Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ТЕПЛООБМЕН В ЭЛЕНТРИЧЕСНИХ МАШИНАХ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности «Электрические машины»
ЛЕНИНГРАД
ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ
ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ 1986
ББК 31.26.1
Ф53
УДК 621.313.017.7(075.08)
Рецензенты: кафедра теплофизических основ двигателестроенияХарьковского авиационного института(зав. кафедрой С. Д. Фролов); И. П. Копылов
Филиппов И. Ф.
Ф53 Теплообмен в электрических машинах: Учеб, пособие для вузов —Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1986,— 256 с.: ил.
Изложены теоретические и инженерные основы теплообмена в электрических машинах, рассмотрены практические методы теплового и аэродинамического расчета машин, методы проектирования и анализа систем охлаждения. Приведены примеры расчета.
Для студентов вузов электромеханических специальностей. Может быть полезно инженерно-техническим работникам электромашиностроения.
2302030000-104
ББК 31.26.1ББК 31.26.1ф 051(01)—86 148-86
ББК 31.26.1
ББК 31.26.1
© Энергоатомиздат, 1986
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . .6
Раздел первый. ДВИЖЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ В ЭЛЕКТ
РИЧЕСКИХ МАШИНАХ . .7
Глава первая. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ . . —
1-1. Системы охлаждения электрических машин, . —
1-2. Эффективность систем охлаждения 8
1-3. Экономичность систем охлаждения9
Ь4. Расчет и проектирование систем охлаждения—
1-5. Связь теплового и вентиляционного расчетов10
1-6. Точность теплового и вентиляционного расчета и роль экспери
мента '.. —
1-7. Объем знаний, необходимый для расчета и проектирования си
стем охлаждения . 11
1-8. О теории подобия12
1-9. Перенос теплоты. Конвективный теплообмен14
Глава вторая. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ17
2-1. Поле температуры, его аналитическое и графическое представление. Градиент температурыг^—
2-2. Основной закон теплопроводности19
2-3. Формулировка уравнения теплопроводности20
2-4. Начальные и граничные условия для уравнения теплопроводно
сти :22
2-5. Классификация краевых задач теплопроводности25
2-6. Упрощение (редукция) общей задачи теплопроводности . . . 27
Глава третья. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ28
3-1. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности . . . — 3 2. Теплопроводность в стержне, ограниченном с одной стороны34
3 3 ’Г<'пло11р()1п)лност|, в стержне конечной длины ....... 35 3 -I Об общих решениях уравнения теплопроводности40
3-5. Линейная теплопроводность при несимметричных и симметрич
ных граничных условиях (стационарная неоднородность) 41 3-6. Применение преобразования Лапласа .......... Г44 3-7. Линейная теплопроводность при зависимости интенсивности ис
точников теплоты от времени (нестационарная неоднородность) 49
3-8. Применение метода Г. А. Гринберга; .... 54
3-9. Двухмерное стационарное распределение температуры . . . 56 3-10. Распределение температуры в теле цилиндрической формы . 60 3-11. Двухмерная нестационарная теплопроводность62
Глава четвертая. ТЕПЛОВОЙ РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН В СТАЦИОНАРНОМ И НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМАХ НАГРУЗКИ . ;......... 64
4-1. Вводные замечания
4-2. Понятия температуры и превышения температуры в элементах конструкции электрической машины65
4-3, Эквивалентные тепловые схемы68
4-4. Применение вычислительных машин71
4-5. Расчет эквивалентной тепловой схемы статора турбогенератора с водяным охлаждением обмотки72
4-6. Тепловой расчет электрических машин при нестационарных процессах.75
4-7. Теплообменники электрических машин. . . 80
Глава пятая. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН ;.83
5-1. Вводные замечания—
5-2. Тепловой расчет проводника с током 86
5-3. Метод относительных единиц при тепловом расчете электрических машин с непосредственным охлаждением94
5-4. Выбор длины охлаждающих каналов 100
5-5. Выбор сечения каналов105
Раздел второй. ДВИЖЕНИЕ ОХЛАЖДАЮЩИХ СРЕД В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХМАШИНАХ,Ц2
Глава шестая. ОХЛАЖДАЮЩИЕСРЕДЫ . —
6-1. Жидкости и газы . : .—
6-2. Вязкость среды —
6-3. Законы для идеального газа . . . 114
6-4. Уравнение состояния реальных газов 115
6-5. Кривые фазового перехода117
6-6. Пример термодинамического расчета . . . . 120
Глава седьмая. КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ . .......... 121
7-1. Описание движения жидкости—
7-2. Сплошные среды :122
7-3. Эйлерово представление движения жидкости123
7-4. Линии и трубки тока в поле скоростей124
7-5. Анализ поля скоростей125
7-6. Составляющие поля скоростей . . . 126
7-7. Геометрия векторного поля скорости . : 128
Глава восьмая. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ И ЕГО ИНТЕГРАЛ 131
8-1. Элементы статики. Понятие .давления жидкости в состоянии покоя;—
8-2. Связь между распределением давления и гравитационной силой 132
8-3. Инерция в движущейся жидкости133
8-4. Трение в движущейся жидкости135
8-5. Уравнение движения жидкости136
8-6. Интеграл уравнения Эйлера вдоль линии тока. Уравнение Бернулли. ■141
Глава девятая. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ . . 145
9-1. Вводные замечания —
9-2. Гидромеханическое подобие течений 146
9-3. Гипотеза Ньютона о сопротивлении жидкости148
9-4. Природа сопротивления жидкости. Пограничный слой . . . 149
9-5. Обобщение уравнения Бернулли для движения жидкости с трением . . :151
9-6. Физический смысл уравнения Бернулли.153
9-7. Термодинамический анализ движения жидкости или газа при отсутствии теплообмена156
9-8. Режимы движения жидкости
9-9. Сопротивление жидкости при ламинарном движении .- . . .
9-10. Сопротивление жидкости при турбулентном движении . . .
1651661681711651661681719-11. Распределение скоростей при турбулентном движении. Пограничный слой
165
166
168
171
165
166
168
171
9-12. Теорема количества движения. Потери давления при внезапном расширении канала . :
9-13. Потери давления при сужении канала, движении через отверстия и решетки, при плавном изменении сечения и поворотах. Сопротивление ответвления. . . .
9-14. Аэродинамическое и гидродинамическое сопротивление электрической машины . . . . . . . •
Глава десятая. ВЕНТИЛЯЦИОННЫЙ РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН 175
10-1. Схемы вентиляции . . . . :
10-2. Задачи вентиляционного расчета . 179
10-3. Графическое решение уравнения равновесия.181
10-4. Проектирование центробежных вентиляторов 182
10-5. Проектирование осевых вентиляторов188
10-6. Пример расчета вентиляторов192
10-7. Расчет аэродинамического сопротивления схемы вентиляции методом уравнивания потерь давления193
10-8. Расчет схем, содержащих различные нагнетательные элементы195
10-9. Приближенный графоаналитический расчет мостовых схем вентиляции: ^96
10-10. Графоаналитический расчет схем вентиляции200
10-11. Применение аналоговых вычислительных машин . . . . . 202
10-12. Применение цифровых вычислительных машин203
10-13. Пример вентиляционного расчета турбогенератора мощ
ностью 200 МВт . . .205
10-14. Затраты энергии на охлаждение электрических машин . . 206
10-15. Кавитационный расчет систем водяного охлаждения . . . 208
Глава одиннадцатая. ВЕНТИЛЯЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СИСТЕМ РАСПРЕДЕ
ЛЕНИЯ ■212
11-1. Физические причины неравномерного распределения расходов —
11-2. Учет изменения ответвляющихся расходов216
11-3. Системы распределения в электрических машинах218
11-4. Дифференциальное уравнение распределения222
11-5. Упрощенное решение дифференциального уравнения распределения . . . *222
11-6. Учет сопротивления питающих каналов230
11-7. Общий анализ систем распределения 233
Глава двенадцатая. ВЕНТИЛЯЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СИСТЕМ ВРАЩАЮ-
ЩИХСЯ КАНАЛОВ . 235
12-1-. Вводные замечания —
12-2. Общая характеристика движения охлаждающей среды в радиальном вращающемся канале. , —
12-3. Модель невязкого движения238
12-4. Анализ влияния кориолисовых сил на формирование пограничного слоя243
12-5. Метод расчета гидродинамического сопротивления во вращающихся каналах с учетом формирования пограничных слоев 245
Приложение . .'249
Список литературы252
Предметный указатель , , ; t254
ПРЕДИСЛОВИЕ
К числу ограничений, которые необходимо соблюдать при создании электрических машин, наряду с максимальными допустимыми механическими и электрическими напряжениями относятся предельные допустимые температуры активных частей. По этой причине общему прогрессу электромашиностроения всегда сопутствует процесс совершенствования систем охлаждения.
С первых десятилетий века решение проблем теплообмена стало неотъемлемой частью общей теории электрических машин. В последние годы в связи со значительным увеличением использования активного объема машин и необходимостью интенсификации охлаждения сложилась самостоятельная техническая дисциплина «Теплообмен в электрических машинах». Эта дисциплина уже обладает устойчивой специфической методологией, значительной по объему литературой, и подготовлен большой отряд -специалистов, профессионально занятых разработкой и исследованием прогрессивных систем охлаждения.
В ряде высших учебных заведений страны студентам специальности «Электрические машины» читается курс лекций по теплообмену в электрических машинах, в дополнение к общей теории теплопередачи. Учебное пособие в настоящее время стало необходимым, так как осуществление Энергетической программы требует освоения все более мощных генераторов и двигателей.
В предлагаемом пособии использован опыт преподавания курса теплопередачи на кафедре электрических машин Ленинградского политехнического института имени М. И. Калинина и опыт подготовки специалистов по теплообмену в Ленинградском производственном электромашиностроительном объединении «Электросила» имени С. М. Кирова.
Приношу благодарность всем товарищам, оказавшим мне помощь при подготовке рукописи.
Отзывы о книге, замечания и пожелания просьба посылать по адресу: 191065, Ленинград, Марсово поле, 1, Ленинградское отделение Энергоатомиздата.
Автор
Раздел первый
ДВИЖЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИНАХ
Глава первая
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
1-1. Системы охлаждения электрических машин
При работе электрической машины выделяется теплота, представляющая собой потери энергии, которые возникают при взаимном превращении механической и электрической энергии. Такими потерями в общем случае являются джоулевы потери в проводниках, потери на перемагничивание и на вихревые токи в магнитных и проводящих массах, потери на трение роторов и потери на циркуляцию охлаждающих сред.
Конструкция всякой электрической машины представляет собой композицию активных элементов (активнаясталь, ‘ медь обмоток) и конструкционных элементов — изоляционных и проводящих. В общем случае такая система является анизотропной. Основные свойства системы, такие, как теплоемкость, плотность, меняются в зависимости от направления внутри одного элемента и при переходе от одной детали конструкции к другой.
Тепловые потоки, начинаясь внутри твердых тел, составляющих конструкцию электрической машины, частично увеличивают их энтальпию (в неустановившихся процессах), частично путем теплопроводности в телах и теплообмена на их границах поступают в охлаждающие среды.
Охлаждающая среда (газ или жидкость) под воздействием нагнетательных элементов (вентиляторы или насосы) циркулирует по каналам тракта охлаждения, образуя совместно с каналами и нагнетателями систему охлаждения электрической машины.
Разнообразные системы охлаждения электрических машин определяют интенсивность теплообмена на граничных поверхностях и в конечном итоге реализуемую в данном объеме машины электромагнитную мощность. Чем интенсивнее теплообмен, тем меньшая температура может быть достигнута при выделении определенного количества потерь энергии. В свою очередь, обеспечение приемлемой для применяемых материалов температуры гарантирует долговечность мапцшы и надежность ее работы при номинальной нагрузке. Таким образом, важнейшей характеристикой каждой системы охлаждения является ее эффективность.
Поскольку эффективность охлаждения, как вполне очевидно, зависит от количества энергии, затрачиваемой на циркуляцию охлаждающих сред, система охлаждения характеризуется также экономичностью.
1-2. Эффективность систем охлаждения
При проектировании электрических машин естественно стремятся применять достаточно эффективные системы охлаждения. Критериями эффективности могут, вообще говоря, служить различные величины или комплексы величин. Можно было бы, например, принять в качестве критерия допустимое значение теплового потока, приходящегося на единицу поверхности охлаждения. Другой подход приводит к понятию максимального допустимого габарита, например, длины канала, реализуемого при применении выбранной системы охлаждения. Важнейшим показателем является отношение максимальной температуры в наиболее нагретой точке к средней температуре всей машины или максимальной температуры обмотки к ее средней температуре.
Следует подчеркнуть, что каждый из перечисленных пара- ' метров в действительности так или иначе характеризует эффективность системы и должен рассматриваться при конкретном исследовании. Однако в практике необходим более общий критерий, который позволил бы группировать все системы охлаждения электрических машин по определенным уровням эффективности.
Таким критерием может служить (наряду с общепринятым применением) так называемая машинная постоянная, например постоянная Эссона, которая определяет мощность электрической машины в заданном объеме:
(Ы)(Ы)Сэ=^- - IO6,lD»n
(Ы)
(Ы)
где S — полная мощность, кВ-А; / — расчетная длина зазора, см; D — внутренний диаметр статора, см; п — частота вращения, об/мин.
Постоянная (1-1) в наиболее общем виде определяет степень соответствия примененной системы охлаждения ее целевому назначению и носит название коэффициента использования. Как мы увидим в дальнейшем, каждой системе охлаждения свойствен вполне определенный диапазон значений коэффициента использования. Что касается сопоставления различных систем по более частным признакам, характеризующим системы глубже, то такое сопоставление всегда является предметом специального исследования, проводимого с учетом многих индивидуальных особенностей электрических машин того или иного типа.
1-3. Экономичность систем охлаждения
Когда говорят об экономичности, имеют в виду капитальные затраты, относимые к определенному сроку окупаемости оборудования, и эксплуатационные затраты.
При оценке экономичности систем охлаждения электрических машин капитальные затраты в подавляющем большинстве случаев можно не принимать во внимание. Только применение уникальных устройств или средств охлаждения может потребовать сопоставления вариантов по капитальным затратам.
В то же время эксплуатационные затраты являются важнейшей характеристикой системы охлаждения. Известны многочисленные случаи, когда весьма эффективные системы охлаждения не могли быть внедрены в производство, поскольку потери энергии на циркуляцию охлаждающих сред достигали уровня, недопустимо уменьшающего КПД электрической машины в целом.
Эксплуатационные затраты целесообразно оценивать с помощью удельных затрат мощности на охлаждение, представляющих собой отношение затраченной на охлаждение мощности Р3 к суммарным потерям электрической машины Рх:
P = PJPz-(1-2)
Типичные значения удельных затрат мощности и коэффициента использования приведены ниже [48]:
Сэр
Турбогенераторы 6—15 0,01—0,50
Гидрогенераторы 4—80,02—0,10
Машины переменного тока 1—60,01—0,10
Машины постоянного тока 2—50,02—0,20
Сверхпроводниковые турбогенераторы . . . 20—40 0,01—0,02
1-4. Расчет и проектирование систем охлаждения
Поскольку коэффициент использования характеризует одновременно класс конструкции электрической машины и класс системы охлаждения, в большинстве практических случаев расчет и проектирование системы проводятся для заранее выбранного типа. Так, например, можно считать известным, что прокатные двигатели постоянного тока двухъякорного исполнения требуют принудительной вентиляции.
Таким образом, в процессе проектирования системы охлаждения должны быть определены схемы циркуляции охлаждаю щих сред и типы нагнетательных элементов на основе требований, предъявляемых классом изоляционных материалов к уровню температуры, возникающей в активной зоне машин при номинальных условиях эксплуатации в установившихся и
переходных режимах. Другими словами, должны быть выполнены: вентиляционный и гидравлический расчет электрической машины и тепловой расчет, который призван либо обосновать целесообразность выбранной системы охлаждения, либо определить дополнительные требования к интенсификации теплообмена.
Строго говоря, при проектировании системы охлаждения необходимо определить поле температуры во всем объеме электрической машины и проверить полученное поле на соответствие с имеющимся техническим требованием.
Объем и содержание выполняемых при этом расчетов и исследований в сущности и составляют предмет настоящей книги.
1-5. Связь теплового и вентиляционного расчетов
Известно, что уравнение теплопроводности имеет единственное решение лишь в том случае, когда определены условия теплообмена с охлаждающей средой на границах твердых тел. Это означает, что по меньшей мере должна быть известна скорость движения охлаждающей среды во всех каналах тракта охлаждения. Таким образом, результаты вентиляционного и гидравлического расчета определяют граничные условия для уравнения теплопроводности, т. е. служат теми исходными данными, которые позволяют выполнить тепловой расчет машины.
В итоге тепдового расчета может оказаться (и это вполне нормальная ситуация), что охлаждающие среды распределены в системе охлаждения неудовлетворительно либо нерационально. В этом случае система охлаждения должна быть скорректирована. Последующий тепловой расчет показывает результаты проделанной корректировки. Отсюда видна неразрывная связь теплового и вентиляционного расчетов и взаимное влияние их результатов. В настоящее время наметилась тенденция создавать синтетические методики расчета, которые на основе применения вычислительной техники предусматривают цикл поверочных тепловых и вентиляционных расчетов с обратными связями по входным данным. Конечная цель таких методик — соответствие параметров системы охлаждения и технических требований к проектированию электрической машины.
1-6. Точность теплового и вентиляционного расчета и роль эксперимента
Как будет видно из дальнейшего, методы выполнения вентиляционного и теплового расчета разнообразны и соответствуют своему назначению в каждом конкретном случае исследования электрической машины.
Возможности обоих видов расчета с точки зрения точности результата достаточно велики. Сегодня можно с уверенностью констатировать, что и вентиляционный и тепловой расчеты могут быть выполнены сколь угодно точно, если точно заданы входные параметры. Последнее требование, однако, не всегда соблюдается. Исходными данными для теплового расчета являются, например, свойства применяемых материалов, определенные лишь с известной степенью достоверности, а также характер распределения потерь энергии в электрической машине, который, в свою очередь, может быть задан с ограниченной степенью приближения к действительности.
Таким образом, точность результатов расчета ограничена точностью определения входных данных. Отсюда видна роль эксперимента в исследовании созданных электрических машин, с одной стороны, и в усовершенствовании' методов расчета, с другой.
Каким бы способом ни выполнялись вентиляционный и тепловой расчеты, критерием точности их результатов могут служить лишь данные экспериментального исследования.
До известной степени объективное обоснование расчета может быть обеспечено при исследовании в лабораторных условиях макетов и отдельных элементов конструкции электрических машин. При надлежащем соблюдении законов подобия выводы, полученные при таких исследованиях, могут быть распространены на действующее оборудование. Более надежные сведения дает исследование физических моделей и натурных (обычно головных) образцов машин в реальных условиях эксплуатации.
Техника эксперимента в настоящее время шагнула вперед столь значительно, что позволяет судить о распределении температуры не только в неподвижных элементах машин, но и во вращающихся. По этой причине при определенных усилиях экспериментатора результаты проведенных испытаний могут быть по существу исчерпывающими. Именно эти результаты и должны в конечном итоге служить критерием точности вентиляционного (гидравлического) и теплового расчета. По итогам анализа данных опытного исследования должны вноситься необходимые коррективы в практические методики расчета. Чем больше сведений будет предоставлено экспериментаторами в распоряжение проектировщиков, тем более обоснованными будут соответствующие уточнения.
1-7. Объем знаний, необходимый для расчета и проектирования систем охлаждения
Тепловой расчет электрических машин построен на основе решения задач теплопроводности. Поскольку потери энергии происходят внутри элементов конструкции электрической машины, поле ее температуры является полем с внутренними
источниками теплоты, и описывающее это поле уравнение теплопроводности есть уравнение неоднородное.
Для получения решений неоднородных задач приходится привлекать аппарат математической физики, весьма глубоко к настоящему времени разработанный. На основе аналитических решений создаются методы инженерных тепловых расчетов.
" Как уже указывалось, для решения уравнения теплопроводности необходимо знать закон движения охлаждающих сред в системе охлаждения машины. Поскольку типовая система представляет собой сложную совокупность каналов, притом не только неподвижных, но и вращающихся, то для определения скоростей и расходов теплоносителей типовой аппарат инженерной гидравлики во многих случаях оказывается недостаточным и появляется необходимость обращаться к методам теоретической и прикладной гидродинамики. Это означает, что приходится прибегать к анализу решений уравнения движения вязкой жидкости применительно к некоторым упрощенным схемам движения. Результаты такого анализа, как и в случае теплового расчета, являются базой для создания инженерных ме- утрдов вентиляционного й гидравлического расчета.
Большое значение имеет оценка энергетических характеристик процесса охлаждения, или, можно также сказать, термодинамический анализ систем охлаждения. При этом в случае естественного охлаждения электрических машин, т. е. с использованием природной окружающей среды (вода рек и водоемов), для анализа достаточно учитывать лишь первое начало термодинамики. Однако при рассмотрении процессов искусственного (ниже температуры окружающей среды) охлаждения электрических машин приходится обращаться к выводам, следующим из второго начала термодинамики.
Исследование систем охлаждения предполагает, разумеется, глубокое изучение конструкций электрических машин и основных законов электромеханики, определяющих формирование поля потерь энергии в объеме машины.
1-8. О теории подобия
В связи с большой сложностью и актуальностью теплового и вентиляционного расчета электрических машин результаты расчета должны быть подтверждены экспериментальными исследованиями неизученных конструкций. Постановку эксперимента при этом необходимо обосновать для каждой конкретной задачи. В противном случае результаты эксперимента на модели могут быть ошибочно распространены на оригинал. Возможна и другая ошибка. Трудоемкий и дорогостоящий эксперимент будет произведен там, где в этом не было бы необходимости при правильном использовании уже имеющихся опытных данных.
Научную основу эксперимента дает теория подобия.
При постановке теплофизического эксперимента, так же, впрочем, как и другого, существенно важно получить ответ на следующие три вопроса: 1) какие величины измерять в эксперименте? 2) как обрабатывать результаты измерений? 3) какие явления и объекты подобны изучаемым, т. е. на какой класс конструкций могут быть распространены полученные выводы?
Теория подобия дает ответ на эти вопросы [12].
Читателю хорошо известно, что всякое дифференциальное уравнение описывает целую группу явлений, а не какое-либо одно конкретное. В теории подобия это известное положение дополняется новым утверждением: если коэффициенты уравнения выражены в числах, представляющих собой значения физических констант, то и в этом случае уравнение может характеризовать некоторую группу явлений при условии, что каждое из этих явлений описывается безразмерными комплексами (критериями подобия), численно одинаковыми для всей группы. Такие комплексы могут быть получены, из дифференциальных уравнений путем приведения их к безразмерному виду.
При этом требование численного равенства критериев подобия относится не только к форме соответствующего уравнения движения, но и к форме краевых условий, определяющих единственность решения.
Чаще других в прикладной теплофизике и прикладной гидродинамике, в том числе в соответствующих разделах теории электрических машин, применяются критерии подобия, которым ниже дана краткая характеристика.
Критерий Рейнольдса Re=wZ/v является мерой отношения инерционных сил в потоке движущейся среды к силам внутреннего трения.
Критерий Фурье Fo = at0[l2 определяет отношение между темпом изменения окружающих условий (/о) и темпом перестройки температурного поля внутри тела (121а).
Критерий Био В1 = а/Д есть мера отношения температурного перепада в теле к температурному перепаду между средой и телом.
Критерий Эйлера Eu = Ap/(pw2) характеризует падение давления при движении жидкости.
Критерий Прандтля Pr=v/a фактически является сложной физической константой среды.
Критерий Грасгофа Gr=gZ3pAT/v2 характеризует свободное движение жидкой или газообразной среды под действием разности температур.
Критерий Померанцева Po = p0/2/(iXAT) служит мерой тепловыделения внутренних источников.
Число Нуссельта Nu = aZ/Ar является по существу безразмерной формой коэффициента теплообмена.
В приведенных выражениях обозначено: / — характерный линейный размер; w— скорость движения среды; v — кинематическая вязкость; а — температуропроводность, /0— характерный отрезок времени; а — коэффициент теплоотдачи; X— коэффициент теплопроводности; ^p— потери давления; р — плотность среды, Хт— разность температур; р — коэффициент теплового расширения, р0 — удельные потери энергии; Хг — коэффициент теплопроводности газа (или жидкости).
Важно понимать, что, если системы подобны, численно равны именно безразмерные комплексы параметров, характерные для этих систем, но не сами параметры. Так, например, при равенстве чисел Рейнольдса в системах с воздушным и водяным охлаждением скорости движения воздуха и воды в трубках равного диаметра должны различаться более чем на порядок для достижения подобия, так как вязкость воздуха примерно в 30 раз превосходит вязкость воды. Учет таких особенностей позволяет исследовать физические процессы на моделях и модельных машинах и использовать полученные результаты при проектировании широкого класса промышленных образцов машин.
Как следует из сказанного, измерять в эксперименте нужно лишь те (но обязательно все) параметры, которые входят в комплексы (критерии) подобия. Число последних согласно так называемой л-теореме равно числу неизвестных величин уравнения процесса за вычетом числа основных единиц. Кроме того, теория подобия доказывает, что результаты измерений могут быть обработаны в критериальной форме. Классическим примером такой обработки может служить уравнение конвективного теплообмена при вынужденном движении охлаждающих сред в длинных трубах и каналах: Nu = 0,023 Re°-8Pr°-4. Наконец, как следует из сказанного, результаты эксперимента или численного расчета могут быть перенесены на широкий класс объектов, каждый из которых подобен исследованному, т. е. характеризуется численно равными критериями подобия.
1-9. Перенос теплоты. Конвективный теплообмен
При соприкосновении тел, имеющих разную температуру, происходит обмен энергией движения структурных частиц, в результате которого интенсивность движения атомов и молекул тел с меньшей температурой возрастает, с большей — убывает. Этот процесс называется теплопроводностью. Поток энергии, передаваемый частицами более горячего тела частицам тела более холодного, называется тепловым потоком. Таким образом, условием возникновения теплообмена является разность температур рассматриваемых тел.
Непосредственный перенос определенных порций теплоты из одной области в другую может происходить не только в результате обмена энергией частиц, заполняющих пространства
между рассматриваемыми областями, но и в результате п е - ремещения объемов среды, состоящих из большого числа молекул [26].
Наряду с этим перенос теплоты может осуществляться лучеиспусканием, когда энергия передается от одного тела к другому посредством электромагнитного поля.
Таким образом, существуют три способа переноса теплоты: теплопроводность (кондукция), перемещение (конвекция) и излучение (радиация).
Применительно к текучим средам введено понятие конвективного теплообмена, при котором перенос теплоты осуществляется одновременно кондукцией и конвекцией, т. е. движением микрочастиц при их соприкосновении и перемещением макрочастей жидкости из области с одной температурой в область с другой температурой.
Конвективный теплообмен между потоком жидкости или газа и поверхностью твердого тела называется теплоотдачей. Для расчета теплоотдачи обычно используют формулу Ньютона
P = aF(^c-M (!-3) в которой коэффициент теплообмена а, являющийся функцией свойств текучей среды, параметров ее движения и свойств поверхности твердого тела, часто называют коэффициентом теплоотдачи; разность температур стенки и жидкости Фе—йж называется температурным напором; Р — тепловой поток, Вт; F— поверхность теплообмена, м2.
Конвекция бывает естественной и вынужденной. При естественной конвекции жидкость движется за счет разности плотностей малых объемов с различной температурой в поле массовых сил, например, гравитационном; при вынужденной— за счет давления (напора) нагнетателя — насоса или вентилятора.
Логически ясно, что важную роль в интенсивности конвективного теплообмена играют гидродинамические характеристики среды: скорость, режим движения, толщина гидродинамического пограничного слоя (см. § 9-4, 9-11).
По аналогии с понятием гидродинамического пограничного слоя введено понятие теплового пограничного слоя, под которым подразумевается слой жидкости у стенки, в пределах которого температура жидкости меняется от значения на стенке до значения вдали от тела, где не сказывается влияние его температуры.
Уравнениями конвективного теплообмена являются уравнения движения (см. гл. 8), неразрывности или сплошности, состояния pv = RT и энергии D,&ldt=a57u0 [19]. В качестве граничного условия применяется выражение (1-3).
При приведении системы уравнений конвективного теплообмена к безразмерному виду образуются следующие критерии подобия: Nu, Re, Eu, Pr, Gr. В связи с очевидной сложностью аналитического решения уравнений конвективного теплообмена практические задачи обычно решаются путем применения критериальных уравнений, особенно эффективных при обобщении результатов экспериментального исследования процессов. Часто указанные уравнения имеют вид
Nu = f1(Re, Pr); Eu = f2(Re, Pr).
Так, например, для расчета среднего коэффициента теплообмена при турбулентном течении жидкостей в прямых гладких трубах обычно применяется уравнение
Nu = 0,023 Re0,8Pr0,4 (Ргж/Ргс)0'25 в,.
В этом уравнении значение Ргж выбирается по средней температуре жидкости, Ргс — по средней температуре поверхности стенки. Безразмерный коэффициент ez учитывает изменение коэффициента теплоотдачи в зависимости от длины трубы. При //d>50 коэффициент ег = 1. Значения ez при //d<50 приведены ниже:
Ий . . . 1 2 5 10 15 20 30 40 е, . . . 1,51 1,40 1,27 1,18 1,13 1,10 1,05 1,02
Пути движения охлаждающих сред в электрических машинах обычно довольно сложны. Здесь могут быть каналы с гладкой и шероховатой поверхностью; аксиальные и радиальные; неподвижные и вращающиеся; короткие и длинные; круглого и некруглого сечения. Кроме того, достаточно типичны кольцевые каналы между ротором и статором, т. е. между двумя цилиндрами, один из которых вращается. Во многих машинах охлаждающий газ проходит в щелях, образованных решеткой лобовых частей обмотки. Нередко на пути охлаждающих сред расположены камеры, в которых образуются зоны практически неподвижного газа или жидкости (эти зоны иногда именуют «мертвыми»).
По этим причинам уравнения теплоотдачи, найденные экспериментально, оказываются для разных условий различными. В литературе по теплообмену в электрических машинах приведен значительный объем данных о критериальных зависимостях, которые могут быть приняты для тепловых расчетов [2, 4, 5, 8, 10, 35, 49]. Однако при использовании указанных зависимостей необходимо в каждом конкретном случае убедиться в геометрическом подобии оригинала и модели. В противном случае ошибки в тепловом расчете неизбежны,
Глава вторая
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
2-1. Поле температуры, его аналитическое и графическое представление. Градиент температуры
Температура $ пространства является функцией места и времени, т. е. функцией координат точки (х, у, г) и времени t:
b=f(x, у, z, t) = f(r, /).(2-1)
Совокупность значений температуры во всех точках рассматриваемой части пространства в какой-либо фиксированный момент времени называется полем температуры. Уравнение (2-1) служит математической формулировкой такого поля. Поскольку температура нормально зависит от времени, поле называется неустановившимся или нестационарным. Если же температура во времени не меняется, поле называется установившимся или стационарным.
Температурное поле может быть функцией трех координат (х, у, z), двух (х, у) и одной (х). В соответствующих случаях оно получает наименование трехмерного, двухмерного и одномерного. Простейший вид имеет уравнение одномерного стационарного поля:
»(x) = f(x).
Геометрическое место точек поля, имеющих одинаковую температуру, представляет собой изотермическую поверхность. Так как в одной точке поля не может быть одновременно двух значений температуры, то изотермические поверхности, соответствующие разным температурам, не пересекаются. Все они или замыкаются или оканчиваются на границах тела.
Как очевидно из сказанного, при перемещении по изотермической поверхности нельзя заметить изменения температуры. Изменение температуры можно наблюдать лишь при перемещении по любому направлению s, пересекающему изотермические поверхности. Наиболее резкое изменение температуры получится при перемещении по нормали к изотермическим поверхностям.
При пересечении поля температуры какой-либо плоскостью, например плоскостью чертежа, изотермические поверхности образуют на этой плоскости следы в виде линий, называемых изотермами (рис. 2-1).
th+AUith+AUiРис. 2-1. Линии равнойРис. 2-1. Линии равнойтемпературытемпературыпонятия градиентапонятия градиентаРис. 2-2. К определению
th+AUi
th+AUi
Рис. 2-1. Линии равной
Рис. 2-1. Линии равной
температуры
температуры
понятия градиента
понятия градиента
Предел отношения изменения температуры ДО к расстоянию между изотермическими поверхностями по нормали Дп называется гр адиентом температуры:
lim -^L = —~ = grad О.(2-2)
дл->о Дп дп
Таким образом, градиент температуры является вектором, направленным по нормали к изотермической поверхности в данной точке поля. Его положительным направлением считается направление возрастания температуры.
Понятие градиента входит в формулировку основного закона теплопроводности и поэтому заслуживает более подробного рассмотрения. К нему приводит простейшая дифференциальная операция в векторном смысле, а именно операция определения производной в поле скалярной величины О по произвольному направлению s.
Пусть дано поле О(г) = О(х, у, zY Если выбрать (рис. 2-2) некоторую точку поля М и соединить с ней точку М', лежащую на какой-либо кривой ML, касательная к которой в точке М имеет направление s, то значение производной d^/ds, т. е. производной скаляра О по направлению s, можно определить, пользуясь выражением -О как сложной функции от s через координаты х, у, г:
— = —cos(s, х) + —cos(s, уН — cos (s, Z).(2-3
ds дхдудг
Известно, что для любого вектора
0 = 10, +ja9 + kaz составляющая по произвольному направлению s
as = ах cos (s^x) + av cos (s^y) + ^ cos (s^z).
Поэтому величину d^/ds по выражению (2-3) можно рассматривать как проекцию некоторого вектора (назовем его gradd) на направление s:
-^- = | grad d I cos (s, grad d), (2-4) ds
причем
grad d = i— + j — + k— OX oy 02
Проекция этого вектора поля на направление s как раз и дает производную скаляра d по направлению s (2-4). Рассматриваемая производная имеет наибольшее значение, когда cos(s, gradd) = l, т. е. когда направление дифференцирования совпадает с направлением вектора gradd. Отсюда.
f=|gradd| и gradd = -^- при cos(s, gradd) = 1.
X ds /тах ds
Градиент d есть производная скаляра d по тому направлению, в котором эта производная имеет максимальное значение, т. е. по направлению быстрейшего изменения скаляра d (2-2).
2-2. Основной закон теплопроводности
При наличии градиента температуры (2-2) в поле происходит распространение тепловой энергии от более нагретых, т. е. имеющих более высокую температуру, точек к менее нагретым, следовательно, в направлении, противоположном направлению вектора градиента.
Основной закон теплопроводности, сформулированный Фурье в итоге анализа экспериментальных данных, устанавливает количественную связь между тепловым потоком и разностью температур в двух точках тела : количество переданной теплоты пропорционально градиенту температуры, времени и площади сечения F, перпендикулярного к направлению распространения теплоты.
Если количество переданной теплоты отнести к единице времени, то сформулированная зависимость выразится следующим образом:
р =—XF gradd. (2-5)
Здесь знак «минус» характеризует направление теплового потока относительно внешней нормали к изотерме в данной точке поля.
Коэффициент пропорциональности Л в уравнении (2-5) называется коэффициентом теплопроводности или просто теплопроводностью. Он является физическим параметром и характеризует способность вещества проводить теплоту; Х=—p/(fgrad'fl’). Коэффициент теплопроводности определяет количество теплоты, которое проходит в единицу времени через единицу поверхности стенки, перпендикулярной потоку, при изменении температуры, равном одному градусу на единицу длины пути теплового потока.
Коэффициент теплопроводности различных веществ зависит от их молекулярной структуры, плотности, теплоемкости, вязкости, влажности и температуры. Эта зависимость обычно малосущественна для тепловых расчетов электрических ма- 1шин, в связи с чем в расчетах применяются средние таблич- ?ные значения коэффициента теплопроводности. Более строгого подхода требуют электрические машины с низкотемпературными системами охлаждения.
В дальнейшем все встречающиеся тела и среды будем считать изотропными, т. е. с одинаковыми' во всех направлениях структурой и свойствами. Исключение составляет лишь электротехническая сталь, анизотропность которой заставляет различать теплопроводность вдоль и поперек пакета листов. Кроме того, играет роль химический состав стали, из-за которого коэффициент теплопроводности может изменяться в сравнительно широких пределах.
Численные значения коэффициента теплопроводности для различных .электротехнических материалов приведены в приложении.
2-3. Формулировка уравнения теплопроводности
Рассмотрим баланс энергии в элементе активного объема электрической машины (рис. 2-3). Закон сохранения энергии применительно к произвольному элементу объема может быть записан следующим образом:
dp = dpi+dpit
т. е. теплота dpi, подведенная к элементу объема dV в резуль
тате теплопроводности, и теплота dp2, выделившаяся в данном элементе, расходуются на повышение энтальпии (dp) элемента.
Теплота dpiX) подведенная к элементу в направлении оси х, слагается из теплового потока dp^x через грань ABCD за вычетом потока dp"Vx через грань KLMN.
Рис. 2-3. Элемент поля температуры
В соответствии с основным законом теплопроводности
dplx = —К —— dydz;дх
dpix = — К —- f ^ + -^- dx\ dydz.дх V дх /
Разность обоих значений
dpix — dpix dpix = Xx - dxdydz.ox2
Аналогично
,1d2» , , ,,id2»,,,
dply — dxdydz; dplz — dxdydz*dy3dz3
Теплота, выделившаяся в объеме dV=dxdydz, может быть определена, если известна теплопроизводительность единицы объема р0> называемая также удельной мощностью источника теплоты (в ваттах на кубический метр):
dpi = PodV = podxdydz.
Следует заметить, что величина ро, вообще говоря, может зависеть от места и времени, т. е.
Po = fk У, z, t).
Изменение энтальпии dp элемента объема равно массе элемента pdV, умноженной на теплоемкость с и на изменение температуры элемента d^ldt.
лd» д , ,
dp = ср —^- dxdydz.
Таким образом, сР-~~ dxdydz =
= (^ “S'+ Xtf "S"+ ^ "S') dxdydz + Р^^
или, после сокращения на элемент объема,
д» . д2» , . д2» , I d2» .,о с.
ср = А,р А„р А,Н(2-6)
м dt дх3 у ду3 дг3Х ’
Уравнение (2-6) называется уравнением теплопроводности.
Как видим,' это дифференциальное уравнение для трехмерного нестационарного поля температуры. Оно устанавливает связь между изменениями температуры в пространстве и во времени и описывает процесс переноса теплоты внутри тела.
2-4. Начальные и граничные условия для уравнения теплопроводности
Договоримся считать, что температура внутри тела является непрерывной функцией места (х, у, z) и времени (/) и что ее первая производная по времени и первая и вторая производные по координатам также непрерывны. Любая физическая задача удовлетворяет таким требованиям.
Однако условия распределения температуры на границе тела и охлаждающей среды и условия в начальный момент времени должны быть ■ сформулированы особо. Как известно, единственность решения дифференциального уравнения обеспечивается лишь в том случае, когда заданы так называемые краевые условия. Краевые условия определяются непосредственными результатами экспериментов или их математической трактовкой.
Начальное, или временное, краевое условие задает распределение температуры в начальный момент времени:
^=0 = /(х, у, zy (2-7)
Это как бы нулевая координата по времени, от которой ведется дальнейший отсчет. Логически очевидно, что без такого задания всякая нестационарная задача становится неопределенной. Простейшим примером начального условия является постоянство температуры во всем объеме тела в начальный момент времени:1
^=о = 00 = const.
Часто в качестве такой константы выбирают нулевую температуру. В электрических машинах более типичным является задание температуры установившегося режима, который предшествовал анализируемому. Если это был режим покоя, то начальной температурой для всей машины была температура машинного зала. Если предшествующим был режим нагрузки, то должно быть задано пространственное распределение температуры в рассматриваемом элементе конструкции, например распределение температуры вдоль стержня обмотки.
Как мы видим, функция (2-7), задающая начальное распределение температуры, может быть произвольной. В результате же решения уравнения получим функцию ■&=^(х, у, z, t), которая должна быть решением в любой момент времени, в том числе и в начальный (/ = 0). Но, как вполне очевидно, имеющаяся в виду подстановка никак не может дать произвольную функцию. Таким образом, возникает представление (рис. 2-4) о нарушении требования непрерывности функции в начальный момент времени: начальное распределение температуры не равно распределению после подстановки.
Рис. 2-4. К трактовке начального условия
Чтобы устранить это кажущееся противоречие, необходимо понимать смысл получаемых решений уравнения теплопроводности следующим образом.
Решение уравнения должно быть таким, чтобы для всех точек тела выполнялось условие
Нт^(х, у, z, t)=f(x, у, z).(2-8)
<-»о
Следовательно, подстановка значения 7=0 в решение 0= = ^^х, у, z, t) не обязательно должна давать функцию Цх, у, zY Для проверки правильности полученного решения необходимо убедиться, что при приближении времени к начальному моменту температура в любой точке тела стремится к начальной температуре в данной точке. При таком подходе кажущиеся разрывы непрерывности функции в начальный момент времени стремятся исчезнуть при наличии конечных приращений времени процесса теплопроводности.
Перейдем к рассмотрению пространственных краевых, или граничных, условий. Граничное условие задает закон взаимодействия между поверхностью тела и окружающей средой. Придерживаясь распространенной терминологии, будем различать три основных типа граничных условий.
Граничные условия первого рода, когда на поверхности тела задано распределение температуры в любой момент времени:
Флов — ф (О*
Граничные условия второго рода, когда на поверхности тела задано значение производных:
~ - v, ^y~ - ^2 (0;=ЭД-
Эхоуог
К этим условиям приводит задание составляющих рх, py,pz, теплового потока, который проходит через граничную поверхность в заданном направлении. Если, например, через торцевую поверхность стержня длиной L проходит тепловой поток pL (/) = —Х-^- , то —— = V^f), где TitO — известная функция, Эх Эх
которая выражается через заданный тепловой поток рх, t по формуле Ti(0=
Следует подчеркнуть, что функция Т(0 зависит лищь от закона прохождения теплового потока через граничную поверхность и может быть произвольной, например синусоидальной, функцией времени.
Граничные условия третьего рода, когда на поверхности тела задается линейное соотношение между производной и функцией. Например, в направлении оси х
ох |х=£ *
К граничному условию третьего рода приводит применение так называемого закона Ньютона для теплообмена на границе твердого тела и окружающей среды, жидкой или газообразной:
(2-9)(2-9)Px = a^t— ®c)F,
(2-9)
(2-9)
где Фе —температура окружающей среды; ^ — температура поверхности тела; F — площадь поверхности.
Так как по закону теплопроводности тепловой поток, проходящий через граничную поверхность, р = рх =—’Кх-—-
дх x=L то, приравнивая оба выражения для потока, получим
[^д(0—Ос(0Ъ[^д(0—Ос(0Ъ
[^д(0—Ос(0Ъ
[^д(0—Ос(0Ъ
где ФсСО — заданная функция.
Для сечения х=0 стержня (О, L) граничное условие третьего рода имеет вид
==+-?-[M)-M)L
Vх х=о
В качестве частного случая граничных условий третьего рода могут рассматриваться граничные условия первого рода. В самом деле, задание определенной температуры поверхности тела можно интерпретировать как задание температуры окружающей среды при бесконечно большом значении коэффициента теплоотдачи. В этом случае разность температур поверхности и среды равна нулю, т. е., проще говоря, поверхность приобретает температуру среды:
Нт=0-
а/Х^оо сс/Лх \ ox
Добавим еще, что закон Ньютона (2-9) подтверждается экспериментально, если принять, что коэффициент теплоотдачи зависит от физических характеристик поверхности и среды и от температуры. Указанная зависимость определяется из эксперимента, построенного на основе соотношения (2-9), и имеет вид а = а(р, v, с, w, к, О), где аргументами являются параметры: плотность, вязкость, теплоемкость, скорость среды, а также шероховатость поверхности и температура.
Численные значения коэффициента теплоотдачи для важных практических случаев приведены в приложении.
Математическая интерпретация граничных условий аналогична интерпретации начальных условий. Граничные условия следует понимать в том смысле, что для фиксированного момента времени t>0 комбинация температуры и ее производных, даваемая решением уравнения теплопроводности, стремится к заданной при приближении точки к поверхности. Иными словами, не следует требовать, чтобы граничным условиям удовлетворяла температура на самой поверхности, получаемая путем подстановки соответствующих координат в решение. Должно быть обеспечено лишь соблюдение предельного соотношения.
Завершая рассмотрение граничных условий, отметим, что при плотном контакте двух тел температура и тепловой поток через поверхность соприкосновения могут иметь лишь единое для обоих тел значение. Следовательно, граничное условие (его иногда называют условием четвертого рода) приобретает вид
^i=О2; ^i (йО^дх) = Х2 $йг!дх\
где Х| и Хг — коэффициенты теплопроводности соприкасающихся тел.
2-5. Классификация краевых задач теплопроводности
Даже при задании конкретных краевых условий уравнение (2-6) аналитически не может быть решено для нестационарного поля температуры в трехмерном анизотропном пространстве. Однако в практике проектирования электрических машин решение в столь общей постановке и не требуется.
Практический интерес представляют задачи, поставленные с учетом упрощений, диктуемых особенностями конструкции и режима работы каждого данного типа электрической машины. Прежде всего следует различать задачи для стационарного и нестационарного полей.
К первому классу задач относится анализ установившихся режимов нагрузки генераторов или двигателей, одной из основных характеристик которых является температура актив-' ных частей при номинальной нагрузке. В этом случае производная по времени в уравнении теплопроводности равна нулю и оно приобретает вид
Эх» 9 ду» 9 Эг» ™ V ’
Для тел произвольной геометрической формы уравнение (2-10) также аналитически неразрешимо. Но в электрических машинах часто соблюдено условие симметрии, позволяющее свести уравнение стационарного процесса к двухмерному виду:
К ^_ + Х8—+ро=0. (2-11) х Эх» 9 ду» ’
Для изотропного материала последнее уравнение естественно упрощается до вида
й W + д^дуй + р0/Х = 0.й W + д^дуй + р0/Х = 0.(2-12)(2-12)
й W + д^дуй + р0/Х = 0.
й W + д^дуй + р0/Х = 0.
(2-12)
(2-12)
(2-16)(2-16)метрах в секунду):метрах в секунду):Медь Алюминий СтальМедь Алюминий Сталь0,090-10~3 0,110-Ю-3 0,014-10~30,090-10~3 0,110-Ю-3 0,014-10~3Асбест Резина СтеклоАсбест Резина Стекло. 0,19810—6. 0,098-10-6. 0,445-10-е. 0,19810—6. 0,098-10-6. 0,445-10-е
(2-16)
(2-16)
метрах в секунду):
метрах в секунду):
Медь Алюминий Сталь
Медь Алюминий Сталь
0,090-10~3 0,110-Ю-3 0,014-10~3
0,090-10~3 0,110-Ю-3 0,014-10~3
Асбест Резина Стекло
Асбест Резина Стекло
. 0,19810—6
. 0,098-10-6
. 0,445-10-е
. 0,19810—6
. 0,098-10-6
. 0,445-10-е
В тех случаях, когда перенос теплоты практически осуществляется лишь в одном направлении, имеем одномерное уравнение теплопроводности
д2^/5х2 + ро/Х = О.(2-13)
Определенный интерес может представить решение задачи по расчету температуры в телах, не содержащих источников теплоты, но являющихся проводниками теплового потока. К таким элементам с некоторыми оговорками могут быть отнесены массивные изоляционные детали и металлические детали вне активной зоны машины. В этих случаях поле температуры называется полем без внутренних источников теплоты ив стационарных задачах описывается уравнением
V^-0(2-14)
или при одномерном распределении теплоты
(2-15)(2-15)д^/дх* = 0.
(2-15)
(2-15)
Полезно все же подчеркнуть, что основные элементы конструкций электрических машин содержат источник теплоты, в связи с чем. уравнение теплопроводности для электрических машин является, как правило, неоднородным, т. е. с ненулевой правой частью.
Класс задач, относящихся к нестационарному полю температуры, типичен для режимов переменной нагрузки генераторов и двигателей и для резкого изменения параметров режима энергетических установок. Уравнение теплопроводности нестационарного поля решено для условий одномерного распространения теплотьг и для отдельных двухмерных задач. В первом •случае имеем
di дх2 ср
где a=X/(fp)—температуропроводность материала, характеризующая скорость протекания температурных процессов.
приведены ниже (в квадратныхприведены ниже (в квадратныхНекоторые характерные значения температуропроводности а для различных материалов
приведены ниже (в квадратных
приведены ниже (в квадратных
1-6. Упрощение (редукция) общей задачи теплопроводности
Общая задача теплопроводности может быть разбита на несколько более простых задач, решения которых в сумме дают решение общей задачи. Итоговое решение должно удовлетворять исходному уравнению и краевым условиям. Рассмотрим несколько важных примеров *.
Условия на поверхности и мощности источников теплоты не зависят от времени (так называемая стационарная неоднородность уравнения теплопроводности):
— = а?ге + -P^JhA.,»/=0 = f (х, у, г)
dtср
— начальное условие;
^ = ф (х, у, г)
— условие на поверхности.
Возьмем решение уравнения
а?2« -|- ^° ^-= 0 при ар — Ф (х, у, г)
ср
и присоединим к нему решение уравнения
dwldt — a^w при ш/=о = Нх, у, г) — и и wp = 0.
Тогда для ^=u-Vw будем иметь ^F=<p(x, у, г); -Ot=o=:f(x, у, z).
Следовательно, решение й=и-Но удовлетворяет исходному уравнению и краевым условиям, т. е. всем условиям задачи.
Таким образом, для неустановившегося теплового процесса, когда распределение источников теплоты внутри тела и температура на границах не зависят от времени, можно взять два решения: для установившегося процесса с заданными условиями на границах и для неустановившегося процесса с нулевыми условиями на границах и заданной начальной температурой, но при отсутствии источников теплоты. Сумма указанных двух решений и будет решением исходной задачи для неустановившегося теплового процесса в поле с внутренними источниками теплоты при ненулевых граничных условиях.
Условия на поверхности (граничные) являются заданными функциями времени:
—- = «V2» +- ,8/=0 = f (х, у, г)
dtср
— начальное условие;
<>F = Ф (*. У. г, 0
— условие на поверхности.
В данном случае нужно решить задачу для поля без источников теплоты с заданными условиями на поверхности и нулевым начальным условием:
dm]dt = а^т при Ш;=0™0 и тр = ^(х, у, z, t)
и задачу для поля с заданным распределением источников, заданной начальной температурой и нулевой температурой на поверхности:
У= a?2zi +приf(xt у, г) и п? — 0.
| dtср
Тогда ^ = т-^п удовлетворит всем условиям исходной задачи.
* Если чтение данного параграфа затруднительно, целесообразно изучить вначале материал § 3-5 и 3-7, в которых аналогичные вопросы рассмотрены в менее общей постановке,
Рсшсмие п было получено выше при рассмотрении первой исходной задачи: n^u-vw, где Uf=0. Рассмотрим теперь решение задачи для функции т. Это решение может быть записано на основании теоремы Дюамеля, которую мы приводим без доказательства [20]:
если F^x, у, г, /) соответствует температуре в момент времени t в точке (х, у, г) тела, начальная температура которого равна нулю, а поверхность поддерживается при постоянной температуре, то решение задачи при условии, что поверхность поддерживается при температуре ф(0, записывается в виде
0= \ ф (т) -5— F (х, у, г, t — т) dx •
J di
о
Таким образом, решение исходной задачи имеет вид ^=/п4-п=04-«+оу, т. е. задача разбивается на две более простые, из которых вторая, в свою очередь, разбивается на две простейшие задачи.
точно велико. Ниже стимость редукции ствах [45].точно велико. Ниже стимость редукции ствах [45].При других краевых условиях задача может быть расчленена (редуцирована) аналогичным образом, причем число возможных комбинаций доста- мы рассмотрим некоторые из них. Более строго допу- общей задачи обоснована в специальных руковод-
точно велико. Ниже стимость редукции ствах [45].
точно велико. Ниже стимость редукции ствах [45].
Глава третья
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
3-1. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
Представим себе аварийный процесс возникновения электрической дуги между двумя витками обмотки или между обмоткой и корпусом электрической машины. Дуга возникает при нарушении целостности изоляции, причем такие нарушения достаточно распространены на практике. Допустим далее, что соответствующая защита произвела отключение возникающего аварийного режима и дальнейший анализ объема повреждений должен определить объем ремонтных работ. В охарактеризованной ситуации необходимо в числе других получить ответы на такие вопросы: 1) каких значений достигла температура обмотки вблизи электрической дуги? 2) какой была длительность повышения температуры за пределы допустимой во всех точках обмотки?
Элементарные представления о процессе теплопроводности позволяют заключить,- что тепловая энергия дуги, выделяемая в течение весьма малого промежутка времени на весьма малом по длине участке обмотки, в связи с резким повышением температуры этого участка будет распространяться в обе стороны обмотки, повышая температуру смежных частей. Для точного ответа на вопросы о температуре в каждой точке обмотки и длительности действия дуги должно быть решено соответствующее дифференциальное уравнение.
Таким образом, рассмотрение обстоятельств распространения теплоты вдоль обмотки в направлениях от источника тепла к свободным концам приводит нас к необходимости решить уравнение теплопроводности для следующих, несколько схематизированных условий: дан длинный, теплоизолированный по длине стержень, поперечные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с его длиной и начальная температура которого есть величина заданная; требуется определить функцию распространения теплового потока (температуры), считая, что заданная тепловая энергия выделилась в точке x=xq в момент времени ?=/о=О,
Частное решение этой задачи позволяет получить целый ряд других частных решений уравнения теплопроводности, к которым приводит постановка Многих более сложных задач. Кроме того, попутно может быть проделан Важный анализ физического смысла получаемых решений.
Итак, рассмотрим длинный теплопроводящий стержень с теплоизолированной боковой поверхностью. При отсутствии источников теплоты его тем
(3-1)(3-1)пература удовлетворяет уравнению = а5Г5 di дх»
(3-1)
(3-1)
Поскольку стержень весьма длинный, на процессы в его средней части основное влияние оказывает начальное распределение температуры. Влияние температурных условий на концах стержня практически не сказывается в течение большого промежутка времени. Таким образом, граничные условия от- А«к,т, г. е. стержень может рассматриваться как бесконечно длинный, и уравнению теплопроводности присоединяется лишь начальное условие (3-2)Поскольку стержень весьма длинный, на процессы в его средней части основное влияние оказывает начальное распределение температуры. Влияние температурных условий на концах стержня практически не сказывается в течение большого промежутка времени. Таким образом, граничные условия от- А«к,т, г. е. стержень может рассматриваться как бесконечно длинный, и уравнению теплопроводности присоединяется лишь начальное условие (3-2)падают, тпадают, тккее$/=0 = f (х)-$/=0 = f (х)-
Поскольку стержень весьма длинный, на процессы в его средней части основное влияние оказывает начальное распределение температуры. Влияние температурных условий на концах стержня практически не сказывается в течение большого промежутка времени. Таким образом, граничные условия от- А«к,т, г. е. стержень может рассматриваться как бесконечно длинный, и уравнению теплопроводности присоединяется лишь начальное условие (3-2)
Поскольку стержень весьма длинный, на процессы в его средней части основное влияние оказывает начальное распределение температуры. Влияние температурных условий на концах стержня практически не сказывается в течение большого промежутка времени. Таким образом, граничные условия от- А«к,т, г. е. стержень может рассматриваться как бесконечно длинный, и уравнению теплопроводности присоединяется лишь начальное условие (3-2)
падают, т
падают, т
к
к
е
е
$/=0 = f (х)-
$/=0 = f (х)-
Задача такого типа называется задачей Коши или задачей С начальным условием.
Введем вместо времени новую переменную т—аЛ Тогда дЯда дтда
д/дт д/дт
и уравнение (3-1) приобретает вид, не зависящий от физических свойств стержня:
да/дт = д2а/дх2,(3-3)
причем по-прежнему O^q—fto, так как ПРИ ^=^ и т=^-
Для решения уравнения применим метод разделения переменных и суперпозиции частных решений Фурье*.
Найдем вначале частные решения уравнения (3-3), представив их в виде произведения двух функций Х^Тф), каждая из которых — функция только одной переменной. Подставим решение '9-=Х(х)Т(т') в исходное уравнение (3-3). Получим
X (х) Г (т) = X" (х) Т (т) или Г (т)1Т ^ = Xй (х)/Х (х).
Так как левая часть последнего уравнения не зависит от х, а правая егг г, то обе части не могут зависеть ни от х, ни от т и, следовательно, должны быть равны одной постоянной величине. Обозначая ее через с, приходим к диум обыкновенным дифференциальным уравнениям
Г (V) сТ (т) = 0;(3-4)
ХЦх) сХ(х)-0.(3-5)
Уравнение (3-4) имеет общее решениеч
Т (т) = Се^.
Поскольку при стремлении времени процесса к бесконечности (т-^оо) температура ни в одной точке стержня не может .возрастать неограниченно, постоянная с должна быть отрицательной. Обозначим с=—&2, тогда
Т (т) = Се-64.
Уравнение (3-5) принимает вид (задача Штурма — Лиувилля) Х*(х) + А«Х(ж) = 0,
* Фурье впервые применил свой метод для получения решения задачи теплопроводности в тонком кольце с охлаждаемой поверхностью.
и его общее решение —
X (х) = M cos (&х) + N sin (^х).
Таким образом, частное решение уравнения (3-3) может быть теперь записано в виде
» = X (х) Г (т) = [CM cos (Ах) + CN (Ах)] е~*гт
ИЛИ
(3-6)(3-6)^ — М cos (^х) + В sin (&х)] е &2t,
(3-6)
(3-6)
где А = СМ и B^CNt так как С, М, N, А и В — постоянные.
Поскольку & также произвольная постоянная, то функция (3-6) при любом фиксированном значении к является решением уравнения (3-3), причем каждому k могут соответствовать разные значения постоянных Д и В, т. е. А=А^ и В^В^ку Следовательно, семейство частных решений уравнения (3-3) должно быть записано в виде
(3-7)(3-7)^к (х, т) = [ A (A) cos (^х) + В (&) sin (Лх)] e-ft2T.
(3-7)
(3-7)
Перейдем теперь ко второй части метода Фурье — суперпозиции полученных частных решений ^^(х, т). Так как уравнение (3-3) линейное и однородное и имеет, как это следует из (3-7), бесчисленное число частных решений, зависящих от непрерывно изменяющегося параметра, то общим решением его будет [45]:
ОО
о (х, т) = J [Д (A) cos (Ах) + В (k) sin (Ах)] e~k4dk. (3-8) —ОО
Функции A(fe) и В^ пока неизвестны. Но если подобрать их так, чтобы решение (3-8) удовлетворяло начальному условию ^т=о=/:(л:), то задачу можно будет считать решенной. Следовательно, должно быть
ОО
(3-9)(3-9)■04=0 =7 (*) = J [Д (A) cos (Ах) 4- В (A) sin (Ax)]dA,
(3-9)
(3-9)
—ОО
т. е. функцию f(x) нужно разложить в интеграл Фурье.
Для любой задачи теплопроводности интеграл Фурье существует и сходится, так как тепловая энергия стержня всегда конечна. Имеем
ОООО
fW^ J J f (g) cos A (g - X) d^.
—оо—oo '
ОО/М = j —соОО/М = j —соПридадим теперь последнему разложению вид, удобный для сопоставления с (3-9):
ОО
/М = j —со
ОО
/М = j —со
ОО
— J f ® cos (Ag) d* cos (Ах) + 2Л —оо
1°°
sin (kxwdk.sin (kxwdk.Теперь в А(^) и 6(A)Теперь в А(^) и 6(A)— J НВ) sin 2Л —оо
sin (kxwdk.
sin (kxwdk.
Теперь в А(^) и 6(A)
Теперь в А(^) и 6(A)
силу единственности разложения функции в интеграл Фурье должны определяться по формулам
1100
AW=-^T j П&) cos (Ag) dg: S(A) = — J f (g) sin (Ag) d^ *-*2л —00
Остается подставить значения этих функций в решение (3-8):
ОООО
^(х, т) — J dk J f(£)[cos(Ax)cos(A£) + sin(/?x)sin(A!£)]e—fe^
2Л —оо —ОО
ОО со
= — J ^ f K9^Vh(x-^e-^d^ 2л 00—ОО
Полученная функция удовлетворяет исходному уравнению (3-3) и начальному условию (3-2), т. е. является решением поставленной задачи. Для физического истолкования этой функции путем простых преобразований ей можно придать несколько иной вид:
ОО
1ГГ(х5)21
д(х,т) =W(g)exp ,лУ-kg.(3-10)
2^^JL4тJ
ОО
Непосредственной проверкой можно установить, что полученное решение удовлетворяет исходному уравнению и начальным условиям. Иными словами, частное решение можно было бы анализировать как формально известное, опуская предыдущие преобразования по методу Фурье. Можно также видеть, что функция
1Г (х —Е)2 1
Ф$(^, 0= ехр(3-11)
Z^nat *- 4at J
является решением уравнения (3-1) при любом 6» зависит от времени процесса координаты х и произвольного параметра £.
Эта функция называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Ее физическое истолкование приводит к понятию физического теплового импульса.
Физическим тепловые импульсом называется распределение темпера- туры, зиданнос следующим образом:
, . . (Фо, если1 х — х01 < 6;
/б W„
0, если |х — х01 > о,
где Оо — постоянная и б>0.
Тлкое начальное распределение температуры возникает в том случае, когда и момент времени / = 0 на участке стержня от х0—б до х0 + б внезапно иыделистгн количество теплоты Qo, повышающее температуру этого участка tn нули до Оо (рис. 3-1). Если 5 • площадь сечения стержня, р — плотность мм|ррнйлп, то 265 обым рнссматриннемого отрезка, 2б5р — его масса. Тогда при удельной теплоемкости мптерппла с количество теплоты
Уо 2б5рсО0.(3-12)
Следует иметь в виду, что температура практически не может быть представлена разрывной функцией fa(x), но она будет тем ближе к этой функции, чем интенсивнее и кратковременнее подогрев. Непосредственно в точках Хо—6 и х0+б функ
ция /а(х), как это следует из ее задания, не определена. Если представить ее интегралом Фурье, то его значение в этих точках будет равно #о/2. Поэтому можно считать, что и температура равна $0/2
Рис. 3-1. Физический тепловой импульс
(штриховая линия на рис. 3-1 более точно соответствует практическому распределению начальной температуры).
Примем теперь физический тепловой импульс в качестве функции начального распределения температуры в уравнении (3-J0):
Х0+б
G(x, 0 =$^ J е ^.(3-13)
Чл^а! х"~6
Учитывая малость промежутка интегрирования, для оценки полученного решения удобно применить теорему о среднем интегрального исчисления, выбрав внутри интеграла некоторую точку g так, что (х0—6)<^<(хо+6). По теореме о среднем
Хо+б
х0—б
Отсюда
ф (х, t) =ф (х, t) =26Оо2 ^nat26Оо2 ^nat4at4at
ф (х, t) =
ф (х, t) =
26Оо
2 ^nat
26Оо
2 ^nat
4at
4at
Если для исключения физических параметров стержня принять конкретно, что подведенное количество теплоты Qo=Spc, решение для импульса примет вид
(3-14)(3-14)(*, О =—— ехр——Й— •
(3-14)
(3-14)
2 л/nat4а1
Теперь целесообразно рассмотреть идеальный, или точечный, тепловой импульс, устремляя б к нулю.
Поскольку мы выше приняли Qo=Spc, т. е. в соответствии с (3-12) 26^0 = 1, то при стремлении б к нулю б*о будет стремиться к бесконечности. Тогда при -б-о-хх), б-)-0 имеем
0- (х, 0 —0- (х, 0 —12 Vn^12 Vn^(3-15)(3-15)
0- (х, 0 —
0- (х, 0 —
1
2 Vn^
1
2 Vn^
(3-15)
(3-15)
Таким образом, решение для точечного теплового импульса есть фундаментальное решение при значении параметра £=хо.
Функция (3-15) и ее график находят применение в теории вероятностей. Кривые ф^х, 0 для разных значений />0 называются кривыми Гаусса. Они наглядно показывают, как распространяется теплота в стержне после точечного импульса (рис. 3-2). Максимум температуры достигается в точке приложения импульса х=х0 и равен 1/(2^nat), В фиксированный момент времени температура обратно пропорциональна корню квадратному из коэффициента температуропроводности а=Х/(ср). Смысл этого результата очевиден: в каждый момент времени максимальная температура тем меньше, чем больше коэффициент теплопроводности Л и чем меньше удельная теплоемкость с.
В фиксированных точках х^=х0 зависимость температуры от времени имеет вид кривых на рис. 3-3. В каждой точке температура возрастает от нуля до некоторого максимального значения 6(х), после чего начинает убывать, стремясь к нулю при стремлении времени к бесконечности: фх0(х, оо) — 0.
Рис. 3-3. Зависимость температуры от времени в точках х^ХоРис. 3-3. Зависимость температуры от времени в точках х^ХоИш фХо (х, 0 = lim/-►о и/->0Иш фХо (х, 0 = lim/-►о и/->0ехрехр4/ Aj^tat4/ Aj^tatехрехр" (*—Яр)1 ■4а/-. ." (*—Яр)1 ■4а/-. .(X — Хр)2 '4а/2.(X — Хр)2 '4а/2.
Рис. 3-3. Зависимость температуры от времени в точках х^Хо
Рис. 3-3. Зависимость температуры от времени в точках х^Хо
Иш фХо (х, 0 = lim
/-►о и/->0
Иш фХо (х, 0 = lim
/-►о и/->0
ехр
ехр
4/ Aj^tat
4/ Aj^tat
ехр
ехр
" (*—Яр)1 ■
4а/-. .
" (*—Яр)1 ■
4а/-. .
(X — Хр)2 '
4а/2.
(X — Хр)2 '
4а/2.
Рис. 3-2. Распространение теплоты после точечного теплового импульса
При /=0 функция фх0(х, /) не определена. Чтобы убедиться, что она удовлетворяет начальному условию, необходимо, как это указывалось выше, найти ее предел при стремлении t к нулю:
1
2Ула/
■ (х —х0)2 1
.' 4а/ J
V^-lim - =0.
(x-Хр)2 М Г (Х-Хр)2 j
L 4а/ J
Таким образом, начальное условие удовлетворяется повсюду. Точка приложения импульса х=хо является особой. Для нее при /->-0 начальная температура Оо->°о. Максимальное значение О(х) может быть определено, если производную функции Ф*^(х, /) по / приравнять нулю:
М0 _ II1 Г_ (Х-Хр)11 ,
2 VSaI2/ л/tР L 4afJ
+ -^Г^ ехр Г - ^~^ 11 =
4at* лД4а<"*
=1ехр Г^1 Г (Х ~Хо)2 ■ — 1] = 0.
4/ л/^at L 4af J L 2at J
Отсюда
<тах=-^^-(3-16)
2a
и
e (X) = фх0 (х, /щах) =—
3333V2ле | х — х01
33
33
2 и. Ф. Филиппов
Следовательно, максимальная температура стержня в точке x^x0 обратно пропорциональна расстоянию от рассматриваемой точки до точки приложения импульса. Время, необходимое для достижения этой максимальной температуры, прямо пропорционально квадрату расстояния от точки приложения импульса.
Анализ фундаментального решения уравнения теплопроводности (3-11) позволяет дать наглядное физическое толкование решению (3-10) уравнения (3-1) для бесконечного стержня при начальном условии (3-2). Мы можем рассматривать решение (3-10) как результат суперпозиции температур, возникающих в точке х в момент времени t вследствие непрерывного распределения по стержню тепловых импульсов интенсивностью /(g) в точке g, приложенных в момент времени ^0.
3*2. Теплопроводность в стержне, ограниченном с одной стороны
Решение (3-10) для бесконечного стержня, когда координата х задана на всей числовой оси —оо<х< + оо, позволяет получить решение для пол у бес конечного стержня, который простирается в бесконечность в направлении положительной полуоси *. Такому представлению соответствуют, например, стержни обмотки статора синхронной машины после отключения внутреннего короткого замыкания вблизи интенсивно охлаждаемый лобовых частей обмотки.
Уравнение теплопроводности для стержня, ограниченного с одной сто todto r,
роны, по-прежнему имеет вид= а• Начальное условие также не из dtдх*
меняется: ^t=Q=t(x) для х>0. К нему присоединяется одно граничное ус ловие
дйдй= ^-(»^о-Ос), л= ^-(»^о-Ос), л(3-17)(3-17)
дй
дй
= ^-(»^о-Ос), л
= ^-(»^о-Ос), л
(3-17)
(3-17)
где Фс—заданная1 температура конца стержня.
Рассмотрим два значения коэффициента теплоотдачи: а=0 (теплоизолированный торец) и а=оо (постоянная температура на торце). Первый случай особенно легко проанализировать. К нему приводит представление о стержне, симметричном относительно среднего сечения. У такого стержня тепловой поток в среднем сечении равен нулю:
(3-18)
Поэтому, если продолжить заданную функцию начального распределения температуры f(x) на отрицательную полуось х<0 четным образом: {(—x)—f(x), решение (3-10) окажется справедливым. Чтобы убедиться, что (3-10) удовлетворяет граничному условию (3-18), образуем
ОО
=^_ t f(|)(g-x)exp - ^ -у dg
9х MA^at 3L 4a# J
ОО
И
* Это означает, что на границе х=0 условия охлаждения стержня должны быть заданы.
Поскольку f(§)—функция четная, а вся подынтегральная функция нечетна в силу нечетности |Д^), последний интеграл равен нулю, т. е. условие (3-18) выполняется.
Преобразуем решение (3-10) так, чтобы пределами интегрирования были концы полуоси, для которых задана функция f(x). Получим
ОО
О(х, 0 =i f t ® exp Г - ■(- “—1 d? = 2л/ла1 JL 4at J
ГГ0=b(?)expf-^^W0=b(?)expf-^^Woo2 V n.at Joo2 V n.at J12 V ла/12 V ла/00о00о
Г
Г
0
=b(?)expf-^^W
0
=b(?)expf-^^W
oo
2 V n.at J
oo
2 V n.at J
1
2 V ла/
1
2 V ла/
00
о
00
о
где в первом интеграле g заменено на —g.
Если теперь обратиться к случаю, когда на торце х=0 поддерживается постоянная (нулевая) температура, т. е. '&x=o—^(а—оо), то искомое решение получим, продолжив функцию /(х) на отрицательную полуось нечетным образом; Ц—х) =—/(х), Тогда
ОО
AatAatd|+d|+6 (х, t) = О» - »»( [ехр Г - (Х - ~1 - ехР
Aat
Aat
d|+
d|+
2 Vла^ о
ОО
^wa){exp^wa){exp£^_1_ехрAat£^_1_ехрAatAatAat
^wa){exp
^wa){exp
£^_1_ехрAat
£^_1_ехрAat
Aat
Aat
Этим завершается анализ распределения температуры в полубесконечном стержне.
3-3. Теплопроводность в стержне конечной длины
Задача линейной теплопроводности в конечном стержне отличается от рассмотренных выше тем, что заданными являются граничные условия на двух торцах стержня. Если длина стержня равна L, его торцами будут х=0 и x=L. При теплоизоляции боковой поверхности температура стержня в диапазоне значений 0<х<1 должна удовлетворять уравнению (3-1), начальному условию (3-2) и граничным условиям
(3-19)(3-19)
(3-19)
(3-19)
ЭР «о дх а^=о X
(^=0 — ^0);
2*
00дх
35
Поскольку граничные условия неоднородны, т. е. решение ^=0 им не удовлетворяет, суперпозиция частных решений недопустима. Поэтому для применения метода Фурье необходимо вначале привести граничные условия к однородному виду.
Введем новую искомую функцию гу(х, /), связанную с Ф формулой
(*> t) = w(x, 0 + V + Yix, (3-20) где у и yi коэффициенты, подбираемые так, чтобы для функции w получились однородные краевые условия.
Учитывая, что dO7dx=dty/dx+yi, получим
dw dxdw dx«о X«о XЛXЛXФсо>Фсо>
dw dx
dw dx
«о X
«о X
ЛX
ЛX
Фсо>
Фсо>
Для однородности этих условий необходимо, чтобы
Л*Л \ X / Л.
Отсюда могут быть определены у и yi. Теперь для граничных условий функции гу имеем
dry
«0
dw
dx
—^X=u»
x=0 X
dx
— , ®x=L.(3-21)
x=L*
т. е. граничные условия однородны.
Начальные условия для w должны быть определены из (3-20):
Wf=a = Ф^о — V — 71х = f (X) — У — 71 (х) = ^ (х).(3-22)
Как очевидно, уравнение для w не отличается от исходного (3-1).
Таким образом, к задаче для функции ty, подчиняющейся уравнению (3-1), однородным граничным условиям (3-21) и начальному условию (3-2), может быть применен метод разделения переменных и суперпозиции частных решений.
Разделение переменных в аналогично поставленной задаче было произведено в § 3-1. Частные решения имеют вид
(3-23)(3-23)w (я, () = [A cos (Ах) + В sin (Ах)] е ^at.
(3-23)
(3-23)
Особенность новой задачи состоит в том, что в отличие от предыдущей параметр к оказывается не произвольным, а подчиненным требованиям, которые диктуются граничными условиями.
Перепишем граничные условия (3-21) в форме XX' (0) = а0Х (0), —XX'(L)=ctz,X(L) и заменим функции X и X' их значениями из (3-23):
ХВк — cto Л;
ХАк sin (AL) — XBA'cos (AL) = ад A cos (AL) + адВ sin (AL).
Отсюда
В a0
A _ aL sin (AL) + XA cos (AL) _ aL tg (AL) + XA
В XA sin (AL) —aL cos (AL) XAtg(AL) —ад Следовательно,
(3-24)(3-24)attg(feL)+Xfe иди tg(AL) = ^(«o+^fe . ад Ik tg (AL) — aLX*fti — «оад
(3-24)
(3-24)
Последнее выражение показывает, что параметр к при выполнении граничных условий (3-21) не является произвольным, а должен подчиняться трансцедентному уравнению (3-24).
Рассмотрим вначале только два значения коэффициента теплоотдачи: а=0 (теплоизолированные торцы) и а=оо (постоянная температура на торцах):
при а0 = «l = 0 tg kL = 0;
._Lr М(1/а4+1/а0) n при=^kL =
Таким образом, при симметричных граничных условиях на торцах параметр к должен быть корнем уравнения
tg^L = O.(3-25)
Если условия на торцах несимметричны, например ар=0 и аь = оо, то, как легко убедиться,
ctg kL = 0-(3-26)
Для симметричных условий имеем kL^nn, где п — любое натуральное число.
Таким образом, к может принимать любое значение из бесконечной последовательности
к = кп ■= nnlLt п = 0, 1, 2, . * . .(3-27)
Для несимметричных условий на торцах
к = kn = 2L^1±J_,№ = 0,1,2 (3-28)
2L
Числа кп называются собственными числами задачи. Каждому собственному числу соответствуют свои коэффициенты Ап и Вп в частном решении (3-23). Иными словами, мы получили бесконечное множество частных решений
wn (я, 0 = Мл cos (кпх) + Вп sin (йпх)1 е . (3-29)
Функции Х(х) называются собственными функциями задачи.
Рассмотрим подробнее решения вначале для симметричных условий на торцах.
Имеем
(3-30)(3-30)(„ лпх , „ . лпх \/
(3-30)
(3-30)
Ап cos —h Вп sin —- I exp (—
LL J \
Если торцы теплоизолированы и
dwnдхdwnдхdwndwn= 0, x=L= 0, x=L
dwnдх
dwnдх
dwn
dwn
= 0, x=L
= 0, x=L
то Bn=0 при л=0, 1,2....
Следовательно, для теплоизолированных торцов
wn (х, t) = Ап cos——expl)•(3-31)
L x L2 /
Если на торцах поддерживается постоянная температура и , “’n|x=O=0;a’"|x-=L = °-
то Дп = 0 при л-0, 1, 2. .,.
Следовательно, для этого случая
wn (х, 0 = Вп sinexpwn (х, 0 = Вп sinexpJlW,'La ,JlW,'La ,(3-32)(3-32)
wn (х, 0 = Вп sinexp
wn (х, 0 = Вп sinexp
JlW,'
La ,
JlW,'
La ,
(3-32)
(3-32)
Для несимметричных условий на торцах
1>- Гл„с« -<2"+1)" +8„,ш "f^+'f-lxL2L.А
v Г л=(2п-р- 0аа< 1X ехр
L4L J
с граничными условиями —= 0;wn,x=L=0;
^Х АГ=О
отсюда Вп=0 при n»0, 1, 2
Следовательно, в этом случае
, А -я(2п+1)х Г л2(2п+1)ааИ ,Q w
(х» I) = Ап cos —^ 1—2— exp I—I •(3-33)
2LL *4L2J
Решения (3-31)—(3-33) соответствуют огородному уравнению и однородным граничным условиям. Сумма ряда, составленного из этих решений, также удовлетворяет исходному уравнению и граничным условиям. Этот факт позволяет суммировать все частные решения (Для каждого варианта задачи в отдельности) для получения соответствукУШег0 общего решения. Отличие от задачи для бесконечного стержня заключ/Дется в том> что в данном случае суммирование производится по собственным числам, т. е. составляется не интеграл частных решений по непрерыв^0 изменяющемуся параметру, а сумма бесконечного ряда по дискретным значениям параметра.
Определим общие решения для рассмат^иваемых вариантов задачи.
Для теплоизолированных торцов (из 3-31) получим
(3-34)(3-34)
(3-34)
(3-34)
Лп cos -лпх-—ЛИ- LЛп cos -лпх-—ЛИ- L(3-36)(3-36)(3-37)(3-37)
Лп cos -лпх-—ЛИ- L
Лп cos -лпх-—ЛИ- L
(3-36)
(3-36)
(3-37)
(3-37)
при начальном условии
(3-35)
Отсюда для определения коэффициентов Лп нужно разложить функцию hW в РЯД Фурье-—ряд косинусов. Таким образом»
L
Ап = -f-\ Л(6) соэр^Ы-
L J\ ь /
о
При постоянной температуре торцов из (3^32) получим
ОО
Впех^()sin — л=0
при начальном условии
сосоWt=0 =Wt=0 =л=0л=0Вп sinВп sinлихТ”лихТ”= Ь (х)-= Ь (х)-(3-38)(3-38)
со
со
Wt=0 =
Wt=0 =
л=0
л=0
Вп sin
Вп sin
лих
Т”
лих
Т”
= Ь (х)-
= Ь (х)-
(3-38)
(3-38)
Разлагая функцию fi(x) в ряд синусов, имеем
(3-39)(3-39)LВп = —\ fi® sm —— dg.0
(3-39)
(3-39)
При несимметричных условиях охлаждения из (3-33) получаем
(3-40)(3-40),„ V4 * Г ла(2л+1)2а;пл(2п+1)х
(3-40)
(3-40)
w (х, 0 = > Лпехр— cos —-—-—
/ . L 4L2 J 2L л—О
при начальном условии
(3-41)(3-41)V3 - л (2n + 1) х _ .О7=о = у Л„ cos ———= fi (х),
(3-41)
(3-41)
п=0
откуда
L
(3-42)(3-42)л 2 f * Г я (2л + 1) 11
(3-42)
(3-42)
An = — \ fl (9 COS > j" 6 d$.
0
Подстановка коэффициентов Л„ и Вп в выражения (3-34), (3-37) и (3-40) завершает решение всех трех вариантов задачи.
Рассмотрим в качестве простейшего примера начальное распределение температуры в теплоизолированном по длине и на торцах стержне, заданное функцией
приприприпри0<x<L/2;0<x<L/2;ш<х<ь.ш<х<ь.
при
при
при
при
0<x<L/2;
0<x<L/2;
ш<х<ь.
ш<х<ь.
Весьма отдаленно такое распределение соответствует случаю, когда возникает симметричное короткое замыкание стержней обмотки статора синхронного генератора вслед за отключением несимметричного короткого замыкания и нагрузки; в этом случае торец нагретого стержня смыкается с торцом холодного и в условиях снятой нагрузки происходит постепенное выравнивание температуры.
Обратимся к формуле (3-35). Учитывая, что нулевой член разложения в ряд Фурье может быть принят равным Ло/2,. где Ло — значение коэффициента из (3-36) при п=0, получим
00(_ 1/71 2^0I л(2т+1)(_ 1/71 2^0I л(2т+1)при n = 2m, m = 1, 2, 3, ..
0
0
(_ 1/71 2^0
I л(2т+1)
(_ 1/71 2^0
I л(2т+1)
при п = 2m + 1, m = 0, 1, 2, . . ..
Рис. 3-4. Распределение температурыв стержне конечной длиныРис. 3-4. Распределение температурыв стержне конечной длиныОтсюда, учитывая, что $ и w совпадают [см. (3-19) и (3-21)], получимОтсюда, учитывая, что $ и w совпадают [см. (3-19) и (3-21)], получимООООт—0т—0л (2m + 1)со$ —;_L2m + 1л (2m + 1)со$ —;_L2m + 1л2(2т+ 1)2^ L2л2(2т+ 1)2^ L2При x=L/2 все косинусы равны нулю, поэтому ^x=l/2='O,o/2 для всех ^>0.График функции О (рис. 3-4) симметричен относительно точки (L/2, Фо/2). Отсюда для любого tПри x=L/2 все косинусы равны нулю, поэтому ^x=l/2='O,o/2 для всех ^>0.График функции О (рис. 3-4) симметричен относительно точки (L/2, Фо/2). Отсюда для любого tMx = O^L,2Mx = O^L,2что означает неизменность количества тепловой энергии в стержне.При t->oo главным членом ряда становится первый. Поэтому для больших tчто означает неизменность количества тепловой энергии в стержне.При t->oo главным членом ряда становится первый. Поэтому для больших t^о . 2^о2 л^о . 2^о2 лn8at \ /л1 COS I L2 ) \Ln8at \ /л1 COS I L2 ) \L
Рис. 3-4. Распределение температурыв стержне конечной длины
Рис. 3-4. Распределение температурыв стержне конечной длины
Отсюда, учитывая, что $ и w совпадают [см. (3-19) и (3-21)], получим
Отсюда, учитывая, что $ и w совпадают [см. (3-19) и (3-21)], получим
ОО
ОО
т—0
т—0
л (2m + 1)
со$ —;_
L
2m + 1
л (2m + 1)
со$ —;_
L
2m + 1
л2(2т+ 1)2^ L2
л2(2т+ 1)2^ L2
При x=L/2 все косинусы равны нулю, поэтому ^x=l/2='O,o/2 для всех ^>0.
График функции О (рис. 3-4) симметричен относительно точки (L/2, Фо/2). Отсюда для любого t
При x=L/2 все косинусы равны нулю, поэтому ^x=l/2='O,o/2 для всех ^>0.
График функции О (рис. 3-4) симметричен относительно точки (L/2, Фо/2). Отсюда для любого t
Mx = O^L,2
Mx = O^L,2
что означает неизменность количества тепловой энергии в стержне.
При t->oo главным членом ряда становится первый. Поэтому для больших t
что означает неизменность количества тепловой энергии в стержне.
При t->oo главным членом ряда становится первый. Поэтому для больших t
^о . 2^о
2 л
^о . 2^о
2 л
n8at \ /л
1 COS I
L2 ) \L
n8at \ /л
1 COS I
L2 ) \L
Следовательно, распределение температуры по длине стержня близко к косинусоидальному, по времени — к экспоненциальному.
3-4. Об общих решениях уравнения теплопроводности
Выше был дан анализ уравнения теплопроводности и его фундаментального решения, которое позволяет трактовать распределение внутренних источников теплоты как результат суперпозиции мгновенных источников, распределенных в поле в соответствии с законом выделения потерь в пространстве и во времени.
Хотя подчеркивалось, что в электрических машинах поле без внутренних источников является скорее исключением, чем правилом, в качестве простейшей иллюстрации была рассмотрена линейная задача для стержня, не содержащего источников теплоты. Однако и на этом простейшем примере можно было проследить некоторые типические особенности распределения теплоты в твердом теле в зависимости от условий охлаждения на его границах.
Можно было также видеть, что решение уравнения записывается в форме интеграла в задачах с начальным условием и в форме бесконечного ряда по собственным функциям в задачах с граничными условиями. Такая запись вполне позволяет анализировать физическую суть решения и определять численные значения температуры в заданном месте в заданный момент времени. В то же время нельзя считать, что указанная форма решения является достаточно простой и наглядной, чтобы без упрощений служить основой методик инженерного расчета конструкций.
Логически очевидно, что введение в рассмотрение внутренних источников теплоты, в особенности с интенсивностью, зависящей от места и времени, усложняет как метод получения решения, так и форму самого решения,
Больше того, в ряде случаев, которые нельзя назвать чрезмерно сложными, как, например, задача о цилиндрическом сердечнике статора, охлаждаемом с внутренней и наружной поверхностей и с торцов, решение может быть сформулировано лишь с привлечением столь специальных функций, что его интерпретация переходит в сферу чистого анализа.
В то же время исследователь теплообмена в электрических машинах не может уходить от сложностей теоретического изучения процесса, пусть даже постановка отдельных задач и схематизирует явления, происходящие в действительности. Как мы увидим в дальнейшем, достаточно строгие теоретические решения дают возможность физической трактовки теплообмена и, кроме того, могут быть положены в основу инженерных расчетов и экспериментальных исследований.
В охарактеризованной ситуации полезно различать признаки, по которым осуществляется выбор метода решения каждой конкретной задачи. Важнейшим из таких признаков является степень удаления от действительных условий при использовании аналитических решений, всегда основанных на системе сформулированных допущений. Может оказаться, что отклонения от реальности столь велики, что аналитические методы лишены каких бы то ни было преимуществ перед методами инженерными, например, методом использования эквивалентных тепловых схем.
Однако, чтобы прийти к такому заключению, необходимо владеть аппаратом и методологией строгого теоретического анализа соответствующих задач.
В литературе по электрическим машинам неоднородным задачам отводится недостаточное место. Ниже даны решения ряда задач, приводящих к неоднородному уравнению либо к неоднорддным краевым условиям. Выбор задач произведен исходя из особенностей теплообмена в типичных элементах конструкций электрических машин и, кроме того, с учетом необходимых ограничений сложности как методов, так и конечных результатов расчета.
Поскольку при рассмотрении задач преследуются не только утилитарные, но и методические цели, некоторые результаты получены разными способами, которые при этом приводятся с необходимыми пояснениями. Таким образом, излагаемый материал может быть усвоен читателем, незнакомым с приемами математической физики.
3-5. Линейная теплопроводность
при несимметричных и симметричных граничных условиях (стационарная неоднородность)
Рассмотрим уравнение„ д2» р0 (х)—— Ц,—I— Рассмотрим уравнение„ д2» р0 (х)—— Ц,—I— didiдхадхасрср(3-43)(3-43)
Рассмотрим уравнение
„ д2» р0 (х)
—— Ц,—I—
Рассмотрим уравнение
„ д2» р0 (х)
—— Ц,—I—
di
di
дха
дха
ср
ср
(3-43)
(3-43)
при краевых условиях
6 (х; 0) = ф (х);5- (0, 0 = йь О (L, 0 = »2.(3-44)
Назовем стационарным решением функцию п(х), удовлетворяющую уравнению и граничным условиям вида
«+-^-^-= 0;u(0)=^;u(L)=»4.(3-45)
ох2 ср
Пусть теперь функция ку(х, /) будет отклонением от стационарного решения и подчиняется уравнению и краевым условиям вида
w (L, 0 = 0; ю (х, 0) = Ф (х) — и (х).
Тогда, как очевидно, сумма функций u(x)+w(x, /) удовлетворяет исходному уравнению (3-43) и краевым условиям (3-44). В самом деле, имеем
^(х, 0 = к(х) + w(x, О,
откуда
О (х, 0) = и (х) + w (х, 0) = ф (х).
Следовательно, w(x, 0)=ф(х)—и(х), что соответствует (3-46).
д^и рр #д^и рр #Определим стационарное решение для случая ро(х) =ро=const:
д^и рр #
д^и рр #
^--=^x+Ci; u(x)= -^х»+Ctx + C дх X2Х
При х=0 Ux-o=^i, т. е. Сг=^1. При x=L; ux=l = —— ^ + CiL4-О,, 2Х
т. е. С, = — — 4--^—L. Следовательно,
L 2Х
(3-47)(3-47)и (х) = 01 + (»= - »i) -у- + -g- х (L - х).
(3-47)
(3-47)
Ищем отклонение от стационарного решения (3-46). Пусть x=at. Тогда dwldx^d^ldx^ при tw(O, т)=0;
w (L, т) = 0; w (х, 0) = ф (х) — и (х).
Разделим переменные. Определим, что w (х, т) = X (х) Т (т). Тогда 7'(т)/Т (т) = Х"(х)/Х(х) = — fe2 или Г (т) + АаТ(т) = 0, Х"(х) + £2Х(х) =0. Отсюда 7 (т) = С ехр [ — А2 (т)] и X (х) = М cos kxY Nsinfcx. Таким образом, w (х, t) = (A cos кх + В sin кх) ехр (— №aty где А — СМ, В = CN. Подставим в полученное решение краевые условия Х(0) —0, получим: М = 0; X(L) = = 0, т. е. N sin kL = 0. Отсюда sin kL= 0 и &L = лп (n = 0, 1, 2, 3 .. .).
Таким образом,
wn (х, 0 = Вп ехр Iat I sin
\ L2 / L
Следовательно, собственными функциями решенной однородной задачи, которая называется задачей Штурма — Лиувилля, являются
Хп = sinХп = sinлпхлпх
Хп = sin
Хп = sin
лпх
лпх
Я=ооЯ=ооW (х, 0 =W (х, 0 =Л8Л2Л8Л2(3-48)(3-48)ОООО= ф(х)— и<х\= ф(х)— и<х\
Я=оо
Я=оо
W (х, 0 =
W (х, 0 =
Л8Л2
Л8Л2
(3-48)
(3-48)
ОО
ОО
= ф(х)— и<х\
= ф(х)— и<х\
Общим решением для w(x, /) будет
). ллх sin
L
Подставим в это решение начальное условие w^x, 0)=ф(х)—и^ху Получим
Как известно, всякая конечная функция может быть представлена в форме бесконечного ряда по периодическим составляющим. В частности, функция ф(х)—и(х), стоящая в последнем выражении справа, может быть разложена в ряд того же вида, что записанный слева (неполный ряд синусов Фурье). Коэффициенты такого разложения
LLОО[ф (х) — и (х)] sin[ф (х) — и (х)] sinплх , ах.плх , ах.LL(3-49)(3-49)
L
L
О
О
[ф (х) — и (х)] sin
[ф (х) — и (х)] sin
плх , ах.
плх , ах.
L
L
(3-49)
(3-49)
Заметим, что в задачах, собственные функции которых включают в себя только косинусы и функция начальных условий ф(х) раскладывается в ряд ОО
косинусов, коэффициенты ряда ф(х) =косинусов, коэффициенты ряда ф(х) =Ап cosАп cosл пхл пхопределяются выраопределяются выражениемжениемАп —Ап —L2 ГТ \ * W cosоL2 ГТ \ * W cosолпхлпхdx,dx,
косинусов, коэффициенты ряда ф(х) =
косинусов, коэффициенты ряда ф(х) =
Ап cos
Ап cos
л пх
л пх
определяются выра
определяются выра
жением
жением
Ап —
Ап —
L
2 Г
Т \ * W cos
о
L
2 Г
Т \ * W cos
о
лпх
лпх
dx,
dx,
что тождественно записи ОО
. , х До , V л лпх
^^^ 2 + / ЛпС05—”'
П=1
Это означает, что при первом способе записи функции коэффициент До должен определяться как Ап при и=0, причем ф(х)п=о=До/2. Для определения коэффициентов 6П нужно вычислить интеграл (3-49). Подстановка (3-49) в (3-48) завершает решение для функции ш(х, /). Окончательно для поставленной задачи имеем
»(х, 0 = и (х) + W (х, /) = ^ + (Ф2 — $1) —Н -^- X (L — х) +
оо
।2 г г , х /• лпх j / л2л2 А . лпх
+ /I [ф (х) — и (x)J sin, dx ехР (at | sin•
/ j L оL J \ L2 / L
n=l
(3-50)
Рассмотрим частный случай симметричных граничных условий, т. е. случай, когда -^i”^”^, причем примем ф(х)=фо. Получим
L
Вп = — ( [v0-bo+-^-x(L-x)ll sin-^dx =
В J I L 2лJJ L
0
= [l-(~l)n]= [l-(~l)n]2ЛП2ЛП^0-^0-PoL2Л2Л2%PoL2Л2Л2%
= [l-(~l)n]
= [l-(~l)n]
2
ЛП
2
ЛП
^0-
^0-
PoL2
Л2Л2%
PoL2
Л2Л2%
Так как Bn = 0Так как Bn = 0при четных n, то»(x, 0 = »,+ po W -(L -X) + ZKпри четных n, то»(x, 0 = »,+ po W -(L -X) + ZK
Так как Bn = 0
Так как Bn = 0
при четных n, то
»(x, 0 = »,+ po W -(L -X) + ZK
при четных n, то
»(x, 0 = »,+ po W -(L -X) + ZK
0000У—5—/ л (2m Д-1) л m = 0У—5—/ л (2m Д-1) л m = 0Фо — ty)—Фо — ty)—LL22X sinX sinLL(2m + l)2^L2(2m + l)2^L2(3-51)(3-51)
00
00
У—5—
/ л (2m Д-1) л m = 0
У—5—
/ л (2m Д-1) л m = 0
Фо — ty)—
Фо — ty)—
L
L
2
2
X sin
X sin
L
L
(2m + l)2^
L2
(2m + l)2^
L2
(3-51)
(3-51)
Из (3-51) следует, что при t^oo бесконечный ряд в решении стремится к нулю, т. е. само решение-—к стационарному. Таким образом, установившееся значение температуры в каждой точке определяется параболой (3-47), что очевидно и физически. При больших t ряд быстро убывает, так что можно рассматривать лишь первые несколько членов ряда. При ^0 решение стремится к фо, что соответствует заданным начальным условиям для симметричной задачи.
3-6. Применение преобразования Лапласа
Операционные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными являются мощным инструментом исследования теплообмена. При этом чем сложнее рассматриваемая краевая задача, тем больше оснований пользоваться для получения решений уравнения теплопроводности изображениями функций.
Покажем применение преобразования Лапласа вначале на примере простой задачи, решенной в предыдущем параграфе. Впоследствии проанализируем некоторые более сложные задачи, прибегая к этому же преобразованию.
Сформулируем основные определения и правила метода изображений.
Изображением ^(s) функции f(0> н° Лапласу, называется интеграл
ОО
^(s)= J f (t)e-s4tt(3-52)
о
причем сама функция f(t) называется оригиналом.
Символически преобразованную функцию F(s^ часто обозначают как W)L
Как легко увидеть, величина s обладает свойством оператора. Действительно, для изображения производной получаем
ООL [/' (01 = J Г (0 e-sldt = e-stf (t)0 ;ООL [/' (01 = J Г (0 e-sldt = e-stf (t)0 ;ОООО4-sJ f(Oe-s<d/ = sF(s)-f(O). оо.(3-53)ОООО4-sJ f(Oe-s<d/ = sF(s)-f(O). оо.(3-53)
ОО
L [/' (01 = J Г (0 e-sldt = e-stf (t)0 ;
ОО
L [/' (01 = J Г (0 e-sldt = e-stf (t)0 ;
ОООО
4-sJ f(Oe-s<d/ = sF(s)-f(O). оо
.(3-53)
ОООО
4-sJ f(Oe-s<d/ = sF(s)-f(O). оо
.(3-53)
Таким образом, дифференцирование оригинала соответствует умножению изображения на s и вычитанию из результата постоянной величины f(0). Это означает, что операция дифференцирования заменяется алгебраическим действием над изображением.
Для производной второго порядка получаем
L [f" (f)] = s2F (s) — sf(O)— f' (0).(3-54)
Применяя понятие изображения к интегралу оригинала, получим
/ l®4® = —F(s),J's/ l®4® = —F(s),J's(3-55)(3-55)
/ l®4® = —F(s),J's
/ l®4® = —F(s),J's
(3-55)
(3-55)
т. е. интегрирование оригинала функции /(/) соответствует делению изображения на величину s.
Основными правилами при операциях с изображениями являются следующие [14].
Теорема подобия: умножение аргумента оригинала (изображения) на некоторое число приводит к делению аргумента изображения (оригинала) и одновременно самого изображения (оригинала) на то же число, т. е. изменению изображения (оригинала) по законам подобия —
(3-56)(3-56)ьи^ = — г (—Л а у а /
(3-56)
(3-56)
L Г— f (——Al = f (as).
La \ a / J
(3-57)(3-57)Теорема смещения: замена переменной s в изображении функции на s—а соответствует умножению оригинала функции на величину eat —
(3-57)
(3-57)
L [е01 f (0) = F (s — а).
(3-58)(3-58)Теорема о свертке: преобразование Лапласа от свертки есть произведение изображений свертываемых (см. § 3-7) функций —
(3-58)
(3-58)
L [fi (О * h (01 = Fi (s) F» (s).
Правило применения преобразования Лапласа к уравнению с частными производными: преобразованию подлежит лишь одна переменная уравнения (обычно время, которое меняется в задачах как раз в диапазоне О—оо), другие независимые переменные остаются неизменными —
L Г 58 (*’ ° 1 = $0 (х, s) - »(х, 0);
LJ
(3-59)(3-59)т Г to (х, t) 1 _ 00 (х, s)
(3-59)
(3-59)
IIа >
LахJох
L Г д^ (х, 0 13=6 (х, s)
L dx2 J Зх2
где 8 = L (О).
Таким образом, в результате применения преобразования Лапласа к уравнению с частными производными частные производные по t устраняются и в изображающем уравнении остаются только частные производные по координатам. Это означает, что изображающее уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, в которое автоматически входит начальное условие. Следовательно, к этому уравнению следует присовокупить лишь граничные условия, разумеется в преобразованном виде, и решение для изображения может быть получено.
Для перехода к оригиналу функции необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа, которое осуществляется комплексным интегралом [14]. Практически, однако, пользуются таблицами преобразованных функций, представляя полученное изображение в виде табличных величин.
Поясним сказанное на примере задачи (3-43) с краевыми условиями (3-44) для случая, когда (h=V2—Фо и ф(х)=фо.
Заменяя по-прежнему / на ^а. получим
Применим к последнему уравнению преобразование Лапласа
т. е.т. е.
т. е.
т. е.
°° А°° Ао sо sгде учтено, что для А =const
°° А
°° А
о s
о s
[4] = [ 4e”sxdT =— е—п
оs
Таким образом, для изображения функции имеем обыкновенное дифференциальное уравнение
0"—S0 =ф0,
решением которого является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения:
в (х, s) = (—^— 4~ -$1-^Cich Vs* + ^sh Vs
\ s2X s /
или, после подстановки граничных условий,
Изображение искомой функции содержит /табличные величины. При переходе к оригиналам получим
Чх, О-»о+ -^(L-x) + — У Г Фо9о ~ —™—1 X 2Хл L Ал2 (2m + 1)2J
m=0
1 -2m + 11 -2m + 1sinsin(2m + 1) лх(2m + 1) лхexpexpГ л2 (2m + I)2 at 1L ~ s J ’Г л2 (2m + I)2 at 1L ~ s J ’
1 -
2m + 1
1 -
2m + 1
sin
sin
(2m + 1) лх
(2m + 1) лх
exp
exp
Г л2 (2m + I)2 at 1
L ~ s J ’
Г л2 (2m + I)2 at 1
L ~ s J ’
что тождественно решению (3-51),
На рис. 3-5 представлена номограмма решения задачи линейной теплопроводности с фиксированными разными температурами на границах. Как видно из рисунка, при заданных значениях тепловыделения (критерий Поме- п PoL2 \
ранцева Ро = -—:I установившаяся температура достигается при оп-
л (^2 — ^1) /
ределенных значениях критерия Фурье. Кривые построены для сечений пластины, имеющих максимальную температуру. На рис. 3-6 показан характер прогрева пластины при фиксированном значении тепловыделения. Рис. 3-7 показывает распределение температуры в установившемся режиме при различных значениях тепловыделения. Как видно, с ростом тепловыделения максимум температуры смещается к середине пластины. При симметричных граничных условиях максимум температуры всегда находится в центре пластины (рис. 3-8).
Представляет интерес решение задачи линейной теплопроводности для
граничных условий третьего рода: = 0; - 4“Л^|Хв£=0.
дх х=0 дх X=L
Решение имеет вид
(2у„ + sin 2?„) ^п(2у„ + sin 2?„) ^пsin ул cossin ул cos[l-exp(-^Fo)],[l-exp(-^Fo)],
(2у„ + sin 2?„) ^п
(2у„ + sin 2?„) ^п
sin ул cos
sin ул cos
[l-exp(-^Fo)],
[l-exp(-^Fo)],
где у» — корни уравнения ctgY=T/Bi, Bi—aL/X.
Частным, особым случаем линейной задачи, существенным для анализа нестационарных процессов в обмотках электрических машин, является учет теплоемкости смежных тел (рис. 3-9). Рассматривается изменение температуры по толщине и во времени для слоя изоляции толщиной L, которая прилегает к медным проводникам обмотки толщиной д, выделяющей на единицу поверхности потери Р8 —Род. Теплоемкость меди си, плотность поверх-
Рис. 3-5. Распределение температуры для разных сечений пластины и разных удельных нагрузок
Рис. 3-6. Распределение температуры в зависимости от времени при неизменной нагрузке (Ро=10)
Рис. 3-7. Зависимость установившейся температуры от нагрузки
костного слоя рМ8 = рмб, Теплота, выделяющаяся в обмотке, частично повышает ее энтальпию, частично передается через поверхность соприкосновения в изоляцию и изменяет температуру изоляции.
Таким образом, в уравнении процесса (для изоляции) тепловыделение отсутствует и в формулировке граничных условий должна быть учтена часть теплоты, ушедшая на подогрев меди (граничные условия второго рода):
дхдхср—— =Хatср—— =Хat9 х=09 х=0
дх
дх
ср—— =Хat
ср—— =Хat
9 х=0
9 х=0
При т=М/(ср) получим д^(дт=дгй1дх2 и
д&п смРм s^ ^^
— р s —_.
дх х=оср от
Решение имеет вид
ft* =ft* =81_ 1 хPSLL81_ 1 хPSLLsin p„sin[Pn(l — x!L^sin p„sin[Pn(l — x!L^
ft* =
ft* =
81_ 1 х
PSLL
81_ 1 х
PSLL
sin p„sin[Pn(l — x!L^
sin p„sin[Pn(l — x!L^
Рис. 3-8. Зависимость температуры от времени при симметричных граничных условияхРис. 3-8. Зависимость температуры от времени при симметричных граничных условияхРис. 3-9. К расчету теплопроводности на границе меди и изоляции обмоткиРис. 3-9. К расчету теплопроводности на границе меди и изоляции обмотки
Рис. 3-8. Зависимость температуры от времени при симметричных граничных условиях
Рис. 3-8. Зависимость температуры от времени при симметричных граничных условиях
Рис. 3-9. К расчету теплопроводности на границе меди и изоляции обмотки
Рис. 3-9. К расчету теплопроводности на границе меди и изоляции обмотки
«x о cpL M
где pn — корни уравнения tg p = —=—— .
CmPmsP p
Номограмма зависимости температуры 'О* от Fo и M приведена на рис. 3-10. Как видно из рисунка, в связи с тем что на внешней границе
изоляции температура зафиксирована (например, равна температуре активной стали), процесс стремится к установившемуся. Изменение во времени носит экспоненциальный характер, несколько отличный в полулогарифмических координатах от привычного вида экспоненты.
Рис. 3-10. Зависимость максимальной температуры от времени и относительной теплоемкости МРис. 3-10. Зависимость максимальной температуры от времени и относительной теплоемкости М
Рис. 3-10. Зависимость максимальной температуры от времени и относительной теплоемкости М
Рис. 3-10. Зависимость максимальной температуры от времени и относительной теплоемкости М
3-7. Линейная теплопроводность
при зависимости интенсивности источников теплоты от времени (нестационарная неоднородность)
Рассмотрим уравнение [48]
=(3"60)
при краевых условиях
О(х» 0) = ф№; 8(0, 0 = 0; 8(£, 0 = 0.(3-61)
Представим общее решение ^(х, 0 в виде суммы решения о(х, 0 соответствующего однородного уравнения с заданными начальными условиями и решения Цх, /) неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями:
-^- = а д-- ; о (х, 0) = <р (х);о(0, 0 = 0; v (L, 0 = 0; (3-62)
dt dx2
= а 1_ f (х> ty и (х, 0) — 0; и (0, 0 = 0; и (L, 0 = 0.
dt dx2
(3*63)
Для задачи (3-62) в соответствии с (3-37) и (3-39)
V(x, 0 =V(x, 0 =оо^ Впехр п =1оо^ Впехр п =1Л2П#Л2П#at I sinat I sinппхппх
V(x, 0 =
V(x, 0 =
оо
^ Впехр п =1
оо
^ Впехр п =1
Л2П#
Л2П#
at I sin
at I sin
ппх
ппх
Вп = -7- J Ф (*) sin "у dx.£ 0L
Решение для п(х, t) будем искать в форме ряда по собственным функциям, т. е.
ОО
и (х, f) = ^ «п(0 sin -^- >(3-64)
п= 1
где t считаем параметром.
Для определения неизвестной функции unV) представим заданную функцию f(x, t) в виде ряда
ОО
И*, ^= ^^П^8‘П ^
где
L
fn (0 = -— \ / (х. О sin—о
dx.
Таким образом, коэффициент ряда, определяемый интегрированием по х, будет иметь разные значения для разных моментов времени / при каждом значении п.
Подставим решение (3-64) в исходное уравнение (3-63). Получим
ОО
[(^ №п ^ + “п W - f„ (О] = 0.
Последнее уравнение удовлетворяется, если все коэффициенты разло жения равны нулю:
“п (0 +—) ип (0 — fn (0 = о.
(3-65)
Используем начальное условие для и(х, /):
ОО
Е/АХ ! ^Х
ип (0) sin ——
Я=1
Отсюда и„(0)=0, что служит начальным условием для уравнения (3-65). Линейное дифференциальное уравнение (3-65) содержит интегрирующий множитель. Решение уравнения имеет вид
unW = efn^dt.
Заменяя неопределенный интеграл определенным, получим
UnW=e J А 7 fn^dx-о
Таким образом,
ип (0 =
«п \2 ,. ж
-Т- ) a V-X)
7 tnMdT.
(3-66)
Функции (3-66) полезно придать форму, позволяющую получить физическую интерпретацию. Из (3-64), (3-63) и (3-66) получим
и (х, /) =
ОО
ип (Osin
ЛПХ
L
Я«1
оо/
X sin dr = > sin\ exp I — I| a (t-т) X
L L L L ) I \L J J n=l0
L
(3-67)(3-67)x( № t) sin dg dx.
(3-67)
(3-67)
0
Последнее выражение при суммировании с функцией и(х, /) завершает
решение задачи.
Для пояснения чрезвычайно важного физического смысла функций (3-66) и решения (3-67) учтем следующие соображения.
называемая сверткойназываемая сверткойИнтегральная комбинация и (t — т) / (т) dT,
называемая сверткой
называемая сверткой
функций и и f, физически представляет собой суммарный эффект действия факторов и и f в течение промежутка времени /—т. Понимать это следует так. Если в течение времени от т=0 до т=/ действуют факторы
^(т), то их суммарный эффект равен |/(T)dT. Но если каждому фактору
приписать весовой коэффициент и, зависящий от промежутка времени между моментом т возникновения фактора и моментом наблюдения t, то суммарный эффект определится сверткой.
Таким образом, функция Ф(х, /) в форме (3-67) есть интегральное представление вида
L t
о оо о»(х, /) = f J 0 (х, g. t-^t (g, т) dg dr,
о о
о о
которое определяет действие распределенных во времени и пространстве источников как суперпозицию сосредоточенных мгновенных источников, интенсивность которых задана зависимостью от положения начальной точки пространства (х—£) и начального момента времени (/—т).
Рассмотрим в качестве примера линейную зависимость потерь от времени и координаты:
i (х, t) = bx + Ct. (3-68)
Такое распределение особенно легко представить практически. Например, обмотка с водяным охлаждением в режиме стационарной нагрузки имеет температуру, линейно возрастающую при удалении от входа воды в канал. При внезапной перегрузке по току можно считать характер распределения по длине неизменным. Что же касается потерь, то, как известно, они линейно зависят от абсолютной температуры проводника, т. е. в рассматриваемом случае — от времени.
Примем для простоты иллюстрации задачи <p(x) =0,0=const. Тогда
«(*. 0 = / ."iin — — ехр| — d j sin (); (3-69)
nWL1nWL1Л=1
nW
L1
nW
L1
и (х, t) = У sin( — l^-h1J Lb I 1 — exp
L L-i Lоя^п8 ( L
n=l
+ с [1 - ( - 1)"] ft^- [1 - exp f - flA]U • (3-70) l anW L к I2
Кан можно видеть, при f=0 u(x, t)=0. При 6=0 и c=0 также u(x, f) = =0. При 6=0
u (x, t) = —- У sin —-— ( — l)n+*— [1 — (— 1)"] X
LLan8n?
n=l
При c=0
. „2 V .и (x, /) = У sinn=i. „2 V .и (x, /) = У sinn=imx / n«+. bL4Lая8п8mx / n«+. bL4Lая8п8л2п2л2п2
. „2 V .
и (x, /) = У sin
n=i
. „2 V .
и (x, /) = У sin
n=i
mx / n«+. bL4Lая8п8
mx / n«+. bL4Lая8п8
л2п2
л2п2
Применим тепёрь к задаче (3-60), (3-61) при условии (3-68) преобразование Лапласа. Запишем исходное уравнение в форме
д8/дт = W/dx2 + kx + тт,(3-71)
где T=at, т=с^, k=bla.
Получим
[^ [8] = d«e (х, s)ldx2 — $в (х, s) + kxls -ф m/s2 4- <pa = О,
т. е.
в" — s0 + kxls + Фо + mis? = 0.
Отсюда
в (х, s) = С, ch Vs х + С2 sh "Vs х + к*1^ + mha А——
или
0 (х, s) = Ci sh "V^x + Со sh Vs (С — х) + kxls1 + ml^ -(- ф0/$.
Подставим граничные условия0<=о = 01 Сд =6x=L = 0; Ci = -Подставим граничные условия0<=о = 01 Сд =6x=L = 0; Ci = -т/^ + Фо/зsh3/s~Cт/^ + Фо/зsh3/s~CkLIs1 + m/s3 4- фр/skLIs1 + m/s3 4- фр/ssh^/s-Lsh^/s-L
Подставим граничные условия
0<=о = 01 Сд =
6x=L = 0; Ci = -
Подставим граничные условия
0<=о = 01 Сд =
6x=L = 0; Ci = -
т/^ + Фо/зsh3/s~C
т/^ + Фо/зsh3/s~C
kLIs1 + m/s3 4- фр/s
kLIs1 + m/s3 4- фр/s
sh^/s-L
sh^/s-L
Получим
6 (х, s) = —6 (х, s) = —kL sh "|/Гхmsh"|/s"xф0sh"УГxkL sh "|/Гхmsh"|/s"xф0sh"УГxtn sh Д/s (L — x)s8 sh "l/s" Ltn sh Д/s (L — x)s8 sh "l/s" LfTLs’sh'lA L ssh^/s LФо sh VT (L — x) . kx . m ф0fTLs’sh'lA L ssh^/s LФо sh VT (L — x) . kx . m ф0s2 s8s2 s8ss
6 (х, s) = —
6 (х, s) = —
kL sh "|/Гхmsh"|/s"xф0sh"УГx
kL sh "|/Гхmsh"|/s"xф0sh"УГx
tn sh Д/s (L — x)s8 sh "l/s" L
tn sh Д/s (L — x)s8 sh "l/s" L
fTLs’sh'lA L ssh^/s L
Фо sh VT (L — x) . kx . m ф0
fTLs’sh'lA L ssh^/s L
Фо sh VT (L — x) . kx . m ф0
s2 s8
s2 s8
s
s
Все члены последнего уравнения представляют собой комбинации табличных величин. Таким образом, окончательно получим
»(х, 0 =»(х, 0 =n=ln=l2 sin(-1У2 sin(-1Ул8л8л8л8ca2ca2. (2л + 1)лх 4L4sin !—-—. (2л + 1)лх 4L4sin !—-—я=оя=о+ фо+ фо. . (2л + 1) ях4 sin —!—'-. . (2л + 1) ях4 sin —!—'-л2л2"zTл2л2"zT(2 л + 1)2л»(2 л + 1)2л»2 LL4я6(2л + I)62 LL4я6(2л + I)6(2 л + l)2 л2(2 л + l)2 л2L LZ?л(2л+ 1)L LZ?л(2л+ 1)
»(х, 0 =
»(х, 0 =
n=l
n=l
2 sin
(-1У
2 sin
(-1У
л8л8
л8л8
ca2
ca2
. (2л + 1)лх 4L4sin !—-—
. (2л + 1)лх 4L4sin !—-—
я=о
я=о
+ фо
+ фо
. . (2л + 1) ях
4 sin —!—'-
. . (2л + 1) ях
4 sin —!—'-
л2л2"zT
л2л2"zT
(2 л + 1)2л»
(2 л + 1)2л»
2 LL4
я6(2л + I)6
2 LL4
я6(2л + I)6
(2 л + l)2 л2
(2 л + l)2 л2
L LZ?
л(2л+ 1)
L LZ?
л(2л+ 1)
4141c
41
41
a?
(3-72)(3-72)XX3
(3-72)
(3-72)
IL8
Приведем результаты расчета максимальной температуры в зависимости от времени (рис. 3-11). Как можно видеть, температура возрастает неограниченно.
Рис. 3-11. Зависимость максимальной температуры от времени
Сопоставление функций (3-69), (3-70) и (3-72), в разной форме представляющих единственное решение задачи (3-60), (3-61), позволяет заключить, что операционный метод расчета приводит в конечном итоге к более наглядному разложению на сумму простейших рядов и более коротким путем.
3-8. Применение метода Г. А. Гринберга
Метод Гринберга [9] решения дифференциальных уравнений с частными производными во многих случаях позволяет весьма коротким путем приходить к завершению сложных задач, причем форма решения оказывается достаточно простой.
Проиллюстрируем метод на примере задачи (3-71), решенной в предыдущем параграфе. Его суть сводится к следующему.
Для соответствующей однородной задачи определяются собственные числа h-n и собственные функции Хп, т. е. решается задача Штурма — Лиувилля. В нашем случае, как было получено выше путем разделения переменных [см. (3-48)], Xn=sin (лпх/£).
Заметим, что собственные функции всякой физической задачи удовлетворяют условиям ортогональности в рассматриваемом интервале [45], т. е.
0т^п;N {Х^}m — п,0т^п;N {Х^}m — п,
0т^п;
N {Х^}m — п,
0т^п;
N {Х^}m — п,
гдегдегдегде$(х, т) = ^Вп (т) XLJ гХп (х) 6- (х, т) dxВп (т) = —$(х, т) = ^Вп (т) XLJ гХп (х) 6- (х, т) dxВп (т) = —л»л»(3-73)(3-73)= Л„(т)Nn= Л„(т)Nn
где
где
где
где
$(х, т) = ^Вп (т) X
L
J гХп (х) 6- (х, т) dx
Вп (т) = —
$(х, т) = ^Вп (т) X
L
J гХп (х) 6- (х, т) dx
Вп (т) = —
л»
л»
(3-73)
(3-73)
= Л„(т)Nn
= Л„(т)Nn
г —вес ортогональности; ХЦ}п —норма функции. Запишем теперь искомое решение в форме
ОО
Интеграл Лп(т) называется трансформантой.
Следующим шагом решения является преобразование исходного уравнения в частных производных в обыкновенное дифференциальное уравнение относительно трансформанты путем умножения обеих частей на г и Хп и интегрирования по х в исследуемом интервале. В нашем случае
Lо г
г=1;^ (*„} =#„=-=-;5„ (т) =J О(х, т) Xndx.
2£ о
Для упрощения дальнейших выкладок подставим последнее выражение в (3-73), получим
ооL
8 (х, т) ^ Ап (т) Хп, Ап (т) = J & (х, т) Хп (х) dx.
£ Ла>10
(3-74)
Умножение обеих частей (3-71) на Хп(х) и интегрирование от 0 до £ дает
LLLL
—— Xndx = \ Xndx + к \ xXn W dx + тт \ Xndx.
drJ dx2JJ
оооо
Как можно увидеть при изменении порядка интегрирования и дифференцирования, в левой части последнего уравнения записана производная Л'п(т). После вычисления интегралов в правой части (первый из них инте-
грнруется по частям, причем второй член полученного разложения вновь интегрируется по частям) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для Ап
Л2ЛаЛ2ЛаI?I?TinTinт!лтспт!лтсп
Л2Ла
Л2Ла
I?
I?
Tin
Tin
т!л
тсп
т!л
тсп
Это линейное уравнение с неоднородностью, зависящей от Его общее решение, как легко убедиться, имеет видЭто линейное уравнение с неоднородностью, зависящей от Его общее решение, как легко убедиться, имеет видпараметра.параметра.
Это линейное уравнение с неоднородностью, зависящей от Его общее решение, как легко убедиться, имеет вид
Это линейное уравнение с неоднородностью, зависящей от Его общее решение, как легко убедиться, имеет вид
параметра.
параметра.
я’я8Ап = Се ^я’я8Ап = Се ^I?I?l?ml?mл8л8 л8л8л8л8 л8л8H-X-iHh-H-X-iHh-Подставим начальное условие -^(х, О)=^о в выражение (3-74)Подставим начальное условие -^(х, О)=^о в выражение (3-74)L8 Чл2л2 J (3-75) для транс-L8 Чл2л2 J (3-75) для транс-форманты А п (т). Получим А п (0) =форманты А п (т). Получим А п (0) =%qX j^dx ——%qX j^dx ——&оЕ лл&оЕ лл[1 —(—1)”]. Это значе-[1 —(—1)”]. Это значе-
я’я8
Ап = Се ^
я’я8
Ап = Се ^
I?
I?
l?m
l?m
л8л8 л8л8
л8л8 л8л8
H-X-iHh-
H-X-iHh-
Подставим начальное условие -^(х, О)=^о в выражение (3-74)
Подставим начальное условие -^(х, О)=^о в выражение (3-74)
L8 Ч
л2л2 J (3-75) для транс-
L8 Ч
л2л2 J (3-75) для транс-
форманты А п (т). Получим А п (0) =
форманты А п (т). Получим А п (0) =
%qX j^dx ——
%qX j^dx ——
&оЕ лл
&оЕ лл
[1 —(—1)”]. Это значе-
[1 —(—1)”]. Это значе-
ние может быть подставлено в решение (3-75):
ллллкРЛ3Л8кРЛ3Л8^П — (— !)"1Л6Лб^П — (— !)"1Л6ЛбОтсюдаС=Оо —[1- ллОтсюдаС=Оо —[1- ллкРЛ3Л8кРЛ3Л8тт75Л6Лб75Л6ЛбСледовательно, в соответствии сСледовательно, в соответствии с&(X, о =&(X, о =2_ L2_ Lаап=\п=\(3-73)ОО(3-73)ООЛ8Л8b I?b I?ллх sin Lп3ллх sin Lп3с2а2с2а2ООООat —at —т=0т=021?Л821?Л8DDл2 (2m + I)2 J(2т + I)8л2 (2m + I)2 J(2т + I)8. (2т + 1) лх Sin -. (2т + 1) лх Sin -LLььааООООт=0т=0sin <2m + ^ ЯХsin <2m + ^ ЯХлл2т + 12т + 1(2т+ 1)2л2£2(2т+ 1)2л2£2ООООn—i ооn—i оол3л3лпхsin/1 \п L Г л2л2(— 1) exp Iл3 I L2лпхsin/1 \п L Г л2л2(— 1) exp Iл3 I L2т=от=оSjn ^^ + ^ лхSjn ^^ + ^ лхcl?а2лбcl?а2лбLГ (2т4-1)2я2 ,ехр — 5— at (2т + I)6L DLГ (2т4-1)2я2 ,ехр — 5— at (2т + I)6L D
лл
лл
кР
Л3Л8
кР
Л3Л8
^П — (— !)"1
Л6Лб
^П — (— !)"1
Л6Лб
Отсюда
С=Оо —[1- лл
Отсюда
С=Оо —[1- лл
кР
Л3Л8
кР
Л3Л8
т
т
75
Л6Лб
75
Л6Лб
Следовательно, в соответствии с
Следовательно, в соответствии с
&(X, о =
&(X, о =
2_ L
2_ L
а
а
п=\
п=\
(3-73)
ОО
(3-73)
ОО
Л8
Л8
b I?
b I?
ллх sin L
п3
ллх sin L
п3
с2
а2
с2
а2
ОО
ОО
at —
at —
т=0
т=0
21?
Л8
21?
Л8
D
D
л2 (2m + I)2 J
(2т + I)8
л2 (2m + I)2 J
(2т + I)8
. (2т + 1) лх Sin -
. (2т + 1) лх Sin -
L
L
ь
ь
а
а
ОО
ОО
т=0
т=0
sin <2m + ^ ЯХ
sin <2m + ^ ЯХ
л
л
2т + 1
2т + 1
(2т+ 1)2л2£2
(2т+ 1)2л2£2
ОО
ОО
n—i оо
n—i оо
л3
л3
лпхsin/1 \п L Г л2л2
(— 1) exp I
л3 I L2
лпхsin/1 \п L Г л2л2
(— 1) exp I
л3 I L2
т=о
т=о
Sjn ^^ + ^ лх
Sjn ^^ + ^ лх
cl?
а2лб
cl?
а2лб
LГ (2т4-1)2я2 ,
ехр — 5— at (2т + I)6L D
LГ (2т4-1)2я2 ,
ехр — 5— at (2т + I)6L D
или в безразмерном виде при до=О:
л 8 о V* cin (2m — ^ nx 1 — ехр[ —я2(2ш—l)2Fo]у — — 2> 51П
m=lm=l0000М3 Li L[л (2m —l)p
m=l
m=l
00
00
. (2m — 1) ядSin --
{(2m — 1 )2 л2 Fo + [л (2m-I)]6
m=l
+ exp [ — (2m — l)anaFo] — 1}, где Fo—r/ZA
3-9. Двухмерное стационарное распределение температуры
Рассмотрим прямоугольный брус, охлаждаемый с поверхности (рис. 3-12). Пусть в каждом сечении бруса условия тепловыделения и условия охлаждения неизменны. Тогда тепловой поток вдоль оси 02, перпендикулярной плоскостям сечений (и плоскости чертежа), отсутствует. Будем считать также, что условия охлаждения с поверхности b тождественны условиям охлаждения с поверхности Ы. Примем аналогичное утверждение для поверхностей а и а'. Тогда оси Ох и Од будут линиями симметрии и поле температуры достаточно определить для заштрихованной на рисунке зоны.
В стационарном режиме уравнение теплопроводности для рассматриваемой задачи имеет вид
Wdx» + Wdya = - PoIX.(3-76)
Пусть на поверхности охлаждение осуществляется путем по закону Ньютона. Тогда с учетом симметрии и обозначения ничные условия будут иметь видд»+ ЛЭ I х=0 = 0;ад= 0;х=0дхдхдЪ— Н% | у=ь — 0;дд= 0. у=0дидиПусть на поверхности охлаждение осуществляется путем по закону Ньютона. Тогда с учетом симметрии и обозначения ничные условия будут иметь видд»+ ЛЭ I х=0 = 0;ад= 0;х=0дхдхдЪ— Н% | у=ь — 0;дд= 0. у=0дидитеплообмена a[X=h гра-теплообмена a[X=h гра-Представим решение в виде суммы двух функций: & (х, у) = и (х) + v (х, у\Представим решение в виде суммы двух функций: & (х, у) = и (х) + v (х, у\(3-77)(3-77)(3-78)(3-78)для которыхd2uр0дх» — X ’для которыхd2uр0дх» — X ’ди"дхди"дх-}- Ни | х=а — 0;-}- Ни | х=а — 0;ди"дхди"дх= 0 (3-79) х=0= 0 (3-79) х=0
Пусть на поверхности охлаждение осуществляется путем по закону Ньютона. Тогда с учетом симметрии и обозначения ничные условия будут иметь вид
д»
+ ЛЭ I х=0 = 0;
ад
= 0;
х=0
дх
дх
дЪ
— Н% | у=ь — 0;
дд
= 0. у=0
ди
ди
Пусть на поверхности охлаждение осуществляется путем по закону Ньютона. Тогда с учетом симметрии и обозначения ничные условия будут иметь вид
д»
+ ЛЭ I х=0 = 0;
ад
= 0;
х=0
дх
дх
дЪ
— Н% | у=ь — 0;
дд
= 0. у=0
ди
ди
теплообмена a[X=h гра-
теплообмена a[X=h гра-
Представим решение в виде суммы двух функций: & (х, у) = и (х) + v (х, у\
Представим решение в виде суммы двух функций: & (х, у) = и (х) + v (х, у\
(3-77)
(3-77)
(3-78)
(3-78)
для которых
d2uр0
дх» — X ’
для которых
d2uр0
дх» — X ’
ди"дх
ди"дх
-}- Ни | х=а — 0;
-}- Ни | х=а — 0;
ди
"дх
ди
"дх
= 0 (3-79) х=0
= 0 (3-79) х=0
Тогда интегрированием получаем
ц(х) =
роаа / 2
2Х \ На
(3-81)
хи + к^Х = 0;хи + к^Х = 0;и, учитывая, чтои, учитывая, что
хи + к^Х = 0;
хи + к^Х = 0;
и, учитывая, что
и, учитывая, что
Рис. 3-12. К расчету охлаждаемого с поверхно-сти бруса
Для нахождения функции у(х, //) разделим переменные: у//ум
оМ-Х^УМ — =-— = -У.
Л1
(3-82)
Отсюда
dX
= 0;
dX
+ HX
= 0,
dx
jc=O
dx
x=a
X (х) = A cos кх + В sin кх,
получим
5=0; t^ka = hlk.
(3-83)
Обозначим ка=*^ и заметим, что уЛ есть корни трансцендентного уравнения (3-83) при и=1, 2, 3, ... Тогда собственные функции Хп запишутся в виде Хп = cos кпх = cos уп ——.Из уравнения Y"—№=0 получим
а
Yn = chkny = chyn —— - Следовательно,
ОО
Цх,у) = V Afnchyn —^—cosVn—•(3-84)
аа
л=1
Подставим в (3-84) граничное условие + Av|y=6 = —hu(x).
ду
Получим
ОО
У Мп(— shyn— + A ch уп —) cos yrt= — hu(x).
п=1
Обозначим произведение Afnf-^-sh Чп —H Ach ——^через An.
Тогда, разлагая функцию —ku(x) в ряд по собственным функциям задачи, получим а
J [ — fttt(x)] cos yn-?—dx
л п —»
в J cos8 Удdx о \ а
где в знаменателе записана норма функции Nu. Интегрирование дает
Nn =
sin (2уд)^п
— 2ак— 2ак»(*. »)=£ С„(у)Х„(х);»(*. »)=£ С„(у)Х„(х);Сп(у) =Сп(у) =Г О (х, у) Х„ (х) dxГ О (х, у) Х„ (х) dxО* (x, у) = = 2Роа1О* (x, у) = = 2Роа1— 2 Bi— 2 Bi
— 2ак
— 2ак
»(*. »)=£ С„(у)Х„(х);
»(*. »)=£ С„(у)Х„(х);
Сп(у) =
Сп(у) =
Г О (х, у) Х„ (х) dx
Г О (х, у) Х„ (х) dx
О* (x, у) = = 2
Роа1
О* (x, у) = = 2
Роа1
— 2 Bi
— 2 Bi
л = _ 2 _Роаah sin уп■
" Х7зГ1+мп2т3 1
L 2у„ J
Отсюда
к з , sin 2у„ X Yn . b , , , b 1’»(1+—— shVnHAchYn
X 2y, / a aa
Таким образом, для Ф(х, у) имеем
О (х, у) =1—L С1_
L Ма 2 I а2 )
sin Yn ch у„ -^- cos у„ -—
Vn fl +Гу„ sh Y„ — +Аа ch у„ —]
X 2у„ /х аа )
или в безразмерном виде: реа2 Bi 2 к а» 7
sin у„ ch Yn -^~ cos у„ —
sin (2yn) X /, b. „. .6 \
—^—)(TnshVn+BichYn)
2Yn А аа )
где уп — корни уравнения tg y=Bi/y, n=l, 2, 3, ... Применим к этой же задаче метод Гринберга:
Умножение (3-76) на Хп и интегрирование от 0 до а по х дает уравнение относительно трансформанты TV
^n _Й2Г _ _ Роl_sinvdy1 " "~ к у„ Т"’
откуда
Тп = С ch kny + D sh кпу H^— sin у„
и с учетом преобразованных граничных условий (3-77) —
Yn u b ■b
shy„h A ch y„a aa
Отсюда
sin yn cos Yn -^-a^(-+^)
., Уx
sin y„ ch Yn cos v„ aaT4l+^)(T"shv"4- +Bich^)
Как очевидно, первая сумма представляет собой разложение функции 11 / х2 X
— -^—^“Н7") по собственным функциям задачи. Таким образом оба решения, полученные разными методами, тождественны.
Рис. 3-13. Распределение температуры в двухмерном стационарном поле для граничных условий третьего рода.
Рис. 3-14. К расчету полого цилиндра, охлаждаемого с внутренней поверхности и с торцов
На рис. 3-13 приведены результаты расчета безразмерной температуры для бруса квадратного сечения при разных значениях критерия Bi на одной грани при Biv=l,0 на другой грани, где Bi=ha.
3-10. Распределение температуры в теле цилиндрической формы
Рассмотрим полый цилиндр, охлаждаемый с внутренней поверхности и с торцов (рис. 3-14). Среднее по высоте сечение какого цилиндра является плоскостью симметрии, так что тепловой поток вдоль оси Ог в этой плоскости отсутствует [48]. Отсюда уравнение теплопроводности и граничные условия для рассматриваемой стационарной задачи имеют вид (форма лапласиана соответствует цилиндрическим координатам):
+ НЪ | ^l = 0.
(3-85)
Решение записывается в форме ^(г, z)=u(r)+o(r, z), причем
1д / ди \ рр
г dr \dr )X ’
1 д / 1 dv X . д^
I гJ г дг у дг ) дга
— -^- + Ну | r=Q = 0; дг
Задача (3-86) решается прямым интегрированием:
«И =«И =г2 — а2г2 — а263 —а2ah63 —а2ah
«И =
«И =
г2 — а2
г2 — а2
63 —а2ah
63 —а2ah
Тогда в задаче (3-87) разделим переменные: v(r, z) =7?(r)Z(z). Тогда
КАЛ2 dr kКАЛ2 dr k-^L\r = — Z"IZ = —к»,dr J
КАЛ2 dr k
КАЛ2 dr k
Отсюда (r£')'+&2r#—0 при — 0;h^|r=a = °-
dr r=bdr
Решение последнего уравнения (Бесселя) ищем в таком виде, чтобы были удовлетворены граничные условия. В отличие от многих физических задач о цилиндрах с непрерывный полем, начинающимся от оси, для полого цилиндра второе частное решение уравнения Бесселя не исключается и общее решение записывается в виде
R (г) = Г1 (kb) Jo (М - J1 (kb) Уо (кг),(3-88)
где Joj /1 —функции Бесселя нулевого и первого порядка; Уо, Уi —функции Неймана нулевого и первого порядка.
Подстановка решения (3-88) в формулировку граничного условия г==а дает
-R4^ + HR(a)^0.
Получили уравнение для собственных чисел задачи kb, которые обазна. чим у:
- [^ *'• 0 -г)] 4-+[j>«г‘ О -f)] 4"+
+ Л [У1 (?) Jo fv -7-) - Ji (Y) Vo fv ) 1 = °-
L X b /x о /3
Это уравнение имеет бесконечное число положительных корней Y^yn, где п=1, 2, 3, ... Чтобы определить корни, необходимо применять специальные методы решения, например метод приближений. Далее имеем
Z"—fe2Z = 0; -^-1 =0,dz ^=0
откуда
Zn = С ch knz.
Следовательно,
Mrt ch TnMrt ch TnгbгbRvn MRvn Mdudzdudz+ ftu|z«6<= — Ни (г).+ ftu|z«6<= — Ни (г).
Mrt ch Tn
Mrt ch Tn
г
b
г
b
Rvn M
Rvn M
dudz
dudz
+ ftu|z«6<= — Ни (г).
+ ftu|z«6<= — Ни (г).
Отсюда
0000Vl=lVl=l
00
00
Vl=l
Vl=l
Обозначим произведение Mn на двучлен в скобках через Лп. Разложение функции —/ш(г) в ряд по собственным функциям задачи дает
Ь
ФпФпJ [ — Ни (г)] rR^ (г) dr
Фп
Фп
f rRk мdr а
Цилиндрические функции Я?л в данном случае имеют ортогональ^ость с весом г. Интегрирование дает
_р0НйаЬ* _, х
Фп —;— ^Vn (а)»
Отсюда
Мп =Мп =— р0№ / & у 1 Rfn
Мп =
Мп =
X k Yn / Nn _Y2_shVfl^L+hchVn-L b bb
Суммирование и^ и и (г, г) завершает решение задачи:
о (,.,)= А. [(».,„-!о (,.,)= А. [(».,„-!
о (,.,)= А. [(».,„-!
о (,.,)= А. [(».,„-!
— Wab*— Wab*R^n (a) ch Yn Ц- R^n (г)b
— Wab*
— Wab*
(^-sh V» -^- + h ch YnA) Y^„ \ оbb )
где R^nVA определяется из (3-88) при &6=у».
3-11. Двухмерная нестационарная теплопроводность
Рассмотрим уравнение (рис. 3-12)
ЭЧ^Эх1 + Wldy1 = cWdr — р<Д; т = Xtlcy
с краевыми условиями
= 0; Л+^=0;
Эх х=оЭхх=а
д» Эуд» Эуад.
д» Эу
д» Эу
= 0;+to|y=b = O; 6|т=о = О.
у=оЭу
Будем решать задачу, применяя вначале преобразование Лапласа [48]. Получим
^!Эхг 4- &в1ду* = $6 — PoIXs.(3-89)
Таким образом, производная по времени исключена. Применим теперь метод Гринберга для решения полученного уравнения с частными производными относительно изображения 6.
Задача Штурма — Лиувилля (см. § 3-1) может быть сформулирована следующим образом:
' X" + №Х = 0; X' (0) = 0; X' (а} + hX (а) = 0.
— s®nэепdy— s®nэепdy
— s®n
эепdy
— s®n
эепdy
Следовательно, Хп = cos Yn —-» а
V л=1, 2, 3, ...
Преобразование уравнения дает
> Ana2 "+ dy1=0;Эу I y==0
Отсюда
Yn—корни уравнения tg y=B*/y,
Ро ° • . —Sin Y„;
Xs Yn
+ Ь9п | у=ь = 0.
е„ = С ch (д/7+т^/^у) +е„ = С ch (д/7+т^/^у) +
е„ = С ch (д/7+т^/^у) +
е„ = С ch (д/7+т^/^у) +
Po a smYn
Yn
pea sin Vn
h
д/s + Yn/a2sh QVs + Yn/a2 б) + к ch (д/S + Yn/a2&)
Таким образом,
e = V I p°a sinVnxX Vn s($ + Tn/a2)
/ich(Vs + Tn/«2y) дА + T2/a2 Sh(Vs + ^Ja1 b) + k ch (дА + Yn/“2 0 ,
2 cos Yn —^—
a [1 + sin 2Yn/(2Yn)l
Для отыскания оригинала в данном случае необходимо применить обратное преобразование, определяемое комплексным интегралом. Тогда окончательное решение задачи будет иметь вид
»*»*Ф(х, у, QXРбК1Ф(х, у, QXРбК1хsmYnCOSYn^#0хsmYnCOSYn^#0
»*
»*
Ф(х, у, QX
РбК1
Ф(х, у, QX
РбК1
х
smYnCOSYn
^#0
х
smYnCOSYn
^#0
XXиBi ch Yna!___^Yn sh YnH Bi ch Yn aaиBi ch Yna!___^Yn sh YnH Bi ch Yn aa
X
X
и
Bi ch Yna!___^
Yn sh YnH Bi ch Yn aa
и
Bi ch Yna!___^
Yn sh YnH Bi ch Yn aa
Рис. 3-15. Распределение температуры в зависимости от времени и условий теплообмена на границеРис. 3-15. Распределение температуры в зависимости от времени и условий теплообмена на границе
Рис. 3-15. Распределение температуры в зависимости от времени и условий теплообмена на границе
Рис. 3-15. Распределение температуры в зависимости от времени и условий теплообмена на границе
sin Pm cos Pmsin Pm cos Pm66-^)F°-^)F°
sin Pm cos Pm
sin Pm cos Pm
6
6
-^)F°
-^)F°
где Fo=t/o2; Bm—корни трансцендентного уравнения tgP =— ,
a p
Bi=a/z.
На рис. 3-15 приведены результаты расчета максимальной безразмерной температуры в зависимости от времени и условий теплообмена на границах (о/а=1; Bix = l).
Глава четвертая
ТЕПЛОВОЙ РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН В СТАЦИОНАРНОМ И НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМАХ НАГРУЗКИ
4-1. Вводные замечания
Многочисленные теоретические разработки, применяемый математический аппарат и большое число экспериментальных исследований принципиально позволяют производить тепловой расчет с большой точностью. В то же время желаемый результат не всегда может быть достигнут. Главной причиной снижения точности теплового расчета является некоторая неопределенность Исходных данных, которая всегда сопутствует проектным разработкам.
В задачи теплового расчета входит определение средней температуры активных частей машины, определение максимальных значений температуры в зависимости от параметров режима нагрузки, вычисление тепловых потоков между смежными элементами конструкции, т. е. расчет поля температуры в машине.
Исходными данными служат: распределение потерь энергии по объему машины, значения физических величин, в первую очередь теплопроводности и теплоемкости, и условия охлаждения иа граничных поверхностях. Можно считать, что физические свойства применяемых материалов' известны достаточно хорошо. По-иному обстоит дело с определением местных потерь, которые выделяются в обмотках, активной стали и некоторых. конструктивных элементах. Достоверность их задания
ограничивается возможностями электромагнитного расчета машины, который во многих случаях базируется на упрощенных представлениях. Аналогичным образом ограничена точность задания граничных условий. Значения коэффициентов теплообмена существенно зависят от скорости и режима движения охлаждающих сред, а следовательно, в тепловой расчет неизбежно вносятся все неточности вентиляционного и гидравлического расчета.
Сказанное не означает, что в задачах теплопроводности нецелесообразно применение методов решения, которые обеспечивают высокую точность расчета температуры при принятых исходных данных. Однако всегда необходимо количественно оценивать диапазон изменения заданных значений, чтобы располагать объективными критериями целесообразности применяемого метода расчета. Неразумно прибегать к громоздким формулам и трудоемким вычислениям в тех случаях, когда это не может способствовать повышению достоверности конечных результатов расчета.
Принято считать, что точность метода расчета и точность вычислений не должны более чем на два порядка превосходить точность задания исходных величин. При этом точность оценивается значением ошибки, выраженным в процентах.
4-2. Понятия температуры и превышения температуры в элементах конструкции
Требования, которые предъявляются к тепловым характеристикам электрических машин, имеют специфический характер. Здесь существенным является не только температура машины в целом или ее частей, но и разность температур отдельных элементов конструкции, а также охлаждающей среды и обмоток. Эта особенность связана с условиями работы и долговечностью изоляционных материалов.
Повышение температуры машины при включении ее под нагрузку отражается на состоянии изоляции обмоток и стали в первую очередь. Под влиянием тепловых воздействий и связанных с ними механических усилий ухудшаются свойства изоляционных материалов, и с течением времени они изнашиваются, или, как говорят, стареют. Результатом износа является утрата изолирующих свойств и в конечном итоге — тепловой или электрический пробой изоляции. При этом срок службы изоляции *, т. е. один из важнейших ее параметров, зависит не только от абсолютной температуры эксплуатации, но и от степени превышения температуры активных частей машины над температурой охлаждающей среды.
Отрицательное влияние повышенной абсолютной .температуры на износостойкость изоляционных материалов изучено
* Время безаварийной работы при номинальной нагрузке.
65653 И. Ф. Филиппов
65
65
Сравнительно хорошо. Многочисленные эксперименты и опыт эксплуатации показывают, что для каждого класса изоляционных материалов существует определенный уровень температуры, превышение которого всего лишь на несколько градусов приводит к существенному сокращению срока службы. Здесь играет роль также длительность воздействия повышенной температуры.
Для некоторых классов изоляционных материалов действителен степенной закон старения, установленный экспериментально. В соответствии с этим законом при повышении температуры эксплуатации на определенное число градусов Д0 срок службы изоляции сокращается вдвое по отношению к сроку службы при исходной температуре:
= (4-1)
где De — срок службы при увеличенной температуре 0; D^ — срок службы при температуре О1, определяемый опытным путем (например, 7 лет при 0 = 105° С для изоляционных материалов класса А); А0 — постоянное приращение температуры.
Значения А0 не могут быть названы точно, если невелик объем экспериментальных данных. Для изоляционных материалов класса А обычно принимают А0 = 8 К- Термоактивная изоляция (класса В) повысила это значение до А0=1О К.
Логарифмический характер (рис. 4-1) зависимости (4-1) диктует жесткие правила эксплуатации электрических машин, в особенности дорогостоящего энергетического и уникального силового оборудования. Становится также понятной необходимость достоверных результатов теплового расчета машин на стадии их проектирования. В частности, выясняется важность определения местных значений температуры в машине, которые называют иногда пиковыми температурами. Именно пиковые температуры определяют практический срок службы машины. С этой точки зрения качество конструкции тем выше, чем меньше отношение пиковой температуры к средней, т. е. чем целесообразнее использован активный объем машины.
Формула (4-1) позволяет определять неиспользованный ресурс срока службы изоляции. Если, например, срок службы при исходной проектной температуре должен составлять . 10 лет (100 % ресурса) и машина проработала при увеличенной на Д0 температуре (т. е. при ресурсе 5 лет) один год (20 % ресурса), то при снижении температуры до нормальной машина сможет безаварийно работать еще 80 % проектного ресурсного времени, т. е. еще 8 лет.
Разумеется, формула (4-1) является приближенной, но она позволяет верно произвести экономическую оценку конструкций электрических машин и режимов их эксплуатации.
Рис. 4-1. Зависимость срока службы изоляции от температуры
Несколько хуже обстоит дело с оценкой влияния разности температур изоляции и охлаждающей среды. Перепад температуры по толщине корпусной изоляции, т. е. разница температур меди обмотки и активной стали, определяет смещение
°C 130120°C 130120113- 110- 105"100-90-113- 110- 105"100-90-**В00£151,15 35 7В00£151,15 35 7Z$rZ76 ft 28 56го8Z$rZ76 ft 28 56го8обмотки в пазу за счетобмотки в пазу за счетотносительного теплового расширения меди. Поскольку температура активной стали прямо зависит от температуры охлаждающей среды, можно считать, что разность температур среды и обмотки достаточно определенно характеризует перемещение, или, как его называют, миграцию обмоток.
°C 130
120
°C 130
120
113- 110- 105"
100-
90-
113- 110- 105"
100-
90-
*
*
В00£151,15 35 7
В00£151,15 35 7
Z$rZ76 ft 28 56го8
Z$rZ76 ft 28 56го8
обмотки в пазу за счет
обмотки в пазу за счет
Миграция обмоток тем больше разрушает изоляцию, чем чаще она происходит в процессе эксплуатации машины и чем больше относительное смещение в пазах. Если принять коэффициент линейного расширения меди равным 16- 10~6 К-1, то на каждый метр активной длины машины относительное смещение при перепаде температуры на изоляции 65 К составит 1 мм.
Следует учесть также, что температура эксплуатации машины всегда превосходит температуру ее изготовления в цехе. По этой причине в связи с различием коэффициентов линейного расширения меди и стали при нагружении машины происходит дополнительное смещение обмоток в пазах. При разнице коэффициентов примерно 5- 10 G К"1 дополнительное смещение на каждый метр активной длины равно приблизительно 0,4 мм (здесь принято, что повышение температуры при включении машины составляет 80 К).
Ответ на вопрос о допустимых значениях миграции обмоток для того или иного вида изоляции может дать только статистика. Принято считать, что в машинах с активной длиной более четырех метров, т. е. турбогенераторах и т. п., перепад на изоляции не должен быть больше 50—70 К. Такое требование отражается на способах задания допустимой температуры эксплуатации машин применительно к различным классам изоляционных материалов в стандартах и нормах всех стран.
В стандартах и нормах учитывается, что при изменении климатических условий (наступление холодной зимы) возможны такие обстоятельства, когда за счет весьма низкой температуры воды может быть значительно снижена температура охлаждающей среды, например водорода или .воздуха. Благодаря этому снизится также абсолютная температура обмоток по сравнению с температурой в летний период. Естественно, в охарактеризованных условиях проявляется тенденция
увеличивать мощность машины, доводя абсолютную температуру обмоток до летнего уровня. Однако при этом разность температур обмотки и среды может оказаться недопустимо большой. Исходя из этого в нормах и стандартах ограничивается диапазон температуры охлаждающей среды и превышений температуры изоляции. При этом, разумеется, оказывается заданной и абсолютная температура обмоток, но она уже является величиной переменной — функцией температуры охлаждающей среды.
Приведенные рассуждения позволяют сделать также вывод о целесообразности эксплуатации электрической машины при стабильной температуре. Всякие колебания температуры приносят вред изоляции обмоток и неблагоприятно отражаются на сроке службы машины в целом. Следовательно, всегда нужно стремиться сводить на нет изменения температуры, вызываемые изменением нагрузки и климатических условий. Так, например, в зимнее время путем автоматического регулирования в контурах рециркуляции целесообразно поддерживать температуру технической воды на неизменном по сравнению с летним периодом уровне.
Рациональная температура эксплуатации активных частей электрической машины при заданной ее конструкции и мощности может быть достигнута путем рационального охлаждения машины. Это позволяет сформулировать задачи, стоящие перед проектировщиком системы охлаждения машины: главным целевым назначением организации охлаждения электрических мащин является создание таких условий теплообмена с охлаждающей средой, при которых температура и превышение температуры активных частей машины над температурой охлаждающей среды не превосходят пределов, установленных - нормами.
4-3. Эквивалентные тепловые схемы
Выше (гл. 2) было показано, что поле температуры электрической машины описывается неоднородными дифференциальными уравнениями. Их решения в тех случаях, когда указанные уравнения достаточно надежно характеризуют тепловое состояние отдельных элементов конструкции и тепловую связь между этими элементами, естественно было бы считать основой теплового расчета машин.
В то же время предыдущий анализ продемонстрировал по крайней мере два существенных обстоятельства: 1) решения дифференциальных уравнений приводят к сложным и громоздким формулам и 2) эти решения, как и сами уравнения, настолько схематизируют реальный процесс теплообмена в машине, что лишь в самых редких случаях могут считаться вполне точными.
Оба указанных обстоятельства побудили специалистов
строить тепловой расчет электрических машин на основе такой схематизации, при которой неизбежная неточность результата оправдывалась простотой и наглядностью самого метода расчета, т. е. практической целесообразностью метода.
Важнейший шаг в этом направлении был сделан в 1931 г. Р. Зодербергом, который разработал метод эквивалентной замены элементов поля с внутренними источниками теплоты элементами без внутренних источников. Суть этого предложения сводилась к двум основным принципам: 1) к замене решения одномерного стационарного уравнения Пуассона решением одномерного стационарного уравнения Лапласа при таком преобразовании линейного размера, которое приводило бы к искомому численному результату; 2) к получению двухмерных решений на основе одномерных по правилам сложения сопротивлений линейной электрической цепи.
Решение одномерного стационарного уравнения Пуассона (2-13) для симметрично охлаждаемой бесконечной пластины толщиной 2 б в соответствии с (3-47) дает
(4-2)
Это решение действительно для пластины толщиной д, охлаждаемой с одной стороны (условие симметрии). Если размеры такой пластины ограничены высотой h и шириной Ь, то при суммарных потерях в пластине Р получим po = P(Sbh) и при температуре окружающей среды й^О
^=/Г—^—+ ——^-(1 —(4-3)
L abh 2 Xbh V6= 7 J7
Из (4-3) следует
\ abh 2 Xbh /
1i(4'4)
’S'mln = Р 7” ", ДФ = Фтах— timin = ? ~—тут- •
abh2 Xbh
Средняя температура в
Р Г_1—+ _6
6 J L abh 2 Xbh \ 6а 7J О
= Р(——+——Y(4-5)
\ abh 3 Xbh 7
Поставим теперь задачу определить толщину эквивалентной пластины, имеющей такую же температуру (среднюю или максимальную, по выбору), как рассмотренная' пластина, но при условии, что потери сосредоточены на одной из ее боковых поверхностей. Как легко понять, решение этой задачи поз-
волит заменять в одномерных процессах элементы с распределенными потерями эквивалентными элементами с сосредоточенными потерями.
Решение уравнения Лапласа (2-15) для охлаждаемой с одной стороны пластины толщиной б, когда потери сосредоточены на неохлаждаемой стороне, для максимальной температуры дает
Следовательно, если максимальная температура эквивалентной пластины (рис. 4-2) должна быть равна максимальной температуре реальной пластины, то, приравнивая (4-6) и (4-4),- получим 6экв = 6/2. Если же необходимо выполнить требование получать при эквивалентной замене среднюю температуру, то, сравнивая (4-6) и (4-5), будем иметь б0Кв = б/3. Таким образом, эквивалентная толщина пластины определяется при замене параболы прямой линией.
Назовем величину d3KB/ (Xbh) тепловым сопротивлением пластины и будем трактовать процесс теплопроводности в реальной пластине по (4-4) как результат преодоления тепловым потоком Р двух сопротивлений; теплового сопротивления ~2~ ХЫг = МД И теплового сопротивления конвекции ll^abh), так что суммарное сопротивление
^ЭКВ |1
kbh abh
Рис. 4-2. Эквивалентная пластинаРис. 4-2. Эквивалентная пластинаРассмотрим теперь двухмерную стационарную задачу (рис. 4-3). Будем считать, что в направлениях осей Ох и Оу имеются независимые сопротивления такого вида и при взаимодействии они складываются, как параллельные сопротивления электрической линейной цепи. Получим
Рис. 4-2. Эквивалентная пластина
Рис. 4-2. Эквивалентная пластина
Рис. 4-3. К определению двухмерной теплопроводности
и в соответствии с сформулированным принципом —
RxRg
Rx + Ry
Следует подчеркнуть, что изложенный метод расчета позволяет получить не только локальные значения температуры, но и ее распределение, предполагая параболическую зависимость от координат в обоих направлениях.
Сопоставление результатов расчета по методу эквивалентных схем с результатами точного решения двухмерных задач показало, что ошибка в определении средней температуры не превосходит 4,0%, максимальной температуры — 7,5%. Такая точность вполне удовлетворительна для практики.
В настоящее время эквивалентные тепловые схемы применяются также для решения задач с трехмерным распространением теплоты, причем именно в этом случае данному методу не могут быть противопоставлены какие-либо иные методы теплового расчета.
4-4. Применение вычислительных машин
Применение вычислительных машин позволяет определять . поле температуры путем решения системы линейных алгебраических уравнений высокого порядка, заменяющих дифференциальное уравнение теплопроводности с произвольной точностью. Чтобы осуществить указанную замену, уравнение теплопроводности сводится к уравнению в конечных разностях.
Назовем первыми разностями (правыми и левыми) для функции t/—f (х) одного аргумента х выражения X^ = ^x-V + /i)—f(x) и ^-f=f^x)—f(x—/i). Второй разностью будет А^= = ft (х + h) + Ф (х—Л)—2f (х).
Теперь вторая производная функции одного аргумента может быть заменена разностным отношением:
Л«/ Hx -Vh) \-f (х — h)—2f (х)
Разностное отношение для оператора Лапласа запишется в виде
Ад Ф (х + /г, у) + -О (х, у + /i) + -6- (х — h, у) + Ф (х, у — Л) — 40- (х, у)
(4-7)
При замене дифференциального уравнения разностным осуществляется переход от непрерывного изменения аргумента к дискретному. В плоскости определения поля - температуры (х, у) строится сетка ортогональных прямых, находящихся друг от друга на расстоянии h. В узловых точках полученной
сетки записываются значения искомой функции ■0 в соответствии с (4-7). Полученная система линейных алгебраических уравнений решается методом последовательных приближений. Суть его сводится к следующему.
Разность между составляющими температуры в числителе выражения (4-7) должна быть равна нулю либо (в неоднородных задачах) —значению потерь в точке (х, у). Если предварительно распределить температуру так, чтобы во всех узлах, образующих границу, она была равна заданной граничной температуре, а в узлах внутри исследуемой области имела произвольные значения, то разности (4-7) окажутся в общем случае отличными от нуля. Последовательным изменением значения Ф (за исключением граничных) все разности сводятся к нулю.
Поскольку число уравнений равно числу неизвестных значений температуры, процесс уменьшения разностей (его называют иногда релаксацией) является во всех физических задачах процессом сходящимся.
4-5. Расчет эквивалентной тепловой схемы статора турбогенератора с водяным охлаждением обмотки
Рассмотрим в качестве примера применение эквивалентных схем в тепловом расчете статора турбогенератора с водяным охлаждением обмотки.
На рис. 4-4 представлено одно зубцовое деление пакета сердечника с обмоткой, которое принимается за расчетную ячейку. Эквивалентная тепловая схема замещения показана на рис. 4-5. Рассматриваются следующие виды потерь: Рм— потери в меди обмотки на один зубцовый шаг в одном пакете; Рг — потери ,в стали зубцов на зубцовый шаг; Ра — потери в стали цилиндрической части пакета на один зубцовый шаг.
Рис. 4-4. Расчетный элемент сердечника с обмоткойРис. 4-4. Расчетный элемент сердечника с обмоткой
Рис. 4-4. Расчетный элемент сердечника с обмоткой
Рис. 4-4. Расчетный элемент сердечника с обмоткой
При составлении эквивалентной схемы замещения предполагается следующая картина течения теплоты. Теплота, выделяющаяся в зубцах статора, движется вдоль листов к расточке статора (Pdz) и поперек листов к радиальному каналу (Pgz); часть теплоты направлена вдоль листов к цилиндрической поверхности сердечника (Paz), и, наконец, остающаяся теплота через изоляцию обмотки направлена к воде в каналах (Ргм). Теплота, выделяющаяся в цилиндрической части сердечника статора, вместе с потоком из зубцов Paz движется в направлении поперек листов стали к вентиляционному каналу (Pga) и вдоль листов к наружной поверхности сердечника (Pda)-
Поток Рм направлен к воде в каналах. Так как температура охлаждающей воды отличается от температуры охлаждающего газа, то в цепь сопротивления Рва последовательно включена дополнительная ЭДС ©в, которая изменяется в зависимости от температуры воды в обмотке. Следует также иметь в виду, что при достаточно высокой температуре воды в каналах поток PZM может изменить направление на противоположное, т. е. часть теплоты обмотки будет поступать в зубец.
Обозначим теперь тепловые сопротивления: Р, — изоляции в пакете; Rd?—зубца вдоль листов стали; R^ —зубца поперек листов стали; Рб«— поверхности зубца в зазоре машины; RZd— поверхности зубца в радиальном канале; RM— вдоль листов стали между зубцом и цилиндрической частью сердечника; Rqa — цилиндрической части сердечника поперек листов стали; Rda— цилиндрической части сердечника вдоль листов стали; Rda — наружной поверхности сердечника; Paa— поверхности радиального канала со стороны цилиндрической части сердечника; Рва — поверхности меди, омываемой водой.
Тепловые сопротивления в соответствии - с обозначениями на рис. 4-5 рассчитываются по формулам
Rt =Rt ='нЭ'нЭХцзИ\ЬрХцзИ\ЬрРба = -— a.bbzbpРба = -— a.bbzbpRqa —Rqa —hphp4Xqb php4Xqb phpR.R.Raa —Raa —ii2aQbQha2aQbQhanЗдесь обозначено Пэ=£nЗдесь обозначено Пэ=£2Xqbzbp4Xqbzh^•d = ~т—> Rza = Rdz Т" Rda"> 2az6zh!' ha . г/1.da;, *xda —, ,,2л^ОдОр^d^a^pBa 2aB (bp + 0,005) ПэПкьгде n — число охлаждающих ка2Xqbzbp4Xqbzh^•d = ~т—> Rza = Rdz Т" Rda"> 2az6zh!' ha . г/1.da;, *xda —, ,,2л^ОдОр^d^a^pBa 2aB (bp + 0,005) ПэПкьгде n — число охлаждающих ка
Rt =
Rt =
'нЭ
'нЭ
ХцзИ\Ьр
ХцзИ\Ьр
Рба = -— a.bbzbp
Рба = -— a.bbzbp
Rqa —
Rqa —
hp
hp
4Xqb php
4Xqb php
R.
R.
Raa —
Raa —
i
i
2aQbQha
2aQbQha
n
Здесь обозначено Пэ=£
n
Здесь обозначено Пэ=£
2Xqbzbp4Xqbzh^
•d = ~т—> Rza = Rdz Т" Rda"> 2az6zh!
' ha . г/1.
da;, *xda —, ,,
2л^ОдОр^d^a^p
Ba 2aB (bp + 0,005) Пэ
Пкьгде n — число охлаждающих ка
2Xqbzbp4Xqbzh^
•d = ~т—> Rza = Rdz Т" Rda"> 2az6zh!
' ha . г/1.
da;, *xda —, ,,
2л^ОдОр^d^a^p
Ba 2aB (bp + 0,005) Пэ
Пкьгде n — число охлаждающих ка
налов в одном пазу; Пк—периметр одного канала.
Рис. 4-6. Преобразованная схема замещенияРис. 4-6. Преобразованная схема замещенияРис. 4-7. Упрощенная схема замещенияРис. 4-7. Упрощенная схема замещения
Рис. 4-6. Преобразованная схема замещения
Рис. 4-6. Преобразованная схема замещения
Рис. 4-7. Упрощенная схема замещения
Рис. 4-7. Упрощенная схема замещения
Преобразуем схему на рис. 4-5 в схему на рис. 4-6, для чего сложим последовательно соединенные сопротивления:
Rdz= Rdz + RbaiRqz = Rqz~\" Rza,Raq = Rqa\ Raa",
Rad = Rda 4“ Rda-
Произведем теперь суммирование параллельно соединенных сопротивлений (рис. 4-7):
^ RdzRqz . RadRaq
Rdz"V RqzRad Raq
Преобразуем соединение сопротивлений Rz, Ra и Rza из треугольника в.звезду (рис. 4-8):
^ _ RzRza.^ RgRza.
Rz Н- Ra + RzaRz 4“ Ra 4“ Rza
RzRa
Rz 4“ Ra 4“ Rza
Рм. в — Pm + Pzm, Ргм — Pz Pzl, Paz— PaA"Pzl- Уравнение теплового баланса расчетной ячейки запишется теперь в виде
^г = ^В 4“ Рм.вРва 4“ РгмРва 4" РzmR i = РzlRl 4" (^zl 4" Ра) Rs\
Рис. 4-8. Схема замещения после преобразования соединений из треугольника в звездуРис. 4-8. Схема замещения после преобразования соединений из треугольника в звезду
Рис. 4-8. Схема замещения после преобразования соединений из треугольника в звезду
Рис. 4-8. Схема замещения после преобразования соединений из треугольника в звезду
отсюда
р PzlRiA Rs)'V PgRa — Рм. bRbo. »в
Ri-V Ri-\- Rs-V RBa
и превышение температуры выразится следующим образом: ДЛЯ зубцов <)2 = Ргм (Ri + Рва ) + Рм. bRв*а + »в; ДЛЯ МеДИ ^м = = (Ргм + Рм) Рва+^а; для сердечника »а = Ра (R2 + Rs) + Pz\Rs-
4-6. Тепловой расчет при нестационарных процессах
Аналитические решения нестационарных задач, как можно видеть из материала гл. 3, достаточно громоздки. Что же касается нестационарных процессов в электрических машинах, то их следует отнести к числу вполне типичных эксплуатационных явлений, в связи с чем их анализ весьма актуален. По этой причине при разработке теории электрических машин предпринимались попытки получить расчетные формулы на основе таких допущений, которые бы, схематизируя процесс, давали результаты, удовлетворительно приближающиеся к действительности.
Допущениями так называемой классической теории нагревания являются следующие утверждения.
Вся электрическая машина (или ее анализируемый элемент) является единым телом, обладающим неограниченной теплопроводностью, что приводит к отсутствию градиента температуры по любому направлению в объеме машины.
Температура окружающей среды »с неизменна, т. е. окружающая среда обладает неограниченной теплоемкостью.
Коэффициент теплоотдачи а между поверхностью машины и окружающей средой не зависит от места и длительности протекания процесса.
Запишем теперь уравнение теплопроводности для единицы объема тела, охлаждаемого с поверхности:
ср-^ = XV2» + Ро-а (»- »с).
При рассмотрении конкретного объема V для условий V» = = 0, »с = 0 получим
Pdt = cGd»-^aFMt,(4-8)
где G = pV —-масса тела; Р==р0К —выделяемые потери.
Уравнение (4-8) легко трактуется как уравнение теплового баланса, в соответствии с которым выделившаяся теплота расходуется частично на повышение энтальпии тела, частично отводится в окружающую среду. Таким образом, уравнение (4-8) может быть получено непосредственно из рассуждений.
На основе уравнения (4-8) проанализируем вйачале процесс нагревания тела. Если потери Р конечны, то при стремле-
нии длительности процесса к бесконечности температура тела стремится к установившемуся значению: '0—^Оу при /->-оо. Но в установившемся режиме энтальпия не меняется и вся теплота, выделяющаяся в течение произвольного отрезка времени М, передается окружающей среде: P\t=aF^yM. Отсюда 6y=P/(aF). Теперь уравнение (4-8) может быть переписано в виде
aF^ydt = cGd& + aF^dt.
В последнем уравнении переменные разделяются:
cGбу — б
Введем обозначение cG{(nF) =Т. Тогда
ИТ = —1п(йу—$) + const.
' В начале процесса машина имела фиксированную температуру ^о, т. е. тЕУ =б0 при ^ = 0, откуда С = 1п (6У—6g). Таким образом,
J-^ln-^^; 6^6y(l-e^^(4.9)
Тбу — б
Полученное уравнение нагревания описывает экспоненциальный закон увеличения температуры со временем (рис. 4-9, кривая 1). Заметим, что при бо=О б=бу(1—е-</т).
Рассмотрим теперь процесс остывания от температуры бо при сбросе нагрузки (рис. 4-9, кривая 2). Для этой цели положим в уравнение (4-8) Р = 0. Тогда
46 _aF & dt
бcGТ
откуда t/T = — ln6 + const. Учитывая, что б = б9 при / = 0, получим
С = 1пб0 и б = бое t T.(4-10)
Как можно видеть (рис. 4-9) кривая нагревания 3 при б0#= #=0 есть сумма кривой нагревания 1 при бо=О и кривой остывания 2 от температуры б0. Постоянная Т, характеризующая интенсивность нестационарного теплообмена и зависящая
от теплоемкости тела, его массы, поверхности охлаждения и коэффициента теплообмена, очень удобна при анализе переменных нагрузок и других неустановившихся режимов. Она называется постоянной времени и имеет простой геометрический смысл (рис. 4-10).
Из уравнения (4-9) следует, что при бо=О — = —-(бу—б). dt Т
Но -^- = tgP= = ~4г(бу—б), где ВС — подкасательная dtВС ВС
кривой нагревания. Отсюда для произвольной точки кривой
Рис. 4-9. Кривая изменения Рис. 4-10. Геометрический температурысмысл постоянной времениРис. 4-9. Кривая изменения Рис. 4-10. Геометрический температурысмысл постоянной времени
Рис. 4-9. Кривая изменения Рис. 4-10. Геометрический температурысмысл постоянной времени
Рис. 4-9. Кривая изменения Рис. 4-10. Геометрический температурысмысл постоянной времени
и хг-вс.
Таким образом, Т есть подкасательная в произвольной точке кривой нагревания (либо остывания).
Представляет интерес анализ адиабатного нестационарного процесса, т. е. процесса без теплообмена с окружающей средой. Примем в уравнении (4-8) а = 0, тогда d^]dt = P[cG = const. Для медной обмотки, например, с = 0,39 кДж • кг/К; у = 8,9 г/см3 и р = 0,0175 Ом-мм2/м. Отсюда для скорости нарастания температуры обмотки при набросе постоянного тока плотности / получим (в кельвинах в секунду)
РpplS = рр
cGсу IS cylp200
Формула (4-9) является точной при отсутствии температурных перепадов в теле и охлаждающей среде, т. е. на первый взгляд она пригодна лишь для расчета нагрева высокотеплопроводных деталей, омываемых мощным потоком теплоносителя, когда
Фу = АФаФу = АФаР аР ’Р аР ’АФа cGPI(cG) — ар 'АФа cGPI(cG) — ар '
Фу = АФа
Фу = АФа
Р аР ’
Р аР ’
АФа cG
PI(cG) — ар '
АФа cG
PI(cG) — ар '
Замечено, однако, что приведенный анализ можно распространить на многие объекты, далеко не удовлетворяющие классическим предпосылкам, при условии, что под величиной -0-у принимается установившееся среднее или максимальное превышение температуры нагреваемого тела над наименьшей температурой охлаждающей среды, а под величиной постоян-
ной времени Т—отношение этого превышения к адиабатной скорости нарастания температуры тела:
7 = ФУ/А7 = ФУ/А= ФуаД Р1№= ФуаД Р1№
7 = ФУ/А
7 = ФУ/А
= Фу
аД Р1№
= Фу
аД Р1№
Для самого общего случая, когда имеются перепады температуры в активном (АФ^) и изоляционном (АФХиз) слоях, конвективный перепад с поверхности (АФа) и подогрев охлаждающей среды (АФС), величины Фу и Т можно выразить следующим образом:
РCaGg Сиз^из Д CcGcРCaGg Сиз^из Д CcGcФу = Афс + Афа + АФХиз + АфХа;(4-11)
Р
CaGg Сиз^из Д CcGc
Р
CaGg Сиз^из Д CcGc
Т = фу(
CgGg А , ^ФХ изI ^Kg _| _ A»c_\ vaF V А»а ДЙа АФа ) '
(4-12)(4-12)Сиз^из । ccGcCgGg CgGg
(4-12)
(4-12)
Примененный формальный прием обеспечивает качественную правильность выводов: формула (4-12) справедливо указывает на замедление нестационарного процесса при наличии внутренних и внешних перепадов температуры. Физически это замедление объясняется, в частности, конечной температуропроводностью присоединенных прогреваемых масс.
Как следует из выражений (4-11) и (4-12), важными характеристиками нестационарного процесса являются соотношения температурных перепадов внутри тела, в охлаждающей среде и на поверхности тела в установившемся режиме. Эти соотношения в различных частях электрических машин изменяются в широких пределах: например, внутренний перепад составляет единицы процентов конвективного перепада в неизолированной медной шине с воздушным охлаждением и может в несколько раз превосходить конвективный перепад при водородном охлаждении сердечника статора. Подогрев (приращение температуры) среды при форсированном воздушном охлаждении полюсной катушки в 5—8 раз меньше конвективного перепада с поверхности канала, но при водяном охлаждении статорного стержня —в десятки раз больше этого перепада. В этих условиях универсальность уточненной трактовки постоянной времени по (4-12) нуждается в проверке.
Сопоставление приближенных решений по (4-9) и (4-12) с точными решениями задач теплопроводности для характерных активных частей электрических машин дает вполне благоприятную картину. Оказывается, что экспоненциальная форма кривой нагрева с постоянной времени, выступающей
Рис. 4-11. График повторнократковременной нагрузки и изменения температуры
в качестве меры тепловой инерции, характерна для пакетов активной стали статора или якоря как в основной, так и в торцовой зоне магнитопровода, а также для большей ча
сти обмоток якоря и индуктора машин постоянного и переменного тока с непосредственным и косвенным газовым охлажде
нием.
При внезапном изменении нагрузки процесс нарастания температуры в начальный отрезок времени можно рассматривать как адиабатный:
dt cG су/рсу/р
где kr^hlh— кратность перегрузки по току.
Характерно, что при экспоненциальном возрастании температуры ее установившееся значение практически достигается через промежуток времени, равный 4Т. Это видно из следующих значений О/^у= 1—е~</т:
Длительность процесса. . . Т2ТЗТ 4Т5Т
Температура в долях установив
шегося значения 0,6320,8650,9500,9820,993
Типичным режимом нагрузки некоторых электрических машин, например прокатных двигателей, является режим повторно-кратковременной нагрузки. Если время работы с нагрузкой (рис. 4-11) в каждом цикле т равно тн и время холостого хода равно То, т° отношение Тн/т = Тн/(тн+то) дает относительную продолжительность включения (обычно она измеряется в процентах и равна 15; 25 или 40%). Кривая 1 относится к повторно-кратковременному режиму, кривая 2— к длительному.
По истечении некоторого времени режим устанавливается, т. е. уменьшение температуры за время остывания т0 становится равным увеличению температуры за время тн-
В установившемся повторно-кратковременном режиме l-e-^е""^'1 - е~х1Т „
Фтах = ~ е—ТТ ' ^У- п >$min ——т/уVy. п,
где Оуп — установившееся значение температуры в длительном режиме.
4-7. Теплообменники
В зависимости от рода охлаждающей среды в электрических машинах применяются теплообменники различных типов. Основное значение имеют воздухо- и газоохлади- тели, в которых циркулирующий в машине воздух или водород охлаждается водой. В последнее время в связи с развитием водяного охлаждения обмоток все большее распространение приобретают водо-водяные теплообменники, предназначенные для охлаждения циркулирующего в каналах обмоток дистиллята или конденсата.
Для охлаждения масла, циркулирующего в подшипниках, применяют водяные маслоохладители. Наконец, некоторые закрытые электрические машины охлаждаются воздухом машинного зала путем применения воздухо-воздушных теплообменников. В последнем случае внутри машины циркулирует замкнутый объем воздуха под воздействием вентиляторов на валу машины.
Работа теплообменников разных типов характеризуется большой общностью. Независимо от конструкции охладителя механизм теплообмена сводится к передаче теплоты от теплоносителя, циркулирующего внутри машины, теплоносителю, циркулирующему вне машины. Таким образом, в процессе теплопередачи участвуют: теплоотдача — передача теплоты от первого теплоносителя к наружным стенкам охлаждающих трубок; теплопроводность от наружных стенок трубок к внутренним; теплоотдача — передача теплоты от внутренних стенок ко второму теплоносителю. Поэтому суммарное сопротивление процесса включает в себя три составляющих — два сопротивления теплоотдачи и сопротивление теплопроводности:
_L^_L_+A+_L, (4.13) к О1П X а2
где к — коэффициент теплопередачи; ai — коэффициент теплоотдачи первого теплоносителя наружной поверхности трубок; 6 — толщина стенок трубок; X — коэффициент теплопроводности материала трубок; аг — коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности трубок второму теплоносителю; п — коэффициент оребрения трубок, равный отношению площади наружной поверхности трубок к площади внутренней.
Как видно из (4-13), для уменьшения суммарного теплового сопротивления теплообменника, или, иначе говоря, для увеличения его коэффициента теплопередачи, следует стремиться к увеличению коэффициентов теплоотдачи и уменьшению толщины стенок охлаждающих трубок. Последнее бывает связано с особенностями конструкции и технологии изготовления теплообменников. Что же касается коэффициентов теплоотдачи, то их значения, как известно, определяются главным образом характером движения соответствующего теплоносителя относительно стенок трубок.
Рис. 4-12. Коэффициенты теплопередачи воздухоохладителяРис. 4-12. Коэффициенты теплопередачи воздухоохладителяРис. 4-13. Коэффициенты теплопередачи водо-водяного теплообменникаю^— скорость конденсата; кщ- скорость водыРис. 4-13. Коэффициенты теплопередачи водо-водяного теплообменникаю^— скорость конденсата; кщ- скорость воды
Рис. 4-12. Коэффициенты теплопередачи воздухоохладителя
Рис. 4-12. Коэффициенты теплопередачи воздухоохладителя
Рис. 4-13. Коэффициенты теплопередачи водо-водяного теплообменника
ю^— скорость конденсата; кщ- скорость воды
Рис. 4-13. Коэффициенты теплопередачи водо-водяного теплообменника
ю^— скорость конденсата; кщ- скорость воды
Для типовых конструкций теплообменников электрических машин в практике получены расчетные формулы и графики коэффициентов теплопередачи (рис. 4-12—4-15).
При проектировании реальных теплообменников экспериментальное значение коэффициента теплопередачи уменьшают на 10—20 % для учета возможного загрязнения трубок или выхода из строя части их. Если считать значение коэффициента теплопередачи известным, расчет теплообменника можно построить на основе простейших соображений.
Пусть температура технической воды (из реки, градирни) на входе в теплообменник равна Ф№; подогрев воды в теплообменнике ДФЮ; температура охлажденного газа Фа; подогрев
- Рис. 4-14. Коэффициенты теплопередачи воздуховоздушного охладителя—скорость воздуха внутри машины, 1УН — скорость ' наружного воздуха- Рис. 4-14. Коэффициенты теплопередачи воздуховоздушного охладителя—скорость воздуха внутри машины, 1УН — скорость ' наружного воздухаРис. 4-15.- Коэффициенты теплопередачи маслоохладителя t>M—скорость маслаРис. 4-15.- Коэффициенты теплопередачи маслоохладителя t>M—скорость масла
- Рис. 4-14. Коэффициенты теплопередачи воздуховоздушного охладителя
—скорость воздуха внутри машины, 1УН — скорость ' наружного воздуха
- Рис. 4-14. Коэффициенты теплопередачи воздуховоздушного охладителя
—скорость воздуха внутри машины, 1УН — скорость ' наружного воздуха
Рис. 4-15.- Коэффициенты теплопередачи маслоохладителя t>M—скорость масла
Рис. 4-15.- Коэффициенты теплопередачи маслоохладителя t>M—скорость масла
Рис, 4-16. Противоток теплоно-сителейгаза в машине ААа; отводимые теплообменником потери Р; расход воды Qw; расход газа Qa. Тогда средняя арифметическая разность температур воды и газа составит (рис. 4-16)^а—^ш — ДОщ) _Рис, 4-16. Противоток теплоно-сителейгаза в машине ААа; отводимые теплообменником потери Р; расход воды Qw; расход газа Qa. Тогда средняя арифметическая разность температур воды и газа составит (рис. 4-16)^а—^ш — ДОщ) _=Аа— Аш 4=Аа— Аш 4А8а — Л^ш2А8а — Л^ш2(4-14)(4-14)
Рис, 4-16. Противоток теплоно-сителей
газа в машине ААа; отводимые теплообменником потери Р; расход воды Qw; расход газа Qa. Тогда средняя арифметическая разность температур воды и газа составит (рис. 4-16)
^а—^ш — ДОщ) _
Рис, 4-16. Противоток теплоно-сителей
газа в машине ААа; отводимые теплообменником потери Р; расход воды Qw; расход газа Qa. Тогда средняя арифметическая разность температур воды и газа составит (рис. 4-16)
^а—^ш — ДОщ) _
=Аа— Аш 4
=Аа— Аш 4
А8а — Л^ш
2
А8а — Л^ш
2
(4-14)
(4-14)
На самом деле противоток теплоносителей, подобный изображенному на рис. 4-16, осуществляется в конструкциях теплообменников электрических машин лишь в исключительных случаях. Обычно один из теплоносителей, например газ в газо- охладителях, движется перпендикулярно оси охлаждающей трубки. По этой причине формулу (4-14) следует рассматривать как приближенную, увеличивающую (весьма, впрочем, незначительно) истинное значение Аб1.
При расчете теплообменника искомым является температура охлажденного теплоносителя, циркулирующего внутри электрической мдшины:
Аа = Ат + А А - ААО - (ААО - A AJ/2.
Добавим теперь значения подогрева теплоносителей. Как очевидно,
АА0 = -^- и ААЮ = —СаЧа
где са и cto — удельная объемная теплоемкость сред.
В то же время теплообменник в целом отводит теплоту в соответствии с уравнением баланса, составленного с применением коэффициента теплопередачи к по (4-13):
P = kF<M,
где Fa— площадь наружной, т. е. оребренной поверхности трубок.
Таким образом, для Аа окончательно имеем
Аа = А W + P(—F—-—Y(4-15)
"\ kF a 2caQa ^Q™ )
Температура охлажденного газа в воздухо- и газоохлади- телях, или конденсата в водо-водяных теплообменниках, или масла в маслоохладителях регламентируется в техническом
задании на проектирование электрической машины. Как видно из (4-15), для достижения заданного значения проектировщик может варьировать лишь следующие параметры теплообменника: Fo, т. е. число и длину трубок, Qa и Qw
Глава пятая
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
5-1. Вводные замечания
Непосредственным называется такой способ охлаждения электрических машин, при котором охлаждающая среда находится в прямом контакте (соприкасается) с элементами коне грукппп, выделяющими теплоту.
< .ис tc-мы непосредственного охлаждения весьма эффективны н шономичны Но этой причине они находят все более широкое применение в конструкциях электрических машин.
Внедрение непосредственного охлаждения позволило не только резко повысить удельные нагрузки машин и увеличить их единичную мощность в достигнутых ранее предельных габаритах, по и привело к некоторым качественным изменениям процесса теплообмена, благодаря которым оказалось, в частности, возможным повысить точность тепловых расчетов. Последнее обстоятельство очень важно для практики проектирования. Значительно повышая использование активных материалов машины, увеличивая плотность тока и линейные нагрузки до не апробированных практикой значений, проектировщик должен располагать гарантиями надежности создаваемых конструкций. Известные методы теплового расчета систем непосредственного охлаждения в большинстве случаев обеспечивают такие гарантии.
В целях непосредственного охлаждения в элементах конструкции, выделяющих теплоту, принципиально выполняются каналы, по которым циркулирует охлаждающая среда. Такая конструктивная схема наиболее точно соблюдается, например, при непосредственном охлаждении обмотки статора водой, когда все элементарные проводники обмотки или определенная часть их выполнены в виде полых медных трубок прямоугольного сечения (рис. 5-1).
Приведенная характеристика конструктивной схемы непосредственного охлаждения в известной мере условна. Выполнение каналов в меди обмоток или в активной стали не является обязательным. Каналы могут быть проделаны, например, в изолирующих деталях. Важно только, чтобы по крайней мере
Рис. 5-1. Сечение обмотки с водяным охлаждением
Рис. 5-2. Канал обмотки ротора турбогенератора
одной стенкой канала служил элемент конструкции, выделяющий теплоту (рис. 5-2).
Иногда при непосредственном охлаждении понятие канала оказывается еще более условным, например при охлаждении обмоток возбуждения явнополюсных синхронных машин, когда охлаждающий газ циркулирует в междуполюсном пространстве, находясь в прямом контакте с боковой поверхностью катушек обмотки (рис. 5-3).
Могут быть осуществлены и конструктивные схемы смешанного типа, в которых для охлаждения какого-либо одного активного элемента применяются каналы, различные по форме и по характеру циркуляции охлаждающей среды.
Активная сталь статора электрических машин с воздушным и газовым охлаждением в схемах аксиальной вентиляции имеет каналы стабильных по длине машины размеров (рис. 5-4). В схемах радиальной вентиляции каналы образованы вентиляционными распорками между пакетами активной стали и их поперечное сечение увеличивается в направлении наружного диаметра сердечника (рис. 5-5). В радиальных схемах не все, а только крайние листы пакетов стали непосредственно омываются охлаждающей средой (через слой лака). Следует отметить, что слова «непосредственное охлаждение» чаще всего относят к обмоткам с каналами для охлаждающей воды.
Геометрические. параметры охлаждающих каналов являются важной характеристикой систем непосредственного охлаждения. Речь идет о длине, живом сечении и периметре
Рис. 5-3. Полюсное окно синхронной машины
Рис. 5-4. Аксиальный вентиляционный канал в активной стали
Рис. 5-5. Радиальный вентиляционный канал
Рис. 5-6. Условный охлаждающий канал электрической машины
/ — омываемая поверхность активного элемента, выделяющего теплоту; 2 — изоляционные стенки канала, не участвующие в теплообмене; 3 —-охлаждающая среда; геометрический периметр канала П=2а+26; смоченный — Пс = а^-2Ь; эффектив
ный Пэ=а
Рис. 5-7. Каналы на поверхности обдуваемой машины
каналов. При этом понятие геометрического периметра каналов не всегда оказывается достаточным. Так, например, в гидравлических расчетах при определении гидравлического диаметра каналов применяется понятие смоченного периметра. Смоченным называется часть геометрического периметра, которая находится в контакте с циркулирующей в каналах средой. Отличие смоченного и эффективного периметров от геометрического иллюстрируется на рис. 5-6. В практике охлаждения электрических машин понятия смоченных и геометрических периметров, как правило, тождественны, но в отдельных случаях они различаются (рис. 5-7).
В тепловых расчетах бывает необходимость употреблять понятие эффективного периметра. Эффективным называется часть смоченного периметра, которая выделяет теплоту в канал.
В дальнейшем, в тех случаях когда эффективный или смоченный периметр совпадает с геометрическим, будем применять выражение периметр, не оговаривая особо тождественность указанных понятий.
5-2. Тепловой расчет проводника с током
Рассмотрим полый проводник с током, в котором циркулирует охлаждающая среда (рис. 5-8). Примем, что расположенные поблизости другие проводники имеют на концах (на выходе и выходе каналов) ту же температуру, что и рассматриваемый. Иными словами, условимся, что в схеме охлаждения наблюдается тепловая симметрия и продольный теплообмен на концах проводника отсутствует. Примем также, что все потери отводятся охлаждающей средой в канале. Физические параметры охлаждающей среды, т. е. плотность, теплоемкость, теплопроводность и вязкость, будем считать постоянными и равными их значениям при средней температуре среды. Пренебрежем также изменением давления охлаждающей среды при ее движении вдоль по каналу. Тогда и коэффициент теплообмена окажется величиной постоянной. Анализ сделанных допущений дается в дальнейшем.
Будем считать, что удельные потери р, выделяемые в единице объема проводника, при температуре охлаждающей среды на входе в канал равны р0 и их зависимость от температуры определяется соотношением
р = р0(1 + РМ
где Фи — превышение температуры проводника в рассматриваемом сечении над температурой охлаждающей среды при входе в канал; р — температурный коэффициент.
Введем обозначения: Фс— превышение температуры охлаждающей среды в рассматриваемом сечении над ее температурой при входе в канал; П — эффективный периметр канала;
1х1хРис. 5-8. Полый проводник с током
1х
1х
S— площадь сечения проводника; Q — расход охлаждающей среды через канал.
Рассмотрим процесс теплообмена на длине проводника dx за сечением х считая от начала, т. е. на участке х, хЛ-dx. Сформулируем условие теплового баланса для рассматриваемого элемента: выделенное в элементе за время dt количество теплоты dP равно сумме количества теплоты dP^ отведенной из элемента за счет теплопроводности, и количества теплоты dPa, отведенной за счет теплоотдачи:
dP = dPx + dPa.(5-1)
В единицу времени в элементе проводника выделяется количество теплоты
dP = рй (14 Ш dV = р0 (1 + Р»п) Sdx,
где dV — объем элемента проводника.
Количество теплоты dP^, отведенное из элемента за счет теплопроводности, равно разнице между количеством теплоты, поступившим через грань x+dx, и количеством теплоты, через грань х.
Согласно закону теплопроводности Фурье тепловой поток через грань х
а через грань xA-dx —
Ръ x+dx = — XS(»п + ^п) -
Тогда отведенная из элемента за счет теплопроводности теплота
dPk = PK,x+dx-Px,x = -XS^ = -XS^-dx.
dxdx4
Знак минус в выражении потока dPK объясняется тем, что поток направлен в сторону уменьшения температуры, противоположную положительному направлению оси х.
Определим теперь теплоту dPa, отведенную из элемента проводника за счет теплоотдачи. Очевидно, в соответствии с формулой Ньютона
dPa = а (йп—^с) ndx.
Теперь условие теплового баланса (5-1) запишется в виде
p0S (1 + ₽^п) dx = а (»п—^с) Hdx—XS —п- dx.
dx2
Разделим полученное уравнение на объем рассматриваемого элемента dV=Sdx; тогда
Ро(1 + №п) = ^-а($п-$с)-Х^.(5-2)
Sdx2
Мы получили уравнение Пуассона для установившегося одномерного течения с охлаждением.
Рассмотрим теперь воздействие воспринятого потока на параметры охлаждающей среды. Вся теплота, перешедшая на участке х, x+dx в охлаждающую среду, идет на повышение ее энтальпии:
а (^п—<М ndx = Qcd'&c ■(5-3)
В результате имеем систему уравнений (5-2) и (5-3). Подставляя второе уравнение в первое, получаем основное уравнение рассматриваемой задачи
p0S(l + p»n) + XS-^ = CQ-^-.(5-4)
dx2dx
Для отыскания решения уравнения (5-4) избавимся в нем от одной из двух неизвестных функций, для чего вместо переменной Фи и ее производных подставим их значения, полученные из (5-3):
А cQ d^c । А dftn cQ d4c . d%c
Un —г Uc^ ==г)
«П dxdx all dx2 dx
d2KcQd»»cd?%c
dx2all dx3dx2
После ние.(5-4)После ние.(5-4)соответствующей подстановки и упрощения уравне- перепишется в виде
После ние.(5-4)
После ние.(5-4)
d3^c , <Рдс . dftc . а■^+Ol-^r+t,*-?r+"A=d3^c , <Рдс . dftc . а■^+Ol-^r+t,*-?r+"A=азазPP(5-5)(5-5)
d3^c , <Рдс . dftc . а
■^+Ol-^r+t,*-?r+"A=
d3^c , <Рдс . dftc . а
■^+Ol-^r+t,*-?r+"A=
аз
аз
P
P
(5-5)
(5-5)
ЗдесьЗдесьPoPS—all „PoPS—all „РоРаПXcQРоРаПXcQаП
Здесь
Здесь
PoPS—all „
PoPS—all „
РоРаПXcQ
РоРаПXcQ
XSXSai = ——\ а»cQ
XS
XS
Как видим, полученное дифференциальное уравнение теплообмена в полом проводнике с током является неоднородным линейным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициентами и правой частью, не зависящей от аргумента х. Аргументом уравнения является переменная длина канала, искомой функцией — превышение температуры охлаждающей среды.
Прежде чем приступить к решению уравнения (5-5), заметим, что на основе этого решения может быть получено превы- 88
шоние температуры проводника в любом сечении, если воспользоваться дополнительно уравнением (5-3), в соответствии с которым
»п = ^с + —
«1 ах
Запишем теперь характеристическое уравнение однородной части дифференциального уравнения (5-5) в виде
к3 4-агк2 + О2^ + а8 = 0.(5-6)
Тогда для действительных корней характеристического уравнения (5-6) общее решение уравнения (5-5) будет иметь вид
»с = С1е^ + С2е^ + С3Лх + С4, (5-7) где кь к2 и кз—корни характеристического уравнения; Сь С2 и Сз — постоянные интегрирования; С4— частное решение неоднородного уравнения (5-5).
Так как частное решение есть величина постоянная, то С4= —1/р.
В том случае, когда два корня характеристического уравнения являются числами комплексно-сопряженными, общее решение уравнения (5-5) будет иметь вид
Фс = Ci^1* + С'^ cos vx + Сз^ sin vx 4- С4, (5-8)
где кх — первый (действительный) корень характеристического уравнения; ^2=P-+vi и кз = ^—м1 — соответственно второй и третий (комплексно-сопряженные) корни.
Для отыскания постоянных интегрирования рассмотрим граничные условия. Учтем, во-первых, что подогрев среды при входе в канал равен нулю, т. е. б^О при х = 0. Во-вторых, воспользуемся сформулированными выше условиями тепловой симметрии, т. е. тем фактом, что на концах проводника не происходит продольный теплообмен и, следовательно, градиент температуры проводника равен нулю; тогда получим
d»c .1 d*Ac nnr
dxdx—=_._=_ =о при х = 0 и x = L.
dx
dx
dx at dx1r
Подстановка этих условий в уравнение (5-7) и в его производные по х для действительных корней характеристического уравнения приводит к следующей системе уравнений относительно постоянных интегрирования:
С1 + С2 + Сз = ——;
Р
С^ (1 + ^i^i) 4- Сгкз (1 -j- ^2^1) + Сз^з (1 + kjaj — 0;
Cik^e ^ (1 4- kjaj 4- C2k2efeaL (14- kja^ 4~
4-C3V3L(l 4- "^-) = °-
Отсюда искомые постоянные
1^23•
Р Д12 + ^23 + Дз1Р Д12+Д23+Д31
£ 1Д 12
Р Л12 + Дгз + Д31
где
Я12 = ^1^2(1 4“ ^1/^1) (1 -Ь к^/и^) (е —е^У,
Л23 = Мз (1 + W (1 + W ^L -ek»Ly (5-10)
Л si = /г3/?1 (1 + к31 а-^ (1кг!а^ ^eSL—eklL). ]
Если два корня характеристического уравнения — числа комплексно-сопряженные, то система уравнений относительно постоянных интегрирования будет иметь вид
c;+c;=i/₽;
С1Л Ц- С^В -|- C3D = 0;С1Л Ц- С^В -|- C3D = 0;(5-11)(5-11)
С1Л Ц- С^В -|- C3D = 0;
С1Л Ц- С^В -|- C3D = 0;
(5-11)
(5-11)
С;С + СгЛ1 + Сз^ = 0,
где
А = кг + к1/аг; В = \х1аг—v2/ai + р;
D = 2pv/ai + v; G = kxeklL + (^i/ai) ^xL;
M = e'xL cos vL — —— pve^ sin vL — 04av
v2 uL T ,Г
e cos xL + cos vL —
■ «I
—•vey,L cos vL = ^L (B cos mL — D sin vL);
N = -^— ev‘L sin vL -|——cos ■vL —
QiOi
— ev,L sin vL + pe^ sin vL + 01
+ ve11^ cos vL = ^L (B sin vL + D cos vL).
При принятых обозначениях
G' = JBN — DM
(5-12)(5-12)p BN-VDG — MD — AN ’
(5-12)
(5-12)
JDG — AN
P BN — DG — MD — AN ’
1
AM—BG
p
BN + DG — MD — AN
Как видим, полученные решения весьма громоздки. По этой причине целесообразно проанализировать пути их упрощения. Проделаем это для вещественных корней характеристического уравнения — наиболее часто встречающегося случая. Прежде всего обращает на себя внимание то, что два из трех корней (5-6) кх и fe2 значительно превосходят по абсолютному значению третий корень этого же уравнения к3 (а3 мало). Указанный факт позволяет сделать два практических вывода. Во-первых, для приближенного нахождения корней кХд можно воспользоваться квадратным уравнением &2 + ai£ + a2 = 0. Кроме того, в общем решении (5-7) можно пренебречь величинами второго порядка малости, что практически не отразится на точности вычислений. Если обозначить через кх отрицательный корень характеристического уравнения и через к2— положительный, решение будет иметь вид
fic = — (С*е^х + С^ И+кзь + №х -1);
12+ ^23^12+^23^12+^23
А12 = — ^1^2 (1 ~Н kJctj (1 Ч- kJctj;
A23 = k2k3 (1 -|- kjaj (1 -(- kjaj;
^4ai = k3kx (1 4- kjaj (1 + kjaj.
Анализ тепловых расчетов непосредственно охлаждаемых проводников показывает также, что ошибка в вычислениях в большинстве случаев весьма невелика, если допустить при составлении уравнения процесса, что тепловыделение в проводниках не зависит от температуры. При этом следует считать, что удельное сопротивление проводников равно их удельному сопротивлению при средней температуре, оцениваемой предварительно. Тогда p = po = const и уравнение процесса не содержит искомой функции ^г, что позволяет снизить его порядок на единицу, произведя почленное интегрирование:
ds»c , d^cdSc , n
—Y2-A + p = °;
dx^dx^dx
fic = (У + № + -P - X + ti;
?2
с° = Y1P 1 ~ ^ •
T2 eF1L — eiL
ro YiP l-er'L0 YiP
U2 — IC3 =
V2 er=L —/1Ly|
Пути дальнейшего упрощения решения основаны на следующем рассуждении. Общее решение (5-7) представляет собой сумму трех экспонент и постоянной величины. Влияние двух .экспонент сказывается, и притом весьма незначительно, лишь на концах проводника, где в большей мере проявляется выравнивающее действие теплопроводности. Таким образом, решающую роль в формировании температуры проводника играют лишь два из четырех слагаемых общего решения.
Сделанный вывод позволяет допустить в качестве упрощающей предпосылки, что влияние теплопроводности проводника пренебрежимо мало (Х = 0). При этом допущении уравнение процесса принимает вид
all <№с аП
8 dx ~Р° cQ ’
- откуда
$в=_嫧_х.
cQai dx cQ «П
Следовательно, при допущениях о независимости тепловыделения от температуры проводника и об отсутствии влияния его теплопроводности получаем линейное распределение температуры по длине проводника. При этом разность температуры проводника и среды на всем протяжении проводника оказывается неизменной и равной р05/(аП).
Определим, чему равно при сделанных допущениях максимальное превышение температуры проводника, когда x=L-.
(£ИЗ) \ cQ аП /
Следует особо подчеркнуть, что удельные потери ро Должны быть в данном случае взяты для средней температуры проводника, определяемой предварительно. В случае большого расхождения полученной температуры и предварительно принятой необходимо выполнить расчет второго приближения.
В табл. 5-1 и на рис. 5-9 и 5-10 приведены некоторые результаты расчета по формулам (5-7), (5-8) и (5-13); w— скорость движения среды.
Анализ результатов расчета приводит к следующим выводам.
Тепловой расчет сравнительно длинных проводников, охлаждаемых непосредственно, надо производить по упрощен-
Pin' 5 9 Превышение темпе- |>Л|уры 9„ ( ) и Ос ( ) пн длине провод-li ик.иPin' 5 9 Превышение темпе- |>Л|уры 9„ ( ) и Ос ( ) пн длине провод-li ик.иРис. 5-10. Превышение температуры проводников с короткими каналамиРис. 5-10. Превышение температуры проводников с короткими каналами
Pin' 5 9 Превышение темпе- |>Л|уры 9„ ( ) и Ос ( ) пн длине провод-
li ик.и
Pin' 5 9 Превышение темпе- |>Л|уры 9„ ( ) и Ос ( ) пн длине провод-
li ик.и
Рис. 5-10. Превышение температуры проводников с короткими каналами
Рис. 5-10. Превышение температуры проводников с короткими каналами
Ний формуле (!> 13) При этом ошибка в определении макси- млдН.шно превышения температуры не превосходит одного- диух градусов, что вполне приемлемо для практического lipoeKI ИроНИНИЯ.
У Для весьма коротких каналов, охлаждаемых воздухом, шиорый циркулирует со сравнительно небольшой скоростью (йим комплексно сопряженных корня характеристического урщикннн), млинние теплопроводности проводника оказыва- #Нй йкгьмй Н1ВЧНТСЛЫ1ЫМ. Максимальное превышение темпе- |1йГУ|)Ы пройоднпкв в этом случае практически не отличается hi среднею (рис 5 10). Использование упрощенной формулы И плеск целесообризно, по она должна применяться в форме, унн।ыниншн'П иырлнпивапие температуры по длине канала:
Ннмгп Нриеип IHb в V
( )ХЛЛЖДЛЮ|ЦЛЯ срсдл
р.,-10-6 Вт/мя
L, м
м'с
с-КГ3’ Дж
П- ИГ, м
мМ<
/
Воздух
0,4
о,1
10
1,1
70
9
То же
1,0
0,4
40
U
35
Я
Водород
6,0
0,4
40
5,5
35
4
То же
2,0
2,0
40
5,5,
35
Л
»
1,0
4,0
40
5,5
35
6
Вода
8,0
24,0
3
4,19-Ю3
35
all
Таблица 5-1
Допущения, принятые при составлении дифференциального уравнения теплообмена, практически не отражаются на результатах расчета, поскольку влияние более существенных допущений оказалось весьма незначительным.
Следует еще добавить, что для длинных каналов, когда энергия, затрачиваемая на циркуляцию охлаждающей среды, сравнительно велика, потери энергии на трение о стенки каналов не приводят к повышению температуры охлаждающей среды. В соответствии с уравнением энтальпии температура изолированной струи газа может изменяться лишь за счет изменения скорости движения (см. § 9-7),
5-3. Метод относительных единиц при тепловом расчете электрических машин с непосредственным охлаждением
Тепловой расчет электрических машин выполняется на основе применения законов теплопроводности, причем коэффициенты теплопроводности и теплообмена определяются экспериментально на модельных установках. В то же время достоверность тепловых расчетов всегда проверяется путем пересчетов по прототипам, т. е. используются результаты исследования электрических машин данного класса в условиях эксплуатации. При этом, естественно, приходится оперировать понятиями средних коэффициентов теплопроводности и теплообмена, относимых к машине в целом, либо к крупным конструктивным узлам. Пересчеты по прототипам позволяют корректировать численные значения ряда коэффициентов, для того чтобы приблизить результаты теплового расчета машин какой-либо определенной серии к результатам испытаний головных образцов на нагревание.
В электрических машинах с непосредственным охлаждением необходимость тепловых расчетов по прототипам становится более актуальной, а сами расчеты существенно упрощаются. Благодаря тому что число разнотипных тепловых сопротивлений на путях основных тепловых потоков сокращается, точность предопределения максимальных превышений температуры увеличивается; с другой стороны, по этой же причине оказывается удобным применять в расчете метод относительных единиц.
Результаты фавйительных расчетов оказываются надежными при условии, что прототип рассматриваемой конструкции изготовлен и исследован [48]. При этом существенно, что с большой точностью удается анализировать нагревание отдельных элементов конструкции, например обмотки возбуждения или стали статора, независимо от того, является ли система охлаждения исследованной машины в целом прототипом рассматриваемой системы или ^в обеих системах подобны лишь интересующие нас элементы. 'В дальнейшем будем называть такую машину и режим, при котором она испытана, базовыми.
Мощность электрической машины ограничена при непосредственном охлаждении допустимым максимальным превышением температуры активных частей, которое для каждого данного класса изоляции можно считать величиной постоянной. Это превышение в первом приближении равно сумме подогрева среды и конвективного теплоперепада между средой и стенкой охлаждающего канала.
О* = Ос + <>к-
При этом
следовательно,
(5-14)
Чтобы удержать максимальное превышение температуры на заданном уровне, при повышении мощности машины и увеличении отводимых средой потерь Р необходимо, как это видно из выражения (5-14), увеличивать расход охлаждающей среды Q, коэффициент теплообмена а и площади поверхности охлаждения F. В случае непосредственного охлаждения газом может быть также увеличена удельная объемная теплоемкость путем повышения начального давления.
Для выяснения количественных соотношений автор предложил воспользоваться относительными значениями отводимых потерь, расхода среды, площади поверхности охлаждения, теплоемкости и коэффициента теплообмена. Как видно из (5-14), потери, отводимые средой, выражаются через параметры режима и конструкции следующим образом:
р _
l/(cQ)+ 1/(«Д) "
Отсюда относительные потери при изменении конструкции и режима
р* = ^2 =
Pi Ci Qi cti Fi a^F^ C2Q2
. =c*Q*a*F*,(5-15)
cc^F^ С2Ф2
где индекс 1 означает базовые конструкцию и режим, индекс 2 — режим и конструкцию с измененной мощностью, индекс* служит признаком относительного значения параметра.-
Выражение (5-15) для относительных потерь неудобно тем, что содержит не только относительные, но и абсолютные значения параметров. К более удобной для анализа форме можно
прийти, если составить выражение для относительной поверхности охлаждения. На основании (5-14) можно записать
Р F^ Р^ ах &м1—Pi/(ciQi)
а[»м —P/cQ] ’FtPiа29M2 — Р2 (C2Q2)
Так как Pi/(ciQi) =ОС1 есть прдогрев среды базовой конструкции в базовом режиме, то после подстановки можно записать
Р2 «1 ОМ1 — del Р2 «1
&м1/»с1 - 1= Р* »М1/»С1 - 1
»ма Р2 Qi Cl a* W^ci-P*/(C*Q*)
^ci Pi Qi ci
Имея в виду, что ^2/^1= ^м и отношение f>Mi/6ci зависит лишь от базового режима, т. е. является величиной заданной, обозначим ее т; тогда
г.*, Р* т — 1е
<-ip-/(cV) ;
j(5-16)
mFXI
^)* мI
(m—l)/a* 4 F*/(c*Q*),
Таким образом, получено выражение для относительного значения отводимых потерь в функции относительных значений параметров конструкции и режима. Оно позволяет судить о возможностях системы охлаждения при тех или иных изменениях параметров.
Для полноты сопоставления необходимо также оценить относительное изменение мощности, затраченной на охлаждение, при переходе от одной системы охлаждения к другой.
Затраченная на охлаждение мощность
Ps = kiQAp,
где Др — избыток давления напорных элементов.
В свою очередь, при мало изменяющемся сечении каналов Ap — k2pLQ2,
где к\ и к2 — коэффициенты пропорциональности; р — плотность охлаждающей среды; L — длина охлаждающего канала.
Следовательно, Pa=kik2pLQ3 и
p^p’lXq*)3.(5-17)
Введем коэффициент качества охлаждения
к^Р*!Р*а.(5-18)
Этот коэффициент, характеризующий относительное изменение затрат мощности на охлаждение при увеличении отводимых потерь, позволяет сопоставлять различные меры интенсификации охлаждения. Проведем такое сопоставление. (При решении конкретных задач будем считать, что класс изоляционных материалов неизменен, т. 6.^= 1»0)
Увеличение расхода среды. Расход охлаждающей среды при заданном способе охлаждения в первом приближении пропорционален мощности машины. Так, например, расход воздуха в гидрогенераторах при повышении их мощности от 50 до 225 МВт возрастает соответственно от 40 до 180 м3/с. Допустим теперь, что необходимо дальнейшее увеличение расхода воздуха с целью увеличения мощности возбуждения. При этом часть параметров останется неизменной: F* — 1; с*=1; р*=1; L*=l.
Предположим, что теми или иными средствами удалось увеличить расход воздуха, омывающего поверхность катушек возбуждения, на 50%, т. е. Q*=l,5 и а*= 1,50,8= 1,38. При этом получим
р* =2JJ= 1 43• = j 1 j 5з = 3 4
2-—11
1,38 + 1-1,5
==0,42.
3,4
Отсюда следует, что увеличение расхода охлаждающей среды хотя и дает эффект в охлаждении, но приводит к заметному снижению КПД машины (рис. 5-11).
Увеличение поверхности охлаждения. Иногда стремятся интенсифицировать процесс охлаждения за счет увеличения поверхности теплосъема, оставляя все прочие параметры неизменными. Так, например, известно предложение наматывать на каждый сердечник полюсов ротора гидрогенератора по две катушки обмотки возбуждения с зазором между катушками, по которому мог бы циркулировать охлаждающий воздух. Эта мера позволяет увеличить площадь поверхности охлаждения примерно в 3—3,5 раза. Определим, во сколько раз при этом может быть увеличена мощность возбуждения. Условиями расчета являются: К* = 3,5; а*=1; с*=1; Q*=l; р*=1; Т*=1.При этом
=|-7- ^:-1 1 1-1;
1-1
ь _ *1 у
9797К 1,0
97
97
Рис. 5-11. Зависимость параметров системы от расхода средыРис. 5-11. Зависимость параметров системы от расхода средыРис. 5-12. Зависимость параметров системы от площади поверхности охлажденияРис. 5-12. Зависимость параметров системы от площади поверхности охлаждения
Рис. 5-11. Зависимость параметров системы от расхода среды
Рис. 5-11. Зависимость параметров системы от расхода среды
Рис. 5-12. Зависимость параметров системы от площади поверхности охлаждения
Рис. 5-12. Зависимость параметров системы от площади поверхности охлаждения
Таким образом, увеличение поверхности теплосъема более рациональная по сравнению с увеличением расхода мера интенсификации охлаждения (рис. 5-12). Однако когда поверхность охлаждения примерно в шесть раз превосходит по площади базовую, ее дальнейшее увеличение и связанное с ним усложнение конструкции могут оказаться мало оправданными.
Увеличение коэффициента теплоотдачи. В некоторых случаях целесообразно повышать скорость движения охлаждающей среды и, как следствие, коэффициенты теплообмена, не изменяя при этом расход среды и другие параметры. Так, например, в последние годы в электромашиностроении наметилась тенденция сокращать ширину вентиляционных каналов в сердечниках машин с радиальной вентиляцией. Определим эффективность этой меры.
Предположим, что ширина каналов при неизменном расходе среды уменьшена вдвое и, следовательно, скорость среды возросла также вдвое, а коэффициент теплоотдачи — примерно в полтора раза; тогда F* = 1; а* = 1,5; с*= 1; Q* = 1; р*= 1; L = 1;
*2,4-11
р* =:= 1,25;
2,4—11
1,5+ 1-1
р* = p*L*Q* (V)2 = 1 -1 -1 • 2* = 4;
£к = -^= 0,312-4
Здесь в связи с существенным изменением размеров сечения каналов в формулу для мощности должна быть введена скорость среды.
мена
Соответствующий график для более широкого диапазона изменения коэффициента теплоотдачи приведен на рис. 5-13. Как видно, повышать коэффициент теплоотдачи при прочих неизменных параметрах выгодно лишь в тех случаях, когда затраты мощности на циркуляцию охлаждающей среды в каналах крайне незначительны.
Увеличение теплоемкости среды. При повышении давления газа внутри корпуса машины удельная объемная теплоемкость увеличивается прямо пропорционально абсолютному давлению. При этом возрастает также коэффициент теплоотдачи. Рассмотрим, к чему приведет повышение давления в три раза при неизменных других условиях. При F*=l; с* = 3; а* = 3°'8 = 2,42; Q* = l; р = 3; £* = 1 имеем
р* =^оа= 2 692,0—11
2,42 + 31
р* = 3-11 = 3;^к = -^-= 0,896.
Соответствующие графики приведены на рис. 5-14. Из них следует, что повышение давления газа при непосредственном охлаждении является весьма рациональной мерой.
Замена охлаждающей среды. Известно предложение охлаждать обмотку роторов турбогенераторов воздухом, предварительно сжатым до давления 4—5 МПа (40—50 атм). Цель предложения: избежать трудностей водяного охлаждения роторов. Оставляя в стороне вопросы, не связанные с эффективностью охлаждения, сопоставим обе охлаждающие среды, приняв конструкцию ротора с водяным охлаждением за базовую. Имеем: F*=l; а* = 0,23; с* = 0,0132; Q* = 35; р* = 0,055; £*=1;
Р* =1^05'1= 0,46-
1,005 — 11
0,23+ 0,0132-35
Рз = 0,055 • 1 • 352 = 2360;
£к = 0,46/2360 = 0,0002.
Как видно, сжатый воздух сравнительно мало уступает воде по своим теплоотводящим возможностям, однако охлаждение сжатым возухом потребовало бы дополнительного расхода большого количества энергии.
Выбор длины охлаждающих каналов
При непосредственном охлаждении активных частей электрических машин преимущества коротких каналов перед длинными очевидны. Укорочение каналов позволяет при тех же затратах мощности охладить машину до более низкой температуры или при необходимости охлаждения до определенной температуры расходовать на охлаждение меньшую мощность. Однако технические возможности выполнения коротких каналов бывают ограниченными. В случае охлаждения мйшин жидкостью, особенно водой, проблема длины канала зачастую не имеет решающего значения, но в машинах, охлаждаемых водородом, она становится актуальной и приобретает первостепенную важность в тех конструкциях, которые предусматривают непосредственное охлаждение активных частей воздухом.
В связи с этим ниже представлены некоторые основные расчетные соотношения в такой форме, что длина канала входит в них в явном виде. Проделаем это, исходя из приближенной формулы (5-14) для максимального превышения температуры. Перепишем; ее в виде
Здесь р— потери на единицу канала; L — длина канала; w — скорость движения среды в канале; d — гидравлический диаметр канала.
Коэффициент теплоотдачи а может быть определен на основе критериального уравнения теплообмена в каналах
а= rao0,8d~0'2, (5-20) где /г = 0,023 XrPr°’4/v0-8.
Прежде чем приступить к преобразованию расчетных формул, рассмотрим возможные технические условия, которые в различных случаях могут быть положены в основу проектирования системы охлаждения машины. Основным следует считать одно из следующих двух условий.
Давление нагнетательных элементов системы охлаждения является величиной заданной. Необходимо определить зависимость максимального превышения температуры проводников от длины каналов, например, при охлаждении воздухом обмотки возбуждения гидрогенераторов.
Максимальное превышение температуры проводников задано. Требуется определить зависимость необходимого давления нагнетательных элементов от длины охлаждающих каналов, например, при охлаждении водородом обмотки возбуждения турбогенераторов.
Рассмотрим вначале первое условие (см. гл. 9):
Ар = £-+-to2 = 0i + +р~)-— w2 = const. (5-21)
(5-22)получим (5-23)(5-22)получим (5-23)Воспользуемся выражением (5-21) для получения зависимости превышения температуры проводника от длины канала. Для этой цели исключим из (5-19) величину w. Из (5-21) имеем
(5-22)
получим (5-23)
(5-22)
получим (5-23)
Тогда после подстановки (5-20) и (5-22) в (5-19) ^ = a'L0i + ^р -у) + b 01+ +р "7) ’
где а'где а'pd°’2pd°’2Д-4Д-4
где а'
где а'
pd°’2
pd°’2
Д-4
Д-4
В типовом случае — для прямых каналов постоянного сечения, при £=1,5 удобнее пользоваться формулой Ом = х(a L + b у), где значения коэффициентов х и у берутся в зависимости от относительной длины канала L[d из графиков на рис. 5-15.
Следует иметь в виду, что значение коэффициента трения ХТр, зависящего от скорости (неизвестной) движения среды, должно быть принято предварительно, как это обычно делают в вентиляционном и гидравлическом расчетах. При необходимости после выбора длины канала может быть проделано второе приближение. Как правило, однако, в этом нет необходимости, поскольку коэффициент трения зависит от скорости незначительно, а ориентировочное значение скорости легко может быть получено на основе априор
ного задания длины канала.
Формулу (5-23) целесообразно применять лишь для диапазона относительных длин 30 <L]d< 300. Для L!d> >300 можно принять £ = XTPL/d; тогда (5-23) упростится до вида
з^^о'^'Ч+А0'4,(5-24)
где
а„_ 4р / Хр у-5 кп pd0.2 ( Хр у-4
Пс<+5 X ’ пп X 2Др 7
Рис. 5-15. К учету относительной длины канала
Для L/d^Q можно принять | = gi; тогда
^" = a"'LW,1(5-25)
где =Pd0-2 /_pKW.
lied к 2Др J 6 „п к 2Др J
Перейдем теперь к рассмотрению второго из двух сформулированных выше основных условий проектирования. Именно определим влияние длины канала на давление нагнетательных элементов при заданном максимальном превышении температуры проводников.
Имеем
4PLclldty4PLclldtyPd0’2лПаи0-8Pd0’2лПаи0-8= const.= const.(5-26)(5-26)
4PLclldty
4PLclldty
Pd0’2лПаи0-8
Pd0’2лПаи0-8
= const.
= const.
(5-26)
(5-26)
Умножим обе части уравнения (5-26) на w и разделим на Ом; тогда получим “
W = &1L + ^°’2,
гдегде4РIIcd'&M4РIIcd'&Mии,/Pd0-2К2 = •,/Pd0-2К2 = •
где
где
4Р
IIcd'&M
4Р
IIcd'&M
и
и
,/Pd0-2
К2 = •
,/Pd0-2
К2 = •
С большой степенью точности можно считать w°'2 = zL°'2, где z=(ty/L)°'2 — величина, постоянная для заданной удельной на- Трузки Р.
Если теперь обозначить zfe=^2> то
(5-27)(5-27)w = kxL + kj?a.
(5-27)
(5-27)
гдегдеPdMzпП»м
где
где
Уравнение (5-27) определяет зависимость скорости движения охлаждающей среды от длины канала при заданном превышении температуры. Для определения зависимости давления нагнетателей от длины канала воспользуемся формулой (5-21):
ЛР;= ^ G1 + Лтр V) ш2 = Л + ВЛ^2’где . Л = -£-£.•b = JL.Ap...
22 d
Поскольку в соответствии с (5-27) w2 = htLs+2k1kaL1’2 + ^ получим
Др = Д^+гД^'ЧД^ Вк^Ч^Вк^А-Вк^.
Обозначим_теперь Bk2=nv, 2Bk1ki = n2\ Ak2 = ns\ Вк1 = п4; 2Ak1ki = n&-, АкЧ ne.
Т02
Тогда выражение для давления будет иметь вид М^п^Чп^ + п^Чп^'Чп^^А-п^,(5-28)
где 8РрХтр . 4РрХтрг
1—nW&F’4" пП^Х’
„8Рр^1•„ Р2рХтРг2 .
"3“nW^’2nWX ’
4Р2рЫ.„ _P2p|iz2
”6-n2d°M’in^d^X
Выражение (5-28) представляет собой явно выраженную зависимость от длины каналов давления, потребного для создания такой скорости движения охлаждающей среды, при которой обеспечивается охлаждение проводников до заданной температуры.
Приведем несколько примеров расчета.
Пример 1. Определить зависимость максимального превышения температуры от длины каналов обмотки возбуждения гидрогенератора, если перепад давлений в каналах равен 100 и 1000 Па. Охлаждающая среда — воздух. Удельные потери р = = 867 Вт/м. Размеры канала: П = 0,286 м; d = 0,00587 м. Имеем
При Лр = 100 Па
=1^7, (1,09).°:! = 1400.0,286-5,87-10—3-1,1 - 10s(2-100)0'5
Ь' — 867‘ (S-87'10-3)0’2 . (1.09)0’4 = 42 о
3,24.0,286* (2.ЮО)ол ’ ‘
При Др = 1000 Па а'=44,5; Ь'= 13,4.
Зависимость максимального превышения температуры от длины каналов по формуле (5-23) приведена на рис. 5-16.
Пример 2. Определить зависимость максимального превышения температуры от длины каналов о.бмотки возбуждения турбогенератора, если перепад давлений в каналах равен_2,0 и 5,0 МПа. Охлаждающая среда—вода. Удельные потери р = = 580 Вт/м. Размеры канала: П = 0,0377. м; fZ—0,0-12 м. Имеем
:п«= 0,023- ■ G47:1(r3J$-^ = 2500. -
(0,556- Ю"8)0,8
Рис. 5-16. Зависимость максимального превышения температуры от длины канала при воздушном охлажденииРис. 5-16. Зависимость максимального превышения температуры от длины канала при воздушном охлажденииРис. 5-17. Зависимость максимального превышения температуры от длины канала при водяном охлажденииРис. 5-17. Зависимость максимального превышения температуры от длины канала при водяном охлаждении
Рис. 5-16. Зависимость максимального превышения температуры от длины канала при воздушном охлаждении
Рис. 5-16. Зависимость максимального превышения температуры от длины канала при воздушном охлаждении
Рис. 5-17. Зависимость максимального превышения температуры от длины канала при водяном охлаждении
Рис. 5-17. Зависимость максимального превышения температуры от длины канала при водяном охлаждении
При Ар=2,0 МПа
// _4-580(0,035- 1000)°’s
4,19-106-0,0377-0,0121’5(2-2,0- Ю6)0’5
у 580, (0,035-1000)04 _‘ 2500-0,0377-0,0120’2(2-2,0-106)0'4
При Др = 5,0 МПа а"=0,034; 6"=0,11.
Зависимость максимального превышения температуры от длины каналов по формуле (5-24) приведена на рис. 5-17.
Пример 3. Определить зависимость необходимого давления вентилятора от длины каналов обмотки возбуждения турбогенератора, если допустимое максимальное превышение температуры обмотки 0^ = 90 К- Охлаждающая среда — водород. Удельные потери р=1022 Вт/м. Размеры канала 11 = 0,0348 м; </=0,00762 м. Имеем
л = 0,023--^^-^-=5,17;
(125- 1О“6)0’8
8-1022г-0,228-0,035235.
П1— (3,3-103)2-0,0348“-0,00762s-902 ~
4-10222.0,228.0,035-1,7-с_
Ио —■чоГя 5 -— ооо;
3,3-103-5,17-0,03482-0,00762-902
8-10222-0,228-1,5
Л —l_—:= 470;
(3,3-103)2-0,03482-0,007622-902
Рис. 5-18. Зависимость давления от длины канала
_1022-0,228-0,035- 1,72921 •
П4— 2-О,ОО7620,6-5,172-0,03482-902 “
4-10222-0,228-1,5-1,7_ Пб~ 3,3 ■ 103-5,17-0,03482-0,00762°,8-902 — = 729;
_ 10222-0,228-1,5-1,72-0,00762 _291 6~2-5,172-0,03482-902"
Зависимость давления от длины канала по формуле (5-28) приведена на рис. 5-18.
5-5. Выбор сечения каналов
Применение непосредственного охлаждения повышает интенсивность теплообмена в электрических машинах. В то же время выполнение каналов в обмотках приводит к уменьшению располагаемого сечения меди, что, в свою очередь, увеличивает плотность тока в проводниках и выделяемые в них потери. Поэтому при выборе сечения охлаждающих каналов приходится учитывать противоречивые обстоятельства. С одной стороны, при увеличении размеров каналов возрастает площадь поверхности теплообмена и расход охлаждающей среды, что способствует понижению температуры обмотки, с другой стороны, уменьшение площади сечения проводников, т. е. увеличение их электрического сопротивления, приводит к росту количества выделяемых потерь и, следовательно, к повышению температуры [48].
В подобных случаях, когда имеют место противоположные воздействия одного параметра системы (площади сечения охлаждающих каналов) на какой-либо другой параметр (температуру проводников), уместно поставить вопрос о выборе оптимальных соотношений. Здесь однако, возникают некоторые затруднения. Дело в том, что повышение температуры является не единственным следствием увеличения количества выделяемых потерь. Как очевидно, при этом уменьшается также КПД машины. Мы увидим ниже, что требование получения минимальной температуры проводников не эквивалентно требованию выделения минимальных потерь. Как правило, требование минимального нагрева приводит к необходимости создавать каналы такого сечения, при котором выделяемые потери оказываются больше допустимых по энергетическим соображениям. Если учесть дополнительно, что даже с учетом допустимой температуры могут быть получены различные оптимумы в зависимости от условий охлаждения, то станет очевидным, что задача отыскания оптимальной площади сечения каналов не может быть решена однозначно.
В то же время выбор сечения каналов по любой методике следует производить с учетом всех факторов, на которые влияет изменение размеров канала.
Для анализа количественных соотношений рассмотрим особенности формирования установившейся температуры обмотки при различных условиях охлаждения. Такими условиями могут быть 1) постоянство скорости движения охлаждающей среды в каналах проводников; 2) постоянство давления нагнетательных элементов, обеспечивающих циркуляцию охлаждающей среды; 3) постоянство мощности, расходуемой на охлаждение.
Будем решать задачу об отыскании оптимума по нагреву. Для этой цели воспользуемся обозначениями площади сечения: S— проводника; F — проводника и канала; fF — канала; f— относительное сечение канала. Заметим, что при этих обозначениях
S = F—fF = F(l — h.
/Выразим также гидравлический диаметр канала через площадь его сечения. Для этого примем, что независимо от формы канала площадь его сечения равна квадрату гидравлического диаметра, деленному на некоторое число t. Тогда гидравлический диаметр определится соотношением
d — t^fF.
Значения коэффициента / для каналов различной формы: 2/д/л — круга; 1 — квадрата; 2^£/(&4-1)—прямоугольника со сторонами 1,^.
При рассмотрении максимального превышения температуры проводника будем считать, что ток I в нем задан и выделяемые потери равны произведению квадрата тока на электрическое сопротивление проводника R. При этом допускается, что изменение затрат мощности на охлаждение не отражается на температуре обмотки. Тогда, обозначая удельное' электрическое сопротивление материала проводника через рзл и основные потери через Ро, получим
Р = PR = Р -F^ik =Ро,(5.29)
S SF(1 — f)х '
где р0 = /2Рэл^.
Перейдем теперь к записи величины максимального превышения температуры проводников. Согласно изложенному выше
■О» = Ос + 0k = -7- cQ■О» = Ос + 0k = -7- cQР Ро , аП£,cFaf(l—hwР Ро , аП£,cFaf(l—hw
■О» = Ос + 0k = -7- cQ
■О» = Ос + 0k = -7- cQ
Р Ро , аП£,cFaf(l—hw
Р Ро , аП£,cFaf(l—hw
(5-30)(5-30)Ро<1,2=Во ,
(5-30)
(5-30)
4nF.Fb4f°’4 (1 — f)t£>°’8 f(l— h™ f°’4 (1 — f)w0,8
где До и Bo — постоянные величины.
Пользуясь выражением (5-30), определим площадь сечения охлаждающих каналов для различных, условий охлаждения исходя из требования минимального нагрева проводников. Из (5-30) сразу видно, что оптимум может быть определен лишь для каждой из составляющих максимального превышения температуры в отдельности. По этой причине для трех различных сформулированных выше условий охлаждения будем поочередно определять площадь сечения каналов исходя из минимума подогревной и конвективной составляющих превышения температуры, т. е. из требований d^ddf = Q и d^Kldf=O.
Рассмотрим вначале первое условие охлаждения, т. е. условие постоянства скорости охлаждающей среды. Имеем
at
отсюда
/ = 0,5 и
следовательно, f=0,285.
Для получения оптимумов из условия постоянства давления нужно выразить через него скорость в уравнении (5-30). Будем считать при этом для простоты, что все давление затрачивается на преодоление трения о стенки канала, как это практически бывает в каналах средней и большой длины. Тогда получим (см. § 9-9)
Др = ——ty2;
2 р d
следовательно,
V Р^тр^-
Теперь уравнение (5-30) может быть представлено в виде
А _^" I 5" а
где А" и В" — постоянные величины.
Искомыми оптимумами будут: /=0,555 при d^c/df = O и / = = 0,375 при d^vJdf=6.
Если в последнем преобразовании учесть дополнительно зависимость коэффициента трения Хтр от скорости ту и диаметра d, то относительное сечение канала f изменится незначительно. Из условий минимума подогревной составляющей получим / = = 0,535; из условий минимума конвективной составляющей — /=0,340.
Чтобы отыскать оптимумы из условия постоянства мощности, затрачиваемой на охлаждение, необходимо выразить через мощность величину w в (5-30).
Мощность, затрачиваемая на охлаждение,
р, = W =Vf0'5,102r|/^/f/
где т] — КПД нагнетательного элемента.
Следовательно, . р-0,166„А'", В™
где X'" и W"— постоянные величины.
Отсюда / = 0,455 при d$Jd^ = 0 и / = 0,210 при d^K(df=O.
Приведем для наглядности оптимальные сечения / канала при различных условиях охлаждения:
Ус min Ок min
При постоянной скорости охлажда
ющей среды . . . 0,5000,285
При постоянном давлении нагнета
тельных элементов 0,5350,340
При постоянной мощности, затра
чиваемой на охлаждение . . . 0,4550,213
Одним из условий охлаждения помимо рассмотренных выше может быть постоянство расхода охлаждающей среды. В этом случае, очевидно, подогрев охлаждающей среды постоянен и не имеет минимума площади сечения. Конвективный перепад также не имеет минимума, но при увеличении диаметра канала он не остается постоянным, а монотонно растет. Поэтому при постоянном расходе охлаждающей среды выбор сечения каналов целесообразно производить исходя из соображений о минимальных затратах энергии на циркуляцию среды; такой расчет будет проделан несколько позднее.
Анализ значений /, приведенных выше, показывает, что минимальное превышение температуры проводников при разных условиях охлаждения наблюдается в диапазоне относительных сечений канала 0,210—0,535, поскольку в этом диапазоне минимальны составляющие превышения температуры.
Этот вывод наглядно иллюстрируется тепловым расчетом, результаты которого приведены на рис. 5-19. Расчет выполнен для канала длиной 0,6 м, охлаждаемого водородом, циркулирующим с постоянной скоростью 35 м/с при давлении 0,3 МПа.. Выделяемые в проводнике основные потери равны 400 Вт при / = 0,273. Как видно из рисунка, минимум нагрева достигается в данном случае при относительном сечении канала 0,435.
Важно подчеркнуть также, что при уменьшении площади сечения канала примерно на 30—35 % по отношению к оптимуму температура возрастает незначительно. Однако даль-
Рис. 5-19. Оптимальное сечение канала при водородном охлаждении
нейшее уменьшение нежелательно, ибо оно приводит к резкому возрастанию температуры.
Как указывалось, условия минимального нагрева, которые мы под
робно проанализировали, не эквивалентны условиям минимума выделяемых потерь. Действительно, потери на охлаждение, как правило, несоизмеримо меньше основных потерь. Что же ка
сается последних, то они монотонно возрастают при увеличе
нии площади сечения охлаждающих каналов, т. е. оптимум
площади сечения отсутствует.
Поскольку, однако, в отдельных случаях непосредственного охлаждения потери энергии на циркуляцию среды бывают соизмеримы с основными потерями в проводниках, целесообразно рассмотреть вопрос о минимуме суммы потерь в проводнике в зависимости от сечения охлаждающего канала.
Потери на охлаждение, при постоянной скорости движения среды пропорциональны площади сечения канала (здесь для простоты принято что величина £ не зависит от сечения):
Р3 = ^^Wsf-109,
204т]
В этом случае при увеличении площади сечения канала потери на охлаждение будут монотонно возрастать, так же как и основные потери. Естественно, что сумма потерь не имеет оптимума по сечению канала. Аналогичная картина будет наблюдаться и при неизменных давлении и мощности нагнетательных элементов.
В практике, однако, может быть случай, когда по условиям охлаждения постоянным является расход охлаждающей среды. Тогда при увеличении площади сечения канала потери энергии на циркуляцию среды будут убывать, так как будет убывать скорость движения среды.
Пользуясь введенными выше обозначениями, получим после простых преобразований
л I л2,75,.0,25tр
р = 1 55—У— = _,
^2,375^1,25 ^2,375^2,375
где v — кинематическая вязкость среды.
Теперь может быть поставлен вопрос об отыскании минимума суммы потерь. Сумма потерь
Р^Р.+ Р.-^Ч-^.(5-31)
Если принять с некоторой ошибкой f2-325»/2 и приравнять нулю производную по / от выражения (5-31), получим следующее кубическое уравнение:
/з _ 2Mf2 + 4Mf—2М = О, где
М = -^_ = 1,55СтМ = -^_ = 1,55СтpQ2,75v0,25pQ2,75v0,25/’W1’376?-26/’W1’376?-26(5-32)(5-32)
М = -^_ = 1,55Ст
М = -^_ = 1,55Ст
pQ2,75v0,25
pQ2,75v0,25
/’W1’376?-26
/’W1’376?-26
(5-32)
(5-32)
Уравнение (5-32) позволяет определить оптимальное сечение канала для таких условий проектирования, когда потери энергии на циркуляцию охлаждающей среды в каналах соизмеримы с основными потерями, выделяемыми в проводниках.
Результаты решения уравнения (5-32) для заданного подогрева среды (25 К) и разных охлаждающих сред приведены ниже, причем длина канала при воздушном охлаждении принята равной 2,5 м, при водяном — 20 м:
/0,36000 0,190000,110000,00176/0,36000 0,190000,110000,00176М
/
0,36000 0,19000
0,11000
0,00176
/
0,36000 0,19000
0,11000
0,00176
Воздух 0,55-10-1
Водородпри давлении 0,1 МПа 0,57-10~2
То же, 0,3МПа 0,83-10-3
Вода 0,27-10-8
Результаты точного решения задачи на основе выражения (5-31) для воздушного охлаждения приведены на рис. 5-20.
Из приведенных данных видно, что постановка задачи о минимуме потерь" при выборе сечения охлаждающих каналов имеет смысл лишь при непосредственном воздушном охлаждении сравнительно длинных каналов. Когда же в качестве охлаждающих агентов применяют водород, особенно при повышенном давлении, или, тем более, жидкость, требование минимума потерь приводит к нецелесообразно малой площади сечения канала. В этом случае значительно снижается эффективность теплообмена внутри проводников, что по существу сводит на нет достоинства непосредственного охлаждения.
Таким образом, требование минимального нагрева приводит к недопустимо большой, с точки зрения выделяемых по
терь, площади сечения охлаждающих каналов. С другой стороны, требование минимальных потерь приводит к недопустимо малой, с точки зрения нагрева, площади сечения каналов. По этой причине при проекти-
Рис. 5-20. Оптимальное сечение канала при воздушном охлаждении
ровании машин с непосредственным охлаждением в каждом конкретном случае необходимо учитывать специфические особенности системы охлаждения, имея в виду приведенные выше количественные характеристики.
Если, например, речь идет о непосредственном водяном охлаждении проводников, когда конвективная составляющая теплового сопротивления практически не сказывается на значении максимального превышения температуры, то надо стремиться к возможному увеличению площади сечения каналов. При этом ограничивающим фактором будет КПД электрической машины. В случае непосредственного охлаждения вращающихся проводников ротора необходимо также иметь в виду соблюдение требований их механической прочности.
Однако в связи с принципиальной неоднозначностью решения задачи о размерах сечения каналов поиски каких-либо универсальных рецептов были бы бессмысленными.
Раздел второй
ДВИЖЕНИЕ ОХЛАЖДАЮЩИХ СРЕД В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИНАХ
Глава шестая
ОХЛАЖДАЮЩИЕ СРЕДЫ
6-1. Жидкости и газы
В качестве охлаждающих сред в электрических машинах применяются нетвердые тела, т. е. жидкости и газы. Их важнейшим отличием от твердых тел является свойство легкой подвижности, или текучести. Это свойство практически выражается в способности жидкостей и газов приобретать форму сосудов, которые они заполняют. Можно сказать еще, что жидкостью или газом называется такое тело, в котором в состоянии покоя всякое сопротивление изменению формы равно нулю.
Все нетвердые тела подразделяются в механике на три группы:
жидкие тела с большой вязкостью;
жидкие тела с малой вязкостью;
г) газообразные тела.
В отличие от твердых тел для жидкостей и газов характерно, что в них не деформация, а скорость деформации пропорциональна прилагаемым условиям. Этот признак может быть принят за одно из определений нетвердых тел, которое основано на опыте: при малой скорости деформации сама деформация может быть значительной даже в случае приложения небольших сил. Например, один человек может буксировать в воде тяжело нагруженную лодку при условии, что он будет двигаться достаточно медленно. В противном случае, т. е. при увеличении скорости движения, потребовалось бы большее усилие, чтобы преодолеть возросшее сопротивление воды.
6-2. Вязкость среды
Вязкость жидкостей и газов проявляется при движении как мера внутреннего трения. К жидким телам с большой вязкостью относятся, например, масло и мед. Малой вязкостью обладают вода и спирт. В этих жидкостях можно перемещать твердые тела при других одинаковых условиях с меньшим усилием. Вязкость газов также различна.
Количественно вязкость характеризуется коэффициентом пропорциональности р. в выражении для закона изменения ка- 112
Рис. 6-1. Распределение скоростей вязкой жидкости между двумя пластинами при перемещении верхней относительно нижней со скоростью Wo
сательных напряжений т в нетвердых телах. Согласно этому закону, сформулированному Ньютоном, касательные напряжения в жидкостях и газах пропорциональны градиенту скорости w относительного перемещения слоев:
(6-1)
Здесь п— направление нормали к плоскости перемещающихся слоев жидкости или газа (рис. 6-1).
Коэффициент ц называется вязкостью. Часто употребляют его отношение к плотности среды р, которое называется кинематической вязкостью:
v = p/p. •
Кинематическая вязкость, получившая свое наименование в связи с тем, что из ее размерности исключена масса, характеризует ускорение частиц, вызываемое силами вязкости, но не самые силы.
Касательные напряжения в движущейся среде возникают при перемещении частиц относительно друг друга или относительно ограничивающих поверхностей. Природа вязкости жидкостей и газов различна.
Вязкость жидкостей (их иногда называют капельными жидкостями) есть проявление механических связей между частицами. Поэтому при повышении температуры, когда колебательное движение молекул возрастает и механические связи ослабевают, вязкость уменьшается.
Напротив, вязкость газов при повышении температуры возрастает, поскольку причиной возникновения касательного к слоям напряжения служит в этом случае диффузия молекул, которая сопровождается переносом количества движения из одного слоя в другой. С повышением температуры скорость движения молекул возрастает и, следовательно, увеличивается переносимое количество движения.
Согласно кинетической теории газов касательные напряжения определяются формулой
т = 0,5р/с -^-, (6-2) дп
где / — средняя длина свободного пробега молекул; с — средняя скорость движения молекул.
Из сопоставления последней формулы с законом касательных напряжений Ньютона (6-1) получаем
р = 0,5р/с. (6-3)
Отсюда следует, что коэффициент вязкости практически не зависит от давления, так как, например, при увеличении давления возрастает плотность газа р и в равной мере уменьшается длина свободного пробега молекул I. Кроме того, последняя формула подтверждает температурную зависимость вязкости, поскольку с увеличением температуры увеличивается скорость движения с.
Численные значения взкости для наиболее употребляемых теплоносителей приведены в приложении.
6-3. Законы для идеального газа
Жидкости и газы в равной мере легко изменяют форму занимаемого пространства, т. е. легко деформируются. Совсем по-другому обстоит дело с объемом занимаемого пространства.
Газ заполняет все предоставленное ему пространство, изменяя при изменении объема свое давление.
Капельные жидкости отличаются от газов практической несжимаемостью, т/ е. способностью к крайне малому уменьшению занимаемого объема при значительном увеличении внешнего давления. Например, сжимаемость воды в 14 000 раз меньше, чем сжимаемость воздуха при атмосферном давлении. Для уменьшения объема воды на 0,5 % необходимо повысить внешнее давление до 10 МПа. Причина этого в весьма малых молекулярных расстояниях в жидкости и, следовательно, в весьма больших молекулярных силах, которые создают давление сжатия внутри жидкости.
Закон, связывающий между собой давление и объем газа, носит название закона Бойля — Мариотта. Согласно этому закону давление одного и того же количества газа при неизменной температуре обратно пропорционально объему, занимаемому этим количеством газа:
pV = pxVb (6-4) где pi и Vi — начальные значения давления и объема; р и V— давление и объем при другом состоянии газа.
Объем газа зависит также от его температуры. Ж. Л. Гей- Люссак установил, что при неизменном давлении объем одного и того же количества газа пропорционален температуре:
VIT = VxITv (6-5)
Следует иметь в виду, что при сжатии газа выделяется теплота, при расширении газ охлаждается, поэтому закон Бойля— Мариотта справедлив лишь в том случае, когда в процессе сжатия или расширения поддерживается неизменная температура. Для этого необходимо обеспечить подвод теплоты к изменяющемуся объему газа и отвод теплоты. Точно так же и 114
закон Гей-Люссака связан, с существенным ограничением, поскольку давление при изменении температуры (и объема) меняется. Напомним, что по закону Шарля Р)Т = Рх1Т\ при V=const.
Для обобщения газовых законов нужно знать функциональную зависимость между всеми величинами, определяющими состояние газа: давлением, объемом и температурой. Такая зависимость называется уравнением состояния и для идеальных газов может быть получена теоретически методами кинетической теории газов.
В соответствии с кинетической теорией давление идеального газа есть результат суммарного воздействия ударов, молекул, кинетическая энергия которых эквивалентна температуре. Формула давления имеет вид
р = пКТ,
где и — среднее число молекул в единице объема; К — постоянная Больцмана, равная 1,37- 10—23 Дж/К; 7— абсолютная температура газа, К- При этом n = N)V, где N — общее число молекул в газе; V — объем, занимаемый газом.
Число молекул для данной массы газа G может быть вычислено через молекулярную массу цо и универсальное число молекул в одном килограмм-моле газа Na (число Авогадро):
n^°-na.
Цо
Отсюда
Величину KNA/p,0 называют газовой постоянной и обозначают R. Таким образом, или
pV = GRT.(6-6)
Для 1 кг газа получим
pv=RT.(6-7)
Величину и называют удельным объемом.
Полученное уравнение связывает все три параметра состояния: давление, температуру и объем, т. е. является уравнением состояния идеальных газов. Оно называется уравнением Клапейрона.
6-4. Уравнение состояния реальных газов
Реальные газы подчиняются уравнению Клапейрона с достаточной точностью лишь в диапазоне умеренных давлений (0,1—5,0 МПа) и температур (200—400 К). Следует подчерк-
нуть, что приведенные выше законы изменения параметров газа верны лишь до некоторых пределов. Так, например, из уравнения Бойля—Мариотта следует, что при увеличении давления какое-либо количество газа можно сжать до произвольно малого объема. На самом деле это не так. Существует некоторый предельный объем, до которого может быть сжат газ. В дальнейшем, сколь бы ни увеличивалось давление, объем газа не будет уменьшаться.
Из уравнения Клапейрона следует, что так называемый коэффициент сжимаемости для всех состояний газа равен единице:
py^RT^Y.(6-8)
В действительности коэффициент сжимаемости является переменной величиной, зависящей от давления и температуры:
ру№ = <Нр, Т).(6-9)
Более точным, чем уравнение Клапейрона, для реальных газов является уравнение Ван-дер-Ваальса, в котором учтено влияние внутренних сил притяжения между молекулами на итоговое давление, или, как говорят, учтено молекулярное давление:
(p + alv^y—b) = RT.(6-10)
Константы а и b этого уравнения зависят от природы вещества. Формулы для их вычисления приведены в § 6—5.
Уравнение Ван-дер-Ваальса указывает на возможность существования ‘двухфазных состояний вещества и фазового перехода от газа к жидкости и обратно. Чтобы убедиться в этом, запишем уравнение как зависимость удельного . объема от других параметров. Получим кубическое уравнение.
(6-11)(6-11)i?-(RT/p + 6) у== + л. у^ = 0.р р
(6-11)
(6-11)
параметра, то решение представится в виде семейства кривых у/=/(р)параметра, то решение представится в виде семейства кривых у/=/(р)Если в этом уравнении расматривать давление в качестве независимой переменной и температуру в качестве
параметра, то решение представится в виде семейства кривых у/=/(р)
параметра, то решение представится в виде семейства кривых у/=/(р)
е. се-е. се-с постоянной температурой, т.
е. се-
е. се-
мейства изотерм, которое называют в термодинамике ру-диаграммой, отсчитывая давление по оси ординат (рис. 6-2).
При больших значениях коэффициента (RT/p + b), т. е. при высоких температурах, уравнение (6-11) имеет один действительный корень; два других комплексных корня физического
Рис. 6-2. Диаграмма состояния вещества
смысла не имеют. Это означает, что каждому значению давления на данной изотерме соответствует единственное значение удельного объема.
При более низкой температуре средняя часть изотермы изгибается, приобретая волнообразную форму с минимумом и максимумом. Если в этой части какой-либо изотермы провести прямую фиксированного давления, т. е. изобару, параллельную оси Оу, то она пересечет данную изотерму в трех точках (А, Е и D), соответствующих трем действительным корням уравнения (6-11).
6-5. Кривые фазового перехода
Рассмотрим более подробно физический смысл трех решений уравнения состояния (рис. 6-2). Наибольшее значение корня уравнения соответствует газообразному состоянию вещества и представляет собой удельный объем газа ио при фиксированных значениях р и Т. Наименьшее значение соответствует жидкому состоянию при тех же давлениях и температуре, т. е. представляет собой удельный объем жидкости ид.
Среднее значение корня уравнения Ve оказывается на участке кривой, для которого производная (dp/dv)T больше нуля, т. е. на участке абсолютно неустойчивого состояния вещества. В самом деле, если бы при уменьшении удельного объема собственное давление вещества тоже уменьшалось, то такое вещество не могло бы противостоять увеличению внешнего давления и его удельный объем сократился бы до нуля. Поэтому в интервале Ув<и<Ус, для которого рассмотренная произвольная положительна, вещество может существовать только в виде двух фаз.
Таким образом, точкам С и В соответствуют предельные значения удельного объема однородного вещества (газообразного или жидкого). При достижении этих предельных значений происходит распад вещества на две фазы: при увеличении удельного объема сверх значения ив возникает газообразная фаза; при уменьшении ниже значений ис возникает жидкая фаза.
Координаты точки начала перехода от газа к жидкости соответствуют удельному объему насыщенного пара у"=yD и давлению насыщенного пара ps при данной температуре Т. Они могут быть определены из уравнения Ван-дер-Ваальса:
P^-^y-ln-^-(6-12)
у" — у' у' — 6 уму'
Здесь и' = уа — удельный объем жидкости, находящейся под давлением собственных насыщенных паров.
Условием равновесия двухфазной системы является равенство температур и давлений обеих фаз. Аналитически это
Как очевидно, для егоКак очевидно, для егоРис. 6-3. Фазовая диаграмма вещества
Как очевидно, для его
Как очевидно, для его
условие может быть выражено в форме функциональной зависимости давления фазового равновесия от температуры. Эта зависимость однозначно связывает значения обоих параметров состояния при равновесии двух фаз: Р==№. График этой кривой называется кривой равновесия фаз или крив ой фазового перехода, построения необходимо для каждой изо
термы определить давление ps, соответствующее состоянию равновесия. Полученную диаграмму (рис. 6-3) называют фазовой диаграммой. Все точки на диаграмме, расположенные по обе стороны кривой равновесия фаз, соответствуют однородному состоянию тела: над кривой — область жидкого состояния, под кривой — область газообразного состояния. Сама кривая фазового равновесия есть крив а я упругости насыщенного пара.
Кривая фазового равновесия жидкости и пара обрывается в критической точке К. Критическая точка соответствует определенным для данного вещества критическим значениям температуры Тк и давления рк. При больших значениях любого из этих параметров фазовый переход невозможен и невозможно указать однозначно фазовое состояние вещества. Так, при переходе из точки m в точку п по пути m—Z—n невозможно указать, где именно произошел переход из жидкой фазы в газообразную. В этом проявляется условность подразделения состояния вещества на жидкое и газообразное, которые в сущности различаются лишь количественными характеристиками. Условно принимают, что жидкая фаза расположена выше кривой фазового равновесия и левее критической изотермы. Вся остальная область рассматривается как область газообразной фазы.
Возможны метастабильные состояния вещества, когда оно остается однородным в области, где должно было бы распадаться на две фазы. Будучи устойчивой по одну сторону кривой фазового равновесия, каждая фаза, как жидкая, так и газообразная, обладает некоторой устойчивостью и по другую сторону этой кривой. Этим и определяется возможность мета- стабильных состояний: перегретой жидкости и переохлажденного (перенасыщенного) пара.
Устойчивость метастабильных состояний мала, и они не могут существовать длительно. При соприкосновении вещества, находящегося в метастабильном состоянии, с другой фазой оно распадается на две фазы.
Вернемся теперь к ро-диаграмме на рис. 6-2.
С увеличением температуры Т изотермы смещаются вверх, причем их волнообразная часть уменьшается и при некоторой температуре исчезает совсем. При дальнейшем возрастании температуры изотермы приобретают вид непрерывно спадающих кривых. Температура, соответствующая предельной изотерме с исчезающе малой (нулевой) протяженностью волнообразной части, является верхней границей двухфазных состояний, т. е. критической температурой. Сама предельная изотерма также называется критической изотермой. Поскольку на ней все три точки пересечения с горизонтальной кривой слились в одну, все три корня уравнения Ван-дер-Ваальса равны между собой и критическому удельному объему ик. Геометрически критическая точка есть точка перегиба критической изотермы.
Параметры критической точки, т. е. значения критического давления рк, критического удельного объема ок и критической температуры Тк могут быть найдены из уравнения Ван-дер- Ваальса:
fl Ок. & &
н 27 Ь» 27 bR
Наоборот, по известным значениям критических параметров могут быть определены константы уравнения Ван-дер-Ваальса а и Ь, которые зависят от природы вещества:
а = -^-RTkVk8а = -^-RTkVk827642764R2T2R2T2Ь =Ь =РкРк°К1^к3 ~ 8Рк '°К1^к3 ~ 8Рк '
а = -^-RTkVk
8
а = -^-RTkVk
8
27
64
27
64
R2T2
R2T2
Ь =
Ь =
Рк
Рк
°К1^к
3 ~ 8Рк '
°К1^к
3 ~ 8Рк '
Из приведенных формул следует, что значение так называемого критического коэффициента Кк неизменно для всех веществ: Kk = RTk/(PkVk) = 2,67, Фактически значение Кк несколько больше и в небольших пределах меняется для разных веществ. Значения критических параметров для некоторых употребляемых в электромашиностроении охлаждающих сред приведены в табл. 6-1.
Если на ра-диаграмме провести непрерывную линию через все точки, соответствующие началу фазового перехода и его концу, то эта линия, как очевидно, будет пограничной, т. е. линией фазового перехода на ри-диаграмме (рис. 6-4). Справа от пограничной кривой и над ней расположена область газообразного, слева (по отношению к критической точке К) — жид-
■ Таблица 6-1
Вещество
тк. К
рк, МПа
рк, кг/м3
^кр
Водород
33,2
1,28
31
3,28
Гелий
5,2
0,23
69,3
3,28
Вода
647,3
22,50
323
4,36
Воздух
132,5
3,72
320
3,42'
Фреон-22
369,0
5,08
513
3,64
Рис. 6-4. Кривая фазового перехода на ри-диаграмме
Рис. 6-5. Фазовая диаграмма для гелия
кого состояния. Заштрихованая область есть область двухфазного состояния. Над критической точкой фазовые превращения невозможны. На рис. 6-5 в качестве примера приведена кривая фазового перехода для гелия.
6-6. Пример термодинамического расчета
При проверке газоплотности корпуса турбогенератора требуется рассчитать допустимые изменения давления в зависимости от температуры газа в корпусе в течение испытаний. Если температура неизменна, давление также не должно изменяться. При изменениях температуры изменения давления должны находиться в пределах, определяемых расчетом. В противном случае налицо утечки через неплотности корпуса.
Для расчета учтем состояние газа в начале испытаний и в произвольный текущий момент времени. Имеем состояние в начале испытаний p^V=RT f, состояние в процессе испытаний pV=RT, так как объем в корпусе неизменен. Отсюда
р1рг = ТП\\ Pt + bp-p;. Р1 + ^р = р1(ПТ1у,
^P^PAT/Ti-I).
Таблица 6-2
рР МПа
Tv К
Дт, к
1
2
3
4
5
280
670
1460
2130
2930
3 590
0,10
290
670
1330
2130
2790
3 460
300
• 670
1330
2000
2660
3 330
280
1460
2930
4260
5720
7 180
0,30
290
1330
2790
4120
5590
6 920
300
1330
2660
3990
5320
6 650
280
2130
4260
6380
8650
10 770
0,50
290
2130
4120
6250
8250
10 370
300
2000
3990
5990
7980
9 980
Продолжение табл. 6-2
plt МПа
г,, К
А Г, К
6
7
8
9
10
280
4 260
5 050
5 720
6 380
7 180 '
0,10
290
4 120
4 790
5 590
6 250
6 920
300
3 990
4 660
5 320
5990
6 650
280
8 510
9 980
11 400
12 900
14 360
0,30
290
8 250
9 710
11 040
12 500
13 830
300
7 980
9 310
10 640
11 970
13 300
280
12 900
15 030
17 160
19 290
21 410
0,50
290
12 500
14 500
16 630
18 620
20 750
300
11 970
13 970
15 960
17 960
19 950
Результаты расчета допустимых отклонений давления (в паскалях) приведены в табл. 6-2. Положительному изменению температуры АТ соответствует положительное изменение давления.
Глава седьмая
КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
7-1. Описание движения жидкости
Чтобы отвести теплоту от элементов конструкции электрической машины, охлаждающая среда — жидкая или газообразная—должна двигаться по каналам, поверхности которых являются поверхностями теплообмена. При проведении расчетов движения охлаждающих сред в каналах электрических машин необходимо исходить из общих законов движения жидкостей и газов.
Для описания движения жидкости или газа, т. е. для формулирования закономерной связи между положением в пространстве частиц движущейся среды и временем, наиболее естественно поступить следующим образом. Пусть каждой частице среды в произвольный момент времени /0 соответствуют три координаты прямоугольной системы координат а, Ь, с. Тогда в момент времени t=t0 положение каждой частицы однозначно задано пространственным вектором
s = la + j6 + kc. (7-1)
Теперь для описания движения всех поименованных частиц, т. е. пространства s, в пространстве декартовых координат (х, у, г), т. е. в пространстве г, необходимо составить уравнение
r=F(s, /), ' (7-2)
которое эквивалентно трем уравнениям в проекциях на координатные оси: x = Fi(a» b, с, 0; у = Fa(at b, с, t); z = F3(a, Ь» с, t). (7-3)
Рис. 7-1. Направление вектора скорости в пространстве
В соответствии с такой формой задания скорость частицы выразится как
w = f-^),(7-4)
\ vt /s
где индекс s означает, что дифференцирование происходит при постоянном S.
Следует учитывать, что здесь мы имеем дело с дифференциальной .операцией в векторном смысле, а именно с дифференцированием векторной функции г по скалярному аргументу I. Следовательно, вектор скорости w будет направлен по касательной к годографу вектора г (рис, 7-1). Если положить
w — iu + ju + kw, (7-5) то в проекциях на координатные оси получим
f дх X * / ду X , V dz X ,
w
Охарактеризованный способ задания движения называется лагранжевым представлением. Метод Лагранжа логически прост, но приводит к значительным затруднениям при решении практических задач. Он с большой полнотой характеризует движение отдельной частицы жидкости, однако требует применения громоздкого математического аппарата.
По этой причине целесообразно рассмотреть вопрос о том, в каких случаях важно знать траекторию движения отдельной частицы жидкости. Разумеется, в тех случаях, когда изучаются молекулярные взаимодействия в жидкости или газе и среда рассматривается как дисконтинуум, т. е. несплошная, дискретное задание движения частиц попросту необходимо.
Между тем развитие гидродинамики показало, что весьма плодотворной является концепция сплошной среды, так называемого континуума, когда не рассматривается молекулярная структура вещества. При решении задач, основанных на этой концепции, нет необходимости изучать движение отдельных частиц, т. е. определять движение с той полнотой, какую дает метод Лагранжа.
7-2. Сплошные среды
Прежде чем перейти к характеристике другого представления движения жидкости, именно представления Эйлера, следует подробнее рассмотреть основания, по которым жидкости и газы, состоящие на самом деле из отдельных молекул, могут рассматриваться во многих практических задачах в качестве сплошных сред.
При изучении движения охлаждающих сред нас обычно не интересует движение молекул или мельчайших частиц жидкости. Важно определить, как движется вся жидкость или такие ее части, которые содержат много молекул. В частности, требуется определить скорость жидкости в отдельных сечениях каналов, ее температуру, давление и другие параметры, т. е. нас интересуют некоторые средние значения состояний больших групп молекул во времени и пространстве.
Рассмотрим на примере плотности, в каких случаях можно определить такие средние значения. Плотность есть масса единицы объема. Следовательно, средней плотностью системы молекул, занимающих объем V и имеющих сумму масс т, будет
pcp_m/V.(7-7)
Такое определение не вызывает трудностей.
122
X
Рис. 7-2. Зависимость средней плотности воздуха от рассматриваемого объема
Несколько сложнее определить плотность в заданной точке пространства-. Если плотность переменна, то при изменении рассматриваемого объема значение средней плотности будет также изменяться. Пусть, например, мы интересуемся плотностью воздуха в верхней точке сужающегося кверху конического помещения, которое находится под атмосферным давлением. Средняя плотность воздуха для всего объема помещения может быть определена описанным выше способом. Будем уменьшать теперь рассматриваемый объем, беря вторым этапом его верхнюю половину, затем верхнюю половину этой половины и т. д. (Для этого помещение мысленно рассекается горизонтальными плоскостями, все время приближающимися к верхней точке.) Поскольку плотность воздуха при повышении уровня над землей уменьшается, график ее зависимости от рассматриваемого объема будет иметь в нашем случае вид функции, убывающей вместе с объемом (рис. 7-2). Но так как для небольших объемов плотность практически постоянна, при достижении некоторого объема A Vo зависимость плотности от AVi сведется на нет и на графике появится участок, параллельный оси абсцисс. При дальнейшем уменьшении рассматриваемого объема, в особенности при его приближении к нулю, плотность будет подвержена все ббльшим колебаниям и в пределе также окажется равной нулю, либо, наоборот, станет бесконечно большой, в зависимости от того, окажется в рассматриваемой точке пространства (верхней точке конуса) молекула воздуха или нет.
Анализ полученного графика показывает, что для характеристики средней плотности в интересующей нас точке пространства наиболее предпочтительно было бы рассматривать такой объем AVo, включающий в себя эту точку, для которого плотность практически постоянна. Для реализации такого предложения необходимо убедиться, что выбранный объем AV0 достаточно мал по сравнению с другими размерами системы (например, с объемом всего помещения) й в то же время достаточно велик по сравнению с межмолекулярными расстояниями, т. е. число входящих в него молекул позволяет определить среднее значение плотности.
Один кубический сантиметр воздуха при атмосферном давлении содержит 2,7-1019 молекул. Следовательно, если принять за AV0 объем воздуха 10“12 см3, т. е. с наибольшим линейным размером 0,001 мм, то число молекул в этом объеме окажется достаточно большим (2,7- 107). В то же время плотность воздуха в нем практически неизменна., .
Таким образом, когда дело идет о жидкостях или неразреженных газах, в практических задачах можно вполне отвлечься от их молекулярной структуры и оперировать средними- значениями параметров, т. е. рассматривать жидкости и газы как квазиконтинуумы. Это правило неприемлемо для сильноразреженных газов, а также при изучении физических процессов диффузии, внутреннего трения и теплопроводности. Однако для описания движения охлаждающих сред по каналам оно вполне справедливо.
7-3. Эйлерово представление движения жидкости
Исходя из необходимости определять характеристики потока в заданных точках пространства и из стремления максимально упростить форму уравнений движения, создатель теоретической гидродинамики; Л. Эйлер
жидкости, заданное уравне-жидкости, заданное уравне-рассмотрел все пространство как поле скоростей нием
жидкости, заданное уравне-
жидкости, заданное уравне-
w ^ F (г, /),(7-8)
или в проекциях:
и = F1 (х, у, 2, t); V = F2 (х, у, z, /); w = F3 (x, у. г, f). (7-9)
Сразу же видно, что такое представление позволяет ответить на вопрос: что происходит в определенные моменты времени в отдельных точках пространства?
Принципиально Эйлерово представление позволяет перейти к представлению Лагранжа, если необходимо проследить поведение отдельных частиц жидкости. Поскольку для каждой частицы
4 и = dx!dt\ и = dy/dt', w = dzldt,
то при использовании уравнений (7-9) получим систему трех совместных дифференциальных уравнений первого порядка для х, у, г в зависимости от t.
Однако решение такой системы уравнений чрезвычайно затруднительно.
7-4. Линии и трубки тока в поле скоростей жидкости
В соответствии с представлением Эйлера уравнение w«F(r, t) задает поле скоростей жидкости во всем рассматриваемом пространстве. Иначе говоря, в каждой точке пространства скорость задается как вектор по величине и направлению для любого момента времени.
Если поле зафиксировать в какой-либо определенный момент времени /—/о и Провести кривые, направление которых в каждой их точке совпадает с направлением скорости в этой точке, то получим кривые, называемые линиями тока.
По определению линий тока вектор скорости касателен к ним в каждой точке. Точно так же касателен к этим линиям и дифференциал радиуса-вектора поля dr (рис. 7-1). В векторной форме этот факт коллинеарности двух векторов w и dr записывается уравнением drXw=0 или в координатах:<
vdz— wdy = wdx— udz—udy— vdx = 0, откуда
u/dx ~v!dy — w!dz.(7-10)
Для стационарных полей, когда в произвольной точке состояние жидкости не меняется во времени, линии тока (7-10) неизменны и совпадают с траекториями движения частиц жидкости.
Возьмем теперь в поле скоростей непрерывную замкнутую кривую и проведем линии тока через все ее точки. Полученная трубка (рис. 7-3) называется трубкой тока. В каждый момент времени линии тока, образующие стенки трубки, имеют направление скоростей во всех точках поверхности стенки, поэтому жидкость не может протекать через стенки трубки тока как изнутри трубки наружу, так и снаружи внутрь. Таким образом, трубка тока ведет себя в любой фиксированный момент времени как труба с жесткими непроницаемыми стенками, внутри которой течет совершенно определенное количество жидкости. Если же поле стационарное, т. е. линии тока неизменны, то всякая трубка тока поля скоростей жидкости в течение всего процесса ведет себя как неподвижная труба.
Рис. 7-3. Трубки тока
7-5- Анализ поля скоростей
Функцию, определяющую скорость в заданной точке поля, Wo = tap + М + ь^о
можно считать аналитической функцией места, т. е. функцией, удовлетворяющей условиям непрерывности и дифференцируемости.
Следовательно, скорость вблизи рассматриваемой точки можно представить разложением в ряд Тейлора
w = Wo + Vw-w = Wo + Vw-Г1 —Гр1!Г1 —Гр1!+ VVw-+ VVw-(Г1 — Гр)22!(Г1 — Гр)22!(7-И)(7-И)
w = Wo + Vw-
w = Wo + Vw-
Г1 —Гр
1!
Г1 —Гр
1!
+ VVw-
+ VVw-
(Г1 — Гр)2
2!
(Г1 — Гр)2
2!
(7-И)
(7-И)
Здесь символ • означает скалярное произведение вектора, а оператор у (его называют «набла» или оператор Гамильтона) рассматривается как вектор:
V = 1 — дхV = 1 — дхддуддуддгддг(7-12)(7-12)
V = 1 — дх
V = 1 — дх
д
ду
д
ду
д
дг
д
дг
(7-12)
(7-12)
В проекциях на декартовы оси координат разложение (7-11) имеет вид
ди«о + -7— <Л -дхд^и (х — х0)2ди«о + -7— <Л -дхд^и (х — х0)2дидудидудидгдидг
ди
«о + -7— <Л -дх
д^и (х — х0)2
ди
«о + -7— <Л -дх
д^и (х — х0)2
диду
диду
ди
дг
ди
дг
дх2дх22!2!
дх2
дх2
2!
2!
дхдхдгWo +(^дхdw— (z-?o)4 дгдгWo +(^дхdw— (z-?o)4 дгди .Х°)+ дд (Ы- д2и (х —х0)2 д^” 2!ди .Х°)+ дд (Ы- д2и (х —х0)2 д^” 2!(7-13)(7-13)1 дуд2ш (х — Хр)2дх2 2!1 дуд2ш (х — Хр)2дх2 2!
дх
дх
дг
Wo +(^
дх
dw
— (z-?o)4 дг
дг
Wo +(^
дх
dw
— (z-?o)4 дг
ди .
Х°)+ дд (Ы- д2и (х —х0)2 д^” 2!
ди .
Х°)+ дд (Ы- д2и (х —х0)2 д^” 2!
(7-13)
(7-13)
1 ду
д2ш (х — Хр)2дх2 2!
1 ду
д2ш (х — Хр)2дх2 2!
Не нарушая общности, рассматриваемую точку можно поместить в начало координат и считать ее скорость равной нулю. Если, кроме того, ограничиться рассмотрением ближайшей окрестности точки, то членами разложения степени выше первой можно пренебречь, причем ошибка не превзойдет сколь угодно малой величины. Тогда из (7-11) следует
w = Vwr. (7-14)
Точно так же из (7-13) получим
(7-15)(7-15)ди ди дидо ди ди .
(7-15)
(7-15)
dwdwdw
w = x —— + у " “ + г •дхдудг
Следует иметь в виду векторный смысл (7-11):
Vw = grad w = i4~ 1 "— + k "5— = 1*х + Jwy + kwz- (7-16) дх dy дг
- : Таким образом, градиент вектора w определяется заданием девяти частных производных, составляющих матрицу
ди дх
ди дх
dw дх
IF =
ди
ди
dw
ду
ду
ду
(7-18)
1
-—•
"ди
ди
dw"
дг
дг
дг
Как можно видеть, запись
W = iwx + jwy + kwz
(7-19)
Полученные произведения называются диадами. Правила вычисления с ними в основном те же, что и для обычных чисел, но с обязательным соблюдением порядка записи векторов, являющихся сомножителями:Полученные произведения называются диадами. Правила вычисления с ними в основном те же, что и для обычных чисел, но с обязательным соблюдением порядка записи векторов, являющихся сомножителями:dwд— = i -— (iu + ju + Ы) = дхдхdwд— = i -— (iu + ju + Ы) = дхдхАналогично раскрываются диады jАналогично раскрываются диады jди"дхди"дхди . dw д?'1 |к1к ;|т-+ю-?дг дгди . dw д?'1 |к1к ;|т-+ю-?дг дгдиdwду Иди11V-диdwду Иди11V-I —1 дхdw к дг диI —1 дхdw к дг диIk^дхIk^дхтак что имеемтак что имеемdwдуdwдудгдг(7-17)(7-17)
Полученные произведения называются диадами. Правила вычисления с ними в основном те же, что и для обычных чисел, но с обязательным соблюдением порядка записи векторов, являющихся сомножителями:
Полученные произведения называются диадами. Правила вычисления с ними в основном те же, что и для обычных чисел, но с обязательным соблюдением порядка записи векторов, являющихся сомножителями:
dwд
— = i -— (iu + ju + Ы) = дхдх
dwд
— = i -— (iu + ju + Ы) = дхдх
Аналогично раскрываются диады j
Аналогично раскрываются диады j
ди"дх
ди"дх
ди . dw д?'1 |к1к ;|т-+ю-?
дг дг
ди . dw д?'1 |к1к ;|т-+ю-?
дг дг
ди
dw
ду Иди
11V-
ди
dw
ду Иди
11V-
I —
1 дх
dw к дг ди
I —
1 дх
dw к дг ди
Ik^
дх
Ik^
дх
так что имеем
так что имеем
dwду
dwду
дг
дг
(7-17)
(7-17)
аналогична записи вектора а = jay + каг;
$ величина IF называется тензором, а матрица (7-18)—девяти- членной формой тензора. Заметим, что составляющие матрицы, или, как их называют, компоненты тензора IF, представляют собой проекции векторов wx, wv и wz на оси координат.
В самом деле,
(dw
дх
дидиdw \ди
T-+J —+к——) =— .(7-20)
дхдхдх /хдх
Аналогично:
; ^х,у — dv/дх; wx-2 — dwldx; WytZ~dw!dy и т. д.
Тензор IF называется а ф фи нн ы м о р тогонал ьным тензором.
Линейность преобразования (7-14), определяемого тензором IF, важна для понимания природы поля скоростей жидкости. Она означает, что вектор скорости w в окрестности фиксированной точки поля изменяется пропорционально расстоянию от указанной точки.
, , ,К анализу такого общего определения поля скоростей полезно вернуться после рассмотрения, приведённых ниже важнейших частных случаев.
7-6. Составляющие поля скоростей
Рассмотрим простейший пример поля скоростей, у которого все члены матрицы тензора 1F (7-18), кроме первого (wxx=dujdx), равны нулю. Тогда в соответствии с (7-17) будем иметь
..ди
<— wxx ^ Vwt = Пг —- .(7-21)
дх
Так какТак какir = 1 (ix + jy + кг) = x,
Так как
Так как
тотоди wXx = i x -— t дх
то
то
(7-22)(7-22)(7-23)(7-23)откуда и = x; и = 0; w = 0. дх
(7-22)
(7-22)
(7-23)
(7-23)
Прежде всего очевидно, что вектор скорости w параллелен оси Ох. Кроме того, по величине этот вектор пропорционален расстоянию от начала координат, т. е. координате х, и неизменен в каждой плоскости х—const, параллельной плоскости у, z. Таким образом, выражение (7-23) определяет картину растяжения в направлении оси Ох, изображенную на рис. 7-4.
Как очевидно, аналогичные картины растяжения в направлениях Оу и Oz будут получены, если принять за ноль все члены матрицы W, кроме dvjdy или dw/dz. Скорость поля тогда будет задана уравнениями ди диdw dw
Если теперь положить равными нулю все члены матрицы W, кроме du)dy, то получим
диди
Wx,v ij r—= |у—- ,(7-24)
дуду
откуда и = у*, и = 0; w = 0.
Здесь скорости параллельны оси Ох и имеют постоянное значение в плоскостях у—const, параллельных плоскости z, х, и пропорциональны координате у, т. е. расстоянию от плоскости z, х. Таким образом, выражение (7-24) определяет картину сдвига в направлении оси Ох, изображенную на рис. 7-5.
Аналогичные картины сдвига, но в направлениях Оу и Oz будут получены, если принять за ноль все члены матрицы W, кроме du/dx или dw/dx. Уравнениями скорости сдвига при этом будут
ди • ди
(7-25)(7-26)(7-25)(7-26)Рис. 7-4. Скорость растяжения в направлении хРис. 7-4. Скорость растяжения в направлении хРис. 7-5. Скорости сдвига в направлении хРис. 7-5. Скорости сдвига в направлении хw^= jir-—= jx—адх дх
(7-25)
(7-26)
(7-25)
(7-26)
Рис. 7-4. Скорость растяжения в направлении х
Рис. 7-4. Скорость растяжения в направлении х
Рис. 7-5. Скорости сдвига в направлении х
Рис. 7-5. Скорости сдвига в направлении х
Рис. 7-6. Скорости сдвига в направлениях х и уРис. 7-6. Скорости сдвига в направлениях х и уУУРис. 7-7. Скорости вращения жидкостиРис. 7-7. Скорости вращения жидкости
Рис. 7-6. Скорости сдвига в направлениях х и у
Рис. 7-6. Скорости сдвига в направлениях х и у
У
У
Рис. 7-7. Скорости вращения жидкости
Рис. 7-7. Скорости вращения жидкости
При рассмотрении более сложного поля, когда несколько членов матрицы W не равны нулю, учитывая линейную зависимость скорости от координат, можно применить метод наложения, или суперпозиции, в соответствии с которым суммарное поле определяется как сумма составляющих полей. Формально этот вывод следует прямо из (7-17).
Проанализируем в качестве примера линейную комбинацию двух рассмотренных выше выражений полей (7-24) и (7-25):
• ди , , ди
w,ff+yx=.-/—+jx —.(7-27)
Если производные dujdy и dvjdx равны друг другу и имеют одинаковые знаки, выражение (7-27) определяет картину сдвига, или, иначе говоря, поле скоростей изменения первоначального прямого угла на острый либо тупой (рис. 7-6). Если при равенстве производных dujdy и dvjdx их знаки противоположны, получим поле скоростей вращения жидкости вокруг рассматриваемой точки (рис. 7-7).
Если же в более общем случае производные dujdy и dvjdx имеют произвольные значения, то при одинаковых знаках производных скорость сдвига определится их алгебраической суммой:
Ф ~ dujdy + dvjdx.(7-28)
При разных знаках производных dvjdx и dujdy средняя скорость вращения определится как среднее арифметическое обеих угловых скоростей
(7-29)(7-29)/ dvди X
(7-29)
(7-29)
\ дхду )
Последнее выражение аналогично выражению для угловой скорости со твердого тела, у которого составляющие линейной скорости по осям Ох и Оу равны —и и +и.
Поскольку рассмотренные поля скоростей определяют, как мы видели, изменение деформаций в единицу времени, матрицу (7-18) иногда называют тензором с к о ро стей деформации.
7-7. Геометрия векторного поля скоростей
Приведем без доказательства хорошо известные читателю-электрику теоремы Стокса и Остроградского—Гаусса, заметив только, что в силу совершаемого при их выводе предельного перехода ограничение окрестности
анализируемой точки в поле скоростей (см. § 7-5) здесь отпадает й teo- ремы верны для любых полей, включая неоднородные.
(7-30)(7-30)Теорема Стокса позволяет преобразовывать криволинейный интеграл в поверхностный и обратно. Она формулируется следующим образом: криволинейный интеграл вектора скорости w вдоль замкнутого контура L (циркуляция скорости вдоль I) равен поверхностному интегралу ротора этого вектора по поверхности, ограниченной кривой 1л
(7-30)
(7-30)
ф wdr = J rot w-ds.
В этом выражении rot w представляет собой вектор ротации поля. Он равенВ этом выражении rot w представляет собой вектор ротации поля. Он равенкон-кон-Ls
В этом выражении rot w представляет собой вектор ротации поля. Он равен
В этом выражении rot w представляет собой вектор ротации поля. Он равен
кон-
кон-
LLгде ^wdr = ^wyll— циркуляция вектора w вдоль замкнутого
L
L
L
тура L.
Как видно непосредственно из (7-30), для замкнутой поверхности двойной интеграл в правой части равен нулю, поскольку равен нулю путь интегрирования L в левой части.
С применением дифференциального оператора вектор ротора может быть представлен как векторное произведение
(7-32)(7-32)rot w — V X w,
(7-32)
(7-32)
составляющие которого по осям Ox, Оу, Oz как раз и дадут выражения dwldy — dv/dz; duldz — dcw/dz; dvldx — ди!ду.
Векторное произведение (7-32) может быть записано также в виде определителя:
Важным следствием теоремы Стокса (7-30) является утверждение: ротация потенциального поля равна нулю. В самом деле, если вектор поля имеет потенциал, т. е. w-gradф, где ф — скаляр, то линейный интеграл по любому замкнутому контуру в таком поле тождественно равен нулю:
grad ф-dr = 0,
L
так как в потенциальном поле
г3
J grad ф-dr = J dф = Ф (г2) — Ф (ri).
Следовательно, rot w = rot grad ф = 0, что непосредственно вытекает и из операторной записи V X (Гф) = (7х7)ф = 0 (векторное произведение двух одинаковых векторов всегда равно нулю). Таким образом, потенциальное поле есть поле безвихревое.
129129Сформулируем теперь теорему Остроградского—Гаусса, которая позволяет преобразовывать поверхностный интеграл в объемный и обратно: поток вектора w сквозь замкнутую поверхность равен объемному интегралу от
129
129
5 И. Ф. Филиппов
дивергенции этого вектора, взятому по объему, ограниченному рассматриваемой поверхностью, т. е.
ф w-ds = 3ф w-ds = 3f div wdV. Vf div wdV. V(7-33)(7-33)
ф w-ds = 3
ф w-ds = 3
f div wdV. V
f div wdV. V
(7-33)
(7-33)
В этом выражении div w представляет собой скалярную величину, характеризующую интенсивность источников поля:
ф W-ds
div w = lim —= 7-w =
V
= fi —— 4- j ——k —— Y(i« + jo + kny) = duldx + dvldy 4- dw/dz, (7-34)
V dx dy dz /
где ф w • ds = ф wnds— поток вектора w через замкнутую поверхность s. ss
Векторное поле, у которого дивергенция во всех точках равна нулю, называется трубчатым или соленоидальным. Если в таком поле рассмотреть какую-либо трубку тока (см. рис. 7-3), то видно, что поток вектора скорости сквозь любую замкнутую поверхность трубки, образованную ее пересечением двумя нормальными к линиям тока плоскостями, равен нулю.
В самом деле, поскольку боковая поверхность s составлена из линий тока и, следовательно, линиями тока не пересекается, в выражении для дивергенции скорости остаются два равных и противоположных по знаку члена, которые определяют поток вектора через поверхности s0 и si, ограниченные контурами входа в трубку и выхода из нее:
J div wdV = ^) w-ds г-(р w-ds -1 <pw-ds- (),V3Sost
т. e. в поле без источников через каждое сечение векторной трубки протекает одно и то же количество жидкости.
Можно показать, что поле ротора всегда является соленоидальным. Действительно, если w = rotA, то div w = div rot А= 7 ■ 7 X A =0, так как вектор 7 X А перпендикулярен V и А, и поэтому скалярное произведение этого вектора на V равно нулю. Справедливо и обратное утверждение: всякое соленоидальное скоростное поле является полем ротации некоторого вектора, т. е. если divw=0, то существует такое векторное поле В, для которого w=rotB. В этом случае вектор В называется векторным потенциалом поля w.
Приведем теперь небольшую сводку полученных ранее формул и несколько дополним ее:
W = Vw — тензор;rot w = V X w — вектор;
div w = V• w — скаляр;
rot grad Ф = V X 7ф = 0; div rot w - V-V X w — 0.
Рассмотрим теперь дифференциальные операции второго порядка, не приводящие к нулевому результату.
Пусть w = gгadф=Vф. Определим дивергенцию этого поля:
д2Ф д2ф д2ф
div w = div grad ф = V-7ф — 72Ф = ^2" + ~^- + ~^~ = Аф,
где A = d2/dx2 + d2/dz/2+<92/dz2 есть оператор Лапласа.
Пусть теперь w=rotA. Определим ротацию этого поля: rot w = rot rot А = 7 X (7 X А) = 7 (7-А) — (7-7) А = = 7 (7• А) — 72А = grad div А — ДА.
В заключение заметим, что всякое векторное поле можно разложить на две составляющие, для одной из которых будет равна нулю ротация, для другой — дивергенция. Это позволяет решить обратную задачу, т. е. по заданным значениям ротации и дивергенции найти векторное поле [24].
Глава восьмая
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
И ЕГО ИНТЕГРАЛ
8-1. Элементы статики.
Понятие давления жидкости в состоянии покоя
Приступая к составлению уравнения движения жидкости, необходимо рассмотреть силы, действующие в ней, в частности силы в предельном случае — при нулевой скорости движения, т. е. в состоянии покоя.
В соответствии с законом механики, в состоянии покоя равнодействующая всех внешних сил, приложенных к произвольному объему жидкости, равна нулю.
Внешние силы могут быть поверхностными, например силы давления на рассматриваемый объем жидкости, и объемными, например сила гравитации и центробежная. Внутренние, т. е. межмолекулярные, силы не рассматриваются, так как они действуют всегда попарно, причем равны по абсолютному значению и противоположны по знаку.
Замечательной особенностью жидкостей является характер направленности внешних сил. В состоянии покоя внешние силы всегда перпендикулярны к любому элементу поверхности, ограничивающей выделенный произвольный объем, причем направлены всегда снаружи внутрь. Это означает, что при отсутствии движения в жидкости отсутствуют и какие бы то ни было касательные напряжения и, кроме того, жидкость не выдерживает напряжений растяжения, а может противостоять лишь напряжениям сжатия.
Сформулированная особенность направленности внешних сил может быть принята за определение (опытный закон) жидкости.
Для определения понятия давления в жидкости рассмотрим объем такой формы, которая позволяет наиболее удобно написать условия равновесия. При этом воспользуемся указанием о направлениях внешних сил.
Выделим в покоящейся жидкости призму с основанием в виде прямоугольного треугольника и высотой, равной единице (рис.,8-1), и рассмотрим действующие по трем координатным направлениям поверхностные силы.
Поверхностные силы, отнесенные к единице поверхности, назовем напряжениями. Пусть напряжения на поверхно-
Рис. 8-1. Равновесие жидкой призмы
СТЯХ 51=0'1, S2=6'l, И 53 = С'1 равны соответственно pi, р2 и рз. В силу равновесия выделенного объема суммы вертикальных и горизонтальных проекций действующих сил должны быть равны нулю. Предположим вначале, что объемные силы отсутствуют. Тогда получим
pja—p3ccos(o, с) = 0;
НоНор2Ь — psccos\Ь, с) = 0.
Но
Но
с cos (о, с) = о и с cos (^с) = Ь.
Следовательно, pi—рз = 0 и р2—Рз = 0, т. е.
Р1 = р2 = Рз-(8-1)
Размер призмы был взят произвольно. Поэтому, если стягивать ее объем к точке, окажется, что при равновесии сила на единицу поверхности, т. е. напряжение в точке, не зависит от ориентации (в пространстве) элемента поверхности, на котором она действует. Значение напряжения жидкости, находящейся в равновесии, называется давлением жидкости в точке.
Пренебрежение объемными силами, которое мы допустили, не нарушает общности вывода о направлении напряжений в точке. В самом деле, стягивая объем выделенного элемента к нулю, мы всегда делаем малым сравнительное участие объемных сил, так как поверхностные силы пропорциональны второй степени линейных размеров, а объемные — третьей.
8-2. Связь между распределением давления и гравитационной силой
Известно, что давление покоящейся жидкости связано с действием объемных сил, в частности гравитационной силы. За единицу этой силы удобно принять силу g на единицу массы. Если не рассматривать другие массовые силы, например центробежную, для которых все выводы будут аналогичными, то силовое поле будет определено вектором силы тяжести g, который всегда направлен к центру Земли, называется поэтому центральной силой и является непрерывной функцией места (координат точки).
Рассмотрим изменение давления в направлении силового поля. Пусть образующая элементарного жидкого цилиндра параллельна вектору силы g и пусть основания площадью kF на- 132
(8-2)(8-2)Рис. 8-2. Равновесие жидкого цилиндра
(8-2)
(8-2)
ходится на двух поверхностях давления р и P-Vdp (рис. 8-2). Формулируя условия равновесия цилиндра в направлении силы g, учтем, что силы давления на боковую поверхность цилиндра перпендикулярны этому направлению и на него не проецируются. Тогда получим, что сила тяжести жидкого цилиндра должна быть уравновешена разностью сил давления на основания:
G — pdh&Fg = {p-\-dp) ЛР— pkF — dp&F, откуда
dp/dh = pg.
Таким образом, давление жидкости возрастает в направлении центральной силы так, что его приращение на единицу длины равно произведению плотности на центральную силу.
Заметим, что ось координат z обычно направлена снизу вверх, т. е. противоположно силе тяжести. Поэтому для нее справедливо уравнение
(8-3)(8-3)dp?dz = —pg.
(8-3)
(8-3)
Интеграл этого уравнения дает известную формулу гидростатического давления
Р1—р= —pg(Zj—г).
(8-4)(8-4)Отсюда
(8-4)
(8-4)
Pi = Р + Pg (z—Zi) = р + pg/г,если считать, что h берется в направлении силы g.Добавим, что сила тяжести элемента объема dFg = pdVg.
1-3. Инерция в движущейся жидкости
Чтобы определить инерцию элемента объема dV движущейся жидкости, равную произведению массы элемента на ускорение, следует рассмотреть предварительно оба сомножителя более подробно.
Масса элемента объема, выраженная через его плотность р, равна pdV. Что же касается ускорения, которое, по общему правилу, есть полная производная вектора скорости w по времени t, то следует учесть при его вычислении, что вектор w зависит не только от времени, но и от места: w=f (гД) = = f (x, у, z, ty Поэтому полная производная D^/dt должна быть взята как производная сложной функции w по t:
Dw dw dw dx dw бу dt dt dx dt dy dt
Н=|-u^y
dz dt dt dx dy
+ ty—— =+ (i« + p + k®)-Vw==
dz dt
= dw/d/ + w-grad w.(8-5)
Первый член полученной суммы характеризует изменение скорости во времени в данной точке поля и называется л о - калькой производной вектора скорости. Второй член характеризует изменение скорости во времени, связанное с изменением положения в пространстве рассматриваемой точки, координаты которой зависят от времени: x=x(t); y=y(t); z= = гЦУ Он называется конвективной производной вектора скорости. Само ускорение, или полная производная Dwldt, носит название материальной или субстанциональной производной. Таким образом, субстанциональная производная равна локальной производной плюс конвективная производная.
Понятию конвективной производной может быть дано наглядное геометрическое толкование, одновременно поясняющее происхождение термина «конвективная».
ugradr.ugradr.Рассмотрим в пространстве переменное поле температуры Т=Т (г, /). Пусть в фиксированный момент времени t=t0 изотермы Т=const имеют такой вид, как на рис. 8-3. Рассмотрим частицу жидкости, занимающую в момент времени /0 положение в пространстве Г1 и в момент времени t0+dt положение г2. Учтем, что перемещение частицы в рассматриваемый промежуток времени составит wdt. Если бы частица жидкости находилась в покое, изменение температуры этой частицы было бы связано лишь с изменением температуры точки поля п за время dt, что характеризуется локальной производной dT/dt. Поскольку за время dt частица переместилась в точку поля г2, к локальному изменению температуры следует прибавить изменение за счет перемещения. Оно вычисляется как скалярное произведение градиента температуры (изменения на единицу длины в направлении нормали к изотермам) и проекции пройденного пути на это направление (фактическое изменение длины в направлении нормали). Следовательно, конвективное изменение в единицу времени будет равно w-gradT. Таким образом, субстанциональная производная температуры
ugradr.
ugradr.
ъъDT/d/ = dm + w-gradT.
ъ
ъ
Для поля произвольной величины со, скалярной, векторной или тензорной,
Dtofdt = da/dt + w • grad co.
Рис. 8-3, Конвективная производная поля
Следовательно, для поля скорости w получим Dvi[dt= = t/w/tZ/+w-grad w. Теперь может быть записано выражение для инерции элемента объема:
(8-6)(8-6)dFw = pdVDvildt.
(8-6)
(8-6)
После этого можно переходить к рассмотрению поверхностных сил, приложенных к элементу объема.
8-4. Трение в движущейся жидкости
Рассмотрим элемент объема жидкости в форме куба, ось которого направлена в сторону его движения (рис. 8-4).
Как указывалось выше [см. (6-1)], касательные напряжения на гранях куба ABCD и MNLE пропорциональны градиенту скорости:
duduт = ц. дут = ц. ду(8-7)(8-7)
du
du
т = ц. ду
т = ц. ду
(8-7)
(8-7)
В свою очередь, приращение касательного напряжения в направлении оси у есть разность его значений на обеих рассматриваемых гранях, отстоящих друг от друга на dy;
dr ?. V и дт .du ]—т =du.'ду X ) ду И
Чтобы определить силу трения, приращение напряжения сдвига по двум граням элемента следует умножить на площадь грани dxdz. Получим
dF =-^- dydxdz = -^- dVдуду
или, подставляя вместо т его выражение из (8-7),
dFdFИИ-^dV.-^dV.еду»еду»
dF
dF
И
И
-^dV.
-^dV.
еду»
еду»
(8-8)(8-8)
(8-8)
(8-8)
Аналогичные вычисления могут быть выполнены для других направлений изменения составляющей и скорости w. Тогда
д»и । д»и дх» ‘ ду»д»и । д»и дх» ‘ ду»dFx = н(
д»и । д»и дх» ‘ ду»
д»и । д»и дх» ‘ ду»
или в общем случае — для векторного поля, w:
dF^ = p.AwdV.(8-9)
Рис. 8-4. Напряжения трения в элементе объема жидкости
Таким образом, на основе качественной оценки получены выражения для внешних сил, приложенных к элементу объема несжимаемой жидкости.
8-5. Уравнение движения жидкости
Для составления уравнения движения будем исходить из основного закона механики, согласно которому произведение массы на ускорение равно сумме всех внешних сил, действующих на рассматриваемую массу. На элемент объема жидкости действуют массовые (гравитационные) и поверхностные (давление и трение) силы. Если отнести силы к единице объема, уравнение движения в векторной форме будет иметь вид
Рг^- = к + Р-(8"1())
При этом массовая и поверхностная силы выражаются через свои проекции на координатные плоскости следующим образом:
k = iX + jT + kZ;(8-11)
P=iPx + jpy + kp2.(8-12)
Массовые силы следует рассматривать как заданные внеш- нце силы. Поверхностные силы зависят от скорости, с которой жидкость деформируется в рассматриваемом поле скоростей. Совокупность сил определяет напряженное состояние жидкости.
Составляющие (8-12) поверхностной силы р могут быть выражены через напряжения следующим образом. Рассмотрим вновь, как в § 8-4, элемент объема жидкости в форме куба с гранями dx, dy, dz (рис. 8-5). Пусть одна из вершин куба находится в точке Л с координатами х, у, z и ось г направлена вверх. К обеим граням куба, перпендикулярным оси х и имеющим площади dydz, приложены результирующие напряжения, равные соответственно рх и р, + -^Рх dx. Эти напряжения являются векторами и представляют собой отнесенные к единице площади результирующие поверхностных сил. Индекс х показывает, что рассмотренные векторы действуют на элемент площади, перпендикулярный к оси х. Аналогичные векторы получаются и для элементарных площадок dxdy и dxdz. Следовательно, составляющими результирующей поверхностной силы для трех граней соответственно для направлений х, у и г будут: -^- dxdydz, -^- dxdydz и -^- dxdydz.
дхдудг
Сложив эти составляющие и разделив полученную сумму на объем dV куба, получим отнесенную к единице объема по-
Рис. 8-5. К описанию напряженного состояния жидкости
верхностную результи
рующую силу р, вызванную напряженным состоянием:
р = dpjdx + дру1ду + dp2/dz.
(8-13)
по осям (8-12), нужно рассмотреть ру и pz, входящие в разложение (8-13), и найти ихпо осям (8-12), нужно рассмотреть ру и pz, входящие в разложение (8-13), и найти ихЧтобы определить составляющие вектора р, входящие в его разложение векторы рх,
по осям (8-12), нужно рассмотреть ру и pz, входящие в разложение (8-13), и найти их
по осям (8-12), нужно рассмотреть ру и pz, входящие в разложение (8-13), и найти их
составляющие по осям.
Введем следующие обозначения. Составляющие, перпендикулярные к элементарным площадкам, т. е. нормальные напряжения, обозначим буквой о с индексом, указывающим ось, параллельно которой направлено рассматриваемое нормальное напряжение. Составляющие же, лежащие в плоскости элементарных площадок, т. е. касательные напряжения, обозначим буквой т с двумя индексами; из этих индексов первый указывает, к какой оси перпендикулярна рассматриваемая элементарная площадка, второй указывает ту ось, параллельно которой направлено рассматриваемое касательное напряжение. Применив эти обозначения, получим
рх = К + Ку + ктХ2;ру = 1тух + jOy + kTyZ.
Рг = Кх + Ку + каг-(8-14)
Как можно видеть, напряженное состояние определяется
девятью скалярными величинами, совокупность которых состав
ляет тензор напряжений, подобно тому как совокупность составляющих скоростного поля составляет тензор скоростей деформаций W [см. (7-18)]:
^х ^xu "'•хг
"tyx ау ^уг"tyx ау ^уг(8-15)(8-15)
"tyx ау ^уг
"tyx ау ^уг
(8-15)
(8-15)
тгх ^ху ^2
Тензор напряжений симметричен относительно главной диагонали, так как касательные напряжения с одинаковыми, но расположенными в обратном порядке индексами равны между собой: Тху=туж; тжг = т2ж; TyZ=Tzy. Следовательно, матрица (8-15)
содержит только
шесть различных составляющих тензора на-
пряжений:
л 8т ’гт '" ’’<
иХ1ху1 'xz 1
п= ТХуО* [Ту/ .(8-16)
Подставим теперь (8-14) в (8-13):
Р = "у ОК + Ку + кт^) + -у (КУ + jay + кту2) ++ у (Кг + Ку + к(Гг) =
= 1 (доу /дх 4- дхху!ду + dxxJdz) +
+ j (дхху1дх + dcyldy + dx^dz1) + + к (dxxzldx + dxyjdy + dajdz).
площадка площадка площадкаУ*гхху
Как можно видеть, при ортах 1, j и к сгруппированы составляющие вектора р соответственно вдоль осей х, у и z, причем первые члены каждой суммы при ортах относятся к грани yz элемента объема, вторые — к грани zx, третьи — к грани ху.
Отсюда уравнение движения (8-10) в проекциях на оси координат, т. е. с учетом (8-11) и (8-12), дает
р Du =х 4-(-^- । Ку ■ _Kz\.
dt\ дх 1 ду дг )'
р_5£.=у+/^гу + ^у + ^\(8.17)dt\ дх ду дг 7р_5£.=у+/^гу + ^у + ^\(8.17)dt\ дх ду дг 7
р_5£.=у+/^гу + ^у + ^\(8.17)
dt\ дх ду дг 7
р_5£.=у+/^гу + ^у + ^\(8.17)
dt\ дх ду дг 7
Как можно видеть, для решения уравнения (8-17) необходимо найти связь между напряжениями и скоростями деформаций, чтобы получить возможность выразить через составляющие скоростей все компоненты системы (8-17). Это означает, что должна быть определена связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформации. Указанная связь устанавливается на основе опытного закона (8-7), из которого следует
(8-18)(8-19)(8-18)(8-19)хху = р (duldy + duldxY 'xgz = р (dvldz + дш!ду\тХ2 = И {dwldx + duldz)ох—° у = 2р (duldx— dvldy)\ох—oz = 2р фи!дх—dwldz).
(8-18)
(8-19)
(8-18)
(8-19)
Уточним теперь понятие «давление жидкости»: среднее значение нормальных напряжений на шаре с радиусом, равным единице, представляет собой отрицательное давление жидкости, т. е.
Р — у (ах + Оу + О^-Р — у (ах + Оу + О^-(8-20)(8-20)
Р — у (ах + Оу + О^-
Р — у (ах + Оу + О^-
(8-20)
(8-20)
Такое определение основано на следующих соображениях. В жидкости, лишенной трения, все касательные напряжения равны нулю, и в уравнениях остаются только нормальные напряжения, которые, к тому же, одинаковы. Отрицательное значение любого из этих нормальных напряжений определяет давление в точке х, у, z;
Хху = "^уг — Ххх = 0; Ох = Од = ог = р.
При таком гидростатическом напряженном состоянии давление в жидкости равно среднеарифметическому нормальных напряжений, взятому со знаком минус [см. (8-1)]. Так как измерения, которые ведут к установлению термодинамического уравнения, выполняются в условиях, когда жидкость находится в состоянии покоя, то указанное давление совпадает с термодинамическим давлением, входящим в уравнение состояния. Среднеарифметическое нормальных напряжений целесообразно использовать в качестве расчетной величины также для вязкой жидкости, находящейся в состоянии движения. Это среднеарифметическое по-прежнему называют давлением, но его равенство термодинамическому давлению оказывается действительным лишь при отсутствии релаксационных процессов, например химических реакций.
При учете (8-20) получим для нормальных напряжений
2/
Ох=—Р
ди
дх
ди ду
-^ + 2^; дг )дх
2 /
ди дх
ду
дг )ду ’
(8-21)
2 / ог=—р—-Р(
ди дх
ду
дг J г дг
. ди. ди. диv 1др. 1д ( ди ,|-мру|ю=хЛ- JV1[дх ди дгрдх 3дх \ дх. ди. ди. диv 1др. 1д ( ди ,|-мру|ю=хЛ- JV1[дх ди дгрдх 3дх \ дхПри учете (8-21) и (8-18) первое уравнение системы (8-17) приобретает вид ди dt
. ди. ди. диv 1др. 1д ( ди ,
|-мру|ю=хЛ- JV1[
дх ди дгрдх 3дх \ дх
. ди. ди. диv 1др. 1д ( ди ,
|-мру|ю=хЛ- JV1[
дх ди дгрдх 3дх \ дх
++,(8-22)
ду дг /\ дх2 ду1 дг2 у
где v = p/p.
Аналогично преобразуются второе и третье уравнения системы. В векторной форме имеем
p”- = g— gradP + — vgrad div w + vAw, (8-23)
dtp3
где согласно (8-5) Dwfdt=dwldt+-w- Vw.
Это дифференциальное уравнение, составляющее основу всей гидродинамики, известно под названием уравнения Навье— Стокса. Оно справедливо как для сжимаемых, так и для
несжимаемых жидкостей. При divw = 0 оно упрощается и принимает виднесжимаемых жидкостей. При divw = 0 оно упрощается и принимает видDw dw ,1^r=-^+w\Vw=g-.-vP+vvwили в координатной форме:Dw dw ,1^r=-^+w\Vw=g-.-vP+vvwили в координатной форме:(8-24)(8-24)ди , дирыdt дхди , дирыdt дх1 др1 др। „ ди , диVV — + W-— ду дг/ ^и , дги ,। „ ди , диVV — + W-— ду дг/ ^и , дги ,Р дх \ дх2 ду2 с до । до . до , до —- + « —— + иг®-— =dt дх ду дгР дх \ дх2 ду2 с до । до . до , до —- + « —— + иг®-— =dt дх ду дг1 дрР ду дш —+ « - дг1 дрР ду дш —+ « - дг+ v+ vдш дхдш дх2о . д2од'Чх2 ду2дг1дш . дшрш-— =ду дг2о . д2од'Чх2 ду2дг1дш . дшрш-— =ду дг1 др р дг1 др р дгдЧи dFдЧи dFд2ш \FF)*д2ш \FF)*
несжимаемых жидкостей. При divw = 0 оно упрощается и принимает вид
несжимаемых жидкостей. При divw = 0 оно упрощается и принимает вид
Dw dw ,1
^r=-^+w\Vw=g-.-vP+vvw
или в координатной форме:
Dw dw ,1
^r=-^+w\Vw=g-.-vP+vvw
или в координатной форме:
(8-24)
(8-24)
ди , дирыdt дх
ди , дирыdt дх
1 др
1 др
। „ ди , ди
VV — + W-— ду дг
/ ^и , дги ,
। „ ди , ди
VV — + W-— ду дг
/ ^и , дги ,
Р дх \ дх2 ду2 с до । до . до , до —- + « —— + иг®-— =
dt дх ду дг
Р дх \ дх2 ду2 с до । до . до , до —- + « —— + иг®-— =
dt дх ду дг
1 др
Р ду дш —+ « - дг
1 др
Р ду дш —+ « - дг
+ v
+ v
дш дх
дш дх
2о . д2од'Ч
х2 ду2дг1
дш . дш
рш-— =
ду дг
2о . д2од'Ч
х2 ду2дг1
дш . дш
рш-— =
ду дг
1 др р дг
1 др р дг
дЧи dF
дЧи dF
д2ш \
FF)*
д2ш \
FF)*
Но и для несжимаемых жидкостей уравнение (8-24) может быть проинтегрировано лишь для простейших движений.
При отсутствии трения (v = 0) уравнение движения еще более упрощается и записывается в форме
Dwldi = g— 1/р grad р;
ди , -иdtди ,—- + иvtдш .Риdtди , -иdtди ,—- + иvtдш .Риdtди+ и-ди, ди—К ш=gxдхdyдгдиди, дидх+ и-ду\-w—- дг= 8иди+ и-ди, ди—К ш=gxдхdyдгдиди, дидх+ и-ду\-w—- дг= 8идш дхдш дхдш . дш u—-+w—-=gzду дгдш . дш u—-+w—-=gzду дг1 дрр дх1 дрР ду1 др р дг1 дрр дх1 дрР ду1 др р дг(8-25)(8-25)
ди , -и
dt
ди ,
—- + и
vt
дш .
Ри
dt
ди , -и
dt
ди ,
—- + и
vt
дш .
Ри
dt
ди
+ и-
ди
, ди
—
К ш
=gx
дх
dy
дг
ди
ди
, ди
дх
+ и-
ду
\-w—- дг
= 8и
ди
+ и-
ди
, ди
—
К ш
=gx
дх
dy
дг
ди
ди
, ди
дх
+ и-
ду
\-w—- дг
= 8и
дш дх
дш дх
дш . дш u—-+w—-=gz
ду дг
дш . дш u—-+w—-=gz
ду дг
1 др
р дх
1 др
Р ду
1 др р дг
1 др
р дх
1 др
Р ду
1 др р дг
(8-25)
(8-25)
Последнее уравнение, описывающее движение идеальной жидкости, называется уравнением Эйлера.
Следует иметь в виду, что уравнение Навье — Стокса выведено на основе предположения о том, что нормальные напряжения и напряжения сдвига представляют собой линейные функции скоростей деформации (закон Ньютона). Кроме того, для случая, когда учитывается сжимаемость газов, принято, что среднее нормальное давление не зависит от скорости объемного расширения. Правильность этих гипотез подтверждается совпадением результатов экспериментов с соответствующими результатами решения уравнения (8-23).
Поскольку число неизвестных (и, и, w и р) в уравнениях (8-24) для несжимаемых сред превосходит число самих урав-
нений, к последним присоединяется уравнение неразрывности, которое выражает закон сохранения массы: из каждого произвольного объема, заполненного жидкостью, может вытечь лишь столько жидкости, сколько в этот объем втекает, если рассматриваемый объем не содержит источников, т. е. в поле без источников для несжимаемой жидкости
$ w-dS
lim —= div w = V w = 0, V->0 v
илиилиди!дх + dv/dy + dwldz = 0.ди!дх + dv/dy + dwldz = 0.(8-26)(8-26)
или
или
ди!дх + dv/dy + dwldz = 0.
ди!дх + dv/dy + dwldz = 0.
(8-26)
(8-26)
Благодаря присоединению уравнения неразрывности система уравнения движения оказывается замкнутой.
8-6. Интеграл уравнения Эйлера вдоль линии тока. Уравнение Бернулли
В электрических машинах режим циркуляции охлаждающих сред устанавливают до того, как производят нагружение самой электрической машины. Это позволяет рассматривать поле скоростей охлаждающей среды как поле стационарное. Иными словами, в уравнении Эйлера (8-25) обращается в ноль член dv^ldt, характеризующий локальное изменение скорости в точке поля в зависимости от времени. Тогда уравнение приобретает вид
w-vw = g— Vp.(8-27)
Р
Рассмотрим криволинейный интеграл этого уравнения вдоль линии тока:
w • v wdr I g ■ dr —w • v wdr I g ■ dr —— v Р • dr 4- С. Р— v Р • dr 4- С. Р
w • v wdr I g ■ dr —
w • v wdr I g ■ dr —
— v Р • dr 4- С. Р
— v Р • dr 4- С. Р
Учтем, что центральная сила g имеет потенциал g = gradt/. Тогда получим
^ w • grad w • dr = —J grad U -dr— ^ — grad p • dr + C.
llz. P
Заметим, что для всякой величины ф действительно соот
ношение
grad ф • dr = V ф • dr = 0 -^- + j -^- + k -") G d^+j dz/+k dz) == -^- dx 4- -^- dy 4- -^- dz = йф,Эх dy dz
т. ё. скалярное произведение вектора градиента какой-либо величины на дифференциал радиуса-вектора поля есть полный дифференциал рассматриваемой величины. Следовательно,
f grad U-dv = j dU = U Ц-С'-,
LL
f — grad p-dr = — f dp — " p + C".
J pp J P
LL
Кроме того, подынтегральное выражение в левой части уравнения преобразуется следующим образом:
w-grad w-dr = w-dw = d —,
откуда
I w-grad w-dr = I d=VC'" •
JJ 22
LL
Тогда для интеграла уравнения Эйлера получим
" = U-^PA-C.(8-28)
Чтобы проинтегрировать уравнение Эйлера, мы заменили вектор силы тяжести g его выражением через потенциал этой силы и. Теперь в полученном выражении (8-28) можно потенциал силы тяжести и выразить через высоту уровня в рассматриваемом поле исходя из выражения для потенциала с учетом направления оси г:
g2= — dUldz-, gz = U + С„, т. е. U — Cy—gz.
Окончательно имеем
w2/2 + р/р + gz = const.(8-29)
Полученное уравнение называется уравнением Бернулли. Оно имеет важнейшее значение для понимания и расчета движения жидкостей в трубах и каналах. Каждому члену уравнения Бернулли придается конкретный физический смысл, для раскрытия которого удобно переписать уравнение в единицах длины. Для этой цели разделим его на ускорение силы тяжести g. Получим
-^- + -5- + z = const.(8-30)
2g pg
Величину w2/(2g) можно понимать как высоту, падая с которой частица жидкости приобрела бы в конце пути скоростью. Она называется скоростной высотой. Величину pl(pg) можно понимать как высоту столба жидкости, которую спо-
собно поддерживать давление р. Она называется высотой давления или пьезометрической высотой. Величина 2 есть высота рассматриваемой точки линии тока над начальной поверхностью уровня. Она называется высотой места. Итак, уравнение Бернулли может быть сформулировано следующим образом: при установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости под действием сил, имеющих потенциал, сумма высот — скоростной, пьезометрической и высоты места — есть величина для данной линии тока постоянная.
При изучении движения жидкости часто бывает важно выразить не изменение абсолютного давления в струе, а лишь изменение давления, связанного с самим движением. Иными словами, бывает целесообразно исключить из рассмотрения действие поля массовых сил, которое одно только бы и существовало в отсутствие движения. Это означает, что из уравнения движения и его интеграла нужно исключить массовые силы, представив давление р как сумму давления, которое существовало бы в данной точке в отсутствие движения, и давления, вызванного движением.
Покажем, что из уравнения Бернулли при определенных допущениях может быть исключена высота места, т. е. энергия поля массовых сил, и дадим этому факту подробное физическое истолкование. Будем считать, как и прежде, что плотность среды постоянна.
Разложим давление р на две составляющие:
р = р + р*,(8-31)
где р давление массовых сил, или то давление, которое было бы и рассматриваемой точке поля в состоянии покоя; р* — давление, созданное движением.
Так как давление массовых сил нам известно (р = С—р^г), то
. Р | Р* . С; | Р*
РЙ РЙРй РЙРй
<нкуди
— -.— z~Н~— = const.
2g pg2g pg
Таким образом, для разности давления р и давления массовых сил, т. е. для величины р*, получили особенно простую и наиболее часто употребляемую форму уравнения Бернулли
(8-32)(8-32)au1 , р*i
(8-32)
(8-32)
= const-
2g pg
Эта форма уравнения показывает, что если плотность жидкости неизменна, то при неизменной скорости движения и при
изменении уровня рассматриваемой точки линии тока давление в движущейся струе не изменяется. Иными словами, работа против сил гравитации не производится Это объясняется тем, что при постоянной плотности жидкости сила тяжести элемента жидкости на любой глубине уровновешивается подъемной силой, приложенной к этому же элементу со стороны окружающей жидкости. Однако последнее утверждение справедливо лишь до тех пор, пока наблюдаемая частица жидкости со всех сторон окружена другими частицами этой же жидкости. В других случаях, например на свободной поверхности воды, находящейся под атмосферным давлением, или на границе слияния двух жидкостей, сила гравитации ни в коем случае не может быть исключена из рассмотрения.
Если члены уравнения (8-32) умножить на pg, получим
-£- щ2 + р* = const. (8-33)
Величина рд=-^-ty2 называется динамическим давлением, величина рс = р* — статическим давлением; их сумма
рп = Рд + Рс = const (8-34) называется полным давлением.
Таким образом, полное давление движущейся несжимаемой идеальной жидкости, равное сумме динамического и статического давления, есть величина постоянная.
Особенно важно подчеркнуть, что термин «статическое давление» плохо отражает существо дела и поэтому не может быть признан удачным [40]. В самом деле, в состоянии покоя давление рс, поскольку из него исключено давление массовых сил, всегда равно нулю. Это означает, что давление рс есть результат движения, т. е, является динамической характеристикой струи. Это понятно и из других физических соображений. По- скольку сумма -^-су2 + Рс есть величина постоянная, то чем больше скорость, тем меньше рс, и наоборот.
Разумеется, нет особой необходимости отменять терминологию, сложившуюся исторически. Однако во избежание возможных недоразумений, примеры которых известны из практики, следует отчетливо понимать, что в состоянии покоя давление в точке определяется исключительно действием сил гравитации. В состоянии же движения к этому давлению прибавляется сумма Рд+рс = рп, полностью характеризующая движе-
ние струи для несжимаемых и лишенных свободных поверхностей жидкостей.
В заключение полезно подчеркнуть, что градиент давления grad р есть сила, отнесенная к единице объема жидкости. Само же давление р выражает энергию единицы объема жидкости или газа. Поэтому произведение давления на расход, т. е. на объем в секунду, определяет мощность жидкости, совершающей работу pQ = N.
Глава девятая
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ
9-1. Вводные замечания
Выше было сказано, что уравнение Навье—Стокса для рс.чльной, т. с. вязкой, жидкости может быть проинтегрировано лишь в случае простейшего движения. В то же время неучет вязкости при решении уравнения идеальной жидкости (Эйлера) не позволяет ничего сказать о численном значении сопротивления при движении.
Сложившаяся ситуация побудила инженеров, занятых вначале гидравликой и впоследствии прикладной аэромеханикой, изыскивать эмпирические законы сопротивления. К настоящему времени накоплен богатейший материал по исследованиям со- протннлепия жидкостей и газов в самых разнообразных условиях, в том числе при движении в каналах электрических машин Полученные из опыта зависимости позволяют с большой rieiiein.io достоверности производить расчет весьма сложных MHIHHH и аппарагов
Может ш>кп ппься, что несоответствие сведений из инженерной Иракiики выводам гидромеханики идеальной жидкости, с одной стороны, и невозможность теоретического определения сопротивления вязких жидкостей, с другой стороны, позволяют вообще отвлечься от теоретических представлений и пользоваться при необходимости лишь эмпирическими результатами.
Такой вывод глубоко ошибочен. Все развитие гидродинамики, как в се принципиальной, чисто теоретической сфере, так и в приложениях, доказывает, что оба направления фундаментальным образом воздействуют друг на друга. Важнейшие закономерности сопротивления движущихся сред не могли бы быть установлены на том уровне обобщения, который им присущ, если бы вся методология проведения экспериментов и анализа полученных результатов не была построена на проч-
ном фундаменте глубоко разработанной теории. Ниже будет (правда, весьма лаконично) показано, как именно теоретические предпосылки, прямо вытекающие из анализа уравнений движения, дали мощный толчок развитию прикладной аэромеханики, что, в свою очередь, позволило существенно обогатить теорию.
Для изучения сопротивления жидкости необходимо правильно понимать его природу. В свою очередь, для правильного понимания механизма сопротивления необходим анализ основных уравнений движения вязкой жидкости.
9-2. Гидромеханическое подобие течений
Практическая неразрешимость уравнений движения для многих важных форм течения жидкостей привела к обширным экспериментальным поискам законов сопротивления. При этом оказалось, что результаты даже наиболее тщательно поставленного в лаборатории эксперимента не могут быть распространены на натурные объекты, если не соблюдены некоторые специальные условия, которые обеспечивают гидромеханическое подобие модельной и натурной установок.
В частности, было установлено, что фактор геометрического подобия двух обтекаемых тел еще не означает подобия механического, так как при этом не обеспечено подобие поля скоростей и давлений в соответственных точках пространства.
Пусть, например, изучается движение жидкости, обтекающей шар столь большого объема, что эксперимент возможен практически лишь на модельной установке значительно меньших размеров (рис. 9-1). Два шара всегда геометрически подобны. Как очевидно, для осуществления механического подобия необходимо, чтобы отношение всех действующих сил в соответственных точках пространства было величиной неизменной. Можно еще сказать, что отношение сил, действующих на элемент объема жидкости в подобных точках пространства, должно быть постоянным для любого момента времени.
Как мы видели выше, на произвольный элемент объема жидкости или газа действуют в общем случае массовые силы, силы объемной деформации (сжимаемости) и силы трения.
В подавляющем большинстве типов движения жидкостей
рассмотрение массовых сил и сил объемной деформации лишено практического смысла. В самом деле, если жидкость несжимаема и не имеет свободных поверхностей (поверх-
Рис. 9-1. Гидромеханическое подобие движения для шара
ностей раздела с другими жидкими средами), то, в связи с тем, что сила гравитации в каждой точке объема компенсируется статической подъемной силой, движение жидкости оказывается вполне строго не зависящим от поля гидростатического давления. В этих случаях сила гравитации может быть исключена из уравнений движения без нарушения общности решений.
Несжимаемость капельных жидкостей в инженерной практике обеспечивается практически во всех случаях; несжимаемость газов обеспечивается, если их скорость не приближается к скорости звука. Последнее требование в электромашиностроении также удовлетворяется. Таким образом, мы можем пренебречь как силами сжимаемости, так и силами гравитации.
Следовательно, гидромеханическое подобие течений вокруг геометрически подобных тел будет соблюдено в тех случаях, когда отношение инерционных сил к силам трения в соответственных точках пространства будет одинаковым в любой момент времени.
Посмотрим теперь, какой формальный критерий гидромеханического подобия течений может быть получен при реализации сделанного утверждения.
Инерции единицы объема есть произведение массы единицы объема т. е. плотности, на ускорение. Компонент ускорения элемента объема, движущегося в направлении оси Ох, равен iidujdx [см. (8-25)]. Другие компоненты можно не рассматривать, так как это ничего не добавит к анализу условий подобии. Таким образом, компонент силы имеет вид pudu/dx.
Компонент силы трения на единицу объема элемента, движуще! оси и направлении оси Ох, равен pdtuldy2 [см. (8-8)]. От- гюдн oinoiiieiiHe сил:
7 — P“du/d.x:\1^и!дуг
Требуется определить, как полученное отношение зависит ог пходищих и net о параметров, т. е. от скорости, размеров ipflrt, плогпостн и низкости,
Нулем гчпнпь, что скорость и и разность скоростей du для каждого из подобных течений пропорциональны скорости данного течения в невозмущенной части потока ш» (скорости на бесконечности), т. е u~w«, и du~woo. Разности координат двух подобно расположенных точек пространства пропорциональны соответственным геометрическим размерам подобных тел (например, радиусам шаров), т. е dx~r. Отсюда duldx~w<x>k.
Теперь сила инерции, выраженная в пропорциях, будет иметь вид риди/дх ~ pw^Jr. Сила трения pd^uldy2 ~ pwjr2. Следовательно, отношение обеих сил составит:
риди/дх pk^Jr Р г _ а'хГ (9-1) pd^uldy1 цшоог2 В °° v ’
т. е. ДЛЯ гидромеханического подобия течений вокруг геометрически подобных тел необходимо, чтобы для каждого из течений критерий подобия tw«>r/v имел одно и то же значение в любой момент времени. В указанном критерии w» есть скорость в характерной точке пространства, г — характерный геометрический размер исследуемого тела.
Поскольку критерий подобия получен как отношение сил, следует ожидать, что его размерность равна единице. Это можно проверить непосредственно:
Гр 1МLTL,.
wr =L= 1.
JVМТ
Выведенный здесь закон гидромеханического подобия, оказавший огромное влияние на все последующее развитие гидродинамики, был открыт и сформулирован О. Рейнольдсом, в честь которого введенный им критерий обозначается первыми двумя буквами его фамилии: ayr/v = Re.
9-3. Гипотеза Ньютона о сопротивлении жидкости
Поскольку Ньютон дал формулу сопротивления, до сих пор успешно применяемую для расчета некоторых простых движений, гипотеза, на которой он основывался, представляет интерес, хотя она и противоречит экспериментальным данным.
Ньютон исходил из представления дискретной, состоящей из мельчайших частиц среды. Частицы не взаимодействуют друг с другом и при встрече с движущимся в жидкости телом приобретают некоторый импульс. Таким образом, для применения теоремы количества движения нужно учесть все частицы, приходящие в соприкосновение с телом. Если плотность среды есть р и площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную к направлению движения, равна s, то при скорости w равномерного прямолинейного движения тела относительно жидкости (или, что то же самое, жидкости относительно неподвижного тела) масса жидкости, с которой за единицу времени приходит в соприкосновение тело, равна psto. Этой массе сообщается скорость, которую можно принять пропорционально скорости движения тела wT = kw. Следовательно, сопротивление тела, т. е. сила, равная импульсу, сообщаемому жидкости в единицу времени, выражается формулой
(9-2)(9-2)F = psiv#ay = края?.
(9-2)
(9-2)
Если исходить из полученной формулы, сопротивление может быть определено следующим образом. Для какой-либо модели экспериментально определяется коэффициент пропорциональности к и подставляется в формулу Ньютона для расчета сопротивления любого геометрически подобного тела, для которого должна быть известна лишь площадь s.
Опыт говорит, однако, о том, что рассчитанные таким способом коэффициенты сопротивления во многих случаях не соответствуют действительным значениям. Так, например, коэффициент сопротивления квадратной пластинки, расположенной перпендикулярно направлению движения, по формуле Ньютона равен единице. Экспериментальное значение коэффициента в этом случае равно 0,55. Формула (9-2) дает также завышенные значения сопротивления для хорошо обтекаемых тел, например тел сигарообразной формы.
9-4. Природа сопротивления жидкости.
Пограничный слой
Анализ причин несостоятельности гипотезы Ньютона позволяет глубже вникнуть в проблему сопротивления жидкости и подойти к современному пониманию ее существа.
По гипотезе Ньютона на сопротивление влияют только те явления, которые происходят с передней стороны тела, но не с боковых сторон и не с задней (кормовой). Таким образом, форма тела и площадь его поверхности оказались вне рассмот- рвиня. Между тем именно форма тела (при неизменной площади проекции s) во многих случаях играет решающую роль для сопротивления. Это же можно сказать в некоторых других случаях о площади поверхности тела, т. е. поверхности трения. Зачастую важную роль играют и форма, и площадь поверхности гели.
Концепция среды, частицы которой не взаимодействуют друг < лруюм, приводит к предположению, что, получив импульс ot движущегося тела, данная частица не способна в какой- чиПо мерс передать этот импульс другим частицам. Между (ем ни движение каждой частицы оказывают влияние соседние । ней частицы, причем жидкость ведет себя как практи- •нч ни г плоншни среда, т. в в движение приходят сразу большие |рунны ЧИГП1Ц (молекул)
I lHHHein llhioioiui не позволяет учесть влияние вязкости. Между |см именно ннткость коренным образом изменяет форму динжинни жидкое in но сравнению с той, которая была бы и случив движения идеальной невязкой жидкости.
Рассмотрим жидкость без свободных поверхностей. Будем считать ее несжимаемой, имеющей во всем объеме неизменную плотность р. Это позволяет исключить из уравнения Навье — Стокса силу гравитации. Тогда
Dvildt = —^- grad р + vAw. (9-3)
Отсюда следует, что если рассматривать не термодинамическое давление в потоке, а разность между ним и давлением покоя в этой же точке поля, т. е. только разность давлений,
обусловленную движением несжимаемой жидкости, то силы инерции Dvildt уравновешиваются силами нормального давления (grad р) и силами вязкости (vAw).
Поскольку в такой общности уравнение (9-3) не может быть проинтегрировано, естественно возникает вопрос о количественном соотношении членов этого уравнения. Выше мы видели, что отношение сил инерции к силам вязкости вполне определяется одним безразмерным комплексом, или критерием, именно числом Рейнольдса Re = w/v. Казалось бы правомерным для движений, у которых число Рейнольдса достаточно велико, отвлечься от действия вязкости, пренебрегая последним членом уравнения (9-3), т. е. интегрируя его для идеальной жидкости без трения, как это и сделано в § 8-6. В самом деле, при движении, например, шара радиусом 5 см со скоростью 1 м/с в воде число Рейнольдса равно 50 000. Следовательно, силы инерции относятся к силам вязкости, как 50 000 к 1. В обычной практике вычислений подобные соотношения служат достаточным основанием для пренебрежения меньшими значениями. В рассмотренном примере можно было бы считать, что сопротивление определяется только силами инерции. Однако такой подход привел бы к результату, известному под названием «парадокс Д’Аламбера»: сумма сил давления равна нулю, т. е., двигаясь в воде, шар вообще не испытывает сопротивления.
Что же мешает пренебрегать влиянием сил вязкости? Следует иметь в виду>по крайней мере два физических результата действия даже весьма небольших по значению сил вязкости.
Во-первых, изменяется поле давлений, в особенности за обтекаемым телом. Линии тока у действительной жидкости в отличие от жидкости идеальной не являются непрерывными, т. е. не прилегают к обтекаемому телу по всей его поверхности. В кормовой части тела наблюдается отрыв линий тока, образование вихрей и зоны с меньшим давлением (иногда ее называют «мертвой зоной»). Таким образом возникает градиент давления, препятствующий движению, или сопротивление давления. Как очевидно, сопротивление давления тем меньше, чем более обтекаемую форму имеет движущееся тело. Например, тонкая пластинка, движущаяся в своей плоскости (рис. 9-2), практически не имеет сопротивления давления (линии тока практически не искажаются). Однако эта же пластинка, поставленная перпендикулярно к направлению движения, обладает весьма значительным сопротивлением давления, (рис. 9-3). х
Во-вторых, на поверхности тела возникают силы трения, направленные по касательной к поверхности, результирующая которых дает так называемое сопротивление трения. Внутреннее трение в жидкости, обладающей вязкостью, изменяет поле давлений по сравнению с полем идеальной жидкости, что, в свою очередь, приводит к появлению сопротивления
Рис. 9-2. Обтекание пластины,Рис. 9-3.Обтекание
ориентированной по потокупластины,ориентиро-
ванной перпендикулярно потоку
давления или его возрастанию, когда сопротивление давления вызвано отрывом потока от стенок.
В приведенном выше примере с тонкой пластинкой сопротивление трения больше всего именно при минимальном сопротивлении давления, т. е. когда пластинка движется в своей плоскости. При расположении пластинки перпендикулярно к потоку сопротивление трения пренебрежимо мало. В общем случае оба вида сопротивления могут быть одного порядка, однако одно из них больше определяется формой тела, другое — площадью поверхности.
Для экспериментального определения обеих составляющих сопротивления измеряют полное сопротивление и распределение давления по всей поверхности тела, которое позволяет вычис- лить сопротивление давления. Затем из полного сопротивления вычитают сопротивление давления и полученную разность от- иоен г целиком к сопротивлению трения.
При движении тела в жидкости или, что то же, жидкости относительно неподвижного тела в тонком слое у поверхности гела жидкость затормаживается так, что в силу вязкости на самой поверхности наблюдается прилипание к ней частиц жидкости. Таким образом, в тонком слое у поверхности скорость течения возрастает от пуля до своего полного значения во внешнем потоке, в котором жидкость можно рассматривать текущей без трения. Указанный тонкий слой называется пограничным слоем.
9-5. Обобщение уравнения Бернулли для движения жидкости с трением
Предыдущий анализ показывает, что полное сопротивление жидкости зависит от формы тела и его положения в потоке, от размеров тела, от свойств жидкости (плотности, вязкости) и скорости ее движения. Поэтому закон сопротивления в .необ-
ходимой общности пока еще не может быть сформулирован, что выражается формально в невозможности получить общий интеграл уравнения Навье — Стокса. Возникает необходимость использовать приближенные решения этого уравнения, внося в них поправки, подсказанные экспериментом.
Наиболее плодотворный результат, в особенности важный в инженерных приложениях, дает такой подход к проблеме, при. котором в качестве приближенного уравнения Навье — Стокса (для вязкой жидкости) принимается уравнение Эйлера (для идеальной жидкости), т. е. в качестве приближенного решения рассматривается уравнение Бернулли:
Рд + Рс — -уЩ2+Рс= const.
Чтобы внести в это решение поправку на сопротивление жидкости, следует учесть разность давлений \р (этого требует размерность членов уравнения Бернулли), которая соответствует сопротивлению F. Такой метод больше всего нагляден в применении к движению жидкостей в каналах и трубах, что и представляет наибольший интерес в теории электрических машин.
Уже в гипотезе Ньютона сопротивление принято пропорциональным квадрату скорости движения: F = kpsw2. Если предположить, что при такой форме записи зависимость сопротивления от всех влияющих, факторов должна быть учтена коэффициентом к, то для падения давления, вызванного сопротивлением, получим
^p = F^S = kpw2. (9-4)
Такой подход удобен не только с точки зрения сохранения исторически сложившихся и справедливых в отдельных случаях формул, но и с позиций внесения поправки в уравнение Бернулли. Правда, в этом смысле коэффициент к удобнее взять таким, чтобы падение давления Др выражалось в долях динамического давления -у- щ2- Поэтому договорились поправку на сопротивление представлять в виде
Ap = ^ty2, (9-5)
причем коэффициент £, равный, как очевидно, 2к, называют коэффициентом сопротивления.
Рассмотрим теперь факторы, от которых зависит коэффициент сопротивления. Как мы выяснили, результаты, полученные при экспериментах с одной жидкостью, могут быть распространены на любую другую жидкость при соблюдении определенных требований, а именно при соблюдении гидромеханического подобия. Гидромеханическое подобие соблюдается, если
наряду с геометрическим подобием рассматриваемых тел равны безразмерные критерии, или числа Рейнольдса (Re = tyr/v).
Таким образом, форма поправки к уравнению Бернулли не будет противоречить современным представлениям о природе сопротивления жидкостей; если поправке придать вид
Ар = £ (Re)-^- w2.
В практических расчетах § часто имеет смысл суммарного коэффициента местных сопротивлений неразветвляющегося участка вентиляционного тракта и определяется как сумма коэффициентов сопротивления трения, поворотов и сужения (расширения).
Падение давления Ар, вызванное сопротивлением жидкости, и литературе по прикладной гидродинамике часто называют сопротивлением.
9-6. Физический смысл уравнения Бернулли
Рассмотрим уравнение Бернулли применительно к движению газов и жидкостей в каналах и трубах систем охлаждения электрических машин (рис. 9-4). Будем называть обобщенным уравнением Бернулли выражение
* ^i I pci - ”" ^2 + Рс2 4" ^Р1, 2 — • • • —
п
(9-6)(9-6)*’ Wn I Pen I" Е Ар»-1,»Рп = С0П81,
(9-6)
(9-6)
2к=\
i де А/P, у — падение давления на пути от сечения 1 канала до сечения 2, вызванное действием сопротивления жидкости или
i n hi на этом участке.
Имении давления Api.y, \pi,»\рк-\,и называют часто
н о । е р я м в ди пл ей и я, имея в виду, что эти потери необра- 1нмм pmа ГН1Н1Ю1СЯ или, как говорят, диссипируют, не восста- нми.Ц||ипиг1. уже и форме кинетической или потенциальной энергии струи. Необратимые потери давления, т. е. потери энергии, не исчезают, разумеется, бесследно. Они выделяются в виде теплоты и передаются в такой форме самой движущейся жидкости. Однако полное давление при движении с потерями имеет уже иной физический смысл по сравнению со своим аналогом в уравнении Бернулли для идеальной жидкости.
Для пояснения сказанного рассмотрим эпюру давлений для двух типов движения жид-
Рис. 9-4. К трактовке уравнения Бернулли
Рис. 9-5. Эпюры давлений для идеальной (а) и вязкой (б) жидкостей
кости по каналу переменного сечения: без потерь давления, т. е. без сопротивления, и с потерями давления (рис. 9-5).
Закон сохранения массы применительно к каналу с непроницаемыми стенками формулируется следующим образом: количество жидкости, протекающее в единицу времени через любое поперечное сечение канала, есть величина постоянная. Отсюда уравнение неразрывности (8-26) приобретает для канала форму
1^x51 = №2S2 = . . . = 6УП5Л = Q = (const (9-7)
Величина Q, равная объему жидкости, протекающему в единицу времени через поперечное сечение канала, носит название объемного расхода или просто расхода.
Таким образом, для сечений канала sb s2 и s3 имеем wi — = Q/sb w2 = Q/s2, w3 = Q/s3.
Эпюра давлений (рис. 9-5, а) для идеальной жидкости, полученная по уравнению Бернулли (8-34), содержит две составляющие полного давления. При этом динамическое давление определяется скоростью движения в данном месте канала, т. е. попросту площадью сечения канала (будем считать, что расход среды Q задан и обеспечен каким-либо внешним источником). 154
Следовательно, статическое давление в каждой точке струи есть разность полного и динамического давления, т. е. также определяется площадью сечения канала и начальным статическим давлением на входе в канал (можно сказать также: заданным полным давлением источника).
По-иному обстоит дело в случае движения с потерями давления. Эпюра потерь давления построена на рис. 9-5,6 в предположении, что на каждом участке с неизменным сечением канала действует только сопротивление трения, которое пропорционально площади поверхности трения, т. е. длине участка. При изменении сечения канала, т. е. при внезапном расширении или внезапном сужении, проявляется сопротивление давления, которое увеличивает потери давления. Потери давления при движении по каналу могут лишь возрастать, но не могут оставаться неизменными или, тем более, уменьшаться.
Поскольку полное давление струи на входе в канал есть величина заданная, эквивалентная полной энергии струи (давление есть энергия на единицу объема жидкости), то при увеличении потерь давления уменьшается статическое давление. В самом деле, динамическое давление определяется скоростью движения w и зависит только от площади сечения канала и расхода жидкости, т. е. величин заданных. Поэтому при неизменной скорости необратимая убыль энергии струи происходит только за счет статического давления.
На этом примере иллюстрируется замечательная особенность жидкостей и газов, именно способность многократного прсобр.тиньчния одного вида энергии струи в другой в зависимости от сечения капала, или, говоря более общо, в зависимости от скорости в данной точке поля скоростей. Всякое ускорение потока приводит к понижению, а замедление потока — к повышению давления в данной точке.
Что касается потерь давления, то, если считать, что полное навлепие есть величина заданная, статическое давление в какой либо точке уменьшится как раз па количество потерь от начала пути до этой точки.
Читателя не должна, однако, смущать несколько иная формулировка этою же положения: потери давления составляют убыль полного давления. В самом деле, будем считать, например, сечение выхода из канала, представленного на рис. 9-5, внешним источником расхода (и полного давления) для другого канала, который можно рассматривать как непрерывное продолжение первого. Тогда, естественно, сумма динамического и статического давлений на выходе рд3 и рсз представит полное давление на входе в новый канал, равное рп — Ap^. Поскольку, однако, статическое давление на входе в новый канал рс\ при одинаковых сечениях входа первого и второго каналов, окажется равным рсз, т. е. рсд — Ар2, то противоречия в обеих формулировках нет.
9-7. Термодинамический анализ движения жидкости или газа при отсутствии теплообмена
Потенциальная энергия давления некоторого объема газа V, находящегося под давлением р, равна произведению pV. Это утверждение хорошо иллюстрируется рис. 9-6, из которого видно, что потенциальная энергия груза F, удерживаемого газом на уровне h, при давлении р на площадку s как раз составляет Fh = psh = pV.
■ При перемещении некоторого количества газа из положения 1, в котором оно занимало объем Vt при давлении рь в положение 2, в котором при давлении р2 объем будет V2, должна быть совершена работа РгИ2 —Р1Уь Эта работа в соответствии с законом сохранения энергии составит убыль полной энергии Е данного количества газа, т. е.
Е^—E2 = p2V,—p^v (9-8)
Полная энергия газа, рассматриваемого в данном случае в качестве некоторой замкнутой системы массой М, состоит из внутренней энергии U, т. е. энергии частиц, составляющих систему, и кинетической энергии движения всей системы:
E = U-YMw^. (9-9)
Таким образом, получаем
Ux + Мхи?^ + piVi = ^ + ЛМ/2 + р2У2 (9- Ю) или после разделения на М, т. е. после отнесения всех величин к 1 кг газа,
«1 + (У1/2 4- раУ1 = м2 4* oW2 4~ р2у2, (9-11) где и и и— удельная внутренняя энергия и удельный объем.
Сумма внутренней энергии газа и потенциальной энергии давления носит название энтальпии или теплосодержания. Для удельной энтальпии имеем
i = u + pv. (9-12)
Следовательно, уравнение (9-11) может быть представлено в виде
i'i 4- ®1/2 —1"2 4- су2/2, (9-13) что может быть сформулировано следующим образом: при теплоизолированном стационарном движении газа или жидкости сумма удельной энтальпии и удельной кинетической энергии сохраняет неизменное значение.
Нетрудно видеть, что уравнение (9-12) при постоянстве удельной внутренней энергии газа и вполне идентично уравнению Бернулли (8-32), поскольку у = 1/р.
Весьма важной особенностью уравнения (9-13) является то, что оно в равной мере действительно для идеальных и вязких 156
Рис. 9-6. Потенциальная энергия газа
жидкостей и газов, т. е. для обратимых адиабатных процессов течения и процессов необратимых, в которых действуют силы трения и выделяется теплота. Практически эта особенность выражается в том, что потери на трение, превращаясь в теплоту, которая в теплоизолированных трубах полностью передается движущейся среде, не могут повысить температуру этой среды, если поток жидкости или газа не воспринимает механическую энергию (работу) от внешних источников.
Следует заметить, что сформулированную выше теорему по всегда учитывают, что приводит к недоразумениям в практических расчетах. В литературе можно даже встретить формулы для определения подогрева среды за счет потерь трения. Целесообразно поэтому более подробно остановиться на физических условиях адиабатного движения в каналах.
Рассмотрим сумму энтальпии и кинетической энергии / I «'72 <о. Поскольку сумма эта вдоль струи неизменна, эн- талышя может изменяться (возрастать или уменьшаться) только за счет изменения скорости струи. Но энтальпия, представляющая собой сумму запасенной энергии — внутренней и энергии давления, есть линейная функция абсолютной температуры:
i = cpT,(9-14)
где Ср — теплоемкость среды при постоянном давлении.
Таким образом, температура струи может изменяться только за счет изменения скорости движения. По этой причине максимальную температуру струя приобретает в точках полного торможения потока (ш^=0):
То(9-15)
Температура То называется температурой торможе- и и я.
Введем теперь в рассмотрение потери энергии на трение. Будем иметь в виду, что эти потери в форме теплоты добавляются к первоначальной энергии струи: 7 + ш2/2-)-<7тр- Чтобы учесть потери трения в балансе энергии, необходимо ввести также работу /тр, совершенную газом по преодолению сил трения при переходе из состояния 1 в состояние 2: 1’2 + + W272 + 7p.
Таким образом, при учете сил трения и теплоты трения уравнение сохранения энергии имеет вид
1^+wj/2 -}- ^Тр = Ц -(- ^/2 -|- ?тр.
Поскольку, однако, работа /тр полностью переходит в эквивалентное ей количество теплоты ^тр, т. е. /тр = 9тр, введение работы трения в уравнение (9-13) ничего не меняет.
Пусть теперь струя воспринимает механическую энергию (работу) L от внешнего источника, например, в вентиляторе или каналах вращающегося ротора. Тогда
ii -|- оу i /2 = ц -J- Юз/2 4* L. (9-16)
При совершении газом или жидкостью внешней, так называемой технической работы будем иметь
ii + ф?/2 = t2 + сУг/2 — L. (9-17)
Таким образом, температура торможения струи может изменяться лишь за счет совершения технической работы. В вентиляторах, компрессорах и насосах температура струи повышается; в турбинах и детандерах — понижается.
Уравнение энтальпии (9-16) есть не что иное как выражение первого закона или первого начала термодинамики для адиабатного движения струи в канале.
9-8. Режимы движения жидкости
Издавна было замечено, что при увеличении скорости истечения воды из насадки, например из крана водопроводной сети, струя, бывшая до этого момента прозрачной и невозмущенной, внезапно становится молочно-мутной и теряет характерную форму сплошного стержня, делается неровной, выбрызгивает мелкие капли.
Первый режим движения называется ламинарным. В прозрачной трубе можно наблюдать, как взвешенные в воде частицы, например мелкие древесные опилки, движутся параллельно стенкам трубы. Второй режим, для которого характерно бурное хаотическое движение частиц, напоминающее броуново, называется турбулентным.
Заслуга формирования условий перехода одного вида движения в другой принадлежит О. Рейнольдсу.
Пользуясь соображениями о размерности членов уравнения движения вязкой жидкости, Рейнольдс теоретически получил, а затем экспериментально доказал, что при соблюдении геометрического подобия переход от ламинарного движения к турбулентному и обратно может зависеть только от безразмерного комплекса wd/v. Это означает, что при самых различных скоростях движения, размерах каналов, применяемых жидкостях и их температурах величина wd/v, или, как ее называют, критическое число Рейнольдса ReKp, есть величина неизменная и равная 2200, если за характерный размер канала d принят его гидравлический диаметр d=4s/n. В последней формуле s — площадь сечения канала, П — его периметр. Как
4 на выходе. Вход в тоубку вы-4 на выходе. Вход в тоубку вы-Рис 9-7. Схема экспериментальной установки Рейнольдса
4 на выходе. Вход в тоубку вы-
4 на выходе. Вход в тоубку вы-
видно, для круглой трубы гидравлический диаметр совпадает с геометрическим.
Экспериментальная установка Рейнольдса схематически изображена на рис. 9-7. I ктечение через прозрачную трубку 3 из прозрачного бака 2 осуществлялось под постоянным давлением. Скорость истечения регулировалась краном
поднялся с закруглением для предотвращения деформации потока и завихрений. Через насадку 1 на вход подавалась тонкая струя подкрашенной воды. При ламинарном движении воды, т. е. когда скорость не превышала критической для данной трубки и число Рейнольдса не превышало ReKP, подкрашенная струя двигалась вместе с водой в трубке, не смешиваясь с ней. При достижении критической ситуации на некотором расстоянии (примерно 30 диаметров трубы) от входа в трубу внезапно возникала область бурного перемешивания, причем как выше, так и ниже по течению движение оставалось ламинарным.
Турбулентная зона подобно пробке перемещалась вниз по течению. Скорость при этом (при неизменном положении крана и давлении в баке) уменьшалась по сравнению с критической. Но, как только турбулентная зона «вытекала» из трубки, скорость вновь повышалась до критического значения и вновь на прежнем месте возникала турбулентная зона. Таким образом, движение приобретало неустановившийся пульсирующий характер. Дальнейшее открытие крана и увеличение скорости сверх критического значения приводило к возникновению устойчивой турбулентности по всей длине трубки.
Аналогичные факты наблюдались многими другими иссле- ДОНЙ1РЛИМИ, причем было установлено, что критическое число Рейнольдса и общем случае не есть константа, а есть функция условий входа. Уже Рейнольдсу удалось в несколько раз увеличить ReKp за счет устранения на входе возмущающих факторов. Однако в конструкциях электрических машин практически все каналы имеют на входе острые кромки, что позволяет в качестве критического принимать число Рейнольдса 2200. И только для весьма длинных каналов систем жидкостного охлаждения (водяного и масляного) это значение несколько увеличивают.
9-9. Сопротивление жидкости при ламинарном движении
Рассмотрим удаленный от входа участок гладкой, т. е. не имеющей выступов, трубы круглого сечения, по которой движется жидкость в докритическом (устойчивом ламинарном) режиме. Разность давлений р\— р2 между двумя сечениями трубы (рис. 9-8) создает усилие, уравновешенное силой трения, т. е. напряжением сдвига на поверхности цилиндра, площадь которой равна 2лу1'.
(Pi—Р^ лу2 = 2ш//тили т = Р1 ~ ^- -|- •
В то же время из закона Ньютона для касательных напря- „dw
жении имеем т = и dy
Отсюда
dw р2—Pi у
dy pl2
где учтено, что производная отрицательная, так как скорость увеличивается к центру трубы. Следовательно,
уУ
=\ ydy
г2ц/ г
или, учитывая wr=0 (жидкость «прилипает» к стенкам), ‘ w^ = -^^-(r2-y2Y
Таким образом, распределение скорости при ламинарном течении в трубе круглого сечения имеет форму параболоида вра
щения трубыщения трубы(рис. 9-9). Максимальная(рис. 9-9). Максимальнаяскорость в центре сеченияскорость в центре сеченияРис. 9-9. Эпюра скоростей по сечению канала при ламинарном режиме теченияРис. 9-9. Эпюра скоростей по сечению канала при ламинарном режиме теченияРис. 9.8. Трение на участке ка-нала
щения трубы
щения трубы
(рис. 9-9). Максимальная
(рис. 9-9). Максимальная
скорость в центре сечения
скорость в центре сечения
Рис. 9-9. Эпюра скоростей по сечению канала при ламинарном режиме течения
Рис. 9-9. Эпюра скоростей по сечению канала при ламинарном режиме течения
объем параболоида через его высоту, т. е. максимальную скорость:
(9-18)(9-18)
(9-18)
(9-18)
Теперь можем определить среднюю скоростьТеперь можем определить среднюю скоростьQw =лг2Qw =лг2™*8 ^2 г2, откуда™*8 ^2 г2, откуда
Теперь можем определить среднюю скорость
Теперь можем определить среднюю скорость
Qw =лг2
Qw =лг2
™*8 ^2 г2, откуда
™*8 ^2 г2, откуда
Р!—р2 = Др = 8р-^-. г2Р!—р2 = Др = 8р-^-. г2(9-19)(9-19)
Р!—р2 = Др = 8р-^-. г2
Р!—р2 = Др = 8р-^-. г2
(9-19)
(9-19)
Таким образом, оказалось возможным теоретически определить сопротивление при установившемся ламинарном движении вязкой жидкости в гладкой трубе круглого сечения. Следует заметить, что это один из немногих случаев, когда интегрирование уравнения вязкой жидкости возможно. Полученный закон сопротивления называется законом Пуазёйля.
Придадим ему форму, нашедшую применение в вентиляционных и гидравлических расчетах электрических машин:
A/) - Hu 8pv= 64--иг =--m2 =
(d/2)22 d dw Re d 2
X —(9.20)
d 22x '
4д»1ь XsfH/Rts коэффициент трения.
В »гой форме записи закона Пуазёйля потери давления ныражвиы через коэффициент сопротивления и динамическое давление струи--так и предполагалось поступать при анализе природы сопротивления (§ 9-5). Следует, однако, особо подчеркнуть, что, как Индио из формулы (9-19), потери давления При ламинарном движении пропорциональны первой, но отнюдь не второй степени скорости движения. Что же касается придании закону ПуеаМди формы, при которой коэффициент сопро- гнилення определяется кик некоторое частное от деления потерь даиленни им динамическое давление, то делается это исключительно в интересах общности гидравлических расчетов дли ламинарного и турбулентного движений и общности обработки экспериментальных данных по коэффициентам сопротивлений Д-,’~-
pui*/2
Для полноты следует добавить, что распределение скоростей устанавливается не на начальном участке трубы, а лишь там, где под влиянием внутреннего трения пограничные слои сливаются, и течение асимптотически приближается к параболическому профилю. На начальном же участке почти вся масса жидкости движется примерно с равной скоростью, причем
6 II ф Филиппом161
Рис. 9-10. Пограничный слой на плоской пластинке юграничный слой на стенках канала развивается так же, как на [лоской пластине, обтекаемой в продольном направлении.
Поскольку влияние трения в пограничном слое уменьшается ю мере удаления от стенки асимптотически, толщина погра- (ичного слоя не может быть определена точно. Если за толщину пограничного слоя 6 принять расстояние от стенки, на отором скорость лишь на один процент меньше скорости Woo абегающего на пластину потока (для течения в трубе —ско- ости в центральном ядре потока), то для плоской пластины рис. 9-10).
6 лам = 5,0Vvx/tiPoo ==5x/-VRe,.,(9-21)
де х — расстояние от передней кромки пластины до места пределения 6.
Длина начального участка при течении в трубе равна ,03 с? Re, т. е. при Re = 500 и Re =1000 составляет соответст- енно 15 или 30 диаметров трубы.
Так как параболоид вращения имеет вдвое большую вы- эту, чем равновеликий по объему цилиндр с той же площадью шования, то максимальная скорость установившегося течения » в центре сечения трубы вдвое превосходит среднюю ско- эсть w. Поэтому при определении скорости в ламинарном зжиме, когда измерительный прибор установлен в ядре потока, ля получения средней скорости измеренное значение делят а два.
•10. Сопротивление жидкости при турбулентном движении
Сопротивление жидкости при турбулентном движении связи с чрезвычайной сложностью этого движения недоста- >чно изучено теоретически. В то же время в большинстве ин- енерных задач, в том числе и в электромашиностроении, при- >дится иметь дело именно с турбулентным режимом движения, оэтому в течение длительного периода был накоплен огром- яй экспериментальный материал о зависимости потерь давания от скорости течения жидкости. Применение принципа [дромеханического подобия позволило обобщить этот мате- 1ал для широкого класса конструкций каналов и весьма ши- жого диапазона чисел Рейнольдса.
Закон сопротивления гладких труб в турбулентном режиме
дал В. Блазиус. Формально этот закон записывается точно так же, как и сформулированный выше закон Пуазёйля для ламинарного движения, т. е. в диапазоне 2200<Re<105
^p^^-^ = ^p-L-^-w\ (9-22)
где коэффициент трения
(9-23)(9-23)Атр = -^4=- = 0,316 Re-0’25 •/Re
(9-23)
(9-23)
Однако перепады давления при турбулентном течении зависят от скорости в значительно большей степени (близкой ко второй), чем при ламинарном.
Совместим для сопоставления оба графика на одном рисунке (рис. 9-11), причем в связи с растянутостью диапазона чисел Рейнольдса и коэффициентов трения будем откладывать по осям их логарифмы. Как видно из рисунка, наклон графиков различен и равен для турбулентного режима 1 :4, что соответствует степени числа Рейнольдса 0,25. На этом же рисунке точками отмечены опытные значения, полученные различными исследователями. Здесь наглядно видно, что при переходе от ламинарного режима к турбулентному коэффициент трения вначале резко возрастает, затем снова постепенно уменьшается. Диапазон критических чисел Рейнольдса, хорошо видный на графиках, следует считать зоной неустойчивого движения.
Именно фактором резкого возрастания сопротивления объ- иеняются колебания скорости в переходном режиме. Когда после ношикновения турбулентной зоны турбулентная пробка выливается из трубы, сопротивление скачком возвращается к исходному, скорость вновь возрастает до критической, вновь ношиквст турбулентная зона и т. д. В практике исследования инчем охлаждения «лекiрических машин приходится наблю-
Рис. 9-11. Зависимость коэффициента трения от режима теченияРис. 9-11. Зависимость коэффициента трения от режима течения
Рис. 9-11. Зависимость коэффициента трения от режима течения
Рис. 9-11. Зависимость коэффициента трения от режима течения
дать такие явления. При этом наблюдаются колебания менисков манометров, регистрирующих давление в зоне неустойчивого течения.
Если трубы не гладкие, а имеют на своих внутренних стенках выступы (такие трубы называются шероховатыми), то характер зависимости сопротивления от скорости или числа Рейнольдса существенно меняется.
Для оценки шероховатости пользуются величиной, называемой относительной шероховатостью:
Д* = ДМ, (9-24)
где А— абсолютный размер типичного выступа.
При таком подходе коэффициент трения Хтр определяется как функция двух независимых переменных, одну из которых при построении графиков принимают в качестве параметра:
^P = /(Re, А*). (9-25)
Шероховатость, образованная небольшими по высоте, но острыми выступами и кромками, в такой мере турбулизирует чюток, что падение давления в трубе практически не зависит от числа Рейнольдса (рис. 9-12). Режим течения в этом случае иногда называют автомодельным, имея в виду, что при
Рис. 9-12. Коэффициенты трения шероховатых каналов
Моделировании можно не считаться с различиями в числах Рейнольдса модели и натуры.
Семейство кривых, приведенных на рис. 9-12, охватывает Практически весь диапазон шероховатостей, встречающихся В конструкциях электрических машин. Ниже приведены типичные значения абсолютной шероховатости, мм, для различных типов канала:
Яжир между ротором и статором . 1,00—0,60
Аксти1Ы1ые каналы активной стали статора, образуемые шихтовкой 0,50—0,40
Аксиальные каналы активной стали ротора, образуемые сверлением 0,30—0,20
Соединительные резиновыешланги 0,20—0,10
Соединительные фторопластовыешланги 0,15—0,10
Ткнутые стальные трубы, укладываемые в пазы активной стали 0,10—0,05 Ткнутые латунные трубы, применяемые как элементы теплооб
менников 0,06—0,03
В каналах электрических машин имеют место преимущественно турбулентные течения.
••11. Распределение скоростей при турбулентном движении. Пограничный слой
При турбулентном течении, как и при ламинарном, профиль питостей устанавливается не сразу, т. е. имеется так называемый и вчильный участок. Длина его невелика (по разным динным от 25 до 100 диаметров канала) и для заданной инпфт уридин входа практически не зависит от числа Рей- IHMHUK н
Типичный профиль скоростей для развитого турбулентного режима покдэнн на рис. 9-13. Как видно из этого рисунка, мак- рнмильнми скорость отличается от средней примерно на 20%. Однако wt« величина зависит от степени турбулизации течения, I р о| числи Рейнольдса. Последнее важно учитывать при измерениях в грубо, когда измеритель скорости устанавливается II Идре нонжн 11 ном случае средняя скорость для последу- №Н4@ГП дычнеленни рмсходд определяется по формуле w = kw0, ГДе Н111ффнцнен| * нйзыийетея коэффициентом поля и Может быть приближенно определен в зависимости от числа Рейиольдсд из графика на рис. 9-14.
Следует, однако, иметь в виду, что устойчивый профиль скоростей, соответствующий развитой турбулентности, устанав- ЛИвавтся ин некотором расстоянии от входа. Поэтому при изме- реиних и коротких каналах коэффициент поля каждый раз . должен быть определен экспериментально.
Характерным для устойчивого турбулентного распределения скоростей является значительное (от нуля до 60 % максимальной) изменение скорости в тонком пограничном слое.
Л. Прандтль на основе экспериментального закона Блазиуса получил формулу зависимости скорости точки от расстоянд^
Рис. 9-13. Зависимость скорости от радиуса трубы при турбулентном теченииРис. 9-13. Зависимость скорости от радиуса трубы при турбулентном теченииРис. 9-14. Зависимость коэффициента поля от режима теченияРис. 9-14. Зависимость коэффициента поля от режима течения
Рис. 9-13. Зависимость скорости от радиуса трубы при турбулентном течении
Рис. 9-13. Зависимость скорости от радиуса трубы при турбулентном течении
Рис. 9-14. Зависимость коэффициента поля от режима течения
Рис. 9-14. Зависимость коэффициента поля от режима течения
до стенки трубы, называемую законом корня седьмой степени для турбулентного распределения скоростей:
w = wti^ylryi7, (9-26) где у — расстояние от стенки трубы; г — радиус трубы.
Таким образом, при турбулентных течениях в трубах с гладкими стенками скорость в поперечном сечении возрастает' пропорционально корню седьмой степени из значения расстояния до стенки. Закон этот верен в том же диапазоне чисел Рейнольдса, что и исходный закон Блазиуса, т. е. примерно до Re=105.
Следует подчеркнуть, что Л. Прандтлю принадлежит заслуга разработки общей теории пограничного слоя, которая явилась мощным стимулом развития теоретической и прикладной гидродинамики. Теория пограничного слоя позволила объяснить причины возникновения вихревого движения из состояния покоя, что ранее было необъяснимо, и дала основу теории сопротивления жидкостей.
Толщина пограничного слоя в турбулентном режиме для плоской пластины
6турб = 0,37x/^Re7, (9-27) где х —по-прежнему расстояние от передней кромки до места измерения.
Сопоставление турбулентного режима с ламинарным [см. (9-21)] показывает, что толщина пограничного слоя в ламинарном режиме в большей степени зависит от Re.
9-12. Теорема количества движения.
Потери давления при внезапном расширении канала
Выведем формулу для расчета потерь давления при внезапном расширении канала и проиллюстрируем на этом примере применение весьма важной в механике жидкости теоремы количества движения, или, как ее иногда называют, теоремы импульсов. ■
Теорема количества движения оказывается полезной в тех случаях, когда уравнения движения в исследуемой области не могут быть составлены или проинтегрированы, но бывает достаточно определить движение жидкости в некоторых исходном п конечном состояниях. Таким образом, эта теорема позво- лигт судить о движении без исследования механизма движения.
Теорема формулируется следующим образом: отнесенное к единице времени изменение количества движения Smw chi'<смы раздельных материальных точек равно сумме сил, действующих на эту систему извне:
-^-(Smw) = 2F, (9-28)
41
где 2F — сумма сил, с которыми на элементы системы действуют элементы, не принадлежащие к системе.
Рассмотрим теперь ситуацию в потоке жидкости при вне- тнном расширении канала. На рис. 9-15 контрольная поверхность (штриховой контур) показана в широком сечении канала таким образом, что через цилиндрическую часть поверхности, прилегающую к стенкам канала, перенос количества движения отсутствует. Следовательно, необходимо учесть изменение ко- личестиа движения применительно лишь к двум площадям контрол вной поверхности: торцевой площади входа и торцевой luioiiui/ui выхода. Учитывая, что давление р\ практически неиз- менни но всей площади входа (т. е. по сечению канала сразу 4М рмгшируиисм, о чем свидетельствует опыт) и что скорость струн т ри ту после расширения практически не отличается от скорое tn ня выходе из узкого сечения трубы, т. е. равна zvi, получим
p.saW2—ps^i = s2 (pi—ра) • (9-29)
II coin ноте гнии с уравнением неразрывности W\S\ = W2S2, о|нулн pwl iMViiv, /’i Р» Тпким образом, искомая раз- Hoyth ДИКЛСИНП
bp-Pt Р\ рш»^! - tv,).
Определим теперь попышение давления в выходном сечении контрольной поверхности, но для случая, когда необратимые потерн давления Ар отсутствуют (плавное расширение), т. е. koi ли действительно уравнение Бернулли в форме (8-34). Пмим
~ Р—(^—^у
Риг <1 1Г> Внезапное расти-пенне канала
Отсюда повышение давления при внезапном расширении окажется меньше, чем при плавном расширении, на количество необратимых потерь давления
\p = 6pQ—6p = -у- (^—W^ — pW^Wv — W^ = -у- (оч—w^.
Следовательно, может быть определен коэффициент местного сопротивления расширения -- Др Р (и>! — W^fl'Z / . ИИ \2/ 1$2 V
ьр —: —;— I 1 I I I '
fm^/Eptc'2/2^^2 /\«1 /
(9-30)
Разветвление струи из одного общего канала, например канала после вентилятора электрической машины, в несколько других каналов, например в зазор электрической машины и камеру лобовых соединений, можно рассматривать как внезапное расширение канала, т. е.
^р = (1^р = (1
^р = (1
^р = (1
где Si—площадь сечения ответвляющегося канала.
9-13, Потери давления при сужении канала, движении через отверстия и решетки, при плавном изменении сечения и поворотах. Сопротивление ответвления
Применение теоремы количества движения позволяет определить потери давления при движении струй с внезапным сужением канала (рис. 9-16). В этом случае нужно только учесть, что в сечении широкого капала (торцевая стенка канала), охватывающем сечение входа в узкий канал, вследствие полного торможения струи устанавливается полное давление, равное сумме динамического и статического давлений. Тогда необратимые потери давления
4 V }
и коэффициент местного сопротивления сужения
Аррк^/ЗАррк^/З(9-31)(9-31)
Аррк^/З
Аррк^/З
(9-31)
(9-31)
Как можно видеть, при входе в канал весьма малого сечения £<—0,5. При слиянии нескольких струй можно считать |с= -у-(1 — s^Xsi), где St — сечение данной ветви до слияния.
В случае движения струи через отверстие в стенке, т. е. из одного помещения произвольного сечения в другое, в силу искривления линий тока полезно используется лишь часть сече-
Рис. 9-16. Внезапное сужение канала
ния отверстия. Обозначим через е отношение площади узкого сечения потока в отверстии к площади отверстия и назовем его коэф
фициентом заполне
ния сечения. Тогда с учетом сужения и последующего рас
ширения коэффициент сопротивления отверстия
е Аре Ар(9-32)
е Ар
е Ар
Коэффициент е в зависимости от отношения s2 и Si может быть вычислен по приближенной формуле
е = 0,6 + 0,4s2/si.(9-33)
В приведенных формулах si и S3 — площадь сечения перед отверстием и после него; s2 — площадь самого отверстия.
Представляет интерес сопротивление решеток и сеток, установленных в каналах. Коэффициент сопротивления, вычисленный по динамическому давлению в канале перед решеткой (се- чеиие Si), в этом случае
gpc„, ==Г 1,5-,(9-34)
рш,/2\ S1 / V s2 /
где s2 ■ живое сечение решетки; оно определяется обычно как известная для данного типа решетки доля живого сечения Ка- ИИЛа.
При движении жидкости в расширяющемся канале — диффузоре резко возрастает интенсивность турбулизации потока но сравнению с каналом неизменного сечения. В рассматриваемом случае при но |дгйстаин встречного градиента статического Данланин, обуслоалаиного уменьшением скорости в направлении ДНИЖИММИ, происходит отрыв пограничного слоя у стенок КИИЛа (’оиро1Ивле11не диффузора в большой мере зависит от ТИН И1ЯМИЙРМОЦ) угла расширения, или угла раскрытии, <1 (рис. 9 17). Кроме того, должно быть учтено сопротивление трения, т. е.
Едиф = ^диф. расщ + ^диф. тр-
Потери расширения в диффузоре могут быть выражены как доли потерь соответствующего внезапного расширения блиф. ричи-ф^р. Коэффициент ср есть функция угла раскрытия а, и при измерении последнего в градусах <р»0,001 а2. Потери трения зависят от угла раскрытия:
Рис. 9-17. Движение жидкости в диффузореРис. 9-17. Движение жидкости в диффузореугла поворота каугла поворота каРис. 9-18. Зависимость коэффициента сопротивления от
Рис. 9-17. Движение жидкости в диффузоре
Рис. 9-17. Движение жидкости в диффузоре
угла поворота ка
угла поворота ка
нала
Таким образом, коэффициент сопротивления диффузора
£днф = -ДЕ— = O.OOlaV 1 -4- —Г (-11.
рк>|/2\^ st у 8sin(a/2) Sj у J
(9-35)
Коэффициент сопротивления поворота струи, сопровождающегося образованием вихревых зон на внутренней и наружной поверхностях канала, может быть определен из графика на рис. 9-18. Для а=90°
(9-36)(9-36)Еп =—=£—= 1,1.рш2/2
(9-36)
(9-36)
Особый интерес представляет расчет сопротивления при ответвлении доли или нескольких долей потока. В конструкциях электрических машин такой вид сопротивления встречается весьма часто. Физическая сущность сопротивления при разделении и слиянии потоков жидкости хорошо видна при анализе движения в приточных (рис. 9-19) и вытяжных (рис. 9-20) тройниках.
Основные потери в приточных тройниках состоят из потерь внезапного расширения в месте разделения потока и потерь на поворот потока в боковом ответвлении. Если обозначить скорость до ответвления через w, скорость после ответвления — через о и придать соответствующие индексы коэффициенту сопротивления £, расходу Q и сечению s, то получим
= (9-37) рш2/2 \ QH s„ ) V w )
Полезно иметь в виду выражение для этого же коэффициента сопротивления, но по отношению к ответвившемуся потоку
t® _ Др эприт. тр— роа,2t® _ Др эприт. тр— роа,2
t® _ Др эприт. тр— роа,2
t® _ Др эприт. тр— роа,2
Рис. 9-20. Вытяжной тройникРис. 9-20. Вытяжной тройник
Рис. 9-20. Вытяжной тройник
Рис. 9-20. Вытяжной тройник
Основные потери в вытяжных тройниках состоят из потерь на турбулентное смешение двух потоков с различными скоростями и потерь на поворот потока при выходе из бокового ответвления. Коэффициент сопротивления
Ар 1 । / О™ st« У О /1 Оо к2 р(£)2/2 + Qu Sy )-
= 1 + Г -^Y— 2(1^Y-(9-39)
\ w /\ WS^ /
По отношению к потоку в ответвлении получим
toЛР _ t® / w У _ 1 I / w У 9 f ш s" V
бпыт. тр ~~" Ьвыт. тр I I 1 Т IЛII •
рш4/2X У /к у / \и sw /
(9-40)
Таким образом определены различные виды так называемых местных сопротивлений.
9*14. Аэродинамическое и гидродинамическое сопротивление электрической машины
II м<нк-1рукпиих электрических машин при движении охлаждающих сред проявляются нее виды рассмотренных выше сопротивлений, । е, сопротивлении расширения zp и сужения zc струн, тропин .*, и ноиороти г,,, разделения и слияния струй. Пути движения охлаждающих сред бывают при этом достаточно сложными. Определение полного сопротивления машины дли таких условий составляет задачу вентиляционного и гидравлического расчета, подробно излагаемую в последующих главах.
Здесь же для завершения анализа локальных, или местных, сопротивлений целесообразно рассмотреть обобщенные элементы конструкции, имеющие разное сопротивление, безотносительно ко всей конструкции электрической машины и схеме циркуляции охлаждающих сред.
Смысл такого рассмотрения заключается в выработке некоторых общих положений расчета и в анализе связей между тео-
ретическими соотношениями и практическими инженерными расчетами машин.
Двигаясь в канале, струя жидкости или газа преодолевает сопротивления разного вида. Условно эти сопротивления можно считать последовательно соединенными между собой, хотя, например, при повороте канала одновременно имеет место и трение о стенки.
По аналогии с электрической цепью аэродинамические и гидравлические тракты принято изображать в виде сопротивлений, соединенных между собой отрезками каналов, не имеющих сопротивления. На рис. 9-21 изображено последовательное соединение разных видов гидравлических сопротивлений и схема замещения этой цепи (ее часто называют эквивалентной схемой). Как видно из рисунка, сечение канала в общем случае переменно. По этой причине при заданном расходе среды Q скорость ее оказывается также переменной.
Выше (§9-5) мы видели, что потери давления на преодоление какого-либо аэродинамического или гидравлического сопротивления принято вычислять с помощью экспериментально найденного коэффициента местного сопротивления g как долю динамического давления Ap = ^pw2/2. Чтобы исключить из расчета переменную величину — скорость движения, удобно выразить потери давления как функцию неизменной для данного канала величины — расхода Q:
Ap = ^^j =zQ», (9-41) где z — коэффициент гидродинамического или аэродинамического сопротивления, соответствующий коэффициенту местного сопротивления каждого данного вида.
Например, коэффициент аэродинамического сопротивления внезапного расширения (или просто аэродинамическое сопротивление расширения) 2р = ^р——.
2s2
Проделанная замена позволяет упростить расчет, однако необходимо обращать внимание на площади сечений канала при определении коэффициентов того или иного вида сопротивления. Так, например, трение проявляется по всей длине канала, т. е. для всех встречающихся сечений. При расчете сопротивлений внезапного расширения следует учитывать, что формула потерь давления дана для динамического давления в широком сечении, т. е.
Коэффициент z в выражении Ap = zQ2 зависит, как это очевидно, от свойств охлаждающей среды и поэтому не имеет аналогии ^сопротивлением участка электрической цепи.
В то же время изображение аэродинамических и гидравли-
Рис. 9-21. Последовательное соединение сопротивлений поворота, расширения, отверстия, трения, диффузора и суженияРис. 9-21. Последовательное соединение сопротивлений поворота, расширения, отверстия, трения, диффузора и сужения
Рис. 9-21. Последовательное соединение сопротивлений поворота, расширения, отверстия, трения, диффузора и сужения
Рис. 9-21. Последовательное соединение сопротивлений поворота, расширения, отверстия, трения, диффузора и сужения
чсских трактов в виде электрических цепей обладает большой наглядностью и удобно в приложениях. Кроме того, в связи с аналогией расхода среды и электрического тока к схемам замещения применимы законы Кирхгофа для электрических цепей.
Рассмотрим теперь, как получить сопротивление всей цепи (рис. 9-21), когда сопротивления ее элементов известны. Для всей цени имеем ^px z^Q1. Поскольку потери давления на каждом участке \pt z^ r^Q2, применение обобщенного урминенни Нсрнуллн диет
Ар у У ^pt У z(Q\™i <-1
(9-42)(9-42)где /I -число участков. Следовательно,
(9-42)
(9-42)
zsQe SztQ’^Q2 ^zt или zs=£z£.
Таким образом, при последовательном соединении сопротивлений суммарное сопротивление схемы замещения определяется, как для электрической цепи.
При разветвлении струи, т. е. при параллельном соединении сопротивлений (рис. 9-22), в силу нелинейности закона &p=zQ2
Рис. 9-22. Параллельное соединение сопротивлений расчет суммарного сопротивления усложняется. Из уравнения неразрывности (9-7) для канала следует, что расход после слияния должен быть равен расходу до разветвления, т. е. общий расход составляется как сумма расходов в ответвлениях:
Q=EQr(9-43)
1=1
Так как давление в каком-либо данном сечении общего канала (например,1 перед разветвлением или после него) может иметь только одно значение, разность давлений на параллельных участках есть величина постоянная: Api = = Ар2 =Ар,=Др. Но Ар, = z&L откуда Qt = ^ kptlzi = -xfKpFz^.
п
Тогда в соответствии с (9-43) получим Q = Е ^ми^.
В то же время для всей цепи Q = aJ ■ —■ • Следовательно,а
или
п
(9"44)У zУ Zi
Последняя формула не находит аналогии в расчетах линей- п
ных электрических цепей, для которых V. Из фор- Rs Ri
мулы (9-44) следует, что суммарное сопротивление двух параллельно соединенных элементов
гх =„^ -_ — ^(9-45)
(V?! +Vza) Z1-b 2-Узд + Za
В сложных разветвленных цепях, типичных для конструкций электрических машин, расчет суммарных аэродинамических и гидравлических сопротивлений усложняется.
Глава десятая
ВЕНТИЛЯЦИОННЫЙ РАСЧЕТ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
10-1. Схемы вентиляции
Подавляющее большинство электрических машин охлаждается газом. В одних случаях газ, например воздух или водород, является единственной охлаждающей средой, в других он применяется в комбинации с иными охлаждающим^ средами, ид пример водой или маслом. Правда, в крупных электрических машинах потери в конечном счете всегда отводятся водой, взятой из рек, водоемов или градирен. Однако природная вода, циркулирующая в трубах газоохладителей, хотя и играет роль иторого, кроме газа, теплоносителя, не является охлаждающей средой в прямом смысле, поскольку не соприкасается с активными зонами машины.
Таким образом, решающее значение в охлаждении боль- 1НННСТПН электрических машин имеет газ. От интенсивности И рационалыюсти его циркуляции в каналах охлаждающих трактов пошеят важнейшие характеристики машины: тер ми - •I р г к в и надеж в о с г I, (долговременность безаварийной чюнлуй1нннн нрк темиернтурс не выше номинальной), габа- piirilhl# размеры и мнеев, К11Д и др.
Охлиждиющнй гит циркулирует в каналах под воздейст- нием нстоццикоп избыточного давления. Совокупность каналов охлаждающего тракта электрической машины и нагнетательных элементов (вентиляторы или компрессоры и вращающиеся ивидлы) называется схемой вентиляции.
Различают электрические машины с принудительной пентил в цией (рис. 10-1), когда в качестве нагнетательных элементов применены посторонние, отдельно стоящие источники давления (чаще всего вентиляторы общепромышлен- шпо назначения), и машины с с амовентил яцией (рис. 10 2), в которых необходимый избыток давления для цирку - липни гл «а создается нагнетателями, установленными на валу роз ори электрической машины.
Рис. 10-1. Схема принудительной вентиляции крупной двухъякорной машины постоянного тока
В крупных электрических машинах принудительная вентиляция применяется крайне редко. Поэтому здесь будет дана классификация схем вентиляции применительно к машинам с самовентиляцией.
Схемы самовентиляции подразделяются на два больших класса: нагнетательные и вытяжные. Нагнетательными
называются такие схемы вентиляции, в которых охлаждающий газ по выходе из га- зоохладителя поступает в нагнетательные элементы (вентиляторы) и под воздействием избыточного давления нагнетается в каналы охлаждающего тракта активной зоны (рис. . 10-3, обозначения см. в § 10-13). Вытяжными называются такие схемы вентиляции, в которых охлаждаю-
Рис. 10-2. Схема самовентиляции мощного гидрогенератора Штрихами показан вариант конструкции с использованием давления спиц ротора
6)
Разрез по вертикальной плоскости
Z
^.Вентилятор
Бочка ротора.
Разрез по горизонтальной плоскости
Т| -pf (
Сердечник статора
ГазоохлаЗатель
Нис 10.1 I Univ i (цельные схемы самовентиляции: а —осевая (машина по- 1ИШ11НОГО тока); б радиальная (турбогенератор)
» «о/ю/сны/! tn»; ►- горячий газ
щиП IM но выходе in । и и и пт идиюля поступает в каналы ох- ЛйЖДйИМ1Щ1о ipiihin йктниной зоны и затем втягивается нагне- шм,и под иоздейгтвием создаваемого им разрежения (рис 10-4)
I|мгп0ТП1 ельные и вытяжные схемы могут быть одно- струйными и многострунными. Число струй в машине определяется числом независимых выходов подогретого той и спорную .тону перед нагнетателем. Например, схема вентиляции турбогенератора на рис. 10-3, б является шестиструй- ной, Кроме того, следует различать схемы вентиляции ради- и льн ые, осевые, радиально-осевые (рис. 10-5) и । ,1 н । е и и и л л н н ы е. Характер циркуляции охлаждающего lain н ип\ схемах ясен из их наименования и приведенных рпгуныш
Рис. 10-4. Вытяжные схемы самовентиляции: а —осевая (машина постоянного тока); б и в — радиальная и тангенциальная (турбогенератор)
Пне. 10-5. Радиально-осевая схема самовентиляции (высокочастотный генератор)
Изменение схемы вентиляции может иногда решающим образом отразиться не только на картине циркуляции газа, но И на тепловых характеристиках электрической машины.
10-2. Задачи
вентиляционного расчета
Основной задачей вен
тиляционного расчета
■электрической машины является выбор схемы вентиляции в целом и, в частности, нагнетательных элементов, которые должны обеспечивать циркуляцию необходимого количества охлаждающей среды в единицу времени или, иначе говоря, необходимый расход среды.
Объемным расходом жидкости или газа (или для краткости просто расходом) называется объем среды, проходящий в единицу времени через поперечное сечение канала. По отношению ко всей электрической машине это’такое количество, которое проходит в единицу времени через поперечное сечение всех параллельных путей вентиляционного тракта либо через поперечное сечение подводящих (отводящих) патрубков.
Расход Q выражается в кубических метрах в секунду и имеет простую связь со средней скоростью w движения газа и канале: Q ws, где х — площадь поперечного сечения канала. Таким образом, можно считать расход среды аналогичным току элгырнчггкой пени, а скорость, т. е. расход на единицу пло- Hlrt/Ul гечепин капала, плотности электрического тока.
Поскольку охлаждающий газ воспринимает потери электрической машины и сообщает их воде в газоохладителях, необходимый расход газа определяется количеством отводимых потерь, т. е. при проектировании машины — результатами электромагнитного и теплового расчетов. Таким образом, в пределах пентиляционного расчета номинальный расход QH является нелнчииой заданной.
Циркулируя по каналам вентиляционного тракта машины, охлаждающий газ преодолевает сопротивление своему движению, Иными словами, чтобы обеспечить циркуляцию газа, необходимо затратить механическую работу. Эту работу совершают нагнетательные элементы, которые создают разность давлений
между входными и выходными сечениями вентиляционного
тракта.
Любой участок вентиляционного тракта, равно как и любой участок отдельного вентиляционного канала, обладает сопротивлением, в связи с чем полное давление газа в конце участка всегда меньше, чем в его начале, на количество необратимых потерь давления, которые обозначают Ар. Независимо от формы движения газа (т. е. и для ламинарного, и для турбулентного движений) потери давления вычисляются по формуле
Ap = zQ2, (10-1)
которую нужно понимать следующим образом.
В тех случаях, когда потери давления пропорциональны второй степени расхода, коэффициент пропорциональности г в формуле (ЮЛ^есть величина постоянная. Если же указанная пропорциональность в действительности не соблюдается, коэффициент z должен быть взят таким, чтобы формула (10-1) оставалась справедливой.
Поскольку коэффициент z для каждого вида аэродинамического сопротивления определяется не только размерами канала и свойствами среды, но и коэффициентом местного сопротивления |, последнее утверждение означает, что именно коэффициент местного сопротивления следует брать (например, из эксперимента) в соответствующей форме.
Физическая трактовка формулы (10-1) и входящих в нее величин да^а в конце предыдущей главы. Там же отмечено, что коэффициент, пропорциональности 2, который называют аэродинамическим сопротивлением, определяется выражением
г = ^- (10-2)
Вернемся к вопросу о задачах вентиляционного расчета электрических машин. Выбор нагнетательных элементов машины, т. е. определение необходимого номинального давления вентиляторов рн исходя из заданного номинального расхода QH, может быть произведен на основе уравнения рн = \р или
Ph=zQh, (10-3)
где z — суммарное аэродинамическое сопротивление электрической машины.
Соблюдение этого равенства означает, что потери давления в машине как раз равны давлению, развиваемому нагнетательными элементами, т. е. равенство (10-3) определяет факт равновесия.
Таким образом, в вентиляционном расчете электрической машины должно быть определено ее аэродинамическое сопротивление z и решено уравнение равновесия (10-3). После этого может быть вычислено распределение расходов по отдельным ветвям схемы.
10*1. Графическое решение уравнения равновесия
Расчет суммарного аэродинамического сопротивления составляет главное содержание вентиляционного расчета электрической машины, и ему будут посвящены специальные разделы Настоящей и последующих глав. Пока же будем считать значение г известным. Тогда уравнение равновесия (10-3) должно быть, по существу, лишь проверено.
Действительно, по известному аэродинамическому сопротивлению г могут быть определены потери давления в машине APh = zQh. которые затем нужно сравнить с номинальным давлением вентиляторов р« при данном расходе QH.
Дело осложняется тем, что давление вентилятора является, как правило, сложной функцией расхода p=<p(Q), которая называется аэродинамической характеристикой вентилятора. Аэродинамическая характеристика, полученная опытным путем либо пересчетом с модели, не всегда поддается достаточно простой аналитической записи. Поэтому и решение уравнения равновесия
(Ю-4)(Ю-4)<p(Q) = zQ2
(Ю-4)
(Ю-4)
В аналитической форме бывает затруднительным.
В практике проектирования электрических машин широко распространен графический метод решения уравнения (10-4). Этот метод чрезвычайно прост и нагляден (рис. 10-6). В координатах Q, р наносятся две функции расхода: p = <p(Q) и &p*zQ2. Точка их пересечения является точкой равновесия, T. е. точкой взаимного соответствия потерь давления в машине
Н давления вентилятора.
В результате вентиляционного расчета рабочий расход Qp никогда не бывает в точности равен номинальному расходу QH. Это происходит по двум причинам. С одной стороны, сложно подобрать нагнетательные элементы так, чтобы их характери- мика пересекалась с кривой потерь давления именно в точке (У*< Л/>«). <1 другой стороны, всегда имеют в виду, что и ха-
раитернстика вентилятора, и кривая потерь давления определены С некоторыми погрешностями, что может привести К нежелательному уменьшению расхода газа в построенной машине по сравнению с необходимым значением QH. В связи с чтим выбор нагнетательных элемен- юи производят с таким расчетом, чтобы рабочий расход Qp был больше номинального примерно на 10%. Такой запас соответствует компенсации ошибки а определении потерь давления примерно 20 %.
Pili Ion I пифическое определение рабочего расхода
10-4, Проектирование центробежных вентиляторов
Теоретическое давление. Рассмотрим условия работы центробежного нагнетателя — вентилятора или компрессора—на сеть, которую в нашем случае представляет вентиляционный тракт электрической машины. На рис. 10-7 приведена диаграмма скоростей газа перед лопатками центробежного колеса и за ними. На диаграмме обозначено: Ci — абсолютная скорость при входе на лопатки; с2 — абсолютная скорость при выходе из колеса; щ— переносная скорость на диаметре входа на лопатки; и2 — переносная скорость на наружном диаметре колеса; сщ— тангенциальная составляющая скорости при входе на лопатки; с2и — тангенциальная составляющая скорости при выходе из колеса, wi — относительная скорость газа при входе, w2 — относительная скорость газа при выходе.
Применим к движению в межлопаточиом канале теорему моментов количества движения: в установившемся движении изменение момента количества движения секундной массы жидкости при переходе от одного сечения трубки тока к другому равно моменту внешних сил, приложенных к потоку между этими сечениями.
Внешние силы в колесе центробежного нагнетателя прилагаются к потоку при помощи системы лопаток. Отсюда следует, что нужно рассмотреть изменение секундной массы при переходе от входного сечения межлопаточного канала, т. е. сечения перед входом, к выходному, т. е. сечению после выхода.
Масса газа, протекающая через межлопаточные каналы за 1 с, равна плотности р, умноженной на расход Q, и одинакова для обоих сечений. Количество движения в единицу времени на входе равно pQcb на выходе — pQc2. Момент количества движения равен произведению количества движения на плечо, т. е. его изменение
AM = pQc2/i2— pQcJh, (10-5)
где hi и h2 — плечи абсолютных скоростей щ и с2.
Заметим, что значение абсолютной скорости в любом сечении канала может быть по
лучено путем геометрического сложения векторов относительной и переносной скоростей. Разложим вектор абсолютной скорости на составляющие в радиальном направлении сг и в тангенциальном направлении си. Тогда
Рис. 10-7. Треугольники скоростей на входе и выходе колеса центробежного вентилятора
из подобия треугольников с общими вершинами О и В следует: cxhx=RxcXu и c2h2 = R2c2u. Отсюда
ДМ = pC^R^-R^. (10-6)
Выражение (10-6) по существу формулирует теорему моментов количества движения. Однако для практического применения его следует несколько преобразовать. Умножим обе части (10-6) на угловую скорость со. Тогда слева получим мощность, затраченную на передачу энергии газу, ДМи. Эта мощность равна в то же время произведению QpT (рт— полное теоретическое давление, развиваемое нагнетателем), поскольку давление есть энергия жидкости, отнесенная к единице расхода. Таким образом, в левой части (10-6) имеем QpT.
Умножение правой части (10-6) на го дает значения окружных (переносных) скоростей на входе и на выходе: ux=®Rx, u^aRi- Следовательно, QpT = pQ (и2с2и— «iCiu), или
Рт = Р tu2C2u — UiCiu). (10-7)
Полученное соотношение называется турбинным уравнением Эйлера или основным уравнением ло- и и с । н ы х м a hi и н.
Поскольку первое контрольное сечение было взято перед входом на лопатки, тангенциальная составляющая сХи абсолютной скорости Ct может быть создана каким-либо внешним источником, например направляющим аппаратом, но не самим вентилятором. В конструкциях электрических машин, как правило, отсутствуют устройства, осуществляющие так называемое предварительное закручивание потока перед входом в колесо вентилятора. Поэтому для центробежных нагнетателей электрических машин формула Эйлера (10-7) приводится к простейшему виду
рт = ри2с2и. (Ю-8)
Кик видно из последней формулы, зависимость теоретиче- синго давления от конструкции вентилятора определяется тан- 1ениналы1ой составляющей абсолютной скорости на выходе из Подвей <у„ Например, при радиальном расположении лопаток НН выходе (рис, 10-8) с2ы = и2и рт = ри2-
Пели угол между радиусом и вектором относительной скорости на выходе образован в направлении вращения, то говорит о вентиляторе с загнутыми вперед лопатками (рщ 10 7) Вели упомянутый угол приходится отсчитывать ilpotHH направления вращения, то лопатки вентилятора назы- ппюнн та г нуты ми назад (рис. 10-9). В расчетах удобно нодыонл п.си шичепнем угла р2 между относительной скоро- । ibid II клеиic.'ibiioA к окружности. Как очевидно,
«а btw2cosp2; Рт-^р«2(«2 ± ny2cosp2), (10-9)
। те ишь и ।нк 1Н11ОС11ГСЯ к лопаткам, загнутым вперед.
Рис. 10-8. Лопатки с радиальным выходомРис. 10-8. Лопатки с радиальным выходомс лопатками, загну-от расходатыми назадс лопатками, загну-от расходатыми назад
Рис. 10-8. Лопатки с радиальным выходом
Рис. 10-8. Лопатки с радиальным выходом
с лопатками, загну-от расхода
тыми назад
с лопатками, загну-от расхода
тыми назад
Таким образом, колеса с загнутыми вперед лопатками обладают наибольшим теоретическим давлением. Формула для тангенциальной составляющей скорости позволяет проследить зависимость теоретического давления вентиляторов разного типа от расхода.
Если учесть, что относительная скорость w в большой мере определяется расходом (в первом приближении их можно считать пропорциональными, полагая w = Q/s, где s— площадь условного сечения межлопаточного канала), то из формулы (10-9) получим:
для вентилятора с радиальными лопатками (р2 = 90°) аэродинамическая характеристика не зависит от расхода (рис. 10-10, кривая /);
для вентилятора с загнутыми вперед лопатками характеристика монотонно возрастает (кривая 2);
для вентилятора с загнутыми назад лопатками характеристика монотонно убывает (кривая 3).
Внешняя аэродинамическая характеристика. Реальный напор р, создаваемый центробежным нагнетателем во внешней сети, всегда меньше теоретического на количество потерь дав- ления в самом нагнетателе при каждом данном значении расхода. При этом надо иметь в виду, что теоретическое давление рт в любой точке характеристики равно его значению по формуле Эйлера, но во внешней сети может быть использован лишь его избыток по отношению к внутренним потерям, равный р. Таким образом, теоретическое давление центробежного вентилятора аналогично ЭДС электрического генератора, давление во внешней сети аналогично напряжению электрического генератора.
Для получения так называемой внешней аэродинамической характеристики необходимо при каждом 1И1чении расхода из теоретического давления вычесть потери Дщления в вентиляторе.
Прежде всего следует классифицировать потери давления, разделив их на три принципиально отличные друг от друга категории [48]:
потери, связанные с конечностью радиуса входа, т. е. С тем, что вход осуществляется не на оси вращения, а на радиусе г при окружной скорости U=tor;
необратимые потери торможения струи после выхода, связанные с тем, что динамическое давление после выхода не Может быть полностью преобразовано в статическое давление Даже при наличии спрямляющего аппарата;
потери давления в самом колесе, т. е. потери входа В межлопаточные каналы, потери от изменения формы струи И межлопаточном канале, потери трения, потери энергии на Образование присоединенных вихрей и потери выхода.
Учет первой категории потерь весьма прост. Их значение строго равно давлению 1/2ри2. В самом деле, при абсолютном движении приращение давления в колесе рт складывается из приращений при переносном и относительном движении.
При относительном движении газа в межлопаточном канале, т. е. в движении относительно системы координат, которая вращается вместе с вентилятором, приращение энергии происходит в поле центробежных сил (рис. 10-11) и равно:
S SR, SR, «-f-to2^-^)^-e-(ui-uf), (io-ю)
Iда N цснтробсжнаи сила; psrfr — элемент массы газа; со— yiлопни скоростьIда N цснтробсжнаи сила; psrfr — элемент массы газа; со— yiлопни скоростьI 1огьолы<у радиус входа R\ не равен нулю, часть центро-I 1огьолы<у радиус входа R\ не равен нулю, часть центро-бежного давлении необратимо теряется. Понимать как потери,бежного давлении необратимо теряется. Понимать как потери,Ри. * ри i/2Ри. * ри i/2всегдавсегдаЭти потери можно связанные с пере-Эти потери можно связанные с пере-метением элемента массы газа из точки поля с пулевым потенциалом в точку поля с потенциалом рщ2/2 (частица приобрела энергию ноля в данной точке, но точно это же количество энергии оказалось необра- тимо затраченным).метением элемента массы газа из точки поля с пулевым потенциалом в точку поля с потенциалом рщ2/2 (частица приобрела энергию ноля в данной точке, но точно это же количество энергии оказалось необра- тимо затраченным).10-II. Приращение давления в относительном движении10-II. Приращение давления в относительном движении
Iда N цснтробсжнаи сила; psrfr — элемент массы газа; со— yiлопни скорость
Iда N цснтробсжнаи сила; psrfr — элемент массы газа; со— yiлопни скорость
I 1огьолы<у радиус входа R\ не равен нулю, часть центро-
I 1огьолы<у радиус входа R\ не равен нулю, часть центро-
бежного давлении необратимо теряется. Понимать как потери,
бежного давлении необратимо теряется. Понимать как потери,
Ри. * ри i/2
Ри. * ри i/2
всегда
всегда
Эти потери можно связанные с пере-
Эти потери можно связанные с пере-
метением элемента массы газа из точки поля с пулевым потенциалом в точку поля с потенциалом рщ2/2 (частица приобрела энергию ноля в данной точке, но точно это же количество энергии оказалось необра- тимо затраченным).
метением элемента массы газа из точки поля с пулевым потенциалом в точку поля с потенциалом рщ2/2 (частица приобрела энергию ноля в данной точке, но точно это же количество энергии оказалось необра- тимо затраченным).
10-II. Приращение давления в относительном движении
10-II. Приращение давления в относительном движении
Вторая категория потерь может быть учтена введением коэффициента восстановления статического давления к. Представим теоретическое давление в следующем виде:
Рт = PU2C2u = pu2 (u2 ± ®2 COS р2) = р«2 ± ри2Ф2 COS ^2 =
= ~«2 + -|-tzl ± ри 2^2 COS р2-(Ю-11)
В соответствии со сказанным выше первый член правой части (10-11) определяет теоретическое давление центробежных сил, т. е. Давление при относительном движении. Второй член есть динамическое давление при переносном движении, которое в той или иной мере может быть преобразовано в статическое давление (например, в диффузоре после колеса или в спрямляющем аппарате). Третий член представляет собой долю увеличения или уменьшения динамического давления в зависимости от угла наклона лопаток на выходе. Поэтому к нему также может быть применено понятие восстановления статического давления.
Таким образом, восстанавливаемое статическое давление равно
& ^"~ “г ± pu2^2 cos 02), где к — коэффициент восстановления.
Перейдем к рассмотрению третьей категории необратимых потерь давления в центробежном колесе.
В практике проектирования электрических машин наиболее удобно определять потери в вентиляторе в той же форме, как и для других каналов вентиляционного тракта машины, т. е. с использованием формулы Ap = zQ2, в которой вся сложность физических взаимодействий должна быть учтена аэродинамическим сопротивлением z = f(Q), т. е. формулу следует записывать в виде &p = z(Q) Q2. Такой подход позволяет рассматривать вентилятор в общей схеме вентиляции электрической машины как элемент, создающий давление рт и расходующий давление zQ2. Таким образом, методы вентиляционного расчета электрической машины не зависят от того, есть ли вентилятор в какой-либо произвольной ветви схемы вентиляции.
Итак, будем считать выражение
р = рт—рц—рд—zQ2(10-12)
уравнением внешней аэродинамической характеристики центробежного вентилятора.
Из уравнения видно, что реальное внешнее давление никогда не равно теоретическому, так как составляющие рц и рдин не равны нулю. Поэтому теоретическое давление рт не может быть измерено в опыте.
Турбинное уравнение Эйлера (10-7) позволяет определить анергию, или работу, каждой единицы массы газа, воспринятую с вала нагнетателя и повышающую энтальпию газа; эта энергия вполне может быть измерена в опыте. Но приращение полного давления газа не равно теоретическому давлению. Если осуществить вход по оси (7?i = 0), то составляющая рц исчезает. Но режим Q = 0 практически недостижим, так как в меж- лопаточных каналах при закрытии выхода возникает вихревое движение. Если же дать хотя бы малое приращение расхода, то возникают необратимые потери zQ2, коэффициент г которых тем больше, чем меньше Q.
Универсальная аэродинамическая характерстика. Раскроем уравнение внешней аэродинамической характеристики центробежного вентилятора (10-12).
р = "У" Риз + ^ (4" Ри2 ± ри№ cos Р2)-- ри I—2 (Q) Q2 •
(10-13)
Заметим, что значения коэффициента восстановления статического давления к определяются конструкцией электрической машины. Приведем типичные значения коэффициента восстановления, полученные путем обработки многочисленных экспериментальных данных для разного типа конструкций:
При наличии после вентилятора: спрямляющего аппарата 0,4
диффузора 0,3
камеры и щитах 0,2
При выходе на лобовую часть обмотки статора или в зазор . . 0,1
zQ2Р“2 (10-14)Р .Р“2QQ w2 .zQ2Р“2 (10-14)Р .Р“2QQ w2 .-) . ^ ™1- cos Рз«2-) . ^ ™1- cos Рз«2Для придания уравнению (10-13) универсальной формы перепишем ого в относительных единицах. Для этой цели разделим левую и правую части уравнения па ри2- Получим
zQ2
Р“2 (10-14)
Р .
Р“2
QQ w2 .
zQ2
Р“2 (10-14)
Р .
Р“2
QQ w2 .
-) . ^ ™1- cos Рз
«2
-) . ^ ™1- cos Рз
«2
Р 0,5 11 ||/4Д'Г
pi4 \», 7 V
Введем следующие обозначения:
относительное давление р*=
относительный расход Q* =
относительный радиус г* - R1!R1 = u1iu2.
Запишем теперь аэродинамическое сопротивление вентилятора в общепринятой для гидравлических сопротивлений форме (10-2). Уравнение (10-14) приобретает вид
р*» 0,5 (1 —г*2) + к (0,5 + 0* cosф3)—0,5£Q*2.(10-15)
Опыт исследования встроенных, т. е. установленных на валу электрической машины, центробежных вентиляторов, включая эксперименты с машинами разных типов — от асинхронных двигателей до мощных турбогенераторов, позволяет принять коэффициент сопротивления £ = 2г*2. При этом следует иметь в виду, что коэффициент сопротивления лопаточного канала при уменьшении относительного радиуса г*, т. е. при увеличении длины лопатки несколько увеличивается (весьма, впрочем, незначительно). Но в формуле внешней характеристики меньшему значению г* должно соответствовать большее значение Q*, что формально выражается уменьшением коэффициента при Q*2 (условным уменьшением потерь давления).
Таким образом, окончательно получаем
р* = 0,5 (1 —г*2) + к (0,5 ± Q* cos p2)—r*2Q*2. (10-16)
Уравнение в относительных единицах (10-16) называется универсальной внешней аэродинамической характеристикой встроенных центробежных вентиляторов электрических машин.
10-5. Проектирование осевых вентиляторов
Осевыми называются вентиляторы с направлением градиента давления и направлением движения массы газа вдоль оси вращения (рис. 10-12). В первом приближении такое движение можно считать ц‘и л индр и чес к им, или осесимметричным.
Для определения теоретического давления осевого вентилятора применимо основное уравнение для лопастных машин (10-7), которое в данном случае несколько упрощается, так как окружная скорость на входе в колесо и выходе из него одна и та же, т. е.
Рт = риа(с2ы—с^). (10-17)
Однако физическое существо изменения полного давления в осевом вентиляторе совсем иное. Отсутствие радиального перемещения потока исключает действие центробежных сил, по-
Рис. 10-12. Аэродинамическая схема осевого вентилятора
•тому приращение давления происходит только за счет преобразования кинетической энергии.
Природа возникновения избыточного давления за колесом Или, что то же, природа сообщения газу работы за счет механической энергии вала, тесно связана с понятием циркуляции скорости вокруг винтового профиля.
Рассмотрим диаграмму сил, приложенных к пластинке, пло- гшм'ть которой наклонена под углом а к плоскости вектора спорости Woo набегающего потока газа (рис. 10-13). Угол а будем называть углом атаки. Как было показано в § 9-4, при таком движении к сопротивлению трения прибавляется сопротивление давления, вызванное образованием вихря по- 4ДАН пластинки или, в более общем смысле, изменением поля лиилгний в массе газа, окружающего пластинку.
Цели пластинка имеет большую длину в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, и угол атаки мал, то ре- •удьтирующая сил сопротивления имеет лишь небольшую составляющую вдоль движения (лобовое сопротивление) и ninnHivai.iiyio сое।являющую, перпендикулярную вектору скорое i и и его плоскости (подъемная сила). Исследования пока шли, что максимальное отношение подъемной силы су К лобовому сопротивлению сх (это отношение называется качеством крыла или качеством профиля лопатки) енойпиенно профилю, изогнутому по линии тока, т. е. плас- ihiiiip, (погнутой в виде дужки (рис. 10-14). Наилучшим аэро- дннимнчееццм качеством обладают крыловые профили лопаток (рис КПЗ),
Тот факт, что увеличение качества профиля можно считать эквипплентным повышению давления вентилятора, представля- вни очевидным, если иметь в виду, что подъемная сила вызы- пвет полезное приращение давления, в то время как лобовое сопротивление приводит к затратам энергии.
Рис. 10-14. Пластинка в потоке газа, изогнутая по силовой линии поляРис. 10-14. Пластинка в потоке газа, изогнутая по силовой линии поля11т уривнепии (I0I7) следует, что для определения теоретического двплсшни осевого вентилятора нужно знать разность
Рис. 10-14. Пластинка в потоке газа, изогнутая по силовой линии поля
Рис. 10-14. Пластинка в потоке газа, изогнутая по силовой линии поля
Рис. 10-13. Наклонная пластинка в потоке газа
Саи—Сщ или, при отсутствии предварительного закручивания газа перед колесом (ciu = 0),
рт = ри3сг„.(10-18)
Искомое значение Саи входит в выражение циркуляции скорости вокруг профиля лопатки
Г= §cdr = 2nrcau.
Отсюда Cau=VKW}, т. е.
pT=-£^-=-£^L.(Ю-19)
2лг 2лv 7
Таким образом, теоретическое давление может считаться известным, если известна циркуляция Г.
Циркуляционное движение вокруг профиля возникает в связи с образованием вихревой зоны за профилем. В первый отрезок времени после начала движения вихрь, образующийся на задней кромке, уносится потоком вдоль по течению. Но уже через некоторое время, когда движение относительно системы координат, связанной с профилем становится стационарным, организуется циркуляция. Направление циркуляционного течения всегда такое (рис. 10-15), что его скорость увеличивает скорость набегающего потока над профилем (в плоскости чертежа) и уменьшает ее под профилем, где в связи с этим возрастает давление.
Значение циркуляции Г выражается через скорость набегающего потока газа w» только в простейшем случае —для бесконечно длинной прямой пластинки:
r = n6|wo0|'sinpo0,(10-20)
где b — ширина пластинки; Роо— угол наклона вектора скорости Woo к плоскости обода, p=o = 0—а (рис. 10-12).
Попытки вычисления теоретического давления осевых вентиляторов на основе циркуляции по формулам, аналогичным (10-20), не дали положительного результата, поскольку угол Роо зависит от многих факторов, не поддающихся учету. Такого рода неопределенность побуждает вычислять теоретическое давление вне зависимости от циркуляционных свойств профилей, используя эти свойства лишь для расчета сопротивления колес.
Ykи)»
Рис. 10-15. Крыловой профиль в потоке газа
Практическое распространение приобрели методы расчета, И которых характеристики вентиляторов определяются следующими основными параметрами: формой профиля, числом, углом установки и длиной лопаток.
Богатый экспериментальный материал о встроенных осевых вентиляторах электрических машин позволил автору построить расчет аэродинамических характеристик вентиляторов на оспине зависимости следующего вида:
П* = о 2 J0±2^L щ 0,50*-Q*a.
10+ т0,lvr6* 0,3+ 6*-sine
0,3 — 6*
(10-21)
Здесь-—-относительный напор, Q* =—-—-— =
Р»;(л/4)(о|-Оа)и2
* l,J огио<ителы1Ый расход; с0 — осевая составляющая ско- рос in; II угол установки лопатки (рис. 10-12); v — качество профили, t-л/),|,/(гл/;) — относительный шаг лопаток; Dcp— средний диаметр лопаток; гл— число лопаток; b— ширина лопатки (хорда) на среднем диаметре; 6* = бтах/6— относительная толщина профиля.
По аналогии с уравнением для центробежных вентиляторов назовем безразмерное уравнение (10-21) универсальной внешней аэродинамической характеристикой ■ строенных осевых вентиляторов электрических машин
Для практического использования универсальной характе- рпстикн следует дополнительно иметь в виду следующие об- г|ии1елы тиа Качп то профиля v зависит от профиля и угла агаин и и опрсделие|си при продувках профилей в аэродинами- чиини трубах Оно прсдс1иплсно для каждого исследованного Профили и Ниде графиков (рис. К) Ki). Часто эти же данные HpfMHmiwiHii и виде так называемой поляры (рис. 10-17), t. е. зависимости Су-Hex'), в которой угол атаки, задаваемый ни практике весьма приближенно, использован в качестве па- риметри
В гех случаях проектирования, когда качество профиля v предварительно не определено, например при использовании дужек, следует принимать его ориентировочно по данным для геометрически близких профилей.
Особо необходимо учитывать, что универсальная характери- сгика дает тем более надежный результат, чем ближе проектируемый вентилятор к типовой конструкции. Это означает, что при применении, например, в качестве лопаток прямых пластинок, толщина 6 не равна нулю, но должна быть принята
лобового сопротивления отлобового сопротивления отугла атакиугла атакиРис. 10-17. Поляра для определения качества профиля при разных углах а та к иРис. 10-17. Поляра для определения качества профиля при разных углах а та к и
лобового сопротивления от
лобового сопротивления от
угла атаки
угла атаки
Рис. 10-17. Поляра для определения качества профиля при разных углах а та к и
Рис. 10-17. Поляра для определения качества профиля при разных углах а та к и
условно равной 0,08—0,10. Точно так же не следует применять универсальную характеристику при углах установки 0, близких к нулю, либо к 90°.
10-6. Пример расчета вентилятора
Пусть для охлаждения крупного синхронного двигателя, аэродинамическое сопротивление которого z=0,9, требуется обеспечить суммарный расход воздуха QH=8,5 м3/с. Частота вращения ротора п=375 об/мин. Наружный диаметр центробежного вентилятора из соображений рациональной компоновки машины может быть принят не более £>2 = 2,6 м. Выход воздуха осуществляется на лобовые соединения обмотки статора.
Принимая длину лопатки /=0,25 м и ширину 6 = 0,12 м, получим: «2 = 51 м/с; r*=(Z)2—2/)/Z)2 = 0,807; Q = 51,9Q*; Р = =318Р*. Если теперь для повышения давления принять аэродинамическую схему вентилятора с загнутыми вперед лопатками и углом выхода Рг = 40°, то внешняя характеристика будет определяться уравнением
р* = 0,5 • (1 —0.8072) + 0,1 - (0,5 + Q* - 0,766)—0,807^Q*2.
Характеристика в размерных величинах приведена на рис. 10-18, она пересекается с кривой потерь давления zQ2. Как видно из рисунка, рабочий расход для центробежного вентилятора QP,4—9 м3/с, т. е. несколько превышает необходимый номинальный расход. Этот результат подтвержден опытным путем при вентиляционных испытаниях двигателя.
Представляет интерес сопоставление полученных результа-
Рис. 10-18. Результаты вентиляционного расчета синхронного двигателя с осевым (—) и центробежным () вентилятором
/ — внешняя характеристика; 2 — потери давления в сети
Тов с результатами применения осевого вентилятора, который обычно обладает меньшим давлением.
Пусть по-прежнему £>2 = 2,6 м. Длину лопатки примем /=0,145 м. Число лопаток 2л = 40; ширина лопатки на среднем диаметре Ь-- типа профиля 6* = 0,119; качество новки 9 = 40°. Тогда получим: т =
Уравнение внешней характеристики имеет видУравнение внешней характеристики имеет вид0,132; относительная тол- профиля v = 20; угол уста- 1,455; Q = 57Q*; р=318р*.0,132; относительная тол- профиля v = 20; угол уста- 1,455; Q = 57Q*; р=318р*.р* _ о 2 ■ ДО + 2^11 + 0.5Q* —
Уравнение внешней характеристики имеет вид
Уравнение внешней характеристики имеет вид
0,132; относительная тол- профиля v = 20; угол уста- 1,455; Q = 57Q*; р=318р*.
0,132; относительная тол- профиля v = 20; угол уста- 1,455; Q = 57Q*; р=318р*.
'10 4- 1,455
1 Q*2
0,1-20-0,119-0,1-20-0,119-0.3 ±0.11^.0,643
0,1-20-0,119-
0,1-20-0,119-
0,3 — 0,119
В размерных величинах характеристика приведена на риг, К) 18, Она пересекается с кривой потерь давления, кото- ряя теперь в связи с изменением схемы вентиляции (другой тип вентилятора) имеет коэффициент аэродинамического сопротивления г=0,6. Рабочий расход в данном случае Qp. ос~11 м3/с.
Таким образом, в связи с неблагоприятным расположением цеп ।робежного вентилятора (выход па лобовые части) и увеличением аэродинамического сопротивления машины (весьма узкое сечение перед входом в рабочее колесо) для проектируемой синхронной машины предпочтительным оказался осевой вентилятор, который к тому же потребляет меньше механической энергии в расчете на единицу расхода.
10-7. Расчет аэродинамического сопротивления
схемы вентиляции методом уравнивания потерь давления
Выше (§ 9-13) было показано, что непосредственное вычисление аэродинамического сопротивления схемы вентиляции z при сложных разветвленных схемах оказывается чрезвычайно громоздким. Поэтому естественным является стремление применить к схемам замещения методы расчета, разработанные для сложных электрических цепей.
1931937 И. Ф. Филиппов
193
193
Q6Q6Q8Q8QgQgAAQsQioQsQio2г7.72г7.7а7а7Рис. 10-19. Схема замещения вентиляционной сети для турбогенератора с шестиструйной нагнетательной вентиляцией
Q6
Q6
Q8
Q8
Qg
Qg
A
A
Qs
Qio
Qs
Qio
2г
7.7
2г
7.7
а7
а7
zn Quzn QuВ связи с нелинейностью системы уравнений, описывающих схемы, в практике вентиляционного рас
zn Qu
zn Qu
чета применяется принцип точного соблюдения первого закона Кирхгофа (сумма расходов в узле схемы равна нулю) при произвольном распределении расходов по ветвям, т. е. с предварительным пренебрежением вторым законом Кирхгофа (сумма давлений и потерь давления в замкнутом контуре равна нулю). Сущность указанного метода расчета, который называется методом уравнивания потерь давления, заключается в следующем.
t. e.t. e.Пусть, например, требуется определить сопротивление многоструйной нагнетательной схемы вентиляции турбогенератора (см. рис. 10-3,6). Схема замещения представлена на рис. 10-19. С учетом симметрии конструкции турбогенератора схема замещения составлена применительно к половине машины, .. _. к совокупности каналов, обслуживаемых одним из двух установленных на концах вала вентиляторов.
t. e.
t. e.
Зададим произвольный расход газа Q на входе схемы замещения и, разбив его на произвольные доли Qi, распределим их по п параллельным путям так, чтобы при слиянии двух или нескольких струй итоговый расход оказывался всегда равным сумме частичных расходов, а при разветвлении частичные расходы задавались как доли общего, т. е.-чтобы соблюдался первый закон Кирхгофа: Q = SQ<m в узле, где т есть номер данного узла. Теперь могут быть вычислены потери давления в каждой ветви схемы, если сопротивление Zt каждой ветви оп
ределено предварительно. Получим: kpi = ZiQ2(.
Потери давления от входа в схему до выхода из нее должны быть одинаковы для каждого параллельного пути и в то же время равны потерям давления во всей схеме при циркуляции в ней расхода Q:
п
£ Ар< = Др = const, 6—1
где к есть номер параллельного пути.
Необходимо проверить соблюдение этого равенства, сопоставив полученные значения 5^pt для всех путей замещения (в схеме на рис. Ю-З, б таких параллельных путей семь). Поскольку распределение расхода на доли было произвольным, требование равенства потерь S^Apt окажется чаще всего невыполненным.
В качестве второго приближения нужно перераспределить суммарный расход Q на частичные таким образом, чтобы потери давления в отдельных ветвях сравнялись между собой. Значения величин, полученных из первого приближения, покажут, в каком направлении целесообразно произвести перераспределение.
При необходимости могут быть проделаны третье и последующие приближения — до тех пер, пока потери давления на нсех параллельных путях не сравняются по крайней мере В первом и втором знаке. Полученное равенство потерь давления может служить показателем физически оправданного распределения расходов и основанием для вычисления аэродинамического сопротивления схемы по формуле г-крЮ2.
Подчеркнем, что расход Q через систему каналов при использовании методов уравнивания потерь давления может быть принят вполне произвольно. Что касается процесса последовательных приближений (перераспределения частичных расходов), то он отнимает сравнительно немного времени, так как наиболее трудоемкая операция вычисления сопротивлений ветвей схемы г( проделана раз навсегда. Практика показывает, что кнплпфицированный расчетчик получает удовлетворительные результаты уже в итоге второго или третьего приближения.
10-1. Расчет схем,
«•держащих различные нагнетательные элементы
Особый случай представляют схемы вентиляции, содержащие различные нагнетательные элементы, например вентиляторы и вращающиеся каналы ротора. Строго говоря, именно гмкне схемы свойственны электрическим машинам всех типов. Но иногда действием отдельных нагнетательных элементов удается пренебречь без ущерба для точности расчета. Так, например, у турбогенераторов с системами косвенного газового охлаждении основную роль в создании циркуляции газа играно вентиляторы
В тех глучмих, когда давления различных нагнетательных хлеМонтои соизмеримы, каждый из них должен быть учтен и схеме вентиляции и, следовательно, в схеме замещения.
Рассмотрим для определенности наиболее типичный случай Влиянии вращающихся вентиляционных каналов, характерного дли схемы вентиляции мощных гидрогенераторов (см. рис. 10-2). Кан повязывает опыт, в машинах этого типа роль вентилятора бывает даже менее существенной, чем роль каналов обода ро- юрй
Схеми замещения такой вентиляционной сети представлена нй рве, 10-20. В схеме обозначено: аэродинамическое сопротив- ление соответственно вентиляционных каналов статора (zi), цени нажимных гребенок статора (гг), полюсных окон (гз), охлидигелей (г^), цепи обода ротора (z5),. цепи вентилятора
Рис. 10-20. Схема замещения вентиляционной сети для гидрогенератора с радиальными каналами в ободе ротора
(г6), цепи рециркуляции (г0); расход 4воздуха соответственно через вентиля-
,fiционные каналы статора (^i), через
т нажимные гребенки статора (<72), через полюсные окна (i/з), через охладители (94), через обод ротора (^5), через вентилятор (<?6), через цепь ре- — суммарный расход воздуха; рр— давле
ние ротора; рв — давление вентилятора и торцов полюсов.
Как видно из схемы, для аналитического определения неизвестных частичных расходов ^ и суммарного расхода Q необходимо решить следующую систему из восьми уравнений с восемью неизвестными:
Q = <74 + ^0"-
<74== <7i+ </2;
Q = q5 + q6\
<7е — <7з <7г + <7о1
рр = zbqs + 24^1 + Z4P4;
рв = ze^e + 23рз + Zi<7i + Z4q4;
рв = z6qb + z2<72 + z^q^i
p^ZgPe + ZoPo-
Нелинейность полученной системы уравнений затрудняет ее решение. Осложняющим является также то обстоятельство, что в данном случае не может быть применен в его общепринятом виде метод уравнивания потерь давления, так как неизвестен суммарный расход воздуха (он не может быть принят произвольно из-за наличия давлений в параллельных ветвях).
Практика вентиляционных расчетов электрических машин выработала несколько методов решения сложных систем, содержащих мостовые элементы с диагональными связями. Некоторые из этих методов приобрели особую актуальность в связи с применением для расчетов вычислительных машин.
Ниже будут изложены практические методы расчета мостовых схем, начиная с приближенного графоаналитического решения.
10-9. Приближенный графоаналитический расчет мостовых схем вентиляции
Представим схему замещения на рис. 10-20 в виде соединения сопротивлений в треугольник (рис. 10-21). Оба соединения могут быть последовательно преобразованы в эквивалентную
Рис. 10-21. Схема замещения в виде со-единений треугольником
авезду, как это делают для линейных электрических цепей. Здесь, однако, следует учитывать нелинейность сопротивлений z,. Поэтому формулы преобразования будут иметь более сложный вид. В то же время полученное решение не будет точным и обратное преобразование
не позволяет получить точне позволяет получить точные значения частичных расходов в ветвях.
не позволяет получить точ
не позволяет получить точ
Опыт расчета гидрогенераторов свидетельствует о том, что эквивалентные преобразования в отдельных случаях применять целесообразно, так как значение суммарного расхода Q получается весьма близким к истинному. Зная суммарный расход, можно произвести уравнивание потерь давления по параллельным путям, т. с. решить исходную систему уравнений методом шнлелопптелы1ых приближений.
На риг, 10-22 и 10-23 приведено поэтапное преобразование неходкой схемы замещения (рис. 10-21). Ниже даны формулы для пересчета сопротивлений:
'*12+*81— Z23 ./г04 + г03 + 234 ,
Z|_, Zo- 2 I
' Zla I z23Z3|" _ z04 + Zg4 -— Zqs .
z^2;Z24-2
z03 + z34 — z04 .
2’
Z| (z2 + Zs).
lie -.~"’
/, I 'I Nh (z. -1 z») -I (z,+ z,)
Z1M (z0 I z,)
z2 (Z1 + zs) z2 + 2 Vz2 (Z1 + Zs) 4- (Z1 + zs)z2 (Z1 + zs) z2 + 2 Vz2 (Z1 + Zs) 4- (Z1 + zs)^81 —■^81 —■Z3 (z, + Zi) z8 + 2 Vzs (za + zi) + (za + zi)Z3 (z, + Zi) z8 + 2 Vzs (za + zi) + (za + zi)z^ 1 2 V ZW (Z0 I za) + (zo + гз)
z2 (Z1 + zs) z2 + 2 Vz2 (Z1 + Zs) 4- (Z1 + zs)
z2 (Z1 + zs) z2 + 2 Vz2 (Z1 + Zs) 4- (Z1 + zs)
^81 —■
^81 —■
Z3 (z, + Zi) z8 + 2 Vzs (za + zi) + (za + zi)
Z3 (z, + Zi) z8 + 2 Vzs (za + zi) + (za + zi)
Рис. 10-22. Первое преобразование треугольника в звезду: а — эквивалентная звезда; б — схема после суммирования последовательных сопротивленийРис. 10-22. Первое преобразование треугольника в звезду: а — эквивалентная звезда; б — схема после суммирования последовательных сопротивлений
Рис. 10-22. Первое преобразование треугольника в звезду: а — эквивалентная звезда; б — схема после суммирования последовательных сопротивлений
Рис. 10-22. Первое преобразование треугольника в звезду: а — эквивалентная звезда; б — схема после суммирования последовательных сопротивлений
zo (4+гз)
zo + 2 'у г0 (г24 + г3) + (г24 + г3)
^24 = Z2 + Z4;Z15 = Z1 4- z5; ZB = Z6 + 231Zp = Z24 + Z15.
В итоге преобразования схемы получено параллельное соединение двух ветвей, каждая из которых содержит сопротивление и напорный элемент. Последовательно с ними соединено некоторое общее внешнее сопротивление Zo- Расчет полученной простейшей схемы производится графически.
При графическом расчете схем следует иметь в виду, что при сложёнии характеристик последовательно соединенных элементов складываются ординаты; при сложении характеристик параллельно соединенных элементов складываются абсциссы (рис. 10-24). При расчете схемы на рис. 10-23, б необходимо сложить параллельно характеристики ветви Zp'+Pp и ветви гв+рв и полученный результат сложить с сопротивлением ZQ.
Операции графического расчета проведены на рис. 10-25, где обозначено: рр — внешняя аэродинамическая характери-
Рис. 10-23. Второе преобразование треугольника в звезду: а — эквивалентная звезда; б — схема после суммирования последовательных сопротивленийРис. 10-23. Второе преобразование треугольника в звезду: а — эквивалентная звезда; б — схема после суммирования последовательных сопротивлений
Рис. 10-23. Второе преобразование треугольника в звезду: а — эквивалентная звезда; б — схема после суммирования последовательных сопротивлений
Рис. 10-23. Второе преобразование треугольника в звезду: а — эквивалентная звезда; б — схема после суммирования последовательных сопротивлений
рис 10 24. Сложение характеристик: я и б — параллельные и последовательные дпнления; и и г— параллельные и последовательные сопротивления
стика системы вращающихся элементов ротора; Дрр— потери давления на сопротивлениях zP; рв— внешняя аэродинамиче- скан характеристика вентилятора; Дрв— потери давления на сопротивлении zn; рр. и — избыточное давление в ветви ротора /Р I Ра, полученное вычитанием (по ординатам) из давления рр Потерь дпнления АрР; р». и — избыточное давление в ветви вен- 1нммюрп /„ I ри, полученное вычитанием (по ординатам) из
1'и. 10 •?5 Графический расчет схемы на рис. 10-23,5
Давления рв потерь Арв; рр. и+рв.и — избыточное давление параллельно соединенных ветвей zp + pp и zB + pB, полученное сложением (по абсциссам) избыточных давлений рр. и и рв. и", Дро — потери давления на сопротивлении внешней ветви; Qs — суммарный расход через схему, полученный как точка пересечения кривых суммарного избыточного давления и внешнего сопротивления.
10-10. Графоаналитический расчет схем вентиляции
Здесь будет проиллюстрировано дальнейшее развитие метода графических построений, позволяющее применять его для расчета мостовых схем с диагональными связями.
Пусть дано смешанное параллельно-последовательное соединение аэродинамических сопротивлений, включающее диагональную связь (рис. 10-26). Для определения суммарного аэродинамического сопротивления системы г зададимся произвольным фиксированным значением разности р\—pi = N.p. Тогда для решения поставленной задачи достаточно определить суммарный расход Q через систему, соответствующий заданному значению Ар.
Определим на графике пересечение характеристик Ар— —2iQl =/i(Q)'h z8Q3 = f2(Q)- Значение в точке пересечения А соответствует случаю, когда 25 = 00, т. е. когда отсутствует диагональная связь в мостовой схеме. Аналогичным образом пересечение характеристик Ар—z2Q| = fs(Q) и z4Q4 = f4(Q)
,р»Др,р»ДрAQ,AQ,Рис. 10-26. Мостовая схема замещения с диагональной связью и графический расчет схемыРис. 10-26. Мостовая схема замещения с диагональной связью и графический расчет схемы
,р»Др
,р»Др
AQ,
AQ,
Рис. 10-26. Мостовая схема замещения с диагональной связью и графический расчет схемы
Рис. 10-26. Мостовая схема замещения с диагональной связью и графический расчет схемы
определит давление в точке В схемы при том же условии Zn-oo.
Когда сопротивление перемычки имеет конечное значение <1<°о, расход через нее соответствует разности рА—рв- Появление расхода Q6 приведет к увеличению расхода Qt и уменьшению расхода Q3, в результате чего потери давления увеличатся на сопротивлении гх и уменьшатся на сопротивлении z3. Поскольку, однако, сумма указанных потерь имеет фиксированное значение Др, точка Л переместится по характеристикам /i(Q) и MQ) в точки Ai и Аь лежащие на одной горизонтали. Точно так же точка В переместится по характеристикам MQ) и f^Q) в точки В' и В”.
Точка А\ определит новый расход в ветви Zi, точка Л1— новый расход в ветви z3, поэтому длина отрезка А\А\ будет соответствовать расходу через перемычку z5. Этому же расходу будет соответствовать длина отрезка В'В". Таким образом может быть получена зависимость давления в точках Л и В от расхода Qr, в перемычке z5. Для этого отрезки А!А!' и В'В" нанося гея (в произвольном масштабе) в качестве абсцисс на вспомогательную систему координат. При этом ординатами являются отрезки разности давлений рд—Рв, соответствующие промежуточным положениям точек А', А" и В', В". В результате получаем характеристики pA=f(Q^ и Pb=I4Q5^, пересечение которых в точке С определяет расход через перемычку при нулевом значении сопротивления перемычки (zs=0).
Для определения реального расхода Q3 характеристику Рн — TW^ нужно сложить с характеристикой z6Q5 = f(Q6). Этот же результат дает и вычитание последней характери- Г1ИКИ in характеристики Pa = HQs).
Пересечение новой характеристики fs (Q5) = Рв (Qs) ~ Z5Q5 и точке а с зависимостью pA = f(Qs) определит расход через перемычку при заданном значении Ар. Отрезок ab дает при ним noicpn чипленим в перемычке, т. е. на сопротивлении Z5.
Проецируй । ори юпталямн <i и b на осп основной системы ююрднилI, получим расходы в ветвях схемы. Точке А' соответ- i пцчч расход Vi, точке А" расход Q3, точке В'— расход Qi, точке В” расход Qa. При этом должно соблюдаться равен- стно Q । I Оз * Qa + Qa - Q.
Теперь в соответствии с поставленной задачей может быть определено аэродинамическое сопротивление схемы z=AplQ2. Inainie этой величины позволяет построить кривую потерь напора в схеме, когда в этом есть необходимость. Указанную крииую можно определить и графически, задаваясь различными значениями разности напоров Ар.
Некоторым развитием изложенного метода расчета является ст применение для решения схемы вентиляции мощного гид- poiоператора. На рис. 10-27 приведена схема замещения и ее графический расчет.
Рис. 10-27. Схема замещения гидрогенератора мощностью 500 МВт и графический расчет схемыРис. 10-27. Схема замещения гидрогенератора мощностью 500 МВт и графический расчет схемы
Рис. 10-27. Схема замещения гидрогенератора мощностью 500 МВт и графический расчет схемы
Рис. 10-27. Схема замещения гидрогенератора мощностью 500 МВт и графический расчет схемы
сеть диаго-сеть диаго-Вначале принято z6 = oo и z7 = oo. Для этих условий определено приближенное значение расхода Qs (рис. 10-27, б) и соответствующие потери Рс в точке С. Следующим этапом определены давления в точках А и В при тех же предположениях, т. е. при z6 = z7 = oo (рис. 10-27, в). Включение в сеть диагонали z6 позволяет определить изменение давлений в точках а и b в функции расхода Qs (рис. 10-27,г). Включение в сеть диагонали z7 позволяет определить изменение давлений в точках а и b как функцию расхода Q7 (рис. 10-27, д).
сеть диаго-
сеть диаго-
Поскольку z6 и z7 фактически включены в схему как параллельные сопротивления, рабочей точкой является точка пересечения суммарной характеристики Aps = z7Q8-|-z6Q2 + pA(Q) с характеристикой pB — HQ).
Для получения частичных расходов в ветвях следует спроецировать точку пересечения b на соответствующие характеристики. Второе приближение по расходу Q5 лишено практического смысла, так как введение связи 2е увеличивает Qs, а введение связи z7 его уменьшает. Но при необходимости второе приближение может быть проделано.
<0-11. Применение аналоговых вычислительных машин
Аналоговое электрическое устройство воспроизводит исследуемую систему циркуляции среды в электрических машинах, причем параметры электрической схемы — сопротивление, напряжение и ток — моделируют параметры схемы вентиляции, соответственно: сопротивление, давление и расход. Для того чтобы закономерности распределения токов и напряжений
^5=8\у5"0'0№^5=8\у5"0'0№Др<ИНг3=0,0С5 Пи И другой7.^0,062Др<ИНг3=0,0С5 Пи И другой7.^0,062й^0,0И 10^^й^0,0И 10^^Др7=59 QfMДр7=59 QfM4рГ®НГ°’05Др2=55П г г0,0075 оор=210 ооре=1204рГ®НГ°’05Др2=55П г г0,0075 оор=210 ооре=120Рис. 10-28. Расчет схемы вентиляции гидрогенератора на аналоговой машине
^5=8\у5"0'0№
^5=8\у5"0'0№
Др<ИНг3=0,0С5 П
и И другой7.^0,062
Др<ИНг3=0,0С5 П
и И другой7.^0,062
й^0,0И 10^^
й^0,0И 10^^
Др7=59 QfM
Др7=59 QfM
4рГ®НГ°’05Др2=55П г г0,0075 оор=210 ооре=120
4рГ®НГ°’05Др2=55П г г0,0075 оор=210 ооре=120
в электрической схеме были идентичны закономерностям распределения расходов и давлений в схеме аэродинамической, сопротивления в электрической схеме подбираются из расчета квадратичной зависимости потерь напряжения Ам от тока: ^u = R'P, где R'— сопротивление элемента без тока. Элементом с таким сопротивлением может быть, например, радиолампа или полупроводниковый диод. Так
достигается аналогия с гидравлической цепью, для сопротивления которой, как мы знаем, справедливо уравнение Ар —zQ2.
Поскольку электрическая цепь аналога воспроизводит схему вентиляции, то при подаче напряжения, соответствующего заданному давлению нагнетателя электрической машины, распределение токов по ветвям окажется тождественным распределению расходов и распределению потерь напряжения — распределению потерь давления. Вся сложность, следовательно, сводится к правильному моделированию сопротивлений.
Практически аналоговые устройства снабжены набором сопротивлений, градуированных в единицах аэродинамического сопротивления. Расчетчик распределяет их в схеме аналога исходя из заданных значений аэродинамических сопротивлений в схеме электрической машины. Следует понимать при этом, что на самом деле электрические сопротивления аналога являются переменными величинами, линейно зависящими от тока, как это и следует из приведенных выше пояснений (ku=RI= = R'H).
Благодаря простоте использования и равным возможностям расчета простых схем и схем произвольной сложности, т. е. возможностям весьма быстрого исследования схем вентиляции, аналоговые машины являются удобным и рациональным инструментом вентиляционного расчета.
На рис. 10-28 приведен расчет схемы вентиляции гидрогенератора мощностью 500 МВт, полученное на аналоговом устройстве типа ЭМВС-6, предназначенном для расчетов шахтной вентиляции.
10-12. Применение цифровых вычислительных машин
При проектировании электрических машин необходимо выполнять расчеты различных вариантов конструкции. Поскольку вентиляционный расчет сложных схем вентиляции является тру-
доемким, целесообразность использования цифровых вычислительных машин при проектировании вполне очевидна. Следует, однако, подчеркнуть, что метод уравнивания потерь по параллельным путям (с позиций рассматриваемого предмета его можно назвать методом случайных проб) оказывается несостоятельным. Программы расчета, созданные на основе этого метода, не получили распространения. Значительно более целесообразным оказалось использование метода направленных итераций, который исходит из необходимости удовлетворения законам Кирхгофа — для узлов и для контуров.
Приведем здесь идею линеаризации уравнений [13], описывающих схему вентиляции. Как и в случае применения аналоговых машин, перепад давлений представляется в виде линейной функции условного аэродинамического сопротивления Хф, называемого функциональным:
Др = z0Q2 = z0QQ = хфУ, (10-22)
где х0 — истинное аэродинамическое сопротивление.
Если представить функциональное сопротивление как
2ф =Z0Q2=Vz^ = ^р,(10-23)
итерационный процесс можно построить исходя из того, что каждому значению Др при заданном Хо соответствует единственное значение Хф.
Поэтому при первоначальной замене всех х0 на произвольные значения Хф получают фиктивные значения Др и Q, которые шаг за maroKi корректируются на основе (10-23). Опыт расчетов показывает, что процесс итераций оказывается при этом сходящимся.
В том случае, когда в расчете используются универсальные внешние аэродинамические характеристики вентиляторов (10-16) и (10-21), им следует придать форму парабол без члена, содержащего аргумент в первой степени: у = const—ах2. Для этой цели члены универсальных уравнений с Q* в первой степени заменяются константами, причем Q* принимают равным номинальному (Q = QH)-
Таким образом, имеем:
для центробежных вентиляторов
р* = [0,5 (1—г*2) + fe(0,5 ± Q„ cos Pi)]— r^1-,(10-24)
для осевых вентиляторов
• о 10 + 2 sin 6 . п гП» \
OJvrB-—У— sinO0,3 — 6OJvrB-—У— sinO0,3 — 6Q*2.Q*2.Я”!0.2- io+r +°^‘)-
OJvrB-—У— sinO
0,3 — 6
OJvrB-—У— sinO
0,3 — 6
Q*2.
Q*2.
(10-25)
Особенность расчета по изложенному методу заключается в том, что результат расчета независим от предварительно принятого направления движения в каналах.
10-13. Пример вентиляционного расчета турбогенератора мощностью 200 МВт
Методы расчета схем с диагональными связями и источниками давления в различных ветвях проиллюстрированы^ численными примерами в предыдущих параграфах. Здесь будет приведен расчет сложной схемы вентиляции методом уравнивания потерь давления по параллельным путям.
Определим рабочий расход газа QP в турбогенераторе мощностью 200 МВт с шестиструйной нагнетательной схемой вентиляции (см. рис. 10-3, б). Схема замещения показана на
Таблица 10-1
2 её
CL К
Место сечения
Путь газа
&х О g С 8а
8
Q, м3;с
W, М;С
А Русл
1
()хл;1ДН'ге-ПИ
1
5,650
1,61
20,00
3,5
20
Торт-ной ши г
1
1,020
1,56
20,00
19,6
600
а
I |ереД Ill'll ГИЛЯ Гором
1
0,344
0,90
20,00
58,0
3020
А
I |ог.1|Г Ill'll 1 ПЛИ 1 Ори
1
0,518
0,50
20,00
38,6
742
11роход и mi юр
3
0,527
6,07
7,90
15,0
1361
11
Нпишмиыс пальцы
3
0,030
1,38
1,59
52,3
3780
7
Нажимные пальцы
3
0,113
7,40
1,59
14,1
1470
Я
Нажимные пальцы
3
0,520
14,10
1,59
3,1
136
9
Переходные окна
4
1,215
6,67
12,1
9,9
652
10
Перед каналами
5
2,560
5,55
4,35
1,7
16
II
Рпдипльные каналы
5
0,391
0,47
4,35
Н,1
58
Г.»
Рплнпльные каналы
5
0,114
0,42
4,35
38,2
611
13
Зпюр
6
0,261
14,00
1,49
5,7
455
1'1
Затор
3
0,261
0,78
6,31
24,2
456
|Г>
Радиальные каналы
3; 6
0,162
1,52
7,80
48,1
3510
10
Радиальные каналы
3; 6
0,557
5,96
7,80
14,0
1170
17
После каналов
3; 6
3,620
30,20
7,80
2,1
133
18
Переходные окна
8
1,215
4,45
7,79
6,4
182
19
Перед каналами
9
2,530
5,43
4,92
1,9
20
20
Радиальные каналы
9
0,391
0,47
4,92
12,6
75
21
Радиальные каналы
9
0,114
0,42
4,92
43,2
781
22
Запор
10
0,261
14,00
2,45
9,4
1240
23
Затор
7
0,261
14,00
2,86
10,9
1660
24
Радиальные каналы
7; 10
0,130
1,54
5,31
41,0
2600
25
Радиальные каналы
7; 10
0,447
5,96
5,31
11,9
842
26
После каналов
7; 10
2,780
27,30
5,31
1,9
99
27
Переходные окна
12
1,215
4,33
2,83
2,3
23
28
Перед каналами
12
1,510
1,16
2,83
1,8
4
29
Радиальные каналы
12
0,223
0,47
2,83
12,7
76
30
Радиальные каналы
12
0,065
0,42
2,83
43,5
792
31
Зазор
12
0,261
10,15
2,83
10,8
1200
32
Зазор
11
0,261
14,00
2,47
9,5
1262
33
Радиальные каналы
11; 12
0,130
1,54
5,30
40,7
2540
34
Радиальные каналы
11; 12
0,447
5,96
5,30
11,8
830
35
После каналов
11; 12
2,780
27,30
5,30
1,9
98
36
Переходные окна
И; 12
1,010
2,00
5,30
4,8
46
37
Переходные окна
7; 10;
11; 12
1,010
2,03
10,61
10,5
224
Рис. 10-29. График определения рабочего расхода
рис. 10-19. С учетом симметрии машины расчет проводится на один вентилятор, т. е. определяется половина рабочего расхода.
Номера путей газа обозначены на рис. 10-3, б. Как видно, путей, 12. Расчет ведется в условных единицах потерь давления go;2. Результаты расчета после уравнивания потерь давления по параллельным
путям сведены в табл. 10-1. Параллельных путей семь. Суммы потерь давления АрУсл в условных единицах приведены в табл. 10-2.
Таблица 10-2
Путь газа
Расчетные точки
Друсл
3
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
10 874
3
1, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 16, 17
10 452
6
1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17
10 956
7
1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 25, 26, 37
10 401
10
1, 2, 3, 4, 9, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25
10 643
26, 37
11
1, 2/3, 4, 9, 18, 19, 20, 21, 32, 93, 34,
10 733
35, 36, 37
12
1, 2, 3, 4, 9, 18, 27, 28, 29, 30, 31, 33,
10 830
34, 35,136,137
Для определения аэродинамического сопротивления схемы можно взять примерное среднее значение потерь (в действительных единицах)
_ . Др р Друсл. ср 0,06*10 500. ..г
2“400
Кривая потерь давления zcpQ2 нанесена на рис. 10-29. На этом же рисунке показана внешняя аэродинамическая характеристика компрессора машины, полученная экспериментально. Точка пересечения характеристик определяет рабочий расход на полмашины Qp = 24 м3/с при давлении р=1000 Па. Следовательно, расчетный расход на всю машину равен 48 м3/с. Измеренное значение равно 51 м3/с.
10-14. Затраты энергии на охлаждение электрических машин
В крупных электрических машинах в основном применяются системы охлаждения, в которых избыток давления для циркуляции газа создается нагнетателями, установленнными на 206
валу ротора. Для турбогенераторов — это встроенные осевые или центробежные вентиляторы, для синхронных явнополюсных машин (гидрогенераторы, крупные машины переменного тока) в качестве нагнетательных элементов могут быть использованы радиальные вентиляционные каналы в торцах ротора или ковшевые вентиляторы смешанного типа.
Затраты энергии на охлаждение относят к категории механических потерь электрической машины. При этом разделяют потери энергии, связанные с движением охлаждающих сред в каналах, на циркуляционные потери и потери трения на вращающихся поверхностях. Потери трения на вращающихся цилиндрических поверхностях (в киловаттах) рассчитывают по формуле
ДРц = 57,зГ-^—Yd4L,ц V 3000 7
где D и L — диаметр и длина ротора, м; п— частота вращения, об/мин.
Дисковые потери (в расчете на две стороны ротора) рассчитываются по формуле (в киловаттах)
ДРДО-4,
Д 20,88,
где R— наружный радиус ротора; См — коэффициент момента сопротивления, зависит от режима движения среды и геометрических размеров машины и рассчитывается по следующим формулам: для ламинарного движения — 3,87 Re-0-5; для турбулентного— 0,146 Re-°’2; для турбулентного вблизи кожуха (щита машины) — 0,0277 ^Re -j^ ’ (число Рейнольдса определяется по формуле R2w/v; sT — расстояние от торцевой поверхности ротора до щита).
Основное значение для энергетических характеристик электрических машин имеют циркуляционные потери. На циркуляцию затрачивается от 60 до 90 % энергии, расходуемой в системе охлаждения.
В случае применения встроенных вентиляторов, т. е. вентиляторов, расположенных на валу самой электрической машины, расчет мощности производится по формуле p=p^Q, где рт — теоретическое давление, Q— расход охлаждающей среды.
Для встроенных вентиляторов предварительное закручивание обычно пренебрежимо мало и рт = рс2ии2, где с2и— тангенциальная составляющая абсолютной скорости на выходе из рабочего колеса вентилятора.
Таким образом, у центробежных вентиляторов
Гц = (“2 ± ®2 COS р2) Q,
где р2—угол выхода потока; w2 — относительная скорость потока,
Р о —^фР о —^фРис. 10-30. Коэффициент давленияРис. 10-30. Коэффициент давленияУ осевых вентиляторов„ г^щах sin 0nj?2Fosin2<psin 0г^тах Sin 6 q2in,RaF0 sin2 <р sin Р ’
Р о —^ф
Р о —^ф
Рис. 10-30. Коэффициент давления
Рис. 10-30. Коэффициент давления
p=arctg-^; кф=г(-^^к0,2u2 * \ л£>2 /
Значения коэффициента few приведены на рис. 10-30; 0 — угол установки лопатки; Fa — отмеченная площадь; са — осевая скорость; <р — угол наклона вектора абсолютной скорости, Ф=2,5лсо/к2.
Важно иметь в виду, что расход охлаждающей среды Q, который входит в расчетные формулы, содержит в себе расход рециркуляции, т. е. всегда является суммарным расходом нагнетательных элементов. В этом проявляется специфика нагнетателей, встроенных в электрические машины.
Как известно, мощность вентиляторов и насосов общепромышленного назначения определяется как pQlv^, причем гидравлический КПД (ц) дается в каталогах заводов-изготовителей и определяет внутренние потери источника давления. Таким образом, и в этом случае суммарная мощность есть не что иное как p^Q, поскольку р^ = рт.
10-15. Кавитационный расчет систем водяного охлаждения
Всякий разрыв струи, или, как говорят, разрыв сплошности движения капельной жидкости, называется кавитацией. Отрицательные давления (растяжения), которым способна противостоять применяемая в технике вода, весьма невелики.
Практически уменьшение термодинамического давления до давления насыщенных паров воды ps при данной температуре приводит к разрыву струи. Поэтому в технике принимают Ркр~р8. Величина рКр называется критическим давлением к а в и т а ци и. Таким образом,
где Ф — температура воды, °C.
При внезапном сужении струи в связи с увеличением динамического давления статическое давление в зоне сужения может снизиться настолько, что станет в данном сечении меньше давления насыщения. Если при этом противодавление (подпор) на выходе отсутствует, т. е. слив свободен, струя может разор-
ваться с образованием пузырьков пара. Возникает устойчивая, так называемая шипящая кавитация.
Скорость движения, при которой наступает кавитация в сужающихся каналах, также принято называть критической. Для критической скорости в узком сечении справедлива формула
где S2/Si—отношение площади узкого сечения к площади предшествующего.
Во вращающихся каналах систем водяного охлаждения роторов суммарное давление в относительном движении есть некоторый итог взаимодействия давления насоса, подающего воду в ротор (рн), центробежного давления в самих каналах (рц) и потерь давления в тракте движения воды (Ар), т. е. условием возникновения кавитации в этом случае будет
ркр«р$ = рн + рц + Ар, где справа написана алгебраическая сумма располагаемого давления и потерь давления и знаки членов уравнения должны быть взяты в зависимости от особенностей схемы движения воды; под Др следует понимать сумму обратимых потерь статического давления Api при сужении (за счет повышения скорости) и необратимых потерь Арг на участке от входа в тракт до рассматриваемого сечения (за счет диссипации энергии на местных гидравлических сопротивлениях).
Рассмотрим построение кривой потерь давления в тракте. Потери давления в канале обмотки можно приближенно принимать пропорциональными длине канала (рис. 10-31). Следует только иметь в виду, что суммарные потери в тракте включают в себя потери входа в водоподвод, потери в водоподводе и потери выхода из него, потери радиального участка подвода воды к обмотке, потери входа в обмотку и выхода из нее, потери радиального участка от обмотки до водоотвода и потери водоотвода. Еще раз подчеркнем, что при исследовании кавитации местные (обратимые) понижения давления при сужениях следует в каждом данном сечении прибавлять к суммарным гидравлическим потерям давления на участке от начала тракта до данного сечения.
На рис. 10-32 местные сопротивления (потери давления) нанесены как вертикальные отрезки с неизменной абсциссой, что соответствует изменению потерь на данном радиусе (потери в аксиальных участках канала, потери входа и выхода из него, потери местных сужений). Все отрезки кривой потерь, построенные вдоль радиуса, не являются горизонтальными, т. е. имеют переменную ординату, так как при любом изменении радиуса удлиняется путь движения воды.
Применяются различные схемы движения воды в тракте охлаждения. Предельными случаями являются схемы без исполь-
Рис. 10-31. Распределение потерь давления по длине канала
зования давления ротора (рис. 10-32, а) и схемы без использования насоса (рис. 10-32, б и в). В промежуточных вариантах используется лишь частичное давление каналов ротора (рис. 10-32, гид).
Схема на рис. 10-32, б наиболее интересна с точки зрения кавитационного анализа. Рассмотрим эпюру статических давлений воды в каналах тракта такой схемы (рис. 10-33). На рисунке водоподвод условно показан как продолжение радиального участка тракта. Как видно из рисунка, избыточное давление на входе (давление насоса), равное +Др, должно быть в данном случае небольшим и компенсировать потери в водо- подводе и на участке тракта от водоподвода до входа в каналы обмотки. При этом растягивающие напряжения не возникнут. Вариант схемы на рис. 10-32, д с частичным использованием давления ротора несколько сложнее, так как здесь для ликвидации растягивающих напряжений необходимо более строго выбирать сопротивление Лрвых- В противном случае потери давления могут превзойти располагаемое давление (рис. 10-34, а и б).
Рис. 10-35 с анализом схемы, изображенной на рис. 10-32, в, приведен лишь для иллюстрации принципиальных соображений, поскольку эта схема лишена практического смысла. В самом деле, наличие участка, создающего давление на выходе,
Рис. 10 32. Схемы циркуляции при водяном охлаждении роторов
Рис. 10-33. Распределение давления в схеме без использования насоса
Рис. 10-36. Распределение давления при частичном использовании давления ротора без применения (а) и с применением (б) насоса
не может быть использовано, так как данный участок будет работать в режиме вытяжного насоса и на оси вращения возникнут растягивающие напряжения, почти равные развиваемому давлению.
Наибольшее распространение нашли схемы типа 10-32, г. Эпюры давлений приведены на рис. 10-36. Как видно, работа по такой схеме требует весьма небольшого избыточного давления на входе (давления насоса). Однако полезный расход воды будет при этом также небольшим. Поэтому фактически применяют насосы большого давления, что одновременно исключает возможность появления растягивающих напряжений.
Глава одиннадцатая
ВЕНТИЛЯЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СИСТЕМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
11-1. Физические причины неравномерного распределения расходов
Традиционные методы вентиляционного расчета электрических машин позволяют выяснить картину распределения газа по отдельным каналам схемы лишь приближенно. Составляя расчетную схему, обозначают в ней одной ветвью не единичный канал в машине, а группу однотипных каналов, например все вентиляционные каналы статора. При этом исходят из допущения, что условия циркуляции газа во всех каналах группы идентичны. Более глубокий анализ показывает, однако, что эти условия могут различаться в зависимости от конструктивных особенностей подводящих и отводящих каналов. В отдельных случаях различия могут оказаться значительными и их необходимо учитывать в тепловом расчете машины при определении коэффициента теплоотдачи и вычислении подогрева
Рне. H-L Распределение давления в канале с ответвлениями при нагнетательной схеме вентиляции
газа. В связи с этим при выполнении вентиляционных расчетов некоторых машин определяют неравномерность распределения расходов по отдельным однотипным каналам группы.
Для пояснения физических причин неравномерности распределения рассмотрим упрощенную картину циркуляции газа но каналам системы, изо-
8)8)г)г)бражениой на рис I I -1, и.
8)
8)
г)
г)
При движении газа с расходом Q вдоль питающего канала шасльныс струп ответвляются в боковые вентиляционные каналы. В результате ответвления происходит перераспределение давлений в струе газа, движущейся в питающем канале. При ттом полное давление в соответствии с законом сохранения энергии остается на всем пути постоянным. Пусть полное давление при входе в питающий канал состоит из суммы статического и динамического давлений;
Рп = Рсо + РдО-
По мере продвижения вдоль питающего канала динамическое давление газа убывает из-за уменьшения расхода и скорости в питающем канале в связи с ответвлениями. Убыль динамического давления легко подсчитать, если известно количество ответвившегося газа. Пусть, например, для первого бокового капала оно равно д; тогда при площади живого сечения питающего канала $ динамическое давление до первого ответвления
Рдо —
и после первого ответвления —
n _ Р / Q-я у.
следовательно, в связи с первым ответвлением убыль динамического давления
АрД1=рдо Рд1=~-Ю4—(Q—qfv
Эпюра изменения динамического давления вдоль питающего канала в предположении, что все ответвляющиеся расходы равны между собой, показана на рис. 11-1, б. При движении струи происходят, кроме того, потери давления за счет трения о стенки питающего канала (рис. 11-1, в). На рис. 11-1, г приведен график изменения статического давления вдоль питающего канала. Как видно из рисунка, статическое давление в питающем канале может возрастать по направлению к последнему ответвлению.
Заметим, что избыток статического давления рс перед любым сопротивлением z определяет расход через это сопротивление по опытному закону q = ^~^~ • Поэтому, если считать, что статическое давление в общей камере за всеми ответвлениями есть величина постоянная и что гидравлические сопротивления всех ответвляющихся каналов равны между собой, можно прийти к заключению, что при возрастании статического давления вдоль питающего канала будут возрастать и расходы в ответвлениях. При уменьшении статического давления вдоль питающего канала расходы в ответвлениях будут соответственно убывать.
Если бы при построении эпюры изменения динамического давления мы заведомо учли неравномерность распределения расходов, т. е. возрастание ответвляющихся расходов по направлению к закрытому концу питающего канала, то, очевидно, в итоге мы получили бы более равномерную картину распределения статического давления и скоростей в ответвлениях, чем на рис. 11-1.
Степень изменения статического давления зависит не только от количества ответвившегося газа, но и от потерь трения в питающем канале. В частном случае (пренебрежимо малы потери трения) изменение статического давления полностью определяется изменением динамического. Наоборот, если изменение динамического давления ничтожно мало по сравнению с потерями трения, то статическое давление вдоль питающего канала будет убывать в соответствии с потерями трения. В практике могут наблюдаться случаи, когда потери трения примерно компенсируют изменение динамического давления и распределение расходов оказывается почти равномерным. Могут быть, разумеется, и такие условия циркуляции, когда изменение динамического давления и потери трения в питающем канале пренебрежимо малы по сравнению с потерями давления в ответвляющихся каналах. Естественно, что в этих случаях распределение расходов можно считать равномерным.
Условия циркуляции газа в электрических машинах, как правило, позволяют пренебрегать потерями трения в питающих каналах и связывать неравномерность распределения расходов лишь с изменением динамического давления.
Рис. 11-2. Распределение давления в канале с ответвлениями при вытяжной схеме вентиляции
Несколько по-иному обстоит дело в вытяжных схемах (рис. 11-2). Здесь фактор трения всегда усугубляет неравномерность распределения расхода. По этой причине при пренебрежении трением в расчетах вытяжных схем следует иметь в виду,что истинное распределение расходов по сравнению с расчетным всегда будет более неравномерным.
Другая особенность пытяжных схем ио сравнению с нагнетательными заключается в увеличении расхода в ответвлениях при уменьшении
б)б)статического давления по длине сборного канала (здесь его нельзя назвать питающим каналом). В данном случае статическое давление в сборном канале можно рассматривать как противодавление для струй в боковых каналах. Естественно, что при его уменьшении боковые расходы возрастают.
б)
б)
11-2. Учет изменения ответвляющихся расходов
Прежде чем перейти к поискам общего решения проблемы, получим некоторые качественные соотношения на основе рассмотрения системы, состоящей из питающего канала и всего лишь четырех ответвлений (рис. 11-3).
Определим характер изменения составляющих полного давления вдоль питающего канала, причем не будем считать расходы в ответвлениях неизменными:
p + -^-t02 + E Ар = рп = const.
Пусть расходы в ответвлениях равны рь р2, <?з, <74- Тогда скорость в питающем канале будет изменяться следующим образом:
— Q; = — (Q— q^; s s s s
Рис. 11-3. Эпюра давлений в питающем канале системы распределения
^= Q qi qt q,q^
ss
Динамическое давление в питающем канале уменьшается после каждого ответвления в зависимости от ответвившегося расхода qv.
R 22$»
Pa»=^-^=-^-(Q-<71)8;
Кз = -2- ^з = -^ IQ—qi—q^;
Рщ = -^^ = -—^Q—qi—q^—qaY-
Определим теперь потери давления на каждом участке питающего канала между соседними ответвлениями:
^p1=^w2x^-P-Q»;bp^-^^-L^Q-g^
Арз! = S-f ^ = ^ IQ-qi-q^1;
^p4 = £-£- ^ = £ JL_ (Q-^-^-^.
Здесь принято, что коэффициент сопротивления питающего канала g не зависит от расхода.
Теперь на основании уравнения Бернулли может быть определено статическое давление перед каждым ответвлением
Pci=Рп—Рд1—Ар!=Рй —^- Q2 — -^- М2;
Рс2=Рп—^- (Q-q^4 - -^ W+(Q-^)2];
рсз = Рп(Q—qi—q»? —
2s2
--£-UQ2+(Q-<7i)2+(Q-?i-^)21;
2s2
Pc, - Pn—qi—qt—q^—
1 \AQ-qi-q^ + (Q-qi-q2-q3)aL
Таким образом получили систему четырех уравнений, которая должна быть дополнена системой qt = ^Pci Нг1 Для определения четырех неизвестных расходов в ответвлениях. Поскольку уравнения, входящие в систему, нелинейны, ее решение затруднительно.
Если учесть, что системы распределения охлаждающих сред в электрических машинах содержат значительно больше четырех ответвлений, то сложность решения задачи в общей постановке станет очевидной.
Чтобы компенсировать эффект повышения статического давления, потери давления в питающем канале должны быть по крайней мере нс меньше изменения динамического давления. Например, после первого ответвления должно быть
S-y^i > -у (су2—о^).
Такой результат возможен либо при больших значениях коэффициента сопротивления £, либо при незначительных изменениях динамического давления, например, при весьма малых сечениях ответвлений по сравнению с сечением питающего канала.
Как видно из рис. 11-3, угол наклона кривой потерь давления на каждом участке разный, поскольку изменяется расход и в еще большей мере — квадрат расхода.
Изменения динамического давления при ответвлениях также различны, так как изменяются разности (^у4—ш?), (to2—оу2) и т. д.
Рис. 11-4. Схемы распределения: а —нагнетательная; б— вытяжная
Схемы распределения в электрических машинах могут быть как нагнетательными, так и вытяжными (рис. 11-4). В последнем случае питающий канал в соответствии со сказанным выше называют сборным.
Более глубокий анализ явления позволит установить количественные соотношения между отдельными параметрами системы.
11-3. Системы распределения в электрических машинах
Система, состоящая из питающего канала и ряда однотипных ответвлений, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга, является весьма типичной для электрических машин.
Радиальные вентиляционные каналы статоров машин переменного тока, роторов асинхронных машин и якорей машин постоянного тока, роторов некоторых типов турбогенераторов и других машин геометрически идентичны и получают охлаждающую среду из общего питающего канала.
Расходы и скорости среды в ответвлениях неодинаковы и зависят от местоположения данного отверстия в системе распределения, или, проще говоря, от номера данного ответвления. Договоримся нумерацию ответвлений вести от закрытого торца питающего канала (рис. 11-5). Для симметричных систем распределения, когда питающий канал получает среду с обоих торцов (например, зазор одноструйного турбогенератора), весь расчет ведется на половину системы распределения и закрытым торцом канала считается его середина, т. е. сечение симметрии с нулевым продольным перемещением среды.
Сопротивления в системах распределения. Процесс распределения скоростей в системе является сложным. Для его анализа необходима такая схематизация, при которой упрощенная модель явления воплощает в себе его существенные черты независимо от конкретной конструкции системы и в то же время допускает математическое описание. Примем за такую модель схему, представленную на рис. 11-5. Учитывая, что рациональная система обозначений упрощает конечные расчетные формулы и делает их более наглядными, обратим особое внимание на обозначения, применяемые в дальнейшем анализе. Обозпа-
Рис. 11-5. Система распределения; обозначения
чнм: N — число ответвлений в системе; п — номер данного от- шчпления; F— площадь сечения (в дальнейшем— сечение) одного ответвления; S— сечение питающего канала;ип— скорость среды в ответвлении п; wn — скорость среды в питающем канале перед ответвлением п; пСр — средняя скорость в ответ- илениях; wi p средняя скорость в питающем канале; / — длина отпегнлсния; /. длина питающего канала; Lo — шаг питаю- пнчо напили (расстояние между ответвлениями); d — । наранличегкиП диаметр ответвления: D — гидравлический HiiHMrip питиющего канала; X.t — коэффициент трения о1иетнления; X коэффициент трения питающего канала; gs — суммарный коэффициент местного сопротивления ответвления; t коэффициент местного сопротивления питающего канала; tn коэффициент сопротивления питающего канала на одном umrr; l—F(S отношение сечений одного ответвления и питающего капала; s*=S/(FN) — отношение сечения питающего канала к суммарному сечению всех ответвлений.
Заметим, что при этих обозначениях vcp = wNSKiFN').
Как видно из рис. 11-5, движущаяся среда преодолевает в любом замкнутом контуре системы распределения (показан штрихами) четыре типа местных сопротивлений: трения питающего капала; при ответвлении (вход с поворотом и деформацией струи); питающего канала на ширине ответвления (разделение струи на две); ответвления (трение, изменения сечения, выход).
Как известно, суммарное сопротивление единичных нагнетательных и вытяжных тройников не является функцией критериев гидромеханического подобия [18]. Задача тем более усложняется, когда исследуется взаимосвязанная система тройников, каждый из которых находится в различных условиях относительно распределения составляющих полного давления вдоль питающего канала. Исходя из сказанного, будем различать для упрощения задачи лишь два вида сопротивлений: суммарное сопротивление питающего канала на участке от входа среды в него до данного ответвления и суммарное сопротивление ответвления.
Как указывалось, причиной неравномерности распределения являтся увеличение (в нагнетательных схемах) статического
А -Д Рис. 11-6. Влияние трения в питающем канале
давления в связи с уменьшением расхода вдоль питающего канала и соответствующим уменьшением динамического давления. Этот эффект компенсируется необратимыми потерями полного давления в питающем канале, причем при значительном сопротивлении последнего (малое значение параметра s *, большое значение параметра £Дя) скорость в ответвлениях может даже убывать вдоль канала.
Таким образом, при ответвлениях в виде непрерывной щели (рис. 11-6,а), т. е. когда суммарное сечение ответвлений распределено вдоль всего
питающего канала, распределение может меняться от крайне неравномерного с максимумом скорости в последнем по ходу струи ответвлении (рис. 11-6,6) до крайне неравномерного с максимумом скорости в первом по ходу струи ответвлении (рис. 11-6,г). В качестве промежуточного случая возможно практически равномерное распределение (рис. 11-6, в).
Рекуррентные вычисления. Разность статических давлений перед ответвлениями N и п (рис. 11-5) составляет
ДРс = Рдм—Рдп—£ Арп,(1М)
п
где Арп — потери полного давления в питающем канале на одном шаге.
Если камеру Л за ответвлениями считать элементом с бесконечной емкостью, т. е. не имеющим сопротивления, можно принять, что полное давление в любом замкнутом контуре равно полному давлению в питающем канале (давление Бернулли в струе), т. е. является постоянной величиной для всех контуров. Тогда для произвольного контура получим
N
рп п — Рц дг + Рс м ^ Рд л + Pen + X АРп,(11 -2)
N
так как из (11-1) рдЛГ = рдп+£ Арп4-Арс и, по определению,п
Реп = PcN + АрС.
Выразим члены уравнения (11-2) через соответствующие скорости. Получим
Рпп Wn + WU£E= const,(11-3)
где принято, что скорость ип в ответвлении п определяется ста- тическим давлением перед ответвлением рс п = P^nsU„/2; кроме того, содержится допущение о независимости коээффициента сопротивления питающего канала ^ от скорости на данном участке, т. е. об автомодельности движения (развитой турбулентный режим): Apnn = pt6^2.
Уравнение энергии (11-3) может быть дополнено уравнением неразрывности струи. Как очевидно,
N
wn = wN~f X vn.(11-4)
п4-1
Таким образом, неизвестная скорость wn в питающем ка- шьн' Mo/hci бын. выражена лишь через неизвестные скорости с,, и < и i»r i imk*ijij их и мы имеем систему из 2У уравнений (И-З) и (II 4) <■ 2.V неизвестными. Эта система не может быть ре- шепа матричными методами, поскольку неизвестные входят в уравнения во второй степени.
В работе [52] выведены рекуррентные формулы для расчета безразмерных коэффициентов расхода в ответвлениях. Если обозначить отношение расхода в ответвлении п к расходу в ответвлении / через v„, отношение коэффицента динамического давления к сопротивлению ответвления f2/^— через v, отношение сопротивлений в питающем канале и ответвлении Уг^х = ^ — через х, то получим
ei=l,
н2 - VH-и— V,
К» Vo ~ v) 82 + х (1 -I- е2)2—2ve2 ,
е4 ^(1—v) е2 |-х(1 •) е2-]-83)2—2v(l-[-82) е8 ,t11 5)
е5=/\/(1—v) 84 + х (1 + 8а -|- 83 -|- е4) —
— ^/2v (1 ф- е2 + е3) е4
И т. д.
Как видно из решения (11-5), для определения расхода в каком-либо ответвлении необходимо вычислить расходы во всех предыдущих ответвлениях. Достоинством метода расчета является его наглядность, т. е. простая интерпретация физических явлений при распределении. Кроме того, в расчете учтены все основные сопротивления (которые, однако, должны быть предва-
рительно измерены на моделях), включая сопротивление трения питающего канала. Как показывает сопоставление расчета с данными экспериментов, допущения, сделанные при выводе формул, мало отражаются на точности результата.
В то же время при большом числе ответвлений рекуррентные формулы становятся громоздкими. Решение (11-5) не позволяет производить анализ конструкций электрических машин в общем виде. Анализ приходится выполнять численно, придавая те или иные значения параметрам системы. В особенности ухудшает метод то обстоятельство, что коэффициенты £ и £2 приходится определять экспериментально.
11-4. Дифференциальное уравнение распределения
При составлении дифференциального уравнения дискретный процесс распределения заменяется эквивалентным непрерывным (рис. 11-6). Моделью явления в этом случае служит щель вдоль всего питающего канала, причем сечение щели равно сумме сечений всех ответвлений, т. е.
8L = NF,(11-6)
где б — ширина щели.
Дифференциальное изменение статического давления в питающем канале
dp=—^d^—X-^--^-uF.(11-7)
Первый член правой части (1-7) описывает изменение статического давления в связи с изменением динамического. Знак минус означает при этом, что с уменьшением динамического давления в питающем канале статическое давление возрастает. Из этого увеличения следует вычесть необратимые потери давления в питающем канале. Таким образом, для нагнетательных систем знаки членов правой части уравнения (11-7) окажутся в итоге различными. Отметим здесь же, что для вытяжных схем, у которых статическое давление в сборном канале (положительное) препятствует движению в ответвлениях, увеличение необратимых потерь в направлении от закрытого торца питающего канала к открытому суммируется с увеличением потерь статического давления из-за возрастания скорости в этом же направлении, т. е. скорость в ответвлениях в направлении открытого торца увеличивается одновременно по двум причинам. Иными словами, в вытяжных схемах необратимые потери не компенсируют неравномерность распределения, а лишь усугубляют ее. Формально это выражается в том, что итоговые знаки членов правой части уравнения (11-7) совпадают.
Вернемся, однако, к нагнетательным схемам. Дополним уравнение давлений уравнением неразрывности:
Sdw = 8dxv5,(11-8)
где Уэ — скорость истечения из эквивалентной щели в точке с координатой X._
В силу идеальности эквивалентной щели (т. е. при отсутствии местных сопротивлений) скорость истечения из нее определяется уравнением (£=1,0)
p^-P-nt(П-9)
2
Отсюда -^- = рУ3 —. но из (11 -8) следует, что dxdx
dv3_d/ sdw \Sd?w
dx6dx )6dx1
Тогда
dP _/ sdwsd?w xrgs Vdw.
IT'ASdxA 6dx1 )Jdx dx1 ‘
Подставим полученное значение в уравнение (11-7), которое можно аапнспть в форме
dxdx 2D
Получим
^ = 0,(H-Ю)
dx dx1dx
г* -Ш^ ^(l)'
Уравнение (11-10) есть уравнение непрерывного распределения среды из питающего канала с учетом его сопротивления. Это уравнение второго порядка и второй степени (нелинейное) относительно неизвестной скорости в питающем канале. Его решение нельзя представить в общем виде, однако необходимые расчетные формулы могут быть получены.
11-5. Упрощенное решение дифференциального уравнения распределения
Для решения уравнения (11-10) поступим следующим образом. Вначале исключим из него член, содержащий нелинейность (а^ш*), что равносильно допущению о пренебрежимо малом сопротивлении питающего канала. Затем полученное решение линейного уравнения
+(11-П)
преобразуем таким образом, чтобы отразить в нем роль сопротивления питающего канала [48].
Допущение о пренебрежимо малом сопротивлении питающего канала основано на анализе значительного экспериментального и расчетного материала и, как будет показано ниже, во многих случаях не приводит к практически ощутимой ошибке в конечном результате.
Таким образом, будем искать решение уравнения d2ty/dx24" 4-ах&а=0с граничными условиямищ=0 прих=0 nw = wN при х= =L. Это решение, как известно, имеет вид w = Cxcos -у- х +
С2 sin ——х и при Ci = 0 и С2 =—дает
8sin (bL/S)
w — wN sin —у x/sin-y L.(11-12)
Найдем теперь скорость истечения из эквивалентной щели. Согласно (11-8)
8dw866, .6 ,
иэ = —=xyN cosx/sinL =
6dx6888
= Щдгсоз-у x/sin-|- L.(11-13)
Обозначим 8L/S = K3 и, учитывая, что Кэ есть отношение сечения эквивалентной щели к сечению питающего канала, назовем его пропорцией сечения. Тогда решение (11-13) можно представить в виде
X
cos д9 —-
Ui^wN—•(11-14)
sin А*
Переход от эквивалентной щели к реальным, дискретно распределенным ответвлениям требует дополнительного учета некоторых факторов.
Коэффициент местного сопротивления реального ответвления в отличие от коэффициента для идеальной щели не равен единице. По этой причине уравнению (11-9) будет теперь соответствовать уравнение
где q— расход в ответвлении; FT— некоторое условное сечение, называемое редуцированным; ут — условная скорость, или скорость в редуцированном сечении.
Введение редуцированного сечения позволяет сделать выражения (11-9) и (11-15) тождественными. Отсюда следует, что решение (11-14) может быть распространено на скорость vT, переход от которой к истинной скорости у осуществляется по формуле
v = Ur4^.,(1Ы6)
В связи с тем, что реальные ответвления распределены дискретно, использование решения (11-14) возможно лишь в том случае, если переменной координате х будет поставлен в соответствие порядковый номер ответвления. Тогда отношению x(L должно соответствовать отношение п]М.
Реальная пропорция сечения К (в отличие от пропорции при «книвалентной щели) должна определяться как отношение суммарного сечения ответвлений (разумеется, следует брать редуцированные сечения) к сечению питающего канала.
Итак,
vn щ, cos/< --^-/sin(/<V£s ),(11-17)
I ПС
NN
(11-18) s szLV^nFZjVSns
n=ln=l
Здесь следует иметь в виду, что £,,s представляет собой суммарный коэффициент местных сопротивлений данного ответвления, г с должен учитывать особенности входа в ответвление и дру| не факторы.
1сли принять, что в каждом данном сечении струя расширяется в п ответвлений, то для коэффициента сопротивления рас- ширепия при учете сечения самого питающего канала получим в соответствии с (9-30)
(Fn/S -1)»- (fn + 1 — I)1 = Рп\
Допустим теперь, что коэффициент сопротивления трения в ответвлениях постоянен и не зависит от искомой скорости (на самом деле такая зависимость, разумеется, существует, но она незначительна), т. е.
| = XdUd = const.
Тогда с учетом входа с поворотом (^Вх~ 1,0) и с учетом выхода (^„ы* — 1,0) для суммарного сопротивления получим
^=/^ + ^2.(11-19)
Последняя формула, получившая надежное экспериментальное подтверждение, может трактоваться более углубленно, например с учетом эжекции струи при входе, но в рамках теории электрических машин в этом нет необходимости.
8 И. Ф. Филиппов225
Итак,Итак,ллNN1vWFTl1vWFTl
Итак,
Итак,
л
л
N
N
1
vWFTl
1
vWFTl
(11-20)(11-20)/ , VW'YWNP + (2 + У s*2] n=l
(11-20)
(11-20)
N Z_i V(nlNy + (2 + g) s*2
Вернемся вновь к непрерывному представлению распределения njN=x]L. Обозначим (2 + g)s*2 = m2; x]L=y. Тогда ;/ = 0ч1,0; \y- Kn]N =\)N и
К = lim У . ^ - = Г - =м-к» "Vu + «2 J Vy1 + m2n=l0
=in_-+vWM_.(Ц.21)
V(2 + g) s*2
Для скоростей в ответвлениях теперь получим
„ .S* COS (Kn/N)nn,
— Wm, — ■— •(11-22)
sin К tjW + (2 + g) s*2 '
Дополним полученный результат формулой для расчета скоростей в ответвлениях вытяжной системы распределения. Поскольку дифференциальное уравнение в этом случае отличается от (11-11) только знаком второго члена, в его решении вместо тригонометрических функций окажутся гиперболические.
Таким образом, для вытяжных схем
У;=wN(11-23)
N sh/<V(l— n/^2 + (2 + g) s*2
Формулы (11-22) и (11-23) позволяют определить скорость непосредственно в любом ответвлении. Они могут быть представлены номограммами (рис. 11-7 и 11-8). Расчет распределения скоростей в ответвлениях по этим формулам является приближенным, поскольку в нем не учтены потери трения в питающем канале. Область применения такого расчета может быть установлена экспериментально. Для этой цели были исследованы модели статора асинхронной машины, ротора турбогенератора, ротора гидрогенератора и на их основе — универсальная модель системы распределения для турбогенератора мощностью 800 МВт, позволяющая варьировать параметры систем распределения в широком диапазоне (рис. 11-9).
5
10 8 6 _ Ч 2
Пример расчета: $=0,5; 8=0,35; § = 7
Рис II 7. Номограмма для расчета нагнетательных схем
0,100,150,20 0,250,100,150,20 0,25Рис. 11-8. Номограмма для расчета вытяжных схемРис. 11-8. Номограмма для расчета вытяжных схем
0,100,150,20 0,25
0,100,150,20 0,25
Рис. 11-8. Номограмма для расчета вытяжных схем
Рис. 11-8. Номограмма для расчета вытяжных схем
Рис, 119. Универсальная модель системы распределения
1 HHhiiuihiiII нанял; 2 ответвление; 3 — микроманометр; 4 — отбор статического дав- яшн» н» »ы»11Л11 hi <и ветвления; 5 и 6 — отбор соответственно статического и полного днмения из питающего канала
Hfiy/iiiieiM экспериментов в их сопоставлении с результа- НМИ рм^чею ирннедсны на рис. 11-10. Как следует из рисунка, |ieNft рйсиррдслепия по формулам (11-22) и (11-23) в широ- ИНМ ДМяНп-чонг изменения параметров систем обеспечивает удов- ДИТКорн тел иную точность результатов.
Дли опредслснни необходимого давления нагнетателя следует liehin скорость ил входе в питающий канал по расходу НМДМЖЛ«ЮН1ей среды: u^-Q/S. Затем нужно вычислить ско-
Рт II 10 Опытные и расчетные кривые распределения скоростей среды поошетиленням при нагнетательной (а) и вытяжной (б) схеме
I••-(>,пб»; I -4,235; 2 — s*—0,407; £-5,686; 3 — s*-0,306; £=5,868; /' —s*=0,656;
£ -1,20; 2'- s*=0,562;£ -1,20; 3’~ s*=0,407; 6=3,488
рость в ближайшем ко входу ответвления, т. е. vN. После этого может быть определено необходимое давление:
Рп = ^[^-Ц2+£-НХШ- (11-24)
В тех случаях, когда целесообразно уравнять скорости в ответвлениях путем изменения конструкции питающего канала, необходимо, как это следует из приведенного анализа, уменьшать сечение питающего канала в направлении движения струи по закону Sn = Sun/N, т. е. выполнить питающий канал сужающимся.
11-6. Учет сопротивления питающих каналов
В питающих каналах систем распределения проявляются по крайней мере два вида сопротивления: сопротивление трения и сопротивление прохода струи через ответвление. Оба вида сопротивления необратимо уменьшают полное давление струи в питающем канале, что выражается в уменьшении избыточного статического давления в данном сечении. Таким образом, в нагнетательных схемах, в которых избыточное статическое давление обусловливает истечение в ответвления, потери полного давления в некоторой степени компенсируют эффект прироста статического давления, т. е. уменьшают неравномерность распределения. В вытяжных схемах, в которых циркуляция в ответвлениях обусловлена разрежением в питающем канале, потери полного давления увеличивают разрежение, т. е. усугубляют неравномерность распределения.
В нашей задаче необходимо получить зависимость скоростей в ответвлениях от сопротивления питающего канала. Для этой цели автор использовал решение линейного дифференциального уравнения, в котором нс учтено сопротивление питающего канала. С использованием полученных выше результатов коэффициенты сопротивления ответвлений искусственно увеличены, так, что итоговое сопротивление контура питающий канал — ответвление соответствует действительному.
Физически такой подход равносилен допущению об идеальности питающего канала, но при условии, что все сопротивления каждого данного ответвления, включая участок питающего канала до этого ответвления, сосредоточены в самом ответвлении. Вносимая при этом ошибка обусловлена неэквивалентностью потерь давления на сопротивлениях изменению статического давления, полученному из дифференциального уравнения для идеального питающего канала.
Частично учет сопротивления питающего канала проделан при выводе формулы (11-19). Сопоставление полученных при этом результатов с данными опытов позволяет применить этот же прием для учета влияния трения.
Потери трения в питающем канале для автомодельного режима движения, как уже отмечалось,
n
При допущении
(11-25)(11-26)(11-25)(11-26)Несколько преуменьшающем роль трения, получимНесколько преуменьшающем роль трения, получим(11-27)(11-27)wn — wNn!N,
(11-25)
(11-26)
(11-25)
(11-26)
Несколько преуменьшающем роль трения, получим
Несколько преуменьшающем роль трения, получим
(11-27)
(11-27)
I де К,, коэффициент потерь давления.
Максимальная сумма в квадратных скобках без первого члена может быть вычислена просто при переходе к непрерывной км|пин<* распределения. При этом получим
IlinN ♦ *IlinN ♦ *1=[(1-У)2^=0>33
Ilin
N ♦ *
Ilin
N ♦ *
N LA N ' J
।о
„ ^(1^_у«0,ЗЗХ.(11-28)
Полученное значение, соответствующее ответвлению 1, убы- НйР1 примерно по «икону четвертой степени в функции длины ШНйЛй ДонусIнмосIь принятой аппроксимации демонстриру- „tu НИ pile II И Таким образом,
л,..- ; c^|i । ода(| <)].
При неремоде и caopoi in щ, получим
()1С1<>Дй
ь, >[4 0,33^(1-^-)];
bll = fW + (2+S) + -^-x
х[1+0.зз«(1-^)]-
/*№ (^г + (2 + Е) S- + Ц1 + 0.33W (1 - ^-)]). (11-29)
Рис. 11-11. Коэффициент потерь давленияNпо формуле 2 a—nINP;по формуле 0,33 N (i—n'IN1)1=пРис. 11-11. Коэффициент потерь давленияNпо формуле 2 a—nINP;по формуле 0,33 N (i—n'IN1)1=п
Рис. 11-11. Коэффициент потерь давления
N
по формуле 2 a—nINP;по формуле 0,33 N (i—n'IN1)
1=п
Рис. 11-11. Коэффициент потерь давления
N
по формуле 2 a—nINP;по формуле 0,33 N (i—n'IN1)
1=п
Рис. 11-12. Опытные и расчетные кривые распределения скоростей среды иоответвлениям при нагнетательной (/, 2) и вытяжной (3) схеме:
1 — s*=0,407; £=0,188; £=0,74; 2 —s*-0,656; £=1,23; £-0,56; /♦ —расчет без учетатрения; 3— s*—0,656; £=0,20
Тогда с учетом сопротивления питающего канала пропорция сечения
N
N L V(n/W)« + (2+ g)s*a-|-&> 11 + 0,33^(1— n^4)]w-^oo"*
0,33g + (2+ g)s*2
1 -o,33g_. (n30)
1 - o,33g
s* cos (KinIN) ,Vn = WNL Xsin Ki
v1
V(n/^ + (2 + g)s«+ g0[l + 0.33ЛЦ1 - nW)l ‘ V ’
Для вытяжных схем
и' = wN======^1X1^^^,
sh /Д /(1 - nlN1)» + (2 + g)s« + g, [1 + 0,33^ (1 -nW\
(11-32)
Кривые опыта и расчета с учетом и без учета трения приведены на рис. 11-12.
Как видно, в целом ряде практических случаев трение в питающем канале играет существенную роль. Именно трение при прочих равных условиях деформирует картину распределения от крайне неравномерной с максимумом скорости в зоне первого ответвления до крайне неравномерной с максимумом скорости в зоне последнего ответвления.
11-7. Общий анализ систем распределения
Анализ полученных решений позволяет определить зону целесообразных геометрических размеров систем распределения [48].
Как следует из предыдущего, при некоторых соотношениях скорость в ответвлении N становится нулевой. Назовем это явление первым кризисом течения. Будем считать, что и неблагоприятных условиях первого кризиса и более усугубленных условиях система распределения не отвечает своему прямому назначению, поскольку в одно ответвление или группу О1аг||1лг||ий охлаждающая среда не поступает.
При увеличении трения в питающем канале картина распре- -leieiniH иначале выравнивается, затем деформируется до нуле- юнп значения скорости в ответвлении / (рис. 11-6). Назовем это ивлвнне в го р ы м кризисом т еч е н и я и будем считать, что и неОлт онриятных условиях второго кризиса и в более усугубленных условиях система распределения также становится не- Пелп кобразной.
Поскольку верный кризис выражается условием Un=0, кри- |нчшкне параметры системы могут быть получены исходя из со- нпоппнин о* *0 или etg /<|>0, что следует из формулы (II II) Октода после преобразований получаем
* -4(1- 0,335)у
* * V ехр(дУГТ0Ж 0(2 15)
W V »ир(« уТ~0ЖГ) 0,335 If хр (it "/Г -ТОГ) — 11 • (11-33)
PbUIbiihb (II 33) представлено в виде графиков на рис. 11-13. Как видно из рисунка, увеличение сопротивления ответвления при неизменных коэффициентах трения 5 приводит к уменьшению критического, т. е. практически целесообразного, относи- зельншо сечения s*. Точки пересечения кривых с осью ординат соответствуют случаям пренебрежимо малого трения в питающем канале, когда относительное сечение не должно быть меньше 0,3 при малом 5- Точка пересечения кривых с осью абсцисс, соответствующая 5 = 0,63, означает, что при больших коэф- фициентах трения питающего канала первый кризис не наступает пи при каких значениях коэффициента сопротивлений 5-
Для получения количественных характеристик второго кризиса составим баланс полных давлений на входе в питающий
= 0,ЗЗ^М.(11-34)= 0,ЗЗ^М.(11-34)
= 0,ЗЗ^М.(11-34)
= 0,ЗЗ^М.(11-34)
Рис. 11-13. Зависимость относительного сечения от коэффициента сопротивления питающего канала для разных сопротивлений ответвления канал и в конце его, считая, что давление целиком расходуется на трение. Получим
Wn + (2 + ^) у^ = ^о 2 = п=1
Отсюда 1+(2 + ^) (un/wn)2 = 0,33 ^N.
Если принять (см. рис. 11-6) Vcp = VN/2, то получим -^~ = _^ = 2s* и
1 + (2 + У 4s*20,33^
1 + (2 + У 4s*2
0,33
(11-35)
Полученное решение дает следующие результаты для питающего канала:
s* . ч 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Скр 3,20 4,25 5,95 8,35 11,4 15,0
Для получения критических значений коэффициентов сопротивления на длине одного шага питающего канала нужно разделить приведенные значения на число ответвлений в системе распределения (N).
Оба кризиса наблюдались. Первый кризис — при параметрах системы: ^—20; «* = 0,118; £ = 0,25; £ = 5,868. Второй кризис—при «* = 0,152; Lo=166O мм; d=5,73 мм; £=1,72; £=85.
Изложенная методика позволяет определить коэффициент сопротивления питающего канала для случаев равномерного распределения: ^N2=0,33£^N2, что дает
£—1/0,33 = 3 и £0 = 3W. (11-36)
При проектировании систем распределения стремятся уйти от кризисных зон, т. е. уменьшить неравномерность распределения. Из изложенного следует, что коэффициент неравномерности скоростей, как отношение наибольшей и наименьшей скоростей в ответвлениях, равен:
для нагнетательных схем
t)* = 1/1 + (2+1) s^TST v
(11-37)(11-37)(11-38)(11-38)1
(11-37)
(11-37)
(11-38)
(11-38)
cos Kx V(2 + E) S*2 + go (1 + 0,331V) ’
для вытяжных схем
у1
=тЛЕПГ^ЕЕЕ
ch Ki /Т+Т2 + У s*a + So (1 + 0,331V)
Как следует из сказанного выше, неравномерность распределения скоростей для вытяжных схем больше, чем для нагнетательных.
Глава двенадцатая
ВЕНТИЛЯЦИОННЫЙ РАСЧЕТ систем ВРАЩАЮЩИХСЯ КАНАЛОВ
11-1. Вводные замечания
Кин*51 рукции роторок практически всех крупных электрических машин, и й нырнут ичпргдп энергетических генераторов для тепловых, атомных и 1млри^екгрячргиих гшщпй, содержат радиально ориентированные каналы 1рййН1» иилижденин. Нпдгжпый расчет гидродинамического сопротивления 1й*Н1 ййнйлий пб^‘игчинпст рациональное проектирование системы охлаждений и Нелом
ДиЛ|ий прими иг только и электромашиностроении, но и в турбостроении И друни смежных областях расчет вращающихся каналов выполнялся на# раечег ианалои неподвижных, т. с. без учета эффектов вращения и их плиинни Ий 111Дрплнннмич(ч’киг сопротивлении систем. I1остспепно, однако, нанончинн^ эю пгрнм*иш*липых и 1горг1нчсскпх сведений о влиянии вращений на движаинн среды п каналах, <• одной стороны, и гребонапия интенси- фннйННН грнлпнбмепп й пэпншк охлаждения, с другой стороны, привели | ненМандишиhi уч1нынпн1 и ироектых разработках влияние эффектов вращении Hl *ap#affp и шицтч шинные характеристики течения в каналах.
ДанЖ^нне пмлаждииинеЙ среды в каналах роторов электрических машин обладаем но многим случаях определенной спецификой. Так, при движении цна (мидух, иодород, гелий) выброс из каналов иногда осуществляется н ннлнидрюнч квй зазор между ротором и статором, представляющий собой и гнихрониых генераторах резервуар большой по сравнению с каналами име< iHMociH. Вход в каналы, как правило, является чисто радиальным, без прелпйрнгелыюго закручивания. Наконец, важнейшей отличительной особенное iuki систем газового охлаждения роторов является отсутствие в схеме циркуляции дополнительных источников давления (вентиляторы, компрес- соры).
12-2. Общая характеристика движения охлаждающей среды в радиальном вращающемся канале
Если жидкость движется в канале прямоугольного сечения, который вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной оси канала (рис. 12-1), то в системе координат, связанной с каналом, к ре-
альным массовым силам добавляются (на единицу массы) инерционные: центробежная сила инерции to X (to х г) и кориолисова сила инерции 2о> X w. В этих выражениях г — радиус-вектор точки во вращающейся системе координат, w — скорость относительного движения.
Поскольку центробежная сила изменяется пропорционально второй степени угловой скорости, а кориолисова сила — пропорционально первой степени угловой скорости, можно ожидать, что при малых частотах вращения основное влияние на поток будут оказывать силы Кориолиса, а при больших—центробежные силы. Однако надо иметь в виду, что массовые силы Кориолиса пропорциональны не только угловой скорости, но и скорости относительного движения. Следвательно, параметром вращения естественно считать безразмерное отношение массовых сил к другим действующим силам, в данном случае — к силе инерции:
p2(owtab
"^ТГ^- = 2Ro;
pw^jbw
pto2Z>^w^lbpto2Z>^w^lb= Ro2,= Ro2,где p — плотность среды; b — ширина канала; Ro — параметр, или коэффициент вращения.
pto2Z>^w^lb
pto2Z>^w^lb
= Ro2,
= Ro2,
Следует еще иметь в виду, что центробежная сила в канале прямоугольного сечения имеет две составляющие: вдоль оси Ох и вдоль оси Оу —- в соответствии с положением точки относительно оси Oz.
Для характеристики движения среды во вращающемся канале может быть использовано и число Рейнольдса по вращению ReM — cod2/v, где d — гидравлический диаметр канала, v —кинематическая вязкость среды. Отношение обоих безразмерных комплексов дает число Рейнольдса по скорости протекания: Reto/Ro = Re, где Re=wd/v. Каждый из названных критериев может быть получен из уравнений движения.
Для изменения параметров движения в каналах роторов характерны следующие диапазоны: Ro = 0,00014-1,0, Re = 1004-50 000. Наиболее важным с практической точки зрения следует считать диапазон параметра вращения от 0,1 до 1,0 и диапазон числа Рейнольдса от 100 до 3000, имея в виду влияние эффектов вращения на гидродинамическое сопротивление систем охлаждения роторов.
Из сказанного следует, что уравнение Навье—Стокса для движения несжимаемой вязкой жидкости
/)с1
(12-1)(12-1)= F — —Vp + vAc, dtр
(12-1)
(12-1)
будучи отнесено к равномерно вращающейся системе координат, приобретает вид
Dw1
— F — —Vp + vAw —*
dtp P
Рис. 12-1. Радиально ориентированный канал прямоугольного сечения (а) и распределение скорости в потенциальном потоке (б)Рис. 12-1. Радиально ориентированный канал прямоугольного сечения (а) и распределение скорости в потенциальном потоке (б)— 2to X w — to X (to X r).(12-2)
Рис. 12-1. Радиально ориентированный канал прямоугольного сечения (а) и распределение скорости в потенциальном потоке (б)
Рис. 12-1. Радиально ориентированный канал прямоугольного сечения (а) и распределение скорости в потенциальном потоке (б)
При этом уравнение неразрывности в относительном движении записывается в простейшей форме
div w = 0.(12-3)
В приведенных уравнениях F — вектор массовых сил. Впоследствии будем рассматривать вместо действительного давления разность между действительным давлением и давлением в состоянии покоя. Тогда в (12-1) массовые силы выпадают, поскольку в однородных жидкостях без свободных поверхностей сила гравитации, действующая на каждый элемент объема, уравновешивается гидростатической подъемной силой.
Таким образом, стационарное движение невязкой! жидкости относительно вращающейся системы координат описывается уравнением
w-Vw = — — grad р-2(о X w-ti X (б) X г),(12-4)
Р
интеграл которого можно получить, исходя из известных соотношений
w-Vw = Vw-Vw = VI — w X rot w;
w-Vw = V
w-Vw = V
2 /
r2(02
to А (о) X г) = to (г- to) — гео2 = — V —-— •
Здесь учтено, что с w -|- to X г.
Мели ибсолютнос движение имеет потенциал скорости, т. е. свободно от прищеннй (rote 0), то для завихренности в относительном движении подучим
rot w = to-Vr — г-Ую + гР-ю — toV-r.
I пн нпк Vr I, V' r 3, to
rot w - — 2(o.(12-5)
()|ГЮДИ
-IL_ const = p*.(12-6)
p 22
Дднлгпис p\ имеющее смысл постоянной Бернулли для стационарного отногитглынн о движения, в случае безвихревого абсолютного движения обычно пизынают приведенным давлением.
Записывая (12-5) в прямоугольных декартовых координатах, получим ди/ду— ди/дх = —2о), (12-7)
(12-8)(12-8)Вели теперь рассмотреть движение в прямом канале с параллельными стенками и считать линии тока параллельными прямыми, то у — 0 и
(12-8)
(12-8)
и = const — 2(ог/.
В последнем выражении константа есть не что иное, как средняя скорость потока, которая сохраняется при отсутствии вращения. Следова* тельно, результирующая скорость в канале (относительная) складывается из скорости потенциального абсолютного потока и удвоенной составляющей завихренности в направлении относительного потока (рис. 12-1,6).
В заключение целесообразно представить физическую трактовку воздействия кориолисовой силы на поток, не отвлекаясь от влияния вязкости и наличия поперечных составляющих скорости относительного движения.
Пусть частица жидкости находится вне пограничного слоя и движется со скоростью ядра потока и в направлении х. Компонента кориолисовой силы в направлении поперечного потока равна 2ош и компенсируется градиентом приведенного давления, который в направлении основного потока равен нулю.
Когда частица жидкости входит в пограничный слой, ее скорость уменьшается за счет касательных напряжений, т. е. //-компонента кориолисовой силы уменьшается. Однако градиент приведенного давления в направлении у остается неизменным и равным по-прежнему 2сои, поскольку это константа.
Таким образом, равновесие между градиентом приведенного давления и //-компонентой кориолисовой силы нарушается и возникает поперечный поток со скоростью о. Но тогда возникает компонента кориолисовой силы в направлении х. Поэтому скорость в направлении основного потока оказывается выше соответствующего значения для неподвижного канала. Кроме того, возникает касательное напряжение в направлении у.
Несмотря на возникновение х-компоненты кориолисовой силы, противодействующей касательному напряжению, абсолютное значение силы трения в направлении х вначале, по-прежнему превышает эту компоненту. Поэтому результирующая сила уменьшает скорость частицы в направлении основного потока. Это увеличивает дисбаланс между //-компонентой кориолисовой силы и градиентом приведенного давления, что приводит к возрастанию скорости поперечного потока о и дальнейшему увеличению х-компоненты кориолисовой силы — до тех пор, пока она не уравновесит силу трения в направлении х. В этот момент замедление прекращается.
Равновесие между силой трения и компонентой кориолисовой силы в направлении х является кратковременным, поскольку одновременно не реализуется равновесие в направлении у. Из-за ускорения в направлении у скорость поперечного потока и проходит мгновенное равновесное значение, продолжая увеличиваться. В свою очередь, это отражается на х-компо- ненте кориолисовой силы, которая становится больше силы трения. Результирующая сила начинаетiускорять частицу жидкости в направлении основного потока, т. е. в направлении х. Это ускорение создает замедление в направлении у, что, в свою очередь, создает замедление снова в направлении х. Так завершается цикл и весь процесс повторяется.
Как очевидно, индуцированное вторичное движение приводит к дополнительной диссоциации энергии.
12-3- Модель невязкого движения
Уравнение (12-2) невозможно интегрировать без упрощающих допущений. Более того, в такой общности решение не может быть получено имеющимися в настоящее время вычислительными методами. Отсюда неизбежность анализа упрощенных моделей движения.
Следует подчеркнуть, что рассмотрение потенциальных потоков, в свою очередь, сопряжено со значительными трудностями. Возникает естественный вопрос, целесообразно ли проводить анализ иевязких моделей, если удаление от действительной картины в пренебрежении вязкостью достаточно велико. Более новые исследования подтвердили, что соответствующие решения полезны для описания движения в каналах с радиальным входом и для расчета ядра потока в канале произвольной формы.
Уравнению движения (12-2) для стационарного потока невязкой несжимаемой жидкости может быть придана форма
с X rot с = "~Vp*, (12-9)
которая следует из учета изоэнтропности процесса (TV5=0, Т— абсолютная температура, 5—энтропия) и носит название уравнения Фридмана— Крокко.
Так как c=w+toXr, и V©=0, Уг=1 иУ-г^З, то
rot с = rot w + rot (to X г) = rot w + (г-У) to — (to-У)г +
+ юУ г — гУ-to — rot w — ю-Уг + ®Уг == rot w — о + 3to = rot w + 2(0.
Теперь левая часть (12-9) может быть записана следующим образом: (w + ю X г) X (У X w + 2ю) =
= wxyXw + wX2(o + ((oXr)X
X (У X w) + to X г X 2(о — w X rot w + 2w X 6),
гик как rXw=0 и ®Х(»=0.
Таким образом (12-9) приобретает вид
w X rot w — —?- vp* — 2w X to.
P
Дальнейший анализ целесообразно выполнить в безразмерной форме. Обозначим:
<d (0w7?R
P*=pto27?2 P
Нудим иметь в виду, что
dp** _ р dp** R ^ ( pip . w*2R*2 \
dz* "dz " dz \ to2/?2 ^22 )
и, следова гелию, У p** У p*/(pto27?); тогда получим при делении обеих частей уравнения на <о2/?
w rot w Ур* о w X to .— г 2,
ti)R со pto3/? toRto
t, e. w* X Й*-Ур** -2-
to
Опуская в дальнейшем, как это обычно принято, символ относительных величин * и меняя местами сомножители в последнем члене уравнения, окончательно получим
w X О — У р* + 2 Ю —W -(12-10)
to
Для раскрытия смысла членов уравнения (12-10) необходимо выполнить формальные промежуточные операции.
Двойное векторное произведение axbxc=b(a-c)—с(а-Ь) запишем как
. с (a b) . а х b X с
Ь . Vi1 и ПрИ с = а получим
аса-с
с(с-Ь) с X b X сь ~1
ссОС
Пусть теперь c=w и b = Q, тогда
(12-11)(12-11)Л w-й , w X о X Ww www
(12-11)
(12-11)
Первый член справа
w-ftcos (w, ft)w Л w
w =ЬL_ w = Q cos (w, ft) -— —(12-12) w-ww2ww
представляет собой составляющую вторичной завихренности вдоль линии тока.
Применим операцию дивергенции к выражению (12-11), имея в виду, что V-ft=0:
Vi.J^w = v.(12.13)
ww-w
Здесь и в дальнейшем при перестановке сомножителей векторного произведения знак соответствующего члена уравнения меняется на противоположный.
Умножим теперь выражение (12-10) векторно на w:
w X (w X Q) = w X V р* + —х- (ю Х w) =to
(12-14)(12-14). , Г7 * I Г) 9^П ® * ^
(12-14)
(12-14)
= w X У р* + 2w22w,
toсо
так как аХ (Ьхс) =Ь(а • с) — с(а*Ь).
Вновь применим к выражению (12-14) операцию div, одновременно деля его на w^. Получим, учитывая, что V-w=0:
. Л><^х й) = . jo£2p1 + w. v.(12.15)
W-WW2tow2
Последнее выражение можно использовать для раскрытия смысла (12-13). Учитывая, что V--^-w-w-V^-,
WW
получим
w.vJk = v.J!^L + w.7=2^.(12.16)
WWatow8
Имея в виду известные соотношения У-фа = фУ-а + а-Уф и У (1/№) — = V (х3/х4) = — Ух2/х4, получим
V- р =-L-V.(w х Vp*) + (® X Vp*)V(^-) =
W8W2\ W2 /
—(V X w)-yp* + (w X Ур*) • =Vp*-U(w X Vp*).
W2w2w4
Таким образом,
V • w-^ Vp*- = - T^ (w x Vp*) + -L- Vp*. Й •(12-17)
w2w4w2
Возвратимся к (12-11), имея в виду (12-12) и (12-10):
2 / (В X w \ у w х^р* х w
Й = aw JL + (wXft)xw = ww-www-w
24Q
Отсюда
Vp*-ft = Vp**Vp*-ft = Vp**Q — ГУQ — ГУш X w \ _ I X vto Vw- wш X w \ _ I X vto Vw- w
Vp*-ft = Vp**
Vp*-ft = Vp**
Q — ГУ
Q — ГУ
ш X w \ _ I X v
to V
w- w
ш X w \ _ I X v
to V
w- w
—— Vp**(e> X w) X w +-—— Vp**Vp* X w — — 2V p* —
ОСУ2ГУ2to
тяк как Vp*-w=0 и Vp*X'Vp* = 0; следовательно,
Vp* • ft = — 2Vp* - оVp* • ft = — 2Vp* - о(12-18)(12-18)
Vp* • ft = — 2Vp* - о
Vp* • ft = — 2Vp* - о
(12-18)
(12-18)
Теперь, имея в виду, что grad (а2/2) = a-Va + а X rot а, получим для раскрытия первого члена правой части (12-17) Vty2 = 2(w-Vw + w x ft)." Кроме того, w X Vp* = tyVp* и Vp*-(w X О) — (Vp* X ty)-ft = Vp**ft. Отсюда
Vcy22
(W x Vp*) =[(w-Vw)-(w X Vp*) + (w X ft)-(w-Vp*)J =
СУ4ГУ4
О
=— [(w-Vw).(w X Vp*) + ^2Vp*-ft].(12-19)
гу4
С учетом (12-18) и (12-19) окончательно получим для (12-17)
V • ™ - ™— = —— Vp*-0— [(w-Vw)-(w X Vp*) + cy2Vp*-ft] —
СУ2СУ2СУ4
2. п . , ху -,2„ * to2_ * to. SkV р*
—(w-Vw)-(w х Vp*)-|Vp*- -— =Vp* —-4,
•су4су2 toсу2 to су
(12-20) так как конвективная часть ускорения w-Vw имеет равную нулю составляющую по касательной к линии тока и равную w^k составляющую по главной нормали (А — кривизна линии тока); отсюда (w-Vw)-(w X Vp*) = w3V р*к.
С учетом (12-20) получим для (12-16)
w.4^=JLvp*.+(12-21)
су су2 со суюсу2
Получено векторное дифференциальное уравнение зависимости вторичной завихренности ftw в точке потока от угловой скорости системы, относительной скорости движения среды в канале, кривизны трубки тока и градиента приведенного давления, который перпендикулярен линии тока (рис. 12-2). Важно подчеркнуть, что, хотя и рассматривается невязкое движение, наличие в уравнениях градиента давления, перпендикулярного линиям тока, позволяет анализировать в косвенной форме влияние вязких пристенных слоев, создающих указанный градиент давления. Разумеется также, что градиент давления может быть создан неравномерностью скоростей на входе, вызванной внешними по отношению к каналу причинами.
Если рассматриваемый канал перпендикулярен оси вращения,- третий член уравнения (12-21) выпадает. Тогда
v^V^^-Vp*---^—-^-.(12-22)
ГУ ГУ2toГУ
Оба первых члена правой части (12-21) параллельны оси вращения, г. е. вектор Vp* перпендикулярен верхней и нижней стенкам канала в том случае, если плоскость линии тока перпендикулярна оси вращения.
Рис. 12-2. Диаграмма направлений во вращающемся канале
— поверхность постоянного давления; 2— линия тока; 3— соприкасающаяся плоскость линии тока
Если канал прямой, что наиболее распространено в конструкциях электрических машин, выпадает и второй член (12-21) справа. Тогда имеем
w-V —-- =Vp*
xdсо
(12-23)
Учитывая, что некоторые проблемы приводят к необходимости применять плавно изогнутые каналы, проведем анализ основного уравнения в форме (12-22) . Для выполнения такого анализа удобно ввести криволинейные координаты Xi, х2 и Хз. Тогда (12-22) запишется в виде
1 д / йш \ _ 2 / _1 XI дхг \ w )w^h \ хз Эх3 /
так как
Здесь h— относительная высота канала; Хь х2 и Хз — параметры Ламе. Вдоль линии тока
=f 4- -^4 (1 + ^) ^ •
w / ш2й \ хз дхз /
Пусть канал изогнут по логарифмической спирали [48]. Тогда, принимая XjL = In Г 4-в tg Р; х2 = е —tgpinr; х3 = z, получим к = sin p/r; x^xi = cos Pdr (Р —угол между радиальным направлением и xt). Отсюда
cos pw3h.
w sin prw sin prdo*Qw = 2w cos p dzdo*Qw = 2w cos p dzrCJ hw3ГоrCJ hw3Гоw sin P \ ,| drr /w sin P \ ,| drr /(12-24)(12-24)Интеграл последнего уравнения
w sin pr
w sin pr
do*
Qw = 2w cos p dz
do*
Qw = 2w cos p dz
r
C
J hw3
Го
r
C
J hw3
Го
w sin P \ ,| drr /
w sin P \ ,| drr /
(12-24)
(12-24)
различнойh = const,различнойh = const,
различнойh = const,
различнойh = const,
позволяет рассмотреть конкретные условия движения в каналах формы.
Если высота и шаг каналов по окружности неизменны, т. е. t0r=const, то и dp*/dz= const. Тогда из (12-24) следует
.Я®— C0S-L Г _L— (г4 — гН + sin р (г2 — г^) 1, dp*/dz w4r L 2шгJ
откуда при го=О, г2= 1,0 и р=0 получим йш Г3
&P*ldz2^2
Если неизменны и высота, и сечение канала, т. е. неизменна скорость относительного движения w, то из (12-24)
йш 2 cos В Г 1х ,• о 1 г 1
, "= V - ГО) + sin р In —
dp*/dz w [L'о J
При ro=O, г= 1,0 и P=0
й^ 2rdp*ldzw8
Последнее решение представляет наибольший интерес с практической стороны и в то же время достаточно просто для анализа.
Переходя к величинам в именованных единицах и вновь восстанавливая символ относительных величин *, получим для (12-25)
do**
= (ОЙ* — 2(0 —- (12-26)
dz* w*2
Отсюда следует, что вторичная завихренность, ориентированная вдоль линии тока, пропорциональна градиенту давления на входе в канал, радиусу канала и обратно пропорциональна второй степени относительной скорости.
Можно представить (12-26) в несколько иной форме, позволяющей глубже трактовать полученный результат:
О„= 2 to^J^ = 2 Ap2L Jh-to^r. (12-27) dz* w w dz* w
Из последнего выражения видно, что зависимость вторичной завихренности от угловой скорости системы чрезвычайно велика. Завихренность определяется произведением величин, одна из которых является собственно угловой скоростью, другая равна отношению переносной скорости к относительной и третья представляет собой параметр вращения Ror, вычисляемый по текущему радиусу. Многие экспериментальные данные демонстрируют аналогичную зависимость.
12-4. Анализ влияния кориолисовых сил на формирование пограничного слоя
Существуют многочисленные экспериментальные указания на наличие в радиальном потоке вихрей и следа, причем не только в расширяющихся каналах, но и в каналах неизменного сечения. Это побуждает исследовать механизм воздействия инерционных сил в относительном движении на характер пограничных слоев на стенках канала.
Здесь следует подчеркнуть, что поле центробежных сил есть поле консервативное и центробежные силы не влияют на распределение относительной скорости. По этой причине, как и ранее, анализ уравнения Навье — Стокса может быть выполнен применительно к приведенному давлению р* во вращающейся системе координат. Если, кроме того, рассматривать каналы, перпендикулярные оси вращения, то вектор угловой скорости to в указанной системе координат имеет лишь одну составляющую ог, ориентированную по оси вращения.
Таким образом, уравнение (12-2) для стационарного потока записывается в декартовой системе координат следующим образом (рассмотрены проекции, содержащие составляющие кориолисовых сил):
ди. диn1др*/ д^и. д^и
иl v2(0V = —-И v I
(12-28)(12-28)дх дурдхк дх2 ду2
(12-28)
(12-28)
ди. ди. п1др*./ д2уд2у '
Цкок2(оц =HviН
дх дурду к дх2ду2 ,
При учете допущений, обычно принятых в теории пограничного слоя [50], получаем
ди,дид2и1др*. п/1ООПХ
ик уv=к 2(ои;(12-29)
дхдуду2рдх
2<ои=- —■(12-30)
Р ду
Как можно видеть, вместо обычного, т. е. для неподвижного канала, одного уравнения получены два уравнения, к которым для производимого двухмерного рассмотрения добавляется уравнение неразрывности в виде duldx + dvldy = 0.(12-31)
Из (12-30) следует
11г
р* (х, у) =р* (х, 0) + 2(0 j udy\
PРО
1 др*(х,у)р дх1 др*(х,у)р дху
1 др*(х,у)
р дх
1 др*(х,у)
р дх
1 др* (х, 0) о С ди =р у + 2(о \ —~dy9
р дхJ дх
о
откуда в силу (12-31)
(12-32)(12-32)1 др* (х, у) ! 2мг _1 др* (х, 0)
(12-32)
(12-32)
р дхр дх
(12-33)6(12-33)6Следовательно, правая часть уравнения (12-29) не зависит от у и ее можно заменить левой частью (12-29) для края пограничного слоя, т. е. для у=д. Учтем при этом, что при ^>6 производная d^ujdy^ выпадает, так как в потенциальном ядре вязкость не учитывается. Тогда получим ди . ди д2и ди . ди ик уv —= + Уб
(12-33)
6
(12-33)
6
дх ду ду2 дх б ду
Сформулируем теперь граничные условия:
Цу=о — уу=о — 0>Цу=о — уу=о — 0>иу=б = иь;иу=б = иь;д^иду^д^иду^д^идуа И=6д^идуа И=6Полученное уравнение подвижного канала членомПолученное уравнение подвижного канала членом(12-33) отличается от(12-33) отличается отV6V6диди• Физический• Физическийсоответствующегосоответствующегодля не-для не-ду о выясняется из выражения (rot w)z = Qz = dy/dx — duldy.ду о выясняется из выражения (rot w)z = Qz = dy/dx — duldy.смысл этой составляющейсмысл этой составляющей
Цу=о — уу=о — 0>
Цу=о — уу=о — 0>
иу=б = иь;
иу=б = иь;
д^иду^
д^иду^
д^и
дуа И=6
д^и
дуа И=6
Полученное уравнение подвижного канала членом
Полученное уравнение подвижного канала членом
(12-33) отличается от
(12-33) отличается от
V6
V6
ди
ди
• Физический
• Физический
соответствующего
соответствующего
для не-
для не-
ду о выясняется из выражения (rot w)z = Qz = dy/dx — duldy.
ду о выясняется из выражения (rot w)z = Qz = dy/dx — duldy.
смысл этой составляющей
смысл этой составляющей
откуда
диди ~— =Q идудхдиди ~— =Q идудхдиV6 — дудиV6 — ду(ди дх(ди дхбб
диди ~
— =Q и
дудх
диди ~
— =Q и
дудх
ди
V6 — ду
ди
V6 — ду
(ди дх
(ди дх
б
б
Так как в силу допущений теории пограничного слоя произведение мало, его можно отбросить, и останется
ду а
= — V6^ = 2(ove.= — V6^ = 2(ove.(12-34)(12-34)ди
= — V6^ = 2(ove.
= — V6^ = 2(ove.
(12-34)
(12-34)
Уб ду' б
Таким образом, член уравнения (12-33) Уб пропорционален гра- ду б
днепту давления в направлении х, который создается кориолисовой силой, действующей на поперечную скорость Уб. Для принятой нами правой системы координат значение со>0 соответствует набегающей стенке (сторона давления или дестабилизации); значение <о<О соответствует сбегающей стенке канала (сторона разрежения, или стабилизации). Отсюда видно, что давление на стороне стабилизации, благодаря действию кориолисовых сил, повышается в направлении движения, т. е. налицо градиент приведенного давления, аналогичный градиенту статического давления в неподвижном диффузоре.
Полученный важнейший вывод относительно характера распределения давления в пограничном слое позволяет с одной стороны, устранить противоречие между выводами потенциальной теории и наблюдаемыми фактами, например уменьшением скорости на стороне стабилизации. С другой стороны, этот вывод указывает на недостаточную (по крайней мере, по отношению к пограничному слою) обоснованность допущения о неизменности градиента приведенного давления вниз по ,течению. (Это допущение берется обычно в основу анализа уравнений движения.)
12-5. Метод расчета гидродинамического сопротивления
■о вращающихся каналах с учетом формирования пограничных слоев
Выполненный выше анализ позволил автору разработать метод расчета гидродинамического сопротивления во вращающихся каналах, основанный на модели движения невязкого потенциального ядра, окруженного вязкими пристенными слоями. Для этой цели необходимо было синтезировать накопленный экспериментальный и расчетный материал по исследованию локальных характеристик движения (пограничный слой, толщина вытеснения, касательные напряжения, вторичная завихренность, пристенный вихрь и след) и по измерениям итогового сопротивления каналов в зависимости от параметра вращения и числа Рейнольдса.
Прежде всего, можно считать надежно установленным факт скоса эпюр приведенного давления и осевой составляющей скорости относительного движения, по крайней мере в зоне потенциального ядра потока (рис. 12-3). Будем в дальнейшем называть соответствующие потоки скошенными. Полезно, кроме того, иметь в виду поправку для определения реальной скорости ядра на внешней границе пограничного слоя [50]:
Q
Но =,(12-35)
(6-6;_6;)(A-6;-6;)
где б* — толщина вытеснения.
Будем также считать установленным, что при Ro^l на стороне давления возникает вихрь вследствие отрыва потенциального потока, а при Ro<l на стороне разрежения при некоторых условиях, определяемых реше-
Рис. 12-3. Скос потока при вращенииРис. 12-3. Скос потока при вращенииРис. 12-4. Точка отрыва потока в каналеРис. 12-4. Точка отрыва потока в канале
Рис. 12-3. Скос потока при вращении
Рис. 12-3. Скос потока при вращении
Рис. 12-4. Точка отрыва потока в канале
Рис. 12-4. Точка отрыва потока в канале
нием уравнения (12-33), может возникать быстро растущий вниз по течению след. Этот след не содержит обратных составляющих осевой скорости и потому не является отрывом в двухмерном смысле. Однако он питается вторичными потоками от верхней и нижней стенок и является отрывом в трехмерном смысле.
Особенности образования следа на стороне разрежения — это наличие внутри пограничного слоя более высоких скоростей, чем вне его (т. е. как бы «обратный» обмен количеством движения), и исчезновение напряжения на стенке вблизи сингулярной точки решения (12-33).
Наиболее очевидным является отрыв в расширяющемся (диффузорном) канале. Но основные особенности, вносимые вращением, включая и искривление линий тока у прямолинейной стенки канала, делают возможным отрыв и в канале неизменного сечения.
Таким образом, для расчета гидродинамического сопротивления необходимо рассматривать по крайней мере два решения уравнений движения: без вихря или следа и при наличии таковых. Первый режим достаточно надежно описывается обобщающей формулой
хй = 1*1о;%* = (fe/60)0’437;£ = ReVRo, (12-36)
где Хо — коэффициент трения неподвижного канала; Хю— коэффициент трения вращающегося канала; к — безразмерный параметр обобщения.
Для расчета сопротивления во втором режиме необходимо определить точку исчезновения трения на стороне разрежения.
Решение уравнения (12-33) для пластины в скошенном потоке получено Г. Юнгклаусом в форме [53]
(dufdy^ vx л
Хд == 0,00172,(12-37)
«о
где Ха — расстояние от края пластины; и0 — осевая скорость на границе пограничного слоя (по толщине вытеснения).
Таким образом, ХА есть не что иное как безразмерное расстояние от края пластины до точки отрыва.
Результаты проделанного анализа позволяют построить метод расчета гидродинамического сопротивления во вращающихся радиальных каналах на основе представлений о безотрывном течении среды вплоть до сингулярной точки уравнения пограничного слоя (12-33). Затем канал разбивается на два участка: до точки отрыва (или образования следа) и после нее (рис. 12-4). При этом расчет первого участка может быть выполнен на ос-
ново обобщающей формулы (12-36). Что касается расчета сопротивления
второю участка, то для его выполнения требуется дополнительный анализ.
Примем на основе экспериментальных данных дшах = 0,25 6 (рис. 12-4) и 6*0,256х*2, где х*—хЩ—хАУ Потери давления за точкой отрыва потока
складываются из потерь ^р^х Аскладываются из потерь ^р^х Ав затененной следом части канала, учиты
складываются из потерь ^р^х А
складываются из потерь ^р^х А
(12-38)(12-38)вающих уменьшение живого сечения, и потерь давления в самом следе &pt_x^. Если принять, что с точки зрения диссипации энергии обе составляющие подлежат суммированию, то потери давления во всем канале
(12-38)
(12-38)
Др2 — Дрх 4- kpl—x + kpl—x .
Как уже было замечено, до точки отрыва
(12-39) d 2
где X 0> -берется по (12-36).
Па участке /—хА должен быть введен коэффициент &i уменьшения живого сечения капала. Поскольку отношение живых сечений s0/sx— - Ь*НЬ <V)Z, средняя квадратическая скорость
^•ср^•ср
^•ср
^•ср
Отсюда
1
« 1,53;« 1,53;Сdx
« 1,53;
« 1,53;
) (1—0,25х*2)4 о
(12-40)(12-40). 'sL 2 Р
(12-40)
(12-40)
Др, у = X..— AiWa —
г —ХА2
Потери давления в следе зависят от его длины, толщины, степени увеличения касательных напряжений за счет турбулизации и средней скорости
жидкости в следе:
а?;= (_L xa.V Ар. к и2 .(12-41)
1-хА \ I J d 2 ср 2
Экспериментальные результаты обобщены Дж. Муром в форме u/wo=
-Зт)2—2т]3, где т\—у(Ьх , откуда ( —— ]=^0,5-
X w0 /ср
В свою очередь,
1
f 6*dx*
/s о0,256
<Л*/срi1
Рис. 12-5. Сопоставление результатов эксперимента (штриховая линия) и расчета
Если принять, что отношение турбулентных касательных напряжений к ламинарным пропорционально отношению соответствующих толщин пограничных слоев в степени 0,3, получим при бо=О,О5
0,05+ 0,250,05+ 0,25о.зо.з0,050,050,25^21 -^— ^п-J 20,25^21 -^— ^п-J 2(12-42)(12-42)Таким образом, сводя (12-39), (12-40) и (12-41), при п——1 окончательно получим
0,05+ 0,25
0,05+ 0,25
о.з
о.з
0,05
0,05
0,25^21 -^— ^п-
J 2
0,25^21 -^— ^п-
J 2
(12-42)
(12-42)
Приведенная методика позволяет выполнить расчет сопротивления во вращающихся каналах прямоугольного сечения для движения с образованием вихря и следа. Соответствующие кривые для канала сечением 10Х Х10 мм2 в сопоставлении с экспериментальными данными приведены на рис. 12-5. Кривая 2 рассчитана по (12-42) без поправки (12-35). Кривая 1 получена с учетом (12-35).
К проделанному анализу целесообразно присоединить расчетные формулы для расширяющихся (диффузорных) каналов, характерных для шихтованных сердечников роторов гидрогенераторов, асинхронных машин и машин постоянного тока.
Для ламинарного режима
^л = Чл/Х0л = 102 R°/Re + 0,1 Ro0'2 Re8’5 (12-43)
где Хол = 64 Re"1-0.
Для турбулентного режима
^т = Vot = R°0,1 Re0,05.(|2-44)
гдегдеХот =0,316 Re-0-25.
где
где
При этом можно принимать
ReKp = Ro-105.
Опыт проектирования и исследования электрических машин показал, что эти формулы правильно отражают характер изменения сопротивления каналов при вращении и позволяют анализировать особенности движения охлаждающих сред при аномальных явлениях в трактах циркуляции (помпаж, обратные перетекания, асимметрия распределения расходов и др.).
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица П-1
Кинематическая вязкость воздуха при атмосферном давлении
с
V106, ма/с
9, °C
V10®, м3/с
», °C
v-lO®, м2/с
50
9,23
60
18,97
300
48,33
40
10,04
70
20,02
350
55,46
30
10,80
80
21,09
400
63,09
20
12,79
90
22,10
500
79,38
К)
12,43
100
23,13
600
96,89
0
13,28
120
25,45
700
115,40
10
14,16
140
27,80
800
134,80
20
15,06
160
30,09
900
155,10
30
16,00
180
32,49
1000
177,10
40
16,96
200
34,85
1100
199,30
50
17,95
250
40,61
1200
223,70
Таблица П-2
Кинематическая вязкость воды на линии насыщения
0. °C
р-10"А Па
v-106, м3/с
^ °C
р-10-^ Па
V10% М9/С
0
0,005
1,788
190
12,55
0,165
10
0,009
1,306
200
15,59
0,158
20
0,019
1,006
210
19,12
0,153
30
0,030
0-,805
220
23,24
0,148
40
0,070
0,658
230
27,95
0,145
50
0,120
0,556
240
33,45
0,141
60
0,190
0,478
250
39,82
0,137
70
0,310
0,415
260
46,98
0,135
80
0,470
0,365
270
55,09
0,133
90
0,690
0,325
280
64,25
0,131
100
0,981
0,294
290
73,57 ,
0,129
НО
1,470
0,272
300
85,93
0,128
120
1,960
0,251
310
98,68
0,128
130
2,740
0,233
320
112,91
0,128
140
3,620
0,217
330
128,70
0,127
150
4,700
0,203
340
146,16
0,127
160
6,670
0,191
350
165,39
0,127
170
7,940
0,181
360
186,78
0,127
180
10,000
0,173
370
210,62
0,127
Кинематическая вязкость водорода
», °C —1001030507090 ПО
v-10®, м2/с ".. 89,3 94,3 101,5 114,4 128,0 140,8 153,5 172,0
Кинематическая вязкость трансформаторного масла
», °C ....... 010 20 30 40 50 60 70 80 90 100
v-10®, м2/с 67,5 37,8 24,0 15,4 10,8 7,8 6,3 4,8 3,9 3,1 2,1
Теплопроводность различных средпри атмосферном давлении, Вт/(м-К)
270 К 280 К 290 К 300 К 310 К 320 К 330 К 340 К 350 К 360 К воздух . . . . 23,8 24,6 25,4 26,2 26,9 27,7 28,5 29,2 30,0 30,8 вода 569588603617630643653662669675
водород. . . 167172278183187191196200204—
Теплопроводность проводниковых, конструкционныхи изоляционных материалов, Вт/(м-К)
Медь 380Алюминий 230Серебро420Никель 58Сталь 50Чугун 45Битумная изоляция на миканите 0,16Термореактивная изоляция . 0,26Электрокартон 0,18Гетинакс 0,25Медь 380Алюминий 230Серебро420Никель 58Сталь 50Чугун 45Битумная изоляция на миканите 0,16Термореактивная изоляция . 0,26Электрокартон 0,18Гетинакс 0,25Эбонит0,13Слюда 0,58Стекло0,75Резина0,15Стекловата0,04Фарфор 1,20Кожа 0,40Дерево 0,30Асбест0,11Трансформаторное масло . 0,12Эбонит0,13Слюда 0,58Стекло0,75Резина0,15Стекловата0,04Фарфор 1,20Кожа 0,40Дерево 0,30Асбест0,11Трансформаторное масло . 0,12
Медь 380
Алюминий 230
Серебро420
Никель 58
Сталь 50
Чугун 45
Битумная изоляция на миканите 0,16
Термореактивная изоляция . 0,26
Электрокартон 0,18
Гетинакс 0,25
Медь 380
Алюминий 230
Серебро420
Никель 58
Сталь 50
Чугун 45
Битумная изоляция на миканите 0,16
Термореактивная изоляция . 0,26
Электрокартон 0,18
Гетинакс 0,25
Эбонит0,13
Слюда 0,58
Стекло0,75
Резина0,15
Стекловата0,04
Фарфор 1,20
Кожа 0,40
Дерево 0,30
Асбест0,11
Трансформаторное масло . 0,12
Эбонит0,13
Слюда 0,58
Стекло0,75
Резина0,15
Стекловата0,04
Фарфор 1,20
Кожа 0,40
Дерево 0,30
Асбест0,11
Трансформаторное масло . 0,12
Удельная теплоемкость воздуха+и ч^г
Т, к 270 290 310 330 350
ср, кДж/(кг-К) 1,006 1,006 1,007 1,008 1,009
Удельная теплоемкость водорода
Т, К 280300 350 400
ср, кДж/(кг-К) . . . . .14,24 14,31 14,43 14,48
Удельная теплоемкость воды
Т, К 273 323 373 423
Ср, кДж/(кг-К) 4,217 4,181 4,177 4,171
Удельная теплоемкость проводниковых, конструкционныхи изоляционных материалов, кДж/(кг-К)
Медь 0,385Слюда-флогопит . . 0,880
Сталь 0,427Слюдотерм . . . . 0,900
Слюдомиканит . . 0,980
Рис.Рис.П-1. КоэффициентП-1. Коэффициенттеплоотдачи для воздуха30—70 °Cтеплоотдачи для воздуха30—70 °Cв диапазоне температурв диапазоне температурРис.Рис.П-2.П-2.Коэффициенты теплоотдачи для водорода при давлении 0,4 МПа в диапазоне температур 30 70 СКоэффициенты теплоотдачи для водорода при давлении 0,4 МПа в диапазоне температур 30 70 С
Рис.
Рис.
П-1. Коэффициент
П-1. Коэффициент
теплоотдачи для воздуха30—70 °C
теплоотдачи для воздуха30—70 °C
в диапазоне температур
в диапазоне температур
Рис.
Рис.
П-2.
П-2.
Коэффициенты теплоотдачи для водорода при давлении 0,4 МПа в диапазоне температур 30 70 С
Коэффициенты теплоотдачи для водорода при давлении 0,4 МПа в диапазоне температур 30 70 С
Рис. П-3. Коэффициенты теплоотдачи для воды при температуре 30 °C
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика,—М.: ГИТТЛ, 1953.— 736 с,
Алексеев А. Е. Конструкция электрических машин.— М.— Л.: Госэнер- гоиздат, 1958.— 426 с.
Антуфьев В. М., Белецкий Г. С. Теплоотдача и аэродинамическое сопротивление трубчатых поверхностей в поперечном потоке.— М.— Л.: Маш- гиз, 1948.— 120 с.
Борисенко А. И., Данько В. Г., Яковлев А. И. Аэродинамика и теплопередача в электрических машинах.— М.: Энергия, 1974.— 560 с.
Борисенко А. И., Костиков О. Я., Яковлев А. И. Охлаждение промышленных электрических машин,—М.: Энсргоатомиздат, 1983,—296 с.
Вукалович М. П., Новиков И. И. Техническая термодинамика.— М.— Л.: Госэнергоиздат, 1952.— 567 с.
Глебов И. А., Данилевич Я- Б., Шахтарин В. Н. Турбогенераторы с использованием сверхпроводимости.— Л.: Наука, 1981,—231 с.
Готтер Г. Нагревание и охлаждение электрических машин: Пер. с нем. Под ред. В. В. Мальцева.— М.— Л.: Госэнергоиздат, 1961.— 480 с.
Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений.— М/. Изд-во АН СССР, 1948,—480 с.
Гуревич Э. И. Тепловые испытания и исследования электрических машин.— Л.: Энергия, 1977.— 294 с.
Гуревич Э. И., Рыбин Ю. Л. Переходные тепловые процессы в электрических машинах.—‘Л.: Энергоатомиздат, 1983.—-216 с.
Гухман А. А. Применение теории подобия к исследованию процессов теплообмена,—М.: Высшая школа, 1967.— 303 с.
Дугинов Л. А., Карпунишина И. Г., Шифрин В. Л. Математическое моделирование на ЭВМ вентиляционных систем турбогенераторов.— Электротехника, 1975, № 12, с. 22—26.
Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и г-преобразования: Пер. с нем.— М.: Наука, 1971.— 288 с.
Дорфман Л. А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел.— М.: Физматгиз, 1960.— 260 с.
Жуковский В. С. Основы теории теплопередачи.— Л.: Энергия, 1969. 224 с.
Залесский А. М., Кукеков Г. А. Тепловые расчеты электрических аппаратов.— Л.: Энергия, 1967.— 380 с.
Идельчик И. Е. Гидравлические сопротивления.— М.— Л.: Госэнергоиздат, 1954.— 316 с.
Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача.— М.: Энергия, 1969.— 440 с.
Карслоу X., Егер Д. Теплопроводность твердых тел: Пер. с англ. Под ред. А. А. Померанцева.— М.: Наука, 1964.— 487 с.
Коздоба Л. А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности.— М.: Наука, 1975.— 228 с.
Копылов И. П. Математическое моделирование асинхронных машин.— М.: Энергия, 1969,—98 с.
Корнфельд М. И. Упругость и прочность жидкости.—М.: Гостехиздат, 1951.— 124 с.
Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления,— 9-е изд,—М.: Наука, 1965.— 426 с.
Кутателадзе С. С. Анализ подобия в теплофизике.— Новосибирск: Нлукя, 1982,—280 с.
Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена.— М.: Атомиздат, 1679 -416 с.
Кутателадзе С. С., Леонтьев А. И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое.— М.: Энергия, 1972.— 342 с.
Кутателадзе С. С., Стырикович М. А. Гидравлика газожидкостных систем.— М.: Энергия, 1976.— 232 с.
Лойцянский Л. Г. Механика жидкостей и газов.— М.: Наука, 1970.—
004 с.
Ломакин А. А. Центробежные и осевые насосы.— М.— Л.: Машино- проение, 1966.— 363 с.
Лыков А. В. Теория теплопроводности.— М.: Высшая школа, 1967.— 392 с.
Мартыновский В. С. Анализ действительных термодинамических циклон. М.: Энергия, 1972.— 215 с.
Микулин Е. И. Криогенная техника.— М.: Машиностроение, 1969.— 270 с.
Михеев М. А. Основытеплопередачи.— М.— Л.:Госэнергоиздат,
И. Непосредственное охлаждение электрических ма-И. Непосредственное охлаждение электрических ма-35. Москвитин А.35. Москвитин А.1947.-416 с.
И. Непосредственное охлаждение электрических ма-
И. Непосредственное охлаждение электрических ма-
35. Москвитин А.
35. Москвитин А.
Hinn М.: Изд-во АН СССР, 1962.—224 с.
Невельсон М. И. Центробежные вентиляторы.— М.— Л.: Госэнергоиз- дпт, 1954334 с.
Перник А. Д. Проблемы кавитации.— Л.: Судостроение, 1966.—438 с.
Петухов Б. С. Опытное изучение процессов теплопередачи.— М.: Гос- meproH |днт, 1952.- 344 с.
Постников И. М. Проектирование электрических машин.— Киев: Гос- 11'Хи:1дпт, I960.— 910 с.
Прандтль Л. Гидроаэродинамика: Пер. с нем.— М.: Изд-во иностр, литры, 1951.— 575 с.
Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика: Пер. с нем.— М.— Л.: ОПТИ НКТП; 1933, Т. 1,—219 с; 1935, Т. 2.—283 с.
Розенфельд Л. М., Ткачев А. Г. Холодильные машины и аппараты.— М.: Государственное изд-во торговой лит-ры, 1955.— 684 с.
Рысин С. А. Справочник по вентиляторам.— М.: Госстройиздат, 1954.-- 247 с..
Титов В. В., Хуторецкий Г. М., Загородная Г. А. Турбогенераторы/ Под ред. Р. А. Лютера и Н. П. Иванова.— Л.: Энергия, 1969.— 994 с.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.— М.: ГИТТЛ, 1953 —679 с.
Фабрикант Н. Я. Аэродинамика.— М.: Наука, 1964.— 814 с.
Филиппов И. Ф. Вопросы охлаждения электрических машин.— М.— Л.: Энергия, 1964.— 330 с.
Филиппов И. Ф. Основы теплообмена в электрических машинах.— Л.: Энергия, 1974.— 384 с.
Хуторецкий Г. М. Проектирование и расчет современных двухполюсных турбогенераторов. Л.: Изд-во ЛПИ, 1962.— 151 с.
Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя: Пер. с нем.— М.: Наука, 1974,-712 с.
Dobner Е. Ober den Stromungswiderstand in einem rotierenden Kana). Dissertation, Technische Hochschule Darmstadt, 1959, S. 1—62.
Hak I. Kanai mit Abzweigungen; ein Betrag zum Ventilationsproblem des Turbogenerators.—Elektrotechnik und Maschinenbau, 1956, S. 17—44.
Jungclaus G. Grenzschictuntersuchungen in rotierenden Kanalen und bel scherenden Stromungen. Mitteilungen aus dem Max-Planck-Institut fiir StrSmungsforschung, 1955, N 11, S. 1—67.
Soderberg R. Steaty flow of heat in large turbune-generators.— Transactions AIEE, 1931. June, p. 215—232.
Thlruvengadan A. A. United theory of cavitation damage.— Journal of basic engineering, 1963, September, p. 48—61.
Активный элемент 7
Анизотропная система 7
Аэродинамическая характеристика вентилятора 181
Вектор ротации 129
Векторное поле 130
потенциальное 130
соленоидальное 130
Вентилятор 183, 188
— осевой 188
— с загнутыми вперед лопатками 183
— с загнутыми назад лопатками 183 Внешняя аэродинамическая характеристика 185
Воздухоохладитель 80
Вязкость кинематическая 113
Газовая постоянная 114
Газоохладитель 114
Гидростатическое напряженное состояние 139'
Градиент температуры 18
Давление 116, 144
— динамическое 144
— молекулярное 144
— полное 144
— статическое 144
Дисконтинуум 122
Жидкость капельная 113
— перегретая 118
Завихренность 237
Закон Бойля-Мариотта 114
— корня седьмой степени 166
— Пуазёйля 161
Изобара 117
Изотерма 17, 116
—критическая 118
Изотермическая поверхность 17
Качество крыла 189
Квазиконтинуум 123
Классическая теория нагревания 75
Коллинеарность 124
Конвективный теплообмен 15
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Конвекция вынужденная 15
— естественная 15
Континуум 122
Коэффициент восстановления статического давления 186
— гидродинамического сопротивления 172
— заполнения сечения 168
— использования 8
— критический 118
— местного сопротивления расширения 168
— местного сопротивления сужения 168
— неравномерности скоростей 234
— поля 165
— сжимаемости 116
— теплообмена 15
— теплопроводности 20
Краевое условие 22, 23
граничное 23
начальное 22
Кривая равновесия фаз 118
Кризис течения 233
Критериальные уравнения 15
Критическая кавитация 208
— температура 118
Критическое давление 118
— число Рейнольдса 158
Лагранжево представление 122
Линии тока 124
Лучеиспускание 15
Машинная постоянная 8
Метод направленных итераций 204
разделения переменных 29
случайных проб 204
— суперпозиции частных решений
Фурье 29'
— уравнивания потерь давления 194
Миграция обмоток 67
Начальный участок 165
Непосредственное охлаждение 83
Осесимметричное движение 188
Периметр смоченный 86
■ эффективный 86
I
(ирное начало термодинамики loo
lol риннчный слой 151
Поле без внутренних источников теплоты 26 — двухмерное 17 m-установившееся 17 одномерное 17 температуры 17
■ трехмерное 17 установившееся 17 Полнрп 191 ||п1чо$пшаи времени 76 Пошри давления 153, 180 трения 207 циркуляционные 207
Принудительная вентиляция 175
Пы-юметричсская высота 143
Расход 154
объемный 154, 179
Режим пптомодельпый 164 лимццщшый 158*
iioiiiopiio кратковременной на
тру ио, 79
। урПузычт । ный 158
(.HMoiuiiiiiaHHHH 175
Сверши функций 51.
Снсшми охлаждения электрической
Мемпшн 7
Сиорогш деформации 12
( обстненныс функции задачи 37 числи тидачи 37
('тцмниилспие аэродинамическое 180
- тюленин 150
лоботн- 189
Мт I ное 171
троими 1Г»0
Срок службы изоляции 65 ( им» ненtнляппи 175 нышжнии 170 нФ И₽Ш1ел1.нии 176 шеннн 177 раднилыти 177
радиально-осевая 177
тангенциальная 177
— замещения 172
Температура пиковая 66
торможения 157
Температурный напор 15
Температуропроводность 26
Теорема количества движения 16b моментов количества движения 182
Теория подобия 13_
Тепловой импульс идеальный 32
точечный 32
физический 31
пограничный слой 15
поток 14.
Теплообменник водо-водяной ви
воздухо-воздушный 80
Теплоотдача 15
Теплопроводность 14, 20
Тензор 126
Тройник 170
Трубка тока 124
Угол атаки 188
Удельные затраты мощности на
охлаждение 9
Уравнение Бернулли 142
— Ван-дер-Ваальса 116
— критериальное 15
— Навье —Стокса 139
— состояния 115
— теплопроводности 21
— Эйлера 140
Фундаментальное решение уравнения теплопроводности 31
Центральная сила 132
Центробежный нагнетатель 182
Циркуляция скорости 190
Энтальпия 156
ф Филиппович Филиппов ООБМЕН В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИНАХ
гор С. С. Полигнотова
[ественный редактор Д. Р. Стеванович 1еский редактор А. Г. Рябкина ктор И. В. Кучерова
лет художника Г. В. Смирнова
2520
з набор 04.09.85. Подписано в печать 14.01.86. М-32705. Формат 60x90'/ie. Бумага фская № 2. Гарнитура литературная. Высокая печать. Усл. печ. л. 16. Усл. 16. Уч.-изд. л. 17,8. Тираж 7300 экз. Заказ 2012. Цена 90 к.
(адское отделение Энергоатомпздата. 191065, Ленинград, Марсово поле, 1.
(адская типография № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского ения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Го- генном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Ленинград, Социалистическая ул., 14.
s (s + Yn/a2)
И. Ф. Филиппов