Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий задачник-практикум по алгебре предназначен для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов. Он написан в соответствии с учебным пособием Ф. Л. Варпаховского, А. С. Солодовникова, И. В. Стеллецкого, содержащим теоретический материал по второй части курса «Алгебра и теория чисел» (в тексте сокращенно «Алгебра»).
Каждый параграф задачника начинается, как правило, с достаточно подробного, сопровождаемого ссылками на соответствующий теоретический материал решения нескольких наиболее типичных для рассматриваемого раздела задач, после чего приводятся упражнения для самостоятельной работы студента-заочника.
Предполагается, что, прежде чем приступать к решению задач того или иного параграфа, следует предварительно повторить необходимый теоретический материал по указанному выше пособию.
В заключение отметим, что поскольку в соответствующем учебном пособии в отличие от программы все вопросы, относящиеся к теории групп, рассмотрены в одной главе (до изучения поля комплексных чисел), то и в задачнике-практикуме автор не счел возможным дробить упражнения по группам (и кольцам) на две части.
Глава IГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ
БИНАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Примеры
Покажем, что во множестве М невырожденных матриц и-го порядка (n ^ 1) матричное сложение не является бинарной операцией, а матричное умножение — бинарная операция.
Решение, а) Для доказательства первого утверждения достаточно привести пример двух таких невырожденных-матриц, сумма которых является вырожденной матрицей.
Возьмем, например, матрицы
л _ /2 3\ „ »_ / 2 —1\
А - (б —2/ и В~ (-5 2/
Поскольку
1Л I = I 1 _2,19¥=0 И ' = | —5 ~21 ~ —1 ^ °’
то матрицы АГ и В являются невырожденными. Сумма же их — матрица С = А + В уже не принадлежит множеству невырожденных матриц, поскольку
|С| = 0.
Пусть АиВ — любые невырожденные матрицы n-го порядка:
|Л|^0, |В|¥=0.(1)
Матрица А © В = С есть снова матрица n-го порядка. Нам остается лишь доказать, что матрица С является невырожденной.
Поскольку, как известно, определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц, т. е.
I С| = |Л 0 В| = |Л| • |Д|,
то с учетом (1) получаем, что |С| ^ 0. Итак, матрица С = А 0 В является невырожденной, т. е. является элементом того же множества, что и матрицы Л и 8. По определению бинарной операции умножение во множестве невырожденных матриц n-го порядка является бинарной операцией, а само множество невырожденных матриц с операцией умножения, т. е. <М; 0 >, является алгебраической системой.
Пусть К — множество {—1, 0, 1}. Покажем, что алгебраическая система <К; • > гомоморфна системе <Z; • >.
Решение. Рассмотрим отображение ф множества Z на множество Ki которое определим так:
Ф (а) = —1, если а-Е Z, а < О,
Ф(0) = О,
Ф (а) = 1, если а £ Z, а > 0.
Докажем, что отображение ф будет гомоморфным.
Пусть п wm — любые натуральные числа. В этом случае имеем:
Ф (п) — 1, ф (т) — 1, ф (—п) = —1, ф (—т) = —1.
Так как
п • т б Z+, п • (—/п) € Z“, (—n) • т £Z~, ^—п^ • (—/и) € Z+, и • 0 = (—п) • 0 = 0 • m = 0 • (—т) = 0, то имеем:
(1 = 1 • 1),(-1 = 1. (-1)), (-1 = (_1) . 1), (1 = (_1) . (_1)), (0=1- 0), (0 = 0. 1).(0 = (-1) . 0), (0 = 0- (-1)).(1 = 1 • 1),(-1 = 1. (-1)), (-1 = (_1) . 1), (1 = (_1) . (_1)), (0=1- 0), (0 = 0. 1).(0 = (-1) . 0), (0 = 0- (-1)).Ф (п • /п) = Ф (м) • Ф (т)
(1 = 1 • 1),
(-1 = 1. (-1)), (-1 = (_1) . 1), (1 = (_1) . (_1)), (0=1- 0), (0 = 0. 1).
(0 = (-1) . 0), (0 = 0- (-1)).
(1 = 1 • 1),
(-1 = 1. (-1)), (-1 = (_1) . 1), (1 = (_1) . (_1)), (0=1- 0), (0 = 0. 1).
(0 = (-1) . 0), (0 = 0- (-1)).
Ф (п • (—т)) = ф (п) • ф (—т)
Ф ((—п) • /п) = ф (—м) • ф (т)
Ф ((—«)•(—т))=ф (—м) • ф (—т)
Ф (п • 0) = ф (п) • ф (0)'
Ф (0 • т) = ф (0) • ф (т)
Ф ((—и) • 0) = ф (—п) • ф (0)
Ф (0 • (—т)) = ф (0) • ф (—т)
Написанные равенства означают, что
Ф (а • Ь) = ф (а) • ф (6)
для всех а £ Z, b £ Z, т. е. что отображение ф является гомоморфным. Значит, система <К; • > гомоморфна системе <1; • >.
Упражнения для самостоятельного решения
Какие из арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) являются бинарными операциями:
на множестве {1,0, —1};
на множестве N;
на множестве Z?
Является ли вычитание бинарной операцией на множестве
А = {_з, —2, —1, 0, 1, 2, 3)?
Является ли бинарной операцией:
умножение на множестве иррациональных чисел;
сложение на множестве четных чисел;
сложение на множестве нечетных чисел;
нахождение десятичных логарифмов на множестве R+;
нахождение среднего геометрического двух чисел на множестве R+;
нахождение наибольшего общего делителя на множестве N?
Является ли деление бинарной операцией на множестве:
a) Q; б) R; в) Q \ {0}; г) R \ {0}?
Является ли бинарной операцией матричное умножение на множестве:
матриц вида ^ ^j, где а — любое действительное число;
треугольных матриц третьего порядка, т. е. матриц вида
аи О 21 “з1аи О 21 “з10 0 \ Й22 0 I, Й32 ^33/
аи О 21 “з1
аи О 21 “з1
где «у — любые действительные числа?
Является ли бинарной операцией действие, выполняемое по правилу а°Ь = а2 — 2аЬ + 62, на множестве:
a) N; б) Z?
Являются ли действия, выполняемые по формулам:
а ° b = (а + Ь)2;
« ct b
a=b= ——
2
B)Oob= 2КНШ(Н1
’2
бинарными операциями на множестве Q, и если являются, то почему?
Являются ли действия, о которых идет речь в упражнении 9, бинарными операциями на множестве N?
Является ли алгебраической системой множество чисел вида а + 6 Кб, а, b ^Т, относительно: а) сложения; б) вычитания; в) умножения?
Является ли алгебраической системой множество радиусов- векторов, исходящих из начала декартовой системы координат и расположенных в первой четверти координатной плоскости, с операцией: а) сложения векторов; б) вычитания векторов?
Является ли алгебраической системой декартов квадрат R2 множества R с операцией сложения (а; 6) + (с; d) = = (tz,-|- с; b -j- d)?
Является ли алгебраической системой множество матриц вида ^ ^> где а € R, относительно матричного умножения?
Даны две алгебраические системы: множество N с операцией умножения и множество М = {0, 1} также с операцией умножения. Докажите, то отображение <р, ставящее каждому натуральному числу п Ф 1 в соответствие число 0 € М, а числу п = 1 — число 1 6 М, является гомоморфизмом.
Даны две алгебраические системы: множество М вещественных матриц данного порядка п с операцией матричного умножения © и множество R с операцией обычного умножения. Являются ли гомоморфизмами следующие отображения системы <М; © > на систему <R; • >:
отображение <рь такое, что <рх (Л) = |Л |;
отображение ф2» такое, что ф2 (Л) = аи,
где | Л|—определитель матрицы Л € М, ап— элемент первой строки и первого столбца матрицы Л?
Даны три алгебраические системы: множество N с операцией сложения, множество Мг = {х |х = 2^, к £,N} также с операцией сложения и множество Мг=^х |х=2£ + 1, HN)c операцией умножения. Выясните, какие из этих систем изоморфны между собой.
Докажите, что множество R+ с операцией сложения и множество R" с операцией сложения являются изоморфными алгебраическими системами.
Докажите, что алгебраические системы — множество М /1 у\
матриц вида I * * I, где х € R, с матричным умножением и множество R с обычным сложением — изоморфны между собой.
Докажите, что всякое множество с бинарной операцией изоморфно само себе.
Пусть на каждом из множеств Мг и М» определена бинарная операция. Докажите, что если Мг изоморфно М», то и М3 изоморфно Mv
Докажите, что если на каждом из множеств Мъ М3 и М3 определена бинарная операция и при этом Л1Х изоморфно М3, а Мг изоморфно Af3, то Afi изоморфно М3.
Какое заключение можно вывести из примеров 20, 21 и 22?
Докажите, что алгебраические системы — множество N с операцией сложения, множество М отрицательных четных чисел также с операцией сложения и множество S = {2, 2, ..., 2", ...} с операцией умножения — изоморфны между собой.
§ 2. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАЦИЙ. НЕЙТРАЛЬНЫЕ И ОБРАТНЫЕЭЛЕМЕНТЫ. ОБРАТИМЫЕ ОПЕРАЦИИ
Решение Пусть а, Ь, с — любые действительные числа. В силу коммутативности сложения на R получим:
« CL 4“ b Ь 4“ ct #а о b = —— = —— = boa.
2
т. е. бинарная операция нахождения среднего арифметического на R коммутативна.
Далее,
а + 6 4- с
* lx2а 4* b 4“ 2с/1 \
(а ° Ь) о с =— = т J(1)
И
а I Уи£\2 2а 4~ b 4~ с
а о (6 о с) = —= —■ (2)
Из результатов (1) и (2) следует, что при а^ с равенство (а ° Ь) о с = а ° ф ° с) не является справедливым Следовательно, заданная операция не ассоциативна на R. В силу вышедоказанного R не является полугруппой относительно бинарной операции нахождения среднего арифметического.
Упражнения для самостоятельного решения
Являются ли коммутативными и ассоциативными на множестве Z бинарные операции сложения, умножения и вычитания?
Являются ли коммутативными и ассоциативными на множестве Q \ {0} бинарные операции умножения и деления?
Какие из нижеприведенных бинарных операций:
а ° b = abt,
а ° Ь = с, где с — наибольший общий делитель чисел а и Ь;
а ° Ь = т, где т — наименьшее общее кратное чисел а и Ь, коммутативны и какие ассоциативны на множестве N?
Докажите, что на множестве R+ бинарная операция а ° & = — Va-b нахождения среднего геометрического коммутативна, но не ассоциативна.
Почему действие, выполняемое по правилу а о Ь = а2 — Ь\ не является бинарной операцией на множестве N и является таковой на множестве Z? Выясните, коммутативна ли указанная операция на Z; покажите также, что она не является ассоциативной на этом множестве.
Покажите, что действие, выполняемое по правилу а » 6 =а = а2 + Ь1, является коммутативной, но не ассоциативной бинарной операцией на множестве R.
Покажите, что бинарная операция матричного умножения О на множестве М матриц вида Н “У где а € R, коммутативна и
ассоциативна. Является ли алгебраическая система <М; © > полугруппой?
Покажите, что на некотором множестве бинарная операция, заданная формулой а ° b — Ь, некоммутативна, но ассоциативна.
Является ли множество Z полугруппой относительно: а) сложения; б) вычитания?
Является ли множество N полугруппой относительно операции нахождения наибольшего общего делителя?
Покажите, что множество {1, 0, —1} образует полугруппу относительно обычной операции умножения.
Покажите, что множество четырехмерных арифметических векторов вида (а, Ь, Ь, 0), где а, 6 € N, образует полугруппу относительно операции сложения арифметических векторов.
Пусть / — множество, состоящее из всех подмножеств данного множества М Покажите, что / образует полугруппу относительно операции пересечения.
Почему множество R не является полугруппой относительно действия, выполняемого по правилу а ° b = а4 + Ь4 для любых а, b € R?
2. Нейтральные и обратные элементы. Обратимые операции
Примеры
Докажем, что во множестве К, содержащем не менее двух элементов, на котором формулой а о b = b задана бинарная операция, не существует нейтрального элемента.
Решение. Допустим, что в К существует нейтральный элемент е, и пусть а — любой элемент из К. По определению нейтрального элемента а ° е = а, а из условия примера следует, что а ° е = = е, т. е. а = е. Это означает, что К состоит из одного элемента. Полученный результат противоречит условию, а потому сделанное допущение ошибочно.
Докажем, что на множестве М матриц вида ^ *j, где х — любое действительное число, бинарная операция матричного умножения обратима.
Решение. Известно, что на множестве квадратных матриц одного и того же порядка операция матричного умножения ассоциативна. Следовательно, рассматриваемая операция ассоциативна на множеств,е М.
Пусть А = ^ “) — любая матрица из М. По правилу умножения матриц получим:
Л а\ /1 0\ = /> 0\ /1 а\_(1а\.
к0 1/ ^0 1) |Д 1J W V “ \0 V ’
и потому матрица (q ^ € ^ есть нейтральный элемент. Итак, М обладаёт нейтральным элементом.и потому матрица (q ^ € ^ есть нейтральный элемент. Итак, М обладаёт нейтральным элементом.Так как |Л| =Так как |Л| =1 аО 11 аО 1— 1^0, то матрица Л— 1^0, то матрица Лявля-явля-
и потому матрица (q ^ € ^ есть нейтральный элемент. Итак, М обладаёт нейтральным элементом.
и потому матрица (q ^ € ^ есть нейтральный элемент. Итак, М обладаёт нейтральным элементом.
Так как |Л| =
Так как |Л| =
1 а
О 1
1 а
О 1
— 1^0, то матрица Л
— 1^0, то матрица Л
явля-
явля-
дем, что Л-1 = / *°дем, что Л-1 = / *°€ R, а потому А 1 £ М.€ R, а потому А 1 £ М.ется невырожденной, и, следовательно, она имеет обратную матрицу. Применяя один из способов нахождения обратных матриц, най-
дем, что Л-1 = / *°
дем, что Л-1 = / *°
€ R, а потому А 1 £ М.
€ R, а потому А 1 £ М.
Итак, для любого элемента из М во множестве М существует обратный элемент.
Полученные результаты позволяют сделать вывод (см. «Алгебра», с. 15), что операция матричного умножения обратима на множестве М.
Упражнения для самостоятельного решения
Обладает ли множество чисел вида а + 6 Кб, где а и & — любые целые числа, нейтральным элементом относительно обычного умножения? Проверьте, имеются ли в' данной алгебраической системе обратные элементы для элементов 2 + Кб и 5 — 2 Кб. Обратима ли на данном множестве операция умножения’
Докажите, что бинарная операция матричного умножения на множестве матриц вида ^ 0), где а — любое не равное нулю действительное число, обратима. Найдите обратные элементы
/1 л\
9 А'
О —2
\ з/
Докажите, что относительно бинарной операции а ° b = = ^У множество R не содержит нейтрального элемента. Является ли данная операция обратимой на множестве R?
Обладает ли множество N правым нейтральным; левым нейтральным; нейтральным элементом относительно бинарной операции, выполняемой по правилу а о Ь — а6? Обратима ли данная операция на множестве N?
Докажите, что относительно обычного умножения множество А = (х|х = 3^, к £ Z} не содержит нейтрального элемента. Обратима ли операция умножения на множестве Л?
Обратимы ли операции, о которых идет речь в упражнениях 6 и 7, на указанных там множествах?
Докажите, что относительно бинарной операции, выполняемой по правилу а о b = Ка • Ь, множество R+ не обладает нейтральным элементом. Обратима ли эта операция на множестве R+?
Пусть / — множество подмножеств некоторого непустого множества М- Существует ли в / нейтральный элемент (если суще-
ствует, то какой) относительно операции объединения подмножеств на /; пересечения подмножеств? Какие элементы из множества / имеют обратные? Обратимы ли указанные операции на множестве /?
Докажите, что на множестве Z действие, выполняемое по правилу а ° ^ = | ^ о |> является бинарной, коммутативной, ассоциативной, но необратимой операцией. Обладает ли алгебраическая система <Z; о> нейтральным элементом, и если обладает, то каким именно?
Докажите, что на множестве Q действие, выполняемое по правилу а о 6 = ^А является бинарной операцией, которая коммутативна, ассоциативна, но не обратима. Каким нейтральным элементом обладает алгебраическая система <Q; ° >? Для элемента а = 8 найдите обратный.
3. ГРУППЫ
Основные определения
Примеры
Докажем, что множество М невырожденных матриц порядка п составляет группу относительно матричного умножения.
Доказательство. На множестве М матричное умножение является бинарной (см. пример 1 из § 1) операцией, которая, как известно из теории матриц, ассоциативна.
Множество М содержит единичную матрицу
(
1 0 0 ... О
О 1 0 ... О
О 0 1 ... О
ООО* ’ *1
являющуюся невырожденной, поскольку | £ | = 1^0.
Кроме того, для любой матрицы А порядка п имеем А © Е = = Е © А = А. Следовательно, Е — нейтральный элемент в множестве М, т. е. система <М; © > обладает нейтральным элементом.
Из теории матриц известно, что всякая невырожденная матрица А имеет обратную матрицу А-1, т. е. такую, что А © А~1 = А-1 © © А — Е. При этом матрица А-1 является невырожденной. Действительно, по теореме об определителе произведения матрйц имеем |Л© л-11 = |Л| • |Л-1|, т. е. |£| = |Л| * |Л-1|.Из последнего равенства и из того, что |£| =/= 0, ]Л | ^ 0, следует, что |Л—11 + 0.
Итак, операция 0 на множестве М ассоциативна, обладает нейтральным элементом и для каждого элемента А £ М существует обратный элемент Л-1 С М. Следовательно, алгебраическая систеМа <М‘, © > является группой. Эта группа не коммутативна,
так как умножение квадратных матриц порядка п, в том числе и невырожденных, не обладает свойством коммутативности.
Докажем, что множество Z образует группу относительно действия, .заданного формулой
а 0 ^ _ (а + Ь, если а — четное число, b — любое целое число, [а — Ь, если а — нечетное число, b — любое целое число.
Доказательство. 1. Рассматриваемое на Z действие сводится к сложению или вычитанию целых чисел, а поскольку как сложение, так и вычитание элементов из Z дает в результате элемент из Z, то на множестве Z рассматриваемое действие я-вляется бинарной операцией.
Проанализируем возможные случаи
а) Если а, b — четные числа, ас — любое число из Z, то а ° ф ° с) = а + ф + с),
(а о Ь) о с = (а + Ь) + с = а + (Ь + с),
т. е. а о (6 о с) = (а о 6) о с.
Если а — четное число, b — нечетное, ас — любое число из Z, то
а о (6 о с) = а + (6 — с),
(а ° Ь) о с = (а + Ь) — с = а 4- ф — с), т. е. а ° ф ° с) = ф ° Ь) ° с.
Если а — нечетное число, b — четное число, ас — любое число из Z, то а — b нечетно и потому
а ° ф о с) = а — ф + с) = (а — 6) — с, ф ° Ь) о с = ф — 6) — с,
е. а ° ф ° с) = ф ° Ь) ° с.
г) Если а, b — нечетные числа, ас — любое число из Z, то а — b четно и потому
а ° ф о с) = а — ф — с) = ф — Ь) + с, ф ° Ь) ° с = ф — &) + с,
е. а ° ф о с) = ф о Ь) ° с.
Итак, во всех возможных случаях заданная на Z бинарная операция является ассоциативной.
Так как 0 — четное число, то 0оа = 0-\-а = а. Кроме того, если а четно, то ct°0 = a + 0 = а; если же а нечетно, то Оо0 = а — 0 = а. Итак, 0 » а = й » 0 = а, т. е. О является в Z нейтральным элементом относительно заданной операции
Для любого элемента а £ Z в Z существует обратный элемент: для четного в обратным будет противоположное число —а, так как а ° (—а) = а + (—а) = 0; для нечетного а обратным будет само число а, так как а ° а = а — а = 0.
Итак, Z является группой относительно заданной операции.
Однако эта группа не является абелевой, поскольку 4°5 = 4 + + 5 = 9, ’5 а 4 = 5 — 4 = 1, т. е. 4 ° 5 =/= 5 ° 4.
Пусть G — совокупность всех преобразований множества R, задаваемых формулами f ф) = jc + а, где а £ R. Докажите, что G
есть группа относительно операции умножения преобразований. Укажите нейтральный элемент этой группы и для каждого элемента найдите обратный.
Доказательство. 1. Прежде всего необходимо проверить, что если f € G и h € G, то fh 5 G, т. е. что умножение преобразований есть бинарная операция на G.
По определению операции умножения преобразований имеем:
(fft)(x) =Л(Ж)-
Обозначим преобразование х -> х + а множества R через. fo. Тогда
Ш W = fb М) = fb(x + a)=x + a+ b = fwb (х),
т. е.
fafb = fa-vb"
Этим доказано, что fjb 6 G.
Операция умножения преобразований ассоциативна (см. «Алгебра», с. 18—19).
Тождественное преобразование, играющее роль нейтрального элемента для операции умножения преобразований, принадлежит G. Таким преобразованием является f0, Так как f0 (х) = х для Vx € R. Оно принадлежит G.
Преобразование, обратное любому преобразованию fa из G, которое играет роль обратного элемента для faj снова принадлежит G. Таким преобразованием, обратным для fa, являемся х -> х— — а. Это преобразование f_a ^G.
Итак, G есть группа.
Упражнения для самостоятельного решения
Выясните, какие из нижеприведенных множеств являются группами относительно нижеуказанных операций:
множество Z относительно вычитания;
множество четных чисел относительно умножение;
множество целых чисел, кратных любому заданному натуральному числу п, относительно сложения;
множество Q+ относительно умножения;
множество Q относительно умножения;
множество Q \ {0} относительно умножения;
множество R \ {0} относительно умножения;
множество квадратных матриц ге-го порядка относительно сложения, умножения;
множество матриц n-го порядка с определителем, равным'1, относительно умножения матриц, сложения;,
множество решений любой заданной системы линейных- однородных уравнений относительно сложения;
множество трехмерных (n-мерных) арифметических векторов относительно сложения;
м) множество чисел вида а + 6 у2 относительно сложения, если а и b — любые рациональные числа;
н) множество параллельных переносов в плоскости относительно операции их последовательного выполнения;
множество многочленов одной и той же степени п от одного аргумента относительно сложения;
множество многочленов степени не выше и относительно сложения;
множество многочленов от одного аргумента относительно сложения;
множество матриц вида ^ 0), где а £ R, относительно сложения матриц;
множество матриц вида ^ ^, где а € R, а ф 0, относительно умножения матриц.
Выясните, является Ли группой множество матриц вида ^ ^ , где а и b — любые, не равные одновременно нулю действительные числа, относительно матричного умножения.
Докажите, что множество матриц вида ^ ^, где а, b — действительные, отличные от нуля числа, составляет группу относительно матричного умножения.
Докажите, что множество матриц вида ^^ ^ , где а, b — любые, не равные одновременно нулю действительные числа, образует группу относительно матричного умножения.
Докажите, что множество матриц, вида /аи 0 0 \
I «21 «22 О I, где ац =# 0 (i = 1, 2, 3), является группой отно- \а31 «зг «зз/ сительно матричного умножения.
Составьте таблицу умножения элементов симметрической группы S3 подстановок 3-й степени, обозначив элементы этой группы буквами. По таблице найдите взаимно обратные элементы этой группы и докажите, что рассматриваемая группа не является коммутативной.
Для множества Ог = {р0, Ръ Ри Рз}| состоящего из подстановок о = Г* 2 3 D = 1 2 3 4\D = /1 2 3 4\
новок р0 ^23 4^(^2 3 4 1/’\3 4 1 2/’
Рз = (4 J 2 з)’ составьте таблицу умножения и с ее помощью убедитесь, что Gx — абелева группа.
Примечание Отметим, что подстановку вида
f®1 ^2^ К1 п2' ‘^^ V 8Л называют ^-членным циклом и кратко за»
\«2 «3 ^к ai Pi Ра— Р/г—А Л'
писывают так: (ах а2 а3...а#).
Запись цикла можно начинать с любого действительно перемещаемого символ^ например:
(з 1 2 4 б) = <1 3 2) = <3 2 ^ = <2 1 3>-
Два цикла (а^ а2... ай) и (Pi P«...Pz) называют независимыми, если множества {<4, а2,..., ай} и {pn р2,..., Р/} не пересекаются. Двучленный цикл называют транспозицией. Так, (з254^) = ^ 3 5) является трехчленным циклом, а подстановка ( { з 2 4 ) = (2 3)*ЛвУчленным Циклом, или транспозицией Каждую подстановку можно представить в виде произведения независимых циклов, например: ( 2 3 1 5 6 8 7 <) =2 3) • (4 5 6 8)
Каждый цикл (а следовательно, и каждую подстановку) можно разложить в произведение транспозиций:
(«! а2 а3 ..aft_i ай) = (ах а2) • (а, Оз) • ... • (^ а^ • (ах ай).
Четная подстановка может быть разложена в произведение только четного числа транспозиций, а нечетная — в произведение только нечетного числа транспозиций.
Докажите, что:
при умножении двух подстановок одинаковой четности получается четная подстановка, а при умножении двух подстановок разной четности — нечетная подстановка;
подстановки а и а-1 имеют одинаковую четность, где а — произвольная подстановка;
множество четных подстановок n-й степени образует группу относительно операции умножения подстановок.
Примечание Группа всех четных'подстановок n-й степени называется знакопеременной группой n-й степени и обозначается Ап.
Дано множество М = {a0, а15 а2} поворотов (вращений) правильного треугольника в плоскости этого треугольника вокруг его центра против часовой стрелки соответственно на углы 0°, 120°, 240°. Эти повороты совмещают треугольник с самим собой. Последовательное выполнение двух любых таких поворотов называется произведением (композицией) этих двух поворотов. Докажите, что М является группой относительно введенной в М операции.
Примечание. Эта группа называется группой поворотов треугольника.
Любое преобразование некоторой фигуры в себя, сохраняющее расстояния между се точками, называется самосовмеи^ением данной фигуры Следовательно, повороты а0, av a2 являются также и самосовмещенйями правильного треугольника
Кроме поворотов, у правильного треугольника имеется еще 3 самосовмеще- ния, а именно отражения а3, а4, а& этого треугольника относительно его осей 1г, 1г, 13 симметрии (рис. 1). Каждое из шести преобразований, переводящих треугольник АВС в себя, можно записать в виде подстановки. Например,
а _ (А В С\ П _ (А В С\
(в С А ’ 3 (л С В Г
где в верхней строке указаны вершины треугольника, а нижняя строка показывает, во что каждая из них переходит. Пользуясь правилом умножения подстановок, составьте таблицу умножения для всех самосовмещений правильного треугольника и по таблице убедитесь в том, что они составляют группу.
Пусть F — некоторая фигура на плоскости. Докажите, что множество самосовмещений фигуры F является группой относительно операции умножения преобразований.
Найдите группу всех самосовмещений прямоугольника ABCD, не являющегося квадратом.
Найдите группу всех самосовмещений ромба, не являющегося квадратом.
Найдите группу всех самосовмещений квадрата.
Выясните, коммутативна ли:
группа поворотов правильного треугольника;
группа самосовмещений правильного треугольника;
группа самосовмещений прямоугольника;
группа самосовмещений ромба.
Найдите группу поворотов правильного п-угольника.
На множестве Q \ {0} определено действие а о Ь = —^»
Докажите, что относительно указанного действия данное множество является группой.
Пусть G — множество всевозможных троек чисел вида (Лх; &2; 1) и fo; к2, —1) и пусть на G определено действие, выполняемое по правилу
(къ кг’, е) о (1^, 12- 6) = (кг 4- If, ka + la; ест).
Докажите, что относительно указанного действия G является группой.
Пусть а • а = е для любого элемента а мультипликативной группы G. Докажите, что группа G является абелевой.
Докажите, что множество А заданных на R преобразований вида f (х) = ах, где а € R, а =А 0, является группой относительно операции умножения преобразований. Для преобразований ^ (х)= = 2х, f2 (х)= —2х, /3 (х) = ^-х найдите обратные преобразования.
Покажите, что каждое из нижеприведенных множеств вещественных функций от одного аргумента, заданных на R, является полугруппой относительно операции умножения преобразований множества R:
множество многочленов;
множество многочленов первой степени;
множество многочленов четной степени;
множество многочленов нечетной степени;
множество функций вида х”, где п — любое натуральное число.
Какие из нижеприведенных множеств вещественных функ-
ций, заданных на R, образуют полугруппы относительно умножения преобразований:
множество функций, принимающих значение нуль при х = Г,
множество четных функций;
множество нечетных функций;
множество ограниченных функций^*
Пусть М — множество точек плоскости. Выясните, какие из нижеприведенных множеств преобразований множества М являются группами преобразований:
множество осевых симметрий плоскости;
множество поворотов плоскости вокруг данной точки, вокруг всевозможных ее точек.
2. Изоморфизм групп
Примеры
Докажем, что группа М поворотов .правильного треугольника (см. упр. 12 § 3) изоморфна знакопеременной группе Л3 третьей степени (см. упр. 11 в) § 3).
Решение. Имеем М = (а0, «1, а2), где а0; аг, аг — повороты правильного треугольника вокруг его центра соответственно на углы 0°, 120°, 240°. С другой стороны,
Л = (с с с У гле s =/* 2 3'1 с = /1 2 3\ с = /1 2 3\.
(s0, Si, s2), где s0 2 3j, $i 3 ^, s2
Рассмотрим таблицы умножения для групп М и Л8:
Таблица 1
$0
Таблица 2
1
-1 а» 1
1 «1
«2
So
«0
«0
*1
а2
s0
Si
S2
О1
«1
О2
а0
«1
Si
s2
So
«2
а2
«0
«1
S2
S2
So
Si
Таблицы 1 и 2 показывают, что искомым изоморфизмом группы М на группу Л8 будет следующее взаимно однозначное отображение ф:
^0 Sq, ах —>* Sj, б?2 ^ Sg.
Действительно, таблицы и вышеуказанное правило отображения М на Л3 позволяют утверждать: если а^ = ак, то s^ = sk, следовательно,
Ф (а^у) = ф (aft) = sA = s^ = ф (а,) ф (а,).
Итак, группа М отображена на группу А3 взаимно однозначно и с сохранением операции, т. е. изоморфно. Следовательно, группа М изоморфна группе Д3.
Упражнения для самостоятельного решения
Докажите, что аддитивная группа Z, аддитивная группа четных чисел и мультипликативная группа целых степеней числа 2 изоморфны между собой.
Докажите, что аддитивная группа R изоморфна группе матриц вида ^ ®), где а € R, относительно матричного сложения.
Докажите, что множество двумерных арифметических векторов (а, 6) и множество Матриц вида (® ^, где a, b € R, являются изоморфными группами относительных операций сложения в этих множествах.
Выясните, изоморфна ли группа Q+ по умножению группе Q по сложению.
Указание. Предположим, что существует изоморфное отображение <р: Q+ -> Q. Пусть ф (1) = а. Тогда ф (п) = ап при любом
натуральном п (тем самым а 1) и ф pj = а", Значит, число а € Q должно быть таким, что ^К€ Q при любом натуральном п. Покажите, что такого числа а ^ 1 не существует.
Выясните, изоморфна ли группа всех самосовмещений ромба (см. упр. 16 § 3) группе всех самосовмещений прямоугольника (см. упр. 15 § 3).
ПОДГРУППЫ
Примеры
Докажем, что множество А целых чисел, кратных трем», есть подгруппа аддитивной группы Z.
Решение. Имеем:
А = {х|х = Зк, к € Z}, А с Z.(1)
Пусть хъ х2 — любые элементы из А, т. е. хх = Зкх, х2 = = ЗА2, къ к3 € Z. Так как Z есть аддитивная группа, то kx-V к3 £ 6 Z и потому
хх -ф- х2 “ Зкх —|- 3^2 = 5 <кх -{- к^ £ А.(2)
Пусть х = Зк есть любой элемент из А, следовательно, к € Z; тогда и —к 5 Z, а потому
= —Зк = 3 • (—Л) € А.-(3)
Из (1), (2), (3) следует, что А есть подгруппа аддитивной груП' пы Z.
Докажем, что множество М матриц вида (q ®j, где а С R и й _^ 0, есть подгруппа мультипликативной группы G всех невырожденных матриц 2-го порядка.
Решение. 1) Пусть Л = ^ ^ — любая матрица из М, следовательно, а ф 0. Но тогда |Л | = а4 Ф 0, а потому Л является невырожденной матрицей Итак, М с G.
Пусть Л = jg ^|, В = (q ^ — любые матрицы из М, а ф 0, b N= 0, тогда ab ф О, АВ = [^ ^ , т. е. АВ ^ М.
/1 о\
Пусть А = ^ ®j. Тогда А-1= - ^ ^ = I ° И, при этом X а/
— ^ 0, а потому Л-1 £М. а
/1 2 3 4 5) (,2 3 5 1 4//1 2 3 4 5) (,2 3 5 1 4/Из 1), 2), 3) следует, что М есть подгруппа группы G.
/1 2 3 4 5) (,2 3 5 1 4/
/1 2 3 4 5) (,2 3 5 1 4/
3. Выясним, принадлежит ли элемент а =
знакопеременной группе Л5 пятой степени. Какой порядок имеет этот элемент и какую циклическую подгруппу группы Л5 он порождает’ Чему равен элемент, обратный элементу а?
Решение. 1) Запишем подстановку а в виде цикла и разложим ее в произведение подстановок — транспозиций: (1 2 3 5 4) = (1 2) • (13)» (1 5) • (1 4). Число транспозиций в разложении оказалось четным, следовательно, подстановка а четная, т. е й € А5.
Имеем:
а° = е, а 1 = а, а4 =_ /12 3 4" 1,3 5 4 2а° = е, а 1 = а, а4 =_ /12 3 4" 1,3 5 4 21 2 3 4 5) /1 2 3 4 52 3 5 1 4/ (,2 3 5 1 4 ^ =(1 3 4 2 5),1 2 3 4 5) /1 2 3 4 52 3 5 1 4/ (,2 3 5 1 4 ^ =(1 3 4 2 5),
а° = е, а 1 = а, а4 =
_ /12 3 4
" 1,3 5 4 2
а° = е, а 1 = а, а4 =
_ /12 3 4
" 1,3 5 4 2
1 2 3 4 5) /1 2 3 4 5
2 3 5 1 4/ (,2 3 5 1 4 ^ =(1 3 4 2 5),
1 2 3 4 5) /1 2 3 4 5
2 3 5 1 4/ (,2 3 5 1 4 ^ =(1 3 4 2 5),
а8 =а 2 -а = /1 2 3 4 5) /1 2 3 4 5) _ /1 2 3 4 5) =
(,3 5 4 2 1/ (,2 3 5 1 4/ ~\5 4 1 3 2/
= (1 5 2 4 3),
а4 =а 22/1 2 3 4 5) /1 2 3 4 5) _ /1 2 3 4 5) =
(,3 5 4 2 1/ 1,3 5 4 2 1)(,4 1 2 5 3/
= (1 4 5 3 2),
а6 = а4 , а = /1 2 3 4 5) /1 2 3 4 5\/1 2 3 4 5) = .
(,4 1 2 5 3/ 1,2 3 5 1 4/1,1 2 3 4 5/1
Итак, порядок элемента а равен 5. Подгруппа, порожденная а, °Удет иметь следующий вид:
(a) = {e = a0, a, a8, a8, a4} = {(1), (1 2 3 4 5), (1 3 4 2 5), (1 5 2 4 3), (1 4 5 3 2)}.
Так как a5 = a, to a-1 = a5-1 = a4' = (1 4 5 3 2).
Выпишите все элементы знакопеременной группы Л4 четвертой степени. Выясните, является ли множество подстановок четвертой степени
К = (е = (1), a = (1 2) • (3 4), b = (1 3) • (2 4), с = (1 4).(2 3)} подгруппой этой группы.
Решение. 1) Все 4! = 24 перестановки из четырех символов 1, 2, 3, 4 расположим в таком порядке, чтобы каждая последующая перестановка получалась от предыдущей с помощью одной транспозиции (перемены мест двух символов).
Начнем с перестановки 1, 2, 3, 4. Итак, 1234-> 1243->■ 1342 —> -> 1324 -> 1423 -> 1432->"243Г=>~2413-> 2~314~-> 2341 -> 2~143->- ->2134 -> 3124 -> 3142-> 3241-> 3214-> 3412-> 3421-> 4321-> -> 4312 -> 4213 -> 4231 -> 4132-> 4123.
Так как всякая транспозиция меняет, четность перестановки, то в полученном ряду все перестановки, взятые через одну, являются четными (они подчеркнуты).
Теперь уже легко составить все искомые четные подстановки — достаточно в каждой из них в качестве первой строки записать перестановку 1234, а в качестве второй строки — одну из найденных четных перестановок. Итак,
//1234) /1234) /1234) /1234Х /1234) /1234Х /1234) ((1234/, (1342/, (1423/, (2431^, (2314^, (2143Д (3124/, 1234) /1234Х /1234) /1234) /1234) 1
3241/, (3412/, (4321/, (4213^, (4132/ J
или, разлагая каждую подстановку в произведение независимых циклов, получим:
2) Сравнивая группу Л4 с множеством V, видим, что V является2) Сравнивая группу Л4 с множеством V, видим, что V являетсяд = {е = (1), (234), (243), (124), (123), (12) • (34) = а,(132), (134), (13) • (24) = Ь, (14) • (23) = с, (143), (142)}.
2) Сравнивая группу Л4 с множеством V, видим, что V является
2) Сравнивая группу Л4 с множеством V, видим, что V является
подмножеством группы Л4.
е 1
1 а
6 1
с
е
е
а
ь
с
а
а
е
с
b
b
b
с
е
а
с
с
b
а
е
Таблица 3Таблица 3Применяя правило умножения подстановок, получим таблицу умножения для V (таблица 3).
Таблица 3
Таблица 3
Как видно из таблицы, умножение в V является бинарной операцией, а обратными элементами для элементов множества V являются снова элементы из V. Поэтому V есть подгруппа группы Л4, называемая группой Клейна.
Упражнения для самостоятельного решения
Докажите, что множество четных чисел является подгруппой аддитивной группы Z целых чисел. Является ли множество нечетных чисел подгруппой группы Z?
Пусть п — заданное натуральное число. Показать, что множество целых чисел, кратных л, является подгруппой аддитивной группы Z.
Покажите, что любая подгруппа аддитивной группы Z состоит из всех чисел, кратных некоторому натуральному числу л.
Докажите, что множество целых степеней числа 3 является подгруппой мультипликативной группы Q \ {0}. Запишите эту подгруппу символически. Является ли она циклической? Каков порядок элемента, порождающего эту подгруппу?
Найдите порядки элементов /10\/1 1\/ 0 1\
10 —V, 10 1/, 1—1 о/ мультипликативной группы невырожденных матриц второго порядка.
Приведите примеры нескольких подгрупп (не циклических) мультипликативной группы невырожденных квадратных матриц второго порядка.
Найдите порядок каждого элемента симметрической группы S3 третьей степени, а затем выясните, какие циклические подгруппы S3 они порождают. Сколько всего различных подгрупп имеет группа S3? Является ли А3 циклической подгруппой группы S3? Каковы ее образующие? (Л3 — знакопеременная группа третьей степени.)
Найдите порядки всех элементов:
а)' в группе самосовмещений ромба (упр. 16 § 3);
в группе самосовмещений правильного треугольника (упр. 13 § 3).
Являются ли эти группы циклическими? А группа поворотов треугольника?"
Пусть Z„ = (0, 1, 2п — 1} — множество всевозможных остатков, получаемых при делении целых чисел на п. Зададим на множестве Z„ следующую бинарную операцию ф (сложение по модулю л): будем складывать данные остатки как обычно, а за результат принимать остаток от деления полученного числа на п (так, например, сложение ф по модулю 4 дает 2 ф 1 = 3, 2 ф 2 = 0, 2 ф 3 = 1, 3 ф 3 = 2 и т. д.). Докажите, что система <Z„; ф> образует группу, причем эта группа циклическая порядка л. Напишите таблицу сложения для группы Z6.
Примечание. Группа Z„ называется группой остатков по модулю п или группой вычетов по модулю п.
Представьте в виде произведения независимых циклов следующие подстановки:
,. / 1 2 3 4 5 6 7 8\( 2 4 7 5 1 8 6 3/,
„ = /1 2 3 4 5 6 7 8 9\ „,/1 2 3 4 5 6 7 8)
1,9 6 5 1 8 7 2 3 4)’\2 1 3 6 8 7 4 5^
Подстановки, о которых идет речь в упражнении 14, представьте в виде произведения транспозиций. Какие из них являются четными подстановками?
Следующие элементы симметрической группы S8, заданные разложением на независимые циклы, запишите в обычной форме подстановок:
и = (123) • (4568), и = (34) • (52618),/ = (874312) • (56), ty = (5786).
Найдите порядок элемента а = (1243) € S4 и постройте циклическую подгруппу группы S4, порожденную элементом а.
Докажите, что пересечение двух (или нескольких) подгрупп любой группы является также подгруппой этой группы.
Найдите пересечение подгрупп А и В аддитивной группы Z,
если:
А = (2) = {х|х = 2к, к £ Z), В = (3);
/1 2 3 4 5 6) сим12 3 4 5 1 6//1 2 3 4 5 6) сим12 3 4 5 1 6/А = (6), В = (8).
/1 2 3 4 5 6) сим12 3 4 5 1 6/
/1 2 3 4 5 6) сим12 3 4 5 1 6/
Какой порядок имеет элемент а =
метрической группы S6 и какую циклическую подгруппу этой группы он порождает?
Постройте циклические подгруппы группы S4, порожденные ее элементами а = (1342) и b = (1243), а затем найдите пересечение этих подгрупп. Является ли (а) () (Ь) абелевой подгруппой группы S^
Докажите, что если порядок элемента а группы равен т и а" = е, то п делится на т.
/и,т.т,об-/и,т.т,об-Докажите, что если порядок элемента а группы равен то о? = а‘ в том и только в том случае, когда $ — / делится на
/и,т.т,об-
/и,т.т,об-
Докажите, что если порядок элемента а группы равен то порядок элемента ай равен ——, где (/и, к) — наибольший (т, к)
щий делитель чисел т и к.
В некоторой циклической группе G порядка т элемент а является образующим. При каких значениях к элемент ак будет тоже образующим группы G?
Найдите все образующие в группе поворотов правильного 12-угольника.
В симметрической группе S8 подстановок шестой степени найдите порядки элементов а = [1 Н г к ^ > о8, а также
yZ и 4 О О 1 у обратные им элементы.
Выясните, для каких т в симметрической группе S4 подстановок четвертой степени найдутся элементы порядка т.
Пусть элемент а имеет простой порядок р и т — произвольное целое число. Докажите, что элемент ат либо совпадает с единичным элементом, либо имеет порядок р.
В группе всех поворотов плоскости вокруг некоторой точки этой плоскости установите:
порядки элементов аъ сц, а3, а4, представляющих собой по- 2л л Зл
вороты соответственно на углы л, —, — и — радиан;
поворот на какой угод дает элемент порядка 20;
повороты на какие углы являются элементами конечного порядка
Найдите подгруппу G всех самосовмещений данной прямой линии в группе всех перемещений плоскости.
Докажите, что множество, состоящее из матриц е = ^р 1) а = ^]_^. ^ = ^о]> с = (^ oj> является подгруппой
мультипликативной группы невырожденных матриц 2-го порядка. Является ли эта подгруппа абелевой? Является ли она циклической? Каковы ее образующие элементы?
Докажите, что все подгруппы в любой циклической группе порядка п имеют вид (е, а?, а™, ..., а? }, где d — любой натуральный делитель числа п, а — образующая группы.
Сколько подгрупп имеет группа (см. у пр. 32)
е_/10\а /—10\
(о 1 ’ О —1 г
Найдите все подгруппы у циклической группы, образующей которой является подстановка a=flo^ee^on?V \2о4оо/оУ1/
Какой вид имеют все подгруппы группы Z„ вычетов по модулю п?
Найдите все подгруппы в циклических группах: a) Zs, Z8, Z10; б) в группе самосовмещений квадрата.
Докажите, что все подгруппы бесконечной циклической группы имеют вид {..., аг2г, а~г, а? = е, аг, а2г, ...}, где а — образующая группы, г — произвольное натуральное число.
Докажите, что в любой бесконечной группе бескойечно много подгрупп.
Указание. Рассмотрите два случая: 1) в группе имеется хотя бы один элемент бесконечного порядка; 2) все элементы имеют конечные порядки.
Выявите группы, у которых множество всех- подгрупп состоит: а) из одной подгруппы; б) из двух подгрупп; в) из трех подгрупп.
Докажите, что любая циклическая группа порядка п изоморфна группе Z„ вычетов по модулю и.
Пусть ф — изоморфизм группы Gt на группу 02 и ф(^) = h. Докажите, что элементы g и h имеют равные порядки.
Объясните, почему группа поворотов квадрата не изоморфна группе самосовмещений ромба.
Найдите с точностью до изоморфизма все группы, содержащие: а) два элемента; б) три элемента; в) четыре элемента; г) пять элементов.
Является ли циклической группой группа самосовмещений квадрата (см. 17 § 3)?
В группе самосовмещений квадрата найдите подгруппу, изоморфную группе Z4 вычетов по модулю 4.
Даны две группы G и Н. Докажите, что декартово произведение G х Н является также группой относительно бинарной операции (gf, Лх) • (g2; Л2) = (g^; hxh^, где g^ € G, h^ 6 Н. Эта группа называется прямым произведением групп Си Н.
Пусть в группе G п элементов, а в группе Н — к элементов. Каков порядок группы G X Я?
Пусть Ог — подгруппа группы G и ^ — подгруппа группы Н. Докажите, что Gx X Ht — подгруппа группы G X Н.
В циклической группе (а) 8-го порядка найдите:
все образующие;
порядки всех ее элементов;
все такие элементы Ь и с, которые имеют взаимно простые порядки.
Убедитесь, что если элементы Ь и с имеют взаимно простые порядки, то:
пересечение циклических подгрупп (6) и (с) содержит лишь единицу группы;
порядок произведения Ьс равен произведению порядков сомножителей, т. е.
Офс) = 0(6) • 0(c).
Докажите, что:
если элементы Ьис некоторой группы G перестановочны, т. е. be = cb, и имеют взаимно простые порядки, то порядок произведения Ьс равен произведению порядков сомножителей;
если элементы Ь и с группы G перестановочны, имеют конечные порядки и пересечение циклических подгрупп (6), (с) содержит лишь единицу е группы G, т. е.
(6) П (с) = {е},(1)
то порядок произведения Ьс равен наименьшему общему кратному порядков сомножителей;
на примере группы из упражнения 50 покажите, что без условия (1) порядок произведения Ьс не определяется однозначно порядками сомножителей Ь и с.
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
Примеры
Выясним, является ли множество G = (Ьх, Ьй, Ь3, 64) группой относительно операции, заданной таблицей Кэли (см. таблицу 4).
bl|^21 631 '6161bl^2^3Ь4^2^2^3ь461^3^3^4bl^264ь461^2ЬзТаблица 5РхРзРзР4РхРхРзРзР4РзРзРзР4РхРзРзР4Р1РзР*Р4РхРзРзbl|^21 631 '6161bl^2^3Ь4^2^2^3ь461^3^3^4bl^264ь461^2ЬзТаблица 5РхРзРзР4РхРхРзРзР4РзРзРзР4РхРзРзР4Р1РзР*Р4РхРзРзТаблица 4Таблица 4подстановкиподстановки
bl
|^2
1 63
1 '61
61
bl
^2
^3
Ь4
^2
^2
^3
ь4
61
^3
^3
^4
bl
^2
64
ь4
61
^2
Ьз
Таблица 5
Рх
Рз
Рз
Р4
Рх
Рх
Рз
Рз
Р4
Рз
Рз
Рз
Р4
Рх
Рз
Рз
Р4
Р1
Рз
Р*
Р4
Рх
Рз
Рз
bl
|^2
1 63
1 '61
61
bl
^2
^3
Ь4
^2
^2
^3
ь4
61
^3
^3
^4
bl
^2
64
ь4
61
^2
Ьз
Таблица 5
Рх
Рз
Рз
Р4
Рх
Рх
Рз
Рз
Р4
Рз
Рз
Рз
Р4
Рх
Рз
Рз
Р4
Р1
Рз
Р*
Р4
Рх
Рз
Рз
Таблица 4
Таблица 4
подстановки
подстановки
Решение. Для того чтобы непосредственно не проверять, обладает ли заданная операция групповыми свойствами (ассоциативностью и обратимостью), мы воспользуемся теоремой Кэли. Таблица 4 показывает, что элементы Ьх, Ь2, Ь8, Ь4 (см. заглавный столбец) после выполнения операции о, т. е. после их умножения на элемент Ьг (второй элемент в заглавной строке), дают соответственно элементы Ьг, b3, b4, Ьх. На основании индексов элементов Ьх, Ьъ Ь3, Ь4 и индексов полученных элементов элементу 62 можно поставить в соответствие подстановку р2 = =(2 | 3 |). Аналогично элементам b3, b4, Ьх соответствуют
„ = /1 2 3 4\ „ /1 2 3 4\ _/1 2 3 4\
Ра\3 4 1 2/’ Pt Ц 1 2 3)’ Р1 2 3 4)*
Для множества Gx = ^рх, рй, р3, р4} составим таблицу умножения (см. таблицу 5).
В каждой строке и в каждом столбце таблицы 5 имеются все элементы множества Gi, а это значит, что операция умножения в Gj обратима. Кроме того, из теории известно, что умножение подстановок одной и той же степени ассоциативно. Следовательно, Gx —
группа.
Если в таблице 5 заменить элементы группы Gx соответствующими элементами множества G, то получим таблицу, совпадающую с заданной таблицей 4. А это значит, что и данное множество G также является группой, изоморфной подгруппе Gj симметрической группы-S4.
Докажем, что множества G самосовмещений правильного тетраэдра, оставляющих неподвижной одну из его вершин — точку Л, есть группа. Составим-для нее таблицу Кэли и изоморфно отобразим G на одну из подгрупп симметрической группы Se шестой степени.
Решение. Множество G состоит из поворотов ах, а2, а3 тетраэдра вокруг его высоты АО на углы 0, у, ^ радиан и из симметрий а4, а5, ав тетраэдра относительно его плоскостей симметрии А\Къ А2К», АЗК® (рис. 2):
G = (аъ а2, <z3, а4, аь, tie}.
Каждое из указанных самосовме-
щений тетраэдра переводит вершины 1, 2, 3 его основания в некоторые вершины этого же основания. Так, а2—это такой поворот тетраэдра вокруг оси ЛО, который переводит его вершины 1, 2, 3 соответственно в вершины
/1 2 3\(2 3 1//1 2 3\(2 3 1/ет подстановка ргет подстановка рг. Аналогич. Аналогич2,3,1, а потому элементу а2 соответству
/1 2 3\
(2 3 1/
/1 2 3\
(2 3 1/
ет подстановка рг
ет подстановка рг
. Аналогич
. Аналогич
но получим, что элементам аъ а3, а4, аь, а6 .соответствуют подстановки
D = /1 2 3\/1 2 3\ 0 =/1 2 3\/1 2 3\/1 2 3\
(1 2 3f(3 1 2/’(1 3 2/(3 2 V’ р® (2 1 3/'
Но найденные подстановки составляют симметрическую группу S3 третьей степени, а потому и множество G является группой Заполнив таблицу умножения элементов группы S3, получим таблицу Кэли для группы G (см. табл. 6).
Так же как и при решении примера 1, по таблице 6 на основании теоремы Кэли получим, что отображение
ai-*gi= ({ аз gs = (3ai-*gi= ({ аз gs = (32 3 4 5 6\ „_^<г=/12345 6\
ai-*gi= ({ аз gs = (3
ai-*gi= ({ аз gs = (3
2 3 4 5 6/’ 2 g2 (23164 5/’
2 3 4 5 6\ л = /1 2 3 4 5 6\
1 2 5 6 4/’ °"*g4 (4 5 6 1 2 3/’
2 3 4 5 6/ л =/1 2 3 4 5 6j
6 4 3 1 2Д ®g® (6 4 5 2 3 V
является изоморфным отображением группы G на подгруппу Gj = = (51, g^ gs, gi, gs, g3} симметрической группы S6 шестой степени.
"1
|«2
Таблица |^3
6
a4 |
|«5
a6
«1
«1
«2
03
O4
a5
a6
flt2
^3
«1
ab
a6
a4
«3
a3
01
«2
^e
a4
аь
«4
«4
oe
^5
«1
a3
a2
«5
«5
o4
«6
«2
ai
a3
«6
^6
«5
0'4
03
a2
01
вещественных функций, заданных на R \ {0}, является группой относительно операции умножения преобразований:
Ш to = h (fj to), где i, / = 1, 2, 3, 4.
Доказательство. Подсчитаем Ц3. Пусть х — любое число из R \ {0}. Преобразование /2 переводит (отображает) число х в число и = —х, а преобразование f3 переводит число и в число— = — = — — = f4 (х). Следовательно, (f2f3) to — ft to Для и—XX
любого х € R \ {0}, и потому f2f3 = f4.
Подсчитаем fj4 : f3 переводит число х в и = —, а преобразо-
X
вание f4 переводит и в—- = -^ =—х =/2(х). Следовательно,
X
fj4=k_ ,
Аналогично находим остальные произведения к • fj. Получаем таблицу Кэли (см. таблицу 7), которая показывает, что заданная на F бинарная операция имеет нейтральный элемент (преобразование к), а каждый элемент множества Реам себе обратен. Кроме того, как известно из теории, умножение преобразований ассоциативно. Следовательно, F — группа.
Таблица 7
Ь 1
fa 1
fa
к
/1
к
/а
fa
к
/а
к
к
к
fa
/з
fa
к
fl
fa
к
к
fa
fa
к
Упражнения для самостоятельного решения
На конечном множестве G операция задана таблицей Кэли. С помощью этой таблицы определите, коммутативна ли данная операция и обратима ли она.
a
b
c
a
a
a
a
b
a
b
c
c
a
c
b
На множестве М = {а, Ь, с} бинарная операция задана таблицей 8. Выясните, обладает ли множество М нейтральным элементом относительно заданной бинарной операции, является ли заданная операция коммутативной, ассоциативной и обратимой. Является ли М полугруппой, группой?
Выясните, является ли множество G = (аь а2, а4, а4} группой относительно операции, заданной таблицей 9.
Таблица 9
Ci
ай
аз |
»4
а1
а2
ад
а4
а2
а8
01
а4
ад
а3
«3
«4
а^
«1
а4
ах
а4
01
°з
Для группы самосовмещений ромба (см. упр. 16 §3) составьте таблицу Кэли. Найдите взаимно обратные элементы и выясните, коммутативна ли данная группа.
Каждая из функций множества
f - {/. - X, k-^.k-l-x, к- ^ к^—. Г,- p-J
является преобразованием множества M = R \ (0, 1). Докажите, что F — группа относительно умножения преобразбваний, составьте для нее таблицу Кэли. Найдите нейтральный элемент и все элементы, обратные самим себе. С помощью таблицы выясните, является ли группа F коммутативной, и найдите преобразования ф и ф, удовлетворяющие уравнениям /Зф = fu ф/3 = fv
Докажите, что группа F, о которой идет речь в упражнении 8, изоморфна симметрической группе S3 третьей степени.
На множестве G = {сь с2, с3, с4} задана операция со следующей таблицей Кэли:
Таблица 10
С1
1 сз
сз
с4
С1
сз
С4
С1
с2
С3
^4
сз
сг
С1
сз
С1
сй
сз
с4
Сх
сй
С1
С4
сз
Докажите, что G — группа относительно заданной операции; укажите подгруппу симметрической группы S4 четвертой степени, которой изоморфна группа G; изоморфно отобразите группу G на группу самосовмещений ромба.
Фигура Ф составлена из двух равных равнобедренных треугольников, имеющих общую вершину О и расположен-
ных так, что боковые стороны одного являются продолжением боковых сторон другого (рис. 3). Найдите подгруппу G всех самосовмещений фигуры Ф в группе всех перемещений плоскости. Представьте элементы этой подгруппы подстановками чет? вертой степени и составьте таблицу Кэли. Выясните, коммутативна ли подгруппа G.
Элементы группы О всех самосовмещений квадрата (см. упр. 17 § 3) представьте подстановками четвертой степени. Составьте для группы G таблицу Кэли. Изоморфно отобразите группу G на одну из подгрупп симметрической группы S8 восьмой степени.
Группусамосовмещений правильного треугольника (см. упр. 13 § 3) изоморфно отобразите на симметрическую группу S3.
ккLLРис. 3Рис. 3Найдите все оси правильного тетраэдра и все повороты вокруг осей, совмещающие тетраэдр с самим собой. Докажите, что
к
к
L
L
Рис. 3
Рис. 3
множество всех таких поворотов тетраэдра является группой, изоморфной знакопеременной группе Л4 четвертой степени.
Примечание. Вышеуказанные самосовмещения правильного тетраэдра образуют так называемую группу поворотов тетраэдра.
Опишите группу всех самосовмещений правильного тетраэдра и докажите, что она изоморфна симметрической группе S4 четвертой степени.
Покажите, что группа самосовмещений ромба изоморфна аддитивной группе Z2 х Z2 (см. упр. 16 §3).
Докажите, что при любом натуральном п ^ 3 симметрическая группа 8„ некоммутативна.
Докажите, что при любом натуральном п ^ 4 знакопеременная группа Ап некоммутативна.
Докажите, что симметрическая группа S„ при любом натуральном л ^ 5 содержит подгруппу, изоморфную знакопеременной группе Л6.
Докажите, что любая четная подстановка пятой степени, отличная от тождественной, разлагается на независимые циклы только одним из следующих трех способов: а) (а^азсс,^); б) (а^^з);
в) («1 а2) ' («з ««)•
Примеры1. Найдем левое и правое разложения симметрической группыПримеры1. Найдем левое и правое разложения симметрической группы§ 6. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ ПО ПОДГРУППЕ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА
Примеры
1. Найдем левое и правое разложения симметрической группы
Примеры
1. Найдем левое и правое разложения симметрической группы
а = /1 2 3\ _ /1 2 3YI4 1,3 1 2/ 6 1,3 2 1Д
по ее подгруппе А = {е, агу Совпадают ли они между собой’ Решение, а) Найдем левое разложение группы 83. В качестве первого левого класса можно взять смежный класс элемента е, т. е. саму подгруппу А = {е, а^. Возьмем любой элемент из 83, не вошедший в первый класс, например элемент а2, и умножим его
3 1 2/ = а*‘ Получим второй смежный класс: а2А = {а2, я4}. Далее возьмем из группы 83 элемент, который не вошел в два построенных смежных класса, например а6. С его помощью получим' третий класс: а6А ={tz3, а5}. В построенные классы вошли все элементы группы 83, т. е.
A (J а»А U аь А = {е, aj (J {«2, а4} U {а3, а8} = 83.
Эти классы попарно не пересекаются. Следовательно, классы А, а2А, а5А составляют искомое левое разложение группы по ее подгруппе А.
Найдем правое разложение группы 83 по подгруппе А. Первый правый класс — сама подгруппа А = (е, а^, второй правый класс — Аа2 = {а2, а3}. Далее возьмем любой элемент из 83, не вошедший в эти классы, например аъ, и с его помощью получим третий правый класс: Аа6 = (а4, а8}. Так как эти классы не пересекаются и
A U Aaa U Ааь ={е, аъ а2, а3, а4, а5} = 83, то классы
А = (е, aj, Аа2 = {а2, а3}, Аа5 = {а4, а8} j составляют правое разложение группы 83 по ее подгруппе А. в) Так как а5А =/= Аа5, толевое и правое разложения группы 83 по подгруппе А не совпадают.
Упражнения для самостоятельного решения
Найдите все левые смежные классы группы самосовмещений правильного треугольника: а) по подгруппе М поворотов треугольника; б) по подгруппе А = {е, а}, где а — одна из симметрий.
Известно, что Н — любая подгруппа группы G и х € Н. Докажите, что хН = Нх = Н.
Докажите, что если элемент у входит в левый смежный класс хН по Н, порожденный элементом х, то смежный класс у Я совпадает со смежным классом хН.
Постройте левое и правое разложения группы G самосовмещений правильного треугольника: а) по подгруппе М вращений этого треугольника, результаты сравнить; б) по подгруппе А = {е, а}, где а — одна из симметрий,
Постройте левое и правое разложения группы самосовмеще- ний квадрата (см. упр. 17 § 3) по подгруппе Л = {г, а), где а — отражение относительно диагонали.
Что представляют собой разложения произвольной группы G по единичной ее подгруппе и по самой G?
Найдите левое разложение знакопеременной группы Л4 по подгруппе В = (е, (1 2 3), (1 3 2)}.
Выясните, какие из нижеприведенных подмножеств симметрической группы S6 пятой степени будут смежными классами по каким-либо подгруппам:
KY = {(2 3 4), (1 2 3 4)};
= {(1 2), (1 2 3), (1 2 3 4)}.
Указание. Если левый смежный класс К по подгруппе Н содержит какой-либо элемент g, то К = gH, откуда Н = g^K', поэтому следует найти множества g-1Ki и g-1Kt и выяснить,,являются ли они подгруппами.
Докажите, что порядок любого элемента группы является делителем порядка этой группы.
Группа содержит 4 элемента, из которых лишь один имеет порядок 4. Какой порядок имеют остальные элементы группы и сколько подгрупп имеет эта группа?
Сколько подгрупп может иметь группа G, содержащая 17 элементов?
Может ли в группе порядка п не быть подгруппы порядка т, если известно, что п делится на пг?
Докажите, что всякая группа простого порядка является циклической и любой ее элемент, отличный от е, является образующей этой группы. Приведите примеры таких групп.
Докажите, что все группы одного и того же простого порядка р изоморфны друг другу.
Найдите (с точностью до изоморфизма) все группы порядка 4.
Докажите, что всякая группа с пятью или меньшим числом элементов является абелевой.
Найдите (с точностью до изоморфизма) все группы порядка 6. Напишите таблицы умножения для этих групп и представьте их элементы подстановками.
Докажите, что если Н — подгруппа группы G, а х — некоторый элемент из G, то множество Н, = хНх~г является подгруппой G. В группе G самосовмещений квадрата найдите все подгруппы вида Нх = хНх~1, где Н — группа поворотов квадрата.
§ 7. НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ И ФАКТОР-ГРУППЫ
Примеры
Построим фактор-группу аддитивной группы Z по ее подгруппе В = (5) = (х|х = 5k, k € Z}. Найдем сумму смежных классов 3 4- В, 4 4- В и элемент фактор-группы ZIB, противоположный элементу 2 + В.
Решение. Аддитивная группа Z коммутативна, а потому любая ее подгруппа, в том числе и данная циклическая подгруппа В, является нормальным делителем группы Z. Следовательно, оба разложения группы Z по подгруппе В одинаковы — левые и правые классы соответственно совпадут и из них составится одна определенная фактор-группа. Разбиваем группу Z с помощью ее подгруппы В на попарно непересекающиеся классы За первый смежный класс берем саму подгруппу В = (5) = {..., —15, —10, —5, 0, 5, 10, 15, ...} = 0 + В — этот класс состоит из всех тех целых чисел, которые кратны 5; второй смежный класс порождаем с помощью какого-либо целого числа, не вошедшего в первый класс, например с помощью числа 1, непосредственно следующего за О, путем сложения 1 с элементами подгруппы В: 1 + В = {х|х = = 1 + 5k, к С Z} = {..., —14, — 9, —4, 1, 6,11, 16,...}. В этот класс войдут, как видим, все те целые числа, которые при делении на 5 дают остаток 1. Третий класс образуем из всех тех целых чисел, которые при делении на 5 дают остаток 2; это будет класс 2 + В = {х|х = 2 + 5k, к € Z}. Аналогично четвертый класс 3 -|- В = {х|х = 3 + 5k, к € Z}; пятый класс 4 + В. А так как при делении целых чисел на 5 остатками могут быть лишь числа 0, 1,2, 3,4, то с помощью подгруппы В = (5) никаких других смежных классов, которые были бы отличны от найденных, получить нельзя. Построенные нами смежные классы полностью исчерпывают элементы данной группы Z, т. е.
в и [1 + В] и [2 + В] и [3 4- В] U [4 + В] = Z.
Как легко заметить, полученные классы не имеют общих элементов, т. е. попарно не пересекаются. Следовательно, они составляют разбиение множества Z, т. е. разложение группы Z по нормальному делителю В. Итак, ЦВ = {В, 1 + В, 2 4- В, 3 + В, 4 + В} есть искомая фактор-группа. Она является также аддитивной группой. По правилу сложения элементов в аддитивной фактор-группе имеем:
(3'4- В) + (4 + В) = (3 + 4) + В = 7 + В =
= {х|х = 7 + 5k = 2 + (5 + 5k) = 2 4- 5t, t € Z} = 2 4- В;
(3 + В) + В = (3 + В) + (0 + В) = (3 + 0)+ В = 3 4- В.
Аналогично В 4- (3 4- В) = 3 4- В, поэтому элемент В в группе Z/В является нулевым.
Поскольку (2 4- В) 4- (3 4* В) = (2 4- 3) 4- В = 5 4- В = = (л?|х = 5 4- 5k = 5 (1 4- k) = 5s, s € Z} = В, элемент 3 4- В является противоположным для элемента 2 4- В.
Докажем, что подгруппа А„ является нормальным делителем симметрической группы S„ n-й степени.
Р е ш.е н и е. Группа S„ состойт из п! подстановок, а группа Ап состоит из ^ и! подстановок. Как при левом, так и при правом разложениях группы Sn по подгруппе Ап одним смежным классом 32
является сама подгруппа А„. В этот класс не войдут лишь все* нечетные подстановки, число которых также равно п\. Поскольку всякий другой смежный класс должен состоять из стольких-же элементов, сколько их в первом классе, то из тех элементов группы S„, которые не вошли в первый класс, можно составить еще только один левый или правый смежный класс, который будет состоять из всех нечетных подстановок группы S„, т. е. оба разложения группы по подгруппе А„ будут одинаковы. А это значит, что Ап — нормальный делитель. Фактор-группой группы S„ по нормальному делителю Ап будет S„/A„ = (А„, sA„}, где s — любая нечетная подстановка группы S„.
Охарактеризуем все нормальные делители в группе Z„ вычетов по модулю п и фактор-группы по ним.
Решение. Так как аддитивная группа Z„ = {0, 1, 2, ... .... п — 1} (группа вычетов по модулю п) является циклической, а циклические группы коммутативны, то все ее подгруппы являются нормальными делителями. Но любая подгруппа группы Z„ на основании упражнения 33 § 4 имеет вид (0, d^2d, ..., (п — d)}, где d — любой натуральный делитель числа n, п = dk или п — d = = dk — d = (k — l)d. Таким образом, нормальный делитель будет состоять из к элементов и иметь следующий вид: А = (0, d, 2d, ... .... (к — l)d}. Фактор-группа группы Z„ по этому нормальному делителю А будет состоять из d смежных классов:
А + о = А = {0 = 0 • d, Id, 2d, .... yi — l)d} = {х|х = ds}, А + 1 = {1, d + 1, 2d + 1, ..., (k — l)d + 1)} = (х\х = ds + Ik A -f- 2 = (2, d -}- 2, 2d -(^ 2, ..., (к — l)d -|— 2} — (х|х = d$ -}- 2},
А + d — 1 = {х|х = ds + d — 1}, где s пробегает все целые числа от 0 до к — 1.
Следовательно,
Z„/A = {А, А + 1, А + 2, .... А + d — 1}.
Упражнения для самостоятельного решения
Докажите, что если порядок подгруппы в 2 раза меньше порядка самой группы, то эта подгруппа является нормальным делителем группы.
Почему в группе самосовмещений квадрата подгруппа поворотов квадрата является нормальным делителем? Почему в группе поворотов квадрата подгруппа, порожденная центральной симметрией, является нормальным делителем?
Указание. Воспользуйтесь задачей 4.
Докажите, что подгруппа Я группы G является нормальным делителем тогда и только тогда, когда для любого элемента а из Я и любого элемента g из G элемент gag-1 содержится в Я.
Примечание. Элемент gag-4 называется сопряженным элементу а.
2 Заказ 40033
В группе всех самосовмещений’ квадрата взята подгруппа Н = = {й0, а}, где а0 — тождественное преобразование, а — отражение относительно одной иа диагоналей квадрата. Является ли Н нормальным делителем?
Приведите пример, показывающий, что нормальный делитель нормального делителя группы может не быть нормальным делителем самой группы.
Выясните, является ли нормальным делителем группы самосовмещений квадрата ее подгруппа А = {а0, а}, где а — отражение квадрата относительно его центра и а0 — тождественное перемещение.
Найдите все нормальные делители в симметрической группе S3 третьей степени.
Докажите, что центр группы всегда не пуст.
Примечание Центром группы называется множество тех ее элементов, которые перестановочны со всеми элементами этой группы.
Докажите, что центр группы является ее подгруппой и, более того, нормальным делителем группы.
Докажите, что всякая подгруппа центра группы является нормальным делителем группы.
Докажите, что в мультипликативной группе G вещественных невырожденных матриц n-го порядка подмножество Н матриц, определитель Которых равен 1, является нормальным делителем. Как можно охарактеризовать смежные классы по №
Докажите, что группа Клейна (задача 4 § 4) является нормальным делителем симметрической группы S4 четвертой степени.
Докажите, что если Нг и Нг — нормальные делители соответственно в группах Gx и G2, то HtxH^ — нормальный делитель в группе Gi X G2.
Докажите, что в прямом произведении Gx X G2 групп Gt и G2 подмножество Gi X {е2} является нормальным делителем группы Ог X С2 (е2 — единичный элемент группы G2).
Составьте фактор-группу группы самосовмещений квадрата по ее нормальному делителю А = (а0, а} (см. упр. 9 § 7) и таблицу Кэли для этой фактор-группы.
Составьте фактор-группу группы Z8 вычетов по модулю 8 по ее нормальному делителю Н = {0, 4} и таблицу сложения ее элементов.
Докажите, что если группа G коммутативна, то и любая ее фактор-группа также коммутативна. Верно ли обратное утверждение?
Докажите, что если группа является циклической с образующей а, то и фактор-группа этой группы по любому ее нормальному делителю Н будет также циклической с образующей аН.
Почему подгруппа А ={х|х = 3^, k 6 Z) аддитивной группы Z является нормальным делителем группы Z? Каков индекс подгруппы Д? Постройте фактор-группу Z/Д. Будет ли она цикли-
ческой? Если да, то каков будет ее образующий элемент и как ее элементы могут быть записаны через этот образующий элемент?
Примечание, Если число смежных классов (левых или правых) группы G по ее подгруппе Н конечно, то это число называют индексом подгруппы Н (в группе G).
Постройте фактор-группу Z/Л, где А = (6) = {х|х = 6й, к £ Z}. Будет ли она абелевой? Найдите (6 + Л) + (9 + Л) и (9 + Л) + (6 + Л).
Постройте'фактор-группу ZM П В, где Л = (6), В = (4), и составьте для нее таблицу сложения. Найдите элемент, противоположный элементу 5 4- М, где М = А П В.
Будет ли Д = {х|х = 12^, к € Z} = (12) подгруппой, нормальным делителем группы М = (у|у = Зк, k ^Z} — (3)? Ответ обоснуйте. Постройте фактор-группу М/А и таблицу сложения ее элементов.
Для знакопеременной группы Л4 четвертой степени (см. пример 4 § 4) постройте ее циклическую подгруппу, порожденную элементом g = (1 2 3) = ^ g । ^ Найдите оба разложения группы Л 4 по подгруппе (g) и сравните результаты. Является ли подгруппа 0) нормальным делителем в группе Л4 и можно ли построить фактор-группу группы Л4 по подгруппе (g)?
Найдите оба разложения знакопеременной группы Л4 четвертой степени по ее подгруппе
У = {е = (1), а = (12) (34), b = (13) (24), с = (14) (23)}
(см. пример 4 § 4) и сравните результаты. Является ли подгруппа V нормальным делителем группы Л4? Если является, то постройте фактор-группу Л4/У и таблицу умножения ее элементов.
Составьте фактор-группу ZJD аддитивной группы Z4 вычетов по модулю 4 по ее нормальному делителю D = {О, 2}. Выясните, будет ли ZJD s Z2.
Докажите, что если Н — нормальный делитель группы S„ и а — подстановка из И, отличная от тождественной, то Н содержит все подстановки, разлагающиеся на независимые циклы той же длины, что и подстановка а.
Примечание. Рассмотрите разложение а на независимые циклы. Если, например, а= (123)(45), то докажите, что Н содержит все подстановки вида (ai«2a3) (a4a6), показав, что (aia2ag) (a4«5) = g-^ag, где g — любая подстановка, при которой «1 ->• 1, а2 -* 2, а3 -* 3, а4 -> 4, а6 -*- 5.
Докажите, что группа Л5 не содержит нормальных делителей, кроме единичной подгруппы и всей группы.
На множестве G всевозможных троек целых чисел определена бинарная операция (къ къ к^ о ($ъ s2, s8) = (^ 4- sx, кг 4- s2, ^з + s3). Докажите, что система G = < G; ° > является группой и что подгруппа Я = (х|х = (&, 0, 0), к £ Z) является нормальным делителем группы G.
Найдите все нормальные делители и фактор-группы по ним в следующих группах: a) Z2 X Z2; б) в группе самосовмещений правильного треугольника; в) в группе G самосовмещений квадрата.
Найдите разложение симметрической группы S4 по группе Клейна V (см. упр. 4 § 4) и составьте фактор-группу SJV.
Докажите, что фактор-группа симметрической группы по группе Клейна изоморфна симметрической группе 83.
Докажите, что если G — мультипликативная группа вещественных невырожденных матриц порядка п, Н — ее нормальный делитель, состоящий из матриц порядка п, определитель каждой из которой равен 1 (см. упр. 14 § 7), то фактор-группа G/Н изоморфна мультипликативной группе R \ {0} действительных чисел, отличных от нуля.
Указание. Учтите упражнение 14.
Докажите, что если М — нормальный делитель некоторой группы G, Мг — подгруппа группы G, А^ — подмножество группы G/М, состоящее из тех классовое каждый из которых входит хотя бы один элемент из Afb то Мг — подгруппа группы GIM; если же М 6 А1Ь то М— нормальный делитель группы Мг и Afi = = MJM.
Докажите, что если G — группа, А — ее нормальный делитель, Н — подгруппа фактор-группы G/А, то подмножество Н группы G, являющееся объединением всех .смежных классов, входящих в Н, является подгруппой группы G, содержащей А. Докажите также, что если Н — нормальный делитель группы G/А, то Я — нормальный делитель группы G.
Найдите все подгруппы симметрической группы S4, содержащие группу Клейна, и определите, какие из этих подгрупп являются нормальными делителями группы S4.
Могут ли две неизоморфные группы иметь изоморфные нормальные делители и изоморфные фактор-группы по ним?
ГОМОМОРФНЫЕ ОБРАЗЫ ГРУППЫ
Примеры
Докажем, что мультипликативную группу М невырожденных матриц порядка п (n ^ 1) можно гомоморфно отобразить на мультипликативную группу R \ {0} действительных чисел, отличных от нуля.
Решение. Отобразим группу Af в группу R \ (0) по правилу q>, которое каждой матрице А € Af ставит в соответствие ее определитель | А | — элемент из R \ {0}. Так как при этом отображении для любого заданного элемента из R \ {0} полный прообраз есть непустое множество (так как существует бесконечно много матриц из М, определитель которых равен заданному действительному числу), то ф является отображением М на R \ (0). Более того,
такое отображение сохраняет операцию. Действительно, если Л, В — любые элементы из группы М, то и АВ £ М, и по теореме об определителе произведения матриц получим:
Ф (Л В) = |Л В| = | А| . ]В| = ф (Л) ф (В).
Итак, ф есть отображение группы М на группу R \ {0}, сохраняющее операцию, т. е. гомоморфное отображение.
Построим фактор-группу мультипликативной группы G = = Q \ {0} рациональных чисел, отличных от нуля, по ее нормальному делителю Н = {1, —1}, а затем группу G гомоморфно отобразим на фактор-группу G/Н.
Решение. Пусть х — любое положительное рациональное число. Тогда хН = {х, —х}, (—х)Н = {х, —х}, значит, смежные классы хН и (—х) Н совпадают. Отсюда следует, что при разложении группы G по нормальному делителю Н смежные классы можно порождать лишь при помощи положительных рациональных чисел. Итак, G/H = {{х, —х} | х С Q+}.
Отобразим G = Q \ {0} в G/Н по правилу ф:
Ф (х) = хН = {х, —х}.
Так как любой смежный класс не пуст, то при отображении ф полный прообраз для любого элемента из G/Н не пуст, а потому ф является отображением группы G = Q \ {0} на группу G/H. Более того, оно сохраняет операцию: если хну — любые элементы из группы G, то
Ф (ху) = (ху) Н = хНуН = ф (х) ф (у).
Следовательно, ф — гомоморфное отображение группы G = = Q \ {0} на группу G/H.
Примечание. Гомоморфное отображение группы на свою фактор-группу называется естественным гомоморфизмом.
Упражнения для самостоятельного решения
Докажите, что если ф : G -> F — гомоморфизм группы G на группу F и при этом группа G коммутативна, то и группа F коммутативна. Верно ли обратное утверждение?
Докажите, что если фт : Gx -► Ga и фа: Ga->- Gs гомоморфизмы, то и фх • ф2: Gi -> G3 — гомоморфизм.
Докажите, что ядро Н гомоморфизма группы Gx на группу G2 является нормальным делителем группы Gt.
Примечание. Ядром гомоморфного отображения ф: Gi -* Ga называется полный прообраз элемента е2 — нейтрального элемента группы Ga.
Докажите, что если ф — гомоморфизм группы G на группу G', Н — ядро этого гомоморфизма, то элементы gx и g2 группы G лежат в одном и том же смежном классе группы G по подгруппе Н тогда и только тогда, когда ф (gj = ф (g2).
Примечание. Из решения примера следует, что множество тех элементов группы О, которые отображаются при гомоморфизме <р на некоторый элемент g' £G*, составляют смежный класс группы G по подгруппе Н (т. е. элемент фактор-группы G/H).
Аддитивная группа Z гомоморфно отображена на циклическую группу G = (g) = {g°, g, g2, ..., gn-1V Какие элементы из Z отображаются на элемент g°, какие — на элемент g при этом гомоморфизме? Найдите ядро гомоморфизма и опишите факторгруппу группы Z, изоморфную группе G.
Почему аддитивную группу Z можно гомоморфно отобразить
на знакопеременную группу А3 = 1ена знакопеременную группу А3 = 1е= /1 2 3\ „ _ /1 2 3)
на знакопеременную группу А3 = 1е
на знакопеременную группу А3 = 1е
U2 3/1,2 3 1]’
■? Установите этот гомоморфизм. Каково ядро этого
гомоморфизма?
Аддитивную группу Z гомоморфно отобразите на факторгруппу Z//7S, где Нз = (3) = {х|х = 36, к 6 Z}. Почему группа Z///s изоморфна знакопеременной группе А3 третьей степени? Установите между ними изоморфизм.
Докажите, что симметрическая группа Ss третьей степени является гомоморфным образом симметрической группы S4 четвертой степени.
Докажите, что аддитивную группу всех функций вида ах -f- b (a 6 R, b g R) можно гомоморфно отобразить на аддитивную группу R. Каково ядро этого гомоморфизма?
Докажите, что аддитивную группу R2 всех арифметических двумерных векторов с действительными компонентами можно гомоморфно отобразить на аддитивную группу R. Единственно ли такое отображение?
Докажите, что отображение ф, заданное правилом х -S- ]xj £ С R+, является гомоморфизмом группы R \ {0} на R+ (обе группы— мультипликативные).
Докажите, что если Нг и Н4 — нормальные делители соответственно в группах Gj и Ga» то Hi X Н4 — нормальный делитель в группе Gi х Ga и фактор-группа Gt X GJ Hi X Н2 & GJ Hi х X GJH2.
Может ли группа иметь два изоморфных нормальных делителя, фактор-группы по которым неизоморфны?
Докажите, что если на плоскости дан правильный «-угольник с центром О и G — группа всех поворотов этой плоскости вокруг точки О, а А — подгруппа тех поворотов плоскости, которые переводят правильный «-угольник в себя, то А — нормальный делитель группы G и G/A ^ G.
Может ли группа иметь неизоморфные нормальные делители, фактор-группы по которым изоморфны?
Докажите, что если ф — гомоморфизм группы Gx на группу G2 и Hi — любая подгруппа группы Съ то образ ф (ЯД подгруппы Нг при гомоморфизме ф является подгруппой в группе G2. Докажите
также, что если Нг — нормальный делитель группы Gt, то ф (Ях) — нормальный делитель группы С2
Докажите, что при гомоморфизме ф группы Gx на группу С2: а) группа Ог некоммутативна, если некоммутативна группа G^; б) группа Gt бесконечна, если бесконечна группа С2; в) элемент а € Gi такой, что ф(а) имеет бесконечный порядок, является элементом, имеющим бесконечный порядок.
КОЛЬЦА И ПОЛЯ
Примеры
Докажем, что множество М матриц вида ( & ^, где а и b— любые действительные числа, является полем относительно матричного сложения и умножения. Найдем характеристику этого поля.
Решение. 1) Рассмотрим сумму и произведение двух матриц
АА“ ^\ В = ( с, ^ данного множества: —b a)\—d с)
А
А
Л 4- S = / й'+ сb ф d\
+ (Ь + d)а + с)
АВ = ( м — ^ ad -V- Ьс\\—(ad + be) ас — bd)
Мы видим, что А + В £ М, АВ £ Af, т. е. множество М замкнуто относительно матричного сложения и умножения
Из теории матриц известно, что на множестве квадратных матриц одного и того же порядка, а значит, и на множестве М, сложение коммутативно, сложение и умножение ассоциативны и умножение дистрибутивно относительно сложения.
Уравнение ( £ ^)+ ^= ( ^ ^)имеет единственное
■ /—а 4~ с —b 4~ d\\ b — d —а + с)’ 4) ВА=(\—d с) \—b а)■ /—а 4~ с —b 4~ d\\ b — d —а + с)’ 4) ВА=(\—d с) \—b а)решение
■ /—а 4~ с —b 4~ d\
\ b — d —а + с)’ 4) ВА=(
\—d с) \—b а)
■ /—а 4~ с —b 4~ d\
\ b — d —а + с)’ 4) ВА=(
\—d с) \—b а)
М.М.снова принадлежащее множеству
М.
М.
_ / ас — bd ad -V bc\ „ д о\—(ad + be) ас — bd) *
е. умножение в М коммутативно.
Рассмотрим уравнение АХ= В, где S=^ c^, Л=( ^^¥= ^(оо) И’ слеД°вательно, а Ф 0 или b Ф 0. Тогда |Л| = = с? + № Ф 0, т. е. матрица А является невырожденной, а значит, она имеет обратную матрицу А-1. В таком случае уравнение АХ = = В имеет единственное решение X = А^В. Докажем, что это решение принадлежит данному множеству М. Имеем:
ем
Из того, что Л-1 6 М, В 6 М, имеем в силу первой части доказательства X = А-1В 6 М. Итак, рассматриваемое уравнение в М разрешимо и имеет единственное решение. Из результатов, найденных в пунктах 1—5, следует по определению поля, что М есть поле.
Найдем характеристику поля М. Нулем поля М является матрица (_q q) = ^ ®). Единицей поля М является матрица q 1) = ^0 ?) = ^- По правилу умножения числа на матрицу получим, что при любом натуральном п п^ 0) = ^ ^ ^^ q), т. е. не существует натурального п такого, чтобы п ^ 1)=(о о)* А это значит, что характеристика поля М равна нулю.
Упражнения для самостоятельного решения
Выясните, образует ли кольцо относительно обычных сложения и умножения: а) множество N; б) множество Z; в) множество всех нечетный чисел; г) множество йсех четных чисел; д) множество чисел вида а + b Кб, где а, b — любые целые числа. В каких из указанных случаев существует единичный элемент (т. е. нейтральный элемент для операции умножения)?
Является ли кольцом множество L чисел вида а + 6 КЗ + + с Кб, а, Ь, с е Z, относительно обычных операций сложения и умножения?
Покажите, что множество чисел вида а + &Кз + сКб + + d К15, где a, b, с, d Е Z, является числовым кольцом, т. е. кольцом относительно обычных операций сложения и умножения над числами.
Докажите, что в любом кольце для любых его элементов а, Ь, с имеют место свойства: а) если а + b = а + с, то b = с; б) а — — b = а + (—6); в) —(а + Ь) = —а — Ь; г) —(а — b) = b — а.
Запишите левый и правый дистрибутивный законы, если операция * дистрибутивна относительно операции о. Дистрибутивно ли обычное сложение относительно обычного умножения?
Дистрибутивна ли каждая из операций U и П относительно другой на множестве подмножеств какого-либо множества?
Выясните, дистрибутивна ли операция * относительно операции °, если • является операцией возведения в степень на множестве N, а ° — операцией умножения на том же множестве, т. е. а * b = аь, а ° Ь = а - Ь, где а, b — любые элементы из N.
Справедливы ли формулы сокращенного умножения для элементов некоммутативных колец?
Выясните, является ли кольцом относительно матричного сложения и умножения: а) множество всех вещественных матриц одного и того же порядка n > 1; б) множество матриц вида ^ ^ с рациональными компонентами; в) множество вещественных матриц вида ^.
Докажите, что множество М матриц вида |^ 9^ состав- W Ч
ляет коммутативное кольцо относительно матричного сложения и умножения. Выделите мультипликативную группу этого кольца. Выясните, является ли М полем (а и b — любые действительные числа).
Какие элементы кольца называются делителями нуля? Выясните, имеет ли кольцо At вещественных матриц вида f«9) W “J делители нуля 6 = ^q этого кольца.
Докажите, что если At — коммутативная группа относительно операции сложения, такая, что ab — 0 для любых а, b и нулевого элемента 0 группы М, то система М = <М; +, • > является кольцом.
Докажите, что если на Z задана операция а 0 6 = —ай, то алгебраическая система < Z; 4-, 0 > является коммутативным кольцом с единицей. Каков единичный элемент этого кольца?
Докажите, что алгебраическая система — множество Q рациональных чисел с обычной операцией сложения и операцией о, выполняемой по правилу аоЬ = у для любых элементов из Q, — является полем. Каков единичный элемент этого поля?
Докажите, что если коммутативное кольцо К состоит из конечного числа п элементов, где п > 1, и не содержит делителей нуля, то оно является полем.
Указание. Пусть а — отличный от нуля элемент из К. Покажите, что отображение х -* ах является взаимно однозначным отображением К на себя. Выведите отсюда разрешимость уравнения ах = Ь.
Докажите, что множество матриц вида (q ^) , где а — любое рациональное (или действительное) число, является полем относительно матричного сложения и умножения. Будет ли множество матриц данного вида составлять поле, если а — любое целое число?
Почему кольцо {0} не является полем?
На множестве М = {о, Ц сложение ф и умножение 0 определены следующим образом:
a ® a — a, a@b = b®a=b, b ф b = a; aQ b = b Q a = a,aQ a - a,b Q b = b.
Выясните, обладает ли это множество нулем и единицей и является ли система <М; ф, О > полем относительно заданных бинарных операций.
На множестве Л — Q2 упорядоченных пар (а; Ь) рациональных чисел сложение ф и умножение 0 определены следующими правилами:
(а; Ь) ф (с; d) = (а + с; b 4- d), (а; Ь^ О (с; d) = (ас; bd).
Покажите, что <А; ф, ©> является коммутативным кольцом с единицей и с делителями нуля.
Докажите, что если В — множество пар (а; Ь) рациональных чисел и на В две бинарные операции — сложение ф и умножение О — определены следующими условиями:
(а; Ь) ф (с; d) = (а + с; b + d), (а; Ь) О (с; d) = (ас +2bd; ad+bc), то система В = <В; ф, © > является полем, а пары (0; 0) и (1; 0) соответственно нулем и единицей этого поля.
Докажите, что если на множестве Z„ = {0, 1, 2, ..., п — 1}, кроме операции сложения ф по модулю п (см. упр. 13 § 4), определена еще операция умножения 0 по модулю п, состоящая в том, что в качестве результата этой операции над двумя числами из Z„ берется остаток от деления на п их обычного произведения, то система Z„ = < Z„; ф, О > является. коммутативным кольцом.
Примечание. Это кольцо называется кольцом вычетов по модулю п.
Составьте таблицы сложения и умножения элементов колец Z3 и Z8, а также выясните, имеются ли в этих кольцах делители нуля.
Докажите, что кольцо Z„ вычетов по модулю п не является полем, если п — составное число.
Докажите, что всякое кольцо Zp вычетов по простому модулю р является полем.
Составьте таблицы сложения и умножения элементов поля Z7, а затем найдите характеристику этого поля. Какую характеристику имеет поле Zp вычетов по простому модулю р?
Убедитесь в том, что поле Л — (0, 1} с обычной операцией умножения и операцией сложения ф, задаваемой равенствами 1 © 1 = 0ф 0 = 0, 1 ф 0 = 0 ф 1 = 1, имеет характеристику, равную двум.
Приведите примеры полей, характеристика которых равна нулю.
Покажите, что для составного числа п = п1п2, 1 <пг <п, 1 < «а <п и единицы е любого поля справедливо равенство (п^ е = (п^ (п2е).
Докажите, что не существует полей, характеристикой которых была бы единица или какое-либо составное натуральное число.
Выясните, является ли / — множество подмножеств некоторого непустого множества — кольцом относительно операций объединения U и пересечения f|.
Докажите, что если непустое подмножество L кольца К содержит сумму и произведение двух любых своих элементов и для всякого своего элемента содержит противоположный ему элемент, то L является подкольцом кольца К.
Докажите, что если непустое подмножество L кольца К содержит разность и произведение любых своих элементов, то L является подкольцом кольца К.
Докажите, что если непустое подмножество L любого поля Р содержит сумму и произведение двух любых своих элементов, а также для любого своего элемента содержит противоположный ему элемент и для любого своего ненулевого элемента содержит обратный ему элемент, то L является подполем поля Р.
Выясните, является ли система <Z; ф, • > кольцом относительно обычного умножения и операции сложения ф, выполняемой по правилу:
л д> h - ( о + b, если а — четное число, b — любое целое число, [а — о, если а — нечетное число, b — любое целое число.
Охарактеризуйте все подкольца кольца <Z; +, • > целых чисел.
Докажите, что множество L матриц вида ^ ^, a, 6 € Q, является подкольцом кольца М всех вещественных матриц порядка 2.
В кольце М всех вещественных матриц порядка 2 укажите несколько подмножеств, которые являются его подкольцами.
В поле матриц вида (“ ^, где a, b £ R, укажите такие его подмножества, которые являются подполями.
Докажите, что множество Z VV5] чисел вида а + b Уб, где а, b — любые целые числа, является числовым кольцом. Разрешимы ли в этом кольце уравнения (1 -]- 2 Уб) х = —8 + 3Уб, (—8 + 3 Уб)х = 1 + 2 Уб, (3 + 2 Уб)х = 2 — зУб? Будет ли Z [У5] числовым полем?
Докажите, что множество А чисел вида 2а + 2бУз, где а, b — любые целые числа, является числовым кольцом.
. Докажите, что множество В = Q [Уб] чисел вида а -|- ЬУ5, где а, b — любые рациональные числа, является числовым полем.
Докажите, что множество Z ^2] чисел вида а + b У2 + 3/- —
+ с у 4, где а, Ь, с —любые целые числа, является числовым кольцом.
Какой вид имеют все подкольца кольца Z„ = <Z„; ф, 0 > вычетов по модулю п? Сколько их у кольца Z„? У поля Zp (р — простое число)?
Найдите в кольце Z8 = <Z8; ф, О > вычетов по модулю 8 все его подкольца.
Решите систему уравнений (х + 2г = 1, (у + 2г = 2, {2х + 2 = 1 над полями: a) Z3; б) Z5; в) Z7.
Докажите, что если элемент а кольца перестановочен с элементами b и с этого кольца, то он перестановочен и с элементами b + с, Ьс.
Докажите, чТо в кольце с единицей коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом кольца.
Докажите, что множество диагональных матриц порядка п ^ 2, т. е. матриц вида
с действительными элементами, образует относительно матричного сложения и умножения коммутативное кольцо с делителями нуля.
Покажите, что числа вида а + 1^2 4- с К4 с рациональными а, Ь, с образуют поле. Найдите в этом поле элемент, обратный числу у = 1 — -/2 + 2 -/4.
Укажите коммутативное кольцо с единицей, содержащее такой элемент а, который отличен от нуля этого кольца и квадрат которого равен нулю этого кольца.
Докажите, что в поле М = <М; +, •> , где М — множество всех матриц вида( ? ^ с действительными а и Ь, а +, • \—о а)
являются операциями над матрицами, существует элемент X, такой, что X8 = —Е (Е — единица поля Му
Покажите, что множество всех вещественных функций, непрерывных на заданном отрезке [а; 6], образует кольцо относительно обычных операций сложения и умножения функций. Приведите примеры делителей нуля в кольце функций, непрерывных на отрезке Г—1; 1].
Покажите, что в числовом кольце Z[K2] (см. упр. 43 § 9) уравнение (1 — 3 у^2 4-5 -^4) у = —18 4- 10 ^2 4-20 у^4 не имеет решения.
а) Докажите, что кольцо чисел вида д 4- b Кб изоморфно кольцу матриц вида ^ ^ (см. упр. 37 § 9; в обоих кольцах а и 6 —любые рациональные числа), б) Почему второе кольцо будет являться полем?
Покажите, что кольцо Z можно изоморфно отобразить на кольцо М матриц вида , где а — любое целое число, а поле R — на поле матриц вида^ 0), где а € R.
Докажите, что кольцо целых чисел можно гомоморфно отобразить на кольцо вычетов по модулю 2.
Докажите, что кольцо целых чисел можно гомоморфно отобразить на кольцо Z„ вычетов по любому модулю п (п — натуральное число).
Почему кольцо всех целых чисел нельзя ни изоморфно, ни гомоморфно отобразить на любое подкольцо, отличное от {0} и самого кольца?
Можно ли некоторое кольцо, не являющееся полем, гомоморфно отобразить на некоторое поле?
Можно ли некоторое кольцо с единицей гомоморфно отобразить на некоторое кольцо без единицы? Можно ли кольцо без единицы гомоморфно отобразить на кольцо с единицей?
Докажите, что изоморфны:
кольцо матриц вида ^ ®j и кольцо Q2 упорядоченных пар (а; Ь) из упр. 20;
поле матриц вида ^“ ^ и поле упорядоченных пар (а; Ь), в котором сложение ф и умножение 0 определены по следующим правилам:
(а; Ь) ф (с; d) = (а + с; b + d), (а; b) Q (с; d) — (ас + 5М; ad + be), где а, b — любые рациональные числа,
Покажите, что отображение а + b V1 + с т/49 -> а + + b -^49 + с VI» гДе а,Ь ^Т, является изоморфным отображением кольца Z Dj/7] на себя.
Примечание. Изоморфное отображение кольца на себя называется автоморфизмом этого кольца.
Покажите, что любое поле из двух элементов изоморфно полю Z2.
Какие из приведенных ниже алгебраических систем являются линейно упорядоченными множествами:
a) <N, <>; б) <Z, »;
г) <Р (М), с: >, где Р (М) — множество подмножеств некото
рого заданного множества М?
Докажите следующие свойства упорядоченных полей: а) если а < b и с ^d, то а -(- с < b + d;
если а < 0, то а-1 < 0; если а > 0, то а-1 > 0;
если 0 < а < Ь, то О < — < —;
b а
а ^ О;
если О < а < Ь и О < с ^ d, то ас <bd;
если а < Ь < О, то — <— < 0;
Ь а
если |а| < Ь, то —Ь <а <Ь;
если —Ь <а <Ь, то |а| < Ь;
|аЬ| = |а| . |Ы;
|а+Ь|< |а|+ 1Ы;
1а — Ь| > |а| — |Ь|.
Докажите, что в упорядоченном поле справедливы следующие неравенства:
а2 + 62 + с2 + 4 > 2 (а + Ь + с);
(ab + Ьс + ас)4 ^ ЗаЬс (а 4* Ь + с);
а4 + Ь4 ^ aab + aba;
а4 + ва4№ + 64 ^ 4аЬ + 4аЬа;
а2 + № + с2 > аЬ + ас + Ьс;
(а + Ь + с)2 ^ 3 (аЬ 4- ас + Ьс).
Докажите, что в упорядоченном поле справедливы следую-
при а ^ 0;при а ^ О, b ^ 0;при а ^ 0;при а ^ О, b ^ 0;щие неравенства:
при а ^ 0;
при а ^ О, b ^ 0;
при а ^ 0;
при а ^ О, b ^ 0;
2а3 4- 2а2 4- 1 > а
а6 4- Ь6 ■> аъЬ 4- аЬ5
-в) (а 4- b 4- с) (- 4-4 + ~) $ \ ct Ъ с )
с? 4* б8 4- ^ ^ ЗаЬс
а5 4- Ьь — а^Ь — аЬ4 ^ О
аЬ 4- ас 4- Ь с^ 0при а 4- Ь 4- с = 0.
Докажите, что характеристика всякого упорядоченного
поля равна нулю.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАПримеры
Решим уравнение
(2 — Ох 4- (5 4- 60у =1—30
считая неизвестные х и у действительными числами.
Решение. Приводя левую часть к виду а 4- Ы, где а € R, b € R, получим уравнение
(2х 4- 5у) 4- (—х 4- 6y)t = 1 — 3t, равносильное данному. Так как равенство комплексных чисел а 4* bi и а' 4- ЬЧ означает а = а' и Ь = Ь’, то имеем систему уравнений
Г 2х 4- бу = 1,
—х 4- бу = —3. 215
Решая эту систему, получим х = —, у =— А
Решение. Непосредственно находим:
i° = 1; i1 = i; i2 = —1; ts = —i; i4 = 1.
Из последнего равенства следует i4n = 1, где п — любое целое число. Таким образом, имеем:
i4" = 1; i««+i = ц i4"*1 = —1; г4л+3 = —L
Число 36 есть 4п (где п = 9), значит, Z36 = 1. Число 125 есть 4n + 1 (где п = 31), значит, i125 = I. Наконец, 239 есть 4п + 3 (где п = 59), значит, i239 = —I.
Найдем число 2
1 — 2г
Решение. Напомним общее правило деления комплексных чисел. Пусть требуется найти —, где а £ С, р € С, р ^ 0. Это означает, что мы должны найти решение уравнения
PI = а,(1)
где | — неизвестное комплексное число.
Умножив обе части (1) на число р (сопряженное Р), получим уравнение (рр) • £ = рос, откуда следует
РР
Правую часть вычислить легко, поскольку рр есть действительное число |Р|2.
В нашем примере имеем:
2+£ = (1 +20(2 + 0 = (1 +20(2 + 0 = _[ /_ 1 . 5/^—1 + ?
1 — 2i (1 + 20 (1 — 2055"^ '5‘
Найдем в поле С все значения V—3 — 4i.
Решение. Мы должны найти корни уравнения
(х + у/)2 = -з _ 4i(x € R, у € R)j или
(х2 — у2) -|- 2xyt = —3 — 4Lj
Это уравнение равносильно системе
( х2 — у2 = —3, ( 2ху = —4
над полем R. Возводя каждое из написанных уравнений в квадрат и складывая, получим:
(х2 + у2)2 = 25,
откуда следует х2 + у2 = 5 Из этого уравнения и первого уравнения нашей системы находим:
хй = 1; у2 = 4,
откуда следует х = ±1, у = ±4. При таких значениях х и у первое из уравнений системы будет выполняться, из второго же уравнения находим окончательно два решения:
х = 1, у = —4 и х = —1, у = 4.
Итак, найдены два искомых значения V—3 — 4i :
1 — 4i и —(1 — 4Z).
Упражнения для самостоятельного решения
Произведите действия над комплексными числами:
(1+0(2 + 0+^;
1+L^_ (1-1)12; 1—1/3
(l+^-q-Q3.
(3 + 2i)3— (2 +О2’
г)кп — целое положительное число).
Указание, г) Представьте (1 + 0” как (1 + О”-2(1 + О2 и /1 + Л»_2 вычислите отдельно ——..
\1 — ч
Найдите значение функции
fW=^ + ?±2-(-з + 20
при х = 1 — 2L
Решите уравнения, считая неизвестные х и у.действительными числами:,
а) (1 + 20х + (3 — 50у = 1 — 3i;
_ 6x —ly _15.
5 + 2i8x + 3yZ *
в) 2 + 5ix = 141 + 3x — 5y.
Вычислите:
/п- — 5,14 _|_ 10Z7 + 9i6 _ 4#
Найдите значение квадратного корня:
а) /81^67; б) /3—41; в) /—15 + 3i /И.
Решите уравнения с неизвестным £ € С:
52 + (5 - 205 + 5 (1 - 0 = 0;
52 + (1 - 205 - 2i = 0;
(2 + 052 - (5 - 06 + (2 - 20 = 0.
Докажите, что в поле С разрешимо любое квадратное уравнение а|2 + 0£ + у = 0, где а, 0, у € С, а #= 0.
Докажите; что для любых а € С, 0 € С справедливы равенства
а + 0 = а + 0, а0 = а0.
Докажите справедливость равенств
а-0 = а-0, /^ = « ф^О).\Р/0
Почему отображение f (а) = а поля С на себя является изоморфным (т. е. автоизоморфизмом поля С)?
Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено со своим квадратом.
Докажите, что множество Z [i] всех «целых гауссовых чисел», т. е. чисел вида а -}- Ы, где a, b € Z, является подкольцом кольца С.
Докажите, что множество Q [i] всех «гауссовых чисел», т. е. чисел вида а + Ы, где а, Ь € Q, является подполем поля С.
Выясните, образуют ли числа вида «+ bi У 5, где а и b — любые рациональные числа, числовое поле.
Покажите, что поле С изоморфно полю, состоящему из матриц вида [ “ ^, где a, b € R.
V—о а)
Глава И.
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО (ЛИНЕЙНОГО) ПРОСТРАНСТВА,ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ
Определение векторного пространства
Примеры
Выясним, являются ли линейными пространствами: а) множество Z над полем R, б) поле С над полем R; в) поле R над полем С.
Решение, а) Множество Z есть коммутативная группа по сложению, но при умножении целого числа к на действительное число "К мы не всегда получим элемент из Z (например, при к = 1 и X = ^, т. е. Z не замкнуто относительно операции умножения на числа поля R. Поэтому Z не является линейным пространством над полем R (как и над всяким другим числовым полем, которое всегда содержит рациональное число -jj,
Поле С (как и всякое другое поле) является коммутативной группой по сложению. Для всякого X ^ R и а + bi € С имеем X (а + bi) = Ха + (Xb)i € С. Следовательно, множество С замкнуто относительно умножения на числа поля R. Легко также проверить, что в множестве С выполняются остальные требования 2— 5, предъявляемые к линейному пространству (см. «Алгебра», с. 73). Значит, С является линейным пространством над R.
Так как произведение действительного числа а на число X = с + di из поля С при d =/= 0 не дает снова действительного числа, то R не замкнуто относительно операции умножения на число из поля С и, следовательно, не является линейным пространством над С.
Покажем, что множество М всех квадратных матриц любого фиксированного порядка п с комплексными элементами есть линейное пространство над полем R.
Решение. Известно, что М является группой относительно матричного сложения. В М определена операция умножения на число X любого числового поля; так, при п— 2 если Л = ^ ^, то ХЛ =* ^ ^; поэтому если Л есть квадратная матрица с комплексными элементами и X € R, то и ХЛ есть квадратная матрица с комплексными элементами. Известно также из теории квадратных матриц, что операция умножения квадратных матриц на число удовлетворяет условиям 2 — 5, предъявляемым к линейному пространству. Поэтому М есть линейное пространство
над полем R, Нулевым вектором в М является квадратная матрица, все элементы которой нули.
Выясним, является ли линейным пространством над полем R: а) множество Fo многочленов степени п с комплексными коэффициентами; б) множество F многочленов степени ^п с комплексными коэффициентами.
Решение, а) Множество Fo не является линейным пространством над R потому, что сумма двух многочленов степени п не всегда дает многочлен также степени п. Так, при п = 3 сумма многочленов
fi М = 2х3 + х2 — 2х + 5, f2 (X) = —2х3 — х2 + х + 3 есть многочлен / (х) = —х + 8 первой, а не третьей степени.
б) Известно, что множество F многочленов степени ^п с комплексными коэффициентами есть коммутативная группа по сложению. Нулевым элементом ее является нуль-многочлен 0 = = 0 • х" + ••• + 0 • х + 0. Произведение любого многочлена из F на число из R дает снова многочлен из множества F, так как для любого многочлена / (х) = а„х" -|- ал_1Х"-1 + ... + агх -|- а0 из f и И R имеем:
^f Vе) = О'-а.Х + ••• + (Ха^х + Ха0.
Отсюда видно, что Xf (х) есть снова многочлен с комплексными коэффициентами. Легко также проверить, что требования 2 — 5, предъявляемые к линейным пространствам, в множестве F выполняются. Значит, F есть линейное пространство над R.
Упражнения для самостоятельного решения
Покажите, что множество У2 векторов плоскости, исходящих из начала координат, является вещественным линейным пространством (т. е. пространством над полем R).
Выясните, является ли линейным пространством над полем R:
множество векторов плоскости, исходящих из начала координат, концы которых лежат на прямой у = 2х + 3 (или вообще на прямой у = kx + I, где /0);
множество векторов плоскости, исходящих из начала координат, концы которых лежат в первой четверти системы координат;
множество тех n-мерных арифметических векторов а = (аь а2, .... ал), у которых аг + а2 + ... + а„ = 0;
множество тех n-мерных арифметических векторов, компоненты которых есть целые числа.
Почему множество невырожденных матриц 2-го порядка с элементами из R не является вещественным линейным пространством относительно операций сложения матриц и умножения матрицы на число?
Выясните, является ли линейным пространством над полем R множество R+, если операция сложения ф элементов из R+
есть обычное умножение, а ф b = а • Ь, а умножение © числа к из поля R на элемент а € R+ есть возведение элемента а в степень к:
к О а = ак.
Над полем Р задано линейное пространство Р4 строк (аи а2), где аъ ай ^ Р,с обычным сложением строк и обычным умножением строки на элемент к € Р (см. «Алгебра», с. 74, пример 2).
Выясните, сколько векторов будет иметь это пространство, если за Р взять поле Z3 = (0, 1, 2} вычетов по модулю 3; перечислите эти векторы. Из скольких векторов состоит линейное пространство Z3?
Покажите, что множество R с обычной операцией сложения и обычной операцией умножения на рациональные числа является линейным пространством над полем Q.
На множестве F всех функций, заданных на отрезке [a,b]c R и принимающих положительные действительные значения, сложение функций и умножение функций на действительное число определяются равенствами
f ©g = f -g, X©f = f\ f, g^F, X € R.
Покажите, что система <F; ф, © > является линейным пространством над полем R.
И. Пользуясь свойствами линейного пространства, подсчитайте:
0 • а + 2 0 + 0 • b —3 0;
2а + 0 • а + 3-0 + а;
3 (а — &) + (2 — 5)а + 3d,
если а, b — любые векторы одного и того же линейного пространства L, 0 — нулевой вектор.
Найдите линейную комбинацию За!— 2а2 + 8а3 векторов аъ «г. «з. если:
a) а, = (1, 2, 1, 2), а2 = (—1, —3, 4, 5), а3 = (—5, 0, 2, 3);
61 а = ^1 ^ а = (—1а -5 °Y
о) «1 ^ 2р а» ^ 4 5/ 3 I 2 3/’
в) at = 1 + 2х -|- х2 + 2Х3, а2 = —1 — Зх + 4х2 + 5х®, а3 = —5 4- 2х2 + Зх3.
13» Решите векторное уравнение 2ах + За2 — а3 — 7.x = а4, если:
«1 = (—1,2, —3, 4), а2 = (—1, —1,-1, 5), а3 = (2, —5, —1, 3), а4 = (2, 1, —2, —1);
а _/-1 21 _/-1 -11 _/ 2 —5\ _ _ / 211
. Решите уравнение 3 (а4 — 2л) + 5 (а4 + а3 — Зл) = = 2 (а3 — 4лг), если:
аг = (4, 3), а2 = (2, -1), а3 = (-1, 4);
й! = 4 + 3i, а2 = 2 — ц а» = —1 + 41.
Линейная зависимость векторов
Примеры
Покажем, что система векторов аг = (5, 4, 3), а2 = (3, 3, 2), «з = (8, 1, 3) арифметического пространства R3 линейно зависима/ Какие линейные зависимости имеют место между данными векторами?
Решение. Составляем и решаем уравнение
^1^1 4* Х3и3 4~ Х3оэ = 0.(1)
Получаем (5Xi 4~ ЗХ2 4~ 8Х3, 4Xi 4* ЗХ2 4* Х3, 3Xi 4* 2Х2 4” 8X3) = = (0, 0, 0), т. е.
|5Х! + ЗХ2 4- 8Х3 = 0,
]4Xi 4~ ЗХ2 4- Х3 = 0,(2)
13Хх -|— 2Х2 4* ЗХ3 == 0.
Приводим матрицу системы (2) к лестничному виду:
/5 3 8\/107\/10—7\/107\,,п7Х
4 3 1~431~0 3—27~01—9~А1А •
\3 2 3/\323/\0 2—18/\000/х7
Система (2), следовательно, равносильна системе
(Хх 4- 7Х3 - 0,(2')
[Х2 — 9Х3 = О, допускающей, очевидно, ненулевые решения. Поэтому уравнение (1) выполняется при некоторых Хх, Х2, Х3, не равных одновременно О, т. е. система векторов аъ ай, а3 линейно зависима.
Решая систему (2'), находим:
Xi—7Х3, Х2 = 9Х3;
значит, всякая линейная зависимость между данными векторами может быть представлена в виде
—7Х3ях 4“ 9Х3я2 4* Х3о3 = О,
где Х3 — подходящее действительное число.
Выясним, является ли линейно зависимой следующая система векторов пространства многочленов степени ^ 2 над полем R:
Г fi (х) = 3 4- х 4- 2х\
и 2 ОО = —2 4- х — х2.
Решение. Составляем и решаем уравнение
41 (х) 4- X2f2 (х) = 0.(3)
В данном случае вектор 0 есть многочлен 0 4- 0 • х 4- 0 • х2, т. е. уравнение (3) имеет вид:
X! (3 4- х 4- 2х2) 4- Х2 (—2 4- х — х2) = 0 4- 0 ■ х 4- 0 • х2, или
(ЗХ! 2Х2) 4- (Х1 4- Х2)х 4- (2X1 — Х2)х2 = 0 4- 0 • х 4- 0 • х2.
Поскольку равенство многочленов означает равенство их коэффициентов при одинаковых степенях х, мы получаем систему
(4)(4)ЗХх — 2Х2 = О,Хх + Ха = О,2Хх — Х2 = 0.
(4)
(4)
31231213 213 2/1 1\~ 0 —5\0 —3//1 1\~ 0 —5\0 —3/Преобразуем матрицу этой системы к лестничному виду:
3
1
2
3
1
2
1
3 2
1
3 2
/1 1\
~ 0 —5
\0 —3/
/1 1\
~ 0 —5
\0 —3/
/1 1\
\0 — 5)*
Следовательно, система (4) равносильна системе
(Xj 4~ Х2 = О,
[ — 5Х2 = О,
имеющей единственное решение Хх — О, Х2 — 0. Таким образом, равенство (3) возможно лишь при ^ = Х2 = 0, т. е. наша система линейно независима.
Докажем, что в вещественном пространстве квадратных матриц 2-го порядка первый из трех векторов
/1 0\ /2 3\ /—2 3\
\0 0), U О/, t 2 V
не выражается линейно через остальные.
Решение. Допустим противное. Тогда найдутся такие числа kx и /г2, что
По определению равенства матриц и умножения матрицы на число получаем следующую систему уравнений относительно ^ и kz:
(6)(6)2^ — 2&2 = 1,3^ 4- 3/г2 = О,^i 4- 2&2 = О,. Х2 = 0.
(6)
(6)
Решая систему (6) методом Гаусса, легко убеждаемся в ее противоречивости. Значит, вопреки предположению, чисел кх и А2, удовлетворяющих условию (5), не существует.
Упражнения для самостоятельного решения
Используя простейшие свойства линейной зависимости, выясните, какие из следующих систем векторов (в соответствующих пространствах над полем R)являютсялинейнозависимыми:
«1 = (2» 3, 5),а2=(—2,—3, —5);
ах = (2, 3, 5),а2=(—2,—3, —6);
а,х = (2, 3, 5),а^=(2, 3,5), йд = (—-2,— 3,—6);
м а = (° °^ а = (^ 2Y
ах = I, а2 = Зг,
ах = О, а2 = 2 + 3».
Убедитесь в том, что следующие системы векторов (в соответствующих пространствах над R) линейно зависимы, выразите один из векторов каждой системы через остальные:
а) «1 = р «2= 3Z, «з = —4 — 6i;
0)7)’ “2 “(О О/’ 3 ~Д0 ОД о)’ "6 “to 1/’
В) fl (х) = 1, /2 М = Зх, f3 (х) = ^, f4 (х) = 2 + х + х2.
Покажите, что следующие системы векторов (в соответствующих пространствах над R) линейно независимы:
аг = (1, 1, 1), а2 = (1, 2, 3), а3 = (1, 3, 3);
6х а _/1 2\ _ _ /4 1\ „ _ /3 4\.
01 “ \3 4/’ °2 “ 1,2 з)’ 3 “ (1 2/’
«1 = 1 + 2t, г2 = 2 + t;
fi (х) = 1 + х + х2 + х3, f3 (х) = 1 — х + х2 — х3,
/з (х) = 2 + Зх + х2 + 4х®.
Покажите, что в вещественном пространстве многочленов степени ^ 2 вектор f (х)= 1 + 4х — 7х2 линейно выражается через векторы fi (х) = 2 — х + х2 и /2 (х) = 1 — 2х + Зх2. Представьте f (х) в виде линейной комбинации fx (х) и f3 (х).
Покажите, что вектор 2 — 71 из вещественного пространства С линейно выражается через векторы 2 — 3i, 4 + 2i (представьте его в виде линейной комбинации двух последних векторов).
Докажите, что если система векторов а, Ь, с линейно независима, то система а + b, b + с, <?+« также линейно независима.
Указание. Примените метод от противного.
Докажите, что если система аъ агат линейно независима и Ь= Ххах + Х2а2 + ... + Xmam, то указанное линейное представление вектора b через векторы ах, а3, .... ат единственно.
Указание. Покажите, что если также b = Xj ах + Х2а2-}-... ... “Ь ХщЛ^, то Хх = Xj, Х2 = Х2, ..., Xm = Хт.
Докажите, что в пространстве многочленов степени ^2 система векторов fx (х) = 1, fa (х) = х, f3 (х) = х2, f4 (х) = = 1 + х + х4 линейно зависима, а любые три вектора этой системы образуют линейно независимую подсистему.
Покажите, что векторы а=(а, Р), Ь—(у, 6) линейного пространства Р2 над полем Р линейно зависимы тогда и только тогда, когда аб — Ру = 0, где 0 — нуль поля Р.
Покажите, что а + а + а = 0 для любого вектора а пространства 2з над полем Z3 вычетов по модулю 3.
Докажите, что если ах, а3, .... as и Ьх, Ьг, .... bs(s > 1) — две системы векторов некоторого пространства над R, такие, что
bi — #i, ^2 = ^2^2^1»
bs = as — Х5аъ
где Хь X2, .... Xs — определенные числа из R, то система аъ а2, ... ..., as линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система Ьъ д2, .... bs.
КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Базис и размерность линейного пространства
Примеры
Покажем, что в линейном вещественном пространстве F многочленов степени ^п система векторов 1, х, х2, .... х” составляет базис, и найдем размерность этого пространства.
Решение. Данная система векторов линейно независима. Действительно, равенство
^о "I™ Ххх "4- Х^х^... -|" Хпхп = 0,
е. равенство
Хо *4™ Ххх -j- Хйх4 -|- ... -|“ Хпхп — 0 + 0 • х -|" 0 • х2 4“+ 0*Xй
справедливо при любых значениях х лишь тогда, когда коэффициенты при соответствующих степенях х двух многочленов равны, иначе говоря, лишь при Х6 = Хх = ... = Хп = 0.
Кроме того, любой элемент / (х) = а0 + ахх + а2х2 + ... + ^х” из F, т ^ и, линейно выражается через векторы 1, х, х2, ..., х”:
f (х)=а0 • 1 + «Г* + «» • х4 + ••• + «т" х"1 + 0- хт+1 +•••+ 0-х”.
На основании определения базиса полученные результаты позволяют сделать вывод, что система векторов 1, х, х2хп является базисом пространства F. А так как этот базис состоит из n + 1 векторов, то размерность пространства F равна и + 1: dim F = = п -4- ^
Можно доказать, что система векторов 1, (х— а), (х— а)2, ... .... (х— а)”, где а € R, также является базисом пространства F.
Покажем, что каждая из нижеприведенных систем векторов:
а) ех=(1,2,1),б)^=(3,1,4),
еа=(2,3,3),^=(5,2,1),
е3=(3,7,1);е;=(1,1,-6)
является базисом пространства R3.
Решение. Каждая из данных систем состоит из 3 векторов. Но и dim R3 = 3. Поэтому достаточно показать, что системы линейно независимы
Составим матрицы:
/1 2 1\/3 14\
А = 2 3 3 , А' = 5 21
\3 7 1/\ 1 1 —6/
Прскольку определители |А|= 1, |Л'| = 4 отличны от нуля, то строки каждой матрицы линейно независимы. А это и означает, что и обе системы векторов линейно независимы.
Выясним, является ли система векторов ^ (х) = х2 + Зх8, /2 (х) = 3 + х + 8х® пространства F многочленов степени ^3 (над R) линейно независимой системой, и если является, то дополним ее до базиса пространства F.
Решение. Заметим сначала, что если аь а4, .... ал-^-базис n-мерного пространства, a Ьъ b4, .... Ьт(ш < п) — линейно независимая система векторов этого пространства, то в базисе найдется такой вектор ак1 что система bvbm, ак также будет линейно независимой. Действительно, в качестве вектора ак можно взять любой вектор базиса, который не выражается через векторы Ьх, ... .... Ьт. Такой вектор найдется (в силу теоремы о двух системах векторов, см. «Алгебра», с. 78), и система Ьи .... Ьт> ак будет линейно независимой (почему?). Отсюда следует, что систему Ьи .... Ьт можно дополнить за счет векторов любого базиса до линейно независимой системы из п векторов, т. е. до некоторого базиса пространства. С другой стороны, если какую-либо систему можно дополнить до базиса, то она, очевидно, линейно независима.
ЛИЛИВ нашем случае имеем систему bv = х2 + Зх8, Ьг = 3 + х +8Х8, а система «1=1, а4 = х, аа = х^, а4 — х3 является базисом пространства F. Проверим, нет ли в этом базисе двух векторов, составляющих вместе с bt и Ьг линейно независимую систему. Рассмотрим, например, векторы ах и а». Если бы система Ьь Ьъ аъ а4 была нейно зависимой, то мы имели бы
ЛИ
ЛИ
СПСПСИ'СИ'Х4 (х2 + Зх3) + 12 (3 + х + вх8) + Х3 • 1 + Х4 • х = =0 + 0 . х + 0 • х2 + 0 • х3, где не все Хг равны 0. Уравнение (1) равносильно следующей стеме однородных уравнений:
СП
СП
СИ'
СИ'
ЗХх + 8Х2= 0,
(2)(2)Ч= 0,
(2)
(2)
Х2 Н~ ^4 = 0,■ ЗХ2 -|- Х3 = 0.
Поскольку определитель системы (2), как легко проверить, отличен от 0, то система допускает только нулевое решение Хг = Х2 = Х3 = = Х4 = 0. Значит, система Ь4, 62, ах, а4 линейно независима и является базисом пространства F. Отсюда, очевидно, следует, что векторы Ь4, Ь4— линейно независимы.
При каких значениях параметра X система векторов (0, 1, X), (X, 0, 1), (X, 1, X) является базисом пространства R3?
Решение. Данная система состоит из 3 векторов. Но и dim R3 = 3. Следовательйо, для того чтобы данная система векторов
составляла в R3 базис, достаточно, чтобы она была линейно независимой, а для этого достаточно, чтобы ее ранг, или ранг матрицы
/О 1 Х\
А = X О 1 ,\Х 1 X/
был равен 3, т. е. | Л | ^ 0. А так как | Л | = X2 4- X — X2 = X, то данная система будет базисом при любых значениях X, кроме нуля.
Упражнения для самостоятельного решения
Найдите все базисы следующих систем векторов: х/1 9\/4/ 9
S1 “(з 4)* °2 “ (2 з)’ "3 ~ ( 5 б);
bT = -^, d2 = 3/, &3 = —4 — 6/;
с^ = —1 + 2i, с2 = 1 — 2i, с8 = -^ — i>
/1 = 2, /2 = х — 2х2, /з = —2х + 4х2.
Покажите, что в пространстве многочленов степени ^ 2 (над R) система векторов fx = 2 + Зх — х2, /2 = —1 4- 2х 4-х2, /з = 1 является базисом.
(
9 о\/ п о\
1I 2 1)
линейного пространства М4 квадратных матриц 2-го порядка (над R) является линейно независимой. Дополните ее до базиса этого пространства.
Линейно независимую систему векторов /1 = 3 4- х 44- 2х2, /2 = —2 4-х — х2 (см. упр. 16 § 1) вещественного пространства многочленов степени ^ 2 дополните до базиса этого пространства.
В пространстве R4 систему векторов «j = (1, 2, 3, 4), а2= = (4, 1, 2, 3) дополните до базиса этого пространства.
При каких значениях параметра X система векторов (1, 2, —1, 1), (5, 1, 2, 1), (4, —1, X, 0), (3, X, 4, —1) является базисом пространства R4?
Дополните вектор 2 4- 3i до базиса линейного пространства С над полем R.
Покажите, что система векторов аг = (1, 1, 0), а2= (0, 1, 1), а8 = (1, 0, 2) составляет базис арифметического линейного пространства R3, и линейно выразите вектор Ъ= (2, —3, 5) через этот базис.
Найдите все базисы и размерность линейного пространства Afj матриц вида ^ ^ с элементами поля Z2 вычетов по модулю 2.
Покажите, что при любых значениях а, р, у система векторов (1, а, Р), (0, 1, у), (0, 0, 1) является базисом пространства R3.
Для пространства матриц (^ ^,. о, b, с, d £ Z2, над полем Z2 вычетов по модулю 2 укажите какой-нибудь базис и разложите вектор (1 ^ по векторам этого базиса.
2. Координаты вектора. Связь между различными базисамипространства и координатами вектора в различных базисах.
Изоморфизм линейных пространств
Примеры
Найдем матрицы перехода от базисаег =(1,2,1),е2= (2,3,3), е3 = (3, 7, 1) к базису ех = (3, 1, 4), ег = (5, 2, 1), вз = (1, 1, —6) пространства R3 (см. пример 2) и обратно, а также координаты вектора а = (—17, —36, —11) в каждом из заданных базисов.
Решение. Для нахождения координат хь х2, х3 вектора а в базисе ех, е2, еа и матрицы Т перехода от базиса еъ е2, е8 к базису вь 02, 8г составим и решим векторные уравнения:
а = ххех + х2е2 + х3е3, (1) 81 = «цв! + О2Х02 + «31<?Э, (2) 82 = 011^81 4* О22в2 4"" О3203, (3) 8a = охзех 4” о2302 + а33е3. (4)
Уравнение (1) дает (хх, 2хх, хх) + (2х2, Зх2, Зх2) +(Зх3,7х3,х3) = = (—17, —36, —11), откуда получим систему
| хх 4" 2х2 4~ Зх3 == —17, < 2хх 4~ Зх2 4* 7х3 — —36, I хх 4* Зх2 4™ ^3 = —И*
Аналогично уравнения (2), (3), (4) дадут соответственно следующие системы уравнений с такими же коэффициентами при новых неизвестных:.
( охх 4* 2а21 4* За31 = 3,j 2охх 4- За2Х 4* 7озх = 1,1 ап 4* Зо2Х 4" °з1 = 4;
оХ2 4“ 2а 22 4“ За32 = 5,
• 2аХ2 4“ За22 4“ 7а32 — 2,■ о12 -|- За22 -j- о32 = 1;( о13 4~ 2<z23 -j- За33 = 1,12охз-|- Зо23 -j- 7а33 = 1,I О13 + За23 + а33 = —6.
Поэтому все полученные четыре системы можно решить методом Гаусса одновременно:'
/123—17351\
237—36121 U
\131—1141—6/
Получаем:
2 3
—1 1
1 —2
2 3
—1 1
О —1
2 О
—1 О
О —1
/1 О
~ 0 1
к О О
—17 351\
— 2 —5 —8 —1 ~
61—4—7/
—17 351 \
_ 2 —5 — 8 —1 ~4 —4—12 —8/
—5 —9
2 —9
4 —4
О —1
О'—2
1 —4
—31 — 23\
—20 — 9
—12 — 8/
—27 —71 —41\
9 209
4128/
а = —1^1 — 2ег — 4е3, 5] = —27^1 4* 9^2 4* 4е3, #2 = —71^1 4* 20е24- 12^3, е' = —41^ 4- 9ег 4- 8е3.
Итак, числа —1, —2, —4 являются координатами вектора а в базисе 5Ь е2, 53, а матрицей перехода от базиса еъ е2, е3 к базису ev е', е' будет матрица
/—27 —71 —41\
7=9209 .
к 4128/
Обратная к ней матрица
1/ 5276 181\
I у I " I ^12 ^22 ^32 I Т ' I 88^2126 I™
\Л13 Л23 AJ \ 284099/
/ 1319181\
4
= —9—13— —
2
\ 7 10 т/
является матрицей перехода от базиса^, е’2,е'3к базису еь е2,е3 Теперь находим столбец координат вектора й в базисе с,, е'2, е3 (см. «Алгебра», с. 90):
/ 131918£\
— 9 —13 — —2к 7 10 т/
Проверка: х’^ + х'2е2 + х3е3 = —232 (3, 1,4)+ 161 (5, 2, 1) — — 126 (1, 1, —6) = (—17, —36, —11) = а.
В пространстве F4 многочленов степени п ^ 3 над R даны два базиса:
, а) 1, х, х\ х3; б) 1, (х + 1), (х + I)2, (х + I)3.
Найдем матрицы перехода от каждого из базисор к другому. Применим полученный результат для разложения многочлена / (х) = = 1 + 5х2 — 2х® по степеням х + 1.
Решение. Имеем:
1=11+х=1(1+X)2=1(1+X)3=11=11+х=1(1+X)2=1(1+X)3=1l + 0’Jc+0’X2+0-x3, 1 + 1 • х + 0 • х2 -j- 0 • х3, 1 + 2 • х + 1 • х2 + 0 • х3, 1 + 3 • х + 3 • х2 + 1 • х3.
1=1
1+х=1
(1+X)2=1
(1+X)3=1
1=1
1+х=1
(1+X)2=1
(1+X)3=1
Отсюда получаем матрицу перехода Т от базиса а) к базису б):
/1 1 1 1\
Т = / 0 1 2 3 |
I 0 0 1 3 /\о О 0 1/
Найдем обратную к Т матрицу, пользуясь методом элементарных преобразований:
11110 12 30 0 130 0 0 111110 12 30 0 130 0 0 11 0 0 1 о о о о1 0 0 1 о о о о/10 011/ 0 1 0 —3 о 0 0 13 0\00010/10 011/ 0 1 0 —3 о 0 0 13 0\000100 0\/10—1—20 0 \/ 0 12 31 0 /1 0 0 1 30 1/ХЮ 0 0—11 °\/10 0 01 --2 0 1/010001 0 1~ 1001000 1/\0 0 0 10 0\/10—1—20 0 \/ 0 12 31 0 /1 0 0 1 30 1/ХЮ 0 0—11 °\/10 0 01 --2 0 1/010001 0 1~ 1001000 1/\0 0 0 11 —1 0 0\О 10 0) О 0 1 0 ~О ОО 1/ 1—1 1 —1\ О 1—2 3 1 О 01— 3 •0 0 01/1 —1 0 0\О 10 0) О 0 1 0 ~О ОО 1/ 1—1 1 —1\ О 1—2 3 1 О 01— 3 •0 0 01/
1111
0 12 3
0 0 13
0 0 0 1
1111
0 12 3
0 0 13
0 0 0 1
1 0 0 1 о о о о
1 0 0 1 о о о о
/10 011
/ 0 1 0 —3 о 0 0 13 0
\00010
/10 011
/ 0 1 0 —3 о 0 0 13 0
\00010
0 0\
/10—1—2
0 0 \
/ 0 12 3
1 0 /
1 0 0 1 3
0 1/
ХЮ 0 0
—1
1 °\
/10 0 0
1 -
-2 0 1
/0100
0
1 0 1
~ 10010
0
0 1/
\0 0 0 1
0 0\
/10—1—2
0 0 \
/ 0 12 3
1 0 /
1 0 0 1 3
0 1/
ХЮ 0 0
—1
1 °\
/10 0 0
1 -
-2 0 1
/0100
0
1 0 1
~ 10010
0
0 1/
\0 0 0 1
1 —1 0 0\
О 10 0) О 0 1 0 ~
О ОО 1/ 1—1 1 —1\ О 1—2 3 1 О 01— 3 •
0 0 01/
1 —1 0 0\
О 10 0) О 0 1 0 ~
О ОО 1/ 1—1 1 —1\ О 1—2 3 1 О 01— 3 •
0 0 01/
Таким образом,
/1—1 1 —1\
01—2 3 1
О 01 —3 /
\0 001/
Матрица Т-1 является матрицей перехода от базиса б) к базису а).
Многочлен f (х) = 1 + 5х2 — 2х® имеет в базисе а) координаты 1, 0, 5, —2. Его координаты tu t^, t3, t4 в базисе б) находим с помощью матрицы Т по известной формуле:
/к\/ !\/1 — 1I t\= Т"Ч 0|= / О 1М8 I I 5 I 10 0\tj\—2/\0 О/к\/ !\/1 — 1I t\= Т"Ч 0|= / О 1М8 I I 5 I 10 0\tj\—2/\0 О1 —h / h / 8\ —2 з 1 о 1 = / —16 I1 —35 II 11 ГО 1/ \—2/\—2/1 —h / h / 8\ —2 з 1 о 1 = / —16 I1 —35 II 11 ГО 1/ \—2/\—2/
/к\/ !\/1 — 1
I t\= Т"Ч 0|= / О 1
М8 I I 5 I 10 0
\tj\—2/\0 О
/к\/ !\/1 — 1
I t\= Т"Ч 0|= / О 1
М8 I I 5 I 10 0
\tj\—2/\0 О
1 —h / h / 8\ —2 з 1 о 1 = / —16 I
1 —35 II 11 Г
О 1/ \—2/\—2/
1 —h / h / 8\ —2 з 1 о 1 = / —16 I
1 —35 II 11 Г
О 1/ \—2/\—2/
Итак, f (х) = 1 + 5х2 — 2х» = 8 - 16 (х + 1) + 11 (х + I)2 — — 2 (х + I)3. Раскрывая скобки, убедимся в правильности найденного разложения.
Пп йячису Р =/^ ^ р —(^ ^ р — (О 0\ - /О О\ io. по оазису бц Iq и, е^ Iq qI, 624 j qI>622Iq jl
пространства Л12 вещественных квадратных матриц 2-го порядка построим какой-нибудь другой базис этого пространства и найдем в этом базисе координаты вектора а = 1^ $1.
Решение. Поскольку dim М2 = 22 = 4, то для нахождения нового базиса 6i, 62, бз, 64 достаточно взять в качестве матрицы Т перехода от данного базиса к новому любую невырожденную матрицу 4-го порядка, например матрицу
,1 2 —1 —2\
Т= /2 3 0 —1 1
112 1 4/
\1 3 —1 О/
(как легко проверить, |7| = 2).
Новый базис получаем из матричного равенства (см. «Алгебра», с. 88)
/1 2 — 1 —2(6'1626364) = (6Ц612621622) И^ 0 —* \1 3 —1 0.
которое дает:61 = 1 • 6ц + 2 * 6i2 + 1 • 62i + 1 •которое дает:61 = 1 • 6ц + 2 * 6i2 + 1 • 62i + 1 •б22 —б22 —/1 °к /° 2^ I /0 о\ , /О 0\ _ /1 2\ “(j) оу + ^о o^U о)+ Vo v~u 1У* 62 = 2 • бц -|- 3 • 6i2 + 2 ‘ 62i + 3 • б22 = ^2 3\/1 °к /° 2^ I /0 о\ , /О 0\ _ /1 2\ “(j) оу + ^о o^U о)+ Vo v~u 1У* 62 = 2 • бц -|- 3 • 6i2 + 2 ‘ 62i + 3 • б22 = ^2 3\631 • 6ц + 0 • 6i2 + 1 • 62i — 1 • б22 —^64 = —2 • бц — 1 * б12 + 4 • 62i + 0 • 622 =/ 2631 • 6ц + 0 • 6i2 + 1 • 62i — 1 • б22 —^64 = —2 • бц — 1 * б12 + 4 • 62i + 0 • 622 =/ 20\—1/—1\О *0\—1/—1\О *Координаты У1, у2, у3, у4 вектора а в новом базисе определяются из уравненияКоординаты У1, у2, у3, у4 вектора а в новом базисе определяются из уравнения
которое дает:
61 = 1 • 6ц + 2 * 6i2 + 1 • 62i + 1 •
которое дает:
61 = 1 • 6ц + 2 * 6i2 + 1 • 62i + 1 •
б22 —
б22 —
/1 °к /° 2^ I /0 о\ , /О 0\ _ /1 2\ “(j) оу + ^о o^U о)+ Vo v~u 1У* 62 = 2 • бц -|- 3 • 6i2 + 2 ‘ 62i + 3 • б22 = ^2 3\
/1 °к /° 2^ I /0 о\ , /О 0\ _ /1 2\ “(j) оу + ^о o^U о)+ Vo v~u 1У* 62 = 2 • бц -|- 3 • 6i2 + 2 ‘ 62i + 3 • б22 = ^2 3\
631 • 6ц + 0 • 6i2 + 1 • 62i — 1 • б22 —^
64 = —2 • бц — 1 * б12 + 4 • 62i + 0 • 622 =/ 2
631 • 6ц + 0 • 6i2 + 1 • 62i — 1 • б22 —^
64 = —2 • бц — 1 * б12 + 4 • 62i + 0 • 622 =/ 2
0\
—1/
—1\
О *
0\
—1/
—1\
О *
Координаты У1, у2, у3, у4 вектора а в новом базисе определяются из уравнения
Координаты У1, у2, у3, у4 вектора а в новом базисе определяются из уравнения
которое равносильно следующей системе:
Ух + 2у2 — уз — 2у4 = 5,2yi 4- Зу2 — У4 — 7,
У1 -j- 2у2 + Уз + 4у4 = 3,У1 + Зу2 — уз =6.
Решая эту систему, получаем У1 = 2, у2 = 1, у8 = —h У4 = 0.
Упражнения для самостоятельного решения
Найдите координаты вектора г = 8 + 9i пространства С комплексных чисел над полем R в базисах: а) —, —3t; б) 2 — i, 4L
Найдите координаты вектора а = (6, 0, —5) пространства R3 в базисах:
(3, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0,1);
(1, —1, 0), (1, 2, 3), (0, 1, —1)
и сделайте проверку.
Найдите координаты вектора а = (g ^ пространства М2 вещественных квадратных матриц 2-го порядка в базисе
/3 3\ /—2 3\ /1 0Х /0 1\
U Of ^ 2 If 1,0 Of \0 oj
и сделайте проверку.
Найдите координаты вектора f (х) = 6 — 5х + х2 из вещественного пространства многочленов степени ^ 3 в базисах:
а) —2, —х, 2х2, х3; б) 1, х — 1, (х — I)2, (х — I)3 и сделайте проверку.
Как изменятся координаты данного вектора а, если:
в заданном базисе поменять местами два его вектора, например первый вектор со вторым;
вместо базиса еь е2, ...,еп взять базис еп, еп_Х1.... ех?
Найдите матрицы Переходов от базиса ех, е2, е3 пространства R3 к базису вь вг, вз и обратно, а также координаты вектора а = = (3, 5, —4) в этих базисах, если
ех = (1, 0, 0), е2 = (0, 1, 0), е3 = (0, 0, 1);ех = (1, 0, 0), е2 = (0, 1, 0), е3 = (0, 0, 1);е\ = (1, 1, 0), < = (0, 1, 1), ^ = (1, 0, 1).е\ = (1, 1, 0), < = (0, 1, 1), ^ = (1, 0, 1).
ех = (1, 0, 0), е2 = (0, 1, 0), е3 = (0, 0, 1);
ех = (1, 0, 0), е2 = (0, 1, 0), е3 = (0, 0, 1);
е\ = (1, 1, 0), < = (0, 1, 1), ^ = (1, 0, 1).
е\ = (1, 1, 0), < = (0, 1, 1), ^ = (1, 0, 1).
/1 0 IX
Пусть Т =| 0 2 1 — матрица перехода от базиса аъ КО 1 1/
а2, а3 к базису Ьъ Ь2, Ь3. Найдите координаты вектора а= Зах— — а2 + 2а3 во втором базисе и координаты вектора b =4 Ьх— Ь2 + + З&з в первом базисе.
В вещественном пространстве многочленов степени ^ 2 найдите матрицы переходов от базиса 1, х, х2 к базису 1 —х + 2х2, —1 + ^х — Зх2, х и обратно, а также координаты многочлена f (х) = —4х2 в каждом из этих базисов.
В пространстве вещественных квадратных матриц 2-го порядка над полем R найдите матрицы перехода от базиса
е = Р 0\ _ = /О 1\ _ = /О ОХ й _ /О ОХ1 1,0 Of 2 \0 Of 8 Ц Of 4 \0 1/
к базисук базису/ _ /0 2L _ /О 0\ v _ /1 1
к базису
к базису
2 ^0 1Г 3 ~ 11 2F 4 “ u 1
5 ^4) в кажД°м 113 этих базисов. Сделайте проверку.
Может ли матрица
В = 0 1\2 ОВ = 0 1\2 О1 2 —31 2 —32121служить матрицей перехода от базиса ei = (1, —1, 0), е2 — 0. 2, 3), е3 = (О, 1, —1) пространства R3 к новому базису того же пространства? Если да, то найдите новый базис и координаты вектора а = = (2, 1, 3) в этом базисе.
В = 0 1
\2 О
В = 0 1
\2 О
1 2 —3
1 2 —3
2
1
2
1
Докажите, что пространство матриц с действительными элементами вида ^ ^ над полем R изоморфно пространству С комплексных чисел над тем же полем. Укажите взаимно однознач
ное соответствие, сохраняющее операции.
Убедитесь в том, что вещественное линейное пространство F3 многочленов степени ^ 2 изоморфно арифметическому линейному пространству R3. Если векторам базиса 1, х, х2 пространства F3 сопоставлены соответственно векторы базиса (1, —1, 0), (1, 2, 3), (0, 1, —1) пространства R3, то какой вектор ср (х) из F3 будет соответствовать вектору в = (2, 1, 3) из R3 и какой вектор из R3 будет соответствовать вектору f (х) = —4х2 из F3?
Докажите, что отношение изоморфизма линейных пространств над одним и тем же полем является отношением эквивалентности.
Докажите, что если два линейных пространства L и L' изоморфны, то произвольной линейной комбинации векторов пространства L соответствует такая же линейная комбинация соответствующих векторов пространства L'.
В пространстве вещественных квадратных матриц 2-го порядка разложите векторы «i = ^ | ®)> а» = 1'
5
е21 = ^ q), е22 =®). Убедитесь в том, что в R4 система век
торов, составленная из координатных строк векторов аи а4, as, линейно зависима. Следует ли отсюда, что система векторов аъ а^ а3 также линейно зависима, и если да, то почему?
Используя свойство сохранения ранга при изоморфном отображении, найдите ранг следующих систем векторо'в в соотвеТствую-
5 2\ \—1 V5 2\ \—1 V) по векторам базиса еи = ^ ^j, е12 = ^ q),) по векторам базиса еи = ^ ^j, е12 = ^ q),щих пространствах:
5 2\ \—1 V
5 2\ \—1 V
) по векторам базиса еи = ^ ^j, е12 = ^ q),
) по векторам базиса еи = ^ ^j, е12 = ^ q),
_/1 2\_/—Г3\ - =(—50\-/00\.
”(1 2/I 4 5р3(2з)*°41—3—1)’
б) /г =1 + 2х+х2+ 2х3, /2 = — 1+Зх+4х2 +5х3,
/з =-5 +2х2+Зх3.
ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА И МНОГООБРАЗИЯ
Подпространства линейного пространства
Примеры
В арифметическом пространстве R4 найдем подпространство L решений однородной системы
13х4 — Х2 — Х3 ~Н ^4 в О,
[ X! + 2х2 — х3 — х4 = О,
его размерность и базис.
Решение. Составим матрицу данной системы и преобразуем ее к лестничному виду:
Л _ /3 — 1 —1П1-4 ( 1—1—1 3\/1—1—13\
Ц 2—1— V~ t—1 2—1 V^ 1—24Д
Таким образом, система приводится к виду
(х4 — х2 — х3 + Зх4 = О, t х2 — 2х3 + 4хг = 0.
Придавая свободным переменным х8и Xi значения 1, 0 и 0, 1, находим фундаментальный набор решений т. е. базис L: аг = (0, 2, 1, 3), аг = (1, —4, 0, -7).
Итак, L = {лг|лг = ^«i + &2а2, къ к4 С R}, dim L = 2.
Докажем, что в пространстве М4 вещественных квадратных матриц 2-го порядка над полем R подмножество L матриц вида ^ ®j (а, 6 € R) является его подпространством, а система векторов
, = /1 0\ _/0 0\
(.0 ОД 622 ” to U
—базисом этого подпространства.
Решение. Пусть х, = (^i 0 ^„/й2 0 \—любые эле- \0 bt) \0 Ь4)
менты из L. Тогда, очевидно,
ъЛьУ1-'1^-^1 кУ1"
Следовательно, множество L замкнуто относительно определенных в М4 операций сложения и умножения на число, а потому является подпространством пространства М4.
Система векторов
е _ /1 0\ е _ /0 0\to од 622 “ to 1/
линейно независима как подсистема базиса пространства М4. Кроме того, любой элемент из L линейно разлагается по векторам еи, е22, так как для любых а и b
6363з Заказ 400
63
63
(a 0\ _ n /1 0\ f l /0 0\
to b) “ to o)+ b to 1) *u + be^
Поэтому система eu, e22 представляет собой базис подпространства L.
Зная, что F — вещественное линейное пространство многочленов степени ^ 10, £х — его подпространство многочленов степени ^ 3, £2 — подпространство многочленов степени ^ 8, содержащих переменную х лишь в четных степенях, найдем размерность подпространств £х, £2, £х П £г> £х + £2 и убедимся в справедливости формулы
dim (£х + £2) = dim £х + dim £2 — dim (£х П £2).
Решение. Пусть /х = Xq + Ххх + ^г*2 4- Х3х®—любой вектор из £х. Мы видим, что /х линейно выражается через векторы системы векторов 1, х, х2, х3, которые, как известно, составляют линейно независимую систему векторов. Следовательно, система 1, х, х2, х3 является одним из базисов подпространства £х, а значит, dim £х= 4. Точно так же убеждаемся, что система 1, х2, х*, х®, х8 является базисом подпространства £2, и потому dim £2 = 5. Подпространство £х П £г состоит лишь из тех многочленов степени ^ 3, которые содержат переменную х лишь в четных степенях. Поэтому система 1, х2 является одним из базисов подпространства £i П L3, а значит, dim (£х П £а) = 2 (откуда, в частности, следует, что сумма £х и £2 не является прямой).
Пусть /2 = Ро + Ра^2 + Pix4+ Ре*6 + Ps^8 — любой вектор из £2, тогда вектор / = /х + /2 принадлежит £х + £2, причем / = =(Х0 + Ро) ‘ 1 + М + (Х2 + р2)х2 + Х3х® + Р4*4 + Ре*6 + Рз^; как видим, сумма £х+£2 содержит все векторы линейно независимой системы векторов 1, х, х2, х®, х4, х®, х8 и любой вектор суммы линейно выражается через векторы этой системы, а поэтому данная система является базисом подпространства £х + £2, а значит, dim (£х + £2) = 7. Но 7 = 4 + 5 — 2, т. е.
dim (£х + £2) = dim £х + dim £2 — dim (£х П L^).
Подпространства £х = £ (ах, аа, а3), £2 = £ (Ьъ b3l Ь3) натянуты на следующие системы векторов:
ах = (1, 2, 1), Ьг = (2, 3, —1), а2 - (1, 1, -1). »2 - (1, 2, -2), а3 = (1, 3, 3), b3 - (1, 1, -3).
Найдем базисы и размерности подпространств £х, £а, £х f| L3, Li + £2.
Решение, а) Найдем базис и размерность подпространства £х. Для этого приведем матрицу, составленную из строк аи ай, а3, к лестничному виду:
1 21\11—11 3 3/1 21\11—11 3 3/1 О' о1 О' о2—112—111\—2 -2/1\—2 -2/12 1\0—1 — 2 - .0 0 0/12 1\0—1 — 2 - .0 0 0//121\to —1 —2;./121\to —1 —2;.
1 21\
11—1
1 3 3/
1 21\
11—1
1 3 3/
1 О' о
1 О' о
2
—1
1
2
—1
1
1\
—2 -2/
1\
—2 -2/
12 1\
0—1 — 2 - .0 0 0/
12 1\
0—1 — 2 - .0 0 0/
/121\
to —1 —2;.
/121\
to —1 —2;.
Таким образом, система векторов аъ а3 линейно независима, а вектор в3 линейно выражается через ах, а3. Но тогда по определению
линейной оболочки всякий вектор пространства £1 также выражается через векторы аъ а2, которые, следовательно, составляют базис подпространства Lt. Поэтому dim £х = 2 и
Ьг =L (®1, ®2, ®з)=£ (®1> ®2) = {'^l'^ а Ххвх + Х2Л2, Xj, Х2 С R}»
Аналогично из преобразованйй
/1 22\/122\/12 2\л*9Х
1_ з~о— 1—5~0— 1—5~п_1s
\2 3—1/\0—1—5/\00 0/к7
вытекает, что базис £2 состоит из векторов S2, Ьэ, dim £$ = 2 и £2 = {^1-^ = Рг®2 + Рз^з> Рз» Рз € R}-
Найдем базис и размерность подпространства £х П £г- По определению пересечения всякий вектор из £х П £2 имеет вид:
х = Xx<zx -Р к^й) = P2^2 -Р p8S8.
Таким образом,
(Xi, 2Хх, Хх) -р (Х2, Х2,Х2) = (р2, 2р2, 2р2) -р (Рз, Рз, Зр8)
или
(Xi + Х2, 2Хх + Х2, Хх — Х2) = (р2 -р- р,3, 2р2 + Рз, 2р2 — Зр3), откуда получаем систему уравнений для коэффициентов Хх, Х2, р,х, р2: Хх + Х2 = р2 + Рз,
• 2Хх -р Х2 = 2р2 -р Из,. Хх — Х2 = 2р2 — Зрз,
или
' Xi 4- Х2 — р2 — Из = 0, ■ 2Хх + Х2 — 2р2 — pg = 0, . Хх —-Хз — 2р2 "Р Зрз “ 0.
Приводим систему к лестничному виду:
/1 1—1—1\/11—1—1\ /1 1—1—1\
1—2—1~0—101-0—101
V1 —1—23/\0—2—14/ \0 0—12/,
Xi + Х2 — р,2 — Рз в 0,' — Х2 -р рз = О,— Р2 + 2р3 = 0.
Поскольку р.3 можно принять за свободное неизвестное, а р2 =■ = 2р3, то всякий вектор х g Lx П L^ имеет вид:
= Рз^2 “Р Рз^з = 2ps&«j -р Р3Й3 = Рз (2&3- -р S3) ” = Рз (2 . (2, 4, 4) -р (1, 1, -3)) = Рз (3, 5, 1), т. е. вектор (3, 5, 1) составляет базис подпространства £х П ^2» так что dim (£х f) Lj) = \.
в) По определению суммы подпространств всякий вектор суммы £х -Р £2 имеет вид у =хх -р л:2, где x1^L1 = L (аъ а2), х26 £2=« = ЦЬ2, ba), и потому у = охах+ о2а8 -р а862 -р а4&8, т. е. £х + Lt
есть линейная оболочка системы векторов аь а2, b2, ba. Поэтому чтобы найти базис Lt + La, нужно выделить в этой системе базис. Составляя и преобразуя матрицу со строками аь а2, Ьг, ba, имеем:
1 21 11 21 11 21 11 21 11\ Л—11 О2 НО—3/ \01\ Л—11 О2 НО—3/ \02 1\ /1—1—21 [О0 1 Г10—1—4/ \02 1\ /1—1—21 [О0 1 Г10—1—4/ \021\ /1—1—21 100 1 10О —2/ \021\ /1—1—21 100 1 10О —2/ \02 1\—1—21О 1О О/2 1\—1—21О 1О О/12 1\О —1—2О 0 1/12 1\О —1—2О 0 1/
1 2
1 1
1 2
1 1
1 2
1 1
1 2
1 1
1\ Л
—11 О
2 НО
—3/ \0
1\ Л
—11 О
2 НО
—3/ \0
2 1\ /1
—1—21 [О
0 1 Г10
—1—4/ \0
2 1\ /1
—1—21 [О
0 1 Г10
—1—4/ \0
21\ /1
—1—21 10
0 1 10
О —2/ \0
21\ /1
—1—21 10
0 1 10
О —2/ \0
2 1\
—1—21О 1О О/
2 1\
—1—21О 1О О/
12 1\
О —1—2
О 0 1/
12 1\
О —1—2
О 0 1/
Отсюда заключаем, что система векторов ап а2, Ь2 является одним из базисов подпространства Li + L2, так что dim (Ц + L2) = 3. Проверка: dim Lt + dim L2 — dim (Li П L2) = 2 + 2 — 1 = = 3 = dim (Lx + L2).
Найдем базис и размерность линейного подпространства L (/i> /i> /з), натянутого на следующую систему векторов пространства многочленов степени ^ 2 (над полем R):
/1 = 3 + х + 2х2, /2 = —2 + х— х2, /3 = 1 + 2х + х2.
Решение. По определению линейной оболочки всякий вектор f (х) € L (/ь /2, /3) имеет вид f (х)^ fx+^2f2+Kafa. В базисе 1, х, х2 пространства многочленов степени ^2 заданные многочлены /1, /2, /з имеют соответственно координатные строки (3, 1, 2), (—2, 1, —1), (1, 2, 1). Составим из нйх матрицу и найдем ее ранг:
/312\ / 121\ /121\ /1 21\ л 91Х
Л =J —2 1—1 ~ —21—1 ~ °51Н051МК•
\ 1 21/ \ 312/ \0—5— 1/ \0 00/ х7
Таким образом, Rg Л = 2, система строк (3, 1, 2), (—2, 1, —1), а значит, и система многочленов ft) f2 линейно независимы, строка (1, 2, 1) линейно выражается через остальные строки, а потому многочлен /3 линейно выражается через /г и /2. Следовательно, всякий вектор f (х) из L (/ь /2,/3) может быть линейно выражен через ft, f2, а потому система /х, /2 есть базис подпространства L (Zb(/1» так что его размерность
равна 2.
Упражнения для самостоятельного решения
Выясните, является ли линейным подпространством соответствующего линейного пространства каждое из нижеприведенных множеств векторов:
множество векторов пространства R”, компоненты которых целые числа:
множество векторов плоскости, исходящих из начала координат, концы которых лежат на данной прямой;
множество векторов плоскости, исходящих из начала координат, концы которых лежат на одной из осей координат;
множество векторов плоскости, исходящих из начала координат, концы которых лежат во второй четверти;
множество векторов пространства вещественных квадратных матриц порядка п над полем R, состоящее из невырожденных матриц;
множество векторов пространства вещественных квадратных матриц порядка п над полем R, состоящее из матриц, у которых первая строка нулевая;
множество векторов пространства вещественных квадратных матриц с целочисленными компонентами;
множество векторов пространства вещественных квадратных матриц порядка 2 над полем R, состоящее из матриц вида
/ а Ь\\—b а)*
Докажите, что нижеприведенные множества векторов образуют линейные подпространства соответствующих пространств, и найдите их базис и размерность:
множество векторов пространства R®, у которых первая и последняя компоненты равны между собой;
множество векторов пространства R®, которые имеют вид (а, р, а, р, а, Р);
множество векторов пространства квадратных матриц 2-го порядка над полем R, состоящее из матриц вида $ ^.
Узнайте, принадлежит ли вектор а = ^ ^ из пространства Л42 вещественных квадратных матриц порядка 2 над полем R линейной оболочке векторов
Найдите базис и размерность подпространств (соответствующих пространств), порожденных векторами:
а) «к - (2, 1, 1, 0),б) »х = (1 2, 1, 2),
а» - (3, 2, —1, —2),а2 = (2, 1, 2, 1),
aa - (1, 1, -2 ,—2),а3 = (-1, 1, -1, 1);
а4 - (—1, 0, —3, —2);
>/ 1 0\ „/—1 —6\/ 1 2\
Ох —jj, а3 = g
Л = 2х + х2, /2 = —2 + х — х2, /3 = 4 + Зх2.
В пространстве R4 подпространства Lf, L2 порождаются соответственно векторами аг, а3, аэ и Ьх, Ьг:
ах = (1, 2, 0, 1),bx = (1, 0, 1, 0),
а3 = (1, 1, 1, 0), Ьг = (1, 3, 0, 1). а3 = (3, 5, 1, 2);
Найдите базис и размерность подпространств Lb £2, Lx fl L3, Lx + L3.
И. Для пространств решений следующих систем укажите какие-нибудь базисы (фундаментальные наборы решений);
a)a)6)в)6)в)xx — 2x2 + 3x8 — 4x4 = 0, 2xx — 4x2 + . 5x3 + 7x4 = 0, 6xi — 12x2 -j- 17x3 — 9x4 = 0, 7xx — 14x2 + 18x3 + 17^4 = 0;
a)
a)
6)
в)
6)
в)
3xx + x2 — 8x3 + 2x4 + x6 = 0, 2xi — 2x2 + 3x3 — 7x4 + 2x6 = 0, . Xi — 5x2 + 2x3 — 16x4 + 3x6 = 0;
Xi 4- x2 + x3 + x4 + x6 = 0.
Докажите, что если L — линейное пространство размерности п и Lx, £2 — его подпространства размерностей г и, s, то в случае г -|- s > п пересечение Lx Q 42 содержит по крайней мере один ненулевой вектор.
Указание. Воспользуйтесь тем, что система, полученная объединением базисов подпространств Lx и L3, линейно зависима.
Докажите, что если L — трехмерное пространство, a Lx, L3 — его ненулевые подпространства, такие, что их прямая сумма дает L, то одно из этих подпространств является одномерным, а другое двумерным.
Указание. Воспользуйтесь формулой dim (Lx + £2) = = dim £x + dim L3.
Докажите, что если L — трехмерное линейное пространство, а £ъ L2—различные двумерные подпространства, to£xQ£2 —одномерное подпространство и L = Lx + L3.
Докажите, что если размерность суммы двух линейных подпространств на единицу больше размерности их пересечения, то сумма совпадает с одним из этих подпространств, а пересечение с другим.
Докажите, что если система векторов а, b линейно независима, то их линейная оболочка L (а, б) совпадает с прямой суммой Ца^ + L (&) линейных оболочек L (а), ЦЬ) соответственно векторов а и Ь.
Докажите, что если Lx и L3 — различные одномерные подпространства двумерного линейного пространства L, то L является прямой суммой подпространств Lx и L3.
2. Линейные многообразия
Примеры
Проверим, что вектор а = (1,0, 0, 0) служит вектором сдвига для многообразия решений системы уравнений
' хх + 2х2 — х3 + х4 = 1,
. 2xi + бх2 + Зх3 — х4 = 2,
Х1 + х2 — 6х3 + 4х4 = 1,
• Xi + Зх2 + 4х3 — 2х4 = 1,
и найдем базис направляющего подпространства L этого многообразия.
Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что вектор (1, 0,0,0) служит решением данной системы и поэтому является вектором сдвига для многообразия решений.
Для отыскания базиса направляющего подпространства L строим фундаментальный набор решений соответствующей однородной системы. Имеем:
121Л121Л251325132 —11\1 б —3)’2 —11\1 б —3)’1\ /12—11\
1
2
1
Л
1
2
1
Л
2
5
1
3
2
5
1
3
2 —11\
1 б —3)’
2 —11\
1 б —3)’
—11101б—3UZ1
4 ПО000V0
—2/ \0000/
[ хх 4- 2х2 — х8 4- х4 = 0,( х2 4- 5х8 — Зх4 = 0.
Полагая здесь поочередно х8 — 1, х4 — 0 и х8 = 0, х4 = 1, получаем фундаментальный .набор из двух решений:
ах = (11, —5, 1, 0), а2 = (—7, 3, 0, 1).
Таким образом, многообразие М решений системы можно представить в виде:
М = а 4- L = (1, 0, 0, 0) 4- кх (11, —5, 1, 0) 4- ка (—7, 3, 0,1), ^i, Л2 € R.
Докажем, что прямые (одномерные многообразия) Afi = = «1 4- L4 и Л12 = «а + ^2 линейного пространства L пересекаются и не совпадают тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
система векторов Ьх и ba, порождающих подпространства Lx и L2, линейно независима;
вектор «1 — а2 линейно выражается через векторы Ьх и ba.
Решение. Пусть прямые Afi и Af2 пересекаются в точке а и не совпадают. Тогда Lx Ф La (см. «Алгебра», с. 97). Отсюда следует, что система векторов йъ ba линейно независима. Кроме того, так как а £МХ иа ( Afa, то а = ах 4- кЬх = aa+ f262, и, значит, «1 —■ аа — tgba —— ^i^i*
Обратно, пусть прямые Afi = ах 4- ^i, Ма =аа 4- ^2^2 таковы, что выполняются условия 1) и 2). По условию 2) Д1— а2 = = txbx 4- taba, т. е. «1— /1&1 = аа + taba, а так как ax — txbx£ Мх, аа 4- taba € Afa, то прямые Afi и Afa пересекаются.
Упражнения для самостоятельного решения
Докажите, что векторы х, у линейного пространства тогда и только тогда принадлежат некоторому линейному многообразию Af с направляющим подпространством L, когда их разность * — у принадлежит L.
Докажите, что если у € л: 4- £, то у 4- £ = •* 4- £•
Докажите, что если Lx и La — подпространства линейного пространства L и Afx = л?1 4- Lx, Ма= ха-\- La, то линейные многообразия Afi и А1а совпадают тогда и только тогда, когда Lx = = La и хх — хг € La.
Указание. Если Мх = М2 = М, то хх = Хд-\-аь гдеа26£2, т. е. хх — х.^ Lg. Если аг € Lb то существует вектор а2€ Le, такой, что х2+ аг = *1+ ах, т. е. ах€ 12. Значит, LtE ^- Аналогично L2 с Lx-
23. В пространстве вещественных квадратных матриц порядка 2 над полем R заданы два многообразия Нй = ай + L и Нх = ах + L, причем
а _/23\ _ = Л 3\
° (б — 4/’ в1 [б — ej* a L есть подпространство матриц вида
'а 0\
О ь)"
Найдите базис L и выясните, совпадают ли Но и Нх-
24. Найдите базисы направляющих подпространств и векторы
сдвига для многообразий решений следующих систем уравнений:
г Хх 4* х2 — х3 —|- х41,
(2хг — х2 + х3 + 2х4 = 2, ( хг — 2х2 + 2х3 + х4 = 1;
Хх 4* х2 + х3 = 1;
в)
хх — х2 + 2х3 — х4 = 1
ХХ — Х2 + Хд — Х4
= 0.
хх — ^2 + 5х3 — х4 = 4, • Х1 — Х2 + 6х8 — х4 = 5. 25. Выясните, пересекаются
(векторные многообразия)
ли в пространстве R4 прямые
Mx = аг 4* ^1 и
Мд — аг -f- Х2&2,
юли:
«i =(—1.—2, 0,3),
&х=( 1,—1, 0,2),
ах =( 2,3, 1,—2),
Ьх =( 1,—1, 0,2),
ах =(—1,—2, —1, 3),
Ьх =( 1,—1, 0,2),
а2 = (2, 1, 0, 3), Ьд = (1,2, 0, -1);
ад = ( 1, 3, 1, —3), Ьд = (-2, 2, О, -4); а2 =(2, 1, 0, 3),
Ьд = ( 1, 2, 0, -1).
В тех случаях, когда прямые пересекаются, найдите точку их пересечения (общий вектор многообразий Мх и Мд).
26. В пространстве R2 подпространства Lt и Lg порождены соответственно векторами Ьх — (2, 1) и Ьд = (3, 3). Докажите, что прямые Мх = аг + ^i, Мд = а2 + Х262, где ах = (1, —1),
ах = (2, —2), пересекаются, и найдите точку их пересечения.
27. В пространстве Мд всех вещественных квадратных матриц 2-го порядка над полем R подпространства Lx и Lg порождены
соответственно векторами
6 _(21\ ь /-1 2\
»1-(0 -1)’1 Of
Покажите, что одномерные многообразия Afi = ах + ^i и Мд — а2 4- Х2д2, где _/_1 _2\!\ 2\
01 ” (—1 2f2 (о о;*
пересекаются и не совпадают. Найдите общий вектор многообразий.
Глава Ш
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
Примеры
Докажем, что любое n-мерное вещественное векторное про* странство можно превратить в евклидово пространство.
Решение. Надо доказать, что в любом конечномерном про- странствё L над полем R можно определить скалярное произведение. Пусть еъ е^ ..., еп — любой базис пространства L, х и у— любые векторы из L, а аъ а2, ..., ал и ри р2, .... рл — их координаты в данном базисе:
х = «А + «2е2 + ... + але„, у = ^ + р2е2 + ... + рлел, где. az, Р/ € R (i = 1, 2п). Положим
(х, у) = о^рх -f- а2р2 4- ... + алРл(1)
и покажем, что при таком определении все свойства 1—4 скалярного произведения векторов (см. «Алгебра», с, 102) будут выполнены.
Имеем:
(х, х) = «2 + а| + ... + «2.
Поэтому в силу свойств поля R (л:, х) *> 0. Кроме того, (х, х)=0 лишь тогда, когда ах = а2 = ... = а„ = 0, т. е. когда х = 0.
Из коммутативности умножения в R вытекает, что
(х, У)= 2 “^ = 2рА = ^» х^иi=i
Поскольку вектор fey имеет в базисе ех, е2еп координаты k^, fep2, .... fep„, то по свойству дистрибутивности умножения относительно сложения в поле R
пп
(х, ky) = 2 «i Wi) = 6 2 ”z^ = 6 ^ y)'1=11=1
Пусть вектор z имеет в базисе ех, е^ .... е№ координаты Ti, ?2. •••. Тл- Тогда вектор у + z имеет координаты рх4- уъ Р2 + у2, .... Ря + Ул- Пользуясь свойством дистрибутивности умножения относительно сложения в поле R, получим:
73734 Заказ 400
73
73
(х, у 4-») = 2.а<№ + v<) - 2«д+2а,т< ^я* ^+^' ^* i=iм t=i
Полученные результаты означают, что формула (1) определяет в L скалярное произведение и потому L с заданным формулой (1) скалярным произведением является евклидовым пространством.
Докажем, что в n-мерном пространстве F многочленов степени ^ п — 1с действительными коэффициентами скалярное произведение двух векторов можно определить формулой
6
(L 8) = J f W 8 ДО dx,(2)
а
где а и b — фиксированные действительные числа, а < Ь.
Решение. Используя свойства определенного интеграла и формулу (2), получим:
Q. b = JPWdx^O, и если Q, f) = 0, то f = O-f-О-х-Ь + ... 4- 0 • ь6
V. g) = §f(*)g(x)dx = ^ g^t^dx = ^g, f);
aa
bbb
(A kg)= ^f(kg)dx = ^ k^dx = k^gdx = kQ, g);
aaa
bbb
(A fi + k)= Jf(A4-f2)^= $!№ + ^№=V, fM,^.
aaa
Полученные результаты означают, что формула (2) определяет в F скалярное произведение.
Докажем, что в любом n-мерном евклидовом пространстве справедлива теорема косинусов.
Решение. Пусть векторы а, Ь, с обозначают соответственно вершины А, В, С некоторого треугольника, тогда по определению длины вектора получим:
|Л8| = |а — &| =У(д — Ь, а — Ъу|ЛС| = |а — с| =К\а — с, а — с),|8С| = |» — с| =Уф — с,Ь — с).
Обозначая через а величину угла между векторами 6— а и с — а, имеем по определению:
Применяя свойства скалярного произведения, найдем, что 74
|ABI2 + |АС|2 — 2 • ]ЛВ| • |ЛС1 • cos а =
= («-», a-b^a-с, а-с)-2.\АВ\.\АС\.^^^-= = (а, а) — 2 (а, 6) + (6, 6) + (а, а) — 2(а, с) + (с, с) — — 2(6, с)+2(а, с)4-2(а, 6)—2 (а, а)= (6, 6) — 2(6, с) + (с, с)= = (Ь — с, b — c)= \BCf.
Итак,
|ВС|2 = |ЛВ|2 4- |ЛСр — 2|ЛВ| • |ЛС| • cosa, что и следовало получить.
Упражнения для самостоятельного решения
Выясните, можно ли в n-мерном арифметическом векторном пространстве R" задать скалярное произведение (л?, у) с помощью формулы
(х, у) = a^i 4- 2a202 + За303 + ... + ла„0„, где X = (аъ a2, .... a„), у = (0Ь 02, .... 0„).
Можно ли в любом л-мерном вещественном пространстве задать скалярное произведение формулой
(•К» У) = ai • 01 + a2 * Ра + ••• + a«-i • 0Я_1»
если аь а2, .... a„_v а„ и 0Ь 02, ..., 0„_1, 0„ — координаты векторов х и у в некотором фиксированном базисе?
Докажите, что из определения скалярного произведения вытекают следующие его свойства:
(х, 0) = 0;
(Хх — х2, у) = (хъ у) — (хй, у).
В задачах 7—9 скалярное произведение арифметических векторов определяется формулой
((«i. а2, .... а„), (0Ь 02, ..., 0„)) = 0^0 2 + аДН- ... + а„0„.
Найдите длины арифметических векторов
a = (3, 2, 1, 1, 1),6 = (—5, 0, К?, —2V3)
и расстояние между точками
х = (5, 7, 5, 7, 2), у = (6, 4, 4, 4, 6).
Определите угол между векторами а и 6:
а = (2, 1, 3, 2),6 = (1, 2, —2, 1);
а = (4, 0, 2, 0, 4), Ъ = (3, 3, 3, 3, 0).
Определите длины сторон и внутренние углы треугольника, вершины которого А, В, С заданы соответственно векторами:
a = (0,2,1),6 = (1 ±, 2),с = (1,2,0);
а = (3, —1, 3, —1), Ъ = (4, 0, 2, 0), с = (3, 1, 3, 1).
Покажите, что в любом евклидовом пространстве для всякого вектора х и всякого действительного a
|ax| = |a| • | x|.
Докажите, что в любом л-мерном евклидовом пространстве справедливы теоремы:
4*
сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон;
квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из одной вершины.
Докажите, что для любых векторов а и b евклидова пространства имеет место равенство
|« + &|2 + \а. — bV = 2(|а|2+ |&|2).
Докажите, что если а и b— такие векторы евклидова пространства, для которых |а| = |&|, то
(а — 6, а + &) = 0.
Докажите, что если а, Ь — векторы какого-либо евклидова пространства, причем (а, 6) = 0, то
|а + &|2 = |а|2+ |&|2.
Напишите неравенство Коши—Буняковского для векторов f (х) и g (х) пространства F многочленов степени ^ п — 1 над полем R, если скалярное произведение в пространстве F задано так, как в примере 2 данного параграфа.
Напишите неравенство Коши—Буняковского для векторов
-V = («ь «2«А У = (Рь РгРя)
пространства R", если скалярное произведение в R” определено так, как в примерах 7—9 данного параграфа; используя это неравенство, докажите следующие неравенства:
КаА + КаД + .... + К«Д <
di ф а2 + ... + ап + V^1+ 62+ ... + Ьп,
где аь а2, .... ап, 6Ь Ь2, ..., Ьп — любые положительные числа;
К(«1 — Ь^ +(а2 — Ь^ 4-... +Д— 6„)2< <К«!2+4+-+^ + И>И^+- + ^
где аъ ай, ..., ап, Ьъ Ьй1 .... Ьп — любые действительные числа.
Покажите, что в неравенстве Коши—Буняковского
(х, у)2 < <х, х) (у, у)
равенство имеет место тогда и только тогда, когда система векторов X и у линейного зависима.
Указание. Если векторы х, у линейно независимы, то при любом а вектор х — ау ^ 0, откуда (х — осу, х — осу) = = (У. У) а2 — 2(х, у)а+(х, а:)>0. Рассмотрите дискриминант этого квадратного трехчлена.
Докажите, что для любых векторов х, у евклидова пространства справедливо неравенство
I* + у| < 1^1 + |у| (неравенство треугольника).
Докажите следующие неравенства;
1*1 — lyl < I* + у|;
1*1 — | у I < I* —У1.
где х, у — любые векторы евклидова пространства.
§ 2. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ. ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС. ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ
Примеры
Исследуем на ортогональность векторы ах = (2, 1, —4, 2) и «2 = (4, 8, 2, —4), заданные своими координатами в некотором ортонормированном базисе пространства R4, а затем пронормируем эти векторы.
Решение. Так как векторы ах, а4 заданы координатами в ортонормированном базисе, то (ах, а4)=2 -4+ 1 • 8 +(—4). 24- 4-2 • (—4) = 0, а потому векторы ах, а4 ортогональны и составляют линейно независимую систему.
Нормируя ах и а2, получаем векторы
— V(«Г«Э ~ /4 + 1 + 16+Т5\ 5 ’ 5 ’5*5/*
Vta^a"^ /16+ 64 4- 44- 16102U’s’?’5/
Методом ортогонализации построим ортонормированный базис подпространства Lx, натянутого на следующую систему векторов пространства R4: ax = (1, 0, 0, —1), а4 = (2, 1, 1, 0), а3 = (1, 1, 1, 1), а4 = (1, 2, 3, 4), as = (0, 1, 2, 3), заданных своими координатами в некотором ортонормированном базисе.
Решение. 1) Находим сначала базис подпространства Lx = Цах, о4, о3, о^, о6У-
(
1 0 0 —1\/10 0 —1\/10 0 —1\
2110\/01121/01121/100—1\
1111 | —10 1121 — 0 000 К-0112
1 2 34/\Q23_5/10 011/ко011/,
0 123/\0 123/\0 011/
е. ранг данной системы векторов равен 3 и система векторов «1, а4, а4 линейно независима. Следовательно, векторы ах, а4, а4 составляют базис Lv
Ортогонализируем найденный базис. Положим Ьх = ах. Второй вектор Ь4 получим по формуле
Ь4 = а4—ьх.фх, ьх)
Имеем: (а4, бг) = 2 • 1 4- 1 • 0 4- Ь 0 4- 0 • (—1) = 2, (&н ЬЛ= = Р + о= + О2 4- (-1)2 = 2 и b4 = а4 - 1 • bx = (1, 1, 1, 1).
Третий вектор.63 получим по формуле
6 = а4 - (£^) Ъх —Ь4,
откуда »з = а4 — т^1 — •£ »2 = (0, — -. -. ОL
Следовательно, система &ь &2, &9 является искомым ортогональным базисом. (Ортогональность базиса легко проверяется, например,
(»ь 63 ) = 1 .0 + 0 . (—1) + о . 1 +(-1) . О = 0.)
Нормируем найденный ортогональный базис:
61 =61 =—^== 4k=(£!_, о, о, -т
61 =
61 =
(K»i, »i)/221\ 22 /
е = —А_ = ^ = (1 1 1 1\
2/(&2.^2 U’ 2* 2’ 2/*
68 —68 —УОмйУОмй= У2Ь8 = (о, -УХ,УХ, о'
68 —
68 —
УОмй
УОмй
s I >22
Итак, ортонормированным базисом подпространства Lx является система векторов
е8 = к-УХ, УХ, о\
8^22/
В евклидовом пространстве многочленов степени ^ 2 над R со скалярным произведением, задаваемым равенством (Д g) = =j7 (х) g (х) dx, ортогонализируем базис Д(х)= 1, f^x^x, Д(х)=х2.
Решение. Строим по данному базису новый базис Ф1(х), Ф2 (х), Фз (х). За первый вектор принимаем Ф1 (х) = Д (х), т, е. Ф1(х) = 1. Второй вектор ф2(х) ищем в виде
ф2М = fM + ^iW = X + м,
где
(Ф1> Ф1)(Ф1> Ф1)1f 1 • 1 • dx1f 1 • 1 • dx2112*2112*
(Ф1> Ф1)
(Ф1> Ф1)
1
f 1 • 1 • dx
1
f 1 • 1 • dx
21
12*
21
12*
Следовательно, <р2М = х — ~ • \ = х —^ е
Третий вектор ф3(х) ищем в виде
<PaW = fsW + Hi Ф1М + Н2Ф2М,
где
и (Лм Ф1)1 „ e ^з» Фа) e _ 1
lit =* — —* «з . Пл «” — !•
(Ф1» Ф1)3(ф2, ф2)
Таким образом, вектор Ф3(х) = ха — — • 1 — 1 • lx — уj =
=х2— х 4* --• Следовательно, искомый базис состоит из векторов
Упражнения для самостоятельного решения
Покажите, что в евклидовом пространстве многочленов степени ^ 2 над полем R со скалярным произведением, задаваемым
формулой (f, g) = V Rx)g (x)dx, векторы к(х)= 1, t^=x, f8(x)=
попарно ортогональны. Составляют ли они базис этого
пространства?
Ортогонализируйте нижеприведенные системы векторов, заданных своими координатами в некотором ортонормированном ба-'
аНЗ. 2, 1,), (1, 0, 2), (1, 1, 3)$
б) (1, 1, —1, —2), (4, 1, —2, 3),(3, 4, —1, 2).
Убедитесь в попарной ортогональности найденных векторов непос
редственно.
Произведите нормирование векторов ортогонального базиса ^(х) = 1, /2(х) = х —-, /8(х) — х1 — х + — веществен-
26
ного пространства многочленов степени <2 со скалярным произведением, задаваемым формулой (f, g) — jf (х) g (х) dx (см. пример 3). В полученном ортонормированном базисе найдите координаты векторов
Л(х) = — (1 + 2 /З) + 4 /3 х, f2(x) = 2 + /5 — 6/5 х + /5х2 и вычислите (fu f2), ^l, |f,|. Убедитесь в том, что векторы ^ — fe и fi + fa взаимно ортогональны.
Покажите, что в евклидовом пространстве вещественных функций, определенных и непрерывных на отрезке —л ^ х ^ л, со скалярным произведением, задаваемым формулой (f, g) —
Л
а J f (х) g (х) dx, любые два вектора системы —Л
sin х, cos х, sin 2х, cos 2х, .... sin пх, cos пх
попарно ортогональны.
Докажите, что если аъ а», ..., аА — система попарно орто
гональных векторов, то
I#i -f- ^2 + ••• + #д12 - l«il2 + ^г!2 + ••• + 1®л12 (обобщение теоремы Пифагора).
Докажите, что если ненулевой вектор b € Е" ортогонален каждому из векторов аи aa, ...,afe, то он ортогонален каждому из векторов подпространства L, натянутого на векторы ах, а2,.... ак, не содержится в L, а система векторов аь а2, ..., ак линейно независима.
Докажите, что подпространство L векторов пространства Еп, ортогональных ненулевому вектору b € Еп, имеет размерность п — 1.
В последующих примерах 11—16 пространство R” понимается как n-мерное арифметическое евклидово пространство, в котором скалярное произведение любых векторов а = (ат, а2, ...» а„) и 6 = (0Ь ₽х» • ••, Рл) определяется по формуле
(а, д) = ахрх + а2 Р2 + ... + «пРя»
Ортогональную систему векторов ах = (1, —2, 2, —3), аг = (2, —3, 2, 4) евклидова пространства R4 дополните до ортогонального базиса этого пространства.
Указание. Ортогонализируйте фундаментальный набор решений системы уравнений
(«ъ^) =.0, (а2,х) = 0.
Проверьте, что векторы системы ах = ^, ^, у, -0, ай = fy, ^, —^, —^ евклидова пространства R4 ортогональны
и нормированы, и дополните данную систему до ортонормирован- ного базиса этого пространства.
В евклидовом пространстве R4 для подпространства L решений системы уравнений
4х4 — 2х2 — х3 — х4 = 0,—2хт + х2 — 2х3 + х4 = 0,—6х4 -|- Зх2 — 9х3 + 4х4 = 0
постройте ортогональный базис.
Постройте ортонормированный базис подпространства, натянутого на следующие системы векторов:
ах = (1, 2, 0, 1), а2 = (1, 1, 1, 0), аа = (1, 0, 1, 0), а4 = (1, 3, 0, 1);
ах = (1, 1, 1, 1), а2 = (1, —1, 1, 4), а3 = (1, 3, 1, 3), а4 = (1, 2, 0, 2).
Найдите ортонормированную фундаментальную систему решений для системы уравнений:
а)а)2хх — х2 + 5х3 + 7х4 = 0, 2х4 — х2 — х3 — 5х4 = 0, 4хх — 2х2 + 7х8 + 5х4 = 0;2хх — х2 + 5х3 + 7х4 = 0, 2х4 — х2 — х3 — 5х4 = 0, 4хх — 2х2 + 7х8 + 5х4 = 0;б) ( 2хх — 4х2 + 5х3 + Зх4 =0, ] Зх4 — 6х2 + 4х3 + 2х4 =0, I 4хг — 8x2-f- 17х84-11х4=0,б) ( 2хх — 4х2 + 5х3 + Зх4 =0, ] Зх4 — 6х2 + 4х3 + 2х4 =0, I 4хг — 8x2-f- 17х84-11х4=0,
а)
а)
2хх — х2 + 5х3 + 7х4 = 0, 2х4 — х2 — х3 — 5х4 = 0, 4хх — 2х2 + 7х8 + 5х4 = 0;
2хх — х2 + 5х3 + 7х4 = 0, 2х4 — х2 — х3 — 5х4 = 0, 4хх — 2х2 + 7х8 + 5х4 = 0;
б) ( 2хх — 4х2 + 5х3 + Зх4 =0, ] Зх4 — 6х2 + 4х3 + 2х4 =0, I 4хг — 8x2-f- 17х84-11х4=0,
б) ( 2хх — 4х2 + 5х3 + Зх4 =0, ] Зх4 — 6х2 + 4х3 + 2х4 =0, I 4хг — 8x2-f- 17х84-11х4=0,
При каких значениях параметра X векторы лх = (О, 1, X), Да = (1, —1, 1), «3 = (—2, —1, X) составляют ортогональный базис пространства R3.
В евклидовом пространстве F3 многочленов степени ^ 2 над R со скалярным произведением, задаваемым формулой Q, g) = = Jf (х) g (х) dx, ортогонализируйте систему векторов
°fl (*) = 2, /2 (х) = —х, f3 (х) = 6ха.
Покажите, что в евклидовом пространстве F3 многочленов степени ^ 2 над R со скалярным произведением, задаваемым формулой (f, 5) = Jf (х) g (х) dx, векторы h (х) = 1, f2 (х) = К3(2х—1), _ о
f3(x) = Кб (бх2 — 6х + 1) составляют ортонормированный базис. Найдите координаты alf a2, a3 и pit 0а, 03 многочленов ф4 (х) = = 1 + 2х, ф2 (х) = 1 — 5х + бх2 в этом базисе и вычислите их скалярное произведение двумя способами:
<Ф1, Фа) = ^Ф1 • Фг • dx, (фь ф2) = «!₽! + а2р2 4- ОдР3.
В пространстве С комплексных чисел над полем R скалярное произведение любых двух векторов ^i = <Zi + bxi, z3 = =a3-\-b3l определяется по формуле
(Zi, z2) = ata2 + btb3.Ортогонализируйте систему векторов их=—3 4-4i, я2 = 2 4-3t.
ах = (—6, 9, 1, 0), аг = (0, 1, 0, 1). Ортогонализируем систему векторов аъ а2:
Ьх = ах = (—6, 9, 1, 0),
». = «,-61 = а» * П5 61 = 7^(54’ 37,-9,118).
Итак, bXl bi—один из ортогональных базисов подпространства L. Найдем теперь базис L1. Как известно (см. «Алгебра», с. 118), если L есть подпространство решений системы (2), то L1— линейная оболочка векторов
сх = (2, 1, 3, —1), Ci = (—1, 0, —6, 0), являющихся строчками коэффициентов системы (2). А так как векторы сх, с2 линейно независимы, то они составляют базис пространства L1. Ортогонализируя этот базис, получаем:
ах = сх = (2, 1, з, —1),
й» = с»-ЛГ^сх = с^сх=^, 4, -6, -4).
(£11 Суv
Таким образом, мы нашли ортогональный базис </lf йй пространства 1А.
Нетрудно доказать, что система Ьъ b* dx, d4 также будет ортогональной, а потому линейно независимой. Следовательно, эта система является ортогональным базисом пространства R4.
Найдем в пространстве R4 ортогональную проекцию а и ортогональную составляющую Ь вектора У=(—4, —1, —3,4) относительно подпространства L, порожденного векторами ах = (1, 1, 1, 1), аг = (1, 2, 2, —1), а3 = (1, 0, 0, 3).
Решение. Находим базис L:
/1111\/1111\/111J\,,, . п
1 2 2 —1 ~ О 11—2^011—2 ~ о 1_9 •
к1 О 03/\0 —1—12/кО О ОО/v 1
Таким образом, искомый базис состоит из векторов а^, ай. Ортогонализируем этот базис:
bx = ax = (1, 1, 1, 1),
Ьг = «г-^Ц^Ь1 = аг-^Ь1 = аг-Ьх = ^, 1, 1, -2). (»1. 6j)4
Находим ортогональную проекцию а данного вектора У на L: »=npLybx + -^2-^-bi = -bx 4- —&2=(1, —1, —1, 5)
(6i, 6J 1 ' (62, 62) 24 1 '6 2 ' ’’’ '
и ортогональную составляющую b вектора У относительно L: b = v — а = (3, 0, —2, —1).
Поскольку вектор b принадлежит подпространству L1, то он должен быть ортогонален каждому из векторов а1( ай. Проверка дает: 82
(6, aj = 3 • 1 + 0 . 1 + (-2) • 1 + (-1) -1 = 0, ф, а^ = 3 • 1 + 0 • 2 + (-2) • 2 + (-1) • (-1) -0.
Расстоянием от точки, заданной вектором с $ £", до линейного многообразия М = а0 + L называется минимум расстояний от данной точки до точек многообразия, т. е. минимум длин векторов с — х, где х — произвольный вектор из М.
Докажем, что расстояние от г до М равно длине ортогональной составляющей вектора с— ав относительно подпространства L.
Найдем указанное расстояние для случая, когда с = (4, —1, 3, 7), а линейное многообразие задано системой уравнений
| Зх^ Н” 2х84- 2х4 = —3,
I Xi — xa -j- х4 = —3,I Зх4 —1~ 4x2 -f- Зх3 —j— х4 == 3#
Решение, а) Представим вектор с — 0О в виде с — 00 — a -f- b, где а 6 L, b^ Li-. Тогда для произвольного вектора х£ М будем иметь:
с — х = b + (0 + 0О — х\
Но так как х € М, то а^ — х 6 L, и, значит, а 4- 0О — х £L.
Поэтому ф, а + 0О — х) = 0 и
\с — х\г = ф — лг, с — х)=ф, &)+(«+ 0О— л, 0 + 0о— ^)= = |»Р+ \а^-а»-х\»>\Ъ\\
откуда следует, что при х= а + 0О вектор с—х будет иметь наименьшую возможную длину, равную |&|, что и требовалось доказать.
Решая данную систему методом Гаусса, получим:
( хг — х3 + х4 = —3,( 2хг -f- Зх3 — х4 = 6.
Придав свободным неизвестным х3, х4 нулевые значения х3 = х4 = = 0, найдем, что одним из частных решений будет вектор а6 = = (—3, 3, 0, 0), который можно считать вектором сдвига в данном линейном многообразии. Для отыскания базиса направляющего подпространства L построим фундаментальный набор решений однородной системы уравнений:
fxi — х3 + х4 = 0, ( 2ха + Зхд — х4 = 0.
Полагая х3 = 2, х4 = 0 и х3 = 0, х4 = 2, получаем искомый набор (базис L):
аг = (2, —3, 2, 0),02 = (—2, 1, 0, 2).
Методом ортогонализации по найденному базису строим ортогональный базис L:
Ьх = аг = (2, —3, 2, 0), &2 = (-Ю, —2, 7, 17).
По вектору сдвига ав и заданному вектору с составляем вектор
с—а0 = (4, —1, 3, 7) — (—3, 3, 0, 0) = (7, —4, 3, 7) и находим его ортогональную проекцию а на L:
а = npt(с — а0) =ьх + ^~-а^-Ч 62 =
F°(»i. »i)(б„ »*)2
= ^»i + ^a = (2. -6, 5, 3).
Находим теперь ортогональную составляющую b вектора с—ай относительно L и вычисляем ее длину:
6 = (с — а0) — а = (5, 2, —2, 4),|»| = /25 + 4 + 4 + 16 = /49 = 7.
Таким образом, расстояние от точки, заданной вектором с до данного многообразия, равно 7.
Упражнения для самостоятельного решения
Докажите, что если L — ненулевое подпространство евклидова пространства Е", L1 — ортогональное дополнение подпространства L, at, а3 as—ортогональный базис подпространства L, а Ьх, Ьъ .... bn_s—ортогональный базис подпространства L1, то система ах, аг, .... as, Ьь Ьй, ..., bn-s является ортогональным базисом пространства Еп.
Докажите, что если Lvh Ls — подпространства евклидова пространства Еп, причем Lx + La ф Еп, то в Еп существует ненулевой вектор, ортогональный к подпространствам Lx и L3.
В евклидовом пространстве R3 подпространство L задано системой уравнений
2хх — Зх2 -}- Зх3 — 0,хх —|- 2х2 —— Зх3 2=3 0,Зхх — х2 — 2х3 = 0.
Найдите по одному ортогональному базису в каждом из пространств L, Li, R3.
В пространстве R6 найдите базис L-L, если L является подпространством, натянутым на следующую систему векторов;
а)**1—х1»Л»v>u>—Mi**2\*>—*»1 >v,—а3=(2,1,1,3,—5);6)^=(1,1,1,2,—1),а2 = (1,— 1,— 2,0,2),а3=(2,0,—1,2,2).а)**1—х1»Л»v>u>—Mi**2\*>—*»1 >v,—а3=(2,1,1,3,—5);6)^=(1,1,1,2,—1),а2 = (1,— 1,— 2,0,2),а3=(2,0,—1,2,2).а) ах = (1, 2, 0, 3, —1),а2 - (1, —1,1, 0, —2),
а)**1—х1»Л»v>u>—Mi**2\*>—*»1 >v,—
а3=(2,1,1,3,—5);
6)^=(1,1,1,2,—1),а2 = (1,— 1,— 2,0,2),
а3=(2,0,—1,2,2).
а)**1—х1»Л»v>u>—Mi**2\*>—*»1 >v,—
а3=(2,1,1,3,—5);
6)^=(1,1,1,2,—1),а2 = (1,— 1,— 2,0,2),
а3=(2,0,—1,2,2).
Найдите ортогональную проекцию а и ортогональную составляющую b вектора с относительно подпространства L, порожденного векторами аъ аг, а4, если:
ах — (2,1, — 4), а3 = (3, 5, —7),а3—(4, —5, —6),
о = (-12, 9, -12);
at = (2, -4, 5, 3), а» = (3, -6, 4, 2), л8=(4, -8, 17,11), у= (3, —5, 2, —10).
Найдите ортогональную проекцию а и ортогональную составляющую b вектора У = (5, 2, —2, 2) относительно- подпространства L, заданного системой уравнений
2X1 4- х2 4- х8 4" Зх4 — 0,3xi -|- 2х2 4- 2х3 -j- х4 = 0,
хх + 2х2 + 2х3 — 9х4 = 0.
Найдите расстояние от точки, заданной вектором с, до линейного многообразия, заданного системой уравнений: а) с = (1. 2, -1, 1), б) с = (2, 4, -4, 2),
Г 2хг — х2 + Зх3 = 6, Г Xi + 2х2 + х3 — х4 = 1,
( Зх4 бх8 4- х4 = б; ( Xi 4* Зх2 4™ ^з — Зх4 — 2.
Докажите, что среди всех векторов данного линейного подпространства L наименьший угол с данным вектором У € £" образует ортогональная проекция а вектора У на L.
Указание. Поскольку У = а 4- Ь, где b^ IA, то (У, а)= = |а|2 и (У, л)=(а, х) для любого х € L. Получите отсюда, что
12. Найдите наименьший угол (см. упр. 11) между вектором у € R4 и линейным подпространством L, натянутым на векторы аи а2, . .. аь, если:12. Найдите наименьший угол (см. упр. 11) между вектором у € R4 и линейным подпространством L, натянутым на векторы аи а2, . .. аь, если:cos (у, х) = cos (у, а) • cos (а, х) ^ cos(y, а).
12. Найдите наименьший угол (см. упр. 11) между вектором у € R4 и линейным подпространством L, натянутым на векторы аи а2, . .. аь, если:
12. Найдите наименьший угол (см. упр. 11) между вектором у € R4 и линейным подпространством L, натянутым на векторы аи а2, . .. аь, если:
1*1, с*2, •••»«*•*«•
а) У = (2, 2,1, 1), ах = (3, 4, —4, —1),
аг = (0, 1,-1, 2);
б) У = (1, 0, 3, 0), ах = (5, 3,4, —3),
ад = (1, 1, 4, 5), а3 = (2, —1, 1,2).
В последующих примерах под пространством С понимается евклидово пространство комплексных чисел над полем R, в котором скалярное произведение любых двух векторов £х = cti + bj, 8» = а2 + bgi определяется по формуле
(^1, ^2) = QxQa 4~ ЬхЬд.
Найдите в пространстве С ортогональную проекцию а и ортогональную составляющую b вектора 2= 3 + 41 относительно подпространства L, порожденного вектором г0 = 2 4- i-
Найдите в пространстве С расстояние от точки 2 = 4 4- 12i До многообразия М. = гй 4- L, где 20 = 3 4- 4i, a L порождается вектором 2 4-/.
Найдите в пространстве С наименьший угол (см. упр. И) между вектором 2 = 1 4- I }^3 и подпространством L, порожденным вектором /3 4-т.
Г*лявя IV
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ИХ МАТРИЦЫ.
СУММА И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Примеры
Выясним, будет ли отображение ф линейного вещественного пространства в себя линейным, если:
ф (л) = 2х для всякого вектора х g L;
для всякого вектора х = (хх, х2, х3), € R8 его образ ф(л:)=* = (хх + А, х2 + к, х3 — к), где к 6 R — фиксированное число.
Решение. Отображение ф является линейным, если выполняются следующие два требования:
Ф (х + У) = Ф (•*) + ф (У);2) ф (Хлг) = Хф (х).
Проверим, выполняются ли эти требования для заданных отображений.
По условию для любых векторов х, у С L и любого X £ R
Ф (х 4- у) = 2 (х + у) = 2х + 2у = ф (л:) 4- Ф (у),Ф (Хл:) = 2 (кх) = X (2л) = Хф (х).
Таким образом, в случае а) требования 1), 2) выполнены, и поэтому отображение ф является линейным.
Если х = (хь х2, х3), то кх = (кхг, Хх2, Хх3). По условию имеем;
Хф (л:) = X (хх + к, х2 + к, х3 — к) =»= (Xxj 4- кк, Хх24-Х£, Хх3— kk^t
Ф (Хх) = (Xxi 4- к, Хх2 4- к, Хх8 — к),
е. ф (кх) Ф Хф (х) при X у= 1 и к Ф 0.
Уже отсюда следует, что если к Ф 0, то ф не является линейным отображением пространства R3. При к = 0
Ф (х) = (Xj 4-0, х2 4- 0, х3 — 0) = (xj, х2, х3) = х,
е. в этом случае отображение ф будет тождественным, а потому линейным.
Докажем, что существует, и притом только одно, линейное отображение «-мерного линейного пространства L, переводящее данные линейно независимые векторы аг, а^ ..., an£.L соответственно в данные векторы Ьи 62, ..., Ь„ б L.
Решение. По условию система п векторов аъ аг, ..., ап линейно независима, а потому она является базиёом «-мерного пространства L и любой вектор х^ L можно единственным образом разложить по векторам этого базиса:
х = ххах 4- х4а4 4-... 4- хпап.
Определим отображение ф следующим образом:
ф (х) = ххЬх + х4Ь4 + ... + x„b„.(1)
Так как ах = 1 • ах + 0 • а4 + ... + 0 • ап, то, в частности, согласно (1) получим:
ф (#1) = 1 • Ьх + 0 • 62 4- ... + 0 • Ьп = Ьх, аналогично ф (а2) = Ь4ф (а„)=6„, Таким образом, ф переводит данные векторы ах, а4ап соответственно в векторы ьх, б2ьп.
Докажем, что найденное отображение ф является линейным. Так как Кх = *Кххах 4- 'kx4a4-V ... + "ьхпап, то согласно (1) получаем:
Ф (Хх) = Xxi&i -}- Хх262 4~ ••• 4~ ^х^п =
=Х (ххЪх 4- х4Ъ4 4- ... 4- хпЬ„) = Хф (л).(2).
Кроме того, если у — любой другой вектор из L,
У = У1«1 + у»а4 4-... 4- уа, то
X 4- У = (Xi 4- У1) «1 4- (х2 4- у2) а4 4-... 4- (х„ 4- уя)«я
и по формуле (1) имеем:
Ф (х 4- у) = (хх 4- yi) »1 4- (х2 4- У?)62 4- ... 4- (х„ + у^)Ьп =
— (Х16х + х4Ъ4 4-... 4- хпЬ^ 4- (УЛ 4- Уг&2 4-... 4- Уя6„) = (3) = Ф (х) 4- ф (у).
Из результатов (2) и (3) следует, что отображение ф — линейное.
Допустим теперь, что некоторое линейное отображение ф пространства L в себя также переводит векторы ах, а4, ..., ап соответственно в 6Ь 62, .... bn.^ai) = bx, ф (02)=62, ...,ф (а„) =6„. Тогда для любого вектора х = ххах 4- х4а4 4- ... + хпаа € L ввиду линейности ф будем иметь:
ф (х) = Ф (Mi 4- х4а4 4-... 4- хпа„> =
= Х1ф (а^ 4- х2ф (а^ 4-... 4- х„ф (а^ = ххЬх 4- х262 4-... 4- х„6„, а это означает, что отображение ф совпадает с отображением ф.
Известно, что
«1 = (0, 0, 1),а4 = (0, 1, 1), а3 = (1, 1, 1);
Ьх = (2, 3, 5),62 = (1, 0, 0),63 = (0, 1, -1)
векторы линейного пространства L, заданные своими координатами в некотором базисе ех, е4, е3. В том же базисе найдите матрицу линейного отображения ф, переводящего векторы ах, а4, а3 соответственно в векторы Ьх, 62, 63.
Решение. Система векторов ах, а4, а3 — лестничная, а потому линейно независимая, следовательно (см. предыдущий пример 2), требуемое отображение ф существует и единственно. Для нахождения матрицы отображения ф в базисе ех, е^, е3 нужно об-
разы базисных векторов ф ^, ф ^е^, ф ^е^ линейно выразить че
рез векторы базиса ev е2, ^з-
Выразим сначала векторы ех, е3, е3 через векторы аь аа> «з- По условию
«1 =е3,
®1 =^2 4~ ®31
®з = ®i 4* ®г 4- ®з»
откуда
®х =— о3 4* ®з>
С3 = —®1 4* ®2> ®з = Ох.
Следовательно,
Ф («1) = —Ф («г) 4- ф (а3) = —ба 4- »3 = —®х 4- к®3 — е3) = =®1 4* ^2®3.
Ф (е2)= —ф («1) 4- ф («г) = —Ьх + Ьй = —(2ех 4- Зе2+ безНе^ = — ег + Зе2 — 5е3,
ф (е3) = ф (aj = bx = 2ег 4- Зе2 + 5е3.
Записывая последние три равенства в матричной форме, получаем:
/ —1 —1 2\
(ф (ej ф (е2) ф (е3)) = (^ е3 е3>1—33.
\ _1 —5 5)
Таким образом, матрица
/—1 _1 2\
А =1—3 3
■\—1 —5 5/
будет искомой матрицей отображения ф в базисе ei, е3, е3.
Результат можно проверить, пользуясь тем, что координатные столбцы X и V любого вектора х и его образа у= ф(х) связаны равенством
У = АХ.
Например, для векторов «х и Ьг = ф (лх) имеем верное равенство / 2\/—1 —1 2\/0\
3 =1—33.0.
V 5/\—1 —5 5/\1/
Линейное отображение ф линейного пространства R3 имеет в базисе ех = (8, —6, 7), ег = (—16, 7, —13), е3=(9, —3, 7) матрицу
/ 1 —18 15\
А = —1 —22 20 .
\ 1 —25 22/
Найдем матрицу В того же отображения в базисе < = (1, -2, 1), е' = (3, -1, 2), е'й = (2, 1, 2).
Решение. Сначала находим матрицу перехода от базиса ^1, е2, е3 к базису вр е2, е'у Имеем по определению:
(^р 8у ^3) = (^1» ^2> ^з) Т,что равносильно матричному равенству/ 132\/ 8—169\
—2—11= —67—3 7\
\ 122/\ 7—137/
Выражая отсюда Т, получим:
/ 8—169\“*/ 132\/11—3\
Т =1—67—3•—2—11=12—5 .
\ 7—137/\ 122/\13—8/
Найдем обратную к Т матрицу: "/3 —3 1\
Т"1 = 1 —3 2 .
U —2 1/
Матрицу В данного отображения в базисе вр е2, е'а находим по известной формуле (см. «Алгебра», с. 132):
(
122\
3 —1 —2 .
2 —31/
Линейное отображение ф пространства R2 в базисе av = (2, 1), «2 - О. 1) имеет матрицу
А а \2 '3/
а линейное отображение ф пространства R2 в базисе Ьх — (5, 2), Ьг = (1, 0) имеет матрицу
Я _/7,5 3,5\
Вь \4,5 1,5/
Найдем матрицы отображений ф + ф и ф • ф в базисе Ьь Ь2.
Решение. Задача сводится к нахождению матрицы Лй линейного отображения ф в базисе Ьи Ь3 по формуле Л6 =Т-1АОТ, где матрица Т есть матрица перехода от базиса ах, а3 к базису Ьх, Ьй.
Для нахождения Т выразим векторы Ьх, Ьг через аг, аг. Имеем последовательно:
Ьх — (5, 2) — Х^ае^ “И Х8ае8 — (2Xi*f* Х8, Хх •}• Х^), f 2Xj Н- Х8 = 5, I Хх + Х2 = 2,
Xj -—- 3, Х2 ■“ —1, ЬХ ==5 3tZ| — О3е Аналогично получаем Ь3 = аг — а2. Отсюда
ЛГ / 31\ Т—11_ / 11\
к-1 — 1/“2 к—1—3/
_1( 1 1W3 5V 3 1\ 1/ 7 -3\'6-2 |_i _зДг зД—1 —ij 2 V—13 5/
Известно, что матрица суммы (произведения) двух линейных отображений в некотором базисе является суммой (произведением) в обратном порядке матриц этих отображений в том же базисе. Поэтому матрицей линейного отображения ф +ф в базисе &ь &2 будет матрица
Д -и R =( 3,5 —1,5\ , /7,5 3,5\/11 2\
Аь + «ь (_6>52,5) + U.5 1,5/1—2 4/,
а матрицей линейного отображения ф • ф в базисе Ьъ 62— матрица
R Л -1/15 7\ 1/ 7 — 3\ /- °ьАь ~ 2 19 3/' 2 1—13 5) I с2
Упражнения для самостоятельного решения
Выясните, будет ли линейным отображение ср пространства R3 в себя, если для любого вектора х = (хх, х2, х3) £ R3:
а) ф (х) = (хх + 3, х2, х3); б) ф (х) = (хх — х2 + х3, х3, х2).
Покажите, что отображение ф пространства вещественных функций, определенных и непрерывных на отрезке [а, 6], ставящее в соответствии каждой функции / (х) из этого пространства функцию X
J / (х) dx, является линейным. а
а) Покажите, что в трехмерном пространстве V3 геометрических векторов, исходящих из начала координат О, ортогональное проектирование ф на некоторую плоскость, проходящую через точку О, является линейным отображением пространства в себя.
б) Пусть <р — ортогональное проектирование пространства V3 на плоскость хОу прямоугольной системы координат, а 61, б2, е3 — векторы, направленные по осям координат. Найдите матрицу ф в базисе еи е2, е3 и в базисе е\ = ех, е^ = е2, бз = 6] + б2+ е3, а также образ вектора х = 1 • ех+ 2е2+ 2е3 двумя способами: 1) исходя непосредственно из определения ф; 2) по формуле У = Л • X, где А — матрица ф в каком-либо базисе, а X и У — столбцы координат векторов х и у = ф (х) в том же базисе.
Пусть ф — ортогональное проектирование трехмерного пространства У3 на ось, образующую равные углы с осями прямоугольной системы координат, а еъ е2, е3 — единичные векторы, направленные по осям координат. Найдите матрицу линейного отображения ф в базисе ех, е2, е3.
Докажите, что если еъ е2, е3— векторы, направленные по осям пространственной системы координат, то проектирование трехмерного пространства на координатную ось вектора ех параллельно координатной плоскости векторов е2 и е3 является линейным отображением. Найдите его матрицу в базисе еи е2, е3.
Покажите, что отображение ф пространства R3 в себя, переводящее любой вектор х = (хь х2, я3) в вектор ф (х) = =(х2 + х3, 2хх + х3, Зхх — х2 + х3), является линейным. Найдите его матрицу в базисе
^ = (1, 0, 0), е2 = (0, 1, 0), е3 = (0, 0, 1).
Пусть ах = (2, 0, 3), а2 = (4, 1, 5), а3 = (3, 1, 2), »i = (l, 2,-1), »2 = (4,5,-2), »3 = (1, —1, 1)—векто
ры линейного пространства L, заданные своими координатами в некотором базисе ех, е3, е3. Определите, существует ли линейное отображение, переводящее векторы ах, а2, а3 соответственно в векторы Ьъ б2, »3, и если существует, то найдите его матрицу в базисе ех, е3, е3.
Докажите, что если линейное отображение ф пространства R" переводит линейно независимые векторы ах, а2, .., ап соответственно в векторы Ьх, Ь2, .... Ьп, то матрица Ае этого отображения в некотором базисе ех, ег, ..., еп равна В • А-1, где столбцы матриц В и А состоят соответственно из координат векторов Ьх, Ьг, ..., Ьп и ах, а2, ..., ап в базисе ех, е2, ..., е№.
Линейное отображение пространства R4 переводит векторы ах= (0, 1, —1, 2), аг = (1, 2, —3, 1), а3 = (0, 0, 0, 1), а4 = = (—2, 0, 1, —1) соответственно в векторы Ьх = (7, 6, —11, —10), »2 = (0, 7, —8, 1), Ь3 = (4, 2, —3, —6), &4 = (—1, 3, —3,-9). Найдите матрицу этого отображения в базисе «1, а2, а3) а^.
Докажите, что если ^ ^ — некоторая матрица из линейного пространстваЛ42 квадратных матрицпорядка 2 над полем
Р, то отображения фхи ф2пространства Мг,определяемыеформулами ф, (Л) = А- Iй^ иф2 (Л) = |ti jl •А, являютсялиней-
v\сd)v \с а)
ными. Найдите матрицы этих отображений в базисе
„ = /1 о\ , = /0 1\ е = /0 о\ = /о 0\
61 vo о/ 2 |д о/* 3 u oj’ 4 ^о 1/
Докажите, что если а= (1, 2, 3)—вектор из евклидова пространства R3 над полем R и для любого х = (хх, х2, х3) € R3 Ф (х) = (х, а) • а — (хх + 2х2 + Зх3) • а, то отображение ф является линейным. Найдите его матрицу:
в базисе ех = (1, 0, 0), е3 = (0, 1, 0), е3 = (0, 0, 1);
в базисе»! = (1, 0, 1), »2 = (2, 0, —1), b8 = (1, 1, 0).
Линейное отображение ф пространства L задано в некотором базисе 61, е2, е3 матрицей
/120\
Л = 2 —1 1
\302/
Покажите, что система векторов ах=ех + б2 — е8, а3= —ех—2еа,
в3=2^2 +^з составляет базис пространства L, и найдите матрицу В отображения ср в этом базисе.
Линейное отображение ф в некотором базисе е1( е2, е3, е4 имеет матрицу
/12 1 0\
д= 0112)
11100*
\1 —1 0 1/
Найдите матрицу этого отображения в базисе:
В) ^2» ^1» ^3* ^4.
йх — 6Х, «й = 61 4* 6 г, аз = 63 + 63, Utt — 63 + 6Х‘,
Ъх = ех, 62 = Зв^ 4" бз, Ьз = —5в1 4~ 2в2 4” ^з»
&4 = 7^1—Зе2 4” 2е3 4~ ®v
Линейное отображение ф пространства R3 в базисе «1 = (0, 0, 1), аг = (0, 1, 1), aa = (1, 1, 1) имеет матрицу
/20 —2\
А = 1 —11 .
\210/
Найдите матрицу В того же отображения в базисе
bi = (2, 3, 5), ba = (0, 1, 2), b3 = (1, 0, 0).
Линейное отображение ф пространства R2 в базисе ах = = (1, 2), аг = (2, 3) имеет матрицу ^ |j, а линейное отображение ф в базисе Ъх = (3, 1), Ьг = (4, 2) имеет матрицу д). Найдите матрицу линейного отображения ф 4- Ф в базисе Ьх, Ъг.
Линейное отображение ф в базисе ах = (—3, 7), a2=(h —2) имеет матрицу А = 1$ * L а линейное отображение ф в базисе Ьх = (6, —7), Ьг = (—5, 6) имеет матрицу В = Q 3) Найдите матрицу отображения ф • ф в том базисе, в котором даны координаты векторов ах, а%, Ьх, Ь^.
Пусть ф — линейное отображение в себя пространства Ft, многочленов степени ^ 3 над R, переводящее каждый многочлен в его производную. Найдите матрицу этого отображения в базисе ех = 1, ег = х, бъ = хг, ех = х3 и покажите, что отображение ф4 в том же базисе имеет нулевую матрицу.
§ 2. ЯДРО И ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ Примеры
Линейное отображение ф пространства L задано матрицей /1102\
л _ I 0 11 -3 )
112 1—11\1 0 — 1 б/
в некотором базисе еъ е2, ed. ^4. Найдем ядро и дефект отображения ф.
Решение. По определению ядро отображения ф, или кег ф, есть множество всех тех векторов х, которые отображение ф переводит в нулевой вектор: ф (х) = 0. Это означает, что кег ф состоит в точности из тех же векторов х, координаты которых хг, х2, х8, х4 (в базисе ех, е2, е3, е4) удовлетворяют условию:
1102\
0 11—31
121—1
Л 0 —15/
т. е. кег ф соответствует пространству LT решений системы
’ х4 -£•х2-{- 2х4=0,
х2+х3—Зх4=0,
х4 +2ха+х3— х4=0,
хх—х3+ 5х4=0.
Для матрицы А
системы
имеем:
/1
1
0
2\
л _ °
1
1
—31
/110 2’
А 0
1
1
—3 1 ~
1,0 1 1 —3,
\0
—1 -
1
3/
откуда следует, что ранг г матрицы А равен 2 и dim Lx = n —г = = 4—2 = 2.
Таким образом, дефект отображения ф равен 2.
а) Найдем ядро, ранг и область значений линейного отображения ф пространства /И2 вещественных матриц порядка 2 над полем R, если ф задано матрицей
/1351\
А = [2131 \
1471311
\3—111/
в базисе
вх =вх =/о 0\ V Ц/о 0\ V Ц0\ в /1 1\ , _ /0or ®2 = (о 0Г вз - (1
вх =
вх =
/о 0\ V Ц
/о 0\ V Ц
б) Выясним, принадлежит ли вектор 99
2 Ю/ И3 ^2 пространству кег ф.
Решение, а) По определению областью значений линейного отображения ф пространства /И2 является образ ф (М2) этого пространства при его линейном отображении ф. Этим образом будет подпространство, натянутое на векторы ф (ej, ф (е2), ф (е3), ф (ej, координатные столбцы которых являются столбцами матрицы А. Имеем:
/135 к
Л ~/213 —IV /1351\
10—5—7 —1 ~ ^0 —5 —7 —1/*
\0 —Ю —14 —2/
откуда ранг г матрицы Л, а значит, и ранг отображения ф равен 2.
Следовательно, базис подпространства ф (Л12) состоит из двух векторов. Если честь при этом, что первые два столбца матрицы непропорциональны, то за базис подпространства ф (Л4 2) можно принять , например, векторы
го (в е 4- 2й 4- 4е 4- Зе,= (^ ^4-^2 2\ . /0 4\ , /0 0\ /3 6\ Ф (81)- 81 + ^82 + 483 -Е de4 0J+^0 oj+(^ 4j+^3 3^8 ?j
и
Ф (eO = 3^ + 82 + 7e3 — e4 = ^ |).
Таким образом,
Ф (МО = {л | х = X, (| ^) + х2 g I), Ai, Х2 € R}.
Ядро отображения ф соответствует (см. пример 1) пространству решений системы уравнений
fx! + Зх2 + 5х3 + х4 = 0,[— 5х2 — 7х3 — х4 = 0.
Находим фундаментальный набор решений данной системы и соответствующие векторы ядра:
«1 = (—4, —7, 5, 0), а, = —4ег—7е2 + 5е3 = (~![ —2), а2 = (—2, —1, 0, 5), а' = —2et — е2 + 5е4 = (—^ lj
Таким образом,
кет ф = {х | х = Хг (—J1 —2) + Х2 Н3 —1\ Хь Х2 е -R}.
99д\
210 Е ^ег ^ тогда и только тогда, ког
да найдутся такие Хъ Х2 g R, что
/—22 —4\ j /—11 — 2\ , , /—3 —1\ /—ИХ! — ЗХ2— 2Х, —Х2\ ( 2 10/ Ч 1 5/^ 4 3 б/^ Xi + 3X2 бХ^бХ/ Отсюда имеем систему
/_ПХ{ — ЗХ2 = —22,
—2Xj — Х2 = — 4,
Xi 4* ЗХ2 =2,
5Х4 + 5Х2 =10,
решая которую получаем Xj = 2, Х2 = 0. Следовательно,
у Е ker ф.
Линейное отображение ф пространства Мг квадратных матриц порядка 2 над полем R задано в базисе
U 0/ 2 |д о)’ ез-^1 1/* Ц V матрицей
/1351\
1311
147133
\3 —11 1/.
* 4) его образ у0 = Ф (х0) и полный прообраз вектора у0.
Решение. Для координат у^ у2, у3, у4, вектора у0 имеем:
•уд = /1 з 5 1\ /—1\ / 9\ уД= 2 1 3 11/ 21 = 41 Уз = I 4 7 13 3 I I 0 I 22 I ,у4/ \3 —1 1 1/ \ 4/ \—1/
Таким образом,
Ф М = у0 = 9ег + 4е2 + 22е3 — е4 =^ 26),
Так как координаты хъ х2, х3, х4 любого прообраза вектора у0 удовлетворяют уравнению
то полному прообразу у0 соответствует многообразие решений неоднородной системы уравнений, эквивалентной уравнению (1). Координатный столбец вектора х0 является частным решением этой
системы, а общее решение соответствующей однородной системы
1351\/хд/0\
2131 1/ х21/ 0 1
47133I х8I 0
.3—111/\х4/\0/
отвечает ядру отображения ф. Если воспользоваться найденным в предыдущем примере 2 базисом ядра ф, то полный прообраз вектора у0 можно представить в виде
х6 4- кегф =
= (3 ^) + {х |х= Хх (-1 j ”2) + Х2(-^ -1), Хь Х2 € R}.
только тогда, когда ядро отображения ф является нулевым подпространством.
Решение. Напомним, что отображение ф пространства L называется взаимно однозначным, если:
Ф (L) = L и 2) из х Ф у следует ф (х) + ф (у).
Пусть ker ф ^= {0}, тогда в подпространстве кег ф, кроме нулевого вектора 0, имеется хотя бы один ненулевой вектор а. По определению ядра ф (а) = 0, ф (0) = 0, откуда ф (а)= ф (0). Итак, требование 2) не выполняется, и поэтому ф не является взаимно однозначным отображением.
Пусть теперь ker ф = {0}. Это означает, что если А — матрица ф в некотором базисе, то уравнение
имеет единственное (нулевое) решение. Поэтому |Л | ^ 0. Но тогда для любого вектора у = (уъ уг, .... y„) £ L уравнение
также имеет единственное решение. Отсюда сразу следует, что требования 1), 2) выполняются и отображение ф является взаимно однозначным.
Упражнения для самостоятельного решения
Найдите ядро и область значений линейного отображения ф пространства R8, если ф задано формулой ф (л:) = 2х. Найдите матрицу этого отображения в каком-нибудь базисе et, е^ е3 пространства R8. Покажите, что ф является изоморфным отображением пространства R3 на себя.
Исходя из геометрических соображений, найдите ядро, дефект, область значений и ранг линейного отображения ф, о котором идет речь в упражнении 8 б) § 1. Тоже самое для отображения ф, о котором идет речь в упражнении 10 § 1.
Чему равен дефект d линейного отображения ф пространства R8, если ф в некотором базисе задано матрицей
/ 1 2 0\
А =2 3 1?
\—1 0 1/
Является ли ф взаимнооднозначным отображением пространства R8 на себя?
Линейное отображение ф пространства R3 в базисе ах = = (0, 0, 1), аг = (0, 1, 1), а3 = (1, 1, 1) задано матрицей
/20 —2\
Л = 1 —11
\21 О/
Существует ли для ф обратное отображение ф-1? Если существует, то какова его матрица в заданном базисе?
Найдите полный прообраз вектора у = —ах + 2а3 нри заданном отображении ф.
Докажите, что ядро линейного отображения ф п -мерного линейного пространства L в себя является нулевым подпространством тогда и только тогда, когда в любом базисе матрица отображения является невырожденной.
Докажите, что линейное отображение «-мерного линейного пространства L в себя взаимно однозначно тогда и только тогда, когда при этом отображении любой базис пространства L переходит снова в базис.
Найдите матрицу, образ и ядро линейного отображения ф пространства R3 в базисе et = (1, 0, 0), е» = (0, 1, 0), е3= (0,0,1), если известно/ что оно любой вектор х = (хъ хг, х3) переводит в вектор:
ф (л:) = (хь —х2, 2х3);
ф (х^ = (хх — х3, хг + х2, 0).
Найдите ядро, область значений, дефект и ранг линейного отображения, о котором идет речь в упражнении 9 § 1.
В пространстве R3 задан некоторый базис аъ «2, а3,а в пространстве М2 вещественных квадратных матриц 2-го порядка над полем R заданы некоторый базис еи ег, в8, е4 и вектор 6 = =61 + 2б2 + Зе3 + 4б4; ф — отображение R3 в М2, такое, что для всякого вектора х = xtat + х2а2 + х3а3 ф (х) = хгЬ.
Докажите, что отображение ф линейно, и найдите его матрицу в заданных базисах.
Найдите базис ядра и базис области значений отображения ф.
Пусть линейное отображение ф пространства F„ многочленов степени ^п — 1 над полем R состоит в дифференцировании многочленов из Fn. Найдите образ и ядро отображения ф.
Линейное отображение ф пространства М2 квадратных матриц порядка 2 над полем R каждую матрицу А^ М2 переводит в матрицу ф (Л) = Л • Q ^. Найдите матрицу ф в базисе
е, _Ло\_ _ /оп _ _ /о о\_ /о0\
51 \00)’e2-toop ^“U opв4~\01/
а также по одному базису для ядра и области значений ф.
Докажите, что еслифиф— линейные отображения пространства L, такие, что ker ф = ker ф = (О), то ker (ф • ф) {0}.
Докажите, что полный прообраз любого вектора а при линейном отображении пространства R” является линейным многообразием в R”.
Линейное отображение ф пространства R4 задано в некотором базисе еь е2, е3, е^ матрицей
/3247\
Л = I 4—311—21
I —5з—1з1 I
\ 7—2163/
Найдите многообразие М пространства R4, которое служит полным прообразом вектора у» = —3^ + 13е2 — 14е3 + 13е4.
ИНВАРИАНТНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫИ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
Примеры
В пространстве R3 линейное отображение ф переводит любой вектор t = (х, у, z) £ R3 в вектор ф (/) = (—х, у, z) Дадим геометрическую интерпретацию заданного отображения и опишем все подпространства R3, инвариантные относительно отображения ф.
Решение. Выберем в трехмерном пространстве прямоугольную систему координат Oxyz и будем понимать каждый набор (х, у, z) из R3 как вектор, ведущий из начала координат в точку с координатами х, у, z. Все одномерные и двумерные подпространства R3 будут тогда центральными (т. е. проходящими через центр О) прямыми и плоскостями, а отображение ф будет означать симметрию относительно плоскости yOz. Следовательно, векторы этой плоскости будут переходить в себя. Понятно также, что если центральная плоскость проходит через ось Ох (т. е. если она перепенди- кулярна плоскости yOz), то любой вектор этой плоскости переходит в вектор этой же плоскости Таким образом, все двумерные инвариантные подпространства R3 — это плоскость yOz и все перпендикулярные ей центральные плоскости.
Рассуждая аналогично, получим, что все одномерные инвариантные подпространства — это все центральные прямые плоскости yOz и перпендикулярная этой плоскости центральная прямая Ох.
Пусть ф — линейное отображение n-мерного пространства L в себя, а —любой ненулевой вектор из L, a L! — подпространство L, порожденное векторами
а, ф (а), ф2 (а), ..., ф"'1 (а),(I)
где ф2(я) = ф (ф (а)), ф3 (а) = (ф(ф(ф(а))) и т. д.
Показать, что Lx — инвариантное подпространство относительно ф.
Найти базис Lu если L есть пространство Л12 вещественных (о л\
У pl, а отображение ф задано в базисе
в - fl01е _ f0 11 „ _f001-_ f001
1-\00/’а~\0 0/ 3\10/4 ^01
матрицей
О О 1 О\
О lOOt
1—10 11.
О 0 0 1/
Решение, а) Покажем сначала, что вектор ф”(«) линейно выражается через векторы системы (1). Система
а, <р (а) ф”-1 (а), ф” (а)(2)
линейно зависима в L, так как она состоит из п + 1 векторов. Поэтому найдутся такие числа Хо, Xlt ..., Хя-1, Х„, неравные одновременно нулю, что
Хо« + Х4ф (в) + ... + Хп-1ф" 1 (д) + Х„ф" (д) = 0.(3)
Пусть Х6 — последнее отличное от нуля число в последовательности чисел Хо, Хъ ..., Х„. Ясно, что ХА ^ Хо, так как 6^0. Мы имеем из (3):
ХцЛ 4- Х^ф (д) 4- ... 4- ХАфй (д) = 0.
Отсюда следует, что вектор ф*(д) выражается через предшествующие векторы системы (2):
Фй(а) = ц0« + Р1Ф (д) 4- ..4- Рй_1Ф6-1 (а).(4)
Применяя п —к раз отображение ф к обеим частям равенства (4),. получим:
Ф"(д) = Роф"^ (д) 4- р1ф"~й+1 (») 4- ... 4- р»_1Ф"-1 (а).
Пусть теперь b — любой вектор из Lx\
b = коа 4- М (а) 4- ••• 4- ^-гф”-1 (а).
Тогда
Ф (&) = к0 ф (д) 4- к^а^ 4- ...
- + k^^-^a) 4- ... 4- Нй-хФ^Чл)) € к,
т. е. Lt — инвариантное относительно ф подпространство.
Учитывая, что числа 3, 0, 0,0 являются координатами век
тора а, находим координаты аъ а2, а3, а4 вектора ф(д):
/ал/0010\ /3\/0\
а21 _ о 10О И 0\( ОL №_ /0 0\
1а3 - I 1-1о10 ~ I 3 ^W" U of
\а4/\0001/ \0/\0/
Вычисляя таким же образом векторы ф2(д) и ф3(д), находим, что система (1) в данном случае будет состоять из векторов
/30\ /00\ /30\/00\
^00/ЦЗOf ^0Of1,3Of
Баз нс этой системы, а значит, и Lx составляют, очевидно, векторы
/3 0\и /0 0\
1,0 0/\3 Of
Найдем собственные значения и собственные векторы линейного отображения ф пространства R4 над полем R, заданного в некотором базисе матрицей
/3—100\
Л =110_0 1
I 30— 5— 3 '
\4—131/
Решение. Так как мы рассматриваем линейное отображение Ф пространства R4 над полем R, то собственными значениями отображения ф будут являться лишь действительные корни его характеристического уравнения |Л — Х£ | = 0. Вычислим определитель матрицы А — ХЕ:
= (Х —2)2-(X + 2)2.
Поскольку характеристическое уравнение (X — 2)2 • (X + 2)а= 0 имеет действительные корни Х1|2 = 2, Х3,4 = —2, то собствен-, ными значениями отображения ф являются числа 2 и —2. Собственными векторами, соответствующими собственному значению X = 2, будут те и только те ненулевые векторы л: = (х1( х2, х3, х4), записанные своими координатами в том же базисе, что и матрица А, которые удовлетворяют матричному уравнению
1—10 0\ /хх\/0\
1—10 0 1 | -М -1 0 I
3 0 —7 —3 I I х8 “ \ 0 ,4—1 3—1/ \xj W
т. е. системе однородных уравнений
хг — х2 = 0,хг — х2 = 0,Зхх — 7х3 — Зх4 = 0,4хх — х2 + Зх8 — х4 = 0,
или равносильной ей лестничной системе
{
хх — х2= О,
Зх2 — 7х3 — Зх4 “; 0,
5х3 + х4 = 0.
Фундаментальный набор решений .этой системы состоит из одного вектора, например вектора (8, 8, —3, 15), а потому собственному значению Х= 2 отвечают собственные векторы вида а (8, 8, —3,15), где а — любое отличное от нуля действительное число. При X =—2 имеем:
/5А — ХЕ = А4-2Е= 1I 3\4/5А — ХЕ = А4-2Е= 1I 3\4—13О—1—13О—1о о—3 3о о—3 3о о—3 3о о—3 31 з о ох 0 10 0, 0 0 11/1 з о ох 0 10 0, 0 0 11/
/5
А — ХЕ = А4-2Е= 1
I 3
\4
/5
А — ХЕ = А4-2Е= 1
I 3
\4
—1
3
О
—1
—1
3
О
—1
о о
—3 3
о о
—3 3
о о
—3 3
о о
—3 3
1 з о ох 0 10 0, 0 0 11/
1 з о ох 0 10 0, 0 0 11/
а потому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений
Xi + Зх2 = 0,■ х2 = 0,• х8 + х4 = 0.
Фундаментальный набор решений этой системы состоит из одного вектора, например вектора. (О, 0, —1, 1). Поэтому собственному значению X——2 отвечают собственные векторы вида р (0,0, —1, 1), где р — любое отличное от нуля действительное число.
Докажем, что, каково бы ни было невырожденное линейное отображение ф трехмерного пространства V3 векторов, исходящих из начала О прямоугольной системы координат Oxyz, существует инвариантная относительно ф прямая, проходящая через точку О. Найдем параметрическое уравнение одной из таких прямых, если Ф задано в некотором базисе невырожденной матрицен
/ 316Х
А =326
\—3 _2 —7/
Решение. Пусть фРешение. Пусть фную матрицуную матрицуимеет в некотором базисе невырожденимеет в некотором базисе невырожден
Решение. Пусть ф
Решение. Пусть ф
ную матрицу
ную матрицу
имеет в некотором базисе невырожден
имеет в некотором базисе невырожден
/ ан А = а21 \а31/ ан А = а21 \а31а12 а1з\а22а23 р&32а33/а12 а1з\а22а23 р&32а33/И1 ¥= 0.И1 ¥= 0.
/ ан А = а21 \а31
/ ан А = а21 \а31
а12 а1з\
а22а23 р
&32а33/
а12 а1з\
а22а23 р
&32а33/
И1 ¥= 0.
И1 ¥= 0.
Так как V3 — вещественное линейное пространство, характеристический многочлен
«и — X а12а13
а21а22 — X а23
®41®82^ ®зз — X
отображения ф есть многочлен третьей степени с действительными коэффициентами, а потому характеристическое уравнение, будучи алгебраическим уравнением нечетной степени, имеет по крайней мере один действительный корень х = Хх. Значит, отображение ф будет иметь собственное значение Хх. Если а — какой-либо собственный вектор, отвечающий этому собственному значению, то прямая ta, проходящая через начало координат, будет, очевидно, искомой
инвариантной прямой. Найдем теперь характеристический многочлен матрицы Л, указанной в условии:
= — (X + 3) (X2 — X + 1).
Этот многочлен имеет, очевидно, действительный корень Хг = —3. Отвечающие собственному значению —3 собственные векторы удовлетворяют матричному уравнению
/ 6(Л + ЗЕ) X =33/ 6(Л + ЗЕ) X =3316\ (ха /0\56 х21= О I—2 —4/ \х3) \0/16\ (ха /0\56 х21= О I—2 —4/ \х3) \0/
/ 6
(Л + ЗЕ) X =3
3
/ 6
(Л + ЗЕ) X =3
3
16\ (ха /0\
56 х21= О I
—2 —4/ \х3) \0/
16\ (ха /0\
56 х21= О I
—2 —4/ \х3) \0/
или системе уравнений
6X1 4* х2 4* 6х3 = О, 3xi ~Ь бх2 -Г 6х3 = О, . 3X1 — 2х2 — 4х3 == 0.
Решая данную систему методом Гаусса, получим:
3xi 4- 5х2 4- 6х3 = 0, — Зх2 — 2х3 = 0.
Полагая х3 = 9, найдем одно из решений: а = (—8, —6, 9). Следовательно, искомой будет прямая x=t • (—8, —6, 9), где t — любое действительное число.
Выясним, можно ли матрицу Л линейного отображения ф вещественного пространства L привести к диагональному виду путем перехода к новому базису, и если можно, то найдем этот базис и соответствующую ему диагональную матрицу:
/—1 02\/50 — 2\
а) Л =11—11; б) Л =8 1 —4 ;
\ 0 02/\12 0 —5/
/6—5— 3\/ 316\
в) Л =3 — 2 — 2 ; г) Л =326 .
\2—20/X— 3—2—7/
Решение, а) Находим характеристический многочлен матрицы Л:
|Л — Х£| =|Л — Х£| =—1 — X10—1 — X1001 — X0 201 — X0 22—1— X2—1— X=—Xs 4- 2Х2 4- х — 2 ==—Xs 4- 2Х2 4- х — 2 == — (X — 1) (X — 2) (X 4- 1).= — (X — 1) (X — 2) (X 4- 1).
|Л — Х£| =
|Л — Х£| =
—1 — X
1
0
—1 — X
1
0
0
1 — X
0 2
0
1 — X
0 2
2
—1
— X
2
—1
— X
=—Xs 4- 2Х2 4- х — 2 =
=—Xs 4- 2Х2 4- х — 2 =
= — (X — 1) (X — 2) (X 4- 1).
= — (X — 1) (X — 2) (X 4- 1).
•Он имеет три корня 1, 2 и —1, т. е. отображение ф имеет столько различных собственных значений из поля R, какова размерность пространства L над полем R. Следовательно, его матрица приво-
дится к диагональной форме — элементами ее главной диагонали будут собственные значения 1, 2 и —1:
1 0 0\ 0 2 О .0 0 —1/
Для отыскания базиса нужно найти собственные векторы, отвечающие полученным собственным значениям, из соответствующих систем уравнений:
(I)(I)—2хх + 2х3 = О, xi — х8 = О, х3 = 0;
(I)
(I)
2х3 = О, хг + 2х2 — х3 = О, Зх3 = 0.2х3 = О, хг + 2х2 — х3 = О, Зх3 = 0.(—3xi+ 2х3 = О,
2х3 = О, хг + 2х2 — х3 = О, Зх3 = 0.
2х3 = О, хг + 2х2 — х3 = О, Зх3 = 0.
(И)(III)
( Xi — х2 — х3 = 0;
Фундаментальные наборы решений всех трех систем содержат по одному вектору: аг = (0, 1, 0) (система I), аг = (2, —1, 3) (система II), а3 = (2, —1,0) (система III)—все векторы заданы своими координатами в том же базисе, в каком задана матрица Л. Эти векторы и составляют искомый базис.
Найдем характеристический многочлен матрицы А:
ЦК)-ЦК)-5 — X 0—281 — X —4120—5 — X5 — X 0—281 — X —4120—5 — X= —Х» + х2 + X — 1 == - (X - I)2. (X 4- 1).= —Х» + х2 + X — 1 == - (X - I)2. (X 4- 1).
ЦК)-
ЦК)-
5 — X 0—2
81 — X —4
120—5 — X
5 — X 0—2
81 — X —4
120—5 — X
= —Х» + х2 + X — 1 =
= - (X - I)2. (X 4- 1).
= —Х» + х2 + X — 1 =
= - (X - I)2. (X 4- 1).
Так как у многочлена / (X) имеется кратный корень X = 1, т. е. не все корни различные, то сразу на поставленный в задаче вопрос ответить нельзя, надо сначала найти сумму размерностей собственных подпространств К (1) и К(—1), отвечающих собственным значениям Хх = 1 и Х2 = —1. Для Хт = 1 собственные векторы найдутся из системы уравнений
4хх + 0- х2 — 2х3 = 0, 8хх + 0- х2 — 4х3 = 0, 12хх + 0- х2 — 6х3 = 0,
фундаментальный набор которой состоит из 2 решений, например bt = (1, 0, 2), &2 = (0, 1, 0); таким образом , dim К (1) = 2. Для Х2 = —1 получим следующую систему:
6хх + 0- х2 — 2х3 = 0,■ 8хх + 2- х2 — 4х3 = 0,. 12xi + 0- х2 — 4х3 = 0.
Ее фундаментальный набор состоит из одного вектора, например вектора b3 = (1, 2, 3), отсюда dim К (—1) = 1. Итак, dim К (1) + + dim К (—1) = 2 -f- 1 = 3 — dim L, Поэтому (см. «Алгебра»-,
теорема на с. 141) матрица Л приводится к диагональной, а именно в базисе Ъи Ьг, Ъа она принимает вид:
1 00\
О 1 О
О 0 — 1/
В этом случае характеристический многочлен
т =т =6 —хз26 —хз2—2—X—2—X= _ (X — 2) (X — I)2= _ (X — 2) (X — I)2
т =
т =
6 —х
з
2
6 —х
з
2
—2—X
—2—X
= _ (X — 2) (X — I)2
= _ (X — 2) (X — I)2
также имеет кратный корень X = 1. Подпространство К (1) задается системой уравнений
5xi “™ 5х2 —■ Зх8 — О, ' 3X1 ЗХ2 —* 2Х3 ^= О, . 2хт — 2х2 — х8 = О, для которой фундаментальный набор решений состоит из одного вектора, откуда dim К (1) = 1.
Подпространство К (2) задается системой
4xi — 5х2 ”~ Зх8 — О, 3xi — 4х2 — 2х3 = О, 2xi — 2х2 — 2х8 = 0;
ее фундаментальный набор также состоит из одного вектора, поэтому dim К (2) = 1
Итак, dim К (1) + dim К (2) = 2 < 3, а значит, матрица к диагональному виду не приводится.
Характеристический многочлен f (X) = (X + 3) (X2 —Л + 1)
1 VT
(см. пример 4) имеет, в частности, корни у ± i » не принадлежащие полю R. Поэтому матрица к диагональному виду не приводится.
Упражнения для самостоятельного решения
В пространстве R3 линейное отображение ф переводит любой вектор х = (xi, х2, х3) в вектор:
ф (х) = (Xi, 0, 0);
ф (х) = (ахъ х2, х8), а £ R.
Дайте геометрическую интерпретацию заданных отображений и для каждого отображения найдите все его инвариантные подпространства.
В пространстве R3 линейное отображение ф задано в некотором базисе матрицей
/ 4 —2 2\
Л =202 1,
\-1 1 1/
а векторы ах = (1, 1, 0), а2 = (1, 0, —1), а3 = (2, 2 —1) — своими координатами в том же базисе. Покажите, что линейные
оболочки Z/j — Z. (^i)i ^2== Z. (^2)» ^3 — Z. (^з)> ^4 Zz (^i, ^2) являются инвариантными относительно ср подпространствами.
В линейном пространстве R3 задан базис ах = (1, 1, 0), аг = (1, 1, 1), а3 = (0, 2, 2), а отображение ф переводит произвольный вектор х £ R3, х = =ххах + х2а2+ х3а3 в вектор ф ^=ххах. Узнайте, какие из векторов
Ъх = (—2, —2, 0),»2 = (5, 5, 0),&3 - (2, 2, 2),
&4 = (2, 8, 8), Ьь = (2, 2, 1) являются собственными векторами отображения ср и каким собст
венным значениям они отвечают.
9. Найдите собственные значения и собственные векторы ли-
нейных отображений.
заданных в некотором
базисе матрицами:
а) / 2—12\
б) / 0 1 0\в)
/4 —5 2\
5—33 ;
—4 4 0;
5 —7 3 ;
1 о —2/
\—2 1 2/
\6 —9 4/
г) /1 0 0
0\ д) /3 —1 0
0\
/0 0 0
01./ 110
01
10 0
0 ’130 5-
-3 Г
\0 0 0
1/\4 — 1 3 -
-1/
Найдите собственные значения и собственные векторы линейного отображения ф, заданного в базисе «ц а2, #3, ®4 матрицей
1 0 2 .21 0 2 .20101224040—к—2112/—к—2112/
1 0 2 .2
1 0 2 .2
0
1
0
1
2
2
4
0
4
0
—к
—21
1
2/
—к
—21
1
2/
и покажите, что подпространство, натянутое на векторы ах + 2а2 и ®2 + ®з + 2«4> инвариантно относительно ф.
Докажите, что линейное подпространство, натянутое На любую систему собственных векторов линейного отображения ф, инвариантно относительно ф.
Найдите все подпространства вещественного трехмерного пространства, инвариантные относительно линейного отображения, заданного в некотором базисе матрицей
' 4 —2 2\
402.
—1 1 1/
Известно, что для каждого многочлена / (х) вещественного пространства Рп многочленов степени ^ п ф (/ (х)) = /'(х). Найдите собственные значения и собственные векторы отображения ф, а также все инвариантные относительно ф подпространства.
В трехмерном вещественном пространстве L линейное отображение ф задано в некотором базисе матрицей
/ 4 —2 2\4=202.
1 11/
Векторы «! = (!, 1, 0), а2 = (—1. 0, 1) составляют базис подпространства К (2)- (см. упр. 12). Дополните этот базис до базиса пространства L и найдете в построенном базисе матрицу отображения ф.
Выясните, какие из следующих матриц линейных отображений можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найдите этот базис и соответствующую ему матрицу:
а) /4 1 — 6\б) /1111\
4 0—4;11—1—1V,
U о —6/ I 1 — 11—1
XI -1 —11/
в) /4—3 1 2\ г) /0 0 0 1\
15—8541;/00101.
1б—1285l010 0
XI—322/XI00 0/
Найдите диагональную матрицу над полем R, подобную матрице
/8 15 —36\
8 21 —46 .
\5 12 —27/
Докажите, что собственными значениями треугольной матрицы являются ее диагональные элементы.
Докажите, что все собственные значения квадратной матрицы А отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица обратима.
Линейное отображение ф пространства R3 задано невырожденной матрицей
/—1 з —1\ А =—3 5 —1
X—3 31/
Найдите собственные значения отображения ф-1.
В некотором базисе пространства R2 преобразование ф задано матрицей:
а) / 1 IV б) /2 0\
(-1 ij’ (о 2/
Убедитесь непосредственно, что в случае а) собственных векторов не существует, а в случае б) каждый вектор является собственным.
ОТВЕТЫ
Глава 1
§ 1. 3. а) Умножение; б) сложение, умножение; в) сложение, вычитание, умножение 4. Нет. 5. а) Нет; б) да; в) нет; г) нет, д) да; е) да. 6. а) Нет; б) нет; в) да; г) да. 7. а) Да; б) да. 11. Является 12. а) Не является; б) не является. 13. Является. 14. Является 16. а) Является, б) не является. 17. N и Afi; каждая из систем N и Afi не изоморфна Af2. 23. Изоморфизм есть отношение эквивалентности.
§2 2. Вычитание не коммутативно и не ассоциативно 4. Операции б) и в) коммутативны и ассоциативны 8. Полугруппа 15. Операция а о Ь не
ассоциативна. 18. Нейтральный элемент — число 1 + 0у^5 = 1. Обратного элемента для числа 5 — 2/5 нет, так как!—=—=
_5 — 2/5 (54-2/5) (5—2/5)
5 4-2/5. , 2
= —L—I— = 1 4- — у 5 — полученное число не принадлежит данному
множеству. 20. Операция обратима, так как уравнение а о х = b разрешимо
при любых а и bпри любых а и b22. Операция не обратима.22. Операция не обратима./а + х,\
при любых а и b
при любых а и b
22. Операция не обратима.
22. Операция не обратима.
— b => х = 2Ь — а
\ 2
Не обратимы. 24. Обратима 25. Пустое подмножество является нейтральным элементом для операции объединения, а само / — для операции пересечения Обе операции не обратимы 26. Для операции а о Ь = —ab нейтральным элементом служит число—1. 27. Нейтральный элемент—число 2.
§3§3Для элемента 8 обратным является —.
§3
§3
а), б), д) Не является; в), г), е), ж), к), л), м), н), п), р) является; з) группа относительно сложения; и) группа относительно умножения; о) не является (сумма двух многочленов степени п может иметь меньшую степень). 5* Не группа. 9. Таблица умножения
•
е
51
52
5з
S
t
е
е
81
52
5з
S
t
51
51
е
/
S
5з
82
52
52
S
е
t
51
8s
5з
5з
t
S
е
52
5i
S
S
5i
8s
51
t
е
t
/
5з
51
52
е
S
где
10.
Pt
Р1
Р2
Рз
Рю
Ро
Р1
Р2
Рз
Pi
Pl
Р2
Рз
Ро
Pa
Р2
Рз
Ро
Р1
Рз
Рз
Ро
1 Р1
р2
13.
«0
01
|02
03
104
Об
«0
°0
О1
02
О3
о4
Об.
«1
01
0g
О0
о4
Об
03
О2
о2
Oq
01
Об
Оз
0»
о3
аз
Об
«4
Oq
0,
01
а^
О3
об
01
Oq
°2
Об
об
О4
Оз
| о2
Oi
Оо
15. Таблица умножения имеет вид:
61
01|
61
Cf
ex
в1
О1
6«
С1
01
01
61
С1
bl
»1
6,
С1
61
01
<4
С1
»1
01
61
где ex и ах — повороты прямоугольника вокруг его центра на углы 0°, 180°, а 61, сх — отражения прямоугольника относительно его осей симметрии.
{а, а, 6, с^ где е, а — повороты ромба вокруг его центра на углц 0°, 180°; 6, с — отражения ромба относительно его диагоналей. При этом ab = ct ас = 6, Ьс = а.
17. {oq, ai, a2, a3, a4> a^ a6, a7}, где am ai, a2, a3 — повороты вокруг центра
квадрата на углы
"■г
л
2
3
л
21
а4, ^ a6* ai— отражения относитель
но осей симметрии квадрата (двух диагоналей и двух прямых, соединяющих середины противоположных сторон) Таблица умножения имеет вид.
О0
01
а2
Оз |
“4
о5
Об |
о7
°о
a0
01
^
Оз
04
о5
аб
07
Oi
01
Ог
а3
«0
о7
Об
04
Об
a2
02
^з
о0
01
о5
04
07
Об
о3
«3
Оу
01
02
Об
07
Об
04
«4
«4
ов
о5
07
Oq
а2
°1
а3
о6
05
07
о4
Об
а2
а0
03
01
oe
°6
05
о?
04
о3
01
О0
а2
0?
о7
04
Об
Об
01
о3
а2
о0
а), в), г). Да; б) нет 19. Группа состоит из п элементов: поворотов во- 2л круг центра многоугольника на углы 0, а, 2а, За, ..,, (п — 1) а ,гдеа = — п радиан. 25. Все, кроме а). 26. Множество поворотов вокруг данной точки.
§ 4. 9. Порядки элементов соответственно 2, оо, 4. 11. Элемент Q 2 з) имеет порядок 1, элементы ^2 3 1) и (з 1 2) — ПОРЯД°К 3» остальные элементы имеют порядок 2. Группа S3 имеет 6 различных подгрупп, включая {е} и S3. Все подгруппы, кроме S3, являются циклическими. 12. а) О (е) — 1, остальные элементы имеют порядок 2, группа не является циклической; б) О (а0) =1,0 (ai) = О (а2) = 3, О (а3) = О (а4) = О (а5) = 2, так как порядок любого элемента меньше, чем порядок всей группы, то группа не циклическая. Группа поворотов треугольника является циклической.
Таблица сложения в Z6-
0
1 !
1 2
3
1 4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
и = (1245) • (3768),6 ^ (194) • (267) . (358),to =(12) ■(467)> (58).
и — (12) • (14) • (15)• (37)• (36) • (38),v =(19) •(14) •(26) •(27)х
Х(35) - (38), w = (12) • (46) • (47) • (58), все подстановки четные. 16. и = _ fl 2 3 4 5 6 7 81fl2 3 4 5 6 7 8\,_fl 23 45 67 8)
3 1 5 6 8 7 4/’ у - \86 4 3 2 1 7 51’г~\2 81 36 54 7)*
2 3 4 5 6 7 8\
1 2 3 4 75 8 6/ 17. О (а) = 4;элемент а порождаетциклическую
подгруппу (а)из 4 элементов а° =(е) = ^ 234)’aY =^24 $* а^ ~
=(13) • (24),а3 = (1432)19. а)(2) П (3) = (6) ={х|х =66, fe ^ Z};
б) (6) П (8) =(24)20. О (а) =5,(а) = {а» = (ё),а =(12345), а2 =
=(13524), а3 = (14253), а4 = (15432)}. 21. (а) = (а0 = (е), а1 = (1342), а2 = (14) • (23), а3 = (1243)}, (^ = {6° = е, Ь1 = (1243), 62 = (14) • (23) = = а2, Ь3 = (1342) = а}, (а) Q (6) = {е, а, а2} — циклическая подгруппа. 25. к должно быть взаимно просто с т 26. Пусть а — поворог вокруг цент» 2л
ра 12-угольника на угол — Образующие группы а1, а6, а7, а11. 27. О (а) =
= 6, О (а8) = 2, а-1 = а5 = (^ 2 з 4 5 6) = (1654з2)) (аз)-1 = ^ 28. т= = 1, 2, 3, 4. 30. а) О (ai) = 2, О (а2) = 3, О (а3) = 12, О (а4) = 4; 6) на Л
угол" в) на углы вида гл, где г — рациональное число 31. G состоит из переносов плоскости на векторы, параллельные данной прямой, и из композиций таких переносов с отражением относительной прямой 32. ^ед^Ь^ — циклическая группа с образующей b (или с). 34. Данная группа — циклическая с образующей b В силу упражнения 33 она имеет три подгруппы, включая саму группу и {е} 35. Так как О (а) = 9, то в силу упражнения 33 искомые подгруппы будут* 1) сама группа (л) = {г, а1, а2,..., а8};
{е, а3, а6}; 3) {е} 36. В силу упражнения 33 все подгруппы имеют вид: (О, d, 2d, 3d, ... , (к — 1) d}, где d — любой делитель числа! п, причем kd — п 37. а) См ответ к 36; б) группа (см. у пр. 17 в § 3) имеет подгруппы: {а0 ai, а2, °з} (повороты вокруг центра квадрата), {а0> а^ (подгруппа, порожденная центральной симметрией а2), {^о, a&Y (ао. °б}> {^о» ^в)» (а0, а^ (подгруппы, порожденные отражениями), а также две тривиальные подгруппы {а0} и саму группу. 40. а) Группа содержит лишь единичный элемент, б) циклическая группа простого порядка р; в) циклическая группа порядка р2, где р — простое. 43. Группа самосовмещений ромба (см. 16 в § 3) не циклическая. 44. a) Z2; б) Z3l в) Z4, а также группа самосовмещений прямоугольника (см. 15 в § 3); г) Z5 45. Нет. 46. Подгруппа (а0, ai, а2, а3} 88
(см 17 в § 3). 48. пк. 50. а) а, а3, а\ а7; б) О (а2) === 4,
(о, 2)2
О (а4) = 2, О (о6) = 4; в) единичный элемент с любым другим элементом группы.
. 4. Указание. Таблица должна быть симметрична относительно диагонали; в каждой строке и в каждом столбце таблицы должны встречаться все элементы данного множества. 5. b — нейтральный элемент, операция коммутативна, ассоциативна, не является обратимой, М—полугруппа, но не группа. 6. Является. 7. Таблица Кэли имеет вид
е
а |
6 1
с
е
е
а
6
с
а
а
е ,
с
b
b
Ъ
с
е
а
с
с
b
а .
е
8. Группа коммутативна. Таблица Кэли:
' /о
1 к
fa
fa
/о
/о
к
fa
fa
к
к
/1
/1
к
к
к
к
fa
fa
к
к
к
h
fa
fl
fa
fa
к
к
fo
fl
к
п
к
fa
к
к
к
fo
f5
к
к
fa
к
к
к
Элементы /0, Д, f2, f3 обратны сами себе; группа некоммутативна (/1/3 7^ 7^ /зА)> Ф — А> ^ = fs 9. Если в таблице умножения группы S3 заменить ~-(I”). =.-йм).
/1 о /1 2
s\2 3 1)’ ^ \3 1 2; соответственно элементами /0, fu f3, f2, f4, f5 группы F, то получим таблицу Кэли для F Поэтому отображение f0 -> е, fi-> gi, f2 ”*" §a> fa "* §2» fi^^h^t является изоморфизмом группы F на группу S3 10. У к а з а н и е. Применить теорему Кэли (см решение примера 1). Использовать таблицу Кэли для группы самосовмещений ромба (см упр. 7). 11. G = {ai, а2, ^з> ^L гДе ai и а2 — повороты на углы 0, л вокруг вершины О и а3, а4 — отражения относительно осей симметрии KL и MN фигуры Ф (см рис 3). Элементам группы G отвечают подстановки
Таблица Кэли для группы G имеет вид
«1 1
а2
«3|
а4
аг
“1
о2
о3
а4
th
а2
«1
Ох
а3
аз
а3
а4
^1
а2
«4
а4
а3
а2
«1
Группа G абелева 12. Обозначим вершины квадрата цифрами 1, 2, 3, 4. Элементами группы являются
/1234\_/1234\„/1234\п _/1234\
а°~1,1234)’а1-^2341)’°21,3412)’в* —(4123/*
„ _Л234\_Л234\/1234\_Л234\
а« ~^1432)-a8-^3214j*а«\214ЗУ*^ “1,4321J*
Составив таблицу Кэли, найдем, что отображение
„ _ Л 2 3 4 5 6 7 8\ «о^^о -2345678)’/1 2 3 4 5 6 7 81 с2"*^2“- ^з 4 ! 2 6 5 8 7)’„ _ Л 2 3 4 5 6 7 8\ «о^^о -2345678)’/1 2 3 4 5 6 7 81 с2"*^2“- ^з 4 ! 2 6 5 8 7)’п _ Л 2 3 4ai -> gi - |^2 з 4 1п _ Л 2 3 4ai -> gi - |^2 з 4 1а3-*§за3-*§з5 6 7 8\7 8 6 5)’5 6 7 8\7 8 6 5)’/1 2 3 4 5 6 7 8\Н 1 2 3 8 7 5 б)’/1 2 3 4 5 6 7 8\Н 1 2 3 8 7 5 б)’
„ _ Л 2 3 4 5 6 7 8\ «о^^о -2345678)’
/1 2 3 4 5 6 7 81 с2"*^2“- ^з 4 ! 2 6 5 8 7)’
„ _ Л 2 3 4 5 6 7 8\ «о^^о -2345678)’
/1 2 3 4 5 6 7 81 с2"*^2“- ^з 4 ! 2 6 5 8 7)’
п _ Л 2 3 4
ai -> gi - |^2 з 4 1
п _ Л 2 3 4
ai -> gi - |^2 з 4 1
а3-*§з
а3-*§з
5 6 7 8\
7 8 6 5)’
5 6 7 8\
7 8 6 5)’
/1 2 3 4 5 6 7 8\
Н 1 2 3 8 7 5 б)’
/1 2 3 4 5 6 7 8\
Н 1 2 3 8 7 5 б)’
°4 ** ^4 ~ ^ 8 6„_ fl 2 3ae -^ Se - 17 5 8°4 ** ^4 ~ ^ 8 6„_ fl 2 3ae -^ Se - 17 5 84 5 6 7 8\7 1 3 4 2)’4 5 6 7 8\62413)’4 5 6 7 8\7 1 3 4 2)’4 5 6 7 8\62413)’«5 ^ & = («5 ^ & = (1 2 3-4 5 6 7 67583121 2 3-4 5 6 7 6758312о? -* ^7 = (о? -* ^7 = (12 3 4 8 6 7 512 3 4 8 6 7 55 6 7 8\4 2 3 1)5 6 7 8\4 2 3 1)
°4 ** ^4 ~ ^ 8 6
„_ fl 2 3
ae -^ Se - 17 5 8
°4 ** ^4 ~ ^ 8 6
„_ fl 2 3
ae -^ Se - 17 5 8
4 5 6 7 8\
7 1 3 4 2)’
4 5 6 7 8\
62413)’
4 5 6 7 8\
7 1 3 4 2)’
4 5 6 7 8\
62413)’
«5 ^ & = (
«5 ^ & = (
1 2 3-4 5 6 7 6758312
1 2 3-4 5 6 7 6758312
о? -* ^7 = (
о? -* ^7 = (
12 3 4 8 6 7 5
12 3 4 8 6 7 5
5 6 7 8\
4 2 3 1)
5 6 7 8\
4 2 3 1)
является изоморфным отображением группы G на подгруппу {g0, git ..., g^ группы S8. 14. Правильный тетраэдр имеет 7 осей: 4 его высоты и еще 3
прямые, проходящие через середины противоположных ребер. Группа вращений тетраэдра состоит из тождественного движения, вращений тетраэдра 2л 4л
вокруг его высот на углы —, — и вращений вокруг трех остальных осей
на угол л. 15. Группа включает 12 элементов группы вращений тетраэдра и еще 12 новых элементов — отражений относительно плоскостей симметрий тетраэдра, проходящих через его высоты 17. Подстановки а = (13) = = (з 2 14 "W ”) и 6 = 0 2 3> = (2 3 М "" л) не коммутируют (дЬ Ф Ьа). 18. Подстановки g = (1 2 3) и h = (2 3 4) не коммутируют ^h Ф hg\
6. 2. а) М = {а0, ai, a2}> азМ = (яз> °5> а^ — Два класса, a0, ai, a2 — повороты треугольника, a3, а4, а5 — отражения относительно высот; б) А = {а0, а3\ aiA = {ai, а4}, а24 = ^qv аб). 5. В обозначениях задач 12—13 § 3: я) левое разложение: М, а3М = {а3, а4, а5}, правое: М, Ма8 = = {й8» «5, S&Y 6* См. ответ к 1/ § 3. В обозначениях этой задачи- А = («о, а4). Левое разложение: 4, ai4 = {ai, a7), a24 = (a2, аЛ, a34 = {a3, a6}, правое. 4, 4ai, 4a2, Aa3 7. Разложение по подгруппе {e} состоит из всех одноэлементных подмножеств группы G; разложение по G состоит из единственного смежного класса G. 8. Искомое разложение состоит из 12 : 3 = 4 классов: В = (е, (123), (132)}, (124) В = {(124), (13) (24), (243)}, (142)В = {(142), (143), (14)(23)}, (234)В = {(234), (12)(34), (134)}. 9. 1) Ki является левым смежным классом по подгруппе 4 = {а, (12)}, но не является правым смежным классом; 2) Кз не является смежным классом. 11. Группа является циклической; два элемента порядка 2, один — порядка 1, один — порядка 4. 12. Воспользоваться теоремой Лагранжа. Две подгруппы: {г} и сама группа G. 13. Может. В группе 44, порядок которой равен 12, не существует подгруппы порядка 6. 16. Z4 и группа самосовмещений ромба (изоморфная Z2 X Z2). 18. Z6 и S3. 19. б) Только сама Н; в обозначениях задачи 17 § 3 имеем; На4 = Наь = На^ = = Н.
А
1 «1л
1 «и 1
А
А
^л
а,А
а7А
агА
агА
А
а7А
а4А
а^А
а^А
а7А
А
ахА
о7Л
а7А
О5А
агА
А
(1 2 4), (1 3 4), (1 3 2), (1 4 2), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3), (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4)(2 3). Левое и правое разложения группы Л4 по подгруппе М = (g) могут быть, например, записаны так:
4)}, 4)},4)}, 4)},М=1),12 3),(1 3 2)}
4)}, 4)},
4)}, 4)},
(234)М={(234), (12)(34),(13
(243)М={(243), (124),(13)(2
МММ (234) ={(23М (243) ={(24М (143) ={(14М (234) ={(23М (243) ={(24М (143) ={(14(143)М={(143), (14)(23),(14 2)}
М
М
М (234) ={(23
М (243) ={(24
М (143) ={(14
М (234) ={(23
М (243) ={(24
М (143) ={(14
4), (1 3) (2 4), (1 4 2)}, 3), (1 4 3), (1 2) (3 4)}, 3), (1 2) (3 4), (2 4 3)}.
Подгруппа М не является нормальным делителем. 27. Левое разложение У, (2 3 4) V = {(2 3 4), (1 2 4), (1 3 2), (1 4 3)}, (2 4 3) У = {(2 4 3): (1 2 3), (1 3 2), (1 4 2)}. Правое разложение совпадает с левым, так что У — нормальный делитель. Таблица умножения для фактор-группы AJV*
У
(234) V | (243) К
У
У
(234) V
(243) У
(234) У
(234) У
(243) У
У
(243) У
(243) У
У
(234) У
Обе группы Z4/D и Z2 — циклические порядка 2, поэтому они изоморфны. 30. Каждая подстановка из А5 имеет один из видов: (iii2i3i4i5), (ММ* (/1У (МУ Число различных подстановок первого вида равно 5!/5 = 24, 5-4-3
второго — —■— = 20, третьего — 15. Далее, если нормальный делитель
Н содержит подстановку одного из указанных видов, то он содержит вбе подстановки этого вида. Поэтому число элементов в Н может быть лишь одним из чисел* 1; 1 + 24; 1 + 20; 1 + 15, 1 + 24 + 20; 1 + 24 + 15; 1 + 20+15; 1 + 24 + 20 + 15 = 60. Ни одно из этих чисел, кроме 1 и 60, не является делителем числа 60 — порядка группы Аь 32. Кроме {в} и самой группы, имеются еще нормальные делители а) {(0, 0), (1,*0)}, {(0, 0), (0, 1)}, {(0,0), (1, 1)}; б) подгруппа А = {а0, «1» ^2} вращений треугольника; в) подгруппа Н = {я0, аъ ай) а3} вращений квадрата (в обозначениях задачи 17 § 3); подгруппа {п0, а2, а4, а5}; подгруппа {а0, а2, ав1 а7}, подгруппа (а0, а2}*> фактор-группы в первых трех случаях изоморфны Z2, в последнем случае — группе Z2 X Z2. 33. Искомое разложение может быть записано, например? так:
(1 2 3 1) V= V= <е = (|)> (1 2) (3 4)’ (1 3)(2 4)| (1 4)^2 3)}>
G 3 м) У = (123> v = <(123)- <243)' (142)' <134».
(И 31)V=С2)V =«* 2>- <3 4Ь ^4 2 3), (1 3 2 4)},
(312I)V=<*3 2)У= <0 3 2)’ (’ 43>’ (2 3 4)' (’ 2 4»>
(1* з 24)V=^3^ =«13> (* 4 3 2)'(2 4)’ 0 2 3 4>>-
(1 3 24)V=<23>V =«2 $> I1 2 4 3), (1 3 4 2), (1 4)}.
SjV = {V, (1 2' 3)V, (1 2) V, (1 3 2)V, (1 3)V, (2 3)V}.
Так как при разложении S4 по группе V Клейна у элементов, порождающих смежные классы, символ 4 неподвижен, то умножение этих элементов сводится к умножению соответствующих элементов из трех первых символов, т. е. подстановок из симметрической группы S3. Если учесть это, а также правило умножения смежных классов — элементов фактор-группы, то станет понятным, что отображение
/1 2 3 4\ т/_/1 2 3\ /1 2 3 44 т/ /1 2 3\ /1 2 3 4\ т/ /1 2 3\ и 2 3 4) *\123J’\2 314; к^2 3 1/12134j*1.213)>
Л 2 3 4\ .,Л2 3\Л 234\ .,Л 2 3\Л234\,,Л2 3\
13 1 2 4) к1,31 2)'1.3 214) и13 2 1)’\1324)и113 2)
является изоморфизмом фактор-группы SJV на группу S3. 38. Подгруппами группы S4, содержащими группу Клейна, являются: 1) знакопеременная группа Д4 четвертой степени; 2) группа Клейна; 3) {е, (1 2)(3 4), (1 3)(24), (1 4)(2 3), (1 2), (3 4), (1 4 2 3), (1 3 2 4)}; 4) {е, (1 2)(3 4), (1 3) (24), (1 4)(2 3), (1 3), (2 4), (12 3 4), (1 4 3 2)}; 5) {е, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (2 3), (1 4), (13 4 2), (1 2 4 3)}. Из них нормальными делителями являются Л4 и группа Клейна. 39. Могут. Например, группа вращений квадрата не изоморфна группе самосовмещений ромба (Z4 не изоморфна Z2 X Z2), между тем их нормальные делители {е, а} (е — тождественное движение, а — отражение от центра) и фактор-группы по ним изоморфны (группе Z2).
3. Обратное утверждение неверно: примером может служить гомоморфизм S3 -> S3M3. 7. Ядром гомоморфизма является подгруппа Нп = {х|х = пк, к С Z} группы Z, прообразом элемента g— смежный класс 1 + Нп. Фактор-группа состоит из элементов Нт \-VHn, 2 + Нпг.., (п— WVHn и изоморфна Zn. 8. Потому что группа Л3 — циклическая. Ядром гомоморфизма является подгруппа (нормальный делитель) Н3 = {х|х = 3^, к С Z} группы Z. 9. См. 8. 10. Группа S4 отображается гомоморфно на S4/У, где У— группа Клейна(см. 33 § 7), а группа S4/V изоморфна S3 (см. 34 § 7). 11. Гомоморфизм имеет вид: ах + b -> Ь. 12. Искомый гомоморфизм: (a, ty -> а. Можно также взять: (a, b) -> bt или более обще: (а, b) ~> pa + qb (где р и q — два фиксированных действительных числа). 15. Может. Например, группа Z4 X Z2 имеет изоморфные-нормальные делители (ei) X Z2 = = {(0,0), (0, 1)} и {0, 2} X {г2} = {(0,0), (2, 0)}, фактор-группы, по которым неизоморфны (Z4 и Z2 X Z2)._
2. а), в), д) Нет; б), г) да. 3. Нет (/3 • /5 = /15 £ L). 6. а * (6 о с) = = (а * Ь) о (а * с^Дао Ь) * с= (а * с)о(Ь * с). Сложение чисел не дистрибутивно относительно умножения: а + (Ьс) =^= (а+ Ь) • (а + с), (ab) + + с =/= (а + с) (Ь + с). 7. Да. 8. Нет. 9. Нет. 10. а), в) Да; б) нет. 12. Име- ет: (о о)(о ?) “ ®* ^* Единичным элементом является число —1. 15. Единичным элементом является число 2. 18. По определению поле должно содержать более одного элемента. 19. Поле. Нулем является а, единицей — Ь. 23. В Z8 имеются делители нуля: 2 -4=4 *2=0. 24. Если п = pqt где р > 1, q > 1, то в кольце Zn имеем pq = 0. 25. Воспользоваться задачей 16.
Характеристика Zp равна р. 31. Не является: ни одна из операций U,; П не обратима. 35. Не является: операция ф не коммутативна. 36. Все подкольца имеют тот же вид, что и подгруппы аддитивной группы Z, т. е. Н^ Hi, Нг, ..., где Но = {0}, аНп = {nk\k С Z}. 38. В задаче 37 вместо 5 можно взять другое число. 39. Например, множество матриц указанного вида, где a, b £ Q, или множество матриц, в которых b = 0. 40. Решение уравнения (3 +^2}^5)х = 2 — 3"У 5 не принадлежит кольцу Z [1^5], следовательно, Х^У5] не поле. 44. Подкольца те же, что и подгруппы в "аддитивной группе Zn; число подколец равно числу натуральных делителей числа п. 46. а) Система несовместна; б) имеет единственное решение (2, 3, 2); в) имеет единственное решение (5, 6, 5). 48. Указание. В произведении (а + Z?) X
м*)={;м*)={;54. Уравнение (1 — Зу^2 + 5^4) (х + у ^2 +54. Уравнение (1 — Зу^2 + 5^4) (х + у ^2 +X (с + е) раскрыть скобки двумя разными способами. 50. у~х = ~ (5 + + 9^2 - ^4). 51. Кольцо 53. Например, А (х) = Р’ ^”* * < °’
м*)={;
м*)={;
54. Уравнение (1 — Зу^2 + 5^4) (х + у ^2 +
54. Уравнение (1 — Зу^2 + 5^4) (х + у ^2 +
+ z^4) = —18+10^2+20^4 над кольцом Z сводится к системе трех уравнений (выпишите эту систему), которая не имеет решений. 55. б) Например, потому что кольцо {а + ^ 1^5 | a, b С Q) — поле. 59. Z является кольцом с единицей, а указанные в задаче подкольца не имеют единичных элементов. 60. Можно, примером является гомоморфизм. Z ~> -> Z2. 61. Нельзя; можно (например, если каждому четному числу сопоставить его остаток от деления на 5, то получим требуемый гомоморфизм Н2^ ->• Z6). 69. В упорядоченном поле 1=1 • 1 > 0, следовательно, п * 1 = = 1 + ... + 1 > 0 при любом натуральном п.
п 144 — 5/1
5. а) 2 + ц б) +1 V d ; в) -^—; г) 6. f (1 - 20 =-4+23(. 45
15. 0, 1,- у +15. 0, 1,- у +а) х = — —, у = —; б) xi = 1, yi = 3; х2 = —1, у2 = —3; в) х=4, у = 2. 8. 1. 9. а) ±(3+0: б) ±(2-0; в) ± ^ (/6 + 1/66).
15. 0, 1,- у +
15. 0, 1,- у +
а) —2 + I, —3 + i; б) 2г, —1; в) 1 — i, + zt^L, -у— 1^+" *8, Образуют поле.
Глава II
§ 1. 5. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет. 6. Сложение в множестве невырожденных матриц не является алгебраической операцией. 7. Является. 8. Z| состоит аз 9 элементов: (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2); Z” состоит из 3” элементов 11. а) 0; б) За; в) 0. 12. а) (—35, 12, 11,20);
/ ой 1/956\
б)б)б)б)( 11 2о); в)-35+12х+11х2+20х3. 13. а) х=(-у, - у, - у, 3k
б)
б)
б)
б)
(9 5д
— Т — 7 \/I9 16\19 , 16
fi I. 14. а) I—, — ; б) — + i—. 18. а) Линейно зависима;
~ 73 /
линейно независима; в) — е) линейно зависимы. 19. а) а3 = —8ai — — 2а8; б) а1=3а2+5а8+4а4+7а|й в) A (x)=2/i (х)+ у /2 (х) + 2/, (х).
f (x)= 2/i (x) - 3/2 (x). 22. 2 - 7t = 2 (2 - 30 - ^ (4 + 20. § 2. 5. a) {ai, a2), (ai, a8}, {a2, a8}; 6) (6i, 02}, (Oi, 68), (6,, b3y, в) (ci), (c2), кз}; r) {/i, /2}, {/i, /8}. 7. Базис M3: (ai, a2, fn =^ °) ei2 = (° ^j.
Базис пространства: (Зх+х+Зх2,—2+ x— x2, 1}. 9. Базис R4- {(1, 2, 3, 4), (4, 1, 2, 3), (1. 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}. 10. к Ф ±3. 11. Базис пространства С: {2 + 3t, 1}. 12. b = уо8 —|a2 — yai. 13-{(?о) (о 1)} {(? о) (1 1)}’ {(о 1) (1 1)}’ dim ^^ 21 141 Один из базисов: «н =
+о . a12 + 1 • а21+1 • а22. 19. а) 8 + 9* =16 • ^ + (-3) • (- 30;
13'
8 + 9« = 4 > (2 — 0 + Y (40- 20. а) а = —2 (3, 0, 0) + 0 (0, 2, 0) + 35, 1U
+ (-5) (О, О, 1); б) а = - (1, -1, 0)+ - (1, 2; 3) + у (О, I, -1).
а = (2, 0, 3, —1). 22. а) / (х) = (—3, 5, у, о); б) / (х) = (2, —3, 1,0).
а) Первая и вторая координаты поменяются местами; б) первая коорди- /1 О 1\
ната станет последней, вторая — предпоследней и т. д. 24. Т = 1 10 и \0 1 1/
1 / 1 1 —, , ,
Т 1 = ~ —111 , a = 3^i + 5^2 — 4^з = 6^1 — в9 — З^п. 25. а=
2 \ 1 — 1 1/
(
1 —1 0\ 3 I
—1 — 1 I и
2 —3 О/ (3 0 —1\
2 0 —1 \
1 , f (х) = 0 * 1 + 0 * х + (—4)х2 = 4 (1 - х + 2х2) + 01 ч)
. з ./3 00 1\
+ 41-1 -¥—х— Зх2) + (-2)-х. 27. Т= Jo-Il и Т~Х ” '\0 12 1/
2 152 1551 - 4 -2\13
2 15
2 15
о —3 — 3 ~6 I’ « = 2ei + Зе2 + 5е8 — 4е. = —^ + —4 — О —312 6/
16 ,9 ,, у.,,
-je3 + je4.28. ej= (1,1, -2), е2= (3,0, 3), е3 = (-1, 8, 5);
° = -Т5^ +^6'2 + ^3" 291 (о о) а + bL 30- <2’ h 3) 1 + *• —4х= ^- (0, —4, 4) 34. а) 3; б) 3.
§ 3. 6. а) Нет; б) да, если данная прямая проходит через начало координат, нет — в противном случае; в) нет; г) да; д) нет; е) да; ж) нет; з) да. 7. а) Базис: (1, о, о, о, о, 1), (о, 1, о, о, о, а), (о, о, 1, о, о, о), (о, о, о, 1, о, о), (0,0, 0, 0, 1, 0), размерность равна 5; б) базис: (I, 0, 1, 0, 1, 0), (О, 1,0, 1,0, 1), размерность равна 2; в) 633hc:^qqV^qV размерность равна 2»
Да: а — 2at— a2. 9. a)a2,a8; 6)at, a2; в) av a2; r)/i, /2; размерность во всех случаях равна 2. 10. ai, a2— базис U, bi, b, — базис La, a,, U., b,— базис Li + L2, (2, 3, 1, 1) — базис U П U, dim L, = dim L2 = 2, dim U fl Lt = 1, dim (Li + L2) = 3. It. а) Например, (2, 1, 0,0); б) например, (19, 7, 8, 0, 0), (3, —25, 0, 8, 0), (—4, 4, 0, 0, 8); в) например, (—1, 1, 0, 0, 0), (—1, 0, 1, 0, 0), (—1, 0, 0, 0,1). 23. Один из базисов L : (q g), ^q ^j; Н6= //i. 24. Многообразие решений a0+ L во всех случаях двумерное. За векторы bi, b2 базиса L и вектор сдвига а0 можно принять следующие векторы: а) bi = (0, 1, 1, 0), &2 = (—1, 0, 0, 1), a0 = (1, 0, 0, 0); б) bi = (—1, 1, 0), b2 = (—1, 0, 1), а„ = (1, 0, 0); в) bi = (1, 1, 0, 0), Ь4 — (1, 0, 0, 1), ав = (0, 1, 1, 0). 25. а) Пересекаются в точке а = (—2, —1, 0, 1); б), в) не пересекаются. 26. Точка пересечения а = (5, 1). 27. Точка пересечения а = (??1
Глава III
1. 4. Да. 5. Нет. 7. | а | = 4, | b | — 6, | * — у | = 6. 8. а) у; б) у.
а) |ДВ| = |ВС|= I, |ЛС| = /2, В = у. Л = С" = у; б) | ДВ | =
/х /X - Л /»V
= | ЛС| = | ВС| = 2,66= | ЛС| = | ВС| = 2,66Д =5 = С = —. 15. f /(х) g (х) с/х \а/
= | ЛС| = | ВС| = 2,
66
= | ЛС| = | ВС| = 2,
66
C^toYdx-^ (g(x))2 dx. 16. (aipx + a2k+ ... + аяр„)* < < (af+af + ... + <$ • (₽? + ₽!+ ... + $•
§ 2. 4. Да. 5. а) (3, 2, 1), (—1, —10, 23), (—196, 245, 98); б) (1, 1, —1, —2), (27, 6, —13, 23), (—875, 4032, 1505, 826). 6. Ортонормированный базис: <pi(x)=l, ф2 (х) = УЗ (2х — 1), ф8 (х) = У 5 (бх3 — 6х + 1); fi(x) = = (—1) • Ф1 (х) + 2 • ф2 (х) + 0 • ф8 (х), /2 (х) = 2 > фх (х) + 0 • ф2 (х) + + 1 • Фа W. №. /г) “ -2. 1/11 = 1/*1 = У5. И- Например, (2, 2, 1, 0), (5, _2, -е, _1). 12. Например,^у,—у, у -1), (у -р-ру). 13. Напр. (1, 0,2, 6), (20, 41,-1,—3). 14. а) (1у-, ^-, 0,121), (YL, о, YL, -Ш №, -YL, о, Щ; б) Д, 1, 1, Д, \ 636 / \ 3 _3_ 3 / ’ V2’ 22’ 2/
Т^д № -=• -'=• =>• Ч ^ <2. >• 1. О). y=s<2.-®. 3").
Х=1. 17. 2, -^-х, 1-6х + 6х«.18. ф1(х) = 2./1 + Е^./2 +
+ 0 • /3: Ф8 0 =7 • /1 + ^^2 + ^у- • /з! (Фи Фз) = у 19. О, = -3 + 4с,
„2 = 68 + 5Н.
§ 3. 6. Один из базисов L— a = (1, 1, 1), один из ортогональных базисов LI — bi= (—1, 1,0), b4= (— 1, 1, 2); a, bv Ь4 — ортогональный базис R3. 7. а) Например, (—2, 1, 3, 0, 0), (—3, —3, 0, 3, 0), (5, —1, 0, 0, 3); б) например, (1, 23, 2, 0, 0), (—1, —1, 0, 1, 0). 8. а) a == (1,- 11, —5), b = (—13, —2, — 7);б) a = (3, —6, —3, —3),Ь = (0, 1, 5,-7).
§ 1
9. a = (5, —5, -2, —1), b = (2, 1, 1, 3). 10. a) /7; 6) 2. 12. a) ^-; 6) ^-.
л
13. a=4 4- 2i, b = — 1 + 2i. 14. 3/5. 15. —.
6
Глава IV
6. a)
Нет; б) да. 8. б) Матрицы ф в 1 0 1\
базисах ei, g2, e3 ие^ e^ £3!
11
0
2
0 1 .
3 -1 1
a с 0 O'b d О 00 0 a c.0 0 b d.
Ф (x) = ex + 2^2.
1 P 1
91 7 1 1
3 \i 1
Ц /1 1 . 10. 0 1/ \o
1
121 3
-6 115’
0 3 —15 —2
0 0 0 0
о 0
— 12
13 10 .
6 —5 —5
14 I
—2
\ 1
/а О л = р а ’ Я<Рз I С О
b O'
0 b d 0
2 — 6 1 2-5—1 1 7 1
/ 20
. 15.
ЛФ1~
.0 c 0 d.
— 8 Г6 —13
17. — 11 21
— 7 13 —II
17 .
18. a)
—26 —30
5
в)
— 5 — 1
.— 1
7 0 2
224
109 93
34 29
—40 11
—7/0
2 0 0
\0
—372
1
2
1
.— 1
0
1
1
1
1
00
2\ 0 1
0 Г
1/
6)
1
3
0 —1
0 2
1 —1
0 —3\
1 3 I. 0 — 1 ’ 0 1/
7019
—18 *
11/
1 0 0\
0 2 0 1
0 0 3 • ООО/
’ 8
— 16
— 11
1 3\ 0—8 . 20.
1 —7/
44
44'
59
i -27
/2 О 0\
§ 2. 5. кег ф = {0}, ф (R3) = R3, А = 0 2 0 . 6. а) За базис ядра можно \0 0 2/
принять, например, вектор е3, а аа базис области значений — векторы ev e2l d=dim ker ф= 1, г — dim ф (R3) = 2; б) ker ф = L (е2, е3\ ф (R3) = L d= 2, г = 1. 7. г (ф) = г (Л) = 3, d — п — г = 0, ker ф = {0}, ф —
1 / 122\з
взаимно однозначно. 8. а) Да,Лф_г = — —2—44 ;б) ф”1(у) = — ах +
v 8 у—з22/8
57/1 О 0\/10—1\
+ “7«2 + И- а) 0 — 1 0 , ker ф= {0}, ф (R3) = R3; б) 1 1 О ,
48\0 0 2/\0 О О/
Ф (R3) — {х | х = а (О, 1, 0} + р (-1, О, 0,), а, Р £R},
ker ф = (х|х=А(1, — 1, 1), к € R}- 12. За базис ядра можно принять, например, векторы—ех +е2, —ех + e3t а за базис области значений — вектор
/! О 0\
^i + е2 + e3t d = 2, г = 1. 13. а) I ^ q q I; б) за базис ядра можно при- \4 О О/
нять, например, векторы й2, а3) а за базис области значений — вектор Ь.
14. Ф (Fn^ = Fr_v ker ф есть множество многочленов нулевой степени. /1 1 0 0\
^5е I 0 0 ? ? Г один из базисов ядра — ^**д ^, ^_^ ^, один из ба- \0 0 1 I/
зисов области значений - Ц J), (? ?) • 18. М = а6 + кег ф, в качестве «0 можно взять вектор (0, —5, 0,1), а в качестве базиса кег ср—векторы .(0,5, 1-2), (1, 2, 0-1).
§ з. 6. а) При той же интерпретации векторов R3, что и в задаче 1, ф есть проектирование векторов на ось Ох, его одномерные инвариантные подпространства это ось Ох и все центральные прямые плоскости ^Oz, двумерные инвариантные подпространства — плоскость yOz и все плоскости, проходящие через ось Ох; б) ф есть растяжение (сжатие) в |а| раз вдоль оси Ох с последующим отражением относительно плоскости zOy при а < 0, инвариантные подпространства те же, что и в здаче 1. 8. Вектор bh — не собственный, остальные— собственные; bi, Ь» отвечают собственному значению А = 1, bs>b4-— собственному значению А = 0. 9. а) А = — 1, отвечающие А = — 1 собственные векторы образуют (вместе с вектором 0) подпространство К (— 1), вектор (1, 1,-1) — один из базисов К (— 1); б) А = 2; (1, 2, 0), (0, 0, 1)— один из базисов К (2); в) Ai = 1, А2 = 0; (1, 1, 1)— один из базисов К (1); (1, 2, 3) — один из базисов К (0); г) Ai =. 1, А2 = О- (1, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) —- один из базисов К (1); (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) — один из базисов К (0); д) А — 2; (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) — один из базисов
К (1). 12. Кроме самого пространства и нулевого подпространства, двумерное подпространство К (2) = {х | х = а (1, 1, 0) + 6 (—1, 0, 1), а, PC R}, все его одномерные подпространства, одномерное подпространство К (1) — = {х|х=а(2, 2, —1), а € R} и все содержащие его двумерные подпространства. 13. А = 0, ^ (0) = Fo — множество многочленов нулевой степени; Fu (k = 0, 1, ..., п —- 1) — все собственные инвариантные подпространства. 14. Систему av а2 можно, например, дополнить до базиса вектором /2 0 2 b = (1, 0, 0), в базисе av aQ, b отображение ф имеет матрицу 0 2—1 \0 01
/200 0\
(1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, /10 0 дится к виду до® \0 0 0(1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, /10 0 дится к виду до® \0 0 0а) Не приводится; б) приводится к виду I qq§ q в базисе(1, 1, 0, 0), \00 0-2/
(1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, /10 0 дится к виду до® \0 0 0
(1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, /10 0 дится к виду до® \0 0 0
1), (1, —Г, —1, —1); в) не приводится; г) приво- 0\
0 1 в базисе. (1,0,0, 1), (0,1, 1, 0), (0,-1, 1, 0), —1/
/2 0_ 0 \ (- 1, 0, 0, 1). 16. (0/3 о
\0 О- /3 /
3443447 11 18 24 29 31 36 39 46507 11 18 24 29 31 36 39 46505056657350566573
3
4
4
3
4
4
7 11 18 24 29 31 36 39 46
50
7 11 18 24 29 31 36 39 46
50
50
56
65
73
50
56
65
73
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . .
Глава I. Группы, кольца, поля
Бинарные операции и алгебраические системы
Некоторые классы операций. Нейтральные и обратные элементы.
Обратимые операции . . . .
Группы
Подгруппы
Конечные группы
Смежные классы группы по подгруппе. Теорема Лагранжа
Нормальные делители и фактор-группы
Гомоморфные образы группы
Кольца и поля
Комплексные числа
Глава II. Векторные пространства ..
Определение векторного (линейного) пространства, линейная зависимость векторов,
Конечномерные линейные пространства
Линейные подпространства и многообразия
Глава III. Евклидовы пространства
Скалярное умножение в линейном пространстве. Евклидово пространство. . . 73
Ортогональная система векторов. Ортонормированный базис.
Процесс ортогонализации 77
Ортогональное дополнение к подпространству. Элементы аналитической геометрии в евклидовом пространстве. . 81
Глава IV. Линейные отображения . . . . 86
Линейные отображения и их матрицы. Сумма и произведение линейных отображений 86
Ядро и область значений линейного отображения 92
Инвариантное подпространство. Собственные векторы и собственные значения линейного отображения 98
Ответы . Ю7
1. Коммутативные и ассоциативные операции. Полугруппы
.Примеры
3. Докажем, что множество
§ 3. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ДОПОЛНЕНИЕ К ПОДПРОСТРАНСТВУ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Примеры
В нижеприводимых примерах запись
X = (хп х2, ..., х„)
будет означать, что числа хх, х2, ..., х„ являются координатами вектора х в некотором фиксированном ортонормированном базисе.
1. В евклидовом пространстве R4 подпространство L задано системой уравнений
2хх 4- хг 4" Зх3 — х4 = О, ■ 3x^4“ 2х2— 2х4 = 0,(1)
. Зх4 4* х3 4“ 9х3 —* х4 — 0.
Найдем по одному ортогональному базису в пространствах L, его ортогональном дополнении L1 и R4.
Решение. Решая систему (1) уравнений методом Гаусса, получим:Г х2 4- 2хг 4- Зх3 — х4 = 0,(2)
[— хх — 6х3= 0.
Придавая свободным неизвестным х3, х4 поочередно значения 1, 0 и 0, 1, найдем фундаментальный набор решений данной системы (базис L):
§ 7. 4. Пусть G — данная группа, Н —- данная подгруппа и g — любой элемент из G. Если g ^H,gH = Hg — Н. Если g ^ Н, то каждый из смежных классов gH и Hg совпадает с дополнением к Н (в G), так что снова gH =• Hg. 7. Не является. В обозначениях задачи 17 § 3 имеем: а = a4, aia4a~X”
= а7а3 = а6 ^ Н, следовательно, aiHd^ =£Н. 8. В группе самосовмещений квадрата (см. ответ к 17 § 3) подгруппа М = {«о, а3, а4, а5} является нормальным делителем (ее порядок вдвое меньше порядка группы), а подгруппа Н = {а0, а4^ — нормальный делитель в М; однако Н не является нормальным делителем всей группы (см задачу 7). 9. Да. 10. Группа S3 имеет 6 подгрупп, из которых {е}, 43 и S3 являются нормальными делителями. Остальные подгруппы А = {(1), (23)}, В = {(1), (12)}, С = {(1), (13)} не являются нормальными делителями. 14. Смежный класс матрицы А состоит из всех матриц, определитель которых равен определителю 4. 18. В обозначениях задачи 17 § 3 имеем: G/A = {4, ai4, а4А, а74}, где А = {a0, a^Y ai4 = {ai, а3}, а4А = {а4, а6}, а74 = {а7, а6} . Таблица Кэли для G/A дана на с 113. 19. Х31Н= {Я, 1+Я, 2+Я, 3+Я}. 20. Обратное утверждение неверно. Например, S3/43 = {43, (12) • 43} — циклическая (а значит, коммутативная) фактор-группа, между тем сама группа 83 не коммутативна, 24. 4 Q S = (12), и, значит, фактор-группа состоит из классов Я, 1 + Я, 2 + Я, ..., 11 + Я, где Я = (12). 26. Элементы группы А4 : (1), (123),
В. А. Нечаев
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ
ПО АЛГЕБРЕ
Группы. Кольца. Поля.
Векторные и евклидовы пространства.
Линейные отображения
Московский государственный заочный педагогический институт
В. А. НЕЧАЕВ
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО АЛГЕБРЕ
Группы. Кольца. Полз. Векторные и евклидовы пространства.
Линейные отображения
Учебное пособие для студентов-заочников II курса физико-математических факультетов педагогических институтов
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1983
Рекомендовано к печати Главным управлениемвысших и средних педагогических учебных заведенийМинистерства просвещения РСФСР
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, профессор Яглом И. М.
(Ярославский педагогический институт), кандидат физ.-мат. наук, доцент Цаленко М. С. (ВГПТИ)
Редактор МГЗПИ: Павлович О. А.
Василий Афанасьевич Нечаев
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО АЛГЕБРЕ
Группы. Кольца. Поля. Векторные и евклидовыпространства. Линейные отображения.
н/к
Редактор Л. В. Туркестанская
Художественный редактор Е. Н, Карасик
Технический редактор Р. С. Еникеева
Корректор Н. И. Котельникова
Сдано* в набор 19.04.82. Подписано к печати 28.12.82. Формат бОхЭО^в- Бум. типограф. № 3 Гарнит. лит. Печать высокая. Усл. печ. л. 7,5. Усл. кр. отт. 7,75. Уч.-изд. л. 7,24. Тираж 27000 экз. Заказ № 400. Цена 25 коп. Заказное.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательегв, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
заказноезаказноеСаратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфий и книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
заказное
заказное
4309020400—305
103(03)—83
© Московский государственный заочный педагогический институт (МГЗПИ), 1983 г.