Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Методика и технология обучения математике
Курс лекций
эрофа
Методика и технологияобучения математике
Курс лекций
ДопущеноУчебно-методическимобъединением по направлениямпедагогического образованияМинистерства образованияи науки Российской Федерациив качестве учебного пособия для студентовматематических факультетоввысших учебных заведений,обучающихся по направлению 540200 (050200)Физико-математическое образование
орофа
Москва
УДК 51(075.8)
ББК 22.12я73 М54
Авторы:
Н. Л. Стефанова. Н. С. Подходова. В. В. Орлов, В. П. Радченко,В. В. Крылов. В. Е. Ярмолюк. В. И. Снегурова. И. А Иванов
Научные редакторы: Н. Л. Стефанова. Н. С. Подходова
Рецензенты:
д-р пед. наук, проф. А Г. Мордкович;
кафедра методики обучения математике Российскогогосударственного педагогического университета им. А. И. Герцена(зав. кафедрой д-р пед. наук. проф. Н. Л. Стефанова)
Методика и технология обучения математике. Курс лек- М54 ций : пособие для вузов / под научи. ред. Н. Л. Стефановой,
Н. С. Подходовой. — М. : Дрофа, 2005. — 416 с. : ил. ISBN 5-7107-7414-6
В пособии излагаются современные представления о методике и технологиях обучения математике в общеобразовательной школе. Содержание книги охватывает как традиционные для школьного курса математики темы, так и сравнительно новые. Материал излагается на базе личностноориентированного подхода.
УДК 51(075.8)ББК 22.12я73УДК 51(075.8)ББК 22.12я73Библиотека Н.ТПИБиблиотека Н.ТПИДля студентов педагогических вузов, обучающихся по направлению 540200 (050200) Физико-математическое образование.
УДК 51(075.8)ББК 22.12я73
УДК 51(075.8)ББК 22.12я73
Библиотека Н.ТПИ
Библиотека Н.ТПИ
Орлов Владимир Викторович и др.
МЕТОДИКА И ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Курс лекции
Зав. редакцией В. В. Панкратов. Редактор О. В. КарцеваХудожественное оформление О.В.Матоянц. Технический редакторВ. Ф. Козлова. Компьютерная верстка Т. В. РыбинаКорректор Г. И. Мосякина
Санитарно-эпидемиологическоезаключение № 77.99.02.953.Д.006315.08.03от 28.08.2003.
Подписано к печати. 22.07.05. Формат бОхОО'/к- Бумага типографская. Гарнитура• Школьная». Печать офсетная. Уел. псч. л. 25,0. Тираж 3000 эка. Заказ № 5435.
ООО «Дрофа». 127018, Москва. Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа»обращаться по адресу: 127018, Москва. Сущевский нал, 49.Тел.: (095) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (095) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики,д. 6, стр. 1А. Тел.: (005)911-70-24,912-15-16,912-45-76.
Магазины «Переплетные птицы»: 127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1.Тел.:(095)912-45-76; 140408. Московская обл., г. Коломна. Голутвин,ул. Октябрьской революции. 366/2. Тел.: (095) 741-59-76.
Отпечатано с готовых диапозитивов на ФГУП ордена «Знак Почета»Смоленская областная типография им. В. И. Смирнова.
214000, г. Смоленск, просп. им. Ю. Гагарина, 2
ISBN 5-7107-7414-6©000 .Дрофа., 2005
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 8
Лекция 1. Введение в систему математического образования России 10
Роль и место математического образования в современном обществе 10
Основные тенденции развития математического образования в России 12
Математическое образование в системе непрерывного образования 15
ЧАСТЬ I. Психолого-методические и технологические основы обучения математике
Лекция 2. Образование. Обучение. Развитие. Воспитание 18
Современные тенденции образовательной системы. Цели образования 19
Образование, обучение, развитие — определение основных понятий 21
Соотношение обученияи развития 22
Лекция 3. Мотивация учебной деятельности школьников 26
Типология мотивов учебной деятельности 27
Взаимодействие социальных и познавательных мотивов.
Связь школьной программы с жизнью как особый аспект мотивации 29
Становление мотивации в школе 33
Роль мотивации достижения 37
Познавательный интерес и его роль в учебной деятельности 43
Л е к ц и я 4. Когнитивные стили как отражение индивидуальных особенностей усвоения учебного материала 46
Индивидуальные особенности учащихся 46
Типы когнитивных стилей 48
Взаимосвязи когнитивных стилей 54
Диагностика когнитивных стилей 57
Когнитивные стили в процессе обучения 59
Лекция 5. Ученик как субъект учебной деятельности. Возрастные и половые особенности школьников 73
Возрастные особенности школьников 74
Учет половых особенностей в процессе обучения 84
Лекция 6. Процесс обучения математике как система. . .. 89
Целостный подход к процессу обучения математике 90
Цели обучения математике 95
Субъектный опыт учащихся в обучении математике 96
Лекция 7. Задачи в обучении математике100
Задачи: определение, структура, классификация100
Функции задач в обучении105
Процесс решения задачи105
Лекция 8. Математические понятия108
Этапы познания. Общая характеристика понятия109
Определение понятия. Типы определений.
Требования к определениям112
Классификация понятий115
Процесс становления понятия. Основные этапы
работы с понятием117
Лекция 9. Обоснования и доказательства. Математические утверждения и теоремы128
Математическая теория. Аксиомы. Утверждения129
Доказательство: структура, виды131
Ошибки в доказательствах137
Логико-математический анализ теорем
и методические особенности их изучения139
Лекция 10. Методы и формы обучения математике. Развитие интеллектуальных умений при обучении математике144
Методы обучения математике145
Методы психологии в обучении математике. Интеллектуальные умения146
Умение анализировать. Развитие аналитических умений у школьников148
Лекция 11. Контроль знаний и умений учащихся при обучении математике152
Контроль: типы, цели, функции152
Требования к контролю и его компоненты154
Виды, формы и средства контроля155
Оценка и отметка. Способы оценивания. Ошибки и недочеты159
Лекция 12. Специфика восприятия и усвоения алгебраического и геометрического материала в школе.. 164 12.1. Особенности развития подростков и специфика обучения алгебре, связанная с ними 165
Специфика обучения алгебре как предмету167
Объективные особенности геометрических представлений 170
Восприятие и усвоение геометрического пространства174
Л е к ц и я 13. Методика обучения математике181
Предмет методики обучения математике. Связь методики обучения математике с другими науками182
Характеристика образовательной области «Математика»184
Математическая и учебная задачи186
Лекция 14. Технологический подход к обучению математике189
Краткая история становления технологического подхода к обучению189
Понятия «педагогическая технология», «образовательная технология», «технология обучения»191
Технология и методика обучения математике194
Роль учителя при осуществлении технологического
подхода к обучению199
Лекция 15. Технологический подход и индивидуализация обучения математике200
Психолого-педагогические и методические подходы к понятию «индивидуализация обучения»201
Технологический подход в реализации индивидуализации обучения математике202
Пример технологии использования индивидуализированной системы задач при обучении математике207
Лекция 16. Технологические схемы обучения элементам математического содержания209
Общие требования к технологическим схемам обучения . . 209
Технологические схемы обучения математическим понятиям210
Особенности технологических схем обучения отдельным элементам математического содержания216
ЧАСТЬ II. Основные линии школьного курса математики и методика их изучения
Лекция 17. Общие вопросы изучения алгебры в девятилетней школе и особенности альтернативных программ .. 220 17.1. Из истории развития алгебры220
Содержание и задачи курса алгебры223
Особенности альтернативных программ228
Лекция 18. Линия тождественных преобразований в курсе девятилетней школы230
Линия тождественных преобразований в курсе математики средней школы и ее взаимосвязь с другими линиями школьного курса231
Основные типы преобразований и этапы их изучения . .. . 235
Особенности работы по обучению теме «Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни»238
Лекция 19. Теория числа в курсе алгебры девятилетней школы242
Из истории развития действительного числа242
Подходы к определению действительного числа и к расширению множеств. Цели изучения линии числа243
Методические особенности расширения числовых множеств в курсе алгебры девятилетней школы245
Методика введения понятия «иррациональное число» . . . 252
Методика введения понятия «комплексное число»254
Лекция 20. Функции в девятилетней школе256
Из истории развития функции256
Цели изучения функции в основной школе257
Различные трактовки понятия «функции»258
Формирование понятия «функции» в школьном обучении259
Изучение функции с учетом когнитивных стилей учащихся260
Реализация межпредметных связей и связей с жизнью при изучении функции264
Лекция 21. Линия уравнений и неравенств в курсе алгебры 7—9 классов268
Содержание, роль линии уравнений и неравенств
в курсе математики268
Основные понятия линии уравнений инеравенств269
Методические особенности изучения материала
линии уравнений и неравенств в девятилетней школе. . . . 273
Лекция 22. Особенности изучения геометрического материала в 1—6 классах276
Основные задачи обучения геометрическому материалу
в школе. Условия создания образов геометрических фигур277
Цели обучения геометрическому материалу в 1—6 классах281
Методические особенности организации обучения геометрическому материалу в 1—6 классах284
Лекция 23. Методика изучения геометрических фигур и их измерений в систематическом курсе геометрии306 23.1. Рекомендации по введению геометрических фигур
на первых уроках геометрии в 7 классе306
Методика изучения равенства треугольников и равнобедренного треугольника311
Методика изучения частных видов четырехугольников и их площадей314
Методика введения понятия «многогранник»318
Рекомендации по изучению объемов многогранников. . . . 320
Методические замечания об изучении фигур
вращения и их комбинаций с многогранниками323
Лекция 24. Методика изучения параллельности и перпендикулярности на плоскости и в пространстве . . . 325 24.1. Цели изучения темы325
Особенности изложения учебного материала в школьных учебниках327
Методические рекомендации к изучению параллельности на плоскости и в пространстве330
Методические рекомендации к изучению перпендикулярности в пространстве334
Лекция 25. Изучение векторов и координат на плоскости и в пространстве340
Исторические замечания о векторах и координатах340
Основные подходы к изучению векторов и координат в учебниках геометрии342
Методические рекомендации по изучению векторов на плоскости и в пространстве343
Замечания об изучении координат и координатного метода на плоскости и в пространстве352
Лекция 26. Геометрические преобразования на плоскости и в пространстве356
Исторические замечания о геометрических
преобразованиях на плоскости и в пространстве357
Реализация темы в действующих учебниках357
Методические рекомендации по изучению
геометрических преобразований358
Методика изучения подобия в действующих учебниках . . 360
Лекция 27. Изучение элементов математического анализа в курсе алгебры старшей школы370
Основные линии курса алгебры и начал анализа
и их реализация в действующих учебниках370
Подходы к изучению действительных чисел
в старшей школе376
Методика изучения комплексных чисел в классах с углубленным изучением математики378
Об изучении предела последовательности и предела функции в общеобразовательной и профильной школе . . . 379
Возможные варианты введения понятия «производная функции» и изучения приложений производной383
Введение понятия «первообразная функции» и изучение определенного интеграла392
Лекция 28. Вероятностно-статистическая линия в школьном курсе математики395
Основные цели изучения элементов теории вероятностей в школьном курсе математики396
Методика изучения основных понятий теории вероятностей397
Методика изучения основных теорем теории вероятностей406
Методика изучения понятия «случайная величина». Изучение основных характеристик случайных величин412
ПРЕДИСЛОВИЕ
Курс лекций «Методика и технология обучения математике» предназначен для подготовки кадров, обучающихся по направлению «Физико-математическое образование». Он может использоваться и при подготовке по специальности 031100 Математика.
Содержание пособия соединяет в себе как традиционные, так и инновационные подходы в обучении будущих преподавателей математики. Согласно традиции, курс включает две серии лекций. Первая серия (лекции 2—16), помещенная в части I «Психолого-педагогические и технологические основы обучения математике», представлена лекциями, в которых рассматриваются общие вопросы методики и технологии обучения математике. Вторая серия (лекции 17—28), помещенная в части II ♦ Основные линии школьного курса математики и методика их изучения», посвящена методике обучения конкретному учебному содержанию. Весь курс предваряется вводной лекцией (Лекция 1), в которой рассматривается современная система математического образования.
Предлагаемая книга отражает новые тенденции в процессе обучения математике — технологизацию самого процесса обучения, а также реализацию личностно-ориентированного обучения. '
Понятие технологии обучения прочно вошло в обиход профессиональной деятельности учителя математики. Однако содержание этого понятия пока не до конца определено. Сам технологический подход к процессу обучения математике несет много плодотворных идей, способствующих интенсификации и повышению качества обучения. Поэтому в курсе лекций рассматриваются вопросы, разъясняющие суть технологического подхода к процессу обучения математике, а также положительные и отрицательные стороны его реализации.
В современной концепции образования превалирующей является направленность на всестороннее развитие ребенка, и в связи с этим наиболее перспективным для методики обучения
математике в настоящее время является личностно-ориентированный подход. Это предполагает учет не только возрастных, но и индивидуально-типологических свойств личности. Между тем развитие мышления ребенка (за что в первую очередь призвана отвечать математика), а также особенности восприятия, усвоения, переработки и хранения информации являются предметом изучения психологии. Именно поэтому в данный курс включены лекции, в которых раскрываются психолого-методические основы построения процесса обучения математике, понимание и знание которых будущими учителями математики во многом определят эффективность обучения учащихся.
Все лекции включают не только разъяснение основных теоретических положений, но и примеры из практики обучения учащихся математике. Они построены по единой структуре, которая включает: вопросы для предварительного обсуждения, содержание лекции, ключевую информацию и рекомендуемую литературу. Особое внимание следует обратить на элементы, которые не являются привычными для композиции учебной книги, это вопросы для предварительного обсуждения и ключевая информация.
Вопросы для предварительного обсуждения предлагаются студентам перед лекцией. Они выполняют двуединую функцию — включения в процесс обучения опыта студентов и мотивационную. Тем самым они позволяют активизировать учебно-познавательную деятельность студентов. При этом к ним обязательно возвращаются при изложении содержания лекции.
Ключевая информация содержит ♦выводные» знания, которые представляют собой квинтэссенцию содержания лекции. В определенной степени ключевая информация является моделью остаточных знаний студентов по содержанию определенной лекции.
Предлагаемый курс лекций в силу его содержательных и структурных особенностей может использоваться студентами педагогических вузов в качестве учебного пособия как непосредственно на занятиях, так и для самостоятельной работы. Также он может быть полезен для работающих учителей или в системе повышения квалификации.
Авторы выражают свою признательность Копелевич Ф. И., Микушевой Н. П. и Потапову А. А. за предоставленные ими практические материалы, которые были использованы в лекциях 10—12.
Редакторы: д-р пед. наук, проф. Н. Л. Стефанова, д-р пед. наук, проф. Н. С. Подходова
Лекция 1
Введение в систему математического образования России
В ряду человеческих знаний матема тика стоит особняком и представляет дл1 ума следующую поразительную особен ность: обрабатывая свой внечувственны! материал обычными умственными прие мами исследования, ... она, в отличие оп опытных наук, приходит к непогрешимым выводам...
И. М. Сеченов
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Известно высказывание Альберта Эйнштейна: «Образование есть то, что остается после того, как забывается все, чему нас учили». Исходя из этой посылки определите, что сегодня целесообразно понимать под математическим образованием среднестатистического члена нашего общества.
Какие ступени в современной системе образования России вы можете выделить?
Когда в России сложилась государственная система образования? Как в этой системе было представлено математическое образование?
Вспомните и назовите имена известных вам педагогов-математиков.
Что, с вашей точки зрения, важнее для выпускника современной общеобразовательной школы — помнить формулу для нахождения корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом или знать, что число действительных корней квадратного уравнения не больше двух?
Роль и место математического образования в современном обществе
На протяжении многих лет, особенно в конце 50-х — начале 80-х гг. прошлого века, математическое образование, наряду с естественнонаучным и техническим, рассматривалось как наиболее престижное. В связи с этим важнейшим для себя предметом учащиеся средней школы считали математику во многом потому, что хотели поступать в технические вузы, где требовалась хорошая математическая подготовка.
Начиная с середины 80-х гг. XX в. положение стало меняться. Более престижными стали юридические, экономиче-
ские специальности; появилась практическая потребность в хорошем знании иностранных языков. Выявилось явное отставание российской системы образования в сфере гуманитарного знания. Как реакция на это стала проявляться тенденция гуманитаризации системы образования. Увеличилось внимание к изучению гуманитарных дисциплин. Уменьшилось число часов, которое отводилось на изучение математики по учебному плану. Опросы учащихся и выпускников общеобразовательных школ показали, что отношение к математике стало меняться. Она сместилась с первых мест среди самых любимых и наиболее важных школьных дисциплин.
Математика, в отличие от многих других дисциплин, которые обычно называют естественнонаучными (или, как их назвал И. М. Сеченов, — опытными), изучает не предметы реального мира, а количественные отношения и пространственные формы, им свойственные. В связи с этим выделяется абстрактность объектов, которые изучает математика. Эта абстрактность порождает два свойства математических знаний: универсальность и формально-логическую выводимость.
Универсальность математических знаний проявляется в проникновении ее методов, прежде всего метода математического моделирования, в другие области научного знания, как естественнонаучного (физика, химия, биология и др.), так и гуманитарного (экономика, лингвистика, психология и др.). Математические модели, описывающие взаимосвязь количественных характеристик различных явлений и процессов, сегодня являются неотъемлемым элементом при проведении исследования в любой области знаний. Роль их возрастает в связи с расширяющимися возможностями компьютерной обработки данных. Именно поэтому математическое образование занимает одно из ведущих мест в системе общего образования.
Проникновение математики в разные сферы деятельности повлияло на то, что и в повседневной практике довольно часто используются математические знания. Это не только применение простых математических расчетов, но и использование элементов высшей математики, анализа и теории вероятностей (например, вычисление забытой комбинации цифр на коде замка чемодана, биржевые и фондовые игры с акциями и т. д.). Сегодня в повседневной речи часто можно услышать такие выражения, как ♦количество заболевших гриппом растет в геометрической прогрессии» или ♦ассигнования увеличились на порядок». Эти примеры доказывают, что все более широкий спектр математических знаний становится сегодня обязательным элементом общей культуры современного человека.
Наконец, в общеизвестной фразе М. В. Ломоносова о математике и пользе ее изучения, которая *ум в порядок приводит*, выделено наиболее важное значение математического образования сегодня — обеспечение интеллектуального развития человека.
Процесс усвоения математических знаний, которые представлены как хорошо организованная система взаимосвязанных между собой элементов, формирует системность и структурность мышления. Процесс решения математических задач требует постоянного проведения анализа, сравнения и синтеза информации. Работа с математическими понятиями раскрывает процессы обобщения и классификации. Изучение геометрических объектов позволяет развивать пространственные представления и воображение. Доказательство теорем раскрывает процесс построения аргументации для проведения доказательных рассуждений.
Выделенные выше операции и свойства мышления обусловливают обязательность включения математики в содержание общего и профессионального образования как инструмента развития интеллектуальной сферы обучающегося. Этим определяется и сохранение ведущей роли математического образования в общей системе образования. Однако операции логического мышления, формируемые при работе с математическими объектами, не всегда автоматически переносятся на другие объекты и не всегда включаются в интеллектуальный багаж человека. Само обучение математике и другим дисциплинам должно быть построено так, чтобы демонстрировать возможность универсальности применения приобретенных знаний.
Нужно не забывать и о том, что математическое образование, его содержание и уровень должны способствовать воспроизводству специалистов, занятых в сфере математических, естественных и технических наук, а также специалистов, занятых в соответствующих сферах практической деятельности, включающей преподавание математики.
Основные тенденции развития математического образования в России
Преобразования, происходящие в системе образования России в целом, не могли не сказаться на математическом образовании. Интерес представляют особенности проявления этих тенденций. В качестве главных, оказывающих наиболее сильное влияние на содержание и организацию обучения математике, тенденций можно выделить: гуманизацию, гуманитаризацию и технологизацию математического образования.
Гуманизация математического образования проявляется, прежде всего, в установлении приоритетов при организации процесса обучения математике. Эти приоритеты связаны с ориентацией на личность учащегося, на развитие ее интеллектуального потенциала и познавательных возможностей. Это означает, что при определении целей обучения математике в каждой конкретной ситуации будет предвосхищаться результат, характеризующий не просто знания и умения, которые должны быть сформированы, а изменения в личности учащегося (в интеллектуальной сфере), которые произойдут при освоении этих знаний. Отбор содержания и его построение должны осуществляться с учетом типичных особенностей понимания и осознания математических знаний обучающимися различных возрастов и их психологической организации (в частности, когнитивных стилей). Наконец, и в системе контроля акцент должен быть смещен с фиксации только суммы и уровня усвоения знаний на динамику общего и математического развития учащихся при овладении этими знаниями.
В связи с ориентацией на развитие обучающихся возникает проблема учета их образовательных интересов, возможностей и притязаний, а также имеющегося у них опыта при организации процесса обучения математике. Как следствие этого, особое внимание при обучении математике сегодня уделяется дифференциации (уровневой и профильной) и индивидуализации обучения.
Дифференциация связана с организацией обучения с учетом особенностей групп учащихся, выделенных на основе либо достигнутого уровня обученности математике (достигнутых результатов) и способностей, либо интересов, склонностей и, конечно, результатов. В первом случае речь идет об уровневой дифференциации, во втором — о профильной. Применительно к процессу обучения математике оба вида дифференциации предполагают создание различного содержания и формулирования различных требований для учащихся, отнесенных к разным группам.
Уровневая дифференциация осуществляется в общеобразовательной школе практически на каждом уроке математики посредством предложения учащимся разных типологических групп разных по сложности заданий, как для освоения соответствующих знаний, так и для контроля. При этом группа, к которой учитель относит того или иного ребенка, учащимся остается неизвестна. Этот вид дифференциации для ученика скрыт. Тем более, что такие группы являются нестабильными. Однако существует и открытая форма уровневой диф-
ференциации — это классы коррекции (или классы с недо статочной математической подготовкой). Для них существуеа и особая программа по математике [4, с. 5].
Профильная дифференциация осуществляется через организацию классов и школ, где уровень изучения математики будет различным в зависимости от сформированных интересов учащихся и выбора будущей специальности. Профильная дифференциация при изучении математики сегодня в основном осуществляется в старшей школе, хотя может реализовываться начиная с 8 класса. В связи с этим выделяются программы по математике для школ (классов) с углубленным изучением математики (8—9 классы и 10—11 классы) и общеобразовательных учреждений [4]. В некоторых документах первая программа называется программой профильного уровня, вторая — базового. '
Индивидуализация обучения математике предполагает учет более ярких особенностей отдельных детей (либо математически одаренных, либо имеющих ярко выраженные психологические особенности). Она фактически состоит в использовании индивидуальной методики обучения этих учащихся.
Гуманитаризация математического образования состоит в выделении в содержании обучения математике элементов, обращенных к человеку и обществу, таких, как использование математических знаний в повседневной деятельности человека, математические открытия как отклик на потребности общества. Кроме того, это выделение тех аспектов в математических знаниях, которые традиционно относятся к гуманитарным наукам — история развития математики, судьбы людей, внесших значительный вклад в математическую науку, проблемы формирования и использования математического языка, использование математических закономерностей при создании произведений искусства.
Под технологизацией математического образования понимают осмысление процесса обучения математике как регламентированной смены четко описанных этапов, имеющих высокую степень результативности, а также разработку четко описанных приемов обучения, обладающих высокой степенью результативности в массовом масштабе. Эта тенденция проявляется в связи с массовым характером организации обучения в рамках классно-урочной системы с большим количеством участников процесса обучения (обучаемых и обучающих) и необходимостью получать положительный результат обуче- ния^ Она на первый взгляд вступает в противоречие с тенденцией гуманизации, проявляющейся, в частности, в индивиду-
ализации обучения. Однако ориентация при разработке технологий на положительный результат обучения, а значит, на учет, по крайней мере, наиболее типичных особенностей усвоения учащимися математических знаний и тем самым на успех учащихся в обучении, снимает кажущееся противоречие.
Учитывая выделенные тенденции развития математического образования, качество его сегодня определяется знаниями о существенных свойствах рассмотренных математиче* ских объектов, правильными представлениями учащихся об использовании математических понятий и методов в повседневной жизни, а также сформированными умениями применять полученные знания в своей практической деятельности. В этом смысле гораздо важнее, чтобы выпускник современной школы знал, что квадратное уравнение имеет не более двух действительных корней, чем помнил формулу вычисления корней для одного из частных видов квадратного уравнения.
Математическое образование в системе непрерывного образовании
Значимость математического образования в развитии современной цивилизации обусловливает государственный подход к его организации. Система государственного математического образования возникла в России в 1701 г. благодаря указу Петра I о создании Навигацкой школы, существенное значение в которой занимало обучение математике. В ее становление и развитие внесли свой вклад замечательные ученые и педагоги: Л. Ф. Магницкий, Н. И. Лобачевский, М. В. Остроградский, П. Л. Чебышев, С. И. Шохор-Троцкий, А. П. Киселев, А. Я. Хинчин, А. Н. Колмогоров, Б. В. Гнеденко и многие другие. В современной России система математического образования является частью системы непрерывного образования. В связи с этим в ней проявляются черты общей системы (например, тенденции, которые обсуждались выше, характерны для всей системы непрерывного образования), но имеются и свои, присущие только ей черты. Последнее обстоятельство позволяет выделять и рассматривать систему математического образования как самостоятельное явление.
Рассмотрение системы математического образования как части системы непрерывного образования позволяет говорить о математическом образовании более широко, не ограничивая его только обучением в общеобразовательной средней школе.
Современная система математического образования в нашей стране представлена на рис. 1.
Математическое образование
Рис. 1*■
Надо заметить, что в системе среднего профессионального образования реализуются программы школьного образования, а также начального специального математического образования, необходимые для получения соответствующей квалификации.
Кроме основного математического образования, существует система дополнительно математического образования. Она реализуется через систему кружков, факультативов, курсов по выбору для школьников на уровне общего образования, а также для студентов на уровне профессионального (начального, среднего и высшего) образования.
На схеме (см. рис. 1) не обозначена ступень послевузовского образования, которая включает подготовку специалистов в аспирантуре и докторантуре, а также систему переподготовки специалистов. На послевузовском этапе может реализовываться и дополнительное математическое образование. У нас в стране эта система пока плохо развита, хотя в странах Западной Европы уже существуют так называемые университеты третьего возраста для людей, вышедших на пенсию и желающих получить образование в интересующих их областях.
В последующих лекциях будет уделяться больше внимания системе математического образования (как основного’, так и дополнительного), реализуемого на этапе школьного образования.
Наряду с общей направленностью математического образования на развитие интеллектуальной сферы человека, на каждой ступени выделяются специфические цели. На ступени дошкольного образования — это формирование первоначальных представлений о математических объектах и отношениях, которые используются ребенком в повседневной практике. На ступени начальной школы — формирование базовых умений, прежде всего вычислительных. На ступени основной и стар-
щей непрофильной школы — овладение системой математических знаний, представляющей общий (базовый) уровень современного математического образования. Наконец, для профильных школ — формирование системы математических знаний, отражающей углубленный уровень изучения математики, и развитие математических способностей учащихся.
^Ключевая информация
Математическое образование, благодаря проникновению математических методов во все сферы жизни, а также целенаправленному формированию определенных универсальных свойств мышления (системность, структурность, обобщенность и др.), играет ведущую роль в функционировании и развитии современного общества.
Сегодня оно переживает этап существенных изменений, связанный с переосмыслением целей, содержания и организации процесса обучения. Эти изменения осуществляются в русле процессов гуманизации (дифференциации и индивидуализации), гуманитаризации и технологизации.
Математическое образование реализуется в нашей стране через государственную систему, включающую ступени дошкольного, начального, общего среднего, начального профессионального, среднего специального и высшего (общего и специального) образования. На каждой из выделенных ступеней выдвигаются свойственные ей цели математического образования. <-
Рекомендуемая литература
Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе. — СПб.: Образование, 1996.
Кудрявцев Л. Д. Образование и нравственность. — М.: ПАИМС, 1994.
Математика в образовании и воспитании. — М.: Фазис, 2000.
Программно-методические материалы*. Математика. 5—
11 кл.: Сб. нормативных документов / Сост. Г. М. Кузнецова. — 3-е изд., стереотип. — М., 2000.
Программы общеобразовательных учебных заведений в Российской Федерации. Начальные классы. — М.: Просвещение, 1993.
Учебные стандарты школ России. Математика. Естественнонаучные дисциплины / Под ред. В. С. Леднева, Н. Д. Никандрова, М. Н. Лазутовой. — М.: Прометей, 1998.
Щербакова Е. И. Методика обучения математике в детском саду. — Мп Дрофа, 2000.
ИбЛИиееК^ИЬ НИ •
2-543517
Чаоть I
Психолого-методические и технологические основы обучения математике
Лекция 2
Образование. Обучение. Развитие. Воспитание
Ребенок развивается, воспитывали и обучаясь, а не развивается, и воспиты вается, и обучается. Это значит: воспита ние и обучение включаются в сам про цесс развития ребенка, а не надстраива ется лишь над ним...
С. Л. Рубинштейн
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Известна притча: «Странник шел по дороге и встретил трех людей, которые в поте лица тащили тяжелые камни в гору. Ему стало интересно, зачем и что они делают, и странник спросил первого из людей: «Что ты делаешь?» Первый человек, огрызаясь, ответил ему: «Не видишь, чтс ли, тащу камень в гору». Тогда путник решил поинтересоваться у второго: «А ты что делаешь?» Второй, тяжеле вздохнув, сказал: «Зарабатываю себе на жизнь». Третий же человек на тот же вопрос путника ответил: «А я строк дом».
Чем отличается деятельность трех людей? Кому из них тяжелее всего? Почему?
Отличается ли образованный человек от обученного? Если да, то чем?
Какой из перечисленных ниже ответов вы изберете для характеристики взаимоотношения обучения и развития [ 1]:
развитие всецело зависит от обучения (каково обучение — таково и развитие);
обучение предопределяется развитием (уровень развития обусловливает характер и содержание обучения, но обучение не влияет на развитие);
развитие и обучение — процессы, протекающие параллельно, вне всякой связи друг с другом;
обучение не может ни ускорить, ни замедлить развитие (развитие не ставит никаких границ обучению);
обучение должно следовать за развитием (обучение не опережает развитие);
правильного ответа нет.
Современные тенденции образовательной системы.
Цели образования
Каждому человеку очевидно, почему самой страшной карой богов считается Сизифов труд. Вовсе не потому, что камни, которые Сизиф вкатывает в гору, очень тяжелы, а потому, что труд Сизифа абсолютно бессмыслен, лишен цели. Это и показано в притче (первый вопрос теста). Действительно, то, зачем, во имя чего каждый человек начинает какое-либо дело, в конечном счете определяет его результат. Цель часто и определяют как планируемый результат деятельности. При этом, чем лучше человек понимает, чего он хочет добиться, что должно быть в конце пути, тем более адекватные средства достижения цели выбираются, тем короче становится его дорога к задуманному и четче он может определить этапы пути и необходимые средства.
Сказанное выше можно в полной мере отнести к образованию, обучению и воспитанию. Следовательно, для эффективной организации этих процессов необходимо хорошо представлять их цели, иметь четкий образ конечного результата, которого хочет достигнуть педагог в своей работе.
Любая образовательная система должна выполнять функцию социализации личности и обеспечивать ее индивидуальное развитие. В зависимости от приоритетов в существующей концепции образования какая-либо функция реализуется в большей степени, чем другая. Выбор ее определяется в значительной степени сложившимися условиями. Изменение условий необходимо учитывать в разрабатываемых моделях обучения. Настоящее время характеризуется активными переменами в различных сферах жизни. К основным, касающимся образовательной системы, можно отнести:
возрастание потока информации, быстрое устаревание информации и технологий в определенных областях, большое число профессий, которые находятся на стыке традиционных Учебных дисциплин;
усиление внимания к таким особенностям науки, как интеграция, системность, целостность, гуманизация знаний;
расширение потребности в умении работать в условиях наличия противоречивой информации (развитию этого уме-
ния способствует возрастание интереса к многозначным лоп кам, в частности, паранепротиворечивой логике);
— возрастание влияния герменевтики как теории и иску» ства понимания, ее роль в процессе познания, включающе деятельность интуитивных элементов, всего опыта личности
— расширение сенсорных возможностей современны школьников, большая роль интуитивных компонентов и мышления.
В этих условиях традиционная школа, реализующая кла< сическую («знаниецентристскую») модель образования, слс жившуюся еще в конце XIX в., становится непродуктивной Невнимание к переменам, происходящим в обществе, являеч ся одной из причин возникновения проблем в существующе: системе образования, отражающих трудности общекультуг ного кризиса, «суть которого сводится к многократному рас щеплению единого мировосприятия и миропонимания» [7; с. 9] В существующей образовательной системе преобладает анали тическая деятельность, направленность на приоритетное раз витие словеснологического мышления. Учащимся предлага ется усвоить (без учета их собственных способов приобретение информации) разрозненные сведения из разных областей зна ний, которые они не всегда могут связать в систему, а значит создать целостное представление о мире. Но именно оно, с од ной стороны, является личностным приобретением ребенка с другой, — ориентиром в условиях выбора в окружающей действительности.
Решение проблем, связанных с системой образования привело к созданию ее новой концепции, в которой образова ние определяется как подсистема культуры. Происходит осоз нание изначально единого смысла всякой деятельности, необ ходимости возвращения культуре ее целостности, ставится за дача сохранения и развития индивидуального мировоззрения как уникального вклада в совокупность представлений о мире. При этом в многоуровневом образовательном пространстве, включающем процессы обучения и учения, воспитания и самовоспитания, развития и саморазвития, взросления и социализации, определяющим стержнем является развитие.
Таким образом, цель образования в современной школе — создание наиболее благоприятных условий для развития личности ученика как индивидуальности, для самореализации ребенка в дальнейшей жизни. Для образования, направленного на развитие ребенка, более существенной является ориентация на ценности, чем на конечные цели (главным становится вопрос «каким быть», а не «кем быть»).
Основная и очень ответственная задача школы — раскрыть индивидуальность ребенка, помочь ей проявиться, развиться, устояться, обрести избирательность и устойчивость к социальным воздействиям. Поэтому надо начинать не с отбора по способностям и даже не с формирования желаемых обществу качеств личности, а с квалифицированного педагогического изучения каждого ученика как индивидуальности. Для этого нужна не изолированная, а единая для всех, но разнородная образовательная среда, где любой ребенок мог бы проявить себя, не боясь быть отвергнутым, не принятым. И только когда особенности его индивидуального развития будут профессионально выявлены педагогом, проверены на устойчивость их проявления, можно определять дифференцированные формы его дальнейшего обучения.
Как одна из наиболее важных задач образования в рамках интеграционного подхода рассматривается создание условий для формирования учащимися целостной картины мира. На каждом этапе своего развития в школе ребенок пытается создать собственную картину мира, в которой отражаются его представления о мире, связи между разными областями знаний, нравственные, этические и эстетические эталоны, и школа должна ему помочь в этом. Иначе ребенку, как, впрочем, и взрослому, будет трудно ориентироваться в окружающем мире. При этом главным является не объем знаний, а соединение последних с личными качествами, умение самостоятельно распорядиться своими знаниями.
Образование, обучение, развитие — определение основных понятий
Образование — специальная сфера социальной жизни людей, обеспечивающая освоение ими ценностей культуры, сохранение и развитие цивилизованных форм жизни посредством овладения различными видами деятельности. Образование способствует становлению в отдельном индивиде социокультурных свойств, качеств, обеспечивающих ему полноценное включение в жизнь общества, самовыражение и самореализацию.
Развитие — есть сложное инволюционно-эволюционное поступательное движение, в ходе которого происходят прогрессивные и регрессивные интеллектуальные, личностные, поведенческие, деятельностные изменения в самом человеке.
Развитие характеризуется образованием целостных психических структур. Согласно теории умственного развития, осно-
вой становления системы определенных знаний, как подчерки вает Н. И. Чуприкова [8], является формирование упорядс ченных психологических репрезентативных структур, харак теризу ющих развитие ребенка.
Обучение — целенаправленная последовательная переда ча общественного исторического социокультурного опыт, другому человеку (людям) в специально организованных ус ловиях школы, семьи, сообщества [2]. Также под обучение? понимают деятельность педагога, направленную на организа цию учения школьника и приводящую к научению [11].
Обучение и учение — два разнонаправленных источник, знаний, которые надо согласовывать между собой. Обучение? через его содержание задаются социокультурные образцы : виде законов, правил, приемов действий, поведения, обяза тельных для всех. Учение же есть особая индивидуальная де ятельность ученика по овладению социокультурными норма ми познания. Но учение не есть прямая проекция обучения Оно опирается прежде всего на субъектный опыт ученика, на копленный им не только под влиянием специально организо ванного обучения, но и в процессе индивидуальной жизнеде ятельности, условия и источники которой у каждого свои особые, неповторимые.
По определению Ж. Пиаже, учение есть совокупность спо собов и видов активности человека по приобретению индиви дуального опыта. В более широком смысле учение — вид де ятельности, в котором субъект в данной ситуации изменяется под влиянием внешних условий и в зависимости от результа тов собственной деятельности строит свое поведение и cboi психические процессы так, чтобы понизить новыми информа циями степень своей неуверенности и найти правильный от вет или адекватное правило поведения.
Последнее определение подчеркивает активность процесс: учения и его субъектную сущность, так как показывает связ] между влиянием внешней среды и изменениями, происходя щими в деятельности человека.
Соотношение обучения и развития
Существуют различные точки зрения на соотноше ние процессов обучения и развития. Все они принадлежат из вестным психологам и педагогам. Рассмотрим обоснование и? взглядов.
Теория Л. С. Выготского* «Обучение... не есть развитие но правильно организованное обучение ребенка ведет за собо# детское умственное развитие, вызывает к жизни целый ря;
таких процессов развития, которые вне обучения вообще сделались бы невозможными».
В ЗО-е гг. XX в. работы Л. С. Выготского положили начало решению проблемы соотношения обучения и развития в пользу ведущей роли обучения, которое сохраняется и до настоящего времени в традиционной системе школьного образования, хотя пути ее разрешения носили гипотетический характер и были экспериментально проверены только в нескольких работах (Ж. И. Шиф на материале формирования научных понятий в курсе обществоведения во 2—4 классах, эксперименты П. Я. Гальперина, Л. Ф. Обуховой и др.). Сама гипотеза о ведущей роли обучения появилась как вывод, полученный в единственном исследовании этой проблемы, выполненном Ж. И. Шиф при жизни Л. С. Выготского и под его руководством. «Говоря об обучении и отмечая его ведущую роль в развитии, мы имеем в виду социально-классовую природу обучения, которая находит свое выражение в классово-заостренной, содержательной насыщенности обществоведческих и житейских понятий, ...содержание предмета наш школьник получает в условиях нашей школы, единственно правильное, классово заостренное содержание. Это-то и является основанием ведущей роли обучения в ходе развития ребенка» [9, с. 43, 75]. Но при этом Ж. И. Шиф признает, что «сила житейских понятий (8—9 лет) в их содержательной определенности, слабость — в трудности определения. У научных понятий наоборот. Слабость научных понятий — содержательная бедность, их вербализм» [9, с. 68]. Однако исследование Ж. И. Шиф проводилось на достаточно абстрактных для ребенка понятиях, например таких, как «экспроприация». Естественно, таких понятий практически нет в опыте ребенка и их надо определять. Сам Л. С. Выготский предупреждал, что выдвинутое предположение только гипотеза, требует тщательной проверки и может не распространяться на другие области знаний.
Важно также отметить, что Л. С. Выготский указывал на то, что далеко не всякое обучение ведет за собой развитие, а только то, в ходе которого ребенок овладевает принципиально новыми способами взаимодействия с окружающим миром. Поэтому темпы обучения и развития могут не совпадать. «Один шаг в обучении может означать сто шагов в развитии». И наоборот: «длительное обучение может только со временем привести к качественному сдвигу в развитии». Кроме того, Выготский подчеркивал, что обучение не только определяет Развитие, но и зависит от него, опирается на актуальный уро-
вень развития психических процессов, существующий у бенка.
Л. С. Выготский предложил понятие зоны ближайше развития, определяющейся мерой помощи взрослого (или j бого другого человека), которая необходима ребенку для шения задач, находящихся в сфере его интеллектуальн возможностей. При этом уровень актуального развития оп деляется теми задачами, которые ребенок способен решить мостоятельно без посторонней помощи. Попытки определев зоны ближайшего развития были сделаны в работах 3. И. К. мыковой, которая на материале различных предметов про дила диагностику обучаемости школьников, предлагая им : вые учебные задачи и систему разноуровневых подсказок.
Теория У. Джеймса. К. Коффки, Эд. Торндай! Дж. Уотсона: «Обучение равно развитию».
Позиция психологов-бихевиористов основывается на т< что любому организму полезны только те реакции, котор помогают ему приспособиться к окружающей среде. При ком подходе развитие по сути приравнивается к эффективЕ адаптации, которая достигается путем обучения, т. е. п крепления нужных, прежде всего поведенческих, реакций.
В теории обучения взгляды бихевиористов получили от жение в существовании «формального» обучения, направл! ного на формирование необходимых знаний, умений, Hai ков, а в качестве высшего уровня — на развитие у ребек способности, необходимой для того, чтобы добывать нов знания. При этом важно подчеркнуть, что необходимость п или иных знаний, умений и навыков при таком подходе оп деляется не самим ребенком, а внешними силами (учителе обстоятельствами, требованиями общества и т. д.).
Теория Ж. Пиаже, В. Штерна*. «Развитие создает в можности — обучение их реализует».
Развитие представлено у Ж. Пиаже таким мощным и пос довательным процессом, что обучение выступает как части эпизод, мимолетное влияние, которое не может что-либо суг ственно изменить в этом сильном поступательном движении.
Но проведенные исследования опровергли эту точку зрен> Так, кросскультурные исследования Дж. Брунера noKaaaj что основным условием перехода мышления на уровень ф мальных операций (по Пиаже) является наличие система ческого школьного обучения. Эксперимент П. Я. Гальперина Л. Ф. Обуховой показал эффективность формирования у школьников при помощи специально организованного обучен представлений о мерах и эталонах, которые характеризуют р витие мышления на уровне конкретных операций (7— 10 лет
Определив понятия «образование», ♦ обучение», ♦развитие», ♦ воспитание», цели обучения, необходимо учитывать, что эти понятия и достижение целей реализуются в процессе обучения разным предметам, в частности математике. Процесс обучения представляет систему с собственными структурными компонентами и связями между ними.
^Ключевая информация
Обучение является целенаправленной, последовательной передачей общественного исторического социокультурного опыта другому человеку (людям) в специально организованных условиях школы, семьи, сообщества.
Под учением понимают совокупность способов и видов активности человека по приобретению индивидуального опыта.
Существуют три точки зрения на соотношение обучения и развития: 1) обучение должно опережать развитие (Л. С. Выготский); 2) обучение равно развитию (бихевиоризм); 3) развитие создает предпосылки для обучения (Ж. Пиаже).
4-
Рекомендуемая литература
Грузнова Т. А., Краева Л. Н., Мартынец Н. Д. Педагогические ситуации и задания. — Сыктывкар, 1997.
Зимняя И. А Педагогическая психология. — Ростов-н/Д: Феникс, 1997.
Недоспасова В. А. Обучение и психическое развитие. — Душанбе, 1998.
Новые ценности образования*, тезаурус для учителей и школьных психологов. — М.: РФФИ, 1995.
Обухова Л. Ф. Возрастная психология. — М.: Изд-во «Российское педагогическое агентство», 1996.
Развивающее обучение // Материалы ежегодного научно-методического семинара. — СПб., 1997. — Вып. 1.
Российское образование: традиции и перспективы // Материалы международной научно-практической конференции. — Нижний Новгород, 1997.
Чуприкова Н. И. Психология умственного развития: принцип дифференциации. — М.: АО «Столетие», 1997.
Шиф Ж. И. Развитие научных понятий у школьника. Исследование к вопросу умственного развития школьника при обучении обществоведению / Ввод ст. Л. С. Выготского. — М.; Л.: Гос. учебн. подмоск. изд., 1935.
Якиманская И. С. Технология личностно-ориентированного < чения в современной школе. — М.: Сентябрь, 2000.
Лященко Е. И., Радионова Н. Ф., Регуш Л. А. и др. Развел тые планы лекций и учебные задания для студентов по ку ♦Теоретические основы обучения математике». — СПб.: Обр; вание, 1997.
Лекция 3
Мотивация учебной деятельности школьников
Настоящие мотивы наших деист подобны трубам органа, обыкнове скрыты, тогда как позолота и украше: пышно выступают снаружи.
Ч. Колг
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
В пятом классе начинается урок. На доске написаны просы.
Можно ли, не считая, определить, делится ли 783 на 3?
Требуется разделить в классе 107 листков между тремя ] дами, в которых одинаковое количество учащихся. Возмс но ли это? Какое число листков останется каждому ряду?
От Земли до планеты клонов 573 тысячи километров. Ci жет ли долететь за 3 дня до планеты клонов звездол запущенный с Земли, если он может развить скорость 185 тысяч километров в день?
Кто является чемпионом в животном мире по длине хв та? По японской легенде, царь зверей разделил хвое между всеми животными. А для трех японских кур у hi осталось 2170 сантиметров хвостов. Удалось ли раздел! хвосты поровну? Какой длины оказался хвост у чемпис хвостатых — одной японской курицы, если две другие j лучили максимально длинные хвосты (учитывается то. ко целое число сантиметров)?
Учитель просит учеников выбрать те задачи, которые i казались самыми интересными. Выбранные задачи ш попытаться решить. Отметки за работу выставляться будут. Как вы думаете, с какой целью дал учитель эти дачи учащимся? Какие задачи выбрали ученики? Почету
Приведите примеры мотивов, которые способствуют О' ществлению учебной деятельности.
Как вы считаете, чем характеризуется познавательный i терес, каковы его особенности?
Типология мотивов учебной деятельности
Успешность учения во многом зависит от мотивации, от того личностного смысла, который учение имеет для учащегося. Мотивация учения является проблемой, которая остро стоит и перед подростками, и перед учителями, и перед родителями. Если в первый класс ребенок приходит любознательным, желающим получить новые впечатления и выполнять задания учителя, то по мере его обучения в школе, особенно в подростковом возрасте, учителя все чаще сталкиваются с негативным отношением учащихся к школе, к урокам, со скукой, апатией, депрессией или агрессией. Отсутствие необходимой мотивации учения часто ведет к стойкой неуспеваемости, которая способствует появлению отклонений в поведении школьника. Мотивация учения формируется на разных предметах, в том числе и на математике. Она должна иметь место на каждом уроке и включать показ необходимости изучения нового материала, значимость его в разных сферах окружающей ребенка жизни. Разнообразие мотивов учащихся предлагает для разных детей различные типы задач. Так, для ребенка, увлеченного математикой, достаточной будет и фабула (точнее, ее отсутствие) задачи «а* (см. первый вопрос для предварительного обсуждения); для ребенка с социальной направленностью — «б», занимательность задачи «г» и возрастная специфика пятиклассников делают ее привлекательной для большинства учащихся.
Известный педагог А. К. Маркова подчеркивала иерархичность мотивационной сферы школьника, которая включает в себя потребность в учении, смысл учения, мотивы и цели учения, интересы, эмоции и отношения, связанные с ним [5]. Она обращала особое внимание на такую категорию, как смысл учения, то есть тот личностный смысл, который вкладывает в учебную деятельность сам ученик и который способствует его целенаправленной познавательной деятельности. Смысл учения, как правило, опирается на систему идеалов и ценностей, которую школьники усваивают в своем ближайшем окружении, прежде всего в семье. Подчас транслируемое родителями негативное отношение к школе передается детям и начинает определять их отношение к учебе. Так же может сказываться на детях и приятие или неприятие родителями математики как дисциплины. Интерес к предмету зачастую Предается детям.
Говоря о мотивации познавательной деятельности, необходимо рассматривать ее как разноуровневую систему разнооб-
разных мотивов, которые определяют движение ученика направлению к поставленной цели обучения и влияют на t тивность (пассивность) его поведения на уроке. Одни моти являются смыслообразующими, придают деятельности учен личностный смысл, другие же, действуя параллельно, слух дополнительными побуждениями, мотивами-стимулами.
При этом каждый из входящих в систему мотивов им< собственные содержательные и динамические характерисг ки. Среди содержательных характеристик стоит отметить - кие, как осознанность, действенность (реальность влиян данного мотива на ход учебной деятельности), доминантное или подчиненность (место мотива в общей структуре моти: ции) мотива, самостоятельность возникновения и проявлен мотива, степень распространения мотива на разные ти: учебной деятельности (предметы, формы учебной работы т. д.). Среди динамических характеристик — устойчивое силу и эмоциональную окраску мотива.
Учение является одним из основных видов деятельное школьников, поэтому многими психологами исследовал! мотивы учебной деятельности как значимые в этот перс психического развития. Все мотивы учения, с точки зрен исследователя Л. И. Божович, подразделяются на две бо. шие категории [2]. Одни из них непосредственно связаны с держанием учебной деятельности и процессом познания О знаватпелъныеУ другие — с более широкими взаимоотноп ниями ребенка с окружающей средой Асоциальные^. Кро того, выделяют собственные, внутренние мотивы учебной , ятельности учеников и внешние мотивы, мотивы-стимул Первые связаны с процессами познания и социального вз« модействия, а также некоторыми личностными образо: ниями, такими, как самоуважение и самооценка. Вторые с внешним стимулированием, использованием системы поо рений, наказаний и т. д.
Интересно, что большинство психологов склоняется к mi нию, что внешняя мотивация уменьшает внутреннюю. Ре лярное длительное подкрепление (в виде оценок, замечай! системы наказаний и т. д.) воспринимается как внешн контроль и дает возможность ученикам снять с себя отв ственность за происходящее, что негативно сказывается внутренней мотивации. Более того, наличие корыстного п< крепления при наличии интереса к деятельности смещает i центы с содержания самой деятельности на ее результат. I этому учителю следует обязательно включать задания, не ci занные с получением конкретного результата.
Взаимодействие социальных и познавательных мотивов. Связь школьной программы с жизнью как особый аспект мотивации
Все разнообразие мотивов учебной деятельности расположено как бы в двумерном координатном пространстве, где на одной оси представлены познавательные и социальные мотивы, а на другой — их внешняя или внутренняя ориентация. Примеры мотивов даны в нижеприведенной таблице.
Ориентация на овладение новыми знаниями разного уровняТворческий познавательный интересОриентация на усвоение способов добывания знаний, интерес к процессу самостоятельного приобретения знанийМотивы самообразования, самопознания, раскрытия своих возможностейУчиться, чтобы удовлетворить любопытствоВнутреннее удовлетворение творческой деятельностью, положительные эмоцииОриентация на овладение новыми знаниями разного уровняТворческий познавательный интересОриентация на усвоение способов добывания знаний, интерес к процессу самостоятельного приобретения знанийМотивы самообразования, самопознания, раскрытия своих возможностейУчиться, чтобы удовлетворить любопытствоВнутреннее удовлетворение творческой деятельностью, положительные эмоцииЖелание выполнить свой долг, понимание необходимости учиться, чувство ответственностиЖелание получить хорошую подготовку к избранной профессииМотивы социального сотрудничества, связанные с потребностью ученика в общении, стремлением получить удовольствие от самого процесса общения и сопутствующих ему эмоцийХорошо учиться, чтобы уважать себя, чувствовать себя компетентнымЖелание выполнить свой долг, понимание необходимости учиться, чувство ответственностиЖелание получить хорошую подготовку к избранной профессииМотивы социального сотрудничества, связанные с потребностью ученика в общении, стремлением получить удовольствие от самого процесса общения и сопутствующих ему эмоцийХорошо учиться, чтобы уважать себя, чувствовать себя компетентным
Ориентация на овладение новыми знаниями разного уровня
Творческий познавательный интерес
Ориентация на усвоение способов добывания знаний, интерес к процессу самостоятельного приобретения знаний
Мотивы самообразования, самопознания, раскрытия своих возможностей
Учиться, чтобы удовлетворить любопытство
Внутреннее удовлетворение творческой деятельностью, положительные эмоции
Ориентация на овладение новыми знаниями разного уровня
Творческий познавательный интерес
Ориентация на усвоение способов добывания знаний, интерес к процессу самостоятельного приобретения знаний
Мотивы самообразования, самопознания, раскрытия своих возможностей
Учиться, чтобы удовлетворить любопытство
Внутреннее удовлетворение творческой деятельностью, положительные эмоции
Желание выполнить свой долг, понимание необходимости учиться, чувство ответственности
Желание получить хорошую подготовку к избранной профессии
Мотивы социального сотрудничества, связанные с потребностью ученика в общении, стремлением получить удовольствие от самого процесса общения и сопутствующих ему эмоций
Хорошо учиться, чтобы уважать себя, чувствовать себя компетентным
Желание выполнить свой долг, понимание необходимости учиться, чувство ответственности
Желание получить хорошую подготовку к избранной профессии
Мотивы социального сотрудничества, связанные с потребностью ученика в общении, стремлением получить удовольствие от самого процесса общения и сопутствующих ему эмоций
Хорошо учиться, чтобы уважать себя, чувствовать себя компетентным
Мотивы учебной деятельности
Познавательные мотивы
Социальные мотивы
Внешние
Общественное поощрение творческой активности
Признание авторства изобретений
Учиться, чтобы получать вознаграждение (подарки, деньги, поездки и т. д.)
Учиться, чтобы не наказывали
Мотивация престижа — быть первым, лучшим
Мотивация благополучия — стремление получить одобрение родителей, товарищей
Позиционная мотивация — стремление занять определенное место в отношениях с окружающими
Внутренние
Традиционно успешную учебную деятельность связывают с наличием у школьников внутренней познавательной мотивации и познавательного интереса. Отчасти это так, но нали-
чие у ученика только познавательного интереса без каких- бо социальных мотивов может привести к отсутствию у в чувства ответственности за учение. Подчас это выражаете стремлении к ♦ чистому» творчеству, пренебрежении к от ботке учебных навыков, выполнению технических подсчет правильному оформлению решения задач, а также в невни нии при повторении пройденного, невыполнении домапп заданий и т. д. Поэтому для успешной учебной деятельно также необходим баланс внутренних социальных и позне тельных мотивов. При этом грамотно построенная сист< внешних стимулов может способствовать появлению в пе пективе внутренней мотивации.
Социальная мотивация учебной деятельности чрезвыч но важна, ее нельзя недооценивать при организации обучен Например, в подростковом возрасте ведущей деятельност с точки зрения развития является общение со сверстника) Подростки испытывают сильную потребность в постоя hi контакте с одноклассниками. Поэтому важно, продумы] урок, дать возможность этой потребности реализоваться вп не легальным образом через организацию групповой или п ной работы, соревнований, дискуссий, игровых форм и т Например, на уроке математики учитель предлагает откр! несколько проектных бюро по общей конкретной теме. Kt дое будет работать над собственной проблемой. Группа по чает задание, начальник бюро определяет сотрудника, ко рый будет отчитываться за разработку проблемы и дает ка ственную оценку работы каждого в группе.
Другой пример связан с использованием компьютере) процессе обучения математике. Исследования показали, 1 особое место в мотивации работы с компьютером у школы ков занимают именно широкие социальные мотивы. Для у щихся в процессе решения учебной задачи на компьют< важна возможность слияния собственно познавательной ) тивации с широким спектром других мотивов. Наприм с мотивом накопления полезных жизненных навыков (уме! в совершенстве владеть компьютером необходимо в любой временной профессии) или мотивом престижа (владение м ными средствами коммуникации, обмена и поиска инфор] ции).
К сожалению, школа далеко не всегда способствует соз, нию условий для сохранения баланса между познавательк ми и социальными мотивами учебной деятельности. Учите по-прежнему ориентируются на то, что ученик должен ин
ресоваться учебными предметами и выполнять в школе свой долг.
В частности, Уильям Глассер отмечает два прискорбных для школы факта [3]. Во-первых, многое из того, что преподается в школе, не бывает никак связано с жизнью ребенка. Но даже если материал актуален, внимание на этом аспекте не заостряется, и потому его релевантность обесценивается. Во-вторых, дети считают, что любые самостоятельно приобретенные знания неактуальны для школы. Они не верят в то, что их точка зрения важна в процессе обучения, примерно так же, как и в то, что учителя будут одобрять чтение комиксов-страшилок или заинтересованно обсуждать с ними мультсериалы.
Таким образом, школа не связывает программы преподавания с жизнью детей, а для детей, в свою очередь, их собственный опыт не ассоциируется со школой. При этом подчас опыт и знания, полученные детьми вне учебного процесса, противопоставляются тому, что они приобретают в школе. Преподавание предметов, имеющих лишь косвенное отношение к жизни детей, неизбежно ведет к потере интереса к учебе и росту неуспеваемости, но даже в тех случаях, когда для преподавателя очевидна связь материала с жизнью, эта связь может быть совсем неочевидна для ученика. Поэтому необходима специальная работа на уроке в данном направлении, а на уроках математики особенно. Так, при изложении математического материала сначала целесообразно предложить решение практической задачи или привести пример реальной ситуации, в результате которых появляется изучаемый объект. Введение теоремы также по возможности следует проводить через реальную ситуацию, обеспечивающую формирование соответствующего образа.
Конечно, в учебниках мало уделяется внимания мотивационным заданиям. Поэтому учителю необходимо самому разрабатывать соответствующий материал. Например, при введении понятия «пересечение» учащимся можно предложить ответить на вопрос: ♦ Зачем нужны развязки в городе, на трассе, светофоры на дорогах?» При формировании представлений о горизонтальных и вертикальных прямых и плоскостях учащиеся, рассматривая изображения Александрийского столба и Эйфелевой башни, должны ответить на вопрос: «Какое из сооружений вызывает большое беспокойство ученых? Почему?» При обсуждении ответов учитель подводит учащихся к выводу о значимости понятия «пересечения» (в рассматриваемой ситуации «пересечения траекторий объектов» в одно и
то же время), необходимости знаний о вертикальных прям в силу значения этого понятия в жизни.
Полезным может быть самостоятельный поиск связи ма матических знаний с жизнью (конечно, специально органи ванный учителем). Например, при изучении темы'«Симм рия» учащимся можно предложить написать сочинения на ну из тем «Что произойдет в окружающем мире, если : станет симметричным?» или «Что произойдет в окружаюп: мире, если все станет несимметричным?». При этом целесо разно сформировать у учащихся широкий взгляд на симм рию. Симметрия в Древней Греции была эквивалентна noi тию «гармония». Симметричным считается любой объект,: торый можно получить из своего фрагмента с помощ движения. Как показала практика, многие ученики, рассм ривая знакомые объекты относительно наличия или отсут вия у них симметрии (автомобиль, внутренние органы, ст ение тела и т. д.), приходили к выводу, что лучше пусть мир танется таким, каков он есть.
В средней школе перед формулировкой и доказательств теоремы о свойстве срединного перпендикуляра желател! рассмотреть ситуацию из повседневной жизни, решение ко рой и подведет учеников к соответствующим выводам.
Н ПРИМЕР
По обе стороны от дороги (а) расположены два дома (Д и S) так, как показано на рис. 2. Уставший путник (Р) идет по дороге. К какому дому он ближе находится? В какую сторону ему лучше свернуть?
Использование нового подхода к изучению предмета приводит к тому, что учащиеся сами начинают связывать жизненные ситуации, интересующие их области знаний с учебным материалом. Например, в конце изучения темы «Функция» учащимся было предложено дома придумать примеры функций и дать их график схематически. Ученик схематически представил график падения футбольного мяча.
►> ПРИМЕР
УУОРис. 3ОРис. 3Футбольный мяч подняли над полом и выпустили из рук так, как показано на рис. 3 (х — время, у — высота мяча над полом).
У
У
О
Рис. 3
О
Рис. 3
Становление мотивации в школе
Психолог Д. В. Ярцев, проводя исследование особенностей социализации современных подростков, показал, что с возрастом происходит снижение общего уровня эмоционального принятия подростком школы. В 5—6 классах 92,5% учащихся положительно ответили на вопрос: ♦Нравится ли тебе получать в школе знания по предметам?», а в 10 классе — только 52,6%. Около двух третей подростков ориентированы на цели, которые связаны с социальной жизнью, развитием взаимоотношений, решением коллективных задач. При этом познавательные и практические цели подростков также имеют социальный оттенок и связаны с установлением определенных отношений с окружающими.
Исследователи объясняют этот факт тем, что с возрастом у школьников, наряду с потребностью в ♦чистых знаниях», все четче и осознанней возникает потребность в знаниях to жизни». Поэтому можно говорить о снижении субъективной значимости школы для подростков, которые испытывают потребность, прежде всего, в знаниях и опыте решения социальных и личностных проблем. При этом большинство подростков говорят о том, что они нуждаются в школьных предметных знаниях. Но акцент школы только на передачу предметных знаний приводит к тому, что подростки начинают относиться к ней как к чему-то архаичному и не отвечающему их жизненным потребностям. Интересно, что это же отмечают и родители подростков.
Одним из шагов в направлении решения этой проблемы могла бы стать более последовательная работа педагогов над целями обучения, их переориентация на удовлетворение разносторонних потребностей учащихся. Но и здесь есть свои трудности.
Психологи проводили опрос среди учителей, родителей и подростков, в котором их просили оценить важность различных целей образования, количество внимания, уделяемого достижению этих целей в процессе учебной деятельности, и степень достижения этих целей в результате обучения. Среди целей, которые оказались наиболее важны для всех (детей, Учителей и родителей), можно назвать такие:
сформировать к окончанию школы стремление стать хозяином своей судьбы;
поощрять независимость и способность ♦стоять на своих ногах»;
помогать как можно лучше справиться с официальными экзаменами;
научить применять полученные знания и навыки в реш нии новых проблем;
дать представление о разных видах работы и профессия чтобы можно было решить, чем заниматься в дальнейшем;
обеспечить умение читать и учиться самостоятельно;
стимулировать способность иметь свое мнение;
сделать учебу такой интересной, полезной и увлекател ной, чтобы хотелось продолжать учиться и после окончаш школы.
Если внимательно посмотреть на этот список, то видно, ч' учителя очень хорошо осознают потребность подростков в св. зи учебы с жизнью. Но при этом оказалось, что внимание уч: телей к перечисленным целям непосредственно в процес< обучения и результативность их достижения гораздо ниж чем заявляемая важность. Более того, все цели, кроме подг товки к экзаменам, сливаются для учителей в учебном пр цессе в единую массу. А сама подготовка к экзаменам оказ! вается никак не связана с другими декларируемыми целями
С одной стороны, это может быть связано с существующе системой оценки результатов труда учителя (по экзаменаш онным оценкам и поступлению в вуз), с другой стороны, с о сутствием или слабым овладением соответствующими техн логиями работы. Подробно приемы достижения этих целе будут рассмотрены в темах, посвященных работе с теоретич ским материалом при обучении математике и технология обучения.
Большинство первоклассников приходит в школу с жел; нием учиться. В основе этого желания лежат широкие соц] альные мотивы — быть как все учеником, быть взрослы» иметь новый социальный статус в семье, иметь определеннь новые права, приобрести новые атрибуты школьной жизн (форма, портфель, учебники и т. д.), удовлетворить любопы' ство. Эта мотивация быстро истощается, особенно у детей, к< торые имеют хорошую подготовку к школе. Многим из ни вполне знакома роль ученика, освоенная на подготовител) ных занятиях, да и базовые умения читать, считать и писач у них развиты лучше. Такие дети через несколько недель т< ряют интерес к школе, часто стремятся вернуться к любимы игрушкам и детским играм, гораздо больше времени начиш ют проводить у телевизора. Для них особенно необходимо ctj мулировать появление собственно познавательной мотиваци учебной деятельности.
Без специальной работы педагогов над формирование познавательной мотивации учения, познавательные мотив)
началу основной школы обнаруживают низкую побудительную силу, занимая третье место после широких социальных и узколичностных мотивов. Кроме того, необходимо учитывать, что характерной особенностью мотивации пятиклассников является то, что их в большей степени интересует сам процесс учения как социально важная деятельность; им нравится читать, писать, рисовать, лепить и т. д. Что касается мотивации содержания, то на первых порах детей интересуют в основном отдельные факты, явления, события, т. е. занимательность изучаемого на уроке материала. Поэтому личностно значимыми для учащихся 5—6 классов являются задачи, имеющие либо занимательную фабулу, либо требующие практической деятельности руками. Задачи с фабулой способствуют развитию умения моделировать, внимательно читать текст задачи,, чтобы выполнить его грамотный анализ. Например, при проверке сформированности представлений учащихся 6 классов о геометрических отношениях им можно предложить следующую задачу.
» ПРИМЕР1
Гусь Мартин (герой сказки «Путешествие.34
Нильса с дикими гусями») отдыхал в городе пос- \ \
ле перелета, а его друг Нильс отправился осмат-.
ривать достопримечательности и заблудился. 5 у Прохожий рассказал ему, что видел спящего гу- б-^\\\9 ю
ся, и нарисовал схему расположения близлежащих улиц, отметив кружком то место, где они\ \ \
с Нильсом разговаривали. Следуя схеме, изо- 8 браженной на рис. 4, нужно было пройти до про- рис 4 спекта (улицы), параллельного той улице, что от- ' мечена кружком. От проспекта, перпендикуляр
но ему, начинается улица, на которой Нильс и найдет своего друга. Назови номер улицы, к которой направился мальчик?
При решении данной задачи большинство учащихся получают несколько ответов, хотя правильный ответ единственный — № 8. Причиной этого является невнимание к тексту задачи, а именно слово * начинается» не рассматривается многими решающими как существенное условие задачи, т. е. имеет место расширение условия задачи.
Психологами установлено, что становление учебно-познавательной мотивации происходит наиболее интенсивно в начальной школе. В основной школе встречаются в основном последствия этого процесса. В связи с этим необходимо обращаться к подобному анализу процесса формирования познавательной мотивации в младшем школьном возрасте.
Одним из механизмов формирования познавательной мс тивации известный советский психолог А. Н. Леонтьев счита смещение мотива на цель, т. е. появление интереса к самом содержанию учебных занятий. Во многом это может быт реализовано через новую для младших школьников деятел! ность по освоению теоретических знаний, когда наряду с пре стейшими навыками они начинают осваивать базовые нау* ные понятия и отношения. Именно такой подход был предлс жен в системах начального обучения В. В. Давыдовым Л. В. Зайковым. Они предлагают начинать обучение матемЕ тике с того, чтобы дети выделяли в вещах разные свойстве оценивали различия между вещами, устанавливали отнони ния между величинами в обобщенном виде.
Эта деятельность является новой для детей, она помогав первоклассникам преодолевать интегральность восприятия ограниченность конкретного мышления, одновременно мотив! руя их на освоение предметного содержания. Особенно успешн это происходит через постановку проблемных задач и активно подключение к их решению самих учащихся, что дает учен! кам возможность почувствовать «вкус открытия», получить пс ложительные эмоции от познавательной деятельности.
Приходя в школу, каждый из первоклассников попадае в ситуацию мотивационного противоречия между мотивам желания («я хочу») и мотивами долженствования («надо» У дошкольника гораздо больше возможностей следоват своим «я хочу», чем у младшего школьника. И фактором, зе крывающим эти возможности, является школа с ее нормам! правилами, режимом и программой. В школе совсем мал места для детских «хочу» и много места для разных «надо» «положено», «ничего не поделаешь», «никуда не денешься и т. д. При этом мотив желания всегда исходит от самого ре бенка, а мотив долженствования чаще всего инициируете взрослым.
Для разрешения складывающегося противоречия первс классники, как правило, выбирают два основных пути — пут сомнения и путь переживания [1]. Те, кто'идет по первому п^ ти, стремятся ситуацию «надо» преобразовать в соответстви со своими «хочу» (рациональные). Они сомневаются в само сути ситуации — предлагают делать все по-другому, измена ют исходные правила, дают нестандартные решения; имею собственное мнение по любому вопросу, быстро выключаютс из работы, если к их предложению не прислушались. Те, кт идет по второму пути, стремятся соответствовать всем те]
«надо», с которыми сталкиваются (эмоциональные). Они преобразовывают свой внутренний мир, свои намерения, действия, установки, настроения. Их раздирают противоречия между самыми разными стремлениями, яркие эмоции, направленные на неприятие или изменение себя.
Как ♦рациональные», так и ♦эмоциональные» дети нуждаются на этапе адаптации к школе в поддержке и помощи окружающих взрослых. Поэтому необходимо проявлять интерес к их сомнениям и переживаниям, помогать им проговаривать и осознавать происходящее и появляющиеся негативные эмоции. Эта помощь может затрагивать самые разные сферы, от непосредственно выполнения заданий, освоения основных форм учебной работы, организации режима дня, рабочего места до эмоциональной поддержки.
Роль мотивации достижения
Особое место в учебной мотивации младших школьников занимает желание получать хорошие оценки, при этом у многих первоклассников еще отсутствует связь между оценкой и уровнем собственных знаний, оценка ими воспринимается скорее как атрибут школы. Интересно, что только для трети младших школьников оценка является осознаваемым и реально действующим мотивом учебной деятельности, а где- то пятая часть не осознает этот мотив, хотя он реально определяет их учебное поведение [5].
Важность оценки как педагогического инструмента в этом возрасте можно проиллюстрировать следующими данными. Среди двадцати мотивов мотив »хочу получать хорошие отметки» занял у первоклассников 1-е место, а мотив избегания неудач <не хочу получать плохие отметки» — 6-е место.
Главный ♦возрастной» мотив учебной деятельности подростков — мотив достижения, т. е. стремление личности добиваться успехов и избегать неудач с целью повышения или сохранения самоуважения, самооценки в деятельности. Мотив достижения тесно связан с самооценкой и уровнем притязаний личности, так как все эти психологические параметры меняются в зависимости от успехов или неудач человека в той или иной деятельности. Человек, имеющий мотивацию достижения, стремится к успеху («я хочу это сделать») и надеется на успех (♦у меня все получится, я в силах это сделать»).
Учащихся можно разделить на две большие группы: тех, кому в большей степени свойственна мотивация достижений,
и тех, кому больше свойственна мотивация избегания неуда^ Эти группы имеют существенные различия в поведении. Ознг комиться с ними можно из нижеприведенной таблицы.
Различия в поведении учащихся с различными мотивациями
Область сравнения
Модели поведения учащихся
с мотивацией на достижение успеха
с мотивацией избегания неудач
Ситуация достижения
Активно ищут ситуации соревнования, риска с личной ответственностью за исход
Избегают рискованнь ситуаций, а попадая в н^ «плывут по течению»
Самооценка
Адекватно оценивают себя, устойчивы в этой оценке
Занижают или наобс рот завышают свою оце> ку, неустойчивы в ней
Требования к себе
Предъявляют к себе высокие требования
Предъявляют к себ заниженные требования
Предпочитаемые задачи
Выбирают задачи средней или выше средней сложности
Отдают предпочтена легким или чрезвычайь сложным задачам, чтоб успех или неуспех не вли! ли на самооценку
Изменение интереса к деятельности
После неудачи интерес сохраняется, хотя уровень сложности задачи может несколько снизиться
После неудачи инт< рес падает, часто происхс дит отказ от решения зад; чи
Ориентация на цель
Ставят перед собой различные цели, вплоть до отдаленных
Ориентируются тол ко на «близкие» цели
Объяснение успехов и неудач
Успех рассматривают как результат своих усилий, а неудачи — как случайное стечение обстоятельств
Неудачи объясняк своими плохими спосо( ностями, а удачи — сл чайностью
Действия
Настойчивы и упорны в достижении цели, действуют самостоятельно, стремятся к получению обратной связи с окружающими
Склонны к поиску П( мощи и поддержки, к о влечению от деятельност не стремятся к получени обратной связи и игнор! руют ее
Для учащихся с выраженной мотивацией избегания неудач часто возникают защитные реакции. Например, обезличивание учебной деятельности и отчуждения, отсутствие инициативы и т. д. Дети со сформированной мотивацией достижения потенциально более успешны в любой деятельности, а значит, формируя у школьников учебную мотивацию, необходимо активизировать именно мотив достижения. Для этого педагогу следует обучать способам поведения, типичным для человека с высокоразвитой мотивацией достижения, и поощрять уже существующие у учащихся подобные способы поведения.
Для формирования мотивации достижения учитель должен опираться на четыре основных момента.
Во-первых, необходимо помогать учащимся поддерживать реалистичный (соответствующий возможностям) уровень притязаний. На уроке это обеспечивается через подбор посильных учебных заданий, создание условий для выбора задач разного уровня сложности и возможности скорректировать этот выбор в случае неудачи или успеха. Возможность выбора и обсуждение с учащимися возможных путей достижения поставленной цели способствуют становлению реалистичного уровня притязаний.
К сожалению, нередки случаи, когда практически весь класс за исключением нескольких учеников не справляется с домашними или самостоятельными работами, и учитель считает это нормальной ситуацией, интерпретируя это как проявление лени и отсутствия мотивации. На самом деле учащиеся, постоянно сталкиваясь с непосильным заданием, опускают руки, теряют интерес к предмету и даже перестают пытаться выполнить задание.
Во-вторых, результаты психологических исследований показали, что мотивация учения определяется не только тем, какие мотивы и потребности учащихся реально вовлечены в учебную деятельность, но и теми внутренними процессами определения психологической причинности, которые связывают с мотивацией. Среди наиболее типичных причин объяснения неуспеваемости учащихся можно выделить четыре:
недостаток способностей (*у нас в роду все гуманитарии», ♦ у меня нет способностей к точным наукам» и т. д.);
трудность задания («не повезло с вариантом, в другом была такая простая задача», «это был самый сложный вопрос» и т. д.);
отсутствие везения, неудачно сложившиеся обстоятельс ва («единственный билет не выучил, он и достался*, «не см< нужную книжку вовремя найти» и т. д.);
недостаток усилий («надо было еще раз повторить на п< ремене», «надо было начинать готовиться к контрольно раньше» и т. д.).
Среди этих причин есть только одна, которую можн контролировать и на которую можно целенаправленно вл1 ять. Это прилагаемые для достижения результата усилия. П< этому для становления мотивации достижения в учебной д< ятельности нужно постоянно показывать учащимся жестку; связь между результатом деятельности и затраченными усилю ми. Это особенно важно, так как подростки склонны перенима! способы интерпретации причин происходящего у взрослых. Ст< ит обсуждать с подростками причины успехов и неудач, анал! зировать их опыт преодоления трудностей, возникающих пр решении задач.
При этом ключевым моментом становится специальная отдельная оценка учителем усилий, затраченных учеником Ведь далеко не всегда, особенно в запущенных случаях неусш ваемости, большие усилия ученика (длительное время подгс товки к уроку, многократные попытки что-то выучить и т. д. сразу же отражаются на результатах его учебы.
Успех, объясняемый внешними факторами (легкостью за дачи, везением), вызывает, как правило, гораздо меньше чувство удовлетворения и гордости, чем успех, приписывае мый действию внутренних факторов (собственным усилиям ) способностям). Поиск причин в себе способствует развитие чувства ответственности у учащихся.
В-третьих, для формирования мотивации достижения ) учебной деятельности учителю необходимо ориентироваться на индивидуальные нормы в оценивании. В этом случае нуж но сравнивать достижения ученика с его собственными пред шествующими достижениями, а не с достижениями други: учеников в классе. Такой подход, с одной стороны, помога ет ученику увидеть его индивидуальный, прогресс в учебе а с другой стороны, нацеливает на применение причинно! схемы, ориентированной на собственные усилия, в объясне нии результатов.
Кроме того, индивидуальное оценивание способствует пре одолению синдрома «выученной беспомощности». Такое на звание получила причинная схема, обладатели которой убеж дены, что вероятность тех или иных последствий их действий и поведения в целом не зависит от того, что они делают. Ohf
часто испытывают безнадежность и покорность судьбе, так как не чувствуют возможности контроля над повторяющимися неприятными событиями.
Как правило, ♦ выученная беспомощность» наблюдается у учащихся, которые имеют большой опыт школьных неудач, которых часто ругают или приводят в качестве негативных примеров.
Индивидуальное оценивание помогает таким учащимся увидеть даже незначительный прогресс в собственной деятельности, поверить в свои силы. Именно для этой категории особенно необходимо создание ситуации успеха на уроке, когда они сами от начала до конца правильно выполняют какое-то задание, правильно отвечают на вопрос и т. д.
Кроме индивидуального оценивания становлению учебной мотивации способствует и ориентация ученика на самооценивание учебной деятельности. Вот лишь несколько приемов, которые можно для этого использовать.
Завершив работу, ученик сам ставит себе отметку. За ту же работу отметку ставит и учитель. Записывается дробь. В индивидуальной беседе можно задать следующие вопросы: ♦Сможете ли вы обосновать свою оценку? На чем вы будете базироваться? Какие аргументы вы приведете? Была бы другая оценка, если...? Может быть абсолютно объективная оценка?»
Для развития самооценки и самостоятельности в учебной деятельности предлагать учащимся самим оценивать свой результат после проверочной работы или математического диктанта по следующей схеме:
учитель диктует правильные ответы;
ученики отмечают знаками ♦ + » или ♦ -» свои результаты;
учитель отвечает на вопросы учеников;
обсуждается норма оценки и выставляется отметка;
отметки выставляются в журнал по усмотрению учителя или по желанию учеников.
3. Желательно спрашивать ученика после ответа у доски или какой-то формы контроля: ♦Ты доволен результатом?» вместо оценок: ♦Ты хорошо справился с работой». Проводить индивидуальные беседы для обсуждения достижений и промахов, постоянно интересоваться отношением ученика к процессу и результату своей деятельности.
И наконец, в-четвертых, для формирования мотивации достижений в учебной деятельности необходимо наличие активно-положительной установки учителя по отношению к каждо-
му ученику. При ее наличии учитель доброжелателен со вс» ми, имеет позитивные ожидания по отношению ко все» и особенно к трудным учащимся, показывает огорчение пр неудачах и возникновении проблем, открыто говорит об это ученикам.
Установки учителя проявляются во время опроса в тре специфических характеристиках: виды задаваемых вопросы время, отведенное для ответа, и поддержка ученика. При ш личии хорошего отношения к ученику учитель, как правиле задает ему больше вопросов достаточно высокой степени слои ности, предоставляет больше времени для ответа и подготовк и оказывает чаще поддержку.
Уже давно известен в педагогической психологии «эффек Пигмалиона* (или «эффект самореализующегося пророчес' ва»). Путем экспериментов было доказано, что положител] ное или отрицательное представление об ученике, данное вн зависимости от его реальных характеристик, приводит к т< му, что они со временем появляются в его поведении. В связ с этим учителю стоит очень осторожно принимать негативнуз информацию об учениках от других учителей, проявлят больше внимания в отношении слабых учащихся.
Ключевое значение мотивации достижения в учебной мс тивации подростков было подтверждено во многих исследс ваниях. В частности, Ю. С. Пежемская, проанализировав pt боты отечественных психологов, показала, что для трудны подростков характерны отсутствие личностной значимост потребности обучения в школе; нарушения поисковой актш ности (беспомощность), прогноза и «внутреннего фильтра» связанного с ценностями, нравственными нормами и проце< сами рефлексии [7]. Она отмечает, что перечисленные наруше ния процесса мотивации являются приобретенными в резул! тате систематического подавления таких подростков окру жающими людьми. Для них образование является, скоре всего, недостижимой ценностью, так как им очень трудно уве жать себя и верить в себя после длительного опыта постояв ных неудач. При этом школьники хорошо осознают саму не обходимость получения образования для появления перепек тив в жизни.
Таким образом, учебный процесс следует начинать с вое становления равноправных отношений между учениками и учи телями, опираясь на закономерности формирования мотива ции достижения в учебной деятельности.
Познавательный интерес и его роль в учебной деятельности
Особое место среди мотивов учебной деятельности занимает познавательный интерес, который тесно связан с познавательной потребностью.
Познавательная потребность человека является самостоятельной и врожденной. Она в полной мере проявляется в исследовательском поведении маленьких детей. В отличие от многих других потребностей, она ненасыщаема и безгранична. Познавательную потребность следует отличать от потребности в умственной деятельности как таковой. Так, есть люди, которым нравится решать однотипные задачи (например, разгадывать кроссворды). При этом они не приобретают новые знания, а лишь удовлетворяют потребность в умственной деятельности.
Также следует отличать познавательную потребность как проявление любопытства, стремление к новизне, ориентировочной активности, свойственной любому человеку, от познавательного интереса как интереса к способу, самому процессу получения результата, а не результату как таковому.
Появление познавательного интереса тесно связано, во-первых, с наличием положительных эмоций, связанных с умственным трудом, когда ребенок воспринимает учебу не только как свой долг, но и как радостный, приятный процесс. Во-вторых, для развития познавательного интереса необходима такая среда, которая бы стимулировала любознательность ребенка, давала бы ему пищу для ума, заставляла задавать вопросы.
Г. И. Щукина, изучавшая проявления познавательного интереса у подростков, показала, что он как устойчивая черта личности встречается лишь у отдельных учащихся. При этом развитие познавательного интереса не имеет четко выраженных возрастных градаций и закономерностей. У большинства школьников по мере обучения интересы не становятся более устойчивыми, широкими, теоретическими. Можно сказать, что в старших классах аморфных интересов оказывается больше, чем в младших. Исключением является избирательное отношение к школьным предметам, связанное с профессиональной направленностью.
Кроме того, Щукина показала, что одним из ключевых факторов появления и развития познавательного интереса является качество и уровень преподавания, подчас личная увлеченность предметом учителя.
Для качественного преподавания свойственна постоя! ная, систематическая (из урока в урок, а не от случая к ел; чаю) работа, направленная на развитие познавательного И1 тереса. Любопытно, что такие учителя, как правило, не npi меняют на уроках яркие, привлекающие внимание форм (просмотр телепередач, игры, групповую работу и т. д.), а есл и применяют, то делают это систематически, пытаясь о* новное внимание учеников привлечь к содержанию изуча* мого, ходу рассуждений, аргументации, а не к форме работь В противном случае калейдоскоп новых, необычных фор работы вызывает у учеников ситуативный поверхностны интерес, как и все новое, который быстро угасает, как тол! ко форма становится привычной. Такой же ситуативны эффект дает и несистематическое применение средств нагля; ности, приведение занимательных примеров из жизни и истс рии.
Можно выделить несколько обобщенных факторов поддер жания интереса учащихся к учебному процессу:
высокая собственная активность ученика при изучени! предмета;
разнообразие видов деятельности на уроке;
понимание нужности и целесообразности изученного;
связь с ранее изученным;
посильность обучения (у ребенка должно быть чувств* возможности достичь желаемого);
яркость, эмоциональность изложения, неравнодуши* учителя к излагаемому материалу;
систематическая проверка и оценка деятельности учен и ка учителем.
г
^Ключевая информация
Под мотивацией понимается совокупность процессов, определяющих движение по направлению к поставленной цели, а также факторы (внешние и внутренние), которые влияют на активность или пассивность поведения человека в различных ситуациях. Для успешной учебной деятельности необходим баланс внутренних социальных и познавательных мотивов.
Мотивацией достижения называется стремление личности добиваться успехов и избегать неудач с целью повышения или сохранения самоуважения, самооценки в деятельности.
Для формирования у учащихся мотивации достижения учитель должен:
помогать ученикам поддерживать реалистический уровень притязаний;
показывать связь между результатом деятельности и затраченными усилиями;
применять индивидуальные нормы в оценивании;
иметь активно-положительную установку по отношению к каждому ученику.
Выученная беспомощность определяется как схема поведения» обладатели которой убеждены» что вероятность тех или иных последствий их действий и поведения в целом не зависит от того, что они делают.
Интерес к способу, самому процессу получения результата, а не результату как таковому называют познавательным интересом.
<-
Рекомендуемая литература
Бардиев Г. Л., Николаевская И. А. Что касается меня... Сомнения и переживания самых младших школьников. — Рига: Эксперимент, 1988.
Божович Л. И. Избранные психологические труды. — М.: Изд-во РАН» 1995.
Глассер У. Школы без неудачников. — М.: Прогресс, 1991.
Дусовицкий А. К. Загадка птицы Феникс. — М.: Знание, 1978.
Маркова А. К., Матис Т. А., Орлов А. Б. Формирование мотивации учения: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.
Матюхина М. В. Мотивация учения младших школьников. — М., 1984.
Пежемская Ю. С. Социальная реабилитация подростков в школе П Наш проблемный подросток: понять и договориться / Под ред. Л. А. Регуш. — СПб, 2001. — С. 168—190.
Саранцев Г. Г. Методология обучения математике. — Саранск: Просвещение, 2002.
Скороходова Н. Ю. Психология ведения урока. — СПб.: Речь, 2003.
Лекция 4
Когнитивные стили как отражение индивидуальнь особенностей усвоения учебного материала
Труд воспитателя можно сравнит трудом садовника, выращивающего р личные растения. Одно растение лю( яркий свет солнца, другое — прохлади тень; одно любит берег ручья, другое высохшую горную вершину. Одно рас ние лучше всего произрастает на пес ной почве, другое — на жирной глин: той. Каждому нужен особый, только д него подходящий уход, иначе оно не , стигнет совершенства в своем развити!
Абдул-Ба
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Что вы понимаете под индивидуальными особенности? личности?
Учительница Ирина Александровна описала свои впече ления об одном из учеников: «Петя выучил таблицу умн жения хорошо. Примеры сейчас хорошо считает. Хо иногда ошибается. Когда просто счет, если он выучил, делает хорошо. У него основная сложность, когда надо в] полнить задание, написанное мной. Это очень сложно П те». И далее: «Постоянно на уроках отмечаю, что Петя : слушает, не слышит, не воспринимает то, что я говор] Когда мы всем классом работаем, я уже даже и не рассч тываю, что он что-то услышит. Только когда он сам что-1 делает, это еще может как-то пойти, и то, если все вред его подталкивать». Как вы думаете, в чем причина тру ностей, которые испытывает Петя?
Как вы считаете, какие индивидуальные особенности большей степени влияют на восприятие и усвоение мат матики?
Индивидуальные особенности учащихся
Необходимость учета индивидуальных особенно тей учащихся в процессе обучения является приоритетным педагогической психологии, дидактике и методике. Все де1 разные, поэтому каждый студент и учитель знает, что на ур ке необходим индивидуальный, дифференцированный подх< к каждому ребенку. Именно тогда создаются необходимые усл
вия для максимально полного всестороннего развития ребенка, возникает комфортная для каждого учащегося образовательная среда, находят свое решение многие проблемы неуспевающих школьников. Кроме того, практически любая общепсихологическая закономерность реально проявляется в деятельности человека в индивидуально-модифицированном виде, преломленная через призму индивидуальных особенностей.
Что же такое индивидуальные особенности? Это то, что отличает одного человека от другого, то, чем отличаются интересы детей, то, как по-разному они воспринимают и запоминают материал, то, почему одни дети более активны, а другие медлительны и т. д. Специалисты в области дифференциальной психологии учения выделяют межиндивидуальные (различия между людьми) и внутрииндивидуальные (различия при выполнении разных видов деятельности одним человеком) особенности, к которым относятся различия в скорости, тщательности, мотивации, регуляции действий, когнитивной организации [3, с. 28—29].
При большом разнообразии индивидуальных особенностей существует интегральный подход, который учитывает в едином целом все или хотя бы многие из перечисленных индивидуальных особенностей. Наличие такого объединяющего, обобщающего элемента помогает существенно облегчить разработку практических рекомендаций по организации индивидуального подхода к обучению.
В качестве одного из таких интегральных подходов, основанных на учете прежде всего индивидуальных познавательных особенностей учащихся, можно рассмотреть когнитивные стили. Уже сам факт появления концепции когнитивных стилей индивидов и их изучения, по мнению В. В. Селиванова, является отражением общей закономерности взаимопроникновения психологии личности и общей психологии, попыткой более тесного сближения личностных и познавательных характеристик субъекта, отыскания связи между мышлением и личностью.
Учитель зачастую сталкивается с большими трудностями в поисках индивидуального подхода к ученику. В вопросах для обсуждения были приведены отрывки из дневника учительницы начальных классов Ирины Александровны об ученике Пете (имена всех действующих лиц изменены).
В поисках основной проблемы этого ученика можно было бы сказать, что Петя просто не хочет работать, учитель не смог его заинтересовать (но при этом Петю волнует, правильно он решает задачу или нет). Может быть, Петя не готовится
дома, многое пропустил (а таблицу умножения дома выуч! хорошо) или он постоянно невнимателен на уроке, рассед (но при выполнении задания он само внимание). Возможн у мальчика не сформирована произвольность основных пс хических процессов, нет навыков учебной работы и т. д. В эти гипотезы имеют право на существование в описанной с: туации, хотя и есть отдельные противоречия.
Но главное, что присутствует в описанных эпизодах, — э: то, что Петя часто просто не понимает, что от него требуете: не понимает, как подойти к выполнению написанного зад; ния, как обосновать полученный ответ. Дело здесь, как спр; ведливо замечает учительница, в том, что мальчик не Bocnpi нимает ее объяснение. Скорее всего, свойственный ему спосс восприятия и понимания информации отличен от того, кот( рый предлагает учитель. В тех же редких случаях, когда сш соб восприятия материала учеником и способ объяснения уч! теля совпадают, у Пети возникает глубинное понимание из} чаемого и связанные с ним положительные эмоции.
Данную ситуацию можно описать как конфликт когнитие ного стиля учителя и когнитивного стиля ученика, и част именно этот конфликт, а не отсутствие учебной мотиваци: или недостаточный уровень развития психических функци! приводит к возникновению неуспеваемости и заставляет заду маться об индивидуальном подходе к обучению.
Типы когнитивных стилей
Когда говорят о когнитивных стилях, то имеют i виду особенности познавательных процессов (в первую оче редь восприятия и мышления), которые характеризуют от дельных индивидов и устойчиво проявляются в различны? ситуациях, при решении конкретных задач. При этом реч! идет о стилистических особенностях познавательной деятель ности, рассматриваемых независимо от ее содержания. Следовательно, можно сказать, что когнитивные стили отражают различия между людьми в характере переработки информации.
Когнитивные стили являются, прежде всего, процессуальными характеристиками, отвечающими на вопрос, «как» человек воспринимает и перерабатывает информацию. Этот качественный аспект делает когнитивные стили интересными с точки зрения процесса обучения. Знание когнитивных стилей может помочь учителю проникнуть в суть рассуждений ученика, а также понять особенности собственного способа
рассуждения, который не всегда совпадает со способами рассуждения учащихся.
Интенсивное изучение когнитивных стилей началось в 50-е гг. XX в. в связи с исследованием перцептивных процессов. За короткое время было выявлено и описано более десятка различных стилей. Из них наиболее разработанными и важными для понимания процесса обучения являются:
дифференцированность поля (с параметрами «полезави- симость-поленезависимость»);
обобщенность категорий («глобальные-специфичные»);
стиль концептуализации («абстрактный-конкретный»);
тип реагирования («импульсивность-рефлексивность»);
когнитивная «сложность-простота». В русскоязычной литературе описания этих стилей достаточно полно представлены в работах Г. Клауса, А. В. Соловьева, М. А. Холодной и И. П. Шкуратовой.
Понятие дифференцированности поля (расчлененности поля, психологической дифференциации) было введено американским психологом Г. Виткиным для описания степени артикулированности (ясности, расчлененности, отчетливости) опыта субъекта, которая проявляется в четырех основных психологических сферах:
когнитивном функционировании (структурирующая способность восприятия, способность преодолевать организованный контекст);
представлении о собственном теле (дифференцированность образа своего физического «я»);
развитии чувства индивидуальной обособленности (способность к автономии и самодостаточности в условиях межличностного общения);
наличии специализированных, высокоорганизованных контролей и защит (сформированность механизмов моторной и аффективной активности).
Проводя эксперименты по изучению восприятия, Виткин обратил внимание на то, что у некоторых испытуемых результаты опытов серьезно зависели от фона, на котором воспринимался объект. Как правило, на пестром, узорчатом фоне им было сложно выделить требуемый стимул. Их восприятие как бы становилось зависимым от окружающего перцептивного поля. Поэтому эти испытуемые получили название полезависимых. Восприятие таких людей является преимущественно Целостным, глобальным, недифференцированным. Первоначально Виткин предполагал, что они в большей мере ориентируются на внешнюю зрительную стимуляцию. Поленезависи-
мыми были названы люди, которые легко освобождались о давления объединяющих взаимосвязей перцептивного поля Они воспринимали и перерабатывали те или иные стимуль независимо от контекста, т. е. могли быстро и точно выделит] фигуру из фона. Восприятие у таких людей оказалось ориен тированным на детали, более аналитичным и дифференциро ванным. По мнению Виткина, они в восприятии ориентирова лись на внутреннюю проприоцептивно-вестибулярную стиму ляцию.
Эта особенность особенно сильно проявляется при обучении геометрии. При решении задач в основной школе учащимся постоянно приходится выделять необходимые фигуры на чертеже, рассматривая остальные как фон. Именно задания на «загруженных» (наличие лишних элементов) чертежах вызывают у учащихся трудности, особенно при выполнении задач на построение. Например, усвоив способ построения прямой, перпендикулярной данной и проходящей через данную точку на рисунке, где даны прямая и точка, учащиеся затрудняются при выполнении аналогичного задания в ситуации, когда рисунок перегружен лишними деталями.
►> ПРИМЕР
Построить прямую о на рис, 5 так, чтобы о 1 DC, Кеа.
Причина — неумение отделять объект и фон. Еще С. Л. Рубинштейн нредупреждал о том, что выделение
фигуры из фона является базовым действием при восприятии любого объекта. Поэтому учителю при анализе ошибок стоит выяснить, не является ли их причиной именно полезависи- мость ученика. Следовательно, при организации деятельности учащихся необходимо научить их выполнять задания на выделение объекта из фона. Тем более, что до 13—14 лет все дети являются полезависимыми. При проверке сформированности умений при обучении математике, и в особенности геометрии, следует предлагать учащимся задания на «загруженных» чер
тежах.
Последующие исследования показали, что «полезависи- мость-поленезависимость», выделенная первоначально как зависимость восприятия от ситуации (объекта), связана также с широким спектром личностных особенностей человека, таких, как активность, локус контроля, представления о себе, межличностное общение и т. д. Поэтому в окончательной редакции теории психологической дифференциации Виткин де-
дает акцент на доминирующей тенденции ориентироваться при решении задач на самого себя (поленезависимость) или на внешние факторы (полезависимость).
Стиль обобщен ность категорий (понятийная дифференцированность) относится к особенностям построения классификаций. Он был предложен Р. Гарднером и определяется по числу и характеру образуемых групп при свободной классификации объектов. В эксперименте Гарднер просил испытуемых разделить множество картинок с изображениями хорошо знакомых предметов (или слов) на группы по своему усмотрению так, чтобы относящиеся к одному и тому же классу предметы оказались в одной части. Некоторые люди делили объекты на множество мелких групп, что указывает на узкую зону понятийной эквивалентности и ориентацию на различия в предметах. Другие же люди разбивали предметы на небольшое число групп, не учитывая в ходе группировки отдельные различия между объектами. Тем самым они демонстрировали более широкую зону понятийной эквивалентности с ориентацией на сходство.
В более поздних работах Гарднер четко показал связь между предпочитаемой человеком обобщенностью категорий с характером решением задач на поиск сходства и различия объектов. Он выделил дополнительно когнитивный стиль сглаживание (усреднение — ориентация на общее) и заострение (усиление — ориентация на различия). Кроме того, удалось выявить не только количественные, но и качественные особенности классификации объектов. Среди испытуемых обнаружились люди, тяготеющие к аналитическому (основанному на учете частных признаков), категориальному (основанному на объединении объектов одного вида) и функциональному (основанному на одинаковом использовании объектов) способам классификации.
Понятие стиля концептуализации было введено Г. Шродером для описания преимущественного уровня абстрагирования при восприятии и интегративной сложности мышления человека. При конкретной концептуализации информация воспринимается в жесткой пространственно-временной привязке к источнику, встраивается в наглядные, относительно неподвижные схемы, что может вести к ее огрублению или искажению. На противоположном полюсе — при абстрактной концептуализации — информация перерабатывается в соответствии с широкими иерархизированными правилами связывания, включается в более общие понятийные схемы и оказывается в результате этого более доступной для использования.
Понятие тип реагирования было введено Дж. Кагано для описания индивидуальных особенностей интеллектуал: ной деятельности в ситуации принятия решений в условия неопределенности. Об импульсивности речь идет в тех случ; ях, когда человек сразу, не задумываясь, отвечает на внешнг раздражители, легко склоняется в пользу той или иной гит тезы, не учитывая степень ее правдоподобности, когда он де! ствует не размышляя и принимает необдуманные решение Рефлексивность же приписывают людям, которые, преж/ чем действовать, внутренне опробовают гипотезы, отбрасыва те из них, которые им кажутся малоправдоподобными, т. < поступают обдуманно, взвешенно и осторожно. При решени мыслительных задач (особенно в случае сложных задани) импульсивное поведение приводит в среднем к меньшим з; тратам времени и большей частоте ошибок, чем рефлексивна стратегия. Таким образом, вимпульсивность-рефлексивност! выступает в качестве косвенной меры выраженности ориент! ровочной, контрольной и исполнительской фаз в структуре И1 теллектуальной деятельности.
Стиль когнитивная «с ложность-простота» был пре. ложен Дж. Келли для выделения различий в количестве ко) структов (биполярных признаков), которые используют люд для описания и оценки других людей и явлений. Чем больп различных признаков использует человек для описания з; данного предмета, чем сложнее отношения этих признаке между собой и больше связей с другими предметными обла тями, тем большей когнитивной сложностью обладает мыв ление этого человека. Например, при описании погоды оди испытуемый может достаточно полно ее описать «теплая-х< лодная», «ветреная-безветренная», «сухая-дождливая» и т. д другой же испытуемый к этим характеристикам добавит т. кие, как «грустная-веселая», «среднестатистическая-из ря; вон выходящая», «прогнозируемая-неожиданная», «зимня: летняя» и т. д. Тем самым второй привлекает более широки спектр связей с различными понятийными областями дл описания заданного явления, а значит, когнитивная слом ность его мышления выше.
Из существующих определений когнитивного стиля и ош санных выше примеров конкретных стилей М. А. Холодна [9] предлагает выделить несколько общих для них черт:
когнитивный стиль — это процессуальная характерист] ка интеллектуальной деятельности, определяющая способ m лучения того или иного продукта;
когнитивный стиль — это биполярное измерение, описывающее реальность за счет обращения к двум крайним формам познавательного реагирования (например, «абстрактный- конкретный»);
когнитивный стиль — это устойчивая во времени характеристика субъекта, проявляющаяся на разных уровнях познавательного функционирования, т. е. степень выраженности того или иного параметра когнитивного стиля меняется на протяжении онтогенетического развития (например, у всех людей до 17 лет наблюдается возрастание поленезависимос- ти), но остается на удивление постоянной у каждого данного человека в сравнении с остальными людьми его возраста;
к стилевым феноменам неприменимы оценочные суждения, так как представители каждого стиля имеют преимущества в определенных ситуациях.
По мере более тщательного изучения когнитивных стилей и накопления экспериментальных фактов некоторые из этих общих черт ставятся под сомнение. Так, в последнее время появляется все больше данных, подтверждающих наличие связи между когнитивными стилями и продуктивными проявлениями. Например, поленезависимые люди оказываются более успешными в выполнении интеллектуально нагруженных видов деятельности. Они показывают лучшие результаты в тестах на невербальный интеллект Векслера, продуктивную память, креативность и гибкость. При этом полезависимые более эффективно действуют при разрешении конфликтных ситуаций, в межличностном общении и установлении контактов.
Имеются данные о том, что когнитивный стиль оказывает существенное влияние на результаты учебной деятельности. В частности, ряд исследований немецких психологов [3] показал, что при ярко выраженной «полезависимости-поленезави- симости» дети проявляют различные успехи в решении задач, особенно на образном материале. Даже успеваемость поленезависимых учащихся, выраженная средней оценкой, оказывается существенно выше. Аналогично при решении достаточно сложных учебных задач рефлексивные ученики действуют эффективнее, чем их импульсивные одноклассники. Таким образом, в ситуации традиционной школы можно поставить под сомнение отсутствие оценочного контекста при ра- б°те с учениками, имеющими различные когнитивные стили, так как и культурные нормы, и данные исследований указывают на преимущества обладателей одних стилей над другими 8 Учебном процессе.
При этом хочется отметить, что связь успешности учебной деятельности и стилевых параметров не является однозначной. Так, В. А. Колга в своей работе показал, что максималь ная обучаемость и успеваемость наблюдается при соразмер ных параметрах когнитивного стиля, т. е. тогда, когда стил! не является ярко выраженным [5]. Иллюстрируя это на при мере когнитивного стиля <аналитичность-синтетичность», ot показал, что <синтетичность» познавательных процессов спо собствует переносу умения решать сходные задачи, а ♦анали тичность» — решению разнотипных задач. А значит, оба этв умения в совокупности определяют успешность при обученив решению определенного класса задач. Кроме того, показателв успешности учебной деятельности и способ их измерения существенным образом зависят от того, как организован учебный процесс, какие педагогические цели и задачи решаются в нем. Приведенные выше данные были получены в 70— 80-х гг. XX в. в условиях традиционного, ориентированной на получение знаний, умений и навыков обучения. Подобные исследования в инновационных школах практически не про водились.
Взаимосвязи когнитивных стилей
Некоторые ученые связывают проявление у людей того или иного когнитивного стиля с особенностями функциональной ассиметрии их мозга, а часть даже выделяет право-t левополушарность в качестве одной из психофизиологических основ существования когнитивных стилей. Для этого существуют достаточно веские основания.
Главное отличие левого полушария от правого заключается в том, что у подавляющего большинства людей именно I нем расположены речевые центры и переработка информации в левом полушарии происходит с помощью словесно-знако вых систем. Следовательно, можно говорить о разграничении полушарий по типу решаемых задач (речевые, вербальные — пространственные, образные) и по способу обработки поступающей информации. Такое деление условно, так как речь идет не о последовательной работе полушарий, а об их относительной активности при решении той или иной задачи.
♦Левое полушарие специализировано для языковых функций, но эта специализация есть следствие преобладания в левом полушарии аналитических процессов, одним из проявлений которых является речь. Сходным образом, превосходстве правого полушария в выполнении зрительно-пространствен-
ных задач связано с его синтетическим, целостным способом обработки информации» [8, с. 56].
В целом работу полушарий можно охарактеризовать следующим образом:
Левое полушарие
Правое полушарие
Вербальное, знаково-речевое
Невербальное,зрительнопространственное
Рациональное Дискретное (по частям) Абстрактно-логическое Медленное, последовательное
Интуитивное Целостное Наглядно-образное Быстрое, мгновенное
Левополушарные ученики * мыслительного типа» (по И. П. Павлову) успешны в словесности и точных науках, склонны к понятийному мышлению и рефлексии, логичны, обладают хорошей произвольной памятью, ориентированы на постоянный контроль и самоконтроль результатов усвоения материала.
Правополушарные ученики «художественного типа» склонны к синтезу, интуитивному, образному мышлению, обладают пространственным воображением, успешны в музыке и искусстве, предпочитают целостное восприятие, эмоциональны, эмпатичны (часто нацелены на понимание окружающих через сопереживание), ориентированы на свободное обсуждение, совместное подведение итогов, свободный поиск в заданном направлении, установление закономерностей на основе информации, данной в контексте.
Как показывает практика, существенная часть учащихся, не успевающих по математике, являются правополушарными. Для них очень важна работа с ассоциациями: непосредственное восприятие материала через образ-слово и образ-картинку; осознанное «разгадывание» ассоциаций авторов учебника, художника и учителя; создание собственных ассоциаций в изучаемой области.
Опираясь на три важнейших показателя — ведущую руку, ведущий глаз и ведущее ухо при восприятии информации, условно можно выделить несколько типов функциональной ас- симетрии мозга [10, с. 40]:
праворукие с ведущими правым глазом и ухом, как пра- вило, левополушарники («мыслители»);
праворукие с ведущими левым глазом и левым ухом, как I правило, правополушарники («художники»);
праворукие с несовпадающими ведущими глазом и ухом — смешанный тип.
Высокая степень праворукости прямо связана с повышен ной левополушарностью, а низкая — с повышенной активно стью правого полушария. Леворукие (около 10% населения составляют особую группу. Они являются ярко выраженным! правополушарниками с особым характером фyнкциoнaльнoi асимметрии.
Существуют данные о том, что ведущая рука у детей опре деляется где-то к 4 годам, а в развитии детей до 9—10 лет ве дущей деятельностью является правополушарная.
Из характеристик работы полушарий видно, что они час тично совпадают особенностями познавательных процессов свойственных людям с некоторыми когнитивными стилями такими, как («полезависимость-поленезависимость»), понятий ная дифференцированность («специфичность-глобальность») и особенно « ан ал итичн ость-синтетичность». Доказано, что боль шинство левополушарных людей являются аудналами, а сред] правополушарных преобладают визу алы и кинестетики.
Когнитивные стили взаимосвязаны. Поленезависимые уча щиеся склонны избирать целостную стратегию при выработ ке абстрактных понятий, т. е. сразу принимать во внимани и последовательно проверять значения всех признаков стиму лов. Поленезависимые, наоборот, чаще избирают парциальнув стратегию, игнорируя малозаметные свойства стимуляции [10]
В процессе исследований было выделено достаточно боль шое количество когнитивных стилей, параметры который могут быть взаимосвязаны. По этому поводу существует ДВ' противоположные точки зрения. Часть ученых на основе экс периментальных данных считает когнитивные стили само стоятельными и независимыми когнитивными проявления ми. Другие говорят о существовании взаимообусловленносп отдельных стилевых параметров. Так, по мнению Бетти Л; Ливер, стилевые учебные предпочтения часто пересекаютс: [1]. Учащиеся с доминированием правого полушария чащ всего одновременно являются и учащимися аудиального типа полезависимыми, а также склонны к синтезу, индукции и ус реднению. Левополушарные учащиеся обычно относятся к ви зуальному типу, ориентированы на дедукцию, анализ, заост рение различий между объектами. В исследовании В. А. Кол ги было доказано, что аналитичность-синтетичность познава тельной деятельности является общим знаменателем для мне гих когнитивных стилей, так как отражает величину масшта
ба измерительно-оценочных шкал, которые использует чело- рек, и особенности принятия решений [5].
Несмотря на то, что фактов в поддержку второй точки зрения накоплено существенно больше, нельзя отвергать первую точку зрения, так как концепция когнитивных стилей является по своей сути эмпирической. Поэтому для однозначного ответа на вопрос о взаимосвязи стилевых проявлений необходимо с теоретических позиций раскрыть механизмы порождения когнитивных стилей.
Диагностика когнитивных стилей
Недостатки традиционной психодиагностики умственного развития (1Q) хорошо известны. Она мало что может сказать об индивидуальных когнитивных механизмах, которые стоят за тем или иным количественным результатом. Соответственно результаты психометрических тестов практически ничего не могут сообщить учителю о предпочитаемых познавательных стратегиях отдельных учащихся, а именно эти данные очень важны для выбора индивидуальных технологий обучения.
На сегодняшний день существует достаточно много способов диагностики когнитивных стилей. Это связано, прежде всего, с тем, что многие из стилей получены эмпирически, в экспериментах на восприятие. К числу таких методик диагностики можно отнести следующие:
Стиль
Доступные методы диагностики
Источники
Дифференцированность поля
Тест «Включенных фигур»
—
Понятийная Дифференцированность
Тест сортировки объектов по Р. Гарднеру
Шкуратова И. П.
Когнитивный стиль и общение. — Ростов н/Д, 1994
Тип реагировали (импульсивность-рефлексивность) —
Тест сравнения сходных фигур Кагана
—
Когнитивная сложность-просто- та
Решетки Келли
Франселло Банистр. Новый метод исследования личности. — М., 1987
Окончание та
Стиль
Доступные методы диагностики
Источники
Право-, левополушарность
Тест Павлова (художественно-мыслительный тип) Психофизиологические пробы
СиротюкА. Л. С чение детей с уче- психофизиологии. М„ 2000
Ведущий канал восприятия информации
Аналитический обзор стиля обучения (АОСО) Р. Оксфорда Тесты на запоминание слов (зрительно, со слуха, моторно)
СиротюкА. Л. С чение детей с уче психофизиологии. М., 2000
В ходе лекции было доказано, что существует связь мея когнитивными стилями и особенностями функциональной симметрии мозга. Поэтому достаточно точно можно диагн тировать часть стилей, пользуясь методиками диагноста степени выраженности право-, левополушарности.
Существуют также комплексные методики, которые noi мо параметров когнитивного стиля выявляют также особ ности общения и деятельности человека (например, экст верт-интроверт, жестко регламентированный — нереглам тированный подход к работе и т. д.). Одной из наибо известных методик этого вида является тест MBTI (Меу Briggs Type Indicator).
Такое разнообразие методов диагностики порождает у у теля соблазн воспользоваться данным инструментарием, выяснить про стили своих учеников и использовать получ ную информацию для дальнейшей работы. Однако методи как правило, диагностируют только один из стилей. Учениз с одним ярко выраженным стилем немного. Только от 10 20% обследованных обладают ярко выраженными стилевк особенностями.
Одним из наиболее эффективных методов исследоваь когнитивных стилей является наблюдение, в котором осн ной упор делается на анализ затруднений и ошибок ученик включая в число возможных причин неудач особенности е приятия и переработки информации, т. е. особенности ког тивного стиля.
После проведения диагностики учитель получает инф мацию о стилевых особенностях своих учеников, а возмож и о своем стиле восприятия и переработки информации. Пе
ним стоит проблема выработки дальнейшей стратегии своих действий.
Некоторые учителя воспринимают собственные индивидуальные особенности и особенности своих учеников как определенные ограничения возможностей. Если у ученика ярко выражен какой-либо стиль, то необходимо вести с ним индивидуальную работу, подбирать соответствующие задачи и т. д. При этом идеальным стало бы сочетание в классе небольшого количества когнитивных стилей, тогда легче подобрать нужные задачи и организовать работу. На практике это встречается редко. Поэтому возникает, по сути, новый вариант селекции «по когнитивному стилю», который немногим отличается от привычного деления класса на «сильных и слабых» или «математиков и гуманитариев».
Учет когнитивного стиля в обучении ни в коем случае не должен сводиться к обучению в предпочитаемом учеником стиле, так как в этом случае для ученика закрывается возможность развития, расширения репертуара способов действия, он попадает в «плен своих индивидуальных особенностей». Учитывая когнитивный стиль, педагог должен рассматривать его как фундамент, стартовую площадку для индивидуального, личностного развития ученика, которую нельзя игнорировать, но надо расширять и наращивать.
В связи с этим становится актуальным вопрос о возможности овладения человеком когнитивным стилем, который ему несвойствен. В 1976 г. Г. Виткин выдвинул концепцию «мобильности», согласно которой индивиды, развивающиеся в рамках одного стиля, могут вырабатывать некоторые качества, присущие людям с другим стилем. Например, поленезависимые при соответствующей работе с ними становятся более чувствительными к другим людям. Для полезависимого человека может стать возможным приобретение поленезависимой ориентации. При этом существуют личности, у которых базовая форма стилевого поведения может быть более мобильной, чем у других. Способные переходить от элементов одного стиля к другому имеют реальные преимущества перед другими субъектами. Поэтому достижение мобильности должно быть одной из целей развивающего обучения.
Когнитивные стили в процессе обучения
Исследования когнитивных стилей в процессе обучения вскрывают некоторые способы поведения учителей и Учащихся, часто не затрагивая вопроса о влиянии данных ха-
рактеристик на успешность учебно-воспитательного процесс на достижение целей обучения.
Так, например, известно, что полезависимые преподава' ли предпочитают ситуации, где необходимо взаимодейств с учениками. При этом их стратегия преподавания строит на дискуссиях, методе «открытий» и других активных фс мах. Хотя М. К. Стоун отмечает, что при всей склонности общению полезависимые учителя часто следуют жестким к струкциям и их обучение строится по типу « вопрос-отвеп Поленезависимые преподаватели заинтересованы в ситуаг ях, не связанных с межличностными контактами, и склон] больше подчеркивать познавательные аспекты обучения.
Полезависимые учащиеся оказываются более компете! ными в изучении и запоминании материала, имеющего сог альную направленность, они более чувствительны к крип ческим замечаниям, чем поленезависимые (особенно к ] гативным подкреплениям). Поленезависимость проявляете! большей автономии, активности в целом, самомотивирове ности в учении. У поленезависимых учеников легче происз дит обобщение и перенос навыков из одной ситуации в другу
Кроме того, схожесть по когнитивному стилю учителя учащегося, очевидно, ведет к взаимопониманию, к более Л1 кой коммуникации, к бесконфликтности во взаимодействг Но это вовсе не означает, что ученики больше получают 31 ний или успешнее развивают свои способности в общении с - бе подобными по стилю преподавателями.
В последнее время появилось достаточно много работ, в ко рых основной акцент делается на учете психофизиологическ особенностей детей в процессе обучения в начальной шке (В. Д. Еремеева, Т. П. Хризман, А. Л. Сиротюк, Е. П. Ильи В них авторы уделяют внимание проблемам обучения чтен1 и письму правополушарных школьников.
Более комплексные подходы к учету когнитивного сти в обучении представлены в работах Г. А. Берулавы и Бетти . Ливер, в которых сделана попытка представить комплекс ? тодических рекомендаций по организации работы на урс с учетом когнитивных стилей. Они позволили бы не толь помочь ученику с любым стилем полностью освоить материг но и развить его возможности.
Г. А. Берулава в своих исследованиях исходила из не< ходимости поиска неких интегративных стилей, которые отражали особенности не отдельных психических процесс< а особенности понимания материала учеником в целом. Be учитель сталкивается на уроке с целостным познавательш поведением учащегося, а не отдельно с его восприятием, bi
манием, мышлением и т. д. Исходя из этого, Г. А. Берулава выделила интегральный когнитивный стиль «дифференци- альность-интегральность», который связан с индивидуальными особенностями понимания.
В основе этого стиля лежит понятие «образа мира» как совокупности всего многообразия знаний, представлений, чувственных образов, сложившихся у ученика. Оно характеризует особенности индивидуального смыслового поля, с помощью которого человек отражает окружающий мир, и выступает в качестве ориентировочной основы его поведения. Действительно, то, каким образом два разных ученика опишут одно и то же событие, может выявить некоторые различия между ними. Окружающие могут увидеть в описаниях не только правильные или искаженные факты, но и то, на что обратил внимание каждый из учеников, какие эмоции и ассоциации вызвала у них ситуация, какие действия они предприняли. Именно эти особенности и составляют суть стиля индивидуальности, по которому человек узнаваем независимо от вида
деятельности.
Например, посмотрев на один и тот же рисунок (рис. 6), ребенок 5—6 лет может сказать, что на нем изображен вигвам индейцев или колпак клоуна; один из учеников 7 класса может назвать тот же рисунок конусом, другой — сектором окружности, третий увидит четыре отрезка с одним общим концом и дугу окружности. В соответствии со своим пониманием ситуации каждый из них сможет предложить свой набор возможных действий с нарисованным объектом.
Когнитивный стиль «дифференциальность-интегральность» представлен тремя параметрами:
обобщенность «образа мира», т. е. высокая-низкая степень понятийного обобщения (теоретичность);
эмоциональная насыщенность «образа мира» (эмоциональность);
активность «образа мира», т. е. способность воспринимать окружающее в динамике (действенность).
При этом на полюсе «интегральность» уче
ник воспринимает ситуацию целостно, какА
единый образ, единое понятие или действие. /7\\ На полюсе « дифференциальность» ситуация / / \ \ воспринимается расчлененно, фрагментар- / / \ \ но, конкретно. Таким образом, предлагается // \ \
выделить шесть типов стилей: интегральНо-теоретический, интегрально-эмоциональ
ный, интегрально-деятельностный, дифферен- Рис. 6
ционально-теоретический, дифференционально-эмоциона^ ный и дифференционально-деятельностный, причем не ис лючается наличие смешанных подтипов.
Для каждого из шести типов когнитивного стиля Г. А. £ рулава дает рекомендации по разработке содержания и Mei дов обучения.
Во-первых, для учеников с интегральными стилями э фективна опора на технологии обучения, построенные принципу восхождения от абстрактного к конкретному, от с щего к частному. Для учеников же дифференциальных ст лей обучение должно строиться, наоборот, от частного к оби му.
Во-вторых, для учеников с теоретическими стилями oбy^ ние должно быть направлено на обобщенное, логико-формал зованное освоение материала либо на основе его целостно познания, либо на основе ступенчатого, последовательного г знания. Для учеников с деятельностными стилями необхол мо строить обучение с опорой на собственную познавательна активность с использованием дискуссий, работы в парах и т. Для учеников же с эмоциональными стилями необходи эмоционально насыщенная форма подачи материала, прив; чение образных моделей, сюжетных задач, которые активис руют оперирование чувственными представлениями.
В-третьих, для каждого из стилей можно выделить учебные предметы, в которых будут наиболее успешны учег ки с данным стилем. Например, ученики с дифференциал но-деятельностным стилем наиболее продуктивны при изу1 нии биологии, географии, истории; дифференциально-эмог овальным стилем — в изучении литературы и дисципл художественного цикла; с интегрально-теоретическим стилем в изучении дисциплин физико-математического цикла и г тегративных учебных дисциплин на стыке наук.
В работе Бетти Л у Ливер [1] представлен другой подхо; обучению, в котором учитывается как когнитивный сти учеников, так и когнитивный стиль педагога. В этом подхс выделяются учащиеся с когнитивными стилями «группы у ска», сформулированы базовые принципы обучения дет с разными стилями и, наконец, предлагаются примеры кот ретных заданий, которые активизируют познавательную ; ятельность учеников с разными стилями обучения.
По мнению Б. Лу Ливер, в классах есть три группы у1 щихся, которые входят в «группу риска».
Во-первых, это учащиеся с незападным подходом к прш ретению новой информации, т. е. те, кто не ориентирован
западную логику, порядок, технологичность, структурированность. В эту группу входят ученики с доминирующим правым полушарием, полезависимые, синтетики, склонные к конкретике, с нелинейным мышлением, отчасти кинестетики и рефлексивные.
Во-вторых, это учащиеся, чей стиль обучения не соответствует стилю преподавания учителя (особенно если учитель не обладает гибкостью и не знает о существовании различных учебных стилей).
В-третьих, это учащиеся, стиль которых не совпадает с усредненным стилем класса. Часто учителя интуитивно или осознанно подстраиваются к учебному стилю большинства в классе. Как только это происходит, учащиеся, не соответствующие «среднему» стилю, оказываются в группе риска. Чаще всего такие ситуации складываются в классах, где представлены в неравных количествах ученики — представители разных культур или где ярко выражены аудиальный (визуальный) или синтетический (аналитический) учебные стили большинства.
Основная развивающая задача обучения с учетом когнитивных стилей заключается в изменении профиля и уровня стилевых проявлений учеников. Решая ее, учитель должен не только создавать комфортную, бесконфликтную учебную среду для учеников «группы риска», но и развивать их возможности, расширять репертуар способов освоения информации, улучшать их адаптацию в противоречивом окружающем мире, а не только в ситуации обучения.
Для достижения развивающих целей обучения автор предлагает использовать методику, в которой объяснение нового и контроль знаний учащихся должны проводиться в предпочитаемом ребенком учебном стиле, а закрепление материала — в стилях, не свойственных данному ребенку.
Необходимыми шагами на пути реализации описанной выше методики на уроках являются:
определение стилей обучения каждого ученика и усредненного стиля класса;
определение стиля преподавания учителя;
определение стилевой ориентации учебных материалов (учебников, раздаточных материалов, задачников и т. д.);
выявление учащихся «группы риска» и зон стилевых конфликтов (учитель — ученик; ученик — учебный материал; Ученик — класс);
создание методов включения учащихся «группы риска» в Учебный процесс.
Среди методов, способствующих полноценному участию Учащихся «группы риска» в учебном процессе, Бетти Л у Ли-
вер выделяет, прежде всего, расширение спектра учебных : даний и создание возможности их выбора, как для отдельн] учеников, так и для малых групп учащихся с однородны: или близкими стилями.
Среди видов учебных заданий, собранных в нижепри: денной таблице, можно выделить те, которые представле! лишь в части учебников и не являются типичными на урок математики.
Это, прежде всего, задачи с «открытыми» вопросами, i правленные на интегрирование собственных понятий и об} зов (например: «Дан набор математических понятий. Испо; зуя их, составьте максимально возможное число верных ] верждений»); задачи, где присутствует контекст и реальн жизненные события и факты; задачи, требующие практик ских действий и оперирования реальными моделями; зщ чи-догадки и дискуссионные задания и т. д. Кроме того, ст новится очевидным, что для стиля обучения значение им( не только сама формулировка задачи, но и способ, которым предлагается решать, а этот способ зачастую жестко фикси! ется учителем (задается форма записи, предлагается ал1 ритм, ограничивается общение с другими учениками и т. д.
Можно предложить в связи с этим решение одной из зад по теме «Площадь прямоугольника».
Н ПРИМЕР
Можно ли завернуть коробку шириной 5 см, высотой 3 см и длиь 7 см в прямоугольный кусок бумаги площадью 105 квадратных сантим ров?
С точки зрения программы на примере этой задачи учеь ки должны отработать использование формулы площади nj моугольника, а значит, должны подсчитать площадь пове{ ности коробки по формуле и сравнить ее с площадью лис бумаги. Такой способ работы с задачей характерен для у1 щихся с линейным типом мышления, левополушарных, noj независимых, аналитиков. Если бы при этом в задаче вмес конкретных цифр были заданы параметры (а, б, с, а*б*с*), она смогла бы заинтересовать и учеников с абстрактным i пом мышления. Очевидно, что при таком способе решения ; дачи многие ученики класса, прежде всего с незападны] учебными стилями, окажутся в трудной ситуации.
Для них можно предложить другой способ работы — ра( ту с моделями. В качестве моделей здесь можно использовя коробку с заданными размерами и листы бумаги заданн
Сводная характеристика когнитивных стилей и типы учебных заданий (по Бетти Лу Ливер)
StH
Стиль
Определение
Типичные черты
СП
Доминирование полушарий (ле- вое-правое)
Доминирование полушария обозначает систему предпочтений в отношении специфических каналов поступления информации и специфических интересов
Для левополушарных: ученики «мыслительного типа» (по И. П. Павлову), успешны в словесности и точных науках, склонны к понятийному мышлению и рефлексии, логичны, обладают хорошей произвольной памятью
Для правополушарных: ученики «художественного типа», склонны к синтезу, интуитивному, образному мышлению, обладают пространственным воображением, успешны в музыке и искусстве, предпочитают целостное восприятие, эмоциональны, эмпатичны (т. е. часто нацелены на понимание окружающих через сопереживание)
Предпочитаемые видызаданий и контроля
Для левополушарных: контроль и самоконтроль результатов объяснения
Для правополушарных: свободное обсуждение, совместное подведение итогов, скучают и путаются при дидактическом введении правил, важна работа с ассоциациями, непосредственное восприятие материала через образ-слово и образ-картинку; осознанное «разгадывание» ассоциаций авторов учебника, художника и учителя; создание собственных ассоциаций в изучаемой области
Полезависи- мость (поленезави симость)
Типы отражают степень дифференцированности поля восприятия (умение при восприятии предмета выделить фигуру и фон). Она влияет на вид Я-кон- цепции,характер
Контекст-зависимые: неспособные отделить необходимую информацию от «фоновой», зависимые от ситуации, нерас- членные представления о себе и мире, успешны в общении
Контекст-зависимые: сочинения на свободную тему, мозговые штурмы, математические задания в словах/картинках с контекстом, некоторые упражнения с использованием индукции, текстовые, прикладные задачи
Продолжение
Стиль
Определение
Типичные черты
Предпочитаемые виды заданий и контроля
взаимодействия с другими людьми
Контекст-независимые: легко отделяют существенную информацию от второстепенной, не зависят от внешних референтов, ситуации, дифференцированные представления о себе и мире
Контекст-независимые: вопросы с выбором ответа, задания на заполнение пустых мест, заучивание через повторение, математические вычисления вне контекста, составление словаря терминов, не любят выводить правила
Усилители-ус- о реднители о
Типы отражают узость- широту зоны эквивалентности понятий, влияют на особенности построения классификации информации
Усилители: нацелены на нахождение различий между объектами
Усреднители: нацелены на нахождение сходства между объектами
Усилители: контраст нахождение мелких и крупных различий, классификация
Усреднители: сравнение, выявление типов, упражнения на беглость чтения, топологические задачи
Преобладание дедуктивного (индуктивного) мышления
Дедуктивное мышление — порядок рассуждения от общего к частному
Индуктивное мышление — порядок рассуждения от частного к общему
Дедуктивный тип: объяснения, правила, все исключения надо логически обосновать
Индуктивный тип: самостоятельный вывод правил исключения, задания с использованием неизвестного языка, не терпят отсутствия возможности что-то
^Аналитики-син
тетики
Типы отражают способ оперирования информацией для понимания ее смысла
Аналитики: анализируют, разбивают целое на части
Синтетики: интегрируют, строят целое из частей
Аналитики: тесты множественного выбора, считывание информации из учебника, концентрация на деталях, работа в одиночку, вычисления, доказательство теорем
Синтетики: чтение без словаря на иностранном языке, аутентичная информация (газеты, журналы, TV программы), концентрация на общем содержании, формулирование теорем, поиск взаимосвязей, тесты с -открытыми* вопросами
О)Преобладание
абстрактного (конкретного) типа мышления
Типы определяются уровнем концептуализации преимущественным уровнем абстрагирования при восприятии предметов
Абстрактные: мыслят на уровне концепций, источник включается в общую понятийную систему, которая достаточно подвижна
Конкретные: склонные к тому, «что можно пощупать», прагматичны, жесткая пространственно-временная привязка к источнику, тяга к составлению набора жестких схем
Абстрактный тип: лекции, письменные упражнения
Конкретный тип: учебные экскурсии, упражнения «на пальцах», моделирование в реальности абстрактных конструкций
Преобладание линейного (нелиней- ного-дивергентного) мышления
Типы отражают степень необходимости строгого порядка поступления информации для овладения и оперирования ею
Линейный тип: склонность к порядку, определенная педантичность, нужна строгая последовательность и внешняя организация действий
Линейный тип: точно заданная последовательность действий, работа по алгоритму
Стиль
Определение
Типичные черты
Предпочитаемые виды заданий и контроля
Нелинейный тип: склонность к свободе, широким границам деятельности
Нелинейный тип: неструктурированная деятельность, свободный поиск в заданном направлении
Импульсивный рефлексивный тип
Типы определяются характером реагирования в ситуации решения задач
Импульсивный тип: учится методом проб и ошибок, отличается быстротой реакции, не раздумывает над ответом
Рефлексивный тип: требует времени на усвоение и обработку информации, начинает действовать, внутренне опробовав гипотезы, взвешенно-осторожно
Импульсивный тип: задания на время, математические марафоны
Рефлексивный тип: долгосрочные проекты, домашние контрольные, письменные ответы
Визуалы, ауди- алы, кинестетики
Типы определяются по ведущему каналу восприятия информации
Подробно изучаются в нейролингвистическом программировании (НЛП)
Визуальные: учатся посредством зрительного восприятия информации, мыслят «слайдами», легко переходят от темы к теме
Аудиальные: учатся посредством восприятия информации на слух, важны хорошо звучащие формулировки, логика в рассуждениях, застревают на деталях
Кинестетические: учатся на собственном деятельностном опыте, для них мыслить — значит двигаться, сильная инту-
Визуалы: работа с бумагой и ручкой, работа на основе рисунков, письменные задания, трудности с устным счетом, важны схемы, таблицы, графики
Аудиалы: работа в парах, взаимодействие, ролевые игры, устные задания
Кинестетики: активные перемещения, работа с моделями и реальными предметами, жестикуляция, групповое взаимодействие, шумовые эффекты, демонстрации, ролевые игры
Окончание
О) оо
площади и разной формы. При первой же попытке решить задачу практически у учеников возникнет вопрос: «Что значит ♦завернуть коробку»?» Это тот вопрос, который мог бы даже и не возникнуть при первом способе работы, но который очень важен для понимания жизненных реалий, а значит, важен для детей, ориентированных на целостно-контекстное восприятие окружающего мира (правополушарных, синтетиков, полезависимых, конкретиков). В зависимости от ответа на этот вопрос возникают различные варианты решения задачи, а это одна из предпосылок активного включения в работу учащихся с нелинейным типом мышления.
Можно привести еще один пример, описанный В. Д. Еремеевой и Т. П. Хризман [2]. Детям предлагается задача, в которой необходимо доказать равенство треугольников. Право- полушарники решают ее чисто пространственным методом: мысленно поворачивают рисунок одного из треугольников в пространстве и накладывают его на другой, а потом уже переводят решение в речевой план и доказывают равенство, действуя методом «от противного» («если бы они не были равны, то...»). Таким образом, пространственную задачу они решают пространственным методом — наложением.
Левополушарники решают пространственную задачу речевым, знаковым методом. Они обозначают все углы и стороны буквами и, не обращая внимания на чертеж, действуют только с этими буквенными обозначениями (если угол АВС равен углу BCD, а сторона ВС общая и т. д.). Запись решения в тетради и у тех, и у других может выглядеть одинаково, а стратегия решения при этом совершенно разная. Если же ребенок решает задачу у доски, то часто получает двойку лишь за то, что у учительницы с левополушарным мышлением не хватает терпения дослушать ход мыслей ребенка до конца и она навязывает ему свою стратегию решения.
В связи с этим идеальной представляется ситуация, в которой ученик осознавал бы свои познавательные особенности, свой стиль и научился переформулировать для себя задачу, поставленную учителем в своем стиле. Тогда основное внимание учитель должен уделять переформулированию задач, переводу с языка на язык и освоению этих умений учениками.
Подход Бетти Лу Ливер несомненно можно назвать более комплексным по сравнению с подходом Г. А. Берулавы. Но Детальная разработка при этом ложится на методистов и преподавателей конкретных дисциплин. Ведь в классе, как минимум, 25 детей и соответствующее многообразие когнитивных стилей, которые нужно учитывать на уроке. Возможно ли
это? Отчасти это опасение можно снять, если напомнить том, что ярко выраженные стилевые особенности, как прав ло, имеет не более пятой части обследованных, а когнитивш стили взаимосвязаны.
Анализ данных психологов о различиях восприятия и □ реработки информации людьми с разными познавательны» стилями и наблюдения методистов подводят к выводу о toi что наиболее ярко проявляются в процессе обучения следующ] когнитивные стили: «поленезависимость-полезависимость ♦ рефлективность-импульсивность», а также функционал ная асимметрия головного мозга и стили кодирования (виз альный-аудиальный-кинестетический тип восприятия).
Значит, количество разноплановых заданий может бы невелико и даваться целенаправленно, определенным уч щимся.
На подготовительном и основном этапах обучения учител важно создать целостное представление об изучаемой дидаз тической единице (теме или теоретическом факте) при помош схем и рисунков. Например, при изучении темы «Треугольнз ки» в 7 классе учащиеся впервые сталкиваются с задачами к построение. Это новый для них тип задач. В учебниках прив! дены примеры решения простейших задач на построение. В при этом авторы отвечают на вопрос: «Как строить?», в то вр< мя как школьникам важно понять: ♦ Почему именно так на^ строить?»
Следует учитывать, что основной этап для правополуша! ных учеников начинается раньше, чем у левополушарнико) Схематично эту ситуацию можно изобразить следующим о( разом:
Левополушарники
Правололушарники
Подготовительный этап
Подготовительный этап
Этап первичного закрепления
Подготовительный этап
Основной этап
Этап первичного закрепление
При введении нового понятия, теоремы или свойства нео€ ходимо использовать многосенсорные техники для оптималь ного усвоения материала учениками с разными ведущими мс дальностями.
Выбор <рабочего поля» — участка доски, с которого уче ник «считывает» информацию, также зависит от когнитивно го стиля. Для «правополушарников» основным рабочим полег является левая часть доски, а для «левополушарников» —
павое. В связи с этой особенностью, при введении нового ма- тепиала используется следующий прием: схематичную формулировку определения (свойства, теоремы) лучше изображать на левой половине доски, а алгоритмическое определение — на правой. Но на этапе закрепления при воспроизведении изучаемой теоремы или свойства формулировку, рассчитанную на «правополушарников», записать справа, а формулировку для «левополушарников» привести слева (например, при опросе учеников у доски). Такая смена расположения (предпочитаемой формулировки) способствует развитию стилевой гибкости. Это замечание относится и к оформлению на доске разных решений одной задачи (например, аналитическое решение и графическое).
На этапе закрепления учителю при организации работы с учебным материалом, рассчитанным на разные познавательные стили, целесообразно предлагать учащимся разностилевые задачи. Для этого целесообразно организовать задания в блоки, которые называются блоками стратегий. В каждый блок включаются задания с одинаковой математической сутью, позволяющие работать с разными стратегиями, например аналитической и графической.
Рассмотрим примеры таких блоков стратегий на матери-
але темы «Функция».
Н ПРИМЕРЫ
УУ4,5 :4,5 :Рис. 7Рис. 7*—к—’—% 3 х*—к—’—% 3 хНайдите коэффициент о в уравнении параболы у = ох2, зная, что она проходит через точку А (2; 20), В (-3; 27). (Для аналитиков.)
У
У
4,5 :
4,5 :
Рис. 7
Рис. 7
*—к—’—% 3 х
*—к—’—% 3 х
Напишите уравнение параболы у = ох2, график которой изображен на рис. 7. Щля синтетиков.)
Нарисуйте схематично на одной координатной плоскости графики следующих функций и подпишите их:
4) На рисунке схематично изображены графики функций и их аналитические описания (формулы) (предлагается рисунок с пронумерован-4) На рисунке схематично изображены графики функций и их аналитические описания (формулы) (предлагается рисунок с пронумерован-у = Зх2; у = 0,5х2; у = -0,5х2; у = -Зх2. (Для аналитиков. )
4) На рисунке схематично изображены графики функций и их аналитические описания (формулы) (предлагается рисунок с пронумерован-
4) На рисунке схематично изображены графики функций и их аналитические описания (формулы) (предлагается рисунок с пронумерован-
ными графиками различных функций, а также аналитические записи конкретных представителей квадратичной функции). Сопоставьте график квадратичной функции с ее аналитическим заданием, запишите номер графика функции на рисунке и соответствующую формулу. Для синтетиков. )
При организации учебной деятельности важно помнить, ч-го рефлексивные ученики зачастую не справляются с самостоятельными работами из-за слишком большого для них ко
личества заданий. Поэтому таким ученикам желательно ма симально уменьшить работу, приготовив заранее карточ! с готовыми чертежами, графиками функций и т. п. Не следу ограничивать учеников в выборе способа решения задач.
Работа по индивидуализации процесса обучения включа и работу над собой: ограничение собственного когнитивно стиля, требующее осознания и самоизменения, учет совпал ния или несовпадения стилей при опросе и оценивании уч щихся. Конечно, учитель сталкивается и с такими внешни» ограничениями, как жесткие временные рамки учебной пр граммы, стандартизация процедур контроля знаний, маль выбор учебников и т. д. Они могут быть преодолены толы с изменением всей системы обучения.
^Ключевая информация
Когнитивный стиль определяет особенности позн нательных процессов (в первую очередь восприятия и мышл ния), которые характеризуют отдельных индивидов и усто чиво проявляются в различных ситуациях при решении ра ных задач.
Определяются несколько правил обучения: обучение в пре почитаемом стиле; закрепление в наиболее трудном стил контроль в предпочитаемом стиле. В процессе обучения уд ляется большое внимание детям из следующих групп риска:
учащимся с незападным подходом к приобретению и формации (правополушарные, синтетики, контекст-завис мые, нелинейные, усреднители, конкретики);
учащимся, чей стиль обучения не соответствует стил преподавания учителя (ситуация конфликта стилей);
учащимся, стиль которых не совпадает с усредненны стилем класса.
<
Рекомендуемая литература
Бетти Л у Ливер. Обучение всего класса. — М.: Новая школ 1995.
Еремеева В. Д., Хризман Т. П. Мальчики и девочки — д разных мира. — СПб: Тускарора, 1998.
Клаус Г. Введение в дифференциальную психологию учения. М.: Педагогика, 1987.
Когнитивные стили: Тезисы научно-практического семина / Под ред. В. А. Колги. — Таллин, 1986.
Колга В. А Дифференциально-психологическое исследование когнитивного стиля и обучаемости: Дис. канд. психол. наук. — Л.: ЛГУ, 1976.
Психологические исследования стилей индивидуальности / Под ред. Г. А. Берулавы. — Сочи: НОУ РАО, 1997.
Соловьев А. В. Исследование познавательных стилей в американской психологии // Зарубежные исследования по психологии познания. — М., 1977.
Спрингер С., Дейч Г. Левый мозг, правый мозг. — М.: Мир, 1983.
Холодная М. А. Когнитивные стили как проявление своеобразия индивидуального интеллекта. — Киев: КРУ, 1990.
Чуприкова Н. И. Психология умственного развития: принцип дифференциации. — М.: АО «Столетие», 1997.
Шкуратова И. П. Когнитивный стиль и общение. — Ростов н/Д: Изд-во Ростов, пед. ун-та, 1994.
Лекция 5
Ученик как субъект учебной деятельности. Возрастные и половые особенности школьников
Если педагогика хочет воспитывать человека во всех отношениях, то она должна узнать его во всех отношениях.
К. Д. Ушинский
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Составьте список характеристик двух групп учащихся: мальчиков и девочек (отдельно). Сравните свой список со списком соседа. Чем объясняются получившиеся сходства и различия?
Вспомните, какие возрастные категории относятся согласно психологической периодизации к подростковому и юношескому возрастам.
Ниже приведены пять утверждений. Какие из них вы считаете верными? Почему?
Юноши склонны преувеличивать уровень своих знаний и переоценивать свои умственные возможности.
К подросткам в большей степени, чем к юношам, нужен индивидуальный подход в обучении и воспитании.
Повышенная эмоциональная возбудимость и эмоциональная напряженность — характерные черты подросткового возраста.
Жалобы на недостаточно развитые волевые качества (i неустойчивость, подверженность влияниям и т. п.) — х рактерная черта юношеской самооценки.
Подростки ценят в педагоге его ♦ человеческие качестве (сердечность, способность к сопереживанию и т. п.) выш> чем его профессиональную компетентность.
Возрастные особенности школьников
Выделяются несколько закономерностей развити учебной деятельности, связанных с возрастными особенност! ми учащихся [5].
Во-первых, чем младше ребенок, тем в большей мере о учится только на опыте собственных действий, с возрастом дс ля обучения путем рассказа и объяснения постепенно увел$ чивается.
Во-вторых, если первоначально дети склонны к некритич ному воспроизведению образцов, то позднее начинают избира тельно и критически-оценивающе относиться к учебному ма териалу.
В-третьих, господствующие в дошкольном возрасте игре вые формы учения постепенно сменяет сознательная и целе направленная учебная деятельность.
В-четвертых, возрастающая способность самостоятельна регулировать и направлять свои действия приводит к осознан ному предпочтению тех или иных учебных предметов, в ре зультате одни знания усваиваются более активно, другие иг норируются.
В-пятых, с возрастом усиливается понятийная упорядо ченность знаний и интеллектуальная способность. Благодаря этому совершенствуются когнитивные предпосылки учебной деятельности, т. е. когнитивные операции и стратегии уче ния, решения задач, преодоления трудностей, способов действия, доказавшие свою пригодность в определенных ситуациях, все более эффективно переносятся на аналогичные ситуации.
В-шестых, с возрастом потенциально усиливается и настойчивость в учении. Это значит, что старшие дети способны к более длительным занятиям учебой, чем младшие. Но насколько эта способность реализуется, во многом зависит от установок, планов и интересов детей.
Не возникает сомнений в том, что между игрой, в которой в основном происходит обучение дошкольника, и лекцией в университете есть огромная разница, в основе которой лежат
возрастные различия субъектов учения. Но при этом из перечисленных выше особенностей видно, что возраст как таковой (количество лет, прожитых человеком) играет меньшую роль, чем уровень развития личности, достигнутый за прожитый промежуток времени. Существенную роль здесь играют как индивидуальные особенности рассматриваемых учащихся, так и условия, в которых происходит их социализация.
Каждый возраст характеризуется следующими тремя показателями [12, с. 42]:
определенной социальной ситуацией развития или той конкретной формой отношений, в которую вступает ребенок со взрослым в данный период;
основным (ведущим) типом деятельности (существуют несколько типов деятельности, которые характеризуют определенные периоды психического развития);
основными психическими новообразованиями (в каждом периоде они существуют от отдельных психических процессов до свойств личности).
Младший подростковый возраст (11—14(15) лет) характеризуется тем, что дети оказываются в новой для них ситуации развития, связанной с переходом из начальной школы в среднюю. Эта ситуация является, несомненно, стрессовой. Ученики попадают из условий, где каждый класс имеет свой кабинет, практически все занятия ведет один учитель, который пытается строить с классом предельно теплые и интенсивные отношения, в условия обезличенной школы, где на каждом уроке меняется кабинет и приходит новый учитель, который не в состоянии строить близкие отношения с каждым учащимся. В психологическом плане этот переход зачастую связан с падением самооценки у школьников, ростом депрессивных состояний, увеличением дисциплинарных проблем, усилением негативного отношения к школе.
Ведущей деятельностью для младших подростков является интимно-личностное общение со сверстниками. Среди наиболее значимых потребностей учащихся данного возраста можно выделить: потребность в достойном положении в коллективе сверстников; стремление избежать изоляции, как в классе, так и в малом коллективе; повышенный интерес к вопросу о ♦соотношении сил» в классе; стремление обзавестись верным Другом [7]. Именно через активное общение со сверстниками, ролевое экспериментирование, отстаивание собственной самостоятельности во взаимодействии со взрослыми, получение более широкого социального опыта подростки формируют и
развивают свое самосознание. При этом развитие самосозн£ ния связано с достигнутым ими уровнем рефлексии.
В связи с ведущей ролью общения со сверстниками учеЕ ^ХТеЛЬН°СТЬ’ Х°ТЯ °На И занимает большую часть време и подростков, отходит по значимости на второй план Дл' подростков она становится важной, прежде всего, как средст ™Х?УТВе₽ЖДе"ИЯ В коллек™ве сверстников: Как субъею К деятельнос™ подросток характеризуется тенденцией к утверждению своей позиции субъектной исключительности ХпЗХ^^ стремлением (особенно проявляющими У ”»} чем"то выделиться. Это может усиливать позна
Ва ^У”мотивацию- если соотносится с самим содержани бамУиЧ^т деЯТеДЬНОС™ - ее предметом, средствами Успело бами решения учебных задач. Стремление к исключительное ^3” И В Мотива“ию Достижения, но в составляющук -’ *успеха,‘ Учебная мотивация как единство позна- ” ”Х Мотивации и мотивации достижения преломляется на 3 ЧеР€3 призму Узколичностных значимых и реально действующих мотивов группового, социального бытия Г41.
На практике учителю необходимо создавать на уроке усло- ЛЛЛ к^°рых у каждого ученика была бы возможность выделиться. Это могут быть соревновательные моменты (индивидуальные и командные); задачи, требующие проявления творче- п^лРмеКг^КИ’ настойчивос™; активное обсуждение каких-то Групповая и парная работа, в которой сами ученики ™C™ ВЫПОЛ.НЯЮТ Функции учителя или самостоятельно осваивают новый материал, является также эффективной Ес- испол™ИМЫе УСЛ°ВИЯ Не бУДУТ С03ДаНЫ- учащиеся могут использовать урок для самоутверждения через нарушение дисциплины. Наиболее типичными для этого возраста нару- п™ЯМИ являются: негативизм как стремление поступать вопреки чужой воле, например указаниям учителя; своеволие, упрямство, драчливость и т. д.
«яЛ™” И3 проявл?ний ведущей роли общения со сверстниками становится свойственная подросткам реакция группирования. Она заключается в стремлении принадлежать к^З- либо группе сверстников, не быть самому по себе, быть включенным в процесс нерегламентированного общения. Учителю необходимо учитывать реакцию группирования, прежде все- о- при решении вопросов дисциплины, так как многие действия подростков могут совершаться под влиянием группового давления и угрозы быть исключенным из группы. При этом абЗностьШсК°ЛЬНИКОВ ° отдельности’ «ан правило, понимает абсурдность своего поведения, испытывает стыд и угрызения
совести, но при этом страх потерять лицо в глазах товарищей, предать своих, проявить слабину перед взрослыми оказывается сильнее. Поэтому педагогу необходимо при разрешении сложных ситуаций чаще апеллировать не к конкретному подростку, а к группе в целом и всегда давать возможность ребенку «сохранить лицо» перед сверстниками (не настаивать на публичном признании своей вины, осуждении совершенных действий и т. д.).
Младший подросток характеризуется повышенной утомляемостью, связанной с процессами физического роста и полового созревания. Школьникам этого возраста свойственна ярко выраженная эмоциональность, иногда с резкостью в суждениях, до грубости. В школе отмечается наибольшая неровность в усердии и успешности, самый низкий уровень внимательности, чрезвычайная непоседливость, отвлекаемость, забывчивость. В связи с этим учителя более жестко контролируют поведение учащихся именно в этом возрасте.
Центральным новообразованием подросткового возраста является «чувство взрослости», т. е. возникновение у подростка представления о себе как взрослом, а не ребенке. Основой для этого является, с одной стороны, начало полового созревания, а с другой — наличие к этому возрасту у подростка базовых знаний, умений и навыков, которые позволяют уму достаточно самостоятельно действовать в разных социальных ситуациях. При этом в социально-экономическом плане подростки по-прежнему зависимы от родителей, а психологически часто не готовы нести ответственность за совершенные поступки.
Чувство «взрослости» сопровождается у школьников требованием поведенческой автономии и отказом от безоговорочного выполнения требований взрослых. В этой ситуации учителям и родителям важно самим сделать первый шаг в предоставлении подросткам возможности проявлять самостоятельность. Им необходимо отказаться от мелочной опеки и постоянного контроля, давать подросткам возможность совершать ошибки и исправлять их, получать опыт ответственности за порученные дела.
Вторым важным новообразованием этого возраста является переход подростков к стадии формальных операций, который начинается в 12-летнем возрасте. Эта стадия характеризуется следующими особенностями:
гипотети ко-дедуктивный подход к решению задач начинает преобладать над эмпирико-индуктивным (у подростков появляется способность к рассуждению с помощью вербально сформулированных гипотез, а не манипуляций с конкретны-
ми предметами, причем эта способность действует независя от правдоподобия исходных посылок и полученных в проце формально-логического вывода результатов);
гипотезы о всевозможных способах решения проверя! ся на основе системы логических пропозиций, которую нас вают комбинаторной структурой (подросток может составлю все возможные комбинации элементов, входящих в дядя1 и совершать с ними необходимые логические операции);
появляется способность вырабатывать и применять s фективные стратегии планирования поиска и организац информации (происходит качественное изменение психи' ских процессов по линии их все большей произвольное и опосредованности).
Способность мыслить на уровне формальных операц впервые обнаруживают 10—12-летние школьники, хотя мышление еще не столь абстрактно и системно, как у ст* шеклассников. Основой этого является сформированная в i чальной школе рефлексия как способность осознавать проц< сы собственного мышления, а также умственные, речевые мнемонические стратегии. Интересно, что на границе мл1 шего школьного и подросткового возраста школьники нач нают использовать свои рефлексивные способности не толь в познавательной сфере, но и в области общения, нравственЕ го и правового сознания. В частности, между 10 и 12 года! в суждениях подростков о себе и других появляются обобще ные психологические категории, спонтанные психологи! ские концепции характера, темперамента, группового взаим действия и лидерства.
Представляется важным рассмотреть те факторы, котор] влияют на успешный переход подростков на стадию формал ных операций. Ключевым фактором здесь является налич систематического школьного обучения, направленного на с воение теоретических знаний. Действительно, сравнение о повозрастных групп, получавших и не получавших школьн образование, неизменно выявляет преимущества первых. 1 они часто ограничены школьным материалом и не обнаруж ваются при решении житейских задач.
Не менее важным фактором является характер провод мых учебных занятий. Педагогические исследования в обла ти преподавания математики и естественных наук показал что большинство учебных программ ориентировано на оче1 высокий уровень абстракции и оставляет мало места манип лированию с наглядным материалом. С одной стороны, это е тественно, ведь для развития абстрактного мышления необх
дима практика решения задач на абстрактном, обобщенном уровне. С другой стороны, это негативно сказывается на мотивации изучения предметов естественнонаучного цикла. Для школьников абстрактные задачи выглядят оторванными от жизни, а, кроме того, им необходим дополнительный толчок для понимания важности логической необходимости при рассуждениях, особенно когда результат таких рассуждений входит в противоречие с эмпирическим опытом.
Поэтому для различных программ, ставящих своей целью продвижение учащихся, находящихся на стадии конкретных операций, к формальному мышлению, существуют три основные рекомендации.
Во-первых, создавать ситуации, в которых становится очевидной необходимость перехода на уровень теоретического осмысления действительности. Примером такой ситуации может быть известная задача Пиаже.
►► ПРИМЕР
Человек утром выходит на крыльцо и смотрит на солнце. Вечером, возвращаясь с работы, он встает на то же место на крыльце и снова смотрит на солнце. Где пересекутся линии, которые соединяют его глаза и солнце в первый и во второй раз?
(На рис. 8, а человек на крыльце дома, его лицо соединено пунктирными линиями с
изображением двух солнц — справа и слева от него. Из эмпирических со ображений эти линии должны пересечься на голове человека, но если рас смотреть теоретическую модель вращения Солнца вокруг Земли, то ста новится очевидным, что эти линии пересекаются на Солнце. На рис. 8, ( модель Солнечной системы, в центре Солнце, на орбите Земли изобра жено два земных шара, на которых точкой отмечено положение человека точка остается на месте, а Земля совершает небольшой оборот.)
Во-вторых, необходимо формировать представление о л о гических основаниях рассуждения, частности умение отли чать логически необходимые и эмпирически верные заключе ния, логически верные и неверные выводы и т. д.
В-третьих, необходимо задавать последовательные вопро сы, помогающие логике исследования и открытия. При этол очень важным является наличие возможности непосредствен ного манипулирования материалом и практической проверке выдвинутых гипотез, как, например, в задаче Инельдер и Пи аже про маятник: «Есть нить с грузом, можно менять длин) нити, вес груза, угол падения. Надо определить, от чего зави сит частота колебаний маятника». Несомненно, при решение данной задачи возможна непосредственная и систематическая проверка выдвигаемых гипотез путем манипулирования с маятником.
Говоря в целом о развитии познавательных функций е этом возрасте, надо отметить, что в 11—12 лет ослабевают пс сравнению с 8—10 годами внутрифункциональные (развитие разных сторон одной функции, например устойчивости, пере- ключаемости и концентрации внимания) и межфункциональные связи между вниманием, памятью и восприятием, а затем вновь усиливаются к 16 годам. В этом проявляются гетерохронность созревания и развития психических функций. Так, в частности, у школьников пик продуктивности образной памяти приходится на 8—11 лет, а вербальной — на 16. В 10— 12 лет наблюдается разнонаправленность в развитии всех характеристик внимания. Начиная с 13 лет замечается устойчивый и однонаправленный рост продуктивности этой функции в основном за счет развития устойчивости внимания и повышения интегрированности всех его свойств.
В период ранней юности, или старшего школьного возраста (14(15)—17 лет), существенно расширяется диапазон социальных ролей, что связано с изменением их правового статуса и завершением полового созревания. В этом возрасте школьники оказываются в новой социальной ситуации развития, связанной с выбором будущей профессии и подготовке к профессиональной деятельности. Многие старшеклассники
переходят в новые учебные заведения (специализированные школы, гимназии, лицеи, колледжи, техникумы).
Не случайно в исследовании проблемной нагруженности школьников 12—16 лет оказалось, что будущее осознается и переживается ими наиболее сильно.
Главным фактором, определяющим высокую степень озабоченности будущим у старшеклассников, является неустойчивое экономическое положение их семьи, которое может не позволить им получить желаемое образование, ставит перед необходимостью искать работу и существенно влияет на характер досуга. Стоит также отметить, что проблемные переживания, связанные со школой, отходят на второй план. Это происходит от несовпадения ожиданий подростка с характером его реального взаимодействия со школой. В большинстве случаев школьники характеризуют отношения со школой как безразличные, недоброжелательные и формальные, несмотря на то, что они проводят там большую часть времени.
У учащихся выпускных классов на первое место среди проблемных переживаний выходит страх «не получить образование, которое хотелось бы иметь», «не поступить в вуз», за которым следует проблема «незнания того, какая профессия больше подходит».
Соответственно изменяется и отношение старшеклассников к учебе, ее целям и содержанию. Учеба начинает оцениваться, прежде всего, с точки зрения полезности в ближайшем и отдаленном будущем, появляется избирательное отношение к различным учебным предметам. Такое отношение к учебе показывает, что ведущей в данном возрасте является не просто учебная, а учебно-профессиональная деятельность.
В ранней юности завершается стадия овладения формальными определениями. Однако только 15% школьников в 15-летнем возрасте обладают сформированным мышлением. Поэтому необходимо продолжать стимуляцию интеллекта для формирования формальных когнитивных структур.
В условиях специального обучения в этом возрасте возможно возникновение следующих характеристик умственного развития [2]:
самоорганизация школьниками учебной деятельностй, выражающаяся во владении всеми ее звеньями (постановка Учебной задачи, осуществление активных предметных преобразований, выполнение действий самоконтроля и самооценки); самостоятельный переход ученика от одного этапа к другому, от одного вида деятельности к другому;
наличие учебно-познавательных мотивов как устойчи вой самостоятельной ориентации учащихся не только на ре зультат деятельности, но и на способы ее выполнения (пред метом усвоения становится не только содержание учебных материала, но и строение соответствующей деятельности);
наличие четко выраженных индивидуальных различи! учебной деятельности, проявляющихся в разном уровне сфор мированности средств и способов ее выполнения, в активно* построении ребенком новых типов их сочетаний, а также в ис пользовании в деятельности новых, специально не формиро вавшихся способов и средств.
Для старшеклассников, наряду с интересом к содержании предмета и возможностью оценить это содержание с точк$ зрения общественно выработанных критериев (эталонов, ме рок), возникает интерес к самому процессу познавательной де ятельности. Школьники учатся оценивать ее с точки зренш определенных эталонов, что делает строение деятельности особым предметом усвоения. Именно поэтому у учащихся ча ще возникают вопросы: «Для чего нужно изучать данную те му?», «Каким образом был получен результат?», «Можно ля сделать по-другому, было ли решение оптимальным?» Они на чинают ценить красоту решений, умение педагога включат! преподаваемое в более широкий предметный и социальный контекст. Последнее очень важно для математики, где содер жание абстрактно и слабо связано с жизнью.
Во многих старшеклассниках просыпается страсть к теоре тизированию, растет интерес к логике рассуждений, а не только к реальным явлениям, возникает желание слушать, спо рить, размышлять. Учащиеся чаще начинают замечать ошибки и противоречия в действиях и словах взрослых. Они рассуждают о нравственных проблемах, морали, идеалах и смысле жизни. При этом сам факт таких рассуждений зачастую никак не влияет на изменение поведения школьников. Они видят малей шие логические «соринки» в действиях взрослых, не замечая при этом явных противоречий между своими теориями и реальными поступками. Для того чтобы эта ситуация изменилась, необходимо возникновение у старшеклассников собственного эмоционально-окрашенного опыта. На этом базируются некоторые профилактические программы.
Основные новообразования ранней юности лежат в сфере развития самосознания. Основой этого является новый тип рефлексии, охватывающей не только настоящее, но и будущее. Старшеклассники начинают считать себя равными взрослым, думают о будущем и строят -«жизненные планы», ставят своей
целью преобразование общества взрослых, создают собственные теории и системы. Эти изменения, по мнению ряда психологов, прямо связаны с освоением формального мышления, которое предполагает рефлексию и делает возможным рассуждение о гипотетических ситуациях. Создавая свои жизненные планы, старшеклассники опираются на постоянно изменяющиеся и развивающиеся представления о собственных возможностях и об окружающем мире.
Потребность в самоутверждении на новом возрастном уровне преобразуется качественно, и старший подросток, в отличие от младшего, стремится утвердиться в собственном мнении куда в большей мере, нежели во мнении окружающих (сверстников в том числе), что конечно же не может не отражаться как на мотивационной сфере, так и на ♦ картине поведения* его [7]. Старшеклассники по-прежнему нуждаются в общении со сверстниками, но для них становится важным, кто они. Юношам хочется быть в компании единомышленников, людей, разделяющих их интересы и взгляды на жизнь. Поэтому у них чаще возникают случаи противопоставления собственного мнения мнению коллектива или мнению учителя. Последнее нередко носит оттенок борьбы за правду и справедливость, отстаивания прав и свобод.
При организации общения на уроке и решении проблем дисциплины учителю необходимо учитывать существование у учащихся данного возраста потребности в самоопределении и автономии в коллективе. Не стоит игнорировать высказывания и выступления учащихся на уроке, даже если они носят провокационный характер, так как для старшеклассников важно, чтобы с ними считались, принимали их мнение в расчет.
С другой стороны, необходимо очень хорошо контролировать свое поведение, так как подчас старшеклассники обладают гипертрофированным чувством собственного достоинства и не приемлют малейших проявлений неуважения, готовы воспринимать в штыки любые советы, если в них звучат назидательные интонации. Кроме того, они в большей степени, чем младшие подростки, ориентированы на результат, а не на процесс взаимодействия. Поэтому для них важны абсолютно конкретные договоренности по обсуждаемым вопросам.
Одними из наиболее эффективных форм, которые отвечают потребности в самоутверждении, являются проведение Дискуссий и проблемные обсуждения. Именно эти формы позволяют учащимся выработать и высказать собственное суждение по обсуждаемым вопросам, проявить самостоятельность и быть услышанными.
5.2. Учет половых особен ностей в процессе обучения
Существующее разделение труда между мужчинамв и женщинами, специфические для них виды деятельности к социальные функции формируют представления о половых ролях. В связи с этим в каждой конкретной социально-исто рической и культурной среде формируются социально-психологические стереотипы маскулинности (мужественности) v фемининности (женственности). Согласно этим стереоти пам, женщинам присущи такие качества, как эмоциональ ность, пассивность, тенденция к подчинению, терпимость конформность, эмпатичность, мягкость и т. д. Мужчинам же свойственны активность, динамичность, соревновательность агрессивность, рационализм и т. д.
Эти стереотипы абсолютно не отражают того многообразие личностных качеств, которые присущи реальным мужчинам и женщинам, мальчикам и девочкам. Более того, результать работ, проведенных в последние годы, дают все больше дока зательств в пользу социокультурной, а не биологической детерминации половых различий. Но при этом именно стереотипы определяют сложившиеся в культуре нормативные пред ставления о том, каким должен быть ребенок данного пола в как себя вести. И многие воспитатели, не осознавая этого, по ощряют детей проявлять именно стереотипные, полоспецифи ческие черты.
Проведенные исследования показали, что индекс негативного отношения в среде учителей к мальчикам в 2 раза выше чем к девочкам. В 36% случаев учителя дали негативные от зывы о поведении и обучении мальчиков и только в 14% — о поведении и обучении девочек.
Среди учащихся выпускных классов, которые в наиболь шей степени соответствуют школьным требованиям, подавляющее большинство (85%) составляют девушки.
По мнению учителей, девочки более прилежны, усидчивы послушны, аккуратны. Кроме того, они более заинтересована в учебных достижениях, стремятся к получению высоких оце нок, стараются привлечь симпатии учителей. Мальчики в целом получают более низкие оценки, чаще нарушают дисциплину, более неаккуратны и необязательны.
По данным многих зарубежных исследователей, мальчики, как правило, подвергаются более интенсивной половой социализации, чем девочки. На мальчиков оказывают более сильное давление, для того чтобы они не проявляли поведения, противоречащего полоролевым стереотипам и требование ям. Фемининные роли определяются не столь жестко и вне
дряются менее последовательно. В этом во многом проявляется попытка преодолеть негативные последствия женского влияния на полоролевую социализацию мальчиков. Ведь в детском возрасте основными агентами социализации являются именно женщины — матери, бабушки, воспитательницы детского сада, учительницы в школе.
Поэтому взрослыми прилагаются специальные усилия и предъявляются более жесткие требования к мальчикам для того, чтобы ими было освоено поведение, соответствующее мужской половой роли. Причем они часто направлены не на поощрение ♦ мужского* поведения, а на наказание за ♦ немужские» поступки и проявления. В результате мужская идентичность у мальчиков формируется как результат отождествления себя не с реальными мужчинами (отцы, как правило, принимают пассивное участие в процессе воспитания), а с некой статусной позицией, социальным мифом об идеальном мужчине. В школе это сочетается еще и с отсутствием социально приемлемых форм и каналов проявления мужского типа поведения: отсутствует физический труд, существует дефицит спортивных соревнований, игр, возможность участвовать в традиционно мужских занятиях типа столярных или строительных работ и т. д.
Кроме того, мальчики еще в раннем детстве оказываются в ситуации противоречивых требований со стороны взрослых. С одной стороны, взрослые поддерживают их активное, соревновательное поведение («дай сдачи», «не будь нюней!»), с другой стороны, постоянно сдерживают эту активность («посиди спокойно», «не лезь, куда не просят»). Ситуация противоречивых требований обостряется в школе, когда поисковая и познавательная активность мальчиков ограничивается действующими дисциплинарными правилами и нормами поведения («хочу, а нельзя», «надо, а не хочу»). Это подталкивает мальчиков к более раннему нормативному экспериментированию, выработке собственных внутренних правил поведения и взаимоотношения с окружающими. К подростковому возрасту это приводит их к обращению с нормой не как с запретом, а как с регулятором отношений.
Для девочек требования, предъявляемые в семье, не являются изначально противоречивыми, и они легко переходят во внешнюю, формальную нормативность, предлагаемую школой. Школьные нормы дают четкие инструкции, касающиеся правильного поведения, и обеспечивают девочкам избегание наказаний. Впервые девочки сталкиваются с противоречивыми нормативными требованиями в период полового созрева-
ния, когда требования родителей и школы («быть примерной послушной, дисциплинированной ученицей») сталкиваются с оценками группы сверстников («важна женственность, кра сота и стильность», «модная девчонка», «хорошая учеба hi главное, главное быть своей в компании»). В результате част] девочек к концу школы переходит к выработке собственны] норм путем нормативного экспериментирования, а другая часть либо пытается игнорировать существующие норматив ные противоречия, либо явно противопоставляет себя bhobi появившимся требованиям.
Эти половые особенности в овладении социальными нор мами во многом объясняют тот факт, что к концу школы боль шинство мальчиков начинают вести себя и учиться значи тельно лучше, а у части девочек наблюдается падение успева емости, резкое изменение стиля поведения. Поэтому важш дополнительная работа учителя с «благополучными» девочка ми младшего подросткового возраста, направленная на осоз нание наличия различных социальных норм и конструктив ное их освоение. Также дополнительные усилия необходим< прилагать для развития у девочек самостоятельности, кри тичности; стимулировать поиск собственных (не по образцу способов действий в учебной работе и поведении.
Последнее связано с тем, что у мальчиков и девочек по-раз ному развито мышление. Установлено, что мужчины лучил выполняют поисковую деятельность, выдвигают новые идеи Женщины обычно лучше выполняют задачи уже не новые типовые, шаблонные, но когда требования к тщательности проработке деталей, исполнительской части велики. А эт< именно тот вид работы, который достаточно часто требуете# в школе. Этот факт нашел подтверждение в исследования! Пиаже, Инельдер и Лоусона. Они показали, что при решении задач, требующих формально-логического мышления и активного манипулирования материалом, мальчики оказалищ гораздо успешнее девочек, так как свободно совершали действия с предложенным материалом, тогда как девочки предпочитали обращаться за помощью к экспериментатору. При решении же письменных задач, требующих только бумаги и карандаша, разница в успешности решения между мальчиками и девочками оказалась невелика. Ориентируясь на воспроизведение образца, девочки в целом реже спорят с учителем, пытаясь доказать свою точку зрения, реже высказывают взгляды, отличные от общепринятых.
У девочек лучше развита речевая активность, они могу! решать речевым способом даже неречевые, по сути, задачи.
у мальчиков же лучше развиты видеопространственные умения, У них раньше, чем у девочек (к 6 годам), возникает специализация правого полушария в отношении пространственных функций. Это можно почувствовать при преподавании математики в старших классах школы. Девочки в основном легче справляются с алгеброй (счет, манипуляции с числами и формулами), а мальчики с геометрией (мысленные манипуляции с геометрическими фигурами и телами).
По биологическому возрасту девочки обычно старше ровесников-мальчиков на 1—1,6 года. Это отражается как в их физическом доминировании, так и в учебном и социальном лидерстве в школе в младшем подростковом возрасте. В это время педагоги начинают особо подчеркивать необходимость особого отношения к женщинам как слабому полу, что субъективно абсолютно непонятно мальчикам, находящимся в подчиненном, «слабом» положении. Они меньше девочек по росту, менее успешны в учебе, менее активны в общественных делах.
Феминизация школы привела к ряду негативных последствий. Во-первых, усилилась маскулинизация девочек и феминизация мальчиков. Во-вторых, увеличилось количество асоциальных, неадекватных форм поведения у подростков, как агрессивных, так и депрессивных. В-третьих, значительно обострилась проблема одиночества в молодом возрасте и нестабильность супружеских отношений. Поэтому учет половых особенностей в процессе обучения является особо актуальным.
В связи с этим учителям можно дать несколько общих рекомендаций.
Девочки эмоционально реагируют на все оценки. Для девочек эмоционально значимо, кто их оценивает и каким образом, поэтому необходимо сопровождение оценки словесным объяснением, озвучиванием своего мнения. Мальчики же реагируют избирательно и только на значимые для них оценки. Для них важно, что оценивают в их деятельности, поэтому Для них необходимо более четко проговаривать критерии оценки.
•Девочек надо постепенно учить действовать самостоятельно, а не только по заранее известным схемам, подталкивая к поиску собственных решений в различных ситуациях.
Мальчики стремятся к самоутверждению деятельностно- ГО типа: к достижениям, независимости, свободе выбора. Самоопределение девочек строится вокруг межличностных отношений и установления эмоционального взаимопонимания.
Для мальчиков гораздо важнее, чем для девочек, момент поиска, требование что-то сообразить, придумать. Поэтому для них необходимо не столько рассказывать и показывать, сколько подталкивать к самостоятельному открытию принципа решения.
Для мальчиков необходимо думать о создании дополнительных социально-приемлемых возможностей для проявления мужских качеств в пространстве школы, связанных с соревновательностью, проявлением силы, выполнением традиционно мужской работы. Позитивную роль здесь может сыграть наличие примера учителя-мужчины.
Мальчиков, в отличие от девочек, нельзя ругать долго и обстоятельно, они не могут продолжительно выдерживать эмоциональное напряжение и отключают слуховой канал восприятия.
Самое главное для учителя, особенно если учитель — женщина, осознавать наличие половых различий и существование определенных установок по отношению к ученикам- мальчикам и ученицам-девочкам.
^Ключевая информация
Каждый возраст характеризуется: 1) социальной ситуацией развития; 2) ведущим типом деятельности; 3) основными психическими преобразованиями.
Младший подростковый возраст (11—14(15) лет) характеризуется переходом учащихся в среднюю школу, для младших подростков ведущей деятельностью является интимно-личностное общение со сверстниками, а основными психическими новообразованиями — * чувство взрослости», пepexo^ на стадию формально-логического мышления.
Старший школьный возраст (14(15)—17 лет) характеризуется социальной ситуацией выбора будущей профессии и подготовки к профессиональной деятельности, для старших подростков ведущей является учебно-профессиональная деятельность, а основные психические новообразования лежат £ сфере становления идентичности, формирования потребности в самоутверждении, появлении интереса не только к результатам, но и к процессу познания.
Стереотипы маскулинности и фемининности носят выраженный социокультурный характер. Условия половой социализации являются более жесткими для мальчиков, чем дл^ девочек.
Рекомендуемая литература
Алешина Ю. Е., Волович А. С. Проблемы усвоения ролей мужчины и женщины // Вопросы психологии. — 1991. — №4.
Давыдов В. В.. Маркова А. К. Развитие мышления в школьном возрасте // Возрастная и педагогическая психология: Тексты. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1992.
Еремеева В. Д., Хризман Т. П. Мальчики и девочки — два разных мира. — СПб.: Тускарора, 1998.
Зимняя И. А Педагогическая психология. — Ростов н/Д.: Феникс, 1997.
Клаус Г. Введение в дифференциальную психологию учения / Пер.с нем.; Под ред. И. В. Равич-Щербо. — М.: Педагогика, 1987.
Кле М. Психология подростка. — М.: Педагогика, 1991.
Краковский А. П. О подростках. — М.: Педагогика, 1970.
Регуш Л. А. Проблемы подростков. Санкт-Петербург, 90-е годы // Наш проблемный подросток. — СПб.: Союз, 1998.
Рыбалко Е. Ф. Возрастная и дифференциальная психология. — Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1990.
Хасан Б. И., Тюменева Ю. А. Особенности присвоения социальных норм детьми разного пола // Вопросы психологии. — 1997. - № 3.
Цукерман Г. А. Десяти-двенадцатилетние школьники: «ничья земля» в возрастной психологии // Вопросы психологии. — 1998. -М3.
Эльконин Д. Б. Природа детства и его периодизация Ц Избранные психологические труды. — М.: РАН, 1989.
Лекция 6
Процесс обучения математике как система
В математике всего важнее способ преподавания.
Н. И. Лобачевский
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Как расположены друг относительно друга две вертикальные прямые линии?
Если процесс обучения математике рассматривать как систему, то какие ее компоненты вы бы выделили?
3.3.4.4.Урок математики в 5 классе. Изучается тема •Пересечение фигур». После введения понятия пересечения как общей части (одних и тех же элементов) фигур
3.
3.
4.
4.
учащимся предлагаются различные за- Рис 9 дания. В одном из заданий при рассмотрении рис. 9 некоторые учащиеся утверждают, что Пересе чение треугольника, круга и квадрата не пусто. Такой же ответ они получают в аналогичных задачах и после разбо ра ошибки. Почему?
Каковы, на ваш взгляд, основные цели обучения матема тике в настоящее время?
Целостный подход к процессу обучения математике
Основными тенденциями развития современно! системы образования являются ее гуманизация и направлен ность на развитие ребенка. Понятие развития в современно! науке связано с понятием системы: все системы находятся i развитии и развития вне системы не может быть. В рамках об щей теории систем раскрывается и методология целостной подхода. Ключевыми понятиями этой теории, используемым! чаще всего при системных исследованиях, являются понятие системы, элемента системы, структуры, связи. Понятие сис темы отражает объективно существующие объекты и про цессы реального мира, которые, с одной стороны, состоят и; элементов, с другой — представляют собой целостные образо вания и находятся в динамичных связях. Структура харак теризует способ организации элементов в системе, зависит о' роли и значения каждого элемента в системе и от системы 1 целом. Связи определяют функционирование системы ка! единого целого по отношению к другим системам. Связи быва ют генетическими или причинно-следственными и обеспечи вают функционирование или управление системой. Понят» системы отражает динамику изучаемого объекта, структура — его статику [8].
В рамках системного подхода изучаемые объекты рассмат риваются под углом зрения их многомерности и иерархии Целостный объект вместе с другими рассматривается как эле мент целого более высокого порядка. Учитель же, орган изу! процесс обучения математике, осознанно учитывает содержа ние определенного учебного предмета и, исходя из опыта, ориен тируется на общий уровень математического развития класса В результате такого (традиционного) обучения ребенок имее: отдельные разрозненные сведения по различным школьны»
предметам (приоритет аналитической направленности обуче- нйя в школе), собственные же стратегии усвоения информации, собственные житейские понятия и представления ученика целенаправленно в процессе обучения не учитываются и не используются. В математике в силу специфики предмета приоритет аналитического подхода сказывается даже на восприятии естественнонаучных понятий, например вертикальных прямых. Учителям математики, студентам математических факультетов было предложено ответить на вопрос: «Как расположены друг относительно друга две вертикальные прямые?» При этом было уточнено, как понимается вертикальная прямая (ее моделью является свободно висящая нить с привязанным на конце грузом). Почти во всех ответах такие прямые назывались параллельными или совпадающими. Но изображение Земли с центром и напоминание о причине такого расположения нити приводит отвечающих к другому ответу: «Вертикальные прямые линии направлены к центру Земли и непараллельны». Данный пример показывает наличие не только не совпадающих, но даже противоречащих представлений об одном и том же понятии в разных школьных предметах.
Следовательно, целесообразнее изначально рассмотреть наиболее широкое понимание вертикальности так, как оно трактуется в естествознании. Далее в беседе подчеркнуть условия рассмотрения вертикальных прямых на уроках математики: в небольшом ограниченном пространстве, где размеры малы по сравнению с размерами в масштабе Земли, можно пренебречь непараллельностью вертикальных прямых в этой ситуации. Такая организация, а именно наиболее целостный взгляд на понятие, поможет ребенку не только создавать целостную картину мира, но и показывать необходимость других (неевклидовых) геометрий.
Реализация основных тенденций развития образовательной системы требует понимания того, что процесс обучения представляет систему, которая:
включает не только содержательную и организационную (технологическую) составляющие, но и психологическую;
является подсистемой других систем, в частности подсистемой социальной системы;
является открытой саморазвивающейся системой.
Таким образом, процесс обучения характеризуется множественностью связей, а учет их может быть организован на основе целостного подхода к процессу обучения.
В общем виде целостный подход к процессу обучения математике предполагает ряд условий.
Во-первых, знакомство с теми концептуальными простран ствами, в которых «работают» различные науки и которые своеобразно проецируются в учебных предметах; при этой должна обеспечиваться взаимосвязь этих пространств межд] собой, а также с реальным и перцептивным пространствами.
Во-вторых, необходимо рассмотреть ученика как субъекта имеющего богатый опыт познания окружающего пространст ва еще до специально организованного обучения, и как цело стную систему, а также учесть, что в основе его психическое развития лежит интеграция биологического и социального ] структуре личности. Способы освоения перцептивного про странства связаны с активизацией биологической и социаль ной составляющих в структуре личности, являются частьв опыта жизнедеятельности ребенка, который психологи опре деляют как субъектный [9].
В-третьих, становление системы знаний должно быть со гласовано с возрастным развитием определенных психиче ских структур, что позволит обеспечить активную позицив ученика в обучении.
В-четвертых, содержание учебного материала и его струк турирование должны обеспечивать единую линию (с точю зрения достижения основной развивающей цели и реализа ции закона «восхождения от абстрактного к конкретному» познании) в построении учебного курса, что будет способство вать восприятию учащимися целостной математической со ставляющей картины мира.
Процесс обучения в рамках современной системы образе вания можно представить схематически (рис. 10). На рисунк простые стрелки обозначают основные связи, двойные - внешние.
Связь процесса обучения с социальной системой осуществ ляется через определенную методологию, включающую созда ние условий для обучения математике, ориентированных н развитие личности. И экономическая, и политическая систе мы государства оказывают влияние на процесс обучения. Так например, в 50-е гг. XX в. повысилось внимание к логическо; составляющей в преподавании геометрии, было дано указаня Сталина об усилении логической стороны преподавания гес метрии. Это проявилось в ослаблении наглядной и практиче ской деятельности в обучении, а значит, снижении уровн развития пространственных представлений учащихся. В кс нечном итоге ухудшилось усвоение стереометрии.
Таким образом, социальная система через цели обучение ученика как субъекта, учителя как организатора передачи об
щественно-исторического опыта в области математики и носителя собственного субъектного опыта влияет на процесс обучения математике.
Понятие «обучение математике» трактуется как обучение теории и как обучение математической деятельности. В современной системе образования превалирует последняя трактовка, которая опирается на основное положение психологии: обучение и развитие ученика происходит в процессе целенаправленной учебной деятельности, причем развивающие цели считаются приоритетными по отношению к информативным. В традиционной же системе обучения математике основной задачей является усвоение знаний, умений и навыков. Это различие нашло отражение в предложенной выше схеме процесса обучения (см. рис. 10). Именно психологические составляющие процесса обучения, представленные в средних блоках схемы, не учитывались в традиционной системе. В 70-е гг. XX в. А. М. Пышкало было введено понятие «методической системы обучения математике», которая включает такие компоненты, как цели, принципы, содержание, Методы, формы и средства. Необходимость психологических блоков выявляется при рассмотрении связи между процесса- ®4и развития и приобретения знаний. Учащиеся усваивают не знания, у них развиваются целостные психические структу-
ры, формируемые на учебном материале и включающие о пре* деленный опыт, который, в свою очередь, также структурно организован. Связывание новой информации с субъектным опытом ребенка и обеспечивает ее понимание. Предложенную в третьем вопросе для предварительного обсуждения ситу-] ацию неправильно отвечающий ученик объясняет так: «Ведь круг пересекает и треугольник, и квадрат. Как же может быть пересечение пусто». В опыте ребенка такая ситуация не связа-, на со словами, что пересечения нет. Учет субъектного опыта ребенка касается не только содержательного аспекта, но и процессуального, связанного с собственными способами вос-1 приятия и переработки информации.
Отторжение собственных стратегий учащихся постепенно] приводит их к мысли об оторванности математики от реальи ной жизни. Учащиеся неосознанно делают вывод о том, что на! уроках математики действуют другие законы, правила, спосо-1 бы, чем в реальной жизни. В результате в процессе математик ческой деятельности у учащихся не проявляется критичность' мышления.
Приобретение знаний является активным психическим] процессом. Каждый человек выстраивает расширяющиеся1 структуры знаний, которые связывают новые идеи с уже из-1 вестными, поэтому знание всегда личностно и в некотором* роде уникально. Эти структуры, конечно, невидимы, но их наличие отражается в субъектном опыте ученика, который] можно выявить. Они — личное внутреннее представление природы мира.
Подобные характеристики имеют свои особенности:
являются средствами познания — внутренними умствей- ными психологическими формами, сквозь которые человек! смотрит на мир и на себя; включают знания, способы их поля чения, описания и хранения в долговременной памяти зна-1 ний, понимаемых в широком смысле (образы, события, слова,] законы и т. д.) [7];
являются обобщенно-абстрактными продуктами умствен^ ной переработки воспринятого; в них отражены инвариант-1 ные характеристики мира, отношений, внутренних состояний и субъектно-субъектных отношений;
формируются в определенные (сензитивные) периоды;
выступают как субстрат субъектного опыта ученика в шя-! роком смысле (знания, умения, способы усвоения, переработки! материала, мировоззрение, эмоциональная сфера и т. д.).
Выбор психических структур определяется спецификой материала, на котором они формируются. Материал, который
отражает общественно-исторический опыт человечества в области математики, подается учителем сквозь призму его субъектного опыта. Возникает встреча двух видов опыта. Противоречия между сложившимся личностным (субъектным) опытом ребенка и приобретаемым общественно-историческим являются движущей силой развития психической структуры. Эти противоречия можно рассматривать как движущую силу умственного развития. Их выявление влияет, в свою очередь, на опыт читателя, а значит, и на вводимый им учебный материал математики, преобразуя его в соответствующее содержание.
Именно психологические составляющие процесса обучения, представленные в средних блоках схемы, не учитывались в традиционной системе обучения математике. Введенное А. М. Пышкало понятие методической системы обучения математике можно рассматривать как подсистему выделенной выше системы.
Цели обучения математике
Можно выделить две группы целей обучения математике, отражающие направленность современной системы образования: мировоззренческие и развивающие. Конечно, такое деление относительно.
Мировоззренческие цели определяют отношение и место математики в реальном мире. Так, например, Аристотель рассматривал математические объекты как абстракции от реальности. А Платон, считая идеи существующими самостоятельно, рассматривал объекты математики первичными по отношению к материальной реальности.
Мировоззренческие цели направлены на создание условий для формирования ребенком математической составляющей целостной картины мира, понимание математических зависимостей, овладение математическим языком, организацию математических моделей реального мира. Мировоззренческие Цели, в свою очередь, условно можно разделить на информативные, практические, воспитательные.
Информативные цели связаны с усвоением учащимися общественно-исторического опыта в области математики, в том числе математических идей и методов.
Практические цели связаны с овладением учащимися методом математического моделирования, умениями применять Полученные знания для решения задач в жизненной практике, Других учебных предметах, технике и пользоваться математическими инструментами, таблицами, схемами и т. д.
Воспитательные цели направлены на создание условий дз развития устойчивого интереса к познанию, к изучению м тематики и таких качеств личности, как воля, настойте вость, инициатива, самостоятельность и активность, а так: на способности к эстетическому восприятию явлений дейсп тельности в математическом аспекте, к самостоятельно: творчеству; общей культуры, в том числе коммуникат! ной (ведь межличностными отношениями пронизана вся уч< ная деятельность); ответственного отношения к окружающ среде.
Как было сказано ранее, основной особенностью совремс ной системы образования является его гуманизация и в свя с этим установление приоритета развивающей функции об чения по отношению к информативной. Развивающие це; определяют возможности математики как учебного предме в развитии качеств мышления человека.
Определяя развивающие цели обучения, необходимо уч тывать:
сенситивные периоды развития определенных качес или компонентов мышления;
специфику материала, на котором организуется разв тие;
учебные предметы, которые также способствуют раз! тию выделенных качеств или компонентов мышления (к учесть их содержание, установить связи с ними).
Обучение математике способствует развитию различи: видов мышления:
понятийного — в форме понятий, в которых отраже: существенные отношения вещей и явлений;
логического — в форме понятий, опирающихся на за1 ны и правила логики;
операционного — с помощью явно выраженных и ос нанных операций мышления;
пространственного — направленного на создание и опер рование пространственными образами.
Математика может способствовать и развитию алгоритм ческого, системного, критического мышления учащихся.
Субъектный опыт учащихся в обучении математике
При обучении математике должны учитываться ki особенности материала, так и специфика мыслительной д ятельности, определяемая этим содержанием и субъектны опытом учащегося.
Например, при изучении геометрии в школе специфика мыслительной деятельности состоит в постоянном обращении к образам, необходимости их создания и оперирования ими. Поэтому в качестве субстрата (психической основы) развития личности ученика при изучении геометрического материала целесообразен выбор такой психической структуры, как пер- цепт — понятие (образ восприятия), которая является базой становления системы знаний ученика.
Выделение целостной психической основы развития определяет иной подход к процессу формирования и усвоения знаний — умений—навыков учащихся (ЗУН). Он включается в процесс развития этой целостной структуры при изучении учебного материала предмета математики и подчиняется законам диалектической логики, в частности методу диалектической логики ♦ восхождения от абстрактного к конкретному». Познание объекта является сложным диалектическим процессом, в ходе которого постоянно происходит диалектическое превращение конкретного в абстрактное, абстрактного в конкретное. Конкретное мышление — это синоним целостного многостороннего рассмотрения предмета. Его развитие должно стать задачей обучения, что будет способствовать целостному подходу учащихся к предмету познания. Становление всей системы знаний будет определяться развитием целостной простой основы определенной системы знаний (в широком смысле), которая дифференцируется в процессе обучения, превращаясь в голове ребенка во все более упорядоченную психическую структуру.
Развитие структуры обеспечивает становление системы знаний и развитие ученика, влечет преобразование субъектного опыта ребенка, который вновь, но на новой ступени познания, интегрируется с общественно-историческим.
Эффективность интеграции личностного и общественноисторического опыта, включение последнего в личностный опыт ребенка, переструктурирование опыта, его сохранение определяются включением в эту деятельность самого ребенка, общим уровнем его психического развития, эмоциональной значимостью учебного материала. Место субъектного опыта в развитии ребенка определяет его значимость в этом процессе и необходимость его учета при построении личностно-ориентированных учебных курсов. Инициирование субъектного опыта ученика должно быть главной проектируемой характеристикой личностно-ориентированной программы [9, с. 65].
Субъектный опыт психологи определяют как опыт Жизнедеятельности отдельного человека, приобретаемый и
реализуемый в ходе познания окружающего мира, в общении, в различных видах деятельности. В нем представлены как результаты целенаправленного обучения, так и взаимодействий с окружающим миром.
Содержание субъектного опыта составляют:
предметы, представления, понятия;
операции, приемы, правила выполнения действий (умственных и практических);
эмоциональные коды (личностные смыслы, ценности, установки).
Все эти составляющие взаимосвязаны. Структура субъектного опыта определяется соотношением входящих в него элементов, их иерархией. Научная информация дается через содержание учебного материала. При усвоении материала ученик ♦ пропускает» его через свой субъектный опыт и превращает в индивидуальные знания. Иного пути формирования знания нет [9]. Но и учитель, сообщая научную информацию, выражает свое отношение к ее содержанию, использует свой субъектный опыт. В процессе обучения должны быть учтены особенности субъектного опыта каждого из его участников. Основная функция школы состоит не в нивелировании, ♦ от- тормаживании» опыта ребенка как несущественного, а наоборот, в максимальном его выявлении, использовании, ♦окультуривании» путем обогащения результатами общественно-исторического опыта [9].
Так, например, греческий философ Симонид, как-то сидя в гостях, был вызван из-за стола. В это время произошел подземный толчок. Все гости были погребены под руинами. Когда их отрыли, никого нельзя было опознать. Симонид же точно определил каждого. Почему? Он запомнил, где кто сидел. Фактически он использовал такой способ сохранения информации, как ♦привязывание» к месту. Известный оратор Марк Туллий Цицерон, готовясь к выступлению, ходил по комнатам. Когда ему приходила какая-то идея, он поднимал глаза и запоминал интерьер места, где находился. При выступлении в сенате он мысленно ходил по комнатам и снимал ♦развешенные» идеи. А Наполеон ♦раскладывал» и ♦вынимал» свои идеи из ящиков. Разные люди могут иметь различные способы сохранения информации, которые входят в субъектный опыт человека.
При усвоении знания не передаются ученику, а формируются у него, причем при целенаправленной активной деятельности последнего, при изъявлении им своего желания и воли. Человек сам, опираясь на законы субъективной диалектики,
генерирует познавательные структуры (что предполагает творчество, работу продуктивного воображения и акты свободного выбора, оценку и самовыражение) и в ходе практической деятельности проверяет меру их соответствия объективной действительности [7].
^Ключевая информация
Процесс обучения математике как система включает в себя содержательную, организационную (технологическую) и психологическую составляющие. Он является подсистемой социальной системы и характеризуется множественностью связей, учет которых может быть организован на основе целостного подхода к процессу обучения.
Цели обучения математике делятся на две группы целей: мировоззренческие (информативные, практические, воспитательные) и развивающие (возможности математики как учебного предмета в развитии качеств мышления человека).
Субъектный опыт характеризуется как опыт жизнедеятельности отдельного человека, приобретаемый и реализуемый в ходе познания окружающего мира, в общении, в различных видах деятельности. При организации усвоения учебного материала необходимо учитывать субъектный опыт учителя и учащегося.
<-
Рекомендуемая литература
Ад а мар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Пер. с франц. М. Л. Шаталовой. — М.: Сов. радио, 1970.
Слободчиков В. И., Исаев Е. И. Основы психологической антропологии. Психология человека: Введение в психологию субъективности. — М.: Школа-Пресс, 1995.
Стюарт Я. Концепции современной математики / Пер. с англ. — Минск: Выш. школа, 1980.
Сунгурова Л. П. Методология иознания // Развивающее обучение. Вопросы методологии и технологии / Материалы ко Второй научно-методической конференции. — СПб.: Сударыня, 1998. — Вып. 2. — С. 30—36.
Тягло А. В. Становление научной концепции целостности. — Харьков: Выща школа, 1989.
Философия образования для XXI века: Сб. статей. — М.: Логос, 1992.
Чуприкова Н. И. Умственное развитие и обучение: Психологи ческие основы развивающего обучения. — М.: АО «Столетие» 1995.
Юдин Э. Г. Системный подход и принцип деятельности: Мете дологические проблемы современной науки. — М.: Наука, 1978.
Якиманская И. С. Разработка технологии личностно-ориенти рованного обучения // Вопросы психологии. — 1989. — № 6. - С. 3—29.
Лекция 7
Задачи в обучении математике
При решении задачи плохой пла часто оказывается полезным; он може вести к лучшему плану.
Д. Пой
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Продолжите высказывание Джорджа Пойа: «Что значи' владение математикой? Это есть ...»
Путешественник должен пересечь пустыню. Его путь ра вен 80 км. За один день он проходит 20 км и может несп запас пищи и воды на 3 дня. За сколько дней он сможет пе ресечь пустыню?
Что такое субъектный опыт?
Прочитав текст задачи: «Переставить в данном равенств» 101 — 102 = 1 одну цифру так, чтобы получилось верное ра венство», ученик предложил решение: 102-101= 1. Верн» ли оно? Почему он предложил такое решение?
Что означает термин «решение задачи» и что значит ре шить задачу?
Задачи: определение, структура, классификация
Д. Пойа, рассматривая роль задач в математике, пи сал: «Что значит владение математикой? Это есть умение ре шать задачи, причем не только стандартные, но и требующи- известной независимости мышления, здравого смысла, ориги нальности, изобретательности» [7, с. 16].
Термин «задача» употребляется достаточно широко. За дачу понимают и как проблему, которую требуется решить и как проблемную ситуацию. «Задачи, которые ставит пере, собой человек, и задачи, которые перед ним ставят люди, об
стоятельства жизни, направляют всю его деятельность, его жизнь» [8]. С задачами человек сталкивается постоянно, как в жизни, так и при изучении разных предметов.
Математические задачи являются одной из главных составляющих содержания учебного предмета математики, который включает также и теоретический материал (понятия и их определения; алгоритмы; математические утверждения: аксиомы, теоремы, леммы и т. д.). Но и теоретический материал учащиеся усваивают в процессе решения задач. Поэтому решение задач является основной деятельностью при обучении математике. Особое место задач в обучении требует специального внимания к определению этого понятия.
Существуют разные подходы к определению задачи.
Наиболее общим является определение задачи как цели, заданной в определенных условиях (А. Н. Леонтьев). Л. Л. Гурова обращает главное внимание на объект мыслительных усилий человека, решающего задачу: «Задача — объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными и неизвестными ее элементами» [2, с. 12]. Большое распространение получило понимание задачи как определенной системы (Г. А. Балл, Ю. М. Ко- лягин, Л. М. Фридман, А. Ф. Эсаулов и др.). Г. А. Балл предлагает следующее определение: «Задача в самом общем виде — это система, обязательными компонентам которой являются: а) предмет задачи, находящийся в исходном состоянии; б) модель требуемого состояния предмета задачи (эту модель мы отождествляем с требованием задачи)» [1, с. 32]. Л. М. Фридман тесно связывает понятие задачи с понятием проблемной ситуации и считает, что «генезис задачи можно рассматривать как моделирование проблемной ситуации, в какую попадает субъект в процессе своей деятельности, а саму задачу — как модель проблемной ситуации, выраженной с помощью знаков некоторого естественного или искусственного языка» [8, с. 15].
При всем разнообразии подходов к определению задачи можно отметить те компоненты, которые выделяются в структуре задачи как объекте мыслительной деятельности:
условие (У) — предметная область задачи (объекты) и отношения между объектами;
обоснование (базис) (О) — теоретические или практические основы перехода от условия к заключению посредством операций, которые составляют решение задачи;
решение (оператор) (Р) — та совокупность действий, операций, которую надо произвести над известными компонентами, чтобы выполнить требование, выраженное в заключении;
заключение (3) — требование отыскать неизвестные компоненты, проверить правильность, сконструировать, построить, доказать и т. п.
Символически структуру задачи можно записать: УОРЗ.
В сложившейся практике обучения термин «решение за дачи» применяется в трех различных случаях [8, с. 56]:
решение задачи как план (способ, метод) осуществления требования задачи;
решение задачи как процесс выполнения плана, выполнения требования;
решение задачи как результат выполнения плана решения.
Процесс решения задачи носит субъективный характер и определяется различными факторами.
Задачи можно классифицировать по величине проблемное ти (в зависимости от того, какие компоненты УОРЗ неизвест ны решающему [3]).
Стандартные задачи — известны все компоненть УОРЗ. Такие задачи часто используются на разных этапах ус воения теоретического материала. Например, учащимся пред лагается после введения правила непосредственно применит! его или после введения определения понятия проверить, отно сится ли некоторый объект к этому понятию (задачи «на рас познавание»). Этот вид задач необходим, так как позволяет ш только усвоить понятие, но и осуществить «обратную связь» оценить, как поняли учащиеся новый материал.
Обучающие задачи — неизвестен один компонент УОРх УОхЗ, УхРЗ, хОРЗ.
Н ПРИМЕРЫ
Дано квадратное уравнение: Зх2 + 2х - 7 = 0. Найдите его корни используя формулу корней квадратного уравнения. (УОРх.)
Ученик нашел корни квадратного уравнения, используя теорему обратную к теореме Виета. Как он это сделал? (УОхЗ.)
Ученик, разложив квадратное уравнение на множители, наше] корни. Какой математический факт положен в основу такого решения' (УхРЗ.)
Придумай квадратное уравнение, корнями которого являются чис ла 2 и -2, полученные с помощью формулы разности квадратов. (хОРЗ.)
Поисковые задачи — неизвестны два компонента Ух£/3 УОх1/, хОРу, xi/РЗ, УхР1/, xOi/3.
►► ПРИМЕР
В кружке, где Аня изучает математику, занимается более 94% мальчиков. Какое наименьшее число школьников может быть в этом кружке? (УОху.)
Проблемные задачи — неизвестны три компонента 'Wxyz, xOyz, xyPz, xyz3.
H ПРИМЕР
В точках А и В посреди океана находятся два корабля. Расстояние АВ равно 50 км. Корабли одновременно начинают двигаться прямолинейно в производных направлениях с постоянными скоростями соответственно 15 км/ч и 20 км/ч, пока не встречаются в точке С. Каково наибольшее возможное время их движения до встречи?
Структура задачи определяет и уровень проблемности в деятельности, которая направлена на решение задачи: репродуктивная или алгоритмическая (воспроизведение изученного способа), продуктивная (использование известного способа в новых ситуациях, привлечение знаний из других тем курса), творческая (использование эвристик).
Кроме деления по структуре и уровню проблемности, существуют и другие типологии математических задач. Задачи классифицируют:
по математическому содержанию (У и 3 принадлежит определенному разделу математики): арифметические, алгебраические, геометрические, тригонометрические, комбинаторные и т. д.;
по методу решения (представлен О и Р): практические, арифметические (на основе зависимостей между компонентами арифметических действий), алгебраические, графические (составление уравнений, неравенств и их систем), геометрические (через использование геометрических фигур и их свойств), комбинированные;
по характеру требований (представлен в 3): задачи на вычисление, доказательство, объяснение, преобразование» конструирование, построение и т. д.;
по специфике языка: текстовые (условие представлено на естественном языке), сюжетные (присутствует фабула), абстрактные (предметные).
Всякая типология задач является условной и зависит от многих обстоятельств. Так, например, одну и ту же задачу, бывает, можно решить и арифметическим, и алгебраическим, и геометрическим методами. А отнесение задачи к тому или иному виду по степени проблемности во многом зависит от того, кто решает эту задачу. Несмотря на это, различные типо-
логии позволяют учителю более осознанно подходить к отбо] задач в зависимости от целей обучения.
Важную роль в курсе математики играют сюжетные з дачи. Фактически при их решении впервые реализуется о на из важных задач курса математики — обучение мето; моделирования (моделирование в школьном курсе математ ки кратко можно охарактеризовать как описание реальнь процессов на языке математики). Под сюжетными следу понимать задачи, в которых описан некоторый жизненнь сюжет (явление, событие, процесс) с целью нахождения о ределенных количественных характеристик или значен! [9, с. 3].
К сюжетным задачам применимы типологии, рассмотре ные выше. Кроме этого, выделяют типологию по сюжету (1 движение, покупки, работу и т. д.). Среди сюжетных зада (необязательно математических) высокий уровень пробле: ности имеют задачи образного характера, которые можно с нести к эвристическим. Их решение требует целостного вс приятия ситуации, описываемой в задаче, и опирается на о раз. Поэтому в них очень трудно выделить данные (что дане задаче) и обобщенный способ решения, что связано с субъе тивностью образа.
В школьном курсе математики порядок изучения задач у танавливается с учетом логики формирования математич ских понятий курса и сложности самих задач.
Сложность — объективная характеристика задачи, кот рая зависит от количества связей, характера связей, формул ровки задачи (формулировка на естественном или искусстве ном языке, использование понятий и терминов из разнь предметных областей), конструкции текста (логическая грамматическая структура текста, например задачи, име: щие структуру УЗ, воспринимаются легче, чем текст, в кот ром заключение предваряет условие ЗУ, либо условие или s ключение разнесены в тексте: УЗУ, ЗУЗ).
Решение задачи всегда предполагает встречу объекта (5 дачи) и субъекта («решателя*), поэтому процесс решения 5 дачи включает и субъективный компонент, что выражает таким критерием, как трудность задачи.
Трудность — субъективная характеристика задачи, зав сит от субъектного опыта ребенка, который включает: знаш предметных областей, в том числе математические знани учебные умения; интеллектуальные умения, связанные с в чествами мышления, типологическими свойствами; жизне ные представления, которые отражают то привычное, с ч<
сталкивался ребенок в жизни. Именно поэтому в четвертом вопросе, из предваряющих лекцию, ребенок переставляет две цифры, используя по привычке слово * переставить» в смысле поменять местами. Он не обращает внимания, что в задаче требуется оперировать только одной цифрой, а значит, предполагалось использовать другое значение слова о переставить» — поставить на другое место.
Функции задач в обучении
Вопросу определения функций задач в обучении уделяется много внимания в методической литературе [3], [4], [5], [8]).
В педагогической практике принято разделять задачи с дидактическими, познавательными и развивающими функциями [5].
Широкое распространение получило также деление задач по их роли в учебном процессе на задачи как средство и как цель обучения.
Задачи как средство обучения выполняют следующие функции:
обучения математической деятельности;
формирования знаний, умений и навыков;
развития учащихся (качеств мышления);
воспитания (через содержание, организацию деятельности, общение);
обучения моделированию явлений действительности.
Если задача рассматривается как цель обучения, то предполагается, что учащийся в результате ее решения усваивает понятие задачи, ее структуру и компоненты; процесс решения, приемы работы с текстом задачи, способы решения отдельных видов задач, общие методы поиска решения.
Одна и та же задача в зависимости от ее роли в процессе обучения может выполнять различные функции. Кроме того, определяющим является место данной задачи среди набора или системы задач.
Процесс решения задачи
В процессе решения задачи выделяют четыре основных этапа работы.
Анализ текста задачи. Одна из трудностей анализа текста задачи состоит в том, что текст неодинаково воспринимается и понимается разными людьми. Необходимо учитывать, что существует несколько задач, созданных на основе это-
го текста: задача, которую имел в виду автор; задача, котору «перевел* для себя ребенок; задача, которую воспринял уч тель. И совсем необязательно, что они совпадают. Многообр зие субъективных задач определяется многозначностью слов словосочетаний естественного языка, субъектным опытом р бенка, учителя. Фактически процесс решения задач должен а чинаться с создания одной и той же задачи, корректировк субъектного опыта, привлекаемого к решению, обучению язь ку математики. Чем меньше ребенок, тем выше субъектие ность его индивидуального опыта в области математики, а зна чит, тем более значима работа с текстом. Цель этапа — выде лить объективное содержание задачи, условие, заключение создать краткую запись, чертеж, схему, если это требуется ре шающему.
Поиск решения задачи. Цель его — создание плана решения задачи, который может быть представлен в виде устного или письменного текста, а также в виде модели или поисковой схемы.j
Реализация плана решения с обоснованием. 1
Проверка решения задачи и запись ответа. Проверку можно проводить по смыслу: существуют ли объекты с описанными и полученными свойствами; проверка правильности выполнения логических и математических операций и т. д. Кроме того, этот этап предполагает обобщение и систематизацию полученного опыта, рефлексию, осознание того, как и с помощью каких процедур была решена данная задача. В некоторых случаях проводится исследование задачи (другие методы и способы решения, единственность или не существование объекта).
Например, прочитав текст задачи: «Катеты прямоугольного треугольника 3 и 4 см, а высота, проведенная к гипотенузе, — 2 см. Найти отрезки, на которые делит основание высоты ги
потенузу*, многие учащиеся тут же начинают вычислипотенузу*, многие учащиеся тут же начинают вычислигипотенузу, используя теорему Пифагора.гипотенузу, используя теорему Пифагора.НоНотакойтакойтреугольтреугольник не существует. Иногда и авторы задачников не учитыник не существует. Иногда и авторы задачников не учиты
потенузу*, многие учащиеся тут же начинают вычисли
потенузу*, многие учащиеся тут же начинают вычисли
гипотенузу, используя теорему Пифагора.
гипотенузу, используя теорему Пифагора.
Но
Но
такой
такой
треуголь
треуголь
ник не существует. Иногда и авторы задачников не учиты
ник не существует. Иногда и авторы задачников не учиты
вают возможность разных ответов к задаче, что опять определяется в первую очередь субъектным опытом. Например, в задаче: «На книжной полке стоит двухтомник. Пусть толщина страницы составляет 0,05 мм, а толщина обложки — 1 мм. В первом томе 320 страниц, а во втором — 400. Жучок прогрыз две книги от первой страницы первого тома до последней страницы второго. Какое расстояние он при этом прополз?* Автор задачи предполагает только один ответ, но находятся
учащиеся, которые получают и другие ответы, объясняя, что книги могут быть поставлены на полку разными способами.
Некоторые авторы считают, что задачи с многозначными, неопределенными ответами или несуществующими объектами не должны задаваться учащимся. Но все зависит от цели. Если необходимо, чтобы математические знания ребенок мог использовать в окружающем мире, то надо исходить из того, что в реальной жизни встречаются и задаются невероятные ситуации, которые и требуют критического (исследовательского) подхода.
Поэтому четвертый этап может быть в определенных случаях (существование, единственность объекта, описываемого в задаче) частично быть рассмотрен в начале второго этапа, что может помочь нахождению способа решения, особенно при решении геометрических задач. Следует также отметить, что в реальном процессе решения задачи все данные этапы переплетаются, и человек, решающий задачу, может многократно возвращаться к одному из предшествующих этапов.
Потребность в выполнении всех четырех этапов необходимо воспитывать у ребенка. Поэтому ответ на четвертый вопрос теста предполагает не только выполнение требования, поставленного в задаче, но и исследовательскую работу.
^Ключевая информация
Существует несколько определений задачи: как цели, заданной в определенных условиях, как модели проблемной ситуации и как объекта мыслительной деятельности.
Основными компонентами структуры задачи являются условие, обоснование (базис), решение, заключение (УОРЗ).
Задачи классифицируются: по степени проблемности, по математическому содержанию, по методу решения, по характеру требований и по специфике языка.
Сложность (количество и характер связей, формулировка и конструкция текста) есть объективная характеристика задачи. Под трудностью понимают субъективную характеристику задачи, которая зависит от субъективного опыта ребенка.
Принято разделять функции задач в обучении (дидактические, познавательные, развивающие), как средства и как цели обучения.
Процесс решения задачи включает анализ текста, поиск решения, реализацию плана, проверку и запись ответа.
Рекомендуемая литература
Балл Г. А. Теория учебных задач. — М.: Педагогика, 1990.
Гурова Л. Л. Психологический анализ решения задач. — Во неж: Воронежский университет, 1976.
Калягин Ю. М. Задачи в обучении математике: Ч. I, II. — 1 Просвещение, 1977.
Методика преподавания математики в средней шко. Частная методика / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и д; Сост. В. И. Мишин. — М.: Просвещение, 1987.
Нешков К. И., Семушин А. Д. Функции задач в обучении Математика в школе. — 1971. — №3. — С. 4—7.
Пойа Д. Как решать задачу / Пер. с англ. — М.: Учпедгиз, 195
Пойа Д. Математическое открытие. — М.: Наука, 1970.
Фридман Л. М. Логико-психологический анализ школень учебных задач. — М.: Педагогика, 1977.
Фридман Л. М. Сюжетные задачи по математике. История, т ория, методика. — М.: Школа-пресс, 2002.
Лекция 8
Математические понятия
Считай несчастным тот день или то* час, в который ты не усвоил ничего ново го и ничего не прибавил к своему образо ванию. 1)
Я. А. Каменск.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Каковы мировоззренческие цели обучения математике?
Почему трудно объяснить инопланетянину, что такое стул, которого он никогда не видел, даже если вы говорите с ним на одном языке?
Как вы понимаете, что такое понятие?
Даны три истинных высказывания: любой грамотный человек изучал логику; любой, кто изучал логику, восхищается ею; Остап Бендер не изучал логику.
Есть два предполагаемых следствия из высказываний:
а) Остап Бендер не восхищается логикой; б) Остап Бендер — неграмотный человек.
Какое из суждений следует из трех истинных высказываний: «а», «б* или оба?
Правильно ли выполнена классификация: все треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние?
1 ■ Этапы познания. Общая характеристика понятия
Любая наука представляет собой систему понятий, поэтому в математике, как и в других учебных предметах, уделяется значительное внимание обучению понятиям. Что ясе такое понятие? Понятие относится к формам теоретического мышления, которое является рациональной ступенью познания. Рациональной ступенью мышления или ступенью абстрактного мышления называют процесс воспроизведения действительности в сознании человека с помощью языка, в отличие от чувственной ступени. Деление познания на ступени оправдано в историческом плане, и в каждом процессе познания началом его является чувственный опыт. Поэтому инопланетянину, не имеющему чувственного опыта «общения* со стульями, вряд ли легко будет отличить любой стул от не стула (второй вопрос предварительного обсуждения).
Мышление перерабатывает чувственные данные и создает объекты сугубо теоретического характера: абстрактные, идеализированные, идеальные и т. п. При этом наряду с областями реальной действительности возникают области идеальной действительности, которые изучают так называемые абстрактные науки, в частности математику и логику. Процесс познания на абстрактной ступени представляет волевую целенаправленную деятельность.
В рамках рационального познания выделяют два уровня познаний.
Уровень эмпирического познания. Происходит процесс мыслительной — языковой переработки чувственных Данных на основе мыслительных операций сравнения, анализа, синтеза, обобщения, классификации материала, полученного посредством активного наблюдения. В высказываниях Фиксируются определенные связи, отношения между предметами. Создается эмпирический базис теорий. Для этой ступени характерно знание фактического характера. Именно отсутствие этого знания создает трудности в объяснении инопланетянину, что такое стул. Моделей стульев настолько мно- Го» что описать их все невозможно. А при любом предъявлении набора существенных свойств можно найти предмет, ко-
торый удовлетворяет всем этим свойствам, но не являете стулом.
Уровень теоретического познания. Включается д< ятельность мышления как другого источника знания: происх< дит построение теорий, объясняющих наблюдаемые явление открываются законы области деятельности, которая являете предметом изучения. К основным приемам мыслительной д< ятельности на данном этапе относятся операции с понятиям и высказываниями: обобщение и ограничение, деление и кла< сификация понятий, доказательство и опровержение высю зываний, выводы одних высказываний из других — умоа ключения. И хотя научное понятие рассматривается как фо] ма теоретического мышления, в школе работают не только е уровне теоретического познания, на рациональной ступен мышления. Часто в процессе обучения учителю необходим организовать ситуации, которые позволят учащимся прио< рести необходимый чувственный опыт как основу понятиз Это объясняется тем, что в школе основная задача — не об; чить наукам, а приблизить к ним, ввести в них, вызвать инт рес, понимание необходимости их изучения.
Понятие является объектом рассмотрения различных н. ук, поэтому существуют различные его трактовки. «Нет нич го более запутанного, чем понятие о понятии♦.
В логике понятие рассматривается как форма абстракт» го мышления, отражающая существенные признаки класс однородных предметов или отдельного предмета [2, с. 102].
С точки зрения философии понятие — это форма мышл ния о целостной совокупности существенных и несуществе! ных свойств объектов реального мира.
В традиционном обучении понятие в основном рассматр] вается с позиций логики. При таком подходе неясно, как фо; мируются понятия у человека, как они связаны с образам! накопленными у него, с его опытом. Поэтому построение пр цесса обучения в рамках личностно-ориентированного подх да с учетом естественного развития ребенка требует друго] подхода к трактовке понятий. Ответы на поставленные вып вопросы дает психологическая трактовка, в которой понят! рассматривается как многоуровневая иерархически организ ванная структура, включающая образы разной степени обо щенности [1]. Эта трактовка отражает генезис понятия у чел века, поэтому именно ее использование целесообразно в пед гогике, ориентированной на развитие личности ученик Обобщение образов идет по пути выделения существеннь свойств понятия.
Свойство — это то, что каким-то образом характеризует вещь и не требует для своего описания более одной вещи.
Существенными свойствами понятия являются те, без которых понятие (объект для понятия) не существует. При их помощи выделяются и обобщаются предметы интересующего нас множества. В литературе встречается и термин <существенные признаки». Но слово «признак» в школьном курсе математики имеет другой смысл, поэтому следует употреблять слово «свойство». Иногда под существенными свойствами объекта для понятия понимаются такие, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а взятые в совокупности достаточны для отделения данного понятия от остальных. Но в этой трактовке термин «существенные» скорее характеризует определенный набор, а не отдельные свойства, поэтому в дальнейшем под существенными свойствами будем понимать первую трактовку. Например, можно выделить следующие существенные свойства ромба: «быть параллелограммом, являться четырехугольником, иметь равные все стороны, иметь равные противоположные углы; диагонали в точке пересечения делятся пополам, диагонали лежат на биссектрисах углов ромба ит.д.».
Конечно, таких свойств у объекта может быть достаточно много, поэтому часто обращаются к достаточному набору свойств. Достаточные свойства или, точнее, достаточный набор существенных свойств позволяют однозначно выделить интересующее нас множество объектов из всех остальных. Так, например, для ромба достаточный набор свойств могут образовывать свойства: «быть параллелограммом и иметь все равные стороны». Другой достаточный набор: «быть параллелограммом и иметь диагонали, делящие утлы ромба пополам». Таких наборов может быть несколько. Они образуют либо определение понятия, либо признаки.
Любое понятие характеризуется объемом и содержанием. Объем — множество объектов, выделяемых и обобщаемых в понятии. Содержание — существенные свойства понятия. Основное содержание — достаточный набор свойств, т. е. все те свойства, каждое из которых, взятое отдельно, необходимо, а взятые в совокупности достаточны для отличения данного понятия от остальных [3, с. 102].
На каждой новой ступени развития понятий возникают новые связи между понятиями. Так, сокращение содержания понятия С (Ct zd С2) влечет за собой расширение его объема (Кх с У2). Эту операцию называют обобщением понятия. Например, если из содержания понятия «равносторонний треугольник» изъять свойство «равенство всех сторон», то мно-
жество треугольников, удовлетворяющих новому содержа нию, станет «шире» — будет содержать множество всех равш сторонних треугольников в качестве подмножества.
Расширение содержания понятия (Cj с: С2) ведет к суж< нию его объема (Кт z> V2) и называется ограничением (спещ ализацией) понятия. Пример такой операции — переход от п« нятия тождественных преобразований к понятию сокращена дробей. Рассмотрение отношений между выпуклыми четыре; угольниками и окружностями привело к понятию вписанно! в окружность четырехугольника. В результате в множесп выпуклых четырехугольников выделяется множество вписаз ных в окружность четырехугольников, которые характерна: ются более сложным содержанием, но меньшим объемом г сравнению с множеством выпуклых четырехугольников.
Сформированноеть понятия характеризуется умение раскрыть все его существенные свойства в их (внутренних внешних связях с другими понятиями) целостной совокупно ти, умением мыслить понятие в системе понятий. Наприме рассмотрим следующую фразу: «Муха села на варенье». Обы но, слыша или произнося эту фразу, человек представля! живописную картинку. В понятиях же эту фразу можно тра товать следующим образом: «Элемент множества мух ст< принадлежать множеству всех элементов, существенны свойством которых является сидеть на варенье».
Одним из основных действий изучения объекта и форм рования понятия является действие определения.
Определение понятия. Типы определений.
Требования к определениям
Определение (дефиниция) понятия — логич ская операция, раскрывающая основное содержание понят! или значение термина. Способы раскрытия основного соде жания задают типы определений (рис. 11).
ТИПЫ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Вербальные
Явные
через род и видовыеотличия
Невербальные
Неявные
Рис. 1 1
Аксиоматические(описываются системойаксиом)
Описательные
В школьном курсе математики в 1—4 классах и частично в 5—6 классах чаще используются остенсивные определения понятий и описательные, которые описывают объекты с помощью моделей, рассмотрения частных случаев, выделения отдельных существенных свойств. Так, учитель, изображая треугольники на доске, знакомит учащихся с понятием треугольник. Иногда встречаются и явные определения, например определение квадрата как прямоугольника с равными сторонами.
В средней школе преобладают вербальные определения, часто встречаются явные определения. Реже встречаются неявные описательные определения, например понятие непрерывной функции, или аксиоматические, которые задают понятия через выполнение определенных свойств, описанных в аксиомах. В курсе геометрии таковыми понятиями являются понятия точки, прямой, длины, площади.
В явном определении даны определяемое понятие и определяющее, объемы которых равны. К их числу относится самый распространенный способ определения через род и видовые отличия. Как же связаны род и вид?
Множество всех объектов, к которому применимо данное понятие, составляет класс. Один класс является высшим (родом) по отношению к другому (виду), если он включает в себя вместе со всеми элементами данного класса элементы другого класса. Отношение рода и вида — одно из основных отношений между понятиями. Оно задает наиболее распространенный тип определений. Находясь в известных отношениях друг с другом, понятия составляют систему. Один и тот же раздел школьного курса математики можно описать с помощью различных систем понятий.
С точки зрения логики определение через род и видовые отличия является высказыванием, логическая форма которого является эквиваленцией. Структура включает такие элементы, как термин — род — видовое(ые) отличие(я) и логические связи, Способ выделения видовых отличий определяет вид определения: через описание характеристических свойств, конструктивные или генетические (задан способ построения или происхождения объекта), рекурсивные (указываются базисные объекты некоторого множества и правила, позволяющие получить новые объекты этого же множества), отрицательные (объект задается через отсутствие у него определенных свойств).
Связи между родом и видовыми отличиями всегда конъюнктивные. Связи между видовыми отличиями могут быть конъюнктивными или дизъюнктивными.
С учетом типа логической связи видовых отличий выдели ют конъюнктивные и дизъюнктивные определения.
Выполнение логического анализа определения поняти предполагает определение его вида, а для определения черс род и видовые отличия — запись его структуры.
Раскрытие математического содержания каждого элемеь та называют математическим анализом определения. Обе эт операции носят название логико-математического анализ определения.
Для примера можно рассмотреть определение квадрата.
►► ПРИМЕР
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Его структура может быть представлена следующим образом: Логический анализ
Д(х) <=>Vx G М аВ(х)
Термин (лог. связка)Род (лог. связка) Видовые отличия
Математический анализ
Квадрат Множество прямоугольников Все стороны равн» ТерминРодВидовые отличия
Подробно эта запись может быть прочитана:
Объект х является квадратом (имеет свойство «быть квадратом») то да и только тогда, когда х принадлежит множеству прямоугольников обладает свойством «все стороны равны».
В школьном курсе встречаются определения с сочетание слов, например медиана треугольника, биссектриса угла тр угольника и т. д., а также словами, выражающими связи ил отношения между объектами (смежные углы, параллельнь прямые и т. п.). В этом случае определение рассматриваете на множестве пар, троек. В частности, для медианы треугол: ника множество М — это множество пар отрезков и треугол ников, структуру его можно записать А(х, у) <=> V (х, у)е М л В(х, у) а С(х, у). Медиана треугольника — это отрезо! который соединяет вершину треугольника с точкой стор ны, противоположной этой вершине, и эта точка является с рединой стороны. Выделенные свойства позволяют записа: это определение в виде алгоритма. Медиана треугольник 1) отрезок в треугольнике; 2) соединяет вершину с точко) противоположной вершине стороны; 3) точка — середина ст роны.
Такая запись облегчает учащимся усвоение определения показывает свойства, которые необходимо проверить у объе: та, чтобы отнести его к некоторому понятию.
Для других видов определений логико-математический анализ явно не выполняется. Устанавливается вид определения, для аксиоматического определения выделяются аксиомы, описывающие неопределяемые понятия, связи с уже изученными темами. Это позволяет определить знания, которые необходимо актуализировать.
Для явных определений существуют формально-логические требования их корректности.
Во-первых, определение должно быть соразмерным, что предполагает равенство объемов определяемого и определяющего понятий. Иначе может быть допущена логическая ошибка. Существует притча, что как-то Платон на лекции в Академии привел пример определения: * Человек — это двуногое существо без перьев». Тогда Диоген принес ощипанного петуха. Платон уточнил определение: «Человек — это двуногое существо без перьев с широкими ногтями».
Во-вторых, определение не должно содержать круга. «Прямой угол — это угол, содержащий 90°», «Градус — это величина угла, составляющего 1/90 часть прямого угла».
В-третьих, определение должно быть четким и ясным, раскрывающим определенный набор свойств понятия. Утверждение, что «лень — мать всех пороков», конечно, поучительно, но не определяет понятие лени.
В-четвертых, целесообразно определять объект через ближайший род.
Полезно также выделить еще одно требование, которое заключается в показе целесообразности введения понятия. Определяя понятие, необходимо приводить примеры объектов, ему не удовлетворяющих, и показать, что определение не является бессодержательным. В школьном курсе встречаются ситуации, когда после определения доказывается теорема существования.
В процессе обучения необходимо учитывать еще и методологические требования: определение понятия формулировать после всестороннего изучения предмета; изучать предмет не в статике, а в развитии; учитывать критерий практики и принцип конкретности истины [7].
Классификация понятий
Объем понятия раскрывается путем классификации.
Классификация — систематическое распределение некоторого множества по классам, возникающее в результате по- следовательного деления.
Операция деления — логическая операция, раскрывающа объем понятия путем выделения в нем возможных видов объев та. Например, всех студентов педагогического университет можно разделить на собирающихся идти работать в школу ; не собирающихся. Основанием деления является свойство, соответствии с которым выделяются виды. В вышеприведен ном примере основанием является свойство: «иметь намерс ние работать в школе».
При осуществлении классификации важен выбор основе ния: разные основания дают разные классификации. Так, не пример, выбрав в качестве основания количество равных сторон все параллелограммы можно разделить на ромбы и параллс лограммы, имеющие неравные смежные стороны; а такое о< нование, как наличие прямого угла, позволяет разделить вс параллелограммы на прямоугольники и параллелограммы, н являющиеся прямоугольниками.
Классификация может производиться по существенны! свойствам (естественная) и по несущественным (вспомогателт ная). При естественной классификации, зная, к какой групп принадлежит элемент, мы можем судить о его свойствах. Таь Д. И. Менделеев, расположив химические элементы в зависг мости от их атомного веса, раскрыл закономерности в их свое ствах и создал периодическую систему, позволяющую пре; сказывать свойства еще неоткрытых химических элементов.
Рассматривают два вида деления:
деление по видоизменению признака — это деление, пр котором свойство — основание деления присуще объектам вь деленных видов в разной степени (например, в зависимости о количества какого-либо вещества в растворах их делят на рас творы разной концентрации);
дихотомическое деление — это деление, при котором две ное понятие делится на два вида по наличию или отсутстви! некоторого свойства.
Например, классификацию треугольников можно выпо; нить по двум основаниям: величине одного угла (при условие что остальные острые) и равенству двух сторон. Первое деле ние — деление по видоизменению свойства, второе — дихотс мическое. В результате все треугольники будут сначала разб! ты на остроугольные (все углы острые), прямоугольные (оди угол прямой), тупоугольные (один угол тупой), а затем кая дое из полученных множеств будет разделено на два подмж жества. Будет получено шесть классов: остроугольные разя сторонние, остроугольные равнобедренные, прямоугольны
разносторонние, прямоугольные равнобедренные, тупоугольные разносторонние, тупоугольные равнобедренные.
Великий физик Л. Ландау как-то предложил следующее деление зануд. Всех зануд он разделил на гнусов (грубияны, скандалисты, драчуны), моралинок (выделяют особый продукт моралин, читают всем нравоучения), постишек (всем недовольны и «носят» постные лица), обидчивых (постоянно на кого-то в обиде).
Операция деления подчиняется следующим правилам:
деление должно быть соразмерным, т. е. объединение выделенных классов должно образовывать исходное множество (сумма объемов видовых понятий равна объему родового понятия);
деление должно проводиться только по одному основанию;
пересечение классов должно быть пусто;
деление должно быть непрерывным. Например, нельзя делить, как иногда делают в школе при изучении русского языка, члены предложения на подлежащее, сказуемое и второстепенные члены. Сначала необходимо выделить главные и второстепенные члены предложения, а затем уже делить каждый вид.
Процесс становления понятия.
Основные этапы работы с понятием
Процесс формирования понятий включает следующие этапы: перцепт (образ восприятия); представление (вторичный образ — создается в отсутствие наглядной основы); предпонятие (образный концепт, обобщенное представление, концепт, образ-понятие, «система» представлений); понятие; систему понятий (теория).
Каждый из этих этапов подчиняется определенным психологическим закономерностям, которые являются основой выделения условий организации деятельности при изучении математики.
Предпонятие Л. С. Выготский рассматривал как не достигший высшей ступени своего развития концепт, находящийся в простом и непосредственном отношении к объекту и не включенный в систему вышестоящего понятия [2, с. 272]. В ЗО-е гг. прошлого века термин «предпонятие» широко использовался в психологии. Но с исчезновением педологии к Нему перестали обращаться, а в методике обучения математике он практически не использовался в силу параллельности
развития психологии и практики обучения. Хотя предпоня- тие представляет значимый этап в становлении понятия. Понимание значения термина «предпонятие» важно в силу его приоритета в школьном возрасте. В методике обучения математике часто не отличают предпонятие от понятия (научного), говоря на всех этапах обучения о формировании понятий. Необходимость постоянного обращения к этим терминам в методике обучения математике требует уточнения этих понятий.
Предпонятие (обобщенное представление) есть необходимое звено, смыкающее первосигнальную систему и второсигнальную. Они являются переходной ступенью от мышления в образах к мышлению в понятиях. Для понимания процессаj развития познания немаловажное значение имеет его разграничение на живое созерцание и мышление (эмпирическое и теоретическое). Поэтому предпонятие еще называют эмпирическим понятием. Переходный характер предпонятия под-; тверждает и отнесенность предпонятия в психологической литературе как к разделу, посвященному образам и представлениям, так и к разделу описания понятий [2]. В психологине-: ском словаре под ред. В. П. Зинченко и Б. Г. Мещерякова (М.: Педагогика-Пресс, 1997) при раскрытии термина понятия; описывается и характеристика эмпирического понятия как, фиксирующего «нечто одинаковое в каждом отдельном пред-; мете класса на основе сравнения», что является свойством обобщенного представления — предпонятия и указывает на его связь с восприятием. |
Именно на уровне предпонятия оперирует большинство учащихся с понятиями. Предпонятия — основа понятия.] И если соответствующие предпонятия не были сформированье в 1—6 классах, то условия для их формирования создаются на подготовительном этапе работы с понятием. На этом этапе актуализируется и корректируется субъектный опыт ученика в соответствии с общественно-историческим.
Ученик является субъектом образовательного процесс^ Каждый ребенок, придя в школу, уже имеет свой собственны^ опыт познания окружающего его мира людей и вещей. Эта опыт его жизнедеятельности, накопленный через общение в семье, со сверстниками и другими людьми, через источник^ информации, в процессе целенаправленного обучения. Учй4 тель знакомит учащихся с историческим общественным опы, том в какой-либо предметной области. Чтобы вводимое учителем содержание имело личностный смысл, оно должно соглач соваться с имеющимися у ученика ценностями, установками способами переработки информации, отношением к содержа!
нию знания. Каждый предмет многомерен в своем содержании, но в каком именно содержании с ним намерен работать учитель — ученик не знает.
На этом этапе учителю важно, во-первых, выявить то «смысловое поле», через которое ученик определяет предмет, и четко обозначить содержание, которое будет использовано учителем как объект анализа. Несовпадение предмета и объекта анализа приводит к тому, что ученик и учитель часто работают с разным содержанием. Задача учителя — выявить смысловые характеристики понятий, а затем «окультурить» (предметный аспект субъектного опыта).
Во-вторых, учитывать природную активность, особенности психофизиологической организации ребенка (процессуальный аспект субъектного опыта).
В-третьих, воспитывать ценностное отношение к знанию через личностную значимость предметной и деятельной составляющих знания для ребенка. Ведь в гносеологии все большее внимание уделяется рассмотрению проблем не столько объективности, сколько избирательности познания. Признаются как равноправные два типа детерминации — причинная и ценностная. Первая — для мира вещей, вторая — для людей (ценностный аспект субъектного опыта).
Каковы же критерии сформированное™ предпонятий и понятий?
Считается, что ученик овладел предпонятием геометрического объекта, если у него сформирован широкий запас свойств, существенных для соответствующего геометрического понятия (образующих более чем один достаточный и необходимый набор) и объем понятия, который может дифференцироваться в дальнейшем, т. е. можно говорить о неполной систематизации на уровне обобщенных представлений. При этом ученик еще может не уметь выделять достаточного набора свойств геометрического объекта, на основе которого формируется определение, а геометрический объект может описывать не через ближайшее родовое понятие, т. е. у ученика еще не сформирована иерархия понятий вышележащих уровней. Ученику может быть недоступно оперирование логическими кванторами.
Считается, что у ученика сформировано понятие геометрического объекта, если он овладел предпонятием и мыслит геометрический объект в системе понятий, т. е. может выделить понятия, для которых данное является максимальной подсистемой, и понятия, для которых данное является ближайшим Родом. При этом из набора существенных свойств геометриче-
ского объекта он может выделить достаточный и необходи мый набор (желательно не один) и сформулировать ©пределе ние понятия, т. е. он мыслит понятие как определеннук структуру. Ученик владеет логическими кванторами. Сфор мулированные критерии годятся и для других математиче ских объектов.
Методика работы с понятием, а также с другим теоретиче ским материалом (теоремой, правилами) включает четыр< этапа:
профессиональный (выполнение логико-математическоп анализа, который позволит на уроке дать определение в алго ритмизированном виде и отобрать знания, которые необходи мо актуализировать);
подготовительный (актуализация необходимых знаний связь с субъектным опытом ребенка, мотивация);
основной (обучающий);
этап закрепления (применение введенного теоретическо го материала при решении типовых задач).
Последние три этапа реализуются при работе с учащимися в классе.
Профессиональный этап можно рассматривать как нуле вой, так как его осуществляет учитель сам, но частично он мо жет реализовываться и в классе в зависимости от ступени обу чения и возможностей учащихся.
Подготовительный этап включает следующие шаги:
Актуализация ЗУНов, выделенных при проведении ло гико-математического анализа.
Цель: осуществление обратной связи между учителем и уча щимся, выявление незнания, неумения, их исправление и кор ректировка у учащихся.
Формы: устный диктант с обязательной проверкой на уро ке или включение в домашнюю работу соответствующих зада ний к уроку по введению нового понятия.
Если в результате проверки большинство учащихся н справляется с заданиями, то целесообразно отказаться от вва дения нового материала и повторить пройденное.
Показ связи вводимого понятия с уже сформированнЫ ми у учащихся образами или понятиями через выявление из субъектного опыта (предметный аспект), связанного с эти1 понятием, и его «окультуривание*, раскрытие этимологи] термина «понятие*.
Цель: создание условий для включения новых знаний; систему уже сложившихся у ученика знаний, создание один нового «смыслового поля*, через которое ученик определяй
понятие, а учитель использует как объект анализа, т. е. создание условий для понимания (♦ разговор на одном языке»).
Формы: если вводимый термин уже встречался ребенку (включен в субъектный опыт ребенка), то предлагается учащимся раскрыть смысл этого термина (ответить на вопрос, что понимается под этим термином) или включить в контрольные работы, проводимые перед введением понятия, опережающие диагностические задания, связанные с этим понятием. Если термин не знаком ребенку, то попытаться описать его через знакомые ему понятия. Так, например, дробь ^ при оперировании может вызвать затруднения учащихся, в то время как знакомый ребенку образ половины является «рабочим». Раскрытие этимологии может помочь связать новое понятие со знакомым образом.
При введении отрицательных чисел сам термин может быть не знаком учащимся, но и «число», и «отрицательный» (негативный) — слова, знакомые учащимся. Именно такое отношение вызывали числа, связанные первоначально с долгами. Эти числа долго не признавали. В математику они окончательно вошли лишь в XVHI в. Долг — слово также знакомое учащимся. Ситуация с возвратом 5 рублей, когда в кармане 2, позволяет связать действия с числами, имеющими разные знаки, со знакомыми учащимся образами. Как показывает опыт, на основе этого образа учащиеся неплохо складывают положительные и отрицательные числа, в то время как введение соответствующего правила (не связанного с опытом учащихся) у многих вызывает ухудшение выполнения действий. Особенно это касается учащихся с преобладанием в мыслительной деятельности правого полушария.
Выявление субъектного опыта позволяет заранее предвидеть, какие понятия могут вызвать затруднения учащихся, и организовать специальную работу. Так, предложенное в вопросах для предварительного обсуждения задание на прб- верку умений делать логические выводы (про Остапа Бендера) показало, что почти половина студентов не владеет этим умением (правильный ответ «б»), поэтому переходу к изучению теорем должна предшествовать работа, направленная на применение законов логики и правил вывода в различных ситуациях. В результате реализации этого этапа целесообразно ввести тему урока.
Показ необходимости изучения понятия (значимость его 8 жизни, в науке, в различных учебных дисциплинах) через
реализацию ценностного аспекта субъектного опыта (мотива ция)...
Цель: создание условий для формирования личностно-зне чимого знания.
Формы: беседа или выполнение проблемных заданий.
Для отрицательных чисел мотивационными заданиям могут быть задания, связанные с определением температур] воздуха, с расположением объектов выше и ниже уровня мор и т. п. Также необходимо показать и предметную мотиваци: (невыполнимость действия вычитания в определенных случ] ях), особенно учащимся, интересующимся математикой.
Накопление образов как основы понятия через модел! рование и варьирование несущественных свойств; выделен! свойств объектов, существенных для понятия.
Цель: формирование предпонятия, создание личностнь образов, адекватных формируемому понятию.
Формы: задания на нахождение соответствующих модем понятия в окружающем ребенка мире.
Эта работа позволит среди различных обобщенных образ< выбрать наиболее близкий ученику. Именно на него опир ется ребенок при усвоении понятия и оперировании им. Э позволит ребенку войти в мир научных понятий. Наприме после рассмотрения различных материальных моделей дв; параллельных прямых некоторые учащиеся предпонятие о в раллельности двух прямых линий связывают с образом рел на прямолинейном участке, что наполняет геометрическое с ношение содержанием, близким и понятным ребенку.
В результате реализации этого этапа ученики сами мог сформулировать «вариант» определения.
Конечно, последовательность второго—четвертого этап может меняться, не все они могут быть реализованы на ypoi
Можно рассмотреть подготовительный этап на приме введения понятия «отрицательные числа» как чисел, соотв ствующие точки которых лежат левее нуля на числовой п] мой. Это определение явно конструктивное (или вербалы описательное). Необходимо актуализировать: 1) понятие 1 турального числа; 2) числовой прямой; 3) умения наход! точки на числовой прямой; 4) умение отличать понятия «п вее», «левее» (некоторые путают или для них это не важно)
Учащимся предлагается выполнить следующие задан] «Путешественники поднялись на вершину 150 м над уровЕ моря, а потом спустились, используя батискаф, на глуб! 180 м. Где они оказались?» Или: «Температура 2 градуса.
низилась на 5 градусов. Какая стала температура? (-3 градуса)».
Целью основного этапа является введение и первичное усвоение формулировки определения через формирование (на определенном возрастном этапе и в определенном классе) операции определения понятия, которая включает следующие действия:
неявный логический анализ структуры определения объекта (позволяет в работе с учащимися «алгоритмизировать» определение);
действие «подведение под понятие» (в работе с учащимися реализуется в решении задачи на «распознавание» — выделение изучаемого объекта среди предложенных);
работа с формулировкой (переформулировка определения, заполнение пропусков в определениях, нахождение ошибок в некорректных определениях);
действие получения следствий из факта, что конкретный объект принадлежит к классу объектов, охарактеризованных определением;
если требует педагогическая ситуация, замена определения эквивалентным ему.
Последовательность действий может быть различной, что определяется подходом к введению понятия. Последние три действия выполняются, если вводится явное определение. Два последних действия могут носить отсроченный характер.
Существует два подхода к введению понятия и его определения: дедуктивный и индуктивный. Первый заключается в том, что сначала формулируется определение, затем рассматриваются частные случаи, индуктивный способ предполагает формулирование определения как результат рассмотрения частных случаев.
Можно представить реализацию основного этапа на примере явного определения — определения трапеции.
* ПРИМЕР
Трапеция — это вербально явное определение через характеристическое свойство, конъюктивное.
Логико-математический анализ
А(х) Термин-
е» (лог.
V (X) € М Род — мно
А (лог
S(x) Видовые
А С(х) Видовые
трапеция
связка)
жество четырехугольников
связка)
отличия — две стороны параллельны
отличия — две стороны непараллельны
В результате выполнения подготовительного этапа учащиеся нака! ливают образы трапеций, знакомятся с этимологией этого слова (в пери воде с греч. трапеция означает -трапеза*). На этом этапе можно с уч; щимися посмотреть изображения столиков на иконах, их поверхносл имеют форму разных трапеций, изображены с разных точек зрения, ► в определенной закономерности. Все точки, в которых сходятся разли* ные линии взглядов, образуют на иконе крест. Далее учитель предлагав учащимся сформулировать определение трапеции или формулирув сам. На доске и в тетрадях целесообразно записать сокращенно в алг< ритмизированной форме определение:
Трапеция сф 1. Четырехугольник. 2. Есть две параллельные сторож 3. Есть две непараллельные стороны. 4. Выполняются все свойства однс временно.
Действие подведения под понятие фактически направлено на лож мание определения учащимися и предлагается в форме заданий на рас познавание. Можно попросить определить, являются ли трапецией прех ложенные объекты; оформить это задание в виде таблицы:
ПроверкасвойствПроверкасвойствВыполняютсяодновременноВыполняютсяодновременно№№ОбъектОбъектВыводВывод2233445566Только при наличии всех положительных ответов во всех чет столбцах делается вывод, что объект принадлежит к множеству ций.
Проверкасвойств
Проверкасвойств
Выполняютсяодновременно
Выполняютсяодновременно
№
№
Объект
Объект
Вывод
Вывод
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
Количество предлагаемых примеров определяется количеством можных различных комбинаций знаков в столбцах. Рассмотрение п ров 1 и 3 (одинаковые знаки в таблице) необязательно и приведено методических соображений, чтобы показать учащимся возможность верки любого объекта на принадлежность к определенному множ
Подобные примеры целесообразно включать в расе рение для того, чтобы уделить внимание одному из ос ных свойств фигур школьного курса — принадлежать п кости или не принадлежать плоскости. Эти свойства в с
разделенности школьного курса геометрии на планиметрию и стереометрию часто остаются вне внимания школьников.
На основном этапе предпочтительно применение самостоятельной работы учащихся с обязательной проверкой с объяснением.
Далее предлагается конструирование определений объекта самими учащимися (иногда сознательно с ошибками). Другие ученики должны найти некорректность предложенных определений, если они есть.
В завершение этого этапа необходимо выделить свойства объекта. Новые свойства объекта появляются, когда рассматриваются отношения изучаемого объекта с объектами других множеств. В частности, рассмотрение трапеций и окружностей позволяет выделить трапеции с таким свойством, как равенство сумм противоположных сторон (описанные около окружности трапеции) или равенство противоположных углов (вписанные в окружность трапеции).
Целью этапа закрепления является установление и развитие связей и отношений с другими понятиями, способствующие систематизации знаний.
Реализация этого этапа может быть осуществлена с помощью следующих методических приемов:
включение в существующую классификацию, например с помощью кругов Эйлера;
теоретическое обобщение, устанавливающее логические связи с другими понятиями;
конструирование родословной понятия, которое состоит в последовательном выделении расширяющихся множеств вплоть до наибольших, наименьшим из которых является множество, состоящее из объектов введенного понятия;
решение задач, в которых новое понятие используется наряду со знаниями из разных тем курса и требуется замена некоторого понятия введенным понятием и наоборот.
Этот этап обычно реализуется не на одном уроке.
Например, с помощью кругов Эйлера можно попросить Учащихся установить отношения между следующими множествами:
А — множество трапеций, В — множество четырехугольников, С — множество треугольников, В — множество четырехугольных призм, В — множество четырехугольников, У которых две стороны параллельны, В — множество трапеций, в которые можно вписать окружность, G — множество
четырехугольников, в которые можно вписать окружность рмножество параллелограммов, Т — множество равнобед ренных трапеций. На рис. 12 изображен ответ.
Изображения кругов позволяют установить связи межд: множествами. Часто учащиеся рассматривают четырехуголь ники как подмножество четырехугольных призм, смешива; подмножества фигур и элементы фигуры. Также необходим обратить внимание учащихся на обоснование несовпадени множеств. Для этого целесообразны вопросы о том, какие фи гуры принадлежат множеству А, но не принадлежат множесл ву Т или множествам F и Г. Такие вопросы учат грамотн описывать фигуры.
С помощью кругов Эйлера можно установить родословную трапеции: «Трапеция — выпуклый четырехугольник — мн< гоугольник — часть плоскости — плоскость — замкнутая л< маная — отрезки — прямая — точки».
На этом этапе приходится решать много задач, поэтому классах, не особо увлеченных математикой, требуется испол зование разнообразных форм как подачи учебного материал так и деятельности учащихся. Выполнение этого требовав! также необходимо и для создания условий развития уч щихся (через задания, требующие использования когнити ных стилей, противоположных преобладающим у учащихся В начале этапа закрепления не стоит требовать правильнь ответов от учащихся с преобладанием рефлексивного стил флегматиков. Они должны привыкнуть к материалу, осозна его специфику.
^ К л ючев а я и н ф о р м а ци я
Понятием в логике и философии называют фор; мышления, отражающую существенные и несуществен^ свойства, признаки объектов реального мира; в психолог понятие рассматривается как многоуровневая иерархичес
организованная структура, включающая образы разной степени обобщенности.
Понятие характеризуется объемом (множество объектов, выделяемых и обобщаемых в понятии) и содержанием (существенные свойства понятия).
Под определением понятия понимают логическую операцию, раскрывающую содержание понятия. К определениям предъявляются следующие требования: соразмерность, отсутствие логического круга, использование ближайшего рода, четкость и ясность.
Работа с понятиями состоит из нескольких этапов: профессионального (выполнение логико-математического анализа), подготовительного (актуализация знаний, мотивация, связь с субъектным опытом ребенка), основного (обучающего) этапа закрепления.
4-
Рекомендуемая литература
Веккер JI. М. Психические процессы. — Л.: ЛГУ, 1976.
Выготский Л. С. Лекции по педологии 1933—1934. — Ижевск: Изд-во Удмурт, ун-та, 1996.
Гетманова А. Д. Логика. — М.: Гуманит. изд. центр ♦Владос», 1998.
Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики / Е. И. Лященко, К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко и др.; Под ред. Е. И. Лященко. — М.: Просвещение, 1988.
Мадер В. В. Введение в методологию математики. — М.: Интер- пракс, 1994.
Метельский Н. В. Пути совершенствования обучения математике // Проблемы современной методики математики. — Минск: Изд-во Минск, университета, 1989.
Основные законы и формы мышления*. Логический практикум / Под ред. М. Ю. Казаринова. — СПб., 1997.
Рузавин Г. И. Проблемы понимания и герменевтика // Герменевтика: история и современность. — М., 1985.
Слободчиков В. И.. Исаев Е. И. Основы психологической антропологии. Психология человека: Введение в психологию субъективности. — М.: Школа-Пресс, 1995.
Ю. Тестов В. А. Стратегия обучения математике. — М.: Технологическая Школа Бизнеса, 1999.
Лекция 9
Обоснования и доказательства.
Математические утверждения и теоремы
Особенно нравилась математика ш ностью и очевидностью своих рассуж, НИИ.
Р. ДекаК
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Известна притча:
♦Однажды Петр был так рассержен шутом Балакиревы что прогнал его вон из Отечества. Балакирева долго не б: ло видно. По прошествии времени Петр из окна видит, ч Балакирев едет со своей женой в одноколке:
— Кто тебе, негодяй, позволил нарушить указ и оказать на моей земле?
На что Балакирев ответил:
— Ваше величество! Лошади мои ходят по вашей земле, вы их и не лишали Отечества, а что касается меня с жене то мы на своей (шведской) земле.
— Это как?
— Извольте посмотреть. Вот и свидетельство на покуп шведской земли.
Государь засмеялся, когда увидел на дне одноколки с п земли, и простил Балакирева».
На основе нарушения какого закона логики Балакире удалось добиться снисхождения Петра в притче?
Предметом какой науки является доказательство?
Как вы назовете такой вид рассуждений?
♦ — Стало быть, по-вашему, убеждений нет?
— Нет, и не существует.
— Это ваше убеждение?
-Да.
Как же вы говорите их нет. Вот вам уже одно на перв) случай» (Диалог в романе И. С. Тургенева ♦ Рудин»).
Являются ли доказательством следующие рассуждения?
Ни один треугольник не является квадратом. Ни од квадрат не является трапецией. Значит, ни один треуго; ник не является трапецией.
Некоторые композиторы — музыканты, некоторые муз канты — барабанщики. Следовательно, некоторые ком1 зиторы — барабанщики.
Если бы глина была металлом, она была бы электропровод- на. Но глина не электропровод на. Значит, она не металл.
Существует ли доказательство «от противного»? Если да, то каковы его отрицательные стороны?
Присутствуют ли теоремы в школьном курсе алгебры? Назовите три. Почему дети доказывают их хуже, чем в геометрии?
Математическая теория. Аксиомы. Утверждения
Для понимания строения научной теории необходимо сначала рассмотреть понятие «суждение».
Суждениями принято называть предложения, в которых выражена мысль о предмете, объектах, явлениях. Существуют два основных свойства суждений: что-то отрицать или утверждать; являться истинным или ложным.
Суждение состоит из логического подлежащего (субъекта мысли); логического сказуемого (предиката мысли) и логической связки.
Выделяются следующие виды суждений:
общеутвердительное (образуется с помощью кванторных слов: всякий, любой);
частно утвердительное (образуется с помощью кванторных слов: существуют, некоторые и т. п.);
общеотрицательное (образуется с помощью кванторных слов: ни один, никакой, не существует и т. п.);
частно отрицательное (образуется с помощью кванторных слов: не всякий, не любой и т. п.).
Часто кванторные слова опускаются, считается, что они понятны из смысла всего предложения.
Математическим предложением называют повествовательное предложение, выражающее суждение о математических объектах. Множество математических предложений, описывающее какую-то структуру или какой-то аксиоматизируемый класс структур, образует математическую теорию. В школе учащихся знакомят с таким методом построения научных теорий, как аксиоматический метод.
Дать определение всем понятиям невозможно. Определяя понятия через другие, приходят к исходным понятиям — * кирпичикам» теории. В математической теории эти понятия называют неопределяемыми, а описываются они аксиомами. Аксиома — математическое предложение, которое принимается без доказательств в рамках данной теории. Изначально к аксиомам относили очевидные утверждения. Евклид (около 111 в. до н. э.) выделил 14 аксиом в «Началах». Их оказалось
недостаточно, чтобы вывести остальные утверждения логи ческим путем. Да и очевидность оказалась необязательна дл аксиомы, что доказало открытие неевклидовой геометри Н. И. Лобачевским и Я. Больяи. Они установили, что, заме нив 5-й постулат Евклида о параллельных его отрицанием можно чисто логическим путем развить другую геометриче скую теорию. Этот факт заставил математиков XIX в. обрг тить внимание на дедуктивный способ построения математи ческих теорий. Это повлекло за собой возникновение связав ной с самим понятием аксиоматического метода формально (аксиоматической) теории, на основе которой выросла теори доказательств. Аксиоматика, традиционно изучаемая в шкс ле, была разработана Д. Гильбертом и описана в «Основания геометрии» (1899 г.). Аксиоматика включает 5 групп аксиом
Построение математической научной теории предполагае выделение конечной системы аксиом, обладающей свойстве ми непротиворечивости, полноты и независимости. Новые me тематические понятия вводятся через определения, которы включают лишь логически независимые свойства поняти (основное содержание). Остальные свойства логически зависв мы от основного содержания и выводятся из него. Отношени между понятиями выражают математические предложения Кроме аксиом, все остальные предложения теории выводятс логическим путем с использованием законов логики, прави вывода, положений теории множеств. Понятно, что в школ учащимся эти знания не даются, поэтому изучение математь ки ведется в рамках содержательной теории (отсутствие закс нов логики, теории множеств и т. д.).
Принадлежность предложения к некоторой математич( ской теории определяется двумя признаками:
предложение сформулировано или записано на язык данной теории, состоит из математических и логических (npi надлежащих языку теории) терминов или символов и не с< держит никаких других терминов или символов;
предложение истинно в силу того, что оно является и< ходным истинным предложением в данной теории (аксис мой), или его истинность доказывается (используются исхо; ные или ранее доказанные истинные предложения).
Рассмотрим, например, математическое предложение: «Сув ма углов треугольника равна 180 градусам». Данное предлс жение общеутвердительное, геометрическое, принадлежит т< ории евклидовой геометрии, так как:
сформулировано на языке геометрии; т. е. состоит из ге< метрических терминов (сумма углов, треугольник, 180 град] сов) и логических терминов (любой, равна);
оно истинно, т. е. доказывается в рамках евклидовой гео метрии.
В формулировках часто опускается слово «любой*, хотд этот квантор значим, и предложение должно быть следую щим: «Сумма углов любого треугольника равна 180 граду сам». Кванторы играют в математике важную роль, они влия ют в определенной мере на выбор способа доказательства, по этому целесообразно при работе с теоремой обратить внимание учащихся на вид суждения и выделить кванторные слова.
Доказательство: структура, виды
О Ньютоне рассказывают, что, будучи студентом, от начал изучение геометрии, как было принято в то время с чтения «Геометрии Евклида». Знакомясь с формулировкам* теорем, он видел, что они справедливы, и не изучал их доказа тельства. Его удивляло, что люди затрачивают столько уси лий, чтобы доказать совершенно очевидное. Позднее Ньютое изменил свое мнение о необходимости доказательства в мате матике и других науках и очень хвалил Евклида за прочность и строгость его доказательств.
С незапамятных времен математические рассуждения считаются общепринятым эталоном доказательности. Изучение доказательства на конкретных его образцах интересно и по лезно. Но также необходимо знакомство с основами логической теории доказательства, которая говорит о доказательствах безотносительно к области их применения.
Что же такое доказательство?
Вообще доказательство является объектом логики и описывается как процедура обоснования некоторого утверждения путем приведения тех истинных утверждений, из которых оно логически следует.
Одна из основных задач логики состоит в придании точного значения понятию доказательства. «Понятие доказательства, — пишет логик и математик В. А. Успенский, — во всей его полноте принадлежит математике не более, чем психологии: ведь доказательство — это просто рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы готовы убеждать Других».
Определение доказательства включает два центральных понятия логики: истины и логического следования. Они не являются в достаточной мере ясными, и, значит, определяемое через них понятие доказательства также не может быть отнесено к ясным. Так, например, единого понятия логиче-
ского следования не существует. Это понятие определяется че рез закон логики: из утверждений (или системы утвержде ний) А логически следует утверждение В в том случае, когд; выражение «если А, то В» представляет собой закон логики Это определение — только общая схема бесконечного множе ства возможных определений.
Конкретные определения логического следования получа ются путем указания логической системы, задающей поняти логического закона. Логических же систем, претендующих н. определение закона логики, в принципе может существоват бесконечно много. Хорошо известны, в частности, классиче с кое определение логического следования, интуиционистско его определение, определение следования в релевантной логи ке и др. Ни одно из имеющихся в современной логике опреде лений логического закона и логического следования не свс бодны от критики. Образцом доказательства, которому в то) или иной мере стремятся следовать во всех науках, являете: математическое доказательство.
Доказательство — совокупность логических приемо обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с данным суждений. Мож» выделить следующую структуру доказательства: тезис (суж дение, истинность которого надо доказать), аргументы (истин ные суждения, используемые при доказательстве тезиса), де монстрация, или форма доказательства (способ логическо] связи между тезисом и аргументами).
В качестве аргументов выступают:
удостоверенные единичные факты, т. е. статистически данные, свидетельские показания, результаты эксперимент или наблюдения и др. (чтобы факты играли доказательную роль, необходимо анализировать их в совокупности, относя щейся к рассматриваемому вопросу);
определение понятий, которые даются в каждой науке;
аксиомы (суждения, которые принимаются в качестве ар гументов без доказательства) и постулаты (суждения, прини маемые в рамках какой-либо научной теории за истинные, хс тя и недоказуемые ее средствами, и поэтому играющие в не) роль аксиом);
законы науки (необходимые, существенные, устойчивые повторяющиеся отношения, связи между явлениями) и теоре мы.
При доказательстве необходимо соблюдать следующи правила доказательного рассуждения. Тезис должен быть ло гически определенным, ясным, точным и оставаться тождест
венным на протяжении всего доказательства или опровержения. Аргументы должны быть истинными, не противоречащими друг другу и являться достаточным основанием для подтверждения тезиса; истинность аргументов должна быть доказана самостоятельно, независимо от тезиса. Необходимо, чтобы тезис был заключением, логически следующим из аргументов по общим правилам умо
заключений, или был бы получен в соответствии с правилами
косвенного доказательства.
Если эти правила нарушаются, то в доказательстве или опровержении возникают логические ошибки. Доказательство должно основываться на данных науки и социально-исторической практики, поэтому оно не тождественно убеждению, которое может опираться на религиозную веру, предрассудки, равно как и на неосведомленность. Доказательство является обязательным этапом в процессе аргументации (рис. 13).
Долгое время считалось, что математическое доказательство представляет собой ясный и бесспорный процесс. Но в XX в. отношение к математическому доказательству изменилось. Прежде всего, изменились представления о лежащих в основе доказательства логических принципах. Логицисты были убеждены, что логики достаточно для обоснования всей математики. По мнению формалистов, одной лишь логики для этого недостаточно и логические аксиомы необходимо дополнить чисто математическими аксиомами. Представители теоретико-множественного направления не особенно интересовались логическими принципами и не всегда их указывали в явном виде. Интуиционисты из принципиальных соображений считали нужным вообще не вдаваться в логику.
Подводя итог этому пересмотру понятия доказательства в математике, Р. Л. Уайлдер писал, что математическое доказательство есть не что иное, как «проверка продуктов нашей интуиции... Совершенно ясно, что мы никогда не обладали и, по-видимому, никогда не будем обладать критерием доказательства, не зависящим ни от времени, ни от того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует критерий. В этих условиях самое разумное, пожалуй, признать, что, как правило, в математике не существует абсолютно истинного доказательства, хотя широкая публика убеждена в обратном».
Немецкий философ XIX в. А. Шопенгауэр считал математику интересной наукой, но не имеющей никаких приложе-
ний, в том числе и в физике. Он даже отвергал саму техник] строгих доказательств. Шопенгауэр называл их мышеловка ми и приводил в качестве примера доказательство известно! теоремы Пифагора.
Таким образом, даже математическое доказательство н< обладает абсолютной убедительностью и гарантирует толью относительную уверенность в правильности доказанного по ложения. Минимальное требование — это понимание логи ческого выведения как целенаправленной процедуры. Толью в этом случае достигается интуитивная ясность того, что мь делаем. Важно понять доказательство в целом, как единув конструкцию, каждая часть которой необходима на свое» месте. Доказательство, не понятое как целое, ни в чем н< убеждает.
Все доказательства можно разделить на прямые и косвен ные.
При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобь подыскать такие убедительные аргументы, из которых, по ло гическим правилам, получается тезис.
Например, нужно доказать, что сумма углов четырех угольника равна 360°. Из каких утверждений можно было бь вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырех угольник на два треугольника. Значит, сумма его углов равн; сумме углов двух треугольников. Известно, что сумма утло: треугольника составляет 180°. Из этих положений выводим что сумма углов четырехугольника равна 360°.
Косвенное доказательство устанавливает справедливост тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположное ему допущения, антитезиса.
Поскольку косвенное доказательство использует отрица ние доказываемого положения, оно является «доказателъ ством от противного».
Например, нужно построить косвенное доказательство весь ма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью» Выдвигается антитезис: «Квадрат есть окружность». Нетруд но показать ложность этого утверждения. С этой целью вывс дят из него следствия. Если хотя бы одно из них окажете ложным, это будет означать, что и само утверждение, из кото рого выведено следствие, также ложно. Неверным является, частности, такое следствие: «У квадрата нет углов*. Посколь ку антитезис ложен, значит, тезис должен быть истинным.
В споре при умелом применении такие доказательства мо гут обладать особенной убедительностью.
В зависимости от того, как стремятся показать состоятельность его отрицания, можно выделить несколько разновидностей косвенного доказательства.
Следствия, противоречащие фактам. Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами. Например, врач, убеждая пациента, что тот не болеет гриппом, рассуждает так. Если бы это действительно был грипп, то были бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и т. п. Но ничего подобного нет. Значит, нет и гриппа.
Внутренне противоречивые следствия. По логическому закону непротиворечия одно из двух противоречащих друг другу утверждений является ложным. Поэтому, если в числе следствий какого-либо положения встретились и утверждение и отрицание (одного и того же), можно сразу же заключить, что это положение ложно.
Примером такого рассуждения служит известное доказательство Евклида, что ряд простых чисел бесконечен. Простые — это натуральные числа больше единицы, делящиеся только на себя и на единицу. Простые числа — это как бы ♦ первичные элементы», на которые все целые числа (большие 1) могут быть разложены. Естественно предположить, что ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... — бесконечен. Для доказательства данного тезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допущение. Если ряд простых чисел конечен, существует последнее простое число ряда — А. Образуем далее другое число: В - (2-3- 5е ... -А) + 1. Число В больше А, поэтому В не может быть простым числом. Значит, В должно делиться на простое число. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5, ..., А, то в остатке получится 1. Следовательно, В не делится ни на одно из указанных простых чисел и является, таким образом, простым. В итоге, исходя из предположения, что существует последнее простое число, мы пришли к противоречию: существует число одновременно и простое, и не являющееся простым. Это означает, что сделанное предположение ложно, и правильно противоположное утверждение: ряд простых чисел бесконечен.
В этом косвенном доказательстве из антитезиса выводится логическое противоречие, что прямо говорит о ложности антитезиса и, соответственно, об истинности тезиса. Такого рода Доказательства широко используются в математике.
Если имеется в виду только та часть подобных доказательств, в которой показывается ошибочность какого-либо
предположения, они именуются по традиции приведение* к абсурду. Ошибочность предположения вскрывается тем что из него выводится откровенная нелепость.
Истина логически вытекает из своего собствен кого отрицания. Этот прием опирается на закон Клавия, го ворящий, что если из предположения ложности утверждени) вытекает его истинность, то утверждение истинно.
По такой схеме рассуждал еще Евклид в своей < Геомет рии». Такую же схему использовал однажды древнегречески! философ Демокрит в споре с другим древнегреческим филосо фом, софистом Протагором. Протагор утверждал, что истинш все то, что приходит в голову. На это Демокрит ответил, что и; положения: ♦ Каждое высказывание истинно» вытекает ис тинность и его отрицания: «Не все высказывания истинны» И значит, это отрицание, а не положение Протагора на caмo^ деле истинно.
Разделительное доказательство. Во всех рассмот ренных косвенных доказательствах выдвигаются две альтер нативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность по следнего, в итоге остается только тезис. Можно не ограничи вать число принимаемых во внимание возможностей толью двумя. Это приведет к последовательному косвенному доказа тельству, или доказательству через исключение. Оно приме няется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тези< входит в число альтернатив, полностью исчерпывающих вс< возможные альтернативы данной области.
Доказательство идет по простой схеме: одна за другой иск лючаются все возможности, кроме одной, которая и являете! доказываемым тезисом. В стандартных косвенных доказа тельствах альтернативы — тезис и антитезис — исключаю' друг друга в силу законов логики. В разделительном доказа тельстве взаимная несовместимость возможностей и то, чтч ими исчерпываются все мыслимые альтернативы, определя ются не логическими, а фактическими обстоятельствами. От сюда обычная ошибка разделительных доказательств: рас сматриваются не все возможности.
Нет сомнения, что косвенное доказательство представляв' собой эффективное средство обоснования. Но, имея с ним де ло, необходимо все время сосредоточиваться не на верном по ложении, справедливость которого необходимо обосновать а на ошибочных утверждениях. Сам ход доказательства состо ит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, выводятся следствия до тех пор, пока не подходят к утверждению, оши бочность которого несомненна.
Косвенное доказательство — хорошее орудие исследования, но не всегда удачный прием изложения материала. Не случайно в практике преподавания нередок такой парадоксальный случай, когда после того, как косвенное доказательство проведено, ход его тут же забыт, в памяти остается только доказанное положение. Имеются также более серьезные возражения против косвенного доказательства. Они связаны с использованием в нем закона исключенного третьего. Как уже говорилось, не всеми он признается универсальным, приложимым в любых без исключения случаях. Найденное косвенное доказательство какого-то утверждения обычно удается перестроить в прямое доказательство этого же утверждения. Обычно, но не всегда.
О доказательстве в логике говорится много, об опровержении только вскользь. Причина понятна: опровержение представляет собой как бы зеркальное отображение доказательства.
Опровержение — это рассуждение, направленное против выдвинутого положения и имеющее своей целью установление его ошибочности или не недоказанности. Наиболее распространенный прием опровержения — выведение из опровергаемого утверждения следствий, противоречащих истине. Хорошо известно, что, если даже одно-единственное логическое следствие из некоторого положения неверно, ошибочным будет и само это положение.
Другой прием установления несостоятельности выдвинутого кем-либо положения — доказательство несправедливости от этого положения. Утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удается показать, что истинно отрицание рассматриваемого положения, вопрос об истине самого этого положения автоматически отпадает. Достаточно, например, показать одного черного лебедя, чтобы опровергнуть убеждение в том, что лебеди бывают только белыми.
Если положение выдвигается с каким-либо обоснованием, операция опровержения может быть направлена против обоснования. В этом случае надо показать, что приводимые аргументы ошибочны: вывести из них следствия, которые окажутся в итоге несостоятельными, или доказать утверждения, противоречащие аргументам.
Ошибки в доказательствах
Ошибка в доказательстве — вещь довольно обычная. Проводя доказательства, обычно опираются на логическую интуицию, на стихийно усвоенное знание законов логи-
ки. Как правило, оно не подводит. Но в отдельных и особенн сложных случаях оно может оказаться ненадежным.
Эксперименты, проводившиеся психологами, показываю! что едва ли не каждое четвертое наше умозаключение не опи рается на закон логики, а значит, является неправильным Логику редко изучают специально. Навыки логичного, т. € последовательного и доказательного мышления формируютс. и совершенствуются в практике рассуждений.
Образование не только расширяет знания, но и в опреде ленной мере способствует развитию умения рассуждать правиль но. Тем не менее примерно каждое десятое умозаключение проводимое представителями теоретического знания, являет ся, как говорят психологи, логически не вполне корректным Ученые в своих доказательствах ошибаются реже, но все-таю ошибаются. Как правило, ошибки обнаруживаются благодар: тому, что сделанные заключения плохо согласуются с устояв шимися представлениями об изучаемом предмете. Кроме то го, большую роль играет свойственный научному мышление критицизм. Ни одно утверждение, ни один вывод не принима ются без многократной и разносторонней проверки.
Логическое чутье и навыки доказательства не так безуп речны, как это зачастую кажется. Полезно поэтому не упус кать случая, чтобы их усовершенствовать.
Ошибки в доказательствах можно разделить на нескольк* видов.
Ошибки в отношении тезиса. Доказательство — эт» дедуктивная связь принятых аргументов и выводимого те зиса. Логические ошибки в доказательстве могут относиться к тезису, к аргументам и к их связи.
Характерная ошибка в отношении тезиса — подмена, т. е осознанное или умышленное замещение его в ходе доказа тельства каким-то другим утверждением. Подмена тезиса ве дет к тому, что доказывается не то, что требовалось доказать.
Тезис может сужаться, и в таком случае он станет доказан ным. Например, для доказательства того, что сумма угло1 треугольника равна двум прямым углам, недостаточно дока зать, что их сумма не больше 180°.
Тезис может также расширяться. Тогда потребуются до полнительные основания. И может оказаться, что из ни: вытекает не только исходный тезис, но и какое-то иное, уж< неприемлемое утверждение. Иногда случается полная под мена тезиса, притом она не так редка, как это может пока заться.
Ошибки в отношении аргументов. Наиболее частая ошибка — это попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов.
Например, известно, что тигры не летают. Но рассуждение: «Только птицы летают; тигры не птицы; следовательно, тигры не летают» не является, конечно, доказательством этого факта. В рассуждении используется неверная посылка, что способны летать одни птицы. Летают и многие насекомые, и млекопитающие (например, летучие мыши), и самолеты, и др. С помощью же посылки «только птицы летают» можно вывести не только истинное, но и ложное заключение, скажем, что майские жуки, поскольку они не птицы, не летают.
Довольно распространенной ошибкой является «круг в доказательстве»: справедливость доказываемого положения обосновывается посредством этого же положения, высказанного, возможно, в несколько иной форме. Если за основание доказательства принимается то, что еще нужно доказать, обосновываемая мысль выводится из самой себя, и получается не доказательство, а пустое хождение по кругу. Например, на вопрос: «Почему мы видим через стекло?» Обычный ответ: «Оно прозрачно». Но назвать вещество прозрачным — значит сказать, что сквозь него можно видеть.
Термин «математическое доказательство» предусматривает доказательство предложений в рамках какой-либо математической теории.
Различают содержа тельные (неформальные) и формальные доказательства, которые применяются соответственно в содержательных (неформальных или полуформальных) и в формальных математических теориях.
В школьном обучении некоторые фрагменты математических теорий излагаются неформально (алгебра, геометрия, анализ). Например, курс «Математика 5—бкл.» относится в целом к теории, изложенной на содержательном уровне, т. е. в нем используются обычные рассуждения, а правила логического вывода не фиксируются. Противоположный пример — курс геометрии 7—11 классов.
Логико-математический анализ теорем и методические особенности их изучения
Под теоремой принято считать математическое предложение (утверждение), истинность которого устанавливается с помоги# <о доказательства в рамках данной теории.
С точки зрения логики теорема представляет собой выск зывание, часто в форме импликации. Также в школьном ку] се математики встречаются теоремы-тождества и теоремь формулы (выраженные языком математических символов теоремы существования (отсутствуют условие и заключение но утверждается существование объекта, обладающего опр< деленными свойствами). Среди теорем, представляемых в bi де импликации, выделяют такие частные виды, как следстви (доказывается с помощью одной теоремы), лемма (важна ка ступень к доказательству другой теоремы), необходимое и дс статочное условие (истинно и прямое, и обратное утверждс ния, форма — эквиваленция).
Теоремы с доказательствами составляют ядро теории. В кур се геометрии в основном рассматриваются теоремы, которы можно представить в виде импликации. Работа с такими тес ремами предполагает выполнение учителем логико-математи ческого анализа.
Логико-математический анализ (ЛМА) теоремы включает
Логический анализ, который предусматривает раскры тие логической структуры предложения (выделение просты] высказываний, из которых сконструировано данное), вид1 суждения и способа его конструирования (выделение логиче ских связок, с помощью которых оно образовано, и их после довательности). Наиболее часто используемые логические связки: «не*, «и*, «или», «если..., то...», «тогда и только тог да», «существует» и т. д.). Структура теоремы включает разъяснительную часть, множество объектов, на котором рассматривается теорема, условие, заключение, логические связки. Заключение и условие могут состоять из одного простого высказывания, тогда утверждение называют простым, если же условие или заключение состоят из нескольких простых высказываний, то утверждение называют сложным.
Математический анализ, который раскрывает математическое содержание выделенных элементов структуры.
Анализ формулировки теоремы (А => В) проводится для дальнейшего доказательства. С этой точки зрения полезно сформулировать утверждения:
обратное данному (условие и заключение исходного утверждения меняют местами):
В =^А;
противоположное данному (к условию и заключению применяют отрицание):
1А=>]В;
обратное противоположному или противоположное обратному:
1в=»1а.
Согласно закону контрапозиции исходное прямое утверждение равносильно противоположному обратному, что используется при доказательстве теорем.
Теоремы школьного курса формулируются в основном в импликативной форме («если..., то...») или категоричной. Для выделения структуры (условия, заключения и т. п.) целесообразно формулировать теорему в импликативной форме.
Итак, выполнение ЛМА предполагает:
установление формы формулировки;
перевод формулировки, если необходимо, в импликатив- ную форму;
запись структуры теоремы, т. е. вычленение разъяснительной части, условия, заключения с выделением простых высказываний и содержания структурных элементов;
определение вида (простая или сложная);
формулирование утверждений, обратного данному, противоположного данному и обратного противоположному (определение их истинности или ложности).
В качестве примера выполним анализ теоремы «Сумма смежных углов равна 180 градусам», а также утверждений:1 а) обратного данному; б) противоположного данному; в) противоположного обратному.
Теорема сформулирована в категоричной форме. В импликативной форме она будет иметь формулировку: «Если углы смежные, то их сумма равна 180 градусам». Вид суждения — общеутвердительное, поэтому уточним формулировку: «Если любые два угла смежные, то их сумма равна 180 градусам» (а).
Утверждение, обратное данному: «Если сумма двух углов равна 180 градусам, то углы смежные» (б). Вид суждения — общеутвердительное, поэтому формулировка будет: «Если любые два угла в сумме равны 180 градусам, то ...».
Утверждение, противоположное данному: «Если углы не смежные, то их сумма не равна 180 градусам» (в). Вид суждения — общеотрицательное.
Утверждение, обратное противоположному: «Если сумма двух углов не равна 180 градусам, то углы не смежные» (г). Вид суждения — общеутвердительное.
Логическая структура утверждений:
Разъяснительная частьРазъяснительная частьЗаключенЗаключен
Разъяснительная часть
Разъяснительная часть
Заключен
Заключен
Vx е М
А(х) => В(х)
(а)
Vx е М
В(х)=>А(х)
(б)
Vx € М
А(х) => I В(х)
(в)
VXG М
В(х) => 1Л(х)
(г)
Условие
Математический анализ можно оформить в виде таблиц]
Разъяснительная часть ^М^
Условие
Заключение
Истинно/ ложно
Проста сложи
а
Множество пар углов
Углы смежные
Их сумма равна 180 градусам
Истина
Просте
б
Множество пар углов
Сумма углов равна 180 градусам
Углы смежные
Ложь
Просте
в
Множество пар углов
Углы не смежные
Сумма углов не равна 180 градусам
Ложь
Просто
г
Множество пар углов
Сумма углов не равна 180 градусам
Углы не смежные
Истина
Просто
Символическую запись для утверждения (а) можно проч тать, учитывая математическое содержание его структуры элементов, так: «Для любых двух углов из множества пар ) лов М выполняется следующее: если эти два угла смежные, их сумма равна 180 градусам».
Работа с теоремой включает в себя следующие этапы.
Нулевой этап — выполнение логико-математическо анализа.
Первый этап — подготовительный, который подраз мевает:
актуализацию знаний;
мотивацию необходимости изучения факта;
подведение к теоретическому факту.
Второй этап — основной — включает:
формулировку теоремы;
работу с формулировкой: перевод из категоричной форм в импликативную, если это необходимо, переформулиров ние, выделение условия и заключения;
мотивацию необходимости доказательства;
анализ условия и заключения, поиск способа доказательства, составление схемы доказательства или образца доказательства;
работу с доказательством: выделение основной идеи, общей структуры и шагов доказательства, выдвижение аргументов и демонстрация доказательства;
подведение итогов (основные идеи и теоретические факты, положенные в основу доказательства).
Третий этап — закрепление, т. е. непосредственное применение теоремы «в лоб» (используется в качестве аргументов преимущественно только изучаемая теорема, и доказательство имеет 1—2 шага).
В дальнейшем, при вторичном закреплении при решении задач используются кроме изученной теоремы теоретические факты из других тем.
^Ключевая информация
Под математической теорией понимают множество математических предложений, описывающее какую-то структуру или какой-то аксиоматизируемый класс структур. Аксиомами называют математические утверждения, принимаемые без доказательства. К аксиомам предъявляют следующие требования: непротиворечивость, полнота и независимость.
Доказательство — процедура обоснования некоторого утверждения путем приведения тех истинных утверждений, из которых оно логически следует. Доказательство имеет следующую структуру: тезис, аргументы, демонстрация. Доказательства подразделяются на прямые и косвенные.
Теоремой считают математическое утверждение, истинность которого устанавливается с помощью доказательства. Логико-математический анализ теорем включает: логический анализ (раскрытие структуры теоремы) и математический анализ (математическое содержание выделенных элементов структуры).
При работе с теоремой можно выделить несколько этапов: выполнение логико-математического анализа; актуализация знаний, мотивация и подведение к теоретическому факту; работа с формулировкой теоремы: мотивация необходимости доказательства, анализ условия и заключения; поиск доказательства и составление схемы доказательства; работа с доказательством, подведение итогов; закрепление.
Рекомендуемая литература
Асмус В. Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. - М.: Господ итиздат, 1954.
Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учител математики: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.
Доказательство и понимание. — Киев: Паукова думке 1986.
Епишева О. Б., Крупин В. Учить школьников учиться матеме тике. — М.: Просвещение, 1990.
Ивин А. А. Логика. — М.: Гардарики, 2002.
Лакатос И. Доказательства и опровержение. — М.: Науке 1967.
Столяр А. А. Зачем и как мы доказываем в математике. - Минск: Народная Асвета, 1987.
Уемов А. И. Логические ошибки. — М.: Госкомиздат, 1958.
Лекция 10
Методы и формы обучения математике. Развитие интеллектуальных умений при обучении математике
Математику нельзя изучать, наблк дая, как это делает сосед!
А. Ниве
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Следует ли из теоремы Пифагора, что треугольник со сто ронами:
3, 4, 5 — прямоугольный;
3, 4, 6 — не прямоугольный?
Известно, что высказывание «Джон не красив» истинно а высказывание «Джон красив или умен» ложно. Каков! истинностное значение высказывания «Джон не умен»?
Сделайте следующие высказывания истинными, постави] вместо многоточия подходящую фамилию известного рус ского писателя или поэта:
Пушкина звали Александром Сергеевичем или ... (ко го?)... звали Александром Сергеевичем;
Пушкина звали Александром Сергеевичем и ... (кого?)., звали Александром Сергеевичем.
Вычислить без использования калькулятора: ЮГ2 -202 • 81 + + 812.
Для проверки того, что вырезанный прямоугольный кусок материи имеет форму квадрата, швея перегибает его по каждой из диагоналей и убеждается, что края обеих частей совпадают. Достаточна ли такая проверка?
Методы обучения математике
В теории познания метод определяется как система последовательных действий, которые приводят к достижению результата, соответствующего намеченной цели.
Методы обучения — это способы взаимодействия учителя и учащихся, направленного на достижение целей образования, воспитания и развития школьников в ходе обучения.
По исследованиям Ю. К. Бабанского, учителя вдвое чаще испытывают затруднения в выборе метода обучения, чем в выборе содержания. Чтобы преодолеть это затруднение, необходимо хорошо знать все многообразие методов и их характеристики. Этой цели служат различные классификации методов обучения.
Классификация Ю. К. Бабанского
. Методы организации учебно-познавательной деятельности:
словесные: рассказ, лекция, беседа;
наглядные: демонстрация, иллюстрация, ТСО;
практические: упражнения, учебный эксперимент, лабораторная работа.
. Методы стимулирования учебно-познавательной деятельности:
дидактические игры как метод поощрения;
создание ситуации успеха в учебных дискуссиях.
. Методы контроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности:
устный;
индивидуальный;
письменный;
фронтальный;
лабораторный;
программированный.
Классификация Р. С. Черкасова и А. А. Столяра
Система методов обучения математике:
общие (разработанные дидактикой и адаптированные к обучению математике);
частные (отражают основные методы познания, исполь зуемые в математике).
Классификация Ю. М. Калягина
Методы обучения математике:
методы преподавания: беседа, рассказ, управление самс стоятельной работой учащихся;
методы изучения: анализ, синтез, сравнение, моделирс вание и др.
Классификация О. Б. Епишевой
Методы обучения математике:
методы педагогики;
методы психологии;
методы логики;
методы математики;
методы информатики;
методы эмпирические;
методы истории.
Методы психологии в обучении математике. Интеллектуальные умения
В обучении математике широко используются ос новные методы психологии: анализ и синтез; сравнение; обоб щение и специализация; абстрагирование и конкретизация классификация; систематизация.
В практике мышления перечисленные компоненты приме няются в различных сочетаниях или одновременно. Их рас сматривают отдельно лишь с целью более глубокого изучения Под анализом принято понимать:
форму мышления, исследования и познания, когда изу чаемый объект мысленно или практически расчленяется hi составные части, каждая из которых изучается отдельно, с тем чтобы в дальнейшем соединить с помощью синтеза в едино целое, рассматриваемое уже на более высоком уровне;
метод рассуждения, при котором мысль движется от не известного к известному;
метод мышления от целого к частям этого целого;
прием мышления, при котором переходят от следствш к его причине;
особую форму процесса мышления, когда объект включа ется во все новые связи и в силу этого выступает во все новы: качествах, которые фиксируются в новых понятиях (с точк! зрения психологии).
Синтезом называют:
форму мышления, исследования и познания, когда изучаемый объект мысленно или практически соединяется в единое целое из составных частей объекта, расчлененного в процессе анализа;
метод рассуждения, при котором мысль движется от известного к неизвестному;
метод мышления от частей к целому;
прием мышления, при котором переходят от причины к ее следствию;
особую форму процесса мышления, когда происходит соотнесение, сопоставление и установление всяких связей между различными элементами (с точки зрения психологии).
Анализ и синтез используются при решении задач на доказательство, на построение и при решении задач с помощью уравнений, при отыскании различных множеств точек и т. д.
С точки зрения психологии «процесс мышления, — писал С. Л. Рубинштейн, — это прежде всего анализирование и синтезирование того, что выделяется анализом; это затем абстракция и обобщение, являющиеся производными от них».
Под обобщением понимают мысленное выделение, фиксирование каких-либо свойств, принадлежащих только данному множеству объектов и объединяющих эти объекты воедино. Например, R - С, [0; 5] - R. Специализация есть мысленное выделение некоторого свойства из множества свойств изучаемого объекта. Например, натуральное число п — число 7; треугольник — равнобедренный. При сравнении мысленно устанавливаются сходства или различия объектов изучения. Аналогией называют метод познания, с помощью которого сходство предметов, выявленное в результате их сравнения, распространяется на новое свойство. Возникает много проблем при использовании ошибочных аналогий.
При абстрагировании происходит мысленное отвлечение общих существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных.
Конкретизация односторонне фиксирует одну сторону объекта изучения вне связи с другими его сторонами.
Классификацией принято считать отнесение единичного объекта к соответствующей общей группе на основе общих и существенных признаков.
Соединение отдельных признаков понятий или ряда соотносящихся понятий или явлений не только по сходству их основных признаков с такими же предметами и явлениями целого класса, но и выделение в этой группе более мелких подгрупп называют систематизацией.
В различных предметных областях могут использоваться задания, верное выполнение которых, в первую очередь, требует умения анализировать. Тогда становится важной возможность переноса действия анализа с учебных предметов, на которых они преимущественно развиваются (математика, алгебра, геометрия), на другие дисциплины. Надо отметить, что умение анализировать играет весьма важную роль и в русском языке. Именно эта дисциплина вносит большой вклад в его развитие. Но все же математика опирается на формальную логику, а в формальной логике существует операция логического следования, которая позволяет непосредственно проверять развитие такой составляющей анализа, как установление причинно-следственных связей.
Разумеется, что не только анализ, но и синтез, сравнение, обобщение и т. д. можно рассматривать как общеинтеллектуальные умения. Необходимо развивать и использовать их при обучении математике, осуществляя взаимодействие с другими предметами школьного курса.
Умение анализировать. Развитие аналитических умений у школьников
Анализ главным образом встречается при выполнении операций сравнения (нахождения общего и разного), выделения главного (частей, связей, идей), классификации, выявления закономерностей, абстрагирования, конкретизации, систематизации. Таким образом, умение анализировать используется при осуществлении весьма широкого круга действий.
На первый взгляд, действие анализа на разных учебных дисциплинах отличается. В действительности, как показали исследования, общее действие анализа схоже. Основные составляющие анализа на разных предметах:
установление причинно-следственных связей;
выделение сторон объекта;
деление объекта на части.
Таким образом, исходя из общности действия анализа на разных учебных предметах, умение анализировать относят к общеинтеллектуальным умениям.
Составляющая умения анализировать — установление причинно-следственных связей — необходима и в повседневной жизни. Она проявляется в необходимости рассуждать правильно. С помощью таких рассуждений отыскивается и доказывается истина, не прибегая к опыту.
Важно различать логически необходимые, основанные на закономерности (дедуктивные), и вероятностные, основанные на опыте рассуждающего (индуктивные), рассуждения. Игнорирование этого различия может привести к многочисленным ошибкам в построении рассуждений. Можно привести пример задачи, требующей понимания логической необходимости. Она демонстрирует конфликт между логически верным и эмпирически истинным выводами.
Н ПРИМЕР
Все композитные числа делятся на 8 без остатка. 26 — композитное число.
Следовательно:
должно быть, 26 — не композитное число;
26 — исключение из правил;
26 делится на 8 без остатка;
наверное, не все композитные числа делятся на 8 без остатка.
Представьте себе, что первые два предложения истинны. Сделайте заключение, используя оба предложения. Выберите ответы из предложенных вариантов.
Рассмотрим составляющее анализа: деление объекта на части. При изучении любого материала важным становится умение выделять его основные единицы. Доказывая теорему, полезно выделить шаги доказательства, их теоретическое обоснование, что позволит понять суть доказательства. Деление объекта на части тесно связано также с умением планировать свою деятельность, с умением работать с текстом и образцами решения задач, а также с проверкой решения какого-либо задания по фиксации этапов решения.
Рассмотрим действие: выделение сторон объекта. Часто важным требованием при решении той или иной задачи становится рациональность способа решения. В этом случае решение «в лоб» не всегда отвечает этому требованию. Тогда на помощь может прийти такая составляющая умения анализировать, как выделение сторон объекта.
Простейшей иллюстрацией может служить следующее задание: ♦Найти значение выражения: a2b + ab2, если а = 0,7; b = 0,3». Конечно, можно выполнять действия «в лоб», произведя при этом четыре умножения и одно сложение с < неудобными» дробными числами. Но можно поступить иначе, заметив, что исходное выражение представимо в виде ab (а + б), причем сумма в скобках равна 1; значит, нужно вычислить лишь произведение а и Ь. Таким образом, выполняются одно сложение и два умножения (при этом одно из них на единицу). Очевидно, что второе решение является более рациональным
по сравнению с первым. Выделение сторон объекта при вь полнении анализа используется часто при оптимизации д< ятельности, а также при необходимости рассмотрения отдел] ных сторон объекта для его всестороннего, детального изуч< ния.
Можно привести несколько примеров заданий из разны учебных дисциплин, при выполнении которых преимущес' венно развиваются составляющие анализа.
►> ПРИМЕРЫ
Установление причинно-следственных связей.
В следующих предложениях вместо многоточий поставьте слоы «необходимо, но не достаточно», «достаточно, но не необходимо», «и необходимо и не достаточно», «необходимо и достаточно» так, чтобы пс лучились верные утверждения:
для того чтобы число было меньше 14чтобы оно было меньш 15;
условие (х + х + 1 )(х - 2) > О является ... для того, чтобы выполни лосьх > 2;
для выполнения равенства |х + 2| = | у — 31 ... выполнение равенст ва (х + 2) = (у - 3).
для того чтобы х * 1 = 3 ,..., чтобы х: 7. (Алгебра.)
Определите, где в следующем предложении подлежащее: «Соли це закрыло облако».
Здесь подразумевается следующее рассуждение: так как солнце н может закрыть облако, а только облако может закрыть солнце, то подле жащим является «облако»). (Русский язык.)
Выделение сторон объекта.
Произвести пунктуационный разбор предложения:
«Конь поднялся на дыбы, плащ за спиной, как туча, клубится, а вес монумент так и рвется вперед, так и летит».
(В данном случае объект — предложение.) (Русский язык.)
Без построения графика функции у = х2 + 4х + 5 доказать, что oi располагается выше оси абсцисс.
(Объектом является квадратичная функция.) (Алгебра.)
Разделение объекта на части.
Найти целые корни уравнения: Зх3 + 4х2 - 5х + 2 = 0.
(Объектом являются корни уравнения.) (Алгебра.)
Из данных элементов: U, Na, К выделить тот, у которого максималь но ярко выражены металлические, неметаллические и иные свойства.
(Объектами выступает триада химических элементов.) (Химия.)
Заботясь о развитии умения анализировать на межпред метном уровне, целесообразно предлагать учащимся следую щие типы заданий:
направленные на использование всех операций анализе в рамках одного учебного предмета;
задания на стыке предметов;
описывающие жизненные ситуации или связанные с субъектным опытом ребенка и требующие операций анализа.
Выделенные типы заданий описывают в основном работу по развитию анализа «по горизонтали* (на одной возрастной ступени).
При рассмотрении анализа «по вертикали* можно говорить об этапах его становления:
практический анализ (осуществляется с предметами);
элементарный мысленный анализ (включает только ос: новные операции анализа);
комплексный анализ (операции анализа включены или требуют использования в других интеллектуальных операциях). Для развития этого уровня анализа целесообразны задания исследовательского характера.
^Ключевая информация__
Под методом обучения понимают взаимодействия учителя и учащихся, направленные на достижение целей образования, воспитания и развития школьников в процессе обучения.
Существуют различные подходы к классификации методов обучения математике. В обучении математике применяются методы психологии: анализ и синтез; сравнение, обобщение и специализация; абстрагирование и конкретизация; классификация и систематизация.
Умение анализировать как общеинтеллектуальное умение включает: установление причинно-следственных связей; выделение сторон объекта; деление объекта на части. Необходимо развитие анализа как «по горизонтали*, так и «по вертикали*.
4-
Рекомендуемая литература
Епишева О. Б. Общая методика преподавания математики в средней школе. — Тобольск: ТГПИ им. Д. И. Менделеева, 1997.
Никольская И. Л., Семенов Е. Е. Учимся рассуждать и доказывать. — М.: Просвещение, 1989.
Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии. — Педагогика, 1999.
Тамберг Ю. Г. Как научить ребенка думать. — СПб.: Михаил Сизов, 1999.
Лекция 11
Контроль знаний и умений учащихся при обучении математике
Успех в учении — единственный и< точник внутренних сил ребенка, роя дающий энергию для преодоления тру; ностей, желание учиться.
В. А. Сухомлински
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Какие цели проведения самостоятельных и контрольны: работ вы можете назвать?
Что оценивает учитель, когда выставляет отметку за уст ный ответ учащегося?
Являются ли синонимами слова «оценка» и «отметка»?
Приведите пример погрешности, которая, на ваш взгляд является ошибкой, и пример погрешности, которую мож но считать недочетом.
Контроль: типы, цели, функции
Контроль знаний — это составная часть обуче ния, которая включает процесс выявления и сравнения на то» или ином этапе обучения результатов учебной деятельност! с требованиями, заданными учебными программами. Резуль таты контроля выражаются в форме отметки (как правило в баллах) или словесного оценочного суждения учителя. Со гласно закону РФ «Об образовании» (1992 г.), основой объек тивной оценки уровня образования и квалификации выпуск ника являются Государственные стандарты, т. е. требования которые представляют собой краткую характеристику мини мально необходимых результатов, которые должны быть до стигнуты. Планируемые результаты описаны в содержатель но-деятельностной форме, они характеризуют, что долже! знать и уметь каждый ученик. Например, в теме «Степенна! функция с целым показателем, ее свойства и график» выпуск ник должен: строить график степенной функции с целым по казателем; определять промежутки возрастания и убывание степенной функции. При этом ему необходимо уметь строит графики функций вида: у = х5; у = х-2; у = х-3 + 1 и т. п. а также находить промежутки возрастания функций: у = х“2 у = (х - З)"3 и т. п.
В зависимости от того, кто осуществляет контроль за результатами деятельности учащегося, можно выделить три типа контроля:
внешний (осуществляется учителем над деятельностью ученика);
взаимный (осуществляется учеником над деятельностью товарища);
самоконтроль (осуществляется учеником над собственной деятельностью).
Основная цель контроля знаний и умений состоит в обнаружении достижений, успехов каждого ученика, при анализе которых выявляются проблемы учащихся в осуществлении учебной деятельности, обнаруживаются пробелы в знаниях, определяются пути совершенствования организации обучения и способы активизации учащихся.
Конкретизируя эту цель, можно говорить о том, что контроль дает возможность:
установить качество усвоения учащимися материала, предусмотренного программой (соответствие требованиям программы);
определить пути коррекции знаний и умений учащихся;
рассмотреть возможности формирования навыков взаимоконтроля и самоконтроля, а также потребности в самоконтроле у учащихся;
создать условия для формирования определенных личностных качеств, таких, как ответственность за выполняемую работу, воля и т. д.
Если перечисленные цели реализованы, то можно говорить о том, что контроль выполняет информационную, диагностическую, образовательную, мотивационную, воспитательную и прогностическую функции.
Информационная (контролирующая) функция выявляет образовательные результаты ученика на каждом этапе обучения, свидетельствует о степени его успешности в .достижениях образовательных стандартов, овладении знаниями, умениями, способами деятельности, о готовности к дальнейшему обучению, о развитии способностей и т. п. Диагностическая функция указывает на причины тех или иных образовательных результатов. Функция образовательная (обучающая) способствует повышению качества усвоения знаний, их систематизации, формированию приемов учебной работы.
Мотивационная и воспитательная функции соответственн поощряют образовательную деятельность ученика, стимул* рует ее продолжение и формирует самосознание, адекватну] самооценку учебной деятельности, личностные качества уч« щегося.
Обеспечивает управление процессом усвоения знаний, уме ний и его коррекцию прогностическая функция.
Требования к контролю и его компоненты
Контроль должен быть систематическим, охвать вать все разделы программы и проводиться дифференцирс ванно с учетом индивидуальных особенностей учащихся.
В процессе контроля знаний и умений учащихся выделяю следующие компоненты:
уточнение целей изучения конкретного учебного матер* ала и установление содержания контроля;
выбор видов, форм, способов и средств контроля, соотвеч ствующих поставленным целям;
определение способов выражения результатов контроле оценка и отметка.
Конкретное содержание контроля зависит от целей изуч< ния определенного учебного материала и связано с выделен* ем объектов контроля (понятия, факты, алгоритмы, теорем! и т. д.) и указанием тех действий, в процессе выполнения кс торых учащимися должно проявляться усвоение того ил иного объекта контроля.
Для описания целей изучения конкретного учебного Mt териала можно указать различные подходы. Например, те Kt чества, которые должны быть присущи сформированным результате обучения знаниям учащихся: полнота, глубине гибкость, осознанность и др. Тогда для контроля разрабатыве ются такие средства, которые покажут наличие или отсутсч вие прогнозируемых качеств.
Можно указать уровни усвоения знаний и соответствуй щих им видов деятельности. Психологи определяют следук щие уровни усвоения знаний:
узнавание, запоминание, воспроизведение материала;
понимание и использование в сходной с уже рассмотрю* ной ситуации;
самостоятельное преобразование материала, перенос зш ний на решение широкого круга задач в новую ситуацию.
Виды, формы и средства контроля
По месту в процессе обучения выделяют текущий и итоговый контроль знаний и умений учащихся.
Текущий контроль — это систематическая проверка и оценка образовательных результатов ученика по конкретным темам на отдельных уроках. Желательно, чтобы текущий контроль происходил на каждом (или почти на каждом) уроке. В свою очередь, текущий контроль подразделяется на предварительный, повторный и периодический.
Предварительный контроль имеет диагностические задачи и осуществляется, как правило, в начале учебного года или перед изучением новых крупных разделов. Цель предварительного контроля — зафиксировать начальный уровень подготовки ученика, имеющиеся у него знания, умения и навыки, связанные с предстоящей деятельностью. Предварительная диагностика уровня обученности учащегося важна для того, чтобы определить его приращение за определенный период времени. Оцениванию в данном случае может подлежать не сравнение образовательных достижений ученика с эталонами или стандартами, а сравнение его нынешнего уровня обученности с начальным, т. е. степень личностного приращения.
Повторный контроль предполагает проверку знаний параллельно с изучением нового материала. Это способствует прочности и системности знаний учеников. Периодический контроль осуществляется по целому разделу учебного курса. Его целью является диагностирование качества усвоения учеником структурных основ и взаимосвязей изученного раздела, его личностных образовательных приращений по выделенным ранее направлениям. Задача периодического контроля — обучающая, поскольку ученики обучаются систематизации, обобщению, целостному видению крупного блока учебной информации и связанной с ней деятельности.
Итоговый контроль может проводиться в конце каждой четверти и в конце учебного года. Он предполагает комплексную проверку образовательных результатов по всем ключевым направлениям.
Если в процессе контроля основное внимание уделяется деятельности ученика, то можно выделить:
контроль по конечному результату (наибольшее внимание обращается не на ход и состав деятельности, а на ее результат);
пошаговый контроль (контролируется выполнение отдельных операций, которые определяют то или иное действие);
контроль, связанный с установлением определенных ш раметров деятельности.
Очевидно, что наиболее эффективен пошаговый контрол! так как в его процессе ученик осознает сущность и характе деятельности.
Формы контроля знаний и умений учащихся выделяютс в соответствии с формами обучения:
массовая (групповая и фронтальная): фронтальный ос рос, зачет, экзамен, диктант, контрольная работа и т. п.;
индивидуальная: индивидуальный опрос, зачет, экзамев диктант, контрольная работа и т. п.
Выделяют различные способа контроля: письменный, уса ный, практический (выполнение различных практических лабораторных работ).
Средства контроля знаний и умений включают в себя задя ние или несколько заданий, которые предлагаются учащимс. с целью выявления соответствующих поставленным целям ре зультатов обучения. Их можно классифицировать по форм ввода ответа на контролирующее задание. В этом случае выде ляются задания свободного выбора ответа, тесты (ввод ответ, определенным образом ограничивается).
Задания свободного выбора предусматривают свободно конструирование ответа учащихся. Такие задания в зависи мости от характера учебно-познавательной деятельности уча щихся при их выполнении могут быть разделены на вопрос! (в основе деятельность воспроизведения) и задачи (выполне ние этих заданий предполагает сформированность действий составляющих основу деятельности по решению задачи).
И ПРИМЕРЫ
Перечислите известные вам свойства ромба. (Вопрос.)
Постройте высоту, медиану и биссектрису одного из углов данной треугольника. (Задача.)
Тесты делятся на два вида: на припоминание, дополнение и избирательные. Тесты на припоминание и дополнение пред ставляют собой задания учащимся заполнить пропуски в пред ложенном им связном тексте (их часто можно найти в тетра дях на печатной основе).
Избирательные тесты бывают: альтернативные, перекрест ного выбора и множественного выбора.
Альтернативный тест — это задание, выполнив которой ученик из двух предложенных ему ответов должен выбрат! один (по его мнению, правильный).
Тест перекрестного выбора (соответствия) представляет собой несколько заданий, после выполнения которых ученик устанавливает соответствие полученных им результатов предполагаемым результатам, записанным в произвольном порядке (число заданий и число предлагаемых учащимся ответов, как правило, совпадают).
Тест множественного выбора состоит из задания и списка ответов (среди ответов — один или несколько правильных). Ученик должен выбрать из этого списка те ответы, которые, по его мнению, являются правильными.
» ПРИМЕРЫ
Закончите предложение: «Второй признак равенства треугольников — это признак равенства по ...»(Избирательный тест.)
Значение V(-5)(-5) равно: а) -5: б) 5. (Альтернативный избирательный тест.)
Установите соответствие. Если п: нечетное число; четное число, то а) (~х)л = х”; б) (-х°) = х". (Тестперекрестного выбора.)
Среди данных одночленов укажите подобные: cPb; 2d2; -a^b; 2Gb2; 5aba.
Первый, третий и пятый;
первый, третий и четвертый;
второй, третий и четвертый;
первый и третий. (Тестмножественного выбора.)
При осуществлении отбора и составлении средств контроля знаний и умений учащихся необходимо учитывать следующее:
содержание задания должно соответствовать цели контроля (контролируемому результату);
каждый ученик должен понимать задание однозначно;
задания следует составлять таким образом, чтобы была возможность с их помощью получить максимум информации об объекте контроля;
целесообразно однозначно определять критерии оценки выполнения учеником каждого задания.
Примером отбора и составления средств контроля знаний и умений учащихся могут послужить материалы для выпускного экзамена по математике в 11 классе. Имеется в виду Единый государственный экзамен. В частности, в 2002 г. экзаменационная работа по математике состояла из 25 заданий (23 алгебраических и 2 геометрических), на выполнение которых давалось 3,5 часа (210 мин). Они были распределены на части, которые различались по содержанию, сложности, числу и форме включенных в них заданий. Первая часть содержала примерно половину заданий работы и была нацелена только
на проверку курса алгебры и начал анализа 10—11 классе Она включала 13 заданий обязательного уровня, которые я лялись типичными по той или иной теме, методы их решен! были хорошо известны, сами решения отрабатывались в пр цессе обучения. Все задания первой части имели одну и ту а форму — задания с выбором ответа из четырех предложеннь вариантов.
Вторая часть проверяла усвоение отдельных вопросов соде жания из различных разделов курса математики 5—11 кла сов. Она включала 9 заданий (несколько меньше трети вс< работы), более сложных по сравнению с заданиями обязател ного уровня из первой части. Все задания этой части — 7 а гебраических и 2 геометрических (планиметрическое и ст реометр и чес кое) — это задания с кратким ответом, т. е. уч ник должен был предъявить только число, которое являло ответом к каждому заданию.
Третья часть содержала три задания с развернутым ответо Все они высокого уровня сложности и подобны наиболее слоз ным заданиям, которые предлагаются на выпускном экзамене школе и на вступительных экзаменах в большинстве вузов. три задания, в свою очередь, весьма различны по сложност Первое рассчитано на то, что с ним должен справиться учащи ся, оцениваемый школьной пятеркой, который не предполага заниматься математикой в вузе. Второе задание по уровн сложности соответствует уровню сложности заданий на прие: ных экзаменах в вузах, при обучении в которых математю присутствует, но не является одним из основных изучаемь предметов. Третье задание рассчитано на учеников, предпол гающих в будущем тесно связать свою профессиональную д ятельность с углубленным изучением высшей математики.
►> ПРИМЕРЫ
Задание А1. Найдите область значений функции у = 2 sin х + 1. Отв ты: 1) (-1; 3]; 2) [-2; 3]; 3) [-2; 3); 4) [2; 3); 5) [-1; 2]. (Первая часть ЕГЭ;
Задание В1. Найдите точку максимума функции f(x) = 2k3 + Зх2. (Bi рая часть ЕГЭ.)
Задание С1. Решите неравенство
(2 - |х - 11 logo J (4х2 + 8) < 0. (Третья часть ЕГЭ.)
Таким образом, в качестве средств контроля знаний и ум ний выпускников средней школы предлагаются и задан! свободного выбора ответа, и тесты.
Что касается критериев оценки, то задание с выбором отв тов считается выполненным верно, если в бланке ответов (к
торый прилагается) отмечена цифра, которой обозначен верный ответ на данное задание. Правильный ответ на задание второй части — целое число. Проверка заданий первой и второй частей осуществляется с помощью компьютера. За верное решение такого задания выставляется один балл. Для проверки заданий третьей части разработаны подробные критерии, позволяющие детально оценить решение. На их основе задание оценивается по шкале от 0 до 4 баллов.
Оценка и отметка. Способы оценивания.
Ошибки и недочеты
Процесс контроля знаний и умений учащихся связан с оценкой и отметкой. Эти понятия следует различать. Оценка — это процесс, действие (деятельность) оценивания, которое осуществляется человеком. Отметка выступает как результат этого процесса (результат действия), как его условно формальное выражение. Оценка может выражаться качественно, например, вербально («Тебе удалось найти более рациональное решение», «Молодец»); символически (в 1—4 классах какие-то символы, например цветные кружки), эмоционально (улыбка, жест, взгляд). Отметка, как правило, выражается количественно по пятибалльной (десяти- и даже стобалльной) шкале, местом в рейтинге, процентами и т. д.
В российской школе традиционной является фактически четырехбалльная система отметок:
владеет в полной мере —- 5 (отлично),
владеет достаточно — 4 (хорошо),
владеет недостаточно — 3 (удовлетворительно),
не владеет — 2 (неудовлетворительно).
Очевидно, что данная шкала не дает полного представления о многообразии образовательных результатов учеников. Балл скрывает объект оценки и без качественного анализа по нему нельзя судить об успеваемости ученика. При равном среднем балле знания могут быть различными, так как в одном случае отметка может быть за пересказ, другая — за применение знаний по образцу, третья — за нестандартное творческое решение задачи. Поэтому при выставлении каждой отметки желательно, чтобы она была прокомментирована. Б связи с этим школы личностной ориентации вводят расширенные системы качественно-количественного оценивания: диагностические карты ученика, дневники личных достижений ит. д.
Роль оценки и отметки исследуется педагогами и психологами давно. Негативное влияние отметок (списывание, учение ради отметки и т. п.) приводит многих ученых к выводу о необходимости ликвидации отметок и развитии новых способов оценки. Имеется положительный опыт обучения без отметок (начальная школа — Ш. А. Амонашвили, Л. В. Занков); в опыте В. А. Сухомлинского — выставление отметок только за положительный результат работы (во всей школе); В. Ф. Шаталов ввел <листы открытого учета знаний» — бланк с отметками, который вывешивался в классе, и отметки всегда могли! быть улучшены. В нашей стране безоценочная система существовала с 1917 по 1935 г. (проверка знаний велась в виде бесед, устных и письменных докладов, отчетов о прочитанный книгах, работы по системе карточек, круговых тетрадей и т. п.; перевод из класса в класс осуществлялся на основе выво-1 дов педсовета). И тем не менее, балльная система до сих пор не нашла достойной замены.
Можно говорить о различных способах оценивания в зави-j симости от того, с чем производится сравнение действий уче-i ника при оценке. Если сравниваются действия, производимые учеником в настоящем, с аналогичными действиями, произ-J веденными им же в прошлом, то речь идет о личноепгнолА способе оценивания. Если сравнение происходит с установ-| ленной нормой (образцом) выполнения действий, то это норм нативный способ оценивания. В случае сопоставительном го способа оценивания происходит сравнение действий учени-j ка с аналогичными действиями, которые выполняют другие] ученики.
Понятно, что в текущей учебной работе учитель, как пра-1 вило, использует личностный способ оценивания, а при подве-1 дении итогов изучения темы, итогов четверти и т. д. — нормам тивный способ.
Возникает вопрос, а надо ли сравнивать детей между собо» (использовать сопоставительный способ оценивания)? Наблюй дения показывают, что постоянное акцентирование недостать ков одних учеников и достоинств других неблагоприятно ска-1 зывается на нравственно-личностном развитии каждого уча-1 щегося и на межличностных отношениях, складывающихся между детьми в классе. Ответ на этот вопрос помог получитЯ психолого-педагогический эксперимент, проводившийся в трее классах, в каждом по особой программе.
Наиболее благоприятная картина по всем показателям обе наружилась в том классе, в котором сравнивались друг с ДРУч гом дети, обладающие приблизительно одинаковыми способе
ностями, но достигшие в учебной деятельности разных результатов из-за различного отношения к учению. В этом классе главным предметом обсуждения и сравнения являлось отношение к учебному труду. На реальных достижениях учеников демонстрировались и поощрялись такие результаты, которые обеспечивались именно отношением к учению: добросовестностью, старательностью, ответственностью. Кроме того, очень высоко оценивались учителем возникавшие по инициативе детей различные формы сотрудничества и взаимопомощи.
Таким образом, сравнение здесь не принижало ученика, а, наоборот, раскрывало перед ним его возможности. Для того чтобы это усилить, учитель не выставлял ученику отрицательной оценки, добиваясь того, чтобы он достиг хорошего результата, который доводился до сведения класса. В этом классе, в котором никого особенно не превозносили и никого не принижали, учеников с неадекватной самооценкой оказалось меньше, чем в других, и отношения между детьми были наиболее доброжелательными.
Близким к этому по перечисленным показателям оказался класс, в котором успехи каждого ученика сравнивались только с его прежним уровнем успешности. Конфликтов, связанных с недовольством ученика поставленной учителем оценкой, а также конфликтов между детьми, связанных с преимущественным положением одних и приниженностью других, в этом классе тоже не наблюдалось.
Совсем другая ситуация сложилась в том классе, в котором сопоставлялись результаты хорошо успевающих с результатами отстающих. В нем детей с отрицательным отношением к учению оказалось к концу учебного года в два раза больше, чем в тех классах, о которых шла речь выше.
Как писал В. А. Сухомлинский: «Следует иметь в виду некоторые подводные камни самой логики педагогического процесса: обучение проникнуто постоянной, повседневной проверкой, контролем, ежечасным сравнением успехов одного Ученика с успехами другого. За всем этим таится опасность разочарования, неуверенности в своих силах, замкнутости, равнодушия, озлобления, то есть таких душевных сдвигов, которые приводят к огрублению души, утрате чуткости».
Учителю следует избегать использования групповой нормы оценивания, когда рассматривают достижения ученика в Узком интервале времени в сравнении с существующим уровнем достижений класса. При использовании этой нормы ученикам ясно, кто в их классе принадлежит к группе лучших,
а кто к группе худших. Педагоги, оценивающие учеников н основе групповой нормы, стремятся к стандартизации зада ний. Они дают всему классу задания приблизительно одина ковой трудности, одного и того же типа, стремясь создать си туацию «равенства предложения», что дает возможность не посредственного сравнения и оценки учащихся. В результат» более сильные ученики часто работают над легкими для низ заданиями, а более слабые — над более сложными для них зада ниями. Так постепенно складываются разные способы взаимо действия учителя с группой неуспешных и группой успешны! учеников. С точки зрения мотивации учения учебная ситу ация такого типа для одних учащихся оказывается слишком сложной, для других — слишком простой. В первом случае актуализируется потребность избежать неуспеха, во втором — потребности вообще не актуализируются.
Итак, оценка и отметка определяются знаниями и умениями ученика, которые он показал в процессе контроля. Одним из показателей, по которому учитель имеет возможность судить об этих знаниях, умениях, служат погрешности» допущенные учащимися при работе со средствами контроля, предложенными учителем.
Погрешности делят на ошибки и недочеты.
Ошибкой принято считать погрешность, свидетельствующую о том, что ученик не овладел теми знаниями и умениями (связанными с контролируемым разделом, темой), которые определены программой по математике для средней школы. Примером ошибки может служить ответ ученика, когда он центром описанной окружности треугольника называет точку пересечения высот этого треугольника. Или при нахождении sin х» если cos х = b и х — лежит в третьей четверти, ученик пишет sin х — 71 - ь2.
Недочетом считают погрешность, указывающую либо на недостаточно полное, прочное усвоение основных знаний и умений, либо на отсутствие знаний, которые программой не относятся к основным. К недочетам относят также неаккуратную запись, небрежное выполнение рисунка или оформления решения задачи и т. д.
Приведенное деление погрешностей на ошибки и недочеты является условным. Это нужно иметь в виду в процессе оценивания. Следует помнить, что размытость границы между ошибкой и недочетом может быть одной из причин необъективной оценки (а как следствие — и отметки) знаний и умений ученика. В зависимости от объекта контроля и от конк-
ретных обстоятельств погрешность, которая допущена учеником, может быть отнесена учителем к разряду ошибок или недочетов. Например, ученик допустил погрешность при выполнении умножения десятичных дробей: подписал одно из неполных произведений под несоответствующим ему разрядом множителей. На этапе изучения и усвоения указанного действия эта погрешность считается ошибкой. Если же она допущена при решении достаточно сложной задачи (алгебраической, геометрической) и не привела к искажению смысла предложенного ученику задания, способа его выполнения, то ее можно отнести к недочетам.
Можно говорить и о других показателях, с помощью которых учитель судит о знаниях и умениях учащихся. Это изложение изученного материала грамотным языком в определенной логической последовательности, обращение к иллюстрации теоретических положений конкретными примерами, правильное применение теории в новой для ученика ситуации (например, при выполнении практического задания), самостоятельность в процессе выполнения задания и т. д.
Таким образом, контроль и оценка необходимы. Вопрос состоит в том, в какой форме они должны осуществляться. Основные традиционные формы — опрос и отметка — вносят много отрицательных моментов в учебно-воспитательный процесс, хорошо известных каждому учителю. Наиболее серьезные негативные последствия имеют проявления процентомании в установках учителя, использование им угроз, нотаций, недоброжелательной иронии в адрес ученика, сравнение успеваемости и способностей учащихся, неравных в этом отношении, отсутствие оценки после опроса.
Положительное влияние на учебную деятельность и личностное развитие детей оказывают развернутые содержательные оценки учителем ответов и работ (которые применимы и при наличии системы отметок), сопоставление успехов ученика с его старыми достижениями, констатация правильности выполнения задания и эмоциональная поддержка ученика в ходе работы, использование в разных формах самооценок учащихся. Следует подчеркнуть, что влияние оценок учителя становится благотворным при наличии доверия к нему у школьника. В возникновении отношений доверия между учителем и учеником важную, часто решающую роль играют особенности личности учителя, его ожидания, общая позиция, стиль его общения с классом, способность создать атмосферу психологического комфорта, и*
\ Ключевая информация
П°Д контролем знаний понимают процесс выявлениямирезулвтатов Учебной деятельности с требова-
” заданными.,Учебными программами. Различают типы ВНеШНИИ’ взаимный, самоконтроль. Контроль вы еТ^ЛеДУЮ1ЦИе Функции: информационная, диагностическая, образовательная, мотивационная, воспитательная и про- оител^ыйаЯ’ °Пределяют ВИДЫ контроля: текущий (предад. рительный, повторный, периодический) и итоговый.
нив™КОИ называют процесс, Действие (деятельность) оце- пяет ’ °рое осуществляется человеком. Отметка выступает как результат этого процесса, как его условно формаль- но’выражение. Оценка и отметка определяются знаниям^ и умениями ученика, которые он показал в процессе контроля.
Одним из показателей уровня знаний и умений учащихся =^ “Z”’ ^^ ” ” »”Ь -
Рекомендуемая литература
2.2.3.3.Денищева Л. О.. Корешкова Т. А. Зачеты в X-XI классах // Математика в школе. — 2002. — № 8. — С. 21—27
2.
2.
3.
3.
В" °ЦеВКа решеаий стандартных задач в старлей , школе // Математика в школе. — 1999 № 2—4'
Мищенко Т. М„ Семенов А. В. Индивидуальные карточки по ^Т^^Ж^ КЛаСѰ " батика вТкоде ™
Лекция 12
Специфика восприятия и усвоения алгебраического и геометрического материала в школе
Способность к восприятию математики распространена в человечестве, пожалуй, В большей степени, чем способность получать удовольствие от приятной мелодии, она присуща огромному большинству.
Г. Харди
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ 1. Какой материал, алгебраический или геометрический, является для вас более трудным для усвоения? Как вы это можете объяснить?
Что вас привлекает (не привлекает) в алгебре, геометрии? 3. Верно ли рассуждение: если а> Ъ, тогда 2а > 2Ь?
Останкинская телебашня высотой 530 м весит 30 000 тонн.
Сколько будет весить точная копия этой башни высотой 53 см?
Особенности развития подростков и специфика обучения алгебре, связанная с ними
Чтобы выявить особенности преподавания алгебры в восьмилетней школе, надо знать особенности общего и умственного развития учеников 7 класса.
К изучению алгебры школьники приступают в возрасте 12—13 лет. Это переходный возраст от детства к раннему юношескому возрасту. По сравнению с младшими школьниками подростки отличаются быстрым ростом физических, умственных и волевых качеств. В переходный период головной мозг человека обогащается многими ассоциативными функциями, значительно повышается роль второй сигнальной системы. Постепенно происходит изменение мышления: в конкретно-наглядном содержании его, свойственном ребенку раннего школьного возраста, под влиянием обучения создаются предпосылки для образования понятий. Подросток начинает пользоваться рассуждениями для выяснения причинно-следственных зависимостей; появляется стремление пояснить, обосновать, доказать. К концу переходного периода роль абстрактного мышления значительно возрастает, а сам процесс мышления улучшается.
Растут познавательные интересы. Ребенок в этом возрасте исследователь. Его основной вопрос: «А что, если...?» Подросток проявляет живой интерес к научно-популярной и популярно-технической литературе. Ему надо знать не только то, как устроена машина, но и как сделать ее модель. Подросток стремится к деятельности: он строитель, конструктор, экспериментатор.
Получив большую самостоятельность в семье, подросток имеет предпосылки для большей самостоятельности и в учении, в связях с окружающей средой, с обществом. У подростков формируются представления о личности; подросток чувствительно реагирует на оценку его личности со стороны коллектива.
Учитывая особенности умственного развития учащихся, особенно 7 классов, следует принять во внимание, что в обучении алгебре значительную роль должен играть конкрет-
но-индуктивный метод. Применяя его, педагог опирается на рассмотрение примеров (часто арифметических), частных случаев, задач с конкретным содержанием и ведет учащихся через обобщения к новым понятиям, правилам, алгоритмам. Преподавание алгебры по сравнению с геометрией беднее наглядностью. Это объясняется сущностью тех понятий и отношений между ними, тех алгоритмов, с которыми приходится иметь дело в курсе алгебры. На самом деле, уже на первых уроках появляется некое отвлеченное число а. Это не какое-то вполне определенное число, полученное в результате счета или измерения. Число а — любое число из некоторого множества чисел. Обозначение его буквой требует более высокой ступени абстракции, чем первые геометрические понятия: оно опирается на ранее сформированное понятие числа, тогда как первые геометрические понятия формируются на базе вещей и их отношений.
В курсе алгебры иной характер носит материал, привлекающийся для конкретизации вводимых понятий. Если в преподавании геометрии таким материалом служат предметы, модели, чертежи, то в курсе алгебры приходится опираться на примеры, сравнения с арифметическими понятиями и правилами, использовать неполную индукцию. Таким образом, преподавание алгебры в значительной мере лишено непосредственной связи с материальным миром, оно опирается на опосредствованные связи — через арифметические понятия и правила.
Педагогу при обучении алгебре следует дорожить наглядностью, ибо ее применение ограничено содержанием курса. Необходимо использовать все возможности применения наглядного материала для показа изменения и зависимости величин, используя числовую ось, графики функций, геометрические иллюстрации при решении задач.
При ознакомлении учеников с теоремами педагог нередко использует такой прием: рассматривает частные случаи, каждый из которых доказывает, а затем обобщает накопленный материал. Например, при изложении теоремы о возведенш степени в степень ученики рассматривают и обосновываю1! случаи: (а3)2, (с4)3, (ти2)4, а затем, опираясь на неполную ин дукцию, формулируют теорему: (am)rt = атп. При рассмотре нии частных случаев используется дедукция — общее рассуж дение.
Для повышения теоретического уровня обучения желательно, чтобы доказательства на примерах с последующими индуктивными обобщениями перерастали в общие доказа-
тельства. Например, рассмотрение возведения степени в степень завершается изложением теоремы (ат)л = атп, где т и п — натуральные числа в общем виде.
Примеры умножения степеней с одинаковыми основаниями заканчиваются доказательством теоремы ат-ап = ат^пэ где тип — натуральные числа. В курсе алгебры неполной средней школы дедукция в доказательствах и выводах применяется весьма неравномерно. Например, при изучении тождественных преобразований многочленов. В 7 классе она используется многократно, а при изучении уравнений, алгебраических дробей, координат и графиков функций в 8 классе ее роль незначительна. Чтобы не порывать с применением дедукции и в некоторой мере сгладить в этом отношении особенности тем программы, целесообразно использовать задачи на доказательство. В одних случаях эти задачи подбирают из ранее изученных глав, в других — из содержания изучаемых тем. Например, при изучении уравнений в 7 классе можно использовать задачи на доказательство тождеств. Это полезное повторение темы о многочленах и хорошая подготовка к изучению разложения на множители.
При изучении алгебраических дробей естественны задачи на доказательства законов сложения, умножения и других тождеств. Целесообразно вести обучение так, чтобы ученики постепенно осознали, используется ли в данном конкретном случае индуктивное заключение или же применяется дедукция (вывод, доказательство). Опыт показывает, что при правильном обучении этого можно достигнуть в начале 8 класса.
Специфика обучения алгебре как предмету
Содержание школьного курса алгебры и специфика его усвоения во многом определяются особенностями предметного характера и проистекающими из них проблемами.
Следует учитывать, что способность к абстрагированию еще недостаточно развита у учащихся данного возраста. Поэтому при усвоении абстрактных понятий целесообразно сводить их к более низкому уровню абстракции, например алгебраического материала к арифметическому.
В математике существует традиция изображать одинаковыми способами выражения, символы, имеющие разный смысл. Недаром говорят, что в математике часто одинаково называют разные вещи и, наоборот, одну вещь обозначают по-разному. Так, записи 5а/3 и 5g внешне схожи, но первая отражает произведение компонент, а вторая — их сумму. Этот пример по-
называет, что требуется специальная работа по усвоению терминологии и символики, в ходе которой нужно обращать внимание на аналогичность формы при различии содержания.
Алгебра — наиболее алгоритмизированный раздел математики. Поэтому имеется проблема совместимости алгоритмизации материала в алгебре с необходимостью мыслить нестандартно. Применение некоторых алгоритмов доведено до навыка и, значит, мешает развитию осознанности, блокирует критическое мышление.
В какой-то мере проблему можно решить, если избегать однотипности формулировок. Кроме того, после введения алгоритма обязательно предлагать задачи, для решения которых можно, но нерационально использовать алгоритм (т. е. показать ограниченность действия, «слабость» алгоритма). Невнимание к данной проблеме приводит к грубым ошибкам учащихся, таким как: 7з + Тб = 78.
Математические формулы имеют две равнозначные части. Национально-типологической особенностью российских школьников является просмотр информации слева направо. Учащиеся гораздо чаще используют теоремы-тождества, например 7^2 = |а|, слева направо, чем справа налево.
Необходимо заострять внимание учащихся на обратном прочтении формул, теорем. Нужно менять направление записей, использовать встречающиеся возможности показа целесообразности чтения записи в обратном направлении, например при решении уравнений. Так, при переносе неизвестных в правую часть уравнения 5-х = х + 2не нужно деления на отрицательное число при его решении.
Изложение и характер материала курса алгебры имеют преимущественно аналитический характер, что во многом определяет трудности для его восприятия и усвоения «образни- ками». Поэтому необходимо пытаться организовывать целостное восприятие материала.
Часто школьники сталкиваются с определенными трудностями изложения материала в учебниках:
дедуктивность изложения в материалах учебников не всегда согласуется с возрастом учащихся;
неосознанность целей изучения вызывает отсутствие мотивации;
малое количество жизненных ситуаций, вызывающих личностную заинтересованность учащихся.
Обучение математике означает и обучение математическому языку. Недостаток традиционной методики в том, что
в ней не подчеркивается различие между языковым выражением, с помощью которого обозначается объект (именем), и самим объектом (денотат имени), например между выражением х2 4- Зх 4- 2 и функцией, определяемой этим выражением. Большие трудности вызывает символическое использование обозначений переменных величин. По существу, переменная не обозначает непосредственно элемента какого-нибудь множества. Она ставится в математическом тексте на то место, которое разрешается заполнять элементами из некоторого, безразлично какого, но определенного данного множества (области значений переменной).
В начальной школе задание: какое число нужно поставить вместо точек в уравнении 7 4- ... = 10 (а не выбрать из множества А = {1,2,3} число так, чтобы получилось верное равенство или истинное высказывание) — приводит к тому, что проверяют только число 3. Полезны задания, в которых надо заполнить пустые места, окошечки. Р. Девис, руководитель проекта по модернизации образования, отметил, что от окошек легко перейти к буквам.
Оперируя переменными, надо иметь в виду области значений этих переменных. Если переменная — элемент математического языка, а ее область значений — какая-то предметная область, свойства которой выражаются на этом языке, то связь между переменной и ее областью значений есть связь между языком и тем, что он выражает. Не учитывать эту связь — означает оторвать язык от описываемой его средствами действительности, форму от содержания, что приводит к формальным знаниям.
Нередко у учащихся возникают трудности, связанные с особенностями подачи материала.
Если посмотреть в школьных учебниках формулировки задач к теме «Тождественные преобразования», то можно обнаружить, что чаще всего встречаются следующие: «Упростить...», «Доказать...», «Найти произведение...», «Выполнить действия...», «Решить уравнение...», «Разложить на множители...». Очевидно, формулировки достаточно сухие. Не хватает различных видов формулировок задач, самих форм работы, элемента занимательности, элементарной «изюминки», которая смогла бы заинтересовать учащихся в овладении математическими знаниями.
Независимо от того, как организовано обучение, отработка полученных знаний занимает, как минимум, 50% учебного времени. Чтобы этот процесс не был нудным, а стал эффективным и интересным, следует использовать игровые формы про-
ведения закрепляющих уроков. Поэтому игра — не враг, а помощник, но и эту помощь нужно использовать умеренно, целенаправленно, продуманно.
Если обратить внимание на задачи, предложенные в каждом параграфе школьных учебников, то можно обнаружить, что среди задач для закрепления темы встречается большое количество однотипных. С одной стороны, однотипность при обучении математике необходима, с другой — она приводит к снижению интереса, внимания, к ошибкам, ослабляет активность мыслительной деятельности. Таким образом, нужно сохранить однотипность системы упражнений и вместе с тем нейтрализовать ее отрицательные последствия. Игровая деятельность позволит сохранить внимание и интерес, «скрыть» однотипность и будет способствовать хорошему усвоению. С помощью различного оформления заданий и разнообразных их формулировок можно «смягчить» однотипность. Применение упражнений разных типов помогает избежать отрицательных влияний однотипности.
Исследования показывают, что лучший результат усвоения достигнут учащимися в ситуации, когда число выполняемых ими однотипных упражнений равно трем.
Объективные особенности геометрических представлений
Окружающий ребенка мир наполнен образами геометрических фигур и отношений. Изначально геометрия формировалась как наука о непосредственно наблюдаемом, пространстве, поэтому первой научной концепцией геометрии была евклидова геометрия, отражающая мир, доступный непосредственному опыту в ограниченном пространстве. Смысл основных понятий отражает то, откуда они возникли [1]. И при этом геометрия из математических дисциплин вызывает наибольшие трудности у школьников. Обычно причины такого положения связывают с содержанием курса геометрии средней школы, методикой его обучения. Но трудности усвоения закладываются еще в начальной школе, имеют предметный и психологический характер, связанный со спецификой геометрического материала.
В современной философии образования различают пространство реальное, существующее «на самом деле», пространство концептуальное, т. е. некоторые научные представления о реальном пространстве (в основном, это физические и математические абстрактные пространства, в частности геометрические пространства), и пространство перцептивное, т. е. про-
странство как его воспринимает человек своими органами чувств, и прежде всего зрением и осязанием, которое может быть сугубо индивидуальным.
При разработке учебных предметов необходимо понимание, что предметные знания нужны ребенку, в первую очередь, для познания реального пространства, а обеспечиваются они в начале обучения через освоение перцептивного пространства. Это требует осознания и учителями, и учащимися особенностей геометрического пространства, изучаемого в школе (одной из моделей евклидовой геометрии). Непонимание отличия геометрического пространства от реального и перцептивного является основной причиной трудностей изучения (предметного характера). Каковы же эти особенности?
Геометрические фигуры являются идеальными объектами. Среди реальных предметов подобных объектов нет. Но усвоение геометрического материала предполагает связь его с реальными объектами. Ведь понимание обеспечивается связью научных знаний с имеющимся у ребенка личностным опытом. Изучение геометрических объектов предполагает предъявление реальных предметов в качестве материальных (по Штоф- фу) моделей этих объектов. Каковы же критерии выбора моделей? В процессе обучения модели часто предъявляются произвольно. На их основе ребенок создает образы и представления, на которые опирается, работая с понятием. (Геометрия как наука не оперирует представлениями, но учебный предмет геометрии постоянно к ним обращается.) В результате неудачного выбора учащиеся относят к существенным свойствам фигуры те, которыми обладает предмет, но не сама геометрическая фигура. Например, пятиклассники часто путают квадрат и куб. Это, в первую очередь, вызвано тем, что по традиционной программе учащиеся в начальной школе работают в плоскости, что уже опасно (отсутствует возможность сравнения плоских и объемных фигур). Предъявляемые им в качестве квадрата рисунки, дощечки, картонки определенной формы имеют толщину, и у ребенка не формируется представление о таком существенном свойстве квадрата, как быть плоской фигурой.
Одними из первых геометрических фигур, с которыми знакомятся учащиеся в школе, являются отрезок, точка. Их изучение требует развитого умения абстрагировать, что в начале знакомства с геометрическим материалом ведет к трудностям в усвоении. Детям не скажешь, что точка в геометрии — неопределяемое понятие, им необходимо объяснить, доказать, чем геометрическая точка отличается от уже знакомых им точек
в рисовании, в русском языке, предъявить модель точки. В некоторых учебниках по математике для начальной школы и для 5—6 классов точка описывается как острие карандаша. И учителя, и ученики ориентируются в этом случае на точку как на что-то маленькое. Но рассматривая такую точку под микроскопом или с позиции сидящего на ней «микроба», вряд ли можно не заметить ее размеров. И как следствие можно наблюдать ситуацию, когда ученик утверждает, что его точка меньше, так как у него карандаш отточен острее, хотя понятие «больше», «меньше» неприемлемо к объекту, не имеющему размеров. Или при выполнении практического задания, подводящего к выводу о том, что через две точки можно провести только одну прямую, учащиеся получают в качестве ответа несколько прямых. Такой подход не обеспечивает понимания учащимися специфики геометрических объектов, не отражает связи реального и геометрического пространств.
В разных реальных ситуациях один и тот же предмет мы можем рассматривать как различные геометрические объекты. Например, вытянутый «на пол квартала» стандартный дом может представлять модель точки, если в рассматриваемой ситуации важно знать его местоположение в городе, а может быть моделью отрезка, если сообщается его положение относительно проходящей рядом улицы (дом расположен перпендикулярно проспекту Космонавтов), или моделью прямоугольника, если речь идет о площади, занимаемой домом, или моделью прямоугольного параллелепипеда, если требуется выполнить его макет. Таким образом, мы мыслим предмет как некую геометрическую фигуру, когда нам в предмете важны только те свойства, которые являются существенными свойствами этой геометрической фигуры. Отсюда вытекает критерий выбора материальных моделей (реальных предметов) геометрических фигур.
Выбор материальной модели геометрического объекта зависит от контекста ситуации, в которой эта модель предъявляется. Этот контекст выделяет в предмете существенные свойства изучаемого геометрического объекта.
На основе выбранных моделей учащиеся создают образы фигур, которые в дальнейшем включаются в процесс оперирования. Но оперирование геометрическими объектами отличается от оперирования в перцептивном и реальном пространствах. Если, например, попробовать осознать («прорефлексировать») образ треугольной пирамиды, который возникает у человека в голове при задании «представить треугольную пирамиду»• то его нельзя материализовать как плоское изображение. Он,
скорее, ♦увидит» пирамиду как бы одновременно со всех сторон, т. е. выйдет в пространство с постоянно меняющейся точкой отсчета.
Ориентация в геометрическом пространстве требует постоянной смены точки отсчета, что отличает его от перцептивного пространства, где преимущественно точка отсчета сосредоточена в наблюдателе. Умение переходить от точки отсчета, сосредоточенной в наблюдателе, к пространству с постоянно меняющейся точкой отсчета С. Л. Рубинштейн называл ♦ стержнем общего понимания пространства». Если в перцептивном пространстве действует ориентация «по схеме тела» (справа от себя, впереди себя и т. д.), а в реальном работают также объективные <земные» ориентиры (горизонтальность, к югу, севернее ит. д.), то в геометрическом пространстве система отсчета постоянно меняется, что требует особой подготовительной работы и особого содержания геометрического материала.
Названия геометрических фигур, их элементов не зависят от расположения относительно земной поверхности. Основание геометрической фигуры (пирамиды, равнобедренного треугольника и т. п.) определяется не тем, что на нем «стоит» фигура (как в реальных предметах), а связями (соотношениями) между ее элементами. Но это отличие часто не осознается в процессе обучения. Уже в начальной школе дети рисуют на клетчатой бумаге и используют принцип горизонтальности и вертикальности на уроках математики. (В 20-х гг. прошлого века, изучая геометрию в 3 классе, ученики рисовали только на нелинованной бумаге, в 50-х после рисования по клеточкам дети переходили к рисованию на нелинованной бумаге.) Постоянное изображение горизонтально расположенных линий и поверхностей приводит к формированию представлений учащихся о положении фигуры как ее существенном свойстве. Младшие школьники часто прямыми называют только горизонтально или вертикально расположенные прямые линии. Ученики старших классов часто не могут на доске показать решенную дома стереометрическую задачу, потому что учитель заранее нарисовал чертеж к этой задаче, но в другом положении, чем у ученика. А какие мучения вызывает проведение перпендикуляра к прямой. Кажется, учащиеся поняли, какие прямые перпендикулярны, но как только взяли в руки угольник, так перпендикуляр к наклонной прямой оказался расположенным горизонтально или вертикально. Это результат стандартных изображений в учебниках, собственной практической деятельности и жизненного опыта, где превалирует горизонтальность и вертикальность. Поэтому желательно на
уроках геометрии избегать изображать линии горизонтальнс и вертикально. Кроме того, вряд ли правомерно говорить о вер тикальных и горизонтальных линиях, проведенных в тетради, лежащей на горизонтальной поверхности стола. Согласие естественнонаучным взглядам, любая прямая линия, распо ложенная на горизонтальной поверхности, является горизон тальной. Рассматривая горизонтальность и вертикальность поверхностей предметов, надо иметь в виду, что их расположение зависит от положения, в котором находится предмет. А при использовании этих понятий необходимо договориться с учениками, что, работая в тетради, надо считать ее располо женной, как классная доска.
Восприятие и усвоение геометрического пространства
Необходимость осознания учащимися особенностей геометрического пространства требует постановки такой целв обучения геометрии, как развитие рефлексивных способное тей.
Рассматривая особенности восприятия и усвоения геомет рического пространства, можно выделить три основных ас пекта, с которыми они связаны.
Во-первых, это внимание в процессе обучения к естествен ному развитию ребенка. Мир школьной геометрии менее абст рактен, чем алгебры. Но он требует постоянного обращения к образам, особенно в начале знакомства с ним. Образная де ятельность является достаточно сложной, трудно поддается традиционному обучению в силу таких качеств образов, кар субъективность, многозначность, целостность восприятия; е< труднее формализовать, чем аналитическую деятельность В школьном курсе математики с его направленностью нь ♦аналитику», в решении однотипных задач отсутствуют мето дики, описывающие организацию условий, способствующие развитию умений создавать и оперировать образами. Этот про цесс требует правополушарных стратегий, которые непосред ственно связаны с возрастом ребенка.
Некоторые считают, что ребенка можно научить многому тогда, когда взрослый считает нужным. Но гуманнее и эффективнее учить в то время, которое определено природой. Никте не пытается учить ходить только родившегося ребенка. Пре обучении этот принцип часто остается без внимания. В психо логии описаны сенситивные, наиболее чувствительные к раз витию определенных психических функций, периоды, кото рые необходимо учитывать в процессе обучения.
Указанные выше умения связаны с деятельностью образных компонентов мышления, которая в возрасте 6—12 лет является приоритетной (А. Н. Ткаченко, Ю. А. Самарин), их активизация лежит в основе творческой деятельности. Поэтому тезис, бытующий в школе: «Сначала научим детей алгоритмам, а потом будем заниматься творчеством >, вряд ли правомерен с точки зрения естественного развития ребенка. В основе создания и оперирования образами лежит деятельность руками, дающая кинестетические ощущения. Образ создает ребенок сам, и проверить его целесообразно при конструировании требуемых моделей (словами он может не суметь описать его). Поэтому при изучении геометрии ученик должен постоянно включаться в практическую деятельность, и желательно в сенситивный период. Вряд ли десятиклассникам доставляет удовольствие делать развертки, лепить (с целью обеспечить понимание), так как в этом возрасте уже утрачен приоритет наглядно-действенного мышления.
Создание условий для организации деятельности младших школьников, направленной на создание и оперирование образами, в которых выделены форма, расположение в пространстве, взаимное положение элементов (пространственные образы), подготовит учащихся к работе в геометрическом пространстве. За эту деятельность отвечает пространственное мышление (ПМ). Поэтому развивающей целью обучения геометрии этого возраста является развитие ПМ, но как разновидности образного (в развитых формах ПМ выступает как интеграция понятийного и образного видов мышления). Организуется оно на основе психологических исследований, но и с учетом специфики геометрического материала. Обучающая цель — формирование самими учащимися системы обобщенных представлений или концептуальных образов (известных в педологии как предпонятия), а не формирование понятий, как принято в традиционном обучении. С методической точки зрения это соответствует созданию объемов понятий, которые будут изучаться в старших классах.
Внимание к психологической основе реализации развивающих целей позволит, во-первых, проследить продвижение ученика в плане развития пространственного мышления (И. С. Якиманской выделены уровни развития ПМ, сформиро- ванность которых можно проверить через решение задач соответствующего типа) [6]; во-вторых, выделить общую линию развертывания учебного геометрического материала, который в действующих программах представляет преимущественно
отдельные сведения из разных тем геометрии или определяется логикой науки геометрии, хотя само понятие «пространственное мышление» и процесс его развития относятся к области психологии. Например, пространственные представления (ПП) развиваются в следующей последовательности: от топологических ПП — к метрическим, через проективные (Ж. Пиаже, Л. М. Веккер). В школе этот процесс имеет обратную последовательность.
Топологические свойства обладают большей фундаментальностью, чем метрические [3]. В топологических структурах с точки зрения математики отражаются наши представления об окрестности, пределе, непрерывности. Но в учебниках отсутствуют задания, направленные на создание у учащихся интуитивных представлений о непрерывности как части пространства или плоскости, обладающей свойством непрерывности и связности. А именно эти представления должны «работать» в школьной геометрии в дальнейшем. Они лежат в основе понимания фигур, определяемых как части плоскости или пространства, ограниченных определенными линиями или поверхностями. В то же время измерения с помощью линейки занимают значительное место на уроках, но эта деятельность вряд ли является значимой для учеников. Более того, как показали исследования Е. Ф. Рыбалко, присоединение к глазомеру инструментальной деятельности младших школьников приводит к его снижению и колебанию точности. Например, предлагая пятиклассникам, выпускникам начальной школы, определить на ощупь размеры бруска в форме параллелепипеда, учителя получали ответы с ошибками до 7 см. Метрические представления требуют опыта «представлива- ния», что отражает второй аспект особенностей восприятия и усвоения школьниками геометрического пространства.
Опыт ребенка, возможности его психологической организации играют важную роль в процессе обучения геометрии. Сам процесс требует образной деятельности. Но образ — субъективное образование, входящее в личностный опыт ребенка. Этот опыт начинает формироваться в первые дни жизни ребенка при его взаимодействии с пространством. В школу ребенок приходит с уже определенным видением пространственных отношений, геометрических форм, с умением ориентироваться в пространстве, т. е. определенным опытом жизнедеятельности. Противоречие между сложившимся опытом ребенка и приобретаемым общественно-историческим в области геометрии является движущей силой раз-
вития. Любую информацию, прогнозирование и оценивание своих действий человек переводит на «свой язык» на основе этого опыта.
При тестировании учителям после описания понятия «грани» предлагалось ответить на вопрос, сколько граней у различных фигур. Были названы 8 многогранников, цилиндр и шар. Более 60% опрошенных ответили, что у цилиндра две грани, а около 20% нашли у цилиндра три грани, а у шара одну. Объясняется это различным опытом: один «связал» с гранью образ плоской поверхности, другой — любой поверхности, хотя грани имеют только многогранники и многогранные поверхности. То же происходит и с учениками при чтении задач и знакомстве с новыми понятиями через определения. Какой они создадут образ — неизвестно, но именно он будет «работать» при решении задач. Поэтому вербального описания геометрических понятий и их изображений при введении понятия недостаточно, если нет уверенности в адекватном «переводе» их учениками на «собственный язык». К сожалению, при обучении не выявляется, насколько образы, созданные учеником, адекватны соответствующим геометрическим понятиям.
Например, в некоторых учебниках начальной школы встречаются задания на пересечение линий. В ситуациях, когда жизненное понятие «пересечение» совпадает с математическим, кажется, что усвоение этого понятия не представляет трудностей. Но стоит предложить учащимся определить пересечение лучей, отрезков в случае, когда они принадлежат одной прямой, фактически правильные ответы отсутствуют.
Н ПРИМЕР
АА[АВ) г* (CD) - ?[АВ) г* (CD) - ?Рис. 14Рис. 14Найдите на рис. 14 пересечение лучей АВ и CD.
А
А
[АВ) г* (CD) - ?
[АВ) г* (CD) - ?
Рис. 14
Рис. 14
Это объясняется тем, что объем жизненного понятия «пересечения» не включает таких ситуаций. А жизненные понятия и представления сильнее «внешних» знаний (общественно-исторического опыта), пока последние не станут личностно-значимыми. Поэтому основная задача учителя, работающего в личностно-ориентированной педагогике, — помочь ученику научиться связывать изучаемое понятие с образами, входящими в личностный опыт ученика. В случае их отсутствия организовать условия для их образования, т. е. научиться подбирать собственную модель
(модели) понятия. Это требует работы по выявлению опыта учащихся.
Во-первых, в случаях расхождения жизненных и геометрических понятий необходимо организовать практическую деятельность (основа формирования образов), в которой ученик сможет создать образы, адекватные математическому понятию. В рассмотренном на рис. 14 примере можно предложить учащимся закрасить каждый луч своим цветом и договориться считать часть, где есть оба цвета, пересечением лучей, также можно рассмотреть пересечение как совместный путь и т. п.
Во-вторых, если представление ученика адекватно геометрическому понятию, то на него надо опираться при изучении понятия и предоставить ученику самому сконструировать определение, выбрав из существенных свойств понятия минимальный их набор, который будет задействован в определении. Ученик, имея представления о существенных свойствах понятия, выберет те, которые ему понятнее. Например, в.эксперименте было предложено учащимся 5 класса, владеющим существенными свойствами параллельных прямых на уровне образов, сконструировать описание параллельных прямых. Они дали описание параллельных прямых через такое свойство, как «одинаковость расстояния между прямыми», а не как принято в традиционной программе.
Опыт ученика не учитывается и в последовательности знакомства с геометрическими фигурами. Ребенок действует е трехмерном мире. И согласно психологическим исследованиям, плоскостные представления человека появляются кан производные от объемных. Поэтому в геометрическом содержании целесообразнее двигаться не от точки к объемной фигуре, не от развертки к геометрическому телу, а наоборот, использовать идею фузиониэма. Знакомство же с геометрическим материалом с точки и отрезка в 1—6 классах свидетельствует о построении содержания от предмета геометрии, а не от ребенка. Учащиеся, знакомясь уже на первых уроках с фигурами, обладающими достаточно высокой степенью абстракции, затрудняются связать этот материал со своим опытом! ведь в жизни они преимущественно осознают опыт деятельности с предметами (моделями объемных фигур), а не с их элементами, в частности поверхностями (моделями плоских фигур). И в 5—6 классах, и в старших учащиеся часто не относят точку и отрезок к геометрическим фигурам. Этому способствует и решение заданий, которые встречаются в разных программах.
н ПРИМЕР/
Определите, сколько треугольников на рис. 15. А сколько / всего фигур?/
На первый вопрос дети в основном отвечают вер- / \ но (два треугольника). А отвечая на второй вопрос, /'
они считают только многоугольники (три фигуры). Как показывает практика, такой ответ ждут и мно- Рис. 15 гие учителя. Но ведь любой треугольник ограничен отрезками, которые также изображены на рисунке, как и точки. Поэтому либо не надо задавать второй вопрос, либо рассматривать в качестве ответа бесчисленное множество фигур. Аналогичные задачи предлагаются с квадратами.
В случае непонимания учащимися учителя обращаются к образам, близким ребенку. Человек, ориентируясь на верти
кальное положение тела и его перпендикулярность горизонтальной плоскости (касающейся поверхности Земли в точке соприкосновения с ней), старается при распознавании перпендикулярности мысленно развернуть рассматриваемые линии (плоские поверхности) так, чтобы одну из них расположить горизонтально или вертикально, не меняя отношения между ними. Поэтому при первоначальном знакомстве с понятием перпендикулярности рассматривается следующее описание (именно описание, так как вначале формируются предпоня- тия, а не понятия) перпендикулярности: две прямые линии перпендикулярны относительно друг друга или взаимно перпендикулярны, если их можно расположить в пространстве так, что одна станет вертикальной, а другая горизонтальной. При этом отношения между ними не меняются. Такое описание позволяет:
охватить все случаи перпендикулярности прямых и плоскостей, добавив только в описание перпендикулярности прямой и плоскости требование горизонтальности плоскости или непустого пересечения прямой и плоскости;
связать представление о ♦ перпендикуляре» с этимологией самого термина.
Кстати, определение перпендикулярных прямых через горизонтальность и вертикальность встречается в учебнике К. Ф. Лебединцева начала XX в., правда, только для прямых, лежащих в плоскости. Как показала практика, данное описание сначала оказывается непривычным (а значит, трудным) для учителя, но никак не для детей. Опираясь на него, они обосновывают перпендикулярность прямых, плоскостей. В дальнейшем на основе системы обобщенных образов, адекватных понятиям, и определенной логической подготовки учащихся
можно будет перейти к определениям, предлагаемым в систематическом курсе геометрии. Обращенность к опыту ребенка, процессу создания образов требует внимания к процессу восприятия.
Третий аспект особенностей восприятия и усвоения учащимися геометрического пространства связан с особенностя ми процесса восприятия.
Первичные образы формируются в процессе восприятия. Организуя его, следует учитывать, что при зрительном восприятии трехмерного объекта информация поступает не от всез частей модели. Невидимые элементы достраиваются в пред ставлении на основе имеющегося у наблюдателя опыта, а зна чит, их достоверность гипотетична, поэтому возникает необ ходимость рассмотрения предмета с разных сторон. Более того зрительное восприятие формы вторично по отношению к ося зательному. Для создания адекватного представления о форм< предмета следует включать в процесс познания кинестетиче ские ощущения, в частности обвести рукой границу предмета причем необходимо проводить по предмету ведущей руко! (у правшей правой, у левшей левой), держа его в другой. Орга низуя измерительную деятельность, необходимо учитывать что ведущая рука у человека представляет своего рода систе му координат, где каждый палец выполняет свою функция (Л. М. Веккер). И прежде чем давать в руки ребенку линейку необходимо через руки сформировать представления о длин предмета, ее измерении. Более того, работа с линейкой сужае представления детей о линиях: линии сводятся в основном i прямым.
Поэтому уменьшение доли практической деятельности работы руками в начальной школе ведет к снижению уровне ПМ.
^Ключевая информация
Среди особенностей школьников подросткового воз раста, влияющих на восприятие и усвоение учебного матери ала, выделяют: возрастающую роль абстрактного мышления улучшение процесса мышления, рост познавательных интере сов.
Специфика обучения алгебре как предмету включает: абс1 рактность содержания; терминологию и символику; необ ходимость совмещения алгоритмизации материала и нео€ ходимость мыслить нестандартно, анализировать характе изложения материала; недостаточный учет возрастных осс
бенностей учащихся и отсутствие мотивации. В обучении алгебре значительную роль должен играть конкретно-индуктивный метод.
Особенности перцептивного и геометрического пространства, с которыми имеет дело школьник в повседневной жизни и в процессе обучения, должны опираться на характер обучения. Согласованность развития ребенка с учебным процессом состоит в учете его опыта, особенностей его психической организации и восприятия им геометрического материала.
-4-
Рекомендуемая литература
Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
Подходова Н. С., Горбачева М. В., Мистоков А. А Волшебная страна фигур: Пособие по развитию пространственного мышления (в пяти путешествиях). — СПб.: Питер, 2000.
Репьев В. Общая методика математики. — М.: Учпедгиз, 1958.
Философия образования для XXI века. — М.: Наука, 1992.
Френе С. Избранные педагогические сочинения / Пер. с фр. — М.: Прогресс, 1990.
Якиманская И. С. Технология личностно-ориентированного образования. — М.: Сентябрь, 2000.
Лекция 13
Методика обучения математике
Трудных наук нет. Есть только трудное изложение, т. е. неперевариваемое. В том-то и состоит вся задача педагогики — сделать науку до того понятной и усваиваемой, чтобы заставить ее говорить простым языком.
А И. Герцен
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Термин «методика» связан не только с процессом обучения. Что подразумевается при использовании таких словосочетаний, как «методика осуществления эксперимента», «методика проведения хирургической операции»?
На какие из перечисленных ниже вопросов отвечает, по вашему мнению, методика обучения математике:
Для чего нужно учить людей математике?
Как нужно учить?
Почему нужно учить математике?
Какой математике нужно учить разные категории учащихся?
Нужно ли учить детей математике?
Знания из каких областей необходимы, чтобы эффективнс осуществлять процесс обучения математике?
Что дает математика для образования современного человека?
Какие задачи, математические или учебные, решаются е процессе обучения математике?
Предмет методики обучения математике.
Связь методики обучения математике с другими науками
Термин «методика» в самом широком смысле использу ется для обозначения совокупности методов практической выполнения чего-либо, например эксперимента, хирургиче ской операции и т. д. Соответствующая совокупность методо! должна быть научно обоснованна. Чаще всего этот термин ис пользуется применительно к процессу обучения определенно му предметному содержанию.
Словосочетание «методика обучения математике* используется сегодня для обозначения науки и учебного пред мета, который включается в программы среднего и высшеп педагогического образования. Следует заметить, что в учеб ной дисциплине, которая изучается в системе высшего образо вания, наиболее ярко проявляется система соответствующей научного знания.
До 80-х гг. прошлого века курс методики обучения мате матике носил название «Методика преподавания математи ки». Изменение названия отражает направленность современ ной системы образования, рассматривающей процесс обучение как двусторонний процесс, в котором превалируют субъект субъектные отношения. В процессе обучения математике вы деляют следующие компоненты: целевой, субъектный, содер жательный и предметно-процессуальный. Целевой компо нент определяет конечный результат и основные направлен» достижения этого результата, отвечает на вопрос: «Для чег учить?» Субъектный определяет участников процесса обуче ния и отвечает на вопрос: «Кого учить?» и «Кто учит?», при чем эти вопросы относятся и к учителю, и к ученику. Умны! учитель готов учиться у ученика. Содержательный опреде
ляет ту часть адаптированного общественно-исторического опыта в области математики, которым должен овладеть ученик в процессе обучения, и отвечает на вопрос: «Чему учить?» Предметно-процессуальный определяет методы, формы и средства обучения и отвечает на вопрос: «Как учить?»
Перед методикой обучения математике стоят определенные задачи:
определение целей математического образования в целом и на определенном возрастном этапе;
разработка содержания и структуры школьного курса математики;
изучение существующих методов и форм обучения математике, их теоретическое обоснование и разработка новых, проверка на практике;
разработка учебных пособий, методических пособий для учителя математики и популярной математической литературы;
разработка средств обучения математике, в том числе технических средств обучения, их проверка на практике;
исследование вопросов самообучения математике.
Таким образом, методика обучения математике предметом своего изучения рассматривает систему целей, содержания, методов и средств обучения, обеспечивающих математическое образование учащихся (методическую систему обучения математике), а также процесс осуществления обучения математике.
Выделение предмета изучения любой науки невозможно без выделения ее связей с другими науками. Связь методики обучения математике с другими науками проявляется при разработке содержания, организации его изучения, выборе методов и средств обучения.
Методика обучения математике строится на фундаменте широких философских знаний. Она не только использует общие философские воззрения на соотношение материального и духовного, ио пользуется основными идеями и положениями гносеологии и формальной логики.
Педагогика дает методике принципы дидактики, которые являются основополагающими при развитии всех элементов методической системы обучения математике. Бурно развивающееся сегодня в лоне педагогики направление — педагогические технологии занимаются построением операций, процедур, предписаний для реализации конкретных педагогических замыслов. Как отражение этого процесса в методике обучения математике разрабатывается технологический под-
ход к процессу обучения математике, о котором пойдет речь в следующих трех лекциях.
Сегодня, когда процесс обучения математике все больше ориентируется на развитие личности учащегося, возрастает и значение связи методики обучения математике с психологией. Уже около сорока лет в психологии существует психология математики, которая занимается особенностями освоения и, прежде всего, понимания математического содержания учащимися. В психологии математики выделяют три ступени понимания:
фрагментарное понимание (отдельные свойства понятий, отдельные места доказательств без умения связывать их воедино);
логически необобщенное понимание (усвоение определения понятий, но без умения связывать их воедино);
логически обобщенное понимание (умение включать новое знание в систему понятий, выделение основной идеи доказательства).
Методика обучения математике связана и с такими гуманитарными науками, как лингвистика и риторика, так как освоение математического знания неразрывно с освоением математического языка. Учитель математики должен не только красиво и правильно говорить, но и освоить языковые средства и приемы выражения, присущие математике. Еще М. В. Ломоносов предлагал ораторам говорить так, чтобы слушатели ♦предлагаемое дело как бы перед глазами ясно видели*.
Для этой цели в процессе обучения математике обычно сравнивают сложные понятия с тем, что хорошо знакомо ребенку, с его субъектным опытом. Примеры помогают перевести ребенку адаптированный язык науки на свой собственный, что является необходимым условием понимания математики.
Характеристика образовательной области «Математика»
В общеобразовательной школе все содержание образования разбивается на отдельные области. Математика рассматривается в качестве одной из самостоятельных образовательных областей и включает следующие дисциплины:
математика в начальной школе и в основной школе (5— 6 кл.);
алгебра и геометрия в основной школе (7—9 кл.);
геометрия, алгебра и начала анализа в старшей школе (10—11 кл.);
алгебра и математический анализ, геометрия в старшей специализированной (профильной) школе (10—11 кл.).
Предметными подобластями образовательной области ♦Математика» являются: теория числовых систем, теория тождественных преобразований, теория элементарных функций (алгебраических, трансцендентных), теория элементарных уравнений, неравенств, их систем и методов решения, элементы математического анализа и его приложения, теория приближенных вычислений, плоские и пространственные фигуры, их свойства, геометрические величины, геометрические преобразования, элементы комбинаторики и теории вероятности, математические методы, методы решения задач.
Освоение образовательной области ♦ Математика» учащимися происходит постепенно. В связи с этим выделяют уровни математической образованности:
элементарная грамотность (начальная школа);
функциональная грамотность, которая характеризуется как овладение познавательными средствами, необходимыми для дальнейшей жизнедеятельности в различных сферах. К ее аспектам относятся: владение простейшими вычислительными и другими техническими алгоритмами, а также способность к реализации простейших интеллектуальных умений, связанных с практической деятельностью;
уровень общекультурной компетентности, который считается достигнутым, если учащийся демонстрирует способность реализовать перечисленные выше интеллектуальные умения даже на сравнительно невысоком техническом и понятийном базисе. Достижение такого уровня — важнейшая задача преподавания математики в классах, обучаемых по базовой программе. Для учащихся, достигших этого уровня, должно быть характерно осознание границ своей компетентности, места новых математических знаний в системе усвоенных, понимание места математики в современном мире;
уровень допрофессиональной компетентности может считаться достигнутым, если учащийся обладает подготовкой, необходимой для продолжения образования в данной предметной области. Учащийся должен быть способен к реализации перечисленных интеллектуальных умений на сравнительно широком понятийном материале при сравнительно высоком уровне развития технических умений. При этом он должен критически анализировать достигнутый им уровень, соотносить его с существующими уровнями требований. Для достижения этого уровня целесообразно изучать математику на углубленном (расширенном) уровне уже в основной школе;
уровень методологической компетентности может считаться достигнутым, если учащийся демонстрирует подготовленность к творческой деятельности в области математики, т. е. способность к применению полученных знаний и умений в нестандартных ситуациях. При этом учащийся должен быть способен к реализации перечисленных интеллектуальных умений на весьма богатом понятийном материале при высоком уровне владения техническими навыками. Он должен свободно ориентироваться в методах элементарной математики, знать особенности и области их применения.
Определение степени достижения каждого из обозначенных уровней может осуществляться: как в процессе обучения математике (различные формы контроля, включая итоговые тематические контрольные работы), так и при проведении итогового контроля (выпускные экзамены).
Математика представляет собой не только совокупность фактов и методов, но и язык для их описания, поэтому обучение математике означает и обучение математическому языку. При этом необходимо различать семантический и синтаксический подходы к математическому языку. Семантика (раздел семиотики, изучающий знаковые системы как средства выраже- j ния смысла) математического языка изучает отношение между языковыми образованиями и обозначаемыми ими объектами. 1 Она рассматривает язык с точки зрения смысла. Синтаксир рассматривает структуру, внутреннее строение конструкций! языка безотносительно к смысловому значению его выраже- 1 ний, к тому, что они обозначают во внеязыковой деятельности, j
Математическая и учебная задачи
В одной из предшествующих лекций говорилось о том, что обучение математике осуществляется через реше- . ние задач. В процессе учебной деятельности учащийся решает j одновременно несколько задач: математические, учебные, познавательные и мыслительные.
В методике обучения математике в первую очередь опери-] руют понятиями «математическая» и «учебная» задачи. Для | разделения содержания этих понятий необходимо ввести тер-1 мин: непосредственный (прямой) продукт учебной де- 1 ятельности. Под ним понимается результат деятельности, | на достижение которого в данный момент направлены глав- i ные усилия учащегося и который является основной ближай-1 шей целью деятельности.
В математической задаче под прямым продуктом понимают получение математического факта (корень уравнения, график функции, установление отношений между геометрическими фигурами, нахождение характеристик геометрической фигуры и т. д.). Решение математической задачи выполняется на основе и с помощью познавательно-мыслительных операций (анализ, синтез, аналогия, сравнение и т. д.), а также общих учебных действий (распознавание, получение следствий, действия по актуализации и выбору знаний и т. д.) и их операций.
В учебной задаче прямой продукт — это учебный факт, т. е. прежде всего знание, но не любое, а на таком уровне обобщения, когда оно в значительной мере выполняет функции метода (приема) обучения или учебного познания. Учебная задача требует от учащегося:
анализа фактического материала с целью обнаружения в нем некоторого общего отношения, имеющего закономерную связь с различными проявлениями этого материала;
выведения на основе абстракции обобщения частных отношений данного материала и их объединения (синтеза) в некоторый целостный объект;
овладения в аналитико-синтетическом процессе общим способом построения изучаемого объекта.
Говоря о математической и учебной задачах, следует подчеркнуть, что между ними существует очень сложная связь: решая математическую задачу, учащийся решает целый ряд учебных задач, и наоборот, учебные задачи в процессе обучения математике решаются на базе решения математических задач. Например, при определении геометрической фигуры результатом выполнения задания будет само определение, являющееся итогом математической деятельности, т. е. математическим фактом. В случае работы над структурой определения выделение существенных свойств фигуры и конструирование задач, подводящих под понятие, выступает в качестве учебной задачи.
При работе над теоремой этапы мотивации, выдвижения гипотезы, формулировки утверждения, поиска доказательства, обучение доказательству с помощью текста с пропусками говорят о постановке учебной задачи. В случае проведения только одного доказательства можно говорить о математической задаче.
В случае составления обратной задачи к решенной сюжетной задаче учащиеся имеют дело с математической зада-
чей. Но, овладевая переносимыми в другие ситуации приемами составления обратных задач, учащиеся решают учебную задачу.
Решая с помощью тригонометрической окружности простейшие тригонометрические неравенства, учащиеся получают в ответе решения конкретных математических задач. В ходе этого процесса одновременно решается и учебная задача использования тригонометрической окружности в качестве средства решения тригонометрических неравенств.
^Ключевая информация
Методика обучения математике изучает методическую систему и процесс обучения математике, в которых выделяют целевой, субъектный, содержательный и предметно-процессуальный компоненты.
Главная задача методики обучения математике — теоретически обосновать и создать систему средств (наборов задач и других средств обучения, приемов организации процесса обучения и т. д.), которая должна обеспечить достижение учащимися последовательных уровней математической образованности.
Методика рассматривает процесс обучения математике учащихся как систему постановки и решения учебных задач посредством специально организованной работы по решению математических задач. Математическая задача отличается от учебной своим конечным продуктом.
Рекомендуемая- литература
4.5.4.5.Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики / Под ред. Е. И. Лященко. — М.: Просвещение, 1988.
4.
5.
4.
5.
Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. — М.: Просвещение, 1975.
Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985.
Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе. — М.: Просвещение, 2002.
Столяр А. А. Педагогика математики: Курс лекций. — Минск Выш. школа, 1974.
Лекция 14
Технологический подход к обучению математике
Любое планирование ... противостоит экспромту, действиям по наитию, то есть является началом технологии.
Б. П. Беспалько
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
С чем было первоначально связано появление термина ♦технология* в педагогике?
Отличаются ли по содержанию понятия ♦ технология обучения* и ♦педагогическая технология*? Если да, то чем?
Каковы существенные признаки технологического подхода к обучению?
Расширяет или сужает реализация технологического подхода к обучению возможности для творчества учителя на уроке?
Краткая история становления технологического подхода к обучению
В то время как в отечественной методике термин «технология» является относительно новым (хотя еще А. С. Макаренко использовал термин ♦педагогическая технология* для обозначения совокупности методов педагогического воздействия), в зарубежном преподавании он стал активно употребляться уже в 50-х гг. XX столетия. С самого начала в зарубежной педагогике педагогическая технология являлась тем направлением, которое ставило целью повышение эффективности учебного процесса и гарантию достижения учащимися запланированных результатов обучения.
Появление его было связано с попытками ♦технологизировать» учебный процесс. До определенного времени эти попытки были основаны главным образом на использовании различных технических средств обучения (телевидения, радио и т. д.). Это направление впоследствии получило название ♦технизация*. Сторонники технизации учебного процесса видели путь повышения эффективности обучения, прежде всего, в широком использовании этих средств.
Однако уже с начала 60-х гг. попытки, а затем и практика оснащения учебного процесса техническими средствами обучения (ТСО) имели место и в отечественной педагогике, в частности в практике обучения математике. К разработке ме- тодических материалов по математике (диафильмов, диапози-
тивов, телепередач и т. д.) и рекомендаций по их использова нию в процессе обучения привлекались ученые, ведущие ме тодисты, опытные учителя. В целом организация учебной процесса с применением ТСО позволяла во многих случаях ре шать целый ряд проблем как научного, так и методической: характера.
Основным недостатком организации учебного процесса с применением ТСО в то время было отсутствие оперативной об ратной связи (малоэффективность ее осуществления объяснялась особенностями ТСО).
В последнее время разработки в этой области направлены на переход к использованию в учебном процессе новых информационных технологий, прежде всего компьютеров, информационных каналов связи и др. Это направление сейчас носич название «технологии в обучении», что гораздо точнее отражает суть данного явления.
Одновременно с этим направлением еще в середине 50-х гг. начинает развиваться новый технологический подход к построению процесса обучения в целом. Появляется так называемая технология педагогических методов, т. е. технология самого построения процесса обучения, или технология обучения.
Приход собственно «технологии» в педагогику и методику вначале был связан, прежде всего, с желанием педагогов сделать процесс усвоения учащимися знаний управляемым.
Первой попыткой создания такой целостной методики» с помощью которой можно управлять процессом обучения и усвоения знаний учащимися, было возникновение в 70-х гг. прошлого века в США, а затем в Западной Европе программированного обучения как педагогического метода. Программированное обучение стало одновременно и тем фундаментом, на котором постепенно строилось здание педагогической технологии. Один из создателей его — американский ученый Б. Скиннер является представителем второго подхода к пониманию педагогической технологии и приверженцем бихевио* ризма.
В 70-х гг. программированное обучение получило широкое распространение и в нашей стране. На него возлагали боль^ шие надежды, предполагая, что с его помощью можно добиться лучшего усвоения материала.
Проблемами программированного обучения занимались такие видные педагоги, как П. Я. Гальперин, чья теория по* этапного формирования умственных действий раскрывала теоретическую базу программированного обучения, Н. Ф. Та*
лызина и др. В рамках программированного обучения проводились исследования, связанные с его возможностями по организации индивидуализации обучения.
На первом этапе развития теория программированного обучения разрабатывалась в двух основных направлениях-
отбор и разработка содержания обучения, что предполагало: разбиение содержания на блоки, моделирование процесса отработки этого содержания, осуществление поэтапного контроля;
разработка программ, целью использования которых было решение учебных задач (например, теория поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина).
Постепенно интерес к программированному обучению упал из-за невозможности решить с его помощью вопросы, связанные с различиями в способностях учащихся, в уровне их подготовки, в частности в уровне знаний, умений и навыков, сформи- рованности учебных действий. Хотя именно эту проблему надеялись решить приверженцы программированного обучения
Кроме того, безусловно, к недостаткам программированного обучения следует отнести направленность его в основном на репродуктивное обучение и невозможность развития творческих способностей и отсутствие выбора у учащихся.
Причиной спада интереса к программированному обуче- ° которои слеДУет упомянуть в связи с разработкой программ, стало отсутствие в то время технического обеспечения, необходимого для реализации этих программ.
учебныйучебный14.2.14.2.пор не прекращаются попытки «технологизировать» процесс на всех уровнях.пор не прекращаются попытки «технологизировать» процесс на всех уровнях.С тех —"
учебный
учебный
14.2.
14.2.
пор не прекращаются попытки «технологизировать» процесс на всех уровнях.
пор не прекращаются попытки «технологизировать» процесс на всех уровнях.
Понятия «педагогическая технология», «образовательная технология», «технология обучения»
Совсем недавно педагогическая наука и практика У пешно обходились вообще без понятия «технология». Однако то мнению современных педагогов, приход «технологии» в педагогику был предопределен всем развитием образова- ельных процессов и потребностями образования на современном этапе развития.
В социальную сферу термин «технология» пришел из производственных процессов. На философском уровне понимая «технология» означает наилучшую деятельность любого вида в конкретных условиях. Толковый словарь трактует технологию» как совокупность приемов, применяемых в каком-то деле, мастерстве.
В технике и на производстве этим термином обозначается по сути дела алгоритм создания того или иного изделия с за данными параметрами, причем четкое выполнение этого алго ритма любым исполнителем является гарантией того, что из делие получится таким, как надо, а несоблюдение хотя бь одного из условий приведет к отклонению от заданных пара метров.
В соответствии с такой трактовкой этого понятия при ме ханическом перенесении данного термина в сферу социал! ных наук в самом жестком своем значении отдельными автс рами термин «технология» в педагогике понимается ка процесс ♦вылепливания» ученика по некоторому шаблону j рассматривается как средство достижения единого стандарта причем не только в знаниях, умениях, навыках, но и качест личности. Однако специфика педагогической науки и метод» ки должна вносить, безусловно, свои коррективы в толкова ние данного термина.
Первоначально (в основном в зарубежных исследованиях термин ♦ технология» в педагогике соединялся с понятие) ♦обучение». В процессе развития технологического подход к обучению и эволюции применения данного понятия в праь тике образования толкование термина ♦технология обучения претерпевало определенные изменения.
В последнее время в методической и педагогической литч ратуре все чаще встречаются термины ♦педагогическая технс логия», ♦образовательная технология» и ♦технология обучя ния». Очень часто значения этих терминов отождествляются что неверно.
Существует несколько трактовок термина «педагогии* ская технология»:
систематичное и последовательное воплощение на npai тике заранее спланированного учебно-воспитательного пр< цесса (В. П. Беспалько);
совокупность психолого-педагогических установок, опр делающих специальный набор и компоновку форм, методе) способов, приемов, воспитательных средств (Б. Т. Лихачев);
описание процесса достижения планируемых результ; тов обучения (И. П. Волков);
составная процессуальная часть дидактической систем (М. Чошанов);
продуманная во всех деталях модель совместной педаг гической деятельности по проектированию, организации и пр ведению учебного процесса с безусловным обеспечением ко! фортных условий для учащихся и учителя (В. М. Монахов);
системная совокупность и порядок функционирования всех личностных, инструментальных и методологических средств, используемых для достижения педагогических целей (М. В. Кларин);
область знания, связанная с определением системы предписаний, обеспечивающих оптимизацию обучения (Дж. Брунер);
область научного знания, цель которого — практическое изучение возможностей достижения максимальной эффективности в обучении на пути правильного учета и подбора всех возможных факторов, влияющих на его протекание (Т. Сакамото);
системный метод создания, применения и определения всего процесса преподавания и усвоения знаний с учетом технических и человеческих ресурсов и их взаимодействий, ставящий своей задачей оптимизацию форм образования (ЮНЕСКО).
Несмотря на столь различные определения, в каждом из них можно выделить главную существенную характеристику: оптимизацию достижения планируемых результатов обучения.
Таким образом, технологический подход заключается в построении и осуществлении оптимальной педагогической деятельности, результат которой должен максимально соответствовать поставленной цели.
Различие между понятиями «педагогическая технология», «образовательная технология» и «технология обучения» определяется уровнем общности реализуемых целей.
Педагогическая технология представляет собой процесс реализации некоторой педагогической системы, в которую в качестве составной части включены образовательные программы. Образовательная технология является процессом реализации некоторой образовательной программы. Этот процесс предполагает наличие в нем методик или «технологий» обучения конкретным предметам, которые, в свою очередь, включают в себя более мелкие технологии обучения отдельным темам, технологии организации деятельности учителя и учащихся в рамках изучения отдельного предмета, технологии отбора конкретного содержания, технологии подготовки и проведения отдельных уроков, отдельных этапов уроков (формирование новых знаний, закрепление, повторение, самостоятельная работа, контроль и т. д.). Таким образом, всевозможные «технологии обучения» включены в образова-
тельную программу того или иного образовательного учреждения, а она, в свою очередь, является частью педагогической системы, реализуемой этим образовательным учреждением.
В современной образовательной практике понятие педагогической технологии употребляется на трех уровнях: общепедагогическом, частнометодическом и локальном [3].
Общепедагогическая технология характеризует целостный образовательный процесс в регионе, учебном заведении, на определенной ступени обучения. Это то, что названо собственно педагогической технологией.
Под частнопредметной педагогической технологией понимают совокупность методов и средств для реализации определенного содержания обучения в рамках одного предмета. Это соответствует определению образовательной технологии.
Наконец, локальная технология представляет собой технологию реализации отдельных частей учебно-воспитательного процесса. Это то, что соответствует технологии обучения.
Технология и методика обучения математике
Обучение математике, имея свои характерные особенности, которые связаны со спецификой математического содержания, является частью общего процесса обучения. Говоря о технологиях обучения математике, нельзя говорить об этом изолированно от построения всего процесса обучения в целом. Подходя к вопросу технологии обучения математике, необходимо рассмотреть особенности технологий обучения вообще и характеристики технологического подхода к построению процесса обучения любому предмету в частности.
Рассматривая сформулированные выше различные определения понятия «педагогическая технология», можно выделить и общие существенные особенности любой технологии обучения.
В производстве технология определяется не просто как оптимальный процесс последовательной организации деятельности для достижения целей производства, а как процесс, основанный на научных разработках в данной области. Так и в педагогике технологические подходы разрабатываются на основе научных исследований в области образовательных процессов, прежде всего в области педагогической психологии, дидактики, методики преподавания различных предметов. Основаны они на описании и объяснении закономерностей развития личности в педагогических процессах. Без этого невозможен поиск наилучшего пути в достижении тех или иных
целей. Например, при обучении математике такими теоретическими посылками могут служить закономерности процесса усвоения математического содержания учащимися с различным уровнем математической подготовки; типы математических способностей и их влияние на процесс усвоения математического содержания; математическое мышление и пути его развития в процессе обучения математике и т. д.
Другой существенной особенностью технологии является нацеленность на гарантированное достижение поставленных целей. При обучении математике это может быть гарантированное овладение тем или иным уровнем знаний определенным процентом учащихся; гарантированное повышение уровня сформированности математической деятельности или отдельных ее элементов и т. д.
Еще одна важная особенность технологической разработки процессов обучения — поэтапная подача описания с поэтапными характеристиками результатов образования. Так, в технологии предполагается поэтапное движение ученика к общей цели. Поэтапность выражается в сформулированных подцелях, достижение которых постепенно приводит к желаемому результату. При обучении математике формирование почти каждого сложного умения целесообразно разбить на этапы. Например, умение доказывать математические утверждения предполагает сформированность нескольких более простых умений: анализировать формулировку утверждения (выделять условие и заключение); делать выводы из имеющихся данных; строить чертеж по условию; выделять метод доказательства — логический и математический; выстраивать цепочку умозаключений и т. д. В соответствии с этими умениями целесообразно выделить этапы формирования умения доказывать. Если выстроить эти этапы в определенной последовательности и эффективно обучать соответствующим умениям, то результатом станет сформированное умение осуществлять доказательства математических утверждений.
Еще одной характерной особенностью технологического подхода к обучению является обязательность и выраженная возможность осуществления обратной связи, диагностики и коррекции обучения получаемых результатов на всех этапах реализации технологии. Обучение математике предполагает постоянное осуществление диагностики на каждом этапе усвоения математического содержания, что, в свою очередь, предполагает выделение ожидаемых результатов и показателей их достижения. Например, при обучении доказа-
тельству математических утверждений на этапе формиров! ния умения анализировать условие ожидаемым результате может быть выделение условия и заключения. Показателе; хорошего усвоения материала является правильное воспрои; ведение отдельно условия, отдельно заключения; правильно воспроизведение известных в данном утверждении факто! правильная запись их на языке математических символов.
Попытка создания любой технологии обучения связан с желанием улучшить качество обучения, т. е. обеспечить до стижение высокого уровня обучения любым учителем. Поэте му одна из особенностей любой из разрабатываемых техноло гий обучения — это воспроизводимость, но обязательно npi соблюдении заданных условий. Очевидно, что условием ре ализации технологии, направленной на формирование уме ния решать задачи повышенной сложности, является опреде ленный уровень математических знаний учащихся. В классе где дети не знают таблицы умножения, технология форми рования умения решать сложные вычислительные примерь с громоздкими числами вряд ли будет эффективной. Если уча щиеся не умеют выполнять сложение обыкновенных дробей безрезультатной будет и попытка реализации технологии обу чения сложению алгебраических дробей. А ведь это только примеры условий, связанные с уровнем знаний учащихся.
В общем виде можно сформулировать основные требования к технологии обучения.
Во-первых, в основе построения любой технологии обучения должны лежать результаты научных исследований, связанных с осуществлением процесса обучения конкретному предмету.
Во-вторых, любая технология должна представлять собой подробно описанную последовательность шагов, для которых выполняются следующие условия:
каждый шаг представляет собой определенный этап в достижении этой (этих) цели (целей);
каждый этап предполагает решение некоторой конкретной задачи, необходимой для достижения цели, которая должна быть четко сформулирована;
решения задачи на каждом этапе предполагается достичь за счет выполнения последовательности более мелких шагов, сами они и их последовательность должны быть четко определены и описаны.
В-третьих, после выполнения каждого этапа обязательно проведение диагностики, сравнения с предполагаемыми ре-
зультатами (промежуточными целями) и коррекции дальнейших мер.
В-четвертых, любая технология обучения должна предусматривать наличие обратной связи между учениками и учителем для выполнения предыдущего требования.
В-пятых, любая технология гарантирует достижение определенного для данной технологии результата.
В-шестых, любая технология воспроизводима любым учителем в соответствующих условиях с гарантией достижения результата.
Самыми существенными отличиями технологии от методики являются требования гарантированности достижения результата и воспроизводимости ее любым учителем с сохранением достигаемого результата. Все остальные требования в более мягкой форме могут быть сформулированы для любой методики обучения.
В соответствии с этими требованиями выделяют критерии технологичности осуществляемого процесса обучения:
диагностично заданная цель и способы диагностики ее достижения;
представление учебного материала (содержания) в виде системы познавательных и практических задач с ориентирами и способами их решения;
достаточно жесткая логика этапов усвоения учебного материала;
адекватная предыдущим параметрам система способов взаимодействия на каждом этапе участников учебного процесса друг с другом и с информационной техникой;
указание границ допустимого отступления от целесообразной (алгоритмической) и от свободной творческой деятельности учителя;
применение в учебном процессе новейших средств и способов предоставления информации.
Все сформулированные характеристики в полном объеме могут быть отнесены и к построению различных технологий обучения математике.
Приведенные требования позволяют сделать вывод о том, что наиболее важный этап при разработке любой технологии — это определение системы целей, которые, по мнению М. В. Кларина [2], должны быть:
согласованными (каждая цель должна определять общее направление деятельности, и последующая подцель должна быть взаимосвязана с предыдущей);
реалистичными (вызывать напряжение сил, но быть возможно достижимыми для учащихся, проектироваться с учетом ♦ зоны ближайшего развития*);
гибкими (предполагать возможность корректировки в ходе реализации);
диагностируемыми (представлять возможность для определения в конкретные периоды образовательного процесса);
точно выраженными (понятыми педагогами и учащимися без домыслов);
гармонизированными (предполагать развитие различных умений и личностных качеств учащихся);
мотивированными на социальные ценности и ценности возраста (вызывать стремления к личностным достижениям и быть привлекательными).
Самым существенным отличием в постановке целей при технологическом подходе, в отличие от методики, является требование диагностичности. Диагностичность необходима для правильной организации обратной связи, которая отражает процесс достижения поставленных целей и является средством корректировки их достижения.
Добиться этого бывает сложно, особенно в тех случаях, когда речь идет не о знаниях, умениях и навыках, полученных в результате изучения какого-то определенного отрезка содержания, а о некоторых элементах развития, которых предполагается достичь в результате реализации технологии.
Для того чтобы сделать цели диагностируемыми, необходимо осуществить переход от цели обучения, выраженной в общих терминах, к той цели обучения, достижение которой можно проверить.
Особенности математического содержания позволяют сформулировать цели обучения в виде определенных результатов, по которым можно судить об их достижении. Это в большей степени относится к обучающим целям, которые можно сделать диагностируемыми почти всегда. Например, научить решать задачи того или иного типа; сформировать умение применять тот или иной алгоритм на практике; добиться усвоения на уровне узнавания того или иного понятия; сформировать умение переводить словесные формулировки на язык геометрического чертежа и т. д. Сложность осуществления перехода относится, прежде всего, к тем целям, которые отражают развитие личности ребенка в процессе обучения математике. И в этом случае говорить о технологии, вероятно, уже нельзя.
Роль учителя при осуществлении технологического подхода к обучению
Цель создания и использования любой технологии в том, чтобы учитель не мог ухудшить результат, а только его улучшить.
Существует несколько взглядов на роль учителя при реализации технологического подхода. В зарубежных исследованиях обычно рассматривается две возможности: либо распрощаться с учителем и заменить его каким-то обучающим устройством, либо свести его роль к простому воспроизведению технологии, ограничив его функции консультативно-организационными. В этом случае учитель рассматривается как пассивный исполнитель некоторого дидактического проекта, который изготовлен за пределами учебного заведения.
Большинство отечественных исследователей придерживаются другой точки зрения, которая заключается в том, что педагогические технологии, позволив учителю добиться прочных желаемых результатов в обучении, откроют для него возможность уделять больше внимания педагогическому творчеству. При этом иногда учитель может сам выступать в качестве разработчика технологии. Правда, уровень квалификации учителя-разработчика технологии должен быть очень высок.
Любая технология, являясь результатом деятельности человека или группы людей, несет в себе черты личности своих создателей. Однако это не является определяющим фактором для ее работоспособности. После своего создания и апробирования она начинает жить своей жизнью, независимой от своих создателей. Естественно, что при применении какой-то конкретной технологии различными исполнителями личность каждого из них будет оказывать влияние как на процесс реализации, так и на конечный результат. Но последовательность реализации этапов, общие закономерности, отражающие изменения, происходящие в состоянии учащихся, действия, которые они должны выполнить, их состав и последовательность будут определяющими при реализации конкретной технологии. Поэтому результаты, несмотря на разницу при реализации технологии разными исполнителями, будут близки к некоторому, характерному для данной технологии значению.
^Ключевая информация
Возникновение термина * технология* в обучении связано с попытками «технологизировать* учебный процесс, сделать
процессы усвоения знании всеми учащимися и формированы тех или иных качеств личности учащихся управляемыми.
Технологический подход к обучению предполагает выпол нение набора требований, главными из которых являются: ди агностично заданная цель, результативность, управляемость алгоритмируемость, корректируемость.
В процессе обучения математике технологический подход оказывается полезным и целесообразным, в первую очередь для достижения обучающих целей, которые можно относи тельно легко переформулировать таким образом, чтобы от стали диагностируемыми.
Рекомендуемая литература
Беспалько В. П. Педагогика и прогрессивные технологии обу чения. — М.: Педагогика, 1995.
Кларин М. В. Педагогическая технология в учебном процес се. — М.: Знание, 1989.
Селевко Г. К. Современные образовательные технологии. — М.: Народное образование, 1998.
Якиманская И. С. Технология личностно-ориентирован» образования. —- М.: Сентябрь, 2000.
Лекция 15
Технологический подход и индивидуализация обучения математике
По правде говоря, полностью индивидуализированное обучение — дело весьма отдаленного будущего.
Ф. Янушкеви'
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Что такое индивидуализация обучения?
В чем состоят различия между дифференциацией и индивидуализацией обучения?
Что, по вашему мнению, является основным при определении качеств личности, на основании которых нужно проводить индивидуализированное обучение математике?
Возможно ли применять технологический подход для осуществления индивидуализации обучения математике?
Психолого-педагогические и методические подходы к понятию «индивидуализация обучения»
В психолого-педагогической и методической литературе можно встретить несколько подходов к понятию «индивидуализация».
Большое значение для разработки индивидуального подхода в обучении имели работы В. Г. Белинского, Н. Г. Чернышевского, Н. А. Добролюбова. Они выдвинули идею изучения личности ребенка в процессе обучения. Наиболее полно в русской классической педагогике разработал вопросы осуществления индивидуального подхода в учебно-воспитательном процессе К. Д. Ушинский. Он предложил осуществлять данный подход в условиях коллективной формы обучения и сочетать ее на уроке с индивидуальной. Идеи К. Д. Ушинского и других русских педагогов особенно активно внедрялись в процесс обучения в школе в 60—70-е гг. XX в.
В это время в школах доминировал традиционный подход к обучению, когда изложение учебного материала, а также вся работа в классе были рассчитаны на среднего ученика. Такой подход к обучению часто не предполагал учета индивидуальных особенностей субъектов учебной деятельности - учащихся и не рассматривал их в качестве субъектов вообще. Поэтому прогрессивным в педагогике 60—70-х гг. стало провозглашение принципа индивидуального подхода в обучении, который заключался в построении учебного процесса с учетом индивидуальных особенностей ученика. Индивидуализация в основном рассматривалась как средство наиболее эффективной организации процесса усвоения знаний, выработки навыков и умений.
Проблемами индивидуализации обучения в нашей стране в условиях традиционного подхода к обучению занимались многие видные советские педагоги. Характерной особенностью индивидуализации обучения в условиях традиционного подхода к обучению была ориентация на достижение одного и того же уровня знаний, умений и навыков.
В условиях гуманизации образования, когда во главу угла ставится человек, его интересы, потребности и мотивы, ориентиром в построении индивидуализации становится достижение того уровня знаний, умений и навыков, которого может или желает достигнуть учащийся на базе образовательного стандарта.
Каким бы образом ни определяли авторы исследовании понятие «индивидуализация», ключевым, главным свойством индивидуализации является учет индивидуальных особеннос-
тей. Степень этого учета, предлагаемая разными авторами также различна. Например, И. Э. Унт [3] предлагает считать индивидуализацией учет любых особенностей учащихся, не. зависимо от того, какие особенности и в какой мере представляются. Большинство исследователей считают индивидуализацию состоявшейся, если учитываются реальные возможности коллектива класса, отдельных учеников и групп учащихся, или индивидуальные особенности каждого учащегося.
В каждом конкретном случае более точное содержание понятия «индивидуализация обучения# зависит от того, какие цели и средства имеются в виду.
Степень свободы, предоставляемой учащимся при организации индивидуализированного обучения, также различна: от осуществления индивидуализации в условиях классно-урочной системы, в рамках которой в основном и проводились исследования в нашей стране, до предоставления полной свободы учащимся.
Технологический подход в реализации индивидуализации обучения математике
В связи с реализацией концепции гуманизации образования и тенденцией перехода к личностно-ориентированной модели обучения цели обучения в школе трансформировались. Стало целью не достижение некоторого уровня обученности в рамках отдельного учебного предмета, а ориентация на приобретение максимально широкого спектра возможных методов познания окружающего мира, способов добывания необходимой информации и преобразования ее в зависимости от конкретных целей. «Мудр не тот, кто много знает, а тот, чьи знания полезны». Это изречение Эсхила могло бы стать девизом тех преобразований, которые происходят в настоящее время в школе.
Отправной точкой в определении специфических задач индивидуализации обучения математике служит определение главной цели индивидуализации обучения.
При обучении математике достаточно остро проявляются противоречия между коллективными формами обучения и индивидуальным характером усвоения; между едиными требованиями программы и желаниями, возможностями, потребностями отдельных учащихся. Это обусловлено спецификой математического содержания, которое является сложным для усвоения.
Каждый учитель ставит перед индивидуализацией конкретные задачи.
В каждом конкретном случае в зависимости от того, на выполнение каких задач направлено осуществление индивидуализации и какие средства имеют в виду, более точно определяется и содержание понятия «индивидуализация обучения». На это, в свою очередь, оказывает влияние как понимание автором роли обучения в развитии и формировании индивидуальности ребенка, так и то, приверженцем какой модели обучения он является: традиционной, развивающей, личностно-ориентированной и т. д. Это важно еще и потому, что индивидуализация, являясь специфической организацией процесса обучения, должна способствовать более полному достижению целей обучения.
Таким образом, в первую очередь большое значение имеет определение учителем целей обучения математике, которые в основном задают основные задачи индивидуализации.
Традиционно рассматривают три категории целей обучения: обучающие, развивающие и воспитывающие. Индивидуализация должна способствовать более полному достижению каждой из рассматриваемых категорий целей.
В условиях традиционного подхода к обучению главной целью является достижение определенного уровня знаний, умений и навыков. Поэтому в качестве приоритетной цели обучения рассматривается обучающая. Следовательно, главной задачей индивидуализации обучения является более полное достижение именно этой цели. Происходит это за счет решения разных задач: предотвращения пробелов в знаниях, умениях, навыках и повышения качества знаний; более эффективного решения проблем получения всеми учащимися среднего образования; повышения успеваемости, снижения абсолютного и относительного отставания.
В рамках развивающей модели обучения в качестве приоритетной рассматривается развивающая цель. Поэтому основной задачей индивидуализации является более полное достижение именно этой цели, в том числе и в рамках обучения математике. Например, развитие навыков самостоятельной деятельности, развитие познавательной активности, развитие творческих способностей учащихся и др.
Еще одно направление индивидуализации заключается в Целенаправленном формировании желаемых индивидуальных особенностей, их зарождению, выявлению и реализации. На необходимость этого указывали многие исследователи в этой области, в частности А. А. Кирсанов. Он утверждал, что ♦индивидуализация предусматривает создание всех необходимых условий для того, чтобы обучение опиралось не на имею-
щиеся интеллектуальные свойства ученика, а на те, которые еще отсутствуют, но для развития их имеются необходимые предпосылки, тогда оно пробуждает и вызывает к жизни целый ряд функций, находящихся в стадии вызревания» [1], В условиях современного развития образования больше внимания должно уделяться как раз второму направлению осу. ществления индивидуализации.
Использование технологического подхода может рассматриваться одинаково успешно в реализации обоих направлений индивидуализации обучения.
Для того чтобы определить направления использования технологического подхода, необходимо обратиться к формам и путям реализации индивидуализации обучения. И. Э. Унт выделяет следующие формы индивидуализации обучения [3]:
дифференциация обучения, которая понимается как учет индивидуальных особенностей учащихся в той форме, когда учащиеся группируются на основании каких-либо особенностей для отдельного обучения;
внутриклассная индивидуализация:
прохождение учебного курса в индивидуально-различном темпе, ускоренно (акселерация) или замедленно (ретардация);
комбинации первых трех форм.
Отечественные работы в основном посвящены внутриклас- сной индивидуализации (индивидуальные задания для слабоуспевающих или успешных учащихся, индивидуальная самостоятельная работа: подготовка докладов, рефератов, изучение дополнительного теоретического материала и т. д.).
В настоящее время, в связи с образованием школ нового типа, появляется возможность для внедрения в практику такой формы индивидуализации, как прохождение курса в ускоренном или замедленном темпе.
Для определения формы индивидуализации обучения математике встает вопрос о том, какие особенности ребенка нужно учитывать при построении индивидуализированного обучения математике. Критерии отбора этих свойств личности учащегося также связаны с целями индивидуализации, а значит, и целями обучения в общеобразовательной школе.
Если учитель ищет пути, способствующие предупреждению и борьбе с неуспеваемостью, когда в качестве главной цели индивидуализации рассматривается предотвращение отставаний в учебе, то основными свойствами личности следует выбирать такие, которые обусловливают неуспеваемость.
Если индивидуализация интересует учителя как средство достижения более высокого уровня знаний, умений и навы-
ков, то рассматриваются в качестве основных такие качества личности, как уровень успеваемости по математике, уровень познавательной самостоятельности, степень действенности интереса к учению, способность к учению, трудоспособность и т. Д.
Типы математических способностей учащихся, а также некоторые особенности мыслительной деятельности учащихся, которые рассматриваются как предпосылки успешности в усвоении математического содержания, тоже могут быть положены в основу построения индивидуализированного обучения математике.
В рамках развивающей модели обучения качества личности, которые целесообразно учитывать, также могут быть различны: особенности способов деятельности учащихся; уровень самостоятельности, определяемый мерой и характером помощи, предоставляемой учителем ученику; уровень познавательной активности; некоторые особенности, которые важны с точки зрения творческой деятельности.
При организации индивидуализации обучения в форме самостоятельной работы целесообразно учитывать умственные способности, ритм работы, утомляемость и интересы учащихся, т. е. те свойства, которые в конечном счете оказывают влияние на ее успешность.
При осуществлении индивидуализации, которая рассматривается на всех этапах деятельности учащихся, необходимо учитывать комплекс свойств учащихся, в которых проявляется индивидуальность: в интеллектуальной, эмоциональной и волевой сферах.
На первый взгляд словосочетание «технология индивидуализации» кажется внутренне противоречивым. «Технология» подразумевает массовость и единый стандарт, а «индивидуализация» ассоциируется с чем-то штучным и индивидуальным. На самом деле противоречие это кажущееся. Еще в самом начале использования термина «технология» и попыток создания технологий обучения западными педагогами технология применялась как одно из средств индивидуализации обучения.
Сам процесс осуществления индивидуализации невозможен без осуществления определенной последовательности шагов, которая в самом общем виде выглядит таким образом:
изучение личности учащегося с точки зрения тех его особенностей, которые лежат в основе индивидуализации;
определение адекватных средств воздействия в соответствии с целями индивидуализации;
осуществление непосредственно индивидуализированного обучения;
анализ результата, диагностика учащегося и динамика его развития, корректировка соответствующих мер воздействия.
Процесс осуществления индивидуализации может стать технологичным, и это не противоречит его природе.
Действительно, в основе организации индивидуализированного обучения лежат психолого-педагогические и методические исследования в области этого вопроса, в соответствии с которыми определяются цели индивидуализации, ее вид и формы, выделяются свойства личности учащихся, разрабатываются средства.
Цели и задачи индивидуализации, с одной стороны, определяют свойства личности. С другой стороны, достижение целей индивидуализации определяется теми изменениями, которые происходят в личности учащегося в соответствии с выделенными свойствами. При осуществлении индивидуализации с целью более успешного развития определенных качеств личности каждого учащегося о достижении цели можно в основном судить по некоторым косвенным признакам. Таким признаком может выступать переход учащегося в группу со следующим, более высоким показателем развития исследуемого выделенного качества. Диагностируемость цели при осуществлении индивидуализации частично достигается уже на этапе выделения качеств личности и исследования учащихся с целью разбиения их на типологические группы. Для исследования учащихся необходимые инструменты диагностики разрабатываются на основе уже идентифицируемых качеств личности. Кроме этого, можно уточнить цель осуществления индивидуализации, обозначив минимальный гарантированный сдвиг в развитии и средства для его определения.
После этого реализуется сформулированная выше последовательность шагов или этапов, которая также отвечает требованиям, предъявляемым к технологии. Каждый этап имеет свои, четко сформулированные задачи, для решения которых предназначены заранее определенные средства. Осуществление каждого последующего этапа невозможно без осуществления предыдущего. Неправильность или невыполнение какого либо этапа влечет за собой невыполнение его задач, а следовательно, и цели индивидуализации остаются не достигнутыми.
В целом индивидуализация предполагает разработку широкого спектра различных средств и выбор индивидуального
для каждого учащегося набора этих средств в соответствии с поставленными целями. Таким образом, каждому учащемуся должен быть «выписан рецепт» достижения сформулированной цели обучения в зависимости от индивидуальных особенностей. Подобная работа должна осуществляться по определенным правилам, в соответствии с формулой: если <набор условий>л то <набор средств>. Очевидно, что, с одной стороны, рецепт должен быть индивидуален. С другой стороны, на плечи учителя ложится непосильная задача поиска индивидуального рецепта для каждого учащегося. Если сделать этот процесс технологичным, то это существенным образом облегчит работу учителя.
Пример технологии использования индивидуализированной системы задач при обучении математике
При обучении математике, как известно, одним из основных средств является задача. Для формирования того или иного элемента знания, умения используется система задач. Осуществляя индивидуализированное обучение, нельзя обойтись без специальным образом организованной индивидуализированной системы задач. Из нее по определенным правилам выбираются индивидуальные для каждого учащегося подсистемы задач.
►► ПРИМЕР
Пусть в нашей системе, которая конструировалась как средство для формирования какого-то качества, выделено два основания для разделения задач на группы:
ведущий способ представления задания (аналитический, вербальный или графический);
уровень сложности математических задач (который зависит, например, от количества подзадач, технической сложности, «прозрачности» связей между данными; очевидности способа решения; глубины необходимых обоснований, количества теоретических знаний, необходимых для выполнения задания).
Выделяя даже три уровня сложности, мы получаем 9 групп заданий:
А
В
г
1
А,
в.
Г,
II
Ап
В»
Гц
III
Ащ
Вщ
Гт
При условии, что учащийся на каждом этапе должен получать задачи из трех столбцов, мы получаем 27 возможных индивидуальных систем задач. После каждого этапа проводится диагностика, выбор и корректировка соответствующей группы заданий для каждого учащегося. В итоге получается практически индивидуальная система задач для каждого учащегося на весь период обучения. Остается определить процедуру * выписывания рецепта» для каждого ученика.
Для этого необходимо провести первичную диагностику учащихся, например в форме контрольной работы. После ее проверки каждому учащемуся можно сопоставить его профиль, определяющий уровень в соответствии с выделенными группами заданий, который выглядит следующим образом: А,В JTK, где индексы I,Jm К обозначают уровень сложности выполненных заданий. Например профиль: А^цВцГ,. Можно расшифровать его так: 1) А^ показывает, что учащийся успешно выполняет задания с аналитическим способом их представления первого уровня сложности, но имеется достаточное основание для быстрого перехода на второй уровень (т. е. учащийся выполнил все задания первого уровня сложности и часть заданий второго уровня сложности); 2) Вм означает, что он выполнил все задания с вербальным способом их представления первого и второго уровней и не выполнил ни одного задания третьего уровня; 3) Г, свидетельствует о том, что учащийся не выполнил ни одного задания с графическим способом представления условия второго уровня, но успешно справился с заданиями первого уровня.
После этого необходимо осуществить выбор индивидуальной для каждого учащегося подсистемы задач, которые он должен решить в процессе изучения темы. Осуществляется этот выбор достаточно просто на основании полученного профиля.
При определении индивидуальной системы задач для ученика, имеющего тот же профиль А^ВцГр необходимо руководствоваться следующими указаниями:
из раздела «Аналитическое представление условия» начать работу с выполнения задач первого уровня сложности, при успешном их выполнении переходить к выполнению заданий второго уровня сложности;
из раздела «Вербальный способ представления условия» выполнять задания второго уровня технической сложности, но с постепенным добавлением подобных задач из группы третьего уровня сложности, при затруднении возвратиться к задачам второго уровня;
3)из раздела «Графическое представление условия» начать работу с задач из группы первого уровня сложности с постепенным переходом к задачам из группы второго уровня.
Кроме этих рекомендаций целесообразно четко указать номера задач в системе, которые должны быть обязательно решены таким учащимся, и номера, которые он может решать дополнительно. Таким образом, для данного учащегося будет определена подсистема задач, которые необходимо решить в процессе изучения данной темы.
^Ключевая информация
Выделение этапов осуществления индивидуализации обучения позволяет говорить о том. что процесс индивиду- ализации можно сделать технологичным.
Наиболее целесообразно и эффективно использование технологического подхода на этале выбора индивидуального маршрута или индивидуального для каждого учащегося набора средств обучения.
^*
Рекомендуемая литература
Кирсанов А. А. Индивидуализация учебной деятельности школьников. — Казань: Татарское кн. издательство, 1980.
Рабу некий Е. С. Индивидуальный подход в процессе обучения школьников. — М.: Педагогика, 1975.
Унт И. Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. — М.: Педагогика, 1989.
Лекция 16
Технологические схемы обучения элементам математического содержания
По сравнению с методическим технологический прием по своей адресности, коэффициенту полезного действия... по эмоциональному результату — категория иного, более высокого порядка.
В. М. Монахов
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Какие элементы математического содержания можно выделить в школьном курсе математики?
Что, по вашему мнению, является определяющим при выборе или разработке технологической схемы обучения тому или иному элементу математического содержания?
В чем, по вашему мнению, заключается главное отличие построения технологической схемы от методики обучения тому или иному элементу математического содержания?
Общие требования к технологическим схемам обучения
Рассматривая проблему построения технологической схемы обучения тому или иному элементу математического содержания, необходимо вспомнить, что должно быть отражено в любой технологии обучения.
Поскольку речь идет о математике с ее особой спецификой, то в технологической схеме обучения должны найти свое отра- жение: специфика содержания; особенности деятельности учащегося по его освоению; особенности возможностей учителя по организации этой деятельности.
Любая технология обучения представляет собой часть общего процесса обучения (в нашем случае математике), поэтому в технологической схеме должны быть отражены закономерности процесса обучения (формулировка цели — введение нового материала — закрепление — контроль — обобщение).
Конструирование любой технологической схемы зависит от модели, в которой осуществляется все обучение в целом. Общие требования к технологиям обучения (выделение обязательных результатов, показателей их достижения, критериев оценки; наличие диагностики; четкое описание каждого этапа обучения и т. д.) тоже должны найти свое отражение при разработке конкретной технологической схемы.
Технологические схемы обучения математическим понятиям
В чем заключаются особенности математических понятий как элементов математического содержания? С одной стороны, понятие — форма мышления, с помощью которой оно отделяется от других понятий. Значит, нужно включить новое понятие в имеющийся набор понятий, т. е. выделить его существенный признак.
С другой стороны, понятие — это абстракция, в которой выделяются количественные отношения и пространстве1 иные формы реальных объектов. Поэтому нужно предъявить реа ные объекты, абстракциями которых стали понятия.
Понятие может быть сформировано на разных уровнях:
представление с введением термина (показатель с фор- мированности понятия — узнавание);
перечисление существенных признаков и осознание объема понятия (показатель сформированности понятия — перечисление существенных свойств: распознавание понятия, подведение объекта под понятие, выведение следствий);
введение определения понятия (показатель сформиро- ванности понятия — умение осознанно воспроизводить определение, умение строить новые определения).
Понятие должно применяться в деятельности. Значит, нужно любое понятие использовать в задачах на усвоение
свойств понятия и на применение понятия. Показателем в данном случае будет оперирование понятием при решении зада1,.
Понятие должно быть включено в систему других понятий. Значит, нужна систематизация и классификация других понятий. Показателем будет осознание связей с другими понятиями.
В технологической схеме должны быть отражены закономерности процесса обучения. Соответствие между этапами процесса обучения и этапами освоения понятиями отражено в нижеприведенной таблице.
Уровень освоения понятиями определяется: программой, значимостью понятия и востребованностью при дальнейшем изучении предмета.
Соответствие между этапами процесса обучения и этапами освоения понятиями
Этапы процесса обучения
Этапы освоения понятий
Формулировка цели
Ожидаемые результаты
Показатели достижения ожидаемых результатов
Диагностические задачи
Критерии оценки
Введение новой информации
Диагностика знаний о понятии (первичная диагностика)
Пропедевтика
Введение основной информации о понятии
Диагностика первичного усвоения
Закрепление
Организация действий по усвоению и закреплению
Диагностика процесса усвоения
Контроль
Контроль ожидаемых результатов (диагностические задачи)
Обобщение
Новая информация по включению нового понятия в систему
Диагностика видения связей
На основе вышесказанного можно выделить этапы реализации технологического подхода обучения понятиям.
. Подготовительный этап. На этом этапе осуществляется методическая работа учителя в следующих направле- Ниях:
постановка целей;
разработка системы диагностических задач и критериев оценки;
отбор теоретического содержания;
анализ отобранного теоретического содержания;
разработка систем задач, которые целесообразно исполь- зовать на различных этапах работы с понятием;
разработка систем диагностических задач, используемых на каждом этапе;
выбор технологии реализации содержания;
методическая обработка систем задач с учетом выбранной технологии и уровнем сформированности общеучебных и специальных умений учащихся.
Постановка целей на этапе введения понятия определяется: содержанием программного материала и требованиями к математической подготовке учащихся, уровнем математической подготовки учащихся, уровнем сформированности общеучебных и специальных умений, способствующих сознательному усвоению программного материала.
Можно привести пример различных формулировок целей при введении нового понятия.
►► ПРИМЕР
вариант. Ввести новое понятие (сформулировать определение без предварительной подготовки), закрепить его, показать применение вновь введенного понятия при решении простейших задач.
вариант. Ввести понятие, показать его место в системе известных понятий (на этапе введения использовать эвристический метод создание проблемной ситуации, повышая тем самым активность и самостоятельность учащихся на этапе «открытия нового знания*). Учить решать задачи на распознавание и конструирование математических объектов, соответствующих введенному понятию.
Выбор технологии обучения понятию обусловливается: видом определения понятия, целями, которые предполагается реализовать при введении понятия, уровнем сформированное ти общеучебных и специальных умений у учащихся.
Разработка систем задач и их методическая обработка проводится с учетом поставленных целей отбора теоретического материала (в частности, вида вводимого определения) и уровней сформированности общеучебных и специальных умений у учащихся.
. Этап непосредственного обучения понятию.
. Этап диагностики.
Рассмотрим пример технологии обучения понятию параллелограмм.
Н ПРИМЕР
«Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны*. (Л. С. Атанасян и др. Геометрия 7—-9. — М.: Просвещение, 1990.)
На подготовительном этапе проводится отбор теоретического содержания. Выделяются актуализируемые теоретические знания, вводимые теоретические знания. Определяется возможность пропедевтики. Проводится анализ отобранного теоретического содержания: устанавливается вид определения, его структура, родословная понятия. Определяется система задач, которую целесообразно использовать на этапе актуализации знаний, и варианты работы с ней. Затем осуществляется выбор технологии реализации содержания.
В данном случае существуют два варианта технологий реализации отобранного содержания.
вариант. Для класса среднего уровня не только математической подготовки, но и сформированное™ общеучебных и специальных умений и навыков. При этом есть учащиеся, уровень знаний которых выше среднего, проявляющие интерес к математике.
Цель работы: ввести новое понятие параллелограмма (сформулировать без предварительной подготовки), закрепить его. показать применение вновь введенного понятия при решении простейших задач.
На этапе обучения понятию необходимо:
Сформулировать тему и цели урока.
Предложить прочитать по учебнику определение параллелограмма.
Выделить в определении:
определяемое понятие (параллелограмм);
родовое понятие (четырехугольник);
видовые отличия (противоположные стороны равны и параллельны).
Обсудить ответ на вопрос: «Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником?*
Решить задачу: «Доказать, что если в четырехугольнике ABCD ZBCA = z CAD, Z ВАС = ZACD, то он является параллелограммом». При работе с этой задачей: предложить выдвинуть гипотезу, а затем прочитать готовое доказательство этого утверждения (например, в учебнике).
Решить задачу: «Существование каких свойств параллелограмма можно предположить?» При работе с этой задачей:
по рисунку сформулировать условие и требование задачи;
выделить в определении свойство параллелограмма, сформулировать его, используя логическую связку: «если..., то...*;
определить, чем можно воспользоваться при доказательстве параллельности противоположных сторон четырехугольника;
самостоятельно вспомнить известные свойства параллельных прямых. соотнести каждый с условием задачи с целью установления возможности или невозможности его использования, продумать вариант Доказательства;
провести доказательство.
Решить задачу: «Даны три точки А, в и С. являющиеся вершинами параллелограмма. Построить этот параллелограмм. Определить, сколь- *о решений имеет задача*.
При работе с этой задачей:
выбрать инструменты, которыми можно пользоваться при постро- ении параллелограмма;
выполнить построение (один ученик работает у доски).
2 вариант. Для класса хорошего уровня математической подготовки, где у большинства учащихся общеучебные и специальные умения сформированы на достаточно высоком уровне.
Цель работы: ввести понятие параллелограмма, показав его место в системе известных понятий (на этапе введения использовать эвристический метод создания проблемной ситуации, повышая тем самым активность и самостоятельность учащихся на этапе «открытия нового знания*). Учить решать задачи на распознавание и конструирование математических объектов, соответствующих введенному понятию.
На этапе обучения понятию необходимо:
Сформулировать тему и цели урока.
Решить задачу: «На рис. 16 изображены 7 четырехугольников*.
Ответить на вопросы:
Каким общим свойством обладают все изображенные геометрические фигуры?
Сравните четырехугольники. Все четырехугольники, кроме одного, обладают этим свойством, и только один не обладает. Сформулируйте это свойство и укажите четырехугольник, им не обладающий.
Сравните выпуклые четырехугольники. Все эти четырехугольники обладают этим свойством, и только один не обладает. Сформулируйте это свойство и укажите четырехугольник, им не обладающий.
В результате решения предыдущей задачи составьте схему, иллюстрирующую место понятия «параллелограмм* в системе понятия «четырехугольник*, предложить учащимся сформулировать определение параллелограмма.
Выделить структуру определения.
Сформулировать свойства и признаки параллелограмма, которые утверждаются определением.
Подчеркнуть, что логика построения классификационной схемы понятия «четырехугольник» утверждает, что параллелограмм — выпуклый четырехугольник, хотя определением это свойство параллелограмма не утверждается.
Решить задачу: «Доказать, что если в четырехугольнике ABCD Z ВСА = Z CAD, Z ВАС = ZACD. то он является параллелограммом*.
Рис. 16Рис. 16
Рис. 16
Рис. 16
Провести самостоятельную работу учащихся по решению задач:
Существование каких свойств параллелограмма можно предполо- жить?_
Изооразите произвольный параллелограмм.
Вспомнить основные этапы работы по решению задач на доказательство. суть работы на этапе поиска доказательства, при необходимости организовать коллективную работу (с учащимися, у которых более низкий уровень сформированное™ учебных действий по работе с задачей).
Проверить результаты самостоятельной работы учащихся (заслушивание ответов у доски).
Провести самостоятельную работу с учащимися над задачей: «Даны три точки Д, S и С, являющиеся вершинами параллелограмма. Построить этот параллелограмм. Определите сколько решений имеет задача'».
Проверить результаты самостоятельной работы учащихся (при проверке решения обратить внимание на то, что число решений задачи можно было установить уже на этапе поиска).
Использование при втором варианте проблемных ситуаций обеспечивает:
Осознанность восприятия учебного материала.
Повышение интереса к занятиям и предмету в целом.
Формирование интеллектуальных и исследовательских умений.
Развитие творческих способностей.
На этапе диагностики необходимо провести проверку уровня усвоения понятия параллелограмм. Это можно сделать в форме самостоятельной работы (предложенная работа является разноуровневой). Для нее предложить следующие варианты вопросов и заданий.
Верно ли утверждение.
Параллелограмм — выпуклый четырехугольник.
Параллелограмм — квадрат.
Прямоугольник — параллелограмм.
Доказать, что ABCD — параллелограмм, если АВ = CD, AD = ВС;
Построить параллелограмм с неравными смежными сторонами. Из вершины тупого угла провести высоты к его сторонам. Сравнить построенные высоты. Определить, какую гипотезу можно сформулировать о связи отношения высот и отношения сторон, к которым они проведены.
Даны прямая и точка, не принадлежащая этой прямой. Построить параллелограмм, одна вершина которого находится в заданной точке, а две Другие — на заданной прямой.
Технологии обучения понятиям, определения которых сформулированы в другом виде (конструктивные, рекурсив- ные, условные), разрабатываются аналогично. Однако при работе с конструктивными определениями, задающими последовательность действий, в результате которых можно построить объект и которые часто встречаются в курсе геометрии, учите- лю целесообразно:
разработать систему конструктивных задач, ♦ подводящих» под понятие (на подготовительном этапе);
реализовывать разработанную систему на этапе введения и закрепления понятия.
Заметим, что введение понятия в процессе решения системы конструктивных задач имеет свои преимущества:
изложение материала вызывает живой интерес, так как каждый ученик активно участвует в процессе получения нового знания;
построения, выполненные с помощью чертежных инструментов, позволяют практическим путем убедиться в существовании геометрического объекта, отношения между геометрическими объектами, а также выдвигать гипотезы о свойствах геометрических объектов и их отношениях;
процесс обучения геометрии становится более конкретным и доступным для большинства учащихся.
16.3. Особенности технологических схем обучения
отдельным элементам математического содержания
Обращаясь к построению технологической схемы обучения математическим утверждениям, основное ее отличие будет обусловлено спецификой данного элемента математического содержания.
Теорема — истинное утверждение, в ней сформулирован некоторый математический факт. При введении нового математического утверждения большое внимание должно быть уделено мотивации.
В соответствии с этим схема обучения математическому утверждению может выглядеть следующим образом:
Этапы процесса обучения
Этапы обучения математическому утверждению
Формулировка цели
Ожидаемые результаты
Показатели достижения ожидаемых результатов
Диагностические задачи
Критерии оценки
Введение новой информации
Мотивация изучения нового факта
Усмотрение факта (высказывание гипотезы) Формулировка нового утверждения Диагностика первичного усвоения
Закрепление
Организация действий по усвоению, закреплению
Диагностика процесса усвоения
Окончание табл.
Этапы процесса обучения
Этапы обучения математическому утверждению
—
Контроль
Контроль ожидаемых результатов (диагностические задачи)
Обобщение
Установление связей с другими утверждениями, включение в систему
Диагностика видения связей
При обучении математическим утверждениям характер показателей, очевидно, будет отличаться от показателей обучения математическим понятиям.
На этапе введения нового утверждения ожидаемым результатом будет являться понимание смысла сформулированного утверждения. Показателем — рассказ о факте своими словами; формулирование утверждения по конкретному рисунку.
На этапе закрепления утверждения ожидаемым результатом будет точное понимание смысла сформулированного утверждения; понимание смысла входящих в формулировку слов; точная формулировка утверждения; выделение условия и заключения. Показателем — воспроизведение формулировки в целом, отдельно условия, заключения; пояснение смысла на конкретных примерах; нахождение ошибок в формулировках; изображение чертежа по условию и заключению; запись условия и заключения по чертежу, представленному в непривычном ракурсе.
При обучении доказателъс тву математических утверждений основное внимание должно быть уделено поиску доказательства и обоснованности получаемых в процессе доказательства выводов. Основное отличие в этом случае будет содержаться в этапе введения новой информации.
Введение новой информации предполагает;
мотивацию доказательства сформулированного утверждения;
усмотрение логического метода доказательства;
выбор математического метода доказательства;
выделение этапов доказательства;
демонстрацию доказательства в целом;
диагностику первичного усвоения доказательства.
На этапе введения доказательства ожидаемыми результатами станут понимание используемых логических и матема-
тических методов доказательства; выделение этапов доказательства. Показателями станут правильные ответы на вопросы о методах доказательства и демонстрация этапов доказатель. ства.
На этапе закрепления доказательства ожидаемыми результатами будут: выделение промежуточных результатов доказательства, демонстрация доказательства (устно и письменно) по исходному и новому чертежам. Показателями будут являться: правильное выделение фактов, используемых при доказательстве; правильное воспроизведение отдельных частей доказательства и доказательства в целом.
При работе с алгоритмами в соответствии с рассматриваемой единой схемой обучения элементам математического содержания можно выделить следующие основные этапы работы учителя по разработке технологической схемы:
Подготовительный этап, который включает отбор теоретического содержания, формулировку цели, выполнение логико-математического анализа правила, разработку в случае необходимости алгоритмического предписания, разработку содержания этапа актуализации знаний, необходимых для обоснования необходимости и введения алгоритма.
Необходимо знать, что логический анализ алгоритма предполагает: проверку наличия характеристических свойств алгоритма; выделение последовательности операций и логических условий; установление связей с другими знаниями. Математический анализ алгоритма предполагает: установление математической основы, т. е. базовых математических положений.
Если в результате логико-математического анализа правила учитель убеждается, что оно не является алгоритмом, то целесообразно (с учетом уровня подготовленности учащихся класса) разработать предписание выполнения того или иного действия, понятное каждому ученику.
Этап обучения алгоритму.
Этап диагностики. На этапе введения алгоритма ожидаемыми результатами станут представление и знание общего способа выполняемого действия; знание теоретической основы правила. Показателем будет правильное описание способа действия.
На этапе закрепления алгоритма ожидаемые результаты воспроизведение алгоритма при выполнении действия; выполнение действия с объяснением операций с конкретными объектами. Правильное воспроизведение шагов алгоритма И
выполнение операций в соответствии с шагами на этом этапе являются показателями успешности.
^Ключевая информация_
При конструировании технологической схемы в ней должны найти свое отражение:
специфика содержания; особенности деятельности учащегося по его освоению; особенности возможностей учителя по организации этой деятельности;
закономерности процесса обучения (формулировка цели — введение нового материала — закрепление — контроль — обобщение);
модели, в которой осуществляется все обучение в целом;
общие требования к технологиям обучения.
Основное отличие в технологических схемах обучения различным элементам математического содержания будет заключаться в своеобразии ожидаемых результатов, показателей их достижения и построения этапа обучения.
4-
Рекомендуемая литература
Волович М. В. Ключ к пониманию алгебры. — М.: Аквариум. 1996.
Волович М. Б. Ключ к пониманию геометрии. — М.: Аквариум, 1996.
Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики / Под ред. Е. И. Лященко. — М.: Просвещение, 1988.
Саранцев Г. И. Формирование математических понятий в средней школе Н Математика в шкапе. — 1998. — №6. —С. 27—30.
Селевко Г. К. Педагогика и прогрессивные технологии обучения. — М.: Народное образование, 1995.
Основные линии школьного курса математики и методика их изучения
Лекция 17
Общие вопросы изучения алгебры в девятилетней школе и особенности альтернативных программ
Алгебра щедра. Зачастую она дает больше, чем у нее спрашивают.
Ж. Дала.мбер
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
К какому времени относят выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики?
Где находится город Хорезм и какое отношение он имеет к алгебре?
Ученик выполнил задание на упрощение следующим образом: 7(3 - л)2 - |з - л|. Правильно ли он выполнил задание?
Учительница объяснила, что многочлен х2 - ху + у2 есть неполный квадрат. Ученик возразил и предложил опровержение этого названия. Какое и почему? В чем несовершенство объяснения учителя?
Назовите фамилии двух-трех известных математиков-алгебраистов XX в.
Из истории развития алгебры
Элементарная алгебра — одна из старейших ветвей математики. Она зародилась в древности при поисках общих способов решения задач, более универсальных, чем арифметические методы. Одно из отличий алгебры от арифметики состоит в том, что для решения вводится неизвестное. Выполняя над ним и данными из условия задачи определенные действия, получают выражение, которое можно приравнять другому выражению. Сформированное уравнение позволяет найти неизвестное [3].
Алгебраические методы зародились еще в древности. В Д°' шедших до нас древнеегипетских папирусах имеются уравве*
уия» при решении которых искомому давалось название, оно обозначалось соответствующим иероглифом.
Древние вавилоняне еще за две тысячи лет до н. э. умели решать уравнения, сводящиеся к системе линейных уравнений со многими неизвестными, к квадратным уравнениям и даже к частному виду кубического уравнения. Они, по-види- мому. разработали отдельные правила для решения уравнений и пользовались ими в конкретных случаях.
В Древней Греции в III в. до н. э. геометрия достигла высокого развития. Доказательства стали главным средством установления геометрических фактов. Алгебраические предложения. задачи греки обосновывали и решали геометрическими средствами. С помощью геометрических построений они решали задачи, равносильные квадратным уравнениям. Поэтому иногда сведения из алгебры, которыми располагали древние греки, называют геометрической алгеброй.
Диофант Александрийский (около III в. н. э.) в трактате «Арифметика» решал уравнения 1-й и 2-й степени, рассматривал неопределенные уравнения. Он ввел краткие символические обозначения для неизвестных, простейших долей неизвестных и некоторых простейших степеней их.
В Средние века математические знания древних унаследовали арабы и те народы, которые оказались в сфере их политического влияния.
В IX—XV вв. народы Средней Азии — узбеки, таджики — дали много видных математиков. Узбекский математик и астроном IX в. Мухаммед из Хорезма (Мухаммед ал-Хорезми) написал книги по арифметике и по алгебре. Это позволяет утверждать, что с этого времени алгебра стала самостоятельной ветвью математики. Вторую его книгу называли «Ал-джебр ва-л-мукабала». «Ал-джебр» (восстановление) — перенос отрицательных членов уравнения в другую часть его, а «мукаба- ла» (противопоставление) — приведение подобных членов. От слова «ал-джебр» произошло и название «алгебра».
В XII в. итальянцы перенимают алгебру у народов Восто- Ка* В XVI в. им удалось решить уравнения 3-й и 4-й степени. В конце XVI в. французский математик Ф. Виет (1540—1603) ввел буквы для обозначения известных величин. С этого времени алгебра перестала быть риторической. С введением символов стало возможным изучать не отдельные уравнения с Числовыми коэффициентами, а целые классы уравнений или Систем уравнений и находить способы их решения. Это имело большое значение для дальнейшего развития всей математи-
Введение буквенной символики придало всем рассуждени-
ям в алгебре полную общность. И. Ньютон и Г. В. Лейбниц на- зывали алгебру универсальной (общей) арифметикой.
В XVIII—XIX вв. основными объектами исследования алгебры были рациональные функции, алгебраические уравнения, системы уравнений, в особенности линейные. Решение уравнений потребовало расширения понятия о числе, что нашло отражение в работе Л. Эйлера «Универсальная арифметика», созданной в 1768—1769 гг.
К концу XVIII в. алгебра сложилась приблизительно в том объеме, который сейчас преподается в школе. Исследования, связанные с задачей решения уравнений разных типов, привели к созданию современной алгебры. Предмет ее составляют такие теории, как теория групп, теория Галуа, теория полей и колец, линейная алгебра, теория алгебраических чисел и др. Содержание современной алгебры лишь отчасти, как считает Ф. М. Шустеф, можно охватить следующей формулировкой: «Алгебра есть наука об операциях над элементами множеств произвольной природы, удовлетворяющих определенным требованиям (аксиомам). Операция, определенная в данном множестве М, — соответствие, в силу которого двум произвольным, взятым в определенном порядке элементам а и b множества М ставится в соответствие некоторый элемент того же множества М* [7].
Алгебра имеет своим основным предметом прерывное, конечное. Недаром Н. И. Лобачевский, например, назвал одну из своих книг «Алгебра или вычисление конечных». Развитие алгебры повлияло и на развитие других ветвей математики. Так, введение буквенных обозначений облегчило изучение переменных величин и подготовило почву для создания аналитической геометрии. Один из творцов этой дисциплины, Р. Декарт (1596—1650), усовершенствовал и упорядочил символику, чем способствовал ее окончательному утверждению. Введение в математику переменной величины сыграло первостепенную роль. В свою очередь, математический анализ обогащает алгебру новыми мощными средствами исследования. Таким образом, исторически две ветви математики — алгебра и анализ — находятся в тесной связи и обусловленности.
Развитие алгебры неотделимо от развития понятия числа* Древние греки не признавали отрицательных чисел: они не умели дать им конкретное истолкование. Только у Диофанта можно найти в зачаточной форме отрицательные числа.
Смелый шаг в отношении введения отрицательных чисел был сделан в X в. индийскими учеными, которые понимал»
^х как денежный долг, а положительные числа — как наличные деньги. Однако отрицательные числа не получили призвания у народов Среднего Востока. До XVI в. не мирились с ними и европейские ученые. Природа отрицательных чисел стала достаточно понятной лишь после того, как Декарт применил их в построении аналитической геометрии. Здесь они были наглядно истолкованы при помощи направленных отрезков.
С иррациональными числами столкнулись еще древние греки при рассмотрении некоторых вопросов геометрии. Но они разработали теорию пропорций и несоизмеримых отрезков в геометрической форме, тем самым избежав необходимости использования иррациональных чисел. Математики Индии и Среднего Востока рассматривали иррациональные числа как числа нового класса. Арифметическая теория иррациональных чисел возникла лишь во второй половине XIX в.
В XX в. исследования предыдущего столетия были продолжены русскими учеными. Внесли свой вклад Курош Александр Геннадьевич (1908—1971) — основные труды по теории групп, колец и др., автор учебника по высшей алгебре, Лузин Николай Николаевич (1983—1950) — основные труды по теории функций действительного переменного, Понтрягин Лев Семенович (1908—1988) — основные труды по топологии и математической теории оптимальных процессов, Чеботарев Николай Григорьевич (1894—1947) — основные труды по алгебре, Никольский Сергей Михайлович (1905) — основные труды по функциональному анализу, автор широко известных работ по высшей математике, школьных учебников.
Содержание и задачи курса алгебры
Возникновение и развитие элементарной алгебры Связаны:
с расширением понятия о числе;
с введением буквенной символики, которая приводит к Изучению тождественных преобразований;
с учением о решении уравнений и систем уравнений, что Позволяет рационально решать разнообразные задачи, в том числе и практические;
с развитием понятия о переменной и функции.
Исторически изучение этих явлений находится в тесной взаимозависимости и взаимообусловленности. Поэтому и в Школьном курсе алгебры как своеобразной проекции науки
сплетены элементы трех математических дисциплин аналити- ческого цикла: арифметики, алгебры и анализа («три великие А», по выражению Ф. Клейна). Конечно, алгебра как учебный предмет в современной школе далека от современной алгебры что вполне естественно. Школа должна давать знания лишь «основ» науки. В современной школе выпускник не получает представления о современной алгебре как науке.
Курс алгебры характеризуется повышением теоретическое го уровня обучения, постепенным усилением роли теоретических обобщений и дедуктивных заключений, усилением прикладной направленности. Курс алгебры девятилетней школы располагает более сильными, чем школьная арифметика, средствами и способами познания простейших пространственных форм и количественных отношений материального мира. Это дает возможность более полно познать эти формы и отношения. Значит, курс алгебры имеет общеобразовательное значение.
Основные разделы алгебры включают: учение о числе; тождественные преобразования; уравнения и их системы; учение о простейших элементарных функциях.
Они имеют большое значение для изучения не только других математических предметов, но и основ разнообразных наук (физики, химии, астрономии), начал технических дисциплин (механики, машиноведения и др.), в различных отраслях производства (станкостроении, сельскохозяйственном машиностроении и др.). Изучение курса алгебры средней школы — одна из предпосылок познания законов природы.
Вместе с тем курс алгебры благоприятно влияет на изучение предметов гуманитарного цикла. Ведь, как уже отмечалось, математика как учебный предмет способствует становлению математического стиля мышления, которому, по словам А. Я. Хинчина, присущи такие черты, как доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения, лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший путь, четкая разбивка хода рассуждений на случаи и подслучаи, скрупулезная точность символики.
Итак, основными задачами при изучении курса алгебры девятилетней школы являются следующие:
Информационные:
усвоение метода уравнений, неравенств, систем как основного средства математического моделирования прикладных задач;
осуществление функциональной подготовки учащихся.
Операционные:
• развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении математических и прикладных задач по курсам смежных дисциплин (физика, химия, информатика и др.), в том числе:
умения оперировать знаково-символическими средствами и умения грамотно излагать и обосновывать свои рассуждения, умения воспринимать математическую информацию;
овладения системой математических понятий и обобщенных представлений, адекватных научным понятиям;
умения выполнять вычислительные операции и тождественные преобразования с выражениями различной природы;
умения решать уравнения и неравенства различных типов;
умения строить и читать графики различных зависимое -
умения проводить исследование функций различной природы с применением методов.
Воспитательные:
формирование материалистического мировоззрения;
развитие диалектического мышления;
развитие инициативы, находчивости и творческих сил школьников;
формирование критического отношения ученика к суждениям, контроля за решением, умения использовать язык символов, устной речи.
Развивающие:
развитие алгоритмического и теоретического мышления;
развитие ассоциативной и логической памяти.
Также изучение алгебры способствует развитию интеллектуальных умений: общих (анализ, сравнение, классификация, обобщение) и специфических, формирующихся, прежде всего, через математическую деятельность (абстрагирование, моделирование, обоснование математических операций).
В обучении алгебре понятие о числе расширяется. Вводятся отрицательные числа, формируется понятие множества рациональных чисел, изучаются арифметические действия над числами этого множества. Следует добиться, чтобы ученики выполняли все действия над числами верно, быстро и рационально. Дальнейшее расширение понятия о числе — введение иррациональных чисел и формирование понятия о множестве действительных чисел — программой девятилетней школы не предусмотрено. При изучении квадратных радикалов восьмиклассники должны усвоить, что квадратный корень из
любого положительного числа всегда можно вычислить с любой степенью точности.
Важно, чтобы ученики сознательно овладели буквенными обозначениями и тождественными преобразованиями рациональных выражений. Алгебраическая символика — разно- видность скорописи. Ученики должны уметь переводить математические предложения с родного языка на язык алгебраических символов и наоборот. Необходимо, чтобы они верно, сознательно и изящно выполняли тождественные преобразования. Буквенная символика и тождественные преобразования успешно применяются не только в математике, но и во многих других науках, технических дисциплинах и основных отраслях производства.
Программа алгебры девятилетней школы ставит и еще не менее важную задачу: научить школьников решать уравнения первой степени с одним неизвестным, линейные системы с двумя неизвестными, квадратные уравнения и системы уравнений, сводящиеся к квадратному уравнению. Уравнения и системы рассматриваются преимущественно с числовыми коэффициентами. Хотя решение уравнений с буквенными коэффициентами ограничивается небольшим числом примеров, все же следует научить школьников в каждом равенстве, содержащем несколько переменных, видеть уравнение относительно любой из переменных и уметь в простейших случаях решать их. Это важно для приложений уравнений, например к решению задач по физике и химии.
Решение задач путем составления уравнений и систем уравнений является одним из приводных ремней, связывающих учение об уравнениях с решением практических задач. С точки зрения политехнического обучения особый интерес на уроках алгебры представляют доступные по содержанию задачи по механике и физике, а также задачи технического и производственного характера.
В курсе алгебры ученики знакомятся с важнейшим понятием современной математики — функцией, изучают некоторые простейшие функции. Одним из средств изучения элементарных функций является построение их графиков в прямоугольных декартовых координатах. Графикам функций свойственны большая наглядность и широкое применение их даже за пределами математики. Преподавание ведется так, чтобы ученики приобрели умения и навыки построения графиков функций, их чтения, выявления по ним свойств функций, применения графиков к решению уравнений и их систем.
На протяжении всего курса преподавания алгебры обращается внимание на укрепление и развитие навыков в вычислениях, в особенности приближенных. Возможности для это- г0 имеются. Нахождение числовых значений выражений, действия над рациональными числами, решение уравнений и систем уравнений, разнообразные задачи, действия над квадратными радикалами — все это дает прекрасный материал для точных и приближенных вычислений.
Итак, в содержании обучения алгебре девятилетней школы выделяют основные линии: числа; тождественных преобразований; уравнений, неравенств, их систем; функций; приближенных вычислений (вычислительная техника).
Конкретное содержание по каждой линии, требования к математической подготовке учащихся раскрыты в программе.
Понятия, действия и алгоритмы, утверждения (теоремы), задачи курса алгебры имеют свою специфику. Понятия вводятся различными способами. Особые трудности вызывают остенсивные определения, так как смысл вводимого понятия понимается из контекста (например, понятие алгебраического выражения). Трудны и конструктивные определения при синтаксическом введении понятия. В этом случае в тексте исчерпывающе, на взгляд автора, выделяются основные знаковые структуры. Например, так вводится понятие линейного уравнения — как уравнения вида ах = Ь. Но у учащихся возникают сомнения, относятся ли к линейным уравнения (а - 5)х — 4, Зх - 7 = 0. Многие алгоритмы могут быть получены на основе определений. Например, определение операций над числами с разными знаками. Определением также вводится понятие модуля.
При работе с утверждениями в курсе алгебры большее внимание уделяется операционной стороне. При этом часть заданий имеет доказательный характер, хотя он явно и не выражен. Например, любое задание на упрощение имеет доказательную сторону.
Для обоснования могут быть использованы две основные линии: модельная (например, переместительный закон умножения доказывается через площадь прямоугольника, хотя строгого доказательства формулы площади прямоугольника не было); синтаксическая (доказательство осуществляется через преобразования, например, алгебраических выражений).
Могут быть использованы и нестрогие обоснования (предлагаются в темах «Одночлены», «Многочлены»), а также доказательства на основе аксиоматики числа и свойств группы (в линиях функции, уравнений и систем уравнений).
При обучении алгебре и арифметике пользуются термином «правило». В каждом правиле указывается, какие операции и в какой последовательности надо выполнить, чтобы полу, чить ответ для задачи рассматриваемого вида. Значит, термин «правило» употребляется в таком же смысле, как термин «алгоритм» (алгорифм). На самом деле алгоритмом принято называть совокупность математических операций, выполняемых в определенном порядке для решения задач данного вида. Можно говорить о правилах или алгоритмах извлечения квадратного корня из чисел, решения квадратного уравнения, умножения многочлена на многочлен.
Из множества правил можно выделить: 1
определения, устанавливающие, как выполняется та или другая операция (например, умножение рациональных чисел выполняется по правилу-определению);
формулировки законов арифметических действий (например, распределительного закона умножения относительно сложения);
теоремы (например, об умножении многочленов, о квадрате суммы двух чисел).
При обучении желательно эти виды правил называть соответственно определениями, законами, теоремами. При работе по принятому учебнику учитель может только частично приблизить терминологию к указанной.
Если теорема по педагогическим соображениям не доказывается, а поясняется примерами, то и в этом случае можно сохранить за ней название теоремы, причем следует указать, что она может быть доказана, но доказательство ввиду его сложности не приводится. Так, например, можно поступить при изучении первого и второго свойств уравнений.
17.3. Особенности альтернативных программ
За последние годы в практике обучения алгебре появилось несколько альтернативных учебников. Среди них можно выделить учебники алгебры для 7—9 классов А. Г. Мордковича. Разрабатывая свою программу, автор исходил из того, что математика в школе — гуманитарный учебный предмет. Следовательно, при построении учебного курса можно отходить от традиций науки (все начинается с аксиом, нельзя начинать изучение теории без строгого определения основного понятия, все утверждения надо доказывать и др.).
Приоритетной содержательно-методической линией школьного курса алгебры А. Г. Мордковича является функциональ-
йо-графическая. Какой бы класс функций ни изучался, материал излагается по схеме: функция — уравнения — преобразования выражений.
Сложные математические понятия в данном случае изучаются длительное время на разных уровнях:
наглядно-интуитивном (когда новое понятие вводится с опорой на интуитивные или образные представления учащихся);
рабочем (когда от учащегося требуется уметь отвечать не на вопрос: «Что такое?», а на вопрос: «Как ты понимаешь?»);
формальном.
Также в курсе А. Г. Мордковича усилена роль геометрических иллюстраций, наглядности и правдоподобных рассуждений, что с психологической точки зрения соответствует ослаблению опоры на левое полушарие головного мозга и усилению опоры на правое полушарие.
Гуманитарный характер математики в этом курсе проявляется в том, что он позволяет субъекту правильно ориентироваться в окружающей действительности. Автор учебников считает, что для работы с математическими моделями надо изучать математический язык. При таком идейном стержне математика предстает перед учащимися не как набор разрозненных фактов, а как цельная развивающаяся и в то же время развивающая дисциплина обще культурного характера.
А. Г. Мордкович строит свой курс как личностно-ориентированный. Так, в 7 классе при обсуждении разложения многочленов на множители опережающим образом вводится понятие квадратного уравнения. Далеко не каждый квадратный трехчлен легко раскладывается на множители, поэтому школьники понимают значимость изучения графиков линейной функции и функции у = х2, позволяющих приближенно (иногда — точно) решить квадратное уравнение. Необходимость отыскания точных значений корней приводит в 8 классе к формуле. Добравшись за длительный период до полного решения проблемы, ученик понимает, что он продвинулся в своем развитии, и получает положительные эмоции. Происходит осознание ценности результата лично для себя.
^Ключева^информация
Алгебра — один из ключевых курсов, входящих в общеобразовательную область «Математика». В девятилетней школе курс алгебры решает следующие группы задач: ин-
формационные, операционные, воспитательные, развиваю щие.
В нем выделяются следующие основные содержательные линии: числа; тождественных преобразований; уравнений неравенств и их систем; функций; приближенных и инстру ментальных вычислений.
В современной школе существуют, наряду с традицион ным курсом алгебры, альтернативные, которые ориентируют ся на раскрытие идеи моделирования или функциональ но-графической линии содержания.
Рекомендуемая литература
Барыкин К. С. Методика преподавания алгебры. — М., 1965.
Депман И. Я. Рассказы о старой и новой алгебре. - Л.: Дет лит., 1967.
Ку роил А. Г., Шмидт Ю. Алгебра // БСЭ. — М.: Сов. энцикло педия,1968.
Методика преподавания математики в средней школе Частные методики Сост. Р. С. Черкасов и др. М.: Просвеще ние, 1985.
Развивающее обучение // Вопросы методологии и технологии Материалы ко Второй научно-методической конференции. - СПб., 1998. — Вып. 2.
Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск: Выш. школа 1974.
Шустеф Ф. М. Методика преподавания алгебры. — Минск Выш. школа, 1976.
Лекция 18
Линия тождественных преобразований в курсе девятилетней школы
У математиков существует сво> язык — формулы.
С. Ковалевская
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Что называют математическими выражениями? Приведи те примеры.
Где вы встречались с тождественными преобразованиями?
Когда и кем был введен знак «е> для обозначения тождества?
4 Являются ли тождествами равенства: 3 + 2*5, JaJb = Jab, J\ - X = JxA - 1?
5 Найдите ошибку в рассуждении: 4 : 4 = 5 : 5, 4 •(! : 1) = = 5-(1:1). 4*5.
Линия тождественных преобразований в курсе математики средней школы и ее взаимосвязь с другими линиями школьного курса
Тождественное преобразование (ТП) в математике понимается как:
замена одного аналитического выражения другим, тождественно ему равным, но отличным по форме;
преобразование (отображение в себя) некоторого множества, оставляющее на месте каждый его элемент.
В курсе алгебры ТП рассматриваются в первом смысле, т. е. как замена одного аналитического выражения другим, тождественно ему равным.
Знак ♦=» для обозначения тождества был введен Бернхардом Риманом (немецким математиком, учеником К. Гаусса) в 1857 г.
Выражение математического языка (в широком смысле и в алгебре) — конечная (но не всякая) последовательность символов из его алфавита. Семантический подход выделяет выражения — как конечные последовательности символов алфавита, имеющие смысл. Синтаксический подход — как последовательности символов, построенные по определенным правилам [3].
Среди выражений выделяют:
выражение без переменных:
термы (не содержащее знака отношения и обозначающее число);
формула (содержащее один из знаков отношений — высказывание);
выражение с переменными:
термы (числовая форма, выражающая числовую функцию числовой переменной, например 7 + х);
формула (высказывательная форма, выражающая логическую функцию числовой переменной — предикат, например из А = (1, 2, 3} в {И, Л), 7 + х = 10).
В школе к выражениям преимущественно относят: термы, не содержащие знака отношения и обозначающие числа — арифметические выражения; числовые формы, выражающие числовые функции числовых переменных. ТП используются
для замены одного выражения другим и при доказательств равенства выражений на основе свойства транзитивности.
Существует несколько подходов к определению тождества тождественно равных выражений.
Во-первых, тождество рассматривается как равенство, вер ное при любых значениях переменных (так вводится понятие тождества в учебнике алгебры для 7 класса под ред. С. А. Те ляковского). Этому определению удовлетворяют целые раци опальные выражения, но равенства с радикалами (VaVb ■ Jab и ему подобные) при таком подходе уже не являются тождествами.
Тождественно равными выражениями называются дв1 выражения, соответственные значения которых равны npi любых значениях переменных (в указанном выше учебнию это определение предшествует определению тождества).
Во-вторых, тождество рассматривается как равенство, вер ное при любых допустимых значениях переменных. (Тако< определение понятия тождества предлагается в 8 классе i учебнике алгебры под редакцией С. А. Теляковского, когдс появляются дробно-рациональные выражения). Два алгебраи ческих выражения называются тождественными, если ohi принимают равные числовые значения при соответственн< равных значениях букв из общей части областей определения
Данный подход позволяет расширить множество выражений к которым применимо понятие тождества, но часто такое тожде ство не имеет практического смысла, например: Jx — J-x. Кро ме того, при данном подходе отношение «быть тождествен нс равным♦ не обладает свойством транзитивности, а значит, со здаются определенные трудности при решении задач. Напри мер, равенство Jx^ = (V*)2 является тождеством, так каь верно при любых х > О. Также тождеством является и равен ство (Vx)2 = х, верное при всех х > О. Составленное из эти> тождеств новое равенство Jx2 = х при данном подходе нс удовлетворяет определению тождества, так как оно неверие при отрицательных значениях х, входящих в области допус тимых значений и левой, и правой частей равенства. Тем са мым отношение тождественного равенства не транзитивно.
В-третьих, тождество рассматривается на некотором мно жестве как равенство, верное для любых значений перемен ных из данного множества. Это множество является под множеством общей области определения выражений, стоящих в левой и правой частях равенства.
В данном случае выполняются рефлексивность, симметричность, транзитивность, значит, отношение «быть тождественно равным» является отношением эквивалентности и разбивает все выражения на классы тождественно равных на данном множестве выражений. Но и при этом подходе возникает ряд вопросов. Будут ли тождествами уравнение на множестве решений, уравнение касательной, уравнение окружности? Последнее определение тождества не имеет смысла рассматривать на классе «геометрических» уравнений. Обычно оно рассматривается для алгебраических уравнений. Любое уравнение не обязательно является тождеством, но любое тождество есть уравнение.
Определение тождественно равных выражений позволяет рассмотреть понятие тождественного преобразования в алгебре. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием.
В вышеприведенных трактовках отражены две точки зрения на тождественность алгебраических выражений и тождественное преобразование: формальная и функциональная. С формальной точки зрения два выражения тождественны, если они могут быть получены друг из друга путем формальных преобразований, т. е. последовательной заменой одного выражения другим в результате применения непосредственно законов действий или определенного правила тождественного преобразования, которое является следствием основных законов действий. Тождественное преобразование с этой точки зрения есть процесс применения указанных правил к алгебраическому выражению. С функциональной точки зрения два выражения тождественны, если они принимают одни и те же численные значения при произвольных системах значений букв, входящих в эти выражения. Тождественное преобразование — это замена данного выражения тождественным ему в указанном смысле. Но при этом не указывается способ подобной замены. Функциональная точка зрения не позволяет доказать, что два выражения являются тождественными, так как обычно область допустимых значений для букв, входящих в алгебраическое выражение, является бесконечным множеством. Но функциональная точка зрения дает способ обнаружить нетождественность двух выражений, если при каком-то наборе допустимых значений букв эти выражения примут различные численные значения. Отсюда видно, что необходимо применять оба толкования тождественности двух выражений. Полезно выяснять, с какой трактовкой этого понятия мы имеем дело в том или ином случае.
Необходимо обратить внимание учащихся на правильное оформление упражнений на доказательство тождеств. В практике случается, что доказываемое тождество переписывают несколько раз, одновременно преобразуя обе его части, доводят работу до получения очевидного тождества (записывают например, что О = О, в чем никто не сомневается). Но при этом доказательство нельзя считать законченным, ибо можно прийти к верному предложению, исходя и из неверного соотношения (например, возводя в квадрат заведомо неверное равенство 3 3). Поэтому следует либо преобразовывать одну из частей доказываемого тождества, заменяя ее последовательно тождественными выражениями, пока не получится выражение, стоящее в другой части доказываемого тождества, либо по отдельности преобразовывать обе части предложенного для доказательства тождества до получения одного и того же выражения.
Для мотивации изучения сложных тождественных преобразований можно применить прием М. П. Синельникова. Учитель дает довольно сложное алгебраическое выражение, например (64а3 + 12563)/(16а2 — 20аб + 25Ь2), и предлагает вычислить его значение при значениях букв, задаваемых учениками. Преподаватель сразу дает ответ, который учащиеся могут найти лишь после более или менее продолжительных вычислений. Этот прием подводит учеников к понятию «тождественные выражения♦, вызывает у них интерес к изучению правил, по которым можно данное сложное выражение заменить более удобным для вычислений.
Значение темы «Тождественные преобразования* состоит в следующем:
ученики должны понимать, что в алгебре все действия только обозначаются, а затем преобразуются в более простые заменой суммы, произведения тождественно равным выражением;
тождественные преобразования — не самоцель, они используются для удобства нахождения числовых значений выражений, решения уравнений, доказательства неравенств и выявления свойств функций [3].
Это значит, что с тождественными преобразованиями связаны все линии курса алгебры. Поэтому ТП — одна из основных линий курса алгебры и начал анализа школьной математики.
Изучение этой линии выполняет различные функции.
Теоретический аппарат служит средством построения теории других линий, таких, как «Уравнения, неравенства и их
системы>, «Функция» и др. Операционный аппарат является практической базой решения математических и прикладных задач. Школьный курс математики выделяет два основных класса математических выражений: алгебраические (выражения, составленные из конечного числа букв или цифр, соединенные знаками действий, порядок действий может определяться и скобками; арифметические выражения — частный вид выражений, не включающих букв) и трансцендентные (аналитические выражения, не являющиеся алгебраическими).
В каждом из этих классов можно выделить следующие подклассы (рис. 17):
Рис. 17
Основная (базовая) теория тождественных преобразований изложена на множестве алгебраических выражений. Далее при введении трансцендентных функций расширяется область применения тождественных преобразований и, что естественно, свойства введенных функций выделяют особенности преобразований неалгебраических выражений.
Уровень строгости изложения темы в школьных учебниках различен.
Основные типы преобразований и этапы их изучения
В учебнике алгебры для 7 класса под редакцией С. А. Теляковского вводится понятие «тождества» на первом этапе изложения курса. Оно определяется как равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных. Следует отметить, что этому определению предшествует опре-
деление тождественно равных выражений. Два выражения соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными. ■
С введением дробно-рациональных выражений (8 класс) авторы возвращаются к понятию тождества и определяют тождество как равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
В учебнике алгебры (авторы Ш. А. Алимов и др. для 8 класса) понятие «тождества» введено после доказательства теоремы То2 = |а|. Оно определяется как равенство, справедливое при любых значениях входящих в него букв. Заметим, что в этом варианте построения теории основная базовая теория тождественных преобразований излагается без введения понятия тождества, тождественно равных выражений. Практическая часть (задачный материал) также не оперирует этими терминами.
В общем виде можно выделить основные этапы изучения преобразований.
Пропедевтический этап. Простейшие преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся в начальной школе и 5—6 классах.
Первый этап. Используется нерасчлененная система преобразований, которая представлена правилами выполнения действий над одной или обеими частями равенства в начале курса алгебры. Подобные явления наблюдаются, когда требуется решить уравнение 4(5х - 12) = 6х 4- 15 или доказать, что значение выражения 13(2г/ - 3) - (2х 4- 26t/) - 2(4 - х) не зависит от значения входящих в него переменных. Цель этого этапа — достичь беглости при решении основных типов задач по линиям числа, уравнений, тождественных преобразований рациональных выражений. Он реализуется в 7 классе и охватывает следующие темы: «Сложение и вычитание одночленов и многочленов», «Умножение одночленов и многочленов».
Первые преобразования — приведение одночленов к каноническому виду на основе переместительного и сочетательного законов умножения.
В этой теме наиболее типичными ошибками учащихся являются:
смешение правила умножения степеней с правилом возведения в степень (6с2 • Зс5 приравнивают 6 • 3 • с2*5 - 18с10);
распространение правила умножения степеней одного основания на случай умножения степеней разных оснований (25 • 84 считают равным 169);
сложение показателей степеней при сложении степеней, е смешение с правилом умножения степеней (23 4- 21 заменяют на 28+4 = 27);
неправомерное применение распределительного закона ((х + yV заменяют на х2 + у2).
Предупредить такие ошибки можно, если обращать внимание учащихся на особенности каждого действия, на значение каждого слова в формулировке правила, соответствующей им, и если обучать проверке наличия условий для применения соответствующего правила перед началом выполнения преобра
зования.
Например, в теме «Формулы сокращенного умножения» полезно иллюстрировать геометрически различные преобразования, в частности формулы сокращенного умножения. Это позволит создать условия для усвоения учебного материла для учащихся, опирающихся на образы, и наглядно показать различие между формулами, которые учащиеся часто путают, например (а - 6^ и а2 - Ь2 (рис. 18).
Для иллюстрации формул, в которые входят выражения третьей степени, необходимо использовать стереометрические образы.
Целесообразность использования в этой теме выражений «неполный квадрат» вызывает сомнения у некоторых методистов [1]. Они предлагают не давать название этому выражению, ведь а2 + 2аЬ — тоже неполный квадрат. Использование вместо двух действий одного — алгебраического сложения — позволяет уменьшить количество формул сокращенного умно
жения.
Второй этап. Выделение конкретных видов преобразований и формирование умений и навыков их применения. Этого требует расширение области применения тождественных преобразований (фактически весь курс алгебры и начал анализа). Преобразования дробно-рациональных, иррациональных, трансцендентных выражений. Причем здесь целесообразно выделить два класса преобразований: тождественные преобразования (преобразования выражений) и равносильные преобразования (преобразования формул). Преобразования иррациональных выражений вызывают большие трудности у уча
Рис.18Рис.18щихся, что, в первую очередь, связано с многозначностью символа «75*. Поэтому далее эта тема будет рассмотрена подробнее.
Рис.18
Рис.18
Третий этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
Основная цель этого этапа состоит в формировании гибкого мощного аппарата, являющегося средством решения зада различного уровня (группы А, В, Г, см. § 15.3).
Особенности работы по обучению теме «Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни»
Работа учителя по организации процесса обучени любой теме школьного курса математики начинается с выпо/ нения логи ко-методического анализа темы.
Логико-методический анализ темы включает следующу! последовательность действий:
Определение целей обучения теме.
Логико-математический анализ теоретического содер жания темы.
Установление взаимосвязи материала темы и ранее изу ченного материала.
Выполнение методического анализа заданного матеря ала. Типология задач может быть проведена по разным оснс ваниям: уровням учебной деятельности, связи с теоретиче ским содержанием, видам заданий и т. д.
Постановка учебных задач и отбор средств и методе обучения с учетом уровня сформированное™ учебных дейст вий на предыдущих этапах обучения.
Методическое планирование с указанием номера темы подтемы, количества уроков, учебных задач, теоретического 1 заданного материалов (включая домашнее задание, повторе ние, самостоятельную работу, формы и методы средств обуче ния). Домашнее задание может быть дифференцированным. - на это указывала еще Н. К. Крупская. При этом дифференци ация может носить психологический характер. Например учащимся предлагается задача: «Три лошади пробежали 3 км Сколько пробежала каждая?»1
Учащийся — кинестетик, представляя описываемый в за даче процесс и мысленно участвуя в нем, может дать любо! ответ, например «5». Как помочь такому ученику? Можно из менить задачу с целью вернуть его в роль решателя, включи! дополнительное условие, что конюх на вопрос задачи ответил «3». Ученику предлагается оценить данный ответ.
Определение форм и средств контроля за состоянием знаний и умений учащихся (текущий и итоговый, индивиду альный и групповой контроль, в которых реализуется уровне вая дифференциация).
Приложение (разработка учебно-методичес кого комп- декса).
Цели обучения теме должны отражать:
необходимость изучения данной темы для дальнейшего усвоения математики;
связь с другими учебными предметами;
влияние данной темы на познание реального мира;
прикладную направленность темы;
роль изучения темы в развитии ребенка;
воспитательные задачи.
» ПРИМЕР
Проведение логико-методического анализа темы «Тождественные преобразования иррациональных выражений», представленной в учебнике «Алгебра — 8» под ред. С. А. Теляковского.
Цели изучения темы:
формирование теоретического аппарата темы и умения применять его в практике решения задач, включая задачи на преобразования иррациональных выражений, требующих комплексного применения знаний;
пропедевтика и расширение функциональной и числовой линии, линии уравнений и неравенств;
применение математического аппарата для других учебных дисциплин и прикладных наук;
развитие гибкости мышления (при использовании наиболее рационального преобразования), умения оперировать абстрактными объектами (одно из основных качеств творческого мышления), умения абстрагировать (видеть только форму, а не содержание), вариативности мышления (умения читать слева направо и справа налево), развитие логического мышления и математической речи;
развитие познавательного интереса (через использование софизмов, доказательств с ошибками, свойств функций и их графиков, с непривычными формулировками). Эта цель может быть реализована посредством нетрадиционных заданий, например: а) внесите под знак корня oVb = Jo2b = |o|V6, проверьте при о = -3; б) замените |о| тождественно равным выражением.
При логике-математическом анализе темы выделяют блоки: А — актуализируемые знания, умения, навыки (каждый пункт нумеруется буквами), Б — вводимые понятия (нумеруются числами) и логический уровень их введения, В — система математических утверждений (факты и связи между ними показаны стрелками) и их обоснования (могут быть реализованы на разных уровнях строгости). Для каждого утверждения указываются номера (числа (блок Б) или буквы (блок А)) обосновывающих знаний. Это позволит ребенку создать целостное представление о всей теме, о конкретных теоремах и их доказательствах, позволит организовать обучение блоками (выделить связанные группы знаний и умений) и найти идею доказательств. Например, доказательство теоремы о равенстве
J a2 = | о | предлагается после определения арифметического квадратного корня, значит, и будет на нем строиться.
Тема «Тождественные преобразования иррациональных выражений» в теоретическом отношении базируется на линии числа, теории тождественных преобразований рациональных выражений, понятиях ир. рационального числа, квадратного корня, арифметического квадратного корня. Успешное изучение этой темы невозможно без сформированнос- ти у учащихся навыков выполнения тождественных преобразований на первом этапе изучения курса алгебры. (Блок А.)
В теоретической части темы можно выделить основные теоретические положения, доказательство которых проведено на строгом математическом уровне, и операционный аппарат: примеры прямого применения теорем; выделение основных типовых задач (задача внесения множителя под знак корня и обратная операция); примеры преобразований в условиях комплексного применения знаний. (Блоки Б и В.)
Заданный материал на обязательном уровне содержит задачи (по видам заданий):
упрощение выражений (прямое применение теории, комплексное применение знаний);
сокращение дроби;
освобождение от иррациональности в знаменателе.
Дополнительная система упражнений представлена задачами этих же типов, но на более высоком уровне сложности. Например, задача вынесения множителя из-под знака корня на обязательном уровне рассматривается на числовом множестве; в дополнительной системе упражнений эта задача сформулирована на множестве выражений, содержащих переменные.
При изучении этой темы могут быть поставлены учебные задачи:
научиться выносить (вносить) множитель из-под знака корня;
сравнивать иррациональные числа и т. д.
Методическое планирование обычно оформляется в виде таблицы.
В процессе изучения темы целесообразно использовать такие формы контроля, как промежуточный (индивидуальный, коллективный) и итоговый. При осуществлении контроля целесообразно проводить его для разных уровней усвоения (уровень воспроизведения, уровень прямого применения, уровень творческого применения знаний).
При организации системы заданий можно выделить два аспекта.
Во-первых, при построении системы заданий в рамках учебной темы необходимо разнообразить их формулировку (заменить тождественно равным выражением; найти разность, отношение и т. д.; найти ошибку; установить, при каких условиях a J^b2 ■ -3|ад|).
Во-вторых, построение системы заданий должно осуществляться в рамках линии тождественных преобразований школьного курса алгебры и начал анализа.
^Ключевая информация
В курсе алгебры тождественные преобразования
рассматриваются как замена одного аналитического выражения другим, тождественно ему равным.
С формальной точки зрения два выражения тождественны,
•ели они могут быть получены друг из друга путем формальных преобразований. С функциональной точки зрения два выражения тождественны, если они принимают одни и те же числовые значения при произвольных системах значений букв, вхо
дящих в эти выражения.
С тождественными преобразованиями связаны все линии курса алгебры.
Изучение линии тождественных преобразований предполагает выделение четырех этапов: пропедевтического (5—6 классы); первого, на котором используется нерасчлененная система преобразований (начало 7 класса); второго, в процессе которого выделяются конкретные виды преобразований (8—9 классы); третьего, который организует целостную систему преобразований (10—11 классы).
Рекомендуемая литература
Гуревич Г. Б. О терминологии и понятиях начальной алгебры // Математика в школе. — 1962. — № 6.
Математический энциклопедический словарь. — М.: БРЭ, 1995.
Методика преподавания математики в средней школе*. Частные методики / Сост. Р. С. Черкасов и др. — М.: Просвещение, 1985.
Методика преподавания математики в восьмилетней школе / Под ред. С. Е. Ляпина. — М.: Просвещение, 1965.
Репьев Б. В. Методика преподавания алгебры в восьмилетней школе. — М.: Просвещение, 1967.
Столяр А. А. Логические проблемы преподавания математики. — Минск: Выш. школа, 1965.
Столяр А А. Педагогика математики. — Минск: Выш. школа, 1985.
Шустеф Ф. М. Методика преподавания алгебры. — Минск: Выш. школа, 1967.
•♦- М35
Лекция 19■
Теория числа в курсе алгебры девятилетней школ
Натуральные числа даны Богим, , тальные придуманы человечеством.
. /. Кронек
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ"
Какие определения действительного числа вы знаете?
Почему нельзя делить на О?
Какую последовательность изучения дробей вы предпочт те: десятичные после обыкновенных или наоборот? Попр буйте увидеть плюсы и минусы в каждом случае.
Какое новое свойство появляется в множестве действ! тельных чисел по отношению к множеству рациональных
Докажите, что . 3 не является рациональным числом.
Почему бесконечная десятичная дробь, выражающая р циональное число, является периодичной?
Как, по-вашему, описывают школьники иррациона.чьим числа? Почему?■
Из истории развития действительного числа
Натуральные числа появились как числа, исполь зуемые для счета. Одна из самых поздних систем счисления - десятичная — была изобретена в Индии. Но использовать де сятичную систему стали арабы, поэтому записанные в это) системе числа называют арабскими. Как уже отмечалось, от ри нательные числа использовали еще VI XI вв. Но в наую отрицательные числа получили признание лишь в ХУЛ в после опубликования Р. Декартом «Геометрии* (1637), кого рый ввел отрицательные координаты, что позволило предела вить на плоскости отрицательные корни уравнения. При уста новлении правил умножения на дробь, на отрицательное чис ло Леонард Эйлер, как и другие ученые, переносил основны законы арифметики на область новых чисел и выводил из этих законов правила действий над новыми числами. (Известен спор об истинности равенства J^a • ^fb Ja • b. Эйлер сначала считал его верным, потом заменил его на и* J-b * = -Ja • b, но Бернулли и Безу не согласились. Они просто перенесли правила умножения радикалов положительных чисел на умножение мнимых чисел. Не была известна логическая основа теории мнимых чисел.)
Идея бесконечности была отражена еще Архимедом в его Псаммите». В нем он изложил принципы обозначения и названия для бесконечно больших чисел. К ним относили числа, которые больше, чем «число песчинок в мире».
После работы О. Коши, выяснившего математическое содержание понятия предела, очередной задачей математики стало создание важнейшей для математического анализа числовой системы — системы действительных чисел.
В связи с развитием аксиоматического метода в XIX в. появляется теория числа. Натуральные числа определяются Кантором через мощность (кардинальное число) равномощных множеств, Пеано вводит их аксиоматически.
Действительное число одновременно определяется в том же веке тремя великими математиками — Вейерштрассом. Дедекиндом и Коши.
Походы к определению действительного числа
и к расширению множеств. Цели изучения линии числа
Иррациональные числа (термин введен М. Штифе- лем в 1544 г.) делятся на алгебраические нерациональные и трансцендентные. Иррациональность числа л была обоснована И. Ламбертом в 1766 г. Строгая научная теория действительного числа появилась во второй половине XIX в. Вей- ерштрасс представляет действительное число в виде бесконечной десятичной дроби; иррациональное число — как бесконечную непериодическую дробь, определяемую числовыми последовательностями — приближениями иррационального числа по недостатку и избытку. Дедекинд определяет действительное число через построение сечения на множестве. Теорема Дедекинда гласит: если произвести сечение во множестве Действительных чисел, то найдется число б, производящее это сечение, причем b будет наибольшим в нижнем классе либо наименьшим в верхнем. На множестве рациональных чисел существуют три вида сечений. В одном случае в нижнем клас- Се будет наибольшее число, в другом случае наименьшее число окажется в верхнем классе, а в третьем — в нижнем классе нет наибольшего числа, а в верхнем классе нет наименьшего. Множество Q не обладает полнотой. Сечениям третьего рода сопоставляются иррациональные числа, являющиеся пограничными между нижними и верхними классами сечений. Ко- ши определяет действительные числа через построение фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
Как же в теории появляются новые числа? Новые числа Появляются как расширение некоторого множества чисел. При этом возможны два пути.
ie-
Во-первых, вводится новое множество В. Затем некоторое его подмножество отождествляется с множеством А (устанавливается изоморфизм). Эта возможность отражена в учебнике А. П. Киселева. При ее реализации у школьников может создаться впечатление, что отрицательные и положительные числа — не связанные друг с другом числовые множества.
Во-вторых, А дополняется новым>£числами — А, получаем расширенное множество: В = A kJ А. В учебнике Н. Я. Виленкина Q' (положительные рациональные числа и О) дополняется Q : Q = Q * u Q .
Для расширения числовых множеств имеют важное значение следующие идеи.
Во-первых, в основе новых определений лежит принцип перманентности. Он предполагает невозможность сохранять все свойства. Принцип сводится к следующим требованиям:
А — подмножество В;
все старые числа являются и новыми, арифметические операции и отношения, имеющие смысл в А, определены и в В;
правила действий над новыми числами и правила сравнения их между собой и со старыми числами определяются так, чтобы сохранялись основные законы арифметических действий;
в множестве В выполнима операция, невыполнимая или не всегда выполнимая в А. В — минимальное расширение А, т. е. В является минимальным множеством, для которого выполнимы указанные требования.
Во вторых, операторное истолкование числа. Действия над числами можно интерпретировать, при этом один из компонентов будет играть пассивную роль, а другой — активную. Сложение можно понимать как изменение на величину, описываемую вторым слагаемым, а умножение — как многократное сложение или нахождение части числа.
В-третьих, наличие синтаксического и семантического аспектов числа. Синтаксический аспект числа выражается в форме записи и \ читывает возможную неоднозначность записи чисел, например: в десятичной и двоичной системах, в ской нумерации — для натуральных чисел.
Семантический аспект связан: с порядком — идеей бесконечности и принципом индукции; с количеством — проявлением равномощности множеств (сравнение выступает как включение множеств, сложение — как объединение); с измерениями — числовой мерой, величиной, характеристикой процесса измерения, важной для приложений.
Перед изучением линии числа ставятся конкретные цели:
осмысление числа как основного объекта математики, истории развития числа;
демонстрация идеи расширения числовых множеств, свойства числовых множеств;
иллюстрация идеи алгебраических структур, R — бесконечное упорядоченное, без начального и конечного элементов, всюду плотно, замкнуто относительно +, -, •, :, определен предел любой сходящейся последовательности действительных чисел (R непрерывно);
знакомство с системами счисления, теорией делимости;
воспитание вычислительной культуры (алгоритмы вычислений, рациональная техника, приближенные вычисления. использование средств вычислительной техники).
Методические особенности расширения числовых множеств в курсе алгебры девятилетней школы
Первое расширение понятия о числе, которое учащиеся усваивают после ознакомления с натуральными числами.— это добавление нуля. Сначала 0 — знак для обозначения отсутствия числа. Почему же нельзя делить на нуль?
Разделить — значит найти х: х • О = а. Два случая: 1) а * О, следовательно, надо найти х: х • О * 0. Это невозможно. 2) а = 0, следовательно, надо найти х: х • 0 = 0. Таких х сколько угодно, что противоречит требованию однозначности каждой арифметической операции.
Для чего нужны определения а • 1 = а, а • 0 = 0, если необходимо сохранить переместительный закон умножения и монотонность умножения.
Есть учебники, где основные законы действий считаются справедливыми без необходимых обоснований (логическая основа неверна).
Изучение нового числового множества идет по единой схеме:
необходимость новых чисел;
введение новых чисел;
сравнение (геометрическая интерпретация);
действия над числами;
законы.
Сначала расширение числовых множеств происходит, пока множество не станет числовым полем. Не каждая из числовых систем является числовым полем. Например, система на- тУральных чисел не является числовым полем; система целых чисел тоже не числовое поле. Система рациональных чисел — числовое поле.
Поле (П) — множество, содержащее не менее двух элемен- т°в, на котором заданы две бинарные алгебраические операции — умножение и сложение, обе ассоциативные и коммута-
пивные. Они связаны законом дистрибутивности. Кроме того в II существует нулевой элемент: для любого а: а + О = а и каждого противоположного а: о + о-О. Существует единичный элемент: а-а 1 = 1. (Если в некоторой числовой системе все основные действия (сложение, вычитание, умножение и деление, кроме деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел этой системы, такое множество называется числовым полем.) В системе рациональных чисел действия сложения, вычитания, умножения и деления (за исключением деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел, т. е. определены так, что Применение любого действия к паре рациональных чисел приводит к однозначно определенному рациональном), числу. Этим же свойством обладает система действительных чисел.
Невыполнимость одного из основных действий приводит к расширению числового множества. В курсе математики 5— 6 классов имеет место построение множества рациональных
чисел. Следует не однозначна.N,OОбыкновенные дробиДесятичные дробичисел. Следует не однозначна.N,OОбыкновенные дробиДесятичные дробиотметить, что Возможные BiN, ОДесятичные дробиОбыкновенные дробиотметить, что Возможные BiN, ОДесятичные дробиОбыкновенные дробиЛГ, ОДесятичные дробиОтрицательные числаЛГ, ОДесятичные дробиОтрицательные числаРациональные числа (введение отрицательных чисел)Рациональные числа (введение отрицательных чисел)Рациональные числа (введение отрицательных чисел)Рациональные числа (введение отрицательных чисел)Обыкновенные дробиОбыкновенные дробигь расширенийОЦелые числаI IДесятичные дроби (положительные)Обыкновенные дроби (положительные)гь расширенийОЦелые числаI IДесятичные дроби (положительные)Обыкновенные дроби (положительные)
чисел. Следует не однозначна.
N,O
Обыкновенные дроби
Десятичные дроби
чисел. Следует не однозначна.
N,O
Обыкновенные дроби
Десятичные дроби
отметить, что Возможные Bi
N, О
Десятичные дроби
Обыкновенные дроби
отметить, что Возможные Bi
N, О
Десятичные дроби
Обыкновенные дроби
ЛГ, О
Десятичные дроби
Отрицательные числа
ЛГ, О
Десятичные дроби
Отрицательные числа
Рациональные числа (введение отрицательных чисел)
Рациональные числа (введение отрицательных чисел)
Рациональные числа (введение отрицательных чисел)
Рациональные числа (введение отрицательных чисел)
Обыкновенные дроби
Обыкновенные дроби
гь расширений
О
Целые числа
I I
Десятичные дроби (положительные)
Обыкновенные дроби (положительные)
гь расширений
О
Целые числа
I I
Десятичные дроби (положительные)
Обыкновенные дроби (положительные)
Рациональные числа (целые и дробные, положительные и отрицательные)Рациональные числа (целые и дробные, положительные и отрицательные)Рациональные числа (введение отрицательных чисел)Рациональные числа (введение отрицательных чисел)
Рациональные числа (целые и дробные, положительные и отрицательные)
Рациональные числа (целые и дробные, положительные и отрицательные)
Рациональные числа (введение отрицательных чисел)
Рациональные числа (введение отрицательных чисел)
Возможен и такой вариант (П. М. Эрдниев «Математика 5—6»)
/V, О—► Дробные (обык- —► Рациональные
новенные и(введение отрица-
десятичные)тельных чисел)
Элементарное понятие о дробном числе дается уже в начальной школе как о нескольких долях единицы.
В основной школе дроби обычно вводятся методом целесообразных задач, придуманным С. И. Шохор-Троцким, например при рассмотрении следующей задачи: «1 кг сахарного песка сто- 2
ит 15 Р. Сколько стоят 4 кг песка? 5 кг? кг?> Ученики могут
2 умножить 15 на 4, на 5, теперь им требуется найти от 15.
Ученики могут разделить на 3 и умножить на 2. Поскольку одну и ту же задачу разумно решать одинаковым арифметическим действием, то они приходят к выводу, что эти два после-
довательных действия равнозначны умножению 15 на
о
Рекомендуется располагать различные случаи умножения на правильную дробь в порядке возрастания трудности:
умножение на целое число;
умножение целого числа на смешанное число;
умножение дроби на смешанное число;
умножение на правильную дробь;
умножение на дробь, в которой числитель равен знаменателю.
Для введения сложных случаев предлагается задача на вычисление площади прямоугольника.
При изучении десятичных дробей до обыкновенных они могут быть введены при рассмотрении десятичной системы нумерации целых положительных чисел (первая разрядная единица после запятой — десятые доли единицы, следующая — сотые и т. д.). Следует иметь в виду, что все арифметические Действия над десятичными дробями выполняются проще, чем над обыкновенными, да и их практическое применение шире.
Изучение обыкновенных дробей до десятичных также имеет свои достоинства. Десятичные дроби — частный случай обыкновенных, правила действий с ними являются следствия- ми правил действий над обыкновенными дробями. В отдельных случаях выполнение действий второй ступени над обыкновенными дробями проще. Основное свойство дроби объяснимо только на основе общего понятия о дроби. Если десятичные Дроби рассматриваются до обыкновенных, то всю теорию дро-
бей надо строить заново, так как нельзя из частного случая делать выводы для общего.
Целесообразность введения отрицательных чисел может быть показана учащимся разными способами:
Через анализ ситуации, в которой действие вычитания невыполнимо.
►► ПРИМЕР
Чебурашка, спасаясь от Шапокляк, проплыл вверх по реке о км, но, оказавшись перед бродом, был вынужден плыть вниз по реке и проплыл b км. Где он оказался по отношению к исходному месту входа в реку?
Ответом служит разность а Ь, но при а < b действие невозможно.
В связи с рассмотрением величин, которые имеют противоположный смысл (А. П. Киселев).
Как характеристика изменений (увеличений и уменьшений) величин.
На основе графических представлений, отрицательные числа как отметки точек на оси (В. Л. Гончаров).
Через задачу об изменении уровня воды в реке в течение двух суток (Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский).
►► ПРИМЕР
Во время сильного дождя уровень воды в реке за сутки поднялся на о см, в течение следующих суток уровень воды в реке упал на b см. Каким стал уровень воды в реке по истечении двух суток?
Как средство изображения расстояний на температурной шкале (А. Н. Барсуков).
Появление нового числового множества сопровождается введением правил сравнения (равенства и неравенства) чисел и арифметических операций над ними. Средством обоснования правил сравнения нередко служит координатная прямая.
Получив числовое поле, дальнейшее расширение уже не может быть продиктовано невыполнением действий. Расширение понятия числа было вызвано геометрическими соображениями, а именно: отсутствием взаимно однозначного соответствия между множеством рациональных чисел и множеством точек числовой прямой. Для геометрии необходимо, чтобы каждая точка числовой прямой имела абсциссу, т. е. чтобы каждому отрезку при данной единице измерения соответствовало число, которое можно было бы принять за его длину. Эта цель достигается после того, как поле рациональных чисел (с помощью присоединения к нему системы иррациональных чисел) подвергается расширению до системы действительных чисел, которая является числовым полем.
К необходимости этого расширения приводит и невозможность извлечения корня из положительного числа, нахождение логарифма положительного числа при положительном основании.
В девятилетней школе стараются избежать вопросов, связанных с непрерывностью и бесконечностью, хотя полностью достичь этого нельзя. Не затрагивается вопрос о недостаточности рациональных чисел для решения алгебраических задач, для измерения (каждый отрезок имеет длину, каждая фигура — площадь), построения графиков (должны быть разрывными). Интуитивные представления учащихся естественны, так как практически нельзя обнаружить существование несоизмеримых отрезков. Не надо строить строгую теорию, достаточно создать верные представления о сущности вопроса.
Если ввести иррациональные числа как неизвлекаемые корни (А. П. Киселев), то у учащихся сформируется представление об иррациональных числах только как о неизвлекаемых корнях, поэтому целесообразно указать школьникам на несоизмеримость отрезков. В качестве примера можно взять стороны равнобедренного треугольника с углом при вершине 36°. Проведем биссектрису угла при основании данного треугольника, которая отсечет от данного треугольника подобный ему (углы 36°, 72°, 72°). Дальнейшее последовательное проведение биссектрис угла при основании вновь получаемых равнобедренных треугольников (рис. 19), которое можно продолжать до бесконечности, показывает несоизмеримость основания и боковой стороны исходного треугольника. АС — ADX = ■ BDV и если бы ВС и АС были соизмеримы между собой, то с ними соизмерим был бы и отрезок CDX = ВС - BDX = ВС -АС. Стороны меньшего треугольника ACDX были бы также соизмеримы. Аналогично соизмеримы были бы и отрезки D2C и 1\С и т. д., что не может иметь бесконечный характер.
Периодичность бесконечной десятич-
ной дроби, выражающей рациональноеВ
число, вытекает из деления натураль-
Вых чисел, так как при таком делении/ \
Может получиться только конечное чис-/\
ло различных остатков, не превосходя- /\ D
^их делителя. Следовательно, при бес- /\ ’
конечном делении какой-то остаток дол- /\
в<ен повториться, а за ним повторятся и ®°ответствующие остатки числа частно-
— получится периодическая дробь. Рис. 19
В большинстве учебников иррациональное число раггмат ривается как бесконечная непериодическая десятичная (как и в теории Вейерштрасса). В некоторых учебниках — как длина отрезка, несоизмеримого с единицей масштаба, а затем показывается, как находятся приближения этого числа в виде десятичных дробей.
Далее необходимо установить, что существует взаимно од. нозначное соответствие между множеством точек на числовой прямой и множеством действительных чисел. Поскольку ир. рациональные числа вводятся для измерения отрезков, несоизмеримых с единицей длины, то сразу получается, что для каждого отрезка можно найти действительное число, выражающее его отношение к единице длины. Обратное положение есть аксиома непрерывности прямой. В большинстве учебников не формулируется, а подчеркивается это взаимно однозначное соответствие. В некоторых учебниках (Д. К. Фаддеева и др.) используется подход Кантора: для всякой стягивающейся последовательности вложенных друг в друга промежутков на прямой существует точка, принадлежащая всем промежуткам последовательности. Отсюда и следует непрерывность множества действительных чисел.
Можно не доказывать непрерывность множества Л, но необходимо выяснить различие в структуре множеств раци
ональных и действительных чисел. Множество рациональных чисел плотно (между любыми двумя рациональными числами существует сколько угодно рациональных чисел), но не непрерывно. Множество разрывов имеет большую мощность. Н. Н. Лузин предложил такое сравнение: если представить.
что рациональные точки не пропускают солнечные лучи, и поставить прямую на пути лучей, то нам покажется, что солнце пробивается почти сплошь. У С. И. Туманова: рациональные числа окрашены в черный цвет, а иррациональные — в красный. Тогда прямая представлялась бы сплошь красной. О мощности множества иррациональных чисел можно судить
бесконечной десятичной дроби, так какбесконечной десятичной дроби, так какчерев рассмотрение их как полученных из рациональных ;
бесконечной десятичной дроби, так как
бесконечной десятичной дроби, так как
рушением периода Км^-х,.^.,,^ нал™™..™,-; „^а,. той как
для каждого рационального числа можно предложить множество иррациональных.
Геометрическое построение uppatt»' опальных чисел с использованием теоремы Пифагора приводится на рис. 20.
Из всех теорий иррациональных чисел более доступной считалась теория
V2 + V5V2 + V5Рис. 21Рис. 21Кантора—Мере, рассматривающая стяги- вающиеся последовательности вложенных в Друг друга сегментов. Поэтому во многих учебниках результат действий над иррациональными числами рассматривается как число, заключенное между всеми
V2 + V5
V2 + V5
Рис. 21
Рис. 21
Приближенными результатами, взятыми
по избытку, и всеми приближенными значениями, взятыми по недостатку. Такое определение не создает у учащихся представления о результате действий над иррациональными числами и вообще об иррациональном числе. В экспериментах В. К. Матушка (контрольная работа среди лучших учеников)
школьники считают иррациональные числа неточными, колеблющимися, приближенными. Многие считают, что числа ,/2, V3, 78 нельзя сложить. Причина и в неудачной терминологии: «точный» корень, «неточный» корень. Он советует использовать термины «приближенное значение корня» и «точ
ное значение корня».
Действия с иррациональными числами лучше начинать с геометрического изображения суммы V2 4- V5 (рис. 21). Известно, что можно точно построить отрезки, имеющие такую длину.
Следует обратить внимание учащихся, что в результате действий над иррациональными числами могут получаться как рациональные, так и иррациональные. Для этого нужно предложить примеры на сложение непериодических дробей [2].
У Киселева иррациональное число вводится как предел его рациональных приближений. Возникает логический круг, так как до введения иррациональных чисел не всякая фунда-
рис.22рис.22
рис.22
рис.22
ментальная последовательность рациональных чисел имеет предел. Кроме того, необходимо убедиться, что разность |х — a J стремится к нулю, а для этого надо определить саму разность.
Дальнейшего расширения числовой системы потребовала алгебраическая задача извлечения четной степени (квадратного корня) из отрицательного числа. Поле действительных чисел расширено до системы комплексных чисел присоединением к нему множества мнимых чисел.
Классификация множества комплексных чисел представлена на рис. 22.
Методика введения понятия «иррациональное число»
Существует три подхода к введению понятия ♦иррациональное число*.
При первом подходе можно выделить три основных этапа введения понятия: мотивационный, введение понятия, первичное закрепление.
Мотивационный этап. На этом этапе можно предложить решить следующую задачу: ♦ Найти сторону квадрата, площадь которого равна 2». Алгебраической моделью ситуации является уравнение х2 — 2. Решением этого уравнения (с учетом того, что длина выражается положительным числом) является арифметический квадратный корень из 2. Это число. Встает вопрос: еКакому числовому множеству принадлежит это число?*
Этап введения понятия. Проиллюстрировать этот этап можно, выполнив лабораторную работу.
►> ПРИМЕРЫ
Является ли -J2 целым числом?
Ответ. Рассмотрим квадраты последовательных натуральных чисел: 12= 1,22 = 4.
1 < 2 < 4.
Вывод. Среди целых чисел значения J2 нет.
Является ли jZ рациональным числом?
Ответ. Рассмотрим приближенные значения Д с точностью до
0,01; 0.001 ит.д.
1,12 = 1,21
1,22 = 1.44
1,32 = 1.69
1,42= 1.96
1,52 = 2,25
1.96 < 2 < 2,25, тогда 1.4 < J2 < 1.5.
Выполняя аналогичную работу на отрезке (1,4; 1,5]. получим:
1,41 <72 < 1,42.
Увеличивая точность приближения, можно показать: 72 = 1,4142... уже на этом этапе можно увидеть, что J2 — бесконечная непериодическая дробь.
С использованием микрокалькулятора получим: ./2 = 1,4142135623....
Вывод (предположение) на этом этапе. 75 — не рациональное число.
Приведите строгое математическое доказательство предположения, сформулированного на предыдущем этапе.
Утверждение. Не существует рационального числа, квадрат которого Ri двум. Далее проводится доказательство.
римечание. Перед доказательством должна быть проведена подго- ельная работа.
| Существует ли число 72?
твет. Решим исходное уравнение графически.
как видно из рис 23, существует положительное значение абсциссы точки пересечения графиков. Значит, существует число 72. А это, в свою очередь, требует расширения числового множества.
Дайте определение иррационального числа.
Ответ. Числа, представляемые бесконечными десятичными непериодическими дробями, называются иррациональными.
Далее приводятся примеры иррациональных чисел: ./3; 77; п и т. д.
Изобразите иррациональные числа на координатной прямой.
Ответ. Иллюстрируется построение улитки Паскаля.
Введение понятия «иррациональное число* завершается расширением множества рациональных чисел до множества действительных чисел, структуру которого можно изобразить с помощью кругов Эйлера (рис. 24).
Этап первичного закрепления. На этом этапе целесообразно решать задачи на установление взаимосвязи известных числовых множеств, сравнение чисел, изображение чисел точками координатной прямой.
При втором подходе к введению понятия «иррациональное число» («Алгебра-8» под ред. С. А. Теляковского) можно предложить ученикам следующие задания.
►► ПРИМЕРЫ
Найдите длину отрезка ОВ при выбран- ^^—*-
ной единице измерения ОЕ(рис. 25).
Эта задача иллюстрирует, что процесс из- Рис. 25 мерения может быть бесконечным, а отрезки несоизмеримыми.
Вычислите длины отрезка, если он составляет - единичного отрезка.
Ответ. ? = 0,(285714).
Приведите геометрическое доказательство того, что отношение площади квадрата, построенного на диагонали данного квадрата, к площади данного равно 2.
Ответ. Длина диагонали квадрата равна числу, квадрат которого равен 2; при измерении длины диагонали (при условии, что единица измерения — длина стороны данного квадрата) получается бесконечная непериодическая десятичная дробь.
Приведите строгое доказательство, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум.
Дайте определение иррационального числа.
Постройте множество действительных чисел.
При третьем подходе к введению понятия (Ш. А. Алимов и др. * Алгебра-8») можно привести формулировку определения и проиллюстрировать его примерами.
Методика введения понятия «комплексное число»
При первом подходе к введению понятия < комплексное число» можно воспользоваться следующей методикой.
Устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой. Утверждается (с привлечением теории геометрии), что существует взаимно однозначное соответствие между парами чисел и точками ориентированной (координатной) плоскости. И как следствие: каждую пару действительных чисел, записанных в определенном порядке, логично рассматривать как некоторое новое число, изображаемое некоторой точкой ориентированной плоскости.
Определение. Пара (а, Ь^ действительных чисел, заданных в определенном порядке, называется комплексным числом.
Выделяется подмножество (а, 0), изображаемое точками оси абсцисс, которая является геометрическим образом множества действительных чисел. Устанавливается соответствие между множеством действительных чисел и множеством комплексных чисел. Комплексное число вида (а, 0) — действительное число.
Определение. Комплексное число вида (а, 6), где 6 # О, называется мнимым числом.
Комплексное число вида (0, 6), где б # О, называется чисто мнимым числом.
Для числа вида (а, б) вводятся понятия: (а) — действительная часть комплексного числа, (б) — мнимая часть комплексного числа.
Далее определяются действия на множестве комплексных чисел, заданных парами. И только затем вводится мнимая единица, алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа и правила выполнения действий с учетом формы записи.
При подходе Ш. А. Алимова к введению понятия ♦комплексного числа» рекомендуется следующая методика работы.
Мотивационный момент: нахождение корней уравнения х2 = -1; введение i как значения квадратного корня из -1.
Определение. Комплексными числами называют выражения вида а 4- di, где а и b — действительные числа, а i — некоторый символ такой, что i2 = -1.
Здесь же определяются сопутствующие понятия: действительная и мнимая части комплексного числа.
Далее вводятся действия с комплексными числами в алгебраической форме, дается геометрическая интерпретация комплексного числа, тригонометрическая форма записи и действия с комплексными числами в тригонометрической форме записи.
Я. Виленкин предлагает другой подход к введению понятия ♦ комплексного числа». Он дает определение комплексного числа (вариант первого подхода). Далее сразу вводится мнимая единица, алгебраическая форма записи и действия в алгебраической форме записи и т. д. в той же последовательности, что и в подходе Ш. А. Алимова.
^Ключевая информация
Расширение числовых систем осуществляют с учетом принципа перманентности. В учебниках математики ревизуются различные последовательности расширения множе- ства натуральных чисел до множества рациональных чисел.
Иррациональные числа отражают несоизмеримость отрезков. Пополнение рациональных чисел иррациональными при- Водит к непрерывному множеству действительных чисел.
Комплексные числа можно вводить на основе разного соче- тания алгебраического и геометрического подходов.
Рекомендуемая литература
Александров П. С.. Колмогоров А. Н. Иррациональные числа // Вопросы преподавания математики в средней школе. — М.: Учпедгиз, 1961.
Андронов И. К. Математика для техникумов. — М.: Высш, школа, 1965.
Методика преподавания математики в средней школех Частные методики / Сост. Р. С. Черкасов и др. — М., 1985.
Столяр А, А. Педагогика математики. — Минск: Выш. школа, 1986.
Фихтенгольц Г. М. Иррациональные числа в средней школе // Математическое просвещение. — М.: Гостехиздат, 1957. — Вып. 2.
Лекция 20
Функции в девятилетней школе
В средней школе функция неотделима от ее графического представления.
В. Л. Гончаров
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Изобразите с помощью кругов Эйлера отношения между следующими понятиями: соответствие, функция, отображение, отношение, числовая функция.
Учитель, рассуждая о разных формах графиков, нарисовал параболу. Ученик тут же сказал, что это график квадратичной функции. Прав ли он?
Назовите имена математиков, внесших вклад в развитие идеи функции.
Какой характер (геометрический или аналитический) первоначально имела трактовка функции?
К какому времени относят возникновение идеи функции? Кого считают ее автором?
Равны ли функции f(x) = J^x2 - 4х 4- 1, х С 1/2 и g(x) = -1 - 2х?
Из истории развития функции
Впервые идея функции встречается у Декарта, который обратил внимание на соответствие между отрезками — ординатой и абсциссой некоторой точки. В 1673 г. он ввел тер-
мин «функция». Аналогичную характеристику функции дал Лейбниц. Итак, первая трактовка функции носила геометрический характер. Постепенно понятие функции приобретает аналитический характер (Я. и И. Бернулли). В 1748 г. Эйлер рассматривает функцию переменного количества. Функцией переменной величины он считает аналитическое выражение, Доставленное каким-то способом из этой переменной величины и из числа или постоянной величины плюс линия, проведенная от руки. При таком определении объем понятия функции зависит от того, какие операции считаются аналитическими, ограничен способом задания функции, рассмотрением множеств не любой природы, а только удовлетворяющим аксиомам величины. Современное определение функции как со- сугветствия между множествами любой природы принадлежит Н. И. Лобачевскому. В 1834 г. он определяет функцию как зависимость между объектами, понимая под объектами числа. В 1837 г. Дирихле распространяет это определение на объекты разной природы, но оставляет статическим (исключая переменные величины). В курс алгебры это определение вошло под названием определения Дирихле—Лобачевского.
Цели изучения функции в основной школе
Понятие функции в математике является одним из основных. Основные понятия алгебры и геометрии трактуются на функциональной основе.
Использование свойств функций лежит в основе метода решения математических задач. Например, при решении уравнений и неравенств, их систем часто полезно сравнить области значений функций, стоящих в левой и правой частях. Может оказаться, что их пересечение пусто или равно одной точке. Это позволяет сделать вывод о решении уравнения или неравенства. При решении задач с параметрами часто помогают найти решение графики рассматриваемых в задании функций. Вообще графическое решение, основанное на использовании графиков функций, является одним из методов решения математических задач.
Функция имеет общекультурное, мировоззренческое значение. Ее изучение знакомит учащихся с идеей всеобщей связи, идеей непрерывности, бесконечности, интерполяции (приближения). Все процессы, зависящие от времени, представляют собой функциональные зависимости. Функция является моделью многих реальных процессов. Изучение свойств функции позволяет познавать явления окружающего мира.
Функциональные зависимости используются в разных науках и учебных дисциплинах. Изучение функции в школе позволяет показать учащимся значимость и распространен ность этого понятия, увидеть, что практически нет учебных предметов, где бы не изучались функции; многие законы, свя зи имеют функциональную основу.
Если рассматривать развивающие цели, то изучение функ ций, в первую очередь, способствует развитию функционального мышления, отвечающего за видение зависимостей между изменениями разных объектов, а также целям, которые ставятся при изучении алгебраического материала (развитие умения работать с абстрактным материалом, умения анализировать и др.).
Различные трактовки понятия «функции»
Различные трактовки понятия «функции» можно разделить на два блока. Первый блок объединяет определения, которые можно отнести к классическим, традиционным, опирающимся на понятие переменной величины. Эти определения используются в традиционной школе. В них функция определяется как:
переменная величина, числовое значение которой изменяется в зависимости от числового значения другой;
закон (правило), по которому значения зависимой переменной величины зависят (соответствуют) от значениий рассматриваемой зависимой переменной.
Такого рода определения появились ранее второго блока определений, которые относят к современным, имеющим теоретико-множественную основу:
пусть X и Y — два произвольных множества. Говорят, что на X задана функция, принимающая значения из У, если элементу х из множества X поставлен в соответствие один и только один элемент из У;
функция рассматривается как закон, по которому элементу х из множества X ставится в соответствие один и только один элемент из У;
функция рассматривается как соответствие, по которому элементу х из множества X ставится в соответствие один и только один элемент из У;
отношение хРу» где х принадлежит X, а у принадлежит У, называется функциональным, если порожденное им множество пар однозначно, т. е. в нем нет различных пар с одинаковыми первыми элементами.
Формирование понятия «функции» в школьном обучении
Исторический подход к понятию функции В ШКОЛЬНОМ курсе предполагает повторение в обучении основных этапов, через которые это понятие прошло в науке. Но в школе изучают только зависимости между числами, поэтому рассматриваются только числовые функции. Изучение этого понятия имеет шесть уровней.
Пропедевтический уровень (первый этап). Имеет место в начальной школе. При изучении разных тем учащимся разъясняется, что такое зависимости между величинами. Например, уже при изучении сложения учащиеся наблюдают, что происходит со значением суммы при изменении одного из слагаемых. При решении задач они рассматривают зависимости изменения одной величины от другой, например стоимости от цены.
По окончании начальной школы у учащихся есть все знания, необходимые для решения уравнения типа 2 + 56 : (3(х - 3) - - 7) = 9. Они решают их на основе связи между компонентами и результатами арифметических действий. Сначала определяют, какое действие выполняется последним, затем находят, какой компонент этого действия содержит неизвестное, выражают этот компонент через остальные и т. д., до тех пор пока в качестве компонента не будет неизвестное. В данном примере последнее действие — сложение, неизвестное в слагаемом, следовательно, выражаем это слагаемое через разность суммы и другого слагаемого.
Пропедевтический уровень (второй этап). Отличается от первого содержанием деятельности учащихся. Составляются таблицы значений переменных, наглядно представленных зависимостей. Рассматриваются диаграммы, в которых наглядно представлены зависимости между дискретными величинами, графики температур и т. д.
Базовый уровень. Реализуется в 7 классе на содержательной основе. Функция рассматривается как связь, закон («Алгебра-7», под ред. С. А. Теляковского) или как зависимая переменная (Ш. А. Алимов и др. «Алгебра-7»). Вводится понятийный аппарат (независимая и зависимая переменная, график, область определения, область значения). Рассматриваются различные способы задания функции (формулой, таблицей, графически, описанием). В разных учебниках перечисленные понятия вводятся либо через примеры, либо явно. В качестве задач предлагаются задачи на движение, на нахождение площади.
Этот уровень очень важен. Здесь необходимо сформировать общее представление о функции и ее свойствах. Ученики должны понимать, что функции бывают разрывные. Графики функций на разных участках могут быть разными кривыми, прямыми линиями. Учитывая, что семиклассники находятся на стадии перехода к понятийному мышлению, а значит, для них значимы образы, целесообразно знакомить учащихся с функциями на наглядной основе, используя графики.
На этом уровне могут быть предложены учащимся следующие задания.
На формирование понятия, что задание функции требует определения трех объектов — двух множеств и правила (закона) связи между ними.
►> ПРИМЕРЫ
Даны пары множеств и задано соответствие между ними. Является ли оно функцией?
Даны пары множеств. Задать два разных соответствия между ними. Являются ли они функциями?
На формирование представлений о разных способах задания функции.
►► ПРИМЕР
Даны несколько графиков функций и несколько формул, задающих эти же функции. Для каждого графика найти соответствующую ему формулу.
Четвертый, пятый и шестой уровни изучения функций реализуются в старшей школе.
20.5. Изучение функции с учетом когнитивных стилей учащихся
В школе в основном реализуются формальный и аналитический подходы к изучению функции, т. е. ученики запоминают определения понятий, формулировки свойств формально, без подкрепления графическими примерами. Это связано с тем, что в большинстве заданий приводятся функции, заданные аналитически, а упражнениям образного характера и графикам уделяется недостаточное внимание. В комплектах учебников Мордковича А. Г. и др. предпринята попытка подойти к изучению функции менее формально, максимально используя графическое представление функции.
Графики функций помогают разобраться, какой процесс описывает данная функция — непрерывный или дискретный; понять многие свойства функций, такие, как монотонность на
множестве, нули функции, области положительных и отрицательных значений функции. При этом ♦ каждый год обучения ориентирован на конкретную модель реальной действительности» [4].
Обучение функциям позволяет одну и ту же информацию представлять в различной форме, соответствующей разным познавательным стилям. Так, одни и те же задания можно выполнять двумя способами: графически и аналитически. Кроме того, при рассмотрении функций у учителя появляется возможность многие понятия и свойства вводить многосенсорно.
Можно выделить некоторые особенности организации изучения тем линии функции с учетом психофизиологических особенностей учащихся.
Во-первых, в начале этапа закрепления не стоит обязательно требовать правильных ответов от учащихся с преобладанием рефлексивного стиля. Они должны привыкнуть к материалу, осознать его специфику. При проверке обучающих самостоятельных работ целесообразно результатам дать, в первую очередь, качественную оценку, постараться рефлексивным ребятам увеличить время выполнения работы.
Во-вторых, на этапах введения и закрепления понятия целесообразно организовать работу в парах. Учитель должен помочь ученикам перейти в другие модальности. Для кинестети- ков желательны вопросы о том, что они слышали и видели, для аудиалов — что видели, для визуалов — что слышали.
В-третьих, для организации работы с учебным материалом, рассчитанным на разные познавательные стили, целесообразно организовывать задания в блоки, называемые блоками стратегий. В каждый блок включаются задания с одинаковой математической сутью, но позволяющие работать с разными стратегиями, например аналитической и графической.
Н ПРИМЕРЫ
Задание 1.
Нарисуйте схематично график функции, возрастающей на промежутках (-«>; -2) и (5; *оо) и убывающей на промежутке (-2; 5). (Для аналитиков.)
Выпишите промежутки возрастания и убывания графика дан
ной функции (рис. 26). Если необходимо, выделите разными цветами со
ответствующие значения независимой переменной. (Для синтетиков.)
Задание 2.
Обведите номера формул, которые задают линейную функцию, запишите под этими формулами значения коэффициентов Ьик:
а)у= 95^: б) у ^-Зх2-!:
в) у = 7х; г) у = х + 4 - 5х;
д) у = -5х + 3. (Дляаналитиков.)
Придумайте и запишите формулу, задающую линейную функцию. Выпишите для нее значения коэффициентов b и к. (Для синтетиков.)
Задание 3.
Нарисуйте схематично на од
ной координатной плоскости графики следующих функций и подпишите их: а) у = Зх2; б) у = -0,5х2; в) у = -0,5х2; г) у = -Зх2. (Для аналитиков.)
На рисунке схематично изображены графики функций, записанные аналитически. Сопоставьте график квадратичной функции с ее аналитическим заданием. Запишите номер графика функции на рисунке и соответствующую формулу. (Для синтетиков.)
Задание 4.
Нарисуйте схематично в одной системе координат разными цветами графики функций:
а) у = -х2 + 3; б) у = х2 - 2; в) у = 4х2 + 3. (Дляаналитиков.)
Сопоставьте график квадратичной функции с ее аналитическим заданием. Запишите номер графика функции на рисунке и соответствующую формулу. (Для синтетиков.)
Задание 5.
Внизу записаны в виде промежутка области определения некоторых функций, а вверху — графики функций (рис. 28). Подпишите под каждым графиком область определения функции, заданной этим графиком. (Для аналитиков.)
(-°°; +<»);
[-4; 4Ju [6; +оо);
(-5; 4];
[-4; +ОО);
д)[-6; -юо).
Функция задана графически (рис. 27). Выделите разными цветами область определения на оси Ох и область значений на оси Оу. Запишите, чему равны область определения и область значений. (Для синтетиков.)
а)(-оо;-юо); б)[-4; 41и[6;+оо); в) (-5; 4); г)[-4;4-оо); д)[-6;+оо)Рис.28а)(-оо;-юо); б)[-4; 41и[6;+оо); в) (-5; 4); г)[-4;4-оо); д)[-6;+оо)Рис.28
а)(-оо;-юо); б)[-4; 41и[6;+оо); в) (-5; 4); г)[-4;4-оо); д)[-6;+оо)
Рис.28
а)(-оо;-юо); б)[-4; 41и[6;+оо); в) (-5; 4); г)[-4;4-оо); д)[-6;+оо)
Рис.28
Можно привести задания, позволяющие работать с другой стратегией.
Р ПРИМЕРЫ
Нарисуйте схематично в одной системе координат разными цветами графики функций:
а) у = -х2 + 3; б) у = х2 - 2; в) у = Ах2 + 3. (Для аналитиков.)
Сопоставьте график квадратичной функции с ее аналитическим I заданием. Запишите номер графика функции на рисунке и соответствующую формулу. (Для синтетиков.)
В-четвертых, на этапе закрепления устанавливаются и развиваются связи и отношения с другими понятиями, что способствует систематизации знаний. На этом этапе, чтобы । увеличить стилевую гибкость, учащиеся должны выполнять задания, соответствующие наименее предпочитаемому стилю. Для этого можно предложить учащемуся после решения наиболее простого для него задания (или выполнения задания наиболее простым для него способом) выполнить второй вариант этого задания (или выполнить это же задание другим способом).
В-пятых, почти на каждом уроке целесообразно предлагать учащимся небольшую самостоятельную работу, в которую входили бы задания, сгруппированные в блоки стратегий. Если при первичном закреплении некоторые учащиеся выполняют только один тип таких заданий, то уже на следующем уроке, на этапе закрепления, многие успешно справляются со всеми видами заданий. При обучении у школьников не только повышается уровень полученных знаний, но и развивается стилевая гибкость.
►► ПРИМЕРЫ
Функция задана графически. Выделите разными цветами область определения и область значений. Запишите, чему равны область определения и область значений. Выделите красным цветом часть координатной плоскости, в которой функция принимает положительные значения, а синим цветом часть координатной плоскости, в которой функция принимает отрицательные значения. Выпишите соответствующие значения аргумента в виде промежутка.
Слева записаны в виде промежутка области определения некоторых функций, а справа — графики функций. Подпишите под каждым графиком область определения функции, заданной этим графиком.
В-шестых, контроль знаний имеет смысл проводить в предпочитаемом ребенком стиле. Рефлексивным ученикам Для выполнения некоторых заданий желательно сделать заготовки. Например, если требуется исследовать функцию, гра-
фик которой изображен на доске, рефлексивным ученикам можно выдать карточки с уже готовым рисунком, на которых они могут работать.
►► ПРИМЕРЫ
Найдите координаты точек пересечения прямых у = -4х -5иу= = 2х+1 любым способом (графически или аналитически).
Выполните на выбор одно задание.
Напишите уравнение параболы, изображенной на рис. 29.
Нарисуйте схематично график функции у = о(х * t)2 и задайте ее аналитически, если известно, что парабола проходит через точку Д(0; 4) и осью симметрии этой параболы является прямая х = 2.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х2 + 2х - 3 на отрезке [-2; 2].
Дана функция у = fW, где f(x) = {* 4;''
Вычислите: f(-3), /(2).
Постройте график функции.
Опишите свойства функции у = f(x) (область определения, нули
функции, промежутки монотонности).
УУРешите графически задачу. Длина забора, огораживающего участок прямоугольной формы, равна 12 м. Найдите длину и ширину участка, если известно, что его площадь равна 8 м2.
У
У
Выполните на выбор одно задание.
Определите знаки коэффициентов парабо
лы у = ох2 + Ьх + с, схематично изображенной на рис. 30.
Нарисуйте схематично на координатной Рис. 30 плоскости параболу у = ох2 + Ьх + с, если известно, что о < 0. Ь > 0 и с > 0.
Для оптимального восприятия учебного материала учениками с доминирующим правым полушарием, а также для развития образного мышления желательно обеспечивать межпредметные связи и связь математики с жизнью.
20.6. Реализация межпредметных связей и связей с жизнью при изучении функции
Понимание функции как математической модели реальных процессов определяет общекультурный аспект изучения математики. В связи с этим учащиеся должны уметь видеть функциональную зависимость не только в алгебраических формулах, но и в других школьных предметах и в жиз-
у к порядковыйу к порядковый110110номерномер11‘1 I I‘1 I II । ।номерI । ।номер00чуппыI п in iv v *чуппыI п in iv v *Рис.33Рис.33
у к порядковый
у к порядковый
110
110
номер
номер
1
1
‘1 I I
‘1 I I
I । ।номер
I । ।номер
0
0
чуппы
I п in iv v *
чуппы
I п in iv v *
Рис.33
Рис.33
ни. Такое построение учебного материала отвечает принципу целостности образования.
Рассмотрим примеры функций и соответствий, не являющихся функциями, представляющих собой математические модели реальных процессов, которые можно рассматривать на материале различных школьных предметов.
►► ПРИМЕРЫ
1
1. Физика.
Зависимость ускорения а, с которым движется тело массой т, от приложенной к телу силы F: а = ^F(x — сила F, у — ускорение а) (рис. 31).
Зависимость количества теплоты Q, выделенной при сгорании каменного угля, от его массы т с удельной теплотой сгорания q (постоянная величина): Q = qm (х — масса т.у — количество теплоты О) (рис. 32).
Химия.
Зависимость порядкового номера элемента в периодической системе химических элементов Д. И. Менделеева от количества электронов на внешнем уровне (номера группы), гдех — номер группы, у — порядковый номер элемента. (На рис. 33 изображена только часть графика для первых четырех групп.)
История.
Изменение численности армии Чингисхана со временем (рис. 34), где у — численность войска, t — момент времени.
Биология.
Человек (х) — группа крови (у) — является функцией (рис. 35, а).
УУтыс. чел. битватыс. чел. битва\ t (мес.) присоединение союзника\ t (мес.) присоединение союзникаРис. 34Рис. 34Рис. 35Рис. 35
У
У
тыс. чел. битва
тыс. чел. битва
\ t (мес.) присоединение союзника
\ t (мес.) присоединение союзника
Рис. 34
Рис. 34
Рис. 35
Рис. 35
«/ *00
Группа крови (х) — человек (у) — не является функцией (рис. 35, б).
Зависимость потребности в сне от возраста человека. Грудной ребенок (до 1 г.) спит 12 ч, восьмилетний — до 11 ч, взрослый человек — 8ч (рис. 36).
География.
Соответствие температуры воздуха и календарного числа (у — температура, х — число). Поскольку в течение суток температура воздуха может меняться, такое соответствие не будет являться функцией (рис. 37). На рисунке изображены интервалы изменения температуры.
Представление о функциональных зависимостях у школьников было бы неполным без рассмотрения на уроках ситуаций, встречающихся в повседневной жизни школьников.
►► ПРИМЕРЫ
Соответствие между днями недели и отметкой по алгебре, полученной учеником (рис. 38), гдех — день недели, у — отметка.
Спортсмен прыгает с пятиметровой вышки в воду и всплывает на поверхность воды (рис. 39), х — время (с), у — расстояние между спортсменом и поверхностью воды (м).
^Ключевая информация
Функция имеет общекультурное, мировоззренческое значение. Ее изучение знакомит учащихся с идеей всеобщей связи, идеей непрерывности, бесконечности, интерполяции (приближения).
Изучение функций, в первую очередь, способствует развитию функционального мышления, отвечающего за видение зависимостей между изменениями разных объектов.
Трактовки понятия «функция* можно разделить на два блока: классические, опирающиеся на понятие переменной величины, и современные, имеющие теоретико-множественную основу.
Изучение понятия «функция* в школе представлено шестью уровнями: 1-й пропедевтический (начальная школа); 2-й пропедевтический (5—6 классы); 3-й базовый, на котором предполагается сформировать общее представление о функции и ее свойствах и разных способах задания функции (7—9 класс); 4—6-й реализуются в старшей школе.
Изучение понятия «функция» целесообразно проводить с учетом когнитивных стилей учащихся.
Рекомендуемая литература
Дорофеев Г. В. Понятие функции в математике и в школе // Математика в школе. — 1978. — № 2. — С. 10—27.
Колмогоров А. Н. Что такое функция? // Математика в школе. — 1978. — № 2. — С. 27-29.
Методика преподавания математики в средней школе. — Частные методики / Сост. Р. С. Черкасов и др. —М., 1985.
Мордкович А. Г. Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе. — 1996. — № 6. — С. 28—33.
Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск: Выш. школа, 1985.
Хинчин А. Я. Педагогические статьи. — М.: Акад. пед. наук РСФСР, 1963.
Цу карь А. Я. Изучение функции в VII классе с помощью средств образного характера // Математика в школе. — 2000. — № 4. — С. 20—27.
Шустеф Ф. М. Методика преподавания алгебры. — Минск: Выш. школа, 1967.
Лекция 21
Линия уравнений и неравенств в курсе алгебры 7—9 классов
Сухие строки уравнений — В них сила разума влилась. В них объяснение явлений, Вещей разгаданная связь.
Л. М. Фридман
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Являются ли уравнениями записи: -/х2 = х, (х 4- I)2 = х2 4- 4- 2х 4- 1, х 4- у = 4?
Назовите известные вам общие методы решения уравнений и неравенств.
Равносильны ли уравнения: J(x - 5)(х 4- 7) = 8 и Jx - 5jx 4-7 = 8?
Следует ли неравенство 2х > 13 из неравенства 1g (2х - 3) > 1?
Содержание, роль линии уравнений и неравенств
в курсе математики
Уравнение как общематематическое понятие многоаспектно. Это можно проиллюстрировать, выделив главные области возникновения и функционирования понятия ♦уравнение» как:
средства решения текстовых задач;
особого рода формулы, служащей в алгебре объектом изучения;
формулы, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.
Названным областям соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе алгебры.
Прикладная направленность. Будучи математической моделью реальных процессов, уравнение первоначально возникает как обобщение метода решения сюжетных задач арифметическим методом, а затем используется при решении текстовых задач, фабула которых отражает многообразные реальные процессы окружающего мира и тесно связана с изучением многих предметов (химия, биология, физика, экономика и др.). Данный аспект линии уравнений и неравенств во
многом обеспечивает мотивацию изучения школьного курса математики в целом. При решении текстовых задач ведущим аппаратом является математическое моделирование, а одним из средств построения модели и решения ситуации в ее рамках — уравнения, неравенства и их системы.
Теоретико-математическая направленность раскрывается в двух аспектах:
выделение и изучение наиболее важных классов уравнений. неравенств и систем;
изучение обобщенных понятий, относящихся ко всей линии в целом, что позволяет сформировать обобщенный аппарат теории (выделить общие понятия линии: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следствие, система и совокупность уравнений; общие и частные методы решения).
Направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Линия уравнений и неравенств тесно связана с числовой линией, причем эта связь — двусторонняя. История науки свидетельствует, что в ряде случаев необходимость расширения числовых множеств была связана с разрешением уравнения (введением иррациональных и комплексных чисел). С другой стороны, расширение числового множества позволяет составлять и решать новые типы уравнений, неравенств и их систем.
Линия уравнений и неравенств также тесно связана с функциональной линией. Методы, разработанные в теории уравнений и неравенств, применимы к исследованию функций (элементарные методы исследования функций с целью построения графика). Аппарат линии функции (график и графические представления) привлекается к исследованию уравнений, неравенств и их систем.
Также следует особо отметить связь рассматриваемой линии с теорией тождественных преобразований. Последняя приобретает новое содержание и смысл при изучении равносильных преобразований уравнений и неравенств. В свою очередь, владение содержанием линии уравнений и неравенств позволяет расширить список выполнимых преобразований. Так, умение решать квадратные уравнения позволяет осуществлять сокращение дробей, в числителе или знаменателе которых имеется квадратный трехчлен.
Основные понятия линии уравнений и неравенств
Характеризуя уравнение, нужно учитывать разные стороны этого понятия. Уравнение представляет собой некоторую запись, составленную по определенным правилам (син-
таксический подход). Заменяя в записи буквы (переменные) конкретными числами» переходят к верным или неверным равенствам (логический подход). Стоящие в левой и правой частях уравнения, выражения задают функции, значения которых связаны знаком «=» (функциональный подход). Действия над уравнениями производятся по некоторым правилам (операциональный подход). Задание «решить уравнение» предполагает отыскание всех его корней (целевой подход).
На практике понятие уравнения может быть введено посредством выделения его в результате решения задач алгебраическим методом. В этом случае существенным является подход к понятию уравнения, при котором уравнение представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа, имеющего в соответствии с сюжетом конкретную математическую интерпретацию (модельный подход). Указанный способ введения понятия уравнения соответствует прикладному аспекту понятия уравнения, отраженному в следующем определении: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство».
Существует другой вариант определения уравнения: «Равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной, при котором равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения». Это определение характеризует уравнение как предикат особого вида, а корень уравнения — число из множества истинности этого предиката. Термин «уравнение» несет в себе признаки знакового компонента, а термин «корень уравнения» учитывает смысловой компонент.
Можно встретить и третий вариант определения, роль которого проявляется при изучении графического метода решения уравнений: «Уравнение — это равенство двух функций».
Каждое из приведенных определений задают достаточно широкие классы математических объектов, к которым относятся и записи: Jx2 = Y, (х + 1)2 = х2 4- 2х 4- 1, х2 4- у2 = 4. Если первое равенство можно отнести к уравнениям особого вида, то второе скорее будет являться тождеством, а третье — уравнением кривой. Одна и та же запись в зависимости от контекста может отражать и подлежащее решению уравнение, и тождество, и уравнение кривой.
Вследствие сложности дефиниции понятия уравнения в методике математики встречается мнение, что не обязательно
Рис. 40
формулировать определение понятия уравнения. Достаточно, если учащиеся будут понимать, что значит «решить уравнение» [1]. Различные варианты определения термина «решить уравнение» отличаются лишь наличием или отсутствием термина «множество».
Связь основных понятий линии уравнений отражена на рис. 40.
Аналогичные рассмотренным выше определения могут быть даны неравенствам, уравнениям с несколькими неизвестными, системам уравнений и неравенств.
Классификация уравнений и неравенств тесно связана с конкретными функциями, изучаемыми в школьном курсе математики. В соответствии с этим выделяются определенные виды уравнений (рис. 41). Аналогичная классификация используется и для неравенств.
В отношении формирования понятия равносильности и его применения учебные пособия можно разделить на две группы. К первой относятся те пособия, в которых использование равносильных преобразований явно основано на введении и изучении понятия равносильности; ко второй — те, в которых применение равносильных преобразований предшествует определению понятия равносильности.
Методика работы над понятием при указанных подходах существенно отличается.
В школьном курсе математики можно выделить три этапа, связанных с рассмотрением этого вопроса.
Во-первых, на пропедевтическом этапе в начальном курсе математики и в начале изучения алгебры решаются простейшие модели. Используемые преобразования получают индук-
Рис. 41
тивное обоснование. По мере накопления опыта индуктивные рассуждения чаще заменяются такими, где равносильность используется, но сам термин не вводится.
Во-вторых, выделяется понятие равносильности и сопоставляется его теоретическое содержание с правилами преобразований, которые выводятся на его основе.
В-третьих, на основе общего понятия равносильности происходит развертывание и общей теории, и теории отдельных классов уравнений и неравенств. Это характерно для старших классов при изучении курса «Алгебра и начала анализа», а также имеет место и в неполной школе в классах углубленного изучения математики.
В процессе решения уравнений также используется понятие логического следования, которое изучается позже понятия равносильности и является дополнением к нему. Логическое следование применяется в основном тогда, когда не удается найти вариант равносильного преобразования. Реже, когда соблюдение требования равносильности приводит к громоздким преобразованиям, логическое следование используется как прием, упрощающий процесс решения.
Выделяются три основных типа преобразований.
\. Преобразование одной из частей уравнения или неравенства. Используется при необходимости упрощения выражения в какой-то из частей уравнения или неравенства. Имеется возможность перехода к неравносильной модели. Ос-
новой преобразований данного типа являются тождественные преобразования, поэтому классифицировать их можно в соответствии с классификацией тождественных преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю и др.).
Согласованное изменение обеих частей уравнения ^неравенства). На основе основных свойств числовых равенств (неравенств) формулируются основные свойства равенств (неравенств) с одним неизвестным, например:
любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный, при этом знак неравенства не меняется;
обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю; если это число положительно, то знак неравенства не меняется, а если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный.
Преобразования. изменяющие логическую структуру. Можно выделить два подтипа:
преобразования, осуществляемые на основе свойств арифметических операций. К ним можно отнести переход от уравнения к совокупности уравнений после предварительного разложения на множители; переход от уравнения к системе после приравнивания суммы квадратов выражений к нулю; почленное сложение, умножение, деление уравнений, неравенств и т. д.;
преобразования, осуществляемые при помощи логических операций. Примерами их являются выделение из системы одного из компонентов, замена переменных.
Методические особенности изучения материала линииуравнений и неравенств в девятилетней школе
Уравнения и неравенства появляются уже в начальной школе. Неизвестной величиной служит, как правило, один из компонентов четырех арифметических действий. Способ решения этих уравнений основан на известных учащимся зависимостях между результатом и компонентами действий. Задание о нахождении неизвестного числа может быть записано как в виде обычного уравнения (2 4- х = 5), так и с использованием некоторого нетрадиционного символа (2 + □ = 5), а может быть сформулировано и в виде вопроса: «Какое число нужно прибавить к 2, чтобы получить 5?» При этом полагается, что символ — всего лишь способ обозна-
чения неизвестного числа, уравнение имеет решение. Решаемые в начальной школе уравнения имеют единственный корень.
При изучении математики в 5—6 классах представления учащихся о решении уравнений (видах, методах решения, количестве корней) значительно расширяются.
Решаемые на основе связи между компонентами действий уравнения приобретают более сложную, вложенную структуру, например: (5,1х - 3,4) : 4 = 1,7. Появляется новый тип уравнений, записанных в виде равенства двух частных, и с ним — задание «решите пропорцию», выполняемое на основе связи между членами пропорции. Используя определение модуля числа, решают уравнение |х| - а. Если учитель мог и раньше по своему усмотрению привести пример уравнения, имеющего два корня (х • х = х + х) или ни одного (х + 5 = 1), то теперь они являются предметом изучения. Уравнение с неизвестным под знаком модуля — первое предусмотренное программой обучения уравнение, которое может иметь отличное от 1 количество корней. Изучение степени натурального числа дает обширный материал для решения уравнений подбором (х2 =81, 5х =125). Знакомство с отрицательными числами позволяет переносить члены уравнения из одной части уравнения в другую, заменяя их знаки на противоположные. Главное внимание в 5—6 классах уделяется операциональной стороне деятельности по решению уравнений.
С началом систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения линейных и квадратных уравнений и неравенств, которые становятся специальным объектом изучения. Умение решать линейные и квадратные уравнения и неравенства служит базой для решения других типов уравнений, неравенств и их систем (дробных рациональных, иррациональных, высших степеней).
На этапе систематического изучения алгебры возникает необходимость понимания равносильности (неравносильности) осуществляемых преобразований уравнений. С этой проблемой учащиеся встречаются при решении дробно-рациональных и иррациональных уравнений, изучение названных видов уравнений позволяет сформировать понятие равносильности на содержательном уровне.
Изучение линии уравнений и неравенств тесно связано с изучением функциональной линии, так как исследование функции элементарными средствами требует умения решать их. В свою очередь, опираясь на свойства функции, можно ре-
тать уравнения и неравенства графическим способом, исследовать решения в зависимости от параметра и т. д. Вопросы о виде решения квадратного неравенства, о количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неиз- нестными решаются использованием графиков соответствующих функций. Частным случаем графического метода является метод интервалов.
Определенной психологической перестройки требует изучение понятия решения системы уравнений с двумя неизвестными, когда решением служат два числа, взятых в определенном порядке, — пара. Приемы решения систем линейных уравнений (подстановка, сложение, графический способ), осваиваемые школьниками, являются общими и переносятся на решение любых систем.
Решение биквадратных уравнений и схожих с ними требует замены неизвестной. Этот прием также относится к общим.
Уровневая дифференциация изучения линии уравнений и неравенств может быть достигнута на этапе закрепления и применения знаний за счет включения в систему упражнений заданий с модулем и параметром.
Время, отводимое на изучение уравнений и неравенств, со- ставляет около трети всего времени на изучение алгебры в основной школе. Значимость этого материала сохраняется и при переходе в старшую школу.
^Ключевая информация
Существуют различные трактовки понятия уравнения: равенство, содержащее неизвестное число; равенство с переменной; равенство двух функций. Уравнения классифицируются по виду функций, изучаемых в школе.
В школьных учебниках равносильные преобразования используются при решении уравнений (неравенств) после (или до) введения понятия равносильности.
При решении уравнений и неравенств используют либо . преобразование одной из их частей, либо согласованное изменение обоих частей, либо преобразования, изменяющие их логическую структуру.
Решение уравнений и неравенств тесно связано с изучением свойств функций. В частности, на свойства функций опираются графический метод решения уравнений и неравенств и метод интервалов.
Рекомендуемая литература
Лященко Е. И., Мазаник А. А. Методика обучения математике в 4—5 классах. — Минск: Народная Асвета, 1976.
Маркушевич Л. А.. Черкасов Р. С. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы // Математика в школе. — 1994. — №1. — С. 24—32.
Лекция 22
Особенности изучения геометрического материала в 1 —6 классах
10 из 100 математиков мыслят формулами... Но остальные мыслят образами: их интуиция геометрическая. При изучении математики психологический аспект часто важнее логического.
Ян Стюарт
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Учитель сделал на доске рисунок (рис. 42) и просит учеников ответить, что он нарисовал. Одни называют параллелепипед, дру
гие — ящик, третьи видят шестиугольник, Рис 42 внутри которого взята точка, и она отрез
ками соединена с вершинами. Кто же из учеников прав?
Известный психолог А. Р. Лурия провел в свое время исследование с людьми, слепыми от рождения, но которым вернули зрение после операции. Определяя геометрические свойства предметов (форму, размеры, расстояния и т. д.) на основе зрения, все они допустили ошибки. Почему?
Определяя на «глаз» длину отрезка, нарисованного на доске, некоторые ученики получали ошибки до 17 см, хотя длина отрезка была 70 см. Попробуйте объяснить причину ошибки с точки зрения организации процесса обучения и учета в нем особенностей процесса восприятия. Как вы думаете, в каком возрасте решающий справляется с этим заданием лучше?
Каковы, на ваш взгляд, цели изучения геометрического материала в 1—6 классах?
Основные задачи обучения геометрическому материалу в школе. Условия создания образов геометрических фигур
Изучение учебных предметов, в конечном счете, предполагает овладение учащимися понятиями. Понятие в своем развитии проходит чувственную и рациональную ступень познания, от образа восприятия до системы понятий.
Единичные образы восприятия и представления человек создает на чувственной ступени познания. На рациональной ступени, а точнее, на эмпирической стадии этой ступени формируются обобщенные представления или образы-понятия. Фактически у детей 7—12 лет формируются обобщенные представления, т. е. первый (создание образов) и второй (формирование представлений) этапы становления понятия. Поэтому при построении процесса обучения, направленного на развитие ребенка, именно создание системы геометрических образов является основной задачей обучения геометрическому материалу в 1—6 классах, в отличие от задачи создания системы геометрических понятий в основной и старшей школе.
Целесообразность постановки такой задачи в 1—6 классах определяется сенситивными периодами развития образных компонентов мышления (период от 7 до 11 (12) лет) и прогрессивного развития зрительных функций (имеет место до 15 лет).
Но процесс создания и развития образов, в том числе образов геометрических фигур, имеет свои особенности. Именно они часто оказываются причиной трудностей восприятия и усвоения геометрического материала, что не всегда понимают авторы учебников и учителя. Психологические основы этого процесса были рассмотрены в лекции 12. В настоящей главе будут рассмотрены основные методические рекомендации, направленные на преодоление этих трудностей и организацию обучения геометрическому материалу в 1—6 классах в новой концепции образования, направленной на развитие учащихся.
Учитель вводит ребенка в мир геометрии на основе рассмотрения окружающего его мира (и другого пути нет). Осуществляя этот процесс, необходимо учить детей при восприятии реальных предметов выделять и абстрагировать их геометрические свойства, видеть в них модели геометрических объектов, т. е. создавать геометрические образы. Именно они являются основой геометрических понятий.
Очень часто учитель начинает знакомить с фигурой ребенка, предложив рассмотреть ее изображение. Образ, создаваемый на основе зрительного восприятия, является результатом опыта человека и образа на сетчатке глаза. Когда человек рассматривает предмет, на сетчатке глаза возникает переверну-
тое плоскостное изображение предмета. Оно получается в результате центрального проектирования (как в фотоаппарате). Но в мозгу возникает объемная «картинка * предмета. За счет чего? Именно на основе опыта и полученного сетчатого образа возникает «картинка» предмета, близкая к действительности. С несоответствием сетчатого образа и «мозгового» не раз сталкивался каждый человек. Рельсы мы видим на прямолинейном участке сходящимися, хотя опыт говорит о другом — они параллельны. Но опыт у людей разный. Поэтому и ответы на первый вопрос для предварительного обсуждения различны. Каждый ученик прав по-своему. Это определяется особенностями процесса восприятия, которое подчиняется определенным психологическим закономерностям и отражает такую характеристику образа, как субъективность.
Опыт познания пространства, в том числе его геометрических свойств, начинается с рождения ребенка. Ребенок учится различать взаимное положение объектов, выделять формы предметов. Активное осязание как форма познания действительности изначально является базовой формой создания образа. От накопления двигательного опыта в процессе активного осязания зависит пространственное видение. Первоначально как движение руки, так и связанные с этими движениями тактильные и кинестетические ощущения развиваются безотносительно к зрительным реакциям, но не наоборот. Поэтому люди, не имеющие опыта активного осязания и деятельности зрительного анализатора с опорой на этот опыт, как показали исследования А. Р. Лурии (второй вопрос для предварительного обсуждения), допускают ошибки при различении формы и размеров предметов. Значимость активного осязания подтверждает и тот факт, что науке неизвестны случаи полной и невозобновимой утраты осязания и кинестезии как, например, зрения и слуха.
Как отмечает Б. Г. Ананьев, такая потеря «была бы равносильна утрате способности человека к непосредственному взаимодействию с окружающей действительностью, равносильна смерти. Особое значение разностороннее использование активного осязания (осязания в движении) имеет для формирования чувственных основ геометрического знания» [1, с. 21, 45]. При этом наиболее чувствительными при осязании являются пальцы рук.
Создание целостного образа предмета требует по возможности непрерывного движения по предмету рукой, а не предметом по руке. В зависимости от того, выполняется осязание двумя руками или одной, руки при осязании выполняют раз-
яые функции. Левая рука у правшей осуществляет опорную функцию фиксирования начала отсчета, а правая — последовательный охват поверхности относительно исходной точки, у левшей — наоборот. Феномен ведущей руки является проявлением функциональной асимметрии больших полушарий головного мозга человека (о чем пойдет речь ниже), причем у левшей (составляют 9% человеческой популяции) асимметрия менее выражена. Работа двумя руками может служить переходной ступенью от создания перцептивного образа к образу представления, а именно рисование в воздухе (создание «воздушных» моделей). Это «рисование», как и любая жестикуляция, определяется спецификой создания образа: каждый раз образ как бы конструируется заново, а не является слепком с картинки. Рисуя «воздушные» модели фигур, ребенок создает опорный образ для образа памяти (представления). Руки при активном осязании выполняют функцию не только определения формы предмета, но и его размеров.
Эти особенности активного осязания и работы с моделями геометрических фигур могут быть положены в основу рекомендаций его организации на уроках геометрии.
В процессе изучения геометрического материала необходимо, чтобы активное осязание предваряло или сочеталось со зрительным восприятием. Для этого необходимо включать задания на определение формы предмета, его поверхностей с помощью активного осязания (ощупывание предмета, проведение рукой по поверхности и т. д.). Такие задания желательно выполнять закрыв глаза, в целях изоляции от лишней информации, и предлагать их с самого начала процесса обучения. Например, при формировании представлений о форме ученикам можно предложить на ощупь определить форму предмета, не вынимая из мешочка. Поэтому на уроках желательно, чтобы каждый ребенок имел модель изучаемой фигуры.
Определяя форму предмета на ощупь, правшам предпочтительнее держать предмет в левой руке и проводить по нему по возможности непрерывно правой рукой, для левшей — наоборот.
Активное осязание двумя руками может служить основой создания «воздушной модели» геометрических тел, при котором неведущая рука фиксирует одну из поверхностей, а другая «строит» остальные поверхности фигуры.
При зрительном восприятии модели объемной фигуры необходимо рассматривать ее с разных сторон для создания адекватного образа.
Поэтому практической деятельности, включающей активное осязание, должно уделяться пристальное внимание при изучении геометрического материала на уроках математики. Эта деятельность необходима и для развития метрических п редставлен и й.
При одноручном осязании доминирующая рука представляет, как показали психологические исследования, своего рода систему координат. Большой палец выполняет функцию фиксатора начала отсчета, а указательный несет основную сенсорную различительную функцию на доминирующей руке, в то время как на другой руке аналитическая функция в большей степени принадлежит среднему пальцу [4].
Еще в давние времена руки служили человеку измерительными приборами. Измеряли аршинами, локтями, пядями. В результате таких измерений в сознании человека создавались правильные представления о метрических свойствах предмета. Но в школе часто начинают измерять сразу с помощью линейки, что приводит, как показали исследования Е. Ф. Рыбалко, к торможению развития пространственных представлений [2]. Например, при определении на «глаз» длины отрезка, нарисованного па доске, учащиеся и учителя допускают ошибки до 17 см при длине отрезка в 70 см. И такие ответы
дают четвероклассники, шестиклассники, выпускники и учителя. Систематическая работа с линейкой сужает представления детей о линиях: линии в основном сводятся к прямым. Большинство учеников, приобретя опыт работы с линейкой, рисуют прямую линию, и скорее всего, горизонтально или вертикально. На уроках часто можно наблюдать следующую ситуацию. Учитель предлагает ученикам разделить линией прямоугольник на две равные части. В основном учащиеся предлагают следующие решения (рис. 43).
Но прямоугольник можно разделить на две равные части и ломаной линией, и кривой. Поэтому прежде чем давать в руки ребенку линейку, необходимо помочь ему научиться прово
дить от руки прямые линии, постоянно сочетая эту деятель
ность с рисованием других линий (кривых, ломаных).
Организуя измерительную деятельность, необходимо сначала через руки сформировать представления о процессе измерения, научить измерять длины предметов, используя части тела. Например, показав учащимся, что такое пядь, предложить им измерить длину парты пядями и сравнить свой результат с ре-
эультатами соседа и учителя. Такое сравнение позволит обосновать введение единых мерок. Познакомив с единицами длины, такими, как сантиметр, можно предложить учащимся определить, сколько сантиметров в их пяди. Далее, прежде чем измерять в сантиметрах, следует учить школьников постоянно определять длины отрезков, градусные меры углов ♦на глаз», сравнивать с измерением в общепринятых единицах, корректировать свои результаты. Организуя эту деятельность, необходимо учитывать, что именно ведущая рука у человека представляет своего рода систему координат, где каждый палец выполняет свою функцию. Это позволит развить глазомер ребенка и будет способствовать формированию его метрических представлений.
Цели обучения геометрическому материалу в 1—6 классах
Основная развивающая цель в 1—6 классах — развитие пространственного мышления учащихся как разновидности образного. Она определяется целесообразностью ее постановки в данном возрасте и последовательностью развития генетических ступеней мышления. Развитие происходит всегда на определенном материале, в результате изучения которого учащиеся приобретают знания, поэтому вторая образовательная цель, значимая для учащихся, связана с познанием окружающего мира. Образование направлено, в конечном счете, на самообразование, что требует познания себя, собственных механизмов приобретения знаний и их переработки, а целостный подход к явлениям требует определенного характера мышления. Поэтому третья цель — развитие рефлексивных способностей — связана как с осознанием окружающего мира, процессов его познания, так и с осознанием себя и фактически выражает условие достижения первых двух целей учеником как субъектом обучения.
Итак, основными целями обучения в 1—6 классах являются:
Развитие пространственного мышления как разновидности образного.
Познание окружающего ребенка мира с геометрических позиций как базы создания учащимися геометрической картины мира. Развитие умения использовать сформированные представления при ориентации в окружающем ребенка мире.
Развитие рефлексивных способностей учащихся.
Подготовка к сознательному усвоению курса геометрии 8 7—11 классах и к изучению смежных дисциплин.
Формирование представлений о геометрических фигурах и отношениях. Эти представления образуют объемы понятий фигур, изучаемых в основной и старшей школе, и отношений (принадлежности, пересечения, перпендикулярности, параллельности), являются базой понятий, т. е. фактически готовят введение собственно понятий.
Развитие конструктивных умений в выполнении построений циркулем, линейкой, угольником, транспортиром.
Формирование навыков измерений геометрических величин.
Формирование умений конструировать определения геометрических объектов. Ознакомление с простейшими дедуктивными обоснованиями (в 6 классе доказывается, что если при пересечении двух прямых один из образованных углов прямой, то и все остальные углы прямые).
Развитие вербально-логического мышления. Формирование умений выделять существенные свойства фигур, конструировать описания геометрических объектов, четко формулировать выводы на основе наблюдений, ознакомление с простейшими дедуктивными обоснованиями (в 6 классе доказывается, что если при пересечении двух прямых один из образованных углов прямой, то и все остальные углы прямые).
Почему целесообразна постановка таких целей обучения геометрии в 1 —6 классах?
Во-первых, в мышлении школьников 1—6 классов преобладает образная деятельность, образная составляющая значима и в жизни человека. В процессе изучения геометрического материала также постоянно приходится обращаться к пространственным образам. Внимание к образной составляющей определяется и ее ролью в творческих процессах. Ван-Гофф, анализируя процессы открытий, отмечал, что люди, совершившие их, говорили о возникновении целостного образа в виде некоторой пространственной схемы, где отражены разнообразные связи между составляющими рассматриваемой ситуации. На ее основе выделяются (чаще неосознанно) связи между определенными компонентами, которые приводят к выдающемуся результату.
Значимую роль играет образное мышление и в процессах понимания. Воспринимая информацию, человек опирается на представления (не всегда осознавая это) и согласно им переводит ее на собственный язык.
Согласно основным законам психического развития становление любой новой психической функции опирается на наиболее развитую деятельность в данный период. Поэтому»
ставя уже в средней школе задачу развития понятийного или вербально-логического мышления, необходимо опираться на деятельность образного мышления, как более ранней генетической ступени развития мышления. Следовательно, в 1—6 классах имеет место направленность на развитие аналитической деятельности, знакомство с элементами логики, но на основе активизации образных компонентов мышления.
Сформировав представления о геометрическом объекте, необходимо предложить учащимся описать его словесно, выделить его существенные свойства. Но выход на уровень обобщений должен реализовываться ненасильственно, а по желанию и в зависимости от уровня сформированности умственных операций каждого ученика и всего класса. Такие возможности должен предоставлять учебный материал, направленный на создание и оперирование пространственными образами, как основы обобщения и перехода на рациональный уровень.
«В детстве исходные преимущества на стороне образного мышления, но современная система образования нацелена на развитие линейного мышления, на овладение способом построения однозначного контекста, поэтому чем больше усилий приложено в процессе воспитания для того, чтобы добиться доминирования логико-знакового мышления, тем больше усилий потребуется в дальнейшем для преодоления его ограниченности» [3, с. 89].
Во-вторых, основной задачей образования является создание личностью целостной картины мира, и, соответственно, процесс обучения, ориентированный на развитие личности, должен обеспечивать ребенка такими знаниями и в такой организации, чтобы он мог на* их основе постепенно формировать целостное представление о мире. Каждая наука вносит свою лепту в этот процесс, но при разработке конкретных учебных предметов необходимо четкое понимание, что специфические предметные знания нужны ребенку, в первую очередь, для познания реального мира. Поэтому содержание учебного предмета, организация его изучения должны быть ориентированы на создание условий для реализации межпредметных связей. Основным таким условием должна являться общая, достаточно широкая трактовка одного и того же понятия, рассматриваемого в разных школьных предметах. Далее каждый Учебный предмет в силу своей специфики выделяет особенности понимания этого понятия, его определения в соответствующем курсе.
В-третьих, ученик, создавая на разных этапах познания картину мира (как некую целостную структуру), должен быть
способен выделять определенные ее подструктуры с целью их детального изучения, используя аналитическую деятельность. Но этот процесс предполагает осознание учеником искусственности выделения и наличия реальных связей с другими элементами и структурой в целом, а также осознание отличия геометрического пространства и непосредственно окружающего пространства. Таким образом, достижение второй цели возможно при осознании пути ее реализации учащимися.
Кроме того, обучение, ориентированное на развитие личности учащегося, предполагает самопознание, что невозможно без осознания собственных способов приобретения знаний, их усвоения, знакомства со способами, предложенными другими, и выбора оптимального для себя.
Все это определяет необходимость принятия такой цели изучения геометрического материала, как развитие рефлексивных способностей учащихся, т. е. способностей осознавать как свои умственные, так и практические действия. Реализация этой цели позволит учащимся не только оптимально использовать различные мыслительные действия, способы решения задач, эффективную организацию коллективной деятельности, но и влиять на характер собственного процесса мышления, а в конечном итоге способствовать раскрытию самого себя. Важность принятия этой цели определяется и тем, что рефлексия является составляющей любой творческой деятельности.
Достижение этих целей позволяет обеспечить подготовку к изучению курса геометрии средней школы как в развивающем (умение работать в геометрическом пространстве), так и информативном аспектах, т. е. реализацию четвертой цели.
Методические особенности организации обучения геометрическому материалу в 1 —6 классах
Обучение геометрическому материалу в 1—6 классах направлено на реализацию поставленных целей (см. § 22.2).
Обратимся к первой цели обучения. Психологи выделяют три уровня развития пространственного мышления, определяемые в основном типами оперирования пространственными образами. Они рассматривают типы как один из основных критериев математического развития личности [10]. Это позволяет проследить продвижение учащихся в отношении достижения основной развивающей цели. Для этого им предлагаются задачи на соответствующий уровень развития простран-
S
»нного мышления, который в основном характеризуется рмированностью определенных умений, отражающих тип рирования, а значит, и уровень развития пространственного лления. Подробное описание этих уровней дано И. С. Якиманской [10], а методические особенности их достижения рассмотрены в работах Н. С. Подходовой [8, 9].
Первый уровень развития пространственного мышления
имущественно характеризуется умением мысленно изме
нять положение объекта.
» ПРИМЕР
Выбери три рисунка домика, которые могут быть его изображениями при рассмотрении домика с разных сторон (рис. 44).
Данная задача имеет несколько ответов: «а», «в», «д»; «б», «г», <е»; «а», «б», «г». Нахождение последних двух ответов вызывает затруднения, так как имеет место сужение условия задачи из-за ♦ стандартности» мышления (не может быть в доме две двери или ни одной). Но таких условий в задаче нет. Все ответы являются гипотетическими, «условными». Ответы будут верны, если невидимые на рисунках части домиков совпадают с соответствующими частями домика, предлагаемого в качестве ответа.
Умение выполнять задачи первого уровня лежит в основе формирования следующих уровней развития пространственного мышления. Поэтому наличие таких задач и их решение — необходимое условие для овладения умением следующего уровня развития пространственного мышления.
а)б)в)а)б)в)
а)б)в)
а)б)в)
Второй уровень характеризуется преимущественно умением мысленно изменять структуру объекта, т. е. изменять положение частей, удалять их.
►► ПРИМЕР
Составьте из всех 7 частей танграма (рис. 45. a) фигурку, изображенную на рис. 45, 6. Пересечени- . ем этих частей может быть отрезок, точка или пус- тое множество.V X
Эта задача на этапе проверки сформиро-।—I/\ I—]
ванности второго уровня развития про-у
странственного мышления предполагает х' оперирование частями в уме. Однако в ходе РиСе 45 обучения учащиеся могут выполнять такие задания практически, с соответствующими частями танграма, выполненными из картона, пластмассы или другого материала, если им это необходимо. Как показала практика, находятся учащиеся, которые предпочитают действовать в уме. Но в обоих случаях при выполнении задания решающий опирается на наглядную основу. Более высокая степень владения умением мысленно изменять структуру объекта требуется при выполнении всех операций в уме и в отсутствие наглядной основы, как, например, в следующей задаче.
►► ПРИМЕР
Представьте ромб, одна из сторон которого расположена горизонтально. Мысленно проведите диагональ ромба из верхней левой вершины, затем согните по этой диагонали ромб так, чтобы правый верхний угол лег на левый нижний. Найдите середину линии сгиба и мысленно соедините ее с вершиной, противоположной линии сгиба, затем согните полученную фигуру по этому отрезку так, чтобы ее верхний угол лег на правый нижний. Из вершины, противоположной горизонтальной стороне. мысленно опустите перпендикуляр на эту сторону и отрежьте по этому перпендикуляру правую часть, откиньте ее. а левую разверните (твой ромб был сложен) и нарисуйте фигуру, которая получилась.
Один из ответов изображен на рис. 46.
Данная задача имеет два принципиально разных ответа, если пренебречь длиной стороны ромба и градусной мерой углов, но есть качественное различие последних как тупых и острых углов.
В начале процесса обучения задачи та-7
кого типа следует выполнять практиче-/
ски, с бумагой и ножницами. Но они //
должны содержать меньшее количество / шагов (мысленных операций), чем преды- дущая задача. Постепенно учащиеся Рис. 46
(каждый в свое время) переходят на уровень представлений. При срезовых контрольных работах соответствующие задачи необходимо решать мысленно — для выяснения уровня развития пространственного мышления учащихся. Рассмотренный вид задач выполняет и другую функцию — проверку достижения обучающей цели. Он может быть использован для проверки сформированности представлений о геометрических фигурах. об их существенных свойствах уже на образном уровне. Так, например, в рассмотренной выше задаче незнание (оно может быть и на уровне образов) таких свойств ромба, как равенство сторон, перпендикулярность диагоналей и деление их пополам точкой пересечения приведет к невозможности выполнения или непониманию отдельных шагов или же к неверному ответу.
Сформированность умений, характеризующих первый и второй уровень, является основой перехода на третий уровень развития пространственного мышления.
Третий уровень развития пространственного мышления преимущественно характеризуется умением мысленно изменять как положение, так и структуру объекта одновременно и неоднократно.
И ПРИМЕР
Кубик из картона с буквами на гранях (рис. 47, а) (на нем невидимые грани изображены отогнутыми) разрезали по некоторым ребрам и получили модель развертки куба. Со временем все буквы, кроме одной, стерлись. Восстановите изображения букв на развертке (рис. 47, б). Обведите на изображении кубика ребра, по которым были сделаны разрезы. Один из ответов изображен на рис. 47, в.
Достижению второй цели будет способствовать выполнение следующих методических рекомендаций.
Геометрические объекты желательно вводить через рассмотрение реальной ситуации и нахождение материальных моделей этого объекта в окружающем мире.
Для связи с субъектным опытом ребенка следует использовать геометрическую терминологию в бытовых ситуациях. Например, заканчивая урок, учитель может попросить учащихся поставить парты параллельно друг другу; проводя физкультминутки, предложить им правую руку поднять параллельно полу, левую перпендикулярно потолку и т. п.
Геометрические термины и учебный материал целесообразно использовать как средство выполнения практических заданий. В этом случае знания усваиваются быстрее и прочнее. Это могут быть задания на складывание, составление фигурок из элементов танграма, создание оригами, конструирование сооружений из кирпичиков (деревянных моделей, имеющих форму прямоугольных параллелепипедов), из разных конструкторов.
Линии (например, средняя линия) и диагональ квадрата могут быть введены при складывания бумаги для вырезания трафаретов из листа квадратной формы.
Такие задания личностно-значимы для учащихся этого возраста, а значит, знания, полученные при их выполнении, будут усвоены и будут «работать». При этом, если на начальном этапе (длительность его может быть различной для различных учеников) практические действия выполняются реально, то затем оперирование постепенно переходит на мысленный уровень.
При проверке сформированное™ представлений учащихся о геометрических объектах им можно предложить из палочек, пластилина и кусочков картона построить сооружение (именно практическая деятельность позволяет наиболее точно проверить сформированность пространственных представлений). Например, при проверке сформированности представлений о разных фигурах и отношениях между ними учащиеся строят такую беседку: основание беседки имеет форму прямоугольного параллелепипеда, при вершинах его верхнего основания поставлены колонны, имеющие цилиндрическую форму, перпендикулярно этому основанию; на верхних основаниях колонн параллельно основанию параллелепипеда расположена крыша, имеющая форму пятиугольной прямой призмы.
При выполнении заданий необходимо предлагать учащимся использовать геометрические знания в описании окружающей действительности или в сказочных ситуациях [8].
Например, при изучении параллельных (уже после изучения перпендикулярных) прямых учащимся можно предложить описать расположение мебели в канцелярии или другом знакомом помещении школы, используя слова «параллель-
но», «перпендикулярно*; указать улицы в их микрорайоне, расположенные взаимно перпендикулярно; назвать объекты в классе, элементы которых можно рассматривать как взаимно перпендикулярные плоские поверхности. Познакомив учащихся с различными геометрическими фигурами и отношениями, предложить им описать какое-либо архитектурное сооружение с использованием геометрических терминов.
Так, в процессе формирования представлений о перпендикулярных прямых линиях учащимся может быть предложена следующая задача.
Н ПРИМЕР
На рис. 48 изображена часть плана Санкт-Петербурга. Представь, что ты находишься на углу Невского проспекта и Думской улицы. Далее ты идешь по Невскому проспекту до первой улицы, перпендикулярной ему. поворачиваешь на эту улицу и продолжаешь свой путь. Проходишь до второй улицы, перпендикулярной Садовой, которая ведет к одной из знаменитых достопримечательностей города. Назови ее. Покажи на плане возможный маршрут. Возможен ли другой маршрут? Если да, то опиши его.
Рассматривая эту ситуацию, учащиеся должны увидеть два маршрута, удовлетворяющих описанию условия задачи (что требует восприятия образа всей части плана). У них есть возможность назвать не одну достопримечательность, расположенную в конечной точке маршрута, найти другие маршруты и попытаться описать их.
Рис.48Рис.48
Рис.48
Рис.48
Выделяя модели геометрических объектов, школьники учатся абстрагироваться от всех свойств, кроме пространственных. В этом им может помочь рассмотрение сказочных ситуаций.
►► ПРИМЕР
Попала Прямая в волшебный лес на границе страны Геометрии. Слышит шорох. Видит существо чудное. Маленькое, словно половинка шара, всюду короткие отрезки торчат, носика не видно, и будто треугольнички в отрезки спрятались. Какого лесного зверя увидела Прямая? Попробуй представить другого зверя, которого она могла встретить. Опиши его портрет, увиденный Прямой (с геометрической точки зрения) своему товарищу.
Можно предложить учащимся сконструировать задачу, написать сочинение на основе применения геометрических знаний на практике и целостного охвата явления.
Например, учащимся после изучения отношений перпендикулярности и параллельности предлагается составить маршрут из какого-либо пункта, используя эти отношения. Причем следует избегать при их описании случаев пересекающихся прямых линий и плоских поверхностей (здесь учащиеся используют и канатные дороги, и передвижения по эскалатору, и улицы, которые не имеют общих перекрестков). Требованием задачи является определение конечной точки маршрута. К заданию может прилагаться рисунок или фрагмент карты (схемы).
Обратимся теперь к рассмотрению третьей цели. Значимость ее достижения определяется и тем, что осознание и произвольность, согласно Выготскому, являются основными новообразованиями возраста 7—12 лет.
В обучении геометрическому материалу может помочь реализация направления развития рефлексивных способностей. Здесь можно выделить три основных момента.
Во-первых, осознание ребенком отличия того, что он видит, от того, что представляет. Можно предложить учащимся рассмотреть следующую проблемную ситуацию. После кор ректировки представлений учащихся о параллелепипеде учи тель показывает предмет, имеющий форму прямоугольногс параллелепипеда с отрезанным «уголком» при одной из егс вершин. Но показывает его так, что отрезанная часть не виды ученикам, и задает вопрос о том, что они видят. Следует ответ «Параллелепипед». Тогда учитель просит их закрыть глаза $ затем снова показывает параллелепипед, но так, что отрезан ную часть одна колонка детей, открыв глаза, уже может заме тить. Он просит поднять руки тех, кто видит параллелепипед
Одна колонка учащихся не поднимает рук. «Как же так, — интересуется учитель, — вы видите один предмет, а воспринимаете его по-разному?» В результате рассмотрения этой ситуации учитель подводит учащихся к выводу об отличии того, что видим, от того, что представляем. Этот вывод объясняет учащимся, почему необходимо, прежде чем делать вывод об объекте, рассмотреть его со всех сторон; почему необходимо как можно шире охватить ситуацию задачи. Эта способность — основа осознания проективных пространственных представлений учащихся. Развитие ее позволяет перейти к организации деятельности в следующем направлении.
Во-вторых, осознание ребенком зависимости восприятия объекта от позиции наблюдения. После рассмотрения описанной выше ситуации учащиеся без труда справятся с заданием нарисовать параллелепипед так, как они его могут видеть с разных сторон. Как показывает практика, дети рисуют до 20 различных картинок, причем большинство учащихся стремятся изобразить параллелепипед как трехмерный объект.
Задания на определение положения параллелепипеда с цветными гранями, при котором видна одна грань заданного цвета или две грани разного цвета, одинакового цвета, способствуют пониманию зависимости восприятия объекта от позиции наблюдения. В качестве вывода учащимся можно предложить ответ на вопрос: «Почему билеты в театр стоят по-разному?»
В-третьих, осознание того, что предлагаемые в качестве примеров предметы, их взаимное расположение для демонстрации каких-либо геометрических объектов есть материальные модели этих геометрических объектов. Сходство геометрических объектов и моделей-предметов относительно и определяется контекстом ситуации, в которой они рассматриваются.
Реализация четвертой цели требует учета основных качеств образных компонентов мышления (многозначности, субъективности, динамичности, образ требует целостного охвата ситуации), а также отличия концептуального, в частности, геометрического пространства, рассматриваемого в школе, от окружающего ребенка пространства.
Поэтому учебный материал в основном должен содержать задачи, имеющие не один способ решения и не один ответ (быть многозначным).
Н ПРИМЕР
На рис. 49 вы видите изображение фигуры, составленной из одинаковых кубиков (объем каждого — 4 см3). Найдите объем двух прямоугольных параллелепипедов.
Рис. 49Рис. 49В задаче параллелепипеды полностью не видны, поэтому вариантов может быть два: либо два параллелепипеда составлены из 15 кубиков, и тогда их объем 60 см3, либо — из 18 (за головой собаки еще ряд кубиков), и тогда их объем 72 см3.
Рис. 49
Рис. 49
Одни и те же объекты должны описываться и изображаться с разных позиций наблюдателя и в разных контекстах. Такие задачи должны предваряться аналогичными задачами с реальными предметами.
При формировании представлений о новом объекте необходимо учитывать опыт ребенка (субъективность образа).
Как показали исследования Ю. В. Сенько и В. Э. Тамарина, уча
щиеся даже при изучении систематического курса геометрии, нацеленного на использование дедуктивных обоснований, постоянно опираются на свой опыт. При доказательстве каких-либо фактов в 26% случаев ученики используют ссылки на очевидность, в 31% — привлекают житейские знания и только в 17% — дают формальное объяснение. И картина мира, как отмечает И. С. Якиманская [10], дается ученику в значимых для него образах, а не в понятиях.
Образы входят в субъектный опыт ребенка. В школу ребенок приходит с определенным опытом познания пространства, и, изучая понятия, он опирается на сформированные у него представления (житейские понятия). Учителя в случае затруднения обращаются к личностному опыту ребенка и, используя в качестве примера конфеты, деньги, заменяют объекты задач. Значимость субъектного опыта ребенка в процессе познания требует не эпизодического «воспоминания» о нем, а постоянного внимания.
Для работы с субъектным опытом необходимо его выявить. Направления этой деятельности зависят от соответствия (несоответствия) житейского понятия или представл'ения ученика, входящего в его субъектный опыт, изучаемому геометрическому. Выявление субъектного опыта в процессе обучения геометрии начальной школы может быть организовано преимущественно через:
раскрытие самими учащимися значения термина того понятия (как они его понимают), которое предстоит изучать на уроке;
выполнение опережающих диагностических заданий в контрольных работах.
Например, приступая к рассмотрению формы объектов, учитель просит учащихся объяснить, как они понимают слово «форма*. Учащиеся могут предложить рассмотреть в качестве ответа «форму* одежды, «форму* записи, «форму* поведения, «форму* предмета как его контур, границу и т. д. Именно в последнем значении договаривается учитель с детьми понимать изучаемый термин на уроке. Такая работа позволяет, с одной стороны, расширить запас представлений, связанных с этим термином, а с другой — говорить на «одном» языке •учителю и учащимся.
Основная задача учителя — помочь ученику научиться связывать изучаемое понятие с образом или образами, входящими в его субъектный опыт, а в случае их отсутствия организовать условия для их создания, т. е. научиться подбирать собственную основную модель понятия.
При введении понятия желательно познакомить учащихся с наиболее широкой его трактовкой (целостный подход) и организовать изучение на основе перехода от рассмотрения перцептивного пространства, реальных ситуаций и моделей геометрических объектов к работе в геометрическом пространстве, решению задач, условия которых описывают геометрические объекты.
Например, при ответе на вопрос: «Как расположены относительно друг друга две вертикальные прямые?*, учащиеся, да и учителя, отвечают, что параллельны или совпадают, хотя в качестве демонстрационной модели вертикальной прямой им предлагали рассмотреть отвес. Но напоминание о форме Земли и силе земного тяготения подводило опрошенных к выводу о том, что вертикальные прямые линии направлены к центру Земли и непараллельны. Именно так они рассматриваются в естествознании. Отвечающие имеют разные представления об одном и том же понятии, так как в школе на уроках математики изучают одну из реализаций евклидовой геометрии, которая возникла как описание ограниченного, непосредственно воспринимаемого человеком окружающего пространства, и современные знания о реальном пространстве тогда не были известны, а также потому, что в результате традиционного обучения ребенок имеет отдельные разрозненные, несвязанные сведения по различным школьным предметам (приоритет аналитической направленности обучения в школе). Конечно, вертикальность не имеет отношения к термино-
логин науки математики. Но в математике как учебном пред, мете используют и вертикальность, и горизонтальность. С этими понятиями учащиеся встречаются и вне школы, и при изучении других дисциплин. Какой может быть выход? Целесообразно рассмотреть наиболее общее понятие вертикальности так, как оно трактуется в естествознании. Далее в беседе с учащимися необходимо подчеркнуть условия рассмотрения вертикальных прямых на уроках математики, в небольшом ограниченном пространстве, где размеры значительно малы по сравнению с размерами Земли. Поэтому здесь можно пренебречь непараллельностью вертикальных прямых. Такой подход способствует познанию реального мира, созданию ребенком целостной картины мира, готовит к пониманию в старших классах необходимости рассмотрения других (неевклидовых) геометрий при изучении научных явлений. Он способствует решению нестандартных задач и задач негеометрического характера. Например: ♦ Переставьте одну цифру так, чтобы получилось верное равенство: 101 - 102 = 1». Слово «переставить» часто мыслится как «переместить по горизонтали», т. е. происходит сужение объема понятия, что служит препятствием для решения задачи. Более широкое толкование этого слова как движения в любом направлении помогает учащимся найти ответ: 101-102 =1.
Затем геометрические объекты снова рассматриваются в реальных ситуациях, но на новом уровне познания.
Заботясь о развитии ребенка при изучении геометрии, учитывая его естественное развитие, целесообразно процесс обучения геометрии в 1—6 классах организовать через реализацию следующих этапов. Эти этапы являются подготовкой к изучению курса геометрии 7—11 классов.
Развитие топологических представлений, характеризующихся умением выделять объект на фоне, менять их местами, видеть внеположенность объектов, расположение друг относительно друга, выделять контур предмета, выделять области на основе интуитивных представлений о непрерывности и связности, различать внутреннюю, внешнюю области, границу фигуры (эти умения активизируются у человека при восприятии любого предмета).
Создание пространственных первичных образов, пространственных представлений, обладающих свойством полноты относительно взаимного положения объектов (без внимания к форме объекта), через развитие образной памяти на пространственные отношения.
Развитие умения менять точку отсчета — основы работы в пространстве. Развитие пространственных проективных представлений (направленность на форму объектов, без акцента на метрику).
Выход в пространство с постоянно меняющейся точкой отсчета и отсутствием объективно существующих ориентиров (геометрическое пространство).
Формирование представлений о конкретных геометрических фигурах и геометрических отношениях в рамках идеи фузионизма, в определенной последовательности и зависимости на основе общей схемы формирования представлений о геометрическом объекте (будет рассмотрена ниже).
Уточнение первичных пространственных образов в плане метрики.
Зна ком ство с элементами логики, использование дедуктивных обоснований.
Формирование системы представлений-предпоня- тий на основе умения отличать род и видовые отличия геометрической фигуры.
Знакомство со структурными единицами пространственного мышления — преобразованиями (в частности, движениями).
Первый этап является базовым, но в школе обычно ему не уделяется внимание. Топологические представления являются первой ступенью формирования пространственных представлений (топология — общее свойство пространства). С точки зрения топологии, например, круг и выпуклый многоугольник или шар и выпуклый многогранник — одни и те же фигуры, т. е. они определяют одну область. Топологические свойства от- i ража ют представления об окрестности, пределе; свойствах непрерывности и связности, которые характеризуют область и лежат в основе понимания любой фигуры. Но даже приступая к изучению систематического курса геометрии и постоянно используя понятия «часть плоскости, часть пространства» (эти термины входят во многие планиметрические и стереометрические определения, например многоугольника или многогранника), учащиеся не осознают, что речь идет об области. Здесь требуется наличие таких свойств, как связность и непрерывность. В 7 классе, правда, учащиеся встречаются с понятием «внутренняя область», но оно никак не раскрывается.
В силу первичности топологических ПП развитие ПМ необходимо начинать с их корректировки.
Выделение фигуры из фона является базовым действием при восприятии любого объекта. В старших классах учащим- ся при решении задач постоянно придется выделять необходимые фигуры на чертеже, рассматривая остальные как фон.
Фон — это то, на чем что-либо выделяется. Объект — предмет или явление, на которое направлена какая-нибудь деятельность, например, как в рассматриваемых нами случаях, внимание.
Сначала необходимо научить учащихся осознавать зависимость выделения объекта и фона от ситуации задачи.
» ПРИМЕР
Если ты настоящий сыщик, то без труда определишь, из чего собран этот невероятный аппарат, который может летать, плавать, гудеть и многое другое. Используя кальку и рис. 50, а, обведи две или три разные картинки.
На рис. 50, б, который предъявляется учащимся после выполнения задания, показаны изображения, которые могут получиться у детей.
С учащимися обсуждается вопрос, почему получилось много картинок. Таких картинок может быть много (это будет зависеть от того, какие элементы исходного рисунка на кальке выделит ребенок).
Рис. 50
Рис.50Рис.50
Рис.50
Рис.50
Знакомство с областями и границей может быть осуществлено при рассмотрении следующей задачи.
И ПРИМЕР
Путешествуя на воздушном шарике, коро- тышки из Цветочного города увидели внизу озеро. Вот как оно выглядело сверху (рис. 51). За- крась воду синим цветом, чтобы было видно, где озеро, а где берег. Авоська сбросил два мешка с песком, чтобы шар не опустился в озеро. Определи, в воду или на сушу упали мешки? Они обозначены на рисунке цифрами 1 и 2. Рис. 51
Рисунок озера можно рассматривать как изображение геометрической фигуры. У геометрической фигуры можно выделить внутреннюю область (на рисунке — это само озеро) и границу фигуры (стык берега и озера), которая отделяет внутреннюю область от внешней (берег).
Первые образы объектов, с которыми встречается ребенок, в том числе и фигур, хорошо запоминаются. Поэтому намеренно озеро как образ фигуры имеет причудливые очертания, чтобы учащиеся не считали, как это часто встречается, что фигуры имеют только вполне определенные формы (выпуклого многоугольника).
Развитию умения работать в пространстве с постоянно меняющейся точкой отсчета будут задачи следующих типов.
Н ПРИМЕРЫ
Корабль Бармалея разбился о скалы. На берег волной выбросило разные предметы (рис. 52): шляпу, доску от корабля, туфлю, разбойника, монету.
Напиши, что находится справа от бочки, если ты смотришь со стороны, обозначенной стрелкой 1.
Выполни такое же задание со стороны, обозначенной стрелкой 3.
Напиши, что находится перед бочкой, если смотришь со стороны 2.
Какой предмет находится за бочкой, если смотреть со стороны, обозначенной стрелкой 4? Какие задания можно было выполнить, не глядя на рисунок, но зная направления стрелок?
И в дальнейшем, если задание вызывает трудности, целесообразно обращаться к практической деятельности.
Мышка бежала, хвостиком вильнула и уронила цветной кубик, изображенный на рис. 53, а. Он упал так, как показано на рис. 53, б. Закрась его видимые стенки. Стенка какого цвета нам не видна?
В приведенном примере ответ — желтая. Это задание пред- дазначено для развития первого уровня пространственного мышления.
Образ является личностным образованием, его нельзя <пересадить» в голову ребенка, но можно организовать условия для создания образов, адекватных изучаемому объекту. Методические рекомендации создания образов восприятия (первичных образов) на основе практической деятельности описаны в начале этой лекции.
Переход на уровень представлений (вторичных образов) целесообразно осуществлять через использование * воздушных моделей» объемных фигур.
Общий процесс создания представлений о геометрических объектах может быть представлен следующей схемой.
СХЕМА ФОРМИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХПРЕДСТАВЛЕНИЙ (ПРЕДПОНЯТИЙ)
О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ОБЪЕКТЕ
Выявление и актуализация субъектного опыта ребенка, связанного с изучаемым геометрическим объектом.
Мотивация его изучения.
Формирование единичных пространственных образов в практической деятельности на конкретных моделях или с привлечением знакомых учащимся образов (входящих в их субъектный опыт), адекватных понятию соответствующего геометрического объекта.
Формирование обобщенных пространственных образов геометрических объектов при нахождении моделей изучаемых геометрических объектов на основе их восприятия; создания <воздушной модели» многогранника; образов памяти.
Выбор учеником собственной оптимальной модели, адекватной понятию соответствующего геометрического объекта.
Первичное уточнение объема понятия соответствующего геометрического объекта при выполнении заданий, включающих рассмотрение »неожидаемых» или непривычных ситуаций.
Проверка сформированное™ представлений о геометрическом объекте.
Выделение учащимися свойств, существенных для понятия изучаемого геометрического объекта, на основе сформированных у них представлений.
Установление связи между геометрическими объектами и его частными случаями с использованием кругов Эйлера.
Конечно, при изучении конкретного геометрического объекта некоторые шаги предложенной схемы могут быть объ-
единены, растянуты во времени, т. е. осуществляться на по.
следующих уроках при вторичном закреплении.
Например, кратко можно описать, как сформировать пред, ставления о «призме» в 6 классе на основе этой схемы [9]. Це- лостный подход к процессу обучения предполагает введение обобщенного образа призмы, который позволит рассмотреть как можно больше частных случаев призм.
Хотя слово «призма», скорее всего, учащимся 5—6 классов не знакомо, с объектами, имеющими такую форму, они постоянно встречаются (колонны, коробки, здания, культовые сооружения (без купольной части), футляры, распорки для елки и т. д.). Поэтому можно, предъявляя соответствующие модели и рисунки предметов, имеющих форму призм, предложить учащимся увидеть их общие свойства, попытаться вылепить свой предмет такой же формы и придумать общий способ или требования к созданию таких предметов.
Поставленная задача носит проблемный характер и направлена на то, чтобы показать учащимся недостаток знаний, а значит, необходимость изучения такой распространенной формы предметов. Предметы такой формы встречаются повсюду: от известного деревянного бруса (прямоугольного параллелепипеда) до «почти круглого» бревна, имеющего много боковых плоских поверхностей.
В строительстве используют не только брус (модель прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием). Бревно может быть стесано только с двух боковых сторон, тогда это двускатный брус (учащимся предъявляется рисунок). Можно обтесывать бревна с трех, четырех, пяти сторон и т. д. Возьмем достаточно длинное бревно, сделаем срезы режу щей «плоскостью» с трех боковых сторон — получим трех гранную заготовку (рис. 54, а), затем пятигранную, сделав пять боковых срезов бревна.
Аналогично могут быть сделаны 6-, 7-, ..., л-гранные заго товки. При этом всегда должно выполняться следующее уело
вие: боковая поверхность заготовки должна состоять только
из плоских поверхностей (боковые срезы) граней заготовки, линии их пересечения боковые ребра п-гранной заготовки должнь быть параллельны друг другу. Во время бе седы учитель демонстрирует соответствую щие заготовки или изготовляет их по ход> объяснения перед классом. Обязательнс среди демонстрационных моделей должнг появиться сначала заготовка, а из нее приз ма, основание которой — невыпуклый мно
гоугольник. Итак, имеются различные заготовки, но все достаточно длинные для выполнения следующего шага. Сделаем два параллельных друг другу разреза заготовки режущими «плоскостями» так, чтобы они пересекли все боковые ребра заготовки (рис. 54, б). Мы получили «отпиленное тело» (рис. 55), что в переводе на греческий означает «призма». Так в геометрии на- ывают многогранник, модель которого мы по
били. Далее на основе практических заданий Рис. 55 рассматривается вопрос о зависимости вида призмы (наклонная или прямая) от взаимного положения режущей плоскости и бокового ребра заготовки. Вводится многоугольник как сечение заготовки плоской поверхностью и рассматривается вопрос о названии призмы в зависимости от вида этого многоугольника. Такой подход позволяет рассмотреть сразу все виды призм и многоугольников, включая невы-
пуклые, выделить существенные признаки призм на уровне образов, предупредить распространенную ошибку. Так, учащиеся часто связывают вид призм (прямая или наклонная) с взаимным положением секущей плоскости и боковой грани призмы, а не ребра.
Учащимся предлагается найти модели призм в классе и создать «воздушную модель» многогранника.
Учащиеся должны на открытке с калькой (чтобы не портить открытку) обвести модели призм и поставить на каждой номер. На листке выписать номера моделей и название соответствующей призмы. Аналогичное задание предлагается с рисунками предметов, имеющих форму призм и не призм, среди них изображения кабины игрушечной машинки, деревянной хлебницы (модели призм) и т. д.
Далее учащимся предлагаются задания на уровне представлений.
►► ПРИМЕРЫ
Где встречаются модели призм на улице, дома?
Какие из перечисленных предметов (незаточенные граненые карандаши, восьмигранные колонны, пианино, не имеющее кривых поверхностей, линейка) имеют форму призм?
Полезно предложить учащимся выполнить следующее задание на уровне представлений, т. е. мысленно.
►► ПРИМЕР
Представьте прямую призму, в основании которой треугольник с равными сторонами, а боковые грани — не квадраты. Положите ее мыслен-
но одной из боковых граней на горизонтальную поверхность. Мысленно сделайте разрез ее плоскостью, проходящей (содержащей) через боковое ребро призмы и пересекающей противоположную ребру грань по средней линии. Поверните одну из частей вокруг ребра, через которая прошла режущая плоскость так, чтобы боковые грани, содержащие это ребро, полностью совместились. Совместите полученные части мысленно так, чтобы две боковые грани призмы полностью совпали (для учащихся с высоким уровнем развития ПМ или на более поздних этапах изучения). Нарисуйте вид слева полученной фигуры.
Учащимся предлагается лабораторная работа по группам, в которой описывается путешествие Незнайки по городу Призмаграду (все сооружения в нем имеют форму призм). В город попали чужеземцы и портят призмы. Незнайка как лучший специалист по призмам обещает выявить «испорченные призмы». Учащиеся, разбившись на группы, должны проверить, справился ли с работой Незнайка.
Для выполнения лабораторной учащимся необходимы пластилин, доска, на которой они будут работать, лист бумаги. На нем бригадир группы записывает имена членов группы и номера заданий (сооружений). Напротив каждого номера ученики, после того как вылепят сооружение с этим номером, должны ответить, призма или не призма описывается в задании. Если призма, то указать какая (прямая, наклонная), если нет, то записать, что не призма.
н ПРИМЕР
Сооружение № 1. Поверхность его фундамента была параллельна поверхности воды, а крыша расположена наклонно к поверхности пруда. Обе поверхности — и крыши, и фундамента — имели форму четырехугольников. Четырехугольную форму имели и боковые стенки, две из которых были параллельны друг другу.
Сооружение № 2. Пол и потолок в форме пятиугольников расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Форма потолка повторяет форму пола.
Сооружение № 3. -Какая мощная призма!— замер Незнайка в восхищении. — Четырехугольников, правда, маловато, зато из одной вершины сразу четыре ребра выходят!*
Сооружение № 4. По дороге Незнайка попал в цирк. В его холле он обнаружил стеклянный зверинец, показавшийся ему загадочным: пол и потолок в нем имели форму прямоугольников, две боковые стенки — равные шестиугольники, а другие боковые стенки были составлены из четырехугольников, не являющихся прямоугольниками...
Каждая группа защищает свой ответ с демонстрацией моделей, и с учащимися выясняется, каких свойств недостает каждому сооружению, чтобы быть определенно призмой. (Сооружения 1, 2, 4 могут быть призмами, прямыми и наклонны-
ми, кроме № 4 (наклонная), а сооружение 3 призмой не является.
На основе этой работы учащимся предлагается выписать свойства, которыми должна обладать объемная фигура, чтобы быть призмой.
Процесс формирования пространственных представлений желательно выстраивать от топологических пространственных представлений к проективным пространственным представлениям и от них к метрическим пространственным представлениям (рассмотрены подробнее в лекции о специфике восприятия геометрического материала).
Последовательность знакомства с фигурами желательно организовать от объемной фигуры к плоской двумерной, от нее к одномерной, от последней к точке. Наиболее адекватными моделями объемных фигур (требуют меньшей степени абстрагирования) являются реальные предметы, а моделями плоских двумерных — плоские поверхности предметов. Последние нельзя взять в руки, по ним можно только провести рукой. Далее, по мере развития у учащихся умения абстрагировать выбор геометрической фигуры, моделью которой является предмет, будет определяться контекстом ситуации; свойствами этого предмета, которые важны в рассматриваемой ситуации, являются существенными свойствами геометрической фигуры.
Плоские фигуры могут быть введены как элементы объемных фигур: грани, ребра, вершины. Так. например, прямоугольник появляется в процессе изучения прямоугольного параллелепипеда (бруса) как его грань, отрезок как ребро, с которым дети знакомятся, рассматривая пересечение граней параллелепипеда. Это, с одной стороны, не противоречит пониманию этих фигур в математике, а с другой — соответствует естественному процессу формирования плоскостных представлений как производных от объемных (согласно психологическим исследованиям), позволяет создать наглядные и понятные ребенку образы.
Отношения между фигурами желательно рассматривать сразу в пространстве, а не на плоскости, так как, с одной стороны, это более естественный процесс для учащихся, с другой — создает условия для мотивации необходимости определенных существенных свойств понятий. Так, в действующих учебниках по геометрии как одно из существенных свойств параллельных прямых рассматривается принадлежность одной плоскости. Но в пределах плоскости невозможно показать необходимость этого свойства для параллельных прямых.
Знакомство с измерениями должно начинаться с непосредственных мануальных измерений пядями, локтями и т. п., а также шагами и организовываться согласно рекомендациям, изложенным в § 22.1 данной лекции.
В 1—6 классах геометрические объекты часто вводятся через описания, а не определения, так как работа ведется с их образами (не понятиями). Задача обучения геометрии в этом возрасте — выйти на уровень предпонятий как этапа, предшествующего и готовящего понятия. Ученик на уровне пред- понятия может установить зависимости (в том числе отношение подчиненности) между множествами геометрических фигур (частичная систематизация). А также оперировать образами геометрических фигур при решении задач на основе сформированных динамичных представлений об этих фигурах, их существенных свойствах, знаний объемов некоторых понятий геометрических фигур. В предпонятии выделены существенные свойства соответствующего понятия. Классификация на уровне обобщенных представлений не является законченной. Это может выражаться в ограниченности объемов классов, в несогласованности кванторов (любой, все, каждый, некоторые и их отрицаний), в неумении выделить набор необходимых и достаточных свойств понятия, на основе которого конструируется определение, удовлетворяющее всем требованиям, предъявляемым к определениям в логике.
Цель описания — создать у ребенка образ, наиболее адекватный понятию геометрического объекта. Описание конструируется не обязательно через ближайший род, а видовые отличия могут включать избыточный набор свойств. Ученик на этом уровне еще не умеет проследить многоуровневую цепочку включенных и включаемых в понятие множеств (верхние и нижние уровни — более общие и менее общие понятия). Конечно, для отдельных геометрических объектов их описания могут совпадать с определениями соответствующих понятий. Описанный выше разрыв между предпонятиями и понятиями связан в большей степени с вербально-логической неподготовленностью учащихся. Поэтому переход к понятиям должен включать знакомство учащихся с элементами логики как составляющими логической культуры.
Задачи, решаемые на образном уровне, особенно в отсутствие наглядной основы, принципиально отличаются от логических задач. Эти различия обнаруживаются даже на сенсорном уровне (как говорят решающие, ♦ работают» разные области мозга). Целесообразно предложить учащимся после задачи, решаемой на уровне представлений и требующей активизации
образных компонентов мышления, решить логическую задачу типа следующей.
» ПРИМЕР
В одном из трех городов А, Б, В случился пожар. На пожарной каланче раздается звонок. Звонивший: «У нас горит». Пожарник: «Где?» Звонивший: -В городе В». Определите, в каком городе пожар и откуда звонили, если в городе А всегда говорят правду, в городе Б всегда лгут, в городе В попеременно говорят то правду, то ложь.
Условия логических задач всегда явно искусственны, это необходимо для ограничения и конкретизации возможных вариантов, которые при решении логической задачи должны быть рассмотрены. Отличие логической задачи, в первую очередь, состоит в том, что ее решение не требует создания образа ситуации задачи.
Такие сравнительные решения целесообразно предлагать учащимся при знакомстве с элементами логики, как мотивирующие необходимость применения и образной, и логической стратегий при решении задач. Эта деятельность способствует развитию рефлексивных способностей учащихся.
^Ключевая информация
Создание первичных образов о геометрических объектах опирается на определенную практическую деятельность. Пространственные представления формируются у учащихся 1—6 классов от топологических до метрических через проективные. Создание представлений о геометрическом объекте опирается на схему формирования представления.
4-
Рекомендуемая литература
Ананьев Б. Г. и др. Осязание в процессах труда и познания. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959.
Ананьев Б. Г.. Рыбалко Е. Ф. Особенности восприятия пространства у детей. — М.: Просвещение, 1964.
Бондаренко С. М., Ротенберг В. С. Мозг, обучение, здоровье: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1989.
Веккер Л. М. Психические процессы: В 2 т. Т. 1. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1974.
Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся / Под ред. И. С. Якиманской. — М.: Педагогика, 1989.
Глейзер Г. Д. Развитие пространственных представлений школьников при обучении геометрии. — М.: Педагогика, 1978.
Давыдов В. В., Пышкало А. М. Концепция 4-летнего начального образования // Начальная школа. — 1992. — №7. — С. 63—67.
Подходова Н. С. Волшебная страна фигур. Путешествие 1—5: Пособие по развитию пространственного мышления. — СПб.: Питер, 2001.
Подходова Н. С. Геометрия в пространстве: 5, 6 класс. — СПб.: Голанд, 1999.
Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников. — М.: Педагогика, 1980.
Лекция 23
Методика изучения геометрических фигур и их измерений в систематическом курсе геометрии
Природа говорит языком математики: буквы этого языка — круги, треугольники и иные математические фигуры.
Г. Галилей
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Почему целесообразно познакомить школьников с определениями (описаниями) геометрических фигур на первых уроках геометрии в 7 классе, а с определениями тел — на первых уроках стереометрии?
В чем могут заключаться положительная и отрицательная стороны при одновременном изучении четырехугольников и их площадей, частных видов многогранников и их объемов?
Как может быть организована самостоятельная работа учеников по изучению частных видов параллелограммов и их площадей?
Рекомендации по введению геометрических фигур на первых уроках геометрии в 7 классе
В систематическом курсе геометрии линия фигур является ведущей, поскольку на нее замыкаются остальные линии. Для изучения фигур необходимо знать свойства отношений (параллельности, перпендикулярности, подобия). В ис-
тории преподавания геометрии всегда был актуален вопрос, с чего начинать изучение геометрии: с линий или тел. На него в различные исторические периоды давались разные ответы. В советский и постсоветский периоды преобладала традиция начинать изучение геометрии *с линий». Вторая традиция — раздельное изучение планиметрии и стереометрии. Давая рекомендации по изучению геометрических фигур в настоящей лекции, предполагается в определенной мере нарушить обе традиции. Связано это с тем, что к началу изучения систематического курса геометрии ученики знают почти все геометрические фигуры (могут выделить конкретную фигуру из множества фигур и составить ее описание) за исключением, может быть, частных видов призм и частей шара, а также с необходимостью развития пространственного мышления; включения субъектного опыта в процесс изучения геометрии; целесообразности изучения отношений параллельности, перпендикулярности на плоскости и в пространстве на фигурах (см. лекцию 24). Изучение геометрических фигур и их измерений одним блоком позволяет значительно расширить тематику заданного материала, обеспечить более глубокую мотивацию за счет использования содержательных прикладных задач.
Прежде чем предложить методику изучения фигур и их измерений, необходимо остановиться на принципиальных особенностях изучения фигур в действующих учебниках геометрии.
Во-первых, в начале систематического курса рассматриваются простейшие фигуры: точки, прямые, отрезки. Предшествующий геометрический опыт школьников практически не используется.
Во-вторых, равные треугольники рассматриваются для введения основного метода доказательства — метода равных треугольников. В учебниках Погорелова, Атанасяна, Александрова равенство треугольников определяется по-разному, у первого и второго авторов рассматриваются три традиционных признака равенства треугольников, у Александрова — два.
В-третьих, в учебниках Атанасяна и Погорелова многоугольник (многогранник) вводится как каркас (поверхность), на основании свойств площади (объема) которого устанавливается, что площадь многоугольника (объем многогранника) равна нулю.
В-четвертых, формулируются различные свойства площади (объема), что приводит к различным подходам к доказательству формул объема и площади.
В-пятых, тема «Площади многоугольников» в различных учебниках расположена по-разному, что влияет на подбор заданного материала и обеспечивает различный уровень реализации внутри предметных связей.
В-шестых, в учебниках Атанасяна и Погорелова принято строгое деление курса планиметрия — стереометрия. В различных изданиях учебников Александрова идея фузионизма реализуется на разных уровнях, в частности планиметрическая фактология иллюстрируется на объемных фигурах.
Итак, к первому уроку геометрии в 7 классе учителю следует предложить ученикам вспомнить известные им геометрические фигуры (плоские и объемные). На первом уроке на этой основе при работе с задачей составляется таблица с использованием рис. 56.
►► ПРИМЕР
На рис. 56 изображены геометрические фигуры. Их названия записаны в столбцах таблицы:
Отрезок
Ромб
Эллипс
Параллелепипед
Конус
Трапеция
Призма
Цилиндр
1) Установите, к каким фигурам относятся эти названия. Определения каких из этих фигур вы знаете?
Рис.56
Как вы думаете, по какому принципу названия фигур помещены в различные столбцы таблицы? Какие заголовки могут быть у столбцов в таблице?
Какие еще геометрические фигуры вы можете нарисовать? Дополните таблицу названиями этих фигур.
Какие свойства нарисованных вами фигур вы можете перечислить?
Почему на изображении фигур некоторые линии нарисованы пунктиром?
Ученикам предлагается дома нарисовать известные им фигуры, записать их определения, которые они могут сформулировать самостоятельно или найти в учебниках, справочниках и даже на полотнах художников. В качестве примера учитель может показать репродукцию картины В. Кандинского «Композиция» (рис. 57).
На одном из первых уроков геометрии целесообразно сформулировать определение параллельных и перпендикулярных прямых, параллельных плоскостей, прямой, параллельной плоскости. С прямыми, перпендикулярными плоскости, и перпендикулярными плоскостями сложнее, здесь требуется ряд дополнительных определений, однако на первых уроках стереометрии эти отношения могут быть введены, в этом убеждает многолетний собственный опыт.
Следующий важный вопрос — изображение фигур, который позволяет говорить о многоугольниках, их границах — ломаных и звеньях ломаных — отрезках. Это позволит затем обратиться к простейшим фигурам. При изображении фигур,
Рис.57
естественно, не следует ограничиваться только плоскими фигурами, поскольку ученики уже в 5—6 классах на уроках математики или на уроках изобразительного искусства могли изображать прямоугольный параллелепипед, а с изображением пирамиды они познакомились еще на уроках истории Древнего мира.
В начале изучения курса может быть введен и весь понятийный аппарат, связанный с окружностью, кругом, а также шаром (с этими фигурами, историей вычисления числа к, формулами длины окружности и площади круга ученики знакомы из курса математики 5—6 классов).
Введению этих понятий будут способствовать следующие задания.
►► ПРИМЕРЫ
Вспомните определение окружности. На рис. 58 и 59 изображены окружности с центрами О и их различные элементы: радиусы, диаметры, хорды, дуги, секущие и касательные, центральные углы. Покажите эти элементы на рисунках. Сформулируйте их определения.
Ответьте на вопросы.
Что называется кругом? Сформулируйте определение сферы и шара.
Каким может быть взаимное положение прямой и окружности, двух окружностей? Сделайте соответствующие рисунки.
Ответьте на аналогичные вопросы для сферы и плоскости, для двух сфер.
Сформулируйте определения прямых, касательной и секущей для сферы, касательной и секущей плоскостей.
Какая фигура получится при пересечении плоскости и шара? Можно ли привести подтверждения этому из собственного практического опыта?
Обладают ли окружность и сфера каким- либо видом симметрии?
На рис. 60 изображен угол, вписанный в окружность. Сформулируйте определение вписанного угла. Где располагается его вершина?
Ответьте на вопросы.
Какой угол можно назвать центральным углом?
Рис. 58Рис. 58Можно ли вписать в окружность треугольник? Как будет звучать определение вписанного треугольника? Обобщите его на случай многоугольника.
Рис. 58
Рис. 58
Как будет звучать определение многогранника, вписанного в сферу?
К какому типу будут относиться сформулированные вами определения?
Кроме того, здесь или позже могут быть введены формулы для вычисления длины дуги и площади сектора, вывод которых основан на известных из курса математики 5—6 классов формулах длины окружности и площади круга. Помочь этому может выполнение предлагаемых ниже заданий.
На рис. 61 изображены круговой сектор и кру- М/ говой сегмент. Сформулируйте определения этих фигур. Какого типа определения вы сформулирова- / ли?[ О
Ответьте на вопросы.I/
Сколько на самом деле на рис. 61 секторов и \\/
сегментов?
Можно ли из двух сегментов составить круг?
Из каких фигур может быть составлен круго- рис. 61 вой сектор?
Сформулируйте аналогичные определения для шарового сектора и шарового сегмента. Сделайте соответствующие рисунки. Из каких фигур состоит шаровой сектор?
Какую фигуру можно назвать шаровым слоем?
Где в реальной жизни можно встретить эти фигуры?
4) Вспомните формулы для вычисления длины окружности и площади круга.
Ответьте на вопросы.
Знаете ли вы, как были получены эти формулы?
Что вам известно из истории вычисления числа я? Подготовьте об этом сообщения для своих одноклассников.
Какие знаменитые задачи древности связаны с числом я?
Найдите в справочниках формулы для вычисления площади поверхности сферы и объема шара.
Как вы думаете, каким образом можно вычислить длину дуги, стягивающей центральный угол в 1°, 43°, п°? Какой может быть общая формула для вычисления длины дуги окружности?
Как, зная формулу площади круга, вычислить площадь сектора в 1°, 27°, л°? Запишите соответствующую формулу.
Как с помощью величины центрального угла можно установить угловую величину стягиваемой им дуги? Какой будет угловая величина дуги, опирающейся на диаметр? Какова угловая величина всей окружности?
Методика изучения равенства треугольников и равнобедренного треугольника
Центральным вопросом курса геометрии 7 класса является равенство треугольников. Перед изучением признаков равенства целесообразно провести типологию треугольни-
ТреугольникиТреугольникиков по углам и сторонам, результаты которой представляются следующими схемами:
Треугольники
Треугольники
Есть тупойугол?ТупоугольныйНетупоугольный
данет
ОстроугольныйОстроугольный/ Есть прямой \/ угол? X
Остроугольный
Остроугольный
Прямоугольный
Треугольники
Есть равныестороны?
РазностороннийНеразносторонний
^/ Только две \”ет
/ стороны равны? X
РавнобедренныйРавносторонний
Здесь же будет уместным указать, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Этот факт вводится без доказательства (принцип отложенного доказательства). Оно будет осуществлено при изучении параллельности прямых.
Традиционно трудным для школьников является изучение признаков равенства треугольников. На одном и том же теоретическом материале учитель знакомит школьников с устройством теоремы, понятием «доказательство теоремы*, понятием признака. Практика показывает, что школьникам трудно осознать роль признаков. Решая задачи на доказательство равенства треугольников, они нередко начинают решение со слов «наложим один треугольник на другой». Преодолеть эти проблемы поможет обращение к практическому заданию исторического характера. Как известно, Фалес определил высоту египетских пирамид по длине их тени в полдень (обоснование этого способа может быть проведено при изучении свойств равнобедренного треугольника). Ученики знают, что египетские пирамиды — правильные четырехугольные (определение пирамиды могло быть введено на одном из первых уроков геометрии, но оно нам не потребуется, так как нас в данный момент интересует лишь равенство боковых граней, правильность пирамиды), т. е. их боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Ставится вопрос: как проверить равенство боковых граней? Поскольку наложить их друг на друга, т. е. применить определение, невозможно. Для этих це-
лей и были придуманы признаки, которые позволяют установить равенство треугольников иным способом. Эту же ситуацию возможно использовать для мотивации изучения второго признака равенства, поскольку проверить правильность пирамиды на основании первого признака не удастся.
Сценарий работы с доказательством признаков равенства треугольников может быть различным. Схема доказательства первого и второго признаков может быть показана на конкретных примерах. Ученики дома готовят из плотной бумаги модели треугольников, например со сторонами 10 и 13 см и углом между ними 70 , со стороной 12 см и прилежащими к ней углами 80 и 60°, на уроке с помощью наложения проверяется равенство, демонстрационные модели может подготовить учитель. Обоснование признаков может быть рассмотрено по тексту учебника, при этом воспроизведение доказательства учащимися может не требоваться. Знакомство с устройством теорем и доказательством более целесообразно проводить при изучении равнобедренного треугольника. Здесь же основное внимание следует уделить формированию опыта применения признаков при решении задач, причем для этой цели следует использовать задания на готовых чертежах, большое число которых представлено в учебниках геометрии А. Д. Александрова.
Изучение свойств, а в дальнейшем и признаков равнобедренного треугольника можно организовать на основе следующего задания.
►► ПРИМЕР
Рис. 62Рис. 62В равнобедренном треугольнике АВС {АВ = ВС) вершина В соединена с точкой D на основании (рис. 62).
Рис. 62
Рис. 62
Какие элементы треугольников ABD и DBC будут равны? При каком дополнительном условии эти треугольники будут равны? Каким элементом треугольника АВС будет в этом случае отрезок BD? Какие элементы треугольников ABD и DBC при этом окажутся равными?
Какие свойства равнобедренного треуголь
ника мы получили, отвечая на поставленные выше вопросы? Сформулируйте их в виде утверждений со словами: «Если треугольник равнобедренный, то
Какое дополнительное построение потребовалось нам для обоснования свойств равнобедренного треугольника?
Запишите доказательство этих свойств. На каких теоретических фактах оно было основано?
Работая на уроке с этим заданием, ученики получают три свойства равнобедренного треугольника: углы при основании
равны, биссектриса является высотой, биссектриса является медианой. Их доказательство было основано на том, что мы провели биссектрису. Естественно ставится вопрос, что изменится, если в равнобедренном треугольнике к основанию провести медиану, провести высоту. Отвечая на эти вопросы, ученики получают новые свойства равнобедренного треугольника. Некоторое время спустя учитель предлагает школьникам сформулировать утверждения, обратные полученным свойствам равнобедренного треугольника, и проверить их истинность. В результате этой работы могут быть введены признаки равнобедренного треугольника. Как упражнения следует предложить школьникам сформулировать и обосновать признаки равенства прямоугольных, равнобедренных, равносторонних треугольников. Для школьников, склонных к исследовательской деятельности, целесообразно предложить задания на поиск признаков равенства треугольников, в которых, наряду со сторонами и углами, участвуют медианы, высоты, биссектрисы треугольников (некоторые из таких заданий приведены в учебниках, например задачи 170, 176 в учебнике Л. С. Атанасяна).
Методика изучения частных видов четырехугольников и их площадей
Изучение четырехугольников следует начать с актуализации опыта школьников (они знают прямоугольник и квадрат, при изучении параллельных прямых был введен параллелограмм и получены его свойства с помощью заданий, приведенных ниже).
Н ПРИМЕРЫ
На рис. 63 отрезки АК и MD пересекаются в точке О. их общей середине. Их концы последовательно соединены отрезками.
Укажите на рисунке равные треугольники, равные углы. Каково взаимное расположение противоположных сторон образовавшегося четырехугольника? Знаете ли вы его название?
Какие свойства этого четырехугольника вы можете установить, используя рис. 63?
На рис. 64 изображены четырехугольники, про
тивоположные стороны которых параллельны.
На рис. 64, a ZM = 40°. Определите углы этого четырехугольника. Чему будет равна их сумма? Какова связь противоположных углов этого четырехугольника? Изменится ли последний результат, если мы зададим другую величину угла?
На рис. 64, б и а назовите равные углы, равные треугольники, равные отрезки. Какие свойства нарисованных четырехугольников вы можете сформулировать?
Вспомните, как называются четырехугольники на рис. 64. Сформулируйте их свойства в виде утверждений со словами «Если ..., то ...*. Проведите доказательства.
Приведенные выше задания могут быть использованы и при изучении параллельности, тогда в теме ♦ Параллельные прямые» будут получены определение и некоторые свойства параллелограмма. Причем эти задания, с одной стороны, выступают как упражнения по применению теоретических фактов темы, а с другой — позволяют получить новые знания (определение и свойства параллелограмма).
Если же эти задания используются в теме ♦Четырехугольники», тогда их следует предлагать перед рассмотрением теоретического материала по теме (например, включить в домашнее задание перед соответствующим уроком). Работая с ними, ученики самостоятельно или в сотрудничестве с одноклассниками, либо учителем получат необходимые факты, учитель лишь подводит итоги обсуждения полученных результатов и делает обобщения. Такой подход позволяет опираться на субъектный опыт ученика при изучении геометрии, организовать его познавательную деятельность. Подобным образом организуется работа и с другими заданиями, приведенными в лекциях данного раздела.
На основании этих знаний и с помощью конструкций, представленных на рис. 64, могут быть получены определения частных видов параллелограмма и обоснованы свойства прямоугольника, ромба, квадрата. Для этого можно предположить следующие задания.
►► ПРИМЕРЫ
Является ли прямоугольник параллелограммом? Какими свойствами параллелограмма он будет в этом случае обладать? Какие дополнительные свойства он будет иметь?
Ответьте на аналогичные вопросы для ромба, квадрата. Является ли квадрат прямоугольником? Будет ли квадрат ромбом? Сформулируйте новые свойства фигур в форме теорем, выделите в них условие, заключение, разъяснительную часть.
Работая с признаками параллелограмма, учителю следует организовать работу по поиску доказательства. Это можно сделать на примере третьего признака параллелограмма (рис. 65).
Для учеников, интересующихся исследовательской деятельностью в геометрии, следует предложить задания по поиску иных признаков параллелограмма. Выполнить эту работу они могут, проверяя истинность составленных ими утверждений, обратных свойствам (опыт установления таким же образом признаков равнобедренного треугольника ученики уже имеют). Для индивидуального исследования целесообразно предложить задания по установлению признаков частных видов параллелограмма (прямоугольника, квадрата, ромба). Возможно организовать разноуровневую деятельность. Формулировки могут быть найдены и признаки обоснованы самими учащимися, либо признаки формулирует учитель (указывает источник), а ученики выполняют обоснования. Либо учитель показывает всю процедуру для одного из частных видов параллелограмма, а ученики самостоятельно работают с другими.
Учителю совместно с учащимися также при изучении темы следует провести классификацию четырехугольников, показав, что в зависимости от оснований классификации возможны различные определения квадрата — как ромба с прямыми углами или как прямоугольника с равными сторонами. Обязательно следует обратить внимание школьников на избыточность определений частных видов параллелограмма и уточнить эти определения. Целесообразно показать, что на основании признаков могут быть сформулированы иные определения фигур, например параллелограмма как выпуклого четырехугольника, у которого равны противоположные стороны.
KBDM — параллелограмм
I I
Определе- Первый Второй ние признак признак
BD II КМ BD II КМ BD - КМ
ВК II MD BD - КМ ВК = DM
Непосредственно с четырехугольниками следует рассматривать и их площади. К моменту рассмотрения этого вопроса в систематическом курсе геометрии ученики знают формулы площади квадрата и прямоугольника, площади круга, объема прямоугольного параллелепипеда и куба, а также могут быть знакомы со свойствами площади (объема), могут уметь вычислять площадь фигуры с помощью палетки.
Изучение площадей можно начать с лабораторной работы по вычислению площади произвольной фигуры, естественным продолжением которой станет выделение свойств площади (объема), на которых строилась работа (аддитивности, положительности и др.) и которые будут положены в основу выведения формул площади треугольников и четырехугольников.
Основным вопросом является обоснование известной ученикам формулы площади прямоугольника, как и при изучении объема прямоугольного параллелепипеда. После выполнения лабораторной работы учитель иллюстрирует идею доказательства формулы площади прямоугольника — покрытие фигуры единичными квадратами. Рассматриваются три случая: измерения — натуральные числа, длины сторон — обыкновенные дроби, одно из измерений — иррациональные числа, причем для этого можно выбрать конкретные числовые данные. В последнем случае рассматриваются приближения иррационального числа по недостатку и по избытку, что порождает две последовательности прямоугольников с рациональными измерениями — процедуру, аналог которой знаком ученикам из истории вычисления числа п. Обоснование формулы объема прямоугольного параллелепипеда проходит по той же схеме. Дальнейшая схема изучения площадей четырехугольников очевидна: прямоугольник разбивается диагональю на два прямоугольных треугольника (формула площади прямоугольного треугольника), произвольный треугольник на два прямоугольных высотой (формула площади треугольника), параллелограмм — на два треугольника и т. д.
Интересным случаем для организации самостоятельного поиска решения задач является формула площади трапеции, где возможны различные разбиения фигуры. Учитель на уроке после актуализации разбиения на части как одного из способов вычисления площади фигуры, просит школьников предложить возможные варианты разбиения трапеции на фигуры, формулы площади которых уже известны. Обычно школьники предлагают такие разбиения трапеции: на прямоугольник и два прямоугольных треугольника, на два треугольника, на параллелограмм и треугольник (рис. 66). На уроке целесообразно вывести формулу на основе одного из
Рис. 66
разбиений, а остальные предложить для самостоятельной работы дома с последующей проверкой. Аналогичная схема может быть реализована при обосновании формулы объема призмы. По формуле объема прямоугольного параллелепипеда ученики на основе его разбиения выводят формулу объема прямой призмы, в основании которой прямоугольный треугольник, затем произвольный треугольник, произвольный многоугольник. Потом следует описать процедуру перестраивания наклонной призмы в равновеликую прямую. Помочь в этом могут следующие задания.
►► ПРИМЕРЫ
Вспомните, как мы перестраивали треугольник в равновеликий ему прямоугольник. А как перестроить прямую треугольную призму в прямоугольный параллелепипед? Проведите необходимые вычисления и выполните модель.
Какую аппликацию мы выполняли при перестраивании параллелограмма в прямоугольник? Сколько случаев нами было рассмотрено? Как перестроить прямой параллелепипед в прямоугольный? Подготовьте модель.
На уроке труда ученик изготовил из дерева модель наклонного параллелепипеда, затем сделал его распил вдоль плоскости, перпендикулярной ребру, через середину этого ребра, и сказал, что из частей фигуры можно составить прямой параллелепипед. Прав ли он? Можете ли вы обосновать свой ответ? Постарайтесь повторить выполненную учеником модель хотя бы в пластилине.
Можно ли перестроить наклонный параллелепипед в равновеликий ему прямой?
Можно ли разбить параллелепипед на пирамиды? Как это сделать? Каким будет наименьшее число таких пирамид? Выполните модели, позволяющие составить из пирамид параллелепипед. Какие вычисления нужно провести для подготовки разверток?
Методика введения понятия «многогранник»
Изучение многогранников в курсе стереометрии (или в едином курсе геометрии, если учитель реализует идею фузионизма) следует связать с субъектным опытом школьников, поскольку с большинством многогранников, а также с цилиндром, конусом и шаром они знакомы.
Родовым понятием как для призм, так и для пирамид является понятие многогранника. Возможны различные подхо-
ды к введению этого понятия на уроках геометрии. Можно оставить его без определения, на уровне представлений, которые сложились у учеников, можно предъявить фигуры, входящие в объем понятия (выпуклые, невыпуклые многогранники, кольцеобразные многогранники). Можно определить многогранник как ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, не формулируя при этом определений ограниченного тела и поверхности. Более целесообразным подходом можно считать такой, при котором на основе последнего определения выстраивается родословная понятия: определяются понятия тела (внутренние, граничные точки, связность, граница) и поверхности; актуализируется определение понятия многоугольника, показывается, из каких многоугольников состоит граница (почему, например, поверхность куба состоит из шести квадратов, а не из двенадцати прямоугольных треугольников). Материалы для этого можно J найти в любом из действующих учебников геометрии, а подробности учитель может почерпнуть из статьи А. Д. Александрова «Что такое многогранник» [1], где также описывается подход к определению многоугольника, который может быть реализован в школе.
После введения понятия многогранника определяются призма и ее частные виды, пирамида и ее частные виды, рассматриваются свойства этих фигур. Призмы и пирамиды могли быть определены уже на первых уроках стереометрии без определения понятия многогранника, некоторые свойства призм и пирамид могли быть сформулированы и обоснованы при изучении параллельности и перпендикулярности в пространстве (см. лекцию 24). Свойства правильной пирамиды могут быть получены при анализе следующей конструкции.
►► ПРИМЕРЫ
В правильной пирамиде из вершины на плоскость основания опущен перпендикуляр. Основание перпендикуляра соединено отрезками с
вершинами основания пирамиды и серединами ребер основания, вершина пирамиды соединена с серединами ребер основания. Найдите на рис. 67 равные отрезки, равные углы, сформулируйте свойства правильной пирамиды. Определения и свойства других видов пирамид могут появиться как результат выполнения следующих заданий.
Какие виды пирамид вы знаете? Основываясь на этимологии понятия, сформулируйте определение пирамиды с равнона- клоненными ребрами, с равнонаклоненными
гранями. Где в каждом случае будет располагаться основание высоты этих пирамид? Является ли правильная пирамида пирамидой с равнонаклоненными ребрами, с равнонаклоненными гранями? Вспомните свойства правильной пирамиды. Какими из них будут обладать пирамиды с равнонаклоненными ребрами, с равнонаклоненными гранями? Будут ли они обладать какими-либо свойствами, которых нет у правильных пирамид?
Как будут расположены основания высот каждого из видов пирамид относительно вершин, относительно сторон основания?
Какими видами симметрии могут обладать пирамиды? Обоснуйте свои предложения.
Как вычислить площадь поверхности пирамиды? Какие формулы вы могли бы предложить для вычисления площади поверхности частных видов пирамид? Знаете ли вы формулу объема пирамиды?
Встречали ли вы в реальной обстановке фигуры в форме усеченной пирамиды? Вспомните определение усеченной пирамиды. Какая усеченная пирамида называется правильной? Существуют ли усеченные пирамиды с равнонаклоненными ребрами, равнонаклоненными гранями? Как вычисляется площадь поверхности усеченной пирамиды, ее объем?
Изучение многогранников традиционно сопровождается знакомством с правильными многогранниками — Платоновыми телами, целесообразно упомянуть и о полуправильных многогранниках — архимедовых телах. Сделать это можно на основе докладов учащихся, материал для которых они могут найти в * Энциклопедическом словаре юного математика», ♦Энциклопедии для детей» и других справочных изданиях. Большую помощь в изучении многогранников может оказать изготовление моделей как выпуклых, так и невыпуклых многогранников. Как известно, описание моделей и инструкции по их изготовлению приведены в книге М. Веннинджера «Модели многогранников».
Рекомендации по изучению объемов многогранников
Одновременно с изучением частных видов многогранников могут быть введены формулы площади поверхности и объема, что значительно расширит номенклатуру решаемых задач и будет способствовать реализации внутрипред- метных связей. Причем если формулы площади поверхности призм или пирамид могут быть выведены учащимися самостоятельно, то с формулами объема все обстоит сложнее. Выше была описана процедура получения формулы объема призмы, сейчас необходимо остановиться на формуле объема пирамиды. В разные исторические периоды, да и в настоящее время, в школьной практике реализовывались различные способы обоснования формулы объема пирамиды: принцип Кавальери (Киселев), формула Симпсона (Барыбин), пред-
ставление объема интегралом (Александров, Атанасян), перестраивание пирамиды в параллелепипед (Погорелов), практический подход (Кулишер, Выгодский) и др. Возможен также и радикальный подход, когда формулы объемов призм, пирамид, фигур вращения вводятся без доказательства. Разумеется, использование определенного интеграла для вычисления объемов возможно, если ученики знакомы с этим понятием. В противном случае целесообразен культурно-исторический подход — описание, как эта проблема решалась по мере развития математики как науки. Впрочем, и основная интегральная формула также может появиться лишь на описательном уровне, поскольку ясно, что аккуратное изложение теории площадей и объемов в школе невозможно, да и не нужно, достаточно показать основные идеи и методы. Начать можно и с описания практического подхода к проблеме, как это сделано в следующем задании, или с практической работы по разделению параллелепипеда на три пирамиды.
►► ПРИМЕР
Для проверки истинности формулы объема пирамиды в известном в первой четверти XX в. учебнике геометрии А. Р. Кулишера и в учебнике геометрии для реальных училищ времен Великой Отечественной войны М Я. Выгодского предлагалась практическая работа.
Изготавливались две формы. Одна —- в виде прямоугольного параллелепипеда, другая — в форме пирамиды, имеющей такое же основание, как и параллелепипед, и такую же высоту. Форма «пирамида» засыпалась песком, который затем пересыпался в параллелепипед. Сколько раз придется засыпать песок в пирамиду, чтобы с ее помощью заполнить параллелепипед?
А если бы мы взяли формы в виде цилиндра и конуса, то какой бы был результат? Какими должны быть размеры этих форм?
Кроме проблем с изложением теоретического материала, в теме «Объемы» присутствует проблема составления оптимального набора задач по теме. Учителю необходимо показать, что решение задачи по вычислению объема призмы или пирамиды разделяется на три подзадачи: определение площади основания, построение высоты и вычисление длины построенной высоты. Именно различное положение высоты определяет минимальный набор задач. Например, в набор задач по теме «Объем наклонной призмы» следует включить вычисление объема призмы, у которой боковое ребро составляет некоторый угол с плоскостью основания, вершина одного основания проектируется в какую-либо точку другого основания, боковое ребро образует равные углы со смежными ребрами ос-
нования, одна боковая грань перпендикулярна основанию, диагональное сечение перпендикулярно основанию и т. д. В такой набор обязательно должны войти следующие задачи.
►► ПРИМЕР
Какие призмы мы будем называть наклонными? На рис. 68 представлена треугольная призма, боковое ребро которой АК образует равные углы со смежными ребрами основания АВ и АС. Выполнены следующие построения: КР1 ABC, PD LAC.PQ^AB. АР. KD. КО.
Найдите на рисунке равные углы, равные отрезки, равные треугольники. Сколько прямоугольных треугольников на рисунке? Какие из них будут равны? Каким элементом треуголь
ника АВС будет отрезок AS?
Укажите проекцию бокового ребра АК на плоскость основания призмы. Опираясь на полученные результаты, заполните пропуски в формулировке следующего утверждения: «Если из одной точки пространства выходят три луча и один из них образует равные углы с двумя другими, то его проекцией на плоскость, образованную этими лучами, является... угла, образованного...*
Определите вид четырехугольника CNMB на этом же рисунке, если в основании нашей призмы будет лежать равнобедренный треугольник. Вычислите полную поверхность такой призмы, если в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 12 см, а боковое ребро равно 24 см и образует углы 45° со смежными ребрами основания.
Как будет расположена проекция бокового ребра на плоскость осно
вания призмы, если вершина верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижнего? Какой вид в этом случае примет основание четырехугольной призмы?
Какую из стандартных конструкций вы можете использовать при решении следующей задачи: основание параллелепипеда — параллелограмм со сторонами 4 и 8 см и углом 45° между ними, боковое ребро равно 6 см и образует с меньшей стороной основания угол 60°, с большей стороной 45°. Вычислите объем параллелепипеда.
Ученик 11 класса в домашнем задании решал задачу на вычисление объема параллелепипеда, все грани которого ромбы с диагоналями
6 и 8 см, и получил ответ: V = 18-/39 см3, совпавший с ответом в учебнике. Какая из известных нам конструкций участвует в задаче? Каков план решения этой задачи?
Его младший брат-восьмиклассник, недавно делавший модель этой фигуры, сказал, что задача решена неверно, и ответов должно быть два. На чем он основывал свое утверждение? Почему «потерялся» второй ответ?
Второй ответ в последней .задаче потерялся потому, что в одной вершине этого параллелепипеда могут «сойтись» три острых угла, два острых и один тупой угол (вычислите второй ответ самостоятельно). При работе с этой задачей, если учи-
тель опускает приведенный в ней сюжет, мы рекомендуем предварительно подготовить модели (их будет две).
В набор заданий также следует включить задачи на применение формулы объема призмы через площадь перпендикулярного сечения и боковое ребро.
Аналогичным образом составляется набор задач на вычисление объема пирамиды.
Методические замечания об изучении фигур вращения и их комбинаций с многогранниками
Прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус, усеченный конус, сфера, шар знакомы ученикам. Они могут сформулировать конструктивные определения этих понятий самостоятельно либо найти их в учебниках, справочниках. С помощью развертки ученики также могут самостоятельно вывести формулы площади поверхности цилиндра, конуса и усеченного конуса. Для вывода же формулы площади сферы требуется понятие предела, поэтому учитель может выбрать сам удобную стратегию обоснования формулы (приближение многогранной поверхностью, объем слоя бесконечно малой толщины между двумя концентрическими шарами), либо оставить ее без обоснования.
Аналогичным образом следует поступить и с обоснованием формул объема фигур вращения. Наиболее оптимальным вариантом представляется описание идеи доказательства формулы объемов этих фигур через две сходящиеся последовательности вписанных и описанных многогранников. С подобной процедурой школьники познакомились при вычислении числа л, а интегральную формулу объема фигур вращения нельзя применить к цилиндру, так как эта формула выводится на основе объема цилиндра.
Завершая разговор об изучении фигур вращения, отметим, что мы считаем целесообразным рассмотреть со школьниками комбинации шара и многогранников, поскольку решение задач по этой теме обеспечит реализацию внутрипредметных связей, позволит систематизировать и обобщить полученные знания. Мы предлагаем такую последовательность изучения этого материала: вписанный в сферу цилиндр, описанный около сферы цилиндр; вписанная в сферу призма, описанная около сферы призма; вписанный в сферу конус, описанный около сферы конус; вписанная в сферу четырехугольная пирамида, треугольная пирамида, описанная около сферы пирами-
да. В качестве дополнительного материала можно рассмотреть и комбинации фигур вращения. Более подробно с этим вопросом можно познакомиться при выполнении лабораторных работ по соответствующей теме.
^Ключевая информация
Линия фигур является ведущей в систематическом курсе геометрии.
К началу изучения систематического курса геометрии ученики уже знакомы с многими фигурами (плоскими и пространственными) из предшествующего курса математики и из жизни, поэтому их субъектный опыт следует активно использовать при изучении фигур, возможна также организация изучения материала в жанре «геометрии на задачах». Для установления более прочных и осознанных внутрипред- метных связей, организации исследовательской деятельности целесообразно изучить комбинации многоугольников и окружности, многогранников и сферы, комбинации фигур вращения, изучать фигуры вместе с их площадями и объемами.
Приобретению опыта исследовательской деятельности, реализации идеи многозначности способствует и формулирование различных определений фигур (использование различных наборов существенных свойств). При изучении геометрии фигур с целью развития пространственного мышления школьников возможна и реализация идеи фузионизма на различных уровнях, в частности иллюстрация планиметрических фактов на телах.
4-
Рекомендуемая литература
Александров А. Д. Что такое многогранник // Математика в школе. — 1981. — № 1—2.
Веннинджер М. Модели многогранников. — М.: Мир, 1983.
Выгодский М. Я. Геометрия: Учеб, для ремесленных и железнодорожных училищ. — 2-е изд. — М.; Л.: Гостехиздат, 1945.
Кулишер А. Р. Учебник геометрии. Курс подготовительный. — СПб.: Издание книжного магазина П. В. Луковчикова, 1914.
Рослова Л. О.. Шарыгин И. Ф. Многоугольники-1: Учеб, пособие. — М.: Изд-во гимназии «Открытый мир», 1995.
Смирнова И. М. В мире многогранников: Кн. для учащихся. — М.: Просвещение, 1995.
Лекция 24
Методика изучения параллельности и перпендикулярности на плоскости и в пространстве
Геометрия — средство восприятия среды и выражения себя.
А. Д. Александров
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Почему, формулируя определение параллельных прямых, ученики чаще всего говорят, что две прямые, которые не имеют общих точек, называются параллельными?
Считаете ли вы целесообразным изучение отношений параллельности и перпендикулярности на геометрических фигурах? Почему?
Какие утверждения, эквивалентные аксиоме параллельных, вам известны?
Цели изучения темы
Изучение взаимного положения прямых, плоскостей, свойств и признаков параллельности прямых, а также плоскостей, прямой и плоскости, перпендикулярности на плоскости и в пространстве и сопутствующих этим темам вопросов направлено на достижение следующих целей:
актуализация и обобщение субъектного опыта ученика, включение этого опыта в процесс изучения данной темы, коррекция его опыта;
обоснование известных ученикам свойств фигур (квадрата, куба и др.), изучение связанных с отношениями параллельности и перпендикулярности новых свойств известных фигур, а также новых фигур (например, параллелограмма и параллелепипеда);
развитие словесно-логического мышления (знакомство с новым методом доказательства — косвенным доказательством, формирование опыта его применения при обосновании утверждений и решении задач; знакомство с новым способом организации теоретического материала — аксиоматическим построением теории; продолжение работы по формированию умения классифицировать; знакомство с новым типом определений — отрицательными);
продолжение работы по обучению поиску решения задач на новых геометрических объектах и на новом теоретическом
материале, формированию опыта самостоятельной познавательной деятельности (организация микроисследований);
знакомство с историей геометрии как науки, с иными геометриями и другими подходами к построению евклидовой геометрии;
введение правил изображения пространственных фигур на плоскости;
реализация внутрипредметных и межпредметных связей.
Отношения параллельности и перпендикулярности наряду с отношениями равенства и подобия — одни из важнейших не только с точки зрения изучения геометрии как учебного предмета, но и для изучения окружающего ученика пространства, формирования естественнонаучной картины мира. К началу изучения этих вопросов в курсе геометрии ученики уже обладают определенной суммой знаний о параллельности и перпендикулярности, приобретенной, в частности, и при изучении математики в 1—6 классах школы. Им известны квадрат и куб, прямоугольник и прямоугольный параллелепипед, пирамида, некоторые свойства данных фигур, поэтому мы считаем целесообразным иллюстрировать изучаемый теоретический материал на этих фигурах, использовать их при составлении задач по данным темам.
Отметим, что перечисленные выше цели изучения избыточны. Так, например, знакомить учеников с правилами изображения пространственных фигур в геометрии целесообразно, если предполагается реализация в курсе каких-либо вариантов идеи фузионизма, либо иллюстрировать изучаемые факты планиметрии на объемных фигурах, либо использовать последние в задачах.
Возможность организации самостоятельного получения теоретических знаний можно показать на ряде примеров. Перед изучением вопроса о сумме углов треугольника ученикам может быть предложено следующее задание.
►► ПРИМЕРЫ
Рис. 69Рис. 69) На рис. 69 прямые а и b параллельны. Какие из занумерованных углов будут равны? Пусть Z2 = 40 \ Z8 = 50 . Величины каких углов можно определить? Какие теоретические выводы о связях углов треугольника можно сделать?
Рис. 69
Рис. 69
Результатом работы с данной задачей будет являться теорема о сумме углов треугольника и теорема о связи внешнего угла треугольника и его внутренних углов.
Другим примером может послужить задание, предшествующее изучению теоремы о трех перпендикулярах.
) На рис. 70 РК1 р, а Я b, МК1 о. Найдите на рисунке прямые, перпендикулярные плоскости РМК. Назовите все пары перпендикулярных прямых. Какие из прямых могут выступать
в роли перпендикуляров к плоскости р, наклон- Рис. 70 ных и их проекций?
Если при поиске перпендикулярных прямых вы «не потеряли» ни одной пары, то сейчас сможете установить один очень важный факт. Заполните пропуски в его формулировке: «Если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то она ... самой наклонной». Как вы можете его обосновать?
Сформулируйте обратное утверждение. Будет ли оно истинным? Эти два факта выражают одну из основных теорем данной главы — теорему о трех перпендикулярах. Сколько перпендикуляров на самом деле участвует в формулировке теоремы?
В лекции 23 приведены задания, позволяющие получить определение и свойства параллелограмма. Они могут быть использованы при изучении параллельности в качестве упражнений по теме (с теми же самыми теоретическими следствиями).
Приведенные примеры показывают, с одной стороны, целесообразность изучения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей на геометрических фигурах, а с другой стороны, возможность изучения ряда свойств плоских и объемных фигур в процессе изучения параллельности и перпендикулярности на плоскости и в пространстве.
Особенности изложения учебного материала в школьных учебниках
В учебниках геометрии федерального комплекта (А. Д. Александров, Л. С. Атанасян, А. В. Погорелов) принято раздельное изучение геометрии плоскости и пространства и, соответственно, параллельности и перпендикулярности на плоскости и в пространстве. Тогда как в альтернативных пособиях (В. А. Гусев, Г. Г. Левитас, В. В. Орлов) на разных уровнях реализуется идея фузионизма. Кроме того, в различных учебниках и в разное время последовательность изучения этих вопросов разная, что влияет на отбор теоретического материала и доказательную базу. Так, в 50-е г. XX в. изучение параллельности на плоскости предшествовало изучению равенства треугольников. В учебниках А. Д. Александрова для старшей школы сначала изучалась перпендикулярность в пространстве,
а затем параллельность; использовались и различные утверждения, эквивалентные аксиоме параллельных (например, аксиома прямоугольника у А. Д. Александрова). В учебниках федерального комплекта в настоящее время перпендикулярность на плоскости в самостоятельную тему не выделяется, материал рассредоточен по различным темам. При изучении этих вопросов почти не используются геометрические фигуры: параллелограмм, трапеция, параллелепипед, пирамида. Исключение здесь составляет лишь серия учебников А. Д. Александрова. Такая ситуация не позволяет изучать свойства фигур одновременно с отношениями параллельности и перпендикулярности, сужает набор решаемых задач.
Поскольку отношения параллельности и перпендикулярности являются одними из важнейших отношений в геометрии, то при изучении школьного курса имеет место многократное обращение к соответствующим теоретическим фактам (при изучении частных видов многоугольников, многогранников, их поверхностей и объемов и др.). Это, с одной стороны, способствует более глубокому освоению данного материала и установлению внутрипредметных связей, а с другой, результативное освоение последующих тем невозможно без усвоения учениками ведущих понятий этих разделов и основных теоретических фактов. Поэтому целесообразно соединять там, где это возможно, изучение отношений параллельности и перпендикулярности с изучением многоугольников и многогранников.
Кроме названных выше общих особенностей изложения данного материала в школьных учебниках геометрии, отметим еще ряд особенностей, характерных для конкретных учебников федерального комплекта.
В учебнике Л. С. Атанасяна параллельность двух перпендикуляров к прямой на плоскости устанавливается уже в одном из первых пунктов учебника на основе <перегибания♦ рисунка. Данный факт не выделен в качестве теоремы существования параллельных прямых, при этом он используется для доказательства признака параллельности прямых при равенстве накрест лежащих углов. Работая с этим признаком, учителю следует, во-первых, аккуратно обосновать принадлежность трех точек одной прямой. Во-вторых, обратить внимание школьников на неполноту доказательства (не рассматривается третий случай — тупые накрест лежащие углы, его можно предложить школьникам для самостоятельной работы). В-третьих, объяснить, что теорема доказывается с помощью полной индукции: рассматриваются все возможные углы
(прямые, тупые, острые), полная индукция встретится ученикам при доказательстве теоремы о величине вписанного угла. В-четвертых, целесообразно сделать разделение углов на внутренние и внешние во всех признаках параллельности прямых, предложив все теоремы с внешними углами для самостоятельного доказательства, а в достаточно подготовленных классах можно предложить для самостоятельного доказательства и все признаки, кроме первого.
Еще одной особенностью учебника является отсутствие в данной теме теории и задач о средней линии треугольника и, соответственно, в теме «Четырехугольники» — средней линии трапеции. Ввести свойства средних линий можно, работая со следующими заданиями.
►► ПРИМЕРЫ
1)В треугольнике АВС на рис. 71 через точку М — середину стороны АВ проведены прямая МК параллельно АС и прямая МР параллельно ВС. Сколько треугольников вы можете найти на рисунке? Какие еще фигуры вы можете найти на данном рисунке? Назовите их. Какие треугольники на рисунке будут равны? Почему? Каким элементом треугольника АВС будет отрезок МК? Какие теоретические выводы о свойствах этого отрезка можно сделать?
Правильные ответы на поставленные вопросы позволят вам получить определение и свойства средней линии треугольника. Сформулируйте свойство в форме теоремы со словами «Если .... то ...*. Выделите в ней разъяснительную часть, условие, заключение. Сформулируйте утверждение, обратное данному.
На рис. 72 СЕ = ED, ВС (I KE II AD. Докажите, что К — середина АВ, что KE = ^(SC + ADY Какой фигурой будет четырехугольник ABCD? Каким элементом этого четырехугольника окажется отрезок КЕ? Можете ли вы Сформулировать какие-либо свойства данного отрезка?
Как теоремы в учебнике Л. С. Атанасяна не выделены теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках.
В учебнике А. В. Погорелова в параграфе «Основные свойства простейших геометрических фигур» сформулировано определение параллельных прямых и аксиома параллельных, но не рассматривается существование параллельных прямых, так как вопрос о перпендикулярности прямых обсуждается позже. Систематическое изучение параллельности на плоскости происходит в параграфе «Сумма углов треугольника».
Признак параллельности прямых формулируется в дизъюнктивной форме: «Если внутренние накрест лежащие углы ... или сумма .... то ...». В такой же форме дано и заключение теоремы о свойствах параллельных прямых. Целесообразно разделить эти теоремы на несколько утверждений» а также рассмотреть» кроме внутренних, внешние углы. В эти теоремы автор не включил равенство соответственных углов.
В учебнике А. Д. Александрова возможность классификации взаимного положения прямых появляется уже в первой главе учебника, отношения перпендикулярности и параллельности связаны с проблемой построений. В контексте решения задачи о построении треугольника по стороне и двум углам возникает и аксиома параллельных (при исследовании возможности построений). Такой подход позволяет рассматривать данный вопрос в историческом контексте. При изучении параллельности появляется и прямоугольник с его свойствами. Отметим, что в ряде изданий учебников данного авторского коллектива вместо аксиомы параллельности используется аксиома прямоугольника. Учитель, работающий по другим учебникам геометрии» может использовать данный материал в качестве дополнительного для демонстрации возможности выбора различных аксиом при построении геометрической теории, для организации микроисследований учениками» проявляющими интерес к теоретической деятельности в геометрии.
Кроме того, отметим, что основной теоретический материал отрабатывается на заданиях по готовым чертежам. Соответствующие задания также следует использовать при работе по другим учебникам геометрии.
Еще одной особенностью является определение прямого угла как угла, равного смежному. Этот пример можно использовать для демонстрации возможности различных определений одного и того же понятия.
Методические рекомендации к изучению параллельности на плоскости и в пространстве
Часть рекомендаций по изучению отношений параллельности и перпендикулярности на плоскости и в пространстве была сформулирована выше. Их можно дополнить еще рядом замечаний.
Прежде всего, следует выполнить классификацию взаимного положения прямых в пространстве и на плоскости, используя в качестве модели каркас куба, поскольку свойства этой
фигуры известны ученикам из курса математики 1—6 классов. Рассматривая взаимное положение ребер куба, целесообразно познакомить учеников со скрещивающимися прямыми. В качестве иллюстрации можно использовать изображения многоуровневых транспортных развязок. Введение скрещивающихся прямых позволит мотивировать необходимость включения в определение параллельных прямых их принадлежность плоскости.
Основным материалом при изучении параллельности прямых являются признаки и свойства параллельных прямых. Строя изучение этих вопросов в логике конкретного учебника, следует внимательно отнестись к доказательству первого признака параллельности. Можно рекомендовать учителю разобрать со школьниками текст, приведенный в учебнике, составить план доказательства, выделить обоснования для каждого шага в доказательстве. Это позволит естественным путем обнаружить пробелы в доказательстве и устранить их. Поскольку доказательства иных признаков обычно сводятся к первому из приведенных в учебнике, работу с ними целесообразно построить либо в логике самостоятельного поиска обоснования учениками, либо на основе изучения текста учебника. Для закрепления признаков и свойств параллельных прямых целесообразно выполнять задания по готовым чертежам (они в большом количестве представлены в различных изданиях учебника А. Д. Александрова). Кроме того, ученикам следует рекомендовать самостоятельно составить аналогичные задания. Изучая обоснования свойств параллельных прямых, следует раскрыть суть косвенного доказательства (доказательства от противного), если это не было сделано при изучении признаков равенства треугольников. Тогда свойства параллельных прямых естественным образом возникнут как утверждения, обратные признакам.
В качестве дополнительного материала при изучении данной темы можно рассмотреть параллелограмм и трапецию.
Целесообразно ввести основные объемные фигуры (пирамиду и параллелепипед) на первых уроках стереометрии. У учеников имеется опыт общения с этими фигурами. Используя модели и изображения этих тел, можно определить пирамиду как многогранник, одна грань которого многоугольник, остальные грани — треугольники с общей вершиной, а параллелепипед как шестигранник, все грани которого — параллелограммы. При этом неопределенным останется понятие многогранник, представления о котором есть в опыте учащихся, здесь можно использовать идею «отложенной формализа-
ции». Введение многогранников на первых уроках стереометрии позволит изучать отношение параллельности в пространстве на геометрических фигурах, что сделает возможным изучение свойств многогранников в данном разделе, а также существенно расширит тематику задач.
Начать изучение темы следует с классификации взаимного положения прямых и плоскостей в пространстве, рассматривая модели пирамиды и параллелепипеда.
Сделать это возможно, выполняя следующие задания.
Н ПРИМЕРЫ
Нарисуйте изображение параллелепипеда ABCDAXBXCXDV С его помощью установите взаимное положение прямых, содержащих ребра ААХ и AD, AD и DC, AD и ВХСХ. АВ и ССХ, AD и CXDX.
Каким может быть взаимное положение двух прямых в пространстве?
Как расположены относительно плоскости, содержащей грань ABCD, прямые АВ, AAV СХС? Каким может быть взаимное положение прямой и плоскости?
Каково взаимное положение плоскостей граней АВС и АВВХ, ADDX и BCCV плоскостей боковых граней? Каким может быть взаимное положение двух плоскостей в пространстве?
На основании результата предыдущей задачи заполните пропуски в следующих схемах:
Прямые в пространствеПрямые в пространствеПрямые в пространствеПрямые в пространствеИмеют общуюточкуИмеют общуюточкуНе лежатв одной плоскостиНе лежатв одной плоскости
Прямые в пространстве
Прямые в пространстве
Прямые в пространстве
Прямые в пространстве
Имеют общуюточку
Имеют общуюточку
Не лежатв одной плоскости
Не лежатв одной плоскости
ЛежатЛежатв плоскостив плоскостипозволит вам получитьпозволит вам получить
Лежат
Лежат
в плоскости
в плоскости
позволит вам получить
позволит вам получить
Пересекаются ...
в плоскости
Используя эти схемы, сформулируйте определения для каждого случая взаимного расположения прямых.
Составьте аналогичные схемы, описывающие взаимное положение
прямой и плоскости; двух плоскостей. Сформулируйте соответствующие определения.
На рис. 73 прямая о лежит в плоскости а, прямая b пересекает данную плоскость в некой точке X, не принадлежащей прямой а. Могут ли прямые о и б лежать в одной плоскости? Ответ обоснуйте. Какие утверж
дения вы использовали для обоснования ответа?
Правильный ответ на первый вопрос задачи признак скрещивающихся прямых. Его формулировка такова: «Если прямая лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то прямые скрещиваются*.
Последнее задание, как ясно из его
формулировки, позволяет сформулиро- Рис. 73
вать и обосновать признак скрещивающихся прямых. Это делает возможным организовать самостоятельный поиск обоснования признака параллельности прямой и плоскости при выполнении следующего задания.
Вспомните, каким может быть взаимное положение прямой и плоскости?
Прямая b на рис. 73 пересекает плоскость а. Как может быть расположена точка пересечения прямой b и плоскости а относительно прямой о. Каким в каждом из случаев будет взаимное положение двух прямых?
Может ли прямая b пересечь плоскость а, если прямые о и Ь параллельны? Ваш правильный ответ позволит заполнить пропуски в следующем утверждении: «Если прямая о параллельна прямой Ь, лежащей в плоскости а, то прямая о и плоскость а ...» Это утверждение выражает признак параллельности прямой и плоскости. Проведите обоснование признака.
Аналогичный подход может быть применен при изучении свойств параллельных плоскостей. Школьникам предлагается следующая задача.
Делая на уроке труда наклонный распил /хХ прямоугольного бруска, ученик обнаружил, что 4 противоположные стороны образовавшегося при этом четырехугольника (рис. 74) параллельны. [ Как помочь ученику обосновать этот вывод? Мож- но ли утверждать, что противоположные сторо- ны четырехугольника на распиле не только па-Л
раллельны, но и равны? Как вы думаете, какая Рис 74 фигура получится при распиле в самом деле?
Как будут расположены прямые, по которым две параллельные плоскости пересекает третья плоскость? Сформулируйте полученные вами результаты как теоремы, выражающие свойства параллельных плоскостей.
К этой задаче нужно будет обратиться при изучении теоремы о трех перпендикулярах, поскольку сечением параллелепипеда будет прямоугольник.)
Большинство теорем о параллельности прямых и о параллельности плоскостей доказывается методом «от противного♦ , поэтому необходима актуализация знаний о прямых и обратных теоремах, сути метода косвенного доказательства. Сделать это можно, повторяя материал о параллельности прямых.
В этом разделе в учебниках формулируется и доказывается достаточно много теорем существования, часть из которых следует предложить для самостоятельного изучения ученикам, интересующимся теоретической деятельностью в геометрии.
Кроме того, при изучении темы продолжается формирование опыта решения задач на построение сечений многогран-
ников. Появляется новый тип задач на построение сечений — построение сечений многогранника плоскостью, параллельной какому-либо элементу многогранника, которые, с другой стороны, можно рассматривать как упражнения на закрепление и применение признаков параллельности прямой плоскости и признаков параллельности плоскостей.
Методические рекомендации к изучению перпендикулярности в пространстве
Изучение перпендикулярности в пространстве важно не только само по себе, поскольку это одно из основных отношений, определяющее взаимосвязь элементов многогранников, но и для определения углов и расстояний, вычисления поверхностей и объемов многогранников и фигур вращения. Необходимо оно и при изучении темы «Векторы и координаты в пространстве*.
Содержание темы имеет ту же структуру, что и предшествующая тема: ♦ Перпендикулярность прямых в пространстве», «Перпендикулярность прямой и плоскости», <Перпендикулярность плоскостей ».
К началу изучения темы учащиеся имеют опыт работы с перпендикулярными прямыми на плоскости, знают определение перпендикулярных прямых, свойства наклонных и проекций на плоскости, связь параллельности и перпендикулярности на плоскости. Эти знания помогут ученикам самостоятельно либо в сотрудничестве с учителем или одноклассниками сформулировать и обосновать аналогичные утверждения в пространстве.
Для включения субъектного опыта учеников в процесс изучения данной темы рекомендуется основные определения вводить в начале ее изучения как результат работы со следующей задачей.
►► ПРИМЕР
Какие прямые, содержащие ребра куба на рис. 75, будут параллель
ны, будут перпендикулярны, будут скрещиваться? Всегда ли будут пере
Рис. 75Рис. 75секаться перпендикулярные прямые?
Рис. 75
Рис. 75
Какое определение перпендикулярных прямых в пространстве вы можете предложить?
Как определить величину угла между двумя прямыми в пространстве? Какой, по вашему мнению, будет величина угла между прямыми AN и СР на рис. 75?
Какие грани куба на рисунке будут перпендикулярны? Как можно определить понятие
«перпендикулярные плоскости»? Как определить угол между плоскостями? Какой, по вашему мнению, будет величина угла между плоскостями АВС и ANP?
Каково взаимное расположение прямой АМ и плоскостей граней куба? Какие прямые на рис. 75 будут перпендикулярны плоскости основания куба? Почему вы так считаете? Какое определение прямой, перпендикулярной плоскости, вы бы могли сформулировать?
Используя приведенную в задаче конструкцию, можно ввести определение перпендикулярных прямых в пространстве, перпендикулярных плоскостей, прямой, перпендикулярной плоскости, перпендикуляра, наклонной проекции, двугранного угла, линейного угла, иллюстрировать теорему о трех перпендикулярах (диагональное сечение куба — прямоугольник).
Одним из центральных теоретических фактов данной главы является признак перпендикулярности прямой и плоскости, обоснование которого сопровождается достаточно длинной цепью дополнительных построений.
Работу над этим признаком можно организовать по-разному.
Учитель может просто воспроизвести доказательство на уроке, попросив затем учеников выделить основные этапы доказательства, составить план доказательства, выделить обоснования и т. д.
Учитель может построить рассказ в логике поиска доказательства: «Итак, по определению нам надо доказать, что данная прямая будет перпендикулярна любой прямой на плоскости. Проведем произвольную прямую в плоскости через точку пересечения данных прямых с плоскостью и докажем, что она будет перпендикулярна данной прямой. Для доказательства перпендикулярности прямых можно воспользоваться различными признаками (какими именно?). В частности, мы можем воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника. Если мы построим равнобедренный треугольник так, чтобы данная прямая была медианой, проведенной к его основанию, то она будет высотой этого треугольника и поставленная цель будет достигнута. Приступим к построению равнобедренного треугольника...»
Учитель может организовать с помощью специально составленного задания самостоятельный поиск учащимися доказательства. )
При любом варианте изложения рекомендуется предварить его следующим заданием.
Рис. 76Рис. 76►► ПРИМЕРЫ
Рис. 76
Рис. 76
Говорят, что в судостроении раньше использовался следующий прием. Чтобы вертикально установить мачту, на палубе чертили две пересекающиеся прямые. Из точки пересечения этих прямых ставили мачту следующим образом: натягивали из одной точки мачты две пары растяжек равной длины и закрепляли их на одинаковых расстояниях от основания мачты на каждой из двух прямых (рис. 76). Почему прямая РО будет перпендикулярна каждой из этих прямых? Какие утверждения вы используете
для обоснования данного факта?
Оказывается, что в данном случае мачта будет установлена перпендикулярно палубе, т. е. прямая РО будет перпендикулярна плоскости АВС. Данное построение позволяет сформулировать признак перпендикулярности прямой и плоскости, пропуски в тексте которого вам предлагается заполнить: «Если прямая ... двум пересекающимся прямым. ...в
данной плоскости, то прямая... плоскости*.
Где в реальной жизни вы сталкивались с таким способом установки прямых перпендикулярно плоскости? Сделайте рисунки.
Вспомните определение прямой, перпендикулярной плоскости, и от
ветьте на вопрос, что нужно проверить для доказательства признака? Сформулируйте условие и заключение данной теоремы. Какова ее разъяснительная часть?
Сформулировав ответы на вопросы предыдущей задачи, вы установили, что для доказательства перпендикулярности прямой плоскости нужно доказать, что она перпендикулярна произвольной прямой ММ, лежащей в этой плоскости (рис. 77) и проходящей через точку О.
Вы знаете различные признаки перпендикулярности двух прямых. Среди них был следующий признак: «Если прямая содержит медиану равнобедренного треугольника, то она содержит и его высоту, т. е. перпендикулярна основанию треугольника*. Какие дополнительные построения на рис. 77 надо выполнить, чтобы воспользоваться этим признаком перпендикулярности прямых? Выполните эти построения и назовите на
получившемся рисунке равные отрезки, равные углы, равные треугольники. Составьте и запишите доказательство признака перпендикулярности прямой плоскости.
Смогли ли вы найти иные доказательства данного признака в учебниках геометрии или в справочниках? На каких теоретических фактах оно было основано? Умение применять признак перпендикулярности прямой и плоскости целесообразно формировать при выполнении заданий по готовым чертежам. Большой набор таких заданий приводится в учебнике А. Д. Александрова. Данные рисунки могут быть использованы и при формировании умения применять признак перпендикулярности плоскостей.
Кроме того, при изучении признаков перпендикулярности и теоремы о трех перпендикулярах следует использовать эти факты для изучения свойств объемных фигур. Приведем пример соответствующего упражнения.
Рис. 78Рис. 78Н ПРИМЕР
Рис. 78
Рис. 78
На рис. 78 из точки Q — центра квадрата MNKL — восставлен перпендикуляр PQ к его плоскости. Точки А, В, С, D — середины сторон квадрата. Точка Р соединена отрезками с точками А, В, С, D. М. N, К, L.
Назовите на рисунке все прямые углы. Найдите равные углы, равные треугольники, равные отрезки. Какая фигура образовалась на рисунке?
Аналогичные упражнения следует выполнить, если перпендикуляр восставлен из центра равностороннего треугольника, точки пересечения диагоналей ромба, прямоугольника, а также выполнить задания, в которых из вершины пирамиды на плоскость основания опущены перпендикуляры.
Традиционно сложным в доказательном плане является вопрос о связи параллельности и перпендикулярности (теорема о параллельности двух перпендикуляров к плоскости и др.). Можно рекомендовать три варианта изучения этого вопроса. В первом случае формулировки теорем иллюстрируются на фигурах, доказательства не рассматриваются. Во втором случае доказательства могут быть разобраны по тексту учебника. В третьем варианте можно организовать работу по самостоятельному поиску доказательств. Соответствующие задания можно найти в пособии В. В. Орлова «Геометрия в задачах*.
При изучении перпендикулярности в пространстве также продолжается формирование опыта учащихся в решении задач на построение сечений многогранников. При этом также ставится задача вычисления площади или периметра построенного сечения. Рекомендуется учителю обратить внимание на следующие задания.
►> ПРИМЕРЫ
В пирамиде с равными боковыми ребрами в основании лежит прямоугольник со сторонами 6 и 8 см. Высота пирамиды равна 2 см. Построить сечение пирамиды плоскостью, параллельной боковому ребру и проходящей через диагональ основания. Вычислить площадь построенного сечения.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна о, боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 30°. Построить се-
чение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину основания перпендикулярно противолежащему боковому ребру, и вычислить площадь построенного сечения.
Эти задания следует предложить для домашней работы с последующей проверкой на уроке. Если учащиеся не смогут самостоятельно найти их решение, то учителю следует организовать совместный поиск решения. В этих задачах изящно применяется теорема о трех перпендикулярах. Традиционная ошибка в первом задании — медиана сечения принимается за его высоту. Во втором — в качестве сечения получается четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.
^Ключевая информация
Параллельность и перпендикулярность на плоскости и в пространстве — один из важнейших вопросов курса геометрии, поскольку без знания этих отношений невозможно изучение свойств фигур, познание окружающего мира. При изучении параллельности вводится новый метод доказательства — косвенное доказательство, рассматриваются история геометрии как науки, построение неевклидовых геометрий. Изучение отношений параллельности и перпендикулярности как на плоскости, так и в пространстве на геометрических фигурах позволит познакомить школьников с фигурами и их свойствами, расширит тематику решаемых задач, организует разноуровневое изучение теории, существенно активизирует самостоятельную познавательную деятельность школьников, даст богатый материал для проведения микроисследований. Учителю целесообразно излагать теоретический материал в логике поиска доказательства, возможно построение процесса изучения данной темы в задачах (соответствующие задания приведены в лекции), возможна демонстрация различных подходов к построению теоретического материала, например при использовании утверждений, эквивалентных аксиоме параллельных. При изучении темы следует широко использовать субъектный опыт школьника. Так, например, определения основных понятий, связанных с параллельностью и перпендикулярностью в пространстве, ученики могут сформулировать самостоятельно по аналогии с соответствующими определениями на плоскости.
Рекомендуемая литература
Александров А. Д. Диалектика геометрии // Математика в школе. — 1986. — № 1. — С. 12 — 19.
Александров А. Д. О геометрии // Математика в школе. — 1980. — № 3. — С. 56-62.
Виленкин Н. Я.. Шибасов Л. П., Illибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. для учащихся 10—11 кл. — М.: Просвещение, 1996.
Глейзер Г. И. История математики в средней школе: Пособ. для учителей. — М.: Просвещение, 1970.
Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. — М.: Просвещение, 1992.
Кулишер А. Р. Учебник геометрии: Курс подготовительный. — СПб., 191 1.
Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики / Е. И. Лященко, К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко и др.; Под ред. Е. И. Лященко. — М.: Просвещение, 1988.
Методика преподавания математики в средней школе*. Частная методика / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; Сост. В. И. Мишин. — М.: Просвещение, 1987.
Методические рекомендации к курсу геометрии 9— 10 классов / Под ред. Л. С. Атанасяна. — М.: Просвещение, 1988.
Орлов В. В. Геометрия в задачах, 7—8 классы. — СПб.: НПО «Мир и семья-95», ООО «Интерлайн», 1999.
Преподавание геометрии в 9—10 классах / Сост. 3. А. Скопец и др. — М.: Просвещение, 1980.
Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск: Выш. школа, 1986.
Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1989.
Энциклопедия для детей. Математика / Глав. ред. М. Д. Аксенова. — М.: Аванта+, 1998.
Лекция 25
Изучение векторов и координат на плоскости и в пространстве
Декарт преобразовал геометрию введением в нее алгебры и ее вычислительных методов, которые были совершенно чужды древним.
А. Н. Крылов
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Считаете ли вы целесообразным изучение векторов и координат в курсе геометрии? Почему?
Сформулируйте несколько определений вектора.
Как можно использовать векторный метод для доказательства свойства средней линии треугольника?
Как перевести на векторный язык фразу: «Точка М лежит на отрезке АВ»?
Исторические замечания о векторах и координатах
Векторы — один из самых «молодых» вопросов, включенных в школьный курс геометрии. Возникнув из-за потребностей физики, векторы превратились в сильный и изящный метод решения задач и доказательства теорем (средняя линия трапеции, теорема о трех перпендикулярах, вычисление углов и расстояний и др.).
Векторы служат еще одним способом установления связи линейных и угловых величин (другим способом являются тригонометрические функции), а также связи алгебры и геометрии, если векторы задаются в координатах.
Изучение векторов и координат на плоскости и в пространстве позволяет реализовать в курсе геометрии межпредметные и внутрипредметные связи, способствует систематизации знаний, обогащению опыта поиска решения задач, поскольку дает учащимся новые методы решения (векторный и координатный).
Изучение векторов позволяет осмыслить суть аксиоматического метода через рассмотрение аксиоматики Вейля, что можно сделать на заключительном этапе изучения темы.
При внешнем различии арифметических и векторных операций можно выйти на понятие группы по сложению, а также на линейные пространства.
В настоящее время мы можем говорить о различных трактовках понятия «вектор».
Так, в векторном пространстве, определяемом аксиоматически, вектор является основным понятием. Чаще всего векторные пространства рассматриваются над полем комплексных или действительных чисел.
Определяется вектор также по-разному.
Самым распространенным в школьной практике является определение вектора как направленного отрезка. Причем в математике рассматриваются свободные векторы, которые равны, если имеют равные модули и одинаковые направления, а в физике — связанные векторы, которые равны, если имеют не только равные модули и одинаковые направления, но и общую точку приложения, а также скользящие векторы — равные векторы, лежащие на одной прямой.
Вектор — параллельный перенос.
Вектор — тензор.
Вектор — упорядоченная п ка чисел — элемент линейного пространства.
Более подробно с этим вопросом можно познакомиться в статьях А. Н. Колмогорова и А. Д. Александрова.
Считается, что вектор как самостоятельный объект появился в 40-е гг. XIX в., хотя действия с отрезками выполнялись и ранее. Так, представление величин отрезками имело место уже в древнегреческой математике. В «Началах» изложены основы древнегреческого геометрического исчисления. Сложение величин сводилось к сложению отрезков, умножение величин — построению прямоугольников на соответствующих отрезках. Также ненаправленными отрезками оперировал Декарт. Но уже Лейбницем была выдвинута идея построения векторного исчисления, близкого к современному. Уже в XVI—XVII вв. Леонардо да Винчи, Галилей, Кеплер пользовались направленными отрезками для наглядного представления сил в физике и астрономии. Г. И. Глейзер выделил три направления развития векторного исчисления: геометрическое (исчисление отрезков), физическое (исследование векторных величин, встречающихся в естествознании), алгебраическое (расширение понятия операции при создании современной алгебры). Развитие первого направления связано с именем Каспара Вессела. Векторная алгебра на плоскости (двумерное векторное пространство) построена им почти так же, как она излагается в современных учебниках. Отрезки, имеющие любое направление, были введены Л. Карно (1803), он же занимался и действиями с направленными отрезками, позже его идеи были систематизированы А. Мебиусом.
Наиболее значительный вклад в развитие векторного исчисления внес У. Гамильтон в связи с изложением теории комплексных чисел и учения о кватернионах (1853). Именно Гамильтон стал применять понятия «векторе, «скаляре, «скалярное произведениее, «векторное произведение». Независимо от Гамильтона к аналогичным результатам пришел и Г. Грасман. В 1844 г. в работе «Учение о протяженностие он впервые излагает учение об л-мерном евклидовом пространстве. Вместо терминов «скалярное произведениее, «векторное произведениее он использует соответственно внутреннее и внешнее. Векторы Грасман обозначал жирными буквами латинского алфавита. Принятое сейчас обозначение вектора г ввел в 1853 г. О. Коши, а единичные векторы i, /, к в том же году Гамильтон.
Систематически применял векторное исчисление для потребностей естествознания Максвелл, а современный вид векторному исчислению придали в конце XIX в. Гиббс и Хевисайд.
Систематическое изучение векторов и координат в курсе геометрии основной школы началось в последней трети XX в. в учебниках А. Н. Колмогорова. В них изложение учебного материала осуществлялось на основе идеи геометрических преобразований, поэтому вектор вводился как параллельный перенос, координатный метод в основной школе не изучался (вводились только координаты вектора), этот вопрос подробно рассматривался в старшей школе (в учебниках 3. А. Скопеца).
Основные подходы к изучению векторов и координат в учебниках геометрии
Кратко рассмотрим подходы к введению основных понятий темы в учебниках, составлявших в 90-е г. XX в. федеральный комплект учебников геометрии.
В учебниках А. Д. Александрова величины, характеризующиеся не только численным значением, но и направлением, называются векторными величинами (векторами). Простейшим примером векторной величины является перемещение, которое изображается направленным отрезком, поэтому направленный отрезок является лишь изображением вектора.
В учебниках Л. С. Атанасяна физические величины, характеризующиеся не только численным значением, но и направлением в пространстве, называются векторными величинами (векторами). С другой стороны, отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой — концом, называется направленным отрезком или вектором.
Наконец, после введения равенства векторов авторы делают замечание, что равные векторы можно рассматривать как один и тот же вектор. Такой тройственный подход к понятию вектора требует четкости при изложении данного материала учителем. Нам представляется целесообразным при работе по данному учебнику трактовать направленный отрезок как изображение вектора (в логике А. Д. Александрова).
В учебниках А. В. Погорелова вектором также называют направленный отрезок, а равными векторами те, которые совмещаются параллельным переносом (тема ♦ Векторы» в учебнике следует за темой «Движения»). Сразу же вводятся координаты вектора, поэтому три действия над векторами и скалярное произведение векторов вводятся через координаты, что ведет к алгебраизации данной темы.
Методические рекомендации по изучению векторов на плоскости и в пространстве
Несмотря на некоторые различия в трактовке понятия вектора в учебниках, содержание темы практически не отличается: векторы, равенство векторов, коллинеарность и компланарность векторов, сложение векторов и умножение на число, свойства действий, скалярное произведение и его свойства, разложение вектора на составляющие, координаты векторов, применение векторов к решению задач. При традиционном разделении школьного курса на планиметрию и стереометрию векторы в школе изучаются дважды: в основной школе векторы на плоскости, а в старшей — векторы в пространстве, что представляется нецелесообразным, поскольку часть вопросов (равенство векторов, действия над векторами и их свойства) просто дублируется.
Разрешить данную коллизию можно различными путями. Один из не совсем удачных исходов — исключение этой темы из основной школы (это предполагает один из проектов содержания школьного геометрического образования), что вызовет определенные трудности при изучении физики и нарушит целостность геометрических знаний выпускников основной школы. Другой выход — изучение векторов в основной школе сразу в пространстве (на пространственных фигурах). Минимально необходимый набор фактов для успешного изучения физики и применения векторного метода при решении геометрических задач может быть освоен с опорой на знание свойств параллелепипеда. Более глубоко на созданной в основной школе фактологической базе векторы могут быть изучены в старшей школе.
Изучение векторов в курсе геометрии следует согласовать с тем опытом действий над векторами, который приобрели школьники при изучении физики (действия с силами они выполняют уже в седьмом классе).
При рассмотрении вектора следует четко выделить две составляющие: численное значение и направление. Если вектор вводится как направленный отрезок, то следует сразу же рассмотреть равные векторы, для чего необходимо понятие направления. Если же вектор рассматривается как связанный, то необходима операция откладывания вектора.
Основные понятия (вектор, направление, откладывание вектора, нулевой вектор, сонаправленные, противоположно направленные, равные векторы, нулевой вектор, коллинеарные, компланарные векторы) могут быть рассмотрены на одном уроке, сделаны соответствующие выводы, которые могут быть оформлены в виде краткого конспекта. Актуализация имеющегося опыта работы с векторами, рассмотрение основных понятий могут быть организованы в форме обсуждения результатов выполнения следующих заданий.
►► ПРИМЕРЫ
Из курса физики вы знаете о существовании векторных и скалярных величин. Приведите примеры таких величин. В чем отличия у векторов и скаляров, что общего между ними? Каковы основные характеристики векторных величин? Как изображаются векторы? Что называется вектором? Как связаны с понятием «вектор» такие физические понятия, как «путь», «перемещение», «траектория»?
Отвечая на вопросы предыдущей задачи, вы обнаружили, что есть различные определения вектора. Так. вектор определяется как направленный отрезок, как величина, характеризующаяся численным значением и направлением, и даже как параллельный перенос. Удалось ли кому-либо из вас найти иные определения вектора? В каких из названных нами ситуаций направленный отрезок выступает лишь как изображение вектора? При каком условии отрезок превращается в направленный? Как в каждом из случаев определяется нулевой вектор?
Подумайте, почему вектор называют параллельным переносом. Задает ли направленный отрезок параллельный перенос? Задается ли параллельный перенос нулевым вектором?
Разыскивая определение вектора, один ученик прочитал статью «Векторы» в Математической энциклопедии и выяснил, что среди векторов выделяют свободные, связанные и скользящие. Как определяются в данной статье названные векторы? Подумайте сами или спросите у учителя физики, чем различаются свободные и связанные векторы.
Рассмотрите модель или изображение параллелепипеда и ответьте на вопрос, сколько различных направлений задают ребра параллелепипеда? Как можно определить понятие «направление»? Какие векторы мы будем называть сонаправленными, противоположно направленны-
AT DAT DРис. 79Рис. 79ми? Назовите сонаправленные, противоположно направленные векторы, началами и концами которых будут точки на ребрах параллелепипеда.
AT D
AT D
Рис. 79
Рис. 79
Как вы думаете, какие векторы можно называть равными, противоположными? По рис. 79 назовите векторы, задаваемые отмеченными на рисунке точками. Какие из этих векторов будут равны, противоположны?
Как вы думаете, какой вектор можно называть нулевым? Что вы мо
жете сказать о длине и направлении нулевого вектора?
Анализируя термин «коллинеарные векторы», попытайтесь сформулировать определение этого понятия. Как вы думаете, какие векторы будут называться компланарными? Можно ли утверждать, что коллинеарные векторы будут и компланарными? Используя результаты предыдущей задачи, назовите коллинеарные, компланарные векторы на рис. 79.
Можно ли утверждать, что два вектора, сонаправленные третьему, будут сонаправленными? А если эти векторы будут противоположно направлены?
Из курса физики вы знаете, что действие силы на тело зависит от
ее численного значения, направления и точки приложения. Какие действия следует выполнить, чтобы отложить вектор, равный данному, от заданной точки? Какие теоретические факты лежат в основе этих действий? Сколько векторов, равных данному, можно отложить от заданной точки? Как вы обоснуете полученный вывод? Какие теоретические факты потребовались для обоснования данного утверждения?
Вспомните определения углов между прямыми, лучами, прямой и плоскостью, плоскостями. Какое определение угла между векторами вы можете предложить? Какой будет величина угла между сонаправленными, противоположно направленными векторами?
Среди выводов, которые будут сделаны в результате выполнения данных заданий, может быть вывод о том, что вектор — класс эквивалентности направленных отрезков, а каждый направленный отрезок есть представитель данного класса (замечание по этому поводу приведено в учебнике «Геометрия 7—9» Л. С. Атанасяна и др.).
Еще раз подчеркнем, что в учебниках А. Д. Александрова и Л. С. Атанасяна операции над векторами вводятся геометрически (по правилу треугольника), а в учебнике А. В. Погорелова — в координатах, хотя исторически векторы складывались по правилу параллелограмма (равнодействующая сил).
Актуализировать опыт учащихся при изучении операций над векторами и организовать их самостоятельную познавательную деятельность можно при выполнении следующих заданий (среди которых имеются и игровые ситуации).
И ПРИМЕРЫ
Из курса физики вы знаете, что на тело одновременно могут действовать несколько сил. Какую силу называют равнодействующей этих сил?
Вспомните, как вы в 7 классе складывали одинаково направленные, противоположно направленные силы. Будет ли двигаться тело под действием двух равных, но противоположно направленных сил?
Какое правило сложения коллинеарных векторов вы можете получить. основываясь на знаниях курса физики?
Один семиклассник, узнав на уроке физики правило сложения со- направленных или противоположно направленных сил, задумался, а как можно сложить силы, не лежащие на одной прямой. Зная, что физиче
ские законы выведены опытным путем, он решил провести соответствующий опыт. Дома он взял масштабную модель автомобиля, привязал к ней две прочные нитки и. расположив их под углом друг к другу, потянул за эти нитки, Как двигалась модель автомобиля? Какой была равнодействующая этих сил? Как вы думаете, какое правило сложения двух векторов. отложенных от одной точки, установил ученик в результате данного опыта? А как сложить два вектора, не имеющие общего начала?
Как можно сложить три вектора, выходящие из одной точки?
Отвечая на вопросы предыдущей задачи, вы установили, что два
неколлинеарных вектора складываются по правилу параллелограмма, а три — по правилу параллелепипеда. Пользуясь рис. 80, сформулируйте правило параллелограмма. Самостоятельно сделайте рисунок, иллюстрирующий правило параллелепипеда.
Можно ли утверждать, что любые два вектора и их сумма будут лежать в одной плоскости?
Зависит ли результат сложения векторов от выбора точки, от которой отложены векторы?
Рассматривая рис. 80 и пытаясь найти на нем равные векторы, одна ученица обнаружила, что два вектора можно сложить по правилу треугольника. Сформулируйте это правило.
Учитель предложил на уроке задание на сложение 5 векторов. Уче
ник спросил у своего соседа по парте, не знает ли он правило сложенияник спросил у своего соседа по парте, не знает ли он правило сложениянескольких векторов. Тот сказал, что есть правило многоугольника, но не успел объяснить, в чем оно состоит, поскольку его вызвали к доске решать задачу. Попробуйте вместо вызванного ученика решить эту задачу. Как вы думаете, в чем состоит правило многоугольника? Как сложить несколько векторов, не лежащих в одной плоскости? Задайте на рис. 79 несколько векторов, лежащих на ребрах параллелепипеда, и найдите их сумму.
ник спросил у своего соседа по парте, не знает ли он правило сложения
ник спросил у своего соседа по парте, не знает ли он правило сложения
Вы знаете, что сложение чисел обладает рядом свойств. Что это за свойства? Может ли обладать соответствующими свойствами действие сложения векторов? Ответ на этот вопрос и обоснование ответа вам помогут дать рис. 80 и 81.
В результате выполнения этих заданий должны быть сформулированы правила треугольника и многоугольника, параллелограмма и параллелепипеда, сформулированы свойства сложения векторов.
Другие действия над векторами могут быть введены также при выполнении ряда заданий.
Вспомните определение разности двух чисел. Можно ли заменить вычитание чисел сложением? Как можно вычесть из одного вектора другой? Выполняли ли вы вычитание векторов, изучая физику? Можно ли заменить операцию вычитания двух векторов сложением? Какое правило вычитания векторов вы установили, решая данную задачу?
Нарисуйте вектор о. Найдите сумму а + о + о. Каким будет результат? Сравните его характеристики с характеристиками вектора о. Можно ли записать результат, используя символику умножения? Сделайте это. Попробуйте самостоятельно сформулировать определение произведе-
ния вектора на число. Как можно построить = вектора о? Как построить векторы -2о, -о?
Будут ли вектор о и построенные вами векторы коллинеарными? Ответ обоснуйте.
Изучая коллинеарность и компланарность векторов, обоснования необходимых и достаточных условий можно предложить ученикам, интересующимся геометрией, для самостоятельного изучения. Организовать самостоятельную работу можно на основе следующих заданий.
Найдите в учебнике или справочнике достаточное условие коллинеарности векторов. Как обосновать это утверждение? Останется ли оно верным, если вектор а будет нулевым? Сформулируйте утверждение, обратное достаточному условию коллинеарности. Какую гипотезу о его истинности вы можете предложить? Получить обоснования данного утверждения вы можете, заполнив пропуски в приведенном ниже тексте.
Итак, даны коллинеарные векторы б и Б и нам надо показать, что существует такое число X, что Б = Хо [*] (или б = цБ [**]).
Во-первых, отметим, что один из векторов или оба могут быть нулевыми. Если б = b = б, то в качестве коэффициента X можно выбрать....
Если Б = б, то равенство [*] будет выполняться при X =....
Если б = б, то аналогично мы можем получить равенство....
Во-вторых, если выполняется равенство (*], то равенство [**] будет справедливо при ц = ....
Теперь предположим, что оба вектора ненулевые, и обоснуем равенство [*]. Для проверки его истинности нам надо установить, что векторы Б и Ха..., и их длины ....
Проверим второе условие.
Введем число к = Й и рассмотрим вектор ка. к ... 0. |kd| =
. Получили, что длины векторов ка и ... равны. Итак, если X = к,
то длины векторов Б и Ха....
Рис. 82Рис. 82Если 6 t Г 6. то Хо и 6 будут сонаправлены при X = ... . Если 6(1 6, то Хо и 6 будут сонаправлены при X = ....
Рис. 82
Рис. 82
Итак, мы установили, что если d П 6, то X =
если о 11 6, то X = .... Теорема доказана.
Сформулируйте результат задачи в терминах необходимости и достаточности. Как вы думаете, будет ли единственным найденный коэффициент? Вспомните, каким способом мы проверяли единственность какого-либо элемента.
Не сможете ли вы сформулировать на векторном языке необходимое и достаточное условие принадлежности точки С прямой АВ? Его часто называют условием принадлежности трех точек одной прямой.
Один ученик дома нашел это условие в справочнике и начал записывать его в тетрадь, но вдруг раздался звонок в дверь, ученик побежал открывать, запись осталась незаконченной и выглядела так: «Точки Д, В и С
—> >
принадлежат одной прямой, если векторы АС и Д...» Что напишет ученик, когда вернется?
Решив предыдущую задачу о необходимом и достаточном условии коллинеарности векторов, два ученика задумались об условиях компланарности векторов. В лежащем на парте справочнике по математике они нашли следующее утверждение: -Векторы 6, 6 и с компланарны тогда и только тогда, когда существуют такие числа аир, что выполняется равенство с = ао + рб*. На перемене они решили доказать прямое и обратное утверждения. Один из них нарисовал параллелограмм (рис. 82) и сказал, что доказательство одного из утверждений следует из рисунка. Что это за утверждение? Какие рассуждения выполнил ученик, обосновывая свой вывод? Могли ли быть неточности на рисунке или в обоснованиях? Его товарищ сказал, что обратное к доказанному утверждение вообще очевидно. Как он рассуждал? Учли ли ученики в своих рассуждениях, что какой-либо из векторов может быть нулевым, что среди трех векторов могут быть коллинеарные?
Пользуясь найденным учениками результатом, сформулируйте в векторной форме необходимое и достаточное условие принадлежности точки М плоскости, определяемой тремя точками К, Р, N.
Изучая действия над векторами, важно обратить внимание на аналогии между действиями над числами и действиями над векторами, указать для учащихся, интересующихся математикой, что векторы с введенными действиями образуют специальную структуру — линейное пространство.
При изучении векторов в основной школе недостаточное внимание уделяется разложению вектора на составляющие, что потребуется при вычислении скалярного произведения, при вычислении длин отрезков, вычислении углов, особенно в пространстве, наконец, для введения координат вектора, установления связи между векторным и координатным методом.
Теорему о разложении вектора на составляющие можно ♦ разыграть» как микроисследование школьников, описанное в следующем задании.
►► ПРИМЕР
Продолжая листать справочник, ученики обнаружили еще одно важное утверждение: «Любой вектор в пространстве можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом*. Вспомнив предшествующий опыт разложения вектора на составляющие и решение предыдущей задачи, они поняли, что для обоснования возможности равенства р = аа + + рь + *ус, где р — произвольный вектор, а о. Ь, с — данные некомпланарные векторы, следует построить параллелепипед, в котором вектор р задает диагональ, а ребра будут параллельны векторам а, 6 и с. Опишите подробно построение. Всегда ли оно возможно? Почему оно приведет к требуемому результату? Выполните обоснования. Каким может быть расположение вектора р относительно о, 6 и с?
Для доказательства единственности разложения ученики записали несколько равенств. Прокомментируйте эти записи. В чем состоит противоречие с условием? Какими теоретическими фактами воспользовались авторы доказательства?
р = а,о + 0,6 + у,С; р = a/i + Pgb + YgC; б = (а, - а^ * (0, - 0г)6 ♦ (у, - -Yz)c.
Если, например, а, - о^ * 0, то о = - u Тц
Далее в справочнике ученики прочитали, что если векторы а, бис будут единичными и ортогональными (как вы думаете, что это значит?), то коэффициенты разложения вектора р по векторам а, б и с будут называться координатами вектора р.
Как вы думаете, будет ли следовать из найденной учениками теоремы соответствующее утверждение для векторов, лежащих в плоскости? Сформулируйте это утверждение. Каким будет обоснование?
Изучение темы «Скалярное произведение векторов и его свойства» может быть организовано в виде семинара, на котором обсуждаются результаты выполнения учениками ряда заданий по теме. При выполнении приведенных ниже заданий ученики обращаются к различным учебникам или справочникам по математике.
►► ПРИМЕРЫ
Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов. Еще раз вспомните, где вы встречались со скалярным произведением в курсе физики.
Найдите в справочниках по математике формулу для вычисления скалярного произведения векторов в координатах.
Вспомните свойства умножения чисел. Какими из этих свойств обладает скалярное произведение векторов? Почему? Какие свойства скалярного произведения векторов вы нашли в справочниках?
Запишите формулы для вычисления скалярного произведения. Выразите из формулы одни компоненты через другие.
Какой вид примет формула для сонаправленных векторов, для противоположно направленных векторов?
Вычислите скалярный квадрат вектора. Как, пользуясь формулой, можно вычислить длину вектора? Можете ли вы, зная координаты вектора, вычислить его длину, не прибегая к скалярному произведению. Какую известную геометрическую фигуру вам нужно построить для вычисления длины вектора?
Если вы сумели вывести формулу или нашли ее в справочниках, то ответьте на вопрос, как можно использовать ее для вычисления расстояния между двумя точками с известными координатами.
На уроке по теме «Скалярное произведение векторов и его свойства» учитель сформулировал определение скалярного произведения век- тороваи Б ; ab= |о| |Б| cos (Zd; Б), его свойства:
а)о2>0;
ab = Ьа (переместительный закон);
(ко)Б = к(оБ) (сочетательный закон);
(о + Ь)с = ос + Ьс (распределительный закон)
и формулу для вычисления скалярного произведения в координатах об = = х,х2 + yty2 + z}z2 и попросил учеников дома выбрать наиболее заинтересовавшее их утверждение и подготовить его обоснование к следующему уроку в форме рассказа с пропусками.
Один ученик, придя домой и начав подготовку этого задания, понял, что доказательство первого и второго свойства очевидны, как и доказательство третьего для к > 0, а для отрицательного коэффициента углы между векторами а и 6 и векторами ка и 6 окажутся смежными. Восстановите ход рассуждений ученика по поводу доказательства этих свойств.
Продолжая работать над заданием, ученик убедился, что самостоятельно придумать обоснование распределительного закона не так просто, и поэтому именно его и нужно подготовить для рассказа на уроке. Он нашел обоснование этого свойства во взятом у старшего брата-студента учебнике геометрии для вузов А. Д. Александрова и Н. Ю. Нецветаева. разобрал его и оформил в виде задания с пропусками следующим образом.
«Сначала нужно установить истинность двух формул (а + Б)2 = о2 + Б2 + * 2аБ [ 1 ] и (а - Б)2 = а2 + Б2 - 2аБ [2], при этом вторая формула получается из первой заменой ..м поэтому докажем формулу [1]. Отложим векторы от одной точки и получим ОД = a, OS = Б, АВ = Б - а, по теореме косинусов для треугольника ОАВ АВ2 = ОД2 + ... - 2...08..., на векторном языке это равенство принимает вид (а - Б)2 = |о|2 +... - 2...|Б| cos.... Если последнее слагаемое мы заменим ... векторов, то получим равенство (1]. Почленно сложив [ 1) и [2], имеем (о 4- Б)2 + (о - Б)2 = 2d2 + Б2 (3].
Введем вспомогательные векторы р = о + Бид = а + с, применим к ним формулу [3]. Получаем (р + q)2 + (р - q)2 = 2Р2 + ... [4]. Согласно [1] (р + q)2 = (2d + (6 4- с))2 =.... (р + q)2 = (6 - с)2 = .... Сложив левые и правые части этих двух равенств, получаем ... [5]. С другой стороны. 2(р2 + q) = = 2(d + Б)2 + 2(о + с)2 = ... [6]. Учитывая (4], сопоставляем (5] и [6] и получаем требуемое равенство (о + Б)с = ас * 6с.
Заполните пропуски в данном доказательстве.*
Что касается формулы для вычисления скалярного произведения в координатах, сказал себе ученик, то раз в нем участвуют координаты векторов. а они — коэффициенты разложения векторов d и 6 по единичным векторам I, j, к, то для доказательства формулы мы можем перемножить разложения, применив доказанные свойства скалярного произведения.
Реализуйте составленный учеником план вывода формулы для вычисления скалярного произведения в координатах.
Обоснование какого из этих свойств вы бы подготовили для собственного выступления на уроке?
Другой ученик, выполняя это же задание и рассматривая формулы, понял. что все свойства скалярного произведения можно очень просто обосновать. если сначала доказать формулу для вычисления скалярного произведения в координатах, но как это сделать, не пользуясь свойствами? Рассматривая формулу оБ = |о| |Б| cos (Zd; Б), он подумал, что можно попытаться применить теорему косинусов, связывающую длины векторов и косинус угла, а для длины вектора уже вывели координатную формулу, не пользуясь свойствами скалярного произведения. Сделав рисунок, ученик записал несколько равенств АВ2 = ОА2 + OS2 - 2ОАОВ cos Z AOB; |Б - d|2 = |o|2 + |Б|2 - 2оБ; ab = (|5|2 + |Б|2 - |Б - о|2). Теперь, сказал он, в последнюю формулу нужно подставить выражения для координат, преобразовать, и должна получиться формула скалярного произведения в координатах.
Прав ли ученик в своем предположении? Как были получены написанные им формулы? Можно ли воспользоваться его рассуждением, если векторы окажутся коллинеарными? А как быть в том случае, когда какой-либо из векторов будет нулевым?
Третий ученик, у которого не было времени для выполнения задания, по дороге на тренировку открыл в метро учебник геометрии А. В. Погорелова и увидел, что в этом учебнике скалярное произведение векторов определяется как сумма произведений одноименных координат, из-за чего все свойства скалярного произведения доказываются мгновенно. Но наш учитель, вспомнил ученик, давал другое определение скалярного произведения. И если бы я сумел доказать, что определения равносильны, то домашнее задание было бы перевыполнено. Читая учебник дальше, он увидел, как из формулы ab = х,х2 + yty2 + zxz2 выводится формула ab = |d| |Б| cos(Zd; Б), а обратного вывода нет. Познакомьтесь с этим текстом, поделитесь своими знаниями с одноклассниками. Подумайте, каким может быть обратный вывод.
Важным при изучении векторов является появление нового метода решения геометрических задач — векторного метода. Суть векторного метода учитель может сформулировать для учащихся следующим образом: геометрические понятия и отношения переводятся на векторный язык, выполняются преобразования на векторном языке на основе законов векторной алгебры, полученные результаты переводятся на геометрический язык и осмысливаются в геометрических понятиях.
Геометрический язык
Векторный язык
Точка М лежит на прямой АВ
АМ = аАВ
Точка М лежит на отрезке АВ
АМ = аАВ.О<а^ 1
Точка М лежит на луче АВ
АМ = аАВ. а > 0
ABICD
AB = aCD
Точка М лежит в плоскости АВС
АМ = аАВ * РАС
АВ LCD
AS • CD = 0
Учителю также следует выделить два типа задач, решаемых векторным методом: аффинные задачи (принадлежность точек прямой, отрезку, плоскости; деление отрезка в данном отношении; параллельность), метрические задачи (взаимное положение прямых, вычисление длины отрезка, величины угла, вычисление площадей и объемов).
Примеры задач, решаемых векторным методов, приведены в начале данной лекции.
Замечания об изучении координат и координатного метода на плоскости и в пространстве
Изучение векторов тесно связано с изучением координат на плоскости и в пространстве, с координатным методом. С координатами на плоскости учащиеся знакомятся еще в курсе математики 5—6 классов, изучая функции в курсе алгебры 7—9 классов. Данный опыт необходимо использовать при изучении координат в курсе геометрии, как и опыт работы с географическими координатами при рассмотрении различных систем координат.
Применение координат в математике имеет более длинную историю, чем применение векторов. Основные заслуги во вве-
дении координат в математику принадлежат П. Ферма и Р. Декарту.
Мотивировать использование координатного метода при решении геометрических задач и, как следствие, изучение координат можно при помощи следующего игрового задания.
►► ПРИМЕР
В одиннадцатом классе в домашнюю контрольную работу по теме ■Углы. Расстояния» учителем, среди прочих, были включены две задачи. Формулировка первой такая: «В правильной пирамиде PABCD все ребра равны 6. Точка К — середина ребра РА, точка L — середина ребра CD. Вычислить длину KL, величины углов между KL и РА; KL и CD; KL и АС*. Вторая задача предлагала выполнить аналогичные действия с кубом: «В кубе A8CDA,8,C,D, с ребром 12 даны две точки X и У такие, что DX: ХА, = 1 : 2, О,У: УС= 1 : 2. Вычислите длину ХУ; углы между ХУ и А,О; ХУ и AD; ХУ и АС,». Ученик решил провести вычисления традиционным способом с помощью теоремы косинусов, теоремы синусов, теоремы Пифагора. Построив для решения первой задачи несколько дополнительных треугольников, ученик произвел вычисления и приступил к решению второй задачи, но никакие построения не позволили ему выйти на вычисление величины последнего угла.
Какие дополнительные построения мог выполнить ученик, решая эти задачи? Каков план вычисления требуемых элементов? Проведите некоторые вычисления по своему выбору.
Увидев решения, его отец-инженер сказал, что они крайне нерациональны и для вычислений можно было бы воспользоваться векторным или координатным методом. «Смотри, сын, — сказал он, — на ребрах куба ты можешь задать систему координат и определить координаты всех точек. Длина отрезка вычисляется элементарно, а если на прямых ты задашь векторы, то и угол между прямыми определишь, зная длины векторов, через скалярное произведение».
Попробуйте реализовать описанный выше план решения. Как вы выбрали систему координат на ребрах куба?
Всегда ли угол между векторами будет совпадать с углом между соответствующими прямыми?
Впрочем, есть еще один способ определения величин углов, позволяющий обойтись без координат заданных на прямых векторов. Эти векторы нужно разложить на составляющие, с помощью последних определить и длины векторов, и углы. Как следует выбрать составляющие, чтобы «лишние» скалярные произведения исчезли? Реализуйте это способ решения.
Как целесообразно ввести систему координат, работая с правильной пирамидой?
По каким составляющим имеет смысл раскладывать векторы в этой задаче?
Основываясь на опыте, приобретенном при решении этих задач, опишите суть векторного и координатного методов решения. Имеют ли эти методы преимущества перед традиционными?
К началу изучения в курсе геометрии координатного метода ученики знакомы с прямоугольной системой координат, знают уравнения некоторых фигур (окружности, прямой, параболы, гиперболы), этот опыт они получили при решении систем уравнений графическим методом. При изучении теоремы Пифагора на плоскости и в пространстве могли появиться и формулы расстояния между точками плоскости, точками пространства, поэтому существенно новыми вопросами при изучении темы можно считать уравнения некоторых фигур, применение координат к решению геометрических задач, знакомство с различными системами координат.
Уравнения известных и новых фигур могут быть изучены в процессе выполнения ниже приведенных заданий.
►► ПРИМЕРЫ
Вспомните определение сферы и шара. Пусть в пространстве дана точка О — центр сферы — с координатами (хо; уо; z^ и точка М, принадлежащая сфере, с координатами (хм; ум; zMY Какое уравнение сферы вы можете составить на основе ее определения? Какое алгебраическое выражение будет определять шар? Решите аналогичную задачу для окружности и круга.
Не знаете ли вы, частными случаями каких геометрических фигур являются сфера и окружность?
Каково геометрическое место точек пространства, одинаково удаленных от концов некоторого отрезка? Не можете ли вы, используя эту информацию, составить уравнение, определяющее эту фигуру?
Как изменится ваш ответ, если вместо пространства действие будет происходить на плоскости?
Если вы правильно ответили на вопросы задачи, то смогли составить уравнения плоскости в пространстве и уравнение прямой на плоскости.
Одна ученица очень хотела получить хорошую отметку за выполнение предыдущего задания. Она помнила, что соответствующей фигурой в пространстве будет плоскость, а в плоскости — прямая. В справочнике по математике она нашла уравнение плоскости Ах + By + Cz + О = 0, где А, В, С, D — числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля. Но как получается такое уравнение? Об этом она решила спросить свою старшую сестру-студентку. «Все очень просто, — ответила та, — в аналитической геометрии это делают так. Тебе известны координаты концов отрезка А(Ор о2; о3) и Вфр Ьг; Ь3). Пусть принадлежащая плоскости точка М имеет координаты (х; у; г). Ты знаешь, что АМ = ВМ. Примени формулу расстояния между точками, преобразуй соответствующее выражение, и ты получишь уравнение плоскости».
Помогите ученице выполнить эту работу. Составьте аналогичным образом уравнение прямой на плоскости.
Какие еще уравнения плоскостей и прямых вы сумели найти в справочниках?
Какие задачи решает аналитическая геометрия?
Возможно, вы читали фантастический роман Алексея Николаевича Толстого «Гиперболоид инженера Гарина». Что такое гиперболоид? Какое отношение эта фигура имеет к сюжету романа?
А что называется параболоидом, эллипсоидом? Постарайтесь найти в справочниках по математике уравнения этих фигур. Какие еще поверхности второго порядка описываются в учебниках или справочниках? Какие фигуры могут быть получены при пересечении поверхностей второго порядка плоскостями?
Сделайте рисунки поверхностей и их сечений.
В учебниках геометрии начала XX в. (у A. Р. Кулишера. С. И. Шохор- Троцкого) ученикам предлагалась следующая практическая работа. В лист картона втыкались две булавки, к ним концами прикреплялась нитка длиной, большей расстояния между булавками. Оттягивая острием карандаша нитку, нужно было начертить замкнутую кривую. Авторы писали, что в результате получится эллипс. Какое геометрическое определение эллипса позволяет сформулировать предложенное в учебниках построение? Какое уравнение эллипса вы нашли в справочниках? Какие элементы эллипса вам известны? Какими свойствами обладает данная фигура? Где вы встречались с изображением эллипса?
Эллипс является одним из видов конических сечений. О каких еще конических сечениях вы знаете? Попробуйте сформулировать определения фигур и найти их уравнения. Какие свойства этих кривых второго порядка стали вам известны? Встречались ли вы ранее с данными фигурами?
^Ключевая информация
Векторы и координаты дают еще один, нередко простой и удобный, способ решения задач, позволяют реализовать межпредметные связи. Изучение векторов следует организовать с опорой на знания, полученные школьниками при изучении физики, а изучение координат — на знания, полученные в курсе алгебры. Целесообразно изучать векторы и координаты в курсе геометрии в пространстве (координаты на плоскости рассматриваются в курсе алгебры), иллюстрируя теоретические положения на фигурах. Особое внимание следует уделить раскрытию сути векторного и координатного методов: перевод условия на язык векторов или координат, исследование полученной модели средствами векторного исчисления, перевод результата на геометрический язык — и иллюстрации этих методов на задачах. Интересным является решение известных ученикам задач, доказательство известных теорем векторными или координатными средствами. Уравнения фигур в классах нематематической специализации могут быть рассмотрены обзорно.
Рекомендуемая литература
Александров А. Д. Что же такое вектор? // Математика в школе. — 1984. — № 5. — С. 39—46.
Болтянский В. Г., Яглом И. М. Преобразования. Векторы: Пособ. для учителя. — М.: Просвещение, 1964.
Глейзер Г. И. История математики в средней школе: Пособ. для учителей. — М.: Просвещение, 1970.
Изучение геометрии в 10—11 классах. Метод, рекомендации к учебн.: Кн. для учителя / С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов. — М.: Просвещение, 2003.
Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. — М.: Просвещение, 1992.
Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики / Е. И. Лященко, К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко и др.; Под ред. Е. И. Лященко. — М.: Просвещение, 1988.
Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; Сост. В. И. Мишин. — М.: Просвещение, 1987.
Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой: Метод координат. — М.: Наука, 1977.
Преподавание геометрии в 9—10 классах / Сост.
А. Скопец и др. — М.: Просвещение, 1980.
Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск: Выш. школа, 1986.
Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1989.
Энциклопедия для детей. Т. 11: Математика / Глав. ред. М. Д. Аксенова. — М.: Аванта+, 1998.
Лекция 26
Геометрические преобразования на плоскости и в пространстве
Красота тесно связана с симметрией.
Г. Вейль
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
С какими преобразованиями в пространстве встречаются школьники в практической деятельности?
Какими видами симметрии обладают квадрат, куб?
По каким причинам элементы тригонометрии в курсе геометрии основной школы изучаются в теме «Подобие*?
Исторические замечания о геометрических преобразованиях на плоскости и в пространстве
Тема «Геометрические преобразования на плоскости и в пространстве» — наряду с темой «Векторы» — одна из самых «молодых» в школьном курсе геометрии (если не считать «Подобие»), но с гораздо менее счастливой судьбой. В учебнике А. П. Киселева для основной школы не было никаких преобразований, знакомство в ними в старшей школе было поверхностным и формальным. В учебнике А. Н. Колмогорова идея преобразования плоскости лежала в основе построения курса геометрии, затем она была продолжена в старшей школе в учебниках 3. А. Скопеца. В учебниках математики того времени осуществлялась пропедевтика геометрических преобразований: на операционном уровне (построение образов фигур), с опорой на внеучебный опыт ребенка рассматривались параллельный перенос, поворот вокруг точки, центральная и осевая симметрия. Идея преобразований ушла вместе с теоретико-множественной терминологией и символикой из школьного курса вместе с названными выше учебниками геометрии. Не останавливаясь на выделении и анализе причин произошедшего, отметим все-таки одну из них — фактологическую и психологическую неготовность учителей к реализации подобного курса. Известно, что в изучаемых в педагогических институтах курсах элементарной геометрии преобразований не было и студенты имели небольшой опыт «общения» с геометрическими преобразованиями в курсах высшей геометрии. Любые инновационные курсы постигнет та же участь, если они не будут связаны с субъектным опытом учителя. Отметим, что традиция включения в курс математики 5—6 классов материала о симметриях сохранилась до настоящего времени, и это позволяет опираться на определенные знания и субъектный опыт школьников при изучении геометрических преобразований в систематическом курсе геометрии.
На Западе существует радикальный подход к построению школьной геометрии на основе групп движений (Бахман).
Реализация темы в действующих учебниках
В учебнике А. Н. Колмогорова преобразования служили средством изучения геометрических объектов. В ныне действующих учебниках геометрии этот вопрос является объектом изучения. Главная цель — разобраться, что такое геометрическое преобразование, в частности движение, какие виды движений есть и какими свойствами они обладают. Тема
отступает на второй план. Симметрия, подобие, равенство — не преобразования, а отношения. При этом по-прежнему понятие движения необходимо для введения общего понятия равенства, и на этот аспект следует обратить внимание. Элементы симметрии рассматриваются в 5—6 классах, но в дальнейшем не используются (осталось от прошлого). Движения (преобразования) — завершающая тема в учебниках Атанасяна и Александрова, где показано ее применение в жизни и математике. Но при изучении курса геометрии они не работают, хотя их следовало бы использовать там, где этот метод наиболее эффективен. Кроме того, изучение преобразований имеет большое общекультурное и прикладное значение (симметричные фигуры, симметрия в природе и технике).
Методические рекомендации по изучению геометрических преобразований
Возможность знакомства с симметричными фигурами появляется при изучении геометрического материала курса математики 5—6 классов. Определенные шаги в этом направлении были сделаны еще в начальной школе, например при изучении курса ♦ Геометрия и конструирование». Познакомить школьников с симметричными фигурами целесообразно при изучении прямоугольника, куба. Имеет смысл научить строить фигуру, симметричную данной относительно точки, относительно прямой. Провести эту работу возможно совместно с учителем изобразительного искусства, как и выполнение рисунков симметричных фигур, работ на тему «Симметрия в архитектуре», «Симметричные фигуры вокруг нас».
Следующее обращение к симметричным фигурам может иметь место в начале изучения систематического курса геометрии в основной школе при систематизации знаний, полученных при изучении геометрического материала в 1—6 классах. Более глубокое изучение свойств симметричных фигур целесообразно в теме «Четырехугольники», здесь можно определить центральную и осевую симметрии, сформулировать и обосновать их свойства, при изучении окружности имеет смысл изучить поворот вокруг точки, познакомить школьников с различными линиями (циклоида и др., что позволит рассмотреть и параллельный перенос). Свойства параллельного переноса целесообразно рассмотреть при изучении векторов, а при изучении подобия познакомить школьников с подобием и гомотетией. Вновь при рассмотрении преобразований в систематическом курсе имеет смысл воспользоваться рисунками.
моделями, компьютерной анимацией, предложить школьникам выполнить практические работы «Симметрия в природе и технике» и др., подготовить соответствующие доклады. Для этого ученики могут воспользоваться рядом статей «Энциклопедического словаря юного математика», «Энциклопедии для детей», «Детской энциклопедии». Систематизация и обобщение видов преобразований и их свойств следует выполнить при итоговом повторении курса геометрии основной школы. Уровень строгости изложения материала выбирается учителем в зависимости от подготовки школьников и выбираемого ими направления продолжения образования. Организовать эту работу можно и в форме научных докладов школьников, например «Гомотетия и ее свойства», сопроводив эту работу моделями и рисунками. Повторяя основные методы решения геометрических задач, следует показать, как могут быть решены известные школьникам задачи с помощью геометрических преобразований. Применение преобразований к решению задач, конечно, можно начать раньше, например при решении задач на построение. Так, методом параллельного переноса может быть решена задача: «Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне», а с помощью гомотетии задача: «Вписать в данный треугольник квадрат так, чтобы одна сторона квадрата лежала на стороне треугольника».
В старшей школе схема изучения преобразований в пространстве немногим отличается от соответствующей схемы на плоскости. Из предыдущих лекций ясно, что изучать объемные фигуры следует начиная с первых уроков геометрии. Поэтому при изучении вопроса об изображении пространственных фигур возможно рассмотреть параллельное и центральное проектирование и его свойства на первых уроках стереометрии как примеры параллельного переноса и гомотетии с опорой на знания, полученные школьниками при рассмотрении данных вопросов в основной школе. При изучении многогранников рассматриваются симметрии многогранников, при изучении фигур вращения рассматриваются повороты и комбинации движений, выполняются практические работы (построение образов фигур). Для этих целей мы рекомендуем использовать наборы задач из учебника А. Д. Александрова, примеры которых приведены ниже.
►► ПРИМЕРЫ
—>
Пусть ABCDA'В^САОА — куб. Перенос задается вектором В^О. где точка О — центр куба. Нарисуйте образы всех вершин куба и образ само-
го куба. Нарисуйте объединение и пересечение исходного и полученного кубов.
Дан правильный тетраэдр. Нарисуйте тетраэдр, который получится из данного тетраэдра центральной симметрией относительно середины высоты. Нарисуйте объединение и пересечение исходной и полученной пирамид.
Выполните аналогичное задание для правильной четырехугольной пирамиды.
3)Дана правильная треугольная призма. Для каждой ее вершины строится центрально-симметричная точка относительно середины высоты призмы, проходящей через центры ее оснований. Нарисуйте многогранник, являющийся объединением исходной и полученной призм.
Пусть АВСАХВХСХ — правильная призма с равными ребрами. Нарисуйте многогранник, симметричный ей относительно плоскостей ACCV АВС, А}СВу-, параллельной АСХС и проходящей через середину ребра Д,ВР
Прямоугольник вращается вокруг: а) диагонали; б) прямой, параллельной диагонали и проходящей: а)’ через его вершину; б)1 вне его. Нарисуйте полученное при этом тело вращения. Комбинацией каких известных вам тел оно является?
Естественно, что учитель может предложить ученикам самостоятельно составить аналогичные задачи и решить их.
Теоретические сведения о движениях и преобразованиях могут быть рассмотрены обзорно в логике учебника А. Д. Александрова (1983), а в классах с углубленным изучением математики — по соответствующему учебнику.
Как и в планиметрии, обзор различных преобразований и их свойств может быть организован на основе докладов учеников, сопровождаемых рисунками, моделями, компьютерной анимацией. Рисунки, как и теоретический материал для докладов, могут быть также заимствованы из учебника А. Д. Александрова.
Методика изучения подобия в действующих учебниках
К второму основному методу доказательства в геометрии после равенства относят подобие, которое является центральным вопросом при изучении геометрических преобразований. Кратко можно обозначить основные особенности изложения вопроса о подобии в ныне действующих учебниках и методические рекомендации к изучению темы.
В учебнике А. В. Погорелова подобие рассматривается как преобразование фигур. Конструктивно определяется гомотетия, являющаяся преобразованием подобия и способом получения подобных фигур. Признаки подобия доказываются с помощью гомотетии. К данной теме в учебнике приведен хо-
роший набор задач, содержащих ряд новых теоретических фактов.
Вариант методики изучения темы по учебнику А. В. Погорелова
Тщательно разобрать и уточнить доказательство первого признака подобия, составить план доказательства, второй и третий признаки предложить ученикам для самостоятельного изучения по составленному плану.
Подобие прямоугольных треугольников предложить для самостоятельного изучения с последующей проверкой.
Задачи разбить на несколько блоков, сходных по сюжетам. Там, где это целесообразно, организовать работу по поиску решения задачи, поскольку появился новый метод доказательства — метод подобия. При решении задачи о свойстве высоты, опущенной на гипотенузу, организовать поиск решения с помощью задачи 274 (см. учебник).
►► ПРИМЕР
На рис. 83 в прямоугольном треугольникеС
ABC ^Z.C = 90°) проведена высота CD. Сколько\
прямоугольных треугольников на рисунке? Ука-Xх \
жите подобные треугольники.\
Вспомните свойство высоты, опущенной ^/
на гипотенузу прямоугольного треугольника.D
Каким было доказательство этого свойства? с*
Можете ли вы воспользоваться для его обоснования подобием? Какие еще соотношения между катетами и гипотенузой вы получили?
Можете ли вы, опираясь на полученные равенства, составить новое доказательство теоремы Пифагора.
В учебнике Л. С. Атанасяна вводятся пропорциональные отрезки, подобные фигуры на житейской основе, дается аккуратное определение подобных треугольников, формулируется и доказывается лемма об отношении площадей подобных треугольников, на этой основе выполняется доказательство первого, на основе первого — второго признака, третьего через второй. Преобладают задачи на вычисление с непосредственным применением признаков подобия, несколько задач на построение. В качестве одного из приложений подобия к решению задач рассматривается теорема о средней линии треугольника.
Вариант методики изучения темы по учебнику Л. С. Атанасяна.
Лемму об отношении площадей можно оставить без доказательства.
Хорошо отработать понятие «сходственные стороны» на готовых чертежах, как и применение признаков подобия, вычисление пропорциональных сторон.
Теорема о средней линии дается очень поздно, необходимо рассмотреть ее в этой теме с позиций еще одного способа доказательства известного факта.
Обратить внимание на ряд задач (задача об отношении периметров подобных треугольников, задача о том, что отношение сходственных сторон равно отношению высот, теорема о пропорциональных отрезках, представленная как задача, и серия задач к ней, в частности на деление отрезка в данном отношении, задачи на построение методом подобия, задача об отрезке, соединяющем середины диагоналей трапеции, задача о свойстве биссектрисы угла треугольника). Последнюю задачу следует рассмотреть позже как еще один пример поиска решения задачи, а также пример обобщения результата на биссектрису внешнего угла треугольника. Ситуация самостоятельного поиска решения может быть организована с помощью следующей задачи-шутки кота Сэмюэля.
►> ПРИМЕР
Один ученик захотел повысить свою итоговую отметку по теме «Подобие* и решил найти различные способы решения следующей задачи. Доказать, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Сделав рисунок (рис. 84) и составив требуемое равенство — = ~, он начал рассуждать. Чтобы доказать это равенство, нужно
выделить теоремы, в формулировках которых Рис.84 участвуют частное или произведение отрезков.
Взяв несколько листочков для черновика, ученик последовательно написал на них: теорема Фалеса, теорема синусов, площадь треугольника А = ^ab sin у. подобие — и начал заполнять каждый из листочков.
С «Фалесом» он справился быстро. Посмотрите на рис. 84 и предложите построения, которые позволят получить конструкцию из теоремы Фалеса. Какие случаи здесь возможны?
Какие треугольники, их стороны и углы следует задействовать, чтобы для доказательства нашего равенства можно было воспользоваться теоремой синусов?
Третий случай оказался сложнее. -Чтобы получить требуемое соотношение. —- сказал себе ученик, — мне нужно в формулы площади включить отрезки ВМ и ВО, МК и КО. Конечно, можно сразу включить их в формулу S = ^ab sin у, но мне ничего не известно об углах В и К. Но, с другой стороны, у меня есть равные углы BDM и МОК, и можно записать форму-
лы площади ^^bdm = 2^^* ^^ sin Z 7, S^^q^ = '-DM • DK sin Z 2. Правда, в равенствах появился лишний отрезок DM. Избавиться от него можно делением одного равенства на другое. Но как теперь задействовать отрезки ВМ и МК? Попробую выбрать формулу S = ^^о. от лишнего элемента снова можно избавиться делением. Это доказательство готово*.
Записав полученное обоснование, ученик приступил к поиску доказательства с использованием подобия. «Если на рисунке нет подобных
треугольников, — подумал он, — то нужно их построить. Самым простым в этом случае является построение треугольников с двумя равными углами, а равенство углов возникает при параллельных прямых и секущей. Значит, нужно провести прямую, параллельную, например, BD через точку К до пересечения с продолжением DM
Рис.85Рис.85Рис. 86Рис. 86(рис. 85). Тогда треугольники BDM и МКТ будут подобны (почему?),
Рис.85
Рис.85
Рис. 86
Рис. 86
а дальше все получится автоматически».
В этот момент зазвонил телефон, и, пока ученик разговаривал со своим другом, его любимый кот Сэмюэль играл с черновиками. Он порвал последний листочек, на котором чудом сохранился только чертеж, а листочки с первым и вторым доказательством утащил и куда-то спрятал.
Спасите кота от справедливого гнева ученика и помогите ему восстановить утраченные доказательства. Какое доказательство было записано учеником на сохранившемся листочке?
Работа с данной задачей вовсе не заканчивается восстановлением доказательств, поскольку можно сформулировать обратное утверждение. Сделайте это. Попробуйте обосновать его истинность. Какое утверждение вы для этого используете? Запишите результат.
Приключения ученика не закончились оформлением решения задачи. Записав результат, он подумал, корректно ли она сформулирована и не может ли в задаче идти речь о внешнем угле треугольника.
Тогда он нарисовал новую картинку — треугольник ABD, биссектрису внешнего угла ВК и решил попробовать построить отрезок DM, параллельный биссектрисе ВК, чтобы можно было вновь попытаться использовать обобщенную теорему Фалеса (рис. 86). Затем он выписал все возможные, по его мнению, отношения и начал их изучать. Объясните, каким
-AM AD АВ АК DM „
образом получились такие отношения =Проведя
действия с первой пропорцией, он получил новую ^ = ^. в которой его не устраивал отрезок ВМ. Какой из сторон треугольника будет равен этот отрезок? Почему? Какие действия произвел ученик над пропорцией? Сформулируйте полученное им свойство биссектрисы внешнего угла треугольника в виде теоремы. Интересно, а будет ли в этом случае истинно обратное утверждение? Найдите ответ на этот вопрос.
Как видно, ученик не только успешно справился со своей задачей, но и существенно расширил ее рамки, даже кот, названный, кстати, в честь Марка Твена, не помешал ему в этом деле.
^В качестве заданий для индивидуальной исследовательской работы ученикам следует предложить сформулировать и обосновать иные признаки подобия (как и иные признаки равенства), признаки подобия для равнобедренных и равносторонних треугольников, для прямоугольных треугольников. Также для самостоятельной работы целесообразно предложить микроисследование о виде четырехугольника и его площади (в учебнике Л. С. Атанасяна задача 568 — частный случай).
Таким же образом следует организовать работу и с теоремой о среднем геометрическом, о пропорциональных отрезках в круге (примеры поиска доказательства с использованием нового метода — метода подобия).
В данной лекции не проводится анализ содержания темы ♦ Подобие» в учебнике А. Д. Александрова, поскольку в логике данного учебника мы предполагаем показать иной подход к изучению темы, в основе которого лежит самостоятельная познавательная деятельность школьника, организуемая с помощью специально составленных заданий.
Как известно, введение в курсе геометрии тригонометрических соотношений в прямоугольном треугольнике связано с обоснованием независимости отношения длины наклонной к длине ее проекции от выбора точки на стороне угла. Эта проблема может быть решена средствами подобия, тогда тригонометрические соотношения в треугольнике вводятся в теме ♦ Подобие» (учебник Л. С. Атанасяна) либо с помощью площади треугольника (учебник А. Д. Александрова), тогда тригонометрические соотношения могут быть введены при изучении теоремы Пифагора, что существенным образом расширит тематику задач, а также позволит доказать теоремы синусов и косинусов, которые в дальнейшем могут быть применены для доказательства признаков подобия треугольников. Рассмотрим этот вариант построения учебного материала.
Доказательство теоремы Пифагора может быть представлено в виде задания с пропусками.
►► ПРИМЕР
На рис. 87 выполнены следующие построения: на сторонах квадрата ABCD взяты точки К, L, М, N следующим образом: КВ - LC = MD = AN * о; BL = СМ = DN = АК = Ь. Определите вид четырехугольника KLMN.
Рис. 87Рис. 87По данным на рисунке определите площадь исходного квадрата и треугольников. Используя эти результаты, заполните пропуски в следующих формулах.
Рис. 87
Рис. 87
^KLMN = 1'' •
^ABCD = ^КВ1 + •“ + '•• + SKLMN.
$ABCD = 2°Ь + "' +*
8авСО = ^*Ь^.
(о + О)2 = ... + с2 + .... тогда
с2 = ... + ....
Какую связь между сторонами прямоугольного треугольника вы смогли установить, заполняя пропуски в равенствах?
Эта связь выражает одну из самых известных теорем геометрии — теорему Пифагора. Сформулируйте ее. Из каких этапов состоит доказательство теоремы. На каких фактах оно основано?
Что вам известно о Пифагоре, о доказательствах теоремы?
Подготовьте рассказ о том, что такое «пифагоровы треугольники», какой треугольник называется «египетским» и почему, для чего исполь
зовали этот треугольник.
Для введения тригонометрических соотношений в треугольнике можно предложить два задания.
►► ПРИМЕРЫ
Как вы можете определить высоту дерева? Какие способы для этого вы могли бы предложить?
Как вы поступите, если дерево окажется в недоступном для вас месте?
Какие измерения и построения на местности вы уже умеете выполнять? А о каких измерениях на местности и приборах для этих целей вы знаете?
Составьте рассказ исторического или приключенческого жанра об измерениях на местности.
Из истории вы знаете, что первым массовым учебником математики в России была «Арифметика» Л. Ф. Магницкого, написанная для учеников Школы математических и навигацких наук. Специалисты по навигации должны были знать элементы тригонометрии, чему и был посвящен один из разделов «Арифметики». В нем. в частности, определялись тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника: синус, косинус, тангенс, котангенс. Найдите в справочниках по математике определения этих понятий. Какие еще тригонометрические отношения вы нашли в справочниках?
Знаете ли вы что-либо из истории Школы математических и навигацких наук?
Чем. по вашему мнению, занимается тригонометрия? Что вы знаете об истории тригонометрии?
В результате выполнения этих заданий школьники формулируют определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного треугольника, устанавливают
связь между сторонами и углами. Далее ставится проблема равенств соответствующих отношений для равных углов. Предварительно этот вопрос мог быть рассмотрен в лабораторной работе, которая могла быть выполнена еще при изучении простейших геометрических построений с помощью циркуля и линейки. Тогда для обоснования этой независимости можно предложить задание в следующей формулировке.
►► ПРИМЕРЫ
Известно, что отношение катета к гипотенузе и отношение катетов прямоугольных треугольников с общим острым углом не зависит от выбора точки на стороне этого угла. Для обоснования данного вывода выполните следующие задания, используя рис. 88.
Выразите площади треугольников АМ В, АМ К, используя в качестве высот MD. BCt KN. Следует ли из этих формул равенство = ^?
Можно ли на основе данного отношения доказать утверждение: синус угла зависит только от величины данного угла?
Самостоятельно вывести теоремы синусов и косинусов поможет ученикам выполнение следующих заданий.
По данным на рис. 89 выразите высоту CD треугольника АВС. До- sin а sin В кажите истинность равенства=.
Будет ли это равенство выполняться в прямоугольном, тупоугольном треугольнике? Почему?
Как теперь вы можете обосновать, что в любом треугольнике будет
sin A sin В sin С ~
истинным равенство —~ = ——. Оно выражает теорему синусов. Сформулируйте эту терему. Изменится ли доказательство, если один из углов А или В будет тупым?
Вспомните признаки равнобедренного треугольника. Можете ли вы с помощью теоремы синусов обосновать какой-либо из признаков? На каком основании вы выбрали данный признак?
Кроме теоремы синусов, существует еще и теорема косинусов, которая формулируется следующим образом: • Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними*. В обозначениях на рис. 90 запишите соответствующее выражение для каждой из сторон треугольника.
Рис. 91Рис. 91Будет ли это утверждение верным, если ZC = = 90 9
Рис. 91
Рис. 91
Пользуясь обозначениями на рис. 91, заполните пропуски в доказательстве теоремы косинусов.
Из треугольника САМ Ь* = ... cos С.
По теореме Пифагора из треугольника МАВ с2 = = h2 + ....
По теореме Пифагора из треугольника MAC h2 = Ь2 -....
Тогда с2 = h2 + ... = Ь2 - ... а2 * b2 - 2a b cos С.
Что изменится в доказательстве теоремы, если треугольник АСВ будет тупоугольным (угол С — тупой)?
С помощью теоремы косинусов выразите диагонали параллелограмма. Какой будет связь между сторонами и диагоналями параллелограмма?
Раннее введение тригонометрических функций острого угла позволяет расширить запас формул площадей треугольника и частных видов четырехугольников, а также ввести формулу Герона. Вывод формулы Герона можно сделать из рассказа ученика о его поиске решения.
Рис. 92Рис. 92Один восьмиклассник нашел в справочнике формулу Герона и рассказал на уроке, как она выводится. На перемене на доске он подготовил чертеж (рис. 92) и сделал ряд записей с пропусками, которые заполнял в ходе своего рассказа. Прочтите рассказ ученика и заполните пропуски в сделанных им записях.
Рис. 92
Рис. 92
«Нам известны две формулы площади треугольника S = ^bc sin ... и S = ^bhb. Чтобы получить формулу Герона, нам нужно из первой формулы исключить sin о, а из второй — высоту треугольника, заменив их другими его сторонами. Рассмотрим первый случай. Стороны треугольника участвуют в формуле теоремы косинусов. Для угла а эта формула примет вид а2 = Ь2 + с2 - 2bc cos а. Выразив отсюда cos а, получаем cos а =
Ь2 * ...2ЬсЬ2 * ...2ЬсЧтобы заменить в формуле площади синус косинусом, воспольЧтобы заменить в формуле площади синус косинусом, воспользуемся тригонометрической единицей.зуемся тригонометрической единицей.
Ь2 * ...
2Ьс
Ь2 * ...
2Ьс
Чтобы заменить в формуле площади синус косинусом, восполь
Чтобы заменить в формуле площади синус косинусом, восполь
зуемся тригонометрической единицей.
зуемся тригонометрической единицей.
sin2 а = 1 - cos2 а = (1 - cosa)(1 + ...) =sin2 а = 1 - cos2 а = (1 - cosa)(1 + ...) =2bc - b2 -Сг * о2 .2bc 2bc2bc - b2 -Сг * о2 .2bc 2bc
sin2 а = 1 - cos2 а = (1 - cosa)(1 + ...) =
sin2 а = 1 - cos2 а = (1 - cosa)(1 + ...) =
2bc - b2 -Сг * о2 .
2bc 2bc
2bc - b2 -Сг * о2 .
2bc 2bc
... (Ь ♦ с)2 - о22bc 2Ьс... (Ь ♦ с)2 - о22bc 2Ьс= ^^a*b'c^ - (a*h + c).= ^^a*b'c^ - (a*h + c).
... (Ь ♦ с)2 - о2
2bc 2Ьс
... (Ь ♦ с)2 - о2
2bc 2Ьс
= ^^a*b'c^ - (a*h + c).
= ^^a*b'c^ - (a*h + c).
Заменив в этой формуле сумму сторон удвоенным полупериметром, получаем sin а =Jp(p - ai.~ (р - с).
Возвращаясь к формуле площади, получим S =Возвращаясь к формуле площади, получим S == 7р(Р - а) — (Р - Ь)(Р - с).= 7р(Р - а) — (Р - Ь)(Р - с).^bc sin а =^bc sin а =
Возвращаясь к формуле площади, получим S =
Возвращаясь к формуле площади, получим S =
= 7р(Р - а) — (Р - Ь)(Р - с).
= 7р(Р - а) — (Р - Ь)(Р - с).
^bc sin а =
^bc sin а =
В основу рекомендаций по изучению подобия положена организация самостоятельной деятельности школьников, а также знание ими тригонометрии. Мобилизовать учеников на изучение понятийного аппарата темы поможет следующая задача.
►► ПРИМЕРЫ
1)В четырнадцатой главе первой части своего романа «Таинственный остров* Жюль Верн рассказывает, как один из главных героев Сайрес Смит измеряет высоту плато Кругозора над уровнем моря, точнее говоря, вычисляет эту высоту, используя подобие треугольников. Внимательно прочтите указанный выше фрагмент романа. Установите, какой была процедура вычислений, какие измерения были проведены и какими теоретическими фактами воспользовался инженер Смит для вычислений. Сделайте соответствующий описанной в романе ситуации рисунок.
Как по-иному можно было вычислить высоту скалы? Какие измерения и вычисления следовало для этого провести? Какие инструменты для этого вам бы понадобились?
Какие треугольники называются подобными, какие признаки подобия треугольников существуют? Что называется коэффициентом подобия?
Где вы встречались с подобными фигурами? Какие фигуры называются подобными? Нарисуйте подобные фигуры.
Провести самостоятельный поиск доказательства признаков подобия треугольников с помощью теорем синусов и косинусов помогут следующие задания.
Самым простым признаком подобия треугольников является следующий: «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны*.
Что в соответствии с определением подобных треугольников нужно проверить при доказательстве этого признака?
Вспомните те теоремы, в которых говорится о пропорциональности отрезков. Можете ли вы провести доказательство данного признака, используя, например, теорему синусов? Какие еще теоретические факты вам потребовались при доказательстве теоремы?
В любом справочнике по геометрии, кроме сформулированного в предыдущей задаче признака подобия треугольников, вы обязательно отыщете еще два: «Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны», «Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны». В первом случае для обоснования признака нужно либо подводить эти треугольники под соответствующее определение, либо воспользоваться первым признаком подобия треугольников. С помощью какой теоремы вы можете провести обоснование сформулированного признака? Сумели ли вы найти в справочниках или учебниках еще какие-либо доказательства данного признака?
Проведите аналогичную работу с третьим признаком подобия.
Как и при традиционном подходе к изучению подобия, мы рекомендуем закрепление признаков подобия выполнять на готовых чертежах. Большое количество таких заданий представлено в учебниках А. Д. Александрова.
^Ключевая информация
Движения и преобразования в действующем курсе геометрии основной школы не используются для доказательства утверждений и решения задач. В связи с этим целесообразно познакомить школьников с использованием преобразований при решении задач на построение: параллельным переносом, симметрией, подобием и гомотетией. Теоретический материал по движениям на плоскости можно рассмотреть при итоговом повторении основного курса геометрии. Часть теоретического материала можно рассмотреть без доказательства.
Аналогичный подход к преобразованиям можно реализовать и в старшей школе через выполнение практических заданий на построение образов фигур, нахождение объединения или пересечения фигуры и ее образа. Знакомство с преобразованиями в пространстве необходимы, так как они широко используются на практике и при изучении геометрии: шар, цилиндр, конус определяются как фигуры вращения, а призма получается параллельным переносом многоугольника вдоль отрезка.
Центральным вопросом является изучение подобия. Построить это процесс возможно либо в логике учебника, либо на основе знания школьниками элементов тригонометрии, но при любом подходе целесообразно отрабатывать применение признаков подобия по готовым чертежам, а изучение теоретического материала использовать для обучения поиску решения задач, рассматривая циклы взаимосвязанных задач.
Рекомендуемая литература
Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия: Учеб, для 8—9 кл. сред. шк. — М.: Просвещение, 1991.
Бокельман И. Я. Инверсия. — М.: Просвещение, 1991.
Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии. — М., 1969.
Болтянский В. Г.. Яглом И. М. Преобразования. Векторы: Пособ. для учителя. — М.: Просвещение, 1964.
Геометрические преобразования // Энциклопедический словарь юного математика. — М.: Педагогика, 1989. — С. 60—69.
Геометрические преобразования // Детская энциклопедия: В 12 т.: Т. 2. — М,: Педагогика. 1972. — С. 326—330.
Методика преподавания .математики в средней школе: Частная методика / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; Сост. В. И. Мишин. — М.: Просвещение, 1987.
Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск: Выш. школа, 1986.
Лекция 27
Изучение элементов математического анализа в курсе алгебры старшей школы
Математический анализ столь же обширен, как и сама природа.
Ж. Фурье
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Вспомните содержание основных линий курса алгебры девятилетней школы. Каким содержанием они обогащаются в старшей школе?
Какие определения действительного числа вы знаете? На основе какого из них вводится понятие иррационального числа в курсе алгебры основной школы?
Какое из определений предела последовательности и предела функции, по вашему мнению, наиболее удобно для изучения в школе?
Какую из стратегий введения понятия — абстрактно-дедуктивную или конкретно-индуктивную — вы бы избрали при изучении производной и первообразной в курсе математики старшей школы?
Основные линии курса алгебры и начал анализа и их реализация в действующих учебниках
В курсе алгебры и начал анализа выделяют следующие содержательно-методические линии:
линия числа (систематизация сведений о действительных числах, комплексные числа);
линия функций (тригонометрические, обратные тригонометрические функции, показательная и логарифмическая, степенная функция, понятие обратной функции, общие
свойства функций и схема исследования функции с помощью производной);
линия тождественных преобразований (тригонометрические выражения и тождества, степени, логарифмы);
линия уравнений и неравенств (тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные уравнения, системы уравнений и неравенств, иррациональные неравенства, уравнения и неравенства с параметрами);
линия элементов анализа (понятие производной, техника дифференцирования, приложение производной к исследованию функций, геометрический смысл производной, первообразная, понятие предела последовательности и функции. теоремы о пределах, определенный интеграл, простейшие дифференциальные уравнения);
вероятностно-статистическая линия (основные понятия теории вероятностей — событие, вероятность, случайная величина; операции и свойства операций над событиями; основные теоремы теории вероятностей; закон распределения и функция распределения случайной величины; основные характеристики случайных величин).
В этом перечне курсивом выделен тот материал, который включается в программу классов с расширенным и углубленным изучением математики.
Прежде чем охарактеризовать особенности изложения учебного материала в различных учебниках алгебры и начал анализа федерального комплекта, необходимо отметить общие закономерности.
Во-первых, более высокий уровень абстракции и логической организации изучаемого материала.
Во-вторых, происходит переход изучения на уровень методов (методы дифференциального исчисления, векторный и координатный методы).
В-третьих, происходит знакомство учащихся с фундаментальными понятиями математики (действительное число, предел последовательности, производная функции, определенный интеграл и др.).
В-четвертых, завершаются основные линии школьного курса математики, что позволяет систематизировать, обобщить знания учеников. При этом появляются и новые линии (линия дифференциального и интегрального исчисления, например).
В-пятых, средствами математики обеспечивается процесс формирования естественнонаучной картины мира, происходит усиление прикладной направленности школьного курса математики, математический аппарат широко используется в смежных дисциплинах.
В-шестых, содержание ориентировано на подготовку к государственной аттестации, продолжение математического образования на различных уровнях в высшей школе, что, в частности. предполагает организацию активной самостоятельной познавательной деятельности при изучении старшеклассниками содержания.
В учебнике А. Н. Колмогорова изучение элементов математического анализа предваряется накоплением материала, на основе которого вводятся основные понятия анализа и формируются умения по применению аппарата математического анализа для получения результатов. В этой логике пополняется запас функций (тригонометрические и обратные тригонометрические функции) и рассматриваются их свойства, повторяется и обобщается понятие функции, рассматриваются свойства, которые будут использоваться в дальнейшем.
Изучение производной начинается с введения понятий приращения аргумента и приращения функции на основе известных ученикам из курса физики интерпретаций и вводного параграфа о понятии производной и касательной к графику функции. В нем раскрывается смысл идеи линеаризации — замены части гладкой кривой в окрестности точки х0 отрезком некоторой прямой I. Здесь же введено предварительное определение производной как углового коэффициента касательной и получены первые результаты — вычислена производная функции у — х2. Несмотря на очевидные преимущества такого способа введения понятия производной, приходится признать его некоторую громоздкость, создающую психологические трудности при восприятии и изучении этого материала учениками.
Для осмысленного введения определения понятия производной учащимся предлагается набор упражнений на развитие навыков вычисления производной функции в точке на основе идеи линеаризации. После такой подготовительной работы вводится определение понятия производной абстрактно-дедуктивным способом, при этом в определении явно не употребляется термин «предел», но используется в записи определения производной функции / в точке х0:
„. х f(x0 + Дх) - f(x0)
На основе введенного определения производной решаются примеры на нахождение и доказательство формул дифференцирования некоторых элементарных функций. По определению производной также показано, что функция Дх) = |х| в точке х0 = О не имеет производной.
В последующем доказываются правила вычисления производных (производная суммы, произведения, частного, сложной функции). Для доказательства формул дифференцирования тригонометрических функций предварительно на наглядноинтуитивной основе обосновывается первый замечательный предел.
Существенное место отводится применению производной к приближенным вычислениям, геометрии и физике. В этом разделе обосновывается метод интервалов, выводится уравнение касательной к графику функции, иллюстрируется формула Лагранжа.
На основе формулы Дх) = Дх0) + /*'(х0)(х - х0) получен ряд формул для приближенных вычислений, которые широко используются как в самом курсе, так и в курсе физики (например, при изучении электродинамики или световых явлений). Механический смысл производной выясняется при знакомстве с применением производной в физике и технике. Несомненным методическим достоинством этого пункта является обоснование уже известных учащимся правил дифференцирования на основе механического смысла производной, а также установление одного свойства параболы, имеющего применение в оптике.
Завершает систематическое изучение темы раздел, в котором рассматриваются применения производной к исследованию функций. В этом разделе изучаются понятие критических точек, необходимый признак экстремума, достаточный признак возрастания (убывания) функции, наибольшее и наименьшее значения функции, а также приводятся примеры применения производной к исследованию функций и решения прикладных задач.
В исторических сведениях к этому разделу приводится формула Тейлора. Она может стать основой для организации самостоятельной работы учащихся творческого характера.
Тема * П ервообразная и интеграл» начинается с изучения понятия первообразной на основе механических представлений. Далее устанавливаются ее основное свойство и правила нахождения. Эти знания позволяют подвести учащихся к решению важнейшей задачи — задачи о нахождении площади
криволинейной трапеции как разности первообразных: S = = F(a) - F(b). Понятие неопределенного интеграла не вводится.
Понятие определенного интеграла рассматривается и вводится как некая альтернатива подходу к задаче вычисления площади криволинейной трапеции, рассмотренной ранее. Введение понятия определенного интеграла осуществляется на наглядно-интуитивной основе из геометрических соображений с привлечением формулы прямоугольников для приближенного вычисления интеграла. В сопоставительном плане на основе элементарных рассуждений получается формула Ньютона—Лейбница. В качестве приложений рассмотрено вычисление объемов тел (включая объемы тел вращения).
Рассмотренное содержание элементов математического анализа используется далее при изучении свойств показательной и логарифмической функций, а также позволяет познакомиться с математическими моделями, которые описываются дифференциальными уравнениями показательного роста и показательного убывания.
В учебнике Н. Я. Виленкина для классов с углубленным изучением математики есть все предпосылки для корректного введения понятия производной, т. е. на основе определения понятия предела функции в точке. Развитие и закрепление навыков отыскания производной по определению способствует лучшему уяснению как процедуры (алгоритма), так и сущности самого понятия. Весьма полезным является решение графических заданий, которые ориентированы на геометрический смысл производной функции в точке. Это обстоятельство позволяет учащимся лучше разобраться в сущности понятия дифференциала функции.
Большинство теорем анализа, рассматриваемых в учебнике, доказывается. В дополнение к изучаемым свойствам функций рассматривается свойство выпуклости функции и соответствующие признаки. Качественно иной набор задач как математического, так и прикладного характера.
Наличие у учеников знаний о производной и дифференциале позволяет сформулировать определение первообразной, в форме F'(x) = f(x) или dJ^(x) = f(x) • dx. На этой основе вводится определение понятия неопределенного интеграла и соответствующего символа: jV(x)dx. Опираясь на введенное определение, доказываются некоторые свойства неопределенного интеграла. Рассмотренные свойства, а также таблица основных интегралов, полученная с помощью таблицы дифференциалов функций, позволяют перейти к вычислению неопределенных интегралов. Логичным представляется изучение
далее метода замены переменной. С помощью этого метода значительно расширяется класс функций, от которых можно вычислить неопределенный интеграл.
Тема «Дифференциальные уравнения» формирует у учащихся первоначальные представления о математических моделях и соответствующем методе. Ученики знакомятся с понятийным аппаратом темы и некоторыми методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Заканчивается раздел изучением вопроса мировоззренческого характера — составление дифференциальных уравнений — и беседой о математических моделях и математическом моделировании.
Изучение определенного интеграла предваряется аксиоматическим введением понятия площади и определением квадрируемой плоской фигуры. Далее рассматриваются площадь криволинейной трапеции, теорема Ньютона—Лейбница, физические и геометрические задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение понятия определенного интеграла следующее:
ъ
J f^x^x - F^b) - F(a), а
т. е. определенным интегралом называется разность значений первообразной для функции / в точках b и а. Эта формула называется формулой Ньютона—Лейбница.
Завершается изучение интеграла решением задач на вычисление геометрических и физических величин с помощью определенного интеграла (вычисление объемов тел, площадей плоских фигур, механической работы, механической энергии, силы давления жидкости и т. д.) и рассмотрением формул приближенного вычисления определенного интеграла.
Дальнейшее развитие линии анализа связано с изучением показательной и логарифмической функций, которые приводят к изучению дифференциального уравнения процессов органического изменения, а также к иллюстрации обоснования второго замечательного предела и сопутствующих вопросов.
В учебнике Ш. А. Алимова предпринята попытка ввести понятие производной на содержательной основе через рассмотрение задачи на равнозамедленное движение. Производная функции вводится как предел разностного отношения, при этом смысл понятия предела не раскрывается. Определение не дается, вводится символ предела, составляется таблица производных, обосновываются правила дифференцирования,
но не используется понятие сложной функции, не формулируется правило дифференцирования сложной функции, что приводит к большему числу ошибок при изучении данного материала школьниками, чем при изучении этого вопроса по учебнику А. Н. Колмогорова. В учебнике рассматривается геометрический смысл производной, но не обсуждается ее применение в физике, кроме вводной задачи, и к приближенным вычислениям, что также может привести к определенным трудностям при изучении математики в высшей школе. Теоретический материал по применению производной к исследованию функций вводится без доказательства, ряд доказательств поясняется на примерах.
В учебнике М. И. Башмакова во вводной беседе рассматривается механический смысл производной в историческом аспекте и ее геометрический смысл, что облегчает введение понятия производной с помощью предела, раскрывается смысл предельного перехода, обосновываются формулы дифференцирования. Вместо формулы производной сложной функции рассматривается теорема о линейной замене аргумента. Понятие сложной функции рассматривается в заключительной беседе по теме. Теория по исследованию функции приведена с обоснованиями, вводится понятие дифференциала и его приложения в физике. Кроме сложной функции, в заключительной беседе по теме рассматриваются линеаризация и гладкость функции, а весь теоретический материал имеет более выраженную прикладную направленность, чем в других учебниках.
Подходы к изучению действительных чисел в старшей школе
Изучение темы «Действительные числа» в классах с углубленным изучением математики рекомендуется вести в логике учебника. В остальных случаях можно использовать схему изложения данного вопроса, приведенную ниже. Она явно избыточна, часть вопросов можно опустить, либо рассмотреть обзорно (сообщения учащихся, краткий рассказ учителя), либо рекомендовать для самостоятельного изучения с последующим представлением докладов или рефератов.
Нам представляется целесообразным вести разговор о действительных числах либо при расширении понятия степени перед изучением показательной функции, поставив перед учениками вопрос, как вычислить к2 или 2 ^, либо в ходе итогового повторения курса алгебры и начал анализа.
Разговор предваряется беседой учителя, в которой раскрывается процесс расширения понятия числа от натуральных до гиперкомплексных чисел на практике и в математике как науке. Важно подчеркнуть, что «историческая» и «научная» последовательности появления новых числовых множеств различны. Следует показать, что в каждом числовом множестве задаются действия с определенными свойствами, вводится отношение сравнения со своими свойствами, раскрываются причины введения новых числовых множеств, возникающие при этом приобретения и утраты. Демонстрация «одинаковости * устройства числовых множеств создаст основу для разговора об алгебраических структурах в конце изучения темы.
В качестве дополнительного материала здесь могут быть использованы сообщения учащихся о трех знаменитых задачах древности (об удвоении куба, трисекции угла, квадратуре круга).
Далее рассматривается вопрос о представлении натуральных целых рациональных чисел конечными или бесконечны- -/1 12\
ми периодическими десятичными дробями например, х, хт , \d ОО )
формулируется правило представления периодических дробей обыкновенными (текст правила и упражнения могут быть заимствованы из учебника Н. Я. Виленкина).
После этого может быть введено определение действительного числа как бесконечной десятичной дроби, рассмотрен вопрос о приближении по недостатку и ио избытку, сформулировано правило сравнения действительных чисел.
Введение действий на множестве действительных чисел целесообразно показать на конкретном примере для сложения, поставив задачу определения четырех знаков суммы чисел х = = 1,23001... и у = 0,78044... . Рассматривается последовательность десятичных приближений х и у, и ученики видят, что при хь = 1,23001, у6 = 0,78044, дс^ * 1,23002, у'5 = 0,78045 получаем 2,01045 < х 4- у < 2,01047, нужные десятичные знаки найдены. Далее делается вывод, что существует единственное действительное число, являющееся суммой двух данных (две последовательности приближений сходятся к единственному числу). Затем делается вывод, что другие действия вводятся аналогично.
В качестве дополнительного материала учитель может познакомить школьников с построением числовых систем и с алгебраическими структурами на примерах числовых множеств (группами, кольцами, полями).
Методика изучения комплексных чисел в классах с углубленным изучением математики
Из истории методики математики известно, что данная тема периодически включалась в программу базовой школы и исключалась из нее. Причины обращения к этой теме состоят в том, что ряд фактов элементарной математики связан с комплексными числами (тригонометрические формулы кратных аргументов, например); идея расширения числовых множеств получает логическое завершение; без комплексных чисел неубедительно выглядит в глазах школьника основная теорема алгебры. Кроме того, общеизвестно большое прикладное значение теории функций комплексной переменной (в аэродинамике, например), что особенно важно для тех учеников, чье дальнейшее обучение и профессиональная деятельность будут связаны с приложениями математики.
Существуют разлггчные подходы к введению понятия комплексного числа. Первый: комплексное число — упорядоченная пара действительных чисел, которой на плоскости соответствует точка. Второй: символ вида а + Ъц где а и b — действительные числа. Третий: вектор, соединяющий точку плоскости с началом координат и характеризующийся длиной и углом. В различное время в отечественной школе присутствовали первый и второй подходы. Второй можно признать неудачным, поскольку смысл символа непонятен, не ясно, что означает Ьц какой смысл вкладывается в знак сложения, соединяющий действительное число и Ы. Таким образом, предпочтительным следует признать первый подход.
Содержание учебного материала темы традиционно: определение комплексного числа, действия с комплексными числами, тригонометрическая форма комплексного числа и различные приложения.
Можно предложить следующие рекомендации к изучению данной темы.
Понятие комплексного числа следует ввести как пару действительных чисел, дав геометрическую интерпретацию, что сделает естественным появление мнимых чисел и восприятие действительного числа как комплексного. На этой основе вводятся аргумент и модуль комплексного числа, появляется мнимая единица. После этого вводятся действия и появляется алгебраическая форма комплексного числа, далее используется именно алгебраическая форма при введении сопряженных чисел, действий вычитания, деления, преобразовании выражений. Последний блок теоретического материала: тригонометрическая форма комплексного числа, формула Муав-
ра, извлечение корней. Дополнительные упражнения по теме можно найти в учебнике Кочетковых, Алексеева (в факультативной книге).
Об изучении предела последовательности и предела функции в общеобразовательной и профильной школе
Одним из центральных вопросов курса алгебры старшей школы является производная функции и ее приложения. Полноценное его изучение представляется неразумным вне знакомства хотя бы на описательном уровне с понятием предела функции. Предел функции, как и предел последовательности, являются фундаментальными понятиями математики. Кроме математического и прикладного значения они несут в себе и культурологическую нагрузку, поэтому знакомство с ними является необходимым ученикам, изучающим математику в рамках различных профилей в старшей школе. Изучение этого материала в школе можно рассматривать и как подготовительный этап для освоения этих понятий в курсах высшей математики. Особенно важно это для тех, кто будет изучать сокращенный курс высшей математики, в котором эти понятия рассматриваются формально, основное внимание уделяется решению задач на вычисление пределов.
Можно предложить конкретно-индуктивный подход к введению понятий предела последовательности и предела функции.
После актуализации понятия последовательности и способов задания последовательностей ученикам предлагаются такие примеры последовательностей:
a(n): 1; 1; ... ;
Ь(п):-2; 2;-2; 2 ... ;
•cW-V
dW: 1; 3; 5; 7;...;
е(п) =е(п) =fWfWМ)л.п2 *3 ~Ь лпМ)л.п2 *3 ~Ь лп
е(п) =
е(п) =
fW
fW
М)л.
п2 *
3 ~Ь л
п
М)л.
п2 *
3 ~Ь л
п
Изобразив элементы данных последовательностей на координатных прямых, учитель отмечает, что все элементы первой последовательности ♦ садятся» в точку 1 и в любой окрестности данной точки будут находиться все элементы данной последовательности. Для второй последовательности все элементы с четными номерами попадают в точку 2, а с нечет-
ными — в точку -2. и в каждом случае найдутся окрестности этих двух точек, вне которых будет находиться бесконечно много элементов последовательности. Аналогично и для четвертой последовательности: у каждого нечетного числа найдется окрестность, вне которой будет находиться бесконечно много элементов последовательности.
Самым важным примером является последовательность с(л) = Понятно, что с увеличением номера элемента уменьшается расстояние между этим элементом и нулем. Чем ближе к нулю, тем теснее располагаются элементы последовательности на координатной прямой, постепенно уменьшается расстояние между ними. Кроме того, понятно, что, выбрав какую-либо окрестность нуля, можно определить номер элемента, начиная с которого все элементы последовательности попадают в выбранную окрестность (например, для окрестности радиуса 0,01 — это все элементы, начиная со 101-го, для окрестности радиуса 0,000001 — все элементы с 1000001-го и т. д.). В любой окрестности числа 0 будет находиться бесконечно много элементов последовательности. Аналогичная ситуация и в пятом примере, где элементы будут приближаться к нулю с двух сторон: все элементы с четными номерами справа, с нечетными — слева. Показав эти закономерности, учитель может сформулировать окрестностное определение предела последовательности, ввести символику и записать:
lim a(n)-l; lim с(п) = 0; lim е(л) = 0. л — ООЛ — СОл — ОО
С помощью последнего примера дп) — —-—, предваритель-
3 4- л 3-
но представив правую часть в виде —-— = - 4-1, учитель ил
люстрирует теоремы о пределах суммы, константы, вынесение числового множителя за знак предела, а также формулирует и записывает теоремы о пределе произведения и частного. В достаточно подготовленных классах учитель может переформулировать окрестностное определение на языке е-n, показать основную идею доказательства теорем о пределах — оценку составленных по определению предела неравенств, привести
/ IV1примеры вычисления пределов, ввести число е = lim 1 4- - .л — со \Л /
На основании полученных знаний учитель затем вводит окрестностное определение предела функции в точке. Для это-
го можно использовать, например, график следующей функции (рис. 93):
fW =fW =X2, х<-1, х2,-1 < х < О, х, 0 < х < 1, 3, х- 1, 1,1 <х< 2, 2,2 < х < 4, х - 2, х > 4.
fW =
fW =
С помощью графика данной функции учитель иллюстрирует окрестностное определение предела функции в точке (для подготовленной аудитории возможно использование языка г-5). Для этого выбирается несколько точек, например х = -2, х = -1, х = О, х = 1, х = 3. В первом случае с помощью графика учитель показывает, что, выбрав на оси оу какую-либо окрестность точки 4, удается с ее помощью найти на оси ох окрестность точки -2 такую, что значения функции от всех элементов из этой окрестности попадают в выбранную окрестность точки 4. Следовательно, по мере приближения значений аргумента к х = -2 слева и справа значения функции приближаются к у = 4. Это число является пределом функции в данной точке, при этом пишут lim Дх) = 4. Аналогичная ситуация л — 2
наблюдается идлях = -1,х = 0.х = 1, но в первом и третьем случае это условие выполняется для всех точек, кроме х = -1 и х = 1 соответственно, при этом в точке х = -1 функция не определена, но предел существует, а в точке х = 1 предел функции не совпадает с ее значением. После чего формулируется определение предела функции в точке х0, ограничение в определении (при х * х0) было обосновано. В точке х = 2 существуют только односторонние пределы, на это следует обратить внимание учеников. Данные понятия понадобятся при построении графиков разрывных функций. С помощью данной функции также вводятся понятия непрерывной в точке и на интервале функции, разрывной функции. Можно познакомить учеников с понятиями устранимого и неустранимого разрывов, сформулировать теорему о непрерывности дробно-рациональной функции на ее области определения. На основе аналогии формулируются теоремы о пределе суммы, произведения, частного, которые не доказываются, а также .. sin х , приводятся примеры замечательных пределов lim = 1
х - О X
(они потребуются при вычислении производной функции синус).
Упражнения посвящены повторению метода интервалов, исследованию функции элементарными средствами, построению графиков, повторению других вопросов. В классах математического профиля, несмотря на более высокий уровень математической подготовки учеников, вполне возможна рассмотренная выше схема введения понятий предела числовой последовательности и предела функции в точке. В дополнение можно рассмотреть определение предела функции в точке по Гейне на языке числовых последовательностей с рассмотрением ряда примеров.
Определение. Пусть функция / определена на некоторой проколотой окрестности точки £7(х0)х0. Число А называется пределом функции f в точке х0 (или при х, стремящемся к х0), если для любой последовательности хл € С7(х0), п = 1, 2, ... , сходящейся к точке х0 (т. е. Иш хп = х0), соответствующая последовательность {/(хл)} сходится к числу А, т. е. верно равенство lim КхЛ = А. При этом пишут А = Иш Дх).
п — ОО л — «
В каком-то смысле это определение предела функции в точке более естественно, чем определение на языке £-6, широко распространенное в учебниках и методических рекомендациях. Если допустить введение определения предела функции в точке на языке числовых последовательностей, то обнаруживается и логическая, и дидактическая целесообразность такого методического подхода. Действительно, к моменту изучения понятия предела функции в точке учащиеся уже знают определение предела числовой последовательности и имеют некоторые навыки вычисления пределов. Поэтому на основе легко просматриваемой генетической связи понятий предела числовой последовательности и предела функции в точке можно построить весьма эффективную методику изучения этого раздела. Сложившаяся же практика обучения, в силу ряда причин, ориентирована на использование языка £-5. Объяснение этому может быть найдено в широте применений понятия предела функции в точке на языке £-5 в сфере прикладных вопросов.
В определении предела функции в точке на языке числовых последовательностей (как, впрочем, и на языке £-5) ♦ прописан» алгоритм, который надо реализовать, чтобы установить факт существования предела функции в данной точке.
Рассмотрим элементы методики работы с примерами на применение определения предела функции в точке по Гейне.
►► ПРИМЕРЫ
Выяснить существование предела функции /(х) = х2 - 2х при х — 1. Выберем какую-либо последовательность хл€ С/(1), п = 1,2сходящуюся к точке х0 = 1, т. е. lim х„ = 1. На основании теорем о свойствах л • OD
пределов числовых последовательностей, изученных ранее, получим lim f(xn)= lim (х2-2хп) = ( lim х.р-2 lim xn= 12- 2 -1 =-1.
Л—®n —°oЛ—®Л —оо
Доказать, что lim cos х при х — оо не существует. Рассмотрим по
следовательность хп = кп такую, что lim хп = оо. Тогда соответствующая Л - =»
последовательность f(xn) = cos тел = (-1)л, принимающая значения -1,1, -1,.... как видно, не имеет предела. Этот пример наиболее естественно решается в рассматриваемой логике.
Показать, что lim f(x) = 2, если f(x) = -. Очевидно, воспользо-
Г— 2X - 2
ваться теоремами о свойствах пределов в данном случае невозможно. Возьмем какую-нибудь последовательность хл € С/(2), л = 1,2,.... сходящуюся к точке х0 = 2, т. е. lim хп = 2, например хл = 2 + 1/л. Тогда, преоб- л * оо
разуя выражение для f(xn)
н 1 - *” ' 4 - ^^ У”)2"4 - 4*4/л ♦ 1/л2-4 = 4/л ♦ 1/л2 еп - 1
Ц п' хл - 2 (2+1/л)-2 ~2 ♦ 1/п - 21/л л л
и вычисляя соответствующий предел, получим: lim f(x„) = 4. Этот резуль- л -оо
тат может быть обоснован и достаточно строго.
Можно составить и другие содержательные в дидактическом смысле примеры. На основе определения предела функции в точке по Гейне достаточно естественно рассматриваются свойства пределов функций и вводится определение понятия непрерывной в точке функции.
Возможные варианты введения понятия «производнаяфункции» и изучения приложений производной
Изучение производной функции и ее приложений направлено:
на знакомство с одним из фундаментальных понятий математики;
на введение нового метода решения задач (нового метода исследования моделей);
на демонстрацию прикладного значения математики, реализацию межпредметных связей;
на систематизацию функциональных знаний.
Основное содержание раздела: понятие производной, техника дифференцирования, приложение производной к исследованию функций и решению задач. На основе имеющихся знаний о пределе функции в точке может быть сформулировано определение производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, при этом можно воспользоваться как геометрической иллюстрацией (подготовка к рассмотрению геометрического смысла производной), так и обратиться к физическим закономерностям. Выбор иллюстративного материала осуществляет учитель, но оптимальным будет введение производной на геометрической основе, что позволит еще раз показать идею линеаризации (возможность замены части кривой в окрестности точки касания отрезком касательной) и подготовить учеников к изучению приложения производной к приближенным вычислениям.
Закрепление понятия производной можно провести, заполняя совместно с учениками таблицу, в результате которой будет получена часть таблицы производных:
ФО
ДФО
V
"т
Лх - 0 Ы
f'W
С
ах
X2
1 X
Jx
В эту же таблицу по усмотрению учителя могут быть включены некоторые тригонометрические функции (синус и косинус), без доказательства даны производные тангенса и котангенса. Для проверки усвоения определения производной может быть предложена письменная работа, состоящая из двух заданий на вычисление по определению производных функций у ■ -Зх 4- 6 и у = 2х2 + 5х - 4 (предполагается, что у каждого ученика свой набор коэффициентов). Решение этих задач можно рассмотреть как один из способов мотивации изучения теорем о производной суммы, произведения, частного, производной сложной функции.
В классах нематематической специализации будет достаточно показать процедуру вывода формулы производной сум-
мы (ученики могут не запоминать этот вывод), а остальные формулы привести без доказательства. Особое внимание следует уделить сложной функции и ее производной, поскольку именно с нею связано наибольшее число ошибок (следующая по числу ошибок — производная дроби, где обычно ученик делит производную числителя на производную знаменателя). Можно предложить следующие задания.
►► ПРИМЕРЫ
Из функций f=5x2*3x-81g=4p= J"x составьте функцию р ° g ° f и найдите ее производную. Составьте другие композиции этих функций и также вычислите производные.
Представьте функцию Vsin (2х - 7)5 в виде композиции элементарных функций, найдите производную исходной функции. Какие композиции вы можете составить из полученных функций? Вычислите производные составленных вами функций.
Кроме того, учитель может предложить ученикам самостоятельно составить сложные функции и найти их производные. Поскольку производные тригонометрических функций уже были включены в таблицу производных, то в качестве элементарных функций для составления и дифференцирования сложных могут быть включены тригонометрические функции.
Вторым разделом данной темы является применение производной к решению задач. Традиционное содержание этого раздела: применение производной в геометрии и физике, в приближенных вычислениях; исследование функций и построение графиков с помощью производной; решение задач на наибольшее и наименьшее значения.
При изучении уравнения касательной к графику функции можно опираться на известный ученикам геометрический смысл производной.
Весьма интересным представляется знакомство учащихся с формулой Три лора, применение которой в учебном процессе имеет значительные возможности для реализации различных образовательных целей. Формула Тейлора может рассматриваться как средство закрепления и обобщения материала темы, развития и закрепления навыков применения аппарата анализа как для исследования функций, так и для решения прикладных задач. Формула Тейлора, обладая внушительным внутренним содержанием, аккумулирует в себе практически все изученные понятия анализа: производную, уравнение касательной и вопросы линеаризации, приближен-
ные вычисления и решение тонких моментов исследования функций, например выяснение промежутков выпуклости функций. На основе формулы Тейлора строятся задания на разложение элементарных функций в ряд Тейлора, ведется содержательный разговор по вопросам погрешности вычислений с использованием этой формулы. При этом учащимся демонстрируется интегративный (в смысле объединения различных математических понятий) характер формулы Тейлора и подчеркивается ее весьма универсальный характер.
Можно рекомендовать следующую методику изучения понятия «дифференциал». Несмотря на то что изучение этого понятия по программе базовой школы не предусматривается, целесообразно в практике обучения элементам математического анализа в школе искать возможности знакомства учеников
с этим понятием, даже с учетом того, что оно имеет достаточно высокий для учащихся уровень математической абстракции.
Возможны различные подходы к введению понятия «дифференциал» в школьном курсе математики. Один из подходов, связанный с историей вопроса, заключается в определении этого понятия на основе применяемого Г. Лейбницем специального вида производной функции в точке в виде
«дифференциального отношения» — ^, т. е. f = и, да
лее, df * f • dx. Это выражение и принимается за определение понятия дифференциала функции f. На этой основе можно достаточно формально вычислять дифференциалы элементарных функций и составить таблицу дифференциалов на основе таблицы производных. Например, /(х) — х2, fW — 2х, d/ = 2x-dx. Слабым местом такого подхода является сложность обоснования наличия множителя dx и, как следствие, возможность синдрома формализма знаний.
Другой подход опирается на геометрический смысл дифференциала (рис. 94) и предполагает работу учителя по разъяс
нению вводимого понятия с привлечением рассуждений о «потенциальном» характере изменения этой величины (имеются в виду рассуждения, приводящие к заключению о том, что при Ах —* 0 главный вклад в приращение функции АС, соответствующее приращению ^х, вносится именно линейной частью АВ приращения функции). При таком подходе, записывая формулу для тангенса угла наклона касательной к графику функ-
ции у — f<x> в точке N в соответствии с геометрическим смыслом производной и определением функции тангенс, получаем естественное выражение для дифференциала d/: tg а = fXx^< tg а = АВ/NA = d//Ax, тогда d/ = f\x^kx и, далее, d/ = f\x^ - - dx. Очевидно, что наглядность в данном случае играет решающую роль в формировании понятия дифференциала, сознательном его использовании и применении.
Понятие дифференциала позволяет сделать приближенные вычисления более естественными с точки зрения их проведения в прикладных отраслях математики. Вообще, практика приближенных вычислений как в физике, так и в технике в большей степени связана с решением прямой или обратной задачи теории погрешностей. Прямая задача в общем случае состоит в определении погрешности функции по известным погрешностям аргументов.
►► ПРИМЕР
Пусть у = Цхр х2,.... хл) данная функция нескольких переменных xv х2, ..., хп. имеющая соответствующие непрерывные частные производные по указанным переменным, и Ax1t Дх2,.... Дхл — предельные абсолютные погрешности величин хр х2хт тогда предельная абсолютная погрешность значения функции у может быть определена по формуле
Ду-« дхг + ...- Дх„= L ^
Эх, 1 Эх2 2 дхлЭх,
Сущность обратной задачи теории погрешностей заключается в определении погрешности аргументов Ах^ Ах2, .... Ах„ по известной погрешности функции M<xv х2> ...» хп). В отличие от прямой задачи теории погрешностей, обратная в силу некорректной математической постановки не имеет единственного решения.
Указанные задачи теории погрешностей могут рассматриваться как дальнейшее развитие содержательно-методической линии приближенных вычислений, так как в курсе неполной средней школы учащиеся уже получили представление об арифметических действиях с приближенными числами. Там же были введены определения абсолютной и относительной погрешности. Кроме того, в курсе физики, как правило, во втором полугодии 9 класса предусматривается лабораторный практикум, в котором учащиеся снимают экспериментальные данные с приборов, имеющих заданную погрешность измерения величин, обрабатывают полученные результаты с применением простейших правил работы с приближенными числами.
В профильной старшей школе следует расширить представления учащихся об элементах теории погрешностей, в частности ввести понятия о предельной абсолютной и предельной относительной погрешностях приближенного числа, о верных десятичных знаках (в узком и широком смысле); познакомить с прямой и обратной задачей теории погрешностей, имеющей важное практическое значение, а также провести обобщение задачи на случай многих переменных.
В школьном курсе начал анализа учащиеся решают эту задачу, но в другой постановке: они находят приближенные значения функции одной переменной, используя линейный член разложения функции Дх) в ряд Тейлора в окрестности точки х0. Однако из курсов физики и геометрии учащиеся уже имеют представление о функциях двух и большего числа переменных. Поэтому на примере решения задач этой тематики появляется возможность осуществления пропедевтики изучения такого математического объекта, как функция многих переменных. Эти же задачи дают возможность дальнейшей отра
ботки навыков дифференцирования.
Работа с задачами этой тематики начинается с рассмотре
Э/Эде]Э/Эде]Д^!Д^!ния известного учащимся одномерного случая.
Э/
Эде]
Э/
Эде]
Д^!
Д^!
Случай функции одной переменной: ДДх) *
= |/'(х)|Дх.
Методика работы с задачами на использование этой формулы традиционна: построить аналитическую зависимость Дх), вычислить производную f\xY найти d/, заменить его приближенно М-
►► ПРИМЕР
Ребро куба измерено с помощью миллиметровой линейки и равно 20 мм. Оцените абсолютную погрешность, допускаемую при вычислении его объема.
Строим аналитическую зависимость Цх), где V и х — объем и ребро куба соответственно: У(х) = х3. Находим производную 1/(х) = Зх2 и, далее, dV(x) • 3x2dx. Заменяя дифференциалы конечными приращениями, получим AV(x) * З^Дх. При х = 20 мм и Дх = 1/2 мм (так как погрешность определения величины с помощью измерительных инструментов, как знают учащиеся из курса физики, принимается равной половине цены деления инструмента) получаем, что Д 1/(20) * 3 • 202• 1/2 = 600 мм3.
Случай функции многих переменных.
» ПРИМЕР
Определите погрешность вычисления длины окружности, если ее радиус, измеренный сантиметровой линейкой, равен 10 см.
Решение этой задачи не отличается от предыдущей. Действительно, пусть С — длина окружности, a R — ее радиус, тогда С(Я) = 2 • к • R и погрешность вычисления длины окружности можно определить, используя следующую цепочку формул: 6С(Я) = C^RVdR = 2-я-dЯ, ДС(Я)« - С'(Я) • ДЯ = 2 • я • ДЯ. Оказывается, что ДС(Я) от Я не зависит, а зависит от цены деления измерительного инструмента ДЯ. Но это еще не все. Учащиеся, преодолевая трудности психологического характера, приходят к мысли, что ДС зависит также и от погрешности при выборе приближенного значения я, т. е. я ведет себя не как постоянная величина, а как переменная.
В соответствии с известным практическим принципом «погрешности только накапливаются», надо учесть тот факт, что число л — аргумент функции С(я, Я). Следовательно, получим формулу для вычисления ДС(я, Я), добавив слагаемое следующего вида |С'(л, Я)| • Дя, т. е. приходим к формуле ДС(л, Я) = (С^л, Я)| • ДЯ+ |С'(я, Я)| • Дя. Таким образом, можно прийти к понятию частной производной на основе идеи независимости каждого из слагаемых друг от друга при определении общей погрешности и ввести ее обозначение.
Вычислите погрешность определения периода колебаний Р математического маятника, если 7= 2л / -.
Эту задачу учащиеся пытаются решить в теоретическом курсе школьной физики, и на ее основе построена работа лабораторного практикума в 9 классе:
т-г±дт;гдедг=7(^+ g*|#).
Обратную задачу теории погрешностей можно рассмотреть факультативно в соответствующих профильных классах.
Еще один вид примеров, связанных с приближенными вычислениями, основан на использовании формулы f(x) * Кх0^ + 4- fXx^^x. Относительным недостатком методики обучения приближенным вычислениям с использованием этой формулы является отсутствие оценок погрешности получаемого результата. Следует заметить, однако, что в приближенных вычислениях важны два аспекта — приближенное значение величины и погрешность ее вычисления (причем отдать предпочтение какому-то из них невозможно). Несмотря на это, такой подход получил распространение в практике обучения не только математике, но и физике. Учащиеся широко используют как в расчетах в задачах по физике, так и при получении теоретических фактов, особенно в теме < Свойства света», формулы для приближенного извлечения корней, вычисления значений тригонометрических функций малых углов и т. д.
Возможны различные варианты введения теоретического материала по исследованию функции с помощью производной:
сформулировать все утверждения и оставить их без доказательства;
показать схему доказательства теорем;
оставить без доказательства формулу Лагранжа и на ее основе выполнить остальные доказательства.
Выбор методики изложения этого материала следует осуществить учителю. Опыт показывает, что наиболее оптимальным является вариант изложения материала в логике учебника А. Н. Колмогорова.
Также возможны различные варианты схемы исследования функции с помощью производной. Рекомендуется придерживаться следующей схемы исследования функции:
область определения;
область значений;
четность и нечетность;
пересечение с осями;
знакопостоянство;
производная и критические точки;
монотонность и экстремумы;
выпуклость;
точки перегиба;
поведение на бесконечности и около точек разрыва.
Поиск области значений нередко сводится к поиску области определения обратной функции, поэтому реализация данного пункта исследования возможна лишь в классах математического профиля. При исследовании функции на четность и нечетность учитель должен обратить внимание школьников, что они должны доказываться, а для функций общего вида достаточно привести конкретный пример. Определение промежутков знакопостоянства основано на поиске корней функции (координат точек пересечения с осью абсцисс). Поиск корней требует включения в базовый курс дополнительного материала, который раскрывается на примере. Исследуя функцию у = х3 - Зх 4- 2, учитель показывает, что некоторые корни многочлена могут быть найдены подбором (они являются делителями свободного члена), далее на основе теоремы Безу может быть выполнено деление многочлена на двучлен х - а, где а — найденный корень многочлена (нередко учителя показывают старшеклассникам схему Горнера). Понижение степени многочлена на основе деления многочлена на многочлен может быть рассмотрено при изучении основных методов решения тригонометрических уравнений (сведение к алгебраическому), чтобы не перегружать теоретическим материалом данную тему. Теоретический материал, связанный с выпуклостью и точками перегиба, вводится без доказательства и иллюстрируется с помощью функции у — х2, выпуклой вниз
(вторая производная положительна), функции у — -х2, выпуклой вверх (вторая производная отрицательна), функции у ■ х3, меняющей характер выпуклости в нуле (у второй производной в этой точке происходит смена знака). Аналогично на примере функции у — х 4- - вводятся понятия вертикальной и наклонной асимптот. С горизонтальными и вертикальными асимптотами ученики могут быть знакомы (функция у = ~)> и эти знания следует здесь использовать, либо предварить изучение рассказом о наклонных асимптотах воспоминаниями о свойствах обратной пропорциональности.
Кроме уже упомянутых примеров (функций у = х3 - Зх 4- 2, у = х 4- рекомендуется совместно с учащимися рассмотреть исследование и построение графиков соответствующих функций.
В заключение надо отметить, что наиболее трудным для школьников является построение графика функции по результатам ее исследования.
Еще одним трудным вопросом является решение задач на наибольшее и наименьшее значение (задач на ♦оптимизацию»), связанных с построением и исследованием некоторой модели. Ученики далеко не всегда осознают, какую же функцию следует составить на основе условия задачи. Здесь требуется грамотный анализ условия, опора на полученный при работе с сюжетными задачами опыт поиска решения.
Для совместной работы можно предложить следующий набор заданий.
Н ПРИМЕРЫ
Представьте число 10 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
Из всех цилиндров заданного объема 16лм2 найдите цилиндр с наименьшей полной поверхностью.
Из всех прямоугольников, вписанных в окружность, найдите прямоугольник наибольшей площади.
Работая с первой задачей, учитель показывает, что искомая модель обозначена в условии задачи. Надо составить функцию суммы квадратов двух чисел и исследовать ее на наибольшее значение, для этого следует выбрать переменную — одно из слагаемых, на которые разбивается число 10.
Вторая задача с геометрическим содержанием (часто при решении задач на наибольшее и наименьшее значения требуется определенный объем геометрических знаний). Здесь следует составить функцию полной поверхности цилиндра и исследовать ее на наименьшее значение. Этот пример показывает, почему такие задачи называют задачами «на оптимизацию», надо выяснить, при каких размерах на изготовление цилиндрической емкости заданного объема потребуется наименьшее количество материала.
Особенностью третьей задачи является тот факт, что, во-первых, в условии явно не задан радиус окружности, во-вторых, если в качестве переменной принять половину одной из сторон прямоугольника, то функция площади будет иметь вид S = 2х Jr2 - 4х2, О < х < R/2 и вместо нее удобно исследовать на наибольшее значение функцию Р = 4x2Rz -16х4 (точки экстремума функций S и Р совпадают).
27.6. Введение понятия «первообразная функции»и изучение определенного интеграла
Из достаточно большого числа разнообразных подходов к введению понятия «интеграла» можно остановиться на следующем.
Изучение интеграла целесообразно начать с беседы с учащимися о том, что у операции дифференцирования функций существует и обратная операция, называемая интегрированием. В качестве примеров можно воспользоваться примерами из математики и истории развития физики. Например, найти такую функцию, производная которой равна заданной функции на промежутке I или рассмотреть механическую задачу - как по известной скорости определить закон движения тела. На этой логической основе, используя таблицу производных, построить таблицу таких функций, производная которых равна заданной, и ввести определение первообразной для данной функции /, при этом широко использовать понятие дифференциала.
Далее показать, что у функции f существует целое семейство первообразных, отличающихся друг от друга на величину действительной константы С. Ввести определение и символ неопределенного интеграла с рассмотрением ряда его свойств и переписать таблицу первообразных с применением символа неопределенного интеграла.
Так как уже имела место геометрическая иллюстрация примера механического содержания, то, воспользовавшись ею
еще раз, ввести определение понятия «криволинейная трапеция» и показать сначала на конкретном примере процедуру составления интегральных сумм. В случае существования при определенных условиях предела этих сумм предел называется определенным интегралом. На основе этого определения вводится символ определенного интеграла и устанавливается связь между определенным интегралом и площадью соответствующей фигуры. Здесь же формулируется проблема о связи неопределенного и определенного интеграла. Это обстоятельство может быть установлено с применением понятия интеграла с переменным верхним пределом с последующим доказательством формулы Ньютона—Лейбница.
Для совместной работы по применению определенного интеграла при вычислении площади фигуры рекомендуются следующие задания.
►> ПРИМЕРЫ
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 4 - х2, осью абсцисс и прямыми х = 1, х = 2.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = х2 и у = х3.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = х2 и у = -х2 + 4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной: а) графиками функций у = х3иу=2-х, прямой х = 0; б) графиками функций у = х3, у = 2 - х, прямой у = 0.
В первой задаче формула вычисления площади криволинейной трапеции применяется непосредственно.
Вторая задача интересна расположением графиков функций (график функции у — х8 расположен ниже графика функции у = х2) и способом определения пределов интегрирования (их можно либо вычислить аналитически, либо «снять» с графика, сделав затем проверку подстановкой).
В третьей задаче пределы интегрирования можно определить лишь из уравнения х2 ■ -х2 + 4, и в ней получается
симметричная относительно оси ординат
фигура, поэтому S * - 2 J (-2х2 + 4)dx.
о
В четвертой задаче получаются две различные фигуры. Для вычисления площади второй фигуры ее следует разбить на две фигуры (рис. 95), площадь получившегося треугольника можно вычислить как по формуле, так и с помощью интеграла.
Изучение вопросов математического анализа в старшей школе имеет важное культурологическое, мировоззренческое и прикладное значение. При расширении понятия степени целесообразно рассмотреть различные подходы к определению действительного числа, кратко познакомить школьников с комплексными числами.
В логике конкретно-индуктивного подхода целесообразно ввести окрестностное определение предела последовательности и предела функции. Это позволит корректно ввести определение производной. Первообразная функции может быть введена на основе операции, обратной дифференцированию. Целесообразно ввести понятие неопределенного интеграла. В логике историко-науч кого подхода на основе знаний учащихся о свойствах площади, опыта нахождения длины окружности и площади круга методом последовательных приближений ввести понятие определенного интеграла.
<-
Рекомендуемая литература
Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. — М.: Наука, 1976.
Виленкин Н. Я., Мордкович А. Г. Производная и интеграл. — М.: Просвещение, 1976.
Виленкин Н. Я., Шварцбурд С. И. Математический анализ. — М.: Просвещение, 1973.
Виленкин Н. Я., Шибисов Л. II., Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996.
Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе: Сб. статей / Сост. Е. Г. Глаголева, О. С. Ивашов-Мусатов. — М.: Просвещение, 1980.
Галицкий М. Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод, рекомендации и дидакт. материалы. — М.: Просвещение, 1990.
Глейзер Г. И. История математики в средней школе: Пособ. для учителей. — М.: Просвещение, 1970.
Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. — М.: Просвещение, 1990.
Лабораторные, и практические работы по методике преподавания математики / Е. И. Лященко, К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко и др.; Под ред. Е. И. Лященко. — М.: Просвещение, 1988.
Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; Сост. В. И. Мишин. — М.: Просвещение, 1987.
И. Никольский С. М. Элементы математического анализа. — М.: Просвещение, 1981.
Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск: Выш. школа, 1986.
Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. — М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д. К., Никулин М. С., Соколовский И. Ф. Элементы высшей математики для школьников. — М.: Наука, 1987.
Хинчин А. Я. Восемь лекций но математическому анализу. - М.; Л.: Гос. изд-во технико-тсоретнч. лит., 1946.
Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1989.
\Ч. Энциклопедия для детей. Т.П: Математика / Глав. ред. М. Д. Аксенова. — М.: АвантаЧ-, 1998.
Лекция 28
Вероятностно-статистическая линия в школьном курсе математики
Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания... Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами теории ве!Юятностей.
//. С. Лаплас
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ
Перечислите фундаментальные понятия теории вероятностей.
Укажите принятую в теории вероятностей классификацию событий.
Какие определения понятия вероятности вам известны?
Укажите основные цели изучения элементов теории вероятностей в школьном курсе математики.
* 5. Вероятность обнаружить заданное заболевание при одной рентгеноскопии примерно равна 3/4. Определите вероятность диагностирования данного заболевания при трех рентгеноскоп и ях.
6. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе мимо бензоколонки, относится к числу легковых машин как 3 : 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 1/10; для легковой машины эта вероятность составляет 1/5. К бензоколонке для заправки подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
Основные цели изучения элементов теории вероятностей в школьном курсе математики
Период с конца 70-х гг. XX в. по настоящее время может характеризоваться широким внедрением в сферу деятельности человека такого важного раздела прикладной математики, как стохастика. Эта наука, соединяющая элементы теории вероятностей и математической статистики, нашла применение практически во всех областях знания (физика, химия, биология, геология, экономика, лингвистика, психология, социология и т. д.).
Теория вероятностей, зародившаяся в трудах Б. Паскаля, Я. Бернулли, П. Лапласа и др., является математической основой статистики — науки, без применения которой уже не мыслится принятие даже сколько-нибудь значимых решений по самым разнообразным проблемам в социокультурной, образовательной и научно-производственной сферах человеческой деятельности. Этим обусловлена актуальность изучения основ теории вероятностей и математической статистики в школьном курсе математики.
Реформирование современной школы приводит к изменению содержания школьного математического образования и к необходимости выделения в методике обучения математике вероятностно-статистической содержательно-методической линии.
Основные цели изучения теории вероятностей и математической статистики могут быть следующими:
знакомство с элементами теории вероятностей и математической статистики как адекватным средством описания явлений реального мира путем построения и изучения их стохастических моделей;
развитие навыков вероятностно-статистического аспекта ♦ прикладного» мышления при решении задач по курсу теории вероятностей и математической статистики;
повышение уровня математической культуры учащихся на основе применения аппарата теории вероятностей в процессе обучения.
Следует заметить, что математический аппарат теории вероятностей базируется на элементарных математических зна-
ниях, умениях и навыках, которые должны быть уже у учеников сформированы. К этому моменту они умеют производить арифметические операции над действительными числами, осмысленно используют функциональную символику, имеют представление об элементарных геометрических объектах и оперируют с ними. Поэтому теория вероятностей может рассматриваться как раздел математики, при изучении которого ученики имеют возможность увидеть конкретные применения полученных ими математических знаний при изучении прикладной теории, весьма важной для практической деятельности человека.
В зависимости от профиля класса уровень математической абстракции изучаемого материала темы «Элементы в теории вероятностей и математической статистики* может быть различным.
Фундаментальными понятиями теории вероятностей, как известно, являются понятия «событие*, «вероятность* и «случайная величина*.
Методика изучения основных понятий теории вероятностей
В теории вероятностей понятие «событие* неразрывно связано с теоретике-множественными представлениями. В частности, по определению, под событием понимается любое подмножество множества элементарных исходов. Следовательно, для корректного введения определения этого понятия необходимо, чтобы учащиеся были знакомы с элементами теории множеств, теоретической основой теории вероятностей. Изучение теории множеств в школьном курсе математики не предусмотрено, поэтому учителю необходимо определиться, как решать эту проблему. В некотором смысле одним из путей ее решения можно считать наличие экспериментального курса математики начальной школы, реализуемого на основе учебного пособия Л. Г. Петерсон (2002). В нем изучаются первоначальные сведения из теории множеств (введено интуитивное представление о понятии «множество*, рассмотрены некоторые операции над множествами: пересечения, объединения и разности множеств и их простейшие свойства). Методика изучения материала во многом сходна с методикой изучения элементов теории множеств, реализованной в учебнике математики для 4—5 классов под редакцией А. Н. Колмогорова 60—70-х гг. издания прошлого века. Если к моменту изучения элементов теории вероятностей (9 класс) ученики обучались по учебнику Л. Г. Петерсон, то при введении основных
понятий теории вероятностей (события, операции над событиями и их простейших свойств) острота проблемы корректного их введения несколько снижается. В противном случае учителю придется решать проблему методической целесообразности предварительного знакомства учащихся с необходимыми сведениями из теории множеств. Наиболее предпочтительным при изучении основных понятий теории вероятностей представляется логически обусловленный путь — на базе необходимых понятий теории множеств вводятся основные понятия теории вероятностей.
Изучение понятия * событие» сопряжено у учащихся с трудностями психологического характера. Его ученики обычно воспринимают в контексте «бытовой» лексики, связывая его с неким единичным бытовым актом, локализованным в пространстве и времени. В соответствии же с определением понятия «события» наряду с единичным актом надо мыслить и некоторое их множество, числом элементов большим или равным единице. Далее, необходимо четко разграничить понятия эксперимента (опыта) Е и события А, как некоторого исхода Шр благоприятствующего некоторому комплексу условий S. Для учащихся понятия «эксперимент» и «событие» часто совпадают.
Формирование представления о понятии «события» начинается с рассмотрения простейших вероятностных моделей — подбрасывание игральной кости, извлечение шаров из урны, извлечение карт из колоды, стрельба по мишени — и формирования на интуитивном уровне понятия «элементарного исхода». При этом имеет смысл вводить и изучать основные понятия в историческом контексте, так как при этом не нарушается и логика развертывания теории вероятностей. Следуя Т. Байесу, рассматриваются такие опыты, при каждом испытании которых возможны несовместные и равновозможные исходы. Каждый такой исход называется элементарным исходом или элементарным событием. На основе рассматриваемых опытов можно ввести понятие * полной группы событий», как множества попарно несовместных и равновозможных элементарных событий. Все эти понятия дают возможность сформулировать определение понятия «событие» и сформировать первичное представление об этом важном понятии теории вероятностей.
Еще одним элементом, способствующим формированию представлений о понятии «события», является классификация событий по степени их «объективной возможности реализации». Изучение классификации событий по этому признаку
имеет для учеников важное мировоззренческое значение. Оказывается, что в окружающем мире не существует иных событий, кроме достоверных, невозможных и случайных. Здесь же подчеркивается фундаментальный характер понятия «случайного» события в построении и изучении закономерностей вероятностных моделей окружающего мира. Примеры таких моделей естественным образом привлекаются из школьных дисциплин (физики, химии, географии, биологии, истории, обществоведения, экономики). При этом имеет место реализация межпредметных связей.
Значение классификации по указанному выше признаку определяется еще и тем, что на ее основе осуществляется фактически первый подход к формированию понятия «вероятность». Если попытаться сопоставить с возможностью или невозможностью наступления конкретного события некоторую численную меру, в частности каждому достоверному событию поставить в соответствие число 1, а каждому невозможному — число О, тогда понятно, что каждому случайному событию будет соответствовать действительное число из интервала (О; 1). Оставляя временно нераскрытым вопрос о методах установления соответствия между случайными событиями и элементами множества I * (0; 1), логически обоснованным является переход к изучению вопроса об операциях над событиями.
Предварительно надо рассмотреть понятие «отношения между событиями» — имеется в виду отношение включения (А с В), синонимичное с наиболее часто употребляемыми оборотами речи «событиеЛ влечет за собой событие В», «событие В является следствием события А», «событие А является частью события В». На основе этого отношения логично ввести определение равных событий (события А и В называются равными, если АсВ и В с А). При изучении отношений и операций над событиями естественно использование наглядно-графических средств, которыми являются диаграммы Эйлера—Венна.
В курсе теории вероятностей изучаются следующие операции над событиями — сложение (объединение), умножение (пересечение). Разность событий можно ввести через соответствующее определение или на основе введенных операций (А\В = = Ап В). Подчеркивая, что события — это множества, можно изучать операции над событиями аналогично изучению операций над множествами, используя примеры, построенные на базе основных вероятностных моделей.
Наличие у учащихся теоретико-множественных представлений позволит им проследить полную аналогию между опе-
рациями над множествами и операциями над событиями. Теория вероятностей дает возможность ученикам увидеть, что объекты и отношения в этом разделе математики фактически те же, что и в теории множеств. Разница заключается лишь в терминологии, языке, используемом в теории вероятностей. Полезно составить таблицу соответствия между терминами теории множеств и терминами теории вероятностей.
Следует отметить, что уверенное владение учащимися навыками по работе с операциями над событиями и умение использовать основные свойства этих операций важны для развития навыков решения задач по курсу теории вероятностей. Одна из важнейших проблем, рассматриваемая в теории вероятностей, — определение вероятности сложных событий, получаемых из простых с использованием операций над событиями. Кроме этого, изучение операций над событиями актуально для случаев, когда вероятностное пространство имеет достаточно большое число элементов и решение задач с его использованием приводит к громоздким вычислениям. Эти положения можно считать основой мотивации изучения операций над событиями.
Утверждения относительно свойств операций над событиями, сформулированные в алгебре событий, полностью аналогичны утверждениям алгебры множеств. Это обстоятельство позволяет применить метод аналогий в обучении. Ставя в соответствие невозможному событию пустое множество 0, а достоверному все множество возможных исходов U (или в других обозначениях Q), получается возможность сформулировать теоретико-множественные тождества на языке теории вероятностей. Интересным представляется обсуждение утверждений алгебры событий относительно операций с невозможными и достоверными событиями. Например, для любого события А верны равенства: А п U = А, А г\ 0 = 0, A u U = U, А п 0 = А, А и А = A, А п А = А, А и A = U, А п А = 0. Желательно проиллюстрировать доказательства этих утверждений наглядно-графическим способом и привести содержательные примеры.
Кроме этих соотношений в качестве упражнения можно предложить учащимся подумать, что будет результатом в следующих выражениях: U г» 0, U и 0, U\0, 0\U и т. д.
Изучение операций над событиями желательно сопровождать примерами, которые достаточно наглядно отражают не только сущность самой изучаемой операции, но и различие в этих операциях. Как правило, ученики достаточно легко по определению построят и сумму, и произведение событий.
Труднее сформировать понимание сущности операций над событиями. Например, после введения определений операций суммы и произведения событий и рассмотрения соответствующих примеров, можно предложить ученикам следующее задание.
►► ПРИМЕР
По самолету стреляют два зенитно-ракетных комплекса (ЗРК). Самолет сбит, когда в него попал хотя бы один снаряд неважно какого ЗРК, первого или второго (и это естественно, совсем необязательно, чтобы в самолет попали оба ЗРК). Пусть событие А — самолет сбит первым ЗРК, событие В — самолет сбит вторым ЗРК. Событие С — самолет сбит.
Ставя перед учениками проблему, что представляет собой событие С, учитель активизирует деятельность учащихся. Эта задача приводит учеников к рассуждению о возможности события С как суммы событий А и В (С = А + В) и возможности события С как произведения событий А и В (С = А • В). Для учащихся очевидно, что в качестве решения задачи прежде всего является именно сумма событий, а не их произведение, так как есть четкое понимание того, что самолет будет сбит в случае, когда хотя бы один ЗРК в него попал. Кроме этого, становится интуитивно ясно, что вероятность события, что в самолет попадут оба ЗРК, много меньше, чем вероятность попадания в него каждым ЗРК в отдельности.
Методической проблемой при изучении этой темы в процессе решения задач можно считать обучение процедуре выделения простых событий.
Разрешение этой проблемы приходит в результате накопления опыта решения задач.
Отбор системы задач по этой теме желательно осуществить так, чтобы позже использовать их для решения задач по вычислению вероятности сложного события по известным вероятностям простых событий.
Изученные операции над событиями должны привести к более глубокому осмыслению учащимися таких понятий, как «пространство элементарных событий», «несовместные события», «достоверныесобытия», «невозможныесобытия», «противоположные события», так как эти понятия могут быть определены на основе операции над событиями.
Интересным дополнением к материалу темы является знакомство учеников с законами де Моргана (А п В = А и В, А и В = А п В), справедливость которых может быть проиллюстрирована диаграммами Эйлера—Венна. Эти законы мо-
гут быть использованы при изучении, например, противоположных событий.
Далее, после изучения операций над событиями и их свойств изучаются элементы комбинаторики — основы для вычисления вероятностей событий в широком классе вероятностных схем. Элементы методики изучения комбинаторики в школьном курсе математики достаточно подробно разработаны, так как этот раздел изучался в школьном курсе математики в советской школе вплоть до 80-х гг. XX в. В настоящее время происходит возврат к разделу комбинаторики, так как он востребован потребностями дискретной математики, широко применяемой в различных областях знания, например информатики.
Тема «Элементы комбинаторики» может изучаться и до изучения темы «Теория вероятностей», так как она содержательно богата как в теоретическом, так и в прикладном аспектах.
Второе фундаментальное понятие теории вероятностей — понятие «вероятности». Это понятие является основой построения всех схем вероятностного характера, описывающих широкий класс случайных явлений.
Формирование этого понятия, так же как и понятия «события», начинается с преодоления противоречия между субъектным опытом ученика употребления им термина «вероятность» в повседневной практике и смыслом, вкладываемым в определение этого понятия в математике.
В настоящее время существует несколько определений понятия «вероятности события»: статистическое, аксиоматическое, классическое, субъективное (на основе экспертных оценок). Можно сказать, что формирование понятия «вероятности» происходит и в настоящее время. Философский подход к определению вероятности как «меры объективной возможности наступления (или не наступления) некоторого события» для математики неприемлем в силу весьма его размытого характера. Неприемлемо это определение и для реализации целей обучения теории вероятностей в школьном курсе математики.
В теории вероятностей наиболее распространенной логической схемой построения основ этого раздела является схема, предложенная в 1933 г. А. Н. Колмогоровым.
Пусть имеется произвольное множество 52 — пространство элементарных событий некоторого стохастического эксперимента Е и в 52 выделена система подмножеств F — событий, являющаяся о-алгеброй. Важнейшим свойством а-алгебры яв-
ляется то, что операции п, и, \, -, которые производятся над множествами из F, не выводят за ее пределы; операция и может быть применена счетное число раз. Для любого А из F определяется числовая функция Р(А), называемая вероятностью события А. Эта функция Р^А) должна удовлетворять следующей системе аксиом: 4g J € F:
Р(А) > О, А е F;
Р^- 1;
если Аи> а е I — непересекающиеся множества, где I — конечное или счетное множество, то Pl U А, I = £ ^(АГ|) — аксиома счетной аддитивности;
функция Р(А) определена для любых подмножеств множества нулевой вероятности: если для А с Q определена Р(А)> причем Р(А) = 0, а В — любое множество, входящее в А (даже, возможно, и не принадлежащее F), тогда Р(В) = О — аксиома полноты.
Тройка (£2, F, Р), как известно, называется вероятностным пространством.
Формирование понятия «вероятности♦ может быть осуществлено в несколько этапов. Сначала, реализуя принцип историзма в обучении, рассматривается классическое определение понятия вероятности. Вероятностью события А называется отношение числа т случаев, благоприятствующих событию А, к общему числу исходов п: Р(А) = т/п. Это определение, являясь конструктивным, дает способ вычисления вероятности события и формулируется для так называемых классических экспериментов. Эксперимент называется классическим, если в результате его проведения реализуется множество событий, удовлетворяющих следующим условиям:
все события равновозможны;
они попарно несовместны;
образуют полную группу событий.
Исторически такие события назывались шансами, случаями. исходами. и речь о них шла в рассматриваемых ранее основных вероятностных моделях — подбрасывание игральной кости, извлечение шаров из урны, извлечение карт из колоды, стрельба по мишени.
Можно проверить, что введенное таким образом определение вероятности обладает следующими свойствами:
Р((7)= 1— вероятность достоверного события равна 1, так как т = п;
Р(0) = 0 — вероятность невозможного события равна О, так как т — О;
0 < Р(А) <1 — вероятность принимает значения из промежутка [0; 1]; так всегда т < 0, т < л, п * 0, то из 0 < т < п следует 0 < т/п < л/л;
Р(А 4- Р) = Р(А) + Р(Р), если события А и В — несовместны.
Это свойство можно обосновать. Пусть в результате проведения серии л экспериментов событие А произошло тх раз, а событие В - т2. Так как события А и В — несовместны, то сумма событий произошла тх + т > раз. Тогда получаем, что Р^А + В) = (т х 4- т^/п = тх/п 4- mjn = Р(А) 4- Р(В).
В качестве примеров определения вероятностей событий на основе классического определения вероятности можно рассмотреть задания на вычисление вероятности выпадения «орла» или «решки» при бросании симметричной монеты, рождения мальчика или девочки и, например, такое, которое используется в дальнейшем при изучении теорем сложения. Вычислить вероятность того, что при бросании двух кубиков количество выпавших очков будет кратно трем. Решение задачи начинается с выявления полной группы событий. Можно показать, что полная группа событий £2 состоит из 36 элементарных исходов, которые представляют собой упорядоченные пары, т. е. £2 — {(й)р со2), (й)р (03), ..., (со6, (о6)}, где со, — событие, состоящее в выпадении I очков на одном кубике. Обозначим А — событие, состоящее в выпадении числа очков, кратного трем. Этому событию удовлетворяют следующие элементарные исходы: А — {((ор <о2), (top (о5), (о2, о)!), (<о2, со4), (со3, со3), (<о3, со6), (со4, (02), ((04, 0)5) (to5, (Oj), (со5, (04), (юб, (1)3) (0)6, 0)6)}. Как видно, число таких исходов равно 12 и искомая вероятность, по определению, равна Р(А) = 12/36 = 1/3.
Приведенный пример может стать основой для разработки целой серии упражнений по мотивации изучения и формирования понятия вероятности. Например, вероятность какого события выше — выпадения семи или восьми очков; или вычислить вероятность выпадения числа очков не больше трех и т. д.
Одним из существенных недостатков классического определения вероятности является то, что оно пригодно только для классических экспериментов, которые редко имеют место в повседневной практике. Важно добиться от учащихся четкого понимания того факта, что введенное выше определение вероятности обслуживает весьма узкий класс явлений (в рамках классических экспериментов) и его, вообще говоря, недостаточно, поэтому возникает необходимость рассмотрения других подходов к определению понятия вероятности. Одним из
наиболее важных подходов с практической точки зрения является статистический подход к определению понятия ♦ вероятности*. Его реализация рассматривается как следующий этап формирования теоретико-вероятностных представлений у учащихся. Освоение статистического определения понятия «вероятности* важно для последующего его применения в разделах математической статистики для оценки статистических характеристик широкого класса явлений различного характера.
Введение статистического определения понятия «вероятности* неразрывно связано с изучением понятия «относительной частоты события* как отношение числа опытов т, в которых появилось событие А, к общему числу экспериментов п. Эту величину обычно обозначают и, но можно ее обозначить Р*(А), где Р*(А) = т/п по определению. Это даст возможность ученикам проследить связь с классическим определением вероятности. Для относительной частоты естественно указать следующие свойства:
P*<U) = 1, так как т = п;
Р*(0) = 0. так как т = 0;
0 < Р*(А) < 1, так как 0<т<пи0< т/п < п/п;
Р*(А 4- В) = Р*(А) 4- Р*(В), если А и В — несовместны.
Эти свойства обосновываются аналогично случаю классического определения вероятности.
Рассмотрев понятие относительной частоты и ее свойства, можно перейти к статистическому определению понятия «вероятности» как некоторого числа, около которого колеблется и к которому приближается относительная частота события при увеличении числа опытов. Это число, вероятность события А, обозначается символом Р(А). Таким образом, Р(А) * = Р*(А) = т/п. При этом получается не вероятность, как видно из формулы, а лишь некоторое ее приближение.
Вероятность Р(А), являясь предельным значением Р*(А) при неограниченном увеличении числа экспериментов, обладает теми же свойствами, что и относительная частота, т. е.
Р^Щ= 1:
Р(0) 0;
0< Р(А)< 1;
Р(А 4- В) = Р(А) 4- Р(В), если события несовместны.
Одна из проблем, решаемая в теории вероятностей, связана с определением вероятностей различных событий. Один из подходов к ее решению связан с применением статистического определения вероятности. Это позволяет получить оценки
вероятностей событий на основе проведения достаточно больших серий испытаний.
Существует еще одно определение вероятности — определение так называемой геометрической вероятности. Оно применяется в случае, если имеет место эксперимент с бесконечным числом исходов. К таким задачам сводится, в частности, задача о вероятности попадания брошенной наугад «точки» на некоторую область g, gcG. В этом случае определение геометрической вероятности дается следующим соотношением: Р(А) * mess/mesG, где mess’ и mesG — меры множеств g и G.
Методика изучения основных теорем теории вероятностей
К основным теоремам теории вероятностей относятся теоремы сложения вероятностей и следствия из них и теорема умножения вероятностей. Изучение теорем желательно вести с использованием примеров, иллюстрирующих их применение.
В случае если события А и В — несовместные исходы в одном и том же испытании, то для них имеет место теорема сложения вероятностей: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. Р(А 4- В) = Р(А) 4- Р(В). Следует подчеркнуть, что это утверждение имеет статус теоремы только для классического эксперимента. В общем случае, при аксиоматическом построении теории вероятностей, оно выступает в качестве аксиомы.
Это утверждение допускает два важных обобщения:
если события At, А2, ..., Ап — несовместны, то Р( U A- j =
= £ P(AZ), т. е.
Р(Ар А2А„) - PtA,) 4- Р(А2) 4- ... 4- Р(А„);
если два события А и В совместны, то Р(А 4 В) = Р(А) 4 4- Р(В) - Р(АВ).
Доказательство этой теоремы полезно провести, так как оно полностью опирается на классическое определение вероятности и изученные операции над событиями.
Рассмотрим следующие события АВ, АВ, АВ, АВ, состоящие в том, что произошли оба события А и В (АВ); событие А произошло, событие В не произошло (АВ); событие В произошло, событие А не произошло (АВ); ни событие А, ни событие В не произошли (АВ). Указанные события составляют полную группу событий (обосновать). Пусть рассматривается
эксперимент Е, в котором каждое из указанных событий произошло соответственно /и,, ту т3 и т4 раз, причем тх 4- т2 4- 4- т3 4- т4 = п. Событию А, которое может быть представлено в виде А = АВ 4- АВ, благоприятствует тх 4- т2 исходов. Аналогично, событию В, представленному в виде В = АВ 4- АВ, благоприятствует тх 4- т3 исходов. Тогда вероятности событий А и В могут быть представлены в виде: Р(А) = (тх 4- т^/п, Р(В) = (т1 4- т^/п. Далее, событие А 4- В может быть выражено следующим образом: А 4- В = АВ 4- АВ 4- АВ и его вероятность определяется по формуле Р(А 4- В) = Р^АВ 4- АВ 4- 4- АВ) = (тх 4- т2 4- т3^/п.
Наконец, представим вероятность суммы событий А 4- В в виде
= Р(А) 4- Р(В) - Р(АВ).
В случае произвольного числа событий Ар формула для вероятности суммы имеет вид
Р( £ А,) = £ Р(А,) - £ P(At АЛ 4- к г к-1 к
- £ £ £ P^AiAjAЛ-•
Из рассмотренных теорем сложения можно получить следствия:
сумма вероятностей п несовместных событий, образующих полную группу событий, равна единице: Р(А0 4- Р(А2) + ... 4-Р(АЛ) * 1;
сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е. Р(А) 4- Р(А) = 1. Из этой формулы можно получить следствие о вероятности противоположного события по известной вероятности Р(А) события А: Р(А) = 1 - Р(А).
Для мотивации (или иллюстрации) изучения теоремы сложения вероятностей целесообразно рассмотреть комплексные примеры, которые могут быть решены различными способами. Например, можно обратиться к уже известному примеру о вычислении вероятности того, что при бросании двух кубиков количество выпавших очков будет кратно трем. Теперь этот пример решается на основе теоремы о сложении вероятностей. Из возможных исходов (от 2 до 12 очков), при кото-
рых сумма очков кратна, условию задачи удовлетворяют следующие события:
выпадение *3» очковЛ3 = {(сор (о2), (<о2, toj)};
выпадение *6» очков А6 = {(о)р ш5), (со5, (Dj, (со2, а>4), (CDp w2), (to3, to3)};
выпадение *9» очков А9 = {(о3, соб), (со6, <о3), (о)4, со5), (о)5, w4)h
выпадение «12» очков А12 = {(<о6, 0)6)}.
Вероятности событий А3, А6, Ао, А12 соответственно равны Р(А3) = 2/36, Р(А^ - 5/36, Р^А^ = 4/36, Р<АХ^ = 1/36. Событие А может быть представлено как сумма (объединение) несовместных событий А3, А6, Ад, А12, т. е. А = А3 4- А6 4- Ад 4- А12, тогда по теореме о сложении вероятностей имеем Р(А3 4- А6 4- 4- Ад 4- А12) - Р(А3) 4- Р(Аб) 4- Р(Ад) 4- Р(А12) = 2/36 4- 5/36 4- 4-4/36 4-1/36= 1/3.
Теорема сложения вероятностей для случая совместных событий может рассматриваться как основа мотивации для изучения теоремы умножения вероятностей. Действительно, в формуле, выражающей математическую формулировку теоремы вероятности двух несовместных событий, имеется слагаемое P<ABV которое не выражено через вероятности Р(А) и Р(В), т. е. Р(А 4- В) = Р(А) 4- Р(В) - Р(АВ). Было бы интересно найти условия, при которых это слагаемое выразится через вероятности Р(А) и Р(В).
Изучение теоремы умножения вероятностей начинается с введения понятия «условной вероятности». Введению этого понятия предшествует обсуждение вопроса о зависимости одних событий от других. По определению, событие А называется зависимым (статистически зависимым) от событий Вр В2, ..., Вк> если вероятность события А зависит от того, произошли или не произошли события Bv В2, ..., Вк. В противном случае событие А называется независимым (статистически независимым). Если события Вр В2, ..., Вк произошли, то вероятность события А, вычисленная при этих условиях, называется условной и обозначается Р(А|Вр В2, ..., Вк). Если вероятность события А вычисляется вне связи с событиями Вп В2» .... Вк, то она называется безусловной. Таким образом, получаем, что если событие А зависит от события В, то Р(А\В) * Р(А), а если не зависит, то Р(А|В) = Р(А).
Рассмотрим пример, позволяющий уяснить смысл понятия условной вероятности.
►► ПРИМЕР
В урне 2 белых и 3 черных шара. Определить вероятность того, что два последовательно вынутых шара окажутся разных цветов, если один из них белый.
Пусть событие А — «оба вынутых шара — разных цветов», В — «один из шаров — белый». В принятых обозначениях ставится задача вычисления вероятности Р^А\В}. В задачах на вычисление условных вероятностей важно правильно определить полную группу событий. В данном примере полная группа событий включает все различные пары, содержащие хотя бы один белый шар. Так как количество шаров невелико, полную группу событий можно задать перечислением Q = {(б,, ч0, (6V ч2), (бр ч3), (б2, 40, (б2, ч2), (б2, ч3), (бр б2)}, где (бр ч2) — событие, состоящее в том, что извлечен первый белый и второй черный шар. Следовательно, искомая вероятность в соответствии с классическим определением равна 6/7.
Теперь можно переходить к формулировке теоремы умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: Р^АВ^ = Р^А) • Р(В|А). Доказательство теоремы естественно провести для классического определения вероятности. Рассмотрим три события А, В, АВ. Пусть при общем числе равновозможных исходов п, события А, В и АВ наступают в mv т2 и т3 случаях соответственно. Выразим условную вероятность Р(В|А) через вероятности Р(АВ) и Р(А). Сделать это можно следующим образом. Считаем, что событие А произошло, тогда общее число равновозможных исходов равно mv Событию В из этих тх исходов благоприятствуют тг исходов. Следовательно, имеем следующую последовательность фор- мул: Р(В^) - -’ - ^ , тогда Р<В^ =, т. е. Р№
= Р(А) • Р(В|А). В силу коммутативности операции пересечения множеств получим, что Р(ВА) = Р(В) • Р(А|В). Этот же результат получается аналогичным образом, если рассмотреть возможность наступления события В и искать вероятность со
бытия Р(А|В), т. е. получим Р(А|В) =.
Для улучшения понимания проводимых преобразований можно воспользоваться графической схемой, изображенной на рис. 96, где тх — исходы события А, т2 — исходы события В, т3 — исходы события АВ.
/п2/п2Окончательно теорема умножения ве- г^ т — роятн остей может быть записана следую- ****** щим образом: Р(ВА) = Р(А)-Р(В|А) = Р(В) • Р(А|В).Рис. 96
/п2
/п2
Необходимо подчеркнуть, что в общем случае доказать эту теорему невозможно, в теории вероятности она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы.
Из доказанной теоремы получаются следствия:
симметричность независимости событий — если событие А не зависит от события В, то и событие А не зависит от события В;
если события А и В независимы, то Р(ВА) — Р(А)*Р(В). (В некоторых подходах к определению независимости событий это следствие используется как определение понятия независимости событий.)
Рассмотрим пример применения теоремы умножения вероятностей.
Н ПРИМЕР
В ящике находятся 3 белых и 2 черных шара. Последовательно вынимаются два шара без возвращений. Определить вероятность того, что оба шара белые. Рассмотрим следующие события А — «первый шар белый», В — -второй шар белый». Требуется определить вероятность события С = А • В. В соответствии с теоремой РКАВ) = Р(Д) • Р(в|Д). Определим соответствующие вероятности Р(Д) = 3/5, Р(В|Д) = 2/4, так как при извлечении первым белого шара количество белых шаров в урне станет 2, при общем числе шаров — 4. Далее, РКА • S) = (3/5) • (2/4) = 3/10.
Для иллюстрации применений теоремы умножения вероятностей в случае независимых событий можно рассмотреть следующий комплексный пример.
►► ПРИМЕР
По самолету стреляют два ЗРК. Вероятность поражения самолета первым ЗРК — 0,75, вторым — 0,8. Определить вероятности следующих событий: а) в самолет попал хотя бы один ЗРК; б) в самолет попали оба ЗРК. При решении необходимо учитывать, что события А — самолет сбит первым ЗРК ив — самолет сбит вторым ЗРК являются совместными и независимыми, поэтому в первом случае необходимо применение теорем сложения и умножения вероятностей. Рассматривая событие С — самолет сбит как сумму событий А и В, получим РКА + В) = Р(Д) + P(S) - Р(ДВ), где РКАВ) = РКА) • РКВ). Приведенный результат показывает, что как много бы ни было ЗРК, вероятность поражения самолета только приближается к единице.
Во втором случае искомая вероятность — это вероятность события С = А • В, т. е. РКАВ) = РКА) • РКВ), и, что не менее интересно, РКА) < РКАВ) н РКВ) < РКАВ).
Изученные теоремы дают возможность получить важные утверждения теории вероятностей — формулу полной вероятности и формулу Байеса.
Рассмотрим систему Л из к попарно несовместных событий Ви В2, ..., Bjp образующих полную группу событий, т. е.
V В,В • = У, где V — невозможное событие. Пусть дано со- #. Л < * /1
бытие А, удовлетворяющее равенству А — В, А 4- В2А 4- ... 4- 4- Вк А. Показав попарную несовместность событий ВХА, В2А, ВкА, найдем вероятность наступления события А. Любое событие, входящее в А, обязательно входит в некоторое, но одно Вр так как Вр В2, Вк образуют полную группу, тогда Р(А) « - Р( £ В,А) = £ Р(В,А) - £ P(B,)P(A/BJ, т. е. Р(А) - *
=Р^В^Р^А/В^. Полученная формула называется форму
лой. полной вероятности. Довольно часто можно встретить подходы, при которых события В, называются гипотезами и обозначаются Нр тогда формула полной вероятности может *
быть переписана в виде: Р(А) = Z Р(Н^ • Р{А/НJ.
/ •— 1
Иллюстрацию формулы полной вероятности легко провести на основе рассмотренного ниже примера.
Н ПРИМЕР
В ящике находятся 3 белых и 2 черных шара. Последовательно вынимаются два шара без возвращений. Определить вероятность того, что на втором шаге появится черный шар. На первом шаге может появиться как белый, так и черный шар. Рассмотрим следующие события: событие В, — «первый шар белый», событие В2 — «первый шар черный», событие Д _ «второй шар черный». По формуле полной вероятности: Р(Д) = = Рф^Р^А/Вх) + Р(В2)Р^А/В2). Требуется определить вероятности событий Р^В^, Р(В2), Р^А/В^, Р\А/В2у Вероятность на первом шаге извлечь белый шар Р^В^ = 3/5; вероятность на первом шаге извлечь черный шар Р(В2) = 2/5; вероятность того, что на втором шаге появится черный шар, если на первом шаге был извлечен белый Р^А/В^ = 2/4; вероятность того, что на втором шаге появится черный шар, если на первом шаге был извлечен черный шар Р^А/В^ = 1/4, тогда по формуле полной вероятности Р(Д) = (3/5) • (2/4) * (2/5) • (1/4) = 9/20 • 0,45.
Как правило, вместе с формулой полной вероятности в соответствии с логикой вопроса изучается формула Байеса, так как она дает решение обратной задачи. Проводится испытание, в результате которого произошло событие А. Какова вероятность того, что в этом испытании произошло событие В,. При изучении формулы Байеса используются понятия апостериорных вероятностей (условных) и априорных вероятностей
(безусловных). Вывод формулы осуществляется на основе формулы умножения вероятностей
Р(АВ^ = Р(А)Р(В,/А) = Р^В^А/В,^
из которой находим:
P(B-t/A) =P(B-t/A) =P(BJP(A/BJР(А)P(BJP(A/BJР(А)P(B,)P(A/BJEP(BJP(A/B,)P(B,)P(A/BJEP(BJP(A/B,)
P(B-t/A) =
P(B-t/A) =
P(BJP(A/BJР(А)
P(BJP(A/BJР(А)
P(B,)P(A/BJ
EP(BJP(A/B,)
P(B,)P(A/BJ
EP(BJP(A/B,)
т. e.
PkBAPtAfBA P<Bt/A^ —
£P(B,)P(A/Bj
В качестве примера естественно рассмотреть пример на использование формулы полной вероятности. В условиях предыдущей задачи определить, например, вероятность извлечения черного шара на первом шаге Р(В2/А), если известно, что на втором шаге был извлечен черный шар. Более подробно вопрос о методике изучения формулы полной вероятности рассматривается в соответствующей лабораторной работе.
Методика изучения понятия «случайная величина».
Изучение основных характеристик случайных величин
Понятие «случайная величина» — третье фундаментальное понятие теории вероятностей. Без знаний учащихся в области элементов математического анализа корректное изучение этого понятия и его свойств не представляется возможным. Можно остановиться лишь на изучении дискретной случайной величины (ввести определение и познакомиться с некоторыми числовыми характеристиками). При достаточном уровне математической подготовки учащихся есть возможность более детально изучить определение и свойства непрерывных случайных величин.
Ввести определение случайной величины желательно конкретно-индуктивным способом. Рассмотрев ряд примеров случайных величин (число выпавших очков при бросании игровых костей, число голосов, набранных кандидатами, результат измерения и т. д.), формулируется определение понятия случайной величины (переменная, которая принимает числовые значения в зависимости от исхода некоторого опыта; обозначение X, У, Z и т. д.). Подчеркивается, что случайная величина принимает числовые значения, которые заранее неизвестны. Другой подход к определению — функциональный. Случайную величину X можно рассматривать как функцию
элементарного события (о, с областью определения Q (множество событий). Для случайной величины можно априорно указать лишь вероятности попадания значения случайной величины в некоторые числовые множества, например X < х, аСХ^Ь; Х = аи так далее, и подсчитать соответствующие вероятности Р(а < X < б); Р(Х = а); Р(Х < х).
Далее есть все возможности для изучения основных характеристик случайной величины, в частности сформулировать определение закона распределения случайной величины — соотношения, устанавливающего каким-либо образом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. К важным характеристикам случайной величины относится функция распределения случайной величины Р(х) — вероятность события X < х, означающего, что случайная величина X в результате некоторого опыта примет значение X < х, т. е. Р(х) = Р(Х < х). Функция Р(х) определена для Vx € Д и обладает следующими свойствами:
Р(-ОО) = р^х < -оо) = Р(0) — о, т. е. Р(-ОО) = 0;
Р(4-ОО) = Р(Х < ОО) = Рф) = 1, Т. в. Р(Ч-ОО) = 1;
0 < Р(х) < 1, так как 0 < Р(Х < х) < 1;
Р(а С X < b) = FW - Р(а).
Введенные определения позволяют изучать дискретные и непрерывные случайные величины в единой логике.
Для дискретных случайных величин вводится определение этого понятия: случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений. Закон распределения дискретной случайной величины чаще всего записывают в виде формулы, указывающей вероятности отдельных значений дискретной случайной величины Р(Х = хЛ) = pk, k = 1, 2 ... . В случае конечного множества значений X закон распределения можно записать в виде таблицы распределения (ряда распределения):
-ГА
х2-
Рк
Р1
Р2-
Рп
При этом Р(Х = х,) + Р(Х = х2) + ...+ Р(Х = х„) = Е Р(Х- п
= х0) = Е^ Р( — 1, как сумма вероятностей попарно несовместных событий «X = хр i - 1, 2, ..., п».
Графической формой задания закона распределения случайной величины является многоугольник (полигон) распределения.
От закона распределения можно перейти к функции рас- п
пределения F(x) — х^хРк (суммирование производится по всем А, для которых хк < х, к — 1, 2,...).
В отличие от дискретной случайной величины значения непрерывной случайной величины непрерывно заполняют промежуток действительной оси. Перечислить все значения такой случайной величины и задать их вероятности невозможно. Непрерывную случайную величину задают с помощью плотности распределения вероятностей, подобно физической плотности распределения материи. Например, непрерывными случайными величинами будут: время работы прибора до отказа, результат измерения. Непрерывная случайная величина является математической абстракцией и в чистом виде на практике не встречается, хотя бы потому, что теоретически не может существовать измерительное устройство, определяющее эту величину. Следовательно, исследователь всегда имеет дело с дискретными случайными величинами. На практике отрезок [а, А] разбивают на отрезки одинаковой длины, которую устремляют к нулю. При этом х принадлежит отрезку.
Вероятность того, что отрезок содержит х, равна • Независимо от этого имеет место удобство работы с непрерывными величинами. Оно заключается в том, что вероятностные свойства задаются одной из двух функций — либо плотностью распределения, либо плотностью вероятности.
Дальнейшее изложение возможно при соответствующем уровне математической подготовки учеников.
Случайная величина X называется непрерывной, если выполнены условия:
ее возможные значения заполняют промежутки действительной оси;
существует неотрицательная функция Дх), называемая плотностью распределения вероятностей, для которой вероятность попадания случайной величины в промежуток [а, А] ь
равна Р<а ч X < 6) = J Дх)бх. а
(Для непрерывной случайной величины вероятность события X = с, где с € R, равна нулю. Это можно показать на основе определения непрерывной случайной величины.)
Функция плотности распределения имеет следующие свойства:
1°. Дх) > 0;
2°. J Л^Мх = 1, действительно, Р(-оо < X < оо) = P(U).
Если f(x) — функция плотности вероятности непрерывной случайной величины, то F(x) - Р(Х < х) = Р(-оо < X < х) =
■ j f(x)dx или РЧ^) ■ Л*) — связь между Дх) и Р(х). Иногда /(х) называют дифференциальной функцией распределения, а Р(х) — интегральной функцией распределения.
В заключение рассматриваются числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание и дисперсия и их свойства). Их можно изучать в сопоставительном варианте, сравнивая определения числовых характеристик для дискретных и непрерывных случайных величин, при этом свойства числовых характеристик не зависят от вида случайных величин. При формировании понятий математического ожидания и дисперсии желательно использовать различные интерпретации этих понятий, например математическое ожидание является как бы аналогом центра масс точечной механической системы. Смысл математического ожидания дискретной случайной величины заключается, например в следующем: это точка на числовой оси, относительно которой группируются результаты конкретных испытаний над дискретной случайной величиной. Дисперсия является мерой концентрации (или ♦ разброса») результатов конкретных испытаний над случайной величиной X. При этом чем меньше дисперсия, тем более тесно группируются результаты конкретных испытаний относительно математического ожидания.
При наличии дополнительных возможностей по времени и способностям учащихся возможно расширение номенклатуры изучаемых вопросов (закон больших чисел, различные виды распределений и их свойства и т. д.).
^Ключевая информация
Основной целью изучения теории вероятностей и математической статистики в школе является знакомство с элементами этой науки как адекватным средством описания явлений реального мира путем построения и изучения их стохастических моделей.
Одной из методических задач при изучении основных понятий и теорем теории вероятностей является задача формирования у ученика элементов теорети ко-вероятностного стиля мышления.
Основные понятия теории вероятностей (события, вероятность, случайная величина) изучаются в конкретно-индуктивной логике; вводить понятия целесообразно, рассматривая простейшие вероятностные модели.
Изучение отношений и операций над событиями и их свойств идет на основе использования наглядно-графических средств (диаграммы Эйлера—Венна), что дает ученикам возможность проследить аналогию между событиями и множествами, операциями над событиями и операциями над множествами (вместе со свойствами операций), подчеркивая тем самым тесную связь между теорией множеств и теорией вероятностей.
К основным теоремам теории вероятностей относятся теоремы сложения вероятностей и следствия из них и теорема умножения вероятностей, а также формула полной вероятности и формула Байеса. Изучение теорем желательно вести с использованием примеров, иллюстрирующих их применение. Методически целесообразным является прием демонстрации решения задач, которые наиболее просто решаются именно с применением теорем теории вероятностей.
<-
Рекомендуемая литература
Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — 4-е изд. — М.: Наука, 1969.
Виленкин Н. Я. Комбинаторика. - М.: Наука, 1969.
Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях (элементы теории вероятностей в курсе средней школы) / Пер. с франц. — М.: Просвещение, 1979.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1999.
Гнеденко В. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. — 6-е изд. — М.: Наука, 1964.
Коваленко И. И.. Филиппова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высш, школа, 1982.
Лютиках? В. С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. 3-е изд., перераб. — М.: Просвещение, 1990.
Репьи А. Письма о вероятности / Пер. с венг. — М.: Мир, 1970.
Чистяков В. П. Теория вероятностей. М.: Наука, 1982.
Энциклопедический словарь юного математика / Сост.
А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1989.
Энциклопедия для детей. Т. 11: Математика / Глав. ред.
М. Д. Аксенова. — М.: Аванта4-, 1998.
Q УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Н. Л. Стефанова, Н. С. Подходова,
В. Орлов и др.
МЕТОДИКА И ТЕХНОЛОГИЯ
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Курс лекций
современные тенденции в процессе обучения математике;
личностно-ориентированный подход;
психолого-методические основыпостроения процесса обучения
□ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Н. Л. Стефанова, Н. С. Подходова,
В. В. Орлов и др.
МЕТОДИКА И ТЕХНОЛОГИЯ
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Лабораторный практикум
орофа