Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
ПОЛНОЕ
СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ
ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙВ.Ф.КАГАНА,|А.П.КОТЕЛЬНИКОВАВВ. СТЕПАНОВА,1Н.Г.ЧЕБ ОГАРЕВАП. А. ШИРОКОВА!
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР
В. Ф. КАГАН
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
ТОМ ЧЕТВЕРТЫЙ
СОЧИНЕНИЯП О АЛГЕ Б РЕ
АЛГЕБРАИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕКОНЕЧНЫХ
ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНИВ ДВУЧЛЕННОМ УРАВНЕНИИ,КОГДА ПОКАЗАТЕЛЬ БЕЗ ЕДИНИЦЫДЕЛИТСЯ НА 8
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции • 5
I. АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ (1834)
Вводная статья и комментарии Н. Г. Чеботарева
Вводная статья . ... * 9
Алгебра или вычисление конечных*, .23
Примечания 357
Приложения 366
П ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНИ В ДВУЧЛЕННОМ УРАВНЕНИИ, КОГДА ПОКАЗАТЕЛЬ БЕЗ ЕДИНИЦЫ ДЕЛИТСЯ НА 8 (1834)
Вводная статья и комментарии Н. Г. Чеботарева
Вводная статья 441
Понижение степени в двучленном уравнении, когда показатель без единицыделится на 8445
Примечания 463
ОТ РЕДАКЦИИ
Настоящий четвертый том полного собрания сочинений Лобачевского содержит его работы по алгебре. Этих работ две: курс алгебры под заглавием «Алгебра или вычисление конечных», изданный в Казани в 1834 г., и статья «Понижение степени в двучленном уравнении, когда показатель без единицы делится на 8», помещенная в «Ученых Записках Казанского Университета» в 1834 г. и выпущенная в том же году отдельной книжкой. Кроме того, в геометрическом кабинете Казанского государственного университета хранится рукописный первоначальный вариант «Алгебры».. Этот вариант не помещен в настоящем издании целиком, так как он почти полностью совпадает с первыми 13 главами книги «Алгебра или вычисление конечных». Здесь воспроизведены лишь наиболее существенные места рукописи, которых нет в книге.. В частности, рукопись снабжена интересным предисловием Лобачевского, касающимся школьного преподавания алгебры; книга же, предназначенная для студентов, имеет другое предисловие. Кроме того, глава 13-я рукописи (разрешение уравнений второй и третьей степени) по содержанию входит как часть в 17-ю главу книги, но по изложению имеет другой, более элементарный характер.
Помещаемые здесь работы Лобачевского снабжены вводными статьями и примечаниями. Местами у Лобачевского имеются промахи: в формуле пропущен член, в результате вычисления допущена погрешность и т. д. В этих (немногих) случаях внесены исправления, как это обычно делается при издании классиков.
Редакция сочинений Н. И. Лобачевского по алгебре была выполнена Н. Г. Чеботаревым. Все составленные Н. Г. Чеботаревым вводные статьи и примечания были им своевременно доставлены. Но, к несчастью, 2-го июля 1947 г. Н. Г. Чеботарев после тяжелой операции неожиданно скончался. Настоящий том выпущен в свет уже без дальнейшего его участия.
Н. И. Лобачевский
Портрет казанского художника Л. Д. Крюкова, написанный в 1839 году
АЛГЕБРАИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕКОНЕЧНЫХ
а 8 8 4—«®©«s—
ВВОДНАЯ СТАТЬЯ И КОММЕНТАРИИН.Г.ЧЕБ ОТАРЕВА
Стр.а23Стр.а23357"366427431434357"366427431434
Стр.
а
23
Стр.
а
23
357"
366
427
431
434
357"
366
427
431
434
АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ
Вводная статья:
Обзор сочинения «Алгебра или вычисление конечных» Н. И. Лобачевский — «Алгебра или вычисление конечных» Предисловие (23). Вступление. Предварительные понятия и объяснение некоторых названий (29). Гл. I. Сложение и вычитание чисел (33). Гл. П. О положительных и отрицательных (37). Гл. Ш. Сложение и вычитание коликих (41). Гл. IV. Умножение и деление коликих (49). Гл. V. Уничтожение скобок и включение в скобки (61). Гл VI. Счет дробей обыкновенных и Алгебрагических (75). Гл. УП. Счет десятичных дробей (89). Гл. УШ. Счет непрерывных дробей (100). Гл. IX. Решение уравнений первой степени (118). Гл. X. Значения неизвестных в целых числах (141). Гл. XI. О степенях и корнях действительных (170). Гл. ХП. О степенях и корнях воображаемых (200). Гл. ХШ. О Логарифмах (213). Гл. XIV. О Тригонометрических функциях (230). Гл. XV. О приращении и суммова- нии функций (239). Гл. XVI. Решение двучленных уравнений (259), Гл. ХУЛ. Решение всякого Алгебрагического уравнения (283).
Примечания
Приложения:
Рукопись Н. И. Лобачевского «Алгебра»
Статья К. Л. Греффе — «Доказательство теоремы из теории численных уравнений»
Статья Н. Н. Парфентьева — «Историческая заметка по поводу одного метода решения численных алгебраических уравнений, данного Н. И. Лобачевским»
Историко-библиографические сведения о сочинении «Алгебра или вычисление конечных»
АЛГЕБРА
И л и
ВЫЧИСЛЕН1Е КОНЕЧНЫХЪ
О<4‘О1НО
С очинилъ
Н. ЛобагеескШ.
КАЗАНЬ.
ВЪ УНИВЕРСИТЕТСКОЙ ТИПОГРАФ1И.
1834.
Титульный лист сочинения «Алгебра или вычисление конечных».
О ^иО о .1- <^00*W*<5>*|»00-*«*. О<3>.♦•*»♦ о о и -» О О й*н<=>
Печатать позволяется. Москва 1832 года Февраля 18 дия.
Ц^нсорг Сергеи Лисакоаъ.
«*>*•*'О <О и *НОО ММНО*НО €М*1К>О*ИО<>»• *NОО**О
Оборот титульного листа.
ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ»
Сочинение Лобачевского «Алгебра или вычисление конечных» вышло» в свет отдельной книгой в 1834 г. в Казани. Эта книга была написана Лобачевским несколько ранее, что уже можно видеть из напечатанной в ней резолюции цензора: «Печатать позволяется. Москва 1832 года Февраля 18 дня. Ценсор Сергей Аксаков». Но еще в 1825 г. Лобачевский представил в Казанский университет рукопись учебника алгебры, специальный обзор которого помещен в настоящем томе- (приложение 1, стр. 366).
Цель настоящей статьи — с одной стороны, указать, какое места занимает «Алгебра» Лобачевского в ряду современных ему учебников по алгебре; с другой стороны—обратить внимание читателей на существенно новые результаты, содержащиеся в этой книге.
В предисловии Лобачевский определяет понятие алгебры так: «В Арифметике начинают с примеров на числах; потом, соблюдая постепенность в понятиях, вместо чисел, чтобы разуметь их произвольными, в Алгебре употребляют буквы, избегая однакож способа бесконечно малых или границ, как такого, который требует более усилий от ума и составляет уже последнюю и высшую часть Аналитики»). Но дальше Лобачевский говорит: «Решение уравнений составляло всегда главный предмет Алгебры»). Для историка математики представляло бы большой соблазн из сопоставления этих двух, различных определений усмотреть предсказание характерного для алгебры XX века ее расщепления на две мало связанные друг с другом дисциплины: с одной стороны—«современную алгебру», т. е. науку о формальных операциях, развившуюся в последнее время в большую самостоятельную дисциплину, и с другой стороны — алгебру, как науку о расположении и вычислении корней алгебраических уравнений на плоскости комплексной переменной. Последняя широко пользуется методами анализа бесконечно малых.
а также теорией аналитических функций. Однако можно убедиться, что здесь мы имеем дело не с предсказанием будущего явления, а с констатированием процесса, происходящего с весьма давнего времени. В самом деле, если мы обратимся к более старым авторам, то увидим, что упомянутое расщепление алгебры красной нитью проходит чуть ли не через всю историю алгебры, то усиливаясь, то ослабевая. Не обращаясь к первоисточникам, возьмем книжку В. Ф. Кагана «Что такое алгебра?»). Там на стр. 40 мы находим: «Итак, точка зрения на алгебру как на анализ конечных величин, в противоположность анализу бесконечно малых, характерна, для ХУШ-го столетия и разве еще для самого начала XIX-го; позже, в Х1Х-ом столетии, она была совершенно оставлена, так как стало вполне ясно, что идея о бесконечно малой величине и о бесконечных процессах играет в алгебре такую же роль, как и в дифференциальном исчислении». Таким образом, явление, которое в первой четверти двадцатого века казалось изжитым, во второй его четверти начинает играть решающую роль в развитии алгебры. Понятие предела еще недавно считалось неотъемлемой принадлежностью алгебры (вспомним, например, что теорема о существовании корня называлась «основной теоремой алгебры»); в настоящее время оно считается органически чуждым алгебре.
Какую же позицию занимал Лобачевский во взгляде на алгебру? Для выяснения этого приведем еще две цитаты из его предисловия.
«В этом смысле Алгебра будет та же наука, которую Ньютон назвал Обшая Арифметика, чтобы отличить от Арифметики на числах, и которую столько же справедливо можно называть вычисление конечных, в противоположность с дифференциальным или вычислением бесконечно малых, где являются неоспоримо новые начала, под каким бы видом ни старались их представлять, желая соблюсти строгость, эту существенную принадлежность всякого Математического учения» ).
«Алгебру и Геометрию постигла одинаковая участь). За быстрыми успехами в начале следовали весьма медленные и оставили науку на такой степени, где она еще далека от совершенства. Это произошло вероятно от того, что Математики все свое внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и оставили за собою»).
Из этих слов Лобачевского видно, что он считает алгебру пропедевтикой к высшим частям анализа и что вместе с тем он считает ее самостоятельной наукой потому, что, по его мнению, она должна разрабатывать «начала» анализа, сообщая ему необходимую строгость. Здесь нетрудно узнать ту же мысль, которая руководила Лобачевским при его работах над «началами» геометрии. Ни в одной из этих областей Лобачевский не дошел до аксиоматического метода; но потребность в нем им уже явно ощущалась. Аксиоматический метод и развился впоследствии под влиянием трудов Лобачевского.
Лобачевский сперва предназначал свою книгу для гимназий; но затем, решив сделать ее пособием для учителей и студентов, значительно дополнил ее. В связи с этим можно усмотреть две различные цели, которые преследует книга: её первые главы излагают начальные основы алгебры, причем обращается главное внимание на строгость выводов; вторая же часть книги посвящена высшим отделам алгебры, содержит много оригинальных выводов и методов и является введением в изучение дифференциального исчисления.
Цель и характер первых глав прекрасно очерчены Лобачевским в следующих словах предисловия:
«Всякий, надеюсь, согласится с справедливостию моего замечания, что первые понятия во всех отраслях Математических наук приобретаются легко, но всегда соединены с недостатками, которые пополнить даже и в последствии бывает весьма трудно. Если писатели для начинающих опускают это из виду, то они предполагают другую цель, опасаясь бесполезно затруднить читателей. Где-нибудь однако ж надобно воротиться снова к началам и теперь уже всю строгость почитать у места. По мнению моему Алгебра первая начинает Математику со всею точностию понятий и со всей обширностию взгляда; тогда как Арифметика составляет еще приступ, служит только приготовлением и для навыка. Вот почему в моем сочинении говорится о числах, счете, четырех действиях Арифметических. Понятие о положительных и отрицательных я не почел нужным заимствовать прямо из природы вещей, перейдя уже раз к отвлеченным; но рассматриваю их как числа, искусственно соединенные с знаками и единственно в намерении правила сложения и вычитания сделать общими» 1).
Первые семь глав «Алгебры» Лобачевского посвящены действиям над числами и алгебраическими выражениями. Они изложены в строго систематическом порядке, без каких-либо методических отступлений, которые бы имели целью разъяснение значения вводимых понятий, и весьма скупо иллюстрируются примерами. Законы и правила дей-
!) См. стр. 24—25 наст. тома.
ствий даются в догматической форме, после чего из них выводятся следствия. С другой стороны, изложение весьма далеко от современного аксиоматического изложения. Это находится в полном соответствии с установками Лобачевского на построение начал геометрии. Подробное их выяснение читатель найдет в вводной статье к сочинению «Новые начала геометрии», помещенному во П томе настоящего изд а ния •
Основные законы: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный, нигде в явном виде не высказаны. Для выяснения понятий арифметических действий приводятся определения примерно такого рода.
«К целому числу придать другое, значит к единицам первого присчитать единицы второго. Чтобы к дроби придать другую, надобно прежде выразить их в одинаковых долях единицы, а потом к числу долей одной присчитывать число долей другой» и т. д.).
Правила знаков и действий со скобками даются в виде детальных указаний, но мало объединены общей идеей. Дистрибутивный закон выводится отдельно для целых и для дробных множителей [ст. 44 )].
Перейдем к обзору дальнейших глав книги. Прежде всего отметим, что книга, даже в ее рукописном варианте, содержит материал, значительно превышающий объем школьных программ того времени. Так, глава УШ, посвященная непрерывным дробям, очень обширна. В ст. 81—91 дается близкое к современному изложение теории непрерывных дробей, включая теорему, которую мы привыкли называть теоремой Лагранжа. У Лобачевского она интересно сформулирована (ст. 88):
«Если знаменатели в непрерывной дроби целые положительные числа, то приближенная дробь выражает полное значение короче, нежели всякая другая с тою же точностию» ).
Особый интерес представляет конец главы УШ, ст. 92—98. Здесь содержится определение «промежуточных» подходящих дробей, через знаменатели которых могут быть выражены разности любых двух подходящих дробей. Эти же подходящие дроби дают возможность «укрупнения» разложения в непрерывные дроби при помощи процесса соединения по нескольку звеньев в «купы»; получаемые дроби будут содержать в своих звеньях и числители* Эта теория первоначально была развита Эйлером).
Глава IX посвящена решению систем линейных уравнений. Еа первая часть содержит систематическую сводку правил для их
элементарного решения (т. е. без помощи теории определителей), Вторая часть (ст. 108—113) содержит теорию определителей в очень интересной, хотя теперь почти забытой форме, основной замысел которой, впрочем, имеется у Коши),
Сущность метода Лобачевского заключается в том, что он делает вторые значки в элементах определителя показателями и получает определитель Вандермонда, т. е. произведение разностей; при перемножении членов такого произведения необходимо опять сделать получающиеся показатели вторыми значками. Такие символические выражения Лобачевский называет «представительными»; слова «определитель» (или «детерминант») он нигде не употребляет, но основы теории определителей Лобачевским полностью построены.
Глава X посвящена линейным неопределенным уравнениям, а также системам линейных неопределенных уравнений. Эти уравнения решаются при помощи непрерывных дробей. Этот способ не дает возможности решать уравнения с тремя или большим числом неизвестных, а также системы, у которых число неизвестных более чем на единицу превышает число независимых уравнений. Лобачевский говорит (ст* 120):
«Какое бы число уравнений ни было, но если одного только недостает против числа неизвестных, и если между ними нет лишних (Гл. IX, сТ. 107), постепенное исключение всегда приводит к одному уравнению с двумя неизвестными» ).
Лобачевский ограничивается рассмотрением такого рода систем. Повидимому, ему не был известен более общий способ решения не- определецных уравнений, который носит название алгоритма Якоби, но, в сущности, был придуман еще Эйлером).
Далее Лобачевский прилагает теорию неопределенных уравнений к вычислению праздников согласно церковным правилам.
Глава XI посвящена степеням и корням» Особый интерес здесь представляет вывод биномиальной формулы* Сначала она выведена для целых положительных степеней, причем Лобачевский при выводе не пользуется данными комбинаторики. Обобщая этот вывод, он получает полиномиальную формулу. Затем биномиальная формула распространяется на случай отрицательных и дробных показателей* Данный здесь вывод очень прост, обстоятельно развернут и вместе с тем
глубок. Прежде всего дается понятие о сходящихся рядах («исчезают щих строках»). Затем выводится правило умножения сходящихся рядов. Наконец, вводится в рассмотрение ряд
[.Pl = 1 -f-^ . X 4- р~2 . дЛ-^^З . ^3_|_.,
где под р^к понимается выражение
1-2*.’
Легко показать, что при любых р и q имеет место тождество
[?] • Ш = Lp + ?]-
Если теперь п=^-, где р, q— целые числа, то
М7==[р]==(1 + а?)Р,
откуда, извлекая корень, получим:
W =(1 +^)».
Аналогичная формула выводится для отрицательных показателей- Этот вывод вполне строг, но, конечно, годится только для рациональных показателей. В предисловии Лобачевский говорит о выводе Гаусса^ у которого он заимствует вывод соотношения между коэффициентами (ст. 152). Отметим, что в то время уже был опубликован знаменитый мемуар Абеля), в котором формула бинома выводится для комплексных значений х и показателя и, но, конечно, такое расширение биномиального ряда не входило в задачи Лобачевского»
Глава ХП, посвященная степеням и корням от комплексных величин, дает понятие о многозначности корней. Она изложена чисто аналитически, без принятой теперь геометрической иллюстрации.
Большой интерес представляет глава ХШ, посвященная логарифмам. Кроме элементарной теории логарифмов, эта глава содержит два различных метода вычисления логарифмов. Первый основан на многократном извлечении квадратного корня из числа 10 и получающихся корней; он приводит к составлению таблицы десятичных логарифмов. Второй способ состоит в элементарном выводе разложения натурального логарифма lg(l-f-a?) в степенной ряд. Для этого Лобачевский исходит от функции, заданной рядом
Пользуясь выведенными ранее правилами преобразования рядов, он выводит формулу
Ltl + ^U + ^-LClH-aO+^GL + y), откуда легко вытекает, что L (1 -|- ж) есть логарифм от 1 -|- ж при некотором основании. Затем вычисляется и самое основание. Не ограничиваясь выводом ряда, Лобачевский делает указания о практических приемах составления таблиц.
Начиная с главы четырнадцатой, весь материал книги представляет- дополнение, сделанное при приспособлении книги к университетскому преподаванию, и в первоначальной рукописи не содержится.
В главе XIV введены тригонометрические функции. Взгляд Лобачевского на алгебру не делает введение в алгебру тригонометрических функций обязательным. Поэтому, вводя их, Лобачевский делает в предисловии следующую оговорку:
«О тригонометрических функциях я также захотел говорить, не* выходя впрочем из пределов Алгебры. Надеюсь, что меня одобрят^ потому что не только решение уравнений требует такого пособия,, но даже и учение о степенях осталось бы иначе не полным»1).
Изложение этой главы весьма своеобразно. Лобачевский не прибегает к геометрическому определению тригонометрических функций► Более того, ни в одном месте книги не говорится об их геометрическом значении. Функции cos х и sin х вводятся формально при помощи формулы Эйлера:
е = cos а?-ф- у —1 • sin ж,
где функция е®^*"1, на основании предыдущей главы, определяется при помощи степенного ряда. Преобразуя получаемые ряды, Лобачевский получает формулы сложения и умножения, констатирует периодичность тригонометрических функций и дает известный ряд для удобного вычисления л при помощи равенства
- = 4 arctg — — arctg —
и разложения arctg# в степенной ряд.
Несомненно, что такое формальное введение тригонометрических функций вызвано, кроме соображений о чистоте алгебраического метода, еще и тем, что в Воображаемой геометрии тригонометрические* функции необходимы как инструмент и вместе с тем в плоскости на допускают простого геометрического определения.
Глава XV, «О приращении и суммовании функций», посвящена, началам разностного исчисления. Помещение этой главы в книга
стоит в соответствии с концепцией алгебры, как «вычисления конечных», которого придерживался Лобачевский. Сам он говорит об этом в предисловии следующее.
«О приращении и суммовании функций надобно читать в Алгебре, если сюда относить уже всякое вычисление конечных. Существенное помещено здесь в Главе XV, где найдут, кроме обыкновенных и давно известных, еще много новых случаев и примеров. Кажется и эта часть Математики заслуживает более внимания, нежели какое до сих пор ей оказывали»1).
В этой главе Лобачевский дает выражения разностей и сумм нескольких элементарных функций, ограничиваясь первыми разностями. Далее он рассматривает линейные разностные уравнения первого sin же порядка, прилагая их к выводу выражениячерез cos х, а
также к разложению функций в непрерывные дроби. Таким путем он получает разложение функции tgx.
Ст. 200—201 содержат весьма интересное разностное соотношение для систем полиномов возрастающих степеней, принадлежащее самому Лобачевскому. Как он говорит в предисловии, он заимствовал его у своего учителя Бартельса). Прилагая это соотношение к степенным рядам, он вторично получает выражения для биномиальных рядов (ст. 153), а также для других степенных рядов.
Глава XVI, «О решении двучленных уравнений», интересна тем, что в ней Лобачевский помещает свои собственные исследования по решению в радикалах уравнений деления круга. Эти исследования представлялись Лобачевским еще в 1813 г. Отделению Физико-математических наук при Казанском университете, а впоследствии были продолжены в помещаемой в настоящем томе статье Лобачевского «Понижение степени в двучленном уравнении, когда показатель без единицы делится на 8», которая была напечатана в «Ученых Записках. Имп. Казанского Университета», в книжке I (1834). Во вводной статье к этой работе Лобачевского ) мы даем анализ содержания результатов Лобачевского в области теории корней из единицы в связи с результатами других авторов.
Последняя, ХУЛ глава, «Решение всякого алгебраического уравнения», собственно говоря, содержит весь материал, который в настоящее время составляет предмет высшей алгебры. Поэтому познакомимся подробнее с тем, что входит в эту главу. После определения алгебраического уравнения (ст. 217) следует изложение способа уничтожения члена, содержащего хп-1 (ст. 218). Далее идут
формулы Виета (ст. 219), преобразование уравнений с рациональными коэффициентами в уравнения с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице (ст. 220), нахождение рациональных корней (ст. 221), весьма практичный прием для уменьшения числа действий при их нахождении (ст. 222), нахождение границ вещественных корней алгебраического уравнения. Граница для наибольшего корня дается в форме
®< \f 1+}/1Г" >
где U—наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент уравнения, а хп~г — наивысшая степень, при которой стоит отрицательный коэффициент уравнений n-ой степени (ст. 223).
В ст. 224—227 дается решение кубических уравнений, причем вывод формулы Кардана отличается от обычного: искусственная, но очень простая подстановка
а
сразу приводит уравнение
а?-|" ^ 4- 6 = 0к виду/тЗ
а такое уравнение решается легко. Затем выводится условие вещественности корней и, наконец, даются практические приемы для их вычисления при помощи тригонометрических функций и при помощи получения кубических корней из комплексных выражений в виде бесконечных рядов.
Ст. 228—231 посвящены решению уравнений четвертой степени. Для их решения даются два метода. Первый из них является, в сущности, методом Эйлера, но отличается формой вывода. После его изложения разбираются все возможные случаи, касающиеся числа вещественных корней. Второй метод сходен с методом Феррари, но форма вывода оригинальна.
В ст. 232 Лобачевский говорит: «Общее решение уравнений далее четвертой степени еще до сих пор не найдено». Это замечание как будто указывает, что Лобачевскому не была известна статья Абеля о невозможности решения уравнений выше 4-ой степени в радикалах. Это, однако, мало вероятно, так как статья Абеля1) напечатана в пер
вом томе журнала Крелля, в то время как в своей статье «Понижение степени», напечатанной в том же 1834 году, Лобачевский ссылается на девятый том этого журнала. Скорее можно предположить скептическое отношение Лобачевского к этому результату Абеля.
В той же статье дано формальное определение производной от полинома и выведен ряд Тейлора.
В ст. 233—234 доказывается существование вещественного корня в уравнении нечетной степени. Доказательство весьма близко к современному: интервалы неограниченно дробятся и выделяются все меньшие интервалы, на краях которых полином принимает значения разных знаков. Затем доказывается непрерывность полинома.
Ст. 235 посвящена выделению кратных корней. В ст. 236 выводится связь между числом вещественных корней полинома и его производной. В ст. 237 выводится условие а^ > ат^ • Дт-ь необходимое для вещественности всех корней уравнения. Ст. 238 посвящена выводу правила Декарта.
В ст. 239—243 излагается метод отделения корней. В предисловии Лобачевский говорит: «Сочинения Г. Штурма о вычислении корней в уравнениях мне не случилось еще видеть».
В ст. 244 дается доказательство существования корня алгебраического уравнения, откуда делается заключение о существовании ровно и корней. Лобачевский доказывает здесь только лемму Даламбера: «абсолютное значение полинома, как функция от вещественной и мнимой частей аргумента, может принимать минимальные значения только тогда, если они являются нулевыми значениями». Однако эта лемма явно не сформулирована. Понимание текста несколько затруднено тем, что Лобачевский здесь опирается на своеобразное утверждение статьи 239: «Выражение Fn (ж) приобретает самое большое значение, когда в величине своей начинает уменьшаться как с возрастанием, так и с уменьшением х. Напротив говорят, что Fn ^ достигло уже самого меньшего значения, когда его величина начинает расти с изменением х в ту и другую сторону». Вслед за этим определением стоит утверждение: «Согласно такому понятию значение Fw (а?) = 0 не может быть причислено ни к самым большим, ни к самым меньшим»т). Нам не удалось расшифровать смысл этого утверждения, которое явно противоречит обычным представлениям об экстремуме. Его применение в статье 244 создает в ней полную неясность.
В ст. 245 дается вывод формул Ньютона, связывающих коэффициенты уравнения и суммы степеней его корней. Этот вывод выгодно отличается от общепринятых своей элементарностью и простотой.
т) Стр. 319 наст. тома.
В ст. 246—247 выводятся формулы Лагранжа, дающие явные выражения сумм, степеней через коэффициенты и обратно. В ст. 248—249 даются методы вычисления целых симметрических: функций общего вида.
В ст. 250 показывается, как составить уравнение, корнем которого является какая-нибудь функция от корней заданного уравнения. Для случая, когда в качестве этой функции взята сумма двух корней, проводятся более детальные выкладки.
В ст. 251 дается способ исключения неизвестных при помощи последовательного деления, напоминающий способ Labatie).
В ст. 252 доказывается теорема Безу для случая двух уравнений. В ст. 253 сделано дополнение к способу отделения корней. В ст. 254 дается способ нахождения границ корней алгебраических уравнений. В ст. 255 изложен способ Фурье отделения корней.
Статей 256-ых две (очевидно, по недосмотру в нумерации). В первой из них кратко изложены способы Лагранжа и Ньютона приближенного вычисления корней алгебраических уравнений. Способ Лагранжа приведен только в виде указания на способ получения корня в виде непрерывной дроби, с приложением примеров; здесь не сделано, однако, существенного дополнения, быстро дающего большие приближения ).
Во второй статье 256 содержится доказательство периодичности разложения корня квадратного уравнения с рациональными коэффициентами в непрерывную дробь.
В ст. 257 даются краткие указания на способ приближенного вычисления корней, впоследствии неправильно получивший название способа Греффе. Этот способ придуман Лобачевским раньше, чем Греффе. В приложении к настоящему сочинению (на стр. 427) мы помещаем статью Греффе (1833 г.)), из которой читатель увидит, что автор не дает описания практического приема для вычисления корней, а ограничивается лишь доказательством сходимости процесса. Греффе выпустил в 1837 году книгу по этому вопросу ), которой нам не удалось видеть. Если принять во внимание, что книга Лобачевского, вышедшая в 1834 г., была готова к печати в 1832 г., как об этом свидетельствует виза цензора, то надо признать, что приоритет изобретения этого лучшего современного способа вычисления корней принадлежит не Греффе, а Лобачевскому. Об этом подробно изложено в статье Н. Н. Пар"
фентьева «Историческая заметка по поводу одного метода решения численных алгебраических уравнений, данного Н. И. Лобачевским» (Уч. Зап. КРУ, т. 85, 1925, стр. 53—55), которую мы тоже помещаем в приложении к настоящему сочинению (на стр. 431).
Поставим теперь вопрос о месте, которое занимает «Алгебра» Лобачевского среди книг по алгебре конца 18-го и начала 19-го века. Одной из популярнейших книг по алгебре в конце 18-го столетия была «Алгебра» Клеро). Она содержит исключительно теорию уравнений, кончая уравнениями 3-ей и 4-ой степеней, а также двучленными уравнениями любой степени. В ней отведено много места правилам составления уравнений, причем правила алгебраических действий даются ad hoc, во время объяснения способов решения задач. О своем методе изложения автор говорит в предисловии так: «Эта манера излагать материал дает алгебру, которую я, так сказать, заставляю читателя открывать». Таким же образом автор знакомит читателя с отрицательными числами и другими новыми понятиями, имея в виду уровень развития «начинающих», как он говорит в предисловии.
В таком же роде составлена книга по алгебре Безу), переведенная в 1801 г. на русский язык. Однако она, в отличие от книги Клеро, начинается главой о действиях над буквенными выражениями. Кроме того, она содержит некоторые сведения о мнимых выражениях, о бесконечных рядах и о выделении кратных корней. Вторая часть книги посвящена приложению алгебры к геометрии и к теории конических сечений. Обе книги носят очень элементарный характер.
Совсем в другом роде составлена алгебра Эйлера). Ее первая часть делится на три отдела: первый отдел посвящен арифметическим действиям, включая извлечение корня и логарифмирование; второй отдел — действиям с буквенными выражениями и третий отдел — отношениям, пропорциям и прогрессиям. Вторая часть имеет дело с уравнениями: первый отдел посвящен решению уравнений до четвертой степени включительно; второй отдел — неопределенным уравнениям; он представляет для математиков главный интерес благодаря множеству трудных задач, которые здесь впервые были решены. Книга написана в высшей степени обстоятельно и понятно, но вместе с тем изложение в ней не систематическое и ей чужды методические принципы, руководившие упомянутыми выше французскими авторами. Вообще, это замечательное сочинение ни в каком случае нельзя рассматривать как учебник алгебры.
«Алгебраический анализ» Коши) содержит, главным образом, материал, относящийся к обоснованию анализа: в нем впервые было дано строгое понятие непрерывной функции, производной и т. д. В нем имеются главы алгебраического содержания, но все же его нельзя рассматривать, как курс алгебры.
Вскоре после выхода в свет «Алгебры» Лобачевского появился русский перевод «Алгебры» Бурдона). Эта книга показывает, что в ту эпоху уже определился состав отделов алгебры, близкий к современному. Именно, первая часть этого курса весьма близка к современному курсу алгебры для средних учебных заведений, а вторая часть — к курсу алгебры для высших учебных заведений. По содержащемуся в ней материалу он наиболее подходит к «Алгебре» Лобачевского; только в нем гораздо более подробно развиты отделы, составляющие предмет современной алгебры (выделение кратных корней, симметрические функции, исключение и т. п.).
Наконец, к той же эпохе относятся «Лекции алгебраического и трансцендентного анализа» Остроградского, вышедшие также после книги Лобачевского, в 1836 году. В них отсутствуют главы по элементарной алгебре. Первая часть этой книги, «Решение алгебраических уравнений», содержит теорию численного решения уравнений, с подробным изложением способов отделения (включая способ Штурма) и вычисления корней. Вторая часть, «Теория алгебраических функций», содержит теорию радикалов, симметрических функций, а также основы теории чисел.
Подведем итоги. «Алгебра» Лобачевского в своих первых главах отличается от современных ей книг по алгебре систематическим изложением правил основных арифметических операций, которые вводятся формально. При рассмотрении действий с дробными и отрицательными числами, вводимые правила не выводятся из общих законов (коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного), как это делается в современном аксиоматическом изложении, а излагаются в виде многочисленных правил; некоторые из них выводятся из других. Все это создает сложный и тяжелый для изучения материал. Тем не менее, такого рода проработка правил несомненно была необходимым предварительным шагом перед созданием системы аксиом алгебры.
Другое дело — вопрос о необходимости изучения этого материала каждым учащимся. Поскольку он содержался также в рукописном варианте «Алгебры», предназначавшемся для школьников, мы должны заключить, что Лобачевский считал нужным обучать школьников основам алгебры именно так, как они изложены в его книге. В пре
дисловии к рукописному варианту «Алгебры» он говорит о своем преподавании алгебры таким методом следующее: «Два года читается Алгебра в Казанской Гимназии под моим руководством, и в последнее время я имел всю причину восхищаться успехами детей. Видел, что они тверды в правилах, понимая все, совершенно упер айные в своих знаниях, отвечают со рвением на вопросы, с намерением даже сысканные, разрешают их легко, не подозревая, чтоб в них могло скрываться затруднение, достойное занять взрослых» (см. стр. 368 настоящего тома). Таким образом, Лобачевский был вполне удовлетворен результатами преподавания. Невидимому, независимо от метода преподавания, большую роль в его успехе сыграл личный момент, чего не отрицает и сам Лобачевский, говоря: «Затем готов я думать, что есть ли учение Математики, столь свойственное уму человеческому остается для многих без успешно, то это по справедливости должно преписать недостаткам в искусстве и способе преподавания. Не утверждая с дерзостию, чтоб я постигнул совершенство в последнем, но хочу надеяться, что избрал прямую дорогу к цели, впрочем ожидаю- подтверждения от других».
Нам, более чем через сто лет после выхода в свет «Алгебры», трудно оценить то методическое значение, которое имела ее первая часть для современников. Что же касается ее второй части, то она далеко не утратила интереса и в настоящее время. Прежде всего отметим, что в ней Лобачевский предложил новый и до сего времени наилучший способ вычисления корней, теперь несправедливо носящий название способа Греффе. Немалый интерес также представляют принадлежащие Лобачевскому новые выводы многих известных фактов, несомненно оригинальные и часто более изящные, чем другие выводы. Отметим среди них прекрасные элементарные выводы биномиального ряда, а также ряда для логарифма и построение элементов теории определителей. Далее, представляют интерес его выводы решений уравнений 3-ей и 4-ой степеней, а также весьма простой вывод Ньютоновых формул для степеней сумм*
Лобачевский первый опубликовал в России курс высшей алгебры; книга его очень оригинальна и в свое время несомненно являлась выдающимся событием в математической литературе. Конечно, Лобачевский вошел в историю не за «Алгебру». Но в ней он тоже проявил свой талант и свою яркую индивидуальность.
Александре Афродизшской говорить, что анализ» восходить къ началамъ , а синтез» отъ начале идете къ заключешямъ. Таке древше хотели понимать способе аналитической п синтетической въ Геометрш ; такъ и въ нынешней Аналитической Матема
тике неизвестный числа определяются какъ бы начала, изъ которыхе съ прибавлешемъ данныхъ, составляются уравнешя. Всякаго рода вычислеше делается съ той целно, чтобы найти неизвестное ; а потому правила для вычислений соединяются въ одно учете—Аналитику. Ее можно разделить на Apueatemw- ку, Алгебру и Дифференциальное исеисле- uie. Въ Ариеметике начинаютъ съ примьровъ на числахъ ; потомъ , соблюдая постепенность въ поняняхъ , вместо чиселъ , чтобы разуметь ихъ произвольными, въ Алгебртъ упо- требляютъ буквы, избегая однакожъ способа безконечно малыхъ или границе, какъ такого , которой требуете более усилю отъ ума и составляете уже последнюю и высшую
Первая страница сочинения «Алгебра или вычисление конечных».
К стр. 23.
АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕКОНЕЧНЫХ
ПРЕДИСЛОВИЕ
j | Александр Афродизийский f1] говорит, что анализ восходит к началам, а синтез от начал идет к заключениям. Так древние хотели понимать способ аналитический и синтетический в Геометрии; так и в нынешней Аналитической Математике неизвестные числа определяются как бы начала, из которых с прибавлением данных составляются уравнения. Всякого рода вычисление делается с той целью, чтобы найти неизвестное; а потому правила для вычислений соединяются в одно учение — Аналитику. Ее можно разделить на Арифметику, Алгебру и Дифференциальное исчисление. В Арифметике начинают с примеров на числах; потом, соблюдая постепенность в понятиях, вместо чисел, чтобы разуметь их произвольными, в Алгебре употребляют буквы, избегая, однако ж, способа бесконечно малых или границ, как такого, который требует более усилий от ума и составляет уже последнюю и высшую 11 (часть Аналитики. В этом смысле Алгебра будет та же наука, которую Ньютон назвал Общая Арифметика, чтобы отличить от Арифметики на числах, и которую столько же справедливо можно называть вычисление конечных, в противоположность с дифференциальным или вычислением бесконечно малых, где являются неоспоримо новые начала, под каким бы видом ни старались их представлять, желая соблюсти строгость, эту существенную принадлежность всякого Математического учения. Лагранж [2] ее до- стигнул в вычислении функций (Calcul des fonctions); но только надобно сказать, что общее рассуждение о функциях не должно составлять исключительный предмет дифференциального исчисления. Напротив, гораздо лучше последовать примеру, какой показал Г. Коши [8] в своем Алгебрагическом Анализе (Cours d’analyse
algebrique), не лишая Алгебру той полноты, которую может она приобрести без всякой помощи того, что собственно разумеют ш под дифференциаль|ным исчислением. В состав алгебры может входить и теория чисел, которую должно рассматривать, впрочем,, как учение отдельное, если здесь излагаются те особенные способы, которые ему только свойственны. Руководствуясь такими причинами написал я сочинение под названием, давно уже принятым, которое перешло к нам от Арабов с самой наукой в ее младенчестве, занятой у Греков в книгах Деофанта [4]. Восточные писатели того времени к слову Алгебра прибавляли Мукабелет [б], желая тем сказать, что решение задач основано здесь на положениях— способ, который отличает Аналитику и который Европейским Математикам показался тогда столько выгодным, что они называли его сильным искусством (Arte maggoire— Patiolus [6]; Ars magna—Cardan [7]).
Алгебру и Геометрию постигла одинаковая участь-. За быст- iv рыми успехами в нача|ле следовали весьма медленные и оставили науку на такой степени, где она еще далека от совершенства. Это произошло вероятно от того, что Математики все свое внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и оставили за собою.
Всякий, надеюсь, согласится с справедливостью моего замечания, что первые понятия во всех отраслях Математических наук приобретаются легко; но всегда соединены с недостатками, которые пополнить даже и в последствии бывает весьма трудно. Если писатели для начинающих опускают это из виду, то они предполагают другую цель, опасаясь бесполезно затруднить читателей» Где-нибудь, однако ж, надобно воротиться снова к началам и теперь уже всю строгость почитать у места. По мнению моему Алгебра V первая начинает Математику со всею точностию понятий и со | всей обширностию взгляда; тогда как Арифметика составляет еще приступ, служит только приготовлением и для навыка. Вот почему в моем сочинении говорится о числах, счете, четырех действиях
* Здесь разумеется Алгебра без помощи дифференциального исчисления, так же как Геометрия без применения Аналитики. Щрижчание Лобачевского.)
Арифметических. Понятие о положительных и отрицательных я не почел нужным заимствовать прямо из природы вещей, перейдя уже раз к отвлеченным; но рассматриваю их как числа, искусственно соединенные с знаками, и единственно в намерении правила сложения и вычитания сделать общими.
Возвышение в степень подало повод к рассуждению о функциях или всякой зависимости между чисел. Переход от простого умножения к показателям всякого значения служит первым образцом для такого учения. Строка для степени от суммы, известная под названием Ньютонова бинома, была уже весьма важным открытием в Аналитике. Однако ж, до сих пор доказательства в над- VI лежащей полноте, может | быть, не доставало. Оно основывается на свойстве множителей, которое объясняется или по способу, какой я придумал, или как это сделал Г. Гаусс (Гл. XI, ст. 152). Первому из них принадлежит то преимущество, что он представляется как частный случай в разложении корней уравнения (Гл. XV, ст. 200), которое разложение для уравнений с тремя членами нашел Г. Бартельс [8] (Bartel’s Vorlesungen fiber Mathe- matische Analysis. Dorpat. 1833) и сообщил мне, когда я был еще учеником. Употребление V—1 в Математике столько нужно, что я почел обязанностию говорить более о воображаемых степенях, нежели это обыкновенно делается, стараясь дать ясные понятия и положить твердые основания для вычислений, где берется в помощь V—1.
Решение уравнений составляло всегда главный предмет Алгебры. В отношении к уравнениям первой степени казалось, ничего уже vxi не оставалось прибавить после того, [ когда были найдены общие выражения, которые назвал я здесь представительными, для всякого числа неизвестных (Гл. IX, ст. 108). Однако ж, мне удалось такие выражения заменить собственными значениями (Гл. IX, ст. 113). Ожидаю, что такое открытие не останется без пользы. Решение уравнений первой степени в целых числах присоединил я также к Алгебре не только по тем причинам, о которых сказано выше, но желая также преподать главные основания такого учения, которое отдельно во всей обширности может почитаться затруднительным и требовать больших пособий, тогда как первые его начала делаются необходимы для самой Алгебры и могут
быть применяемы в весьма обыкновенных случаях, чему примером служит решение задач из церковного счисления (Гл, X, ст. 127).
О приращении и суммовании функций надобно читать в Алгебре vin если сюда отно|сить уже всякое вычисление конечных. Существенное помещено здесь в Главе XV, где найдут, кроме обыкновенных и давно известных, еще много новых случаев и примеров. Кажется и эта часть Математики заслуживает более внимания, нежели какое до сих пор ей оказывали.
О тригонометрических функциях я также захотел говорить, не выходя впрочем из пределов Алгебры. Надеюсь, что меня одобрят, потому что не только решение уравнений требует такого пособия, но даже и учение о степенях осталось бы иначе неполным.
Разложение двучленных уравнений на производители делает много чести изобретателю. От остроумия Г. Гаусса, однако ж, укрылось то свойство корней в этого рода уравнениях, которое дозволяет значения их находить, не прибегая к решению полных IX уравнений. Еще в 1813 году | представлял я в Отделение Физико- Математических наук при Казанском Университете рассуждение, которого содержание помещено здесь в Главе XVI.
Учение об уравнениях высших степеней еще ожидает многого от Математиков. Лагранж занимался этим предметом без дальнего успеха. Фурье изобрел способ решать уравнения в числах, который если и затруднителен, то по крайней мере во всяком случае достаточен для действительных корней. Сочинения Г. Штурма [9] о вычислении корней в уравнениях мне не случилось еще видеть. Рассуждение Г. Коши о числе положительных, отрицательных и воображаемых корней без сомнения удовлетворительно (Journal de ГЕсоТе polyt. Т. XI, р. 411), также как и доказательство для вида воображаемых корней (Journal de FEcole polyt. T. X, p. 457). To, которое я здесь дал, идя впрочем по указанной дороге, надеюсь, не оставляет ничего желать для кратко- х сти и простоты ] (Гл. XVII, ст. 244). Так названное правило Декартово или, справедливее, Кардана, как по знакам судить о числе положительных и отрицательных корней, нуждалось до сих пор еще в доказательстве (Гл. XVH, ст. 238). Решение уравнений
в числах, какое здесь предложено в ст. 257 Главы XVII, хотя не для всякого случая, кажется заслуживает внимания по краткости и легкости вычисления в сравнении с другими, известными мне способами.
Думая составить Алгебру для Гимназий и с этой целию написавши первые главы, я переменил, однако ж, намерение, в котором ежели успел, то мое сочинение будет руководством для учителей и учебной книгой для слушателей в Университете.
о г ДАВЛЕН! Ее
Страд.
Вступление. Предваришельныя лонягтя и объяснено! н^копюрыхъ названий;,1
Г лава 1.Сложеше и вычишанге чиселъ. .•13
ILО положительныхъ и отрица»
тельныхъ19
III.Сложение и вычитание коликихъ..26
— — IV,Умножение и дележе коликихъ,.40
V.Уничтожение скобокъ и включение
въ скобки, •58
VI.Счетъ дробей обыкиовенныхъ и Алгебрагическихъsi
— — VILСчегаъ десятичныхъ дробей.•,Ю4
*VIII. Счетъ неПрерывныхъ дробей...121
IX.Рйшете уравненш первой степени.151 *— — X. Значения неизв^спшыхъ въ ц*Ь-
лыхъ числахъiss
— XL О степеняхъ и корняхъ д^й* ствительныхъ,235
XII. О степеняхъ и корняхъ вообра- жаемыхъ . . • . 284
*- ХШ. О ЛогариФмахъ. ....... зо1 ~ — XIV. О Тригономепгрическихъ Функ*
Ц1я^-
XV. О приращенш и суммованш<к>ункц1й♦345
XVI. Р1шен1е двучленныхъ уравнений. . 374
XVIL PtmcHie всякаго Алгсбрагическа* го уравнения.411
Вторая страница оглавления.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБЪЯСНЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НАЗВАНИЙ
7 | Все то, что допускает понятие о величине, называется политое. Таковы все вещи, скорость движения, время, потому что все это может быть измеряемо. Род измерения бывает различен по различию самих коликих; но, каков бы он ни был, величина всякого коликого познается только чрез сравнение с другим, взятым за меру. Семь аршин сукна, например, величина одного коликого — сукна, определенная чрез сравнение с другим — аршином, взятым здесь за меру.
Когда умалчивается и то, чего назначается величина, и то, что берется для сравнения, тогда величина получает название числа, а мера — единили. В сказанном примере семь — число, которого единица —- аршин.
Вторая доля единицы, или половина — такое число, которых два з в единице. Третья доля или | треть, четвертая или четверть, пятая, гиестая и т. д. доля единицы — такие числа, которых три, четыре, пять, шесть и т. д. в единице. Половину единицы означают 11
^, 1реть у , четверть у, пятую, шестую и т. д. у, у и т. д. Самую единицу можно назвать первою долею единицы и, подобно другим долям, выражать у , что все равно, как бы 1. Доли единицы тем менее, чем более их нужно для составления единицы.
Как доли берутся от единицы, так они берутся и от всякого числа, потому что под единицей можно разуметь произвольное коликое. Когда не говорят, от чего именно взята доля, то разумеют уже от единицы. Первая доля от всякого числа — само число.
Число бывает 'целим, когда выражается без помощи долей; дробь, когда выражается в долях так же, как целое в единицах.
В последнем случае, при самом измерении, доля меры заступает место самой меры, и должна быть так выбрана, чтобы давала величину без остатка.
Если предположить всегда остаток, который, однако ж, необходимо меньше меры, то, уменьшаясь с раздроблением единицы на доли, он сделается, наконец, неприметным, или может быть пренебрежен за малостию.
При всяком счете, как скоро должны сюда войти числа, кото- э рые строго не определяются, надоб|но назначить наперед, какой доли менее позволяется отбрасывать величину: это составляет различную точность вычислениям иначе с такими числами никакое вычисление невозможно. Итак, величина выражается или целым числом, или дробью, а вообще сказать, дробью, потому что и целое число также дробь, где от единицы берутся первые доли.
Дробь изображается двумя числами, одно над другим, разделенные чертою. Вверху числитель показывает, сколько долей;, тт7
внизу знаменатель какие доли. Например, у значит семь девятых долей единицы, или, как говорят короче, семь девятых. Целому числу дают вид дроби, поставя его числителем, а единицу знаменателем.
Целые числа считаются единицами, десятками, сотнями, тысячами и т. д. Они изображаются, ставя единицы на первом месте с конца, десятки на втором, сотни на третьем и т. д. Нуль, поставленный в ряду цифр, показывает, что нет того, что бы должно стоять на его месте. Число десять, основание счета, можно заменить и всяким другим числом, кроме единицы: тогда место сотни, тысячи и т. д. заступят числа, которые так же происходят из нового основания, как сто, тысяча и т. д. из десяти. Например, число 703, при основании счета 10, состоит из семи сотен и 10 трех единиц, но оно выражается 222001, когда | основание 3, и 1010111111, когда основание 2, следуя всегда одинаковому способу означения. Чем более число взято за основание, тем числа выражаются короче; зато, чем основание менее, тем вычисление про- стее. Десять принято всеми за основание счета, но двенадцать должно бы предпочесть, потому что первое делится только на два числа нацело, 2 и 5; а 12 на четыре числа: 2, 3, 4, 6. Это бы доставило выгоды, в особенности в разделении мер; между
тем, как самое вычисление не делается от того приметно затруднительнее.
Числители и знаменатели дробей изображаются, как и все целые числа.
Неизмеримие [10] числа — те самые, о которых было сказано выше, что они дают остаток, в каких бы долях единицы ни выражались. Всего чаще таковы бывают искусственные числа, определяемые условиями, но которым вполне удовлетворить нельзя. Для них употребительны особые знаки, пока точность вычисления оставляется на произвол; тем не менее, однако ж, они должны быть понимаемы под общим видом дробей, которые действительно вместо них ставятся, когда точность вычисления уже назначена и когда вычисление должно быть предпринято. Различие их с прочими числами, шмеряемими^ в том только, что дробь, п которой они изображаются, меняется смотря по точности, наблюдаемой в вычислении. Например, ]/ 26 будет ^, если точность вычисления простирается только до ^q ; напротив, вместо ]/26 ставят ^, если позволяется пренебрегать только менее стотысячной доли.
Алгебра^ или Обитая Арифметика ^ предписывает правила для счета всех чисел, целых и дробей, измеримых и неизмеримых, независимо от основания и не назначая точность вычисления. Вот почему в сей части Математики вместо цифр употребительны буквы, под которыми можно разуметь всякое число и выраженное как угодно. Правда, что и здесь в доказательствах берется иногда в помощь основание счета 10, но таким образом, однако ж, что суждение остается то же, если вместо 10 взять другое число; следовательно, это делается единственно для простоты и ясности.
Правила в Алгебре должны быть даны, сколько можно более общие. 0 этой-то целию придуман в ней счет положительных и отрицательных. В Алгебре позволяется число называть коликим^ когда оно приобретает новое качество от знака, подразумеваемого впереди, и рассматривается с ним нераздельно. Хотя название коликого собственно означает все то, что допускает измерение; но как действительно коликие только люд этим одним видом входят во всей Аналитике, которой общая Арифметика составляет часть, то отсюда не может произойти никакого смешения понятий.
12 | Значение числа или политого называется то число или коликое* определенное вполне или с некоторым ограничением, которое начинают под ним разуметь, когда они оставались до того произ- В ОЛЬ ными.
Коликие сравниваются, или в отношении к их числам только: тогда говорят, что они равны по величине] или как в отношении к числам, так и знакам: тогда говорят, что они одинаковы, или просто равны. В том и другом случае ставится между коликими или числами знак равенства = ; но для коликих, равных только по величине, нужно прибавлять пояснение.
Выражение состоит из одного или многих чисел и знаков. Если в нем одно число, то знаки показывают, как это число должно превратиться в другое, или вообще говоря, в какое-нибудь коликое. Если в выражении заключается несколько чисел, то знаки показывают, что должно произойти с каждым и как они после соединяются в одно. Таким образом, выражение всегда представляет собою одно число или коликое, которое и будет значение выражения.
Выражения сравниваются в отношении к их значениям и бывают или совершенно равными или по величине только равными. Между ними ставится знак равенства и оба вместе составляют 1з уравнение. Если не только значения выражений равны, но и | самые выражения одинаковы, то уравнение называется тожественным. То, что на левой стороне знака равенства, будет первою частию уравнения] а что на другой — второю. Вместо того, чтоб говорить: первые части уравнения соединяются между собою, а вторые таким же образом между собою, говорят короче: уравнения соединяются] например: уравнения складываются, вычитаются, умножаются и тому подобное. Вообще: говорят об уравнении то, что относится к обеим его частям.
Неравенство чисел показывает знак > , обращенный отверстием к большому числу. Неравенство коликих может быть понимаемо двояко, смотря по тому, сравнивают ли их во всем, или по величине только.
ГЛАВА I
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЕЛ
К целому числу придать другое, значит к единицам первого присчитать единицы второго.
Чтобы к дроби придать другую, надобно прежде выразить их в одинаковых долях единицы, а потом к числу долей одной присчитывать число долей другой; то-есть: надобно в обеих дробях сделать знаменатели одинаковыми, потом придавать к числителю первой 14 числителя j другой, вышедшее число наткать числителем, а знаменателя оставить того же обгцего.
В последнем правиле заключается определение слоэюения всяких двух чисел, представляя их в виде дробей. Сложение целых чисел таково же, как и дробей, но только в целых знаменатели сами собою одинаковы, именно единица.
Придать нуль к целому числу, значит ничего к нему не присчитывать. К нулю придать целое число, все равно, что пересчитать прямо единицы целого числа. Далее, нуль можно представлять дробью, которой числитель также нуль, а знаменатель какое угодно целое число. Итак, нуль числа не переменяет, будет ли к числу придан, ил'и число придано к нему.
Когда а придается к Ъ, то а ставят наперед, потом знак -]-, называемый плюс или знак сложения, а наконец ставят Ъ, как следует:
а -(-6.
Числа а и Ъ называются слагаемыми, число, вышедшее после сложения — суммою.
Если несколько чисел придаются одно за другим, то они пишутся за первым в том порядке, в каком должны придаваться,, каждое с плюсом. Они все называются слагаемыми, и все должны быть, говоря вообще, дроби с одинаковыми знаменателями, а детого не могут быть сложены в одно число, которое и здесь называется суммою.
io I 2. Все равно, и числу а придать сперва 6, йотом с, или сперва су потом 6.
а-\-ЬД-с = а-\-с-\-Ъ.
Когда дробь придается к дроби, то прежде делаются у них знаменатели одинаковыми; потом к числителю одной придается числитель другой, что и составит числителя в сумме (ст. 1); следовательно, сложение чисел, какие бы они ни были, всегда заключается в том, чтоб придавать целое к целому. Посему предложение будет уже доказано для всех чисел, как скоро оно докажется для целых. Итак, пусть а, Ъ, с — целые числа.
Предложение само по себе ясно, когда Ъ = с. Если же Ъ и с не равны, то случай Ъ^>с тот же, что и 6<с. Итак, пусть Ъ^с.
Число 6 можно произвести, придавая к с какое-нибудь число d, так что b = c-\- d, потому что в этом и состоит неравенство чисел. Придать же число b не иначе можно, как присчитывая единицы числа с, потом единицы в d; следовательно,
а —|— 6 —|- с = а -|- с -]— d -|—с, а —|— с —}— Ъ = а -]— с —р с -{~ d.
Здесь вместо а-\-с можно ставить число Л, сумму асе. Остается доказывать
A-\-d-Vc = A-\-cA-^ такое же уравнение, как и
а -]- Ъ-\-е = а-\-е-\-Ъ,
io | но только место Ъ заступило d<^b. Продолжая таким образом, всякий раз будем большее из двух придаваемых уменьшать по крайней мере единицей; а как они целые, то, наконец, одно из них сделается нулем. Это предполагает впереди равенство их, а, следовательно, тожественное уравнение.
В особенности заметим случай а = 0. Тогда (ст. 1) Ь -\- е = е-\-К Это значит, что в сумме двух чисел все равно, которое к которому
нгс придавать. Вот почему, не различая, которое к которому придается, о двух числах говорят, что они складываются*, также и о многих числах, потому что и здесь различие не нужно, как увидим ниже.
Сколько бы ни было слагаемых^ порядок их не излееняет значение сулемы, -которое люогсет быть одно только.
Рассматриваем два слагаемых Ъ и с сряду в сумме; называем а сумму их предыдущих. В продолжении сложения, когда придем к числам 6 и с, потребуется к а придать 6, потом с, или, что все равно (ст. 2), к а придать с, потом Ъ. Отсюда видно, что всякие два слагаемых сряду в сумме могут переменяться местами. Таким образом, каждое слагаемое может быть переведено на какое угодно место в сумме; на первом месте оно теряет перед собою плюс,, а перейдя с первого, приобретает.
17 | Итак, значение суммы не зависит от порядка слагаемых. Оно находится чрез сложение чисел по два; а как способ складывать два целых таков (ст. 1), что приводит к одному только целому числу, следовательно и сумма многих слагаемых допускает единственное значение.
Вычесть число из другого, значит найт/и такое третье, которое с первыле даст второе. Это соединение чисел называют вычитанием, изображают знаком леинус —, который ставится перед тем^ что вычитают. Так
а — Ъ = с.
Первое число а — улееньгааелюе, второе 6 — вычитаелюе, третье с — разность. Итак, разность с вычитаелеыле дает уменьшаелюе^
с~Ъ = а.
Разность равных нуль.
а — а = О,
потому что 0 + а = а (ст. 1).
Разность равна улееньшаелюлеу, когда вычитаелюе нуль.
а — 0 = а,
потому что а4"0 = а (ст. 1); следовательно, нуль не перелгеняет числа, когда будет отнят, так же как и будучи придан (ст. 1).
is | Когда несколько чисел придаются и вычитаются, то они пишутся в том порядке за первым, в каком должны придаваться и вычитаться: те с плюсом впереди, которые придаются, а те с минусом, которые вычитаются.
а -(-6 — с-\-й— е
значит, что к а придается 6, дотом из суммы вычитается с, далее к разности придается d, наконец из этой суммы вычитается в, в том предположении, что все числа а, 6, с, d, е— дроби с одинаковыми знаменателями, каковы, например, все целые числа сами по себе.
Разность двух чисел может быть только одно число.
Так как вычитание требует помощи сложения, то вычитание всех чисел заключается всегда в вычитании целых. В целых же, .когда продолжаем считать от вычитаемого, пока дойдем до уменьшаемого, число присчитанных единиц изобразит разность; а как всякое целое число в продолжение счета может быть упомянуто только один раз, то и разность двух чисел может быть только одна.
Число не переменится, когда к нему будет придано другое, а потом оно же вычтено*, или обратно, сперва вычтено, потом придано.
аД-Ъ— Ь = а; а — Ъ 4* Ъ = а.
19 | Первое потому, что а должно почитаться разностию а 4- Ь без Ъ (ст. 4) и потому, что разность двух чисел может быть только одна (ст. пред.). Второе уравнение выражает самое определение вычитания: разность а— Ъ должна быть такова, чтоб с вычитаемым Ъ давала уменьшаемое а (ст. 4).
Посему знаки, плюс и минус, названы противными в отношении друг к другу, так как они уничтожают то число, которое входит один раз с одним, в другой с другим.
Когда из суммы двух чисел вычтется одно, то в остатке будет другое.
а^Ъ— Ъ = а, аД-Ъ— а = 6.
Справедливость первого уже доказана была выше (ст. пред.). Второе уравнение обращается в первое, когда вместо а 4- Ъ пишем Ъ 4- ct (ст. 2).
ГЛАВА II
О ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
Чтоб сделать правила для счета чисел более общими, перед всяким числом придумали воображать плюс или минус. Число с знаком + впереди называют полоэкуительном, ас — отрицательном. Те и другие разумеют под общим названием коликих, и означают буквами, пока они остаются неопределенными, или в намерении дать общие правила для их счета.
2о | При вычитании и сложении коликих, кроме знака, подразумеваемого в самом коликом, ставится еще впереди каждого плюс или минус, так что перед числом бывает уже два знака: один для показания сложения и вычитания, а другой, положительное или отрицательное число прикладывается, вычитается; например 45 значит, прикладывается отрицательное 5. Даже впереди того коли- кого, с которого начинается ряд, должен ставиться + или—; но плюс позволяется, однако ж, опускать, хотя он тем не менее подразумевается. Например, когда а и 6 изображают два коликих, то можно писать а 4-5 и а — 6, а разуметь должно 4* я 4" ^ и + а— 5,
В этой главе предполагается говорить о соединении двух коликих в одно, когда перед ними знак 4" или — • Правила для такого соединения следуют ниже.
Когда перед коликим знак сложения или вычитания, а, следовательно, перед числом уже два знака, то в счете положительных и отрицательных во-первых два знака перед числом соединяются в один, а именно:
. Если перед числом два знака одинаковое, то ставится плюс.
. Если перед числом два знака противное, то ставится минус, | Например, пусть а число, то
4—4 ^ —4 ^ ? — — ^== 4~ ^ i
4а = — а;\- а = — а.
Итак, придать положительное все равно, что вычесть отрицательное; вычесть положительное все равно, что придать отрицательное. Таким образом сложение переменяется в вычитание, а вычитание в сложение с переменою знака перед числом на противный.
Коликие складываются и вычитаются в том порядке, в каком поставлены; а, следовательно, под суммою коликих
а+6 + с + б?+ . . .
можно разуметь вообще всякое соединение коликих знаками плюс и минус. Потому-то всякое выражение, где коликие соединены знаками сложения и вычитания, называют вообще суммою, а самые коликие с их знаками впереди — слагаемыми или членами суммы.
Когда два коликих поставлены; одно за другим с знаком сложе ния или вычитания, то чтоб соединить их в одно, надобно сперва два знака перед числом заменить одним, как сейчас было сказано, потом поступать;
. Если знаки перед числами одинаковы, то числа складывать и перед суммой ставить обилий знак.
22 |2). Если знаки перед числами разные, а числа неравны, то вычи
тать меньшее из большего и перед разностию ставить знак большего.
. Если знаки перед числами разные, а числа равны, то два коликих составляют нуль.
Пусть п, т два числа, притом 71>ш. Называем р сумму п + ш; у — разность п — т, то
+ п -|- т = +р; —?? — т = —р;
-\-п — т = 4" #; —н 4- т = — </;
+ 71 — и = 0;
так же и
4- т + 71 = -\-р; — т— п = —р;
— т + 77, = + q; + т — п = — q;
.—п + 71 = 0.
Отсюда также видно, что когда два коликих соединяются знаками сложения и вычитания, то все равно, которое наперед ни ставить, лишь бы каждое удерживало свой знак.
Если одно из двух коликих +0 или —0, то, в переходе от коликих к числам, потребуется или придавать к числу нуль, или вычитать нуль, от чего число не переменяется (Гл. I, ст. 1), еле-
довательно, положительный к отрицательный нуль значит то же, а его можно отбрасывать, когда он придается или вычитается.
23 |11. Сложение и вычитание двух чисел можно рассматривать как
сложение и вычитание положительных и отрицательных, принимая все числа положительными.
Называем и, т два числа, которые требуется сложить, или вычесть т из п, когда т < п. Пусть н -\- т=рг и—m = q. Ставим вместо чисел п и т коликие + ^, +^; будет (ст. 10)
+ п 4- 4- т = 4- п 4- т = 4* р,+ п I- т = 4- ^ — ^^А-^
для п = т как п— т = 0, так и 4"^|-ш=0 (ст. 10). Итак, зна
чение суммы или разности двух чисел остается то же, если вместо чисел поставятся такие же числа положительные, только что в конце счета число выходит с плюсом впереди, который, следовательно, должно отбрасывать, когда дело идет о числах, а не о коликих.
Когда вместо чисел ставить такие же положительные, то два знака перед числом могут быть заменены другими двумя, которые бы соединялись в такой же один (ст. 9). Так, вместо 4"и 4* 4“ т> можно писать
п-44"ш? 4-™т\71т\ а вместо -\-п^-т писать
п[- т; + n Нш>п 4т-
24 |12. Когда перед двумя коликими знаки сложения и вычитания
переменятся на противные, то их сумма (ст. 9) будет снова то dice число, но с противным знаком.
Воображаем, что вместо двух коликих а и Ъ поставлены числа с их знаками; а потом каждые два знака перед числом соединены в один. Если теперь перед коликими а и Ъ знаки переменятся на противные, то произойдет то же и с числами, а следовательно, остается доказать то же о числах, что сказано в предложении о коликих.
Пусть и, т— два числа; называем сумму их р; разностью — т, предполагая п > т, означаем q, то (ст. 10)
7t 4- ?п = +р; — п — т = —р;
4» и—т = -\-q; —п-\-т = —q\
первое уравнение со вторым, а третье с четвертым заключают в. себе доказательство предложения. Число т можно поставить наперед числа 71 (ст. 10); наконец, для 7г = ш, можно писать. _j_n — т— _|_о, —71-}-^=—0 (ст. 10). Таким образом, справедливость предложения подтверждается во всех случаях.
Коликие называются равными, когда числа их равны и знаки перед числами одинаковы. В противном случае коликие не равны. Между равными коликими ставится знак равенства, как и между 25 | равными числами. Он ставится также иногда между коликимиу которых числа равны, а знаки различны; то тогда прибавляют, что коликие равны ио величине, или что знаки не принимаются в рас- сумление.
Признак, равных коликих тот, что их разность нуль. Если а какое-нибудь коликое, то разность а — а изображает или —|-7г — п = 0у или —и-\-п = 0 (ст. 10), где и будет уже число.
Признак неравных коликих тот, что их разность не бывает нулем. Называем а, Ъ два коликих. Разность их а — 6, в случае различных знаков в а и 6, представляем или —|—7г—|— т, или —п— т, разумея: под и и т какие-нибудь числа; но ни -]-7г4-^) ни —и — т не может быть нулем. Если ж в а и 6 знаки одинаковы, то разность а — Ъ представляет или -\-п— т, или —п-\-т, что также не дает нуль, когда и и т неравные числа (ст. 10).
Если разность а—6 двух коликих а и 6 положительное число, то говорят, что а более Ъ, Ъ менее а, и пишут а > Ъ или Ъ < а. В таком случае разность Ъ — а необходимо отрицательное число (ст. пред.), а следовательно: если разность коликого без другого отрицательная, то первое менее второго.
26 | Если коликие а и Ъ оба положительные числа, то а >6, когда число в а более числа в 5; напротив, если коликие а и Ъ отрицательные числа, то а >6, когда число в а менее числа в 6, потому что в первом случае разность а — 6 положительное число, во втором она отрицательное (ст. 10).
Иногда в неравных коликих смотрят только на их числа, а не на знаки, и тогда говорят, что они по величине равны, по величине одно более другого.
ГЛАВА III
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ КОЛИКИХ
Коликие ставятся, так же как и числа, в том порядке одно' за другим, в каком должны присоединяться: те с знаком плюсг которые прикладываются, а те с минусом, которые вычитаются. Начальные два коликие сперва соединяют в одно; к нему присоединяют третье и т. д. по порядку, следуя правилам, сказанным в Главе II, ст. 9 и 10. Посему первое коликов в ряду должно быть также с плюсом или минусом, как и другие; но знак плюс обыкновенно не пишут, а подразумевают.
Ряд коликих с знаками плюс и минус называют вообще суммою, а каждое с его знаком — слагаемым или членом суммы, как это было уже сказано.
2727|15. О сумме двух коликих было доказано (Гл. II, ст. 11), что
27
27
она представляет сложение и вычитание двух чисел; а как и сумма многих коликих происходит из соединения их по два (ст. пред.) так же как и чисел, то сложение и вычитание чисел, сколько бы их ни было, всегда может быть произведено помощию положительных и отрицательных, а именно: надобно принимать все числа оюложительними, ставя перед каждым плюс; после чего можно два знака заменять и другими двумя, которые бы то эюе значилгь (Гл. II, ст. 11). Например:
5+? —9 = 3.
Вместо 5 можно ставить -]—[-5 или5, вместо -|- 7 ставить -j—|-7 или7, вместо —9 ставить }-9или -| 9. Сумма всегда выходит 4“^-
Посему все правила для сложения и вычитания коликих равно служат для сложения и вычитания чисел, которые всегда принимаются за такие же положительные. Вообще положительные числа»
не различаются с числами без знака, как в сложении и вычитании так и во всяком случае.
Коликие заключаются в скобки, когда в противность порядка складываются особо, а потом уже присоединяются к другим.
а + (»+с) —(й —е)
23 | значит, что к а придается сумма Ъ 4- с, потом отсюда вычитается разность б— е.
Вообще, скобки требуют соединять в одно те коликие, которые в .них заключены. Например,
a-{(6 + c)-(^-e)} требует, чтобы сыскано было прежде значение выражения (&4~с)— (^ — е\ а потом это значение уже вычиталось из а.
После сего легко понять, что никакой перемены не произойдет в счете, если несколько слагаемых, с которых начинается сумма, будут заключены в скобки, а перед скобкою поставится плюс, или этот знак будет подразумеваться, так как обыкновенно его не пишут. Действительно, в том и другом случае счет начинается с тех же коликих; а плюс, который ставится или подразумевается впереди скобок, не переменяет того знака, который выходит в численном значении суммы и с которым он должен соединяться (Гл. II, ст. 9). Обратно, -если скобки стоят в начале суммы, а перед скобкой плюс, то они могут быть отброшены с их знаком плюс впереди. Так, все равно, писать ли
а-\-Ъ— с-^-б— е или
4~ (а —1~ b — с) 4~* б — е
29 | или, подразумевая плюс впереди,
(а -|- Ь — с) 4“ — е.
Когда в сумме все знаки слагаемых переменятся на противные, то значение суммы будет то же число, но с противным знаком.
Это было уже доказано (Гл. II, ст. 12) для суммы двух коликих; а как и всякую сумму вычисляют, соединяя по два коликих в одно, то в двух суммах, где слагаемые те же и в том же порядке, но знаки слагаемых одной противны знакам другой, за каждым присоединением вновь коликого выходят те же числа, но с противным знаком; так и до последнего слагаемого.
Отсюда следует, что в уравнении можно переменить все знаки слагаемых на противные.
Также следует отсюда, что когда перед скобками знак сложения •или вычитания, а в скобках заключена сумма, то можно все знаки перед слагаемыми в скобках переменить на противные, переменяя вместе и знак перед скобками такэюе на противный. Например,
а -{- (6 — с 4- d) = а — (— Ъ 4“ с — d).
В сумме два равных коликих с противнылш знакалш уничтожают друг друга, когда они следуют одно за другилг.
во | Пусть два слагаемых 4“^ и —6 поставлены в сумме одно за другим. Называем а значение всех предыдущих вместе, так как они должны быть сочтены прежде (ст. 14). Здесь под а надобно разуметь какое-нибудь коликое. Последующие слагаемые за 4- 5 и — 6 не нужно и принимать в рассуждение, потому что они присоединяются после + ^ и — 6 (ст- ^)- Итак, надобно доказать, что
а-уЪ— Ъ = а; а — 64-6 = ^-
Ставим сюда вместо коликих числа; два знака перед числом заменяем одним; после чего каждое из двух уравнений будет которое-нибудь из четырех:
-\-n-Y т — т = 4~ п?
4“ ^ — т 4~ т = 4“11
— n4~m— т= —п, — п — т 4- т = — п,
где п и т уже числа. Третье уравнение следует из второго через перемену знаков на противные (ст. 17), а последнее таким же образом из первого. Остается говорить о первом и втором.
Первое было доказано выше (Гл. I, ст. 6 и Гл. III, ст. 15). Тут же было доказано и второе для п > т или п = т. Пусть теперь п<т, так что т = п-\-р; то
-\-п— т-\-т = —^4~т (Гл. П, ст. 10)
si 1= -\-т—р (там же)
= 4~ п +jp —$ = +1г-
Значение сулшы всегда одинаково, в каколь порядке ни ставить слагаелгые, лишь бы перед казюдым сохранился его знак.
О сумме двух коликих было уже это доказано (Гл. II, ст. 10); докажем то же для суммы из трех слагаемых; после чего нетрудно^ распространить заключение и на сумму более, нежели из трех слагаемых.
В сумме из трех слагаемых первое может быть поставлено на место второго, а второе на место первого, потому что значение суммы ищут, начиная соединять первые два коликие в одно, а потом уже присоединяют и прочие одно за другим (ст. 14). Если теперь к этому докажем, что второе слагаемое может ставиться на место третьего, а третье на место второго, то порядок слагаемых в такой сумме будет совершенно произвольный.
Ставим в сумму из трех слагаемых вместо коликих числа; потом соединяем каждые два знака перед числом в один. Покажем теперь, что здесь второе число с его знаком может быть поставлено на место третьего, а третье на место второго; после чего то же на- 32 добно будет сказать и о коликих. Называем первое число 7г, | два других т, г. Перед каждым из них может быть плюс или минус, следовательно, надобно доказывать, что
4~ п 4* т 4~ г = + п + у*+ ш>
+ п + т — Т = + п — г + mi — и -[- т 4- 7я = — % *-|- ^ + ^ — 71 — т — г = — 7? — г — т, — 71 — т + г = — 7?/ 4-7" — т, 4- 71 — т — г = 4~ п — Т — т-
Здесь перебраны все случаи сложения и вычитания трех чисел 71, 7?1, 7я, исключая двух случаев
4-71 — т 4- г = 4”91 + г — т — 7г 4* т — Т = — и — г 4" т^
которые, однако ж, не новые и с переменою т на 7*, 7* на т встречаются между первыми.
Из шести уравнений для всех возможных случаев последние три происходят через перемену всех знаков на противные в трех первых (ст. 17), которых только справедливость и остается доказывать.
Первое уравнение было уже доказано (Гл. I, ст. 2), с тою только- разницей, что здесь 4~ ставится перед и и перед суммою 7г -}- т 4"г (ст. 15).
Во втором уравнении различаем три случая:
1г > г. Полагаем п^г-^Рч т0
+ — г4-ш = +.р4~г—r+^=+i> + ^ (ст- 18),
33 I-\-u-\-m — г = 4-JP 4" г 4~7П— г = 4- р -|- т-\-т— г = -^-р-^-т.
1г = г. Тогда
+ п — т 4- т = 4- 1г — п 4- 7П = 4™
ii 4~ ^г — г = 4- и 4- иг — и =-\-т-\-и — п = 4" т.
п<г. Полагаем г = п-\-д. и снова различаем три случая:
т > #. Пусть т = ^ 4" ^ то
1г 4" т—г = 4-т + п—г = + ^ “h ^+п—г =4" ^ + а + 1г—г = 4- ^ 4~г—г = 4* ^
п — г 4- т = — д 4" т = + ^ СГл. II, ст. 10).
т = ^ то 4-^ + ш— г = 4-^г 4-^ — г=-|-7- — г = 0;
4-7г — г 4- т = — ^ + т = °-
т < #. Пусть т - [~ и = ^ то
п 4“ иг — г =-\- т-\-и-\-и — и — r = -\-m-\-u-\-n — и — г = = + ^ + 7г — и — г = 4- 7' — и — 7* = —• и 4- г — г = — гц
4-71 Г 4" т — (1А"т = и.
В третьем уравнении
— 1г 4- ^г 4" 7* = 4~ т — п 4- 7* = 4" т 4- 7* — п^
| как сейчас видели. Так же
— 1г 4- 7* 4- т = 4- 7* — и 4- 7» = 4"г + т — 7г = -|- m -j- г — 1г.
Итак доказано, что в сумме из трех слагаемых порядок слагаемых произволен. В сумме более, нежели из трех слагаемых, рассматриваем два коликих сряду b и с. Все члены, следующие за 6 и с, можно не принимать в рассуждение, потому что они для составления суммы присоединяются после Ь и с. Слагаемые впереди бис, приведя в одно, называем а. Теперь из трех слагаемых в сумме а 4- Ъ + с, как сейчас видели, второе Ъ с его знаком можем ставить на место с, а с на место Ь. Во всякой, следовательно, <зумме и каждое слагаемое может с слагаемым возле него меняться местом и таким образом переходить на всякое другое.
Перед первым коликим в сумме плюс не ставится, а подразумевается, как много раз уже было замечено. Вот почему первое
коликое, если перед ним знака нет, переходя на другое местог приобретает плюс; напротив, то, которое было с плюсом и встанет на первое место, теряет свой знак.
После того, что сказано было в статье 18, надобно теперь заключить, что в сумме Эва одинаковых слагаемых с противными знаками уничтожаются, где бы онгс ни встречались.
| 20. В уравнениг1 слагаемые с одной стороны переходят на другую с противным знаком, если они, однако ж, не заключены в скобках (ст. 16). Например,
а + Ъ — с = d,а = 6-^-с — 6.
Пусть на одной стороне встречаются слагаемые А^Ъ и —с. Вычитаем на обеих сторонах Ъ и придаем с, от чего уравнение останется верным, но на той стороне, где были прежде слагаемые -j-6 и —с, будет теперь -(- Ъ и —Ь, -\-с и —с, которые,, следовательно, все и уничтожаются (ст. 19); на другой же стороне прибавятся новые члены — Ъ и + с.
Отсюда следует, что когда
а—Ъ = с, то а = с-|-6, а — с = Ъ, то-есть: уменьгааемое равно вычитаемому с разностию, вычитаемое равно уменьшаемому без разности. Это было уже доказано для чисел, но только в том случае, когда уменьшаемое более вычитаемого (Гл. I, ст. 4 и 7); теперь мы находим те же правила вообще для коликих. Итак, определение вычитания чисел (Гл. I, ст. 4) распространяется и на коликие, именно: вычесть одно коликое tie другого, значит найти третье, которое бы с первым давало второе.
Зв |21. Если перед скобками плюс, а внутри скобок заключена сумма^
то можно плюс отбросить и скобки уничтоэюить без всякой перемены в сумме. Разумеется, что плюс должен необходимо поставиться впереди первого слагаемого суммы, если он был опущен и если слагаемое не будет снова первым в ряду, когда уничтожатся скобки.
—|— (Ь —|— с — d)= 6 —j— с — d,
а —р (6 —|— с — d)^ а —|- Ъ ~J- с — d,
а -[- (— Ъ — с 4- d) = а — Ъ — cA^d.
Когда выражение начинается скобкой, то уж было выше сказано, что в таком случае скобки ничего не значат (ст. 16). Если же- впереди скобок есть другие члены, то называем а значение всех их, Ъ значение суммы в скобках; на прочие же коликие, которые следуют за скобками, не нужно обращать внимания для доказательства предложения. Итак, вся часть выражения, которая здесь рассматривается, изображается суммою а-\-Ъ (ст. 16) или, что все равно, Ь-\-а (ст. 19). Ставим в 6 + а вместо Ъ снова ту сумму, которой значение представляло 6; но теперь скобки можно уже отбросить, потому что вычисление в обоих случаях одинаково (ст. 16), а затем и восстановить прежний порядок слагаемых (ст. 19)^ Так, в примере
37 |a 4- (— 6 — с 4- d)
пишем сначала
(— Ъ — с 4- d} + а,потом
— Ъ — с 4~ d 4~ аи, наконец, снова в том же порядкеа — 6 — с 4- d.
Если перед скобками минус, а в скобках заключена сумма, то- скобки мозюно уничтожить, отбросив знак перед скобками и переметив в сумме знаки слагаемых на противные.
— (54-е — d) = — Ъ — c-Vd,а — (— Ъ 4- с—d) = а 4- Ь — с 4- d.
Знак минус перед скобками можно переменить на плюс, переменяя вместе внутри скобок все знаки на противные (ст. 17). После сего скобки уничтожаются с плюсом впереди их (ст. 21), а все слагаемые суммы останутся с противными знаками тем, которые были перед ними до уничтожения скобок.
Из правил для уничтожения скобок следуют обратно и правила для включения в скобки. Именно:
за |1) В сумме мозюно заключить несколько слагаемых в скобки, не
переменяя знаков у слагаемых и ставя перед скобками плюс,
В сумме мозюно заключить несколько слагаемых в скобки, переменяя знаки их на противные, а перед скобками поставя минус.
а 4- Ъ 4- с — d = а 4- (6 4- с — 6) = а — (— Ъ — с 4- d).
Посему значение суммы коликих может быть найдено, когда вместо коликих поставятся числа, два знака перед каждым числом соединятся в один, потом все числа с плюсом поставятся наперед, я с минусом назад (ст. 19); наконец, когда последние заключатся в скобки с переменою их плюсов на минусы, а перед скобками поставится минус. Откуда видно, что значение суммы равно сумме •чисел с плюсом без суммы тех, которые с минусом. Например,
+ 5 —9+ 4 —6 + 7 = + 5+ 4+7 —(9 + 6) = + 1.
Если к двум неравным коликим придается или из них вычитается по равному коликому, то там, где коликое более, и сумма или разность будет более.
Если а > 5, то а + с > Ъ + с*, а — с">Ъ — с.
Надобно здесь доказать, что
(а + с) — (6 + 0 и (а — с) — (6 — с)
39 | положительные числа (Гл. II, ст. 13). Так и другая разность равна разности а — 6, потому что
(^ + 0 — (6 + 0 = ^ + ^ — 6 — с (ст. 21 и 22) = а — 6 (ст. 18);
(а — с) — (6 — с) = а — с — 6 + с = а — 6.
Разность же а — 6 предполагается положительным числом (Гл. II, ст. 13). Итак, коликие с одной стороны неравенства переходят на другую с противными знаками.
Если к большему коликому придается большее, а к меньшему меньшее, то сумма в первом случае более, нежели во втором. Также, если из больгиего коликою вычитается меньшее, а из меньшего большее, то первая разность более второй.
Если а^Ъ, c>d, то а + с^>6 + ^; а — d>5— с.
Разность (а + с) — (6 + d) = а + с — 6 — d = (а — 6) + (с — d), (а — d^ — (6 — с) = а — d — Ъ + с = (а — 6) + (с — d).
Разности же а — би с — d предполагаются положительными числами; следовательно, и сумма их (а — 6) + (с— d) также положи? дельное число (Гл. II, ст. 10).
40 |ГЛАВА IV
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОЛИКИХ
Умножить коликое на другое, значит найти третье, которое бы происходило из первого, как второе из единицы. Первое называется множимом второе множителем, оба вместе производителями* третье, которое от них происходит,—произведением.
Умножение коликих представляет вместе и умножение чисел, если все числа принимать положительными, или в коликих знаки плюс и минус не принимать в рассуждение, как и было уже раз сказано о сходстве счета чисел и коликих (Гл. III, ст. 15).
Когда а умножается на 6, то пишут а X Ь или а • Ъ. Если оба производителя буквы и принимаются уже за одно число, то или, следуя общему правилу (Гл. Ш, ст. 16), ставят производителей с их знаком умножения в скобки, или пишут букву возле другой без всякого знака. Если же один производитель буква, а другой цифра, то буква ставится позади цифры без всякого знака между ними. В последнем случае нельзя более различать, что на что умножается; но в этом и нет нужды, как после увидим.
Чтоб яснее дать понятие, в чем заключается умножение, рассмотрим каждый случай особо. Пусть а умножается на 6.
41 | Если 6 положительное целое число +^г, то 6] происходит из единицы, когда п единиц сложатся, а перед суммою поставится плюс; следовательно, писать должно п единиц, перед каждой -J”? потом на место каждой единицы ставить а, сумма даст произведение а на 6. Например,
+ 7Х + 3 = + 7 + ? + 7 = + 21.
Если 6 отрицательное целое число —п, то должно писать и раз единицу с минусом впереди, потом вместо каждой единицы ставить а. Например,
~г 44444 "
Если 6 положительная дробь -|- — с целыми числами п^ т, то & происходит из единицы, когда от нее берется тая доля и таких долей возьмется п; следовательно, а умножить на 6, значит искать сумму, т^ю долю от а, написавши п раз с плюсом впереди. На- 153
пример, 5ая доля от -^ будет дробь ^-, потому что пять таких дробей составляют -^|-, следовательно,
15 I 3 — I 3•3]3 _ I 9
Если Ъ отрицательная дробь—, то 6 происходит из едини- цы, когда -+- напишется и раз с минусом впереди; следова- 42 тельно, а умножится на 6, ] когда тая доля от а напишется п раз с минусом впереди. Например, 5ая доля от^_ дробь+- у а потому
153 _333д_3|31319
19 *5 —19ИГ19" — "+“19 + '19 ‘ "19 — +
Здесь видно, что определение умножения на дробь заключает в себе и определение умножения на целые числа, а таким образом, делается общим для всех чисел, понимая все числа под видом дроби.
Некоторые случаи умножения должно в особенности заметить. Так, для всякого коликого а
1Х^ = ^; aXi^; 0X^ = 0; ахо = о.
Первое следует прямо из определения умножения. Во втором уравнении видим, что а умножается на единицу, а следовательно, вместо единицы должно ставить а, что и будет произведением а на единицу согласно определению умножения.
В третьем уравнении нуль умножается на а; но как от нуля всякая доля нуль, то произведение 0 X а всегда представляет сумму нескольких нулей, следовательно и само нуль.
В последнем уравнении а умножается на нуль. Такой случай не подходит собственно под общее определение, потому что нуль никак не происходит из единицы. Посему уравнение а X 0 = О 43 мо'.жет быть принято только в дополнение к общему определению, тогда как и всякое другое коликое могло бы почтено быть за
произведение аХО. Выбор, однако ж, значения для какого-нибудь частного случая, не заключающегося в общем определении, не произволен, но ограничивается известным правилом, принятым везде в математике и которое состоит в том, чтобы почитать за значение выражения в таком частном случае ту границу, к которой подходит значение общего выражения, когда вместе приближаются и коликие в выражении к той границе, которая составляет частный случай, не подходящий под общее определение. Таким-то правилом должно всегда руководствоваться в распространении всякого определения на те случаи, которые прежде не были в нем подразумеваемы. В нашем примере аХО представляет границу, к которой приближается произведение аХЬ с уменьшением 6; цо произведение бывает тем менее, чем менее множитель, потому что тем менее части берутся от множимого; так, что чем более множитель приближается к нулю, с тем вместе и произведение более приближается к нулю, а следовательно, нуль и должно принять за произведение а X 0.
Число в произведении зависит от чисел в производителях, а знак только от знаков. Если знаки производителей одинаковы, то произведение полозюительное число, а если разные, то отрицательное.
44 | Называем п, т два каких-нибудь числа, то
-}- п • -|-т = -|-пт; — пm = + пт;
+ п т = — пт; — п • -j- т = -— пт.
Из определения умножения прямо следует, что число в произведении не переменится, если переменятся одни знаки в производителях. Далее, перед числом произведения надобно ставить сперва знак множимого, а потом знак множителя, потому что эти два знака ставятся перед каждым числом, которых сумма дает произведение (ст. 26); но два одинаковые знаки перед числом соединяются в плюс, а два разные в минус (Гл. II, ст. 9).
Написанные здесь четыре уравнения остаются справедливы и тогда, когда под п^ т разумеем коликие. О самой величине произведений говорить уже нечего, потому что она не зависит от знаков. Что касается до знаков, то -]- пт должно быть положительное число, когда п и т вместе положительные, или вместе отрицательные; а в таком случае -|- п и -|- mi или — п и — т также
вместе положительные или вместе отрицательные. Произведение -]- пт бывает отрицательное число, когда п и т с разными знаками, каковы они должны быть в -|-п и -]-т, или в —п и —т. Произведение — пт положительное число, когда в п и т разные знаки; тогда, следовательно, когда Д-п и —т, или —п и -\-т с одина- 45 ковыми знаками. Наконец, — пт отрицательное число, когда | п и т с одинаковыми знаками; тогда, следовательно, когда + ?г и —т, или —п и -\-т с разными.
Говоря о произведении двух коликих снова припомним^ что плюс можно не ставить перед производителями и перед произведением, а подразумевать (Гл. Ш, ст. 15).
Разделить коликое на другое, значит найти третье, которое, будучи умножено на второе, дает первое. Это первое называется делимъш, второе — делителем, третье — частним. Когда а делится на 6, то пишут а: Ъ. Если частное а : 6 означаем с, то сХЬ = а.
Частное двух коликих называется также содержанием их. Два равных содержания составляют пропорцию, где по порядку коликие называются первим, вторым, третьим, четвертым членом; первый с четвертым — крайними; второй с третьим — средними.
Когда делитель единш^а, то частное равно делимому (ст. 27). Когда делимое нуль, но делитель не нуль, то частное нуль (ст. 27).
а : 1 = а; 0 : а = 0.
Когда делитель нуль, а делимое не нуль, то частное невозможно, потому что нет никакого числа, которое, будучи умножено на нуль, 46 дало бы | в произведении не нуль (ст. 27). Частное от деления на нуль означают оо и называют бесконечно великим. Причина этого названия та, что чем менее делитель, тем более бывает частное; так что с уменьшением делителя частное увеличивается беспредельно. Заметим однако ж, что оо не представляет никакого действительного коликого, а название бесконечного ничего общего в понятии с коликим; тем не менее бесконечно великое может быть понимаемо в главном его свойстве, составляющем определение, также и в прочих, отсюда уже выводимых, а потому и может быть допущено в вычислении. Такого рода величины называются воображаемые, в отличие от других — действительных или истинных.
Подобные причины заставляют также принимать оо : а = оо; оо : 0 = оо; а : оо = 0.
Когда делимое гь делитель нуль, то всякое коликое может быть почтено за частное, потому что произведение всякого действительного коликого на нуль дает нуль (ст. 27). Такое частное означают 0..
-Q-, что и будет изображать, следовательно, произвольное коликое.
Частное двух чисел с одинаковильи знаками положительное, а с противнъьми— отрицательное число. Самое же число частного не зависит от знаков делимого и делителя.
4? | Означаем т, п два каких-нибудь числа, то
+ т : 4- п = + (т : п); — т : — п = -(- 0^ • я) ;
4~ т : — п = — (т : п); — т ; -\- п = — (т : п).
О знаке частного должно судить по тому, что произведение частного на делителя дает делимое (ст. 29). Итак, если делимое положительное число, то частное и делитель должны быть с одинаковыми знаками; в противном случае — с разными. Из определения же частного (ст. 29) следует, что число в нем не зависит от знаков делимого и делителя, иначе нельзя бы того же сказать о произведении коликих (ст. 28).
В делении, как и в умножении, перед коликим ставят иногда знак плюс или минус для показания, что этот знак должен соединиться с знаком перед числом в один. Четыре уравнения остаются справедливы, когда под т, п разумеют коликие.
Коликие пишут в том порядке одно за другим, в каком должно их умноэюать и делить, ставя знак умножения перед тем, на которое мнооштся,—деления перед тем, на которое делится. Например,
а X Ь : с X d : е
значит, что а умножается на Ъ, произведение их делится на с, потом должно умножить на й и, наконец, разделить на е.
48 | Знак плюс перед коликим в умножении и делении должен соединяться в один с знаком в самом коликом; а как плюс перед коликим не переменяет знака перед числом, то лишнее было бы и писать его в умножении и делении. Например, аХ— & :+с показывает, что число, подразумеваемое под Ъ, должно быть взято
с противным знаком, а число в с оставаться с тем же, следовательно, все равно, перед с ставить плюс или нет; но минус перед 6 не должен быть опущен.
Когда в противность порядка некоторые из коликих должны быть презюде умноэюены или разделены, а потом присоединиться к прочим, то такие коликие заключаются в скобки.
Например,
а : (6 • с : d)
показывает, что а делится на то число, которое произойдет от умножения Ъ на с и от деления на d.
Но такое правило, общее для употребления скобок (Гл. III, ст. 16), наругиается, когда есть слоэюение и вычитание. Тогда коликие, соединенные знаками умножения и деления, принимаются за одно число. Так, если пишут:
а-|-6 • с — d : е, то разумеют
а -[- (6 • с) — (d : е)
49 1 и требуют прикладывать к а произведение Ъ • с, а потом вычитать частное d : е.
Когда несколько коликих умножаются и делятся, то значение всего выраоюения будет полоэюительным числом, если все коликие в выраоюении положительные числа или число отрицательных четное; напротив, значение будет отрицательным числом, если число отрицательных нечетное. Число же значения не зависит от знаков плюс zi минус производителей и делителей, а только от величины гих.
Действительно, из того, что было доказано выше (ст. 28 и 30), видно, что знак плюс или минус перед числом должен всякий раз оставаться тот же, когда оно умножится или разделится на положительное число, и всякий раз должен меняться на противный, когда умножают или делят на отрицательное число.
Итак, вместо того, чтобы ставить минус перед некоторыми из производителей и делителей для показания, что их числа берутся с противными знаками (ст. 31), можно или совсем не ставить минусов, когда число их четное, или ставить один только минус, когда число их нечетное. Этот минус может быть перед целым выражением, или перед которым-нибудь из множителей и делителей.
Например, вместо — аХ—Ь :—с можно писать —а X Ь : с, или аХ — Ъ : с, или *— (а X Ь : с).
so | Что же касается до того, что значение выражения из производителей и делителей по величине не зависит от знаков плюс и минус, а только от чисел, то это следует уже само по себе из умножения и деления двух коликих (ст. 28 и 30). Посему впоследствии и нужно говорить только об умножении и делении положительных чисел или, скажем, просто чисел. О знаке же перед числом всего значения легко судить по числу минусов множителей и делителей.
Произведение всякого числа на г^елое .меняется вместе с мно- ятшк
Положим, что а умножается на целое число п. Пусть a=6-j-c; произведение а • п получится, когда в сумме п единиц вместо каждой ставим Ь 4-е, потом соединяем одинаковые слагаемые особо (Гл. Ш, ст. 23). Оно будет, следовательно, Ъ • 7г-|- с • п и может быть равно 6 • 7г, когда с • п = 0; но произведение с • 7г, представляя сумму нескольких нулей, делается нулем только для б —0, т. е., .когда а = Ъ.
Доля от числа возмездна только одна, и представляет частное того числа, от которого берется доля, на то, которим означают, какая доля берется.
Когда говорят 7гая доля от а, разумея под 7г целое число, то этим хотят означить такое число Ъ, которое дает
si |b • 7г = а.
Кроме Ъ нельзя найти другого числа, которое в произведении на 7г давало бы а (ст. 34). Частное а : п, будучи умножено на 7г, также дает а (ст. 29), следовательно, а \ п = 6, и кроме 6 никакое число не может быть почтено за частное а : 7г.
Отсюда следует, что умноэшть число на дробь значит сперва разделить его на знаменателя, а потом умножить на числителя (ст. 26).
7 г
а X — = а ; тХ пт
. Одно только произведение и одно только частное возможно какого-нибудь числа на другое. То же должно сказать и вообще о коликих.
Если сыщутся числа с и й, из которых первое может быть почтено за произведение а • 6, второе за частное а : 5, то нельзя уже приискать никакого другого числа, кроме с, которое бы могло представлять произведение а • 6, и кроме й, которое бы могло представлять частное алЪ.
Доказывать нужно только для положительных чисел (ст. 33). Итак, пусть в произведении а • Ъ множимое а представляет какое- нибудь положительное число; множитель Ъ также положительное 52 число, вообще дробь —, под которой мож|но разуметь и все целые числа. Чтоб составить произведение а • 6, надобно сперва сыскать тУю долю от а, то-есть частное а : ж, которое назовем в и которое может быть только одно число (ст. 35); потом е должно умножить на п, и тогда а • 6 = в • п. Произведение е • п представляет сумму из ?ъ равных слагаемых в и может быть единственным числом. Теперь пусть, кроме частного й, возможно другое число f=a\b' и, следовательно, как d X Ь = а^ так и fX Ъ = я; тогда d : т X ^ = = f: тХ^- Это требует, чтоб d: m = f: т (ст. 34); затем, умножая уравнение на т, находим d = f (ст. 29).
Доказательство не распространяется на те случаи, где производители или делители не могут быть понимаемы под общим видом дроби, каковы, например, числа нуль и бесконечно великое. Такие- случаи рассмотрим особо.
Предложение справедливо и тогда, когда в произведении один производитель, а в частном делимое — действительные числа, но другой производитель нуль или делитель бесконечно великое, потому что для всякого действительного числа а мы видели (ст. 27 и 29), что
аХ0 = 0; а:оо = 0; 0Ха = 0.
Сюда же можно причислять и следующие случаи, о которых: сказано было там же:
5з |а, • оо = оо; а : 0 = оо; оо-а = оо.
Предложение несправедливо, когда в произведении один производитель нуль, а другой бесконечно великое; когда в частном делимое и делитель вместе нули. Произведения 0 • оо и оо • 0 согласно тому, что сказано'было прежде (ст. 29), изображают границу* к которой приближается выражение а : 6 X 6, первое — когда Ъ уве-
личивается; второе — когда Ъ уменьшается; но между тем значение выражения а: Ъ X Ь остается всегда а (ст. 29) и, следовательно, произвольным. Что касается до частных 0 : 0 и оо:оо, то из самого определения, какое было дано для деления, уже следует, что за такие частные можно почитать всякое число.
. Колитов остается без перемены, тогда оно умножается на другое, а потом на него oice делится, или сперва делится, а потом умно- экается.
аХЬ*.Ь = а; а ; ЬХЬ = а.
Частное произведения аЪ на Ъ должно быть а, потому что а, будучи умножено на делителя Ъ, дает действительно множимое а • Ъ (ст. 29). Кроме а, другого значения не допускает выражение а X Ь : Ъ (ст. 36).
Уравнение а : Ъ X Ь = а заключает в себе самое определение деления, именно: частное а : Ъ должно быть таково, чтоб умножаясь на Ъ, давало делимое а.
м | Посему знаки умножения и деления названы противными в отношении друг к другу,
. Деление превращается в умножение с обращением дроби делителя. Обратить дробь называется—поставить в ней числителя на место знаменателя, а знаменателя на место числителя.
Всякого делителя можем разуметь под видом дроби-~ с целыми числами п, т. Означаем Ъ частное а : ~. Надобно, чтоб 6Х-^=^ (ст. 29) или
Ъ \ тХ^ = а (ст. 35).
Разделяем это уравнение на п, потом умножаем на т, чрез что п и т уничтожается в первой части (ст. 37). Получится
о = а: пХ т = аХ — •
Так все то, что будет сказано об умножении, можно применять к делению. Далее, выражения из производителей и делителей можно разуметь под общим видом произведения из нескольких
производителей. Вот почему все такие выражения и называют произведениями, а делителей также разумеют под общим названием производителей.
|39. Вее равно, нолшме умнозюить на другое, потом на третье,
или сперва на это третье, а потом на второе.
аХЪХс = аХ^ХЬ.
Довольно говорить об одних положительных числах, потому что знаки плюс и минус на обеих сторонах уравнения одинаковы (ст. 33).
Если Ъ = с, то уравнение делается тожественным. Далее, все равно, полагать Ъ > с, или с > Ъ. Пусть Ъ > с, так что Ъ = с + d.
Сперва рассматриваем Ъ и с целые числа. Умножить а на 6, значит, по определению умножения, поставить в сумме Ъ единиц вместо каждой а. Здесь а будет повторяться с раз, потом й раз, следовательно,
а - b = а • с-^- а • d.
Точно так же и
а • с • b = а • с • с-^- а • с • d.
Далее, умножить (а • с + а • d) на число с можно иначе, умножив а • с на с, а • d на с и вышедшие произведения сложив, как этому пример видели выше (ст. 34). Так приходим еще к уравнению
a-b-c = a*c*c-Va-d-c.
Итак, если а • с • d = а • d * с, то и а • Ъ • с = а • с • Ь.
Первое справедливо для c = d\ если ж d и с не | равны, то можно продолжать доказательство с числами с, d, как было начато с &, с. Дойдем, следовательно, снова до подобного уравнения, каково а • d • с = а • с • d и которого справедливость должно будет показать в случае неравенства d, с. Но целые числа, уменьшаясь то или другое всякий раз по крайней мере единицей, наконец уничтожаются, делаясь наперед здесь равными.
ДляЬ = ^-,с=у, где п, т, t, г целые числа,
а • Ъ •с • т •г = а:т •п : г • £ • т • г (ст. 35) = а : т • п;т • t • г • т =
= а,:т •п : г • г • t • т = а : т • п • t • т (ст.37) =
= а:т •п • т • t = а : т • т . п • t=a • п • £;
а • с • Ъ • т • г = а : г • t : т* п • т • г = а : г • t : т • т • п • г = = а : г • t • п • г = а: г • t • г • п = а : г • г • t • 71 = = а • t • п = а • п • t.
Отсюда видим, что
а • Ъ • с * т * г = а - с - Ъ • т - г.
Разделяя уравнение на г, потом на т, получим
а • Ъ • с = а • с • Ъ.
Если который-нибудь из производителей а, 5, с нуль, то как а . Ь • с = 0, так и а • с • Ъ = 0, следовательно, предложение и в таком случае справедливо.
। Полагая а = 1, получим b • с = с • Ь, то-есть произведение двух коликих одинаково, которое на которое ни мноэгсить.
Производители % делители могут ставиться в произвольном порядке, лишь би знаки перед ними оставались те dice. Должно заметить однако ж, что делитель наперед не ставится с знаком деления; а производитель, будучи переставлен на первое место, теряет свой знак умножения, передавая его тому, которого место он занял. Например,
а • Ъ : с • d = а : с • Ъ - d = d: с • Ъ • а.
Предложение довольно доказывать для положительных чисел, потому что от перемены места производителей и делителей не переменяется число отрицательных (ст. 33). Также нет нужды говорить о делителях, которые всегда могут быть обращены в множителей (ст. 38).
В произведении из многих производителей рассматриваем два сряду 6, с. Называем а значение всего, что им предшествует, и не обращаем внимания на то, что за ними следует (ст. 31). В а • Ъ • с множитель Ъ можно поставить на место с, а с на место Ъ (ст. 39). Так во всяком произведении множитель и делитель, меняясь с соседним по ту или другую сторону, переходит на ка- 58 ждое место до последнего к концу и до второго | к началу; но отсюда на первое может перейти производитель, теряя уже свой знак умножения (ст. 39), который принимает первый множитель, став на его место. Делителя же с его знаком деления ставить на первое место не в употреблении.
Отсюда следует, что равные множитель и делитель, где би ни встречались в произведении, друг друга уничтоэюают (ст. 37).
Еще следует, что с одной части уравнения, представленной в виде произведения, каждый производитель переходит на другую сторону делителем, а делитель — производителем, следовательно, в обоих случаях с противным знаком. Посему в уравнении, которого части представляются в виде произведений, одинаковые производители и делители на обеих сторонах могут быть уничтожены.
ГЛАВА V
УНИЧТОЖЕНИЕ СКОБОК И ВКЛЮЧЕНИЕ В СКОБКИ
Правила для уничтожения скобок и включения в скобки коликих, соединенных знаками сложения и вычитания, были уже даны (Гл. Ш, ст. 21, 22 и 23). Тем же правилам следуют в умножении и делении.
59 | Когда перед скобками знак умножения, а в скобки заключены только производители, и делители, то скобки уничтожаются без перемены знаков.
а • (Ь * с ; Д) = а • Ъ • с: d.
Пусть в скобках заключаются одни только производители 6, с, d и т. д.; значение всего выражения впереди скобок а; то вместо
а • (6 • с * d ...)
можем писать (Гл. IV, ст. 40)
(Ъ • с • d ...) • а.
Здесь все равно, ставить скобки или нет, потому что вычисление в обоих случаях одинаково (Гл. Ш, ст. 16 и Гл. IV, ст. 31). Итак, пишем
Ъ • с • d . •. Xй-
Наконец, переменяя порядок производителей, получим
а • Ъ • с • d ...
Если в скобках встречаются делители, то превращаем их сперва в множителей (Гл. IV, ст. 38); потом, уничтожив скобки, восста- новляем прежний вид. Так как здесь дроби делителей обращаются два раза, то они остаются те же.
Предложение справедливо и в тех случаях, когда между производителями встречаются нули или делители бесконечно великие,
потому что значение всего выражения будет всегда нулем, скобки останутся или отнимутся.
бо |42. Если в скобках заключаются производители гс делители, а
перед скобкамгь знак деления, то скобки уничтоэтаются с переменою в них знаков умноэюения и деления на противные] перед коликим, которое было первым в скобках, становится знак деления.
а : (6 • с: d) = a:b : с X ^.
Положим сперва, что в скобках одни только производители Ъ, с, d и т. д.; значение всего выражения перед скобками а. Надобно доказать, что
а : (6 • с • d .. -) = а : b : с: d ...
Для сего берем уравнение (Гл. IV, ст. 37)
а : (6 • с • d .. .) X (5 • с • d .. .) = а или (ст. 41)
а: (6 • с • d ...) • Ъ • с • d •.. =а.
Разделяя на 6, с, d ... (Гл. IV, ст. 40), получим то, что хотели доказывать.
Если в скобках находятся делители, то стоит только сперва обратить их в множителей, потом уничтожить скобки. Знаки умножения переменятся на знаки деления, вместо которых, ставя снова знаки умножения и снова обращая дроби, получим прежних делителей.
Когда несколько коликих умножаются г1 делятся, то можно из 61 них произвольное число | с ряду заключить в скобки, оставляя знаки те же, или переменяя на противные, смотря по тому, скобка поста- вится позади знака умножения, или Явления.
а • b : сХ А= аХ(Ь : с • d);
а: 6 • с : d = а : (6 : с • d).
Это предложение, как обратное двум предыдущим, не требует доказательства. Заметим только, что если коликие умножаются и делятся, то все производители можно поставить вместе наперед, а за ними всех делителей (Гл. IV, ст. 40), которых потом заключить в скобки, поставя перед скобками знак деления и переменяя в скобках знаки деления на знаки умножения. Например, аХб:сХ^-в = аХбХ^-(^Хе)-
Итак, значение въьраэ1сения из производителей и делителей может быть найдено, когда произведение всех производителей разделится на произведение всех делителей.
Множитель или делитель за скобкалси, в которых заключена сумма, моэюет быть внесен в скобки, мноэюителем или делителем за каждым слагаемым. То же должно сказать о производителе перед скобкою (Гл. IV, ст. 40).
(а 4- 5 — с) • п = а • п 4- Ъ • п — с • п;
(а-]-6 — с\.п = а : ?г4“^:7г— с:п;
п • (а-^-Ь — с) = п • а 4~ и • Ъ — п • с.
62 | Предложение нужно только доказывать для множителей, а для делителей оно следует уже само по себе отсюда. Для простоты в доказательстве также можно принимать, что в сумме у всех слагаемых впереди плюс (Гл. II, ст. 9). Итак, надобно доказывать, что
(а 4~ b 4- с 4“ • • •) • ^ = а • п 4“ Ъ • п 4~ с • п 4- • • •
Означаем А сумму, которая здесь умножается на п. Полагаем сперва, что п целое положительное число. Повторим здесь то же, что раз уже видели в другом случае (Гл. IV, ст. 34). Чтоб найти произведение А • п надобно в сумме п единиц поставить вместо каждой (а4~&4“с+ • • •)• Сделав это, уничтожаем скобки, соединяем все а вместе: получим, а • п; соединяем также все Ъ вместе, все с вместе и т. д.: получим 6 • %, с • п и т. д. Таким образом находим, что
А • п = а • п4~ b • п-^-с • п-у- ...
Пусть теперь А умножается на дробь -i , где п— целое положительное число. Полагаем
А-— = В; —+ 6-—+ с-1+пп п 1 п
то
В • п = А • — • п = А : п -п (Гл. IV, ст. 35) = А. п
бз | После того, что было сейчас доказано для целых положительных чисел, будет
С • п = а • — • н -I- 6 • — • п 4~ с • — • па 4- Ъ с • • • = А.
ппп х
Отсюда видно, что В • п-С-п' следовательно, и В = С (Гл. IV, ст. 40), то-есть:
А • — = ct Ъ •4 с • —I— .,.
ПП 1 Тг 1 Тг
Пусть, наконец, и представляет всякое положительное число и,Пусть, наконец, и представляет всякое положительное число и,следовательно, вообще дробь ■^- числа. В таком случаеследовательно, вообще дробь ■^- числа. В таком случаегде ри g —целые положительныегде ри g —целые положительные
Пусть, наконец, и представляет всякое положительное число и,
Пусть, наконец, и представляет всякое положительное число и,
следовательно, вообще дробь ■^- числа. В таком случае
следовательно, вообще дробь ■^- числа. В таком случае
где ри g —целые положительные
где ри g —целые положительные
j4-7i = j4:2*1’ = ^L • -i-• р (Гл. IV, ст. 35) =
3.13 ’3.13 ’, 1 .Гс г '31 । 1р+с--а з, 1 .Гс г '31 । 1р+с--а з• р =• р =
3
.1
3 ’
3
.1
3 ’
, 1 .
Гс г '
3
1 । 1
р+с--
а з
, 1 .
Гс г '
3
1 । 1
р+с--
а з
• р =
• р =
= а • — -(- 6 • — + с • ——\-...=а-п4-Ьеп4-с-п4-,..
Когда п число отрицательное и, следовательно, — тг положительное, то
А • п = —А • —7г (Гл. IV, ст. 28) =
= (—-а — Ъ— с—...)Х—^ (Гл. Ш, ст. 17) =
= — а п— 67г — с • —тг — ... = а«тг-|-5*^4-св^4- • • •
«4 | Для 7г = 0 как произведение А • тг, так а • тг, Ъ • тг, с • п и т. д. нули; следовательно, опять
А.п = а*п-^Ъ-п-\-с-п^ . ..
Обратное предложение предыдущей статьи будет такое: тогда в сумме у нескольких слагаемых производители или делители общие, то такие члены могут быть снесены вместе, заключены в скобки, а производители или делители выставлены позади скобок. Например,
а — 6 • тг : т -[-c-^d • п : т = а-\-с— (6 — d) • п : т.
В особенности следуют такому правилу, когда одинаковые производители или делители в буквах, а прочие в цифрах. В таком случае все цифры соединяются в одно число, чрез что выражение сокращается. Если при слагаемом нет цифры, то само по себе разумеется, что здесь производитель единица. Например,
5а: Ъ + За: Ъ — а : Ъ = (5 -(- 3 — 1) • а: 6 = 7а: Ъ.
Произведение двух сумм изображается одной, когда принимаем которую-нибудь за одно число, ставим ее производителем при каждом из слагаемых другой, потом и в этой производителей всей суммы ставим у каждого слагаемого, а, наконец, скобки уничтожаем. Отсюда выходит такое правило для умножения суммы на сумму:
Надобно умножать каждое слагаемое в одной сумме на каждое ев слагаемое другой, произведение | ставить с плюсом, если знаки у двух производителей одинаковое, с минусом — если они различно (Гл. IV, ст. 28).
Каковы бы слагаемые двух сумм ни были, всегда одну можно представить под общим видом « + & + с + •••) ДРУГУЮ тоже под А + В + С + ... Поступая, как было пояснено в начале сей статьи, находим:
(а + 6 + с+.. j.(A + J?+C+...) =
= (а + & + с+ ...)• 1+а(а^6 + с+ •••)*-®+
+ (а + & + с+ . ..)• С-^ и т. д. =
= (а- А^б- А + с. А+ ...) + (а.^+&-Б + с-5+...) +
-|- {а • С -}- 6 • С -{“ с • С -]— • • •) ~|~ ^ т. д. =
= а • А -}- & • А -)- с • А —{— .. . —J— а • В—|— Ъ • В —j- с • В —|— • •. -4—
—|- а • С —|— Ъ • С —|— с • С —j— •. •
Под а, Ъ, с ... и А, В, С ... можно разуметь всякие коликие, можно, следовательно, поставить сюда и —а вместо а, или —6 вместо 5, и т. д.; —А вместо А, —В вместо В, и т. д.; потом снова разуметь под а, 6, с ... и А, В, С ... произвольные как положительные, так и отрицательные числа.
Произведение и более нежели двух сумм получится, когда умножаем которую-нибудь из них на все прочие, одну за другой. Здесь часто случается коликое умножать несколько раз само на 66 себя, тогда для краткости, оставляя обыкновенное озна|чение, пишут над ним к правой руке число равных производителей, которое и называют показателем степени, а самое произведение — степенью второю, третьею и т. д. по числу производителей. Вместо а а пишут а2; а? вместо а а а или а2 а; а4 вместо а а а а или а^а а или а3 а и т. д. Чем более показатель степени, тем степень, говорят, вшив; чем менее — ниже. Коликое без показателя назы-
вается первою степенью. В следующем примере видно и как происходят степени, и как изображаются.
(« + 6) (а — Ь) = а^ — №;
(а + 6) (а+б) (а + 6) = а3 + За2б + Заб2 + №.
Заметим, что произведение не переменяется от перемены места- слагаемых в умноэюаемых суммах, потому что с таким перемещением произведения слагаемых одной суммы на другую останутся те же; а, следовательно, с переменою места слагаемых в одной сумме произойдет только перемена места для произведения из слагаемых,, самые же произведения останутся те же.
Еще заметим, что в произведении двух сумм высшая степень ка- эюдой буквы бывает та, которой показатель — сумма показателей у высших степеней этой буквы в умноэюаемых суммах. Такая степень действительно происходит в умножении членов одной суммы на члены 6? другой, и при том один только раз, следовательно уничто|житься не может. Между тем, другие, повторяясь, иногда исчезают при соединении. Правило распространяется также и на произведение более, нежели двух сумм, то-есть: самая въ^шая степень от буквы в произведении сумм необходима та, которой показатель — сумма показателей у высших степеней от этой буквы во всех умноэюаемых суммах..
Наконец, чтобы произведение сумм представить в сокращенном виде, слагаемые произведения, которых производители одинаковы в буквах, соединяются в одно, как это было сказано в предыдущей статье.
Умножение сумм ведет прямо к заключению о произведении и частном неравных. Если дело идет только о величине (Гл. П, ст. 13), то произведение там более, где равное мноэюится на большее, а частное — где большее делится на равное, или равное на меньшее.
Если по величине а > б, с = б?, то
ас^Ьдг, а\с>Ъ;сЦ c:a<d:b.
Так как здесь обращаем внимание только на величину чисел, то для простоты все их принимаем положительными, и пусть а = 5 -|~ А где, следовательно, f также положительное число. После чего находим (ст. 44)
ев |ac = bc-^-fc; a:c = b ;c-\-f:c.
Отсюда
ас > Ъс; а : с > Ъ: с.
Ставя d вместо с на второй стороне неравенства, получим
ac>bd; a;c>b:d.
Наконец, чтобы сравнить частные с: а с ^: 6, полагаем
с : а = d : 6 -j- ж.
Если х положительное число, то с: а*> d:b; если ж ж отрицательное, то с: а < d; b. Умножаем уравнение на а*.
c = d • а: Ь-\- а • х.
Вместо а ставим b-^-f:
c = (d • b-\-d • /): 5-}- ах (ст. 44); далее, c = d-\-d • f: Ъ-\-ах, а как c = d, то
d • f: ba^x = 0^
откуда видно, что х необходимо отрицательное число, когда все прочие положительные.
Посему, когда число умножается на другое более единицы, то 69 оно увеличивается; а когда разделится, то уменьшается; но когда число умножается на другое менее единицы, то оно уменьшается; когда же делится, то увеличивается.
В умножении неравных на неравные по величине, произведение там более, где больгаее умноэ!сается на большее, но вообще ничего нельзя сказать о произведении большего на меньшее. В делении — частное там более, где больгаее делится на меньшее, но вообще ничего нельзя сказать о частном большего на большее.
Пусть а > b, с*> d по величине; то
а • с > b • d\ a:d>b:c.
Из предыдущей статьи знаем, что а • с > Ъ • с, что b • с > Ъ • d\ следовательно, тем более ас > bd. Также a:d*>b;d, b:d*>b:c; следовательно, и а: d > Ъ : с.
Если коликие сравниваются не только по величине, но и самые знаки принимаются в рассуждение, то в умножении и делении должно различать случаи:
Если равные полоэюительны, то произведение и частное большего на равное бывают более.
Если равные отрицательны, то произведение и частное большего на равное бывают менее.
Если произведение двух неравных на одно из равных — по- лоэюительное число, то частное там более, где равное делится на меньшее.
™ | 4) Если произведение двух неравных на одно из равных — отрицательное число, то частное там более, где равное делится на большее.
Пусть а >6, c = d.
Для с, й положительных, а • с > Ъ • d\ a\c^>b*.d\ для с, d отрицательных, а • с < Ъ • d, а : с < Ъ : d. Когда произведение abc положительное, то с: а <. d:b; когда произведение abc отрицательное, то с : а > d : Ь. Полагаем a = b-Yf, где, следовательно, /‘положительное число (Гл. II, ст. 13), то
а • с = Ъ • d-^-f • d\ a:c = b:d-1rf:d (ст. 44).
Если б? положительное, то f-d и f:d также; следовательно, а • с > Ъ • d и а: с > b : d. Если ж d отрицательное, то f • d и f*.d тоже; а • с < Ъ • d*, а:с <b:d.
Пусть теперь
с : а = d : Ъ -}- х.
Умножаем на а, ставим в d : b • а вместо а ему равное "b-Vf и с вместо d; получим:
х = — с : b : а • f.
Число f всегда положительное; выражение с:Ь*.а бывает положительное или отрицательное вместе с произведением abc, после чего нетрудно видеть, как происходит сказанное в предложении.
Частное суммы на сумму может иногда быть представлено 71 одной суммой. В таком случае го|ворят, что сумма делится на сумму нацело, в противном случае — делится с остатком, не делится нацело. По крайней мере всегда можно придти к такому частному, где в делимом степени от одной буквы ниже, нежели в делителе. Для сего нужно как делимое, так и делителя, располагать в порядке степеней от буквы, начиная с высшей, что и называют располагать
по нисходящим степеням. Располагать по восходящим степеням, значило бы итти от низшей к высшей. При делении задаваться должно таким выражением, которого бы произведение на первый член делителя давало первый член делимого; это произведение из делимого вычитать, под остатком вновь задаваться, и так продолжать, прикладывая заданные члены один за другим, покуда степень от буквы ниже будет в остатке, нежели в делителе. Такое действие называют делением суммы на сумму в отношении к той букве, по степеням которой расположены делимое и делитель. Лучше понять из примера р1]:
а? -|- 2аЬ + № | а34-За2&4~За&24-&3 \a-\-b
| а? -\-2а?Ъ-\- а№ [
а^Ь -]- 2а№ + 63
аЧ) + 2а62 4“ 63
б
72 | Другой пример:
а2 4~ За — 1а2 4~ За — 1а3 4-2а2 — 3а3 4-2а2 — 3а5 4“ За4 — а3а5 4“ За4 — а3а5 4~ ба4 4™ за3 —5а2 — 7 а 4“ 4
а2 4~ За — 1
а2 4~ За — 1
а3 4-2а2 — 3
а3 4-2а2 — 3
а5 4“ За4 — а3
а5 4“ За4 — а3
2а44~6а3 — 5а2
2а44-6а3 — 2а2
— За2 — 7а 4™ 4 — За2 —9а-]-3 2а 4“ 4
В первом примере деление вышло нацело; во втором с остатком 2а 4“ 1*
Остаток в делении происходит, когда из делимого вычитается произведение заданного на делителя. Посему, называя делимое Д делитель д, заданное ЗР2], остаток О, получим
Д— д-3=0.
Разделяя уравнение на д и перенося 3 на другую сторону, находим
Д\д = 3-^0:д.
Отсюда видно, что в делении без остатка заданное изображает самое частное; а если остаток есть, то частное изображается сум-
мою заданного с частным остатка на делителя. В последнем случае можно дойти до остатка, в котором высшая степень по крайней мере единицей ниже высшей степени от той же буквы в делителе.
Обыкновенное деление целых чисел также производится как 73 деление суммы на сумму, и где ] степени от буквы будут степени, подразумеваемые от основания в счете, с тем, однако ж, различием, что заданное число должно быть всегда целым, а остаток положительный. Посему когда высшая степень основания, с соблюдением сих правил, не может уничтожиться в остатке, то ее соединяют с следующей низшей степенью, и продолжают деление. Например, основание а = 10, требуется разделить 2023 на 119, то- есть 2а3-]-2а-]-3 на а24-^+9. Надобно поступать так:
а2-]-а4“ 9 2а34*2а -]~3 а-^Ч
а3-]- ^2Ц-9а8а2-|-За + з”8а2 + 3^+3
Здесь сперва не должно задаваться 2а, но только а, чтоб остаток не был отрицательный; потом вычитать а2 из а3, занимая а3 от 2а3 и говоря 10а2 вместо а3; отсюда вновь занимать а2 и называть 10а, так что в делимом 2а3-]-2а будет заменено а3 4* 4- 9а2—}— 12а. Обыкновенно знаки плюс выпускаются, также степени от а умалчиваются, потому что в принятом означении целых чисел самые места цифр показывают, при какой степени основания должны они стоять. Общее же правило деления, как и для всякого счета в целых числах, заключается в том, чтобы в случае невоз- 74 можности вычитать прямо цифру, | занимать сюда от предыдущей единицу и называть ее десятью; а в сложении, когда сумма цифр более 10, число десятков придавать к предыдущим цифрам, называя их единицами.
Какой бы остаток ни вышел, всегда деление можно продолжать, располагая частное по нисходящим степеням от какой- нибудь буквы. Начиная от первого члена в частном, степени от буквы понижаются до члена свободного от этой буквы; за ним следуют члены, где степени буквы идут в делителе возрастая.
Для примера разделим таким образом a4-j-54 на а — 6
а — 6а — 6а^Ь^ а4 — а^Ьа^Ь^ а4 — а^Ьа^а^Ь-^аЬ^Ь^ + W: а + 2бб: а2а^а^Ь-^аЬ^Ь^ + W: а + 2бб: а2
а — 6
а — 6
а^Ь^ а4 — а^Ь
а^Ь^ а4 — а^Ь
а^а^Ь-^аЬ^Ь^ + W: а + 2бб: а2
а^а^Ь-^аЬ^Ь^ + W: а + 2бб: а2
а35 + 54
а^Ъ — а252
aW^b4- а252 — а№
аЪ*-^
a№ — b4
2б4 — 25б : а № : а
25б : а — 256 : а2 2d6 : а2.
Этот способ деления употребителен, когда буква, в отношении к которой деление производится, увеличивает делителя в остатке до *75 того, | что, наконец, сим остатком можно за малостию пренебрегать. Если остаток назовем О, делителя 9, то частное составится из суммы заданного выражения с О : д (ст. пред.). Когда О : д так мало, что предполагаемая точность вычисления позволяет такое число отбрасывать, тогда можно довольствоваться одним заданным, и принимать его за частное. Чем деление продолжается более, тем членов прибывает больше в частном и тем погрешность О : 9 становится менее. Вот почему и продолжают писать частное, покуда закон иоследования в членах окажется; тогда ставят несколько точек, желая сказать этим, что продолжение зависит уже от произвола. Такое выражение называют бесконечною строкой [13]. В нашем примере бесконечная строка для частного (а4 -[- б4): (а — б) будет
а3 + а?Ь + аб2 + б3 + 2б2 : а + 253 : а4 + 2d4 : а^ -}- ...
Останавливаясь в этой строке на члене 2бп : ап—1^ мы делаем ошибку в вычислении 2бп+1 : а™—1 : (а — б). Для 6 = 1, а = 10 и и = 5 1 это составит -^бо •
Во всяком выражении, где коликие складываются, вычитаются, умножаются, делятся, можно скобки уничтожить, исключая тот случай, когда перед суммою знак деления.
Уничтожение скобок бывает нужно или для сокращения, или тс в намерении освободить некоторые | буквы от соединения в про-
тивном порядке. Из предыдущего видно, что правила должны заключаться в следующем:
Произведение нескольких сумм долэюно представлять одною суммой (ст. 46).
Когда нет более произведений сумми на сумму, но остается знак умноэюения впереди или позади скобок, или знак деления за скобками, то производители или делители вносятся внутрь скобок и ставятся с тем эюе знаком при каэюдом члене (ст. 44).
Когда нет более сумми, за которой или впереди которой стояли би знаки умноэюения или деления, то скобки, заключающие сумми, уничтоэюаются без перемени или с переменою знаков перед членами на противние, смотря по тому, будет впереди скобок знак слоэюения или вичитания (Гл. Ш, ст. 21 и 22).
Если остаются одни произведения, то скобки уничтожаются без перемени знаков у производителей и делителей, когда перед скобками стоит знак умноэюения; с переменою на противние — когда перед скобками знак деления (ст. 41 и 42).
Уничтожив таким образом все скобки, можно соединять те- члены, у которых производители или делители одинаковы в буквах 77 (ст. 45), от чего | выражение часто сокращается. Для примера возьмем: — (2а — 6) (а + 6) (а — 26) + а2 {(а -|- 6) (а — 26) — (а — 6) (а + 26)} : 6 -(+ (а63 + 264):6.
Перемножаем суммы и у последнего члена вносим делителя 6 в скобки:
— (2а3 — За26 — Заб2 Ц~ 263) -j- я2 {(я2 — ^6 — 262) — (й2 + ab — 2d2)} : 5-|-
‘+(аб2 + 253).
Уничтожаем скобки, в которых заключены суммы:
— 2а3 + За26 -]- Заб2 — 263 -|- а2 • — 2аЬ : Ъ -}- аб2 -(- 2б3.
Наконец, все это составит:
— 4а3 -j- За25 + 4аб2.
Если требуется только некоторые буквы вывести из скобок* то и уничтожать должно только те скобки, которые заключают эти буквы; разве от уничтожения других можно было бы ожидать сокращения. Например, требуется освободить от скобок буквы х и у в выражении
(ах 4- 5) (2а — 6) — (by -{- а) (26 — а).
Надобно писать
ах (2а — Ь) — by (2b — а) 4“ Ъ (2а — 6) — а (2Ь — а).
78 | Цель уже достигнута, но между тем два последние члена от уничтожения скобок сокращаются, чего и не должно всякий раз опускать для простоты в вычислении. Именно, выражение может быть представлено еще так:
ах (2а — Ь) — by (2b — а) 4~ а? — 62.
Когда знак деления встречается перед суммою, то скобки не всегда можно уничтожить. Если сумма на сумму делится нацело, то частное (ст. 50) заменяет делимого с делителем, после чего знака деления перед скобкой уже не будет. Если ж, продолжая деление, доходят до остатка, где степень буквы, в отношении к которой деление производилось, ниже степени от той же буквы в делителе, то в намерении сократить выражение, можно вместо частного ставить заданное, присоединяя остаток с делителем (ст. 50).
Итак, в последнем случае скобки не уничтожаются; но если б это непременно требовалось в уравнении, то стоит только умножать на те суммы, перед которыми стоит знак деления, а потом поступать, как сказано в предыдущей статье. Например, уравнение
(а? — 2а№ + Ь^ : (а — 6) + (а2 + 2аЬ — 62) = (2а + 6) (а — 6), будучи умножено на а — 6, делается
(а3 — 2а№ 4- 63) + (а2 + 2а6 -— 62) (а — Ь) = (2а + 6) (а — 6) (а — 6);
79 | с уничтожением скобок оно будет
2а3 4~ а?Ъ — Ьа№ 4- 263 = 2а3 — За26 4” ^3-
Наконец, с перенесением всех чисел на одну сторону
4а26 — 5а62 4- S3 = 0.
Правила для включения в скобки были уже сказаны выше (Гл. III, ст. 23, Гл. V, ст. 43), а здесь прибавим еще следующее:
Во всякой сумме, заключенной в скобки, все члени можно умножать на произвольное коликое, поставя его делителем за скобками*, также все члени разделить на одно коликое, поставя его производителем впереди или позади скобок (ст. 44).
Включение в скобки доставляет часто выражениям более краткости, особенно когда многочленные суммы могут быть представлены произведением нескольких сумм. Это называют разложением на
производителей. Общий способ состоит в том, чтобы для одной букви в сумме приискивать частное значение, которое би сумму делало нулем. Тогда сумма разделится без остатка на разность букви без этого значения.
Назовем Р данное выражение, где находятся степени от а, но где а не встречается в делителях, и чего впрочем можно всегда во достигнуть, | умножая на таких делителей. Полагаем а значение а, которое делает Р=0. Вообще
Р : (а— a^ = Q»yB \ (а — а), где Q изображает заданное, В остаток, в котором нет а (ст. 50). Отсюда
Р= Q (а — а)-\-В;
для а = а предполагается Р=0; следовательно, В = 0 для всякого а, и
P=Q(a — a\
Выражение Q снова может быть разложено подобным образом на два производителя, если в Q остаются еще степени а или другой буквы. Итак, все дело состоит в том, чтобы уметь отыскивать для букв значения, которые делают выражение нулем. Хотя к этой цели и могут вести прямые средства, но излагать их здесь еще не место.
Для примера возьмем
а8 4“ 2а26 — эа№ — 663.
Значение а = — Ъ делает это выражение нулем. Частное на а-^Ъ будет а2 -\-аЪ—662, которое делается нулем для а = 26 и в новом частном на а — 26 дает а 4-36. Итак,
а^ -|- 2а26 — 5а62 — 6а3 = (а 4- 6) (^ — 26) (а -|- ^).
Если ап, под п разумеется целое положительное число, самая si высшая степень от а в выражении | Р, то число производителей, подобных а — а и которые называют начальничьи^ не может быть более п (Гл. V, ст. 46). Начальние производители в целих числах называются те, которые не разлагаются на другие.
Число п начальных производителей в Р, между которыми, впрочем, могут быть и одинаковые, предполагает п значений для а в Р = 0; но если Р делается нулем и для других значений а, тогда уравнение Р=0 необходимо тожественное; иначе произведены з было бы нуль, когда в нем нет ни одного производителя нуль.
ГЛАВА VI
СЧЕТ ДРОБЕЙ ОБЫКНОВЕННЫХ И А Л ГЕЕР А ГИЧЕСКИХ
Обитаовенная дробь состоит из двух целых положительных
чисел, поставленных: одно, числитель ^ над чертою; другое, знаменатель внизу. Числитель показывает, сколько дробь содержит долей, а знаменатель — какие доли единицы.
и частное числи- п.и частное числи- п.Обыкновенная дробь изображает то оюе, что
и частное числи- п.
и частное числи- п.
теля на знаменателя. Дробь — то же, что и т :
•82 | Дробь — показывает, что ?ъых долей единицы взято т\ а пая доля единицы то же, что дробь —; следовательно, — = — X ^
согласно с понятием о дроби и с определением умножения (Гл. IV, ст. 26). Дробь ~ — такая доля единицы, которых и составляют 111
единицу, то-есть, — X ^ = 1, откуда — = 1 : п. Ставя 1 : п вместо в ~ X т-> получим -^ = 1 :пХ^ = 1Х^:№ (Гл. IV, ст. 40) = т : и (Гл. IV, ст. 27).
Отсюда следует, что когда дробь умножится на знаменателя, то получится числитель (Гл. IV, ст. 37).
Название дроби распространено и на все частные; также способ означения дроби принят для означения всякого частного; так что, какие бы числа т, и ни были, частное т : и всегда можно писать -^-. Даже какое бы выражение ни делилось на другое, всегда делимое позволяется ставить вверху черты и называть числителем, делителя внизу — знаменателем, а частное — дробью. Под этим общим видом будем рассуждать здесь о дробях, называя их алгебрагичеошми или буквальными, потому что 83 в числителе и знаменателе входят не|определенные буквы. Правила для алгебрагических дробей служат вместе и для обыкно
венных.
Надобно заметить, что разделенные чертою выражения в дроби рассматриваются как частное, заключенное в скобки, которые также подразумеваются в числителе и знаменателе; а потому всякий раз, когда способ означения переменяется, и самые скобки должны восстановляться. Например,
6 + с а :
6 — с
значит
а:{(6+с):(&-с)}.
Еще заметим, что все равно, знак минус ставить ли перед числителем, или перед знаменателем, или перед всей дробью (Гл. IV, ст. 33).
Значение дроби не переменится, когда в ней числитель и знаменатель вместе умнодюатся или разделятся на одно число. Так, какое бы число т ни было, исключая т = 0 и т=оо, всегда
а а • т а : т Ъ Ъ • т Ъ : т'
Довольно доказывать у = -у-— , потому что деление можно всегда превратить в умножение (Гл. IV, ст. 38).
84 | Дробь -у все равно, что частное (а • т): (6 • т) {ст. 57} = = а • т хЪ \т {Гл. V, ст. 42} = а:6 {Гл. IV, ст. 40}.
Впрочем, так же легко доказывать, что и ут—^^ 5 именно: (а: т): (6 : т) = а : т : 6 X ^ = я : 6.
Основываясь на этом, можно дроби с разными знаменателями приводить к одному. Общее правило состоит в том, чтоб числителя и знаменателя каоюдой дроби умножать на произведение знаменателей прочих, от чего произведение всех знаменателей и будет знаменателем каждой дроби (Гл. IV, ст. 40).
Целое число обратится в дробь одинакового знаменателя с данной, когда оно умнодюится на знаменателя дроби, который поста- вится знаменателем внизу произведения. Так же буквальные выражения превращаются в дроби и приводятся к одному знаменателю с данной.
Часто дроби* получают одинаковых знаменателей, будучи умножены на числа менее или на выражения короче, когда дроби
ГЛ. VI. СЧЕТ ДРОБЕЙ ОБЫКНОВЕННЫХ И АЛГЕБРАГИЧЕСКИХ 77 буквальные, нежели на какие бы следовало умножать по общему 85 правилу (ст. пред.). Для сего знаменателя каждой дроби на|добно разлагать на его начальные производители (Гл. V, ст. 54); потом умножать каждую дробь вверху и внизу на те производители, которых в ее знаменателе недостает противу знаменателей прочих дробей. Итак, долоюно откинуть обилие производители всем знаменателям, затем откидивать каэюдого производителя у всех дробей, в знаменателях которих он встречается, и умноэюать на него вверху и внизу те дроби, где у знаменателей его недостает. Ясно, что таким образом все знаменатели сделаются одинаковыми и что числа или буквальные выражения, на которые дроби умножаются, будут самые кратчайшие, какие только могут произвести одинаковых знаменателей.
Например, требуется привести к общему знаменателю дроби:
1111
42 ’ 70 ’ 175 ’ 105 *
Должно поступать так:
42
7 -$-2
5 5'
25
70
7 •»• 2
3 • 5
15
175
7 • £ • 5
3-2
6
105
7 •■&•!
2-5
10
Во втором столбце поставлены начальные производители: на них одинаковые черты показывают, как они откидываются. В третьем ев столбце выставлены производители, которых недостает у | каждого знаменателя противу прочих. В последнем столбце произведения чисел третьего будут те самые числа, на которые надобно множить дроби, чтобы дать им одинакого знаменателя. После умножения находим:
2515610
1050 ’ 1050 ’ 1050 ’ 1050 *
Для другого примера возьмем буквальные дроби:
111
а2 — 62 ’ а2 Ц- ^аЪ + 52 ’ а?—аЪ—W *
Знаменатели составлена из начальных производителей: (а^6)(а_6); (а^_5)(а + 5); (а>б)(а —25).
Откинув общего производителя (а -[- 6), находим, что первую дробь должно умножить на
(а + 6) (а — 26) = а2 — аЪ — 262, вторую
(а — 6) (а — 26) = а2 — Заб -|- 2d2, третью
(а_6) (а+ 6) = а2—б2.
Общий знаменатель у всех будет
а4 — а3б — За2б2 -|- аб3 -(- 254.
Для разложения целых чисел на производители, что может быть только сделано чрез испытание, должно заметить следующее. Число делится на 2, когда последняя цифра нуль или четное; на 3 — когда сумма всех цифр делится на 3; на 5 — когда последняя 8? цифра нуль или 5; на 11—когда вычита[ние первой из второй, разности из третьей и т. д., с прибавлением всякий раз 11, если б вычитать было нельзя, дает в остатке нуль. Так, например, легко видеть, что 359 не делится на числа 2, 3, 5, 11. Испытывать должно только на числа начальные и продолжать, пока дойдет до числа, которого вторая степень более данного. Число 359 остается испытывать еще на 13 и 17, потому что 19 • 19 = 361 >359. Так открываем, что 359 не делится ни на какое число, и следовательно, начальное.
Разложение буквальных выражений на начальные производители может быть сделано, как это было сказано в гл. V, ст. 54.
Дроби с разними знаменателями, чтобы, складывать и вычитать их, сперва приводятся к одному; потом, смотря на знаки перед дробями, складывают г1 вычитают числителей, а знаменателя удерживают общего.
Пусть у дробей общий знаменатель п. Ставим перед каждой дробью плюс, а минус, если б он встречался перед некоторыми,
разумеем в числителе (ст. 56); тогда сумма дробей будет:
а 5 с
Ни т. д.,П 1 П 1 71 1
где а, 6, с... и знаменатель 7г могут быть положительными, отри- 88 цательными числами или буквальными выражениями. Теперь, так как дроби представляют частные (ст. 56),
^+l+^+----=(“+i+‘!+-",:’! v’ '’■ 45>=
Ct —|— & 4“ С —|- . . .
71*
Целое число с дробью будет приведено в одну дробь, когда целое умноэкуштся на знаменателя, приложится к числителю, а под суммою поставится тот же знаменатель. Так и всякое буквальное выражение приводится в одну дробь с той, к которой прикладывается.
Дробь равна заданному, в делении чгеслителя на знаменателя, с дробью, которой числитель остаток от деления, а знаменатель тот же. В обыкновенных дробях, неправильных, где числитель более знаменателя, называют это исключением целого числа. В буквальных дробях, где в числителе степени от буквы выше, нежели в знаменателе, можно в делении дойти до остатка, где степени этой буквы будут ниже, нежели в знаменателе (Гл. V, ст. 50).
Означаем а числитель дроби, Ъ знаменатель, с заданное, в делении числителя на знаменателя, й остаток, то (Гл. V, ст. 50)
а = Ъс 4- б.
89 | Разделяя на 6, получим
а . dт=с+т-
Для обыкновенной дроби -^- между целым числом с и дробью -у не пишут знак плюс, а подразумевают.
Возьмем для примера алгебрагическую дробь
а^ 4- 2а2— 2а
а2 4- За 4-1 *
Здесь в числителе степень от а выше, нежели в знаменателе. Разделяя, находим заданное а — 1, остаток единицу; следовательно,
дробь может быть еще представлена
а 1 а? + За 4- 1 "
Произведение двух дробей равно дроби, где числитель произведение числителей, а знаменатель произведение знаменателей
а х/ т а • тЪ п Ъ • п '
Дробь у- равна частному а;Ь (ст. 56 и 57); дробь -у- тоже «о т : п; следовательно, у—^ = (а : 6) X (^ : ™) | = я • 6 • ^ • (Гл. V, ст. 41) = а • т: Ъ : п = а • т : (6 • п) (Гл. V, ст. 42) =™ .
Если 6 = 1, то а • -^ = ^Ц то-есть чтобы дробь умножить на целое число, или обратно, надобно умножить числителя на целое число, а знаменателя оставить того эюе. Так же могут и буквальные выражения умножаться на дробь, или обратно.
Когда число, на которое умножается дробь, делится нацело на знаменателя, то короче делить целое число на знаменателя, а потом умнооюать на числгтеля, потому что а X-у- = я • (т:п) = а* т:п = = а ; п • т. То же и в буквальных дробях.
Или, разделить знаменателя, если он делится без остатка, на целое число, потому что а • ~- = а : п • т = а : (п : т).
Дробь разделить на дробь, все равно, что умножить на эту дробь обращенную. Это было уже доказано для обыкновенных дробей (Гл. IV, ст. 38).
91 Пусть дробь -у- делится на — , то у-: ~ = у : (т : ?г)| = у т • п (Гл. V, ст. 42) =| • и -.т = ^ • (п : т)= ^Х^
Под общим правилом, делить дробь на дробь, подразумевается уже и тот частный случай, когда дробь делится на целое число, или целое число на дробь; также когда дробь делится на какое бы то ни было буквальное выражение, или обратно; потому что целое число и всякое буквальное выражение можно принимать за дробь, которой знаменатель единица.
Сократить дробь называют разделить ее числителя и знаменателя на одно число, которое бы делило их нацело. Значение дроби от этого не переменится (ст. 58), а дробь выразится короче. Сокращение буквальных дробей заключается в том же, только
здесь требуются не только числа, но и буквальные выражения, на которые бы числитель и знаменатель делились нацело.
Общим делителем двух чисел, или двух буквальных выражений, называется число, или буквальное выражение, которое оба числа, или оба буквальные выражения, делит нацело. Самый больший общий делитель двух целых чисел будет самое большее число, на которое оба числа могут делиться нацело. Двум буквальным выра- 92 эюениям самый больший общий делитель тот, где | все прочие общие делители содержатся производителями; следовательно, такой делитель, где степени от букв выше, нежели в других.
Самое большее сокращение, после которого никакое вновь уже невозможно, произойдет в дроби, когда числитель и знаменатель разделятся на самого большего общего делителя.
Самый больший общий делитель двум целым числам а > Ъ (по величине) будет последний делитель, когда а разделится на Ъ, на остаток от деления разделится Ъ, на новый остаток прежний делитель, и так далее, пока в остатке выдет нуль.
Остаток от деления, как обыкновенно разумеют, всегда менее делителя; а следовательно, постепенно уменьшаясь, наконец делается необходимо нулем.
Означаем Д, д, з и с делимое, делитель, заданное и остаток. Будет Д=зЭ-\-с.
Пусть б какое-нибудь целое число, то
Откуда и видно, что б, общий делитель остатку и делителю, делит- нацело и делимое. Итак, последний делитель должен делить оз нацело | остаток, делителя и делимое в каждом делении, от конца до начала, где он будет общим и притом самым большим делителем, как увидим ниже, числам а и Ъ. Пусть б в уравнении (1) изображает самого большего общего делителя числам с и д, следовательно, как сейчас видели, делит вместе нацело и Д. Пусть, однако ж, самый больший общий делитель числам Д и д не б, а Б>б. Подобно уравнению (1), пишем
Д_1_3Л
В-Б Б-
Дис о
^ и ^ предположены целыми числами; ^ и -g должны быть, следовательно, вместе целыми числами; но это невозможно, потому что б — самый больший общий делитель у с и д. Итак, самий больший общий делитель остатку и делителю, в Аресте гь самый больший общий делитель делимому и делителю. Таким образом, последний делитель будет самый больший общий делитель делимому и делителю во всяком де дении, следовательно, и первым числам а и Ъ.
Для примера возьмем два числа 247 и 228. Надобно делить так:
01 I01 I2282282472281924722819122819”3838122819”38381212
01 I
01 I
228
228
247
228
19
247
228
19
1
228
19”38
38
1
228
19”38
38
12
12
О
Число 19 — самый больший общий делитель числам 228 и 247, которые, будучи разделены на 19, дают 12, 13, и далее ни на какое уже число вместе не делятся.
Тот же способ и для алгебрагических сумм. 0 этою целию располагают их по нисходящим степеням одной буквы; потом делят одно на другое; остатком — делителя, и так далее до остатка нуль, наблюдая, чтобы в первом делимом самая высшая степень буквы была не ниже высшей степени в делителе, и чтобы в каждом остатке высшая степень буквы выходила ниже, нежели в делителе. Последний делитель будет самым большим, обш^м делителель двум выражениям.
Смотря на уравнение (1) предыдущей статьи, то же должно сказать о буквальных выражениях, что было сказано там о числах; то-есть, что обилий делитель остатку и делителю делгт наглело дели- люе. посему и здесь последний делитель разделит нацело две дан- 95 ные буквальные суммы, | которые назовем А и В. Деление нацело здесь разумеется в отношении к той самой букве, по степеням которой расположены А и В\ а следовательно, не должно думать, чтоб А и В делились непременно на последнего делителя нацело в отношении к другим буквам; так же множители в цифрах с продолжением деления не всегда могут оставаться целыми числа-
ГЛ. АЛ. СЧЕТ ДРОБЕЙ ОБЫКНОВЕННЫХ И АЛГЕБРАГИЧЕСКИХ S3 ми, хотя б они и были таковы сначала в А и В. Вот почему позволяется умножать или делить последнего делителя на какие- нибудь числа или выражения, лишь бы они не заключали в себе той буквы, в отношении к которой происходило деление, начатое с А и В.
Уравнение (1) предыдущей статьи показывает также, что общий делитель делимому и делителю разделит нацело остаток следовательно, общий делитель с. который допускают А и В, делит нацело остаток в первом делении; по той же причине разделит остаток во всяком и так далее до последнего. Итак, предпоследний остаток, то-есть последний делитель, содержит все общие делители двум выражениям А, В, для которых и будет самый больший общий делитель. Отсюда также видно, что самый больший общий делитель делится нацело на все прочие общие делители; что в нем степень от буквы выше, нежели в других; наконец, что он мо- 96 жет быть только один. Вот почему, если А и В расположены в степенях от а. в отношении к которой букве произведены все деления, то остаток без а будет уже признаком, что с этой буквой А и В общего делителя не допускают. Если ж найден общий делитель с буквой а. или уверились, что его нет, то еще ничего нельзя сказать об общих делителях с другими буквами. Пусть в А и В самый больший общий делитель N без а\ следовательно, какие бы числа ни ставить вместо а, всегда А и В будут делиться на N без остатка. Возможно это в том только случае, когда все множители при различных степенях а и члены, свободные от а в А и В, делятся каждый на N" без остатка. Действительно, если, например, А на У делится без остатка, то будет то же и для а = 0; это значит, свободный член от а в А делится без остатка на У; в прочих членах от постепенного деления на а будут происходить свободные члены от а, о которых должно сказать то же. Итак, У будет найдено, когда сыщется самый больший общий делитель всем множителям в А и В при различных степенях от а. Решение этой задачи, как найти самого большего общего делителя многим буквальным выражениям, будет дано ниже.
Самый больший общий делитель двум выражениям
а3 — 7а62 — 663, а3 — За26 -f- 463
9? | ищется так:
Юа62 + 1О63 10а62 + 1053
as I Самый больший общий делитель с буквой а находим 1 -^- об2 -I-
77У
4* 1-д-68 или, что все равно, « + &, откидывая 1-у и №. Разделяя на а 4- Ъ две суммы, получим частные
а2 — ab — в№; а2 — 4а6 4" 4б2.
Здесь множитель при а2 в обоих выражениях единица; следовательно, общий делитель с одной буквой 6 невозможен, и два выражения более ни на какое буквальное вместе не делятся нацело.
Пусть требуется найти самого большего общего делителя, который назовем JV, нескольким числам или буквальным суммам А^ В^ С^ В ... Делитель N* должен быть общим делителем каждым двум, трем и т. д. данным числам или выражениям А, В, С ... Итак, если Р— самый больший общий делитель двум первым А, В; Q — самый больший общий делитель Р и С\ R — самый больший общий делитель Q и В и т. д., то JV, заключаясь, как производитель, в Р, Q, В и т. д., должен быть последний общий делитель, который уже делит все А, В, С, В . .. нацело.
Например, даны числа:
42, 70, 175, 105.
Самый больший общий делитель 42 и 70 находим 14; потом [для] 14 и 175 находим 7; для 7 и 105 тоже 7, которое будет самый больший общий делитель всем трем числам.
99 | Из буквальных выражений
а2— №; а24-2а&4-62; ^— ^6 — 262
первым двум — самый больший общий делитель а-\-Ъ\ для а 4* Ь и последнего будет тоже а 4- 6, — самый больший общий делитель всем трем выражениям.
В предыдущей статье сказано было, что определение самого большего общего делителя двум буквальным суммам требует иногда отыскивать его для нескольких выражений вместе. Примером могут служить две суммы:
(2763 — 8) а — 27б4 4~ 86; (963 — 4) а2 4- 9б4 — 4б2,
расположенные по степеням от а. Ищем сперва общего делителя с а:
(276» —8) а —27б4 4-86(276» —8) а —27б4 4-86(95з_4)й2 4-964_4б2(963 — 4) а2 — (963 — 46) а(95з_4)й2 4-964_4б2(963 — 4) а2 — (963 — 46) а962 —4 , ,276»—8а"т962 —4 , ,276»—8а"т963—462763—8963—462763—8
(276» —8) а —27б4 4-86
(276» —8) а —27б4 4-86
(95з_4)й2 4-964_4б2
(963 — 4) а2 — (963 — 46) а
(95з_4)й2 4-964_4б2
(963 — 4) а2 — (963 — 46) а
962 —4 , ,276»—8а"т
962 —4 , ,276»—8а"т
963—46
2763—8
963—46
2763—8
(963 —4б)«4-964 —4б2 (963 — 46) а — 9644-462
1864 —8б2
Остаток без а показывает, что общий делитель с буквой а невозможен. Надобно испытать, не может ли он заключать одной буквы bs и следовательно, искать самого большего общего делителя выражениям (ст. пред.)
2763 — 8; 27б4 —86; 962 — 4; 964 — 4б2.
100 | У первых двух100 | У первых двухон будет 2/63— 8; потом для 275s — 8 и 9б2— 4
100 | У первых двух
100 | У первых двух
находим952 —4находим952 —42 7 63 —8 2763—1262 7 63 —8 2763—1263535125—8125—8952—4952—65952—4952—65
находим
952 —4
находим
952 —4
2 7 63 —8 2763—126
2 7 63 —8 2763—126
35
35
125—8
125—8
952—4
952—65
952—4
952—65
65—4
65 —4
О
самый больший общий делитель 126 — 8 или 36—2 (ст. пред.), который, разделяя нацело последнее выражение, будет самый больший общий делитель всем четырем суммам и двум, данным в начале.
Всего лучше числа, для которых спрашивается самый больший общий делитель, располагать по величине, начиная с меньших; а буквальные выражения — с тех, где высшая степень от буквы менее, нежели в других, и так далее по величине показателей у высших степеней. Выгода такого расположения сама собою видна. Разумеется, что у буквальных выражений с числами не может быть общего делителя с буквами; также если встречается выражение с одной только буквой, которая не везде в других.
Общий делитель буквальным суммам может быть и число, которое разделит все числа без остатка, если они до того были 101 целыми. Извест|ность такого общего делителя может иногда служить к сокращению дробей. С этой целшо буквальную дробь умножают
ГЛ. VI. СЧЕТ ДРОБЕЙ ОБЫКНОВЕННЫХ И АЛГЕБРАГИЧЕОКИХ 87 на общего знаменателя всем обьншовенным дробям, какие бы в ней встретились; после чего останутся одни целые числа, которым самый больший общий делитель сокращает буквальную дробь.
В приведении дробей к одному знаменателю не нужно знать всех производителей, на которые знаменатели разлагаются; надобно знать только всем и некоторым общие. К открытию всех таких производителей ведет прямо способ общих делителей. Прежде, однако ж, нежели скажем, как этот способ сюда применяется, заметим, что числа или буквальные выражения, на которые должны умножаться дроби, чтобы всем получить одного знаменателя, необходимо заключают в себе и те числа или выражения в виде производителей, на которые должно множить каждые две, каждые три и т. д. дроби, чтобы дать им одного знаменателя. Итак, если ищем самого большего обитого делителя знаменателям первых двух дробей, то затем остаюш-иеся в них производители будут те самые, на которые должно умножать две дроби обратно, чтоб онгс получили одного знаменателя. Нашедши этого знаменателя, если гсщем самого большего общего делителя ему и знаменателю следующей дроби, то Ю2 затем остающееся различные производители | покажут, на что должно умножать первые дроби с одним знаменателем и третью, чтоб они все три получили одного знаменателя} так продолжая до последней, узнаем, на что должно у.и пожать каждую дробь и каков будет у всех обший знаменатель. Этот знаменатель будет общий самый меньший, потому что сысканный для первых двух дробей был самый меньший, потом знаменатель первых трех должен быть таков же, и т. д. покуда последний вышел для всех. Скажем и то, что для простоты и легкости не нужно действительно умножать на разные производители, чтоб составить общего знаменателя, а. можно выражать умножение знаками.
Возьмем для примера те же дроби, что и в статье 60:
42"’ "ТО ’175 ’105 *
Самый больший общий делитель первым двум знаменателям —14, общий знаменатель первым двум дробям—14-3-5; следующий знаменатель 175 = 5 • 5 • 7; самый больший общий делитель числам 14 • 3 • 5 и 5-5-7 будет 5 • 7; общий знаменатель первым трем
дробям — 2 • 3 • 5 • 5 • 7. Последний знаменатель 105 = 3 • 5 • 7; следовательно, общий и притом кратчайший знаменатель всем четырем дробям 2 • 7 • 3 • 5 • 5 = 1050, как найдено было выше.
юз | Возьмем из той же статьи буквальные дроби:
а2—62 ’ а2 Ц-2а6-|-62 ’ а2—аЪ—262 *
Ищем самый больший общий делитель первым двум знаменателям:
а2 — 62 а2 -|- 2а6 4- 62 1
ЪаЪ-у^ а?ЪаЪ-у^ а?— №— №а126"2а126"2— №
ЪаЪ-у^ а?
ЪаЪ-у^ а?
— №
— №
а1
26"2
а1
26"2
а^-^аЪ
— аЬ—№
— ab—№
Находим 2а6 + 262 или, собственно, а-^b (ст. 67) с буквой а. С одною же буквой Ъ общего делителя нет, как показывают множители при а2 в двух знаменателях. Знаменатель первой дроби будет (а +6) (а — 6); второй (я+ 6) (« + ^); общий знаменатель обеим дробям (а 4~ 6) (а + 6) (а — 6). Знаменатель последней дроби делится на a-j-б без остатка и дает в частном а—26; следовательно, общий и кратчайший знаменатель всем трем дробям:
(а + 6) (а -|- 6) (а — 6) (а — 26) = а^ — а36 — За262 -|- «68 + 264>
как было найдено в статье 60.
го* |ГЛАВА VII
СЧЕТ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
Дробь называется десятичной, когда в знаменателе единица с нулями, т. е. степень от 10. Посему всякую десятичную дробь можно разуметь под общим видом -у^г, где а и ?г — целые положительные числа. Для п = 1 степень от 10 будет первая, следовательно, само число 10. (Гл. V, ст. 46.)
Десятичную дробь означают, написавши ее числитель, где от правой руки к левой отмечают запятою столько цифр или, как говорят, столько мест, сколько нулей в знаменателе, т. е. число показателя степени от 10 в знаменателе. Если число цифр в числителе равно числу нулей в знаменателе, то впереди степени ставят запятую, а перед нею нуль; если ж менее, то недостающее число цифр в числителе пополняется нулями, перед которыми ставят запятую, а перед нею снова нуль. Например, три дроби
137137137
100 ’1000 510000
пишутся так:
1,37; 0,137; 0,0137.
Десятичная дробь всякий раз, следовательно, менее единицы, 135 когда впереди запятой нуль; всякий | раз она более единицы, когда перед запятою есть число, которое и будет целое в десятичной [дроби].
Правила для десятичных те же, что и для всех дробей, у которых в знаменателе берется всегда степень от одного числа; но как употребительны только степени от 10, потому что 10 принято за основание счета, то здесь и будем говорить об одних дробях десятичных.
Десятичная дробь представляет сумму целого числа^ которое поставлено перед занятою.; десятых долей которых число на первом месте; сотых, тысячных и т. д. долей., которых число на втором, третьем и т. д. «месте после запятой.
Назовем А все число впереди запятой; а, 6, с и т. д. цифры на первом, втором, третьем и т. д. месте после запятой; полагаем, что п число всех десятичных мест. Знаменатель такой дроби 10п (ст. пред.); числитель, согласно означению целых чисел,
-4 • 10" + а • 10»™1 + 6 • 10й "2 4- с • 10"~3 + . ..
Разделяя на знаменателя 10п, находим (Гл. V, ст. 44):
10 Л 100 “ 1000 '
106 | Отсюда следует, что десятичная дробь не переменится, когда в ней на конце прибавятся нули, которые только показывают, что нет тех долей, какие бы на месте их должны стоять. Иначе можно увериться в этом, рассуждая, что прибавить нули в конце десятичной, значит прибавить равное число нулей в числителе и знаменателе, следовательно, умножать того и другого одинаков число раз на 10, от чего значение дроби не должно переменяться (Гл. VI, ст. 58). Так и всякое целое число mooicho рассматривать как десятичную дробь, поставя за. ним запятую и несколько нулей.
Десятичные дроби легко приводить к одному знаменателю. Для сего только нужно дополнить нулями на конце число мест против той дроби, где их всего более. Например, дроби
1,237; 0,0159; 21,37009
изображают дроби с одинаковыми знаменателями, как скоро в них сделаем одинаков число мест:
1,23700; 0,01590; 21,37009.
Итак, если требуется складывать и вычитать десятичные дроби, то их должно писать одну под другой, ставя, запятую под запятой; потом складывать и вычитать как целые числа, а в сумме и разности ют оставлять запятую на \ том же месте. Например, из трех написанных
здесь дробей нужно последние две сложить, а первую вычесть:
21,37009
0,0159
21,38599
1,23720,14899
Десятичные дроби умножаются как простые числа, но в произведении отличается столько десятичных мест, сколько их во всех производителях вместе. Стоит только доказать для двух дробей, чтоб это правило распространить на многие. Произведение двух десятичных -^ • -^ дает -^^Г (Гл. VI, ст. 63), где 10» • 10»» изображает произведение единицы с п нулями на единицу с т нулями, следовательно — единицу с пД-т нулями. Итак, должно умножить а на Ъ, а, в произведении отметить п-\-т мест.
Ъ
Если целое число а умножается на десятичную дрооь —^ , то произведение будет -^; следовательно, этот случаи заключается также в общем правиле.
Когда десятичная дробь умножается на единицу с нулями, то Ю8 запятая подвигается на столько | мест от левой руки к правой, сколько нулей в множителе.
Иногда число не может выражаться обыкновенною дробью строго, как это бывает, например, с числами, которые определяются условиями. Тогда предпочитают изображать число десятичною дробью чрез приближение, потому что с такими дробями счет несравненно легче. Теперь мы докажем, что, продолжая в таком случае десятичную дробь, можно, наконец, достигнуть желаемой точности. Дело состоит в том, чтобы определить, чего не может превышать значение всех десятичных мест, которые последуют за тем, где остановилось вычисление. Берем их крайнюю величину; полагаем, что каждая цифра будет число 9. Пусть п—число десятичных мест, а за ними 9 приписано т раз сряду. Легко видеть, что значение сих последних будет
№—1
1QM4-W
или иначе
10” (10»» J ’
как бы велико, следовательно, число т ни было, то-есть, сколько бы ни прибавляли десятичных долей к дроби, в которой п цифр от за- ю9 пятой, всегда значение их всех вместе менее ^-. По|сему десятичная дробь, в которой п мест после запятой, если не представляет число строго, по крайней мере определяет его с точностию до ^. Чем более, следовательно, десятичная дробь продолжается, тем ближе подходит к числу, значение которого должна изображать.
Пусть требуется разделить десятичную дробь -^- на ^^-. Частное будет (Гл. VI, ст. 64)
а 10ш
Здесь надобно различать три случая:
Когда число десятичных в той и другой дроби равное, следовательно, т = п, то разделить две десятичные дроби значит то же, что и разделить такие же целые числа.
П. Когда число десятичных более в делимом, следовательно, п > т и частное сделается, мо две дроби должно делить как бы
целые числа, и в частном отметить столько десятичных, сколько число десятичных делимого превышает число десятичных в делителе. Если от деления а на 6 выдет остаток не так мал, чтоб можно было им пренебречь, то, прибавя в делимом нулей (ст. 71), делено ние должно продолжать, покуда остаток будет нуль или до тех десятичных, до которых простирается точность вычисления. Десятичных в частном прибавляется столько же, сколько в делимом, приписывается нулей; следовательно, запятая, раз поставленная, должна оставаться на своем месте. Вот почему, продолжать деление, значит, поставя запятую в частном, продолжать задаваться^ прибавляя всякий раз нуль к остатку.
ТУТ. Когда число десятичных в делимом менее, нежели в делителе. Это значит п<Гт и -т- •= *г • 10w“*w. Тогда дроби надобно делите
как целые числа. Если деление выходит нацело, то к частному прибавится столько нулей, сколько десятичных в делимом недостает против делителя. Если ж деление не выдет нацело, то оно продолжается с прибавлением нулей к остатку, покуда число десятичных мест в делимом не пополнится против делгипеля; тогда в частном
ГЛ. УП. СЧЕТ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ93
ставится запятая, за которой последуют десятичнъье от продолжаемого деления с прибавлением вновь нулей к остаткам.
nt | Пример на первый случай деления:
0,11 1 45,43 | 413;=413.
114|°'И
14 И
33
33 о"
Примеры на второй случай:
4 543
1,1 4,543 4,13;’ ™ = 4,13.
441,1
14
11
33
33 0
12,79 1,36853 0,107; ^УУ =0,107;
1 27912’79
8953
8953
0
15,3 1,275 0,083...; ^У =0,0833...
1224“’3
510
459
510
12 | Примеры на третий случай:
деление целого числа на целое, может быть произведено по
тем же правилам, какие даны были в предыдущей статье.
1275 8,3312245101275 8,331224510Например:
1275 8,33
1224
510
1275 8,33
1224
510
125
141,25
1,130,625
7125
11400
125
625
162
875
125
625
375
2500
375
2500
0
0
153
459
510
459~51
Так веяная обыкновенная дробь превращается в десятичную, когда делим числителя на знаменателя, поставя в делимом за целим числом запятую с нулями.
из Например, требуется ^i- превратить в десятичную дробь:
125 I 1,000 0,008
I 1 000
о
355
Превратить 113 в десятичную дробь:
113113355 3,14159
113
113
339
160
113
470
452
180
113
670
565
1050
1017
33
7.7* Обыкновенные дроби, как теперь видели, могут иногда выражаться строго десятичною; в другом случае деление, сколько бы ни продолжалось, не оканчивается; а следовательно, частное двух целых чисел определяется только чрез приближение, помощию бесконечной десятичной дроби. То же надобно сказать, когда дели- п4 мое или делитель, | или оба вместе, десятичные дроби, потому что
здесь частные разнятся от частного двух целых чисел только местом для запятой (ст. пред.).
В бесконечной десятичной дроби, которая представляет частное двух целых чисел, должны быть возврати [14], то-есть, повторение тех же цифр и в том же порядке. Это необходимо случится, как скоро с прибавлением нулей встретится прежний остаток, за которым, следовательно, будут повторяться те же остатки, так же как и в частном возвращаться те же числа. Между остатками по крайней мере один должен повториться, если деление не прекратилось, как скоро число прибавленных нулей в делимом, под которыми задавались, будет самое число делителя без единицы, потому что в таком числе остатки не могут быть все различны, будучи каждый менее делителя. Например, Ц- дает бесконечную дробь с возвратами :
115 |115 |1,01,00,1428570,142857
115 |
115 |
1,0
1,0
0,142857
0,142857
Везврат не всегда начинается с первой цифры в частном и не всегда заключает в себе число цифр, равное числу делителя без единицы. Например,
-^- = 0,103174603174603...
Часть десятичной дроби, которая не повторяется, называется невоз- вратною^ например: 0,1 в 19 -.
не | В особенности должно заметить дроби:
1 = 0,1111...
11 = 0,101010...
100
— = 0,100100100...
1000
-^^- = 0,100010001000. . .
Легко видеть, что подобные дроби будут вообще
10”—1
10” — 1 ’
где и—целое положительное число. Они изображаются бесконечною строкой (Гл. V, ст. 51):
1010” + 1 ~ io2” + x * Ю3” + 1 1
и, следовательно, представляют десятичную дробь с возвратами из п цифр, именно из единицы с и — 1 нулями.
Когда в бесконечной десятичной усматриваются возвраты, то можно отыскать и ту обыкновенную дробь, из которой она происходит. Называем А невозвратную часть и полагаем в ней rt десятичных мест; пусть, далее, каждый возврат состоит из т цифр по порядку а, 6, с,..., р. Вся бесконечная дробь может быть произведена соединением таких простых дробей (ст. пред.):
а-10”1-1.6-10*”-2
^+"10^(10^=17+ io”(iow —1) +|io”(iow —1)
117 | ИЛИ
^ + ion^-i) И •+ Ъ ‘ 10”*-2 +С • 10"*-3 + • • • +*>•
Здесь сумма, заключенная в скобки, изображает то число, которое должно быть написано сряду цифрами а, 6, с,..., р и которое мы назовем В. Бесконечная десятичная дробь происходит, следовательно, из обыкновенной
А-10” • (10^ — 1) -^ВЮ” (10^ — 1)*
Например, для .4 = 0,1, В = 31746, тг = 1, т = 6 находим дробь 1031745.
" 9999990 ’ которую сокращая на самого большего общего делителя 79365, получим -^~, как было выше (ст. пред.).
Все дроби, следовательно, которые выражаются десятичной строго, могут принимать вид -~^-. Это значит, что всегда найдется такое число тг, для которого 10” разделится на знаменателя дроби в сокращенном ее виде. Итак, все дроби, разумеется сокращенные, которых знаменатели составлены из начальных производителей 2 и 5, выражаются строго десятичною. Напротив, дроби, которых знаменатели но сокращении содерэ/сат производители кроме 2 и 5, могут выражаться только бесконечными десятичными дробями с возвратами. ns I Посему всегда можно сыскать такие целые п и т^ чтобы 10”(low—1) делилось на данное число без остатка. Если предположим к тому число т самое меньшее, то ясно, что оно должно представлять число цифр в возвратах той 4 бесконечной десятичной дроби, которая происходит из обыкновенной, где данное число будет знаменателем; а п— высший показатель в знаменателе у степеней от 2 или 5. Например, 126 = 2 • 63; число 63 не делится ни на 2, ни на 5; следовательно, здесь ?i = l. Далее испытывая, находим т = ^— самое меньшее число, для которого 10™— 1 делится без остатка на 63. Итак, все обыкновенные дроби, у которых знаменатель 63 или произведение 63 на степени 2 и 5, обращаются в бесконечные десятичные с возвратами из 6 цифр.
Мимоходом заметим, что не только для 10, но и для всякого целого числа а (ст. 70) можно сыскать такие числа п и т, чтобы ап (aw—1) делилось без остатка на какое-нибудь данное число 6»
Степень а” будет самая высшая от а или от производителя в а, которая вместе заключается и в Ъ.
Из предыдущих статей видно, что весьма многие из обыкновенных дробей не могут выражаться десятичными строго, а только через приближение, смотря по тому, на каком десятичном П9 месте останавливаются в вычислении. Чтобы су|дить о точности в сем роде приближения, полагаем, что десятичная дробь прерывается на ?гм месте после запятой. Пусть в делителе т десятичных, следовательно в делимом с прибавленными нулями п-^т (ст. 75). Называем Д делимое, 3 делитель, р остаток, ч частное.
Д=чд-\-р.
Отсюда видно, что ошибка вычисления составляет ^ . Чтобы назначить границы ее значений, умножаем уравнение на 10”+w
Д. 10п+™ = ч • 10” х 9 • 10™ -^р • 10”+™.
Произведения Д - 10”+™, ч • 10п, 3 • 10™— целые числа, которые изображаются теми же цифрами и в том же порядке, как и в Дг ч, д* следовательно р • 10”+™— также целое число, притом < д • 10™, как остаток в делении Д на 3. После чего ошибка вычисления
310” ’
как было уже доказано и выше в статье 74. Вот почему, если за цифрою на 71м месте следует которая-нибудь из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 120 то ошибка вычисления всегда менее -^^ и бывает недостатком.
Если ж следует которая-нибудь из цифр 5, 6, 7, 8, 9, то ошибка, оставаясь недостатком и всегда <-^5 будет теперь > 10п+1. Ее можно сделать в этом последнем случае также < ^^х , увеличив крайнюю цифру единицей, и тогда она будет лишком, что впрочем для точности в вычислении все равно.
Отсюда происходит то правило при всяком вычислении помо- щию десятичных дробей, чтобы, назначив точность числом десятичных мест, отбрасъьвать цифри, оставляя без перемени последнюю из удероюанних, когда первая из отброшенних < 5; напротив, прибавлять к крайней единицу, когда первая из отброшенних = 5 или > 5. Ошибка
в вычислении всегда будет по величине < -10»+1, если десятичная дробь простирается до ^ долей.
Например, мы нашли, что
-4^ = 0,1031746031746...
126
Если точность вычисления должна простираться до 0,00000001, то надобно полагать
— = 0,1031746
121 | Если ж до 0,0000000001, то
13
— =0,1031746032.
В первом случае ошибка вычисления по величине < 0,000000005; во втором она <0,00000000005; хотя в первом случае есть недостаток, а в последнем излишек против истинного значения дроби
ГЛАВА VIII
СЧЕТ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ
Дробь называют непреривною или г^еиною^ когда ее составляют, присоединяя непрестанно к знаменателю новую дробь. Например,
а
Непрерывная дробь бывает о^онченной^ когда присоединение новых дробей к знаменателю остановлено; или бесконечной^ где к знаменателю присоединяется всегда новая дробь, которой образование подчинено известному закону. Значение бесконечной дроби надобно понимать, подобно значению десятичной, полагая его тем вернее 122 вычисленным, чем более непрерывная дробь продолжается. Как скоро, следовательно, вычисление предпринято с назначенною точ- ностию, то вместе определено будет и то, каким знаменателем должно заключить непрерывную дробь, которая, таким образом, перестает быть бесконечной. Самое вычисление оконченной непрерывной дроби, следуя означению, должно начинать с последней дроби, к которой придается сперва число перед нею; потом вышедшая дробь обращается, умножается на следующего числителя и так далее до первого.
Так, представленная здесь для примера непрерывная дробь превращается в обыкновенную:
adf-A^ аеW^be^cf*
Числители в непрерывной дроби не могут быть сделаны нулями; но в прочем значение их произвольно. Так, чтобы сделать
их все единицами, стоит только везде разделять в дробях знаменателя на числителя и числителя на самого себя. В этом виде обыкновенно принимаются непрерывные дроби и будут рассматриваться здесь.
123 | Так, дробь
а
с
ад——
превращается в дробь
1
1
Ъ ad fe где Р = -, 9=-Г’ г = п^ стве непрерывных дробейЪ ad fe где Р = -, 9=-Г’ г = п^ стве непрерывных дробейr+Ti
Ъ ad fe где Р = -, 9=-Г’ г = п^ стве непрерывных дробей
Ъ ad fe где Р = -, 9=-Г’ г = п^ стве непрерывных дробей
5 = -^., f=-^. Рассуждая о свой- под общим их видом, мы будем озна-
чать знаменателей по порядку
#Ь ^2; $3 ^ т* Дч
а значение самой дроби Н^ когда в ней и знаменателей и, следовательно, последний зп. Это значение дроби будет полное; но когда останавливаются на первом, втором, третьем и т. д. знаменателе, тогда получаются значения первой, второй, третьей и т. д. приблгююеннък» дробей Н^ Н^ Н^ и т. д.
124 | Например, к непрерывной дроби
1
8+г
.1413
первая приближенная -^-, вторая -нт, третья -^; последняя или о2qQ®
полное значение всей дроби 0
К приближенным дробям будем причислять у, называя ее пульной.
Приближенные дроби к непрерывным предполагаются с такими числителями и знаменателями, где бы знаменатели самой непрерывной дроби входили только в виде производителей. Под Ч7к и Зп будем разуметь числителя и знаменателя приближенной дроби Нп. Легко видеть, что каждый знаменатель непрерывной дроби
1
1
1
5з 4* • • •
125 | войдет в числители и знаменатели приближенных только в первой степени. Итак,
тг Ь-\-МзпP^VQ3n ’
где L, М^ Р и Q не заключают в себе зп. Если полагаем зп = ооэ то Нп сделается предыдущею дробью Ни-1\ если ж вместо зп ставим зп-^—, то Нп будет последующей дробью HnW После чего находим:
тг (-^ 4™ -^-Зп) ^n+i 4* -^
(P^Q3n)3nH^Q ' то-есть
тг ^п^п+14~ ^п-1
о Q I о е
°nd/г+1 Т°«-1
Отсюда видно, каким образом из двух дробей сряду происходит третья приближенная за ними. Первые две находим, вычисляя прямо
Si ?#1^2 + 1
126 | следовательно, вторая образуется по тому же закону из нульной и первой
01
1’ <
Этот закон заключается в следующем правиле: надобно умножать числителя и знаменателя приближенной дроби на следующего знаменателя в непреривной, при^ладивать числителя и знаменателя преди-
дугцей, чтоб получить новую приближенную дробь. Так под общим видом рассматриваемая непрерывная дробь дает к ней приближенные
013.^^2^3 "4~
1 ? Зу ’ 3132 4~ 1 ’ ЗуЗ^З^ 4“ 53 4“ 51 ’
М3З4 + + з2 и т д
31323334 4~ 33э4 -|“ 3у34 4“ ЗуЗ^ 4“ 1
Или в числах данной непрерывной дроби
1
127 | находим приближенные по порядку до последней или полного значения
013738121
1’2’7’16 ’87’277*
Если в обыкновенной дроби менее единицы знаменатель разде- лгтся на числителя, потом остаток всегда будет делиться на делителя, покуда деление прекратится остатком нуль, как это делается при отыскивании самого большего общего делителя (Гл. VI, ст. 66), то все заданные числа по порядку представят знаменателей в непрерывной дроби, равной по значению данной обыкновенной. Так, следовательно, обыкновенная дробь менее единицы превращается в непрерывную. Если же дробь более единицы, то стоит только исключить целое число (Гл. VI, ст. 62) и остальную дробь превращать уже
в непрерывную.
Полагаем, что заданныеПолагаем, что заданныеПусть в дроби ^- целые числа, а < av
Полагаем, что заданные
Полагаем, что заданные
числа в постепенном делении остатков, как сказано выше, будут
уравнениями:128 |уравнениями:128 |по порядку зп з2, з3 и т. д.; остатки же пусть а2, а^ а4 и т. д. Зависимость всех сих чисел между собою определяется такими
уравнениями:
128 |
уравнениями:
128 |
а = азу 4™ ^2
(3)(3)<Ц = я2з2 4“ аг
(3)
(3)
^^ = ^д33 4“ ^4
И т. д.
128
до последнего заданного числа зП1 для которого
^п-й — ^n-l^ri*
Из первого уравнения находим
отсюда
Из второго уравнения
следовательно,
а
а
а
а
^2
а 1
1
| ®2
^з
^2
1
1
«2
так находим и далее из прочих уравнений:
^ = 5 4- —
а3 3 а3
^п~2
Вставляя в ~ значения ~ и так далее до ^^9 получим наконец:
а1
+1
Зп
Заметим к тому, что если дробь ~ не сокращается, то и дроби
21, ~ у ^ ±iz^ тоже, как это открывают уравнения (3) с помо* а3 $4 ап-1
щию сказанного в Гл. IV, ст. 66; следовательно, дробь ^ тожественная с
1
21Gg21Ggг ах
21Gg
21Gg
когда эта последняя изобразится обыкновенною. Так же дробь тожественная с
1
33<4а^
3
3
1зо | итак далее до 22=1 = — . Посему 5-— тожественная дробь с полным Gn—23Па1
значением непрерывной.
Если же числа а и ах не начальные между собою^ то-есть допу
а«1а«1скают общего делителя > 1, то зь з2, з3, ... будут те же, что и
а«1
а«1
для сокращенной дробидля сокращенной дробикоторую даст полное значение непре
для сокращенной дроби
для сокращенной дроби
рывной. Итак, полное значение непрерывного дроби и все приблъжен-
ные к ней, потому что и они также значения непрерывных дробей, сокращения не допускают.
Числителям и; знаменателям приближенных дробей к непрерывным принадлежит замечательное свойство, которое легко открыть в уравнении (2), когда поставим сюда
вместо 3^4-1 и сравниваем на обеих сторонах числителя с числителем, знаменателя с знаменателем. Так находим
(4)(4)4^4-1 —5я41^»4" ^г-1?
(4)
(4)
5^4-1 = 3^4-1 Зп -|- Зп^
как и было замечено о происхождении числителей и знаменателей в приближенных дробях (ст. 83). Из уравнений (4) можно isi найти уравнение без 3^4-1. | Для сего надобно первое умножить на
3^, второе на Чи и потом из этого второго вычитать первое. Так получим:
Ч» Зя4-1 — 4n4-i Зп = Чн Зп_г — Чп_ j Зп*
Между тем, первая и вторая приближенные дроби дают
следовательно, вообще
Чп — 1 Зп — Чп 3n—i = (—1)^,(о)
то-есть, разность произведения числителя п—1ой дроби на знаменателя пой без произведения числителя п0^ на знаменателя п — 1ой дроби дает 4* 1 ^м — 1, смотря по тому, п чётное шки нечётное число.
Разность двух последующих приблиэюенных дробей пой и 7^4” 1ой равна частному единицы на произведение знаменателей с знаком 4* или —1; смотря по тому, число п нечетное или четное.
Разность двух дробей
Зп 3„+1 ’
приведенных к одному знаменателю, будет { ст. пред., ур. (5) }:
132 I3 3
Итак, если знаменатели приближенных дробей возрастают, от чего разность самих дробей, уменьшаясь, переходит, наконец, за границу точности в вычислении, то все последующие приближенные дроби могут почитаться за равные между собою и полному значению всей непрерывной дроби, хотя бы она продолжалась бесконечно.
Полное значение непрерывной дроби, где знаменатели положительные числа не < 1, заключается между каждых двух сряду приблиэюенных дробей, разнясь менее от последней, нежели от 'первой.
В приближенной дроби Нп числитель и знаменатель будет { УРав. (4) }:
= Зп ^п -1 Ч* ^п
Зц == 3П ^П— 1 Ч” Sn„2e
Называем Н полное значение непрерывной дроби, Ч и 3 числитель и знаменатель; означаем з все то, что к зп придается. Те же уравнения (4) дадут
Ч=(зп-^-з) ^г-1+ ^п-2 = зЧп-1,
3 = (зп-\~з) Зп_1-^-Зн_2 = Зп-\-зЗп_1.
133 | После чего (ст. пред.)
тт тт ^»-1^«Н"3^.! (1)№
тт тт Чи-\-зЧи-Х Ч^(1)^5
п З^зЗ,^ зп- ззи •
Отсюда видно, что для з<1, З^^З^^ как это бывает с положительными знаменателями не менее единицы в непрерывной дроби, значение Н по величине более одной и менее другой из двух дробей Нп и Нп-1; при том по величине
Н—Н^Н^ К
Каждые две приближенные дроби назначают, следовательно, границы, между которыми заключается полное значение непрерывной дроби, оконченной или бесконечной. Чем более сии границы стесняются, тем приближенная дробь дает вернее значение непрерывной, с точностию, для которой разность двух приближенных дробей служит первым указанием.
Если знаменатели в непрерывной дроби целые положительные числа, то приближенная дробь выражает полное значение нороче, не- жели веяная другая с тою же точностию.
Пусть Д, В—числитель и знаменатель в целых числах такой дроби, которая с полным значением Н непрерывной [дроби] раз- 134: нится менее, нежели приближенная Нн. Значение Н, так же как и дробь ~, заключается между Ни_г иЯп (ст. пред.); следовательно, разности
S^i-i — Н; Н—Нп;
ТТ _ . ТТ
с одинаковым знаком (— 1)". Полагаем
вчп_х—из^-с—1Ж
тде числа М, N—целые положительные и не могут быть нулями, если ^ не будет одна из приближенных дробей Н^-^ Н. Умножаем первое уравнение на Чп, второе на Чи_х и складываем; по-
том. первое на 3№ второе на 3№_! и складываем; находим (-!)"{ М Чп-уКЧи_х } =А^ЗЛп-1—Зп_Л^ (-!)»{ МЗп^НЗи_г } = В^ЗЛп-1-3„-Лп).
Отсюда { уравн. (5)}
МЧи^КЧи_г = А, M3n + N3n^^B и, следовательно,
А>4^ В >Зп.
135 | Итак, чтобы дробь ~ разнилась с Н, полным значением непрерывной, оконченной или бесконечной, менее нежели приближенная: дробь НП1 надобно в этой последней увеличить числителя и знаменателя. Таким образом, приближенные дроби, с тою точностиюг какая им принадлежит, заменяют данную самым простым содержанием двух целых чисел.
Например, дается десятичная дробь
3,141593.
Отбросивши целое число 3, находим непрерывную дробь
1
983+-
к ней приближенные:
011615 72962932
1’ 7’ 113/ 111086 ’ 444457 *
Вместо данной дроби можно, следовательно, принять 3 ^, если точность вычисления не должна простираться за
1361361113 • 1110861113 • 111086<0,00000008.<0,00000008.
136
136
1
113 • 111086
1
113 • 111086
<0,00000008.
<0,00000008.
Действительно,
355
— = 3,14159292
С помощию приближенных дробей можно доказать некоторые свойства целых чисел, весьма важные для арифметики.
Разумеем под а, 6, А, В целые положительные числа.
Если дробь ^ не сокращается, то может бить равна другой дроби ~ только в том случае, когда - = -5 целые числа.
тт а А р а оа
Пусть -^ = -g, и -последняя приближенная дробь к -^ ; сле- довательно, — =у и { уравн. (5) }
ад— bp = ± 1.
Умножаем это уравнение на А, делим на а и ставим ^ вместо ~ ♦ Находим:
Ад — Вр = + — ;
а
Дд
137 | следовательно, ——целое число, на которое сокращаясь, дробь -g делается ~. Отсюда надобно заключить, что равные дроби по сокращении бывают одинаковы.
Произведение двух целых чисел не делится без остатка на третье, если это третье с двумя первыми — начальные между собою числа.
Пусть числа Р с р, Р с g между собою начальные, т. е. общего делителя не допускают. Полагаем pg = PQ, следовательно ~ = у ; а как дробь -^ не сокращается по предположению, то Q не может быть целым числом, если ~ не предполагается таким (ст. пред.).
Это заключение распространяя от двух на три, четыре и т. д. производителей, вообще можем сказать: произведение целых чисел не делится без остатка на число начальное в отношении к каждому производителю. Посему произведение начальных чисел, или степеней от них, не делится на всякое новое начальное, или на степень от него. Произведение начальных чисел, или степеней от них, не делится также на степени тех же начальных чисел, но которые выше. Например, 2 • 5 • 72 не делится без остатка на 11 и 73.
188 | Сокращенная дробь, оставаясь, следовательно, сокращенной и тогда, как числитель и знаменатель возвышаются в степени, не может обратиться в целое число, если ее значение вначале не выражалось целым.
Мы заметили выше (Гл. УП, ст. 78), чтс для всяких целых чисел а, Ъ находятся числа ?г, т, с которыми anQn?n— 1) делится на b без остатка. Теперь прибавим, что в таком случае ап делится только на производители в 6, общие с а; следовательно, п надобно
брать так велико, чтобы в частном а”: Ъ такие производители уничтожались; затем ат — 1 разделится уже на прочие в Ь. Если ж а и Ъ между собою начальные, то всегда найдется число т^Ь— 1, для которого ат— 1 разделится без остатка на Ъ.
О буквальных дробях надобно повторить то же, что было сказано в статье 89 о числах. Буквальные дроби, -| сокращенная и другая ^, только в том случае равны, когда А на а, В на Ь делятся нацело. Доказательство остается то же, но не должно забывать, что деление нацело разумеется здесь в отношении к букве, по степеням которой выражения располагаются.
После этого нетрудно сделать заключение, подобное тому, какое 139 было выведено для чисел | в предыдущей статье. Произведение буквальных выражений не делится на другое буквальное, у которого нет общего делителя ни с одним из производителей.
Непрерывные дроби заслуживают внимания еще по свойствам, для исследования которых нужно пополнить наши означения. Вместо Hw ЧП1 Зп теперь будем писать гНт T4n, ^З^. Вообще под тНи станем разуметь полное значение непрерывной дроби, которая начинается с знаменателя зт и оканчивается зи по принятому порядку для всех знаменателей (ст. 82)
51,32,3^34,• • •
в том или другом направлении, смотря по тому, т^п или т<^ти Например, 2Н"4, 6Н9 изображают полные значения дробей
Подобным образом тЧП1 тЗп представляют числителя и знаменателя дроби тНи* Установивши такое означение, первое замечание можем сделать, что
1 ТГ 20
140 | следовательно, и вообще для т<Аг
тЧ* —■ ш+1-9 • пЧ — ^^З
Значения 1У2, ТЧг можно поверить на самом деле, потом уже заключить о справедливости предложения, смотря на уравнения (4), откуда легко видеть, что если 1 Уп_2 = 2Sn_2, 14tv_1 = 23n_u
то и 1Чп==^Зи%
дробей для т<^и выражаютсядробей для т<^и выражаютсяИтак, значения непрерывных еще иначе:
дробей для т<^и выражаются
дробей для т<^и выражаются
™ то 1™ то 1п-13пн =-^
™ то 1
™ то 1
пЗ •ит
Уравнение (5) делается
23„-1 ^п - »Зп ^ = (-1)".(6)
Выражения пЗт и W3W одинаковы. Довольно доказать, что ^ = ^3,.
Действительно, находим (ст. 83)
^ = з1з2 4-1> !дз = 313233 + Зх 4- 53.
Далее из второго уравнения (4) заключаем, что предложение доказано для 7i, если оно справедливо для и — 1 и и — 2 знаменателей в непрерывной дроби.
141 ] Второе уравнение (4) может быть, следовательно, еще написано так:
,31 = П-1315п+ П-^.(7)
93 [а] *. Произведение выражений гЗп может быть представлено суммою таких же выражений помощию уравнения
аг^за- хзго_а^зи=^зи.(8)
Само по себе разумеется, что здесь т^ть— 2. Ставим сюда { уравн. (7)}
т+13 — т-^З з
получим:
^за^^^а^з,.-^^} -рза^в»-
^^а^Зп+^а^Зп,
откуда видно, что в первой части уравнения (8) вместо т можно
* Эта статья ошибочно имеет тот же номер 93, что и предыдущая.
писать т-|-1, и так далее до т = 1ъ— 2. Тогда это уравнение сделается верным, потому что
13п_2 """У^-р^^п-з = ХЗп_2 (зп-1 Зн -j- 1) -|- З^Зп-З = = Зп { зи-1 4-13„_3} 4-13п_2 = зп 4-13„_2 =
142 | Уравнение (8) служит к предположенной цели в таком виде:
Во второй части произведение опять то же, что и в первой, если здесь откидываем знаменатели зт1 5т+1. Итак, 13m"^13„ = 13n — ^ (где откинуты зт, зт+1),
+ 13й (где откинуты з1Н_ъ з„„ зго¥И зт+2) — и. т. д.
покуда, наконец, отброшено будет или зъ или зп. Например, когда все знаменатели непрерывной дроби равны, находим
тЗ/З^З,-^^-1^.
Если все знаменатели | число 2, то 333 T34 = 70 • 12; 13s = 985; 136 = 169; 334 = 29; 132 = 5.
Разность двух приближенных дробей, взятых не сряду, выражается так:
Шп - Шт =,(9)
где т<4г— 1. Дробь Шп происходит из хНт, когда ставим сюда 3тА"т+гНи вместо з,„; следовательно,
,1Z, хтт^чт_
143 |йп йт -+ ^^ +-
_^чт^чт_^тп ^-(ч^гз^-^гз^у^н,, -13,„ + 13ГО_1"*+1ЯИ ^Зт ^СЗ^ + ^.^+ЭД •
Умножая вверху и внизу на w^3tu ставя w+23n вместо ^-^Ч^ (ст. 92) и принявши в помощь уравнения (5) и (8), приходим к уравнению (9).
Когда известно полное значение непрерывной дроби, то каждый знаменатель определяется прочими.
Означаем —з^ полное значение непрерывной дроби гНп. Находим постепенно
—зг—з^ — хН0=^Нгп2^0 ^^тг
Qq-п-п
и так далее. Вообще, для т<^и — 1 ”lS"om+1ff„ = —1, а для т = 71 — 1 — q П — 1ТГ
ш | Например, 91o—l
Можно составить новис знаменатели; в непрерывной дроби но числу 'куп, на которые разбиты преэюние.
Полагаем всех знаменателей п -|-1 от з0 до зп. Первую купу составляем из знаменателей от з0 до зр; вторую от з^ до з^ третью от з3+1 до зг; четвертую от зг+1 до з81 и так далее; предпоследнюю от ^+1 до зт и Последнюю от зш+1 до зп.
Уравнение (8) дает
03,+1»^3№-v03pP+3n=03n.
0303(ю)(ю)Разделяя на 0Зрр^ЗП1 получим
03
03
(ю)
(ю)
Уравнение (9) дает
°й„-°^ =°й„-°^ =(—1)га^+23га°Зр»Зп ’(—1)га^+23га°Зр»Зп ’
°й„-°^ =
°й„-°^ =
(—1)га^+23га
°Зр»Зп ’
(—1)га^+23га
°Зр»Зп ’
U5 | следовательно,
—^+2Яд (-l)Wi
JP+2Q 2 I1 з + ^тт I
и так далее до
t +2Q 2 I 1t +2Q 2 I 1?i?i
t +2Q 2 I 1
t +2Q 2 I 1
?i
?i
получим непрерывную дробь
ОД ОД — {В^2_
Аз+^+...+^
V
где
^=°^2 {^й^о+^+2^};^=(-i)wi .«5Р2,
^ = ^зА ^V«+aHr |; ча = (- 1)з+-+1. Pf^
fcr = 8+^ { —^Н *+аН81; ч, - (- ly+’+i <^За (^+2J
we | и так далее до
I -“#42J
Полагаем теперь зо = О. Будет
<>Н№ = ^ °Яр = ±-- °Зр = аЗР; р+^^+^Н.
Если к тому возьмем в помощь уравнение (10), то после всех приведений находим:
1Н„=—Вт1Н„=—ВтААТ> ^"3А —и т. д.,Т> ^"3А —и т. д.,
1Н„=—
Вт
1Н„=—
Вт
А
А
Т> ^"3
А —и т. д.,
Т> ^"3
А —и т. д.,
где
А ="3Р1А. = р^За1A% = i^3r»3piА4=г^38р^за1И т. д.А ="3Р1А. = р^За1A% = i^3r»3piА4=г^38р^за1И т. д.В^Зр,S2 = (-!)* % В3 = ( — 1)»р+2Зг, s4 = ( — 1/ ^з8, и т. д.В^Зр,S2 = (-!)* % В3 = ( — 1)»р+2Зг, s4 = ( — 1/ ^з8, и т. д.
А ="3Р1
А. = р^За1
A% = i^3r»3pi
А4=г^38р^за1
И т. д.
А ="3Р1
А. = р^За1
A% = i^3r»3pi
А4=г^38р^за1
И т. д.
В^Зр,
S2 = (-!)* % В3 = ( — 1)»р+2Зг, s4 = ( — 1/ ^з8, и т. д.
В^Зр,
S2 = (-!)* % В3 = ( — 1)»р+2Зг, s4 = ( — 1/ ^з8, и т. д.
Например, знаменателей
2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2
разбиваем на три купы, в каждой по три знаменателя. Находим
Ау = 7, Вг = 10, Л2=26, Д = —615, 13—49; S3 = 815.
14? | Полное значение непрерывной дроби:
25549 _7
36615~,26
ТДО
815
Возьмем еще бесконечную дробь
1
1
Соединяя по три знаменателя, получим:
5
12+—^
14+l4+...
97. Представляем дробь тНп предыдущей статьи в таком виде (ст. 81):
1
1
" , 1
Здесь для вычисления уравнении (10), что
1»+1Я2
знаменателей заметим, основываясь на
1
us | и чего справедливость, впрочем, легко видеть прямо, потому что
p+ijg*2 ^р^1 "VPH^ Зр+1 Ц^Н^ р+1^-
После чего находим помощию значений 1ср, Ъ^ Ът и т. д., Чр, ч^ чт и т. д. предыдущей статьи:
и так далее.
В таком виде выраженные знаменатели данной непрерывной дроби могут служить для отыскания 1Нр, ^Яд, ^гНг и т. д., а следовательно, для вычисления всех знаменателей зь з2, з3 до зп в целых числах, если бы Къ К2, К^ и т. д. были дроби.
Для примера возьмем из предыдущей статьи в оконченной дроби ~ _10815-26
7 ’26 ’7-49 ’
ид | Находим три дроби ^ = ^-, ^Д^^, «+1Д. =^, которые отвечают трем купам знаменателей:
первая 1, 2, 3; вторая 4, 5, б; третья 4, 3, 2.
Когда между дробями ^р, ^Н^ ^Нг и т. д. встретится которая-нибудь более единицы, то ей отвечает купа знаменателей, где первый нуль, а прочие принадлежат обращенной дроби. Так,
в ^p^l купу знаменателей начинает нуль, а прочие принадлежат обращенной дроби .
Например, дается дробь
3
5
Здесь К, = -| , К» = — ^, ^3=^ • Находим ^ =4> ^^^ в+1Нг = 2; знаменатели: 1, 3, 0, 5, 0, 2; непрерывную дробь
iso | Кстати заметим, что два знаменателя непрерывной дроби, между которыми в ряду помещено нечётное число нулей, складываются в один, а чётное число нулей сряду может быть уничтожено. Например, знаменатели 3, 0, 5 сряду могут быть заменены одним знаменателем 8; а знаменатели 3, 0, 0, 5 значат то же, что 3 и 5.
Иногда несколько знаменателей могут быть откинуты в непрерывной дроби без перемены ее значения. Так, пусть
—Зп
для всякого зп. Полное значение дроби гНп дея^т^я
хЗт _ 2 V3™ -14“ wHn) + ^Зт_ зхЗт „14" 13т _ 2 тНийЗт _! зп -j- ^Зт _ 2
точно таково, как бы все знаменатели от зт до зп-1 были отброшены для всякого значения зп, а следовательно, и в том случае, когда зп еще дробь не оканчивает.
Обнаруживая зп в тНП) и разумея т < п, находим:
т^Зп_х зп + ”+13„_2 = ™Зп_х + ± -Зп_2,
Зп
151 | которое уравнение для всякого зп может существовать только при* условиях (Гл. V, ст. 54)
т+13п-» = т3„_ъ ”*^3^ = 0, тЗ„_2 = 0
и которым должны удовлетворять знаменатели от зт до зп_ъ чтоб их можно было в непрерывной дроби уничтожить.
Например, таковы числа:
— 1,0,1,0,
—2, 1, —2,
—1, 2, — 1,
— 1, 1,1,1, —1.
ГЛАВА IX
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
Решить уравнение называется найти в нем значение неизвестной букви.
Уравнения называются первой, второй, третьей и т. д. степени по высшей степени в них от неизвестного.
Например, уравнение
а + Ьх = су Ц- ^2
первой степени, если в нем ж неизвестное; второй — если у неизвестное.
152 | Неизвестные в уравнениях предпочтительно означаются последними буквами в Латинской азбуке, например х, у, г.
В этой главе будет говорено только о решении уравнений первой степени с одним или многими неизвестными.
Решение уравнений требует, во-первых, некоторых предварительных приведений:
Если неизвестное заключается в знаменателях, которие не уничтожаются действительним делением или сокращением дробей, то все уравнение надобно умножать на общего знаменателя всем тагам дробям, чтоби знаменателей с неизвестним уничтожить (Гл. V, ст. 53).
Если неизвестное нигде в знаменателе не встречается, но заключается в скобках, то скобки такие надобно уничтожить (Гл. V, ст. 52).
HI. Когда неизвестние не встречаются более ни в знаменателях, ни в скобках, то все члени уравнения с неизвестними переносятся на одну сторону, члени, свободние от неизвестних— на другую (Гл. III, ст. 20)
Если после всех сих приведений не окажется нигде вторых и выше степеней от неизвестных, также их произведений друг на
друга, или по крайней мере такие члены сами собою уничтожатся, 153 то уравнения будут первой степени, для реше|ния которых по
требуется еще сделать последнее приведение.
Соединить в один все членъь, где заключается неизвестное, отделив его обидим производителем (Гл. V, ст. 45). Тогда уравнение примет вид
ах-\-Ъу -\-сг + • • • — ^
где ж, у, г,...—неизвестные. Под этим общим видом будем рассматривать далее уравнения первой степени с одним или многими неизвестными.
101. С одним неизвестным уравнение после всех приведений делается (ст. пред.)
ах = А.
Разделяя на а, получим значение неизвестного
А
х = —,а
единственное и всегда возможное. Когда а = 0, но А не нуль, то х = оо воображаемое число. Если ж а = 0 и А = 0, то уравнение тожественное, оставляет х произвольным.
Требуется найти х в уравнении:
После уничтожения скобок:
Юж +"^ + 7 = 3ж—ж-j—18—4.
154 | Переносим неизвестные члены на одну, известные на другую сторону:
Юж — Зж ж = 18 — 4 — 7— ,
соединяем на каждой стороне члены в один:
8, = ^.
Разделяя на 8, находим неизвестное:
Требуется решить уравнение
2а?2 -4- 2а? -}-1(»H-l)(«-j-2)2а?2 -4- 2а? -}-1(»H-l)(«-j-2)2а?2 + 2а?-|-3 2а?2 4- 5,
2а?2 -4- 2а? -}-1(»H-l)(«-j-2)
2а?2 -4- 2а? -}-1(»H-l)(«-j-2)
(а? + 1)(а?+3)“ ^+2)^+3)+ '
Дроби с неизвестным не сокращаются. Им общий знаменатель(я? + 1)(а?4-2)(а? + 3),
на которого умножая, получим
(2ж2 + 2ж +1) (ж + 3) 4- (2ж2 + 2ж + 3) (ж + 2) == (2^+5) (^+1) + 2(^+1) (,^ + 2)(^+3).
Уничтожаем скобки:
4^з _j_ 14^2 _|_ 14^ _|_ 9 = 4жз _|_ 14ж2 ^_ 27^ -]_ 17.
Соединяем известные на одной стороне, неизвестные на другой:
—13^ = 8,
155 | откуда значение неизвестного:
8
13"
Возьмем еще уравнение
(ж — а) (а 4" Ь) + (2^ 4"с) (а — ^)= 2а2 + ас — 2bx — be (х — а 4* !)• По правилам предыдущей статьи решение будет заключаться в следующем:
х (а + 6) 4" 2а? (а — 6) 4- 26^4" Ьсх =
= 2 а2 4- ас 4- Ье (а — 1) 4* а (а 4" ^) — с (а — ^) >
(За 4~ 6 4" ^с) х = За2 4* абс 4"а^ 5
За24-а6с4-а6За 4" ^ 4* ^с
Сокращая дробь, находим х = а.
Для определения двух неизвестных недостаточно одного уравнения, где одно неизвестное может быть произвольно и давать значение другого.
Два уравнения с двумя неизвестными приводятся в такой вид (ст. 100):
ах 4- by = )Ах-^Ву = С.
- У Лобачевского пропуск в нумерации формул: после (10) следует сразу (14)»
Если в котором-нибудь из этих уравнений входит одно только 156 неизвестное, то его значение от|сюда, будучи поставлено в другое уравнение, определяет и другое неизвестное.
Если ж ни один из множителей а, 6, А, В не нуль, то первое уравнение умножаем на-у и вычитаем из второго. Получим
Г . В ] п В {А — а > х = Ст-с. (b jЪ
Так уничтожаем у и можем подобным образом уничтожить х. Это называют исключением неизвестного. Наконец, из последнего уравнения находим
ЪС — сВХ~ЪА—аВ‘
Вставляя это значение х в первое из двух данных уравнений, получим
с А — аСУ~ЬА—аВ'
То же бы самое нашли, если б значение х поставили в другое данное уравнение или искали у, исключив наперед х.
Само по себе разумеется, что для исключения у можно первое уравнение умножать на сокращенную дробь -у и тем облегчать, вычисление.
157 | Например, даются уравнения
5х -j- 14у = 24,
19^ — 21у = 17.
Первое из них умножаем нау и вычитаем из второго:
26-^-ж = 53 .
Отсюда х = 2; а первое уравнение сделается 10+14у = 24 и дает у = 1.
Пусть даны еще два уравнения:
(2а2-j- 562)ж— ( а24-4а6— 552)у = а6(196— 5а),
(4а2 -j-15&2) х — (2а2 4” 7а6 —1562) у = ab (526 — 8а).
Первое уравнение, вместо того, чтоб умножать на
а2-|-4а6— 5б2 ’
которая дробь сокращается на а4~56, лучше умножать на 2а— 36
а — 6
Вычитая из второго, получим:
4а2 -|-1562 — (2а2 -|- $62)^^-I х =
= аб I 526 — 8а — (196 — 5а) —(4' а — 6
158 | Потом умножая на а — 6, откидывая общего производителя аб на обеих сторонах, находим
(2а -|~ 56) х = 2а2 4”7а6 4* 562.ж = а + 6.
Вставляем это значение х в первое уравнение;
(2а2 4" 562) (а + 6) — (а2 4" ^а^ — ^62) У = ^ (19$ — ^aY
Отсюда
у = 2а — 6.
Чтоб исключить у из уравнении (14), можно первое умножать на В, второе на 6, или на числителя и знаменателя в сокращенной дроби -у ; потом одно уравнение вычитать из другого. Можно также не принимать сначала в рассуждение знаки, с какими будут числитель и знаменатель дроби у; но вычитать или складывать два уравнения, смотря по тому, одинаковы или противны знаки выходят в членах с неизвестным у после умножения уравнений.
Например, требуется найти х из уравнений
5х 4~ Sy = 37,^х— 15у =—37.
155
Дробь у сокращается в у . Умножаем первое на 5, второе на 3;
159 |25^4" 45у = 185,
12ж—45у = — 111.
Складываем уравнения:
37#= 74, отсюда
х = 2.
Решение уравнений (14) невозможно, когда ^ = ^ потому что в таком случае с исключением одного неизвестного уничтожается другое.
Означаем I, II первые части уравнений (14). Уничтожение обоих неизвестных предполагает такие числа n, ш, с которыми
п • Im • П = 0.
Если этому условию удовлетворяют и вторые части уравнений, тогда одно уравнение следует из другого, а потому лишнее. Если ж ъторые части не удовлетворяют сказанному условию, то одно уравнение противоречит другому. В первом случае для определения неизвестных потребуется новое уравнение; во втором решение невозможно.
Например, в уравнениях
2-^- х—Чу = 11,
2 у 1
х — 2—т/ = 4— э
160 | неизвестные я, у вместе уничтожаются, так что независимо от них
2-1 —5-11 = 0.
Вторые части уравнений такого же свойства; следовательно, одно из уравнений лишнее.
Решение уравнений
3-^-® + 9у = 29,
2уа?+6у = 19
невозможно, потому что здесь
2-1 —3-11 = 0, но 2-29—3-19 не дает нуль, а следовательно, одно уравнение противоречит другому.
Для определения трех неизвестных надобно давать три уравнения, которые всегда могут быть приведены в такой вид; (ст. 100):
ах-^Ьу -\-с2 =й, 1
Ax-VB'g-yC2 = D, |(15)
а^ + Ру +^ =8. ]
Если в одном из сих уравнений нет двух неизвестных, то отсюда значение третьего поставится в два другие уравнения, которые послужат для определения двух остальных неизвестных (ст. пред.).
161 | Если в двух уравнениях нет одного неизвестного, то два другие, будучи отсюда найдены и поставлены в третье уравнение, дадут и значение третьего неизвестного.
Если в одном уравнении нет одного неизвестного, то это же неизвестное может быть исключено из двух других уравнений, и тогда получатся два уравнения с двумя неизвестными, которых значения, будучи вставлены в одно из уравнений с третьим неизвестным, пополнят решение.
Если же в уравнениях (15) ни один множитель при неизвестных не нуль, то стоит исключать одно неизвестное, соединяя первое уравнение со вторым, второе с третьим или первое с третьим; потом искать два неизвестных в двух уравнениях, а с помощию их, наконец, и третье из которого-нибудь между данными уравнениями.
Например, даются три уравнения:
5ж 4-4у + 72 = 34 Юж — 32/ + 22 = 10 15ж4~2у— 62 = 1.
Из первых двух, исключая ж, находим:
11у —]—122 = 58
Исключая ж из первого и третьего:
102/4-272=101.
162 | Из составленных вновь двух уравнений находим 2/ = 2, 2 = 3 которые значения переменяют первое уравнение в такое:
5ж + 84-21 = 34.
Отсюда ж = 1. То же бы нашли, если б значение у, 2 ставили во второе или третье уравнение.
Чтобы дать общее решение для уравнений с тремя неизвестными, в уравнении (15) оставляем известные числа неопределенными и не принимаем никакого сокращения при исключении неизвестных.
Исключая х из двух первых уравнений, потом из первого и третьего, получим:
(ЪА — аВ) у -}- (сА — аС) 2 = dA — аВэ
(6а — а Р)у + (с а— а^г = Да — а 8;
отсюда (ст. 102):
(б?А — аВ) (са — ау) — (da — а8) (с А — аС)
(6 А— аВ) (са— а?)— (6а — а^) (сА— аС) 7
(da — а8) (6А — аВ) — (dA — аВ) (ba — ар)
2 (ЪА — аВ) (са.— а?) — (6а — ар) (сА — аС) *
Найденные таким образом дроби для у, 2 сокращаются на а после чего делаются
d(aC — уА)4-^(^1— са)-]-8(Ас— Са)tJ— b^aC—^-VB^ — ca^-V^^Ac — Ca^ ’
_ <Z(^ —«S) + D(a6 —ра) + 6(а5 —6^1)2~ Ь^аС — -(А)+Б(ат—ca)-j-p(^c — Са) ’
асз I после чего находим:
d, (ЪСа — 6уА + сАр — саВ) -}- аВ (Ъ^ — ср) -}- а8 (сВ — ЪС) , у-\-С2Ъ(аС — чАЗ-^В^ч — са)-|-р(Ас— Са)7
наконец, из первого уравнения
_ d(4B — pC)+D(cp — 6Т) + 8(6С — сВ)ж— b<aC—tA)A-B^at — №)-V^eA — aC) '
Знаменатели в дробях, которые представляют значения ж, у, 2^ оказываются одинаковы и могут быть представлены еще так:
а(В^ — рС) + А(Рс — 6Т)4-а(6С—Вс), с (Ар — Ва) + С (аб — ра) + т (аВ — ЪА).
Вид этих общих выражений доказывает, что в каком бы порядке исключение неизвестных ни происходило, значение неизвестных «будет всегда то же.
Возьмем для примера те же уравнения, что и в предыдущей статье, где
а = 5,
6 = 4,с = 7,й = 34,
.4 = 10, а = 15,
В = — 3, (7=2,D = 10,
£ = 2,7 = — 6,8 = 1.
Из сих чисел составляем:
ЧВ — ₽(7=14,
Ре — т 6 =38,
ЪС— сВ =29,
Са—А^ = 90,
уа — ас = —135,
с А— аС = 60,
А^— Ба = 65,
аб— ра = 50,
аВ— ЪА =— 55.
164 | Затем числители в ж, у, г:
14Й+ 387) 4-298 = 885,
90й —1357) 4- 608 = 17 70,
65^4- 507) —558 = 2655;
знаменатели:
14а -|- 38^4 4™ 29а = ^85,
906 —1355 4- 60р = 885,
65с 4" 50(7 — 55^ = 885.
После чего находим ж = 1, у = 2, 2 = 3, как выше.
По сему примеру можно судить, что вычисление помощию общих выражений часто бывает гораздо затруднительнее, нежели исключение одного за другим неизвестных из данных уравнений. В счете по общим выражениям числа бывают более, а значения неизвестных выходят в дробях, которые иногда допускают большое сокращение.
Решить уравнения (15) нельзя, когда, исключая неизвестные, не можем притти к одному уравнению с одним неизвестным» Это случится, когда все неизвестные уничтожатся или при составлении двух уравнений с двумя неизвестными, или при составлении одного уравнения с одним неизвестным. Означаем I, II, III первые части уравнений, которые при исключении неизвестных должны 165 всякий раз умножаться на какие-нибудь чис|ла и потом складываться. Так пусть w, т, р, q— числа, которые в соединениях
п • 14- т • II;
р • 14- Ц • Ш
уничтожают одно неизвестное. Если в первом из них уничтожаются и два остальные неизвестные, то независимо от ж, у, г должно- быть
тг • I + ш • II = О
— отношение, которое открывает, что два уравнения или одинаковы, или одно другому противоречит, смотря по тому, вторые- части удовлетворяют или нет тому же условию.
Исключение при составлении одного уравнения с одним неизвестным произойдет от соединения вновь выведенных уравнений, когда одно умножится на какое-нибудь число г, другое на t и сложатся; следовательно, соединение в первых частях уравнений будет такое:
г (п • 14- т • II) 4- t(p • I -{- д • Ш) и приводится к такому:
х. 14- pi. п 4- о. ш, где X, у., со — какие-нибудь числа. Если в этом соединении уничтожатся все неизвестные, то
X * I 4 I1 * П * Ш = О
— условие, которое, оставаясь выполненным для вторых частей 166 в уравнениях, открывает, каким | образом одно уравнение происходит из двух других, а следовательно, лишнее. Оно противоречит двум другим, если вторые части уравнений не представляются в том же отношении между собою.
После решения уравнений с тремя неизвестными легко видеть, в чем должен заключаться способ решать уравнения со- многими неизвестными, сколько бы их ни было. Правила и причины будут следующие:
Из данних уравнений надобно составлять другие, где би одного* неизвестного не било. В состав сих нових уравнений должны войти все данние, иначе то, без которого можно обойтись, было бы лишнее. Сколько же необходимо надобно давать уравнений, увидим ниже.
Для составления уравнений, где би одного неизвестного не било, надобно отделить сначала те, в которих этого неизвестного и без- того нет. К ним в дополнение возьмутся уравнения, виведенние из: остальних чрез исключение неизвестного.
Чтобы все уравнения вошли в состав новых, где не будет одного из неизвестных, надобно соедингипь сперва два, потом каэюдое из остальных соединять с которым-нибудь из предыдуг^их.
167 | IV. Исключение неизвестного требует соединять уравнения по два, каждое с предыдущим (ст. 102). Итак, если все п уравнений содержат х^ то из них составится п — 1 уравнений без х. Столько же цолучится уравнений без х и тогда, когда сначала уже не было х в т уравнениях из всего числа п, потому что прочие п— т уравнений с исключением х дают п— т— 1 уравнений, которые с т составят п — 1, Чтобы теперь, исключая одно неизвестное за другим, притти, наконец, к одному уравнению и с одним только неизвестным, число неизвестных надобно также п. Посему столько oice должно быть необходимо уравнений^ сколько неизвестных, которые в таком случае все могут быть определены.
Если в продолжении решения где-нибудь с исключением одного неизвестного уничтожатся и все другие, то это будет признаком, что между данными уравнениями одно лишнее г^ли одно другим противоречит, смотря по тому, первые части уравнений уничтожаются вместе со вторыми, или нет. В таком случае (ст. пред.)
п • I 4“ т • II 4“ р • III 4~ • • • = 0,
где I, II, III и т. д. —первые части вошедших в соединение уравнений; п, т, р и т. д.—известные числа, которые укажет само решение.
Нашедши из последнего уравнения одно неизвестное, которое les в нем оставлено, | долэюно перейти к одному из двух уравнений с двумя неизвестными, куда и поставить отысканное значение; потом отсюда определить другое неизвестное. Затем найденные значения двух неизвестных поставить в одно из уравнений с тремя неизвестными и определить отсюда третье неизвестное. Так продолжать, обращаясь всегда к одному из предыдущих уравнений, где сысканные уже неизвестные встречаются с одним еще неопределенным, покуда, наконец., придем к данным уравнениям, из которых каждое может служить к определению последнего неизвестного.
Для примера разрешим такие уравнения:
эх 4~ 7у = 31, Зу — 2^ = 11, 4^ + 5м = 1, 7 м — Зх = 1.
Исключаем ж, которое входит только в первое и последнее уравнение. Получим три уравнения без ж:
Зг/— 22 = 11; 42 4" 5м = 1; Зг/4* 5м = 14.
Исключаем у из первого и последнего; а второе, где нет у, удерживаем без перемены. Будет
42 4~ 5м = 1; 5м + 22 = 3.
169 1 Отсюда м = 1, 2= — 1. После чего из уравнения Зу-|-5м = 14 находим у = 3; а из уравнения 5^4"7у = 31, наконец, х = 2.
Пусть еще даются такие уравнения:
13ж + 1^2 + ^и = 3,
12^4" ^2 -|-Зм=13)
4^-|“ ^У—2м = 15, Чх 4- 2г/ 4- 52 = 11, 5г/ — 32 4" 4гг = 0.
Число уравнений более, нежели неизвестных; следовательно, между ними одно необходимо лишнее или противное. То или другое откроет самое решение.
Из первого со вторым, из второго с третьим, из третьего с четвертым исключаем х и присоединяем последнее уравнение, где х нет. Так получим:
1152 4- 9м = —133,
9г/— 52— 9м = 32,
13г/—202 —14м = 61,5г/ — 32 4~ 4м = 0.
Здесь первое уравнение находим снова с исключением у из второго и третьего; следовательно, одно между данными уравнениями лишнее; а чтоб видеть какое, означаем первые части данных уравнений по порядку I, П, Ш, IV. Они в трех выведенных уравнениях произошли так:
170 112-1 —13. II; 3-Ш —П; 7-Ш — 4 - IV.
Исключение у открывает между ними отношение:
13 { 3 • Ш—II} —9 { 7 • III —4 • IV } = 12 -1 — 13 - П?
откуда
1 = 3-IV —2-Ш,
то-есть, между первым, третьим и четвертым из данных уравнении одно лишнее, потому что каждое следует из двух других; например, первое происходит, когда четвертое умножаем на 3 и вычитаем третье, умножив его на 2. Посему из четырех уравнений без ж, отбросивши третье, потом из второго с третьим исключая ?/, находим два уравнения с 2 и го:
115^ -|- 9 м = —133,2г —81м =160.
Отсюда 2 = — 1, и = —2; потом из прочих уравнений ?/ = !, я = 2, которые значения неизвестных удовлетворяют всем данным уравнениям.
Решение уравнений со многими неизвестными, сколько бы. их ни было, может быть дано общее в прейставгипельнъох выражениях, где после разложения знаки у букв переменяются.
Пусть представитель П перед выражением требует, чтобы с окончанием счета показатели степеней были поставлены внизу
171 и означали различные буквы [,б]. Берем несколько букв 1с а, Ъ^ с, Д и т. д.; откинувши 1\ составляем произведение всех прочих на произведение всех разностей; вместо & принявши а, составляем подобное выражение. Тогда
JJjitoL^X^-i)^^П61
П { аЪсД .. -Х(^ — &)(с— &)(с— &)(^—^V&— ^)(^ — ^)- • • будет значение х в уравнениях
ахх -{- Ъху -|- сх2 + Лхи -[-...= 7^, )
а2ж + by + сг2 д- й2ы + ... = &2, I
®зж 4* Ь3у -|- е32 4- й3и -у ... =1г3 ।
и т. д.,J
которых число то же, что и неизвестных х^ у, ^, го и т. д. Например, для трех уравнений
ж = П{^с(6-/;)(с-6)(с-74} =
П { abc (Ъ — а) (с — 6) (с — а)}
_ П j Тс3 (be1 — 62с) 4- F (63с — Ъс1") 4- 7с (ЬЧ3 — 63с2)} =
П { а3 (6с2 — 62с) 4~ «2 (Ь3с — 6с3) 4" я (62с3 — 63с2)}
_ 7g (62с3 — 63с2) 4- Z:2 (b3eT — Ьа) 4- 7с3 (b^ — 62Cj)
— а^Ьд — Ь^ + а^^Сг — Ь^^-а^Ь^ — Ь^ ’ как и было найдено выше (ст. 105);
Чтоб доказать вообще верность представительного выражения (16), полагаем 7г число уравнений (17) и число неизвестных, В таком случае произведение
|abed.-.X^— а) (с— &)(с— а^^ — <0(^— ^)(^ — а)...
заключает в себе произведение
bed,... XVе — ^) (^ —<0 (^ — 6)... = Д
свободное от а* еще другое из 7г производителей
а (Ь — а) (с — a)(d — а)..., где каждый заключает в себе а, и которое может быть представлено или так:
«(6 — «) {Ь + aP-i + «^з +h ап~^и-i} или еще
а fo + адг + а2у3 4-4- а"'1^)
и где производители при степенях а не содержат более а. Далее
4i = bpv, ^ = bpi—pv, да = Ьр3—р3 и т. д.до ^-i = bp^ — рм_2; дп = —pn-v
Представительное выражение (16) для ж может быть написано:
ж = П (^ fei4-^+^з 4- • • • 4- ^g»}
' ПИа(81 + а82 + «28з+•• •+«”-18»} '
Умножаем теперь уравнения (17) по порядку на представительные выражения
А^ПМ, ^ = П(ад, 4„=П(^„)
I и потом складываем. Множитель при у будет П (LQ), где
q = ь^ 4- ъ^ 4-... 4- ^п8«-
Вставляя значения уь у2, у3 и т. д., получим:
Q = (bbY — b<^px4-(662 — &3)р2 4- ... 4-фЬн_ J — b^pw_v
Между тем находим тот производитель в L, который заключает Ь: м=ь(с—ь^ (а—ь)...==
= Ьрх 4- ъ^ 4- ь3р3 4-... 4- ь^р», г
Так, что произведение QM будет состоять из членов
PW lbbr — br+x); prpt {br (bbt — bt+J 4- bt (bbr — br^},
тде г и t вообще числа в ряду от 1 до н— 1. Все эти члены обращаются в нуль, когда после умножения показатели степеней перенесутся вниз, как требует того представитель П, под которым буквы, различные от 6, не могут переменять показателей у 6.
Подобным образом можно доказывать, что производители при 2^ м и т. д. уничтожаются.
Напротив, множитель при ж будет
П ^L (а^д^ 4~ а2д2 4“ а^ + • • • 4" aiiSn)V
| Здесь а не входит ни в Z, ни в д-^ д2, и т. д.; следовательно, можно писать
П {Z (а^ + а^ 4- а3^3 + ... + a'^J),распространяя влияние представителя и на букву а. В таком случаеL (а^ + а2^ + а3& + • • • + апа^ =
= а(5 — а) (с— Ъ^с— a)(d— c^d— b)(d— а)...,
как это предположено для & вместо а. Если ж в последнем представительном выражении ставим снова & вместо а, то получим сумму от вторых частей в уравнениях (17) и, наконец, значение (16) для ос.
Иначе можно дать общее решение уравнений первой степени со многими неизвестными.
В предыдущей статье мы доказали, что
СА + 52^2 + сз^з + • • • + сп^-п = °
и так далее; чтои так далее; что^f^fЩадП№$+1)ЩадП№$+1)а всего подобных уравнений и — 1. Отсюда следует,
и так далее; что
и так далее; что
^f
^f
Щад
П№$+1)
Щад
П№$+1)
П(М_. ж_п№з) птд т_пW „
‘■п№,+1)’ • ﹄„) 'д" - n№wl)
175 1 будут значения неизвестных в уравнениях
«А + «А + аА + • • • + Vn + «»+1 = °, 6^1 + б2ж2 4- &3«3 4-... 4- ъ^п 4- ъ^=о, С1®1 4- СА + сзжз + • • • + с»ж»+ сп+1 = О, ^а?! 4* <^2^2 4" ^з^з + • • • + dnxn 4* ^й+1 = 0
И т. д.,
когда
L — dbcd... X (6 — <i)(c — b)(c — a)(d — c)(d — b)(d — a)...
и когда для всякого &
(а &) (6 i) (с &) (б? — &). .. = ^ 4- ^ 4- й2^ + • • • + ^Z?n-i 5 следовательно,
^D ^2,03,^п+1
представляют множителей при степенях к после разложения. Из них последний
^+1 = ( —1?.
Полагаем для всякого числа г, от г = 1 до г = п4-1,
= ( ^Х ^+1 - г > тогда
(к — а) (к — 6) (^ — с) (к — ^... = 1сп — ^^-i + SJc^ — SJc ^ + .., 176 | Рассматривая, каким образом составляется произведение на правой стороне уравнения, открываем, что здесь
#1? 8^ S3 и т. д.
изображают: сумму всех букв а, 6, с, ...; сумму их произведений по две, по три и т. д. Чтоб это доказать несомнительно, допускаем справедливость предположения для тг букв и пусть с прибавлением новой буквы <0
(к — со) (1с — а) (1с — 6) (1с — с) ... = к^ — PJc^ + Р2к^ — Р^-^ + ..., где, следовательно,
Рт = /Si 4- ш, Р^ = 82 4-<о^13 Р^=8з-^ш8^ вообще
Рг = ^г +со Рг-1,(18)
покуда, наконец, дойдем до
-Рц == ®п 4“ ш ^п-1 > -^w+l == ш ®пе
Если ^ была сумма всех и букв, то ясно, что Рт = ^ 4~ “ будет сумма всех тг 4* 1 букв. Вообще уравнение (18) показывает, что РГ должна быть сумма всех произведений из г производителей, взятых между п 4- 1 буквами. Действительно, такие произведения заключают в себе как те, которые составляются помощию тг букв и и? кото|рых сумма 8У1 так и те, у которых со один производитель, г — 1 число прочих, составленных помощию тг только букв, а следовательно co^^j сумма их всех. Это рассуждение относится ко всякому числу г>1 и <тг4-1* Что же касается до Рп+1, то здесь произведение со 8п из всех и 4~ 1 букв представляет опять
оумму всех произведений из тг -|- 1 производителей, но где сумма по числу букв может состоять только из одного члена.
Значения неизвестных, достаточно определяемых равным числом уравнений, могут быть даны в собственных общих выражениях, без помощи представительных; но для этого наперед надобно познакомиться с вычислением перемещений.
Расположение букв в произведенииabed ...
будет сделано со всеми переменами места, когда, по принятому правилу в размещении, всякий раз из одного соединения переходим в другое новое, не повторяя прежних, и когда порядок, в каком одна перемена следует за другой, может служить для отыскания каждой и для удостоверения, что всякое расположение необходимо встречается. Таков способ, где предписывается буквы, сперва все, 178 потом удерживая одну, две, три и т. д. по | порядку, сколько их есть, передвигать в одном направлении, ставя каждую на место соседней и последнюю на место первой подвижной, пока сюда не придут все буквы одна за другой, участвующие в этом круговом движении. Легко видеть, что нет такого размещения, которое бы не было произведено по этому способу, и что всякий новый порядок между буквами указывает сам собою, в каких купах было движение и на каких буквах оно в каждой купе остановлено. Например, все перемены с четырьмя буквами:
abed adbe cbda
dabe aedb eabd
edab dabe baed
beda deba bdae
abde adeb ebad
daeb aebd eadb edba daeb bade
bead deab bdea
Когда 7i число букв, то первое движение, общее всем, производит 7i различных соединений; второе, общее 7г— 1 буквам, за исключением первой, дает в каждом из прежних соединений еще
п — 1 новых, и так далее, пока всех возможных соединений будет и • (п — 1) (п — 2)1
— произведение из п производителей, если считать единицу последним.
179 | Когда после общего движения удерживаем одну букву за другой и доходим до той, то число соединений будет то, которое допускают 1г букв на т местах и которое, следовательно, выражается произведением
1г (аг — 1) (н — 2).. . (1г — яг^ 1)
из т производителей. Это произведение будем означать для краткости
какое бы т целое положительное число ни было. Впрочем, значение п^» делается нулем, как скоро т^п, потому что в произведении один производитель встречается нуль.
Рассуждая о перемене места, можно употребить числа, под которыми разуметь однако ж какие-нибудь буквы; с тою выгодою, что первый взгляд на числа напоминает уже начальное их расположение.
Пусть перед произведением из >г букв, которые в начальном их соединении означим по порядку числами
• 2 • 3 • . . . • 1г.
Должен всякий раз оставаться тот же знак -|- или — , когда круговое движение, с переменою одного места, распространяется на число нечётное букв; и пусть знак всякий раз делается про- 180 тивный, когда такая перемена места происходит с чётным числом букв. Разыскиваем, каков будет знак перед произведением, когда здесь две буквы, означенные числами 1, т^ переменятся местами. Принимаем произведение положительным при начальном размещении букв. С первою переменою места всеми цифрами и когда соединение их будет
• 3 • 4 • ... • п • .1,
( — 1^+L( — 1^+Lнадобно перед произведением поставить — или -{7 , смотря по тому, 1г — чётное или нечётное. Во всяком случае должно умножать, следовательно, на
( — 1^+L
( — 1^+L
При второй перемене, когда соединение сделается
• 4 • ... • п • 1 • 2,снова надобно умножать на то же, и так далее, при соединениит • т + 1 • т + 2 • ... • п • 1 • 2 • ... -т — 1потребуется умножить начальное произведение на(_1)(п+1) (ш-1).
В этом расположении цифр удерживаем теперь первую т и переменяем места прочих тг — 1, покуда 2 не придет на место ^ + 1, ДО которого от 2 считается n -j- 2 — т цифр. Итак, в соединении
181 |т * 2 • 3 • 4 • ... • т — 1 • т -|- 1 • т -]- 2 • ... • п • 1
должно еще умножать на
( ]Q и («+1—т)
Наконец, удерживая все цифры до т— 1 и подвигая прочие на одно место, получим желаемое соединение
т • 2 • 3 • 4 • ... • т — 1 • 1 • т -|- 1 • т -|- 2 • ... • п,
с которым вновь надобно умножить на
^ j^^w—шН~2
потому что и — m -|- 1 цифр было в движении. Соединяя теперь все степени от — 1, находим, что первое произведение должно умножить на
(l)»^!)^
где член тг (п +1) в показателе всегда четное число. Итак, проневедение меняет знак, 'когда в нем две буквы переменятся местами» Это заключение остается в своей силе и тогда, когда перед первой буквою, которую разумеем здесь под цифрой 1, будут другие, потому что они в переменах места не участвуют.
То же самое должно сказать о буквах, под которыми для раз- 182 личия поставятся указатели в циф|рах и когда указатели с переменой их места придают новые значения буквам. Например,
В таком случае за начальное произведение примем то, которое здесь написано, ставя буквы в порядке, как они следуют одна за
другой в азбуке, также указатели внизу по порядку 1, 2, 3, 4 и т. д_ Означаем С сумму всех таких произведений, начальное с 4*, прочие с 4“ или —, смотря по тому, какой знак выдет от перемены всякий раз на противный, когда два показателя меняются местами. Если ж одна буква, например а, отбросится, указатель т "под буквами опускается, то сумму всех таких произведений означим Ст^а\ Наконец, разумеем под гСт значение суммы С, когда здесь вместо указателя т везде будет поставлен указатель г. После того, что мы доказали в этой статье, должно быть
гСт = ^
всякий раз, когда г встречается два раза, заменяя на месте т одного из прочих указателей, потому что в сумме С встречались прежде с противным знаком по два произведения, которые разнились только двумя какими-нибудь буквами р и q, когда один раз входило ртдУ1 а другой prqmi и которые теперь, с переменою г на т, уничтожаются, делаясь по величине равными.
183 |112. Пусть теперь в выражении С предыдущей статьи требуется
отделить все те члены, в которых один множитель повторяется. Ясно, что стоит только взять какое-нибудь произведение, где этот множитель встречается, и тогда перемена указателей в низу прочих букв даст все другие. Это одно произведение мы отыщем, однако ж то начальное, где все буквы и указатели при них следуют в их первом порядке, включая ту букву с ее указателем, которая отделяется как общий множитель. Чтобы легче сообразить все перемены в членах, означаем самые буквы также цифрами, как это было сделано с указателями, по месту, которое те и другие занимали вначале, именно:
1122 З3 44.. .nn Р'],(19)
Называем tm тот множитель, который требуется отыскать во всех членах, где он может встречаться.
Если t = m^ то первое произведение в постепенном порядке всех цифр будет
-|- ^ • 11 22 З3 . . . tlj-1 • ^4" 1^4-1 • • • ^n*
Если ^ш, то надобно в произведении (19) сперва переменить места указателей у двух производителей tb тт. от чего произве-
дение сделается (ст. пред.) для t = т 4- 1
184 ।
для т = t4-1
^м е li 22.. . ^1*_ 1 • t4“ 1# • t-\- 2#4_2... n7?)
где постепенность в цифрах сохраняется сама собою. Для t>m-^l произведение (19) переменяется в
^т • li 22.. .т — ltn«i • mt • т^- lw+i• • • £— 4-i • ^4* lf+i • • -^Ч > для t < m — 1
— tm • 1T 23.. ,t— 1^ . ^ 1,+1 ...m — 1M-1 • mt • m 4- lm+1... и1Ъ.
В двух последних случаях, чтобы восстановить постепенность цифр, надобно указателя t поставить между t—1 и ^4“1> кУДа ^ приходит или на t—т— 1, если t>m-^-l1 или на т— t—1 место, если т>^4*1; так) что) наконец, произведение будет
( 1У W * ^т * 11 ^2* • • ^1ш- 1 * ^«14-1 * ^4” 1^+2 * * * ^1< * ^4~ 1/+1 * * ‘^п
ИЛИ
1)'W“^ • t)n • lj 22 . . . t 1^-1 * ^4“ If • • • ^721-1 * ^ + 1»»-H • • ‘^'ir
Сумма всех таких произведений, каковы бы t и т ни были, всякий раз, следовательно, может быть выражена (ст. пред.)
— ^тСт (t).
Знак +7 когда t=m или t—т четное число; знак —, когда t—т 185 нечетное, будет ли, впро|чем, разность t—т положительная или отрицательная.
Значения 71 неизвестных из уравнений (17) представляются дробями с одним знаменателем (ст. 108), который можно составить, как сейчас будет доказано, таким соединением из и букв
а, 6, с, d. ..,
которое в ст. 111 означали С. Например, для трех букв а, 6, с находим:
С = аТЬ^ — а^зСо 4- а2$зс1 — «2^1сз + ^А — ^з^п
как было выше (ст. 108) в значении неизвестных из трех уравнений.
Если же в знаменателе С вместо а, вместо 6, вместо с и т. д. ставим 1\ то получим числителей в ^ у, ^ и т. д.
Так принятые значения для неизвестных действительно удовлетворяют уравнениям (17), чего уже и довольно для доказательства. Заметим, что С может быть представлено различно, разделяясь на члены с общим множителем (ст. пред.):
С= ^^(а)— bvCY (6) + cYCY (с)—)
= —а20'2(а)4-6г(72(6)—с2(72(с)4-... >(20)
= аА^-ЬА^-А-сА^-... j
и т. д.,
iso |С= а А (а) — а2С'2(а)-|-а30'3(а)—. .. |
--ьа^ьадьаьа^-А • ■ |(2i)
= схС (с) —с.^, (с) 4- Сз^з (с)• • • j
И т. д.
После чего
хС = 1схСх (а) — 1с А (а) 4~ 1с А (а) — .,. •, у с=- ЬА №+кА (Ь) - 1с a
zC = 1схСх^ — TcA^-VlcA^)— ...
и Т. д.,
(ахж 4- bxy -j- cxz) С =
= 1сх {а А (а) — ЬА № 4" <чС (с) — • • • 1 —
— Л2 {^^(а) — bYC2 (b)-\-cYC2 (с)— • • •} + + ^з {а1^з (а) — ^1^з ($) + с1^з (с) — • • •}
ид?. д.;
из первого уравнения (20) видим, что здесь множитель при 7^ представляет С; множитель при 7с2 тоже бы сделался С, если бы вместо указателя 1 стояло 2; следовательно, этот множитель изображает 1С2 = 0 (ст. 111). Подобным образом, множители при Ъ^ Тс4 и т. д. представляют 1С73 = 0, 1С4 = 0 и т. д.
По этому примеру можно видеть, каковы будут множители при ^'1) ^2, ^‘з и т- Д-? если принятые значения для неизвестных поста- вятся во второе, третье и т. д. уравнения (17).
1Ь7 | Пусть5^4- 4у— 3^ + 2« = —19,
Зж— Ьу -{- 2 — 1и= 33, ж 4" Зу— ^2— Зм =—14, 6ж— Пу—13^ 4“ 2м = —22. Здесь
Cl^ —— 0,
61=
4,
C1 =
— 3,
dy —
2,
ky —
-19,
a2 = 3,
62=
— 5,
c2 =
1,
d^ = —
7,
^2 ==
33,
a3 = 1,
63 =
3,
c3 =
— 2,
^3 —'
3,
^3 =
—14,
a4 = 6,
64=
— 11,
C4 =
—13,
6?4
2,
^4 =
— 22.
Сумму, которую означали С, будем означать теперь, избегая,, сбивчивости в вычислении, первым произведением, заключая в скобки. Так, находим:
(^1^2) === ^1^2^2^1 == 1^)(^2^з) == ^2^3^3^2==1 >
^Gyd^ —• Cj6?g — ^3^1 —1 18,(^2^4)== ^2^4^4^2—'89,
(С1^4) —■ С^б?4^4^1 :— 20,^C^d^ :—- 636^4 *^4^3 43,
(б^з^з) = by (сД) — 62 ^Cyd^ 4- 63 (сД) =54,
<ЬХС^ = 61 (сА) — 62 (М4) 4- 64 (сД) = — 465,
(б^з^) = by (c3d4) — 63 (с^) 4- 64 (М3) = — 375,
(62с^б?4) = 62 (^з^ч)63 (с2б?4) 4" 64 (Ms) =669,
(м1&2^3^4) == ^1 (62^3^4)^2 (61^3^4) 4" ^3 (61^2^4)^4(61^2б?з) = 3681,
(Z?1&2c36?4) = fcy (b^c^d^) i2 (&1Сзй4) 4" ^з (61^2^4)^4(61^2^3)= 7362f
(а^сД)
188 | Подобным образом находим y= — 3, ^ = 5, it = —1.
ГЛАВА X
ЗНАЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
Число уравнений менее числа неизвестных дозволяет иногда прибавлять условие, чтобы значения неизвестных были целыми числами.
Если одного только уравнения недостает против числа неизвестных, то или это будет одно уравнение с двумя неизвестными, или такое уравнение можно найти с исключением прочих неизвестных. В нем дроби уничтожаются умножением на знаменателей, и следовательно вид его всегда будет
ах — by = с.(22)
где а, 6, с принимаем за целые положительные числа, потому что знак — вс уничтожается переменою знаков в а и 6; знак же — в а и 6 может быть отнесен к х и у.
Общий делитель всем числам а, 6, с уничтожается делением на него уравнения (22). После чего решение возможно только в том
*89 случае, когда числа а, Ъ не допускают более общего делителя, | на которого вторая часть уравнения, не разделяясь без остатка, в ж, у предполагала бы дроби.
Если т— общий делитель числам а, с, то в делении уравнения на т числа а у с т’ т1 т
должны быть целые. Также если п общий делитель числам 6, с, то
Ъ х сп’ п' и
— целые числа. Таким образом, уравнение от деления на общих делителей ш, и сокращается; целые числа ^, ^ заменяются новы-
ми неизвестными; прочие определенные числа делаются между собою начальными.
Например, дается уравнение
Ч3^-^) -5(з|у+1141)=71+17|у,
где требуется я, у найти в целах числах.
Соединяем неизвестные на одной стороне, известные на другой:
—35у = 577^ .
2 J 2
Умножаем на 2, чтоб уничтожить знаменателей:
21я— 70г/ = 1155.
19о |Разделяем на общего делителя 7 всем известным числам:
Зя —10//= 165.
Разделяем еще на 3, потом на 5 и полагаем -^ = яг; ^ = УЛ 118Г Получим
я1 —2г/1 = 11,
откуда видно, что у1—произвольное целое число. Берем ух = 1 и неизвестные в заданном уравнении, находим
я = 65; у = 3.
Уравнение (22) допускает для я, у бесконечно много значений, которые все заключаются в выражениях
п5-]-я; на-^у^
где и — произвольное целое; а, 5 предполагаются начальные между собою. Для доказательства пусть будут новые значения неизвестных
S + я; A-Vy.
Уравнение (22) требует, чтобы аВ = ЪА; следовательно, А = па; В = пЪ,
где и— может быть положительное и отрицательное, но всегда целое число (Гл. VIII, ст. 89), если А, В должны быть целыми.
191 | Итак, полное решение уравнения (22) легко дать, как скоро известно какое-нибудь одно значение я, у в целых числах.
В примере предыдущей статьи
х = 65 -[- 10??,; у = 3 -|- Зп.
Так, если произвольное и берем —1, то
я; = 55; у — 0.
Если а < 6 начальные между собою числа в уравнении (22), то пусть ^ — последняя приближенная дробь к ~ так, что за ^ следующая приближенная выдет уже сама дробь ^ или полное
.лСЬ.х„
значение непрерывной, в которую & предполагается ооращеннои» В таком случае (Гл. VIII, ст. 85)
ад— 6^ = ±1.
Неизвестные же в уравнении (22) могут быть взяты
ж = ±^; у = :^рс.
Верхний знак для положительной, нижний для отрицательной разности ад — Ьр.
192 | Если а > 6, то называем ^ последнюю приближенную к ~ . Тогда снова ад— bp = ztz 1, и следовательно, те же значения остаются для х, у»
Например, требуется найти ж, у в целых числах так, чтобы
13а? — 15у = 37.
Последняя приближенная дробь ~ к Ц дает
13 • 7 — 15 • 6 = 1;
следовательно (ст. пред.),
ж = 1бн 4~ 259; у = 13n 4~ 222;
или короче, ставим и—17 вместо п,
х = 15 л, + 4; у = 13п -[- 1,
где и — произвольное целое число [19].
Решение в предыдущей статье не предполагает а с с, Ъ с с начальными между собой числами; но требует, чтобы дробь ~ не сокращалась. Если ж а, Ъ допускают самого большего общего делителя й, то в уравнении
ах -Д^Ьу = с(23)
значения неизвестных букв будут (ст. 115 и 116)
d х ‘ a d,
193 | где 71 — произвольное целое, $ и ц определяются уравнением
Если с делится на d без остатка, то значения ж и у будут целые числа. Если ж это невозможно (ст., 114), то получатся дроби, где знаменатель или й, или не более знаменателя в сокращенной дроби -^. Самые малые знаменатели в ж, у могут быть только те, которых произведение дает знаменателя дроби в сокращенном ее виде.
а а
В таком случае знаменатель вяс^,вус^ должны быть начальные между собою числа, чтобы не уменьшались от умножения .в уравнении на а и Ъ. Итак, если ^ = ар, притом а с ^ ₽ с ^ между собою начальные числа, то определивши ж, у в уравнении -x+£r=i, а 1 р ’
получим значения ж, у с произвольным целым числом и
194 | в дробях с самыми малыми по возможности знаменателями. Например,
135ж— 315у = 55.
Здесь а = 135, Ь = —315, й = 45, а = 5, р = 9, Х=13, Г=10. После чего находим:
х = 3 + 7?г; у = 1 ^ -j- Зп.
Чтобы найти числа d, а, р, к уравнению (23) относящиеся, надобно искать самого большего общего делителя d числам а и Ъ по способу в ст. 66, Гл. Ш изложенному, которому следуя, находим еще самых больших общих делителейа',а", а"' и т. д. числам
а пa da d
-7и d\зи—;-и—ит.д.,
dd а ’d
p = a a a . ..; a = - .г
Подобным образом можно бы искать числа ₽\ Р" и т. д., начиная с общего делителя {Г числам ~ и d^ потом полагать a = р'[3"...;
195195196196
195
195
196
196
однако ж, это последнее значение а иногда разнится от прежнего именно тем производителем, который в Д как с ~, так и с ~ между собою начальные числа, и который, следовательно, по произволу можно относить к а и к р, например к меньшему из них, чтобы сблизить знаменателей.
Пусть требуется определить ж, у в уравнении
7 7962д^+185625г/ = 71.
Здесь а = 7 7 9625, Ъ = 185625. Находим
^ = 37125, а' = 3, а" = 3, а" = 3, агг=1;
а = 1375, р=27, Х = — 97, У=8;
121
*=“”-1573' ’ = й-21"
или
Р' = 5, Р" = э, £"' = 5, « = 125, р = 297;
Х = 48, Y= — 479; я = 5n + 2-^г; </ =—2171 — 9^. JLtiOl
Заметим кстати, каким образом дробь разлагается на две другие.
Пусть в сокращенной дроби ^- знаменатель y = ab1 произведе
нию двух целых чисел, и пусть
с х , 7/ - =к - 5 у Ъ * а
умножая на аЪ получим уравнение (23). Итак, числители ж, у могут быть целыми числами только в том случае, когда а, Ъ между собою начальные числа. Если ж а, 6 допускают самого большого общего делителя Д = ар, так что а с ^, р с ^ начальные между собою числа, то
'у ab * Ра ’
где числители я, у опять могут быть целыми числами.
Из двух уравнений с тремя неизвестными, исключая одно неизвестное, находим одно уравнение с двумя неизвестными, которые отсюда могут быть определены, как видели выше (ст. 116). Значения этих двух неизвестных содержат произвольное целое число (ст. 115), которое в каждом из двух данных уравнений теперь заменяет два неизвестных и сыщется с остальным третьим
по тому же, способу, давая, наконец, самые полные значения всех трех неизвестных с одним произвольным целым числом.
Например,
bx-V^y— 42 = 27,
Чх — 3^4-52 = 29.
Исключаем 2:
53#— 2у = 251.
Отсюда
х = 27?, 4~ 5; У — №>п+ 7, где и—произвольное целое число. Вставляя значения .г*, у в первое из данных уравнений, получим
197 |297?,2 =3.
Итак, значения трех неизвестных:
х = 5 4“ 271, у = 7 4~ 537?,, 2 = 3-|-2971.
Другой пример.
14# 4" ОД—112=97, 42^-94^4-92 = 235. Исключаем х\
Чу — 62 = 8.
Отсюда у = 2 4- 67?,, 2 = 14- 77г. Первое уравнение делается
Идак, называя т произвольное целое число, получим х = 7 4* 47m, у = 2 4" 84m, 2 = 14- 98m.
Третий пример.
2#— у-\-112 = 127,
—Их 4* Юу 4“ 332 = 352.
Исключаем 2:
17#—13^ = 29.
198 | Отсюда
х = 4 4- 13тг, у = 3 4~ 177?,.
Первое уравнение делается
97^4-112 = 122.
Отсюда
н = 5 4“ 11m, 2 = 7 — ^т.
Наконец,
х = 69 + 143m, у = 88 4“ 187m, 2 = 7 — 9 m,
где т произвольное целое число.
Какое бы число уравнений ни было, но если одного только недостает против числа неизвестных, и если между ними нет лишних (Гл. IX, ст. 107), постепенное исключение всегда приводит к одному уравнению с двумя неизвестными. Их значения отсюда будут заключать одно произвольное, которое как новое неизвестное войдет в прочие уравнения, заменит собою два прежних и там, где их было три, будет определено с третьим. Так и далее с решением каждого уравнения два неизвестных заменяются одним новым, покуда значения всех, если возможны, будут выражены целым числом и произведением еще целого на произвольное.
199 | Особенного внимания заслуживает тот случай, когда во все уравнения входит одно неизвестное, каждый раз с другим новым. Вид таких уравнений будет
аос by = с, j
а’х -V^y* = с, У(24)
a"® + 6V = c" J
И т. д.
Называя 6 самый большой общий делитель числам а, Ъ и полагая
— < + —4 = 1,о 1 о *
из первого уравнения находим
с с , Ъ
где г — произвольное число. Второе уравнение (24) делается
-^-2-\-Ъ'у' = с'— Е;
о ‘о
называя Sz самый большой общий делитель числам ДД , Ъг и полагая б ’
а'Ъ Ъ' ,88' 5 + 8' 4 —11
2оо | находим
с'е/ а'е ЕЕ/ I 6' /2 ~ 8' 588'+ 8' 2 ’
где г'—произвольное число. После чего
cb' , , с'Ъ „ , ЪЪ' .Ж ~ 88' ^ + 88' + 88' 2 ‘
Третье уравнение (24) делается
„ ЪЪ' ,„ cb't ,„ с'Ъ ,,
a'^2-VbV = c"-a -^'-а"^'.
Называя 8" самый большой общий делитель числам а" ^т, Ъ" и полагая
а"ЪЪ'
Ъ"
находим
,( „ п cb' _ ,„ с'Ъ ,,)
г= Г ■бу67'-" 8?Е i
Ъ" 8" ’
тде г”—произвольное число. После чего
х
88'8" ^ ''l + 88'8" 5 71 ^"
с"ЪЪ' 88'8"
ЪЪ'Ъ" 88'8"
Нетрудно видеть, каково должно быть выражение для х^ сколько бы уравнений (24) ни было.
Например, в Церковном счислении Круг солнца, Круг луны, Индикт называют остаток в делении числа лет от сотворения мира, полагая 5508 до Р. X., на числа 28, 19, 15 [20]. Означаем И индикт, Л круг луны, С круг солнца; ищем годы х от сотворения мира. Должно быть
sol |х = И-^- 15г/,
х = Л-\- 19yz,х=С + 28z/z/.
Здесь
а = 1,
а' = 1,
а"= 1,
6 = 15,
V = 19,
Ъ" = 28,
8=1,
8'= 1,
8"= 1,
с = И,
с' = Л,
с" = С.
Далее
5 +15т} =1,15EZ+19^ = 1,
15 • 19Г + 28< = 1-
Отсюда находим:
5—16, ^= — 5, Г = — 11,^ = 1, т}' =4, V/ = И2;
наконец,
х = 19 • 28 • 16 • 4 • 112 • И—15 • 28 • 5 • 112 • Л—
—15 • 19 • 11 • (?+15 • 19 • 28Z,
или короче
х = 13 • 19 • 28 • И-у 15 • 10 • 28 • Лу- 15 • 19 • 17 • С-у 15 • 19 • 28 г".
Лето от Рождества Христова будет, следовательно, остаток от* числа
6916 И-у 4200 Л-у 4845 С— 5508
202 | в делении на число 7980; или в таком же делении остаток от числа
6916 (И — 3) + 4200 (Л"+ 2) + 4845 ((7+ 8).
Произведение So'S" заключает делители общие а с 6, az с &', а" с &", которые должны вместе делить без остатка числа с, cz, с", чтобы х и другие неизвестные у, yz, ^/" могли быть целыми. Когда такие делители наперед отброшены, то произведение 88'8" будет состоять из производителей, которые, встречаясь в одном из чисел 6, У, Ъп ^ повторяются и далее в ряду. Их можно отыскать, определяя самого большого общего делителя d числам 6, 6', потом такого же делителя d числам , о ^ делителя dr числам ^^-, о и т. д. В таком случае решение уравнений (24) будет заключаться в том, чтобы
а"
66z eld'
Ъп
Наконец,
сЪ'Ъ" , , „-мг^сЪ'Ъ" , , „-мг^dd' 'чdd' 'ч6W”1ЛГ6W”1ЛГЪЬ'Ъ”dd'ЪЬ'Ъ”dd'П,П,
сЪ'Ъ" , , „
-мг^
сЪ'Ъ" , , „
-мг^
dd' 'ч
dd' 'ч
6W
”1ЛГ
6W
”1ЛГ
ЪЬ'Ъ”dd'
ЪЬ'Ъ”dd'
П,
П,
203 | где ?г — произвольное целое. Выражение для ж делается симметрическим, т. е. ебинообразним, когда полагаем
ллг ^ И= 1)
dd' 1 d 1
После чего надобно ставить ^-Е вместо Е. ЛгЕ' вместо Ez: но при- аа1 аt г
бавленные производители с t]z и ^ будут состоять из единицы
Ъ’ЪЬ"
с таким членом, который делится на -уу- ; следовательно,
В приведенном примере из Церковного счисления 6, 6Z, 6" начальные между собою числа, следовательно d=l, d' = 1. Потом
19-28Е +15^ =1, 15 • 28 Ez +19+ = 1, 15 • 19 ^ +29 + = 1.
Отсюда Е = — 2, Е' =— 9, Ezz =—11. Число лет от Рождества Христова
2472 — 1064 И— 3780 Л— 3135 С + 7980 • и,
204 1 где п—произвольное целое число.
Пусть какое-нибудь и число неизвестных /уэ/у» /уэ/уэ
^1)^21^З) е * •)
определяются одним только уравнением
a^ + a^ + agiCg-^ 4-а„жп=0,(25)
где нет члена свободного от неизвестных и где данные множители все целые числа.
Ищем постепенно такие целые, чтоб
б?!*! + ^2^1 == ^1’ +^2 + ^зЧ1Ч2 == ^2» ^2^3 + ^4^1^2^3 == ^3 ^ ^’ Д’ ’ (^^)
где dT— самый больший общий делитель числам а^ису d2— такой же делитель числам dT и а^г; d3— числам d2 и ^т^; так и далее. Для краткости полагаем еще
ах = оД; d^ = о2<72 : d2 = о3й3 и проч.
Если Л], называем произвольное целое число, то значения неизвестных хх и ж2 в уравнении (25) будут
;,'i = ^ Аг — А (а3«8 + а4ж4 + ... + а„жп),
ж2 = _ 8^— ^(«А + аА + ... + айМ;
205 | следовательно,
(27)(27)^1 (Ж1Т" А ) 4" ^i (W4 + аА + • • • 4" aAi) = °)
(27)
(27)
'Л (ж2 4" 01 А) + ^1 (аА + а4Х4 + • • • + апЖп) = °-
Из последнего уравнения, подобным образом как (27) выведены из (25), происходят два новых:
(28)(28)^2 ('«2 + Ml — А ) + 41’2 (.«А + • • • + «^ = °,б?2 (ж8 + Мг) + W («4^4 + • • • + «и^п) = °. ;
(28)
(28)
где А2— новое произвольное целое. Так следуют уравнения по два с произвольными целыми А3, А4 и проч, до An_v Последние
'^т'Чг* • •ч\п-^ап-1 '^т'Чг* • •ч\п-^ап-1будут:
'^т'Чг* • •ч\п-^ап-1
'^т'Чг* • •ч\п-^ап-1
^П-2 I *^78-2 4" ^7^-З^П-З
4- ^2 • • • Чп-^г-^п = °,
ОтсюдаОтсюда^71-2 (*-^71-1 4“ °7г-2-^-П-2) 4“ ^1^2* • • ^71 —2^71'^71^*
Отсюда
Отсюда
•^п °^ -1^7i — 1)
•^тг-1 —^п-2^78-2 4"•^тг-1 —^п-2^78-2 4"Т^Т^г • • *^—2^78Т^Т^г • • *^—2^78^/8-1^/8-1^П-1*^П-1*
•^тг-1 —^п-2^78-2 4"
•^тг-1 —^п-2^78-2 4"
Т^Т^г • • *^—2^78
Т^Т^г • • *^—2^78
^/8-1
^/8-1
^П-1*
^П-1*
Для определения прочих неизвестных заметим, что уравнения (27), (28) и подобные дают с помощию уравнений (26) ^1721^2^1 = -^-1)
206 |(ж2 + о ДО Т}2 — Ж3Е2 = А 2,
(^3 4" М2)Чз — ^4^3 = А»
вообще
кжт Ч~ °?»-1кжт Ч~ °?»-1
кжт Ч~ °?»-1
кжт Ч~ °?»-1
^-т -1) *Чт^т+1 ^т — ^w •
После чего
^П-2°п-3^-3 4^П-2°п-3^-3 4'^i^* • ‘^-з^-т^«-2'^i^* • ‘^-з^-т^«-2^Т^г* • • ^п-З^п-з^пйп—1^Т^г* • • ^п-З^п-з^пйп—1Ап_17Ап_17
^П-2°п-3^-3 4
^П-2°п-3^-3 4
'^i^* • ‘^-з^-т^«-2
'^i^* • ‘^-з^-т^«-2
^Т^г* • • ^п-З^п-з^пйп—1
^Т^г* • • ^п-З^п-з^пйп—1
Ап_17
Ап_17
^-3 —°/г-4^п-4 33 ^7z — 3 33 яп-2 I
|• *Чп — ^п — ^п-ч^'п (
и так далее до
^2<*3
Когда ж№ дано, то уравнение
^п==°та-1^»г
составляет условие возможного решения и которое требует, чтобы ^ делилось на оп_1 без остатка. Так для жп = ±1 условие возможности будет
207 | Возьмем пример из Церковного счисления. Называем £ год от Рождества Христова, ш — остаток от деления t на 4. Число дней в простом году 365, когда ш>0; в высокосном 366, когда ш = 0. Придаточный день высокосного года помещается в Феврале,, следовательно воскресное число Марта переходит в простом году на предыдущее, а в высокосном на второе число позади. Итак, если М означим воскресное число в Марте, то 7 — М будет постоянное число с остатком в делении на 7 суммы простых и высокос- ных годов до последнего t Это постоянное число для 1833 года,, в котором воскресенье случилось 5 марта, находим нуль; следовательно и для всякого t
t = 4 (7 3 -j- о/) —|— о),
7 — М = ба)' -j- (о — 7 3\
где 3 и w' — заданное и остаток в делении числа-^ (I—<о) на 7;
3'—заданное в делении 5а/ + <» на 7. Исключая из двух уравнений о/, получим
140 3+ 28 3' + 4(7— J/) —5^+ ш = 0.
Рассматривая 3, 3', 7— М и t как неизвестные, по способу в этой статье изложенному, находим
140^+ 28^ = 28,^=1,^=—4,
28 $2— 16т)2 = 4,Е2 = ЗзтЬ = 5з
4Е3 +100^3 = 4,$3=—24, 7)з = 1,
^ = 28, б/2 = 4,^3 = 4,d4 = 4,
§1=5, о2 = 7,$з = 1,о4 = 1,
208 |208 |О) = —А4,^ — — А3 — 5+,
208 |
208 |
7 — М = — 7 А2 + 25Л3 + 120А4;
значения 42, Л3 последнее уравнение переменяют в
Jf=4#+ 2о) — 7В,
где 22— число, которым должно задаваться при делении 4^+2м на 7. Таким же образом и вместо t можно ставить остаток в делении t на 7. Например,
£=1833,1834,1835,1836,1837,1838
М= 5,4,3,1,7,6.
Возможность решить уравнение
а^ + а2ж2 + «3^3+ -.•+№ = 0,(25)
когда в нем ж^ = ±1 зависит, как мы видели в предыдущей.
статье, от условия
^1—2 &П—1.
Чтобы открыть, каково при этом должно быть свойство данных.
чисел в уравнении (25), ищем новые числа:
додо^1 = ^1^13 ^2 = ^1Н1з <^1 ^ ^ГТззТ2 = ^2^23 «3 = ^2^23 ^2 = ^ТЗ)Тз = △з^Зз а4 = ^З^Зз ^3 ~ ШзТ4з
до
до
Т»—2 = ^»—2^п—2? <^n—1 = ^П-~iV'll—2зА^—2 = ^п— 21п—1> Т?1—1 ^ А^—1Хд—1,
-209 | так, чтобы Д2, До 4.. были самыми большими общими делителями числам у2 и а3, уз и а^ и т. д.; к тому, чтобы шь оз2, о)3 . . . с Хь ^27 *з-• • 5 а Тг, Тз? Т4 • • • с рп |л2, р-з ... соответственно начальные между собою (ст. 118), следовательно, также -^- с —^-, "у с ~" > — с — и проч, (там же). После чего, сыскавши целые числа 5, К?в
можем взять
$1 = уД, 7^ = 0^ YР
Тогда уравнение для Е2, т}2 дает
^2 = 0)^2, уЛ2 -|- ¥га^ = Д2,
потому что у у2 с YT нет общего делителя, как видно из уравнения, которое определяет Хт и Yv
Отыскивая снова целые числа Х^ Y^ в уравнении
А1,.|ЛГГ, = 1,
Ю2Тз “
можем взять
^2 == Тз^"2) ^2 == ^2 ^^*
После чего находим
^з = ^х^г^З) Тз'З “Ь ^4 ^ 1 ^з^г = ^3)
потому что ни Fj, ни Y^ не допускают общего делителя с у3.
210 | Так продолжая, наконец доходим до
4,-2=шХШ2 * • « °^-3АЯ-2)
»п-1 = ^х^г • • • ^п-г^п-Хэ
куда вставляя Дл_2 = шп-2Ъ-х и Ъ-х = Ап-х^п-п получим dn—2== ^п—idn—1*
Между тем, всякое число ум—общий делитель числам ар а^ ..., ат; следовательно, когда общего делителя у всех чисел ар а2 .. • ((п-1 нет, то уп-1 = 1, Дп-1 = 1, Хп-1 = 1, и
^П-2 = ^П-Х*
Если ж такой делитель и при том самый больший отыщется, то он должен разделить ап нацело, чтобы решение уравнения (25) было возможно.
Решение в статье 121 дает значение неизвестных с самым меньшим числом произвольных целых, которое в уравнении (25) всегда бывает одним менее против числа неизвестных и может в особенных случаях еще уменьшиться. В этом решении также необходимо пособие непрерывных дробей, которые служат для определения здесь вспомогательных чисел (ст. 116), но которых вычисление иногда довольно затруднительно. Можно обойтись без непрерывных дробей, но число произвольных целых не всегда в таком случае самое меньшее. Так, уравнению (25) будет удовлетворено, если полагаем
211 |х^ =я» С (1,2) -]— ci^0 (1,3) —|— 6i^ С (1,4)-j-~... -j- ctn С (1,71),
х2 =атС (2,1) + а3(7(2,3) + а4 С (2,4)+. .. + яп (7 (2,71),
(29)(29)ж3 =аг С^,1) + а2(7(3,2) + а4 (7(3,4)+..• + ап С^.70,
(29)
(29)
^n=^i (^ У + ^^О1) ^-V^C^i, 3)—[—- .. + an-i С(^1, п—1) .
и принимаем множители C(ts т)иО(т^ f) за равные, но с противным знаком, а в прочем совершенно произвольными целыми числами. Действительно, все подобные множители C^t^ т\ С^т^ 0 уничтожаются по два в
Число их будет половина от числа всех перемен из 71 цифр на двух местах, следовательно утг^2 и всегда > и— 1 для 71 > 2.
заменяя двумязаменяя двумяВыражения (29) для неизвестных представляют все их значения, которые должны удовлетворять уравнению (25), если данные множители а^ а2 и проч, не допускают общего делителя. В таком случае самый большой общий делитель всем им, кроме ах, необходимо делит нацело а^; то же можно сказать обо всех уравнениях (29), из которых каждое, следовательно, само по себе возможно (ст. пред.). Другим образом приходим к тому же заключению, предположив значения хп х2, х3 ... данными. Пусть о, один из делителей в множителе а15 —начальное число. Оно должно 212 заключаться не во всех прочих множите|лях, например, пусть его не будет в а2. Тогда в уравнении (25) два члена cl^ -j- а3х3
заменяя двумя
заменяя двумя
^2 (^2 4” ^3) 4” «3 (Ж3 ^2)?
можно взять целое число X так, чтобы ж3—Ха2 делилось без остатка на о (ст. 114: и 116). Все члены, следовательно, атхт в уравнении (25)т кроме а2ж2, превращаются в другие, и после деления на о дают сумму членов ат2т с целыми числами 2т. Наконец, а^ также- должно разделиться на о без остатка; но как а2 с о начальные между собою числа по предположению, то 4-ж2 будет целое. Такт разделяя уравнение (25) на всех производителей в а^ получим
xY = а^ 4- а3А3 + ».. 4- аиАи(30}
— уравнение, где А2, А3 ... какие-нибудь целые числа, и которое подобно первому из (29).
Вставляя х^ в уравнение (25), находим
^2(^2+ а1Л } + аз { ^з + аА } + • • • + ап { ^п 4- ^1А } = 0.
Если о называем самый большой общий делитель числам
^2) ^3)* * * 5 ^^)
213 | то, как сейчас было доказано,
^AaxA.=^V^jA(31)
где ?/3, у4...— целые числа. Так как 8 и ^ между собою начальные, то следующие уравнения возможны в целых числах:
Уз + «Л = 55з,
У4 + «Л = 3-В4
И т. д.
Уравнение (31) переменяется в
^2 4" а1 ^2 4* ~у ^3 4" "§“ ^4 4" • • • '“Ь “^ ^^ = ^3^3 4" а4^4 + • • • + an^w
Уравнение (30) можно переписать иначе:
Ж1 = а2 ^2 + "у ^з + *у ^4" • • • +-у ^n j +
А3 —^- х314- ^41А —у М 4~ • • • 4- аЦ А&у Лпу *
В других последних уравнениях значения ж13 ж2 представляются, следовательно, в том же виде, как и в уравнениях (29), именно:
К\ = ^-2^2 4" «зА 4^ • • • 4* an^-w>
Xq =^i-42 4" ^3-^3 4" • * е 4“ ^"и^пч
где множители при а1} а2 и проч.—какие-нибудь новые целые числа.
2н | Составивши теперь сумму
ад -|- а^
и внеся в уравнение (25), получим
«3 { Ж3 4“ а1^3 4" й2^3 } 4~ ^4 | ^4 4” ^1^-4 + ^2-^4} 4" • • •
• • • 4“ ап {^4" а1Ап 4" аг^п } = о* Отсюда
жз + а^з + a2S3 = ^^4-^54-...4--^ ^7
тде о — самый большой общий делитель числам
^3) ^47• • • 7 ^П
и где 2.^ 2^ ..., 2п—целые числа. Так как общего делителя числам ап а2, 8 не предполагается, то следующие уравнения в целых числах возможны (ст. пред.):
^4 4“ ^1^4 + ^2^4 = ^^47
^5 4“ ^Лб 4“ ^ЧНб = 8^5
И т. д.
Значения .7^, я2, ж3 могут теперь выразиться еще так:
®i = оЛз + as| "^8Х4 + у Х5 + .+ у*«| +
+ а4 ^^4^" 4 + ®5 45з" ^5) ‘ * " + “’* ( ^“Г ^”| ’
sis | х2 = — «142 + а3 { 53 у- р.4 + to> + • • • + ~g" t1» j +
+ «4 (s4-^4 +«b(^-^4 + +a„(s„-^4 ;
з;3 = — at <-434-I+
4- ct^C4 -4 a^C^ 4-4" апСти
в том же виде, в каком представляют уравнения (29), которые подобным образом и все могут быть выведены постепенно.
Для примеру решим уравнение
7^ 4- 22у 4- 15г — 18м = 0.
Значения неизвестных
я = 222 +155 —18СГ, у — —72 + 155 —185, ^ = —75 —225 —185, и = — 7(7— 225—155,
где А, В, С, D. Е, F—произвольные целые числа. Полагая
2 = 1, 5=1, С=2,
5 = 2, 5=1, 5= —3, находим
ж=1, у = 5, ^ = 3, и = §.
Обратно для значений
х = 4, у = 2, 2 =— 6, и =— 1
216 | находим 2, 5, С и проч. Для сего разделяем данное уравнение- на 7, поставивши значения у, 2^ и.
х = — 22 • 11 + 15 - 32 — 18 • 13.
Исключаем х;
22(у—77)+15.218-18-90 = 0.
Разделяем на 22:
у = 7-И—15-5 + 18-0.
Вставляем найденные значения х^ у опять в данное уравнение
15 (2+ 7 - 32—22 - 5) —18 -90 = 0.
Отсюда
^=—7 -32 + 22-5 + 6.18.
Наконец,
п = —7 - 13—22 -0+15-6,
следовательно, 2 = — 11,5 = — 5, С = 13, В = — 5, 5 = 0, 5 = — 6.
Пусть неизвестные производители входят во все члены уравнений, которых число одним более против числа неизвестных.. Вид таких уравнений будет
-217 1<№ + «2^2 + ^3^3 + • • • + «А = 0,
(32)(32)Ьа + 62^2 + Ьа + • • • + Ьп^п = 0,С А + СА + с А + • . • + еА = 0,^1^1 —Г ^2^2 Н- ^3^3 ~Н * * * ~Н ^п^п == ^и проч.
(32)
(32)
Здесь н— число неизвестных, означенных буквой ж; прочие буквы а, 6, с, й..., которых число и— 1, с разными указателями внизу представляют данные различные целые.
Если хп определено, то другие неизвестные, которых число и — 1 равно числу уравнений, допускают единственные значения такие (Гл. IX, ст. 113):
_ (^2^3С4^б • • •) (а1&3с4й5 • • •)
1 “ («Д*- •) ?1’ 2 <аМА-• •)
где в скобках поставленное одно произведение изображает сумму всех подобных, которые происходят с перемещением указателей внизу при п— 1 буквах и с переменою каждый раз знака на противный, когда два указателя меняются местами. Увериться в справедливости сих значений можно, ставя их в уравнения (32) и пользуясь уравнениями (21) в ст. 113 Главы IX.
Этого довольно для решения уравнений (32), когда хи известно; но если хн также требуется определить и притом значения 218 всех неизвестных | сделать целыми числами, то необходимо хп должно быть такое целое, которое по сокращении дробей уничтожало бы всех знаменателей. Итак, если о самый большой общий делитель целым числам
(fl^^W^* * *))(^1^3^4^5* е *))(®1&2С4^5* . .),. . . ,(^6063^. * *)>
ТО
= 4-(а263сЛ ...), х^ =^ (а^с^ ...), .
ж„ = (— 1)"-Ы у ^Ъ,?^...).
Например, даются уравнения:
5ж— 4у + ^ — 12м = О,
ЗдесьЗдесьЧх — 2у 4" 42 -J- Зг; = О,2^4“ Пу—32 4" 6м =0.
Здесь
Здесь
^=5, а2 =—4, а3 = 3, а4 =—12, Ъх = 1^ Ь^ =— 2, 63 = 4,64= 3,
^=2, с2=11, с3 =—3, с4 = 6.
После чего находим:
(6А) = 81,(&А) = —38,
(6^3) = — 29, (62с4) = — 45, (^1^4)=86, (63С4) = 33,
219 I(А^з) = «1 (^з) — «2 №^з) + аз (&1С2) = — 63,
(«г&о^) = ах (62с4) — а2 (^cj + а4 (б^) = —1053, (^i63c4) = ах (63с4) а3 (Ьхс^ 4~ а4 (Ь^) = 4.05, (а263с4) = а2 (63с4) — а3 (62с4) + а4 $^ = 459;
о = 9; ж = 51Х; у = —45Х; 2 =—117Х; м=7Х.
Когда есть члены свободные от неизвестных, и следовательно, вид уравнений будет такой:
а-^у 4“ а^ + а^ + ... + апхп = ^'
^1^1 4~ ^2Ж2 + ^3^3 4* • * * 4* ЬпХп = ^2,C!»i + с2ж2 + с3ж3 + ... + спхп = &3и проч. и проч.,.
то полное решение получится, когда сыщутся какие-нибудь решения, которые удовлетворяют уравнениям, и приложатся к общим выражениям для неизвестных в предположении Ъх = 0, Z:2 — 0 и т. д.
Так, пусть
а:х = Хх, ж2 = Х2, ^3 = Х3 и проч.
— какие-нибудь частные значения, а полные пусть будут
Ж1 = У1 +-^1, «2 = ^2+ -^2, ®з = ?/з + ^з И проч.
220 | Уравнения (33) сделаются
ахУ1 4" ^22/2 4" азУз 4" • • • 4" а-пйп = о,
61?/1 + 6зУ2 + 5зУз + • • • + 5пУ» = °,ЧЧх + с2у2 + СзУз + • • • + MU = 0и проч.ипроч.
Например, уравнениям
5^— 4ж2 4*Зж3 — 12ж4 = 9,
7озх — Зж2 —|— 4з?3 4“ Зж4 •—- 39, ^хх 4- 11^2 — 8ж3 4“ 6ж4 = 27
удовлетворяют значения
жх ■===- 4, Ж2 -—• 2, Ж3 — 3, ^4 —: !•
В уравнениях 5Vi— 4у2 + Зг/3 —12у4 =0, 7^1— Зу24-4у3 + Зу4 = 0, 2</i + llt/2 —3?/з+ 6у4 = 0 нашли мы (стат, пред.)
^ = 51^,?/2=—45Х, ?/3 = —117Л, 2/4 = 7Х-
Полные значения неизвестных в данных уравнениях будут: ^=44“ 51Х; ^2 — 2—45Х, ж3 = 3— 117Х, ^ = 14- 7Х, где X — произвольное целое число.
221 |126. Когда число уравнений (33) менее одним против числа
неизвестных, то частные значения могут быть найдены, если пользуясь означением, какое было употреблено в статье 124, определяем а^, о)2, о)3 . .. в уравнении
(34)(34)(<о1а263с4 .. .) = 8,
(34)
(34)
которое представляет (Гл. IX, ст. 113)
о)! (а263с4 .. .) — о)2 (aT63c4 ...) + ш3 (а^ ...) —
— ^(а^з ...)+... = 8
и где 8—самый большой общий делитель числам, на которые умножаются здесь <оь а)2 ... Решение такого уравнения всегда возможно, как мы видели (ст. 123). Потом находим:
А = —(°W4 j42 =(Я2Ш3С4 • • • )>^3 =(fl2&3to4 • • •)»и проч.А = —(°W4 j42 =(Я2Ш3С4 • • • )>^3 =(fl2&3to4 • • •)»и проч.^1 — (^1&3С4 ...), -^2 (^1^3^4 * * *))^3 = (а1^3Ш4 • • •))и проч.^1 — (^1&3С4 ...), -^2 (^1^3^4 * * *))^3 = (а1^3Ш4 • • •))и проч.ст = — (^Д^ .. .) и т. д., (72 = —(^0)2^4 .. .) И Т. Д., Сз= —(«^20)4 . . .) и Т. Д., и проч.ст = — (^Д^ .. .) и т. д., (72 = —(^0)2^4 .. .) И Т. Д., Сз= —(«^20)4 . . .) и Т. Д., и проч.
А = —(°W4 j42 =(Я2Ш3С4 • • • )>
^3 =(fl2&3to4 • • •)»
и проч.
А = —(°W4 j42 =(Я2Ш3С4 • • • )>
^3 =(fl2&3to4 • • •)»
и проч.
^1 — (^1&3С4 ...), -^2 (^1^3^4 * * *))
^3 = (а1^3Ш4 • • •))
и проч.
^1 — (^1&3С4 ...), -^2 (^1^3^4 * * *))
^3 = (а1^3Ш4 • • •))
и проч.
ст = — (^Д^ .. .) и т. д., (72 = —(^0)2^4 .. .) И Т. Д., Сз= —(«^20)4 . . .) и Т. Д., и проч.
ст = — (^Д^ .. .) и т. д., (72 = —(^0)2^4 .. .) И Т. Д., Сз= —(«^20)4 . . .) и Т. Д., и проч.
После чего можно полагать
8,^ /^1^-1 4" ^2-^2 4" ^3^3 4* * • • '
0^2 = ^l^l + ^2*^2 4" ЗД 4- * е • *
8^3 = ^1^1 4" ^2^2 4" ^3^3 4" • * •
и т. д.ит. д.;
такие значения действительно удовлетворяют уравнениям (33).
222 Например, для поверки первого уравнения нужно только заме-
тить (Гл. IX, ст. 113), что
^1-^-1 4" ^2-^1 “к «3^1 4" • •• = — Gh^^s^ • • •) — (^т^г^з^ • • •) = $г
^1^2 + ^2^2 + ^3^2 4" • • • ~(fll<W4 • • • ) = О, аМз "к а2^з 4" сз^з 4" • • • = — (^i^a0^ . . .) = О
и Т. Д.IIт.д.
Для поверки второго уравнения подобным образом:
61 Ai -к ЬйВг -к Ъ^СХ 4* • • • = —(^^г^з^ • • •) = О, М2 -|- Ъ^В^ + 63^2 4" • • • = — (Мз^ • • •) = °, ^1^-3 к* ^2^3 4" ^3 4* • • • =(^1а2^3СО4 * * • ) =0 И т. д.и т. д.
Так и для всех и — 1 уравнений (33). Остается доказывать, что принятые значения для неизвестных необходимо целые числа,, если решение в таких числах возможно. Мы докажем это для ж, по которому примеру можно заключить о значениях и всех про
чих неизвестных.
Рассматриваем п— 1 уравнений
(35)(35)ii^i -|- i2^2 4“ ^з^з 4* • •• к* ^Аг—о,21^1 4" ^2^2 I- ^3^3 1 е * е ”к ^tv^n 0)3^14“ з2^2 4~ з3^3 4- • • • 4" ^п^п = о
(35)
(35)
В них значения неизвестных, заключая в себе одно произволь
ное целое число, будут (ст. 124)
з?1 — (122334 ... 711П)Х, х^ —(1i2334 .. . 7t lw) А,
223223я3 = (iA^ • • • п —1„) А и т. д.
223
223
ДО
хи = (- 1Г+1 (1!2233 ... п — ln_i) А.
Отделяя цифру с указателем 1 внизу, получим (Гл. IX, ст. 113)
^ж» = — (2Д . . . 71 — 1J lj + (1Д71 —1„) 2Х —...
. . . (—1)п (1з24 ... 712П) • 7111Г
А™ *^3 === ^2^ * * *^^П) ^^^2^4 • • • ^ In) 21 4" • • •
.. . 4- (— 1)п(1224 . . . 71 — 2П) • 71— 11,.
Так как все цифры с указателем 1 могут представлять совершенно произвольные числа, то вместо
1гть 2^, Зд, и проч, ставим
Ix^x—к13 2^—&2, З^—к^ ... и проч.
После чего уравнения (34) сделаются
11^1 “р 12*^2 4" * * • 4” Ifl^W === ^1?
21^1 4“ 22^о 4~ • • • 4“ 2^^ = 1с
((36)
3i^i -j- 32^2 4“ • • • 4“ Злжп = /^зи т. д. и т. д.
Значение хт останется то же, а других неизвестных переменится так, что
1
224 I"у"^i^i = (122334 . • •)^|,
— ^ж2 =(1i2334 . . .)^2(2334 . . .)Z:1 -)" CU^4 • • •)^2• • • >
-^- а^з = (1х2234 . . .) #х 4~ (2234 . . •) ^(1г^4 . ..) ^2 ~г • • •
и проч.и проч.:
умножая по порядку на произвольные числа <оь <о2, <о3, ..., потом складывая, получим
(122334 • • •) { ^i^i 4“ Ж2Ю2 4~ ^з^а 4" • • • } = — (li^^s^ • • •) ^i — С^з^ • • •) ^1 4“ (ш2Т з34. . .) Z*2 — (о)21324 . •.) &3 4- • • •
Если теперь вместо цифр 1, 2, 3. .. пишем в строке а, 6, с,... и переходим таким образом от уравнений (35) к уравнениям (33), а под го разумеем то же число, что и в уравнении (34), то (а263с4...) {а^х 4- а?2а)2 4- ж3а)3 4- . . .} 4- оа?х = Тс^ 4- "к^ 4- 7:3А3 4- ...
Так как первая часть уравнения делится на 8, то и вторая тоже.
Для примера возьмем снова уравнения из предыдущей статьи:
Ьх— 4?/4“^—12м = 9, Чх— 21/4-4^4- Зм = 39, ^x-VVky — 3^4- 6м = 27.
225 [ Находим:
(ах&2) = 18,(а2&3)=—10,(6^) = 81,
(^63)= — 1,(^4)=— 36,(6^3) = —29,
(Я164) = 99,(а2с3)=— 21,(6^4) = — 36,
^ахс^ = 63,(«2^4)=10$>(^2сз) = — 38>
(а^з) = 21,(^4)=57)(^2^4) ^ — 4:5»
(^1^4) == ^^5(^3^4) “18> (^3^4)= 33;
(^1^3) =— 63, (а^о^) = —1053, (6I163C4) = 405,(с^А) ^ ^69;
о = 9; Slaij—45<о2 — 117(о3 -р 7<d4 = 1;
можно принять
0^=0, ^2 = 0, о)3 — 4, <о4 = 67.
После чего
Л = — (<»263С4) = — <О2 (63С4) А “з (АА — "4 (^з) = 2366, А3 = — (а2<о3с4) = ш2 (а3с4) — ш3 (а3с4) 4- <о4 (а2с3) = —1839, А3 = — (.«jb^ = — <»2 (а364) 4- <о3 (аА) — ш4 (а263) = 526;
Вг = (“АА = Ш1 (^з^) — “з (6ic4) + “4 <Асз) = — 2087,
В3 = (aico3c4) = — а»х (а3с4) + а>3 (ахс4) — ш4 (а^) = 1623, А = (a^wj = а>1 (аД) — а>3 (Я1&4) 4- ш4 (а^) = — 463;
С\ = — (<о Ас4) = — а>1 (62С4) 4" <°2 (Ас4) — ®4 (^1С2) = — 5427, (72 = — (a^cj = ^i (а2сз) — “2 Аа) + А («А) = 42211 С^ — — («i^A) =“1 («2^) 4" ”2 («1^4)Ш4 (а1^з) =1206;
А = ^Ъ^ = а»! (62С3) — <о2 (б^з) 4- ш3 (б^ =324, D3 = (а1<о2Сз) = — ш1 (а2с3) 4- <о3 (а^д) — ®3 (а^г) = — 252, В^ (^1®^2^3) ®1 (^2^з)^2 (®1^з)^3 (^1^2) 721
226 | Частные значения:
ж= д' { &1А1 4" ^г-^з 4* ^з-^-з} = — 4025,
У = y {1чв1 + ^Д 4" 1сА } = 3557, ^ = А {1ЧСХ 4- 7сА 4- *3^3 ) = 9246, «= А ( 7cxbv 4- ^2А 4- *зА}=—552-
Полные значения неизвестных:
х = — 4025 -}- 51Х, у = 3557 — 45Х, £ = 9246 — 117Х, и =— 552 4- 7Х;
ставя а?-|- 79 вместо А, снова, как и в предыдущей статье, получим ж = 4 + 51А, у = 2 —45Х, 2 = 3 — 117Х, ^ = 1 + 7Х, где X — произвольное целое число.
В статьях 123, 124 и предыдущей дано в общих выражениях решение для некоторых случаев, более других обыкновенных и где в особенности должно заметить тот, когда число уравнений менее только одним против числа неизвестных. Об общих выражениях надобно сказать однако ж, что они ввели бы часто в весьма затруднительные вычисления, как можно видеть из примера с четырьмя неизвестными, тем более, что обширность вычисления 227 растет в двойном содержании вместе с числом неизвестных. | И так всякий раз, когда уравнения даны с определенными целыми числами, должно предпочитать способ исключения постепенного неизвестных и пользоваться всеми выгодами, какие случайно могут представиться. Самые задачи, где требуются значения неизвестных в целых числах, редко встречаются в математике: их изучение отдельно и применение ограничено.
Церковное счисление может служить примером, чтобы видеть, как должно пользоваться свойством непрерывных дробей и решением в целых числах.
Тропический год называют время, которое употребляет солнце, чтобы, описавши круг, притти снова на экватор. Это время изменяется чрезвычайно мало и в настоящем веке может почитаться в 365,24222013 дней. Синодальный .чесяи называется время от новолуния до другого и составляет ныне 29,5305885 дней. Помо- щию непрерывных дробей (Гл. VIII, ст. 84) находим к содержанию двух обращений приближенные
12381119
12" ’25 ’37 ’99"’135 ’235 '
Последнее, довольно уже близкое, уравнивает 19 годов солнечных с 235 лунными месяцами, и известно было еще в древности
под именем Метонова девятнадцатилетнего круга. Между тем, стро
гое вычисление даст
228 |19 лет 6939д60222,
235 лунных месяцев 6939, 6883,
а разность 0д, 0861 составляет один день в 221 год.
Христианская церковь во время своих Вселенских Соборов установила, как и прежде было введено Юлием Цесарем, считать три года сряду простых в 365 и один високосный в 366 дней, а в 19 таких годах почитать число лунных обращений ровно 235. Это значило, тропический год принимать в 365,25 дней, а 235 синодальных месяцев за 6939,75 дней вместо 6939,6883, как находим ныне, или вместо 6939,68923 дней, как это было 325 лет по Р. X., когда на Никейском Соборе [21] состоялись правила для назначения подвижных праздников в году по течению луны. Итак, Метонов круг давал некогда возврат луны одним днем позже через 312^, а теперь даже через 307 Юлианских лет. Впрочем, удерживая только десятичные доли дня, находим прежний возраст
луны по прошествии
229 |1 года . . . . через 18,6 дней 11 лет27,9
2 лет7,81217,1
3,. . 26,4136,2
415,51424,8
54,61513,9
623,316ЗД
712,41721,7
81,51810,8
920,2190,0
109,3
Весьма близко, следовательно, по прошествии t лет <49, тот же возраст луны бывает через число дней
5 = 305 —Ш—1,
где Е— целое число, которое дает значение В < 30 или 5 = 0 для t = 19. Если ж £>19, то должно брать вместо t остаток ЛД>0 от деления t на 19; да сверх того вычитать ускорение У, которое составляло прежде один день на 312 -|-, а ныне на 307 лет и всегда
может почитаться один день на 310 лет или целое число в частном (t—325): 310, если t разумеем год по Р. X. и когда дело идет о днях только при назначении подвижных праздников. Так, выражение для времени новолуния будет
Н = (302? — 1127) — У — а,
2зо | где а — число, которое для всех годов должно быть определено один раз. Например, в 1833 году новолуние случилось 9 Марта, ускорение в возрасте луны (1833 — 325) : 310 дает У =4; круг луны 27 = 9, следовательно а = 8; после чего новолуние в Марте для всякого Л
Н = (302? —1127) — У— 8.
Полнолуние по закону Моисея, принятому Христианской Церковью считается в пятнадцатый день после новолуния; следовательно, число полнолуния в Марте всегда будет
(302? —1127) — У 4- 6.
Но в 325 году по Р. X. на Никейском Соборе постановлено было, не принимая никакого ускорения в обращении луны против Метонова круга, праздновать Пасху в первое воскресенье после весеннего полнолуния, которое брать не ранее 21 Марта, потому что в это число тогда случилось равноденствие. Итак, весеннее полнолуние, или, как называется в Церковном счислении, граница Пасхи, выражается Г= 302? —11274* 6 = 19274- 6—302?, где целое число 2? дает значение <30 и >20; следовательно,
Г= 21 4- (1927 4- 15— 302?).
Самая Пасха должна быть в воскресенье, для. которого число. М в Марте, как видели в статье 121, находим из уравнений
231 |# = 42?4-ш> 7 — 32=^4"^— 7г,
где о— остаток от деления t на 4; 7—Ы—остаток от деления t-\-R на 7. Отсюда
432 = 72? — 5f 4~ 03 или иначе
432= 16^4* 8<о — 72?.
Разделяя на 4, получим то же, что и в статье 124:
32=4^4-20) — 7R,
где вместо t можно ставить остаток от деления t на 7. Итак, день Пасхи
Л= 77+ 1 + (М— Т— 1 + 75),
а как 2Z>21, то
М—1 — T-\-7E = N
необходимо нуль или самое меньшее положительное число. Для определения П надобно, следовательно, искать числа
^ = 19^4-15— 305,
N= 4£ + 2ш + 6 (L + 1)— 75,
где 5 показывает только, что L и N—остатки от деления в первом случае на 30, во втором на 7. После чего
232 |П= 22 -|- L + N Марта
= L + N—9 Апреля
— выражение, которое дал Гаусс, для Юлианского календаря [22]. Подобное нашел он для Григорианского, но здесь исчисление делается несравненно затруднительнее, потому что равноденствие удерживают постоянно 21 Марта и принимают в рассуждение, хотя опять несовершенно, ускорение луны против Метонова круга
по одному дню на 312 -^- лет
Примеры:
t
Л
L
N
Л
1833
9
6
5
2 Апреля
1834
10
25
6
22 Апреля
1835
11
14
2
7 Апреля
1836
12
3
4
29 Марта
1837
13
22
5
18 Апреля
1838
14
11
1
3 Апреля
1839
15
0
4
26 Марта
1840
16
19
4
14 Апреля
Если обратно, день Пасхи дан и требуется найти год t от Р, Х.г то полагаем
И— 22 = а,где а необходимо нуль или положительное число. Надобно, во-первых, чтобы И могло быть воскресным числом, и следовательно,а = 4^4-2со— 1— 75,
233 | где Е— какое-нибудь целое число. Разделяя на 4, находим t = 2 (ft 4 1) 4 За) 4* 7jp j
под со разумеется здесь остаток в делении t на 7, и следовательно, р, и должны быть такие целые числа, чтоб
4<л 4 со = 2 (ft + 1) J- Зсо 4- 7р.
Отсюда
t = 28 m —12 (ft 4 1) — 11(о,
где т— целое число. Затем в уравнении a = L-\-N можем принимать произвольно целые числа L, IX7", лишь бы L < 30, N < 7. Значение L = 19J 4 15 —ЗОЯ дает
Л = 11(15 — Z)-J-30A,
целое число X должно давать Л^О и <20. После чего
t = 19^ 4 л.
Из сравнения значений £
19г/ + Л = 28 m —12 (ft + 1) — Поз
234 | находим целое число
7 ==: 28 г — 3 | Л 4 12 (ft —р 1) 4 П^ } 5 наконец,
t = 4 * 7 • 19г — 7 • ВЛ — 8 • 9 (ft 41) — 95оз,
где г—произвольное целое число, оз = О, 1, 2, 3.
Например, требуется найти год £, когда Пасха 22 Марта.
Здесь ft = О, Z = 0, L = 15. Потом полагая оо = О, 1, 2, 3, получим:
£=72 4- 532г,
509 4* 532г,
414 4 532г,319 4 532г.
Это было, следовательно, в 1668 и будет в 1915, 2010 и 2105 году.
Требуется найти год £, когда Пасха 25 Апреля.
Здесь ft = 34, L можно полагать 28 или 29. Находим Л = 7 или 26. В обоих случаях
£ = 140 4" 532 г— 95ш;
так: £=1641, 1736, 1983, 2078.
235 1ГЛАВА XI
О СТЕПЕНЯХ И КОРНЯХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
Произведение из равных производителей называется степенью того числа, которое в произведении само на себя умножается; каждый производитель — корнем, а число производителей — показателем степени. Самый корень будет первая степень, которой показатель единица. Второй степени пли квадрата показатель 2; третьей или куба — 3; четвертой, пятой и т. д. показатели — 4, 5 и т. д.
Степень означают, поставя показатели над числом вправо, а?=аа, а^ = ааа; вообще ап— степень ?2ая от а. Первая степень а1 все равно, что просто а.
Если ап = Ь, то b будет пая степень от а; обратно, а — корень пий от Ь. Второй корень иначе квадратней $ третий — кубический. Корень 7гой от Ъ пишут }/ 6, следовательно а = }/ Ъ. Число п здесь называют показателем корня. Его совсем не ставят, когда корень . 2,—
квадратный; у Ъ то же значит, что yb. Если п = 1, то а—b, следовательно \Л) = Ъ.
2зс | Например:
23 = 8, о2 = 25, 2б = 32, V 16 = 4, |/27 = 3, |/б25 = 5.
И так всякий раз, когда а = р/6, то а" = 6, или иначе (}/ 6)” = Ъ.
В определении степеней и корней, какое дано сейчас, разумеется показатель целое положительное число. О таких степенях было уже говорено и прежде (Гл. V, ст. 46); но показатель степени или корня может быть всякое число.
Положительную дробную степень, где показатель положительная дробь, находят, сыскавши наперед такой корень, какой знаменатель
# показателе, и возвышая его в такую степень, каков числитель показателя.
am = (J\/ay.
Например, 8s =4, потому что|/8 = 2, 22 = 4.
Отрицательная степень, которой показатель отрицательное число, равна частному единицы на такую же степень положительную.
a = —•ап
Наконец, нульная степень, которой показатель нуль, от всякого числа — единица.
а° = 1,
237 | каково бы а ни было, даже и для а = 0.
Уничтожение корня от возвышения в такую же степень распространяется на все показатели и составляет общее определение всякого корня. Так ’]/а для всякого показателя п представляет число, которого пая степень дает а, и всегда, следовательно,
(]/ аУ = а.
Нелишнее заметить, что а1=ап, потому что aY—^\/ay, но ]/ а = а (ст. пред»). Итак, под общим видом дробных степеней можно разуметь и целые.
Определение степеней сделается общее, если скажем, что степень составляется так эюе из числа посредством умножения, как ее показатель составляется из единицы посредством сложения. Действительно, положительное целое число п составляем, прикладывая единицу к единице, покуда всех слагаемых единиц будет п; степень ап находим, умножая а на а и продолжая все умножать на а, пока всех производителей а будет п. Дробь ^ составляют, сыскавши прежде число, которое, будучи т раз сложено само с собою, 23S дает единицу; потом это число складывают само с собою п |раз.
™т f
Степень ат составляют, сыскавши прежде такое число у а. которое, будучи т раз умножено само на себя, дает а; потом это число умножают на само себя п раз. Наконец, если показатель составляется вычитанием вместо сложения, то и умножение для
положительных степеней переходит теперь в деление для отрицательных.
О степенях, которых показатели неизмеримые числа или воображаемые, будет говорено после.
Для всякого показателя п и Эля всякого числа а
ан=—^— ; а~п .
а~пап
Если п положительное число, то а~п = ~ (стат. пред.). Отсюда- ап = "^г- Если п= —т отрицательное, то т положительное, а-т = ^ и снова получится то же, когда ставим сюда —п вместо т.
1
Наконец, для п = 0 как а ^ = а0 = 1 так и а~и = — = 1.
Все целые степени от положительных чисел — положительные,, от отрицательных чисел только четные, а нечетные — салии отрицательные.
газ | Когда показатель положительное целое число, то степень представляет произведение из равных производителей (ст. 129). Итак, если производители положительные, то степень тоже положительное число; если же производители отрицательные, то их произведение будет положительное или отрицательное, смотря по тому, число их четное или нечетное (Гл. IV, ст. 33).
Когда показатель отрицательное целое число, то знак в а-^ будет тот же, что и в а№, потому что а-п=~г (Гл. IV, ст. 30); то же, следовательно, надобно сказать о знаке отрицательных целых степеней, что было сейчас сказано о положительных.
Например:
(4-2)3 = + 8; ( + 3)4=4-81; ( —2)3 = —8; (— 3)4 = + 81;
( + 2)--+^; (+4- = + ^; (-2)-—1; (-8)-= + ^.
Отсюда надобно заключить, что целые четные корни от отрицательных чисел невозможны, потому что они не могут быть ни положительными, ни отрицательными числами, ни даже нулями, если число, из которого извлекается корень, само не нуль. То же- надобно сказать о дробных степенях, когда в показателе, по сокращении дроби, знаменатель четное число (ст. 129). Несмотря на
то, квадратный корень от —1 употребляется в вычислении и озна- 2ю чается V—1, не как действительное число, а как воображаемое, которое понимать должно в том самом свойстве, что от него квадрат дает —1.
Еще отсюда надобно заключить, что четные г^елые корни, а следовательно и степени, у которых знаменатель в сокращенном показателе четное число, могут быть призшмаемы как за положительные, так и за отрицательные числа, а потому дают значения двоякие, равные по величине и противные в знаках.
Целые положительные степени находятся умножением, целые отрицательные представляют частные от единицы на положительные (ст. 128); следовательно, те и другие могут быть выражены строго целыми числами или дробями. Для отыскания корней предполагается испытание, а потому не всякий раз корень можно найти строго, но только приближаясь к его значению. Всего употребительнее в таком случае десятичные дроби, которые продолжают, покуда корень будет отыскан совершенно или точность вычисления достигнута. Чтобы возможность такого приближения доказать, довольно говорить о корнях от положительных чисел; действительные же корни от чисел отрицательных по величине те же (ст. пред.).
Пусть а = 0 или >0; п— целое положительное число > 1. Корень Vа значит такое число Ъ, которое дает Ьп = а (ст. 127).
241 | Если а = 0, то и Ъ = 0, потому что Ъп = 0 = а, как произведение нескольких нулей. Кроме нуля другое число не может быть Ь, потому что никакое другое от умножения самого на себя не делается нулем.
Если а = 1, то Ъ можно взять единицей, потому что 1П=1, как произведение нескольких единиц. Число Ъ не может быть другое действительное число кроме единицы, потому что 6>1 дает 6П>1; й<1 дает 6П<1 (Гл. V, ст. 48).
Для чисел а, кроме а = 0 и а = 1, заметим, что а и Ъ увеличиваются и уменьшаются вместе (гл. V, ст. 48); следовательно, отыскивая корень, всякий раз число Ъ надобно увеличивать, когда 6п<а и уменьшать, когда Ъп>а.
Теперь для а>1 испытываем все целые числа по порядку, начиная с 6 = 1. Между ними должен встретиться искомый корень
или два числа сряду mn<a, (т +1)’* > а- Такое т необходимо >0 и <а, потому что 1п = а, ап>а* следовательно, т и ^4~1 встретятся прежде, нежели в испытании переходим а. Если b еще не найдено, а только ш, то можем далее испытывать числа т + -т^х 29
т+"т" и т- д- до т +между которыми должно быть b или
/1
числа jp, р +"io" так’ что Рп<^ а^ (^"“Ьто") ^а^ Если Ъ опять не найдено, то надобно перейти Kjp,^-)--^- ..., JP + y^p где необходимо заключается Ъ или числа 5, ^ + "уд^ > которые дают gn < а, 242 [ ^_|-—L- )П>я- Так продолжая, если не сыщем 6, то по крайней мере, найдем десятичную дробь с такую, что
сп<а, (c-V^>a.
Здесь со будет единица, разделенная на единицу с таким числом нулей, до какого угодно было дойти в испытании; а следовательно, с можно принимать за у а, когда позволяется <о пренебрегать в вы
числении.
Если а<1, то испытание надобно начинать, вместо 6 ставя ^-г -^ф ит. д., пока дойдем до двух дробей сряду, ив которых от одной пая степень более а, от другой <а; потом продолжать, как и для а>1. Первые две дроби заключаются всегда в границах 1 и а, потому что 1>а, а”<а (Гл. V, ст. 47).
Требуется сыскать ]/2. Находим:
I2 =1, (1,4)2 = 1,96, (1,41)2 =1,9881, (1,414)2 = 1,999396;I2 =1, (1,4)2 = 1,96, (1,41)2 =1,9881, (1,414)2 = 1,999396;22=4,(1,5)2 =2,25, (1,42)2 =2,0164, (1,415)2 = 2,00222522=4,(1,5)2 =2,25, (1,42)2 =2,0164, (1,415)2 = 2,002225
I2 =1, (1,4)2 = 1,96, (1,41)2 =1,9881, (1,414)2 = 1,999396;
I2 =1, (1,4)2 = 1,96, (1,41)2 =1,9881, (1,414)2 = 1,999396;
22=4,
(1,5)2 =2,25, (1,42)2 =2,0164, (1,415)2 = 2,002225
22=4,
(1,5)2 =2,25, (1,42)2 =2,0164, (1,415)2 = 2,002225
/2 = 1,414
243 I Сыскать ]/0,0002 до десятитысячных долей.
(0,1)2=0,01,(0,01)2 = 0,0001,
(0,014)2 = 0,000196,(0,015)2 = 0,000225,
(0,0141)2 = 0,00019881; (0,0142)2= 0,00020164;
)/"о,0002 = 0,0141...
Способ приближения, в предыдущей статье изложенный, будет заменен впоследствии другим менее затруднительным для
вычисления; но он дает по крайней мере ясное понятие о значении тех корней, которые выражать строго дробями было бы не
возможно и которые называются 'неизвлв'комие. Так, если а целое число и требуется найти j/a с показателем и целым положительным числом, между тем никакое целое число не выражает уа^ то
и никакая дробь ^ не может также быть значением этого корня, потому что степень от сокращенной дроби не обращается в целое
число (Гл. VIII, ст. 90). Итак, значение неизвлекомых корней мо
жет только определяться приближением с точностию, какая назначена в вычислении. Если в этом приближении останавли
ваемся после запятой на т десятичных, то сумма всех последующих, как бы далеко приближение ни простиралось, всегда 15
244 ^16^ ^л’ ^^’ ст* '4)1 11 Даже может быть сделана < 10?и,4т (Гл. VH, ст. 80).
Ошибка в неизвлекомом числе иногда увеличивается от перемены, которая происходит с корнем в вычислении. В таком случае и приближение должно идти далее, чтобы назначенная точность везде соблюдалась. Например, значение корня умно
жается на число р > 1, а точность вычисления простирается до ^^-, то ошибка в значении корня допускается у^- так, чтобы р 1 и10« *
Сыскавши корень, можем найти и всякую дробную степень. Если Ь = У а, то Ьп — ат (ст. 128). Когда |/ а определен строго, то п
—т ,—„
и ат тоже; если же значение у а доведено только до известной
точности в приближении, то ошибка в ат будет тем менее, чем она меньше в у а •
Называем Ъ — ши b две границы, между которыми заклю- п т ,——
чается у а, разумея под ш положительное число. 1раницы для ат
будут (6 — ш)п и 6П, так что, принявши b за а™. сделаем ошибку < У1—(6 — ш)п. Умножая (6—ш) само на себя п раз и вычитая 245 из V\ получим (Гл. V, ст. 46) | сумму, где число членов и и где каждый, заключая производитель ш, уменьшается с ш и 5, а следовательно, разность Ьп — (6— ш)п, вместе с тем, как границы Ъ—со и Ъ сближаются, делается менее всякого числа.
Если Ъ и 6 +о—границы для границы для а™п будут -^-, -yj_^ = -^ , сделаем ошибку менее
положительной степени а’\ то
; следовательно, принимая а~п =
11СО0)
ь 6 -|- о) ъ (6 4~ ^) < 6У ’
которая с уменьшением w и непрестанным возрастанием Ъ уменьшается до того, что может превзойти даже назначенную точность вычисления.
Итак, всякая степень от положительного числа возможна и допускает одно только действительное значение, строгое или приближенное с какой угодно точностию. Такого рода приближение, в этом и во всяком другом случае, назовем беспредельним или не- ограниченным, разумея то, что ошибка вычисления может уменьшаться по произволу.
Неизвлекаемые корни или от них производимые дробные степени, даже вообще все неизмеримые числа, определяемые приближением, могут быть также показателями степеней. Но так как 246 значения их выражаются различно, смотря по то'кму, до какой точности доведено вычисление, то иногда случается, что неизмеримое число будет представлено дробью, которая по сокращении бывает при одной точности с чётным, при другой — с нечётным знаменателем, а следовательно, степень от отрицательного числа могла бы делаться то действительной, то воображаемой (ст. 130). Вот почему степени, которых показатель неизмеримое число, берутся только от положительных чисел, или иначе скажем: в таких степенях обращается внимание только на величину, а не на знак. Например, а 2 может быть понимаемо только тогда, когда а число положительное. В таком случае вместо ]/2 должно разуметь приближенное его значение под видом дроби.
Степень от произведения, равна произведению таких же степеней от производителей.
(а b с . . .)п = анЪпсп . . .
Начинаем с двух производителей. Если п—целое положительное число, то (^aby представляет произведение из п равных производителей аЪ^ или иначе, из п равных производителей а, да еще
ГЛ. XI. О СТЕПЕНЯХ И КОРНЯХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ 177 из других п равных производителей Ъ (Гл. IV, ст. 40 и Гл. V, ст. 41); следовательно, (a&)n = aw&w.
Если 7i—дробь ~, где р, q—целые положительные числа, то 247 (аЬ)п = (]/аЪу (ст. 128). Пусть | У а = с^ У"Ъ = й\ следовательно, а = сч1 b = d^ (ст. 128); ab = c^d^ = (cd)% как сейчас было доказано; далее Vab = cd; (д/аЪУ ~^pdp = (V^)P (Уъу = а^ • Ъд (ст. 128).
Если показатель — отрицательное число, то (а&)~п = ^^ = — J:L — апа °*
Наконец, для п = 0, (аЪ^ = 1, а0 = 1, 6° = 1; следовательно, (а&)о = а^о.
От двух производителей легко перейти ко многим, ставя be вместо с, потом cd вместо с и т. д. Так находим:
^аЪсу1 = ап (6с)п = аиЪисп;
(abcdy1 = anbn (cd)n = anbncndnи проч.
Корень от произведения равен произведению таких оюе корней от производителей.
УаЬс... = V аУьУ с- • •
Берем степень п от второй части этого уравнения. Основываясь на том, что было доказано в предыдущей статье и на определении корней (ст. 128), находим
(У аУ ъУ с.. -У = (У аУ • (У ЪУ • (У с)п... = abc...
248 | Отсюда видна справедливость предложения.
Показатель корня п здесь разумеется целое число, вместо которого можно поставить — показателем степени, потому что корень в первом и степень во втором случае ищутся одинаково (ст. 128). Итак, предложение может иначе быть представлено:
L 2. 1 (abc.. -У = ап • Ъп • сп . .., как и было уже доказано в предыдущей статье.
Множитель при корне можно, следовательно, ставить под корнем, возвышая в такую же степень, какой берется корень аУ Ъ = УапЪ^
потому ЧТО
}/ апЪ = V^ V Ь = ^V Ъ.
Степень от частного равна частному такой эюе степени от делимого на такую эюе степень от делителя:
240 | Вместо а пишем ^ • -у, потом ап = 67? ("У У* (СТе 136). Разделяя уравнение на &п, получим то, что должно было доказывать.
Отсюда следует, что отрицательную степень а~п можно иначе/ 1 \п представить —) , потому что
1«а»1«а»1"с?1"с?а-п.а-п.
1«а»
1«а»
1
"с?
1
"с?
а-п.
а-п.
Итак, отрицательная степень от а будет найдена, когда сы- 1
щется такая же положительная степень от —.
Корень от частного равен частному таких эюе корней от делимого и от делителя.
1/ ^__V«
V b -уу
После того замечания, какое было сделано в статье 137, корень можно всякий раз обращать в степень, и следовательно, то же разуметь о корне, что доказывается вообще о степени. Так, сказанное о степенях в предыдущей статье относится равно и к корням. Впрочем, доказывать можно подобным образом как и для степеней:
]/« = 0 (6 • у) ="V"b • у ^ (ст. 137).
п .—
, _п ГТ®” Г п
250 | Отсюда, разделяя на у щ получим —— = т/ — .
Ъ V Ь
п / Г 1
Если а = 1, то у -^- = -^т.е
Если дробь ^- сокращенная, то "у^"-^ бивает извлекомое число _ п —п,—
только в том случае, когда у а и у о вместе — извлекомие числа.
Пусть 1/ "^—"i гДв Р) q— целые и начальные между собою числа. Далее у = ^- — две дроби, которые не сокращаются (Гл. VIII, ст. 90); следовательно, а=рп^ b = qn (Гл. VIII, ст. 89), п ,—п ,—
то-есть у а=р^ у b — q] ооа корня извлекомые.
от знаменателя всегдаот знаменателя всегдаКогда корень берется от дроби, то корень
от знаменателя всегда
от знаменателя всегда
можно сделать извлекомим числом, именно:
Подобным образом делается корень от числителя извлекомое
число, когда пишем
251 |140. От степени взять степень все равно, что взять прямо сте-
пень, которой показатель произведение перенос двуа1»
^аиУг= аит.
Когда оба показателя целые положительные числа, то (апУг представляет произведение из т производителей, где каждое аи состоит опять из п равных производителей а; следовательно, все произведение заключает в себе пт производителей равных а.
Когда п = —, т = — , где р, q, г, s— целые положительные числа, то пусть V а = Ъ и, следовательно, Ъ^8 = а, иначе (b8)Q = а.
q —р
Отсюда Ъ8 = ]/а^ потом, а9 = (6*)? = (6^)8. Извлекая корень s, получим
Р^ а^ =ЪР.
Наконец,
(аГ»“ = ^Y (ст. 128) = У*г = (V"аУг = Д
Пусть один показатель отрицательный, как в (а-п)т или (ап)~т и где, следовательно, п, т положительные числа. В первом случае
/ 1 \ т11
252 |252 |(а~п>= [— I = r «v (ст- 137) == а-
252 |
252 |
Во втором случае
(a^-w == а-пт.
v v ^апуг апт
Пусть оба показателя отрицательные, как в (а*пУт и где, следовательно, 71, т— положительные числа. Здесь
(
1 \— ?»^^
I ==— ап)^апУта-™1
Если тот или другой, или оба показателя нули, то как (a”)w=l, так и a^w = l.
Затем предложение распространяется и на многие показатели: возвысить степень в другую, nomOvU еи^е в степень и т. д. все равно, что прямо взять степень, которой показатель— произведение всех прежних.
Посему все равно, в каком порядке ни возвышать в различные степени.
^у» = (а1п)п.
Все равно, извлечь ли корень или возвысить в такую степень, которой показатель частное единицы на показателя корня
1н ,——
у а = ан.
25з | Справедливость этого уже заметили в статье 136. Основываясь же на предыдущей статье, пишем
1а=^анУ-
Отсюда, извлекая корень, находим
1«,——
у а=ан.
Итак, все то, что будет сказано о степенях, может быть тотчас применено к корням с обращением их в степени. В подтверждение чего и служит доказанное одинаковое свойство корней с степенями в статьях 136, 137, 138 и 139. Подобным образом, сказанное в предыдущей статье о степенях также относится к корням:
потому что т ,—, — —— пт ,—
у у а = (атУ = апт = у а;
то же и для корней, более двух.
Все равно, следовательно, в каком порядке ни извлекать корни.
Предложение этой статьи делается еще более общим, когда ска- 254 жем: корень от степени, или | обратно — то oice, что степень, которой показатель — частное показателя степени на показателя корня.
= a”, (V^Y = ^
£_£
потому что Vа1П = («,111У\ (}/а)т=(ай)т. Итак, когда ищется дробная степень, то вместо того, чтобы прежде искать корень, а потом брать степень (ст. 128), можно прежде возвышать в степень, а потом извлекать корень, и тем делать иногда вычисление легче в случае неизвлекомого корня.
Степень не переменится, когда в показателе который разумеем всегда под видом дроби (ст. 128), числитель и знаменатель умножатся на одно число.
п птипт
а? = ар^> сГ ? =
где п, р и т — целые положительные числа. Второе уравнение следует уже из первого, когда ставим а-1 вместо а (ст. 140).
птп
Степень арт собственно должна быть найдена иначе, нежели ар , как того требует определение (ст. 128). В первом случае надобно 255 извлекать корень рт из а, потом возвышать в степень | пт; во втором извлекать корень р, возвышать в степень п. Однако ж было доказано (ст. 140), что
пт п т / т Г" п V11 п^„(^ш—а?) = а? (ст. 128).
Все равно, следовательно, показатель степени будет в сокращенном или в другом виде. Отсюда еще можно заключить, что показателей корня и степени дозволяется умножать или делить на одно число вместе.
Р Г т п ,— пр / 1/ — уат = уа™з>= г ар.
Произведение степеней от одного числа равно степегш от того oice числа и где показатель сумма всех показателей:
ап • а” • аР... = a»wp*-
Когда показателей два, 7г и т — целые положительные числа, то а« • аш представляет произведение из п -|- т равных производителей а; это значит: ап • am = au^w.
Когда 7г=—, т = — и р^ q, 7*, $ — целые положительные qз
числа, то
а 9 = у/аР = iZ аЛ® (ст. 142),аг=
256 । аЛ -аЛ = ^8-W" ^V"^7^ (ст- 137) = да ps+grр, 22
= уаР®+9г=а »8 (ст. 141) = а® ®.
Когда один показатель положительное число 7г, другой отрицательное —т. то а’1 • а-™ = -™. Еслип > т, то ап=ап-т • а,п: еслитг=7», то снова ап = au*w • ат; если п < т, то ат = ап • ат~и. Отсюда во всех случаях находим — = ап~т.
Когда оба показателя отрицательные числа —7г, —т, то п -п . н—т — — . .— л
а аап ата^ш — “
Когда 7г = 0, т = 0, то ап • aw = 1 = а04"0.
От двух производителей легко перейти к трем, четырем и т. д.— видеть справедливость предложения во всей обширности.
Отсюда следует, что частное двум степеней от одного числа равно от того oice числа степени, которой показатель—разность показателя в делимом без показателя в делителе.
ап — уп-ш ат
Произведение и частное корней от одного числа соединяются так: п ,— т ,— пт / г»? |уа» уа= yan*to;
V а «т /
у а
в дем легко увериться, обращая корни в степени (ст. 141).
Целая положительная степень от суммы двух чисел а, Ъ может быть представлена в степенях от а, 6, когда сумма «4*^
умножится сама на себя, как это сказано было в Гл. V, ст. 46. Например,
(а -|- б)2 = а2 4" 2аб 4* 62;
(а + б)3 = а3 + За2б + Заб2 + №;
(а -f- by = а4 -|- ^Ъ 4- 6а2б2 4* 4аб3 4" б4;
(а 4" by = а5 4" 5а4б 4- 10а3б2 4- Юа2б3 4- 5аб4 4- б5.
Из того, каким образом умножается сумма на сумму (Гл. V, ст. 46), легко заключить, что (а 4* $)п должно представлять сумму произведений, где в каждом показатель степени а с показателем степени б составляют п; далее, что войти должны все степени от аи до а° = 1 и от б° = 1 добп; следовательно, число всех членов п4-1.
Если все выражение для (а 4" Ьу расположится по нисходящим степеням от а и, следовательно, по восходящим степеням от б, то 258 в первом и последнем члене множители единица, а в прочих | с одного края те же, что и с другого. Нетрудно в этом увериться, припомнив (Гл. V, ст. 46), что произведение сумм не меняется с переменою места слагаемых и что высшая степень от каждой буквы происходит только один раз.
Впрочем, пусть для какого-нибудь числа п
(а 4- б)п = а?1 4- р^^Ъ 4- qa^--^ 4- га^зб3 4~ • • •
4- га3бп~3 4- gaV”*- -ура^-14" Ьп^
где число членов п 4-1 и где р, д, г ... не содержат ни а, ни б. Умножаем это уравнение на (а 4- б). Находим
(а 4~ б)п+4 = а7^14~ (р 4" !) аП^ + to + Р) ап-1№ -|- (г 4" Й ап~2№ + • • • + to+г) ci?bn~2 4“ Ср+?) crbn-1+(i + jp) а$^ 4* ь^1.
Итак, если предположение справедливо для п, то и для тг 4-1- Такого рода доказательства называются наведением. Мы видели, что предположение действительно справедливо для п = 2, следовательно, должно быть справедливо для ?г = 3, а если справедливо для п = 3, то и для 7г = 4; так и далее для всех целых чисел и.
В выражении для (а4“$У1 остается теперь знать множители при степенях а и б. Если полагаем - =ж, то разделяя (a4~6)w на а1^ получим (14- ^)” в степенях от ж, потому что (а 4е б)21 = ап (14” ^У-» 259 между тем на другой стороне уравнения каждый член ан~гЪг
делается аихг. Обратно, если (1-]-х)п выражается в степенях ж, то полагая ~ = х и умножая все уравнение на а^^ получим (а^-^)” в степенях от а и Ъ.
Для определения множителей при степенях от ж в (1+^)" займемся наперед исследованием свойств выражения 71^, под которым для произвольного а и для целого положительного т разумели (Гл. IX, ст. 110) произведение из г производителей, уменьшаемых единицей от первого и до последнего и— r^-l. Будем теперь означать
иТ
дробь, в которой числитель 7iw, а знаменатель — произведение из целых чисел по порядку от 1 до г[23]. Хотя с таким понятием г необходимо целое положительное число, однако ж в дополнение примем еще
П«° = 1, <г=0,
последнее для г целых отрицательных чисел. Для г целых положительных чисел также
^7 = О
всякий раз, когда целое положительное число и < г, потому что один из производителей в числителе делается нуль.
При таком означении находим тотчас
|«Г = 1,=;
7гГ + «Г-1 =(п + 1)Г.
Первые три уравнения само собою ясны. Последнее справедливо для г = 0, потому что
7г^° = 1, 7^"° = 0, Oi + l^^l;
для г = 1
7гс = 7г, тгс = 1, (?г -|- l)c = и -|- 1;
для Г *>1
^Пс =UC I[-11=—Пс =(7г4-1)с .
Отсюда надобно заключить, что все числа иТ^ происходя из сложения и оказываясь целыми для 7г = 1, 7г = 2, бывают целые
положительные вместе с 71. Например:
п ^
0
1
23
4
5
6
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
31
4
1
4
64
1
5
1
5
1010
5
1
6
1
6
1520
15
6
1
За чертою влево числа н, над чертою вверху числа г; прочие числа тг^г происходят от сложения.
261 | Отсюда также видно, что для п целых положительных чисел:
п;п;= Н*е= Н*е
п;
п;
= Н*е
= Н*е
Для п = 2 г это уравнение тожественное. Остается полагать 7г = 2г -|-^ и 1г = ^г — со, разумея под со положительное число. В первом случае
- (2г + «)-+" =_ (2г +
В другом случае (9г—и>л»х>и>
Х(Х>Г'/гххСОГ — ID
Пс = ^Г = (2Г — С0)с .
Целые полоэюительные степени от 14-^ выражаются в степенях от х такою строкой',
(1^^ = ^^^^^»-^^^(37)
которая сама собой останавливается на члене хн, потому что далее множители при степенях от х делаются нулями (ст. пред.), и которую, следовательно, всегда можно принимать бесконечной, чтоб не затрудняться рассматриванием последних членов. Справедливость строки (37) доказываем наведением после того, как она поверяется для п = 1, 71 = 2, и когда, умножая на 1 + ^, находим: (ст. пред.)
(1 -J- x)n+1 = 1 + (и 4- 1) х + (н?2 4- н^*) х- 4- (н^3 + 7^2) ж3 4- • • • =
= 1 + (n +1) Ж+(и + 1)Г 2Ж2+(-И+1)” 3«3 +...
2в2 | —ту же самую строку с 7i4*l вместо п.
В строке (37) можно видеть также справедливость того замечания, которое сделано было в ст. 144, что множители при степенях от ж с того и другого конца одинаковы. Когда и— целое положительное число, то она оканчивается членом w^1^* = яЯ, а с того и другого конца равно отсчитанные члены на месте г будут
при которых множители одинаковы (ст. пред.).
Уравнение (37) умножая на ап и полагая ах=Ъ^ получим (а-|- 6)п = аи-]- иаи—Ч> 4~ н^а^-Ъ2 4~ •.. 4" ^н-(^8)
Вторая часть уравнения продолжается, пока доходим до последнего члена Ьп (ст. пред.). Оно указывает способ, каким образом извлекать корни. Будем говорить сначала о целых только положительных числах.
Пусть требуется найти У А. Число А целое выражается одно за другим поставленными jj цифрами, которые разделяя от конца на купы, каждую из п цифр, получим т куп и к началу последнюю иногда из и цифр, иногда менее. Число т будет показатель самой высшей степени от 10 в у А, потому что
263 |А > 10wn < 10”ш+п.
Итак,
pZr^io^Mo^-^cio^...,
где а, 6, с, d... целые числа, каждое < 10 и которые, будучи поставлены сряду, должны выражать У А по принятому означению для всех чисел. Все дело состоит теперь в том, чтобы отыскать а, 6, с... Их находим одно за другим следующим образом.
Из (a 10Hi)n = ^п • Юи,л видим, что ап должно быть самое близкое меньшее к первой купе, тогда как 10пш занимает числом пт нулей места всех цифр в прочих купах. Так находим число а. Далее
(л 10w 4- b 10w -4n = an 10т" 4- нап- гЪ КР™-14-
4- n^2an“2&210mn “24~. • -4“ Ьп 10пт-н.
Число нулей в первом члене пт, потом в других уменьшается по порядку единицей; следовательно, числа
an, nan-1b, н^2ап~2Ь2 и проч.
должно писать одно под другим, выставляя крайнюю цифру в следующем числе к концу вон, пока с последним членом Ъи все места второй купы будут заняты. Итак, число b находим, когда после въь- м питания ап из первой купы, прибавивши цифры второй, игцем ближайшее меньше, задаваясь делителем па^1 до первой цифры второй купы и составляя сум,му членов
па^Ч, п^а^Ч2 и проч.,
написанных одно под другим с выступом цифры вправо. Если бы после составления всей суммы заданное число оказалось велико, то его должно уменьшать, пока не отыщется сумма ближайшая меньшая, которую и должно вычесть из прежнего остатка от А с цифрами второй купы.
Называем В число 10а 4" Ъ и которое, следовательно, выразим, ставя цифру Ъ за а. Берем п^ степень от
Ю^а+ lO™-1^ 10w~2c = 10w~1S+ 10w~2c.
Она будет
В» у^-пт-п ^_ иВ^Ч Юпш-п -14- п^ 2Вп—Ч2 ю^^-^-2 4-...
Первый член изображает здесь
(10«а4-10И1-16)^,
который уже отнят от А с тем вместе, как сначала вычтено было ап, потом сумма членов
па^Ч, п^"а^""-№ и проч.
Остается теперь подобным образом составить и вычитать из А сумму членов
265 |пВ^Ч, п^2Вп~2с2 и проч.,
при которых число нулей пт—п— 1, пт—п— 2 и т. д. показывает, что в первом из них с весьма близко будет заданное число в делении на пВ'г~х остающихся чисел от А с присоединением одной цифры из третьей купы. Затем прочие члены присоединяются, выступая одной цифрой вправо, пока пополнят места третьей купы. В этом порядке из всех членов с степенями с составленную сумму надобно вычитать из прежнего остатка от А с цифрами третьей купы, и так продолжать далее до последней. Цифры abc...^ поставленные одна за другой, изобразят ^А строго или приближенно (ст. 131).
2бв | Для примера прилагается извлечение пятого корня.
V 8 97550 69815 32751 | 1551
1
5 • I4 = 5
797550
25= 5 • I4 • 5
250= 10 • I3 • 52
1250 = 10 • I2 • 53
3125 = 5 • 1 • 54
3125 = 5®
659375
5 • 144 = 253125
138175 69815
126562 5=5-15*. 5
8437 50= 10 • 153 • 52
281 250 = 10 • 152 • 53
4 6875 = 5 • 15 • 54
3125 = 5®
135285 96875
5 • 1554 = 2886003125
2889 72940 32751
2886 00312 5= 5 • 1554•1
3 72387 50= 10 • 1553 • I2
240 250= 10 • 1552 - I3
775 =5-155.14 1=1®
2889 72940 32751
0
267 I Трудность извлечения увеличивается вместе с показателем корня, почему и предпочитается корни разделять на несколько других, если показатель не начальное число (ст. 140). Можно извлечь корни р, ^, г по порядку один от другого вместо того, чтоб извлекать корень, которого показатель n=pqr...
Пусть требуется извлечь п™ корень из десятичной дроби, а
которую всегда можем представлять в виде -^ с целыми числами
и т (Гл. VII, ст. 70). Прибавляем к ней столько нулей, чтобы число десятичных было кратным показателя, так, что от запятой всех мест будет считаться
т-\-р = пд,
где р— число прибавленных нулей, д— какое-нибудь целое число» Теперь
V 10м V Ю”5 ю? V
Это значит: в десятичной дроби от запятой в ту и другую сторону надобно отделять купы из цифр, сколько единиц в показателе, дополнять нулями недостающее число десятичных, потом извлекать корень как бы из целого числа и, наконец, отмечать столько десятичных в корне, сколько было куп от запятой вправо.
268 | Извлечение корня можем; следовательно, продолжать с прибавлением по купе новых нулей, от чего в корне будет присоединяться по одному вновь десятичному месту. Извлечение из целого числа может так же делаться, как бы из десятичной дроби, когда поставивши за целыми запятую, прибавляем нули и продолжаем, пока в корне достигнем желаемой точности» Например
/2 |1,4142135
1
2 ТОО
96
28 400
281
282 11900
11296
2828 60400
56564
28284 383600
282841
282842 10075900
8485269
2828426 159063100
141421325
17641775
269 |
у 0,002 |0,04472У 1,0111,0049875
161
8
400200 10000
3368016
88
64002008 198400
6209180801
894 1910020098
17884
1759900
1607904
1216)200996
15199600
14069769
У 0,0002 = 0,014142135.
2009974 112983100
100498725 12484375
Степень с уменьшением показателя приближается к единице до того, что разность может сделаться .менее всякого данного числа. Для п целого положительного числа (ст. 146)
(1 4™ а)п = 14"^ + ^2<^ + и проч.,
следовательно, для всякого положительного числа а
(1 + a)n > 14* м, (1 + ^Y < 1 + «.
Означая т другое целое положительное число и полагая ^ —1 а = . находим
к 7
27о | Если А положительное число >1, от А™— 1 > 0, а дробь— можно взять так малой, увеличивая п^ что — будет ме
нее всякого данного числа. Тогда разность JLW—1 сделается еще менее.
Если j4 положительное число < 1, то пусть
После чегоПосле чегоАп — 1 =Ап — 1 =аа
После чего
После чего
Ап — 1 =
Ап — 1 =
а
а
Мы сейчас видели, что а вместе с — уменьшается беспредельно, а следовательно и разность Аи —1, оставаясь отрицательной, уменьшается также беспредельно.
Итак, положительные степени с уменьшением показателя и приближаясь к единице, остаются постоянно > 1 или < 1, смотря по тому, число, от которого берется степень, будет само > 1 или < 1» Далее, положительная и отрицательная степени от числа, приближаясь к единице с уменьшением показателя, бывают одна постоянно > 1, когда другая остается < 1. Это весьма нужно заметить, как. 271 правило, везде принятое в мате|матике, чтобы особенные случаи всегда представляли постепенный переход к другим, если они под общее определение подходить уже не могут.
Положительная степень от числа > 1 увеличивается с показателем беспредельно.
Пусть А > 1,. показатель степени ^ = ^ + а, где т, п, р— целые положительные числа, а < 1 положительная дробь. В предыдущей статье было доказано, что
Ав>1, ^>1+^(А — 1).
После чего (ст. 142)
A”^T>l+j2(^ — 1).
т
Итак, с увеличением ~ и р, степень Аи может сделаться более всякого числа. Должно заметить, что такое возрастание степени бывает непрерывно и, следовательно, постепенно вместе с показателем.
Отсюда следует, что положительная степень от числа <1 уменьшается беспредельно с возрастанием показателя; отрицательная ошг числа > 1 уменьшается, от числа < 1 увеличивается беспредельна с возрастанием показателя.
272 | Если А<О, то ~ >1, ^У = -^- = А”™, следовательно, А~п увеличивается, Ап уменьшается беспредельно. Если А > 1, то
j4n увеличивается, и, следовательно, А!г уменьшается беспре* дельно.
В статье 147 разделяя уравнение (38) на число п^1 и выражение
атqODV
означая везде для краткости с^ получим
(а 4* У)с= ^ с 4- ^с 1Ье 4~ ^с Ч 4“ ••• 4“ ^с •
Что можно представить, следуя принятому означению в математике,
(я+ЭД = 2< а + р = 7г.
Знак 2 требует брать сумму всех возможных членов, подобных тому, перед которым он поставлен. Все возможные члены получатся, когда вместо а ставим по порядку а = 0, 1, 2, 3 и т. д. до а = п.
Ставя Ъ-^-с вместо 6, находим
(« +6+ <;)" = 2 а* 2 5$
или иначе
(а 4- Ъ 4- с)” = S fl^L
273 | где сумма целых положительных чисел а 4~ Р 4* Т = и и гДе> следовательно, все члены для составления суммы будут отысканы, когда вместо а, р, 7 берем все возможные числа 0, 1, 2 и т. д., лишь бы сумма их была постоянно и.
Ставя с~4^ вместо си т. д., получим вообще
(а4-54-с + 5-|-...)”=5«ёбЫ...,(39)
где числа а, р, f, 8... должны быть все возможные числа 0, 1, 2, 3 и проч., но сумма их
а+?+т+8 + •• • = п-
Например,
(а — Ъ 4“ С)с = ас — &сЬ 4" асС 4" аЖ — С^Ъс 4“ аеСс 4“ а^ 4” а^ 4“4-дЬсС — аЬ.Се 4“ 0-Се 4" ^С — ЬсС 4- Ь2сС2с Ьсс 4“ Сс.
Умножая все уравнение на 1 • 2 • 3 • 4 = 24, находим
(я — Ъ -(- с)4 = а4 + 64 + с4 +
4- 6 (— аЧ) 4“ ct^c — ЪЧ 4- с^а — с^Ъ 4- (vb^ 4* я2^2 4- Ь^с?^ 4*
+12 (— а-Ъс 4- Ъ^ас — д?аЪ\
Каковы бы числа р, д ни были, всегда
№+^г=РГ+Рег~^с + РГ~"2£ + • • • + С-(40)
Здесь г необходимо целое положительное число.
274 | Для всякого р и для ^ = 0, д = 1 уравнение (40) справедливо (ст. 145). Пусть оно справедливо для какого-нибудь целого положительного числа д и для таких же чисел < д. Прикладываем к нему подобное уравнение, поставивши г—1 вместо г;
^А-^Г-^РГ^А-РГ^Т +^г-3^2+ • •. А-^Т”1
Потом, основываясь на сказанном в статье 145., можем сюда ставить на одной стороне
№+ОТ+(р+ОТ"' = (р 4- а+ПГ,
на другой
йТ^аТ = <а-Г^\qT^aT-laA-^T
и т. д.,
от чего получится снова уравнение (40) с числом ^4-1 вместо д. Отсюда заключаем, что это уравнение должно быть справедливо для всех целых положительных чисел д^ следовательно, и для всех вообще чисел д (гл. V, ст. 54).
Иначе то же можно доказать, заметив наперед, что. уравнение (40) справедливо для г=1, и если теперь оно предположится верным для какого-нибудь г, то умножая на
р 4- £ — т
275 | на одной стороне получим
(?+?Г,
_ „WСОГ—t cotР “1 Q — У*
а на другой — произведение всякого членам ^с на ~——^—
можем представить так:
^r—tcot ( Р Г -|- t | ^- ^1 *эг—£4-1 cot (^ ^~Ь 1 1с 9= (-^+1 h^+TJ-^ 4с 1 r + "j
vPc qcvPc qc£4-1 #4-1r + 1£4-1 #4-1r + 1
vPc qc
vPc qc
£4-1 #4-1r + 1
£4-1 #4-1r + 1
и, следовательно, сумма всех членов будет
P= + ^Pc 4c ^^+РсГ 4c ^^--'гР' 4c 7^ +
I coy*col 1 I _cor—1 co2 2.. ^col^or ^[<x>r4-l
+^= 4c ^^^Pc 4c 7^1+& 7+1 + ^’
где соединяя члены, поставленные один под другим, получим вторую часть уравнения (40) с показателем г +1 вместо г, а следовательно, предположение должно быть справедливо для всякого целого числа г.
1-53. Когда число тг— дробь или какое-нибудь отрицательное, то строка
II со 2 2 I соЗ 3 I
-j- их -j- Пс X Пс X + . . .,
которую означим для краткости [п], делается бесконечной (ст. 146). 276 В ней всегда можно найти | член, за которым сумма последующих, сколько бы их ни было взято, будет менее всякого данного числа.
Такого свойства строки называются исчезающими или нисходя- щимщ напротив, те, в которых члены увеличиваются один за другим — восходящими. Первые допускают определенное значение^ к которому приближаемся тем более, чем больше в них берем членов, тогда как сумма остальных назначает точность вычисления. Восходящие строки не могут служить для вычисления, следовательно, и не могут быть понимаемы в их значении.
О постепенности исчезанияв строке можно судить по содержанию каждого члена к предыдущему, которое чем менее, тем строка исчезает скорее т. е. тем менее потребуется брать членов, чтобы достигнуть назначенной точности в вычислении.
Пусть х — положительное число <1. В строке [тг] содержание какого-нибудь члена u°°TxY к предыдущему составляет ^"^ " —1|^; следовательно, всегда придем к такому члену, за которым величина
прочих уменьшается. Именно, для 71 + 1 положительного числа, когда
(» + 1)®
277 | для ti + 1 отрицательного, когда
(^ + 1)#
1X ’
для тг—|—1 = 0 всякий член 1^^ = ^—ху хт по величине < 1, Если теперь начинаем с такого члена ti™^, за которым следующие по величине уменьшаются, и увеличиваем содержание каждого к предыдущему, полагая это содержание постоянно
ti +1. гti +1. г11X = О)X = О)
ti +1
. г
ti +1
. г
1
1
X = О)
X = О)
то и сумма t таких членов сряду сделается более. Несмотря на
то, она будет
11
u^TxY (1 + <о + ш2 + ... + ф#—Ч = и°°тхг <"ii^af.
С I I I I I i с 1 — ш — ш с
Чем более г, тем делитель 1 — ф более и, следовательно, тем он более уменьшает значение последнего выражения. Здесь производитель хт с возрастанием показателя т уменьшается беспредельно (ст. 150); между тем i^Y для 71 + 1 = 0, как мы видели, по величине составляют единицу, а для ti +1 положительного достигает самого большого значения прежде, нежели г > -^^-, потому что содер- 278 жание п^кп^"1 делается уже по величине <1. Итак, для 71 + 1
положительного, как скоро г удовлетворяет двум условиям
7 >7 >71 —|— 171 —|— 1г (^+1)^г (^+1)^
7 >
7 >
71 —|— 1
71 —|— 1
г (^+1)^
г (^+1)^
выражение ■ ™ ■ ю т^х1^ и следовательно, сумма членов за m^"*^-1 в строке [ti] с увеличением г может быть сделана как угодно малой.
Для п+1 отрицательного берем г = А + щ гДе
и полагаем
1
(ti +1) ж
1X
>х >
Н > !,
(71+1) Ж , 1X
Теперь
И здесь, следовательно, можно г довольно брать велико, чтобы и., увеличиваясь с г, делало так малым значение последнего выражения, как угодно.
В доказательстве нашем принималась в рассуждение одна только величина членов, а следовательно, оно остается в своей силе и для отрицательного х по величине < 1.
279 । 154. Произведение двух строк [р] и [д], подобных строке [п] предыдущей статьи, дает такую эюе строку Q^-j-gJ.
Произведение [р] [д] составляется из произведений всех членов одной строки на каждый член другой. Расположенное по степеням х оно будет
to] k] = i + to+(?)ж+tor2 А-рТ^Т+Ож<1 +
+ ^ +Р^Х +Р^^ + 2?3>3+
+ to^+^C1 А-рТС А-рТС+q^V + и т. д.
Здесь множитель при всяком хТ представляет (р-^йУ^ как было доказано выше (ст. 152). Вся строка делается, следовательно, [р + g], по принятому означению и, оставаясь исчезающей, дает значение [р] • [д]. Заметим однако ж, что вычисление должно быть произведено только с оконченными строками. Так, [р] может быть действительно умножено на [д], когда ту и другую строку останавливаем на каком-нибудь члене; но в произведении усеченных строк, расположенных по степеням букв, необходимо одни члены выдут полные, к которым от продолжения строк ничего не может уже прибавиться; другие неполные, к которым от распространения строк прибывают еще новые, с одинаковыми степенями той же буквы.
Называем Р, Q значения усеченных строк [р], [д]. В строгости должно быть
280 IМ = Р+Р', M-Q + Q',
to] Ы=PQ+PQr+P’Q+PQ'.
где Р', Q? — величины, которые точность вычисления дозволяет опускать и которые можно сделать как угодно малыми, а следовательно, также и сумму
PQ'+P^ + P'Q',
откуда члены берутся для пополнения PQ, без всякого уже влияния на точность вычисления.
Итак, о строках [р], [j], да и вообще о всех исчезающих строкам люже^н сказать, что их произведения дают такэюе исчезающие строки».
Из доказанного здесь предложения
ИЫ = [? + 9']
следует, что и для всякого целого положительного числа т ^jm — [mjp]e
Строка, означенная [р] в статье 153, для всякого п представляет (1+^)7г? как это Уже и было доказано для п положительного целого числа (ст. 146).
Пусть ^ = ^—положительная дробь с целыми числами р, д„ Будет (ст. 146 и пред.)
281 |[тгр = [р] = (14* х)р.
Извлекая корень ^, получим
[тг] = (1 *4— ж) ^.
Умножая на [ — п], находим (ст. пред.)
[-^1 (14.^)3 = [о] = 1.
Следовательно,
[ —п] = (1+ж)~ ».
Таким образом, справедливость строки (37) доказана для всякого показателя п действительного, с той разностию, что х может быть всякое число, кбгда п целое положительное; но по величине должно разуметь х < 1, когда п дробь или отрицательное.
Например, берем п = ^ , х = —^-.
1
( f 1 р111 ( 1 р 1 ( 1 I35 f 1 Р .
P+lOOf “2 " 1008 (100J *" 16 [100J128 (100j
7 I 1 Р 21 f 1 Р
+ 256 j 100 J 1024 (lOOj + ‘
282 | Находим:.
0,0000125 0,00000003906250,000000000000020 0,0000125390625200,0000125 0,00000003906250,000000000000020 0,0000125390625201
0,0000125 0,0000000390625
0,000000000000020 0,000012539062520
0,0000125 0,0000000390625
0,000000000000020 0,000012539062520
0,005
0,0000000625
0,000000000002734
1,005000062502734
0,000012539062520
1,0049875234402= К^О!
Найденное значение ]/!,01~-то же, какое дает обыкновенный способ извлечения (ст. 148).
Строка [тг] служит для вычисления всякой степени от 1+ж> покуда ж<1 по величине, а следовательно, покуда 1-]-ж—положительное число <2. Если 1 + ж>2, то можно извлекать корень, например квадратный, покуда выдет число < 2 (ст. 149), и тогда уже пользоваться строкой [тг] для вычисления, умножая вместе показатель степени на показатели извлеченных корней. Если ж 1 + ^ — отрицательное число, а следовательно, по величине ж>1, то строка [?г] не может представлять степени от 1 -]- ж и не может служить для вычисления, какой бы корень наперед не извлекали, потому что нечетные корни оставались бы отрицательными, а четные не дают действительных чисел (ст. 130).
В строке [п] полагая ж = -^ и умножая уравнение на а^ получим
-зев |(а 4~ 6)п = ап 4" па^-^Ъ 4- ?г^2ап~262 4~ т^аи-Ч? + ...
для всякого показателя тг, с тем ограничением однако ж, что если ?г не целое положительное число, то в бесконечной строке -^- по величине должно быть < 1.
Если сумма состоит из нескольких членов, расположенных по степеням х\
8 = А 4“ ах -J- 6ж2 4” ^3 + • • • >
притом — < 2, то для всякого показателя п (ст. пред.)
8п = 2 т^гАп—г(ах -4 to2 4- сх^ 4~ • • • У от г —0 до г=оо или иначе (ст. 151)
8п = ^ ч^Ап~г(ах)* (&г2)Р (сх^...,
ГЛ, XL О СТЕПЕНЯХ И КОРНЯХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ 199 где а, р, 7,... — возможные целые положительные числа, которых сумма составляет г.
Когда 8п требуется снова расположить по степеням ж, то производитель при хт, будет, следовательно,
«мс с с ’
284 | где
« + Р+т+ • • •а 4- 2р 4* З7 4~ .. . = т.
Число г надобно брать всякое целое положительное не более т, после чего останется удовлетворить только условию
г — m = P4"2l+ • • • и брать с тем вместе
а = г— р—7— ..,
Разумеется, что сказанное здесь об оконченной строке £ относится равно и ко всякой бесконечной, которая не иначе может быть понимаема, как усеченная с изменяющимся числом членов, смотря по точности вычисления.
ГЛАВА XII
О СТЕПЕНЯХ И КОРНЯХ ВООБРАЖАЕМЫХ
Когда от числа а берется степень, которой показатель дробь -^ , то сыскавши "Va = Ъ (Гл. XI, ст. 128), получим
а™ = £\
285 | Степени Ъи, где показатель — целое положительное или отрицательное число, принадлежит единственное значение, которое находим, умножая Ъ несколько раз на 6, или ~ на ~ (гл. XI, ст. 137). Между тем, Ъ может допускать различные значения, например одно положительное, другое отрицательное для т чётного (гл. XI,. ст. 130). Пусть Ъх будет всякое другое значение корня }/а. Должно- быть
Ътхт = а.
А как предполагается Ьш = а, то
хш = 1, ат = Ьпхп.
Если а — положительное, то для b всегда можно отыскать положительное и при том одно только число, которое бы давало Ът = а (Гл. XI, ст. 131). Если же а отрицательное, то сыскавши такое положительное 5, которое дает Ьт =— а и полагая \( а = ох, получим
—1, ат = Ънхн.
Отсюда надобно заключить, что всякой степени принадлежат по величине одно только действительное значение-, а прочие, отрицательнее или вообрао!саемие, получатся, когда действительное гъ поло- 286 зрительное значение степени умноэрится на | значение той орс степени
от -|- 1 гели — 1, смотря но тому, степень берется от положитель- кого или от отрицательного числа. В последнем случае уравнение
Хт — _ 1
происходит из уравнения х2т = 1,
а следовательно, все вообще значения степени, действительные иг воображаемые, зависят от значений ос в уравнении я^ = 1 с показателем и целым положительным числом.
В этом уравнении xn = 1 одно из значений х всегда х = 1; если ж и четное число, то еще другое значение х=—1; однако ж х по величине не должно разниться от единицы (Гл. XI, ст. 131), следовательно, все прочие значения могут быть только воображаемые.
Выражение V— 1 надобно разуметь всегда как бы число неопределенное, для которого существует только означение и которое переходит в —1, число действительное, всякий раз с возвышением в квадрат (Гл. XI, ст. 130). Таким образом, от а + Ъ V—1, где а и Ъ — действительные числа, все целые положительные степени, происходя от умножения на а -|- Ъ V—1? представляются в таге? ком же виде. Итак, для тг [положительного целого числа всегда можно найти действительные числа А, В, чтобы
(а + &]Л=4)" = 2 + 5]Л=1.
Отсюда
следовательно, и с отрицательны^ целым показателем степень опять представляется в том же виде. Например,
(3 — 2 У=1)2 = 5 — 12
(3 + 2 К^!)8 = — 9 + 46 /^1,
Квадратный корень от a-\-bV—1 представляется в таком; же виде А 4“ В V—1, где
А — V 2’ V 2’
и следовательно, вместе с а, Ъ— действительные числа, в чем можно увериться возвышением в квадрат.
Если значение JL + 5 ]/ —1 квадратного корня от а + 6 ]/ —1 означаем L и всякое другое такого же корня полагаем xL^ то необходимо я2 = 1; следовательно, вместо L можно еще брать —L. 288 На сем основываясь, находим воображаемые I корни, которых показатель— целая положительная степень от 2. Например:
и т. д.
Всякая вообще степень может бить найдена от виражения а + Ъ V—1 и представлена в таком же виде, когда а и Ъ — действи- тельние числа.
Во-первых, заметим, что если
то для всякого показателя п
Отрицательная степень будет, следовательно, известна, когда найдена положительная от а + 6]/—L То же обратно.
Если а >6, то ставя для краткости а вместо —-, получим для всякого показателя п значения А^ В в исчезающих строках (Гл. XI, ст. 153):
= a"{l-n~2a2 + n”V-ii”8a6_|_ .
В = ап {па — п^3а3 -|- п^а6 — п^а7 —|— ...},
289 | Если « = 6, то (ст. пред.)
(«4-6 К—1)”=«”(14- V—1)" =
-(«^^У^+^+^^г"
Здесь —1 4- ]/2 < 1; следовательно,
{1 + (-1 + /2).|Л=1}2”
снова может быть вычислено, как выше, помощию бесконечных строк. Таким образом находим воображаемое значение х = у 1 в уравнении хп —1 = 0 для всякого целого положительного числа тг. Именно (ст. пред.):
816
” [1 + (_!+^2). V -Ч”.
16г—
Далее, полагая — = ^ 08 = — 1 + У 2 > получим:
8
”/г= ^^±^^ iL-yMV^Y
L = i—tf^ 4- f^V —...,M= to—^3a>®4-^c*5®6— • ••
Должно заметить, что M никогда не может быть нуль для п>2 или между значениями ^=0 и t = 7, а следовательно, две строки L, М всегда дают одни воображаемые корни от единицы. 290 | Чтоб это доказать и притом для одних целых чисел п = 3, п = 5, п= 6 и т. д., довольно рассмотреть случаи от t < 1 до t = 7, исключая ^=1Д=2, ^ = 4, которые отвечают п = 16, п = 8, п = 4, показателям уже известных корней.
Берем два члена сряду в строке М.
tc О)Г - tc 0>r+ = te(/+1)(r + 2)
= (Тд^та {(Г 4-1) (г 4- 2) (1 —2) 4- (2г 4-1) to2 - W}.
V “Г V "Т*'^)
которых разность, сделавшись раз положительной или отрицательной, остается с тем же знаком, когда г увеличивается и £ уменьшается от г = 1 и ^=3. Далее открываем, что
(г -}” 1) f^ 4” 2) (1 — со2) -{- (2r -j-1) V — tfW
для г = 1 делается
(2f _ 6#_}_ 12) ]/"2 — (З#2 — 9#+ 12) =
= ^ (3 + 1/814-48 ]/2 — 2#) (2#— 3 4- )/ 81 4- 481/2 ) >
> (7-0(44-0,
и следовательно, опять вместе с t бывает положительным числом от /=0 до ^=7; а разность
29i | с тем же знаком, с каким tV^r во всей строке М^ которая делается, таким образом, для t > 0 <1, £ > 2 < 3, # > 4 < 5, t > 6 < 7 суммою одних положительных чисел, от соединения членов первого со вторым, третьего с четвертым и т. д. Для t > 1 < 2 первый член сам по себе положительный, потом числа положительные происходят от соединения второго с третьим, четвертого с пятым и т. д. Для t > 5 < 6 третий член и соединение первого со вторым, четвертого с пятым и т. д. по порядку будут положительные числа. Что касается до t > 3 < 4, то здесь положительные числа происходят* от соединения первых трех членов, патом четвертого с пятым,, шестого с седьмым 'и т. д.; сумма первых трех членов
= ^ {120 — (#—!)(#— 2) ”2 [20 — (# — 3) (< — 4) ш2]} > ^ {120 -21 (#-!)(#-2)№2} >-^{20-21ш2}
>
следовательно, всегда вместе с t положительная. Итак, зна- 292 чение х под видом А -{- 5 ]/•—1 с | действительными числами Ат В всегда может удовлетворять уравнению хп —1 = 0 для целого
положительного числа п. Это значение будет представлять
П / — корень у 1.
Когда а>Ъ, то
(а + 6= ti + ^.K”1)." = (_ i)fъ« (1—у /=1)”.
(_1)2V'
п
Здесь (—I)2 находим, определив сперва (—1)п, потом извлекая квадратный корень, как показано было в предыдущей статье. После чего значение
(1-уГ^1)^
где у<1, будет уже дано в строках, как выше.
Произведение двух выраоюений a + 6V-l, ^ + 5 К-1 моэюет быть нулем тогдсб только, когда в котором-нибудь из них два действительные числа а, Ъ или А, В будут вместе нулями.
Выражение а + &У'—1 почитают нулем тогда только, когда оба 293 действительные члены а и 6 | делаются нулями, принимая здесь нулем произведение V—1 на нуль. Далее, в вычислении с воображаемым числом V—1 полагается за основание (Гл. XI, ст. 130. и 156), чтобы возвышение в квадрат обращало V—I в —Г Посему произведение
(а _|- ъ V =1) (А + В /^1) = а А — ЪВ 4- (аВ + ЪА^ /^1 может быть нулем только при выполнении двух условий:
а А — ЪВ = 0,аВ-^ЪА = 0,
которым будет удовлетворено, жогда полагаем а = 0, 6 = 0. Если ж из а, Ъ одно только нуль, то необходимо А и В вместе нули. Наконец, пусть ни а ни Ъ не нули. Из первого уравнения находим
а = Ъ-тА
и ставя во второе:
/В2\
6 z + ^H
— уравнение невозможное, потому что от умножения на А и от деления на Ъ произошла бы сумма двух положительных чисел А24“^2 = 0. Остается принимать JL = O; но в таком случае два» условных уравнения требуют, чтобы и В = 0.
294 | Посему сказанное в статье 54 Главы V о начальных производителях, выражаемых действительными числами, относится равно- и к воображаемым производителям, которые представляются под. видом а -|- Ъ V—1 с действительными числами а, 6. Число, следовательно, значений для неизвестного ж во всяком уравнении, когда сюда входят одни целые положительные степени от ж, не может превышать самого большого показателя и по которому степень уравнения означается (Гл. IX, ст. 99), будут ли эти значения действительные числа или воображаемые под видом а-^Ъ У—1» Так, уравнение хп—1 = 0, когда п—целое положительное число, но может допускать более тг значений, из которых одно необходимо* я = 1, другое х =— 1 для тг четного; прочие должны быть воображаемые (ст. 155), а если к тому будут представлены: под видом а + Ь V—1, то число их всех, действительных и воображаемых, ни в каком случае не превзойдет показателя %. Например^ в статье 157 было показано, каким образом извлекать квадратный корень из а-\-Ъ У —1 и представлять опять в этом же виде. Если теперь назовем L значение корня, xL — другое значение, то ж2 = 1. Отсюда ж = 1, х = — 1 два значения для х и кроме их более ни действительные, ни воображаемые под видом А-^В"У—1 Уже невозможны.
295162. Дее степени от а 4-6"^—1, где а, Ъ | — действительные числа,
тогда только могут быть вместе единицами, когда показатели их, будучи целыми, допускают общего делителя >1.
Пусть х = а 4~ Ъ ]/—1, хи = 1, хт = 1. Называем 8 самый большой общий делитель целым числам п, т. Можно всегда найти целые числа Е, ц так, чтобы (Гл. X, ст. 116):
9гЕ-}-тт} = 8.
После чего
Хп^тч1 __ ж5 _ 1,
Если бы 8 = 1, то х = 1 было бы противно положению. Здесь надобно заметить еще и то, что когда [яп=1, яиг = 1, 8 — самый
большой обилий делитель и^лим числам и, т, то а? = 1. Когда п — на- чальное число, х— воображаемый корень yl, то никакая степень хтне может быть единицей, пока целое число т<^п, лтш.у что в таком, случае у т с п нет общего делителя.
Если х— значение корня ^Х^то и все степени от х будут значениями того оюе корня. Если к тому п—начальное число, х —воображаемый корень, то различные степени от х, пока их показатели < п, будут различны и дадут все п значений для х. Если эю п— начальное 296 число, то | между значениями х найдутся всегда такие, которых степени дадут все прочие значения х.
п ,—
Если х — одно из значений уХ, то г = хт с показателем т целым будет значение того же корня, потому что гп = ^хт^и = ^У1 = 1»
Если х — воображаемый корень /1, показатель п — начальное число, то все степени хт различны, покуда целое число т<п. Если бы xw— xY, т < п^ г < п^ то xm”r = 1 и п было бы кратное число т— г (ст. пред.); если ж т—г = 1, то х было бы действительное: число.
Например,
_1+/=з
2
представляет одно из значений уХ;
представляет другое значение того же корня, и наконец, х3 = I — третье значение того же корня.
Если п=р^ где р— начальное число, а — какое-нибудь целое положительное, то по способу, изложенному в статье 158, можно найти для ]/1 воображаемое число ж, чтобы хт не могло- 297 быть единицей, когда т=р^ и положительное целое число р<а. Такое х назовем главным корнем. От него всякие две степени хг^ х* различны, пока целые положительные числа r<?^ t<n. Если бы хг = х^ то xr—t = X, число г — t должно бы, следовательно, быть р^ с показателем р < а (ст. пред.). Если же степени хТ различны, от г = 0 до г = п — 1, то они дадут все значения }/L Заметим, что все степени от главного корня и которых показатели с п. начальные между собою, будут также главными корнями. Так^
есДи т, п между собою начальные числа, то хтТ не может сделаться единицей иначе, как для — целого числа, потому что п должен быть общим делителем числам п и тг (ст. пред.).
Если н вообще какое-нибудь целое положительное число и, следовательно, представляет pqr...—произведение степеней от различных начальных чисел; если к тому Е, iq, С *.. —главные корни /'1, fi; VIит. д., то произведение х = Ь£... будет п /— главний корень yl, которого степени дают и все прочие значения того же корня. Ясно, что хн = 1, а следовательно, остается показать, что никакая степень хт не делается единицей, пока целое число т<п. Называем 8 самый боль|шой общий делитель числам ш, и. 298 Если ая = 1, то а^ = 1 (ст. пред.); но 8 не может делиться без остатка на все числа р, q, г... Пусть——не целое число. Между тем, ^^ = 1 = ^— и, следовательно, -^}"—целое число против положения.
Если n=pqr...1 как выше, то все значения |/1 могут быть представлены еще произведением х=^..., где Е, т|, С... — не только главные, но вообще все корни yl, |/1, у1 и т. д., которые дают ^г...=п различных произведений. Они различны, потому что, допуская равенство двух, должны принимать за единицу их частное, которое выражается в степенях от главных корней и где возвышением в р^ q, г... можем уничтожать по порядку V1, ^1ит-д-’ не уничтожая прочих, пока останется один только из главных корней. Например, главный корень
VT = =!-^=.
Его степени представляют произведения из всех четырех значений
299 |1, — 1, У~L, —У=1
корня |/1 на три значения
—1 + У—з 1—У^з
22
корня У1.
Сказанное в предыдущей статье ведет к тому заключению, что все п значений -корня У1 могут бить представлены под видом
a-\-bV—1 с действительными числами а, Ь. Значения ^/1 бу дут произведения всех подобных корней, у которых показатели — степени начальных чисел и заключаются, как производителг^, в п. Впрочем, бесконечные строки дают значение }/1 во всяком случае, как теперь это будет доказано.
Пусть п =pgr..., где р, ^, г. .. —степени от различных начальных чисел. Значение корня с показателем р находим (ст. 158)
8 16
а» (l + oiy—1)р ,
подобным образом для показателей ^, г и т. д. Здесь
зоо | а выражение дает в том случае главный корень, когда р— не начальное, а только степень такого числа. Все другие значения |/ 1 будут, следовательно:
8а16а
а» (14-со 1/^1 )^,
где а —какое-нибудь целое число не более jp. Так получим и все значения корней у 1, yl..., когда вместо р ставим 5, г ... и Р, у .. .вместо а. После этого вое значения j/1 должны определиться с обращением в строку выражения
8ш8шlG«tlG«tа н (1 + со /1) п ,а н (1 + со /1) п ,
8ш
8ш
lG«t
lG«t
а н (1 + со /1) п ,
а н (1 + со /1) п ,
где ^ = ^- +"у Ч—“4“ • • • Умножая это уравнение на п —pqr...,
получим целое число т; а следовательно, данное выражение заклю- п
чает в себе все корни у 1, когда ставим сюда вместо т числа по
порядку от 0 до п— 1, каков бы показатель впрочем ни был. Итак, действительные числа в значении воображаемого корня L-\-M*V—1
всегда могут быть вычислены помощию бесконечных строк, когда
1бм1
(1+ О)/^!)—
sol | изображаем такою строкой, расположенной по степеням ш и когда, умножив на а п , отделяем здесь члены свободные от ]/*—1 и те, при которых V—1 общий множитель. Здесь а может быть еще иначе представлено:
а = (1 + а)2)"1 = (1 + и(1 —•
После чего
}/1 = (1 + а> ]/=Л)~ ~ (1 — «
где т— произвольное целое число <п или нуль.
Довольно знать одно из чисел L, М. Другое определяется еще уравнением
для доказательства чего заметим вообще, что если значение неизвестного может быть принято L -\-МУ—i в каком-нибудь уравнении, где входят одни действительные числа, то L—МУ—1 будет другое значение того же неизвестного, потому что У—1 должен уничтожиться, и следовательно, все равно, с каким знаком его ни брать. Если теперь L-^МУ—1 и L—МУ—1— значения У1, то и произведение их I?-\-М2— значение того же корня; а будучи, действительным и положительным числом, оно может быть только единицей (ст. 155).
302302|165. Степени, которых показатель заключает в себе воображае
302
302
мое число У — 1) и которые, следовательно, не подходят уже под общее определение, вычисляются помощию бесконечной строки (Гл. XI, ст. 155):
(1 -|- ж)” = 14'^ + ^2^2 + ^Г3^3 + • • •(41)
пока она остается исчезающей. Мы доказали (Гл. XI, ст. 153), что эта строка исчезает для всякого действительного числа и и для ж по величине <1; а следовательно, строка, которой общий член
1 J сот Iх(ХГ 1 г
2 I ч (^)с J
и другая, которой общий член
также исчезают, потому что одна представляет сумму, а другая; — разность двух исчезающих строк. В сумме -у {п?г + (— пъ^} остаются только одни четные степени от %, а в разности у {н^— — (—п)^2*} —одни нечетные, в том самом виде, как они входят
в п^^ и все с одинаковым знаком. Когда теперь в строке (41) ставим 1г V—1 вместо ?ь, то всякий член п^гхт сделается
(а + b У — 1) хг.
где по величине
If Г I / х X) Г I 71 I (X) Г /х ОО Г 1
+(— 70с Ь Ь<—\Пе —(—п)с
303 | потому что в а и b степени от и те же, что и на другой стороне неравенства, с такими же производителями, но с переменными знаками. Посему строка (41) и теперь должна быть исчезающей, заключая в себе две строки, одну из членов цхг3 другую с членами Ъхг\ а следовательно, значение всей строки будет j4 0- В У—1 с действительными числами А, В, представляя степень (1 0- х)п У--1.
Строке (41) принадлежат все свойства степеней, какие бы числа w и х ни были; а следовательно, те же свойства должны принадлежать и выражению жмУ~1, пока значение его может быть понимаемо в бесконечной строке, как например, всякий раз для ж < 2. Посему значения всякой степени, где в показателе заключается У—1, должно понимать, представляя наперед показателя в виде а 0- Ь "У—1 с действительными числами а, 6, потом самую степень произведением одной, с показателем а, на другую—с показателем ъу—1. Итак, строка (41) дает всегда значение степени (1 0- х)п, будет ли и действительное число или воображаемое под видом а 0-6 У—1.
Если х > 2 положительное число, то можно, извлекая корни, дойти до y = Wyx < 2. Тогда #«vr=T==^v — i может быть представлено исчезающей строкой в степенях от у— 1.
вод | Если х = а-\-Ъ— 1, то xuV—x может быть вычислено помощию бесконечной степени (41) и когда ее значение умножится на а"^*”1. Для сего нужно, чтобы содержание ^- по величине было < 1. Од нако ж, полагая <о =— 10-^2, находим (ст. 158 и 162) для а = 6
хпу=т = (аУ2 ) nV*=i^ ^ ш /2Г1) пУ^_ш у^Л) - »Г=Т
для а <Ь
=ъ(1+ш У^У ^(1 — «> /^ТГ ^/-Л (1 —Л ]Л^1)"
и следовательно, вычисление опять возможно в двух последних случаях.
К воображаемым степеням принадлежат и те, которых показатель 0 или со. Их значение может быть произвольным, представляя особенные случаи, на которые определение не распространяется; однако ж, в этом выборе надобно соблюдать правило, чтобы все числа, в зависимости друг от друга, приближались вместе и постепенно к своим границам и, таким образом, подчинялись общему понятию. Вот почему для всякого а принимают а° = 1, будет ли а действительное число или нуль, как сказано в ст. 129 Главы XI, или под а разумеется бесконечно великое, или, наконец, воображаемое Х + р.]/*—1 с действительными числами К, у. Когда пока- зо5 затель оо, то сте|пень будет сама оо, или нуль, или произвольное, смотря по тому, берется она от действительного числа > 1, или < 1, или = 1. Если ж степень с показателем оо должна быть взята от X-j-^V—1) т0 Для ^+|*2 = ^ оиа будет произвольное число, потому что
ХЦ- р, У — 1
представляет степень от единицы (ст. 162). В других же случаях (х+^ /—у”=(>.«+,=)—( itO Г
и, следовательно, дает нуль или бесконечное, смотря по тому, X2 Ц-^2 < 1 или > 1.
ГЛАВА ХШ
О ЛОГАРИФМАХ
Показатель степени называется логарифм, а число, от которого берется степень—основание логарифма в том случае, когда это основание предполагается данным, а степень и показатель должны определять друг друга и быть действительными числами. Здесь определение бывает большею частию приближенное, с соблюдением назначенной точности, а потому основание логарифмов и числа, от которых берутся логарифмы, всегда разумеются положительными (Гл. XI, ст. 135),
зов | Если аФ = у^ то пишут х = log у и говорят, что х логарифм от у при основании а^ рассматривая одну только величину чисел а^ у.
Основание логарифмов может быть всякое положительное число, кроме нуля и единицы, потому что от единицы все степени — единицы, от нуля значение степени — или нуль, или бесконечное.
Если а — основание логарифма, то какое бы число а ни было, всегда а° = 1, следовательно log 1 = 0, которое значение одно только принадлежит логарифму от единицы, потому что всякая другая степень от а не дает единицу, если а само не единица.
Если а>1, то все степени положительные от а также >1, отрицательные—менее единицы; следовательно, log ^/—положительное или отртщательное число, смотря по тому, у>1 или < 1.
Если ах = у^ то а-х= — . j =— ; следовательно, log^yj = = — logy при том же основании, и logy делается—logy, когда А- возьмется за основание вместо а. Итак, логарифмы всех чисел меньше единицы будут известны, когда знаем логарифмы от чи- зо7 сел > 1. Логарифмы при основании 1 < 1 могут быть найдены, когда определены логарифмы при основании > 1.
Если у > 1, а> 1, то между степенями а0, а1, ст и т. д. с показателями по порядку целыми, или должно встретиться а”=у, и тогда 9г = log у, или две степени аи < у, ап*г>у (Гл. XI, ст. 150). В последнем случае log у > %, <9г-|-1 и между степенями от а с показателями 9г -f- -уу , 9г -{—— , ..., ?г -]—^ должно найтись число у, следовательно и его логарифм, или две степени
где п, т—целые числа или нуди. Переходя теперь к показателям ш +Лоо" до ^-Н^ + лбб" ’ и так далее’ от со* тых долей к тысячным, десятитысячным и проч., значение логарифма выразим или строго, или десятичной дробью, которую можем продолжать и? таким образом, сближать границы логарифма всегда двумя степенями
ат^ а?1^^
308308где <о будет, наконец, так мало, как угодно. Принимая ту или другую степень вместо у, сделаем ошибку, которая всегда менее Iа^ (а^ — 1) < у (аш — 1).
308
308
А как с уменьшением показателя степень приближается к единице до того, что у^— 1) может быть пренебрежено в вычислении (Гл. XI, ст. 149), то и р надобно будет почитать за log у. Если знаем теперь найти log у для у > 1 и при основании а > 1, то вправе почитать известными также логарифмы от всякого у < 1 при основании а > 1, логарифмы от у > 1 при а < 1, от у < 1 при а < 1.
Так как с возрастанием показателя степень должна постепенно увеличиваться или уменьшаться, смотря по тому, основание логарифмов > 1 или < 1 (Гл. XI, ст. 150), то и следует отсюда, что по способу, здесь изложенному, можем отыскать одно только значение логарифма, и что никакое другое нельзя допускать, по крайней мере действительное.
В значении логарифма целое число называют характеристика а десятичную дробь—мантисса.
Логарифмы называются о5итаовеннъмш<. когда основание 10. Обыкновенный логарифм от единицы с нулями равен числу нулей
при единице, потому что log 1О = 71. Для всякого другого числа У>1 характеристика в logy будет п— 1, если целое в у состоит зо9 из 71 цифр, потому что | здесь y>10n~1, < 10п. Одни только мантиссы нужно, следовательно, помещать в логарифмических таблицах, в которых отыскиваются логарифмы.
Логарифм от произведения равен сумме логарифмов от производителей.
log (АВС...) = log А 4* log В -j-* log С4" • • •
Пусть а — основание логарифмов; пусть
А = а®, В = а^^ С= а3 и т. д.
Это значит (ст. пред.)
х = log А, у = log В, 2 = log С и т. д.
После чего (Гл. XI, ст. 136)
АВС ... = аж^+^---.
Отсюда
ж+у+^+ ••• = log(ABC...).
Итак, особенного вычисления требуют только логарифмы начальных чисел; логарифмы всех других целых чисел происходят чрез сложение логарифмов от начальных. Например, когда логарифмы известны от начальных чисел
2, 3, 5, 7, И, 13, 17, 19,
зю | то помощию сложения можно найти логарифмы всех чисел от 1 до 20. Так находим
log 12 = log 3-|-2 log 2.
Логарифмы всех целых чисел и десятичных дробей берутся из таблиц, которые для сего составляются и где, как мы сказали (ст. пред.), помещаются одни мантиссы, вычисленные приближенно и, следовательно, необходимо с погрешностию. Помощию таких таблиц произведение нескольких чисел будет найдено, когда возьмется сумма логарифмов от производителей и потом этому логарифму произведения отыщется в таблицах соответствующее число, в значении которого ошибка будет уже зависеть от точности логарифмов в таблицах и может увеличиваться в содержании к числу сложенных логарифмов.
Логарифм от частного равен логарифму от делимого без логарифма от делителя.
А l°g -g = log А — log В.
Частное -^ можем представить произведением А на -g-; следовательно, log -~- = log А -|- log -~- (ст. пред.); но log -^- = —log./? (ст. 165).
зн | Вообще, логарифм от произведения равен сумме логарифмов от- производителей без суммы логарифмов от делителей.
Десятичную дробь изображает -^ с а и п целыми числами. Далее, когда 10 основание логарифмов,
1о£^ = 1оёа —1о£^ = 1оёа —log 10» = log а —н.log 10» = log а —н.
1о£^ = 1оёа —
1о£^ = 1оёа —
log 10» = log а —н.
log 10» = log а —н.
Это значит, мантисса в логарифэме от десятичной дроби та dice- что гь в логарифме от всего числа без запятой; но характеристика- уменьшается числом десятичных. Например,
log (153) =2,1846914,log (1,53) = 0,1846914.
Когда в десятичной дроби-у^ перед занятою нуль и, следовательно, а < 10», то log а—п будет отрицательный; но в таком случае обыкновенно вычитаемое целое число увеличивают до 10, 20,, 30 и т. д., а над характеристикой ставят одну, две, три и т. д.. черты. Например,
log 2 = 0,30103,log (0,02)= 8,30103,1°» (jr)= 9,30103.
312 [ Умножая число черт на 10 и вычитая отсюда характеристику, получим всякий раз число нулей, которые должны стоять впереди у соответствующей логарифму десятичной дроби.
Логарифм от степени, равен логарифму от корня степениг умноженному на показателя»
log (Ап) = п log Л.
Пусть а — основание логарифмов и пусть аж = А^ то (ст. 165)
X = log А,
а^ = Ап (Гл. XI, ст. 140)
пх = log (J п\
Отсюда следует, что
log ^А = ^ log J,
i
потому что ^А = А ^ (Гл. XI, ст. 128).
Здесь надобно заметить, что когда log А обыкновенный и с чертою над характеристикой, то умножая на целое число п, надобно умножать вместе и подразумеваемое вычитаемое. Например,
log (0,002) = 7,30103,
2 log (0,002) = 4,60206,
4 log (0,002) = 9,20412,— 2 log (0,002) = 5,39794.
sib | Когда логарифм делится на целое число п, то надобно вместе делить и вычитаемое, означенное чертами над характеристикой. Всего простое в таком случае число черт увеличивать до п, прибавляя столько же раз число 10 к характеристике, а потом в частном число черт уменьшая в п раз. Например,
4 (7,30103) = 8,650515,
4 (8,30103) = 9,433677.
Когда целое число отрицательное, то можно сперва разделить на такое же положительное, а потом логарифм вычитать из произведения числа черт на 10. Например,
— -^ (7,30103) = 1,349485.
Впрочем, если логарифм умножается или делится на дробь, то избегая сбивчивости, лучше уничтожать черты и делать логарифм отрицательным. Например:
(7,30103) X 1,515 = —2,69897 X 1,515
= —4,0889396 Р4]
= —5,9110604.
Логарифмы с помощию таблиц служат для скорого вычисления всякого рода выражений, составленных из производителей, эк делителей, степеней |и корней. Однако ж они определяют значение по величине только, а знак + или — должен быть особо из вестей (ст. 165). Например, требуется найти значение следующих выражений:
I.П.Ш.IV.I.П.Ш.IV.45,346 X 0,1374 X 0,0057354,
I.
П.
Ш.
IV.
I.
П.
Ш.
IV.
575 X 2,473 X 0,00343563
217 X 1,1143 X 0,9572 ’ з , |/_ 1090;
(ОД^З)^^
275 • 1/2,175 X V (0,202)’
Должно вычислять так:
log (45,346) = 1,6565390
log(0,1374) = 9,1379867
log (0,0057354) = 7,7585637
8,5530894
0,03573464 1.
Здесь в слагаемых логарифмах две черты; из суммы должно вычитать 20, а как характеристика в сумме выходит 18, то отнимая 10 от 18, остальное 10 означают чертой. Прямое умножение трех дробей дало бы:
sis | Остальные три задачи решаются:
log (575) = 2,7596678 log (2,473) = 0,3932241 log (0,00343563) = 7,5360064 — log (217) = 7,6635403 — log (1,1143) = 9,9529979 — log (0,9572) = 0,0189973
II.II.8,3244338 0,02110735
II.
II.
log (1090) = 3,0374265
у log (1090) = 1,0124755
— 10,29142
log (0,153) = 9,1846914 0,35 log (0,153) = 9,7146420 = —0,8153086
log (2,175) = 0,3374593log (2,175) = 0,3374593log (0,0945) = 8,9754318log (0,0945) = 8,9754318— log (2,175) = 9,6625407— log (2,175) = 9,6625407— log (0,202) = 0,6946486— log (0,202) = 0,6946486— 7 log (0,202) = 4,8625402— 7 log (0,202) = 4,86254020,07 log (2,175) = 0,0236222ylog (0,0945) = 9,7950864— у log (2,175) = 9,8875136— log (275) = 7,5606673 7— у l°g (0,202) = 0,97250800,07 log (2,175) = 0,0236222ylog (0,0945) = 9,7950864— у log (2,175) = 9,8875136— log (275) = 7,5606673 7— у l°g (0,202) = 0,9725080
log (2,175) = 0,3374593
log (2,175) = 0,3374593
log (0,0945) = 8,9754318
log (0,0945) = 8,9754318
— log (2,175) = 9,6625407
— log (2,175) = 9,6625407
— log (0,202) = 0,6946486
— log (0,202) = 0,6946486
— 7 log (0,202) = 4,8625402
— 7 log (0,202) = 4,8625402
0,07 log (2,175) = 0,0236222ylog (0,0945) = 9,7950864— у log (2,175) = 9,8875136
— log (275) = 7,5606673 7
— у l°g (0,202) = 0,9725080
0,07 log (2,175) = 0,0236222ylog (0,0945) = 9,7950864— у log (2,175) = 9,8875136
— log (275) = 7,5606673 7
— у l°g (0,202) = 0,9725080
IV . .IV . .7,95403950,008995797,95403950,00899579
IV . .
IV . .
7,9540395
0,00899579
7,9540395
0,00899579
Из примеров предыдущей статьи можно видеть, как много таблицы логарифмов сокращают вычисление. Для составления са- 316 мых таблиц | существуют различные способы, из которых предложенный в 175 статье, как доказательство возможности определять логарифм всякого числа, делается несравненно уже легче, когда постепенным извлечением квадратного корня заменяем здесь отыскивание десятичных долей в показателе.
В прилагаемой таблице по левую сторону черты поставлены значения постепенно извлекаемого квадратного корня от 10, а на
правой — соответствующий показатель степени от того же основания логарифмов.
317 |
10,0000000001
3,1622776600,5
1,7782794100,25
1,3335214320,125
1,1547819850,0625
1,0746078280,03125
1,0366329280,015625
1,0181517220,0078125
1,0090354050,00390625
1,0045073640,001953125
1,0022511480,0009765625
1,0011249410,000488286
1,0005623130,000244143
1,0003811170,000122071
1,0001403490,000071035
1,0000702720,000030518
1,0000350360,000015259
1,0000175670,000007630
1,0000087840,000003815
1,0000043920,000001907
1,0000021960,000000953
1,0000010980,000000477
1,0000005490,000000238
1,0000002740,000000119 р5]
Пусть теперь требуется найти обыкновенный логарифм от числа а > 1, <10. Число а или должно встретиться между корнями на левой стороне черты, и тогда
318 |
log а = 2"",
где и—целое положительное число. Или а будет заключаться между двух корней так, что
log а >2”™ <2~^4'1;
следовательно,
loga = 2 "-j-logCalO-"1 ”)
Здесь число а 10-2 ” = а' снова > 1 (ст. 165), потому что log а > 2-", и снова найдем или
илиилиlog а' = 2-”',
или
или
log а* = 2 “’" -]_ log (а' 10 2 ”'
2~№,2~№,где целое число т > н, потому что 2-»+i >2-» , 2-»» ,
2~№,
2~№,
log (а' 10-2“”'
Так продолжая, или получим
ии319 | ИЛИ
и
и
где целые числа т > я, г > т и т. д. Если log а не будет найден строго, то по крайней мере последний показатель р можно сделать как угодно великим и, следовательно, принимая ту или другую сумму за log а, допустим ошибку менее, нежели 2_/>-
Когда а > 10, то стоит взять как целое положительное число и, чтоб а10-“>1, <10, найти log (а 10-“), и тогда
log » = «-[- log (а 10-“).
Например, надобно найти log (1024) = 3-|-log (1,024).
320 |320 |1,024 1,018151722 1,005744013 1,004507364 1,001231098 1,001124941 1,000106038 1,000070272 1,000035764 1,000035135 1,000000629 1,000000549 1,000000080 1,000000069 1,000000011 1,0000000091,024 1,018151722 1,005744013 1,004507364 1,001231098 1,001124941 1,000106038 1,000070272 1,000035764 1,000035135 1,000000629 1,000000549 1,000000080 1,000000069 1,000000011 1,0000000091,0057440131,005744013= 1,001231098= 1,0012310981,0001060381,0001060381,0000357641,0000357641,0000006291,0000006291,0000000801,0000000801,0000000111,0000000111,0000000021,000000002
320 |
320 |
1,024 1,018151722 1,005744013 1,004507364 1,001231098 1,001124941 1,000106038 1,000070272 1,000035764 1,000035135 1,000000629 1,000000549 1,000000080 1,000000069 1,000000011 1,000000009
1,024 1,018151722 1,005744013 1,004507364 1,001231098 1,001124941 1,000106038 1,000070272 1,000035764 1,000035135 1,000000629 1,000000549 1,000000080 1,000000069 1,000000011 1,000000009
1,005744013
1,005744013
= 1,001231098
= 1,001231098
1,000106038
1,000106038
1,000035764
1,000035764
1,000000629
1,000000629
1,000000080
1,000000080
1,000000011
1,000000011
1,000000002
1,000000002
Складываем показатели, соответствующие знаменателям в таблице. 0,0078125 0,001953125 0,000488286 0,000030518 0,000015259 0,000000238 0,000000030 0,000000004 0,000000001
log (1,024) = 0,010299960log (1024) = 3,01029996.
Число 1024 = 210; следовательно, log 2 = 0,30102999 6.
Вычисление логарифмов помощию бесконечных строк будет еще другой способ, которому в особенности надобно дать преимущество при составлении таблиц.
321 | Значение бесконечной строки
ж^2 + ^ ^3|" ^4,+ • •. ,
исчезающей для всякого ж<1 по величине (Гл. XI, ст. 153), означим 2/[1-|-ж]. Предполагая не только ж, но также х-\-у-\-ху по величине < 1, получим:
1
^Ki+^Ki+y)^—2(—1)*-^- о+у+^,
знак суммы относя к целым числам от i = 1 до г = оо. Располагая всю строку по степеням ж, у, находим (Гл. XI, ст. 156):
Z [(1 + Ж) (1 + у)] =5 ( - 1У 0 -1) ~X \ У^
где целым положительным числам 1, pi должно давать все возможные значения, лишь бы X —|— р. не делалось более г. Пусть
г— |л = ш, г — \ = и.
Член в строке i[(l + a:)(14"^)L которого хтуп множитель, будет:
7 (i —т}00*~т (г —n)^t—« (m4-^ —^)со«84-го-<
и где, следовательно, число г от т или и может увеличиваться, до т 4- п. Для т = 0 или и = 0 он делается
I—1> —жп или (1)™ —.
Iz пх ' т
Случай, когда п>0, т^н тот же, что и случай т^О^ п^т. Итак, полагаем
т = n-\-r, i = ^4“r4“G>,
где <о, г могут быть или нули, или целые положительные числа, и где одно <о изменяется вместе с г от ш = 0 до ® = п. Множитель при хтуп выражается
V ' ^jV ' ^ 4. to) со Г 4- ш (о гоу (%^ со П — <о
=(-1г+^2Ц4 (^^‘“-i)^^1^^^^
= (_ 1)»+Н-1 ^4^ (» + »•+“ —1)“Г+“•»””“'” (Гл. XI, ст. 145> = <ZZ^tL ^(_те)~'+« w~»-<» = 0 (Гл. XI, ст. 152).
Строка L [(14~ ^) (1 + 2/)] состоит, следовательно, из одних членов, которые не содержат в себе ху и которые происходят, когда полагаем порознь х = 0, у = 0. Это значит
^[(1+Ж)(1+^)]=т;[1+Ж]+£[1+у].
После чего нетрудно доказать для всякого числа w nL [14- ^] = L [(1 4~ ^^j
323 | под условием, чтобы
(14-^)w <2, ж<1.
Пусть теперь 6 > 1 — основание логарифмов. Возвышаем Ъ в такую- степень а, чтоб
6а<2 и полагаем
Число М, модуль логарифмов, может быть вычислен помбщию строки
^^^l^-^-^^-^+i^-1)8--- }• (42)
Далее полагаем
log(l + «)=^-5 ж<1,
где ^, у—целые числа и где р может быть даже отрицательным. Итак (ст. 165),
р 2 А(1 + ж) = &« = (&«) а .
»р
Если Ь* < 2, то и 6 ^ тоже, а следовательцо,
гЬАЪ*А-ЦЬ-А-^,
=log(l+»)-
= ML(b4) = ML(l-\-x\
Таким образом,
log(l + ^) = Af|.T —+(43)
В уравнении (43), полагая— х вместо х и вычитая одну строку из другой, получим:
log^^=2Jf(^+y ^ +4 ж5+ • • -^(44)
а поставивши сюда
1 Ж-2у + 1 * лаходим
log(l + y) =
(11 / 1 V 1 /1 V )
= logy + 2-af| 2у + 1 ~'-'з'\2уЦ-1/\2у + 1} + 1' * |
32о [ —уравнение, которое служит для определения лога]рифма от самого большого начального производителя в целых числах у, 1 + у, когда логарифмы других производителей уже известны.
Вычисление делается еще выгоднее, когда ищем логарифм самого большого начального производителя в числах
ж 4" 2, ж—|—1» х— 1, х—2
помощию строки
log ^х 4" 2) 4" 2 log (ж — 1) — 2 log (ж +1) — log Qx — 2) =
справедливость которой сама собою представляется, если заметим, что
(х — 1)2(ж4"2) ж3—Зж4-2(ж4-1)2(ж— 2) ж3—Зх—2
Если в первой части уравнения (43) ставим а^— 1 вместо х, то, разделяя на х и полагая
^=4ж3+уж5+тгс7А-
г=4ж2+тж4+4ж6+---’
получим:
О) log а11
хМ122
Сравнивая значения X, F с строкою (43), легко заключить, что
32G |Z>-^10g(l-^), y>-A_10g(l-^),
<—^ogC1—ж2),<-2^1og(l—ж2),
после чего
<uloga .12—Зж
Отсюда
log а > (1 — - ж) Мglog (1 — ж2),
< (1 - А ж) М А^ -log (1 - ж2).
Если Ъ— основание логарифмов, то log 6=1.
6 + (2 — Зж) log (1 —ж2)о)
6—Зж* Ь^— 1 ’
4 4" (2—ж)log(l—ж2) ш
4—2ж6Ш — 1 '
С
О) уменьшением ш производитель при —^^ в том и другом выражении приближается к единице, потому что ос приближается к нулю беспредельно (Гл. XI, ст. 149). Можно, следовательно, в» взять довольно малым, чтобы с желаемой точностию принимать
327 |327 |ИИ<0,Ъ”— 1 ’<0,Ъ”— 1 ’
327 |
327 |
И
И
<0,
Ъ”— 1 ’
<0,
Ъ”— 1 ’
для всякого вообще числа а можно взять а> довольно малым, чтобы
log а = Мlog а = Ма?— 1О)а?— 1О)
log а = М
log а = М
а?— 1
О)
а?— 1
О)
или, после найденного значения М^
log «log «аш — 16"— 1 ■аш — 16"— 1 ■
log «
log «
аш — 1
6"— 1 ■
аш — 1
6"— 1 ■
Например, для 6 = 10, <о = 2~23, находим:
ш = 0,00000011920928955...
Ъ™ = 1,000000274489570738...
М= 0,4342944819...
Для ш = 2~10, 6 = 10, а = 2 будет:
а" = 1,000756031706...
6Ш = 1,00251148293...
log 2 = 0,3010299...
В предыдущей статье видели, что
loga = Jf,
если а) довольно мало. Полагая здесь а = 14- ж, получим (Гл. Х1Г ст. 155):
log (1 + Ж) = Jf j Ж + Г (a, _ 1) Ж2 + 2. (<В _ 1)^3 +
328 | Итак, если со до того мало, что в тех членах, которые должно удерживать в строке для точности, вся часть, где входят степени от со, может быть пренебрежена, то
= М | X+. . . I.
I 21 341 j
Так справедливость раз уже доказанного (ст. 171) поверяется впоследствии. Строку, которую здесь должно умножать на М^ чтобы получить log (1 + ж), называют Hewnepoeww или гипгерболънъш логарифмом от 14~^ и пишут
log а = М log hyp а.
Означая в основание таких логарифмов, надобно, следовательно,, принимать
М=log е.
Если же Ъ основание логарифмов, которых модуль Jf, то г.
log hyp 5
Для Ъ = 10 находят
log hyp 10 = 2,30258592994...
Уравнение (ст. 173)
log а = Мlog а = Ма^— 1ша^— 1ш
log а = М
log а = М
а^— 1ш
а^— 1ш
329 | для М = 1 делается
log hyp аlog hyp ааш — 1аш — 1
log hyp а
log hyp а
аш — 1
аш — 1
Если полагаем а = еж и, следовательно,
в^ж— 1
х =.
(О
то находим 1
е® = (1 -j- фж)
тем вернее, чем со менее по величине (ст. 173), Вторую часть уравнения разлагая в строку по степеням х (Гл. XI, ст. 155), получим:
\ 0) ) / с
Если о) до того мало, что все произведения с положительными степенями от <о могут быть отброшены, то
е® = 1 4- х «-|- Же + 9?с + ...;(45)
полагая здесь ж = 1, находим
6 = 2,718281828459...
— основание Непперовых логарифмов.
Справедливость строки (45) можем доказать еще иначе, sso Заметим, что она исчезает для | всякого числа х. Так, если в ней останавливаемся на члене хгс. где г^х, то сумма последующих, сколько бы их ни было взято, менее
и с увеличением г может быть сделана какой угодно малой.
Обозначаем для сокращения [ж] строку (45). Поставивши X, и вместо ж, находим
[X] [^] = 14- (X 4~ у*) Н™ (^ ~Ь Xtt 4~ Рс) 4~ (^ 4~ ^с^ 4" ^ -Ь нЬ ~Ь • • • или (Гл. XI, ст. 151)
[Х]М = [Х + ^].
Откуда следует, для всякого целого числа п,
[X]” = [пА].
После чего для целых положительных чисел п, т находим
1«1«п 1w
1«
1«
— X =[Х}т L J
— X = [Х] т L— X = [Х] т L
— X = [Х] т L
— X = [Х] т L
по крайней мере для X положительного и не допуская воображаемых корней (Гл. XI, ст. 134).
Наконец,
зз1 ] Отсюда
Итак, каково бы число х ни было, всегда [Af = M
Для А = 1 в предыдущей статье было принято
= е.
Следовательно,
е® = [ж].
То же самое, что представляет строка (45), которая также дает-
тем вернее, чем х менее, а потому и модуль логарифмов при: основании е будет единящей (ст. 174).
В строке (45) поставивши
с® = й®^
а следовательно, принимая
х = 2 log hyp а,
332 | получим
а? = 1 + (з log hyp а) -|- г (log hyp «),+ •••Или, разумея под М модуль логарифмов при основании а,се =1 т (if) + (if )„ + (if )е+ ' ■ ■
Здесь 2 представляет log (а2). Так, помощию последней строки находим число, которого логарифм известен [26].
ГЛАВА XIV
О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
Строка (37) в статье 153 Гл. XI доказана для всякого показателя и действительного или воображаемого под видом а 4” 6 К — 1 с действительными числами а, 6, лишь бы х по величине было <2. Если продолжаем ее до того члена, за которым можно пренебрегать значением прочих; потом ставим ех вместо 1 + ^ разумея, следовательно, log hyp (1 + х^ под X; и вместо \п пишем ж, располагая теперь строки по степеням х^ то необходимо должны получить по крайней мере без чувствительной разности уравнение (45), будет ли х действительное или воображаемое. В последнем случае находим
з4з I e'V_1 = L-YM /^1
с числами L^ М действительными, если х тоже действительное, а какое бы, впрочем, по величине ни было, потому что в строке (37) показатель % произвольный.
Числа L, М называют теину с, синус от х и пишут:
е = cos х + г —1 sin я;; (46) содержание sin я? к сов х называют тангенс, cos х к sin х— котангенс. Пишут:
COS X
—= cot яг.
sins;
обратно, х будет Эуга, от которой берутся тригонометрические функции— общее название синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу, которых зависимость от дуги выражается здесь словом функция.
Значения sin#, cos х могут быть вычислены, когда дуга х известна, помощию строк
sin х = х —хс 4" хс —хс 4- .. -,(47)
СО8# = 1 Хс4-Хс ж®4“ • • •)(48)
которые следуют прямо из строки (45) в предыдущей главе и показывают, что sin (—х) = —sin #, cos ( —х) = cos х,
эм, | После чего уравнение (46), когда ставим —х вместо #, сделается
е = cos# — у — 1 sin #,(49)
а произведение этого уравнения на (46) дает:
cos #2 + sin #2 = 1(50)
и определяет одну из функций sin#, cos#, если другая известна. Значения обеих должны, следовательно, заключаться в границах 4-1 и —1; притом значение одной растет, когда другой уменьшается. Начиная с
sin 0 = 0, cos 0=1,sin х растет и cos # уменьшается, по крайней мере пока #довольно мало. То же можно сказать о tang# и cot#, начиная сtang 0 = 0, cot 0 = оо.
Когда в уравнении (46) ставим строки (47) и (48) вместо sin#, cos# потом ш# вместо #, то нетрудно видеть, что
тем вернее, чем w менее (Гл. Х1П, ст. 176). Или под тем же условием
<о# У—1 = (cos #4“ У—1 sin ху — 1
ззо | и (ст. пред.)
— ш# ]/ — 1 = (cos #— V —1 sin ^ — 1,
наконец,
2ш# у — 1 = (cos х 4~ V — 1 sin #)ф — (cos # — У—1 sin ху.
Разделяя на 2 У—1 cos #ш и располагая по степеням tang #, получим: rc = tang«—— 1) Г2 tang ж3 +1 (®—l)^1 tangж6 — ...
тем вернее, чем со менее. Пренебрегая, следовательно, членами, в которые входят степени <о, находим совершенно строго
(51)(51)х = tang х —|- tang ^ + у tang х1 — ...
(51)
(51)
— строку, которая служит для вычисления дуги ж, когда tang ж известен, и которая во всех случаях справедлива, пока исчезает, например, когда tang ж <1.
Строку (51) можно вывести так же прямо из уравнений (46) и (49), которые дают
1—ItangaA
х = ——= log I —5— ,(52)
2]/ —1\1—V — 1 tang х)
потом ставя ]/ — 1 tang ж вместо ж в строке (44) предыдущей главы.. Однако ж, это замечание служит собственно доказательством того, что справедливость уравнения (44) поддерживается и в том случае, когда здесь х умножится на воображаемое число ]/ — 1.
ззб |181. Вычисление помощию строки (51) возможно для tang ж <1
и вообще когда строка исчезает, потому что в этом одном предположении необходимо справедливы и все другие строки, которые в доказательстве подразумевались (ст. пред.).
Так, строка (51) для
1— т: и где о1— т: и где оtang х = — 14“ 1/2
1
— т: и где о
1
— т: и где о
дает дугу, которую обыкновенно означают
71 = 3,1415926536 . . . , следовательно [урав. (52)],
= 1 + (—1+/2)К-1
1 —( —1+V2) V —Г
Возвышая два раза в квадрат, получим:
е^1е^1
е^1
е^1
Умножая на уравнение (49) и сличая с (46), открываем
cos I -^жcos I -^ж= sin ж,= sin ж,sinsin(эЗ>(эЗ>
cos I -^ж
cos I -^ж
= sin ж,
= sin ж,
sin
sin
(эЗ>
(эЗ>
Ставя сюда —ж вместо #, потом -^--)-ж вместо ж, и наконец, *4“# вместо ж, находим
cos (тг -]- ж) = — cos х^ cos (2тг -|“ #) = cos ^cos (тг -]- ж) = — cos х^ cos (2тг -|“ #) = cos ^sin (тг -j- ^) = — sin ж sin (2тс -j- ж) = sin хsin (тг -j- ^) = — sin ж sin (2тс -j- ж) = sin х(54)(54)
cos (тг -]- ж) = — cos х^ cos (2тг -|“ #) = cos ^
cos (тг -]- ж) = — cos х^ cos (2тг -|“ #) = cos ^
sin (тг -j- ^) = — sin ж sin (2тс -j- ж) = sin х
sin (тг -j- ^) = — sin ж sin (2тс -j- ж) = sin х
(54)
(54)
за? | После чего
tang I х I = — cot х^tang (тг 4- х) = tang х.tang I х I = — cot х^tang (тг 4- х) = tang х.cot ^xj = tang х cot ^ 4" x j = — tang x cot (тг -J- ж) = cot xcot ^xj = tang х cot ^ 4" x j = — tang x cot (тг -J- ж) = cot x
tang I х I = — cot х^
tang (тг 4- х) = tang х.
tang I х I = — cot х^
tang (тг 4- х) = tang х.
cot ^xj = tang х cot ^ 4" x j = — tang x cot (тг -J- ж) = cot x
cot ^xj = tang х cot ^ 4" x j = — tang x cot (тг -J- ж) = cot x
И так значения усех тригонометрических функций изменяются периодически возвращаясь те же вновь, когда к дуге присоединяется 2тг. Значения тангенсов и котангенсов возвращаются даже с присоединением тг к дуге.
В уравнениях (54) и (55) в особенности надобно заметить случай ж = 0. Это будет
cos-^- = 0, sin-^- = l, tang-^-= оо,
со8 7г = — 1, sinTr = 0, tang7r = 0, cos 2тг = i5sin 2tt = 9, tang 2тг = 0.
В предыдущей статье мы упомянули, что строка (51) всякий раз справедлива, пока исчезает, и теперь можем доказать, что она, таким образом, справедлива даже для tang х = 1. В этом последнем случае два члена ее сряду дают
2(2г+1) (2г+8) ’
где г— целое положительное число, и могут быть разложены по степеням от i. Пусть самая низшая степень будет 2\ с которой начинается разложение. Целое число г не далее будет встречаться,, как до члена
(4г+1)(4г+3)’(4г+1)(4г+3)’338 |
(4г+1)(4г+3)’
(4г+1)(4г+3)’
потому что
(4г Ц- 1) (4г + 3) — 2 (2г + 1) (2г + 3) = 8г2 —3 > О
по крайней мере для г>0» Итак, значение строки всегда менее суммы членов г2-£, где постоянно
(2r-H)(2r + 3)^ или, еще сильнее, t—1 г>2 2 , а потому значение строки, сколько бы ни продолжалось, всегда менее
v^-^-^^V^1
3246
со всеми целыми положительными числами г от i = 5.
Уравнение (46) умножая на подобное, но где вместо х поставлено у, находим
^»-V^ ^'-^ = cos х cos у — sin x sin у 4* (sin x cos у 4- cos x sin у) V — 1, 339 | и следовательно (ст. 177),
sin (x 4- у) = sin x cos у 4- cos x sin у,(56)
cos (ж 4" У) = cos x cos У —sin x sin У»(^7)
— два уравнения, которые подают средство находить тригонометрические функции от суммы двух дуг, когда они известны от каждой дуги порознь.
Поставивши —у вместо у, еще получим (ст. 177):
sin (ж — у) = sin х cos if — cos x sin у,(58)
cos (ж — у) = cos x cos у 4~ sin x sin y.(59)
Полагая х^у = а, x—y = b, потом складывая и вычитая (56) с (58), (57) с (59), находим:
., . 7 я + 5а—b'
sin а 4~ sin о = 2 sin —— cos —-—»
.• г аД-Ъ . а—Ъ
(60)(60)sin а — sin 6 = 2 cos —^— sin —-— 22
(60)
(60)
,, Л аД-Ъ а—b
cos а 4- cos о = 2 cos —— cos —-—
,„ . a-\-b . а — b
сзза — cos о = — 2 sin —^— sin —-—
В двух последних уравнениях должно заметить случай 5 = 0
l-|-cosa = 2cos— а2,
— cos а = 2 sin ~ а2.
аю | Так находим, начиная с cos у = 0 (ст. 179):
т. 1 cos = —=4]/2т. 1 cos = —=4]/2. ТС1Sin — = —— , 4/2. ТС1Sin — = —— , 4/2
т. 1 cos = —=
4]/2
т. 1 cos = —=
4]/2
. ТС1
Sin — = —— , 4/2
. ТС1
Sin — = —— , 4/2
cos-|-= I-^H-V^, sin-^-=-I-]/2 — ]/2 ,
и можем найти для всякого и целого положительного числа тригонометрические функции от дуги
тс
2” *
Если sin.# от ж = 0 растет вместе с ж (ст, 177) от ж = 0 до х = а и потом его значение должно уменьшаться, то необходимо
sin а > sin (а 4- <°)
как бы со мало ни было; притом, будет ли о» положительное или отрицательное, это требует (ст. пред.) чтоб разность
со
sin (а 4" <°) = sin а = 2 sin — cos
была отрицательным числом как для <о положительного, так и для ш отрицательного. А как в этих двух случаях sin у переменяет знак на противный (ст. 177), то и
coscos0)..= cos a cos sin a sin0)..= cos a cos sin a sinСО
cos
cos
0)..
= cos a cos sin a sin
0)..
= cos a cos sin a sin
2"
также должен менять знак вместе с со. Между тем, такое уравне- 341 ние невозможно, если cos а не нуль; ина|че, уменьшая <о, член
cos a cos у, наконец, сделаем по величине более, нежели sin a sin ~.
342
Полагая cos а = 0, находим (ст. пред.)
11.11
cos — а = —== , sin — а = —= ,
2]/22/2
cosya=y ]/2 + 1/2 , sin у а =у у/2 — У^ ,tang y а =-14-1/2;
следовательно, а = ^- (ст» 179).
Отсюда заключаем, что значения sin я? постоянно растут, cos я;— уменьшаются от х = 0 до ж = -^-, покуда сделается sin х = 1 > cos х — 0 (ст. 177). Значения tang я; растут и cot я; уменьшаются от х = 0 до х = -£-, покуда сделается tang х = оо, cot х = 0.
Итак, всякое число представляет tang я; и cot я?; но sin х и cos яг изображают только те числа, которые по величине < 1.
185. Степени синуса и косинуса могут быть представлены в синусах и косинусах кратных дуг.
Уравнения (46) и (49) дают:
ет V—1 j_ g—ж V 1
cos X =!-
sin х =
^ю V г— 15—® V — 1
(61)
(62)
Отсюда для целого положительного числа -п
2" cos”ж
е-® ^-i)”,
( —I)2 ^s^x — ^e^-^-e-^-^
Располагая по степеням от е® ^~1 и соединяя члены по два, с обоих концов, получим для п чётного:
2”“1 COS” X = COS ПХ + и COS (71 — 2) X 4"
cos (п—4) я?-р . .. +"2* Пс ’ п
( — 1)2 2”-1 sin” х = cos пх — п cos (71 — 2) х +
4~ ^
с\э 2 С
— 1 cos(» — 4)ж— ... -[-( — I)2 — -п^
п
Для 7г нечётного
2”-1 cos” а? = cos пх-\-п cos(n— 2)a?4~
1 + т?^2 cos ^n — 4)a?4-• • • 4"nc 2 cos ж;
n — 1
2 2”-1 sin”a? =8Ш91Ж7isin(n2)^4“
4-7^2° 2 sin (714)^4-... 4" (1) 2 71^ 2 sin X. Например,
2 cos2 x = cos 2^4-1,
22 cos3 x = cos 3x 4- 3 cos a?,
343 |23 cos4 я = cos 4л 4" 4 cos 2^4-3,
24 cos5 x = cos 5a? 4" 5 cos За? 4- Ю cos x^
2 sin2 x = — cos 2a? 4" ^ 22 sin3 x = — sin 3a? 4- 3 sin a?, 23 sin4 x = cos 4a? — 4 cos 2x 4- 3, 24 sin5 x = sin 5a? — 5 sin 3a? 4- Ю sin x.
Синусы и носинусы кратных дуг могут быть представлены в степенях от синусов и косинусов одинаковой дуги.
Уравнения (46) и (49) для п целого положительного числа дают: емо? V - 1 _ (cos ж 4. ]/ — 1 sin х)н, e — nocV — 1 _ (cogх]/ 1 sin х)п.
Складывая и вычитая, располагая потом в степенях cos а? и sin а?, получим:
cos пх = cos” х —п^2 cos”-2 х sin2 х 4- н^ 4 cos”-4 х sin4 х — . .. , sin пх = п cos” -1 х sin х — п^ 3 cos”-3 х sin3 х 4* 7г™ 5 cos”-5 х sin5 х — ...
Обе строки продолжаются, пока степени от siha?, cos х положительные. Например, cos 2а? = cos2 х — sin2 а?, cos За? =s= cos3 х — 3 cos х sin2 а?, 344 |cos 4a? = cos4 x — 6 cos2 x sin2 x 4- sin4 a?,
cos 5a? = cos5 x —10 cos3 x sin2 x 4- 5 cos x sin4 x; sin 2a? = 2 cos x sin a?, sin 3x = 3 cos2 x sin x — sin3 a?, sin 4ж = 4 cos3 x sin x — 4 cos x sin3 a?, sin 5a? = 5 cos4 x sin x —10 cos2 x sin3 x 4- sin4 x.
Если sina = A, сова = Д tang а = О', cot a = D, то, обратно пишут
а = arc sin А = arc cos В = arc tang С = arc cot D.
Например:
tang ^- = 1, А- = arc tang 1.
Из уравнений (56) и (57) следует:
tang (Z + у) =.
° v । л л — tang х tang у
Полагая tang^ = X, tang у = У, получим:
arc tang X-f" arc tang Y = arc tang -—.
1 Al Y
Например:
.1, 5
2 arc tang — = arc tg — ,512
4 arc tang — = arc tg — ,
. ,1.1
4 arc tang -^— = arc tang — .
Из последнего уравнения
тг л ,1.1
— = 4 arc tang* —^ — arc tang —— .
46 56 239
345 ] Отсюда [урав. (51)]
7i = 167i = 16JL5JL5
7i = 16
7i = 16
JL
5
JL
5
— 4 f AA12393
Строки весьма удобные для вычисления тг.
ГЛАВА XV
О ПРИРАЩЕНИИ И СУММОВАНИИ ФУНКЦИЙ
Слово функция^ как мы уже раз упомянули (Гл. XIV, ст. 179), выражает зависимость, в которой одно число находится: с другими, корнями функции. Например, sin#, cos ж, log ж— функции, которых корень я; х^ х°°п— функции, которых корни ж, -п.
Корни функции могут быть постоянными сохраняя всегда одно значение, или переменными^ которых значение изменяется вместе с значением функции. Например, в ж3 показатель представляет постоянный корень функции; в 10®, напротив, показатель изменяется; в log х постоянный корень подразумевается то число, которое берется за основание.
Разность двух значений переменного числа выражается буквой А впереди и называется приращением. Так,
Д/‘(^) = Г(^ + Аж)—W
346 | Здесь Цх) означает какую-нибудь функцию, которой х переменный корень.
Например, для Дж=1и постоянных п, а/.
Джсо» = ^»--1с с *
ж””(ж + 1)х,”+1 ’
Д (— (Ж — 71 — 1)~”-4 =(Ж — 71 — 1)~ « -2,
| 71 ',с J 711 4’
ДI— (ж -4- на —1} =(ж 4- тш — I)?3 ”~2,
| 71 Х 1,е J 711 '1,е ’
^ю пxxn—1
^ (ж+ a)M " па (ж + « +1)” ” +1 ’
Для всякого Дж = <о и постоянного а: ^аж = аж(ат— 1),
Д log х
Д sin х = 2 sin
Д созж = —2 sin
Д tang х
Д cot х
sin о) cos х cos (ж 4" «>) ’ sin о) sin х sin (ж + oj) ’
Для всех вообще функций /*(ж), ср (ж) и постоянного а:
a [f (ж) + ? 0)1 = Д/Хж) + А? М)Д [а /(ж)] = а Д/(ж),Да = 0.
347189. Переход от приращения к самой функции | называют
суммование^ и выражают буквою 2> поставленной впереди. Так
Значит, что
F^x^ Дж) — F(x) = /(ж).
После чего, основываясь на свойстве приращений (ст. пред.), для каких нибудь функций /"(ж), с? (ж) и постоянного а, получим
5 [/■(«)+? (ж)]=S f^+2 ? ^Y
Примеры предыдущей статьи дают:
Для Дж = 1 и постоянных п, а
с
1
Ж.х, п
1
п (х l)^^—1
VI ж /1
^—^(ж + па —1)^«,
Для всякого Аж = (о и постоянного а
2а”2а”а®а™ — 1 ’а®а™ — 1 ’
2а”
2а”
а®
а™ — 1 ’
а®
а™ — 1 ’
2log(1 + v) = 1о$ж’
3483482 sin-у2 sin-у
348
348
2 sin-у
2 sin-у
у1tang х
*4 COS X COS (ж + оз) sin 03 1
у1 cot X
*4 sin x sin (ж —]— to)sin оз *
Пусть У(ж), ^(ж) такие две функции от х, что
2/^)=.^),
и следовательно (ст. пред.),
Е(х + Дж) —F(x) = f(x).
Пусть еще
где функция 6 (ж) должна быть такова, чтобы ф (х + Аж) = 6 (ж)
— уравнение, которое может принадлежать только некоторым значениям ж и Аж. Если ж оно должно быть справедливо для всякого ж и Аж, то неизменяемость ф(ж) с переменою ж на ж-]-Аж показывает, что ^ (ж) не зависит от ж и, следовательно, постоянное число.
Итак, довольно найти какую-нибудь функцию ^(ж), которая бы давала
^(ж+ Аж) — F(x) = У(ж)
349 | и тогда разность со всяким другим значением 2 f^ может быть только постоянное число, которое определяется данным значением ^(ж) для известного ж. По крайней мере строгость заключе-
ния относится к тем случаям, когда х произвольно или когда- решение вопроса достаточно ограничено условиями.
Пусть Дж = <о и /"(ж), F^ две функции от х такие, чтобы
F (ж 4* 0)) — F^x) = f(x\
Ставя сюда х—<о вместо со и так продолжая, потом складывая все уравнения, которых число предположим п, получим
f^x — ^^-f^x—2со) —|— ... 4~^(ж— nw) = F(x)—F(x—пш).
Итак, если а постоянное число, происходит от вычитания из переменного х несколько раз ш, то разности F^—F(a) принадлежит единственное значение. Постоянное а называют началом или первою границей суммы S^^) и пишут
2^)=/-^—Ш) 4-/(Ж_ 2(d)+...+/(«). а
Если теперь х должно быть известное число 6, то говорят, что сумма оканчивается границей х = Ъ, и пишут ъ
2 М = f (а) + f<a+со)4- ... + f (Ь— о>). а
зоо | Например (ст. 187), уравнение
VI _ а®у а” =
дает
и, следовательно,
ДО? дОС—Пи) дОС-и) - I - ДОС— 2ш Г .I— ДОС— Пи)
— 1 Т П 1'
Разделяя на а® и умножая на а,1Ш, находим
а»ш—1а" — 1а»ш—1а" — 1УравнениеУравнение2 cos ж2 cos ж. (О2 sin —. (О2 sin —14- аш4- а2ш । ... 4- «<”—1)ш.
а»ш—1
а" — 1
а»ш—1
а" — 1
Уравнение
Уравнение
2 cos ж
2 cos ж
. (О
2 sin —
. (О
2 sin —
351351дает (Гл. XIV, ст. 181)дает (Гл. XIV, ст. 181). Hto sin —Seos X = . to(D—nwSin —2. Hto sin —Seos X = . to(D—nwSin —2следовательно,следовательно,COS XCOS Xсоа(ж—to) + cos(.r—2to)-|- ... + cos(a?— na)) =соа(ж—to) + cos(.r—2to)-|- ... + cos(a?— na)) =. ПО) smy/ COS I X. to\sin Vx. ПО) smy/ COS I X. to\sin Vx22coco] Уравнение] Уравнение5^sin^ =5^sin^ =. to2 sin-. to2 sin-
351
351
дает (Гл. XIV, ст. 181)
дает (Гл. XIV, ст. 181)
. Hto sin —
Seos X = . to
(D—nwSin —
2
. Hto sin —
Seos X = . to
(D—nwSin —
2
следовательно,
следовательно,
COS X
COS X
соа(ж—to) + cos(.r—2to)-|- ... + cos(a?— na)) =
соа(ж—to) + cos(.r—2to)-|- ... + cos(a?— na)) =
. ПО) smy/
COS I X
. to\
sin Vx
. ПО) smy/
COS I X
. to\
sin Vx
2
2
co
co
] Уравнение
] Уравнение
5^sin^ =
5^sin^ =
. to
2 sin-
. to
2 sin-
дает
^ sin x X—Uto^ sin x X—Uto. Utosm~T. Utosm~Tsin . to smTsin . to smT
^ sin x X—Uto
^ sin x X—Uto
. Utosm~T
. Utosm~T
sin . to smT
sin . to smT
следовательно,
sin (x — co) 4- sin (x — 2(o) -L . • • + sin (x — neo) =
. 1
Sin —to
. 1sin -^"^. 1sin -^"^Sin I X toSin I X to
. 1
sin -^"^
. 1
sin -^"^
Sin I X to
Sin I X to
Границы суммы ставят также и на стороне, указывая на крайние значения переменного числа.
Функцию можно определить из уравнения, где она входит с приращением в первой степени. Такому уравнению даем наперед вид
Цх^АКх^В,
где А, В известные, f(x) искомая функция от ж, <о = Дж. Если полагаем
где <р(ж) новая функция, е—основание Непперовых логарифмов, то уравнение переменится в
352 |Дср(^ = ^е”“х^\
после чего
Перед знаком суммы не нужно разуметь в показателе постоянного, которое всегда уничтожается; перед другой суммой постоянное определяется из частного значения /(ж) (ст. 188).
Если j4 постоянное, то
21og^ = ^log^,
Пусть требуется (14-^)w представить в степенях от х. Полагаем
(14- ху- = 14- ?i W х 4- ф2 ^ х> 4™ ?з 00 я3 4~ • • • ?
для множителей ^(п), <p2(n)- • • принято означение, которое показывает их зависимость от п. Притом они должны выполнить условие
?1(1) = 1, ?2(1) = °, Ы1^0,
Умножая на (1 4~ ж), получим
(14- ж)”+1 = 1 + [?! 00 +1] ж + [?2 00 4- ?i 00] ж2 4-,
следовательно,
?i 0г +1) = ?i 00 +1,
353 |<?2 (П 4"!) = ?2 00 + <Р1 00,
?з 014-1) = ?з 00 + ?2 00,и т. д.
Или, разумея Дп = 1, пишем
д?1 (n) = 1, Д?2 (п) = ф! (п), Д«3 (и) = <?2 00, • • •
От приращений переходя к сумме и принимая в рассуждение условные уравнения, находим (ст. 187) ^00=21=71, ?2 00 = 2 ?1 = ’1?’ 2, ?3 (’0 = i ?1с = Ис ,
И т. д.
Пусть требуется а" -|- &” представить в степенях от а 4- Ъ = А, ab = B.
Если начинаем с
а?-\-№ = Ай — 2В
и умножаем на a 4~ 6 = А, то легко можем видеть, что
а11 -\-Ьп = Ап—<р! (та) А”-25 + ср2 (та) А^^В1 — ..., где
^(n+y — ViOO+i,
Ys (та+1) = <р2 (n) + ^ (та — 1),
?3 (^ + 1) = ?3 W + ?2 (^ — 1), И т. д.
354 । Разумея Дп = 1, из первого уравнения находим (ст. 189) срт (%) = 25 1 = п
2
В прочие уравнения не может входить cpwl(2m — 1) для всякого целого числа т, потому что показатель степени от А не должен быть отрицательным. После чего (ст. 189)
®»»W= 21)-
2m—1
Так постепенно находим (ст. 187)
?2 (4) = 4 (W — 3)’ ?» И = (™ — 4)” 2»
?4 W = 4 ~ 5^2 И Т1 Д1
а” + 6" = А* — таЛ”-2^ 4--^- (та — 3) Ап~4 В4 —
— ^ (и — 4)^22я-6^34- ..
продолжая строку, пока степень от А не сделается отрицательной. Например, полагая
а = cos х + ]/ —Isin ж,
Ъ = cos х—]/ —1 sin я?, получим cos tix = 2ге-1 cos” х—п 2”~3 cos”-2 х -|-
-j-^Cw—3) 2’1-4 сов”-4 ж—... (62)
246246АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ
246
246
12—112—1п
12—1
12—1
355 Строка оканчивается членом (— 1) 2 для и чет|ного, и(— 1) 2 cos ^
для тг нечетного. Она может быть выражена так:
COS ПХ = 2 (1)Г 2п-2г-1 ^ (т?Г1)^ г-1 COSn"2r XCOS ПХ = 2 (1)Г 2п-2г-1 ^ (т?Г1)^ г-1 COSn"2r Xг = О71Т2 ’г = О71Т2 ’П12П12
COS ПХ = 2 (1)Г 2п-2г-1 ^ (т?Г1)^ г-1 COSn"2r X
COS ПХ = 2 (1)Г 2п-2г-1 ^ (т?Г1)^ г-1 COSn"2r X
г = О
71
Т
2 ’
г = О
71
Т
2 ’
П1
2
П1
2
г = О,г = О,со 2г—1СО82гЖсо 2г—1СО82гЖЕсли тг четное и ставим сюда -|г вместо г^ то находим с некоторой переменой (Гл. XI, ст. 145)
г = О,
г = О,
со 2г—1
СО82гЖ
со 2г—1
СО82гЖ
тгГ —"2 ;тгГ —"2 ;ссcos^-C-l^C-l^-i-^^ + r-l
тг
Г —"2 ;
тг
Г —"2 ;
с
с
это значит:
2 COS ПХ = 1IV (cos xfc 4“ и (п 22) (cos ж)с —
—тг2 (тг2 — 22) (тг2 — 42) (сор ж)® 4” и т. д.
Если 7г нечетное и ставим -^^т вместо г, то получим:
^±17г /7г —1 , \^2r о
созтгж = ( —1) 2 2(— l)r22r 2^qricos2^1^;
это значит:
Л=1
— ( — 1) 2 cos их = cos х—(7г2—1) (cos х)^ -]- (тг2 — 1) (7г2—З2) (cos х^ —
—(7г2—1)(тг2—32)(тг2—52) (cos ж)7 4-и т. д.
356 |195. Требуется
а»*1—^4-1
а — 6
для целого положительного числа тг представить в степенях от а-\-Ъ = А^ аЪ = В, Начиная с
а2 — №а — Ъа2 — №а — Ъ= А= А
а2 — №а — Ъ
а2 — №а — Ъ
= А
= А
и умножая на а-\-Ъ = А, находим
YVW+1 Ь^1
^^= А” — ?1 (71) А”-2 В* + Ф2 (71) А"-4 В2 — . .
где
®1(^+1) = ?1(%) —
<р2 (% + !) = ®й (п) — «J (n — I),«з (% -f-1) = <р3 (и) — ®2 (п — 1),и т. д.
Б первом уравнении <рх (2) = 1, после чего суммование дает фх (1ъ) =1% — 1.
Для прочих уравнений заметим, что перед Ап-Ш должен быть множитель ©m(n), и следовательно,
?ю(2т —1) = 0.
Суммуя и удовлетворяя вместе этому последнему условию, находим постепенно
I®2 («) = (» — 2)7 2,
®з(п) = (п —З)73,и т. д.
Например, полагая
а = 008^4“ V — lain ж, b = cos х—^—lain ж,
получим:
smna^ 2п—1 cog п—1 х — /п — 2) 2П™3 cosn“8 х4-sin х1
4"(^ — 3)Г2 cosw”5 х —...(64)
или иначе
г = О, ^^.= У (—Пгг»^-!^ — Т — 1)7*‘СО5,1-2г-1Ж71,71 — 1
Ставя для 71 четного -^ —г — 1 вместо г, находим:
8Ш71Ж sin х8Ш71Ж sin х2(-1)22(-1)2/ nX со 2г+2
8Ш71Ж sin х
8Ш71Ж sin х
2(-1)2
2(-1)2
2 (— 1У2Г I — + г -|-1) cos г +1 ж \J с
г = 0
и 1
r = Y-L
Это значит
(— х) 2 1 ^^ = ^ — 22) сова;^(та2 — 22)(та2—42) (сова;)2 +
4- А (та2 _ 22) (та2 — 42) (та2 — 62) (сов ж)2 — и т. д.
Ставя для п нечетного п 9 1 -—г вместо г, находим:
.— 1,. то2г
п— 12п— 12358 - ?^?^ = (—!)~2(—l^fc^ + r)сов2'а;
п— 1
2
п— 1
2
1 sma; v 77\ 2 с
Это значит
(- 1} 2 IbF = 1 - 0г2 - !) (cos ЖА + (n2 -1) (n2 - 32) (cos a;)* — (n21) (%232)(?l252) (cos tf)^ и T. Д.
Требуется произведение
k+?(i)] k+?(2)][^+?(3)]- • -k+?(7l)]=-P представить в степенях от ж, когда ср (п) изображает какую-нибудь функцию от целого числа ?г.
Полагаем
Р = хп + f^ (п) я^-14- Л О1) ^п ~2 4"...
Умножая на #4"?(п~г1) и сравнивая с принятым выражением для Р^ заключаем:
^^4-1) = ^^)+^^+^
fi (^ +1) = f» W + ® («+1) А (»0,А («+!)=А («)+? («+1) А («),и т. д.
Отсюда помощию суммования и разумея A?i = l, находим:
359 jА (№) = Е ? (« + 1),
А («) = 2 ? («- +1) А 00,A(«-) = S?(«4-1)A0O,и т. д.
Постоянные при суммовании (ст. 190) должны быть определены из того, что для первого уравнения А(1) = ?(1), а для прочих f^m—1) = 0.
Например, для ^ (та) = ап-1, находим
-$=^ = («-1)АМ4-А00,
.^1 = (а- 1)(а3 -1) f. (та)-На3 -1) Д(та) + Д (та),
ИТ. д.;
ДЛЯ Ф (п) = 11 — 1 получим
^(та) = ^таТ4Ц-2таТ\ f3 (та) = 15п~ 6 4- 20п” 5 + бп? 4, и т. д.
Пусть FQn\ ф (п) — какие-нибудь функции от целого числа ^ и которых зависимость выражается уравнением
Г(н-\- l) = F(n)-Yx^(n)F(n —1),
S60 где число х— произвольное. Если начиная с jP(O) = 1, 7^(1) = 1 вычисляем постепенно ^(2), Т^З) и т. д., то находим
F^ -Ш^НА (^)ж2 + /з W^ + . . ., где самая высшая степень от ж, на которой оканчивается строка,, должна быть — или —^— , смотря по тому, и четное или нечетное число. Множители при степенях х ^zlwsxl удовлетворять уравнениям:
А (та 4-1) = ft (та) 4- 6 (та),
fa (” + !) = fa (w) + Ф («-) fi (« — 1),
Д (та 4- 1) = Д (п) 4- Ф (та) f3 (та — 1),и т. д.
После чего
Д (та) = 5ФО1).
д («)=5ф(«)А(^—1), и вообще
fm 00 = 5 Ф 00 А»-1 (« — 1)
под условием, чтобы
Д,(2иг —1) = 0,
потому что с n = 2m начинается суммование (ст. 191).
$61 Нашедши таким образом F (п), получим значе|ние непрерывной дроби, к которой приводит первое уравнение между F(-n) и 4(п): F(n) _1
F(п +1). , я)
'—1)
1' 1+...
* 1-^жф(0)
Например,
Ф (?г) = 7i ^ (7г) = 7г^ 2,
4(7г) = 3тг“4,и т. д.
IJ-w^J-Sti?^^=
1 + (« + 1)^ + 3(» + ЦГ^ + З . 5 (71 + 1)Г6ж3+ . •.
1.ТИС(п — 1)»
Из общего уравнения для fm^n?) находим (ст. 192)
fm (n) = es 1OS * <”> У fm _ /п — 1) е ~~ 2 i°® ф (» +1)
или инаие
Суммование начинается с n = 2m (ст. пред.), и следовательно, постоянное определяется условием
/•го(2т —1) = 0.
Так находим значение непрерывной дроби
363363-^00-^0011F(n 4-1). .ФООН +0г—0-+F(n 4-1). .ФООН +0г—0-+XXXXф (п — 2) 4~ • • • । ж1 Ш'ф (п — 2) 4~ • • • । ж1 Ш'Например,ty (п) = -П -|- 1/д(п) = П~”,Л 00 = (п—1) («—1)«в -1/г 00 = "£■ (w — 2)”2 0г — 2)Например,ty (п) = -П -|- 1/д(п) = П~”,Л 00 = (п—1) («—1)«в -1/г 00 = "£■ (w — 2)”2 0г — 2)
363
363
-^00
-^00
1
1
F(n 4-1). .
ФООН +0г—0-+
F(n 4-1). .
ФООН +0г—0-+
X
X
X
X
ф (п — 2) 4~ • • • । ж
1 Ш'
ф (п — 2) 4~ • • • । ж
1 Ш'
Например,
ty (п) = -П -|- 1/д(п) = П~”,
Л 00 = (п—1) («—1)«в -1
/г 00 = "£■ (w — 2)”2 0г — 2)
Например,
ty (п) = -П -|- 1/д(п) = П~”,
Л 00 = (п—1) («—1)«в -1
/г 00 = "£■ (w — 2)”2 0г — 2)
вообще
. ,(и—т)^^—т)со»->»
Im W2^7 3 2 77777^2
Чтобы видеть справедливость этого последнего выражения, заметим, что принимая An = 1, получим (ст. 188)
Л (W—^q^co тЛ (W—^q^co тт^т^(пY^m— 1T^+iy^+i(пY^m— 1T^+iy^+i
Л (W—^
q^co т
Л (W—^
q^co т
т^
т^
(пY^m— 1
T^+iy^+i
(пY^m— 1
T^+iy^+i
и следовательно,
2
(71—ту>т—1 1 (п—шу (71 *4-l)^”14-1 —71^ m
Итак, значение непрерывной дроби
71-47114
3G4 | может быть представлено такою обыкновенной:
11и —2пи —2п(7г—4)^3З^3 п^3(7г—4)^3З^3 п^3(п—2)^2^ 2^03 2(п—2)^2^ 2^03 2(тг — З)^3З^эЗ^оэЗ(тг — З)^3З^эЗ^оэЗ
1
1
и —2п
и —2п
(7г—4)^3
З^3 п^3
(7г—4)^3
З^3 п^3
(п—2)^
2^ 2^03 2
(п—2)^
2^ 2^03 2
(тг — З)^3З^эЗ^оэЗ
(тг — З)^3З^эЗ^оэЗ
В непрерывной дроби (Гл. VIII, ст. 85)
с обращением в обыкновенную, числители и знаменатели находим постепенно:
Ч — q Ч Ч
5П = 5п ^п-1 Н” ^П-2*
Если полагаем
_ ф (7г)_F^ о _ ф №
п— X ’Хп ’
где х—произвольное число, то две функции ^(п), Ф0г) от целого положительного числа 7г представляются в степенях х;
^(0) = 1,^(1) = ф(1),
Ф (0) = ф (0), Ф (1) = ф (0) ф (1) + х\
и вообще
^ W = f W\i^fi ОО *2 + Л 00 ^ + • •. L
365 |Ф(тг) = ф(7г) { 1 + ?1 (п) ж2 + <р2 (7г)ж4-ф- .. .},
которые выражения постепенно находим посредством уравнений
Е(и^ = ф (7г) F(n—1)+ж2 F(n — 2),ф (п) = ф (?г) Ф (7г — 1) 4~ и2 Ф (п —2),
а также определяем и самые множители при степенях ж: /*(^) = Ф(1)Ф(2) • • • ф(^),
ф (тг) = ф (0) ф (1) ... ф (п),
fl («+1)=fl ^+^)ф(^+1) ’
/•2 (п +1) = f2 (та) 4- ^^^^J >
вообще
Гт (™ + 1) = fw (п) 4- ^Д^Д .
О переменою буквы f на ср те же самые уравнения остаются для множителей <pm Qn\ Наконец, суммование дает (ст. 189)
f м-VjAM^zzlL
_ и л _ v ^-A”—)
?m V J(7г) ф (% -1- 1) ’
где надобно разуметь f0 (7г) = 1, ©0 (7г) = 1 и первую сумму начинать зев с 7г = 27?г, а вторую с | 1г = 2т — 1, потому что <п, или п— 1 самая
высшая степень от х в F^\ п или тг-j-l в Ф(п), смотря по тому, 7г четное или нечетное. Итак, для определения постоянных в сум- мовании служат условия (ст. 191):
fm (27?г — 1) = 0,<pw (2m — 2) = 0.
Например, а произвольное число, ^(тг) = 7г4-« (ст. 189)
(7г — т^т
' т^ т (т 4- а)™ ™ (тг + ау° т 1
(п—7тг+1)Х)”г
^Х) «г (^! _[_ ауэ т ^г ^_ а)х) т *
Для 7г = ОО
^т 00 — т^«^тi^^m ’af(u) = <9 (7г),
так, что
____a^^(a-|-l)^^2^(aj^
Если a = i и -^-ж ставим вместо ж, то получим (Гл. XIII, ст. 177), в30в-001
Ж + 3| 1
л ’ 5 .
Ставя х V—1 вместо ж, находим (Гл. XIV, ст. 179):
х1
tang ж = —
X 1
Некоторые из алгебрагических функций заслуживают особенное замечание. Означаем Еи^ функцию с целыми положительными степенями р к где один из членов р^ представляет самую высшую степень от переменного числа р. Далее, пусть
Др = 1; F°(p) = l; Fl(p)=p\ Fn(ty = Q
зев для всякого числа р и для всякого целого положительного числа п. Если свойство функции Fn(p) таково, что Fn(p-\~^)—Fn^p\ или
где
то, какие бы числа ^ и g ни были, всегда
^(р + з)=^(р)+^”-1(р) j?4te)+ . .. -уЕ^йУ
Это уравнение само по себе справедливо для 7г =1. Допускаем: его и для всех целых положительных чисел тг <г; следовательно, ^(p + ff + a) =^-^(ff)+ ... А^’Ч^
И т. д.и т. д.
Умножая все уравнения по порядку на А, В, ... и складывая^ получим
Д^(^ + 5) = Д^г'(?) + ^Fi—1 (?)F^g) + ... + Д^1 ^Е1"1 (д),
где одно р рассматривается переменным. Суммование дает (ст. 189): ^ to + Й = Е1 to) + Е'"1 to) ^ to + • • • + Е^ (р) Е^1 № + С.
sea | Постоянное С, свободное от р, может заключать д, и определяется, когда полагаем р = 0, следовательно,
F<(q) = C.
К такого рода функциям принадлежат
= £^ti> + «« — 2)?"*1 +^4—~Х (i> + « — 2)”*"’
О первой из них говорено было прежде (Гл. XI, ст. 152). Обе они заключаются в общем виде
^(«)(р) = 5^е^ CL. .^(р + «а + Р^ + тс+ • • . — l)~n-1, где
Л +^+ С+... = 1,«+Р+т+- • • = ^-
Зйак суммы относится к числам а, j3, 7 .. ., которые должны быть все возможные положительные целые или нули. В последнем случае степени от А, Д (?,... почитаются единицами, несмотря на знак внизу.
Действительно, находим:
Дрп-^-^—^аА^ С‘.. .(? + «) to+««+^+Tc+- •l)Mn"2,
370 I№-^н-6)=2Mc^CL.-to+Oto+««+PHie+ • •1)K’”3,
^-Ч^+^^у^^ Cl.. .to+c)to+«a+PHie + - •I)””-2
И т. Д.
Здесь a, p, Y, ... снова подчинены тому же условию. Складывая все уравнения, получим:
Л#”-1 (рЛ-^+ВЕ"-1 to+O + СР’1"1 (р^сП... =Р” to +1)—F’W
Разумея под Е1^ такую же функцию от п с показателем г целым положительным числом, как в предыдущей статье, если означаем [п] строку
l-j-jP1 (7г)ж4-^2(^) ж2 +-F3(?г)it;3
будет ли она бесконечной исчезающей или пресечется сама собой, то находим, какие бы числа 7г, т. ни были (ст. пред.),
[тг] [??г] = [п-]-ш],
— то же свойство двух строк, какое было исследовано прежде (Гл. XI, ст. 178) и которое ведет к заключению, что для всякого показателя т действительного
[?г]ш= [?т],
371 | с тем однако ж, что если т сокращенная дробь с знаменателем г, то на одной стороне еще должно умножить на |/1 и решить потом, которое значение этого корня может быть допущено. Если в \ж\ не входит воображаемый корень У — 1, то ]/1 необходимо -{"I для г нечетного, -{-1 или — 1 для г четного.
Итак, если
В4 (7г +1) = F^n) 4- АР1-1 (7г +«) + ВР<-1 (п + 5) + СР*-1 (п + с) + ...,
и = 1-ур^ (1)^4-_F41)k24-^3(^ то
ип = 1 -]- Р1 (п) х^Р2 (п) х2 4~ F^ (п) ж3 4- * • • > г^1 = г^ 4- х {Аи^» + Вг^ъ 4- C?t»+c + •••}•
Разделяя на и*^ получим
it = 1 -|- ж (Аиа 4- Ви^ 4- Сис 4~ • • • ) •
Пока строка для %iH исчезает, в ней поставивши ^4-^ вместо х, получим новую, расположенную по степеням ш, и где w можем взять столько малым, чтобы довольствоваться без приметной по- 372 грешности двумя первыми членами. Отсюда надоб но заключить, что значение строки должно изменяться постепенно и, сделавшись наперед нулем, переходить из положительного в отрицательное. Последнее уравнение показывает однако ж, что u=Q невозможно, следовательно, перед мп должен всегда стоять или знак 4- , или—, смотря по тому, ип=1 или ии —— 1 для ж = 0, и покуда строка исчезает или, по свойству множителей при ж, покуда не прекратится сама собою.
Например,
^Уи = ж -|- К^ + ^2
дает
и = 14-^У^ •
Здесь, следовательно,
а = -|-, Л = 1, 5 = 0, (7=0,...
м = 1+51 (1)ж + 5^1)ж2 + 53(1) ж3 + ...,
как это можно поверить, разлагая в строку
/ ж 4- КГТж2" V
\2/
по степеням от х (Гл. XI, ст. 155). После чего для всякого и действительного
373 I+7гж+у (п + у)~ ж3 + ^(п + "|")=’4ж5 + --
Чтоб указать, в каком случае строка исчезает, берем содержание двух членов с четными степенями ж2^, х^-^. Оно будет
(71+? — !)(№—? +1)_JJ 3те2 — 1 )
2г(2г —1)4| 2г —1»(2г — 1) j ’
Содержание двух членов с нечетными степенями ж21^1, жм-1
f3о гг2 —1 |
4}2гг(2г + 1) )Ж’
с возрастанием г оба содержания делаются, наконец, постепенно 1
менее -j- по величине и, следовательно, строка исчезает, пока х < 2 (Гл. XI, ст. 153).
Когда строка ип исчезает для действительного ж, то она исчезает также для х У— 1 вместо х. Затем знак перед членом действительным и воображаемым от х = 0 до х = 2 повернётся в частных случаях и должен оставаться тот же, пока действительная или воображаемая часть строки не сделается нулем.
Пусть х = 2 sin ф У — 1, то
и = cos 2<р 4- У — 1 sin 2ф ,ии — cos 27г? 4- У— 1 sin 2?гФ.
Сравнивая действительные и воображаемые части в строке получим:
374374| coswp=l—n2(sin ф)с4“n2(n2—22)(з1пф)с—7г2(?ъ2—22)0ь2—42)(sincp)c4" • • • sin пф = и sin ф — 71 (7г2 — 1) (sin ф)с 4“71 (^2 — 1) (7г2 — З2) (sin ?)е — • • *
374
374
для всякого 7г, пока ф <^- [Гл. XV, ст. 195].
ГЛАВА XVI
РЕШЕНИЕ ДВУЧЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
Уравнение хи = а называется Эвучминим. В нем показатель п переменяется на — зг^ когда ставим — вместо ж, следовательно может всегда быть сделан положительным. Если п — сокращенная дробь с знаменателем т^ то стоит принимать х = ут1 чтобы в уравнении у^ = а показатель згззг был целый. Наконец, х = ууа дает у» = 1, а потому в решении двучленных уравнений хп = а с неизвестным ж, надобно рассматривать только тот случай, когда а = 1 и зг начальное число (Гл. XI, ст. 157 и 164).
Уравнение хи = 1 допускает не более и значений или корней (Гл. XI, ст. 161), которые можно вычислять помощию строк (Гл. ХП, ст. 164), а также представлять в тригонометрических функциях. Мы видели (Гл. XIV, ст. 181), что
375 | следовательно, е2^^> = 1.
_2гс
После чего, ставя со вместо — для сокращения, можем принимать (Гл. XIV, ст. 179)
х = emtoV~1 = cos ^мо у — 1 sin ^Ш)
какое бы целое число ззг ни было. Пока т < п, все значения х различны от ззг = 0 до т = зъ — 1 (Гл. XII, ст. 163), что можем доказать еще, рассматривая содержание двух таких значений и предполагая ззг > ззг.
cosmco+l/—lsinmo,.,.
*—r- - ■ = cos (ззг — пг) co —f- — 1 sin (ni — ззг )w, cos ззг'ш 4” V — lsinm'co
которое делается единицей только с
cos (m—т^ со = 1 и требует, чтобы
(т—ш')о
было нуль или четное целое число (Гл. XIV, ст. 181); но
,о) 2(т —
m — т ) — = — < 2 .
ТСТС
376 | Итак, если
а = cos (о + V — I sin <%
то все 7i различных корней в уравнении хп = 1 будут
а0, а, а2, .. ., а»-1,
где вместо а можно принимать
cos i№ + У— 1 sin то^
лишь бы целое число т было > 0, < 71 (Гл. XII, ст. 163), справедливость чего докажем здесь еще иначе.
Ряд целих чисел от 1 до п— 1, когда и число начальное, будучи умнооюен на целое число т < 7i; дает в делении на п остатки различнее, и следовательно, снова те Dice числа от 1 до п— 1.
Если р > з — два числа из ряда от 1 до 71 — 1, то mQ —g)
не может быть целым, потому что н не заключается ни в т, ни в р—g (Гл. VIII, ст. 90), и, следовательно, остатки в делении тр, mq не должны быть равные.
Итак, если в ряду
а0, ат, а2™, . . . , а^-1^ ^\
ыч | основываясь на том, что аго = 1, вычитаем 71 из показателей, пока они сделаются все < и, то получим
а0, а, а2,. .., а7^1,
хотя расставленные в другом порядке. Это значит, что все корни уравнения хп = 1 происходят от возвышения в степени каждого из них, лишь бы он был воображаемый.
Двучленными уравнениями называются еще
ахи -уЪ — су^
когда неизвестные я, у должны быть определены в целых числах.
Такое условие мы будем выражать
ахп-уЪ = сЦ р7],
не разумея под Ц определенное, но возможное целое число или по крайней мере нуль. Здесь а, 6, с, лишь бы не были неизвле- комые или другого рода неизмеримые, всегда обращаются в целые, между собою начальные, а два из них, а и с, даже в положительные (Гл. X, ст. 114). Если затем показатель тг дробь, то в ней знаменатель т, по сокращении, уничтожается с переменой х на А Наконец, вместо а, Ъ можно удерживать одни остатки в делении на с, понимая, что опущенные числа переходят на другую сторону уравнения и не переменяют здесь принятого вида. После 378 этого де]лается ясно, что целый отрицательный показатель аг допускает теперь возможность решения только в том случае, когда
— целые числа. Если ж аг—целое положительное число, то уравнение переменяется в
хи—А = сЦ.
где А целое число, и дает
аА-\-Ъс
тоже целым. Самое уравнение для х предполагает возможность х1Ъ — А=рЦ(65)
с начальным числом р^ которое будет или с или один из его производителей.
Не только в двучленных, но вообще в уравнении
жп -|- аг хи-г 4" а2 ^п~2 + • •. + ап = рЦ,(6Q)
где все буквы представляют целые числа и р начальное, довольно знать одни положительные значения х<р, которых бывает но более ж
Пусть а<р—положительное значение х. От него происхо 379 дят, с произвольным целым числом X, | значения ж = а ± Ар, которые по величине >^, и от которых обратно можно перейти к а.
Вместо ж поставивши а и вычитая потом из данного уравнения, получим
хп — ап -]- аг (ж71-1 — а”-1) + • • • + ап-1 (ж — а) —РЦ*
Разность хи — аи и все подобные можем представлять в другом виде (Гл. XV, ст. 189):
(ж — а) { жп-1 -]- хп~2 а 4~ ^w“3 а2 4" • • • 4" а”"1} •
После чего уравнение сделается
(ж — а) { жп""14--41^п~14"-^-2^п~"2'Ь • • • +^«-1 \=РД^ где
-А^ = ос 4~ ^i)
А2 = а2 4“ ^а 4~ а^
Л.-1 = аП-1 + а1«”-3 + а2а”-3 + ... + aw_v
Это значит, что в уравнении (66) первая часть всегда делится без остатка на ж — а. Пусть вообще такое деление без остатка будет на (ж — ау и невозможно на (ж — а/^1. Тогда уравнение (66) принимает вид
(ж — ay { х^ 4-4- Р2жп-Г-2 4- . .. } = рЦ,
где г > 0 — целое число, так же Въ В^ ..,. целые числа положительные или отрицательные, подобным образом, как мы видели, что азо Аъ А2, ... необходимо целые числа. Для всякого теперь нового положительного значения х < р разность ж — а, по величине <j?>0, позволяет делить уравнение на (ж — ау и не уничтожает на другой стороне множителя р. Итак, все новые значения х <р должны заключаться в уравнении
хп~у -\- В^1-1*™1 4~ В2хн-Г-2 4" • • • —рЦ,
которому ж = а более не удовлетворяет, потому что ж — а не делит первую часть его без остатка.
Итак, число значений ж возрастает в уравнении (66) одинаково или менее, нежели показатель высшей степени от неизве
стного.
Так, в двучленном уравнении (65), если найдено значение ж = а, и следовательно, жп —ап
к тому известны и различных значений 6 в уравнении
то все а$ также различны (ст. 200) и представляют все и значений х <р.
Например, для
71 м
sei [находим ж = 7, Н = 1, 4, 13, 16; следовательно, х = 11, 6, 10 остальные три значения, а других, <р, существовать не может.
Мы заметили (Гл. УП, ст. 79) возможность для всякого целого числа а найти другое т, чтобы ат — 1 делилось без остатка на рэ начальное число. В этом легко увериться иначе, а вместе доказать и то, что ^ -- должно быть в таком случае целое число.
Остатки в делении степеней
а, а2, а3, . . . , а^-1
на р, не могут быть все различные, потому что между ними нет нулей, а число их р. Если же два из них от ах и aw равны, притом ^>н, то
ах—aw ТТ ax-w— 1 тт
Р = ’ Р
Показатель X — р можно, следовательно, принять за т. Пусть нет другого числа < т^ которое бы давало
= ц
так, что остатки степеней
1, а, а2, а3, . . . , ат-х
382 | все различны. В таком случае или т=р— 1, или произведения их на всякое новое число а < р дадут тоже остатки различные от прежних и между собою, потому что
а {ах — ан*)
не может быть целым, если ах — aw
не было таково. Так же аах — aw
предполагает a — aw-^ = Ц для у. > а,
а —1 ТТ1
= Ц ДЛЯ у, = л,
Во всех трех случаях а находилось бы между остатками от степеней а.
Когда, таким образом, новые остатки с прежними составят все числа от 1 до р— 1, то р— 1 = 2m. Если же между ними не ветре- зев чается числа р < р, ] то произведения степеней а на р опять дадут остатки, различные от всех прежних, потому что
р(ах— aw) рах— aw ^ах— aawр 1 р ’ р
не могут быть целыми. Первые два случая уже доказаны. В последнем
Р«х— aaw
требует, чтобы
Р— aaw-x
-= Ц для у>Х,
[р— а
—-— = Ц для у. = А,
3 — аа™-х + и ——= Ц ДЛЯ у. < А,
и следовательно, предполагает р между прежними остатками.
Когда теперь остатки пополнят все числа дор — 1, то ^т=р—L
Так продолжая, всякий раз будем находить, что т должно быть
дольное число от р— 1.
384 | Например,
212 —1
-Чз- = 315’
2“ — 1232“ — 123= 89,= 89,
2“ — 1
23
2“ — 1
23
= 89,
= 89,
= 2232 р8].
Когда р начальное, то между числами от 1 до р — 1 ветре* чаются такие, от степеней которых остаток в делении на р не прежде бывает единица как с показателем р—1. Они называются основными корнями [29].
Пусть р— 1 = а*№сз..., где а, &, с,... —различные начальные числа, кроме единицы; а, р, у,.., — какие-нибудь целые положительные. Уравнение
х а —1
не допускает более— значений для х<р (ст. 202); следовательно, всегда найдется К.Р, которое уравнению не удовлетворяет. Пусть X > 1, <р остаток от
г(Р-1)а”а
в делении на р. После чего уравнение
= цр
невозможно для г = а”™1, и тем более, когда показатель над а уменьшится. Для чисел г < а”, у которых с аа самый большой общий делитель 6 = а«' с показателем а' = 0 или а' < а, последнее уравнение также невозможно, потому что отыскавши целые числа I, ^ (Гл. X, ст. 117) в
г^ = аа7) 4- 8, получим
Мг21=2^1+д.
р р
Подобным образом находятся числа р., v,... , которые удовлетворяют уравнениям
когда s = №, t=c^ ...и где не может быть s < 6^ t<c\ ... Теперь произведение
Xp.v... = к
будет основным корнем, потому что уравнение
386 | которому удовлетворяет всякое ж, когда n=jp — 1 (ст. 203), не будет уже справедливо, когда х = к^ п<р— 1. Доказывать нужно только для 71 дольного от р—1, следовательно, для
7г = a^l^cV...,
где по крайней мере один из показателей а', р', 7', ... менее того, который ему отвечает в р— 1. Пусть а'< а и пусть
Тогда вместо "к можем ставить какую угодно целую положительную степень от к, например, с показателем
№-^c4-V.. .
После чего получим
— уравнение невозможное [30].
Каоюдый из основных корней определяет все другие, которых для начального числа р бывает столько же, сколько начальных чисел для р— 1.
Пусть к — основной корень. Его степени
к, к2, &3, ..., ki)-1
387 | дают различные остатки (ст. пред.), и следовательно, все числа от 1 до р— 1. Остаток от степени кт снова основной корень, если т и р— 1 не допускают общего делителя > 1, потому что
в этом случае для всякого числа ^ можно сыскать целые 5, Y], так, чтобы
т^ = д-\- (р — 1)^.
Тогда $ будет показатель степени, которая от &иг дает в остатке g (ст. 203). Напротив, если тир— 1 допускают общего делителя 8 > 1, то
р-1W 8 —
показывает, что 1ст— не основной корень.
Например, для р = 19 основной корень 2, которого степени
27, 2и 213, 217;
все другие основные корни 13, 14, 15, 3, 10.
Число основных корней для р определяется, следовательно, вместе с тем, когда находим, сколько может быть начальных чисел с р— 1, разумея р^ как в предыдущей статье, начальное число и принимая
р — 1 — aa№d...,
зав | где а, 6, с, ... —начальные, кроме единицы; а, р, у, ... —какие- нибудь целые положительные числа.
Если р — 1 = аа, то все числа от 1 до р — 1 будут начальные ср — 1, за исключением тех, которые делятся без остатка на а и которые, следовательно, происходят от умножения на а всех чисел по порядку от 1 до аа-1. Итак, начальных чисел с р — 1 в таком случае будет
а« — а*”1 = ак-1 (а — 1).
Всякое теперь число М, начальное с р— 1 = аа№сч..., должно быть также начальным как с а«, так с №^ с'Ц ... порознь. Если даны последние и назовутся А, В, С,..., то
(М—А) = Ца\(М—В) = Ц№,<М—СГ) = Цс\и т. д.
Отсюда всякое другое значение М' для М и которое отвечает тем же Д, В. С,..» дает
^ — М=Ца^
М' — М=Ц№,
М' — М=Цс\
И т. д.,
389 | требуя, чтобы
М' — М=рЦ.
Это значит: числам А, В, С>. .. отвечает одно только значение М<р и которое всегда можно найти, как мы видели выше (Гл. X, ст. 120). Таким образом, число всех М бывает вместе числом соединений всех А с В^ с О,...; следовательно, оно будет
а*-1 ^а _ 1) fcW (b — 1) ст-1 (с _ 1)... pi].
Само по себе разумеется, что всякому числу М принадлежат единственные остатки А, В, С,... в делении на а^, №, ст,..., и следовательно, число соединений, о котором теперь говорили и для которого нашли выражение, будет число основных корней.
Например, р = 67, р—1 = 2-3-11, число основных корней 20, которые будут: 2, 7, 11, 12, 13, 18, -20, 28, 31, 32, 34, 41, 44, 46, 48, 50, 51, 57, 61, 63 [32].
Когда отыскан основной корень 7с, то уравнение хн— А
с целыми числами п, А, р^ из которых и положительное, р к тому* целое, может быть заменено таким:
390 |"к^ — ка = рЦ^
где а известное и $ неизвестное целое число, для определения: которого достаточно (ст. 203), чтобы
^ — (р — 1) т] = а
с целым числом т). Итак, решение невозможно, если общий делитель 8 числам ?г, р— 1 не делит нацело а (Гл. X, ст. 114). Если ж 8 делит вместе а без остатка, то отыскавши наперед целые X, р. так, чтобы (Гл. X, ст. 117)
7iX — (р — 1) р = 8,
получим
88Р,Р,
8
8
Р,
Р,
где р — произвольное целое, которое от нуля до 8 — 1 дает 8 всех различных значений для
В = ОС.В = ОС.Например,Например,ж10 — 3ж10 — 373Здесь 1с = 5, а = 6, 8 = 2. Находим 5 = 15, х = 30,73Здесь 1с = 5, а = 6, 8 = 2. Находим 5 = 15, х = 30,два 51, 43.два 51, 43.значения:значения:(67)(67)
В = ОС.
В = ОС.
Например,
Например,
ж10 — 3
ж10 — 3
73
Здесь 1с = 5, а = 6, 8 = 2. Находим 5 = 15, х = 30,
73
Здесь 1с = 5, а = 6, 8 = 2. Находим 5 = 15, х = 30,
два 51, 43.
два 51, 43.
значения:
значения:
(67)
(67)
именно начальный корень, чтобыименно начальный корень, чтобы(68)(68)391 | Впрочем, необходимости нет знатьДовольно, если найдено такое целое у,4=д.
именно начальный корень, чтобы
именно начальный корень, чтобы
(68)
(68)
Тогда, полагая
п5'—(р —1)4' = 8
и разделяя у^ на р^ в остатке получим значение х. Таким образом, решение двучленных уравнений (65) приводится к тому случаю, который представляет уравнение (68).
В нашем примере два значения
у = 21, 52.
После чего 5 = 29; остатки от деления у^ дают снова
х = ^^ 30.
Если уравнение (68) решено для р начального, то можно потом найти значение х в уравнении
хп — А=ргД(69)
идя постепенно от г = 1 до 7* данного. Так, пусть х = а в
хи — А =рт~гЦ
и, следовательно, вообще здесь
х = а 4- \pY~\
392 । где X —произвольное целое число. Ставя такое выражение для х в (69) и соединяя на другой стороне все члены с множителем ру, получим
аи -(- пап-1Х^г—1 — А =ртЦ.
В предположении а№— Х=рг~1{3, где р — определенное число, остается удовлетворить уравнению
Р -}- 1га”-1 Л = рЦ,
отыскавши X, как это всегда возможно для р начального (Гл. X, ст. 116). Само по себе разумеется, что вычисляя р не нужно удерживать члены с производителем р2.
Например, в
ж3 —3 = 732 • Д
нашли а = 30. После чего
Р = 33, А = 45, ж =1315.
Наконец, если в уравнении (68) число р состоит из а, Ь, с,... степеней от различных начальных чисел, то ж должно быть таково, чтобы ж = а -|- ар
= Р+6/ = Т + су"
И т. д.,
где у, у', у\...—произвольные целые, а, р, 7, ... удовлетворяют З9з уравнению (68), когда здесь место | р занимают числа а, 6, с,...
Значения х в таком случае отыскиваются, как показано было прежде (Гл. X, ст. 120).
Когда и—начальное число, го—один из воображаемых корней в уравнении хи—1=0, то степени w с показателями от 1 до 7г представляют все 7г различных значений х (ст. 202). Итак, всякая степень w с целым показателем, даже и таким, который > 7г и вместо которого можно всегда брать остаток в делении на 7г, дает один из корней в уравнении хп —1 = 0. Наконец, в степенях о> показатели от 1 до 7г — 1, принадлежа одним воображаемым значениям ж, могут быть заменены степенями от основного корня для 7г, потому что степени от такого числа, в делении их на ?г, дают все остатки от 1 до 7г—1 (ст. 206). Пусть "к— этот основной корень, и следовательно,
с целым числом г представляет одно из воображаемых значений х^ которое станем писать короче- И [33]. Когда т*>н— 1, то можно
ставить г — п 1 вместо г, и потому
[г] = [г — п -[" !]•
Если а — дольное число от и— 1, то сумму
M + to + a] + [r + 2a] + ••• +[^ + « —1 —а]
зад ] для краткости означим [г, а] [34], оканчивая всегда членом [г 4“ ^ — 1 — а]. Вот почему [r4~a, a] = [r, а], [г> п-^1] = [г].
Пусть теперь ^^— = т^ и для каких-нибудь чисел р, #
ИМ = [«11,
[Р + «1 [8] = И,
[Р + 2»] И = Ы,
[Р + (ш —1) а] Щ = [«„,].
Здесь к указателю внизу буквы и всегда можно прибавлять 7г— 1, Далее, находим для всяких двух чисел X, ji:
[Р 4- *«] to + lM = К-н+1 + и!
После чего
[Р, а] Ь, а] =
= [wi] + [Mi + а] + [Mi “Ь 2а] +•'••+ [Mi + кт — !) а1 +
4* [^2] + [^2 + а] + IX + 2а] 4” - • • + IX + (пг1) а1 +
+ W + Vum + а1 4” Vum + 2а1+ • • • + 1^т + 0^ — 1) а] =
= IX, *1 + X, »]+•••+ \^т. <4
Число всех членов в произведении [р, а] [^, а], без всякого соединения их, должно быть 7?г2. Между ними некоторые могут быть единицы; однако ж заметим, что если X] — 1, то \и-п а\ = т.
395 | Отсюда нетрудно заключить, что произведение из г множителей таких, как [р, а], должно выражаться суммою подобных членов, которых число без всякого сокращения всегда бывает mi-1 и между которыми единиц может быть только кратное число от т. Так, вообще
[рп а] [р2, а] [рз. «]•••= М, а] + [ы2, а] + [м8, «]+„.,
сколько бы ни было производителей на левой стороне и каковы ни будут jp1? р^. .., различные все или некоторые, или все одинаковые.
Когда сюда вместо ръ р^.., ставим Py-V^ j?2 4* ^ • • • > то и вместо мп м2,... должно писать их-\-^ и2 -|- £,... Давая t различные значения до определенного числа, получим:
5 [^i 4" ^ ^] [р2 4* ^ а]... = 5 Vui + ^; а1 4" 5 [м2 + ^ а1 + • • •
Если различные значения t происходят; когда полагаем t=\& так; что ^ делит а нацело, и принимаем X все числа от нуля а
до -^1, то в таком случае.
2 Vui Н- ^; а1 = Vud ^L
2 [^2 4“ ^; я] = [^2? ^1^ИТ. д.;
Х = 0Х = 0\ = L —1.а\ = L —1.аследовательно,
Х = 0
Х = 0
\ = L —1.а
\ = L —1.а
S[Pi + ^ а][р2 + Х4 а]...=[ми й] + [ы2, й] + ...
396 |212. Оставаясь при тех же означениях, если разумеем -|-=м,
$ воображаемый корень в хт=1^ и полагаем
[У, а] + Цр + 4 а Л-52 [р + 2б?, аН-.-.+^Лр + Ст —1)4 «] = №
то возвышение, обеих сторон в степень т дает (Гл. XII, ст. 156) P^^Vm^Vp, а^с [р + й, я]с VP + 2^ аАс • • • >
где г = р -|- 27 -|- ...; где а, р, 7, ... —все возможные целые числа под условием
а+?+т+ ...=^,
х=оА = т — 1х=оА = т — 1при котором показатель г не переменяется, когда в Р ставим а вместо р, р вместо 7 и т. д. до последней буквы, потому что это бы значило к г придать т. Перестановка же в ряду а, р, 7, ... каждой буквы на место следующей, произойдет еще иначе, когда везде к р приложим ск Итак, все те члены в Р, у которых отнимется общий их множитель m^V^ соединяются в
х=о
А = т — 1
х=о
А = т — 1
2[? + Ч «liWW-tto+^W, a]L..
и могут, следовательно, быть представлены (ст. пред.)
397 |[«1,41 + К, 4 + [«8, 414- • • •
Отсюда видно, каким образом Рл и следовательно |/Р, определяются помощию 5 и тех выражении, которые принадлежат к разряду [р, d\ Если к тому $ известно, то его степени дадут другие значения х в уравнении хт = Х^ а будучи поставлены на место Е в уР, послужат к определению здесь каждого из выражений
[Р, »], [р + й, а], ..., [р + (m —1) а, а],
которых число т то же, что и всех уравнений, и которые находим, как скоро уравнения умножаем на такую степень Е, чтобы ее уничтожить при неизвестном, а потом все складываем. Множители при других неизвестных будут представлять сумму степеней Е с показателями от нуля до т— 1, и которая уничтожается для Е воображаемого.
Решение уравнения
хп = 1
с начальным числом ?г основывается на том, что значение всякого выражения [р, аЪ\ может быть найдено, когда п — 1 делится на аЪ без остатка, когда а, Ъ целые числа, и когда известны значения всех выражений, которые принадлежат к разряду [р, а] или [р, 6], как мы это видели в предыдущей статье.
398 | Так, если
п = 1 -]- аа№сч...,
где а, 5, с, ... —различные начальные числа, кроме единицы; а, р, 7, ... —какие-нибудь целые положительные, то зная наперед корни в уравнениях ^« = 1, ж6 = 1. .. и начиная с
[О, 1] = —1,
можем найти [р, а] для всех целых чисел от р = 0 до р = а— 1, потом [р, а2] от р = 0 до р = а2—1, и так далее [р, аа]. Подобным образом находим [р, а’£], [р, аа62],... Так продолжая, дойдем до значений [р, п— 1], которые представляют уже все степени от х в уравнении хп = 1 (ст. 207).
При вычислении, однако ж, лучше заменять [р] другим означением (<?) [36], разумея под g остаток от деления У1 на п, если й— основной корень для и. В таком случае произведение двух выражений (#), (д') дает (s-j-s'), и> следовательно, всякая степень от (д) получится, когда д умножим на показателя.
Другое замечание для вычисления сделаем то, что если от
[р, а] + Е[^ + ^, а] + Е2|> + 2бг, «]+-..,
399 | где й делит а нацело и где Еш = 1, берем какую-нибудь степень р < т и находим в ней член свободный от Е, составленный и» выражений (^), то член с Ер получится, когда все g умножаем на» ^^, а следовательно, при степени $ он будет найден, если все ^ умножаются на &vd и когда ру — 1 = тЦ. Через такое же умножение происходит член при Е2 из члена при Е, так и далее постепенно. Для примера возьмем уравнение
ж11 = 1.
Здесь начальное число 11 = 1 -|- 2 • 5, для которого 2 можем взять за основной корень. Его степени по порядку дают остатки
2, 4, 8, 5,
Ю, 9,
7, 3, 6, 1;
следовательно,
^ = [0],
ж4=[2],
ж7 = [7], ж10 = [5].
ж2 = [1],
ж5 = [4],
ж8 = [3],
ж3 = [8],
ж6 = [9],
ж3 = [6],
Далее
’[0,2] = [0] + [2] + [4] + [бЦ-[8],
[1,2] = [1] + [3] + [5] + [7] + [9],
ИЛИ[0,2] = (1) + (4) + (5) + (9) + (3),
400 I[1,2] = (2) + (8) + (10) + (7) + (6).
Значения [0, 2] и [1, 2] должно искать из уравнений
[0, 2]+ [1,2] = -^,[0, 2]-[1, 2] = /Р.
Чтобы вычислить Р, достаточно сыскать произведение [0, 2] [1, 2], которое и находим:
[0, 2] [1, 2] = 3.
После чего
[o,2]=^-hXnll; [1,
Называем $ воображаемый корень в ж5 = 7 и полагаем
Х = [0, 10] + $ [2, 10] + V [4, 10] + Е3 [6, 10] + Е4 [8, 10].
А так как здесь (ст. 211)
[О, 10] = [О] = (1),
[2, Ю] = [2] = (4),
[4, 10] = [4] = (5),
[6, 10] = [6] = (9),
[8, 10] = [8] = (3),
А=(1) + Е (4) + V (5) + Е3 (9) + $4 (3), 401 |и постепенно находим:
^ = (2) + 2(7) + 2(3) + Ч(7) + 2(8) + 2(5)} +
+ Е2 { (8) + 2 (6) +2(1) } + Е3 { (6)+ 2 (10) +2 (9) } +
+ Е4 { (10) + 2 (2) + (4)};
X4 = 12 (1) + 6 (3) + 13 (4) + 12 (5) + 10 (6) + 20 (7) +
+16 (9) + 24 (10) +12 +
+ Ц 12 (3) + 6 (9) + 13 (1) +12 (4) +10 (7) + 20 (10) +
+16 (5) + 24(8)+12 } +
+ Е2 {12 (9) + 6 (5) +13 (3) +12 (1) +10 (10) + 20 (8) +
+ 16 (4)+ 24(2)+12} +
+ Е3 {12 (5) + 6 (4) + 13 (9) +12 (3) +10 (8) + 20 (2) +
+ 16(1) + 24(6) + 12} +
+ Н 12 (4) + 6 (1) +13 (5) +12 (9) +10 (2) + 20 (6) +
+ 16(3)+ 24 (7)+ 12}.
Наконец,
Х6 = 120 + 31 [0, 2] + 70 [1,2]+Е {100+60 [О, 2] + 45[1, 2]}4~+ Е2 { 85 [0, 2] + 30 [1, 2]} + Е3 { 60 [0, 2] + 65 [1, 2]} +
+ Е4{50[0, 2]+75[1, 2]}.
После чего, полагая для сокращения
А =
В =
139—39]/ —11
2’
95 + 15]/ —11
2’
А' =
В'=
139 + 39]/ —11
2’
95 —15]/ —11
2’
402 |
с=
— 15 + 55]/ —11
2’
С' =
— 15 — 55]/ —11
2’
D =
— 125—5]/ —11
2’
В' =
— 125 + 5]/ —11
2’
Е =
— 125 — 25]/ —11
2’
Е' =
— 125 + 25]/ —11 2
находим:
х=1/44134^4^4$%
X = ^J+^zp^zp^zp^;X' = V^ + ^4" VD 4- ^С+ VB,X" = i/T+ec+W+W44W,Г = 5|/-^' + SB' + VC + VD' + VE',Y = Vx + W + VB' + № + VC,Y" = ^Х + \E 4- VE + E2C' + VB*,Y" = y/X + HC + VE +$ ^B' + VE.
Зя = ~1+У —1-+X+ X + X" + X", w = —!—^—E 4- у 4. у + Y + Y\ ^ = —i+£^ii + 5Z+ £2Z, + № ^ №,^ 5ж4 = —1 + Г^ —11 4- 54X _]_ $3X 4. VX" + ^E", 5жб=^.1 + V"—и _j_ $зх 4- xx 4- vx" 4- vx".
403 |5a;6 = ~ 1 —]Е=Л4_^_|_$2у/4_ЕзГ,4_^Г4
5^ = -~1~^ ~11 4- v Г4- v y 4- $ Y' 4- ?3 Y\ 5Ж8 = —1—K —11 + $4 у _|_ $3 y- _|_ 52 Y' 4- s Y", ^ =ZzlAxxll _^VX~[-VX + ^X'+VX", 5жю = —1-y —114- $3 у 4- $ У' 4- ^ Y" 4- E2 Y".
Какое бы число начальное 9i ни было, всегда 7г — 1 четное, и, следовательно, всегда могут быть найдены значения [0, 2], [1, 2] помощию квадратных уравнений и по способу, изложенному
выше. Довольно для этого, как мы заметили (ст. пред.), искать произведение [0, 2] [1, 2], потому что всегда
[О, 2] + [1, 2] = -1.
Произведение [0, 2] [1, 2] составляется из суммы произведений [р]И, которые частию могут давать единицы, а частию представлять несколько раз повторенное [0, 1]. Таким образом,
[О, 2] [1, 2] = а + Ж 1L
где а, Ъ — целые положительные. В [0, 1] число членов п— 1, а в производителях [0, 2], [1, 2] их -^^- в каждом; следовательно,,
404 |а + £(п —1)=.
Между тем, всякий член [р] из ряда [0, 2] в умножении на члены из ряда [0, 1] или ни с одним не составит единицы, или только с которым-нибудь одним, потому что все они различны. Итак,, нельзя принимать 2а >п— 1, и с этим ограничением последнее? уравнение допускает только два предположения:
а = 0для n = 1 + 4 Д,
а = ^^и—1) для н = 3 + 4Д.
В первом случае
[0,2] = =1±1Д [1, 2]=-1-^W-.
Если ж п = 3 + 4Д, то
Например,
ж5 = 1;
ж+ж4ж+ж4-1 + 1/5 2-1 + 1/5 2
ж+ж4
ж+ж4
-1 + 1/5 2
-1 + 1/5 2
ОтсюдаОтсюда405 |405 |—i + 1/5, ]/ —5 — 1/5418’/_5+у£418’_ —1—j/5"]/ —5 + /5"48’i+i/5~у/ —5 —/Г—i + 1/5, ]/ —5 — 1/5418’/_5+у£418’_ —1—j/5"]/ —5 + /5"48’i+i/5~у/ —5 —/Г4848
Отсюда
Отсюда
405 |
405 |
—i + 1/5
, ]/ —5 — 1/5
4
18’
/_5+у£
41
8’
_ —1—j/5"
]/ —5 + /5"
4
8’
i+i/5~
у/ —5 —/Г
—i + 1/5
, ]/ —5 — 1/5
4
18’
/_5+у£
41
8’
_ —1—j/5"
]/ —5 + /5"
4
8’
i+i/5~
у/ —5 —/Г
48
48
Если начальное число п = 1-^-4Д, то могут быть определены [0, 4], [1, 4], [2, 4] и [3, 4]. В таком Случае (ст. 211)
[0, 4] + [2, 4] = [0, 2],
[О, 4] [2, 4] = а + 6[0, 2]+ с[1, 2],
где а, 6, с — целые положительные числа и должны быть таковы, чтобы
а+(6+с)——.
Притом
a = 0 для 71 = 1 + 8 Д,
a = ~ (7г — 1) для 7г = 5 + 8Д.
Потом находим
{[0, 4] —[2, 4]}2 = [0, 2]2-4а —46[0, 2] — 4с [1, 2].
Таким же образом должно быть (ст. 209)
{[1, 4] —[3, 4]}2 = [1? 2]2 — 4a — 46 [1, 2] — 4с [0, 2].
Вставляя сюда значения [0, 2], [1, 2], найденные в предыдущей
4a+ 26 +2с— /+ + 26 — 2с) р+, \ 2/4a —{— 26 -]— 2с -|— f ——|— 26 — 2с j V*^*4a+ 26 +2с— /+ + 26 — 2с) р+, \ 2/4a —{— 26 -]— 2с -|— f ——|— 26 — 2с j V*^*статье, получим
4a+ 26 +2с— /+ + 26 — 2с) р+, \ 2/
4a —{— 26 -]— 2с -|— f ——|— 26 — 2с j V*^*
4a+ 26 +2с— /+ + 26 — 2с) р+, \ 2/
4a —{— 26 -]— 2с -|— f ——|— 26 — 2с j V*^*
406 I {[0, 4]-[2,4]Р = ±^- {[1,4]-[3,4]}= = А±^_
Между тем, произведение (ст. 209)
{[0, 4] -[2, 4]} { [1, 4] - [3, 4] } = А + ^[0, 2] + C[l, 2J, где целые числа J., Д С подчинены условию
^+^=^(5+0 = 0.
Здесь А представляет число единиц в разности [0,4][1,4] + [2,4][3,4] [О, 4] [3, 4] + [1, 4] [2, 4],
и, следовательно, может быть только нулем, потому что оно было таково в сумме, которая дает [0, 2] [1, 2] (ст. пред.). Итак, И = О, S4-C = 0,
(
1 □_ л?\ 2/ 1\ 2
—4а + 26 + 2с j —nl —+26 — 2с j = иВ\
Вставляя сюда значения а и 6 +с, в обоих случаях находим
9г = (1 + 46 — 4с)2 + 4S2.
Отсюда заключаем, что всякое начальное число аг = 1 + 4Д 407 составляется из суммы двух квадра|тов, между которыми один необходимо от четного числа. Если полагаем теперь
аг=рй -^"М^ аг =j/2 + 4/2, то находим вместе
(РР* + 4^')2 + 4 (pg' —pqf = тг2, (рр' — 4^Э2 + 4 (р/ +У#)2 = 7г2, 4 (pg' —р'д) ^pqr +/#) = 7г (р2 —р^\
Первые два уравнения показывают, что рд’—р’д^ pg'-^p'q по величине менее 7г, а потому последнее справедливо только для ^2 =р'\ Это значит, что кроме + р и —р других чисел, которые бы давали
аг =^р2 + 4^2
отыскать нельзя. Если ж р найдено, то остается полагать
1 + 46 — 4с = ± р
и тогда получим для п = 1 + 8 Д
7г — 3 ± 2р"=0' 6=—й—7г — 3 ± 2р"=0' 6=—й— 7г + 1 + 2ре~"16 7г + 1 + 2ре~"16
7г — 3 ± 2р
"=0' 6=—й—
7г — 3 ± 2р
"=0' 6=—й—
7г + 1 + 2р
е~"16
7г + 1 + 2р
е~"16
7г — 3 + 2рс- 16 7г — 3 + 2рс- 16
7г — 3 + 2р
с- 16
7г — 3 + 2р
с- 16
для п = 5 4~ 8 Д
,, п — 7 + 2р
„=„-1, 6=—
408 | Из двух знаков берется уже тот, который делает 6, с целыми. Так, находим для n = 1 -]- 8Д
— 1 + Уть . Т/п + РV™
4*8
Для ?1 = 5 + 8Д
Заметим, что разности [0,2] — [1,2]; [0,4] — [2,4]; [1,4] — [3,4] можно почитать положительными или отрицательными произвольно,, покуда основной корень к для начального числа п остается неопределенным, потому что этот знак меняется на противный в [0, 2] — 409 —[1,2], когда вместо ж ставим жй, ког|да в [0,4] — [2,4] или
в [1,4] — [3,4] ставим ^2 вместо х. То же замечание относится к разности [0, 8] — [1, 8] и т. д. ко всем подобным. Если ж к дано, то знак произволен только в уравнениях [0,1] — [1,2]; [0,4] — — [2, 4]; но в разности [1, 4] — [3, 4] он будет определен значением
{[0,4] -[2, 4]} {[1,4]-[3,4]},
которое всего легче найти, сыскавши наперед по способу, изложенному в статье 211,
[0, 4] [1,4]= ^+ г[0, 4] + А [1, 4] 4- А [2, 4] + А [3, 4],
где F, А. А, ...—целые положительные числа или нули. После этого
[1, 4] {[О, 4]-[2, 4] } =
=41 + (Л-Л[1, *]+(/-А) [2, 4] + (А-А)[3, 4],
{[О, 4]-[2, 4]}{[1, 4]-[3, 4]} = (Г-А + А-Гз){[0, 2]—[1, 2]}.
Например, для тъ = 17 находим 7с = 3, jp = l;
[0,4] = (1) +(13) 4-(16)+ (4), [1, 4] = (3) + (5)+ (14)+ (12), [2, 4] = (9) +(15)+ (8)+ (2), [3, 4] = (10) + (11)+ (7)+ (6), [О, 4] [1,4] = 2 [0, 4] + [2, 4] + [3, 4];
но | следовательно, /'=2, А = О, А=1> А = А
{[О, 4]-[2, 4]} {[1, 4]-[3, 4]) = 2 {[0, 2]-[1, 2]}.
После чего
[1, 4] = =+^+
+^+ ^j^ .
Решение уравнения я17 = 1 оканчиваем, когда полагаем
[О, 8] = (1) + (16), [4,8] = (13) +(4);
потом находим
[О, 8] [4, 8] = [1, 4],
+ (16) = А [0, 4] + "|/ 1[0,4Г-[1, 4].
Наконец, присоединяя сюда (1)-(16) = 1, получим
^=|[0, Bi + p+ioTsr^i.
Решение уравнения хп=1 применяется и к уравнению в целых числах
хи — 1 = рЦ,(70)
411411| где п, р— начальные числа и притом (ст. 205)
411
411
р = 1 4- иЦ.
Так, если мы нашли для х воображаемого (ст. 214)
{1 + 2[0,=
то для всякого из значений ж, кроме х = 1, в уравнении (70), должны получить
{l + 2[0,
и, следовательно, такое число 1 + 2 [0, 2], которого квадрат в делении на р дает остаток + ni или —7ъ, смотря по тому, ^-0г— 1) четное или нечетное. Например,
п = 5, р = 41, 132 = 54-4-41;
7i = 3, ^ = 13,62 = —3 4-3 • 13[36].
ГЛАВА XVII
РЕШЕНИЕ ВСЯКОГО АЛГЕВРАГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Уравнение называется алгебрагичестам^ когда в отношении к неизвестному х не требует другого вычисления, кроме сложения, умножения и возвышения в степени, которые всегда могут быть сделаны положительными целыми. Если показатели дробных степе- 412 ней от х приводятся к од|ному общему знаменателю п, то стоит полагать х = уп^ чтобы, заменяя х новым неизвестным у, сделать все показатели целыми. Если показатели дробных степеней от выражения X, куда входит ж, приводятся к общему знаменателю п, то возвышая данное уравнение в степени по порядку до п, можем исключить все различные п— 1 дробные степени от X, и притти к уравнению, где останутся одни целые степени от х. Наконец, отрицательных степеней х не будет, когда самая высшая из них уничтожается с умножением всего уравнения на такую же положительную. Так всякое алгебрагическое уравнение принимает вид
(71)(71)х1г -|- ахп-1 -]- Ъхи-^ 4- сх™-^= О
(71)
(71)
и называется многочленном если множители а, 6, ... при степенях ж, не все вместе нули.
Например, в уравнении
1
2ж2 -к х2 ._
полагая х = у\ получим
У + У । i_2y2
1 + г/2 +1-22/-
Умножая на 1 -|- у2, находим
</2—У + 1 —°-
413 | Число значений для неизвестного х в уравнении (71) не может быть более п, если они должны быть действительные (Гл. V, ст. 54) или воображаемые под видом A-\-B"V —1 с действительными числами JL, В (Гл. XII, ст. 161).
В уравнении (71) второй член уничтожается, когда полагаем
1х = уа.у п
Так получим новое
у” + Ayu^ + Вг/"^ + ... + К= О
с неизвестными у, и где
-В = С —1 (W — 2) а& + Aj (п — 1) с 2а\
K=lc — ...-VcK=lc — ...-Vc/ а- +(«-!)\ 71 /1/ а- +(«-!)\ 71 /1
K=lc — ...-Vc
K=lc — ...-Vc
/ а
- +(«-!)
\ 71 /1
/ а
- +(«-!)
\ 71 /1
Например, в квадратном уравнении
а? 4- ах 4- Ъ = О,
полагая
414 | ПОЛуЧИМ414 | ПОЛуЧИМОтсюдаОтсюданаконец,наконец,1J 4у=+у/ 4а2—^ >^=-4«±1/4а2-61J 4у=+у/ 4а2—^ >^=-4«±1/4а2-6
414 | ПОЛуЧИМ
414 | ПОЛуЧИМ
Отсюда
Отсюда
наконец,
наконец,
1
J 4
у=+у/ 4а2—^ >^=-4«±1/4а2-6
1
J 4
у=+у/ 4а2—^ >^=-4«±1/4а2-6
— два значения для х^ которые или оба действительные для? -^а^^Ъ^ или оба воображаемые для ~ а2 < Ъ. Если одно из них. называем а, другое р, то
а-|-Р = — а, ар = 6,
а квадратное уравнение сделается
(ж— а) (ж — Ю = °>
как было доказано вообще для уравнений (71) (Гл. V, ст. 54 и Гл. XII, ст. 161).
Если а? = 45, то а = р, два значения х делаются одинаковы, а квадратное уравнение принимает вид (я— а)2=0.
Итак, считая значения неизвестного или корни уравнения по числу простых производителей, на которые уравнение разлагается, можем утверждать, что всякому квадратному уравнению принадлежат два корня.
415 |219. Если первую часть уравнения (71) делим на ж — а в отно
шении к х (Гл. V, ст. 50), то в частном получим выражение
xn-i _j_ А^~2 4. s^n-з _j_ сх^ + ... + ЯГ,(72)
где
А = а -|- а,
В = а2 -|- аа 4* 5,
С = а3 -|- аа2 4- 6а 4* б,
К = а”—1 4* аап“2 4" 6ап~3 4" • • •
Остаток в делении
ая + аал~14-5ал-2+ ... 4>£
сделается нулем, если а— корень уравнения (71), которое, таким образом, будет представлено произведением х— а на (72), как это было уже доказано (Гл. ХШ, ст. 204). Все прочие корни уравнения (71), кроме ж=а, должны делать выражение (72) нулем. Пусть они будут р, у, ... все возможны; в таком случае уравнение (71) должно быть то же, что
(ж — а) (х — Р) (х — y) ... = 0.
Так, что
— « = « + £4-7 4-,
Ъ = «£ + «7 + £7 + ... ,
416 |—с = «£7+ ... ,
± & = «Py .,.
Перед Ъ верхний знак относится к п четному, нижний к п— нечетному. Выражения для —а, 6, —с,... будут: сумма чисел а, р, у, ... , сумма их по два, по три и т. д. до произведения их всех, как было сказано в ст. 109, Гл. IX.
Если найдены т только корней а, р, 7, ... или т предполагаем только возможными, то уравнение (71) должно принимать за одно с уравнением
(ж —а) (ж—Р) (ж —у) ... ХР=0,
где Р происходит как частное в делении уравнения (71) на (ж— а) (ж — Р)(ж — !)•••, и следовательно, в том же виде, как первая часть уравнения (71), будет заключать ^-ш самую высшую степень от ж.
В уравнении (71) множители при степенях х могут бить сделаны целыми, если, omi вначале были дробями.
Пусть д— знаменатель в множителе при хп-т. Полагая х = ~-у и умножая все уравнение на дп, уничтожаем знаменателя д при х"-™^ не увеличивая числа других.
и? | Еще иначе можем этого достигнуть, уничтожая в знаменателе все начальные числа порознь. Пусть р— начальное число и jp* заключается в знаменателе при хп*т. Если X — то целое число, для которого (X — l)m<r, кт^г, то стоит принимать у=рх, чтобырг уничтожилось в знаменателе при хп~т. По этому последнему способу всегда выгоднее начинать уничтожение знаменателей в первых членах уравнения и так итти по порядку, чтобы не увеличивать напрасно чисел в счете.
Например,
Когда в уравнении все числа целые, то его целые корни должны заключаться между производителями в последнем члене уравнения.
Если в уравнении корни а, р, 7, ... целые, ни один член не 418 содержит дробей и последний й, | то уравнение может быть представлено произведением (ст. 219)
(ж—а) (ж — Р) (ж—т) ХР,
где Р = 1 или заключает степени от неизвестного ж, а член К в нем, свободный от х,—целое число (ст. 219). Так, что
Тс = Ка^ ...
Испытывая все производители в члене Тс, бравши их с знаком 4- и —, должны, следовательно, отыскать все целые корни уравнения или увериться в их невозможности. Всего легче такое испытание происходит, когда последний член уравнения делим на предположенный корень а, присоединяем множитель при х из предыдущего члена, потом снова делим на а, и так продолжаем, покуда деление будет выходить нацело, и наконец, вся первая часть, уравнения уничтожится. Например,
х^ + Зж3 — 28я2 — 36ж + 144 = 0.
Последний член 144 = 24 • 3 • 3. Делители его:
4, 8, 16,
6, 12, 24, 48,
18, 36, 72, 144.
Испытывая 4, находим
4 • 144 = 36,
4’
419 |-I-. (36— 36)= 0,
А.(о-28) = -7,
А.(-7 + 3) = -!,
А.(_1 + 1) = 0;
следовательно, ж = 4—корень уравнения. Напротив, уравнению УН 7у2 + 49у + б = 0
ни один из делителей 60, положительных и отрицательных, не удовлетворяет, а потому корни уравнения не могут быть целыми.
Когда последнему члену уравнения принадлежит весьма много делителей, которых испытание всех, чтобы открыть между ними корень, было бы затруднительно, то можно прибегнуть еще к такому средству. Пусть к— последний член в уравнении, которое дает числа А, В, когда полагаем в нем ж = 1, х = — 1. Ясно, что делители а, р, 7, ... числа "к могут быть тогда только корнями уравнения, когда а — 1, р — 1, 7 — 1, ... будут вместе делителями А и когда а + 1, р + 1, 7 + 1, ... делят без остатка В. Прибавим к этому, что из всех делителей в к большая часть должна быть иногда отброшена в испытании с предпоследним членом уравнения, которое испытание всегда весьма легко.
Например, в уравнении
ж4 + Зж2 — 28ж2 — 36я + 144 = 0,
42о | которое было приведено выше, из всех делителей числа 144, при испытании с членом — 36ж остаются только числа
2, 3, 4, 6, 12,
которые можем брать положительными и отрицательными. Поставивши в уравнение х = 1^ потом х = — 1, находим А = 84, 5 = 150. Делители А:
1
4,
6,12,
14, 28, 21, 42, 84.
Прибавляя к ним 4- 1 и — 1, открываем одинаковые с прежними + 2, +3, +4, — 1, —3, —2, -6, из которых
+ 2, 4-4, — 3, — 2, -6,
когда вычитаем единицу, остаются делителями числа В = 150, м между ними только —2 не корень уравнения.
Возьмем еще для примера
ж4 — 283ж —420 = 0.
Делители последнего члена 420 = 22-3-5-^7:
1
4,
421 I3, 6, 12,
10, 20, 15, 30, 60,
14, 28, 21, 42, 84, 35, 105, 70, 140, 210, 120.
Здерь А = — 702, В =—136. Сравнение с А заставляет удержать из делителей числа 402 только
+ 2, +4, +3, +10, +7, +14, +28,— 1, — 2, —12, —5,
а по сравнении с В, оставляем + 3, +7, —2, —5, из которых + 7 корень уравнения.
Чтобы не всех делителей последнего члена в уравнении испытывать напрасно, можно наперед определить границы, в которых положительные и отрицательные корни заключаются. Довольно говорить об одних положительных, потому что с переменою неизвестного ж на —ж в уравнении, отрицательные его значения делаются положительными.
Пусть N—самый большой множитель в уравнении с знаком отрицательным, будет ли он при степенях ж или последний член; пусть все множители, от первого члена хп до ^-^ положительные и между ними р самый меньший. Ясно, что всякий положительный корень х должен давать:
422 | Xй + р ^Xn-1 + Хн~^ + ... + жп-г+1) —N(xn~r + хи”г~1 + ... + 1) < 0
или
,^-г+112^-—-х — 1,^-г+112^-—-х — 1хг-i — 1
,^-г+11
2^-—-
х — 1
,^-г+11
2^-—-
х — 1
хп + р —жп-г+1
1 X1
потому что против данного уравнения все положительные члены уменьшились, отрицательные увеличились. После чего для х > 1 должно быть
ж’ж’•-1•-1х -Ур — 1 + Nx~nх -Ур — 1 + Nx~n
ж’
ж’
•-1
•-1
х -Ур — 1 + Nx~n
х -Ур — 1 + Nx~n
А так как здесь при неравенстве положительное число а/-1 менее, то необходимо
Это заключение остается справедливым и тем еще сильнее, когда ставим р = 0. Итак,
Принимая хт=1-]-]/унашли быхт-х (ж—l)=yr (l-f-^)>А,
а потому необходимо
хг < 1 + Nr .
Например, дается уравнение
ж5 + 97ж4 + З7ж3 — 255ж2 — 6804 = 0.
| Здесь У = 6804, г = 3, х < 1 + V6804 < 20 и даже < 12, потому что jp = 37, 122 • 48 > 6804-j-37. После чего из всех делителей числа 6804 для положительных корней можем испытывать только 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9. Для х = 1 первая часть делается 6924 = 2а • 3 • 577, а следовательно, остаются для испытания числа 2, 3, 4, 7, между которыми 3 находим корень.
Уравнения третьей степени или кубические могут быть приведены в такой вид:
ж3 -[- ^ "Ь b = 0.
Вводим сюда новое неизвестное у^ полагая
а
(73)(73)Зу 'Зу 'Уравнение (73) сделается
(73)
(73)
Зу '
Зу '
Откуда, умножая на у3, находим (ст. 218)
Потом, означая о который-нибудь из корней уравнения <o3 = lt получим:
424 | Наконец, принимая тот или другой из двух знаков перед квадратным корнем, получим два различных значения для ж, разумея <о воображаемый корень:
з Г.з г.
оз2]/ — ^ + 1/ 1б» + -1а3 4- ю]/ —Аб —1/ А^Ц-А^
у 2'У 4 ^21 ”у 2 V 4 ' 27
и третье значение, полагая <о = 1, з гу з /,■
Воображаемое значение для со должно быть взято из уравнения
со2 -|~ <о +1 = О
и потому будет“2и потому будет“2, —1—]Л=з0J- = , —1—]Л=з0J- =
и потому будет
“2
и потому будет
“2
, —1—]Л=з
0J- =
, —1—]Л=з
0J- =
Итак, всякому уравнению третьей степени принадлежат три корня, которые, впрочем, могут быть не всегда различные и не все действительные.
Например,
ж3 — 36я — 91 = 0.
Здесь а = — 36, 6 = — 91,
—— 3 Г/— 11■
y^+^-S- у-4ь+/t6^"’-4'
425 J Корни уравнения:
— 7+/~3 —7 —К— 3
из которых один — действительное число, два — воображаемые.
В уравнении (73) один корень всегда действительный^ два другие или воображаемые илг^ действительные, смотря по тому, выполнено или ной условие 27б24-4а8>0.
Пусть для краткости
Корни уравнения (73) будут (ст. пред.):
Если 27б2 + 4а3>0, то р и #— действительные числа; следовательно, один корень p-Vq действительный, а два другие воображаемые.
Если 27б2 + 4а3 = О, то р = q — действительные числа; следовательно, все три корня в уравнении действительные, из которых два притом одинаковы.
Если 2752 + 4а3<0, что предполагает а необходимо отрицательным, то р и q—воображаемые числа, которые всегда можно представить под ви[дом А-\-В V — 1, А — В У — 1 с действительными числами А, В (Гл. XII, ст. 160). Все три корня уравнения сделаются действительными, а именно:
ж=2А; -А-В^З; — А-^ВУз.
Этот случай мы рассмотрим впоследствии особо. Для примера с двумя воображаемыми корнями возьмем уравнение
ж3 —138^ + 812 = 0.
Здесь
а = — 138, 6 = 812, У +2 + +3=150Уз,
$ = -рУ— 406 Д 150 Уз = — 7 Д У"3,
<1 = +“ 406 —150 УК = — 7 —УЗ.
Три корня в уравнении:
« = — 14, 7+зУ^1, — 7— ЗУ^Л.
Другой пример:
ж8 4-15»—24 = 0.
Здесь а = 15, Ъ = —24, следовательно, один только корень действительный. Если он положительный, то должен быть < 1 -{- ]/ 24 ; а если к тому целый, то может быть или 1, или 2, которые числа, однако ж, уравнению не удовлетворяют. Отрицательный корень невозможен, потому что первая часть уравнения с такими числами 427 остается | постоянно отрицательной. Итак, один корень заданного уравнения должно быть неизвлекомое действительное число, а два другие—тоже неизвлекомые воображаемые. Их находим:
|/ Р б2+ а3 = 16,4012195,р = 8,0510243, £ = —1,6387939,.«=1,4128304,ж = —0,7061152 + 3,3819409 ]/—1,.« = —0,7061152—3,3819409 /—1.
Когда все три корня в кубическом уравнении
ж3 — ах 4- Ъ = 0(74)
должны быть действительные, то а необходимо положительное число, 2752^4а3 (ст. пред.). Пусть
Корни уравнения будут (ст. пред.):
ж = р + ^,1(р + ^) + -1(> —<?)]/—3,
— у(2> + ?)—|-G? —
Здесь
р = 2 + £]/^1; q = A — BV— 1,
где А, В для 4Х2 < б2 и для 4Х2 > б2 вычисляются помощию исчезающих строк (Гл. XII, ст. 160). В первом случае
3 /Tf 2-4 X2 2-4-10-16 X4 2-4-10-16-24-30 X6 )
428 |А — — у зу+з.б’^- з.6. 9-12*б4~о-6- 9-12-15-18*6°
X3/Tj2 2-4-10 X2 2 • 4-10 • 16 • 24 Х4_)
В б|/ TIT - 3-6-9 * б2 "Т" 3 • 6 • 9-12-15 ‘б4’
Для 412 > 62
1 - 2 - 5 - 8 / 6 V .3-6-9-12 \2Х/ +'1 - 2 - 5 - 8 / 6 V .3-6-9-12 \2Х/ +'_ 6 8^1 11-2-5 / bV
1 - 2 - 5 - 8 / 6 V .
3-6-9-12 \2Х/ +'
1 - 2 - 5 - 8 / 6 V .
3-6-9-12 \2Х/ +'
21 У Д 33-6 - 9 \21/
з ,— (в= ух) 14з ,— (в= ух) 141 • 23 - 61 • 23 - 6/ ъу\2А// ъу\2А/1 • 2 - 5 - 8 /21у .3 • 6 • 9 - 12 \ b / "*■ '1 • 2 - 5 - 8 /21у .3 • 6 • 9 - 12 \ b / "*■ '
з ,— (
в= ух) 14
з ,— (
в= ух) 14
1 • 2
3 - 6
1 • 2
3 - 6
/ ъу
\2А/
/ ъу
\2А/
1 • 2 - 5 - 8 /21у .
3 • 6 • 9 - 12 \ b / "*■ '
1 • 2 - 5 - 8 /21у .
3 • 6 • 9 - 12 \ b / "*■ '
Корни уравнения в обоих случаях:
ж = 24, — А — ВУз, —А+ВУУ
для 4Х2 = 62 три корня уравнения:
Наконец, если 2762 = 4а3, то X = 0 и корней уравнения только два
различных:
Корни уравнения (74) можно еще вычислять и гораздо удобнее помощию тригонометрических функций и логарифмических таблиц. С этой целию пусть
cos ф =cos ф =
cos ф =
cos ф =
—11 sin ©) з,—11 sin ©) з,429 | —предположение всегда возможное, потому что 2762^4а3. Отсюда находим значение дуги ©. Далее,
—1
1 sin ©) з,
—1
1 sin ©) з,
JP =JP =X2 = -^ a3 sin2 ©,27* ’
JP =
JP =
или (Гл. XIV, ст. 179)
15 =15 =1. 1/-—г •1\
15 =
15 =
cos — © + у — 1 SIR— ср , оо /
5 =5 =а 11/Г •1Cos — ® — |/ — 1 sin—? ооа 11/Г •1Cos — ® — |/ — 1 sin—? оо
5 =
5 =
а 11/Г •1
Cos — ® — |/ — 1 sin—? оо
а 11/Г •1
Cos — ® — |/ — 1 sin—? оо
Вместо дуги ® можно взять 2ir -j- ср, 2к — ® (Гл. XIV, ст. 181), от чего
принятое значение sin ср не переменяется. Таким образом, три корня в уравнении будут:
то же бы самое нашли, если бы не ставя новых значений ср, за корни уравнения принимали: р + ^ «p-V0^ ^Р ^г ^ разумея под ш воображаемое значение в уравнении со3 = 1; следовательно, почитая со (Гл. XIV, ст. 179) за
2COS — т:32COS — т:3 о+ /— lsin —к. о+ /— lsin —к.
2
COS — т:
3
2
COS — т:
3
о
+ /— lsin —к.
о
+ /— lsin —к.
4зо I Для примера возьмем уравнение
ж3 —327® 4-2180 = 0.
/ 14Х21
Здесь а = 327, Ь = 2180, 1/ — 6 = 10,2907952; X = 327, -= = —
4 = — >/1090 {144 = — >/1090 {14110011005 • 8 • 11 • 143•4-5 • 65 • 8 • 11 • 143•4-5 • 6^’Го^1090)1-!^’Го^1090)1-!100 "^100 "^5-8-113-4-55-8-113-4-55 • 8 • 11 • 14 • 17 3-4-5-6-75 • 8 • 11 • 14 • 17 3-4-5-6-7
4 = — >/1090 {14
4 = — >/1090 {14
1
100
1
100
5 • 8 • 11 • 14
3•4-5 • 6
5 • 8 • 11 • 14
3•4-5 • 6
^’Го^1090)1-!
^’Го^1090)1-!
100 "^
100 "^
5-8-11
3-4-5
5-8-11
3-4-5
5 • 8 • 11 • 14 • 17 3-4-5-6-7
5 • 8 • 11 • 14 • 17 3-4-5-6-7
]/Т = 1,7320508,
|/1090 = 10,2914247,
11001100|/Тб90 = 0,10291425,|/Тб90 = 0,10291425,5 • 8 -11 • 14 3-4-5-65 • 8 -11 • 14 3-4-5-6
1100
1100
|/Тб90 = 0,10291425,
|/Тб90 = 0,10291425,
5 • 8 -11 • 14 3-4-5-6
5 • 8 -11 • 14 3-4-5-6
5-."З^5-."З^• 20 -23-27 .-8 - 9•10• 20 -23-27 .-8 - 9•10—V1/1090= 0,00000071
5-.
"З^
5-.
"З^
• 20 -23-27 .-8 - 9•10
• 20 -23-27 .-8 - 9•10
100/ *—!
10,39451576
5-8/1 \2з /
374(100) У 1°90 = °>00343048,
5-...-17 - 203-...-7-85-...-27-283-... -И- 125-...-17 - 203-...-7-85-...-27-283-... -И- 12’ 1 V»,
5-...-17 - 20
3-...-7-8
5-...-27-28
3-... -И- 12
5-...-17 - 20
3-...-7-8
5-...-27-28
3-... -И- 12
l^l /1090 = 0,00001069,
1 \63/
j^l /1090 = 0,00000004
0,00344121 ,
481481А =—10,3910745,— /1090 = 1,78252704,
481
481
• 8 • И / 1 V/З з, Ito+ioo) ТсГ/1«»0 = 0,00130719,
-... -23 / 1 \*/5".,
3—7/щ) + /1090 = 0,00000475,
...-35 / 1 V V» .,
3 77^13 (10б) ^/1090 = 0,00000002 1,78383900,
Т (^о) Л^Г^999 = 0,02970878,
5 --17 / 1 \3 /з~ з
"Ч7 WO 4а-/1090 = 0,00007407,
fen (+)fe/»-0,00000032 0,02970878,
В\ 3 = 1,7540558.
Три корня в уравнении:
ж = — 20,7881490; 12,1451303; 8,6370187.
При употреблении тригонометрических функций должно заметить, что в таблицах дуга к, обыкновенно делится на 180 частей, которые называются градусами-, градус делится на 60 минут, минута на 60 секунд. Градусы, минуты и секунды отличаются знаками °, ', ", поставленными вверху. Так пусть то же уравнение
ж®—327®+ 2180 = 0
«а | требуется решить помощию тригонометрических функций. Здесь
log 3 = 0,477121log 3 = 0,477121ж = — 2 cos 4 ?/109ж = — 2 cos 4 ?/109
log 3 = 0,477121
log 3 = 0,477121
ж = — 2 cos 4 ?/109
ж = — 2 cos 4 ?/109
— log 327 = 7,4854522 8,9625734log coso = 9,9812867о = 16°41,56",34- о = 5°33'58",8-|к+-^-ф=12д°зз'58",8 о о^ т.— у о = 114°26'1",2-|-log 109= 1,0187132log 2 =0,3010300— л ? 1 = 9,7646581 1,0844013 ж =12,1451— log 327 = 7,4854522 8,9625734log coso = 9,9812867о = 16°41,56",34- о = 5°33'58",8-|к+-^-ф=12д°зз'58",8 о о^ т.— у о = 114°26'1",2-|-log 109= 1,0187132log 2 =0,3010300— л ? 1 = 9,7646581 1,0844013 ж =12,1451log 109 = 2,0373265-| log 109 = 1,0187132log 2 = 0,3010300 log cos-i- ? = 9,9979473 1,3176905ж = — 20,78215log 109 = 2,0373265-| log 109 = 1,0187132log 2 = 0,3010300 log cos-i- ? = 9,9979473 1,3176905ж = — 20,782152 log 109 = 1,0187132 log 2 = 0,3010300/211-log cos ( — тс— cp I = 9,61662200,9363652x = 8,63702 log 109 = 1,0187132 log 2 = 0,3010300/211-log cos ( — тс— cp I = 9,61662200,9363652x = 8,6370
— log 327 = 7,4854522 8,9625734
log coso = 9,9812867
о = 16°41,56",3
4- о = 5°33'58",8
-|к+-^-ф=12д°зз'58",8 о о
^ т.— у о = 114°26'1",2
-|-log 109= 1,0187132
log 2 =0,3010300
— л ? 1 = 9,7646581 1,0844013 ж =12,1451
— log 327 = 7,4854522 8,9625734
log coso = 9,9812867
о = 16°41,56",3
4- о = 5°33'58",8
-|к+-^-ф=12д°зз'58",8 о о
^ т.— у о = 114°26'1",2
-|-log 109= 1,0187132
log 2 =0,3010300
— л ? 1 = 9,7646581 1,0844013 ж =12,1451
log 109 = 2,0373265
-| log 109 = 1,0187132
log 2 = 0,3010300 log cos-i- ? = 9,9979473 1,3176905
ж = — 20,78215
log 109 = 2,0373265
-| log 109 = 1,0187132
log 2 = 0,3010300 log cos-i- ? = 9,9979473 1,3176905
ж = — 20,78215
2 log 109 = 1,0187132 log 2 = 0,3010300
/211-
log cos ( — тс— cp I = 9,6166220
0,9363652
x = 8,6370
2 log 109 = 1,0187132 log 2 = 0,3010300
/211-
log cos ( — тс— cp I = 9,6166220
0,9363652
x = 8,6370
Можно употребить также тригонометрические функции с сокращением вычисления, когда один только корень действительный в кубическом уравнении
ж3 + ах-\-Ъ = ^.
В таком случае надобно искать для а положительного
433 |433 |..2а]/ а .„,2 1 ,
433 |
433 |
tang ф = =_» tangd ф = tang2 —- ф
36]/ 3
Z= + Sin — ТСф 1/ -—;— , X=Sin — тсЧ-ф I/ —— , ~\ 4) V ^sin 2?\ 4 )V sin 2ф
принимая верхний знак для 6 положительного, нижний для Ъ* отрицательного. Корни уравнения будут:
ж = — ^L, L MV — 1, L — ЛГ|/ — 1.
Если же
ж3 — ах -|- Ь = О, где а положительное, то
. ,2а]/а~„1
^^"зб/Г’ tang ^^g т^’
L = + sin^-i-it + ejl/^ — .а , М =sin(-l-ir — ©)\/ \ 47 V 3 sin 2© ’\ 47 |/ sin 2<р ’
где L принимается вместе с Ъ положительным или отрицательным. Корни уравнения будут:
ж = —2Д l^mV*"—^ l—mV^a.
Для примера возьмем уравнение в ст. 225
ж3 —|— 15ж — 24 = 0.
Здесь а = 15, 6 =— 24;
log 125 = 2,0969100
log sin 2® =
9,9210195
log 144 = 2,1583625
1 log sin 2® =
9,9605097
*34 |2 log tang ф = 9,9385475
! . /1\
log sin 1 — TCФ ) =
9,4599065
log tang ф =^,9692737
— log sin 2ф =
0,0394903
ф = 42°58'29",4
4iogs=
0,3494850
-|ф = 21°29'14",7
logZ =
9,848818
log tang 1"ф = 9,5951177
L =
— 0,70612
2 log tang-1 ф — 9,1902354
log Sin 1-J-^ + ? 1 =
9,9811518
log tang © = 9,7300751
—у log sin 2© =
0,0394903
© = 28°14'28",8
— log 10 =
0,5880456
2© = 56°28'27",6
log M=
0,6086877
1- я — © = 16’45'31",2
Ал-{-о = 73=14'28",8
M=
: 4,06151
«5 |Ж = 1,41221
— 0,70612 + 4,06151/— 1
— 0,70612 — 4,06151/ — 1.
Всякое уравнение четвертой степени может быть приведено в такой вид (ст. 217):
ж4Ц-ож2-|-6ж + с = 0,(75)
для решения которого берем два полных уравнения третьей степени
уЗ + ж^ + ж^ + ж'^О, |у3—жу2-]-ж'у— ж" = 0, /
где корни одного те же по величине, что и в другом, но с противным знаком (ст. 219). Произведение двух уравнений (76) дает
23 -|- (2а/ — ж2) г2 4~ (ж'2 — ^хх'^ 2 — ж"2 = 0,
где 2 поставлено вместо у2. Полагаем
2я/— х^=р^ х,<21 — ^хх” = ^ х'^-^г — три уравнения, откуда исключая х\ хг\ получим
ж4 4“ ^Р^2 — 8xVг 4~JP2 — 4^ = 0,
которое уравнение делается одинаково с данным (75), если
а следовательно, если Р, Q, Р— три корня уравнения
Vp-YVQ-yVR
должно давать х— сумму значений у в первом уравнении (76), под условием, однако ж,
Vp.VQ-VR=-^b,
которому условию удовлетворяя, находим четыре корня в данном
уравнении (75):
Vp-WQ^VX
Vp-Vq-VR,
-Vp^VQ-VX
—Vp—VQ-YVR-
Например,
#4 —124#2 — 336# +1152 = 0.
Находим
23 _ 6222 _|_ 6732 _ 1764 = 0.
Три значения г;
Р = 4, Q = 9, 5 = 49.
Четыре значения х\
12, —6, —8.
В уравнении четвертой степени все четыре корня могут быть да? действительные, или два | только, а два другие воображаемые под видом А-\-Вд/— 1 с действительными числами А, В; или, наконец, такого вида все четыре воображаемые.
Если таковы корни всякого уравнения четвертой степени без второго члена, так они должны быть таковы же и во всяком полном уравнении четвертой степени (ст. 218).
В уравнении без второго члена
#4 4~ я#2 + Ьх + с = 0(75)
значения х будут (ст. пред.):
VP-VVQ-VVR.
VP—VQ—VR.
— yP-yyQ—у В,
-Vp—vQ-^VX
где Р, Q, В представляют корни в кубическом уравнении (ст. пред.) 1/ 11 \1
А2, Р2, С2,А2, Р2, С2,и должны быть, с тем, чтобы последний член выходил отрицательный (ст. 219),
А2, Р2, С2,
А2, Р2, С2,
или
— 22, 52, С\
и наконец,
А^ (^+ су^Т), (B — CV^T),
где А, В, С—действительные числа. Итак, могут встретиться три случая (Гл. XII, ст. 159):
*>8 |ув=А, Vq = b, Vr = c,
ИЛИ
ур^АУ^л, yq^By^ У% = С,
или, наконец,
Ур=а, Уд=в4-су^1, ув=в—ау=1.
Под А, В, С разумеются опять какие-нибудь действительные числа, хотя бы новые. В первом из этих случаев все четыре корня уравнения (75) действительные; во втором они все воображаемые под видом L-\-M У—1 с действительными числами Д М; в последнем— два воображаемые такого же вида и два действительные.
Должно заметить, что в уравнении третьей и четвертой степени, как было уже доказано и для всех уравнений (Гл. XII, ст. 164), всякий воображаемый корень Ь-^МУ—1 предполагает другой L — МД/*—1; а потому уравнение четвертой степени всегда можно представить в таком виде
(ж2 + ах -J- С) (ж2 + Ах + В) = 0
с действительными числами а, 6, А, В^ умножая производителя ^ — L — MV—1 в уравнении на производителя х— L-VМУ—1 .
К решению уравнения (75) можем притти еще другим путем, полагая
(ж2 — ^У2 х-^-^Ух^— ^Уг ж + у,) = 0,
439 |у'-Уу = а-У^, у' -у = -^—, уу' = с.
2]/ 2
Из трех последних уравнений исключая у, у'^ получим
— такое же уравнение для г, как и в предыдущей статье. Потом
4УУ
' = 7Га + 7=-"Т^2'
2^Уг
Значения ж будут корни двух квадратных уравнений
ж2-|~2]/г.ггж4-у = 0,ж2—2]/7 ж + у' = 0;
следовательно,
«о | Если называем /, У' другие два корня в уравнении для z, то
(ст. 219)(ст. 219)г + /+У = -|«,г + /+У = -|«,
(ст. 219)
(ст. 219)
г + /+У = -|«,
г + /+У = -|«,
2^7 = -^т 62.
ОтсюдаОтсюда(У/^у^—Аа(У/^у^—Аа^Уг^Уг
Отсюда
Отсюда
(У/^у^—Аа
(У/^у^—Аа
^Уг
^Уг
Q/7—У^=——а
v24^7
следовательно, значения ж могут быть еще выражены так!
ж = — /г-//2' + У г",
Знак, до сих пор еще произвольный в }/^, должен зависеть в данном уравнении от множителя 6, который, представляя сумму отрицательных произведений из всех корней по три, требует, чтобы (ст. 219)
как мы нашли это последнее условие и значения ж в предыдущей статье.
Корни в уравнении четвертой степени
441 |.ж4 + ах^ 4“ Ьх + с = 0(77)
все действительные, когда таковы корни в
^3 + у «^2+^«2——^»2 = 0(78)
и притом все три положительные (ст. 228). Это последнее требование предполагает (ст. 219)
а < 0 аг> 4с.
Обратно: если эти условия выполнены, то в уравнении (78) множители при степенях г и последний член будут попеременно с знаками + и —; следовательно, г не может быть отрицательным.
В уравнение (78) поставивши 2 = у—— а, получим
у3—а2+ v+ас^ =0
у \481 4 / у \8641 6424 /
— уравнение, которого все корни будут тогда только действительные, когда (ст. 225)
1/111\2 1/11 \3
4 \8641 6424 / ==27 \484 /
Итак, условия, чтобы все корни уравнения (77) были действительные, заключаются в следующем:
а<0,|
а2>4с,(79)
(2а3+27&2— 72ас)2^4(а2+12с)3. I
442 Если последнее выполнено, но одному из двух первых иля юбоим вместе не удовлетворено, то в уравнении (78) должны быть
отрицательные корни и притом два, как этого требует знак в последнем члене; а следовательно, все четыре корня в уравнении (77) должны быть воображаемые.
Если последнее из условий не выполнено, то два корня в уравнении (78) воображаемые (ст. 225), а третий — действительный и иритом положительный, как показывает последний член уравнения. Итак, в этом случае два корня в уравнении (77) действительные и два воображаемые.
Условия (79) могут быть представлены в другом виде простее и выражать действительность всех корней в уравнении (77). Последнее из них требует, чтобы а2-|-12с было поло зрительным, и переменяется в
(8а3 + 27б2) [8а3 + 27б2 — 12а (а2 + 12с)] ^^ 6 (а^ + 12с)2 (12с— 5а2).
Здесь 5а2 — 12с положительное число вместе с а2—4с; следовательно, всегда
8а3 + 27б2 < 0.
Итак, для с положительного числа в уравнении (77) все корни действительные, когда
а<0, а2 > 4с, 8а3 + ^7б2<0.
Для с отрицательного все корни в уравнении (77) действительные, когда
443443|а < 0, а2 + 12с>0, 8а3 + 27б2<0.
443
443
Общее решение уравнений далее четвертой степени еще до сих пор не найдено [37]. Надобно довольствоваться только исследованием тех свойств, которые принадлежат корням уравнений и ведут к различным способам вычисления, когда требуется определить значения в числах.
Для подобных исследований будем разуметь под F4(^) выражение
хп + а,^-1 + а^-^ + • • • + а»->
так что JFn(a?) = O представляет всякое алгебрагическое уравнение с неопределенным показателем тг, который, однако ж, должен
быть цедое положительное число (ст. 217). Означаем еще
Ei (ж) = «ж”-1 -j- (п— 1) а^”-3 -]- (п — 2) а^-3
EI (ж) = там2 ж”-2 + (» — I)”2 а^ж”-3 -{- (п —2)”2 «зж”-4 + ..., ^(ж) = там3жта-3 + (д —1)~3 а^ +(7г—2Г3 а^"5 + • • •, и так далее до
Е^ = ^-
Если Е"(ж)=у, то значения ж, у в зависимости друг от друга; притом ж произвольное, покуда у не определено. Если же у = О, то число различных значений ж не может быть болёе п.
«* | Если в Еп(ж) переменяем ж на ж 4-®, то приращение в значении Е"(ж) находим
ДЕ" (ж) = Р? (ж) ф + X' (Ж) Ф2С + К (ж) ф3 + ... + ф”.
Если х таково, что ^п(ж), ш и М?п(х) можно пренебрегать за малостию при назначенной точности для вычисления, то ж принимается за корень уравнения Еп(х) = 0. В таком случае F^x), <о и М?п(х\ уменьшаясь вместе и беспредельно, служат для вычисления корня х чрез приближение.
Между двумя значениями х = х\ х = хп, которие дают для Ъп ($ числа с противними знаками, должен находиться корень уравнения 1п(х) = Ъ и может бить вычислен но крайней мере чрез приближение с какой угодно точностью.
Если Fn (х') = у\ Fn (х") = уп —два числа с противными знаками, притом хи>х\ то всякое число хт<хи, >х* должно давать F(xw) = yw так, что у,г' может быть или нулем, или числом, которого знак противный с знаком одного из чисел у', у”. Д^я у'" = Ъ корень уравнения Рп(х) = 0 будет х = хт. Если же ут не нуль, то пусть у”, ут—числа с противными знаками. В таком случае снова взявши з^ <aj,r.>x\ получим или Ъи^п^ = йч и> следовательно, х,п—корень уравнения ^л(ж) = 0; или Pn^N^ = yXN, где 445 знак числа yIV противный с знаком одного из двух | чисел у", у'". Продолжая всегда брать для х число между теми двумя впереди, которые дают Fn(x) с противными знаками, должны необходимо или встретить корень уравнения Fn^ — t^ или, по крайней мере, сближать как угодно границы для значений х. Чтобы
такое вычисление могло давать х корнем уравнения 1п (ж) = 0г остается доказать только, что здесь Fn(x) и А F№ (х) уменьшаются беспредельно.
Пусть х = а^ ж = р дают 7^ (a), ^(Р)—два числа с противными знаками. Ставя а-\-Ъх вместо х и разделяя Еп(х) на 6П, получим под таким же видом новое выражение, где можем взять так а и 6, чтобы числам аир отвечали теперь для х два числа А, В оба положительные и каждое более единицы. Для этого надобно только, чтобы а—а, р — а были с одинаким знаком, и с тем же знаком Ь- довольно мало, чтобы
а — а > 6, р — а > 6.
Итак, допускаем, что Fn(A), Fn(B) с противными знаками; А > 1, В > 1, А > В — числа положительные, помощию которых находим, как сейчас видели, или корень уравнения Fn(x) = 0t или два числа х + со> 1 < А, х> 1> В^ притом со сколько угодно малым. Теперь разумея Аж = <о, получим
Д^« (Ж) = Fn (Ж 4- ш) — Еп (со)
ш [ —приращение в F^x^ которое по величине должно составляться сложением двух чисел Fn (х + со), Fn(x). Это приращение будет-
и где множитель при степени ж^-т представляет (ст. пред.)
1%(*) = Ст+ (« -1)™ ai^-”1-1 + • •. + тТ ат.
Если называем р самое большое положительное число между ап а2 и проч., на которые умножаются степени ж в Еп^в\ разумея тут же и последний член, свободный от ж, то обращая внимание только на величину, можем писать:
^п—121+1 J
« (ж) <^~т + ж"-”1-1 + ... + 1) < n~mp ж_1- -
После чего
1 ЬЕп (ж) <
<71(ж” —Х)®-}-»!002 (^-l — !)^-!- _ _ -j-7l~” (ж —1)<0". Отсюда
ДЕ" (ж) <^И { (ж + <о)” —ж"—(1 + ш)" + 1}.
447447448448
447
447
448
448
Это неравенство еще усиливается, когда вместо ж | на левой стороне в числителе ставим А, в знаменателе Б. Итак, по величине
AF1 (ж) <{(А + ф)” — А" — (1 + ф)п + 1) }.
С уменьшением ш разность Fn (ж + со) — F71 (ж) уменьшается^ следовательно, беспредельно; а как Fn(х + ®), Fw^ с противными знаками, то F11^ таким же образом должно уменьшаться, покуда х можно будет принимать за корень уравнения .5”(я) = 0.
В уравнениях с нечетним показателем по крайней мере один корень необходимо действительней.
В уравнении Fn(x) = 0 можно взять х всегда довольно велико, чтобы первый член по величине превосходил значение всех прочих. Пусть сумма этих последних увеличится тем, что все множители при степенях х и свободный член от х будут взяты с одним знаком и заменены самым большим из них р. Содержание к первому члену суммы всех других сделается
—(1 _ ж-») х—
и следовательно, с возрастанием х может быть сделано как угодно малым.
| Итак, с увеличением х значение Fn (ж) делается, наконец, положительным или отрицательным, смотря по тому, какой знак принадлежит первому члену ж”, который для п нечетного бывает вместе с х положительным или отрицательным. В этом последнем случае для х можно-, следовательно, всегда найти значение, которое дает Fn(x) = 0^ как было доказано в предыдущей статье.
Вообраэюаемех или другим образом невозмозюних корней, если, предполагать такие, во всяком уравнении F^x) = 0 должно бить поэтому только четное число.
Равнее действительнее корни уравнения Fn(x) = Q должне бить вместе корнями уравнения Fy (ж) = 0; притом число каоюдого из таких корней в последнем уравнении бевает одним менее, неоюели в первом.
Это предложение распространяется и на такие уравнения, где неизвестное входит с отрицательными степенями.
Вычисляя постепенно
ж" —а”
ж_а =ВЧх\
-449 ]-449 ]2)° (ж) —Д° (а)2)° (ж) —Д° (а)ж— аж— а= ВЧ»\= ВЧ»\РЧ^ — В1 (а)РЧ^ — В1 (а)ж— аж— а= Д2(ж),= Д2(ж),
-449 ]
-449 ]
2)° (ж) —Д° (а)
2)° (ж) —Д° (а)
ж— а
ж— а
= ВЧ»\
= ВЧ»\
РЧ^ — В1 (а)
РЧ^ — В1 (а)
ж— а
ж— а
= Д2(ж),
= Д2(ж),
и т. д.,
находим для целого положительного числа и
Дг (ж) = ж”-Г-1Дг (ж) = ж”-Г-1ex'ex'ксо2ксо2•+(п —1)<•+(п —1)<И—Г—1 ОСИ—Г—1 ОС
Дг (ж) = ж”-Г-1
Дг (ж) = ж”-Г-1
ex'
ex'
ксо2
ксо2
•+(п —1)<
•+(п —1)<
И—Г—1 ОС
И—Г—1 ОС
Чтобы доказать справедливость такого общего выражения, полагаем, что оно верно для г, как, например, для г = 0 это само по •себе ясно. Ищем для следующего числа г -[-1
п—г—3
П—Г-Н |
П —г—5
[(а — ^Г-^ +(п —3):
Здесь (Гл. XV, ст. 152)
^-^^^(.г^е =(г+зГ,(гЧ-з)Г +(»-+з)Г2 =(>-+<3И т. д.
После чего
Д’+^жИж"-*Д’+^жИж"-*;”-’-3а + (г + 3)Г2«п"г-4
Д’+^жИж"-*
Д’+^жИж"-*
450 I Для отрицательного п = — т
^m-i^r-m^-i^m-i^r-m^-i( — 1)г+11)4 ^ — $—г—1 х-т +
^m-i^r-m^-i
^m-i^r-m^-i
как это легко поверить для г = 0, а полагая справедливым для г. находим для г 4-1:
(_ Х^Вг*г (ж) = а-г-2 х"т + а-,—3 Ж"т+1 [(г 4l)^1 41] 4
4Иг + 2)Г 4 (г 4 D?14 И 4
+[(г 4 m — 1)? “-1 4H™~ 2)? т~2 4-... 41] =
_ а_г_2ж—m _|_ (r _j_ 2) а-г—3 ж—т+1 4- (г 4" З)^2 а~г”4ж—w+2 4" • • •
Полагая теперь ж = а, получим для тг целого положительного числа (Гл. XV, ст. 189)
^«"-'-^HoH * = °1
''( г = 9г — г — 1
= а"-’-15(г + <)Гг
= пГг4"1а"-г-1 (Гл. XV, ст. 191).
Для целого отрицательного п = — т
следовательно, для всякого целого числа 9г
D’-(a) = wrr+1a”"’'_1.
Пусть теперь для тг, m положительных чисел
L (х) = ж* 4- «I»”-14" Ч®"-2 4"h а»+«п+х^-1 Ч «4 Оп+»»«-”'
451 ] Lx (х) = их^-14" (та — 1) ai®ra-2 4-... + (—т) ап+тх~ ”г~1,
Z2 (х) = та002®”-2 4- (та — I)”2 а^”-3 4- • • • 4* (— тУ°2 ttnvm56-”1-2 >
L% (ж) = тг”8 а?”-3 4" (та —1)°°3 а1«ге—4 4 • • • 4 (—m)”3 ап-ютж~”,~3
так и далее. Вообще
Lr (х) = 7i~ Тх^-* 4 (n —1)~ ГЯ1ЖП-Г-14К — ж)~ гап+тх-т-г.
Означаем еще
h5?fcJ^L=Lx(x\
х — a
вообще
L4^-L4^
х— а4 7
Каждое из выражений Lr (х) может быть представлено, с ограниченным числом членов, в степенях положительных и отрицательных ж, а, если бы отрицательные входили в L (ж), как мы сейчас видели. После чего, ставя а вместо ж, должны получить, основываясь на доказанном выше,
L W (а) = иТ+ (« — 1)Г а1хн~г + ...+( — т^ ап ,тх~^.
Это значит, что
r^LY ^=Lr^Y(80)
458 То же самое должно сказать о функциях Fn(xY как о частном случае, для которого
^п-Н === 0, ^п4-2 == 0,. . ., &пА-т ==5 0*
Когда а — число равных корней х = а в уравнении 1п(х) = 0^ то (ст. 219)
^^(х^^х — аУ^х),(81)
где Фа (х) заключает в себе целые положительные степени х с самым большим показателем и — а и не делается для х = а ни нулем, ни бесконечным. Выражение ?а(ж) будет найдено, когда делим Гп(х) на (х— а)» или, что все равно, ищем постепенно:
^(х) — F1^/ ч
— = ср, (xY х — av
х— а*2 4
х—а,dV '
и так далее до
ч,^.^^ = х—а,ov у
Полагая здесь х = а^ получим, основываясь на уравнении (80), ?! (а) = ^ (а), 2~ 2?2 (а) = J^ (а), ..., а” X (а) = М («).
«в» | Отсюда, основываясь на уравнении (81), заключаем:
Л(а) = 0, Л(«) = 0, ..., Г:_1(а)=0, К(а)50.
Это значит, что а будет корнем уравнений
и не может быть корнем уравнения
№) = о.
Итак, пусть
Л(®) = (®—«)^#(®).
Здесь t—число всех равных корней л = а в уравнении 7^ (ж) = 0, так что ^(ж) для ж = а не может быть ни нуль, ни бесконечное. Функция ф#(ж) определяется постепенно:
х — ат'г
и так далее до
покуда ф#(ж) не будет делаться нулем для ж=а. Отсюда находим: ф1(а)=^2й(а),2^^(а) = Г3”(а), .... ^^#(а) = ^,"+i (а),
454 | и следовательно, ^(а) перестает быть нулем с ^Ц-1=а, которое значение и должно принимать для t.
Называя вообще а число равных корней ж = а; b — число равных корней ж = Р; с — число равных корней л = т и т. д., надобно полагать:
Еп^ = ?(я0(ж— а)а(ж-^р)ь(ж— т)0...,^^ = ф ^ (^ - «Г1 (х - р/”1 (я - т)6-1.. .,
где <р(^), Ф(ж) с целыми положительными степенями х не делаются ни нулем, ни бесконечным для х = а, х = р, х = у,..., какие бы а, р, 7,... корни в уравнении Еп^ = 0 нц были, действительные или воображаемые; а, 6, с,... более или равны единице. 0 исключением из Fn^ самого большого общего делителя Еп(х) с ^Г(ж) останутся, следовательно, в уравнении j?w(a?) = O одни различные корни.
Например, двум выражениям
F^x^x^-^x-Y^.
ЕХ^ = ^ — ^.
самый большой общий делитель ж—1, который дает х — 1 два равных корня в
ж3 — 3^ + 2 = 0.
Затем третий корень остается х = 2, и все уравнение разлагается на производители
|(х — 1)2(я + 2) = 0.
Обратимся теперь к функциям L (ж). Если здесь и — показатель самой высшей положительной, т—самой высшей отрицательной степени, а — число равных корней л = а в уравнении L (х) = 0, лишь бы а не было нуль, то
£(я) = (л—а)<^
функция ?а(я) не делается нулем или бесконечным для я = а, и отыскивается постепенно, как выше. Для х = а получим:
?i (а) = L1 (а), ?2(а)=^Ча))?а(а) = £а(°0
или, основываясь на уравнении (80),
^W=LX^ ^\№=Ш^a?a№ = L^
следовательно,
Д(а) = 0, Д(а) = 0, ..., Za^1(a) = 0, La(a)^0; это значит, что х = а—корень уравнений
£j(^) = 0, L^(x) = 0,..., Lo_1(x)=0
и не может быть корнем уравнения
La(x) = 0.
Итак, полагая
LY(x) = (x—ay^t(x)
и определяя постепенно
1‘ ж —а^(ж),
ж— a T2V 7’ наконец, находим
как скоро ^t(x) перестает делаться нулем для х = а. Между тем полагая х = а и пользуясь уравнением (80), получим:
^(a) = Z2(a), 2~Ч2(«) = Д>(«),Г%(«) = Д+1(*)-
Здесь Lt.,rl (а) перестает быть нулем для #4* 1 = а, следовательног А (») = (ж — а)""1^-! (ж).
Вообще, когда а — число равных корней ж = а; Ъ — число равных корней ж=Р; с—число равных корней х = ^ и т. д., надобно принимать
L (ж) = с? (ж) (ж — а)а(х—£)ь(х— у)с...,
Ly (х) = ф (х) (х — а)®”1 (х — р)6"1 (х — 7)с“х • • ., так что ?(ж), ф(ж) не делаются ни нулями, ни бесконечными для х = а, х = £, х = ^,..., какие бы числа а, р, у,... ни были, действительные или воображаемые; также а, 6, с,.. . —целые положительные будут ли более единицы или нет.
|236. Если г — число действительных норней в уравнении F11 (х) = 0?
то действительных норней в уравнении F^^ = Q должно быть по крайней мере г—1. Это предложение справедливо и в том случае, когда в уравнения входят отрицательные степени неизвестного.
Пусть в уравнении
^(Ж) = Очисло всех действительных корней г; между ними а равных х = а,b равных х = ^ с равных ж = т и т. д.; X— число их всех вместе.Мы видели (ст. пред.), что
JF® (х) = у (ж) (х — а)® (ж — р)& (х — т)с- •.)
Ei (х) = ф (ж) (х — а)®-1 (х — р)ь—^ (х — т)с-1..., где о (ж), ф(л) заключают в себе одни целые положительные степени х и не делаются нулями для х = а. Самая высшая степень в ср (я) с показателем п— г; в ф^) показатель ее п—1 — r-j-X. Далее доказано было там же; что
К (а) = а~“ ® (а) (а - р)1 (а—Т/...,
К (а) = (а - ir-1.], (а) (а - Р)6"1 (а - т)”"1...;
следовательно, для а, и подобным образом для прочих корней g<р(а)=аср(а)(а —Р)(а —7)..м
й(Р) = 6?(Р)(р-а)(р-Т)...,Ф('г) = с?(т)(т — а)(т — ₽)• •
и т. д.
Функция у (ж) постоянно число положительное, каким ее всегда тиожно сделать, увеличивая ж, тогда как с уменьшением х она не может сделаться отрицательной (ст. 233), иначе встретился бы новый корень уравнения Еп^ = ^. Пусть теперь ряд чисел а, ?> Т, - • • расположен по величине их так, что принимая в рассуждение и самые знаки, должны почитать
а > Р, Р > ъ • • • ,
В таком случае
^(а)>0, ф(₽)>0,
Это значит, что между а и р, р и 7,... находятся корни уравнения ф(х) = О или, одно и то же, уравнения
различные с а, р, т, ,. . и которых число X—1; а вместе с г— X числом прежних корней а, р, у,..., составится г — 1.
Для примера возьмем
JF4 (ж) = ж4 4- ах2, 4- Ъх 4~ с,
Е^ (ж) = 4ж3 -(- 2аж 4" ^-
Корни уравнения ^(ж) = 0 все действительные, когда (ст. 235) 459 |а < 0, 27б2 4“ 8а3 < О,
— условия также необходимые для действительных корней в уравнении
ж4 4~ ^2 4- ^+с = о,
как мы видели в статье 231.
То же самое можно повторить и для уравнения L(x) = 0 с отрицательными степенями ж, удерживая означение предыдущей статьи, где мы доказали, что
L(x) = ^(x)(x— ау^х—$У(х— у)е..
Ьг (х) = ф (х) (х — а)^1 (х — р)6-1 (х — ч/”1...,
где с? (ж), ф (х) не делаются ни нулями, ни бесконечными для х = а, л;=р, х = 7,... Однако ж здесь, чтобы уничтожить отрицательные степени, надобно переменить уравнения в
x^L (ж) = о»' (ж) (ж — ау (ж — Р)ь (ж — f)c...,
Xm^YLx ^ — ф' ^ ^ — а)«—1 (# — Р)6”1 ^х — т)6”"1 . . .,
разумея т показатель высшей отрицательной степени в Цх\ Далее мы видели там же, что
La (а) = (а —1)~ «-1 ф (а) (а — ?)*-Ч (а — у)®-1...;
следовательно,
ф(а) = а®(а)(а—?)(а —у)...
-iso | или, как для корня а так и для прочих,
а Y (а) = а (а) (а — ₽) (а — 7)...,
=№)(?-«)(?—г)...,
КфЧт) = с?Ч’Г)(к — а)(т — 9)..
и т. д.
Функция <р' (ж) для всех действительных значений должна постоянно оставаться положительным числом. Если теперь а, р, ^ — расположены по величине и все положительные, или все отрицательные числа, то
Ф'М^О, фЧ₽)^О, ф'(7)0,.. .
Это значит, что между а и р, р и 7,... помещено еще X — 1 действительных корней, кроме а, р, 7,..., с которыми составится всего действительных корней г — 1 в уравнении Lx^ = ^.
Если корни а, р, 7,... не все положительные или не все отрицательные, то в ряду
ФЧ»), ФЧ₽)> ФЧт),--- знак один раз должен оставаться без перемены, и, следовательно, кроме а, р, ?,... число новых корней в уравнении LT(x) = 0 будет X — 2, а всех действительных корней не менее г — 2.
Предложение, доказанное в этой статье для двух случаев, смотря по тому, неизвестное х входит или нет в уравнение с отри- 461 цательными | степенями, может быть представлено под одним общим видом. Рассматриваем уравнение
хи + axxn"v + а^-^ + • •. + <4 = 0.(82)
Разумеем р, д —- два целых положительных числа; полагаем х = у? и умножаем уравнение на ^, означая для краткости пр + ^ = г. Получим
Уг + а1Уг-р + a.д|r--l, + • • • + а1^ = °-
Число t действительных корней в первом уравнении для аг остается то же ив последнем для у, исключая ж = 0, которое но принимается в рассуждение. Основываясь на доказанном в этой статье, можем утверждать, что в уравнении
гуг-1 _|- (r _ р) a^r-p-1 -L, (г — 2р) а^-^-1 ^+ qa^yi-1 = О
или, все то же, умноживши на у^1, в уравнении
(пр + 5) ^го + (пр + 5 —Р) а^™1 + (пр + 2 — ЭД ct^-^-Y- •.. + дсьп = О
число действительных корней не менее t— 1 для $ положительного, и не менее t-— 2 для $ отрицательного. Так как показатель п остается тот же и число невозможных корней должно быть всегда четное (ст. 234), то в первом случае число действительных корней необходимо снова t* во втором же случае оно может быть t—2.
лучим
(п -|- со) хп 4- (п — 1 4* <°) а^-14" (^ — 2 4- to) а2жта+24~ • • • 4™ toan=0
— уравнение, в котором действительных корней по крайней мере столько же, сколько в уравнении (82), если со положительное число*, их может быть одним менее для <о = О и только двумя для о отрицательного.
В уравнении могут бить все корни действительными только з том случае, когда при степенях неизвестного квадрат каждого из- множителей более произведения двух соседних.
В уравнении
xn 4* а^1-14- а^-*2* 4- • • . 4“ ап = ^
все корни могут быть действительными, если
для всякого т в данном уравнении, которое можем выразить
0=2 ^х^0=2 ^х^г = 0г = 0г = п.г = п.| Основываясь на доказанном в предыдущей статье, заключаем: что в уравнении| Основываясь на доказанном в предыдущей статье, заключаем: что в уравненииО = 2 (^ —0 я»#”-4-1О = 2 (^ —0 я»#”-4-1г = Ог = Ог = п— 1г = п— 1
0=2 ^х^
0=2 ^х^
г = 0
г = 0
г = п.
г = п.
| Основываясь на доказанном в предыдущей статье, заключаем: что в уравнении
| Основываясь на доказанном в предыдущей статье, заключаем: что в уравнении
О = 2 (^ —0 я»#”-4-1
О = 2 (^ —0 я»#”-4-1
г = О
г = О
г = п— 1
г = п— 1
все корни также действительные. Вообще они будут такими во вся- ком уравнении
0 = 5(71—г)”rai«"-#-r ,0 = 5(71—г)”rai«"-#-r ,г = 0i = п — гг = 0i = п — г
0 = 5(71—г)”rai«"-#-r ,
0 = 5(71—г)”rai«"-#-r ,
г = 0
i = п — г
г = 0
i = п — г
тде г—произвольное целое положительное число. Ставим сюда я;—1 вместо х и умножаем на хп”т, чтобы сделать все степени х положительными.
0 = 2^ — ^т а^.0 = 2^ — ^т а^.
0 = 2^ — ^т а^.
0 = 2^ — ^т а^.
Здесь также все корни действительные. Отсюда, как выше, находим еще уравнение с действительными корнями
0 = 2(^— i^i^a1^0 = 2(^— i^i^a1^i = tг = п —гi = tг = п —г
0 = 2(^— i^i^a1^
0 = 2(^— i^i^a1^
i = t
г = п —г
i = t
г = п —г
разумея t новое произвольное целое положительное. Пусть теперьt=m— 1, п—r = m-^- 1.
После этого
<№ — 1)- ”-i („ — m + !)”«-»-! ^ + т^-1 ()1 _ ту» «-т-1 атХ +
+(т +1)” “"fy — т — 1)” "-”-1 «»+1®г ^ 0
.ам |—квадратное уравнение, которое будучи разделено на(т + 1)- (п _ т _ 1)-
делается
^»+1^- Ч^»+1^- Ч2 (п — т)т -|- 12 (п — т)т -|- 1^ +^ +(н _т 4-1) (П _ ^)7 i 74—1 — ^7т (т -f-1)(н _т 4-1) (П _ ^)7 i 74—1 — ^7т (т -f-1)
^»+1^- Ч
^»+1^- Ч
2 (п — т)т -|- 1
2 (п — т)т -|- 1
^ +
^ +
(н _т 4-1) (П _ ^)
7 i 74—1 — ^7
т (т -f-1)
(н _т 4-1) (П _ ^)
7 i 74—1 — ^7
т (т -f-1)
и которого оба корня действительные требуют, чтобы
(71—т+1)(т»+1)
= т(и — m) т -1 та+1
или, еще сильнее, тж—1
Всякий раз, следовательно, тогда в уравнении недостает члена^ произведение множителей предыдущего и последующего при степенях неизвестного, должно быть число отрицательное.
Например, в уравнении
я3 -|- ж2 4~ юо = о
не могут быть все корни действительные, которые находим
^ = — 5, 24-4]/^!, 2 — 4]/=Л.
Когда в уравнении
хп 4* аа^--^ 4- &жп-3 4- ... = О
465 | недостает второго члена, то все корни могут быть действгипельнымгс только в случае
а < О,
как это было доказано для уравнений третьей степени (ст. 225) и четвертой (ст. 231).
Если в уравненгш все корни действительные, то знаки членов сряду столько раз меняются на противные, сколько полоэкуительных, и столько раз остаются те эюе, сколько отрицательных корней. Само по себе разумеется, что это правило, названное Декартовым, относится к уравнениям полным
х^ + ^i^77-14" ^2^п“2 + • • • 4~ яп = 0,(82)
где при степенях х ни один множитель не нуль. Впрочем, оно может быть и всегда соблюдено с выбором знака -4 или — перед нулями.
Декартово правило само собой поверяется на уравнениях первой степени. Пусть оно справедливо для всех уравнений, где показатель высшей степени не более п— 1; например, для уравнения
пхп*1 + (п— 1) axxu—^- 4- ... 4- an-i = °>(83)
которого корни, как мы знаем из статьи 235, должны быть все действительные вместе с корнями уравнения (82). Еще более, корни 466 уравнения | (83) могут быть частию одинаковы с корнями уравнения (82), прочие же встречаться в переходе от одного корня к другому соседнему в том же уравнении (82). Итак, если р число положительных корней в уравнении (82), если к тому аи не нуль, то число отрицательных здесь корней будет п—р, а в уравнении (83) число положительных корней р или р — 1, число отрицательных п—р или п—jp 4~ 11 Когда ап_1 не нуль и с тем же знаком, какой в ап, то число положительных корней в уравнениях (82), (83) должно быть вместе четным или нечетным, следовательно, там и тут р, которое, будучи по предположению числом перемен в зна-
467467468468
467
467
468
468
ках уравнения (83), будет таким же числом и для уравнения (82) _ Если ап_1 = 0 и р число положительных корней в обоих уравне ниях, то надобно ап„г принимать с тем же знаком, какой в ап, чтобы р было числом перемен в уравнении (82). Наконец, если ап_г и ап с противными знаками, то стоит —х поставить вместо ж, чтобы сделать их с одинаковыми.
Например, в уравнении
ж4 —ж3 — 39ж2 + 109ж — 70 = 0
три раза переменяется знак и один раз остается тот же. Действи тельные корни находим:
ж=1, 2, 5, — 7.
|239. Выражение Fn^ приобретает самое большое значение, когда
в величине своей начинает уменьшаться как с возрастанием, так и с уменьшением х. Напротив, говорят, что F1^ достигло уже самого меньшего значения, когда его величина начинает расти с изменением в ту и другую сторону. Согласно такому понятию значение Еп (ж) = 0 не может быть причислено ни к самым большим, ни к самым меньшим. Число действительное х, которое дает самое большое или самое меньшее значение вираэкхнию Еп(х\ будет всякий раз корнем уравнения Fi^ = 0.
Мы видели в статье 232, что
Еи =(Ж)^ (Ж) + № (ж) + ... + о)и.
Если х = а принадлежит самому большому значению F^x^ то можно всегда найти со довольно малым, чтобы оно еще уменьшаясь, постоянно давало
&XFn (а) < 0,
когда
= Я(«) + |ОД® + • • •
будет ли (о положительное или отрицательное число. Пусть теперь Ei (х) > 0 или < 0, и уменьшение <о дает, наконец, числу X тот знак, который принадлежит в нем первому члену Fi(x). | Условие самого большого значения -Fn(a) сделается уже
o^(a)^(a)<O,
которому, однако ж, удовлетворить нельзя вместе с положительным и отрицательным числом <о. Итак, необходимо
^1(а) = 0.
Подобным образом, если 1п(а) должно быть самое меньшее значение j?” ^), то всегда можем взять со так малым, чтобы далее с уменьшением оз постоянно находили
^XF11 (а) > 0
хотя бы со было положительное или отрицательное. А как с уменьшением со знак числа X делается, наконец, тот же, какой принадлежит Fi(a) > 0 или .FT (а) < 0, следовательно меняется в юХ вместе с со, то опять необходимо
ед = о.
Итак, для самого большого и самого меньшего значения 1п (ж), ъсегда
1п (х + (о) = Fn (ж) + ^Х,Х'=^^ + -^«К (Ж)+... + о>""2 •
Отсюда легко видеть, что Рп(ж) приобретает самое большое значение, когда
, |FX^ = ^ F^Fl^<^
и самое меньшее, когда
Fl (ж) = 0, Fu (ж) Fl (ж) > 0.
Если же Fl(x) = 0^ то
Fn ^ ^^ = Fn (ж) + ^Х\
и условия самого большого или самого меньшего значения потре буют, чтоб
^№) = 0,
так что для самого большого значения J™ (ж) они будут:
.Р?(ж) = 0, М(«) = 0, Л(®) = 0, Р'^Л^ХО,
я для самого меньшего:
РЭД — О, Л(®) = 0, РЭД — О, Р"(®)№)>°-
Если же j?2(^) = 0, то и _F5(#) = 0, потом Fn (ж) ^о (я) < 0 для самого большого значения, ^(ж) = 0 и Fn (ж) Fe (я) > 0 для самого меньшего. Так и далее, покуда встретится первое число % для которого
^ = 0, Fn (ж) F^ (ж)0.
Число самых больших и самых меньших значений для выражения Fn(x) находится в связи с числом действительных 470 корней в уравнении | Fn(x) = 0. Во-первых, оно не может быть более п— 1, числа корней в уравнении Fi(x) = 0, как видели в предыдущей статье.
Пусть в уравнении Fn(x) = 0 нет равных корней, чего можно достигнуть, отнимая от Fn (ж) самого большого общего делителя с выражением ^Г(ж) [ст. 234]. Положительные корни уравнения ^?(ж) = 0 пусть будут а, р, 7,... и расположены по величине их так, что
«>Р, Р>т,
Значение Fn (ж), начиная с ж = а, может или непрерывно расти, или попеременно увеличиваться и уменьшаться с возрастанием ж, делаясь, наконец, более всякого данного числа (ст. 234). В этом изменении ^(ж) или совсем не приобретает ни самого большого, ни самого меньшего значения, или сперва достигает самого большого, потом самого меньшего, так далее, покуда в последний раз, перейдя самое меньшее, будет увеличиваться беспредельно и непрерывно. Отсюда заключаем, что вне границы положительных корней уравнения Fn (ж) число самых больших одинаково с числом самых меньших, а иногда то и другое бывает нуль.
Между корнями а, р существует ж, которое дает Fn^ самое большое значение, именно, тот корень уравнения ^Г(ж) = О, для которого (ст. пред.)
который необходимо < а, > р (ст. 235) и который при этих условиях встречается первый с возрастанием ж и Fn(x\ начиная от ж = р. Затем Еп^ попеременно может достигать самого большого и самого малого значений, оканчивая самым большим, после чего уже непрерывно уменьшаясь, сделается нулем для ж = а. Итак, число самых больших значений 1п^ от х = а до- ж = р всегда
единицей более числа самых меньших. То же самое надобно ска зать о значениях Fn (ж) от ж = р до ж = 7, так и далее, хотя бы в переходе от положительных к отрицательным на одном конце промежутка корень был положительный, на другом — отрицательный.
Обращая положительные корни в отрицательные с переменоюж на —ж, сейчас доказанное о положительных ос можем применить и к отрицательным, как внутри, так и вне границ для отрицательных корней уравнения Еп (ж) = 0. Итак, число самых больших значений Fn(x) без числа самых меньших всегда равно числу действительных корней в Fn (х) = 0 без единицы. Если называем М число- самых больших значений Еп^х\ число самых меньших т, числодействительных корней г в уравнении ^г(ж) = 0, то
М=т-\-т — 1.
472 | Теперь, если в уравнении Fn(x) = 0 заключается всего Е равных корней, которые, встречаясь несколько раз и будучи общие с уравнением 2^1(ж) = 0, не принадлежат ни к самым большим, ни к самым меньшим значениям F^x^ то ясно (ст. 238), что в таком случае
г = М—т -]- 1 4" Е.
Когда все корни уравнения
№) = 0
действительные и все, за исключением общих с уравнением Fn(x)=0t дают Fn(x) самые большие значения, то ш = 0, М=п — 1—Е и г = п; следовательно, все корни уравнения
JBn(x) = O
также действительные. Выражая, каким образом вообще корни уравнения Fi(x) = 0 могут давать самые большие значения Ъ№^х\ тюяучзш. достаточные условия для действительных корней в уравнении Ен^х\ а именно: когда все корни уравнения
Ei (х) = 0
действительные и когда они дают (ст. пред.)
F^F"^) <°
ГЛ. XVH. РЕШЕНИЕ ВСЯКОГО АЛГЕБРАГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 323 или вообще, когда о> можно взять положительным и отрицательным числом, столько малым, чтобы, уменьшая далее ш, постоянно соблюдалось
473 |Г(®)^(® + «>)<б.
Нарушение каждого из таких условий производит недостаток в самых больших значениях Еп^эс\ а потому и недействительность корней JF”(«) = O.
Заметим, что всякий раз, когда встречается в уравнении 1^(ж) = 0 корень, который дает Е”(х) самое меньшее значение, с прибавлением единицы к т убывает единица и в И, так что разность М—т уменьшается двумя и предполагает два невозможных корня в уравнении F* (ж) = 0. Это служит доказательством, что число неизвестных корней должно быть всегда четное, которое составляется из четного числа корней в уравнении ^'”(ж) = 0 с удвоенным числом самых меньших значений Еп(рс\
Для примера возьмем
ж3 + Зж2 — 72ж + 68 = 0.
Здесь
^Т(ж) = 3ж2 + 6ж— 72.
Корни уравнения ^(ж) = 0 находим ж = 4, ж = — 6, — оба действительные. Далее, 2^2 (ж) = бЖ -|- 6, ^(4)^(4)=—108 • 30, F1 (— 6) Fa (— 6) = — 392 • 30, 474 | следовательно, все корни данного уравнения действительные. Они будут:
ж=1, х = — 2±б/2.
Для другого уравнения
ж3 _|_ Зж2 _24ж —180 = 0 находим:
Fi (ж) = Зж2 + 6ж — 24,
^(ж) = 6ж+ 6.
Корни р"(ж) = 0 оба действительные
х = 2, х = — 4.
Потом
Г" (2) Л (2) = — 196-18, Еп (— 4) X(— 4) = 292 • 18, следовательно, М=1, т = 1, г = 1 и в данном уравнении один корень действительный, два воображаемых. Их находим: .—9=+-/—39
X = 6, ж =.
’2
Самое большое значение Еп(^ для х = ^ может переходить к следующему, тоже самому большому значению для # = т], или непосредственно, или делаясь наперед самым меньшим. В первом 475 случае Jn(x) переменяет знак на противный и | предполагает в уравнении Ен (ж) = 0 действительный корень между аир. Если ж Еп^х\ идя от х = ^ достигает самого меньшего значения прежде, нежели х сделается vj и Еп^ снова приобретет самое большое значение, то знак Еп^ не переменяется, и корня между ?, т) для уравнения Еп (х) = 0 существовать не может. Сюда надобно присоединить еще те ж, которые могут встретиться с переменою в последний раз знака Еп(х) за крайними самыми большими значениями. Итак, если отысканы все действительные корни 5, ^, С,... уравнения
Fi(x) = 0
и расположены по величине их так, что
5 > 1, П > ^, .. •, то в ряду
Еп(оо), Еп^. Еп(^ Е11^ . .., Еп (— оо)
число перемен в знаках дает число действительных корней в уравнении
Еп (ж) = О
кроме действительных корней двойных.
Например,
Еп (х) = х> -J- Зж2 — 72ж + 68,
Ех (ж) = з^2 + 6ж — 72.
476 I В уравнении .^"(яО^О корни
6=4, ^ = —6,
которые, будучи поставлены в Еп (ж) вместо ж, дают ряд
4-00, —108, 4-392, —оо.
Здесь число перемен в знаках 3; следовательно, все корни уравнения Еп (ж) = 0 действительные.
От ж = О до того положительного ж, за которым Еп (ж) растет уже непрерывно, разность числа самых больших значений Еп (ж) с числом самых меньших может быть или самое число положительных корней в ^”(ж) = 0, или превышать только единицей. Первый случай тот, когда значение Еп^ от ж = 0 начинает расти для положительного ж и, следовательно, достигает сперва, самого большого, потом столько же раз самого меньшего, сколько раз и самого большого, покуда, наконец, ж сделается корнем уравнения Еп(х) = 0. Таким образом, разность тех и других значений будет единица вместе с тем, как ж сделается самым меньшим положительным корнем. Эта разность при всяком новом корне всегда увеличивается единицей, за границею положительных корней изменяться более уже не может, как объяснили в предыдущей статье. Если же Еп^ от ж = 0 начинает уменьшаться для положитель- 47? ных ж, то разность самых боль|ших и самых меньших значений ^п(ж) делается нулем с первым положительным корнем, а потому к разности числа всех самых больших значений без числа всех самых меньших и для ж положительных, надобно прибавить единицу, чтобы получить все число положительных корней в Еп (ж) = 0. Так, если М—число самых больших, т*—число самых меньших значений Еп^) для х положительного, то М' —яг'4“1 или М! —тг должно быть число положительных корней в уравнении ^п(ж) = 0, смотря по тому, два последние члена в этом уравнении с одинаковыми или с противными знаками. То же самое надобно сказать об отрицательных корнях, которые с переменою ж на —х обращаются в положительные, замечая к тому, что число М" самых больших и тп самых меньших значений Еи (х) для х отрицательного дают М,г—т" — число отрицательных корней вместе с Мг—mr -V1 — числом положительных, и М"—m"4~l вместе с М'—т\ чтобы сумма тех и других в обоих случаях была
М' 4~ М" — т* — т’ 4~ 1 = М—ш 4" 1
— числом всех действительных корней, кроме двойных (ст. пред.). После этого
(М' — т') —— т")
будет менее или более единицей разности числа положительных 478 без числа отрицательных кор [ней, смотря по тому, два последние члена в уравнении с одинаковыми или противными знаками. Итак, называя Р число положительных, К число отрицательных корней, получим (ст. пред.):
Р4~ ЛТ=М— пг -[- Е,
Р — У=(М' — m^ + (пг" — М") ^ 1.
Здесь Е—число равных корней, М—число всех самых больших, т— число всех самых меньших значений Е^ху.М—число самых больших значений Еп (ж) для х положительных, М" — для х отрицательных; т'— число самых меньших значений Еп (ж) для х положительных, т"— для х отрицательных; верхний знак — [минус] перед единицей относится к одинаковым, нижний плюс — к различным -знакам в двух последних членах уравнения ^п(ж) = 0.
Так как самые большие значения Fn(^ отличаются знаком — -в произведении (ст. 239)
F^F^x),
.когда вместо х ставим сюда корень уравнения
^(Ж) = О,
то вычитая из числа всех произведений
хЕп^Ео^
с такими х и с знаком -[-, число тех, которые будут с знаком —, получим в остатке
^ |М'_^т"_ М".
Если бы
Р2(«) = 0, Р3(ж) = 0,
то вместо произведения жТ''1 (ж) ^(ж) надобно было бы взять xFn^Fl^
и. так далее, до произведения
х$» (х^Сх),
как скоро встретится первое число г, для которого
совсем не принимая в рассуждение тех случаев (ст. 239), когда
Например, для уравнения
ж3 + 3^2 —72^4-68 = 0
нашли в предыдущей статье Р-\-Н=3 и корни уравнения Х(*) = 0
х = 4, х =— 6.
Теперь находим еще
4^(4) 1^(4) =—4 • 30 • 108,— 6^п(— 6)Р^— 6)= — 6 • 392 • 30.
480 | К тому два последние члена в данном уравнении с противными знаками, следовательно
P—N=\.
После чего
Р = 2, N=X.
Когда уравнение Р1(ж) = 0 дано в числах и надобно знать, сколько находится положительных корней, то стоит только сыскать наперед те положительные корни а, р, 7,... в уравнении Б^^ — ^ которые дают самые большие и самые меньшие значения выражению Бп^ху ставить их в это выражение, располагая по величине и начиная с самого большого; потом в ряду
Бп(а\ 5”ф), Р»^
считать, сколько раз меняется знак на противный, проходя нули мимо, если бы они встретились (ст. 240). Это число, будучи сложено с числом положительных общих корней двум уравнениям рп^^ р^^
может быть менее единицей, нежели число положительных корней в уравнении Б^^^О^ где, однако ж, знак последнего члена, показывая число положительных корней четное или нечетное, определяет вместе и то, самый меньший положительный корень дан- 481 ного уравнения находится или нет | между самым меньшим положительным и самым меньшим отрицательным корнем уравнения
^1(ж) = 0, и для которого по этой самой причине может иногда недоставать перемены знака в ряду.
Например, для уравнения
ж3 + Зж2 — 27^+68 = О
корни в Ei (ос) = 0 были найдены
ж = 4, х =— 6, которые поставя в Еп(х)^ получим ряд
— 108, +392,
где одна перемена в знаках требует считать положительных кор ней два, потому что последний член данного уравнения положительный.
Таким же образом находим число отрицательных корней во- всяком уравнении, когда здесь переменив через член знаки, ищем число положительных.
Недостающие корни уравнения всегда могут быть пополнены воображаемыми под видом a-\-bV^—X с действительными а, 6; так что число всех корней, действительных и воображаемых^ бывает равно показателю высшей степени.
482 | Пусть дается уравнение п степени^(ж) = 0.
Поставя сюда а + р и а —^ вместо ж, означаем:
^(« + Р) = ^, ^(а+р)=^, ^(« + Р) = 2~2^2,^(« + Р) = ^, ^(а+р)=^, ^(« + Р) = 2~2^2,J™(a —р) = <р, ^(a —Р)=®1, J>-P) = 2^?2,J™(a —р) = <р, ^(a —Р)=®1, J>-P) = 2^?2,
^(« + Р) = ^, ^(а+р)=^, ^(« + Р) = 2~2^2,
^(« + Р) = ^, ^(а+р)=^, ^(« + Р) = 2~2^2,
J™(a —р) = <р, ^(a —Р)=®1, J>-P) = 2^?2,
J™(a —р) = <р, ^(a —Р)=®1, J>-P) = 2^?2,
вообще
^-(« + р) = ^^,^-(« + р) = ^^,^“(а—Р) = г”® ®г.^“(а—Р) = г”® ®г.
^-(« + р) = ^^,
^-(« + р) = ^^,
^“(а—Р) = г”® ®г.
^“(а—Р) = г”® ®г.
^" (« + 0+ А) = ^+ 2^,^" (« + 0+ А) = ^+ 2^,г=1% = пг = 1% = пг=1% = пг = 1% = п
^" (« + 0+ А) = ^+ 2^,
^" (« + 0+ А) = ^+ 2^,
г=1
% = п
г = 1
% = п
г=1
% = п
г = 1
% = п
Если теперь ставим а 4~ Р 4~ ^ вместо a -J- Р и а — р —|— р. вместо а — р, то получим (ст. 232):
F^a — 3 + i*) = ? + SF'*?<.
Отсюда
^" (а + р _j- X) J™ (а — р + у.) — F1 (а + р) F* (а — р) =
Здесь произведение
^1(а + Р)-^п(а—?) = Л
куда входят одни четные степени р, всегда действительное число не только для а, р действительных, но даже и тогда, когда в р 483 заключается воображаемый корень V—1- Таким же образом произведение
Рп (а + Р + ^^(а — ? + ^)
всегда действительное число не только для действительных а, р, X, у, но даже и в том случае, когда ставим:
Р ]/— 1 вместо р,
1»
$—^ К — 1»у-
Если при таких числах а, р, X, у., как действительных, так и воображаемых, произведение Р должно достигать самого большого или самого меньшего значения, то X, у., или р^ q^ за известными границами уменьшаясь, должны давать постоянно
г 2 — 1
где верхний знак относится к самому большому, нижний — к самому меньшему значению произведения Р. А как в
самые низшие степени X, у умножаются одна на другую, то X, у или jp, q всегда можно взять довольно малыми числами, чтобы с 481 их уменьшением 1 далее оставалось довольствоваться только условием
Н = 1
X(n^ + ^W^o = n
для самого большого и самого меньшего значений Р. Заметим, что в этом неравенстве всегда выражение на левой стороне представляет действйтельное число, потому что заключает одни четные-
степени 3. Еще скажем и то, что Е^ о не могут быть нулями, иначе было бы Р=0, которое значение не принадлежит ни к самым большим, ни к самым меньшим (ст. 239). Итак, первые степени А, у. сюда входить не могут, а потому
Р1 = 0, ?i=0.
Пусть вообще
Р1 = 0, Р2 = 0, ..., Рг-1==0, Рг^0,?1=0,?2 = 0,...,%^1 = 0, ср^О,
где г, t не могут быть > 7г, потому что Рп = 1, ?л=1.
Условие для самого большого или самого меньшего значения Р делается, следовательно,
Х^Р <?t -]- y№Pr 5 0
и не может быть выполнено, как скоро в состоянии отыскать число
485 |8 = Х^Р Ф# -4- уГфРг
сколько угодно малым и с каким угодно знаком. Для т > t достаточно полагать
8 = Vp^или, все равно,s=k^(?#b^),
где ^t*V ^t действительное число, и откуда, следовательно, значение X для всякого произвольного о находим или действительным или под видом j? + 5 К— 1 с действительными числами р3 q (Гл. XII, ст. 164). Подобное значение находим и для у. в случае t>r, из уравнения
8 = р-г?(-^г + ?г)-
Если же ^ = 7*, то полагая
X=P(1+MV—!)|
^ = р(1— м V — 1),
и разумея и действительное число, получим:
8 = pr { (1 + « /^lyi’^ + Cl — wp — 1)г®/,.).
Пусть теперь
(1 + « V^iy = Я + ту^!,
так, что В^ Т—действительные числа. Пусть еще
486 |Р'^+^Р^Х,
Ff^r— <sPr = Y.
Будет
й —i).
Заметим, что в X заключаются одни четные, в Y одни нечетные степени р, а потому, будут ли Р2 и 8 положительные или отрицательные числа, всегда значение р может быть найдено под видом «а + Ъ V—1 с действительными числами а, 6.
Отсюда заключаем, что произведение Р не допускает ни самого •большого, ни самого меньшего значения, как скоро а может быть всяким действительным, р даже и воображаемым с производителем ъ нем V—1, а потому Р может быть только нулем (ст. 239) для известных значений
где jp, д— действительные числа и где ^ = 0 дает действительный корень уравнения
Если же # не нуль, то пусть r(a + p) = L+lf|/=i, ^(a — ^ = L — >F^1, 48? | где L^ M—действительные числа, которые должны давать Р = 0, и следовательно,
Р2 + М2 = 0;
отсюда
Р = 0, М=0.
Это значит, что
х=р^д.У—1, x=p — qV—l
будут корнями уравнения
Fп (ж) = 0.
Итак, все то, что было сказано о корнях уравнений и предполагало их действительными, относится также и к воображаемым. Так, предложение в ст. 219 о числе корцей и составлении множителей при степенях неизвестного, в ст. 235 об общих корнях
в уравнениях ^и(ж) = 0, jFi(^) = O, распространяются теперь на все корни, действительные и воображаемые, приводя к таким заключениям.
Во всяком уравнении п степени число корней такове п, которые^ бывают или 'действительные или вообраэюаемые. Последних всегда находится по два, из которых один а-^ЪУ^А.^ другой а — bV—1 с действительными числами а^ Ь.
Во всяком уравнении Fn(x) = 0 корни ^17^27^3 5 е * • 7 ^ТЬ
488 | Эают
Fn (х) = (х — Jc^ (х — к2) ... (х — к^),
Еп (х) = хп — а^х71”1 + а2хи-^ — .. • + (— !)n aw где всякий мноэюитель а^ представляет сумму из всех произведений с: числом г производителей^ взятых в ряду
^17^27^37•••7 К*
Если меэюду этими корнями встречается два вообраэюаемыха*^ЬД/ — 1> а — b |/ — 1,то в произведении Е^^ они дают производителяж2 — ^ах + а2 + 62,а следовательно, всякое уравнение Fn(x) — Q, будут лгь его корни дей-ствительные илгс воображаемые, всегда разлагается на производителгсх2 + Ах 4~ В
с действительными числами А, В, кроме одного простого производителя, который присоединяется в случае нечетного показателя самой высгией степени х в уравнении (ст. 234).
Если Meoicdy корнями lcv 1с2, .. . некоторые одинаковы, то они должны быть вместе и корнями уравнения Fi (ж) = 0, повторяясь уже* 489 здесь | каждый один раз менее, нежели в уравнении Fn(x) = (^ так,, что если принимаем более в обгцем виде
Fn (х) — (х — 1с^а (х — к^ (х — Ъ^с..., где a -j~ b 4” с 4” • • • = ^ 7 то
F? (ж) = f^ (х — ^О»-1 (х — 7^-1 (х — Z^)6-1...
Здесь f^) не делается нулем ни для которого из значений х = 1сХ1 х = 1с^ х = "к^ .
<и заключает в себе одни полоэюительные прелые степени х, которых •самый большой показатель с суммою
(а_1)+(6-1)+(с-1)+...
составляет п— 1.
Пусть ^ь ?£2, Ъ^ ..., Ъп
будут корни уравнения хп—... — (—1)пРп = 0.
Означаем сумму их степеней:
«90 |^1=^ + ^ + ^+...+^,
^ = ^+^+^+...+^ вообще
®т = ^* + ^+^ + • • • +^•
Означаем еще 4Рт то ясе выражение Рт, но где Ъ4 = 0. Будет (Гл. IX, ст. 109):
Л = ^+^ рй=«рг-\-к4*рь р9=^+^р„
р — гр -4- 7», г Р
Из первого уравнения определяя ^Р^ вставляя во второе, отсюда определяя *Р2 и вставляя в третье, так продолжая, наконец доходим до последнего, которое делается
Рт = *Рт + №-1 -^Рт-г + •••+(- l)m ^Pl -(- 1) ” ^.
-Ставя сюда вместо г по порядку числа 1, 2,.. .,п и складывая все уравнения, получим:
№Pm = ^Pro^Pm-V . . . +ПРт+№_1-№-2+ * • • -(-1)’» Sm. Здесь сумма
iP„i + 2Pw+...+»Pm
491 | должна заключать в себе те же произведения, какие составляют Рт^ но которые все умножаются на целое число X так, что эта. сумма будет ХРт. Чтобы найти X, полагаем
Zzj ■ ■ — ^2~* ^-g • • •■— 1 •
В таком случае (Гл. XI, ст. 46)
Рт = ^.
^Рт = ^Рт^Рт...=(п-1)^
X (п — 1)^ = и^т.
Отсюда
Х = н —т^
и следовательно:
тРт = 8гРт _ i 82Pin - 2 Н“ «гРт _ з — ...( l)m 8Ъ1
— уравнение, которое служит для постепенного вычисления сумм ^, ^2,... , когда полагаем здесь по порядку т= 1, т = 2,.. • и составляем, таким образом, уравнения
гРг—ад—,s2,
зр3 = ад2—ад^^,
4Р4=ад,—ад2+ад +
И т. д.
492 | Например:
S'2 = Pi—2Р2,
53 = Р?-ЗР2Р1 + ЗР3,
= Р4 - 4ад + 4ВД —4Р4+2 Р^.
Чтобы определить прямо всякое число ^ помощию Pt> заметим, что для х произвольного
(1 Ic^ (1 — 1с^ (1 — "к^... (1 — кпх) =
= 1 —РуХ + Р^ — Р^
и, следовательно,
log {1 — Ргх + Р^ — Р^с? +-..+(— 1)пРпхп} =
== log (1 — ?сгх) + log (1 — 7с2ж) + ... + log (1 — 1спх\
Разлагая логарифмы на той и другой стороне в строки, получим (Гл. XIII, ст. 173):
+. =
=(Л»—р^+дж3 —...)+
+ 1(р1Ж_р^4-рзЖз_...г+
+ a ^-p^-yps^ -.. .)3 +
+ и т. д.
Сравнивая множители при хт на той и другой стороне, находим:8т = т^-iy-t (#-!)=»(Р^ ас (Л) ьс (Р8),
493 | где а, 6, с, ...—произвольные целые положительные числа или нули, которых сумма всех названа t и которых значения ограничиваются условием
d —[— 26 —|™ Зс —1~ • • • = w.
Обратно, числа. Р^ определяются помощию ^ пли постепенно теми же уравнениями, которые были найдены в ст. 244, или прямо, когда берем снова уравнение (ст. пред.)
— log {1 — Рхж+Р^—Р^ +...( — 1урпж®} ==^+а^+ а^з+>.#)
от которого переходим к такому:
1РхХ*уР^ХгР3Ж3+ . . . +(iypnxn =
— 8гж — 8гж- — — £ая?
= е -в 2• е 3• • •>
означая здесь е основание Непперовых логарифмов. Отсюда.. (Гл. XIII, ст. 177):
1РТХ-рР^ХйР3Ж34" • • • +(1)пР«хп == {1—^+^—^!+...} х
х j 1(| s^* _ (1 s^);+... | x
X11- 3^3+ ^ ^3] c- (3 s3^
n T. Д.
Сравнивая на той и другой стороне множители при .г*™, получим а 7 1\ Ь / l \ с
wvc у 2/с\3 d/c ’
494 | где а, 6, с, ...—произвольные целые положительные числа или нули. Их сумма названа 7, притом они должны удовлетворять условию
а26 -}“ Зе 4- ... = т.
Если назовем "кт сумму таких же произведений, как в Pw, но где вместо первых поставлены степени от корней уравнения с показателем г, то для вычисления "кт будут служить
^г?^2н ^Зг» е е е
так точно, как помощию ^И ^2)^,• е •
определяется всякая сумма Рт.
Однако ж, если т <п + ^) т0 ^т гораздо легче можно найти, разумея о корень в уравнении
и вычисляя произведение
Еп^Еп ^E^W . .FnQ»r-4\
которое представляет
(xY — 74) (я/ — ^2)... (хг — 74), и где, следовательно, множители при
xnY, x^-^Y^ х^~-^г,..., xY^ 1
495 I будут числа:.
Е-^ R^^-®з> • • •)(l)w-®n-i> (^)n-^n*
Например, произведение
F^yF^ — ж) дает:
Ei = Pi 2Р2, е.2=П-^ра+2Р4, В^=Р з2РтР5 4- 2Р2Р4,
Е4 = Pl — 2РхР7 + 2Р2Р6 - 2Р3Р5
п т. д.
Числа 8Ш служат вообще для определения всякого выражения, единообразно составленного из целых положительных степеней, в которые возвышаются корни уравнения. Все такие выражения могут быть понимаемы под видом
где знак суммы показывает соединение всех возможных различных произведений, подобных тому, перед которым он поставлен. Вот почему здесь каждые два из чисел
могут меняться местами, не изменяя всего выражения. Знак суммы, 496 следовательно, здесь относится | к указателям внизу, которые берутся из всех чисел от 1 до самого большого показателя тъ в уравнении и меняются до тех пор, покуда дают различные произведения.
Легко понять, что если между показателей а, 6, с,... не встречается равных, то
2 №4. ..=sa^ №... — 2 *Г^— 2•
Подобное превращение продолжая, наконец, должны дойти до одних чисел 8т. Если между а, 6, с, ... встречаются р> $, г, ... равных показателей, то надобно поступать, как бы а, 6, с, ... были все различны, и, окончивши приведение к числам SW1 делить
2 К^- • на число
которое показывает, сколько раз повторяются одинаковые произ ведения при всех возможных переменах места с указателями внизу.
Например:
2 М=за—й,
2 #^=^ 2 ^—2 ^—2 ^ =
=^ (ад - я6) - (ад - я7) - (ад - s7)= =адд—ад—sas6—ад+2^,
197 I ^M=8X—sv
6 2 7»3=2^3 2 ^ -22 М=
= ^3 (^ -^б) -2 (ад -^) =
=&—зад+ад.
Помощию чисел 8^ составляется всякое новое уравнение, которого корни должны быть известным соединением корней в. данном
Разумеем вообще такое соединение под ?/, которого значения,, покуда они с переменою корней остаются различны, означаем
Уп У^ У^ • • 5 У» ^предполагая число их г, которое и должно быть необходимо пока-зателем самой высшей степени в уравнении для у, чтобы здесьмогли заключаться все такие г значений. В этом уравнении сумма+ +• • + ^"
представляет единообразное соединение всех корней данного уравнения и, следовательно, определяется помощию его множителей (ст. пред.); а, накойец, все суммы 8т служат к вычислению множителей в уравнении для у.
Например, пусть требуется найти два уравнения, одно для у. 498 которого корни должны быть суммою | корней по два из данного уравнения; другое для ^, которого корни должны быть квадраты разности корней по два в этом же данном уравнении.
Означаем
корни данного уравнения. Возвышая их в степень т, называем сумму всех 8W\ возвышая их суммы по два в степень т, называем сумму всех этих степеней Тт; возвышая их разности по два в степень пц называем сумму всех этих степеней Т^, разумея под т делое положительное число.
Чтйбы найти Тт и VW1 берем
(ж + 1сУг = т?^ 2 ^г-^Р" °’
6 с = т^
(ж — 1сУт = 2ш”2яе 2 ( — ЗЖ’” - ^Г — °’
(г = 2«г.
Вместо 1с ставя сюда по порядку все корни данного уравнения и складывая вместе, получим:
• (г = о, £ = 0, 2(ж + А<,Г = 5тГ‘ x^Si.
I д/ ^=• |г_т
„_„ .(г = 0, 3 = 0,
' v ^^ ^*^ = 2т, 3 = 1г.
Ставим теперь Z^, Zr2, ... вместо ж и соединяем все значения:
499 I 2 (^ + ^„Г = 2 ™Т 8£ю_4499 I 2 (^ + ^„Г = 2 ™Т 8£ю_4Ч = 0, р — о, <? = о, ^ = т, р = п, q = u\
499 I 2 (^ + ^„Г = 2 ™Т 8£ю_4
499 I 2 (^ + ^„Г = 2 ™Т 8£ю_4
2 (^ - *7“=2 (-1/ ИТ 8482т_42 (^ - *7“=2 (-1/ ИТ 8482т_4Ч = 0, р = 0, q = О,г = т, р = п, q = n.
2 (^ - *7“=2 (-1/ ИТ 8482т_4
2 (^ - *7“=2 (-1/ ИТ 8482т_4
(1 = о, (г = т,(1 = о, (г = т,Это значит:
(1 = о, (г = т,
(1 = о, (г = т,
'i — О, г = ^т.'i — О, г = ^т.27' -4-2’",$' = Ут™5.5 , т I ютс г т-
'i — О, г = ^т.
'i — О, г = ^т.
2 У =2( — 1У (2т)^ ,$& .ягV / х ; с г 2т—г
В суммах Tw Г,и число членов ~u(u — 1), которое и будет показателем высшей степени в уравнениях для у и 2, где множители при их степенях вычисляются уже помощию TW1 Р^, как видели в статье 246.
Решение уравнении со многими неизвестными требует, чтобы столько же дано было различных уравнений, сколько в них заключается неизвестных. В таком случае которое-нибудь из данных уравнений в соединении с каждым из остальных служат для: исключения одного неизвестного. Так продолжая, наконец доходим до одного уравнения с одним неизвестным. Все дело, следовательно, состоит в том, чтобы из двух уравнений с одними целыми положительными степенями ж, у
500 |500 |F(®,y) = 0, | /■(«,у) = о /F(®,y) = 0, | /■(«,у) = о /(84)(84)
500 |
500 |
F(®,y) = 0, | /■(«,у) = о /
F(®,y) = 0, | /■(«,у) = о /
(84)
(84)
уметь исключать неизвестное ж и, таким образом, приходить к уравнению с одним неизвестным у.
Расположивши оба уравнения по степеням ж и поступая, как обыкновенно (Гл. VI, ст. 67), чтобы открыть им общего самого большого делителя, можем иногда притти к остатку без у; иногда к остатку, где заключается у; иногда после всех делений получится в остатке нуль. В этом последнем случае для двух уравнений последний делитель будет общим, который полагая нулем, удовлетворим обоим уравнениям.
Когда уравнения (84) не допускают общего делителя или такой делитель исключен из обоих, то им можно удовлетворить, полагая
нулем как последний делитель, так и последний остаток, свободный уже от ж, если, однако ж, здесь заключается неизвестное у, которое таким образом и будет определено. Затем находим ж из общего делителя, который должен делаться нулем.
Если же последний остаток не будет сам по себе нулем и, не заключая у, не может быть сделан нулем, то двум уравнениям удовлетворить вместе нельзя.
sot I В дополнение к этому способу исключать одно неизвестное из двух уравнений, надобно заметить однако ж, как на это было обращено внимание и при определении самого большого общего делителя (Гл. VI, ст. 67), что последний делитель должен почитаться самым большим и общим только в отношении к той букве, по степеням которой выражения располагаются и деление происходит. Итак, может случиться, что последний делитель и остаток независимо от х допускают общего делителя с одним у и который делитель должно отбросить.
Для исключения неизвестного из двух уравнений можно <еще предложить другой способ, который если не представляет той же удобности в вычислении, то по крайней мере иногда ведет к особенным заключениям.
Вместо второго из уравнений (84) полагаем вообще
fV^ У) = 2,
тде число 2 находим, давши наперед по произволу какое-нибудь значение у, потом определяя х из первого уравнения (84) и ставя в /(ж, у). Располагая теперь F(x^ у) по степеням ж, разделяя все уравнение
502 | на множителя при самой высшей степени ж, можем рассматривать множители при других степенях х за сумму всех значений х в этом уравнении и взятых с противным знаком, за сумму их произведений по два, по три, и так далее по порядку (ст. 243). Помощию этих множителей в состоянии, следовательно, определить как сумму всех значений х возвышенных в степень, так и все вообще из этих степеней единообразно составленные выражения (ст. 248). Между тем, различные значения ж, которые назовем
будучи поставлены в /*(ж, у), дадут столько же значений для 2 и: которые назовем
21?2^. . . ^ 2п.
Произведение их всех, необходимо выражаясь единообразно в отношении к значениям ж, может быть представлено в целых положительных степенях т/, а будучи принято за нуль, дает уравнение, где все значения у удовлетворяют обоим уравнениям (84). Чтобы в этом увериться, представляем, что одно из таких значений у внесено в первое уравнение, а потом отсюда все корни х поставлены в f(x^ у) и, следовательно, дают
^i, ^2) ^з?•••, ^п-(85)
5оз | Это предполагает одно из значений 2 нулем. Обратно, все значения у^ которые не удовлетворяют последнему уравнению (85), не будут поверять вместе и второе из уравнений (84). Итак, уравнение (85) должно почитать за достаточное и необходимое для определения всех значений у, которые могут удовлетворять обоим уравнениям (84) вместе. Каждому из таких значений у отвечают одно или несколько известных чисел ж, которые заключаются в общем самом большом делителе обоим уравнениям, когда сюда» поставится отысканное число для у.
Если в уравнении (85) уничтожается у само собою, то или одно из двух уравнений (84) должно быть следствием другого, или одно другому противоречит. В первом случае у произвольно; во вто ром — решение невозможно.
Вместо того, чтобы искать прямо уравнение (85) для у^ можем наперед определить все суммы
Z —_L_I J"
I 42 1 I
от г = 1 до г = п. Для этого потребуется знать суммы
Sr = ^ + ^2+ • • • +^Н
для всех показателей г, с какими войдут степени х при возвышении /(ж, у) в степени от г = 1 до г = п. Все числа 8Г находим 504 помощию мно|жителей при степенях х в Е(х, у\ Обратно, числа Z, послужат к определению множителей в уравнении для 2, которое всегда будет п степени и где множители при степенях 2 могут*
заключать у. Последний член в этом уравнении представляет произведение
*1*2 . . . 2Н1
которое должно полагать нулем. Если ж оно само по себе будет нуль и независимо от у, то два уравнения (84) должны допускать общего делителя, куда войдут х и у вместе. В таком случае второй член от конца в уравнении для 2, будучи положен нулем, дает те особенные значения у, которые также удовлетворяют обоим уравнениям (84).
Показатель самой высшей степени, до которой доходит у с исключением х из двух уравнений, зависит как от степеней х1 так и от степеней у в обоих уравнениях. Когда сумма показателей в произведении степеней х на степени у — постоянное число п для одного и т для другого уравнения, то нетрудно видеть с пособием общего выражения в статье 245, что самая высшая степень у принадлежит 2п и будет с показателем ниц который вместе должен быть самым большим показателем для степеней у в уравнении (85).
505253. В статье 242 видели, что если в уравнении.
Еп^ = ^
нет равных корней, и чего можно всегда достигнуть; если к тому Р — число положительных корней, N—отрицательные, ЪГ— самых больших, т!—самых меньших значений Еп^ для х положительных; МУ— самых больших, т”— самых меньших значений Еп (х) для х отрицательных, то
Р + N = (ЗГ — in*'} + (ЗГ — т,г^
P — N = (М' — т) — (Mzz — т") +1,
где — относится к одинаковым, -j- к различным знакам двух последних членов в уравнении Рп (х) = 0.
Чтобы найти теперь число Р-^-М надобно искать в уравнении
^1(ж) = 0
разность числа тех корней, которые дают (ст. 242)
с числом тех, которое дают
^7^2 И >0-
^06 Эта разность будет, следовательно, вместе раз|ностию корней* положительных с отрицательными в уравнении для
когда отсюда исключаем х помощию уравнения ^(^) = 0.
Так получим уравнение для г/, которое должно быть п— 1 •степени (ст. пред.).
Чтобы найти число Р—1^ надобно искать наперед разность числа корней в уравнении
№) = 0, которые делают
г — хЕ\х^Е^
положительным, без числа тех корней, которые делают г отрицательным. Эта разность будет, следовательно, та же, что и разность положительных значений г без отрицательных в уравнении, которое произойдет с исключением х из двух последних.
Искусство решать уравнения в числах состоит в скором приближении к истинному значению неизвестного, подобно тому, как это бывает с извлечением корней. Оно не может быть в другом виде, чему примером служат уравнения третьей и четвертой степени, хотя бы общие выражения для корней и были известны, зет | Первым приближением должно почесть назначение границ, за которыми не может существовать корней в уравнении. Довольно, если эти границы умеем находить для положительных корней, в которые обращаются отрицательные Сх переменою знаков в уравнении через член (ст. 243).
Пусть дается уравнение
хи + aYxu~x + а^ъ-“-|" • • • + ^» = 0,
где —N самый большой отрицательный множитель при всех степенях х\ р самый меньший положительный, покуда степени от хн до x^~Y умножаются на числа с одинаковым знаком. Мы видели (ст. 223), что для положительных х > 1 всегда
xYxYж-)-#1 'ж-)-#1 '
xY
xY
ж-)-#1 '
ж-)-#1 '
Итак, если найдено число а, для которого
аг !
«4-р—1
и притом а > 1, то ж < а составляет границу для положительных значений ж.
Если ставим теперь ж"1 вместо ж^ умножаем все уравнение на^, затем ищем подобным образом границу р для нового ж, то
1
бое | будет другим пределом, за который не могут переходить положительные значения ж в данном уравнении. Переменивши ж на — xv находим таким же образом две границы, между которыми должны заключаться отрицательные корни данного уравнения.
Например,
ЗдесьЗдесьжь -f- Зж4 — Ча? 4“ ^2 —1 = 0.
Здесь
Здесь
r = l, j9 = 3, 2V=7,
10
а + 2‘
Можно взять а = 2,5, и следовательно:
ж < 2,5.
Полагая у=х~\ получим:
ЗдесьЗдесьу5—5у3 + ?у2 —Зу —1 = 0.r = 0, jp = O, 2V=5,
Здесь
Здесь
115p-l-5p-l-
1
1
5p-l-
5p-l-
Можно взять р = 6.25. После чего у < 6,25 и ж> 0,16.
509 | Для отрицательных корней полагая ж = — у, получим у5 — Зу4 — 7 ж3 — 5ж2 4~ 1 = 0.
Здесь г = 0, р = 0, jV=7, а = 6,1. После чего
—ж < 6,1.
Если же полагаем ж-1 = —у, то
г/ — бу3 — 7у2 — Зт/ +1 = 0.
Здесь 7- = 0, ^ = 0, 2V=0, р = 8, следовательно:
— х> 0,12.
Фурье предложил еще другой способ для исследования границ, между которыми должны заключаться корни уравнения Вместо Fn (х\ Fi(x\ ... пишем теперь для сокращения
F(x\ F^x), F^x\ .Fu^x\
Увеличивая x, можем дойти до того, что в каждом из этих выражений член, где заключается самая высшая степень ж, сделается более других. Так находим положительное число Р, для которого P(P)>0, ^(Р)>0, ..., Ри(Р)>0,
и отрицательное число N^ для которого
(_ipp(2V)>0, (-IfP^TVXO, ..., Fu^>^.
5io | В первом ряду для х = Р знаки перед всеми числами одинаковы, во втором для x — N они меняются в переходе от одного числа к следующему. Итак, с постепенным изменением х от х = В до x — N и прежде, нежели один из членов Fm(x) в ряду приобретает знак противный, должны встретить такое значение х^ которое дает Fm (ж) = 0. Посмотрим теперь, каким образом с Fm (х) = 0 перемена в знаках начинается.
Пусть F(x) = 0 для ж = а, однако ж ни одного Fm(x) из прочих чисел в ряду не делается нулем вместе. В таком случае всегда о можно взять довольно малым, чтобы ряд чисел
Fi (® 4~ <*>), Р2 (а 4~ <*>), .. ., Fn_i (а + со)
и другой
Pj(a — ш), F^a — ш), .. .,Pw_i(a — со)
оставались с теми же знаками, с какими были числа в ряду
^(а), Р2(а), ...,Г„_1(а).
Итак, вместо х поставивши a = ю, получим ряд чисел
Е(ж), Fx (ж), Г2(ж), ..., Г„ (ж)
с теми же знаками, которые принадлежат числам
ш Fx (a), Fx (а), Р4 (а), ..., Fn (а).
sit | Если же вместо ж поставим а — ш, то знаки будут те же, что и чисел
— ш^ (а), Ft (а), F^ (а), ..., F„ (а).
Отсюда видно, что в переходе от я —ос 4~ш к ж = а— ш число перемен в знаках увеличивается единицей.
Пусть теперь вообще jFmi(#) = O для ж = а; но Fw_2(a;) и Fmvl(x) не делаются нулями. В таком случае, уменьшая ш, знаки чисел
Рт-1 (ж), j^^*)) Fm.^ ^)
.для х = ос-]-ш можно сделать те же, что и чисел ^-1(«),ш-^?»+1(а)»-^ш+1(а)?
„для х = а—<о те же, что и чисел
•Fm -1 (а)>ш Fm р J (ос), Ет ^ (а).
Отсюда заключаем, что в переходе от ^ = а-|-а) к х = а—а) число перемен в знаках или должно оставаться то же, или увеличиваться Двумя.
Пусть еще для х = а не только ^(а) = 0, но и ^1(а) = 0, F2 (ос) = 0, ..., ^_!(а) = 0, покуда
512 | Теперь в ряду
F(x\ F^x), .Fm(x) поставивши a-j-ш вместо х и уменьшая ш, получим числа с теми же знаками, какие принадлежат
^nFm (a), ш»»-^ (а), ..., ^т (a), Fw (а).
Если х = а— со, то вместо числа w одинаковости знаков будет теперь т— число перемен в знаках. Итак, всякий раз, когда
F(a) = 0, ^ (а) = 0, . .., Ет_г (а) = О
в переходе от х = а -|- ш к х = а — ш, число перемен в знаках увеличивается т единицами.
Пусть, наконец, т > 0, г > т. Полагаем
^(а) = 0, ^т+1(«) = 0, ...,^_1(а)=0
Знаки чисел
^т-Д^ Ет М, • • •, Fr (Ж),
ставя # = а4*<о и уменьшая w, можно сделать те же, что и в ряду чисел
РтДа), ti^F^Y .... vFr(a\ Fy(a).
После чего нетрудно видеть, что в переходе от х = а + ^ к х = а — ш sis число перемен в знаках | увеличивается: г — т — 1 единицами, когда
г — т нечетное, JV-ifa) и Fy(a) с различными знаками; г — т единицами, когда г— т четное, будут ли _Fw_i(a) и Fy(a) с одинаковыми или различными знаками; г — ^4-1 единицами, когда г — т нечетное, ^Н1_1(а) и Fy(a) с одинаковыми знаками.
Итак, вообще скажем, что в ряду
F(x\ F1(x\ F2(x). .. ..FH^
число перемен в знаках с уменьшением х никогда не уменьгаается. Оно может возрастать только в том. случае, когда значение которого-нмбудь из членов в ряду делается нулем*. но раз приобретенное таким образом приращение к числу перемен в знаках не -теряется уэюе впоследствии. Если это прирагцение произошло не от Е(х) = $. то оно предполагает воображаемые корни по числу единиц. которые прибавляются к числу перемен в знаках. Действительных корней не может быть встречено, покуда знаки остаются те же. Вот почему их не существует за теми границами, где положительное х делает все знаки в ряду одинаковыми и где отрицательное х дает попеременно 4“ и —. Такие границы всего легче отыскивать, употребляя наперед степени от 10, потом прибавляя по единице.
514 I Например:
F (ж) = #5 4~ З#4 — 7#3 4- 5#2 — 1, Ех (ж) = 5^4 4* ^^ — 21#2 4- 10#, Е^ (#) = 20#3 4- 36#2 — 42# 4- 10, Е^ (#) = 60#2 4- 72# — 42, 1; (я) = 120# 4» 72, ^5(#) = 120.
Ставя сюда 2, 1,0, —1 и т. д. вместо х. получим числа, расположенные здесь ниже в таблице и где верхний ряд указывает на те выражения, которых значения помещены внизу против х
по принадлежности.
X
^(^)
^ (ж)
ЭД
зад
ад
+ 2
-]- 43
4- 112
4- 230
4- 342
+ 312
+ 120
4-1
+ 1
+6
4- 24
4- 90
+ 192
+ 120
0
— 1
0
4- 10
— 42
+ 72
+ 120
— 1
+ 13
— 38
4- 68
— 54
— 48
+ 120
— 2
+ 91
— 120
4- 78
4- 54
— 168
+ 120
— 3
4-233
— 138
— 80
4™ 272
— 288
+ 120
— 4
4-271
4- 136
— 526
+ 630
— 408
+ 120
— 5
— 251
4-1050
— 1380
+ 1098
— 528
+ 120
Нелишнее заметить, что вычисление всего легче может быть- сделано, когда начиная с первого члена, множителя в нем умножаем на значение ж, потом присоединяем с его знаком множителя: 535 во втором члене, умножаем снова на ж и так | продолжаем до последнего. При взгляде на размещенные числа в таблице открываем^ что корни уравнения могут заключаться между границ, которые увеличивают число изменений в знаках:
1 я О
0—1
— 4—5
Так как Е^х\ переходя от одной из этих границ к следующей, делается переменно положительным и отрицательным числом, то три корня в уравнении должны быть необходимо действительные, остальные два могут быть или оба действительные, или оба воображаемые. Если они оба действительные, то не должны встретиться от ^ = —4 до х = —5, потому что в этом промежутке к числу перемен в знаках прибывает только единица.
Заметим, что вместо выражения Fm(x) можно употреблять для сокращения в вычислении
Fт (^)
1.2-3....*т’
которое впоследствии будем означать fm(x).
Если корень в уравнении менее единицы, то стоит только неизвестное х заменить другим -у, и тогда у сделается необходимо более единицы. Таким образом, всегда можно найти два целых, sig которых разность единица и между которыми должно заключаться значение неизвестного в уравнении.
[38]. Когда отысканы два числа т и ^ + 1, между которыми заключается корень х уравнения, то полагая
, 1
х = т 4,
У
получим новое уравнение для у, которого значение необходимо ^олее единицы и для которого можно, следовательно, по способу, изложенному в предыдущей статье, найти две границы mt и 2^4-1 в целых числах. Так продолжая, получим значение х в виде непрерывной дроби:
,1
х = т 4-
тТ-\
если невозможность решения где-нибудь не покажет, что предполагаемый корень не существует.
Когда х определено с такой точностию, что вторая и выше степени от разности с истинным значением могут быть пренебрегаемы за малостию в сравнении с первой, то всякое уравнение
^(ж) = 0
без приметной погрешности заменяется таким:
j?(a) 4- о) Ег (а) = О,
517 j где а — приближенное значение ж, №—разность а с истинным значением для х. Отсюда
0)
дает исправленный корень
х = a -f- (о.
Таким образом, этот способ, изобретенный еще Нютоном, дозво ляет продолжать приближение с какой угодно точностию для вычисления.
Например, в уравнении
ж5 + Зж4 — 7ж3 + 5ж2 —1 = 0
нашли мы границы
— ж > 4, <5.
Полагаем
— ж = 4Ч.
У
Получим:
f(y") = 27 V — 136у4 — 263у3 — Юоу2 — 17у — I, fx (у) = 1355у4 — 544у3 — 789у2 — 210у — 17, А (2/) = 2710у3 — 816у2 — 789у —105, f» (у) = 2710у3 — 544у — 263,
А(2/) = 1355у —136,
А (2/) = 271.
ms | Полагая у = 1, у = 2, находим:
У
А (2/)
А (2/)
А (у)
А (2/)
А (У)
1
— 251
— 205
+ 1000
+ 1903
+ 1219
+ 271
2
+ 3937
+13735
+ 16733
+ 9489
+ 2574
+ 271
Отсюда заключаем, что
где у, > 1. Уравнение для у дает:
/(у,) = 251у3 + 205у* —lOOOy3 — 1903у2 — 1219у, — 271,
А (2/1) = 1255у4 + 820у3 — ЗОООу2 — 3806у, —1219,
А (2/1) = 25102/3! + 1230у2 _ ЗОООу, — 1903,
А (2/1) = 2510у2 + 820у, —1000,
А (2/1) = 1255^+ 205,
А (2/1) = 251.
519 | Следовательно,519 | Следовательно,Полагая ^ = 2, у1 = 3, находим:
519 | Следовательно,
519 | Следовательно,
У1
2
3
f^
— 7009
4-29543
А(У1)
4-5809
4-84158
AW
4-17097
4-67937
А(у.)
4-10680
4-24050
fM^
4-2715
4-3965
f5(yi)
4-251
4-251
У1 = 2 + -,
где у2>1. Подобным образом и далее:
У(у2) = 7009г/» — 5809^ — 17097г/9 — 10680г/9 — 2715у3 — 251 г
fx Qy^ = 35045у^ — 23236г/9 — 51291г/9 — 21360г/2 —2715,
А (У2) = 70090г/9 —34854г/9 — 51291г/2 —10680,
А (?/2) = 70090^/2 — 23236у2 —17097,
f4 ^ = 35045г/2 — 5809,
AW = 7009.
Ставя г/2 = 3, находим, что /(г/2), а следовательно, и ft (t/2), f^ (г/2),. -. положительные числа. Если ж г/2 = 2, то
f (?/2) = — 53833,/2 (г/2) = 4- 308042, f4 (у2) = + 64281,
Л (У2) = + 124233, А(У2) = 4- 216791, /. (г/2) = + 7009.
После чего
у2 = 24-А
f^ = 53833г/9 — 124233у| — 308042г/9 — 216791г/9 — 64281г/3—7009 ? ^ (г/3) = 269165у| — 496932г/9 — 924126г/9 — 433582г/8 — 64281,
/2 (Уз) = 538330г,/9 — 745398г/| — 924126г/3 — 216791,
520 | f3 ^ = 538330г/9 — 496932г/3 — 308042,
Л(г/з) = 269165г/3 —124233,
Л Ы = 53833.
Для у3 = 5 находим У(у3) положительным, а следовательно, А(у3), fi (Уз)) должны быть такие же числа. Напротив, для у8 = 4 получим
У(у8) = —126293,
А (Уз) = + 25446639,
А (Уз) = + 19855225,
Уз (Уз) = + 6317510,
У4 (Уз) = + 952427, А (Уз) = + 53833.
О ледовательно,
1
тде у4 > 1. Так находим еще
^ = 196 + 1,
Уб
где г/5 > 1, и можем продолжать непрерывную дробь
—ж = 4Н;
4+~Ч
2 + ~—I
521 | покуда приближение будет почтено достаточным. Обыкновенные приближенные дроби к значению —® находим:
„ с, 5,22, 4317
4) 5’ 4 3 ’ 4 7 ’ 4 31 ’ 4 6083'
Последняя вПоследняя вНазывая этоНазывая этоПосле чегоПосле чегодесятичных долях дает ж = — 4,70968.
Последняя в
Последняя в
Называя это
Называя это
После чего
После чего
значение а, по способу Нютона находим:Т(а) = 0,0026381,J\ (а) = 737,8736.
ж = — 4,7096835751.
256а [39]. Способ приближения помощию непрерывных дробей особенного заслуживает внимания в квадратном уравнении
ага? — 26® + а = О,
.которого оба корни действительные и где я, 6, аг сделаны целыми числами, положительными или отрицательными. Отсюда значение
двух корней
6 ± Уб2 — аа^
Если е называем целое число самое близкое меньшее к Уб2 — а^а 522 и принимаем его с тем | же знаком, какой перед квадратным корнем, то в х будет заключаться тоже целое число и и с таким же знаком, какое в дроби ^-^— • Пусть ш — остаток в делении b + с на а^ и пусть х>1— положительное число, каким всегда его можно сделать. Будет
б -L с = nax + <«, х = и , Ху
где 9г, следовательно, целое положительное и где xY > 1 определяется квадратным уравнением
(суг2 — ^Ьп -|- а) Ж£ — 2 (б — па^ хг 4“ ^i = 0.
Так что, если полагаем
а^г2 — 2б9г -|- а = а2,
Ъ— пах = Ъу. то
а^ — йЬуХу 4~ ау = 0.
Откуда подобным образом находим снова , 1 Ж1 =,
где ж2 > 1 и где 1гг — целое положительное число, которое заключается в xv Так продолжая, находим непрерывную дробь
с целыми положительными знаменателями. Здесь целое Пу, как мы сейчас сказали, самое близкое меньшее к
Ьх ± V ь\ — ахаг
но где надобно решить наперед, с каким знаком должен быть взят квадратный корень. Находим:
_1Ох
1 — х — 9г “ Ъ — пау ± уъ^ — а^ =
Ъ —иах + "Уб2 — ааг by + У б2 — аат
ауП2 — 2б?г4~яа^
524524525525Сравнивая два значения жх, открываем, что
524
524
525
525
V ^ — а^ = — V Ь^ — аат и следовательно, пг— целое число, которым задаемся в делении by—с на а2. Итак, 7г, 7гх, 7г2,.. .определяются постепенно из уравнений:
6 4-с = 7га1-|“а)5
b — пат = 5П
|атп^— 25тг-4-& = ^
6j —6 = n1a24-<*>i)
^—7г1а2 = 62, а27г^ — 2517г1 *4“ ^ = а^ ^2 *4“ С = 71/2^з *4~ <*>2, 62— п2а3 = 63, а37г- — 2527г2 + а2 = а4 и т. д
Здесь под со, (о1, .. . разумеются остатки от деления 6-]- с на а1У Ьу — с на а2, 624-с на а3 и т. д.
Если корни уравнения — извлекомые числа, то непрерывная дробь, которая дает значение одного из них, должна пресекаться на известном знаменателе 7гг, а следовательно, в таком случае тгг+1 = оо. Если ж оба корня неизвлекомые, то все числа тг, n^...v необходимо целые положительные, не делаются также ни нулями,, ни бесконечными великими. Числа а, ап... , хотя и могут быть как положительными, так и отрицательными, всегда по величине не менее единицы. Покуда они остаются с одинаковыми знаками, то уравнения
Ъ = Ьг + паг = 62 + паг 4* ^1^2= ^з + uai + ^А + иА и т- Д- показывают, что в ряду 6, 6Х, Ъ^... числа должны возрастать приобретая противный знак, который и передают наконец числам а, аъ... , как это можно видеть на уравнениях
Ъ-\-с = 71^ + 0), Ъх—с = Пуа^ + ^1, 62 + с = тг2а2 + ш2 и т- Д-, где остатки со, соп. .. в делении с тем же знаком, с каким в каждое из уравнений входят числа а, ах> ... ^ которые, следовательно, попеременно будут положительные и отрицательные. Пусть ar^ ayVk
с противными знаками, то условие
62 — аат = № — агаг+1
показывает, что число значении для аг, аг+1 ограничено; а потому в непрерывной дроби те же знаменатели должны повторяться и составлять возвраты. Например,
5ж2 —26^ + 11 =0.
13 + V114
5’
13+КШ_--7+КШ
55’
,— 6 + УИ4
7+/И413+13’
13= 6 + 1/П4, — 6 + /114
6+1/Ш66’
6= 6 + 1/114 =—7+1/114
526 1—6 + 1/11413'13’
13= 7 + 1/114 _ 3— 8 + 1/114
7 + 1/Й45"т"5’
5_ 8 + 1/Й4—2 + "|/П4
8 + 1/114"-1°Ю ’
10= 2+|/114 =— 9+1/114
2 + 1/11411'11’
11= 9+ 1/114' = 6 . —9 + 1/114
9+|/1143~|~3’
3_9 + 1/П4, —2 + 1/И4
9 + 1/П4- И ~И ’
11_ 2 + 1/114 = 1 , —8 + "|/Н4
2 + 1/1I4-10—10’
108 + 1/1143— 7 + 1/П4
8 + 1/114 —5— '5’
Здесь знаменатели составляют возврат из чисел 1, 2, 1, 3, 1, 1, 6, 1, 1, 3, которые повторяются бесконечно.
257 [40]. Можно иногда с выгодой употребить способ прибли- 52? женин, основанный на том, что с | возвышением в степень числа, наконец, делаются неприметными в сравнении с самым большим из них по величине. Так, если дается уравнение
хи — а^-1 + а^-^ — ...-]-(— Wan = О
и составляем новое
— ^-1 + ^^-2 _ ... + (— 1Г2п = о,
которого корни будут степени с показателем г от корней данного, то чем г возьмем более, тем ^2^ сделаем ближе к самому большому по величине из корней первого уравнения. Если бы даже встречались между корнями по два воображаемых, которым всегда можно давать вид а + 5]/ —1, а — ЪУ—1 или
р (cos 9 + К— 1 sin 9), р (cos 9 — V— 1 sin 9),
положивши р2 = а2—|—62, b = a tang 9, то и степени таких корней делаются, наконец, неприметными, как скоро р менее самого большого из действительных корней.
Всего простее возвышать корни уравнения несколько раз ъ квадрат, покуда приближение окажется достаточным. Для подобного вычисления будут служить (ст. 245) уравнения:
Аг = а2 — Sa^ А^ = а^ — ^а^ + 2а4, А^ = а?д — 2а2а4 + 2аха5 — 2а6, и т. д.
528 | Для примеру возьмем уравнение из ст. 255:
ж5 — Зж4 — 7ж3 — 5ж2 +1 = 0.
Находим:
г = 2
4
8
А = 23
491
242067
А = 19
— 491
А = 19
— 45
А=ю
^5 =
После чего
ж = )/242067 = 4,70968
ПРИМЕЧАНИЯ
[]] Александр Афродизийский —наиболее выдающийся комментатор сочинений Аристотеля. Родился в Афродизии (Кария, область Малой Азии) и преподавал в Афинах перипатетическую философию во 2—3-м веке н. э. При жизни его называли «вторым Аристотелем»; большинство его комментариев было впоследствии переведено с греческого на арабский язык. (См., наир., Encyclopedia Britannica, 9-е изд.^ том 1, стр. 486.)
Лагранж (Joseph. Louis Lagrange, 1736—1813)— один из величайших математиков, творец аналитической механики, один из основоположников вариационного исчисления и т. д. Ссылка на Лагранжа, относится к его попытке построить анализ, не прибегая к понятию бесконечно малых. Для этого Лагранж определял функции при помощи бесконечных рядов1).
Коши (Augustin Louis Cauchy, 1789—1859)— один из крупней- ших математиков XIX столетия. Основатель теории функций комплексного переменного. Выпустил упоминаемые в тексте лекции по алгебраическому анализу), в которых, наряду с теорией решения алгебраических уравнений, впервые в строгой форме установил основные понятия современного анализа: предел, сходимость и т. д.
Диофант — знаменитый греческий математик александрийской эпохи. Считают, что он жил во 2—3-м веке н, э. Написал большое количество книг, из которых многие были переведены на арабский язык. У него впервые встречаются зачатки алгебраической символики;, это дает Лобачевскому известные основания считать, что толчком к возникновению алгебры у арабов послужили сочинения Диофанта. (См. И. Cantor — Vorlesungeti. iiber Greschichte derMathematik, Bd. I, 1880, стр. 394—416.)
«Аль джебр в’аль мукабала» — заглавие сочинения, написанного около 820 г. Мохаммедом бен Муза аль Ховарезми. В этом.
сочинении впервые были изложены простейшие операции над уравнениями. «Аль джебр» (восстановление) означает перенос члена уравнения в другую часть с обратным знаком. «Аль мукабала» (противопоставление)— соединение подобных членов обеих частей друг с другом. (См. М. Cantor — Vorlesungen fiber Geschichte der Mathematik, Bd. I, 1880, стр. 616.)
Пачиоли (Luca Paciolo, или Pacioli, 1445—1514)—францисканский монах, преподававший математику во многих итальянских университетах. Написал несколько книг по математике. В одной из них) он излагает правила нахождения неизвестных из уравнений. Эти правила он называет arte maggiore. (См. М. Cantor — Vorlesungen fiber Geschichte der Mathematik, Bd. П, 1892, стр. 280—315.)
Кардан (Girolamo Cardano, 1501 —1576) — итальянский философ, астролог и математик. Написал книгу «Ars magna de rebus alge- hraicis», в которой, между прочим, опубликовал найденное математиком Тартальей (Niccolo Tartaglia, 1500—1557) решение кубических уравнений. (См. Г. Г. Цейтен—История математики в XVI и XVH веках, ГТТИ, 1933.)
Мартин Федорович Бартельс (Johann Martin Bartels, 1760—1836) был в 1807 г., т. е. в первые годы основания Казанского универси. тета, приглашен из Германии в Казань профессором математики. Пробыл в Казани до 1820 г. Был учителем Н. И. Лобачевского (см. том I, стр. 68—70). В 1820 г. цереехал в качестве профессора математики в дерптский университет, где написал упомянутую в тексте книгу). (См. «Биографический словарь профессоров и преподавате- -лей Казанского Имп. Университета» (1804—1904), ч. 1, стр. 257—261. Казань, 1904.)
Штурм (Jacques Charles Francois Sturm, 1803—1855)—выдающийся французский математик, ученик Фурье. Особенной известностью пользуется его теорема), полностью и с исключительным изяществом решающая проблему отделения корней алгебраических уравнений. Об этой теореме как раз и говорится в тексте; она изложена во всех современных курсах алгебры.
В современной математике вместо термина «неизмеримые числа» принят термин «иррациональные числа». Две величины, отношение которых иррационально, и теперь принято называть «несоизмеримыми» .
[и] Запись деления у Лобачевского отличается от современной тем, что у него делитель ставится не справа, а слева. Таким образом, приведенный в тексте пример имел бы в современной записи такой вид:
а3 4“ За2Ь -j- Заб2б3
— а3 — 2а2б — аб2а-^-Ъ
а2б-|- 2аб24” 63— а26 —2аб2 —б3О
Под «заданным» Лобачевский разумеет здесь и в дальнейшем тексте (неполное) частное, получаемое при делении с остатком.
У Лобачевского бесконечный ряд носит название «бесконечной строки». Сходящийся ряд он называет «исчезающей строкой».
В современной математике «возвраты» называются «периодами».
Описываемый ниже «представительный», т. е. символический метод изложения теории определителей (последний термин у Лобачевского не встречается) ведет свое начало от Коши1). Однако принятая у Лобачевского символика совсем не та, которой пользуется Коши. Символ П здесь не обозначает произведения, выражая только то, что стоящее после него алгебраическое выражение является символическим, т. е. что после раскрытия скобок в нем следует вместо степеней всюду проставить индексы.
[1G] нХ)т — повсюду принятый в сочинениях Лобачевского символ для произведения т чисел, отличающихся друг от друга на единицу, начиная с п в нисходящем порядке. Число п может и не быть целым. В некоторых местах для этого символа даже введен термин «уступ». В современных обозначениях символу гг^^ соответствует А™ (число размещений из п предметов по ш). В частности,
Здесь каждая цифра, снабженная значком, равносильна букве с двумя значками, так что произведение (19) записывается в современной форме так:
ап е а22 • • • • • апп*
В этом месте в книге Лобачевского пропущено рассуждение, доказывающее, что х должно делиться на 5, а у на 3. В рукописи Лобачевского «Алгебра» (ст. 107)2) такое рассуждение имеется.
х) A. Cauchy — Memoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs egales et de signes contraires par suite des transpositions operees entre les variables qu’elles renferment. Journ. de I’Ecole Polytechn., 10, cahier 17, стр. 29—112.
2) См. стр. 382 наст. тома.
Обращаем здесь внимание на то, что Лобачевский не излагает метода решения неопределенных уравнений, который принят в современных курсах элементарной алгебры и, в сущности, является не алгоритмом непрерывных дробей, а его обобщением — алгоритмом Якоби). Незнанием этого алгоритма, опубликованного уже после смерти Лобачевского, объясняется то, что Лобачевский не рассматривает систем уравнений, число которых по крайней мере на два менее числа неизвестных.
Приводим выдержку из статьи «Пасхалия» в «Большой Энциклопедии» ), в которой разъясняются понятия и термины, необходимые для понимания приведенного Лобачевским примера на вычисление даты пасхи в каждом году.
«Согласно церковному канону, принятому Никейским собором ),_ пасха должна праздноваться в первое воскресенье после пасхального полнолуния (т. е. первого послевесеннего равноденствия, приходившегося во время Никейского собора на 21 марта). Основными элементами для вычисления пасхи являются следующие пасхальные термины: златое число, т. е. порядок года в 19-летнем периоде (так наз. Метоновом круге), причем за первый год первого периода принимается 437 н. э. (153 эры Диоклетиана); таким образом, златое число для данного года 1ST равно остатку от деления У-]-1 на 19; основание, т. е. возраст луны на 1 января данного года или, что то же, число дней, прошедших от декабрьского новолуния до 1 января. Возраст этот вычисляется согласно александрийскому канону и затем увеличивается (с 1400 года) на 3... Эпакта— дополнение основания до 21, если оно меньше этого последнего, и до 50 — если больше.
Название ^руг солнца происходит от 28-летнего периода, по истечении которого дни недели для каждого дня года повторяют свои наименования. Если бы все годы были простыми, то такое повторение происходило бы каждые 7 лет, так как в силу 365 = 1-j-7 • 52 с каждым (простым) годом наименование 1-го января передвигается на одну единицу. Повторение же через каждые 4 года високосных лет заставляет увеличить этот период в 4 раза. Круг луны (у Гаусса gtildne Zahl)— порядок данного года в 19-летнем периоде, причем за первый год первого периода принимается 5508 до н. э. (год «сотворения мира»). Таким образом, круг луны равен златому числу, уменьшенному на 3. Круг солнца — порядок данного года в 28-летнем периоде, причем эпоха та же, что и для круга луны.
. . . Сверх этих терминов для пасхи установлен ин^и^т— 15-летний период, служивший в Римской империи для определения времени взимания податей. За его начало принимается 312 г. н. э. (дата так называемого Миланского эдикта)».
Для определения дня пасхи как по юлианскому, так и по григорианскому календарям Гауссом даны весьма простые формулы. Для юлианской пасхи эти формулы таковы. Пусть а — остаток от деления числа года на 19, Ъ— на 4 и с—на 7. Далее, обозначим через d остаток от деления 19а 4*15 на 30 и через е — остаток от деления 26 4“ 4с-|- 6d -|~ 6 на 7. День пасхи будет 22 4~d4~e марта или, что то же, d4“6— ^ апреля. Эти формулы были опубликованы Гауссом без доказательства в «Monatliche Correspondenz» за 1800 г. Доказательство их было дано Кинкелином в «Schlomilch/s Zeitschrift ftir Matliematik» в 1870 г. Перевод этой статьи на русский язык был помещен в 5-м томе «Математического сборника» (1870)).
Никейский собор — первый из семи «вселенских соборов» (т. е. всемирных съездов), которые христианская церковь организовала в первые века своего существования для установления своих догматов и обличения ересей. Никейский собор происходил в 325 г. н. э. в г. Никее. На нем были установлены основные догматы (первая часть так наз. «символа веры») и основы летоисчисления, в частности принят способ вычисления пасхальных сроков на каждый год.
Юлианский календарь был установлен при первом римском императоре Юлии Цезаре. Его идея основана на том, что астрономический год содержит приблизительно 365 суток. В связи с этим в каждом году юлианского календаря содержится 365 дней, кроме так наз. «високосных годов» (номера которых делятся на 4), которые состоят из 366 дней.
В силу того, что средняя продолжительность года по юлианскому календарю все же отличается от продолжительности астрономического года, при папе Григории в 1582 г. была введена поправка, состоящая в том, что года, номера которых кончаются двумя нулями, только в том случае считаются високосными, если число их сотен делится на 4. Календарь с этой поправкой получил название григорианского.
В современных обозначениях символ п^запишется так: г= и!
" Г1(И—г)!'
Здесь и на следующих двух страницах в вычислениях Лобачевского имеются ошибки, которые в настоящем издании исправлены.
В книге пропущен конец этой таблицы, воспроизведенный в первоначальной рукописи. Вот он:
1,0000001370,000000060
1,0000000690,000000030
1,0000000340,000000015
1,0000000170,000000007
1,0000000090,000000004
1,0000000040,000000002
1,0000000020,000000001.
Проф. Е. И. Григорьев передал в наше распоряжение отрывок, написанный Лобачевским и не помещенный в книгу; он должен был находиться на этом месте книги. Нам не удалось видеть подлинника рукописи этого отрывка, полное библиографическое описание которого будет помещено в последнем томе настоящего издания. Здесь же мы воспроизводим этот отрывок по записи Е. И. Григорьева.
«[179]. Показавши свойства логарифмов и способ вычислять их, нелишне будет рассмотреть, как надобно составлять таблицы и какой верности должно от них ожидать. Мы ограничим себя здесь таблицами Коллета, всего более употребительными. Впрочем, что будет сказано здесь о сих таблицах, легко можно применить ко всяким другим.
Таблицы ограничиваются известными числами; логарифмы прочих чисел могут находиться уже посредством показанных в таблицах. Таблицы должны быть так составлены, чтобы можно было из них почерпнуть логарифмы всех возможных чисел до такой точности, до какой вычислены самые таблицы. Логарифмы чисел, не находящихся в таблицах, ищутся помощью разностей поставленных логарифмов в таблицы, что называется интерполяцией логарифмов.
Логарифмы в таблицах Коллета вычислены на семь десятичных мест, следовательно .точность их простирается до 0,00000005.
Пусть log а? известен, log (а?-]- 8) найдется следующим образом:
log(«-f-8) = logx + M^ — -Г ^2
Если -^-М-^ не более 0,00000005, в таком случае log (а?—|— 8) можно найти помощью log а? и разности в таблицах log а? и следующего логарифма, как мы вскоре покажем.
Посмотрим, в каком случае будет такое условие иметь место. Пола- таем
=0,00000005.
2’
о2
JKaK -п- = 0,217 . . ., = может быть равно 0,0000002 5 и 2’’ ж2>
о _59
ж “ 10000 — 18000 ‘
Отсюда мы заключаем, что таблицы на 7 десятичных мест должны быть вычислены на 5 мест в числах. Коллетовы таблицы так и сделаны. Для чисел меньших 18000 надобно, чтобы в таблицах логарифмы были вычислены на 6 мест. В Коллетовых таблицах находятся 6 мест от 100000 до 106799; для чисел между 106799 и 18000 надобно брать в таблицах ближайшее меньшее, когда на конце число < 5, ближайшее большее, когда > 5. Напр., требуется логарифм числа 102209; находим в таблицах 6 чисел log 102209 = 5,00948914, ограничивая себя 7 местами, log 102209 = 5,0094891. Иначе можно искать сей логарифм в 5-ти числах log 102210 = 5,0094934; log 102209 = 5,0094934—43 = 5,0094891, то же что нашли выше. Если ж берем сперва log 102200 и придаем после 383, то log 102209 = =5,0094892, что менее верно.
. Определим теперь, как далеко верность простирается в числе, когда логарифм его вычислен на 7 мест. [Разыскиваем, когда] число ж так определится, что, прибавляя к нему еще далее числа, логарифм останется тот же. Итак log (ж-|-8)—log ж < 0,00000005; разность же log (ж-|-8)—Iogж = Af•^-, след., чтобы определить границы для ж, надобно полагать
м. — = 0,00000005,Ж ’’
о 5
Г “4342900 *
След., если число начинается с 5, надобно вычислять пять цифр, а шестое число покажет, когда оно > 5, что нужно увеличить одной -единицей, когда [же] <5, оставить без перемены. Если же число начинается с цифры [меньшей] 5, то точность вычисления такова, чтобы останавливаться на шестой цифре, а седьмая покажет, должно ли шестую цифру увеличить единицей или нет.
. Дается log ж и log (ж *-]-!), надобно найти log (ж -]- 8), где ^ • &2, так же как Hlf (^ ^—^ > < 0,00000005. Пусть log (жЦ-1) — — 1о§*ж = 7). Ограничиваясь] точностию, принятой в таблицах, можно лолагать
log (ж + 8) = log+ М • ^ ; log (ж 4- 8) = log (ж +1) — М • J^-.
Отсюда .0=^; log(ж-[- 8) = logж*-[-D • 8. В таблицах Коллета D выставляется в последнем столбце с правой руки, в верху которого
стоит diff. Под числом D к левой руке стоят числа 1, 2, 3, . . . , 9; им
D 2D 3D соответствует на правой стороне ^ , уу, -у^-, . . . , D. Помощью такой таблички удобно вычислять произведение 8D».
Такой символикой Лобачевский пользуется вместо принятой: в современной теории чисел символики Гаусса, основанной на понятупт сравнения. Сравнение
а = b (mod т)
запишется у Лобачевского так:
а = & 4“ ™Д*
Подобную же символику употребляли Лежандр и Лагранж в свои^ исследованиях по теории чисел.
В этой статье приведен результат, носящий название малой- теоремы Ферма.
В современной русской литературе принято называть основные корни первообразными корнями.
Приведенное в ст. 206 доказательство существования первообразных корней значительно отличается от общепринятых доказательств и имеет преимущества в смысле большей простоты. Это заставляет нас предполагать, что оно принадлежит Лобачевскому (если бы это доказательство было известно ранее, то у него были бы все- основания сделаться общепринятым).
В настоящее время для этого числа принят символ Эйлера 4^>—W
В книге Лобачевского для р = 67 дано другое значение р— 1 и другие первообразные корни. Повидимому, в этом месте была какая-то серьезная опечатка, расшифровать которую полностью - нам не удалось.
Это обозначение, внешне совпадая с Гауссовым1), по существу отличается от него. В то время как у Лобачевского [г] обозначает ^\ у Гаусса
[г] = шг.
у Гаусса это выражение носит название периода. Приведенный период в Гауссовых обозначениях имел бы вид:
\ а ’ Г
так как у Гаусса принято следующее обозначение для периода:
где h=ge, так что Ы=1 (modp)2).
1) К. F. Gauss — Disquis. arithm. art. 342.
2) Там же, art. 343.
Обозначение (^) в точности соответствует Гауссовому обозначению М.
Об отличии метода Лобачевского от метода Гаусса подробнее сказано в примечаниях к статье Лобачевского «Понижение степени в двучленном уравнении, когда показатель без единицы делится на 8» ).
дто замечание указывает на то, что Лобачевскому не был известен мемуар Абеля), в котором доказана невозможность такого решения. Этот факт удивителен, тем более, что упомянутый мемуар Абеля напечатан в 1-м томе журнала Крелля, в то время как в статье «Понижение степени в двучленном уравнении» Лобачевский цитирует мемуары, помещенные в 9-м томе журнала Крелля; статья же Лобачевского вышла не более чем через год после написания книги (обе помечены одним и тем же 1834 г.).
Изложенный в ст. 256 способ приближенного вычисления корней при помощи непрерывных дробей носит название способа Лагранжа.
Эта статья ошибочно имеет тот же номер 256, что и предыдущая. Мы пометили её номером 256а.
Изложенный в ст. 257 способ приближенного .вычисления, открытый Лобачевским в 1832 г., ошибочно называется методом Греффе, опубликовавшем этот способ в 1837 г. Работа Греффе 1837 г. была нам недоступна. В приложении) помещен перевод более ранней статьи Греффе, от 1833 г., из которой мы можем убедиться, что в то время Греффе еще не придумал своего метода в том совершенном виде, который уже был предложен Лобачевским. Кроме того, в приложении) помещена библиографическая статья проф. Н. Н. Парфентьева, посвященная вопросу о приоритете изобретения этого метода.
РУКОПИСЬ И. И. ЛОБАЧЕВСКОГО «АЛГЕБРА»
Кроме напечатанной в 1834 г. книги Лобачевского «Алгебра или вычисление конечных», в геометрическом кабинете Казанского государственного университета хранится рукопись Лобачевского по алгебре. Эта рукопись, принадлежащая Библиотеке им. Н. И. Лобачевского при геометрическом кабинете КГУ (под № 70), написана, in quarto; на бумаге вверху листа имеется филигрань, представляющая лук со стрелой. Весь текст написан одним четким мелким почерком переписчика. Никаких поправок и пометок в тексте нет. Автограф помещен на форзаце, где рукой Лобачевского написано: «Алгебра Н. И. Лобачевского». Рукопись не датирована. Пагинации в рукописи никакой нет. Она содержит: форзац-[-3 чистых листа -|- 92 листа текста (причем оборот 92-го листа свободен) 4~ 3 чистых листа 4~ задний форзац. На форзаце, кроме упомянутого выше автографа, имеются вверху листа две записи чернилами, сделанные в разное время. Первая, ранняя запись: «Библиотеки Казанской физйко-математ. секции № 337-й», вторая запись, сделанная рукой проф. П. А. Широкова: «Б. Л. (№ 70)»ь Переплет—времени написания рукописи, скромный, грубоватой работы; корешок простой кожи, корки покрыты дешевым мрамором бледнорозового цвета; уголки оправлены той же кожей, что и корешок. По обрезу рукопись покрыта грубо густым сине-зеленым крапом. Сама рукопись — как бумага, так и текст — отлично сохранилась; переплет же начинает страдать от времени: мрамор на сгибах замохрился, местами стерся, а да второй корке вблизи, верхнего угла отстал1)*
Рукопись состоит из 14 глав, составляющих содержание первых 13 глав книги (13-я глава рукописи «Разрешение уравнений второй и третьей степени» в данном виде в книге отсутствует, а ее содержание составляет часть содержания 17-й главы книги). Содержание рукописи указывает, что она предназначалась для преподавания, в средней школе, в чем нас также убеждает предисловие рукописи,
приводимое ниже. Кроме того, в предисловии к книге «Алгебра илп вычисление конечных» говорится: «Думая составить Алгебру для Гимназий и с этой целью написавши первые главы, я переменил однако ж намерение, в котором ежели успел, то мое сочинение будет служить руководством для учителей и учебной книгой для слушателей в университете»). Таким образом, рассматриваемая рукопись- несомненно является первоначальной редакцией книги, упоминаемой в предисловии. В этом нас убеждает также найденное в архиве Казанского университета «Дело по представлению отделения физикоматематического с Алгеброю, сочинения О. Профессора Лобачевского, для введения оной в употребление в Гимназиях», от «Сентября 19 дня 1825 года»).
Как уже было сказано, рукопись состоит из 14 глав, из которых первые двенадцать и 14-я имеют те же заголовки, что и первые 13 глав книги; они отличаются от соответствующих глав книги (за исключением глав 10 и 12) лишь небольшими редакционными и стилистическими отступлениями. Поэтому мы здесь целиком приводим лишь главы 10, 12 и 13-ю рукописи, а также предисловие, а для остального текста лишь указываем наиболее важные разночтения.
Мы сохранили весьма своеобразную орфографию рукописи, в которой вместо «если» пишется «естьли», «щет» вместо «счет», и т. п.^ а также употребляются вышедшие ныне из употребления слова вроде «отрахт», с целью передать аромат эпохи. При этом, конечно, мы ввели современную орфографию и также изменяли пунктуацию в тех немногих местах, где сохранение пунктуации Лобачевского затруднило бы читателя. Явные пропуски мы поставили в квадратных скобках.
лда^^vw -^ V WW «WWV W'Wirvg 4® - vуVWn^^rV Igyv-V1^^'Чуи1 w1.1 - V4
понятия не должны приобретаться навыком, но должно быть переданы с первого раза во всей их обширности, с точностию, ясностию и определенностию; а потом уже утверждат[ь]ся упражнением, что[б] могли чрез то глубже напечатлеться в памяти и с легкостию быть применяемы в дальнейших исследованиях. Вот главное правило в искус[с]тве преподавать Математику, которой трудность единственно во отвлеченности и обширности понятий, которая чтоб быть легкой требует от нас только того, чтоб мы не переставали судить, употребляя знаки, как сокращения для выражения умственных представлений. Такому правилу однакож не следовали до сих пор в началах, потому что думали облегчить Учение детей, упражняя их преимущественно примерами решения задач, предоставляя им самим отвлекать для сего нужные понятия и совреме- нем только возвратиться назад, чтоб пополнить то, что было некогда сказано им недостаточно из недоверчивости к их способностям. Требование столь чрез мерное, что даже не всякой и тот мог его исполнить совершенно, кому после удавалось уходить далеко от начал. Затем готов я думать, что естьли учение Математики, столь свойственно^] уму человеческому, остается для многих без успешно, то это по справедливости должно преписать недостаткам в искус[с]тве и способе преподавания. Не утверждая с дерзостию, чтоб я постигнул совершенство в последнем, но хочу надеяться, что избрал прямую дорогу к цели, впрочем ожидаю подтверждения от других.
Говоря о способе преподавания, прибавлю еще следующее замечание, по моему мнению совершенно справедливое. Наука почти без полезная в семействах [и] весьма важная для Государств, Математика требует учения от лица Государства. Едвали не из общественных заведений могут только выходить хорошие Математики, где все благоприятствует этой науке; выбор лучших наставников, которые непрестанно трудятся увеличить собственные свои познания; порядок и строгость, так сказать военные, которые одни только в состоянии принудить учеников следовать неослабно за преподаванием и удерживать в непрестанном напряжении их внимание; наконец, множество учеников, возбуждая соревнование, рождает охоту, превращает ее современем в отрахт [sic!] и бывает причиною появления гениев — Математиков.—Нелишнее мне было
здесь упомянуть об этом, потому что написал учебную книгу для Гимназии, я не боялся затруднить моей р азбор чивостию и строго- стию в истиннах более, нежели сколько это может принести пользы»
Для самой науки надобно было всегда желать, чтоб она стала на твердом основании, чтоб строгость и ясность сохранялись в самых ее началах, как оне делаются первым ее достоинством в продолжении. Такого рода опущение было вредно для целой науки, потому что было всегда причиной или без полезных исследований или темных, даже ложных понятий. — Сколько например написано* защищений и возражений на всякую теорию дифференциального исчисления, в которых всего чаще можно только видеть недостаток в твердых началах и неосновательность суждений их писателей?—
Лагранж в своей теории Аналитических функций старается избежать употребления бесконечно малых; между тем он не усу- мнился ввести в свои исчисления воображаемой корень, который сам собою не существует, а только может быть понимаем в его свойствах: последнего уже довольно. —И не должно отнимать у Математики, что служит новым средством к облегчению в ней вычислений, расширяет ее пределы, как скоро все в ней производится из начал не сомнительных. Вот почему и я говорю здесь только о воображаемых, т. е. чтоб положить первые и твердые основания вообще для всех родов вычислений, употребительных в Аналитике: главная цель Алгебры.—
Естьли я не напрасно трудился над сим сочинением, то за счастие быть полезным признаю себя обязанным Г. попечителю Казанского учебного округа Михаилу Леонтьевичу Магницкому, который потребовал от Профессоров его университета обратить их внимание на преподавание и поискать способов к улучшению.—
К ВСТУПЛЕНИЮ
В ст. 1. вместо шестого абзаца вступления к книге х) в рукописи стоит:
«Однакож хотя бы и всегда выходит остаток, как бы мала доля не была; но как остаток необходимо еще менее меры, то чрез раз
!) Стр. 30 наст, тома, строки 4 — 7 сверху.
дробление единицы на доли можно наконец до того уменьшить и остаток, что он сделается неприметным, или за малостию позволительно будет им пренебречь».
К ГЛАВЕ IV
Последние два абзаца книги в ст. 28 4 в рукописи имеют вид:
Написанные здесь четыре уравнения остаются без перемены, когда вместо чисел пит ставить коликие а, Ъ.
4- а • 4“ ^ = + а^? — а е — 6 = + аб,4“^’ —b= — аб, —а- 4~^ = — аЬ.
Что касается до самых чисел произведений на той и другой стороне уравнений, то они необходимо теже, как сейчас было доказано, потому что числа производителей теже. Знаки так же остаются одинаковые на обеих сторонах. Естьли а и Ъ вместе положительные числа или вместе отрицательные, то -\-аЪ положительное число; с другой стороны + а с 4"^з —а с —& так же вместе или положительные или вместе отрицательные числа, следов, их произведение положительное число. Напр., так ab в этом случае отрицательное число; -(-ас —6, —а с -)- Ъ будут числа с противными знаками, следов, их произведение так же отрицательное- число. Естьли а, Ъ одно положит., другое отрицательное число, то -^ab отрицательное число, 4"а с +&> —а с —& числа с противными знаками, след, их произведение так же отрицательное число.
Напротив здесь —а с 4“ 6, 4"а с — 6 или вместе положительные или вместе отрицательные числа, следов, их произведение положительное число, так же как и произведение—аЪ.
Говоря здесь о произведении двух коликих, снова припомним: что 4" можно и не ставить перед производителями, а подразумевать (глав. 3 ст. 15).
Последняя фраза ст. 30 книги ) заменила следующее место рукописи:
9 Стр. 51 — 52 наст. тома.
В четырех уравнениях, написанных выше, вместо чисел т и и можно поставить коликие а и 6, и четыре уравнения:
-(“ &: -(— Ъ = -{- (d: 6), — а: —— Ъ = -(“ (^ • 0, + а: — Ъ = — (а: 6), — а: Ц- 6 = — (а: 6)
остаются справедливыми; потому что и здесь перед частным а\Ь должен быть тот же знак, какой и перед делимым, когда делитель положительное число; противный знак, когда делитель отрицательное число (ст. 28 и 29).
Предпоследний абзац ст. 33 книги х) имеет в рукописи вид:
Итак, естьли производители и делители все положительные -числа, то их умножение и деление дает положительное число, естьли между ними одно отрицательное число, то в конце щета ъыдет отрицательное число; естьли между ними два отрицательных числа, то в конце щета снова выдет положительное число; естьли 3—отрицательное число; естьли 4—положительное; и т. д.
Отсюда следует, что вместо того, чтобы — ставить перед некоторыми производителями или делителями для показания, что их числа берутся с противными знаками (ст. 31), можно совсем их не ставить, естьли число—Ъ четное, или для нечетного числа минусов поставить один — перед всем выражением, или перед которым нибудь производителем или делителем.—Наприм.: вместо того, чтоб писать: — а X — 6: — с можно писать — а X Ь: с и а X — Ь:с или — ^а-Ъ;су
К ГЛАВЕ V
После первого абзаца ст. 53 ) в рукописи следует абзац, которого нет в книге:
Отсюда видно, что предписанные правила для уничтожения скобок (ст. 52) еще не полны, потому что недостает общего правила для того случая, когда перед скобками знак деления.
В рукописи в ст. 53 перед примером стоит абзац, которого нет в книге:
!) Стр. 54— 55 наст. тома.
Естьли однакож требуется уничтожить скобки в уравнении, то- этого можно достигнуть иначе; именно, умножая все уравнение на те суммы, перед которыми впереди Знак деления, от чего все такие делители уничтожаются, после чего можно уже исключить коликие из скобок, как это было сказано (в пред. ст.).
Два последних абзаца ст. 54 книги т) в рукописи отсутствуют.
К ГЛАВЕ VI
Предпоследний абзац ст. 60 ) в рукописи имеет вид:
Испытывать, делится ли число на какое нибудь другое на целог надобно только до того числа, которого вторая степень более уже данного. Наконец, испытывать должно только на те числа, которые сами не [со]стоят из производителей, начальное числа^ как их называют в Арифметике, потому что прочие числа, эгроизводние^ могут тогда только делить на цело, когда их начальные числа делят на цело. Число 359 должно испытывать только на числа от 2 до 18, потому что уже 19 • 19 = 361 > 359; далее между всеми числами от 2 до 18 только на начальные 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. На числа 2, 3, 5, 11 не делилось 359; остается еще 7, 13, 17, на которые так же не делится 359, следов, оно само начальное число.
В рукописи в конце ст. 63 ) имеется фраза:
То же надобно делать и с буквальными дробями, когда знаменатель делится на цело на выражение, на которое умножается дробь.
К ГЛАВЕ VII
В начале ст. 73 вместо выражения «простые числа» ) в рукописи стоит: «целые числа», что является более удачной формулировкой.
В ст. 75 в конце разбора «второго случая» б) в рукописи вместо последней фразы книги стоит:
Вот почему запятую ставят, расчитавши, сколько раз можно задаться делителем в делимом, сколько потом должно быть тут
десятичных, после чего и продолжают деление как бы с целыми числами, прибавляя всякой раз нуль к остатку, покуда дойдут наконец в частном до тех десятичных долей, которые требуют еще удерживать точность вычисления, естьли бы остаток не вышел нуль.
К ГЛАВЕ VIII
Ст. 81—84 г) в рукописи имеют вид:
Непрерывною дробью называется вообще дробь, составленная из многих так, что к знаменателю придается непрестанно вновь дробь; итак несколько до последней. Например
а
Ъ + сd + е
Т *
Здесь к знаменателю Ъ придается дробь ^ [■ -^ , где снова в зна- е7
менателе к d придается дробь -у-, которою и заключается непрерывная дробь.
Вычисление таких дробей должно, следов., согласно их значе
нию начинаться с последней дроби, к которой придается число перед нею, потом вышедшая дробь обрати... умножатся на сле
дующего числителя, придается к следующему числу, и т. д. до первого числителя. Представленная здесь для примера непрерывная дробь превращается в такую обыкновенную
adf-\- асbdf-\-be-\-cf *
Самые употребительные непрерывные дроби и об которых однех будет говорено в этой главе те, где все числители единицы, а знаменатели целые числа. Например
1
5 +
3 + 1
4
Которая представляет собою дробь —
69
Естьли в непрерывной дроби оставляется первой только знаменатель, то произойдет первая приблиэюенная дробь, естьли оставляются первые два знаменателя, то вторая приблиэ/сенная дробь, третья и т. д. когда первые три знаменателя удерживаются. Последняя приблиэ!сенная дробь или полное значение непрерывной дроби, когда все знаменатели взяты. Надобно заметить, что приближенные дроби разумеются всегда в виде обыкновенных дробей с числителем [и] знаменателем в целых числах.
Например в непрерывной дроби
1
5+1
4+1
3 +А
2
1413
первая приближенная дробь -у, вторая -^, третья последняя или полное значение всей дроби -^-.
Представляем непрерывную дробь под общим видом
1
аг + 1
О первого взгляда видно, что здесь все приближенные дроби по порядку происходят, когда в первой из них — ставим ^Ч вместо аг; потом во второй приближенной дроби ставим а2-|вмё- сто а^ и т. д. Вообще (?г + 1)[-ая] приближенная дробь получится, когда в n-ои вместо ап ставим а^Д•, чтоб числитель и знаменатель приближенной дроби делат[ь]ся целым числом, то
всякой раз должно умножить дробь вверху и внизу на букву, которая входит делителем. Так находятся по порядку приближенные дроби:
1 е ^1. &2аз +1.
«1 ’ аТа^ +1 ’ а^а^ + а^ + ах ’а2а3а4 + а4 + а2^1^2^з^4 ^ ^з^4" I" а^а^ * | ^ аха2 —j— 1
и т. д.
После сего легко видеть, что каждой знаменатель непре рывной дроби является только в первой степени в числителе и в знаменателе приближенных дробей; итак п-я приближенная дробь должна быть такого вида:
Л 4~ Маи
P-\-Qau 1
где А, М^ Р^ Q не содержат ап. Разделяя числителя и знаменаК Р
теля на ап, открываем, что — и — те самые части, которые про-
изошли от — когда вместо ... поставлено было ап_х4, следов.
М h-^-Man
Q 1 Р4~ Qan
Две последующие приближенные дроби, именно (п — 1) [-ая] и п-ая
ставим теперь в последнюю апставим теперь в последнюю ап вместо аи (ст. пред.); нахо вместо аи (ст. пред.); нахо
ставим теперь в последнюю ап
ставим теперь в последнюю ап
вместо аи (ст. пред.); нахо
вместо аи (ст. пред.); нахо
дим следующую за ними п4~1 [-ую] приближенную дробь
(Л 4- Ма^ айИ + МФ + Q^J^?i+i + Q
Отсюда видно, каким образом из двух последующих приближенных дробей происходит третья за ними; вторая приближенная дробь должна быть однакож рассмотрена особо, потому что ей. предшествует одна только дробь. Оне были найдены:
1 .
Естьли перед дробью ^ воображаем еще дробь у , тогда из двух: этих дробей следующая вторая приближенная произойдет по общему
правилу.
Дробь у называем нульной дробью. Итак, начиная с нульной и первой приближенной дроби, все прочие прлучаются одна за другой,, когда числителя % знаменателя последней дроби умножаем на следующего знаменателя непрерывной дроби, потом к числителю прикладываем числителя предыдущей приблиэюенной дроби, и к знаменателю» прикладываем знаменателя. Так это видно здесь:
2, 1
Г’ ах'
^Х^2 I " ^"
а2а3 4“ 1
^1^2^3 } «3 ^ ^1
^2^3^4 1 ^4' I ^2
ах«2а3а4 4~ а3а4 4“ аА + аА + ^
Например данная непрерывная дробь:
+ 1
+ 1
2 + 15+13 ’
Приближенные к ней дроби находятся по порядку до последней, которая будет полным ее значением:
О137 38 121
Т ’ 2 ’ 7 ’ 16 ’ 87 ’ 277 *
Далее ст. 85 рукописи -соответствует ст. 84 книги. Содержание ст. 85 книги содержится в ст. 84 рукописи. Вообще в этой главе расхождения рукописи с книгой более значительны.
В ст. 88 перед разложением числа 3,141593 х) в рукописи имеется место, которого нет в книге:
Итак свойство приближенных дробей оправдывает их название: оне действительно ближе к полному значению непрерывно^] дроби, нежели всякая другая дробь, которой числитель и знаменатель менее. Чтоб дробь менее разнилась от дроби ж, нежели -у , то для сего надобно по крайней мере А = Р-\-р, B = Q*-\-9^ потому что М и N должны быть целыми положительными и более нуля. Вот почему и употребляют приближенные дроби для отыскания простейшего содержания двух чисел при известной точности, которое содержание в строгости должно бы определяться весьма большою десятичною дробью, или даже определяться бесконечною.
Для сего десятичную дробь превращают в непрерывную так же как и всякую обыкновенную дробь (ст. 85); потом составляют приближенные дроби и степени их приближения испытывают или сперва, снова, превращая их в десятичные и сравнивая с данною,, или короче, как это было сказано в статье 87.
Глава УШ рукописи кончается ст. 90, и то без последнего абзаца^ Начиная с главы IX, в книге и в рукописи статьи имеют различную нумерацию.
К ГЛАВЕ IX
Ст. 102 книги соответствует ст. 94 и 95 рукописи.
Статья 97 рукописи, приводимая ниже, не соответствует никакой статье в книге.
Сколько бы ни было неизвестных в двух уравнениях, как скоро одно из них встречается в обоих уравнениях, то его можно нсключить, как это было показано для двух уравнений с двумя неизвестными (ст. пред.), два уравнения с тремя неизвестными #, у, 2 и проч. Должно привести сперва в такой вид (ст. 92):
ах-^Ъу-\-С2-\- ... = к^
Ах-\-Ву-\-С2-^ ... =К.
Чтобы исключить отсюда ж, берем дробь -^-, называем ее по со- кращении-у, умножаем первое уравнение на ^, второе на р^ потом
вычитаем второе из первого. Получим:
(ад —рА) х + (Ьд —рВ) у + (сд —рФ) 2 + ... = leg —рК.
Разность двух дробей — —Разность двух дробей — —Р4Р4составляетсоставляетнуль, следов., множитель ад—рА при х нуль.нуль, следов., множитель ад—рА при х нуль.ад—рАдАад—рАдАи должна бытьи должна быть
Разность двух дробей — —
Разность двух дробей — —
Р
4
Р
4
составляет
составляет
нуль, следов., множитель ад—рА при х нуль.
нуль, следов., множитель ад—рА при х нуль.
ад—рАдА
ад—рАдА
и должна быть
и должна быть
Вместо р можно взять а, вместо д тогда А^ множитель ад—рА
будет аА— Аа^ следов., х уничтожается; однакож всегда выгоднее сокращать дробь -^-, естьли она допускает только сокращение, и брать р числителя в сокращенной дроби, д знаменателя, потому что через это будут употреблены в щете числа или выражения короче. —
Естьли а и А определенные числа, то не нужно даже обращать
внимания на знаки при них, как это было замечено в ст. пред., а для большей простоты брать оба числа а и А положительными, потом сыскать р и д, чрез что произведения ад и рА сделаются
равными по величине. —
Чтоб х уничтожилось, то надобно после сего складывать или вычитать уравнения, смотря потому, знаки при а и А будут ли противные или одинаковые.
В конце ст. 99 рукописи содержится место, которого нет в соот
ветствующей ей ст. 105 книгит):
*) Ср. стр. 126 наст. тома.
Однакож кроме того, что этот способ необходим, когда известные остаются неопределенными, он может быть приведен так в правило, что сделается довольно скорым для щета, даже и в числах. Еще представляется здесь та выгода, что троякое вычисление знаменателей неизвестных служит поверкою. Для сего лучше делать все числа целыми, что всегда возможно чрез умножение на знаменателей, потом надобно поступать как здесь представлено в примере, который, чтоб скорее понять, должно в особенности обратить внимание на то, как числа одного уравнения в отношении к другому подвигаются одним местом и потом соответственно умножаются; далее, что те произведения вычитаются, для составления которых переменят места числа передшествующего уравнения; наконец, что порядок, в котором следуют числа и уравнения одно за другим, происходит, щитая за первым второе, за вторым третие, а за третьим вновь первое, итак все идя кругом.
+ 5+ 4+ 7+15+ 2— 6
+ 3+ 2--10—15+ 8- +40—21--70-104-10— з--2+ 3+ 2--10—15+ 8- +40—21--70-104-10— з--2|—554-29+60|—554-29+6060+1430) I -g 1 gg135^Ю 24+105j+&U rd« ld&60+1430) I -g 1 gg135^Ю 24+105j+&U rd« ld&+10— 3+ 2 + 2— 64-15+10— 3+ 2 + 2— 64-15±|^±^ }+6»+14+90±|^±^ }+6»+14+901560+ 1— 55+ 29+ 6090+32+ 2210+476+30601354-ю+ 500+380—13501560+ 1— 55+ 29+ 6090+32+ 2210+476+30601354-ю+ 500+380—1350774-2655-|-885+17004-2655-|-885+1700+ 2- 6+ —55+29+ + 65 + 14:-|- +50+38—+ 2- 6+ —55+29+ + 65 + 14:-|- +50+38—ж уж у— 3+ 2+10— 3+ 2+10— 55— 64-3904-294-154-4354- 604-24-120+ 654-7+ 4554-144- 5+ 704- 90+ 44-360+ 504-2+ 1004-384-ю4-380— 1354-з4-405+ 885+ 885*+ 885— 55— 64-3904-294-154-4354- 604-24-120+ 654-7+ 4554-144- 5+ 704- 90+ 44-360+ 504-2+ 1004-384-ю4-380— 1354-з4-405+ 885+ 885*+ 885222655„"=85Г = 3;2655„"=85Г = 3;855„Ж — 855“1;855„Ж — 855“1;УУ1770_28852,11770_28852,1
+ 3+ 2-
-10
—15+ 8- +40—21-
-70
-10
4-10— з-
-2
+ 3+ 2-
-10
—15+ 8- +40—21-
-70
-10
4-10— з-
-2
|—554-29+60
|—554-29+60
60+1430) I -g 1 gg135
^Ю 24+105j+&U rd« ld&
60+1430) I -g 1 gg135
^Ю 24+105j+&U rd« ld&
+10— 3+ 2 + 2— 64-15
+10— 3+ 2 + 2— 64-15
±|^±^ }+6»+14+90
±|^±^ }+6»+14+90
15
60
+ 1
— 55+ 29+ 60
90
+32
+ 2210+476+3060
135
4-ю
+ 500+380—1350
15
60
+ 1
— 55+ 29+ 60
90
+32
+ 2210+476+3060
135
4-ю
+ 500+380—1350
7
7
4-2655-|-885+1700
4-2655-|-885+1700
+ 2- 6+ —55+29+ + 65 + 14:-|- +50+38—
+ 2- 6+ —55+29+ + 65 + 14:-|- +50+38—
ж у
ж у
— 3+ 2+10
— 3+ 2+10
— 55
— 6
4-390
4-29
4-15
4-435
4- 60
4-2
4-120
+ 65
4-7
+ 455
4-14
4- 5
+ 70
4- 90
+ 4
4-360
+ 50
4-2
+ 100
4-38
4-ю
4-380
— 135
4-з
4-405
+ 885
+ 885
*+ 885
— 55
— 6
4-390
4-29
4-15
4-435
4- 60
4-2
4-120
+ 65
4-7
+ 455
4-14
4- 5
+ 70
4- 90
+ 4
4-360
+ 50
4-2
+ 100
4-38
4-ю
4-380
— 135
4-з
4-405
+ 885
+ 885
*+ 885
2
2
2655„
"=85Г = 3;
2655„
"=85Г = 3;
855„
Ж — 855“1;
855„
Ж — 855“1;
У
У
1770_2
8852,1
1770_2
8852,1
В ст. 101 рукописи (которая соответствует ст. 107 книги х)) «3-е правило» имеет вид:
Чтоб все уравнения были употреблены для составления, новых, где не будет одного уже из неизвестных, то для сегог называя из них те, в которых встречается это неизвестное,, в каком нибудь порядке: первое, второе, третие и т. д., должно исключать неизвестное из первого и второго; потом из третьего и второго или из третьего и первого; потом из четвертого и: третьего, или из четвертого и второго, или из четвертого и первого; так и далее, вообще скажем, что должно соединять каждое уравнение по порядку с которым нибудь из предъидущих. Таким образом необходимо войдут все уравнения в составе новых, в которых предполагается, не должно быть одного неизвестного.
В рукописи глава IX заканчивается ст. 100, которая соответствует ст. 107 книги. Исследования уравнений с п неизвестными (ст. 108—113» книги) рукопись не содержит.
К ГЛАВЕ X
Глава X имеет в рукописи совершенно другой, более элементарный вид, чем в книге; поэтому мы воспроизводим ее здесь целиком.
Глава X
РАЗРЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
Когда требуется, чтоб значения неизвестных в уравнениях: были целые числа, тогда число уравнений должно быть менео числа неизвестных; иначе уравнения допускают только единственные значения для неизвестных, которые, естьли не будут целые числа сами собою, то и невозможно исполнить требование.
Когда число уравнений менее одним числа неизвестных, тогда чрез исключение можно достигнуть наконец до одного уравнения с двумя неизвестными, которое должно быть разрешено в целых числах. Итак решение и—1 уравнений с и неизвестными, во первых приводится к разрешению такого уравнения
ахЦ-Ьу = с,
где ж, у два неизвестных; числа а, 6, с целые или дроби. В последнем случае чрез умножение на знаменателей всегда можно их сделать целыми, почему и будем предполагать а, 6, с такими. Далее, когда с отрицательное число, то можно его сделать чрез
перемену знаков в уравнении положительным, число а можно так же сделать положительным, взяв ж с противным знаком, еслиб а было отрицательное; наконец и Ъ можно сделать подобным образом отрицательным числом. Итак, должно заняться только разрешением уравнения:
ах — Ъу = с,(1)
тде числа а, 6, с целые положительные.
Разрешение уравнения (1) возможно, когда самой большой общий делитель числам а и Ъ делит вместе на цело с; иначе, так Ж1К х^ у предполагаются целыми, после деления уравнения на самого большого общего делителя а и 6, на одной стороне вышло бы целое, а на другой дробь.
Итак, естьли уравнение (1) возможно, то после деления его на самого большого общего делителя числам а и 6, выйдет такое, тде множители при неизвестных между собою начальные числа. По сему и будем предполагать, что а и b уже сделаны такими.
Уравнение (1) допускает бесчисленное множество значений для х и у. Все они заключаются в выражениях:
тде 7i произвольное целое число. Действительно, когда в уравнении (1) ставим 7г6-|-ж вместо ж, и тш-^у вместо у, то оно не переменится.
Других значений, кроме тех, которые заключаются в выражениях Tib + х^ 7ia-j-y, не может быть для ж, у. Называем X и Y новые два значения для х и у в уравнении (1). Полагаем Х = Р-\-х^ Y=Q-\-y^ что вставляя в уравнение (1), находим:
aP = bQ,a _Qb ~ Р'
Как а и Ъ между собой начальные числа (ст. 104), то Q = 7ta, P = ub^ где 7i целое число (Глав. УШ ст. 89).
Итак, для полного разрешения уравнения (1) надобно только найти какие нибудь два числа ж, у^ которые бы удовлетворяли уравнению, и тогда будут уже известны все значения хп у.
Естьли а < 6 в уравнении (1), то пусть ^ предпоследняя приближенная дробь к у-; тогда (Глав. УШ ст. 86)
ад— Ьр =± 1.
Следов., число ж может быть взято ±# • с, число у взято dip • с. Верхний знак для положительной разности ад— Ър^ а нижний для отрицательной.
Естьли а > 6, то называем ~ предпоследнюю приближенную дробь к — ; тогда снова ад — 6jp = ±l. И снова те же числа могут быть взяты за х и у.
Естьли же а = 6, то вместо х может быть взято всякое целое число, а потом определится у из уравнения (1). Этот случай будет тот, когда вместе а = 1, потому что а и Ъ предполагаются начальные числа между собою.
Наприм.: требуется найдти ж, у в целых числах, так чтоб
13ж —15^ = 37.
Предпоследнюю приближенную дробь к ~| находим у; потом 13-7 —15-6 = 1, следов.,
ж = 15тг + 259; у = 13^ + 222
или короче
гс = 15?г + 34; 2 = 13тг —|- 27,
где и произвольное целое число.
В уравнении (1) можно сделать все числа а, 6, с между собою начальными, что часто много облегчает решение.
Называем N самой большой общий делитель числам а и с, то разделяя уравнение на У, получим:
аЪс
NNу N
Числа а и Ъ предполагаются уже между собою начальными, то о не может уже разделиться на У; между тем должно быть т^ньш. числом, потому что у и у целые числа, след., у должен делиться на У на цело (Глав. УШ ст. 90). По сему неизвестные у>ас
в уравнении ж и у должны быть целыми числами; у и у между собою начальные.
Называем теперь М самой большой общий делитель числам Ъ и с или, что все равно, числам & и ^г (Глава VIII ст. 90). Разделяя последнее уравнение на М^ получим
а х х Ъ у с
Здесь "^ ) ^ и ^у Целые числа, -— было доказано также должно быть целое число, следов.-^- • -^ целое число, что может быть только тогда, когда -— целое, потому что а не делится на М. В этом уравнении неизвестные ^ , -^г должны быть, следов., целые числа.
Пусть дается так же уравнение:
Юж —21т/= 98.
Самой большой общий делитель 2 числам 10 и 98, а 7 числам 21 и 49, после чего уравнение, будучи разделено на 14, делается таким:
5.f+3.f = 7.
Отсюда находим
— = 371+2; у = 57г + 1, ж = 21?i 4“ I^j У = Ю?г + 2, где и произвольное число.
Из двух уравнений с тремя неизвестными, исключая одно неизвестное, находим одно уравнение с двумя неизвестными, откуда и определяются их значения. Они будут заключать в себе произвольное целое число, которое находится вместе с третьим неизвестным, когда в одно из данных уравнений ставим сысканные значения для первых двух неизвестных. Другое данное уравнение должно необходимо поверяться само собою сысканными? значениями неизвестных, потому что сии значения удовлетворяют одному из данных уравнений и еще другому, происшедшему от исключения одного неизвестного, из которых двух обратно должно следов, и второе данное уравнение.
Возьмем уравнения
5ж4-2у —4^ = 27,7ж —37/4-5^ = 29.
Исключая 2, получим
53ж —2у = 251.
Отсюда я = 2^4-5; У = 5371 + ?, где и произвольное число. Вставляя ж, у в первое из данных уравнений 116?г —42 = —12, 29?г — 2 =— 3,
откуда 2 = 29714*3. Итак, значения трех неизвестных: ж = 2714" 5; у = 53?г 4*7; 2 = ^г 4~ 3, где п произвольное целое число. Такие значения удовлетворяют и □второму данному уравнению, что легко поверить, вставляя их оюда вместо ж, у, 2.
Другой пример.
14л 4~ бу —112 = 97; 42л — 34у 4~ 92 = 235.
Исключая л, находим 7у— 62 = 8, откуда у = 6п 4- 2, 2 = 77i4~l- Ставя сии значения в первое уравнение:
х — 47 .=
14’
откуда л = 74~47?2г; 7i = 14m, где т произвольное целое число. Итак значения трех неизвестных
ж = 7 4* 4 7 72г; у = 2 4“84m; 2=14“917П.
Сколько бы ни было неизвестных л, у, 2, м, ...числом гг, когда число уравнений и— 1, то через исключение составится наконец одно уравнение с двумя неизвестными (ст. 103) л, у, откуда определяются их значения помощию произвольного целого числа р (ст. 105). Значения х^ у^ будучи внесены в которое нибудь из двух уравнений с л, у, 2, произведут уравнение с двумя неизвестными р и 2, откуда р и 2 будут найдены помощию нового произвольного целого числа 5, следов., и значения всех трех неизвестных л, у, 2 выразятся также помощию 3. Внося сии последние значения в одно из уравнений с четырьмя неизвестными, х у^ 2^ и^ получим уравнение с неизвестными и и ^, откуда у и и определятся, а за ними л, у, 2 так же с помощию нового произвольного целого числа. Так продолжая, найдем наконец и все неизвестные, значения которых будут заключать в себе одно произвольное целое число.
Таким образом разрешение уравнений с многими неизвестными состоит единственно из разрешений уравнений с двумя неизвестными, а посему оно невозможно, как скоро здесь где нибудь встретится невозможное уравнение с двумя неизвестными.
Даются уравнения:
5ос -|- 15у + 22 = 5; 9^ — 32 4~ Чи = 16; 13у +112 — %i = — 33.
Исключая м, находим два уравнения
дж-|-15у 4^22 = 5; 9a?4~91y 4-742 = — 215.
Исключая отсюда 2, находим одно уравнение:
176^4-464^ = 400,11^4-29^ = 25,
из которых ж = 29?1 — 3; у = — 11714" 2. Вставляя сии значения в уравнение 5ж4~15г/4~22 = 5, находим 2 = 1071 — б; значения у, 2 ставим в уравнение 13г/4“ ^^—и — — 33, получим наконец последнее неизвестное и = — 53тг — 4. Во всех сих значениях неизвестных ж^ у, 2^ гь число и произвольное целое.
К ГЛАВЕ XI
В рукописи в конце ст. 110 имеется место, которого нет в соответствующей статье (128) книги1).
Это последнее уравнение служит для поверки значения корней и для их нахождения.
Так, когда хотят знать }/б25, то испытывают все по порядку числа, покуда встретится 5, тРакое, которое в четвертой степени дает 625.
Ст. 121 рукописи соответствует двум различным статьям книги; вероятно, такая нумерация получилась по ошибке. Ее начало совпадает по содержанию со ст. 139 книги [(корень от частного 2)], а далее без достаточной логической связи ее содержание переходит к приближенному извлечению корней [ст. 132 книги )]. Вот текст ст. 121.
121. Корень от частного равен частному таковаже корня от делимого на такой же корень от делителя
Есть ли а = 1, тоЕсть ли а = 1, то(ст. 119). Отсюда 1^ =Vb(ст. 119). Отсюда 1^ =Vb
Есть ли а = 1, то
Есть ли а = 1, то
(ст. 119). Отсюда 1^ =
Vb
(ст. 119). Отсюда 1^ =
Vb
Когда дробьКогда дробьвле^олюе число, целые числавле^олюе число, целые числа-^- сокращенная, топ ,-как естьли таков ус-^- сокращенная, топ ,-как естьли таков усу у tHel иначе может быть из-у у tHel иначе может быть из-У=У гДе^и</ VЧ а уПи начальные между собою, то во первых-у = (см. пред.). Далее дробь ^ не сокращается (глава УШ ст. 90),У=У гДе^и</ VЧ а уПи начальные между собою, то во первых-у = (см. пред.). Далее дробь ^ не сокращается (глава УШ ст. 90),а посему они часто не могут выражаться числами строго. Ноа посему они часто не могут выражаться числами строго. Но
Когда дробь
Когда дробь
вле^олюе число, целые числа
вле^олюе число, целые числа
-^- сокращенная, то
п ,-
как естьли таков ус
-^- сокращенная, то
п ,-
как естьли таков ус
у у tHel иначе может быть из-
у у tHel иначе может быть из-
У=У гДе^и</ VЧ а уП
и начальные между собою, то во первых-у = (см. пред.). Далее дробь ^ не сокращается (глава УШ ст. 90),
У=У гДе^и</ VЧ а уП
и начальные между собою, то во первых-у = (см. пред.). Далее дробь ^ не сокращается (глава УШ ст. 90),
а посему они часто не могут выражаться числами строго. Но
а посему они часто не могут выражаться числами строго. Но
в таком случае достаточно, естьли чрез испытание найдется для корня число с тою точностию, которую предписывается наблюдать в вычислении. Здесь покажется, каким образом представлять корень десятичною дробью и находить в ней десятичные доли одне за
другими до последних, за которыми уже прочие позволяется отбрасывать. Этот способ употреби[те]лен весьма часто в Математике для отъыскания значения какого нибудь выражения и называется приближением.
Довольно говорить только о корнях положительных чисел, потому что от отрицательных они или невозможны, или таковы же по величине, как и от положительных, но с минусом (ст. пред.). Так> после того, что сказано было в предъидущей статье, не нужно говорить и о знаке перед числом, которое должно представлять корень, а нужно принимать только в рассуждении одну величину. —
Называем а какое нибудь положительное число, п также положительное число и притом целое. Когда требуется найдти ]/а, то это значит найдти такое число 6, чтобы Ъп = а (ст. 110).
Естьли а = 0, то и 6 = 0, потому что n-я степень от нуля, как произведение нескольких нулей, нуль. И никакое другое число кроме нуля не может почесться 6, потому что никакое другое, число не делается нулем от умножения само на себя.
Естьли а = 1, то Ъ можно взять единицей, потому что 1П = 1, как произведение нескольких единиц. Число Ъ не может быть другое кроме единицы, потому что естьли взять 6>1, то и 6»>1; естьли взять 6<1, то и Ъп <1 (глав. V ст. 48).
Для других чисел а, то есть кроме а = 0 и а = 1, заметим следующее правило, которым должно руководствоваться при испытании. Когда увеличится 6, то вместе и увеличится а; напротив когда уменьшится 6, то вместе уменьшится и а (глав. V ст. 48). Итак, испытывая число 6, естьли откроется, что Ъп*>а^ то должно уменьшить 6; естьлиж Ъп < а, то увеличится Ъ.
Теперь для а>1 берем все числа по порядку, начиная с единицы. Между ними или должно встретиться число 6, или найтись два числа сряду m и ^ + 1 такие, что тп<сц (тп-|-1)п > а. Такие числа т и т-^А должны встретиться прежде, нежели придем к числу более а, потому что уже ап>а) так как а>1; с другой стороны число т должно быть по крайней мере единица, потому что Xй = 1, следов. 1п«<а.
Естьли не нашлось число 6, а найдено т только, то должно испы- .1.2.9
тывать числа + m + и т- Д- Д° m i "То"’ между которыми или должно встретиться число 6, или два числа сряду р и ^ + *Уо такие> что Рп <сц ^ + *^0^ >я- Естьли число Ъ и здесь не нашлось, а найдено только число р, то надобно испытывать число р +-JQQ , р4" 1об и т- д* ДО JP+ 1об ’ покУДа между ними или встретится 6, и два числа д и a + *^Q такие, что д^ < а, (^ + "у^оУ > аТак все продолжая идти от долей к долям в десять раз меньшим, если не отыщем числа 6, то по крайней мере найдем десятичную дробь, которую можем принять вместо 6, не погрешая против точности вычисления. Эта десятичная дробь составляется сама собою и будет одна из двух границ, между которыми должно бы продолжать отъискивать 6, как скоро разность их может быть пренебрежена.
Естьли а< 1, то берем числа: -^, —^, ^-^ и т. д. Между ними или должно найдтись число 5, или два числа сряду, из которых большое в 7i степени более а, меньшое в той же степени менее а. Такие числа встретятся прежде, нежели придем к числу < а, потому что ап<а, так как а<1, 7г >1. Когда не нашлось еще число 6, 12 з9/ 1
а нашлось такое -^, ^, — и т. д. до ^,>а, тогда
239
должно испытывать числа , -^ и т. д. до , между которыми или найдется число Ъ или два числа сряду такие, что одно в и степени >а, другое в и степени <а. Потом естьли найдено число 6, то оно отъискивается чрез приближение также, как и для я>1; то есть теперь испытывают называя р и p + две грани- ды, между которыми должно быть 6, числа р4~ 10„^, р + 10„t+i, и т. д. до р + ,q^+1 . Естьли число Ъ и не будет строго найдено, но границы столько же близки, что их разность можно прене- ■бречь, тогда ясно, что за Ъ можно принять которую нибудь из этих двух десятичных дробей.
Хотя этот способ не употребляется для действительного определения корней, потому что есть другие легче; однакож чрез него можно увериться, что всякий корень от числа возможен. Поясним это примерами:
Требуется сыскать ]/2 до сотых долей:
12 = 1, 22 = 4
(1,0)2 = 1; (1,1)2=1,21; (1,2)2 = 1,44;
= 1,69; (1,4)2 = 1,96; (1,5)2 = 2,25.
(1,40)2 = 1,96; (1,41)2 = 1,9881; (1,42)2 = 2,0164./2 = 1,41...
Сыскать ]/0,0002 до десятичных долей:
12 = 1; (0,1)2 = 0,01; (0,01)2 = 0,0001.
(0,010)2 =0,0001;(0,011)2 =0,000121;(0,012)2 =0,000144.
(0,013)2 =0,000169; (0,014)2 =0,000196;(0,015)2 =0,000225.
(0,0140)2 = 0,000196; (0,0141)2 = 0,00019881; (0,0142)2 = 0,00020164 ]/0,0002 = 0,0141...
Следов. а=р”, 6=g" (глав. УШ ст. 89); т. е. ^а = р, ^Ъ = 5, оба корня извлекомые.
Ст. 125 рукописи не соответствует никакой статье книги. Вог ее содержание:
Воображаемые степени от отрицательны® чисел могут быть представлены произведением действительного числа на воображаемый корень огр '—1, когророго показатель знаменатель сокращенной дроби степени.
Пусть от отрицательного числа — А берется степень -^, где iv и т целые положительные числа, и нечетное, а т четное (ст. 113),
(—А)" = Ат(— 1)т (ст. 119) = А™ • р'( — 1)” (ст. 123).
Степень (—1)п снова —1 (ст. 113), следов.
(— А)"” = ( — (ст. 120) =}/ —1.
Числа Ат и А w действительные, потому что А положительное (ст. 113). Итак скажем еще более: степень от отрицательного числам равна той же степени и от таковаже полоэ/сительного числа, умноженной на корень от —1, которого показатель знаменатель сокращенной Уроби показателя степени.
Действительно, корень от числа может быть только один (ст. 116), но нельзя то же утверждать о воображаемых корнях. Посему полагая 2Р высшую степень от 2 в т, а т = 2^ • д^ хотя и можно- «г / 2-Ру
воображаемый корень |/ — 1 представить иначе у у—1, потом
взять V—1 =—1 (ст. 113), а следов. ^—1 = ]/—1, однакож нельзя еще утверждать, чтоб ]/—1 допускал одно только отвлечение. Заметим по крайней мере то, что воображаемые степени -— не могут иметь более значений, как сколько их может быть для у —1. Таким образом нельзя утверждать, чтоб степени от положительных чисел, кроме действительного значения, не допускали еще воображаемых. Об этих последних можно сказать, что они долэюнъь бить произведение действительного числа на целой корень от единицы.
Пусть берется от положительного А степень -^. Называем действительную степень В, а положим, что ж • В воображаемая* т. е. J.w = Вх. Возвышая обе части этого уравнения в ш[-ую} степень, получим A™ = Bm-xm; но Ап и Вт оба действительные числа и должны быть равны, следовательно ^ = 1, откуда. ^ [= 1 V1-
Итак, естьли у 1, кроме действительного значения, единицы*, допускает еще воображаемые, то столько же их будет и для сте-
пени А^. А что степени положительных чисел могут так же быть воображаемыми, то примером тому служит |/16, которого действительные значения 4*2 и — 2, воображаемые 4~ 2]/ —1,—2]/^— 1.
В ст. 127 рукописи, соответствующей ст. 144 книги *)> понятие ыавеЭения (индукции) разъяснено более подробно:
Такова роду доказательства, как это, называются наведением и состоят в том, что предложение сперва поверяется на каком нибудь числе ?г, потом оно предполагается справедливым для какого нибудь неопределенного числа п; отсюда выводят, что оно должно быть вместе справедливо и для n-f-l. После этого заключения выходит то, что предложение справедливо для всех целых положительных чисел п, начиная с того, для которого предложение было поверено на самом деле.
В рукописи Глава XI заканчивается ст. 139, которая соответствует ют. 155 книги. Ст. 156 книги добавлена уже после составления рукописи.
К ГЛАВЕ XII
Глава ХП рукописи отличается от главы ХП книги; поэтому мы воспроизводим ее здесь целиком.
Глава ХП
О СТЕПЕНЯХ И КОРНЯХ ВООБРАЖАЕМЫХ
Целые положительные и отрицательные степени от воображаемого коликого а + б]/ — 1, разумея под а и Ъ действительные коликие, находятся так же, как и от всех действительных, т. е. первые через умножение а 4“ Ъ V — 1 несколько раз само на себя, а последние, когда единица разделится на такую же положительную.
Произведение воображаемого а-\-Ъ У^—1 на другое подобное A-\-B"V —1 дает снова такое же воображаемое а А— ЪВ-\- -{-(аВ^ЪАуУ — 1, следов, все целые положительные степени от а 4~ Ъ У —1 должны удерживать тот же вид. Полагаем
х) См. стр. 183 наст. тома.
(а + 6]/—1)п = К*-^МУ—1, где аг целое положительное число, К и М какие нибудь действительные коликие. После этого
(а + бУ-!)-"(а + бУ-!)-"1h-YMV^i1h-YMV^i
(а + бУ-!)-"
(а + бУ-!)-"
1
h-YMV^i
1
h-YMV^i
Умножая дробь во второй части этого уравнения вверху и внизу на h — MV—1, находим:
(«+&V-W”(«+&V-W”н—му-х — №-VSPн—му-х — №-VSP
(«+&V-W”
(«+&V-W”
н—му-х — №-VSP
н—му-х — №-VSP
•Следовательно, и отрицательные целые степени от а + 6]/—1 такова же вида, каково самое коликое а-\-ЪУ^Х.
Дробные положительные и отрицательные степени от а + b У— 1 требуют сперва знать целые корни, для отыскания которых не может уже более служить способ, предложенный для действительных чисел (ст. 114). Но строка уравнения (4) статьи 129 представляет средство находить вообще дробную степень от а-^ЬУ--^ когда по величине Ъ < а. Для сего стоит только вместо ж поставить -~У—1) а значение всей строки умножить на ап. Строка разделится на две новые, обе исчезающие, из которых одна будет •состоять из действительных членов, а в другой будет У —1 общим множителем. Вычисленное отсюда значение степени от а-\-ЪУ—1 примет вид h-\-MV —1, где К и М действительные коликие определенные через приближение помощию двух исчезающих строк. Не трудно уверит[ь]ся, что ^Qb-YMУ—1) изображает ^а-\-Ъ"У— 1)” согласно определению степеней, потому что для тг = -^-, р и </ целых чисел ^^Д-МУ^^У = <.а-\-ЬУ—'Ар по свойству строки (1); а для 9г = по той же причине:
{«” (7г + М У^!)}® = (а + 5 V^f-
Есть ли по величине а < 6, то (а-|-6 У—1)п напишется иначе —/ а г\п/ а \п
(— 1)2 • Ъп • ^1^- ]/ — 1) потом сыщется как выше (^1у — 1J
п
помощию строки (1) в том же виде Д^-ЛГ/—1. Степень (—I)2 всякой раз воображаемое коликое, когда 9г целое частное [нечет, ное?] число или -^- сокращенная дробь с четным знаменателем п
(ст. 113). Естьли ж надобно знать какое нибудь значение (—1) 2, то
у,
припомним, что оно может быть взято у— 1, когда 2Р самая высшая степень от 2 в знаменателе сокращенной дроби ~ (ст. 125), Такой корень всегда принимает вид h-^-MV— 1- Для сего нужно
знать, что
уа+йУ—1уа+йУ—1^—а+Уа^Ь2^—а+Уа^Ь2в чем легко увериться, возвышая в квадрат Когда а и Ъ действительные коликие, тоL^-! таковыже. Полагая здесьв чем легко увериться, возвышая в квадрат Когда а и Ъ действительные коликие, тоL^-! таковыже. Полагая здесьобеиобеичасти уравнения.части уравнения.а + "/а2 4- Ь2 2а + "/а2 4- Ь2 2а — О, Ъ = 1, находим:а — О, Ъ = 1, находим:
уа+йУ—1
уа+йУ—1
^—а+Уа^Ь2
^—а+Уа^Ь2
в чем легко увериться, возвышая в квадрат Когда а и Ъ действительные коликие, то
L^-! таковыже. Полагая здесь
в чем легко увериться, возвышая в квадрат Когда а и Ъ действительные коликие, то
L^-! таковыже. Полагая здесь
обеи
обеи
части уравнения.
части уравнения.
а + "/а2 4- Ь2 2
а + "/а2 4- Ь2 2
а — О, Ъ = 1, находим:
а — О, Ъ = 1, находим:
^-^^а+У^Т).
Далее находим, полагаяДалее находим, полагаяъ =ъ =а =а =12 ’12 ’У-1.У-1.
Далее находим, полагая
Далее находим, полагая
ъ =
ъ =
а =
а =
1
2 ’
1
2 ’
У-1.
У-1.
Таким образом продолжая, и всякой корень |/—1 представим в виде h-\-MV—1» где h ^ М действительные коликие; а потом в том же виде изобразится одно из значений (а-^ЪУ—1)п. Наконец, когда а = Ъ^ то 1 + ]/*—1 = 1/2-У—1, следов.
(1+У—т^^г2 •(—1)4.
В дополнение к решению предыдущей задачи остается показать, сколько и какие могут быть значения степени (а^-ЬУ —1)№ для дробного показателя п. Вообще скажем, что степень от всякого коликого допускает столько значений^ сколько их для корня от единицы; которого показатель знаменатель в сокращенной дробгс показателя степени; что все они находятся^ когда одно из них умноэштся на различные значения корня от единицы.
Пусть от коликого А требуется взять степень -—-, где п и т целые числа; то есть требуется сыскать такое S, чтоб:
Вт = Аи.
Положим, что одно из значений В известно и назовем его-
Р; а другое значение В тг^стъ будет х * Р, то хт • Рт = А?, но Рт = А‘\ следов.:
х™ = 1.
Итак сколько может быть значений для ^1, столько будет и пWп |
для А т, столько же их будет и для А т , потому что А т = —-.
т .—
Между значениями у1 одно только действительное, когда т нечетное, именно это значение единица; когда т четное, то два действительных значения для у1 именно +1 и —1; все прочие значения j/1 могут быть только воображаемые.
Число всех корней от единицы, вместе и действительных и вообраоюаемых, не превышает числа показателя, естьли оно г^елое число. Пусть т целое положительное число, а, Ъ, с, ... различные значения yl, которой вообще означим х, и следов.:
^ —1 = 0.
Выражение хш — 1 должно делиться на х — а на цело (Глав. V ст. 54), так же х — 6, х— с и т. д.; а как а, Ъ, с, — различны между собою, то
Хт1 = (ЖО) (х — Ъ) (х — с)Р.
Выражение Р, которое выдет в частном после деления хт— 1 на х — а, х — 5, х— с и проч., будет заключать в себе самую высшую степень от х такую, что показатель ее с числом всех значений а, Ъ, с, ... составит т, а следов, число этих значений может быть или менее т, или равно т, естьли Р=1; но не может быть более т.
Есть ли показатель т корень [корня?] начальное число, то все целые степени от 0й до (т — 1)ой от воображаемого корня из единицы будут теми Dice корнями единицы и все будут различны между собою, а следов и будут изображать все корни от единицы (ст. пред.).
Назовем х воображаемой ]/1, то для всякого целого числа (хп)т = ^пу = 1 (ст. 122), следов. хи так же ]/1. Когда п^т, так что п = тр -\-у, р и у целые положительные числа, # <^ т, то ж” = = (х1ПУ • х^ = х9. Отсюда видно, что все целые степени от х, которых показатель менее т, будут те же, что и для показа-
телей *>>т, следов, эти последние могут быть только различны
между собою.
Пусть п целое положительное число <^т, назовем ~- предпоследнюю приближенную дробь с —, а последняя приближенная дробь сама будет -—, потому что т начальное число. Итакп^—тр =
= ±1 (Глав. VIII ст. 86), потом ж»8«ж-*у = ж±1, отсюда
ж^ = ж±^. Это последнее уравнение показывает, что хи не может
более [быть] единицей, естьли ж не единица; а ж действительно не единица, потому что предполагается воображаемым. Так же хи не может быть равно я/, естьли и и г целые числа, неравны между собою и каждое <ш> потому что иначе ^-r = l. Когда
степень от х отрицательная, то стоит только приложить к ее по
казателю т, от чего она не переменится и сделается положительной.
Воображаемой корень от единииъь, которого показатель начальное число, моэюет бить вичислен помогшим строки и всегда бывает вида a-yb"V"^y где а и Ъ действительные коликие.
Для сего возьмем найденное значение )/—1 в ст. 140 и пола-
У1 + у^
гаем в нем а =^, со = —14” У 2. Будет
j/— 1 = а(1+ =«^).
Разумеем под т начальное число, полагаем t = -^-, возвышаем обе части уравнения в степень t, то
^1=1г^му=л,
]ъ = ^ {1— 1? со2 + ^:4 ^4— ^с/з^ .,.},
М-аЦ^ — Г;3 СО 3^^: 5 со 5^^:7007-1- J.
Обе строки h и М исчезающие, потому что <о<1. Можно бы сомневаться, не будет ли АГ нуль: тогда h действительной корень и следов. h = 1. Однакож ни 1г ни М не могут быть нулями когда I дробь, потому что в таком случае обе составляются из суммы положительных чисел. Разность в них двух чисел сряду
f;rcor —£:г+2соf;rcor —£:г+2сососо(г+1)(г + 2) J'(г+1)(г + 2) J'
f;rcor —£:г+2со
f;rcor —£:г+2со
со
со
(г+1)(г + 2) J'
(г+1)(г + 2) J'
Числитель дроби всего выражения в скобках г2 (1 — eo2)^r{3^_(2#+1)^2 } 4-2 —^^4-l)^^
всегда положительное для t положительного и < 2, потому что первые два числа с г и г2 положительные или нуль, а последний для ^ = 2 делается 2(6^2 — 8), но 2 • 62 > 82.
Есть ли ^<1, то t:r положительное число, всегда г нечетное отрицательное, когда г четное; следов. М первой член со вторым, третий с четвертым и т. п. положительные числа. В К первый член, второй с третьим, четвертый с пятым и т. д. положительные числа.
Естьли #>1, но менее двух, то ty положительное число и для г = 1 и всех четных чисел; отрицат. для г нечетных чисел > 1 след, в 1г первой член со вторым, третий с четвертым и т. д. положительные числа; в М первый член, второй с третьим, четвертой с пятым и т. д. положительные числа.
Естьлиж ^>2, [ч]то может быть только для т < 8, то извлекаем квадратный корень из Ъ-уМД/-—1- Снова получится УТ= = к4~МУ—1, но где в строках и для 1г и М уже ^ = ^-- Естьли в начале было 2lf=0, А = 1, то теперь будет так же 2lf=0 и 1г = + 1; но мы доказали, что это невозможно для £ <2, то есть 2тШ _
для М > 4. Извлекаем еще квадратный корень из ]/Т; тогда У1 = = к4-МУ—1, в строках для к и М надобно ставить ^=^-i между тем к-\-МУ—1 будет или ± 1, или ± У—1, т. е. либо Л£=0 либо А = 0, что невозможно для ^<2, а следов, для всех чисел т > 2.
Естьли показатель корня из единицы целая степень начального числа, то целые степени того из значений корня, которое не будет вместе и корнем с показателем начального числа, в нисшей степени, все различны между собою, а следов, изображают все значения корня.
Пусть т начальное число, а какое нибудь целое положительное, т9 показатель корня, ос одно из тех значений корня, которого никакая степень т^ не дает единицу, естьли р < а.
Полагаем, что две степени хп к хг равны, показатели п и г целые положительные числа, каждое <та, то хп-г = 1. Рассмотрим теперь каково должно быть число п < т°, чтоб хп = 1. Называем —
предпоследнюю приближенную дробь к -^, то
%#—jp^ = + П$,
где р<а— самой большой общий делитель числам п и т*. После- этого хм. х-р™* = ж±11г\ но xm't = l1 .^ = 1, следов. ^^ = 1, что против предположения. Такие корни, как здесь ж, назовем на
чальными.
Прибавим сюда, что одно из значений )/Т, которого целые"
степени дают все прочие, находится так же, как и у! для на
чального числа т (в ст. 140). Стоит только в строках для 1г и М , 1616,
полагать t= — . чтоб это доказать, то поставив — вместо t. бешата
рем т^ степень от К-\-МУ — 1. Получим снова K-\-M*V— 1, где в It н М будет t— ^^^ следов, здесь М не может быть нулем, а 1г = 1, покуда t дробь, то есть покуда а > р.
Когда р, д, г, . .. начальные числа или степени начальных чисел, показатель m=pgr..., то т корень от единицы равен произведению корней р, д, г, .. . от единицы.
Называем х, у, 2, ... воображаемые коликие такие, что
ж^ = 1} у1 = 1, 2r = 1, и проч.
Во-первых ясно, что (ж • у • г.. .у1 = 1 и следов, х • у • 2... = V^> по“ том число значений х, равно р (стат, пред.), число значений у равно д, число значений 2 так же г и т. д., следов, число всех возможных произведений х - у • 2... равно произведению р • д • г... = т. Остается доказать, что все такие произведения х-у-2.*. различны; т. е., что
ха • у Р • 24...
не может быть единицей для а<р, $<д, ч<г и проч., естьли х, у, 2, ... начальные корни. Возвышаем это произведение в степень р, то хр = 1, далее показатели р^, рч и проч, не разделятся на цело: первой на д, второй на г и т. д., следов, получится
(Ха • у^ • 24. . .У = Z/P' • zv...,
где р', ^ и проч, не могут быть нулями. Подобным образом уничтожится у^, потом 24* и т. д. покуда останется только один из
начальных корней и которого целая степень должна бы равняться единице.
Согласно предъидущей статье, чтоб найдти ^1, то надобно число т расположить на производители р^ д, г, ... начальные числа или их степени, потом искать начальные корни я, у, г, .. . так, что
^ = 1, у£ = 1, ^ = 1 и проч.
Затем произведение целых степеней от ж, у, г и проч, дает у 1. В статье 144 и 145 показано было, что ж, у, 2, ... могут быть взяты 16 16
х = а^ (14-^1/—lpJ;
16 16
У = aq (1+ со У— 1)»;
io 16
^ = аг(1+ со У—1) г и т. д.,
где
=— 1 + У2.
Итак, означая а, р, у, ... какие нибудь целые числа, всякой ко- рень у 1 будет
± + 2{а16(1+^У—i)16}p q г •
Показатель-^--]-~ + ™+ • • • произведенной в одну дробь, делается — ^ где тг какое нибудь целое число, следовательно все корни 4}/1 должны заключаться в этом выражении:
16п 16п^(l+^y^iy .
"Число их должно быть т и они все различны (ст. 146). Число 7г нельзя брать более т, потому что в таком случае все равно, что взять остаток в делении 7г на тп, следов, все значения корня у 1 произойдут, когда в последнем eupaoicenuu ставим тг = О, 1, 2 и т. д.
все числа йо порядку до т— 1; они будут;
71:=Л4-лл^1.
16п
16п
Строки для К и М надобны [неудобны?] для вычисления и нескоро исчезают; но по крайней мере со всею строгостию должны отсюда заключить, что степени от действительных и воображаемых коликих а-\-ЪУ—1 допускают столько различных значений, сколько единиц в знаменателе сокращенного показателя, и что они все имеют вид: А-у В У—1; где Л и В действительные колгикие, что между сими значениями должно быть только одно или два такие, в которых В = 0; первое для нечетного знаменателя в показателе, последнее для четного,
К этому прибавим, что 7&24-^2 —1 и что следов., зная которое нибудь из двух К и М, можно найдти другое без помощи строки. Действительно, естьли A + ^V^^ один из корней ]/1 , то и Н — МУ—1 так же другой корень, потому что в Qi-умУ—1)7Пи (На—JfKiy” должны равно уничтожат[ь]ся члены с У—1, а прочие в них одинаковы. Произведение (А 4" МУ — 1) (Л — МУ—1) =№ 4* АР так же один из корней ”|/1, а как притом он действительной и всегда положительной, следов. Л2 + ^2 = 1
До сих пор мы видели, что строка
1 -[- пх 4~ п*с ^ 4" ^с^ + ^с^ 4- • • • И
изображает (14~#)п всякой раз, когда она бывает исчезающей и когда степень подходит под общее определение (Глава XI ст. 111). Скажем еще более: строка [п] принимается за распространение обгцего определения степеней на те случаи, которые в нем не подразумевались, лишь бы она оставалась исчезающей [и] могла таким образом служить для вычисления [по] приближению.
Таков случай, когда вместо действительного показателя п ставим воображаемое п • V—1. Из общего определения нельзя более
понимать, чтобы означала такая степень; но здесь уже строка [?t] служит вместе определением и для вычисления (l^-^)”1 ~\ покажем, что она исчезает.
Строка [?г] исчезает для ж < 1 по величине и для всякого действительного числа тг, а следов, строка, которой общий член {^сГ+ ( — '^УЛ ^1 и другая, которой член ^— (—тг):сг} а/, так же исчезающие, потому что одна сумма, другая разность двух исчезающих строк. В сумме -у {тг:сг + (---тг):сг} и разности-^-{тг^—(—^)V} остаются, в первой одне только четные степени тг, в другой одне только нечетные, в том самом виде, как оне входят в выражении liL Далее, что легко видеть, все четные степени, так же все нечетные степени от тг с одинаковым знаком. Общий член строки [тг]. Когда поставится сюда uV—1 вместо тг, после всех произведений принимает вид ^a-\-bV—1)^ где а содержит одни только четные; Ъ одни только нечетные степени от ть в том самом видет в каком они и в -|- {тг:сг + (—тг):сг), -у {'^—(—тг):/}; за исключением что они более не с одинаковыми знаками, а следов, по величине а < у {тг:сг -]-(—тг)?*}, 6 < 4- {тг?* — (— тг)?*}. Итак, строка [тг] разделяется на две, обе исчезающие; в один [одной] общий член ах^ в другой Ьхс V —1.
Здесь предполагается ж<1 по величине, но естьлиж>1, тогда, из 1+а; должно извлечь такой целой корень, наприм. несколько раз квадратный, чтоб отсюда произошло число < 2; потом находить от него степень тг]/-—1 помощию строки, наконец, возвысить их. [в] такую же степень, какой прежде был взят корень. Припомним здесь показанное в Глав. XI ст. 139, именно, что строка [тг] не представляет более значения степеней от отрицательных чисел, как скоро она бесконечна. Степени с воображаемыми показателями необходимо бесконечные строки, и отсюда только можно почерпать их значения, следов, степени от отрицательных чисел с воображаемым показателем невозможны.
Говоря о показателе воображаемом тг]/ —1, к степени, так же упомянут[ь] еще о другом воображаемом показателе оо или -Q-. Такая степень, надобно [подобно?] как и с показателем тг]/—1, не подходя под общее определение, не представляет никакого понятия, покуда не будет для нее дано особенного определения. В нем
должно было бы руководствоваться правилом постепенности (Глав. XI •ст. 113). Кроме сего, составив определение на особый случай, надобно всегда поверять этот случай, может ли он быть смешан после того со всеми другими; так как он не мог подразумеваться, когда говорено было о других. Обращая внимание на постепенность, надобно а00 почитать оо для а>1, нулем для а<1, единицей для а = 1; но поставив такие определения, не находим в а00 всех прочих свойств степеней, например: (а0)00 неравно а0’00: первое всегда единица, второе может быть всякое число (Глав. IV ст. 29). Итак, остается ограничиться одним только значением, что а00 е^лъ для а<1, бесконечно великое для а>1; но не подчинять такую степень правилам общим, а рассматривать подобный случай, естьли он встретится, особо.
Естьли называть степени те только, которым принадлежат все свойства степеней вообще, то в этом отношении должны сказать, что не существует степеней с бесконечно великими показателями.
Часто требуется возвышать в степени бесконечную строку 4.4" аж + ^2 + ^3 + ^4 + • • •
и располагать ее снова по степеням от ж. Когда здесь первый член А по величине должен быть более значения всех прочих, то каков бы показатель п ни был, действительной или воображаемой, называя у всю часть строки от второго члена, степень ее п будет (ст. 148) Аи^1гА1Ъ~1у^1^Дп-йу^^1^Аи™^^^^Общий член
этой строки и^Ап—гугс* Желая выбрать из них ту часть, в которую входит только ж™, надобно из каждого члена ?i:cr • Au-"ryrc взять тот, которой умножается на яш, а потом все их соединить (по главе XI ст. 135).
у,=2 ^ао ^ч w ^t..., «+р+т+8+• • • = »■■
Следов., в строке множитель при а”1 будет
\'wrA"-ra1№cid?...,сс с с с ’
г = « + ? + т + 8+..., m = а -{- 2р 4“ ^7 + ^ 4~ • • •
То есть сумма всех подобных выражений, какое здесь под знаком 2> аде а, р, 7, 8, ... произвольные целые положительные числа, но
такие, чтоб они удовлетворяли двум последним условиям. Второе из них может быть заменено еще уравнением
т— г = р-|-2^4" 3^ 4- • • • Отсюда видно, что г не может быть более т.
К ГЛАВЕ XIII
Глава ХШ в рукописи совсем не та, что в книге. Ее содержание отчасти совпадает с содержанием начала главы ХУЛ книги 1). Приводим эту главу целиком.
Глава XIII
РАЗРЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ И ТРЕТЬЕЙ СТЕЕПНИ
В этой главе будет говорено несколько вообще о тех уравнениях, где неизвестное входит в степенях; потом будет дано решение уравнений квадратных и кубических. Когда же в уравнении степень неизвестного выше третьей, то оно называется высшей степени и разрешение таких уравнений столько затруднительно, что оно само по себе составляет уже обширную часть Математики, которая по сему и преподается особо.
В уравнении с одним неизвестным х могут быть дробные степени, которые или прямо берутся от ж, или в соединении его с другими коликими известными. В первом случае легко уничтожить дробные степени, когда полагаем х равным другому неизвестному в степени, которой показатель общий знаменатель всем дробям показателя в степени от х. В другом случае часто уничтожение весьма затруднительно, однакож всегда возможно, то удовольствуемся показать здесь следующим образом. Назовем х то выражение, в котором заключается х и от которого берутся дробные степени; m назовем общего знаменателя всем дробям показателей степеней от х. Теперь, естьли все члены с х переносим на одну сторону и возвышаем потом обе части уравнения по порядку в степени 2, 3, ... до т^ то получим т уравнений, откуда исключатся m — 1 дробных степеней х. Затем вышедшее уравнение будет следов, с одними целыми степенями от х. Так же можно уничтожить и все подобные степени.
4 См. стр. 283 наст. тома.
Иногда можно короче уничтожить дробные степени, напр.г естьли x = a-Ybx, от х берутся степени, в которых общий знаменатель показателям т, притом кроме нет других корней, то стоит только полагать а^Ъх = ут, чрез что в уравнение войдут только целые степени от у.
Когда нет более дробных степеней, которые бы относились к ж, тогда после всех дальнейших приведений, которые были предписаны (в главе IX ст. 92), уравнение сделается с однеми целыми положительными степенями от х:
ахпbxn-1 + схп~2 -р • • • + & = 0,
которое называется: 'квадратним, и кубическим, третьей степени и т. д. по числу п. Каждая степень требует особенного решения; посему, когда исследования должны относиться к разрешению уравнений, то не должно предполагать а = 0, а следовательно, уравнение можно разделить на а и разуметь всякое под таким видом
хи 4~ я#™-14“ Ьхи~^ 4~ схи^ 4- ... 4- Z; = 0 . . . ,(1)
где члены расположены по нисходящим степеням от ж и называются по месту: первим, вторим и т. д. до последнего, в котором нет х. Значение неизвестного в уравнении называется иначе корнем уравнения. Для примеру, как уравнения приводить в вид (1), возьмем
1
2я24-^ 2
—Н 1 = 2^.
14-я
Полагаем ^ = г/2: получим
1+у2 "1"1+у2 "1"1 = 2<А1 = 2<А
1+у2 "1"
1+у2 "1"
1 = 2<А
1 = 2<А
Умножая на 14~2/2» находим уравнение второй степени: у2 — у —1 = 0.
Второй член в уравнении уничтожается, когда положим неизвестное х равным другому у, соединенному противным знаком второго члена с его множителем, разделенным на показателя степени уравнения.
В уравнении (1) полагаем ж = у— -^-, то
я" = у”—ат/”-1я" = у”—ат/”-1/у 2I с ^ У/у 2I с ^ Уп:3п:3ахп—1 = -|- ау^-1 — (п — 1) — ута-3 4~ (^—1):2 ^ Уп~3 —ахп—1 = -|- ау^-1 — (п — 1) — ута-3 4~ (^—1):2 ^ Уп~3 —Ьа^-2 =Ьа^-2 =4- Ь^-2 — 0г—2)4- Ь^-2 — 0г—2)^уть—з — е е .^уть—з — е е .cxw-3 =cxw-3 =& =& =ККСкладывая все уравнения, получимСкладывая все уравнения, получимгде, как видно, второго члена нет и где прочие множителигде, как видно, второго члена нет и где прочие множителиЛ 7. W12А = Ь—а2,„. аЪ , а3В = с — (п — 2)—г•п 1 п2Л 7. W12А = Ь—а2,„. аЪ , а3В = с — (п — 2)—г•п 1 п2К="кК="кап-2 ага-1 ™ — 1 ^«-^6+—«".ап-2 ага-1 ™ — 1 ^«-^6+—«".Итак всякое уравнение можем предполагать приведенным в такой вид:Итак всякое уравнение можем предполагать приведенным в такой вид:ужеуже(2)(2)
я" = у”—ат/”-1
я" = у”—ат/”-1
/у 2
I с ^ У
/у 2
I с ^ У
п:3
п:3
ахп—1 = -|- ау^-1 — (п — 1) — ута-3 4~ (^—1):2 ^ Уп~3 —
ахп—1 = -|- ау^-1 — (п — 1) — ута-3 4~ (^—1):2 ^ Уп~3 —
Ьа^-2 =
Ьа^-2 =
4- Ь^-2 — 0г—2)
4- Ь^-2 — 0г—2)
^уть—з — е е .
^уть—з — е е .
cxw-3 =
cxw-3 =
& =
& =
К
К
Складывая все уравнения, получим
Складывая все уравнения, получим
где, как видно, второго члена нет и где прочие множители
где, как видно, второго члена нет и где прочие множители
Л 7. W12
А = Ь—а2,
„. аЪ , а3
В = с — (п — 2)—г
•п 1 п2
Л 7. W12
А = Ь—а2,
„. аЪ , а3
В = с — (п — 2)—г
•п 1 п2
К="к
К="к
ап-2 ага-1 ™ — 1 ^«-^6+—«".
ап-2 ага-1 ™ — 1 ^«-^6+—«".
Итак всякое уравнение можем предполагать приведенным в такой вид:
Итак всякое уравнение можем предполагать приведенным в такой вид:
уже
уже
(2)
(2)
153. В уравнении второй степени153. В уравнении второй степени
153. В уравнении второй степени
153. В уравнении второй степени
(3)(3)
(3)
(3)
полагаем х = у—^-а, находим
у1 = 4 а? — Ъ.84
Отсюда у = у — а? — 6, которое корень можно принимать положительным и отрицательным; следов.
1. / 127
х = —- а + 1/ — а— о.
Два знака поставлены вместе, чтоб сказать этим, что можно брать тот и другой, через что получатся два корня уравнения, которые или оба действительные, или оба воображаемые. Первое бывает, когда -т-а? — Ъ положительное число или нуль, последнее, когда — а2 — b отрицательное число. В одном только случае оба корня равны, именно для -^ а2— 6 = 0; иначе они всегда различны.
Есть ли один корень уравнения (3) назовем а, дробь [другой?] р, то легко найдти, что
а4~р =— а; ар = 6.
Следов, уравнение (3) может быть иначе представлено
ж2 — (а 4" Р) ^ +ар = 0 или (х— а) (ж — Р) = 0.
После чего легко понять, почему можно двояким образом удовлетворить уравнению (3); или полагая ж = а, или ж = р, когда а2 — 6 = 0, то а = р, а уравнение (3) принимает вид (х— а)2 = 0.
Хотя здесь собственно один только корень а =— у а, но вообще число корней уравнения (1) считается по числу производителей (х:—а), на которые оно разлагается. В этом отношении можно сказать следов., что в квадратных уравнениях всегда два корня.
х—ах—аЕсть ли корень а уравнения (1), то первая его часть делится на х — а на цело. Это было уже доказано (глав. V ст. 54); но вот еще другое доказательство, где вместе видно каково бывает самое деление и что происходит в частном.
х—а
х—а
хи 4* ^U-Y 4" 6жп-2 4" ^w~3 4- • • • 4” ^ + ^ IxU^ + (а + а) х1^ 4-
хи — ая^14~(а2 ^аа4_б)^п—зв, е
(а 4~ а) ж”-"14~ Ъхи-^
(а2 4~ « а 4™ 6) жп~2 4* схи~^(а2 4~ « а 4™ 6) жп~2 4* схи~^(а3 4™ а2а 4~ аб 4" с) #та~3 4" • • •(а3 4™ а2а 4~ аб 4" с) #та~3 4" • • •(а 4- а) Xй—1 — (а2 4- аа) жи~2
(а2 4~ « а 4™ 6) жп~2 4* схи~^
(а2 4~ « а 4™ 6) жп~2 4* схи~^
(а3 4™ а2а 4~ аб 4" с) #та~3 4" • • •
(а3 4™ а2а 4~ аб 4" с) #та~3 4" • • •
нулем, потому что а корень уравнения (1), и так уравнение (1) происходит, когда умножаем уравнение
Xй-1 _j_ (а _1_ ^ ^п-2 _р (а2 ^_ аа _j_ 5) ЖП-3 _|_ (а3 _|_ аа2 _|_ 5а _|_ с) ХП—4 4~ . . • .. . 4" (а77-"14~ аап“2 4~ 6а71-3 4™ .. • + 0 = 0(4)
на уравнение (ж— а) = 0. Первое будет удовлетворено, когда полагаем ж = а, или удовлетворяем второму (4). Посему в уравнении (4) должны заключаться все прочие корни уравнения (1), когда уж один из них известен. Отсюда легко заключить, что число корней в уравнении не может превишать показателя степени уравнения. В квадратном уравнении видели, что число корней всегда два (ст. 152), в уравнении ж171 —1 = 0 надобно было т корней (Глав. XII ст. 147); в квадратном [кубическом?] уравнении, как увидим после, их три:
Например в уравнении
ж3— 7ж4~6 = 0
корни 1, 2, —3. Уравнение делится на ж — 1 на цело и в част, ном дает уравнение ж2 4~ ^ — 6 = 0, в котором заключаются два другие корня 2 и — 3. Так что есть ли б в кубическом уравнении одно только значение ж = 1 было известно, то два другие нашлись бы из ж2-)-ж—6 = 0. Действительно они будут
0 верхним знаком выходит ж = 2, а с минусом ж = — 3.
Здесь еще видно и то, что последний член к уравнения (1) равен произведению —а на последний член уравнения (4); а посему когда уравнение (1) может быть представлено произведением (ж—а)(ж—р)(ж—у) ... , то последний его член "к = — ар •.— у.. . Следов, он будет произведение всех корней уравнения с знаком плюс или минус, смотря потому, показатель п четное или не четное число. Когда один из корней а целое число, так же и все множители уравнения (1), то самый вид выражения (4) показывает, что и в нем все множители целые числа, а следов, к делится на цело на а. Последнее еще видно из того, что когда в уравнении (1) вместо ж поставится а и все уравнение разделится на а, то все члены до последнего разделятся на цело; а следов, и последний должен так же делиться на цело.
В уравнении множители могут бить сделани целими числами, есть ли они вначале били дроби:
Пусть знаменатель в множителе при хп~т в уравнении (1) будет у, то полагаем х = -^-у, потом умножаем уравнение на qp. Чрез это произойдет только та перемена, что каждый член в уравнении будет умножен на степень от ^, а следов, число дробных множителей не увеличится, а напротив оно уменьшится, потому что множитель при хи*т теперь умножится на ^ и след, знаменатель в нем уничтожится. Таким образом можно уничтожить в уравнении и всех знаменателей. Чтоб это произвести как можно короче то часто и не нужно полагать х = — у. Есть ли в множителе при xu~Y знаменатель ^, то довольно взять — у = х, есть ли r^t*, есть ли же то надобно полагать х = -^у; есть ли [Зг^^], то х=-^у и т- Д- Легко видеть, что таким образом всегда уничтожится знаменатель у6. Разлагая знаменатель в множителе на степени начальных чисел, надобно так уничтожить [умножить?] каждую особо, кроме того, начинать всегда с множителей ближайших к началу уравнения. Причина тому видна сама собой. Так в уравнении
.з_Аж2 i А
525
находим:находим:1 полагая х = — и.
находим:
находим:
5
у3 — 3g/2 + 4у —125 = 0.
Но есть ли положйм х = ^у, то хотя дроби так же уничтожатся, однакож числа сделаются более.
Когда в уравнении все множители целие числа, то корень моэюет бить или целое число, или неизмеримое, есть ли только оно возможно, а не может бить строго дробью..
Пусть все множители в уравнении (1) целые числа. Полагаем, что корень ^ = ^- дробь, где р и # целые числа. Поставив — вместо х и умножив уравнение на уп, получим:
рп ^ ap^^^bp^^cf ^ cpn-^ -^- • • • + ^п = °-
Здесь все члены целые числа и остаются такими, начиная со второго, когда все уравнение делим на ^, следовательно должно быть целым числом, что может быть только тогда [когда] •—- целое число (Глав. VIII ст. 90).
Итак, сделав все множители в уравнении целыми числами, должно испытывать производителей последнего члена в уравнени и
ставя их как с плюсом, так и минусом вместо ж, а есть ли между ими не найдется корёнь уравнения, то остается только думать, что он или определяется чрез приближение как всякое неизмеримое число, или что он воображаемое коликое, или наконец, что он невозможен. В уравнении:
Q1
ж4 — 35 — х — 26 — = 084
1.
полагаем х = — у, будет
у4 —283у —420 = 0.
Последний член состоит из 1-2-2-3-5-7. Все его делители будут
1
4
6, 12
10,20,15,30,60
14,28,21,42,84, 35, 105, 70, 140, 210, 420.
Между ними находим 7, которое может быть взято за у. Разделяем уравнение на у — 7: получим кубичное уравнение, в котором заключаются прочие корни:
у3 ^. 7у2 _[_ 49у _|_ 60 = о
Делители последнего члена 60
1
4
6, 12
10, 20, 15, 30, 60.
Их число уже теперь гораздо менее. Кроме того положительные числа не могут быть корнями. Между отрицательными так же не
находим ни одного, следов, есть ли корень возможен, то он может быть только или неизмеримое число, или воображаемое.
Всего удобнее следующим образом испытывать корни. Уравнение (1) напишем в обратном порядке.
0 = Тс 4~ сх + Кх^4~ •. • + хи.
Пусть берется число т за х, которое делит &, положительное оно }- с т 1
или отрицательное, все равно, то ——— должно быть так же целым числом: потом — | —4-1)+^] должно быть так же целым 7in L \т / J
числом, и т. д. должны выходить всегда целые числа, когда прикладываем следующего множителя и делим на т. Естьлиж где нибудь не выдет целого числа, то с первым разом должно заключать, что т не корень уравнения. Оно будет тогда только корнем, когда здесь с последним членом, т. е., с первым членом в уравнении (1), получим нуль.
Весьма затруднительно отыскивать таким образом корни уравнения, когда число делителей последнего члена весьма велико. Чтоб судить сколько это может быть обременительно, заметим^ что когда число состоит из 7г различных начальных производителей, не включая сюда единицу, то число всех его делителей 2№, а число испытаний 2№+1, потому что испытываются положительные и отрицательные делители.
В каком случае наперед можно прибегнуть к такому средству. Поставить в уравнении 4"1 вместо х и определить его первую часть, которая пусть будет А. Есть ли А = 0, то само по себе разумеется, что х = 1; после чего остается только разделить уравнение на х — 1 и отыскивать уже другие корни. Есть ли же А не нуль, то как А последний член в уравнении, которого корня* х — 1, между делителями А должны заключаться все целые значения х — 1; итак, приложив ко всем делителям А единицу, должно откинуть все те, которые вместе не будут делителями последнего чдена Тс данного уравнения, а затем остальные испытывать только положительными так же, отнимая от всех делителей А единицу, должно отбросить все те, которые не находятся между делителей Ж: остальные же могут быть только корнями уравнения, взятые отрицательно. Подобным образом можно в уравнении ставить — 1
вместо ж. Тогда увеличив единицей делителей Ап найдем из сличения их с делителями Ъ числа, между которыми должны заключаться все отрицательные корни; а положительные корни между теми числами, которые нашли бы, отнимая единицу от делителей А.
Так, пусть дается уравнение
ж4Зжз _ 28^2 — 36ж +144 = 0 ।
Последний член 144 = 24 • 3 • 3. Делители его
1
4,8,16
6,12,24,48
18,36,72,144.
Ставим в уравнение х = 1: находим для первой его части 84 = = 22 • 3 • 7 и делители
1
4
6, 12
14, 28, 21, 42, 84.
Прикладывая к ним единицу, получим числа:
3, 5, 4, 7, 13, 8, 15, 29, 22, 43, 85.
Из них только 2, 3, 4, 8 встречаются между делителями числа 144. Отнимая же один, находим:
3, 2, 5, 11, 6, 13, 27, 20, 41, 83.
Из них только 1, 2, 3, 6 вместе делителями и 144. Итак целые корни уравнения должны быть между числами:
3, 4, 8, — 1, —2, —3, —6.
Они будут х = 2, —3, -J-4, —6. Число 8 и не нужно даже испытывать, как скоро уже найдены 2 и 4 корни уравнения, потому 144
что 8 не делит на цело число -274 = !$•
Естьли бы вместо х поставили —1, то нашли бы первую часть 150 = 2 • 3 • 52. Ее делители
1
2
6
б, 10, 16, 30
50, 75, 150.
С единицей делаются
3, 4, 7, 6, 11, 16, 31, 26, 51, 76, 151.
Без единицы они будут
2, 5, 4, 9, 14, 29, 24, 49, 74, 149.
Сличая те и другие с делителями 144, открываем, что целые корни должны быть между чисел
- 2, —3, —4, —6, 4-1, 4-2, 4-4, 4-9, 4-24.
А сравнивая эти последние с найденными таким образом выше, когда ставили 4"1 вместо ж, видим, что из них должно откинуть еще —4, 4-1, + 9> 4*24. В остальных
— 2, —3, —6, 4-2, 4-4
одно только первое не корень уравнения.
Чтоб без пользы не писать всех делителей последнего члена в уравнении, что так же иногда весьма затруднительно, то покажем еще, как назначать границы для положительных и отрица тельных корней. Положим, что все множители в уравнении сделаны целыми числами, что самой большой отрицательный между ними А; далее что они все положительные от ж”-1 до ^-г+1 и что между сими последними р самой меньшой. Теперь, все те положительные числа х^ которые делают выражение
(ж»4-р(^-14-^-24- • • • ^x^^-N^-r^-x^-1^4-1)
положительным, не могут быть корнями уравнения, потому что в этом выражении увеличены все отрицательные и уменьшены все положительные члены против данного уравнения (1). Оно может быть иначе представлено
хиА-р •— хп-г^г — Nз— > 0.
1 х — 1х — 1
После того, как испытано, что -[-1 не корень уравнения, ж— 1 положительное число, то умножая на х— 1, получим:
ж" (х + р — 1) > (-Af+J?) ж”-'"+1 — №.
Что будет еще более справедливо, есть ли возьмем так х, что
ж1--1ж1--1р-\-№ж+^ + 1 "р-\-№ж+^ + 1 "
ж1--1
ж1--1
р-\-№ж+^ + 1 "
р-\-№ж+^ + 1 "
И притом будет справедливо для всех чисел х более, а следов., положительные корни должны быть менее такого г/, которое удовлетворяет уже этому условию.
Для отрицательных корней остается тот же способ, когда в уравнение наперед поставится —х вместо ж, потом первый член «сделается положительным, есть либ степень уравнения была нечетная.
Впрочем хотя бы р = 0 и множители не были целые числа, то и тогда хт—xr-x > 2V, есть ли берем а? = 14~ l^-У, потому что 1££ 1
xr —Xv-T = Ху-г (ж — 1) = Nr (1 + NrУ”1 > Wr у\Ггу-г > К Во вся- 1
ком случае след, корень уравнения должен быть менее 14~УГ, которое число еще может быть уменьшено так, чтоб
хг~т (х-\-р— 1) >р-^Н.
Например
ж5 + 97ж4 + 37ж3 — 255ж2 4- 6804 = 0.
Здесь 2^=6804, г = 3, следов, я < 14-j/6804 < 20 и даже менее 12, потому что jp = 37; 122 • 48 = 6912 > N"-\-p. Итак между всеми делителями 6804 надобно испытывать только те, которые < 12. Она будет [?] 1, 2, 4, 3, 6, 7, 9, так как 6804 = 22 • З6 • 7. Теперь ставим в уравнение ж = 1, значение первой его части 6924 = = 22* 3 -577, в которой надобно взять только делителей <^11, следов. 1, 2, 4, 3, 6. Приложив к ним единицу, находим 2, 3, 5, 4, 7, следов, положительные корни должны быть между членами 2, 3, 4, 7; их будет один только, число 3.
Уравнение (2) для показателя 7г = 3 делается: ж3 4~ ах-\-Ъ = 0.(5)
Такой вид можно дать всякому уравнению третьей степени (ст. 152).
Простейший случай, когда а = 0; тогда я3 4-5 = 0.
Полагая здесь ж = — « У^б, получим а8 —1 = 0.(6)
Где один из корней а = 1, след, другие должны заключаться в уравнении (ст. 154) а2 + а +1 = 0.
Они оба воображаемые, именно
—1+14=3—1—]/ —з
2’2‘
Квадрат от одного равен другому, а третья степень равна единице, действительному корню (глав. XII. 143).
Для разрешения уравнения (5) полагаем
ах=р— —.
р новое неизвестное, которое определив, найдем ^. Уравнение (5)г после того как в него ставим значение ос, делается
Р3^-„-+6 = 0.
27р8 1
Называем р^ на время 2, то умножая уравнение на 2^ и^^чш^
а8 + 5.г—± = о.
Откуда одно из значений
2 =
р = ар = аОзначая а корень уравнения а3 —1 = 0, получим
р = а
р = а
1
27
Потом
а _Зр —3Заа _Зр —3ЗааVт6’++аVт6’++
а _
Зр —3
За
а _
Зр —3
За
а
Vт6’++
а
Vт6’++
Умножая дробь вверху и внизу на а2 УУмножая дробь вверху и внизу на а2 У»’+i"'»’+i"'
Умножая дробь вверху и внизу на а2 У
Умножая дробь вверху и внизу на а2 У
»’+i"'
»’+i"'
аЗраЗр= а= а++2+++2+
а
Зр
а
Зр
= а
= а
++2+
++2+
Наконец
а=—'У-т6+-УT6'+iH+
Можно вместо а сюда ставить два другие корня уравнения ^9—1 = 0, следов, а2 и единицу, естьли под а разуметь воображаемой корень. Так получатся два другие значения ж: ^У-^+у ^^-•‘У-^6~У т6^-’-
V 2*|/4‘27~г2 У 41 27
А всего три, чего более и не должно быть (ст. 154). Посему и остаются они те же, когда вместо употребленного выше значения 2 ставим другое его значение из квадратного уравнения, что легко видеть, потому что это требует переменить только знак перед квадратным корнем: таким образом первое значение х сделается вторым, второе первым, и третье останется то же.
Пример:
ж3 —36^ — 91 = 0.
Находим
—14-/ZZ3
Потом три корня уравнения, взяв а ^
ж = <4-3 = 7
= а . 4+ а2 ■ 3 = "7 + К-3
= а!.4 + «.3=^=£Ез.
Первой действительной, а другие два воображаемые.
Естьли -^- &2-|- 4^ а8>0, то в уравнении (5) один только корень действительней^ а другие два воображаемые. Пусть и для разности i-V Ab+Vтб,+Д",;
То числа р и $ будут всегда действительными, хотя не всегда, извлекомыми. Три корня уравнения (3) таковы:
Первой из них только действительной, но два другие воображаемые и вид их А4~5У—I, где А и В действительные коликие хотя вычисление помощию прямого извлечения корней и будет всякой раз возможно, когда ~- 62 -}- -^ а3 > 0, однакож иногда Д^-^- 62 + -^а3 неизвлекомое число, между тем как один из корней уравнения: целое число, а не дробь. Вот почему гораздо лучше, сделав в уравнении (5) все множители целыми числами, исследовать на перед, не может ли быть корень целым числом, а потому и уверившись в противном определить через приближение из общих выражений.
Например: #3—138#-]-812 = 0. По общему решению требуется извлекать ]/4062—"463 = 150 ]/3, что неизвлекомое число; то отсюда нельзя еще заключить, что и корень уравнения так же неизвлекомое число. Напротив, здесь открывается, что
1^ — 406 +150]/з = — 7 + /3 ; ^ — 406 —150/З = —7 —]/3.
Три корня уравнения будут следов, такие:
— 14; 7 + 3/^1; 7 — 3 ]Л^1.
Первой из них можно найдти, испытывая делители числа 812; потом и другие два из квадратного уравнения, разделяя данное уравнение на #-}-14.
Другой пример
#3 + 15# —24 = 0.
Здесь положительные корни должны быть менее: 1+ ^24, следов, целые корни могут быть: 1 или 2, но ни то, ни другое число не удовлетворяют уравнению. Отрицательные корни не могут быть^
потому что для всякого отрицательного числа первая часть уравнения остается постоянною отрицательною. Итак корень уравнения должен быть неизвлекомое число. Его находим так:
/269 = 16,4012195; /28,4012195 = 3,0510243.
/—4,4012195 = —1,6387939; 1,4122304 — корень уравнения. Остальные два воображаемые находятся:
/85,2036585 = 4,4003381; / — 13,2036585 = — 2,3635438. один. . . . —0,7061152 + 3,3819409/^1 другой. . . —0,7061152 — 3,3819409/ — 1.
Все три корня уравнения (5) действительнее, когда или *Т ^2 + "57а3 = ^ ^п от$иЧательное число. Тот и другой случай предполагает а отрицательным числом. В первом два корня бывают равные, а все три такие:
11з аз а1з а’1з а’
1
1
з а
з а
1
з а’
1
з а’
потому что здесь р и предъидущей статьи одинаковы и равны
Во втором случае р и ^ могут быть вычислены с помощию бесконечных строк и принимают всегда вид, одно А-\-ВУ— 1, другое А— BV —1 (Глав. XII ст. 147). После чего все три корня делаются действительными, именно
2И; —H + S/3; — А-ВУ^.
Коликие А и В определяются строками, которые различны в двух случаях. Назовем — К = — 62+-^а3, следов. К положительное число:
Естьли по величине 6 > 2 /А, то (Глав. XII ст. 140)
1/"17./l 1^5-8/47г\2, 5 -8.11 • 14 /47г /
V 2( -Г9&2 3 • 4 \9&2/3-4-5.6 \9&2/
5 • 8 • 11 • 14- 17 • 20 /47г / .3-4-5-6-7.8\952/
BV»ABV»A54/гУ ' Э5254/гУ ' Э525 • 8 • И3-4-55 • 8 • И3-4-5уну эъ4)уну эъ4)5 ■ 8 • 11 • 14.17 3-4.5-6-75 ■ 8 • 11 • 14.17 3-4.5-6-7
BV»A
BV»A
54/г
У ' Э52
54/г
У ' Э52
5 • 8 • И3-4-5
5 • 8 • И3-4-5
уну эъ4)
уну эъ4)
5 ■ 8 • 11 • 14.17 3-4.5-6-7
5 ■ 8 • 11 • 14.17 3-4.5-6-7
Естьли по величине 6<2 Ук, то *|/ yb + V^V —1 = =^1^/^]/" 1+^У^Г, далее j/ /I • У^1= -У^]^ лотому что [то] и другое в третьей степени дают УН • У — 1 .
Теперь, как —по величине <1, то 1/ 14^="У=^ можногул’ v 1 гул г
ъ
представить строкою, расположенною по степеням ~^уу ‘
Так находим:
Л562 , 5 • 8 • 11 / 62 V
6 °]3 ‘ Зб/Л 3 -4- 5 \36А/
5 • 8 ■ 11 • 14-17 / 62 V । К У1 ,,1 я
3-4-5-6-7 \ЗбА/ ~*~ ' " ‘ ]W4 5" 27 “ ’
625-8* 367г,3.4625-8* 367г,3.45 • 8 • 11 • 14 3-4-5-65 • 8 • 11 • 14 3-4-5-65 • 8 • 11 • 14 • 17 • 203•4-5 ■ 6 • 7 ■ 85 • 8 • 11 • 14 • 17 • 203•4-5 ■ 6 • 7 ■ 8
625-8
* 367г,3.4
625-8
* 367г,3.4
5 • 8 • 11 • 14 3-4-5-6
5 • 8 • 11 • 14 3-4-5-6
5 • 8 • 11 • 14 • 17 • 20
3•4-5 ■ 6 • 7 ■ 8
5 • 8 • 11 • 14 • 17 • 20
3•4-5 ■ 6 • 7 ■ 8
Наконец, естьли по величине 6 = 2 ]/А, тоНаконец, естьли по величине 6 = 2 ]/А, то
Наконец, естьли по величине 6 = 2 ]/А, то
Наконец, естьли по величине 6 = 2 ]/А, то
ноно
но
но
в чем можно увериться, возвышая в третью степень. Таким же
V1/ /
образом находим у ——Ь—у К-у —1, переменяя везде знак перед V — 1- Итак
Все три корня уравнения действительные, именно:
Ут; t-^v^yу (-1-кз)Уу.
Для примеру возьмем уравнение:
ж3 —327»+ 2180 = 0.
Здесь
’^1 = 1/1090 = 10,2914247; /А = 327; ^ = ^-
15-8
1003-4
5 • 8 • 11 • 14
3•4-5 • 6
2
5 • 8 • 11 • 14 • 17 / 1 V
1/3 = 1,73205081;1/1096 = 10,2914247;1/3 = 1,73205081;1/1096 = 10,2914247;3-4.5-6-7 1100/
1/3 = 1,73205081;
1/1096 = 10,2914247;
1/3 = 1,73205081;
1/1096 = 10,2914247;
|т| (15б)2 f Ю90 = 0,00343048;
110011001/1090 = 0,10291425.
1
100
1
100
5 • 8 -11 • 14 3-4-5-6
5 • 8 • 11 • 14 • 17 • 20 1-2-3-4-5-6-7.8
1^1090 = 0,00001069;
^V1/1090 = 0,00000071;^V1/1090 = 0,00000071;' 1\6 з,— I 1/1090 = 0,00000004.' 1\6 з,— I 1/1090 = 0,00000004.5 • 8 • 11 • 14 • 17 • 20 • 23 • 26
^V1/1090 = 0,00000071;
^V1/1090 = 0,00000071;
' 1\6 з,
— I 1/1090 = 0,00000004.
' 1\6 з,
— I 1/1090 = 0,00000004.
1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10
5 • 8 • 11 • 14 • 17 • 20 • 23 • 26 • 29 • 32 1-2.3-4-5-6-7.8-9 -10 -11.12 '
+ 0,00344121
— 10,39451576
2= —10,3910745.
1/1090=0,02970878.1/1090=0,02970878./й ' №00-1,78252704; | (А) . ^
1/1090=0,02970878.
1/1090=0,02970878.
(йб)’ '• ^№>0-0,00130718.
т/т ■ (йб)* • '/ ' №5-0,00007407.
/IV 5...23 Уз ^г
(йб) ■ Х7ПГ ■ Тб-' 161000 = 0,00000475.
//п ■ (йб)‘ ■ ТТ • ^656=0,00000032.577Л5 ' (йб)’' Т? ' ^656 = 0,00000002.
10,2914247
7,2039973
0,3087427
0,0205828
0,0005146
0,02970848
1,78363900
S]/3 = 1,7540558
0,0000082
0,0000001
151^1090 = 1,78252704
17,8252704
10’
Три корня уравнения
х = — 20,7821490; 12,1451303; 6,6370187.
После того, что было сказано в предъидущих в двух статьях, должно заключить, что в уравнении третьей степени один корень всегда действительный, а два другие или оба действительные, илй оба воображаемые. Последние бывают вида а + 6 V — 1 один и а — b V — i другой, где а и Ъ действительные коликие.
В уравнении третьей степени все три корня действительные,, есть ли в нем, после того, как ему будет дан вид уравнения (5)
Т62+Даз<°-
Для сего во первых необходимо, чтобы а было отрицательное число — первый признак действительности корней.
Есть ли же:
11
то один только [корень] уравнения действительный, а другие два воображаемые. Это необходимо бывает, когда а положительное число или нуль. Так в уравнении ж3 = 8 один только корень действительный, потому что здесь а = 0.
Воз[ь]мем уравнение
ж3 + 7ж2 + 49ж + 60 = 0,
которое было найдено в примере ст. 156 после того, как был сыскан один корень уравнения четвертой степени, и которое должно
заключать все прочие корни данного первого уравнения. Уничтожая здесь второй член, находим первое уравнение:
Два корня его воображаемые, потому что при ж множитель положительный. Чтоб судить далее, будет ли действительный [корень] строгое или неизмеримое число, то полагаем ж=-у, тогда
г/3 —288г/ —781 = 0.
Последний член 781 = 11-71, корень может быть только положительным и менее 1-|“ 1^781 <12, следов, он может быть только или 1, или 11; но ни то ни другое число не удовлетворяет уравнению, Итак, уравнение четвертой степени в примере ст. 156 допускает один корень строгое число, другой неизвлекомое, а два воображаемые,
Трудность разрешения уравнений увеличивается с возвышением степени уравнения. Самое вычисление корней по общим выражениям делается уже весьма затруднительно для третьей степени, как тому видели пример (ст. 162); между тем есть средство гораздо легче вычислять корни чрез приближение со всякой точ- ностию, обходясь при этом и без выражений общего решения. Вот почему и должно сперва испытать, нет ли в уравнении строгих корней, потом, есть ли нет, искать их чрез приближениет которое состоит в следующем:
Пусть х и ж4-1 два числа, которые, будучи поставлены в уравнение :
хи + ах11™1 4- Ъхи~^ 4" схп~3 -|- .. . -(- ^ + "к = 0(1)
вместо ж, делают первую его часть, одно положительным, другое отрицательным числом, то ясно, что истинный корень должно быть ^4”а> гДе а — дробь менее единицы. Ставим же в уравнение (1) значение х = х 4~ а и располагаем его потом по степеням от а. Найдем:
A^BaA-C^-YD^-V ,4-ап = 0(7)
j4 = ^4-a^-14-5^t-2^_ eee
В = ^-^ 4- (п — 1) ах^ 4- (?1 — 2) Ъх^ 4- ... 4- г.
с = Пе х^-' + (п — 1)'2аж"-34- (71 — 2%W1-4 + ...
D = 71; V~3 + (тг — 1)' W"4 + (1г — 2)^"~5 + ...
Так как а<1, то прочие степени от а дроби еще менее, которые уже можно пренебречь в первом приближении и удовольствоваться в уравнении (7) первыми двумя числами
0 = j4 4~ Вех. .
Отсюда а =^-. Хотя х + а и не будет еще истинное значе
ние ж, однакож гораздо ближе нежели х. По сему ставя в выражения для А и В вместо х предложенное значение ж-]-а, найдем новое а, которое дает еще ближе х. Продолжая так, можно найдти х^ с какою угодно а точностию. В первом приближении, так как откидывае[м] всегда а2, должно удерживать только десятые доли, во втором три десятичных, в третьем семь и т. д.
Пусть требуется сыскать корень уравнения
ж3 —327^4-2180 = 0,
того самого, которое было взято для примера в ст. 162, так видели мы, что его корень не может быть целым числом. Находим, что он заключается между чисел 8 и 9, потому, что первое делает первую часть уравнения 4“ 76, а второе —34, полагаем х = ^-\-а.
х =9х=8,6
А = 93 — 327 • 9 4- 2180 = — 34 А = (8,6)2 — 327 • (8,6) 4~ 2180 = 3,856
5 = 3 • 92 —327= —845= 3 • (8,6)2 —327= —105,12
а = -4 = -^ = -0,4а =-4 = 0,037
х =8,637
А — 0,0013308
5=103,206693
а = 0,000018709х = 8,637018709,
где точность простирается до 0,0000000005. Все три корня были найдены в ст. 162 из общих выражений. Один из них тот самой, который нашли здесь, с тою только разностию, что здесь точность доведена еще далее. По сему примеру можно судить, сколько приближенной [изложенной?] в этой статье способ приближения имеет преимущества краткостию и легкостию перед вычислением строками по общим выражениям. Есть ли бы в начале взяли х = 12, то нашли бы другой корень уравнения, а для х = 20 и третий.
А+<7а2 = 0,А+<7а2 = 0,которое будеткоторое будетМножитель [может?] случиться, что выражение В предъ- идущей статьи сделается нулем, тогда пренебрегая треть[е]ю и дальнейшими степенями от а перед а3, значение а воз[ь]мем из уравнения
А+<7а2 = 0,
А+<7а2 = 0,
которое будет
которое будет
что во первых требует, чтоб -^- было отрицательным числом. После этого а должно брать с таким знаком, чтоб & + « находилось между х и Дальнейшее определение корня будет таковое же как и в предъидущей статье. Например, пусть требуется сыскать корень уравнения
ж3—3^+1 = 0.
Есть ли ставим +1 вместо ж, то получим в остатке —1, а есть
ли +2, то получим + 3, следов. ж = 1-[-а. Здесь а менее единицы^ Итак:
х = 1А = — 15 = 0х = 1А = — 15 = 0с = 8с = 8х = 1,6А = 0,296 5=0,268 а = — 0,00488х = 1,6А = 0,296 5=0,268 а = — 0,00488х = 1537А = 0,019965 = 4,067107а = — 0,00488х = 1537А = 0,019965 = 4,067107а = — 0,00488
х = 1
А = — 1
5 = 0
х = 1
А = — 1
5 = 0
с = 8
с = 8
х = 1,6
А = 0,296 5=0,268 а = — 0,00488
х = 1,6
А = 0,296 5=0,268 а = — 0,00488
х = 1537
А = 0,01996
5 = 4,067107
а = — 0,00488
х = 1537
А = 0,01996
5 = 4,067107
а = — 0,00488
а = 1,53212.
Здесь в начале 5 = 0, почему и взято а=±у^- = ±0,6, Из двух знаков в а взят верхний, потому что х^-а должна
быть > 1 и < 2.
Хотя и сказано было (ст. 164) сколько должно удерживать десятичных [знаков] при всяком новом значении а; но чтоб определить, как далеко простирается точность приближения, то надобно рассмотреть ближе числы: Са2-{-5а3 и проч., которые отбрасываются и даже в начале должно уверит[ь]ся, позволительно ли их пренебречь.
Для сего достаточно знать только крайнее самое большее значение выражения
и проч.,
которое легко видеть всякий раз, поставя а = -^-, тогда как известно наперед, что а< 1^- Есть ли теперь значение всех отбрасываемых членов выдет < -^г-, то в а должно удержать г десятичных, но притом когда г>т; иначе способ приближения недостаточен; так что потребуется переменять самой прием к вычислению, как будет следовать ниже.
Пусть требуется сыскать корень уравнения:
х^ 4~ 15^ — 24 = О, такой пример и был уже в ст. 161 и где мы видели, что корень не может быть целым числом. Для х = 1 находим остаток —8, для ^ = 2 он будет 4*12. Далее находим:
Для х = 1; А = — 8, 5 = 18, 5 = 3, 5 = 1,
1 з — ос . 181 з — ос . 1841 2
1 з — ос . 18
1 з — ос . 18
а = -^тга
96
Полагаем а = -^-, видим, что разность обеих частей этого последнего уравнения <0,004, следов, в а должно удержать только десятичные доли, т. е., принимать а = 0,4
х = 1,4;
А = 0,256; 5 = 20,98; 5 = 4,2; 5 = 1.
При степенях а2 и аа удерживаются только целые числа в намерении определить только крайнее значение их членов. Из первого видно, что а <0,02, следов, сумма прочих <0,00007, а потому в а должно удержать четыре десятичных [знака] и полагать х = 1,4122, далее
А= — 0,000637056152; 5 = 20,98292652; 5 = 4; 5 = 1.
0,0006370561521 91 q
— 20,98292652521
В С и множителях при а2 и а3 довольно удержать одни целые числа. Из первой дроби видим, что а < 0,00004, потом Г а2 < 0,0000000003, а последний член не имеет влияния даже и на первую цифру в -у а2, следов, надобно полагать а = 0,000030361; ж = 1,412230361.
При всем то[м] нельзя еще знать наперед какие последуют цифры далее в ж, а следов, нельзя и знать, должно ли удержать последнюю цифру без перемены или прибавить к ней единицу. Итак, с верностшо можно только сказать, что:
ж = 1,41223036.
И что ошибка здесь в лишке или недостатке < 0,000000005.
Когда первое значение а взято из содержания^- более единицы, или, говоря вообще, прочие члены не могут быть пре- неорежены на сравнении с -у-, тогда должно уменьшить а, сблизив границы для ж. Для сего надобно брать число между ж и ж 4-1 за одну из границ, а другую — то из чисел и ж и ж 4-1, которое
делает первую часть уравнения с противным знаком, наприм.: взять число ж4~0,5. Часто еще и это бывает недостаточно: тогда должно брать число среднее между двумя новыми границами и одно из прежних, от которого остаток в уравнении с противным знаком. Так продолжать, покуда наконец квадрат и высшие степени от а могут быть пренебрежены в значении для а с первым А
членом -g-.
Воз[ь]мем такое уравнение:
ж3 — 4ж 4~ 2 = 0.
Для ж = 1 остаток — 1, для ж = 2 остаток 4~ 2. Полагая ж = 1, нахо- д
дим содержание -g- =— 1, следов, границы 4"1 и 4" 2 не довольно еще близки. Ставим в уравнение ж = 1,5, находим остаток А =— 0,625, потом ^=2,75, С =4,5, D=l, отсюда ж=-°^ ■ хотя < 1, но Са24-^«3 составляют около -^- и не могут быть пренебрежены. Берем еще среднее число между 1,5 и 2 и полагаем ж = 1,7. Теперь находим л = + 0,113, 5 = 2,67, 0 = 5,1, 5 = 1. Здесь уже а <0,05, -^а2 + + -g- а3 < 0,005 и способ приближения может быть начат:
ж =1,7 .4 = 0,113 5 = 2,07 а =0,004ж =1,7 .4 = 0,113 5 = 2,07 а =0,004ж = 1,66А = 0,0657045 = 4,2668а =0,015ж = 1,66А = 0,0657045 = 4,2668а =0,015ж = 1,675
ж =1,7 .4 = 0,113 5 = 2,07 а =0,004
ж =1,7 .4 = 0,113 5 = 2,07 а =0,004
ж = 1,66
А = 0,065704
5 = 4,2668
а =0,015
ж = 1,66
А = 0,065704
5 = 4,2668
а =0,015
А = 0,000580125
5 = 4,416875 а =0,0001313
ж = 1,6751313.
К ГЛАВЕ XVI
XVI глава рукописи «О логарифмах» соответствует ХШ главе книги1). Приводим из нее первые две статьи, 168 и 169, как значительно отличающиеся от статей книги.
Когда зависимость трех чисел, а, ж, у определяется уравнением а” = у, то ж называется логарифмом от у и пишется ж = log у, число же а основанием логарифма. Посему логарифм тоже, что показатель степени; основание логарифма корень степени; а число, от которого берется логарифм, степень; но название показателя употребительно, когда ищут степень, а название логарифма, когда степень известна и требуется сыскать показателя ее.
В основании логарифма и числа, от которого берется логарифм, рассматривают только величину, т. е., не присоединяя сюда качества положительных и отрицательных, или короче сказать, они принимаются всегда положительными. Но логарифм может быть положительное и отрицательное число, нуль, неизвлекомое число и даже воображаемое коликое, одним словом всякое число, которое может быть показателем степени (Глав. XI ст. 111 и Глав. XII ст. 148). Основание логарифма может быть еще только- то число, от которого все другие могут быть степенями, следов, все положительные числа, исключая нуль и единицу, потому что 1
от нуля все степени нули или -у, а от единицы все степени единицы.
Какое би число у ни било и какое би число а ни било взята за основание, исключая а° = 1, и а = 0 (ст. пред.), всегда моэюно' найдти log 1 по крайней мере чрез приближение^ и притом log у одно* только число.
Есть ли y = Y, то как а° = 1, log 1 = 0. Кроме нуля нет другого logl, потому что а ни в какой другой степени не дает единицу, есть ли а не единица, как мы и предполагаем.
Пусть у > 1. Есть ли и а так же > 1, то ряд степеней а0, а1, а2 и т. д. представляет непрестанно возрастающие числа, между которыми или должно найдтись у, кзш такие две степени сряду а4- и ата+1, что ап < у, ап^ > у.
г) См, стр. 213 наст. тома.
В первом случае показатель степени будет log у\ во втором случае составляем новый ряд степеней а^, аго+од, ате+од, ... до an+L постепенно возрастающих, между которыми или [и] найдется у;тогда- показатель будет logy; или две сряду степени ат <у и arnW>y. В последнем случае должно перейти к ряду степеней а™, а^0’01^ aw+o,o2? ... до а^0’1, где или найдем которую нибудь степень аР = у, следов. jp = logy; или найдем аР<у, а^’т> у. Так продолжая, есть ли не встретим между показателями logy, то по крайней мере найдем две степени а9 < у, а5+а > у, где а может быть сделано так малое число как угодно. Его можно сделать так малым, что а^ без различия можно будет принять за у, потому что
аз+а — а« = а« (а* — 1) < у (а« — 1).
С уменьшением же показателя а вместе и аа — 1 уменьшается, так. что у (а*— 1) будет менее какого угодно числа (Глав. XI ст. 133). Есть ли ж точность вычисления позволит принимать а5 = у, то log у = д'. Ясно, что число у может быть одно только, а разли
чествовать единственно в точности его определения.чествовать единственно в точности его определения.Есть ли у > 1, но а / 1 \5 число д, что (—I = у,Есть ли у < 1, тоЕсть ли у > 1, но а / 1 \5 число д, что (—I = у,Есть ли у < 1, то1, то -^- > 1, следов, можно найдти такое-1, то -^- > 1, следов, можно найдти такое-то естьто естьПусть log ^^ =Пусть log ^^ =х. то ах = — ,5У ’х. то ах = — ,5У ’а-« = у, откуда —у = log у.следов, можно найдти log ^^ _ откуда у = а*®, наконец log у = — х^а-« = у, откуда —у = log у.следов, можно найдти log ^^ _ откуда у = а*®, наконец log у = — х^При этом случае заметим, что вообще:При этом случае заметим, что вообще:
чествовать единственно в точности его определения.
чествовать единственно в точности его определения.
Есть ли у > 1, но а / 1 \5 число д, что (—I = у,
Есть ли у < 1, то
Есть ли у > 1, но а / 1 \5 число д, что (—I = у,
Есть ли у < 1, то
1, то -^- > 1, следов, можно найдти такое-
1, то -^- > 1, следов, можно найдти такое-
то есть
то есть
Пусть log ^^ =
Пусть log ^^ =
х. то ах = — ,
5У ’
х. то ах = — ,
5У ’
а-« = у, откуда —у = log у.
следов, можно найдти log ^^ _ откуда у = а*®, наконец log у = — х^
а-« = у, откуда —у = log у.
следов, можно найдти log ^^ _ откуда у = а*®, наконец log у = — х^
При этом случае заметим, что вообще:
При этом случае заметим, что вообще:
потому что то ах = у^ а*потому что то ах = у^ а*УтУтесть ли назовем а основание, х логарифм от ” = — ? следов, log = — х.
потому что то ах = у^ а*
потому что то ах = у^ а*
Ут
Ут
Отсюда должно заключить, что всякое число кроме единицы и
нуля может быть принято за основание логарифмов. Однакож. в вычислении употребительны одни только логарифмы с основанием 10, которые называют оби^новенними. Мы их будем означать в отличие log1). Посему log (10w) = n: когда п целое положитель-
!) В рукописи Лобачевского единственным различием в обозначениях логарифма при любом основании от логарифма десятичного является точка после- символа log; например, log. 5 означает логарифм при любом основании, a log 5 — при основании 10. В настоящем издании точка нигде не ставится.
ное число, то 10п изобразится единицей с и нулями; всякое другое целое число из и цифр < 10те и > Ю^-г, а следов, и логарифм его <71 и > и— 1, то есть он должен быть целое число и— 1 с десятичной дробью менее единицы. Целое число в обыкновенном логарифме называется иначе характеристикой.
Она вообще и в логарифме от десятичных дробей, которые более единицы, равна числу цифр перед запятой без одного. Например, характеристика в log 5 нуль, в log 375 она 2, в log 2157,45 она 3. Так как характеристику можно знать с первого взгляду на число, то она и не ставится в логарифмических таблицах, откуда берутся логарифмы всех целых чисел.
В книге таблица ст. 172 (на стр. 220) не доведена до конца. В рукописи, в ст. 174, приведена эта же таблица, доведенная до конца (см. примечание [2б] на стр. 362).
Статьей 174 заканчивается рукопись.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ИЗ ТЕОРИИ ЧИСЛЕННЫХУРАВНЕНИЙ)
К. Г. Греффе
Перевод с немецкого Н. Г. Чеботарева
Если образовать из уравнения
осп 4- А^”-1 4~ А2ж»- 4~ ... 4~ Аи = О
частное
1_
= 1 + в^+в^ ц-... 4- в^^-14- в^,
Въ
то частное „ ■— при численном подсчете дает во многих случаях приближенное значение корня заданного уравнения. Это свойство уравнений нашел г-н И. И. Раабе, занимаясь другими исследова
ниями, которые он имеет в виду скоро опубликовать, и сообщил их автору для дальнейшего развития; из него бы вытекали условия,
при которых имеет место сходимость значения корня. Именно, если
указанное уравнение имеет множители
ос■ а^ уос ”-^ д2, ос ^^ , • • •, а?&п ^
то в преобразованной форме, в которой оно стоит в знаменателе, оно содержит множители
1 — а^ 1 — а^с, 1 — а^ос, ..., 1 — апос.
Но йз
И т. д.И т. д.1
И т. д.
И т. д.
1 —ж
следует:
-— = 1 + anx4-a;x2 + .. . + а^х^ 1 —а^1 1 >
-— = 1 ++ .. . + бЛаА
1 — а^ХI 12 ’
-— = 14- сих 4-4- . ., + а^х^»
1 — а^х i 11
1 — аих ।।1। п
Перемножив эти ряды друг с другом, мы получим ряд, коэффициенты которого суть вариационные формы для некоторых сумм иа коэффициентов этих рядов, которые, однако, переходят в комбинационные формы с неограниченной повторяемостью и определенных классов, если рассматривать а1? а^ а3, ..., аи как комбинаторные элементы, т. е. найти ряд
12
1 4-С(а1) а2, ..., а„)ж4-0(а1, а2, . .., а„)«2 + • • • +А—1л
-4 о (ап а2, .. ., а^хк~г 4- С^ а2, ..., а^х^,
который тождествен с рядом (1). Соответственно предположению,
С (&1> ^25 • • • > ^п)
С (flp &2, • • • ? ^п)
есть приближенное значение корня заданного уравнения. Но
л-к—1к
О(dp &2, . . •, ct^ = cl^ С (av а2, &3, . • •, а^ 4" ^(^2? ^8’ • • • > ^О*
и отсюда следует:
Ак
G(a^ а2, . .., а^ । С (а2, а3, . .., &я)
G ($1? 0^2> ^3’ е е е? ^п)^ (^15 ^2» ^3> • • •} ^п)
к
IС У1^ а^ • • • > ап) "Г ^-1к—2к—3-
О (сь^ч а^ч • • • ч ^п)^^! ^ (а2> • • • > ап)“На1 ^ (а2> • • • > an)~F • • е+а1 1
Теперь исследование привелось к тому, чтобы найти условия, при которых эта стоящая за аг дробь имеет очень малое значение Чтобы это можно было решить, предположим сначала, что все корни заданного уравнения вещественны и что, отвлекаясь от знака, аг имеет-
среди них наибольшее численное значение. Тогда ^, ~, ..., ~ суть правильные дроби, и ряды
1
■1,,
а21а2Г
1191
аз+а2«3+
1 g3 I
'' + а^ °8’
х «2
а!
1
а!
а^ 2 * * *
, 1
1
1 + «,
аз«з3+..
1
= 14- —
ап + 4 а^
•^2 П •
1 aj ”
»i
сходятся. Перемножая друг с другом эти ряды, получим:
1 11 21 к
= 1 ~[~ —— С^, . . . , d^ -|- —2" С (^2? • е • > ап) Н" • • • + "~Т ^(а2> • • • ? ага)>
к
где —^ С (а2, ..., dn) следует рассматривать как исчезающую величину.
Отсюда следует:
fl—^)fl—^) ... fl— ^
к-1к—2к—3
= С(аг, ..., «„)+«! С(а2, ..., a„) + °? <7(а2, ...,»„)+ ... + ^-1- к
После подстановки этого значения частное -^-^ -— пр евр а- ^^р а2, ..., а„) щается в к
. О^а^ а^. . ., а^ /а2 \/1аз \(лап \
aX\^/\ai)\4 1
1 It1 It. ., an) есть исчезающая величина, в то время как. ., an) есть исчезающая величина, в то время какНо к G(d^ d^, . множитель видаНо к G(d^ d^, . множитель вида1^ иногда не превосходит значения 2; поэтому1^ иногда не превосходит значения 2; поэтому
1 It
1 It
. ., an) есть исчезающая величина, в то время как
. ., an) есть исчезающая величина, в то время как
Но к G(d^ d^, . множитель вида
Но к G(d^ d^, . множитель вида
1^ иногда не превосходит значения 2; поэтому
1^ иногда не превосходит значения 2; поэтому
стоящее за аг выражение может быть понижено до любой малости,
если только взять Л; достаточно большим. Сходимость тем большая
чем больше аг превосходит остальные корни, и если все корни положительны.
Если уравнение содержит невозможные корни, например: а2 = а -|- Р У— 1 = w (cos ср -|- sin ср У — 1), а3 = а — р У — 1 = iv (cos ср — sin ср У — 1),
то ряд
-= 1 -(- —- w (cos ср ±.sin ср У — 1) -|-
1 — ^ (cos ср ± sin ср У — 1)
-}- -^- w2 (cos 2ср + sin 2фУ — 1) -j- ... -|—^ ^ (cos kw dz sin kw У—1)
сходится, если ^^w, т. e, если ^ ^> Уа2-|-p2. Частное тогда имеет вид
аа
а
а
в котором стоящая за aL величина при большем значении к исчезает. Может также еще несколько корней быть невозможными, даже вce^ кроме av и частное будет всегда давать приближенное значение корня av если только вообще
<h>VWl,
где a7l ± p7l У — 1 вообще обозначает пару невозможных корней.
Наконец, следует еще присоединить замечание, что при ау=а^ множитель 1 — не делается нулем, так как —_— только тогда бесконечно, если мы возьмем все члены разложения; для к членов: же имеет место
1= 1 J- 1 _]_ ! _L . . . = fc
и поэтому
а 2 _ах к *
ИСТОРИЧЕСКАЯ ЗАМЕТКА ПО ПОВОДУ ОДНОГО МЕТОДАРЕШЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ,
ДАННОГО Н. И. ЛОБАЧЕВСКИМ
проф. Н. Н. Парфентьева)
В краткой настоящей заметке я хочу остановиться на следующих примечательных словах Н. И. Лобачевского, написанных им: в предисловии к его замечательной книге «Алгебра или исчисление конечных», Казань, 1832 г.) в университетской типографии, на стр. X предисловия — вот эти строки: «Решение уравнений в числах, како& здесь предложено в ст. 257 главы XVII, хотя не для всякого случая, кажется, заслуживает внимания по краткости и легкости вычисления в сравнении с другими, известными мне способами...» ).
Если же мы обратимся к самому этому методу, который Н. И. Л о- бачевСкий считал новым и до него еще неизвестным, то на. стр. 526 (конец страницы) и на страницах 527 и 528 мы найдем и его обоснование, и иллюстрацию решения на примере.
Ввиду крайней лаконичности всего абзаца, относящегося к этому методу, и трудности вообще достать замечательную книгу, о коей сейчас идет речь, я приведу весь абзац полностью.. . ).
Сделанная нами выдержка с ясностью и полной убедительностью' говорит, что Лобачевский ранее Греффе ) придумал тот способ, который удержал в литературе имя последнего. Алгебру конечных Лобачевский сдал в печать в 1832 г., след., на целых пять лет Лобачевский опередил Греффе. Я считаю за дату появления книги Лобачевского момент разрешения ее к печатанию-
цензурой в Москве в 1832 г., ибо из типографии книга в Казани вышла в 1834 г.
Я считаю нужным остановиться на этом факте: скоро (25/П 1926 г.) Казань, а с ней и весь ученый мир будут праздновать 100-летнюю годовщину со дня изложения Н. И. Лобачевским его бессмертной Неэвклидовой геометрии в публичном заседании Физ.-Матем. факультета под заглавием «Exposition succincte des principes de la G6om6trie ^vec une d6monstration rigoureuse du theorSme des paralleles». Желательно к этой годовщине собрать весь материал, характеризующий гениального казанца.
Своей заметкой я хотел бы подчеркнуть, что при изложении метода Греффе и пользовании им надлежит всегда помнить, что метод •этот по приоритету должен называться методом Н. И. Ло бачевского.
Мои справки по истории этого вопроса показали мне, что метода Греффе была в науке использована Данделеном (Gr. Р. D ап- delin) в 1826 г. в его мемуаре, помещенном в M6moires de 1’Academie de Bruxelles, 3, p. 48, а посему справедливость требует, чтобы при изложении этого метода и пользовании пм были называемы все три «автора, невидимому, независимо открывшие метод.
Просматривая же, напр., некоторые из русских солидных и прекрасных монографий по алгебре, я никогда еще не встречал упоминание о том, что этот метод Греффе есть метод Лобачев- окого: взять хотя бы солидный трактат «Высшая алгебра» проф Д. А. Граве; там при изложении метода Греффе проф. Граве цитирует и Д. Бернулли) (Commentarii Petropolitani, 3, 1728, р. 92) как родоначальника идеи метода, и Эйлера (Introductio in analysin infinitorum, т. I, Cap. 17), и самого Греффе, и, наконец, А. Н. Крылова «Лекции о приближенных вычислениях», Спб., 1911, и др., но не упоминает Лобачевского. У А. Н. Крылова излагаемая здесь метода также именуется просто методой Греффе. Поэтому я был очень приятно поражен, когда в полученной мной книге <The Calculus of Observations» (A Treatise on Numerical Mathematics) by В. T. Whittaker, prof, of Mathematics in the University of Edinburgh, and Gr. Robinson, M. A. B. So. Lecturer in Mathematics in the University of Edinburgh, London, 1924 ), на стр. 106 я нашел
§ 54, озаглавленный так: The Rootsquaring Method of Bandelin, Lobachewsky and Graeffe. От Уиттекера и Робинсона я узнал и о существовании мемуара Данделена, цитированного мной выше.
К сожалению, в нашей фундаментальной университетской библиотеке некоторые томики «Encyclopedic des Sciences math6matiques, physiques et astronomiques» утеряны, и я лишен возможности проверить себя строже. Думаю, что все же моя историческая заметка может иметь интерес даже и при неполном историческом анализе.
Об Алгебре конечных Лобачевского можно говорить очень много п можно не раз отметить факты вроде описываемого; но размер отведенных страниц на заметку не позволяет пока задеть другие вопросы.
1925. Ш. 22.
ИСТОРИКО-БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О СОЧИНЕНИИ«АЛГЕБРА ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ»
Неудача, постигшая Н. И. Лобачевского при его желании выпустить учебную книгу по геометрии (1823 г.)), его не обескуражила.
В ответ на циркулярный запрос ректора К. Ф. Фукса от 5 февраля 1826 г., какие учебные сочинения (compendii) предполагают составить преподаватели, декан физико-математического отделения И. М. Симонов сообщил, что Н. И. Лобачевский приготовит три книги: а) об аналитической механике, б) о практической механике, в) для математической физики). Но еще раньше Лобачевский составил обстоятельное руководство по алгебре, которое первоначально предназначал для учащихся в гимназиях). Это руководство он представил в Совет Физико-математического отделения в 1825 г. Сведения о прохождении деДа об издании этого сочинения содержатся в дошедшем до нас архивном материале: «Дело но представлению Отделения, Физико-штелигти- ческого с Алгеброй, сочинения о. профессора Лобачевского для введения оной в употребление в Гимназиях».
«Дело» состоит из обложки на голубой бумаге и пяти листов документов. Обложка, первый и пятый листы в настоящем издании воспроизведены в фото-копиях. Из этих документов видно, что Отделение поручило профессору Г. Б. Никольскому составить отзыв о сочинении Лобачевского. Совет Отделения заслушал этот отзыв в заседании от 11 сентября 1825 года. Отзыв (уже цитированный на стр. 367) был формулирован следующим образом:
«Хотя по объему своему содержит сия Алгебра только 96 четвертин мелкого письма, но г. Автор в сем небольшом пространстве поместил все нужные статьи и обработал их своим способом с такого точностию
Q^^ ^(^ЫпаЛлм^ £)^1Шш/ (^^^и4/^лия^^
„ Mt
е<
'и(Л*ил
Заглавный лист дела об издании «Алгебры» Лобачевского, хранящегосяв архиве Казанского Физико-математического общества.
lAv^^p ^ ^**р «^^^
"**• <Лх &^2^ От^»^>и //-й^ ^ ^>
1П5" тЛ>1П5" тЛ>St c*Xvi xsJ^G^zr^» тъ^о —St c*Xvi xsJ^G^zr^» тъ^о —*К«Л> ПиеХ^х. } U»*К«Л> ПиеХ^х. } U»J/2^<<^ > ^ ку, rj^ Ор»^Ч»*>J/2^<<^ > ^ ку, rj^ Ор»^Ч»*>,МЛ1С „ «^ П»м :„ Ь^ *. «W^ а^Ау,МЛ1С „ «^ П»м :„ Ь^ *. «W^ а^АуИ /^» Г^^ ^^ ^ ^™И /^» Г^^ ^^ ^ ^™евро,*!*» и/Хеь8аЛ«1йииА vAtx/a/U^ - t^^ м гир€пдрр<х*и»о (Гы^ь -евро,*!*» и/Хеь8аЛ«1йииА vAtx/a/U^ - t^^ м гир€пдрр<х*и»о (Гы^ь -^илСе^^ГслС»/^ ^ rif^'^^илСе^^ГслС»/^ ^ rif^'^^,1^ ^C cA e^^ -^,1^ ^C cA e^^ -Ои^сс.^*/^Ои^сс.^*/^
1П5" тЛ>
1П5" тЛ>
St c*Xvi xsJ^G^zr^» тъ^о —
St c*Xvi xsJ^G^zr^» тъ^о —
*К«Л> ПиеХ^х. } U»
*К«Л> ПиеХ^х. } U»
J/2^<<^ > ^ ку, rj^ Ор»^Ч»*>
J/2^<<^ > ^ ку, rj^ Ор»^Ч»*>
,МЛ1С „ «^ П»м :„ Ь^ *. «W^ а^Ау
,МЛ1С „ «^ П»м :„ Ь^ *. «W^ а^Ау
И /^» Г^^ ^^ ^ ^™
И /^» Г^^ ^^ ^ ^™
евро,*!*» и/Хеь8аЛ«1йииА vAtx/a/U^ - t^^ м гир€пдрр<х*и»о (Гы^ь -
евро,*!*» и/Хеь8аЛ«1йииА vAtx/a/U^ - t^^ м гир€пдрр<х*и»о (Гы^ь -
^илСе^^ГслС»/^ ^ rif^'^
^илСе^^ГслС»/^ ^ rif^'^
^,1^ ^C cA e^^ -
^,1^ ^C cA e^^ -
Ои^сс.^*/^
Ои^сс.^*/^
Представление Физико-математического отделения в Совет Университетаот 18 сентября 1825 г. об исходатайствовании разрешения па введение«Алгебры» в употребление в гимназиях и о напечатании ее на казенныйсчет. Представление подписано Н. И. Лобачевским в качестве деканаотделения.
Лг^ &^^£fУ^Т"1 <^«~б-' ~«^«»&^«- -у^^А—/Лг^ &^^£fУ^Т"1 <^«~б-' ~«^«»&^«- -у^^А—/
Лг^ &^^£fУ^Т"1 <^«~б-' ~«^«»&^«- -у^^А—/
Лг^ &^^£fУ^Т"1 <^«~б-' ~«^«»&^«- -у^^А—/
Ходатайство Н. И. Лобачевского от 28 сентября 1826 г. перед Советомуниверситета о возвращении ему рукописи «Алгебра» в виду того, чтоделу об ее издании не дано движения.
£Л<А- 1^1*4^САЛ*Л*иЛа£Л<А- 1^1*4^САЛ*Л*иЛа<5ИМ01А<5ИМ01А
£Л<А- 1^1*4^САЛ*Л*иЛа
£Л<А- 1^1*4^САЛ*Л*иЛа
<5ИМ01А
<5ИМ01А
Постановление Совета от 27 октября 1826 г. по ходатайству Лобачевского.Пометка об исполнении.
и всеобщностию, что трудно сказать, что бы еще к ним прибавить следовало. А потому она с большою пользою может быть введена в употребление в Гимназиях».
Отделение согласилось с мнением профессора Никольского и постановило просить Совет университета о введении учебного руководства по алгебре, составленного Н. И. Лобачевским, в употребление в гимназиях и о напечатании его за счет казны с возвращением издержек но выручке денег. Лобачевский состоял в то время деканом Отделения. Об этом постановлении Отделения он сообщил Совету университета отношением от 18 сентября 1825 г. (текст этого отношения помещен в фото-копии). Оно было заслушано Советом университета, который постановил представить ходатайство Отделения на благоусмотрение попечителя. Об этом было заготовлено представление попечителю; однако секретарь Совета профессор Г. С. Суровцев возвратил дело в Совет, так как прохождение его не соответствовало требованиям устава, именно—постановление не было подвергнуто баллотировке. Дело было вновь заслушано в заседании Совета 30 сентября 1825 г., представление Отделения было подвергнуто баллотировке и получило одобрение большинством двадцати голосов против двух. Совет просил, чтобы сочинение Лобачевского «введено было в употребление по Гимназиям Казанского учебного округа с выручкою за напечатание денег в пользу Казны».
После этого было составлено новое представление попечителю учебного округа, в котором ректор излагал постановление Совета н ходатайствовал об его выполнении. Проект этого представления, подписанный уже ректором, составляет четвертый лист «Дела». Однако представление отослано не было. На его проекте имеются карандашные отметки Лобачевского, который, невидимому, желал, чтобы текст представления был несколько изменен. Именно, он считал себя вправе настаивать на том, чтобы вырученные при продаже деньги, по покрытии расходов, поступили к автору. Возникшее ли вследствие этого расхождение между Лобачевским и ректором, осложнившиеся ли обстоятельства в управлении округом (неожиданный приезд Магницкого в Казань и пошатнувшееся его положение), или даже политические события конца 1825 г.,—что именно вызвало задержку движения дела об издании «Алгебры», установить трудно. Существенно то, что дальнейшего движения оно не получило.
По истечении года (28 сентября 1826 г.) Лобачевский вошел в Совет университета со следующим заявлением (оно составляет последнюю страницу «Дела» и помещено здесь в фото-коппп).
«В прошедшем году представлял я мое сочинение, преподавание Алгебры для руководства учителей в гимназиях учебного округа. Отделение, одобрив сочинение, препроводило, испрашивая дозво.
ления напечатать от Казны с возвращением издержек по продажи. Совет постановил представить далее мое сочинение по начальству, приняв мнение Отделения физико-математических наук. Столько я теперь припоминаю, что произошло с моим сочинением, но мне известно, что рукопись моя осталась неотосланной. Сожалея о напрасном труде, который я предпринял по требованиям же начальства, прошу покорнейше возвратить мое сочинение, естьли встретилось затруднение в исполнении постановления Совета. Профессор Николай Лобачевский».
Последовавшее на это заявление постановление Совета гласило • «По желанию г. Сочинителя возвратить ему Алгебру с тем, что есть ли он пожелает вновь представить оную в Совет, то оный примет на себя обязанность ходатайствовать о напечатании Алгебры на казенный счет и о введении оной по Гимназиям».
Лобачевский, очевидно, не рассчитывал на благоприятный исход ходатайства и взял рукопись обратно. Он возвратился к этому своему сочинению уже после падения Магницкого, значительно его переработав. Об этом свидетельствует сохранившийся вариант части рукописи), а также присоединение к сочинению ХУП главы, изменившей характер всей книги. Свое предисловие к книге автор заканчивает следующими словами:
«Думая составить Алгебру для Гимназий и с этой, целью написавши первые 1лавы, я переменил, однако ж, намерение, в котором ежели успел, то мое сочинение будет служить руководством для учителей и учебной книгой для слушателей в Университете».
В этом новом виде книга была разрешена к печати цензором 18 февраля 1832 г. в г. Москве). Это свидетельствует о том, что книга была направлена в печать не от имени университета (хотя напечатана в университетской типографии), так как университету разрешение цензуры не требовалось.
На последнем листе «Дела» имеется следующая запись: «По протоколу Совета 22 февраля 1832 года Ст. 36 постановлено: считать сие дело окончательным и сдать в архив».
Книга вышла в свет отдельным изданием в 1834 г.
В журнале «Библиотека для чтения», который издавался в Москве, в книжке за апрель 1835 г., появилась небольшая заметка — рецензия следующего содержания.
«1. Алгебра или вычисление конечных. Сочинил Н. Лобачевский, Казань^ в типографии университета, 1834, вып. 8., стр. X—528.
Понижение степени в двучленном уравнении, когда показатель без «единицы делится на 8. Профессора Лобачевского. Казань, в тип. университета. 1834, вып. 8, стр. 32.
Об исчезании тригонометрических строк. Профессора Лобачевского» Казань, в тип. университета, 1834, вып. 8, стр. 62.
Две последние брошюры суть извлечение из «Ученых Записок Казанского университета», а «Алгебра»—новое сочинение г. Лобачевского, предназначенное, повидимому, служить руководством его университетским слушателям и пособием самому автору при чтениях. В таких случаях метода и изустные объяснения профессора всегда значительно пополняют и изменяют содержание книги, и оно по справедливости не может подлежать суду общей критики, которая, так ■сказать, была бы заочною. Г. Лобачевский известен у нас как один из отличнейших профессоров математики».
Настоящее издание воспроизводит текст первого издания. Для удобства сравнения с первым изданием мы отмечали знаком | начало новой страницы первого издания.
При этом нами (как и во всех сочинениях Лобачевского, печатаемых в настоящем издании) были допущены отклонения от оригинального издания, имеющие технический характер (установлена современная орфография, в ряде мест изменена пунктуация, введены некоторые изменения в математическую орфографию, исправлены все замеченные ошибки и опечатки оригинального издания).
ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНИВ ДВУЧЛЕННОМ УРАВНЕНИИ,КОГДА ПОКАЗАТЕЛЬ БЕЗ ЕДИНИЦЫДЕЛИТСЯ НА 8
Я 8 П
ВВОДНАЯ СТАТЬЯ И КОММЕНТАРИИН.Г.ЧЕБОТАРЕВА
ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНИ В ДВУЧЛЕННОМУРАВНЕНИИ, КОГДА ПОКАЗАТЕЛЬ БЕЗ ЕДИНИЦЫ
ДЕЛИТСЯ НА 8
Стр.
Вводная статья:
Обзор статьи «Понижение степени в двучленном уравнении» . . •441
И. Лобачевский — «Понижение степени в двучленном уравнении, когда показатель без единицы делится на 8» ,. . .445
Примечания 466
ПОНИЖЕ HI Е
СТЕПЕНИ ВЪ ДВУЧЛЕННОМЪ УРАВНЕНИИ КОГДА ПОКАЗА ГЕЛЬ
БЕЗЪ ЕДИНИЦЫ ДЬЛИТСЯ НА 8.
Пр. Л onа хе века?о.
КАЗАНЬ
Въ Университетской Типограф1и
1834 г.
Обложка отдельного издания статьи«Понижение степени в двучленном уравнении».
ОБЗОР СТАТЬИ«ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНИ В ДВУЧЛЕННОМ УРАВНЕНИИ»
Статья Н. И. Лобачевского «Понижение степени в двучленном уравнении, когда показатель без единицы делится на 8», была опубликована в 1-м томе «Ученых Записок Казанского Университета» в 1834 г. и в том же году была перепечатана в виде отдельной книжки, в которой имеется аннотация: «Перепечатано из Ученых Записок, на основании дозволения Высшего Учебного Начальства». Судя по введению, Лобачевский уже давно занимался проблемой решения в радикалах уравнений вида хп=1, и уже в 1813 г. представлял в Отделение Физ.-мат. наук рассуждение, где рассматривал разрешимость в радикалах этих уравнений. Это рассуждение не было опубликовано и до нас не дошло. Кроме того, в этом рассуждении содержался спо- соо составления уравнении 4-и степени для —членных гауссовых периодов, если п—1 делится на 4. Этот способ также помещен в «Алгебре» Лобачевского1). Лобачевский, не имея в то время в распоряжении 2-го издания книги Лежандра «Tlieorie des nombres», говорит, что в нем тоже помещен способ составления этих уравнений, и предполагает вероятным, что его решение и решение Лежандра одинаковы.
В самом деле, во втором томе книги Лежандра, на стр. 166—330 (пятая часть), содержится исследование уравнений хп—1 = 0. В частности, на стр. 199 — 205 имеется вывод формы уравнений 4-й степени
%1ГТтг
для —-—членных периодов. Поскольку Лежандр не выписывает радикальной формы решений этих уравнений, исследования обоих авторов значительно различаются одно от другого. Лежандр находит и — 1 и — 1 и — 1и1
уравнения для —^—> —3—, —4— и —5— членных периодов.
В разбираемой работе Лобачевский ставит задачей нахождение радикальных выражений для ^ g 1 -членных периодов. Поводом к проведению этого исследования послужило чтение им 9-го тома жур-
!) Ом. главу XVI (стр. 259 наст. тома).
нала Крелля («Journal fur die reine und angewandte Mathematik»), вышедшего в 1832 г. В этом томе были помещены статьи Ришело) и Либри).
Лэбачевский ссылается на слова Ришело на стр. 12 его статьи, в которых Ришело «не надеется, чтобы понижение степени в подобных уравнениях с неопределенным показателем и могло итти далее -j-(w—!)>>3)* Повидимому, речь идет о следующей фразе Ришело: «Hand ineptum esse credo, si alium utriusque aequationis construendae fontem afferam, ex tlieoria residuorum biquadraticorum emanantem»). Хотя эта фраза не выражает отсутствие надежды («baud ineptum» означает в данном случае «не невозможно», т. е. возможно), нам не удалось найти ни на стр. 12, ни в каком-либо другом месте сочинения Ришело фразы, имеющей тот смысл, какой был указан Лобачевским. Вообще же сочинение Ришело содержит подробное вычисление всевозможных гауссовых периодов для корней уравнения Х2б7 = 1, т. е. все то, что нужно для построения правильного 257-угольника циркулем и линейкой. Эта работа представляет собой непосредственное продолжение результата Гаусса по построению правильного 17-угольнпка и никаких соображений по поводу случая произвольного п не содержит.
Статья Либри очень интересна по идее. Для решения в целых числах неопределенных уравнений fQx^ у, ...) = 0, .. . он присоединяет к ним уравнения 8Штгж = 0, sin тс г/= О, ..., гарантирующие целочисленность решений, и находит для числа решений выражения в виде тригонометрических сумм, которые в частных случаях превращаются в гауссовы периоды. По поводу этой статьи Лобачевский говорит: «Г. Либри думает, что с решением двучленных уравнений связаны тесно все свойства целых чисел»), и далее: «Не столько сомнение г. Ришело, сколько эта мысль г. Либри заставила меня снова приняться за предмет и искать общих выражений для понижения степени в уравнении хп = 1. Мне удалось довести это понижение до показателя -^"^ — 1)? когда п начальное число, п— 1 делится без остатка на 8»6).
Таким образом, статью Лобачевского можно расценивать как работу той категории, к которой принадлежат нынешние «рекордные работы»: он прочел в журнальных статьях о трудностях, связанных о задачей понижения степени у хп = 1 для случая произвольного п •более чем в 4 раза, т. е. составления общего аналитического выра- п— 1
жения для гауссовых —членных периодов при s>4, и поставил
■себе эту задачу для s = 8. Это ему в известной мере удалось. Однако, по нашему глубокому убеждению, Лобачевский неправ, когда в конце статьи пишет: «Отсюда я не вижу, какое бы важное заключение можно было вывести для учения о начальных числах...»1). В самом деле, для получения коэффициентов радикального выражения, найденного Лобачевским, необходимо решить два неопределенных уравнения
п = р2 —|— 4#2,п = т2 -)- 8/2.
Каждое из этих уравнений имеет, с точностью до знаков, единственное решение, поскольку п простое число, и на это Лобачевский в своих выводах существенным образом опирается. Для их нахождения аналитических выражений, однако, не существует. Кроме того, эта единственность связана с тем, что поля К (У — 1) и W- 2) имеют по одному идеальному классу. Весьма вероятно, что при решении подобной задачи для s > 8 мы придем к необходимости решать неопределенные уравнения вида
х2 -|- dy9 = п,
где К(У^) уже будет иметь несколько идеальных классов, и здесь решение неопределенного уравнения не будет единственным. Мы придем к весьма глубокой арифметической задаче, связывающей гауссовы периоды с числом идеальных классов некоторых алгебраических полей.
Статья Лобачевского представляет собой великолепный образец выкладки в классическом вкусе. Лобачевский, подобно своим крупным современникам, не стеснялся длиной и технической трудность го выкладки и редко прибегал к ее сокращению. Вместе с тем приходится удивляться, как нередко сложные искусственные приемы, казалось бы ничем не мотивированные, приводили его к желанному результату.
В этой статье Лобачевский выказал свою многогранность: если в своих геометрических исследованиях он был первоклассным мысли
телем, то здесь, в теории чисел, весьма далекой от предмета его постоянных занятий, он проявил себя как блестящий мастер вычислительной техники.
Редакция издания считает нужным отметить, что покойный Н. Г. Чеботарев в своих примечаниях к статье Лобачевского «Понижение степени в двухчленном уравнении» не ограничился одними пояснениями трудного текста. Тщательно изучив работу Лобачевского, Н. Г. Чеботарев в ряде случаев довел рассуждения автора до конца, (см., например, примечания [18], [14] и [1б], в других указал случаи, когда доказательства Лобачевского нельзя считать достаточными (см- примечания [16] и [19]. Н. Г. Чеботарев выполнил очень важную и. ответственную работу.
у^ашша лигами
ПМПЕРАТОРСКЛГО КХЗШСКАГО УНИ-
ВЕРСИТЕТА.
1834.
НАУКИ.
II О и Я ,К Е Н Г R СТЕПЕНИ В Ъ ДВУЧЛЕННОМУ У Р А В И ЕИ I И, КОГДА ПОКАЗАТЕЛЬ БЕЗ*Ь ЕДЯ*
Н И 1| Ы ДЕЛИТСЯ ИА 8,
fZZ« ЛоСагевскаго»)
Г. Гауссъ въ 1811 году издалъ сочпнеше, подъ назвашемъ DisquisUiones arithmetical, гдЬ пом^сшплъ весьма любопытную статью о дйленш круг;). Ош* крыппс заключается собственно ъь тпомъ , что всякое двучленное уравнение л/1—1, отъ pimieiiU Kunio- раго зависшие д^леще круча на равный части, i л- водшнся кч> такимъ, гдЬ показатели высшей егш ле* ми долышя числа п — 1 , когда п начальное» Общ е рЬшеше уравнения известно однакожъ не дал !>е ч ? ^ всршоЙ сшепеш!, а поточу сиособъ Г. Гаусса слу- дошгь для вычкелешя корней, покуда показатель безъ единицы составляется изъ производителей 2, 3. Вь 1^13 году представляла я Отдбдсшю Физико * Матемаптческдхъ наукъ пря Казадскомъ 1
Первая страница статьи «Понижение степени в двучленном уравне-нии» (3-я стр. I тома «Ученых записок Казанского университета» за1834 год).
ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНИ В ДВУЧЛЕННОМ УРАВНЕНИИ, КОГДА ПОКАЗАТЕЛЬ БЕЗ ЕДИНИЦЫ ДЕЛИТСЯ ИА 8
з Г. Гаусс в 1811 году издал сочинение, под названием Disqui- sitiones arithmeticae, где поместил весьма любопытную статью о делении круга. Открытие заключается собственно в том, что всякое двучленное уравнение жта = 1, от решения которого зависит деление круга на равные части, приводится к-таким, где показатели высшей степени дольные числа и— 1, когда и начальное. Общее решение уравнении известно, однако ж, не далее четвертой степени, а потому способ Г. Гаусса служит для вычисления [корней, покуда показатель без единицы составляется из производителей 2, 3. В 1813 году представлял я Отделению Физико-Математических наук при Казан-
4 ском | Университете рассуждение, где доказывал, что решение двучленных уравнений требует одного извлечения корней, и, следовательно, не зависит от решения полных уравнений. Тут же дано было общее выражение для понижения степени, если показатель без единицы делится на 4. Весьма краткий способ, которому я следую, изложен в алгебре, теперь уже отпечатанной. Г. Лежандр в новом издании Th£orie des nombres 1830 года, как мне случилось читать в Журнале Г. Крелля, нашел такое же общее выражение, о котором здесь говорится, и вероятно решение, то и другое, одинаково, потому что оно представляется само собою. Г. Ришело, для примера на решение Г. Гаусса, взял уравнение с весьма большим показателем, и в увенченном сочинении своем De resolutione alge- braica aequationis ж267 = 1 не надеется, чтобы понижение степени в подобных уравнениях, с неопределенным показателем п, могло итти далее -~ (п— 1) {Crelle’s Journal fur die reine und ang. Mathem. 9 Band. 1832. S. 12}. Г. Либри думает, что с решением двучленных уравнений связаны тесно все свойства целых чисел (Мёшойе sur la
theorie des nombres par M. Libri. Тот же журнал. 9 Band. 1832. S. 54), о которых учение столько затруднительно и нуждается в достаточных началах. Не столько сомнение Г. Ришело, сколько эта мысль Г. Либри заставила меня снова приняться за предмет и искать общих выражений для понижения степени в уравнении ж” = 1. Мне s удалось довести | это понижение до показателя -g-(^— 1), когда и начальное число, и— 1 делится без остатка на 8.
Под 1с разумеем основной корень (radix primitiva) для начального ть и, следовательно, такое число, которого степени от первой до и — 1 в делении на п дают различные остатки от 1 до п—1, Пусть о» воображаемый корень в уравнении ^ = 1. Означаем [а] степень от со, которой показатель Ъа. Далее для й^ делителя п— 1, пусть [а, й] выражает сумму
M44a + d] + [a + 2d]+-..+^^
Произведение [а, d\ [6, й], какие бы числа а, 6 ни были, всегда может быть суммою подобных выражений с положительными целыми множителями. То же должно сказать о степенях и произведении их, сколько бы различных выражений [а, d] ни было взято. Вообще всякая рациональная алгебрагическая функция от различных выражений [а, Д], с постоянным d, представляется суммою выражений [а, о] с положительными целыми множителями и где 8 самое меньшее число, которое будучи придано к показателям над &, не переменяет значения функции. Так произведение [0, 2] [1, 2] должно заключать в себе только [0, 1]; произведение [0,4] [2, 4] только [О, 2] и [1, 2].
Для краткости полагаем еще, когда и начальное число,
ж = [0, 2]-[1,2].
6 | Если к тому -^-(^ — 1) целое число:
$ = [0,4] —[2,4], iq = [1,4] — [3,4].
Если —■ (?г — 1) целое число:
Пусть теперьПусть теперьХ = [0, 8] — [4, 8], Х' = [2,8]-[6,8],Г=[1,8] —[5,8], Г = [3,8] — [7,8].
Пусть теперь
Пусть теперь
[0, 2] [l,2]=L + Jf[0, 1].
Целые положительные числа L, М должны удовлетворять условию l(n-l)2=L+(n-l)
с тем, чтобы на обеих сторонах число членов было одинаково. Притом L может быть или нуль, или -у (тг— 1), следовательно, L = Q для у (%— 1) целого, Р=у(тг— 1) для у-(тг— 3) целого. В первом случае М=^^г— 1), во втором М= у (тг— 3) [2]. А как
[0,2]+[1,2] = -1Р], то, полагая
и = (— I)2 тг, получим
[о, 2] =[1,2]=~Ц^- , Х = Уй' [*].
Решение в сущности то же, какое дал Г. Гаусс в Disquisitiones arithmeticae. Заметим, что перед квадратным корнем в х знак + илй — произвольный, покуда еще не определено, который из 7 воображаемых корней должно разуметь под w в уравнении о^= 1, потому что он меняется, когда вместо со ставим оЛ
Если у(тг— 1) целое число, то я — Утг. В таком случае пусть
[0,4][2,4] = АГ+Р[0,2] + №|
[l,4][3,4]=^+P[l,2]+Q[0,2], JU
[О, 4][1,4] = Р + г. [О, 4] +П [1, 4] + г2 [2, 4] + г3 [3,4],
[1, 4][2,4] = В + r0 [1, 4] + гг [2, 4] +г2 [3, 4] + г3 [0,4],
[2, 4][3,4] = В + г0 [2, 4] + гг [3,4] + ^2 [0, 4] + r3 [1,4],I
[3, 4][0,4] = В + г0 [3, 4] + ^[0,4] + г2 [1,4] + г3 [2,4],J
где целые положительные числа А7", Р, Q, Р, г0, г^ т^ г3 ограничиваются условиями
1 \ 21
=^+4(«-!)(-?+£).(3)
(^т)2= 5 + У ~ ^»+Г1+Г»+^ [^ ^
И где притом W, В могут быть ТОЛЬКО ИЛИ нули, ИЛИ -j- (п1)[7]т следовательно, для -у0г— 1) целого
^=0, P+Q=|(„_1),
для — (71 — 5) целого
^=1(71-1), p+Q = A(w_5).
Складывая уравнения (2), первое с третьим, второе с четвертым, получим I
в I [0,4] [1,4] + [2,4] [3,4] = 2Р + (г0 + г2) [0,2] + ^+^) [1,2], [1, 4] [2, 4ЩЗ, 4] [0, 4] = 22? + (r0 + r2) [1, 2] + ^ + ^) [0, 2]
— два уравнения, которых разность дает:
^ = О'о — ri + г2 — ^з) КW-(5)
Если берем еще в помощь
^ = [0, 4]2 + [2, 4]2 —2[0, 4] [2, 4] = [0, 2р — 4[0, 4] [2, 4] [8], то находим, вставляя сюда [0,4] [2,4] из уравнений (1) и 2 [0, 2] = —1 + ]/й,
е? = 1 (тг + 1) —42^+2P + 2Q- 0р—2Q4-1)]/^,
718 = 1(^4-1)—4^4-2P4-2Q4- (2Р—2Q4-l)v«,
которые значения 5, т) переменяют уравнение (5) в
/1 \2
(го—^1+г2 —гз)2 + 0-Р—2Q + -2 J =
= 1|1(7г + 1)-4^+2Р4-2б Г
— уравнение, которое с найденными выше значениями для N* и P-^Q делается
7г = (4Р—4Q +1)2 + 4 (г0 — ^ + 7*2 — г3)2.
Итак, начальное число тг, когда — (тг— 1) целое, может всегда быть- представлено:
77, =^-\-^.
Легко доказать, что целым р, q принадлежат единственные значения, которые можно брать, однако ж, с -[" или — таким образом, чтобы
siP-Q=|o-D
было целым [9]. Мы будем разуметь р, g везде положительными, а потому принимать
J? = ( — 1)-13,
p_Q=L^_iy
Сюда должно присоединить
^=4(n“i){i+(_i)*(”~1>}’
p+q=^-(«-i)+^{(-i^("-1)-i}.
После чего уравнения (6) сделаются
£2 = -^-{(—1)4 (п 1} п—р'Уи |,iq2 = ~|(—I)4 (” 1} ^Ч^'У^г
Извлекая квадратный корень, находим 5, т], и можем почитать их произвольно с знаком 4* и —, покуда еще не определено, которое из воображаемых значений разумеется под со в уравнении тп = 1, потому что 5, v] переходят в т], —6, потом —Е, —ч, когда вместо со ставим <о^; а следовательно, с какими знаками ни будут взяты 5, т], всегда им отвечают известные значения ох
К значениям 5, т] присоединяя уравнения
so |[0, 2] = [0, 4] + [2, 4],
[1, 2] = [1,4] + [3, 4],
находим
(8)(8)(9)(9)Когда -§-(н — 1) целое число, то
(8)
(8)
(9)
(9)
Е "|Al =р'^ 4“ 2<ZH, 7]У71 =$'*4 4- 2^ [10].
В этом случае полагаем
[0,8] [4,8]==O+-D[0, 4]+-Е[1,4] + Г[2, 4] + #[3,4], ’ [1, 8] [5, 8] = C+D[l, 4]+^[2, 4]+^[3, 4]+^[0, 4],.
[2, 8] [6, 8] = С-^В[2, 4]+^[3, 4]+^[0, 4Ц- (?[1, 4], [3,8] [7, 8] = <74-J9[8, 4]-|-^[0, 4]4-^[1, ^ЗН-^ЕЗ, 4], .
[Формулы (10) — стр. 451]
12 | где С, В, Е, ..., а, 6, с,... целые положительные числа, которых, значения ограничиваются условиями
(И)(И)^Ц-1? = С + Т^- !) Ф + B"V^+ ^Y
(И)
(И)
—-—) = а-[__(п— i) (5^с^^^б^/*^^_{-.д_|_г)
и где С, а могут быть только или нуль, или -^-^ — 1), следова- 1°
тельно, для-^(?г — 1) целого
G = 0, D + ^+#+^=^-(7i — 1),
для -^-(^ — 9) целого
с=|(тг-1), d^-ea-f-VG=^-^.
(Ю)(Ю)Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ—«ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНИ:Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ—«ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНИ:
(Ю)
(Ю)
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ—«ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНИ:
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ—«ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНИ:
[О, 8) [2, 8] = а + 6[О, 8] + с[1, 8] + 42, 8Ц-е[8, 8] + Д4, 8] + у[5, 8] + Л[6, 8] + г[7, 8], [1, 8] [3, 8] = а + Ь [1, 8] + с [2, 8] + d [3, 8] + е [4, 8] + f [5, 8]+^ [6, 8] + h [7, 8] + г [О, 8], [2, 8] [4, 8] = а + &[2, 8Ц-с[3, 8J + 44, 8] + е[5, 8] + /'[6, 8]+у[7, 8] + Л[0, 8] + ?[1, 8], [3, 8] [5, 8] = a4-6[3, 8] + с[4, 8] + <Z[5, 8] + <6, 8] + f[7, 8]+у[0, 8] + Ж 8Ц-»[2, 8], [4, 8] [6, 8] = « + 6 [4, 8]+ 44 8] + <Z[6, 8]+ 47, 8]+40, 8]+ 41,- 8]+А[2, 8]+г[3, 8], [5, 8] [7, 8] = а 4-6[5, 8J + 46, 8] + ^[7, 8] + в[О, 8] + Г[1, 8] + у[2, 8]4-7»[3, 8] + г[4, 8], [6, 8] [О, 8] = «+6(6, 8] + с[7, 8] + й[0, 8J + e[l, 8] + f[2, 8] + ^[3, 8Ц-7»[4, 8] + ?[5, 8], [7, 8] [1, 8] = а + 6[7, 8] + с[0, 8] + й[1, 8] + е[2, 8] + 7[3, 8] + у[4, 8] + Л[5, 8] + ?[6, 8j,
(12)(12)(13)(13)(14)(14)
(12)
(12)
(13)
(13)
(14)
(14)
В том и другом случае
С=^-(п-1){1-(-1)^("-1)},р+^+р+0=^(го_1) + ^{(-1)1<^ -i}.
Положивши
4С—(D+^4-^+ ЭД = О', D-E-VF—G=iy, D—F=E', E—G=F, уравнения (9) можем представить еще иначе [и]:
[О, 8] [4, В^Ас'^!)'/^^^!^
[1, 8] [5, бЦе-^Г^Цг е,[2, 8] [6, 8] = А С' +1D'V^—А Е' 6 — Е' т|,
[3, 8] [7, 8] = А ^ ~D' \Г^ —| Е' т]+А Е' 6, is | где помощию уравнений (12) находим
™ Зп +11-4 (»-1)
Далее [см. ур. (7)]
[o,4]2=1A(i+3n)-Ayi^+i (_i+1^)e
10Оtt
или [см. ур. (8)]
[МГ-^а+зпЭ-Ар^-Аср'+уе+А^^^
подобным образом,
[i, 4]2=^(1+зп)+Ау1/^_^(р'+1)ч-А2^[2, 4]2 =— (1 + Зп) - А У]^+А ^' +1) $ _ 1.2 ^
[3, 4]2=А(1+зп)+А1)^+А(р'+1)11+А.2Е.
После чего, принимая в помощь уравнения (13), (14) и ставя теперь вычисленные значения [0, 4]2, [1, 4]2, [2, 4]2, [3, 4]2 в
Х2 = [0, 4]2 — 4 [0, 8] [4, 8] [12],
^ = [1, 4]2 —4(1, 8] [5, 8],
Х'2 = [2, 4Р —4[2, 8] [6, 8],
У'2 = [3, 4]2 —4[3, 8] [7, 8],
получим
Х2 =
1„- + 1,у5+
11
Г2 =
(15)
х,3 =
Н-ЦБ'
у'2
1 „ 11/-
— U-ту п
44
u I где
н" = (-1)*(” " 4 п, г = - ^ ^ +1) - 4D', j
У (16)
A = -l(p' + l)-4S', B^-^F. j
Положивши
8а — (6 —|— с -р- <Z —j— в —}— / —|—<7 -4— /1 —|— 0 = а'»
6 — с 4-с?—в 4~/—^4”^ — t — ^> b — d-^-f—7i = a,
с —е+у —г = b — f=t, с—д = 6, <1 — 7i = 7', в — 7 = 8',
(17)
уравнения (10) переменяем в такие [13]:
15 I
145 | на которых, складывая первое с пятым, второе с шестым и т. д., получим
[О, 8] [2, 8] + [4, 8] [6, 8] = 1 af +1У /» + |«= + ^ Н
[1, 8] [3, 8] + [5, 8][7, Sj^Aa'-^ViH-laiq-lp,:,
[2, 8][4, 8] + [6, 8][0, 8] = 1«' + 1б']/п--1«Е--|-^, [3, 8][5, 8Ц-[7, 8][1, Sl^la'-l^r^-^il + l^ Здесь вычитаем из первого третье, из второго четвертое:
ZZ' = a$ + h,
YY' = a-q — ^.
Уравнения (18) соединяем
еще: первое с седьмым,
второе
мым, третье с первым,
, четвертое
со вторым
и т. д.
м"
й
н
/—X
/^^ЧЧ
го
го
го
го
го
со
го
го
го
го
гО
М|С4
тЧ [ОЗ
h|n
тЧ 1<М
т-ч .03
т-Ч |(М
th|n ,
Ч |(М
+
+
и
И
м
и
N
х*ч
w |N
Н |n
H|N
тЧ |03
-h|n
Г-1 |N
гч ;<м т
ч |n
+
4"
+
-[-
н
N
N
н
СО
го
го
го
го
го
+
+
+
+
+
4-
—|—
го
го
го
40
го
ГО
4.Z
rd |Ы
rd |N
н In
r4|N
Т-1 |(М
1-1 |оз
^ 1(М Т
Ч |(М
+
+
+
И
И
и
*>—
+
+
+
+
+
+
н [оз
г-< In
r-i|N
^|N
1-1 |(М
гЧ |(М
»—> ОЗ т
ч [оз
+
+
+
+
1й
£
fO
-о
NO
гО
гО
н |тН
тЧ ["Ч
^ |м<
т-t :^
гЧ |-fl
г-||тН ,
ч |Ч<
+
+
+
8
8
S3
8
8
8
S3
S3
rd М
гч|^Н
Н 1^
гч|-Ф
rd Н
тЧ |-^ - 1
ч [-^
II
11
р—^
44
44
р,
со
о
■■■■■
00
со
00
00
00
00
00
00
р.
CD
(19)
весь-
is | Вычитаем здесь из первого пятое уравнение, из второго шестое и т. д.
[2, 4] X = (у- + Т) X 4- (8' + 6) Y + (f - Т)Х' + (8' - 8) У,
[3,4] Г =(т'+т)У+(8' + 3)Т-(т'—г)Г-(8'-8)Х, [0,4]Х' = (Т' + 1)Х'4-(8'4-8)У'-(1' —()Х-(8'-8)У, н }
II, 4] У' = (V + Т) Г - (8' + 8) X-(V - т) У - (8' - 8) X'.
Эти последние уравнения умножаем по порядку на X', У', X, Y, и потом вычитаем первое из третьего, второе из четвертого. Получим уравнения:
6 XX* = (8' + 8)(ХУ'—X' I) — (/—т) (X2 + Х'^ — (8' — 8)(ХУ+ X' У'), 7]УУ' = — (8'4-8)(XY4-X' У')-(/ — ^(У24- У'2)+ (8'—о)(ХУ—X* У),
которых сумма и разность дает
$ XX* 4- т] YY' = 28' {(ХУ' — X' У) — (ХУ 4- X* У)} —
—(V—т) (X2 4- х'2 4- У9 + У'2),
е XX' — 7) У У' = 28 { (ХУ — X' У) 4- (ХУ 4- X' У')} —
—(f—т) (X2 4- ^'2 — ^ — Y'^-
Вставляя сюда значения XX', УУ' из уравнений (19), значения Ха, X'2, У2, У'2 из уравнений (11), находим [м]:
(ХУ — X'Y) — (ХУ4- X' У) =ан + (^~|
,> (21)
(ХУ'—х' У) 4- (ху 4- X' У) = M^z^LtlllxnV у и. I
19 | Уравнения (15) умножаем: первое на третье, второе на четвертое, и ставим сюда значения XX', YY' из уравнений (19). Получим два уравнения, которых сумма и разность приводит к заключению
(22)(22)1 (п 4- Г2) = Д2 4- 52 4- 4а2 + 4?2, п"г = 4^ (АВ 4- 4а?) —р' (А2 — Б2 4- 4а2 — 4?2).
(22)
(22)
Основываясь на том, что п =^/2-т-4^2, последнему уравнению вполне удовлетворяем, полагая
р = (—I)8г^
Д 2? 4- 4«? = 2Р 4“ У г,А2—^4“ ^®2 — 4р2 = —Ур+Мг>
тде 2—произвольное целое число [1б]. Умножая второе уравнение на 2 и возвыся в квадрат, прикладываем к квадрату последнего: ПГ2 ^_ 47г22 = (^2 4- 52 + 4а2 — 4р2)2 —16 (а5 — рА)2.
Пользуясь первым из уравнений (22), получим
(4г")2—4 (aS—W='iA
Первое из уравнений (22) показывает, что г нечетное число, а следовательно, тг — г2 делится на 8; 2 на 2. Пусть
aS — 8^1 = 1 (та — г»1) — г',О
| целое число rf определяется уравнением
А как и число начальное, то -^ 2 делится на гг и должно давать в частном целое число г". После этого уравнение для тг сделается
ЧЪ = 7’2 4~ ^ ^UT^ 4“ 1)
возможным только для г" = 0, 2 = 0 [16]. Таким образом, два последние уравнения (23) будут
^ + 4ар = 8Р,|
А2 — S2 + 4а2 — 4р2=—рг^ /
К этому еще заметим, что
аВ — ^ = л24^,(25)
где Х=±1.
Рассматриваем теперь произведение
(ZF — Z' Т)(ХГ4-Z'F) = (Z2 — Z'2) YY' — ^—Y'^XX'.
Вставляя сюда значения Z2, Z'2, F, F2 из уравнений (16) и значения XX', ГТ' из уравнений (19), получим
(ZF — Z,F)(ZF+Z,F) = w(aB—рА).(26)
Далее из уравнений (15) находим
।Z2F2 + Z'2F = 1 (та2 — таг2) 4-1 [8G42 — В2) +УАВ] Уп,
Z2 Р2 4- X'2 F2 =1 (п2 — nr2) — 1 [8 (А2 — В2) +р'АВ] |/та.
82
Сумма которых уравнений дает
(У У' — X У)3 + (У У+ X YY = 1 (в3 — nr3), а в соединении с (25) и (26)
(27)(27){ (УУ'—У'У) + (УУ+У:'У') )2 = 1±А(п2_71г2))
(27)
(27)
{(У Г — XУ) — (УУ + X У') }3 = Ц=^ (п3 — nr3).
Принимая в рассуждения уравнение (21) и то, что Х = ±1,
можем сделать два предположения: или
илиилист + (V—т)= О
или
или
2$ —У а = — (/ — т) г.
Последнее, однако ж, допустить нельзя, иначе сумма квадратов двух уравнений (21) давала бы
а —(—I)8 (” ^fV — Т)28'а —(—I)8 (” ^fV — Т)28'1[ н = 2(п — г2).1[ н = 2(п — г2).
а —(—I)8 (” ^fV — Т)28'
а —(—I)8 (” ^fV — Т)28'
1
[ н = 2(п — г2).
1
[ н = 2(п — г2).
Между тем, второе, из уравнений (11) и последнее из (17) показывают, что 8' не может быть более-|-(7i— 1), следовательно, не уничтожает производителя 7г, которого также нельзя уничтожить, принимая г = 0, потому что 2 не квадратное число. Итак,
I1— Т = — а(—!)•
После чего уравнения (21) переменятся в такие:
(У Г — X У) = (У У + X У'),'
(у у—х У)+(У у+ х У) = 2g^~ %-~^- ^-(28)
Из уравнений (27) заключаем, что X = 1 и что
^ - (У + Р) « = 28 ]/(29)
Из уравнений (28) находим
(УX — ХУ)(УУ + хУ) = | Mzzitilll рг
и, сравнивая с уравнением (26),
Чтобы удовлетворить этому последнему требованию и уравнениям (28) и (29), должны принимать, разумея t целое число,
(30)(30)п = г2 4- 8£2,аВ — ^A = t\
(30)
(30)
XY-VTY^tVu,2#р — (р' + р)« = 4о^.
2з Первое уравнение, как известно, допускает ] только единственные числа для г и #, которые, однако ж, могут быть положительные и отрицательные. Впрочем, с каким знаком должно брать г, видно уже из уравнений (16). Пусть т положительное целое число такое, что
7г = т^ 4” 8£2.
Во втором из уравнений (16) нечетное число 4(Р,4“1)> будучи придано к г, должно делиться на 4, а следовательно,
/ 1Чт (« + 1)+ т^'-1*
г = т (—1) 21
Берем теперь в помощь уравнения (22) и (24).
4"' + ^) = -А2 + В' + 4а2 4- 4р2,
—j/p = А2 — В2 4" 4а2 — 4р2,АВ 4- 4ар = q^r.
Первые два можем заменить их суммою и разностию: (4г£У+22 = ^2 + 4а2>
После чего представляем различным образом квадрат последт него из уравнений (30) [п]:
1б8^2 = (₽' 4- Р)2а2 + W — W (р' + р) =
= 4а2 [S2 + 4₽2 — З2] + 4Р2 [22 + 4а2 — (^ ~Р) ] — 4^р ^ + Р) ==
24 I=4(а5 —рА)24-8аР(^В + 4а₽) —[Зза + Ср' —р)РР —8gpap =
= 4^ — [2ga + (р' — р) р]2
ИЛИИЛИ16 82#2 =16 82#2 =+ <Z2 [(^^"j' + S2-^] -4^(р' + р) =
ИЛИ
ИЛИ
16 82#2 =
16 82#2 =
= (—4—) +2з2(^7 +^+( 2^2—^) ~
— 2(У + р)(^+4ар) = 4^— Ul^-A — 4в\
или, наконец,
168^2 = 4^—1^—р-) A2 —^2 + ^Q/4-p)AB =
2— (^±1-) 4- (р'+р) 4ав =2— (^±1-) 4- (р'+р) 4ав == 4#*—22 [S2+4p2—82]—S2 J.2+4a
2— (^±1-) 4- (р'+р) 4ав =
2— (^±1-) 4- (р'+р) 4ав =
\2
qA^qA^P'—^nV ~^~ВP'—^nV ~^~ВВ\ —4^аВ—^Ау-—2АВ(АВ-^-4а$ — ^==
qA^
qA^
P'—^nV ~^~В
P'—^nV ~^~В
Отсюда выводим заключение, что
#2 = м24-462.
(31)(31)2^0 + (Рл — р) р = 2#и,
(31)
(31)
2^ + 0' —р) 5 = 8Ш,
2^ —(р' + р)2 = 41'м# [18],
где и целое положительное или отрицательное число, ^=±1, к' = ± 1.
Последнее из уравнений (30) и найденные теперь служат для определения а, р, А, В, которых значения будут:
2a# = qu — (j)' — р) 8,
2,8# = 2g8 + —
At = 2kq§ — W® 2 ^M>
Bt = k'qu + a (j)' -j- p) 8.
Вставляя такие значения а, р, А, В во второе из уравнений (30), находим
^2 = xV — 4Х82,
а в соединении с уравнением (31)
(X' — 1)м2 = 482(Х4-1),
что может быть только справедливо для к' = 1, Х =—1 [19]; следовательно,
2а£ = ди — (р' — о) 8,
2р# = 2з8+^АА<,
26 |At =—2^8— —-и,
—(У + р)6,
— уравнения, которые заменяют собой, как можно увериться на. самом деле, (22), (24), второе и последнее в (30). Отсюда следует:
(2а—S)^ = 2p8,
(2^ + Л) t = ^u.
Так как 8, р, и не могут делиться на £, если £2>82, t?>u\ то надобно полагать или 8 = 0, или и = 0. Последнее предположение, однако ж, допускать нельзя, потому что в таком случае А было бы четное число в противность значению Л в уравнениях (16), которое требует, чтобы А было нечетным вместе с -^- (р' + !)• Итак, 8 = 0, t=Xu, Х= + 1. После чего а = —Х^, р = ^- Х(р' + р), А =^(У —р)> В = М.
Значение А определяется из сравнения найденного теперь выражения для А с выражением в уравнениях (16), следовательно, X должно давать такое число
p' + i+W—р),
которое бы делилось на 8 без. остатка. Так как р' — 1 делится без остатка на 4, то довольно, если 2 4~Х(1—р) делится на 8, что 2? может только быть или для такого р, которое без 3 | делится на 8, или для такого, которое без 1 делится на 8. В обоих случаях
Х = (-1)7(Р-3).
Заметим, что ^ должно быть четным, как этого требует значение а.
Для определения X, Y, X', Y из уравнений (15) нужно знать только целые числа г, Л, В. Итак, решение будет заключаться в следующем:
П=р2 + 16«2,n"=n(—I)8 f” 1>
n = m2-|-8#2, p, v, m—целые положительные, p =p(—I)2,
т = m (— I)24»
p=r(—1)8,
A=T(—i)4(p — o),
5 = 2^(—1Я(Р-3) .
Пример 1.
n = 73 = 32 + 16 • 22 = l + 8 • 32.
p = 3, m = 1, v = 2,p’= — 3, r=l, p-1,A = — 1, B = — 1, %" = — 73,
y=i/r-7-l-i^+i^c-
Пример 2.Пример 2.п = 89 = 52 + 16 • 22 = 92 4- 8 • I2.п = 89 = 52 + 16 • 22 = 92 4- 8 • I2.р =5, т = 9,у =2,р' = й1г = 9,р =— 9,2 = 7, В = — 4, п"= —89,р =5, т = 9,у =2,р' = й1г = 9,р =— 9,2 = 7, В = — 4, п"= —89,— 89—5/8921— 89—5/89214 =4 =
Пример 2.
Пример 2.
п = 89 = 52 + 16 • 22 = 92 4- 8 • I2.
п = 89 = 52 + 16 • 22 = 92 4- 8 • I2.
р =5, т = 9,у =2,
р' = й1г = 9,р =— 9,
2 = 7, В = — 4, п"= —89,
р =5, т = 9,у =2,
р' = й1г = 9,р =— 9,
2 = 7, В = — 4, п"= —89,
— 89—5/89
21
— 89—5/89
21
4 =
4 =
^-/-т + /55+4£-2Ч’Г=|/ -^-/s9 +|ч + 2£,х- |/-™ + ^Г89-4£ + 21.
Пример 3.
71 = 257 = 14-16.42 = 1О24-8 • 22.
р =1,«г = 15,у = 4,
р' = 1,г = 15,р = 15,
2= —7,В = — 8,7г" =257,
,/"257— /257-./"257 4-/257
2929К 2 Ч — |/2*
29
29
г = /т- + т1/2” + 1е+4’1’
Посмотрим теперь, на какие свойства целых чисел указывает решение двучленного уравнения с неопределенным показателем.
Разумеем под Ц [20] какое-нибудь целое число, положительное или отрицательное, не обращая внимания, как оно происходит.
Пусть в уравнении
cow = 14-jp Д
7i, р начальные, ю, Ц какие-нибудь целые числа. Возможность такого уравнения предполагает -~ (р — 1) тоже целое число. В этом уравнении все свойства целых чисел w необходимо должны быть те же, что и свойства корней о» в уравнении <0^ = 1, покуда те и другие единственно отсюда происходят, с той разницей однако ж, что нулю в отношении к корню уравнения ып = 1 будет отвечать остаток нуль от деления на р в отношении к корню уравнения со«=14-рД. Так мы видели, что если <0^=1, то
30 |{2[0, 2] +1}2 = 1г(—1)^(”-\
где выражение [0, 2] не заключает <0 = 1; а потому если в [0, 2] вместо со поставим целое число со, кроме со = 1, из уравнения cow = 1 -^рЦ, то должны получить
{2 [0, 2] +1 }2 = 1г (-1)^(”"4 + $Ц.
Это значит, что
П(—I)2
квадратный остаток при делителе р. Ставя, по примеру Г. Гаусса,. В, N между двумя числами, чтобы сказать, когда первое из них бывает или нет квадратным остатком второго [21], можем, следовательно, писать:
7i (—I)2 (” 1}Вр для р = 14- пЦ.
Здесь также и рВп, следовательно, это будет частный случай того закона взаимности (loi de reciprocite), которой для целых, чисел открыл первый Лежандр.
Присоединяя сюда весьма известное предложение, что —VBp и — 1 Np. смотря по тому — (р — 1) целое или нет, получим длят
р = 1 -j- нЦ
31 I31 I+ пЕр когда-\-uBp |— uNp J— п Ер 14-9г.Др J+ иВр+ пЕр когда-\-uBp |— uNp J— п Ер 14-9г.Др J+ иВр
31 I
31 I
+ пЕр когда
-\-uBp |
— uNp J
— п Ер 1
4-9г.Др J
+ иВр
+ пЕр когда
-\-uBp |
— uNp J
— п Ер 1
4-9г.Др J
+ иВр
р = 1-\-4Д, р = 3 + 4 Д,
р = 3 + 4Д, р=1+4Д
п = 1 + 4 Ц, га=1 + 4Д
7i = 3 + 4 Д,
91 = 3+4 Ц.
Из уравнения wre = 1 еще нашли для ^- (91 — 1) целого
2£2 = 7i(—l)4^ ^—р'ДЛй.
Итак, если ставим вместо Уи тот квадрат р.2, которого остаток га при делении на р, то
^—р’^Вр,
^^У-У^-^ ^p'}Rp,
где и=р^-\-^ и где р', q целые числа. Отсюда я не вижу, какое бы важное заключение можно было вывести для учения о начальных числах, а потому и опускаю подобное исследование для чисел п, когда ?1 — 1 делится на 8.
Окончу мое рассуждение тем замечанием, что начальное число аг, когда аг— 1 делится на 4, может быть составлено так:
7i=p2-|-4^2.
Когда аг начальное и п — 1 делится на 8, то п =р^ 4~16#2 = m2 -j- 8£2.
32 | К тому-^(р' — р) нечетное число. Здесь р^ q, т, t целые положительные числа,
р=р^—I)2,
р = т (—1)248.
ПРИМЕЧАНИЯ
И Справедливость этой формулы следует из того, что после раскрытия произведения [0, 2] • [1, 2] оно представится в виде суммы —5—— корней из единицы (в числе которых могут быть
и единицы). Правая же часть, L-\- АГ [О, 1], представится в виде суммы Ь-\-М^г—1) корней из единицы, если мы условимся преобразовывать выражение [0, 2] • [1, 2] при помощи уравнения
0)»=1,
но не при помощи уравнения
(ОП—1 _|_ 03^-2 _|_ е , . _|. <0 _|_ 1 = о.
В самом деле, выражение [0, 2] • [1, 2] после его раскрытия должно содержать одинаковое число раз каждый из первообразных корней из единицы. Единицы же содержатся в этом выражении только в том случае, если найдутся такие значки р.о, v0, что
o^.^zW т. е. fro-L/c^sO (modn).
(Нетрудно видеть, что это имеет место в том и только в том случае, если —А; есть квадратичный вычет по модулю п; но так как к есть первообразный корень, т. е. невычет, то —1 тоже должна быть невычетом, откуда следует, что 1г—3 делится на 4.)
Тогда, взяв любое |л, мы можем подобрать такое значение v (это будет v = v0 4~ Н — Р-о)» что
W -]- к1 + 2^ = О (mod п).
С другой стороны, каждому члену суммы [0, 2] соответствует не более одного члена суммы [1, 2], дающее в произведении с ним 1. Таким образом, 1 входит в выражение [0, 2] • [1, 2] или 0 раз, или ^^ раз, т. е. L=0 или Z/=^—Формула
1- \ 2
-у-)
п—1__ п—3
в первом случае дает М = —-—: во втором же случае АГ = —-—.
Но так как М должно быть целым числом, то первый случай имеет место, если п—1 делится на 4, а второй — если % — 3 делится на 4.
Это равенство есть простое следствие соотношения
1 —|— СО —|г~ О)2 —|— • . . 4" (0п“1 = 0.
Из равенств
[0, 2] + [1, 2]=—1, [0, 2] - [1, 2]=L + ^[0, 1^=Ь — М
мы заключаем, что [0, 2] и [1, 2] суть корни квадратного уравнения ^J^J^L — М) = 0,
t —1—4 (L-jf) _
откуда 5 =-—— . Но при —-— целом
1 — 4(L — М) = 1 + 4-^- = п,
•п — 3
а при —-— це юм
1 — 4 (L — К) = 1—4- ”~1 4-4- й~3 = —и, откуда во всех случаях
w—1
,(-1) 4
'2*
Определение знака, соответствующего [0, 2] или [1, 2], составляет задачу, решенную с большим трудом Гауссом1).
В каждой из систем (1) или (2) мы будем переходить от предыдущего равенства к последующему, если будем везде заменять <о на оА Равенство останется справедливым, так как подстановка (со со7*) входит в группу Галуа неприводимого уравнения, корнем которого является со.
Доказательство равенств (3) и (4) может быть проведено таким же образом, как в примечании р].
р] Ср. примечание [2]. Точно так же как там, мы можем доказать, что У = 0 или Л7 = —. В первом случае
!) Ом. Р. Bachmann—Die Leine von der Kreisteilung. Lpz., 1872, стр. 105—122.
Очевидно, что первый случай имеет место, если К 1 целое, а вто- %—5 рой — если— целое.
Последние соотношения получаются в силу очевидных равенств
[О, 2] = [О, 4]+ [2, 4], [1, 2] = [1, 4] + [3, 4].
Это следует из единственности разложения простых чисел вида 47с —{— 1 на сумму двух квадратов.
Последние две формулы проще всего получить, составив и пре- ооразовавши выражение для отношения —:
_ 1/"У^—Р' _ V" (У*—У) (/«+рЭ 2g
Ч V п + р'У п +р'У п -j- р' ’
откуда
$ Yn = — p^-V-2^.
Точно так же
g у% —pf у и —У
^ V" (К^+^О (К71 ~ ^Э 2$
откуда
7| Уп =р'т^ 2#$.
[п] Для этого достаточно вместо [0,4], [1,4], [2,4], [3,4] вставить их выражения из формул (7).
Эти равенства вытекают из
[0, 4] = [0, 8]-|-[4, 8], откуда
Д2 = {[0, 8] —[4, 8] }2 =
= { [0, 8] + [4, 8] }2 —4 [0, 8] [4, 8] = [0, 4]2 —4 [0, 8] [4, 8].
Аналогично получаются и остальные равенства.
Из формул [0, 8] -|- [4, 8] = [0, 4] получаем:
[0,8]=1 [0,4]+уХ, [4,8] =А [0,4]—уX
Далее, пользуясь формулами (7), имеем:
to, 8]=-|+4 г»+^ $+4^.
Аналогично:
p-8i=—£+т^-'
г<.81=-4+4'/-+4$-4;г'
4-4^"-4-4г-
Подставляя в правые части формул (10), мы придем к формулам (18). [14] Здесь еще надо принять во внимание, что
откуда £2+ ч2 — п*
В самом деле, вводя обозначение р=(— 1) 8 , мы в силу первой формулы (16) имеем равенство
^т = пр.
Подставляя его, а также п =р'2-|-4#2, во вторую формулу (22), получим:
4<^АВ + 4ар — ^р) =р' (А2 — В2 4™ 4а2 — 4t32 4-Ур)*(I)
Но так как pf и 4q взаимно просты, то отсюда следует, что АВ 4~ 4а^ — ^р делится на pf\
АВ + 4ар — ^р = p'z,где г— некоторое целое число. Подставляя в формулу (I), будем иметь:А2 В2 4^ 4:0(2 4^2 _|_ ,g/p _ 4д^
откуда вытекают формулы (23).
Здесь рассуждения Лобачевского явно недостаточны: во-первых, из того, что ("^2\ делится на г еще не следует, что -^ г делится па г';во-вторых, из последней формулы вытекает г" = 0, только в том -случае, если т’ >0, что Лобачевским не доказано.
Чтобы перейти к интересующему нас заключению z = 0, можно рассуждать так. Из приведенного несколько далее [между формулами (26) и (27)] равенства (ХГ — X' Т)2 + (XX + X' Г)2 = А (w _^ которое выведено независимо от настоящих рассуждений, мы заключаем, что - ^Г ^ 0. Для этого достаточно доказать, что XY'— X' Y и XY -^ХГТ' вещественны. Но это следует из выражения (21) для их суммы и разности.
В равенстве
Г —4Г l =1
правая часть не отрицательна, и если мы предположим г* < 0, толевая %—г2г ~
часть будет отрицательна; таким образом, г'^ 0,—г ^ 0. Отсюда г'<п; если г'< п, то г— число взаимно простое с и, так как ти
-^ z) делится на г .
Перепишем равенство (II) так:
Если z ф 0, то правая часть, будучи целым числом, не меньше п, а левая часть меньше ~ , что невозможно. Отсюда z = 0.
Делая предположеЕвие / = 0, мы из (П) получим z =0.
Приведем промежуточные выкладки:
(А!х2р1Г+2^/^+p.\2+g2_ /£±l2 _ eBV
\4/ ~\2/\2)
— з Ср' + р) ив + 4сф) =
/ о'2 — р2\2/ р' 4- р\3
= РР_ 12 _ Р XL х — 9В .
С 4 т /\ 2/
Но ^ ~ А Ц- 93= ” ~ ^~ == [см. первую формулу (30)] = 2#2.
Можно получить формулы (31) так. Из формулы
1682Z2 = 4^ — [2^а + (р' — р) р]2(Ш)
видно, что 2^а-|-(^/—Р)? Делится на 2/. Вводя обозначение 2^a-f- -j-(p/—р)р =2tu и подставляя в (Ш), мы получим первую и вторую формулы (31). Сопэставляя (Ш) с формулой
/ -L р\2
16o2Z2=4<4—М д'" A—gBj ,
получим четвертую формулу (31). Наконец, из формулы qA 4- "L В
следует третья формула (31).
Р9] Здесь рассуждения недостаточно ясны. Чтобы дополнить их, в зьмем первую формулу (30): % = р2+8£2. Еслп р + 0 и ^ + 0, то они взаимно просты, так как их общий делитель есть также делитель п и меньше п; но п простое число. Тогда из формул
(2а — В)£=2ро, (2р + A) t = ргь
следует, что 28 и и делятся на I. Но, в силу /2 = м2+-4о2, это возможно лишь или при и=0, или при 8 = 0.
Случаи р = 0 и t = 0 невозможны, так как в силу п = р2 + 8/2 в первом случае п было бы четным числом, а во втором —• точным квадратом.
Еслп 8 = 0, то Z2 = ад2 + 4о2 = w2, т. е. £ = Хи, Х= ± 1.
Это обозначение взято у Лежандра, который вместо буквы Ц («целый») употреблял букву Е (rentier»)). В эпоху Лобачевского это обозначение конкурировало с обозначением «сравнения» ( = ) Гаусса, которое в конце концов установилось.
Мысль Лобачевского, выраженная в этих строках, заключается в том, что если нам дано несколько уравнений такого рода, то в них мы не должны вводить для встречающихся там целых чисел различных обозначений вроде Дп Д2, . .., хотя бы эти числа были различны * Так, мы пишем:
10 = 1 + ЗД, 14 = 2-{- ЗД.
В связи с этим мы должны полагать не
р Д + рЦ = 2рЦ, рЦ —рЦ = 0, а
РЦ + рД=рЦ, рЦ —рЦ = рЦ.
Аналогично этому употребляется символ О (и), введенный Ландау» [21] Это обозначение Гаусса опять-таки не привилось, уступив место обозначениям Лежандра ( —)= + 1и( —) =—1. Соотношение
п(—1) 2 Rp следует по Лежандру записать так:
Редактор И. Н. Бронштейн»Техн, редактор С. Н. Ахламов.Подписано в печать 17/MI 1948 г.Тираж 5000 экз. 29,5 печатного листа + 8 вклеек.28,41 уч.-изд. листа. Заказ № 1207.А-01855.
Цена 17 руб., переплет 8 руб.
4-я типография им. Евг. Соколовойтреста «Полиграфкнига» ОГИЗапри Сдвете Министров СССР.
Ленинград, Измайловский пр., 29.
76. Под десятичными дробями можно понимать и целые числа,
к которым после запятой приставляются нули (ст. 71). Посе
му деление десятичных дробей на целые числа и обратно, также
30
28
20
14
60
56
~40
35
50
49
1
Здесь за шестью различными остатками, в том числе и делимое, 1, 3, 2, 6, 4, 5 выходит снова первый остаток 1; следовательно, в частном должны повторяться те же числа:
4=0,142857142857142...
a 2-^(a4-l)«83«3(а + 2)~®^*”
1) См. J. L. Lagrange — Oeuvres. Theorie des fonctions analytiques. Paris, 1797.
2, IV, стр. 1—331.
2) Описание и содержание «Дела» помещено ниже, в приложении —«Историкобиблиографические сведения о сочинении „Алгебра или вычисление конечных" »5 стр. 434 наст. тома.
Б) Стр. 92.
4 См. стр. 170 наст. тома.
^j См. стр. 178 —179.
2 ~ 1/ 4
водим: она помещена на стр. 356 наст. тома.
3) См. стр. 445 наст. тома.
5) См. стр, 445 наст. тома.