 29,73-9)-
По справочнику «СССР в цифрах» производство электроэнергии в 1976—1977 гг. составило соответственно 1111 и 1150 млрд. кВт-ч. Сравнивая полученные по уравнениям тренда точечные оценки производства электроэнергии на 1976—1977 гг., можно видеть в первом случае, что расхождение между экстраполируемым и фактическим уровнем составило 34 млрд. кВт-ч (1Q77—1111), или 3,06%, во втором случае это расхождение составило 15 млрд. кВт-ч (1096—1111), или 1,35%. Для 1977 г. расхождения между фактическим и экстраполируемыми уровнями еще более значительно.
При составлении прогнозов используют не точечную, а интервальную оценку, определяя так называемые доверительные интервалы прогноза. Величина доверительного интервала определяется в общем виде так:
y^US^.(10.12)
где S£—среднее квадратическое отклонение от тренда;
/о — значение / критерия Стьюдента.
Величина S^ определяется по формуле
. V"-^2^- ,(10.13)
У * п—тх
А
где yt и yt—соответственно фактические и расчетные значения уровней динамического ряда; п — число уровней ряда; т — количество параметров в уравнении тренда (для уравнения прямой т=2).
Рассчитаем доверительные интервалы прогнозируемых значений на 1976 г.:
по уравнению тренда, полученному по данным табл. 10.6, 8^ = "^ 15^ = 12,12 млрд. кВт-ч, у< = 1077 млрд. кВт-ч, fa=2,262 (для числе степенен свободы, равного 9, и при уровне значимости a=0,05),
tit- taS ^ ^'j/пропюзир ^yt + taS ^ 1 050 C i/прогнозир ^ 11041
по уравнению тренда, полученному по данным табл. 10.7, Sy j/-^-=2,06 млрд. кВт-ч, </1=1096 млрд. кВт-ч, /е =2,776 (для числа сте- неней свободы, равного 4, и при уровне значимости а=0,05),
ЛЛ
tit ^а^^^Д/прогнозир ^yt"\"taS^ , 1 090< t/прогнозир ^1 102.
Во втором случае точность прогноза выше. Величина доверительного интервала составляет 12 млрд. кВт-ч (1102—1090), тогда как в первом случае — 54 млрд.. кВт-ч (1104—1050).
Экстраполяцию не следует рассматривать как завершающую стадию прогнозирования, а лишь как предварительный этап в разработке прогнозов. Для составления прогноза должна быть привлечена дополнительная информация, не содержащаяся в самом динамическом ряду.
Мы рассмотрели применение линейного уравнения для вырав-
Л нивания. При использовании параболы второго порядка: yt= =a-Vbt-\-ct2 система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения (при соблюдении принципа отсчета от условного начала) будет иметь вид:
У, tji= ап+с^Р;
1
71П *
^yit=b^t2-,
I1
I71П71
^у^а^-Ус^-111
Если в изменениях уровней обнаруживается тенденция к постоянству темпов роста, то выравнивание ряда следует проводить по показательной кривой:
yt = ab‘ где b — темп роста.
Техника выравнивания по показательной кривой аналогична технике выравнивания по прямой, за исключением того, что выравниваются здесь не уровни ряда, а их логарифмы:
lg t/=lga+Z lg6;
(2 lgy=n lgo+lgb2/;
| 2 lgt/T=lga 2 /4-lg6 2 /2 •
Приравнивая 2(=0, получаем:
( Slgy=nlga;
| 2/lgy=Igb2/2 ,
тогда
, Sigy . , S'lgs
По вычисленным значениям логарифмов определяем величины параметров уравнения показательной кривой а и Ь.
Аналитическое уравнение представляет собой математическую модель развития явления и дает выражение статистической закономерности, проявляющейся в рядах динамики. Следует помнить, что прием аналитического выравнивания содержит ряд условностей, связанных прежде всего с тем, что уровни, выражающие тот или иной динамический ряд, рассматриваются как функция времени. В действительности же развитие явлений обусловлено не *гем, сколько времени прошло с отправного момента, а тем, какие силы влияли на развитие, в каком направлении и с какой интенсивностью. Развитие явлений во времени выступает как внешнее выражение этих сил, как их суммарное действие, оказывающее влияние на изменение уровня в отдельно взятые промежутки или моменты времени. Выявить основную тенденцию развития явления методом наименьших квадратов можно лишь тогда, когда выяснено, что изменяющиеся во времени процессы протекают на всем рассматриваемом промежутке времени одинаково, что их количественное и качественное изменение происходит под действием одного и того же комплекса основных факторов, определяющих движение данного ряда динамики. Модели, учитывающие общие закономерности изменения экономического явления в изучаемый интервал времени и изменения во времени влияния комплекса факторов, называют многофакторными динамическими моделями.
Допустим, что величина исследуемого показателя у зависит от изменения нескольких факторов Xi, Хг, Хз, - • • > хь Располагая данными по некоторой совокупности объектов за ряд лет, можно построить корреляционную модель, характеризующую зависимость у от указанных факторов для каждого периода времени.
Предположим, что эта зависимость может быть представлена линейной функцией. Тогда модель будет иметь вид: д
для периода /=1 у^.хгxh)i = Ooi+anXi+a2iX2+ ... +щ,Хь;
для периода /=2 у^ь хг,..., хЛ)2=002+012X1+022X2+ ... -Va^Xh; л
для периода t=3 У^хьхгxh)3 = 003+013X1+023X2+ .. . +oh3xft
И т. д.
Для всех периодов получим систему из п уравнений и для каждого из факторов будет п коэффициентов регрессии, т. е. ■будем иметь временные ряды для каждого из коэффициентов регрессии:
Ооь О02, Ооз, . . • , Ооп ;
Оц, 012, 013, • • • > Ощ ",
Огь O22, 023, . . - , О2п ">
Ohl, Oh2, Oh3. • - • , Ohn ■
Рассматривая каждый из таких временных рядов, можно представить ак как функцию времени и, используя аналитическое выравнивание, построить прогнозы коэффициентов регрессии на период времени t, т. е. определить значение величин
Cot, Сц, ■ ■ - , dht ‘
Тогда величина признака у на период t может быть представлена так:
У(Х1,Х8Хд), =Cot + °1tx1 + a2t'X2+ ■■‘+CfttXh-
Значения факторов хь х^...,Хк необходимо определить также на момент времени /. Обычно для этого используют либо контрольные цифры народнохозяйственных планов, либо экстраполяцию по линии тренда.
ИЗМЕРЕНИЕ СЕЗОННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Слагаясь под совместным воздействием систематических и случайных факторов, уровень ряда динамики испытывает также воздействие причин, обусловленных периодичностью колебаний. Поэтому для анализа колеблемости динамических рядов наряду с выделением случайных колебаний возникает и задача изучения периодических колебаний. Как правило, изучение периодических (сезонных) колебаний необходимо с целью исключения их влияния на общую динамику и для выявления чистой (случайной) колеблемости.
В широком понимании к сезонным явлениям относят все явления, которые обнаруживают в своем развитии отчетливо выраженную закономерность внутригодичных изменений, т. е. более или менее устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней. Причем часто эти колебания могут быть не связаны со сменой времен года. К сезонным явлениям относят, например, потребление электроэнергии, неравномерность производственной деятельности в отраслях пищевой промышленности, связанных с переработкой сельскохозяйственного сырья, перевозки пассажирским транспортом и т. д.
Как бы ни проявлялась сезонность, она наносит большой ущерб народному хозяйству, вызванный неравномерным использованием оборудования и рабочей силы, неравномерной загрузкой транспорта и т. д.
Статистическое исследование сезонности ставит следующие задачи: 1) численно выразить проявление сезонных колебаний и выявить их силу и характер; 2) определить факторы, вызывающие сезонные колебания; 3) оценить последствия, к которым приводит наличие сезонных колебаний.
Для измерения сезонных колебаний предложены различные методы. Наиболее простые и часто употребляемые: метод абсолютных разностей, метод относительных разностей, построение индексов сезонности, метод средних. квадратических отклонений.
Первые два способа предполагают нахождение разностей фактических уровней и уровней, найденных при выявлении основной тенденции развития.
Применяя способ абсолютных разностей, оперируют непосредственно размерами этих разностей, -а при использовании метода относительных разностей определяют отношение абсолютных размеров указанных разностей к выравненному уровню. При выявлении основной тенденции используют метод скользящей средней, или аналитическое выравнивание. В некоторых случаях можно пользоваться разностью фактических уровней и средним месячным уровнем за год. Рассмотрим применение методов абсолютных и относительных разностей для измерения сезонных колебаний отпуска электроэнергии с шин по ТЭЦ за трехлетний период. Использование данных за несколько лет связано с тем обстоятельством, что в отклонениях по отдельным годам сезонные колебания смешиваются со случайными. Чтобы элиминировать случайные колебания, вычисляют средние отклонения за несколько лет.
Данные об отпуске электроэнергии с шин за 1975—1977 гг. (млн. кВт-ч) представлены в табл. 10.8.
Для выделения сезонной волны надо определить средний уровень отпуска энергии за каждый месяц по трехлетним данным (см. строку 5 табл. 10.8) и общую среднюю за весь рассматриваемый период. Например, средний уровень отпуска энергии за январь получим делением суммы уровней на число лет, т. е.
—398,8
</янв=—з—=132,9 млн. кВт ч;
—389,3
Уфевр=—з—=129,8 млн.кВт-ч и т.д.
Общая средняя получается делением суммы уровней отпуска за все три года на 36, т. е.
4694,1
Уобщ=—3g2-= 130,4 млн.кВт-ч.
Затем определяется абсолютное отклонение средних месячных от общей средней (см. строку 6 табл. 10.8). Например, за январь абсолютное отклонение составило 4-2,5 млн. кВт-ч (132,9—130,4). Аналогичные расчеты сделаны для всех остальных месяцев.
Метод относительных разностей является развитием метода абсолютных разностей. Для нахождения относительных разностей абсолютные отклонения делят на общую среднюю и выражают в процентах (см. строку 7 табл. 10.8). Например, за январь относительное отклонение от общей средней составило 4-1,9% (+2 5\
13О’^"19О% На рис. 10.5 сезонная волна выглядит особенно
отчетливо.
Выделение сезонной волны можно выполнить на основе построения 'аналитической модели проявления сезонных колебаний. Построение аналитической модели выявляет основной закон колеблемости данного временного ряда в связи с переходом от месяца к месяцу и дает среднюю характеристику внутригодичных колебаний.
При исследовании явлений периодического типа в качестве аналитической формы развития во времени принимается уравнение следующего типа (ряд Фу- рье):
Рис. 10.5. Производство электроэнергииРис. 10.5. Производство электроэнергииyt= ao+^^a^coskt+bh sin/г/).
Рис. 10.5. Производство электроэнергии
Рис. 10.5. Производство электроэнергии
В этом уравнении величина к определяет гармонику ряда Фурье и может быть взята с разной степенью точности (чаще всего от 1 до 4). Для отыскания параметров уравнения используется метод
наименьших квадратов:
2(y.-f/t )2=min.
Найдя частные производные этой функции и приравняв их нулю, получим систему нормальных уравнений, решение которой дает приводимые далее формулы для вычисления параметров:
о0=—2у;
2ah—— ~у coskt".
9
bi>=—S и smkt.
Формулы показывают, что параметры уравнения зависят от значений у и связанных с ним последовательных значений cos kt и sin Л/.Для изучения сезонных колебаний на протяжении года необходимо взять п=12 по числу месяцев в году. Тогда, представляя периоды как части длины окружности, ряд динамики можно записать так1:Формулы показывают, что параметры уравнения зависят от значений у и связанных с ним последовательных значений cos kt и sin Л/.Для изучения сезонных колебаний на протяжении года необходимо взять п=12 по числу месяцев в году. Тогда, представляя периоды как части длины окружности, ряд динамики можно записать так1:периоды06322 л35л 67л 64л Зл325х 3Пл6уровни рядатсУоУ1тс.УйУзУтУз2лУо УтУз УдУ юУн1 Величины 0, — Ь2л2л-0=0; при /=1-• 1 =Т" тс =1Гт. д. получены так и т. д.п•t, т. е.при / = 0периоды06322 л35л 67л 64л Зл325х 3Пл6уровни рядатсУоУ1тс.УйУзУтУз2лУо УтУз УдУ юУн1 Величины 0, — Ь2л2л-0=0; при /=1-• 1 =Т" тс =1Гт. д. получены так и т. д.п•t, т. е.при / = 0П J
Формулы показывают, что параметры уравнения зависят от значений у и связанных с ним последовательных значений cos kt и sin Л/.
Для изучения сезонных колебаний на протяжении года необходимо взять п=12 по числу месяцев в году. Тогда, представляя периоды как части длины окружности, ряд динамики можно записать так1:
Формулы показывают, что параметры уравнения зависят от значений у и связанных с ним последовательных значений cos kt и sin Л/.
Для изучения сезонных колебаний на протяжении года необходимо взять п=12 по числу месяцев в году. Тогда, представляя периоды как части длины окружности, ряд динамики можно записать так1:
периоды
0
6
3
2
2 л
3
5л 6
7л 6
4л Зл
32
5х 3
Пл
6
уровни ряда
тс
Уо
У1
тс.
Уй
Уз
Ут
Уз
2л
Уо Ут
Уз Уд
У ю
Ун
1 Величины 0, — Ь
2л2л
-0=0; при /=1-
• 1 =
Т" тс =1Г
т. д. получены так и т. д.
п
•t, т. е.
при / = 0
периоды
0
6
3
2
2 л
3
5л 6
7л 6
4л Зл
32
5х 3
Пл
6
уровни ряда
тс
Уо
У1
тс.
Уй
Уз
Ут
Уз
2л
Уо Ут
Уз Уд
У ю
Ун
1 Величины 0, — Ь
2л2л
-0=0; при /=1-
• 1 =
Т" тс =1Г
т. д. получены так и т. д.
п
•t, т. е.
при / = 0
t
cos/
cos2/
cos3/
cos4/
sin/
Sln2/
sfn3/
зш«
0
1
1
1
1
0
0
0
0
~б"
0,866
0,5
0
—0,5
0,5
0,866
1
0,866
ТЕ
3
0,5
—0,5
— 1
—0,5
0,866
0,866
0
—0,866
ТЕ т
0
—1
0
1
1
0
—1
0
2л
3
—0,5
—0,5
1
—0,5
0,866
—0,866
0
0,866
5л т
—0,866
0,5
0
—0,5
0,5
—0,866
1
—0,866
ТЕ
—1
1
-1
1
0
0
0
0
7л
6
—0,866
0,5
0
—0,5
—0,5
0,866
—1
0,866
4л
Г
—0,5
—0,5-
1
—0,5
—0,866
0,866
0
—0,866
Зл
Ч
0
—1
0
1
-1
0
1
0
5л
Т
0,5
—0,5
—1
—0,5
-0,866
—0,866
0
0,866
11л
6
0,866
0,5
0
—0,5
—0,5
—0,866
—1
—0,866
Так как t в го, месяца, то t=0 лю и т. д. Для произведение у] ответствующих = О0+О] cos t+b из соотношений:
цовой / соотве
нахож ювней
гармон sin t.
(инамике означ тствует январю дения парамет данного месяц ик. Для к=1 з котором парг
ает ном , t=2L
ров ак г а на сш
уравнен!
1метры /
ер сооте соответс
Ьк над 1усы и
ie прим Zo, Oj и
етств1 твует
О ВЫ1 ЮСИН) ет ви; Ьх на
^ющего февра-
1И слить /сы со-
А
i: У/= йдутся
Таблица 10.9
66 ‘
При вычислениях надо иметь в виду, что в четырех квадратах от 0 до 2л косинусы и синусы четыре раза принимают одни и те же абсолютные значения, а именно: 0; 0,5; 0,866; 1, взятые со знаком плюс или минус. Для вычисления синусов и косинусов разных гармоник лучше всего пользоваться табл. 10.9, значений cos kt и sin kt для t=0;4- ,.... -^.При вычислениях надо иметь в виду, что в четырех квадратах от 0 до 2л косинусы и синусы четыре раза принимают одни и те же абсолютные значения, а именно: 0; 0,5; 0,866; 1, взятые со знаком плюс или минус. Для вычисления синусов и косинусов разных гармоник лучше всего пользоваться табл. 10.9, значений cos kt и sin kt для t=0;4- ,.... -^.„ _ 2У.2 ycost2 ysint
При вычислениях надо иметь в виду, что в четырех квадратах от 0 до 2л косинусы и синусы четыре раза принимают одни и те же абсолютные значения, а именно: 0; 0,5; 0,866; 1, взятые со знаком плюс или минус. Для вычисления синусов и косинусов разных гармоник лучше всего пользоваться табл. 10.9, значений cos kt и sin kt для t=0;4- ,.... -^.
При вычислениях надо иметь в виду, что в четырех квадратах от 0 до 2л косинусы и синусы четыре раза принимают одни и те же абсолютные значения, а именно: 0; 0,5; 0,866; 1, взятые со знаком плюс или минус. Для вычисления синусов и косинусов разных гармоник лучше всего пользоваться табл. 10.9, значений cos kt и sin kt для t=0;4- ,.... -^.
«о—. О, =—; ^=-2—
Рассмотрим построение модели сезонной волны на примере данных об удельном расходе условного топлива на отпуск тепло- энергии, применив первую и вторую гармоники ряда Фурье для построения модели сезонной волны (все необходимые расчеты приведены в табл. 10.10).
Таблица 10.10
Месяц
t
Удельный расуод условного топлива на отпуск теплоэнергии, кг, Гкал
ycos/
уЯп/
-A
УЬ
ycos2/
ysln2t
A У/
I .
2
3
4
5
6
7
8
9
Январь
0
168,46
168,46
0,00
169,41
168,46
0,00
169,34
Февраль
~6~
169,65
147,00
84,83
169,30
84,83
147,00
169,11
Март -
7U
Т
'168,52
84,26
146,00
168,39
—84,26
146,00
168,28
Апрель
166,12
0,00
166,12
166,92
—166,12
0,00
166,99
2
-
Май
2л
166,02
—83,01
143,81
165,29
—83,01
—143,81
165,48
3
Июнь
5л
164,23
—142,10
82,11
163,94
82,11
—142,10
164,05
6
Июль
ТС
163,04
—163,04
0,00
163,23
163,04
0,00
163,16
Август
7тт
163,03
—141,10
—81,52
163,34
81,52
141,10
163,15
6
Сентябрь
4л
164,53
—82,27
—142,50
164,25
—82,27
142,50
164,14
3
Октябрь
Зл
165,46
0,00
—165,46
165,72
-165,46
0,00
165,79
2
Ноябрь
5т
167,63
83,82
—145,20
167,35
—83,82
-145,20
167,54
3
Декабрь
Пл
169,14
146,50
—84,57
168,70
84,57
—146,50
168,81
6
Итого
1995,83
18,52
3,62
1995,84
—0,41
'—1,01
1995,84
Применяя первую гармонику ряда Фурье, получим следующие значения параметров уравнения:
а0= 1995,83:12= 166,32 ; щ= 18,52:6=3,09 ; 61 = 3,62:6=0,60.
Уравнение модели будет иметь такой вид:
У1 = 163,32+3,09 cosi+0,60 sin/.
В табл. 10.10 (графы 3 и 6) представлены фактические и расчетные уровни удельного расхода топлива на отпуск теплоэнер- гии, где наглядно видно, что модель достаточно точно отражает эмпирические уровни ряда динамики. Применим к этим же данным вторую гармонику ряда Фурье для выражения модели сезонности (см. графы 7—9 табл. 10.10).
Параметры я2 » Ь2 находим таким образом:
£ycos2t 0,41
й2 =_0,07;
£ у sin2t 1,01b2=—-6= -—=-0,17.
Подставляя полученные коэффициенты в уравнение ряда Фурье, будем иметь следующую модель сезонности данного ряда динамики:
yt = 166,32+3,09cos/+0,60sin/—0,07cos2/—0,17 sin2/.
Сопоставление выравненных уровней динамического ряда по первой и второй гармоникам (см. графы 6 и 9 табл. 10.10) приводит к выводу достаточности использования для выравнивания только первой гармоники. Глубину сезонных колебаний месячных данных измеряют индексами сезонности (/сез), которые представляют собой отношение средних из фактических уровней одноименных месяцев за рассматриваемый период к средней из выравненных данных по тем же месяцам, z
У1факт
т.е. 1сез = —•.(10.14)
*Уи
где уг-факт — средняя из фактических уровней i-ro месяца завесь А
рассматриваемый период; уи— средний из выравненных уровней i-ro месяца, полученный либо применением 12-месячной скользящей средней, либо аналитическим выравниванием.
Приведенная формула индекса сезонности показывает, что его величина различна для разных месяцев и зависит от способа выравнивания.
Расчет индексов сезонности проиллюстрируем по данным об удельных расходах условного топлива на отпуск теплоэнергии за 1970—1979 гг. по одной из ТЭЦ. За 10-летний период были рассчитаны средние из фактических уровней удельных расходов топлива за одноименные месяцы, затем произведено выравнивание ряда удельных расходов топлива по прямой и рассчитаны средние из выравненных данных по каждому месяцу (результаты расчетов приведены в табл. 10.11, графы 2 и 3).
Таблица 10.11
Месяц
к § к г-: К £ Е Я § £ ^
и >.-« >
1 х £
-°
4 3 ° ч а ®
= 5 = |°=<? " 3 5 = ,^-«Z <u О СНЕ X
j
3 3
8
1
Ме:яп
я ° =
£ у
О?»
О >5? 1 >
_5О
а5я
,2-XК^
2dО/ >
X
о
X 3
1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь
168,46
169,65
168,52
166,12 166,02
164,23
166,65
166,43
166,40
166,38
166,36
166,33
101,1
101,9
101,3
99,8
99,8
98,7
1,21
3,61 1,69 0,04 0,04 1,69
Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
163,03 163,04 164,53 165,46
167,63 169,14
166,31
166,28
166,26
166,24
166,21
166,15
98,0 98,0 98,9 99,4 100,9 101,9
4,00 4,00
1,21
0,36 0,81 3,61
Итого
22,27
Сопоставление индексов сезонности по месяцам (см. графу 4 табл. 10.11) показывает, что минимальный удельный расход топлива имеет место в июле, августе, а максимальный—в декабре, феврале.
Обобщающим показателем силы колеблемости динамического ряда из-за сезонного характера производства служит среднее квадратическое отклонение индексов сезонности (в %) от 100%, т. е. щсез = |/ ^('сезг-ЮО)2 = 1,36% (расчет о,се« приведен в табл. 10.11, графа 5).
Сравнение средних квадратических отклонений, вычисленных за разные периоды, показывает сдвиги в сезонности-(уменьшение о, свидетельствует об уменьшении сезонности производства).
КОРРЕЛЯЦИЯ В РЯДАХ ДИНАМИКИ
При изучении, развития явления во времени часто возникает необходимость оценивать степень взаимосвязи в изменениях уровней двух каких-то рядов различного содержания, но связанных между собой. Например, можно поставить вопрос, в какой мере изменение технической оснащенности труда, характеризуемое, в частности, динамикой энерговооруженности или фондовооруженности, влияет на изменение уровня производительности труда. В этом случае прибегают к корреляции динамических рядов. Корреляция динамических рядов приводит не только к выявлению причин, обусловливающих развитие, но и к выявлению сходства в динамике одного и того же явления на разных территориях. Применение методов классической теории корреляции в динамических рядах связано с некоторыми трудностями, прежде всего
с наличием для большинства динамических рядов определенной тенденции (тренда) изменении их уровней; тогда как одна из предпосылок применения теории корреляции основана на независимости отдельных наблюдений.
Методы выявления основной тенденции в изменениях уровней динамического ряда были рассмотрены выше. Здесь следует еще раз отметить, что линия тренда характеризует плавное изменение явления во времени, освобожденное от различного рода случайных отклонений, и определяет зависимость между уровнями динамического ряда. Наличие зависимости между последующими и предшествующими уровнями динамического ряда в статистической литературе называют автокорреляцией. Наличие или отсутствие автокорреляции всегда надо проверять, и одним из условий применения методов корреляционного анализа для изучения взаимосвязей между рядами динамики является исключение трендов из обоих рядов. В общем случае можно предполагать, что в рядах, состоящих из отклонений от тренда, автокорреляции нет. Другим обстоятельством, которое нужно принимать во внимание -при сопоставлении уровней двух динамических рядов, является наличие лага, т. е. смещения во времени изменения одного явления по сравнению с другим. Поэтому при наличии отставания в развитии двух взаимосвязанных явлений нужно сдвинуть уровни одного ряда относительно другого на некоторый промежуток времени (месяц или год); что даст возможность получить более правильную оценку степени тесноты корреляционной связи. И наконец, третье обстоятельство связано с тем, что на разных отрезках времени изучаемого периода условия формирования уровня рассматриваемого явления могли претерпеть существенные изменения, которые часто связаны с изменением экономической политики государства. В таком случае имеем дело с так называемой переменной корреляцией, т. е. с изменяющейся во времени степенью тесноты корреляционной связи. При оценке тесноты связи между динамическими рядами первостепенное значение приобретает логический анализ связи между явлениями, так как в противном случае корреляция может показать не зависимость, а чисто случайное сопутствие изменений. Таким образом, при применении методов корреляции в динамических рядах встает двоякая задача: 1) измерить связь последовательных уровней одного и того же динамического ряда; 2) измерить связь между изменением двух параллельных рядов разного содержания, так или иначе связанных друг с другом. В первом случае исчисляют коэффициенты автокорреляции и авторегрессии, показывающие зависимость между последовательными уровнями ряда, во втором — коэффициенты корреляции и регрессии.
В первом случае коэффициент корреляции вычисляется по непосредственным данным рядов динамики, когда фактические уровни одного ряда принимаются за аргумент, а соответствующие уровни другого — за функцию. Во втором случае коэффициент корреляции рассчитывается по отклонениям от некоторого вырав-
ненного уровня в обоих коррелируемых рядах динамики. Как правило, определяют отклонения фактических уровней от тренда, представляющего основную тенденцию развития каждого ряда.
Рассмотрим корреляцию в рядах динамики, характеризующих темпы роста производительности труда и фондовооруженности на машиностроительном предприятии за период 1969—1978 гг.
Таблица 10.12
Год
Темп роста фондевооруженности в % к 1968 г.
U)
Темп роста Производительности труда в % к 19.8 г.
(У)
Год
Темп роста фондовооруженности в % к 1938 Г.
(X)
Темп роста производительности труда в % к 1968 г.
(У)
1969
105
106
1974
143
149
1970
112
117
1975
159
168
1971
118
- 121
1976
164
176
1972
123
128
1977
168
184
1973
134
137'
1978
182
199•
Если коррелировать уровни этих двух рядов, принимая рост фондовооруженности за признак-фактор (х), изменение которого вызывает изменение производительности труда (у), то рассчитанный коэффициент корреляции покажет, в какой степени оба коррелируемых ряда динамики подвержены сходным влияниям в течение данного времени. Коэффициент корреляции может принимать любые значения от — 1 до 4-1, а истолкование степени тесноты связи такое же, как в рядах распределения. Полученный коэффициент корреляции (по расчету его величина составила 0,97) свидетельствует о наличии тесной зависимости мея^ду изменением уровня фондовооруженности и уровня производительности труда. Однако коррелируемые величины развиваются во времени, и прежде чем делать вывод о тесноте связи между ними, необходимо проверить оба ряда на автокорреляцию.
Чтобы оценить степень зависимости между соседними уровнями динамического ряда, рассчитаем коэффициенты автокорреляции для ряда, характеризующего динамику фондовооруженности, и для ряда, характеризующего динамику производительности труда. Автокорреляция определяется путем сопоставления данных, относящихся к двум смежным годам, т. е. величин у< и y,+i.
Коэффициент автокорреляции определяется на основе формулы коэффициента корреляции для парной зависимости.
Syiyi+i”Syiyi+i”Zy-Syn-iпZy-Syn-iпгУ»УтгУ»Ут2 (Syi)2][v=(5У<+0г 1у S yt — 2у<+1Ln J LnJ2 (Syi)2][v=(5У<+0г 1у S yt — 2у<+1Ln J LnJ(10.15)(10.15)
Syiyi+i”
Syiyi+i”
Zy-Syn-i
п
Zy-Syn-i
п
гУ»Ут
гУ»Ут
2 (Syi)2][v=(5У<+0г 1
у S yt — 2у<+1
Ln J LnJ
2 (Syi)2][v=(5У<+0г 1
у S yt — 2у<+1
Ln J LnJ
(10.15)
(10.15)
Расчет коэффициентов автокорреляции приведен в ряду динамики производительности труда (табл. 10.13).
Таблица 10.13
Я
УЦ1
Уч
y*z+i
У/У/ + 1
106
117
11 236
13 682
12 402
117
121
13 689
14 641
14 157
121
128
14 641
16384
15 488
128
137
16 384
18 769
17 536
137
149
18 769
22 201
20 413
149
168
22 201
28 224
25032
168
176
28 221
30 976
29 568
176
184
30 976
33 856
32 384
184
199
33 856
39601
36616
1286
1379
189976
21834
203 596
L9 JL9 J
Охарактеризуем автокорреляцию в ряду динамики фондовооруженности (табл. 10.14).
Таблица 10.14
*i
Я+1
^41
-«•/4+1
105
112
11025
12 514
11 769
112
118
12544
13 924
13216
118
123
13924
15 129
14 514
123
134
15129
17 956
16482
134
143
17 956
20449
19162
143
159
20 449
25 281
22 737
159
164
25 281
26 896
26 076
164
168
26 896
28 224
27 552
168 *
182
28224
33124 '
30 576
1226
1303
171 428
193 527
182 175
' 182 175—И2623239г», х =——-- -——= 0,997. "
/>71 42,-226>"193 527-Д5Д]
* 1 .9 Л9 J
Таким образом, в рядах динамики фондовооруженности и производительности труда существует очень высокая положительная автокорреляция, которая искажает вывод о степени тесноты
связи между уровнями динамических рядов. В этой связи не следует коррелировать непосредственно темпы роста фондовооруженности и производительности труда, а сначала необходимо исключить определенную тенденцию изменения уровней и коррелировать уже отклонения от тренда. Исключение трендов позволяет ослабить автокорреляцию и привести данные в такой вид, который более пригоден для приложения классических методов теории корреляции.
При коррелировании отклонений фактических уровней от выравненных необходимо: 1) произвести аналитическое выравнивание сопоставляемых рядов; 2) определить величину отклонения каждого фактического уровня ряда динамики от соответствующего ему выравненного значения; 3) произвести коррелирование полученных отклонений.
Линии трендов рядов динамики фондовооруженности и производительности труда определим на основе их выравнивания по прямой линии. Линейное уравнение тренда для ряда динамики л
фондовооруженности будет иметь вид: xf =93,06+9,68 t, а урав- л
нение для ряда динамики производительности труда yt=92,08+ + 10,26 t.
Найденные тренды окажутся исключенными, если будут вычислены отклонения от них фактических данных. Значения фактических данных и выравненных уровней и их отклонения для рядов динамики фондовооруженности и производительности труда представлены в табл. 10.15.
Таблица 10.15
Год
/
н а - О О S О О Ь 0.83 О _ о с К t^ Г V s к а
не**
А
*1
dx=
=*1- л
-Xt
«, 1
SgS^
§ я 5^ £ ° 5 « Н К к d
А
У/
+ = =У/ -
А
—У/
dxdv
^х
^У
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1969
1
105
101,74
+3,26
106
102,34
+ 3,66
+ 11,93
10,627
13,395
1970
2
112
110,42
+ 1,58
117
112,60
+ 4,40
+ 6,95
2,496
19,360
1971
3
118
119,10
-1,10
121
122,86
—1,86
+2,04
1,21
3,459
1972
4
123
127,78
—4,78
128
133,12
—5,12
+24,47
22,84
26,214
1973
5
134
136,46
—2,46
137
143,38
—6,38
+ 15,69
6,051
40,704
1974
6
143
145,14
-2,14
149
153,64
-4,64
+9,92
4,579
21,529
1975
7
159
153,82
+5,18
168
163,90
+4,10
+ 21,23
26,832
16,810
1976
8
164
162,50
+ 1,50
176
174,16
+ 1,84
+ 2,76
2,25
3,385
1977
9
168
171,18
—3,18
184
184,42
—0,42
+ 1,33
10,112
0,176
1978
10
182
179,86
+ 3,14
199
194,68
+4,32
+ 13,56
9,859
18,662
109,88
96,856
163,694
Расчет коэффициента корреляции будем производить по отклонению фактических уровней от трендов.
гдегде^dxd^^dxd^У№-2^У№-2^(10.16)(10.16)
где
где
^dxd^
^dxd^
У№-2^
У№-2^
(10.16)
(10.16)
d^Xi — xr, dy=yi — tjt.
Все данные для расчета коэффициента корреляции приведены в графах 9, 10, 11 табл. 10.15.
у96,856-163,694
Величина коэффициента корреляции, характеризующая тесноту связи между отклонениями уровней от трендов, оказалась несколько меньшей и составила 0,87. Это свидетельствует о наличии тесной связи между темпами роста фондовооруженности и производительности труда.
К аналогичному результату мы придем, если будем коррелировать разности между последующим и предыдущим уровнями: (Ab=yi — z/i-i); (Аж=л(— Xi_xY Коэффициент корреляции первых разностей рассчитывается по такой формуле:
Но при этом надо иметь в виду, что разность первого порядка исключает автокорреляцию только в тех рядах динамики, в которых изменение во времени происходит по прямой.
ГЛАВА 11. ИНДЕКСЫ
ПОНЯТИЕ И ЗНАЧЕНИЕ ИНДЕКСОВ
В теории статистики под индексом' понимается относительное число, получаемое при соизмерении уровней сложных показателей для сопоставления их во времени, пространстве или для сравнения с планом. Обычно индексы характеризуют изменение уровня разнородных элементов совокупности, представляющей экономическое единство (например, совокупность товаров, разнородных по своей потребительной стоимости). Непосредственное объединение (сложение) данных по различным элементам совокупности невозможно в силу их несоизмеримости. Например, для получения общего объема продукции предприятия нельзя суммировать выпуск различных видов продукции в натуральном выражении. При этом возникает проблема соизмерения разнородных элементов, решение которой достигается с помощью различных экономических показателей.
По мере развития планирования и совершенствования системы учета и отчетности использование индексов в советской статистике значительно расширяется. Они применяются для характеристики динамики развития народного хозяйства в целом, при анализе результатов производственно-хозяйственной деятельности и выявлении резервов производства.
Индексные показатели используются для:
характеристики общего изменения всех элементов сложного общественного явления (например, изменения затрат на производство продукции, изменения стоимости произведенной продукции и т. д.);
выделения в показателе изменения сложного явления влияния одного из факторов изменения путем элиминирования влияния других факторов (например, увеличение затрат на производство продукции, связанное с ростом выпуска продукции в натуральном выражении);
обособления влияния изменения структуры явления на изменение индексируемой величины (например, при изучении динамики среднеотраслевой себестоимости продукции устраняется влияние изменения в распределении объемов выпуска продукции по предприятиям отрасли).
Способы построения индексов зависят от содержания изучаемых явлений, методологии расчета исходных статистических показателей и целей исследования. Для удобства в теории статистики разработана определенная символика. Каждая величина, изменение которой нас интересует (индексируемая величина), имеет свое символическое обозначение. Например, количество единиц данного вида продукции обозначается q, цена единицы
изделия — р, себестоимость единицы изделия —г, трудоемкость единицы изделия — / и т. д.
По степени охвата элементов совокупности различают индивидуальные и общие индексы. Индивидуальными называются индексы, характеризующие изменение только одного элемента совокупности (например, изменение выпуска легковых автомобилей определенной марки). Индивидуальный индекс обозначается L Обилий индекс отражает изменение по всей совокупности элементов сложного явления. Если индексы охватывают не все элементы сложного явления, а лишь часть, то их называют групповыми, или субиндексами (например, индексы продукции по отдельным отраслям промышленности). Обозначим общий индекс символом /.
Индексные показатели в советской статистике вычисляются на высшей ступени статистического обобщения и опираются на результаты сводки и обработки данных статистического наблюдения. Итоги по группам элементов в условиях их несоизмеримости получаются расчетным путем, являются производными. Например, объем продукции предприятия может быть представлен в стоимостном или трудовом выражении. В любом из этих случаев показатель объема продукции представляет собой сложный производный показатель, изменение которого синтезирует различный характер изменения отдельных элементов этого показателя и тех факторов, которые его формируют. В зависимости от содержания и характера индексируемой величины различают индексы количественных (объемных) показателей (например, индекс физического объема продукции) и индексы качественных показателей (например, индексы цен, себестоимости).
При вычислении индексов различают сравниваемый уровень и уровень, с которым производится сравнение, называемый базисным. Выбор базы сравнения определяется целью исследования. В индексах, характеризующих изменение индексируемой величины во времени, за базисную величину принимают размер явления в каком-либо периоде, предшествующем отчетному. При этом возможны два способа расчета индексов — цепной и базисный. Цепные индексы получают сопоставлением текущих уровней с предшествующим. Таким образом, база сравнения непрерывно меняется. Базисные индексы получают сопоставлением с уровнем какого-то одного определенного периода, принятого за базу сравнения. При территориальных сравнениях за базу принимают данные по какой-либо одной части территории или итоговый показатель по всей изучаемой территории в целом. При использовании индексов как показателей выполнения плана за базу сравнения принимаются плановые показатели.
В зависимости от методологии расчета различают агрегатные индексы и средние из индивидуальных индексов. Последние, в свою очередь, делятся на средние арифметические и средние гармонические индексы. Агрегатные индексы качественных показателей могут быть рассчитаны как индексы переменного состава
и индексы фиксированного (постоянного) состава. В индексах переме.нного состава сопоставляются показатели, рассчитанные на базе изменяющихся структур явлений, а в индексах фиксированного состава — на базе неизменной структуры явлений.
ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Необходимость в применении особых приемов построения индексов количественных показателей возникает, когда итоги по
отдельным элементам сложного явления непосредственно несоизмеримы. Например, металлургический завод выпускает чугун, сталь, прокат разных марок и сортамента. Если имеются сведе
ния о выпуске продукции только в натуральном выражении, то
динамику выпуска продукции в целом нельзя охарактеризовать показателем — ^—, где — количество продукции данного вида,
выпущенной в отчетном периоде; q°i— количество продукции того же вида, выпущенной в базисном периоде.
Различные виды продукции неравноценны по количеству затраченного на них общественного труда и имеют разные потребительные стоимости. Поэтому было бы неправильно непосред
ственно суммировать итоги по этим видам продукции. Для получения общего итога необходимо данные по различным видам продукции привести к единой, общей мере, например, использовать стоимостную оценку продукции. Тогда вместо Yqt получим суммы вида ^Piqi, где pt — цена единицы продукции данного вида. Такой переход от одних единиц измерения к другим в теории индексов называют соизмерением. При построении индексов объемных показателей в качестве соизмерителей применяют те или иные качественные показатели. Например, цену или себестоимость единицы изделия. Выбор коэффициента соизмерения в каждом конкретном случае зависит от цели исследования. Универсальное значение в индексах физического объема имеют стоимостные соизмерители. Умножая на цену количество выпущенной продукции и суммируя произведения, получаем стоимость всей выработанной продукции:
стоимость продукции базисного периода
P?-q?+p”q"d-P3q3 + -+р" -qn = Е р° -q* ;
стоимость продукции отчетного периода
Рх Ч\ + Р* А1' + Ьр'п qh = 22 Pi Ai’
1=1
где 90<, q\ — количество единиц отдельных видов продукции, вырабатываемое соответственно в базисном и отчетном периодах; Р°г, р\ — цена единицы отдельных видов продукции соответственно в базисном и отчетном периодах; i= 1,2,3,...,п— число отдельных видов продукции.
Если разделить стоимость продукции отчетного периода на стоимость продукции базисного периода, получим индекс стоимости продукции. В общем виде его можно записать:
‘1 1
5 р. qt
2 Pi Ai2 Pi Ai(11.1)
2 Pi Ai
2 Pi Ai
Приведенная формула характеризует изменение стоимости продукции, которая зависит от изменения уровня цен и количества выпускаемой продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным. Поэтому индекс стоимости не дает количественного представления об изменении объема выпуска. Это представление мы получим, если элиминируем влияние изменения цен, для чего количество продукции, произведенной в отчетном и базисном периодах, умножаем на одинаковые для обоих периодов цены:
(11.2)(11.2)qip VqipA- ■ •• Vq-nP _ S91PAop-VAoPAVqop ^W
(11.2)
(11.2)
Такой индекс называют агрегатным индексом физического объема.
При вычислении индекса физического объема продукции возможны разные решения в зависимости от выбора коэффициента
соизмерения.
Если избрать за коэффициент соизмерения оптовые цены базисного периода, то индекс физического объема продукции будет иметь следующий вид:
(11.2а)(11.2а). _ ^Ч1Роq— УДбР«
(11.2а)
(11.2а)
Используя коэффициенты соизмерения базисного периода, берут базисные соотношения по уровню цен, но зато полностью устраняют влияние на стоимость продукции изменения самих цен.
В практике планирования, в проведении экономико-статистического анализа нельзя ограничиваться исчислением отдельных, изолированных индексов, характеризующих изменение явления за какой-то один период времени. Исчисляют не один индекс, а несколько за последовательные периоды. При таком исчислении обычно применяют во всех индексах цены одного и того же периода. Например, для динамических сопоставлений роста выпуска продукции в промышленности, строительстве и т. д. Такие цены называются сопоставимыми, фиксированными или неизменными; применяются они на протяжении длительного периода времени.
При существенных различиях в соотношении уровней действующих и сопоставимых цен производится пересмотр последних,
1 В дальнейшем будем опускать символическое обозначение вида продукции ^"PiAi
и они меняются время от времени с изменением особенностей самого ценообразования. В настоящее время неизменными являются цены на 1/1 1975 г.
5»1Рн5»1РнИспользуя в качестве соизмерителя неизменные цены, получим следующую формулу индекса физического объема продукции:
5»1Рн
5»1Рн
(11.26)
где рн — неизменная оптовая цена единицы изделия.
Использование неизменных цен в учете продукции дает возможность контролировать выполнение государственных планов и изучать динамику выпуска не только отдельных видов продукции, но и по отраслям промышленности и отраслям народного хозяйства в целом; позволяет исчислять цепные индексы делением двух базисных индексов (подробнее этот вопрос будет освещен ниже).
Рассмотрим порядок вычисления индексов физического объема продукции на примере. Имеются данные (табл. 11.1) о фактическом и запланированном выпуске продукции машиностроительным заводом за месяц (шт.):
Таблица 11.1
. х * Виды продукции
*"'* 1*
Количество вырабатываемой продукции
Неизменная (сопоставимая) цена за единицу, руб.
Рн
Стоимость выпуска продукции в неизменных ценах, тыс. руб.
Базисный период
Отчетный период
Базисный период
Отчетный период
по плану
фактически
»Л
по плану
фактически
00
?пл
Qi
. ЯплРи
».Рн
Станки с программным управлением
Станки универ-
2
3
3
3000
1
6,0
9,0
9,0
сальные
1000
1050
1 100
2000
2000,0
2100,0
2200,0
Товары народного потреб-
ления
3 000
3 500
3 700
3,0
9,0
10,5
11,1
Итогоj
2015,0
2119,5
2220,1
По данным о натуральном выпуске продукции можно исчислить индексы, характеризующие динамику выпуска отдельных видов продукции, или индивидуальные индексы. Индивидуальный индекс показывает, во сколько раз изменилось производство данного вида продукции в отчетном периоде по отношению к перио-
ду, с которым проводилось сравнение. Индивидуальный индекс планового задания равен:
Чал
4 ч»
В нашем примере индексы планового задания по производству станков с программным управлением—1,5; универсальных станков—1,05; товаров народного потребления—1,17’.
Индивидуальные индексы выполнения плана определяются отношением:
Чх
.1п •*
4 Чал
В рассматриваемом примере план производства станков с программным управлением выполнен на 100%; универсальных станков— на 104,8%; товаров народного потребления — на 105,7%.
Для вычисления индивидуальных индексов динамики определяют отношение объема выпуска продукции отчетного периода к объему выпуска в предшествующем периоде:
Индексы динамики по производству станков с программным управлением — 1,5; универсальных станков — 1,1; товаров народного потребления— 1,23.
Если известны индивидуальные индексы планового задания и выполнения плана, то индивидуальный индекс динамики определяется их перемножением, т. е. -^- = ^- • -^-.
Чо Чо Чпл
По данным табл. 11.1 можно вычислить три агрегатных индекса физического объема: индекс планового задания, который покажет изменение планируемого объема выпуска всей продукции в сравнении с объемом фактического выпуска базисного периода; индекс выполнения плана, который покажет изменение фактического выпуска продукции в сравнении с запланированным объемом выпуска продукции; индекс динамики, который покажет изменение фактического объема выпуска всей продукции в сравнении с объемом выпуска продукции в базисном периоде.
Агрегатный индекс планового задания:
f ^ЧалРв
ч = ^ЧоРн" "
/ 2119,5 \
В нашем примере величина этого индекса равна 1,0521 2о15 0 ’ т. е. планом предусматривается увеличить объем выпуска продукции в 1,052 раза, или на 5,2%.
Формула агрегатного индекса физического объема продукции позволяет определить не только относительное, но и абсолютное
Индексы могут быть выражены в долях единицы или в процентах.
изменение объема продукции, которое является разностью между числителем и знаменателем агрегатного индекса. Планируемый прирост выпуска продукции А равен:
Д=2^плрн—2^оРн=2119,5—2015,0= 104,5 тыс.руб.
Величина агрегатного индекса выполнения плана может быть определена по формуле
1о1оS^lpH2^плРнS^lpH2^плРн
1о
1о
S^lpH
2^плРн
S^lpH
2^плРн
, т. е. план перевыполнен на 4,7%, что в абсо-, т. е. план перевыполнен на 4,7%, что в абсо-лютной сумме составит:лютной сумме составит:В нашем примере план выпуска всей продукции выполнен на 104,7% Г 22203 ’ \ 2119,5
, т. е. план перевыполнен на 4,7%, что в абсо-
, т. е. план перевыполнен на 4,7%, что в абсо-
лютной сумме составит:
лютной сумме составит:
А|/пл = 2 91рн— 2<7плРн=2220,1 —2119,5= 100,6 тыс. руб.
Агрегатный индекс динамики определяется по следующей формуле:
Z^iPh
(
2220 1 \
—I , или в абсо- 2015,0 /
лютном выражении объем выпуска продукции в отчетном периоде увеличился по сравнению с базисным на Ai/o=2^ipH—2^0Рн = = 2220,1—2015,0=205,1 тыс. руб.
В примере вычислялся не один индекс, а система определенным образом связанных индексов: индекс планового задания, индекс динамики, индекс выполнения плана. С системой индексов мы имеем дело и при вычислении последовательного во времени ряда индексов с постоянной и переменной базой сравнения.
Для построения системы индексов, как правило, применяются постоянные соизмерители. Преимущество такого варианта определения индексов в том, что, во-первых, путем суммирования может быть получен итоговый объемный показатель за период любой продолжительности. Например, стоимость продукции за 1976—1980 гг. может быть получена суммированием:
2<7?бРн+2у7?рн+2 <7?8Рн+2 ЦтэРн+2<7воРн.
Во-вторых, агрегатный индекс динамики может быть получен перемножением индексов планового задания и выполнения плана:
S^iPh 5^плДн S^iPh
———— ., т. е.
^iQOpB 5^0Рн 5^ПлРн
1,102=1,047-1,052.
При вычислении цепных индексов физического объема возможен и такой вариант, когда соизмеритель каждый раз фиксиру-
ется на уровне предшествующего периода. В практике такие индексы используются крайне редко.
Величина агрегатного индекса физического объема зависит от индивидуальных индексов, так как общее изменение объема производимой продукции (при неизменности ассортимента) есть результат изменения объема выпуска каждого отдельного вида. Общий результат изменения зависит также от удельного веса отдельных видов продукции в общем объеме выпуска. Общий индекс физического объема, построенный на базе индивидуальных индексов, принимает форму среднего арифметического или гармонического индекса. Допустим, известна стоимость продукции каждого вида в базисном периоде (ДоРо) и индивидуальные индексы физического объема ig= —. Исходной базой построения среднего из индивидуальных индексов служит агрегатная форма индекса:
,_ S91P0
/,/0 ^оРо '
Из имеющихся данных непосредственно можно получить только знаменатель формулы. Числитель же может быть получен перемножением стоимости отдельного вида продукции базисного периода на индивидуальный индекс:
<71 q\Po=qoPo-l-q=qoPo‘"^" *
тогда формула агрегатного индекса физического объема примет вид:"•"';
(П.З)(П.З)2^оДо
(П.З)
(П.З)
Г >. Юи. ч. ,.. и'.ЩН Г.Т ю g — SVoPo г.'Щ •’-o.?‘-i-«'irb. , ч-:*-
т. е. получим средний арифметический индекс физического объема, где весами служит стоимость отдельных видов продукции в базисном периоде. При выборе весов следует иметь в виду, что средний индекс должен быть тождествен агрегатному, который является основной формой индекса.
Учитывая, что отношение—?0— - характеризует долю данного 9о Ро
(11.3а)(11.3а)вида продукции в общей стоимости продукции базисного периода (d0), средний арифметический индекс физического объема будет иметь вид:
(11.3а)
(11.3а)
Iq—Sigdo
Рассмотрим расчет среднего арифметического индекса физического объема на примере:
Таблица i 1.2
Виц продукции
Стоимость продукции в базисном периоде, тыс. руб.
<7 А.
Индивидуальный индекс физического объема
<7о
Доля стоимости продукции каждого вида в базисном периоде — ^°^° iQoP»
1
2
3
4
л
5,0
1,2
0,11 .
Б
30,0
1,01
0,67
В
10,0
1,15
0,22
Итого
45,0
Необходимо определить изменение выпуска всей продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным. С этой целью определяем стоимость продукции отчетного периода, перемножая индивидуальные индексы на стоимость продукции данного изделия в базисном периоде. Стоимость продукции отчетного периода по всем изделиям составит: 5,0-1,2+30,0-1,01 + 10,0-1,15=1 =47,8 тыс. руб. Агрегатный индекс физического объема будет равен: ( 47,8 ) = 1,062.
\ 45,0 )
Увеличение общего объема выпуска всей продукции на 6,2% объясняется тем, что превалирующее влияние на величину общего индекса оказывает изменение объема выпуска изделия Б (удельный вес этого изделия в общей стоимости продукции базисного периода равен 67%) (см. графу 4 табл. 11.2).
Пусть нам известны по каждому изделию qtpo и индивидуальные индексы tg= — Чтобы получить знаменатель формулы агрегат- ного индекса физического объема, надо разделить стоимость продукции отчетного периода на величину индивидуального индекса п п Ч\ Ро ЧоРо—.
Iq
В итоге получаем следующую формулу среднего взвешенного гармонического индекса физического объема продукции:
. 291Д0
qiPo
Из сказанного следует, что применение той или иной формулы индекса физического объема (агрегатного, среднего арифметического и среднего гармонического) зависит от имеющихся в нашем распоряжении конкретных данных.
Общий индекс физического объема продукции не всегда может быть представлен средней величиной из индивидуальных индексов. Этого нельзя сделать в случае, когда перечень изделий
в текущем периоде не совпадает с их перечнем в базисном периоде, т. е. средние индексы могут быть рассчитаны лишь по сравнимому кругу изделий. По несравнимой продукции нельзя определить индивидуальные индексы, а потому становится невозможным преобразование агрегатного индекса в адекватные ему средние индексы.
В промышленности наблюдается непрерывное обновление ассортимента выпускаемой продукции, в связи с чем объем выпуска новых видов изделий не может быть сопоставлен ни с одним из предшествующих периодов. Если строго придерживаться формулы агрегатного индекса, то пришлось бы определить индексы физического объема не по всей продукции, а только по тем ее видам, которые вырабатывались на протяжении всех изучаемых периодов времени. Индекс же физического объема продукции должен отразить изменение в общем объеме выпуска, которое происходит как вследствие увеличения (уменьшения) выпуска изделий в отчетном периоде по сравнению с базисным, так и в результате появления новых видов изделий или исключения старых, ранее изготовляемых изделий. Чтобы индекс продукции мог отразить указанные изменения, числитель индекса должен состоять из двух слагаемых: стоимости сравнимой продукции, т. е. продукции, которая изготовлялась и в предшествующие периоды, и стоимости несравнимой продукции, т. е. тех новых изделий, которые ранее не вырабатывались. В знаменателе индекса физического объема продукции приводится стоимость всей продукции базисного периода, включая стоимость и той продукции, которая в отчетном периоде уже не выпускается.
ИНДЕКСЫ КАЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Наряду с индексами физического объема продукции в планировании и статистико-экономическом анализе широко применяются индексы качественных показателей: индексы цен, индексы себестоимости, индексы производительности труда, индексы средней заработной платы и т. д. Качественный показатель характеризует уровень изучаемого объемного показателя в расчете на количественную единицу и определяется как отношение данного объемного показателя к связанному с ним количественному показателю (фактору), на единицу которого он определяется. Например, себестоимость единицы продукции (z) определяется как отношение суммы затрат на производство этого вида продукции (zy) к количеству продукции данного вида q:
Формулы индексов качественных показателей рассмотрим на примере расчета индексов себестоимости. Себестоимость — один из важнейших синтетических показателей, оценивающих результаты производственно-хозяйственной деятельности предприятий.
Индивидуальный индекс себестоимости 1г= — характеризует из- менение уровня себестоимости единицы какого-либо вида продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом. Процент снижения себестоимости может быть получен таким образом: 1г-100% —100%.
Наряду с исчислением индекса себестоимости решают и другую задачу — определяют сумму экономии от снижения себестоимости продукции данного вида, используя для этого, кроме входящих в iz величин zt и Zo, еще объем продукции данного вида в отчетном периоде, т. е. величину qv Для каждого отдельного вида продукции сумма экономии (перерасхода) определяется по формуле Дг= (zj — z0)<7i, где Az— сумма экономии (перерасхода), в результате изменения уровня себестоимости единицы продукции.
Для определения общего изменения уровня себестоимости продукции разных видов необходимо прибегнуть к расчету агрегатного индекса. Непосредственное суммирование уровня себестоимости отдельных видов продукции не имеет экономического смысла, так как не учитывается количество единиц, имеющих этот уровень. Поэтому уровни качественного показателя необходимо взвесить на соответствующие значения связанного с ним количественного показателя, т. е. определить агрегатные величины вида Yzq для отчетного и базисного периодов, которые и сравниваются между собой. Чтобы это сравнение отражало только изменение себестоимости, очевидно, необходимо, чтобы величины q при исчислении обоих сравниваемых агрегатов ^zq были постоянны. Обычно этими величинами являются объемы продукции отчетного периода. Таким образом, формулу общего агрегатного индекса себестоимости можно записать так1:
(Н.4)(Н.4)SZ1?I .
(Н.4)
(Н.4)
SZo^H
Числитель формулы показывает затраты на производство продукции отчетного периода, а знаменатель — величину затрат, если бы себестоимость единицы удерживалась на уровне базисного периода. В данном случае количество выработанной продукции выступает в индексе как фактор, не меняющийся от базисного периода к отчетному. Такое взвешивание (на количество продукции отчетного периода) позволяет увязать индексы количественных и качественных показателей в систему:
2zi9i 2zq9! _Szh7izg— г ^^^Zoqi Xz^qo ^Zoq»
1 Агрегатный индекс цен с текущими весами 1Р1 Агрегатный индекс цен с текущими весами 1Р~^‘^-предложен в 1874 г.~^‘^-предложен в 1874 г.РД\РД\Пааше. Формула агрегатного индекса цен с базисными весами 1$=,Пааше. Формула агрегатного индекса цен с базисными весами 1$=,ложена в 1864 г. Ласпейресом.ложена в 1864 г. Ласпейресом.^P\Qo’-— пред--РоЧо^P\Qo’-— пред--РоЧо
1 Агрегатный индекс цен с текущими весами 1Р
1 Агрегатный индекс цен с текущими весами 1Р
~^‘^-предложен в 1874 г.
~^‘^-предложен в 1874 г.
РД\
РД\
Пааше. Формула агрегатного индекса цен с базисными весами 1$=,
Пааше. Формула агрегатного индекса цен с базисными весами 1$=,
ложена в 1864 г. Ласпейресом.
ложена в 1864 г. Ласпейресом.
^P\Qo
’-— пред-
-РоЧо
^P\Qo
’-— пред-
-РоЧо
Используя величины, входящие в формулу (11.4) индекса себестоимости, можно рассчитать сумму экономии от снижения себестоимости, которая представляет собой разность числителя и знаменателя агрегатной формулы:
'Szvqi-'Lzoqv •
Если полученная разность будет иметь знак минус, то это означает экономию в затратах от снижения себестоимости, азнак плюс — потери от повышения себестоимости. Покажем расчет индекса себестоимости на примере табл. 11.3, где представлены следующие данные по металлургическому заводу:
Таблица 11.3
Вид продукции
Количество произведенной продукции, тыс. т
Себестоимость
1 т, руб.
Индессы себестоимости единицы продукции
•3 ч
3
с 2
Отчетный год
<2
IS
3
С £
Отчетный
год
Планируемые
Выполнения плана
Динамики
по плану
фак- тиче-
по плану
фактически
9о
9пл
9-
Zu
2пл
?1
f _-гПЛ
—-
Zu
‘г— гпл
Z z„
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Чугун передельный
200
210
240
30
29,5
29,4
0,983
0,997
0,980
Сталь углеродистая
180
190
200
42
41,8
41,2
0,995
0,986
0,981
Прокат
40
50
60
48
47,7
47,3
0,994
0,992
0,985
Необходимо определить: 1) планируемое снижение себестоимости по каждому виду продукции и по всей продукции в целом; 2) процент выполнения плана по снижению себестоимости отдельных видов продукции и по всей продукции предприятия; 3) про1 цент снижения себестоимости по сравнению с прошлым годом по отдельным видам продукции и по всей продукции предприятия.
Чтобы определить планируемое снижение себестоимости каждого вида продукции, надо себестоимость единицы продукции, предусмотренную планом, разделить на себестоимость единицы продукции прошлого года, т. е. найти индивидуальный индекс iz= J™. . Так, например по чугуну tz=0,983, т. е. запланированно
ный процент снижения себестоимости одной тонны чугуна составляет 1,7% (см. графу 8 табл. 11.3).
Индекс, показывающий планируемое изменение затрат на всю продукцию по сравнению с затратами на ту же продукцию при себестоимости прошлого года, определяется по формуле
52„л9пл 29,5-210+41,8-190+47,7-50г~ Hzoqnn^ ЗШ210+42-190+48-50” =
16 522== 0 99
16 680’ "
Полученная величина агрегатного индекса показывает, что в целом по заводу запланировано снижение себестоимости в размере 1% (1—0,99)-100%.
За счет снижения себестоимости заводу планируется экономия в размере: 2гпл9пл—Е2С<7пл = 16 522—16 680 = —158 тыс. руб.
Чтобы проконтролировать выполнение плана, вычисляются индексы динамики себестоимости iz= — (см. графу 10 табл. 11.3), ^Ь
которые сопоставляются с запланированными процентами снижения себестоимости.
При сравнении граф 8 и 10 табл. 11.3 выявляется, что план по снижению себестоимости всех видов продукции перевыполнен. Так, по чугуну было задано по плану снизить себестоимость на 1,7%, фактически она была снижена на 2,0% [(1—0,98) ■ 100%)].
Индекс динамики себестоимости всей продукции предприятия:
22,91 29,4-240 + 41,2-200 + 47,3-601 8 134
= ХгеяГ30^240+42 • 200+ 48•60 ~ = 18 480 =° >
т. е. снижение себестоимости продукции предприятия по сравнению с прошлым годом составило 1,9%; фактическая экономия от снижения себестоимости составила: 22^1— 2z0^i = = 18 134—18 480=—346 тыс. руб.1
Чтобы выяснить процент перевыполнения плана по снижению себестоимости, рассчитывают индексы выполнения плана. Индивидуальные индексы выполнения плана определяют отношением (см. графу 9 табл. 11.3):
21
Процент выполнения плана по снижению себестоимости всей продукции определяют по формуле агрегатного индекса
I = ^ .18,3418 134 - 0 991
z 22n.-,9i 29.5-240 +41,8-200+ 47,7-60 18 302
т. е. план по снижению себестоимости всей продукции перевыполнен на 0,9%.
Сумма сверхплановой экономии от снижения себестоимости всей выпускаемой продукции определится разностью:
Hztqt — 2гпл91—18 134—18 302= —168 тыс. руб.
Сумма плановой и сверхплановой экономии (158+168= =326 тыс. руб.) не равна сумме фактической экономии (346 тыс. руб.) в связи с изменением фактического объема отдельных видов продукции по сравнению с запланированным.
Наряду с определением изменения уровня себестоимости единицы продукции на отдельном предприятии перед статистикой поставлена задача охарактеризовать изменение себестоимости единицы отдельного вида продукции по всем предприятиям, изготовляющим данный вид продукции. Например, важно знать, как изменилась в среднем в стране себестоимость кВт-ч электроэнергии, 1 т чугуна и т. д. Это необходимо для планирования уровня себестоимости, определения оптовых цен на продукцию, изучения рентабельности предприятия и т. д.
Средняя себестоимость единицы однородной продукции по ' группе предприятий определяется по формуле средней арифметической взвешенной।
z=-^=^dq.
Tive в качестве веса используется количество продукции данного вида, выпускаемое отдельными предприятиями q, либо удельный вес каждого предприятия в общем объеме выпуска данного вида продукции dq. Зная среднюю себестоимость единицы продукции в отчетном и базисном периодах, можно определить ее изменение в форме отношения двух взвешенных средних
/-=7i:7o,(11.5)’
где zv -^средняя себестоимость единицы продукции отчетного периода; 20 — средняя себестоимость единицы продукции базисного периода, т. е.
, 'LZxqx ^Zoqe
/-=■— -:— (11.5а)
z 29129о1’
4
При исчислении средней себестоимости единицы продукции отчетного периода весами служат количества продукции отчетного периода; при определении средней себестоимости единицы продукции базисного периода — количества продукции базисного периода. Отношение двух взвешенных средних с изменяющимися t (переменными) весами, показывающее изменение индексируемой величины, принято называть в статистике индексом переменного состава. Величина приведенного выше индекса будет зависеть от изменения уровня себестоимости на отдельных предприятиях йот изменения в соотношениях между объемами продукции, выпускаемой отдельными предприятиями.
Чтобы элиминировать влияние изменений в структуре весов на показатель изменения уровня себестоимости, берут отношение ' средних взвешенных с одними и теми же весами, т. е. исчисляют индекс «фиксированного состава». Для этого среднюю себестоимость продукции в базисном периоде корректируют на структуру
фактического выпуска продукции. Тогда формула индекса средней себестоимости фиксированного состава будет записана так:
* — Xqx ‘ Xqx
Отношение показывает, каково было бы изменение среднего уровня себестоимости по группе предприятий, выпускающих данный вид продукции, если бы удельный вес предприятий с разным уровнем себестоимости в базисном периоде был таким же, как и в отчетном. Но, как указывалось выше, величина взвешенной средней зависит от двух факторов — изменения отдельных уровней (величины zt по отдельным предприятиям) и от изменения в структуре весов. Поэтому, если веса не остаются постоянными, индекс фиксированного состава будет отличаться от индекса переменного состава в меру отношения:
/перем.сост/Хг^!2Zu^0 \ ^Ztf!
/фиксир.состI S 91 ■ 2^0 / "2zo9i
Указанное отношение принято называть индексом влияния структурных сдвигов на изменение средней себестоимости. После несложных преобразований получим:
Szo^i 2>о9о... .
«струит сдвигов—
Из приведенной формулы видно, что индекс структурных сдвигов представляет собой отношение среднего уровня себестоимости базисного периода, рассчитанного на отчетную структуру производства определенного вида продукции, и фактической средней себестоимости в базисном периоде.
Покажем вычисление индексов переменного состава и структурных сдвигов на примере:
Таблица 11.4
Номер ТЭЦ
Базисный период
Отчетный период
Затраты на производство электроэнергии, тыс. суб.
Индивидуальные индексы себестоимости
Zo
выработано электроэнергии, млнкВт«ч 9и
себестоимость
1 кВт-ч коп. Хм
выработано электроэнергии, млн.кВт-ч
Qi
себестоимость
1 кВт-ч,коп. zt
базисный период Г^о
отчетный период <Д1
1
2
3
4
б
6
7
8
1
4 000
0,59
5000
0,580
23600
29000
0,983
2
600
0,66
620
0,652
3 960
4040
0,988
Итого по двум
ТЭЦ
4 600
0,599
5 620
0,587
27560
33040
Уровень себестоимости на отельных ТЭЦ в отчетном периоде снизился соответственно на 1,7 и 1,2% (см. графу 8 табл. 11.4). Для оценки снижения уровня себестоимости 1 кВт-ч электроэнер-
гии по двум ТЭЦ вместе рассчитываем средние уровни себестоимости 1 кВтч электроэнергии:
в базисном периоде:
—27 560 тыс. руб.
г0 =в=0,599 коп.;
4 600 млн.кВт-ч *
в отчетном периоде:
—33 040 тыс. руб.
г1п=0,588 коп.
5 620 млн.кВт-ч
Индекс переменного состава будет равен:
^„ер-сост = : 20=0,588 :0,599 =0,982,
т. е. средняя себестоимость 1 кВт-ч снизилась на 1,8%.
При сравнении величины индекса переменного состава с индивидуальными индексами себестоимости выясняется, что себестоимость по двум ТЭЦ снизилась в среднем на 1,8%, что превышает даже наибольшее снижение себестоимости по ТЭЦ № 1 (1,7%). Это обстоятельство объясняется тем, что относительно большая масса электроэнергии (89% общего объема вместо 86,96%) производилась в отчетном периоде на ТЭЦ № 1, имеющей более низкую себестоимость 1 кВт-ч электроэнергии (см. графы 3 и 5 табл. 11.4). Это повлекло за собой общее удешевление производства электроэнергии. С помощью индекса влияния структурных сдвигов определяется снижение средней себестоимости 1 кВт-ч электроэнергии за счет перемещения объемов производства электроэнергии на станцию с более низкой себестоимостью.
Индекс влияния структурных сдвигов будет равен:
29 500+ 4 090 . 23 600+3 9600,587 _
/структ. = “5 055+620 "- 4 000+600 — 0,599 ~’
СДВИГОВ
Следовательно, за счет изменения в соотношении выпуска электроэнергии между станциями средняя себестоимость снизилась на 0,2%.
Изменение средней себестоимости 1 кВт-ч электроэнергии за счет изменения уровня себестоимости на каждой станции оценивается индексом фиксированного состава:
Л фиксир. сост —Л фиксир. сост —Ъг^ 33040
Л фиксир. сост —
Л фиксир. сост —
2 *о qi2 *о qi——- =и,Уооо. 33590
2 *о qi
2 *о qi
т. е. в среднем уровни себестоимости зились на 1,64%.Индексы переменного состава ит. е. в среднем уровни себестоимости зились на 1,64%.Индексы переменного состава ипо отдельным станциям сни-
т. е. в среднем уровни себестоимости зились на 1,64%.
Индексы переменного состава и
т. е. в среднем уровни себестоимости зились на 1,64%.
Индексы переменного состава и
индексы структурных сдви-
гов применяются для анализа динамики уровней средних величин различных Экономических показателей (средней выработки, средней заработной платы, фондоотдачи и т. д.), методы исчисления которых рассматриваются в отраслевых курсах статистики.
На практике в некоторых случаях могут быть известны не абсолютные значения индексируемых показателей, а их относитель-
ные изменения. Например, могут быть известны изменения уровней себестоимости по отдельным видам продукции, изменение средней заработной платы по отдельным категориям персонала, изменение фондоотдачи на отдельных предприятиях отрасли и т. д. В таких случаях агрегатный индекс можно рассчитать косвенным путем, используя взвешенную среднюю из индивидуальных индексов, если нам известен объем результативной величины за отчетный период.
Широко применяется средний взвешенный гармонический индекс в статистике торговли при определении индексов розничных цен. Учет товарооборота ведется в денежном выражении по группам товаров, данные же о количестве проданных товаров в натуральном выражении во многих случаях отсутствуют. Поэтому непосредственно определять условную сумму товарооборота IpoQx невозможно. В этих условиях вместо агрегатной формы индекса вычисляется средний гармонический индекс с текущими весами /р— ^it , который алгебраически тождествен формуле Пааше
ip
и имеет точно такое же экономическое содержание.
Рассмотрим вычисление средних взвешенных индексов качественных показателей на примере. За отчетный год цена единицы изделия Л снижена на 5% по сравнению с прошлым годом, изделия Б — на 3%, изделия В — на 1%. Определить общий процент снижения цен на все изделия в отчетном году, если известно что объем товарооборота в отчетном году составил (тыс. руб.): по изделию А— 780, по изделию Б — 520, по изделию В — 340. Имеющиеся данные представим в табл. 11.5.
Таблица 11.5
Изделия
Индивидуальные индексы цен
Pi /pG—
Ро
Объем товарооборота, тыс. руб. PiQt
PiQx
lp
I
2
3
4
А
0,95
780 ■
821
Б
0,97
520
536
В
0,99
340
343
Итого
1640
1700
Вычисляем агрегатный индекс цен:
Р S Ро 91
Числитель формулы известен и равен 1640 тыс. руб. (см. графу 3 табл. 11.5). Слагаемые знаменателя могут быть определены де-
Pl 4iPl 4iPl 4iPl 4iлением товарооборота данного вида продукции в отчетном году на индивидуальный индекс цен:
Pl 4i
Pl 4i
Pl 4i
Pl 4i
—=— =pOqi •
•г—
Ро
По изделию А р091 = 821 тыс. руб. и т. д. (см. гр. 4 табл. 11.5).
Таким образом, получен объем товарооборота по ценам базисного периода. Общая его сумма 2—^—— стоит в знаменателе
*р
формулы. Разделив числитель на знаменатель, получим, что в среднем цены снизились на 4%.
/Р —/Р —S/7i <71S/7i <711 6401 6402 Р1911 7002 Р1911 700= 0,96= 0,96
/Р —
/Р —
S/7i <71
S/7i <71
1 640
1 640
2 Р1911 700
2 Р1911 700
= 0,96
= 0,96
В данном случае агрегатный индекс цен представлен в форме среднего гармонического взвешенного индекса. В качестве весов используются объемы товарооборота продукции в отчетном году.
ЦЕПНЫЕ И БАЗИСНЫЕ ИНДЕКСЫ
Для изучения динамики явления за ряд периодов возможно вычисление системы цепных и базисных индексов. Построение такой системы возможно в двух вариантах:
сравнивают размер явления в различные периоды с состоянием того же явления в какой-то определенный период (в этом случае говорят о системе индексов с постоянной базой сравнения— базисные индексы);
оценивают относительное изменение уровня изучаемого явления по сравнению с предшествующим периодом (получаютсистему индексов с переменной базой сравнения — цепные индексы).
Рассмотрим системы цепных и базисных индексов цен, физического объема и стоимости продукции (табл. 11.6). Допустим, имеются данные об объеме продукции в натуральном выражении и уровне оптовых цен на эту продукцию за пять периодов.
Для индивидуальных индексов цен, физического объема и индексов стоимости продукции справедливо следующее правило:
произведение промежуточных по периодам цепных индексов дает базисный индекс последнего периода, т. е.
iVo-h/o-1'2/1 • 1'3/2 "U/s •
отношение базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода дает цепной индекс отчетного периода, например, 14/3=1'4/0: 1*з/о-
Это правило позволяет применить так называемый цепной метод, т. е. находить неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным и обратно.
Таблица 11.6
Ин тексы
Базисные
Цепные
физического объема
индивидуальные
919з 9з 91
9о9о ’ 9о ’ 9о
9i . 9z 9з 94 9»91 ’ 92 1 9з
агрегатные
S91P0S92P0 , XqaPo , S94P0
^qopo^qopo Hqopo Xqopo
S^iPo _ Xq?Po e ^Qspo , Xq^pQ 'SqoPo ' X91P0X92P0 ’ 29зДо
цен
индивидуальные
Pl . Pz Рз pl
Рз po ' po ’ Po
Pl Pz Рз Pl
Po ’ Pl ’ pz ’ Рз
агрегатные
SpiqiXp2q2 Xp3q3 Xpbq4
Zpo9i2до9г2ро9з Xp«qi
~PiqiXp292 . ^.PaqaT-piqi
Sp«9i2-9192 ^-Pzqa^Psqi
стоимости
индивидуальные
PiqiР2Д2 . Psqs , Piqi
Poqopoq» p»qo Puqo
PiPiPzpz Psqap<.qi
Poqo pipi pzqz Psq3
агрегат- ные
^Pl^l Sp2^2Sps^a S/91^4
ziLpoqo Spo^o UpoQo ^рор«
Spi9iХргРг^PsqsT-p^qi
■^PogoSpi9i^-Pzqz^Рздз
Использование цепного метода для агрегатных индексов физического объема оказалось возможным благодаря применению в качестве соизмерителя фиксированных (сопоставимых) цен.
Однако, если воспользоваться другим вариантом построения индекса физического объема (см. примечание к табл. 11.6), нельзя получить точного значения базисного индекса путем перемножения соответствующих цепных индексов, так как при исчислении каждого следующего индекса цены меняются: получается ряд индексов с меняющимся соизмерителем. Действительно,
/3/0—/3/0—SW^SWO SWi £№
/3/0—
/3/0—
IW^ZW SWi 2W
Таким образом, при использовании переменных весов цепной метод применять нельзя, цепные индексы здесь несопоставимы друг с другом: они исчислены в разных ценах.
Агрегатные индексы качественных показателей всегда являются индексами с переменными весами, так как количество продукции каждый раз принимается на уровне отчетного периода (см. индексы цен в табл. 11.6). Поэтому цепной метод расчета индексов неприменим к агрегатным индексам качественных показателей.
Сформулированное выше правило взаимосвязи цепных и базисных индексов в полном объеме применимо к агрегатным индексам стоимости.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНДЕКСОВ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
Агрегатные индексы, как указывалось выше, применяются для характеристики изменения уровня сложных общественных явлений. Их можно применять и в аналитических целях для оценки влияния на объемный показатель изменения факторов, его образующих. Предпосылкой для проведения анализа в индексной форме является возможность представления суммарного экономического (объемного) показателя произведением двух или более определяющих его величину показателей (факторов) или суммой таких произведений. Например, объем выпуска продукции может быть представлен произведением уровня выработки одного работающего на среднюю списочную численность работающих. Объем выпускаемой продукции зависит от изменения производительности труда или численности работников, либо от одновременного изменения указанных факторов. Поэтому при анализе динамики или выполнения плана выпуска продукции необходимо показать, в какой мере изменение объема выпускаемой продукции вызвано изменением каждого из этих факторов. С народнохозяйственной точки зрения не безразлично, какой из этих факторов оказал решающее влияние на увеличение объема выпуска продукции. Повышение производительности труда — основной источник роста объема производства. Анализ факторов, формирующих уровень
производительности труда, показывает, на какие из них и в каком направлении надо действовать, чтобы добиться желаемого экономического эффекта.
Оценивать роль отдельных факторов изменения явления статистика может путем построения системы взаимосвязанных индексов. Задача состоит в том, чтобы рассчитать изменение сложного показателя при изменении величины только одного фактора так, чтобы величина других факторов была бы сохранена на определенном постоянном уровне. В основе приемов аналитических индексных расчетов лежит принцип абстрагирования от изменений величины всех факторов, кроме изучаемого. При построении индексов, оценивающих влияние отдельных факторов на изменение сложного явления, необходимо иметь в виду, что общий результат изменения этого явления представляет собой сумму изменения за счет влияния всех исследуемых факторов, формирующих это явление.
Рассмотрим разложение прироста сложного показателя по факторам на примере (табл. 11.7), когда этот показатель представлен в виде произведения двух множителей (факторов).
Таблица 11.7
Период
'. li-.i"
Показатель
базисный
отчетный
<H А'/и
! ;*17^11
^' :9 ’ci'''
#U ji V. *Г ■.
•г^. = О г,
^Т»
Фонд заработной платы, тыс. руб.
Численность работников, чел.
Средняя заработная плата, руб.
292,00
2000
146
1 !г - Г. ;*ПН о Ч
'г. Г .,г Ц ,( ь 305,02
■•■ . / -.iU^ v-^v^
20201X1'.^^.fls/
-. -.ч«‘hj-* »z : h пни
/Z? J*4. ^11 e^il^^K I5* 4 ' ,r ;/»,;} [ ХМИф f
, Между средней заработной платой одного работника, числом работников и фондом заработной платы существует следующая взаимосвязь: F=S-N, где S — средняя заработная плата (качественный фактор), a N — число рабочих (количественный фактор). Фонд заработной платы воз^с в отчетном периоде на 13,02 тыс. руб. (А/7=305,02—292,00), или на 4,46%, т. е. /г= = (305,02 : 292,00) • 100%. Увеличение фонда заработной платы — результат изменения численности работников и уровня средней заработной платы.
Покажем изменение фонда заработной платы за счет изменения каждого фактора в отдельности, т. е. разложим общую сумму прироста фонда заработной платы AF на два слагаемых, одно из которых будет характеризовать прирост фонда заработной платы за счет увеличения численности работников (А^дг), а вто-
рое — прирост фонда заработной платы за счет изменения уровня средней заработной платы (AEs).
В базисном периоде средняя заработная плата одного работника составляла 146 руб. Численность работников в отчетном периоде— 2020 человек. Если бы каждый работник по-прежнему зарабатывал в среднем 146 руб., то фонд заработной платы составил бы 294,92 тыс. руб. (7V1So=2O2O-146). Следовательно, за счет увеличения численности работников при прежнем уровне среднего заработка фонд заработной платы возрос по сравнению с базисным периодом в 1,01 раза, или на 2,92 тыс. руб.:
AFN=NtS0-NoS0=294,92 - 292,00.
Фактически в отчетном периоде фонд заработной платы составил 305,02 тыс. руб., так как одновременно с увеличением численности работников увеличился и уровень средней заработной платы. В результате 2020 рабочих получили на 10,10 тыс. руб. больше, чем пришлось бы им выплатить при прежнем (базисном) среднем уровне заработной платы:
AFs=S^ - S0Ni = 305,02 -146 • 2 020=305,02 - 294,92.
Таким образом, прирост фонда заработной платы за счет увеличения численности составил +2,92 тыс. руб., а за счет увеличения средней заработной платы +10,10 тыс. руб., что в сумме равно общему приросту фонда заработной платы+ 13,02 тыс. руб., т. е.
AF=AFn + AFs=2,92+10,10= 13,02 тыс. руб.
Формулы, характеризующие прирост фонда заработной платы по факторам имеют вид:
AFff—NiSo—NoSo= (^t — No) "So >
e. прирост сложного показателя (фонда заработной платы) за счет количественного фактора (численности работников) равен приросту этого фактора, умноженному на базисный уровень качественного фактора (среднюю заработную плату):
AFs=S1Nl—SqN ] = (Si—Sq) N i , t. e. прирост сложного показателя за счет качественного фактора равен приросту этого фактора, умноженному на отчетный уровень количественного фактора.
Рассмотрим (по данным табл. 11.7) разложение по факторам темпа прироста фонда заработной платы (табл. 11.8).
Исходя из имеющихся данных определим, на сколько процентов возрастает фонд заработной платы за счет увеличения численности работников и на сколько — за счет роста средней заработной платы.
Для этого преобразуем выражения, характеризующие величину абсолютного изменения фонда заработной платы за счет каждого из факторов, следующим образом:
AFn= (N1—No)So= (N0In—N0)S0=(Ik— 1)S0N0—F0(In— 1);
&Fs= (Sl-S0)^1 = (■So^s-•So)^/№ (/s— 1)S0N07n==Fo(Is—lVN=FoUslN—lN^=Fo^lF—lNy
За счет возрастания численности работников на 1% фонд заработной платы возрастает тоже на 1%, а за счет роста средней заработной платы на 3,42% фонд заработной .платы по сравнению с базисным периодом возрастает на 3,46% (104,46—101,00%).
Учитывая требование увязки индексов в систему, можно сформулировать следующее правило в отношении выбора периода, к которому относится соизмеритель (вес): при построении агрегат-
Таблица 11.8
Показатель
Темп роста, %
Темп прироста, %
Фонд заработной платы
104,46
4,46
Численность работников
101,00
1,00
Средняя заработная плата
103,42
3,42
ных индексов качественных показателей соизмерители— количественные показатели — принимаются на уровне отчетного периода; при построении агрегатных индексов количественных показателей соизмерители — качественные показатели — принимаются на уровне базисного периода. Когда в качестве соизмерителя взяты цены, то иногда вместо уровня цен базисного периода используются неизменные (сопоставимые) цены.
Рассмотренный пример представляет собой вариант, когда изменение сложного показателя зависит от изменения двух факторов. В действительности же, часто дтриходится встречаться с многофакторными моделями. Например, средняя месячная выработка одного работника может быть представлена в виде произведения следующих четырех сомножителей: W= V-t-T-d, где—W средняя месячная выработка одного работника промышленно-производственного персонала, получаемая делением стоимости валовой продукции на среднюю списочную численность работников; V — средняя часовая выработка одного рабочего, получаемая делением стоимости валовой продукции на отработанные человеко-часы; t— средняя фактическая продолжительность рабочего дня, получаемая делением отработанных человеко-часов на отработанные человеко-дни; Т — средняя фактическая продолжительность рабочего месяца, получаемая делением отработанных человеко-дней на среднюю списочную численность рабочих; d— доля рабочих в общей численности работников промышленно-производственного
персонала, получаемая делением средней списочной численности рабочих на среднюю списочную численность работников.
Изменение средней месячной выработки одного работника зависит от изменения всех перечисленных факторов:
/ V№d‘ I -I I I
Изменение средней месячной выработки за счет каждого из перечисленных факторов представим ниже:
Изменение средней месячной выработки одного работника за счет изменения средней часовой выработки рабочих:
У./.Г^.
/ W у =
VotJA
или в абсолютном выражении
Д1Уу= ^i^i^i^i — Уо^^! •
Изменение средней месячной выработки одного работника за счет изменения использования внутрисменного времени:
VotiT1d1
*Wt = VotoT^r
или в абсолютном выражении
А1У< = Уо^Тi^i — VotoTxd\.
В каждом из рассматриваемых частных индексов изменяется только величина того фактора, влияние изменения которого на результат в данном случае нас интересует. Величины всех остальных факторов в числителе и знаменателе формул остаются постоянными. Выбор периода, на уровне которого фиксируются значения факторов, влияние которых элиминируется, подчиняется правилу, сформулированному на с. 273. При этом каждый раз необходимо выяснить, каким показателем, (количественным или качественным) по отношению к изучаемому фактору являются все остальные. Так, например, при оценке влияния использования внутрисменного времени на изменение средней месячной выработки одного работника средняя часовая выработка одного рабочего по отношению к средней продолжительности рабочего дня является качественным показателем, и поэтому ее величина фиксируется на уровне базисного периода. Средняя продолжительность рабочего месяца и удельный вес рабочих — количественные показатели — и фиксируются на уровне отчетного периода.
Изменение средней месячной выработки одного работника за счет изменения продолжительности рабочего месяца:
г Уо#о7^,
*WT= VoteTodt
что в абсолютном выражении составит:
Д1^т = VotoT\dl—VotoTodv •
Изменение средней месячной выработки одного работника за счет изменения удельного веса рабочих в общей численности работников:
V^toTodyIwd= v0t»T6d0
что в абсолютном выражении составит:
AMW.-^W,.
Таким образом, общее изменение средней месячной выработки одного работника равно:
AlV^AU^v+AW^f + AW^T-l-Att^d.
При построении многофакторных моделей очень важно соблюдать определенную последовательность в записи факторов: в основу должно быть положено экономическое содержание произведений двух смежных факторов. Так, в приведенной модели произведение средней часовой выработки одного рабочего на среднюю продолжительность рабочего дня соответствует средней дневной выработке одного рабочего. Произведение средней дневной выработки одного рабочего на среднюю продолжительность рабочего месяца дает среднюю месячную выработку одного рабочего. И наконец, произведение средней месячной выработки одного рабочего на удельный вес рабочих дает среднюю месячную выработку одного работника./
Например, по предприятию известны такие данные (табл. 11.9):
Таблица 11.9g
Показатель
Период
базисный
отчетный
Средняя часовая выработка одного рабочего, руб.
2,60
2,70
Средняя фактическая продолжительность рабочего дия, ч Средняя фактическая продолжительность рабочего ме-
8,0
8,08
сяца, дней
20,2
20,5
Доля рабочих в общей численности работников
0,78
0,76
По приведенным данным требуется оценить влияние изменения средней часовой выработки, средней продолжительности рабочего дня, средней фактической продолжительности рабочего месяца и доли рабочих в общей численности работников на изменение средней месячной выработки. Предварительно рассчи-
таем уровни месячной выработки в отчетном и базисном периодах:
Wx = VvtvTvdv^2,70• 8,08- 20,5• 0,76 = 338,3 руб.;
W0=V0*t0-T0-d0 = 2,60-8,0-20,2 0,78=32 7,7 руб.
Отсюда общий прирост месячной выработки одного работника составил 10,6 руб., или 3,23% (/w = 1,0323).
Определяем изменение средней месячной выработки одного работника за счет изменения средней часовой выработки рабочих:
Д1^г=2,7-8,08-20,5-0,76-2,6-8,08-20,5*0,76=338,3-327,3= = 11,0 руб.
Относительная величина прироста средней месячной выработки работников за счет соответствующего фактора определяется отношением абсолютного прироста за счет этого фактора к базисному уровню средней месячной выработки. Так, за счет изменения средней месячной выработки рабочих средняя месячная выработка одного работника возросла на 3,35 % (-^у -100%).
Определяем изменение средней месячной выработки одного работника за счет изменения использования внутрисменного времени:
Д^ = 2,6-8,08 *20,5-0,76-2,6-8,0-20,5-0,76=327,3-324,06=
= 3,24 руб.,
т. е. за счет улучшения использования внутрисменного времени средняя месячная выработка работника увеличилась на 0,99%
Определим изменение средней месячной выработки одного работника за счет изменения продолжительности рабочего месяца:
Д№т=2,58,0-20,50,76-2,6-8,0*20,2-0,76=324,06-319,32 = — 4,74 руб.,
т. е. за счет изменения использования рабочего месяца средняя месячная выработка одного работника увеличилась на 1,45 %
Определим изменение средней месячной выработки одного работника за счет изменения удельного веса рабочих в общей численности работников:
A№d=2,6-8,0-20,2-0,76-2,6*8,0-20,2-0,78 = 319,32-327,7 =
= —8,38 руб.,
ботка уменьшилась на 2,56%ботка уменьшилась на 2,56%т. е. за счет уменьшения доли рабочих средняя месячная выра- "A5L. юо%1
ботка уменьшилась на 2,56%
ботка уменьшилась на 2,56%
327,7/
Таким образом, общий прирост месячной выработки составил:
A W=AU^v'+AW't+All^T + AU,,d=:= = 11,0+3,24 + 4,74-8,38=10,6 руб., что совпадает с общей величиной фактического изменения. Разложение общего прироста средней месячной выработки одного работника на составляющие позволяет выявить факторы, оказывающие наибольшее влияние на ее изменение. В рассмотренном примере такими факторами являются средняя часовая выработка рабочих и изменение доли рабочих в общей численности работников.
С самого начала развития советская статистика отвергла формально математический подход к проблеме индексов. Индекс рассматривается в ней прежде всего как экономический показатель. Проблема индексов является, таким образом, проблемой правильного измерения народнохозяйственных процессов. Выбор математической формы индекса, его весов определяется характером этих процессов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Предмет, метод и задачи статистики 3
Статистика как метод учета общественных явлений и как общественная наука 3
Теоретические основы статистики 8
Метод статистики И
Задачи статистики социалистического общества 18
Глава 2. Статистическое наблюдение 21
Массовое статистическое наблюдение — первый этап статистического исследования 24
Программа статистического наблюдения 25
Организационный план статистического наблюдения . . . .28
Виды и способы статистического наблюдения 31
Контроль материалов статистического наблюдения 39
Глава 3. Метод группировок 41
Группировка — основа научной обработки статистических данных 41
.Основные задачи научного исследования, решаемые с помощью группировок 43
Виды группировок 46
Статистическое изучение типов явлений ивыбор признаков . .48
Система группировок 50
Статистические таблицы 51
Классификации 54
Глава 4. Абсолютные и относительные величины' 59
Абсолютные величины 59\
Относительные величины 62/
Глава 5. Средние величины .. .69
Сущность и особенность средних величин. 69
Выбор формулы средней величины . 72
Средняя арифметическая 73
Другие виды степенных средних 82
Структурные (позиционные) средние 86
Применение средних в экономико-статистических исследованиях 89
Глава 6. Статистические распределения и их основные характеристики?92
Вариация признака в совокупности и значение ее изучения . .92
Графическое изображение рядов распределения 96
Основные характеристики вариационного ряда 98
Показатели центра распределения 99
Показатели колеблемости (вариации) признакаЮ1
Моменты распределенияНО
Изучение формы распределенияИЗ
Глава 7. Выборочное наблюдение.. . . . е я 121
Понятие о выборочном наблюдении121
Простая случайная выборка9»122
Определение необходимой численности выборки130
Различные виды выборочного наблюдения 135
Малые выборки•143
Практика применения выборочного метода (статистический контроль качества и изучение использования внутрисменного времени рабочих).'.as146
Глава 8. Статистическая проверка гипотез 154
Общие понятия. Выбор типа критической области154
Проверка гипотезы о принадлежности «выделяющихся» наблюдений исследуемой генеральной совокупности 156
Проверка гипотезы о соответствии эмпирического распределения типу кривых нормального распределения 159
Проверкагипотезы о величине центрараспределения....163
Элементыдисперсионного анализа166
Глава 9. Корреляционная связь и ее статистическоеизучение....170
Сущностькорреляционной связи170
Статистические методы выявления наличия корреляционной связи между двумя признаками173
«9.3.Уравнение регрессии 177
Измерение тесноты корреляционной связи между двумя признаками 186
Коэффициенты корреляции ранговт е 201
Множественная корреляция'.= t .207
Г л а в а 10. Ряды динамики 214
Виды рядов динамики, их построение, графическое изображение 214
Показатели ряда динамики 220
Средние характеристики ряда динамики224
Выявление основной тенденции развития общественных явлений (сглаживание и выравнивание рядов динамики) . . . •227
Измерение сезонных колебаний, 238
Корреляция в рядах динамики , * . . . 245
Глава 11. Индексы25Г
Понятие и значение индексов251
Индексы количественных показателен ..........253
Индексы качественные показателей260
Цепные и базисные индексы268
Использование индексов в экономическом анализе . ... . 270
Тимон Васильевич РЯБУШКИН
Марина Романовна ЕФИМОВА
Ираида Михайловна ИПАТОВА
Нина Иустиновна ЯКОВЛЕВА
ОБЩАЯ
ТЕОРИЯ
СТАТИСТИКИ
Рецензенты: В. Е. Адамов, А. М. Гольдберг
Зав. редакцией Р. А. Казьмина
Редактор Л. В. Сергеева
Мл. редакторы: Н. М. Лопарева, О. Л. Борисова
Техн, редактор М. Ф. Тюленева
Корректоры: Т. М. Васильева, В. Л. Долгова
Худож. редактор Э. А. Смирнов
Переплет художника Л. С. Эрмаиа
ИБ № 388
Сдано в набор 08.07.80. Подписано в печать 12.02.81. А06241. Формат 60X90716- Бум. тип. № 3. Гарнитура «Литературная». Печать высокая. П. л. 17,5. Усл. п. л. 17,5. Уч.-изд. л. 19,23. Тираж 22 000 экз. Заказ № 4789. Цена 1 руб.
Издательство «Финансы и статистика», Москва, ул. Чернышевского, 7.
Областная типография управления издательств, полиграфии и книжной торговли Ивановского облисполкома 153628, г. Иваново, ул. Типографская, 6.
1 Понятие числа степеней свободы связано с тем, что в статистических совокупностях приходится учитывать линейные связи, ограничивающие свободу изме
1 В каждой группе при определении дисперсии мы располагаем п,—1 степенями свободы, так как любое п,-е отклонение можем определить, зная п,—1 отклонений и ж,. Поскольку мы использовали к средних, а сумма Mj=n, число степеней свободы для расчета внутригрупповой дисперсии равно п—к.
1 Смирнов Н. В., Дуни н-Б а р к о в с к и й И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М., Наука, 1965, с. 471.
1 Слово индекс (index) буквально означает указатель, показатель.
Рассмотрим возможность применения цепного метода исчисления для агрегатных индексов. Имея два базисных агрегатных индекса физического объема с постоянным соизмерителем, можно получить цепной индекс отчетного периода. Действительно,
, . ’SqiP» S9iPo . Х№ ,,
'4/з~ 2ДгРо~2^ " SWo~/4/° : /з/0 '
Базисный индекс отчетного периода может быть получен перемножением соответствующих цепных индексов, если соизмери- тель (цена) принимался на уровне одного и того же периода:
_ЪЧ№_ TiPiPo 2W^e£9^S94po
4 °~ "LgoPo-^q»P6 'ZqiPo^qzpo 29зДо
= Л/э*Л/Г^з/2'Л/з ’■