Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 5
Глава 1. Основные законы сохранения и их формы 9
Уравнения механики сплошных сред в форме законов сохранения 9
Градиентные и квазиградиентные системы законов сохранения . . .14
Системы законов сохранения в лагранжевых координатах 16
Глава 2. Допустимые обобщенные решения 20
Один закон сохранения 20
Системы законов сохранения 26
Обобщенная энтропия и допустимые слабые решения 38
Основные свойства одномерных систем законов сохранения47
Глава 3. Автомодельные и классические решения 58
Задача о распаде разрыва 58
Возникновение особенностей решений 84
Глава 4. Задача Коши с малыми начальными данными 92
Разностная схема Глимма 92
Оценка взаимодействия решений задач о распаде разрывов95
Предкомпактность семейства приближенных решений 104
Оценка невязки и доказательство основной теоремы НО
Глава 5. Системы законов сохранения с диссипацией 118
Локальная разрешимость задачи Коши 118
Априорные оценки и глобальная разрешимость задачи Коши 123
Априорные оценки и инвариантные области одномерных систем .. . 128
Глобальная разрешимость некоторых модифицированных эволюционных задач механики сплошных сред 134
Глава 6. Новые классы обобщенных решений 143
Основные понятия и определения 143
Обобщенные решения в среднем 147
Слабая сходимость и параметризованные меры 152
Пространства ЯД^ф) 157
Слабая непрерывность детерминанта 160
Изэнтропическая система газовой динамики 163
Глава 7. Глобальная разрешимость некоторых эволюционных задач механики сплошных сред без диссипации 181
Глобальная разрешимость пространственных задач 181
Глобальная разрешимость одномерных задач 189
Глава 8. Вопросы единственности автомодельных решений 200
Петли и ветвление адиабат 200
Непрерывное решение задачи о распаде в Rn и конгруэнции в римановом пространстве 205
Изолированность разрывного решения задачи о распаде 213
ЛИТЕРАТУРА 223
Предметный указатель 228
ВВЕДЕНИЕ
В механике под сплошной средой понимают жидкие, газообразные или твердые тела, а также поля: электромагнитное поле, поле излучений, гравитационное поле и другие. К особому типу сплошной среды относится плазма — ионизированный газ. В состоянии плазмы находится подавляющая часть Вселенной.
Предметом нашего изучения будут математические модели, описывающие эволюцию сплошной среды и такие явления, как образование ударных волн, зон разрежения и сжатия газа, распад начального разрыва, образование вакуума и другие явления. Большое внимание уделено изучению так называемых автомодельных движений среды.
Математические модели механики сплошных сред представляют собою системы квазилинейных дифференциальных уравнений, дополненные некоторыми условиями. Изучая такие задачи в этом курсе, мы на первое место будем ставить вопросы их разрешимости и единственности решений, при этом главным станет выделение наиболее адекватного задаче класса решений.
Характерная форма дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию сплошной среды, имеет вид
3 - "
+ =°. (!) fc=i
где и — параметр среды, t — время, х = (хь х^, хз) — точка в пространстве R3, ut и Jk(jt)Ik — производные по t и Хк, /(и) = {/1 (и),/2(^)1 /з(и)} — вектор потока, при этом рассматривается максимально упрощенная ситуация, когда вектор-функция потока /(и) не зависит от других параметров среды.
Если положить f(u) = {и, /1, /2, /з}, то уравнение (1) можно записать в дивергентной форме div F(^ = 0. Такую форму мы будем называть законом сохранения.
Известно, что эволюция параметров газа описывается системой законов сохранения: массы, импульса и энергии [1].
В некоторых случаях для среды, находящейся в состоянии плазмы или твердом состоянии, не все уравнения имеют форму законов сохранения, однако, если ввести некоторые естественные дополнительные условия на начальные данные, эта особенность устраняется.
Система газовой динамики, как известно, описывает ударные волны, т. е. разрывы параметров среды, и это становится возможным благодаря тому, что она представляется в форме законов сохранения.
Поясним это на примере уравнения (1).
Являясь дифференциальным уравнением, оно допускает только гладкие решения. Однако смысл этого уравнения может быть естественным образом расширен. Для этого мы умножим уравнение (1) на гладкую финитную функцию g(t, ж), проинтегрируем полученное равенство по R^ = R^ х R3 и после интегрирования по частям получим уравнение
{з1
(2)(2)gt^, х)и + ^gzjt, x'jfkW . dtdx = 0.
(2)
(2)
, к=Х 1
На гладких решениях уравнения (1) и (2) эквивалентны, однако уравнение (2), в котором производные с функций и и fk(u) сняты, может допускать негладкие и даже разрывные решения. В связи с этим обобщенным решением уравнения (1) называют любую ограниченную измеримую функцию, удовлетворяющую интегральному соотношению (2). Отметим, что впервые обобщенные решения были введены С. Л. Соболевым [2]. Изучению обобщенных решений посвящены книги [1], [3]-[7].
Для описания процессов в сплошной среде оказывается недостаточным и этот класс обобщенных решений, так как решения могут становиться неограниченными и бесконечно осциллировать.
Оказывается, наиболее естественным классом обобщенных решений для общих систем законов сохранения механики сплошных сред является класс функциональных решений, введенный в [8].
Описание сплошной среды посредством систем законов сохранения типа (1) предполагает, что среда лишена диссипативных механизмов, связанных с вязкостью и теплопроводностью. Учитывая диссипацию, будем различать естественные и искусственные диссипативные члены.
В главе 1 изучаются формы законов сохранения, описывающие различные физические процессы, многие из которых могут быть приведены, как показал С. К. Годунов, к градиентной или близкой к ней «квазиградиентной» форме. Рассматриваются формы законов сохранения в эйлеровых и лагранжевых координатах.
Вторая глава посвящена понятию допустимого обобщенного решения в его развитии: от допустимого обобщенного решения задачи о распаде разрыва для одного невыпуклого закона сохранения и систем невыпуклых законов сохранения в одномерном случае до допустимого слабого решения общей задачи Коши в многомерном случае.
Первая часть главы 3 посвящена задаче о распаде разрыва для невыпуклых квазилинейных строго гиперболических систем. Здесь на базе единого метода с учетом условий на разрыве строится допустимое обобщенное решение задачи о распаде разрыва сначала для одного закона сохранения, а затем и для систем законов сохранения. Устанавливаются теоремы существования и единственности указанных задач.
Во второй части главы 3 доказывается теорема существования и единственности классического решения для строго гиперболической системы из двух уравнений без условий выпуклости. Показано, что такое решение для случая изэнтропической системы газовой динамики может содержать как волны разрежения, так и волны сжатия, которые приводят к градиентной катастрофе и образованию ударных волн. Рассматривается также вопрос об образовании вакуума.
В главе 4 устанавливается существование допустимого решения задачи Коши для одномерной строго гиперболической системы законов сохранения без условий выпуклости при начальных данных малых вместе со своей вариацией на начальной оси. Базой этого обобщения результата Д. Глимма является изученная в главе 3 задача о распаде разрыва для невыпуклой системы законов сохранения.
Глава 5 посвящена системам законов сохранения с искусственной диссипацией. Введение диссипации следует рассматривать как один из способов регуляризации задач для систем законов сохранения. Для многомерных систем законов сохранения, используя простую форму диссипативных членов, доказываются локальная и глобальная теоремы существования и единственности задачи Коши. Основными инструментами доказательства служат априорные оценки и продолжение решения. Форма закона сохранения существенно упрощает как процедуру продолжения, так и получение априорных оценок, в ряде случаев основанных на принципе максимума и выделении инвариантных областей для решения. В заключение показано, что для многих задач механики сплошных сред путем введения искусственной «вязкости» и «срезки» скорости удается выше установленными методами доказать глобальное существование и единственность классического решения задачи Коши.
В главе 6 вводятся новые классы обобщенных решений: мерозначное, решение в среднем и функциональное. На этой основе доказывается методом компенсированной компактности в сочетании с методом вязкости существование глобального Соболевского решения задачи Коши для изэнтропической системы газовой динамики с невыпуклым уравнением состояния и с начальными данными общего типа.
В главе 7 устанавливаются теоремы существования глобального функционального решения задачи Коши для многомерных систем газовой динамики, нелинейной упругости, магнитной гидродинамики и динамики плазмы в изэнтропическом и локально адиабатическом случае.
В одномерном случае аналогичный результат удается получить для полной системы газовой динамики для нормального газа без условий выпуклости, а также полной системы электромагнитной газовой динамики для политропного газа.
В главе 8 с новых позиций обсуждаются вопросы единственности автомодельных решений. Вводится понятие «изолированности» решения, когда в достаточно малой окрестности данного решения нет дру-
гих решений. Это явление удобно изучать, пользуясь теорией конгруэнций в римановом пространстве.
Некоторые разделы монографии могут быть использованы в качестве учебного пособия. С этой же целью в конце глав предлагаются упражнения.
В заключение хочу выразить глубокую признательность А. Н. Тихонову, А. А. Самарскому, Н. С. Бахвалову, А. Б. Васильевой, Б. Л. Рождественскому, Н. Н. Кузнецову и С. Н. Кружкову за поддержку моей научной работы.
Книга разделена на главы и параграфы. Нумерация формул самостоятельная в каждом параграфе, и при ссылках в пределах главы к номеру формулы добавляется номер параграфа данной главы, при ссылках за пределами данной главы наряду с номером формулы и параграфа третьей цифрой указывается номер главы. При ссылках на определения, теоремы, леммы, замечания третья цифра добавляется при ссылках за пределами данной главы. Рисунки имеют сквозную нумерацию. Знак □ означает конец доказательства.
Глава 1ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ИХФОРМЫ
Уравнения механики сплошных сред в формезаконов сохранения
Хорошо известны уравнения газовой динамики [9]
Pt + (ртк^хк = 0,(1а)
(Vm^t + Vk(Vm)xk = —~Рхт’ОЬ) (1)
St ^'UkSxk = 0,(1с)
где р — плотность, и = («ь иг, из) — скорость, р — давление, S — энтропия, а по повторяющемуся индексу, если он не взят в скобки, проводится суммирование.
Система описывает локально адиабатическое течение газа с уравнением состояния р = р(р, S).
Только уравнение (1а) в этой системе имеет форму закона сохранения. Покажем, что вся система (1) может быть также сведена к системе законов сохранения.’
Действительно, умножая уравнение (1а) на um, а уравнение (1Ь) на р и складывая полученные равенства, приходим к системе
(p^m^t + (pUm^k 4" SmkP^ik = ®>(2Ь)
где 5тк — символ Кронекера.
Система (2Ь) выражает закон сохранения импульса. Для получения закона сохранения энергии рассмотрим второй закон термодинамики [1]
9dS = dU +pdV,(3)
где 9 — температура, U — удельная внутренняя энергия, V = р-х — удельный объем.
Дифференциал dS вдоль траектории частицы среды представляется выражением
dS = (St + vkSx J dt,
и, следовательно, в силу уравнения (lc) dS = 0. Но тогда согласно соотношению (3) имеем равенство
Ut + UkVxk ~ ^(pt + Vkpxj = 0.
Р
Умножая его на р и складывая с (1а), умноженным на U, получим
уравнение
(pU)t + (pVfcU)Ik + p(vk)xk = 0.
Складывая уравнение (1b), умноженное на pvm, с уравнением (1а), 199
умноженным на - гг, где гг = получим уравнение
(
2\/2\
/ + \ / + Укр$к = °"
/ X z ) хк
Сложение двух последних уравнений дает уравнение сохранения
энергииэнергии(p£)t +(p£)t += 0,= 0,(2с)(2с)
энергии
энергии
(p£)t +
(p£)t +
= 0,
= 0,
(2с)
(2с)
где Е = U + ^ и2 — полная удельная энергия газа.
(2а)(2Ь) (2)(2с)(2а)(2Ь) (2)(2с)Таким образом, объединяя все уравнения (la), (2Ь), (2с), получаем систему законов сохранения
(2а)
(2Ь) (2)
(2с)
(2а)
(2Ь) (2)
(2с)
Pt + (№)xt = О,(pv771)t + (рит^к + 8ткР)хк — 0.^pE^t + [/Wfc (е + -)]= О,
1' P'izk
где (1а) обозначается через (2а).
Отметим, что если уравнение (1а) умножить на S и сложить с уравнением (1с), то получится еще один закон сохранения:
(pS^t + (vkpS^Xk = о.(2d)
Он является следствием системы (2).
Систему (2) удобно записать в векторной форме
ut + fk(u)Xk =0,
где
pvk, pvmvk + 6ткР, pVk^E + ^j^ ,и € R5 = Rt х R^x R,
Rt = VP'P>°V ^3 = {pv}, Ri = {pE}.
Система газовой динамики (2) может быть выведена непосредственно, как это сделано в [1]. Эта система описывает течение газа, лишенного вязкости и теплопроводности, в пространстве R3. Такой газ называют идеальным. Эта модель в классе гладких решений хорошо описывает течение газа при малых (дозвуковых) скоростях. При сверхзвуковых скоростях в течении возникают разрывы, и тогда оказывается, что система (2) не дает полной информации о течении газа.
Чтобы получить эту дополнительную информацию, необходимо учесть вязкость и теплопроводность газа.
С этой целью согласно теории Стокса [10] в системе (2) необходимо сделать замену 6ткР —» 6ткР - ^тк, записывая в уравнении (2с) Укр = = vmSmkP- Здесь тензор «вязкости» атк имеет вид
^тк = Л^тк "Ь C^Tnk^i^iit
2
Где Гт/с = (Ут)хк + (^fc)xm — g ^mfc(^i)x,-
Положительные величины Т) и ( называют коэффициентами вязкости (часто коэффициент второй вязкости £ полагают равным нулю).
Кроме того, в правую часть уравнения (2с) следует ввести член, соответствующий притоку тепла за счет теплопроводности (Х9Хк)Хк, где А — коэффициент теплопроводности.
В результате мы приходим к системе уравнений в форме законов
сохранения для вязкого и теплопроводного газа:
Pt + (рг>к)1к = 0,:(4а)
(рУт)< + (рУ-т^к 4" ^шкР^Хк = (&тпк)хк<(4Ь) (4)
(pE^t + ШрЕ + р^Хк = ('Um<7mk')xk + ^XSg^ib •(4с)
при этом закону сохранения (2d) соответствует равенство
(pS)t + (vkpS)x =+ Q,(4d)
\ у )хк
где Q = rmk + j (^)L + | Х92к.
Отметим, что уравнение (4d), в отличие от (4а), (4Ь), (4с), не имеет формы закона сохранения.
В случае одномерного течения газа система (4) принимает вид
Pt + (/w)z = 0,(5а)
(py)t + (ри2 + Р^х = (pvx)x,(5b) (5)
(рЕ\ + НрЕ + р^х = (руух^х + lX9xV (5с)
4
где ц = -7/ + ( — коэффициент вязкости, при этом уравнение (4d) принимает вид
(pS)t + (vpS)x = ^у2 + 1 (X9xV
Переходя к модели неоднородной вязкой несжимаемой жидкости, необходимо принять, что вдоль траектории частицы жидкости плотность не изменяется и, следовательно, имеет место равенство
Pt + VkPxk = 0.
Но тогда в силу закона сохранения массы (1а) мы имеем равенство
^zk = 0.(6с)
Система (4Ь) принимает вид
^P^m^t Т ^Р^т^к + ^mkP\zk = Р-(з?т^жкхк'(6Ь)
и вместе с законом сохранения массы
Pt + (pvk)zk = 0(6а)
и уравнением (6с) образует систему, описывающую указанную модель, при этом уравнение для энергии типа (4с) отделено от этой системы и решается после нахождения скорости и плотности.
Система (6а)-(6с) имеет форму системы законов сохранения. Она представляет значительный интерес для таких разделов прикладной гидродинамики, как океанология и гидрология.
Рассмотрим теперь математическую модель для твердой сплошной среды. Согласно [11] полная система уравнений, описывающая поведение упругой среды Максвелла, в которой не учитываются вязкие напряжения внутреннего трения, теплопроводность, внешние источники тепла и внешние силы, составляется из уравнений
Pt + (pvk)Ik = 0,(7а)
(/^m)t 4" (.Р^т^к — ^mk^ii, = 0,(7Ь) (7)
^pE^t 4" (vkpE Ут^тк^ zk = 6,(7c)
(pctj^t + (ykpcij - •uipCkj)Ik + Vi^pCk^ik = o,(7d)
где U = Uty, ch, Ci2, ..., C33) — удельная внутренняя энергия, С = = [c,j] — тензор дисторсии, Е = U + - и2 — полная энергия, тензор напряжений определяется по формуле Мурнагана [11]
^тк = 6mkUv + pCkiUCmi.(7<т)
Все уравнения системы (7), за исключением подсистемы для дисторсии, являются законами сохранения.
Покажем, что при некоторых дополнительных требованиях система (7d) приводится к форме закона сохранения. Для этого введем функции Yj = (pctj')$i и продифференцируем систему (7d) по xt. Тогда получим систему
уу + №К =о.
Дополним ее начальными условиями
(№j)zjt=o = 0.(7g)
Очевидно, что эта начальная задача в классе гладких решений имеет только тривиальное решение Yj^t, х) = 0. Таким образом, на гладких
решениях системы (7) при условии (7g) система (7d) распадается на систему
(pCij^t + (vkpcij - игреках,. = 0(7е)
и систему
kpckj)$k = 0, j = 1, 2, 3.(7h)
Система (7а), (7b), (7с), (7е), (7h) образует систему законов сохранения (7)*, эквивалентную системе (7) при начальном условии (7g) на гладких решениях.
Дополнительный закон сохранения имеет вид
(/>S)t + ^kpS)Ik = 0.
Второй закон термодинамики представляется выражением
9 dS = dU- Uv dV - UCij dc^.
Рассмотрим еще один объект сплошной среды — идеальную ква- зинейтральную плазму, лишенную вязкости и теплопроводности и обладающую бесконечной электропроводностью. Систему законов сохранения, описывающую эту модель сплошной среды, называют системой магнитной гидродинамики. Она имеет вид [1]
Pt + kpvk)zk = 0,(8а)
^.P^m^t “Ь ( P^m^k ~h ^mk ( Р 4~ ^ )ч ^m^k I = 0,(8Ь) (8)
\\о7Г /47Г/
XX//1к
(pE)t + (vk(pE + p) - ^-vmHmHk} = 0,(8с)
X4тг)хк
(H^t + №к - Нк^хк = о,(8d)
„, V2 Н2„
где Е = и + — + -— — полная удельная энергия плазмы, Н —
2 отгр
вектор напряженности магнитного поля, при этом в систему (8) следует включить уравнение
№< = 0.(8е)
Дополнительный закон сохранения энтропии имеет вид
(pS)t + WSK = 0.(8g)
Система (8), в которой сделана замена (8с) i-+ (8g), называется системой уравнений Лундквиста. Она описывает локально адиабатическое течение плазмы. В этом случае второй закон термодинамики выражается равенством
9dS = dU-UydY + ^HidHi.
4тг
Если не требовать квазинейтральности среды и бесконечной электропроводности, то система электромагнитной газовой динамики [1] приводится к неоднородной системе законов сохранения.
§ 2. Градиентные и квазиградиентные системызаконов сохранения
Как показано в [12], система законов сохранения (2)1 может быть представлена в градиентной форме
б го , д rk8t ч= дхк ч’б го , д rk8t ч= дхк ч’= 0,= 0,8 = 0, ..., 4,8 = 0, ..., 4,(1)(1)
б го , д rk
8t ч= дхк ч’
б го , д rk
8t ч= дхк ч’
= 0,
= 0,
8 = 0, ..., 4,
8 = 0, ..., 4,
(1)
(1)
где L0 = ^ Lk = иЛ, к = 1, 2, 3, q0 = ^ (Z - у), qm =
УУУ \Z уи
т = 1, 2, 3, 94 = —9~х, Z = U - 9S + pV — потенциал Гиббса, функции L°(q), Lk(q) называют производящими . Возможность представить систему газовой динамики через градиенты скалярных функций сама по себе очень важна, однако не менее важным является то, что градиентная система (1) всегда допускает, как следствие, дополнительный закон сохранения
Ф(9, q°)t + Фк(9, q°)Xk = 0,(2)
где
Ф(9, 9°) = L°qMQs - q^ - ^(q) + L4q%
»4q, 9°) = LkJqXqs - q”) - Lk(q) + Lk^).
^(q, q0^ — называют обобщенной энтропией, а Ф(9, 90) = = {Ф1, Ф2, Ф3} — потоком энтропии.
В частности, для системы газовой динамики (2)1 эта энтропийная пара имеет вид
Ф(9,?°) = р{у W-L7° + po(V-n-0O(S-^)},(2а)
Фк(9,90) = ^(Ф+р-Р°).(2Ь)
Закон сохранения энтропии (2d) 1 вытекает из уравнения (2), если его умножить на б^1, а затем формально перейти к пределу при 9q —» 00.
Отметим, что для системы (4)1 справедливо дополнительное соотношение
Ф^ЧЫт*М А 1-^ 5j -9°Q,(3)
X X / /Zk
где Q задается выражением (4d)L
Для системы (6)1, описывающей течение вязкой несжимаемой жидкости, обобщенная энтропия и ее поток имеют вид
Ф = ру, Фк=ЗДГр^+р')(4)
и удовлетворяют уравнению
,/у2\
Ф< + Ф^ =м( у ) -Ц^хк-(5)
\ /ХкХк
Система нелинейной упругости (7)1 не приводится к градиентной форме. Для нее, как и для системы (8)1, применима квазиградиентная форма [13]
+ a akq. - V)+< а ^=о, (6) ОТ 48 ОХк 444 ОХк
где £° = A Lk = Vkl?, rl = ^ViUCil, b^ = pcki, s = (0, m, 4, ij\ к,т,г, з = 1, 2, 3, q0 = - I Z - — V qm = -vm, q^ = qtj = - UCij, Z = U - VUv - 9S - Uc ;C — потенциал Гиббса, при этом Uc : С = = UCijCij-
(2\U + — 1 dqt + рС : dq,Г /2 \(2\U + — 1 dqt + рС : dq,Г /2 \Дифференциалы производящих функций L°, Lk, г1 представляются выражениями
(2\
U + — 1 dqt + рС : dq,
Г /2 \
(2\
U + — 1 dqt + рС : dq,
Г /2 \
dLk = рок dq0 + (pvmVk - S^IV) dqm + vk pyU + у J - Uy dq^ ++ VkpC : dq, dr1 = Ucu dq^ + VtUCu dq^ + Ui dqu,
из которых получается система ■
Pt + (№)хк = О,
(,P^Tn)t "Ь кР^тп^к ^тк^Хк ~Г ^cmi (z^^)®;®>(у)
(,pE^t + {pVk^ — 'VTnOmk)xk "Г ^rnUcmi (рСц)ц 0,
^P^ij^t *Г ^P^k^ij P^iCkj^ik + ^AP^kj^Xk ^'
Система (7), дополненная начальным условием (7g) 1, на гладких решениях эквивалентна системе законов сохранения (7)*1.
Система магнитной гидродинамики (8)1 также приводится к квази-
градиентной форме (6) при г1 = г, Ьк = Ьк, где
1 /\
£°^ИР+^)- Lk = vkL°'У \ О7Г у
1 / гт1I1 ГГ
т = 2_^щ, bk = Hk, Z = U + pV-9S,
( 2
причем Ф = р ^ j + U - U0 +p°(V - V0) - 9(S - 5°)
К градиентной форме приводится система релятивистской газоди
намикинамики^.P^t + (.pTl'k'lxk — О, ^phT^'UTO')t + (p/ir^UmVfc + 8mkP)$k ~ 0>
намики
намики
(phi2 - p)t + и>НГ2Ук)хк = о,
(8)(8)при этом edS = dUo + p dV, Z = Uq + pV — 6S.
(8)
(8)
Дополнительный закон сохранения для системы (8) имеет вид
(pTS^t + (рГ8Ук^к = о,
а градиентная форма для системы (8) строится с производящими функциями и переменными вида:
£° = Г|, Lk^vkL°, q0 = ^Z+\), qm = ^vm, 94 =-£•
В работе [13] приведены градиентные и квазиградиентные формы для систем фильтрации, сверхтекучести и сверхпроводимости.
§ 3. Системы законов сохранения в лагранжевыхкоординатах
Рассмотрим траекторию частицы среды
х — ж((, t),
(1)(1)где £ = х^, 0), а £ = (^, £2, €з) — координаты начального положения частицы, которые называют также лагранжевыми координатами.
(1)
(1)
ствоство^^=< х^, 0).^^=< х^, 0).(2)(2)Если известно поле скоростей v(t, ж), то тогда выполняется тожде
ство
ство
^^=< х^, 0).
^^=< х^, 0).
(2)
(2)
стемыстемы
стемы
стемы
Тензор дисторсии С = [су] определяется матрицей
при этом введем обратную матрицуД = С 1 = [a,j] и отметим тождество
CijQjm = 8im.(8)
Дифференцируя тождество (2) по & с учетом (3), получим систему dC{j dViIе
"dr = d^Cmj’ =
Матрицу С можно рассматривать как фундаментальную матрицу си
$-в^
где B(t) = [bim(t)], biTn = ^- <х^, t), t).
Согласно формуле Лиувилля детерминант det C(t) = J(t) удовлетворяет уравнению,,
С другой стороны, на траектории, определяемой (1), имеем уравнение
О
и, следовательно, находим, что
т. е. вдоль траектории х = ж(£, t) выполняется равенство
pj = рЧа(4)
где учтено, что p|f=0 = р0^ и J(0) = 1.
Уравнение (4) выражает закон сохранения массы в лагранжевых координатах.
Уравнение (7h)l также можно представить в лагранжевых координатах. С этой целью перепишем равенства (3) в виде
pCkjV djm = 5fcm, продифференцируем их по Хк и получим равенство
{p^kj^xk Vajm + pCkj(Vajm)x^ = 0.
В силу (7h) 1 тогда имеем (,VajTn>)IkCkj = 0 и, следовательно, с учетом (За) получаем
(Vakm)Ck = 0.(5)
Найдем теперь закон сохранения импульса в лагранжевых координатах. Для этого запишем (7Ь)1 в виде
Р^т)t+pvk(vm)ifc — ^mk^ik*
Положим атк = pamiCki, и с учетом (7h)l запишем
^mk'lzk = к.®mi)xkPCki 4" OmiVpCki'lzk — P^mi)^ •
В результате получаем систему
dt^m = 9^k^OmkV
где введены обозначения: 9t(-) = (-)t + «k^zk- д^к(-) = (-^к.
Рассмотрим также уравнение (7с) 1
p^Et 4- VkEXk} = (vtt из которого, с учетом равенств
^m^miP^ki^Zk ^m^mi)zkP^ki P^m^Tni^i >
получаем закон сохранения энергии в лагранжевых координатах:
8tE = 8^k (Um'Tmk)-
Таким образом, при выполнении условия (5) мы получаем систему нелинейной упругости в лагранжевых координатах
8t Ут d^k<Tmk — О,8tE- 8$k («т^тк ) = 0,(6)
^t^k ^^k^i = 9,
где атк = amkUvV + UC к, при этом плотность p(t, £) находится из
(4).m
Дополнительный закон сохранения энтропии имеет вид
8tS = 0.
Энтропийная пара представляется выражениями
Ф = ^- + и-и°° + ^(S00 - S) - 5^>(су - с^),Фк = ут№к -°тк).
Остановимся на переходе к лагранжевым координатам в системе (5)1. В одномерном случае требования типа (7h)l являются излишними. Согласно (2), (4) и с учетом того, что J = ^, имеем соотношение
(8)(9а)(9Ь)(9с)(8)(9а)(9Ь)(9с)dz = d^ + y(t, С) dt.Pv» s)
(8)
(9а)
(9Ь)
(9с)
(8)
(9а)
(9Ь)
(9с)
Отсюда вытекает уравнение
где 8t^ = ^t + ^x, 8^-) = (■)$•
Далее, используя (8), из (5Ь)1 получаем уравнение
p8tv + 9с(р)£ = 8^ (^(.^£Д\Из'
а из (5с) 1 — уравнение
^ + аем£ = а5 pfWi) ^ + ае (ла£(«)^) <
С
Вводя массовую переменную q = J ро(^) dr] в уравнения (9а), (9b), о
(9с) и переходя к краткой записи производных в переменных Дагран-
жа, получаем систему
. Vt-Vq = О, Vt+Pq = {HpVq)q,(10)
Et + (tip^q = (ppUVq^q + (Хр9д^.
Эта система описывает одномерное течение газа в лагранжевых координатах. Системе (10) соответствует обобщенная энтропия
2
Ф(<7,<7°) = ^ + U-U0+p4V-V°V64S-S°Y(11)
Упражнения
Получить дополнительный закон сохранения (1)2.
Убедиться в том, что (2а), (2Ь)2 — энтропийная пара системы (2)1.
Убедиться в справедливости выражений (3), (4), (5) § 3.
Убедиться в том, что (7)3 — энтропийная пара системы (6)3.
Найти поток энтропии для системы (8)2.
Найти энтропийную пару системы (8)2.
Определить градиентную форму системы (10)3.
Найти поток для энтропии (11)3 системы (10)3.
Глава 2
ДОПУСТИМЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
Один закон сохранения
Рассмотрим один закон сохранения на прямой .
ut + /(u)z = 0(1)
с начальными данными
w|t=o = u°(x),(2)
где /(u) е C2(R), а и°(х) е С1 [Л], т.е. гладкая и ограниченная вместе со своей производной функция на всей оси х.
Соответствующая характеристическая система уравнений
с начальными данными x|t=o = £, u|t=o — м°(О имеет решение
i = X^0=^A-tf\uQO. и = и°^,(3)
которое образует при изменении £ однопараметрическое семейство характеристик. В проекции на плоскость R^ переменных t, х оно представляет собою семейство прямых с непрерывно изменяющимся наклоном.
Исключая из системы (3) параметр £, получим функцию
u = U^t, х),(4)
которая является решением задачи Коши (1), (2).
Действительно, при малых t по теореме о неявной функции такое исключение всегда возможно, и на каждой линии х = X(t, ^) выполнено тождество
U(t,X(t, ^) = и^, дифференцируя которое по t, получаем
Ut(t, X) + XtUx(t, Х)=0.(5)
Но из (4) вытекает равенство
xt(t, о ==х»,
использование которого в равенстве (5) приводит к тождеству
№ X) + f\U(t, XWt, X) = О,
и, следовательно, функция (4) является решением уравнения (1). Очевидно, что У(0, х) = и°(х'), т. е. функция U^t, х) удовлетворяет условию (2).
Эти рассуждения составляют основное содержание метода характеристик. Наиболее важным моментом в них является вопрос о разрешимости относительно переменной £ уравнения
x = X(t, ^^ + tfVO-
По теореме о неявной функции это возможно, если в окрестности точки (t, £) производная X^(t, ^ ^ 0, т. е., если выполнено неравенство 1 + tq^ + 0, где q^) = Vf^Ok
Так как и°(^ — гладкая ограниченная вместе со своей производной функция, a /(u) G С\Н\ то infg(^) — конечная величина.
Если она неотрицательна, то тогда 1 + tq^ > 0 при t > О, и задача Коши (1), (2) решается методом характеристик всюду при t 0. Если infg(^) < 0, то тогда 1 + tq^ > 0 при 0 t < t*, где t* = —[inf g(£)]-1, и задача (1), (2) разрешима лишь в полосе П* = {(t, х) : 0 < t < t*, |х| < оо} и имеет в ней классическое решение.
Что же происходит с решением на линии t.= t*?
ххДокажем, что если величина infg(£) = — 1/t* < 0 достигается во всех точках некоторого отрезка [Со - 5, £0 + 5], где 6 > 0, то при t —> t* решение задачи (1), (2) становится разрывным. Действительно, в этом случае на отрезке [£о - 5, Со + <5] имеет место тождество 1 + t*q(^ = 0, из которого вытекает тождество
х
х
(6)(6)rM + WO,
(6)
(6)
где х* = ^0 + Г/'(и°(Со)). а ^о - 5 С Со + 5-
Тождество (6) означает, что семейство характеристик (3), выходящих из точек отрезка [£о - 5, £о + 5], проходит через одну точку (t*, х*) плоскости Ri (см. рис. 1).
Поскольку, вообще говоря, uQ^ ^ const на [£о — 5, £о + 5], то в силу условия (2) вдоль каждой прямой характеристического семейства в точку (t*, х*) приносятся различные значения и°(£), и в этой точке имеет место разрыв решения -и = U(t, х).
Из тождества (6) вытекает, что на линии t = t* > О возникает разрыв, если для любых значений £ G [£о — 6, £о + 5] выполнено тождество
i°(£)) = -£/£*+ const.i°(£)) = -£/£*+ const.(6а)(6а)
i°(£)) = -£/£*+ const.
i°(£)) = -£/£*+ const.
(6а)
(6а)
Например, в случае /(и) = ^ и2 для выполнения (6а) достаточно взять начальную функцию и0^) убывающей линейной функцией на отрезке [£0 - 5, £о + 5].
Если в этом случае и0^) = —х^(х), где фн^х) — сглаженная ступенчатая функция i/>(i) = 1 + m-1 при х G (±(т — 1), ± т) ит = 1,2, ..., то тогда решение задачи (1), (2) имеет счетное множество точек разрыва tm = ^ ^ на оси х = 0 при t < 1.
Наконец, если при /(и) = и2 начальная функция задается выражением
идя) = — ах + 3(х)х,
где а > 1, а функция 3^ = 0 при х < 0 и Зкх^ = 1 ПРИ х > 1, а на отрезке [0, 1] она является «лестницей Кантора» [14], то тогда решение задачи (1), (2) также имеет счетное множество точек разрыва на оси х = 0 при t, изменяющихся на отрезке а-1 ^ t ^ (а — 1) .
Последние два примера показывают, что на образование счетного множества точек разрыва решения влияет как поведение начальной функции на всей оси R, так и ее локальное поведение.
Можно получить счетное множество точек разрыва решения за счет ухудшения свойств функции /(и). Так, если взять /'(и) = —аи + /?(и)и при условии, что а > 1, а ЗМ — функция Кантора, то, также как и в приведенном выше примере для начальной функции ц°(а:) = х, решение задачи (1), (2) будет иметь счетное множество точек разрыва на отрезке а-1 (а — I)-1 при х = 0.
Таким образом, образование точек разрыва и даже счетного множества их имеет место при гладкой функции /(и).
После образования разрывов решение задачи (1), (2) перестает существовать как классическое решение, и требуется выработать новые представления о решении.
С этой целью предположим, что на линии t = t* > 0 образовался только один разрыв решения задачи (1), (2), и вне его на линии t — t* решение постоянно. Например, в случае /(и) = - и2 для начальной функции
иТ +иТ +Ну 6 - д 6 -£о uzНу 6 - д 6 -£о uz(tZ( — ur)(tZ( — ur)при £1 < х,при £1 < х,при £о<Ж£ьпри £о<Ж£ьприприX < £0,X < £0,
иТ +
иТ +
Ну 6 - д 6 -£о uz
Ну 6 - д 6 -£о uz
(tZ( — ur)
(tZ( — ur)
при £1 < х,
при £1 < х,
при £о<Ж£ь
при £о<Ж£ь
при
при
X < £0,
X < £0,
где ит < щ на прямой t = t* = (£i - £o)/(uz — ur), будет только одна точка разрыва решения задачи (1), (2), вне которой на этой прямой
оно постоянно и равно гц слева и ит справа от точки разрыва х* = = Uw ~^0Ur)/(ui -Ur).
В полосе П* это решение задачи (1), (2) хотя и не является классическим в силу негладкости начальной функции u° (я), но может быть определено как предел классических решений с гладкими начальными данными.
Теперь для изучения решения при t > t* введем переменные t' = = t — t*, х' = х — х*, и, опуская штрихи, приходим к задаче Коши для уравнения (1) с начальными данными
u|t=o = ui +9(x)(ur - uz),(7)
где 9(x) — функция Хевисайда.
Задача (1), (7) называется задачей о распаде начального разрыва или задачей Римана. Она инвариантна относительно преобразования подобия: t н-> kt, х i-> kx, благодаря чему ее решение можно искать как функцию переменной у = x/t. Такие решения называют автомодельными.
Переход к переменной у = x/t в задаче (1), (7) приводит к краевой задаче
(/ (и) — У)^ ~ О,(8)
и(—оо) = uz, и(+оо) = иг.(9)
Эта задача переопределена, поскольку одно обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка дополняется двумя краевыми условиями, и поэтому, вообще говоря, не имеет решения в обычном смысле.
Однако можно говорить о разрывных решениях этой задачи, которые состоят из гладких участков двух типов: постоянных и = const и непостоянных и = (/') 1 (у)» называемых волнами разрежения. Подобные решения, удовлетворяющие уравнению (8), исключая конечное множество точек на оси у, а при у —> ±оо удовлетворяющие условиям (9), мы будем называть обобщенными решениями задачи (8), (9). Таких решений можно построить сколь угодно много. Это объясняется тем, что положение точек разрыва и сами величины разрывов полностью из рассматриваемой задачи не определяются. Необходима дополнительная информация о допустимых разрывах, т. е. правило отбора допустимых решений.
С этой целью воспользуемся методом «вязкости» и введем в правую часть уравнения (8) член eum. В результате получим уравнение
'k + №I=euII.(10)
Пусть уо — точка разрыва обобщенного решения задачи (8), (9) и = й(у) с левым значением на разрыве и_ = й(уо — 0) и правым значением и^ = й(уо + 0).
На полуплоскости Rj это решение представляет собою функцию -и = u{x(t), которая имеет разрыв {ударную волну) на линии х = yot с° значениями и_ слева и «+ справа от этой линии.
Идея отбора допустимого разрыва состоит в том, что гладкое решение задачи (10), (7) и = u{t, х, в) при е —> 0 должно стремиться к u{x/t). В частности, в окрестности линии разрыва х = yot решение задачи (10), (7) должно быть близко при малых е к автомодельному решению от «быстрой» переменной г = е-1 {х — yot). Такие решения удовлетворяют уравнению
(И)(И)du / r/z \\ du
(И)
(И)
7 = VW-riT
(На)(НЬ)(На)(НЬ)По предположению слева от разрыва решение уравнения (11) и = и{т) близко к и_, так что и{т) — и- = ш{е) при т < 0, а справа от разрыва и{т) — и+ = ш{е) при т > 0, где ш(е) бесконечно малая. При е —» 0, когда ш(е) —► 0, имеем
(На)
(НЬ)
(На)
(НЬ)
при т —оо при т -* +оо "при т —оо при т -* +оо "
при т —оо при т -* +оо "
при т —оо при т -* +оо "
Интегрируя уравнение (11), получаем уравнение
^ = -you + /(u)+C.ат
Для широкого класса решений из соотношений (Па) следует, что и'(т) —> 0 при т —> ±оо, и поэтому справедливо равенство С = you- — — f{u_) = уои+ — f{u+), из которого вытекает соотношение
.-yo(u+-u-)±/(u+)-/(u_)=O,(12)
а с учетом (11b) получаем уравнение
^ = -yo(u-u_) + /(u) -/(u_).(13)
Соотношение на разрыве (12) называют условием. Гюгонио, а уравнение (13) — уравнением пограничного слоя.
Естественно считать, что разрыв обобщенного решения (8), (9) в точке уо со значениями и_ (левое состояние) и и+ (правое состояние) является допустимым, если представляющая точка и{т) решения уравнения (13) движется при возрастающих т от значения и_ к и+.
Поскольку /(u) G C2(R), то уравнение (13) обладает либо одним решением и = и{т), которое соединяет особые точки и- и и+ (одна целая траектория), либо между точками и_ и и+ существует множество других промежуточных изолированных особых точек, которые соединяются решениями уравнения (13), образуя ^цепочку целых траекторий», при этом на каждой целой траектории выполняется неравенство
(и(т) — и_)-1и'(т) > О ((и(т) — и+)-1и'(т) < 0),(13а)
которое соответствует нашему предположению о том, что представляющая точка решения должна двигаться от особой точки и_ к особой точке и+ при возрастающих т, например, если «+ > и_ и нет промежуточных особых точек, то должно быть и'(т) > 0 и и+ > и(т) > и_, если и+ <и_, то и'(т) <0ии+< и(т) < -и,_ и (13а) выполнено. Если имеют место интервалы неизолированных особых точек уравнения (13), то их также можно включить в «цепочку», считая, что и'(т) = 0 на них; назовем такие интервалы особыми.
Из неравенств (13а) на интервалах без промежуточных особых точек и равенства и\т^ = 0 в промежуточных особых точках и на особых интервалах вытекает условие устойчивости
/(u)-/(u_) > /(и) - f(u^ , ., и — и_ / и — U+ ’
которое часто называют условием О. А. Олейник [15].
Условие Гюгонио (12) и условие устойчивости (14) — это и есть та искомая дополнительная информация на разрыве, о которой говорилось выше.
Разрывы решения, на которых выполняются эти условия, будут называться допустимыми. Теперь можно дать определение допустимого обобщенного решения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Допустимым обобщенным решением задачи о распаде разрыва (8), (9) назовем ограниченную кусочногладкую функцию и = й(у), удовлетворяющую условиям (9) при у —► ±оо, а на прямой у — уравнению (8), исключая конечное число точек {уо} допустимых разрывов первого рода, а также исключая конечное число точек слабого разрыва, в которых решение непрерывно, но имеет разрыв производной.
Роль условий устойчивости (14) хорошо видна из следующего примера.
Пусть /(и) = - и2 и щ < иг. Тогда можно построить обобщенное решение задачи (8), (9) следующего вида:
(1 /\
Щ при-(um + ur)<y
и = и(у) <
Um При Um < У <; — (ит + Ur
у прищ < у < um
, щ приу ^ и/
Это решение удовлетворяет всем требованиям определения 1.1 за исключением условия устойчивости. Но значение um € [и/, ur] можно выбрать произвольно, и поэтому таких обобщенных решений сколь угодно много. Условие устойчивости (14) выделяет только одно решение, соответствующее значению ит = иг. На основе определения 1.1 можно выработать алгоритм построения допустимого обобщенного решения задачи о распаде (8), (9) и установить, что такое решение
единственно и представляет собою монотонную функцию. Эти вопросы будут далее освещены в главе 3.
Системы законов сохранения
Рассмотрим задачу Коши для системы законов сохранения
Ut + /(u)$ = 0(1)
с начальными данными„
«к=о = и°(х),(2)
где и = (и1, и2,..., uN) — вектор в Rn, а / : Rn —► Rn — вектор- функция (/*, /2, fNY принадлежащая C2(Q), Q — область в Rn, а собственные значения Хк(и) матрицы Уи(и) в Q вещественны и различны, причем
Ai(u) < Аг(и) < ... < Xn(u).(3)
Система (1), удовлетворяющая условию (3) в Q, называется строго гиперболической в области Q. Известно, что при этом существует полный линейно независимый набор правых г*(и) (столбцов) и левых Zk(u) (строк) собственных векторов матрицы Уи(и), определяемых из систем
(Уи(ц)-/А(к)(ц))гк(ц)=0, lk(u) (У„(и) - IXW^ = 0, (За) таких что Zm(u)rk(u) = 5тк-
Переходя в задаче (1), (2) к переменной у = x/t для случая, когда и°(х) = щ + 0(х)(иг — щ),
где 9(х) — функция Хевисайда, получим задачу о распаде разрыва
(У«(и) — у/)^ = О,(4)
ц(—оо) = щ, u(+oo) = иг,(5)
где I — единичная матрица.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Назовем обобщенным решением задачи (4), (5) ограниченную кусочно-гладкую вектор-функцию и = и(у) со значениями из П, удовлетворяющую при у —> ±оо условиям (5), а при —оо < у < +оо — системе уравнений (4), исключая конечное множество точек непрерывности и(у), в которых имеет место разрыв производной (слабый разрыв), и конечное множество {уо} точек разрыва первого рода (сильного разрыва), в которых выполняются условия Гюгонио:
№+) - К^-)-yo(i4-и_) = 0,(6)
где уо — точка разрыва, и_ = и(у0 — 0) и и+ = и(уо + 0) — левое и правое значения (состояния) на разрыве.
Это определение не содержит условий устойчивости, поскольку в векторном случае они существенно отличаются от условий (14)12, и для их введения необходимо рассмотреть свойства решений и особых точек системы пограничного слоя
^ = -yo(«-uo)+/(u)-/(uo),(7)
которые существенно более сложные, нежели в скалярном случае. Эти условия мы рассмотрим несколько позже.
Остановимся на свойствах обобщенного решения задачи (4), (5) в смысле определения 1.2.
Согласно этому определению точки слабого и сильного разрывов разбивают ось у на интервалы, на которых обобщенное решение является гладким и должно быть либо постоянным u = uq = const, либо непостоянным и = ид(у) ^ const, и тогда на рассматриваемом интервале должно удовлетворяться тождество
det(/u(uR(y)) - у/) = 0.(8)
Из уравнения (8) получаем тождества
у = Ak(uR(y)),(9)
выполняющиеся при любом номере к из набора 1, 2, ..., N.
Участки решения uR(y), на которых выполняется равенство (9), называются волнами разрежения к-го индекса.
Из системы (4) с учетом (8) вытекает, что на участке волны разрежения к-ro индекса удовлетворяется система уравнений
duR _ Тк^ин")dy _XkA(k)(ufl) ’
где Tk(u) — собственные векторы (правые) матрицы /U(u), а функция XkA(k)(u) = Tk(u)VA(k)(u) на решении и = uR (у) сохраняет знак на рассматриваемом интервале.
Относительно структуры обобщенного решения задачи (4), (5) можно установить ряд общих утверждений.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2. Если к ^ т, то волна разрежения т-го индекса не может быть непрерывным продолжением волны разрежения к-го индекса.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, если бы такие волны соединялись в некоторой точке у = уо, то тогда имело бы место равенство
Ак(ид(уо) —(ид(уо)).
которое противоречит условию (3).D
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Волны разрежения одного индекса не могут непрерывно соединяться участком постоянства, а волны разных индексов соединяются только тогда, когда волна большего индекса лежит справа.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если предположить противное, то при У1 < уг выполнялось бы равенство Ak(uj?(yi)) = Ат(ид(у2)), т ^ к, которое противоречит (9).О
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. Для любого обобщенного решения и = = и(у) в смысле определения 1.2 можно указать такое достаточно большое число Y > 0, что при у < —Y выполняется равенство и(у) = = щ, а при у > У —равенство и(у) = иг.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Пусть и(у) = = UR^ при у > У, где У > 2{тах(|А&(иг)|, |Ак(ц,)|), k = 1, 2, .... АГ}. к
Так как ид(у) —♦ иТ при у —> оо, то тогда для любого е > 0 найдется У такое, что |Ak(ur) — Аь(ид(у))| < е при у > У > 2е. Отсюда следуют неравенства
Ak(ur) > Xk^R^) — е>у — ^Y > 1 У, последнее из которых противоречит указанному выше выбору У. Аналогично рассматривается случай у < — У.П
Поскольку изучение задачи (1), (2) во всей общности оказывается сложным, то выделяют часто некоторые классы систем (1).
Систему (1) называют выпуклой ^истинно нелинейной') в П, если всюду в области П выполнено условие
Tk<u)^XwQu)^O(Н)
при каждом к = 1,2, ...N, при этом по повторяющемуся индексу, взятому в скобки, суммирование не производится.
В скалярном случае условие (11) означает, что f"(u) ^ О, т. е., что функция f(u) выпукла. Условие (11) означает, что знаменатели правых частей системы (10) при любых k = 1, 2, ..., N не обращаются в нуль, и семейство волн разрежения каждого индекса не меняет ориентации и неограниченно продолжается до тех пор, пока их значения остаются в области П. Для выпуклого случая существенно упрощается характер особых точек системы пограничного слоя (7). В случае одного закона сохранения особые точки и_ и U4. уравнения (7) простые и их только две, так как это точки пересечения строго выпуклой функции /(и) — — /(и-) и линейной функции уо(и - и_\
Для системы законов сохранения эти свойства сохраняются, если начальный разрыв |ur — uj достаточно мал. Это будет доказано в § 1 главы 3. Здесь мы только отметим, что при этом в ситуации общего положения для того, чтобы эти особые точки и_ и и+ соединялись целой траекторией, представляющая точка которой при возрастающих т двигалась бы от и_ к и+, необходимо потребовать, чтобы особая точка и+ обладала большей степенью устойчивости, нежели особая точка и_, т. е., если в точке и_ имеется к — 1 отрицательных собственных значений и N — к + 1 — положительных, что означает выполнение неравенств
Ак_1(и_) - уо < 0, Ak(u_) - уо > 0,
то в точке и+ должно быть по крайней мере к отрицательных и N - — к положительных собственных значений, что означает выполнение неравенств
Ak(u+) - уо < 0, Afc+i(u+) — уо > 0.
Отсюда вытекают неравенства
Хк(и+) < у0 < Хк(и_), Afc+i(u+) > уо > Ak-i(u-),(12)
известные в литературе как условия П. Лакса [16].
Возвращаясь к задаче Коши (1), (2), с учетом (За) отметим, что ее характеристиками являются кривые х = X(t, £), определяемые задачей:
x|t=o = £; «к=о = и0^,
и поэтому условия (12) можно трактовать как условие того, что на линию разрыва х = yot слева приходит к характеристик и справа N — - к + 1 характеристик, т. е. общее число приходящих характеристик равно N + 1.
Условия (12) являются некоторым эквивалентом условию устойчивости (14)1 в скалярном случае, если их дополнить требованием разделения собственных значений в области П:
Afe(u)<Afc+1(V)(13)
при любых и, v € П и к = 1, 2, ..., N - 1.
Однако, как показано в [1], единственность решения задачи о распаде разрыва при ^ = 2 можно- установить при дополнении условий (12) условиями, отличными от (13), а в ряде частных случаев, например для системы газовой динамики, таких дополнений не требуется. В общем невыпуклом случае условия (12) и (13) не обеспечивают единственность решения. Так, условия (12) недостаточны уже в скалярном невыпуклом случае, а условия (13) не обеспечивают единственности даже непрерывного решения задачи о распаде [17]. И все же интересно отметить следующее утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.2. Пусть выполнены условия (13). Тогда структура обобщенного решения задачи (4), (5) в смысле определения 1.2 такова, что волны разрежения большего индекса находятся относительно оси у правее волн разрежения меньшего индекса и отделяются участками постоянства.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, в силу (9) и (13) большим значениям у соответствуют участки волн разрежения большего индекса, при этом, как отмечено в предложении 1.2, они не могут быть непрерывным продолжением друг друга. Более того, между ними не может быть и разрывного перехода. В противном случае в точке разрыва уд должно выполняться равенство
Xk^UR^yo - Q)) = уо = Ат(йд(у0 + 0)) при к ^ т,
где ид(у), ид (у) — участки волн разрежения, которое противоречит (13).□
Из предложения 4.2 становится ясной структура непрерывного решения задачи о распаде (4), (5) при условиях (13). Оно представляет собою кривую, состоящую из расположенных последовательно слева направо над осью — оо < у < оо участков волн разрежения возрастающего индекса, соединенных участками постоянства, причем для у ^ Ai(u() имеем и = ui, а для у ^ Aw(ur) — u = ur, т. е.
Цу) = *Цу) = *ui, - оо < у А|(и/)и^Чу). ЬМ ^ У ^ Ai(ui)
Цу) = *
Цу) = *
и^Чу), An(un-i) ^ У ^ AN(ur)
Ur, Xy^UT) ^ у ^ ОО
Если спроектировать это решение на фазовое пространство Ну, то оно примет вид ломаной, каждое звено которой является проекцией волны разрежения к-го индекса на Ну, и будет обозначаться нами через Н^ (и^-х), где ит — это вершины ломаной при m = 0, 1,2,... ..., N, причем ио = щ — начало, а иу = иг — конец ломаной.
Общий случай разрывного решения отличается тем, что на участках постоянства и волн разрежения могут возникать разрывы, подчиняющиеся условиям Гюгонио (6). Но таких решений без учета условий устойчивости, как мы уже убедились в скалярном случае, можно построить сколь угодно много. Ранее мы привели условия устойчивости на разрыве (12), естественные для выпуклых систем. Теперь мы получим условия на разрыве для общих невыпуклых систем, используя некоторые известные свойства особых точек и решений системы пограничного слоя (7).
Правая часть системы (7) представляет собою векторное поле
(14)(14)F(u, uq, Уо) = /(и) - /(«о) - Уо(и - ио),
(14)
(14)
множество особых точек которого определяется системой уравнений /(u) -/(uo) - уо(и - ио) = 0.(15)
Будем также рассматривать объединения множеств (15)
L(uo) {и | F^u, ид, у) = 0, — оо < у < +оо; ио, и € П}, которые мы будем называть адиабатами.
Изучение таких множеств следует начать с классификации особых точек векторного поля (14) или системы (7).
Особую точку ио назовем простой или типа S, если уо ^ Afc(uo) при к = 1, 2, ..., N, и назовем сложной или типа Н^к\ если уо = Afc(uo).
Простую особую точку отнесем к типу S^k\ если в ней выполняются неравенства:
А,(ио) — уо < О прн 1 = 1,2, ...,к,
Am(uo)-yo>O при т = к + 1, ..., N,
где к = 1, 2, ..., N.
Известно [18], что в достаточно малом шаре Шб(ио) радиуса 6 с центром в особой точке ио типа S^ можно выделить два многообразия М^(ио) и mL^^^^uq) такие, что векторные линии поля (14), определяемые системой пограничного слоя (7), остаются на этих многообразиях, если начальная точка принадлежит им, при этом на M^(uq), имеющем размерность к, представляющая точка и(т) стремится к особой точке uq при т —+ оо, а на М^""^^), имеющем размерность N — к, и(т) —+ ио при т —+ —оо. Многообразие M^(uq) назовем устойчивым, а M^~fe\uo) — неустойчивым, при этом индексной парой {к, N — к) в точке uq будем отмечать размерности этих многообразий, где первое число будем называть индексом устойчивости, а второе — индексом неустойчивости.
Рассмотрим теперь сложную особую точку uq типа R^k\ в которой уо = Хк(ио\ Тогда в силу условия (3) при достаточно малом 5 в шаре Ш§(uq) выполнены неравенства
(16)(16)А^(и) — уо < О при г=1,2, ..., к — 1,Am(u) — уо > О при m = A:4-l, ...,N,
(16)
(16)
при этом остается неучтенным поведение функции At (и) — уо в шаре Ш§(ио\ Остановимся на этом и рассмотрим в указанном шаре вектор
ное поле Тк(и), имеющее фиксированную ориентацию и нормированное N .~
условием 52 (rt(u))2 = 1- Пусть R^tuo) — траектория этого вектор- 3 = 1
ного поля, определяемая системой уравнений — = rt(u) с начальным условием u(0) = uq, где s — параметр длины дуги.
~ Рассмотрим сужение функций Aj(u) — уо при j = 1, 2, ..., N на Н^Ы : u = u(s) вида A/u) - уо = А^(и(з)) - у0._
Будем различать следующие случаи поведения функции Afc(u) — уо в шаре_Шб(иоУ
l)Afc(u)-y0>0 при и ^ и0,
Afc(u) - уо < 0 при и ^ и0,
Afc(u) — уо меняет знак в uq,
Afc(u) - у0 = 0.
В случае 1) в шаре ZZZ^uq) с учетом (16) число отрицательных величин АДи) — уо равно к — 1, а число положительных при u / uq равно N — к 4- 1 и складывается из N — к положительных величин Am(u) — уо при т = к + 1, .... N и одной величины Хк^и) — уо > 0
при и ^ но- Это означает, что такой особой точке но соответствует индексная пара {к — 1, N — к + 1). Эту точку мы будем относить к типу fi^L»- В случае 2) индексная пара в точке ио равна (к, N — к), а точка ио относится к типу R^y Если выполняется случай 3), то тогда единица добавляется как к_индексу устойчивости, так и к индексу неустойчивости, поскольку At(u) — уо может быть как отрицательной, так и положительной величиной, и поэтому индексная пара равна (к, N — к + 1), а точка ио относится к типу R^\ Наконец, в случае 4) индексная пара равна (fc — 1, TV), а точка uq относится к типу R^o .
Если отображение / : Rn -* Rn вещественно-аналитическое в области П, то тогда справедливы разложения u(s) и Хк^Цз^) — уо;
u = u0 + rfc(uo)s + $ X^k^s2 + ... + ^^^ X("fc)rfc(uo)sn+1 + ..., Хк(и(з))-у0 = 1х^ХкЫ8^(17)
Из разложений (17) вытекает классификация сложных особых точек типа R^ в следующей форме.
Если точка ио типа Я^.,), то в ней выполняются соотношения
Х№ХкЫ = ... = Х^ХкЫ = О, Х"к)АкЫ>0, (18а) где п четное.
Если точка ио типа Я^!,. то в ней выполняются соотношения
Х^ХкЫ = ■•• = х№ХхкЫ = о, Х^ХкЫ<0, (18b) где п четное.
Если точка ио типа R^k\ то в ней выполняются соотношения
XwXkH--.=x"kVXk(uo)=0, Х^ХкЫ + 0,(18с)
где п нечетное.
Если точка uq типа R^, то
Х^Х^ио) = 0 при любых п.(13d)
Число п будем называть порядком особой точки типа R^.
Легко убедится, что данная классификация сложных особых точек с помощью соотношений (18а)—(18d) полностью согласуется с неана- литическнм случаем.
Если отображение / — вещественно-аналитическое, то, как известно (см., например, [19]), система (7) в окрестности особой точки uq типа R^k_n имеет (к - 1)-мерное устойчивое многообразие M+lfc_1>(uo) и (N — к + 1 )-мерное неустойчивое многообразие М^~к+1\ио), т.е. эта сложная особая точка подобна по структуре многообразий простой особой точке типа 8^к~х\ чем и объясняется принятое выше обо-
значение. Аналогично особая точка типа 7?^^ подобна особой точке типа S^.
Однако для особой точки типа Rq ' нет подобной простой особой точки, и в ее окрестности существует А:-мерное устойчивое многообразие M^(uq) и (N — к + 1)-мерное неустойчивое многообразие M^-k+^uo). При N = 2 особую точку ио типа R^1 называют седло- узел. Особые точки ио типа R^ не являются изолированными.
Теперь мы обладаем всем необходимым, чтобы сформулировать понятия допустимого разрыва (и_, и+) в точке у = уо и допустимого обобщенного решения задачи о распаде разрыва (4), (5).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. 1. Две точки гц, U2 6 L(u_), являющиеся особыми точками векторного поля Е(и, и_, уо), назовем соседними, если они соединяются простой дугой (ui | и^) € L^u-Y на которой выполняется неравенство
7)(u, U_) > уо при U ^Ui,U2, (18)
, / \ /4М)~/4М-) г/ \ •где щи, и_) = -—■ <—при и € L^u_) и любых ).
и3 — tl—3
Конечное множество точек {um}o С L(u_), где uq = и_, ип = = и+, являющееся множеством особых точек векторного поля F(u,u_,yo\ назовем цепочкой, если каждая пара {ит,ит+\) является соседней. Точку и_ будем называть центральным левым состоянием, а точку и+ — конечным правым состоянием, остальные особые точки ит будем называть правыми промежуточными состояниями. *
Если все точки простой дуги (ui | иг) 6 L(u_) являются особыми точками векторного поля F(u, и_, уо), и на этой дуге выполняется тождество т)(и, и_) = уо, то назовем такую дугу особой.
Назовем цепочку (ит}о е £(и_) устойчивой, если для каждой пары соседних особых точек {ит, um+i) сумма индекса неустойчивости точки ит и индекса устойчивости точки um+i больше N. Соответствующую дугу (ио | un) € £(и_) назовем устойчивой.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.2. Легко убедиться, что для малого разрыва условие (19) эквивалентно условию устойчивости цепочки, при этом оно тесно связано с условием Олейник (14)1. Действительно, если существует решение системы (7) и = и(т), которое связывает настолько близкие соседние особые точки, что и(т) имеет монотонные компоненты, то также, как выше в § 1, получаем условие О. А. Олейник
и3 (т) — и{и3 (т) — и{УО >УО >и* (т) — и^и* (т) — и^при J = 1, ..., N.при J = 1, ..., N.
и3 (т) — и{
и3 (т) — и{
УО >
УО >
и* (т) — и^
и* (т) — и^
при J = 1, ..., N.
при J = 1, ..., N.
Однако мы не предполагаем существования такого решения и поэтому переносим только это условие в точки адиабаты, соединяющей особые ТОЧКИ U) и U2-
2 В. А. Тупчиев
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. 1) Назовем разрыв обобщенного решения задачи (4), (5) при у = уо со значениями и_ = и(уо — 0), и+ = и(уо + 0) допустимым, если выполняются следующие условия D;
а) точки и_, и+ соединяются устойчивой или особой дугой, Ь) точки и_, и+ соединяются некоторой последовательностью указанных дуг.
Обобщенное решение задачи (4), (5) назовем допустимым, если все его разрывы допустимы.
Отметим, что случай а) условий D соответствует случаю вещественно-аналитической J(u\ В скалярном случае условия D сводятся к условиям (14)1. Вопросы корректности задачи о распаде разрыва (4), (5) в выделенном классе допустимых обобщенных решений рассмотрим в § 1 главы 3.
Здесь же остановимся на понятии допустимых обобщенных решений общей задачи Коши в одномерном случае.
При рассмотрении этого вопроса для выпуклых строго гиперболических систем часто выделяют класс К допустимых обобщенных решений, который во многом напоминает структуру допустимых обобщенных решений задачи о распаде разрыва [1] и включает следующие требования.
В любой конечной части полуплоскости t ^ 0 имеется конечное число линий и точек разрыва, вне которых решение (1), (2) непрерывно вместе со своими первыми производными и удовлетворяет уравнению (1), а при t —> 0 почти всюду u(t, х) —» и°(х\
На линиях разрыва, определяемых гладкими кривыми х =; x^t), всюду, за исключением некоторого конечного множества точек на них, выполняются при уо = x'^t), и_ = и^х — 0, t), u+ = и^х + 0, t) условия Гюгонио (6), а также условия устойчивости (12).
Класс К называют классом кусочно-гладких решений. Иногда его расширяют на невыпуклый случай, используя структуру решений задачи о распаде в этом случае [20].
Однако и при расширении этот класс допустимых обобщенных решений остается слишком узким для задачи Коши (1), (2). В этом нас убеждают примеры счетного множества разрывов в скалярном случае этой задачи, рассмотренные выше в § 1. В невыпуклом случае множество точек разрыва становится еще более сложным. Таким образом, становится очевидным, что для общей задачи Коши необходимы такие определения допустимого обобщенного решения, в которых в явной форме не присутствовали бы какие-либо предположения о структуре множества точек разрыва. В определенной степени таким качеством обладает соболевское определение обобщенного решения, о котором мы в общих чертах упоминали во введении.
Остановимся здесь на этом определении подробнее.
Пусть tp(t, х) — гладкая финитная (пробная) вектор-функция, носитель которой имеет непустое пересечение с осью х, а при t > 0 содер-
жится в прямоугольнике П = {(t, х) : 0 ^ t ^ Т, xi ^ х ^ х^. Умножая на нее систему (1) скалярно и интегрируя по указанному прямоугольнику, получим равенство
11 (щ + f(u)x)tp(t, х) dt dx = 0,(20а)
п
при этом мы полагаем, что и = w(t, х) — некоторое классическое решение задачи (1), (2), где и°(х) сглажена (о сглаживании см. § 4 главы 3). Далее, с учетом того, что
(р(х, Т) = ¥>(11, t) = tp(x2, t) = 0,получаем после интегрирования по частям соотношения$2тх2т
j j uvpdtdx =jQ tpdu^dx = j {—y>(0,x)u(0,x) — j wpt dt jdx =
пzi0Z]о
x2x2 T
= — j ¥>(0, x)u°(x) dx — j j wpt dt dx, Xix, о
T $2T X^
j j f(u)xcpdtdx = — j j J(u)pxdtdx.
0 z,0 Zj
Подставляя эти выражения в равенство (20а), получаем соотношение
j (wpt + f(u)xpx)dtdx + j u°(x)y>(0, x^dx = 0.(20)
я+Rx
Легко убедиться, что на классических решениях задачи (1), (2) и (20) эквивалентны. Однако с помощью соотношения (20), как это было отмечено выше, можно существенно расширить класс решений, при этом необходимо только, чтобы соотношение (20) сохраняло смысл. Для этого достаточно, чтобы решения, удовлетворяющие соотношению (20), принадлежали классу функций
М = {u(u(t, х)) е Д^ДО, Mt- ^)) е lU^)}, где Я^ — верхняя полуплоскость.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Назовем слабым решением задачи (1), (2) вектор-функцию и = u(t, х) из класса М, удовлетворяющую соотношению (20) при и°(х) е L[OC(R) и любых гладких и финитных пробных функциях tp(t, х).
Покажем, что слабое решение задачи (1), (2) при некоторых предположениях удовлетворяет условиям Гюгонио. Предположим, что $ = x(t) — гладкая линия разрыва слабого решения задачи Коши (1), (2), которое имеет предельные значения и_ = u(t, x(t) — 0) и u+ = u(t, x(t) + 0) слева и справа на разрыве соответственно,
а в некоторой малой окрестности линии разрыва, исключая ее, является гладкой ограниченной функцией.
мы (1), и согласно этому и формуле Грина имееммы (1), и согласно этому и формуле Грина имеемПусть (to, xq) — точка на линии разрыва х = x^t), а К — круг с центром в этой точке достаточно малого радиуса (см. рис. 2). Дуга (Д | В) кривой х = x^t) разбивает круг на две части К_, К+, в каждой из которых u = u(t, х) — гладкое решение систе
мы (1), и согласно этому и формуле Грина имеем
мы (1), и согласно этому и формуле Грина имеем
j (wpt + j\u)tpx) dt dx =[(u^)t + (/(и)у)х] dtdx =
к±к±
= | — ipu dx + yf(u) dt.эк±
Рассмотрим такие пробные функции y(t, х), чтобы suppy с К. Тогда будем иметь
| —(pudx + ipf^u)dt = — j — <ри+ dx + (pf(u+) dt,
Ж+(Д|В)
j — tpudx + <pf(u) dt =— (pu_ dx + cpf(u_) dt.
ЭК-(A B)
Поскольку согласно соотношению (20)
j (utpt + /(u)^) dtdx+ j (utpt + f (u)^) dt dx =
K-K+
= j (шрг + f^Vx) dt dx = 0,к
то в силу приведенных выше равенств получаем j tp(— [u] dx + [/(и)] dt) = 0, (Л|В)
где [и] = и+ - и_, [/(и)] = /(и+) - /(и-).
Так как х = x(t) гладкая кривая, a tp(t, х) — произвольная финитная функция, то из последнего равенства вытекает соотношение Гюгонио
[/(u)]-x'(t)[u] =0.(21)
Отметим, что если х = x(t) — абсолютно непрерывна, а функции [и], [/(и)] принадлежат Л*(Д | В), то тогда равенство (21) выполняется в силу известной леммы дю Буа-Раймонда [21] почти всюду на линии разрыва.
На самом деле множество точек разрыва слабого решения настолько сложно, что условия Гюгонио выполняются только на некотором его подмножестве.
Понятие слабого решения легко обобщается на многомерные системы законов сохранения
ut + Uk^xk = 0,(22)
где х = (х,, х2, ..., xn), (t, х) е 7?п+1.
Аналогом (20) является соотношение
j (wpt + fk(u)tpTk) dtdx + J u°(x)y>(0, x) dx = 0.(23)
^+1^
Подобным одномерному случаю образом определяется класс М и слабое решение задачи (22), (2). Остановимся на получении условий Гюгонио.
Пусть функции и, /1, /г, ..., /п интегрируемы на всякой ориентируемой гладкой п-мерной поверхности в области Q С Я„+1 и пусть supple П. Тогда, ввиду формулы Стокса, соотношение (23) эквивалентно равенству
j (uNo + fk(u)Nk)da = O,(24)
эк
где К — любая компактная часть П с гладкой границей ЭК, (No, N\, ..., Nn) = {TVq, TV} — непрерывное поле внешних единичных нормалей на ЭК, da — элемент на ЭК. Предположим, в частности, что почти всюду на гладкой ориентированной поверхности Г с О решение u(t, х) обладает предельными значениями с каждой стороны направления внешней нормали u^t, х) = = u(t ± 0 ■ NQ(t, х), х ± 0 ■ Т^(£, х)), и эти значения локально суммируемы на Г. Пусть, далее, fk — непрерывные функции своих аргументов.
Тогда на Г величины f^(t, х) = /fc(u±(t, х)) суть предельные значения функций fk(u(t, х)) на Г. Предположим, что они также локально суммируемы на Г. Тогда соотношение (24) дает для любой компактной части КТ с Г равенство
j { ММ) + [А(«)]М:} da = 0, кг
где [u] = и+ — и~, [Д] = f£ — f^, так что почти всюду на Г выполняются условия Гюгонио
NoM + ВДкН = О-
Обозначим Ft сечение поверхности Г плоскостью t = const и предположим, что Tf — гладкая поверхность в Кп.
Введем также 7 = N/|^|, s = —7Vq/|7V|, где V — единичный вектор нормали к Ft, s — нормальная скорость поверхности Ft- Получаем ' другую форму условий Гюгонио:!
^kUk^ = s[u].
§ 3. Обобщенная энтропия и допустимые слабыерешения
Определение слабого решения задачи Коши
(I)
(2)
где г = 1, 2, ...» N, данное выше, не содержит информации о допустимости разрывов слабого решения.
Для получения такой информации мы, как и ранее, воспользуемся методом введения вязкости и рассмотрим систему
“t + №)К = eAu\“t + №)К = eAu\(3)(3)
“t + №)К = eAu\
“t + №)К = eAu\
(3)
(3)
при этом важную роль будет играть обобщенная энтропия системы^!).
ются соотношенияются соотношенияБудем говорить, что система (1) допускает обобщенную энтропию Ф(и), если существует вектор-функция Ф(и) = {ФДи), ...,Фп(и)}, называемая потоком энтропии, такая, что при к = 1, 2, ..., п выполня
ются соотношения
ются соотношения
(4)(4)9ФДи) _ ЭФ^ 8fkдит ди* дит'
(4)
(4)
В силу равенств (4) после умножения системы уравнений (1) на гра- (ЭФ(и) "I
диент < —приходим к равенству
I 8и* J
Ф(и)( + (Фк(и))Хк =0.Ф(и)( + (Фк(и))Хк =0.(5)(5)
Ф(и)( + (Фк(и))Хк =0.
Ф(и)( + (Фк(и))Хк =0.
(5)
(5)
ЭФ(3) умножить на —т, то с учетом (4) получим диЭФ(3) умножить на —т, то с учетом (4) получим диТаким образом, система (1) допускает дополнительный закон сохранения (5). Ранее в главе 1 мы установили, что обобщенную энтропию и дополнительный закон сохранения всегда допускают градиентная и квазиградиентная системы. Позже эта связь будет рассмотрена детально.
ЭФ
(3) умножить на —т, то с учетом (4) получим ди
ЭФ
(3) умножить на —т, то с учетом (4) получим ди
Если систему равенство
Ф(и)( + (Фк(и))хь = еДФ - eQ,(6)
гдегдеQ = ФиМ^и^и^.Q = ФиМ^и^и^.(6а)(6а)
где
где
Q = ФиМ^и^и^.
Q = ФиМ^и^и^.
(6а)
(6а)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Неотрицательную функцию Ф(и) е
е С2 (О), П с Rn, назовем гладкой выпуклой обобщенной энтропией ■
Обобщенная энтропия и допустимые слабые решения 39 в области П, если в П существует ее поток Ф(и) и выполняются условия (4), при этом ее гессиан неотрицательно определен, т.е.
Фп-uj (u)C4j ^ ° пРи ие^У^е Rn.(7)
Если на решении задачи (3), (2) Ф(и(4, х)), |V$(u(t, х))| = о(|х|"_|) при |я:| —» оо и Ф(и°(х)) € Li(Rn), то, интегрируя энтропийное равенство (6) на этом решении по полосе П* = {(т, х): 0 < т < t, |х| < оо}, получаем равенство
t
| Ф(и) <fa: + £ | | Qdxdr = j Ф(и°(х)) dx,(8)
Я„0 RnRn
а в силу (7) — неравенство
^|ф(и)^^0.(8а)
Теперь остановимся на том, как с помощью гладкой выпуклой обобщенной энтропии и системы (3) можно получить условие допустимости слабого решения задачи (1), (2).
С этой целью умножим равенство (6) на неотрицательную финитную функцию ^(^ я) Е ^(fin+i), полагая, что supp^ С Пт.
После интегрирования полученного равенства по полосе Пт и последующего интегрирования по частям получаем
j (Ф^ + Фкт/'хь) dtdx + е J ФДф dt dx = е j Qipdtdx. птптпт
Правая часть этого равенства в силу (6а) и (7) неотрицательна, и поэтому, формально переходя к пределу при е —» 0, получаем неравенство j (Ф(и)^б + Ф^и)^ J dt dx ^ 0.(9)
пт
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Слабое решение задачи Коши (1), (2) со значениями в П назовем допустимым, если для любой выпуклой обобщенной энтропии, определенной в Cl, и для любых гладких неотрицательных финитных функций ф(1, х) на слабом решении (1), (2) выполняется неравенство (9).
ЗАМЕЧАНИЕ 1.3. 1) Если в (8а) подствить энтропию (11)31, умноженную на (00)-1, и перейти формально к пределу при 0° —* оо, то получим известное в газовой динамике условие возрастания полной энтропии газа
^ | p(t, x)S(t, х) dx ^ 0,
Нп
которое также получается интегрированием уравнения (4d)ll по Rn.
В определении 2.3 выпуклость Ф(и) понимается в смысле неравенства Ф((1 — А)щ +Лиг) (1 — А)Ф(ы1) + ЛФ(иг), справедливого при всех иь иг е П, А 6 [0, 1], и гладкости энтропии не требуется.
Покажем теперь, что условие (9) в скалярном одномерном случае (N = 1, n = 1) при определенных предположениях сводится к условию (14)1.
Пусть х = x(t) — некоторая гладкая линия разрыва решения задачи (1), (2) со значениями и_ = u(x(t) — 0, t), и+ = u^x^t) +0, t) слева и справа соответственно, а К — круг малого радиуса с центром в точке (t0, то), где т0 = T(t0) (см. рис. 2).
Дуга (Д | В) линии разрыва делит круг на части К_ и Д+, в которых и(т, t) является гладким решением системы (1), и при этом (как было показано выше) на этой дуге выполняются условия Гюгонио (21)2.
Пусть в этом круге при условии, что supp-^ С К, выполняется неравенство (9), которое можно записать в виде
j (Ф^г + Ф^т)dtdx + j (Ф^< + ^i/jx^dtdx > 0.
к+к_
Тогда, как и в § 2, имеем
j (Ф^1 -Y^^dtdx =[±Ф(и±)^ + Ф(и±)]М-
к±(А В)
Отсюда следует неравенство
W'(t) - [Ф]}^^ ^ 0,
(А В)
из которого в силу произвольности -^ ^ 0, в свою очередь, вытекает неравенство
^^(t) - [Ф] ^ 0.(10)
Таким образом, условие (9) приводит к условию (10) на разрыве. Покажем теперь, что из условия (10) вытекает условие (14)1. Для определенности положим, что и+ > и_, я/(to) = уо, и рассмотрим энтропийную пару
,, ,Г 0при и >
Ф(ц) = <.,
■1 — и + ио при и < ио
и
Ф(и) = [ Ф'^Г^ da = (ПРИ ,
v ' J V V 1| -JW + j(u0) при и <uQ ’
«о
где ио е [ц~, и+].
Для этой энтропийной пары неравенство (10) принимает вид
у0 ^ fcWM.(Юа)
У U- - UoV
Аналогично с помощью энтропии
= f w - «о при и > и0
'10 при и ^ Uq
получаем неравенство
/A+WM),(ЮЬ)
и соотношение (14)1 установлено.
Из неравенств (10а) и (10b), в частности, следует условие Гюгонио
/А+) - /(«-) - Уо(^+ - «-) = 0.
Покажем теперь, что в случае одного многомерного закона сохранения условие (9) сводится к известному условию устойчивости С. Н. Кружкова. Рассмотрим обобщенную энтропию Ф(и) = |и — и|, где v — параметр.
Тогда ее поток согласно (4) находится по формуле
Ф/=М = j Ф'(<т)А(<т) do = sign(u - v^fk^ - AM)-
Подставляя эту энтропийную пару в неравенство (9), получаем условие устойчивости (допустимости)
j {|u-y|i/'t+sign(u-y)(AA)-A(y))V,a:fc}dt^^0(11)
Яп+l
при любых ^(t, l) ^ 0 И ПОСТОЯННЫХ У.
В трудах С. Н. Кружкова [3] было доказано существование и единственность допустимого в смысле условия (11) слабого решения задачи Коши (1), (2) при N = 1, п ^ 1. При N = 1, n = 1 эти вопросы были изучены в работах О. А. Олейник [22], П. Лакса [16], А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [23]. Изучению энтропии были посвящены работы С. Н. Кружкова [3] и П. Лакса [24].
Остановимся теперь на случае, когда, наоборот, N > 1, а п — 1. Здесь, прежде всего, возникает вопрос о запасе энтропий. Сначала положим, что N — 2. В этом случае соотношения (4) принимают вид
Ф„. — Фи'/ц! +Фи2/и!’Фи2 — Фи1/й2 + ^U2/«2,
И, следовательно, для энтропии получаем уравнение
/^Ф^. + (/и2М - №>и^ - А- №и* = 0.(12)
Если система (1) строго гиперболическая в П С Кг, то
| (ЛЬ (м) - /иД“))2 + ГиМ& (“) > °’
и поэтому уравнение (12) тоже гиперболическое.
В частности, для системы газовой динамики (10)31, описывающей изэнтропическое течение газа, лишенного вязкости, т. е. при р = 0, которая имеет вид
Vt - Ux = 0, Ut+p^x =0,(13)
уравнение (12) принимает форму
Фуи +р'(и)Фии = 0,(13а)
а условие гиперболичности системы (13) сводится к требованию р'(ц) < 0 при 0 < v < оо.
Таким образом, энтропия в этом случае не может быть произвольной функцией, как в случае N = 1, а должна быть решением волнового уравнения (13а). Таким решением (12а), в частности, является выпуклая функция
Ф = у +Р(ц,Цоо),(13b)
где Р(и, Уоо) = J (р(«оо) — p(o))da — свободная энергия газа.
Возможны и другие решения уравнения (12а), например
и2 Г
ф = и у -Z^o, v^da,
Vqq
где Z = u(p(u) — p(uoo)) + P(u, uTO) — потенциал Гиббса. Эта энтропия в отличие от (13b) не является выпуклой функцией в К^ = = {(и, ц) : ц > 0, Vu}.
В случае ^ ^ 3 система (4), вообще говоря, несовместна. Тем более интересна следующая теорема, справедливая при любых N, п.
ТЕОРЕМА 1.3. Пусть система (1) при f(u) еС\й) допускает в выпуклой области Q С Rn энтропийную пару {Ф(и), Ф(и)} со строго выпуклой энтропией Ф(и) 6 С2(П).
Тогда система (1) посредством отображения
д = ^Ф0и)(14а)
приводится к градиентной форме
^ЬЧЧ^ + ^Ьк(чЖ=0,(14)
L°(q) = Фит^)ит - Ф(и)|и=и(д),Ьк^-ФиЦи)№-^кИн=Цчу
5 3. Обобщенная энтропия и допустимые слабые решения 43 где и = ЦЦ = VL°(9) — обратное отображение ку — ^Ф(иУ которое является гладким гомеоморфизмом в любой компактной подобласти П' с Я.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Гладкое отображение (14а), определенное на О', согласно известной теореме [14] является гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно. Докажем, что (14а) взаимно однозначно.
Пусть yk = V$(ufc) при k = 1, 2. Тогда с учетом выпуклости области О можно записать, что
1
92 ~ 91 = |фи<иД^1 + s(u2 - и\У) сЦЦ - Ц\ (15) о
При гц ^ иг, умножая (15) на и2 — Ц, получаем, в силу положительной определенности гессиана Фи;иДи) в области П, следующее неравенство
№-9Ж-ып>о,
из которого следует, что Уг / Уь Наоборот, если уг ф 91, то непосредственно из равенства (15) вытекает, что и2^и\.
Теперь докажем, что система (14) эквивалентна системе (1) в любой компактной подобласти П' С П. Дифференцируя производящие функции Ь°^уУЬк(уУ заданные соотношениями (14Ь) по у1, с учетом (4) находим, что
4(9) = Aq) + ут^ - Фи™ = и\ЧУ4оуду.
L<(9) = Л+ qm= W
4оуоу
Поскольку правые части этих равенств связаны системой уравнений (1) на классическом решении и = Ц1, т) системы (1), то левые части связаны равенствами (14) на у = y(t, х) — гладком решении системы (14).П
Энтропийное условие допустимости (9) или его следствие (условие на разрыве (10)) тесно связаны с условиями D, сформулированными выше в § 2.
Проследим эту связь на примере допустимых обобщенных решений задачи о распаде для системы газовой динамики (13), которая в автомодельных переменных принимает вид
-^ + ^ = 0,(16)
dy dya dy dy
U(—oo)=Ut, U(+oo) = Ur.(16a)
Мы будем предполагать, что функция в р^Ц такова, что выполняются условия Р:
функция руЦ G С2(0, оо) и р'УЦ < О,
функция р"^) имеет конечное число нулей на (0, оо).
Теперь отметим основные свойства допустимых в смысле определения
3.2 обобщенных решений задачи о распаде разрыва (16), (16а).
Левое U_ = (у_, и_) и правое 17+ = (у+, м+) состояния на разрыве по определению связаны условиями Гюгонио
-Уо(у+ - «-) - («+ - u_) = О,
-Уо^Ч - и_) + р(и+) - p(v_) = 0.
Множество L(U_) = LW(U_) U L^^U^ — объединение двух адиабат:
L^HU-) = {(у, и) : и = и_ + (-1)к+1??(ц, у-)},где i9(u, ц_) = ./S5—555 _ v_y к — 12.у v- — v
Функция T](U, U-) на Ци-) задается равенствами
„Ш U_) == pW_z_P^
и на кривой lAk\U_) определяется выражением r^U, U_) = (-1)^^'-^, fc = l,2.
Теперь очевидно, что условия D § 2 на разрыве (U_, U+) сводятся к неравенствам
е (и_\и+)с1Пи_),
д^)^^^) е ([/_ | [J+) С L^IA.),
которые, в свою очередь, приводятся к виду
р(у) ^/(у), u+<u_, р(у) ^ 1(у), u+>u_,(17)
где l^v) = р(ц_) + ^А^—Р^А ^у — у_ у_
ЛЕММА 1.3. Справедливы следующие неравенства'.
д(у, vo) + d(v,v) ^ d(v, Уо) при vq < v < v,ля \
d(v, vq) + d(v, v) ^ d(v, v0 при v < v < vq,' ’
j V—P'^.CT) ^ ^ ^(u> uo) при V > Vo,
^ (18b)
V—P'^.CT) ^a ^ ^(u> uo) при V < Vq.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим, что и > у > uq, а также примем обозначения
i?i = VCu-uoKp^) -рМ), i?2 = УО^-^КХ^оГ-^)) ■
Тогда имеем
tf2(v, г?о) = 1?2(у, ио) + tf2(t>, v) + i?i +1?2>
а, так как р^ — невозрастающая функция, то получаем, что
д(о, уо)^(у, у) = |^1||^2|-
С другой стороны, I?2 + ^2 ^ 2|^i||i?2|, и поэтому
tf2(v, зд) ^ ^2(«, ^о) + ^2(и, и) + 2??(и, уо)^(у- ^)-
Отсюда следует выполнение первого неравенства в (18а). Второе неравенство в (18а) устанавливается аналогично. Неравенства (18b) получаются посредством применения к интегралу в левой части (18b) неравенства Коши-Буняковского.П
ТЕОРЕМА 2.3. Пусть выполняются условия Р. Тогда для допустимых обобщенных решений задачи о распаде разрыва (16), (16а) условия D вытекают из энтропийного условия (10).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прежде всего, отметим, что в силу условий Р и определения 3.2 случай особой дуги в условиях D исключается, при этом число возможных промежуточных особых точек устойчивой цепочки конечно.
Мы должны доказать, что из условия (10) вытекает условие (17). Для определенности положим, что v_ < v+, U^ € L^^U-Y и возьмем точку Uq 6 L^^U-Y Поскольку uq £ (v-. ^+)- то согласно лемме 1.3 справедливы неравенства
^(vq, V-) + д(о, и0) ^ д(о, u_), j лУ—р'^а) da ^ d^t), doY vo
и, следовательно, имеем
uq + J V~P^) da ^uq - d(vo, о_) + д(и, у_) = и_ + д^и, U-Y vo
Это означает, что график кривой
^*\^о) = {^ : u = uq + j V-P'M ^j ПРИ y > uo
Vo
проходит под графиком кривой L^^U-Y а при v < оо — над графиком L^^U-Y и поэтому имеют место неравенства
У_ <У_ <UQ-UQ-VoVo(18)(18)v+
У_ <
У_ <
UQ-
UQ-
Vo
Vo
(18)
(18)
w+ > J V-P'^) da + uo, "о
Возьмем в качестве обобщенной энтропии Ф([7) кусочно-гладкое решение уравнения (13а) с начальными данными вида
Ф|и=иоФ|и=ио0 при U > UqUq — U При U < Uq "
Ф|и=ио
Ф|и=ио
Такое решение при u > uq представляется в виде
00Ф =Ф =Uq — UUq — UVпри и > X+(v) = j i/-^7)+ мо>Voпри X_(u) < и < X+(v),при U < X_(v) = - j V-^0') ^ + U0,VoVпри и > X+(v) = j i/-^7)+ мо>Voпри X_(u) < и < X+(v),при U < X_(v) = - j V-^0') ^ + U0,Vo(19а)(19а)
0
0
Ф =
Ф =
Uq — U
Uq — U
V
при и > X+(v) = j i/-^7)+ мо>
Vo
при X_(u) < и < X+(v),
при U < X_(v) = - j V-^0') ^ + U0,
Vo
V
при и > X+(v) = j i/-^7)+ мо>
Vo
при X_(u) < и < X+(v),
при U < X_(v) = - j V-^0') ^ + U0,
Vo
(19а)
(19а)
а при u < uq — в виде
Ф =Ф =О ФО Фuq-uuq-uпри при припри при прии > Х_(и),Х+(и) <u<X_(vYи < Х+(и),и > Х_(и),Х+(и) <u<X_(vYи < Х+(и),(19b)(19b)
Ф =
Ф =
О Ф
О Ф
uq-u
uq-u
при при при
при при при
и > Х_(и),Х+(и) <u<X_(vYи < Х+(и),
и > Х_(и),Х+(и) <u<X_(vYи < Х+(и),
(19b)
(19b)
где Ф находится как решение задачи Гурса для уравнения (12а) со значениями 0 на характеристике X+(v), uq — и на Х_^ при и > uq, и 0 на X_(u), uo — и на Х+(и) при и < uq.
В результате подстановки Ф в виде (19а) и (19b) и соответствующей функции Ф, определяемой из (4), в условие (10) при x'^t) = уо, получим с учетом неравенств (19) следующие выражения:
Ф((7+) = 0, Ф(С7_) = -u_+ио,Ф(С7+) = О, Ф(^_) = р(у0) -р(ц-),
и, следовательно, получаем неравенство
-уо(и- - «о) - р(«о) + Р^-) ^ О,
справедливое при любых уо € [^-, ^+].
оp(v+)-p(v_)
Поскольку уо = —— —-, то последнее неравенство приводится
к виду р(уо) ^ ^(^о) при и+ — и_ > 0, у+ — у_ > 0.
Точно так же проверяются другие варианты условия (17).□
Основные свойства одномерных систем законовсохранения
Вновь рассмотрим систему законов сохранения
Ut + /(u):t=0.(1)
Остановимся сначала на свойствах собственных значений и векторов матрицы /Ди) системы (1).
ТЕОРЕМА 1.4. Пусть система (1) строго гиперболична в односвязной области Я с Rn и f(A 6 C'n+1(Q) (вещественно-аналитическая в П).
Тогда собственные значения ХАА и собственные векторы гАА матрицы fAA однозначно определяются в любой компактной подобласти fl' С fl и принадлежат Cn(fl) (классу вещественно-аналитических функций).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Характеристический многочлен
△(u, А) = det(/u(u) — XI) =
— ( —1)N{AN + qt(AXN * + ...+ qN-\(u)X + Qn(u)}
имеет коэффициенты qAA e СП(П) (вещественно-аналитические), так как они выражаются известной формулой
чАА = (-l)JM(j)(u),
где M(j)(u) —• сумма главных -миноров матрицы /«(и) порядка j, причем
91 =-/ДМ, 4n-i = -M*(u), qN = (-l)wdet/u(u),
где M^(u) — главные миноры (N — 1)-го порядка.
Напомним, что по повторяющемуся индексу проводится суммирование, если он не взят в скобки.
N
Дифференцируя Д(и, А) — П (А,(и) - А) по А и используя выра- j=i жение для qN-х. получаем равенство
^ (и, Хк(А) = П (ХАА - ХАА) = (-1)N+1M/(U, ХАА)» (2) j^k
где МД и, ХАА) — миноры (N — 1)-го порядка матрицы
-АМ хк(А) = fAA - хААА
получаемые из нее вычеркиванием j-ой строки и г-го столбца.
Рассмотрим в окрестности точки uq € fl уравнение
В точке ио в силу строгой гиперболичности системы (1) и равенства (2) имеют место соотношения ^(гщ, Afc(uo)) = 0, ду (гщ, Afc(uo)) ^ 0, поэтому, согласно теореме о неявной функции [25], в окрестности точки uq однозначно определяется функция А = At (и), удовлетворяющая уравнению (3) и относящаяся к тому же классу СП(П), что и qj(u\ Поскольку точка ио выбрана произвольно, то функция Afc(u) определена всюду в области О и обладает отмеченными выше свойствами гладкости (вещественной аналитичности) всюду в О.
Рассмотрим теперь собственные векторы г^(и) матрицы /и(ц) окрестности точки ио € О. Оии определяются как решения системы
Л(и, Afc(u))rfc(u) = 0.(4)
В силу (2) в шаре Шбк^о') достаточно малого радиуса 6к с центром в точке но хотя бы один из главных миноров (N — 1)-го порядка матрицы А(и, Afc(u)) отличен от нуля, например минор М?(н, Хь^и)) ^ 0. Тогда, исключая р-ое уравнение из системы (4) и полагая г^(и) = 1, получим систему
N
52 Qjm^)^ = aJP(u), j = 1, N, ^р, m=l,^p
из которой найдем г™ по правилу Крамера и этим определим rfc(u)
N
в шаре IIl8ktuo\ Очевидно, что в шаре Шб^ио) С Q Шбк^ио) опреде- к=1
ляется полный набор {^(н)}^ собственных векторов матрицы /и(н), причем поскольку коэффициенты приведенной выше системы (4) принадлежат Сп (вещественно-аналитические), то и векторы r^u) принадлежат тому же классу функций. Ясно, что если г™ (и) умножить на функцию р(ц) ^ 0 из того же класса в шаре ZZ/j(uo), то получим опять собственный вектор из того же класса функций, при этом можно добиться, чтобы выполнялось условие нормировки
hW^r^Hr^H^l.(4а)
Однако найденный таким образом вектор Гк^и) определен с точностью до знака. Несмотря на это, можно, согласно теореме Бореля о покрытиях, выделить конечное покрытие шарами произвольной односвязной компактной подобласти О' СС О и, склеив на пересечениях шаров знаки у г™ (и), построить однозначно определенное векторное поле rt(u) всюду в указанной подобласти.П
СЛЕДСТВИЕ 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.4.
Тогда наряду с полем правых собственных векторов Тк^ (столбцов) определяется поле левых собственных векторов 1к(и) (строк) как решений системы
Zfe(n№,Aw(u))=0,(4Ь)
5 4, Основные свойства одномерных систем законов сохранения 49 являющееся также однозначно ориентированным полем в любой компактной подобласти (У с О и принадлежащее к классу Сп^) (вещественно-аналитических) функций, при этом справедливы формулы
AW = H)i ^-W..,(5а)
£[Mj(u, АДи))]2
1W ( } г^(и)Дл(и, АДи))и выполняются условия ортогональности
lk (и)г*т(и) = 6^,(6)
где гт(и) нормированны условием (4а), 5^ = {0, к ^ т; 1, к = т}— символ Кронекера, к, т = 1, 2, ..., N.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Непосредственно из системы (4) с учетом (4а) по правилу Крамера получаем (5а). Аналогично из (4Ь) с учетом (6) находим (5Ь).П
При изучении свойств систем законов сохранения важную роль играют некоторые канонические переменные.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Функция wk(u) называется к-тым инвариантом Римана строго гиперболической в Я системы (1), если она является классическим непостоянным решением в П системы уравнений'
ri(u)^L=0, т= 1, 2, .... N, к.(7)
Известно, что система (7) имеет такое решение, если она полная [25].
Если в односвязной компактной подобласти П' С П, где согласно теореме 1.1 определены поля векторов гт(и) при т ^ к и поле вектора 1к(и), существует k-тый инвариант Римана tok(u), то из соотношений (6) и (7) вытекают равенства
= pW(u)l4u).(7а)
ОН
v№ Рк(и) — коэффициент пропорциональности.
Умножая систему (1) скалярно слева на вектор р^(и)1к(и) и используя при этом равенство (4а), получим равенство
PwW^WiH + Xk(u)pw(u)l4u)ux = °.
из которого с учетом равенств (7а) получаем уравнение для к-го инварианта Римана
(8)(8)wf + Xwwk = 0.
(8)
(8)
Если система (1) допускает все N инвариантов Римана, то в (8) индекс к = 1, 2, ..., N, и система (8) называется системой в инвариантах Римана или канонической формой системы (1).
Отметим еще одно важное обстоятельство.
Если в компактной односвязной подобласти О' с Q существует инвариант Римана, то выполнено соотношение (7а) и, следовательно, уравнение ,
^(и)^ = 0 (9)
имеет интегрирующий множитель рк^и).
Таким образом, вопрос о существовании инварианта Римана сводится к вопросу о существовании интегрирующего множителя уравнения (9).
В связи с этим напомним известный результат [26].
ТЕОРЕМА 2.4. Пусть N = 2u?lcR2 — область строгой гиперболичности системы (1). Тогда в любой односвязной подобласти Q', компактно вложенной в Q, существует интегрирующий множитель pkt^ / 0 уравнения Пфаффа (9) при к = 1, 2.
Известно, что при N > 2 подобное утверждение неверно, и необходимы дополнительные условия, которые, как показывает приводимая ниже теорема, обеспечивают только локальное существование инвариантов Римана.
ТЕОРЕМА 3.4. Пусть N > 2 и Q с Rn — область строгой гиперболичности системы (1).
Тогда для того, чтобы в окрестности точки uq б£1 существовал k-ый инвариант Римана wk(u), необходимо и достаточно выполнение тождеств "
РкгМ = ^зЛ = \Д, ...,N,^k,(10)
гдегде(Юа)(Юа)
где
где
(Юа)
(Юа)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим через Хк = ^(и)—< линей- du*
ный дифференциальный оператор или производную по направлению
вектора tk(u) и докажем, что система (7) является полной.
Действительно, в силу условий (10) любой коммутатор [25], примененный к произвольной гладкой функции w(u), приводится к виду
№.X,)w = (X,rV-X,rr)5S№.X,)w = (X,rV-X,rr)5SN^"^ PqijXqW, q=t,^kN^"^ PqijXqW, q=t,^k
№.X,)w = (X,rV-X,rr)5S
№.X,)w = (X,rV-X,rr)5S
N
^"^ PqijXqW, q=t,^k
N
^"^ PqijXqW, q=t,^k
т. е. представляет собою линейную комбинацию линейных операторов, входящих в систему (7) и, следовательно, система (7) полна. Наоборот, если система (7) полна и имеет только одно независимое решение гик(и^ / 0, то выполняются соотношения (10).□
Непосредственно из установленного выше вытекает следствие.
СЛЕДСТВИЕ 2.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.4. Тогда уравнение (9) локально имеет интегрирующий множитель.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.4. При N = 3 условие (10) принимает вид
lk^ rot 1^4^= 0
и, как показано в [26], тогда через каждую точку односвязной подобласти О', компактно включенной в Q, проходит только одна интегральная поверхность уравнения (9).
Для системы газовой динамики (10)31 справедливы соотношения
/?213 = 0, Д132 / 0, Диг / О,
т.е. существует только второй инвариант Римана.
Остановимся теперь на введении других удобных канонических переменных для тех случаев, когда система законов сохранения не допускает инвариантов Римана.
Рассмотрим уравнение
41^=0(11)
и докажем следующее утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.4. Уравнение (11) локально в области строгой гиперболичности П допускает (М - 1) линейно независимое решение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим шар LUaQuo) радиуса а с центром в точке щ и в нем траектории R^ проекций волн разрежения, определяемые системой .
-т— = rm(u) при т = 1, 2, ..., N, / к. uSm
Пусть u = U\(s\, uq) — траектория RW^uq), проходящая через точку ид. Будем считать Д(^(ио) начальным множеством для траекторий Д®(-) и тогда получим поверхность в шаре LUaQuoY которую вновь используем как начальное множество для траекторий Я^(-). Продолжим эту процедуру дальше, пропустив номер к, до N-ro семейства траекторий и получим некоторую гиперповерхность в шаре Ша^ио\ Из точек этой гиперповерхности, как начального множества, выпустим семейство траекторий R^t/), задаваемых уравнением u = Uk^sk, •)• В результате образуется суперпозиция
и = U(s) Uk х(11а)
х («к, Un^Sn, .... Uk+\^Sk+l, Uk-l(Sk-i, .... Ui (sb Uq)))'
которая представляет собою гладкий локальный гомеоморфизм в шаре ^a(ito)- поскольку якобиан его в точке uq, равный
det[r1(uo)r2(uo)...rVv(uo)],
не обращается в нуль.
Совершая в уравнении (11) замену независимых переменных (На), получаем уравнение
^=0,(11b)
oskv '
которое имеет (TV — 1) линейно независимое решение
vm = sm при m = 1, 2, ..., N,^ к.
С помощью обратного к (На) преобразования находим линейно независимые решения уравнения (11)
и = vm(u) при т = 1, 2, ..., N, / к. □
ЗАМЕЧАНИЕ 2.4. ниеприводится к видуЗАМЕЧАНИЕ 2.4. ниеприводится к видуС помощью преобразования (На) уравне- 4М^ = 1(Нс)
ЗАМЕЧАНИЕ 2.4. ние
приводится к виду
ЗАМЕЧАНИЕ 2.4. ние
приводится к виду
= 1. Последнее уравнение имеет решение
и = вк, линейно независимое с решениями (11b), и, следовательно, соответствующее ему решение уравнения (Нс) v = vfc(u), линейно независимое с решениями уравнения (11).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Вектор-инвариантом Римана к-го индекса назовем вектор Vk^u) = {v1 (и), ..., ^(и)}, где vm{u), m = 1, ..., N / k, — (TV — 1) линейно независимое решение уравнения (11), a vk(u) — линейно независимое с ними решение уравнения (Нс).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. На волнах разрежения k-го индекса выполняются тождества-.
omkUM<^ = ^, Vm^k,(Hd)
где vm(u) — компоненты Vk^u\ при этом если система (1) допускает все инварианты Римана, то все вектор-инварианты совпадают с инвариантами Римана.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Тождество (Hd) вытекает непосредственно из уравнения (НЬ). Если существуют инварианты Римана wm(u), то согласно (7а) имеем
= P(rn)«mH т=1,2, ...,N, и, следовательно, с учетом (6) получаем
т. е. wm(u) при Vm ^ к удовлетворяют уравнению (11), a wk(u) удовлетворяет уравнению (Нс).П
Рассмотренные выше преобразования из Rn в пространство Rn вектор-инвариантов и инвариантов Римана являются локальными гомеоморфизмами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.4. Будем говорить, что гомеоморфизм и = F(u) области Q с границей 9Q на область П с границей dil в Rn обладает свойством (С), если для любой последовательности К)” , такой, что lim ип € 9Q, существует предельная точка ио 1п—*оо
множества {^(уп)}^! такая, что ио € ЭП.
ТЕОРЕМА 4.4. Пусть F: Q —> Q (и = F^u)) — непрерывное локально гомеоморфное отображение открытого односвязного множества Q С Rn в открытое выпуклое множество О С RN, удовлетворяющее свойству (С). Тогда F — гомеоморфное отображение на Q.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разобьем доказательство на четыре этапа.
Сначала докажем, что F — отображение Q на Q.
Предположим противное, т. е. положим, что F^Q) С Q и F(Q^ / Q. Тогда существует точка и € П такая, что u € 9F{Q), и возможны два случая: либо и 6 F^QY либо и F^QY В первом случае в силу локальной гомеоморфности F существует некоторая окрестность точки и, принадлежащая F^QY Это противоречит тому, что и € 9F(QY
Во втором случае, если и ^ F(QY то можно выделить последовательность точек {un}i° С F^Q), которая сходится к и, т. е. lim ип = и. Но так как ип € F^QY то существует последовательность {vn}f° такая, что ип = F(vn), vn G Q. Из последовательности {un}i° можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к границе 9Q (в частности, уходящую на бесконечность, если в 9Q входят бесконечно удаленные точки) или сходящуюся к внутренней точке uq € Q. Обозначим эту последовательность через {^пЛ?0- Если unk —> 9Q при к —> оо, Пк —> сю, то в силу свойства (С) иПк —> dfi при к —> оо, и, следовательно, и 6 9£1, т. е. приходим к противоречию. Если иПк —> uq при к —> оо, где uq € П, то по условию теоремы о локальной гомеоморфности F окрестность точки uq будет отображаться в окрестность точки и, что невозможно, так как и F^QY
Таким образом, F является отображением Q на П.
Теперь докажем, что любая точка и € Q не может иметь бесконечное множество прообразов. Действительно, предположим противное. Пусть F(vn) = и. Тогда из последовательности {цп}1°можно выделить сходящуюся подпоследовательность {vnfc}i°такую, что
а) иПк —> и G Q, к —> сю, b) vnt —» 9Q, к —> оо.
Случая Ь) на самом деле не может быть, так как по условию теоремы F(unJ —> ЭП, к —> сю, т. е. и € ЭП, что противоречит исходному условию о том, что и € П.
В случае а) мы приходим к противоречию с условием локальной гомеоморфности F в некоторой достаточно малой окрестности точки и, поскольку, начиная с некоторого достаточно большого номера Пк,
в эту окрестность должны попасть точки оПк, которые отображаются в точку и.
Здесь мы остановимся на доказательстве того, что если некоторая точка и0 € 9 имеет т прообразов, то и любая другая точка из 9 имеет не менее т прообразов.
Рассмотрим множество Лт = {и € 9: u=F(u)}, которое имеет не менее т прообразов, и установим, что Лт открыто в 9.
Пусть и € .Лт и F(vi) = F^i) = ... = F(vn) = и при n ^ m. Кроме того, пусть Qi(vi), Qi^Y .... Qn^n) — взаимно непересекающиеся окрестности точек vj, иг, ..., ип, которые при отображении F имеют своими образами 9i(u), 9г(и), .... 9n(u) окрестности точки и. п
Рассматривая окрестность 9q(u) = Q 9Ди), можно утверждать, г=1
что любая ее точка имеет не менее чем п прообразов, т. е. точка и вместе с окрестностью 90(и) входит в множество с«т, и поэтому Лт открыто в 9.
Теперь докажем, что множество Лт замкнуто в 9. Каждая точка Ui, принадлежащая 9, имеет не менее т прообразов, из которых выделим т представителей: Viv .... Vim, при этом последовательности {и»}”0 соответствуют т последовательностям {и^},0, ..., {и^}?0. Можно считать, что все они сходятся к точкам vi, ..., ит соответственно (выделяя, если это потребуется, подпоследовательности). При этом точки щ, .... Ут попарно различны, так как если бы щ = Vj = vq, то в окрестности точки ио нарушилось бы условие локальной гомеоморфности F.
Поскольку справедливы предельные соотношения
lira F(u,,) = F^v\^ = u,
ii —»oo
lira F(vim) = F(um) = u,
Im *OO
то точка u имеет не менее чем т прообразов, т. е. принадлежит множеству ^йт, и, следовательно, множество »«т замкнуто в 9. Являясь одновременно открытым и замкнутым в 9, множество ^т должно совпадать с ним.
Из доказанного выше вытекает, что все точки из 9 имеют одно и то же число прообразов. Обозначим его через то-
Осталось доказать, что то = 1. Зафиксируем точку uq € 9 и ее прообразы о®, ..., «^ на Q. Пусть и — любая точка, принадлежащая 9. В силу выпуклости 9 точки uq и и соединяются отрезком, принадлежащим 9, причем прообразами его при отображении F являются то непересекающихся кривых (v^ | ViY соединяющих прообразы точек uq и и, т. е. точки и® и щ при г = 1, ..., то-
Пусть точка и пробегает все множество 9. Тогда объединение непересекающихся кривых (и® | и,) при каждом г образует множество Qi, причем Qi QQj = 0 при г j, г, j = 1, 2, ..., mo, и F^Qt) = 9.
Каждое множество Q, открыто в Q. Но поскольку (J Qi = Q, a Q i=i
односвязно и открыто, то это может быть только при т0 = Ш
ПРИМЕР 1.4. Рассмотрим систему газовой динамики (13)32, которую удобно представить также в виде
[/, + /([/)*= О,(12)
гдеU = ( и Y /([/) = (\
\ u / х 7 \ Рх0) /
Матрица /u(t7) имеет собственные значения и векторы:
A^IZ) =-А(17), X2(U) = X^, где А(ц) = х^УМ •
г, = иГх (, г2 = иГ1 ,1х -(А,1), I2 = £ (—А,1),(13)
К л)\ л )ZA
где ш = V1 + А2, при этом предполагается, что условие Pi выполнено. Уравнения Пфаффа (9) ^(и) dU = 0 с интегрирующим множителем pk(U) =■ . - принимают вид: A(v) dv + du = 0, A(v) dv — du = 0,
и дают следующие выражения для инвариантов Римана:
z = и — H^v, b), w = u + H(y,b),(14)
где в соответствии с определением 1.1
ь
wx(U) = z, w2(U) = w, a H(v, 6) = j х/—р'(<т) do,
V
причем функция H(v, b) в силу условия Pi монотонно убывает и в общем случае такова, что
H(v, Ь) —> А, v —> 0;H(v, Ь) —> —В, v —♦ оо; А > О, В > 0.
Отображение (14) сопоставляет полуплоскости R^ = {(u, v) | v > > 0, Vu} полосу П = {(z, w): — 2В < w — z < 2Л}, при этом линия v — b отображается в диагональ w = z, а ось v = 0 и граница v = оо отображаются в прямые w — z + 2Л и w — z — 2В соответственно. Якобиан отображения (14) равен 2А / 0, и поэтому оно является локальным гомеоморфизмом. Граничные точки Я^ отображаются в граничные точки полосы П, выполняется свойство (С), и, следовательно, по теореме 4.4 отображение (14) является гомеоморфизмом R^ на П.
Отметим, что кривые R^ и R^1 определены уравнениями
R^ = {(v, и): го = const}, R^ = {(v, и): z = const}.
При конечном В эти кривые имеют в полупространстве R^ асимптоты и = В + const, и = —В + const соответственно, и поэтому отображение (На) действует только на некоторой части Я^•
Интересный класс гиперболических систем законов сохранения представляют системы вида
Ut + J^^O, U = u*w(15)
где /(С7) = а(и, о) + гЬ^и, о) — ^-квазиконформная функция в области 9 комплексного переменного U, т. е. функция, которая удовлетворяет в области 9 неравенству
°и + а1 + ьи + Ь1 ^ (9 + д-')(а,Л - нА),
при этом известно, что функция f(U) представляется в виде суперпозиции /(У) = F(((U)\ ( = £ + гт/, где (((7) — ^-квазиконформный гомеоморфизм области 9 на область D переменных (£, т/) с положительным якобианом, а F^ = <р^, т?) + гч^(^, ч) — аналитическая функция на D. Отметим, что указанная функция J(U) не обязательно дает взаимно однозначное отображение, а при q = 1 это отображение конформно. Система (15) является строго гиперболической в 9, исключая некоторое множество омбилических точек, определяемых уравнением F'^-) = О в области D, в которых собственные значения становятся кратными.
Подобные системы описывают течение смесей [27], например смеси нефти и воды. При изучении свойств решений таких систем удобно использовать аппарат псевдоаналитических функций.
ПРИМЕР 2.4. Система
П} + (еи)я = 0
имеет собственные значения и векторы:
Ai = — е , Аг = е ; Г = (sin-, cos - I =; r = (cos-, - sin- 1 —.
Система не имеет омбилических точек.
Инварианты Римана ш1 = и + In |sin ^ |, w2 = и + In |cos ^ | определяют отображение каждой полосы в плоскости (u, о):
Пт = {(и, и): Viz, ттг < и < (т + 1)тг} при т = 0, ±1, ±2, ...
на всю плоскость инвариантов (w1, w2).
Семейства проекций волн разрежения задаются уравнениями
= const= const= const= const/?(*): {го2 = const} = {и + 2In cos R^: (и?1 = const} = {и + 21n sin
= const
= const
= const
= const
и имеют «седло на бесконечности». Хотя система невыпуклая, однако в каждой полосе Пт величины X, Aj = —е“ sin -, ХгА = е“ cos ^ сохраняют знак. Адиабаты задаются уравнением
(е“° “sinио ~ sinv)(o — oq) + (е“° и cosoq ~ coso)(u — гю) = О-
УПРАЖНЕНИЯ
Найти огибающую семейства характеристик задачи (1), (2)1 при /(и) = ^ и2, и°(х) = —х + ехр[—х-2] sin я”1.
Показать, что условие (14)1 на разрыве решений вышеупомянутой задачи имеет вид: и_ > уо > и+.
Доказать, что решение задачи (1), (2)1 с начальными данными
О z х Г •1 I I /•1 I I
и (X) = ( XSin-, X Хо; XoSin—, $ > Zq
1 XХо
имеет ограниченную вариацию по переменной х, если /(и) = | и2, ,, х 1 з
и имеет неограниченную вариацию, если /(и) = - гг.
Доказать, что система (10)31 гиперболическая; записать ее без вязкости, перейти в ней к автомодельным переменным и записать
соответствующую систему пограничного слоя.
Получить аналоги системы (13)3 и уравнения (12а) в эйлеровых координатах, найти выпуклые энтропии. Рассмотреть случай политропного газа.
Глава 3
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ И КЛАССИЧЕСКИЕРЕШЕНИЯ
§ 1. Задача о распаде разрыва
Это центральная задача теории законов сохранения. Рассматривая общие невыпуклые законы сохранения, мы выделим три случая задачи о распаде разрыва: скалярный, случай системы газовой динамики для изэнтропического течения и случай малого начального разрыва для общей системы законов сохранения. В соответствии с этим наше изложение, основанное на работах [28]—[31], разбивается на три пункта.
В § 1 главы 2 было дано определение допустимого обобщенного решения задачи о распаде
№)-у)^ = о,(1)
u(—оо) = гц, w(oo) = ит.(2)
Наша цель состоит в том, чтобы пользуясь этим определением построить допустимое решение задачи (1), (2) и тем самым установить его существование.
Будем предполагать, что функция /(и) удовлетворяет следующим условиям В:
функция /(и) € С2(Т?),
вторая производная /"(и) обладает свойством Bq, т. е. имеет конечное множество нулей на любом конечном интервале оси R.
ЛЕММА 1.1. Пусть выполнены условия В. Тогда функции f'(u) — С, /(и) — Си — Со удовлетворяют свойству Bq при любых постоянных С и Со-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное.
Пусть на конечном интервале (а, Ь) оси R функция /'(и) — С при некотором С имеет бесконечное множество нулей. Из этого множества, согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, можно выделить сходящуюся последовательность изолированных нулей, причем нестационарную. Тогда между каждой парой таких нулей должен быть нуль f"(u), множество которых бесконечно. Это противоречит условиям B.D
Из леммы 1.1 вытекает, что особые точки скалярного поля F^u, uq, Уо) = /(и) - /(ио) - Уо (н - но), т. е. корни уравнения
/(u) - /(uq) - у0(и - w0) = О,
образуют конечное множество на каждом конечном интервале оси R.
Остановимся на классификации особых точек.
Назовем простую особую точку uq, в которой уо / /'(ио), точкой типа 8^ (неустойчивой), если в ее окрестности выполняется неравенство
/'(и) - уо > 0, (За) и точкой типа S(>) (устойчивой), если в ее окрестности выполнено неравенство
f(n)-yo<O. (ЗЬ)
Сложную особую точку ио, в которой уо = /'(uq), назовем точкой типа Rgm (неустойчивой), если в ее выколотой окрестности выполнено неравенство (За), и точкой типа Rgm (устойчивой), если в ее окрестности выполнено неравенство (ЗЬ) при u ^ uq.
Если же в выколотой окрестности сложной особой точки ug слева от нее выполнено неравенство (ЗЬ), а справа — (За), то такую точку ио отнесем к типу R^ (полуустойчивых слева) и отнесем к типу R^ (полуустойчивых справа) в противоположном случае.
Неизолированные особые точки типа Доо в силу леммы 1.1 отсутствуют. Разрыв {u_, и+} обобщенного решения является допустимым в точке уо, если в ней выполняется неравенство
т)(и, и_) (4)
' u - u_ w u+ - U- v ' на отрезке [u_, u+] при u_ < u+ и на [u+,.u_] при u+ < u_, где равенство имеет место в особых точках и_ и и+ на конечном множестве (возможно, пустом) промежуточных особых точек. Очевидно, что точки и_ и и+ при и_ < и+ относятся к одному из возможных типов S(°\ Rgm, Дд и 5^, Rgw, Д^ соответственно, а промежуточные точки — к типу Д+. Если же и+ <и_, то и_ и и+ относятся к одному из возможных типов S^, Rsm., Rq и S^, Rgm. Д^ соответственно, а промежуточные точки — к типу Д^".
Согласно установленным в главе 2 свойствам обобщенных решений из класса К обобщенное решение задачи (1), (2) при у < —Y дается равенством и = -щ, а при у > Y — равенством и = иг для достаточно больших Y. На отрезке [—У, У] оно представляет собою ограниченную разрывную функцию, состоящую из конечного числа участков гладкости, на которых она либо постоянна, либо определяется уравнением у = /'(и) и непостоянна. Обобщенное решение (1), (2) допустимо, если на разрыве оно удовлетворяет условию (4). Представляющая точка такого решения на оси Д при возрастающих у может либо находиться в стационарном состоянии, либо совершать непрерывный переход, либо совершать разрывный переход.
При построении допустимого решения мы будем пользоваться следующим определением.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Назовем точку uq видимой слева или справа из точки щ относительно функции у = т/(и, ui), если соответственно на интервале (ui, uq) или (ug, щ) выполнено неравенство
^■и, Ul) ^ уо — 7?(uo, ui).
Множества точек видимых слева и справа из точки щ обозначим через ^+(ui) и Е~(щ) соответственно.
Таким образом, в точки множества Е(щ) = £+(щ) (J£_(m) возможен допустимый разрывный переход из точки иь В дальнейшем нам понадобится лемма.
ЛЕММА 2.1. Пусть выполнены условия В. Тогда функции tj(u, ui) — С, i]'(uui) обладают свойством Bq.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим равенства
(и - ui)^u, Ui) -С) = /(и) - J^ui) - С(и - Ui),((и - ui)2Ti\u, Ui))' = J"(u)(u - Ul).
Так как правые части их согласно лемме 1.2 обладают свойством Bq, то по той же лемме функции r?(u, ui) — С, r/(u, ui) также обладают этим свойством.П
Теперь нетрудно разобраться в структуре множества Е+(щ). Пусть и\, ич, ..., ui, ... — точки минимума функции т](и, щ) при и > Ul. Обозначим через [S^Ji отрезки вида [й^, Ui], где Ui — точка г-го минимума функции ^и, ui), а точка й< определяется из соотношений
Ui>Ui-\, ,n(ui,ui)= min T)(uj, ui) "^ ^(ui, ui),
O^j^i—1
где Uj — точки минимума функции y(u, ui) на отрезке [uz, u,], причем Uq = Ul.
Все точки промежутка [й^,ц<) относятся к типу S^ или Rgm (их число конечно), а щ — точка типа Ry. Возможно также, что йг = и^. Это точка типа R^.
Таким образом, множество E(uz) есть замкнутое множество, включающее отрезки и изолированные точки, число которых в силу леммы 2.2 конечно.
ЛЕММА 3.1. На любом интервале (гц, uq) оси R число точек минимума функции r;(u, ui) не превышает этого числа для функции f (и).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно условиям В и леммам 1.1 и 2.1 функции т?(ц, ui) и /'(ц) имеют конечное число точек минимума на (uz, «о)-
Пусть Uj при j = l,2, ..., т — точки минимума функции т^и, ui) на интервале (ui, uq), a и* при) = 1,2, ..., m + 1 — точки максимума r^u, ui) на отрезке [uz, ug], включая точки граничного максимума. То-
гда и^ < Uj. Докажем, что на каждом отрезке [иЛ Uj] существует точка минимума функции f\u\ На отрезке [uJ, Uj] справедливо неравенство
п (u,< 0,
u — U|
где ^(u, u;) = /'(u) — Ч^и, ui), причем знак равенства выполняется в точках uJ и Uj и в конечном числе точек перегиба функции r;(u, U{). Функция ^(и, и/) меняет знак в точке uJ с плюса на минус, а в точке Uj с минуса на плюс, оставаясь на (uJ, Uj) неположительной, причем ■ф'^, ui) 0, ^'(uj, щ) 0.
Возможны два случая:
^'(uj, ui) = 0 и и, — точка минимума функции /'(и),
^'(и,, ui) ^ 0 и и, — точка перегиба /'(и).
В случае а) утверждение доказано. Рассмотрим случай Ь). Тогда в окрестности точки uj при u > uJ функция ^'(u. ui) < 0, т. е. /"(и) < < т/(и, Ui) < 0.
С другой стороны, в малой окрестности Uj при u > Uj функция ф(и, ui) возрастает и ^'(u, ui) > 0, при этом r/(u, ui) > 0, и поэтому /"(u) = ф’фи, ui) + т/(и, Ui) > 0 при и > Uj в малой окрестности точки Uj. Но поскольку Uj — точка перегиба функции /'(и), а всякий нуль функции f"(u) изолирован, то в левой окрестности точки Uj при u<Uj имеем f"(u) > О.П
Теперь рассмотрим случай, когда ur € (ui,Uj+i) С S+(u;), и докажем возможность перехода из точки ui в точку иг.
После допустимого разрывного перехода из точки ui в точку Ui при уо 7}(Uj, U|) = f'(Ui), в силу ТОГО, ЧТО /"(и) > 0 при и > Ui, представляется возможность непрерывного перехода из точки Ui в точку ur, определяемые уравнением у = /'(ид) при ur > и,, при этом каждой точке ur G (ui.Ui+i) соответствует только одна точка ид > ur,ug € (u<, Ui+i), такая, что
/(us) - /(ид) - /'(ид)(и5 - ид) = 0.(5)
Точку и$ назовем сопряженной точке ur. Она относится к типу S(>) или Rsw, т. е. является устойчивой особой точкой, и допустимый разрывный переход из точки ur в точку us может быть осуществлен прц возрастающих ur до тех пор, пока на интервале (uR, Ug) не возникнет одна или несколько промежуточных особых точек, определяемых уравнением (5) при ur = u*R.
Промежуточные точки и* при j — 1, 2, ...,р — это точки минимума функции т?(и, uR^ на интервале (ид, Ug\ Согласно лемме 2.1 их конечное множество и все они относятся к типу Ry. Последнее означает, что теперь уже из точки uR при уо = /'(ид) возможен допустимый разрывный переход в точки и* при j = 1, 2, ..., р, а также в точку u*s.
Совершим допустимый разрывный переход в какую-либо точку Uj. После этого на интервалах (и^,и^+1) при j = 0, 1, ...,р+1, где ио ~ ид, и*+1 = Ug, процедура построения множества, в точки которо-
го возможен переход из точек Uj, вновь повторяется. В силу леммы 3.1 число таких повторений не более чем т, где т — это число точек минимума функции /'(и) на интервале (щ, щ+1). На последнем шаге на интервалах типа (и^, uj+1) будет только по одной точке минимума функции /'(и) и, следовательно, только одна точка максимума функции T)(u, м*), что означает возможность продолжения участка /?(ир до соединения с участком 5д\ц^+1) (так мы обозначаем множество точек us на (м*, ity+i), сопряженных точкам hr е Ш^У).
Так как теперь в любую точку интервала (и;, tZj+i) существует переход, являющийся комбинацией допустимых разрывных и непрерывных переходов, то переход из точки щ в иТ существует. В случае когда Е+(иг) = 0, из точки щ, как начальной, строится участок ЩщУ) до тех пор, пока не появятся точки itj — корни уравнения (5). Дальнейшее построение множества точек перехода проходит так же, как и выше.
Таким образом, любой интервал на оси R, содержащий точки гц и ur, разбивается на промежутки [S^], R и 8^ — сопряженные некоторым R.
Такое разбиение однозначно определяется точкой и; — центральным левым состоянием. Итогом изложенного выше является теорема.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть выполнены условия В. Тогда допустимое обобщенное решение в смысле определения 1.1.2 задачи (1), (2) существует и единственно.
Отметим, что существует другой метод построения решения задачи о распаде разрыва в общем невыпуклом скалярном случае [32], однако он не переносится на системы законов сохранения.
2. В этом пункте вновь рассмотрим задачу о распаде разрыва для системы, описывающей изэнтропическое течение газа в лагранжевых координатах
(f(u) -уП^ = 0,(6)
[/(-оо) = UbU(oo) = UT,(7)
р^ ^, причем собственные значения и векторы определены выше формулами (13)42.
Построение допустимого обобщенного решения задачи (6), (7) начнем, как и в пункте 1, с рассмотрения свойств адиабат и выделения на них множества точек, в которые возможен допустимый разрывный переход из некоторой точки [7/ € R^ = {U : v > 0, Vu).
Как было установлено в § 3 главы 2, адиабатное множество задачи (6), (7) представляет собою объединение вида L^(Ui) U L^(Ut\ где каждая адиабата L^k\Ut) при k = 1, 2 дается формулой
LW(Ui) = {U;u = ut + (-l^+’t/^, щ)},
19(17, 17() = ./55255 (у — Viy
Ху 171 — 17
При этом функция t](U, t7z)|£w([Z|)= %(«, «z) = Н)Ау ^"J^ ' согласно условиям D, должна удовлетворять на допустимом разрыве (U_, U+) обобщенного решения задачи (6), (7) при у0 — Чк^Ч* ^-) неравенству
7?fc(17, 17_) ^ 7?fc(l7+, 17_) (8)
на дуге (U_ | Щ?) G L^HUt), где, в частности, возможно, что U- — Ui. Кроме того, согласно условиям Р, при которых мы будем далее рассматривать задачу (6), (7), функция туДщ щ) на любом конечном интервале полуоси R+ = {17: у > 0} удовлетворяет свойству Bq. Действительно, функция 77^(77, i7j) удовлетворяет равенству
dpk _ Х^-Пк/дх
dv 2yfc(y —щ)’
где Хк^ = (-l^A^), A(r) = V~P'W •
Из равенства (9) непосредственно следует равенство
((17 - vi)2^)')' = -р"(у№ - «1),(9а)
из которого и леммы 1.2 вытекает, что функции ^(и, vz),7/k(v, "и^ — С удовлетворяют свойству Bq.
Остановимся теперь на классификации особых точек векторного поля
F(U, Ub у0) = № - № - y0(U - С/,).
Это точки, принадлежащие адиабатам L^\f7i) при уо = r?fc(v, ^z), причем уо < 0 на LW(Ui^ и^о > 0 на L^(C7i).
Отнесем точку Uq Е lAk\Ui) к типу S^k-t^ и 8^к\ если в точке Uq и ее малой окрестности выполнены соответственно неравенства
At(i7) - рк^о, i7z) > 0,(10а)
Afc(17) - Пк^о, vz) < 0.(10b)
Отнесем точку Uq Е L^^Ui) к типу Rgik-i) и Rgw, если в этой точке туД^о, fz) = Afc(tTo), а в ее выколотой окрестности выполнены неравенства (10а) и (10b) соответственно.
Точка Uq Е LW^Ui) относится к типу R^ и R^\ если в ней функция рк^и, 771) достигает минимума и максимума соответственно.
Отметим, что на адиабате L^(Ui\. ^ = — ^"-—, и поэтому при к = 1, когда yi < 0, адиабата L^XUi) строго возрастает, а при к = 2, когда т?2 > 0, адиабата L®(17i) строго убывает.
Так как т?^(17, щ) на любом интервале полуоси R^ удовлетворяет свойству Во, то согласно равенству (9) величина A^(ii) — /7^(17, vi) имеет
на этом интервале конечное число перемен знака и, следовательно, адиабаты L^^Ui') разбиваются на конечное число участков S^k-^ и SW, на которых функция ^(и, и<) возрастает и убывает соответственно с ростом модуля |ц — vol, при этом на таких участках может быть конечное число точек типа Rstk-o и Rgw. С каждой точкой Uq полуплоскости R^ мы можем связать кривые
Я^(17о) = {[Л u = uq + (-l)k+l j A(<r)d<r}, k = 1, 2,
Vo
на которых можно выделить участки R^ и R^ такие, что на первых Хк^ возрастает, а на вторых убывает с ростом модуля |v — vq|- По определению участки R^ являются проекциями волн разрежения k-го индекса, и только по этим участкам возможен непрерывный переход. ~
Переходим теперь к построению кривых перехода Т^(С7{). В состав кривой T^(Ui) сначала включим множество точек правых состояний, в которые возможен допустимый разрывный переход. Это точки Uo € LW(Ut), для которых подобно (8) выполняется неравенство
T)k(U0, Ui} < t]k(U, Ui) при U е {Ui | Uo).
Такие точки можно назвать так же, как в скалярном случае, видимыми из точки Ui [14]. Множество видимых из Ui точек представляет собою конечное число дуг (С7^ | Uj') = [S^^]j € S^, где Ui — точка типа S^, Uj — типа R^ и при этом выполняются соотношения
Xfc(Uj-l) = Т?^, Vl) > T)(-Vj, vi) = Xk^VjY
Конец каждого участка [S^]j, являясь точкой типа R^, может служить началом дуги R^\Uj), в точки которой возможен непрерывный переход из точки Uj.
В свою очередь, каждой точке кривой R^\Uj^ соответствует сопряженная точка Us на кривой S^^LPY задаваемой выражением
(U = Us : Us е №4ur\ ^ds, vr) - А(зд), UR e П^Ш
Для определенности положим, что vj < vr < vs < v,+l. При продолжении кривой R^YUj) при некоторых значениях Ur и Ug € L^^Ur^ на интервале (ur, Vg) могут возникнуть промежуточные точки U* е е L^\UrY в которых функция т)к(«, «я) достигает минимума. Точки U* относятся к типу R+W.
Делая затем допустимый разрывный переход из точки Ur в промежуточную точку U* и рассматривая пару (U£, U*+i) как исходную для процедуры продолжения, которая была применена выше для пары (Uj, Ui+VY мы можем повторить эту процедуру.
ПкО», уя) =ПкО», уя) =Далее, вводя функцию ^(v- ^я) = АЦу) — %(у, Уд) и учитывая, что согласно (9)
ПкО», уя) =
ПкО», уя) =
А^ + т^у.у^) , ..^, у«)(у-у«) МУ’ Vr>’
получаем так же, как в лемме 3.2, утверждение о том, что число точек минимума функции т/к(у, Уд) на интервале (уд, yj) не превышает этого числа у функции At (у) и, следовательно, числа нулей р"(^Ч на интервале (уд, Уд).
Отсюда следует, что подобных^повторений процедуры продолжения при построении кривой перехода T^k4Ui) может быть только конечное число. Если множество видимых из Ui точек на адиабате lA^Uf) пусто, то тогда строится кривая R^^Uf) до момента появления на кривой LW^UrY Ur € R^^Ui), промежуточных точек.
Дальнейшая процедура построения кривой перехода Т^ЧиО в этом случае аналогична изложенной выше. Таким образом, каждая кривая Т^Чи^ разбивается на участки [S^], R^ и Sr, сопряженные некоторым юк\
Отметим, что если система (6) выпуклая и р"(у) > 0, то тогда кривые переходов задаются выражениями
TW(UO = ^U: S^Ui), v < yz; Rw(Ui),-u > yz} ,T^\Ui) = ^U: R^(Ui), у < yz; S^Ui). v > yz} .
f^\C7r) = {[7: Д^(С7Г), у < yr; SW(C7r), у > угf^\C7r) = {[7: Д^(С7Г), у < yr; SW(C7r), у > угАналогично строятся кривые обратных переходов T^k\Ur\ из точек которых, как левых состояний, возможен переход в точку UT, являющуюся правым состоянием. В частности, когда функция р(у) выпукла, возможен обратный переход по кривым
f^\C7r) = {[7: Д^(С7Г), у < yr; SW(C7r), у > уг
f^\C7r) = {[7: Д^(С7Г), у < yr; SW(C7r), у > уг
Т^фт) = {[7: S<2)([7r), у < уг;Д(2)([7г),у >уг},
ииРис. 3Рис. 3где на кривой RW^IM функция Ак(у) убывает, а на S^tUr) возрастает Лк^, уг) с ростом |у — уг|.
и
и
Рис. 3
Рис. 3
Допустимый переход из точки Ui (левое состояние) в точки UT £ Т^фО U T^Ut) (правое состояние) состоит из двух шагов: допустимого перехода в точку ~ Um е Т^фО (промежуточное состояние), а затем допустимого перехода из Um В точку ит £ Т^фт^ (см. рис. 3).
3 В. А. Тупчиев
При этом, если семейство кривых перехода VT^HUmYL образованное при изменяющихся Um Е T^^UiY не покрывает всей полуплоскости R^, то такой переход возможен не во все точки R^.
Возможен другой подход. Из точки Ui выпускается кривая TW(UiY а из точки Ur — кривая ТЛ^ф^Г и если существует точка пересечения этих кривых Um, то тогда допустимый переход из точки Ui в точку UT возможен. Кривая Т^ф^ монотонно возрастает, а кривая Т^ф^ монотонно убывает при возрастающих о. Поэтому если точки UT Е Е epi Т^ фГ), то возможность их пересечения связана с отсутствием у них асимптот при г> —> оо.
Введем условия Р3:
О р(у) ~> 0. Н(-и, Ь) —► —00 при v —» оо,
p(v) —> 00 при v —»0.
Из пункта 1 этих условий вытекает, что р"(«) > 0 при « > ^м*1 где ом — наибольший корень уравнения р"ф = 0, и кривая Т^фф начиная с некоторого и > «м^ при о > и представляется участком RW, который в силу условия, что H(v, t>) —» —00 при v —* оо, не имеет асимптоты, и, следовательно, кривая Т®фг) будет иметь единственную точку пересечения с кривой Т^фф
Рассмотрим случай UT ^ ерХТ^фС) (надграфик). Тогда существенным является поведение кривых Т^ф^ и Т^ф/) при v —> 0.
В силу пункта 2 условий Рз на интервале (0, от), где vm — наименьший корень уравнения р"^ = 0, должно быть также p"(v) > 0, а это означает, что при малых v кривая Т^фС) представляется; участком [S(1)], т.е. задается уравнением и = щ + d(v,viY в кото-; ром -Уф vi) —» —00 при о —> 0. Отсюда следует, что при убывающих: и < иг кривая T^t/,.) имеет единственную точку пересечения с кри-> вой Т^ф^.'
Итогом предыдущих рассуждений является следующая теорема.
ТЕОРЕМА 2.1. Пусть выполняются условия Р\-Р%. Тогда задача о распаде разрыва (6), (7) имеет единственное решение. ■
Теорему можно обобщить на случай, когда функция р"^ об-, ладает конечным числом нулей на каждом ограниченном интервале полуоси R^. При этом необходимо также ввести условия подобные^ условиям Рз, которые обеспечивают пересечение кривых переходов.; Мы не будем здесь останавливаться на этом вопросе [29] и перейдем к рассмотрению примера задачи о распаде разрыва для политропного- газа.
ПРИМЕР 1.1. Положим, что в системе (6) р = - v-7, где 7^1.
71
Если 7=1, то условия Р1-Р3 выполнены полностью, и задача (6), (7) имеет единственное допустимое обобщенное решение в смысле определения 3.2.2.
Если же 7 > 1, то Н(оо, Ь) = —В, 0 < В < оо. Таким образом, пункт 1 условий Р3 нарушается. В этом случае кривые T^tUi') и T^\Ur) задаются выражениями
T^Huf) = ^U:T^HU^ = [и:T^Huf) = ^U:T^HU^ = [и:U = Щ + l?(v, vt) При V<V[,и = щ + ш~\у^ш — v~u) при V > V/и = uT — i9(v, vr) при v < vr,u = ц — w-I(v“w — ц-ш) при и > vr
T^Huf) = ^U:
T^HU^ = [и:
T^Huf) = ^U:
T^HU^ = [и:
где ш = 7 g *' кривая T^^Uf) имеет асимптоту u = u+ = uj + ^ v; ш, а Т^(?7Г) — асимптоту и = и- = иг —- и"ш.
Если м_ > м+, т. е. иг — гц > иГ^и^ + v^~), то кривые TW^U^ и T^HU^ не пересекаются, а задача (6), (7) имеет неограниченное
решениерешение"(у) ="(у) =VI2 (-у) 7+12у 7+1игHiVI2 (-у) 7+12у 7+1игHi, Ш, О, Ш, ОУ < Уь< у < о,У < Уь< у < о,< у < Уг, Ут < У,. У *< у < Уг, Ут < У,. У *и(у) =и(у) =I7-1и+ - -(-у)7+1 - У1I7-1и+ - -(-у)7+1 - У1- УьУ < О,- УьУ < О,(П)(П)и_ + -ут+1, о<у<уг,ит, Ут < У,и_ + -ут+1, о<у<уг,ит, Ут < У,
решение
решение
"(у) =
"(у) =
VI
2 (-у) 7+1
2
у 7+1иг
Hi
VI
2 (-у) 7+1
2
у 7+1иг
Hi
, Ш
, О
, Ш
, О
У < Уь
< у < о,
У < Уь
< у < о,
< у < Уг, Ут < У,
. У *
< у < Уг, Ут < У,
. У *
и(у) =
и(у) =
I7-1
и+ - -(-у)7+1 - У1
I7-1
и+ - -(-у)7+1 - У1
- Уь
У < О,
- Уь
У < О,
(П)
(П)
и_ + -ут+1, о<у<уг,
ит, Ут < У,
и_ + -ут+1, о<у<уг,
ит, Ут < У,
7+17+1
где У1 = -V( 2 ,yr = vr 2 .
Это решение, неограниченное в точке у = 0 (вакуум), необходимо рассматривать как формальное, так как оно не подпадает под данное выше определение допустимого решения. Оказывается, что оно относится к классу функциональных решений. Этот класс обобщенных решений будет рассмотрен в главе 6.
Рассмотрим общую задачу о распаде разрыва в Rn".
(12)(13)(12)(13)(Ш-у1)^=0,ц(—00) = U(, u(oo) = ит,
(12)
(13)
(12)
(13)
где / : Rn —> Rn — вещественно-аналитическое отображение, определенное в выпуклой области Q строгой гиперболичности системы (12), в которой выполняются соотношения
(14а)(14b)(14а)(14b)An+i(u) — An(u) > 0 при n=l, ...,N— 1,/(n\u)r„(u) = 1 при n = 1, ..., N.
(14а)
(14b)
(14а)
(14b)
Наряду с матрицей /U(u) = Л(ц), ее собственными значениями At(u) и векторами г^(и) (правыми) и lk(u) (левыми) при к = 1, ...,N, рассмотрим матрицу A(U), определяемую равенством
где U = (u, и) — пара в Rn х Rn, ее собственные значения А^(17) и векторы Tk(U^ (правые) и 1к(Щ (левые), причем
1
A(U) = J /«(с« + (1 — с)и) dq; A(U) — А(и) при v = и. о
Рассмотрим шар Ша(и°) С О с центром в точке ц° и радиуса а.
ЛЕММА 4.1. Пусть f(u) — вещественно-аналитическая функция в выпуклой области Я, где выполняются условия (14а) и (14b). Тогда при достаточно малом а для любой пары (U, V) с U = (и, и') и V = (v, V) из Ша(и°) х Ша^') существует такое малое 5 € (О, З-1), что справедливы неравенства-.
An+,([/) - An(V) ^ 5 при n = 1, .... N- 1,(15а)
tn4uW) 5 при п = 1, ..., N. (15b)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Непосредственно из (14а) и (14b) npi достаточно малом а вытекает существование 5 > О такого, что
An+i(u) — Ап(г) ^ 35 при п=1N — 1,Z^n\u)rn(v) > 35 при n = 1, .... N,
где и и v — любые точки шара Ша(и°) С О.
Кроме того, при достаточно малом а по непрерывности имеем
|An(17) — An(u)| С 5, ПЩ-^Ш Ыи)-гп(и)\^5 при Vn.•
Отсюда следует, что
А„+1(Е7) - А„(У) = [А„+1 (и) - АПИ + [An+1(t7) - A„+1(w)] +
+ [A„(v) - An(V)] > 5, l^HuynW = l^XuMv) + [/<")([/) - /(")(u)]rn(v) +
+ /(nW)MV)-r„(y)]^5.
Лемма доказана.□
ТЕОРЕМА 3.1. Пусть /(и) — вещественно-аналитическая функция в выпуклой области fl, а в шаре ZZ/o(u°) С Я выпол-
няются соотношения (15а) и (15b). Тогда через любую точку мо € ZZ/a(u°) С О проходит кривая R^X^o)'-
и = и0 + srfc(u0) + ^ s2X(fc)rfc(uo) + . • • + (n2 1)1 sn+VxWrkM + • • • ’
(16a) в точках которой в общем случае, когда начальная точка uq относится к типу R^ порядка n ^ 1, справедливо представление вида;
у = Xk(u(s)) = А(«о) + 1 s^X^XM) + ■ ■ ■ -(16b)
где |s| — параметр длины дуги fl(fcl(u0), а также проходит адиабата Ь^ХиоУ.
U = Uo + STfc(uo) + | s2Xwrk(uo) + ...
•■• + (^^sn+1^W + ^ (17а) в точках которой функция Т](и, uq) задается уравнением
9 = r?(s) = Afc(uo) + ^^ s^Y(nfc^(17b)
В частности, если uq — точка типа R^, то R^Xuq) совпадает с Ь^ХиоУ причем у = АЦио) на R^Xuq) и ^(s) = Ak(uo) на L^Xuo).
При этом остаток разложения [s]n+2 в (17а), начинающийся со степени (п + 2), в ситуации общего положения отличается от такого же остатка в (16а), и поэтому кривые ЮкХио) и L^Xuq) имеют (п + \)-ый порядок касания, т.е. по крайней мере второй порядок касания.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разложения (16а), (16b) представляют собою обычное разложение в ряд Тейлора по степеням параметра решения задачи
^г^и), и(0) = «о,
где |s| — параметр длины дуги, так как |rk(u)| = 1, и разложение Функции у = Xk(u(s)) в точке «о типа R^ порядка n ^ 1 (§ 2 гл. 2). Если uq точка типа R^\ то очевидно, что у = Ак(«о)-
Адиабаты L^luo) определяются из системы
Ци) - /(«о) ~ч(и - «о) = ° или (A(u, uq) - ^(и - «о) = О (18) и представляются выражениями вида
и - Uo = а(и, Uo)fk(u, Uq), T] = Xk(u, Uq), где а(и, и) ^ 0 при и ^ uq, «(uq, uq) = 0.
Согласно условиям (15а) и (15b) в шаре Ша(и0-) имеют место
соотношения
т/ / Xj(u), з^ k; Zfc(u)(u-uo) ^0,(18а)
где и е LW(uq), и ^ uq._
С другой стороны, можно определить ту же адиабату L^k\u^ как решение и = u(s), 77 = 77(a) системы (18), параметризованное условием
(19а)(19а)Zfc(u(S))^ = l.
(19а)
(19а)
Дифференцируя систему (18) по s и умножая ее затем на Г^ЦвУ) слева скалярно, с учетом (19а) получим систему
(19)(19)= гк(и) + £ Pjk^ ^тАиу dsз^к
(19)
(19)
dy _ Хк(и) - т?
ds /'‘(иДи — ио)
где коэффициенты 0jk находятся по формулам
3’г^^-т/оХАДт/)-??)’3’г^^-т/оХАДт/)-??)’3^ к-3^ к-
3’г^^-т/оХАДт/)-??)’
3’г^^-т/оХАДт/)-??)’
3^ к-
3^ к-
Коэффициенты 3jk, а следовательно, и правые части системы (19) в силу соотношений (18а) ограничены и вещественно-аналитические в шаре Ша(и°\ и поэтому решение системы (19) с начальными данными и(0) = uq, ^(9) = Afc(TZo), представляющее адиабату 1Ак\ио'), продолжаемо до границы шара Шо^и°\
Если uq точка типа Rw порядка п ^ 1, то из уравнения для т] в системе (19) находим, что
77^(О)=О при m = 1, ..., 77 — 1, т^Ч0) = ^Х^ХкЫ.
Отсюда, в свою очередь, вытекает, что коэффициенты 3jk вместе со своими производными по s до тг-го порядка обращаются в нуль при 8 = 0. Это объясняет, почему разложен ия~( 16а) и (17а) совпадают до членов (77 + 1)-го порядка, а кривые R^XHuq-) и L^^uq") имеют (77+ 1)-ый порядок касания в точке uq типа RW порядка 77. Случай, когда ио типа R^, очевиден.□
СЛЕДСТВИЕ 1.1.5 шаре Шо(и0>) С П, еде выполняются условия (15а) и (15b), кривая L^(uq) разбивается на конечное число участков S^ и S^k~l\
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из уравнения для 77 в системе (19) вытекает, что на интервалах изменения s, где функция 77(e) возрастает с ростом |s|, точки на L!X'i(uo') принадлежат к типу 8^ или R^p а там, где 77(e) убывает, — к типам S^k-^ или H^Lr Кривая L^(uq^ в силу условий (15а) и (15b) выходит из шара Ша(и°') при некоторых
конечных значениях s+ > 0, s_ < 0. Являясь аналитической функцией, t/(s) имеет конечное число нулей на (s_, s+), и, следовательно, на кривой Z^fc\uo) может быть лишь конечное число точек типа R^g^, R^g^^ и R^ ■ В точках R^1 происходит смена участков.П
СЛЕДСТВИЕ 2.1. В шаре Ша(и°\ где выполняются условия (15а) и (15b), любая цепочка соседних точек {u,}q* € 1Ак\ио) является устойчивой, причем все точки Uj принадлежат к типу R!g\ исключая, быть может, точки ид и ит, которые могут принадлежать к типам S^-^, R^-i) “ S^k\ R^^ соответственно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно определению 2.2.2 множество особых точек {ujjg1 векторного поля /(и) — /(ид) ~ Уо(и — ид) называется цепочкой, если каждая пара точек (uj, Uj+i) является соседней, т. е. всюду на дуге (uj | u,+i) € L^tu^) выполняется неравенство
Т)(и, и0) > Уо при и ^ Uj, Uj + l, при этом цепочка называется устойчивой, если для каждой такой пары ^Uj, Uj+i) выполняется условие
dimM_(uy) + dimM+(uj+i) ^ ^ + 1.(20а)
Рассмотрим кривую L^^u^ при s ^ 0. В силу предположения о цепочке на дуге (ug I um) Е L^k\uo) выполняется неравенство
y(s) ^ Уо при 0 < s < sm,(20b)
в котором знак равенства имеет место в промежуточных точках цепочки Uj = u(sj) при j = 1, ..., т —' 1 и возможно в точках и0 и ит при s0 = 0 и s = sm. Промежуточные точки Uj являются точками минимума функции t/(s) на (ug | Um), в которых производные t/^(s,) = 0 при 9=1, ..., п — 1, a y^(sj) > 0 при четном и. Но тогда из уравнения для т/ в системе (19) следует, что y^Sj) = X^Uj) и X^Xk(,Uj) = 0 при номерах q = 1, ..., п — 2, а Х^1 Xk^Uj) > 0, и согласно соотношениям (18а)22, (18Ь)22, (18с)22 промежуточные точки Uj относятся к типу Я^- Каждая соседняя пара этих точек удовлетворяет условию (20а) и поэтому является соседней устойчивой парой.
Выясним тип особых точек uq и ит.
Если 7/(0) = Afc(uo) > Уо = Xk(u.jY то в силу (15а) в точке ио имеем неравенство уд > Afc-i(ug), и поэтому точка uq относится к типу S^-D. Если в uq имеет место равенство т/(0) = Afc(ug) = Уо, то в силу (20b) t/'(s) > 0 на Ь^^ио) в малой окрестности ug, и точка ио — либо точка минимума t/(s), т. е. точка типа R^k\ либо точка перегиба функции t/(s), и тогда uq типа Я^-,,.
В малой окрестности точки ит на Z^l(ug) либо 7/'(sm) < 0, и тогда точка ит типа 8^ или Я^,, либо t/(s) имеет при sm минимум, и тогда
точка ит является точкой типа R^. Отсюда следует, что пары (ug, Ui) и (um_i, um) являются устойчивыми, как и вся цепочка {и?}^.П
Выделим теперь на кривых L^(uo) множество точек, в которые, как в правые состояния, возможен допустимый разрывный переход, для выполнения которого согласно следствию 2.2 достаточно проверить выполнение условия цепочки (20b).
С этой целью дадим аналогичное определению 1.1 следующее определение._
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Назовем точку йе L^(ttg) видимой слева (справа) из точки и$ относительно графика функции у = у(и, ug) на ZAfc)(ug) при значении у^ = у(й, u0) ^ Ak(ug), если на дуге (ид | й) 6 L^Huq) при s > 0 (на дуге (u | ug) € L^(uo) при s < 0) выполнено неравенство
' p(u, Ug) ^ уд.
Наоборот, будем называть точку ид видимой слева (справа) из точки й при значении уд = т)(й, ug) ^ At(ug), если на указанной дуге при s > 0 (s < 0) выполнено неравенство
у(и, Ug) < уо.
Отметим видимые слева (справа) точки минимума функции y(s) на адиабате LW(uq) е Ша(и°). Это точки Ui = u(si) при г = 1, ... ,т для s > 0 (uj = u(sj) при j = 1, ..., р для s < 0), в которых выполняются неравенства
y(Ui, Ug) < y(Ui-V, Ug) (y^j, Ug) ^ y(lZj-l, Ug)).
Указанным точкам {uj соответствует множество сопряженных точек {йг} € 1№(ио) при S > 0 таких, ЧТО y(ui, Ug) = Т^г. Ug), а на открытой дуге (ui, щ) € lAk\uo) выполняется неравенство
у(и, ug) > y(ui, Ug).
Аналогично строится множество сопряженных точек {i^} при s < 0. Множество точек на L^(uq), видимых слева, представляет собою т
объединение E+W(uo) = (J (iU-\ | ч), где ит — точка минимума у(з) i=i
или точка границы шара Ша(и°). Из следствия 2.1 вытекает, что точки Ui относятся к типу R^\ а точки полуоткрытых дуг (й,_| | и^ имеют тип 8^, исключая, быть может, конечное число точек типа Л^, поэтому дуги (щ-1 | Ui) будут далее обозначаться через [S^)j.
Таким образом, множество, в точки которого допустим разрывный переход из точки ug, является объединением 52^(г<д) = S_ (ug) U
Аналогично строится множество L^k\uo), образованное точками левых состояний, из которых возможен допустимый разрывный переход в точку uq, как правое состояние.
Переходим к следующему шагу построения кривой допустимых переходов Т^Цио), полагая, что ^к\ио) ^ 0. Сделаем разрывный переход в точки минимума и^ и, учитывая, что это точки типа R^k\ из которых возможен непрерывный переход по кривым R^^Ui), совершим этот переход с учетом, что «навстречу» движется представляющая точка ид, сопряженная точке ur и определяемая из системы
/(us) - /(ид) - Хк(ик)(и8 - ur) = 0.(21)
Множество сопряженных точек образует кривую Sr\ui). При указанном построении мы неявно воспользовались леммой.
ЛЕММА 5.1. В агаре Ша(и°), где выполняются условия (15а) и (15b), точки щ и и^, соседние на адиабате L^^uq), таковы и на адиабате L^(u\).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО очевидно.□
Продолжим построение кривых перехода.
Предположим теперь, что кривая R^k\ut) задается уравнением ur = ur(s) при s > s, и малых Дз = s — Si, а кривая 8^\ги) — уравнением ид = us(s) при s < "Si и малых Да = s — Sj, причем ug(si) = гц и Дз = ^(Дз).
Определяя параметризацию кривой 8^\йг) уравнением
/кЫ^ = 1,(21а)
продифференцируем систему (21) по з и получим систему
^ = rk(us) A-^PikT^us),(21b)
AX^ur) _ Xw(us) - Ак(ид).
ds lk(us)(us — ur) ’
где коэффициенты 0jk находятся по формулам
а _ lj^,us)(us — Ufi)(A(fc)(ug) — X^Ur))
’ lk(us)(us — UR^Xy^ug) — X^ur))
Уравнение (21c) определяет связь между параметрами Дз = у?(Дз). Действительно, если гц — точка типа SW, то тогда Xk^Ui) > Xk(tii), и с учетом, что Ui — точка типа R^ порядка п ^ 1 с X^X^Ui) > 0, имеем из (21с) представление
Д5=хь^м^4^(22)
ni.(Xk(ui) - Хк(щ))’
где п — нечетно, As < 0. Если же и» — сложная особая точка типа R^ или R^ порядка q > 1, то тогда
XkW) = Xk^ + i A^A^m^As9 + [As]g+i,
где q — четно и Х^Хк^гц) > 0 в точке щ типа R^-,, и q — нечетно и Х^Хк^) > 0 в точке гц типа R^, и, следовательно, из (21с) вытекает представление
п1
As = -|b|9+'(As)9+i(l + [(As)4+i]i),(22а)
6 = ^Х^^^ ~ и^(22Ь)
Соотношения (22), (22а), (22b) устанавливают связь между параметрами дуг сопряженных кривых R^tui) и SR\ui).
В точках соединения дуг SR\щ) и [S^^i+i кривая T^^uq) имеет излом, то есть нарушается гладкость. Действительно, в точке гц типа S^ производная u'(si — 0) задается правой частью системы (21b) при s = "§i, а производная и'(8, + 0) задается системой (19) при s = s,, и поскольку в этом выражении
Z^(uj)(ui_—До2 _ l3(u,)(u, — и)(23)
Zk(ui)(ui - u0) lk(ui)(u{ - m) 1’
где, вообще говоря, O(|sj|2)0, то u'(si - 0) u'^i + 0).
Дальнейшее продолжение кривых R^tu-i) и S^^Uj) может быть остановлено появлением промежуточных особых точек {и*}™ при ur = Ur/ur = u*g на дуге (uR | Ug) G L^k\uR), где Uj = u*^Sj). Множество точек {и*}™+1, где Uq = Ur,u^+1 = u*s, образует цепочку, причем все точки Uj при j = 1, ...,т являются точками минимума функции у^и uR). Это множество конечно в силу аналитичности функции т/(ц, u*R) на L^u^).
Для каждой соседней пары (,Uj, Uj+l) этого множества вновь возможно продолжение по кривой юк\и^) при s > Sj из Uj и по сопряженной кривой SR\uj) при s < Sj+i из точки и^+]. Это можно считать вторым шагом процедуры продолжения. При этом так^же, как и в пункте 2 легко убедиться в том, что на любой кривой L^^uq) С Ша(и°) функция Хк(и) имеет не меньшее, нежели функция y(u, uq) число точек минимума.
С другой стороны можно указать такое число q, которое является максимальным для числа точек минимума функции Хк^и) на кривой Д№(ц0), когда точка ug пробегает весь шар Ша(и°).
Отсюда следует, что построение кривой Т^к\гц)) завершается по крайней мере за q шагов процедуры продолжения.
Дополнительные сведения о кривой T^(uq) дает следующая лемма.
ЛЕММА 6.1.5 окрестности точки и* соединения дуг R^ при s < s, и S$ при s > з^, которая относится к типу Rg^, порядка п> 1, на дуге S^ при s > s* справедливы разложения
u(s) = ut + Азт^и») + ...
• • • + №+lX^rkM + [Дз]п+2, (24а)
7/(3) ХкЫ + 1 V(WX^XkM + [As]„+1,(24b)
при этом As = s — 5*, As = s — s* на R^ и S^ соответственно связаны аналитической зависимостью
As = до As + [Дз]2, где до € (—2, — 1) является при четном п > 1 корнем уравнения дп+1 ~(п+1)д + п = 0.(24)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим систему (21b), (21с) при условии (21а). Поскольку и* — точка типа R^^ порядка п, то по определению в ней выполнены соотношения
XwXkM = --- = X^vXkM=O, XfoXkM < о (24с) при четном п > 1.'
Из (21b), полагая, что связь As = ip(As) уже определена из (21с), последовательно с учетом (24с) находим
^ (а*) = ГкЫ, • - • - ^^ W = Х^ГкЫ, при этом также получаем равенство
Afc(us(s)) = Xk(ut) + ^ (△s)nX(nfc)Afc(u*) + [Дз]п+ь
Отметим, что Afc(u/?(s)) представляется выражением (16b) с заменой s на As. Теперь с учетом этих разложений из (21с) получаем равенство
= ^Г 4kM^Wn -1)^ + м„+1, где д = <//(0). Отсюда получается уравнение (24), из которого находится корень i?o, и тем самым определяется главный член разложения функции <p(As) по степеням As, а также вытекают разложения (24а) и (24Ь).П
Из предыдущих результатов и леммы 6.1 вытекает следствие.
_ СЛЕДСТВИЕ 3.1. Кривая Т^Чио) в точках соединения дуг RW и 3^ имеет гладкость не ниже второго порядка. В точках соединения дуг З^Чщ) и S^(uJ) кривая Т^Чио) имеет излом и выполняется соотношение подобное соотношению (23).
Важный вывод делается в следующей лемме.
ЛЕММА 7.1. В шаре Ша^и?^ с П, где выполняются условия (15а) и (15b), кривая Т^Чио) представляется выражением
и = ио + srk(uo) + ^ s2Xwrk(u0') + Шк(в\(25)
где Шк^з) — непрерывная кусочно-аналитическая функция, имеющая конечное число точек разрыва производных, и такая, что
Ыз)| < C|s|3,(25а)
при этом, исключая конечное число точек на Т^Ч^Ч справедлива оценка
к41<<?И2,(25b)
где постоянная С определяется оценками производных функции f^u) до третьего порядка в шаре Ша(и°), аз — параметр на кривой Т^Ы-~
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если точка и е [S1^^);, тогда по формуле Тейлора с учетом (17а) и аналитичности u(s) на l4k4uo) имеем
u = u0 + srfc(uo) + - s2Xwrk<u0') + O(|s|3).
Если u = ur 6 R^k4ui4 тогда согласно (16a)
и = щ + £xsrk(ui) + ^ As2X(fc)rfc(ui) + O(|As|3), As = s - s,.
Далее, учитывая соотношения
Uj = u0 + SiTkM + - s?X(fc)Tfc(uo) + O(|si|3), rfc(ui) = rfc(uo) + SiX^TkM + O(|si|2),(25c)
X^Tk^ut) = A"(fc)Tfc(uo) + O(|si J),
получаем формулу
hr = uo + srfc(u0) + ^ s2X(fc)rfc(uo) + O(|s|3).
Если и = ug € Зд\йгЧ тогда, как и выше, по формуле Тейлора с учетом (17а) имеем для кривой L^^ur) представление
us = ur + Asrfc(ufl) + ^ As2X(fc)rfc(ufl) + O(|As|3), As = s - s,.
С учетом представления для ид, соотношений
Гк(ид) = rfc(uj) + ZksXwrk(ui') + О(|Дз|2),Х^Гк^ин) = Х^кугк(гц) + O(|As|)
и соотношений (25с) получаем представление
u = uq + sr(uo) + | sXr(uo) + O(|s|3).
Те же формулы получаются на последующих этапах построения кривой T^^(tto), и, следовательно, представления (25) и (25а) установлены. Оценка (25b) вытекает из следствия 3.2 с учетом соотношений типа (23) на изломах кривой.
Отметим, что для получения оценок остаточных членов в (25), (25а) нужны оценки производных функции /(и) в шаре Ша(и°) до третьего порядка.П
Теперь переходим к построению допустимого обобщенного решения задачи (12), (13) в проекции на Rn в шаре ZZ/o(0) с центром в начале координат, что не является ограничением общности рассмотрений, с радиусом настолько малым, чтобы в этом шаре выполнялись условия
(15а) и (15b). Точки и/ и ur в краевых условиях (13) будем выбирать в некотором шаре Шд^ радиуса d < дууру-
Пусть ио — произвольная точка в шаре Шд(0У
Рассмотрим последовательность кривых перехода
т(1)ЫT^k-C),Т(ик),
где Uk G T^k\uk-\Y и° G TW^un-i) при к = 1, .... N.
Такая последовательность кривых {T^Uk-i)}^, принадлежащих шару Ша(0) и соединяющая точки uo, u° G Шд(0), представляет собою проекцию допустимого обобщенного решения с краевыми значениями и; = uo, ur = u°, которое принадлежит классу К и удовлетворяет условиям D на разрывах, то есть удовлетворяет определению 3.2.2.
Каждая кривая T^k\uk-\Y согласно лемме 7.1 и параметризации (19а), задается уравнением
U = W^Sk, Uk-l) = Ufc-l + STfc(ufc-l) + ^ SfeX^Tk^k-l) + w(sk')
и для любых Ufc-i G Шкд(0), |sfc| < Ek при достаточно малых Ek оста
ется в шаре ZZ/(A.+l)d(O).__
Тогда последовательности кривых T^^uq), ..., T^^un-y) соответствует суперпозиция
и = W^s, Uq),
где W(s, uq) = WN(sN, Wn_y(sN-y, ■ ■■, W2(s2, ^(si, uo)) ...)), s = = (sb ..., SN).
Функция ИДз, ио) определена и липшиц-непрерывна в силу леммы 7.1 в области:
Qe, d = {(s, uo) : |s| = max|sfc| < £ = rninSfc, uo € ZZ/d(u0)}, где она удовлетворяет следующей теореме.
ТЕОРЕМА 2.1. В области Qe,d пРи указанных выше cud справедлива формула
N1
+ w(s),(26)+ w(s),(26)W(s, u0) = up + 52 sjO(uo) + 52 SiSiXiTi^uo) (1 - - St-A
+ w(s),
(26)
+ w(s),
(26)
при этом производные удовлетворяют неравенствам
||g-rk(W')|| <ОД. ||g-4| <ОД. (26а)
где |w(s)| ^ C|s|3, а постоянная С зависит от оценок производных функции /(и) в шаре Ша(0) до третьего порядка.
ДОЕАЗАТЕЛ ЬСТВО. Согласно лемме 7.1, имеем
Wx(st, u0) = uo + Sin(uo) + I sf^r^Uo) + Wl(si),W2^S2, Wl(si, Uo)) = W1 + 82Г2(И^1) + | S2X2r2(Wl) + w2(s2).
Но поскольку
гДИ^) = r2(uo) + 8iXir2(u0) + O(s,),X2r2№ = X2r(u0) + O^S1\),
то получаем выражение
2
W2(s2, W^Su uo)) =uo + 52s2rj(uo) +
= 1
2 ii
+52~ 2^) +ш(5ь s2).
i=l 2 = 1
где |ш| < C|s3|, |s| = max{|si |, |s2|}.
Пусть по индукции доказана до k-ro номера формула
к
W^sk, Wk-\(sk-\, .... Wi(sbUo)...)) = uo + 52sjrj(uo) +
2 it,=‘(26b)
+5252sis>^r»(uo) f1 - 2 ^) +ш(«ь sA,
i=i j=i
где |w| Clsl3, |s| = maxlsj.
Установим справедливость формулы (26b) для (fc+l)-ro номера. Имеем
Hfc+^Sfc + l, Wfc) = Wk + «к+1П;+1(И4) +
+ 2 5к+1^(к+1)Гк+1(^) + шк-|-1(5к+1)' и, учитывая, что в силу (26b) верны равенства
к
r(fc+i)(Wfc) = rfc+i(uo) + ^2 SjXjTk^xku^ + O(|s]2),j=1
■Х^+^Гк+ДИ^) = ^(fc+ijTfc+^Uo) + 0(H)-
получаем
к
ITk+i(sk+i, W^ = «о + ^Sjr^uo) +
4* 5'5 ^SiSj^-j^i^o^ fl 2^) Sk+'^k+il^o) "1" i=l j=l
к
+ '£sk+lSjXjTk+lM + 2 5и1^(к+1)Гк + 1(ио) +w(s) =
k+1fc+1 i ,
= Uq + ^^М) + 52 52 StSj*jri(Mo) (1 - 2^) +^(S1,Sk+1)-
j = li=l 7 = 1
Таким образом, формула (26) верна.
Дифференцируя функцию ИДз, izq), задаваемую формулой (26), в QEi d почти всюду с учетом оценок (25а), (25b) имеем соотношения
Wsjs, u0) =rfc(u0) + O(|s|), WUo(s, u0) = I + O(|s|).□
ТЕОРЕМА 3.1. При достаточно малом а можно указать такое число b < а, что если щ, иг € Шь(0), то в шаре ZZZo(0) существует единственное допустимое обобщенное решение из класса К задачи о распаде разрыва (12), (13).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем радиус а шара Д7о(0) настолько малым, чтобы в нем выполнялись условия (15а) и (15b), а величины £ и d такими, как было указано выше. Тогда, если u; € ^d(O) и |s| < £, то имеем и = W(s, щ) € Д7а(0).
Возьмем шар Шь^ С ZZ/d(O) такой, чтобы при любых точках щ, иг, принадлежащих этому шару, выполнялось условие
\L(ulKur-ul)\<^,(27)
где Цгц) = (l4ui)lN(ud) ~ матрица левых собственных векторов, н рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных s
иТ = W(s, UlY(27а)
Используя формулу (26) и умножая слева (27а) на матрицу L(uj), перепишем систему (27а) в виде
з = F^Y(28)
где F(s) = L(ui)(ur — ui) + ш(з, ui), при этом, согласно лемме 7.1, выполнены оценки
|w(s, u;)|C|s|2, |^ (s, u;)| ^ C|s|.(28a)
Правая часть системы (28) обладает свойствами: l)|F(0)|<|,
для любого а € (0, -1 можно указать такое достаточно малое е > 0, что справедливо неравенство
как только |з'|, |з| < е.
Первое свойство вытекает из (27), а второе есть следствие оценок (28а).
Отображение F(s) является для |з| < е сжимающим [14] и инвариантным, так как согласно указанным выше свойствам |F(s)| ^ ^(s) — F(0)| + |F(0)| < е. Следовательно, итерационный процесс s(n+D = F(sW),s(0) = о, п=1,2,
сходится к единственному решению
s = <p(ur, ut), |у>| < е. (29)
Таким образом, при любых точках uj, ит Е Ш^О) и достаточно малых е уравнение (27а) имеет единственное решение s = хр^гц, urY такое что uk = Wk(<pt, ...,xpk, ui) E Ша(0) при k = 1, 2, .... N.
Так как из определения и доказанных выше утверждений вытекает, что любое допустимое обобщенное решение, если оно существует, в проекции на фазовое пространство Я^~представляет собою последовательность кривых перехода T^QuiY T^^Y •■•, T^^un-xY т0 из единственности решения системы (29) вытекает единственность соответствующего допустимого обобщенного решения.
ТЕОРЕМА 4.1. Пусть система (1) допускает в области W С С Q энтропийную пару {Ф, Ф} с выпуклой энтропией Ф.
Тогда допустимое обобщенное решение задачи о распаде малого начального разрыва (1), (2), определенное в области П', удовлетворяет условию (10)32, и, следовательно, является допустимым в смысле определения 3.2.2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме 3.1, при ui, ur 6 Q' и достаточно малой разности |ur — щ| однозначно определяется последовательность кривых и точек:
ихЕТ^М. ...,икЕТ^Чик-хУ ...,urETW(uN_xY
На каждой кривой Т^Чик-х^ можно выделить следующие три типа разрывов:
Разрыв между точками и= и и+, где u= Е R^X и+ Е SRX а кривые RW и Зд^ соединяются в некоторой точке и», как в лемме 6.1.__
Разрыв между точками и= ии+, где и= Е R^X u+ Е S^X а кривые R^ и 5д^ непосредственно не соединяются.
Разрыв^ между точкой и_ = Uk-x (левое состояние) и точкой и+ Е [S^)i (правое состояние).
В первом случае на кривой R^ выполняется уравнение
J^ (uR^ duR = Xk^uR^ du3R,
из которого после умножения на Фи)(ид) и интегрирования по дуге (и_ | u*) С R^^u-) получаем равенство
«+
Ф(и*) - Ф(и_) = Ак(и*)Ф(и,)-Ак(и_)Ф(и_) - | ^uR^^dum.
~""(ЗОа)
С другой стороны, на сопряженной кривой S^^u^ выполняется уравнение
(/^(tzs) - 5*mXk^R))du^ - (“^ - и^ХкЫ.
из которого после умножения на Ф^ид) и интегрирования по дуге (и* | и+) С SR4u+) получаем равенство
Ф(и+) - Ф(и,) = J Ак(ид)с/Ф(и5) +
и+
+ j Фи™(и5)(и£ - и^ dXk(uR) = Ак(и_)Ф(и+) - Ак(и*)Ф(и») -
и+
- j {Ф(и5) + Фит(и5)(^ - и^^ХкЫ- (ЗОЬ)
Сложение равенств (ЗОа) и (30b) с учетом установленной в лемме 6.1 связи между параметрами s на дуге (и_ | и*) и s на дуге (u, | и+) дает равенство
Ф(и+) - Ф(и_) = -уо^и^ - Ф(и_)) -
j (Ф(ид) - Ф(и5) - Фи™(и5)(и^ -И^аХк^нУ
где уо = Хк^и_\
Выражение в фигурных скобках в силу выпуклости Ф(и) неотрицательно, а величина At (ид) возрастает на кривой RW^u-Y и поэтому интеграл в правой части последнего равенства неотрицателен. В результате приходим к неравенству
[Ф] - г/о[Ф] < 0,
где [У] = У(и+) — У(и_), т.е. энтропийное условие (10)32 выполнено.
Во втором случае для определенности положим, что дуге (u_ | uq) С С R^tu-) соответствует сопряженная дуга (ui | tz+) с S^\u+\ а дуга (u0 I ui) представляется в виде объединения дуг (uq I ut) U (и* | гц), где дуга (и0 I и*) — типа RM^uo) U Sj^u*), a (u* | ui) — типа R^k\u*) U5fl\ui), и соединяются в точке и* как в первом случае.
Таким образом, на дуге (uq | ui) С Т^(ик-1^ энтропийное условие выполнено, т. е. при у0 = Хк^Ио) = Хк(и„) имеет место неравенство
Ф(и0 - Ф(и0) -у0(Ф(и1) - Ф(ио)) < 0.(31а)
Как и выше, на дуге (u_ | uq) С №к\и_) имеем равенство
Ф(и0) - Ф(и_) = Ак(и0)Ф(и0) - Ак(и_)Ф(и_) - «о
j Ф(ид)^Ак(ид), Ак(ио) = у0,
а на дуге (ui | u+) С S'^\u+) — равенство
Ф(«+) - Ф(ы1) = Ак(и_)Ф(и+) - Ак(ио)Ф(и1) -
j {Ф(ыз) + Фит(из)(ид - и™аХк(ик), И|
складывая которые, получаем равенство
Ф(и+) - Ф(и_) - уо(Ф(ц+) - Ф(и-)) =
= (Ф(и1) - Ф(ио)) -у0(Ф(и1) - Ф(ио)) -
j (Ф(ид) - Ф(и$) - Фи"(и5)(ид ~ Us )}dXk(un), (31b)
где, как и выше, интегрирование по дуге (ui | u+) С S^\u+) заменено интегрированием по дуге (u_ [ uq) С R^tu-J) с учетом знака.
Теперь из равенств (31а) и (31b) с учетом выпуклости Ф(и) и малости разности |u+ — и_| вытекает энтропийное неравенство
[Ф] - 3/о[Ф] ^ О, где з/о = Хк(и_), [У] = У(и+) - У(и_).
Справедливость энтропийного условия в третьем случае опирается на рассмотренные выше случаи.
-Действительно, в этом случае и_ = Uk-\, u+ € l/й-г | Ui+i) С С LW(iz_), и для точек и е (и^ | u,+ i) имеем тождество
/(и) — /(и-) — т?(и, и_)(и — и_) = 0, дифференцируя которое, получаем
/^m(u) dum — т](и, u-^du? = (uJ — и_^ dr].
Последнее равенство умножим на ФиДи) и проинтегрируем по дуге (й, | и+). В результате получим равенство
Ф(и+) — Ф(1/_) — 7](и+, и_)Ф(и+) + Т]^, и_)Ф(и+) =
= j {-Ф(и) + Ф„т(и)(Ыт-Ы_т)}<Д7.(32а)
С другой стороны, из рассмотренных выше случаев следует, что
Ф(й/) - Ф(щ) - у0№^ - ФМ ^ о,(32b)
где у0 = ^№> mJ = т]^, и_\ ut — левое, ай, — правое состояния на разрыве.
Положим сначала, что г = 0 и up = и_. Тогда, складывая (32а) и (32b), получим
Ф(и+) - Ф(и_) - у0(Ф(м+) - ф(и-)) <
J (Ф(и_) — Ф(и) — Фит(и)(и_т - um)} dr]. «о
Поскольку Ф(и) выпукла, то выражение в фигурных скобках неотрицательно. С другой стороны, функция т)(и, и_) убывает на дуге (йо I м+), и поэтому правая часть этого неравенства неположительна, т. е.
[Ф] - $^[Ф] ^0.
Для г > 0 справедливость энтропийного неравенства устанавливается по индукции. Этим завершается доказательство теоремы.□
2. Возникновение особенностей решений
Остановимся теперь на возникновении особенностей классических решений законов сохранения на примере системы двух законов сохранения.
Рассмотрим сразу систему в инвариантах Римана
+ М^=0- ^1-2,(1)
начальными данными
w|t=o = wo(z).(2)
ТЕОРЕМА 1.2 [33]. Пусть Afc(w) € С^ф), Q С R^, k = 1, 2, где П — область строгой гиперболичности системы (1)42, в которой АДш) < А2(ш), при этом вектор-функция wq^) € С^УТ) принимает значения в ГУ, ГУ С ГУ Тогда в малой окрестности начальной оси при t > 0 существует единственное классическое решение задачи (1), (2).
Если, кроме того, начальные данные удовлетворяют условиям-.
Ai(wo(a), w$(P)) < Ао < А2(и^(а), Шо(Ж Ао = const, (За) dAi(wp(a), шр(^)) ^ 0 dA2(wo(g), wq(/3)) ^ Q^b^
да’др’
при любых значениях параметров а, р € R, тогда существует и единственно глобальное классическое решение задачи (1), (2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем сначала первую часть теоремы. Как и в случае одного закона сохранения, для построения решения воспользуемся методом характеристик. Пусть wk = wk(t, х) — классическое решение задачи (1), (2).
Рассмотрим систему
=^=0, £=1,2,(4)
с начальными данными (2), которая определяет два семейства характеристик: ^i(t, ж) = С\ при k = 1, ^(t, х) = Са при к = 2, при этом ^1(0, ж) = х, ^2(0, ж) = х.
Введем характеристические координаты а = ^1(^ ж\ р = ф^, ж) и рассмотрим характеристический треугольник, основанием которого является отрезок [а, 6] оси х, а боковыми сторонами служат две характеристики ф2 = Ро, фх = ао, проходящие через точки а и b соответственно и пересекающиеся в точке с (см. рис. 4).
Отображение (х, t)T = ф~1(а, Р), обратное (а, Д)т = ф^х, t), переводит характеристический треугольник £xabc в треугольник £хАВС (рис. 5).
Отрезок [а, 6] на оси х, в точках которого а = Р переходит в отрезок [А, В] на прямой а = Р, причем (а | с) —> АС, (с | 6) —> СВ.
Эх.,, dtdw1n
(5)(5)ад =ХМ№sT=<x
(5)
(5)
Эхх,xdtdw2n
— = А2(ш) —, — =0. daдада
Действительно, на любой характеристике первого семейства
dx = Ai (w) dt, dw1 = 0,
где x = x^a, 0\ t = t(a, 0), wl = wx(a, 0^ и параметр а фиксирован, a 0 — произволен, и поэтому имеем
dx х , xdt dw1 nад = Х1МаЗ’ "W=0'
Аналогично получается вторая пара равенств в (5).
Начальные данные (2) переходят в начальные данные на диагонали а = 0:‘,
х — a, t = 0, wk = wo(a), к =1,2.(5а)
Задачи (4), (2) и (5), (5а) эквивалентны относительно гладкого преобразования ^, если оно гомеоморфное. Но задача (5), (5а) сводится к виду
(6)(6а)(6)(6а)дх , ах dt дхdt
(6)
(6а)
(6)
(6а)
а5 = ^а-т^-
х = a, t = 0 при а = 0,
где а^а, 0) = АДш^а), Wq^Y b^a, 0) = A2(wQ(a), ги^ЗУ), и, согласно условию гиперболичности (1), а^а, 0) < Ь(а, 0).
Система (6) линейная относительно искомых неизвестных, и задача (6), (6а) имеет при любых а и 0 единственное классическое решение. Действительно, переходя к новым зависимым переменным
= х — a(a, 0У, Т] = х — b(a, 0)t, мы приводим систему (6) к виду
^ = Р(а, 0)(п - CY т)а = q(a, 0Ут) - £),(6Ь)
Разрешая линейные уравнения (6Ь) относительно £ и т;, а затем исключая т], получаем уравнение Вольтерра
0Р
(6с)(6с)€ = Со + j j К(а, а, т)^а, т) da dr,
(6с)
(6с)
000а
где £0 = аехр jp(a, s) ds + j crexpQp^a, s) ds + j q(s, a) ds^p^a, <r) da, aaaa
09\
K^a, a, r) = p(a, a^q^T, a) expQP(a> s) ds + j q(s, a) ds\.
Решение уравнения Вольтерра (6c), как известно [25], находится методом последовательных приближений при любых а и 0 и является единственным.
Таким образом, решение задачи (1), (2) мы получаем согласно следующей процедуре. Находим решение задачи (6), (6а) t = t^a, 0), х = х(а, 0). Этот шаг, как мы только что показали, всегда выполним. Затем находим обратное преобразование а = ^1(£, я), 0 — ^2(t, х\ Однако это возможно, если якобиан
tQ tytQ ty= (b- a^tat0 / 0.= (b- a^tat0 / 0.
tQ ty
tQ ty
= (b- a^tat0 / 0.
= (b- a^tat0 / 0.
На линии a = 0 из (6а) находим, что ха + хр = 1, ta + tp = 0, но при этом в силу (6) atg + bta = 1 и, следовательно, ta = (b — а)-1. Но тогда Д = (Ь — а)-1 и по непрерывности Д > 0 в малой окрестности диагонали а = 0.
Решение задачи (1), (2) имеет вид
ш* = Wo(^l(f, ж)), ш2 = Шо(^2^, ^)).
Первая часть теоремы доказана.
Переходим к доказательству второй части теоремы. Не ограничивая общности рассмотрений, положим, что Aq = 0. Этого всегда можно добиться сдвигом по координате х.
Для доказательства теоремы достаточно установить однозначную обратимость преобразования х = х^а, 0), t = t^a, 0) на всем треугольнике /ХАВС.
С этой целью докажем, что всюду в Д.АВС
dtдаdtда>0,>0,dtЭ0dtЭ0<0.<0.(7)(7)
dtда
dtда
>0,
>0,
dt
Э0
dt
Э0
<0.
<0.
(7)
(7)
Чтобы установить справедливость неравенств (7) в треугольнике £\АВС произвольных размеров, рассмотрим уравнение
d2t 1(dXi{a, 3)dtЭА|(а, 3)dt 1 _ л
dad3 +Л2 — AiI дЗда дадЗ) ’(8)
Xk(a, 3) = Хк^^а), щ§(Д)), А: =1,2,
которое получается из системы (6) исключением х = х{а, ^).
dt даdt да= 0.р= 0.рНо тогда на стороне LP существует хотя бы одна точка К, в ко- „ ^t adtторон — — > 0, так как — дЗ дадаНо тогда на стороне LP существует хотя бы одна точка К, в ко- „ ^t adtторон — — > 0, так как — дЗ дадаПредположим противное. Пусть в точке Р € Д.АВС : ~ = 0, либо ^ = 0. Рассмотрим треугольникДЕЪР, где L, Е Е AC, LP || ВС (см. рис. 5). Будем считать, что соотношения (7) выполняются всюду в &ELP, исключая точку/3. Для определенности положим, что
dt да
dt да
= 0.
р
= 0.
р
Но тогда на стороне LP существует хотя бы одна точка К, в ко- „ ^t adt
торон — — > 0, так как — дЗ дада
Но тогда на стороне LP существует хотя бы одна точка К, в ко- „ ^t adt
торон — — > 0, так как — дЗ дада
.dt
ственно из уравнения (8) с учетом соотношений (За), (ЗЬ) и (7) имеемственно из уравнения (8) с учетом соотношений (За), (ЗЬ) и (7) имеем> 0, и функция имеет интервал на отрезке PL, на котором она возрастает. С другой стороны непосред-
ственно из уравнения (8) с учетом соотношений (За), (ЗЬ) и (7) имеем
ственно из уравнения (8) с учетом соотношений (За), (ЗЬ) и (7) имеем
дЗда к "
Полученное противоречие доказывает, что точки с указанными свойствами не может быть. Теперь осталось заметить, что из (7) и системы (6) вытекают неравенства
^>0. ^>0да дЗ
и, следовательно, всюду в треугольнике Д.АВС
det △ > О,
т. е. преобразование t = t{a, 3), х = х{а, 3) обратимо в любом треугольнике ДДУС.П
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Решение задачи (1), (2), для которого wk = const, называется волной Римана k-го индекса {простой волной).
Волна Римана второго индекса для системы газовой динамики (12)42 (см. пример 1.4.2), определяется как решение задачи Коши
(9)(9а)(9)(9а)wj -A(u^-w‘)u4 = 0,w4t=0 = wi(x),
(9)
(9а)
(9)
(9а)
где ги4 = Wq = const, A(w -w‘) = v~P\y) /w2-w'\ ’ ПРИ этом если предполагать, что р'^) < 0, р"(и) > 0 при 0 < и < оо, то имеем
A'(w2 - ш) = -™> 0.(9Ь)
(и)
Характеристики задачи (9), (9а) определяются как решения уравнений
^ = -A(w2-w'),(10)
atat
®|t=o = iCo» W*|t=o = wj(zo),(10а)
и имеют вид
х = х0 - tA(wg - Wq^o)), w‘=Wq(x0).(10b)
Решение задачи (9), (9а) получается исключением xq в (10b), и так же, как в § 1 главы 2, для его существования необходимо потребовать, чтобы
1+^(хо)^О, (11)
где q^ = A'(w§ - ^(x))9^\
Если ^^^^ > 0, то с учетом (9b) q^ > 0, и задача (10), (10а)
имеет согласно (11) глобальное решение, при этом -— = 1 + q(xo)t >
0X0
> 1, и характеристики (10b) расходятся. Кроме того, имеем
11 + g(x0)t11 + g(x0)t>0.>0.dw'(t, х) _ dwp(x0(t, х)) _ dwp(xp)дхдхдхо
1
1 + g(x0)t
1
1 + g(x0)t
>0.
>0.
Wp + w'(t, х)Wp + w'(t, х)Но поскольку U =Но поскольку U =ди 1 dw п
Wp + w'(t, х)
Wp + w'(t, х)
Но поскольку U =
Но поскольку U =
к , то-т— > 0, и, следовательно,
2дх 2 дх
из первого уравнения системы (12)42 ut — и$ = 0 следует, что ^- > 0
др /а
или ^ < 0. Это означает, что происходит разрежение газа, а бегущая волна является волной разрежения.
DdwUxA _ _ др „
В противоположном случае, когда —^-^ < 0 и ^ > 0, мы имеем
бегущую волну сжатия, при этом в точке t = —7—г на характери- д(хр)
стике (10с) при t —> г выполняется предельное соотношения —> оо, яох
из которого следует, что ► оо.
Это явление называется градиентной катастрофой.
Ряд интересных явлений исчезновения особенностей решений свя
зано со сглаживанием начальных данных. В связи с этим остановимся
здесь на некоторых важных свойствах операции сглаживания [21], которыми мы не раз будем пользоваться в дальнейшем.
Введем функцию ш^ такую, что
ш(х) € Coo(Rn'), ш^ ^ 0 при |ж| ^ 1, ш(х) = 0 при |ж| > 1,
Jw(x) dx = 1.
Примером такой функции может служить «шапочка»:
ш^ = <
1
где постоянная выбирается так, чтобы выполнялось 2), то есть
151151
151
151
Пусть /г(> 0) — малый параметр. Введем функцию шн^ = h пш ^J. Так как ^(0) = Ch~n, suppw/^z) = {ж : |ж| < h}, ^h^dx = 1, то шн^х) при h —> 0 образует 5-образную последовательность.
Рассмотрим произвольную функцию u : Rn —> Rn, и € £г*ос и соответствующую ей сглаженную (среднюю) функцию ин : Rn —> Rn такую, что ин(х') = J и>н(х — у^и^ dy.
Функция ин(х) обладает следующими известными [2], [21] свойствами:
ин^ G C^^Rn), |£>“uh(x)| < Kah-\aV а = (аь а2ап), / 8 \°* - / 8 \“п
|а| = сц + а2 + ■■■ + ап, D® = ( — ) ...(^—) , где Ка зави- \ ОХ\ /\ ОХ^ /
сит только от а,
множество suppuh(^) принадлежит /t-окрестности suppu(x),
если и(ж) € Cm(Rn'), тогда D^h^x) —* £>“и(ж) при h —» 0 равномерно на любом компакте в Rn, 0 ^ |а| ^ т,
если и е LP(Q), П С Rn, 1 ^ р < оо, тогда Ци^Пр ^ 1Ы1р "Ч^и при h -+ 0 в Lp(fl), где ||u||p = [J |u|pda:] р .
п
Кроме того, следует отметить следующие важные предложения, связанные с операцией сглаживания.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3 (Неравенство Йенсена). Пусть Е^ — выпуклая книзу функция на Rn, а функция и^ € L\0^Rn\
Тогда справедливо неравенство
F(uh(x^ ^ Е^и(хУ).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку F(u) выпукла книзу, то существует вектор r(u) такой, что F(u^ ^ F(uq) + r(uo)(u - uq) при любых UQ-
Положим ио = иь(жо), тогда
F(u^) ^ FtuhCro)) + r(uh(^o))(iz(T) - uh(xo)).
Применяя операцию сглаживания к обеим частям последнего неравенства, получим Fh^xo^ > F^h^xo^yD
СЛЕДСТВИЕ 1.3. Пусть F(u) — выпуклая книзу функция такая, что F(u) < Fq при и € П С Rn- Тогда для любой локально суммируемой вектор-функции и^ со значениями из О справедливо неравенство
F(uh(a:)) < Fo.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение вытекает в результате применения операции сглаживания к неравенству F(u) ^ Fq и из предложения 1.3.□
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Пусть ||u(z)||p < М, где 1 ^ р < оо. Тогда ||uh(:r)||p < М.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение вытекает непосредственно из свойства (d).D
Рассмотрим вновь пример 1.1.3, когда задача о распаде
vt-uz = 0, ut+p(v)z = 0, p^^-v-7, 7 > 1,(10)
7
=+ #(x), Vi, vT > 0,(11)
U y(=0\ UZ / 'yUr-Ul J’ U rV *
при условии ur - щ >+ vyuy(12)
7 — 1 где w —, имеет неограниченное решение.
Рассмотрим сглаженные начальные данные
VU A=o = k^) J =(llh)
и задачу Коши (10), (ПН). Поскольку
"a5 = -xwai' "55 xwa5-
7+1-v 4- I т+3
А(у) = ц- 2 , A'(y) = -l±ly-V,
ОО
w* = u — H(y), w2 = u + H(v), H^ = f A(cr) da = — v-^,
Uo = Я-1 (^gkj^^sslUo = Я-1 (^gkj^^sslто справедливы равенства
Uo = Я-1 (^gkj^^ssl
Uo = Я-1 (^gkj^^ssl
dAi(wp(a), wp(/?)) _ A'(vq) dwo(g) da2A(vo) da
dA2(wo(g), wp(/?)) _ A'(vq) dwp(/?)
602A(v0) d0
гдегде
где
где
^^ = [u, - uz + X(voh(a)(vr - vz)]%(a),^М = [ur - щ - Х^нЦШ - rz)]^(^).
В частном случае, когда и/ = W, с учетом (12) справедливы неравенства dwo(o) q dwo^^ 0, и выполняются условия (За), (ЗЬ) теоремы 1.3. dadp
Таким образом, в задаче Коши в результате сглаживания начальных данных (И) особенность исчезает, причем решение становится клас
сическим всюду в верхней полуплоскости. Это частично подтверждает известные физические представления о том, что если нет вакуума в начальный момент течения газа, то он не возникает и дальше в процессе течения. Однако для краевых задач это не верно: в задаче о поршне [1]
с некоторого момента при достаточно большой скорости извлечения поршня возникает отрыв и образуется вакуум.
Упражнения
Доказать линейную независимость {rt(u)} для строго гиперболической системы (1). Убедиться в справедливости (6)1.
Проверить утверждение замечания 1.1.
Проверить гиперболичность системы (15)1.
Показать, что в каждой полосе Пт примера 2.1 задача о распаде
однозначно разрешима.
Доказать, что в скалярном невыпуклом случае (в отличие от выпуклого) производная на волне разрежения может быть неограниченной.
Построить допустимое решение задачи (1), (2) в следующих случаях:
а) /(и) = и2, и; = 1, иг = 2 (uz = 2, ur = 1),
Ь)/(и) = и(и — 1)(и — 2), щ = — 1, иг = 3 (и; = 3, иг = — 1).
Установить, что ограниченное допустимое решение задачи о распаде (6), (7) таково, что одна из его компонент монотонна а другая имеет единственное экстремальное значение.
Построить четыре основных конфигурации решений задачи о распаде (6), (7) для случая политропного газа.
Глава 4
ЗАДАЧА КОШИ С МАЛЫМИ НАЧАЛЬНЫМИДАННЫМИ
Разностная схема Глимма
Рассмотрим систему законов сохранения
ut+/(u)T = 0(1)
с начальными данными
u|t=o = ио(ж),(2)
которую будем считать строго гиперболической в области Q с Rn. а отображение / : RN —► RN — гладким или вещественно-аналитическим в Я
Относительно начальных данных положим, что величина
го = ||uo||oo+ ТКио(За)
мала, т. е. мала функция uq и ее полная вариация на оси R.
Мы будем рассматривать слабые решения задачи Коши (1), (2) в смысле определения 4.2.2. Одним из важных результатов теории законов сохранения является следующая теорема, установленная в работе [34] и являющаяся обобщением теоремы Глимма из [35].
ТЕОРЕМА 1.1 (основная). Пусть отображение f : Rn —* —> Rn дважды непрерывно дифференцируемо в области Я причем О € Я СС Я
Тогда можно указать такие числа 5 > 0 и К > 0, что если
т0 < 6,(ЗЬ)
то задача (1), (2) имеет в полуплоскости R^ = {(i, ж) : 0 ^ £ < < оо, Vx} слабое решение и = u(t, ж), удовлетворяющее условиям
Ы1 < Кто,(4а)
TVu ^ TVuo,(4b)
| |u(<2, я) — u(ti, x)| dx ^ Af|t2 — til^^wo,(4c)
R
где постоянная К зависит от го и оценок функции f(u) вместе с ее вторыми производными в области SV.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. В теореме Глимма предполагалось, что выполнено условие выпуклости (11)22 системы (1) в области Я Очевидно
также, что утверждение теоремы 1 не изменится, если в соотношениях (За), (4а), (4Ь) сделать замены по(х) ^ ио(^) — й, u(f, ж) н-> м(£, т) — й, где w — постоянная, т. е. если рассматривать малые начальные уклонения в смысле (ЗЬ) не от нуля, а от постоянной.
Если система (1) допускает все инварианты Римана, то тогда го можно взять в виде го = ||мо||оо(1 + TVuo) и малость го обеспечивается только малостью |(мо||.
Отметим также, что из ограниченности TVuq следует существование пределов
lira ио(ж) = «п.□(Зс)
т—>±оои
Доказательство теоремы 1.1 разбивается на следующие четыре этапа.
Построение семейства приближенных решений задачи (1), (2), состоящих из некоторой совокупности решений задач о распаде разрыва.
Оценка взаимодействия решений задач о распаде разрыва.
Предкомпактность семейства приближенных решений.
Оценка невязки для приближенного решения и выделение подпоследовательности приближенных решений, сходящейся к слабому решению задачи (1), (2).
В этом параграфе мы остановимся на первом этапе — построении приближенных решений задачи (1), (2).
На полуплоскости R^ введем «шахматную» сетку точек (пт, m/i), где п = О, 1, ..., a m при каждом п пробегает множество целых чисел таких, что n + m четно..
Пусть вектор-функция w^x,’ т, h) кусочно-постоянна на каждом слое t = пт, где она принимает значения w^, на каждом интервале (т — 1)Л < х < (т + l)/i, при этом п + т — нечетно.
t
ЗТооо
2т W*оw£ои-,2,
Т .w}wjо
ОW?•W?оW°о-*- X
2А4А6А
Рис. 6
На рисунке 6 точками-кружками указаны границы этих интервалов, а буквами — принадлежащие этим интервалам значения w^, процедуру нахождения которых определим по индукции по слоям следующим образом.
Положим, что приближенное решение w(t, х, т, к) построено до слоя t = пт. Кусочно-постоянные значения w^ на n-ом слое t = пт
примем за начальные условия для системы законов сохранения (1) ; и найдем решение w(t, ж) этой задачи Коши в полосе пт ^ t ^ (п + 1)т. ' Таким решением является совокупность решений задач о распаде раз- . рыва, порождаемых каждым начальным разрывом на слое t = пт, при этом, если выпонено условие
sup|Afc(u)| < 1, к = 1, 2, N,(5):
то каждый распад разрыва остается в прямоугольнике П^ = 5 = (m — 1) /г ^ х ^ (m + \)h, пт t ^ (п + 1)т при тп + п нечетном, не : взаимодействуя с соседними распадами разрывов и соединяясь с ними непрерывно граничащими секторами постоянства.
В силу близости величин w^l_l и w^+l, которая вытекает из малости вариации TVu.q(x'), и в соответствии с теоремой 3.1.3, существует решение
задачи о распаде разрыва
Wt + J^z = 0.
w(nr, z) = w” _( + 9(x - mh)(w^+x - w”+1).
С учетом условия (5) обобщенное решение w = wn(t, z) системы (1) с начальными данными при t = пт в виде кусочно-постоянной функции со значениями ю” на всей полосе пт ^ t < (п+1)т определяется в каждом прямоугольнике П^ формулой (6) при четном п + тп.
Выберем теперь на каждом сеточном отрезке (тп — 1)/г ^ х ^ ^ (тп + 1)/г при t = (п + 1)т произвольную точку x^Y и положим
w^1 = W"((n+ 1)7, C+1) = V (^1^5 wn_,; <+1){7)
Формула (7) позволяет рекуррентно определять последовательности {ш^} при п = 1,2, ..., если при этом заданы последовательности {я" }, а в начальный момент w^ = uo(^m)-
Задание последовательностей {т^}в полуплоскости R^ эквивалентно заданию последовательностей {o£j с общим членом
«т = ^(^m-(m-(8)
которые уже принадлежат отрезку [0, 1]. Все последовательности а = — {am} принадлежат бесконечномерному пространству А = П [0,1], тп, п
образованному произведением отрезков [0, 1].
В пространстве А удобно выделить цилиндрические множества
Zp = {а | a е Л; ai, аг, , ар е В, В с Ар},
где В — любое борелевское множество в конечномерном подпростран- (р\
Лр = П [0, 1] . Тем самым в пространстве 1/
А введена база тихоновской топологии. Цилиндрические множества {^Р}|”образуют <т-алгебру $(Л).
Как известно, если на пространствах Ар заданы регулярные вероятностные меры Vp^), то тогда на цилиндрических множествах В в А определяется мера р, согласно равенству p(Zp) = vp^B\ Эта мера называется цилиндрической. В частности в качестве меры vp можно взять лебегову меру на Ар. Всякое множество в А, содержащееся в цилиндрическом множестве меры нуль, которое может не быть цилиндрическим множеством, мы будем называть множеством меры нуль в А.
Таким образом, разностной схемой Глимма является разностная схема распадов разрывов на «шахматной» сетке с условием (5), где каждое значение приближенного решения на (п + 1)-ом слое определяется по формуле (7), а {х^,} связано с {а" } посредством (8), причем {а”} являются элементами определенного выше вероятностного пространства {93, A, pY
Под приближенным (разностным) решением задачи (1), (2) понимается функция w = w(t, х, a, h), определяемая формулами (5), (6) и (7) по разностной схеме Глимма, где х^ = (m — l)/i + 2/ia^. Отметим, что в каждой открытой полосе пт < t < (п + 1)т приближенное решение является точным обобщенным решением системы (1) при выполнении условия (5).
Оценка взаимодействия решений задач о распадеразрывов
Будем предполагать, что функция /(и) вещественно-аналитическая в области П' СС П, и рассмотрим окрестности нуля По и П] столь малые, что согласно теореме 3.3 главы 3 при U(, ur 6 По соответствующее допустимое обобщенное решение задачи о распаде разрыва принадлежит окрестности П[ С П', a Hq С Пь
Введем fc-выпрямляющее отображение
У = ад, W) = о,(1)
где V^ = (f'(u), ... ,fN(u)) — вектор-инвариант Римана k-ro индекса (определение 2.4.2), являющееся обратным к отображению u = U^, рассмотренному в предложении 1.4.2, которое переводит шар ZZ7a(O) в переменных и в окрестность По и шар Шь(0) в окрестность П1 при Ь > а, причем шар Я/(,(0) инвариантен для распадов разрыва, т. е. каковы бы ни были значения «i, vT G Ша^0) соответствующие допустимые решения принадлежат шару Шь(0).
Отображение (1) имеет в начале координат отличный от нуля якобиан, равный R-l(0), и поэтому при малых b является невырожденным в шаре Шь(0), при этом любая волна разрежения к-го индекса согласно предложению 2.4.2 в шаре Шь(0) является прямой и1 = i,q + 5(fc)S^, г = 1, .... TV, где точка и0 = V(uo) € Шь(0), т.е. отображение (1) выпрямляет волну разрежения к-го_индекса.
В силу леммы 7.1.3 на кривой T^^uq) непосредственно из (11)42, (11с)42 следуют соотношения и* = v§ + S^Sfc 4-O(s|), т.е. кривая Т^(ио) выпрямляется с точностью до членов третьего порядка, при этом если в этих соотношениях перейти к параметру ик, то формулы пункта 3 § 1 главы 3 останутся без изменения, и единым параметром на любых кривых в шаре Шь(0) будет величина ик(и), определяемая уравнением rk(u)Vv = 1 при условиях rm(0)Vv(0) = 0 при т = 1, 2, ..., N, / к.~
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Каждую кривую T^(ut-i) при к = = 1,2, ..., N + 1, uq = иь un = иг будем называть к-волной, а величины Ок = vfc(ufc) — vfc(ufc_i) — интенсивностями к-волн, соединяющих точки Ufc-i и ик; распад разрыва с fc-волнами Т^(и,к~\), соединяющими точки щ = uq, ui, .... Uk—\, Uk, ..., un = ur и интенсивностями fc-волн <ti, <72, ... ak, • <tn соответственно будем называть (uj, ur}- распадом и обозначать
{Ub Up} = {(uq, .... UN); (CT1, ...,<7дг)}.(2)
Рассмотрим структуру автомодельного решения задачи о распаде разрыва в переменных t, х на полуплоскости .
Обозначим через ^Lk = {(i, х) : У kt < ж < y'kt) сектор постоянного решения, в котором и = Uk-
Между секторами ^Lk-i и У. к возможны четыре типа решений:
к(5)-волна, состоящая из серии волн разрежения индекса к, связанных между собою допустимыми разрывами на линиях х = y^t, где т = 1, 2, ..., п, и определяемая соотношениями
u(t,y^t-O) = Uk-x, Ук-1=Ук}’
XkW y^t - 0)) > у(кп = Xk(u(t, у(кЧ + 0)),XkW, yt)) = у при y^ ^ у ^ y^,
Xk(u(t, y^t - 0)) = y^ = Xk^u(t, y£4 + 0)),(3)
Xk(u(t, yt)) = у при y^-^ ^ у ^ y(kn), .X^t, y^t - 0) = y^ > XMt> Ук^ + 0)),<t, y(kn) +0) = uk, УкУк-
Это волна, которая начинается с ударного разрыва при т = 1 и заканчивается им при т = п.
&(_)-волна, определяемая соотношениями (3), в которых исключена вторая строка. Это fc-волна, которая начинается (при движении по секторам по часовой стрелке) с сектора волны разрежения, имеющего своей границей с сектором Et-i линию слабого разрыва х = УьН, и заканчивается ударным разрывом на линии (п).(п)
X = Ук t, где ук ' = ук.
&(+)-волна, определяемая соотношениями (3), в которых исключена предпоследняя строка. Это волна, которая начинается с ударного разрыва и заканчивается сектором волны разрежения, имеющего своей границей с сектором Y-k линию слабого разрыва (п).
Х = у\ Ч.
&(г)-волна, определяемая соотношениями (3), в которых исключена вторая и предпоследняя строки. Она начинается и заканчивается сектором волны разрежения, имеющим своими границами (1).(п)4
линии слабого разрыва х = ук t и х = ук Ч.
Отметим, что рассматриваемые секторы волн разрежения могут вырождаться в линию. В выпуклом случае fc(s)-волна переходит в ударный разрыв, к^ и £(+)-волны исключаются, а &(г)-волна переходит в волну разрежения без разрывов.
Теперь рассмотрим три состояния и/, ит, иг, принадлежащие Но, и распады
{г/} = (uz, um} = {(г^, ..., VnY (а'о, ..., <т^)},(2а)
Ю = (ит, цг} = (М, ...,и'^; (г", ..., т^)},(2Ь)
где <т' = уч(иь ит\ т" = фг<ит, иг).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Назовем к-волну в распаде {uz, um} и j-волну в распаде {ит, иг} сближающимися, если к > j или если к ~ j и при этом либо к-волна является к^ или к(_уволной, либо j-волна является j^ или з^-волной. Распад разрыва {щ, иг} назовем результатом взаимодействия распадов разрыва (2а) и (2Ь) и будем обозначать <т+т =^ s, s = s(<r, т, ит).
ЛЕММА 1.2. Пусть точки иь ит, иг е По и> следовательно, распады (2), (2а), (2Ь) принадлежат области Пь Тогда имеют место формулы связи интенсивностей к-волн Sk распада {гц, иг} с интенсивностями волн распадов (2а) и (2Ь)
N t-1
(За)(3b)(За)(3b)Sk = Ok + Тк + ^^Pk3,OtT3 + O([|cr| + |т|]3), i=l j = |
(За)
(3b)
(За)
(3b)
Sk = Ok + тк + 0(|<t||t|),
г^е Pkji определены формулой (10a)42.
4 В. А. Гупчиев
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Используя формулу (26)13, получаем представления
NNг
ur -и, =- 2 5о)) + °(lsl3)- (4а)
3 = 1г=1j = l
NNi
um-ui=^^^^+52 52^^i^ntut)(i - 2 ^Л+°(i°i3)' (4Ь)
j = lг=13 = 1
при этом
N
ri(um) = Ti^Y^, СТрХрП^гц) + О(И3), Х,п(ит) = XjTiYl) + О(И),
Р=1
и поэтому справедлива следующая цепочка равенств
NN г
Ur - Um ^^Tjrj^Um) + '^2'^2TjTiXjri(um) (1 - ^ 5ij^ + °(IT|3) = 3 = 1г=1 j=l
NNN
= 52 т^(и<)+52 52 TjCTpXpTjtuf)+52 52 ч^хм^) x
j = 13 = 1 p= 1
x (1 - 5 ^) + o(H2H) + o(klVl) + O(M3) =
NNN
= 52 viW+52 52 T3CTpXpTi(ut) +
j=ij=i P=i
N i
+ T<'£TjTiXjri(ul)(l - ^) + O([H + H)3). (5)
*=i ,=i
Считаем точку um фиксированной, а точки гц = щ(а), иТ = Ur^ зависящими от параметров а и /? таким образом, чтобы интенсивности в распадах {uj, um} и {um, ur} определялись заменами а и-> аа, т >—* Рт при 0 ^ а, 3 ^ 1-
На рисунке 7 пунктиром изображены разрывные переходы, а непрерывными кривыми — непрерывные.
Рассмотрим функцию F(a, 3) = Sk^aa, Зт) — Qo"k — Зтк. для которой F(0, 3) — Г(а, 0) = 0, так как при а = Ost = Зтк и 3 — ^8к = астк по самому определению распадов. Дифференцируя по а и 3 тождество
^(^(иг, ит), иг) = иг,
где W(s, и;) определена формулой (26)13, a uj = щ(а), ur = ur(/3), получим
i=li=l
Отсюда с учетом равенств
ая N
^ = * 52^jW + О(а + /3), -^ = 52 Тзгз^ + О(а + /3),
3=1j=i
вытекающих из (4Ь), (5) и оценок (26а) 13, приходим к равенствам
52 r3(Um) а? “ 52 ^r^Um) = O^ + Z3)-
3=1fc=i
52~ 52 Tir^u^ = O(a + 0).
3=1p k=\
Умножая эти равенства на /fc(um) и сравнивая полученные выражения с производными Fa^a, 0) и Fp(a, 0), находим, что почти всюду на рассматриваемых распадах в области Q| имеют место представления
F^a, 0) = О(а + /3), Fp(a, 0) = О(а + 0\
Но тогда при а ^ 0 имеем F(a, 0) = О(а2 + а0\ а при а ^ 0 находим, что F(a, 0) = О^02 + 0а^ и поэтому F^a, 0) = О(а/3).
Последнее равенство означает, что в области Q] справедливо равенство (ЗЬ)
Sk = Ok + TA: + O(|<t||t|).
Подставим теперь (ЗЬ) в выражение (4а), получим
N
иг - Ui = 52 SjTj^U^ + 3=1 N N
+ 5252^ + T^Oi + T^XirAUt^ - 6ь) + °([kl + Hl3)- j=l 1=1
С другой стороны, сумма выражений (4b) и (5) дает представление
NN N
Ut-Ui^^ (<4 + Tj)rj(U<) + 52 52 °УГ^Г^и') + 3=1j=li=l
N N
+5252+t3t^xMu^ -+cwi+h3)-
i=l 3=1
Разность двух последних равенств дает выражение
NN N
°=52 ^ - ^ _ Tj)rj(ui) ~ 52 52 ^тзх1гзЫ +J=1j=l i=l°=52 ^ - ^ _ Tj)rj(ui) ~ 52 52 ^тзх1гзЫ +J=1j=l i=l+ O([H + H]3)-+ O([H + H]3)-
°=52 ^ - ^ _ Tj)rj(ui) ~ 52 52 ^тзх1гзЫ +
J=1j=l i=l
°=52 ^ - ^ _ Tj)rj(ui) ~ 52 52 ^тзх1гзЫ +
J=1j=l i=l
+ O([H + H]3)-
+ O([H + H]3)-
Учитывая, что диагональные члены (г = j) взаимно уничтожаются, после приведения подобных членов с учетом, что предпоследняя сумма может быть представлена в виде двух слагаемых N г—1N N
- 52 12 (• • •) ~ S 12 (• • •). получаем равенство
г=1 j=lг=1 j=i+l
N
0 = У1^з - °3 - ТзУзЫ +
N г-1
+^2 ^aiT^x^ui^ ~~ XirM^+°([i°"i + и]3)- г=1 j=l
Умножая последнее равенство на вектор lk(ui), приходим к формуле (За).П
ЗАМЕЧАНИЕ 1.2. Формула (За) не изменится, если величины Pkji вычисляются в точках ит или ит. Согласно теореме 3.4.2, величины Pkji =0 в области Пь если система (1) допускает в Qi все инварианты Римана.
Формулы (За) и (ЗЬ) отражают разные свойства взаимодействующих распадов, и естественно поставить вопрос о получении формулы,
которая объединяла в себе эти свойства. Этому посвящена следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1.2. Пусть точки щ, ит, ur € По, а область Qj содержит распады (2), (2а), (2Ь).
Тогда имеет место формула
(6)(6)Sk = ok + Tk + D(o, т)О(1),
(6)
(6)
где D(a, т) = 52|<Тк||тД, причем сумма распространяется на все пары k-волн в распаде {гг;, um} и j-волн в распаде {ггт, иг}, которые являются сближаюи^имися (.определение 2.2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала рассмотрим случай, когда при взаимодействии распадов D(a, т) = 0.
Пусть г — наибольший индекс, при котором crj / 0, и поэтому CTi+i = ... = on = 0.
Тогда при Ti = ... = п-t = 0 возможны два случая:
г-волна в распаде {и'} является i(s) или 1(_)-волной и при этом Tt =0,
г-волна в распаде {гг'} является i(+)- или г(г)-волной, а г-волна в распаде {и"} является г(_)- или г(г)-волной.
В случае а) и\ = ит = u”_v а распады {гг'} и {гг"} соединяются, составляя распад {гг;, ггг}, так что Sj = а, при j ^ г, Sj = т, при j > г.
В случае Ь) происходит естественное объединение распадов {гг'} и {и"} в распад {гг;, ггг} по волне разрежения, причем Sj = а, при j < г, Si = <?i + ^ при j = г и, наконец, sj = Tj при j > г.
Переходим далее к рассмотрению общей ситуации.
Доказательство проведем по индукции по номерам ненулевых интенсивностей волн в строке т = (ть ...,т^). При р = 1, когда т = (0, ..., 0) формула (6) очевидно выполнена и D = 0.
Предположим, что для любых т в виде т = (п, ..., тр_\, 0, ..., 0) формула (6) справедлива, и докажем ее для т в виде т = (т;, ..., тр, 0, ..., 0).
Примем обозначения: 0 = (ть . ..,тр_ь0, ...,0), Оо = = (00,тр, 00). Тогда т = (т\, ...,тр,0, ..., 0) = 9 + Oq.
Распад {гг;, ггг}, как результат взаимодействия а + т => з, где т = = 9 + 9q, s = s(cr, т, ггт), можно схематически изобразить так, как это сделано на рис. 8.
Рассмотрим сначала взаимодействие а + 9 =>• s, где s = s(a, т, um\ и определим интенсивности а = (аь ..., ам) и 3 = (Д;, ...,0^ по следующему правилу:
л_JSi(a, 9,ггт),Iо,3=i°-jSi(or, 9,um),л_JSi(a, 9,ггт),Iо,3=i°-jSi(or, 9,um),если г — волна в {гг'} и р — волна в {гг"} не сближаются, если они сближаются,
л_JSi(a, 9,ггт),
Iо,
3=i°-
jSi(or, 9,um),
л_JSi(a, 9,ггт),
Iо,
3=i°-
jSi(or, 9,um),
если ai = Si(a, 9, um)
если ai = 0.
Рис. 8
Таким образом, мы расщепили результат взаимодействия согласно схеме <rA-0=^s = a + 3 на подраспады с интенсивностями а и 3, которые представляются в виде распадов {и/, йт} и (ит, иг) соответственно, при этом, если ар есть интенсивность p^sy или р(_)-волны, либо тр есть интенсивность р^у или р(+)-волны, то um = up-i, если же ар есть интенсивность р^у или р(г)-волны и тр есть интенсивность Р(-)- или Р(Г)-ВОЛНЫ, ТО Um = Up.
Учтем теперь взаимодействие
3 + 00^7 = 8(3,00,^)(7а)
и взаимодействие.
а + 7 => s(a, 7, ит).(7Ь)
Так как последний результат взаимодействия распадов дает распад, соединяющий состояния ut и иТ, то, согласно единственности распада разрыва, по теореме 3.1.3 имеет место равенство
s(a, т, um) = s(a, 7, йт).(8)
По предположению индукции имеем
Si(<r, 0, ит) =ai + 0i + D(a, 0)0(1),
и, поскольку D(a, 0) ^ D(a, т), то можно записать, что
Si(a, 0, ит) = <$ipT(p) = аг + тг + D(<r, т)О(1),(9)
где 5ip — символ Кронекера.
Для взаимодействия (7а) в силу леммы 1.2 из формулы (ЗЬ) следует равенство
Ti = Д + ДрДр) + |Д|И0(1).(10)
Докажем, что
т)О(1).(11)
По определению Д = О при г < р, и поэтому |/?Цтр| = ^ 1ДНтр1- Теперь i^p
если г = р, то тогда Зр — sp^, 0> um) и, согласно (9), справедливо равенство
3p = ap + D(a, т)О(\).
Следовательно,
l^plk(p)i = l°"plk(p)I + °<ст’ т)|тр|о(1) ^D(a, т)[1+О(1)|тр|] =Г>(о", т)О(1).
Из равенства (9) при г > р вытекает, что
0i = <Tt + D^a, т)О(1),
где интенсивность т^ в качестве слагаемого отсутствует, так как рассматривается взаимодействие (7а), и поэтому |/Зг||тр| = D^a, т)О(1) и формула (11) доказана.
Теперь из (10) и (11) вытекает, что
7i =0i+6ipT^ + Р(<7, Т)О(1).(12)
Так как s(cr, т, ит) = а + 0, то в силу равенства (9) имеем соотношение
СТг + Ti = ОЦ + 0i + 6ipT(p) - D(o, т)О(1).(13)
Теперь введем интенсивность 7 = 0 4- во.
Тогда D(a, 7) = 0 в тех случаях, когда 7г = 0 при г < р и ар = 0 или 0р = 0 при г = р и несближающихся а- и т-волнах.
Так как теорема верна при S(a, 7) = 0, то имеет место равенство
s(a, 7, Um) = a + 7,
где s^a, 7, um) = a, + A + SipT^y
Используя последние соотношения и (13), получаем равенство
я(а, 7, йт) = <тг + Ti + D(<r, т)О(1).
С учетом формулы (3b) находим
|s(a, 7, йт) - s(a, y, um)| ^ [7 —7|O(l)-
Но из равенства (12) имеем |7 — 7I = D(oy т)О(1), и поэтому получаем соотношение
Si(a, 7, um) = art + t+D^ct, т)О(1).
Теперь в силу равенства (8) приходим к формуле (6).П
ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Если система (1) допускает все инварианты Римана в области Пь то тогда верна формула
Si = ОТ + ^ + D^ct, т)О([|о-| + |т|]).
Это соотношение непосредственно следует из (6) и (За) с учетом, что Pkij = О.п
Предкомпактность семейства приближенныхрешений
Для получения оценок нормы ||ш(£, х, а, /г)||оо и полной вариации TVw(t, • , a, h^ при 0 < h < Kq, а € А, где /го достаточно мало, удобно рассматривать семейство приближенных (разностных) решений w(t, х, a, h) не на горизонтальных прямых, а на ломаных, состоящих из отрезков, соединяющих каждую точку а™ с точками а^ь! или °m+i-
Такие ломаные назовем сеточными ломаными, а их семейство {/}, где I, J — каждая такая ломаная, можно частично упорядочить по правилу: Ii > 1\ , если точки 1^ находятся над точками Д или совпадают с точками 1\, но не совпадает с всюду (в последнем случае
Будем также говорить, что ломаная / непосредственно следует за ломаной J, если I > J, но I совпадает с J во всех точках сетки {а^}, исключая одну.
Сеточную ломаную, которая проходит через сеточные точки ня линиях t = 0 и t = г, обозначим через О.
Построим некоторые функционалы F, определенные на сужении приближенных решений го на сеточные ломаные J, то есть
F(J) = F(w/J),
где w/J состоит из ударных волн и волн разрежения, разделяемых секторами постоянных значений, значения которых рассматриваются только на сеточной ломаной J.
Пусть а есть интенсивность ji-волны, сектор которой пересекается ломаной J, а 0 — интенсивность г-волны, сектор которой пересекается J, и будем говорить, что эти волны сближаются, если волны большего индекса лежат левее на J или j = г. Для данного приближенного решения w(/, х, a, h) определим функционалы на сеточной ломаной J согласно следующим выражениям:
QU^ = EWI : а> 9 пересекаются J и сближаются},
Ц-Л = Е tlal : Q пересекается J},
где |а| и |Д| — абсолютные величины интенсивностей а и /3-волн, которые составляют ш(/, х, a, h) и секторы которых пересекаются ломаной J.
ТЕОРЕМА 1.3. Пусть I и J — две сеточные ломаные и J > I, и предположим, что I принадлежит области определения вектор- функции w(/, х, а, К).
Если функционал L(I^ достаточно мал, тогда ломаная J также принадлежит области определения го(1, х, a, h), причем имеют место неравенства
Q(I) ^ QUY (1а)
ЦП + KQ(F) > L(J) + KQUY (lb)
где К — некоторая постоянная, независящая от J.
Если при этом полная вариация ТУиЦх) достаточно мала, то w(t, х, а, h) определена всюду в полуплоскости НЦ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала предположим, что J непосредственно следует за I, так что J > I, и образуется четырехугольник Д (рис. 9).
Положим, что I = /0 U Г и J = Jo U J', где J* включает в себя две верхние стороны Д, а Г — две нижние стороны Д.
Функционал £(•) на ломаных I и J представляется в виде ип - цн+цп = ци+52 м + 52 in I, I'Г
L(J) = ЦП + ЦП = L(/o) + 52 N,j'
где <7, т, s — интенсивности распадов, пересекаемых ломаными Г и J*.
В силу формулы (6)2 имеем-
ад^цп + адп,(2)
где Ко — 0(1) из (6)2.
Далее находим, что
Q(/) = Q(/o) + № П + QIH. а также
QVH = (№ + <№ И, где под Q(Io, I') понимается сумма произведений пар сближающихся волн, одна из которых пересекается ломаной Iq, а другая — Г; аналогичный смысл имеет QHo. И-
Теперь, вновь используя формулу (6)2, получим цепочку неравенств
Q(/o, ^') = ^{|Si||a| : 5» и а сближаются, а пересекается /о} ^E(n + It*i)h+адпцн ^ пт п+Копкпцн^QHo.H + ^Q^.
если функционал ЦП настолько мал, что КоЦИ < ^.
Таким образом, мы приходим к неравенству
QU) - QW = сад. J') - Q№, П - QU') ^ 5 QU') - QU') ^ о
и, следовательно, функционал Q монотонно убывает на возрастающей последовательности ломаных {J}.
Теперь, используя неравенство (2) вместе с последним неравенством, получаем
ЦП + KQl J)L(7) + X0Q(/') + KQW - 1 Q(H ^ ЦП + KQ^,
K^2K.
Кроме того, имеем также при I = 0 цепочку неравенств, если ЦО) < < К-1, что обеспечивается за счет малости ТУгоо^х).
Если мала полная вариация ТУиЦх). то мала вариация функции w(t, х, a, к) на ломаной J, и значения w(t, х, а, к) определены на каждой непосредственно следующей ломаной J. Если J — любая сеточная ломаная такая, что J > Д то по последовательности непосредственно следующих ломаных приходим к выполнению неравенств (1а) и (1Ь).
Если полная вариация ТУиЦх) достаточно мала, то выполняется неравенство
ад + KQ^J) ^ 2ЦО),
и поэтому sup{|Xj(w(t, х, а, /г))|; j = 1, ...,N}<1, a w(t, х, a, h) определена всюду в Я^.
(За)(ЗЬ) (Зс)(За)(ЗЬ) (Зс)СЛЕДСТВИЕ 1.3. Если полная вариация ТУиЦх) достаточно мала, то можно указать такую постоянную К, что имеют место оценки
(За)
(ЗЬ) (Зс)
(За)
(ЗЬ) (Зс)
osc w(t, х, a, к) К • ТУиЦх) при V/,TVw^t, х, а, к) ^ К ■ ТУиЦх),||w(<, х, а, /1)Поо ^{llwolloo + ТУиЦх)У
где oscw(^ х, a, k) = sup{|w(t, х, a, h) - ЦЕ, х’, a, h)|, (t, ж), (f, х’) Е Е I}, а константа К не зависит от а и к.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На любой ломаной I по определению полной вариации имеем неравенство
oscw(t, х, a, k) TVw(t, х, a, h).
Поскольку метрики ТУ и L эквивалентны, то на ломаной I имеем
TVw(t, х, а, к) ^ СЦ1У
Далее, согласно теореме 1.3, находим, что
ад ^ ад + kqw ^ 2ад ^ Схтуаду
если TVwo(x') достаточно мала.
Из этих неравенств следуют оценки (За) и (ЗЬ).
Согласно (Зс)1 имеем
lim wq (z) =X —>±ocu
и по самому определению w(t, x, a, h) тогда получаем
lim w(nr, x, a, h) = Vn.x—► iocu
С учетом неравенства (3b) находим оценку
|w(nr, x, a, h)\ ^ |w(nr, x, a, h) — u^| 4- |ug | ^,. x
^ TVwtjvr, x, a, h) + |u^| ^ C\TVwo(x^ 4- ||wo(x)||oo-3
Для любой точки (t, x) из полосы nr < t < (n + 1)т, |x| < оо имеем
\w^t, х, a, h) — w(nr, х, а, Л)| < CoTVwq(x'),(4b)
так как любая точка (t, х) попадает в некоторый четырехугольник, образованный непосредственно следующими друг за другом ломаными I и J, проходящими через слой t = пт.
Теперь из неравенств (4а) и (4Ь) вытекает, что
\w(t, х, а, /г)| ^ K^TVwo^x) + ||w0(x)||oo)
для любых точек (t, я) из полуплоскости R^, где К = max{C, 1}, С = = Со + Ci. Из полученной оценки вытекает оценка (Зс).П
Важное свойство семейства {w(£, х, a, h)} как функций переменной £ устанавливается в следующем следствии.
СЛЕДСТВИЕ 2.3. Пусть полная вариация TVwq(x) достаточно мала. Тогда имеет место оценка
j |w(£, х, a, h) — w^t’, х, а, /г)| dx ^ C\t — t'\,(5)
— ОО
где С не зависит от а и h.
w(£, х') = <w(£, х') = <w(£, х', а, /г),0,w(£, х', а, /г),0,ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим t* > t + h и введем в рассмотрение функцию
w(£, х') = <
w(£, х') = <
w(£, х', а, /г),
0,
w(£, х', а, /г),
0,
|х' — х| ^ - (£' — £), |х' — х\ > - (t* — £).
Возьмем эту функцию за начальную для разностной схемы, принимая t за начальный момент.
В области зависимости разностного решения в точке (/', х), во- первых, имеют место равенства w(t, х') = w(t, х', a, h), w^t', х) = = w(/', х, а, /г), и, во-вторых, с учетом (ЗЬ) справедливы соотношения
|w(t, х, a, h) — w(t', х, а, /г)| = |ш(/, х) — ш(^, х)| ^
^ TVw(t, ■) + TVw(t', ■) ^ С • TV^t, -^С- TV w(t, -, a, h),
где X = |х' : |х' — х| ^ ^ (t' — £)}.
При достаточно малом т, считая отношение шагов - фиксированным и удовлетворяющим (5)1, получим оценку интеграла
ОО
Г= | |w(f', х, a, h) — w(t, х, а, /г)| dx = — ОО
rn+Oh
|w(t', х, а, /г) — w(t, х, а, /г)| dx.
где для каждого члена суммы справедлива оценка
(m+l)h
j |w(^, х, a, h) — w^t, х, a, h)fdx ^ (m—l)h
^ 2hKiTV{w(t, •, a, h), (m — 1) ^ x ^ (m + l)/i},
где 9 = 1 +где 9 = 1 +— целая часть.— целая часть.
где 9 = 1 +
где 9 = 1 +
— целая часть.
— целая часть.
Пользуясь свойством аддитивности полной вариации, запишем
mA-в
TV^w^t,-.аЛУ^тп-е^кДтпЦ-е^ = ^2 TV{w(t,-,a, h), Ai}, г=тп—9
где Aj = [г/г, (г + 1)/г].
С учетом вышеуказанных равенств и оценок получим оценку
Г^2/г/С, ^ ^2 Tv^(t, •, a, h), Ai} =
тп=—оо г=тп—6оо 0
= 2hK\ К TV^w(t, •, а, /г), Am+j} =
= 4hK\0TV^w(t, • , a, h), — оо < х < оо}.
__h__hТеперь, используя оценку (ЗЬ), с учетом, что отношение - фиксировано, а в ^ -—- + 1, получаем оценку Г ^ K(\t' - t| + t)TVwo(x), из которой вытекает оценка (5).П
__h
__h
ТЕОРЕМА 2.3. Семейство {w(t, х, a, h)}, 0 ^ /г ^ Lq при достаточно малых ho и т, с учетом выполнения (5)1 удовлетворяющее соотношениям (ЗЬ), (Зс) и (5) на каждом компакте G в полуплоскости R^, образует предкомпактное множество в пространстве
Li(GY
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу следствия 1.3 любая последовательность {го.,} = {w(t, х, a, hj)} равномерно ограничена вместе со своей полной вариацией на любой горизонтальной линии t = const, 0 < h}h0.
По теореме Хелли [14] из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в норме Lt на конечном интервале прямой t = const. Сохраним для нее прежнее обозначение {w,}.
Рассмотрим компакт G в полуплоскости Я^ и счетное всюду плотное множество прямых t = - (р, q — рациональные числа), замыкание которого содержит компакт G.
Диагональным процессом из последовательности Wj выделим подпоследовательность, которая сходится в L\ на каждом конечном интервале Gt прямой t = -, включающем пересечение этой прямой с компактом G.
Далее, используя следствие 2.3, находим
|w(t, х, a, hi) — w(t, х, a, hj)\dx ^
В правой части этого неравенства каждый член суммы сколь угодно мал при достаточно больших г и j, то есть последовательность Wj сходится равномерно относительно t в норме L\^Gt) при j —♦ сю.
Отсюда следует, что Wj —♦ го в Lt(G).D
СЛЕДСТВИЕ 3.3. Пусть f : Rn —► Rn — непрерывное отображение, a {w(<, х, a, h)} при О— семейство, удовлетворя
ющее соотношениям (5)1, (ЗЬ), (Зс) и (5).
Тогда существует последовательность hn —> О при п —» оо такая, что
Wn-^w и f(wn) -> /(w) в L]0C.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из предкомпактности семейства (w(<, х, а, h)} в Ll°c следует существование последовательности ton = w(/, х, a, /in) —> to в L\oc при n —> oo.
Но тогда известно [14], что из последовательности {ton} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся почти всюду на компакте G (для нее мы сохраним прежнюю нумерацию). Отсюда в свою очередь следует, что /(ton) —► /(to) при п —» оо почти всюду на компакте G.
Теперь воспользуемся тем, что последовательность wn равномерно ограничена в силу (Зс). Тогда такова и последовательность f(wn). Отсюда по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла [14], [37] имеем
J |/(to„) — /(to)| dxdt —> 0 при п —> оо, G
где G — компакт в полуплоскости Я^.П
Оценка невязки и доказательство основнойтеоремы
Остается невыясненным вопрос о том, является ли предельный - элемент w последовательности {ton}, указанной в следствии 3.3, обобщенным решением задачи (1), (2)1.
С этой целью рассмотрим невязку
6(g,a, /г) = j (wgt + f(w)gx)dxdt + j tio(x)g(O, x)dx, (1)
где to = w(t, x, a, h), g = g^t, x) — гладкая финитная функция.
Учитывая, что в каждой полосе nr < t < (п + 1)т приближенное решение w(t, х, a, h) является точным обобщенным решением системы (1)1, находим, что
(п+1)т оооо
j j (wgt + f(w)gx)dxdt+ j ^w^nr, x, a, h^g^nr, x1)-
— w((n + l)r — 0, x, a, h^g^n + l)r, x)} dx = 0,
и поэтому после суммирования по п получаем
ОО
6(g, a, h) = ^ 5n(g, a, h),(2)
n=0
ОО
где So^g, a, h) = j {^о(^) — w(0, x, a, h, )}g(0, x) dx,
—oo oo
8n^g, a, h) = j (w(nr — 0, x, a, /i) - w^ut, x, a, h)}g(nr, x) dx.
ТЕОРЕМА 1.4. Пусть {w(£, x, a, /i)}, a € A, 0 < h < ho — семейство приближенных решений задачи (1), (2)1, удовлетворяющее соотношениям (ЗЬ)З, (3с)3, (5)3.
Тогда существует множество Е меры нуль в пространстве А и последовательность hj —► 0, j —юо такие, что для любых а € А\Е и g € С^Д^) имеет место предельное соотношение
8(g, a, hj) —> 0 при з —» оо.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть g^t, х) € {(£, х) : supp |х| < Ь, 0 ^ £ ^ Т}. Тогда 6п т^ 0 при п = — и, так как отношение - фиксиро- /1 х тТ
вано, то 8п т^ 0 при п < О ( — ) d, где d = diam suppg.
\П/
Поэтому в сумме.
ОСОО 71—1
82-^82п + ^^Мк(За)
п=0п=1к=0
на самом деле конечное число членов.
Докажем, что справедливо предельное соотношение
j [5(g, a, h)\2 da -+ 0 при h —> 0, А
то есть, что 8 -+ 0 в £г(А) при h —> 0, причем интеграл берется по некоторому конечному (в связи со сделанным выше замечанием) числу переменных а^.
В силу равенства (За) имеем
fОО гОО п—1 г
j [<5(g, a, /i)]2 da = J 5п da + 52 52 J 5"-5к da- (3b) дn=0 дп=\к=йд
Для удобства выделим следующую часть доказательства в отдельную лемму.
ЛЕММА 1.4. При выполнении условий теоремы имеют место оценки
J <5^а < C/i2,(4)
А
| j 6n6k da^ ^ Ch? при k < п,(5)
А
где константа С не зависит от п, k, a, h (такие постоянные, хотя и различные по величине, будем обозначать одной буквой С).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Установим сначала оценку (4).
Имеем следующую цепочку неравенств:
|<?n(g,°, А)| < ос (m+l)h
<52[ |^(пт — 0, х, a, h) — w(nr, х, a, /i)||g(nT, х)| dx <
т=-°°(т-1)Л
оо (т+')Л
< ||g||oo 52 J HnT-O,x,a,h^-w(nT-O,x^,a,h^\dx^
^ 2/illglloo 52 osc{w(nr-0, •, а, Л), [(т-1)Л, (т+l)/i]} <
< 2/i||g||oo 52 ТУМпт -0, •, a, h), [(т - l)h, (m + 1 )Л]} <
< 2/i||g||oorVw(nr — 0, ■, a, h).
Отсюда с учетом (ЗЬ) находим, что
|5n(g, «, А)| ^ СА,(6)
где С = 27C||g||oc7Vuo(a:)- Следовательно, выполнена оценка (4).
Для доказательства второй оценки (5) обозначим через а" = {а^} при фиксированном п и заметим, что
j 6n(g, a, /i) da11 = (?n+l)/l
= 52 j g(7lT, ^ j{wn-l(nr, x) — wn~‘(nr, x^)} dan dx =
771 (m—l)/i (тп+1)Л1
= 52 j g^nT’ ^{{^-‘(ит, x) - wn~{(nr, i")}<Za" dx =
m (m—l)/i0
5 4. Оценка невязки и доказательство основной теоремы 113 (m+l)/i(т+1)Л
= (2Л)-*52 J g^T.x) J ^wn-x(riT, х) — wn~l(nr, у)} dydx, т (т— 1)Л(т— 1)Л
где учтено, что w^tit, х, a, h) = wn~v(nT, х^ на отрезке (т — — l)/i ^ х ^ (т + l)/i и зависит только от а" и ак при к < п, a w(nr — 0, х, a, h) = wn-x^nT, х), причем wn(t, х) определена формулой (6)1.
Далее в силу равенства
(тп-|-1)^(тЦ-Г)К
| g(nr,mh) |{wn~*(nT, x) — wn~l(nr, y)}dydx =
(m—l)/i(m— l)h
(m+l)/i (m+l)/i
= g(nr, mh) j | {wn-1(nr, x) — wn~l(nr, y^dxdy
(m—l)/i (тп—1)Л
имеет место следующая цепочка соотношений:
(jeW^- a, /i)dan|
^ (2Л)-1 ^21 j [g(nr, х) - g(nr, m/i)] х
т (m—l)/i
(т+1)Л
х j {wn~l(nT, x) — wn~l(nr, y)}dxdy| <
(m— 1 )h
(т+1)Л 2/i
^llgzlloo^ j j |wn_|(nr, x) - wn~l(nr, x + y^\dydx ^ m (m-l)H-2/i
^ 4/i2||gI||oo52osc{wn-|(nT, •), [(m- l)/i, (m+ l)/i]} ^
s? Ah^gx^TV^^T, ■) < 47C/l2||gI||ocTVw0(x) Ch2,
где C = 47C||gI||ooTVu0(x), TVilq^ ^ TVw0(x).
(7)(7)Так как n > к и поэтому 6к не зависит от ап, то имеем18<п^>к dan = 5к j S(n) dan,и с учетом (6) и (7) получаем оценку
(7)
(7)
|p(n)5fcdan| ^ |5k| |j<5(„)dan| ^ Ch3,
где С, как и выше, не зависит от к, n, a, h, т. Отсюда следует вторая оценка (5) этой леммы, так как очевидно, что при п > к справедливо равенство
|j<5(n)4^a| = |j<5(n)<5fcdan| •□
Теперь завершим доказательство теоремы 1.4.
В первой сумме в правой части равенства (ЗЬ) имеется O(n~') членов, а во второй — О(п“2) членов, и поэтому с учетом оценок (4) и (5) приходим к соотношению
j |<?(g, а, Л)|2 da = 0(h). А
Это означает, что 5(g, a, h) —> О при h —♦ 0 в ^(-А) и поэтому, исключая некоторое множество Е меры нуль в А, существует последовательность hj —> 0 при у —> оо такая, что 6(g, a, hj) —»0 на множестве А\Е.П
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ 1.1.
Утверждение теоремы 1.1 о существовании обобщенного решения вытекает из теорем 2.3, 1.4 и следствия 3.3, согласно которым из семейства приближенных (разностных) решений w = w(t, х, a, h) можно выделить последовательность wy = w(t, х.а, hj) w при hj —> 0, у —> О такую, что почти всюду на компакте G С R^ и при а € А/Е, где Е — некоторое множество меры нуль в А, имеют место соотношения:
/(wy)/(w), 6(g, a, hj) -> 0.
Поскольку последовательность Wj равномерно ограничена в силу (3с)3, то в соотношении (1) по теореме Лебега [14] возможен предельный переход при hj —> 0, у —> оо под знаком интеграла в правой части его.
Тем самым устанавливается, что u = ш(Г х) = lim Wj является j—+ ОО
обобщеным решением задачи (1), (2), при этом справедливость основных оценок (4а) 1, (4b) 1, (4с) 1 вытекает из оценок (ЗЬ)З, (3с)3, (5)3.
Утверждения теоремы 1.1 установлены для вещественно-аналитической вектор-функции f(u).
Распространим результаты на более общий случай, когда f(u) обладает непрерывными частными производными до второго порядка в области П.
Для этого рассмотрим последовательность вещественно-аналитических функций fm(u), которая в П' СС Q равномерно аппроксимирует f(u) вместе с ее производными до второго порядка включительно. Как известно, в качестве jm(u) можно взять многочлены. При достаточной близости /т(и) к /(и) в указанном смысле область П для /т(и) также будет областью гиперболичности системы (1) при замене / н-+ /т.
Для каждого номера т, по доказанному выше, существует обобщенное решение um^t, х\ удовлетворяющее соотношению
j ^mgt + f(m)(um)gx}dxdt + j uo(:r)g(O, x)dx = 0,(8)
r+R
которое также удовлетворяет оценкам (4а) 1, (4b) 1, (4с) 1, причем равномерно относительно номера т, поскольку эти оценки зависят только от первых и вторых производных fm^ и /(и) в области П'.
Это означает предкомпактность последовательности {ит}в топологии L\oc.
Пусть и — предельный элемент выделенной из {um} последовательности {umj}, сходящейся в L\oc при т, —> оо. Тогда справедливы предельные соотношения
/(wmJ->/(и) при т5-^оо в L\oc,
fm^m^ — f^m^ —* 0 равномерно на компакте G С Не-
предельный переход при hmj -+ 0 в (8), а также в (4а)1,(4Ь)1, (4с)1, приводит к выводу о том, что предельная функция и является Соболевским обобщенным решением, удовлетворяющим оценкам теоремы 1.1.□
Остановимся теперь на вопросе о допустимости этого обобщенного решения в смысле определения 2.3.2, если система (1) допускает энтропийную пару {Ф(и), Ф(и)} с выпуклой энтропией Ф(ц).
ТЕОРЕМА 2.4. Пусть система (1) допускает энтропийную пару (Ф(и), Ф(и)} с выпуклой энтропией Ф(и), и выполняются условия теоремы 1.1.
Тогда обобщенное решение задачи (1), (2) допустимо в смысле определения 2.3.2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим функционал
Т(^, h) = j {Ф(ш(£, х, a, h))^^, я) + Ф(ш(£, х, a, h))il)x(t, x^dxdt,
где w(t, x, a, h) — приближенное (разностное) решение, определяемое по разностной схеме Глимма, ^(^>^ — неотрицательная гладкая финитная функция.
Представим этот функционал в виде
[7т!
л) = 52Jn^’
п=0
где
J^, h) =
j j {Ф(ш(£, x, a, h^t(.t, x) + Ф(щ(£, x, a, h))^x(t, x)} dxdt.
(m + l)h,(m + l)h,В прямоугольнике Пт = {(t, x) : (m —
(m + l)h,
(m + l)h,
пт < t ^ (n + 1)т} при любом m определено решение вида (6)1,состоящее из кт гладких решений, заданных в секторах ^j, которыект
составляют прямоугольник Пт = U Aj.
j=i
Отметим, что
JM ^) = 52 J V^W^t + ^(wyi^dxdt =
= 52 52 [ {ф(ш)^t + Ф(w)^z) dx dt.
Но в силу формулы Грина
j {Ф(щ)^ + ^(w)il3x}dxdt = j {[Ф(ш)^]4 + ^(w^ajdardt = Д,-Д,
= j {Ф, ^„i^ds,
где {Ф, Ф}^ — скалярное произведение вектора (Ф, Ф} на внешнюю нормалы/ к границе ЭД, сектора Д^-, ds — элемент дуги на границе ЭД^, и поэтому справедливы равенства
52 j {Ф(эд)^< + ФМ^а:} dxdt = 52 j {Ф, ф}и^^5 =
J=IAJ>=*ЭД,
(m+l)h
= j {Ф(щп((тг + 1)т, х, а, И,))ф((п + 1)т, х)) — (т—1)Л
— Ф(шп(т1т, х, а, Куф^тгт, ж)} dx +
к (п+0т
+ 5 [ [%(ф^)-ф(ц;;_))-(ф(щ;+)-ф(^))]х
X ^(mh + y,(i - nr), t) dt +
<+№ (m+ 1)Л)-Ф(ш^_!)^, mh^dt.
где согласно (6)1 w?+ = У(у, + 0, w^_x, w"+1), w^. = V(уj - -О, w"_lt w"+1).
Учитывая, что
оо ("+1)Т
Ё J V^^m^\WTAm^AhV^^m-\WT'm^d-t = 0- ™=-оо пт
приходим к следующему выражению для J(^, А):
[Т/г]
М h^Y Апп^, h) + ^Ф)(^, a, h)),(9)
п=0
где
ОО km (^J^
1т= £ £<уХФ(^)-ф(^))Ч*(^)-*(^^
m=-ooj=\ „т
х ф(1, mh + yj^t — пт)) dt, х
8^Чф, а, А) = j (Ф(ш(пт — 0, х, a, /i)) — Ф(ш(пт, х, а, /1))}^(пт, х) dx. -х
Легко убедиться в том, что д^Чф, a, h) удовлетворяет лемме 1.4, а также теореме 1.4, согласно которой
[Г/т]
Y5n4^ ^ ^ = 0^.
п=0
С другой стороны, в силу теоремы 4.1.4, каждый распад разрыва удовлетворяет энтропийному условию (10)32 на разрыве, и поэтому выполняется неравенство
/п^О.
Выбирая последовательность hj —> 0 при j —> оо такой, что выполнено утверждение основной теоремы 1.1, и, переходя к пределу при hj —> 0, 3 —♦ оо в формуле (9), получаем неравенство (9)32.□
ЗАМЕЧАНИЕ 1.4. Методом Глимма установлены теоремы глобального существования обобщенного Соболевского решения задачи Коши для системы газовой динамики (13)32 с выпуклой р^ в работах [38]-[40], а для невыпуклой р(и) — в работе [41].
Для системы газовой динамики (10)31 в случае политропного газа такая теорема установлена в работе [42]. Исключая работы [38], [39], в которых рассматривались случаи 7=1 и 7 < 1 соответственно, во всех указанных работах требовались существенные ограничения на выбор начальных данных.
Глава 5СИСТЕМЫ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯС ДИССИПАЦИЕЙ
Локальная разрешимость задачи Коши
Рассмотрим задачу Коши
ut + fk(u)Xk = eZXu,(1)
u|t=o = 'Ат'),(2)
где u = (u1, u2, ..., ^^, x G Rn, при следующих условиях В:
Отображения fk : Rn —* Rn при к = 1, 2, ..., п являются дважды непрерывно дифференцируемыми функциями в области fl с Rn, причем fk = Vk' • • ■ - fk} и без ограничения общности Д(0) = 0.
Функция и°(х) G C^Rn) (м° = {и0-’}) ограничена и принимает значения в Sr„(0), причем ВГо(О) С П, tq = ||u°||oo, где Вго(О) — шар радиуса го с центром в начале координат в Rn, а Ц-Цоо ~ норма в£°°(Я„).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Назовем решение задачи (1), (2) классическим, если оно обладает при t > 0 всеми производными, входящими в систему уравнений (1), и непрерывно примыкает к непрерывной начальной функции ц°(х) в (2).
Сначала остановимся на известных [43], [44] свойствах объемного теплового потенциала.'
ЛЕММА 1.1. Пусть функция g^t, х) — непрерывна, ограничена в полосе П10 = ^t, х) : 0 ^ t ^ to, х G R^ и равномерно относительно переменной t удовлетворяет условию Гельдера: |g(t, г') — g^t, х")| < А|х' — х"\а, где 0 < а < 1 и 0 < t < to, ^х, при этом g(t, ж) = 0, если t <0.
Тогда объемный потенциал•
t
W, х) = | | G^x -^,t- T)g(r, £) d^ dr,(3)
0R„
где G^x, t) = {(4тг£1)~2 exp(—z2/(4et)), э? = XjXj, при t > 0; 0 при t < 0} — фундаментальное решение уравнения теплопроводности
ut = е^и, имеет в полосе П‘° вторые непрерывные производные по Xj, равные
t
"^fc = j j GljX111-^’1- ^W- С) - g(r, x)] d^ dr, (4a) 0 Rn
непрерывную первую производную no переменной t, равную
t
^ = g(t, x) + j j Gt(x -£,t- r)[g(r, О - g^r, x)] d^ dr,(4b)
0 R„
при этом если функция g^t, х) удовлетворяет условию Гельдера по t в полосе П4°, то тогда
t
^ = I I Gt^ T^g^T' ^ - g^’ ^1 ^ dT‘ (4с^ О Rn
Справедливы также оценки производных фундаментального решения уравнения теплопроводности;
|<?хДх, t)| ^ 2~(et)-2G*(x, t)>(5а)
ЦСШ СП < -tJ™G4x, С, ll^z|| < gV2vG4x, tY (5b)
где |GZ| = max|GZj|, |GZI| = max 52 1^ш,|, G*(x, t) = G(x, t)|c_»2e.
JЭ г
v < 1, а постоянные Ci, C2 не зависят от t, x, e, <-> — операция замены.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Формулы (4а), (4b) и (4с) для производных потенциала (3) установлены в [43]. Для получения оценок (5а) и (5Ь) достаточно отметить, что
||Gz(x, СП < ’4’it~v\x\2v~1G*^x, С, \\Gxx(x, СП < ф^-^х^С^х, t\
где ф\ = 22 +‘~2‘'у2-2,'е~12, ф2 = (1 + 2у2)^ь У = Ср = SUP ^Р-
2 Vet(о, оо)
При п = v = 1 справедливы оценки
|Gz(x,t)l si 4=G4x,t\ |GIZ(x,C| ^ ^G*(x,C-Q(5с)
Vet«
ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. Непосредственно из леммы 1.1 вытекает, что объемный потенциал удовлетворяет неоднородному уравнению теплопроводности
-ut = еДи + g(t, х)
и начальному условию u|t=o = 0.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть выполнены условия В.
Тогда при некотором г > rg и достаточно малом to в шаре Вг(0) С П при 0 ^ t ^ to существует единственное классическое решение задачи (1), (2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим систему интегральных уравнений
t
u(t,x) = j G(x-^,t)u°^)d^- j j СхДх-^^-т)МЦт, ^d^dr.
Rn0 Rn
(6)
Примем следующие обозначения:^тах^|Д(и)| =М,^тах^Примем следующие обозначения:^тах^|Д(и)| =М,^тах^N
Примем следующие обозначения:^тах^|Д(и)| =М,^тах^
Примем следующие обозначения:^тах^|Д(и)| =М,^тах^
£|Au»(u)l = ..P=1
К, где |A(u)| = max|A(u)|, |u| = max|u*|.
Последовательные приближения um(t, x), начиная с нулевого ug = = 0, определим посредством соотношения
t
Um+1= j G(z - £, £)u°«) d$ - j j СхДх-^, t-r)fk(um)d^dT. (7)
R«0 R„
Отсюда при m = 0 имеем uj = J G^x — £, f)uti^ d^, и справедлива
Rn оценка ||ui||oo^rg.(8)
При условии, что Um, ит-\ G Sr(0), имеем
|/fc(um) - A^m-!)! = max I A(um)-A(um_i)| ^
N.
^ max ^ ' | Aup (um + А(г)(ит—I — um))||um — ^m—11 ^ -^lum — um— 11, p=l
и, следовательно, из (7) вытекает неравенство t
l^m+l ^m| ^ ^ J J |Gx(x £, t t)| |um Um_ ] | d^ dT. (®a) 0 Rn
Используя оценку
n
\Gx(x-^, t-T)| = 52|GXj.(x-t <-t)| 5$j=i
n2~T"(et)~^G*(x - ^,t — t), вытекающую из (5a), получаем из (8a) неравенство n-i$_i
||Um+l - um||c(fl„) ^ п2 2 е 2X1 (t-т) 2||um-Um_i||c(fin)dT.
о
Выберем <о из условия пг^К^тах/-^, 1(9)
у е I г - r0 J 4
Тогда из (9а) в норме || • ||оо = шах || • ||с(я„) следует неравенство[о, to]
п+1 ПТ|
||^т-Ц ^ТпЦоО ^ ^2 2 К 4/ — II um 'Um__\ || ОО ^ 2 И^т ^m—1 || ОО*
(10)
При ЭТОМ В силу (8) И (9) ||U2 ~ Uilloo ^ n2 2 J^ ro ^ —^.
Отсюда находим, что ||up+i -up||oo ^ ^,Р = 1,2,
Далее приходим к оценке
тт
llum+l ||оо ^ ^ ' llup+l — ир|1ОО ^ г0 + (г - г0) £ 2 р < г,р=0р=1
из которой вытекает, что ит G Вг(0) при любых т.
Таким образом, последовательность {um(<, ж)} удовлетворяет условию сжатия (10), оставаясь в шаре Вг(0).
Очевидно, что um(<, ж) G С(П‘°). Применяя принцип сжатых отображений [14], убеждаемся в том, что существует единственная предельная функция lim ит = и G С^П^) со значениями в шаре Вг(0).
Функция й(£, ж) удовлетворяет интегральному уравнению (6). Это устанавливается предельным переходом в равенстве (7) при т —+ оо, при этом предельный переход под знаком интеграла вытекает из равномерной сходимости последовательности u^t, х) к ti^t, х) в П^ и приведенной выше оценки |СЖ|.
Теперь необходимо доказать, что й(£, ж) — классическое решение.
Рассмотрим потенциал
t
W^t, x) = j j GZk(x- т^/^т, ^d^dx, ORn
где u^t, x) — решение системы (6) из класса С(П‘°).
Оценим приращение ДИ^ = W(t, х + h) - W^t, х).
Имеем: |AIV| ^ Д + /г + ^з- гДе
t
^=1 j IG®*^ - ^ + А> t _ т) ~ GXi(x -^, t - т)| х 0 |x-$|>2|h|
X l/fc(4T- ^d^T,
/2 = || |GZt(z-t 1-т)\\МЦт, ^d^dT,
о |x-e|^2|h|
/з = | J \СхЛх-^ + М-тШМтЛ)№т. oix-ei^2|h|
Оценим lx. Пользуясь оценками (5Ь) при v = ■■ ^ , 0 < 7 < 1, с учетом неравенства |х — £| > 2|/г| получаем следующую цепочку неравенств:
52 lG^ (ж “ ^ + h, t - 7-) - GXj (х - С t - т)|
7 = 1
С ||Gzz(x - $ + dh, t - 7-)|||Д|
„7+1
^C°(t-T)~ 2 G^x-^t-rW. 0 < 7 < 1.
Поскольку функции \fk(u(t, x))| ограничены в полосе П<0, то имеем оценку /j ^ Ci|/i|7. В области |яг — £| ^ 2|/г|, на которой рассматривается интеграл 12, с учетом (5Ь) при и = - ^-- справедлива оценка
\GXj(x - £, t - т)| ^ Co(t - 7-) 2 G*(x - £, t - т-)|/гр, 0<7<1.
Отсюда следует оценка I2 ^ Сг|/г|7. Аналогично получается оценка /3 ^ Сз|А|7, О < 7 < 1, при этом Ск, к = 1, 2, 3 — постоянные, не зависящие от переменных t, х, h. Собирая полученные оценки, приходим к оценке
|W(t, х + h) — ^(t, х)| ^ А|Л|7, 0 < t < tg, Vx, 0<7<1, где А — постоянная, не зависящая от t, х, h, так что потенциал W(t, х) удовлетворяет условию Гельдера. Так как согласно соотношениям (6) имеет место равенство
u(t, 2) — j G(x - £, t)u°(£) d^ - W(t, x),(6a)
где в силу условий В первый интеграл в правой части (6а) удовлетворяет условию Гельдера по х, то тогда условию Гельдера удовлетворяет функция u(t, ж) и вместе с нею f(u(t, х)).
Потенциал W(t, 1), являющийся суммой первых производных по Xj t
функций Vk(t, z) = J J G^x - $, t — r)/fc(u(t, ж)) d^ dr, которые в силу 0R„
их гельдеровости по х можно рассматривать как объемные потенциалы типа V(t, ж), обладает, согласно лемме 1.1, вторыми производными по х и первыми по t. Но тогда непосредственно из выражения (6а) следует,
что функция u(t, ж) вместе с первым интегралом в (6а) также имеет первую непрерывную производную по х.
Далее, рассматривая выражение для первой производной
uXi(t, ж) = | GIi^x-E,,t')u0^)dE,-Ui(it,x'),(11)
Rn
t
где Ui = J J GXi(x -£,t- T)fkuP(u(T, ^г^Дт, £) d^ dr представляют 0 Rn
собою потенциалы, обладающие свойствами W(t, х), аналогично устанавливаем, что производная uXi^t, х) обладает производной по Xj, и при этом производная UiXj (t, х) представляется выражением вида (4а), где g(C ж) = fkup(u(t, x))uPfc(<, ж).
Существование производной по t вытекает непосредственно из равенства
и(<, ж) = j G^x — £,t — т)и°(^) d^ — Rn
t
-j j G^x-^t-T^Jkup^r.^u^r.^d^dT, ORn
и, согласно (4b), имеет вид
ut(C ж) = j Gt(x - £, t)u°(£) d^ + ЫЦ^ ж))хк ~ Rn t
-j j G^x-^t-T^fkupW* ^еДт,^- 0 Rn
- fkuP^T, Х^Дт, X^d^dT.
Таким образом, функция u(t, x) удовлетворяет уравнению (1). В силу равенств lira Г G^x - £, £)u°(£)cJ£ = u°(a:), lim W(<, ж) = 0 из (6а) t—*0t—*0
следует, что функция u^t, х) непрерывно примыкает к начальным данным (2).П
Априорные оценки и глобальная разрешимостьзадачи Коши
Первый вопрос, возникающий после доказательства локальной теоремы существования и единственности, — это вопрос о возможности продолжения решения на произвольную полосу Пт [44]. Ответом на него может служить следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1.2. Пусть выполнены условия В, и в некоторой полосе Пт имеет место оценка
Mt x)U < t^ty (1)
где u(t х) — предполагаемое классическое решение задачи (1), (2)1 в полосе Пт, а постоянная г(Т) зависит только от данных задачи и0^, f^uY е, иТ — высоты полосы Пт, при этом шар Вг(0) С Я.
Тогда в полосе Пт существует единственное классическое решение задачи (1), (2)1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем продолжать локальное решение на полосу Пт. Поскольку, как было установлено в теореме 1.1, из существования решения в пространстве С(ПТ) следует, что оно является классическим, то достаточно продолжить непрерывное решение системы (6). Имея такое решение в полосе П(°, согласно теореме 1.1, мы можем вновь с начальными данными u(<g, ж) применить ту же теорему и доказать существование единственного решения в полосе П^ = № х^ : to ^ t ^ t, $ £ R}- В результате мы получаем единственное непрерывное решение в полосе П*'. Многократно повторяя эту процедуру дальше, мы можем завершить процесс, продолжив решение на всю полосу Пт. Предположим, однако противное — пусть процесс продолжения завершается при некотором Tq < Т, и дальнейшее продолжение решения невозможно. Тогда рассмотрим вновь систему (6) при t > Tq с начальным условием u(Tq, xY Обозначим через го = ||u(Tq, х)||оо и воспользуемся тем, что в силу оценки (1) го < г. Это означает, что условия теоремы 1.1 выполнены и продолжение за линию t = То возможно, а наше предположение о завершении процесса продолжения непрерывного решения при То < Т неверно. Из теоремы 1.1 также вытекает, что это продолженное решение классическое.□
ЗАМЕЧАНИЕ 1.2. Если в теореме 1.2 высота полосы Т может выбираться произвольно большой, то тогда говорят о глобальном решении задачи (1)(2)1. В отличие от процедуры продолжения в [44], продолжение решения в теореме 1.2 осуществляется в естественной норме C^Rn) для законов сохранения, то есть как решение системы интегральных уравнений (6).
Теперь ясно, что главное в доказательстве однозначной разрешимости задачи Коши (1), (2)1 — это получение априорной оценки вида (1).
Дальнейшее изложение посвящено методам получения априорных оценок. Здесь мы остановимся на общих подходах к получению этих оценок, пригодных для одного класса многомерных систем. Этот класс мы назовем A-системами. Введем этот класс систем (1)1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Назовем A-системой в области Я систему (1)1, удовлетворяющую условию В\ и допускающую в вы- гщклой области П С RN энтропийную пару (Ф(и), Ф(и)}, где Ф(и) = (Ф*(и)... Фп(и)} — поток энтропии, а Ф(и) — обобщенная
энтропия, обладающая в П следующим свойством Л:
О ^ ^и^иЗ(и№^л|£|2, Vue а
где А — положительная постоянная, £ — любой вектор из Rn.
Напомним, что согласно теореме 1.3.2 Л-система в выпуклой области П приводится к градиентной форме
^LQ(q^t + ^L4qK = eA(VL°(9)),(2)
где q = Х?Ф(и) представляет собою гладкий на П гомеоморфизм П -+ П', u = VX°(9) — обратное ему отображение, при этом функции в Ф(и), L°H связаны преобразованием Лежандра и могут быть заменены на функции
Ф(ц, и0) = Ф(и) - 7Ф(ио)(и - ио) - Ф(«о),«о = VL°(uo),
LQ(q, 9о) = L°(g) - VL°(uo)(u - «о) - b°(«o), qQ = VФ(uo).
ТЕОРЕМА 2.2. Пусть система (1)1 является A-системой в Rn и выполнено условие
\Ц^К-^
где j = 1, ..., п; г, s = 1, N; q 6 Rn-
Пусть также начальная функция в (2)1 удовлетворяет условию В^
Тогда задача (1), (2)1 имеет единственное глобальное решение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для простоты положим uq = 0, и поэтому Ф(0) = VФ(0) = 0. В силу формулы Фи»и<(и)Дд<дт('7Ф(и)) — ^sm. собственные значения А^(и) матрицы [Ь°«дт(^Ф(и))] и собственные At(u) значения матрицы Фи«и.(и) связаны равенством А^(и) = = (Afc(u))-1. Отсюда с учетом условия А вытекает оценка А-1 < Afc(u). Эта оценка означает, что гессиан функции L°H положительно определен. Отметим, что в силу условия А справедливо также неравенство
1
Ы = IХ7ф(и)I 5$ j ||Ф„-«Р(cru)ll da|u| 5$ Л|и|.(4)
о
Рассмотрим потоковые члены в (2) и получим их оценку. Имеем следующую цепочку неравенств, вытекающих из условий А, оценки (3) и неравенства (4):
1
|^Р(9)| = |jLJgPgX(l ~a)9W| ^ K\q\ ^ КАН о
Поскольку Pp(u) = VqP^^HlY то мы приходим к неравенству
|Г(ц)|^ХЛ|и|.(5)
Рассмотрим вновь систему (6)1, эквивалентную задаче (1), (2)1, и, с учетом оценок (5)1 и неравенства (5), получаем неравенство
1 г1
Ht, -)Поо ||«°|| + Се-2 J (< - т)-2 ||u(f, ■)||оо dT, (6) о
п— 1
где С = 2 2 КА. Сделаем в неравенстве (6) самоподстановку и получим неравенство вида
г 711
||u(t -)||оо ^ Ц° + С2£-* j j(t- т) 2(r-s) 2 ||u(s, •) Hoods dT, о о
где [/° = (1+2Ce 2T2). Изменяя в последнем интеграле порядок интегрирования, получаем неравенство
t
||u(t *)Поо ^ U° + A"1 j J(t, s)Ms, -)Цое ds,(7)
о
<11,
где J(t, s) = J(< — т) 2(7- — s) 2 dT = 7Г, т — 2 *[(^ + s) + s
+ (t — s)cos£] — замена переменной интегрирования в этом интеграле.
Неравенство (7) является неравенством Гронуолла [18], и оно дает априорную оценку
||u(t, -JU ^ IPe0^4 < U°e2c2E"'T = г(Г).(8)
Применяя теорему 1.2, завершаем доказательство.□
СЛЕДСТВИЕ 1.2. При выполнении условий теоремы 1.2 или 2.2 и условия ||и°||оо < г? < оо, справедливы оценки первых производных;
||ur(i. -)||оо < Гь(1а)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим систему интегральных уравнений для производных (11)1, введем функцию Z(£) = ||uz(^ Oik = max||uZi(<, -)|| и воспользуемся оценкой: г
rnax||/^m(u(i, i))^ ^ К.j, m
Тогда получим аналогичное (6) неравенство
1 ‘1
Z^ ^Z° + Ce"2^t- Tp^Z^dT,о
_i 1n-1
где Z? = (1 + ^Ce iT^y^, C = n2 2 К, из которого следует оценка (la), где ri = Z^e2c2E 'Т.П
ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Если Ци^Цоо ^ г!? < оо, то аналогично получаем оценку вторых производных
||Uxx(t -)||ооГ2.(1Ь)
В пространстве С2(ДП) решение задачи (1), (2)1 можно рассматривать как траекторию и = u^t, •), которая остается в этом пространстве при 0 < t ^ Т и имеет конечную норму в нем, если эта норма конечна в начальный момент, при этом оказывается, что главное — это иметь оценку решения в норме С(ДП), так как оценки производных определяются этой оценкой и свойствами входных данных /^(и), и°(х\ Такую оценку решения называют естественной и можно сделать вывод, что наличие естественной оценки решений в норме пространства C^R^ является характерным свойством широкого класса систем законов сохранения с диссипацией.
СЛЕДСТВИЕ 2.2. Пусть при выполнении условий В задача (1), (2)1 в полосе Пт имеет классическое решение.
Тогда это решение ограничено в полосе Пт.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим систему интегральных уравнений (6), которые в полосе Пт имеют решение со значениями в П. При каждом локальном продолжении этого решения оно в силу теоремы 1.1 ограничено. С другой стороны, согласно теореме 1.2, оно продолжается за конечное число шагов на полосу Пт и поэтому остается ограниченным во всей полосе.П
ПРИМЕР 1.2. Рассмотрим систему
Vt - vx = eVIX, vt+p(V)x-evxx, u = (y,V)T,(9)
которой в градиентной форме соответствует система (2) с производящими функциями
L°(9) =-Z(p) + 1у2, L^q^-up,(9а)
где q = (-р, v)r, р(И) = - И-7.
Система (9) удовлетворяет оценке (3), но не удовлетворяет свойству А. Однако если в (9) сделать замену
рУ^рУЗ^рУ^рУЗ^-И"7,3^V<oo,
рУ^рУЗ^
рУ^рУЗ^
<7„
(1 + 7)/37+2ехр(И - 3) + с\У - 3) + cq, -oo<V<3,
где со = -£Н7+2)(1 + 7 - 7-1/32), С] = -Д_(7+2)(1 + 7 + ЗУ- 3 ~ ма‘ лый положительный параметр, то система (9) становится А-системой. Действительно, гессиан обобщенной энтропии
v
ф(ц, ио) = 5 V2 + P(V, Ио), P^V, Ио) = [р(Ио, 3) - Р^- ЗУ do
Vo
имеет ограниченные собственные значения
A,(«) = l, А2(и) = -ру(Г,Д)^|с1|.
Важным инструментом получения априорных оценок является принцип максимума [8], который мы приводим здесь в более общей форме, учитывая возможность его применения в разностных схемах.
ТЕОРЕМА 3.2. Пусть О — открытое множество в_метриче- ском пространстве X, имеющее компактное замыкание fl и драницу дС1, при этом Q(T) = (О, Г] х fl — цилиндр в R х_Х, а Г = Q^T'j — — Q(T) — «параболическая» граница цилиндра, Q(T) = [О, Г] х fl; (О, Т], [О, Т] G R._
Пусть функция w(t, х) — полунепрерывна сверху на Q(T), и при каждом значении переменной t G (О, Т] в точках х* € fl(x* € fl), в которых w(t, х*) = max w(t, х), имеет место неравенство
Q
д'ш(1, х*)^0,(10)
где д( — левая нижняя производная [14].
Тогда справедливо равенство
maxw(t, х) = maxw(t, х) (maxw(t, x) = max w(0, x)).(11)
Q(T)гQ(T)n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай строгого неравенства в (10). Согласно известной теореме [14], функция w(t, х) достигает_абсолютного максимального значения в некоторой точке (to, я0) € QtT\ Тогда, в силу строгого неравенства в (10) и определения 8,, на интервале (0, 1g) имеется точка t*, в которой справедливо неравенство
w(t', Xg) > W^to, Xg).
Это означает, что абсолютное максимальное значение достигается на Г(0 х fl). Пусть теперь выполняется (10). Рассмотрим последовательность функций wn(t, х) = w(t, х) -I— (Т — I) при возрастающих п = 1, 2, ..., каждая функция которой удовлетворяет строгому неравенству в (10) и, следовательно, при каждом п выполнены равенства (11). Переходя в этих равенствах к пределу при п —+ сю, получаем утверждение теоремы. Аналогично устанавливается утверждение (11) в скобках.П
Априорные оценки и инвариантные областиодномерных систем
Вновь рассмотрим одномерную задачу Коши
Щ + f(u)x = еихх,(1)
u|t=o = u^x),(2)
входные данные которой удовлетворяют условиям В § 1.
Для одномерных систем важную роль при получении априорных оценок играют инварианты Римана.
ТЕОРЕМА 1.3. Пусть задача (1), (2) удовлетворяет условиям В, система (1) гиперболична в области П и допускает k-ый инвариант Римана wk(t, х), являющийся в О выпуклой функцией.
Тогда в любой полосе Пт, где существует классическое решение задачи (1), (2) со значениями в Q, имеет место априорная оценка:
wk(t, х) ^ supwo(x) = г°,(3)
X
где Wq(x) = wk(uo(x')Y
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и = u^t, х) — упомянутое выше решение (1), (2). Тогда wk(t, х) удовлетворяет в Пт задаче
^ = Etokx - Aw(u(t, x))wk - swkiuJ(u(t, x))uiu3x, (4) wfe|t=o = w^(xY
Введем вспомогательную функцию
V = ^x2 + (K + e^e2Kt,(5)
где К = sup |Afc(u(<, ж))|, так как согласно следствию 2.2 решение пт
задачи Коши (1), (2) имеет оценку
||«(t, i)||oo < г(т) на Пт.(5а)
Функцию V^t, х) можно рассматривать как решение уравнения
Vt + At(u(<, хЖ = eVIZ + ш(6)
с невязкой ш = [Х(1 + х2) + xXkMt, х)) + 2К(К + e)t\e2Kt > 0.
Функция v = wk(t, х) — r° — 6V (5 > 0 достаточно малая величина), рассматриваемая в прямоугольнике ПТ(Х) = {(t, х) : 0 < t < Т, |х| < X} с «параболической» границей Г = П (X) — ПТ(Х), обладает следующими свойствами:
при достаточно больших X выполняется неравенство
' и|г < 0.(7а)
при любом t G (0, Т] в точках ^х*^ С [—X, X], в которых v(t, ж) = max^ v^t, xY выполнено неравенство
vt^t, х*) < 0.(7b)
Действительно, в силу оценки (5а) |wfe(t, х)| < С. С другой стороны, если X ^ V2C 5~2, то из (5) имеем V^t, х) ^ С6~[ при |х| ^ X. Откуда и следует неравенство (7а). В точках {я*} С [—X, X], в которых имеет место равенство v(t, х) = max v^t, х) с учетом выпуклости ш^и),
равенств (4), (6) и неравенств vz(t, ж*) > 0, vxx(t, ж*) ^ 0, w(t, ж*) > Q, получаем неравенство
vt(i, ж*) = (wtk - 5Ю|Х=1. =
= (^хх - Afc(u)Vx - ElD^iU^U^. - 5w)x=®' < о,
то есть (7Ь) доказано.
Таким образом, функция v(t, ж) удовлетворяет всем условиям теоремы 3.2 (принцип максимума), и поэтому в прямоугольнике ПТ(Х) при сколь угодно больших X ^ V2C5-1 справедливо неравенство
v(t, ж) < 0,
из которого при 6 —> 0 получаем неравенство (3).П
СЛЕДСТВИЕ 1.3. При N = 1 и выполнении условий В в любой; полосе Пт выполнена оценка
infu°(:r) ^ и(/, ж) ^ supu°(i).(8)
СЛЕДСТВИЕ 2.3. Пусть выполняются условия теоремы 1.3 и система (1) допускает m^N выпуклых инвариантов Римана.
Тогда решение задачи (1), (2), принадлежащее при t = 0 замкнутой области
Е = {и | wk(u) $ Wq, k = 1, 2, ..., m},(9)
остается в области Е при t > 0 до тех пор, пока u(t, х) € П П Е.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Соотношения (8) непосредственно вытекают из теоремы 3.2. Следствие 2.3 получается посредством применения теоремы 1.3 к каждому неравенству в (9).П
ЗАМЕЧАНИЕ 1.3. В приведенных выше предложениях условие выпуклости инвариантов можно заменить на более слабое условие квазивыпуклости, состоящее в том, что wuiuj(u)£‘£J ^ 0 при «^(и)^ = 0 и Vu € П.
В связи с вышеизложенным полезно ввести определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Замкнутую область Е С Rn назовем (локально) инвариантной относительно t для решения и = u(t, х) задачи Коши (1), (2), если значения u(t, х) принадлежат Е для любых t > 0 (для t € (0, <5] при достаточно малых 6), как только и°(х) € Е.
Методы получения априорных оценок с использованием инвариантов Римана и инвариантных областей наиболее удобно продемонстрировать на примере системы газовой динамики, описывающей изэнтропическое течение газа с выпуклым уравнением состояния.
Вновь рассмотрим задачу Коши
V"t -Dx = eVxx, Vt +p(V)x = EVXX, U = (V,V)T,(10)
u|t=o - u°(x) = (V°(x), v°(x)\(11)
Подчиним входные данные условиям:
p(V) € С2(0, оо), р'^ < 0, p-\V) ^ 0, p(V) - I ~’ ^ ° , (12а) и^-иоо-С^ПИ^Я), Uoo = (Ко, 0),(12b)
V°^^m°>0, Уж^т°.(12c)
ТЕОРЕМА 2.3. Пусть выполнены условия (12а)-(12с). Тогда в полосе Пт любой высоты Т существует единственное классическое решение задачи (10), (11).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Получим априорные оценки, предполагая существование искомого решения. Сначала получим оценку сверху для компоненты V решения. Из оценки для энтропии
v
Ф(и,иОо) = 5«2 + Р(ККо), Р(У,УЖ) = [ [p(Ko)-p(or)]da v==
вида:
Ф(и((, я), иж) dx < Ф(и°(х), u^dx = Мж
RR
вытекает оценка
||v(t, .)||2 < ЗАГоо.(13а)
Первое уравнение в (10) приведем к интегральному уравнению
t
V = | G(x - у, t)V°(y) dy - 11 Gy^x — y,t — r)u(r, y) dy dr, ROR
а затем, применяя неравенство Коши-Буняковского и используя оценки (5а) 1 и (13а), получаем цепочку неравенств и оценку сверху
tup V°(x) Н12eV2^оtup V°(x) Н12eV2^о(t — т) 1 ехря(t — т) 1 ехряv + тАтГ к~т) [ехр2еу2тг Jояv + тАтГ к~т) [ехр2еу2тг Jоя(а: - у)2 1 I8e(t-T)J 1(а: - у)2(а: - у)2 1 I8e(t-T)J 1(а: - у)24e(t - т)4e(t - т)|и(т, y^dydr ^|и(т, y^dydr ^2 X2 X
t
up V°(x) Н
12eV2^
о
t
up V°(x) Н
12eV2^
о
(t — т) 1 ехря
(t — т) 1 ехря
v + тАтГ к~т) [ехр2еу2тг J
оя
v + тАтГ к~т) [ехр2еу2тг J
оя
(а: - у)2 1 I
8e(t-T)J 1
(а: - у)2
(а: - у)2 1 I
8e(t-T)J 1
(а: - у)2
4e(t - т)
4e(t - т)
|и(т, y^dydr ^
|и(т, y^dydr ^
2 X
2 X
ххv2(r, у) dy\ dr < Гу + 2 2тг 4е *Мжх яv2(r, у) dy\ dr < Гу + 2 2тг 4е *Мжх я
х
х
v2(r, у) dy\ dr < Гу + 2 2тг 4е *Мжх я
v2(r, у) dy\ dr < Гу + 2 2тг 4е *Мжх я
t хоt хо1311<Хе"ХИ№ = rv. (13)1311<Хе"ХИ№ = rv. (13)
t х
о
t х
о
1311
<Хе"ХИ№ = rv. (13)
1311
<Хе"ХИ№ = rv. (13)
^5*
Инварианты Римана w = и ± H(V, b), z = v — H(V, Ь) удовлетворяют системе уравнений
wt + X^Wx = e(wiz-,
}<(14>
zt - X^Zx = e ^Zxx + fjv) ^J
с начальными данными
(w, z)|t=o = (w°(x), z°(x)),(14a)
где (w° — Wqo, z° - Zqo) € CV(R") П И^Я).
Применяя теорему 3.2 (принцип максимума) с учетом условий (5) к каждой из компонент решения (14), (14а), получаем априорны# оценки инвариантов
ь
w Nq, z —Nq, Nq = max |r°| + j А(<т) do.
m°
Отсюда вытекает априорная оценка снизу для V(t, ж):
V^t, ж) > т,(15)
где m не зависит от е.
Теперь в силу ограниченности р<У\ вытекающей из оценки (15), рассматривая уравнение
t
v(t, я) = j G^x - у, t)y°(y) dy + j j Gy(x -y,t- r)p(V(r, y)) dy dr, ROR
и, используя (5a) 1, получаем оценку
MtOlloo^CT).(16)
В силу оценок (13), (15) и (16) существование единственного классического решения задачи (10), (11) вытекает из теоремы 1.2.D
Важное значение имеет изучение поведения решения задачи (1), (2) при |х| —> оо в полосе Пт, которое зависит от наличия априорных оценок решения и поведения начальной функции и°(х) при |х| —> оо.
Остановимся сначала на локальной теореме.
ТЕОРЕМА 3.3. Пусть выполнены условия В и, кроме того, и0^) —» и± при х —► ±00.(17)
Тогда классическое решение и = u(t, х) задачи (1), (2) в полосе П^ при достаточно малом to удовлетворяет предельным соотношениям
u(t, х) —> и± при х —> ±оо(18)
равномерно относительно 0 ^ t ^ fg-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Делая замену u = v + и+, и°(х) = = г°(х) + и+, приведем задачу (1), (2) к интегральной форме
v(t, ж) = J^t, х) — J(t, х\(19)
ООt ОО_
где J° = J G(x - С tW) <^.J = M G^x -^t- r)f(v(r, 0) ^ dr,
—oo0 —oo
/ = f^T, C) +u+) -/(u+).*
Представим J° = J^ + J^, где Jp = J G^x - £, t)u°(O d£, J® = — OO oo
= J G(x — £, t)v°(^) d^, и найдем простые оценки
22G(x - £, t) d£ = гоG(x - £, t) d£ = го1 -Ф1 -Ф^ ro exp^ ro exp32et32et
2
2
G(x - £, t) d£ = го
G(x - £, t) d£ = го
1 -Ф
1 -Ф
^ ro exp
^ ro exp
32et
32et
IJ^| ^ sup |v°(£)kIf'”)
из которых вытекает оценка
32et32et|J°| ^ sup |u°(C)l +гоехр[f' oo)
32et
32et
Аналогично представляя интеграл J в виде
J — J\ + Ji,
где J\ = J J Gx^x - £,t- r^fd^dr, Ji = J J G^x -£,t- r)fd^dr, 0 —oo0 ^
получаем с помощью оценки (5c) 1 и теоремы 1.1 оценку
t 2t 2l^il ^l^il ^О ~ооО ~ооX — ^, t — ТX — ^, t — Тd^drd^dr64et64et
t 2
t 2
l^il ^
l^il ^
О ~оо
О ~оо
X — ^, t — Т
X — ^, t — Т
d^dr
d^dr
64et
64et
где М = max |/(u)l.
Br(0)
Введем функцию Z^ = sup |u(t ^)|, где nto(x) — полуполоса, п'о(т)
определяемая выражением nt°(x) = {(t, £):0<х^£<оо, 0 ^ t ^ to}-
Учитывая, что так же, как в теореме 1.1 при п = 1
17и = 1/(У+и+)-/(и+)|^ад
где u + u+, и+ € Вг(0), с учетом условия (9)1 на выбор to и оценки (5с) 1 получаем оценку
sup |J2|^2^/|z(|) ^lz(|).
П‘о(х)VеZ
Теперь из оценок для |J°| и |Ji| вытекает общая оценка
|J°| + | Ji| ^ w(x) = sup |v°(£)| + (r0 + exp,
г х\ J Ь4£Со
а из соотношения (19) — неравенство
-Z^ ^ ш^ + ^ Z(x).(20).
Поскольку Z(x) и ш(х) — неотрицательные монотонно убывающие функции, причем lira ш(х') = 0, то, переходя к пределу в неравенстве
Ж-+ОО
(20) при х —» со, получаем предельное равенство lira Z(x) = 0. Ана-
X—+ ОО
логично рассматривается случай, когда u0(i) —► и_ при х —> —оо.П
Из теорем 1.2 и 3.3 вытекает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 4.3. Пусть выполнены условия В, (17) и (1)2.
Тогда соотношения (18) имеют место во всей полосе Пт.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.3. При условиях теоремы 4.3 в полосе Пт выполняется предельное равенство
lim ux(t, х) = 0.
|т| —юо
Глобальная разрешимость некоторыхмодифицированных эволюционных задач механикисплошных сред
Рассмотрим систему газовой динамики в эйлеровых координатах, описывающую баротропное течение газа с искусственной вязкостью
PfV^PVj'iij =EPzjZj,
((/9 + E)Vi)t + (pv^j + ^p^Xj = р^р + EWUjij , дополненную начальными данными
(Р- v)lt=o = (/^Y -и°^\(2)
которая соответствует системе (1)11 при 5 = 0. Введем следующие условия:
Р^ € С2(0, ос), р'^ ^ 0,(За)
(^-Poo.^Gr^eM^nLitM(3b)
р0^ m° > 0, Роо т°.(Зс)
Локальная разрешимость задачи Коши (1), (2) вытекает из теоремы 11. но при слабом примыкании к начальным данным. Известно, что это также имеет место для системы с естественной вязкостью [45]. Однако результата о глобальной разрешимости в Соболевских классах функций, как известно, получить не удается. Это объясняется быстрым ростом скорости при возрастающем времени. Наша ближайшая цель доказать, что при соответствующей срезке скорости и условиях (3) задача Коши (1), (2) имеет единственное глобальное решение [46]. Правильная срезка скорости осуществляется через градиентную форму системы (1) при е = р = 0, которая согласно (1)21 имеет вид
где L0^ = р, L4q) = vjp; q' = Z - ^ |o|2, qi+1 = 14, |o|2 = -14-14, а дифференциалы производящих функций представляются выражениями
dL° = pdqx + pui dqt+x, dU = pv, dqx + (pViVj + SijPlp)) dqt+x,dZ — p-x dp.
Введем модификацию производящих функций потока по формуле L3(q) = uD^qY где ш = шдг(|у|2) — функция гладкой срезки скорости
= 2N^CT<OO(4а)
такая, что
ш'^0, Iw'l^^-1, |ш"|^^-2,(4Ь)
при этом К — постоянная, не зависящая от N, a N — большой параметр. Используя выражения для дифференциалов
dP = шdU + V dw, du = 2ш'у< d-v,., получаем выражение
di? = wpVj dqx + ^(pVt-Uj + SyP^pY + 2ш'цг^р(р)] dq-1+l, и теперь модифицированная система, соответствующая системе (1) принимает вид
pt + ^pVj^j =ЕРх3хР
Чр + e^^t + Мр^з + 5ijP(pY + 2ш'^^р(р)]х, = рЧР + e)vi)XjXj •
(5)
Сглаживая начальные функции в (2), которые в силу свойств операции сглаживания (см. § 2 главы 3) также удовлетворяют условиям (ЗЬ) и (Зс), дополняем систему (5) начальными данными
(Р, v)|t=o = (AM* УдИ)-(6)
ТЕОРЕМА 1.4. Пусть выполнены условия (3).
Тогда задача Коши (5), (6) в полосе Пт любой высоты Т имеет единственное классическое решение, компонента которого p^t, х) строго положительна, и при каждом t > О справедливо соотношение
(p(t, я) - poo, v(t, я)) € Ь^Пз) П Li (Д3).(6а)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проходит по схеме доказательства теорем 1.2 и 2.2, то есть главное — это получить априорные оценки. С этой целью перейдем в задаче (5), (6) к новым переменным
u: R^ —* R^4 = {и : и1 > 0}, и* = р, иг+1 = (р + е)^,, г = 1, 2, 3, и запишем эквивалентную (5), (6) задачу:
ut + f^^ij = diag[E, р.] Дгь,(7)
u|t=o = и°(ж),(8)
и°^ = UMA ^W1))
Для доказательства теоремы 1.4 достаточно установить следующие леммы.
ЛЕММА 1.4. Пусть выполнены условия (За)-(Зс).
Тогда для каждого классического решения и = {р, (р + e)v} задачи (7), (8) со значениями из R+* = ^(р, у) : р> 0, |v| < ос} в полосе Пт справедливы априорные оценки
sup |u(t -)| ^ М,(9)
Яз зз 2
^^Р^^'!(10)
j = l 3i, j = l 3
где постоянные M, М\, М2 зависят от малого векторного параметра а = (Л, е, р, N~l) и Т.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем соответствующую задаче (7), (8) систему интегральных уравнений
t
и = | G(x - £, t - т)и° d^ - j j GXj (ж - ^, t - r)P (u) c^ dr. (11) Ri0 R311
Обозначим через Zk(t) = sup |ufc(t,-)| и, учитывая положительность p(t, х') и свойства срезки (4а), (4b), получим оценки потоковых членов l/fU V^NZxW, |^|<2ArZ1(t)+p(Z1(t))(l+4K).(12)
В результате из интегральных соотношений (11) с учетом (12) и оценки (5а) 1 получаем неравенство
п з 11 г 1
Zx ^ < Z^ + 22е"5^2 J (< - г)”2 Zi (т) dr,о
где Z^ = supp^rr), которое самоподстановкой также; как в теореме 1.1, Яз
сводится к неравенству Гронуолла и дает оценку
Zv^ < Z^exptSMTrE-1#] ^ 2^ехр[8М7ГЕ-|Т] = М1,(12а)
где Я? = Z?(l +4e-?v/2AT).
При к = 2, 3, 4 в силу неравенств (12) получаем оценки
Zk^ $5 Zg + 4p-5y/T[2^1 + p(№)(l +4К)] = Мк.
Полагая М = maxMfc, приходим к оценке (9). Оценки производных к
получаются так же как в следствии 1.2 и замечании 2.2.□ ЛЕММА 2.4. Пусть выполнены условия леммы 1.4.
Тогда в полосе Пт справедлива оценка
(13)"duk _Эх,(13)"duk _Эх,p(t, х) ^ т > 0,
(13)
"duk _Эх,
(13)
"duk _Эх,
где т зависит от параметров а и Т.
и \ duu* + £ / dxjи \ duu* + £ / dxjДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку = -Д- дх, и1 + е
и \ duu* + £ / dxj
и \ duu* + £ / dxj
, к = 2, 3, 4, то в силу леммы 1.4 имеем оценку
В силу оценки (13а) и свойств срезки (4а), (4Ь) существует конечная постоянная К такая, что
sup|(wvj)x.| = К.(14)
пт
В уравнении для плотности системы (5) и в начальных данных (6) сделаем замену z = — рехр[—Kt^ и получим задачу Коши
zt + yVjZ^j + q(t, x)z = eAz, z|t=0 = -р^х),
где в силу (14) q(t, x) = К + (uWj)x,- ^ 0.
Рассмотрим вспомогательную функцию
У = G '^ + ^N + £^) exp[27Vt], |x|2 = XtXi-
Эта функция удовлетворяет уравнению Vt + cJVjVx> + qV = еДУ + 0 с невязкой
О = ^2N + q) [| |х|2 + (2N + e)t] + | wxjVj + 2^} e2Nt ^ 0. (14a)
Действительно, так как wXjVj ^ —V2N |x|, то справедливо неравенство 2N (Ы2 + 1^ + - wx^Vj ^ G/2N Ixl — I)2 + 2N — и 9 > 0 при \6/366
M > —. Функция d = z(t, x) + m°e~2Kt — 8V, где 8 — малый положительный параметр, в силу ограниченности p(t, x)(p(t, х) < М) удовлетворяет при достаточно больших значениях X на «параболической» границе Г цилиндра Q(T) = {(t, х) : 0 < t ^ Т, |х| < X} неравенству
tf|r<0.(15а)
Кроме того, при любом t € (0, Т] в точках {х*} неотрицательного максимума функции d(t, х) выполнено неравенство
tft(£, х*) < 0,(15b)
так как в точке (t, х*) выполнены соотношения ДУ ^ 0, ХУ = 0, У ^ 0, и с учетом (14а) У( = —u>'Vj'0Xj — qd — т°(2К — q)e-qt + ДУ - 9 < 0.
Согласно теореме 3.2 (принцип максимума) из неравенств (15а) и (15b) вытекает, что функция ■d^t, х) не имеет неотрицательного максимума в цилиндре Q(T) и, следовательно, удовлетворяет неравенству ■9(1, х) < 0 в Q(T).■
Отсюда, переходя к пределу при 8 —> 0 в этом неравенстве, полу- • чаем оценку z(t х) ^ —m°e~2 , выполняющуюся при любых X, из ; которой в свою очередь вытекает оценка (13) p(t, х) ^ т, справедливая ! во всей полосе Пт, где т = m°e-KT.D(
ЛЕММА 3.4. Пусть выполнены условия (3).|
Тогда для каждого классического решения u = u(t, х) задачи (7), I (8), удовлетворяющего (6а), существует постоянная С такая, что ; в полосе Пт справедливы оценки.
MtO-uoolh ^с, |Mt,-)lli^c. (16):
где С зависит от а, Т, причем Uoo = (р^, 0).\
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем интегральные соотношения
в форме
t1
u-Uoo= f G(u°^)-Uoo)d^-f f G^f^-fMj^dr. (На) ;
Нз0 R3
С учетом оценки (9) имеем неравенство:
l/-7^) -/j(Uoo)| ^B|u-Uoo|, j= 1,2,3,
где В зависит от параметров а, Т.
В силу условий (За)-(Зс), (6а) и леммы 1.4 мы можем, используя теорему Фубини [14, 37], поменять в правой части (Па) порядок интегрирования. Далее, переходя к оценке модуля |w — Wool и интегрируя полученное неравенство по R3, для функции Z(t) = J |u — u^dx Яз получаем неравенство
Z(t) ^ Zo + 2Nu 2 j (t — т) 2Z(j)d-r, и = min(E, /1) 0
и оценку Z(t) < Zo (1-^S^^exp^TrS2!/ *T] < С. Оценка для производной (16) получается аналогично. Вместе с этим завершается
и доказательство теоремы 1.4.D
Теперь рассмотрим систему нелинейной упругости с искусственной «вязкостью» следующего вида [47]:
Pt + (шр^кДк — ^Pxkxk,
((Р + Е^тД + ^pVmVk - <Tmfc) - 2w,VmU10'lk]Ik == м((р + ^^m^lfcXk ,
^PCijY 4* ДрДк^гз ~ yiCkj)]xk = ДрСгДхкхк *
которая соответствует системе (7)11 и квазиградиентной форме (6)21 с заменой Lk(q) = шЬДу\ r^q) = штДу\ причем amk находится по формуле Мурнагана (7сг)21 атк = 8mkUv + pUCmjCkj, где {ДУ, С) — внутренняя энергия, У = р"1 — удельный объем.
Дополняя систему (17) начальными данными
C-)lt=o = (ph^Y ^Y с0^* hYY п8х
введем условия D:
функция {ДУ, С) — строго выпукла, а ее производные по переменным V и С ограничены при 0 ^ р ^ Мр, ||С|| < Мс, где ||С|| = шах^ |сг^|, Мр, Мс — произвольные постоянные,
13
начальные данные таковы, что
(Ах) - Роо, У°Н C°(i) - Coo) € L^R3) П MR3),P°(^) ^ m“ > 0, (рД1)с°м(хУ)Хк = 0, j = 1, 2, 3.
ТЕОРЕМА 2.4. Пусть выполнены условия D. Тогда для каждого классического решения
u(t, х) = ^p(t, х\ (p(t, х) + e)v(t х\ p(t, x)C(t, я)}
задачи Коши (17), (18) со значениями в R^ х R3 х Rg в полосе Пт справедливы априорные оценки
sup|u(t, -)| ^ M.Vsup |uZt(£, -)| ^ Ml,Y'sup|uZ|tZm(t, -)|| ^ Мъ
R^к ^мк R>
(19а)
и1 (t, х) ^ тр > 0, тр^т®,(19b)
||«(£, •) -Uoolli ^ М3, ||uz(i, -)||| ^ М4,(19с)
где постоянные М, тр, Мр зависят от входных данных задачи и векторного параметра а = (/г, е, ц, Лг~1) и Т.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем уравнения для плотности и дисторсии в интегральной форме
Р = [ Gz>”(^-J j Gx.uvjpd^dT,Я3о я3
t
pCij = j СрД^Д, 7i)d£-j j СХкаДкСц -ViCkj^pd^dT.
R30 R3
Обозначим через Zq(£) — supp(t, •), Z4(f) = supp(i, -)||C(i, -)ll,
R3R3
Z^ = Zq(O), Z^ = £4(0) и воспользуемся вытекающими из (4а), (4b) оценками■
|wv*p| ^ V2NZQ(t), |ш(г>кСу - ViCk,^ С 2V2NZ^t).(20а)
Тогда из интегральных соотношений для плотности и дисторсии с учетом оценок (5а) 1 и (20а) получаем неравенства
Zp^ ^ Z® + 4V2Nе 2 (i — т) 2 Zp(t) dr при р = 0, 4, о
которые самоподстановкой сводятся к неравенству Гронуолла и приводят к оценкам
ZqW Mp^TY Z4(t) Me,(20b)
где Мр = Zq(1 + I6V2/VTе-2)exp[167г^T£_|], Me = Mp\z^z»- Рассмотрим теперь систему для импульса
t
Um = j Gu°m dr, - j j GXk ^(pVkVm - Okm1) - гш'^ц^^к] dr dT. (20)
R30 /?з
Согласно формуле Мурнагана, условиям D и оценкам (20b) имеем оценки
|ш№Ут| ^ 2NMP, |<rfcm| ^ |E7v| + А/сЦ^сЦ. 12a?'vkVml ^ 2К,
из которых следует оценка
|ш(№Ут - <Tfcm) - 2ш'щут<71к\ ^ Мо,
где Мо зависит от входных данных задачи (17), (18) и параметров а, Т.
Теперь, как и выше, из системы (20) сведением к неравенству Гронуолла получаем оценку
sup |tim(^> ")| ^ Мт, т= 1,2,3,
где Мт зависит от Mq, р, ||/>0v°||oo.
Полагая М = тах{Мр, Мт, Мс}, получаем первую оценку в (19а).
Норма || • ||оо для решения задачи (17), (18) является естественной, и поэтому остальные оценки в (19а) вытекают из условий D и первой оценки в (19а). Оценки (19b), (19с) получаются так же, как в теореме 1.4.D
ТЕОРЕМА 3.4. Пусть выполнены условия D.
Тогда в полосе Пт любой высоты Т существует единственное классическое решение задачи (17), (18).
Доказательство вытекает автоматически из теорем 1.2 и 2.4.П
В заключение рассмотрим систему магнитной гидродинамики с искусственной «вязкостью» [48], которая соответствует системе (8)11 в изэнтропическом случае:
Pt 4" ^P^fc^Xk = ^PxkXk^
^Р + E)'Um')t 4" IpVmVfc 4" ^mk (p 4" 5 H-г— ЯтЯ^"] =
= m((^ 4- Е^Ут^ХкХк,(77t)t 4- (H^Uk HkVi)Xk бНХкХк.
Используя квазиградиентную форму (8)21 и применяя в ней срезку скорости вида Lk(q) = u)Lk(q\ r(q) = wr(q), приходим к модифицированной системе
Pt 4- ^pVk)Xk =ЕРхкхк.((р 4- £)vm)t + шрот + (ш5тк 4- 2u'vmVk) ^Pt 4- ^pVk)Xk =ЕРхкхк.((р 4- £)vm)t + шрот + (ш5тк 4- 2u'vmVk) ^к О7Гк О7Гшш" Р^Р 4" Е^Утп^ХкХк •Хк" Р^Р 4" Е^Утп^ХкХк •Хк(22)(22)(H^t 4" ^Ш^Н^к HkVi)]xk — ^{^i^XkXk-(H^t 4" ^Ш^Н^к HkVi)]xk — ^{^i^XkXk-
Pt 4- ^pVk)Xk =ЕРхкхк.
((р 4- £)vm)t + шрот + (ш5тк 4- 2u'vmVk) ^
Pt 4- ^pVk)Xk =ЕРхкхк.
((р 4- £)vm)t + шрот + (ш5тк 4- 2u'vmVk) ^
к О7Г
к О7Г
ш
ш
" Р^Р 4" Е^Утп^ХкХк •
Хк
" Р^Р 4" Е^Утп^ХкХк •
Хк
(22)
(22)
(H^t 4" ^Ш^Н^к HkVi)]xk — ^{^i^XkXk-
(H^t 4" ^Ш^Н^к HkVi)]xk — ^{^i^XkXk-
Дополним систему (22) начальными данными
(23)(23)(р, v, Я)|(=о = (р0^), t^Gr), Н0^)
(23)
(23)
и введем условия D;
функция р^ € С2(0, оо), р'(р) ^ О,
начальные функции (уже сглаженные) таковы, что (Лх) - Poo, v4x\ я°(^)) е Ьоо^пь^Лз), р°(х^ ^ т° > 0, div Н0^ = 0.
ТЕОРЕМА 3.4. Пусть выполнены условия D.
Тогда задача Коши (22), (23) в полосе Пг любой высоты Т имеет единственное классическое решение такое, что при каждом t 6 (0, Т]
(p(t, я) - р^, v(t, ж), H(t, х)) е Loo№) л ДДЯз), и можно указать такое число m > 0, что p(t, ж) ^ m > 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО этой теоремы проводится по той же схеме, что и теорем 1.4 и 2.4 этой главы.□
В заключение отметим, что аналогичный результат можно получить для системы уравнений Лундквиста (§ 1 главы 1).
Упражнения
Получить априорные оценки решения задачи (10), (11)3 при условиях (12)3, в которых исключено требование выпуклости и заменено на одно из следующих требований:
a) lira ■v^P^'u, Уоо) > 0, b) p"(v) > 0 при 0 < и < а, р"(^) < 0 при у > а. и—>0
С помощью обобщенной энтропии (12)21 получить в случае политропного газа интегральные априорные оценки решения задачи Коши для системы (5)11.
Найти обобщенную энтропию системы (10)31 и для случая политропного газа получить интегральные априорные оценки решения задачи Коши для системы (10)31.
Ввести искусственную вязкость в уравнение (ба) 11 и, сделав срезку скорости, получить априорные оценки решения задачи Коши для системы (6а)-(6с)11.
Рассмотреть одномерную систему (8)11 и получить априорные интегральные оценки решений соответствующей задачи Коши.
Глава 6
НОВЫЕ КЛАССЫ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ
Основные понятия и определения
В § 2 главы 2 слабое решение задачи Коши
п
J^u)'^ Ut + ^fk^Zk ^0, w|t=o = u0^,(1)
k=l
где и = (u1, .г^) e Rn, x = (xi, .xn) G Rn, t G R+, fk : Rn ~* Rn- к = 1, .... n, являются гладкими отображениями, u° G Lioc(Rn) определяется как функция из класса Af = {u|u(t, х), fkHt- =0) e^LU^i)’ k= 1, ...,n}, R++x = = R+ x R^, удовлетворяющая интегральному соотношению
(2)(2)ugt + 52 Mu)gxk dtdx + J u°(x)g(0, x) dx = 0, .*=*Rn'
(2)
(2)
где g = (g1, ..., gN) — произвольная гладкая финитная вектор-функция на Rn+i, a ugt, fk^)gxk - ^g — скалярные произведения.
Остановимся на расширении понятия обобщенного решения.
С этой целью рассмотрим векторное пространство Е линейных комбинаций
Fg, gx = 5 ' fk^^gxk + ^gi, u € Af(3)
fc=i
о о
с произвольными g, gi G C°°, где C°° — линейное пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций.
Определим операторы проектирования тг и тгд посредством соотношений
^(•f?. ?i) ~ Fg, gt, Tro^Fg, gx) = Fq, g.|t_0.
Пусть E+ = {Z} — алгебраически сопряженное пространство к Е, на котором зададим слабую топологию ст(Е+, Е) посредством системы полунорм
рр^ = sup{|Z(F)| : F G X}, где X пробегает все конечные множества в Е.
Таким образом, Е+ становится топологическим пространством. Это пространство локально выпуклое, отделимое, и каждое отображение
l-^UFY ZgE+, VFeE, непрерывно в топологии <т(Е+, Е), а любое слабо ограниченное множество Y G Е+, то есть удовлетворяющее требованиям
supPfW < оо, VF е Е,(4)
lev
относительно компактно в Е+ [49].
Последнее свойство слабо ограниченных множеств в Е+ (4) является ключевым для операций предельного перехода.
Определим вложение множества М в Е+ посредством формулы
VuG Af :u^Z„ gE+, MFV= j (Fou^dt®dx, (5)
где (Fou) — суперпозиция функций, dt^dx — прямое произведение лебеговых мер dt и dx на Д={1} и Rn = {х} соответственно.
Как показано в [8], вложение (5) мономорфно на классах эквива- лен-Гности функций из класса М.
Определим [Af] как замыкание образа вложения (5) множества М в (Е+, <т) и на [Af] индуцируем топологию <т(Е+, Е).
Аналогичным способом вложим множество начальных данных Af° = (u° | v?^ G Lioc(Rn)} в пространство E$ , являющееся алгебраически сопряженным к векторному пространству Eq ^ тго(Е). При этом считаем, что на Е^ введена топология o/Eg , Eq), задаваемая семейством полунорм {р^}, где р^ = |Zo(tto(F))|, 1° G Е^, F G Е. Соответствующее вложение множества М° в Е^" осуществляется отображением
Vu° G At0 : u° Z°o е E0+,Z00(7r0(F)) =Z j u°g|t=0 dx.
Оно также мономорфно на классах эквивалентности функций из М°, а замыкание образа вложения множества М° в Е^, снабженное индуцированной топологией, обозначим через [Af0].
Если функция является слабым решением задачи Коши (1), то равенство (2) можно записать в функциональном виде
k(7r(F)) + Zoo(7ro(F)) = O, VFgE.(6)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Элемент I G [Af] назовем функциональным решением задачи Коши (1) с начальной функцией и0 G т, если для каждого элемента F G Е справедливо равенство
Z(7r(F)) + Z°o(7ro(F))^O.(7)
Назовем классом однозначной разрешимости задачи (1) такое подмножество Us С [Af] с Е+, что каждой начальной функции и0 Е А1° соответствует только одно функциональное решение задачи (1), принадлежащее Us-
В дальнейшем вместо соотношений (1), (2), (6) рассматривается задача (7) относительно неизвестной I.
Будем говорить, что задан приближенный метод решения задачи (1), обозначаемый ЯЛ, если указан выбор параметрического семейства элементов в множестве М:
а иа Е М, а Е А,
где А — множество индексов.
Отметим, что можно дать более общее определение функционального решения задачи (1), заменив равенство (7) на равенство
Z(7r(F)) + /°(7ro(F)) = O,
где 1° Е [Л#°], при этом можно взять пробные функции из Сп. Выбор пространства пробных функций определяется характером задачи и приближенного метода.
Приближеннный метод ЯЛ назовем стандартным, если выбор обобщенной последовательности {иа}аед сделан на основе решения семейства уравнений
Ja^a^ = 0, а Е А,
заменяющих J^u) = 0 в (1), и область определения совокупности операторов {JQ}aeA содержит множество V с М, плотное в топологии ^toc^n+i) в множестве определения U(V С U С Af) оператора J из (1), при этом считается, что при каждом v Е V справедливо соотношение
lira Ja (у) — J(v)а
всюду на R*+x, где предел рассматривается на направленном множестве параметров метода ЯЛ из множества А.
В дальнейшем вместо термина «стандартный метод», там, где это не вызовет недоразумений, будем пользоваться термином «метод». Оператор Ja назовем модификацией оператора J.
Примерами такой модификации являются модифицированные системы механики сплошных сред, рассмотренные в § 4 главы 5.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Метод ЯЛ слабо аппроксимирует задачу (7), если можно указать заданную этим методом обобщенную последовательность приближений иа Е М, для которой значение невязки
5«(F) У \1М + Z°Q|t=>™ + КО - О^)^^))!. F Е Е
стремится к нулю при каждом F еЕ, на направленности параметров А.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Метод 9И сходится, если он определяет сходящуюся в пространстве [Af], <т(Е+, Е) обобщенную подпоследовательность {/UqJ, пределом которой является функциональное решение задачи (7).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Назовем метод 9И слабо устойчивым, если„
I Г1
sup uag dt ® dx < оо, g^Cx.(8)
ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. Свойства слабой аппроксимации и устойчивости назовем равномерными, если они выполняются сразу для всех начальных данных и0 е А1° на общей направленности параметров из А.
В силу теоремы Банаха-Штейнгауза [14, 37] условие (8) эквивалентно следующей равномерной оценке
sup |ua| dt ® dx < оо,(8a)
аЕАк
выполняющейся на каждом компакте К с 7?п+г
Выделим теперь один важный класс функциональных решений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1. Функциональное решение назовем регулярным, если оно является пределом счетной последовательности аппроксимаций, задаваемых методом ЗИ.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть метод ЭИ слабо аппроксимирует задачу (7) и является слабо устойчивым. Тогда он сходится к функциональному решению задачи (7).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требования слабой аппроксимации и устойчивости приводят к оценке
sup |/Uq(tt(F))| < оо, VF 6 Е. а^А
Это означает, что множество {ка}а€А относительно компактно в пространстве [Af], <т(Е+, Е), и, следовательно, имеется сходящаяся обобщенная подпоследовательность {^)} С {/«„}, предел которой I € [Af], Поскольку отображение
I /(F) € R, (УИ е Е)
непрерывно на [Af], <т(Е+, Е), то, переходя к пределу в выражении для невязки с учетом ее стремления к нулю, устанавливаем, что указанный предел / является функциональным решением задачи (7).П
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Если I — функциональное решение задачи (1) и для каждого F G Е справедливо равенство
1(F) = j Fp(dX ®dt^> dx),
RnxRxRh
где у — конечная на компактах борелева мера, то меру у назовем решением в среднем задачи (1) [50], при этом если мера допускает разложение
у = ^(t, x^dX) ®dt® dx,
где параметрическое семейство борелевых мер v^t, я) измеримо по (i, ж) и является вероятностным, то указанное семейство назовем мерозначным решением [51, 52].
ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Если регулярное функциональное решение сводится к мерозначному, то тогда справедлива формула
w — lim uq(£, х^ = й^> х) = j Xv^t x)(dXY (9) Rn
где ua(t, x) — последовательность приближенных решений, определяемых стандартным методом, а w — lim — слабый предел в Ьщс(Яп+1). Формула (9) показывает, что регулярное функциональное решение действительно является в этом случае функцией, представляющей собою математическое ожидание распределения щ^ $).
Отметим еще, что если ^(t, $) является ju(t, .^-мерой, то тогда мерозначное решение задачи (1) сводится к Соболевскому обобщенному решению u = u,(t, xY
Одним из центральных вопросов теории функциональных решений является вопрос об условиях, при которых функциональные решения бывают регулярными и сводятся, последовательно к решениям в среднем, мерозначным решениям и Соболевским обобщенным решениям.
На этом пути важные результаты с использованием теории компенсированной компактности получены Л. Тартаром, Р. Диперна в работах [51], [53] для случаев одного и двух одномерных законов сохранения с приложением к системе для одномерного изэнтропического течения газа.
Обобщенные решения в среднем
Пусть П — борелевское множество в пространстве Я/v+n+i переменных z =(и, t, xY гДе м € Rn, t 6 R\, x e Ru, и {Q, т} — топологическое пространство с топологией т, индуцированной естественной топологией в Ддг+п+]. Обозначим через ^(Q) борелевскую а-алгебру на Q, то есть наименьшую а-алгебру подмножеств в {Q, т}, включающую все открытые множества в {Q, т).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Регулярной борелевской мерой на {Я, т} называется неотрицательная функция у подмножеств в {П, т}, обладающая следующими свойствами-.
!) область ее определения суть S^Y
И) р — счетно аддитивна, то есть
ОООО
г—1г=1
если Et П Ej = 0 при г j, Hi) р — регулярна, то есть
р(Е) = sup р (F) = inf р (G),
FQEGDE
где множества F е ^(П) компактны в {Q, т}, a G — открыты в {Q, т}.
Обозначим через ^f+(Q) пространство регулярных, конечных на компактах в (П, т), борелевских мер, которые мы снабдим топологией *-слабой сходимости мер на компактах, то есть будем говорить, что последовательность pi сходится *-слабо к р, и обозначать это записью
Hi► Н при г —> оо,
если для любой непрерывной функции ip(z) с компактным носителем в Q и pt, р G ,-11+(П) выполнено предельное соотношение
lira ^pi, р) = (р, р),г—*оо
где (р, <р) = | <p^z)p(dz), z G П.
Отметим, что интеграл I = J <p(x)p(dz) определяется как предел к
I = lim p>i^p^dz\г—*оо J
К
где {y>»(z)} — последовательность простых борелевских функций на компакте К С {Q, т}, сходящаяся равномерно к борелевской функции р(г), каковой, в частности, является любая непрерывная функция.
Примером борелевской меры может служить мера Дирака, которая определяется соотношениями
t f Г 1 • Ц Е А,5а(А) - I 0 q^a
для каждого борелевского множества А с П.
Согласно определению 6.1, на классе решений в среднем задача (1)1 представляется уравнением
/ п \
Agt + 52A(A)gzt\ + (u0, g|t=o)=O,(1)
а на классе мерозиачиых решений — уравнением
г®, MXY)gxk } dtdx +г®, MXY)gxk } dtdx +Rm-iRm-ij u°(x)g(0, х) dx = О, Яп
г®, MXY)gxk } dtdx +
г®, MXY)gxk } dtdx +
Rm-i
Rm-i
причем, если вероятностная мера vt_ х является мерой Дирака на графике ограниченной измеримой функции u = u(t, х), то уравнение (1а) сводится к интегральному соотношению (2)1. Регулярность борелев- ских мер, определенных формулой ри = 5U ® dt ® dx для борелевских функций и является следствием теоремы Лузина [14] (С-свойство
борелевских функций).
ЗАМЕЧАНИЕ 1.2. Пространство мер ^Л+(П), введенное выше, является подпространством векторного пространства ^Й(П) мер Радона на локально компактном пространстве {П, т). Напомним [54], что последнее вводится как алгебраически сопряженное пространству оо
C(Q) = [J6^(0), где К пробегает все компактные подмножества к
о
в {Л, т), а Ск№ — банахово пространство непрерывных функций о
с компактным носителем в К. В свою очередь, пространству Ск(Л) соответствует сопряженное банахово пространство Лк(^У в котором мы далее будем работать при изучении мерозначных решений, исполь
зуя *-слабую сходимость мер.
Вопрос о предельном переходе в нелинейных суперпозициях может быть решен с помощью следующей теоремы.
ТЕОРЕМА 1.2. Пусть Ф : Л Ri — непрерывная неотрицательная функция такая, что для каждого натурального т можно указать компакт Кт С Л, на дополнении которого £1\Кт выполня
ется неравенствоется неравенствоФ(г) > Ст,Ф(г) > Ст,(2)(2)
ется неравенство
ется неравенство
Ф(г) > Ст,
Ф(г) > Ст,
(2)
(2)
(За)(За)(4)(4)
(За)
(За)
(4)
(4)
где Ст —> оо при т —* оо.
Пусть {м»}1° — последовательность из Л^1\ подчиненная условию
sup l^pi, Ф) < оо.(3)
l^iCoo
Тогда можно указать подпоследовательность (Мч}£1 и регулярную борелевскую меру р такие, что для каждой непрерывной функции f^zY удовлетворяющей условию
lim sup |/(г)|/Ф(г) = О, m~*°° zyi\Km
справедливо предельное равенство
Jim (mk, f) = (м- /)• k—*oo
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим замкнутое множество D =
= U кт С О и топологическое пространство {D, т}. Носитель
т=1
supp^j при каждом номере г — 1, 2, ... содержится в D. Пространство {/), т} по построению сепарабельно, а последовательность мер {^г}?°, рассмотренная на ^А + (£>), является слабо компактной в силу теоремы Прохорова Ю. В. [55], поскольку из (2) и (3) следуют оценки
sup^(D) < оо, рк(О\Кт) < С'1 sup(/Zj, /) при \/г.
Выберем из {w}£i слабо сходящуюся подпоследовательность щк на {£>, т}, и тогда для любой непрерывной на П функции / справедливо предельное соотношение
\imJpik,XKJW^ ХКтЛ,
где Хкт — характеристическая функция компакта Кт.
Если непрерывная функция f удовлетворяет условию (За), то оценка (3) обеспечивает ее суммируемость на П по каждой мере р^ и выполнение предельного соотношения
sup(Mi, (1 -XKm)|/|) ->0, т-»оо.
Теперь продолжим регулярную борелевскую меру р, являющуюся слабым пределом последовательности pt на борелевских множествах в ^D, т}, до регулярной борелевской меры из ^Л+(П) посредством соотношения
p(G) = p(GHD),
где G — произвольное множество из ^(П). Отметим, что при такой конструкции носитель меры сосредоточен на D, и справедлива оценка
(р, Ф) < ОО,
(5)(5)из которой следует суммируемость каждой непрерывной функции /, удовлетворяющей условиям леммы. Сочетание слабой сходимости рч к р на D с равномерными оценками (3), (5) приводит к (4).D
(5)
(5)
Остановимся здесь на примере применения вышеизложенной теории. Будем рассматривать А-систему (1)1 и соответствующую ей систему с «вязкостью» из § 1 главы 5, которая с учетом начальных данных в (1)1 может быть записана в форме
м". x§t + YhMgIk ) + £<д“, AAg) + (u°,g|t=o) = 0,(6)
где рассматриваемая мера является мерой на графике функции u(t, х, г), т. е.
(^“, ф(Х, t,x)) = j ф^1, х, e^dtdx, уф G Cq^Rn х П), p^(dX ®dt® dx) = Au(ti x, e^dX) ®dt® dx, Su(dX) — мера Днрака.
Мы воспользуемся тем, что для А-системы (1) с «вязкостью» доказана теорема существования и единственности 2.2.5.
ТЕОРЕМА 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.5, и, кроме того,
Иш |А|[Ф(А)]~* = 0, и°(х) G L^RnY(7)
А—*оо
Тогда задача (1)1 имеет решение в среднем.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу (7) и условия А имеет место включение Ф(и°) G Д1(ДП), и поэтому классическое решение задачи (1), (2)2.5 с «вязкостью» таково, что при каждом t G (О, Т] в слое Пт
u(t, •), uXk(t, •) G L^Rn).
Согласно § 3.2, на таком решении выполняется основное равенство
t
j Ф(и)<£г+с| j Qdtdx = j Ф(и?) dx = Noo,
Rn0 RnRn
где, в силу условия А, форма Q ^ 0, и поэтому справедлива оценка
№W ^ N»,
где 0т = OVt - Т), 9 — функция Хевисайда.
Применим лемму 1.1 к семейству мер р^ на П = Rn х К, К С R"^ х Rn (К — компакт). С помощью стандартного диагонального процесса, примененного к слабо сходящимся последовательностям мер р^. —» р при J —» оо и Ej —» 0 на последовательности Ищ = Rn X /Cm(U^m ~ Rt х Rn), можно выделить подпоследовательность мер pEj —» р, сохраняя прежнюю нумерацию, для которой, в силу (7) и оценки (6)25, справедливы предельные соотношения
(Мег Agt) -> (,р, Xgt), {pEj, fkWgxJ <Р- fkWgxkY
Предельный переход в соотношении (6) по выделенной последовательности с учетом последних соотношений показывает, что предельный образ ее — мера р удовлетворяет соотношению (1), то есть действительно является решением в среднем задачи Коши (!)!.□
Иногда удается от решений в среднем перейти к мерозначным решениям и даже к соболевским обобщенным решениям. Мы покажем, как эта процедура действует в отношении изэнтропической системы с невыпуклым уравнением состояния. Этому мы посвящаем следующие параграфы этой главы.
Слабая сходимость и параметризованные меры
При изучении слабого предельного перехода иЕ —> и при £ —» 0 в банаховом пространстве В возникает вопрос о выполнении предельного соотношения /(и£)/(и), где и G В, а / — заданный непрерывный
функционал на В, т. е. вопрос о слабой непрерывности /.
Напомним, что слабая сходимость иЕ —> и при £ —> О последовательности функций ^ие : х —► иЕ^х\ х G Дп} к функции и в Lp(Q), где 1 < р < оо, Q — ограниченная область в Rn, означает, что
j uE(x)g(x) di —> j u(x)g(x) dx При £ —» 0,(1)
где g — любая функция из Lq^, - + - = 1.
Для рефлексивных банаховых пространств, каковым является Ьр(П) при 1 < р < оо, справедливо общее утверждение [14], [37].
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3. Ограниченное множество рефлексивного банахова пространства В слабо компактно, причем если иЕ *-w> и при г —> 0, то ||и||в Иш ||ue||.
е—>0
В нерефлексивном банаховом пространстве Loo(H) можно ввести только *-слабую сходимость иЕ -*~™> и при £ —> 0, которая означает, что предельное соотношение (1) выполняется на любых пробных функциях из Li(Q), и справедливо утверждение [37].
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Ограниченный замкнутый шар пространства L^Q) компактен в смысле *-слабой сходимости.
Отметим, что из сходимости по норме следует слабая сходимость, но не наоборот. В случае гильбертова пространства имеем утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3. Пусть иЕ ^-» и, г -^ 0 в гильбертовом пространстве Н, и при этом
1Ш1|Ы|н = Мн-
Тогда иЕ> и по норме Н.
е—>0
На нетривиальность указанного выше вопроса о слабой непрерывности функционала указывает следующий простой пример.
ПРИМЕР 1.3. Возьмем иЕ(х^ = sin ^, /(и) = и2, П = (0,2тг).
Известно, что sin - *-ш-> 0 в Дю(0, 2тг) при £ —» 0. С другой стороны, (sin — "^ - / 0, и слабой непрерывности нет.
Таким образом, как показывает приведенный пример, для обеспечения слабой непрерывности функционала / в данном банаховом пространстве В необходимы дополнительные требования на последовательность {ие} и на функционал /. Однако есть и другой выход —
необходимо выйти в более широкое банахово пространство, в котором данный непрерывный функционал будет слабо непрерывен. Так для рассматриваемого примера естественно выйти в банахово пространство Лк№, упомянутое выше в замечании 1.2, и воспользоваться следующим результатом.
ТЕОРЕМА 1.3. Пусть последовательность {um}f° измеримых функций ит : О —> Rn такова, что почти все значения um(;r) € К, где К е Rn, £1 € Rn — ограниченные открытые множества, и пусть f : Rn —» R — непрерывная функция.
Тогда существует подпоследовательность {um}f° (обозначение сохраняется) и семейство вероятностных мер {u^J^gQ такие, что
supp vx с К(2а)
JW^l в L^Q),(2b)
где_ г
/= vxWf(X)dX.(2с)
Rn
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала мы заметим, что для любой измеримой функции и : П —> Rn имеет место равенство
(Мит(а;)(А), g(A, х)) = | g(um(x), х) dx, 4g € C(RN x Q),n
где дит(х)(А) = <5Um(x)(A) ® r(x), JU(A) - мера Дирака, a r(x) - мера Лебега, при этом поскольку'
о
KMu„(x)(A), g(A, х))| < mes(n)||g||c, Vg 6 C^n х Q),
то последовательность положительных мер {м«т(х)(А)} образует компактное множество в пространстве мер JI+(Rn х П). Отсюда следует, что существует подпоследовательность {Mum(x)(A)}m=i (сохраним для нее прежнее обозначение) такая, что
Цит(х)М -^д(А, х),
где мера р удовлетворяет свойствам:
supp/z С К х Q;
для любого борелевского множества Е С Rn х П,
О < р^Е) < mes(fl);
проекция меры projn р = dx;
существует семейство вероятностных мер {их} с носителем в К таких, что
р = | vxdx.
п
Проверка свойств а), Ь), с) не составляет труда, так как справедливы следующие утверждения:
1) для всех g таких, что g = 0 на К х П, имеем
(М. £> = lim (^«m- ?) = lim g^m^, x) dx = 0, m—юстп—юо J
Q
откуда следует свойство a), 2) для всех g ^ 0 имеем
</z, gr> = lim (pUm ,g) = lim g(um(x), x)dx > 0, m—*oom—*oo J
Q
отсюда следует свойство b), 3) если g(X, x) = у (ж), то тогда
<р^ dx,<р^ dx,(p,g) — 1™^(^ dx =
<р^ dx,
<р^ dx,
771—* ОО J
Q
и свойство с) выполнено.
Доказательство свойства d) существенно сложнее.
Сначала отметим, что поскольку всякая непрерывная функция g(A, ж), заданная на компакте в К х Q, может быть приближена равно- q
мерно в норме С полинономом вида ^ фт(,Х^'-Рд-т(х), то достаточно
Ш=1
проверить свойство d) для случая, когда g(X, х) = ф(Х)(р(хУ
Рассмотрим функционалы
^т- g) = (^Um, Ф</>} И (Ц, g) = <Ц, ф<р), о
где ф(Х) — фиксированная функция, а ^ 6 С^ — любая пробная функция.
В силу 3) и свойства d) функционалы
^М = (Mum, М и 1^ = (ц, ф^
являются линейными непрерывными неотрицательными функционала- о
ми на С(П), и по теореме Рисса-Маркова [54] они представляются в виде.
^(у) = ] Т(^ф(Ах), 1ф(<р) = J ^(х)^^),’
где a^(dx) = j ^(^(A^A) dXdx = ф{ит{х')) dx.
Rn
Докажем, что мера а^ на Q абсолютно непрерывна относительно лебеговой меры dx, то есть представляется в виде
a^^dx^ = </ф(а:) dx,(3)
где J^(x) — суммируемая по Лебегу функция на П.
Абсолютная непрерывность Стф относительно dx означает, что всякое множество А лебеговой меры нуль является таковым и по мере Оф. Пусть А с fl, mes А = 0, А^ = U В^, В^ — шар радиуса 2/i хел
с центром в точке х € А при малом h, Aih С П, и положим, что у (ж) = ph(x) d= j шд(х - у) dy,
' Azh
где ш^х) — «шапочка» (см. § 2.3).
Тогда для любого сколь угодно малого числа у > О найдется h > О такое, что
V^^h^ = |j 0(uTO(x))y>/l(x)tir| < max|0|mes(A2h) < У-
Переходя к пределу при m —» оо в этом неравенстве, получим
|^(fh)| = ||^к(®)^(<^:)| < Ч и Н <т^(^х)| < т/,яAh
то есть мера Оф абсолютно непрерывна относительно dx, и по теореме Радона-Никодима [14] справедливо представление (3).
Теперь будем считать ф(А) произвольным элементом из С(К), а точку х фиксируем в П\А, где А — множество меры нуль, на котором функция Jф(x) не определена. Тогда .равенством ■
Рх(Ф^ = Jф(x), Мф е С(К)
определяется линейный функционал на С(К).
Этот функционал ограничен.
Действительно, рассматривая последовательность
Г^фр) = j р(х)ф(ит(х)) dx,
находим, что
1т(фр) С них |ф| j <p(x)dx при <р(х) ^ О,
1т(ф<р) ^ max \ф\ j <^(2:) dx при tp^ ^ 0.
Но в силу предельного равенства
lim 1т(фр') = j <р(х)рх(ф) dx
и из приведенных выше неравенств в пределе при m —► оо получаем неравенства
j (р(ж){рх(^) — пщх |<6|} </ж О, р^х^О,
j р^х^рх^ф) + max |</>|} dx < 0, р(х) < О,
из которых вытекает оценка
Ы0)| < max|0|,
означающая ограниченность Рх^ФУ Кроме того, при ф = 1 имеем
lira Zm(<p) = j p(x)dx = j рх(1)<р(х) dx, V<p G C(Q),nn
и, следовательно, px(l) = 1-
Теперь к функционалу рх(ФУ как линейному, непрерывному и неотрицательному на С^К\ можно применить теорему Рисса-Маркова, согласно которой он представляется в виде
Рх(ф^ = j d>(A)i/x(dA),к
где ^(dA) — вероятностная мера, поскольку при ф(Х^ = 1 имеем
Рх^ = j VxW = Vx(KV 1,К
а при d>(A) > 0 имеем ^vx, ф') ^ 0, причем supppx G К. Таким образом, соотношения (2а), (2Ь) и (2с) установлений
СЛЕДСТВИЕ 1.3. Пусть ит и в Loo№.
Тогда для того, чтобы ит —> и при т —> оо по норме LP(Q) (р < оо), необходимо и достаточно, чтобы vx = 8щху то есть чтобы их была мерой Дирака на графике и^х\
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть их = 6^, то есть v^ -*~ш> 6^^ при m —» оо. Тогда, применяя теорему 1.3 для функции /(и) = и?, получаем из (2с) и свойства d) предельное равенство ыт ~^ w2 в ^-оо(П) и, следовательно, получаем
||um|h -> ||u||2.
Теперь в силу предложения 3.3 находим, что ит -> -и при m —» оо по норме Дг(^)- Далее, используя неравенство Коши-Буняковского,
ограниченность функций Мщ, и, получаем при сколь угодно больших р предельное соотношение
11
j |u — ит\р dx Q |u - ит|2^ 2 [j |u — um|2(p~') da^ 2 non
^ C||u — um||2 ^—> 0.
Достаточность. Пусть известно, что ит —> и по норме Li(fi), и / — гладкая финитная функция с носителем в К. Тогда справедливо предельное соотношение
f №) - /(Um)] ^ < СЦи - Um||L1(n) ► 0.
IJIт—*оо
Отсюда, в силу теоремы 1.3, имеем
г0
fWl = J и^ХШХЖ V/ е Сх^к
и, следовательно, согласно теории обобщенных функций [21] их = = ^и(ж)-П
Пространства Н^1ос)^)
При переходе от мерозначных решений к обычным важную роль играют некоторые пространства распределений (обобщенных функций) [21], [56]. Таковыми являются пространства распределений S>'(Q), $'(fl), y'(Rn'), элементами которых являются линейные непрерывные функционалы (и, уз), определенные на основных пространствах ®(П), S(fi), У^Нп^ соответственно.
о
Напомним, что 2>(П), ^(П) — это линейные пространства С00^), C°°(Q) функций р : О —> R, снабженные топологией равномерной сходимости на компактах в О С Rn по некоторому семейству полунорм, О — открытое, вообще говоря, неограниченное множество в R„.
Отметим, что если £(П) счетно-нормируемо и, следовательно, мет- ризуемо, то 2>(П) неметризуемо, причем 2>(П) и S(fi) полны. Введенное выше пространство ^Л(П) мер Радона включается в ®(П). При О = Rn приняты обозначения 9) , 8, а также 9)', $'.
Основное пространство У — это пространство функций р € С°°, убывающих при |х| —> оо вместе со своими производными быстрее любой степени |х|-1. Топология в У задается счетным семейством полунорм
Ир = supT(l +|х|2)2|£»“</3(х)|, р = о, 1
|а|$р
gl“l
D“ = 8ха,8х“2 ...Эх™" ’ 1а1 = «1+“2 +
Пространство У' называют пространством распределений медленного роста; в нем удается ввести преобразоваение Фурье F[u] по формуле
(F[u], у) = (u, F[y]), F[y] = jе-1^’ ^y(z) dx,
при этом обратное преобразование Фурье определяется формулой
F-I[u] = (27r)-nF[u(-x)])
где и(—х) — отражение u(xY
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Назовем пространством Hk (k € R, 1 ^ р < оо) множество таких распределений и G У, для которых норма задается выражением
Н^РМр,(1)
к
где Jku = F-1 [(1 + | • |2)2F[u]] G Lp, при этом введем также пространство Нруос^(Я) = (tz | и С® '(П), <ptz G Нк П ^'(П) при любых
Линейное пространство Нр является банаховым и при целых положительных к совпадает с Соболевским пространством Wp. При этом пространство Н^ обозначают через Нк. Имеют место следующие цепочки вложений [56]:
УсУс^, g'c^C®', Н^сНр, кх<к2,Ус Нк С Lp С Нрк С У при к > О,
где под вложением понимается включение вместе с топологией.
Кроме того, пространство распределений Н~к, - + - = 1, является сопряженным пространству Нк, при этом норму в Н-к можно ввести по формуле
||u||-fc = sup |(u, и)|, VvcHk, к > 0.(la)
IMIfc=i
Можно показать [56], что норма (1) при р = 2 совпадает с (1а).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Будем говорить, что пространство А компактно вложено в пространство В и обозначать А СС В, если пространство А включено в В вместе с топологией, и любое множество, ограниченное в топологии А, является предкомпактным в топологии В.
ТЕОРЕМА 1.4. Имеют место следующие соотношения;
HpW^CcHpW^' kl<k2’ 1<Р<°°-(2а)
.<(П) СС Я-^/П), keN^, \<q<n/n_k,(2b)
где N+ = (1, 2, ...} — множество натуральных чисел.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Соотношение (2а) установлено в [56]. Соотношение (2Ь) вытекает из (2а) и теоремы вложения Соболева- Кондрашова [2].D
Ряд важных свойств распределений из Нр, Нруос^Я) содержится в ниже следующих утверждениях.
ТЕОРЕМА 2.4. Пусть ит ^ 0 при т оо в Н, а > О
ТогдаТогдапри к G {1, 2, ...п) по норме Н~1, причем suppu^ € К, где К — компакт в Rn.
Тогда
Тогда
1^Ы(€)| < с.
где С не зависит от т, и имеют место предельные соотношения-.
«)«)> 0 поточечно в R^ и сильно в> 0 поточечно в R^ и сильно вН{1ОС),Н{1ОС),^kF^^\Л + KI2^kF^^\Л + KI2> 0 сильно в Н.> 0 сильно в Н.
«)
«)
> 0 поточечно в R^ и сильно в
> 0 поточечно в R^ и сильно в
Н{1ОС),
Н{1ОС),
^kF^^
\Л + KI2
^kF^^
\Л + KI2
> 0 сильно в Н.
> 0 сильно в Н.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно определению и условию теоремы,
^ЫЮ = j ит(х)е-1^'х) dx = (um, ег^- х^.
к
Исползуя неравенство Коши-Буняковского, получаем неравенство
l^[um](OI ^ llumh' mesK
Отсюда вытекает равномерная ограниченность левой части неравенства и поточечное (следовательно, и по норме Наос\) стремление ее к нулю V Г 1
при ш —» оо. Далее, с учетом формулы F (С) = бб^ЫК).
а также, согласно определению 1.4 и теоремы Планшереля [14], имеем
Н^Е' = i^'ic+KiTE^weoih =
II 112
= (27г)-?|(1+|£|2)Аг[цт^^
Поскольку левая часть этого равенства по условию теоремы стремится к нулю при ш —» оо, то этот же предел имеет его правая часть.П
ТЕОРЕМА 3.4. Пусть распределение и е Н^ Л Нр, р < т.
Тогда имеет место интерполяционное неравенство
м: ^ (iiuii*)“(iiuii^i-a,(з)
я 1ПЛ
где 1 < р < о < г, а = (I |I .
\qг/ \рг/
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно определению 1.4 и условию теоремы, функция U = Jku € Lp Л LT.
Поскольку q = — р + ——— г, — + ——^ = 1, то> примерт р тг
-(1 —а)
няя неравенство Гельдера, находим J" |[7|9 dx = J" |[7| р р|[7| г rdx^ ^ (11Ша<г(Ц£Л1г“а или Ш||д ^ (НГ/тИГ/Нг)1-0. Подставляя в последнее неравенство U = Jku, приходим к неравенству (3).П
ТЕОРЕМА 4.4. Пусть 1 <р < q < т < оо, 0 <к.
Тогда справедливо соотношение:
(комп. множ. Н"^^ П (огран. множ. Ну^^У) СС (комп. МНОЖ. Hq^^y.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть {ие} — семейство распределений, принадлежащее при £ € (0, eq) некоторому множеству в пересечении (комп. множ. Я^^П)) Г) (огран. множ. Нукос)(<дУ).
В определении 1.4, продолжая пробные функции у> на 7?п\П нулем, мы можем считать, что П = Rn. С учетом этой операции, в пространстве Н^ос) по условию теоремы можно выделить последовательность еп —» 0 при п —» оо такую, что уш£п —* фи.
К разности y>(u£n — и) применим интерполяционное неравенство (3) и получим
k(^„ -u)llg~fc < (11<^„ -«)||/)“(^^
Поскольку в правой части этого неравенства второй множитель ограничен по условию теоремы, а первый стремится к нулю при п —» оо, то фие —» фи В НТк при П —» ОО.□
СЛЕДСТВИЕ 1.4. Пусть П С Дп - открытое ограниченное множество, а {/£}, е € (0, eq) — семейство распределений, ограниченное в Ну1 (ЭД при г > 2, представленное в виде суммы fe — ge + h£, где {g£} принадлежит компактному множеству в Н~ЧЭД, a {Яе} принадлежит ограниченному множеству в ^Пупу
Тогда семейство {/£} принадлежит компактному множеству вН-Ч^У
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В сил^ соотношения (2а) семейство {Яе} компактно в Ну1 (ЭД ПРИ Р < ~—[ • Но тогда в силу условия на {g£} семейство {/£} компактно в Ну1 (ЭД при 1 <р< п , и для q = 2 применима теорема 4.4.П
Слабая непрерывность детерминанта
В теории компенсированной компактности [51] излагается вопрос о слабой непрерывности квадратических форм. Мы ограничимся изучением слабой непрерывности детерминанта Д£ = u*u^ — и^и^, составленного из компонент вектор-функции ие = (и*, и^, и^, и^), опре-
деленой в полуплоскости Я^ = R+ х R, R+ = {< | 0 < < < оо}, R = = {ж | —со < х < со}.
Сначала установим следующую лемму.
ЛЕММА 1.5. При любых а > О, 0 ^ У ^ 2тг и комплексных числах Zk = Xk + iyk, к — 1, 2, 3, 4, справедливо неравенство
|Re(ziz4 - z2z3)| ^
4
< а^212*|2 + 4^ (lZ| cos^ + 22 81пУ|2 + |z3 cos У + z4 81пУ|2).
k=i
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В правой части очевидного равенства
|Re(ziz4 - z2z3)| =|Re(ziz4 - z2z3)| =Ж1хзЖ1хзхгУ\ У2ХдУз У4хгУ\ У2ХдУз У4(1)(1)
|Re(ziz4 - z2z3)| =
|Re(ziz4 - z2z3)| =
Ж1
хз
Ж1
хз
хгУ\ У2
ХдУз У4
хгУ\ У2
ХдУз У4
(1)
(1)
первый и второй определители равны удвоенной площади треугольников, образованных векторами Xi = (ж1,ж2)т, Хз = (ж3, хд^Т и У) — = (Уь У^Т, Уз = (у3, у4)т соответственно.
Преобразование поворота на угол У, определяемое матрицей
_ ( созУ sin У \
-siny cosy ) ’
переводит векторы Xm, Ym, m = 1, 3 в векторы Х'т = 5(У)Хт, Y^ = S^Ym, при этом сохраняются абсолютные величины вышеупомянутых площадей.
X1 Хпхз Х4X1 Хпхз Х4£1 Ж2Хз ХД£1 Ж2Хз ХДy'l 3/9Уз У4y'l 3/9Уз У4У1 У2УЗ У4У1 У2УЗ У4(2)(2)
X1 Хп
хз Х4
X1 Хп
хз Х4
£1 Ж2
Хз ХД
£1 Ж2
Хз ХД
y'l 3/9
Уз У4
y'l 3/9
Уз У4
У1 У2
УЗ У4
У1 У2
УЗ У4
(2)
(2)
Далее для любого а > 0, используя неравенство ab ^ аа2 + (4а) *Ь2,
получаем
ж)^зж)^з5ж45ж4|xj|W| + ^|^| а((ж^)2 + ^)2) + ^аГ'М2 + (х'зП|xj|W| + ^|^| а((ж^)2 + ^)2) + ^аГ'М2 + (х'зП
ж)
^з
ж)
^з
5
ж4
5
ж4
|xj|W| + ^|^| а((ж^)2 + ^)2) + ^аГ'М2 + (х'зП
|xj|W| + ^|^| а((ж^)2 + ^)2) + ^аГ'М2 + (х'зП
Учитывая (2) и делая переход Х'т = 5(У)Хт в этом неравенстве, получаем
х\хзх\хзх2ХДх2ХД4
х\хз
х\хз
х2
ХД
х2
ХД
^ а^ х2к + (4a)-1(|xi совУ + ж2зтУ|2+ |жз cos У + ж4зтУ|2). fc=i
Аналогичное неравенство справедливо при замене Хк^ Ук-
Теперь оценка правой части равенства (1) с помощью последних неравенств приводит к искомому неравенству.П
Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1.5. Пусть £1 с Д^ — ограниченное открытое множество, а {и£}, е € (0, £о)- — семейство измеримых вектор-функций u£ : fl —» Дд, удовлетворяющих соотношениям
w — Um£uE = и в ->0[Я(П)]4,du£ 8ue9t 8x du£ . 8ue► € compactв Я'1 (fl)8t 8x ,w — Um£uE = и в ->0[Я(П)]4,du£ 8ue9t 8x du£ . 8ue► € compactв Я'1 (fl)8t 8x ,(За)(ЗЬ)(За)(ЗЬ)
w — Um
£
uE = и в ->0
[Я(П)]4,
du£ 8ue
9t 8x du£ . 8ue
► € compact
в Я'1 (fl)
8t 8x ,
w — Um
£
uE = и в ->0
[Я(П)]4,
du£ 8ue
9t 8x du£ . 8ue
► € compact
в Я'1 (fl)
8t 8x ,
(За)
(ЗЬ)
(За)
(ЗЬ)
Тогда существует последовательность {uCn}, еп —* 0, п —> ос, та
кая, чтокая, чтоU*n U2U4U*n U2U4WWиU3иU3U2U4U2U4в 0'(П).в 0'(П).(4)(4)
кая, что
кая, что
U*n U2
U4
U*n U2
U4
W
W
и
U3
и
U3
U2
U4
U2
U4
в 0'(П).
в 0'(П).
(4)
(4)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для удобства перейдем к семейству о
■шЕ = (u£ — и)у>, где р 6 С°°(Я), и продолжим его нулем на Дг\О.
Теперь наша задача может быть сформулирована в следующей виде: предположим, что последовательность {w£} такова, что
w — lim w£ = О в [Я]4,(4а)
с—>0
+ ~>0-+ ,0 В H~V’ <4Ь)
Ot дх £—>08t ОХ £_о
ТогдаТогдаlira (w'w4Й2lira (w'w4Й2— w£w£) dtdx = 0.— w£w£) dtdx = 0.где условия (За), (ЗЬ) перешли в (4а), (4Ь).
Тогда
Тогда
lira (w'w4
Й2
lira (w'w4
Й2
— w£w£) dtdx = 0.
— w£w£) dtdx = 0.
Обозначим через w£(£) = Я[ш£](^).
Согласно теореме 2.4 и условиям (4а) и (4Ь), имеем оценку |w£(£)| < < С, где С не зависит от е, а при е —> 0 имеем:
w£(O-0 в [Я(<ос)]4,(5а)
(i+ki2n(w^i+^в н (5Ь)
(1 + |^Г^№ + ™Ж4)-*0.‘
В силу равенства Парсеваля имеем
j (w^w4 — w^w^dtdx = j Re(w^w4 — w2w^) d^.
RiR2
частьчастьНаша цель — доказать, что в силу условий (5а), (5Ь) правая этого равенства при £ -+ 0 стремится к нулю.
часть
часть
Разобьем плоскость Кг = B(jCB, гдеВ = {£ | |£1 ^ О — единичный шар, а СВ — его дополнение, и из (5а) получим
I Re(w|w^ — w|w|) dN ^ I |w|w4 — w|w|| d£ ^ C | |wE(£)| d^>0.
JI JJe—>0
ВВВ
С другой стороны, в силу леммы 1.5 при любом а > 0 имеем неравенствоI г —— I г
Re(w*w4 — w|w|) d^ ^ a |u?E|2d£ +
свсв(6)
+ 4а J ^£1 + S^2*2 + ^3 + ^^4I2)^св
Так как согласно формуле Планшереля и по условиям теоремы (4а), (4Ь) справедлива оценка
j |u?£|2d^ = 2тг j |w£|2dtdx ^ Со, R^О
где Со не зависит от е, то для любого 5 > 0 найдется такое малое число а, что при аСо < к ^ первое слагаемое в правой части неравенства (6) будет меньше ^ 6. Теперь, считая выбор а сделанным, в силу (5Ь) при достаточно малом s можно сделать меньше ^ 6 второе слагаемое в правой части (6). Отсюда следует (4).П
Полагая в теореме 1.5 и1 = -и, и2 = и3 = 0, и4 = w, получаем
следующее утверждение.
СЛЕДСТВИЕ 1.5. Пусть £1 — ограниченное открытое множество, и выполняются следующие условия-.
и£ = (y£(t, х), w£(t, х)) -^ (у, го) в [7Т(П)]2,
^, -^- € компакту в Н~'(О.\
Тогда v£w£ ^ vw в 3 '(П).
На этом мы заканчиваем рассмотрение предварительных сведений, необходимых для изучения эволюционных задач механики сплошных сред. В следующем параграфе мы остановимся на наиболее простой системе газовой динамики с невыпуклым уравнением состояния, для которой удается доказать существование Соболевского решения.
§ 6. Изэнтропическая система газовой динамики
Рассмотрим задачу Коши для системы газовой динамики, описывающей одномерное баротропное течение газа в эйлеровых координатах
Pt + (ри^х = 0, (pv)t +(ри2+р(р))х =0,(1)
(2)(2)<P,v)|t=o = (р0^), v°(x))
(2)
(2)
и соответствующую ей систему с «искусственной вязкостью» Pt + (pv^z = Ерхх,
«Р + Р^УЛ- ((р+|р)и2+р(р))ж = £((p+p)v)XI,^
которая в переменных u = (и1, и2)т, и1 = р, и2 = (р + p)v имеет вид
Ut 4- J^a^x ■ £Uzzt(За)
/ = (/‘,/2)Т. /’ =u\ul 4-р)"‘и2,/2 = (и1 + ip) (и1 +р)"2(и2)2 +р(и'),где е и р — положительные малые параметры.
Полагая формально е = р = 0 в (За), получаем систему ut + /(u)x = О,,. ,
иУ = р, и2 = ри, /* — и2, /2 = (u2)2/u*+p(u*),
которая является иной записью системы (1), при этом начальные условия (2) принимают вид
u|t=o = wo(^)-(2а)
Далее будем считать выполненными следующие условия:
Р^ ё С^О, оо), р'(р) > 0,(4а)
р°(х^т°, (р°(х) - роо,-и°(х)) е ^(Hi) ПД1(Я1),(4Ь)
где, вообще говоря, р(р) — невыпуклая функция.
Далее мы будем рассматривать начальные условия (2)/, или (2а)ь со сглаженными начальными функциями р^х), v^xy
Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1.6. Пусть выполнены условия (4а) и (4Ь).
Тогда задача (3), (2)^ в полосе П~ любой высоты Т имеет единственное классическое решение (p(t, х), "v^t, х^У для которого выполняются соотношения
(p(t, х) - poo, v(t, х)) е Доо№) П Ьх^ЩУ(5а)
p(t, х) ^ m > О,(5Ь)
t
j $dx + f:j J Qdtdx= | Ф(р®, v®)dx ^ ^0o,(6)
7?iО Я|Hi
p.[pM -Poo]^,p.[pM -Poo]^,где
p.
[pM -Poo]^,
p.
[pM -Poo]^,
ф = Ф + pi V2, ф = P [i у2 + P(p, Poo)] , P(p. Poo) =
Рос
Q = ^£ + (р + м)^- NtQ = ^£ + (р + м)^- NtФ(р°(я;), ^(х) dx.HiФ(р°(я;), ^(х) dx.Hi(6а)(6а)
Q = ^£ + (р + м)^- Nt
Q = ^£ + (р + м)^- Nt
Ф(р°(я;), ^(х) dx.
Hi
Ф(р°(я;), ^(х) dx.
Hi
(6а)
(6а)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы, являющейся одномерным аналогом теоремы 1.4.5, опирается на следующую лемму.
ЛЕММА 1.6. Пусть выполнены условия (4а), (4Ь).
Тогда для каждого классического решения задачи (3), (2)^ (p(t, х), v(t, а:)) или и = u(t, ж) со значениями в R^, удовлетворяющего условию (5а) в полосе Пт, выполнены интегральные оценки
Mt, ■)-«0=111, H^Mlli ^с,(5с)
а также оценка (6), кроме того, имеют место оценки
sup|u(t, -)| ^ М, sup^(t, -)| < Mi, sup|uzz(t, -)| < М2,(5d)
RRR
а также оценка снизу (5Ь), при этом постоянные С, М, Mi, М2 зависят от данных задачи и параметров е, у, h, Т.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оценки (5с) при условии (5а) получаются так же, как в лемме 3.4.5, но без определения общей постоянной С. Отсюда следует, что для любой гладкой энтропийной пары (Ф(«), Ф(«)} с выпуклой энтропией Ф(и) (см. § 3.2 ) Фж(и) —> О, Ф(и) —> О при |т| —» оо и справедливо равенство (8)32, из которого, в частности, следует соотношение (6) для энтропии (6а).
Для получения оценок (5d) и (5Ь) необходимо следовать схеме доказательства лемм 1.4 и 2.4 главы 5, не используя срезку скорости. Это можно сделать следующим образом. •
Воспользуемся неравенствами
p|«l ^ ^(р+ 1)V^M> (Р + ^Р) v2, < М~5(р + м)М • Vp + /^I«I- (5е)
Обозначим через Zi =supp, приведем первое уравнение системы (3) R
с помощью функции Грина к интегральной форме и, используя первое неравенство (5е) и неравенство Коши-Буняковского, получим
t
p(t, xMZi+ ^^ j(Zi(r) + l)(t - т)"1 xо
(» - у)2 8e(t — т)(» - у)2 8e(t — т)VpM dydT ^ZM xVpM dydT ^ZM x
(» - у)2 8e(t — т)
(» - у)2 8e(t — т)
VpM dydT ^ZM x
VpM dydT ^ZM x
гзз 1 з 1
< 2ц + Со I (Zi(t) + l)(t - т) 4 dr, Со = 2 2тг 4е aN^. о
Отсюда легко получается для Z\(f) = supu^i, •) неравенство Гро- R
нуолла, из которого находим оценку p(t, х) сверху. Аналогичным образом, используя второе неравенство в (5е), получаем оценку Z^ = sup |u2(Z, -)|.
R
Таким образом, установлена первая оценка в (5d). Остальные оценки (5d), как и оценка (5Ь), получаются так же, как в леммах 1.4 и 2.4 главы 5. Утверждение теоремы 1.6 вытекает из леммы 1.6 и теоремы 1.2.5.D
Введем вспомогательные функции
р .
Н(р, ро, р) = [ J У \ ds, ^р,р^= (р + р^НрА-р)^-
Ро
а также потребуем, чтобы выполнялись условия Р:
Рь Н(р, ро, 0) —* оо при р —> оо, Н(р, ро, 0) —» —оо при р —» 0,
Р2. При 0 < р < ро и достаточно малом ро функция tp^p, р) > 0 при р > 0 и ф(р, р) < 0 при 0 < р < 0, где 0(р) > 0о > 0.
Условиям (5а) и Р удовлетворяет, например, невыпуклая функция вида '
р^ = ^CM(i -е^р-ро^ + ^е^р-До),
где 0h(j)) — сглаженная функция Хевисайда, а 0о > 0.
ТЕОРЕМА 2.6. Пусть выполнены условия (5а), (5Ь) и Р.
Тогда при достаточно малом ро в полосе ПТ любой высоты Т для решения задачи (3), (2)д справедливы оценки
(6Ь)(6Ь)0 < m p(t, х) М, |y(t, ж)| < М,
(6Ь)
(6Ь)
где т и М не зависят от е и р.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Инварианты Римана системы (1) w1 = = у — Н^р, 0, р), w2 = у + Н{р, 0, р), w = (w1, w2) удовлетворяют системе
ш* + (Ai - 2е(р + pVVxWx = ^^ + Еф^р + pVpX, /? х to2 + (А2 - 2е(р + p^-vpxVx = е^хх - е<Р(р)(Р + рУ2Рх-
где Хк = у + (-^Vpp'^/^P + Р) - ^ = L 2, и начальным данным
to|t=0 = wQ(x, /i),(7b)
где w§(x, /i) = y^(x) + (-l)kH(p^(x), 0\
Отметим, что в силу условий Р (пример 1.4.2) отображение w = w(p, у) является гладким гомеоморфизмом полуплоскости R^ на плоскость инвариантов Римана R^.
Если М8 = sup{wq(x, Л)} + h, Mt = inf{w„(x, /1)} — h — верхние x,k^.k
и нижние грани начальных данных в инвариантах (7Ь), то тогда согласно (5а) при достаточно больших JV и jcrj ^ JV и 0 ^ / ^ 7^ имеем
Mi < wk(t, х) < Ms, fc=l,2.(8а)
Рассмотрим теперь прямоугольник ПГ(Х) = {(t, х) : |х| < X, О < t ^ Г} и его подмножества: П^ = {(t, х) : p^t, х) > /3}, ПГ = {(t, х) : p^t, х) < /3} и Г = {(t, ж) : p(t, х) = /3}.
Введем непрерывные функции
wi = f w'(t.x), П^иг ^2 = Г w^t, х), П£иг[ w2(t, х), П£w^t, х), П=
Очевидно, что W1 (t, х) < W2(t, х) всюду на ПТ(Х). Получим теперь оценку сверху для W2(t, х) и оценку снизу для W'(t, х). С этой целью воспользуемся теоремой 3.2.5 (принцип максимума), согласно которой достаточно только установить, что функция W2(to* х) ПРИ каждом to € € (О, Т] в точке максимума xq € [—X, X] такова, что
W2(t0, х0) < 0.(8Ь)
Действительно, при (to, хо) € П^ U ПГ неравенство (8Ь) с учетом условия Р\ вытекает из системы (7а). Покажем, что если (t0, хо) € Г, то тогда
Px^to, х0) = 0, pxx(to, х0) = 0.(8с)
Предположим противное, пусть px(to, xq) > 0. Тогда W2(to, х) = = w2(to, х) при х ^ xq и ^2(t0, х) = wVto, х) при х < xq, а в точке х = хо, как точке максимума функции W2(to, х), должно выполняться неравенство
^(<о, х0) - wl(t0, х0) < 0.
С другой стороны, из самого определения инвариантов следует, что
^х^О, Х0) * Ulxlto- ж0) =Px(t0, Х0) > 0.
VPVO, Xo)(p(to, хо) + р)
Полученное противоречие означает, что наше допущение неверно. Точно так же рассматривается случай, когда рж^1о, xq) < 0. Таким образом, первое равенство в (8с) доказано. Аналогичные рассуждения для вторых производных с использованием равенства
21/_ 2Vp' I
■Шхх ^хх I (t0, Жо) - ^р^-^ Рхх I (to, Хо)
приводят ко второму равенству в (8с).
Из равенств (8с) вытекает, что в точке (to, хо) € Г выполнены соотношения
= w2 = ш^ = 0, W2X = w^ = гх^д. 0,
из которых и из системы (7а), в свою очередь, вытекает неравенство (8Ь).
Теперь из принципа максимума с учетом (8а) и (8Ь) получаем оценку IV2(<, ж) < Ms, которая выполняется всюду в прямоугольнике ПТ(Х). Аналогично устанавливается оценка IV1 (Л х) ^ Mi.
В результате имеем справедливую всюду в полосе Пт оценку
M^W^t, x^W^t, х) ^ Ma.(9а)
Непосредственно из (9а) следует оценка
Mt < ^t, т) = 1 (W2(t, х) - W1 (t, х)) < М„ (9Ь)
При достаточно малом до в силу условия Pi существуют такие положительные постоянные mo, Mq, что
2Я(то, 0, р) = Mt- Ms, 2H(Mq, 0, р) = М8 - Mi, а из оценки (9а) вытекает оценка
Mi — Мs < u?(t, ж) — w1 (t, ж) < Ms — Mi.
Отсюда находим, что
Н(т0, 0, р) ^ H(p(t, х), 0, р) < Н(М0, 0, р),
и, следовательно, при достаточно малом ро имеем оценку
О < то(р) < p(t, х) < Мо(р) <оо, 0 < р < ро- (9с)
Полагая m = min то(р), М = max{Afs, — Mi, тахЛТо(д)}, мы [о, Мо][о, Мо]
сводим оценки (9Ь) и (9с) к оценке (6Ь) .□
СЛЕДСТВИЕ 1.6. Пусть выполняются условия (4а), (4Ь) и Р.
Тогда имеют место оценки производных решения задачи (За),
(2а):„
1Ы|2 ^(6С)
где С не зависит от е и р.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из выражения для Q в (6а) в переменных и вытекает, что
Q^Q^(«' + jtz)p'(u') ,2x2(«' + jtz)p'(u') ,2x2
Q^
Q^
(«' + jtz)p'(u') ,2x2
(«' + jtz)p'(u') ,2x2
Отсюда с учетом (6) и (6Ь) получаем (6с).□
ЗАМЕЧАНИЕ 1.6. Для случая политропного газа, когда р(р^ =
— ~"Р",< утверждение теоремы 2.6 остаются в силе за исключением 7
одного: т в неравенстве (6Ь) зависит от р и е.
Остановимся теперь на изучении энтропийных пар системы (3), используя методы работ [52], [55].
Из общего уравнения (12)32 с учетом (1а) получаем уравнение для энтропии
Фи1и| + 2(и* + //)~‘и2Фи1иг +
+ ((u2)2(u‘ +м)-2 - (и1 Ч^Хи1)-1?'^')^^ = О, которое в исходных переменных имеет вид:
$w> = (р(р +аО)~'р'(рЖ^(10а)
а в инвариантах Римана может быть записано в виде системы
^■шк = ХкФуЛ,(ЮЬ)
где Afc = v + (-l)fcа/рАрЖр^Д. к = X 2.
Если искать решение системы (10b) в виде формальных разложений по степеням о-3 при больших значениях |<т| в виде [52]:
то после подстановки (11) в (10b) при одинаковых степенях о 3 получим равенства
Но = AfcV0,
Hj+\ + HjWk = Ak(V)+i + VjWk\ j = 0, 1, ...,Hjyjrn = A^m^V)yjm, 771 ^ fc, J — 0, 1 , - - ■ ,из которых вытекают уравнения для определения коэффициентов ря-дов (11)
^ад-Х^ф + ^Уо-О.(11а)
+(1,Ь)
H^-XtVo.,=0.1(11с)
OW
Обыкновенные дифференциальные уравнения (Па), (11b) последовательно решаются с начальными данными
V| m =v9(wfc)(lid)
и тем самым в плоскости инвариантов Римана Я™ — w(^2 ) определяются все коэффициенты рядов (11).
Если потребовать, чтобы ^(ш”) > 0, то получим
Vo = ^(w^expf> °’(12а)
\ Ow А(т) —)
wom
6 В.А. Тупчиев
и из (Пс) при j = 1 вытекает равенство
sign(Hi - AfeVi) = sign(12b)
Частичные суммы Фп = eCTU,k 52 Vj^w^a'i, Фп = ест™к 52 Hj(w)o-V j=oj=o
в разложениях (11) удовлетворяют системе (10b) с некоторой невязкой, а именно
ЭФП _ х , \ЭФп _ Э^п _ х („дЭФп
9wk XW^9wk Шп. дщт
где шп = а~п(Нп+1 - X^Vn+i)eCTtok, и, следовательно, уклонения С = = Ф — Ф„, т/ = Ф — Фп удовлетворяют системе
7?wk A(fc)(w)£w* — U)n, Лыт A(m)£wm = 0, которая при дополнительных условиях
Л — Х(к')С\и>к=и>к — 0, Т] — Afm^lium—^xn = 0, приводится к интегральной форме wkwkwm
Л - XkQ = - [£ dw^ + [ wn dw^, 7/ - AmC = - [<dw™.
J owJJ
w*wj^O1
Для определенности будем рассматривать эту систему в прямоугольнике
По = {w | wq wk Wq + a, w™ ^ wm ^ Wq1 + 6} С R™ при <т > 0.
Исключая из нее неизвестную т/, получаем интегральное уравнение
2^> у) = J А(1’ у)2^- у) ^ + jв^« Т^х, т) Ат + Fn^x, у),(13)
оо
z = (Xm- Х^е-^Ч. А = (Хк- хтГ'^-е-°^-1\ OW
X
B = (Xm-XkV^-, Рп = е-О1^1, о
X = Wk—WQ, y = Wm-WQl.
В прямоугольнике По все известные функции в уравнении (13) ограничены:
|Л(ж, 01. |B(t У)| ^ м, \Нп+1(х, у) - Хк(х, y)vn+i(x, у)| ^ Сп+1,l^nl ^ ш(х, ст),
где ш(х, а) = Сп+1|<т|~<п+1\
ОО
Отсюда следует, что общий член ряда Неймана z = 52 (Л + B^Fn 9=0 имеет оценку
|(А + B^F^ ^ Wli +<№,
и, следовательно, этот ряд равномерно и абсолютно сходится в прямоугольнике По к единственному решению уравнения (13), которое имеет оценку
|г(ж, у)| Сш(ж, <т), С = ехр2М(а + 6).(13а)
Дифференцируя дважды (13) по х, у, получаем оценки
Ы ^Ca-n+1, ^Ху^Са~п, Izyy^Ca-"-1. (13b)
Приведенные результаты позволяют сформулировать теорему.
ТЕОРЕМА 3.6. Пусть выполняются условия (4а) и Р.
Тогда на любом компакте в плоскости инвариантов система (ЮЬ) имеет решение вида (11), где коэффициенты определяются из (На), (11b) с учетом (12а), (12b), а остаток, согласно (13а), (13b), имеет оценку,
Ы С Са-(п+1\
где С не зависит от а, при этом
\rnwi‘Wk\Ca~n+l, \rnwkwm\^Ca~n, |rntomtom| < Са-^. (14b)
В дальнейшем понадобятся энтропийные пары:
(15а)(15а)Ф±ст = е^™' (Vo + Via"1 + О(<7-‘)),Ф±ст = е^™' (А^о + Нха-Х + О(<7-')),
(15а)
(15а)
где V) > 0, а — большой параметр, при этом с учетом (14b) и (6Ь)
Э2Ф±адикдитЭ2Ф±адикдит^Со2,^Со2,(15с)(15с)
Э2Ф±адикдит
Э2Ф±адикдит
^Со2,
^Со2,
(15с)
(15с)
где С не зависит от а, а к, т = 1, 2.
Аналогичный вид имеет пара (15b), соответствующая инварианту и?.
На решении задачи (За), (2а) энтропийные пары (15а) и (15b) удовлетворяют равенствам
5Ф±а . ЭФ^а -^Ф^а л z-j Э Ф±<г г j z < z? \
+=Q±- = №S?™X'(16а)
ЛЕММА 2. 6. Пусть выполнены условия (4а), (4Ь) и Р.
Тогда при любом а на решении задачи (За), (2а) справедливы соотношения
9Ф^и^ + Э^К') 6 компакту в Н~'^),(16b)
где П — ограниченное открытое множество в R^, а = (е, р).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем равенство (16а) на решении u = иа(£, х) задачи (За), (2а) в виде
'fa(t, ^ = gaV-. х) + /lQ(t, х),
где
OtOX
^а(^, x) =£^±<r(^a)t
и проверим выполнение условий следствия 1.4.
Сначала установим, что семейство /a(t, х) равномерно ограничено относительно параметра а в Н~*(П) при Vp > 2. Действительно, для любой финитной функции у? е Hg^Y 1 < 9 < 2, - + - = 1, имеем соотношение9
(/a, ^ = ~ j V^aTt + Ф^кг^) dt dx,
и, следовательно, справедливо неравенство |(/а,^(||ф±Л4Ч1Ф±ХШ^
где в силу оценок (6b) С не зависит от а.
Отсюда с учетом определения нормы (1а)4 получаем оценку l/alp'^C при Vp > 2, где С не зависит от а.
Таким образом, равномерная ограниченность семейства fa(t, х) относительно параметра а при Vp > 2 установлена.
Теперь покажем, что g«(t, х) принадлежит компактному множеству в Н"1^). С этой целью с учетом оценок (6Ь) и (6с) получаем
где С не зависит от а.
Далее, применяя последнюю оценку, согласно (1а)4, получаем llgall^' = SUp |(ga, р)| =
MS=i
= е sup I $±ax<pxdtdx ^ £||Ф±<гг||2 < CVe,ll^=‘n1
где С не зависит от a.
Таким образом, справедливо предельное соотношение
Осталось убедиться в том, что /iQ(t, я) принадлежит ограниченному множеству в ^Й(П). С этой целью с учетом (6b) и (6с) получаем оценку |Ла| < е j |Ф±сти'иЗ ^хu3x\dtdx < С. я
Отсюда следует, что для любой непрерывной функции р, финитной в П, справедлива оценка
|j/iQy?cittfa| ^ С|у|оо,
где С не зависит от а. Эта оценка означает, что семейство /iQ(<, ж) принадлежит ограниченному множеству в ^Й(П).
Таким образом, в силу следствия 1.4 утверждение леммы верно.П ЛЕММА 3.6. Пусть выполнены условия (4а), (4Ь) и Р.
Тогда задача Коши (1а), (2а) имеет в полосе Пт любой высоты Т мерозначное решение, то есть существует такая вероятностная мера vt, х, что выполнено тождество
j №, X, X^pt + (щ, x, f(X))px}dtdx + j ио(ж)у?(О, x)dx = 0, (17a) R*R
где {uttX, A) = J Xvt, xidX), (щ.х, /(A)) = J f(X)vt, x^dX), К — ком- кк
пакт в полуплоскости R^, определяемый оценками (6Ь), при этом существует такая последовательность ап —» 0 при п —> оо, что
w- lim ua„(t, х) = (vt.x, A), w- lira /(««„(<, ж)) = ^vt, х,7(Х)). п—*ооп—*оо
(17b) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим интегральное соотношение
j ^upt + f(u)px^ dtdx + j ио/Дж^О, x) dx 4- e upIX dt dx = 0, (17) R?RR*
которое эквивалентно задаче (За), (2а) со сглаженными начальными данными на классическом решении этой задачи. Переход к пределу в (17) при h —» 0 дает обычное обобщенное (гладкое при t > 0) решение.
Далее можно сделать предельный переход при а —> 0, точнее, в силу оценок (6Ь) и теоремы 1.3 существует такая последовательность ап —> —> 0, п —> оо, что имеет место (17а) и (17Ь).О
ЗАМЕЧАНИЕ 2.6. Отметим, что можно перейти сначала к пределу в (17) также при у —» 0. Обобщенное решение, полученное таким образом, является также гладким при t > 0 и удовлетворяет оценкам (6а) и (6Ь).
Лемма 3.6 верна также для случая политропного газа.
Мера vt, х, вообще говоря, сосредоточена на некотором компакте в R^, границы которого определяются оценками (6Ь). В силу отделения
этого компакта от нуля, в плоскости инвариантов его образом является также компакт.
Пусть П = {w | wL ^ wl < w^., г=1,2} — наименьший прямоугольник, содержащий носитель меры vt, х при (#, х) е Пт. Важную роль играет следующая лемма, установленная в работе [52].
ЛЕММА 4.6. Пусть выполнены условия (4а), (4Ь) и Р, а также, условие
rk(u)VA(fe)(u) ^ 0, k = 1, 2 на supppt, х, (18а) где Тк(и\ A(k)(u) — собственные векторы и значения матрицы
Тогда мера vt х является мерой Дирака, то есть прямоугольник П стягивается в точку w^t, ж) = w_ = w+.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Пусть мера vt> х сосредоточена в прямоугольнике П = {w | wL ^ w® С wl+, г = 1,2}, причем wL < Шц..
Докажем, что тогда каждая вертикальная сторона прямоугольника П содержит точку, в которой
=0,
и нарушается условие (18а), поскольку
(18b)(18с)(18b)(18с)■ дХ^ _ l~V)kp (( х_ *.0)
(18b)
(18с)
(18b)
(18с)
С этой целью введем меры
где Фст определено (15а), а р £ С(П), при этом мы опускаем для простоты нижние символы у Vt, z-
Поскольку функции Ф±(Гет,т№ = Vo + О ( - ) положительны на П \ О /
при достаточно больших а > oq, то меры )ij-a являются так же, как и MepaptiX, вероятностными и сосредоточенными на П.
Теперь можно выделить *-слабо сходящиеся в .Д(П) последовательности.
M<zn »Ц, Р-ап>М .(18d)
где <тп -+ оо при п —> оо.
Оказывается, что предельные меры рЛ, р~ сосредоточены на сторонах HQ {ги1 = w^}, nn{w* =wL} соответственно.
Действительно, умножим числитель и знаменатель в формуле (18с) при знаке плюс на ае-<Т№* и рассмотрим интегралы
J = (р, ое~аи'+Фст') = j ае-0^™*-™ W^w, <r)z/(c!w),
п
Jo = kv,ae "^Ф^у?) = j <те "I™*' ™ ^V^iju, gYp^^v^^ п
где и — вероятностная мера с носителем в П, a V(w, <т) = Vo + + 0(<т~1) > О при а > <т0, w € П.
Если suppy? С П5 = {w | wL ^ w* < w^, — 5, wi < w2 < w^., 6 > 0}, тогда...
| Jo| ^ max |y?| I ае-'7(ш+~’ш ^V(w, <7)i/(dw) ——> 0.
n5
Пользуясь асимптотикой по методу Лапласа [69], имеем
J = Vo(w^, w2)(w+ х [wL w^]) + O(a-1Y
где w2 e [wl, w^.], и, следовательно, справедливо предельное соотношение
Jo/J> 0.
(7—* ОО
Однако если sappy? П {w1 = w^} ^ 0, то справедлива оценка
|J0|/J ^ тах|у?|.
Из последних двух соотношений вытекает, что вероятностная мера рЛ сосредоточена на стороне w1 = w^ прямоугольника П. Аналогичные выводы справедливы для меры р-.
Обозначим через А± = (р^, Ai) и докажем, что для любой энтропийной пары {Ф, Ф}, удовлетворяющей условию (16b), выполняется равенство
^, Ф — А±Ф) = (/z^ Ф — А,Ф).(19а)
Действительно, для такой пары и пары {Фст, Фст}, согласно теореме 1.5, имеет место коммутационное соотношение
Оа ФСТФ - ФСТФ) = (р, Фст)(^, Ф) - (z/, Фст)(р, Ф).(19b)
После деления на (р, Фст) и вытекающей из (15а) подстановки
-ФСТ^(А1+О(<т-1))ФСТ
в (19b) переходим в полученном равенстве к пределу при ап> 0,
п—*оо
выделяя подпоследовательность (18d), сходящуюся к р^.
В результате получаем равенство
(М+, Ф - А,Ф> = (v, Ф) - (v, Ф)(м+, А,) = (1/, Ф - Af Ф).
Аналогично справедливость (19а) устанавливается для знака минус. Теперь докажем, что справедливо равенство
Af = А^.(19с)
С этой целью рассмотрим коммутационное соотношение (19b) для пар {Ф-Ст, Ф-а}, {Фст, Ф„} и, разделив его на (р, Фст)(^, Ф_ст), получим
(^ Ф^Ф-д-Ф^Ф») = (1/, Ф-р) _ <1/, Ф,),
(|/, Ф,)(|/, Ф-„)(1/,Ф-а) kv^aY'
Выделим последовательность <тп —> оо при п —> оо, для которой справедливы предельные соотношения (18d)
В силу представления (15а) имеем Ф^Ф-а = 0(1) и, следовательно, Ф^Ф—<? - Ф_СТФ<7 = ООт"1^-, = О^-1).(19е)
Чтобы получить оценку снизу знаменателя в левой части (19d), отметим следующие две оценки.
Во-первых, в силу (12а) справедлива оценка снизу
Vo + O^-') > Со > 0 в П при а > сто и достаточно больших <tq.
Во-вторых, по нашему предположению от противного, мера v сосредоточена на П, как на наименьшем прямоугольнике, при wL < w\, и поэтому существует достаточно малое 5 > О такое, что верна оценка 'j v^ >
П5
Теперь, используя эти оценки, получаем.
(v, Ф^ ^ eCTW'+ j e-^K-^'l^o + O^-1)^) > ICoe^K-5). п5
Аналогично получаем оценку
(и, Ф_ст)>1сое-^+5).
Используя равенство (19е) и установленные выше оценки снизу, получаем оценку
К^, Ф<гФ—<г — Ф—<гФ<г)| < С —g(w^ —w1 —2<5) (Р, Ф^)^, Ф-„)<7'
Поскольку всегда можно выбрать 6 ^ ^ (ш+ — wL), то в силу последней оценки левая часть равенства (19d) стремится к нулю при <т —> оо.
Выделяя последовательность <7П —> оо при п —> оо, для которой справедливы предельные соотношения (18d), и переходя к пределу в равенстве (19d) по этой последовательности, получаем равенство (19с).
(20а)(20а)Теперь из равенств (19а) и (19с) вытекает равенство (М+,Ф-А1Ф) = (М',Ф-А1Ф)
(20а)
(20а)
для любой пары {Ф, Ф}, удовлетворяющей условию (16b).
Вновь используя представления (15а) и первое равенство в (11с), получим выражения
^, Ф - А1Ф) = о-хеа™^ ^, Нх - A, Vi + 0(<7-*)).(20b)
Из равенств (20а) и (20b) вытекает равенство (m±,h1-a1v1) = o,
из которого с учетом второго равенства в (11с) при j = 0 следует, что
(20с) \ ow !
Теперь, поскольку ^± — вероятностные меры, а То > 0, то из (20с) вытекает равенство
= 0, =tн,= 0, =tн,dAj dw*
= 0, =tн,
= 0, =tн,
которое противоречит условию (18а) и, следовательно, wL = «+■ Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что wl = w^.D СЛЕДСТВИЕ 2.6. Пусть выполнены условия леммы 4.6, исключая условие выпуклости (18а), которое нарушается на некоторой монотонной кривой w2 — g^w1) в прямоугольнике П — наименьшем содержащем носитель меры v. Тогда мера и также является мерой Дирака.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разобьем прямоугольник П на прямоугольники, выделяя прямоугольник По, в котором кривая w2 = g(w‘) соединяет противоположные вершины Р и Q. В любом из прямоугольников, исключая По, можно применить лемму 3.6, поэтому остается убедиться в том, что он также стягивается в точку и мера v является мерой Дирака.
Итак, рассмотрим По и меры рЛ и рГ, которые являются мерами Дирака, сосредоточенными в точках Р и Q, поскольку иначе соотношения (20с), как и аналогичные им для A2(w), не могли бы выполняться ЗА,ЭА2
с учетом сохранения знака величин —г и —- на вертикальных durOw2
и горизонтальных сторонах прямоугольника Ио соответственно. Теперь, используя равенство (20а), получаем соотношение
Ф(Р) - АДР)Ф(Р) = Ф(9) - АД^Ф^).
Аналогичным образом приходим к соотношению
Ф(Р) - А2(Р)Ф(Р) = ф«?) - А2(О)Ф(<9),
и путем вычитания его из предыдущего соотношения приходим к равенству
(АДР) - Ai (Р))Ф(Р) = (A2(Q) - A] (QWQY (20d)
Поскольку равенству (20d) удовлетворяет всякая линейная энтропия вида Ф = 52 о^и1 + 0' т0 после подстановки ее в (20d) получаем равенство 1 __
^2 Wp - Bu^at + (А - В)0 = О, г
где А = Аг(ир) - АДир), В = A2(uq) - X\^uqY -пр, uq — координаты точек Р и Q в переменных и.
Последнее равенство должно выполняться для любых линейных энтропий и, следовательно, при любых at, 0, а это возможно только при выполнении равенств А = В и -up = uq. Это означает, что Р = Q, и прямоугольник По стягивается в точку, а мера и является мерой Дирака.П
ЗАМЕЧАНИЕ 3.6. Если в условиях Р ip(p, 0) = 0 при р = 0 > > 0, то это означает, что в прямоугольнике По на диагонали w1 = ш2 нарушаются условия (18а) при к = 1,2.
Теперь мы можем доказать следующую теорему, установленную в работе [57].
ТЕОРЕМА 3.6. Пусть выполнены условия (4а), (4Ь) и Р.
Тогда в полосе Пт любой высоты Т существует соболевское решение задачи (1), (2), а именно такая пара {p(t, ж), v(t, ж)} измеримых функций, удовлетворяющих оценкам (6Ь) и интегральному соотношению
J {iupt + /(u)y>z} dt dx + J uo(x)ip(O, x) dx = 0, (20e) R* R
где и1 = p, и2 = pv, f1 = u2, f2 = (u2)2/u* + p(u*), <p € C^R^.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала из леммы 4.6 мы делаем заключение о существовании мерозначного решения, удовлетворяющего соотношению (17а). Затем из леммы 4.6 и следствия 2.6 мы делаем вывод, что мера vt,x является мерой Дирака для каждой точки (t, ж) 6 Пт. В заключение осталось применить следствие 1.3, из которого вытекает утверждение теоремы.П
ЗАМЕЧАНИЕ 4.6. Функция
р^р, 0) = ((а + 7)?'1 - 0“р-“)а-х0^1 - е^р - 0^ + ^'р^^р - 0), где 7 > 1, а > 1, У/Др) — сглаженная функция Хевисайда, удовлетворяет условиям Р. При 0 < р < 0 + hp(p) соответствует некоторому фиктивному газу, а при 0 + h < р — политропному газу.
Для изучения вопроса о существовании Соболевского решения задачи (1), (2) для политропного газа необходимо сделать предельный переход при Д —> 0 в интегральном соотношении (20е), где р = р(р, 0\ На изучении этого сложного вопроса мы здесь не будем останавливаться. Отметим, что для политропного газа при некоторых значениях 7 первый результат о глобальном существовании Соболевского решения
задачи (1), (2) был получен в работе [53]. Мы не останвливаем- ся также на дальнейших исследованиях методами компенсированной компактности этого случая другими авторами, так как наша область исследований связана с невыпуклыми системами.
Упражнения
Убедиться в том, что классическое решение задачи Коши
tin , def f 1, U ^ 0
=| +1, м<0 - «(О) = «о(21а)
существует лишь до значения to, при котором u(to) = 0, то есть до точки разрыва f(u).
С помощью разностного метода Эйлера показать, что тривиальное решение задачи (21а) при uq = О является регулярным функциональным решением.
Найти мерозначные функции, являющиеся пределом следующих последовательностей в пространстве вероятностных мер:
ч ,,, sinimZ ,ч ,,, _at sin -rent a) UnW = г6)= е
(sin Trnt](sin Trnt]
построить их функцию распределения.
Пусть и(х) периодическая функция периода Т, а «„(ж) = и(пхУ Показать, что
т
ип(х) а = ^ jи(ж) dx,о
< (х)8 а\
в частности, для и(х) = sin х имеем а = 0, 0 = ^.
Доказать, что если (и£, и£)» (и, и) слабо в Н(П), П С R^, причем
Е—*0
||и£||оо, KU < С, j^|u£a:|^ du, j U |и£у|с!у] dx<C\, где П компакт, а С и С\ не зависят от е, то тогда
и£и£> ш) слабо в Н^\£—*0
Показать, что для системы (3)6 для политропного газа можно получить равномерную оценку относительно параметров е, р, h только для плотности сверху.
Убедиться в том, что функция
р
ф = ^ ^4 + 5 РР(Р. Ро)у2 + j (р - сг)<7-1 ,Р(<т, pqV^ da (21b)
Ло
является энтропией системы (1)6.
Доказать, что в переменных и : и1 = р, и2 = ри для случая политропного газа энтропия (21b) — выпуклая функция.
Доказать, что энтропии систем (1а) и (За) находятся из уравнений (10а) и (10) соответственно.
Найти аналог энтропии (21b) для системы (1а)6.
Показать, что энтропии уравнения (10) можно искать в виде полиномаN
^ = ^gn^XiP^?nt(21с)
п—0
рассмотреть случай политропного газа. Найти условия выпуклости.
Глава 7
ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕКОТОРЫХЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИСПЛОШНЫХ СРЕД БЕЗ ДИССИПАЦИИ
Глобальная разрешимость пространственныхзадач
Рассмотренные в главе 5 модифицированные задачи газовой динамики, нелинейной упругости, магнитной гидродинамики следует рассматривать как модификацию оператора, о которой говорилось в понятии стандартного метода ЯЛ в § 1 главы 6.
Нашей целью будет доказательство теорем о глобальной разрешимости исходных задач Коши в классе регулярных функциональных решений [46-48, 59-62].
Сначала рассмотрим систему, описывающую пространственное изэнтропическое течение газа
ut + fkMIk=0(1)
с начальными данными„
u|t=o = u°(x),(2)
где u* = р, uj+l = puj, fj^ = ик, У^"1"1 = uk"^"x ui^ (их + SkjP^Y к, j = = 1, 2, 3.
При этом наряду с условием Pf.
р(р) 6 С2(0, ос), р'(р) > О,
Ц\х) - р„о, ^(х)) € Ш) П Ь^3), р°(х) ^т°>0,
будем рассматривать следующее условие Рч;
функция р(р) такова, что при достаточно больших постоянных R и ро при р > ро > Роо справедливо неравенство
р(р) ^ RpP(p, Роо),
р
где Р(р, poo) = f [р(а) - Роо]-у-
Роо
Отметим, что это неравенство выпоняется, если р = р"1 при 7 > О, и не выполняется, если р = ер. Очевидно, что р(р) может быть невыпуклой функцией и удовлетворять условию Р^, если при этом потребовать не более степенного роста ее на бесконечнсти. Нашей целью является доказательство нижеследующей теоремы.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть выполняются условия Р\ и Р^.
Тогда задача Коши (1), (2) в полосе IV любой высоты Т имеет функциональное решение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Задаче Коши (1), (2) соответствует модифицированная задача (5), (6)45. Семейство функций
w(i, х, а) = (p(t, х, а), p(t, х. а)^, х, а)} = u(t, х, а) — ep(t, х, а),
(2a) составленное из решений задачи (5), (6)45 и = u(t, х, а), будет рассматриваться как приближенное решение задачи (1), (2). В этом случае в качестве стандартного метода ЭЛ выступает метод вязкости.
Согласно теореме 1.1 главы 6, для сходимости метода достаточно убедиться в справедливости следующих условий А.
Ai) невязка 5а = { {w(t, х, a^gt + fk(w(t, х, a))gXk}dxdt +
+ f и°(х^(0, x) dx стремится к нулю при а —> О,
Аг) имеет место равномерная оценка
j |w(t, х, а) | dx dt ^ С, к
где К — компакт в Д^ , а постоянная С не зависит от а.
Если условия А выполнены, то тогда, согласно теореме 1.1.6, из семейства функций w^t, х, а) выделяется обобщенная последовательность, сходящаяся к функциональному решению задачи (1), (2).
В силу теоремы 1.4.5 для энтропийной пары модифицированной задачи с учетом равенства (8)32 получаем соотношение
j Ф</х + е| f Qdtdx^Noo= j Ф(р°(х), u°(x) dx, (3) Rs0 r3Rs
где Ф = Ф + |еи2, Ф = pQv2+ P(po. Poo)), Q = p-'p'A, + (p + + e)(^)2 •
Справедливость оценки условия Аг вытекает из соотношения (3). Действительно, поскольку р(р) возрастает, то существует такая постоянная ро > рос, что Р(ро, Роо) > 0, и тогда из (3) следует оценка
[ рфс^броХ^(За)
Jr \P0i Роо)
Пх
Далее, так как р|у| ^ ^ (р + ри2), то справедлива оценка
р№^4РоХ3 + Соо(1 + 5Р(ро,Роо)), (ЗЬ) Их
и условие А2 выполнено.
Теперь остается установить указанное в условии А] свойство невязки 6Q. С этой целью запишем выражение для невязки в следующей форме
5а = | [и°(х) - u°h^g(O, х) dx - е | ш^хкХк dxdt + Язд+
+ Е2 J Vig^dxdt-e J Vigt^ ckcdt-V j \fkk^Vf№\gkdxdt' Rtr+Rt
J =1,2, 3, 4, i, fc=l,2, 3.
Оценка первого члена в этом выражении вытекает из выражения для и^(х) и известных свойств операции сглаживания и имеет порядок o(/i) + 0(e).
Оценка второго члена следует из оценок (За), (ЗЬ) и имеет порядок 0(e). Оценки третьего и четвертого членов имеют порядки 0(е2) и 0(е2) соответственно и вытекают из оценки
| v\t, х, a^dx ^ 2СооЕ-1,(4)
Я3
содержащейся в (3).
Положим 5а = 6^ + 5«\ где
С1 = j \№) - /№№,& x)dxdt,(4а)
Rt
причем w и и связаны соотношением (2а).
Согласно установленному выше, для любого сколь угодно малого числа т/ > 0 существуют достаточно малые величины Дне такие, что
l^l < 5^
Считая теперь величины h и е фиксированными, получим оценку 5„\
3
Полагая, что suppg^C х) с В^ и sup 52 1&г*1 ^ С, получаем сле- В£ к=Л дующее выражение
|^|^с|| (1 ~ш)[рМ +pv2 +p(p^dxdt+ | |о/|и2р(р)</2;<й}.
вхвт
Из (4) вытекает оценка
т
y2(t, х, a) dx dt ^ | CoqT, о л3
согласно которой и в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега [37], для любого сколь угодно малого ст > 0 можно указать достаточно большое число N такое, что при N > N на множестве
^N = {(А я) : v2(i, х, ап) > N,(t, х) G Bj}(4b)
справедливы неравенства
j v2(t, х, an)dxdt ^CT.mesflN ^ ст.
Непосредственно из неравенства (3) и свойства Р^ следует оценка
j р(р) dt dx ^ (8р(р0)Х3 + RC^T.(5)
Втх
В силу оценок (3), (ЗЬ), (5) получаем, что при N —► ос
j p|v| dt dx —» 0,j ри1 dt dx —► 0,р(р) dt dx —> 0.
OnOn(In
С другой стороны, с учетом свойств срезки (4)45 имеем оценку
I^I^C j [p|v| + pv2 + (Д + I'lp^dtdx,
где С и К не зависят от N, и, следовательно, |512^| ^ ^г/ при N > N. Таким образом, |Ja| < г/ при малых а и свойство Ai выполняется. Введем условие Р^:
функция р(р) такова, что при некоторых величинах 7^1, m > 0 и достаточно больших ро выполняется неравенство
m ^ P^P^PY
где р ^ ро > роо-
ТЕОРЕМА 2.1. Пусть функция р(р) удовлетворяет условиям Рх-Рз
Тогда задача Коши (1), (2) в полосе любой ширины имеет регулярное функциональное решение, которое представимо функцией из LURtY
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как известно [37], для того чтобы существовала последовательность \w^t, х, ап)}, слабо сходящаяся в L)OC(R+) при ап —> 0 и п —> ос к функциональному решению задачи
(1), (2), которое является функцией из Ь^ДЯ^), необходимо получить усиленную оценку вида
j \ги(1, х, a^dtdx ^ С при р>1,(6а)
к
либо оценку вида
| Vwtt, х, ct)|[ln(l + |w(t, х, а)|)]9 dtdx < С при q > 0,(6b)
к
где С не зависит от параметра а, К — компакт в R^.
Покажем, что указанные оценки вытекают из условий Р.
Действительно, при 7 > 1 в силу условия Р2 имеем
Р7 m^^ ^PPWooY
где р > ро > рос, и, следовательно, справедлива оценка
p^dx^ ^Соо + гХ3^.(7а)
Пх
С другой стороны, используя неравенство Юнга, получаем неравенство(рМ)р ^^7 + трМ2),
где р => 1, из которого вытекает оценка
j (pl^JP dz < _L_ (^ с„ + 2Х’й) + ^ с„.(7Ь)
Их
Таким образом, при 7 > 1 общая оценка (6а) есть прямое следствие оценок (7а) и (7Ь), где К = В^.
Рассмотрим теперь случай 7=1.
В этом случае Р(р, р^ = In — + —— 1, и легко получить нера- Роо Рао венства
pinр[1 + Р(р, Роо)],
рМ Ml + -^-|w|)]2 ^ 5Plnfl + ^-) + ^р(3|у|2 + 1),
из которых вытекает общая оценка (6Ь).
Таким образом, если при 7 > 1 семейство функций (w(t, х, си)} ограничено в пространстве Ц^Н^) при некотором р > 1, то при 7 = 1 оно ограничено в пространстве Орлича Ьм^К^ с нормой J M(w) dtdx, к
где функция M(w) = |w|[ln(l + k|w|)]9 при k > 0, q > 0 является N- функцией, удовлетворяющей условию Дг из [58].
В силу известной теоремы из [37] эти семейства слабо компактны в пространствах L^^R^) при некотором р > 1 и Ьм(К) соответственно, и, следовательно, из них можно выделить слабо сходящиеся последовательности в указанных пространствах, пределом которых является функциональное решение задачи (1), (2), представляющее собою функцию из Ц^Н^) и Ьм(Х) соответственно.□
Переходим теперь к доказательству глобальной разрешимости задачи Коши для системы нелинейной упругости в изэнтропическом случае.
Рассмотрим систему
■u-t-V fk^Ik =0(8)
с начальными данными
u|t=o = ^(xY(9)
где и1 = р, ит+} = pvm, uij = pCjj, fk^ = ufc+1, /™+1 = -—" ~ ^mk^Y f^ = -i- (uM - U^Y
Наряду с условием Di ( D из § 4.5 ) введем следующие условия D3 и В3:
D3) при достаточно больших постоянных R и (3 на множестве {(V, С) : P(V, С) ^ 0^ выполнены неравенства
il^vll + р||С|| ИСГ^П ^ RpP(V, С), P(V, С) ^ г1 lie - С^2,
a P(V, С) = U(V, CVU^ - U^V - V^ - U^C - Coo), U°° = = c(y°°, c°°y
B3) функция U(V, С) представляется в виде
v
U(V, С) = - p(O<K + W(V,CY p(P) = -P"7, 7^1. ITV^O.
Vo
ТЕОРЕМА 3.1. Пусть выполнены условия D\ и D^.
Тогда задача Коши (8), (9) в полосе любой высоты имеет функциональное решение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Схема доказательства такая же, как в теореме 1.1. Сначала отметим, что в силу теоремы 2.4.5 и равенства (8)32 имеет место соотношение
(8a)(8a)j Ф dx + Е j j Qdxdx Mqo, Ra0 Ra
(8a)
(8a)
Ф = ф + j у2, ф = p^J - U°°-U^(V - V°°) - U^: (C - C°°) + ^ и2 Q = (p + Ф2 4- p(,UvvV^ + Ucc •- C^Y ^ = Vmxkymzk, V^ = VIk VXk,
Усс : С2 = UCijckm ^1к (скт)Хк, Moo = j Ф(р°, v°, С°) dx.
Яз
Теперь справедливость условия Аг вытекает из соотношения (8а) и условия Д2 Действительно, пусть Пх — куб с центром в начале координат в Яз со стороной величины 2Х.
Рассмотрим множества
П‘+ = {х : P(V(t, ж), C^t, х) /?}, fit = ПХ\П‘+.
В силу строгой выпуклости функции U^V, С) функция P(V, (7) имеет единственный минимум в точке (И». СосУ и множество Л^ при каждом t G [О, Т] ограничено и может быть включено в куб Пх при достаточно большом X.
Непосредственно из (8а) вытекает оценка
j pdx ^ 0-1 j pPdx ^ р-'Моо.
С другой стороны, справедлива оценка
| pdx ^ %рмХ3,
где рм = тах(р : Р(У, С) = 0Y
Складывая эти оценки, получаем оценку
| pdx ^ 8рмХ3 + 0'Чу.' (9а)
Пх'
С учетом неравенства р|и| ^ ^ (р + ри2) находим, что
j pH&t^pM^^l+m-1]^(9b)
Пх
Непосредственно из условия Д2 следует оценка
j р||С - Cooll2dx ^ 0 j pPdx ^ 0МХ.
С другой стороны, имеем
j рЦСЦ2^ ^ SCmPmX3,
где См = max(||C|| : P(V, С) > 0Y
В результате получаем оценку
j рЦС^^^Мс(9с)
Пх
где Мс = ВСмрмХ3 +2(/3 + /3-1||Coo||)Afoo не зависит от а.
Таким образом, условие Аг выполнено.
При оценке невязки в условии А] необходимо учесть неравенство 2р|ц| ||С|| (^5 М)2 +(^НСН)2,
с помощью которого и, используя условия D\, Оз, получаем оценку потоковых членов невязки (4а) следующего вида
|^2)| ^ М | {2рМ + pv2 + (К + 1)[||1М + рЦЕ/сЦ ||С||] + р||С||2}dtdx,
где область On определена формулой (4Ь).
В силу оценок (9а), (9Ь), (9с) при достаточно больших N > N справедливо неравенство |5а^| ^ 2 ^ Таким образом, для сколь угодно малого ту > О невязка |5Q| ^ т/ при достаточно малых а, и условие Ai выполнено.П
ТЕОРЕМА 4.1. Пусть выполнены условия Dj -D3.
Тогда функциональное решение задачи (8) (9) является функцией из пространства L[OC(R^) при р = ^7[ > * и Функцией из некоторого сепарабельного пространства Орлича, включенного в Lj0C(R^), если 7=1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как и в теореме 2.1, устанавливаются неравенства вида (6а) в случае 7 > 1 и (6Ь) в случае 7=1, при этом с помощью оценки (9с) устанавливаются оценки типа (7Ь) и (7с) с заменой |ц| на ||С|| . В остальном доказательство такое же, как
в теореме 2.1.П
Рассмотрим теперь задачу Коши, описывающую изэнтропи
ческое течение квазинейтральной плазмы с бесконечной проводимостью и при отсутствии диссипативных механизмов. Эта задача может быть записана в стандартной форме (1), (2), если принять, что u1 = р, um+l = pvm, ut+4 = Hi, f^ ~ ufc+l, f™^ = Um+XUM /uX + <?mfc[p(tz) + u’+^+VtSTr)] — (47r)-1tzOT+1ufc+1, /‘+4 = u’+4ufe+1 — иг+1г?+1, i, m = 1, 2, 3.
Модифицированная задача (22), (23) с диссипацией, соответствующая вышеуказанной, была рассмотрена нами в главе 5.
Справедливы следующие теоремы.
ТЕОРЕМА 5.1. Пусть выполнены условия Н\ и Р^.
Тогда задача (1), (2) для магнитной гидродинамики в полосе Пт
любой высоты Т > 0 имеет функциональное решение.
ТЕОРЕМА 6.1. Пусть выполнены условия Hi, Р^, Р^.
Тогда функциональное решение задачи (1), (2) для магнитной гидродинамики является функцией из Ц^К^ при р — - ^7 ^ > 1 и функцией из некоторого сепарабельного пространства Орлича, включенного в Lloc(R^).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО этих теорем проводится по той же схеме, что и теорем 3.1 и 4.1.D В работе [62] получено обобщение этого результата на систему Лундквиста § 1.1, то есть на локальноадиабатический случай.
Глобальная разрешимость одномерных задач
Одномерные эволюционные задачи механики сплошных сред без диссипации в отличие от многомерных имеют форму законов сохранения как в эйлеровых, так и в лагранжевых координатах. При этом в лагранжевых координатах потоковые члены зависят от скорости линейно. Это обстятельство позволяет доказывать разрешимость этих задач в полной форме, то есть с учетом закона сохранения энергии. С другой стороны, в областях вакуума решения становятся неограниченными, и в этом случае адекватным классом обобщенных решений является класс сингулярных функциональных решений.
Начиная наше изучение с задачи Коши для политропного газа, мы продолжим его рассмотрением сплошной среды с общим уравнением состояния. Затем мы остановимся на задачах для плазмы. В заключение приведем пример сингулярного функционального решения.
Задачи, изучаемые нами [59-61], представляются в стандартной форме
ut + /(u^ = g^,Оо)
u|t=o = 4° (ж),(2)
где u = (u1, ..., i?) 6 Rn, f,g;Rn—*Rn — гладкие отображения, u°(x) — произвольная ограниченная функция, х 6 R\, t Е R^.
Рассмотрим систему газовой динамики в лагранжевых координатах
Kt - vz = О,
Vt+Px=0,(1)
Et + (vp)z = 0.
16
где V, и, р = Rp6, Е = w + - v2, w = ^ су(а) do, р = V-1, 9 — удельный 2о
объем, скорость, давление, полная энергия, внутренняя энергия, плотность, температура соответственно, R — газовая постоянная, су^ — удельная теплоемкость газа, при этом и = (V, и, Еу, f = (—и, р, ирУ, g = 0, п = 3, а начальная функция u°(x) = (V°(x), v°(x), 9°(^хУ в (2) удовлетворяет следующим условиям:
(За)
V°(a:) > ту > 0, #°(:r) > т^ > 0.(ЗЬ)
При таких входных данных и начальных условиях, а также при условии, что су^ = dy = const, задача (1), (2) является задачей газовой динамики для идеального и политропного газа.
Следует отметить, что в работе [42] было доказано глобальное существование слабого решения задачи (1), (2) газовой динамики при условии, что начальная функция и0(х) близка к постоянной и имеет достаточно малую вариацию.
Наша цель — доказать глобальное существование функционального решения задачи (I), (2) при условиях (За), (ЗЬ) без указанных ограничений на начальные данные.
Как и выше, используем для этого метод «вязкости». С этой целью введем в правые части системы (1) «искусственную вязкость» и получим систему
Vt vx = eVxx,
Vt+Px =€VXX,(4)
Et + (yp)z = £Eiz,
которую дополним условиями
Vx = 0, v = 0, 6Х = 0 при х = ±L,.
u|t=0 = U0^, /l),' '
где и°(х, /i) = u^(x, L), и°(х, L) = ^у^ + L — h) — \(x — L + /i)](u°(a;) — — Hoc) + Woo. w°(x, h) = J шь^х — y)u°(y, h) dy — сглаженная функция (см. § 2.3), y(^ — функция Хевисайда, Uqo = (Р^, 0, £«>), Еоо = u>oo =
= J cy(a)dff.
о
Кроме того, положим, что выполнено условие Е: функция су(6) такова, что су(6) е С2(0, ос), c’v(6) < 0, причем
су^>с°у0-' при 0^6^20,
I Cyv zp и,
где 0 — параметр, принимающий достаточно большие значения, а и е
Задача (4), (5), удовлетворяющая условиям Е и (3), является вспомогательной задачей для исходной задачи газовой динамики (1), (2). Это модифицированная задача, в которой будет осуществляться предельный переход по параметру а = (h, е, L-x, 0~х) при его стремлении к нулю. Но сначала необходимо доказать существование решения вспомогательной задачи (4), (5).
ТЕОРЕМА 1.2. Пусть выполнены условие Е и условия (3).
Тогда в прямоугольнике П£ = {(f, ж) : 0 < t < Г, — L < х < 1Д существует единственное классическое решение задачи (4), (5), при
этом можно указать такие положительные числа ту и те, что справедливы оценки снизу
V(t,x)^mv, 9(t,x)^me.(6)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы, как и в § 1, основано на получении априорных оценок и продолжении локального решения. С этой целью мы установим ряд лемм.
ЛЕММА 1.2. При достаточно больших X при L> X справедливы неравенства
G°(x, y,t — т) < Z^x — y,t — т),
G(x, у, t-т) CqZ*(x — у, t — т),\G°^x, у, 1-т)\^ C0[£(t - r)]-‘Z*(x - уЛ - т),|Gy(x, y,t - r)| < [e(t - t)]"^*^, y,t - t),
где G°(x, y,t — t), G^x, y,t — t) — функции Грина первой и второй краевой задачи на отрезке [—L, L] для уравнения теплопроводности zt = e&z, a Z^x — y,t — т) — фундаментальное решение его, причем Z*, G* = Z, G|£^2e- Здесь н-» означает операцию замены, а Со — постоянная, не зависящая от е, L.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение леммы в существенно более общем случае установлено в книге [43]. Оно может быть проведено непосредственно, используя известные формулы для функций Грина [9].
ЛЕММА 2.2. Системе (5) соответствует энтропийная пара
Ф = 1ц2+ЯР(Р)+Г(У),Ф = ц^-Я),(8а)
е
где Р(И) = V/Voo - 1 - ln(P/Poo), rW = j су(а)(Д - 9oo/<T)da, при боо
этом для всякого классического решения задачи (5), (6) справедливо соотношение
lt LL
j Фйх + е| j Qdrdx= j Ф(и°(ж, h)) dx < ^oo, (8) -L0-L—L
L
где Q = (R/V2)V^ + (1/0)ц2 + (cv(9)/92)92, ^ = J <Hu°(x)dx.
-L
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко убедиться в том, что для энтропийной пары (8а) справедливо соотношение (6)32, интегрируя которое по прямоугольнику П£, получаем равенство в соотношениях (8), а используя неравенство Йенсена, приходим к неравенству в (8).П
ЛЕММА 3.2. Пусть выполнены условия Е и условия (3).
Тогда в прямоугольнике П£ справедливы априорные оценки
V(t, х, a) < V,(9а)
V\t, х, а) > ту, 0(t, х, q) ^ my,(9Ь)
где V = V0 + 2С0 ^N^TM - тв = т°9 (mQv/V^'1, 7 = Я/4 + 1, ту = т^(т^)'>'-| /V(20)i-1 exp[-l/(2/3)I,(7 - l)i/].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оценка (9а) получается так же, как оценка (13)35 с учетом оценок (7). Для получения оценок (9Ь) рассмотрим энтропию
S = -Л1п(У/У) - J [cv(<7)/<t] da, е которая удовлетворят краевой задаче
St=eSIX+eQ, Sx\x=±L=0, S\t=0 = S°(x, h).
В силу теоремы 3.2.5 (принцип максимума) справедливо неравенство —S(t, х) < max [—S°(x, /1)], которое с учетом известных свойств сглаживания можно записать в развернутом виде
Л1п(У/У) + j [cy(a)/a]da < R1n(V/my) + j \cy^a)/a\da.9т»
Отсюда уже несложно получить (9b).D
Получение остальных априорных оценок проводится с использованием приемов из [7]. Мы здесь ограничимся формулировкой результатов.
ЛЕММА 4.2. Пусть выполнены условия Е и (3).
Тогда в прямоугольнике П£ справедливы оценки
|v(t, х, ct)| < v, E(t, х, а) < Е, где v и Е потоянные, определяемые данными задачи (4), (5). ЗАМЕЧАНИЕ 1.2. Априорные оценки производных решения задачи (4)(5) в П£ устанавливаются с помощью оценок функций Грина (7) из интегральных соотношений
ux(t, х, а) =
lt L
= j G(x, у, t)u®(y, h) dy - j j Gx(x, y, t - т)/у(и(т, у, a)) dxdy. -L0 -L
Так как в силу установленных априорных оценок решения выполняется оценка
||Л(и(^, х, а)|| С,
то для Z(t) = ството для Z(t) = ствоsup |иг(4, ж)| получаем из этого соотношения иеравен- [-L. L]
то для Z(t) = ство
то для Z(t) = ство
из которого, в свою очередь, следует, что
Z^t) < М,
где постоянная М зависит только от данных задачи (4)(5).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1.2. Схема доказательства теоремы такая же, как теоремы 1.2.5. Локальная теорема существования и единственности классического решения задачи (4), (5) аналогична теореме 1.1.5, причем получение всех оценок совпадает, поскольку в (7) функции Грина задачи (4), (5) мажорируются теми же выражениями, что и в лемме 1.1.5.D
Переходим теперь к главному результату этого параграфа — теореме о существовании глобального функционального решения задачи (1), (2).
ТЕОРЕМА 2.2. Пусть выполняются условия (3) и су^в) = Су = = const.
Тогда в полосе Пт любой высоты Т > 0 существует функциональное решение задачи газовой динамики (1), (2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В качестве приближенного решения задачи газовой динамики (1), (2) возьмем семейство классических решений и = u(t, х, а) задачи (4), (5), продолженное константой Ноо на Пг\п£.
Для того чтобы доказать теорему, достаточно проверить выполнение условий А:■
Ai) невязка
6а = J {u(t, х, a)gt(t, х) + /(u(t, х, a))gx(t, ж)} dt dx +
+ J ^(1)^(0, x)dx,
R
где g = (g1, g2, g3) — дважды гладкие финитные функции, стремится к нулю при а —> О,
Аг) имеет место равномерная оценка
j |u(t, х, а)| dt dx ^ С, к
где К — компакт в Я^, а константа С не зависит от а.
Справедливость оценки в Аг вытекает непосредственно из соотношения (8). Остается установить указанное в А] свойство невязки 6а. Выберем X, Т и К такими, что
suppg^, х) С К С П^,
и запишем невязку 5а в виде
5^ = j g(0, x)[u°(x) — и°(х, h^dx — e j gxx(t, x)u(t, x, a)dtdx, HiR*
^2 = j gt(t, x)(cyO(t, x, a) — w(t, x, a)] dtdx.
В силу свойств сглаживания и оценки в Аг здесь первый интеграл в 6^ представляет собою величину о(Н), а второй — 0(e), поэтому для любого, сколь угодно малого ту > О найдутся такие h,E, что выполняется оценка
Й < ^^(Юа)
Считая теперь h и е фиксированными, оценим J2 С этой целью докажем следующую лемму.
ЛЕММА 5.2. Справедлива следующая оценка
I = j e^t, х, a)dtdx < Се-1,(10)
nJ
где С не зависит от а, а X < L и е < Eq.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Используя монотонное убывание функции су(0), получим неравенства
тх
1^ j CyV(0(t, х, a))w(t, х, a)dtdx < jcy’(Afe(t) j w(t, x, a) dtdx, nJ0-X ■
где Мд(1) = [МПХ] 0(t, x, a), и с учетом оценки из Аг получим оценку
т
I ^C^Cv4M6(t))dt.(Па)
о
L.
Введем величину Oq = [2Lcy]~' J E°(x)dx и отметим, чтцво воо при
-L;
L —» оо. Легко убедиться в том, что при каждом t в прямоугольнике П£ существуют значения х такие, что 8(t, х, а) ^ Оо.
Рассмотрим вспомогательную функцию е ^(0) = j VHta^cy^a-' da.
бо
Поскольку при некотором xo9(t, xq) = 9q, то ^ = J ^ d^, и поэтому, ко применяя неравенство Коши-Буняковского, имеем
1
LL 2 L1
1Ж j W<^(/ Н^ (j су^^Ч
—L-L— L
L1
^^(j cv92/92<y.
—L
С другой стороны, при значениях 9 ^ 2а-19о, а = (е — 1)е—*, имеет место неравенство
е
|^| ^ j су^а)^/?^ a~l da ^ су(9)\/2а9 — Ь,
где постоянная b не зависит от а.
Из этих неравенств вытекает неравенство
L
^Me^MeW^Nooa-' j cv929~2d^ + ^a~l,-L
справедливое на множестве Л+ = {t|Afy(f) ^ 2а-19о, 0 ^ t < Г}. Очевидно, на дополнительном множестве Л_ = [О, Т]\Л+ с учетом, что 3 > 2а-19о, имеем неравенство
c2v(Me(t^Me(t) ^2a-4c°vf90.
Интегрируя эти неравенства по множествам Л+ и Л_ соответственно, складывая их и затем применяя оценку для Q из (8), получаем оценку
т
jc^MMWM dt ^ N^/^ae) + WWo + b\T(a. (lib) о
Непосредственно из условий E получаем, что
Су'(^е) < (cv)^' ПРИ О^Ме^З,(11с)
Су\МвК(с°уГ3Ме при 3^ Moo <оо.(lid)
Откуда с учетом оценки (11с) на множестве А = {< | Ме^ < 0, 0 < ^ t ^ Г} имеем оценку
j Cv4MM4t4^vVT.
А-
На множестве А+ = [О, Т]\А“ с учетом оценок (lid) и (11b) находим, что
J c^M^dt ^ (covy3 J c2v(M6(t^M6(t)dt < Бе"1, А*А+
где В = N^aM + ЕоТ[2(с^)29оа"'1 + (с^)-1 + Ь2], е < £о-
Складывая два последних неравенства, получаем оценку
т
j СуЧМв^ dt < [(су)~1Тео + В]е-!, о
из которой и оценки (На) следует оценка (10).D
Теперь переходим к оценке 52, которая с учетом, что w < СуО, имеет вид |52| С8dtdx, где П = {(t, ж) | 0(1, х, а) > 0, (t, ж) е П^}, С — п
не зависит от а. В силу леммы 5.2 справедлива оценка mes^l ^ С)е0, и mes П —» 0 при 0 —» сю.
Таким образом, учитывая абсолютную непрерывность интеграла Лебега в (10), заключаем, что при достаточно больших 0о при 0 > 0о имеет место оценка |52| ^ -77, и, следовательно, с учетом оценки (10а) имеем оценку |5а| < 77.П
ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Утверждение теоремы 2.2 остается справедливым при более общих условиях, чем (За):
и°(х) - U°(x) 6 L00^) П L4R\). хЪт U°(x) = U±°,
где U° (ж) обладает гладкими монотонными компонентами, а и° ^ и®.
Рассмотрим теперь другие одномерные эволюционные задачи механики сплошных сред, которые могут быть изучены теми же методами. Прежде всего это относится к средам со сложными невыпуклыми уравнениями состояния [63].
Вновь рассмотрим систему (1), в которой однако функции р(0, v\ w(0, v) будут обладать существенно более общими свойствами.
Известно [64], что термическое и калорическое уравнения состояния связаны зависимостью
d 7р\ _ 1 ди)
69 ММ ~в 6V’
из которой вытекают представления
е
w = Jcv(<t) da + 1)^6, V),(12а)
о
о
p = 6f(yV6\uv(,a,VV2da.(12b)
Из них с учетом соотношения dS = (1/0) dw + (р/0) dV получаем выражение для энтропии
v66
5=j № [су(а)а-^ + 0-1и(0, V) + U^a, V)a~2da.
V99й
Отметим два характерных случая:
0о = оо и сходится интеграл J(0, V) = - J U(a, V)a~2 da,
9
9
0o = 0 и сходится интеграл J(0, И) = J U(a, V)a~2 da.
о
В приложениях [64] случаю а) соответствует функция U = —bjVOV, которая учитывает кулоновское взаимодействие в плазме, а случаю Ь) соответствует функция U = a9*V, которая учитывает наличие излучения в среде.
Согласно [60] ведем следующие условия D".
Di) функции cy(0), /(V) е С1(Я+) таковы, что
V mc^cvW^c°v, /(У)>0, Л(Ю^0, lira j/(М = оо, v
где тс, Су, V — положительные постоянные, Н+ — положительная полуось;
Di) функции U(8, V), J{9, V) € С2(Л+ х Д+) таковы, что
Uv(9, V)>0, Ue(9, V)^0, f^ + Jvv^.V^O.
Отметим, что условия D включают случай нормального газа [1], но без условия выпуклости.
ТЕОРЕМА 3.2. Пусть выполнены условия D и (3).
Тогда в полосе Пт любой высоты Г > 0 существует функциональное решение задачи газовой динамики (1), (2), где w и р задаются формулами (12а) и (12b).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно проходит по той же схеме, что и теорема 2.2. Детали доказательства содержатся в работе [60].□
ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. Для газа Ван-дер-Ваальса нарушается свойство выпуклости энтропии, и в результате не выполняется основное
энтропийное неравенство (8), согласно которому метод вязкости сходится.
Аналогичные результаты можно получить для системы электромагнитной газовой динамики
Vt-Vx = О,
Vt +Рх + c~lvjH = 0,, _
(w + и2/2)( + (ур)ж - ujE = 0, (иН\ - (vH^x - сЕх = 0,' *
(v£)t - (vE^x ~ сНх + Aitcj = О
с уравнениями состояния
р = R6/v, w = С^б,
где е = w + и2/2 — удельная полная энергия газа, Е и Н — напряженности электрического и магнитного полей, с — скорость света, j — плотность электрического тока, определяемая законом Ома
3 = о^Е + c7xvH\
здесь <т коэффициент электропроводности плазмы.
Система (13) является неоднородной системой законов сохранения вида (1q). Начальные данные u°(x) = (V0^, v°(x), e°(;r), V0(x)H'0(x), V°(x)E°(a:)) задачи Коши (13), (2) подчиняются условиям:
^v°^ - Voo, v0^), б^х) - боо, Е^х\ Н^х)) 6 MR} П L2(R),V°(x) ^ m > О, б0^ ^ т > 0, Voo = lim V°(x), боо = lim 0°(х).
|х|—*оо|х|—юо
(14) Справедливо утверждение.
ТЕОРЕМА 4.2. Пусть выполнены условия (14).
Тогда в полосе Пт любой высоты Т > 0 существует функциональное решение задачи (13), (2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно также проходит по схеме доказательства теоремы 2.2, при этом в формулу для энтропии (8а) добавляется член (Д2 + H^V(%k.
Это означает, что к равномерным оценкам, вытекающим из соотношения (8) добавятся равномерные интегральные оценки указанного члена, а этого вполне достаточно для сходимости приближенного решения к функциональному решению задачи (13), (2).П
В заключение на примере решения задачи о распаде для системы изэнтропического течения газа покажем, почему все задачи этого параграфа разрешимы в классе сингулярных функциональгых решений.
Рассмотрим задачу о распаде разрыва
(15a)(15b)(15a)(15b)Vt - vx = О,Щ +p(V)x = О,(К v)|t=0 = W, Vl) + 7?(х)[(К, ur) - (Vt, Uj)],
(15a)
(15b)
(15a)
(15b)
где д^х') — функция Хевисайда, p(V) = - V-1, 7 > 1.
Эта задача, рассмотренная ранее в § 1 главы 3, при vr ^ V/ в силу теоремы 2.2 и замечания 2.2 имеет функциональное решение. Покажем, что в частном случае, когда
«г = -v; = vo, Vr = Vi=V0, v0>^V^w, ш=^-^-,(15с)
задача (15а), (15b) имеет сингулярное функциональное решение.
Приближенное решение этой задачи удобно искать, как автомодельное решение V(y, е), v(y, е), где у = x/t, системы
У Уд; = ctVxXlvt + P(V)x = Et-Uxx
с начальными данными (15b). Формальное автомодельное решение задачи (15а), (15b) V(y), v(y) дается формулой (11)13, в которой нужно сделать замену v i—> V, и ь-> и.
Интегрируя первое уравнение в (15d) по х от —оо до сю при фиксированном t > 0 и переходя к автомодельной переменной, получаем равенство
J (УМ-Ж = 2»о.
— ОО
С другой стороны, из выражения для V(y) следует, что ОО — ОО
В силу условий (15с) последний интеграл меньше предыдущего, то есть, согласно [65], последовательность {У (у, е)} при е —» 0 является 5-образной в точке у = 0 и в пределе дает функциональное решение.
Теория функциональных решений задачи о распаде разрыва изложена в работе [66]. В работах [67, 68] изучались приближенные методы для системы (15а).
При довольно общих предположениях доказана сходимость к функциональному решению задачи Коши для (15а) методов П. Лакса, С. К. Годунова, Б. Л. Рождественского.
Глава 8
ВОПРОСЫ ЕДИНСТВЕННОСТИАВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Петли и ветвление адиабат
В определении 3.2.2 допустимого разрыва обобщенного решения содержится требование устойчивости дуги адиабаты, соединяющей точки левого и правого состояния на разрыве, в котором требуется, чтобы сумма индекса неустойчивости каждого левого промежуточного состояния и индекса устойчивости соседнего правого промежуточного состояния были больше размерности пространства. Это условие до сих пор мы по существу нигде ие использовали, так как рассматривали либо малые разрывы, либо частные виды систем, для которых адиабаты имеют простую форму и было достаточно условия (19)2.
Ситуация существенно усложняется, если возникают ветви и петли адиабат. Остановимся на примере такого поведения адиабат.
Рассмотрим задачу о распаде для системы
/ .. \/2ц2 + и \
Ut + f(m. =о. 17 = ” ). ДО) = „• 6»’ , «(1)
с начальными данными
U\t=o = Ut+ t№ - Ui), [7Z = (^ у (2) Собственные значения матрицы fu^U) выражаются формулами
A, (U) = 3/4 - (у - I)2, A2(L7) = -3/4 + (у + I)2
и, так как имеет место неравенство A2(t7) — Ai([7) = 2и2 + | > 0, то система (1) строго гиперболическая во всей плоскости (у, и).
Адиабаты £([/;) = LW^Ui) U L^H.Ui^ определяются уравнениями
LW^Ui) : и — щ =-(у2 - у2) + (у - vi) \/Д(у)/2,
L^ (Ui) :и~щ =-^ - у2) - (у - vi) \/Д(у)/2,
Д(у) = 4 [5-1 (у4 — y3yz 4- у2у2 4- уу3 4- у4) —- 3~*(у - у/)2 4- у2 4- уу/ 4- у2 4- 16-1]
при —оо < у < У1 (У) = 0,9)и при у > у2 (у2 S 2,5), причем Д(у1) =
= Д(у2) = 0 и Д(у) < 0 при и € (уь у2).
Адиабата ЦИ^ при и ^ щ представляет собою петлю, а при и ^ иг изолированную кривую, не проходящую через точку Ui. Функция т)(Ц, Ui) на кривой L^^Ui) задается формулой t]^U, Ui) = (и - 2) — — ^^/2 - а на кривой L^(Ui) — формулой t)^U, Ui) = (и — 2) + а/А/2 •
Волны разрежения определяются из уравнений
R^ : du =—Xa^v) du, R^ : du =—X\(v) dv.
На рисунке 10 изображены кривые L(Ui), R(\)(Ui), R^^Ui), а на рисунке 11 — кривые tj^U, Ui), Ai(u), Az(v).
_ Так как на интервале (щ, щ) функция tj^U, Ui) < Ai(u) на кривой LW(IJi) (на Рис- Ю это верхняя дуга петли), то эта кривая типа S^ при vi <v<v\. Кривая L^(Ui) (нижняя дуга петли) разбивается на
7 В.А. Тупчиев
участки S^ при у/ < у < уд, 8^ при у л < у < ув, 8^ при уд < у < < У), где уд — точка перемены знака функции p(U, Ui) — А2(у), а уд — точка перемены знака функции t)^U, Ui) — Ai(у), причем уд и уд — точки минимума и максимума функции p^U, Ui) на интервале (у(,У1) соответственно.
Отметим еще точку Uc> которая определяется из условия i](U, Ui) = = А2(уд), причем Uc € LA^Uf), vc G (ув, У1), ис = ui - (у^ - yf) - - (ус -у/)\/А72.
Возьмем правое значение Ur в условии (2) таким, что
Уг G (у/, У1), иТ = щ - (Ус - у?) - (ус - У()\/А/2.
Тогда для точек Ui и Ur при уо = р)Ут, Ui) на дуге (Ui | Ur) С Z^(i7;) выполняется условие (19)22 и эти точки соседние. Однако дуга (Ui | Ur) С L^^Ui) неустойчива, так как индексная пара для точки Ui типа S^ равна (1, 1), а для точки Ur типа S^ равна (0, 2), и поэтому имеем 1 + 0 < 2, то есть пункт 4 условия устойчивости дуги из определения 2.2.2 нарушается.
С другой стороны, в указанные точки UT можно перейти непрерывно по дуге кривой RW^Ui) до некоторой промежуточной точки Um, а затем по кривой перехода T^2\Um), состоящей из дуги <Um | и») С Z®([/m) и волны разрежения R^(Ua), где точка Ua определяется как точка, компонента уа которой является точкой минимума функции t^U, Um) на кривой L^2\Um).
Таким образом, если опустить требование пункта 4 определения 2.2.2, то допустимое решение (1), (2) становится неединственным. Нетрудно доказать, что допустимое решение задачи о распаде (1), (2) в смысле определения 3.2.2 единственно при любых Ui и UT.
Теперь покажем, что петли адиабат представляют собою довольно типичное явление, и ими обладают простые градиентные системы вида
Ut + WU))x = 0.(3)
С этой целью рассмотрим производящую функцию
a^U) = му(1 -Oh^P~ 1)) + (2uvp~2 - V^p- \yop-X)6h\p - 1).
р
где р = vV+t?, 6н(р) = J шп(ст)<1<т, шн^) — «шапочка».
— ОО
Система уравнений, определяющая адиабаты для системы (3) имеет
ВИДa^U) - a^Ut) - //(у - уг) = 0,
au(U) - au(Ui) - р(и - ut) = 0.
Положим Ui = О и перейдем к полярным координатам в (4) у = pcostp, и = psiny, получим для адиабат систему
а^ = 0, ар = т^р,(4а)
где
а(р, ^ = р2(1 - 9h(p~ 1)) sin2у? + (sin2<^ - V2(р- 1) smp)Oh(p- 1), причем
f р2 cos 2р0 < p ^ 1 — h,
0,45( 2cos2<^ — V2 (p - 1) costp p ^ 1 + h,
( psin2<p 0 ^ p ^ 1 — h,Пр | -V2 sintp p ^ 1 + /г.
В круге p < 1 - h уравнение адиабат имеет вид
cos 2у = 0, р = тг/4 + тгАг/4, к = 0, 1,2,3,
то есть адиабаты — это прямые LW(O) : и + и = 0; L^(O) : v — и = 0, на которых ?7 = — 1, 77 — 1 соответственно (Ai = — 1, Аг = 1). Эти же прямые являются волнами разрежения RW^O^ и R^^O).
Вне круга р ^ 1 + h уравнение адиабат имеет вид
р = 1 + V2 cos2<p/cos у,
при этом для р G J_—тг/4, тг/4] U [Зтг/4, 5тг/4] мы имеем дуги, которые дополняют ветви L^)(0) и 1^(0), определенные (4а) внутри круга р ^ 1 — h, до петель О АС ВО и ОА'С'В'О.
В результате мы получаем «восьмерку».
На рис. 12 пунктиром изображена окружность р= 1, точки А, А', В, В', С, С* являются критическими точками производящей функции a^U), в которых ар = 0 и г) = 0, при этом а(<7) не является вещественно-аналитической функцией, и поэтому прямолинейные участки кривых L^^O^ являются особыми дугами. Точки С и С' — точки соединения кривых LW^ и Ь^2\О\ функция т] вдоль дуги (О | В) G Ь^(О) возрастает от значения -1 до 0, затем на дуге (В | С) изменяется от 0 до 0, имея одно максимальное значение; на
7*
дуге (С | Л) е №\О) она также изменяется от 0 до 0, имея одно минимальное значение, затем на (Л | О) она возрастает от 0 до 1.
Можно показать, что условия D определения 3.2.2 обеспечивают единственность допустимого решения задачи о распаде для системы (3).
В заключение параграфа остановимся на вопросе о ветвлении адиабат.
Рассмотрим систему (3), у которой функция a(U) является гармонической. Естественно тогда перейти в системе (3) к комплексным переменным, полагая
U = u + w, f(U) = a(U) + ib(U).
В результате мы приходим к системе
Ut + Ди)х = 0, и = и - w,(5)
которая аналогична (15)42. Система (4) для адиабат принимает тогда ВИД_ _
№)- т)-т№ -Uo) = Q.
Используя функцию F(U, Uq) = (U — Uo)(j'(U) - У'(^о)), исключаем т] и получаем уравнение для адиабат
-рф, Uo) = Im F^U, Uo) = 0.(6)
Функция t)(U, По) задается формулой
= |LT - Uo^W, Uo),
где ^U, Uo) = ReF(U, Uo).
Условие гиперболичности системы (5) в этом случае сводится к требованию, чтобы в рассматриваемой области П выполнялось неравенство
Г* (U) / 0.(7)
Поскольку в точке Uo выполняются соотношения
F^Uo, Uo) = F\Uo, Uo) = 0; F'\U0, Uo) = We) ф 0,
то Uo — кросс-точка второго порядка [69], и уравнение (6) определяет две ветви адиабаты №\Uq) и £(2)(По), пересекающиеся под прямым углом, причем в достаточно малой окрестности точки Uq функция г, < 0 на №\Uo) и т, > 0 на №\Uo). При продолжении адиабат на них возможно появление кросс-точек Uc, в которых ImF(Uc, Uq) = F'(UC, Uq) = 0. Это точки ветвления адиабат. Характер ветвления в кросс-точках хорошо известен: в кросс-точке к — 1-го порядка имеется к кривых, определяемых уравнением (5) и пересекающихся под углом тг/к.
Условие О. А. Олейник на разрыве решения уравнения (5) имеет
ВИАReF(U, [/+) ReF(U,U)■
где tp(U, [/_) = 0.
Отображение в плоскость инвариантов Римана находится по формуле
w = ф(и) = j Vf'^) й2.
и0
при этом собственные значения и векторы определяются формулами
Xk = (-l)fc№)|2. п = гг2 = WWW
Интересно отметить, что для примера 2.4.2, когда / = еи, комплексный потенциал F^U, По) = (еу - eu°XU - Е/о) при Uo = uq + il,042 и любых ио имеет в полосе 0 ^ ц ^ 2д на адиабате (5) кросс-точку первого порядка Uc = uq — 1,5321 + г5,6391.
В результате полного продолжения адиабаты на всю область О эта область разбивается на ячейки, число которых на каждом компакте tl' СС О конечно. Граница такой ячейки обязательно включает дугу границы дП', которая не является границей ячейки, так как в противном случае, согласно принципа максимума гармонической функции, tp(U, Uq) = 0 внутри ячейки, что противоречит условию (7).
Отметим, что ветви, порождаемые продолжением LW^Uo), не имеют точек самопересечения, самокасания и не пересекаются с ветвями, порождаемыми продолжением L^tUoY
ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. Подобную структуру ветвления адиабат можно наблюдать в более общем случае, когда У(П) является квазиконформным отображением (см. (15) и (15а) 12), но для доказательства этого нужно воспользоваться теорией псевдоаналитических функций [70].
Непрерывное решение задачи о распаде в RNи конгруэнции в римановом пространстве
Если при N = 2 неединственность решения задачи о распаде связана со сложным поведением адиабат, то при ^ ^ 3 она кроме того может быть связана с особым поведением волн разрежения — «закручиванием», которое можно наблюдать в классе непрерывных решений для выпуклых гиперболических в области П систем (1)22. Объясним возникновение этого явления. С этой целью рассмотрим задачу о распаде
(/„(«)-y/)^ = 0,(1)
и(—сю) = Ц;, и(оо) = иг.и(—сю) = Ц;, и(оо) = иг.(2)(2)
и(—сю) = Ц;, и(оо) = иг.
и(—сю) = Ц;, и(оо) = иг.
(2)
(2)
Пусть эта задача имеет непрерывное решение, которое в общем случае в проекции на Rn представляет собою ломаную, состоящую из N звеньев R^^Uk-y)—проекций на Rn волн разрежения, при к = = 1, ..., N, причем uq = uz и кроме того, на каждом звене R^pUk-y) выполняются уравнения
5-г1М.(3)
при этом всегда выбором направления вектора Тк(и) в точке Ufc-i € Q можно обеспечить неравенство
XkX^^s)) > °-
Если предположить, что в окрестности данного непрерывного решения есть другое решение той же задачи о распаде (f)(2), то тогда при совпадении их на первом и последнем звене должна существовать некоторая последовательность звеньев R^a\ua_yY ..., R^(u9_y) при а > 1, а < Р < N, такая, что в малой ее окрестности существует последовательность звеньев R^tua-y)R^^g_\Y где йа_у е Я(а-,)(ма_2), йу-i G RS9-x4u9_2\
В частности, при N = 3 это означало бы, что в окрестности звена R^uy) есть звено 7?^(й1) такое, что точка uj G RW^iY а точка йг G Я^(иг) Л 7?^(м1), и при этом поскольку векторы T](izi) и гз(и2), вообще говоря, неколлииеарны (это, очевидно, имеет место, когда точка иг находится в достаточно малой окрестности точки ui), то необходимо, чтобы траектория Я®(й1) закручивалась около R^\uyY
Рассмотрим вновь общую ситуацию, и пусть R^^Uk-y') и R^k\tik-y) — звенья из указанных выше последовательностей звеньев при а < к < р.
Положим 5s = |ufc_i — Ufc-i| и запишем разложение
Uk-l -Uk-1= ^T^Uk-y^Ss.Uk-l -Uk-1= ^T^Uk-y^Ss.(4)(4)
Uk-l -Uk-1= ^T^Uk-y^Ss.
Uk-l -Uk-1= ^T^Uk-y^Ss.
(4)
(4)
Тогда уклонение кривой R^Xuk-y^ от u(s, йк-у) - u(s, Uk-y)Тогда уклонение кривой R^Xuk-y^ от u(s, йк-у) - u(s, Uk-y)R^Xuk-y) представляется в видеR^Xuk-y) представляется в виде= ^5s + O(5s2Y 08= ^5s + O(5s2Y 08(4а)(4а)
Тогда уклонение кривой R^Xuk-y^ от u(s, йк-у) - u(s, Uk-y)
Тогда уклонение кривой R^Xuk-y^ от u(s, йк-у) - u(s, Uk-y)
R^Xuk-y) представляется в виде
R^Xuk-y) представляется в виде
= ^5s + O(5s2Y 08
= ^5s + O(5s2Y 08
(4а)
(4а)
биби
би
би
а 5и — вариацией на траекто-а 5и — вариацией на траекто-где — назовем вектором смещения, рии R^pUk-yY
а 5и — вариацией на траекто-
а 5и — вариацией на траекто-
Разложим вектор смещения ^ по векторам подвижного репера rj(u(s, Ufc-O):
(4Ь)(4Ь)^ = 4j^8, Uk-y^Tj^S, U(fc_|)).
(4Ь)
(4Ь)
Отсюда следует, что компоненты вектора смещения находятся по формуле
Лз = Ц^з, u(fc_i)))^ (u(s, ufc-i)).(5)
Продифференцируем (5) по s и с учетом (3), (4) и (4Ь) получим систему § = Рат,(6)
ГД6 P3ik = ^~ ^kV
С величинами Р^у, ранее приходилось сталкиваться в теореме 3.4.2, из которой теперь следует, что если система (1) допускает все инварианты Римана, то система (6) принимает вид
"57 = З^ркЛз- з /dyk _ Дds -Pkitom-
С учетом начальных данных
л\в=о = Л°(6Ь)
решение задачи (6а), (6Ь) имеет вид
SS
Л, =л®ехр^ Ри№ ds, j ф к, Лк = Лк + ^ 3kt(kWds, (7) оо
где сначала т/, находятся из первой формулы в (7) при j / к, а затем Т)к — из второй с учетом, ЧТО Р^кк = 0.
Последовательно рассмотрим звенья R^Ol\ua_\'), ..., R^(up-i). На звене R^ (иа-1) величины (7) определяются при 77° _, ^ 0, а 77° — 0 при j / а — 1. Тогда на звене Д^“+^(иа) имеем Ла-\ / 0, 77° / 0, а остальные л® = 0. Далее по индукции получаем, что ^_, / 0, ^ / 0, ..., фр ф 0, и поэтому на звене Д^(му_1) из выражений (7) следует, что вектор смещения неколлинеарен вектору тр^фир^ и в достаточно малой окрестности непререрывного решения задачи о распаде (1), (2) нет другого непрерывного решения той же задачи. Это свойство назовем изолированностью непрерывного решения задачи о распаде разрыва. Из изложенного выше следует утверждение.
ТЕОРЕМА 1.2. Пусть система (1) допускает все инварианты Римана в области П С Rn- Тогда непрерывное решение задачи о распаде (1), (2) изолированно.~~~
Рассмотрим непрерывное решение ^Д^фщр, R^Vi\\ R^(ui)j и поверхность 5(щ) = Д^(и1) х R^3\u), где и € (иьиг) € Я®(«1), то есть поверхность, образованную семейством кривых Д^(и), выходящих из точек и G (мьиг) € Д®(«1).
Справедливо утверждение.
ЛЕММА 1.2. Для того, чтобы кривая R^{ui) пересекала поверхность 8(щ) при малых 5s = |ui — uj, достаточно, чтобы относительная компонента т/i = Z-(u(s, щ))—; (u(s, и\)) изменила знак на дуге (пьпг).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, вектор ll(u(s, ui)) является нормалью к S(ui) в точках Д(21(й1) и по предположению, если ^(“1)77 (м1) > °- то («г) < 0.
OS OS
В силу (4а) при достаточно малых 6s = |ui — гц | отсюда следует, что Z*(iti)A(ui) > 0, 1*(u2)A(u2) < 0, где Д = u(s, й;) — u(s, гц). Это означает , что вектор уклонения Д меняет угол с нормалью к поверхности S(ui) с острого на тупой и, следовательно, в некоторой точке кривая №\йу) пересекает поверхность S(uj).Q
Для симметрической системы
(aij(u) - VgijW)-^ = 0,(aij(u) - VgijW)-^ = 0,(8)(8)
(aij(u) - VgijW)-^ = 0,
(aij(u) - VgijW)-^ = 0,
(8)
(8)
где gij — положительно определенная матрица в П, вопрос об изолированности непрерывного решения задачи о распаде (8), (2) имеет ряд особенностей.
Для волн разрежения имеем систему
=^ = X^kM(8а)
QS
где Afc(u), Н?к(гГ) определяются из системы
(%(«) - A(k)(u)gi:, (u))^(u) = 0(9)
при условиях нормировки gij^hk^h^u) = 6кт,(9а)
5кт ~ символ Кронекера.
Предыдущие построения удобно теперь рассматривать, считая gij метрическим тензором А/’-мерного риманова пространства Vn^Y а кривые Я^ — конгруэнциями в этом пространстве. Теория конгруэнций, определяемых системой (9), является важным разделом римановой геометрии [72].
Система (6) сохраняет вид, но коэффициенты ее теперь находятся по формулам
^ = ^(W" W).(Ю)
где hjp = gjihp — ковариантный вектор в римановом пространстве. Можно считать, что /г£(ц) = r^(u) и /ijp(u) = 1^и\ Удобно ввести еще величины
'Ijik ~ hjm, phi hk, (Юа)
называемые коэффициентами вращения репера hi, при этом запятая в (Юа) после индекса т означает ковариантную производную.
Из определений с учетом (9), (9а), (10), (10а) следуют формулы
(ЮЬ)(ЮЬ)3jik — 'Ijik ^jki, ^jki + ^ijk — 0,^j(.j)k = 0- 3j^i = 0, 3jik + 3jki — 0.
(ЮЬ)
(ЮЬ)
Справедливо утверждение.
ТЕОРЕМА 2.2. Для того, чтобы система (8) допускала к- ый инвариант Римана w = w(u), определяемый как нетривиальное решение системы
h^u^=0, р=1,2, ...,N,^k,(11)
р ди3
необходимо и достаточно, чтобы
Зкц^О, j,i = 1,2, ...,N,^k,(12)
при этом семейство конгруэнций hk нормально к многообразию уровня k-го инварианта Римана w(u) = const.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение в первой части этой теоремы вытекает из полноты системы (11) при условии (12).
Вторая часть вытекает из следующих рассуждений.
В каждой точке многообразия уровня справедливо равенство ^i^u1 = 0. Семейство конгруэнций hk является нормальным к многообразию уровня к-ro инварианта Римана, если в каждой точке
выполняется равенство
gi, (u)hlk(u)duj = 0.
Это означает, что —т (u) = ot(u)gij(u)h?k(u) с некоторым коэффициен- ■ди.
том пропорциональности а(и). Умножая последнее равенство на /ip(u)
при р / к, получаем систему (!!).□
Для иллюстрации неизолированности решения рассмотрим пример.
ПРИМЕРПРИМЕРПоложим, что в системе (8)
ПРИМЕР
ПРИМЕР
/ 1м30\/Aiu3Ai0\
(gij) = I u31-м1I, (atj) =Iu3Ai(и2)2-и1 АзI,
\ 0-и11/\0-и*А3А3/
где Ai = j|u||2 — 1, Аг = ||ы||2, Аз = ||и||2 + 1 — собственные значения системы (9), a hi = (1 0 0)т, hi = (—u3 1 их)Т, hi = (0 0 1)т — собственные векторы (9).
Систему (8) будем рассматривать в цилиндре О = [и : (и1)2 + + (и3)2 < 1}, где матрица (gy) — положительно_определенная.
Проекции волн разрежения к-го индекса R.W определяются как решения системы (8а), где ХкХ^и) = 2uk, при этом проекции RW
и R^ являются прямыми параллельными координатным осям и1 и и3 соответственно, a R^ — винтовой линией с осью и2.
Легко убедиться в том, что задача о распаде (8), (2), где и, = (7Г 1 \
0, —, -1, имеет бесконечное множество непрерывных решений, представляющих собою ломаные Ra = {R«\ R«\ Ra'У где звенья Ra^при 0а < ^ определяются уравнениями
R^ ={u : u1= Si, и2 = 0, и3 = 0, 0 si а),
R^ =^и : U*= асов 82, и2 = 82, и3 = а sin 82,0 С 82С^| ,
Я^ =|и : и1= 0, и2 = ^, и3 = а + 8з, 0 зз 5 -аj .
Еще более интересными свойствами обладает градиентная система (8), в которой а^ = аи»из, gi, = gu^, a a(u), g(u) — две производящие функции. Назовем их G-системами.
Действительно, из равенства amph™h? = Х^бу путем ковариантного дифференцирования с учетом формулы (10а) и градиентности системы (8) находим формулу
Чук = VX) — A,) * ^aqmp ~ 2 ^3 + Xi)gqmp^ ^f^^^tky 0$)
Где Oqmp ~ Яи^итиР> gqmp = guqumuP •
Из равенств (10b) и (13) вытекает формула
^ = (А~^^^i^j^k. (14а)
В свою очередь из (14а) при г / j ^ к следуют формулы
^ , Ад . Pkii = 0(14Ь)
AW-AW +AW-A(j) +A(j)-A(1)’>
Если г = j ^ к, то имеем формулу
0jU)k = ^к — ^3^(Яртпд 2 ^3 АXk'lgpmq^h^h^. (14d)
Дифференцируя ковариантно равенство
А) — U-pTnltyytj , получаем формулу
XfcXj = ^O.pmq Xjgpmq^hPj^h,j h^y(l^c)
Полученные формулы (14a)-(14e) позволяют изучить вопрос об изолированности непрерывного решения градиентной системы (8) в R^ = = {и : и3 > 0, Vu1, и2} с производящими функциями, удовлетворяющи-
ми следующим условиям Н:
(
i 2 X
—з, —т ), где функция р^ при Е ^ R*z такова, что и и4 /
Ду = ^11^22 - (^12)2 < 0, Уу=<Р№-
g(u) € С3(К) — строго выпуклая функция в выпуклом конусе К с С R3, то есть гессиан g(u) положительно определен при любых и € К.
Этот класс G-систем назовем G^-системами в йз, и отметим, что он включает в себя систему газовой динамики в лагранжевых координатах (10)21 для нормального газа [1].
Легко обнаружить, что собственные значения G^-системы (8), определяемые из (9) таковы, что
Ai(u) < 0 < Аз(и), Аг(и) = 0,
при этом h^u) = a(u)u*, где a(u) = [gy^uW]-1.
Откуда следует, что конгруэнции Д(2^(ио) являются лучами и = = (1 + sa(uo))uo в конусе К.
В силу условия H.I справедливы тождества
а,(и)иг — а(и) = 0, aij(u)ul = 0, а^к(и)иг + а^и) = 0, и, следовательно, имеют место соотношения
aimp(w)^ = -a(u)a(m(u), aimph^h^ = 0 при г / j / 2,azmpCw)^-^)^ = -a(u)aim(t^hlj^ = -a^Xj(u\
Из последних тождеств с учетом формул (14а)—(14е) и (13) вытекают равенства
А| /?132 + А3/З312 = 0, 2Ау-)/Зу2 + Х2Х3 = aXj.
Решение системы (6), имеющей в рассматриваемом случае вид
(15)(15а)(15b)(15)(15а)(15b)А12771 + /3132%,
(15)
(15а)
(15b)
(15)
(15а)
(15b)
=/Зз12% +/Зз32%,
as
где 0jik определяются на луче ю2\иоУ с начальными данными
771(0) = 1, %(0) = 0
не может покинуть конус
V(s, 77) = -А^Ца))^ - ХзЩзУ)^ > 0, где u(s) = (1 + sq^uo^uq С К.
Действительно, производная функции V(s, ту) на решении задачи (15), (15а) такова, что -^ = a(u(s))V, и поэтому V = —
S
—A|(tto) exp Ja(u(cr)) da > 0, то есть 7?i(s) > 0. о
Таким образом, с учетом леммы 1.2 справедлива теорема.
ТЕОРЕМА 3.2. Пусть градиентная система (8) в полупро
странстве R^ = {и : и3 > 0, Vu1, и2} удовлетворяет условиям Н.
Тогда ее непрерывное решение задачи о распаде изолировано.
Теперь покажем, что для градиентной системы можно построить пример неизолированности непрерывного решения задачи о распаде.
ПРИМЕР 2.2. Расмотрим градиентную систему (8) в Дз с производящими функциями вида
а(и) = ^ [(и3)2 — (и1)2] cos и2 + ^ [(и1)2 + (и2)2 + (и3)2] + uVsinu2,ёМ = 2[(и* )2 + (и3)2] + ^ (и2)2, 0 < ш < ^.
На прямой и = u(s): иг = 8^.8^ здесь s = s^ матрицы (а^, (gy), а также собственные значения и векторы системы (9) имеют вид
(
- cos s 0 sins \/ 4 0 0 \
о шз 0 I , (gy) = 0 1 0 , sin з0 cos s /\ 0 0 4 /
,1 ..1
Ai = —-, Xi = шз, Аз = -, 44
(
cos s 4- 1 \/ 0 \/ sin s
0 I , /i2 = I 1 I , h3 = с 0
— sin 8 /\ 0 /\ cos 8 + 1
с = [2(1 + coss)] 2 .
Непосредственно убеждаемся в том, что прямая и = и^ является проекцией волны разрежения Д®(0), а проекции волн разрежения Д^^(0) и /?(3)(0) выходят из начала координат в направлении осей г? и и3 соответственно, причем на на интервале — — < < s < ^ волны /?(2)(0) при к = 1, 2, 3 имеют место неравенства •^fcA(k)(u(s)) > 0 и поэтому градиентная система (8) в цилиндре Q = {и : |и2| ^ ^ — 8, (и1)2 + (и3)2 С 5^ при сколь угодно малых 8 > 0 выпукла._
Коэффициенты системы (15), определенной на Д^(0), согласно формулам (11b) и (12а) имеют вид
Аз2 = P(s), /?312 = — Q(s), Зт = Дз2 = 0,
где pW == «kLM
I +4шз1 —Aws
Решение задачи (15), (15а) представляется в форме
7ft = r(s) COS^(s), 7/3 = r(s) sin#(s), где функция 0(s) удовлетворяет неравенству
S8
— j q^ da ^ 0(s) ^ — j p(cr) da,о0
s
a r(s) = exp - j (p(cr) — q^a^ sin 20(cr) da. 0
7Г1
В частности, на промежутке 0 ^ s < — при 0 < w ^ — из последних м2отг
соотношении вытекают неравенства
-у s ^ 9(s) ^--s, 1 < r(s) < exp — тг,из которых в свою очередь следует, что функция 7ft (s) меняет знако/ ЗтГ 5тг\vi X
в некоторой точке so € ( 20 * у^ I, в которой 0(so) = -у a 771 (so) = 0, причем если ш —> 0, то тогда sq —♦ у r(so) —♦ 1.
Докажем, что это означает неизолированность непрерывного решения, включающего звено R^\0\__
Действительно, рассмотрим поверхность 5(0) = 7?(2)(О) х fi^3\u(s)) и кривую 7?(2)(ui), где й] € Я^)(0) и 5s = |ui — uj достаточно мало.
В силу леммы 1.2 кривая /^(ui) пересекает поверхность 5(0) в точке иТ, при этом на Д®(0) имеется точка иг такая, что кривая Д^(иг) проходит через точку ит в цилиндре Я.
Тогда из точки и/ = 0 возможны два_ непрерывных перехода в точку иг: один по звеньям {Я^(0), R^\u^Y другой — по {ДС>(0), Д^(й1)}.
§ 3. Изолированность разрывного решения задачио распаде
Этот вопрос наиболее естественно изучать в классе градиентных систем (8) в выпуклой области Q С Rn, поскольку систему уравнений для адиабат
аДи) - а,(и) - y(gi(u) - g^u)) = 0, i = \,N,(1)
где at = aUi, gi = gUi, можно преобразовать к виду
(atj^u, и) - ygij(u, v))(u^ - t?J) = 0,(2)
1
где симметрическая матрица а.^и, v) = Ja^ait + (1 — cr)v)d<r = о
= aij(v, и), а матрица gij(u, и) имеет тот же вид и является положительно определенной вместе с матрицей gij(u) при любых и, и G Q, при этом характеристическое уравнение
det(ciy (и, и) — Xgij(u, и)) = О
имеет вещественные корни Хк^и, v), которые можно пронумеровать в неубывающем порядке
Ai(u, v) С Аз(и, и) ^ ... ^ Xn^u, и).(3)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Назовем градиентную систему (8)2 сильно гиперболической в выпуклой области fi С Rn, если в (3) выполняются строгие неравенства при любых и, v
Отметим, что из строгой гиперболичности системы (8) не следует сильная гиперболичность в fl С Rn, хотя в достаточно малом шаре, как было показано в лемме 4.1.3, это имеет место.
Собственные векторы hk(u, v) определяются как решения системы
(aij^u, v) - Xk(u, v)gij(u, v))h?k(u, v) = 0(4)
с нормировкой согласно условию
gij(u, v)h'm(u, v)hk(u, v) = 6mk,(4a)
при этом, как и выше, относительно метрического тензора gij(,u, и) можно ввести ковариантный вектор Икг^и, v) = gtj(u, v)hk(u, v). Отметим еще, что все формулы симметричны относительно переменных и, v € П, так как матрицы gij(u, v), atj(u, и) симметричны как относительно переменных и, v € П, так и индексов г, j.
С учетом (2), (4) и (4а) адиабата Д^^(п) определяется системой
hmj^V^u3=0,(5)
где т = 1, 2, ..., N, / к, причем
У = Ук = Afc(u, и).(5а)
Отсюда следует также, что ^^(г^задается выражением
и — v = а(и, i^hktu, v),(5b)
.. ■■ 1
где a(u, v) = [gy(u, v^u* — t?)^ - vJ)]2.
Кривая №^ может рассматриваться как кривая в римановом пространстве Vn^u, и) с метрическим тензором gy^u, и). Локальное поведение этих кривых в окрестности точки и было изучено нами в теореме 3.1.3.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.3. Аналогом конгруэнции R^Qu) в римановом пространстве Vn(u) в Vy(u, у) служит конгруэнция R(fe)(y), определяемая системой,
ж*
и наоборот, кривой L^Xv) в Vn(u, у) соответствует кривая L^fc^ (и) вида и — у = a(u, v)hk(u), .. .. 1
где а(и, у) = [gij(u)(u* — y’)(uJ - yJ)] 2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. 1) Назовем поле векторов h^u, у) при и € £(fe)(v) сильно нелинейным (вырожденным), если выполнено соотношение
hk(u, y)dujA(fc)(u, у) / О (hjk(u, y)duiХ^(и, -и) = 0)(6)
при любых у € Я.
Назовем систему (8)2 сильно нелинейной, если поля векторов hk(u, v) при k = 1, 2, ... N являются либо сильно нелинейными, либо вырожденными.
Отметим, что из сильной нелинейности вытекает истинная нелинейность градиентной системы (8)2 в смысле П. Лакса — для этого достаточно в (5) с учетом (5а), (5Ь) перейти к пределу при и —> и, при этом Хк(и, и) = Хк(и) и Нк^и, и) = hk(u)._
Ориентацию невырожденных полей hk(u, v) при и G L^(v) можно определить условием hk(u)dujХ^(и) > 0 при любых и € Q. На каждой невырожденной адиабате Д^(у)_величина у = Хк(и, у) строго монотонна и можно выделить ветвь S^^v), на которой она строго убывает и в силу этого выполняется условие устойчивости на разрыве П. Лакса Хк(и) < у < Xk(v). На вырожденной адиабате у = А^(у) и LW(v) = R^(v), то есть эта адиабата является кривой контактного разрыва. Наряду с адиабатами правых состояний £^(у) ^можно рассматривать адиабаты левых состояний L^Xv) и их ветви S^(v), представляющие собой множество точек, из которых возможен допустимый переход и на которых величина у = Хк(и, у) возрастает и также выполняется условие устойчивости At (у) < у < Хк(и). Также, как в §^ 1 главы 3, можно ввести кривые перехода £волно- вые адиабаты) Т^е) = S^Xv) U R^Xv) (T^(v) = S^Xv) U Я^(у)) в невырожденном случае и Т^^у) = й^(у) в вырожденном, причем TW(y) = f(fc)(y)._
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Назовем устойчивую ветвь S^k\v) (S^(v)) невырожденной адиабаты правильной, если при и € 8^(у) (и € S^Xv)) выполнены условия
\hkj(u, г>)к3т(и)\ ^ hkj(u, ^m=l,2, ...N,(7)
Am(u) + Afc(u) > 2Afc(u, v), т>к+1,
(Am(u) + Afc(u) < 2Afc(u, у), m < к — 1)(7a)
при любых и € О.
Поясним условие (7)._
Пусть и = u(s) — кривая S^X^, параметризованная условием hk.j^s))-^- = 1. Тогда, дифференцируя (1) по s вдоль нее, получим систему
9тк(и, v)hm(u), = Шк(и, v),(8)
as 'as
m=l
^(m)^) Ук q U?k
ГДе U)m — --— . —, Ртк•
hk. j(u, v)hJm(u)^т
Величины Зтк являются компонентами — относительно ортогонального в Vjv(u) репера {/im(u)} и могут быть представлены в виде
0тк^> ^) " ^^тк^тк»(^а)
где 1т1 =
Am(u) - Укhkj(u, v)h3k(u)
ЛЕММА 1.3. Пусть ветвь S^Xy) (S^X^) невырожденной адиабаты является правильной.
Тогда справедливы неравенства
\0тк\ < 1, т^к, к+1(к, к-1).(9)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На S^X^ при т < к имеем |7mfc| =
== Лд < ^ ТаК КаК 9 = ^^ - XmW > °> ПРИ т >
Хк(и, у) - Am(u) 6 + 0' '
> k + 1 имеем
,, Аь(и, у) - Afc(u) = b .
m ' Am(u) - Ак(и, v) b + 6'
где в силу (7а) 0 = Хт(и) + Хк(и) - 2Хк(и, у) > 0. Теперь из (7) следует (9). Аналогичным образом (9) устанавливается для S^^.C
Рассмотрим теперь систему G^ в R^ и докажем следующую теорему.
ТЕОРЕМА 1.3. Пусть С^-система (8)2 истинно нелинейная и ее невырожденные адиабаты — правильные.
Тогда любое ее решение задачи о распаде изолировано.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку Л^(и1) = S^(ui), то возможны четыре конфигурации решения:
{Д(|)(щ), Я(2)(щ), Д(3)(и2)}, {S(l)(ui), R?4ux\ Д(3)(и2)}.
{^^(uz), R?4ux\S^Xu^Y \SWH, R^M, s^(u2)}, в которых следует учесть, что ur е R^\u2^ и S^(u2) = S^XuT\
Первая конфигурация рассмотрена в теореме 3.2. Рассмотрим вторую._
Поскольку адиабата S^(ui) представляется уравнением (8) при к = = 1, то в точке ui на ней имеем: ту, = 1, туз = /?з1, при этом в силу (7) 1%! < |7з1|-
С другой стороны, в силу условия Лакса Ai(ui) < yi < Ai (и;) < О ИМеСМ|A,(u,)| > |А,(Ц|)| - ly.j
Аз(«1) Аз(из) + |yi| ’
причем—1^11 =^< 1, так как в силу (7а) △ = Аз + 2yi -
Аз(и3) + ]yi| о+Д
- Ai > 0.
= (?31)2 >= (?31)2 >(%)2-(%)2-Таким образом, мы имеем
= (?31)2 >
= (?31)2 >
(%)2-
(%)2-
Ai(ui) — yi \Аз(«|) — у\ у
Это означает, что функция V(s, ту) = —А1(и(з))ту2 — Аз(и(з))ту| такова, что V(0, ту) = -А](и])ту1 - Аз(и])туз > 0 и, следовательно, решение системы (15)2 не может покинуть конус (15Ь)2 при 0 ^ s ^ s, u(s) = иг, где u(s) = (1 + sa(ui))ui. Это влечет изолированность решения задачи о распаде в этой конфигурации. __
Рассмотрим третью конфигурацию {/^(ut), R^\u\\ S^(ur)}.
На адиабате S^(ur) в точке иг имеем ту] = Дз, туз = 1, при этом в силу (7) |ту1| < |71з|.
С другой стороны, в силу условия Лакса Аз(и2) > Уз > Аз(иг) > 0 имеем, , , х х
Аз (иг) > А3(и2) - уз
|Ai(u2)||А1(и2)| + уз’
причем=< ^ так как в СИЛУ (7а) д = “Аз + 2у3 -
|Ai(u2)| + уз Ы- Д
- At >0.
Таким образом, мы имеем
Аз(и2)|Ai(u2)|Аз(и2)|Ai(u2)|Аз(и2) - УзAi(u2) - узАз(и2) - УзAi(u2) - уз= (71з)2 >= (71з)2 >Ы2-Ы2-
Аз(и2)|Ai(u2)|
Аз(и2)|Ai(u2)|
Аз(и2) - Уз
Ai(u2) - уз
Аз(и2) - Уз
Ai(u2) - уз
= (71з)2 >
= (71з)2 >
Ы2-
Ы2-
Это означает, что функция V(s, ту) = — Ai(u(s))Tyf — Аз(и(з))ту| такова, что V^s, ту) = — А1(иг)ту2 — Хз^иг)^ < 0 и, следовательно, решение системы (15) не может покинуть конус V(s, ту) = — Ai(u(s))Tyf - - Аз(и(я))туз < 0 при 0 ^ s ^ s. Это влечет изолированность решения задачи о распаде в этой конфигурации.
Изолированность в случае четвертой конфигурации вытекает из сочетания доказанного выше.П
Остановимся на примере системы газовой динамики в лагранжевых координатах, для которой выполняются все условия теоремы 1.3.
ПРИМЕР 1.3. Рассмотрим систему
(Ю)(Ю)Ц - v, = О,vt + Рх =0,Et + (vp)x = О,
(Ю)
(Ю)
где р = —, 5 = у + CV0, то есть систему (10)31 при р = Л = 0. Эта система может быть записана в векторной форме
(Юа)(Юа)wt + B(w)wz = 0,
(Юа)
(Юа)
/ V \/ 0 -1 0 \
где w = I о |,В(ш)=| 001 I, w € Я^ = {w | w1 > 0, |w2| <
\ р /\ 0 ^p/V о /
< оо, w3 > 0}, и в градиентной форме
IgiW^AA^ku^x^r г =1,2,3,(10b)
1 V 2131u и 1
где и1 = —г?, и2 = —, и4 = -ту, то есть V = —7, р = — V = -к, при pV V pVu3 u3 u2
ЭТОМ 8-M = _ ^J + — ta? + — In-J. o(„)
Легко убедиться в том, что это О^-система. Действительно, а(и)
и, = — 1, функция g(u) е С3^К^ —* < оо, и2 > 0, и3 > 0}, посколькуи, = — 1, функция g(u) е С3^К^ —* < оо, и2 > 0, и3 > 0}, посколькуудовлетворяет условию Н\, причем А строго выпуклая в К = {и | —оо < и
и, = — 1, функция g(u) е С3^К^ —* < оо, и2 > 0, и3 > 0}, поскольку
и, = — 1, функция g(u) е С3^К^ —* < оо, и2 > 0, и3 > 0}, поскольку
гессиан ее
\(и3)2(и3)з + (7-1)(и3)2 /
pV0vpV \
ОV2о
vpV 0 v^pV + (pV)2/7 — 1 j
положительно определен, причем Д^ = 1/(7 — l)(-u2)2(u3)3 > 0.
В автомодельных переменных У — ~ системы (10а), (10b) запишутся в виде
(BW-УЕ^О, №VyG^ = 0 и 5=СМ^,(11)
/О-1О \
где G-Ч^А^ = C-l(«)B(u№). B(u) = ОО1 ),
\ О 7(u2)2/u3 О /
1
ОД =
1
О
О
1и3
О
и1
и
7372
- №)1 = -Аз =р3И>о.
Очевидно, что B(w) значения: Ai (w) = —А, ,
и G 1 (u) А(и) имеют одни и те же собственные
Собственные векторы определяются из систем
(B(w) - Afe(w)E)r*:(w) = О,
(A(u) - Afc(u)G(u))/ifc(u) = О,
где hk(u) нормируются условием G(u)hfc(u)hm(tt) = 8кт, hik = gijh3k, при этом
rk(w(u)) = C(u^hk(,u\(12)
Правые и левые собственные векторы матрицы B(w) системы (10) имеют вид
П = ш_|(1, А, - А2)т, Г2 = (1, 0, 0)т, гз = w~*(-l. А, А2)т, (12а) Р = ^(0, А, - 1), Z2 = (1, О, A"2), Z3 = ^L(0, А, 1),(12b)
где ш = V1 + А2 + А4 .
Важной особенностью системы (10) является то, что условия Гюго- нио можно записать в виде
(B(w) - yE)(w - w0) = 0.(13)
Легко убедиться в том, что система (10) выпуклая (истинно нелинейная) и сильно нелинейная. Действительно, rk(w)VAfc(w) = w-1p5 V“2 > 0 в R^ при к = 1,3, a ra(w)VA2(w) = 0. Для получения условий сильной нелинейности (6), как это следует из (13), нужно сделать в этих равенствах замену whw = (w + wq)/2.
Покажем, что невырожденные адиабаты ее 8^(и)0') и S^H^ пРа" вильные._
Тогда в силу (13) на адиабате S^(wo) имеем ук = Хк^ при к = = 1, 2, 3 выполняются соотношения l^m\w)(w — wq) = 0 при т ^ к, то есть w — wo = crk(w), и согласно (19)13
^ = УМ”*М. ^-T^^-v(м)
us 'as г ^wj^w — wq)
0ik(w, wo) = lk(w)(w - wo)(A0)(w) - yk)
С другой стороны, с учетом (11), (12) и (14) в переменных и имеем
,33
^ = ^^(w, wo)C-1(u)rj(w) = ^2,3jk^w, Wo)/lj(u), J=1J=1
и, следовательно, выполнено соотношение
Pjk(u. «о) = 3jk(w, wo),Pjk(u. «о) = 3jk(w, wo),(15)(15)
Pjk(u. «о) = 3jk(w, wo),
Pjk(u. «о) = 3jk(w, wo),
(15)
(15)
где 3jkVu' uo) определяются формулой (8a).
Таким образом, в силу (15) проверку условий (7) и (7а) можно провести в исходных переменных w.
Рассмотрим S^^tooY
Условие (7а) выполнено, поскольку Аз(ш) + АДш) = 0, а у\ = = Ai(w) < 0. Для проверки выполнения условия (7) необходимо провести оценку отношения :
/iiHtojO/^O _ Z3(w)(w - Wq) /iij(u, v)h](u)Z*(w)(w — wq)
С учетом (12а) и (12b) имеем
Мз.| =Мз.| =Z3(w)(w - Wq)Z*(w)(w — Wq)Z3(w)(w - Wq)Z*(w)(w — Wq)Z3(w)ri(w)Z (w)n(w)Z3(w)ri(w)Z (w)n(w)y^pjv - \Jyp/vxFipiv + \piplvy^pjv - \Jyp/vxFipiv + \piplv1,1,
Мз.| =
Мз.| =
Z3(w)(w - Wq)
Z*(w)(w — Wq)
Z3(w)(w - Wq)
Z*(w)(w — Wq)
Z3(w)ri(w)
Z (w)n(w)
Z3(w)ri(w)
Z (w)n(w)
y^pjv - \Jyp/vxFipiv + \piplv
y^pjv - \Jyp/vxFipiv + \piplv
1,
1,
так что условие (7) выполнено и адиабата S^*! — правильная.
Аналогично на S^3l(wo) выполнено условие (7а), так как уз > 0, и 1, ~3 < 1. Далее находим, что
1' уз-A^w)
1^з| =1^з| =Z‘(w)(w - Wq)Z3(w)(w - Wo)Z‘(w)(w - Wq)Z3(w)(w - Wo)Z*(w)t3(w)Z3(w)r3(w)Z*(w)t3(w)Z3(w)r3(w)V^piv - \pipjvV^piv - \pipjvV^pIV + \[rpfvV^pIV + \[rpfv< i,< i,
1^з| =
1^з| =
Z‘(w)(w - Wq)
Z3(w)(w - Wo)
Z‘(w)(w - Wq)
Z3(w)(w - Wo)
Z*(w)t3(w)
Z3(w)r3(w)
Z*(w)t3(w)
Z3(w)r3(w)
V^piv - \pipjv
V^piv - \pipjv
V^pIV + \[rpfv
V^pIV + \[rpfv
< i,
< i,
так что адиабата S'^wq) — правильная.
Таким образом, все условия теоремы 1.3 для системы (10) выполнены._
ЗАМЕЧАНИЕ 2.3. Волны разрежения RYk\w<3 системы (10) при к = 1, 2, 3 определяются
dw _ Tk(w) dy XwXk^Vdw _ Tk(w) dy XwXk^Vу = Afc(w),у = Afc(w),
dw _ Tk(w) dy XwXk^V
dw _ Tk(w) dy XwXk^V
у = Afc(w),
у = Afc(w),
при этом 7?d(wo) и Д^31(шо) лежат на поверхности
S(p, V) = Срlnp + cvIn V + const = Sq = S'(po. Vo),
откуда следует, что на плоскости р = 0 они имеют проекцию р = д2Sa
= — V-", где А2 = a2e=v .
7_
Волна разрежения T?l2l(wo) является контактным разрывом при у =
= 0 и задается выражением Д^(и>о) = {w | 0 < У < оо, р = pq, р = ро}-
Волны разрежения /^(wq) при к = 1, 3 определяются из систем
— ==V2ndy V7(7+0 Р— ==V2ndy V7(7+0 Рdy V ’7+1 ’dy V ’7+1 ’dp _ 2^/7dy 7+1dp _ 2^/7dy 7+1i iVlpli iVlpl
— ==V2n
dy V7(7+0 Р
— ==V2n
dy V7(7+0 Р
dy V ’7+1 ’
dy V ’7+1 ’
dp _ 2^/7
dy 7+1
dp _ 2^/7
dy 7+1
i i
Vlpl
i i
Vlpl
(16)(16)27Vm = V0 - WPO ' = V0 -27Vm = V0 - WPO ' = V0 -9 А -2+2 ,1и R^^-Wr) навакуума.Это можно9 А -2+2 ,1и R^^-Wr) навакуума.Это можно(17)(17)L^Hwo) = <L^Hwo) = <^(y+DV-h-DVo’^(y+DV-h-DVo’2V02V0(7+ 1)р+(7~ 1)(7+ 1)р+(7~ 1)(Р-Ро)(Р-Ро)(18)(18)
(16)
(16)
27
Vm = V0 - WPO ' = V0 -
27
Vm = V0 - WPO ' = V0 -
9 А -2
+2 ,
1
и R^^-Wr) на
вакуума.
Это можно
9 А -2
+2 ,
1
и R^^-Wr) на
вакуума.
Это можно
(17)
(17)
L^Hwo) = <
L^Hwo) = <
^(y+DV-h-DVo’
^(y+DV-h-DVo’
2V0
2V0
(7+ 1)р+(7~ 1)
(7+ 1)р+(7~ 1)
(Р-Ро)
(Р-Ро)
(18)
(18)
и задаются выражениями
{Л2
w|p =—V , р = pq — (—Х^ш^р — ро\
» = »« + ^TT<o 2= )
где си = ^—L_L ^ — (—1)т 1Д 2т + 1 = к.
7 — 1~
Отсюда следует, что на проекции /^(wo) в плоскости V = 0 7-11-7
при р —> 0 имеем г) —► -им — Vq + сир0 ' = Vq Н Vo , при этом проекция Д1*1(и>о) в плоскости р = 0 имеет асимптоту р = Рм, то есть V —► оо при р —► рм •_
Аналогично для R^(p)q') в плоскости V = 0 при р —» 0 имеем р —>
у Уо 2 , при этом проекция RW^Wo^
в плоскости р = 0 имеет асимптоту р = рт, то есть V —► оо при р —> рт.
Если для задачи о распаде разрыва мы имеем первую конфигурацию решения и выполняется неравенство р1м < р^, где ц^ = pi +
где 2m + 1 = /с.
Для системы газовой динамики (10) легко решается вопрос о един
ственности и существовании задачи о распаде в целом, то есть во всем конусе R^ = (w | w1 > 0, |w2| < оо, > 0}.
Для этого необходимо, комбинируя (16) и (18), построить кривые перехода Т^^ид), Т^\иТ') и найти их проекции РТ, , РТт на плоскость V = 0:
РТ^ = <РТ^ = <W I Ц = Ц( — ш(_р — р^, V > vr, V = VI —/„
РТ^ = <
РТ^ = <
w | v = vr + ш^р — pr), v < vr; v = vr +
+ t// "a n ГГ- (p - Pr)- « > «r
V (7+ l)p+ (7- l)pr
Поскольку T^(wi) представляют собою прямые, параллельные оси V, то существование решения означает, что проекции РТ^, РТ^ на плоскость V = 0, пересекаются в некоторой точке в плоскости V = 0. Как следует из (18) эти проекции пересекаются только в одной точке, и поэтому решение задачи о распаде единственно. При выполнении условий (17) проекции РТ^, РТ^ на плоскость V = 0 не пересекаются и задача о распаде для системы (10) не имеет ограниченного решения в переменных w = (V, v, Р)т. Такое решение нужно рассматривать в классе функциональных решений [66].
В переменных Годунова
1 pv 23 Р
и = — —, и = р, и = - рр
вопрос о существовании и единственности решения задачи о распаде для системы (10) решается путем построения кривых перехода T^((ui\ Т^(иг) и их ST^, ST^ центральных проекций на единичную сферу
S : (и1)2 + (и2)2 + (и3)2 = 1.
Можно показать, что на сегменте S П К эти проекции пересекаются только в одной точке при v^ < v^, и могут не пересекаться при v^ > > vlM. Эти факты могут служить предметом интересных обобщений на б^-системы.
ЛИТЕРАТУРА
Рождественский Б. Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газовой динамике. — М.: Наука, 1978.
Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математи-ческой физике. — М.: Наука, 1988.
Труды С. Н. Кружкова, (под редакцией Н.С. Бахвалова). — М.: Физматлит, 2000.
Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964.
Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. — М.: ИЛ, 1950.
Smaller /. Shock waves and reaction-diffuson equation. — New York: Springer-Verlag, 1983.
Антонцев C.H., Кажихов А. В., Монахов B.H. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. — М.: Наука, 1983.
Галкин В.А. Уравнение Смолуховского. — М.: Физматлит, 2001.
Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966.
Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. — М.: ИЛ. 1963.
Годунов С. К. Элементы механики сплошной среды. — М.: Наука, 1978.
Годунов С. К. Интересный класс квазилинейных систем. // ДАН СССР. - 1961. - Т. 139. - № 3. - С. 521-523.
Блохин А.М. Симметризация уравнений механики сплошной среды. // Сиб. жур. диф. ур-ний. — 1993. — Т. 2. — № 1. — С. 3-47.
Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1972.
Олейник О.А. Об одном классе разрывных решений квазилинейных уравнений первого порядка. // Научные доклады высшей школы, физико-матем. науки. — 1958. — № 3. — С. 91-98.
Лакс. П. (P.D. Lax) Hyperbolic systems of conservation laws, II. // Comm. Pure and Appl. Math. — 1957. — V. 10. — № 4. P. 537-566.
Тупчиев В. А. Об изолированности решений задачи о распаде произвольного разрыва. // Инф. бюл. Численные методы механики сплошной среды. — 1970. — Т. 1. — № 2. — С. 82-95.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967.
Рейзинь Л. Локальная эквивалентность дифференциальных уравнений. — Рига: Изд- во «Зинаттне», 1971.
Пазин Г.Н. Об изолированности обобщенного решения задачи Коши для системы уравнений газовой динамики без условий выпуклости. // Дифференц. уравнения. — 1989. — Т. 25. — № 8. — С. 1394-1400.
Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1976.
Олейник О.А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений. // УМН. — 1957. — Т. XII. — Вып. 3(75). — С. 3-73.
Тихонов А.Н., Самарский А. А. О разрывных решениях квазилинейных уравнений первого порядка. // ДАН СССР. — 1954. — Т. 99. - № 1. - С. 27-30.
Лакс П. (Lax P.D.) Shock waves and entropy. «Contribution to Nonlinear Functional Analysys» (E.H. Zarantonello Ed.). — New York.: Academic Press, 1971. — P. 603-634.
Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. Ill—IV. — М.: ГИФМЛ, 1958.
Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — Физматгиз, 1959.
Schaffer D.G., Shearer М. The classification of 2 х 2 systems of non-strictly hyperbolic conservation laws, with application to oil recjvery. // Commun. Pure and Appl. Math. — 1987. — V. 40. — № 2. - P. 141-178.
Тупчиев В. А. К задаче о распаде произвольного разрыва для системы двух квазилинейных уравнений первого порядка. // ЖВМ и МФ. - 1964. - Т. 4. - № 5. - С. 817-825.
Тупчиев В. А. Задача о распаде произвольного разрыва для системы квазилинейных уравнений без условий выпуклости. // ЖВМ и МФ. - 1966. - Т. 6. - № 3. - С. 527-543.
Тупчиев В.А. О единственности непрерывного решения задачи о распаде произвольного разрыва для градиентной системы. // Матем. заметки. — 1973. — Т. 13. — № 2. — С. 251-258.
Тупчиев В. А. О методе введения вязкости в изучении задачи о распаде разрыва. // ДАН СССР. — 1973. — Т. 211. — № 1. — С. 55-58.
Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. // Успехи мат. наук. — 1959. — Т. 14. — Вып. 9. — С. 87-158.
Li Ta-Tsien, Yu Wen-Tzu. Solutions regulieres globales des systems hyperboliques quasy lineaires d’ordre 1. // J. Math. Pure et Appl. — 1988. - № 4. - P. 401-409.
Кузнецов H.H., Тупчиев В.А. Об одном обобщении теоремы Глимма. // ДАН СССР. - 1975. - Т. 221. - № 2. - С. 287-290.
Glimm i. Solutions in the large for nonlinear hyperbolic systems of equations. // Comm. Pure Appl. Math. — 1965. — V. 18. — P. 697-715.
Тупчиев В. А. О равномерной ограниченности и сходимости по параметру приближенных решений изэнтропической системы газодинамики. // ДАН СССР. - 1987. - Т. 293. - № 5. - С. 1069-1073.
Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962.
Nishida Т. Global solutions for ап initial value problem. // Proc. Japan Acad. - 1968. - V. 44. - P. 642-646.
Бахвалов H. С. О существовании в целом регулярного решения квазилинейной гиперболической системы. // ЖВМ и МФ. — 1970. - Т. 10. - № 4. - С. 969-980.
Nishida Т., Smaller J. Solutions in the large for some nonlinear hyperbolic conservation laws. // Comm. Pure Appl. Math. — 1973 — V. 26. - № 2. - P. 183-200.
Пазин Г.Н., Тупчиев В. А. О существовании обобщенного решения задачи Коши для гиперболической системы из двух квазилинейных уравнений без условия выпуклости. // ДАН СССР. — 1983. - Т. 270. - № 5. - С. 1058-1061.
Liu Tai-Ping. Solutions in the large for equations of nonisentropic gas dynamics. // Indiana Univ. Math. J. — 1977. —V. 26. — № 1. — P. 147-177.
Ладыженская О.А., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967.
Эйдельман С.Д. Параболические системы. — М.: Наука, 1964.
Солонников В. А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости. // Записки научных семинаров Ленинградского отделения Матем. ин-та АН СССР. - 1976. - Т. 56. - С. 128-142.
Тупчиев В. А. О разрешимости в целом задачи Коши для системы газовой динамики, описывающей баротропное пространственное течение. // ЖВМ и МФ. - 1996. - Т. 36. - № 7. - С. 161-173.
Тупчиев В. А. Глобальная разрешимость задачи Коши для системы нелинейной упругости. // ЖВМ и МФ. — 1997. — Т. 37. — № 9. - С. 1094-1105.
Тупчиев В. А. Глобальная разрешимость задачи Коши для баротропной системы магнитной гидродинамики. // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32. — № 10. — С. 1410-1420.
Эдвардс Р. Е. Функциональный анализ. Теория и приложения. — М.: Мир, 1969.
Галкин В.А., Тупчиев В. А. О разрешимости в среднем систем квазилинейных законов сохранения. // ДАН СССР. — 1988. — Т. 300. - № 6. - С. 1300-1304.
Tartar L. Compensated compactness and application to the partial differential equation. // Res. Notes in Math. — 1979. — № 39. — P. 136-212.
DiPerna R. J. Convergence of approximate solutions to conservation laws. // Arch. Rational Meeh. Analysis. — 1983. — V. 82. — P. 2770.
DiPerna R J. Convergens of the viscosity method for isentropic gas dynamics. // Commun. Math.Phis. — 1983. — V. 91. — P. 1-30.
Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. - М.: Мир, 1977.
Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 1. - М/. Наука, 1971.
Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. — М.: Мир, 1965.
Тупчиев В. А. О равномерной ограниченности и сходимости по параметру приближенных решений изэнтропической системы газодинамики. // ДАН СССР. — 1987. — Т. 293. — № 5. — С. 1069-1073.
Красносельский М.А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. — М.: ГИФМЛ, 1958.
Тупчиев В. А. О разрешимости в целом задачи Коши для системы газовой динамики. // ДАН РАН. — 1995. — Т. 342. — № 6. — С. 747-749.
Тупчиев В. А. Глобальная разрешимость задачи Коши для системы, описывающей одномерное течение газа, лишенного вязкости и теплопроводности. // Мат. моделирование. — 1996. — Т. 8. — № 8. - С. 51-68.
Гичук А.В., Тупчиев В. А. Глобальная разрешимость задачи Коши для системы, описывающей одномерное течение плазмы. // Фундаментальная и прикладная математика. — 1998. — Т. 4. — № 4. - С. 1141-1164.
Гичук А. В., Тупчиев В. А. Глобальная разрешимость задачи Коши для системы магнитной газодинамики в случае локально адиабатического течения. // ЖВМ и МФ. — 2000. — Т. 40. — № 2. - С. 252-264.
Альтшулер Л. В. Применение ударных волн в физике высоких давлений // УФЫ. —1965. —Т. 82. — Вып. 2. — С. 197-258.
Базаров И.П. Термодинамика. — М.: ГИФМЛ, 1961.
Минусинский Я., Сикорский Р. Элементарная теория обобщенных функций. — М.: ИЛ, 1959.
Тупчиев В. А. Функциональные решения задачи о распаде разрыва. // Матем. заметки. — 1998. — Т. 63. — Вып. 2. — С. 280-288.
Склобовский Н.К., Тупчиев В.А. Функциональные решения законов сохранения и разностные схемы. // Мат. моделирование. — 1991. - Т. 3. - № 7. - С. 78-100.
Тупчиев В.А. О сходимости в слабых топологиях приближенных методов для изэнтропической системы газовой динамики. // ЖВМ и МФ. - 1994. - Т. 34. - № 10. - С. 1503-1519.
Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шебунин М. И. Лекции по теории функций комплексного перемнного. — М.: ГРФМЛ, 1982.
Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. — М.: ИЛ, 1961.
Эйзенхарш Л.П. Риманова геометрия. — М.: ИЛ, 1948.
Адиабата 30Априорная оценка 121А-система 124Волна разрежения 23, 27Градиентная форма 14Градиентная катастрофа 88Глобальная разрешимость 134Допустимый разрыв 34Закон сохранения 5, 20— дополнительный 14 58, 235Инвариант Римана 49Инвариантная область 130Квазиградиентная форма 15Класс К 34Конгруэнции 209Координаты Лагранжа 16Кривые перехода 64Мера борелевская 147Метод стандартный 145— вязкости 23Непрерывность слабая 152Принцип максимума 128Разностная схема Глимма 92Решение — автомодельное 23Адиабата 30Априорная оценка 121А-система 124Волна разрежения 23, 27Градиентная форма 14Градиентная катастрофа 88Глобальная разрешимость 134Допустимый разрыв 34Закон сохранения 5, 20— дополнительный 14 58, 235Инвариант Римана 49Инвариантная область 130Квазиградиентная форма 15Класс К 34Конгруэнции 209Координаты Лагранжа 16Кривые перехода 64Мера борелевская 147Метод стандартный 145— вязкости 23Непрерывность слабая 152Принцип максимума 128Разностная схема Глимма 92Решение — автомодельное 23
Адиабата 30
Априорная оценка 121
А-система 124
Волна разрежения 23, 27
Градиентная форма 14
Градиентная катастрофа 88
Глобальная разрешимость 134
Допустимый разрыв 34
Закон сохранения 5, 20
— дополнительный 14 58, 235
Инвариант Римана 49
Инвариантная область 130
Квазиградиентная форма 15
Класс К 34
Конгруэнции 209
Координаты Лагранжа 16
Кривые перехода 64
Мера борелевская 147
Метод стандартный 145
— вязкости 23
Непрерывность слабая 152
Принцип максимума 128
Разностная схема Глимма 92
Решение — автомодельное 23
Адиабата 30
Априорная оценка 121
А-система 124
Волна разрежения 23, 27
Градиентная форма 14
Градиентная катастрофа 88
Глобальная разрешимость 134
Допустимый разрыв 34
Закон сохранения 5, 20
— дополнительный 14 58, 235
Инвариант Римана 49
Инвариантная область 130
Квазиградиентная форма 15
Класс К 34
Конгруэнции 209
Координаты Лагранжа 16
Кривые перехода 64
Мера борелевская 147
Метод стандартный 145
— вязкости 23
Непрерывность слабая 152
Принцип максимума 128
Разностная схема Глимма 92
Решение — автомодельное 23
Предметный указатель
— глобальное 124
допустимое 25, 25
изолированное 207
локальное 118
мерозначное 147
слабое 35
функциональное 16
Система — газовой динамики полная, 10
изэнтропическая 42, 163
нелинейной упругости 12
Лудквиста 13
электромагнитной газодинамики 198
Ударная волна 24
Уравнение пограничного слоя 24
Условие выпуклости системы 28
Условия на разрыве 33
Условие О. А. Олейник 25
Условие С. Н. Кружкова 41
Энтропия 9
обобщенная 14, 38
Энтропийная пара 14
Энтропийное условие 41
Научное издание
ТУПЧИЕВ ВИЛЬ АСАДУЛАЕВИЧ
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
Редактор Е.Н. ГлебоваОригинал-макет: Д.А. ВоробьевОформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 21.04.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.Печать офсетная. Усл. печ. л. 14,5. Уч.-изд. л. 18,2. Тираж 400 экз.
Заказ №4176
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАЙК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ППП «Типография «Наука»121099, г. Москва, Шубинский пер., 6
Издательская фирма«Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»117864 Москва, Профсоюзная ул., 90
Гантшиахер Ф.Р.
Лекции по аналитической механике. Уч. пос.
Победря Б.Е., Георгиевский Д.В.
Основы механики сплошной среды. Курс лекций
Стулов В.П.
Лекции по газовой динамике
Веретенников В.Г., Синицын В.А.
Метод переменного действия. 2-е изд., исправ. и доп.
Дразни Ф.
Введение в теорию гидродинамической устойчивости. Пер. с англ.
Лебо И.Г., Тишкин В.Ф.
Исследование гидродинамической неустойчивости в задачахлазерного термоядерного синтеза
Магунов А.Н.
Теплообмен неравновесной плазмы с поверхностью
Морозов А.И.
Введение в плазмодинамику
Бондарь В.С.Неупругость. Варианты теории
Волосевич П.П., Леванов Е.И.
Автомодельные решения задач газ.динамики и теплопереноса
Зегжда С.А., Солтаганов Ш.Х., Юшков М.П.
Уравнения движения неголономных систем и вариационныепринципы механики
Ивлев Д.Д., Шемякин Н.Ф.
Проблемы механики деформируемых твердыхтел и горных пород. Сборник статей к 75-летию Е.И.Шемякина
Ильичев А.Т.
Уединенные волны в моделях гидромеханики
Игилинский А.Ю.
Математическая теория пластичности
Калинчук В.В., Белянкова Т.И.
Динамические контактные задачи для предварительнонапряженных электроупругих сред
Климов Д.М. (под ред.)
Проблемы механики. Сб. статей. К 90-летию со дня рождения
А.Ю. Ишлинского
Кобзарь А.И.
Прикладная математическая статистика. Для инженеров инаучных работников.
Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И.
Методы решения нелинейных уравнений математической физикии механики
Полянин А.Д.
Справочник. Линейные уравнения математической физики.
Полянин А.Д., Зайцев. В.Ф.
Справочник. Нелинейные уравнения математической физики(точные решения)
Полянин А.Д., Манжиров А.В.
Справочник по интегральным уравнениям
Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И.
Интегралы и ряды. В 3 т. Т-1. Элементарные функции
Прудников А.П., Брычков Ю.А.,Маричев О.И.
Интегралы и ряды. В 3 т. Т-2. Специальные функции
Прудников А.П., Брычков Ю.А.,Маричев О.И.
Интегралы и ряды. В 3 т. Т-3. Спец, функции. Доп. главы
Крайко (под ред.)
Механика жидкости и газа. Избранное
Крайко (под ред.)
Газовая динамика. Избранное. Т-1, Т-2
Завалигцин Д.С., Завалищин С.Т.
Динамическая оптимизация обтекания
Лаврухин Г.Н.
Аэрогазодинамика реактивных сопел. Т.1
Лебо И.Г., Тишкин В.Ф.
Исследование гидродинамической неустойчивости в задачахлазерного термоядерного синтеза
Левин В.А.
Многократное наложение больших деформаций в упругих ивязкоупругих телах
Липницкий Ю.М.и др.
Нестационарная аэродинамика баллистического полёта
Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А.
Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях
Матвиенко Ю.Г.
Модели и критерии механики разрушения
Нейланд ВЛ. и др.
Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа
Орленка Л.П. (под ред.)
Физика взрыва в 2-х томах
Тертычный-Даури В.Ю.Гиперреактивная механика
Челноков Ю.Н.
Кватернионные и бикватернионные модели и методы механикитвердого тела и их приложения
Шаповалов В.М., Лапшина С.В.
Введение в механику течения волокнонаполненных композитов
По вопросам приобретения книг обращаться:Издательская фирма«Физико-математическая литература»117997 Москва, Профсоюзная ул., 90тел./факс (095) 334-7421, e-mail: fizmat@maik.ru
О,
7 _ 1
плоскость р = 0 не пересекаются, и образуется зона
также записать в виде неравенства
^т ( К 2 + Vt 27 — 1 \1
которое означает, что при большом перепаде скоростей происходит отрыв газа и образуется зона вакуума.
В.А. Тупчиев
ОБОБЩЕННЫЕРЕШЕНИЯЗАКОНОВСОХРАНЕНИЯ
МОСКВА _ФИЗМАТЛИТ2006
УДК 517.5ББК 22.18Т85УДК 517.5ББК 22.18Т85
УДК 517.5
ББК 22.18
Т85
УДК 517.5
ББК 22.18
Т85
Издание осуществлено при поддержке и Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 05-01-140050
Тупчиев В. А. Обобщенные решения законов сохранения. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 228 с. - ISBN 5-9221-0708-9.
Книга посвящена теории квазилинейных систем дифференциальных уравнений, описывающих законы сохранения различных физических процессов с учетом диссипации и без нее.
В основе ее лежит специальный курс лекций «Обобщенные решения законов сохранения», читавшийся автором на протяжении ряда лет студентам специальности «Прикладная математика» в Обнинском государственном университете атомной энергетики. Книга вводит в курс современных математических методов исследования задач, имеющих обобщенные (разрывные) решения, моделями которых служат эволюционные задачи механики сплошных сред. В ней дано математическое обоснование широкого спектра этих задач: от частных задач, описывающих одномерные изэнтропические течения газа, до общих одномерных и пространственных задач, описывающих течение плазмы.
Обсуждаются вопросы единственности автомодельных решений квазилинейных систем, связанные с теорией конгруэнций в римановом пространстве.
Для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов, занимающихся дифференциальными уравнениями, математической физикой, математическими исследованиями в механике сплошной среды.
© ФИЗМАТЛИТ, 2006© В. А. Тупчиев, 2006© ФИЗМАТЛИТ, 2006© В. А. Тупчиев, 2006ISBN 5-9221-0708-9
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
© В. А. Тупчиев, 2006
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
© В. А. Тупчиев, 2006