Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Н. М. РУДИН
ОТ МАГИЧЕСКОГОКВАДРАТАК ШАХМАТАМ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Москва 1969
М. Рудин
Р83 От магического квадрата к шахматам. М., «Просвещение», 1969.
48 с. с илл.
В брошюре говорится о математической природе шахмат, выдви гается гипотеза, в которой «магический» квадрат рассматривается в качестве вероятной основы возникновения шахматной игры
Автор приводит интересные примеры «скрытых магических рядов», обусловленных ходами шахматных фигур, дает оригинальное объяснение возникновению начальной позиции фигур на шахматной доске. Книга предназначена для внеклассных занятий учащихся старших классов средней школы и для студентов.
2-2-12
350—69
ОТ РЕДАКЦИИ.
Шахматы в нашей стране стали увлечением миллионов. Многих вновь и вновь интересует вопрос о происхождении этой интересной и мудрой игры, вопрос, который более тысячи лет остается безответным
В настоящей работе излагается гипотеза о математических истоках процесса возникновения шахматной игры. Идея окрепла и была развита автором вследствие обнаруженной им удивительной связи шахмат, ходов шахматных фигур, со свойствами известного в математике «магического» квадрата* если ход каждой шахматной фигуры интерпретировать соответствующей «линией» на магическом квадрате восьмого порядка, то для определенного класса таких квадратов эти линии оказываются «магическими» с одной и той же константой. Связав эти наблюдения с фактами, относящимися к далекой истории культуры периода формирования начальных космогонических представлений (4 стихии, 4 рода атомов, философия Платона и т. п.), автор приходит к выводу о рождении шахматных фигур и их ходов в процессе постепенной материализации свойств «скрытых магических линий» магического квадрата. Шахматы как материализация определенных свойств некоторой матрицы чисел — такой взгляд на их происхождение больше по душе нам — материалистам и математикам, нежели существующее до сих пор ничем не аргументированное представление о них как о продукте озарения гениального неизвестного изобретателя.
Популярное изложение делает настоящую брошюру доступной каждому, кто имеет первоначальное представление об игре в шахматы и о шахматной нотации.
Редакция считает, что книга Н. М. Рудина будет интересной и по лезной для широкого круга читателей.
КАК ШАХМАТИСТЫ ПРЕДСТАВЛЯЮТ СЕБЕСОЗДАНИЕ ШАХМАТ?
Один из самых существенных вопросов истории шахмат ни у нас, ни в других странах не только не разрешен, но остается до сих пор неосвещенным: вопрос о происхождении игры. Никаких реальных и бесспорных данных, говорящих о том, почему и как возникли шахматы, не найдено. История шахмат вынуждена довольствоваться легендами и предположениями. Почти каждое руководство к изучению игры начинается с изложения сказок об ее изобретении.
Однако, несмотря на отсутствие видимых исторических источников, которые могли бы открыть причину появления игры и указать мотивы, заставившие создать причудливые элементы се, в наши дни нс утратила своего значения мысль о необходимости доказать наличие в них единства и основной идеи, а не случайности, разгадать творческие замыслы, побудившие к созданию игры.
Немецкий проблемист И. Коц указывал, что в ходах фигур есть система, которую можно понять, если допустить, что ладья и слон ходили вначале через одну клетку; тогда, делая ход с углового поля, ладья пойдет al—аЗ, слон al—сЗ; между ними остается поле ЬЗ, для занятия которого и пришлось выдумать затейливый ход коня al—ЬЗ.
Один из русских шахматистов построил сложную логику элементов игры, пытаясь разумно обосновать материал шахматного искусства. Он указывает: доска — идеальная планиметрическая фигура; движение фигур создано по единому плану, ходы построены так, что с какого- либо центрального поля король владеет всеми прилегающими полями, ферзь — некоторыми полями во втором ряду, а конь — остальными в том же ряду; ход слона al—Н8 делит пополам прямой угол, составленный двумя ходами
ладьи с того же поля, а ход коня al—ЬЗ—с5—d7 делит по возможности пополам угол между ходами ладьи и слона 4.
Один современный советский шахматист в статье, озаглавленной «К вопросу о происхождении и развитии шахмат» (заметим, что никакой гипотезы о происхождении игры, ходов и других элементов игры в ней не сообщается), пишет о том, что первоначальная идея о фигурах и пешках «и разработка системы различных ходов, весьма вероятно, принадлежали какому-то неведомому нам изобретателю»,— разделяя, как видим, старинное убеждение в изобретении игры .
В «Шахматном словаре» указывается: «Шахматы возникли как плод народного творчества из живой потребности человека в интересной форме умственного соревнования».
Это предположение, конечно, серьезнее, чем вера в гениального изобретателя, однако допущение выхода шахмат из фольклора также не имеет реальных оснований.
Таким образом, кроме предположений, история игры ничем не располагает.
Вполне попятно желание так или иначе обосновать элементы игры и установить в них систему, однако все попытки в этом отношении не дали результата.
Общим характерным моментом у всех исследователей было допущение того, что элементы игры кем-либо изобретены, а это означало их искусственность и случайность. Высказывали соображения о том, изобретены ли они одним человеком или несколькими, придуманы ли сразу, созданы ли по какому-либо плану и т. д., но никогда не ставили вопроса об естественных началах, которые могли бы родить шахматное искусство.
История шахмат не обладает точными данными ни о месте, ни о времени возникновения шахмат. Общепринятое мнение о происхождении их в Индии подвергают сомнению отдельные историки.
Предположение о рождении шахмат за несколько веков до нашей эры также не разделяется всеми историка-
ми. Некоторые из них допускали возникновение игры лишь в IV--V веках и. э., исходя из того, что первые упоминания о шахматах в письменных памятниках относятся к этому времени. Однако шахматы могли существовать и ранее. Высказываются соображения, что шахматы существуют в Индии более полутора тысяч лет.
Допускалась возможность возникновения игры у буддистов. Буддизм зародился в Индии в конце VI века до и. э. Впоследствии он был вытеснен из Индии господствовавшей в те времена религией брахманизма, которая не допускала никаких писаний о буддизме и связанных с ним явлениях. Этим объясняли отсутствие ранних упоминаний об игре в индийской литературе.
Таким образом, периодически меняются одни утверждения на другие.
В мою задачу не входит исследование вопросов о месте и времени зарождения шахмат, поэтому я исхожу из того, что родиной их является Индия. Поскольку установлено, что шашечные игры существовали задолго до нашей эры, постольку допустимо, что в той или иной форме могли существовать в этот период и шахматы.
Я не даю гипотезу о происхождении шахмат на основании каких-либо вновь открытых материалов, я подхожу к рассмотрению вопроса с материалом общеизвестным, относящимся к области математики и дающим возможность получить решение, опирающееся на факты. Этот материал остался совершенно неиспользованным и обойденным историками игры, так как до настоящего времени не отмечен математикой. Он поможет правильно решить вопрос о времени и месте рождения шахмат, но для этого потребуются предварительные исследования в области истории древней математики, астрономии и философии. Без этого невозможно отвести должное место письменным памятникам и памятникам материальной культуры, относящимся к шахматам.
Работа не претендует быть историческим исследованием, она описывает тот материал, который, как следует думать, лег в основу шахматной игры и был ее источником, открывая причину и весь процесс зарождения игры, возникновения шахматных фигур, их ходов, количества и расстановки. Он устанавливает не изобретение игры, не случайность элементов ее, а закономерное открытие и естественную основу их.
ЧТО ТАКОЕ МАТЕРИАЛ ШАХМАТНОГО ИСКУССТВА?
Для воплощения своей творческой мысли шахматисты пользуются материалом, к которому обычно относят доску, фигуры и их ходы.
Один теоретик, отмечая эти три элемента, соответственно определяет их как пространство, силы и время. Таким образом, материал игры воспринимается как символ физических понятий, имеющий глубокое и таинственное значение.
Другой теоретик пишет еще определеннее: «Что такое шахматный слон или ладья, как не иррациональная величина, свойства и действия которой нами хорошо изучены, но с которой нашему здравому смыслу и естественным чувствам абсолютно нечего делать» .
Здесь происходит распространенная ошибка: вместо сущности явления берется впечатление от него. Это было вечной помехой в поисках истоков игры. Материал понимался фантастично, он не был осознан. Исследователи исходили из его внешних данных, а не из сущности. Они обращали внимание на военную терминологию в игре, на сходство фигур и их расстановки с индусским войском и т. п. Они полагали, что игра отражает военные части и их операции, т. е. в какой-то степени схожа с игрой в оловянные солдатики. Все это сбивало с правильного пути и отвлекало внимание от основного характера шахматного материала.
Чтобы выявить его сущность, надо удалить от него свойства, созданные воображением, т. е. забыть всякие «силы», «пространства», солдатиков, экзотику, забыть выдумку об изобретении фигур.
Игра протекает в перестановке фигур (в широком смысле слова) с одного поля доски на другое. Перестановка фигур делается в результате мысленного проведения линии между двумя полями, причем фигура переставляется с начального поля линии на конечное.
Из этого следует, что в основе шахмат лежит проведение линий, т. е. мысленное «черчение». То, что шахматная игра является черчением, ясно видно из того, что хо-
ды любой фигуры или всех фигур в партии можно изобразить графически .
Таким образом, два математических элемента — плоскость и линия — являются материалом шахматного искусства.
Доска и фигуры служат лишь для оформления этих элементов.
Плоскость предстает в виде квадрата, разделенного на 64 клетки. Линии соединяют «точки» на плоскости, т. е. клетки квадрата, по трем основным принципам: прямолинейно («вертикально» или «горизонтально»), диагонально и «сверхдиагонально» (ходом коня; диаграмма № 1). Из семи «видов движений» фигур шесть выполняются отдель-№
ными фигурами, а один — рокиров- г—i—т г—। ка — двумя фигурами сразу:
Король «проводит линию» на соседнее поле «прямо» или по дна- гонали.
Ферзь — прямо или по диа-у"
гонали на любое поле.
Ладья — прямо, на любое поле
Слон — на любое по диагонали.
Конь — на ближайшие поля по сверхдиагонали.
Пешка проводит линию на соседнее поле вперед по вертикали, а с начального поля может через клетку; при взятии фигуры — на соседнее вперед по диагонали; при достижении предельного поля пешка проводит линии, как любая фигура, кроме короля.
Рокировка выполняется двумя фигурами: король с начального места проводит линию в любую сторону по горизонтали через клетку, а ладья — навстречу ему и кончает свою линию на пересеченной клетке.
Установив, что материал шахматного искусства заключается в двух элементах — плоскости и линии, мы можем обратиться к поискам того источника, который породил в шахматах эти элементы.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОСНОВА ШАХМАТ.
В математике существуют таблицы чисел, называемые «магическими квадратами». В этих таблицах различные натуральные числа ставятся в клетках квадрата по определенному методу, благодаря чему сумма чисел в каждом ряду квадрата — горизонтальном, вертикальном и диагональном — является величиной постоянной (константой). Так, например, в квадрате с 9 клетками, изображенном на диаграмме № 2, в каждом ряду три числа, сумма которых равна 15. В магическом квадрате с 16 клетками (диаграмма № 3) в каждом ряду 4 числа, и сумма их, или константа, равна 34.
Наличие константы, т. е. неизменяемой суммы чисел в рядах, а также другие особенности таблицы, о которых мы узнаем далее, настолько поражали древних ученых, что они присвоили этим квадратам наименование «магические», доныне сохраняемое в математике. Для удобства будем называть и ряды с константой магическими.
В зависимости от числа клеток меняется количество и сумма чисел в каждом ряду, т. е. каждый квадрат имеет свою константу. Количество возможных расстановок чисел в каждом квадрате колоссально.
Мы приводим одну из расстановок квадрата с 64 клетками (диаграмма № 4). Метод расстановки чисел в квадратах указан в специальной литературе (список которой приложен в конце книги).
В магическом квадрате с 64 клетками каждый магический ряд имеет 8 чисел, дающих в сумме 260. Кроме горизонтальных, вертикальных и диагональных рядов, математика знает в этом квадрате еще магический ряд, составленный двумя дополнительными диагоналями (см., например, диаграмму № 5).
Однако, помимо этих, известных математике рядов, во всех магических квадратах есть другие, внешне скрытые магические ряды, дающие константу своего квадрата.
64633А5658575655111213145049171846454443232425263837363531323334302928273940414222212019474816155152535410987596061622164633А56585756551112131450491718464544432324252638373635313233343029282739404142222120194748161551525354109875960616221№ 4№ 4а б с d е f g hа б с d е f g h
64
63
3
А
5
6
58
57
56
55
11
12
13
14
50
49
17
18
46
45
44
43
23
24
25
26
38
37
36
35
31
32
33
34
30
29
28
27
39
40
41
42
22
21
20
19
47
48
16
15
51
52
53
54
10
9
8
7
59
60
61
62
2
1
64
63
3
А
5
6
58
57
56
55
11
12
13
14
50
49
17
18
46
45
44
43
23
24
25
26
38
37
36
35
31
32
33
34
30
29
28
27
39
40
41
42
22
21
20
19
47
48
16
15
51
52
53
54
10
9
8
7
59
60
61
62
2
1
№ 4
№ 4
а б с d е f g h
а б с d е f g h
В приведенном квадрате с 64 клетками также имеется огромное количество подобных рядов. Среди них есть такие, расположение чисел в которых соответствует описанным нами принципам черчения, или, просто говоря, ходам всех шахматных фигур.
Наличие скрытых рядов в магических квадратах никем отмечено не было, точно так же никто не указывал на магический квадрат как на источник шахматной игры. Весьма близко к этому подходили математики XVIII века, в том числе Л. Эйлер, которые, с одной стороны, изучали магические квадраты, а с другой — решали хорошо известную теперь задачу о «Ходе коня» по шахматной доске, но никакой связи между шахматами и квадратами не заметили. Еще ближе к вопросу подошли русский математик и шахматист К. Яниш и австриец Венцелидес, составившие такие магические квадраты, в которых числа расположены по ходу коня, однако этим дело и ограничилось. Скрытые магические ряды, определявшие ходы фигур, остались невыявленными.
К этим замечательным рядам мы теперь и обратимся, останавливаясь лишь на тех из них, которые имеют отношение к шахматам.
Если поставить все 8 шахматных фигур на первоначальные места и сделать ими один ход на их предельные
поля, имея направление вперед и к центру доски, то они встанут так: Ла1—а8, КЬ1—сЗ, Cel—-h6, Ф61—d8, Kpel—е2, Cfl—аб, Kgl—f3, ЛЫ—h8 (диаграмма № 6).
На этих полях в магическом квадрате, изображенном на диаграмме № 4, стоят определенные числа; если мы
их сложим, то сумма будет равна 260, т. е. мы получим константу данного квадрата. Это значит, что фигуры составили своим расположением магический ряд.
Мы сделали ход белыми фигурами, попробуем сделать черными. Оказывается, и они встали на поля с константой.
Если мы будем ставить фигуры на каждую из четырех сторон квадрата, то, делая те же ходы, фигуры будут занимать поля с константой.
Из всего этого мы можем заключить, что ходы шахматных фигур и их расстановка находятся в явном соответствии с математическими свойствами магического квадрата.
ХОДЫ ФИГУР В МАГИЧЕСКОМ КВАДРАТЕ.
Принцип хода каждой фигуры заключен в многочисленных скрытых магических рядах. Мы приводим многие из этих рядов, причем ход фигуры начинаем не с первоначального места, а с любого поля, чтобы нагляднее выразить принцип ее движения. Движение ферзя,
ладьи и слона мы не ограничиваем одной прямой линией, а ограничиваем магическим рядом, составленным по принципам ходов этих фигур.
Принципы ходов шахматных фигур заключены в следующих скрытых магических рядах:
Принцип хода коня. Начинаем с описания самого необъяснимого хода, хода коня. Он всегда и всеми считался явно выдуманным и искусственным. Если начертить некоторые ряды с этим ходом, то они будут напоминать стихийные явления — молнии, волны и пр.
al— ЬЗ—cl—d3—el—f3— gl—h3; al—c2—аЗ—Ы—d2—f3—d4—e2; fl—d2—f3—d4—f5—d6—f7—d8; al—ЬЗ—d4—c2—el—f3—h4—g2; al—c2—a3—c4—e5—g6—e7—g8; hl—g3—fl—h2 и aS—b6—c8—a7; c2—e3—c4—d2 и f7—d6—f5—e7; al—ЬЗ—c5—d7 и el—f3—g5—h7; al— ЬЗ—d4—c2 и h8—f7—e5—g6; a8—c7—e6—g5 и hl—f2—d3—b4; al—ЬЗ—a5—Ь7 и cl—d3—c5—d7; al—c2— d4—f5 и h8—f7—e5—c4; dl—b2—a4—сЗ и d5—b6—a8—c7; ЬЗ—al—c2—d4 и e5—f7—h8—g6; al—ЬЗ—d4—c2 и e7—g8—h6—f5; al—ЬЗ—d4—c2 и e8—g7—h5— f6 cl—a2—b4—d3—c5—a6—b8—d7; и др. (диаграммы № 7—14).
Принцип хода короля:
с4—с5—d6—еб—f5—f4—еЗ—d3;сЗ—с4—d3—d4—е5—еб—15—f6;
с4—d5—d6—е5—f5—е4—еЗ—d4;al—а2—Ы— Ь2 и g7— g8—h7—h8
dl—d2—el—e2 и d7—d8—e7—e8; и др. (диаграммы № 15, 16).
Принцип хода ферзя:
cl—с2—сЗ— d4—еб—Гб—Г 7—Г8; сЗ—с4—сб—d6—еб—Гб—Г4—ГЗ;
аЗ—Ь4—с5—d5—е4—14—g5—h6;
сЗ— d3—еЗ—е4—d5— d6—еб—f6; а2—Ь2—сЗ—d4—е5—f6—g7—h7; сб—сб—с4—d5—е4—f5—f4—13
и др. (диаграммы № 17—19)
Принцип хода ладьи:
d2—е2—еЗ—е4—е5—еб—е7—f 7; а2—Ь2—с2—d2 и е7—f7—g7—h7;
с2—сЗ—с4—d4—е4—f4—f3—f2 и др. (диаграммы № 20, 21).
№ 20
Принцип хода слона:
dl—е2—f3—g4 и е8—d7—сб—Ь5;
а2—ЬЗ—с4—d5—е4—f5—g6—h7;
а4—Ь5—сб—d5—е4—f3—g4—h5 и др. (диаграммы № 22, 23).
Принцип хода пешки:
а 1 —Ь2—аЗ—Ь4—а5—Ьб—а7—Ь8; al—а2—аЗ—а4—Ь5—Ьб—Ь7—Ь8; а2— а4— а5— аб и Ь7—h5—Ь4—ЬЗ; Ь2—ЬЗ—Ь4—с5 и g7—g6—g5—f4 Ь6—Ь7—Ь8—d7 и g3— g2—gl—e2; и др. (диаграммы № 24, 25).
Принцип хода — рокировки. Он заключает в себе ход ладьи и ход короля через клетку:
а 1—cl—el—gl—Ь8—d8—f 8—h8;a 1 —b 1 —с 1 —e 1 и h8—g8—f8—d8
и др. (диаграммы № 26, 27).
жду магическими квадратами и шахматами имеется неоспоримая связь. Никаких случайных совпадений здесь быть не может, так как ходы шахматных фигур не только содержатся в бесчисленных магических квадратах с 64 клетками, но, как увидим далее, и в квадратах всех величин, поскольку у них одна и та же математическая природа.
Таким образом, шахматы неразрывно связаны с математическими явлениями.
В связи с открытием неизвестных магических рядов все магические квадраты можно разделить на 3 категории:
К первой категории отнести квадраты, имеющие константу в горизонтальных и вертикальных рядах.
Ко второй — имеющие, кроме этих рядов, еще два диагональных ряда и два в дополнительных диагоналях.
К третьей — имеющие не только магические ряды первых двух категорий, но еще скрытые магические ряды, неизвестные математике. Одни из них соответствуют ходам шахматных фигур, а другие всевозможным знакам
и эмблемам (звезды, кресты, пентаграммы и пр.), о чем мы скажем в последней главе.
Говоря в дальнейшем о квадратах, мы будем иметь в виду лишь магические квадраты третьей категории.
Для иллюстрации указанных категорий можно привести следующие магические квадраты.
На диаграмме № 28 изображен магический квадрат, имеющий горизонтальные и вертикальные ряды, по не имеющий других рядов.
На диаграмме № 29 магический квадрат имеет сверх того ряды по большим и дополнительным диагоналям.
№ 28№ 29
63143724512635102239621336115027156423382552934402116611233284917601442948538241205765532475918434453075442358195654631631437245126351022396213361150271564233825529344021166112332849176014429485382412057655324759184344530754423581956546311636245595885610115352141549481819454422234125393828293534323331303637272640244243212046471716505113125455957766061326416362455958856101153521415494818194544222341253938282935343233313036372726402442432120464717165051131254559577660613264
63
14
37
24
51
26
35
10
22
39
62
13
36
11
50
27
15
64
23
38
25
52
9
34
40
21
16
61
12
33
28
49
17
60
1
44
29
48
53
8
2
41
20
57
6
55
32
47
59
18
43
4
45
30
7
54
42
3
58
19
56
5
46
31
63
14
37
24
51
26
35
10
22
39
62
13
36
11
50
27
15
64
23
38
25
52
9
34
40
21
16
61
12
33
28
49
17
60
1
44
29
48
53
8
2
41
20
57
6
55
32
47
59
18
43
4
45
30
7
54
42
3
58
19
56
5
46
31
1
63
62
4
5
59
58
8
56
10
11
53
52
14
15
49
48
18
19
45
44
22
23
41
25
39
38
28
29
35
34
32
33
31
30
36
37
27
26
40
24
42
43
21
20
46
47
17
16
50
51
13
12
54
55
9
57
7
6
60
61
3
2
64
1
63
62
4
5
59
58
8
56
10
11
53
52
14
15
49
48
18
19
45
44
22
23
41
25
39
38
28
29
35
34
32
33
31
30
36
37
27
26
40
24
42
43
21
20
46
47
17
16
50
51
13
12
54
55
9
57
7
6
60
61
3
2
64
На диаграмме № 30 в квадрате, кроме указанных рядов, есть еще ряды с ходами шахматных фигур.
№ 30
37
27
39
25
32
34
30
36
20
46
18
48
41
23
43
21
53
11
55
9
16
50
14
52
4
62
2
64
57
7
59
5
60
6
58
8
1
63
3
61
13
51
15
49
56
10
54
12
44
22
42
24
17
47
19
45
29
35
31
33
40
26
38
28
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ СТАРШЕ ШАХМАТ,
Магический квадрат появился на заре истории. Древнейшее изображение его находится на «священной китайской таблице Ло-шу», относящейся ко времени трех с половиной тысяч лет до н. э. .
Как полагает история математики, квадрат стал рано известен Вавилону и Индии.
Следовательно, магические квадраты являются таблицами весьма древнего происхождения и, во всяком случае, несравненно древнее шахмат.
В Европе магический квадрат впервые был опубликован во II веке н. э. греческим математиком Теоном Смирнским в его книге, озаглавленной: «Что нужно знать из математики, чтоб понимать Платона». Поскольку этот труд является комментарием к математическим рассуждениям Платона, постольку можно заключить, что магический квадрат был известен грекам во времена Платона, т. е. в IV веке до н. э., а так как Платон свои математические сообщения преимущественно заимствовал у пифагорейцев (VI век до н. э.), то возможно они первые знали в Греции магический квадрат.
Хотя опубликование магического квадрата состоялось в Греции, как более просвещенной стране того времени, тем не менее покорить Европу пришлось квадрату не отсюда. Он был известен Индии, откуда попал к арабам и иранцам, а оттуда в Восточно-Римскую империю. Здесь популяризацией квадрата занимался византийский писатель Мосхопуло (1-я половина XV столетия). Лишь с этого времени из Византии квадраты быстро распространились по Западной Европе, где в течение ряда веков привлекали к себе внимание виднейших математиков.
В древности значение магического квадрата было совсем не математическое. Математика, как и другие науки, во многом была сокровенным знанием, с ней связывались суеверия, у разных народов существовала числовая мистика. В связи с этим жрецы, в чьих руках была древняя наука, должны были хранить магический квадрат в тайне, он был астрологической таблицей, оракулом, он
имел таинственный смысл. В Индии он употреблялся как талисман. Талисманом он был и у арабов, «поэтому составление их было одной из любимых тем арабской математики» . Всем этим можно объяснить, что, рано появившись в истории, магический квадрат поздно получил известность. Даже в Греции математические изыскания пифагорейцев полностью не разглашались. Платон, который, как видно из указанной книги Теона Смирнского, имел в виду в своих сочинениях магические квадраты, нигде открыто о них не говорит. Сам Теон Смирнский публикует квадрат только с 9 клетками, тогда как арабы «занимались составлением квадратов из чисел до 49, 64 и 81» .
Опубликование магического квадрата в Европе стало возможным лишь во II веке н. э.
В средние века в Европе магические квадраты сохраняли мистическое значение и употреблялись как талисманы. Квадрат-талисман с 64 клетками связывали с именем Меркурия, что заимствовано у арабов, которые 7 квадратов разных величин связывали с 7 разными планетами, признаваемыми древними народами: Солнце, Луна, Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн.
Русский историк шахмат Д. И. Саргин, опираясь на большой фактический материал, приходит в своем капитальном труде к заключению, что все шашечные игры произошли из астрологии. Он пишет: «Не позволительно ли, ввиду множества соприкосновений состава разных шашечных игр с астрономическими понятиями, сделать предположение, что самые игры на доске произошли из астрологии, представляли первоначально в руках жрецов орудия предсказаний, гороскопические аппараты, и лишь позднее обратились в развлечения»... «Допустив эту гипотезу, мы путем дальнейшего ее развития должны были.бы прийти к заключению, что игральные расчерченные доски были аппаратами, на которых постановкой шашек начерно записывались астрономические наблюдения над движениями небесных светил, а позднее эти аппараты вылились в известные формы и стали служить уже гороскопами» .
Что такое гороскоп? Древние народы верили, чго расположение планет и звезд оказывает влияние на судьбу каждого человека с момента его рождения, а поэтому культивировали предсказания по звездам, создав соответствующую ложную науку — астрологию, которая в древности сливалась с астрономией. Астрологические предсказания изображали на расчлененном квадрате, что и называлось гороскопом. Позднее стали понимать, что вся астрология — обман. В каждый момент рождаются тысячи людей, а судьба у всех разная. Кодекс законов восточно-римского императора Юстиниана (VI век) приравнивает астрологов к отравителям. В последующие века на Западе снова появлялись наивные почитатели астрологии.
Вывод Д. И. Саргина о происхождении шашек и шахмат из астрологии вполне основателен, но последующее предположение о досках подтверждений нс имеет, и Сар- гин нс мог объяснить, для чего нужно было на шашечных досках примитивно изображать шашками астрономические явления и притом пользоваться для этого клетками, когда древняя наука применяла в астрономии сложные математические методы. Теон Смирнский и философ Порфирий указывали, что египтяне при изучении движений планет пользовались методом черчения, а халдеи предпочитали вычисления. Эти методы не могла не знать Индия.
Смысл шашечных досок надо искать не в клетках, а в том математическом содержании, которым заполнялись эти клетки.
На разграфленных досках изображался магический квадрат, и только он один имел отношение к астрологии.
Указания о том или ином отношении шашечных игр к астрономии и мистике встречаются в разных древних источниках. В частности, в диалоге Платона «Федр» Сократ рассказывает о египетском божестве, «которому посвящена была священная птица, называемая Ибисом, имя же самого демона Февв, он первый изобрел число, счет, геометрию, астрономию, сверх того игры в шашки и в кости, а также и письмена» . Римский эпический поэт Салей Басс сообщает в поэме- «Похвала Пизону» такие наи.
менования шашек в игре: Солнце, Сатурн, Марс, Юпитер. В наиболее ранней иранской истории шахмат — в «Книге о чатуранге» (VII век) обращает внимание рассказ о создании шашечной игры Нард: «Доску я уподобляю земле Спандармад, и 30 камней — 30-ти дням и ночам... каждую кость — движению звезд и небосвода», «движение камней туда и сюда, направляемое костью, уподобляю тому, как дух людей на земле связан со светилами» . Арабский писатель X века Масуди приводит в «Золотых лугах» описание шахматной игры и отмечает один из видов ее— астрономический. В книге игр испанского короля Альфонса Мудрого (XIII век) сообщается также об игре «Астрономические шахматы». Немецкий историк шахматной игры А. Ван дер Линде приводит указание санскритолога А. Вебера о том, что в Индии четверная шашечная игра с костью вошла в число обрядов при праздновании полнолуния и т. д.
Востоковед Борк доказывал (1935 г.), что происхождение шахмат надо искать в религиозных (астральных) и космографических воззрениях древних народов, что ча- турраджа была вначале «планетным оракулом», в нее играли в новолуние или полнолуние.
Японские шахматы сохранили для некоторых фигур названия созвездий: Большая Медведица, Малая Медведица и др.
Если всевозможные факты косвенно указывают на связь шахмат с астрономией и космографическими теориями в тс далекие времена, то магические квадраты устанавливают это непосредственно.
Шашечные игры существовали у разных народов древности, они были известны Китаю, Японии, Вавилону, Египту, Индии, Греции и другим. Древнейшими шашечными играми являются китайские и японские. Рано эти игры знал и Египет: найденное здесь изображение игры, похожей на шахматную, относится к периоду трех тысяч лет до н. э.
ПОЧЕМУ И КТО СОЗДАЛ ШАХМАТЫ?
Кто изобрел шахманя? почему? и как?
На все вопросы, касающиеся происхождения шахмат, история игры ответов нс имеет, однако эти вопросы настоятельно требуют их решения.
Каким образом могло произойти, что человек, получив мудрую игру на глазах истории в великом культурном государстве, вдруг тут же и тогда же раз навсегда забыл, где и когда он получил эту игру?
Это объясняется тем, что необходимо было навеки скрыть магический квадрат и ритуальное происхождение из него шахмат. Чтобы замести следы ко всему этому и отвлечь внимание от сокровенных знаний, одновременно с выпуском игры во всеобщее обращение были опубликованы вымышленные рассказы об ее изобретении.
Обман необычайно удался. Эти рассказы так повлияли на историков игры, что они свыше тысячи лет не представляли себе никакого другого пути создания шахмат, кроме изобретения шахматных фигур. Они нс сомневались, что игра началась с шахматных солдатиков. Однако, как увидим далее, начало шахматам положила математика, а нс деревянные игрушки, которые не начали, а закончили создание игры, лишь оформив собой математические действия. История игры все века ожидала, что тайну происхождения ее «поведают слоны и кони».
Шахматы никто не изобретал, они создавались многими лицами в течение весьма длительного времени, может быть веками, и без всякой мысли изобрести игру. У индусских ученых были совсем не похожие на забаву цели, когда они исследовали магическую таблицу чисел и находили в ней такие закономерности, которые они считали божественными и которые со временем, помимо воли жрецов, образовали игру.
Поскольку происхождение шахмат из астрономии (астрологии) вытекает из различных литературных источников и памятников материальной культуры и неоспоримо доказывается связью шахмат с магическим квадратом, постольку следует поставить вопрос о том, какова же была та космографическая идея, которая заставила древних исследователей выделить ряд различных элементов из магического квадрата и соединить их в одно целое, приведшее к шахматам.
В Индии существовала игра чатуранга, в которой сначала, как полагают некоторые историки, пользовались в процессе игры игральными костями, а затем от них освободились и ходы стали определяться только мыслью игроков. Для этой последней формы игры история шахмат употребляет наименование четурраджа.
Из четурраджи образовалась игра шагранг, окончательно вылившаяся в шахматы. Допускается, что шат- ранг образовался в странах Средней Азии у таджиков и хорезмийцев. Ранее предполагалось образование шатран- га в Индии или арабских странах. Поскольку нас интересует не развитие игры и ее правил, а причина возникновения ее, постольку мы будем иметь в виду ее более или менее древнюю форму — чатурангу.
№ 31 № 32
Она была четверной игрой. Каждый из 4-х игроков имел 4 фигуры и 4 пешки. Фигуры ставились по углам на левой стороне доски в следующем порядке: Cal, КЫ, Лс1, Kpdl. Пешки стояли перед ними (диаграмма № 31). Фигуры носили несколько иные названия, расцветка их была: черные, красные, зеленые, желтые.
Если взять 4 поля, занятых фигурами чатуранги на одной какой-либо стороне доски, и 4 таких же поля на противоположной, то получается магический ряд.
Здесь возникает вопрос, ответ на который ведет к разгадке тайны происхождения шахмат.
Четыре поля не в углу, а в середине первой линии, т. е. cl—dl—el—fl, и четыре противоположных тоже составляют магический ряд (диаграмма № 32).
Почему же в таком случае фигуры чатуранги поставили не в середине линии, что было бы естественно и удобно, а по углам доски?
Эта особенность расстановки фигур чатуранги не только привлекает к себе внимание, но и требует ответа.
Фигуры, расставленные по углам, отображают центробежное движение от центра доски. Они как бы отброшены туда вихрем. Иначе они оказались бы в середине линии. Отсюда вытекает заключение, что фигуры вышли из центра, т. е. там они зародились.
Так как законы математики универсальны, то древние ученые для понимания некоторых небесных явлений прибегали к особому методу: они искали и изучали в земных явлениях соответствия небесным. Аристотель писал про пифагорейцев: «Все, что они могли в числах и гармонических сочетаниях показать согласующегося с состояниями и частями мира и со всем мировым устройством, это они сводили вместе и приспособляли» .
Пифагорейцы жили в VI веке до н. э. Метод, о котором пишет Аристотель, был известен древним народам. Связь Индии с пифагорейцами не вызывает спора .
Поскольку астрономия была математической наукой, изучавшей небесные явления, постольку идея, которая руководила жрецами, должна была иметь отношение к вихревому космическому явлению.
Индусские ученые в магических квадратах и, в частности, в центробежном движении могли усматривать отражение каких-либо мировых процессов. Один из рисунков центробежного движения в квадрате с 64 клетками привлекал особое внимание: движение исходило из центра квадрата и изображало спираль (диаграмма № 33).
Каждые два противоположных крыла этого рисунка составляют магический ряд. В каждом крыле 4 клетки. Все четыре крыла центробежно относятся в 4 стороны.
В соответствии с этими данными древние ученые могли считать, что 4 клетки каждого крыла соответствуют
каким-либо 4 космическим потоком, несущимся во все 4 части света.
Впоследствии «крылья» были отброшены в углы квадрата и там определили места для фигур чатуранги.
Какие же явления могли отражать 4 центробежных потока?
Из астрономических, физических и философских знаний древней Индии наиболее вероятным можно признать олицетворение 4 стихий. Как у всех древних народов, разные философские системы Индии (чарвака, буддизм, санкхья) признавали первосущностью 4 элемента или стихии: земля, вода, огонь, воздух. Система вайшешик допускала 4 рода атомов. Это влияние философии могло натолкнуть мысль жрецов на то, что в магических квадратах заключается отражение центробежного движения веществ, составляющих 4 стихии. Философская система санкхья признавала круговращение вещества.
Мысль об образовании стихий в результате вращательных вихревых движений занимала философов и других древних стран, в частности философов Греции V—IV века до н. э.
Из всего описанного можно допустить, что идеей, которая повлияла на установку фигур по углам доски, была мысль о том, что рисунок центробежного движения отражает в магическом квадрате космическое явление — рождение стихий. Эта мысль заставила жрецов тщательно исследовать магический ряд с фигурой центробежного движения и натолкнуться на неожиданное открытие.
VIL КАК РОДИЛИСЬ ФИГУРЫ и их ходы?
Центральный рисунок центробежного движения в каждом крыле имел 4 клетки. Эти клетки были расположены так, что одна находилась в центре доски, а три остальные на рисунке были «ниже» се. Такое расположение позволяло думать, что вихрь рождался в центре, в верхней клетке, откуда стихии летели в нижние и далее.
Это допущение заставило провести три линии с верхней клетки на нижние (диаграмма № 34). Проведенные линии изобразили три принципа движения: прямолинейный (ладья), диагональный (слон) и сверхдиагональный
(конь).(конь).№ 34№ 34
(конь).
(конь).
№ 34
№ 34
Полученный чертеж давал повод полагать, что вещества трех стихий не только пришли на три нижние клетки, но должны по тем же принципам ходов продолжать движение.
В связи с таким рассуждением на клетки были поставлены шашки, получившие разные отметки. Затем каждую из трех нижних шашек передвинули с се клетки далее от центра, но строго сохраняя присвоенный ей принцип хода.
Тогда шашка сверхдиагонального принципа (конь) пошла сЗ—а2, шашка диагонального принципа (слон) — d3—с2 и прямолинейного (ладья) — еЗ—е2 (диаграмма №35).
Шашка, которая была поставлена на центральное поле и до сих пор стояла неподвижно (король), теперь также сдвинулась и пошла или с4—еЗ, или е4—d3. Оказалось, что в том и другом случае поля, занятые теперь все-
ми шашками, вновь составили магический ряд вместе с подобными противоположными (диаграмма № 36).
Это было магической неожиданностью. Однако исследователи пошли далее. Поскольку речь шла о круговращательном вихревом движении, постольку они попробовали направить движение по кругу, т. е. передвинуть все фигуры с крайнего поля центробежно отброшенной фигуры сЗ к верхнему углу: КсЗ—Ь5, СсЗ—Ь4, ЛсЗ—ЬЗ, КрсЗ—с4 или Ь2. Фигуры снова заняли с противоположными магический ряд.
Наконец фигуры пошли далее на крайнюю линию: КЬ5—а7, СЬ4—а5, ЛЬЗ—аЗ, Крс4—Ь5 или Ь4. И снова с противоположными полями составился магический ряд (диаграмма № 37).
Здесь мы видим нс отдельные фигуры, составляющие своим ходом магический ряд, а комплекс разных фигур с их разными ходами, которые при известной системе движения образуют магические ряды совместно.
Магический квадрат «раскрыл свою тайну», он дал прямое и ясное указание о движении стихий по четырем различным принципам. После этого шашки должны были приобрести нс только разные формы, но и особые названия. Так родились, а не были изобретены четыре фигуры с четырьмя своеобразными ходами. Только в описанном процессе рождения фигур были созданы причудливый ход коня и двойной ход короля.
Превратившись в разные фигуры, шашки стали по очереди двигаться по клеткам, сохраняя свои принципы
ходов и разыскивая тс магические ряды, которые соответствовали этим принципам. С опытом над каждой шашкой магизм квадрата раскрывался вновь и вновь: шашка сверхдиагонального принципа (конь) нашла всевозможные простые и сложные ряды с константой. Шашки прямого и диагонального принципа, двигаясь лишь на соседнее поле, и центральная шашка (король) с двумя принципами движения также открывали свои ряды, которые мы рассмотрели ранее.
Описанный процесс рождения шахматных фигур устанавливает не только принципы их ходов, но и количество фигур. Это тс фигуры и то количество, которые существовали в индийской игре чатуранге. Названия фигур были иные, а ход ладьи и слона впоследствии не ограничивался соседним полем.
Процесс рождения фигур, а в сущности — рождения шахмат отвечает на безответные до сих пор вопросы об игре: он открывает источник шахматной игры, причину возникновения се, происхождение всех ходов и фигур, обосновывает их количество, расстановку по углам и пр., наконец, указывает причину движения фигур ио доске,- т. е. основание их динамики, которая до этого ниоткуда не вытекала.
ПИФАГОРЕЙСКОЕ УЧЕНИЕ О РОЖДЕНИИ СТИХИЙИ ОПИСАНИЕ РОЖДЕНИЯ ШАХМАТНЫХ ФИГУР
Эта глава отмечает соответствие, которое имеется между описанной гипотезой о рождении шахматных фигур и учением древнегреческого философа Платона о рождении атомов стихий.
Родоначальниками атомизма в Греции были два философа: Левкипп, о котором не сохранилось почти никаких сведений, и его ученик Демокрит, от которого осталось в литературе достаточно фрагментов (V—IV век до н. э.). Они утверждали, что образование миров произошло в результате вращательных вихревых движений атомов. Об атомах говорил Эпикур и другие мыслители. Греческий атомизм представлял разработанную материалистическую систему.
Атомизм был известен Индии (первые секты джайны, философская система вайшешика, буддизм и др.).
Платон также признавал атомы, называя их «столь малыми частицами стихий, что они недоступны нашему зрению».
Как мы знаем, три шахматные фигуры — конь, слон, ладья — родились, сделав один ход с центрального поля е4 на три рядом стоящих поля внизу: Ке4—сЗ, Се4—d3, Ле4—еЗ. После этого хода занятые поля вместе с центральным е4 образуют магический ряд с противоположными (диаграмма № 34).
Три первые фигуры делают второй ход: КсЗ—а2, Cd3—с2, ЛеЗ—е2. Только теперь делает ход и король, рождая 4-ю фигуру.
Все фигуры (с противоположными) заняли места с константой.
Из этого видно, что король возник последним и отдельно от трех первых фигур.
Центральное крыло рисунка центробежного движения можно изобразить в форме треугольника, который будет прямоугольным неравнобедренным (диаграмма № 38).
Три первые фигуры произошли из этого треугольника.
Король произошел из другого треугольника, имеющего форму прямоугольного равнобедренного (диаграмма №39).
№ 38№ 38
№ 38
№ 38
В диалоге Платона «Тимей» рассказчик излагает космогоническую теорию о происхождении мира, о сотворе-
нии существ и объясняет происхождение малых частиц (атомов) четырех стихий: земли, воды, воздуха и огня.
Атомы находились в нераздельном хаотическом состоянии, хотя и «были определены видами и числами», а затем под влиянием разных сил стали разбрасываться туда и сюда.
Тимей говорит, что атомы стихий — это тела, имеющие тройное измерение и поверхность. «Построенная на прямых линиях поверхность состоит из треугольников. Треугольники же все получают начало из двух треугольников» — прямоугольного неравнобедренного и прямоугольного равнобедренного, и далее продолжает: «Идя по необходимости путем вероятного, в этом предполагаем мы начало огня и прочих тел».
Самым прекрасным треугольником Тимей считает прямоугольный неравнобедренный.
«Так пусть же у нас избраны два треугольника как формы, из которых слагаются тело огня и тела прочих стихий».
«Из треугольников, которые мы отличили, происходят четыре рода (четыре тела), и именно три — из одного, имеющего стороны неравные, четвертый же один слагается из треугольника равнобедренного».
«И дав рождение этим телам, один из основных треугольников на том покончил, равнобедренный же произвел природу четвертого вида».
Итак, Тимей сначала говорит о пространственных телах, а затем переходит к поверхности их, к треугольникам, т. е. планиметрическим фигурам.
Платон все свои сочинения покрывает дымкой таинственности, а в тех из них, где он прибегает ко всякого рода пифагорейским рассуждениям, он прямо затуманивает смысл. Видимо, как посвященный в тайны, он не мог разглашать различные знания. Мы уже указывали, что Теон Смирнский в комментариях к сочинениям Платона приводит магический квадрат, тогда как у Платона он открыто нигде не упоминается.
Если мы сопоставим повествование Платона и наше описание рождения фигур, то нетрудно заметить соответствия. И тут и там имеются космогонические соображения— рождение четырех стихий, числовая мистика, происхождение атомов стихий из двух прямоугольных треугольников, причем из одного — неравнобедренного —
произошли атомы трех стихий, а из равнобедренного — атомы одной стихши Совпадает последовательность рождения атомов: неравнобедренный родил атомы трех стихий и «на том покончил, равнобедренный же произвел природу четвертого тела», т. е. король образовался последним, и т. д. .
По свидетельствам древности, Платон купил у пифагорейца Филолая его сочинение, которое переработал и поместил в диалог «Тимей», так что учение, изложенное Платоном, было известно до него и о нем могли знать другие народы .
Хотя Теон Смирнский открыто дает понять, что Платон знал магический квадрат, и хотя, как мы видели, есть соответствие между пифагорейским учением и рождением шахматных фигур, все же этого недостаточно, чтобы утверждать, что Платон имел в виду не только магический квадрат, но и процесс зарождения того оракула, который через огромное количество лет превратился в игру.
Мы отмечаем близость описаний по более скромной причине: эта близость дает основание полагать, что наша гипотеза является характерной для подобных теорий древности, а поэтому приближается к достоверности.
ШАХМАТНЫЕ ХОДЫ В МАГИЧЕСКИХКВАДРАТАХ ВСЕХ ВЕЛИЧИН.
Помимо магического квадрата с 64 клетками, скрытые магические ряды со своей константой заключены в квадратах других порядков. При этом в них встречаются ряды, соответствующие ходам шахматных фигур. Это объясняется общими методами построения квадратов, так как они представляют одно математическое явление с одинаковыми свойствами. В связи с этим возникает вопрос: какое отношение магические ряды разных квадратов могли иметь к зарождению чатуранги?
Рассмотрим некоторые квадраты (которые относятся к 3-й категории).
Квадрат с 25 клетками имеет в каждом ряду 5 чисел и константу 65 (диаграмма № 40).
Если с центрального поля сЗ сделать ходы ладьей по всем четырем направлениям и занять поля: аЗ, с5, еЗ, cl, то они вместе с центральным полем дают константу. То же будем иметь и с другими фигурами.
Квадрат с 49 клетками имеет 7 чисел в ряду и константу 175 (диаграмма № 41). В нем имеются ряды с хо-
3169221520.82114272513119241251861141710233169221520.8211427251311924125186114171023№ 10№ 104291237204528351136194427310421843262ЗА411749251339164824732840472363114391522530133821464291237204528351136194427310421843262ЗА41174925133916482473284047236311439152253013382146№ 41№ 41
3
16
9
22
15
20.
8
21
14
2
7
25
13
1
19
24
12
5
18
6
11
4
17
10
23
3
16
9
22
15
20.
8
21
14
2
7
25
13
1
19
24
12
5
18
6
11
4
17
10
23
№ 10
№ 10
4
29
12
37
20
45
28
35
11
36
19
44
27
3
10
42
18
43
26
2
ЗА
41
17
49
25
1
33
9
16
48
24
7
32
8
40
47
23
6
31
14
39
15
22
5
30
13
38
21
46
4
29
12
37
20
45
28
35
11
36
19
44
27
3
10
42
18
43
26
2
ЗА
41
17
49
25
1
33
9
16
48
24
7
32
8
40
47
23
6
31
14
39
15
22
5
30
13
38
21
46
№ 41
№ 41
дом коня, например: bl— d2—f3—d4—Ь5—d6—18 и многие другие.
Квадрат с 81 клеткой имеет 9 чисел в ряду и константу 369 (диаграмма № 42).
11
18
13
14
81
76
29
36
31
16
1А
12
79
77
75
ЗА
32
30
15
10
17
78
73
80
33
28
35
56
63
58
ЗВ
А5
АО
20
27
22
61
59
57
АЗ
А1
39
25
23
21
60
55
б?
А2
37
АА
2А
19
26
А7
5А
49
2
9
А
65
72
67
52
50
А8
7
5
3
70
68
66
51
Аб
53
6
1
8
69
6А
71
№ 42
3 Заказ 2495
33
Здесь фигуры могли родиться по тому же методу, как в квадрате с 64 клетками. С центральной клетки еб фигуры ходят так: сначала слон через одну клетку Себ—сЗ, затем конь еб—d3, ладья — через клетку Л еб—еЗ и король еб—е4. Если продолжить движение шашек по тем принципам, по которым они встали на эти поля, то шашки займут поля с константой: al—cl—el—еЗ—еб—е7— е9—g9—19 (диаграмма № 43). Король может ходить по диагонали, т. е. на d4 и на сЗ.
В этом квадрате есть ходы коня, например: el—g2— 13—g4—еб—сб—а7—с8—е9.
В магическом квадрате со 100 клетками также имеются ряды с ходом коня.
Итак, ходы шахматных фигур соответствуют магическим рядам в разных квадратах, поэтому нет ничего невозможного в том, что фигуры с шахматными ходами рождались на квадратах разных величин. На каком квадрате впервые родились фигуры —неизвестно, но ясно одно, что если даже они родились не на квадрате с 64 клетками, то они не могли быть переставлены на этот квадрат, так как он сам рождал свои фигуры.
Надо думать, что все шашечные игры вышли из магических квадратов и некоторые из них были в той или иной степени близки чатуранге, являясь предшественниками ее, однако когда квадрат с 64 клетками родил 4 фигуры, олицетворявшие стихии, то прочие подобные игры постепенно теряли значение-
В период формирования чатуранги в нее могли проникнуть элементы других игр, даже в шахматах появлялись на некоторое время фигуры, рожденные на других квадратах, так, например, известно проникновение слона с пятисторонним ходом, т. е. ходившего с одного поля по четырем диагоналям и по одной прямой (диаграмма № 44). Такой слон мог родиться только в квадрате с 36 клетками, где в каждом ряду 6 чисел (константа 111). Действительно, в одном из квадратов мы находим соответствующий магический ряд: Ь4—с4— d4—сЗ—Ь2—d2 (диаграмма № 45).
В шахматах появлялся конь с ходом al—Ь4. Этот ход имеется в магических квадратах с 64 и 81 клетками. На квадрате с 64 клетками он зародиться не мог, так как здесь был конь с ходом, установленным фигурой
центробежного движения, следовательно, дальнобойный копь временно заносился в шахматы из какой-либо другой игры.
В процессе развития чатуранги на игру могли влиять разные магические квадраты, однако поскольку чату- ранга была необычайно сильна своими четырьмя фигурами, рожденными, как 4 стихии, постольку никакой нужды у нее заимствовать фигуры других игр не было, поэтому если они проникали в чатурангу и шахматы, то быстро отмирали.
1353433263082827117т231516141913172122201812269102925312Ц335361353433263082827117т231516141913172122201812269102925312Ц33536№ 45№ 45
1
35
34
3
32
6
30
8
28
27
11
7
т
23
15
16
14
19
13
17
21
22
20
18
12
26
9
10
29
25
31
2
Ц
33
5
36
1
35
34
3
32
6
30
8
28
27
11
7
т
23
15
16
14
19
13
17
21
22
20
18
12
26
9
10
29
25
31
2
Ц
33
5
36
№ 45
№ 45
Высказывались мнения о заимствовании игры в самый ранний период одними народами у других, однако теперь более вероятно, что заимствовали не игру, а магический квадрат и метод рождения фигур, игра же каждым народом создавалась самостоятельно. Этим объясняется введение в Китае доски с 90 клетками (9X10), а в Японии с 81 клеткой, чего не могло бы быть при заимствовании всей игры. Этим же можно объяснить сходство японских и китайских шахмат с индийскими в отношении ходов лишь некоторых фигур.
ПОЧЕМУ 64 КЛЕТКИ?
Мы рассмотрели процесс рождения шахматных фигур и их ходов, т. е. самого основного и своеобразного элемента игры, теперь встает вопрос: почему для шахмат принят квадрат с 64 клетками?
Магические квадраты всех величин имеют свои магические ряды и, следовательно, могли породить свои фигуры и оформиться в игру. История шашечных игр знает
игры, подобные шахматам, на досках других величин, однако все эти игры не имели того международного значения, которое получила чатуранга, вылившаяся в шахматы. Все это говорит о том, что должны были быть особые причины культивировать игру на доске с 64 клетками.
Число 4 было в почете в Индии, а возведенное в куб, т. е. 64, считалось числом мистическим.
Греческий писатель II века н. э. Флавий Арриан в своей книге об Индии, описывая ее великий город того времени Палимботры (Патна), сообщает, что в нем «башен же стена имеет 570 и ворот 64». Даже количество ворот города определяется этим числом.
К этому присоединялось и другое соображение, когда ученые исследовали квадраты разной величины. Если в рисунке центробежного движения усматривалось соответствие четырем стихиям, то требовался и рисунок, в каждом крыле которого было бы 4 клетки, а это давал только квадрат с 64 клетками.
Как мы отметили, число 4 имело особое значение. Древняя индийская литература отмечает: 4 ступени жизни, 4 вида существ, 4 состояния души, 4 истины, 4-ликий Брахма, 4 веды, 4 средства политики, 4 рода пищи и пр. .
Следовательно, шахматная доска имела мистическое количество клеток, соответствовавшее той идее, которая руководила исследователями.
Существующая расцветка полей появилась лишь в средние века и к магическому квадрату отношения не имеет.
В некоторых шашечных играх употреблялась продолговатая доска, а также были игры с крестообразной доской, в которой каждая конечность креста имела 4 клетки. .
Такие доски соответствовали определенным магическим квадратам, точнее, магическим прямоугольникам. Приводим один из них, в котором по горизонтали 8 и по вертикали 4 клетки. Константа в коротких рядах равна 66, а в длинных 132 (диаграмма № 46).
В приведенном прямоугольнике есть скрытые ряды из 4 чисел, например: с!—е2—d3—f4. В нем нетрудно заметить отдельные ходы коня и слона.
Магические прямоугольники могут быть и других величин.
№ 46
17
15
14
5
4
22
23
32
8
26
6
13
21
3
31
24
25
7
27
20
12
30
2
9
16
18
19
28
29
11
10
1
Все это говорит лишь о том, что разные игры были неотделимы от магического квадрата.
ПЕРВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ФИГУР.
Когда родились фигуры, встал вопрос: что же с ними делать далее?
Сперва их стали двигать по квадрату присвоенными им ходами и таким образом открывали скрытые магические ряды. Затем начали приписывать фигурам качества тех явлений, которые они олицетворяли.
Атомы стихий, центробежно отбрасываемые в стороны, должны были бесконечно двигаться. Индусская философская система санкхья, как мы уже указали, признает круговращение вещества. При непрерывном движении разных стихий неизбежны столкновения и борьба. Эти явления индусы применяли в шашечной игре нард (неварташир), ранее нами упомянутой, о которой в «Книге о чатуранге» говорится, что движение камней туда и сюда подобно тому, «как дух людей на земле связан со светилами, которые по семи в 12 созвездиях постоянно вращаются и пребывают, и когда наступает пора, один другого поражают и вытесняют, как люди на земле один другого поражают и вытесняют».
В игру была введена борьба. Идея борьбы фигур не возникала из свойств магического квадрата, следова-
тельно, она была взята извне, из характера изображаемых явлений.
Фигуры стали передвигать с целью борьбы, вводя при этом те или иные правила. Так началось таинственное гадание. Так родился оракул.
Древние ученые были служителями культа и на занятие с магическим квадратом смотрели как на священнодействие, через которое открывается воля богов. Д. И. Саргин основательно полагает, что «все вообще игры, как можно догадываться, первоначально были способом жреческих гаданий и предсказаний и лишь позднее перешли в форму забавы» .
В период своего возникновения игра служила тайным культовым целям, процесс игры мог протекать как ритуал: жрецы собирались в храме, ставя перед магическим квадратом статуи божеств, читая молитвы и т. п.
Фигуры связывались сначала с мифологическими и астрономическими образами. Затем они изображали головы животных и получали мистические наименования.
Расстановка фигур в первое время могла быть случайной, затем стали фиксировать начальные места. Поскольку центробежное движение отбрасывало фигуры к углам, постольку естественно там и следовало ставить фигуры. Ранняя расстановка неизвестна, но в чату- ранге она была во всех углах такая: Cal, КЫ, Лс1, Kpdl. Эта расстановка могла быть следствием разных соображений, возможно она была принята с доски в 81 клетку, где фигуры шли от центра на первую линию именно таким образом.
Вначале целью игры было взятие возможно более фигур, а затем жрецы должны были обратить внимание на ту фигуру, которая родилась отдельно от трех первых. Следовательно, она должна олицетворять главнейшую стихию — землю и оцениваться как высшая фигура. Со временем стали считать, что без нее невозможно па доске существование прочих стихий, а поэтому гибель этой фигуры связывали с окончанием гадания.
Прошло много времени, когда заметили, что гадание протекает слишком стремительно, доска быстро пустеет, так как фигуры открыты для нападения. Потребовалось прикрыть их щитами. Родились пешки, их поста-
вили перед фигурами. Ходы пешек были ограничены в сравнении с современными.
Мы получили расстановку фигур и пешек, которая существовала в поздней чатуранге (диаграмма № 31).
Линии, занятые пешками, вместе с противоположными дают константу. В некоторых расстановках магического квадрата числа дают константу тем 8 клеткам, которые заняты фигурами и пешками в одном углу.
Жрецы продолжали гадать. Прежде всего гадали и «открывали волю богов» относительно самых важных событий: дождей, урожаев, войн. В связи с этими гаданиями пришлось посвятить в игру властителей и полководцев, что стало отражаться на игре, она постепенно отходила от религиозной формы и принимала военный характер.
Интересно отметить характеристику шахмат, данную в одной из статей русского литературного памятника XIV столетия, так называемого «Паисиевского сборника», и отражающую древнейшую христианскую оценку игры: «Игра та от беззаконных халдеев, идольский жрец тою игрою пророчествуют о победе царю от идола».
Проходили годы или века, и по мере того как жрецы все менее верили в игру, как в оракул, они удалили с доски магический квадрат и игра стала выходить за пределы храма.
Как мы уже говорили, выпуская игру для широкого пользования, древние ученые, знавшие тайну оракула, скрыли процесс рождения игры и ее источник — магический квадрат, распространив вымышленные легенды об изобретении шахмат-
Мы нарисовали возможный путь развития доисторических шахмат. Древняя астрологическая таблица медленно сбрасывала с себя магическое покрывало, скрывавшее ее простую математическую основу, и превращалась в замечательную игру.
В упомянутой «Книге о чатуранге» — наиболее раннем из иранских источников по истории шахмат — говорится: «Сколько ученых Индии эту игру чатуранг с большим трудом и усердием создали» . Эти слова ука-
зывают на то, что шахматы не изобретались, а создавались и притом с большим трудом не одним человеком, а многими учеными, и об этом было давно известно.
ОРАКУЛ ПРЕВРАЩАЕТСЯ В ИГРУ
Поскольку в нашу задачу входит рассмотрение вопроса лишь о происхождении шахмат, постольку мы коснемся вопросов развития игры только с точки зрения влияния на это магического квадрата.
Многие шашечные игры, в том числе и чатуранга, применяли игральные кости. В отмечавшейся книге Альфонса Мудрого описаны шахматы на досках со 100 и со 144 клетками, в которых употреблялись кости. Поздняя чатуранга освободилась от костей и новую игру назвали чатурраджа. Ходы в ней делались по воле игроков. Чатурраджа из игры с четырьмя игроками превратилась в игру с двумя игроками, которая стала называться шатранг. Разные исследователи приписывают эту реформу разным эпохам и народам.
Почему произошло изменение игры? Оно произошло в тот период, когда чатуранга (чатурраджа) потеряла культовое значение и стала распространенной игрой, так что в ее развитие не вмешивались религиозные соображения, забыт был магический квадрат, олицетворение стихий и пр., теперь принимали во внимание одни игровые интересы: четверная игра была стеснительна, требовала четырех игроков, усложняла творческие замыслы, правила игры и пр., ее надо было упростить.
Преобразователи взяли 4 фигуры 8-й линии и, не меняя их места, опустили на первую линию. Перед фигурами поставили пешки. На 8-ю линию поставили боковые составы, отразив там первую линию. У каждой стороны получилось по два короля. Пришлось одному из них дать новое название ферзь с правом ходить на соседнее поле по диагонали. Правила игры и ходы некоторых фигур отличались от современных. Ладья и слон ходили через клетку. Впоследствии ладья получила право ходить по всей доске. Фигуры и пешки заняли места, на которых остаются до сих пор.
Реформа была произведена с нарушением требований магического квадрата. В чатуррадже фигуры стояли так, что, сделав 1 ход к центру доски и вперед, они занимали ряд с константой (с противоположными фигу-
рами). Теперь фигуры занимали поля без константы. Этот «дефект» был исправлен не скоро.
Занесенные в IX веке в Европу шахматы всюду распространились, сохраняя таинственное значение, навеянное Востоком. В связи с этим церковные и гражданские власти христианских стран запрещали игру, как языческую, бесовскую. Ее запрещает 6-й Вселенский собор; в XI—XIII веках она преследуется в разных странах Европы. В XVI веке в России ее осуждает «Стоглав» среди других «игрищ эллинского беснования».
Медленно шахматы завоевывали себе свободу.
Правила игры и ходы фигур в разной степени изменялись в течение ряда веков, кончая XIX. Все нововведения не только не противоречили свойствам магического квадрата, но даже исправляли те погрешности против него, которые были допущены ранее.
Введение начального хода пешки на одно или два поля вперед, взятие на проходе, прыжок короля соответствовали определенным магическим рядам. Введение хода слона по всей диагонали (XV век) и хода ферзя по двум направлениям на любое поле (XV век) также не противоречили магическим рядам. Лишь после введения нового хода ферзя исправлялся дефект всей расстановки. Теперь все фигуры, делая один ход на предельные поля вперед и к центру, занимали поля с константой.
Введение рокировки (XVII век) было лишь дополнением хода короля, существовавшего в XV—XVI столетиях, который заключался в праве короля один раз в партии ходить через клетку (прыжок). К этому ходу был присоединен ход ладьи. Наконец современные правила превращения пешки (XIX век) закончили формирование шахмат. В настоящее время расстановка и ходы фигур соответствуют магическим рядам.
МОЖНО ЛИ ВЫИГРАТЬ ПАРТИЮС ПОМОЩЬЮ МАГИЧЕСКОГО КВАДРАТА?
Имеет ли отношение к магическому квадрату и его скрытым рядам шахматная партия? Соответствуют ли ходы фигур в партии каким-либо математическим закономерностям и не протекает ли игра по пути, который может определяться механически, без творческой мысли?
Магический квадрат родил шахматные фигуры и их ходы, он установил количество фигур и их расстановку, т. е. создал материал шахматного искусства, общие же правила игры никакого отношения к квадрату не имеют. Конечная цель партии — заматование короля противника — не связана с математической таблицей. От нес не зависят правила взятия фигур, выбор хода и т. п. Правила игры созданы не магическим квадратом, а сначала культовыми, а потом игровыми соображениями. Материал шахматного искусства имеет в основе математическое начало, пользование же этим материалом происходит по правилам, не имеющим к математике отношения. По этой простой причине партия не может находиться в какой-либо зависимости от магического квадрата и всегда остается произведением творческого порядка.
Многочисленные попытки всякого математического анализа шахматной игры и ходов фигур со стороны иностранных и русских математиков (из русских — К. А. Яниш и Н. В. Бугаев) не дали таких результатов, которые могли бы влиять на игру.
При формировании игры индусы знали о связи шахмат с магическим квадратом.
Если сделать два дебютных хода:
d2—d3,d7—d6,
e2—еЗ, e7—еб, то окажется, что все 8 клеток, отмеченные в этих ходах, составят ряд с константой.
Продолжим этот дебют, в котором каждые два хода (нечетный и четный) также составляют всеми восемью клетками магический ряд:
3.
Ь2—ЬЗ,
Ь7—Ьб,
8.
13—14,
16-15,
4.
g2-g3,
g7—g6.
9.
КЫ—сЗ,
КЬ8—сб.
5.
с2—сЗ,
с7—сб,
10.
Kgl—13,
Kg8—16,
6.
f2—f3,
17—16,
11.
JIal—bl,
Ла8—Ь8.
7.
сЗ—с4,
сб—с5,
12.
ЛЫ—gl,
ЛН8—g8.
Мы получили расстановку фигур, известную по арабским рукописям X века, т. е. самым древним записям шахматных партий и дебютов, причем мы делали ход пешкой лишь на одно поле по правилам того времени. Эта расстановка относится к так называемым «табия», т. е. к одной из готовых дебютных позиций, с которых начиналась игра. Данная позиция, заменяю-
щая первые 12 ходов, имела, как и другие дебютные позиции, свое особое наименование: «альмуджаннах» — крылатое (диаграмма № 47) .
Эта искусственная позиция замечательна симметрией в расстановке фигур, которая могла образоваться в результате ходов, связанных с магическим квадратом. Все ходы этого дебюта не подчинены стратегическим соображениям, и только в силу этого они попарно соответствуют магическим рядам. Отсюда видно, что применять магический квадрат в партии можно лишь при отказе от стратегических целей, т е. при искусственных ходах, которые для игры значения не имеют.
В вариантах некоторых дебютов восемь полей, занимаемых первыми двумя ходами, также дают константу. Это имеет место лишь там, где ходы игроков симметрично располагают фигуры, например: Шотландская партия, Дебют Понциани, Испанская партия, Венгерская партия, Дебют четырех коней имеют одинаковые первые два хода, поля которых дают константу:
е2—е4, е7—е5; 2. Kgl— f3, КЬ8—сб. Сицилианская защита:
е2—е4, с7-са; 2. Kgl—(3, КЬ8-с6 и Венская партия:
е2-е4, е7-е5;2. КЫ-сЗ, Kg8-f6
также в первых двух ходах дают константу.
Если бы мы захотели делать следующие ходы, связывая их с магическими рядами квадрата, то неминуемо вошли бы в противоречие со стратегическими целями, так как дальнейшая симметричная расстановка не соответствует принципам дебютного развития.
Все это говорит о том, что открытие математической основы игры никакого влияния на шахматное творчество оказывать не может, а поэтому ни о каком «вычислении» ходов говорить не приходится.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МАГИЯ.
Нет сомнения, что магический квадрат получил свое название нс потому, что сумма чисел вертикальных и горизонтальных рядов является константой, а потому, что древние математики знали наличие в квадратах бесчисленных скрытых магических рядов, из которых рождались оракулы и разные фигуры — тайные и общеизвестные, которые распространялись по Индии и за се пределами как священные и магические знаки.
В связи с этим сокровенным содержанием магических квадратов они сами получили значение талисманов и сохраняли его целые века в разных восточных странах, а с XV века и в Европе. Люди верили, что квадраты приносят счастье, охраняют от болезней и пр.
На известной гравюре А. Дюрера (XVI век) «Меланхолия» изображена крылатая женщина (Медуза), сидящая в окружении астрологических инструментов с глубокой мыслью на лице. На стене висит магический квадрат, безмолвно хранящий тайну. Эта гравюра дает понять, что такой квадрат в то время рассматривался как мистический и неразгаданный знак. Было ясно, что в нем выражена древняя тайна высших познаний. Если бы все дело ограничивалось наличием константы по вертикали и горизонтали, что было всем известно, то квадрату не придавали бы такого значения.
Теперь мы знаем, что в квадрате есть скрытые магические ряды, породившие «божественный оракул» — чату- рангу. С ее помощью жрец вел «беседы с богами», получая от них «важные указания». Сама чатуранга отражала вечное движение стихий. Но в квадрате таились не только шахматные, но и всякие другие примечательные ряды.
Христианская эмблема ~ крест — была известна в Индии, Вавилоне, Египте, Иране, Греции за тысячелетия до возникновения христианства. Знак креста находят на монетах, вазах, намогильных памятниках у нехристианских народов. С крестом изображались боги — Озирис, Амур, Будда; весталки в Риме носили крест на шее.
Предполагается, что изображение креста возникло из деревянных пластинок, употреблявшихся для извлечения огня. Однако разнообразие форм этого знака, возможно, исходит из магического квадрата, в котором многие ряды отражают кресты разной формы, например:
Шестиконечный: в квадрате с 81 клеткой (диаграмма № 42) — d4, d6, еЗ, е4, е5, еб, е7, f4, f6.
Восьмиконечный: там же — е2, е5, е9, d3, f3, с5, f5, d8, f8. Эти клетки следует соединить линиями: е2—е9, d3— f3, с5—g5, d8—f8.
Магические ряды в квадратах всех величин породили разные мистические знаки, уцелевшие до сих пор в разных странах. В Индии они считаются священными.
Шестиконечная звезда («Щит Давида») также заключена в магическом квадрате с 36 клетками (диаграмма № 45): а2, а4, cl, с5, е2, е4. Клетки следует соединить линиями: а2—е2, а2—с5, с5—е2, cl—а4, cl—е4, а4—е4 (диаграмма № 48).
В магическом квадрате скрыт знак пентаграммы, который маги употребляли при вызове сатаны и демонов, изображали на монетах и считали магическим. Знак имеется в квадрате с 25 клетками (диаграмма № 40): al, а4, с5, el, е4; соединим поля линиями: al—с5, al—е4, а4— el, а4—е4, с5—el (диаграмма № 49).
Отсюда вышли многие другие знаки и символы, а иные остаются скрытыми и теперь, однако глубочайшей тайной, содержание которой человечество забыло тысячелетия тому назад, была тайна оракула — чатуранги.
Столько же времени была забыта и связь магического квадрата с шахматами.
Известный французский математик XVII века Пьер Ферма, который оказывал внимание магическим квадратам, сообщает в письме Мерсенну: «Пользуясь теорией магических квадратов, иногда делали замечательные открытия».
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Подведем итоги рассмотренному материалу. Он устанавливает три бесспорных основных факта:
Факт наличия в магических квадратах «3-й категории» скрытых магических рядов, не известных математике.
Факт соответствия ходов шахматных фигур и их расстановки разным скрытым рядам в магических квадратах.
Факт возможности посредством скрытых магических рядов объяснить причину и процесс возникновения шахмат и всех их причудливых элементов.
Кроме того, устанавливается, что магический квадрат выполнял функцию оракула и являлся источником всяких магических знаков и талисманов .
Гипотеза о происхождении шахмат из магического квадрата основана на бесспорном материале. Выявление математической основы игры дает познание шахмат в их начальный древнейший период, объясняя те моменты, которые остаются непонятными, вследствие чего открывается возможность для историков игры перенести исследования в новую область и в более раннюю эпоху. Создание шахмат является делом не одного человека, но результатом коллективной долголетней и отчасти международной работы.
До сих пор предполагалось, что шахматы придуманы и их элементы искусственны. Это снижало их авторитет как искусства. Поскольку материал шахмат естественный и подобно музыке и архитектуре имеет математическую основу, постольку шахматное искусство достойно занимать высокое место.
ЛИТЕРАТУРА.
К. Б а ш е. Игры и задачи, основанные на математике, 1877.
Н. Аменицкий. Магические квадраты и арифметические курьезы. М., 1912.
Г. Шуберт. Математические развлечения. Одесса, 1923.
Я. В. Успенский. Избранные математические развлечения. М., 1924.
В. Аренс. Математические игры и развлечения. М., 1924.
М. М. Постников. Магические квадраты. М., 1964.
Кроме того, о магических квадратах помещались статьи в математических журналах XIX века, а также в современных сборниках, посвященных математическим развлечениям.
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции . , , • 3
Как шахматисты представляют себе создание шахмат? 5
Что такое материал шахматного искусства? , . . .8
Математическая основа шахмат .: 10
Ходы фигур в магическом квадрате ........12
Магический квадрат старше шахмат. .......19
Почему и кто создал шахматы?• . .23
Как родились фигуры и их ходы? 27
Пифагорейское учение о рождении стихий и описание рождения шахматных фигур 29
Шахматные ходы в магических квадратах всех величин: 32
Почему 64 клетки? 35
Первые движения фигур 37
Оракул превращается в игру . . . ..40
Можно ли выиграть партию с помощью магического квадрата? . • 41
Математическая магия 44
Заключение . .;;. 46
Литература 47
Редактор Г. С. Уманский
Обложка художника В. К. Иванова, Художественный редактор В. С. Эрденко Технический редактор Н. Ф. Макарова Корректор Т. М. Графовская
Сдано в набор 23/VII 1968 г. Подписано к печати 11/XI 1968 г. 84xlO8Vs2 Бумага типографская № 2—3 Печ. л. 2,52 (1,5)Уч.-изд. л. 2,24.
Тираж 40 000 экз. (Тем. план 1969 г. № 350) А10638
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров РСФСР. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Типография № 2 Росглавполиграфпрома, г. Рыбинск, ул. Чкалова, 8
Заказ 2495
Цена 6 коп.
* См.: Е. А. 3 н о с к о-Б о р о в с к и й. Теория середины игры в шахматах. Л., 1925, стр. 7—63.