Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
■ Этот сборник адресован учителям и учащимся общеобразовательных классов. Он состоит из четырех разделов.
Первый раздел содержит задания, посвященные показательным и логарифмическим функциям, показательным и логарифмическим уравнениям и неравенствам, преобразованиям выражений, содержащих логарифмы и степени, и т. п.
Второй раздел посвящен иррациональным уравнениям, преобразованиям иррациональных выражений, функциям, выражаемым с помощью радикалов, и т. п.
Третий раздел посвящен тригонометрическим функциям, тригонометрическим уравнениям и неравенствам, преобразованиям тригонометрических выражений и т. п.
Четвертый раздел в основном содержит задания, для решения которых нужно применение элементов математического анализа, и задания, посвященные многочленам и дробно-рациональным функциям.
Задания сборника построены по «сюжетному» принципу, т. е. представляют собой блоки вопросов, относящихся к одному объекту. Такое построение должно, по замыслу составителей, облегчить работу учащихся и учителя, сделав ее вместе с тем более разнообразной по содержанию. В части заданий каждого раздела сборника общее условие во всех пунктах блока повторяется, а в других оно формулируется лишь один раз — учитель может при работе на уроке выбирать ту форму, которая кажется ему более удобной, постепенно приучая учащихся к более краткой записи.
Сборник может быть использован для организации итогового повторения — в нем представлены задания по всем темам курса по действующей программе.
Сборник может быть использован и для проведения итоговой аттестации. При этом блоки, обозначенные буквой «А», должны включаться в первый вариант, а обозначенные буквой «Б» — во второй. Детально процедура проведения экзаменов и выставления оценок при использовании сборника для проведения экзаменов должна регламентироваться ежегодными информационными письмами. Например, возможна схема, при которой в вариант для общеобразовательных классов включается по одному блоку-сюжету из каждого из четырех разделов с тем, что учащийся будет сам выбирать любые три из предложенных ему сюжетов. Оценку «пять» при этом предлагается ставить в случае верного выполнения любых 10 из получающихся 12 заданий. Возможны и другие схемы составления варианта. Блоки в разделах подобраны так, чтобы обеспечить для составителей вариантов определенную гибкость в выборе трудности заданий в зависимости от местных условий.
РАЗДЕЛ I
А.
Решите уравнение 2х + = 4х.
Решите неравенство 2х + 3<4х.
Укажите множество значений функции /(х) = 2х + 3 при
x6[l;log26].■
Найдите все числа а, такие, что уравнение^ ~ а = О
имеет решение.
Б.
Решите уравнение 9Х + 1 = 3Х.
Решите неравенство 9х+1>Зх.
Укажите множество значений функции g(x) = y при
У-b = 9-Ун— 1У-b = 9-Ун— 1х€[0; log34].
У-b = 9-Ун— 1
У-b = 9-Ун— 1
Найдите все числа Ь, такие, что уравнение = 0 не имеет решений.
А.
а) Решите уравнение 4912х=417х.
б) в)б) в)РешитеРешитеРешитеРешитенеравенство 49-2х<4-7х.неравенство 49-2х<4-7х.систему уравненийсистему уравнений2х + 7У= 3, 2х-7*= 1.2х + 7У= 3, 2х-7*= 1.
б) в)
б) в)
Решите
Решите
Решите
Решите
неравенство 49-2х<4-7х.
неравенство 49-2х<4-7х.
систему уравнений
систему уравнений
2х + 7У= 3, 2х-7*= 1.
2х + 7У= 3, 2х-7*= 1.
г) Найдите все числа а, такие, что уравнение (2х-а)(7х —а) =
5х+ 3*= 6, 5х-3»= 4.5х+ 3*= 6, 5х-3»= 4.= 0 имеет два различных корня.
5х+ 3*= 6, 5х-3»= 4.
5х+ 3*= 6, 5х-3»= 4.
A.
Дана функция /^ = У + х~&. Вычислите /(2).
Решите уравнение 3х + х-8 = j.
Решите неравенство зх2 + х-8<±
г) Решите систему уравненийг) Решите систему уравненийу=3^+;-8, log3(9z/2 + 8у) = 0.
г) Решите систему уравнений
г) Решите систему уравнений
Б.
Дана функция /(х) = 5х +2*-. Вычислите /(1).
уравнение 5 +=неравенство у2*^-5 > Луравнение 5 +=неравенство у2*^-5 > ЛРешите
уравнение 5 +=
неравенство у2*^-5 > Л
уравнение 5 +=
неравенство у2*^-5 > Л
Решите
г) Решите систему уравненийг) Решите систему уравненийу= 5х2 + 2х "5, 10^(25^+ 24z/) = 0.
г) Решите систему уравнений
г) Решите систему уравнений
А.
Найдите область определения функции/(х) = log3(x2 — 4х + 3).
-Решите уравнение log3(x2 — 4х+3) = log3(x — 1).
Решите неравенство log3(x2 — 4х+3) < log3(x - 1).
Пусть log34 = a. Выразите значение /(5), где /(х) = = log3(x2 — 4х+ 3), через а.
Б.
Найдите область определения функции /(x) = log5(5 —4х—х2).
Решите уравнение log5(5 — 4х — х2) = log5( 1 —х).
Решите неравенство log5(5 — 4х — х2) < log5( 1 - х).
Пусть /(—3) = 6, где /(х) = log5(5 — 4х-х2). Выразите значение log54 через Ь.
А.
Решите уравнение log2x — 31og2x = — 2.Решите неравенство log2 х —31og2x< — 2.Решите уравнение log2x — 31og2x = — 2.Решите неравенство log2 х —31og2x< — 2.
Решите уравнение log2x — 31og2x = — 2.
Решите неравенство log2 х —31og2x< — 2.
Решите уравнение log2x — 31og2x = — 2.
Решите неравенство log2 х —31og2x< — 2.
Пусть log23 = a. Выразите = log2 х — 3 log2x, через а.
Решите систему уравнений
значение /(6), где /(х) =
z/ = log2x —31og2x, z/= log2 (2х) — 31og2(2x).
Пусть log32 = b. Выразите = log3 х — 51og3x, через b.
Решите систему уравнений
значение /(6), где /(х) =
У = log3 х — 5 log3x, z/= log3 (Зх) — 5log3(3x).
А.
Найдите все значения а, такие, что число х= 11 явля
ется корнем уравнения log2(x — 3) + log2(x — 7) = а.
Решите уравнение log2(x — 3) + log2(x — 7) = 5.
Решите неравенство log2(x — 3) + log2(x — 7) < 5.
г)г)Решите систему уравненийРешите систему уравненийlog2(x-3) + log2(x-7) = z/, 4*- 31 -2* = 32.log2(x-3) + log2(x-7) = z/, 4*- 31 -2* = 32.
г)
г)
Решите систему уравнений
Решите систему уравнений
log2(x-3) + log2(x-7) = z/, 4*- 31 -2* = 32.
log2(x-3) + log2(x-7) = z/, 4*- 31 -2* = 32.
Б.
Найдите все значения Ь, такие, что число х = 5 являет
ся корнем уравнения log3(x + 4) + log3(x — 2) = b.
Решите уравнение log3(x + 4) + log3(x — 2) = 3.
Решите неравенство log3(x + 4) + log3(x — 2)>3.
Решите систему уравнений
log3(i/ + 4) + log3(z/-2) = x, 9х - 26 • 3х - 27 = 0.
А.
Дана функция /(х) = -— и-——-. Вычислите i igx-1 igx+1\ Vio
Найдите область определения функции /(х) = -——-
о’IgX — 1
+ 4. lgx+ 1
Решите уравнение -—-н-—-— = 3.
Igx—1 lgx+1
Решите неравенство - ^- + —-+~ < 3.
Б.
Дана функция Дх) =-j-A— - ^^- Вычислите/^
Найдите область определения функции Дх) = ^ 2
“ Igx-2 "
Решите уравнение -—^—- — -—^—7 = 4.
'Igx+ 2Igx-2
Решите неравенство —_ — -—^—>4.
'rIgx + 2Igx - 2
А.
Дана функция/(x) = log3(x+ 1) +log3(x-5). Вычислите/(8).
Решите уравнение log3(x + 1) + log3(x — 5) = 3.
Решите неравенство log3(x + 1) + log3(x — 5) < log^ —J-p.
Найдите все значения а, такие, что уравнение 3
log3(x+ 1) +log3(x —5) — 3 n„
—Г^а "— = 0 не имеет решении.
Б.
Дана функция/(х) = log2(x +3) + log2(x — 1). Вычислите/(5).
Решите уравнение log2(x + 3) + log2(x — 1) = 5.
Решите неравенство log2(x + 3) + log2(x — 1)<log05 —^.
Найдите все значения Ь, такие, что уравнение log2(x +3) + log2(x—1) —5„
——х + ь "— = 0 имеет решения.
А.
Дана функция/(х) = 2 • 7х. Вычислите /(log494).
Решите уравнение 2 • 7х + 2 • 7~х =-^.
Решите неравенство 2 • 7х + 2 • 7"х< -^.
Докажите, что 2 • 7х + 2 • 7-х>4.
Б.
Дана функция /(х) = 3 • 5х. Вычислите /(log^V3).
Решите уравнение 3 • 5х + 3 • 5-х= —.
5
Решите неравенство 3 • 5х + 3 • 5-х<
5
Докажите, что 3 • 5х + 3 • 5-х> 6.
А.
Дана функция /(х) = 5х + 2. Вычислите /(log^3).
5
Решите уравнение 52х + 2— 5х + 2 = 500.
Решите неравенство lg(52x+ 2—5Х + 2) < 2 + lg5.
г) Решите систему уравненийг) Решите систему уравнений10. Б.10. Б.5У + 2_ 5х + 2 = 500, 5«-2х + 2 = 25.
г) Решите систему уравнений
г) Решите систему уравнений
10. Б.
10. Б.
Дана функция /(х) = Зх + 1. Вычислите /(log^5). з
Решите уравнение 32х + 1 — 2 • 3х + *= 9.
Решите неравенство log2(32x +1 — 2 • Зх +f)< 21og23.
г) Решите систему уравненийг) Решите систему уравненийЗ^+i _2.3^1=9, 3Х-2у + 1= 3
г) Решите систему уравнений
г) Решите систему уравнений
A.
Дана функция /(x) = log2(4x — 3 • 2х). Вычислите /(2).
Найдите область определения функции /(x) = log2(4x —3-2Х).
Решите уравнение log2(4x —3-2Х) = 2.
Решите неравенство log2(4x —3 • 2х) < 2.
Б.
Дана функция /(х) = log3(9x - 2 • 3х). Вычислите Д1).
Найдите область определения функции /(x) = log3(9x —2 • 3х).
Решите уравнение log3(9x—2• Зх)= 1.
Решите неравенство log3(9x — 2 • 3х) < 1.
А.
Дана функция /(х) = log7-^^. Сравните числа /(3) и /(-3).х
Найдите область определения функции/(х) = log7-^т-•
Решите уравнение log7 *_2 = 1.
Решите неравенство log7 у ^2 < ^1
Б.
Дана функция /(x) = log5 . Сравните числа /(2) и
/(-2).*,7
Найдите область определения функции/(х) = log5 *t ** • в) Решите уравнение log5 7* * ]1 =2.
Решите неравенство log5 7™ ™ < 2.
А.
Решите уравнение Igx + O — ^x.
Решите неравенство lgx+ 6<^х.
Укажите множество значений функции /(x) = lgx + 6 при х€[0,01; 1000].
Найдите все числа а, такие, что уравнение (lgx + 6—a)2 + + (^х-а)2 = 0 имеет решения.
Б.
Решите уравнение log|x = log3x+ 12.
Решите неравенство log|x>log3x+12.
Укажите множество значений функции g(x) = log3x + 12
при 81].
г) Найдите все числа Ь, такие, что уравнение (log|x — b)2 + + (log3x+12 —6)2 = 0 не имеет решения.14. А.Даны функции/(х) = 2х и g(x) = 5х + *. Вычислите £1*2&^).г) Найдите все числа Ь, такие, что уравнение (log|x — b)2 + + (log3x+12 —6)2 = 0 не имеет решения.14. А.Даны функции/(х) = 2х и g(x) = 5х + *. Вычислите £1*2&^).Решите уравнение 2х-5х+|=50.Решите неравенство 2х-5х+1>50.Решите уравнение 2х-5х+|=50.Решите неравенство 2х-5х+1>50./(Iog2.s3)/(Iog2.s3)Решите систему уравнений 14. Б.Решите систему уравнений 14. Б.2»-5^ *=50,2»-5^ *=50,а) Даны функции/(х) = Зх + 2 и g(x) = 4x. Вычислитеа) Даны функции/(х) = Зх + 2 и g(x) = 4x. ВычислитеРешите уравнение Зх + 2-4х=108.Решите неравенство Зх + 2-4х<108Решите уравнение Зх + 2-4х=108.Решите неравенство Зх + 2-4х<108g( logo.75 2)g( logo.75 2)Решите систему уравненийРешите систему уравненийЗх + 2-4х = 108,Зх + 2-4х = 108,
г) Найдите все числа Ь, такие, что уравнение (log|x — b)2 + + (log3x+12 —6)2 = 0 не имеет решения.
14. А.
Даны функции/(х) = 2х и g(x) = 5х + *. Вычислите £1*2&^).
г) Найдите все числа Ь, такие, что уравнение (log|x — b)2 + + (log3x+12 —6)2 = 0 не имеет решения.
14. А.
Даны функции/(х) = 2х и g(x) = 5х + *. Вычислите £1*2&^).
Решите уравнение 2х-5х+|=50.
Решите неравенство 2х-5х+1>50.
Решите уравнение 2х-5х+|=50.
Решите неравенство 2х-5х+1>50.
/(Iog2.s3)
/(Iog2.s3)
Решите систему уравнений 14. Б.
Решите систему уравнений 14. Б.
2»-5^ *=50,
2»-5^ *=50,
а) Даны функции/(х) = Зх + 2 и g(x) = 4x. Вычислите
а) Даны функции/(х) = Зх + 2 и g(x) = 4x. Вычислите
Решите уравнение Зх + 2-4х=108.
Решите неравенство Зх + 2-4х<108
Решите уравнение Зх + 2-4х=108.
Решите неравенство Зх + 2-4х<108
g( logo.75 2)
g( logo.75 2)
Решите систему уравнений
Решите систему уравнений
Зх + 2-4х = 108,
Зх + 2-4х = 108,
А./1 V(i)
Дана функция /(х) = log4x — 2. Вычислите .
Решите неравенство ^У084* 2 >64.
Решите уравнение xlog4x~2 = 64.
Докажите, что если а€Ю; jk то уравнение xlog4x^2 = a не имеет решений.
Б.
Дана функция /(х) = log j_x + 4. Вычислите 3/(3).
з
Решите неравенство 3log{x + 4>27.
Решите уравнение xlog|x + 4 = 27.
Докажите, что если б€(0; 81], то уравнение xlog^x + 4 = 6 имеет хотя бы одно решение.
А. Дана функция /(х) = 5х + 1.
Вычислите /(logs-j-).
Найдите все значения х, при которых график функции y=fW расположен ниже прямой у = 2,5.
Решите уравнение 3/(х) = 2/2(х) — 5.
Найдите все числа а, такие, что /(log5a)< 2,5.
2 Карп9
Б. Дана функция /(х) = 3х" *.
Вычислите /(log34).
Найдите все значения х, при которых график функции y=fW расположен ниже прямой У = ^-
Решите уравнение 3/2(х) =/(х) + 4.
Найдите все числа Ь, такие, что /(log36)< у.
А. Дана функция /(х) = 2х- -|.
Сравните числа/(log23) и —/(—log23).
Постройте график функции z/=/(x) на отрезке [ — 2; 3]. в) Выясните, существуют ли такие значения х, при которых выполняется равенство/(х)= —/( — х).
Решите неравенство/(х)+/( — х)>0.
Б. Дана функция /(х)=:| —3х.
Сравните числа — /(log34) и /( —log34).
Постройте график функции z/=/(x) на отрезке [ — 2; 1]. в) Выясните, существуют ли такие значения х, при которых выполняется равенство —/(х)=/( —х).
Решите неравенство /(х)+/( —х)>0.
А. Дана функция /(х) = -^6-.
Сравните числа /(log26) и /(2).
Решите уравнение /(х) = j.
Решите неравенство/(х)< j.
Найдите все числа а, такие, что уравнение /(х) = а имеет решение.
Б. Дана функция /(х) = ^т 19.
Сравните числа /(log34) и/(1).
Решите уравнение /(х) = — ^.
Решите неравенство/(х)>-j.
Найдите все числа Ь, такие, что уравнение /(х) = Ь не имеет решений.
А. Дана функция /(х) = Зх-2.
Вычислите /(—1).
Решите уравнение /(х) = (у 1.
10■
Решите неравенство /(x)<j.
Сравните числа /(log23) и /(3).
х-З
Б. Дана функция /(х) = 2х+6.
Вычислите /(-3).
Решите уравнение JW = (^)•
Решите неравенство /(х)>-|-.
Сравните числа /(log34) и /(4).
А. Дана функция /(х) = е2*-2х.
Напишите уравнение касательной к графику функции у =f(x), параллельной оси абсцисс.
Найдите координаты точек пересечения графиков функций y=f(x) и у = ^-2х + 2.
Решите неравенство /(х) > ех - 2х + 2.
Сравните числа /(In2) и 1п2.
Б. Дана функция /(х) = 2х — е2х.
Напишите уравнение касательной к графику функции у=Кх\ параллельной оси абсцисс.
Найдите координаты точек пересечения графиков функций y=f(x) и у = 2х-ех — 6.
Решите неравенство /(х) > 2х - ^ — 6.
Сравните числа /(1пЗ) и 1пЗ.
А. Дана функция /(х) = log2x • log3(x + а).
такое, что выполняется равенствотакое, что выполняется равенствоНайдите значение а, /(2)=1.
такое, что выполняется равенство
такое, что выполняется равенство
уравнение /(х) = log2x.неравенство ,< 1.iog2xуравнение /(х) = log2x.неравенство ,< 1.iog2xПусть а = 1. Решите
уравнение /(х) = log2x.
неравенство ,< 1.
iog2x
уравнение /(х) = log2x.
неравенство ,< 1.
iog2x
Пусть а = 1. Решите
Найдите все значения а, такие, что неравенство ^^ не имеет решений.
Б. Дана функция /(х) = log3x • log2(Z> - х).
Найдите значение Ь, такое, что выполняется равенство /(3)=1.
Пусть Ь = 5. Решите уравнение /(х) = log3x.
Пусть Ь = 5. Решите неравенство ^^ > 1.
г) Найдите все значения Ь, такие, что неравенствог) Найдите все значения Ь, такие, что неравенствоне имеет решений.22. А. Дана функция /(х) =не имеет решений.22. А. Дана функция /(х) =3 + 2 log, (18 + Зх-х2)3 + 2 log, (18 + Зх-х2)1g*1g*/(X)•og3x/(X)•og3x
г) Найдите все значения Ь, такие, что неравенство
г) Найдите все значения Ь, такие, что неравенство
не имеет решений.
22. А. Дана функция /(х) =
не имеет решений.
22. А. Дана функция /(х) =
3 + 2 log, (18 + Зх-х2)
3 + 2 log, (18 + Зх-х2)
1g*
1g*
/(X)
•og3x
/(X)
•og3x
Найдите область определения функции y=f(x).
Вычислите 2/<5).
Решите уравнение /(х) = 0.
Решите неравенство /(х) • lgx< 0.
Б. Дана функция Дх>- ^М-^-З .
Найдите область определения функции y=f(x).
Вычислите 0,5/<-4).
Решите уравнение /(х) = 0.
Решите неравенство /(х)-lg( 1 — х)>0.
А. Дана функция /(х) = 4х - 2х+*.
Вычислите /(log! ^.
Решите уравнение /(х) = 3.
Решите неравенство logi/(x)> — 1.
з
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение lg(/(x)) = lg(/(a)) имеет решения.
Б. Дана функция/(х) = (|У-(|У *.
Вычислите /(log3 -0.
Решите уравнение /(х) = 4.
Решите неравенство log2/(x)<2.
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение lg(/(x)) = lg(/(a)) не имеет решений.
А. Дана функция /(х) = log3(2x - 7).
Вычислите /(4).
Решите уравнение /(х) =/(2х - 4).
Решите неравенство /(х)</(2х — 4).
Выясните, имеет ли смысл выражение /(log38).
Б. Дана функция /(х) = log2(3x - 11).
Вычислите /(3).
Решите уравнение /(х) =/(2х - 3).
Решите неравенство /(х)</(2х —3).
Выясните, имеет лн смысл выражение /(log217).
А. Дана функция /(х) = lg(6 -х - х2).
Сравните |/(-|) и Ig3-lg2.
Решите уравнение /(х)=/(х- 1).
Решите неравенство ^У^ ^^У^
Найдите наибольшее значение функции у=/(х).
Б. Дана функция /(х) = log3(4 — Зх — х2).
Сравните Д^ и 2 —2log32.
Решите уравнение /(х) =/(х + 1).
Решите неравенство ^У^> (f)^*
Найдите наибольшее значение функции д = /(х).
А. Дана функция /(х) = 3-2\
Вычислите /(l+log^3).
Решите уравнение /(х) = 22х+‘+1.
3/(х)-/(у) = 3, /0/~2х) = 6.3/(х)-/(у) = 3, /0/~2х) = 6.Решите неравенство /(х)>22х + 1 + 1.
3/(х)-/(у) = 3, /0/~2х) = 6.
3/(х)-/(у) = 3, /0/~2х) = 6.
Решите систему уравнений
Б. Дана функция /(х) = 10-3х.
Вычислите /(— 1 +log^2).
Решите уравнение /(х) = 32х +2 + 1.
Ю/(х) —/(у) = 10, /(у —2х) = 90.Ю/(х) —/(у) = 10, /(у —2х) = 90.Решите неравенство /(х)<32х + 2+ 1.
Ю/(х) —/(у) = 10, /(у —2х) = 90.
Ю/(х) —/(у) = 10, /(у —2х) = 90.
Решите систему уравнений
А. Дана функция /(х) = log j (2х2 - 5х + 3).
Сравните числа 9/(3) и 35/<0).
Решите уравнение /(х) = log i (х — 1) — 1.
Найдите область определения функции
g(x) = V/(x)-log! (Зх - 3).
У=ДхУУ=ДхУРешите систему уравнений
У=ДхУ
У=ДхУ
Б. Дана функция /(х) = log3(2x2 - Их+ 9).
Сравните числа (у) и 4/<0).
Решите уравнение /(x) = log3(x- 1)+1.
Найдите область определения функции
З^1 =х- 1, y=RxyЗ^1 =х- 1, y=Rxyg(x) = Vlog3(3x-3)-/(x).
З^1 =х- 1, y=Rxy
З^1 =х- 1, y=Rxy
Решите систему уравнений
А. Дана функция /(х) = log2(4x — х2).
Найдите область определения функции у=/(х).
Упростите выражение /(а2)-/(а+ 2) и вычислите его значение при а = — j.
Решите уравнение /(х2) =/(х + 2).
Найдите наибольшее значение функции y=f(x).
Б. Дана функция /(х) = log3(6x — х2 - 5).
Найдите область определения функции у=/(х).
Упростите выражение f(b2 + 1) —f(b + 3) и вычислите его значение при Ь = — ^.
Решите уравнение /(х2 + 1)=/(х + 3).
Найдите наибольшее значение функции у=/(х).
А. Дана функция /(х) = log1( 12 + 4х-х2).
Вычислите 9/<-1).3
Решите уравнение /(х) = log1(2x - 1)- 1.
з
/7 \-^М /vX'og 1 (^-3)
Решите неравенство 1-^-1 <1-^-1 з •
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение /(x) = 2log1a имеет ровно два различных корня.
з
Б. Дана функция /(х) = log3(x2 — Юх+ 9).
Вычислите (^.
Решите уравнение /(х) = log3(7 — 2х) + 1.
Ч/7\|оВ3(21-6х)
Решите неравенство (д-1 ^Гд1•
Найдите все значения параметра Ь, при которых уравнение /(х)= 2log3b имеет ровно два различных корня.
А. Ддна функция /(x) = logj(x-l)-(logi(14 + 5x-x2) + 3).
2
Найдите область определения функции y=f(x).
Вычислите Э™.
Решите уравнение /(х) = 0.
Решите неравенство y0gy~~2 ty < 0.
Б. Дана функция /(х) = (1 + log±(15 - 2х-х2))-log2(x +2).
7
Найдите область определения функции y=f(x).
Вычислите 2/<2).
Решите уравнение /(х) = 0.
Решите неравенство jog у--- ^у < 0.
А. Даны функции /(x) = log^^y и g(x) = log}(2x + 1)+ 1.
Вычислите
gW
Найдите область определения функции у =f(x) — g(x).
Найдите все значения а, такие, что число /(а) меньше 3.
Решите уравнение /(x) = g(x).
Б. Даны функции/(х) = log2 ^^- и
g(x) = log2(ll -Зх)-4.
Вычислите
/(3)
Найдите область определения функции у =/(х) + g(x).
Найдите все значения т, такие, что число g(m) меньше 3.
Решите уравнение /(x)=-g(x).
А. Даны функции /(х) = 1о^х и g(x) = 31og8x.
Докажите, что /(х) = (g(x))2.
Вычислите /(2 V2) — g(2 V2).
Решите уравнение /(х) — 3g(x) = 4.
Решите неравенство /(х) — 3g(x)< 4.
Б. Даны функции /(x) = 21ogex и g(x) = lo^x.
Докажите, что g(x) = (/(х))2.
Вычислите g(3 V5)+/(3 V?).
Решите уравнение 2/(х)+ g(x) = 3.
Решите неравенство 2/(х) + g(x) < 3.
А. Дана функция /(х) = ln(x+1).
Сравните числа /(0)+/(2) и 2/(1).
Напишите уравнение касательной к графику функции у=/(х) в его точке с абсциссой хо = О.
Решите уравнение /(х) -f(x + 1) = 0.
Решите неравенство /(х)-/'(х)< 0.
Б. Дана функция /(х) = ln(x - 1).
Сравните числа /(8)+/(2) и 3/(3).
Напишите уравнение касательной к графику функции у=/(х) в его точке с абсциссой х0 = 2.
Решите уравнение /(х)-/(х + 2) = 0.
Решите неравенство у^<0.
А. Даны функции /(х) = 25* и g(x) = 5x + 2.
Найдите координаты точки пересечения графиков функций у=/(х) и y = g(x\
Решите неравенство /(x)<g(x).
Сравните числа/(2 + log0>991,1) и g(2 + log099 1 , 1 ).
Найдите все числа а, такие, что уравнение ^*^ 5^ = 0 не имеет решений.
Б. Даны функции/(х) = 32х+1 и g(x) = 27x.
Найдите координаты точки пересечения графиков функций у=/(х) и y = g(x\
Решите неравенство /(х)<g(x).
Сравните числа /(1 + lg 1,1) и g( 1 + lg 1,1).
Найдите все числа Ь, такие, что уравнение ^^f^ = 0 имеет решения.
А. Даны функции /(x) = log2x, g(x) = log^x и А(х) = = log|X.
Упростите выражение ^~^^^-
Решите уравнение /(х)+ g(x) = А(х) + 10.
Выясните, сколько целых решений имеет неравенство /(x) + g(x)<A(x) + 10.
Найдите все такие значения параметра а, что уравнение (/(х) - a)(g(x) - а)(А(х) - а) = 0 имеет ровно одно решение.
Б. Даны функции /(x) = log3x, g(x) = log±x и А(х) = = log^x.3
Упростите выражение ^^g^^ •
Решите уравнение /г(х)-/(х) = g(x) + 2.
Выясните, сколько целых решений имеет неравенство
A(x)-/(x)<g(x) + 2.
Найдите все такие значения параметра Ь, что уравнение (/(х) - b)2 + (g(x) — ЬУ + (А(х) - Ь)2 = 0 имеет решения.
А. Дана функция /(x) = lgx.
Решите уравнение /(х-5)—/(3) = 1.
m-jw=vД*)+Ду) = 3.m-jw=vД*)+Ду) = 3.Решите неравенство /(х-5)—/(3)< 1.
m-jw=v
Д*)+Ду) = 3.
m-jw=v
Д*)+Ду) = 3.
Решите систему уравнений
Постройте график уравнения /(у)—/(х) = 1.
Б. Дана функция /(x) = log5x.
Решите уравнение /(х + 10) — 2 =/(2).
Дх) +Ду) = 5, /(х)-/(«/)=!.Дх) +Ду) = 5, /(х)-/(«/)=!.Решите неравенство /(х + 10) - 2 </(2).
Дх) +Ду) = 5, /(х)-/(«/)=!.
Дх) +Ду) = 5, /(х)-/(«/)=!.
Решите систему уравнений
Постройте график уравнения /(у) + 1 =/(х).
А. Дана функция /(x) = log^x4.
Сравните с нулем число /(~V3) •/^^^
Найдите область определения выражения -^/(х) + + log1(5-x).
Вычислите значение выражения т/(х) + log1(5 — х) при х= —1.6
Решите уравнение j/(x) + logx(5 — х)= -1.
Б. Дана функция /(х) = log24x6.
Сравните с нулем число /(^) '/(~V2).
Найдите область определения выражения -^Дх) + + log24(x + 10).
Вычислите значение выражения -^f(x) + log24(x + 10) при х = — 4.
Решите уравнение -^/(х) + log24(x + 10) = 1.
А. Дана функция /(*) = lg(18 - 7х-х2).
Найдите область определения данной функции.
ШШ-/ 1 V(0)
Ш
Ш
Сравните числа 1у1 и
Решите уравнение 3 • l-jj + 2-l-|-j = 1.
Решите неравенство 3 • l-^j + 2 • Ijl > 1.
Б. Дана функция /(х) = log1( 12 - х — х2).
Найдите область определения данной функции.
Сравните числа 3/<0) и 3/(1).
Решите уравнение 2 • 4/<х) + 2/,х)= 1.
Решите неравенство 2 • 4/<х) + 2/,х)> 1.
А. Дана функция /(х) = log2(7 — х2).
Сравните числа 1+/(2) и /(у)-
Пусть /(2) = т. Выразите значение /(j) через т.
/(х) = log2(x+ 1), /(У) = log,3./(х) = log2(x+ 1), /(У) = log,3.Решите неравенство /(х) > log2(x + 1).
/(х) = log2(x+ 1), /(У) = log,3.
/(х) = log2(x+ 1), /(У) = log,3.
Решите систему уравнений
Б. Дана функция /(x) = log3(ll - х2).
Сравните числа /(3) + 2 и /(^)-
Пусть /(3) = л. Выразите значение /(^) через п.
Решите неравенство /(х) > log3(x - 1).
/(У) = log3 (У - 1), /М = ^,2./(У) = log3 (У - 1), /М = ^,2.Решите систему уравнений {
/(У) = log3 (У - 1), /М = ^,2.
/(У) = log3 (У - 1), /М = ^,2.
А. Дана функция /(х) = log±(4x2-x-3).
2
Сравните числа 2/<2) и 12/<-1).
Решите уравнение /(х) = log±(x + 2)—1.
Найдите область определения функции g(x) =
= V/(x) — logjL(2x + 4).
2
Выясните, сколько корней в зависимости от а имеет уравнение /(х)=/(а).
Б. Дана функция J^ = log1(2x2 + х — 3).
з
Сравните числа 3/(3) и 17/(-2).
Решите уравнение /(х) = log^x + 3) — 1.
з
Найдите область определения функции g(x) =
= V/(x)-log±(3x + 9).
з
Выясните, сколько корней в зависимости от т имеет уравнение /(z)=/(m).
РАЗДЕЛ II
А.
Найдите область определения функции Д.х) =
= Vx2 — 8х + 12.
Рассматривается функция Дх) = Vx2 — 8х + 12. Сравните числа ДО)—Д1) и Д7).
Решите уравнение Vx2 — 8х + 12 = 2х - 4.
Решите неравенство (х — 7)Vx2 — 8х + 12> 0.
Б.
Найдите область определения функции Дх) = V8x — х2 — 7.
Рассматривается функция Дх) = V8x — х2 — 7. Сравните числа 2/(4)—Д 5) и ДЗД
Решите уравнение V8x — х2 — 7 = 3 - Зх.
Решите неравенство (х — 5)V8x —х2 — 7>0.
А.
Найдите область определения функции Дх) = V2x + 2- V6 - 2х.
Найдите координаты точки пересечения графика функции Дх) = V2x + 2 - V6 — 2х с осью абсцисс.
Рассматривается функция Дх) = V2x + 2 - V6 — 2х. Сравните числа /(0,5)| и |0,25/(-1)|.
Решите уравнение |V2x + 2 — V6 — 2х| = 2х + 2.
Б.
Найдите область определения функции Дх) = V4 — 2х— V4 + 2х.
Найдите координаты точки пересечения графика функции Дх) = V4 - 2х - V4 + 2х с осью абсцисс.
Рассматривается функция Дх) = V4 - 2х - V4 + 2х. Сравните числа /(1,5)| и |0,5Д2)|.
Решите уравнение |V4 — 2х — V4 + 2х| = V4 — 2х.
А.
Дана функция/(x) = 6Vx—х. Сравните числа/(3) и/(27).
Решите уравнение 6Vx —х = 9.
Напишите уравнение касательной к графику функции /(х) = 6V* — х, параллельной оси абсцисс.
Докажите, что на луче [9; + оо) функция /(x) = 6Vx —х убывает.
Б.
Дана функция/(х) = х —4V*. Сравните числа /(8) и /(2).
Решите уравнение х — 4Vx= — 4.
Напишите уравнение касательной к графику функции /(х) = х —4\5, параллельной оси абсцисс.
Докажите, что на луче [4; + оо) функция /(х) = х —4\5 возрастает.
А.
Найдите число а, такое, что х = 3 является корнем уравнения \/2ах — х2 — 5 = х — 1.
Найдите область определения функции /(х) = V6x — х2 — 5.
Решите неравенство (V6x — х2 — 5)2 < (х — 1 )2.
Найдите все числа а, такие, что функция /(х) = = /Зах — х2 — 5 определена лишь при одном значении х.
Б.
Найдите число Ь, такое, что х = 4 является корнем уравнения V46+8х — х^х — 2.'
Найдите область определения функции /(х) = = V— 12 + 8х —х2.
Решите неравенство (V—12 + 8х — х2)2 < (х — 2)2.
Найдите все числа Ь, такие, что функция /(х) = = V46 +8х — х2 не определена ни при каком значении х.
А.
Решите уравнение Ух - 2 — х + 4 = 0.
Напишите уравнение касательной к графику функции Дх) = Vx - 2 — х + 4 в его точке с абсциссой х0 = 3.
Дана функция Дх) — Vx — 2 — х + 4. Найдите область определения функции y=J^y
Найдите для функции Дх) = Vx — 2 — х + 4 первообразную, график которой проходит через точку (6; 1).
Б.
Решите уравнение Vx + 3 — х — 1 =0.
Напишите уравнение касательной к графику функции
Дх) = Vx + З — х— 1 в его точке с абсциссой х0 = —2.
Дана функция /(х) = Vx + З — х — 1. Найдите область определения функции у=/^у
Найдите для функции /(х) = Vx + 3 — х — 1 первообразную, график которой проходит через точку ( — 2; 1).
в. А.
Дана функция /(х) = Vx3 + 5х2 + 4х. Известно, что /(4) = а. Выразите через а значение /(1).
Найдите координаты точек пересечения графика функции /(х) = Vx5 + бх5 + 4х с осями координат.
Найдите область определения функции /(х) = = Vxi + 5x2 + 4x.
Решите уравнение V?+5j?T4x = 2 Vx.
в. Б.
Дана функция /(х) = Vx3 + Зх2 — 4х. Известно, что/(4) = Ь.
Выразите через b значение Д— 1).
Найдите координаты точек пересечения графика функции Дх) = Vx3 + Зх2 — 4х с осями координат.
Найдите область определения функции Дх) = = Vx3 + Зх2 - 4х.
Решите уравнение Vx3 + Зх2 — 4x=xV3.
7. А.
Найдите область определения функции Дх) = V2X2 + 4х.
Дана функция /(x) = V2x2 + 4x. Вычислите /(V3—1).
Решите уравнение V2x2 + 4x = x.
Решите неравенство (V2x2 + 4х)2<2х + 4.
Б.
Найдите область определения функции /(x) = V2x2 — 4х.
Дана функция /(х) — V2x2 — 4х. Вычислите /(1 + V3).
Решите уравнение V2x2 — 4х = х — 2.
Решите неравенство (V2x2 — 4х)2<2х.
А.
Найдите область определения функции /(х)= = V16-6x-x2.
б) Решите уравнение V16 — 6х — х2 = х + 2.
в) Решите неравенство (V16 — 6х — х2)2: г) Найдите множество значений = V16-6x-x2.
>11- 2х2.
функции /(х) =
Б.
а) Найдите область определения
функции /(х) =
= V9-8x-x2.
Решите уравнение V9 —8х — х2 = х + 3.
Решите неравенство (V9 — 8х — х2)2 > 9 — 4х — 2х2.
Найдите наибольшее и наименьшее значения ‘функции /(x) = V9-8x-x2..
А.
Дана функция /(x) = V4 + 3x —х2. Выясните, рационально ЛИ ЧИСЛО /(3-~2^У
Решите уравнение V4 + Зх — х2 = хV21.
Найдите наибольшее значение функции /(х) = = V4 + 3x-x2.
Найдите область определения функции g(x)=/( — V где /(x)-V4 + 3x-?.V
Б.
Дана функция /(х) = V6 + 5x —х2. Выясните, рациональ-
Решите уравнение V6 + 5х — х2 = х уТз.
Найдите наибольшее значение функции /(х) = = V6 + 5x —х2.
Найдите область определения функции g(x)где
Кх) = ^6 + 5х — х?.
А.
Дана функция /(x) = V2x2 —8х — 10. Сравните числа
Д-4) и 2+Д-З).
Решите уравнение V2X2 — 8х — 10 = х — 5.
\ п- fV2y2 -8у - 10 = у - 5,
Решите систему уравнении |
Найдите все числа а, такие, что уравнение ,- = 0 имеет решения.
V2r'-8x-10р
Б.
Дана функция Дх) = V16 + 6х —х2. Сравните числа
Д5)+Д6) иД4)+Д7)
Решите уравнение V16 + 6х — х2 = 2 — х.
в) Решите систему уравненийв) Решите систему уравненийV16 + 6у-у2=2 - у, V16 + 6x-x2 - V8^y = 0.
в) Решите систему уравнений
в) Решите систему уравнений
г) Найдите все числа Ь, такие, что уравнение не имеет решений.г) Найдите все числа Ь, такие, что уравнение не имеет решений.х — Ьх — ЬV16+6X-X2V16+6X-X2= 0= 0
г) Найдите все числа Ь, такие, что уравнение не имеет решений.
г) Найдите все числа Ь, такие, что уравнение не имеет решений.
х — Ь
х — Ь
V16+6X-X2
V16+6X-X2
= 0
= 0
А.
Найдите область определения функции Дх) = = Vx2 - 4х + 3 - Vx2 - 5х + 4.
Найдите координаты точек пересечения графика функции Дх) = Vx5 — 4х + 3 — Vx2 — 5х + 4 с осью абсцисс.
Упростите выражение -7ч==—*~ \ »= —
’ рр V?-4x + 3 - Vj?^57+4
— Vx2 — 5х + 4 — Vx5 — 4х + 3.
Докажите, что ...—— = >0-
'V?-4x + 3-V?-5x + 4
Б.
Найдите область определения функции Дх) = -VsT^-Ve-x-x2.
Найдите координаты точек пересечения графика функции Дх) = V9 — х2 — V6 — х — Xй с осью абсцисс.
Упростите выражение У9 — х2 + Уб — х — х2— х + 3
Докажите, что ... ,x+^ ■.>0.
'Vg^P-ve-x-x2
А.
Дана функция /(х) = ^зу • Сравните числа /(4) и /(5).
Найдите область определения функции /(х) = ^*? •
Решите уравнениеРешите уравнениеVx +1Vx +1Решите систему уравненийРешите систему уравнений7^У —У-7^У —У-
Решите уравнение
Решите уравнение
Vx +1
Vx +1
Решите систему уравнений
Решите систему уравнений
7^
У —У-
7^
У —У-
Б.
а) Дана функция/(х) = ^J* • Сравните числа/(—4) и/(—3).
Найдите область определения функции /(х) =Найдите область определения функции /(х) =Решите уравнениеРешите уравнение'З^х'З^х1-х ■1-х ■1 -х1 -х= 1.= 1.Решите систему уравненийРешите систему уравненийх2 - х = 0, Уй/ —— =х.х2 - х = 0, Уй/ —— =х.1-у1-у
Найдите область определения функции /(х) =
Найдите область определения функции /(х) =
Решите уравнение
Решите уравнение
'З^х
'З^х
1-х ■
1-х ■
1 -х
1 -х
= 1.
= 1.
Решите систему уравнений
Решите систему уравнений
х2 - х = 0, Уй/ —— =х.
х2 - х = 0, Уй/ —— =х.
1-у
1-у
А.
Найдите область определения функции g(x) = = Ух2 —5х + 6. ,
Решите уравнение Ух2 —5х+~6 = У2 — х.
Упростите выражение ^^У"6-.
Найдите все положительные значения а, такие, что уравнение Уд? — 5х + 6 — a V2 —х имеет единственное решение.
Б.
Найдите область определения функции /(х) = = УЗх-х2-2.
Решите уравнение УЗх-х2-2-Ух-1=0.
Упростите выражение.
Найдите все положительные значения Ь, такие, что уравнение йУЗх-х*-2-Ух^1 = 0 имеет единственное решение.
A.
Найдите область определения функции у = "^J/- ■
Решите уравнение 3 — х = V5x — 1.
Докажите, что на промежутке [1; +°°) функция g(x) =
= V5x — 1 возрастает.
Даны функции /(х) = 3 —х и g(x) = V5x — 1. Сравните числа /fl + siny^ и gfl + sinyyY
Б.
Найдите область определения функции у = ^J ~р.
Решите уравнение у7 —Зх=х + 1..
Докажите, что на промежутке (—°°; 1] функция /(х) = = V7 — Зх убывает.
Даны функции /(х) = V7 — Зх и g(x) = x+l. Сравните числа /(1 - sin уу ] и gfl - sin уу
А.
Найдите область определения функции /(х) = ^ -^~^ .
Дана функция/(х)= y^zl. Сравните числа/(2)+/(4) и 2/(3).
Решите уравнение у * у А . = х — 1.
Решите неравенство ^у уууj <(х—I)2.
Б.
б) Дана функция /(х)= уб) Дана функция /(х)= уНайдите область определения функции /(х)= ^/"-^д1" • у±у. Сравните числа /( — 4) —
б) Дана функция /(х)= у
б) Дана функция /(х)= у
-/(-3) и/( —3) —/( —2).
Решите уравнение ^5±Т = х+1.
Решите неравенство<(х+ I)2.
А. Даны функции /(х) = V4x —х2 и g(x) = V2x2 + 8х.
Найдите область определения функции y=f(x).
Выясните, рационально ли число /(2 + V3).
Решите уравнение /(x) = g(x).
Решите неравенство (/(x))2<(g(x))2.
Б. Даны функции Дх) = V2x2 + 12х и g^x) = ^6x - х?.
Найдите область определения функции y = g(x).
Выясните, рационально ли число g(3 + 2V2).
Решите уравнение /(х) = g(x).
Решите неравенство (/"(х))2 >(g(x))2.
А. Дана функция Дх) = (V2x + 3 — x)(Vx + 1 — 1).
Определите знак числа /(4).
Найдите область определения функции у = /(х).
Решите уравнение /(х) = 0.
Решите уравнение Дх) = 2х — 2 V2x + 3.
Б. Дана функция Дх) = (х — Vx + 2)(V2x + 1 — 1).
Определите знак числа /(3).
Найдите область определения функции у = /(х).
Решите уравнение /(х) = 0.
Решите уравнение /(х) = 3 Vx + 2 — Зх.
А. Даны функции Дх) = Vx —а —2 и g(x) = V16 —2х —а. а) Пусть а=1. Найдите область определения функции У=/(х) • gW-
Пусть а—1. Решите уравнение /(х) = 2х —7.
Пусть а=1. Решите неравенство Д(х)<g2(х).
Найдите все числа а, такие, что одновременно выполняются равенства /(х) = 2 и g(x)=l.
Б. Даны функции /(x) = Vx + ft — 1 и g(x) = V14 + ft — 2х. а) Пусть b = — 1. Найдите область определения функции У=Дх)А-Я<х\
Пусть b = — 1. Решите уравнение /(х) = 2х —5.
Пусть b = — 1. Решите неравенство /2(x)>g2(x).
Найдите все числа ft, такие, что одновременно выполняются равенства /(х) = 2 и g(x)=l.
А. Даны функции Дх) = Vx2 — 5х + 4 и g(x) = 2x — 2.
а) Найдите область определения функции у=Дх).
6) в) г)
Решите
Решите
Решите
уравнение /(x) = g(x).
систему уравнений
х-Ду),
X , 1
неравенство g)x) • Дх)<0.
19. Б. Даны функции /(х) = V9 —8х —х2 и g(x) = 3x — 3.
Найдите область определения функции у=Дх\
Решите уравнение /(х) = gtx).
в)г)в)г)РешитеРешитеРешитеРешитесистему уравненийсистему уравненийДу)=х.Ду)=х.неравенство g(x)' Дх)>0.неравенство g(x)' Дх)>0.
в)
г)
в)
г)
Решите
Решите
Решите
Решите
систему уравнений
систему уравнений
Ду)=х.
Ду)=х.
неравенство g(x)' Дх)>0.
неравенство g(x)' Дх)>0.
А. Дана функция Дх) = ^^ •
Найдите область определения функции у =Дх) -Д —xY
Решите неравенство/(х)< 0.
Решите уравнение Дх) = — 7.
х + 5V5 —х ’х + 5V5 —х ’Сравните числа |/(з-|-)| и /(бу)-
х + 5
V5 —х ’
х + 5
V5 —х ’
Б. Дана функция /(х) =
У=Дх)+Д-х\У=Дх)+Д-х\Найдите область определения функции
У=Дх)+Д-х\
У=Дх)+Д-х\
Решите неравенство/(х)>0.
Решите уравнение /(х) = 9.
Сравните числа |/^—6^| и /(— 4-^
А. Дана функция Дх) = \[^^
Найдите область определения функции у =f(x).
Сравните числа /(7) • (/(0)+/(9)) и 1.
Решите неравенство /2(х)<2.
Решите уравнение /(х)=^ЩД.
Б. Дана функция Дх) = у -^-.
Найдите область определения функции у = f^x\ г/(-1)+/(8).
Сравните числаи 1.
Решите неравенство/2(х)< 1.
Решите уравнение Дх) =.
А. Дана функция Дх) = ^====
Сравните числа /(7) и /(8).
Найдите область определения функции у = Дх\■
Решите уравнение Дх)=^.
Решите неравенство /2(х)<^-.
Б. Дана функция /(х) = ^^х 2 '
Сравните числа /( —3) и /( — 5)..
Найдите область определения функции у—Дх).
Решите уравнение /(*)= — ^.
Решите неравенство/2(х)< 1.
А. Даны функции Дх) = V8 + 2ax-x2 и g(x) = 5 -2х.
Найдите значения а, при которых х= 1 является корнем уравнения /(х) = g(x).
Выясните, имеет ли уравнение f(x) = g(x) другие корни при найденном значении а..
Пусть а=1. Сравните числа /(0)+/(—1) и g(0).
Найдите все значения а, такие, что уравнение Дх) = За не имеет решений.
Б. Даны функции /(х) = V8- 2Ьх -х? и g(x) = 2x + 5.
Найдите значения 6, при которых х = — 1 является корнем уравнения /(х) = g(x)..
Выясните, имеет ли уравнение Kx) = g(x) другие корни при найденном значении Ь.■'
Пусть 6=1. Сравните числа /( —2)+/( —3) и g(0).
Найдите все значения Ь, такие, что уравнение /(х) = б73 имеет решения.
А. Дана функция Дх) = ^х? - 4х + 3.
Найдите координаты точек пересечения графика функции у = Дх) с осями координат.
Найдите область определения функции g(x) = =Дх^-Дх-2\
Решите уравнение /(х)=/(х-2). f (х) f (х ~
Упростите выражениепри х < 1.
Б. Дана функция /(х) = Vx2 — 5х + 4.
Найдите координаты точек пересечения графика функции у = /(х) с осями координат.
Найдите область определения функции g(x) = =/(х)-/(х-3).
Решите уравнение /(х)=/(х —3).
х хг/(х)/(х-3).
Упростите выражение -87+7 ПРИ
А. Даны функции /(х) = V6x-x2 - 8 и g(x) = 6x + 2.
Пусть Ь — — 1. Найдите область определения функции
Пусть 6 = —1. Решите уравнение /(х) = g(x).
Г/(х) = О, ,g<x) = 0.Г/(х) = О, ,g<x) = 0.системысистемыНайдите все пары чисел (х; 6), являющиеся решениями
Г/(х) = О, ,g<x) = 0.
Г/(х) = О, ,g<x) = 0.
системы
системы
Найдите все отрицательные значения Ь, при которых об,/(х)
ластью определения функции у = ^у является отрезок.
Б. Даны функции /(х) = V15 - 2х - х2 и g(x) = ax-3.
Пусть а=1. Найдите область определения функции
9 gW
Пусть а=1. Решите уравнение Дх) = g(x).
7W=o, .g(x)-0.7W=o, .g(x)-0.системысистемыНайдите все пары чисел (х; а), являющиеся решениями
7W=o, .g(x)-0.
7W=o, .g(x)-0.
системы
системы
Найдите все положительные значения а, при которых об,fix')
ластью определения функции у = ^-у является отрезок.
А. Даны функции /(x) = V2x — 3 и g(x) = x —3.
Вычислите —g(5) ' +g(7)+ _8Щ_
Вычислите /(3)_/(2) + /(4)+/(2) + /(4)-/(3)‘
Решите уравнение j\x) = g(x).
Сравните числа 1/(7) —g(7)| и 1/(5) —g(5)|.
Решите неравенство g(xV /(х^>0.
Б. Даны функции /(x) = V4x + 9 и g(x) = x + 1.
Вычислите —^g(~5>8(7)
а) вычислите ж_я_п/(1)+/(0) /(!)-/(-!)■
Решите уравнение /(x) = g(x).
Сравните числа l/(3)-g(3)| и l/(5)-g(5)|.
Решите неравенство g(x) •/(х)Х).
А. Дана функция /(х) = V3x + 1.
Сравните числа 2/(2) и 2+/(3).
Найдите область определения функции g(x)=/(x) — -/(1-х).
Решите уравнение g(x) = 1.
Найдите все значения а, при которых уравнение J(x) = =f(a-x) не имеет решений.
Б. Дана функция /(х) = V7 — Зх.
Сравните числа 2/(—1) и 3+/(-2).
Найдите область определения функции g(x)=f(3 - х) — -/(х).
Решите уравнение g(x)= — 1.
Найдите все значения Ь, при которых уравнение J(x) = =f(b — x) имеет решения.
А. Дана функция /(х) = '\^^^.
Сравните числа 7/(—3) и 3/( —5).
Найдите область определения данной функции.
Решите уравнение J(x) = x — 2.
Решите неравенство р^х)>х.•
Б. Дана функция /(х) = '^^^ •
Сравните числа 7/(2) и -у-/(—4).
Найдите область определения данной функции.
Решите уравнение Дх) = х — 3.
Решите неравенство /2(х) —х>0.
А. Дана функция f(x) = ^x + a-^2x — 1.
Пусть а = 3. Найдите область определения функции У =/(х).
Найдите значения а, при которых х = 1 является корнем уравнения J(x)= 1.
Выясните, имеет ли уравнение f(x) = 1 другие корни при найденном значении а. Если да, то найдите их.
Найдите все значения а, при которых числа /(1), /(а+1),/(13) образуют арифметическую прогрессию.
Б. Дана функция /(х) = V3 — 2х— ^Ь - х.
Пусть Ь = 5. Найдите область определения функции
У =Дх\
Найдите значения Ь, при которых х = 1 является корнем уравнения f(x) = — 1.
Выясните, имеет ли уравнение /(х)= —1 другие корни при найденном значении Ь. Если да, то найдите их.
Найдите все значения Ь, при которых числа /( — 11), /(3 — b), /(1) образуют арифметическую прогрессию.
А. Дана функция /(х) = V21 + 4Х-Х2.
Найдите область определения данной функции.
Решите уравнение/(х)= 1 —Зх.
Сравните числа/(3)+/(5) и 2/(4).
Найдите все числа х, такие, что выполняется равенство /(х—1)=/(5 —х).
Б. Дана функция /(х) = V24 + 2х — х2.
Найдите область определения данной функции.
Решите уравнение /(х) = Зх + 2.
Сравните числа' и /(0)-
Найдите все числа х, такие, что выполняется равенство /(х + 3)=/(-1-х).
А. Дана функция /(х) = \[^x-\lx + 1.
Найдите область определения функции y=f(x).
/(х)-/(^-2) = у, у3= — 2у./(х)-/(^-2) = у, у3= — 2у.Найдите корни уравнения /(х)-/(х — 2) = 0.
/(х)-/(^-2) = у, у3= — 2у.
/(х)-/(^-2) = у, у3= — 2у.
Решите систему уравнений
Определите все значения а, такие, что выражение /(х — а) имеет смысл при х = 1.
Б. Дана функция /(х) = /2х — 2 - ^.
Найдите область определения функции y=f(x\
Найдите корни уравнения Дх — 3) -Дх) = 0.
в) Решите систему уравненийв) Решите систему уравнений2х4 + х2 = 0, ./(</-3) *Ду)=х.
в) Решите систему уравнений
в) Решите систему уравнений
г) Определите все значения Ь, такие, что выражение/(х —6) не имеет смысла при х = 0.
А. Дана функция /(x) = V15 - х.
а) Выясните, сколько существует целых значений аргумента х, при которых определено выражение /(х) — Д—х\ б) Решите уравнение (/(х))2 =/(—х).
Решите неравенство (/(^))2>(/(—х))2.
Найдите все значения а, такие, что уравнение/(х) -J(-x) = = а имеет ровно одно решение.
Б. Дана функция /(x) = V10 + x.
Выясните, сколько существует целых значений аргумента х, при которых определено выражение Дх) • Д—х\
Решите уравнение (/(—х))2 =/(х).
Решите неравенство (/( —х))2<(/(х))2.
Найдите все значения Ь, такие, что уравнение /(х) -Д—х) = = Ь имеет два различных корня.
А. Дана функция /(x) = xVV -Зх — 4.
Найдите область определения функции у—Дх).
Определите знак числа |/(5)| —1/( —3)|.
Решите неравенство ^—^ < 6.
Решите уравнение/(х) = хУб.
Б. Дана функция /(х) = х У 20 — х - х^.
Найдите область определения функции у=Дх\
Определите знак числа |/(2)| —1/(—4)|.'
Решите неравенство <8.
Решите уравнение /(х) = хУ8.
А. Дана функция /(х) = У(х- 1)(х -а\
Пусть а = 5. Найдите область определения функции У =ДА
Пусть а = 5. Решите уравнение/(х) = х—1.
Найдите все такие значения а, что функция у=/(х) определена при всех значениях аргумента х.
Найдите все числа а и х, одновременно удовлетворяющие уравнениям /(х) = х— 1 и а — х = 3.
Б. Дана функция /(х) = V(x-6)(1 -х).
Пусть Ь = 3. Найдите область определения функции
У =JW-'
Пусть Ь = 3. Решите уравнение /(х) = 1 — х.
Найдите все такие значения Ь, что функция y=J(x) определена только при одном значении аргумента х.
Найдите все числа b и х, одновременно удовлетворяющие уравнениям J(x)=l-x и Ь-х = 2.
А. Даны функции /(х) = Vx + а и g(x) = V4x — а.
Пусть а = 3. Найдите область определения функции У=Кх)- 2g(х).
Пусть а = 3. Решите уравнение /(х) = 2g(x).
Найдите все числа а и х, одновременно удовлетворяющие уравнениям /(х) = 2 и g(x) = 1.
Докажите, что при а<0 уравнение /(x) = 2g(x) не имеет решений.
Б. Даны функции /(х) = V2x —6 и g(x) = ^3x + Ь.
Пусть Ь = — 5. Найдите область определения функции
y = 3g(x)-/(x).■
Пусть Ь= — 5. Решите уравнение /(x) = 3g(x).
Найдите все числа b и х, одновременно удовлетворяющие уравнениям /(х) = 3 и g(x) = 1.
Докажите, что при Ь>0 уравнение /(x) = 3g(x) не имеет решений.
А. Дана функция /(х) = х + Vx + 3 - 3.
■fW ,
Упростите выражение у^Гз + 3 ~ Vx + 3.
Найдите область определения функции у =
Решите уравнение/(х) = 0.
г) Решите систему уравненийг) Решите систему уравнений
г) Решите систему уравнений
г) Решите систему уравнений
Б. Дана функция /(х) = х — 2 + V8 -х.
Упростите выражение ^ ^ 2 + V8 — х.
Найдите область определения функции У=/^У
Решите уравнение /(х) = 0.
Л^ + Лт)-0'Л^ + Лт)-0'Решите систему уравнений
Л^ + Лт)-0'
Л^ + Лт)-0'
А. Даны функции /(х) = у ^—^ и g(x) = Vx —3.
Сравните числа 5g(6) и 3/(1).
Найдите область определения функции у = Кх\
Решите уравнение /(x)=g(x\
Решите неравенство (/(х))2< (g(x))2.
Б. Даны функции f(x) = ^^^ и g^x^^ ^^^ •
Сравните числа g(3) и 3/(10).
Найдите область определения функции y = g(xY
Решите уравнение J(x^ = g(x).'
Решите неравенство (/(х))2 >(g(x))2.
А. Даны функции J(x) = \х2 - 4х + 4 и g(x) = a^2 - х.
Пусть а=1. Докажите, что /(х) = (g(x))2.
Пусть а = 1. Сравните числа /(3 —V3) и g(3 — V3).
Пусть а=1. Решите уравнение /(x) = g(x).
Найдите все значения а, при которых уравнение /(x) = g(x) имеет ровно один корень.
Б. Даны функции /(х) = V3-x и g(x) = b\/x2 - 6х + 9.
Пусть Ь=1. Докажите, что g(x) = (J(x)f.
Пусть 6=1. Сравните числа /(4-V2) и §(4-/2).
Пусть 6=1. Решите уравнение /(x) = g(x).
Найдите все значения 6, при которых уравнение /(x) = g(x) имеет два различных корня.
А. Дана функция /(х) = ^ах - 1.
Пусть а = 5. Сравните числа /(1)+/(5) и /(2)+/(3).
Пусть а = 5. Найдите область определения функции g(*) =/(*)+/( 7 )•
Пусть а = 5. Решите уравнение /(х)=/(~).
Найдите все положительные значения а, при которых уравнение Дх)=/(—) имеет решения.
Б. Дана функция /(х) = V2x - 6.
Пусть 6=1. Сравните числа /(3)—/(1) и /(5)—/(2).
Пусть 6=1. Найдите область определения функции g(x) =/(х) -/(7).
Пусть 6=1. Решите уравнение Дх) — /^7^=0.
Найдите все положительные значения 6, при которых уравнение Кх)=/^^ имеет решения.
А. Дана функция Дх) = V4x — 3.
Найдите область определения функции g(x) = у^у — /(7)- б) Напишите уравнение касательной к графику функции у =f(x) в его точке с абсциссой х0 = 1.,
Решите уравнение f'(x) — f(x) = 1.
- №) = 2,
Решите систему уравнении |д(у) _ Ду) — Дх)
Б. Дана функция Дх) = V2x + 3.
Найдите область определения функции g(x) = ■ .
Напишите уравнение касательной к графику функции
y=f(x) в его точке с абсциссой х0 = — 1. в) Решите уравнение ЗД(х)—Дх) = 2.
г) Решите систему уравненийг) Решите систему уравненийW)= 1.\WW(x) = 2j(yYW)= 1.\WW(x) = 2j(yY
г) Решите систему уравнений
г) Решите систему уравнений
W)= 1.
\WW(x) = 2j(yY
W)= 1.
\WW(x) = 2j(yY
РАЗДЕЛ III
А.
Дана функция /(x) = 2sin2x-cosx- 1. Выясните, рационально ли число /^У
Докажите тождество= 1 -2cosx.
Решите уравнение 2sin2x — cosx —1 = 0 на отрезке
Г _л Зя 1
2 ;2
х2sin2x — cosx — 1 п
■ г) Решите неравенство f+cosx>0 на 0ТРезке
[
_ л Зл 1
2 ; 2 Г
Б.
Дана функция /(x) = 2cos2x —sinx — 1. Выясните, рацио- f / 13л \
нально ли число
Докажите тождество ^cosj^sn^il _ j — 2 sinx.
Решите уравнение 2cos2x —sinx — 1 = 0 на отрезке [ — л;л].
Решите неравенство 2£21_£z_|!Il£zd. >q на отрезке [—л; л].
А.
Известно, что cos а = — 44 и 0<а<л. Вычислите sin а ~ . 'cosa + 1
Решите уравнение ®^ * +1 = 0 на отрезке [—2л; —л].
Докажите, что V2 I eosx+1 +1I cos у = sin lx + j L
Решите неравенство V2"("^^y + 1) cos2y < у на интервале (—2 л; —л).■
Б.
Известно, что sina= - 44 и — £<а< 4. Вычислите -А^-УЛЯ '17221 —cosa
1 + sinx (г Злл 1
Решите уравнение —— 1 = 0 на отрезке — -у; — -n .
1 cos хL 2z 1
Докажите, что V2"( уз^у —1) sin2 у = cos^x — у).
Решите неравенство V2"(yy^y — 1) sin2 у < у на отрезке
[2 ;2
З.А.
Решите уравнение sinx(tgx + 1) = 0.
Докажите, что 2sinx(tgx+l)cosx= 1+sin2x —cos2x.
Найдите наименьшее значение функции
«/ = 2sinx(tgx + 1 )cosx — sin2x.
, г,sinx(tgx + 1) 1Г л 3л1
Решите неравенство —tgx+l—2" на 0ТРезке I у 1 у}
З.Б.
Решите уравнение cosx( 1 — ctgx) = 0.
Докажите, что 2cosx(l —ctgx)sinx = sin2x —cos2x—1.
Найдите наибольшее значенйе функции
у = 2 cos х (1 — ctgx ) sin х - sin 2x.
Решите неравенство< — у на отрезке [ — л;0].
А.
Найдите для функции /(x) = sin3x + sinx первообразную, график которой проходит через точку с координатами (у; 1).
Докажите, что sin3x + sinx = 4sinxcos2x.
Решите уравнение sin Зх +sinx =— 2sinxcos2x.
Решите неравенство sin Зх + sinx > —2sinxcos2x + 1 на г it I
отрезке у; л .
Б.■
Найдите для функции/(х) = cos х —cos Зх первообразную, график которой проходит через точку с координатами (л; — 1).
Докажите, что cosx — cos3x = 4sin2xcosx.
Решите уравнение 2cosxcos2x = cosx — cos3x.
Решите неравенство 2cosxcos2x — 1 >cosx —cos3x на отрезке [ у ; л].
А.
Докажите, что
Решите уравнение sin2x + sinx = 0.
Найдите для функции /(x) = sin2x + sinx первообразную, график которой проходит через точку (—у; 1).
, „sin2x + sinx пГ л 5л]
Решите неравенство —^у— < 0 на отрезке у; у .
Б.
Докажите, что »т(2(л-х))-со5(л-х) = 1 _2sinz COSX
Решите уравнение sin2x —cosx = 0.
Найдите для функции /(x) = sin2x — cosx первообразную, график которой проходит через точку с координатами (у; — 1).
Решите неравенство>0 на отрезке [- у; у].
А.
Решите уравнение cosx — cos2x = 0.
Докажите, что cos (л — х) — cos(2(х — л)) = — 2 cos у cos -у.
Найдите для функции /(х) = 2cosx—2 cos2x первообразную y=F(x), график которой проходит через точку (л; 1). г) Найдите наименьшее значение найденной первообразной y=F(x) на отрезке [ — л; л].'
Б.
Решите уравнение cos 2х +cosx = 0.
Докажите, что соз(2(л + х)) + со5(л+х)= -2 sin у sin -у.
Найдите для функции/(х) = 2 cos 2х +2 cosx первообразную у = F(x\ график которой проходит через точку (—л; — 1). г) Найдите наибольшее значение найденной первообразной у = F(x) на отрезке [0; 2л].
А.
Докажите, что ctgx —tgx = 2ctg2x.
Решите уравнение ctgx -tgx = у^у.
Дана функция /(x) = ctgx — tgx. Пусть /(у)=а. Выразите через а значение /(у)-
Решите неравенство (ctgx — tgx)-sin2x>V3 на отрез- [л Л 1
4 ’ 4 J
Б.
, т,ctgx + tgx 1
Докажите, что 2= Дп27~
Решите уравнение (ct£x + ^х) = 2ctg2x.
Дана функция /(х)=-^у^. Пусть J^^=b. Выразите через b значение /(у)-
Решите неравенство tiS""2 tg~ • sin 4х > V2 на отрез-
[
Я я 1
-т;
Л.
Докажите, что= tg 2х.
Решите уравнение sinx + sin3x = sin2x.
Вычислите sin а + sin За, если sina=y
Решите неравенство —-^—> —V2 на отрезке [—л; л].
Б.
х „cosx —cos3x ,
Докажите, что -7-5:—= tgx.
'sin3x + sinx “
Решите уравнение cosx — cos3x = sin2x.
Вычислите cosp-cos3p, если cosp = —у
. „cosx-cos3x - ,Г Зл л 1
Решите неравенство —sin2x— < 1 на отрезке I—у 2" I.
А.
Докажите, что cos^x+^ + cos (х + у) = —V3sinx.
Решите уравнение cos(x + ^ + cos(x + у) = cosx.
Вычислите cos(a+ ^, если sina=-| и ^-<а<л.
Выясните, является ли функция g(x) = cos (х+у) + + cos(х — у^ четной.
Б.
Докажите, что sin(x) + sin(x— y)=-V3cosx.
Решите уравнение sin^x-y^ +sin(x— у) = —V3 cosx. в) Вычислите sin^p— ^, если cosP = —-у и л<Р<у.
Выясните, является ли функция g(x) = sin(х — ^ + + sin(x+ у) нечетной.
А.
х1 — cos2x —2sin2x
Докажите, что sinxcosx(tgx — 2) =2
Дана функция/(х) = sinxcosx(tgx — 2). Вычислите Д 72 л в) Решите уравнение sinxcosx(tgx —2)= j.
Докажите, что число л является периодом функции /(x) = sinxcosx(tgx —2).
Б.
, г,., .2 — 2 cos 2х + sin 2г
Докажите, что sinxcosx(2tgx + 1)=2•
Дана функция/(x) = sinxcosx(2tgx + 1). Вычислите Д ^ в) Решите уравнение sinxcosx(2tgx+1)= 1.
Докажите, что число л является периодом функции/(х) = sinxcosx(2tgx + 1).
А..
Вычислите sin 2а cos а, если sin а = у. 2sin2xcosx , п
Докажите, что —-= tg2x.
’cos3x + cosx °
Решите уравнение 2sin2xcosx = cos3x + cosx.
ч2sin2xcosx ,Гл
Решите неравенство —> — 1 на отрезке Нг ; л
'rcos3x + cosxr L
Б.
Вычислите sin2|3sinp, если cosp=-y.
Докажите, что= tg2x.
sin3x-sinx
Решите уравнение 2sin2xsinx = sin3x — sinx.
Решите неравенствона отрезке |л; yj
А.
Вычислите sin2 а + cos а, если cos а = у.
Упростите выражение
1 — sin (—их]
Решите уравнение sin2x + cosx= 1.
Решите неравенство sin2x + cosx<l на отрезке [0; л].
Б.
Вычислите sina — cos2а, если sina= — у.
Упростите выражение
1 — cost—
Решите уравнение sinx —cos2x = — 1.
Решите неравенство sinx — cos2x > — 1 на отрезке [— "5"; j ]•
А. х nsinx + tgx,
Докажите, что — = tgx.
2cos2—
21
Решите уравнение sinx + tgx = 0.
Докажите, что функция/(х) = sinx + tgx является нечетной.
, „sinx + tgx ./Т,,
Решите неравенство тт- < *3 на отрезке [ — л; л].
2 cos2—
Б._ .2
Докажите, что 1™ -7^- = tgx.
2 sin2 —
2
Решите уравнение tgx — sinx = 0.
Докажите, что функция/(х) = tgx —sinx является нечетной..
tgx —sinx.
Решите неравенство ——7г > — 1 на отрезке [0; 2л].
2 sin2—
А.2
Найдите область определения функции /(х) = tg3x —tgx.
Докажите, что (tg3x — tgx) • cos3x = 2 sinx.
Решите уравнение tg3x-tgx = 0.
Решите неравенство (tg3x —tgx)-cos3x< V3 на отрез
ке [0; л].
Б.
Найдите область определения функции /(x) = ctgx —ctg3x.
Докажите, что (ctgx — ctg3x)• sin3x = 2eosx.
Решите уравнение ctgx— ctg3x = 0.•
Решите неравенство (ctgx — ctg3x)- sin 3x<V2 на отрез-
[
7С 7С 1
"2i 2 }
А.
Дана функция /(х) = sin3x + cos5x. Выясните, какие из чисел Д J ), /( f ), /( т ). /(л) рациональны.
Докажите, что sin Зх + cos 5х = 2 sin ( -^ — х) cos ^4х — j )•
Решите уравнение sin3x + cos5x = 0.
,sin3x + cos5x1
Решите неравенство ^ у < 1 на отрезке |^0; j J.
Б.
Дана функция /(х) = sin 5х — cos3x. Выясните, какие из чисел Д 7 )’ /( J У Дт)’ ^л^ рациональны.
Докажите, что sin 5х - cos Зх = 2 sin ^4х — ^cos^x+ ).
Решите уравнение sin 5х — cos Зх = 0.
, _sin5x-cos3x .Г. т 1
Решите неравенство ;< 1 на отрезке 0; -^ .
sin(4x--)L 2 J
А. Дана функция /(x) = sin2x —3sinxcosx + 2cos2x.
Докажите тождество ^{^^ = tg2x — 3tgx + 2.
Решите уравнение /(х) = 0.
Пусть g(x) =/(х) -Д j-х). Вычислите g(f)-
Найдите все решения неравенства g(x)>—j из отрезка [0; л].
Б. Дана функция /(х) = sin2x + sinxcosx- 2cos2x.
Докажите тождество —. ^ = tg2x + tgx-2. COS Z«X sin X
Решите уравнение /(х) = 0.
Пусть £(х)=Д j -х)-/(х). Вычислите g(^)-
Найдите все решения неравенства g(x^<^ из отрезка [7С 7С 1
“ 2 ; 2 }
А. Дана функция /(х) = ^т^7 •
Найдите область определения функции y=f(x).
Известно, что sin а = Ь. Найдите /(а).
Докажите, что ^ = — ctgx.
Найдите все положительные числа а, такие, что уравнение /(х) = —:— имеет решения.
J х ’ asmxг
Б. Дана функция /(х)= cos3J+cos;c.
Найдите область определения функции y=f(x).
Известно, что cos|3 = a. Найдите /(Р).
Докажите, что = — ctgx.
Найдите все отрицательные числа Ь, такие, что уравнение /(х) = имеет решения.
А. Дана функция /(x) = sin(2x + ^.
Докажите, что /(х)+/(-х) = V2 cos2x.
Решите уравнение /(х)=/( —х).
Найдите первообразную функции y=f(x), график которой проходит через точку с координатами (у; 1).
Решите неравенство /(х)+/( —х)< 1 на отрезке [~ ^i f"].
Б. Дана функция /(х)= cos ( ^ — 2х).
Докажите, что /(х)+/( —х) = cos2x.
Решите уравнение /(х)=/( —х).
Найдите первообразную функции y=f(x), график которой проходит через точку с координатами (— у ; 1)- г) Решите неравенство /(х)+/(—х)< j на отрезке [— f; у].
А. Дана функция /(х) = ^^.
Известно, что /(а) = а. Найдите /("§"-а)-
Решите уравнение /(х) =/( ^ — х).
. /Зл \ sin (X)
Докажите, что д у — х)= —-^—- . 'sin (
г) Решите неравенство /( ^ ке [0; л].19. Б. Дана функция /(х) =г) Решите неравенство /( ^ ке [0; л].19. Б. Дана функция /(х) =— X— X> ^ на отрез-> ^ на отрез-COSX —sinx cosx + sinx 'COSX —sinx cosx + sinx 'а) Известно, что /(|3) = 6. Найдите /( ^ - р)- б) Решите уравнение Rx^J^^ — х^.а) Известно, что /(|3) = 6. Найдите /( ^ - р)- б) Решите уравнение Rx^J^^ — х^.
г) Решите неравенство /( ^ ке [0; л].
19. Б. Дана функция /(х) =
г) Решите неравенство /( ^ ке [0; л].
19. Б. Дана функция /(х) =
— X
— X
> ^ на отрез-
> ^ на отрез-
COSX —sinx cosx + sinx '
COSX —sinx cosx + sinx '
а) Известно, что /(|3) = 6. Найдите /( ^ - р)- б) Решите уравнение Rx^J^^ — х^.
а) Известно, что /(|3) = 6. Найдите /( ^ - р)- б) Решите уравнение Rx^J^^ — х^.
Докажите, что — х)= —. .''cost-—
Решите неравенство /( ^ — х) -cos^ j — х)> ^ на отрез-
А. Дана функция /(х) = sin у (cos2x + 1).
Решите уравнение /(х) = 0.
Упростите выражение д„ + ^) •
в) Сравните числав) Сравните числаи 1.и 1.
в) Сравните числа
в) Сравните числа
и 1.
и 1.
г) Решите неравенство со^+ i > J на 0тРезке [0; ЛЬ
Б. Дана функция /(х) = cos у (1 — sin2x). а) Решите уравнение /(х) = 0.
б) Упростите выражениеб) Упростите выражениев) Сравните числав) Сравните числаи - 1.и - 1.
б) Упростите выражение
б) Упростите выражение
в) Сравните числа
в) Сравните числа
и - 1.
и - 1.
г) Решите неравенствог) Решите неравенство1ГА 1
г) Решите неравенство
г) Решите неравенство
ч—г-5- > тг на отрезке [0; к].
1 - sin 2х 2 г
А. Дана функция /(x) = (tgx + l)(2cosx- 1).
Сравните числа и Д— у).
Решите уравнение /(х) = 0.
, гтfW 1—2cosx
Докажите, что;
Решите неравенство - ^^- ■ < 0 на отрезке [ — к; 0]. * СОS X 1
Б. Дана функция /(x) = (tgx - l)(2cosx+ 1).
Сравните числа Ду) и Ду).
Решите уравнение /(х) = 0.■
, „f(x) cosx-sinx
Докажите, что.
Дх)
Решите неравенство g~"77у >0 на отрезке [-к; 0].
А. Дана функция /(х) = sin6x - sin2x.
- tg 2х.- tg 2х.ГТ^
- tg 2х.
- tg 2х.
Докажите, что /■
2
Вычислите /(а), если sin2a=--g.
Решите уравнение /(х) = (х + у).
\УЗГл 3л1
Решите неравенство / я\на отрезке [д; yj.
/W а) Докажите, что ■/ ;/W а) Докажите, что ■/ ;- tg 2х.- tg 2х.Б. Дана функция /(x) = cos2x-cos6x.
/W а) Докажите, что ■/ ;
/W а) Докажите, что ■/ ;
- tg 2х.
- tg 2х.
3
Вычислите /(а), если cos2a= —у.
Решите уравнение /(х) = (х + у).
JW г-
77егоегоРешите неравенство ~/ ^ >—V3 н
7
7
его
его
А. Дана функция /(х)= 1 + cos 4х - 2 cos2 4х.
Докажите, что /(х) = 2sin2xsin6x.
Решите уравнение /(x) = 2sin22x.
Упростите выражение /(х)+Ду—х^ и вычислите значение при х = уу
Решите неравенство ^^ > 1 на отрезке |^у; yj
Б. Дана функция /(x) = 2cos24x + cos4x—1.
Докажите, что /(x) = 2cos2xcos6x.
Решите уравнение/(х) = 2 cos2 2х.
Упростите выражение /(х)+/^ + х) и вычислите его значение при х = ^.
Решите неравенство ^^^^2 на отрезке ^0; yj
А. Дана функция /(х) = cos^ у -х)- cos^ у + х).
Упростите выражение sj .
Решите уравнение /(x) = 2sin2x.
Найдите /(а), если а€[ —л; 0] и /( у — а) = -^Д.
Решите неравенство ^^-<1 на отрезке [у; yj
Б. Дана функция /(x) = sin ( у+х)+sin( у — х).
Упростите выражение ^ .
7 rrCOSX
Решите уравнение /(x) = 2cos2x.
Найдите /(а), если а€ ^ ; у] и /( ^ — а) = -^ г) Решите неравенство —^у^ 1 на отрезке [0; л].
А. Дана функция /(x) = cos2x — cosx.
Зл2Зл2Упростите выражение /(х + ^ *f(x + б) Решите уравнение /(х + у)=0.
Зл2
Зл2
Решите неравенство /(х + ту) +/(х + : [7С 7С 1
-1; 2 •
Найдите все значения а, при которых уравнение
/(х + ^ ) +/(х + у) =а + 2 имеет решения.
Б. Дана функция /(x) = sinx —cos2x.
Упростите выражение f(x+ ^ +/^х+у
Решите уравнение/^х+у^=0..
на от-на от-Решите неравенство f(x+ j) +/^х+ ^) [л Зл "2; ”2* •
на от-
на от-
Найдите все значения а, при которых уравнение /(х + ^ ) +/(х + у) = а — 2 не имеет решений.
А. Дана функция /(х) = sinx — cos2x.
Упростите выражение /(х + ту) +/(х + у) и вычисли
те его значение при х= уу
Докажите, что /(х) = (sinx + 1)( 2 sinx — 1).
Решите уравнение . 9 = 0.
Sin
Решите неравенство -уууу-у < 0 на отрезке [0; 2л].
Б. Дана функция /(х) = cosx + cos2х.
Упростите выражение/(х + ^ ) +^(х+^) и вычисли
те его значение при х= у.
Докажите, что /(x) = (cosx+ l)(2cosx- 1).
Решите уравнение ^^ = 0.
Решите неравенство ^^} < 0 на отрезке [— ^-; ^j.
А. Даиа функция /(х) = 2sin2x — sin2x.
Вычислите/^у
Упростите выражение /(х)+/(х — ^.
Решите уравнение /(х) —f(x — ^.
Напишите уравнение касательной к графику функции
У = JW в его точке с абсциссой х0 = — j.
Б. Дана функция/(х) = sin 2х —2 cos2х. ■
Вычислите 7^^.
Упростите выражение /(х) +/(х + ^у
Решите уравнение /(х) =/^х +-^у
Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в его точке с абсциссой х0=у.
А. Дана функция /(x) = sin3x— sinx.
Докажите, что ^L ~ — ^8Х-
Вычислите /(а), если sina=y.
Решите уравнение /(x) = sin2x.
Решите неравенство 4^- > — 1 на отрезке |— j; ^j.
Б. Дана функция /(x) = cosx- cos3x.
Докажите, что ——— = — ctgx.
Вычислите /(Р), если cosP = -|-.
Решите уравнение /(x) = 2sinxsin4x.
Решите неравенство ^^- < 1 на отрезке ^; ^-j.
А. Дана функция /(x) = asinx + cosx.-
Укажите какое-либо значение а, такое, что /(0)</^.
Определите, при каких значениях а выполняется тождество /(х) = 2 sin (х +'
Пусть a = Y3. Решите уравнение /(х) =f(x — у).
Пусть a = V3. Решите неравенство /(х)< 1 на отрезке [-л; л]..
Б. Дана функция /(x) = sinx-6cosx.
Укажите какое-либо значение Ь, такое, что/(л)>/^.
Определите, при каких значениях b выполняется тождество /(х) = 2 sin (х — у).
•в) Пусть 6 = V3. Решите уравнение /^х+^=/(х).
Пусть b = V3. Решите неравенство /(х) > — V3 на отрезке [-л; л].
А. Дана функция /(х) = (sinx — 1 )(cosx - 1).
Решите уравнение /(х) = 0.-
Докажите, что 77^-7 = tg2 у.
/(л а)
Сравните с единицей число
Решите неравенство g/^ t < — у на отрезке [ — л; л].
Б. Дана функция /(x) = (sinx + l)(cosx+ 1).
Решите уравнение /(х) = 0.
Докажите, что ^ да“^ = tg2 у ■
О
Сравните с единицей число —— .
Ав)
Решите неравенство ”^у>7 на 0ТРезке № 2л].
А. Дана функция /(х) = 2sin2x —V3sinx.
Решите уравнение /(х) = 0.
на отрезке - у; у .7(х) = о, 1= такие’на отрезке - у; у .7(х) = о, 1= такие’Докажите, что /(х) +/(у - х) =2 — V6sin(x+ yY
на отрезке - у; у .
7(х) = о, 1
= такие’
на отрезке - у; у .
7(х) = о, 1
= такие’
Решите неравенство уг—^>® г) Найдите все решения системы что 0 < х < у < у
Б. Дана функция /(x) = 2cos2x —V2cosx. а) Решите уравнение /(х) = 0.
Докажите, что /(х)+/^ — х) = 2— 2cos(x— j
на отрезке [и; л].№М = о, / та/(//) = 0,на отрезке [и; л].№М = о, / та/(//) = 0,Решите неравенство ^>^
на отрезке [и; л].
№М = о, / та
/(//) = 0,
на отрезке [и; л].
№М = о, / та
/(//) = 0,
Найдите все решения системы что 0<х<у< J.
А. Дана функция Дх) = s^*a.
Пусть а = 1. Вычислите /(а), если cosa= —-^ и а€[л; f ].
Пусть а = 1. Решите уравнение /(х) = 0.
Пусть а = 1. Решите неравенство/(х)< 0 на отрезке [0; 2л]. г) Найдите все числа а, такие, что уравнение /(х) = 0 имеет ровно одно решение на отрезке [0; 2л].
Б. Дана функция /(х) = ^^^
Пусть 6=1. Вычислите /(Р), если sinp =—и рб[-л; -|].
Пусть 6 = 1. Решите уравнение /(х) = 0.
Пусть 6 = 1. Решите неравенство/(х)>0 на отрезке 5л]
I2’ 2 ]'■
Найдите все числа 6, такие, что уравнение /(х) = 0 имеет ровно два решения на отрёзке ^; -yj.
А. Дана функция /(х) = 2 sinx + cosx.
Найдите /(а), зная, что cosa=-| и ^.<а<2л.
Докажите, что /^ — х) +/(х) = 3 V2cos (х — ^.
Решитеуравнение /(х) = 2.
fуу —
Решитесистемууравненийу2’
'|/(x)+/(z/)=3V2.
Б. Дана функция /(х) = sinx —3cosx.
Найдите /(а), зная, что sina=-^- и j<a<n.
Докажите, что /(х)— /^ — х) = 4V2sin(x — j).
Решите уравнение /(х) = 1.
г) Решите систему уравненийг) Решите систему уравненийх + у = ^, Дх)-Ду) = 4\[2.
г) Решите систему уравнений
г) Решите систему уравнений
А. Дана функция /(x) = tg2x-tgx.
Решите уравнение /(х) = 2.
с \\ 1 — cos 2х — sin 2х
у — х = Зя, Дх)4-Ду) = 4.у — х = Зя, Дх)4-Ду) = 4.Докажите, что Дх) =1+cos2jc
у — х = Зя, Дх)4-Ду) = 4.
у — х = Зя, Дх)4-Ду) = 4.
Решите систему уравнений
Решите неравенство т~<0 на интервале f—4; 4\
Б. Дана функция Дх) = t^x + 2tgx.
Решите уравнение Дх) = 3.
х — у = 2л, Дх^Ду^б.х — у = 2л, Дх^Ду^б.Докажите. что/(х)-
х — у = 2л, Дх^Ду^б.
х — у = 2л, Дх^Ду^б.
Решите систему уравнений
Решите неравенство ^- > 1 на интервале (- j; ^у
А. Дана функция/(x) = 2cos22x —2sin2x.
Найдите Да), зная, что cos2a=y.
Докажите, что —, = 2. cos3xcosx
Решите уравнение Дх) = 0.
Решите неравенство ^^ с V3 на отрезке 1|; ^
Б. Дана функция Дх) = 2cos2x - 2cos22x.
Найдите Да), зная, что cos2a = — j.
Докажите, что ■—^™— = 1.
2sin3xsinx
Решите уравнение /(х) = 0.
Решите неравенство ^^<1 на отрезке |~ з"! "^j-
А. Дана функция /(x) = sin2x — cosx.
Найдите /(f+x), если /^ — х) = а.
Докажите, что /(х)—/0]--х) = V2sin(x—-^у
Решите уравнение /(х)—/^ — х^= -^ на отрезке [ — л; л], г) Найдите все решения системы уравнений
1 + cos2(x + y) = sin(x + y), /№-/<«)-^, удовлетворяющие условию х + ^€[0; 2л].
Б. Дана функция/(х) = sin 2х + cosx. .
Найдите /(f-^), если /^+х^ = 6.-
Докажите, что /(х)+/(у+х) = V2cos(x+j).
Решите уравнение /(х)+/^ + х^= ^ на отрезке [0; 2л].
Найдите все решения системы уравнений 2 sin(y — х) = 2 + cos2(//— х), -
удовлетворяющие условию у — х€[ — л; л].
А. Дана функция /(х) =
Докажите, что /(x) = tgx.
Найдите /(а), если sina = —Ц- и ^-<а<-у-.
Решите уравнение /(х) — у^ = 2.
Решите неравенство/(х)< V3 на отрезке [ — л; 0].
Б. Дана функция /(х) = sin2x-2sin>
Докажите, что/(х) = tgx.
Найдите sin а, если Да)= — ~ и 0<а<л.
Решите уравнение Дх) + 1 = у^-.
Решите неравенство Дх)> — V3 на отрезке [0; л].
А. Дана функция /(x) = 2sinx —sin2x.
Вычислите /'^У
Докажите, что Д(х) = 2( 1 — cosx)(2 cosx + 1).
Решите уравнение ^у = 0.
Решите неравенство у^у < 0 на отрезке [0; л].
Б. Дана функция Дх) = sin 2х + 2 cosх.
Вычислите Д^у
Докажите, что /'(х) = 2(sinx + 1)(1 - 2 sinx).
Решите уравнение у^у = О.
Решите неравенство >0 на отрезке I— ^].
А. Дана функция /(x) = V2(sinx + cosx).
Докажите, что Дх) = 2 cos (х — ^у
Решите уравнение /'(х) -f(x) = — 1.
Навдите область определения функции g(x) = V/'f^) "Л^) + 1
Выясните, при каких значениях а уравнение Дх) = й2 —2 имеет решения.
Б. Дана функция Дх) = V2(sinx - cosx).
Докажите, что /(x) = 2sin^x-^.
Решите уравнение Д(х)-Дх)=1.
Найдите область определения функции g(x) = V1 —Д^)'Д^)- г) Выясните, при каких значениях 6 уравнение Дх) = 2 —62 не имеет решений.
А. Дана функция Дх) = sinx - cos2x.
Упростите выражение /^х + ^+/(х + ^-^ и вычислите его значение при х = — ^.
Докажите, что Дх) +f(x + f)+/fx + 4г)=
= (1 - sin х) (2 sin х + 1).
Решите уравнение /(х) +j(x + j^+/(x + 4р)= 0. №)+/(«+з+/(.^)
Решите неравенство sin/ — 1< 0 на отрезке
[—л; л].
Б. Дана функция /(х) = cosx + cos2x.
Упростите выражение J^+^+J^+^^ и вычислите его значение при х = —^.
Докажите, что /(x)+/fx+ ^Vf(x+ ^=
= (1 — cosx )(2 cosx + 1).
Решите уравнение /(х) +j(x + ^")+/^х + ^= 0.
/М+^И + т)
Решите неравенство cos/- 1< 0 на отрезке
Н. 5п1
2р
РАЗДЕЛ IV
А. Дана функция Дх) = 1 + ^.
Напишите уравнение касательной к графику функции y=JVx>), параллельной оси абсцисс.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции У=Дх) на отрезке [—5; - 1].
Постройте график функции у=Дх) на отрезке [ — 5; — 1]. г) Определите число а так, чтобы функция F(x) = Inx + ^ была первообразной функции у=Дх) на луче (0; +°°).
Б. Дана функция /(х) = 1 - ^.
Напишите уравнение касательной к графику функции У =ДХ\ параллельной оси абсцисс.,
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у=Дх) на отрезке [1; 6].
Постройте график функции у=Дх) на отрезке [ 1; 6].
Определите число b так, чтобы функция F(x) = lnx—у была первообразной функции у=Дх) на луче (0; + °°).
А. Дана функция /(х) = х2 (х — 4).
Напишите уравнение касательной к графику функции у=Дх\ параллельной оси абсцисс.
Исследуйте функцию у=Дх^ на монотонность.
Постройте график функции у=Дх).
Найдите для функции у=Дх) первообразную, график которой проходит через точку (0; 1).
Б. Дана функция /(х) = х2(2-х).
Напишите уравнение касательной к графику функции У=ДХ\ параллельной оси абсцисс.
Исследуйте функцию У=Дх) на монотонность.
Постройте график функции y=f(x).
Найдите для функции у=/(х) первообразную, график которой проходит через точку (0; - 1).
А. Дана функция /(х) = х3 + 6х2.
Найдите для функции у=/(х) первообразную, график которой проходит через точку (0; 2).
Найдите наибольшее значение функции y=f(x) на отрезке [ — 6; 0].'
Постройте график функции у=Дх) на отрезке [-5; 2].
Выясните, является ли прямая у = 36(х + 6) касательной к графику функции y=f(x)..
Б. Дана функция /(х) = х3 - 6х2 + 9х.
Найдите для функции y=f(x) первообразную, график которой проходит через точку (0; 2).
Найдите наибольшее значение функции y=f(x) на отрезке [0; 3].
Постройте график функции у =f(x) на отрезке [ — 1; 4]. г) Выясните, является ли прямая у = 9х касательной к графику функции y=f(x)..
А. Дана функция /(х) = 6х2 — 2х3.
Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в его точке с абсциссой х0= — 1.
Исследуйте функцию y=f(x) на монотонность.
Постройте график функции y=f(x).
Сумма трех положительных чисел, два из которых совпадают, равна 6. Определите эти числа таким образом, чтобы их произведение было наибольшим.
Б. Дана функция /(х) = х3 + Зх2.
Напишите уравнение касательной к графику функции y=fW в его точке с абсциссой х0 = 2.
Исследуйте функцию y=f(x) на монотонность.
Постройте график функции y=f(x).
Рассматриваются три числа, два из которых отрицательны и равны между собой, а третье на 3 больше, чем каждое из первых двух. Определите эти числа таким образом, чтобы их произведение было наибольшим. -
56 ■
А. Даны функции /(х) = 3х2-9х + 6 и F^x^x3 — ^-х2 + + 6х.
Докажите, что функция y = F(x) — одна из первообразных функции y=f(x).
Найдите наибольшее значение функции y = F(x) на отрезке [0; 3].
Постройте график функции y = F(x\
Найдите все значения а, такие, что уравнение F^x) = ах имеет единственное решение.
Б. Даны функции /(х) = 2х2 - 8х + 6 и F(x)=yx3- - 4х2 + 6х.
Докажите, что функция y = F(x) — одна из первообразных функции y=f(x).
Найдите наименьшее значение функции y = F(x) на отрезке [— 1; 4].
Постройте график функции y = F(x).
Найдите все значения Ь, такие, что уравнение F^x) = bx имеет ровно два решения.
А. Дана функция /(х) = Зх5 - 5х3.
Найдите первообразную функции у=/(х), график которой проходит через точку с координатами (0; 1).
Найдите все касательные к графику функции y=f(x), параллельные оси абсцисс.
Исследуйте функцию y=f(x) на монотонность.
Постройте график функции y=f(x).
Б. Дана функция /(х) = Зх4 + 4х3.
Найдите первообразную функции y=f^x\ график которой проходит через точку с координатами (0; - 1).
Найдите все касательные к графику функции y=f(x), параллельные оси абсцисс.
Исследуйте функцию y=f(x) на монотонность.
Постройте график функции у =Дх\-
А. Дана функция /(х) =х2(х-3).
Напишите уравнение касательной к графику функции У=/(х) в его точке с абсциссой х0= — 1.
Исследуйте функцию y=f(x) на монотонность.
Постройте график функции y=f^ на отрезке [— 1; 4]. г) Найдите число а, такое, что графики функций y=f(x) и у = ах2 имеют единственную общую точку.
Б. Дана функция f(x) = -х2(х + 3).
Напишите уравнение касательной к графику функции y=fW в ег0 точке с абсциссой х0 = 1.
Исследуйте функцию y=f(x) на монотонность.
Постройте график функции y=f(x) на отрезке [ — 4; 1]. г) Найдите число Ь, такое, что графики функций y=f(x) и у = Ьх2 имеют единственную общую точку.
А. Дана функция J^ = ^x — 1)2х.
Найдите для функции у=/(х) первообразную y = F(x\ график которой проходит через точку (0; 1).
Определите наибольшее значение найденной первообразной y = F(x) на отрезке [ - 1; 2].
Постройте график найденной первообразной y = F(x) на отрезке [ - 1; 2].
Найдите все числа а, такие, что уравнение f^ = ax имеет ровно два различных решения.
Б. Дана функция /(х) = - х (х + 1 )2.
Найдите для функции у=/(х) первообразную y = F(x\ график которой проходит через точку (0; - 1).
Определите наименьшее значение найденной первообразной y = F(x) на отрезке [-2; 1].
Постройте график найденной первообразной y = F^ на отрезке [ — 2; 1].'
Найдите все числа Ь, такие, что уравнение /(х) + Ьх = 0 имеет три различных решения.
А. Дана функция /(х) = (2х - 1) • е2х.
Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в ег0 точке с абсциссой хо = О.
Найдите наименьшее значение функции у = /(х) на отрезке [-1; 1].
Постройте график функции у=/(х) на отрезке [— 1; 1]. г) Укажите все значения а, такие, что уравнение/(х) = а не имеет решений на отрезке [ - 1; 1].
Б. Дана функция /(%) = (! -2х) • е2х.
Напишите уравнение касательной к графику функции У =ДХ) в ег0 точке с абсциссой х0 = 0.
Найдите наибольшее значение функции у=Дх) на отрезке [- 1; 1].
Постройте график функции у=Дх) на отрезке [—1; 1].
Укажите все значения Ь, такие, что уравнение /(х) = 6 имеет решение на отрезке [—1; 1].
А. Дана функция Дх) = ^ — Зх2.
Найдите наименьшее значение функции у=Дх) на отрезке [ — 1; 5].
Исследуйте функцию у=Дх) на монотонность.
Постройте график функции у=Дх) на отрезке [— 1; 5].
Найдите все значения а, такие, что уравнение Дх^ах2 имеет единственное решение.
Б. Дана функция /(х) = -ну +3х2.
Найдите наименьшее значение функции у=/(х) на отрезке [-5; 1].
Исследуйте функцию у=/(х) на монотонность.
Постройте график функции у=/(х) на отрезке [—5; 1]. г) Найдите все значения а, такие, что уравнение Дх^ = ах2 имеет два различных решения.
А. Дана функция f^ = у - у •
Напишите уравнение касательной к графику функции у^Дх) в его точке с абсциссой х0=1.
Исследуйте функцию у =Дх) на монотонность.
Постройте график функции у=Дх).
Найдите все значения Ь, при которых уравнение Дх) = Ь имеет ровно два различных корня.
Б. Дана функция Дх) = у + у •
Напишите уравнение касательной к графику функции У=Дх) в его точке с абсциссой х0= — 1.
Исследуйте функцию у=Дх) на монотонность.
Постройте график функции у=Дх).
Найдите все значения а, при которых уравнение /(х) = а имеет три различных корня.
А. Дана функция /(х) = 8х2-х4.
Напишите уравнения касательной к графику функции У = f(x)< параллельных оси абсцисс.
Исследуйте функцию у =f(x) на монотонность.
Постройте график функции y=f(x) на отрезке [ — 3; 3]. г) Найдите множество первообразных функции у =Дх') и укажите какую-либо из них, не являющуюся нечетной функцией.
Б. Дана функция/(х) = х4 - 2х2.
Напишите уравнения касательных к графику функции У =ДХ\ параллельных оси абсцисс.
Исследуйте функцию у —f(x) на монотонность.
Постройте график функции y—JW на отрезке [—2; 2]. г) Найдите множество первообразных функции у =Дх) и укажите такую из них, которая является нечетной функцией.
А. Дана функция /(х) = (х -2)2х.
Найдите для функции y=f(x) первообразную y = F^x\ график которой проходит через точку (0; 1).
Напишите уравнение касательной к графику функции y = F(x) в его точке с абсциссой хо = О.
Исследуйте функцию y = F(x) на монотонность.
Найдите значения а, при которых уравнение /(х) = = а(х — 2)2 имеет ровно один корень.
Б. Дана функция/(х) = х(х +3)2.
Найдите две функции у=/(х) первообразную y = F(x'), график которой проходит через точку (0; — 1).
Напишите уравнение касательной к графику функции y = F(x) в его точке с абсциссой хо = О.
Исследуйте функцию y = F(x) на монотонность.
Найдите все значения Ь, при которых уравнение /(х) = b(x + 3)2 имеет два корня.
А. Дана функция /(х) = 6х3 + 6х2.
Найдите для данной функции первообразную y = F^x\ график которой проходит через точку (О; ^-).
Найдите промежутки монотонности найденной первообразной y = F(x\
Постройте график найденной первообразной y = F(x) и касательную к нему в его точке (0; уй\
Решите неравенство 0<F(x)<y.
Б. Дана функция /(х) = 6х2 - 6х3.
Найдите для данной функции первообразную y = F^x\ график которой проходит через точку (О; — у).
Найдите промежутки монотонности найденной первообразной y = F^x\
Постройте график найденной первообразной y = F^ и касательную к нему в его точке (0; у0).
Решите неравенство - уСЛ^СО.
А. Дана функция f(x) = 2x2 + ^.
Напишите уравнение касательной к графику функции у=/(х) в его точке с абсциссой х0= 1.
Найдите промежутки монотонности данной функции.
Постройте график данной функции на отрезке [0,5; 2].
Найдите наименьшую площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы, объем которой равен 1.
Б. Дана функция /(х) = 2х2 + ^.
Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в его точке с абсциссой х0 = 2.
Найдите промежутки монотонности данной функции.
Постройте график данной функции на отрезке [1; 4].
Найдите наименьшую площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы, объем которой равен 8.
А. Дана функция /(х) = — Зх2 - 6х.
Найдите для данной функции первообразную y = F^x\ график которой проходит через точку Л1( — 1; 0).
Найдите наименьшее значение найденной первообразной y = F(x) на отрезке [—1; 0,5].
Постройте график найденной первообразной y = F(x\
Решите неравенство F(x)<2.
Б. Дана функция /(х) = 3х2 —6х.
Найдите для данной функции первообразную y=F(x\ график которой проходит через точку М (1; 0).
Найдите наименьшее значение найденной первообразной y = F^ на отрезке [—0,5; 1].
Постройте график найденной первообразной y = F^x\
Решите неравенство F(x)> 2.
А. Дана функция /(х) = (х2- 8х + 17)(х-2).
Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в его точке (4; z/0).
Решите уравнение /(х) = х —2.
Найдите наименьшее значение функции y=J^ на отрезке [3; 4].
Постройте график данной функции.
Б. Дана функция Дх) = (х2 - 2х + 2)(х + 1).
Напишите уравнение касательной к графику функции / в его точке (1; у0\
Решите уравнение/(х) = х+1.
Найдите наименьшее значение функции y=f(x) на отрезке [0; 2].
Постройте график данной функции.
А. Дана функция /(х) = (х2-4х+3)(х-3).
Найдите промежутки монотонности функции у =Дх\
Постройте график функции у=/(х).
Найдите все значения х, при которых график функции y=fW расположен выше графика функции у = 3(х-3).
Найдите все значения а, при которых уравнение /(х) = а(х —3) имеет ровно два различных корня.
Б. Дана функция /(х) = (х + 2)(х2 + 5х+6).
Найдите промежутки монотонности функции у =f(x).
Постройте график функции у = /(х).
Найдите все значения х, при которых график функции У=/(х) расположен ниже графика функции у = 6(х + 2).
Найдите все значения а, при которых уравнение /(х) = а(х + 2) имеет три различных корня.
А. Даны функции /(х) = ^х4+х3-Зх2 и g(x) = x3.
Найдите координаты точек пересечения графиков функций у=/(х) и y = g<xY
Найдите промежутки монотонности функции у = /(х).
Постройте график функции у = f(x).
Рассматриваются графики функций y=f(x) и y = g(x') на отрезке [0; 2]. Найдите длину наибольшего вертикального отрезка, заключенного между ними.
Б. Даны функции f^ = - -|х4 + х3 + Зх2 и g(x) = x3.
Найдите координаты точек пересечения графиков функций у=/(х) и у = g(x\
Найдите промежутки монотонности функции у =f(x).
Постройте график функции y=f(x).
Рассматриваются графики функций y=f(x) и y = g^x^ на отрезке [— 2; 0]. Найдите длину наибольшего вертикального отрезка, заключенного между ними.
А. Дана функция /(х) = (х- 1)2(х-2).
Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в его точке с абсциссой х0 = 2.
Найдите промежутки монотонности функции y=f(x).
Постройте график функции у =/(х).
Найдите все значения а, при которых уравнение /(х) = а(х -2) имеет ровно два различных корня.
Б. Дана функция /(х) = (х- 1)(х-2)2.
Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в его точке с абсциссой х0= 1.
Найдите промежутки монотонности функции у =f(x).
Постройте график функции y=f^x\
Найдите вСе значения 6, при которых уравнение /(х) = 6(х— 1) имеет три различных корня.
А. Дана функция /(х)=-|-х2 - 2х.
Найдите для функции у=/(х) первообразную y = F(x\ график которой проходит через точку (1; — 7)-
Напишите уравнение касательной к графику найденной первообразной у = F(x) в его точке с абсциссой х0 = 2.
Постройте график найденной первообразной y = F(x).
Найдите все значения а, при которых прямая у = 2х + а является касательной к графику найденной первообразной y = F(x\
Б. Дана функция /(х) = jx2 + x.
Найдите для функции у=Дх) первообразную y = F(x\ график которой проходит через точку (— 1; j ).
Напишите уравнение касательной к графику найденной первообразной y = F(x') в его точке с абсциссой х0 = -2. в) Постройте график найденной первообразной y = F(x\ г) Найдите все значения Ь, при которых прямая у = х + Ь является касательной к графику найденной первообразной y = F (х).
А. Дана функция Дх^ = х Vx2- 4х +4.
Докажите, что /(х) = 2х-х2 при х<2.
Для функции у=/(х) на луче (-оо;2) найдите первообразную y = F(x\ график которой проходит через точку (0; 5). в) Найдите наименьшее значение найденной первообразной У - ?(х\
г) Постройте график функции y=f(x).
Б. Дана функция /(х) = х Vx2 + 8x + 16.
Докажите, что Дх^ — х2 + 4х при х>-4.
Для функции у=Дх) на луче (—4; +оо) найдите первообразную y = F(x\ график которой проходит через точку (0;-3).
Найдите наименьшее значение найденной первообразной y=FW.
Постройте график функции у=1^х\
А. Даны функции F^= — ^^ — х} и /(х)=-х3 + + Зх2 - 2х.
Докажите, что функция у = Fix') является первообразной для функции y=f(x).
Напишите уравнение касательной к графику функции у = F^ в его точке с абсциссой х0 = 1.
Исследуйте функцию y = F(x) на монотонность.
Постройте график функции y = F(x\
Б. Даны функции F(x') = ^-2x^ и /(х) = х3- - 6х2 + 8х.
Докажите, что функция y = F(x) является первообразной для функции у =f(x).
Напишите уравнение касательной к графику функции y = F(x) в его точке с абсциссой х0 = 2.
Исследуйте функцию y = F(x) на монотонность.
Постройте график функции y = F(x).
А. Дана функция /(х) = 3х- ^-.
Найдите координаты точек графика функции у =f (х), таких, что прямые, касающиеся в них графика, параллельны оси абсцисс.■
Найдите промежутки монотонности функции y=f(x).
Постройте график функции у =f (х).
Найдите наибольший объем цилиндра, диагональ осевого сечения которого равна 2 V3.
Б. Дана функция /(х) = 9х- ^-.
Найдите координаты точек графика функции у=/(х), таких, что прямые, касающиеся в них графика, параллельны оси абсцисс.
Найдите промежутки монотонности функции у =f (х).
Постройте график функции y=f(x).
Найдите наибольший объем конуса, образующая которого равна 3 V3.
А. Дана функция /(х) = х4-2х2.
Для функции y=f(x) найдите первообразную y = F(x), график которой проходит через начало координат.
Напишите уравнение касательной к графику функции У=/(х) в его точке с абсциссой х0= 1.
Постройте график функции y=f{x\
Выясните, сколько различных корней в зависимости от m имеет уравнение /(х) = тх2.
Б. Дана функция /(х) = 8х2-х4.
Для функции у=/(х) найдите первообразную y = F(x\ график которой проходит через начало координат.
Напишите уравнение касательной к графику функции У=/(х) в его точке с абсциссой х0=—2.
Постройте график функции y=f(x).
Выясните, сколько различных корней в зависимости от п имеет уравнение / (х) = пх2.
А. Дана функция /(х) = (12-х2)х.
Напишите уравнение касательной к графику функции y=JW в ег0 точке с абсциссой х0 = 2. ■
Для функции у=/(х) найдите первообразную y = f(x), график которой проходит через точку с координатами (0; 1). в) Постройте график функции y=f(x).
В основании прямой призмы лежит равнобедренный ррямо- угольный треугольник. Диагонали равных боковых граней равны V12. Найдите наибольший возможный объем такой призмы.
Б. Дана функция /(х) = х(27 —х2).
Напишите уравнение касательной к графику функции y=JM в ег0 точке с абсциссой х0 = 3.
Для функции z/=/(x) найдите первообразную y = F^x\ график которой проходит через точку с координатами (0; — 1). в) Постройте график функции у =J(х).
Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3 V3. Найдите наибольший возможный объем такой призмы.
А. Дана функция/(х) = х2(3 - х).
Напишите уравнения касательных к графику функции У—Дх), параллельных прямой у=\.
Исследуйте функцию y=f(x) на монотонность.
Постройте график функции y=f (х).
В правильной четырехугольной призме периметр боковой грани равен 6. Найдите наибольший возможный объем такой призмы.
Б. Дана функция Дх) = jx2(6-x).
Напишите уравнения касательных к графику функции у=/(х), параллельных прямой у = 2.
Исследуйте функцию у =f (х) на монотонность.
Постройте график функции у=/(х).
В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник. Периметр меньшей боковой грани призмы равен 12. Найдите наибольший возможный объем такой призмы.
А. Дана функция /(х) = 2х + *.
Для функции y=f(x) найдите первообразную y = F(x) на луче (0; + °°), график которой проходит через точку с координатами (1; 1).
Исследуйте функцию у =f (х) на монотонность.
Постройте график функции у=/(х) на отрезке [1; 4].
Рассматриваются цилиндры, площади боковых поверхностей которых равны 4л. Найдите высоту цилиндра, имеющего наименьший периметр осевого сечения.
Б. Дана функция /(х) = ^■ + 2х.
Для функции у=/(х) найдите первообразную y = F(x) на луче (0; +°°), график которой проходит через точку с координатами (1; 0).
Исследуйте функцию у =f (х) на монотонность.
Постройте график функции у=/(х) на отрезке [2; 8].
Рассматриваются правильные шестиугольные призмы, площади боковых поверхностей которых равны 48. Найдите высоту призмы, имеющей наименьший периметр большего диагонального сечения.
А. Дана функция/(х) = 2 ^х+^-).
Найдите координаты точки пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс.
Исследуйте функцию у =f (х) на монотонность.
Постройте график функции y=f(x) на отрезке [1; 4].
Основание прямой призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник. Объем призмы равен 2. Найдите наименьший возможный периметр меньшей боковой грани такой призмы.
Б. Дана функция/(х) = 4 (2х + ^-).
Найдите координаты точки пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс.
Исследуйте функцию у =/(х) на монотонность.
Постройте график функции у=/(х) на отрезке ^; 2^.
Объем правильной четырехугольной призмы равен 2. Найдите наименьший возможный периметр развертки боковой поверхности такой призмы.
А. Дана функция /(х) = 3х2-2х3.
Найдите координаты точек пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс.
Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x\ не имеющей общих точек с осью абсцисс.
Постройте график функции y=f^x\
Сумма трех измерений правильной четырехугольной призмы равна 3. Найдите наибольший возможный объем такой призмы.
Б. Дана функция /(х) = 2х2- у.
Найдите координаты точек пересечения графика функции у =f (х) с осью абсцисс.
Напишите уравнение касательной к графику функции у =f (х), не имеющей общих точек с осью абсцисс.
Постройте график функции y=f(x).
Сумма высоты и стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6. Найдите наибольший возможный объем такой пирамиды.
А. Дана функция /(х) = х- у.
Найдите координаты точек пересечения графика функции у =f(x) с осями координат.
Исследуйте функцию у =f (х) на монотонность.
Постройте график функции y=f(x).
Образующая конуса равна V3. Найдите наибольший возможный объем такого конуса.
Б. Дана функция /(х) = 3х- у.
Найдите координаты точек пересечения графика функции у =f (х) с осями координат.
Исследуйте функцию у =f (х) на монотонность.
Постройте график функции у =f (х).
Длина диагонали осевого сечення цилиндра равна 2 V3. Найдите наибольший возможный объем такого цилиндра.
А. Дана функция /(х) = 2 cos х - cos 2х.
Упростите выражение ~ •
Для функции у=/(х) найдите первообразную y=F(x),
график которой проходит через точку с координатами ( jJ о), в) Найдите абсциссы всех точек графика функции y=f(x), в которых касательные к нему параллельны прямой у = 4. г) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [0; 2л].
Б. Дана функция /(x) = cos 2х + 2 sinx.
Упростите выражение ■— -- ■■■ - .
Для функции у=/(х) найдите первообразную у = Р(х\ график которой проходит через точку с координатами ^; о), в) Найдите абсциссы всех точек графика функции у =f(x), в которых касательные к нему параллельны прямой У = - 4.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [0; 2л].
А. Дана функция f(x) = x — 1п(х- 1).
Докажите, что функция у =f(x) является первообразной для функции g(x) = у^у на промежутке (1; + °°).
Исследуйте функцию у=/(х) на монотонность.
Постройте график функции у =f(x) на отрезке [ 1 + “; 1 + е]. г) Найдите все значения а, такие, что уравнение /(х) = а имеет ровно одно решение на отрезке [1+~; 1 + е].
Б. Дана функция /(х) = 1п(х + 1)-х.
Докажите, что функция у=/(х) является первообразной для функции g(x)= — ууу на промежутке (— 1; +°°).
Исследуйте функцию y=f(x) на монотонность.
Постройте график функции у =f(x) на отрезке [ у - 1 ;е - 1 j. г) Найдите все значения а, такие, что уравнение f (х) = а имеет ровно одно решение на отрезке [ у - 1; е — 1 j.
А. Дана функция Дх) = х + 4 Vx- 5.
Найдите первообразную для функции y=f(x), график которой проходит через точку с координатами (1; — 5).
Постройте график функции у=/(х) на отрезке [0; 4].
Напишите уравнение касательной к графику функции y—f(x), параллельной прямой у = 3х — 5.
Рассматриваются графики функций y=f(x) и у = 3х — 5 на отрезке [0; 4]. Найдите длину наибольшего вертикального отрезка, заключенного между ними.
Б. Дана функция /(х) = х + 8 Vx — 20.
Найдите первообразную для функции y=f(x), график которой проходит через точку с координатами (1; -20).
Постройте график функции у=/(х) на отрезке [0; 16].
Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x), параллельной прямой у = 3х — 20.
Рассматриваются графики функций y=f(x} и у = 3х — 20 на отрезке [0; 16]. Найдите длину наибольшего вертикального отрезка, заключенного между ними.
А. Дана функция f(x) = ех + cos х.
Докажите, что ^-^)^^ = ех.
Найдите первообразную функции y=f(x), график которой проходит через точку с координатами (0; 1).
Напишите уравнение касательной к графику функции у =f (х) в его точке с абсциссой х0 = 0.
Докажите, что функция y=f(x) возрастает на луче (0; 4-00).
Б. Дана функция/(х) = ^-sin х.
Докажите, что ^^^ = 2.
Найдите первообразную функции y=f(x), график которой проходит через точку с координатами (0; 2).
Напишите уравнение касательной к графику функции У —f (х) в ег0 точке с абсциссой х0 = 0.
Докажите, что функция y=f(x) возрастает на луче (0; 4-00).
А. Дана функция /(х) = V3 — х — V? +х.
Найдите координаты точек пересечения графика функции у =f (х) с осями координат.
Напишите уравнение касательной к графику функции у =f (х) в его точке с абсциссой х0 = — 6.
Исследуйте функцию y=f(x) на монотонность.
Выясните, при каких значениях параметра а число 5 содержится в области определения функции у =f (х — а).
Б. Дана функция /(х) = V2 + x - V8 - х.
Найдите координаты точек пересечения графика функции y=f(x) с осями координат.
Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в его точке с абсциссой х0= — 1.
Исследуйте функцию y=f(x) на монотонность.
Выясните, при каких значениях параметра b число 3 содержится в области определения функции у =f (х + Ь).
А. Дана функция/(х)= — ^—-.
Найдите промежутки монотонности функции y=f(x).
Пусть у = Р(х^ — первообразная для функции y=f(x), график которой проходит через начало координат. Упростите выражение
Найдите координаты точки графика функции y=f{x), в которой касательная к этому графику параллельна прямой У = |х.
Докажите, что график функции у =f (х) симметричен относительно оси ординат.
Б. Дана функция/(х)= —-.
Найдите промежутки монотонности функции y=f(x\
Пусть y = F(x>) — первообразная для функции у=/(х), график которой проходит через начало координат. Упрос-
(х) тите выражение
Найдите координаты точки графика функции y=f(x\ в которой касательная к этому графику параллельна прямой У= f х.
Докажите, что график функции y=f(x) симметричен относительно оси ординат.
А. Дана функция JW=-^ + ^7-
Докажите, что y=f(x) — четная функция.
Найдите промежутки монотонности функции y=f{x).
Постройте график функции y=f(x) на отрезке [—3; 3]. г) Лодка, собственная скорость которой 4 км/ч, должна пройти прямолинейный отрезок пути из пункта А в пункт В и обратно. Докажите, что быстрее всего она проделает этот путь в стоячей воде.
Б. Дана функция /(х) = ^^ + ™^ .
Докажите, что y=f(x) — четная функция.
Найдите промежутки монотонности функции y=f(x).
Постройте график функции y=f(x) на отрезке [- 19; 19]. г) Катер, собственная скорость которого 20 км/ч, должен пройти прямолинейный отрезок пути из пункта М в пункт N и обратно. Докажите, что быстрее всего он проделает этот путь в стоячей воде.
А. Дана функция /(х) = 3 (12 - х2).
Найдите для функции y=f(x) первообразную y = F(x'), график которой проходит через начало координат.
Докажите, что график найденной первообразной y = F(,x) симметричен относительно начала координат.
Постройте график найденной первообразной y = F^x\ г) Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна 6. Найдите наибольший возможный объем такой призмы.
Б. Дана функция /(х) = 9-3х2.
Найдите для функции y=f(x) первообразную y = F^x), график которой проходит через начало координат.
Докажите, что график найденной первообразной y=F(x) симметричен относительно начала координат.
Постройте график найденной первообразной y = F(x).
Основание треугольной пирамиды РАВС — правильный треугольник АВС, боковое ребро РА перпендикулярно плоскости АВС, РВ = Ъ. Найдите наибольший возможный объем такой пирамиды.
А. Дана функция /(х) = 12(х - 1)(х -3).
Найдите дая функции у=/(х) первообразную y = F(x), график которой проходит через начало координат.
Найдите промежутки монотонности найденной первообразной y = F(x).
Постройте график найденной первообразной y = F^x\
Из квадратного листа картона со стороной 6 дм требуется сделать открытую сверху коробку в форме прямоугольного параллелепипеда, вырезав по углам квадраты и загнув образовавшиеся края. Найдите высоту коробки наибольшего объема.
Б. Дана функция /(х) = ^ х (4 — х).
Найдите для функции y=f{x) первообразную y = F^x\ график которой проходит через начало координат.
Найдите промежутки монотонности найденной первообразной y = F^x\ ’
Постройте график найденной первообразной y = F(x).
Из квадратного листа жести со стороной 6 дм требуется сделать открытую сверху коробку в форме прямоугольного параллелепипеда, вырезав по углам квадраты и загнув образовавшиеся края. Найдите сторону основания коробки наибольшего объема. .
ПРИЛОЖЕНИЕ
Ниже мы приводим два варианта экзаменационной работы, предлагавшейся в Санкт-Петербурге, составленные из заданий- сюжетов. Каждый учащийся мог выбрать для решения любые три сюжета. Для получения оценки «5» требовалось верно решить любые десять заданий из двенадцати, содержащихся в выбранных трех сюжетах.
Мы приводим также решение первого варианта, выполненное школьником-выпускником 11 класса. Считаем важным подчеркнуть, что варианты оформления работы могут быть разными — никакого образцового и единственно возможного оформления нет. Соответственно, и помещаемое решение выбрано не потому, что мы считаем нужным оформлять решения только так и именно так, а лишь в качестве одного из возможных примеров решений, за которые должна ставиться оценка «5».
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КЛАССОВ, ЗАНИМАЮЩИХСЯПО БАЗОВОЙ ПРОГРАММЕ
Из четырех предложенных сюжетов следует выбрать три. Таким образом, получится 12 пунктов. Для получения оценки «5» вам достаточно верно и полностью решить любые 10 из них. Пользоваться калькуляторами нельзя. Продолжительность экзамена — 5 астрономических часов. Желаем успеха! ■
Вариант № 1
Дана функция /(x) = sinx.
Вычислите f^-x^, если /(х)=у| и х€^; nj.
Докажите тождество y^j= 2cosx + 1.
Решите уравнение /(х)+/(2х)+/(3х) = 0.
.'/W+/(2х)+/(3х) пГ те 5тс 1
Решите неравенство у^^^ на отрезке ^; — j.
Дана функция /(х) = log2( 16-х) - log2(x + 2). а) Найдите область определения данной функции. (1 V(2)
Вычислите .
Решите уравнение /(х) =/(2).
(у=/(х),
Решите систему уравнений ]2»+2_ 2^ = 9
Дана функция /(х) = V1 Оах - х2.
Найдите значение а, при котором х= 1 является корнем уравнения /(х) = 4 — х.
Решите уравнение/(х) = 4— х при а=1.
Сравните числа 2/(4) и/(3)+/(5) при а=1.
Найдите все значения а, при которых уравнение /(х) = а имеет два различных корня.
Дай а функция /(х) = 4х— 12х2.
Найдите для данной функции первообразную y = F^x\ график которой проходит через начало координат.
Найдите промежутки возрастания и убывания для найденной первообразной y = F(x).
Постройте график найденной первообразной y = F(x) и касательную к нему в его точке с абсциссой х0 = 0.
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = F(x) и осью абсцисс.
Вариант № 2
Дана функция /(x) = cosx.
а) Вычислите f^ + x^ если JW=^ и хе[-^ о]-
Решите уравнение /(х)-/(2х)+/(3х) = 0.
. „/(х)~/(2х)+/(3х)_7я]
Решите неравенство —:—j^>0 на отрезке ^; -g-j.
У =Дх\У =Дх\Решите уравнение /(х)=/(1).
У =Дх\
У =Дх\
Решите систему уравнений
Дана функция Дх) = ^7Ьх + 2г2.
Найдите значение Ь, при котором х= 1 является корнем уравнения /(х) = х + 3.
Решите уравнение Дх^х + З при 6 = 2.
Сравните числа Др+/(3) и /(4) при 6 = 2.
Найдите все значения 6, при которых уравнение /(х) + 6 = 0 имеет два различных корня.
Дана функция /(х) = - 12х2-4х3.
Найдите для данной функции первообразную y = F^x\ график которой проходит через начало координат.
Найдите промежутки возрастания и убывания для найденной первообразной y = F(x\
Постройте график найденной первообразной y = F(x) и касательную к нему в его точке с абсциссой х0 = 0.
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = F(x) и осью абсцисс.
Решение заданий первого варианта
а) /^ -xj = sin ^ -xj = cosx; cos2x = 1 - sin2x = 1 - jgg = = cosx<0, так как x€ it]; cosx = — Ответ: — ib9L 2 Jlolo
/(x)+/(2x)+/(3x) _ sinx + sin2x + sin3x2sin2xcosx + sin2x
'/(2x)— sin2x — sin2x
"'"^sln^" *" = ^ cosx + 1- что и требовалось доказать, в) sinx + sin2x + sin3x = 0; sin2x(2cosx+1) = 0; l)sin2x = 0; 2х = л£; х= ^; 2) 2cosx + 1 =0; cosx = - у; х = + ^- + 2ик. Ответ: х=^; х = ±-у- + 2nk; k€Z.
Ответ: — 2<х<4.Ответ: — 2<х<4./1У<2) / ^ \log2<16 — 4> - ,OS2<2 + 2> /1\1О®23/1У<2) / ^ \log2<16 — 4> - ,OS2<2 + 2> /1\1О®23■^! хРис. 2■^! хРис. 2_ 2~21°К23 = 2log2 ^_ 2~21°К23 = 2log2 ^х9 •х9 •
Ответ: — 2<х<4.
Ответ: — 2<х<4.
/1У<2) / ^ \log2<16 — 4> - ,OS2<2 + 2> /1\1О®23
/1У<2) / ^ \log2<16 — 4> - ,OS2<2 + 2> /1\1О®23
■^! х
Рис. 2
■^! х
Рис. 2
_ 2~21°К23 = 2log2 ^
_ 2~21°К23 = 2log2 ^
х
9 •
х
9 •
'2cosx + 1 <0,
г)г)(см. пункт «6»);(см. пункт «6»);sin 2x^0,
г)
г)
(см. пункт «6»);
(см. пункт «6»);
Л 5л
4<X< 4
rcosx< — —, 2
x*~^' (см. рис. 1).
44
_2л ,, 5л
Ответ: -у<х<л; жх<-^-.
2. а) ООФ:2. а) ООФ:16-х2>0, .
2. а) ООФ:
2. а) ООФ:
„ . (см- Рис- 2)-
Ответ: ^.
в) log2( 16-х2) - log2(x + 2) = log23 (см. пункт «б»);
12\ I /о/ ,16-х2 = 3(х + 2),
log2 (16 - х2) = log2 (3 (х + 2)); L + 2 > 0.
16 х - Зх +6 х2 + Зх — 10 = 0; X! = 2; х2 = — 5 не удовле- [х>-2;(*)
творяет (*).
Ответ: х = 2.
\y=JW, (1)
7 [26, + 2-2у = 9. (2)
(2): 26, + 2- 26, = 9; 2^(4- 1) = 9; 2^ = 3; i/ = log23. Подставляем в уравнение (1): /(x) = log23; х = 2 (см. пункт «в»). Ответ: х = 2; z/ = log23.
a) VlOa — 1 = 4- 1; VlOa- 1 = 3; 10a = 10; a= 1. Ответ: a = 1.
6) V10x-x2=4-x; Юх —x2= 16-8x + x2;x<4 (*)
2x2-18x+16 = 0; x2-9x +8=0; x^l; x2 = 8 не удовлетворяет (*).
Ответ: x = 1.
в) 2/(4)>/(3)+/(5)«2/10 • 4- 16 >/10 - 3 — 9 +
+ VuTT^^«2V^>Vm V25«4V6>V21 + 5«
«96 >21 +25+ 10V21«50> 10 /21« 5 > V2i« 25 > 21.
Ответ: 2/(4) >/(3)+/(5).
r) V10ax-x2 = a; 10ax-x2 = a2; a>0\*\
x2 — 1 Oax + a2 = 0. ^ = 25a2 — a2 = 24a2 > 0; a^O.
С учетом (*) a>0.
Ответ: a>0.
а) Л(х) = x4 - 4x3 + С.
Так как график функции y = F(x) проходит через начало координат, то /(0) = 0. 0 = 0-4-0 + С;С = 0.
Ответ: F(x) = х4 - 4х3.
F'W
^03 .
перегиб min
Рис. 3
x
F(x)
б) F'(x)-f(x); F'(х) = 4х2(х - 3) (см. рис. 3).
Ответ: функция у = Р\х) убывает при х^З, функция y=F(x') возрастает при х>3.
у
6::5
1
2
3
-24-
-27-
-30-
x
-12-
y-F^
-18--
-1
-6--
в) 1. y = F^x\ D(F)=R, корни: х4-4х3 = 0; х, = 0; х2 = 4. ymi„ = у(3) = — 27;
Упереги6 = У^ = 0; У(~ 0 = = 5 (см. пункт «б»), 2. у = F’(x0)(x - х0) + уд, яо = О; у0 = 0; F'^-O; уравнение касательной: У = 0.
Ответ: см. рис. 4.
ь
Рис. 4
Пределы интегрирования:
(см. пункт «в»),а = 0; Ь = 4 (см. пункт «в»);
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Раздел I 4
Раздел II20
Раздел III■37
Раздел IV55
Приложение 74
2. Б.
а) Решите уравнение 27 • 5Х= 125 • 3х.
б) Решите неравенство 27 • 5х < 125 • 3х.
в) Решите систему уравнений
s _ _ J()(< _ 4^) Л - (х< - 4)|+4<-4 - 4/-
= 51,2.
А.П. Карп В.Б. Некрасов
ЗАДАНИЯ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
для организации итогового повторения и проведения аттестации
в 11 классе
Книга для учителя
Москва
«Просвещение» 2003
УДК 372.8:[512+517]
ББК 74.262.21
К26
Карп А. П.
К26 Задания по алгебре и началам анализа для организации итогового повторения и проведения аттестации в 11 классе : Кн. для учителя / А. П. Карп, В. Б. Некрасов.— М. : Просвещение, 2003.—79 с. : ил,— ISBN 5-09-011286-Х.
Сборник предназначен для организации заключительного повторения по алгебре и началам анализа и проведения итоговой аттестации в 11 классе общеобразовательных учреждений.
УЖ 372.8:1512+517]
ББК 74.262.21
ISBN 5-09-011286-Х© Издательство «Просвещение», 2003
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2003 Все права защищены