ПРЕДИСЛОВИЕ

Плазмой принято называть газ, в котором значительная часть •лектронов оторвана от своих ионов, для чего, как правило, тре- (>уются достаточно высокие температуры.

За последние 40 лет плазма является объектом интенсивных исследований. Можно выделить четыре основных направления исследований. Во-первых, это проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС), который может стать практически неисчерпаемым источником энергии, и притом с малой радиоактивностью, гели удастся осуществить реакцию на смеси дейтерия и изотопа 3Не. Во-вторых, создание плазменных преобразователей тепловой энер- । ни непосредственно в электрическую. В-третьих, создание плазменных ракетных двигателей с большой скоростью выброса струи, i in конец, теоретическое изучение поведения плазмы ведет к пони- мпнию многих явлений в космосе, так как Солнце, звезды и космические туманности состоят из плазмы.

Настоящая книга представляет собой расширенное изложение и урса лекций по теории плазмы, который автор более 30 лет читал । гудентам 4-го, 5-го курсов Московского инженерно-физического института. Основное внимание в ней уделено проблемам УТС, но Рассмотрены и другие аспекты. Один параграф соответствует приблизительно одной лекции. В конце параграфов приведены •«дачи с решениями, что дополняет содержание лекций. Лекционным характером изложения объясняется малое число ссылок на оригинальные работы. Введение к книге можно рассматривать как конспективное изложение всего курса.

Автор благодарен сотрудникам кафедры физики плазмы МИФИ и сотрудникам отдела теории плазмы Института атомной энергии им. И.В. Курчатова за советы и участие в обсуждении ряда проблем, я гак же признателен А.С. Савелову и Е.Б. Симагиной за помощь в । и ниотовке рукописи.

Б.А. Трубников

ВВЕДЕНИЕ

Основные понятия. При сильном нагревании любое вещество испаряется, превращаясь в газ. Если увеличивать температуру и дальше, то молекулы газа начнут распадаться (диссоциировать) на составляющие их атомы, которые затем превращаются в ионы. Ионизация газа, кроме того, может быть вызвана его взаимодействием с электромагнитным излучением (фотоионизация) или бомбардировкой газа заряженными частицами.

Свободные заряженные частицы, особенно электроны, легко перемещаются под действием электрического поля. Поэтому в состоянии равновесия пространственные заряды входящих в состав плазмы отрицательных электронов и положительных ионов должны компенсировать друг друга так, чтобы полное поле внутри плазмы было равно нулю. Именно отсюда вытекает необходимость практически точного равенства плотностей электронов и ионов в плазме - ее квазинейтральности. Нарушение квазинейтральности в объеме, занимаемом плазмой, ведет к немедленному появлению сильных электрических полей пространственных зарядов, тут же восстанавливающих квазинейтральность. Степенью ионизации плазмы называется отношение числа ионизованных атомов к полному их числу в единице объема плазмы. В условиях термодинамического равновесия оно определяется формулой Саха

1I

а = ——; К»Nx exp,

VT7? к kT

где Nx = пк® - число частиц всех сортов в кубе с ребром, равным тепловой длине волны де Бройля для электронов ке = h у/2я/текТ; 1 - энергия ионизации.

Для многозарядных ионов следует учитывать кратность ионизации атомов. В зависимости от значения а говорят о слабо-, сильно- и полностью ионизованной плазме.

Средние энергии различных типов частиц, составляющих плазму, могут отличаться одна от другой. В таком случае плазму нельзя охарактеризовать одним значением температуры Г, и различают 4

электронную температуру Ге, ионную температуру Tt (или ионные температуры, если в плазме имеются ионы нескольких сортов) и температуру нейтральных атомов Tv Подобная плазма называется неизотермической, в то время как плазма, в которой температуры всех компонент одинаковы, называется изотермической.

Применительно к плазме несколько необычный смысл (по сравнению с другими разделами физики) вкладывается в понятия низкотемпературная и высокотемпературная. Низкотемпературной принято считать плазму с Г ^ 10® К, а высокотемпературной - плазму с Г % 10®* 10е К и более. Это условное разделение связано с особой важностью высокотемпературной плазмы в связи с проблемой осуществления управляемого термоядерного синтеза (УТС).

В состоянии плазмы находится подавляющая часть вещества Вселенной - звезды, оболочки звезд, галактические туманности и межзвездная среда. Около Земли плазма существует в космосе в виде солнечного ветра, заполняет магнитосферу Земли (образуя радиационные поля Земли) и ионосферу. Процессами в околоземной плазме обусловлены магнитные бури и полярные сияния. Отражение радиоволн от ионосферной плазмы обеспечивает возможность дальней радиосвязи на Земле.

В лабораторных условиях и промышленных применениях плазма образуется в электрическом разряде в газах (дуговом разряде, искровом разряде, тлеющем разряде и пр.), в процессах горения и взрыва, используется в плазменных ускорителях, магнитогидродинамических генераторах, в установках для исследования УТС. Многими характерными для плазмы свойствами обладают совокупности электронов и дырок в полупроводниках и электронов проводимости (нейтрализуемых неподвижными положительными ионами) в металлах, которые поэтому называются плазмой твердых тел. Ее особенность — возможность существования при сверхнизких для "газовой” плазмы температурах — комнатной и ниже, вплоть до абсолютного нуля температуры.

Возможные значения плотности плазмы п охватывают широкий диапазон: от п ~ 10*6 см-3 в межгалактическом пространстве и п ~ 10 см-3 в солнечном ветре до п ~ 1022 см"3 для твердых тел и еще больших значений в центральных областях звезд.

Термин плазма в физике был введен в 1923 г. американскими учеными Ленгмюром и Тонксом, проводившими зондовые изме- рения параметров низкотемпературной газоразрядной плазмы. Кинетика плазмы рассматривалась в работах Л.Д. Ландау (1936 и 1946 гг.) и А.А. Власова (1938 г.). В 1942 г. Альфвен поедложил

уравнения магнитной гидродинамики для объяснения ряда явлений в космической плазме. В 1950 г. в СССР и США была предложена идея магнитной термоизоляции плазмы для осуществления УТС. Начиная с 50-х годов изучение плазмы стимулировалось различными практическими применениями, развитием астрофизики, космофизики (наблюдением космической плазмы и объяснением процессов в ней) и физики верхней атмосферы Земли, особенно в связи с полетами космических летательных аппаратов, а также интенсификацией исследований по проблеме УТС.

Основные свойства плазмы. В резком отличии свойств плазмы от свойств нейтральных газов определяющую роль играют два фактора. Во-первых, взаимодействие частиц плазмы между собой характеризуется кулоновскими силами притяжения и отталкивания, убывающими с расстоянием гораздо медленнее (т.е. значительно более дольнодействующими), чем силы взаимодействия нейтральных частиц. По этой причине взаимодействие частиц в плазме является, строго говоря, не парным, а коллективным - одновременно взаимодействует друг с другом большое число частиц. Во-вторых, электрическое и магнитное поля сильно действуют на плазму, вызывая появление в плазме объемных зарядов и токов и обусловливая ряд специфических свойств плазмы. Эти отличия позволяют рассматривать плазму как особое, "четвертое” состояние вещества.

К важнейшим свойствам плазмы относится упомянутая выше квазинейтральность. Она соблюдается, если линейные размеры I области, занимаемой плазмой, много больше дебаевского радиуса экранирования:

D = ^кТД^е^Ц^Т^

где ее и е,- - заряды электронов и ионов, пе и nt- электронная и ионная плотности; здесь и ниже используется абсолютная система единиц Гаусса (СГС система единиц); когда приводятся цифровые значения величин, то в скобках даются значения в СИ. Следовательно, лишь при выполнении условия I "> D можно говорить о плазме как таковой. Электрическое поле отдельной частицы в плазме экранируется частицами противоположного знака и фактически исчезает на расстояниях от частицы порядка D. Величина D определяет и глубину проникновения внешнего электростатического полй в плазму. Квазинейтральность может нарушаться вблизи поверхности плазмы, где более быстрые электроны вылетают по инерции за счет теплового движения на расстояние ~D (рис. 1).

Рис. 1. Нарушение квазинейтральности плазмы на длине порядка дебаевского радиуса экранирования D

Рис. 2. Вращение ионов и электронов по ларморовским спиралям

Плазма называется идеальной, если потенциальная энергия взаимодействия частиц мала по сравнению с их тепловой энергией. Это условие выполняется, когда число частиц в сфере радиуса D велико:

ND = nD3»L

Например, в молнии Г ~ 2 -104 К, п ~ 2,5 -1019 (плотность воздуха) и, следовательно, D ~ 10*7 см, но Nq ~ 1/40. Такую плазму называют слабонеидеальной.

Помимо хаотичного теплового движения частипы плазмы могут участвовать в упорядоченных коллективных процессах, из которых наиболее характерны продольные колебания пространственного заряда, называемые ленгмюровскими волнами. Их угловая частота <->0 = V4nnea/m' называется плазменной частотой (е и m - заряд и масса электрона). Многочисленность и разнообразие коллективных процессов, отличающих плазму от нейтрального газа, обусловлены дальностью кулоновского взаимодействия частиц плазмы, благодаря чему плазму можно рассматривать как упругую среду, в которой легко возбуждаются и распространяются различные шумы, колебания и волны.

В магнитном поле с индукцией В на частицы плазмы действует сила Лоренца; в результате этого заряженные частицы плазмы вращаются с циклотронными частотами ыд = еВ/mc по ларморовским 'пиралям радиуса Рв = tJ^b, где v^ - перпендикулярная В составляющая скорости частицы. В таком взаимодействии проявляется 'памагнетизм плазмы: создаваемые электронами и ионами круговые гоки уменьшают внешнее магнитное поле, при этом электроны вращаются по часовой стрелке, а ионы - против нее (рис. 2). Магнит-

Рис. 3. Электрон, пролетающий мимо иона, | движется по гиперболе:|

6 — угол отклонения|

ные моменты таких круговых токов равны ц = mvj/2B, и в неодао- | родном поле на них действует диамагнитная сила, стремящаяся ] вытолкнуть частицу плазмы из области сильного поля в область I более слабого поля, что является важнейшей причиной неустой- | чивости плазмы в неоднородных полях. |

Взаимные столкновения частиц в плазме описывают эффектив- I ными поперечными сечениями, характеризующими ’’площадь ми- I шени”, в которую нужно ’’попасть”, чтобы произошло столкновение. | Например, электрон, пролетающий мимо иона на расстоянии при- | цельного параметра р (рис. 3), отклоняется силой кулоновского 1 притяжения на угол 6, примерно равный отношению потенциальной | энергии к кинетической, так что 6 = 2р^/р, где р± = e2/mv2 «е^/кТ | (здесь р - прицельное расстояние, при котором угол отклонения I 0 = ЭО^На большие углы 6 ~ 1 рад рассеиваются все электроны, I попадающие в круг с площадью о * 4лр2, которую можно назвать | сечением близких столкновений. Если, однако, учесть и далекие 1 пролеты с р » pj_, то эффективное сечение увеличивается на мно- 1 житель Л = In (D/p±), называемый кулоновским логарифмом. В 1 полностью ионизованной плазме обычно Л ~ 10+15 и вкладом Я близких столкновений в сечение можно пренебречь (см. сказанное I выше о дальнодействии в плазме). При далеких же пролетах ско- 1 роста частиц изменяются мало, что позволяет рассматривать их 1 движение как процесс диффузии в своеобразном пространстве | скоростей. I

Удобными характеристиками столкновительных процессов явля- I ются длина свободного пробега частицы / = 1/по, число ее столкно- I вений v = пто за единицу времени, а также время между столкнове- 1 ниями т = 1/v, однако в отличие от обычных газов, в плазме эти I величины оказываются различными для разных процессов. Напри- I мер, максвелловское распределение электронов устанавливается 1 за время тее, а аналогичный процесс максвеллизации ионов проте- I кает за большее время тн = тее/тг/те и, наконец, выравнивание элект-1 ронной Те и ионной Г, температур, т.е. общая максвеллизация 1 плазмы протекает еще медленнее - за время. iei = Teemi/me. Если | последний процесс еще не успел завершиться, то Те t Tt. I

Рис. 4. Движение силовых линий магнит- го поля В вместе с плазмой (свойство "вмороженности* силовых линий)

Если в плазме не возбуждены какие-либо интенсивные колебания и неустойчивости, то именно столкновения частиц определяют ее так называемые диссипативные свойства - электропроводность, вязкость, теплопроводность и диффузию. В полностью ионизованной плазме электропроводность о не зависит от плотности плазмы и пропорциональна Г®'2. При Те ~ 15 • 106 К она превосходит электропроводность серебра, поэтому часто, особенно при быстрых крупномасштабных движениях, плазму можно приближенно рассматривать как идеальный проводник, полагая о = ». Если такая плазма движется в магнитном поле, то ЭДС при обходе любого замкнутого контура, движущегося вместе с плазмой, равна нулю, что по закону Фарадея для электромагнитной индукции приводит к постоянству магнитного потока, пронизывающего контур (рис. 4). Эта ’’приклеен- ность”, или вмороженность, магнитного поля также относится к важнейшим свойствам плазмы. Ею обусловлена, в частности, возможность самовозбуждения (генерации) магнитного поля за счет увеличения длины магнитных силовых линий при хаотичном турбулентном движении среды. Например, в космических туманностях часто видна волокнистая структура, свидетельствующая о наличии магнитного поля, созданного таким механизмом динамо с самовозбуждением.

Движение заряженных частиц. Основными методами теоретического описания плазмы являются: 1) исследование движения отдельных частиц плазмы; 2) магнитогидродинамическое описание плазмы; 3) кинетическое рассмотрение частиц и волн в плазме.

В разреженной плазме, где можно пренебречь столкновениями, заряженная частица летит со скоростью Уц вдоль магнитно-силовой линии, быстро вращаясь по ларморовской спирали (см. рис. 2), а при наличии возмущающей силы F частица также медленно дрейфует в направлении, перпендикулярном как магнитному полю, гак и направлению силы F.

Скорость этого поперечного дрейфа равна V = c[FB]/eB2, и при )том сила, вызывающая дрейф, в общем случае содержит пять слагаемых: F=mg+eE-ц7В-п(тт)|/Я)-mv^, каждое из которых

Рис. 5. Движение заряженных космических частиц, захваченных магнитным полем Земли

приводит к соответствующему виду дрейфа - гравитационному, электрическому, диамагнитному (в неоднородном поле), центробежному (в искривленном поле), и, наконец, ’’поляризационному” дрейфу со скоростью V = сЕ/Вим.

В случае g = О, Е = 0 остаются диамагнитный и центробежный члены, в сумме дающие так называемый дрейф по бинормали со скоростью V = (vj + v2J2^ RuB, где R - радиус кривизны силовой линии. В продольном направлении диамагнитная сила тормозит частицу, приближающуюся к области более сильного магнитного поля. При этом остаются неизменными полная энергия частицы m(vf+ т^/ги ее магнитный момент ц = тт^12В, являющийся первым - поперечным адиабатическим инвариантом. При достаточно медленном изменении внешних условий приближенно сохраняются еще два адиабатических инварианта: второй - продольный J„ = = I Ту (Пу и третий Ф = j BdS, равный магнитному потоку, пронизывающему дрейфовую орбиту частицы. Таково, например, движение в магнитном поле Земли космических частиц (рис. 5), которые отражаются от полярных областей, где поле сильнее, и вместе с тем дрейфуют вокруг Земли (протоны - на запад, электроны — на восток). Магнитное поле Земли является магнитной ловушкой, удерживающей захваченные им частицы плазменного солнечного ветра в радиационных поясах Земли.

Аналогичными свойствами удержания плазмы обладают так называемые зеркальные магнитные ловушки, применяемые в исследованиях по УТС. Другим - замкнутым типом магнитной ловушки для плазмы является тороидальная установка ’’токамак” (рис. 6), также предназначенная для термоядерных исследований. В ней силовые линии магнитного поля имеют вид спиралей, навитых на торы, и такой же вид имеют траектории быстрых заряженных частиц. Однако медленные частицы, испытывая указанный выше дрейф по бинормали и отражаясь от областей с более сильным полем, движутся по поверхностям, меридиональные сечения которых имеют ю

Рис. 6. Токамак. Токи, текущие в проводящем кожухе или в специальных дополнительных проводниках, препятствуют смещению плазменного шнура

Рис. 7. Образование перетяжек на канале разряда, сжатого собственным магнитным полем В тока I

очертания бананов, точнее, ’’лунного месяца”. Такой ’’банановый” режим возможен в токамаке лишь при малой плотности плазмы, когда столкновения частиц являются достаточно редкими и не мешают их движению.

Магнитогидродинамическое описание плазмы. При описании плазмы с помощью уравнений магнитной гидродинамики (МГЦ), имеющих в простейшем идеальном случае вид

p=-pdivv; PT=-Vp + c-1 [jB]; р~рт,

где Р - плотность; т - скорость; р - давление; V - показатель адиабаты, плазма рассматривается как сплошная среда, в которой могут протекать токи j. Взаимодействие этих токов с магнитным полем В создает объемную силу Ампера и магнитное давление рмаг = 52/8л, которое может уравновешивать давление плазмы р. Уравнения МГД позволяют рассмотреть различные течения плазмы, например течение в МГД-генераторе (см. рис. 10), а также равновесные конфигурации плазмы и их устойчивость. В состоянии равновесия при v = 0 имеем уравнение [jB] = сДр, которое показывает, что магнитные силовые линии и линии тока располагаются на поверхностях постоянного давления. Для аксиально-симметричных конфигураций удобно пользоваться цилиндрическими координатами г, ф, z и ввести вертикальный магнитный поток Ф (г, z), с помощью которого уравнение равновесия можно привести к виду

ф"г - г-1 Фг + Ф^ = Ft + raF2, где функции Fi a зависят лишь от потока Ф. Это уравнение Грэда-Шафранова используется при расчетах равновесия тороидальных систем. В термоядерных исследованиях для удержания плазмы помимо токамаков применяют и другие установки, называемые пинчами, стеллараторами, амбиполярными ловушками, и системы с неплоской замкнутой магнитной осью - так называемую "восьмерку Спитцера”, винтовые торы и ловушку ’’дракон” (длинная равновесная конфигурация).

В этих установках должны быть выполнены определенные критерии устойчивости плазмы. Например, простейший критерий 6В > О означает требование возрастания магнитного поля В периферии системы. Такая ситуация способствует устойчивости плазменного сгустка, так как сильное поле снаружи отталкивает плазму внутрь, в области с более слабым полем. Этот критерий выполняется в так называемых антипробкотронах. В других системах он не выполняется, но достаточным оказывается более мягкое условие b^dl/В < О, в котором интеграл берется вдоль силовой линии магнитного поля, если она является замкнутой. Для систем с незамкнутыми линиями применяют критерий Уфф < 0, называемый также условием магнитной ямы. В нем фигурирует вторая производная объема V по пронизывающему его сечение продольному магнитному потоку Ф. Другие критерии имеют более частное применение. Например, для амбиполярных ловушек, где давление плазмы анизотропно, так что Ру * Р^> используют критерий устойчивости в виде требования $6В(р# + + p^B^dZ > 0. Для систем с винтовыми силовыми линиями используют критерий Сайдема S2 > -4гРг, где Р * 8лр/Вр который содержит ”шир” S = fh*r/h - величину, характеризующую перекрещен- ность силовых линий в случае, когда их шаг h зависит от расстояния г до магнитной оси. Для токамаков применяют критерий Крускала- Шафранова в виде q = aB^/RB^ > 1, где R и а - большой и малый радиусы тороидального плазменного шнура. Величину q называют запасом устойчивости.

Наиболее общим МГД-критерием устойчивости произвольного равновесного сгустка плазмы является так называемый энергетический принцип, выражаемый формулой К < 0, которая содержит вторую производную по времени от полной кинетической энергии

f

плазмы К = — \ pv2dV. Предполагается, что в начальный момент 2 J

времени t = 0 плазме придается некоторый начальный ’’толчок”, и если выполнен критерий К < 0, то последующее движение замед-

ляется, что и указывает на устойчивость. При рассмотрении движения плазмы методами магнитной гидродинамики необходимо учитывать степень вмороженности поля, определяемую магнитным числом Рейнольдса NR - 4nLvoc-3, где о - электропроводность.

Примером неустойчивого равновесия может служить так называемый зет-пинч, возникающий при разряде между двумя электродами и изображенный на рис. 7. Протекание тока, по зет-пинчу является сложным процессом,^так как появление в нем каких-либо электрических полей вызывает одинаковый дрейф электронов и иоуов, что само по себе не приводит к появлению тока. Ток в пинче возможен лишь за счет его неоднородности, однако эта неоднородность приводит к неустойчивости. Если бы пинч имел цилиндрическую форму, то в равновесии должно было бы выполняться условие Беннета р = В2/8л, однако из-за неустойчивости на пинче быстро нарастают перетяжки, стремящиеся его оборвать. Наиболее типичная перетяжка имеет форму конуса, и подтекание тока к его вершине затруднено ввиду отсутствия равновесия в его "юбочке”, на поверхности которой начинают скапливаться заряды, приносимые током. В этих условиях ток переносится в основном ионами за счет упомянутого ранее "поляризационного” дрейфа со скоростью V = cE/BuBi, направленной не к вершине конуса, а перпендикулярно его поверхности. В таком "плазменном конденсаторе” возникает кратковременный импульс электрического поля, в котором электроны приобретают энергию порядка 200- 300 кэВ, а малая часть ионов ускоряется до "сверхвысоких” энергий, например е( - 1,82 МэВ в ряде опытов. Однако (если опыты производятся на дейтерии) основная часть дейтронов периферийной плазмы, не вовлеченной в основной пинч, приобретает энергии порядка 50-100 кэВ и описывается функцией распределения dN/db = JV0 е"1 exp (- /е /€q). Затем они влетают в "мишень” - остаточный центральный пинч, где тормозятся в основном на электронах, и попутно рождают нейтроны в примерном количестве

N = 2.l(P45"'exp(-3,33/V7),

где I - ток, МА. Эта формула не содержит плотность ни "периферийной, ни "мишенной” плазмы и хорошо подтверждается на опытах. Резкое убывание тока 1Х в основном пинче сопровождается нарастанием тока /2 на периферии перетяжки, так что полный юк меняется в этом ускорительном процессе незначительно, по- скольку поддерживается за счет внешней индуктивности цепи. I ели внутри пинча предварительно создать продольное магнитное

поле Ду, то оно своим давлением будет препятствовать развитию перетяжек, однако нейтроны при этом не появляются, поскольку электроны, двигаясь по винтовым силовым линиям, легко компенсируют возникающие электрические поля. Если разряд производится в парах металла с большим зарядом ядра Z, то развитие перетяжки облегчается за счет уноса энергии тормозным излучением электронов на ионах и вершина конуса перетяжки может достигать весьма малых размеров порядка 10—50 мкм. Такие образования принято называть плазменными точками, и они являются источниками интенсивного рентгеновского излучения. Излучение нейтронов, а также высокоэнергетическое рентгеновское излучение при разрядах в дейтерии было впервые обнаружено в 1952 г. Л.А. Арцимовичем, М.А. Леонтовичем и их сотрудниками.

Кинетическое описание плазмы. Наиболее детальным методом описания плазмы является кинетический, основанный на использовании функции распределения частиц по координатам и импульсам /(1, г, р). Импульс частицы р равен mv. В состоянии термодинамического равновесия эта функция имеет вид универсального распределения Максвелла, а в общем случае ее находят из кинетического уравнения Больцмана

а/а/э/

+ v+ F=С(/). didrdp

Здесь F = еЕ + (e/c)[vB] - внешняя сила, действующая на заряженную частицу плазмы, а член С (f) учитывает взаимные столкновения частиц. При рассмотрении быстрых движений плазмы столкновениями часто можно пренебречь, полагая С(/) = 0. Тогда кинетическое уравнение называется бесстолкновительным уравнением Власова с самосогласованными полями Е и В (они определяются движением заряженных частиц). Если плазма полностью ионизована, т.е. в ней присутствуют только заряженные частицы, то их столкновения, ввиду преобладающей роли далеких пролетов, эквивалентны процессу диффузии в пространстве импульсов (скоростей). Выражение С(/) для такой плазмы было получено Л.Д. Ландау и может быть записано в виде

СЦ)-?^/-/^),

Л

где V = д/др - градиент в импульсном пространстве; D - тензорный коэффициент диффузии в этом же пространстве, a F^ - сила взаимного (так называемого динамического") трения частиц. При расчетах

плазменных потерь в токамаке членом с F^ можно пренебречь, а в тензоре D учитывать лишь компоненты, описывающие диффузию только по направлениям скорости.

Кинетическое описание позволяет рассчитать так называемые коэффициенты переноса - электропроводность, вязкость, теплопроводность и диффузию, которые необходимо учитывать в уравнениях МГД в условиях, когда столкновения играют существенную роль. Электропроводность плазмы примерно равна о = Tej ne2/me, а другие коэффициенты - температуропроводности х> кинематической вязкости v и диффузии D - можно оценить по единой формуле

X~v~D«/2/t,

если в плазме нет магнитного поля. Если же оно присутствует и достаточно велико, так что выполнено условие wB » 1 (такая плазма называется замагниченнои), то длину свободного пробега в предыдущей формуле следует заменить на ларморовский радиус либо электронов, либо ионов в зависимости от того, какие частицы участвуют в рассматриваемом процессе. В термоядерных установках определяющую роль играет группа так называемых запертых частиц, имеющих малую продольную скорость и захватываемых неоднородностями магнитного поля. Например, в токамаке такие частицы, как указывалось выше, описывают ’’банановые” траектории и для них коэффициент диффузии определяется не лармороским радиусом, а поперечным размером ’’банана”. Кроме того, следует учитывать, что столкновения переводят частицы из состояния запертых в состояние пролетных и наоборот, и этот процесс определяет эффективное значение времени т3ф в коэффициенте диффузии. Такая теория потерь плазмы, учитывающая геометрию магнитного поля, получила название неоклассики, и она хорошо описывает потери ионов. Во многих случаях, однако, в плазме могут рождаться мелкие вихри и возбуждаться интенсивные колебания. Тогда реальные процессы переноса определяются не столкновениями, а уровнем этих колебаний, как это имеет место в токамаке для электронов. Такие потери называют аномальными.

Линейные волны. Волны в плазме отличают их объемный характер и разнообразие свойств. С помощью разложения в ряд Фурье любое малое возмущение в плазме можно представить как набор волн простейшего синусоидального вида. Каждая такая монохрома- гическая волна характеризуется определенной частотой и, длиной волны X и фазовой скоростью распространения v$M. Кроме того, волны могут различаться поляризацией, т.е. направлением вектора

электрического поля в волне. Если это поле направлено вдоль скорости распространения, волна называется продольной, а если поперек - поперечной. В плазме без магнитного поля возможны волны трех типов: продольные ленгмюровские с частотой ы0, продольные звуковые (точнее, ионно-звуковые) волны со скоростью c» = 4Tjmx и поперечные электромагнитные (световые или радиоволны) с частотой о = где к = 2л/Х.

Поперечные волны могут обладать двумя поляризациями и могут распространяться в плазме без магнитного поля, только если их частота превышает плазменную частоту ы0. В противоположном же случае показатель преломления плазмы становится мнимым и поперечные волны не могут распространяться внутри плазмы, а отражаются ее поверхностью подобно тому, как лучи света отражаются зеркалом. Именно поэтому радиоволны с X % 20 м отражаются ионосферой, что обеспечивает возможность дальней радиосвязи на Земле.

Однако при наличии магнитного поля поперечные волны, резонируя с ионами и электронами на их циклотронных частотах, могут распространяться внутри плазмы и при ы < ы0. Это означает появление еще двух типов волн в плазме, называемых алъфвенов- скими и быстрыми магнитозвуковыми.

Альфвеновская волна представляет собой поперечное возмущение, распространяющееся вдоль магнитного поля со скоростью

сд = В/ ТАп^ш/

(т,- - масса иона). Ее природа обусловлена вмороженностью и упругостью силовых линий, которые, стремясь сократить свою длину и будучи "нагружены” частицами плазмы, в частности массивными ионами, колеблются подобно натянутым струнам.

Быстрая магнитозвуковая волна в области малых частот по существу лишь поляризацией отличается от альфвеновской (их скорости близки и определяются магнитным полем и инерцией тяжелых ионов). Ее фазовая скорость равна v+ = — (|сл + с^] + +1сл-Ч»1)-

В области же больших частот, где ионы можно считать неподвижными, она определяется инерцией электронов и имеет специфическую винтовую поляризацию. Поэтому здесь ее называют гелико-! новой ветвью колебаний или ветвью вистлеров, т.е. свистов, по- скольку в магнитосферной плазме она проявляется в виде характерных свистов при радиосвязи ("свистящие атмосферики”). Кроме;

того, в плазме может распространяться медленная магнитозвуковая волна, которая представляет собой обычную звуковую волну с характеристиками, несколько измененными магнитным полем.

Ее скорость равна у. =-у (|сЛ + <^1-1^ - c^j).

Таким образом, при наличии магнитного поля в однородной плазме возможны волны шести типов: три высокочастотные и три низкочастотные (рис. 8).

Зависимость квадрата показателя преломления N = kc/и от частоты для этих шести волн схематически изображена на рис. 8.

Если температура или плотность, плазмы в магнитном поле

неоднородна, то возникают еще так называемые дрейфовые волны со скоростью v = vTpBx, где и = Vin (пТ).

В неравновесной плазме при определенных условиях возможна раскачка неустойчивостей, т.е. нарастание каких-либо из перечисленных типов волн до некоторого уровня насыщения. Возможны и более сложные случаи индуцированного возбуждения волн одного типа за счет энергии волн другого типа. При больших амплитудах возможны бесстолкновительные ударные волны (возбуждаемые, например, на границе магнитосферы набегающим на Землю солнечным ветром), уединенные волны (солитоны), а также ряд других нелинейных волн и, наконец, сильно развитая турбулентность движения плазмы.

Электрическое поле Е возбуждает в плазме "индуцированный” ток Ьшд = ° • Е. Это соотношение называют обобщенным законом Ома, а тензор о - тензором электропроводности. Наиболее удобной характеристикой электродинамических свойств плазмы является тензор диэлектрической проницаемости е = 1 + 14лы-1о. В част

ности, все перечисленные ранее типы волн в плазме определяются из детерминанта |е + NN - 1N3] = 0, позволяющего найти закон дисперсии ы = ы (к), т.е. зависимость частоты от волнового вектора для какой-либо определенной волны. В плазме без магнитного поля тензор е фактически содержит

лишь две независимые величины ед и е±. В магнитном поле необходимо рас- сматрйвать все компоненты еау, наиболее точно определяемые путем решения указанного выше кинетического уравнения.

Рис. 8. Шесть типов волн в плазме при наличии магнитного поля

Классификация взаимодействий. При высоких температурах и низкой плотности плазмы можно пренебречь столкновениями частиц с частицами. Однако в случае, когда в плазме возбуждены волны какого-либо типа, необходимо учитывать ’’столкновения” частиц с волнами. При не слишком болььших амплитудах колебаний в плазме подобные столкновения, как и при далеких пролетах, сопровождаются малыми изменениями импульса частиц и член С(/) сохраняет свой диффузионный вид с тем отличием, что коэффициент D определяется интенсивностью волн. Важнейшим результатом кинетического описания плазмы является учет взаимодействия волны с группой так называемых резонансных частиц, скорости которых совпадают со скоростью распространения волны. Именно эти частицы могут наиболее эффективно обмениваться с волной энергией и импульсом. В 1946 г. Л.Д. Ландау предсказал возможность основанного на таком обмене бесстолкновительного затухания ленгмюровских волн, впоследствии обнаруженного в опытах с плазмой. Если направить в плазму дополнительный пучок частиц, то подобный обмен может приводить не в затуханию, а к усилению волн. Это явление аналогично излучению Черенкова-Вавилова.

По аналогии с квантовой электродинамикой различные типы взаимодействий в плазме удобно изображать диаграммами Фейнмана, на которых сплошная ломаная линия означает частицу, а волнистая линия изображает волну какого-либо типа. По числу ’’узлов” различают процессы первого порядка, второго, третьего и т.д., условно изображенные на рис. 9.

Две диаграммы первого порядка изображают процесс излучения или поглощения волны частицей, и их учет приводит к так называемой квазилинейной системе уравнений вида

N = 2у^ /= V • (D • V/); D = j kkNwdk,

Рис. 9. Диаграммы взаимодействий I — IV порядков в плазме

где N - число квантов, пропорциональное интенсивности волны; w - вероятность спонтанного излучения кванта.

Эти уравнения описывают так называемый турбулентный нагрев плазмы волнами, в частности, предполагается, что они могут описывать процесс ускорения частиц, входящих в состав космических лучей.

Среди диаграмм второго порядка верхняя изображает кулоновское столкновение двух частиц, упомянутое ранее, а нижняя диаграмма указывает, что частица вначале поглощает один квант (или взаимодействует с полем), а затем испускает другой квант- волну. Эта диаграмма условно изображает сразу четыре важных процесса: либо рассеяние лазерного луча в плазме (метод диагностики), либо тормозное излучение электронов при их рассеянии на кулоновских полях ионов, либо поглощенйе циклотронной волны частицей в магнитном поле (циклотронный нагрев плазмы), либо, наконец, циклотронное излучение частиц, закручиваемых магнитным полем. Среди возможных диаграмм третьего порядка наиболее важной оказывается диаграмма, описывающая так называемые распадные процессы - распад волны на две другие волны, или, наоборот, слияние двух волн в одну. Например, в короне Солнца две продольные ленгмюровские волны с частотами ы0 могут объединиться в одну поперечную радиоволну с удвоенной частотой, и эта волна теперь уже способна выйти из плазменной атмосферы Солнца и достигнуть Земли, что и наблюдается. В таких распадных процессах должны соблюдаться законы сохранения

Йы1 = tua2 + Йы3; hkj = Ъка + 1<к3

энергии и импульса квантов (здесь А можно сократить). Если эти законы сохранения не выполняются, как это имеет место, например, для волн на воде, то трехволновые распадные процессы оказываются запрещенными. Тогда на первый план выступают четырехволновые процессы, изображаемые диаграммой четвертого порядка в таблице выше. Например, для волн на воде четырехволновые процессы приводят к зависимости частоты волны от амплитуды а по формуле Стокса ы2 = kg(l + к2 а2). Аналогичные нелинейные процессы возможны и в плазме. Примерами могут служить самофокусировка света и так7 называемая модуляционная неустойчивость ленгмюровских волн, при которой частота также зависит от амплитуды.

Нелинейные волны. В линейном приближении амплитуды всех волн формально считаются бесконечно малыми, их взаимодействие не учитывается и имеет место простой принцип суперпозиции

решений. Однако любая реальная волна имеет конечную амплитуду и картина, даваемая линейной теорией, может не соответствовать действительности. Чтобы учесть взаимодействие волн, необходимо рассматривать нелинейные уравнения, которые в сложных случаях можно решить лишь численными методами. Часто, однако, путем ряда упрощений (главным из которых является рассмотрение волны, бегущей лишь в одном направлении) нелинейные уравнения в плазме удается свести к некоторым хорошо изученным ’’каноническим” нелинейным уравнениям, допускающим полную интегрируемость при любых начальных условиях. Например, различные волны со слабой дисперсией хорошо описываются известным уравнением Кортевега и де Фриза (КдФ) vt' + w, + av^ = 0, частным решением которого является ’’солитон” v = v0ch-2 [(х - ct)/L]. Другой задачей, допускающей решение, может служить задача об эволюции узкого пакета волн какого-либо типа в случае, когда их частота зависит от амплитуды. Например, частота ленгмюровской волны с учетом дисперсии и нелинейной зависимости от амплитуды опре- ; деляется формулой ы = ы0 (1 + к?!? - $Е3), где s = 1/32лр0 и эта ! формула эквивалентна нелинейному уравнению Шредингера (НУШ)

i(o7£t-E + D3E^ + sE|£|3 = O,

допускающему полное решение (В.Е. Захаров и А.Б. Шабат). На- 1 конец, отметим, что в приближении длинных волн многие неустой- | чивости в плазме описываются нелинейными уравнениями вида I

Рэф = Рэф dlv v; v = с2 mVp^ ,I

также допускающими аналитическое решение. Эти уравнения отли- ; чаются от уравнений движения идеального газа лишь знаком в правой части, и поэтому их называют ’’квазигазовыми” или ’’квази- чаплыгинскими” (С. А. Чаплыгин в 1968 г. впервые рассмотрел случай с m = -1/2). Параметр т, как правило, оказывается либо целым, либо полуцелым, а роль ’’эффективной плотности” рЭф в / разных случаях могут играть разные величины. Эти уравнения описывают нелинейные перетяжки на плазменном пинче (т = -1). ) При т = -1/2 они описывают апериодическую параметрическую - неустойчивость плазмы во внешнем колеблющемся поле, бунема- ' новскую неустойчивость плазмы при ’’сверхтепловом” потоке электронов, а также разрывную тиринг-неустойчивость так называемого нейтрального токового слоя, разбивающегося на отдельные пинчи вследствие специфического механизма перезамыкания магнитных силовых линий, что наблюдается в токамаках, в хвосте 20$

магнитосферы Земли, а также в плазменной атмосфере Солнца при вспышках протуберанцев. При m = 1 указанные уравнения описывают различного рода модуляционные неустойчивости в плазме - коллапс ленгмюровских волн, самофокусировку луча света, разбиение электронного пучка в плазме на сгустки, слои и нити. Те же уравнения описывают возмущения солитонов многих типов - Корте- вега - де Фриза, Кадомцева-Петвиашвили, нелинейного уравнения Шредингера, а также кноидальных волн. Например, возмущения солитонов КдФ в приближении длинных волн ведут себя подобно идеальному одноатомному газу. Решения ’’квазичаплыгинских” уравнений в многомерном случае могут быть автомодельного типа v ~ r/t, а в одномерном нестационарном или в двумерном стационарном случае могут быть получены путем преобразования годографа, позволяющего свести исходные нелинейные уравнения к двум линейным уравнениям для обратных функций и, более того, к простому уравнению Лапласа Дф (г, ф, z) = 0 в воображаемом трехмерном пространстве, что по аналогии с электростатикой показывает возможность их полной интегрируемости при любых начальных условиях.

Методы нагрева. Термоядерная реакция дейтерия с тритием d + t -* 4Не + п + 17,6 МэВ эффективно протекает при температурах порядка (1-2) .10® К и выполнении так называемого критерия Лоусона пт > 1014, где т - время жизни плазмы. Для достижения столь высоких температур используются следующие методы нагрева: джоулевым теплом, адиабатическим сжатием, инжекцией высокоэнергетических частиц, путем поглощения различных волн - электронных и ионных циклотронных, альфвеновских и нижнегибридных, облучением лазерными лучами и пучками релятивистских электронов. После ’’зажигания” образующиеся при реакции энергетичные а-частицы - ядра гелия, задерживаемые магнитным полем, должны обеспечить ’’самонагрев” плазмы и последующее самоподдержание реакции. Коэффициенты поглощения и трансформации различных волн в плазме, определяющие эффективность нагрева, находят из мнимых (антиэрмитовых) компонент тензора диэлектрической проницаемости е. Ее действительные компоненты позволяют рассчитать траектории лучей в плазме. При малой длине волны поглощение происходит обычно на некоторой поверхности/ где выполнены условия резонанса. При нагреве инжекцией энергия отдельных быстрых частиц, пронизывающих плазму, уменьшается по формуле ё= —е/т вследствие столкновений и излучения ими волн. При интенсивных потоках частиц возможно

образование ударных волн, также нагревающих плазму, например, при набегании плазменного солнечного ветра на магнитосферу Земли. При лазерном облучении мишени важную роль играет явление абляции - быстрого испарения поверхностного слоя с последующим эффектом отдачи, приводящим к сжатию центральной части "таблетки” термоядерного топлива, что должно облегчить выполнение критерия Лоусона.

Изучение плазмы. Спектр излучения низкотемпературной (например, газоразрядной) плазмы состоит из отдельных спектральных линий. В газосветных трубках, применяемых, в частности, для целей рекламы и освещения (лампы "дневного света”), наряду с ионизацией происходит и обратный процесс - рекомбинация ионов и электронов, дающая так называемое рекомбинационное излучение со спектром в виде широких полос.

Для высокотемпературной плазмы со значительной степенью ионизации характерно тормозное излучение с непрерывным рентгеновским спектром, возникающее при столкновениях электронов с ионами.

Удельную мощность излучения, Вт/см3, указанных трех типов можно записать в виде w = Anenzg (Г), где А = 0,5.1О~30, а множитель g (7) равен

f^ = 1.25Z3 при Г < Г(П = (^/ 16)а;

gpeK - ZS/200 7^ при Т(1) < Т < Г(2);

Srop = ^^ при T>TX2) = (Z/6)= соответственно для линейчатого, рекомбинационного и тормозного излучений. Здесь Z - заряд ионов, а nz - их плотность.

В магнитном поле ларморовское вращение электронов плазмы приводит к появлению так называемого магнитотормозного излучения на гармониках циклотронной частоты, существенного при больших (релятивистских) энергиях электронов. Это излучение называют также циклотронным, и в термоядерных условиях можно считать, что один электрон излучает мощность I = кТ/у, где время; излучения, с, равно т = 250 В-2, В в кГс. Все электроны сгустка излучали бы мощность W = NekT/x, однако значительная ее часть поглощается внутри самой плазмы в отличие от высокочастотного тормозного излучения, свободно выходящего наружу. Как показывают численные расчеты, из плазменного шнура радиуса о наружу выходит лишь небольшая доля К суммарной циклотронной мощности, приблизительно равная К = 60t>/t/p, где t = kT/mc2, р =; 225

= aG)^/cG)Be - безразмерные параметры. Номер максимальной циклотронной гармоники, излучаемой с поверхности плазмы, можно оценить по формуле jVMn„t = 7 Угр1 /6.

Важную роль в космической плазме играет вынужденное излучение типа обратного эффекта Комптона. Им, а также магнитотормозным механизмом обусловлено излучение некоторых космических туманностей, например Крабовидной.

Корпускулярным излучением плазмы называются быстрые частицы, вылетающие из неравновесной плазмы в результате развития различных типов неустойчивостей. В первую очередь в плазме раскачиваются какие-либо характерные колебания, энергия которых затем передается небольшой группе резонансных частиц. По-видимому, этим механизмом объясняется ускорение низкоэнергетических космических частиц в атмосфере Солнца и в туманностях, образующихся при вспышках сверхновых звезд типа пульсара в Крабовидной туманности.

Диагностика плазмы. Помещая в плазму электрический зонд (маленький электрод) и регистрируя зависимость тока от подаваемого напряжения, можно определить температуру и плотность плазмы. С помощью миниатюрной индукционной катушки - магнитного зонда - можно измерять изменение магнитного поля во времени. Эти способы связаны, однако, с активным вмешательством в плазму и могут внести нежелательные загрязнения. К более чистым методам относится просвечивание плазмы пучками нейтральных частиц и пучками радиоволн. Лазерное просвечивание плазмы в различных вариантах, в том числе с использованием голографии, является наиболее тонким и к тому же локальным методом лабораторной диагностики плазмы.

Часто исползуют также пассивные методы диагностики - наблюдение спектра излучения плазмы (единственный метод в астрономии), вывод быстрых нейтральных атомов, образовавшихся в результате перезарядки ионов в плазме, измерение уровня радио- шумов. Плотную плазму излучают с помощью сверхскоростной киносъемки (несколько миллионов кадров в секунду) и оптической развертки. В исследованиях по УТС регистрируется также рентгеновский спектр тормозного излучения и нейтронное излучение дейтериевой плазмы.

Применение плазмы. Высокотемпературная плазма (Г ~ 10е К) из дейтерия и трития - основной объект исследований по УТС.

Низкотемпературная плазма (Т ~ 10э К) находит применение в газоразрядных источниках света и в газовых лазерах, в термо-

Рис. 10. Схема МГД-генератора, преобразующего кинетическую энергию движущейся плазмы в электрическую энергию: R— внешняя цепь, по которой протекает ток I

В1

электронных преобразователях тепловой энергии в электрическую и в магнитогидродинамических генераторах (МГД-генераторах), где струя плазмы тормозится в канале с поперечным магнитным полем В, что приводит к появлению между верхним и нижним электродами (рис. 10) электрического поля напряженностью Е порядка Bv/c (v - скорость потока плазмы); напряжение с электродов подается во внешнюю цепь.

Если "обратить” МГД-генератор, пропуская через плазму в магнитном поле ток от внешнего источника, образуется плазменный двигатель, весьма перспективный для длительных космических полетов.

Плазмотроны, создающие струи плотной низкотемпературной плазмы, широко применяются в различных областях техники. В частности, с их помощью режут и сваривают металлы, наносят покрытия. В плазмохимии низкотемпературную плазму используют для получения некоторых химических соединений, например галогенидов инертных газов, которые не удается получить другим путем. Кроме того, высокие температуры плазмы приводят к вы- ; сокой скорости протекания химических реакций - как прямых i реакций синтеза, так и обратных реакций разложения. Если произ- j водить синтез ”на пролете” плазменной струи, расширяя и тем ; самым быстро охлаждая ее на следующем участке (такая операция называется "закалкой”), то можно затруднить обратные реакции разложения и существенно повысить выход требуемого продукта. ,

Глава 1

ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ И ПРОБЛЕМА УДЕРЖАНИЯ ПЛАЗМЫ

Для эффективного протекания термоядерной реакции, заключающейся в слиянии легких ядер (водорода, дейтерия, трития), при котором выделяется значительная энергия, например:

d + d-He3 + n + 3,2M3B;

d + t- Не4 + n + 17,6 МэВ;

d + He3 - Не4 + р + 18,3 МэВ,

необходимы плотности порядка 1015 част./см3 и температуры порядка 10е К. Такие высокие температуры можно надеяться получить лишь в том случае, если плазма не будет соприкасаться со стенками сосуда. Единственным ’’теплоизоляционным материалом”, пригодным для этой цели, может служить магнитное поле.

Идея магнитной изоляции плазмы была высказана в 1950 г. советскими учеными академиками И.Е. Таммом и А.Д. Сахаровым. Так как плазма состоит из заряженных частиц - электронов и ионов, на которые помимо магнитного поля может действовать также и электрическое (гравитационное поле обычно можно не учитывать), то центральным вопросом теории плазмы является, очевидно, вопрос о поведении плазмы в электромагнитном поле. При этом существуют два подхода к этому вопросу. При первом, который можно назвать ’’микроскопическим”, плазма рассматривается как совокупность отдельных частиц; при втором - ’’макроскопическом” - как сплошная среда, характеризующаяся определенными свойствами: температурой, плотностью, электропроводностью ит.д.

В настоящей главе мы рассмотрим первый подход, т.е. исследуем поведение одйой заряженной частицы в магнитном и электрическом полях, которые будем считать заданными. При этом мы ограничимся лишь случаем нерелятивистских скоростей.

§ 1. Простейшие случаи движения

Движение заряженной частицы в электромагнитном поле описывается уравнением

mv = e ^Е + — [тВ]^.(1.1)

Рассмотрим некоторые простейшие случаи.

Пусть Е = О, В = const. В этом случае, как известно, уравнение (1.1) описывает движение частицы по винтовой линии (рис. И), которое складывается из равномерного вращения по кругу с ларморовским радиусом р = vJuB и угловой частотой Q = -ь>5, где

ыв-еВ/тс,(1.2)

и из равномерного перемещения вдоль поля с постоянной скоростью vw. Вращение Q направлено против поля В, если частица положительная (е > 0, т.е. ион), и по полю, если она отрицательная (е < О, т.е. электрон) (см. рис. 11). Поскольку круговое движение заряда эквивалентно круговому току, то в обоих случаях внешнее магнитное поле внутри ларморовского кружка будет уменьшаться, что приводит к диамагнетизму плазмы.

Если В = const и Е = const * 0, то, представив скорость в виде суммы продольной и поперечной составляющих (т = Тц + т±), из уравнения (1.1) получим

. / 1\

mvH = eEH; mv± = e Е± +— [^В] .(1.3)

\ с /

е<0е<0е>ое>оВВВ этом случае частица вращается по ларморовскому кружку, который с равномерным ускорением движется вдоль электрического

е<0

е<0

е>о

е>о

В

В

Рис. 11. Траектории частиц в магнитном ’ поле

Рис. 12. Движение частиц при наличии по- лейВиЕ

поля и одновременно дрейфует поперек магнитного (рис. 12). Скорость этого дрейфа можно найти, усредняя по времени второе уравнение (1.3). Так как (^^ “ °’ получаем

Ет+Н^ф®!”0*

откуда

[ЕВ]

(т1)ср = с~^--

(1.4)(1.4)Следует отметить, что движение частицы будет иметь характер дрейфа лишь при условии Е^ < В. В противном случае, т.е. при Е^ > В, (vx)cp будет превышать скорость света, что невозможно.

(1.4)

(1.4)

Обозначая скорости дрейфа и продольного движения большими буквами У± и У,, можно записать уравнения движения частицы в виде

(1.5)(1.5)mV8=FH;Vi—^[Ft],

(1.5)

(1.5)

где F = еЕ, а т = в|в - единичный вектор, направленный вдоль магнитного поля.

Уравнения (1.5) можно использовать и в том случае, если сила, действующая на частицу, обусловлена не электрическим полем, а, например, силой тяжести: F =mg. Ниже мы увидим, что и в самом общем случае движение частицы может быть представлено в виде уравнений (1.5).

В полях более сложной структуры уравнения движения можно точно решить лишь в некоторых случаях. Обычно это удается сделать, если поле В обладает какой-либо симметрией.

В качестве примера рассмотрим движение космической частицы (нерелятивистской) в магнитном поле Земли; его с хорошей точностью можно рассматривать как поле магнитного диполя ц (рис. 13). которое описывается векторным потенциалом А:

Рис. 13. Поле магнитного диполя

где А = [grl/r3. В этом случае Е = 0 и уравнение движения (1.1) может быть получено из лагранжиана

mv2еmецг, „

L + — (тА) = — (r2+r2<p2+z2) +—г<р (1.6)

2с2с(r’+z2)3'2

(здесь удобно использовать цилиндрическую систему координат г, <$,z\ Так как этот лагранжиан не зависит от времени, то имеет место закон сохранения энергии:

Э£mv3 m

е - £ gtL == — (г2 + г2 ф2 + Z2)- const.(1.7)

‘ dq,22

Кроме того, поле обладает аксиальной симметрией и лагранжиан не зависит от координаты Ф, следствием чего будет закон сохранения момента количества движения

(1.8)(1.8)Э£ , ец г2

(1.8)

(1.8)

М mr2 Ф + const.

Эфс (r’ + z2)3'2

Если в формуле (1.7) выразить скорости через обобщенные импульсы рг = тг, Мир2 = mz, то мы получим гамильтониан

Н (р, д) = К (pr, pz) + U (г, z),(1.9)

ецг2М-c^ + z2)3'2ецг2М-c^ + z2)3'2где

ецг2

М-

c^ + z2)3'2

ецг2

М-

c^ + z2)3'2

Pr+Pz . .1

к (Pr. pz); и (r«z)=т~т

2m2mr3

Поскольку М сохраняется, то его можно рассматривать как параметр. Уравнения Гамильтона (р = -dH/dg) можно при этом записать в следующем виде:

ээ

mr = Fr =U (z, г) и mz = Fz U (г, z).(1.10)

dr8z

Эти уравнения описывают движение в плоскости тх под действием потенциальной силы F = -VU(r, z), и значит U(r, z) в (1.9) играет роль потенциальной энергии, а К(рг, р?) - кинетической. Область, доступная для движения частицы, характеризуется неравенством К = е - U (г, z) > 0, а ее граница описывается уравнением U (г, z) * = е = const, которое можно привести к виду

1 мтч г1 мтч гецгc^ + z3)3'3ецгc^ + z3)3'3= ±1,= ±1,(1.11)(1.11)

1 мтч г

1 мтч г

ецгc^ + z3)3'3

ецгc^ + z3)3'3

= ±1,

= ±1,

(1.11)

(1.11)

где v = ^Itlm = const.

Приняв за единицу длины расстояние R = Veyjmcv и введя безразмерные переменные р = r/R и £ = x/R, можно записать уравнение (1.11) в форме

(1.12)(1.12)у Р = +1, Р (Р’ + 52)Э'а

(1.12)

(1.12)

где у = М /, откуда найдем

V ецтт

(1.13)

Кривые, соответствующие этой зависимости при разных значениях параметра у, приведены на рис. 14, где заштрихованы области, недоступные для движения частицы.

Рис. 14. Области, доступные для движения частицы в поле точечного магнитного диполяРис. 14. Области, доступные для движения частицы в поле точечного магнитного диполя

Рис. 14. Области, доступные для движения частицы в поле точечного магнитного диполя

Рис. 14. Области, доступные для движения частицы в поле точечного магнитного диполя

Эти области образуют как бы ’’язык” и ’’губы”. При у < 2 ”рот” открыт и частицы могут из бесконечности подходить к земле вблизи полюсов. При критическом значении укр = 3 ’’губы” смыкаются, отделяя внутреннюю область от внешнего пространства перегородкой. При у > 2 эта перегородка становится весьма значительной; частицы с такими параметрами у не могут подойти из бесконечности к Земле, а частицы, захваченные во внутренней области, оказываются как бы запертыми в магнитной ловушке.

Эта картина может качественно объяснить существование радиационных поясов вокруг Земли. По имеющимся в настоящее время экспериментальным данным внешний радиационный пояс образуется частицами, которые, прилетая к Земле от Солнца, скачком изменяют свой момент количества движения М (т.е. у) и переходят на запертые орбиты. Причиной такого внезапного изменения интеграла движения у, по-видимому, являются быстрые нарушения симметрии магнитного поля Земли, обусловленные магнитными бурями, которые, конечно, в наших рассуждениях не учитывались.

В заключение рассмотрим движение частицы в поле прямого ■ прогода с током I, магнитное поле которого, как известно, равно В = Вф = 2//сг.

Для простоты предположим, что в момент времени 1 = 0 частица

(0) находилась на расстоянии г0 от оси и имела лишь скорость vz = = v0, направленную вдоль оси таким образом, что уф (0) = 0 и vr (0) = = 0. Частица при этом будет двигаться в плоскости rz, и ее траектория изображена на рис. 15.

Кривизна траектории на участках, близких к оси, где поле сильнее, будет выше, чем на участках, удаленных от оси, и частица будет испытывать так называемый тороидальный дрейф вдоль оси, обусловленный неоднородностью поля.

Определим скорость этого дрейфа. Интегрируя z-ю проекцию

уравнения движения

е2d т

mz =—| vB|z =г сс2 г

находим 2е/г

z = v0 +In —.(1.14)

me2r0

Рис. 15. Дрейф частицы в неоднородном магнитном поле тока I

Из закона сохранения энергии можно при этом получить, что г3 + i2 = v^, откуда имеем

(1.15)(1.15)

(1.15)

(1.15)

Радиус будет, очевидно, меняться в пределах от rMlv, = г0 до гмин, определяемого условием dr/dt • 0, откуда найдем гцин = г0е-2^, где £ = mc3v0/2e/.

Участок траектории, изображенной на рис. 15 сплошной линией, частица пройдет за время, равное половине периода

ТИ гмин

гмакс

Используя равенство (1.15), этот интеграл можно привести к виду гоехр(-2£)

лл•2-1/2

л

л

1 — 11 + — In — | dr ■

=—бе-6 [e^dv-n —Je~£Z0(U(1.17)

vo J%

о

где Io (6) - нулевая функция Бесселя от мнимого аргумента

п

М£) = —[eEco,vdy=JJi£)-l+ —£3+ —+ _(1Л8)

л J464

О

За время Т/2 частица сместится вдоль оси на длину ^2 гмин

ьГГdz dr )

— = \dz = I .(i.i9)

JJdtdr/dt

° гмакс

Используя уравнения (1.14) и (1.15), этот интеграл можно представить в виде

(1.20)(1.20)= r0|e [ е^^^Ф» лг0^е ^/i(£).

(1.20)

(1.20)

Скорость дрейфа

У™ =— = v0= V0” т 10(УУ™ =— = v0= V0” т 10(У563216563216(1.21)(1.21)

У™ =— = v0= V0

” т 10(У

У™ =— = v0= V0

” т 10(У

563

216

563

216

(1.21)

(1.21)

6 сту’/21 vjУ % у _ — -..... . ж —”2 eB(r0) r0 uBRKp 26 сту’/21 vjУ % у _ — -..... . ж —”2 eB(r0) r0 uBRKp 2Рис.Рис.16. Пример16. Примердрейфовогодрейфового

6 сту’/21 vj

У % у _ — -..... . ж —

”2 eB(r0) r0 uBRKp 2

6 сту’/21 vj

У % у _ — -..... . ж —

”2 eB(r0) r0 uBRKp 2

Рис.

Рис.

16. Пример

16. Пример

дрейфового

дрейфового

и не зависит от г0. График функции Vroh0 = /(6) = Л U)//o (О изображен на рис. 16 сплошной линией. Безразмерный параметр & имеет ' простой физический смысл. Его можно записать так:

у^жС.

г0го

где иЯ = eB^^lmc - циклотронная частота, определенная по полю в точке г0. Таким образом, £ равно отношению ларморовского радиуса к расстоянию до оси. Если магнитное поле достаточно ве- лико, то параметр & можно считать малым (6 * 1) и ограничиться j в формуле (1.21) первым членом разложения по £:

(1.23) ■

Такое ограничение называется "дрейфовым приближением” (см. , рис. 6) и для произвольных полей j будет рассмотрено нами в следу- ; ющем параграфе.

В разобранном случае относительная погрешность, возникающая при использовании дрейфового приближения

(1.24)(1.24)Ч-^точ У,«)1 „

(1.24)

(1.24)

1* — £2, ^точУх «)8

что составляет, например, 12% при £ = 1 и 0,1 % при £ * 1/10.

Задача. Определить минимальную энергию, при которой протон, движущийся от Солнца к Земле в плоскости земного экватора, сможет достичь поверхности Земли.

Дрейфовое приближение

Рассмотрим теперь поведение частицы в электромагнитном ноле произвольной геометрии. Если магнитное поле достаточно велико, то период обращения по ларморовскому кружку Тларм = 2л/ыв будет мал по сравнению с характерным временем изменения полей („„„„, а ларморовский радиус рларм = xJuB мал по сравнению с длиной Ln„„„, на которой существенно изменяются поля:

^ларм ^ ^поля> Рларм ^ ^поля-(2.1)

В этих условиях частила будет совершать быстрые ларморовские колебания около среднего положения, которое, очевидно, совпадает с центром ларморовского кружка.

Движение этого центра будет иметь характер медленного плавного дрейфа, и именно оно представляет наибольший интерес, гак как если в какой-либо момент времени известно положение центра R, то про частицу достаточно сказать, что она находится где-то на орбите ларморовского кружка с центром в точке R, а где именно, т.е. какова ее фаза, не существенно, так как эта фаза все равно быстро меняется (от 0 до 2л за период rropM).

Для определения движения центра ларморовского кружка воспользуемся уравнением движения частицы

mv = eE(r, f) + —[vB(r, 0L(2.2)

с)

и котором полагаем

(2.3)(2.3)r = R + p и v = V + v.

(2.3)

(2.3)

Здесь R и V = R - положение и скорость ведущего центра, а р и v = р описывают ларморовские колебания (рис. 17). Поскольку

Рис. 17. Ларморовский кружок и орты магнитной силовой линии

ларморовский радиус по условию (2.1) считается малым, то в первом приближении можно положить:

E(r) = E(R + p)*E(R) + (pV)E(R);

B(r) = B(R + p)«B(R) + (pV)B(R).

р2//?2, что и определяет точностьр2//?2, что и определяет точность(2.4)

р2//?2, что и определяет точность

р2//?2, что и определяет точность

Здесь опущены члены порядка нашего рассмотрения [ср. оценку (1.23) точности формулы (1.22)];

Если для простоты обозначить E(R) = Е и В (R) = В, то уравнений (2.2) с учетом (2.3), (2.4) примет вид

m(V+v) = eE + e(pV)E + —[VBJ +

(2.5;(2.5;включающем^ по сравнениювключающем^ по сравнению(2.6;(2.6;С

(2.5;

(2.5;

включающем^ по сравнению

включающем^ по сравнению

(2.6;

(2.6;

+ — [vB] + — [V (р V) В] + — [v (pV) В], ссс

Усредним это уравнение по отрезку времени At, много ларморовских периодов, но все еще малому с временем tnoJW, характеризующим изменение полей:

Тиары ^ At <к tnwe

(2.7(2.7После усреднения в уравнении (2.5) выпадут члены, линейны< по быстрым ларморовским осцилляциям. Однако последний член квадратичный по осцилляциям, останется, и мы получим

(2.7

(2.7

mV = еЕ + — [VB] + — [v (р V) В], сс

Черта сверху означает усреднение по быстрым осцилляциям. Эй и есть уравнение, описывающее движение центра ларморовской кружка. 1

Рассмотрим теперь уравнение ларморовских колебаний, котора останется, если из (2.5) вычесть усредненное уравнение (2.7):

mN = е (рV) Е + — [vB] + — [V (pV) В] + — {[v (pV) В] - [7(pVjB]}. 5 ссс)

(2.1

В нулевом приближении здесь можно восбще опустить малые члены, содержащие (р V) Е и (р V) В, что дает

mv =— [vB] с

или

v = [VWB],(2.9)

где ид - еВ (R)/mc. Пренебрежение пространственными производными VB и VE (последнее в силу соотношения [VE] - — dB/д/ экви-

С

валентно пренебрежению дв/dt) означает, что в уравнении (2.9) поле В можно рассматривать как постоянную величину. Тогда, интегрируя выражение (2.9), находим

v, = const = 0; v1 = [p1Ub](2.10)

и далее

Р (0 - тр, + пр„ + ЬРь, где

Рв * 0; Рп = Р cos (-Од t + ф); Рь = Р sin (-Од t + ф)(2.11)

(Ф - начальная фаза). При этом мы ввели правую тройку единичных векторов т, п и Ь:

т = В(R)/|B (R)|; n = RKp (tV) T; b = [тп].(2.12)

Здесь RKp - радиус кривизны силовой линии, проходящей через центр ларморовского кружка; п - ее главная нормаль, а b - бинормаль.

Уравнения (2.11) описывают вращение частицы с частотой Q = = - од по ларморовскому кружку с радиусом р - ^Jub. Такое движение эквивалентно круговому току с силой / = е/Тларм - еыд/2П. Магнитный момент такого тока

1 ей вmv2.е.

ц=—IS =лр2 =—±. = —±—(2.13)

сс2л2ДД

и направлен против поля В (т.е. ц = - цт).

Из уравнения (2.8), взятого в первом приближений, можно получить закон сохранения магнитного момента ц, который хотя и не является точным интегралом уравнений движения, но может рас-

сматриваться как адиабатический инвариант, т.е. величина, ко- торая остается приближенно постоянной при медленном изменении внешних условий. Для этого умножим выражение (2.8) скалярно на v±. Тогда, учитывая, что vy = 0 и р( - 0, получаем

d mv?

v. mv=.——+ ev. (p.V)E-

■dt 2

-—v^ (P1V)B]- — v± [v± (P1V)B].(2.14)

cc

Усредняя это уравнение, найдем

—. 2!± . ev (р V) Е - — V [ч. (р, V ) В].(2.15)

dt 2 г -1- с

Слева черта отсутствует, так как v| изменяется медленно.

Представляем читателю в качестве упражнения доказать, исполь

зуя уравнения нулевого приближения (2.10), (2.11), что для усред

ненных величин справа получаются выражения

зв

ev (p V)E-n——; — [v1(p1V)B] = - pVB,

1 1 at с

с помощью которых уравнение (2.15) приводится к виду

d mv?

ЭВ

dB

±=ц

+ (VV)B

= P——.

dt 2

[ at

dt

Поскольку р - mv^/2B, то отсюда следует d

Ц = 0, т.е. Ц = const.(2.17) dt

Вернемся теперь к уравнению (2.7), описывающему движение центра ларморовского кружка. С учетом (2.16) это уравнение принимает вид

mV = eE-pVB + —[VB] (2.18)

уравненияуравненияи по форме отличается от исходного

уравнения

уравнения

(2.19)(2.19)2.2) лишь наличием члена — pVB. Эти уравнения, однако, имеют; совершенно различное физическое содержание. Чтобы определить из равенства (2.18) скорость дрейфа, положим i

(2.19)

(2.19)

V-tV^.

Тогда (2.18) можно представить так:

mT Fl ~ ~l Vjl B]-F= еЕ - fiVB-m (Vj, т+V^).(2.20)

(2.21)(2.21)Умножая это уравнение сначала скалярно, а затем векторно на т, получаем

(2.21)

(2.21)

mV -f,;v.—— [Ft]. еВ

Это и есть уравнения движения частицы в дрейфовом приближении. Учитывая в общем случае также силу тяжести, имеем, следовательно.

F = (еЕ + mg) - pVB - m (V, т + V±).(2.22)

Таким образом, поперечный дрейф частиц может быть вызван тремя силами: электрической (или сходной по действию гравитационной), диамагнитной (обусловленной неоднородностью магнитного поля) и силой инерции.

В простейшем случае, учитывая, что V± с У(, в части уравнения (2.22), описывающей силу инерции, можно опустить V^ оставив лишь слагаемое, содержащее

. дт9т

т + (W) т + V. (TV) т + (V V) т.(2.23)

atat 1х

Здесь первый и последний члены можно считать малыми (например, в постоянном поле первый вообще отсутствует, а последний мал, так как У^ С УД Тогда, оставляя лишь

(TV)T-n/RKp,(2.24)

где в - главная нормаль к силовой линии, a RKp - радиус кривизны, для силы инерции имеем

_. mV?

F№ = -mV(2.25) йкр

Это есть не что иное, как центробежная сила, обусловленная движением частицы вдоль искривленной силовой линии, и вызываемый ею дрейф называется центробежным дрейфом.

В некоторых случаях, когда требуется большая точность, в выражении для силы инерции следует оставлять член с ¥±. При

этом, однако, его следует определять методом последовательных приближений. Например, если электрическое поле велико настолько, что скорость электрического дрейфа Удл = с[Ет]/В сравнима с У(, то необходимо учитывать слагаемое

(2.26)(2.26)d[вт]

(2.26)

(2.26)

рин.эл = -тУ1эл = -т —с —• atВ

Таким образом, для поперечных смещений дрейфовое уравнение (2.18) следует рассматривать как уравнение первого порядка по времени, в отличие от исходного уравнения движения частицы (2.2), которое является уравнением второго порядка.

Рассмотрим в заключение закон сохранения энергии частицы в дрейфовом приближении, который можно получить, если уравнение (2.18) умножить скалярно на V:

d mV2„,

= e¥E-n(W)B.

dt 2

Поскольку У2 = У2 + У2, пренебрегая У2 « У2 и учитывая, что dЭ

ц ■ const, a (W)B В В, уравнение можно записать так: dtat.,.

d I mV?\ав

——+ J1B =eVE + ji.(2.27) dt \ 2Iat

mV2m

Здесь+ цВ = — (v2 + v2) - кинетическая энергия частицы, 2211

а оба члена справа описывают работу электрических сил, поскольку магнитное поле, как известно, не может совершать работы над зарядом. Заметим, что второй член в уравнении (2.27) может быть записан в виде

дВЭВv^p

Ц= цт= -е(rot Е), = ev. IL...(2.28)

atat2х

При этом использовано то обстоятельство, что ротор Е можно; выразить через циркуляцию поля Е по окружности ларморовского кружка:*

1 Г 11

(rot Е)|т = ф ЕД =2лр Е^.(2.29)

лр2 Jлр2

Если поля Е и В постоянны во времени, то из уравнения (2.27) мо:

(2.30)(2.30)получить закон сохранения энергии: тУ’, с + u= const,

(2.30)

(2.30)

2

где U - цВ + е<р (ф - электростатический потенциал: Е = -Уф). Величина U = U (R) играет роль потенциальной энергии, и из формулы (2.30) при этом имеем

У,(Д)У,(Д)(е- W(е- W(2.31)(2.31)

У,(Д)

У,(Д)

(е- W

(е- W

(2.31)

(2.31)

Особенно простой вид дрейфовые уравнения движения имеют для статических полей в вакууме. В этом случае, используя уравнение rot В = 0, нетрудно показать, что

(2.32)(2.32)VB = nB/RKp

(2.32)

(2.32)

и, учитывая в инерционных членах лишь центробежную силу инерции [см. уравнение (2.25)], для скорости дрейфа получаем

с Г/тУ» \У = еЕ-ЦУВ-птеВ IRIкр /с Г/тУ» \У = еЕ-ЦУВ-птеВ IRIкр /с Г/ mV,1 -VI/-VB т .еВВI'(2.33)с Г/ mV,1 -VI/-VB т .еВВI'(2.33)

с Г/тУ» \

У = еЕ-ЦУВ-пт

еВ IRI

кр /

с Г/тУ» \

У = еЕ-ЦУВ-пт

еВ IRI

кр /

с Г/ mV,1

-VI/-VB т .

еВВI

'(2.33)

с Г/ mV,1

-VI/-VB т .

еВВI

'(2.33)

Здесь функция ¥,(/?) определяется формулой (2.31), и поэтому, как нетрудно проверить, У^ может быть представлена в виде

VV<»в<»вrotVj,rotVj,(2.34)(2.34)

V

V

<»в

<»в

rotVj,

rotVj,

(2.34)

(2.34)

где У„ - У,т. Таким образом, в целом движение ведущего центра описывается уравнением

<®У,у

— = v = YH + — rot V, = —В*(2.35)

В* = В +rot^ = rotВ* = В +rot^ = rotгде мы ввели фиктивное магнитное поле

В* = В +rot^ = rot

В* = В +rot^ = rot

(2.36)

IЛ - векторный потенциал: В = rot А).

Так как у|в*, то траектории частиц, очевидно, совпадают с си- иовыми линиями поля В*. Условие у||В* можно также представить

в виде уравнения

0 = — [VB],(2.37)

с

которое будем рассматривать как уравнение движения частицы с нулевой массой в фиктивном поле В*. Так как вследствие соотношения (236) этому полю можно приписать векторный потенциал

A* (R) = А + —— V = A (R) + —^—- В (R),(238)

е 1uB(R)

то уравнение (237) можно также рассматривать как уравнение Лагранжа

d8t*81*

.,(239)

dt8q(3q^

получаемое из лагранжиана

L* = — VA*(R)(2.40)

С

(здесь V = dR/dt), соответствующего заряженной частице с нулевой массой*.

Если лагранжиан (2.40) не зависите от какой-либо координаты q, то, как и в обычной механике, имеет место закон сохранения соответствующего обобщенного импульса 9L*/9q = const. Например, в аксиально-симметричном поле 9 L */Э ф = 0 имеем

at»Ivi \

—— тА* (г, z) = г >L +BL = const,(2.41)

* Эф\ыв

где ф - азимутальный угол.

Задача 1. Показа», что пре Е - rot В - 0 (постоянное магнитное поле в вакууме; частица испытывает так называемый дрейф по бинормали:

v-B(Ti+~Tl)/to5^p-

Задача 2. Доказать справедливость соотношений (2.16) и (2.32).

§ 3. Проблема удержания частиц

Рассматривая плазму как совокупность отдельных частиц, естественно поставить вопрос какие конфигурации полей Е и В могли бы удерживать одну заряженную частицу в ограниченном объеме, не допуская ее ухода на стенки камеры?

Рассмотрим вначале постоянное электрическое поле Е - -7ф, потенциал которого Ф удовлетворяет, как известно, уравнению Лапласа

Э2ф ~ даф3®ф

Аф =++= 0.(3.1)

Эх1ду1д^

Потенциальная энергия частицы в таком поле равна U = еф, и положение частицы было бы устойчивым, если бы она находилась в точке, где U^x, у, z) минимально. В такой точке должны выполняться условия

1^ = еЭ2ф/а№>0; 1/^, = ед2ф/ду > 0; и" = едач>1д2?>0,(3.2)

которые, очевидно, находятся в противоречии с уравнением Лапласа (3.1). Таким образом, мы приходим к выводу, что U не может иметь минимума где-либо внутри рассматриваемого объема и, следовательно, электростатическое поле непригодно для удержания плазмы.

Однако, оказывается, можно удержать плазму в быстропеременном поле, например в поле стоячих электромагнитных колебаний, возбужденных в некотором объемном резонаторе. Движение частицы описывается при этом уравнением

mv = еЕ~ (г, 0 + — [vB~ (г, г)),(3.3)

С

где волновые поля Е~ и В_ - величины одного порядка. Если ограничиться нерелятивистскими скоростями v/c « 1, то магнитная сила в уравнении (3.3) будет мала по сравнению с электрической. Поэтому, полагая, что г = П + р~ит = У + ч~, где р~ и v~ = р~ описывают дрожание частицы, вызванное колебаниями поля, можно это уравнение представить в виде

m (V + v.) = еЕ~ (R, 0 + е (р~ V) Е. (R, 1) + — [(V + vj В~ (R, t)L

(3.4)

При этом, учитывая сказанное выше, мы оставили в разложении

К (R + р~) » R. (R) + (р~ V) B~ (R) лишь первый член. Усредняя это уравнение по быстрым осцилляциям, получаем уравнение, описывающее движение частицы в среднем:

mV = e(pTv)MM) + — [v^MML(3.5)

С

При этом слагаемые в уравнении (3.4), линейные по осцилляциям, выпадают, а сами осцилляции в нулевом приближении описываются уравнением

т^~ = тр~ = еЕ~ (R, t),(3.6) ;

где R можно считать постоянным. Для стоячих колебании можно считать

Е~ (R, 0 = Ео (R) sin ot; В~ (R, t) = Во (R) cos tot,(3.7)

1

причем, поскольку rot Е~ = - — dB~/dt, амплитуды Ео (R) и Во (R)

С

будут связаны соотношением

B0(R) = — rotEo(R).(3.8)

Тогда, интегрируя уравнение (3.6), можно найти еее

Р~ =Е~ =E0(R)sinG)t; v~ =Ео (R)cosot.

mtoamto8mto(3 9)

Подставляя выражения (3.9) и (3.7) в уравнение (3.5) и используя соотношение (3.8), окончательно получаем

ту = - — {{(Ео V) Ео + [Ео rot Ео В— VEg (R),(3.10)

2mtozАты8

что можно также представить в виде *•

mV = Fcp = -Vl7,(3.11)

гдеи(Н) =—Eg(R).

♦тм3

Очевидно, величина U(R) может рассматриваться как эффективная потенциальная энергия частицы в поле стоячих волн и положение частицы будет устойчиво, если она находится в точке, где U (R) минимальна, что соответствует узлам электрического поля. Если колебания образованы суперпозицией нескольких волн с разными частотами и амплитудами, то, как нетрудно проверить, U будет являться суммой выражений вида (3.11). Отметим также, что в U входит е3, поэтому в узлах поля Е будут скапливаться как положительные, так отрицательные частицы.

Поскольку создание высокочастотных полей с большой амплитудой является сложной технической задачей, то наибольший интерес представляют способы удержания частиц с помощью стационарных магнитных полей.

Если электрическое поле отсутствует, что при dB/df - 0 имеют место законы сохранения энергии и адиабатического инварианта Ц [см. выражение (2.17)J:

тч1ттч1,\

— (v? + v?) = const; ц== const,(3-12) 222Б

из которых можно найти

(3.13)(3.13)v, = Vv2- J±B^

(3.13)

(3.13)

где у3 = const и J^ = v3 / В = const.

Рис. 18. Траектория частицы в пробкотронеРис. 18. Траектория частицы в пробкотроне

Рис. 18. Траектория частицы в пробкотроне

Рис. 18. Траектория частицы в пробкотроне

Рассмотрим, например, аксиально-симметричнее поле, изображенное на рис. 18. Двигаясь вдоль силовой линии, частица попадает в область сильного магнитного поля и ее продольная скорость v# уменьшается вплоть до нуля в той точке, где В = ^U^, после чего частица движется в обратном направлении.

Таким образом, области с сильным магнитным полем являются как бы магнитными пробками или зеркалами для частиц и основанные на этом принципе термоядерные установки называются пробкотронами (mirror-machine).

Пусть, например, в средней части установки, где поле минимально, направление скорости частицы v образует угол а с направлением магнитного поля (см. рис. 18), так что <Jn = sin а. При этом 1^ = = v3[В = у2 sin3 л/Вмя и из формулы (3.13) имеем

v# = v V1 - sin3 аЖгУД^’. (3.14) '

Очевидно, частица сможет пройти через пробку, где поле максимально, лишь при условии

(3.15)(3.15)sin3 а —^^- < 1 или sin а < >/BUim/Bu^,

(3.15)

(3.15)

(3.16)(3.16)и при заданном "пробочном отношении” Вмакс/Вмин всегда можно? найти такие малые а, что соответствующие частицы будут уходить? и в ловушке останутся лишь частицы, у которых *

(3.16)

(3.16)

> sin кКр = '/В\^[в^^^.

Однако в результате взаимных кулоновских столкновений, сопро* вождающихся изменением скоростей, частицы попадают в опасный конус направлений а < акр и уходят из ловушки.

(3.1(3.1Таким образом, изображенная на рис. 18 ловушка с магнитным; пробками может работать как термоядерная установка лишь пр условии, что время столкновения, сопровождающегося ядерно реакцией синтеза, будет меньше времени кулоновского столкнов ния. Для этого необходимо, чтобы сечение ядерной реакции бш больше кулоновского сечения:

(3.1

(3.1

°яд > °кул = ^ I кт I

(X = 15 - кулоновский логарифм). Так как размеры ядер (дейтерия или трития) порядка 10~13 см, то ядерное сечение по порядку величины равно 10"36 см3. Тогда из соотношения (3.17) находим минимальную температуру, при которой частица успеет вступить в ядерную реакцию прежде, чем уйдет из ловушки:

е2^ (4,8.10-‘°)2Уи

кТ—эрг «1 МэВ.(3.18)

^ 10"13

Другим примером яляется ловушка, которую можно назвать антипробкотроном, или ловушкой со встречными полями. Частица движется в ней так, как условно изображено на рис. 19. Достоинствами такой системы являются слабое магнитное поле в центре, что выгодно с точки зрения уменьшения потерь на магнитное излучение, и форма силовых линий, обращенных выпуклостью внутрь, что способствует устойчивости плазмы. Недостатком системы являются ’’щели”, через которые возможен уход частиц. Например, частица, вылетающая из центра строго вдоль оси Оз или по радиусу в плоскости ху (см. рис. 19), очевидно, не удерживается ловушкой.

Тороидальные ловушки

Чтобы исключить уход частиц вдоль силовых линий, естественно попытаться замкнуть магнитное поле в тор. Ловушки с такой геометрией называются тороидальными (рис. 20).

В простейшем случае силовые линии будут окружностями, вдоль которых магнитное поле постоянно и в соответствии с за- 4л

коном циркуляции ^ В(Я =1г равно

(4.1)(4.1)с

(4.1)

(4.1)

Это поле, однако, совпадает с полем прямого провода, рассмотренным в § 1, и вследствие неоднородности В ~ 1/г частицы в таком у поле будут испытывать уже известный нам тороидальный дрейф. Предполагая, что Е = 0, и оставляя в выражении для силы инерции лишь центробежную силу (2.25), из уравнения (2.22) получим

m / va\

F = -pVB+Fu6 =— + v„a а(4.2)

йкр \ 2/

После этого из уравнений (2.21) найдем скорость тороидального дрейфа

(4.3)(4.3)сv^+va/2

(4.3)

(4.3)

X[Fi] = b —е®“В^р

(здесь йкр = г).

Этот дрейф направлен по бинормали b = [tn], и, следовательно, положительные частицы в торе (см. рис. 20) будут двигаться вверх, а отрицательные - вниз на стенки камеры. Если, однако, частиц много, то картина усложнится, так как описанное разделение за- 1 рядов приведет к возникновению электрического поля, направ-; ленного вниз параллельно оси, что, в свою очередь, в соответствии; с формулой электрического дрейфа ¥эл = с[Ет]/В приведет к движению плазменного сгустка (как целого) наружу по радиусу г (рис. 21).

Рис. 21. Поляризация плазмы в тороидальном магнитном полеРис. 21. Поляризация плазмы в тороидальном магнитном полеНа этом примере видно, что теория, основанная на рассмотрении поведения одной частицы, еще недостаточна для описания поведения плазмы как целого, так как относительное движение частиц! может приводить к возникновению так называемых самосогласо-у ванных полей - электрического, вызываемого разделением зарядов,! и магнитного (для последнего необходимо, чтобы в плазме протер

Рис. 21. Поляризация плазмы в тороидальном магнитном поле

Рис. 21. Поляризация плазмы в тороидальном магнитном поле

Рис. 20. Тор с продольным магнитным полем

кали токи), которые, в свою очередь, будут влиять на движение частиц.

Итак, мы видим, что в простейшем магнитном поле, свернутом в тор, частицы в результате дрейфа уходят на стенки камеры. Этот уход можно преодолеть, если каким-либо способом реализовать в системе так называемое закручивание частиц вокруг продольной оси.

Чтобы пояснить сущность этого явления, рассмотрим, например, цилиндрический соленоид, вдоль оси которого расположен проводник с током 1г (рис. 22, о). Обмотка соленоида создает внутри него продольное поле Во, а центральный проводник с током - азимутальное поле Ви так что силовые линии суммарного поля представляют собсй винтовые линии с шагом h = 2лгВ0/В1, где г - радиус рассматриваемой спирали. Если пренебречь \ медленными поперечными дрейфами, то частица, движущаяся вдоль силовой линии со скоростью vw, будет вращаться по спирали вокруг оси с угловой частотой Q = Уц В^г/в^ + В^, что и означает закручивание.

Проектируя движение частицы на некоторое сечение ху, перпендикулярное продольной оси системы, мы найдем, что движение точки, изображающей проекцию частицы, описывается уравнениями < = г cos Ш; у = г sin Qt ит и, иначе,

дхdy

= -Qy,= Qx,(4.4) dtdt

Рис. 22. Схема установки ”левитрон”

(4.5)(4.5)Свернем теперь указанный соленоид вместе с центральным проводником в тор (рис. 22, б) и вновь рассмотрим движение точки, изображающей проекцию частицы вдоль оси на некоторое сечение ху. Если бы не было закручивания, эффект тороидальности приводил бы, как показано ранее, к тороидальному дрейфу:

(4.5)

(4.5)

dx/dt = Vro-, dy/dt = O.

Складывая правые части уравнений (4.4) и (4.5), получаем, что совместное действие тороидальности и закручивания может

быть описано уравнениями

(4.6)(4.6)Эх/^др \^У

(4.6)

(4.6)

=-fiy+v„p = -fi у- —- ;— -й*» dy\Q Jdt

которые будут совпадать с увеличениями (4.4), если вместо х и у ввести новые переменные х'= х и у*= у - (Удр/Q). Это показывает, что уравнениям (4.6) соответствует движение по окружности, центр которой, однако, смещен по оси у на величину Д = Удр/Й (рис. 23). При отсутствии закручивания (Q = 0) имеем А - ”, и частицы уходят на стенки камеры.

Описанная тороидальная ловушка с проводящим стержнем вдоль оси, несущим ток, получила название левитрон. Стержень поддерживается подставками, которые быстро убирают, после чего производят разряд, в течение которого (~10-3 с) стержень практически не успевает сместиться под действием силы тяжести. При этом плазма располагается цилиндрическим слоем вокруг стержня, и такая конфигурация плазмы достаточно устойчива. Недостатком такой ловушки являются примеси, летящие со стержня.

Роль стержня может играть сам плазменный шнур, если индук

ционным способом вызвать в нем продольный ток.

Закручивания частиц можно добиться и другими способами, например деформируя тор с полем таким образом, чтобы продоль-

Рис. 23. Смещение орбиты частицы при наличии ’закручивания"

Рис. 24. Схема стелларатора типа "восьмерки” Л

ная ось не лежала в одной плоскости. Такие системы были названы стеллараторами. На рис. 24 изображен стелларатор, имеющий вид цифры 8. Следя по рисунку за стрелкой, нетрудно убедиться, что при полном обходе системы силовая линия поворачивается вокруг продольной оси на угол 4а, который принято называть углом вращательного преобразования. При следующем обходе получим еще 4а и т.д. Очевидно, если угол 4а не является рациональной частью от 2л (т.е. 4а * 2л m/n, где т, п - целые числа), то при бесконечном числе обходов системы одна и та же силовая линия образует целую магнитную поверхность. Таким образом, магнитное поле в такой установке имеет вид вложенных друг в друга магнитных поверхностей (рис. 25), по которым навиты силовые линии поля В. Другой разновидностью стелларатора является система, которая будет рассмотрена нами в следующем параграфе и в которой вращение силовых линий вокруг продольной оси достигается путем использования особой винтовой обмотки.

В описанных выше тороидальных (или в случае стелларатора типа ’’восьмерки” топологически эквивалентных тору) ловушках закручивание частиц было обусловлено вращением вокруг продольной оси силовых линий магнитного поля. Однако возможен и другой способ. Рассмотрим, например, тор с продольным полем В, вдоль оси которого расположен заряженный стержень (рис. 26).

Радиальное электрическое поле стержня вызовет дрейф частиц вокруг него со скоростью У^ = с [Ет]/В. В результате при одновременном движении вдоль силовых линий со скоростью частицы будут двигаться по винтовым спиралям, как изображено на рис. 26, что опять-таки может привести к компенсации тороидального

Рис. 25. Система ’вложенных” магнитных поверхностейРис. 25. Система ’вложенных” магнитных поверхностейЧастица.Частица.Рис. 26. Тор с магнитным полем и заряженным круговым стержнемРис. 26. Тор с магнитным полем и заряженным круговым стержнемЬЬРис. 27. Тор с гофрированным магнитным полемРис. 27. Тор с гофрированным магнитным полем

Рис. 25. Система ’вложенных” магнитных поверхностей

Рис. 25. Система ’вложенных” магнитных поверхностей

Частица.

Частица.

Рис. 26. Тор с магнитным полем и заряженным круговым стержнем

Рис. 26. Тор с магнитным полем и заряженным круговым стержнем

Ь

Ь

Рис. 27. Тор с гофрированным магнитным полем

Рис. 27. Тор с гофрированным магнитным полем

дрейфа. Такую систему трудно осуществить, так как частицы плазмы быстро нейтрализуют заряд на стержне.

Более перспективными являются тороидальные ловушки, где закручивание частиц достигается путем гофрирования продольного поля тора (рис. 27). Одна секция такого тора имеет вид пробко- трона, рассмотренного нами ранее в §3 (см. рис. 18), и в ней частица, двигаясь по выпуклой силовой линии, испытывает дрейф по бинормали b (см. рис. 27), скорость которого определяется формулой (4.3). Это опять-таки ведет к закручиванию частиц и возможности компенсации тороидального дрейфа.

В последнее время были предложены весьма сложные системы, ' где гофрировка продольного поля осуществляется последовательно в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рис. 28).

Как оказалось, при такой гофрировке можно ожидать лучшей устойчивости плазмы, чем при гофрировке, аксиально-симмет- > ричной относительно продольной оси. Эта система также будет ; рассмотрена нами в дальнейшем.'

Рис. 28. Замкнутая система с двойной гофрировкой магнитного поля

Резюмируя, можно сказать, что замкнутые ловушки, в которых тороидальный дрейф компенсируется закручиванием частиц, требуют создания неоднородных полей с достаточно сложной геометрией и низкой степенью симметрии.

Задача. Пользуясь дрейфовыми уравнениями и считая известным

41 ПГ([У \)

Л9(г,г)1- К(к)-Е(к) ,

ск v г I'2 '’

4аг_

где ка = ~^ ^" К (к) и Е (к) - полные эллиптические интегралы; R - радиус кольца, определить траекторию частицы в плоскости rz для левитрона (см. рис. 22, б).

Стелларатор с винтовой обмоткой

Спитцер установил, что вращение силовых линий вокруг продольной оси тора, приводящее к закручиванию частиц и, следовательно, к компенсации тороидального дрейфа, может быть достигнуто путем наложения на тор доголнительной бифилярной винтовой обмотки. Для простоты мы будем рассматривать прямой цилиндр, внутри которого создано поле, обладающее винтовой симметрией, предполагая, что последующее свертывание этого цилиндра в тор достаточно большого радиуса не исказит заметным образом структуру поля (рис. 29).

Магнитное поле в вакууме можно описывать скалярным потенциалом ф:

(5.1)(5.1)В = 7ф; Дф = 0.

(5.1)

(5.1)

Внутри цилиндра имеется однородное магнитное поле Bz = В0, на которое накладывается дополнительное поле винтовой обмотки с шагом h, поэтому можно написать

(5.2)(5.2)ф = В°г + ф1 (г, (p,z),

(5.2)

(5.2)

Рис. 29. Цилиндр с бифилярной винтовой обмоткойРис. 29. Цилиндр с бифилярной винтовой обмоткойпричемФ1 (г, V,^) = Фх (г, Ф - 2л z/h).причемФ1 (г, V,^) = Фх (г, Ф - 2л z/h).(5.3)(5.3)Последнее соотношение выражает условие винтовой симметрии дополнительного поля. Так как фх, очевидно, также удовлетворяет уравнению Лапласа, то, введя обозначения

Рис. 29. Цилиндр с бифилярной винтовой обмоткой

Рис. 29. Цилиндр с бифилярной винтовой обмоткой

причем

Ф1 (г, V,^) = Фх (г, Ф - 2л z/h).

причем

Ф1 (г, V,^) = Фх (г, Ф - 2л z/h).

(5.3)

(5.3)

к = 2л/Н и 9 = ф - kz, (5.4)

получим 1эаа2а2

Дфх=—.——г—— Ф1+—— Фх+—Ф1- гЭгдг^дф2dz2

aa/1 \ a2z ч

гф1 + (к2+ Фх = О.(5.5)

гдгЭг\г2 / ае2

Решения этого уравнения имеют вид /п (nkr) sin п9 (или cos п0), где /„ (nkr) - функции Бесселя от мнимого аргумента, так что в общем случае винтовое поле с шагом, равным h, описывается потенциалом

ф = В0 z + 2 Сп In (nkr) sin nO,(5-6)

n-1

где Cn - постоянные.

Отдельная гармоника с номером п приближенно соответствует полю 2п-заходной спирали с противоположными токами в соседних проводах. По-видимому, наиболее подходящей является шести- заходная спираль, соответствующая номеру гармоники п = 3. Основное продольное поле В ° создается соленоидом с плотной намоткой, который не изображен на рис. 29.

Рассмотрим, в частности, потенциал

ф = B°z +В^ /„ (nkr) sin n8,(5.7)

лк

из которого для компонент поля получим выражения дф m I

В, == В1 7/п (nkr) sin п8;

dr Эф 1 цх

Bv -Bv' In (пкг) cos п8;

гЭф кг

В, = В° - В^/„ (nkr) cos п8.(5.8)

Силовые линии описываются уравнениями

drВгdфВт

.,(5.9)

diBzdzrBz

решив которые, мы смогли бы установить прокручивание силовых линий вокруг оси z, которое при свертывании цилиндра в тор могло бы привести к компенсации тороидального дрейфа частиц.

Покажем прежде всего, что в произвольном поле, описываемом потенциалом [см. равенства (5.2), (5.3)], т.е. обладающем винтовой симметрией, существует интеграл магнитных поверхностей. В этом случае поля зависят лишь от переменных г и 8 = ф - кг.

ээа

вг= Фх (г, 9); ВфФх (G 8). в1= во _ кф (г> е) (5 10) "ггдеэе

В этих переменных уравнения силовых линий (5.9) принимают вид

•Вт (г, 0)6 =-к*—rBz(r, е)•Вт (г, 0)6 =-к*—rBz(r, е)(5.11)(5.11). вдг, е) г =•

•Вт (г, 0)

6 =-к*—

rBz(r, е)

•Вт (г, 0)

6 =-к*—

rBz(r, е)

(5.11)

(5.11)

вг(г,е)

(здесь и далее точка сверху означает производную по z). Так как сама координата х не входит в эти уравнения, то из (5.11) можно получить уравнение первого порядка для функции 6 (г)

(5.12)(5.12)эе и5-кгвг*в^

(5.12)

(5.12)

drг гВг

Используя уравнения (5.10), представим (5.12) в виде уравнения в полных дифференциалах:

dф1dф1d8 +d8 +п /1\krB° - г к + —-\ г2 / ееп /1\krB° - г к + —-\ г2 / ееdr = 0.dr = 0.(5.13)(5.13)

dф1

dф1

d8 +

d8 +

п /1\

krB° - г к + —-

\ г2 / ее

п /1\

krB° - г к + —-

\ г2 / ее

dr = 0.

dr = 0.

(5.13)

(5.13)

Чтобы его проинтегрировать, введем функцию Ф (г, 0), такую, что а

Фх (б 6) ■Ф (б ®). Поскольку дб

а

Дфх(г,9) = — Дф(г, 9) = 0,(5.14)

мы можем считать, что функция Ф (г, 6), так же как и фх (г, 9), удовлетворяет уравнению Лапласа (5.5), из которого можно найти

I а1а а

-г к’+-Ф(г, 9)гФ (г, 9).(5.15)

\ г2 J аеааг аг

Нетрудно убедиться, что уравнение (5.13) можно в этом случае представить в виде

8 1дф \3[кЭФ \

гJ d9 +— ДОр + г1 ^г- Q(5.16) дв \Эг JЭг\2Эг /

и, следовательно, ка

S (г, 9):В0 г2 + гФ (г, 9) - const.(5.17)

Эг

Это и есть интеграл магнитных поверхностей в поле с винтовой симметрией. При выборе потенциала Фх в виде одной гармоники [см. формулу (5.7)] имеем

Фх B^L Vikr) sin n9 ■Ф (г, 9),(5.18).

пкэе

откуда

Ф (г, 9)=5^4 cos п9.

пак

Тогда уравнение (5.17) имеет вид квт

S(r, 9) =—В0 г2r/„ (nkr) cos п9 = const.(5.19)

n

Для случая п = 3 сечения этих магнитных поверхностей некоторой плоскостью z = const приведены на рис. 30, из которых видно, что ,’ вблизи центра магнитные поверхности образуют замкнутые полости,, а после некоторой предельной поверхности, называемой сепаратри-;

сой, уходят на стенки камеры. Очевидно, рабочим объемом, пригодным для удержания плазмы, может служить лишь внутренняя область сепаратрисы (заштрихована). При движении вдоль г вся картина силовых линий поворачивается с периодом, равным шагу обмотки h = 2л/к.

Для определения самих силовых линий следует решить уравнения (5.11), что можно сделать лишь численными методами. Однако при с = В^/В° «: 1 решение можно искать в виде разложения по этому малому параметру:

г (z) - г0 + ег, + е3г3 +...; 0 (z)» 0О + е6х + с303 +...

что с точностьючто с точностьюИспользуя выражения для полей (5.8), найдем, до членов порядка е3 уравнения (5.11) имеют вид

что с точностью

что с точностью

, tin (х) sin пв ,

г с/п (ху sin п0 +

1 — tin (х) cos пв

+ е31„ (х) 1' (х) sin п0 cos п0;

•е In (х) cos пб

0 = - к

kt® 1 - tin (х) cos пв ее»

--к М C0S пв +^ to COS3n0.

кг

(5.20)(5.20)(5.21)(5.21)Здесь х = пкг. Подставляя сюда ряды (5.20), для нулевого приближения имеем

(5.20)

(5.20)

(5.21)

(5.21)

(5.22)(5.22)г - 0, 0 = - к, откуда r0 = const; 0 = - kz = const,

(5.22)

(5.22)

что с учетом соотношения В = ф - кг соответствует прямым линиям г0, ф0 = const. В первом приближении получаются уравнения

rt =/п'(х) sin пВ0;

.1

6! In (х0) cos п0 о,(5.23)

кЛ>

интегрируя которые, найдем

rt U) =i„ (xo)cos n0o;

kn

0t (z) In (x0)sin n0o,(5.24)

0

где обозначено x0 = nkr0. Наконец, для угла 0 во втором приближении можно получить

1cos ned (х )

0, P„ (x^cos2 П0О +^rt (z)^ +

кг»кdr г1

О00

in К? d

+0. (z)cosn0.(5.25)

Наибольший интерес для нас представляет средняя скорость прокручивания силовых линий вокруг оси

Ф = к + 0 = е302.(5.26)

Здесь черта сверху означает усреднение по быстрым осцилляциям. Подставляя в равенство (5.25) выражения (5.24) и учитывая, что sin2 n0o = cos2 л0о = 1/2, найдем

did

= с2 кп21/„ to

dx2 \ dx2

где х = пкг0. При этом использовано уравнение для функций Б(

I п2 \,1,

селя 1 + /„ (х) = 1П (х) + — 1П (х). Используя разложение эт1

\ X2 /X

Рис. 31. Перекрещенность силовых линий в стелларатореРис. 31. Перекрещенность силовых линий в стеллараторефункций пп!2функций пп!2х21++...4 (п + 1)х21++...4 (п + 1)(5.28)(5.28)

Рис. 31. Перекрещенность силовых линий в стеллараторе

Рис. 31. Перекрещенность силовых линий в стеллараторе

функций п

п!2

функций п

п!2

х2

1++...

4 (п + 1)

х2

1++...

4 (п + 1)

(5.28)

(5.28)

можно найти, что вблизи оси скорость прокручивания определяется формулой

, - 1,2 2п2(п-2)2(п-1).

Ф = ке3[2(п-1)х +х + ...].(5.29)

4(пй”)2

Можно видеть, что в то время как при л = 1 и л - 2 скорость прокручивания (а следовательно, и шаг силовых линий h = 2л/ф) не зависит от радиуса спирали г0, для л - 3 имеем Ф ~ rj, что ведет к перекрещенности силовых линий магнитного поля, которые в этом случае имеют вид, изображенный на рис. 31.

Такая перекрещенность линий, как мы увидим в дальнейшем (см. § 11), способствует стабилизации плазмы, и поэтому целесообразно выбрать именно случай л = 3, который может быть создан шестизаходной обмоткой с противоположными токами в соседних проводах (см. рве. 29). Случаи с большими значениями л менее удобны, так как при увеличении л внутренний ’’рабочий” объем сепаратрисы уменьшается (см. задачу).

Найденное выше прокручивание силовых линий вокруг оси приводит, очевидно, к закручиванию частиц, что позволяет компенсировать тороидальный дрейф, возникающий при свертывании цилиндра с полем в тор.

Задача. Определить расстояние от оси до ребер сепаратрисы [из условий ds/dr — 1 /п1 \

- dS/96 = 0 находим — = 11 - ——I Z„ (х), где х = кп^д. Далее используем разложение е \х2 /

(5.28)].

Адиабатические инварианты в дрейфовой теории

В конце § 4 мы уже упоминали, что закручивание частиц может быть достигнуто также гофрировкой тороидального поля (см. рис. 27 и 28). Анализ движения частиц в возникающих при этом неоднородных полях можно упростить, если использовать так называемые адиабатические инварианты. Этим термином называются величины, которые приближенно остаются постоянными, если внешние условия меняются достаточно медленно (адиабатически).

Если движение системы по какой-либо координате q носит финитный характер, т.е. сводится к колебанию или вращению, то такими величинами являются интегралы

J=^Pdq,(6.1)

где Р - обобщенный импульс, соответствующий координате q.

Если частица удерживается магнитным полем, то движение по всем трем степеням свободы (три координаты) имеет финитный характер (т.е. конечно) и, следовательно, должны существовать три адиабатических инварианта.

Медленность изменения внешних условий можно охарактеризовать малым параметром

е-ГВ/В«1,(6.2)

где Т - период финитного движения; В - полная производная ; магнитного поля по времени, так что величина АВ = ГВ соответст- j вует изменению магнитного поля за один период.i

Адиабатические инварианты (6.1) не являются точными интегра- лами движения, однако их производные по времени являются ве- личинами второго или более высокого порядка малости по

d

JSe3,(6.3) dt

что и означает их приблизительное постоянство.

Как мы видели, движение частицы, удерживаемой в магнитном поле, складывается из: а) ларморовского вращения вокруг силовой , линии, б) движения вдоль силовой линии, которое имеет вид ко-; лебаний от пробки к пробке в случае пробкотрона (см. рис. 18) или сводится к обходу вдоль тора при магнитном поле, свернутом i в тор, и, наконец, в) дрейфа поперек силовой линии, который при- 5 водит к закручиванию частиц вокруг продольной магнитной оси;

системы. Этим трем финитным движениям соответствуют три адиабатических инварианта.

Покажем, что ларморовскому вращению соответствует инвариантность магнитного момента частицы ц [см. формулу (2.13)1, сохраняемость которого в дрейфовом приближении уже была доказана нами ранее в § 2 [см. формулу (2.17)]. В самом деле, поскольку лагранжиан частицы в электромагнитном поле имеет вид mv2 е

L =+—тА-еф,(6.4)

2 с

где Ф и А - скалярный и векторный потенциалы, то обобщенный импульс частицы равен

Р == тт +—А.

Этс

При этом обобщенной координатой, описывающей ларморовское вращение, следует считать длину дуги ларморовской окружности q = РФ, р - ларморовский радиус. Тогда, пользуясь общей формулой (6.1), найдем

(6.6)(6.6)^ = о тт +—A p^ = mvx2np +—oAdq. . с Гс J

(6.6)

(6.6)

Последний интеграл имеет вид циркуляции по замкнутому контуру, и, поскольку rot А = В,

ф Adq = j rot AdS = -Влр2

(знак минус возникает из-за левовинтового вращения частицы относительно поля). Таким образом, учитывая, что р - vjtog, имеем

mv2.ег2,тсmv2.

(6.7)(6.7)J± =—^2лВЛ—Л——.

(6.7)

(6.7)

Ugсы^е В

Это отличается ст выражения для р - mv’/2B лишь постоянным множителем.

Рассмотрим теперь движение вдоль силовой линии. Ему соответствует инвариант

mv,+—А,Сmv,+—А,С(6.8)(6.8)

mv,+—А,С

mv,+—А,С

(6.8)

(6.8)

Продольную составляющую векторного потенциала всегда можно

(6.14)(6.14)уравнением

(6.14)

(6.14)

Hip, q, 0 = E,

в котором время t и энергия Е играют роль параметров. Закон сохранения адиабатических инвариантов (6.1) соответствует тому, что площадь, охватываемая этим контуром,

J№, 0 - И dpdq -^ pdq,(6.15)

остается постоянной при движении системы. Для доказательства рассмотрим полную производную этой площади

.Э1 . dj

J(E,t) =Е*.(6.16)

эе at

Здесь частная производная dJ/dE должна вычисляться при фиксированном t и поэтому представляет собой разность площадей двух близких контуров К3 и Кх

Н(р, q, ^ = ЕиН^р, q, t)~E + 6E,

деленную на б£ ~* 0 (рис. 34).

По определению градиента Vpq Н(р, q) расстояние по нормали между этими контурами определяется соотношением

6Е

6E=6BNVH или bEN—.—г.(6.17)

VH

Поэтому

bEJ=bEJ=6BNdK-bE6BNdK-bE(6.18)(6.18)

bEJ=

bEJ=

6BNdK-bE

6BNdK-bE

(6.18)

(6.18)

где dK - элемент длины контура, и, следовательно, имеем

3/ЗБ3/ЗБ(6.19)(6.19)Рис. 34. К выводу производной Э1/8ЕРис. 34. К выводу производной Э1/8Е

3/

ЗБ

3/

ЗБ

(6.19)

(6.19)

Рис. 34. К выводу производной Э1/8Е

Рис. 34. К выводу производной Э1/8Е

Другая частная производная dj/dt в формуле (6.16) должна вычисляться при постоянном Е и, следовательно, представляет собой скорость увеличения площади контура

(6.20)(6.20)Н(р, q, О-Е-const

(6.20)

(6.20)

при изменении L Так как составляющая градиента ЧН, параллельная контуру, равна нулю, то скорость смещения элементов контура в поперечном направлении С^ можно найти дифференцируя уравнение (6.20) по времени:

зяая/at

+ CVH=0, откуда С. :—г-.(6.21) dtх |7Я|

Тогда получим

(6.22)(6.22)э/ г г ан ак \cLdK=o—.—.

(6.22)

(6.22)

at Jat |уя|

Однако из уравнений Гамильтониана р ■ -dH/dq eq - дН/др имеем

(6.23)(6.23)

(6.23)

(6.23)

что соответствует, очевидно, скорости перемещения точки р, q, изображающей состояние системы вдоль контура. Следовательно, отрезок контура dK эта точка пройдет за время dt - dK/Ct, а весь контур за период

(6.24)(6.24)

(6.24)

(6.24)

Сравнение уравнений (6.24) и (6.19) показывает, что

ЭДЕ, t) Г'(6.23)

Аналогично, используя уравнение dH/dt - Е, для производной dj/dt из формулы (6,22) находим

дДЕ, t) Г .

-I Edt = - АТЕ,(6.26) 8t J

(Л

что соответствует приращению энергии за один период. Подставляя найденные значения частных производных в уравнение (6.16),

имеем

j = TE-bTE*Q,(6.27)

что, вообще говоря, не равно нулю. Однако для изменения площади за полный период получим гг

ATJ»T$Edt-ArESdt”O,(6.28)

оо

что и является выражением закона сохранения адиабатических инвариантов.

Рассмотрим, наконец, каким образом условие сохранения продольного инварианта в гофрированном поле приводит к закручиванию частиц и, следовательно, к компенсации тороидального дрейфа. В простейшем случае, когда электрическое поле отсутствует и магнитное поле постоянно, имеем [см. формулу (6.10)]

Jj = | VT^kBU) dl,(6.29)

где I = Ц/е - постоянный параметр. Условие сохранения 7ц означает, что частица движется по поверхности, на которой Jt = const

При отсутствии гофрировки свертывание однородного поля в тор приводит к тому, что в сечении тора поверхность Je (х, у) имеет вид, качественно изображенный на рис. 35.

Нетрудно видеть, что /ц в этом случае зависит лишь от одной координаты у, и поэтому траектория движения частицы, определяемая уравнением J( (у) = const, есть прямая линия у = const, по которой частица, очевидно, может уйти на стенки тора (это тороидальный дрейф в чистом виде).

Если же на прямом цилиндре имеется аксиально-симметричная гофрировка, то J^ будет зависеть от радиуса и может иметь вид чаши, приблизительно показанной на рис. 36 слева.

Тогда свертывание поля в тор наклонит чашу к центру тора. Траектория, определяемая уравнением J^ (х, у) = const и имевшая в цилиндре вид окружности, в торе несколько сместится и деформируется, но по-прежнему будет иметь вид замкнутой кривой, которая может не доходить до стенок камеры.

Очевидно, возможны и более сложные случаи зависимости /^ (г) от радиуса в прямом цилиндре, один из которых изображен на рис. 37.

В этом случае при свертывании цилиндра в тор возможно появление траекторий, не охватывающих магнитную ось, но тем не менее лежащих целиком внутри тора и не касающихся стенок камеры. В дальнейшем мы увидим, что аксиально-симметричная гофрировка невыгодна с точки зрения устойчивости плазмы. Более перспективными являются поля со сложной аксиально-несимметричной гофрировкой. Пример такого поля изображен на рис. 28. В таком

Рис. 36. Поверхность 7ц (х, у) при наличии гофрировки поля

Рис. 37. Сложный случай поверхности J# (х, у)Рис. 37. Сложный случай поверхности J# (х, у)

Рис. 37. Сложный случай поверхности J# (х, у)

Рис. 37. Сложный случай поверхности J# (х, у)

поле также могут иметь место закручивание частиц и компенсация

тороидального дрейфа.

Задача 1. Пользуясь Jg, определить смещение ДуФ по азимуту (долготе) для космической частицы - электрона, захваченной магнитным полем Земли (диполь) за один период Т продольного движения, если экваториальную плоскость частица проходит на расстоянии двух земных радиусов (В - 6000 км), имея компоненты скорости Vg = -v± = c/2.

Задача 2. Вычислить /д вблизи оси для прямого гофрированного поля.

законуB(t) =законуB(t) =1В ДВ + —(ДВ)а 21В ДВ + —(ДВ)а 2Задача 3. Определить изменение Ц для частицы, находящейся в однородном магнитном поле, которое плавно возрастает от значения Во при t = —” до Во + ДВ при t = +°° по

закону

B(t) =

закону

B(t) =

1

В ДВ + —(ДВ)а 2

1

В ДВ + —(ДВ)а 2

1 Г \

1 + th—). т /

Считать, что при t = — ” частица вращалась со скоростью т, по ларморовской окружности с центром в точке х - у = 0, и выбрать векторный потенциал в виде К * Ау - хВ (t). Решение. Определяя поля по формулам

1 ЭД B-rotA; Е = -,(1)

с Э t

находим 1 . В-Вх-В<<к В-Еу——xB(t).(2)

с

Тогда уравнения движения принимают вид ее , е

тх =— уВ (Г); ту = -—хВхВ; mz = 0.(3) ;

сс с

Последнее уравнение соответствует т^ » const и не представляет интереса. Интегрируя второе уравнение, находим

у* хи (t) - const, где ы = еВ (t)/mc.(4)

Подставляя отсюда у в первое уравнение, получаем

х-yut=ut [const — хи (t)].(5)

Так как по условию при t - — ” поле В было постоянно и равнялось Во, а центр ларморовской окружности находился в точке х = 0, то следует положить const = 0 (это не ограничивает общности).

тывая конкретный вид поля В (0,тывая конкретный вид поля В (0,Таким образом, для х = х (0 имеем линейное уравнение х + и1 (t) х - 0 или, учи

тывая конкретный вид поля В (0,

тывая конкретный вид поля В (0,

(6)

е

где <|)0 - eBjmc и е * AB/Bg. Обозначив также ых =(Вд + ДВ), приведем это урав- тс

нениек виду

(7)(8)(7)(8)21/т 2t/i

(7)

(8)

(7)

(8)

(1+е;х+(у*е+ wJ)x = 0

2Ут

и после подстановки е = -z получим уравнение (- " < z < 0)

ddx Г/ s0 \з / s, \з

x-0x-0(1 — z)z—z+ I I —IIz

x-0

x-0

dzdz L\ 2 '' 2 '

решение которого будем искать в виде линейной комбинации

x(z) = ctX,(z) + c_X.(z),(’)

где X. (z) и х_ (z) - два частных решения. Такой выбор диктуется следующими соображениями. При t ■* -”, что соответствует z * 0* вращение по ларморовской окружности должно описываться уравнением

0|t - _ о»" Ро tin «“о 0 * Vq) ”

—1фп ,

' Ро 1Фо\ iQ0f /«\ “*“о‘

е Ie -Ip ——— 1е

лл(Ю)(Ю)ллр„ « *о\ ” » $о о ° 2 I 2 е е z *2i'р„ « *о\ ” » $о о ° 2 I 2 е е z *2i'( 2i /\ 2i /

л

л

(Ю)

(Ю)

л

л

р„ « *о\ ” » $о о ° 2 I 2 е е z *

2i'

р„ « *о\ ” » $о о ° 2 I 2 е е z *

2i'

где vptig - ларморовский радиус. Стоящие здесь коэффициенты следует приравнять соответственно ct и с. и положить

± — io

Х+ (z) = z 2F+ (z), причем F + (0) - 1.(11)

F^-0,F^-0,(12)(12)Для фукций F+ (z) при этом получаются уравнения Г/ ii z (1 — z)F; + [(l±iso)-(l±iSo)i]r;- I—

F^-0,

F^-0,

(12)

(12)

решениями которых, удовлетворяющими условию Г+ (0) - 1, являются гипергеометрические функции Г+ (а±, р+, у , z), где

i1

а+ -—($l + s0); Р+ - — Hi ± s0); V+ -1 ± «о-()

- 2~ 2

При z -►-<», что соответствует t •*+”, асимптотика этой функции имеет вид

Г(7)Г(Р-«) _в Г(7)Г(«-Р) _р f(a,M,4(-4 +-(-4 ,(К)

Г(Р)Г(Т>-0)Г(О)Г(?-Р)

и поэтому для х (0 при t -♦ + ” имеем 1

(16)(16)(17)(17)

(16)

(16)

(17)

(17)

+ C.Z 2F.uAg^.^-ctz1 * С-z 2 ,(15)

где новые коэффициенты

р0"* 2 Гег(1+ио)

<r(±uj(-i)————:г—

Чф

-i Фо*6 (»,)-26 -8—IL\2-i Фо*6 (»,)-26 -8—IL\2shinshinJL—12JL—12(18)(18)а дляа для(-»+«> получаем(-»+«> получаем

-i Фо*6 (»,)-26 -8—I

L\2

-i Фо*6 (»,)-26 -8—I

L\2

shin

shin

JL—1

2

JL—1

2

(18)

(18)

а для

а для

(-»+«> получаем

(-»+«> получаем

- p0 J —x

1 v shnsgshns1

*0T*l I "

n1 sin (a t+Ф0+60 + 61 + 26+) + 2'

+ sh I n'2+ sh I n'2ЗтСа^-фд-бд-б^гб^,ЗтСа^-фд-бд-б^гб^,(19)(19)

+ sh I n

'2

+ sh I n

'2

ЗтСа^-фд-бд-б^гб^,

ЗтСа^-фд-бд-б^гб^,

(19)

(19)

(20)(20)(21)(21)(1) 1(1) 1V*,V*,UU-PoV ’ shnsoshns.-PoV ’ shnsoshns.[sha +[sha ++ sha + 2sht sh. cos (2ф0 + 26 0 - 261 - 26 J]l/a,+ sha + 2sht sh. cos (2ф0 + 26 0 - 261 - 26 J]l/a,(22)(22)где обозначеногде обозначеноsh - sh I я —8—*\2sh - sh I я —8—*\2В +ДВ/2 пте-8 тс ।В +ДВ/2 пте-8 тс ।(23)(23)[ птеДВ sh -shl[ птеДВ sh -shl2mc2mc

(20)

(20)

(21)

(21)

(1) 1

(1) 1

V*,

V*,

U

U

-PoV ’ shnsoshns.

-PoV ’ shnsoshns.

[sha +

[sha +

+ sha + 2sht sh. cos (2ф0 + 26 0 - 261 - 26 J]l/a,

+ sha + 2sht sh. cos (2ф0 + 26 0 - 261 - 26 J]l/a,

(22)

(22)

где обозначено

где обозначено

sh - sh I я —8—

*\2

sh - sh I я —8—

*\2

В +ДВ/2 пте-8 тс ।

В +ДВ/2 пте-8 тс ।

(23)

(23)

[ птеДВ sh -shl

[ птеДВ sh -shl

2mc

2mc

где введены обозначения;

s,-« W; 6

Это выражение можно также записать в виде х(9-р1$ш(ы1( + ф1).

где Ф^ - новая фаза. Тогда для нового ларморовского радиуса получаем выражение

В условиях aQ1 т > 1 и В011 > ДВ можно пренебречь sh по сравнению с sh . Тогда

I ЫдТ+Ы^!

со. sh1 In1

(24)(24)°\2/

(24)

(24)

° a^GtagtlshOca^)

и для отношения магнитных моментов получаем „Т^1 /“т раш

ц. та /а оаа ко j_o о ре о

I UgT + Oj, shaln—)1

/-лы.т -лы тJ

«1 + (е -e )a,(25) 1 зЬСлЫд^зЬСлц^)I

отсюда видно, что при ut > 1 адиабатический инвариант ц - е^/В сохраняется с точ- I костью до экспоненциально малых членов порядка ехр (—1/б), где е ~ Глврм/ГПоля < 1- 1

Этот результат имеет весьма общий характер и справедлив не только для рассмот- ] репного здесь конкретного закона изменения поля, но и в любом случае плав®) пеняя- 1 щихся полей.I

Нарушение адиабатического инварианта, когда Дц ~ ц, возможно лишь при условии 1 ит ~ 1, т.е. если поле существенно изменяется за время одного ларморовского периода. 1

Сила Лоренца и ее магнитный аналог|

Ранее в формуле (1.1) мы просто постулировали выражение для | силы Лоренца, но в действительности оно нуждается в более строгом | обосновании, которое мы проделаем ниже. При этом для общности 1 будем считать, что частица обладает и электрическим зарядом | qe, и магнитным зарядом qm подобно "монополю Дирака”, так что 1 на нее должны действовать две силы - сила Лоренца и ее магнит- я ный аналог. Чтобы получить выражения для этих двух сил, следует 1 проделать релятивистский расчет на основе формул специальной 1 теории относительности (СТО), показывающих, как преобразуются 1 различные величины при переходе от одной системы координат ■ к другой системе. Напомним, что при этом преобразуется и время 1 t, которое в движущихся системах течет не так, как в неподвижной I лабораторной системе.а

Введем штрихованную систему координат t' х' у' z\ движу-1 щуюся вместе с частицей. В этой системе частица в данный момент а неподвижна, и здесь естественно считать, что на неподвижный! электрический заряд qe действует только электрическое поле Е, al на неподвижный магнитный заряд qm действует только магнитное! поле В', так что имеем уравнение движенияа

mch'ldt'- qe Е'+ qm Bz,(7-0!

где е', в' - истинные поля в движущейся системе. В лабораторной! же системе, как можно ожидать, уравнение движения должно I иметь вид!

dp/dt = Fe + Fm; Fe = qeE*; Fm = qmB*(7.2)1

где р = ту/УГ^Р* - релятивистский импульс частицы, a Fg, Fm - Я сила Лоренца и ее магнитный аналог, содержащие неизвестные! 70!

пока что действующие поля Е*, В* связанные с истинными лабораторными полями Е, В формулами, которые и требуется определить. Далее мы покажем, что эти формулы имеют вид

Е* = Е + [рВ]; В* = В - [РЕ]; Р = v/c.(7.3)

Заметим, что величины Е* В* иногда называют полями в движущейся системе, но такое название, вообще говоря, неправильно и применимо только в нерелятивистском приближении.

Итак, строгий вывод силы Лоренца и попутно ее магнитного аналога сводится к получению формул (7.3), для чего следует проделать правильный релятивистский переход от уравнения (7.1) к уравнению (7.2) по правилам СТО. Эти правила заключаются в том, что в СТО вводится четырехмерное пространство с координатами х° = ct; х1 = х; х2 = у, х3 = z, которые при переходе от одной системы к другой преобразуются по формулам Лоренца

з

V'-Z^x*.(7.4)

k=0

Матрицу коэффициентов aifc можно найти из основного постулата СТО, который сводится к утверждению, что комбинация, называемая интервалом,

ds = 7(cdt)2 - (dx)2 - (dy)2 - (dz)2'= '/g^dTdjF=cdt/'}(7.5)

обязана быть одинаковой во всех системах координат, т.е. должна являться скаляром, не меняющимся при преобразованиях Лоренца (7.4). Здесь 7 = (1 _ Р2)"1'2, а йк - метрический тензор, имеющий только диагональные элементы, равные й^ = g = Diag (1, -1, -1, -1).

Правила СТО требуют, чтобы любая ’’правильно построенная” физическая величина являлась бы компонентой тензора того или иного ранга. Например, производная и - dx /ds = (у, u = ?Р) является четырехмерным вектором, т.е. тензором первого ранга, и преобразуется по тем же формулам (7.4), что и сами координаты х. Могут встречаться и двухиндексные величины типа Г , называемые тензорами второго ранга, преобразующиеся по формулам

3 з

(7.6) т»0 п=0

Индексы можно поднимать или опускать с помощью двух метрических тензоров gjk = g , и при этом следует различать нижние кова- 71

риантные индексы и верхние контравариантные индексы. Вводится также операция свертки, когда производится суммирование по одинаковым нижнему и верхнему индексам. Существует, в частности, ковариантный четырехмерный градиент с компонентами

(7.7)(7.7)

(7.7)

(7.7)

Наряду с ним можно построить и контравариантный четырехмерный градиент

i9999 \

V =g Vk = V? =, V‘ =, v3 =, v3 =.

k \ u cat ’Эх'Эу ’dz I

(7.8)

Условимся, что суммирование по одинаковым верхнему и нижнему индексам проводится без написания знака суммы. Если далее выразить поля через потенциалы эк

B = rotA;E = -Vy,(7.9)

то при подстановке этих выражений в уравнения Максвелла возникает так называемое уравнение калибровки потенциалов div А + + дф/cdt = 0, которое в релятивистски-инвариантной форме следует записать в виде V^-O, введя при этом контравариантный 4-потен- циал А = (ф, А). Используя теперь контравариантный градиент (7.8), составим антисимметричную по индексам комбинацию В^ = _i .k —k .i

= V A - V A, которая по своей конструкции является контрава- риантным тензором и, следовательно, обязана преобразовываться по формулам (7.6), а кроме того, содержит в себе выражения (7.9) для полей, поскольку, как нетрудно убедиться, компоненты полей равны:

Эфэ

Ех =—АХ = Ч1А°-Ч°А1=Е10; Е = F20; EZ=F30; (7.10) Эхc8t

aa

вхA,A =V3A2-A2A3=F32; В =F13; В =F21.(7.11) ayaz yy z

Тем самым мы выяснили релятивистскую сущность всех интересующих нас величин, входящих в уравнение (7.1), и поэтому теперь можем заняться его преобразованием к лабораторной системе. Поскольку в уравнении (7.1) частица не имеет скорости, так что у' = 1, удобно переписать это уравнение сначала в виде me1 du!Ids = qeE* +

+ qm В' и далее ввести продольные и поперечные по отношению к скорости комцоненты, записав два уравнения:

тс3-- ■ -qeEn + qmBg;

тс2= Че £1 + qm Blds

Преобразования Лоренца (7.4) принимают наиболее простой вид, если направить оси х и х' вдоль лабораторной скорости частицы т. Тогда сама скорость будет иметь только х-компоненту v = vx и формулы (7.4) примут вид

х10 = «оо-х0 + «oi*1? -х'1 = «ю-х° + «и*1;

х'2 = х2 = у; х'3 = х3 = z,(7.13)

где х° = ct, х1 = х. Условие неизменности интервала (7.5) будет выполнено, если (cdi)2 - (dx')2 = ^cdtV - (dx)2, что приводит к соотношениям

«Зо-«?о = 1, «и = «оо, «10 = «01. «ai-C аэ,.= 6з,(7.14)

где 6^ - единичный символ Кронекера. Поскольку в нерелятивистском пределе преобразования Лоренца должны переходить в преобразования Галилея: t' = t, х' = х - vf, то в (7.14) следует положить «оо = V = (1 - Р2)"1/2, «ю = -и = -Р?. Тогда для левых частей уравнений (7.12) найдем

du^ - du^ = du'1 = а10 du° + at t du1 = du, .

= -Pvdy + ydu =, du, = du,,(7.15)

и если ввести релятивистский импульс р = mcu, то после "левых преобразований” (7.15) уравнения (7.12) перепишутся в виде

4Р|//

——ЧеЕк + qm Ви; at

v-^-^^^b'.(7-i6)

Теперь следует преобразовать к лабораторной системе правые части, где поля, как показано ранее, являются компонентами тен-

зоров (7.10) - (7.11) и, следовательно, преобразуются по формулам (7.6), которые дают

e' = e'=f'10 = ихim onх

m,n

В'= Bz =f'32 = X ot a F™ = В(7.17)

н хзт 2л х

m, п

Поперечные же компоненты полей преобразуются по формулам типа

e'=f'20 = Ха, aQ Fmn= у2m ОД

т, п

= Z a0„ рп = а00 F20 + а01 ^ - у (Еу - рв,).(7.18)

П

Найдя аналогично и другие компоненты, можно убедиться, что

Е; = Е„; В'= В„; Е1= у (Ё + [РВ])± ; В^ = у (В - [рЁ]),(7.19)

и, подставляя эти выражения в (7.16), окончательно получаем уравнение (7.2) с действующими полями (7.3), что и дает силу Лоренца и ее магнитный аналог, действующий на монопольный магнитный заряд. Выражения (7.3) для Е*и В* позволяют построить уравнения релятивистской магнитйой газодинамики (см. § 19).

Глава 2

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ НИЗКОГО ДАВЛЕНИЯ

Наиболее важной в теории плазмы является проблема устойчивости. В гл. 1 было рассмотрено движение отдельной заряженной частицы во внешних полях Е и В, которые предполагались заданными. В действительности плазма состоит из многих частиц, которые, обладая зарядами, сами могут создавать электрические и магнитные поля. Поэтому действующее на отдельную частицу поле должно быть самосогласованным, т.е. определяться и внешними источниками, и поведением самой плазмы. Обычно именно собственные поля плазмы портят хорошо подобранные внешние поля и приводят к утечке плазмы.

Безразмерным параметром, характеризующим роль плазмы в создании суммарного самосогласованного поля, является отношение давления плазмы ргм = пТ к магнитному давлению рМ1ГН = = В2/8л:

„ ₽газ пТ Р _.

Рмагн В2/8л

Если это отношение мало, т.е. Р < 1, то в первом приближении можно по-прежнему пренебрегать полями, создаваемыми токами в самой плазме, т.е. считать, что магнитное поле определяется внешними условиями. Такую плазму (3 « 1) принято называть плазмой низкого давления. В настоящей главе рассмотрены системы, в которых плазма с низким давлением может обладать определенным запасом устойчивости.

Устойчивость плазмы в пробкотроне

Учет обстоятельства, что плазма состоит из многих ионов и электронов, приводит к картине движения плазмы, отличающейся от той, которую можно было бы ожидать на основе поведения отдельной частицы.

Рассмотрим для определенности систему пробкотрона и исследуем. поведение плазмы, заполняющей некоторую магнитную силовую трубку Т (рис. 38).

Предположим, что в некоторый начальный момент времени t = 0 электроны и ионы в одинаковом числе распределены по объему указанной трубки, а вне ее плазма отсутствует (рис. 38, о). Поскольку заряды скомпенсированы, электрическое поле равно нулю. Как показано в гл. 1, каждая частица будет при этом испытывать

Рис. 38. Схема разделения зарядов в пробкотроне

дрейф по бинормали со скоростью, определяемой формулой (4.3):'

УДР = ЬУДР = Ьу^2Якр иву^2Якр ивqB» ЫВ’ тсqB» ЫВ’ тс(8.1)(8.1)

УДР = Ь

УДР = Ь

у^2

Якр ив

у^2

Якр ив

qB

» ЫВ’ тс

qB

» ЫВ’ тс

(8.1)

(8.1)

причем ионы будут двигаться по бинормали, а электроны, обладающие отрицательным зарядом qe = -|е|, против бинормали. Такое движение ведет к разделению зарядов и появлению электрического поля, направленного против бинормали (рис. 38, б). Теперь уже частицы (и ионы, и электроны) будут испытывать электрический дрейф, направленный, как видно из рис. 38,в, наружу от оси системы.

Таким образом, указанная трубка с плазмой в целом будет двигаться в сторону выпуклости силовых линий, т.е. в область более слабого магнитного поля. В конечном счете этот эффект можно рассматривать как проявление диамагнетизма плазмы, приводящего к выталкиванию плазмы из области сильного магнитного поля в область слабого поля. Аналогичная картина движения плазмы должна наблюдаться и в тороидальной геометрии (рис. 39), где тороидальный дрейф, описываемый той же формулой (8.1), приводит к такому же эффекту.

Таким образом, рассмотренные плазменные конфигурации являются неустойчивыми; в них плазма выталкивается на стенки камеры, где магнитное поле слабее, чем в центре. Такую неустойчивость принято называть желобковой, конвективной или перестановочной (inter-change), хотя, возможно, правильнее называть ее просто диамагнитной неустойчивостью.

Для борьбы с этой неустойчивостью можно попытаться создать систему, где магнитное поле было бы слабым в центре и возрастало к периферии. Этому требованию удовлетворяет система типа анти- пробкотрона со встречными полями, изображенная на рис. 40.

Рис. 40. АнтипробкотронРис. 40. Антипробкотрон

Рис. 40. Антипробкотрон

Рис. 40. Антипробкотрон

Однако ее недостатком является наличие центральной области с нулевым магнитным полем, проходя через которую частицы как бы "забывают” о своем адиабатическом инварианте J^ у^/В, что облегчает их уход через магнитные пробки на концах оси и в плоскости экватора системы.

Возникает вопрос: нельзя ли создать систему, где магнитное поле было бы минимальным (но не равным нулю) в некоторой области и возрастало бы по всем направлениям от центра этой области? Требуемым условиям удовлетворяет пробкбтрон, вокруг которого параллельно оси расположены стержни; направление токов в соседних стержнях чередуется. Рассмотрим простейший вариант такой установки с четырьмя стержнями (рис. 41).

Нетрудно увидеть, что центр такой системы действительно обладает требуемыми свойствами. В самом деле, вдоль оси поле возрастает в обе стороны от центра по направлению к пробкам, а в центральной плоскости, где z = О, оно возрастает (если ток в стержнях превосходит некоторый определенный предел) по радиусу от центра к периферии вследствие приближения к стержням (более подробно это показано в § 10). Эксперименты показали, что плазма в подобной системе действительно не проявляет неустойчивости, если ее плотность достаточно мала (р~ 10-3).

Для того чтобы установить количественный критерий устойчивости плазмы в подобных системах, рассмотрим переход магнитной силовой трубки из начального положения I в положение П, более удаленное от оси системы (рис. 42).

По отношению к времени пролета частицы между точками отражения Гц = $dl/vt такой переход можно рассматривать как сравнительно медленный, и поэтому продольный адиабатический инвариант

Рис. 41. Пробкотрон со стабилизирующими стержнями с токамиРис. 41. Пробкотрон со стабилизирующими стержнями с токамиу$ dl = \ >/у2 - J^fi'dl

Рис. 41. Пробкотрон со стабилизирующими стержнями с токами

Рис. 41. Пробкотрон со стабилизирующими стержнями с токами

Рис. 42. Конвективное всплывание силовой трубки

должен сохраняться:

Г/,,Ьчг — 1.ЬВ\

6В 6d/ +;==г- d/ = 0.(8-2)

J \2^-Цв/

Здесь Jy = v^B - поперечный адиабатический инвариант, который также следует считать постоянным. Умножив равенство (8.2) на массу частицы m и поделив на период Tv можно найти приращение энергии частицы при указанном переходе:

1 I / mv3\ dl m Г/ J165\

6e =l 6 =I ——d/-v„6d/ . (8.3)

5^Л|1 J \ 2 / vu J\ 2vu'

Полагая, что P = 8лр/В2 « 1, и пренебрегая токами в самой плазме, можно считать, что магнитное поле, как для вакуума, удовлетворяет уравнению rot В = 0, откуда следует, что

6(Bd/) = B6d/ + d/6B = 0.(8.4)

Выражая отсюда 6d/, можно формулу (8.3) представить в виде

т V 6В Iv3 \ dl

бе =I vj? + .(8.5)

тй J В \2 / v#

Здесь 65 = Вц - Bi - приращение магнитного поля на внешней силовой линии II по сравнению с первоначальной линией I. Как это следует из вывода соотношения (8.4), сравнимые точки должны располагаться на перпендикуляре к силовым линиям I и И, которые считаются достаточно близкими друг к другу. Иными словами, бв = sV|b|, где s 1 В. Так как частица не может в постоянном магнитном поле получить откуда-либо избыточную энергию, то, очевидно, условием устойчивости и будет требование бе > 0, которое выполняется, если

f 88 /’2i \ dl

Здесь интеграл берется между точками отражения частицы, движущейся по линии I, причем энергия частицы £ = mv2/2 и инвариант ц = mv^/2B считаются заданными. Если в плазме, заполняющей нашу силовую трубку, имеется N частиц с различными значениями £ и Ц, то условие устойчивости можно записать в виде

N

2 б£, > 0,(8.7)

i=l

где сумма берется по всем частицам в трубке

N=SF((E,u)dedu.(8.8)

Очевидно, группа частиц dNeu = F(e, n)dEdp имеет практически одинаковые точки отражения на линии /, и для каждой частицы этой группы отношение

dtdZ/VgГдSdlAgdtdZ/VgГдSdlAg‘V‘V

dtdZ/Vg

ГдSdlAg

dtdZ/Vg

ГдSdlAg

‘V

‘V

можно рассматривать как вероятность пребывания частицы на отрезке dl. Тогда произведение dNe dW£ (/) есть число частиц на длине dl силовой трубки в положении I, причем dN6^ не зависит от /. Поскольку формулу (8.5) можно записать в виде

f SB I V2] \ dt бе. = т I v2 + —

J В \ '2 / Т#

SB Imv2, \

то для приращения энергии всех N частиц, заполняющих трубку, имеем

mv2. 1-^\dNe>udWEiUUYmv2. 1-^\dNe>udWEiUUY(8.9)(8.9)N_ Г f 65 /

mv2. 1

-^\dNe>udWEiUUY

mv2. 1

-^\dNe>udWEiUUY

(8.9)

(8.9)

2 бе, = 1 6bdNe u = I mv? +

Z-1JJ в \

Между тем произведение dN6 Vt dWeat (/) можно выразить с помощью обычной функции распределения частиц по скоростям fV, t, v). Если известна такая функция, то величина dN = Wrdx есть число частиц в объеме dr = dV со скоростями, лежащими в элементе dv скоростного пространства. Таким образом,

<и dNE, ц dWe, ц (/) = fdVch = (BdS) у fdx.

Магнитный поток dФ = BdS, пронизывающий магнитную трубку, постоянен вдоль трубки, и поэтому уравнение (8.9) можно записать в виде

N Г SB ГI mv2. \ 16е^Ф1dl mv? +—- /dv.(8.10)

i-i J "2 /

Последний интеграл здесь можно связать с давлением плазмы. В магнитном поле давление плазмы в разных направлениях может быть различным и потому в общем случае должно описываться

тензором давлениятензором давления

тензором давления

тензором давления

(8.12)(8.12)компоненты которого связаны с функцией распределения соотношением

(8.12)

(8.12)

Р,к = 5 mV; vk/dv.

Если распределение сферически симметрично /(т) = /(|v|), то, очевидно, Р^ = 0 при i * к, а все диагональные элементы равны друг другу. Такой тензор, следовательно, имеет вид

(8.13)(8.13)/р00\

(8.13)

(8.13)

Р1к =0рО=р61к,

\00р/

где

(1 г = к,

6«к = (0 i*k.

Если свернуть этот тензор (по двум одинаковым индексам подразумевается суммирование от 1 до 3), то, учитывая, что б„ = 3, найдем

12 Г mv32

р =—Р:: =—\ -—/dv=— п<е>,

3з J 23

Г 1 где п = 5 fdv - плотность частиц, а <е> = (1/n) I —mv2/dv - средняя

энергия частиц. Например, для максвелловского распределения

,V3'2/2

/=п 1 ехр

\2лТ/\ 2Т

имеем < е > = -у Т, и поэтому для давления имеет место обычная формула р = пТ. Если распределение сферически несимметрично: / = /(vi» vi), то» направив ось z вдоль магнитного поля и учитывая быстрое вращение частиц вокруг направления поля, можно видеть,

что тензор давления в эамагниченной плазме должен иметь вид

О О р±00 ₽«О О р±00 ₽«

О О р±0

0 ₽«

О О р±0

0 ₽«

где

(8.14)(8.14)Pl ” Ра = S mv^/dv;

(8.14)

(8.14)

1 Г

Pl = “^ (рхх * Руу) = 1 ~ fdv.

Таким образом, интеграл, фигурирующий в выражении (8.10), равен

(8.15)(8.15)mVg + —— I /dv = ре + рх.

(8.15)

(8.15)

Опуская в выражении (8.10) несущественный положительный множитель dФ, можно, следовательно, условие устойчивости 2 6е,- >

> 0 записать в виде

[ ЬВ

— (p„ + Pl)d/>0.(8.16)

j В2

Здесь, как уже отмечалось, бВ = sV|b| и s 1 В, так что 6В есть приращение поля на соседней (внешней) силовой линии, причем сравниваемые точки расположены на перпендикуляре к силовой линии, а интеграл берется по области, где Pg + Pi * 0, т.е. по всей области, занимаемой плазмой.

С помощью критерия (8.16) можно количественно исследовать устойчивость плазмы в системах типа пробкотрона со стабилизирующими стержнями. Если такие стержни отсутствуют и поле пробко- трока является аксиально-симметричным, то

, , в

VjBl-n — ккр и

В 1

6B = sVB = (sn)[B2nr(sn)J.(8.17)

^кр Якр2лг

Здесь п - нормаль к силовой линии, направленная к центру кривизны: RKp - радиус кривизны линии; г - расстояние силовой линии от оси пробкотрона.

Рис. 43. К выводу критерия (8.18)

Условимся считать, что /?кр > 0 на вогнутом и йкр < 0 на выпуклом участке силовой линии (рис. 43). Тогда sn есть расстояние по перпендикуляру между двумя близкими силовыми линиями, а величина

d® = B2nr(sn)

есть магнитный поток, заключенный между двумя магнитными поверхностями, на которых расположены эти линии. Так как d® не зависит от /, то, вынося его из-под интеграла в неравенстве (8.16) и опуская, получаем критерий устойчивости для аксиально-симметричного пробкотрона

(2V^d/>0.(8.18)

J ^якр

Если, в частности, плазма располагается лишь на выпуклых участках силовых линий, для которых RKp < 0, то такая конфигурация будет неустойчива.

В § П критерий (8.16) будет использован нами для анализа устойчивости плазмы в аксиально-несимметричном поле пробкотрона со стабилизирующими стержнями.

Задача 1. Вычислить 1№кр при В = Вд (1 + z2/!2).

Задаче 2. Вычислить Рц + р^ = / (г) для плазмы, состоящей из частиц с одинаковыми значениями е и ц, приятия параболическую аппроксимацию для поля на оси.

§ 9. Условие “минимума В" для замкнутых систем

Незамкнутые системы типа пробкотрона обладают тем принципиальным недостатком, что в них возможен уход частиц через пробки вдоль магнитных силовых линий. Для такого ухода, как мы уже видели в гл. 1, продольная компонента скорости должна быть больше критического значения, определяемого соотношением

(9.1)(9.1)i.t

(9.1)

(9.1)

СехрСехр(9.2)(9.2)Функция распределения остающихся - "запертых” - частиц по скоростям должна, следовательно, иметь вид, изображенный на рис. 44. В качестве модели обычно считается, что эта функция имеет вид так называемого максвелловского распределения с вырезанным конусом:

Сехр

Сехр

(9.2)

(9.2)

Чпри —— >

г

Чпри —— <

V

Однако взаимные столкновения частиц стремятся восстановить истинное сферически-симметричное максвелловское распределение, обладающее, как известно, наибольшей энтропией. Поэтому распределение с вырезанным конусом не является стяципнарным? время от времени частицы в результате столкновений будут приобретать скорости, лежащие в опасном конусе, и уходить из системы.

Более перспективными являются замкнутые системы типа тороидальной ловушки. Рассмотрим устойчивость плазмы в таких системах. Очевидно, критерий (8.16), для вывода которого необходимо лишь использовать сохранение продольного инварианта А ~ 5 vu ^ = const- остается в силе и для замкнутых систем, однако он допускает существенное упрощение. В таких системах можно считать распределение частиц по скоростям сферически-симметрич- ным, для которого, как мы видели (см. формулу (8.13)],

2

P4=P1=p = — nU). (9,з)

Кроме того, давление в этом случае должно быть постоянным вдоль силовой линии. Это следует из того, что в состоянии равновесия градиент давления Vp должен уравновешиваться электро-

1

магнитной силой— (jB], действующей на единичный объем плазмы, с

Рис. 44. Распределение по скоростям с "вырезанным конусом”

так что уравнение равновесия изотропной плазмы должно иметь вид

vP=—о»]

С

(более детально уравнение равновесия будет рассмотрено в гл. 3).

Отсюда следует, что

BVp = ВЭр/Э/= 0, т.е. р (/) = const.

Используя указанные обстоятельства (которые не имеют места в общем случае анизотропного распределения), можно вообще опустить давление в критерии (8.16), который, таким образом, для замкнутых систем принимает вид

Г SB

фdl>0.(9.4)

J в1

Учитывая далее, что 6 (Bd/) = 0 [см. формулу (8.4)], нетрудно убедиться, что это эквивалентно условию

6^d//B < 0. (9.5) Иными словами, при удалении от ,оси системы должен убывать интеграл

ifsv ,

(9.6)(9.6)ф dSdl V»$BdS J6Ф

(9.6)

(9.6)

который можно рассматривать как производную от объема силовой трубки 6V = jdV по пронизывающему ее магнитному потоку 6Ф = = $BdS. Интеграл ^dl/B иногда называют для краткости удельным объемом.

Очевидно, условие убывания интеграла §dl/B в предельном смысле соответствует требованию возрастания ”в среднем” магнитного поля к периферии системы, которое, как мы убедились в начале § 8, ведет к устранению диамагнитной (конвективной или перестановочной) неустойчивости плазмы.

Системы, удовлетворяющие условию (9.5), принято поэтому называть конфигурациями с минимумом В, хотя истинный минимум магнитного поля на оси в них и не достигается.

В самом деле, рассмотрим для простоты бесконечную систему (которую можно рассматривать как модель замкнутой системы) с магнитной осью в виде прямой линии, причем эта ось сама явля-

ется силовой линией. Для того чтобы на оси магнитное поле было меньше, чем на периферии, магнитные силовые линии должны быть всюду обращены выпуклостью к оси; в этом случае мы получаем конфигурацию, изображенную на рис. 45. В такой системе обязательно имеются участки, где силовые линии уходят далеко от оси (в принципе в бесконечность), что, конечно, затрудняет эффективное удержание плазмы. Если же соседние с осью силовые линии идут всюду близко к оси (рис. 46), то они, очевидно, не могут быть везде обращены к ней своей выпуклостью. Здесь вогнутые участки, для которых В на оси минимально, чередуются с выпуклыми, для которых, наоборот, В максимально.

Итак, мы видим, что невозможно создать систему, в которой магнитное поле на некоторой силовой линии было бы меньше, чем на соседних с ней силовых линиях, если эти соседние линии всюду располагаются близко к оси.

Из критерия (9.5) следует, однако, что указанное жесткое требование возрастания В к периферии не является необходимым; для устойчивости достаточно удовлетворить более мягкому условию убывания ^dl/B. Физически это объясняется тем, что частица, быстро летящая вдоль силовой линии, как бы успевает ’’прочувствовать” и хорошие участки, где В возрастает к периферии (соответственно МВ - убывает), и плохие, где В убывает, а МВ возрастает. Результирующий эффект - характер поведения интеграла ^dl/B - зависит от относительного вклада этих участков и может быть благоприятным, даже если силовые линии обладают переменной кривизной, как это изображено на рис. 46.

Рис. 46. Система последовательных проб- котроновРис. 46. Система последовательных проб- котроновОднако задача создания систем, удовлетворяющих условию минимума В (9.5), отнюдь не является простой. Покажем, например, что это условие не удовлетворяется в аксиально-симметричном поле, осью которого является прямая силовая линия. Такую систему можно рассматривать как периодически продолженный пробкотрон. Направив ось г вдоль оси системы, из уравнений для силовых линий прежде всего имеем dl/B = dz/Bz. Полагая далее В2 = Во (z) + &BZ,

Рис. 46. Система последовательных проб- котронов

Рис. 46. Система последовательных проб- котронов

Рис. 45. Система последовательных анти- пробкотронов

где BQ (z) - поле на самой оси, a &BZ - малая поправка, получаем

J "оJ "о(9.7)(9.7)z Г c/ZГ dsГ ds

J "о

J "о

(9.7)

(9.7)

Уд ■ 1 —— = 1 —— % I I. — I

J »J «,J B.W

Здесь можно считать, что интеграл берется по одному периоду поля. Для определения SBZ воспользуемся тем, что для поля в вакууме скалярный потенциал, удовлетворяющий уравнению

1ЭЭф1Э2фЭ2ф

Лапласа —г —— + —— .+ —- = 0, вблизи оси должен

гЭгЭгг2Эф2d?

иметь вид

ф (г, z) = S Во (z) dz--^-Bq(z) г2 + 0 (г4)(9.8)

1

и поэтому В, = Эф/dz =В0 (z)Во (z) г2. Уравнение силовой линии 4

г = r(z) можно найти из условия сохранения магнитного потока Во (z)nr3 (z) = const = Во (0)лг2. Таким образом, имеем

1 и

eBz|wW— -Bo(z)r2Bo(0)/Bo(z),(9.9)

и формула (9.7) приобретает вид

, Г л f dz в0 ОТГв^)

Уф = |= I+ г;Idz

J В J В„ (z)4 Jb2W

или после интегрирования по частям

(9.Ю)(9.Ю)JdZ Г dz 3Г / В„ (z) \ 2

(9.Ю)

(9.Ю)

+ —г2Во(0) — dz.

В J B,(z)4 °B^z) )

Как видим, здесь поправка ~г^ всегда положительная, и поэтому \dl/B возрастает к периферии, что ведет к неустойчивости плазмы в аксиально-симметричном поле, представляющем собой периодически продолженную пробочную геометрию.

Примеры аксиально-несимметричных систем, удовлетворяющих условию минимума В, будут рассмотрены нами в следующих параграфах.

Принимая во внимание важность критерия 6^dl/B, полезно рассмотреть другой метод вывода, сделанный на основе гидродинамических представлений. При этом мы будем считать, что плазма представляет собой идеально проводящую среду (газ), давление

которой подчиняется закону адиабаты р¥? = const, где V - некоторый выделенный объем, а у = cp/cv - показатель адиабаты.

Предположим, что силовые линии в нашей системе являются замкнутыми, и выделим некоторую магнитную силовую трубку (рис. 47). Если р4 - давление газа внутри трубки, а ре - снаружи, то в равновесии, очевидно, р, = ре. Объем трубки можно представить в виде

У = SdSdZ = Ффd//B,(9.11)

причем Ф = ^BdS есть магнитный поток, пронизывающий трубку, и по определению он постоянен по ее длине. Предположим теперь, что эта трубка сместилась. Если проводимость среды бесконечно велика, то в такой среде в системе координат, движущейся вместе с ней, не могут возникать электрические поля и ЭДС индукции по контуру К, охватывающему поперечное сечение трубки, должна равняться нулю. Следовательно, при перемещении трубки магнитный поток Ф должен сохраняться. Если ввести обозначение J = = $dl/B, то из формулы (9.11) видно, что при смещениях объем трубки изменяется пропорционально J, т.е. V = const J. Предположим, что объем трубки увеличился на 6 У > 0 и стал равен У + 6 У, причем

6V/V-6J/J. (9.12)

При этом давление газа внутри трубки уменьшится на величину 6pj < 0, определяемую адиабатой

(9.13)(9.13)6pi = -ypi6y/y=-yp,6j/j.

(9.13)

(9.13)

в то же время в новом положении давление окружающей среды станет равным ре + 6ре.

Рис. 47. К выводу критерия конвективной устойчивости

Очевидно, плазма будет устойчива относительно подобных виртуальных перемещений отдельных труб, если бр, < бре, поскольку в этом случае избыточное давление внешней среды стремится сжать трубку, препятствуя ее дальнейшему расширению. Таким образом, для устойчивости необходимо, чтобы

(9.14)(9.14)(9.15)(9.15)6p,. = -yp6j/j<6pe,

(9.14)

(9.14)

(9.15)

(9.15)

или иначе

брр

<v —.

6JJ

При р ■* 0, что соответствует ₽ = 8лр/В2 -► 0, справа имеем нуль, и для устойчивости необходимо, чтобы слева была отрицательная величина. Если давление плазмы спадает от центра к периферии (бр < 0), то имеем условие устойчивости (9.5)

б7=бфЛ/В<0, (9.16)

которое и было получено нами ранее.

Однако в таком виде это условие можно применять лишь для систем, где магнитные силовые линии сами замыкаются, что, вообще говоря, не имеет места.

Для того чтобы распространить критерий &^dl/B < 0 на системы с незамкнутыми силовыми линиями, рассмотрим более детально структуру замкнутых плазменных систем.

Если плазменный шнур располагается вблизи оси системы так, что давление плазмы р спадает к периферии, то, очевидно, поверхности постоянного давления р = const образуют совокупность вложенных друг в друга трубок, как это изображено на рис. 48. Из уравнения равновесия

следуетBVp = 0 и JVp = O,следуетBVp = 0 и JVp = O,(9.18)(9.18)Vp = —[jB] (9.17) с

следует

BVp = 0 и JVp = O,

следует

BVp = 0 и JVp = O,

(9.18)

(9.18)

Рис. 48. Равновесная плазменная система

и поскольку градиент давления Vp направлен по нормали N к поверхности р = const, В^ > « 0. Иными словами, магнитные силовые линии В и линии тока j лежат на поверхности постоянного давления, которая, таким образом, является в то же время магнитной поверхностью и токовой поверхностью.

Очевидно, в общем случае силовые линии, лежащие на этой поверхности, не замыкаются сами на себя после обхода вдоль всей системы.

При такой ситуации величину

р Ш 1 Г 6У

следует рассматривать как производную от объема V, заключенного внутри некоторой магнитной поверхности р = const, по пронизывающему ее продольному магнитному потоку Ф. С учетом этого замечания критерий устойчивости (9.16) в пределе Р -* 0 можно представить в виде

6 Уф - V^ 6Ф < 0 или Уф < 0. (9.19)

Если же мы хотим учесть конечность давления плазмы 1 » Р * 0, то следует воспользоваться критерием (9.15), который в этом случае принимает вид

-^ < У — или -р^ У; < V Ц- (Ур2. (9.20)

Уф Уф Уф *

Задача. Пользуясь критерием б $dl/B < 0, определить условия устойчивости плазмы в системе, изображенной на рис. 49 и состоящей из однородного поля В” - const, направленного по оси х, и проволочных крестовин, периодически расположенных вдоль оси z. Каждая крестовина состоит из двух пар бесконечных прямых проводов, расположенных на расстоянии 2а друг от друга, причем по одной паре текут токи I*, усиливающие основное поле В0, а по другой паре токи /_, ослабляющие В0. Соседние крестовины повернуты на 90° относительно друг друга.

Рис. 49. Система последовательных крестовин с токами

Решение. Поле бесконечного прямого провода равно By = 2Z/cr, и, как нетрудно видеть из рис. 50, пара проводов, параллельных оси у, с токами 1^ создает поле

ы» ы* м» I *z \

В = —— sin а —sin а ■ —— I:1;

",сг,с ' з3 + (а — х)3. з3 + (в+х)3 '

V":(1)

2Z*2/*21* / а — ха + х \

д „cos а, +соза = 1+).

сг,сг^с \ с3 + (а — х)3^ + (а + х)3 /

Учитывая вторую пару проводов с токами 1. (ее поле получается из уравнений (1) путем замены х -* у, I* ■* 1_, где 1^ > 0) и принимая во внимание постоянную составляющую S°, нетрудно убедиться, что при малых х, у поле вблизи одной крестовины можно представить в виде

1+Р,1-Р.

вх—*—T~so<z): ву*-у-Г~в^У, 22(2)

1/1 + р1-р\

Bz=BeW-- (—X3 +—У3) В* (3).

(3)

соответствует полю на оси х=у - 0. Будем считать, что крестовины расположены настолько далеко друг от друга, что их взаимным влиянием можно пренебречь и вычислять их вклады в интеграл У=j dl/B независимо. Вводя пробочное отношение

= 1+4(^-/_)/соВ°,= 1+4(^-/_)/соВ°,(4)(5)(4)(5)„ ^макс Во W

= 1+4(^-/_)/соВ°,

= 1+4(^-/_)/соВ°,

(4)

(5)

(4)

(5)

V3—

дмин в

запишем поле на оси [см. формулу (3)] в виде BQ (з) - В° р (з), где v3-!v3+(s/a)2

₽ (з) = 1 +•

1 + (з/а)3 l + M)3

Тогда нетрудно проверить, что в первом приближении по х и у уравнения силовых

линийлинийdx(z) Вх 1 + р в'(з) ■ "■ * —х;

линий

линий

dz.Bz 2B0(z)

dy(z) ву 1-P S'(x) Bz = Bz ^~y г В„(з)

Рис. 50. Магнитное поле пары бесконечных прямых проводов

имеют интегралы

1+р1-р

я (z) ■ хоо Р; у (*) - у» Р .(7)

Полагая в соответствии с формулой (2) В, - Ве (z) + ЬВ,, рассмотрим величину

Г dl Г dz Г dz Г dr

-\— -\\бв(g)

J В J B„(z) + 6BZ J B„(z) J B^z) Для устойчивости необходимо, чтобы поправка +со I»

Г dz 1 Г В 0(z)dz

6j--\—8BZ\Ц1+р)ха + (1-р)уа](9)

была отрицательна. Подставляя сюда х (z) и у (z) из формулы (7) и преобразуя интегралы по частям, запишем эту величину в виде

Sl-x^P^ + y^P.,(10)

где(( = х/о)

+== »

, _ 1±Р Г »todt ±_ ^ 1 Р3 *Р(0

(1±р)(3±р) Г P»(t)

(И)(И)^1р4±р(0

(И)

(И)

Так как по условию р > 1, то по крайней мере коэффициент Р^ будет положителен, что приведет к неустойчивости. Таким образом, одна крестовина не может обеспечить устойчивость системы.

Если, однако, в системе имеется вторая крестовина, повернутая относительно первой на 90°, то ее вклад составит величину [ср. с выражением (10)]

б^-з&Р.+у^Р.(12)

и вместе с (10) в результате получится

SJ-SJ^S^-^^y^XP^PJ.(13)

Тогда для устойчивости необходимо условие

dt— Pa(t) Р4dt— Pa(t) Р4(14)(14)(1+Р)(3 + р)_)

dt

— Pa(t) Р4

dt

— Pa(t) Р4

(14)

(14)

(Р -1) (3 -Р) рч < 0.

РJ

Второй член под интегралом отрицателен при 1 < р < 3.Пусть, например, р - 2. Тогда с учетом формулы (5) находимВторой член под интегралом отрицателен при 1 < р < 3.Пусть, например, р - 2. Тогда с учетом формулы (5) находим(15)(15)

Второй член под интегралом отрицателен при 1 < р < 3.

Пусть, например, р - 2. Тогда с учетом формулы (5) находим

Второй член под интегралом отрицателен при 1 < р < 3.

Пусть, например, р - 2. Тогда с учетом формулы (5) находим

(15)

(15)

гдегде(va-l)’ const-.

где

где

аВ*

Фигурирующие здесь интегралы нетрудно вычислить:

я Г 15 / 337 11

Р-const I++1-

2v L 16 ' 8v4 4ve 8v*' (v +1)3

Отсюда можно видеть, что условие устойчивости 6J < 0 выполняется начиная примерно ev>2.

§10. Пробкотрон со стабилизирующими стержнями

Простейшей системой, в которой поле В минимально в некоторой области, является пробкотрон со стабилизирующими стержнями. Рассмотрим, например, систему из 2п тонких бесконечных стержней с противоположными токами ±1 в соседних стержнях (рис. 51, где 2л = 4). Вблизи оси скалярный потенциал, удовлетворяющий уравнению Лапласа Аф = 0, имеет вид

(ЮЛ)(ЮЛ)ф (г, ф, z) = Во (z) dz- — в' (z) г» + фст,

(ЮЛ)

(ЮЛ)

где фп - потенциал, создаваемый стержнями.

Если стержни бесконечны, для определения фя удобно воспользоваться комплексным потенциалом

MZW^x.yJ + iA"^),(10.2)

Рис. 51. Схема пробкотрон» с четырьмя токовыми стержнямиРис. 51. Схема пробкотрон» с четырьмя токовыми стержнямигде Z = х + iy = ге1ф; фет - скалярный, а А” - векторный потенциалы I магнитного поля стержней Вя - ?фст = rot Аа. Для тока I, текущего | от бумаги к читателю, имеем |

Рис. 51. Схема пробкотрон» с четырьмя токовыми стержнями

Рис. 51. Схема пробкотрон» с четырьмя токовыми стержнями

откуда находим ф =—2/ф, А, 2Ппг и, следовательно, сс

иЯ <- Я

IV (Z) -(ф - ilnг) =In (re ф) InZ.(10.4)

сcici

Для тока в точке Zo

Я

W^ =ln(Z-Z0).(Ю.5)

ci

Если имеется 2п точечных стержней с токами I в нечетных и -I в четных стержнях, расположенных равномерно по окружности радиуса а (см. далее рис. 54), то суммарный потенциал будет равен 2пя

W(Z) = Z Wk(Z) = —ln[ n(Z-Zk)/ n(Z-Zk)J,(10.6)

k-1C1 нечет чет

где H(Z - Zfc) - произведение n множителей. Угол между соседними стержнями равен 2л/2п. Поэтому

Zk = а ехрZk = а ехрл /1 \

Zk = а ехр

Zk = а ехр

i— к

п у2 I

(Ю.7)(Ю.7)n(Z-Zk) = П Z-ae '' = z”-ia ;

(Ю.7)

(Ю.7)

ечет m=l\/

л /1 \

n / i—12m n(Z-Zfc)= П Z-ae 21 -z” + ian,

четm=l\/

и таким образом (опуская несущественную постоянную), найдем

11l + i(2/a)”

(10.8)(10.8)W=In dl-i(2/e)n

(10.8)

(10.8)

где Z - re .

Вблизи оси Z/a «к 1, поэтому, ограничиваясь первым членом разложения, находим

4// Z \_4/„

(Ю.9)(Ю.9)Фет (ф)= Re W (2) = —— Rej =——г созпф.

(Ю.9)

(Ю.9)

Если стержни выполнены в форме 2п бесконечных пластин, занимающих каждая угол X (рис. 52, где 2п = 6), то

«1Ш(лТ/2)„

ф- =.г cosnip,(10.10)

"(пТ/2)

где 1 - ток в одной пластине. Наконец, если стабилизирующие стержни имеют конечную длину и изготовлены в виде рамок, как изображено на рис. 53, то скалярный потенциал можно представить в виде

Фст = g (z) г” cos пф.(10.11)

В этом наиболее общем случае уже нельзя пользоваться понятием комплексного потенциала W(Z). Для определения функции

g (z) удобно разбить площадь рамок на элементарные диполи d^ =— dS с

и вычислить потенциал, создаваемый всеми такими диполями. Мы, однако, не будем приводить здесь этих громоздких вычислений.

9

Рис. 53. Возможные варианты стабилизирующих стержней

Рассмотрим проблему устойчивости плазмы в поле с потенциалом

(10.12)(10.12)A> = SBQ(z)dz + ^2\r^,z'),

(10.12)

(10.12)

где

ф® = —— в'а г3 + grn cos Пф.

В обычном пробкотроне плазма неустойчива вследствие выпуклости силовых линий, которая описывается в потенциале членом

1 ,

Bq^t2. Если / - характерный размер неоднородности поля 4

на оси [например, приближенно поле на оси можно аппроксимировать параболой Во (z) = В (0) (1 + z2/!2)], то указанный член будет второго порядка малости по параметру е = г/1 « 1 по сравнению с основным членом в потенциале ф° = $Bodz. Так как стабилизирующие стержни должны компенсировать отрицательное влияние выпуклости силовых линий, то потенциал стержней фв = g (z) г cos пф также следует считать величиной второго порядка малости ф^ ~ е3. Тогда имеем

„ а*<«„ п-1

Вг = —:— г + g (г) nrcos пф;

or2

Эф®

Вф =—-—--g^nr$тпф;(10.13)

ЭФ<2>1 ,,„

BZ = BO +—^— = B0-—B0T3*g^r cos пФ,

1 аФ(2)

причем Brv! Во ~ е; — —е3. Для модуля поля с точностью

вв ох

до членов ~ е3 найдем эф»’ ,

(10.14)

где В3 = В3* В3.

Поле на оси будем аппроксимировать параболой:

Bo^-BWd+z3//3),

а функцию g (z) всегда можно считать четной:

(10.16) 95(10.16) 95g (z) = g(0) (1 + dz2 ^ c3zA +...).

(10.16) 95

(10.16) 95

Для устойчивости плазмы, как известно, необходимо, чтобы поле |в| возрастало к периферии системы. Рассмотрим, например, центральную плоскость пробкотрона z = 0. В этой плоскости в соответствии с формулами (10.13), (10.14)

|в|^о-в(г)-в(о)|в|^о-в(г)-в(о)(10.17)(10.17)г3/ пг(0) \2 1 2п—2

|в|^о-в(г)-в(о)

|в|^о-в(г)-в(о)

(10.17)

(10.17)

1+ —г

2?\ 3(0) / ,2

На рис. 54 качественно изображена зависимость В (г)/В (0) = /(г). Для четырех стержней минимум поля будет располагаться на самой оси, если

а = 2/а = 2/8(0)В(0)8(0)В(0)>1,>1,(10.18)(10.18)

а = 2/

а = 2/

8(0)

В(0)

8(0)

В(0)

>1,

>1,

(10.18)

(10.18)

а для шести, восьми стержней и т.д. - на радиусе:

(10.19)

и устойчивость возможна лишь в том случае, если гЦ1И, располагается внутри вакуумной камеры установки г^ < г^^.

Если ввести удобное обозначение

« = п/—г”"2,(10.20)

3(0)

d

то необходимое для устойчивости условиеВ > 0 будет выпол- dr

няться лишь в области, гденяться лишь в области, гдегмилр котроне со стержнямигмилр котроне со стержнями

няться лишь в области, где

няться лишь в области, где

гмилр котроне со стержнями

гмилр котроне со стержнями

При этом г0 должен быть меньше радиуса стенки камеры. Для более полного исследования устойчивости плазмы в пробкотроне со стабилизирующими стержнями следует обратиться к критерию (8.16). В указанный критерий входит величина 6В = sVB, для вычисления которой необходимо знать градиент поля [см. (10.14)]

VrB =VrB =(10.22)(10.22)

VrB =

VrB =

(10.22)

(10.22)

/31

V,B = Bq (z) + —+в^

9z \2S„

и вектор s 1 В. Здесь В^=ф®. дх

Рассмотрим силовую линию

(10.23)(10.23)'•=^('-оЛо>г); Ф’ф^о.Фо.Д

(10.23)

(10.23)

где г0, фу - точка пересечения линии со средней плоскостью пробко- трона z = 0, и введем обозначение

ЭЕЭЕ

(10.24)(10.24)МОо, Фо,г)=6г0+6<р0.

(10.24)

(10.24)

Эг0д<Р0

Тогда для линии (10.23) вектор s, представляющий собой перпендикуляр, опущенный из точки z на соседнюю (внешнюю) силовую линию, можно представить в виде

Хф = Дбф = RХф = Дбф = R(10.25)(10.25)эн sz=6z; sr= 6R= 60R +sz; dz ЭФ боф+——St dz

Хф = Дбф = R

Хф = Дбф = R

(10.25)

(10.25)

Поскольку 3R/dz = BrjBz и Rдф/дz = Bv/Bz, из условия sB = 0 можно найтиаф(2) х 8 Ф(2)МН°• (Ю.26)Эф / воПоскольку 3R/dz = BrjBz и Rдф/дz = Bv/Bz, из условия sB = 0 можно найтиаф(2) х 8 Ф(2)МН°• (Ю.26)Эф / воWWsz =1*(В JBzysz =1*(В JBzyэ^дгэ^дг

Поскольку 3R/dz = BrjBz и Rдф/дz = Bv/Bz, из условия sB = 0 можно найти

аф(2) х 8 Ф(2)

МН°• (Ю.26)

Эф / во

Поскольку 3R/dz = BrjBz и Rдф/дz = Bv/Bz, из условия sB = 0 можно найти

аф(2) х 8 Ф(2)

МН°• (Ю.26)

Эф / во

W

W

sz =

1*(В JBzy

sz =

1*(В JBzy

э^дг

э^дг

Оставляя в SB лишь члены порядка е3 ~ (гд//)3, из формул (10.22)*- (10.26) получаем

6В = 6О(^ +—— В?--^-ф(2)К(Ю.27)

Так как в критерии устойчивости (8.16) оператор 60 можно вынести из-под знака интеграла и проводить интегрирование непосредственно вдоль самой оси пробкотрона (при этом опускаются поправочные члены порядка е4), то критерий принимает вид

Г ев

I(р„ + p3dl =

J в

= , [ ^ILL—Iв®*—В»-4)(2)U > 0.(10.28)

J В’ \ 02В01 Во * /

Интегрировать здесь следует по области, где р( + р^ + 0, т.е. по области, занятой плазмой.

Для потенциала (10.12) уравнения силовых линий

drВтв'g п-1

«=г +nr cos пф;

(10.29)(10.29)(10.30)(10.30)dzВо2В0Ве

(10.29)

(10.29)

(10.30)

(10.30)

rdq>Вфg п-1

%nr sin пф

dzВоВо

ЯППфд sin nipЯППфд sin nipможно проинтегрировать*, что дает

ЯППфд sin nip

ЯППфд sin nip

r = R(r0,V0,z) =r = R(r0,V0,z) =

r = R(r0,V0,z) =

r = R(r0,V0,z) =

ФГ dфJ (sin пф)ФоФГ dфJ (sin пф)Фоt 2аG(z)

Ф

Г dф

J (sin пф)

Фо

Ф

Г dф

J (sin пф)

Фо

= -а($шпФо)———

Здесь Р (z) = Во (z)/B0 (0) и G (z) = g (z)lg (0), а параметр а определяй ется формулой (10.20). Используя полученные ранее формулы (10.121

и т.д., можно найти

(211®е<21<е ^« ®

8‘*»—В1- — ф< >./И -В, (0) —-—.(1031)

"о"о10

где

/ 31 -Л

Л-Н3—'Р р2 +

\ 84 /

«а _ 2п—2 — + G2p2«а _ 2п—2 — + G2p2а I .. /л п

«а _ 2п—2 — + G2p

2

«а _ 2п—2 — + G2p

2

+ — PG-PGI—+ 1 Р cos лф+

п \\ 2//

(точка означает производную по переменной t = z/l). Функции р (z) = = г/г0 и Ф(г) определяются формулами (10.30). Особенно простой случай получается для системы с четырьмя стержнями, когда интеграл слева в (10.30) может быть взят в конечном виде. Если аппроксимировать поле на оси параболой р = 1 + (z/i)2 = 1 + t2, то для бесконечных стержней (когда 6 = 1) можно получить

A? (*)|п=2— {(«3 - 1 + 2t2) ch Га -

20

-4Msh Га + cos 2ф0 [(а2 - 1 + 2t2) sh Та - 4№ch Та]},(10.32)

где Га = 2а arctg t.

Однако член, содержащий со$2фо, является нечетным по t = z/l и поэтому выпадает из критерия (10.28), в котором интегрирование по z производится в симметричных пределах.

С учетом (10.31) критерий устойчивости (10.28) принимает вид

" 1 1 rg fc r0, ф0)dt > 0.(10.33)

Рассмотрим, наконец, множитель Рд+Р^. В анизотропной плазме функция распределения должна зависеть от интегралов движения е = mv2/2 и ^ = v2 IB. Обычно принимают, что при z = Q Она описывается распределением Максвелла с вырезанным конусом, что соответствует для г * 0

(10.34)(10.34)при xjv < ^B^/Btp = sin a (z); при vjx > VB(z)/Brp'.

(10.34)

(10.34)

Здесь Вгр = В (z^), где zr* - граница плазмы. В этом случае находим n-a(z)

(/\Г /sin29 \

Р« + Р±= mv2+ /dv= const I cos2 9 + I sin 6d9

2 /J \2 /

(10.35)(10.35)* [4B (z*)-B (z)] Vb(z*)-B(z)

(10.35)

(10.35)

(множитель пропорциональности несуществен). Распределение по скоростям [см. выражение (10.34)] имеет резкий скачок на границе

запрещенного конуса. По-видимому, на опыте распределение частиц

будет ближе к модели, описываемой функцией

f^-<f^-<при v^/v < Vb^z)/B^;при v^/v < Vb^z)/B^;(е \In6 /(е \In6 /'’JBtz)v± при v2/Bт'’JBtz)v± при v2/Bт(10.36)(10.36)

f^-<

f^-<

при v^/v < Vb^z)/B^;

при v^/v < Vb^z)/B^;

(е \

In

6 /

(е \

In

6 /

'’JBtz)v±

при v2/Bт

'’JBtz)v±

при v2/Bт

(10.36)

(10.36)

которая также зависит лишь от интегралов движения J^ и v2, но более плавно обращается в нуль на границе опасного конуса. В последнем случае найдем

n-a(z)

1\

cos2 0 + — sin2 0 х

\2/

)

(10.37)(10.37)sin2 6

(10.37)

(10.37)

х insin 9d6 * const [В (z*) - В (z)]3/2. sin2 я (z)

При параболической аппроксимации поля на оси Р = 1 + t2 для распределения (10.36) формулу (10.37) можно для качественного расчета заменить приближенной зависимостью

(10.38)(10.38)Р| + о± ~ (2*2 ~ ^)

(10.38)

(10.38)

(множители несущественны). Тогда критерий (10.33) принимает вид +(**/0 iU*/№-^( \

1» А^ (г, г0, ф0) dt > 0.(10.39) j (l + r-p

Пользуясь им, можно определить критические значения акр ■ = a (z*/0, начиная с которых плазменный сгусток длины 2z* будет

устойчив. Однако эти расчеты можно провести лишь численными методами. Сравнительно просто можно определить лишь начало появления устойчивости для сгустка малой длины z*/l -* 0, что соответствует малым продольным скоростям частиц плазмы.

При t -► О, полагая в выражении (10.31) р = 1 и ф » ф0, находим

ota —12ota —12

ota —1

2

ota —1

2

и поскольку а ~ г^-2, то

бо(^^п))~[(п-1)^-1]гобого.

Устойчивость, очевидно, возможна, лишь начиная с

(10.40)(10.40)[(п - 1) а* - 1] > 0 или а > 1/^л - 1,’

(10.40)

(10.40)

что совпадает с условием (10.21), полученным ранее. Для стабилизации сгустка большей длины (z* ~ 1) необходимы большие значения а. На рис. 55 приведена зависимость «кр = a (z*/0, которая получается при численных рачетах на основе критерия (10.39). В качестве грубой оценки можно принять, что для стабилизации плазмы, простирающейся до пробок с z* ~ 1, необходимы значения а, в 2 раза превышающие минимальное значение 1/Vn - 1, получаемое из оценки соотношений (10.40). i

. Учет перекрещенности силовых линий

В замкнутых, а также в бесконечных системах, которые можно рассматривать как модель замкнутых, помимо условия минимума В (У" < 0) важным фактором, способствующим стабилизации плазмы,

является также так называемая перекрещенность (shear) силовых линий, которая заключается в следующем.

Рассмотрим для простоты цилиндрический плазменный шнур длиной L с винтовыми силовыми линиями (рис. 56).

Пользуясь уравнением rd^ldz = Вф1В2, нетрудно заметить, что на длине L (эквивалент длины замкнутой системы) угол прокручивания силовой линии, лежащей на магнитной поверхности г = const, составит величину

а£(г) = ^ф =——.(11-1)

Если наряду с продольным магнитным потоком

Ф (г) = j Bz 2nrdr о

ввести азимутальный потокввести азимутальный потокX, пронизывающий некоторую пло

ввести азимутальный поток

ввести азимутальный поток

скость Ф = const:

L г

Х = №х$Вф dr,

о о

(Н.2)(Н.2)то можно написать

(Н.2)

(Н.2)

rt^Frt^FггB^Llndr6v

rt^F

rt^F

г

г

«£ (г)= 2Л= 2ЛХФ.

Bzr2ndr6 Ф

(11.3)

В таком виде это определение угла прокручивания применимо для любой замкнутой системы, а не только для рассматриваемой аксиально-симметричной модели.

Рис. 56. Перекрещенность силовых линий на соседних поверхностях

При а (г) = const близкие силовые линии 1 и /'(см. рис. 56), лежащие на соседних магнитных поверхностях, располагаются всюду на одинаковом расстоянии — как бы параллельно друг другу. Иными словами, эти линии не перекрещиваются) и их конвективная перестановка могла бы быть сравнительно легко осуществлена, что указывает на неустойчивость. Нетрудно заметить также, что этот случай соответствовал бы постоянству шага силовых линий на разных радиусах

bz ь

h(r) = 2nr= 2л const.(11.4)

Вф а 0

Если а (г) * const, то близкие силовые линии 1 и 2 (см. рис. 56), которые при z = О находились на одном азимуте, по мере роста г утаятся друг от друга - перекрещиваются.

При а (г) = const смещение тонкой силовой трубки из положения 1 в положение 1 не приведет к заметной деформации магнитного поля. Если же а (г) + const, то смещение из положения 1 в положение 2 будет заметно искажать магнитное поле, что потребует дополнительной затраты энергии.

Таким образом, перекрещенность всегда является стабилизирующим фактором. Ее учет приводит к известному критерию устойчивости Сайдема, который может быть получен путем следующих не вполне строгих рассуждений (более детальный вывод приведен в гл. IV).

Рассматривая плазму в магнитном поле как идеальный газ, можно, очевидно, считать, что в некотором произвольно выделенном объеме содержится потенциальная энергия

з[в2Г/рв2 \

U =—NkT+\dV= + dV.(11.5)

2J 8лJ \ v-18л /

Здесь у = Ср/c, = 5/3 - показатель адиабаты; р = пкТ - давление.

При различных смещениях плазмы изменение этой энергии составит

[ В6В

6{/ = -рдУ+1dV.(11.6)

Здесь первый член соответствует изменению тепловой энергии, а второй - магнитной. Величину 6[/ можно рассматривать как первую вариацию (эквивалентна первой производной) потенциальной энергии. В состоянии равновесия первая вариация должна

обращаться в нуль. Для устойчивости такого равновесного состояния необходимо, чтобы вторая вариация была положительна:

11 —

6U = -SpbV +5 (6В)2 dy = -6p6y +(бВ)2 У>0,(11.7)

4л4л

что эквивалентно условию устойчивости U^ (х) > 0 в обычной механике. Здесь черта сверху означает усреднение по рассматриваемому объему. Приращение давления бр следует при этом определять в соответствии с уравнением

(П.8)(П.8)dpdp

(П.8)

(П.8)

vVp,

atat

где v = d^/dt - скорость смещения плазмы, а 6 (г) - само смещение. dp р dV Пользуясь уравнением адиабаты pV = const, получаем -— = - у — • —

и тогда, интегрируя уравнение (11.8), находим

6p = -£Vp- урбу/у,

так что формулу (11.7) можно представить в виде

- (6Vp)-^-<+—— (6В)3.(11.9)

V \ v 1 4л

Применим это соотношение к тонкой силовой трубке, объем которой можно представить [см. выражение (9.11)] как У = Ф/, где

6V6J.

3 = \ dl/B, так что=, и неравенство (11.9) принимает вид

(11.10)(11.10)vj

(11.10)

(11.10)

(~6Vp)<ур) +(бв)2.

J \ I 1 4л

Последний член с (6В)2 как раз и учитывает перекрещенность силовых линий. Если 6В = 0, то неравенство (11.10) эквивалентно условию

Vpdpр

-6 — < У —,

bVdJI

которое было получено нами ранее в § 9 другим способом [см. формулу (9.15)]. Учитывая также, что

/=У»; 6/=УфбФ и 6Vp = dp = p»6®,

(11.11)(11.11)можно выражение (11.10) записать в виде

(11.11)

(11.11)

-рУф<УР—~ +1

Уф 4л \ 6 Ф /

что совпадает с выражением (9.20), если не принимать во внимание последний член.

Учтем теперь наличие перекрещенное™ силовых линий и рассмотрим изменение магнитного поля, которое возникает при конвективной перестановке близких силовых линий 1 и 2, изображенных на рис. 56 и располагающихся на соседних магнитных поверхностях г и г + 6 г. На рис. 57 изображена 'развертка указанных цилиндрических поверхностей с линиями 1 и 2. Непосредственно из рисунка (из подобия треугольников) можно видеть, что при смещении силовой линии из положения 1 в положение 2 приращение поля составит

гба

6В = 6Вф=В,—-.

В действительности, поскольку силовые линии 1 и 2 переставляются взаимно, то каждая из них должна повернуться лишь на половинный угол Ф/2, после чего они будут параллельны и сравнительно легко пройдут в радиальном направлении мимо друг друга. Таким образом, правильный результат получится, если считать, что

1 гба

6В = —В,——.(Ц.12)

Тогда, учитывая, что Уф = 5 dl/B = j dz/Bz - L/Bz, получаем

б вBzгбагафцф

.= лг——,(11.13) 5Фи6Ф2УфУф

где Ц = а/2л = хф [см. уравнение (11.3)]. Подставляя это выражение в неравенство (11.11), имеем условие устойчивости

, ,У^3 л? цф3

—Рф У® < У р —— +—,(11.14)

Уф 4 Уф

где г3 - средний квадрат радиуса рассматриваемой магнитной поверхности. В таком виде это условие можно использовать для любой замкнутой системы.

Последний член в условии (11.14), содержащий Цф, учитывает перекрещенность силовых линий. Как видим, для устойчивости

верхностейверхностейРис. 57. К расчету возмущения поляРис. 57. К расчету возмущения поляСепаратриса,Сепаратриса,Рис. 58. Схема вложенных магнитных по

верхностей

верхностей

Рис. 57. К расчету возмущения поля

Рис. 57. К расчету возмущения поля

Сепаратриса,

Сепаратриса,

желательно иметь большее значение для Уф < 0 и возможно максимальный ”шир” Цф + 0.

Рассмотрим, наконец, вопрос о том, какое количество плазмы может бытьь удержано в системе с заданными значениями величин

Уф (Ф)= Уо + Уо Ф и И (ф) = Но + Но Ф-

(11.15)(11.15)Как мы увидим в дальнейшем, в общем случае магнитные поверхности р = const можно разделить на два класса: замкнутые поверхности типа трубок и незамкнутые поверхности с силовыми линиями, уходящими на бесконечность. На рис. 58 изображены сечения и пространственная картина одной из таких возможных простейших структур.

(11.15)

(11.15)

Поверхности первого класса располагаются вблизи оси и отделены от поверхностей второго класса некоторой граничной поверхностью, называемой сепаратрисой. Очевидно, для удержания плазмы пригодна лишь область внутри сепаратрисы, заштрихованная на рис. 58.

Для прямого плазменного шнура с винтовыми линиями уравнение равновесия имеет вид

dpdBiВтd

(гВф) drdr8л4лгdr

(11.16)(11.16)причем Вф создается токами, текущими в самой плазме.

(11.16)

(11.16)

низкогонизкогоВ рассматриваемом нами случае токи, текущие в плазме

низкого

низкого

давления, малы и можно считать, что Вф « Bz. Пренебрегая в ра;

венстве (11.16) последним случаем, получаем приближенно

1

р +5, = const,

8л

и так как на сепаратрисе р = 0, то для давления в центре имеем р(0) = (В3/8л)сеп-(В=/8л).

Иными словами, наша "магнитная яма” с минимумом В может удерживать плазму, для которой параметр 0 не превышает величину

РмаксРмаксрВ2/8лрВ2/8лясеп~Яо „ *2.В2вхясеп~Яо „ *2.В2вх(11.17)(11.17)

Рмакс

Рмакс

рВ2/8л

рВ2/8л

ясеп~Яо „ *2.

В2вх

ясеп~Яо „ *2.

В2вх

(11.17)

(11.17)

Если Ф^ - магнитный поток, пронизывающий область внутри сепаратрисы, то, учитывая, что приближенно можно считать L/Bz *

* Уф, получаем (при Уф < 0)

(11.18)(11.18)д (1/Уф)Уф

(11.18)

(11.18)

Рмакс * J =~ ^сеч*

1/УфУф

Ясно, что желательно иметь по возможности большие значения 0. Кроме того, при фиксированной длине установки L желательно иметь возможно больший рабочий объем внутри сепаратрисы

У(Ф) Уф

—^— = —— Фсеп - max,(11.19)

что позволило бы увеличить общее количество удерживаемой плазмы. Иными словами, магнитная яма должна быть большой и глубокой.

. Анализ замкнутых систем

Теория устойчивости замкнутых систем с вакуумными полями была развита в работе Л.И. Соловьева и В.Д. Шафранова.

Рассмотрим систему, осью которой является некоторая замкнутая кривая r0 (s), где s - длина дуги кривой (рис. 59), отсчитываемая от произвольной фиксированной точки s = 0 на кривой, так что

(12.1)(12.1)L = §ds

(12.1)

(12.1)

есть полная длина кривой.

Рис. 59. Координаты $, х, у вблизи пространственной кривойРис. 59. Координаты $, х, у вблизи пространственной кривой(12.3)11/R - ее|(12.4)j не будет ’ s, такую, ’(12.5):(12.3)11/R - ее|(12.4)j не будет ’ s, такую, ’(12.5):Вблизи этой кривой можно построить ортогональную систему ' координат, удобную для дальнейших исследований.j

Рис. 59. Координаты $, х, у вблизи пространственной кривой

Рис. 59. Координаты $, х, у вблизи пространственной кривой

(12.3)1

1/R - ее|

(12.4)j не будет ’ s, такую, ’

(12.5):

(12.3)1

1/R - ее|

(12.4)j не будет ’ s, такую, ’

(12.5):

С этой целью представим радиус-вектор произвольной точки | наблюдения А в виде

гЛ = т0 (s) + хп (s) + yb (s),(12.2) ]

где п и b - соответственно нормаль (направленная к центру кри- 1 визны) и бинормаль к кривой. Пользуясь уравнениями Френе для J пространственных кривых:

dr. (з)drdndb

=т;=Кп;= -Кт + иЬ;=-ип, dsdsdsds

где т - единичный касательный вектор к кривой; К - кривизна; х - кручение, получаем

йд = (1 - Кх) ids + n (dx - xyds) + b (dy + xxds).

Отсюда для элемента длины Находим

d/2 = (drAР = (1 - КхУ + (dx - xyds)2 + (dy + xxds)2.

Введенная таким образом система координат х, у, s ортогональна. Если, однако, ввести новую систему р, со, что з

х = р cos 0; у = р sin 0; 0 = и - j xds, о

то в ней, как нетрудно проверить,

(12.6)(12.6)dla = (1-Кх)3 ds2 + dp2 + р2 do)2

(12.6)

(12.6)

и система координат р, м, s оказывается ортогональной. В этой системе координат величина Уф * 6У/6Ф может быть рассчитана следующим образом. Если 6S - элемент площади, заключенной между двумя соседними магнитными поверхностями (рис. 60), то магнитный поток, пронизывающий эту площадь, можно представить в виде

(12.7)(12.7)6Ф = S B$pdudp=Bs6S,

(12.7)

(12.7)

где черта сверху означает усреднение по указанной площади. Так как по определению 6Ф не зависит от s, то

,6 УJ (1 - Юс) dspdtodpГ / 1 - Юс \

Уф= * .(12.8)

ЭФB,6SJ \ В$ /

Определим теперь угол прокручивания силовых линий вокруг оси а = 2лХф. Азимутальный магнитный ноток бх можно определить как поток поля через поверхность 6SM перегородки, соединяющей две рассматриваемые близкие магнитные поверхности (на рис. 61 изображен отрезок такой перегородки).

Эту перегородку можно выбирать произвольно, однако при обходе всей системы конец перегородки должен совмещаться с ее началом. Например, удобно выбирать ее в виде полосы на поверхности:

Рис. 60. Сечения двух близких магнитных поверхностейРис. 60. Сечения двух близких магнитных поверхностей9 (ы, s) = о - $ xds = const. 0

Рис. 60. Сечения двух близких магнитных поверхностей

Рис. 60. Сечения двух близких магнитных поверхностей

(12.10)(12.10)Тогда

(12.10)

(12.10)

бХ = j BdSM - —J В (2л - "О”) dS„. 2л

Разность 2л - ”0” = 2л можно рассматривать как разность значений функции 9 (о, s) на двух сторонах указанной перегородки:

2л = 0|-б| = 92-9,.

'ы + 2л21

(12.11)(12.11)При этом имеем

(12.11)

(12.11)

бХ —— Цв9а dSa3+5B61 (-dsM)L 2л

Так как dSM направлено по нормали к перегородке, то вектор -dSM будет направлен в противоположную сторону и его можно рассматривать как элемент поверхности, замыкающий ”с другой стороны” объем 6 V между двумя магнитными поверхностями 1 и 2 (рис. 62). Так как на этих поверхностях поле имеет лишь тангенциальную компоненту, то выражение (12.11) можно рассматривать как поток вектора 9В через всю замкнутую поверхность, окружающую объем б У, включая поверхности 1 в 2 и две азимутальные поверхности dS^ и -dSM, прилегающие с обеих сторон к перегородке.

Таким образом, имеем

if ifif

6х=®9BdSldydiv(9B) = (B-V9)dy.(12.12)

2л J 2л J2л J

Здесь интегрирование производится по всему объему б У между двумя магнитными поверхностями. Так как

de/dsэе ■

(12.13)(12.13)B.V9(g),s) = b,——+ВР—+ 1 — Югдр

(12.13)

(12.13)

Рис. 62. К выводу выражения для 6 х

то для утла прокручивания силовых линий найдем «х 1 г

а - 2л—ф dspdtidp (1 - Кх) (В • V9 (ы, s)) = 6ФB,6S J

(1—Кх)(в» ve)(1—Кх)(в» ve)1 -м+—— В,1 -м+—— В,(12.14)(12.14)

(1—Кх)(в» ve)

(1—Кх)(в» ve)

1 -м+—— В,

1 -м+—— В,

(12.14)

(12.14)

Определяемый таким образом угол а будет отличаться от истинного угла прокручивания на 2л^ где N - число обходов вокруг оси системы самой поверхности 9 (ы, s) = const, выбранной в качестве перегородки. Это обстоятельство, однако, не сказывается на величине Хф = РФ, определяющей перекрещенность силовых линий, которая входит в критерий устойчивости (11.14).

В рассматриваемом случае, когда плазма имеет низкое давление (01), можно пренебречь токами, текущими в самой плазме, и

определять магнитное поле с помощью скалярного потенциала В = Уф, удовлетворяющего уравнению Лапласа Дф = 0. Предполагая, что ось системы сама является силовой линией, на которой поле равно Во (s), потенциал вблизи оси можно искать в виде разложения

Ф (Р, ы, s) - Sb0 ds + Р3Ф2 + Р3Фз + Р4ф4 +...,(12.15)

где Ф2>3,4 (°, s) зависят лишь от о и s. При этом компоненты поля будут равны дф

Вр ='= 2рф2 + ЗР2ФЭ + 4Р3Ф4 +...;

др

дф

ви ==рФ2 + раФ3 + р3Ф4 + ...;(12.16)

рдш

1дф /ф'

В, = Во 1 + Кх + /^х2 + р2+ ...

$ i-Kxds°\в.

Здесь точки и штрихи соответствуют частным производным по ы и s. Если составляющую В$ представить в виде Bs = Во + В^, где

В? - Во (Кх + К2х3) + раф2,(12.17)

В? I.(12.18)В? I.(12.18)то В, = Во + В^ И для производной Уф [см. (12.8)] находим ds Y-KxГdsГds/_1

В? I.(12.18)

В? I.(12.18)

=—« ФФ Кх + В,1^/В03в03в0\ в6

Как мы увидим далее, величина х, а следовательно, и В, имеет второй порядок малости по р, т.е. х ~ р2. Поэтому второй интеграл ■ выражении (12.18) оказывается пропорционален продольному магнитному потоку Ф, и (12.18) можно представить в виде

У»(Ф)= У£(0) + ФУф(0).(12.19)

Таким образом, с учетом выражения (12.17) для В® имеем

1 Г * / 1 \

V» (0)ф 2Кх + К2х2 +р2ф'а .(12.20)

Ф J ^ \Ва/

Аналогичным образом угол прокручивания с точностью до членов порядка р2 [см. выражение (12.14)]

а = 2л р (Ф) = фds ] -х + 1 - -^— (1 - Кх) (фа + рф3 + Р3^[ =

-ф]-иВ0 + фа- фа —К(хфа+хрфз) + (рфз) + (р3ф4)[.

J 5, (в.)

(12.21)

Представив его в виде

а (Ф) = 2л ц (Ф) - а (0) + Ф2л|/ф (0),(12.22)

можно найти величину цф (0), входящую в критерий устойчивости (11.14) и характеризующую степень перекрещенное™ силовых линий. Выражение (12.20) для второй производной Уфф принято называть вакуумной магнитной ямой, и в следующем § 13 мы используем его для анализа устойчивости плазменного шнура в ловушке "дракон”.

Задача 1. Для произвольной замкнутой ловушки с пространственной (не плоской!) магнитной осью найти токи, обусловленные присутствием плазмы, считая, что давление в плазменном шнуре распределено по параболе р - р (0) (1 - ра/«а), где а - a (s) - радиус плазменного шнура. Параметр Р считать малым.

Решение. Чтобы найти токи, надо решить уравнение равновесия ЦВ] - cVp, в котором ; ^•еленн* есть функция р ■ р (ф) магнитной поверхности, определяемой уравнением i Ф (р, 6), з) » conat, и поэтому имеем Vp ■ р'(ф) 7ф. Запишем ток в виде j ■ ср'(ф) 1> 1 где I - I, + Ij_ - вспомогательный вектор, для которого div I - 0, поскольку div j - О ч и В7ф ■ 0. Тогда уравнение равновесия приобретает вид [Ij_ В] - 7ф, и отсюда находим поперечную к полю компоненту Ij_ - [В7^ ф]/Ва. Продольную компоненту ищем в виде 1ц - hB, где h - вспомссзтельная функция, для которой из условия divl ■ 0 следует уравнение

[ВЧ ф] divL-BVh--diTl.-2=—V. В.(1)

А в3

При получении последнего выражения учтено, что магнитные поверхности удовлетворяют уравнения В?Ф - 0; рф - 0. Таким образом, токи обусловленные присутствием плазмы, даются выражением

(2)(2)dp

(2)

(2)

j - с(I) +1±); 1| - hB, I± - [BV ± Ф] ВТ»,

где функция h должна находиться из решения магнитного уравнения (1).

Все эти уравнения являются точными, однако фактически их можно решить лишь приближенно, считая давление плазмы малым и делая разложение по малому параметру Р (з) - 8лр (ОУВ8 (s) < 1, где р (0) и В6 (з) - давление и поле на оси шнура.

Тогда при Р < 1 поверхности и поле можно искать в виде ф - Ф® + Ф , В - В® * В1, где Ф®, В® - ’вакуумные” члены, а Ф1, В1 - поправки, обусловленные присутствием плазмы и пропорциональные первой степени Р. При почти круглых магнитных поверхностях можно считать, что вакуумные члены определяются из уравнений Фа % лраВ0 (з) - «const:

sР3 .

(3)(3)В® - 7ф°; ф® “ $ В, (з) ds Во (s) +

(3)

(3)

р1 Эф®

В® В (з); В® % 0;«В (s)(1 +Кх)

Р 21-Юс дз

и, поскольку dp/dp ~ р, в первом порядке по р ток (2) можно записать в вида j - - ср'(ф®)(1| + 1^)> так что I® и 1^ определяются по вакуумному приближению. При этом для наших целей достаточно решить магнитное уравнение (1) в параксиальном приближении, т.е. в первом порядке по малой величине Кр < 1, иными словами, по кривизне. В этом порядке модуль поля (3) равен В® ■ В (s) (1 + Кх) и уравнение (1) принимает вид

р8hdh

B®VhB0(s)*В(з)

2Эрas

Vp ф®

-2V„(l*Kx)«-4npKsine.(4)

B0W

Его решение можно искать в вида h - р Vbo (s) Н (u, s), Н - hx sin 6 - ha cos 8, и тогда для функций ht 3 (з) получаются уравнения

8Н К *к

17-4”^Йпв:—; Ч^'А»(5)

которые и следудаг решить, если задан конкретный вид замкнутой ловушки. Таким образом, в первом порядке no Р < 1 и в первом порядке по Кр компоненты тока (2), обусловленного наличием плазмы, равны соответственно dpdpdp

ip - 0; ju - с— (/J^ - с~2лр; j, - c—Bj'2 (h, sin 8 — h3 cos 8) p. (6)

При параболическом профиле давления в шнуре производную dp/d»6 следует считать равной нулю вне шнура, где токи отсутствуют, тогда как внутри шнура она равна постоянной

ф/</ф® - [2лрВ0 (з)Г* Эр/Эр --р (0)/<р®,

где ф, - ла® (з) В (з) - const - л«а (0) Во (0) — не зависящий от з магнитный поток, пронизывающий полное сечение шнура.

В заключение полезно отметить, что решение первого уравнения (5) с учетом 9 - - ы — а (з) можно записать в виде мнимой части комбинации

Н-4лЬп J /(s') е^ ds--4л Im (е^ о (s)}; о-е*™ ® j JV)e ^^ds', (7) 4о4о

где / (з) - К (з) Е^11 (з). Постоянную интегрирования з0 можно исключить, пользуясь условием периодичности функции о (з) - о (з + I) при обходе всей ловушки с длиной оси L. Поскольку при этом а (з + I) - а (з) + а^, где а^ -$ xds — полный угол прокручивания магнитных силовых линий, условие периодичности дает

, ss*L

o(s)-o(s+£)-e Lе1а^ jJ /е ‘“ds'* I /е ‘“ds'r.(8)

Is, з )

00 п

Обозначив е • exp (—i«r) и учтя, что (1 — в)'1 - 2 в , из (8) найдем i«(s) $*l"“°

•.. —ia(s) , ia(s)?—i«(s+x)

d(s)- —J /(s^e ds--ej/(s + x)e1 dx.(9)

l-в s0

Отсюда можно получить и несколько иное представление этой функции lot ia(s) ®(^)? КМ —ja (s')

o(s)-e q(s)-e ; q(s)-Ie 1 ds!(10)

1-e0 B03,a(s)

Из него видно, что особенно простым является случай ловушек, для которых выполнено условие g (£) * 0. Ловушки, обладающие таким свойством, мы будем называть "драконными” ловушками (см. § 13).

Задача 2. Считая, что рассмотренный плазменный шнур радиуса а(з) находится в камере с идеально проводящими стенками, показать, что граница шнура описывается формулой Р - о (з) [1 + Д (и, з)], гДе обусловленная давлением малая поправка Др называемая "смещением”, удовлетворяет уравнению Д* = СКВ,3,2 cos 6, где С - постоянная.44

Решение. Для решения этой задачи о равновесном положении шнура в камере необходимо найти магнитное поле и магнитные поверхности в зазоре между шнуром и стенками, считая, что внешней поверхностью является стенка камеры, а внутренней поверхность шнура.

С этой целью, во-первых, заметим, что шнур может иметь круглое сечение, если такую же форму имеет и сечение камеры, при условии, что ее стенки предполагаются идеально проводящими. Поэтому здесь имеется в виду камера с круглым сечением ря диуга Ь (з) > а (з), причем а/b = const (рис. 63). Идеальная проводимость стенок означает, что на них должна обращаться в нуль нормальная компонента магнитного поля. Далее заметим, что если бы ось камеры была прямой линией, то плазменный шнур имел бы круглое сечение с центром на этой оси. Однако при ее искривлении центр сечения шнура смещается относительно центра сечения камеры, и это смещение складывается из двух членов — первого, так называемого вакуумного смещения, обусловленного кривизной оси, и второго, обусловленного и кривизной оси, и давлением

плазмы. В данной задаче нас интересует второй член, который оказывается больше первого — вакуумного, если Р = 8лрД£ > (хЬ)а, и это условие мы будем предполагать выполненным, рассматривая лишь дополнительное магнитное поле В1, обусловленное наличием плазмы. При этом можно показать, что продольная компонента этого поля меньше поперечных в хб раз, так что ею можно пренебречь в уравнении dir В1 = О, записав его в приближенном виде

Э 3

Далее используем уравнение Максвелла 33 4лdp

в которое подставлен продольный ток jg из формулы (6) задачи 1. Кроме того, здесь обозначено Н - ht sin 6 - h, см 9, где hia (s) удовлетворяют уравнениям (5) задачи 1, а для самой функции Н имеем даН/д<А* ■ -Н, и поэтому решение уравнений (1), (2), можно искать в виде В^ - bt (р, з) ЗЯ^ы; В^ - 6а (р, з) Н. Тогда из (2) найдем

33 /ЭЬ, \d|p

6 - pb 1 р31 - p3f; f - -4л.В^*.

Эр1 Эр 'Эр 'dV°

Теперь уравнение для bt можно проинтегрировать 2 раза — сначала в пределах от р ” О до Р > е (з), учитывая при этом, что производная dp/d<e°, а с ней и функция F отличны от нуля только внутри шнура, так что на первом этапе получаем Эб /Эр - G/p3, где Р > а (з) и G - a* (з) F/4 - р (0) са (s)VB0 (з)'. Далее интегрируем в пределах от р > а (з) до Р = Ь (з), что дает 6, - — G [р*а — b"a (з)]. При этом мы учли, что требование обраще

ния в нуль нормальной компоненты на стенке в нашем случае означает условие обращения, в нуль радиальной компоненты Вр, поскольку продольной компонентой В^ ~ ~ хЬВр мы пренебрегаем. Итак, в зазоре между шнуром и стенкой компоненты поля Л ЭН / 11 \

В^-— ;

Vb эы ' р2 ьа /

Э А/ 11 \

(4)(4)Вц = -Нpb.——Я + ,

(4)

(4)

др>{В\ раЪ1 •

где А - р (0) e^Bjl - постоянная, не зависящая от з.

Теперь мы должны найти магнитные поверхности Ф (р, ы, s) ■ const, которые будем искать в виде Ф - Ф° + Ф1, и тогда для поправки получим уравнение В°7Ф* ■ - —В*7Ф0, где Ф° описывает поверхности при отсутствии плазмы. Поскольку нас интересует геометрия магнитных поверхностей вблизи поверхности шнура, указанное уравнение мы будем решать приближенно, записав его в виде В°7Ф1 - —(дФ°/др) X х[^р]р-а> где множитель

(ЭЯ (<■>,«)/« \

Ф]р=в—Poo Ays'—, Роо-Р(0)Ь-—)(5)

Эи' Ь 1

молено считать не зависящим от радиуса Р3. Тогда в нулевом приближении можно положить Ф° - Р3В0 (s), и указанное выше приближенное уравнение принимает вид

рЭФ1ЭФ1ЭЯ

В^Ф1,—B'(s)+ B0(s)РооРВо3'2,(6)

Эр dsdu

где решением является комбинация Ф* - —Роо рА0 (s)‘s (u, s) с множителем Z, удовлетворяющим уравнению Э2/Э$ = Эн/Эы, Тогда уравнение поверхностей Ф° + Ф* “ = const приближенно дает соотношение

const / Poo \

из которого следует, что граница шнура должна описываться формулой

Роо

Р - a (s) [1 + A (U,,)]; А (Ы, S) - Соо Z (ы, s); Соо=;,(8)

где Соо не зависит от u и s. Производные по $ для поправки равны

, Эя„ K(s)

AS - соо — - соо (h, cos 6 + ha sin 6); Дя - С - ™ cos 9,(9)

что и требовалось доказать в данной задаче. Постоянная С при этом оказывается пропор- циональной давлению плазмы

2”Р(0) Гaa(s)l

С--4ЛС =1 (Ю)

в2(з)В0(4b2WJ

и не зависит от координаты з. При выводе второй производной в (9) использованы формулы (5) задачи № 1.

В заключение отметим, что формула (8) для смещения позволяет найти максимально допустимое по условиям равновесия давление плазмы. Для этого следует определить такое место з - з», 6 = 6*, где смещенный шнур начинает касаться стенок камеры, так j что Р "* b (s*), и из формулы (8) находимJ

РОТмакс-^в^2^*’®*)-(11)

Этот расчет можно проделать, если указана конкретная форма ловушки.Я

§13. Плазменная ловушка "дракон"

Замкнутая плазменная ловушка "дракон” (длинная равновесная конфигурация), схема которой изображена на рис. 64, состоит из двух пробкотронов, соединенных крэлами (криволинейными равновесными элементами) особой конфигурации, обеспечивающей локальное автономное равновесие участков плазмы, заключенных в них. Это свойство позволяет присоединять к торцам крэлов длинные прямые участки, на которых и должна производиться основная доля термоядерной энергии. Идея такой ловушки была предложена в 1980 г., однако на практике пока не было попыток ее создания ввиду сложности изготовления крэлов, хотя она и имеет много привлекательных черт (стационарность, большое значение 0, разделение функций между участками, простота изготовления основных - прямых участков, отсутствие продольного тока и возможности стабилизации).

Рассмотрим в первую очередь конструкцию крэлов. Они не должны быть плоскими, так как при отсутствии тока равновесие шнура с плоской осью невозможно. Для выбора простейшей пространственной оси крэла используем уравнения Френе (12.3), однако вместо переменной s (длина) вдоль оси введем новую переменную s

t = S Kds, которую назовем условным временем.

о

Тогда, обозначая точкой производную по t, перепишем (12.3) в виде

т =n; п = т = —т + ы [тт]; ы = х/К > 0(13.1)

и, вводя сферические координаты

тх = $ш6со$ф; ту = $т6$шф; тх = cos 6; | т | = 1,(13.2)

из z-компоненты (13.1) получаем уравнения

•.d .d

О2 + ф2 sin2 6 = 1;(ф sin2 6) + ыcos 6 = 0.(13.3)

dtdt

Рис. 64. Схема плазменной ловушки "дракон”

Самый короткий по длине крэл получается при выборе ы = ы0 cos 9 в предположении 9 < л/2. Тогда из (13.3) находим "интеграл движения”

.11

Ф sin2 9 + — to0 cos2 9 = const = sin 0МИН + — o0 cos2 9МИН,(13.4)

22

и если далее положить cos 9 = cos 9ЦИН cos 6, где £ - новая переменная, меняющаяся в пределах -л/2 < £ < л/2, то из (13.3), (13.4) найдем

•——————11

F&,k) =F&,k) =£ = ЦД; Д = у1 - К2 sin2 £; t=—F(^,k);

F&,k) =

F&,k) =

(13.5)

где F(£, k) - эллиптический интеграл первого рода. При этом мы ввели обозначения ц = у1 - ы0 sin 9МИН и к = ы0 cos Э^^/гц, но далее удобно использовать в качестве основных два параметра к и v = ctg2 9МИН, через которые введенные ранее параметры выражаются формулами

(13.6)(13.6)(13.7)(13.7)12k Vl + v*V?

(13.6)

(13.6)

(13.7)

(13.7)

sin 8мин = ”7=7; “ о ,=7~; м =7==

VI+ vk + yv + k3k + yv + k3

Далее из (13.4) находим

dф / i + v 1 /Vv + к3\1

/1^ +i] г =г~» d£ V v \ l+vsin3E / Vl-k2sin3£

и теперь мы должны учесть, что на входе в крэл и выходе из него вектор т должен иметь противоположные направления. Наше частное решение описывает движение конца вектора т по сфере единичного радиуса-”глобуса” (рис. 65) от "западного полюса” к "восточному полюсу” с попутной петлей, обходящей "северный полюс” против часовой стрелки, так что полный набор угла ф должен равняться Зл, и поэтому из (13.7) имеем

л/2

Г dtp/ 1 + v ',,

I d^ = 3n-2 /[kK(k) + Vv + k2 n(v,k)J. (13.8) J d£V v

-л/2

Рис. 65. Движение конца вектора т по сфере единичного радиуса

Здесь фигурируют полные эллипти ческие интегралы I и III рода:

л/2л/2

К(к) = f-^-; П(у,к) = [ —■^;

JДJ(1+уяп2£)Д

ОО

Д = /1 - k= sin3 t>(13.9)

и уравнение (13.8) дает связь между параметрами v и к, но их значения можно найти лишь из анализа равновесия, что проделано ниже.

Отличительной чертой ловушки "дракон” является автономная равновесность участков плазменного шнура, заключенных в крэлах. Для этого интеграл j dl/B должен быть одинаков для всех силовых магнитных линий в пределах крэла, а поскольку из формулы (12.16) при малых Кх имеем

то указанное требование означает, что последний интеграл должен равняться нулю. Здесь х = р cos 6, и далее мы рассмотрим случай лишь с круглыми сечениями магнитных поверхностей, когда магнитный поток Ф = лр2В0 не зависит от s, так что р ~ В0-1/2, а поскольку О = ы — а, последний член в (13.10) будет равен нулю независимо от угла ы, если взятые по длине крэла два драконных интеграла tt

Г dtГ dt

qx (f) = sin а ——; q (t) = cos а(dt = Kds)(13.11)

IВ 3/3'в3,1

—272-Г/2

будут обращаться в нуль при t = ТЦ, т.е. после обхода всего крэла, имеющего полную "длину” Т - S Kds. Для наглядности можно рассматривать интегралы (13.11) как две компоненты плоского вектора q(0 = (qx, Qy), конец которого по мере роста "времени” t описывает на плоскости некую линию, и поскольку q = О при t = -Т/2 и при t = Т/2, эта линия обязана быть замкнутой.

Особенно простым является случай с постоянным на оси полем Во, когда его можно вообще не включать в интегралы (13.11), считая, что tt

q (0 = Иsin а> cos а } dt; a (t) = 5 udt,(13.12)

-Т/2О

и в этом случае весьма любопытно отметить, что эти интегралы связаны с уравнениями Френе (13.1) своеобразным преобразованием скарабея. Как известно, жук скарабей катает навозный шарик, и если мокрый шар катать по песку, то и на шаре, и на песке остаются следы от точки касания шара и плоскости. В нашем случае таким шаром является сфера единичного радиуса, на которой имеется сферический след конца вектора т, и воображаемый жук скарабей как бы перепечатывает его на плоскость с координатами qxy путем катания этой сферы. Важно, что при этом выполняется требование полного сцепления шара с плоскостью, так что проскальзывание | и повороты шара на месте исключены (см. 1).

Этот наглядный образ позволяет рассчитывать геометрию оси 1 различных крэлов, поскольку это сводится к "задаче скарабея”, | состоящей в том, что, соблюдая полное зацепление, требуется j катить шар по такой замкнутой линии, чтобы начальная точка | касания оказалась бы в конце пути в верхнем положении на шаре. ' Например, простейшим решением этой "задачи скарабея” является | равносторонний треугольник с длиной сторон, равной л, и полной 1 длиной пути Зл. Проследив при этом мысленно за поворотами J вектора т, легко сообразить, что это решение дает ось крэла в виде ] трех полуокружностей, повернутых на стыках на 120* между сосед-1 ними (рис. 66). Легко построить и другие плоские следы из отрезков | окружностей и прямых линий, но все же самым коротким оказы- е вается наше решение (13.5).1

Для него угол вращательного преобразования магнитных линийя равен1

st6я

ГГГI

а = 1 xd$= I todt = 2k\ cos^= 2arcsin (k sin £),(13.13)*!

I]I' ДJ

Рис. 66. Простейший крэл из трех полуторовРис. 66. Простейший крэл из трех полуторов

Рис. 66. Простейший крэл из трех полуторов

Рис. 66. Простейший крэл из трех полуторов

так что Д = Vl - к2 sin2 ?' = cos (а /2), и тогда интегралы (13.12) равны 2k

qx(6) =cos?; qy(^)-

= — {2[Е (k) + Е (?, k)] - [К (k) + F^, k)]} ,(13.14)

ц

где К (k) и E (k) - полные, a F (?, k) и E (?, k) - неполные эллиптические интегралы I и II рода. При изменении ? от -л/2 до л/2 плоский ’’след скарабея”, даваемый формулами (13.14), будет замкнутым, если выполнено условие 2£ (к) = К (к), откуда численно находим параметр к = 0,90891, а затем из (13.8) и другой параметр v = 3,0485, после чего находим и значения ц = 0,606817, ы0 = 1,2712, 0МИН ■ = 0,52013. Длина этого самого короткого крэла, измеряемая в единицах ’’времени” t = j Kds, оказывается равной - (2/ц) К (к) = = 2,435л, в отличие от Зл для крэла из трех полуторов. Любопытно отметить, что при 2Е(к) = К (к) уравнение (13.14) можно переписать в виде

к1

qx = -2 — cos?; qy[2£ (?, k) - F(?, k)],(13.15)

Цn

и тогда можно показать, что эта параметрически заданная плоская минимальная петля скарабея имеет форму лука, концы которого стянуты тетивой впритык (см. задачу 2).

Далее рассмотрим проблему устойчивости плазмы. Для устойчивости необходимо, чтобы интеграл ^dl/B убывал к периферии. При условии ’’драконности” крэлов этот интеграл постоянен вблизи оси, но только в первом порядке разложения по Р, и мы, очевидно, не можем выполнить требование, чтобы он убывал к периферии только в пределах крэла также и во втором порядке разложения по Р. Однако можно обеспечить его убывание к периферии, учтя

замкнутость ловушки и вычисляя его не в пределах крэла, а вдоль всей длины ловушки. Тогда его следует заменить на производную объема по потоку $dI/B •* Уф, и эта величина будет убывать к периферии, если отрицательна ее производная, для которой нами ранее уже было получено выражение (12.20)

Уфф(0)Ц — К2 х2+—— Р2"^+ 2Кх|,(13.16)

Ф J в0 \ в0/

которое при условии Уфф < 0 принято называть магнитной ямой. Далее будем считать магнитные поверхности почти круглыми, и тогда в разложении потенциала (12.15) можно положить Ф2 • -Во ($)/4 и усреднение для двух первых квадратичных по Р членов под интегралом (13.16) даст

— ф

х2 = Р2 cos2 0 ;

2лВ0

(13.17)(13.17)Р3Ф2(») = -Ф—^-^

(13.17)

(13.17)

4лВ0

так что вакуумную магнитную яму (13.16) можно переписать в виде

VУффVУффООв"^4лК-а ' + 2ВЗВ Фо ов"^4лК-а ' + 2ВЗВ Фо о(13.18)(13.18)

V

Уфф

V

Уфф

О

О

в"^4лК

-а ' + 2ВЗВ Ф

о о

в"^4лК

-а ' + 2ВЗВ Ф

о о

(13.18)

(13.18)

Член со второй производной поля можно проинтегрировать по частям, что фактически будет означать здесь замену -В072Вд -* - —^-(в'/В2)3, и наиболее трудной задачей является вычисление

(13.19)(13.19)1

(13.19)

(13.19)

х =S р cos 0 pd pd G); 6S = Spdpdw, 6S

где 6S — площадь между двумя близкими магнитными поверхностями Ф и Ф + 6ф, определяемыми уравнением

Ф (Р, ы,$) = р2 ф2 + Р3 ф3 + ... =

= р2 Ф2 11 + Р —— + ...) = const.(13.20)

\ Ф, /

Для ’’почти круглых” поверхностей здесь можно положить Ф2 = = лВ0 (s) и затем приближенно определить обратную зависимость

радиуса от ф в виде

(13.21)(13.21)После этого находим выраженияПосле этого находим выражения(13.22)(13.22)

(13.21)

(13.21)

После этого находим выражения

После этого находим выражения

(13.22)

(13.22)

и, подставляя последнее в (13.19), получаем

2л2л

6ф Г /Фэсм6 \ dM Ф Г

х = —— 1 Ф cos 9 - 2Ф I Ф COS 9 du. (13.23)

63 J \12ф,3'а Лф» J

00

Здесь мы учли, что первый член с W выпадает и остается лишь второй, квадратичный по Р член, в котором можно положить бф - = 2ф0 pdp; 6S = 2лр dp. Подставляя х из (13.23) в "яму” (13.18), получаем

н 1 Г з /д(«)\2 <ф.сме>]/к\з

(13.24)(13.24)Уфф=ф 1 -8I— ds.

(13.24)

(13.24)

2Л J 2 \ КВ / пКВ 1\в I

Фигурные скобки означают усреднение по углу ы, и в дальнейшем мы увидим, что величина Ф3 представляется в виде Ф3 - ох cos 9 + + о3 sin 9, так что тогда <ФЭ cos 9> « ох (s)/2. Чтобы найти эту функцию Qi (s), замечаем, что в случае почти круглых поверхностей компоненты поля (12.16) представляются в виде

Р , /Ф.\Эф,

5р = So 11 — 6р —— +... I; Ви = р3;

\в0IЗы

раВя

(13.25)(13.25)(13.26)(13.26)В$ = В0 1+Кх + К3х2- + ... , «о

(13.25)

(13.25)

(13.26)

(13.26)

и, подставляя их в уравнение

1divB =Р(1-К*)(1divB =Р(1-К*)(Э

1divB =Р(1-К*)(

1divB =Р(1-К*)(

[(1-Кх)рВр] + др

дд)

+ — [(1 - Кх) Вш ] +(рВ,) = О,

дмдз\

можно найти функцию

(13.27)(13.27)(, 5 cwSsinS

(13.27)

(13.27)

В0К + —КВ0 —xKBQ —

2/88

При этом предполагается, что внешние обмотки не создают слагаемых | с третьей гармоникой, содержащей cos 30 и sin 30.|

После этого можно найти магнитные поверхности из уравнения |

BVv = 0, из которого для функции Фэ получается уравнение.<

д / Фэ \д / ЗлК\4ЛК'

I=1—я cos 0 +cos 0,

8s \ в3'3 /дз \ 4 VB/ 4В3'3

интегрируя которое, находим ЗЛлГ КВ

Фз=КВ cos 0+—В3'2 R; Я-ЬcosOds/

44J в3'3

Постоянную s0 в нижнем пределе интеграла следует определить из условия периодичности функции R (0, s) = R (0, s + L), где L - ; полная длина ловушки "дракон”. Пользуясь этим условием, ввиду ; 0 = ы - a (s), находим

Г КВ* юдею Г КВ' _ia3

R = Re\е d$ = Re(e о);О = е 1е ds,(13.30)

В3'3в3'31

где Re означает реальную часть. Если далее обозначить f$ = KB В3'1 и учесть, что a (s + L) = a ($) + a (L), то требование периодичности ’ дает

ss+L

ia Г -ia, ia (I) ia f , v -ia ,

o(s) = e |/(s)e' ds = o(s*L) = ee l/(s)e ds =

s»$0

Если обозначить e = exp[-ia(L)] и разложить знаменатель в ряд^

по е, то этот интеграл можно представить в виде

4+Z„

о —eie [/(s) X e-i 1а ($) + "“(L)] ds'=-eia [/(s +^)e-i“(" +^,(13.32)

' J n=0J

s0

и тогда функция R в (13.29) оказывается равной

R = cos 6 Re (о) - sin 0 1m (о),(13.33)

где реальная и мнимая части ра вны соответственно

Re (о) = - 5/ (s + 6) cos [a (s) - a (s + £)] d^; о

Im (o) = - 5/(s + 6) sin [a (s) - a (s + £)] d^.(13.34)

о

Подставляя это выражение в (13.29) и далее (13.29) в (13.24), получаем

„Зл л

(13.35)(13.36)(13.35)(13.36)Ф3 = ох cos 0 + о3 sin 0; ot =КВ*— В3'2 Re (о), 44

(13.35)

(13.36)

(13.35)

(13.36)

так что "магнитная яма” запишется в виде

к2 з / в\$) \а к

ds.ds.2+ — —- +Re(o)

ds.

ds.

В2 2 \ В1 I В111

Далее, однако, замечаем, что Re (о) можно переписать:

Re (о) = cos a j /(s) cos a (s) ds'+ sin a J /(s) sin a (s) ds' (13.37) 00GO

и в выражении (13.36) для ”ямы” можно ввести два ’’драконных” интеграла (13.11):

88

Г К sin a,ГК cos a

qx = Ids> Чу (®) ” 1ds»(13.38)

J в3'1JВ3'2

-Z/2-Z/2

переписав последнее слагаемое в (13.36) в виде

„1 Г к(Уфф)0 =<>Re (о) ds2л в2'2„1 Г к(Уфф)0 =<>Re (о) ds2л в2'21/ dB \d / 9 х + 9 у \° ds- 2л\ ds j ds \2 I1/ dB \d / 9 х + 9 у \° ds- 2л\ ds j ds \2 I

„1 Г к

(Уфф)0 =<>Re (о) ds

2л в2'2

„1 Г к

(Уфф)0 =<>Re (о) ds

2л в2'2

1/ dB \d / 9 х + 9 у \

° ds- 2л\ ds j ds \2 I

1/ dB \d / 9 х + 9 у \

° ds- 2л\ ds j ds \2 I

(13.39)

Здесь при интегрировании по частям вклады на пределах интегрирования выпадают именно вследствие обращения в нуль полных драконных интегралов, взятых по длинам обоих крэлов. Отметим, что первые дн* слагаемых в "яме” (13.36) положительны и являются дестабилизирующими факторами, и лишь последнее слагаемое (13.39) может быть отрицательным и приводить к стабилизации плазмы даже при круглых магнитных поверхностях. Это возможно, если производные dB/ds и d (fields тлеют одинаковые знаки и достаточно велики.

Если далее использовать вместо s переменную t = $Kds и рассматривать драконные интегралы (13.38) как координаты "точки” q(0> движущейся по плоскости со скоростью v = q, то, учитывая, что v3 = В-3, можно записать "магнитную яму” в виде

// 1 ГKdt

” JВв

(13.40)

(13.41)(13.41)Наконец, из конструктивных соображений разумно считать, что радиус кривизны пропорционален радиусу плазменного шнура о, что с учетом сохранения продольного потока лс^Вд = const означает, что кривизна пропорциональна корню квадратному от магнитного поля К ~ >/в^. Тогда имеем КВ0~3 ~ |т|, и ’’магнитную яму” можно представить в виде

(13.41)

(13.41)

Км = const *8; S=§Ldt; L (q, q, q) =|v|Z.

В такой записи видно, что проблема получения минимальной ямы

у" < 0 аналогична минимизации функционала S, который можно рассматривать аналогично действию в механике, и при этом функция L(q, q, q) играет роль эффективного лагранжиана, который зависит от координаты q скорости q и ускорения q воображаемой ’’частицы”.

Детальные расчеты, которые мы не будем здесь приводить, показывают что наиболее целесообразно сделать поле Во (s) одно

родны на крэле, но в его середину дополнительно встроить несколько S-образных по форме оси соленоидов с увеличенным полем Вмакс в их серединах. Оптимальный профиль поля в таких S-образных пробках-стабилизаторах находится из уравнений Эйлера-Лагранжа, минимизирующих функционал S в ”яме” (13.41). Расчеты показывают,родны на крэле, но в его середину дополнительно встроить несколько S-образных по форме оси соленоидов с увеличенным полем Вмакс в их серединах. Оптимальный профиль поля в таких S-образных пробках-стабилизаторах находится из уравнений Эйлера-Лагранжа, минимизирующих функционал S в ”яме” (13.41). Расчеты показывают,что для стабилизациичто для стабилизациибыло бы,было бы,например,например,достаточнодостаточноиметьиметьтаких последовательных S-стабилизатора с пробочным отношениемтаких последовательных S-стабилизатора с пробочным отношением

родны на крэле, но в его середину дополнительно встроить несколько S-образных по форме оси соленоидов с увеличенным полем Вмакс в их серединах. Оптимальный профиль поля в таких S-образных пробках-стабилизаторах находится из уравнений Эйлера-Лагранжа, минимизирующих функционал S в ”яме” (13.41). Расчеты показывают,

родны на крэле, но в его середину дополнительно встроить несколько S-образных по форме оси соленоидов с увеличенным полем Вмакс в их серединах. Оптимальный профиль поля в таких S-образных пробках-стабилизаторах находится из уравнений Эйлера-Лагранжа, минимизирующих функционал S в ”яме” (13.41). Расчеты показывают,

что для стабилизации

что для стабилизации

было бы,

было бы,

например,

например,

достаточно

достаточно

иметь

иметь

таких последовательных S-стабилизатора с пробочным отношением

таких последовательных S-стабилизатора с пробочным отношением

П= В11ЮР/В1ган - 2,5. К сожалению, этот новый метод стабилизации (за счет неоднородности поля на кривых участках при круглых магнитных поверхностях) еще не был проверен на практике.

Задача 1. Доказать, что при преобразовании скарабея выполняется требование полного сцепления шара с плоскостью.

Решение. Правило полного зацепления легко понять на примере, когда плоский след является окружностью радиуса Rn с центром в точке 0. Чтобы катить шар единичного радиуса по этой окружности, не допуская проскальзывания, нужно мысленно окружить шар конусом с вершиной в точке 0 и катить этот конус вместе с шаром. Тогда след на шаре будет окружностью с радиусом Ящ, который связан соотношением Кщ - Кд1 -1с радиусом плоского следа (рис. 67). При катании шара по произвольной плоской линии требование полного зацепления будет выполнено, если указанное соотношение будет выполняться для мгновенных значений радиусов кривизны обоих следов. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим совместно плоскую кривую 4(f) и пространственную кривую T(t) и запишем для них уравнения Френе. Поскольку |т| - [q| - - 1, в обоих случаях "движение" происходит с единичной по модулю скоростью, так что dt есть элемент длины вдоль обеих траекторий. Это означает, что производные т = Тщ и q - тп следует интерпретировать как единичные касательные векторы к траекториям на шаре и на плоскости, а для них уравнения Френе, взятые в "основной форме” (12.3), дают

где Кш - 1/Яш и Кп - 1/Яп - две кривизны, а Пщ и Нд - две нормали для следа на шаре и следа на плоскости, и поэтому находим.

Каш - (т)2 - (-т + ub)3 -1 + о3; К2П - (ч)3 - ы2; Кщ - К„ -1.

Последнее соотношение и означает условие полного сцепления шара с плоскостью при катании по методу скарабея.

Задача X Убедиться, что плоская минимальная петля скарабея имеет форму лука с концами, стянутыми тетивой впритык.

Рис. 67. Катание шара по плоскости без проскальзыванияРис. 67. Катание шара по плоскости без проскальзыванияРешение. Рассматриваем лук как упругий стержень, концы которого стягиваются тетивой, как это изображено на схеме рис. 68. Из теории упругости известно, что плоский изгиб однородного по длине стержня описывается уравнением Ы [тЩ - [Ft], где Е - модуль упругости Юнга; I — ■ момент инерции сечения стержня; F — сила стягивания, приложенная к верхнему концу; т - единичный касательный вектор, а точка означает производную по длине вдоль стержня. Отсчитывая угол а от вертикали направо, имеем тх = sin а; Ту - cos а и F - Еу - — |f|, их - компонента указанного выше уравнения дает

Рис. 67. Катание шара по плоскости без проскальзывания

Рис. 67. Катание шара по плоскости без проскальзывания

Рис. 68. Форма упругого стержня со сведенными впритык концами

TxTy-TyTx«-a-narina; ца-|г|/Е/>0.

При интегрировании следует учесть два граничных условия: а - 0 при t - О для середины стержня и а - 0 на правом верхнем конце, где а ■ а^ и не приложен какой-либо вращательный момент. Тогда найдем

1аа - 2ц (cos а - cos ak); t-—F(£,kY,1аа - 2ц (cos а - cos ak); t-—F(£,kY,ак[sin (а/2)"k-sin; E-arcsin ,2как[sin (а/2)"k-sin; E-arcsin ,2к

1

аа - 2ц (cos а - cos ak); t-—F(£,kY,

1

аа - 2ц (cos а - cos ak); t-—F(£,kY,

ак[sin (а/2)"

k-sin; E-arcsin ,

2к

ак[sin (а/2)"

k-sin; E-arcsin ,

2к

так что а - 2arcsin (к sin £), как и в (13.13). Далее находим

2k— cos 6; И2k— cos 6; Иtх--кмакс1+^а*па|й"-0

2k

— cos 6; И

2k

— cos 6; И

t

Г 1

у - j cos adt -—[2Е (L k) - F (6, k)}, 0

и для стягивания концов впритык необходимо потребовать, чтобы у = 0 при ot=a^, когда 6 - л/2, что дает 2£(к) - К (к), к - 0,90891. Наконец, требование совпадения длин стержня и минимальной петли скарабея выполняется, если параметр ц имеет прежнее значение Ц - 0,606917. Заметим, что угол раствора при вершине стянутого впритык стержня равен 81,42*.

Глава 3

МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

В предыдущих главах плазма рассматривалась как совокупность ; заряженных частиц, движущихся в заданных внешних полях. В действительности, как уже отмечалось, движение частиц плаз-i мы может приводить к возникновению токов и объемных зарядов ; и, следовательно, к появлению собственных полей плазмы. Такая самосогласованная картина наиболее просто учитывается в рамках магнитной гидродинамики. В такой ”МГД-модели” плазма рассматривается как сплошная среда - газ или жидкость, обладающая хорошей проводимостью и характеризующаяся макроскопическими параметрами - плотностью, скоростью и давлением./

В настоящей главе мы будем пренебрегать вязкостью и теплопроводностью плазмы, т.е. будем считать ее идеальной жидкостью.

§14. Уравнения магнитной гидродинамики

Уравнения МГД были впервые рассмотрены Альфвеном, который объединил с уравнениями Максвелла три уравнения обычной гидродинамики:

др

+ divpv=0; dt

РТ-- Vp + — [jBJ;РТ-- Vp + — [jBJ;(ИЛ)

РТ-- Vp + — [jBJ;

РТ-- Vp + — [jBJ;

Здесь Р (г, t) = тп - масса, заключенная в единице объема; v(r, t) - скорость жидкости; р (г, t) - давление; У • Ср/С, - показатель адиабаты; j (г, Г) - плотность электрического тока и В (г, г) - магнитное поле.

Первое соотношение (14.1) - уравнение непрерывности - выражает закон сохранения массы или числа частиц. Его можно представить также в двух других формах; учитывая, что

. dpдр

Р==+ vVp и divP¥=vVp + pdivv,

dtdt

записываем

p/p--divr.(14.2)

Если выделить в жидкости малый элемент объема АУда, движущийся вместе со средой, то по определению

If Id

divv-lim &irNdS-ДУ .(14.3)

ду-0 AV J ДУда dt

Интегрируя выражение (14.2), получаем закон сохранения массы или числа частиц в этом объеме:

рДУп = const или пАУ„ = const.(14.4)

1

Здесь n (г, t) = — Р (t, t) - плотность числа частиц. Другая форма т

получится, если проинтегрировать уравнение непрерывности по

неподвижному объему Д Ун:

(14.5)(14.5)г арd ггГ

(14.5)

(14.5)

IdV- 1 pc/V-- I divPTdV*-® pVjy dS.

J atat JJJ

AVH AV,AVH AV,AVhAVh

AVH AV,

AVH AV,

AVh

AVh

или (разделив на m)

(14.6)(14.6)dГ

(14.6)

(14.6)

NAV = - Ф mN dS. dt]

Здесь N^y = SndV - число частиц в выделенном объеме ДУ, и по- ? скольку пт - плотность потока частиц, то выражение (14.6) указы- j вает, что приращение N^y равно потоку частиц, втекающих в | выделенный объем через его поверхность. . |

Второе соотношение (14.1) - уравнение движения - представляет J собой уравнение Ньютона, отнесенное к единичному объему среды. 1 Если 6 (г, 0 - смещение частиц жидкости, то v = £ - их ускорение, 1 так что имеем ]

pfc-F--Vp+—ЦБ]. (14.7) I

Здесь F - сила, действующая на единичный объем жидкости. Первый j член справа1

p(j+d*) —р(х). I

Гдавл = -Vp - -Ovp— pdS(14.8) |

axJ4

AV|

(evp - единичный вектор вдоль Vp II z) представляет собой сумму | давлений, действующих на поверхность выделенного единичного I

1I

объема ДУ со стороны окружающей ч>еды. Второй член FMarH = — ЦВ], 1 с1

добавленный Альфвеном, учитывает силу Лоренца, с которой маг-1 нитное поле В действует на единичный объем, если в нем течет ток I j“eeneTe + e,n,Vj.(14.9)3

Здесь ее и е, - заряды электронов и ионов; пе, п, - их плотности и | те, V,- - скорости. Таким образом,|

FMarH - - № = пе — [те В] + п, Л_ [т. в].(14.10)1

ссс

1301

Последнее соотношение (14.1) представляет собой уравнение адиабаты и соответствует закону сохранения энергии в условиях отсутствия теплопроводности (здесь мы рассматриваем плазму как идеальную жидкость, не обладающую теплопроводностью и вязкостью). Поскольку в соответствии с выражениями (14.4) р ~ 1/А У, уравнение адиабаты можно представить в обычной форме:

(14.11)(14.11)р(ДУ)т = const.

(14.11)

(14.11)

После того как в уравнения обычной гидродинамики Альфвеном

1

была добавлена сила Лоренца FMarH - — [jB] (в гравитационном поле е

следует также учитывать силу тяжести F^, - pg), система этих уравнений оказывается незамкнутой и потому должна рассматриваться совместно с уравнениями Максвелла:

div В - 0;

(14.12)(14.12)1 Эв rotE =;!>

(14.12)

(14.12)

с dt 4л1ЭВ

rot В j +.

ссdt

Ограничиваясь рассмотрением сравнительно медленных движений жидкости, можно в последнем уравнении опустить ток смещения 1

jew dE/dt, и тогда в указанном приближении квазистационар- 4л

(14.13)(14.13)ных полей имеем

(14.13)

(14.13)

j =——rot В, 4л

что можно использовать для исключения тока j из уравнений (14.1). Наконец, вследствие законов Ома имеем

j = ОБ,j = ОБ,(14.14)

j = ОБ,

j = ОБ,

где о - электропроводность среды. В таком виде, однако, закон Ома применим лишь для неподвижной плазмы. В случае движущейся среды в формуле (14.14) под полем Е следует понимать электрическое поле Е* в системе координат, движущейся вместе со средой,

которое, как известно из электродинамики, равно

Е*-Е+—[тВ].(14.15)

с

Здесь Е и В - поля в лабораторной системе координат, a v - скорость среды. Таким образом, закон Ома (14.14) следует записать в виде /1\

j = OE*“OIE[vBJI.(14.16)

\сI<

Так как проводимость плазмы достаточно велика (см. гл. 6), то j в первом приближении ее можно считать вообще бесконечно большой о -► * (модель идеальной жидкости), а поскольку ток должен оставаться конечной величиной (чтобы не возникало бесконечно больших магнитных полей В, что абсурдно), то очевидно,3

Е*-0,(14.17) *

1 откуда Е-[vBJ. Подставляя это Е в уравнение индукции, полу- ;

чаем

ЭВ

-rot[vB],(14.18) ?

at

Таким образом, окончательно система уравнений МГД имеет

следующий вид:

pv»F’-Vp +—[jB] + pg; с

дрч.с

--divpv; р~ р , j"rot В;

(14.19)

at4л

эв , ,

-rot[vB]; divB-0

atJ

и может быть сведена к трем уравнениям для трех неизвестных р, v, В, т.е. является замкнутой системой. Дополнительное уравнение ! div В - 0 можно рассматриватьь как некое начальное уравнение, j поскольку, применяя оператор дивергенции к уравнению (14.18) и

а учитывая, что div rot • 0, получаем(div В) - 0. at

В рамках указанной "одножидкостной” модели плазма рассматривается как идеальная жидкость, в которой отсутствуют вязкость

и теплопроводность, а также джоулево выделение тепла (вследствие О оо).

Может возникнуть вопрос почему в уравнении движения фигурирует лишь магнитная сила Лоренца (14.10) и не учтена электрическая сила

(14.21)(14.21)Fto-eeneE + ein,E-eE(ni-ne)

(14.21)

(14.21)

(где в, - -ее - е), которая действует на электроны и ионы, находящиеся в рассматриваемом единичном объеме? Связано это с так называемым свойством квазинейтральности плазмы, вследствие которого плотности электронов и ионов с большой степенью точности можно считать равными друг другу, и поэтому в выражении (14.20) п< - пе * 0.

Рассмотрим более детально полученные уравнения и, в частности, магнитную силу:

11в*(В7)В

₽магн — №1 И ВВ] - - V+.(14.21)

с4п8л 4л

Величину Pujth - В2/8л принято называть магнитным давлением. Поскольку В - ТВ, I \в1 в*

(Bv)B-T tv +Ba(TV)T-V.+ n, \2/2#Kp

где RKp - радиус кривизны силовой линии, а п - ее главная нормаль, направленная к центру кривизны. Таким образом, дляРм1ГН можно также получить выражение

(1422)(1422)в* в*

(1422)

(1422)

Гмагн “F “-^1 «•

8”4”^кр

Последний член связан с искривлением силовых линий и обращается в нуль для поля с прямыми, где RKp ■ ». Наконец, учитывая, что

а/а

(В7) Bj— ■■ Bt В^ I——В^ ■ div В - 0 9*к\ 9*к

где под к подразумевается суммирование от 1 до 3, нетрудно убедиться, что сила Fw.ru может быть представлена в виде дивергенции тензора магнитных давлений:

а Fi——Pik,(14.23)

а*к 133

(14.24)(14.24)^ (Vraa + '1 Рмагн ” т| Рмагн^ (Vraa + '1 Рмагн ” т| Рмагн(14.30)(14.30)

(14.24)

(14.24)

^ (Vraa + '1 Рмагн ” т| Рмагн

^ (Vraa + '1 Рмагн ” т| Рмагн

(14.30)

(14.30)

где оЛ8П

В системе координат с осью, направленной вдоль поля, этот тензор имеет вид

/р 0 О \ / *MarH\

I\в*

Р = I 0 р 0, где р (14.25) j

ik X ''мага I * " 'мага 8яj

\0® —Рмагн/!

Это выражение показывает, что силовые линии магнитного поля стремятся растолкнуться в поперечном направлении с удельной I силой (на 1 см3), равной Рмагн - В3/8л, а в продольном направлении I с той же сил ой стремятся сократиться (поскольку Р# =-Рмагн)-1

Из уравнений МГД можно получить так называемую теорему вмороженности, которая заключается в следующем. Рассмотрим | какой-либо замкнутый ’’жидкий” контур К, движущийся вместе со I средой. Так как Е *- 0, то ЭДС на обходе этого контура равна нулю, и, 1 следовательно, по закону индукции Фарадея, применимому в том |

1 . n I

числе и к движущемуся контуру, имеем — Фк ■ ЭДС = 0, откуда СI

Фк - 5 BdS = const.(14.26) I

(К)j

Таким образом, магнитный поток, пронизывающий этот контур, | остается все время постоянным. Иными словами, магнитные си- 1 левые линии, охватываемые этим контуром, не могут его Пересе- I кать и движутся вместе с контуром, а поскольку это справедливо I для любого произвольно выбранного контура, то силовые линии | пкачмияттея как бы ’’вмороженными” или ’’приклеенными” к 1 частицам жидкости и движутся вместе со средой.I

Разумеется, это утверждение относится лишь к поперечному | перемещению силовых линий, так как в утверждении о движении я силовой линии вдоль самой себя не может быть физического смысла.

Рассмотрим, однако связанный с частицами малый элемент длины А/ на некоторой силовой линии и построим вокруг него силовую трубку с сечением AS. При движении выделенного таким образом элемента объема ДУ = ASA/ должны сохраняться поток

BAS = const и масса р А У= const, вследствие чего имеем

В-рД/ = соп$1илиВ~ рД/.(14.27)

Последнее соотношение качественно указывает на возможность генерации магнитного поля при увеличении длины силовых линий. Предположим, что плазма или хорошо проводящая жидкость находится в состоянии хаотического турбулентного движения. Такие условия осуществляются, по-видимому, при космических взрывах (например, при взрывах сверхновых звезд), в атмосфере Солнца, в недрах ядра Земли, где происходит тепловая конвекция. Тогда две точки среды, взятые на одной силовой линии начального "затравочного” магнитного поля, имеют тенденцию в среднем удаляться друг от друга. При этом Д/ растет, и если этот рост не компенсируется спаданием плотности (например, в ядре Земли плотность можно считать неизменной), то полеВ в соответствии с условиями (14.27) также будет возрастать.

Эта картина, по-видимому, правильно описывает возникновение космических магнитных полей - полей Земли и Солнца, туманностей и т.д. При этом возрастание магнитного поля продолжается до тех пор, пока оно в свою очередь не начнет оказывать обратного стабилизирующего воздействия на турбулентные пульсации среды. Грубо говоря, это должно случиться тогда, когда средняя плотность энергии поля сравняется с плотностью кинетической энергии пульсаций:

^магн'^/Вл ~ wKHH>pv2/2.(14.28)

Рассмотрим, как выглядит закон сохранения энергии в идеальной магнитной гидродинамике. Выделим в жидкости некоторый объем У, движущийся вместе со средой. Его кинетическая энергия,

Г 1

очевидно, равна К (t) — 1 — p^dy, а для ее производной найдем J 2

dKГГГ/1\

I dyp (vv)- I vFdy= I dVr -Vp +— QB] + pg).(14.29) dtJJJ\cj

Пользуясь уравнениями (14.20) и преобразуя по частям ряд интегралов, отсюда можем получить закон сохранения энергии

46 dt

Здесь 6 = К + U - полная энергия выделенного объема, состоящая

f

из кинетической энергии К ■—I pv2 dV и потенциальной

J

1^*1413 +Цагя +Ц-р»

где

t/r„ - j -^-dy; Цогн - j ”•<" ? ^rp - j Pyrp dV.(14.31)

Здесь Um - газовая энергия (для атомного газа V - 5/3, так что р/(7 - 1) - (3/2) пГ - обычная тепловая энергия частиц); Ц^ - магнитная энергия и 1/гр - гравитационная энергия частиц в поле тяжести (У,, - потенциал силы тяжести; g - -Wrp)- Интеграл справа в уравнении (14.30) учитывает работу поверхностных сил, причем первый член под интегралом соответствует работе газового дяменм, второй - работе поперечного магнитного давления

Ршга * да/8л и третий - работе продольного магнитного натяжения

Ршгж ■ -5а/8л (при этом Т) - т (тт), где т - В/В). Элемент поверхности dS направлен в сторону внешней нормали к рассматриваемому объему, т.е. наружу. Два последних члена в уравнении (14.30) имеют

1I

разные знаки, так как р^ соответствует сжатию, a р,^ - растяжению.

Задами Получить закон сохранения энергии (14.30). Получить теорему вириала в МГД.

Решение. Вириалом системы материальных точек в механике называется величина W- Ец F/, где F/ - сила, действующая на i-ю точку. Так как F,- - m, г/, то

Г did 2К+—Er^,(1)

и если система совершает финитное движение, то при усреднении по времени последний член выпадает и получается соотношение 17 - -2к, которое во многих случаях оказывается полезным при исследовании движения системы.

В магнитной гидродинамике соответственно имеем Г Гd Г

W-\rFdV-\npdV--2K+-— \npdV.(2)

J JJ

Подсчитаем теперь сам вириал

I1\

W-jTFdV-JdVrl-Vp+—QBJ + PgldV.(3)

\с/

Преобразуя по частям член с Vp и учитывая, что div г - 3, находим

J(-rVpJ dV-3(?-l)Um-^pidS.(4)

Подобным образом для члена с магнитной силой имеем

Г 1^гВ1

\г — (jB] d V ” Угаз-ф — WS)—“— (BdS) .(5)

J свл4лJ

Наконец, для гравитационного члена, учитывая силу тяжести, создаваемую самой жидкостью (что может представлять интерес для космических проблем), имеем

Г R

I" -VYrp " G \ -^r»dv'’ divg —G • top (x),(6)

где R - r — r', a G > 0 - гравитационная постоянная. Тогда,

Г 1 г

\ ipgdF--\ (n)divtdV-

J4nG J

-^■"•^(,4-,(,й)л®

Собирая результаты, получаем

1 гif

2К+ 3 (у - 1) Uras + U^ + - j р¥гр dV-- — А|¥гр dS*

В» f \ (гВ) (ж<) 1 dJr-В +• +—

8л 8л6/ 4л 4nG J dt

Это соотношение и является теоремой вириала в МГД.

§ 15. Простейшие равновесные системы

В случае статического равновесия (v = 0 и Э/dt = 0) уравнения МГД принимают вид

11

Vp = — [jB]-[rotBB]; divB=0.(15.1)

с4л

При этом мы также предположим, что g ■ 0, так как в задачах, связанных с осуществлением управляемой термоядерной реакции, можно обычно не учитывать силу тяжести. Из уравнения (15.1), в частности, следует, что Яр = BVp - 0. Иными словами, линии поля В и линии тока j лежат на поверхностях постоянного давления Р = const. Рассмотрим примеры равновесных систем.

Самый простой случай получится, если магнитное поле имеет лишь одну компоненту В - Вг. Тогда из уравнения div В = dBJdz - = 0 имеем В, - В, (х, у), и поскольку силовые линии являются пря-

мыми, из уравнения (15.1) с учетом выражений (14.22), (14.23) следует

V Р+-“ -°. \/

откуда в®

р+=Кх, у)- const. 8я

(15.2)(15.2)В частности, если магнитное поле внутри плазмы равно нулю, 1 то давление внутри плазмы будет постоянным рДх, у) * const, J граница плазмы будет резкой (скинированный случай) и на границе j р{ - В’/8л, где Вв - поле снаружи границы. |

(15.2)

(15.2)

Такая ситуация примерно осуществляется в так называемых | 6-пинчах (рис. 69,о), где столб плазмы сжимается нарастающим | продольным магнитным полем. I

Другим простейшим случаем является так называемый z-пинч 1 (рис. 69, б), в котором по поверхности цилиндрического столба 1 плазмы пропускается продольный ток I, создающий Ф-е магнитное I поле. 1

Поле на границе г - о такого пинча равно В^ = 21/са, и давление 1 плазмы уравновешено магнитным давлением р = пеТе + л, Tt ■ 1 ■ В® (а)/8п. При одинаковых температурах электронов и ионов 1

Te-Tt-T имеем f -4^^ Г,

(15.3) |(15.3) |Очевидно, Nt - это число частиц | (ионов), приходящихся на единицу | длины шнура. Соотношение (15.3) I показывает, что в такой установке I можно было бы легко достичь вы-I соких температур, необходимых !

(15.3) |

(15.3) |

Рис. 69. Схема 6-пинча и Z-пинча

для протекания термоядерной реакции. Пусть, например, разряд происходит в цилиндрическом сосуде радиусом 10 см, наполненном дейтерием при давлении 0,01 мм рт. ст. (1,33 Па), что соответствует п0 ■ = 4.1014 см-3 и ^ ■ 1017 част./см. Предполагая, что при разряде весь газ ионизуется и стягивается в плазменный шнур, по формуле (15.3) нетрудно убедиться, что для создания температуры в 10е К [Т = 10 кэВ - 1,6 • 10”’ эрг (10~15 Дж)]; был бы необходим ток (1 А - = 3 - 10е абс.ед.)

I-lc^Nx Г- 3.1015 абс. ед. -10* А,

что вполне достижимо в лабораторных условиях. К сожалению, такой простейший разряд оказывается неустойчивым.

Точно так же неустойчивым является и 6-пинч с прямыми силовыми линиями. Для стабилизации z-пинча в нем создают продольное магнитное поле, которое частично подавляет неустойчивость плазмы.

Рассмотренный пример полностью скинированного пинча с током, текущим лишь по его поверхности, является идеализированной моделью. В действительности проводимость плазмы не является бесконечно большой, и ток будет частично проникать внутрь плазмы. В простейшем случае можно считать, что ток / равномерно распределен по сечению шнура с плотностью Л - J/ла3 и внутри плазмы имеется поле Вф - 2/(г)/сг, где /(г) ■ J, лг3. Тогда, интегрируя уравнение равновесия

9Р11/ Га \ 2г

Vrp—QB]r/,Вф(г)— —— —,(15.4)

drсс\ nea<r / еа

получаем, что давление спадает по параболе

Р(г)-р(0)11—I,(15.5)

где

Если предположить, что температура Т-р (г)/2п (г) постоянна по сечению, то полное число частиц в сечении будет равно

ва

(15.6)(15.6)Nt - I n (г) 2nrdr - п (0) I |1]2nrdr--^- -^—,

(15.6)

(15.6)

JJ \«а/2Т2

00

и с учетом выражения (15.5) мы получим прежнее соотношение (15.3) Р - 4с2 JVt Т, которое, таким образом, не будет зависеть от распределения тока по сечению шнура (это можно показать и для произвольного распределения).

Рассмотрим теперь примеры замкнутых равновесных систем, простейшими из которых являются тороидальные разряды.

Пинч в кожухе показан на рис. 70. Рассмотрим условия равновесия плазменного шнура в тороидальном кожухе, который считается идеально проводящим, вследствие чего в него не может проникать магнитное поле. Предположим, что пинч имеет форму тора с большим радиусом R и малым радиусом о. Продольный ф-й ток I будем считать распределенным лишь по поверхности плазмы (скинированный случай). Этот ток создает снаружи пинча магнитное поле, силовые линии которого располагаются в меридиальных плоскостях rz. В простейшем случае можно считать, что давление плазмы постоянно по сечению шнура: р - const. При этом

(15.7)(15.7)Vp- —ЦВ]-0,

(15.7)

(15.7)

т.е. j II В.

Магнитные поля, в которых j У В, принято называть бессиловыми полями. Внутри плазмы имеется продольное поле В = В^, параллельно которому и может лишь протекать ток j = j^ при р = const. Однако поскольку по условию продольный ток сосредоточен на поверхности, следовательно, внутри плазмы

(15.8)(15.8)Рис. 70. Плазменный тороид в проводящем кожухеРис. 70. Плазменный тороид в проводящем кожухе

(15.8)

(15.8)

Рис. 70. Плазменный тороид в проводящем кожухе

Рис. 70. Плазменный тороид в проводящем кожухе

откуда В1^ - const/r, где г - цилиндрическая координата, отсчитываемая от оси z. Если снаружи пинча также имеется продольное магнитное поле В^, то оно, очевидно, тоже должно иметь вид Вф - = const/r. В английской термоядерной установке ”3эта”, сходной с рассматриваемой нами системой, разряд осуществляется таким образом, что предварительно в камере создается продольное поле, а затем путем изменения магнитного потока наводится продольная ЭДС. Возникающий плазменный шнур захватывает продольное поле и стягивается к оси камеры, так что снаружи пинча продольного магнитного поля практически не остается. В этом случае Вф- О, а компонента Вы на границе плазмы может быть найдена из условия равенства наружного магнитного и внутреннего суммарного давлений:

, _е ,i—

{ Ва \2 / \а

- Р+ •(15.9)

\ 8Л /рр \ 8л /гр

Записав внутреннее ф-е поле [см. уравнение (15.8)] в виде Вф - = (Я/r) Во, где Во - значение поля на оси шнура, найдем

(15.10)(15.10)(Вы)гр -—Во У1 + ₽(ггр/Л)а; гц>

(15.10)

(15.10)

где fl - р/Вд/вл; ггр = R - х = R - a cos ы - расстояние от оси г до границы плазмы (см. рис. 62). Тогда для полного тока, текущего вдоль шнура, имеем

С Г е с Г /7 R

(15.11)(15.11)(15.12)(15.12)—ф Вы (Но ■ "вВо ф du /Р + [I ,

(15.11)

(15.11)

(15.12)

(15.12)

8л J4л J *\ Н-всми)

членом с cos о под корнем,членом с cos о под корнем,Для тонкого тора а <■ R, пренебрегая получаемI-—соВо Vfl+Tили,иначе, 2

членом с cos о под корнем,

членом с cos о под корнем,

Р-Ас1!^ Г|1+—), \ ₽/

что можно рассматривать как обобщение формулы (15.3) на глуп*#, когда внутри z-пинча имеется продольное магнитное поле. Таким образом, мы полностью решили внутреннюю задачу для тороидального пинча. Снаружи пинча имеется вакуумное магнитное поле, и если зазор X (о) между поверхностью плазмы и кожухом невелик.

то его можно найти из условия сохранения магнитного потока

(15.13)(15.13)фи"^ х (ы)2л rrp*const’Vo’фи"^ х (ы)2л rrp*const’Vo’откуда с учетом соотношения (15.10) получимоткуда с учетом соотношения (15.10) получимa/Rиsin31 + B2a/Rиsin31 + B2(15.14)(15.14)При o/R < 1 имеемПри o/R < 1 имеемХ(ы) = Х(0) 1-23Х(ы) = Х(0) 1-23(15.15)(15.15)

(15.13)

(15.13)

фи"^ х (ы)2л rrp*const’Vo’

фи"^ х (ы)2л rrp*const’Vo’

откуда с учетом соотношения (15.10) получим

откуда с учетом соотношения (15.10) получим

a/Rи

sin3

1 + B2

a/Rи

sin3

1 + B2

(15.14)

(15.14)

При o/R < 1 имеем

При o/R < 1 имеем

Х(ы) = Х(0) 1-23

Х(ы) = Х(0) 1-23

(15.15)

(15.15)

Поскольку по условию сам пинч имеет круглое сечение радиуса а, то из формулы (15.15) можно установить, что кожух должен приблизительно иметь вид окружности с центром на расстоянии Д =

= X (0)от центра пинча и с радиусом b •= а + X (0) - Д (ем.

R 1 + Р

рис. 62), причем X (0) произвольно, но считается малым: X (0) <- а. Рассмотренный пример можно распространить на случай, когда снаружи пинча имеется продольное магнитное поле и когда продольное поле отсутствует как внутри, так и снаружи.

При отсутствии же меридиального поля Su или, что то же самое, продольного тока в пинче равновесие оказывается вообще невозможным.

Рассмотрим равновесие "тонких” торов. Очевидно, что тороидальная конфигурация является простейшей замкнутой системой. Предположив, что плазменный шнур сохраняет форму тора с большим радиусом R и малым а, причем а ^ R (тонкий тор), рассмот- : рим условия равновесия такой системы в случае, если снаружи нет какого-либо кожуха.

Если такая система может рассматриваться как замкнутая, то равновесие будет возможно лишь при наличии достаточно сильного собственного гравитационного стягивания. Такой гравитирующий j тор условно можно рассматривать как модель Галактики. Если гравитационными силами можно пренебречь, то для равновесия необходимо, чтобы внутреннее давление газа и магнитного поля в системе было уравновешено давлением магнитного поля или ■

газа (либо того и другого вместе) снаружи системы, т.е. система не может быть замкнутой.

Рассмотрим последовательно три возможных случая: гравитирующий тор, тор в поле и тор в газе.

Условия равновесия этих систем проще всего получить, воспользовавшись теоремой вириала (см. задачу 2 к § 14), которая в условиях стационарного динамического равновесия (д/д? ■ 0, но т Н) принимает вид

2К + 3 (у - 1) Ц.ю + U^ + U„ - j>dS

+ -2- [В2Г _ 2 (ГВ) В] +—[2 fa) g - 53 г - gT j .(15.16)

8л8лСv )

Для гравитирующего тора (рис. 71), рассматриваемого как замкнутая система, можно отодвинуть поверхность в интеграле справа на бесконечность, и тогда получим

2К + 3 (у - 1) UrM + Ц^н + ^ + U„ - 0.(15.17)

Здесь все члены положительны, кроме гравитационного (Ц.р “ = - |Ц.р|). Очевидно, для устойчивости необходимо, чтобы полная энергия была отрицательной:

Исключив из этого неравенства кинетическую энергию К с помощью соотношения (15.17), получим условие

^гр^Умагв + Р-З^-!)]^,(15.18)

которое в астрофизике известно как критерий динамической устойчивости Чандрасекара-Ферми.

В случае тонкого тора можно считать, что плотность р и давление

газа Pt равномерно распределены по объему тора V - лаа2л/?. Предполагая для общности, что внутри тора имеется продольное Ф-е

Рис. 71. Схема гравитирующего тораРис. 71. Схема гравитирующего тораполе Вф ■ В, и что тор вращается с окружной скоростью ¥ф, имеем

Рис. 71. Схема гравитирующего тора

Рис. 71. Схема гравитирующего тора

Мт фPi V

К; Um =—;

. 2J"1

^магн" Амгн V» Ру«гншВа1%И. .

(15.19)

Так как снаружи проводники с токами отсутствуют, то внешнее магнитное поле не может иметь ф-ю компоненту, однако в самом торе возможен продольный ток 1, который мы будем считать распределенным по поверхности тора. Тогда снаружи будет магнитное поле Ве (в частности, на границе Ве - 21/са) и внешняя магнитная энергия оказывается равной 1/магж “ LI^Hc1, где L - 4лД I In21 -

\ а /

самоиндукция тора.

Собственная гравитационная энергия тонкого тора с равномерно распределенной плотностью приближенно равна (G - гравитационная постоянная)

11U,»-- pTrpdy—тр3U,»-- pTrpdy—тр3G Г dVdVG Г dVdVЛ®яGIn—4лЯаЛ®яGIn—4лЯа(15.20)(15.20)

1

1

U,»-- pTrpdy—тр3

U,»-- pTrpdy—тр3

G Г dVdV

G Г dVdV

Л®я

GIn—4лЯа

Л®я

GIn—4лЯа

(15.20)

(15.20)

а обобщенные силы тяжести, действующие по малому и большому > радиусам, соответственно составят

а 9ЦГI

Frp"ж—G;

да 4лЯа

(15.21)(15.21)R dliИ*R

(15.21)

(15.21)

Е_-——G In1

*ЭЯ4лЯ®а

Очевидно, условие равновесия по малому радиусу должно соответствовать равенству давлений

(15.22)(15.22)i е । а1 м G

(15.22)

(15.22)

Pi+ Дога " Рмагн + г гр / ^т “~+ —раЛда.

8л се 4

Здесь S, - 2ло2лЯ - поверхность тора. Я

Тогда с учетом (15.22) соотношение (15.17), вытекающее из теоре- ■ мы вириала, можно записать в виде равенства обобщенных сил, ■ действующих по большому радиусу: ■

R \

Здесь F; ■ 2л ч/сг I In81 - сила расталкивания кольцевого

\ а I

тока по радиусу, а физический смысл остальных членов не требует пояснений.

Рис. 72. Плазменный тор во внешнем магнитном поле

Для тора в поле (рис. 72) пренебрежем силой тяжести (G -* 0) и будем считать, что снаружи имеется магнитное поле Ве * ^ + ^, переходящее на бесконечности в однородное внешнее поле ^ - В„. Рассмотрим вначале конечный, но достаточно большой объем ^ в виде куба, окружающего нашу систему.

Указанный объем слагается из объема тора У( и внешнего по отношению к тору объема Уе. На поверхности объема V^ достаточно удаленной от нашей системы, поле можно1 счйтать постоянным и равным внешнему полю В, Поэтому, применяя формулу (15.16) к указанному объему V , для поверхностного интеграла справа получаем

(15.24)(15.24)/в»гв0\в;

(15.24)

(15.24)

dSгВ. -—— у - \ 8л4л/8л ”

Wi*Ve)

(При этом $rdS - j div г dV - Зу^, однако второй интеграл дает - 2у ). Перенося все члены в формуле (15.16) налево, можно теорему вириала представить в виде

2К+3 (V - 1) UrM+ l^-b U^h*0. (15.25)

Учитывая, что Ве- В^б* Во, величину

^магн*^магн*(У,+ Уе)(У,+ Уе)

^магн*

^магн*

(У,+ Уе)

(У,+ Уе)

(Уе*“)(Уе*“)

(Уе*“)

(Уе*“)

«co6«e\„Ua 1

(15.26)(15.26)"I dV-Рцегн V{ + — + — ф0,

(15.26)

(15.26)

« /2с1 с

где Фо - Во п № - а)3, следует рассматривать как внешнюю магнитную энергию контура с током в поле Во. Считая тор достаточно тонким (R/a * 1), мы будем предполагать, что. собственное поле тока на границе шнура В/ - 2//со значительно превосходит внешнее магнитное поле Во, и поэтому будем удерживать лишь первые поправочные члены порядка BolBi < 1.

При смещениях шнура, очевидно, сохраняется полный поток, пронизывающий контур

R-a

J

u(15.27)

(Всоб + Во) dS + Фо - const.

с

О

Тогда для обобщенной внешней силы, действующей по малому радиусу, можно найти

. I 9\/ В. R/a \

F* —U^L *-£— 1+—-•(15-28)

\ За-coiut 8л \ В/ in(8R/e)/

Условие равновесия по малому радиусу, очевидно, должно иметь вид

Pi + Я«агн -1 ^^!Sr " Рмагн I 1 + ~~I> Рмагн - ~ »(15.29)

\ В/ ln№R/aH8п

что соответствует равенству давлений.

Учитывая соотношение (15.29), из теоремы вириала (15.25), (15.26) можно получить условие равновесия обобщенных сил, действующих по большому радиусу тора [ср. с равенством (15.23)]:

—^*Pi—+f? 1+

R п dR \ Bj ln(8R/e) /

-^н~+ -^~2п.К(15.30)

3R е

(принято 2 = /ф - -1/|). Слева здесь стоят: центробежная сила инерции, сила газового расширения и слегка измененная сила токового расталкивания кольца. Они уравновешены справа силой стягивания, возникающей вследствие продольного сокращения силовых линий внутреннего , магнитного поля, и силой Лоренца, описываемой последним членом.

Рассмотрим далее “тор в газе” (рис. 73), предполагая, что снаружи магнитное поле отсутствует (Ве - 0), но имеется безграничный проводящий газ с однородным по пространству давлением ре, отличающимся от давления газа р, внутри тора. Так как вязкостью мы пренебрегаем, то для общности можно по-прежнему считать, что тор вращается с постоянной окружной скоростью уф. Условия равновесия сил по малому и большому радиусам соответственно должны иметь вид

i i е

Яаз + Я«агн ” Ргаэ»

Mt% i av ( av е av

—F‘+^to-aFwp^ra-aR"*Pt“-aR"*(15.31)

Учитывая, что M/R - pV/R - pdV/ЭЯ, последнее условие можно также записать как

рУф + Д.ю * Ддагн + Ргаз-

Воспользуемся, наконец, теоремой вириала и рассмотрим какую- либо произвольную, но ограниченную конфигурацию магнитного поля в проводящем газе (или жидкости), который будем считать

1

покоящимся (у - 0). Так как Vp - — [jB], то, взяв в теореме вириала С

поверхность вне объема VB, занимаемого магнитным полем, получим, что на этой поверхности ре = const Тогда из теоремы вириала следует

J dV^Pi + p^-^peTdS-3peV

(V» Ув)

или, иначе, _ "i /_

Ре-Р.+ —^H>Pi-(15.32)

обладающем давлениемобладающем давлениемРис. 73. Плазменный тор во внешнем газе,

обладающем давлением

обладающем давлением

Здесь черта сверху означает усреднение по объему VB, занимаемому магнитным полем. Иными словами, давление газа снаружи должно превышать среднее давление газа внутри объема VB. Отсюда следует невозможность существования бессиловых магнитных полей, ограниченных в пространстве, в которых всюду было бы j I В, так как при Vp ~ ЦВ] - 0 условие ре - р, возможно в соответствии с формулой (15.32) лишь при В - 0.

Тор с распределенным током

Если плазменная система является аксиально-симметричной, то все функции не должны зависеть от угла ф и при этом удобно пользоваться цилиндрической системой координат г, ф, z. Задача о равновесии такой системы сводится к так называемому уравнению Грэда-Шафранова, которое получается, если из z-компоненты уравнения равновесия

(16.1)(16.2)(16.1)(16.2)др 11

(16.1)

(16.2)

(16.1)

(16.2)

№1—^в,-^

81 сс

найти ток Втс Эр

^^в~~вГ

DyDy OX

и подставить его в Ф-компоненту основного уравнения магнитоста

тики

88

(rot В) ВВ -»81 т 8г

(16.3)

При этом удобно ввести две интегральные функции

ф (г, z) - S В, (г', z) 2nr'dr'; I (г, z)- Sji (r,' z) 2nr'dr'(16.4)

Оо

первая из которых дает магнитный поток, пронизывающий круг радиуса г, а вторая полный ток, пронизывающий тот же круг (на рис. 74 заштрихован). Польза введения этих функций состоит в том, что обе они оказываются постоянными на поверхностях постоянного давления р (г, z) = const, и поэтому можно положить р (г, z) •

Рис. 74. Тор с распределенным по сечению током

= р (Ф) и аналогично I (г, z) -1 (ф). Кроме того, учитывая уравнения div В - 0 и div j - 0, через функции ф (г, z) и 7 (г/ z) можно выразить компоненты поля и тока:

Jr= . > J*- 2nv 2лгJr= . > J*- 2nv 2лг(16.5)(16.5)-Фг2Zф,

Jr= . > J*- 2nv 2лг

Jr= . > J*- 2nv 2лг

(16.5)

(16.5)

Вг - —; Bq, =6; В, = ——;

2лгсг2лг

С учетом этих соотношений можно далее записать компоненту Уф в виде

1

Уф - rFt (Ф) +—F3 (Ф); Л - 2лс—- 2лсрф;

2U'1.

Fa;(F) .(16.6)

eV,сФ

Подставляя это выражение в (16.3), где Вт также следует выразить, через функцию ф, окончательно получаем уравнение Грэда- Шафранова в виде единого уравнения для функции ф (г, z):

ф" +Ф"ф'-а (ф) + г2 р (ф); а -- —— р ;

тс1 dф

Р--16л3рф.(167)

При этом, однако, функции аир остаются неопределенными, что указывает на возможность многих видов равновесия в рамках идеально проводящей модели МГД, как это имело место и ранее для плоского равновесия.

Самое простое решение получается, если функции а, р считать постоянными и искать решение в виде "эллипса, нанизанного на

цилиндр”:

ф0 (г, z) - Со I—1V1 - ——) ,(16.8)

\'маке *макс/

где Со - постоянная, а г^, г , и хмакс - параметры, определяющие размеры системы (см. рис. Т^где показана карта линии ф0 (г, z) * * const). Подстановка решения (16.8) в уравнение (16.7) приводит к выражениям

а-а0-—“--const; р-ро-1—а0= const,(16.9)

*&акс'мин

где для краткости обозначено С, - (ЦыщЛмакс)2* Ток /ф ПРИ этом равен

и, как видим, сравнительно мало меняется по сечению шнура. Такое распределение тока /ф плохо согласуется с наблюдениями на токамаках, где, как правило, ток /ф более сконцентрирован к центру сечения. Тем не менее рассмотрим решение (16.8) более подробно. Предполагая Со > 0, находим, что максимум потока Фо(г, г) расположен на радиусе R - У(г?,„„ + r2.„J/2‘ где и проходит магнитная ось системы.

Если для краткости обозначить е - (r^/г,,,^)2 и С2 - (1 - е)2/4е, то поток (16.8) можно переписать в виде

Рис. 75. Сечения магнитных поверхностей ф (г, xl-const. Заштрихован* внутренность сепаратрисы

В непосредственной близости от оси, когда величины х - г - R и z малы, имеем приближенно

(16.12)(16.12)ф0 * Со Са [1 - 2-^-(х3 + С3 z3) 1; Сэ* - C.r1^J d*8)C,

(16.12)

(16.12)

откуда видно, что магнитные поверхности ф0 (г, z) - const имеют вблизи оси эллиптические сечения. Если Сэ < 1, то эллипс вытянут вдоль вертикальной оси z, что более выгодно для рабочего режима токамака. Однако для простоты рассмотрим случай чисто круговых поверхностей вблизи оси, которые соответствуют выбору Сэ - 1 и при этом С, - (1 - е)/(1 + е).

Давление плазмы найдем из уравнения [см. (16.7)]

РфРф(16.13)(16.13)-~? р(ф) — -?2-(ф - ф^, 16л16л8

Рф

Рф

(16.13)

(16.13)

где фгр - постоянная интегрирования. Если принять ф^ ■ 0, то границей плазмы будет сама сепаратриса ф0 (г, z) - 0, на которой давление будет обращаться в нуль, а максимум давления на оси г - R в этом случае будет равен

1-е / 1*е1-е / 1*еРм1ксшРо". I16л8 \ еЯ8Рм1ксшРо". I16л8 \ еЯ8\2 Со\2 Со(16.14)(16.14)

1-е / 1*е

1-е / 1*е

Рм1ксшРо". I

16л8 \ еЯ8

Рм1ксшРо". I

16л8 \ еЯ8

\2 Со

\2 Со

(16.14)

(16.14)

Полезно определить также плотность тока на оси

(16.15)(16.15)(l+tfc

(16.15)

(16.15)

4(,.я).,,.__со

и полный продольный ток по всему сечению:

11л8 Ял8 Я(16.16)(16.16)

1

1

л8 Я

л8 Я

(16.16)

(16.16)

где функция F (е) равна

(16.17)(16.17)— 81*е/,1, 1 + V1 — е

(16.17)

(16.17)

F (е) ”+I1 In —-

Зе 2 I 2Vl-e

Рассмотрим предельный случай достаточно тонкого шнура, когда параметр е - (гм„н/г...^)2 близок к единице, так что значение ц -1 - е мало, и приближенно можно положить

/ 1-и '/и \

г.«R /»R 1= Я-в;

V 1-(ц/2)\4/

RГ2е^^RГ2е^^«R«R= R + a,= R + a,(16.18)(16.18)где а - Яц/4 - малый радиус шнура. В этом пределе функция Г (е) приближенно равна F(e ■* 1) * Зца/Ю * 4,8 (о/??)3, и полный ток (16.16) запишется в видегде а - Яц/4 - малый радиус шнура. В этом пределе функция Г (е) приближенно равна F(e ■* 1) * Зца/Ю * 4,8 (о/??)3, и полный ток (16.16) запишется в виде11(16.19)(16.19)где jo - ток (16.15) в пределе е -* 1, SD = 16a2/3V2* - площадь D- образного сечения, и наконец, К - 9/10 - поправочный коэффициент, возникающий из-за того, что ток /ф все же заметно меняется по сечению, но эти поправки незначительны.В том же приближении максимальное давление (16.14) будет равногде jo - ток (16.15) в пределе е -* 1, SD = 16a2/3V2* - площадь D- образного сечения, и наконец, К - 9/10 - поправочный коэффициент, возникающий из-за того, что ток /ф все же заметно меняется по сечению, но эти поправки незначительны.В том же приближении максимальное давление (16.14) будет равно« / Со V Рмакс ж Ро = I I »« / Со V Рмакс ж Ро = I I »(16.20)(16.20)и его полезно сравнить с давлением магнитного поля. Воспользовавшись формулой (16.11), найдем, в частности, компоненту В, при г- 0:и его полезно сравнить с давлением магнитного поля. Воспользовавшись формулой (16.11), найдем, в частности, компоненту В, при г- 0:Фгг»-R»4С„В,---2С0*2лглг^ин^с ^aФгг»-R»4С„В,---2С0*2лглг^ин^с ^aRR(16.21)(16.21)При г = г^щ « R - а, а также при г - rM.,, »J? + о модуль этого поля равен BL - 4аС0/Д3л, и на сепаратрисе оно создает среднее магнитное давление <В’>/8п - (аС0//?3)2/л3, разделив на которое величину (16.20), получим важный параметр, называемый бета-полоидалъное:При г = г^щ « R - а, а также при г - rM.,, »J? + о модуль этого поля равен BL - 4аС0/Д3л, и на сепаратрисе оно создает среднее магнитное давление <В’>/8п - (аС0//?3)2/л3, разделив на которое величину (16.20), получим важный параметр, называемый бета-полоидалъное:Pnon-PlPnon-Pl8лр R=ж Д,В^ а8лр R=ж Д,В^ а(16.22) i(16.22) iВеличину А = R/a принято называть аспектным отношением. Другой, важной в теории токамаков величиной является так называемый запас устойчивости, равный q - oB^fRB^ где В, -. основное продоль-Величину А = R/a принято называть аспектным отношением. Другой, важной в теории токамаков величиной является так называемый запас устойчивости, равный q - oB^fRB^ где В, -. основное продоль-

R

Г2е^^

R

Г2е^^

«R

«R

= R + a,

= R + a,

(16.18)

(16.18)

где а - Яц/4 - малый радиус шнура. В этом пределе функция Г (е) приближенно равна F(e ■* 1) * Зца/Ю * 4,8 (о/??)3, и полный ток (16.16) запишется в виде

где а - Яц/4 - малый радиус шнура. В этом пределе функция Г (е) приближенно равна F(e ■* 1) * Зца/Ю * 4,8 (о/??)3, и полный ток (16.16) запишется в виде

1

1

(16.19)

(16.19)

где jo - ток (16.15) в пределе е -* 1, SD = 16a2/3V2* - площадь D- образного сечения, и наконец, К - 9/10 - поправочный коэффициент, возникающий из-за того, что ток /ф все же заметно меняется по сечению, но эти поправки незначительны.

В том же приближении максимальное давление (16.14) будет равно

где jo - ток (16.15) в пределе е -* 1, SD = 16a2/3V2* - площадь D- образного сечения, и наконец, К - 9/10 - поправочный коэффициент, возникающий из-за того, что ток /ф все же заметно меняется по сечению, но эти поправки незначительны.

В том же приближении максимальное давление (16.14) будет равно

« / Со V Рмакс ж Ро = I I »

« / Со V Рмакс ж Ро = I I »

(16.20)

(16.20)

и его полезно сравнить с давлением магнитного поля. Воспользовавшись формулой (16.11), найдем, в частности, компоненту В, при г- 0:

и его полезно сравнить с давлением магнитного поля. Воспользовавшись формулой (16.11), найдем, в частности, компоненту В, при г- 0:

Фгг»-R»4С„

В,---2С0*

2лглг^ин^с ^a

Фгг»-R»4С„

В,---2С0*

2лглг^ин^с ^a

R

R

(16.21)

(16.21)

При г = г^щ « R - а, а также при г - rM.,, »J? + о модуль этого поля равен BL - 4аС0/Д3л, и на сепаратрисе оно создает среднее магнитное давление <В’>/8п - (аС0//?3)2/л3, разделив на которое величину (16.20), получим важный параметр, называемый бета-полоидалъное:

При г = г^щ « R - а, а также при г - rM.,, »J? + о модуль этого поля равен BL - 4аС0/Д3л, и на сепаратрисе оно создает среднее магнитное давление <В’>/8п - (аС0//?3)2/л3, разделив на которое величину (16.20), получим важный параметр, называемый бета-полоидалъное:

Pnon-Pl

Pnon-Pl

8лр R=ж Д,

В^ а

8лр R=ж Д,

В^ а

(16.22) i

(16.22) i

Величину А = R/a принято называть аспектным отношением. Другой, важной в теории токамаков величиной является так называемый запас устойчивости, равный q - oB^fRB^ где В, -. основное продоль-

Величину А = R/a принято называть аспектным отношением. Другой, важной в теории токамаков величиной является так называемый запас устойчивости, равный q - oB^fRB^ где В, -. основное продоль-

ное магнитное поле на оси, создающее магнитное давление В,/8л. Тогда для основного параметра 0 получаем выражение

8лр0 / \а / в \а 1

р—^--М— -Pi Нг -тт-d6-23)

В проекте токамака ИТЭР аспектное отношение равно А - 3, а для устойчивости необходимо выполнение критерия Крускала-Шафранова q > 1. Например, необходимо иметь q - 2, и тогда находим параметр Р - 1/12 * 8%. Из формул (16.12), (16.13) видно, что давление в сечении шнура распределено примерно по параболе, и если использовать не максимальное, а среднее давление рф - Рмагс/2. то параметр Р будет вдвое меньше. При таких значениях Р и работают токамаки.

Рассмотрим более подробно ход силовых линий, определяемый

уравнением dx (Ф)*,

d<P 5ф

сгфгLAI*• \

■:: R3-г2- 2 ,(16.24)

гмивгмакс 'Ч /

где L - сС0/л/(ф) - характерная длина. На внутренней стороне сепаратрисы г - г^ это уравнение принимает вид

^С^сеп) **/ Ф-Фф

(16^5)(16^5)-th ——

(16^5)

(16^5)

l-(*4»n)Vgen*сеп\ Veen

Здесь введены обозначения z^ - RCjffi, S№ ■ 2лД/(0)/сСо (1 + е); Фо - постоянная интегрирования, характеризующая данную силовую линию на цилиндре г - r^,-z^ < z < z^

На внешней стороне D-образного сечения сепаратрисы радиус равен г «г2>/l-(z/z^2,и здесь уравнение (16.24) принимает вид

**^сеп)i^1 йц**^сеп)i^1 йц(16.26)(16.26)

**^сеп)i^1 йц

**^сеп)i^1 йц

(16.26)

(16.26)

Если для краткости обозначить х - z/z^,. а - z^lz^ - V1 - с’, то решение этого уравнения можно представить в виде

1-х / 1 + ИХI — ф-ф

(16.27)(16.27) -ехр 2^

(16.27)

(16.27)

1+х \ 1-ах /\ Фед,

и оба решения (16.25) и (16.27) показывают, что на самой сепаратрисе силовые линии асимптотически группируются вблизи верхнего

Рис. 76. Ход силовых линий на поверхности сепаратрисы. Линии асимптотически приближаются к ребрам сепаратрисы, на рисунке условно развернутой в плоскую ленту

и нижнего узлов D-образного сечения сепаратрисы, как это качественно изображено на рис. 76. Можно видеть, что шаг h силовых линий на самой сепаратрисе равен бесконечности, и критерий Крускала-Шафранова q - Ы2кН > 1 здесь заведомо выполняется, так что критическая магнитная поверхность q • 1 располагается где-то внутри сечения. Опыт показывает, что именно на этой критической поверхности с q * 1 зарождаются внутренние возмущения плазменного шнура.

Волны в магнитной гидродинамике

Рассмотрим малые колебания однородной жидкости или газа. В обычном газе единственной формой такого движения является звук, представляющий собой упругие продольные (вдоль нормали к фронту волны) колебания молекул. В магнитной гидродинамике звуковые колебания в присутствии магнитного поля искажаются и становятся более сложными. Кроме того, появляется возможность движений нового типа - так называемых альфвеновских волн, связанных с новым фактором, учитываемым в уравнениях МГД, а именно с упругостью силовых линий магнитного поля.

Механизм возникновения этих волн качественно поясняется на рис. 77, где средний слой газа, будучи сдвинут в сторону, увле-

Рис. 77. К механизму образования воли АльфвенаРис. 77. К механизму образования воли Альфвена

Рис. 77. К механизму образования воли Альфвена

Рис. 77. К механизму образования воли Альфвена

кает за собой "вмороженные” магнитные силовые линии. Последние, стремясь сократиться, возвращают слой в исходное положение, однако по инерции он проскальзывает дальше, и цикл повторяется. Далее можно видеть, что этот колебательный процесс, затрагивает и соседние слои газа, которые также начнут колебаться. Следоратель- но, возмущение будет распространяться вдоль магнитного поля. Так как в описанном механизме существенны лишь инерция газа и сила магнитного давления, то скорость распространения vA волн Альфвена можно найти в соответствии с соображениями размерности, приравняв друг другу плотности магнитной и условно кинетической энергии В3/8л ~ pvaA /2, откуда

УА*В//4лр. (17.1)

Рассмотрим более детально описанные малые колебания на основе уравнений магнитной гидродинамики.

Полагая в этих уравнениях [см. выражение (14.19)]

Р ■ Р(0) + Р'; v = У№ + т; р-р(0) + р'; В-В(0) + В',(17.2)

где р^ \ р®, В0 и т^ - 0 - равновесные значения, а р', р', В'и т = т - малые поправки, и удерживая лишь члены первого порядка малости, получаем линеаризованные уравнения для возмещений:

р(0)—- - Vp'+ _L [rot В'в(0)]; St4л

dp' (0) .., / 9P \(0) ,

—P divi;p-— p;(17.3)

dr\ op /

aW^

--rot[TBw]; divB-0.

St

При этом предполагается, что равновесные значения Р^, р^, В^ и -(О) А

v - 0 не зависят от координат или от времени. Полученные уравнения являются, следовательно, линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, и поэтому их общие решения можно представить в виде набора плоских волн:

Pz, р' В, т ~ /(г, 0-5 f^e^-^dkdu,(17.4)

а вследствие линейности уравнений достаточно рассмотреть одну волну с определенными кии. Тогда в уравнениях (17.3) можно

a

положить -iw и V - ik, после чего получаем

at

Р-—Р(0); Р-с^Р; В--— [к[тВ(е)1]; кВ-0, иы

(17.5)

Здесь с^ - (др/Эр)® - УР^/Р^ - квадрат скорости звука. С учетомравенств (17.5) первое уравнение (17.3) можно представить в виде

4пр^

—В' В(0)

. и

Если бы магнитное поле отсутствовало фазовой скорости волны мы получили бы

(17.6)

(В^ - 0), то отсюда для

*ф - -~ - с№ - /(Эр/Эр)^,

(17.7)

что совпадает с обычным звуком, который в силу условия т I к соответствует продольным колебаниям газа.

Для анализа уравнений (17.5), (17.6) в общем случае (В® * 0) удобно выбрать систему координат определенным образом, направив ось х вдоль волнового вектора к, а ось у так, чтобы она лежала в плоскости, содержащей векторы к и В^ (при этом В,^ ■ 0 - см. рис. 78).

При указанном выборе осей х, у, z уравнения (17.5), записанные в компонентах, принимают вид

В^-О-.В^ — ^в^-ЧуВ^Уф

(17.8)

а уравнение (17.6) соответственно

/с» V vx- —

\ Тф I

1

—зу;

’* 4яр^

Рис. 78. Удобная система координат для исследования волн

1в*» ,1 в^

—Ву» V

(17.9)

Здесь Уф - о /| к| - фазовая скорость волны.

Вытекающее из условия div В' - О первое уравнение (17.8) ^ - О, эквивалентное утверждению, что В'1 к, показывает, что колебания магнитного поля всегда поперечны по отношению к волновому вектору к.

Нетрудно видеть, что в формулах (17.8) и (17.9) последние уравнения, содержащие В', и у,, не зависят от остальных компонент, и из них можно найти

4лр°4лр°

4лр°

4лр°

(17.10)(17.10)

(17.10)

(17.10)

откуда /д' и В° cos 8

¥ф —и7==г,

|k| ^лр°

где 6 - утоп между векторами В° и к (рис. 79). Это и есть упомянутые ранее альфвеновские волны, для которых, следовательно

[ср. с формулой (17.1)],

кВ"

Ы -—, ;

V4npe"

(17.11)(17.11)(А) 9ш »°

(17.11)

(17.11)

гр ’ 9к - ;^’

а поскольку групповая скорость указывает направление распространения энергии в волне (т.е. "сигнала”), то, следовательно, картину движения альфвеновской волны сле

дует представлять себе так, как изображено на рис. 79, где отдельные участки волнового фронта движутся вдоль В0, хотя сам фронт распространяется параллельно к.

Рис. 79. Фазовая и групповая скорости волн Альф- вена

Отметим, что поскольку в альфвеновской волне у, 1 к, то в соответствии с первым уравнением (17.5) для нее р'- р'- 0, т.е. эта волна не связана с упругостью газа, а обусловлена, как мы уже отмечали ранее, лишь упругостью силовых линий магнитного поля.

Для анализа остальных уравнений (17.8) и (17.9), содержащих vx, vy и By, удобно ввести векторные обозначения скорости звука и альфвеновской скорости:

к

^ -сзв~>

сА ■ В®/У4лр®*.(17.12)

Из указанных уравнений получим

/1/в//4пре в//4цро \

В*(В® vx-B® Ч,)- ——+— $,(17.13)

У тф У У \ vVc» ’% /

откуда для фазовой скорости, как нетрудно проверить, имеем v^ ^ (^ + 4) + (с„, САР - 0.(17.14)

Решение этого уравнения можно представить в виде

Vt^-Ytlcb + CAHtm-CAl),(17Л5)

где]^ ± сА| - модули суммы или разности векторов, определяемых соотношением (17.12). Полученные значения фазовой скорости соответствуют двум так называемым магнитозвуковым волнам - ускоренной (+) и замедленной (-). Так как в них отличны от нуля и vx и к, и Vy 1 к, то эти волны уже не являются чисто продольными или чисто поперечными, а являются волнами смешанного типа. Чтобы яснее представить их природу, рассмотрим два предельных случая: сА « с^ (слабое поле) и сА > с^ (сильное поле). В первом случае имеем [см. выражение (17.10)]:

к

|<ув ± СаЬ У^З^СдУ-(^ ± -— СА - Сш ± Уф

к

и при этом

5° СО* 6

v»U-cwav; ^Уф^——,(17.16)

у4пр°

т.е. ускоренная волна переходит в звуковую, а замедленная в альфвеновскую. Если, в частности, жидкость может рассматриваться как несжимаемая, то формально это соответствует са ■* * и ускоренная волна должна быть отброшена, как не имеющая физического смысла. Остающаяся замедленная волна с у, - 0; уу * О [см. формулу (17.9)] и фазовой скоростью л!~\ равной Уф , дает совместно с чисто альфвеновской волной (17.10) две возможные поперечные альфве- новские волны, различающиеся лишь поляризациями.

В случае сильного магнитного поля сА » са, что соответствует, очевидно, плазме низкого давления, когда

2

Р - 8лр/Ва - — (са/сА)а с 1,(17.17)

подобным образом найдем

|с» ± СаН са ± ^«Чв)«<17Л8)

и тогда замедленная волна становится звуковой:

Уф^-СзвСозб.аУф^-Сд.(17.19)

Но поскольку

М Эи В

Угр “~ са,(17 J0)

OK О

то звук при этом может распространяться лишь вдоль магнитного поля.

Следует иметь в виду, что помимо рассмотренных трех типов волн в общем случае как в магнитной, так и в обычной гидродинамике возможно существование еще особых так называемых энтропийных волн. Они представляют собой возмущения плотности р и температуры Г', связанные соотношением р'/Р° - -Т'/Т0, при котором в энтропийной волне, очевидно, отсутствуют возмущения давления:

Рэнтр * — (Р° г+ РТ0) ■ °-(17.21)

Следовательно, такая волна (точнее, возмущение) не может распространяться и остается все время на своем месте, распадаясь постепенно за счет теплопроводности и диффузии газа, которые мы, однако, не учитываем в рамках модели идеальной жидкости.

Рассмотрим в заключение, как, используя результат анализа частных решений с плоскими волнами, можно составить представление о поведении в пространстве и времени общих решений, которые, очевидно, могут являться произвольной суперпозицией плоских волн. Как мы видели, для четырех типов плоских волн - энтропийной, альфвеновской и двух магнитозвуковых - законы дисперсии о - о (к) соответственно имеют вид

у(») - 0; ы(А) -|к|тф(А); G)W =|к|УфМ; (DH -Щ тфН.(17.22)

Поскольку возможен еще выбор разных знаков (±) в правых частях равенств (17.22), очевидно, все этим восемь корней ы - “Дк) есть корни общего дисперсионного уравнения

о3 (ы3 - (ксА)2) (ы3 - к3 Уф*3) (о3 - к3 Уф"3) = 0,(17.23)

получаемого из линеаризованных уравнений МГД.

а

Делая замену о -* iи к — — iV, можно заключить, что Beat

личины Х^> относящиеся к энтропийной волне, должны удовлетворять уравнению

а

-^Х(э)(г, п-о,

откуда

Х(9)(г,0=/(г),(17-24)

а для альфвеновской волны в однородном поле В0 II z:

дат / да Э» \ т

(сАV)3 Х()-с3 XW-о, at* А ]\ де А а*а /

откуда

Х(А) (г, 0 - A (z - сА Г)+/а (г + сА t).(17.25)

Уравнение для величин в ускоренной магнитозвуковой волне можно записать в операторном виде:

(17.26)(17.26)—_^х(+) = 0.

(17.26)

(17.26)

, ее /

Соответственно для замедленной

(17.27)(17.27)

(17.27)

(17.27)

Здесь в соответствии с выражением (17.15)

22

2

2

22а3АА~^вСд— ” di3а3АА~^вСд— ” di3(17.28)(17.28)

2

2

а3

АА~^вСд— ” di3

а3

АА~^вСд— ” di3

(17.28)

(17.28)

где А - оператор Лапласа. Чтобы избавиться от корней, следует рассматривать сразу обе волны (+ и -), и тогда для магнитозвуковых поправок х(мз) (без разделения на ускоренную и замедленную) следует пользоваться уравнением

(17.29)(17.29)

(17.29)

(17.29)

которое, однако, затруднительно решить в общем виде.

Раздельные уравнения (17.26) и (17.27) для двух магнитозвуковых волн существенно упрощаются в случае плазмы низкого давления, для которой сА » сю.

В соответствии с равенством (17.19) в этом случае х^ ■ сА и уф ■ Bc^/B, и уравнения (17.26) и (17.27) принимают вид

/ а» \ м /а3 а3 \ , х

—-dA X “0; —-^в— X1 J-o.(17.30)

Отсюда находим общее решение для замедленной волны:

Х( } (г, t) = A (z - сш 0+A U + Сзв 0(17.31)

и в сферически-симметричном случае для ускоренной:

(+)1

X (г, t) — (А (г - сА 1) + /а (г + сА Г)].(17.32)

Г

Залма 1. Рассмотреть в линейном приближении задачу о точечном взрыве в обычной гидродинамике (пример энтропийной волны).

Решение. Точечный взрыв означает мгновенное выделение некоторого количества тепловой энергии

Р*Р*(1)(1)

Р*

Р*

(1)

(1)

в точке взрыва г - 0, что приводит к повышению давления и температуры на величину p'(r, t) 11_ 0 - n° кт\г, 0) - (V -1) 06 (r).(2)

От точки взрыва распространяется звуковая волна, удовлетворяющая волновому уравнению

сферически-симметричное решение которого с учетом начальных условий имеет вид /(г-СзвО 7-1 ■

р'-= --" Q 6 [(г - сю t)3] -

7-1

Вся энергия взрыва уносится этой волной, однако на месте взрыва остается "ямка разрежения” с повышенной температурой. Это следует из того, что в момент взрыва вещество еще не успевает сдвинуться и поэтому при t" О возмущение плотности всюду равно нулю: Р'(г, 0) - 0. Вне области взрыва имеем соотношение р' = с^р', которое, однако, не может выполняться в точке взрыва, где при t - 0 р' = 0, в то время как р'* 0. Очевидно, в общем случае

р'(т, t) - <^ Р (т, 0 + р'(т, 0).(5)

При t « волна уходит и р'- 0, так что

, ।1Т-1

-~~р'(,»°)-—5—oew<0-®

‘ ” сзвсзв

В то же время р- (к/т) (р° Г'+ р' Т°), и поэтому

что, как нетрудно убедиться, в у раз меньше начального возмущения температуры в точке взрыва.

Найденная ямка разрежения и есть неподвижная энтропийная волна для нашей задачи. Заметим, что все величины, фигурирующие в задаче, могут быть представлены в виде суммы слагаемых, относящихся к двум возможным типам волн:

а

В магнитной гидродинамике возможны четыре типа волн (энтропийная, альфвенов- ская, быстрая и медленная магнитозвуковые), и там соответственно

aa(9)

a

a

Задач* X He предполагая малости возмущений и поэтому пользуясь точными уравнениями МГД, показать, что вращательные аксиально-симметричные движения жидкости, которая в момент t - О была однородной и находилась в однородном поле В, - - В0 - const, сводятся к альфвеновским волнам (такие волны называются торсионными).

Решение. По условию у нас отлична от нуля ф-я компонента скорости i ■ вф Тф (г, х, t), причем она не зависит от ф (аксиальная симметрия). Тогда из уравнения непрерывности

дрЭ

3trg<f р ф

(2)(2)следует, что плотность будет всегда постоянна и однородна. Так как при t - 0 поле имело лишь х-е компонент; В® - Bj, ю ф-е движение может привести к образованию лишь Вф, так что

(2)

(2)

В" Оф Вф + ^вх; Вг-0,

где ®г, ф,з ~ единичные орты цилиндрической системы координат. При аксиальной симметрии из уравнения

ав,а

—-«,[,,«)—-<В.^-«(3)

следует, что Bz также остается постоянной: Вх - Во. Проектируя уравнение движения

I Эх 1P№ + (7V)’I Эх 1P№ + (7V)’1--VP+~— [rot ВВ]4л

I Эх 1

P№ + (7V)’

I Эх 1

P№ + (7V)’

на ось х, получаем

8 /В» \да

v /Ф ।Ф

"Т71р+ч~)*°; р+~7~-const.

Эх \8л /8л

Тогда да г-й проекции следует Уф - ±Вф/^4лр, а ф-я проекция приводит к уравнению [ср. с уравнениями (17.25)]

(6)(6)/ д д \

(6)

(6)

решая которое, находим

x^V.*. t)-/(r,x-cAt)+g(r,x + cAt);

So

Вф (г, х, t) »—— [—/ (г, х - сА t) + g (г, х + еА t)].(7)

СА

Так как по условию при f = О поле By отсутствовало, то

1I 1

/(Г, х)-g (г, х)-—Тф (г, х, t)|t_ о- — Тф (г, х, 0),(8)

ч*о полностью определяет функции / и ;. Полученные решения, очевидно, представляют собой альфвеновские волны, которые теперь, однако, не считаются малыми, а могут иметь произвольную амплитуду.

Как видим, величины Тф и Вф являются суперпозицией волн, разбегающихся вверх и вниз от места начального возмущения. Движение жидкости состоит при этом в прокручивании ее относительно оси z, и такие волны принято называть торсионными.

Заметим, что лабораторные опыты по проверке скорости распространения альфве- новских волн обычно проводятся в цилиндрическом сосуде с ртутью, помещенном в продольном магнитном поле. На дне сосуда помещается крыльчатка, совершающая крутильные колебания, а на поверхность ртути насыпаются опилки, которые с отставанием на At * h/сд, где h — высота ртути, следую* за движениями крыльчатки. Измерив At и зная h, можно вычислить сд.

Движения подобного типа, по-видимому, в некоторых случаях осуществляются также в солнечных пятнах. Наблюдения показывают, что допольно часто (есть и исключения) образование пятна в северном полушарии Солнца сопровождается появлением второго пятна в южном полушарии, причем эта пара (обычно даже две группы, так как пятно редко появляется в единственном числе) располагается симметрично относительно солнечного экватора (рис. 80).

Появление таких сопряженных пятен можно качественно объяснить с помощью найденных решений. Предположим, что в недрах Солнца вблизи его экваториальной плоскости в результате какой-либо пульсации или конвекционного всплеска образовался зародышевый вихрь типа вращающегося тора. В начальный момент (t * 0) в нем отсутствует поправка В'(0) = 0 к основному магнитному полю Солнца BQ, однако имеется окружная скорость Тф (0) * 0.

В последующие моменты времени этот вихрь распадается на два вихря (I и Ц на рис. 80), в которых

1 во

Ч ■ 7 ТФ к * - СА t. °): В1 * - "^~ Тф (г, з - сд t, 0);

Рис. 80. Схема образования сопряженных пятен на Солнце

4l-yv»('.**CAt,0); Ви-^Тф(г,ж*сА1,0).(9)

Таким образом, первый вихрь движется вверх по силовым линиям основного поля В„, а второй - вниз. Оба вихря более или менее одновременно достигают поверхности Солнца, что и приводит к появлению сопряженных пятен.

Задача 3. Определить спектр частот собственных магнитозвуковых колебаний однородного плазменного далиндра длины L и радиуса а, находящегося в поле В/ при условии на границе уп - 0.

Решение. Магнитозвуковые колебания описываются уравнением (17.29) / 8*Э2Э2 \

~ (4в * 4) д ^ * <зв 4 д "£Гу р'Ь Ф.х,!)- 0.(1)

Учитывая, что т,-0 приз-Оиз-I и Эу, др' p0"э7■■17~sink|,,®

полагаем (А - постоянная) р - А cos ку з cos m<p R (г).(3)

Тогда для радиальной зависимости получаем уравнение Бесселя „ 1 , /т2\

Я+—R + Я -— R-0, г\г2 /

где ы4 М-к2(4)

У1 (^А + с зв) ~ кд ^А с зв

откуда R (г) - Jm (kj_ г). Таким образом, частоты ускоренной и замедленной волн по- прежнему определяются формулами

У( > - ~ [Vk®?4 + с&) + 2k к, ед Сдв ± Vk2 (4 * с») - 2к ку сд сзв'].(5)

где к - -/к^ + kJ, однако теперь из-за конечности объема плазмы величины ку и к^ оказываются "квантованными”. Из граничного условия v2 - sin ky к « 0 при з - 0; L имеем к, - WL, где 1 - 1, 2, 3...; а из условия чг ~ dp/dr ~ Jm (к^ г) - 0 при г = а 1 m . m• т

имеем к^“~рп , гдерп - корень уравнения/т (Рп )-0(п-1,2,3...).

§18. Анизотропная магнитная гидродинамика

Выше всюду предполагалось, что газ является изотропным. Однако, как уже отмечалось ранее в гл. 2, давление высокотемпературной плазмы может быть различным для разных направлений

(р| * p^), если столкновения не успевают его выравнивать. В этом более общем анизотропном случае полученные ранее уравнения МГД [см. выражение (14.19)] следует несколько изменить. Очевидно, те уравнения, в которые давление не входит, останутся неизменными.

Уравнение движения приобретает вид

(18.1)(18.1)dvл 1

(18.1)

(18.1)

р= -V.р+—[jB] + pg. dtе

(18.2)(18.2)Здесь теперь Р - тензор давления, компоненты которого, как уже указывалось в § 8, связаны с функцией распределения j (v) формулой

(18.2)

(18.2)

Pif!mW*BP(¥t)i

где р = mn - плотность; v = у - < v > - отклонение истинной скорости частиц от средней, а угловые скобки означают усреднение от функции распределения. В формуле (18.1) точка в выражении V-Р означает свертку по ближайшим к ней (к точке) индексам, так что

(18.3)(18.3)Л 3d

(18.3)

(18.3)

(V.p).= 2—Ру-(<иУрт)< k-ia**

есть дивергенция тензора давления газа.

Как мы уже отмечали в § 14, силу Лоренца также можно представить в виде дивергенции тензора магнитного давления:

11В* Вк

—[/в],— [В [VB]],« - д,—+—vk В, -

с4л8л 4л

6«~6«~(18.4)(18.4)BkBi \.*.

6«~

6«~

(18.4)

(18.4)

—— =-(divPMarH),.

4л /

(по одинаковым индексам подразумевается суммирование). Введя обозначения т = В/В; тт = т( тк и 8 = 61к, имеем, следовательно [ср. с выражением (14.24)],

А В2 А ВВ / В2 \ А А / В2 \ Рмагн =5= ™+(6- ТТ) + ,(18.5)

8л 4л \ 8Л /\ 8Л /

так что в системе координат с осью z вдоль В тензор (анизотропный!)

магнитного давления имеет вид

/Ва/8л00\/10 0

А /\ В»

(18.6)(18.6)0 Ва/8л0 I - — I 0 10

(18.6)

(18.6)

\о о -в2/^/ 8Л \0 0—1

Подобно этому имеем [ср. с формулой (14.25))

/Р± 0 0 \

Ям-!0 Р± 0 1 "ттрц+ф-тт^.(18.7)

\0 0 р|/

Уравнение движения (18.1) можно записать в виде

pv = -divP,(18.8)

где Р - тензор полного давления

А А А А а /\ А / Р2 \

Р“Риз+Р.агн"(в-‘”) Р± + + ™ Ри•(18.9)

\ 8л /\ " 8л /

Для равновесия, очевидно, необходимо условие (при g = 0) divP = 0.(18.10)

В случае изотропного давления газа р - р • р и Ргм- р&

Выведем адиабаты для р ^и pg. Помимо уравнения (18.1) давление входит еще в уравнение адиабаты, но, поскольку теперь у нас

имеются две величины р±и р(, старое уравнение адиабаты р ~ р v следует заменить, двумя уравнениями. Так как газ по-прежнему считается нетеплопроводным, то для вывода этих уравнений удобно воспользоватьься первым началом термодинамики:

(18.11)(18.11)dE = dQ-pdV,

(18.11)

(18.11)

где dQ = 0. Рассмотрим малый элемент объема V = SI, имеющий вид цилиндра высотой I и сечением S, ориентированного вдоль силовых линий поля В (рис. 81). Внутренняя энергия газа, заключенного в этом Цилиндре, очевидно, равна

Е= <е)пУ = Е||+Е1,

Рис. 81. К выводу адиабат Чу, Гольбергера и Лоу

где, т V» .

*Г<е1>пУ’\ j ) nV;

^nV.

(18.12)

Поскольку мы пренебрегаем столкновениями, между продольной и поперечной степенями свободы частиц отсутствует обмен энергией. Поэтому уравнение (18.11) следует писать отдельно для каждой степени свободы:

dE--pdVHdE=-pdV.(18.13)

lieXXX

Здесь величины

df V = Sdl и dL V-ldS(18.14)

есть приращения объема V = IS цилиндра, обусловленные соответственно изменением его длины или сечения, так что dV = d ^ V + d^ V. Воспользовавшись далее законами сохранения массы и потока:

р V = const, откуда dV - - V,

(18.15)(18.15)(18.16)(18.16)Р

(18.15)

(18.15)

(18.16)

(18.16)

и

ав

BS = const, откуда dS--S, в

можно получить

авI ав ар \

dV = ; d V-dV-d, V-V,

в *1\ в p /

так что выражения (18.13) представим в виде

(18.17) $

Используем, наконец, то обстоятельство, что в силу равенств (18.2)

Р] = 5 m^fdv-ln < бц >;

г з ,<18Л8>

Pl = 5 mN^fdi- j т/dv=n<E1>,

и поэтому

Б ■ (с.)пУ«—р V; Б-(е)пУ-рУ.(18.19)

I Л 2" Л ЛЛ

Подставляя эти выражения в уравнения (18.17) и учитывая, что р V = const (т.е. V ~ 1/р), получаем

d(pJp)dpdBd(pj_/p)dB

sиж

(p у/p)pВ(р^р)В

или после интегрирования

р.в1р

—=— = const и= const(18.20)

Р3рВ

Это и есть искомые нами две адиабаты для плазмы с анизотропным давлением.

Нетрудно видеть, что адиабата для р ^ = п < в^ > может быть записана в виде

(в^>/В” < ц >= const,(18.21)

где Ц = mv2/2B - магнитный момент частицы в поле, являющийся, как известно, адиабатическим инвариантом.

Адиабата р^ соответствует, таким образом, закону сохранения поперечного инварианта частиц. Физический смысл адиабаты для Рв = р ^р также станет более прозрачным, если учитывая соотношение [ср. с соотношением (18.15)]

(18.22)(18.22)вз вIв

(18.22)

(18.22)

const откудаА/

pvрД/\р

представить ее в виде

р.в1 <Л>в3, х

8< (А/)2 > ~ ((J v d/)2 ) = const,

Р3Р31“

(18.23)(18.23)что эквивалентно сохранению продольного инварианта

(18.23)

(18.23)

J, = j v( dZ = const.

AZ

Рассмотрим равновесие анизотропной плазмы. В изотропном

случае из уравнения Vp = — [jB] следовало, что BV:p, т.е. dp/dl = О

или р (z) = const. Теперь же из уравнения V • Р = — [jB] имеем

В'3*.Р = В^В'3*.Р = В^dl \ В /№ dtdl \ В /№ dt

В'3*.Р = В^

В'3*.Р = В^

dl \ В /№ dt

dl \ В /№ dt

откуда можно получить связь р^ (В) с pt (В):

(18.24)

Существует, очевидно, много вариантов, удовлетворяющих этому условию.

В качестве конкретного примера рассмотрим плазму в пробко- троне (рис. 82), в центре которого поле равно В„„„, а в пробках Вмакс. Если считать, что плазма простирается вплоть до пробок, то обычно принимают, что в точке z = О функция распределения

Рис. 82. Распределение Рц и р^ по длине в пробко- троне

имеет вид максвелловского распределения с вырезанным конусом

'(’А..'(’А..при> sip а;

'(’А..

'(’А..

чпри< sin а,

V

где sma-V^A^T-

Так как функция распределения может зависеть лишь от интегралов движения V2 - const и v^B = J± = const, то при z ^ О имеем

/(v, z)=-/(v, z)=-(18.25)(18.25)С епри v2/Bv2 > sin2 а/Вх,„„;

/(v, z)=-

/(v, z)=-

(18.25)

(18.25)

О при v^/Bv2 < sin2 a/B^,

где С - постоянная. Отсюда, как мы уже видели в гл. 2, следует „-«(*)

Р. (z) - j mv^fdx ~ J cos2 9 sin 6 d0,

где sin a (z) - Vb^/B^.

Таким образом находим

2 /B(z) \з/2

Р. 00 * const—cos3 a (z) - const — 1 (18.26)

3 \5макс I

и аналогично

Г

p±(z)= I m—^/dv=

-const 1 --const 1 -B(x) \l/2B(x) \l/21-1-В to \з/2В to \з/2ямаксямаксямакеямаке

-const 1 -

-const 1 -

B(x) \l/2

B(x) \l/2

1-

1-

В to \з/2

В to \з/2

ямакс

ямакс

ямаке

ямаке

Здесь const =-^“Я (°) I1 “ (^„ии/Л-.^Л-372- Нетрудно убедиться, что выражения (18.26) удовлетворяют соотношению (18.24).

В качестве простейших зависимостей, удовлетворяющих (18.24), для пробкотрона можно принять

(18.27)(18.27)р^ (В) - const;

(18.27)

(18.27)

Р, (В) = const 11 -

ямакс

В целом можно сказать, что в случае ^ * р± имеется больше возможностей для построения равновесных решений, чем в изотропном случае.

Рассмотрим, наконец, волны на однородном фоне. Как и в § 17, полагаем, что все поправки (р[, р*, р', т, В') пропорциональны exp (iki - io 0- Две анизотропные адиабаты, очевидно, дают

р'в' . Р|, ₽'

" р-в- ’ р; р° * ‘

(18.28)

Вновь, как и в § 17, используя систему координат с осью х II к и осью у, лежащей в плоскости векторов к и В°, из уравнений

- - р° div ^ rot [Л0]; div В'- О, atat

как и прежде, получаем (тф - о/|к|)

Г""> Вх*0; Ву- ^чхВу— ЧуВ^У;

Р° Тфтф

В,-В°х

тф

и, в частности, ., ВУ .

В -т°В-By.

Поправка к тензору давления равна

(18.29)

р'=8 р^ + т° т°

(Р.. -Р. У- 2 -^-'<р - р )°II Д- до В J-

а для ее дивергенции найдем

V-P'=ik-P'=ikp'-i v(p - р.)° ((кВ0 )2/оВ°3). 8±

(18.30)

(18.31)

Нетрудно видеть, что уравнения, содержащие vz и В'х, опять выделяются в независимую группу:

Р° = - (V-P) + -2- [rot В'В°] =

atх 4л*

i ,I по \з

■7Гв-(кво,*‘ —'рГр1>°(к--5ф

Bz =В»(18.32)

Отсюда найдем дисперсионное соотношение, описывающее альфве- новские волны в анизотропном случае:

„(кВ0)3Ы = 4лр„(кВ0)3Ы = 4лр1-1-J^lj0Ва/4л /J^lj0Ва/4л /(18.33)(18.33)

„(кВ0)3

Ы = 4лр

„(кВ0)3

Ы = 4лр

1-

1-

J^lj0

Ва/4л /

J^lj0

Ва/4л /

(18.33)

(18.33)

При Рц - Рх имеем старый результат: ы2 -(ксд)2. Если р, +pv то фазовая скорость несколько меняется, однако при

р|-р1>52/4л(18.34)

получаем о3 < О, что означает неустойчивость, так как при этом о оказывается чисто мнимой величиной (о ■ ±i]co |) и волна экспоненциально нарастает во времени:

ч8,Вг~е"1и1~е*^(18.35)

Граница устойчивости соответствует, очевидно, ы - 0.

Рассмотрим теперь магнитозвуковые волны, ограничившись вначале для простоты случаем k II В°. Учитывая, что при этом |в'| = 0, из (18.31) получаем

л,к3лк1

(divP) =ivxЗр^; (divР') =-hy(Рц-Pj.)0,(18.36)

и уравнения движения принимают вид (здесь с^ ■ В2/4лр°)

d vxЛ( Э vлк1

Р° -— = - (divР) ; р° —— = - (divР*) - ivyрс^. (18.37) otх otУ4

Из первого уравнения для ускоренной волны находим ы3 - к3 с|ш, где

С|ю- vM/p°- i/Jpf7p°,(18.38)

что соответствует звуку. Поскольку в этих колебаниях участвует лишь одна степень свободы (i = 1), эффективный показатель адиабаты равен трем ?,ф - (i + 2)/i - 3. Из второго уравнения для замедленной волны имеем

(1839)

что совпадает с альфвеновской волной (18.33).

В другом простейшем случае, когда k 1 В0, имеем

(div Р*) - ikpi - ivx2р£; (div P') - 0. *CDУ

Тогда для замедленной волны о = 0, а для ускоренной

I V£ \

ыа-к31с^+—г)-(18-4°)

В частности, при Во -* 0 это соответствует звуку

м2 - к2 с^, где с1зв- V2p5/P°‘- V^t^/P°(18.41)

с показателем адиабаты 7^ ™ 0"+ 2У* * 2 (л®® степени свободы i - 2).

В общем случае (9*0 или л/2) путем довольно громоздких вычислений можно найти

к2

Ы3 (д ± Уд3 + Ь), Р

где

в11+ипае

а +pi + cos3 9р, > 0;

8л 2

b ■ Зр| cos2 0b ■ Зр| cos2 0Pl cos2 9 + -Р-- sin2 9 - рх (1 + sin2 9) -*1Pl cos2 9 + -Р-- sin2 9 - рх (1 + sin2 9) -*11В34л1В34л(18.42)(18.42)

b ■ Зр| cos2 0

b ■ Зр| cos2 0

Pl cos2 9 + -Р-- sin2 9 - рх (1 + sin2 9) -

*1

Pl cos2 9 + -Р-- sin2 9 - рх (1 + sin2 9) -

*1

1

В3

4л

1

В3

4л

(18.42)

(18.42)

Отсюда можно получить и ранее рассмотренные случаи с 9 • 0 и 9 - л/2. В частности, при 0 - л/2 имеем cos 9 - 0 и b - 0, что для

замедленной волны дает ы » 0. Это значение, однако, лежит на границе устойчивости, и при b > 0 из выражений (18.42) мы получили бы ыа < 0, что указывало бы на неустойчивость. Если, в частности, 8 близко к л/2, но не равно этому значению, то, полагая для b в квадратной скобке cos 0 = 0, sin 8 = 1, получаем условие возникновения неустойчивости:

(18.43)(18.43)

(18.43)

(18.43)

Эта неустойчивость связана, следовательно, с раскачкой косой (8-0 или л/2) замедленной магнитозвуковой волны.

Таким образом, в отличие от изотропного случая, в анизотропной плазме волны могут нарастать, если давления р± и рй сильно отличаются одно от другого в ту или иную сторону.

Неустойчивость альфвеновской волны, возникающая при условии (18.34), имеет простой физический смысл. Это условие можно записать в виде неравенства полных давлений:

Р,"^~ Г Р1 + "^~ '(18.44)

\ 8Л I у зл I

Из рис. 83 видно, что при виртуальном смещении силовой трубочки на выделенный элемент V = RdydzdR будет действовать сила

/в* V/ в» \

F=lp^ + [Rdydz- (R + dR)dmdz] +1p.|x

\8Л /\ " 8л /

d*Г/в1 \ / в1 \

(18.45)(18.45)xdzdR-2sin^dtfdRdz p.1- p. +

(18.45)

(18.45)

2L\8л / \ ± 8л /

Рис. 83. К выводу условия неустойчивости (18.44)

направленная вверх. Если эта сила отрицательна (F < 0), то элемент будет возвращаться в исходное положение, что соответствует устойчивости. Если же F > 0, то деформация будет увеличиваться, ? что свидетельствует о неустойчивости.

Интерпретячия условия (18.43) для косой замедленной магнитозвуковой волны более сложна, и мы не будем на ней останавливаться.

§ 19. Релятивистская магнитная газодинамика

В космосе иногда наблюдаются движения плазмы со скоростями, сравнимыми со скоростью света, и для теоретического описания таких движений следует пользоваться уравнениями релятивистской идеальной магнитной газодинамики - РИМГД. В обозначениях § 7 эти уравнения имеют вид

V,- q - 0; V, Ф*к = 0; V,- 7* - 0,(19.1)

и ниже мы проделаем их более подробный вывод. Оператор Vf * означает ковариантный 4-градиент, однако по одинаковым индексам i - 0, 1, 2, 3 (одному нижнему и одному верхнему) подразумевается s суммирование - свертка, так что все три уравнения (19.1) означают J четырехмерную дивергенцию некоторых потоков. Обращение в нуль этих дивергенций соответствует законам сохранения определенных величин, которые сохраняются, поскольку в рамках "идеальной” модели газа мы считаем отсутствующими все виды дис- ' сипации - вязкие, теплопроводные, а также джоулевы потери. Напомним, что в специальной теории относительности - СТО вводится : 4-пространство с координатами х° - ct, х1 = х, ха = у, х3 = z и два s контравариантных 4-вектора скорости ul = dxVds и ускорения ’ wl = du /ds, где ds - y/qi^d^d^^ (c/y)dt - "интервал”, одинаковый во всех системах координат (см. § 7).

Первое уравнение (19.1) есть уравнение непрерывности, означаю- s щее сохранение числа частиц. Если обозначить буквой л плотность ? частиц в собственной системе координат, движущейся вместе со j средой, то в верелятивистском приближении уравнение непрерывности запишется в виде

Эпi

+ divnT=0(19.2) ;

dt

однако при учете релятивизма вследствие лоренцевского сокраще- । ния длины вдоль скорости плотность частиц будет в у раз больше

в лабораторной системе координат, чем в собственной, так что в релятивистском случае (19.2) следует записать в виде

д/* \i

n-p + div лу1 - ?( (ли ) ■ 0,(19.3) cat\с /

что и соответствует первому уравнению (19.1). Для наших целей удобно обозначить буквой М массу покоя иона и ввести собственную плотность массы покоя р = Мп и 4-вектор потока массы ql ■ pu‘, подразумевая, что в (19.1) фигурирует именно этот поток.

Для двух других уравнений (19.1) сначала рассмотрим закон Ома, который в собственной системе координат имеет стандартный вид j'= оЕ', где о - электропроводность, которая считается скаляром, одинаковым во всех системах координат. Если далее, пользуясь формулами §7, выразить "собственные” ток j'и поле Е'через их лабораторные значения, то получаем релятивистский закон Ома для движущихся сред:

j = 0? [Е*- Р (рЕ*)]; В*- Е + [РВ].(19.4)

Однако, в "идеальной” модели, которую мы рассматриваем, электропроводность считается бесконечной о ■ », а при этом ток проводимости конечен только при выполнении требования Е* ■ О, Е - —[рВ], которое встречалось ранее и в нерелятивистской модели МГД. Поскольку при этом уравнения Максвелла можно записать в виде уравнений вмороженности поля:

ЭВ

divB-0;= rot[vB],(19.5)

at

то эти уравнения остаются справедливыми и для релятивистского случая. Однако их следует представить в явно ковариантной релятивистской индексной форме, и для этого мы используем результаты § 7, где нами было получено уравнение

dp

- q Е* + q В*; Е* - Е + [рВ]; В* - В - [рЕ],(19.6) dt

описывающее релятивистское движение частицы, обладающей и электрическим зарядом qe и монопольным магнитным зарядом Qm поДобно "монополю Дирака”. Умножив (19.6) на 7, введем интервал ds = cdt/4 и учтем, что релятивистский импульс частицы равен р - Мс и, где и - пространственные компоненты 4-вектора скорости и1 = d^/ds = (7, и = ур), так что получается уравнение,

которое можно записать в виде

—-{,•*{»»; «„-^«-Т^Ь-тМ(19.7)

diMe1

Здесь левая часть дает три пространственные компоненты 4-вектора ускорения № - du1/ds = (fields, dal ds), и, поскольку -p - • (1 + u3)1/a и dy = pdu, умножив (19.7) на p, найдем и временную компоненту уравнения (19.7):

dudvdu6

р&e(Pe)+^m(pb),(19.8)

dsdsds

добавляя которую к (19.7), получаем запись в индексной форме: du

w'-V'^mb -» e°-(fe); b°-(Pb). ds

Следовательно, величины е‘ и b‘ являются правильно построенными 4-векторами - электрическим и магнитным.

Необходимость введения этих четырехмерных векторов обусловлена тем, что при бесконечной электропроводности имелось условие Е* = 0, а тогда е1 = 0, так что в нашем распоряжении остается лишь магнитный 4-вектор Ь1, который и обязан фигурировать в уравнениях РИМГД (19.1). В частности, нетрудно проверить, что магнитное поле выражается формулой В = bu° - ub°, и оба уравнения "вмороженности” (19.5) в индексной записи имеют вид

V,- Ф<к = 0; Ф,к = Ь1 ик - и Ьк,(19.9)

где комбинацию Ф можно назвать тензором магнитного потока, сохраняющегося в условиях идеальной бесконечной электропроводности.

Наконец, последнее уравнение (19.1) содержит тензор энергии- импульса, который по соображениям индексной размерности обязан иметь вид

f k = Si gk + S2 и и + S3 b‘ bk,(19.10)

где S123 - три скаляра, одинаковых во всех системах координат. Чтобы’найти явный вид этих скаляров, перейдем в штрихованную систему координат, движущуюся вместе со средой. В этой системе макроскопическое движение среды носит нерелятивистский характер

dvР +(vV)tatdvР +(vV)tatи должно описываться нерелятивистским уравнением (см. § 18)

dv

Р +(vV)tat

dv

Р +(vV)tat

—— V.r,(19.11)

с А где Т - трехмерный тензор суммарного давления - газового^ и магнитного, а поскольку давление это и есть поток импульса, Т и должен давать пространственные компоненты полного 4-тензора энергии-импульса. Если направить ось z'вдоль собственного поля В, то искомый тензор должен иметь диагональный вид

7°°0 0 0

7°°000

Jk

0 Т110 0

0 р^ + Ц 00

в3

Г =

0 0 Га 0

0 0р± + ц 0

;ц-.

8л

0 0 0 733

000pj - Ц

(19.12)

Здесь для общности мы считаем газовое давление анизотропным, какв§ 18.

Далее заметим, что по физическому смыслу компонента Г00 должна давать плотность собственной энергии - газовой и магнитной, так что полагаем Т00 - е + ц, где газовая энергия е включает энергию покоя частиц. Если компоненты общего тензора (19.10) записать в собственной системе, то

(19.13)(19.13)Т°° "^+S3; Г1=7аз=-51; Г3--81+83В1

(19.13)

(19.13)

и, учитывая значения (19.12), находим три скаляра для формы (19.10) S1--P1-U;S3 = e+p1 + 2|i; S3 = fy - р± - 2ц)5"а ,(19.14)

и тем самым уравнения РИМГД (19.1) принимают конкретный вид. Если далее использовать более удобный тензор

(19.15)(19.15)r;-fyr"-$,«,'»$ .u'u^S,!1!,.

(19.15)

(19.15)

то нетрудно убедиться, что комбинация и к V,- Тк - 0 дает уравнение адиабат

а четвертая компонента комбинации V,?^- ик и^ V, Tj - 0 дает

равенство

—S1+p—p-SaV V^gb^^-O,(19.17)

c9tds \ P /

которое можно назвать уравнением энергии. Соотношения (19.16), j (19.17) мы впоследствии используем в § 44 для анализа гипотезы J о возможности рождения космических лучей в плазменных пинчах.

Здесь же следует заметить, что уравнения РИМГД (19.1) дают девять соотношений для десяти величин, а именно для 4-скаляров ; р, е, р |Э Р ± и еще для шести компонент двух трехмерных векторов i и и b, так что система (19.1) оказывается неполной, и для замкнутости ее следует дополнить еще одним соотношением, а именно уравнением состояния газа - плазмы, состоящей из ионов (и) электронов j (э). При этом следует иметь в виду, что даже в собственной системе координат микроскопическое движение частиц может носить релятивистский характер, и поэтому энергию е следует записать в виде i

е= еэ+ еи; еэ=пт эс 2 < у ^ еи=пт „с 2 < у >„,(19.18)

где фигурные скобки означают усреднение по функциям распреде- 5 ления электронов и ионов. Аналогично этому и трехмерный тензор давления следует считать равным«

р= р+р ;р = птсЧ^ ₽р >; р=пт сЧ^ Й>и. (19-19)

так что энергия косвенно связана с давлением через неизвестные J функции распределения и конкретный выбор этой связи как раз и должен давать дополнительное уравнение состояния, необходи- i мое для замкнутости системы.^

С этой целью заметим, что соотношение у = 1 + ур2 [у/(у + 1)] позволяет записать энергию и компоненты давления в виде формул

е =Хрс2+2рс= <(ур2+ур^)—-—>;■;

р =£рс2<ур2>; р -zpc2^—Р^У(19.20) :

11 а 111 а 2

Здесь для краткости мы опустили значок (а ■ э, и) у величин под ' знаком сумм. Теперь заметим, что если бы тепловые энергии частиц i были бы релятивистскими, то был бы возможен процесс рождения J пар и число частиц бы не сохранялось. Однако наше первое уравнение

непрерывности как раз означает сохранение числа частиц, так что процесс рождения пар следует считать неосуществляющимся

180J

и, следовательно, тепловые энергии следует считать нерелятивистскими, а при этом множитель у/(у + 1) в энергии равен 1/2 и тогда энергия оказывается равной

(19.21)(19.21)1 е=рса+р +—р , ±2 I

(19.21)

(19.21)

что и является дополнительным десятым соотношением, замыкающим систему уравнений РИМГД. Подставляя энергию (19.21) в (19.14), находим скаляры

S, = -р± - P; sa - рс2 + 2р± +—р. + 2М; S3 - J——,(19.22)

28лц

подстановка которых в уравнение адиабат (19.16) дает уравнение

d /Р|»а\ d I Pi \

p,in + 2p.In ~- *0,(18J3)

ds \ p3 / x ds \ pB /

для решения которого имеются две возможности. В первом случае можно предполагать, что функции распределения поддерживаются изотропными за счет столкновений, приводящих к обмену энергии между продольной и поперечной степенями свободы частиц. Тогда Pi ■ Р± = Р и решением (19.23) является обычная адиабата Пуассона р = const р5/3.

Во втором случае можно считать столкновения' столь редкими, что обмен энергии отсутствует и давления р, и р± меняются независимо, а тогда решениями (19.23) являются две адиабаты Чу, Гольдбергера, Лоу:

/ р3 \

р,- const, 1-^-1 ;рх- const, (рВ). (19.24)

В частности, В УСЛОВИЯХ Рх > Р, МОЖНО просто ПОЛОЖИТЬ Р| - 0, и такая модель использована нами в § 44 в гипотезе о космических лучах.

§ 20. Течение в каналах МГД-генератора и МГД-двигателя

Ранее мы использовали уравнение индукции и закон Ома:

1 rot Е

с

ЭВ1

; j-ОЕ*, Е*-Е + —[vB],(20.1) diс

которые описывают изменение магнитного поля. Обратимся теперь к остальным уравнениям МГД с конечной проводимостью и в качестве конкретного примера рассмотрим стационарное течение слабопроводящего газа поперек магнитного поля. Такая задача возникает при анализе работы магнитного насоса (рис. 84), в котором

1

проводящий газ ускоряется силой Лоренца — [jB] при пропускании с

тока перпендикулярно полю В. При этом электрическая энергия переходит в кинетическую энергию потока. Это явление можно обратить, если предварительно ускоренный газ, обладающий замет-" ной проводимостью, пропускать через магнитное поле. При этом

1

возникает поле Е =[vB] и между верхним и нижним электродами с

(20.2)(20.2)образуется ЭДС

(20.2)

(20.2)

U0=Ed = —Ed, с

•которую можно включить на внешнюю нагрузку. В последнем случае мы получим МГД-генератор, непосредственно преобразующий кинетическую (и тепловую) энергию газового потока в электрическую.

В типичных условиях магнитное число Рейнольдса можно считать малым (например, при v ■ 1000 м/с, ^ ~ 10 см и о ~ 1013 абс.ед. имеем Rm - vL1-4no/c3 = 1/10) и пренебречь увлечением силовых линий при движении газа. Иными словами, при Rm ■« 1 магнитное поле можно рассматривать как заданное (внешнее поле). Если канал является узким и длинным (L^ » L ), то уравнение непрерывности и уравнение движения можно приближенно записать в квазиодно- мерном виде:

(20.3)(20.3). dv др q = pvS = const; pv = pv+ F,

(20.3)

(20.3)

dx dx

где F = y- jyB. (Течение считается стационарным, и все величины зависят лишь от х.)

Рис. 84. К теории МГД-генератора

В качестве третьего уравнения мы используем условие возрастания энтропии газа, рассчитанной на одну частицу:

Т ^ - d°l - ^ dt dt по

kР

где s in. Здесь pl о = jE* - джоулево выделение тепла v-iр?

(1 см3 за 1 с). Учитывая стационарность течения {dldt ■ 0) и обозначая для краткости штрихом частную производную по х, перепишем полученную систему трех гидродинамических уравнений (20.3), (20.4) в виде

q' р' г' s' р' pva v' F — - — + — + —; — + —;

g р v S р pip

P p pv о

Если из двух последних уравнений исключить производную р', то получим

р' рта г' 1—+Р W т V Рр' рта г' 1—+Р W т V РТ-1Т-1(20.6)(20.6)

р' рта г' 1

—+

Р W т V Р

р' рта г' 1

—+

Р W т V Р

Т-1

Т-1

(20.6)

(20.6)

Удобно ввести так называемое число Маха, равное отношению скорости потока к местной скорости звука в газе:

(20.7)(20.7)М = сю

(20.7)

(20.7)

где

ЭР \// кТ '

сзв= /— = п—= h—•

V \ Эр V р V m

Тогда, подставляя (20.6) в первое уравнение (20.5) и предполагая для общности, что поток q не сохраняется (дополнительные порции газа впрыскиваются через боковые стенки), получаем уравнение, описывающее изменение скорости вдоль сопла:

v'5'FY-1/ dg \q'

(№-!) — = — +.(20.8)

v5VPVpv\ dt /1смэq

Здесь (dQ/dt)! тз =р/о - джоулево выделение тепла.

Уравнение (20.8) играет важную роль в теории сопла и, образно выражаясь, лежит в основе прогресса современной реактивной техники. В соответствии с четырьмя членами в правой части уравнения (20.8) из него следует, что увеличение скорости потока (v'> 0) в дозвуковом режиме (М < 1) может быть достигнуто за счет четырех факторов: 1) уменьшения сечения ($'< 0), 2) воздействия тормозящей (!) силы (F < 0), 3) нагревания газа (dQ/dt > 0) и 4) впрыскивания дополнительных порций газа (q'> 0).

В сверхзвуковом режиме (М > 1) влияние всех четырех факторов будет противоположным.

Очевидно, для достижения наибольшей скорости газа целесообразно сконструировать сопло так, чтобы в средней его части скорость потока переходила звуковой барьер и на последующих участках течение было сверхзвуковым. Такой оптимальный реактивный двигатель должен быть устроен примерно так, как изображено на рис. 85. Сопло, имеющее вначале сужение, а затем расширение, называется "сопло Лаваля”, а сопло с регулируемым впрыскиванием и отбором дополнительных порций газа - "расходовое”. Тормозящая сила и ускоряющая сила F< 0 и F> 0 создаются турбинками типа вентилятора (турбореактивная авиация). Нагрев газа регулируется впрыскиванием дополнительных порций топлива.

Сказанное выше относилось к авиационным и ракетным двигателям. Применительно к магнитным насосам и плазменным системам эти проблемы еще не вышли из стадии исследования, но они интенсивно изучаются в различных странах мира.

Исследуем более детально работу МГД-генератора. В дальнейшем будем считать, что поток газа вдоль канала сохраняется (q = pvS = = const), и рассмотрим уравнение движения pw' = -р' + F. Умножив это уравнение на vS = q/p, где S = bd - сечение канала, которое будем считать прямоугольным (Ь - ширина, d - расстояние между

СужениеS‘<0Торможение F<0Нагрев0>0Впрыскивание Q'>0Расширение 8‘>0Ускорение F>0 Охлаждение й<0 Отбор газа q‘<0СужениеS‘<0Торможение F<0Нагрев0>0Впрыскивание Q'>0Расширение 8‘>0Ускорение F>0 Охлаждение й<0 Отбор газа q‘<0Рис. 85. Схема оптимального реактивного двигателяРис. 85. Схема оптимального реактивного двигателя

СужениеS‘<0

Торможение F<0

Нагрев0>0

Впрыскивание Q'>0

Расширение 8‘>0

Ускорение F>0 Охлаждение й<0 Отбор газа q‘<0

СужениеS‘<0

Торможение F<0

Нагрев0>0

Впрыскивание Q'>0

Расширение 8‘>0

Ускорение F>0 Охлаждение й<0 Отбор газа q‘<0

Рис. 85. Схема оптимального реактивного двигателя

Рис. 85. Схема оптимального реактивного двигателя

электродами), запишем его в виде

(20.9)(20.9)(20.10)(20.10)д v* q др / тq+ bjy I—Bd

(20.9)

(20.9)

(20.10)

(20.10)

дх 2 p Эх У \ с ,

Между тем из закона Ома j-о£* следует

Т;уvd

Еу_—В+; — Bd*Eydjy<

сасо

Величина U * Eyd по определению есть разность потенциалов между электродами, которая не зависит от х. Если токи отсутствуют (/ - 0), то эта величина равна ЭДС холостого хода:

(20.11)(20.11)Му.о-^оBd.

(20.11)

(20.11)

4с

Чтобы в системе не возникали паразитные замкнутые токи, целесообразно проектировать МГД-генератор таким образом, чтобы величина Uo была бы постоянна вдоль х. Подставляя соотношение Uo ■ U-jy d/o из уравнения (20.10) в (20.9), получаем

д Iе q dpja

+-bjyU-S.(20.12) дх 2 р 3q У о

(Мы пренебрегаем эффектом Холла и считаем, что в системе присутствует лишь ток jy.) Далее из уравнения (20.4) имеем

j1dsпкТд Т

_ nT—L_ уIn— -

оdtт-1ЭхрТ-1

а / г \а1

- pv С, , + pvp,(20.13)

дх \ ’ m /дх р

где c,t - кД1 - 1) - теплоемкость одной частицы при постоянном объеме. Так как q = const, то учитывая (20.13), мы можем записать уравнение (20.12) в виде

-qW-bj и (20.14) дх

где

qW_Sny + ^1Г + рУ1

Здесь Vx ■ V/N= Мп - объем, приходящийся на одну частицу. Оче-

видно, величина q^ есть не что иное, как полный поток энтальпии вдоль канала. Интегрируя уравнение (20.14), находим

q№ (х) -q^ (0) -U Sjу bdx = Шу (х),(20.15)

о

где 1у (х) — ток, протекающий через участок электродов от начала сопла (х * 0) до сечениях. В режиме генератора ток) должен быть направлен против поля Е (но, конечно, вдоль Е*), т.е. / ■ -/и, таким образом, на всей длине L электродов имеем

^.„-^-Ю-д^О)- Ч^Кк(20.16)

где ^полеэн ж UI- есть, очевидно, мощность, подаваемая на нагрузку. Таким образом, в полезную работу превращается часть потока энтальпии, входящего в канал. Естественно определить КПД генератора как коэффициент использования энтальпий:

(я)(ген) ^,q (0) q(я)(ген) ^,q (0) q(i)(i)(0)(0)(20.17)(20.17)

(я)

(ген) ^,

q (0) q

(я)

(ген) ^,

q (0) q

(i)

(i)

(0)

(0)

(20.17)

(20.17)

Если же установка должна работать как магнитный насос (двигатель), то к электродам следует приложить внешнюю ЭДС и ток будет течь по полю Еу, т.е. 1у ■ I. При этом в соответствии с уравнением (20.15) затрачиваемая источником питания мощность пойдет на увеличение потока энтальпии

(20.18)(20.18)IU-qW^- qW№.

(20.18)

(20.18)

Полезным результатом работы двигателя следует считать приращение кинетической энергии потока

Кполезн" nvS ITmvZ * "Гmvo •

а к затратам отнести работу внешней ЭДС и входящий в сопло поток внутренней энтальпии газа (за вычетом кинетической энергии), т.е.

W^-IU+nNSh, (0), где

h^Vc^To + tp/nV

Бесполезные потери составляют поток теряемой на выходе внутренней энтальпии, равный nvShx (L). Тогда уравнение (20.18) можно представить в виде

(20.19)(20.19)(20.20)(20.20)^полезн * ^мгр “ mShx (t)

(20.19)

(20.19)

(20.20)

(20.20)

и определить КПД двигателя как отношение

„ двиг ^полезн _ ,\ (£)

**КПД= 1 -

^мтр ^W+ZUMS

Здесь hx - ^ t Г + (p/n) = укТ (у - 1) = ср1 Т - энтальпия одной частицы (внутренняя).

Преимущество плазменного реактивного двигателя по сравнению с обычным соплом Лаваля заключается в следующем. Предположим для простоты, то начальная скорость газов равна нулю (у * 0), а КПД - 100% (т.е. Ь^Щ ~ TL = 0). Тогда из соотношения°(20.19) следует, что в обычном сопле Лаваля (при / - 0) мякримяпкияя скорость истечения газа не может быть больше

у1|макс- /—МО)-(20.21)

V m V v-1

т.е. для одноатомного газа (у - 5/3) лишь в ^- 1,7, а для двухатомного (У - 7/5) лишь в ^- 2,2 раза превышать начальную (на входе) скорость звука. В противоположность этому в плазменном двигателе в принципе возможно получение любых скоростей истечения.

Рассмотрим более детально простейший вариант - установку с постоянным вдоль х сечением и магнитным полем. При этом ру - = const и, интегрируя уравнение движения (20.3), получаем

*у

J

1s Г в

Fdx = \j bdx=«

cb J z cb y

o5(20.22)

где p, - p + pv2 - так называемое давление торможения. Исключая из (20.22) и (20.15) ток /у(х), находим

Ч^Ю-qW(0)-U~-[p,(x)- р,(0)].(20.23)

Здесь U ” Eyd - разность потенциалов между электродами, не зависящая от х. При постоянном d поле Еу также не зависит от х. Примем за единицу скорости величину скорости дрейфа у£ =

- сЕу/В и перейдем к безразмерным переменным: скорости и давлению

»р

(20.24)(20.24)(20.25)(20.25)(20.26)(20.26)Уж и р»

(20.24)

(20.24)

(20.25)

(20.25)

(20.26)

(20.26)

’БМ те

где лЕ* сЕу/В.

Тогда соотношение (20.23) принимает вид

Q(x)-Q(0)-P,(x)-P,(0),

где

P,-p/pw£-P+V;

0 = д№/^8Ы-—Уа +—-—РУ,

2у-1

т.е. Р$ и Q соответствуют безразмерным давлению торможения и

полному потоку энтальпии.

Из уравнения (20.25) можно видеть, что на фазовой плоскости

Р,, Q траектория генератора (т.е. зависимость Р$ от Q) имеет вид прямой линии, которая с наклоном в 45е проходит через начальную точку Р$ (0) Q (0). При этом для генератора Q будет уменьшаться,

а для двигателя расти. Семейство возможных траекторий изображено ‘

на рис. 86 сплошными линиями, однако следует иметь в виду, что выбор начальной точки и длина траектории до конечной точки,

соответствующей концу установки x = L, не могут быть произвольными. Отметим на фазовой плоскости кривую, на которой скорость

потока сравнивается со скоростью звука, т.е. число Маха равно единице:

(20.27)(20.27)М2 = p\2lyp = У/уРиМ = 1 при У = уР.

(20.27)

(20.27)

При этом из системы (20.26) следует, что Р$ = (1 + — j V, и тогда \ W

qW=рз

V2 —1 S

I255 \

(20.28)(20.28)Q -Радля у =— .

(20.28)

(20.28)

\32 $3 /

Эта парабола изображена на рис. 86 для случая у = 5/3. Нетрудно убедиться, что область, расположенная на плоскости Р. о ниже

этой параболы, физически недостижима. В самом деле, при любом фиксированном У = Ус функции Р$ (V, Р) и Q (V, Р) линейно зависят от Р и, следовательно, друг от друга. Эта линейная зависимость Q (Р4) при У = const изображается прямой линией, уравнение которой нетрудно получить, исключив давление Р из выражений (20.26):

/ V^c \

Q = ЛV?.(20.29)

\ Т-1 /2(^ — 1)

Эта прямая является касательной к указанной выше параболе (20.28) в точке

Р? = (1 + ~) ^ Q^ = (V + О У?/2 (V - 1). \ т /

Следовательно, парабола (20.28) является огибающей семейства прямых, описываемых уравнением (20.29), и поэтому область ниже параболы недостижима (этой области соответствуют комплексные значения Р и У, что бессмысленно).

Далее нетрудно видеть, что левая сторона прямой (20.29) (слева от точек касания) оканчивается в точке, где давление газа Р обращается в нуль. Так как значения р < 0 невозможны, то области левее указанных точек недостижимы. Из выражений (20.26) можно видеть, что кривая ^ (Р4), соответствующая Р = 0, также является параболой ^ = — Л

2

Наконец, из закона Ома j ■ ОЕ* [см. выражение (20.10)], который в безразмерных переменных (20.24) принимает вид

v/vr = У= 1- UyloEy), (20.30) следует, что для генератора ток jy направлен против Еу и поэтому У > 1, а для двигателя, наоборот, jy II Еу и У < 1. Таким образом, прямая У - 1 (см. рис. 86), отделяет область режимов генерации от области режимов двигателя.

Каждая точка Р„ Q на фазовой плоскости отвечает двум значениям У и двум значениям Р, причем одна пара УР соответствует дозвуковому М < 1, а вторая сверхзвуковому М > 1 режимам.

Легко проверить, что для сверхзвукового потока максимально возможный КПД получается для траектории, конец которой совпадает с точкой, где прямая У = 1 касается параболы звукового

и 1 г qи 1 г qРис. 86. Диаграмма МГД-генератора на плоскости Р$, С

и 1 г q

и 1 г q

барьера (20.28), а начало лежит на параболе Q® - -у- Р^, соответствующей Р = С. Для дозвукового потока оптимальный режим получается тогда, когда начало траектории Р® Q® лежит на прямой У - 1, а конец на параболе звукового барьера, причем формально максимальный КПД соответствует Q0 - Для одноатомного газа ? = 5/3 указанные КПД оказываются равными соответственно:

Махт]1 = 27%; МахТ]1 = 40%. > 1 *М < 1

Более высокий КПД можно получить лишь при переходе к соплам с переменным сечением, теоретический анализ которых представляет достаточно сложную задачу.

Рассмотрим теперь изменение параметров газа вдоль канала, для чего можно воспользоваться уравнением (20.8), которое в нашем случае q, S, В = const принимает вид

(20.31)(20.31), v' i«B ?-1 р(М2- 1)——.

(20.31)

(20.31)

т си» rw о

Предполагая для простоты, что проводимость о остается постоянной при течении газа вдоль х, и исключая из уравнения (20.31) ток jy с помощью закона Ома (20.30), после перехода к безразмерным переменным получим dv v—i i + ?(v-i)

=М2 —.(20.32) dWl) 1-М2 V

Здесь № = V/^P - квадрат числа Маха, а величина 1г = pv с2/ оВ2 имеет размерность длины. Из этого уравнения следует, что в режиме генерации дозвуковой поток будет ускоряться, а сверхзвуковой замедляться (для У > 1 будет У'> 0 при М < 1 и У'< 0 при М > 1), причем переход через звуковой барьер М = 1 невозможен: течение на всей длине или дозвуковое, или сверхзвуковое. Такое поведение

потока и является причиной, ограничивающей КПД рассматриваемого генератора с постоянным по длине сечением S и полем В.

На рис. 87 представлена диаграмма различных возможных режимов течения. При критических значениях скорости У* - 1 и V** - - 1 - 1/V производная У обращается в нуль, т.е. скорость не растет. При первой критической скорости У* - 1 в системе отсутствует ток, и поэтому поток газа не испытывает ни силового, ни теплового воздействия (отсутствует джоулево тепло). При второй критической скорости у** ■ 1 - 1/у (у** - о,4 для у * 5/3) силовое воздействие уравновешивается тепловым [см. уравнение (20.31)]:

(20.33)(20.33)^мехУ,

(20.33)

(20.33)

^эф.теплСр-1)(1~V) |ужу*

где

1V-1 Р

гмех А,", ^эф.тепл сто

Отсюда видно, что в области 0 < у < V** тепловое воздействие превышает силовое, а при У** < у < 1 - наоборот. В режиме генератора У > 1 силовое воздействие всегда превышает тепловое. На диаграмме 87 в скобках указан основной фактор, определяющий результирующий эффект в различных случаях. В переменных М, У уравнение траектории (20.25) принимает вид

у (У-У*)

(20.34)(20.34)(У- I)2 = const 2

(20.34)

(20.34)

м? 2

где Мо, Уо — значения параметров на входе, т.е. начальная точка

КУскорение(сила)КУскорение(сила)Замедление(сила)Замедление(сила)

К

Ускорение(сила)

К

Ускорение(сила)

Замедление(сила)

Замедление(сила)

Замедление (сила)Замедление (сила)Ускорение(тепло)Ускорение(тепло)I Ускорение । (сила) . чV-1--| Замедление ? ! (тепло) мI Ускорение । (сила) . чV-1--| Замедление ? ! (тепло) м

Замедление (сила)

Замедление (сила)

Ускорение(тепло)

Ускорение(тепло)

I Ускорение । (сила) . чV-1--

| Замедление ? ! (тепло) м

I Ускорение । (сила) . чV-1--

| Замедление ? ! (тепло) м

Рис. 87. Диаграмма режимов МГЛ-соплаРис. 87. Диаграмма режимов МГЛ-соплаДоздукодой М-1 Сдерхздукод'ойрежимрежимДоздукодой М-1 Сдерхздукод'ойрежимрежим

Рис. 87. Диаграмма режимов МГЛ-сопла

Рис. 87. Диаграмма режимов МГЛ-сопла

Доздукодой М-1 Сдерхздукод'ойрежимрежим

Доздукодой М-1 Сдерхздукод'ойрежимрежим

траектории. Выразив отсюда М через V, можно привести уравнение (20.32) к виду

(20.35)

где а, Ь, с - постоянные, после чего его нетрудно проинтегрировать в конечном виде.

Задга. Показать, что для МГД-генератора е постоянным сечением теоретически возможные максимальные КПД равны 27 и 40% соответственно для сверхзвукового и дозвукового потоков.

Глава 4

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ

ПРИБЛИЖЕНИИ

Поскольку плазма состоит из многих частиц, то с механической точки зрения она является системой со многими степенями свободы. Различные движения в плазме можно рассматривать как возбуждение тех или иных степеней свободы, которые можно разбить на две большие группы: ’’индивидуальные”, в которых участвуют отдельные частицы, и ’’коллективные”, в которых участвуют сразу многие частицы. Первая группа соответствует тепловому движению частиц и не представляет большого интереса. Вторая группа включает разнообразные волны, которые могут возбуждаться в плазме. В обычном газе единственной коллективной степенью свободы является звук (при большой амплитуде - ударная волна). В противоположность этому в плазме при наличии магнитного поля могут возбуждаться многие типы волн.

Основная задача теории плазмы заключается в том, чтобы выяснить условия, при которых возбуждаются (или, наоборот, могут быть стабилизированы) те или иные виды колебаний, и установить их относительное влияние на поведение плазмы в целом.

Коллективные возбуждения в плазме можно условно разделить на два класса: макроскопические и микроскопические. Первый класс включает в себя крупномасштабные пульсации, связанные с перемещением относительно больших масс газа и имеющие размеры порядка размеров системы. Ко второму можно отнести мелкомасштаб-

ные колебания, характерные размеры которых определяются внутренними параметрами плазмы.

Ясно, что неустойчивости первого класса наиболее опасны и их необходимо устранять в первую очередь.

В настоящей главе рассмотрены макроскопические неустойчивости, которые могут быть описаны в рамках магнитбгидродина- мической одножидкостиой модели плазмы с изотропным давлением, т. е. с помощью уравнений МГД.

Метод малых колебаний

Если система находится в равновесии, то обычный метод определения ее устойчивости состоит в исследовании малых возмущений, которые могут нарушить это равновесие. При этом амплитуда возмущения считается малой (формально - бесконечно малой), и уравнения движения системы могут быть линеаризованы по амплитуде возмущения. Если равновесное состояние является стационарным, то коэффициенты в полученных линеаризованных уравнениях не будут зависеть от времени, и поэтому возмущение можно искать в виде■

ф(г, о-J|) (rje-lti',(21.1)

где ы - частота колебания. При таком подходе, который можно- - назвать методом малых колебаний, определяется спектр возможных частот о = ып, и если ы может принимать лишь действительные значения, то равновесие является устойчивым.

Если же о может быть мнимым, то это свидетельствует о неустойчивости, так как при этом возмущения будут нарастать,-

Описанный метод уже был использован нами в предыдущей гла- ■ ве при исследовании магнитогидродинамических волц (альфвенов- ских и магнитозвуковых) на однородном фоне.

Теперь же фон (т. е. распределение величин в равновесном состоянии) не является однородным по пространству, и потому возмущение, вообще говоря, не имеет вида плоской волны ~ exp (ikr), а должно определяться при соответствующих граничных условиях из линеаризованных уравнений МГД:

др'дВ'/ р° \

■- div(p° т); * rot [vB° ]; р' - у) р';

dtdt\ no /

(21.2)

po^ = _ v(p+ — V — [(B°V)8 '+(B'v)B°]> at \ 8л / 4л •

коэффициенты в которых могут зависеть от координат. При идеальной проводимости о = ” граничные условия в случае изотропной гидродинамики заключаются в требовании тангенциальности внешнего магнитного поля Ве и отсутствия скачка полного давления на границе плазмы:

(пВе)$ = 0,(пВе)$ = 0,= 0,= 0,55(21.3)(21.3)

(пВе)$ = 0,

(пВе)$ = 0,

= 0,

= 0,

5

5

(21.3)

(21.3)

где п - внешняя нормаль к границе (рис. 88), а В/ - поле внутри плазмы, тангенциальность которого у границы автоматически обеспечена уравнениями МГД вследствие теоремы вмороженности. Треугольные скобки условно обозначают разность величин снаружи и внутри у границы плазмы, т. е. скачок полного давления. Так как условие (р + В2/8л\ = 0 должно быть выполнено на границе (движущейся) в любой момент времени, то его можно также записать в виде

dt\8t)

что в линеаризованной форме означаетчто в линеаризованной форме означаетРис. 88. К выводу поправки для нормали к границе плазмыРис. 88. К выводу поправки для нормали к границе плазмы(21.4)(21.4)

что в линеаризованной форме означает

что в линеаризованной форме означает

Рис. 88. К выводу поправки для нормали к границе плазмы

Рис. 88. К выводу поправки для нормали к границе плазмы

(21.4)

(21.4)

Выше и всюду в дальнейшем будем предполагать, что равновесие системы является статическим, т. е. в нулевом приближении т° = 0. Величины со штрихом означают малые возмущения. Условия тан- генциальности в линеаризованной форме имеет вид

(пВе)5 = (пВ?)$ + (п°в;),= 0.(21.5)

Вместо скорости удобно рассматривать непосредственно малое смещение частиц жидкости £(r0, t) (ср. лагранжевы переменные в гидродинамике):

v= — ^ — 6 = -iuL(21.6)

dt dt

откуда £ = — у.

ы

Поправка к нормали п, входящая в равенство (21.5), связана со смещением £ на границе плазмы соотношениями

,9

Пу—^z,

ЗуJ

где х и у - тангенциальные координаты на поверхности плазмы, а £г - нормальная компонента смещения ^z = £„). Поскольку нормаль - это вектор единичной длины:

| п | = |п°| = |п° + п'| = 1;

| п° + п'| = У п02 + 2п° п' = 1 + (п° п'),

то (п° п') = 0, т. е. п'1 п° или п' = 0. Отсюда и из равенств (21.7) следует, что

п' = -VT^„ = -VT(U°)S,(21.8)

где VT означает тангенциальную составляющую градиента.

Таким образом, условие тангенциальности поля (21.5) можно записать в виде

(“° в;),—(п'В»),-(В27)ап°),

или

Х.-^™*- (21.9)

Полезно также привести вывод условия (р+В2/8л), - 0, которое соответствует отсутствию скачка полного давления на границе плазма - вакуум. Рассмотрим для общности случай анизотропной плазмы с р, * р^, описываемой уравнением [см. (18.8) и (18.9)]

diР —dtdiР —dtV -Р-- divPV -Р-- divP(21.10)(21.10)

di

Р —dt

di

Р —dt

V -Р-- divP

V -Р-- divP

(21.10)

(21.10)

£ Л А х/ Ва \ А / ва р-(б-тт) Р1 + — +ТТ Р|- —

I л 8л / I 8л

(21.11)(21.11)При этом поле не обязано быть тангенциальным к поверхности плазмы. Проинтегрируем уравнение (21.10) по объему малой призмы V на границе (рис. 89) и затем устремим ее толщину б к нулю. При этом получим

(21.11)

(21.11)

j divPd У= - lim jpvdV-O. 6 *о

Преобразовав по теореме Гаусса интеграл от дивергенции тензора Р к поверхностному интегралу и отбросив поток через боковые грани, найдем условие отсутствия скачка

(21.12)(21.12)^« “ ^па и™ <= ^>,-0,

(21.12)

(21.12)

где a - х, у, z, а п - нормаль к границе. Если снаружи плазма отсутствует, то это с учетом равенств (21.10) означает, что на границе

(nB,)В?(nB,)В?HD 2 1Р1 + — + 8я /HD 2 1Р1 + — + 8я /(пВ)В?(пВ)В?„ / в?е, р,- —„ / в?е, р,- —

(nB,)

В?

(nB,)

В?

HD 2 1

Р1 + — + 8я /

HD 2 1

Р1 + — + 8я /

(пВ)

В?

(пВ)

В?

„ / в?

е, р,- —

„ / в?

е, р,- —

(»ве)\В®п Ве) —В?I 8”(»ве)\В®п Ве) —В?I 8”(21.13)(21.13)(»Ве)В®

(»ве)\В®

п Ве) —

В?I 8”

(»ве)\В®

п Ве) —

В?I 8”

(21.13)

(21.13)

-— Ве , В®8”

причем в силу условия div В = 0 нормальные компоненты полей должны быть равны

В'-В® или пВ(-пВе.

Если поле к тому же тангенциально, то пВ = 0 и мы приходим к прежнему условию

в? в® р + — = — , 8л 8л

в общем же случае, умножив равенство (21.13) скалярно на п, найдем

В?в® в®

р + —+ (р -р ) — - — ,(21.14)

8л " х в* вл

где В„ - пВ, = пВе.

В заключение скажем несколько слов о так называемом приближении несжимаемой жидкости. Как уже отмечалось, в случае стационарного равновесия возмущения зависят от времени экспоненциальным образом ф (г, г) = ф(г)е~1и(, а координатная зависимость должна быть определена из уравнений, которые обычно можно привести к виду

£фп(г)-хп фп(г),(21.15)

А

где Хп » со3; £ - некоторый оператор. Следовательно, по аналогии с квантовой механикой величины Хп можно рассматривать как собственные значения оператора L, который в случае идеальной магнитной гидродинамики (без учета диссипации) для статического равновесия v° = О оказывается самосопряженным (это можно показать непосредственной проверкой). Поэтому величина X - ы3 может принимать лишь действительные значения, и тогда при X > 0 и =

= \f^ будет также действительным, что соответствует устойчивым (ненарастающим) колебаниям, а при X < 0 ы = ± i лл - чисто мнимым, что ведет к неустойчивости.

Условие устойчивости имеет вид X = ы2 > 0, а ’’граница устойчивости” соответствует значению о = 0. Вблизи этой границы из уравнения непрерывности найдем

—— = lim (-iup') = _div(pov) = 0, (21.16) dt и -► О

что соответствует условию несжимаемости жидкости. Если к тому же в равновесии Р°(г) = const, то уравнение (21.16) имеет обычный вид div v = 0.

Иными словами, если рассмотреть две сходные равновесные системы - сжимаемую и несжимаемую, находящиеся в одинаковых условиях, то уравнения малых колебаний этих систем и спектр возможных частот будут, вообще говоря, различаться. Однако вблизи границы устойчивости (ы - 0), определение которой и представляет наибольший интерес, их спектры, а следовательно, и условия устойчивости должны совпадать. Поэтому часто при отыскании критерия устойчивости МГД-система рассматривается как несжимаемая жидкость, уравнения движения которой несколько проще, чем для сжимаемой.

Устойчивость плоской границы и скинированного пинча

Задача об определении полного спектра частот в методе малых колебаний сводится к линейному уравнению второго порядка в частных производных, которое удается решить лишь в простейших случаях (если не прибегать к численным методам). Для проблемы управляемой термоядерной реакции наибольший интерес представляет задача об устойчивости цилиндрического пинча. По-видимому, впервые такая задача была рассмотрена в работе автора*, и при этом было показано, что пинч с током, равномерно распределенным по сечению (при этом давление изменяется по пара- > болическому закону [см. формулу (15.15)]), неустойчив относительно аксиально симметричных возмущений, имеющих вид перетяжек. ’

В.Д. Шафранов рассмотрел случай скинированного линча в продольном поле, для которого задачу удается решить аналитически в полном объеме. При этом была показана стабилизирующая роль продольного магнитного поля.

Пинч с распределенным током в продольном поле был рассмотрен Т.Ф. Волковым.

Эти работы, однако, были опубликованы лишь в 1956 - 1958 г., в то время как первой статьей, напечатанной в 1954 г., была работа Крускала и Шварцшильда, посвященная устойчивости плоской границы плазмы в поле тяжести и скинированному пинчу без продольного поля. Эта задача весьма интересна в методическом отношении, и потому ее целесообразно рассмотреть в первую очередь.

Предположим, что плазма, которую будем рассматривать как несжимаемую жидкость с р° = const, находится в однородном поле тяжести g = const и занимает верхнее полупространство z > О (рис. 90). Снизу она поддерживается однородным внешним магнитным полем В °, параллельным границе. Внутри плазмы также имеется однородное поле В®, параллельное границе, но не обязательно параллельное внешнему полю (В? * В °). Так как система однородна по координатам х и у, то все возмущения можно искать в виде

(22.1)(22.1)Ф(х,у,г,0 = ф(г)е^х + ^-“г),

(22.1)

(22.1)

где (кх, ку, 0) = к - тангенциальный волновой вектор, параллельный границе раздела. Снаружи в вакууме скалярный магнитный потенциал ф'е, определяющий возмущение внешнего поля В' = Vi|/e, должен удовлетворять уравнению Лапласа

где | к | - V*x + ky- Отсюда ф, (z) ~ exp(± | к | z), и, оставляя вследствие граничного условия внизу на бесконечности фе(г)|,__«, - О

лишь знак +, получаем

(22.3)(22.3)ф' (х, У, z, 0 - Се elkHе ^кг- “ ‘),

(22.3)

(22.3)

где Се - постоянная. Тем самым мы полностью решили внешнюю задачу. Внутри плазмы следует решать линеаризованные уравнения МГД (21.2), которые с учетом однородности поля В? и условия несжимаемости divv-О сводятся к уравнениям

ЭВ?

(В,0 V)v; at

илиили(22.4)

или

или

-iuB' = i(kBi°)T, откуда в' -- т(кВ°)/ш, и далее

а/В? V1

р 0 — = - VI р + —— 1 +(В? V) В.- =

at\8л /4л 11

= - V?'— (kBfpT,

4 ли

где Р* = (р + В?/8лУ - поправка к полному давлению (газовое плюс магнитное). Отсюда найдем

(22.5)(22.5)-iuр'

(22.5)

(22.5)

v= - i to 6 V,

ы»-(кфаР°

где с= В? / V4np® - альфвеновская скорость внутри плазмы. Так как div т = 0, то функция р' удовлетворяет уравнению Лапласа (22.2), решая которое с граничным условием P(z)z^._eo = 0, находим

p'Uy,z,t) = p°CIe-lkbei(kr-Qt), (22.6)

1

где Ct - постоянная, а множитель р° введен для удобства. Тем са- *

мым мы решили внутреннюю задачу и нам осталось удовлетворить двум граничным условиям на поверхности плазма - вакуум: условию тангенциальности поля (21.9) при z = О

Ben = (В° V ) £„, откуда В', - i (к В®) §,,(22.7)

и условию отсутствия скачка полного давления (21.4) при z = О

— <Р)'+tV<P)° = 0, 8t

откуда ,8

<Р> = -(^V)(P>° = -^— <Р)°.(22.8)

(22.7) найдемр'(22.7) найдемр'Здесь £ — смещение жидкости, для которого из уравнений (22.6),Здесь £ — смещение жидкости, для которого из уравнений (22.6),£ =— vz =:— V,= е“wa —(кс^)аР°<аа-(ксд)аДалее из формулы (22.3) следуетв« = Фе-|к|Ф^-|к|се е1*'-"»); О X=— (В® 7)фе = — (кВ®)Фе, \ 8л / 4л v е4лпоэтому условие (22.7) сводится к соотношению(кВ»)се -1с{,м* —(кед)1а условие (22.8) соответствует/1^/И ? \/\\(Р),.о= — - р + — ='lit18л /i(kr-ut). (22.9)(22.10)(22.11)(22.12)£ =— vz =:— V,= е“wa —(кс^)аР°<аа-(ксд)аДалее из формулы (22.3) следуетв« = Фе-|к|Ф^-|к|се е1*'-"»); О X=— (В® 7)фе = — (кВ®)Фе, \ 8л / 4л v е4лпоэтому условие (22.7) сводится к соотношению(кВ»)се -1с{,м* —(кед)1а условие (22.8) соответствует/1^/И ? \/\\(Р),.о= — - р + — ='lit18л /i(kr-ut). (22.9)(22.10)(22.11)(22.12)

(22.7) найдем

р'

(22.7) найдем

р'

Здесь £ — смещение жидкости, для которого из уравнений (22.6),

Здесь £ — смещение жидкости, для которого из уравнений (22.6),

£ =— vz =:— V,= е

“wa —(кс^)аР°<аа-(ксд)а

Далее из формулы (22.3) следует

в« = Фе-|к|Ф^-|к|се е1*'-"»); О X

=— (В® 7)фе = — (кВ®)Фе, \ 8л / 4л v е4л

поэтому условие (22.7) сводится к соотношению

(кВ»)

се -1с{,

м* —(кед)1

а условие (22.8) соответствует

/1^/И ? \

/\\

(Р),.о= — - р + — =

'lit18л /

i(kr-ut). (22.9)

(22.10)

(22.11)

(22.12)

£ =— vz =:— V,= е

“wa —(кс^)аР°<аа-(ксд)а

Далее из формулы (22.3) следует

в« = Фе-|к|Ф^-|к|се е1*'-"»); О X

=— (В® 7)фе = — (кВ®)Фе, \ 8л / 4л v е4л

поэтому условие (22.7) сводится к соотношению

(кВ»)

се -1с{,

м* —(кед)1

а условие (22.8) соответствует

/1^/И ? \

/\\

(Р),.о= — - р + — =

'lit18л /

i(kr-ut). (22.9)

(22.10)

(22.11)

(22.12)

ddzddziariu<

ddz

ddz

—№ace-p°ci—^—<p><i—

pdn ’3zи»-(кфа

(22.13)(22.13)Исключив отсюда постоянные Се и С,, окончательно получим

(22.13)

(22.13)

о3 =Н — <P>+(kc;)3 + (kcJ)a. р dn

Здесь с^е = В? //4ЛР®1- альфвеновские скорости, а —^—< Р > - 'dn

производная по внешней нормали от скачка полного давления, которая для рассматриваемой нами задачи ввиду постоянства полей В? и В° сводится к выражению

pdnpdz [вл ( вл

= ±Vp = -g<0.(22.14)

Р

При этом мы использовали уравнение равновесия Vp = pg, где gz = - - |g| - ускорение свободного падения (на рис. 90 направлено вниз).

Из уравнения (22.13) можно получить несколько выводов.

Для устойчивости необходимо, чтобы ы3 > 0, и поэтому два по- ' следних члена в выражении (22.13) способствуют стабилизации плазмы, в то время как первый член справа равен -|k|g [см. формулу (22.14)], т. е. является отрицательным и потому дестабилизирующим. При малых |к| = 2л/Х (большие длины волн) квадратичными членами можно пренебречь, и поэтому в целом система оказывается неустойчивой.

Если в частности, внутри плазмы поле отсутствует (при этом с а - 0), то

ы3 =-|k|g + (kc^)3(22.15) ,

и последний стабилизирующий член будет минимален (равен нулю) при k 1 В°. Поэтому в первую очередь на границе развиваются воз-

мущения, имеющие вид желобков, вытянутых вдоль поля (рис. 91), поэтому такая неустойчивость называется желобковой.

Причиной этой неустойчивости является сила тяжести, однако ясно, что та же самая картина должна наблюдаться, когда плазма ускоряется магнитной стенкой, как это изображено на рис. 92, а. Вместо g в этом случае в формуле (22.15) будет фигурировать ускорение плазмы а. Такая неустойчивость должна наблюдаться в плазменных ускорителях, а также в 6-пинче, сжимаемом к центру камеры нарастающим магнитным полем (рис. 92,6).

Из формулы о2 =-|k|g + (kc^)2+ (ксд)2 видна также стабилизирующая роль перекрещенности силовых линий магнитного поля. В самом деле, если внутри плазмы имеется поле В#, то оно способствует стабилизации, добавляя положительный член (кс^)2. Однако при В/ II Ве оба последних члена обращаются в нуль для k 1 В<>е, т. е. желобки, вытянутые вдоль общего направления полей В/Ве, развиваются одинаково хорошо как с полем В,-, так и без него. Если, однако, В, не параллельно Ве, то оба члена (кс^)2 + (кед )2 нельзя одновременно обратить в нуль и стабилизирующий эффект

Рис. 92. Неустойчивость плазмы, ускоряемой магнитной стенкой

остается. Таким образом, перекрещенность полей является благоприятным фактором.

Даже при наличии перекрещенности в пределе |к| — О можно пренебречь квадратичными членами, и система оказывается неустойчивой. Однако такая ситуация возможна лишь для бесконечной системы. Если же она конечна, то к = 2л/Х не может быть произвольно малым. В этом случае Амакс = 2L, где L - длина системы, и тогда

к > кмин = -^— = — -(22.16)

^•макс ^

На границах системы обычно имеют место или нулевые условия v(0) = v(£) = 0, что соответствовало бы ’’закрепленным концам”, или условия периодичности v(0) = v(£), что соответствовало бы замыканию системы. В обоих случаях это ограничивает максимально возможные длины волн, т. е. |к| ограничено снизу значением кмин»и стабилизация оказывается возможной. Пусть, например, внешнее поле равно внутреннему и они перекрещены под углом 90е. Тогда

, , В1 I В1 g \

и1 —gk+k1-— = k3 ГТ ’

♦лр \ 4лр | к | /

и если

— >|«-\.«—. К О-,(22.17)

4л \ * /макс *мин л dz

то система будет устойчива.

Таким образом, закрепленные концы способствуют стабилизации плазмы.

Предположим, что сила тяжести и магнитное поле внутри плазмы отсутствуют: g = В, = 0. При этом ргм = const и формула (22.13) принимает вид

(22.18) !(22.18) !и2 = (kc^)2+|k| — А- /^ р ап \ ол

(22.18) !

(22.18) !

Хотя в нашей задаче предполагалось, что внешнее поле однород-

но, однако формально из равенства (22.18) следует, что при

dВ? > Оdn е

(22.19)(22.19)система была бы устойчива. Иными словами, для устойчивости необходимо, чтобы поле возрастало наружу от границы плазмы. В дальнейшем мы докажем это положение более строго, не предполагая в общем случае границу плоской.

(22.19)

(22.19)

Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости цилиндрического скинированного пинча в продольном магнитном поле (рис. 93). Продольный ток I течет лишь по поверхности пинча, внутри которого имеется однородное продольное поле B°z и поэтому газовое давление р°ю постоянно по сечению шнура, радиус которого обозначим буквой а.

Снаружи пинча имеется ф-е поле тока В®ф = 21/сг и однородное продольное поле В°г Для общности предположим также, что пинч окружен снаружи неподвижным идеально проводящим кожухом радиуса Ь.

Такая модель позволяет учесть наиболее существенные факторы, способствующие стабилизации плазмы.

Как и ранее, для простоты мы ограничимся "приближением несжимаемой жидкости”. Ввиду аксиальной симметрии можно полагать, что все возмущения имеют вид

ф (г, ф, Z, о = ф (г) е ^кг+тФ “ “^.

Читателю предоставляется возможность проверить (см. задачу к § 22), что решение этой задачи приводит к дисперсионному соотношению

d(P)°

ы2 = кv1 + (kc^)2 + (kc^)ay2, р dn

(22.21)

Рис. 93. Скинированный зег-пиич в кожухе

сходному с решением (22.13) для плоской границы:

। । d<P>°

(22.22)(22.22)ы 3 = |к|+ (к сд)3 + (к с^)3 . р dn

(22.22)

(22.22)

В последнем случае мы имели — — < Р)° = -g, что и являлось ос- Р dn

новной причиной неустойчивости. Теперь же на границе пинча г = а выполнено условие

< р} О = J_ (Baz + В2 ) _ р + 2_ В2 L 0)(22.23)

оЛт \ ОЛ /

1118лр18лрг = аг = ав котором Вег, р и Biz постоянны и лишь Ве<¥ = 21/сг спадает наружу от границы плазмы. Таким образом, теперь

1

1

1

8лр

1

8лр

г = а

г = а

d (Р>° = dn

(22.24)(22.24)1 Betp _ СДФ • 4лр а

(22.24)

(22.24)

т. е. вместо ускорения свободного падения g входит центробежное ускорение v2/a, измеренное по <р-й альфвеновской скорости сдф = = Selp/V4np, что и является основным дестабилизирующим фактором.

Для плоской границы под вектором к подразумевался касательный к границе вектор к = (кх, ку, 0). Подобно этому в выражении (22.21) под вектором к подразумевается касательный к границе цилиндрического пинча вектор

(22.25)(22.25)(т о, —, к а

(22.25)

(22.25)

с азимутальной компонентой кф = т/а и продольной kz = к. Так как внутри пинча имеется поле B°z, то в формуле (22.21) (кс^)3 = = kaBjZ/4np. Таким образом, внутреннее поле входит в обе задачи совершенно одинаковым образом и всегда является стабилизирующим фактором/ Снаружи поле имеет компоненты Веф и Bez, и по-

этому в соответствии с определением (22.25) теперь имеем

(22.26)(22.26)(kcj)2 - —— ( кВ„* — Beif

(22.26)

(22.26)

Уравнение для пинча (22.21) отличается от уравнения для плоской гранйцы (22.22) также наличием поправочных коэффициентов у1 и у2, которые выражаются через модифицированные функции Бесселя и имеют довольно сложный вид:

1т ^

V!»;

^m(ko)

(22.27)(22.27)Кт (к®) ^т (kb) “ ^т (kb) ^т (к®)

(22.27)

(22.27)

7, = у3

Кт№lm (ка) — Кт ^«)Im (kt)

-^^; Km(z) = у2лг-^^; Km(z) = у2лгЗдесь а - радиус пинча; b - радиус кожуха. Если кожух отсутствует, то в функции (22.27) это формально соответствует пределу Ь ■* ”, и тогда, используя асимптотику при z = kb » 1

-^^; Km(z) = у2лг

-^^; Km(z) = у2лг

Im U)^

находим У2 =Yl [-Km (ka)/Km (ka)J.

Используя эти же асимптотические выражения, нетрудно видеть, что в общем случае для коротких длин волн (X «: а, Ь, т. е. kb » 3> ka » 1) оба поправочных коэффициента должны быть близки к единице:

71,2* 1 (22.28) при к = 2л<к <^ а. Этот результат можно предвидеть заранее, так как, очевидно, при X « а кривизна поверхности не имеет значения, и поэтому уравнения (22.21) и (22.22) должны полностью совпадать. (Выше также предполагалось, что т не слишком велики: т «. ко. Если т ~ к а » 1, то следует пользоваться более точной асимптоти

кой 7а * 1, V t V1 + (m/ka)3‘)

Предположим вначале, что продольное поле отсутствует: Biz = = Bez = 0. Тогда из уравнения (22.21) находим

Рис. 94. Виды неустойчивостей цилиндрического пинча:

в — невозмущенный пинч; б — перетяжка (т = 0); в — змейка (m = 1); г - высшие гармоники (т 5s 2)

при к а » 1,и вследствие ы2 < О пинч оказывается неустойчивым: в нем могут развиваться возмущения типа так называемых перетяжек (т = 0), змеек (т = 1), а также более высокие гармоники (т = = 2, 3...) (рис. 94).

Причиной роста, например, перетяжки или змейки (а их зародышем может быть любая флуктуация) является повышение в месте сужения или с внутренней стороны изгиба магнитного давления, которое стремится увеличить возмущение. В частности, рост пере- } тяжки, по-видимому, может привести к полному обрыву цепи тока. : Так как плазма будет вытеснена из этого места, а магнитное поле 1 очень велико, то электроны не смогут переносить заряд с одного ' конца обрыва на другой. В месте обрыва образуется как бы конденсатор с весьма малой емкостью, который начнет заряжаться, i и в нем возникнет значительное электрическое поле.

Эту картину можно описать и другим способом, сказав, что магнитное поле, поддерживающее общий ток в цепи, будет способ- : ствовать тому, что ток проводимости Z^, текущий в остальных участках шнура, в места обрыва будет продолжен током смещения

1 дБ■ Й

Лц> "* 4м = ~ 8эф,(22.30)*

4Л Ot?

где 5Эф - эффективная площадь в сечении обрыва. Напряженность возникающего при этом электрического поля можно грубо оценить, предположив, что оно по порядку величины соответствует сущест-

вовавшему до обрыва магнитному полю на границе шнура ^макс ~ В = 21/са.(22.31)

(Это похоже на ситуацию в электромагнитной волне, где Е - В.) Полагая, например, /= 10е а и а - 1 см, получаем Еу^ ~ 107 В/см. Если длина промежутка будет порядка 1 мм, то на этой длине небольшая доля дейтронов, ускоряясь в поле £.,„„, приобретает энергию порядка е ~ 1 МэВ и, попав затем в плотную плазму, может вызвать там некоторое число ядерных реакций.

По-видимому, в этом состоит механизм образования нейтронов (порядка Ю10 за один разряд), наблюдающихся при мощных импульсных разрядах в дейтерии. В отличие от истинной термоядерной ре- 1 акции этот механизм принято называть ускорительным механизмом.

Для стабилизации рассмотренных неустойчивостей в системе создают продольное магнитное поле, которое при разряде частично захватывается плазмой и оказывается как внутри, так и снаружи пинча. Рассмотрим в отдельности роль этих полей - внутреннего и наружного.

Предположим вначале, что продольное поле имеется лишь внутри пинча, а снаружи В° = 0. Тогда из уравнения (22.21) находим

ы2 = к2С2д

При этом ввиду условия на границе В2ф - В2Х + 8лр отношение BixlBe1t не может превосходить единицу:

max (В|г/Веф)= 1 при р ■* 0.

Наличие перекрещенности полей Biz и Вв(р приводит к стабилизации коротких длин волн, и поэтому ограничимся рассмотрением длинноволновых возмущений. При этом для функций Бесселя следует пользоваться разложениями

откуда, в частности, найдем

I ?t \_ I ^(*)\1 k2e2 f

V *e /m-о V1^ L-ke<l 216.

Таким образом, перетяжки не развиваются [см. (22.32)], если

BjB^ > у • т-е- В» > "^В^ 1(22-34)

В случае змеек в отсутствие кожуха (Ь •* ”) для последних членов в формуле (22.32) находим

/ ?. т» \„ , х l'W

уз = - Ко (z)—

\ кв kiei /т-1*/,(*)К, (*)

и, учитывая далее разложения (С * 0,57 - постоянная Эйлера)

K0(z)-70(z)lni-- С + 4-(-С+1) + ... “1п^-;

Кт U) =Кт U) =т-1! ) 1 m2 I /т-1! ) 1 m2 I /^+... +т-1 /^+... +т-1 /

Кт U) =

Кт U) =

т-1! ) 1 m2 I /

т-1! ) 1 m2 I /

^+... +т-1 /

^+... +т-1 /

2

+ (-)т/ (z)_+(-)m (-С + ф(т))+ ....

zт!2

получаем

(22.35)(22.35)I _li-— у \» In -i— » 1 при ка с 1,

(22.35)

(22.35)

\ к« к»в4 I т.г кв

т. е. устойчивость не достигается [см. (22.32)]. Однако змейки можно стабилизировать кожухом, так как с ним

получается (z = ка) ( ь \ Ф* V —/ + фо^

/ ?iт2\

у2 = = г a \zb

\ кйк2в2/т=1 х1х№ ф L^A-^^

' в 1(22.36)

где а - b/a; ф0(г) - K0(z)/I0(z) и фДг) - Kt(z)/l'(z). Функция Fa(z) изображена на рис. 95. Если без кожуха (а - °°) функция FaU) расходилась как ln(l/z), то наличие кожуха приводит к "завалу” в области малых z, и у функции получается максимум. По мере приближения кожуха к пинчу, что соответствует уменьшению параметра a = b/a > 1, этот максимум снижается и при b < 5a будет меньше единицы. При этом стабилизация оказывается возможной, если [см. (22.32)}:

(В1г/Веф)3 >maxFa(z). (22.37)

Стабилизирующее действие кожуха связано с тем, что при смещении пинча должен сохраняться ф-й поток, зажатый между кожухом и поверхностью пинча (рис. 96). Можно показать, что гармоники с m > 1 стабилизируются и без кожуха и даже без внутреннего продольного поля, так как они связаны с искажением формы сечения шнура, которое для перетяжки и змейки сохраняет форму окружности (см. рис. 96).

Рассмотрим, наконец, случай, когда продольное поле имеется как внутри, так и снаружи пинча (В„ * 0). Нетрудно видеть, что добавление снаружи сравнительно небольшого продольного поля (Ве, порядка Веф) может лишь ухудшить устойчивость пинча. В самом деле, в этом случае при возникновении змейки, имеющей вид плоской синусоиды, изображенной на рис. 97, в ее верхней и нижней наклонных половинах возникнут силы Лоренца Гяор - ( — ) [7ВХ], направленные в разные стороны и стремящиеся превратить плоскую синусоиду в винтовую спираль. Такая неустойчивость называется винтовой. При поле Bez, параллельном току /, винт будет правым, при поле Вег, антипараллельном току, - левым; однако в обоих случаях поле винтового тока будет складываться с внешним полем. Такое поведение шнура обусловлено тем, что при наличии снаружи пинча продольного поля силовые линии суммарного внешнего поля имеют вид спиралей (рис. 98, а), которые стремятся сократиться в продольном направлении и принять форму прямых линий. Это и достигается при завивании самого шнура в винтовую спираль (поле при этом усиливается - рис. 98, б). Взаимное притяжение параллельных токов в соседних витках образующегося таким образом плазменного соленоида приводит к стягиванию спирали к средней плоскости камеры z = 0, расположенной посредине между электродами. При этом новые витки соленоида как бы "вытягиваются” из

Рис. 95. Функция Fa (z), учитывающая стабилизирующее действие кожухаРис. 95. Функция Fa (z), учитывающая стабилизирующее действие кожухаРис. 96. Механизм стабилизации пинча при условии Ь < 5 аРис. 96. Механизм стабилизации пинча при условии Ь < 5 аРис. 97. Схема перехода синусоидального возмущения в винтовоеиРис. 98. Тенденция к выпрямлению винтовых силовых линий (а)(развитие винтовой не- Я устойчивости пинча (б)|Рис. 97. Схема перехода синусоидального возмущения в винтовоеиРис. 98. Тенденция к выпрямлению винтовых силовых линий (а)(развитие винтовой не- Я устойчивости пинча (б)|

Рис. 95. Функция Fa (z), учитывающая стабилизирующее действие кожуха

Рис. 95. Функция Fa (z), учитывающая стабилизирующее действие кожуха

Рис. 96. Механизм стабилизации пинча при условии Ь < 5 а

Рис. 96. Механизм стабилизации пинча при условии Ь < 5 а

Рис. 97. Схема перехода синусоидального возмущения в винтовоеи

Рис. 98. Тенденция к выпрямлению винтовых силовых линий (а)(развитие винтовой не- Я устойчивости пинча (б)|

Рис. 97. Схема перехода синусоидального возмущения в винтовоеи

Рис. 98. Тенденция к выпрямлению винтовых силовых линий (а)(развитие винтовой не- Я устойчивости пинча (б)|

обоих электродов, и в конечном итоге шнур стремится перейти в ■ полый плазменный цилиндр.Я

Такое поведение шнура, по-видимому, наблюдалось в некоторых ■ экспериментах.Я

Рассмотренная винтовая неустойчивость не может возникнуть, Я если продольное поле будет очень сильным: Вег » Веф = 2//са. При Я этом силовые линии суммарного внешнего поля будут близки к пря- Я мым линиям (спирали с большим шагом), и им некуда сокращаться Я далее. Можно ожидать, что такая стабилизация винтовой неустой- Я

чивости произойдет, если шаг винтовой силовой линии будет превосходить длину установки L:

(22.38)(22.38)Вех h = 2 л а> L ^еф

(22.38)

(22.38)

Такое условие, называемое обычно критерием Крускала - Шафранова, может быть получено из общего выражения (22.21), в котором для этого следует положить Вег ■ Biz >■ Веф и рассмотреть предел длинноволновых возмущений к а « 1 (важны лишь змейки с m = 1).

Проведенный анализ подсказывает два возможных пути для стабилизации пинча с током. В одном методе, использованном в английской установке ’’Зета”, стабилизация достигается внутренним продольным полем и кожухом [см. (22.37)]. При этом в тороидальной камере с малым диаметром порядка 1 м предварительно создается сравнительно слабое продольное поле ~ 100 Гс (10~2 Тл), которое при разряде, возникающем при изменении магнитного потока через

I1\

центр тора ЭДС = —Ф , стягивается вместе с плазмой (вморожен- \сI

ность!) к центру камеры так, что вне пинча практически не остается продольного поля. Образуется пинч с радиусом о ~ 20 см и внутренним полем Bt ~ 1000 Гс (0,1 Тл). Такой же порядок имеет поле тока Вф = Щса ~ 1000 Гс (0,1 Тл) и, значит, I ~ 10s А.

В другом методе, положенном в основу отечественной установки ’’Токамак”, используется условие Крускала-Шафранова (22.38). Здесь продольное поле Bz ~ 20 ■$• 40 кгс создается в тороидальной установке с малым диаметром порядка 0,5 м. Радиус шнура, ограниченного специальными диафрагмами, имеет порядок о ~ 10 см, а полная длина L ~ 2 м. Тогда в соответствии с условием (22.38) поле тока Вф ~ 2Цса не должно превосходить

2ле 1,

Вф = — Bz ~—Bz~ 10кГс(1 Тл),

ток I ~ 10е А (практически создают I ~ 200 кА).

Обе установки не свободны от других неустойчивостей (негидро- магнитных), которые будут рассмотрены нами в следующих главах.

Залма 1. Вывести формулу (22.21) для спектра колебаний несжимаемого пинча с током.

Решение. Снаружи поправка к скалярному потенциалу ф'е удовлетворяет, как и в (22.2), уравнению Лапласа

Э I 9Фе\ 8 Фе 9 Фе Аф'. - —— I г——) ++

тот \ dr I raagi Эх1

92Фе 9Фе/та \ ,

(1)(1)" — +— I ка + -— I ф» ■ О,

(1)

(1)

дгя г''а /

решением которого являются функции Бесселя от мнимого аргумента

Фе - [Ае2т(кг)+Л*Кт(кг)]е1(ка+тФ-и<).

На кожухе г = Ь должно быть выполнено условие By - Эфе/дг = 0, и поэтому постоянные Ле и Л^ связаны соотношением

AeIm(kb)+AelKm(kb)-O,(3)

где штрих означает производную по аргументу kb. Формулы (2), (3) полностью решают внешнюю задачу.

Внутри пинча, как и раньше, получим соотношение (22.6) для смещения:

(4)(4)1р'

(4)

(4)

„ v, <»а-кас^р°

причем функция Р удовлетворяет уравнению Лапласа, из которого найдем [ср. (22.7)]

z, , i(kz+mo—ut)

Р - P0CjIm(kr)e

что полностью решает внутреннюю задачу. При этом мы использовали условие конечности при г = 0, и поэтому в (5) отброшено второе решение уравнения Лапласа — функция Кт (кг), которая расходится при г -* 0.

Нам осталось удовлетворить двум граничным условиям на поверхности пинча (при г = а): условию тангенциальное™ Bgr - (В, V)£r [ср. (22.7)] и условию отсутствия скачка

d

полного давления <Р> =~6г~—<В>° ^' №8)1" Снаружи поле слагается из поля ®ez и ®еф’ потому первое условие с учетом выражений (2) — (5) принимает вид [А* исключаем с помощью (3)]:

,Ф1(«) .(кВ»)

Ае1 1j -i Cj ■,

' Vjb) ' ua-(kcj)a

где

Ф t (х) = Кщ (^Х) / ^Ш (*■*)•

Для второго условия имеем [обозначим <ро(а) - Кт(кв)/1т (кв)]:

од\ 6Л /

Фо (°)ф/б)Фо (°)ф/б)Р и (*т \кв) еР и (*т \кв) е(7)(7)так что второе условие можно записать в видетак что второе условие можно записать в видегде У, = 1т (ка)/1т (кв).Исключив из (6) и (8) постоянные Ае и С,, получим искомую формулу (22.21).Задача X Получить из (22.21) условие Крускала—Шафранова (2238), предположив, что Х-2л/к, Хмакс = L (т. е. к >кмин = 2л/£).Решение. Предполагая, что кожух отсутствует (6 -» “) в пределе длинных волн (кв С < 1), имеем (для m = 0)где У, = 1т (ка)/1т (кв).Исключив из (6) и (8) постоянные Ае и С,, получим искомую формулу (22.21).Задача X Получить из (22.21) условие Крускала—Шафранова (2238), предположив, что Х-2л/к, Хмакс = L (т. е. к >кмин = 2л/£).Решение. Предполагая, что кожух отсутствует (6 -» “) в пределе длинных волн (кв С < 1), имеем (для m = 0)yl = m/ka; у2 = 1.yl = m/ka; у2 = 1.(1)(1)и тогда (при Bez = B,z = Bz) (22.21) принимает види тогда (при Bez = B,z = Bz) (22.21) принимает видЛф/ т \ зЫ3 =_т_+ к2с^^ксЛг+—сЛф^Лф/ т \ зЫ3 =_т_+ к2с^^ксЛг+—сЛф^илиили(т \ а сАф I т2 kcAz+~ САш +——т 2аа1 \ 2(т \ а сАф I т2 kcAz+~ САш +——т 2аа1 \ 2(2)(3)(2)(3)Из (3) видно, что наиболее опасны возмущения с т = 1, для которых последний член отрицателен, в то время как возмущения с m > 2 устойчивы. Однако из (2) следует, что еслиИз (3) видно, что наиболее опасны возмущения с т = 1, для которых последний член отрицателен, в то время как возмущения с m > 2 устойчивы. Однако из (2) следует, что еслиk3cz > т(сф/а)2 или к >-/^(Вф / аВг),то ы2 > 0, и система будет устойчива. Полагая т = 1, получаем критерий Круекала-Шаф- раковаk3cz > т(сф/а)2 или к >-/^(Вф / аВг),то ы2 > 0, и система будет устойчива. Полагая т = 1, получаем критерий Круекала-Шаф- ракова2л 5фL »BZ2л 5фL »BZ

Фо (°)

ф/б)

Фо (°)

ф/б)

Р и (*т \кв) е

Р и (*т \кв) е

(7)

(7)

так что второе условие можно записать в виде

так что второе условие можно записать в виде

где У, = 1т (ка)/1т (кв).

Исключив из (6) и (8) постоянные Ае и С,, получим искомую формулу (22.21).

Задача X Получить из (22.21) условие Крускала—Шафранова (2238), предположив, что Х-2л/к, Хмакс = L (т. е. к >кмин = 2л/£).

Решение. Предполагая, что кожух отсутствует (6 -» “) в пределе длинных волн (кв С < 1), имеем (для m = 0)

где У, = 1т (ка)/1т (кв).

Исключив из (6) и (8) постоянные Ае и С,, получим искомую формулу (22.21).

Задача X Получить из (22.21) условие Крускала—Шафранова (2238), предположив, что Х-2л/к, Хмакс = L (т. е. к >кмин = 2л/£).

Решение. Предполагая, что кожух отсутствует (6 -» “) в пределе длинных волн (кв С < 1), имеем (для m = 0)

yl = m/ka; у2 = 1.

yl = m/ka; у2 = 1.

(1)

(1)

и тогда (при Bez = B,z = Bz) (22.21) принимает вид

и тогда (при Bez = B,z = Bz) (22.21) принимает вид

Лф/ т \ з

Ы3 =_т_+ к2с^^ксЛг+—сЛф^

Лф/ т \ з

Ы3 =_т_+ к2с^^ксЛг+—сЛф^

или

или

(т \ а сАф I т2 kcAz+~ САш +——т 2аа1 \ 2

(т \ а сАф I т2 kcAz+~ САш +——т 2аа1 \ 2

(2)

(3)

(2)

(3)

Из (3) видно, что наиболее опасны возмущения с т = 1, для которых последний член отрицателен, в то время как возмущения с m > 2 устойчивы. Однако из (2) следует, что если

Из (3) видно, что наиболее опасны возмущения с т = 1, для которых последний член отрицателен, в то время как возмущения с m > 2 устойчивы. Однако из (2) следует, что если

k3cz > т(сф/а)2 или к >-/^(Вф / аВг),

то ы2 > 0, и система будет устойчива. Полагая т = 1, получаем критерий Круекала-Шаф- ракова

k3cz > т(сф/а)2 или к >-/^(Вф / аВг),

то ы2 > 0, и система будет устойчива. Полагая т = 1, получаем критерий Круекала-Шаф- ракова

2л 5ф

L »BZ

2л 5ф

L »BZ

§ 23. Энергетический принцип устойчивости

Исследование устойчивости по методу малых колебаний требует решения довольно сложных линеаризованных уравнений МГД, точное решение которых можно найти лишь в простейших случаях, которые, по-видимому, ограничиваются рассмотренными в предыдущем параграфе двумя задачами с плоской границей и скицированным пинчем, в то время как, например, уже задача о пинче с равномерно распределенным по сечению током требует привлечения численных методов расчета.

daU(x) dx1daU(x) dx1Существует, однако, метод исследования устойчивости, который не требует решения уравнений МГД. Этот метод называется "энергетическим принципом” и состоит в исследовании второй производной от потенциальной энергии U(x\ Как известно из механики, в простейшем случае системы, описываемой одной координатой х, для устойчивости необходимо, чтобы в равновесии выполнялось условие

da

U(x) dx1

da

U(x) dx1

> 0.(23.1)

Х=Х0

Аналогичный подход можно использовать и для МГД-систем. Для наших целей удобнее, однако, вместо потенциальной использовать кинетическую энергию К(0.

Предположим, что некоторой МГД-системе, находящейся в состоянии статического равновесия, в момент времени t = 0 сообщена начальная скорость

▼ (r,Ob-o- SW-(23.2)

В последующие моменты времени ее кинетическая энергия

Г т3

KU)-|P — dV(23.3)

J 2 ж

(интегрирование производится по всему объему, занимаемому жид- / костью) будет изменяться в соответствии с разложением

К (/) = К (0) +/Ко +Ко + ...(23.4)

2

(остальными членами пренебрегаем). Здесь Ко - —- K(t)lи

3 \dt /со

••/ d\

Кп ” K(t) - производные, взятые в момент времени I- 0.

\ dt3/ f.o

Дифференцируя энергию (23.3) по времени и учитывая, что pdV = * const, найдем

dК^ = S TTpdV-S vFdF.dК^ = S TTpdV-S vFdF.(23.5)(23.5)Здесь использовано уравнение движения рт = F, где F(r, t) - объемная плотность сил. Далее имеемЗдесь использовано уравнение движения рт = F, где F(r, t) - объемная плотность сил. Далее имеем— К^- S [TFdV + TFdV + TF(dV)], dt3 ж— К^- S [TFdV + TFdV + TF(dV)], dt3 ж(23.6)(23.6)где точка означает полную производную по времени, например:где точка означает полную производную по времени, например:F =— + (tV)F.dtF =— + (tV)F.dt(23.7)(23.7)По условию в момент времени 1 = 0 система имеет равновесную конфигурацию, хотя мы и сообщили ей "начальный толчок” в виде набора скоростей т(г, 0) = 6 (г). Это означает, что при 1 = 0 все силы уравновешены [F(r, l)|t.o] ” 0, но имеется движение по инерции, вызванное начальной скоростью 5 (г)-Поэтому из формул (23.5) - (23.7) находимПо условию в момент времени 1 = 0 система имеет равновесную конфигурацию, хотя мы и сообщили ей "начальный толчок” в виде набора скоростей т(г, 0) = 6 (г). Это означает, что при 1 = 0 все силы уравновешены [F(r, l)|t.o] ” 0, но имеется движение по инерции, вызванное начальной скоростью 5 (г)-Поэтому из формул (23.5) - (23.7) находимKo = S(vF)t.0dV-0;ЖKo = S(vF)t.0dV-0;Ж.../агК» = (TF)t.odV- 6 —.../агК» = (TF)t.odV- 6 —dV.dV.t-ot-o(23.8)(23.8)жжJТаким образом, в разложении (23.4) второй член с Ко пропадает, и все определяется знаком второй производной Ко. Если при любых возможных начальных скоростях v|t„o “ 6W имеет место условиеКо < 0,(23.9)жжJТаким образом, в разложении (23.4) второй член с Ко пропадает, и все определяется знаком второй производной Ко. Если при любых возможных начальных скоростях v|t„o “ 6W имеет место условиеКо < 0,(23.9)то, как видно из разложения (23.4), K^t) < К(0), т. е. начальное дви'то, как видно из разложения (23.4), K^t) < К(0), т. е. начальное дви'

d

К^ = S TTpdV-S vFdF.

d

К^ = S TTpdV-S vFdF.

(23.5)

(23.5)

Здесь использовано уравнение движения рт = F, где F(r, t) - объемная плотность сил. Далее имеем

Здесь использовано уравнение движения рт = F, где F(r, t) - объемная плотность сил. Далее имеем

— К^- S [TFdV + TFdV + TF(dV)], dt3 ж

— К^- S [TFdV + TFdV + TF(dV)], dt3 ж

(23.6)

(23.6)

где точка означает полную производную по времени, например:

где точка означает полную производную по времени, например:

F =— + (tV)F.dt

F =— + (tV)F.dt

(23.7)

(23.7)

По условию в момент времени 1 = 0 система имеет равновесную конфигурацию, хотя мы и сообщили ей "начальный толчок” в виде набора скоростей т(г, 0) = 6 (г). Это означает, что при 1 = 0 все силы уравновешены [F(r, l)|t.o] ” 0, но имеется движение по инерции, вызванное начальной скоростью 5 (г)-

Поэтому из формул (23.5) - (23.7) находим

По условию в момент времени 1 = 0 система имеет равновесную конфигурацию, хотя мы и сообщили ей "начальный толчок” в виде набора скоростей т(г, 0) = 6 (г). Это означает, что при 1 = 0 все силы уравновешены [F(r, l)|t.o] ” 0, но имеется движение по инерции, вызванное начальной скоростью 5 (г)-

Поэтому из формул (23.5) - (23.7) находим

Ko = S(vF)t.0dV-0;

Ж

Ko = S(vF)t.0dV-0;

Ж

.../аг

К» = (TF)t.odV- 6 —

.../аг

К» = (TF)t.odV- 6 —

dV.

dV.

t-o

t-o

(23.8)

(23.8)

жжJ

Таким образом, в разложении (23.4) второй член с Ко пропадает, и все определяется знаком второй производной Ко. Если при любых возможных начальных скоростях v|t„o “ 6W имеет место условие

Ко < 0,(23.9)

жжJ

Таким образом, в разложении (23.4) второй член с Ко пропадает, и все определяется знаком второй производной Ко. Если при любых возможных начальных скоростях v|t„o “ 6W имеет место условие

Ко < 0,(23.9)

то, как видно из разложения (23.4), K^t) < К(0), т. е. начальное дви'

то, как видно из разложения (23.4), K^t) < К(0), т. е. начальное дви'

жение замедляется и, следовательно, равновесное состояние устойчиво относительно малых (точнее, в пределе - бесконечно малых) начальных возмущений. Если же для каких-либо т(г, 0) окажется Ко > 0, то система неустойчива относительно возмущений этого частного вида. Для МГД-систем имеем

рт = F = - Vр +[rot ВВ] + pg, 4л

и поэтому

3Fat3Fat_ ар 1V+ at 4л_ ар 1V+ at 4лЭв _rotВ +atЭв _rotВ +at

3F

at

3F

at

_ ар 1

V+ at 4л

_ ар 1

V+ at 4л

Эв _rotВ +at

Эв _rotВ +at

дВ rot В atдВ rot В at

дВ rot В at

дВ rot В at

(23.10)

(g считаем не зависящим от t)-

Учитывая далее, что

дРдВ. ,

=- divpv;—=rot [vBJ; atat

_1L = -p JL ££_ = -(ppdivT + vVp),(23.11)

at p at

и подставляя производную (23.10) в интеграл (23.8), условие устойчивости (23.9) можно представить в виде - Ко > 0, т.е.

-К»-К»= I dVl-£V(vpdiv6 + £ Vp) +

-К»

-К»

+ — rot Q[^B]+ — [6Q] + 6gdivp6p0, 4лc)

где для краткости обозначено Q = rot[£B]. Это и есть так называв* мый простой энергетический принцип устойчивости МГД-систем# В нем интегрирование производится лишь по объему, занимаемое, му самой плазмой (где р * 0). Подынтегральное выражение в фор-

муле (23.12) по существу представляет собой квадратичную форму (функционал) относительно начальных скоростей v(r, 0) - 6(0» которые можно рассматривать как пробные функции, и условие устойчивости есть условие положительной определенности этой квадратичной формы. При этом пробные функции £ могут быть произвольными и единственными ограничениями для них являются лишь условия на границе плазмы: условие тангенциальности внешнего поля (пВе)$ = 0 (мы рассматриваем здесь лишь модель с изотропным давлением, хотя обобщение на анизотропный случай с р# * р^ также может быть проведено) и условие отсутствия скачка полного давления <P)S = 0. С учетом выражений (23.11) последнее условие можно представить в виде [ср. с (21.4)]

d । Iд \

—(P)L=n= vv<p>+—<р>

it\ at Jt=0

эве6 V<P) +Ве —эве6 V<P) +Ве —1 D 9B< 3P 4л dtdt1 D 9B< 3P 4л dtdt

эве

6 V<P) +Ве —

эве

6 V<P) +Ве —

1 D 9B< 3P 4л dtdt

1 D 9B< 3P 4л dtdt

=6V(P> -—BerotEe-—B,Q + 4л-4л

(23.13)(23.13)+ (у pdiv£ + £ V p) = 0.

(23.13)

(23.13)

При этом мы использовали также уравнение Максвелла dBe/dt = = - crotEg для внешнего поля. Можно, однако, показать, что путем некоторого преобразования интегралов (23.12) его удается представить в таком виде, при котором можно не считаться с условием (23.13), в некоторой степени ограничивающим выбор пробных функций 6 (О- С этой целью преобразуем по частям первые два члена в интеграле (23.12):

- £ V (ypdiv£ + £ Vp) = - div[(ypdiv£ + 6Vp)£] +

(23.14)(23.14)+ ур div2 £+ (£ Vp) div 6;

(23.14)

(23.14)

— rot Q[£B] = — div [Q[6 B]] + — Q2. 4л4л4л

Первые члены справа с дивергенциями сводятся к поверхност- 219

ным интегралам, и, таким образом, формула (23.12) приводится к виду

-K0-Sx + <) dsj — [QHB]]-(Vpdiv£ + £Vp)jf, (23.15)(4л)

где Sx представляет собой интеграл, взятый по объему, занимаемому жидкостью:

’( О2 j

(23.16)(23.16)Sx = dVi— + — RB] + ypdiv2 6 + / 4л с

(23.16)

(23.16)

+ (£ V р) div ^ + £ g div р 6 •

Для первого слагаемого под интегралом (23.15) имеем [Q16B11 = 6(QB)-B(6Q),

причем последний член вследствие тангенциальности поля на границе BdS = 0 можно отбросить. Учтя далее граничное условие (23.13), подынтегральное выражение в фигурных скобках (23.15) можно представить в виде

— 6(QB)- (ypdiv^ + 6 Vp)6 =

(23.17)(23.17)4л

(23.17)

(23.17)

= S(^V)<P>- —UBerotEe). 4л

Таким образом, условие устойчивости -Ко > О сводится к требованию

- Ко = Sx + Sn + SB > О,(23.18)

где Sx определяется формулой (23.16), а Sn представляет собой интеграл по поверхности жидкости

rn=<bdS^ (Е V <Р>)rn=<bdS^ (Е V <Р>)^ —<P>dS.dn^ —<P>dS.dn(23.19)(23.19)

rn=<bdS^ (Е V <Р>)

rn=<bdS^ (Е V <Р>)

^ —<P>dS.dn

^ —<P>dS.dn

(23.19)

(23.19)

Здесь учтено, что в равновесии градиент скачка полного давления V<P) - grad[Bg/8n - р - Bf/8nJ может быть направлен лишь по нормали пк границе плазмы, и введено обозначение £п ■ (п£) для нормальной компоненты начального возмущения 6 (г).

Наконец, последний интеграл SB в сумме (23.18), который в соответствии с условием (23.17) равен

(23.20)(23.20)' 5В —-- 1 (BerdtEe)(6dS), 4я J

(23.20)

(23.20)

IL Ж

может быть представлен в виде интеграла по объему вакуума (рис. 99). Воспользуемся для этого тем условием, что на движущейся поверхности плазмы должна отсутствовать тангенциальная компонента поля

в*-в+~[чвь

что эквивалентно условию [пЕ*] - 0, откуда

[пЕ] = - — [п [тВ]] - — В - — (пВ). сс с

Ввиду тангенциальности поля Ве имеем (пВ) - 0, и поскольку dSx-ndS, то это можно записать как

с№Ее]- cdSx [пЕе] ■ Ве (gdSx).

Таким образом, интеграл (23.19) оказывается равным

(23J1)(23J1)SB"--y— 4 [dSxEjrotE, 4л J

(23J1)

(23J1)

п.ж

Мы будем предполагать, что в общем случае рассматриваемая система представляет собой плазменный сгусток, окруженный областью

(

С\

je = — rotBe » О J и которая, 4яI

в свою очередь, ограничена замкнутым неподвижным идеально про- водящим кожухом (см. рис. 99). На поверхности кожуха ввиду его

ВакуумВакуумРис. 99. Плазма, изолированная от кожуха вакуумным магнитным полем

Вакуум

Вакуум

Кожух

идеальной проводимости отсутствует тангенциальная компонента электрического поля Ее:

(Ее)т|к = 0 или [пкЕе] = 0.(23.22)

Если ввести обозначения dSx = ndSx; dSK= nKdSK

соответственно для элементов поверхности плазмы и кожуха (обе нормали п и пк обращены в сторону вакуума - см. рис. 99), то к интегралу (23.21) можно добавить равный нулю (вследствие [dSKEK} = = 0) такой же интеграл, взятый по поверхности кожуха, и тогда

.2 /\

SB =MdSxEe]rotEe + S [dSKEe]rotEe =

4” \hjkп.к/

- — 1 [dSBEe]rotEe = — I [Ee rot Ee) dSB .(23.24) ;

4л J4л J

П.ВП.Вi

Здесь мы ввели обозначениеJ

dSB|n-x = - dSx; dSB|n.K = — dSK,J

и, таким образом, выражение (23.24) представляет собой интеграл,^ взятый по полной поверхности, окружающей вакуум (с одной сто-| роны - кожух, а с другой - плазма). Применяя теперь теорему | Гаусса и учитывая, что в выраженииЯ

div [Ее rot Ее ] = rot2 Ее - Ее rot rot Ееj

222)

последний член ввиду отсутствия токов в вакууме равен нулю

в квазистационарном приближении токи смещения не учитывают-

d / 4л\ Ie I = Оdt I сId / 4л\ Ie I = Оdt I сI/1 9ве \1

d / 4л\

Ie I = Оdt I сI

d / 4л\

Ie I = Оdt I сI

ся, и поэтому rot rot Ее = rot I - — ^^ I окончательно для интеграла (23.24) получаем

с2 Г

SB = rot2EedV > 0.(23.25)

4л J в

Этот интеграл берется по всему объему вакуума и всегда представляет собой положительную величину.

Таким образом, в приближении идеальной изотропной магнитной гидродинамики условие устойчивости плазмы относительно малых возмущений (в принципе, бесконечно малых) сводится к требованию [см. (23.18)]

5Ж + S„ + SB > 0,(23.26)

где Sx, Sn и SB представляют собой интегралы, взятые соответственно по объему жидкости, ее поверхности и объему вакуума и определяемые формулами (23.16), (23.19) и (23.25).

В таком виде это условие называется обобщенным энергетическим принципом. Он отличается от простого энергетического принципа (23.12) тем, что теперь мы можем не учитывать граничное условие (23.13), которое раньше в известной мере ограничивало выбор пробных функций 6 (г). В самом деле, предположим, что неравенство (23.26) выполнено для функций, не удовлетворяющих поверхностному условию (23.13). В последнем, однако, фигурируют производные типа производной по нормали dXldn, и поэтому путем бесконечно малого изменения пробной функции (^ — X" ” 6+е, где с - 0) в бесконечно близкой окрестности у поверхности (Дп ~ ~ t -* 0) (рис. 100) всегда можно добиться выполнения этого условия, не изменив значения интегралов Sx, Sn и S*. При этом Зх не изменится, так как он является объемным интегралом, и хотя в нем также фигурируют производные типа d^/dn, которые при этом изменяются на величину порядка единицы ”1”, однако это изме-

Поверхность плазмыПоверхность плазмыРяс. 100. Бесконечно малая вариация пробной функции $ (*Л, позволяющая выполнить граничное условие <?> - 0 без изменения значения интегралов в обобщенном энергетическом принципе

Поверхность плазмы

Поверхность плазмы

нение затрагивает лишь бесконечно тонкий слой вблизи поверхности, так что

6 5Ж* J ”1”(/У~”Г’5же - 0.

Поверхностный интеграл Sn не изменится, так как в нем фигурирует сама функция 6 п = nj, а не ее производные. Наконец, 6(г) в SB вообще не входит.

Возникает вопрос как связан полученный выше энергетический принцип с методом малых колебаний? Последний, как уже указывалось [см. (21.15)], сводится к линейному уравнению вида

£= о2Е_,

которому должны удовлетворять малые возмущения 6- При этом оператор L оказывается самосопряженным, так что ы2 может принимать лишь действительные значения. Умножив это уравнение на $ и проинтегрировав по объему с весом р?, получим

ы2= —fu£S)PodV-(23.2*7)

5E2P°dV J

Можно показать, что энергетический принцип (23.12) эквивалентен условию J (6££)p°dy > 0, т. е. условию положительности ы2, необходимой для устойчивости.'

Поскольку в идеальной магнитной гидродинамике имеет место закон сохранения полной энергии

К,та + 17ппт - const и Д<7 =- ДК

или2

6®(/=-6®К = -^-Ко,

то условие -kQ > 0 эквивалентно условию положительности вариации второго порядка (второй функциональной производной) от потенциальной энергии U(s), где s = vot = V - смещение. Таким образом, безразлично, будем ли мы рассматривать величину ^(г) в энергетическом принципе как возмущение скорости или как малое смещение из равновесного положения. При выводе мы исходили из кинетической энергии К(0, что несколько удобнее, так как при этом можно пользоваться непосредственно уравнениями МГД без их линеаризации.

Однако для большей наглядности результат (23.26) целесообразно представить как возмущение (второго порядка) потенциальной энергии

2 6<2)U=S« + Sn + 5B> 0,(23.28)

и интегралы 5Ж, Sn, SB можно теперь представить в виде

Г (8Ве)2

SB = dVB,. (23.29)

J 4л

где6Ве = tdB€/dt = - ctiotEe - возмущение внешнего поля;

Sn = $(6ndV)6n<P>,(23.30)

где 6ndV = sdS - изменение объема жидкости вследствие смещения ее поверхности; бп < Р> = sV <Р> - изменение разности полных давлений на поверхности;

Г ( (6в,)2 j

5ж = dVж —+ — [s6Bj

J ( 4л с

- H6o6dV)6o6p-jd^sgfi^p,(23.31)

где 6В: = tdBj/dt = rot[sB,] - изменение внутреннего поля; 6o6dV = р

■ div sdV - изменение элемента объема жидкости; бобр = у — 6о6 р - изменение давления; 6обр =-divps - изменение плотности; s = t£ = = t v(r, 0) - смещение жидкости.

Три интеграла в 6Ж учитывают соответственно изменейие магнит- ■ ной, газовой и гравитационной энергии плазмы.’

В заключение настоящего параграфа рассмотрим более детально объемный интеграл 5Ж для случая, когда, как, например, в термоядерной проблеме, полем тяжести можно пренебречь: g = 0. При этом

J

r.

— + — [£Q] +

/4лс;

+ ypdiv2g + (gVp)divgj,(23.32);

и если разбить величину £ на параллельную и перпендикулярную полю В компонентыj

£ = £|| + L>j

где

в _ / в \

£ II= 5* и ~ I ) ’

(23.33)(23.33)то нетрудно показать, что £ц входит лишь в член

(23.33)

(23.33)

у р div2 ^ = у р (div ^„ + div £±)2.

Если при этом div^j * 0, то в целом интеграл 5Ж минимален при таком выборе £ц, когда div^ = 0, что соответствует несжимаемой жидкости. Иными словами, наиболее опасными являются возмущения, при которых объем не меняется (ср. ’’приближение несжимаемой жидкости” в методе малых колебаний). Однако в особых случаях, когда div^8 = 0, приближение несжимаемой жидкости оказы- . вается недостаточным, так как не описывает наиболее опасные возмущения.

Задача. Показать, что Ец входит лишь в член (23.33).

Решение. Чтобы убедиться в справедливости этого, нам достаточно показать, что ’ члены)

I

(1) 1(1) 1^ = ~ I Eg Q]+ (б^р) div Ед

(1) 1

(1) 1

выпадают из интеграла (23.32), так как в Q = rot [ ЕВ] компонента Ед не входит. Пола- 226

гая &ц ° Ва, где а - скаляр, находим

iа

(2)(2)— [6|iQl = Q— [jBl = «Tprot[£B]; сс

(2)

(2)

(6 Vp)div£r div(6#(6Vp))-adiv(B(6Vp))

и далее

div (В (£ V р)) = -div [V р [£ В]] = V prot [ £В],

так что окончательно получаем

Л - divtt^tVp)).

После интегрирования по объему это выражение выпадает, так как на границе п£ = = аВНОрМ - 0 вследствие тангенциальности поля.

§ 24. Примеры использования энергетического принципа

Рассмотрим каждую составляющую энергетического принципа (23.38):

S* + Sn ~ SB > 0.

Вакуумный член

SB = — [ (6BepdVB > 0(24.1)

4л J

всегда положителен и потому является стабилизирующим фактором. Из SB > 0, в частности, следует, что магнитное поле в вакууме само по себе (без плазмы) является устойчивым, т. е. его силовые линии не могут сами завихриться, как изображено на рис. 101.

(24.2)(24.2)Поверхностный член (£ - смещение)

(24.2)

(24.2)

5П= ФЦ —<Р>^Ж dn

положителен при dkP'ildn > 0. Рассмотрим в качестве примера случай, когда поле тяжести и магнитное поле внутри плазмы отсутствуют. При этом в плазме j = V р = 0, так что объемный член 5Ж оказывается равным

Рис. 101. Возмущения вакуумного поля, запрещенные энергетическим принципом

Sx = 1 </Уж( —03 + 1^1у2£> >0.(24.3)

J / 4Л)

Таким образом, SB и Sx больше нуля, и плазма будет заведомо устойчива, если

— <р> =2_ — В2> 0,(24.4)

dn8л dn

т. е. если внешнее поле нарастает наружу от границы плазмы. Этот результат уже был получен нами ранее [см. (22.19)], теперь же его можно считать строго доказанным. Можно показать, что в обратном случае при dBg/dn < 0 плазма будет неустойчива — на ее поверхности будут образовываться вытянутые вдоль поля желобки, для которых

|5П|> $в + $ж> 0.

так что

sx+sn+sB < о.

Так как вакуумное поле всегда нарастает в направлении к центру кривизны, то полученный результат означает, что вогнутая граница скинированной плазмы устойчива, а выпуклая — неустойчива (рис. 102).

Рассмотрим теперь роль объемного интеграла

г( е21

Sx = I dyx]+ — [ ^ Q ] + У Р div3 6 +

(24.5)(24.5)I/ 4лс

(24.5)

(24.5)

+ (£ Vp)div£ + £gdivp£

VB

Рис. 102. Устойчивость вогнутой и неустойчивость выпуклой границы плазмы

Неустойчивая

Чтобы не усложнять задачу, предположим, что плазма ограничена непосредственно идеально проводящим кожухом, на котором ^норм = ^ ^Ри этом вакуумный и поверхностный члены отсутствуют, так что для устойчивости необходимо лишь 6Ж > 0.

Рассмотрим в качестве первого простейшего примера задачу из обычной гидродинамики о конвективной устойчивости газа, подогреваемого снизу (рис. 103). В этом случае В = Q = 0, и, учитывая уравнение равновесия Vp = pg, для интеграла (24.5) имеем

I \_ др )

5Ж = 1 dVl VP div2 6 - 2£z pg div g - ^g( > 0./dz \

(24.6)

Подынтегральное выражение является квадратичной формой относительно переменных div 6 и £z, которая, как нетрудно убедиться, будет положительно определенной, если

ар dz

0.

Таким образом, для устойчивости плотность должна убывать вверх и притом не слишком медленно. Это же условие можно записать в виде условия для градиента давления или температуры газа

или

ат . n mg g < (у - 1) dzЧк ср,1*т

(24.8)

Рис. ЮЗ. К выводу конвективной устойчивости газа, по

догреваемого снизу

[к - постоянная Больцмана, равная 1,38-10'16 эрг/К (1,38 х х 10"23 Дж/К)]. Таким образом, устойчива не только обычная ситуа- ация, когда нагретый газ находится сверху (dT/dz > 0), но и обратная с dT/dz < 0, если, однако, градиент температуры не слишком велик. Для воздуха (двухатомный газ у = 7/5, т = 29 • 1,61 10"24 г) этот максимальный градиент примерно равен 10"2 К/м, так что конвективная неустойчивость в воздухе развивается достаточно легко.

Рассмотрим теперь плазменный вариант этой задачи. Предположим, что газ является идеально проводящим и в нем имеется горизонтальное поле В = Bx(z), направленное вдоль оси х, но зависящее лишь от z. В этом случае (штрих означает производную по z) имеем

i=jy =В; Q = ex(-Bdiv£±- £гВ) + е В—^ + ezB,

4лу Эхдх

где eXiyjZ - единичные векторы вдоль осей декартовой системы, и объемный интеграл оказывается равным [ср. (24.6)]

+ У р div2 6 - 2 р g div £ - ^g p' j > 0,(24.9)

где

Э

div£ =5, + div^.

dx

При этом мы использовали также уравнение равновесия: 0 = = (р + В2/8лУ + pg. Так как система однородна по х и у, то возмущения можно искать в виде

£ ~ Re е ^кхХ + куУ) = (a cos кхх*

+ b sin кх х) (с cos ку у + d sin ку у).

Заметим, что в энергетический принцип, являющийся квадратич* ной формой относительно £, можно подставлять лишь действитель* ные выражения [нельзя, например, как было в методе малых колет, баний, полагать £ ~ exp (i кхх + i куу), поскольку при этом 5Ж может:

быть вообще комплексным]. При В = 0 формула (24.9) переходит в (24.6), однако при В * О рассмотрение становится более сложным.

Предположим вначале, что кх - 0. Тогда д/дх = 0 и интеграл (24.9) превращается в квадратичную форму относительно двух переменных div^jL и £z:

ГU в3\

-$ж = 1 dy] — + ур div3 $± - J( \ ™/

^pg^div^-^gp'j.(24.10)

Это выражение незначительно отличается от выражения (24.6), и условие его положительной определенности имеет вид [ср. (24.7), (24.8)]

эр < _ гр2эр < _ гр2илиили

эр < _ гр2

эр < _ гр2

или

или

Bzур + (В3/4л)

d /Ва \IВа \-— р< ур +dx \8л /\4л /d /Ва \IВа \-— р< ур +dx \8л /\4л /Эр pdzЭр pdz(24.11)(24.11)

d /Ва \IВа \

-— р< ур +

dx \8л /\4л /

d /Ва \IВа \

-— р< ур +

dx \8л /\4л /

Эр pdz

Эр pdz

(24.11)

(24.11)

Более сложным является случай с кх * 0. При этом можно заметить, что производная д£х/дх ♦ 0 входит в интеграле (24.9) лишь в члены с div£:

V р div2 ~ 2p5^z div 6 = у р

Считая д£х/дх + 0 независимой переменной, можно сделать эти члены минимальными, полагая

дpg

— ^“— ^-div6±.

ЭхVP

После этого интеграл (24.9) принимает вид

дбу \2 /36, х»

1 + 1 +

Эх \ дх

+ div2 £±+ div2 £±Ig2 p2-£’ £P' +\ 7PIg2 p2-£’ £P' +\ 7P(24.12)(24.12)

+ div2 £±

+ div2 £±

Ig2 p2

-£’ £P' +

\ 7P

Ig2 p2

-£’ £P' +

\ 7P

(24.12)

(24.12)

Путем подбора параметров kx и ky можно обратить в нуль все три первых заведомо положительных члена (для этого нужно считать,

э а \

что к, - 0 и div Е, =£v +L - 0 , и, следовательно, условие

ду у]

устойчивости будет таким же, как без поля [ср. (24.7)]:

е2р2Эр;р2

gp’ + < 0 или <.(24.13)

УРЭгур

То, что при этом предполагается Э6,х/дх ~ кх6,х 0, фактически означает, что мы рассматриваем предел кх -* 0 приТаким об

разом, вопреки первоначальному выводу (24.11) магнитное поле вида В = Bx(z) с параллельными силовыми линиями не повышает устойчивости рассматриваемой системы*.

введем дальнейшие усложнения в задачу, предположив, что силовые линии могут перекрещиваться. В этом плоском варианте шира (shear) поле можно задать в виде

В = (Bx(z), By(z), 0).(24.14)

Ток при этом равен

1,— —в;-, jy-4-в;-, 1,-0,(24.15)

4л4л

а уравнение равновесия имеет вид

0=-Vp +— [jB] + pg или (р + —(24.16) с\ 8л /

(штрих означает производную по z\ Так как система однородна по х, у, то возмущения можно искать в виде 6 ~ Reexp(ikzx + + iky у). Представив смещение в виде 6 = 6y + 5i> где бу в В> и замечая, что Q содержит лишь 6^, рассмотрим в интеграле (24.5) чле-

ны, содержащие Ер В частности, полагая Е|”®В, имеем

у Ui Qb -71 jB] Q - (E, V)(E (vP - pg)) -

-divUi U V p- p E g))- (E V p- p Eg)divE|.(24.17)

При интегрировании по объему первый член справа выпадает, и нетрудно проверить, что интеграл (24.5) можно представить в виде

Sx-\dV — Q» + L[£ q] + /4л с x

+ (£ Vp- PEg)divE1 + Eg(S vp) +

4-У pdiva E+2Egp divE .(24.18)

Компонента E| входит лишь в два последних члена, содержащие div £ и, таким образом, минимизация по Е| приводит к условию

(24.19)(24.19)div Е -- — Eg. ip

(24.19)

(24.19)

В отсутствие силы тяжести (g - 0) это соответствовало бы условию несжимаемости divE ■ 0. Далее находим

d w д

(24.20)(24.21)(24.20)(24.21)dw д _.

(24.20)

(24.21)

(24.20)

(24.21)

где мы ввели величину

w ш 16 в J,— ^хВу — Еу вх,

которую удобно принять за новую переменную, так как Е* и Еу входят в Q лишь в виде указанной комбинации. Нетрудно проверить, что с учетом условия (24.19) интеграл (24.18) может быть записан в виде

sx= — I dyj |^1_ + D4я Л а* уsx= — I dyj |^1_ + D4я Л а* уааа*а*i аS, +i аS, +

sx= — I dyj |^1_ + D4я Л а* у

sx= — I dyj |^1_ + D4я Л а* у

а

а

а*

а*

i а

S, +

i а

S, +

+Bx —M +(BV^)’-

\ dy d* J

<3 p3 \ )

gp' + (.(24.22)

Отсюда следует, что система заведомо устойчива при обычном условии отсутствия конвекции [ср. (24.7)]:

gp'+ g2p2/VP < 0.(24.23)

Однако теперь при наличии перекрещенности это требование является завышенным, так как три первых члена в подынтегральном выражении (24.22) нельзя одновременно обратить в нуль. Поскольку система однородна по х и у, то, не теряя общности, можно положить:

£х = q (z) sin (kx x + ky у); w = s (z) cos (kx x + ky y),(24.24)

и если ввести вектор х = кхех + куеу, где еху - единичные орты, то нетрудно проверить, что минимизация формы (24.22) по s приводит к условию

s(z) = ^-[xBL = —ккхВу-куВх\(24.25)

ккх*ку

после чего (24.22) принимает вид

Sx~$ [cq'2 + bq3]dz -* min> 0,(24.26)

где

<мВ)2(”в)3a (z) = ; b (z) =4лх34л<мВ)2(”в)3a (z) = ; b (z) =4лх34лgp' + fl^A (24.27) IP I

<мВ)2(”в)3

a (z) = ; b (z) =

4лх34л

<мВ)2(”в)3

a (z) = ; b (z) =

4лх34л

Здесь подынтегральное выражение зависит лишь от функции q(z), и поэтому мы опустили интегрирование по х и у.

Вариационная задача о минимизации интеграла (24.26) эквива- ; лентна известному в механике принципу наименьшего действия, ‘ причем роль лагранжиана играет подынтегральное выражение в J (24.26), так что соответствующее уравнение Лагранжа имеет вид ;

(24.28)(24.28)ddq \IdBLBL \

(24.28)

(24.28)

a «DO I CD.- — dx \dx j\dtdidg /

Это уравнение описывает наиболее опасные возмущения, однако его решение в общем виде затруднительно, и поэтому мы ограничимся рассмотрением локальных возмущений с малыми длинами волн X -* 0, х -► *.

При большом | х | ■ 2л/Х первый положительный член в функции b(z) будет велик, что приведет к устойчивости системы. Особого рассмотрения требует лишь случай

мВ - кхВх + куВу-0

или, иначе,

ку Вх(х)

Перекрещенность силовых линий означает, что отношение р - = Ву!Вх не остается постоянным, а зависит от z. При этом, однако, условие (24.29) может быть выполнено лишь в какой-либо одной точке z-z0, в то время как в окрестности этой точки имеем

I Ву кх \ хВ-куВх — + — -kyBx^tp^)-

(24.30)(24.30)-MU0)]at(kyBxp')0,

(24.30)

(24.30)

где t - z - z0. При малых t для функций о и b из равенств (24.27) получим

УАЗ!)УАЗ!)и уравнение (24.28) приобретет вид

УАЗ!)

УАЗ!)

takay--s q,вх

в \34к Iв \34к Iгде

в \34к I

в \34к I

. /,<3Р3

s ж 4л I g р + \ ip

При tky c 1 первым членом справа можно пренебречь и тогда ре-

1 fl 1

шение уравнения (24.32) примет вид q(t) - tv, где v = -± /s.

2 V *

Нетрудно показать, что система устойчива, пока корень в v будет действителен, т. е. приs > О, или, иначе,

4

/2рзв3 /4\з

(24.33)(24.33)gp +<— и'

(24.33)

(24.33)

^р16л \ дЗJ

В этом случае q(t) ■* °° при t -* 0, что свидетельствует о невозможности построения непрерывного решения уравнения (24.32). Если же

1 п Г1 1

— — s < и, то корень / — ~ 5 будет мнимым, и тогда решение можно представить в виде

..1 . / / 1I1 \

q V) = -=■ып /s I In — •

/Г \V I 4It I

При t — 0 оно будет сильно осциллировать, так что формально решения для t < 0 и t > 0 могут быть сшиты в точке t - 0. Иными словами, при этом построение непрерывного решения оказывается возможным, что свидетельствует о неустойчивости. Условие (24.33) можно назвать критерием Сайдема для плоской геометрии поля, и правая часть этого неравенства показывает стабилизирующую роль перекрещенности магнитных силовых линий.

Зима. Рассмотреть стабилизирующую роль перекрещенности в "бессиловом* поле с компонентами (рис. 104)

Вх =Bocosaz; By-Betinaz; Вх-0,

где В, и а - постоянные.

Решение. Указанное поле относится к Классу так называемых бессиловых полей, так как в этом случае ток оказывается параллелен полю

сса1

j * ——rot В» ——В и —[jBl-O. 4 л4 лс

Рис. 104. "Бессиловое” магнитное поле типа винтовой лестницы

Величина ц(з) - Ву!Вх - tg az связана с углом 0 (з) = az поворота силовых линий на заданной высоте г, так что

а 1/ dO \

Ц'— •(2)

соз2 азcos26 ' “z '

de где = а ■ const.

dz

Таким образом, критерий (24.33) принимает вид

82Ра gp' + IP

В116лВ116лПри такой записи особенно наглядно видна стабилизирующая роль перекрещенности силовых линий.

В1

16л

В1

16л

§ 25. Устойчивость цилиндрического пинча

Воспользуемся теперь энергетическим принципом для исследования устойчивости однородного по ф и z цилиндрического пинча с током jz(r), аксиально симметрично распределенным по сечению.

Пренебрегая силой тяжести и предполагая для простоты, что пинч граничит непосредственно с идеально проводящей стенкой (рис. 105), из энергетического принципа (23.28) получаем условие устойчивости

Рис. 105. Схема цилиндрического пинча с распределенным по сечению током и граничащего с кожухом

(25.1)(25.1)Г ( Q3 j)

(25.1)

(25.1)

Sx= <^1+ — UQ] + Vpdiva£ + U Vp)divH>0

I / 4лc\

(вакуумный и поверхностный члены выпадают). Рассмотрим вначале случай без продольного магнитного поля (т. е. В = еф В(г)). Ввиду аксиальной симметрии задачи возмущения можно считать пропорциональными sinтф или созтф, причем возможны два различных случая: т = 0 и т 0.

При т = 0 (т. е. д £г ф г/дф = 0), что соответствует аксиально симметричным перетяжкам,’ находим

Q = rot £ В = ефQ = rot £ В = ефв ЛВ £г - В div 6в ЛВ £г - В div 6(25.2)(25.2)

Q = rot £ В = еф

Q = rot £ В = еф

в Л

В £г - В div 6

в Л

В £г - В div 6

(25.2)

(25.2)

в3 \ ур +4л /в3 \ ур +4л /Нетрудно видеть, что подынтегральное выражение (25.1) оказывается квадратичной формой относительно двух независимых переменных ^ и div^:

в3 \ ур +

4л /

в3 \ ур +

4л /

div2 6 -

(25.3)(25.3)В22/ , В2 \„

(25.3)

(25.3)

Sr div 6 + — £ р + -— И > о лгг\ 2лг /)

(штрих означает производную по г). При этом мы использовали уравнение равновесия

(25.4)(25.4)р'= — = -1_jzB=--1—bI — +В dr с * 4л \ г

(25.4)

(25.4)

Дополняя до полного квадрата члены, содержащие div 6, и приравнивая их нулю, нетрудно убедиться, что условие положительной определенности квадратичной формы (25.3), т. е. условие устойчивости, может быть представлено в виде

(25.5)(25.5)гр' < 2т

(25.5)

(25.5)

Р 1 + ТР/2"’

где р = 8лр/В2 - отношение газового давления р к магнитному рм = = В2/8л.

Рассмотрим теперь случай, когда m * 0. Как было показано ранее в упражнении к § 23, компонента смещения, параллельная полю, 238

61 ■ 6Ф фигурирует в интеграле (25.1) лишь в члене, содержащем div3 6, причем для m * О она не выпадает тождественно из выражения для дивергенции:

ааа

ГОГГифOZ

что имело место ранее при m = 0. Так как член с div3 6 заведомо положителен, то наиболее опасным будут возмущения, для которых div^ = 0, т. е. возмущения типа "несжимаемых”. Последнее условие всегда можно выполнить путем соответствующего выбора £(, после чего интеграл (25.1) становится равным

(25.6)(25.6)S= [dyj— ♦ —[^Ql^pdiv^ >0. / 4л с\

(25.6)

(25.6)

Q = ефQ = ефв Ат- В j^-Bdiv^в Ат- В j^-Bdiv^Так как Q = rot [£^В], то здесь фигурируют лишь поперечные смещения ^1=er^r+ez^z, и поэтому имеем [ср. (25.2)]

Q = еф

Q = еф

в А

т- В j^-Bdiv^

в А

т- В j^-Bdiv^

в Iairair \

+ — ег+ е, .

г \ дфдф /

(25.7)

Тогда интеграл (25.6) можно переписать в виде

Г ( Q m iiГ ( Q m iiS* = dV -Л + — ^Оф + /4л с *S* = dV -Л + — ^Оф + /4л с *В2 + 4лг2В2 + 4лг2(25.8)(25.8)

Г ( Q m ii

Г ( Q m ii

S* = dV -Л + — ^Оф + /4л с *

S* = dV -Л + — ^Оф + /4л с *

В2 + 4лг2

В2 + 4лг2

(25.8)

(25.8)

где Qv = ^—-B-Bj ^r- Bdiv^. Члены с квадратами производных по ф можно проинтегрировать по частям, например:

2л2л2л0Э£г \2Га2Г, dф = - \ £г^^ф = m3 1 £2</фЭф /Jдф3J002л2л2л0Э£г \2Га2Г, dф = - \ £г^^ф = m3 1 £2</фЭф /Jдф3J00(25.9)(25.9)

2л

2л2л

0

Э£г \2Га2Г,

dф = - \ £г^^ф = m3 1 £2</ф

Эф /Jдф3J

00

2л

2л2л

0

Э£г \2Га2Г,

dф = - \ £г^^ф = m3 1 £2</ф

Эф /Jдф3J

00

(25.9)

(25.9)

Здесь учтено, что £r = асозтф + Ь$ттф, и поэтому Эа^г/Эф2 = = -ma£r. Таким образом, при заданном т подынтегральное выражение (25.8) будет квадратичной формой от трех переменных £г, £z и div^. Так как система однородная по г, то зависимость возмущений от z можно принять в виде £ ~ с coskz + dsinkz, где волновое число к можно рассматривать как независимый параметр, и поскольку дивергенция div^ содержит член d£z/dz ~ к, то все три переменные £г, £г и div^ можно считать независимыми. Дополнив до полного квадрата члены с div^, приведем интеграл (25.8) к виду

[( в2 I 2

5Ж - (dvj —(divg± - —|r +

т2Ва 4лг2т2Ва 4лг2(25.10)(25.10)

т2Ва 4лг2

т2Ва 4лг2

(25.10)

(25.10)

Минимизируя это выражение, можно видеть, что наиболее опасными являются возмущения, для которых

(25.11)(25.11)2

(25.11)

(25.11)

div £± — — £г - 0 и ^г - 0

(при этом div^ можно считать независимой переменной, предполагая, что к a k^z - конечно). Тогда из последнего члена (25.10) следует условие устойчивости

(25.12)(25.12)гр'т2

(25.12)

(25.12)

р р

Таким образом, учитывая условие (25.5), окончательно находим два условия устойчивости*:

< при m = 0;

(25.13)

ГРт

< при m ¥= 0. р Р

Из аксиально-несимметричных возмущений наиболее опасны ’’змейки” с m ■ 1. В случае плазмы низкого давления р С 1 из условий (25.13) остается единственное условие -тр'!р < 2у, которое можно получить из общего критерия конвективной устойчивости для замкнутых систем с низким давлением:

(25.14)(25.14)dpр

(25.14)

(25.14)

< V— , dJJ

где J = А -^-. Этот критерий был рассмотрен нами в гл. 2. В случае J в'

пинча, удерживаемого собственным током, давление можно считать низким на границе. В этой области токами в самой плазме можно пренебречь и рассматривать поле В как вакуумное, создаваемое током 1, текущим в основном вблизи оси пинча. Тогда В = 21! ст ~ ~ 1/r; J = §dl/B ~ г и dJ/dr = 2J/r, что и приводит в (25.14) к условию - гр'/р<2у, вытекающему из (25.13).

(25.15)(25.15)Рассматривая плазму как одноатомный газ с у = ср/сг = 5/3, для моды m = 0 из (25.13) имеем

(25.15)

(25.15)

р Р + 1,2 ( р j

Нетрудно видеть, что если это условие выполнено, то высокие моды с m = 2, 3, 4 и т. д. также будут устойчивы, однако возможна конкуренция с первой винтовой модой, соответствующей m = 1. Из сравнения величин 1/ркр = 4/(Ркр +1, 2) находим Ркр = 0,4, и если Р < < Ркр = 0,4, то в первую очередь могут нарастать перетяжки с m = 0, а при р > ркр = 0,4 наиболее опасны змейки с m = 1. Таким образом, можно ожидать, что змейки нарастают в области вблизи оси пинча, где Р велико, а перетяжки - на периферии, где р мало. Нечто похожее на эту картину действительно наблюдается на некоторых фотографиях разрядов.

Рассмотрим теперь пинч с током при наличии продольного поля В2 * 0. Так как ^ =^В/В входит в выражении (25.1) лишь в член с div2 6, то минимизация по & ц приводит к условию несжимаемости

div ^ = div ^„ + div ^ = 0, (25.16)

а интеграл (25.1) приобретает вид

Sx- [dvj —Q2 +—j[£Q]{ = /4п c \

(25.17)(25.17)= —(dУ{Q^^2ф + ^ + ^^r- 4л J

(25.17)

(25.17)

-SrQjrotgB + t^Qg.-^QJrottBJM.

Удитьтяя условие div^ = 0, нетрудно проверить, что компоненты вектора Q = rot [gB] = (£V)B могут быть записаны в следующих различных формах:

Эд

6, = — (6 гВф) - — (- W = div^rB = В V £г; гдфoz

а а

(25.18)(25.18)Q„=— №- — (МФ) = В7^-

(25.18)

(25.18)

дд,

Qz= — H^tBz)-—№t = BV^- ^ТВХ- ТОТГОф

Здесь штрих означает производную по г. Как видим, величины £ф и £z входят в Q лишь в виде комбинации

(25.19)(25.19)w = [^В]г = ^,фВх- ^Вф ,

(25.19)

(25.19)

которую удобно принять за новую переменную. Эта величина с точностью до множителя [В(г)| совпадает с проекцией возмущения 6 на бинормаль к винтовой силовой линии (рис. 106):

* в^ь= ^ ег—* в^ь= ^ ег—= - w/B,= - w/B,(25.20)(25.20)

* в

^ь= ^ ег—

* в

^ь= ^ ег—

= - w/B,

= - w/B,

(25.20)

(25.20)

и так как величины ^#<^г и £ь связаны соотношением div£ = 0, то (25.17) можно выразить через две независимые величины - нормальную (радиальную) и бинормальную компоненты смещения, т. е. через £г и w. С этой целью рассмотрим два слагаемых в выражении

“I,- ва-“I,- ва-Рис. 106. Продольная, бинормальная и нормальная (радиальная) компоненты смещения. Минимизация по

“I,- ва-

“I,- ва-

115ц и $^ проводится алгебраически, а по $ риационным способом

1

1

(25.17), которые содержат бф и бх:

^z Qr го1ф В - бф Qr rotx В = Qr [rot Вб Jr.

Поскольку QT = div6rB, то указанная комбинация может быть преобразована следующим образом:

(25.22)(25.22)QT [rot Вб ], = div ([rot Вб ]r б г В) - бг В V[rot Вб],.

(25.22)

(25.22)

Первый член выпадает при интегрировании по объему, а второй с учетом соотношений (25.18) можно представить в виде

-6,BV[rotB6]r = 6r[(BV6z)rotvB-

-(В?бф)го1хВ] = бг[рго1В]г+ VTU^*^- "^У(25.23)

после чего нетрудно убедиться, что интеграл (25.17) принимает вид

S^J-Ly Q? + (OT + 6rrotxBp + 4л /

(25.24)(25.24)+ (Q, - б r rot ф В)2 + у б ? (8 л р + В2)' > 0.

(25.24)

(25.24)

При этом мы использовали уравнение равновесия р* = — [jB]r, которое можно также записать в форме

11 I \1

р + ТГ^ ■ ТГ^ ВФ + — г " ~ЛВф •(25,25)

и тогда из последнего члена (25.24) видно, что система будет заведомо устойчивой при jzBv < 0. Этому условию, можно удовлетворить липп» в том случае, когда поле Вф > 0 создается металлическим стержнем с током /г > 0, а в плазме, окружающей стержень, текут токи противоположного направления. Этот принцип стабилизации в основе установки, называемой левитроном (рис. 107). В этих условиях, однако, трудно избежать контакта со стержнем, что препятствует созданию высокого вакуума и большой температуры плазмы. Приведенное условие устойчивости jzBv < 0 или, иначе, -р' < < BzBz!4n является, однако, сильно завышенным требованием, так как даже при jzBz > 0 три первых положительных члена в интеграле (25.24) могут компенсировать последний отрицательный и привести к устойчивости.

Рассмотрим поэтому интеграл (25.24) более подробно. Подынтегральное выражение в нем определяется двумя переменными £г и w, соответствующими нормальной и бинормальной компонентам смещения [см. (25.20)]. Вследствие цилиндрической симметрии задачи эти величины можно считать периодическими функциями фиги, не уменьшая общности, выбрать их в виде

£r= q (г) sin (m ф + kz); w = - lbB = s(r) cos (тф + kz), (25.26)

где q и s зависят лишь от г. Тогда, используя соотношения (25.18), для различных членов в интеграле (25.24) получаем выражения

х — вф + ке^

Qr = BV£r = (Bx)qcos (тф + kz);

аI ^г \

Оф ~ г ^0t2 ® = “Г w + ®ф [— £ г I =

к$-Вф|q' $т(тф + кг);к$-Вф|q' $т(тф + кг);dz\/

к$-Вф|q' $т(тф + кг);

к$-Вф|q' $т(тф + кг);

Рис. 107. Кольцевой пинч с центральным стержнем, устойчивый при j2 Вф < О

т а— S-B, I — + qт а— S-B, I — + qsin(mip+ /cz), (25.27)

т а

— S-B, I — + q

т а

— S-B, I — + q

m la— s-B,l— + q*m la— s-B,l— + q*2+ q22+ q2— (8лр +— (8лр ++ B2)'+ (Bx)2+ B2)'+ (Bx)2>0.>0.(25.28)(25.28)так что после усреднения по ф (при этом $ш2ф - со$2ф - 1/2, где ф - mip + kz) интеграл (25.24) в расчете на единицу длины приобретает вид

m la

— s-B,l— + q*

m la

— s-B,l— + q*

2

+ q2

2

+ q2

— (8лр +

— (8лр +

+ B2)'+ (Bx)2

+ B2)'+ (Bx)2

>0.

>0.

(25.28)

(25.28)

Дополнив члены, содержащие s, до полного квадрата и приравняв его нулю, можно найти, что минимизация выражения (25.28) по бинормальной компоненте смещения

6ь - (6, 5ф ~ 6ф Дг)/В = - w/B - - (si В) cos (mф + kz) (25.29)

достигается для s, равного

, х / 1 Д т/г „/ q Д к

s(r)-+ q _—в,+q — вф.(25.30)

\ г х \ г х

При этом интеграл (25.28) приобретает вид

dr ] —— (Вх)3 q'3 + (Xdr ] —— (Вх)3 q'3 + (X(8лр + В2)' +(8лр + В2)' ++ г(Вх)2+ -У — Вф-кВ,гх2 \ г+ г(Вх)2+ -У — Вф-кВ,гх2 \ гI к2 + В3\ х2I к2 + В3\ х2qqш2- \ d)В2 q2 ( > 0. г2 х2 I dr\ш2- \ d)В2 q2 ( > 0. г2 х2 I dr\(25.31)(25.31)

dr ] —— (Вх)3 q'3 + (X

dr ] —— (Вх)3 q'3 + (X

(8лр + В2)' +

(8лр + В2)' +

+ г(Вх)2+ -У — Вф-кВ,гх2 \ г

+ г(Вх)2+ -У — Вф-кВ,гх2 \ г

I к2 + В3

\ х2

I к2 + В3

\ х2

q

q

ш2- \ d)

В2 q2 ( > 0. г2 х2 I dr\

ш2- \ d)

В2 q2 ( > 0. г2 х2 I dr\

(25.31)

(25.31)

и после интегрирования по частям последнего члена (выражение с подстановкой на пределах интегрирования выпадает вследствие граничных условий: q = О при г » b и q конечно при г - 0) интеграл (25.31) может быть представлен в форме

ь

(25.32)(25.32)(25.33)(25.33)Sxe— I Uq'a +gqa)dr -* min> О, 4 J

(25.32)

(25.32)

(25.33)

(25.33)

О

где

/(г) - — (Вх)2>0; х2

g(r)-r(Bx)a 1--J— 1 + \ ra ха I

кака2 /та

ка

ка

8лр'2 + к2В2В2

гм2 \г2

Задача отыскания минимума интеграла (2532), зависящего от вида функции q(r), эквивалентна известному в механике вариационному принципу наименьшего действия S = $Ldt -♦ min, причем г играет роль времени, aq(r) - обобщенной координаты. Подынтегральное выражение (25.32) эквивалентно лагранжиану L =fq'a +gqa, так что соответствующее условию (2532) уравнение Лагранжа имеет вид

(25.34)(25.34)d /dq \/ddLdL

(25.34)

(25.34)

— г - eq ср. — - — dr \dr IIdtdq8q

Если это уравнение имеет решение, удовлетворяющее граничным условиям: q(b) - 0 и q(0) < » - конечно, то плазма будет неустойчива; в противном случае будет иметь место устойчивость.

Рассмотрим вначале аксиально-симметричные перетяжки с m - 0. При этом

(25.35)(25.35)/-гВ?; g—L(l + k2r2)Ba+8np',

(25.35)

(25.35)

и, следовательно, наиболее опасны к -* 0 (X, -* *); однако если В,

достаточно велико (Bj| 8л » р), то отрицательный градиент давления (р'< 0, так как давление падает к периферии) не сможет превысить первый член в g. Этот пример показывает стабилизирующую роль продольного магнитного поля.

Если т * 0, то из выражений (25.33) следует, что наибольшую опасность представляют возмущения, для которых Вх * 0, что эквивалентно условию В7^гф1 * 0. Иными словами, это возмущения, постоянные вдоль винтовой силовой линии Z - А(г)(ф/2л) = const, где h (г) = 2лгВ,/Вф - шаг винта. Так как выбранные нами возмущения (25.26) зависят от аргумента m<f + kz, то они были бы постоянны на силовой линии при условии т/к =-Ы1и, но поскольку шаг h(r), вообще говоря, зависит от г, то условие может выполняться при заданных кит лишь для какого-то определенного радиуса г - = г0 с шагом h0 =-2лт/к --тк, (X, = 2л/к - длина волны по г\

Если вместо к использовать параметр h0 = -2лт/к и ввести для краткости обозначения:

а =^ < 1; А- агВ3 > 0,(25.36)

l + (h0/2„r)3

то функции / и g в формулах (25.33) можно переписать в виде

/ = A(l-h0/h)3;

(25.37)

Параметр m входит лишь в последний член в выражении для g, который является положительным и потому играет стабилизирующую роль. Этот член минимален при m = 1, так что наибольшую опасность представляет винтовая неустойчивость типа змеек. Однако конкретный анализ устойчивости для моды m = 1 требует решения уравнения Лагранжа (25.34), что в общем случае является довольно сложной задачей и выходит за рамки нашего рассмотрения.

Сравнительно просто можно проанализировать лишь случай, когда m » 1. При этом последний член в формуле (25.37) будет

большим всюду, за исключением окрестности точки, в которой h(r) = h0, т. е. шаг силовой линии совпадает с шагом возмущения. Поэтому неустойчивость на модах m » 1 должна иметь локальный характер, т. е. определяться местными условиями.

Введя обозначение х = г - г0, разложим шаг Л (г) в ряд по этому отклонению от опасной точки: h(r) - h0 + xh'(r). Тогда функции / и g из формулы (25.37) принимают вид [при этом а ■ (Вф/В)3[

В4 .В'В4 .В'таВа Ixh' \3 + В, \ h IтаВа Ixh' \3 + В, \ h IВ3/8л

В

4 .

В'

В

4 .

В'

таВа Ixh' \3 +

В, \ h I

таВа Ixh' \3 +

В, \ h I

(25.38)

где г = г0 следует считать постоянным. При достаточно малом х можно вообще отбросить два последних члена в функции g и тогда интеграл (25.32) примет вид

6Ж = const6Ж = constdq VX31 + ЛЛ3\ dx Idq VX31 + ЛЛ3\ dx I8лгр' где л = —— вХ8лгр' где л = —— вХбыть просто решено:быть просто решено:dx > О,dx > О,(25.39)(25.39)= const и уравнение Лагранжа (25.34) может= const и уравнение Лагранжа (25.34) может

6Ж = const

6Ж = const

dq V

X31 + ЛЛ3\ dx I

dq V

X31 + ЛЛ3\ dx I

8лгр' где л = —— вХ

8лгр' где л = —— вХ

быть просто решено:

быть просто решено:

dx > О,

dx > О,

(25.39)

(25.39)

= const и уравнение Лагранжа (25.34) может

= const и уравнение Лагранжа (25.34) может

= -у± У ~ + Л •(25.40)видно, что система заведомо устойчива при= -у± У ~ + Л •(25.40)видно, что система заведомо устойчива приd / dq \ х2 = ЛЧ. dx \ dx ]

= -у± У ~ + Л •(25.40)

видно, что система заведомо устойчива при

= -у± У ~ + Л •(25.40)

видно, что система заведомо устойчива при

откуда q ~ xv, где v

В интеграле (25.39)

Л > 0 (т. е. при р' > 0). Если теперь л < 0, но |л| < 1/4, то корень (25.40) будет действителен и q(x) для х > 0 расходится при х ■* 0, так что его невозможно сшить с решением на левой полуоси х < 0. Иными словами, в этом случае не существует непрерывного решения уравнения (25.40), удовлетворяющего граничным условиям, что свитедельствует об устойчивости системы. Если же корень (25.40)

будет мнимым (при п < -1/4), то решение можно записать в виде

q (х) = х'1/2 sin (/[трй/4рIn х).

Это выражение сильно осциллирует при х -♦ 0, так что сшивка и построение общего решения q(x) оказываются возможными, что свидетельствует о неустойчивости. Таким образом, плазма будет устойчива при 1/4 + п > 0 или, иначе,

где Pz = 8лр/В2. Это и есть так называемый критерий Сайдема для винтовых полей. Безразмерная комбинация слева гр7р характеризует градиент давления, который не должен превышать некоторый максимальный предел, обусловленный перекрёщенностью силовых линий. Сама перекрещенность характеризуется безразмерной комбинацией rh'/h, которая входит в условие (25.41) в виде квадрата, так как знак перекрещенности не должен играть роли. Наконец, параметр pz = 8np/Bz в знаменателе справа показывает, что стабилизация достигается тем легче, чем меньше относительное давление плазмы.

Применим, в частности, этот критерий для простейшего случая с равномерно распределенным по сечению пинча током jz = const и постоянным продольным полем Bz = const. Так как при этом Вф(г) = 2(лг2;г)/сг ~ г, то шаг винтовых силовых линий h(r) = = 2nrBz/B9 = const оказывается постоянным на всех радиусах и перекрещенность отсутствует (h'= 0). Такая система в соответствии с критерием Сайдема будет неустойчивой - в ней легко развиваются конвективные возмущения, ведущие к взаимной перестановке близких магнитных трубок, расположенных на соседних поверхностях г - rz и г = г2. При h(r) = const силовые линии 1, 2 располагаются на одном расстоянии друг от друга на всей длине пинча (рис. 108). Если же h(r) ^ const (/г' + 0), то линии 1, 3 расходятся и их перестановка затруднена, что и учитывает критерий Сайдема (25.41). В заключение отметим, что этот критерий является лишь необходимым условием и его выполнение еще не гарантирует полной устойчивости плазмы.

Задача. Уточнить критерий Сайдема для случая, когда р' = 0.

Решение. Если на некотором радиусе г = г0 будет р' = 0, то первый член разложения функци g по х вблизи этой точки равен нулю и потому необходимо учесть сле-

Рис. 108. Винтовые силовые линии и» разных радиусахРис. 108. Винтовые силовые линии и» разных радиусахдующие члены разложения. В частности, имеем р'(г) - р'(г0) + хр*(г0), где р'(г0) и функция g в соответствии с (25-38) равна:дующие члены разложения. В частности, имеем р'(г) - р'(г0) + хр*(г0), где р'(г0) и функция g в соответствии с (25-38) равна:гр' 8лгр' 8л" 0(1)" 0(1)

Рис. 108. Винтовые силовые линии и» разных радиусах

Рис. 108. Винтовые силовые линии и» разных радиусах

дующие члены разложения. В частности, имеем р'(г) - р'(г0) + хр*(г0), где р'(г0) и функция g в соответствии с (25-38) равна:

дующие члены разложения. В частности, имеем р'(г) - р'(г0) + хр*(г0), где р'(г0) и функция g в соответствии с (25-38) равна:

гр' 8л

гр' 8л

" 0

(1)

" 0

(1)

и уравнение Лагранжа (25 Л4) может быть записано в виде (здесь г - rg - const)

(2)(2)d / d4 \ Г/ тВ V ^ xadxV dx I 1\ ТВ, I * хг

(2)

(2)

где

безразмерный параметр, связанный с фигурирующим в критерии Сайдема (—п < 1/4) па* раметром т] - (Snrp'/BjXh^h')1 соотношением т)* - ri)' + 4B^h/B*rh' при р' = 0. Нетрудно заметить, что уравнение (2) имеет тот же вид, что и уравнение Шредингера для сферически-симметричных ф-функций водородоподобного атома:

А3

—— Дф + Цф = Еф или№

2ц

d /dф \2ц /е3 \

Дф 1 р31 = —77“ I ^ + — I Ф’

p3dp Vdp IЛ3 \ Р /

причем имеет место соответствие параметров:

2цI тВ X1 2це3 п*„

Е~- 1; ——.№

А3\ гве / А3 г

Устойчивость плазмы означает отсутствие решений уравнений (2), удовлетворяющих граничным условиям (q * 0 при х •♦ ” и q конечно при х -* 0), что эквивалентно требованию отсутствия связанных состояний. Для этого необходимо, чтобы энергия 5 < 0 была ниже основного уровня атома водорода Е < це4/2Йа, что в наших обозначениях соответствует условию устойчивости*

которое уточняет критерий Сайдема, если р* - 0.которое уточняет критерий Сайдема, если р* - 0.

которое уточняет критерий Сайдема, если р* - 0.

которое уточняет критерий Сайдема, если р* - 0.

(6)

Г лава 5

ТЕРМОДИНАМИКА ПЛАЗМЫ

В настоящей главе рассмотрено термодинамически равновесное состояние больцмановской плазмы с учетом квантовых и релятивистских поправок, а также поправок, связанных с неполной ионизацией. В условиях, типичных для проблемы управляемой термоядерной реакции, все эти поправки весьма малы. Они, однако, могут стать существенными в иных условиях. Например, в плазменных преобразователях и в плазменных двигателях при не слишком высоких температурах существен вопрос о степени ионизации. В плазме полупроводников, близких к вырождению, необходим учет квантовых поправок. Наконец, релятивистские эффекты могут сказываться при сверхвысоких температурах, возникающих при космических взрывах (взрывы сверхновых звезд, взрывы галактик и т. п.).

§ 26. Дебаевское экранирование и учет неидеальности плазмы

Если рассматривать плазму как идеальный газ, состоящий из невзаимодействующих частиц - электронов и ионов, то ее энергия и давление описываются формулами

3Ne*Nt

£ид = —кТ (Ne + Nj); рид = (ле + л,) кТ = —-— ,(26.1)

•Для честного случая р' = р" = 0 это условие было получено Б.Б. Кадомцевым.

где В = кТ, причем для компенсации объемного заряда должно быть выполнено условие квазинейтральности

еепе + е|п| = 0 или ne = Znl(el = Ze).(26.2)

Как изменятся эти соотношения при учете взаимодействия между частицами?

Чтобы ответить на этот вопрос, следует обратиться к статистическим методам расчета термодинамических величин для неидеальных газов. Как известно, в статистике вероятность некоторого состояния системы описывается распределением Гиббса

dW = Ce"W0 dF; dr = П _^^l_ ,(26.3)

e,i (2лй)3

где С - постоянная нормировки (j dW = 1), а Н^р, q) - гамильтониан системы. Для плазмы, учитывая кулоновское взаимодействие между частицами, имеем

р2

Я(р, q)= Z —+1/вз,(26.4)

е, i 2т

где1/вз = Е ——; г^ = | г;-г^|, и по определению термодинамичес- j <к rjk

кая энергия Е составляет

Е = <Н)= | HdW =— 6 (Ne+N<) + < ию>,(26.5)

J 2

{

е,ек

dW. Здесь Ne и Nt - полное число электро- rjk

нов и ионов в системе, так что первый член соответствует энергии идеального газа, а < UB3> учитывает взаимодействие.

В последнем интеграле (26.5) интегрирование производится по всем частицам, однако подынтегральное выражение ejeiJrjk зависит лишь от координат двух частиц j и к. Величину

dWN = f^N^dr^... drN)(26.6)

можно назвать функцией распределения всех частиц, образующих систему. Если проинтегрировать эту величину по всем частицам,

за исключением п выделенных, то получим так называемую п-час- тичную функцию распределения

dWn - (dr2dr3_ drn)S/w N(dr„+1drn+1...

-dTM) - Л,2,з,...,п№^Г3..^Гп)..(26.7)

Можно, например, рассматривать одночастичные функции dWt - = f^dT^ двухчастичные dW13 ■ /13dridF2 и т. д., причем все они должны быть нормированы к единице

S/^-l; И/134Г^Г3-1 и т.п.(26.8)

В однородной больцмановской плазме (невырожденной) одночастичная функция описывается распределением Максвелла

dW =fx drx*e-P ,ше,(26.9)

(2nm0)’/a v

а двухчастичная может быть представлена в виде

dW13 - Да <^1 dr2 = w (r13) f» f” d Tx dF3 .(26.10)

Если двухчастичную функцию проинтегрировать по импульсам, то получится величина

avx dVa

dQ13-»(rx3)—— —— ,(26.11)

которая имеет смысл вероятности распределения двух частиц по координатам (первая частица находится в элементе объема dVx, а вторая dV2). Множитель w(rl2) имеет смысл плотности вероятности. Нетрудно видеть, что энергия взаимодействия в формуле (26.5) включает электрон-электронные, ион-ионные и электрон-ион- ные члены и может быть представлена в виде [см. (26.11)]

<С/М> =<С/М> =Ne(Ne-D2Ne(Ne-D2в® 1dQee*J Г12в® 1dQee*J Г12Ni№-1)Ni№-1)dQa + r12dQa + r12

<С/М> =

<С/М> =

Ne(Ne-D

2

Ne(Ne-D

2

в® 1dQee*

J Г12

в® 1dQee*

J Г12

Ni№-1)

Ni№-1)

dQa + r12

dQa + r12

— dv*— dv*+ NeNleeei\ dQei=V J r12

— dv*

— dv*

(26.12)(26.12)(e,n<)2 Г wiiГ *ei

(26.12)

(26.12)

+IdV + ee ne e, п/1dV

2 rJ r

[множитель — Ne(Ne- 1) соответствует числу способов, которыми можно выбрать два электрона из общего числа NeJ. Таким образом, для вычисления WBS) необходимо знать функцию ^„у(гар^ у вде_ альном газе при отсутствии взаимодействия положение двух выделенных частиц может быть произвольным. В этом случае частицы являются статистически независимыми и Wgp = 1. При этом, однако, интеграл ^dV/r в выражении (26.12) расходится, и для получения ; конечного результата необходимо выполнить условие квазинейтральности евпе - - е,п,, что дало бы <Ug) = 0. В общем случае можно положить

w12(r)==l + via(r),(26.13)

где г ■ |ri - га|. Величина у12 учитывает взаимодействие частиц 1 и2и называется корреляционной поправкой. С учетом квазинейтральности из формулы (26.12) получим

1Г ''ee*'»ii-2vei

< U^i - — Уе2 п2 I —dV-

2 J т

-2 л Уе2п^ j (vee + vfl—2ve()rdr.(26.14)

0

Для сходимости этого интеграла необходимо, чтобы при г -* » функции vep(r) убывали быстрее, чем 1/г3.

В распределении Гиббса (26.3) взаимодействие двух частиц учитывается больцмановским множителем

w*2 = е 12 * 1 -w*2 = е 12 * 1 -экспонентуэкспоненту(25.15)(25.15)можно раз-.можно раз-.®1®21

w*2 = е 12 * 1 -

w*2 = е 12 * 1 -

экспоненту

экспоненту

(25.15)

(25.15)

можно раз-.

можно раз-.

v0гг

(взаимодействие считаем формально слабым, и 254

ложить). Это соответствует чист® кулоновскому взаимодействию двух частиц. При этом интеграл (26.14) расходится, так что формула (26.15) оказывается неудовлетворительней. В самом деле, она не учитывает наличие остальных частиц, которые образуют как бы ’’среду”, в которой находятся две рассматриваемые нами "пробные” частицы 1 и 2. Формула (26.15) будет правильной лишь при достаточно малом расстоянии между частицами, по крайней мере при г13 < < п-1/3, когда влиянием остальных частиц можно пренебречь. На больших расстояниях взаимодействие частиц не может быть чисто кулоновским. В самом деле, в плазме выделенная частица 1 будет притягивать к себе частицы другого знака и отталкивать одноименные (рис. 109). Такая "поляризация среды” будет уменьшать кулоновское поле частицы 1. Для определения эффективного поля, создаваемого частицей 1, воспользуемся уравнением Пуассона

дг

Дф =(гф) =-4прэл =-4л (еепе + е^,).(26.16)

т дг2

Здесь nie - плотность частиц, учитывающая возмущающее влияние поля от частицы 1. Можно принять, что она описывается распределением Больцмана

/ еа» \ I еа<р \

(26.17)(26.17)па = паехр - —Una 1- —I, а - е, i,

(26.17)

(26.17)

где na = neii - средние плотности, удовлетворяющие условию квазинейтральности еепе + е,л,- = 0. Тогда из соотношений (26.16), (26.17) получим уравнение

Аф = — Е na е„ I ф или (гф)" •= \ ° е, i I

где

/ кТ

d = /7(26-19)

V 4nEnaeaa

Рис. 109. Дебаевское экранирование кулоновского поля отдельной частицы в плазме

- величину, имеющая размерность длины и называемая радиусом Дебая- Хю^келя. Решив уравнение (26.18), получим ф = —— ехр(- r/d), и, следовауельно, с учетом поляризации среды потенциальная энергия взаимодействия двух частиц в плазме оказывается равной U^ = «2 Ф1 ” —7-^ e“r/d " иТГ e~T/d»(26-°)

а для вероятности их взаимного расположения имеем [ср. (26.17)] w13 = е~^/в » 1 - -^-,(26.21)

6

так что

e~r/d,

где г = | г, - га |. Подставив это выражение в формулу (26.14), получим

e2n =<[/33)=^ V ee2n =<[/33)=^ V e+ 2 е, ее) e~r/d dr+ 2 е, ее) e~r/d drJ (-е=-е? + о ve8nd3J (-е=-е? + о ve8nd3(26.22)(26.22)

e2n =

<[/33)=^ V e

e2n =

<[/33)=^ V e

+ 2 е, ее) e~r/d dr

+ 2 е, ее) e~r/d dr

J (-е=-е? + о ve

8nd3

J (-е=-е? + о ve

8nd3

(26.22)

(26.22)

(считаем, ^то в плазме есть ионы лишь одного сорта с зарядом Z). Таким образом, окончательно имеем

з

> = — 0+ ^) -

Dvх ** *

(26.23)

Нетрудно видеть, что энергия взаимодействия мала по сравнению с кинетической энергией частиц

величина Na ~ nd3 соответствует числу частиц в дебаевской сфере. Например, при п * 1015 см"3 и 01 кэВ получим радиус Дебая d *

* 2.. IQ-э см, и тогда

2

Nd ~ nd3 а 10$ » 1, а £ » Ю"7 « 1.

(26.25)

Чтобы определить давление, подсчитаем сначала свободную энергию системы F (Т, У, N) = Е - TS, для которой, как известно,

dF =-SdT-pdV+udN

(26.26)

(S - энтропия; ц - химический потенциал). Используя выражение / д \

(26.23) и интегрируя уравнение F = Е + 6 | — F I, находим

I n»v

г(г,у,лг)=-е —Е(е)=гвд-

2/ я 1

Г Л"^^еее + МР'а-

(26.27)

При этом мы определили постоянную интегрирования (не зависящую от температуры) таким образом, чтобы при 0 -♦ °°, F была бы равна свободной энергии идеального газа, которая, как известно, имеет вид

Евд = Fe + Fb где Fa = - 0 In Za , a

(26.28)

1dedV

Za =— I exp(-p2/2m0)

J(2лА)3

/ e (2яте)3/3\^ a — У—

\ N (2л11)3 /

Из формулы (26 J7) для давления получим [см. (26.26)]

I аг\ рв-[-^]^‘Ряя+^

(26.29)

где

iТiТРид”(ne + л#) 0; Др -

i

Т

i

Т

е24л43

Таким образом, давление плазмы оказывается несколько меньше давления идеального газа, однако это изменение опять-таки весьма мало (Др/рвд~ l/Nj) и им обычно можно пренебречь.

Введенная в этом параграфе длина Дебая d ~ УбТлё3* является весьма существенной характеристикой плазмы (сам Дебай впервые ввел этот параметр в теории растворов электролитов). В частности, по определению Ленгмюра, плазмой следует называть лишь такое образование из ионизованного газа, размеры которого превышают длину d. В противном случае может нарушиться компенсация плотностей электронов и ионов и возможно появление объемного заряда. Например, если плазма касается стенок камеры, то электроны, скорость которых в у/м^т^ 100 раз больше скорости ионов, будут уходить, создавая объемный заряд в пристеночном слое толщиной порядка d.

Задача 1. Пользуясь формулами (26.27), (26.28), показать, что химический потенциал частиц сорта а равен

Ца = Э£/а^ = цид + Дц, где

/ (2лш 0)э/а '

Пип * ~ 6 In /— ;

вд V п(2лЙ)3

1

ДР =-еаЧ7- 2а

Примечание. Такую добавку к химическому потенциалу можно объяснить следующим образом. Как известно, сам потенциал равен приращению свободной энергии системы при добавлении к ней одной частицы. При внесении в плазму одной частицы с зарядом еа остальные частицы ("система”) попадают в поле экранированного потенциала

Фа”*^-6 ' и их энергия увеличивается на [см. (26.17)]:

ДГ = Дц = Е ek <ра (|rk — га|) — к

-5 Рэл v dV-1 (еепе + е( п^ »dV= j (eene + е; п^ <pdV-

1 Г«а

\ фМУ- 4nda Jd2

о

что совпадав* с результатом, получаемым формально из свободной энергии.

Задача X Вычислить дебаевскую поправку к энергии с точностью до членов второго порядка по малому параметру 6 - 11 Nd.

Решение. В указанном порядке экспоненциальную формулу (26^1) для плотности вероятности

где е„ - е г^, можно считать все еще справедливой. Поэтому, полагая, г

что теперь

из формулы (26.14) находим

<u^nMllVneel $ ^ее^и-^еОrdr* О

г (ee + ej)a г rjr

- 2л Vn? еа 1\е-г/*1 +

е ( е J т

*20»*20»(3)(3)

*20»

*20»

(3)

(3)

Первый интеграл дает обычную дебаевскую поправку, а второй логарифмически расходится на нижнем пределе. Обрезая его на расстоянии минимального сближения Рмин “ <2/в, которое с логарифмической точностью можно считать одинаковым для всех трех случаев взаимодействия (ее, ei, it), приближенно находим d

rdr"Т2"rdr"Т2"e-lr/d^,e-lr/d^,dr d In- . r Рминdr d In- . r Рмин(4)(4)

rdr

"Т2"

rdr

"Т2"

e-lr/d^,

e-lr/d^,

dr d In- . r Рмин

dr d In- . r Рмин

(4)

(4)

Рмин

Отметим попутно, что эту величину принято называть кулоновским логарифмом и она играет большую роль в теории столкновений заряженных частиц (см. гл. 6).

Результат (3) можно записать в вида

<0* > - Д5„ 1-хул ДI<0* > - Д5„ 1-хул ДI(1-^,)а 1 \-г— ^тЬ(1-^,)а 1 \-г— ^тЬ(5)(5)

<0* > - Д5„ 1-хул ДI

<0* > - Д5„ 1-хул ДI

(1-^,)а 1 \

-г— ^тЬ

(1-^,)а 1 \

-г— ^тЬ

(5)

(5)

где Zi>|ej/ee|-заряд иона; £ = eafd6 ~ UNj- малый параметр, а ДВд —ye/8nd3 - обычная дебаевская энергия. Для водородной плазмы Z, = 1, и найденная поправка обращается в нуль. В более общем случае, когда имеется плазма со многими сортами ионов, вместо множителя (1—Z,)3 в формуле (5) фигурировала бы комбинация

е^-Х,)1 Цеп^Еп^Л, (6) 'а а '

которую принято называть параметром симметричности. Плазма, для которой 2 па вд- 0, называется "симметричной”, а

(7)(7)Нетрудно заметить, что даже с учетом найденной поправки энергия взаимодействия может быть представлена в виде

(7)

(7)

<и“л> - ^E(9.V,N')-6f1(x,N'),

где х - Ув3. Это означает, что добавка к свободной энергии может быть записана в виде

6

г<ивэ)гf^x.NI

&f=-q \</е--е\de=

JеаJe

e г 1Х^.Ю

\ dx - 6 /, (x, X),(8) 3 J x2

и поэтому добавка к давлению идеального газа р - рвд + Др составит

3AF dfa(x,N) Др -—— -—е*

э vах

е M*-NV<^л>

- ,(9]

ЗУЗУ

т. е. Др-ДВ/ЗУ, что является характерным соотношением для плазмы.

§ 27. Квантовые корреляции в плазме

Из результатов предыдущего параграфа следует, что взаимодействие двух выделенных частиц в плазме можно считать чисто кулоновским только в том случае, если расстояние между ними меньше дебаевского радиуса: г > d (точнее, много меньше: г « d). Поскольку, как мы видели, число частиц в дебаевской сфере велико Мд ~ nd3 » 1 (~106), то дебаевский радиус следует считать во много раз большим, чем среднее расстояние между частицами d » п-1/2. Помимо этих двух характерных расстояний размерностью длины обладает также параметр рция = е2/0, соответствующий минимальному расстоянию, на которое могут сблизиться две частицы одинакового знака, обладающие тепловой энергией порядка 0. Наконец, квантовые эффекты могут быть существенны лишь на расстояниях порядка длины волны де Бройля:

X = h/p ~ Ы /т^7

где й - постоянная Планка (Й = 1,05 • 10~27 эрг • с = 1,05 • 10"34 Дж • с). Для рассмотренного выше численного примера с л = 1015 и 0 = 1 кэВ найдем d = 10~3 см, л-1/2 * 10~5 см,

Рмин “ е2/0 ^ 1О~10 см; Хе = й/ Уте0 * 10~9 см

(для ионов X,- = Vт!м'\е * 10-11 см). Таким образом, в типичных газовых условиях можно считать

d » п-хР » рмин или Хе.(27.1)

Последние два параметра могут конкурировать между собой: они сравниваются при температуре порядка 0* ~ me4/h2 ~ I ~ ~ Ю эВ, что соответствует энергии ионизации водорода (р/Х ~ ~ VU^, так что X » р при 0 » 7 и р » X при 0 « 7). Ясно, что квантовые эффекты особенно существенны для электронной плазмы в металлах, близкой к вырождению. Если pF = mvF - граничный импульс распределения Ферми (при Т = 0), то для плотности находим

л ~ pF/tP ~ 1/Х}, откуда л-1/3 ~ Xf;

для радиуса Дебая (роль температуры играет граничная энергия £f = pFHm^

d ~ y/p^/mne2' ~ X/у/а7

где

а = e2/Avf;

ДЛЯ Рмин

Рмин = m е2/р|/~ аЛ

и, наконец, боровский радиус равен

а = 0,5- 10'®см = А2/те2 = Х/а.

При пдотности электронов в металле n = 1022 см-3 имеем

vr = — (Зл2п)2/Э = 0,8 • 10е см/с, т

тогда

а = e2/hvF = 3.

Поэтому все указанные длины оказываются одного порядка и примерно соответствуют боровскому радиусу а = ti2/me2 ~ 10~® см.

В рассматриваемом нами случае газообразной больцмановской плазмы выполнены неравенства (27.1), и поэтому квантовые эффекты в ней не могут быть велики. Однако в одном пункте теории, а именно при анализе взаимодействия разноименных зарядов, эти эффекты имеют принципиальное значение и их рассмотрение и оценка становятся необходимыми.

Дело в том, что для разноименных зарядов (е1е2 < 0) отдельный множитель в распределении Гиббса

е1е2 Рмин

w12 = е ®r = е г ,(27.2)

где Рмин = I е1еа |/ ® возрастает при г -► 0 настолько сильно, что соответствующий интеграл

I е г </У = 4лр^ин 1е~—-«,(27.3)

JJ х4

г 0 ‘ мин 262

где х = Рмин/r, оказывается расходящимся. Это соответствует "термодинамически выгодному” падению разноименных зарядов друг на друга, и если не вводить какое-либо искусственное обрывание этого интеграла (например, представления ионов, в частности протонов, как твердых шариков конечного радиуса), то мы приходим к выводу, что статистическая сумма для плазмы

1 Г “(^вз)

^кл =I е</Г - «

Ni'.NeA J

в рамках классической механики, строго говоря, не имеет смысла.

Эта ситуация может быть исправлена лишь путем перехода к квантовому описанию системы, при котором длина волны де Бройля будет играть роль обрезающего фактора, позволяющего устранить указанную выше трудность классической теории.

Как известно, в квантовой механике вероятность состояния системы пропорциональна квадрату модуля ¥-функции

рп =| ¥п|2 = ¥* ¥п ,(27.4)

и вместо классического распределения Гиббса (263) в квантовой статистике следует пользоваться выражением

dp (р, q) = С(¥£ е-^в ¥„) dr,(27.5)

где Н - оператор Гамильтона для рассматриваемой системы. В отличие от классики величина dp не имеет смысла вероятности состояния с заданными значениями р и q, так как вследствие соотношения неопределенностей (ApAq ~ А) в квантовой механике координаты и импульсы вообще не могут одновременно иметь определенные значения. Во многих отношениях, однако, эта величина, называемая матрицей плотности (точнее, ее диагональным элементом), аналогична классической вероятности. В частности, с ее помощью средние значения различных операторов можно определять по формуле

Кроме того, если проинтегрировать эту величину отдельно по импульсам или по координатам, то в первом случае получаем вероятность распределения по координатам, а во втором - по импульсам:

dW^qVdW^qVf/ dp dr \dp = Иdp;

dW^qV

dW^qV

J \ dF dp /

(p) '

dW (p) =dW (p) =dp =dp =dq.dq.(27.7)(27.7)

dW (p) =

dW (p) =

dp =

dp =

dq.

dq.

(27.7)

(27.7)

(<i)

Фигурирующие в формуле (27.5) ¥-функции - это собственные функции оператора Н, удовлетворяющие соотношению Я¥„ = -еп¥п, и поэтому

(27.8)(27.8)е-н/9^п.е Сп/в¥п.

(27.8)

(27.8)

Таким образом, вероятность взаимного расположения двух частиц в плазме может быть представлена в виде

w12(r12) = const Z е~е”/е|¥„|2 =

(27.9)(27.9)= const и е ei2/e|¥PiPJ2 dpt dp3 .

(27.9)

(27.9)

При этом мы предполагаем температуру плазмы 8 достаточно высокой, так что плазма может считаться полностью ионизованной. Тогда в выражении (27.9) при суммировании по всем возможным состояниям системы можно пренебречь связанными состояниями, образующими дискретный спектр энергий, и производить интегрирование лишь по непрерывному спектру с энергиями е12> 0.

В качестве функции ¥12 следует взять собственную функцию квантово-механической задачи двух тел с кулоновским взаимодействием.

В начале настоящего параграфа мы уже говорили, что квантовые эффекты могут сказываться лишь на расстояниях г ~ X ~ п/ут8, в то время как при г ^ X квантовая формула (27.9) должна перехо-

дить в классическую формулу (26.21)

Wi2 = l-21^e-r/d, Or

которая учитывает поляризацию среды. Однако при г «. d поляризация среды не сказывается и взаимодействие двух частиц можно считать чисто кулоновским. Так как в' рассматриваемом нами случае ([см. (27.1)] имеет место условие к «. d, то для расчета квантовых эффектов, проявляющихся в области г ~ к « d, поляризацию среды можно не учитывать и подставить в интеграл (27.9) ф-функцию, соответствующую чисто кулоновскому взаимодействию двух частиц.

Такая задача, как известно, путем перехода к системе центра инерций может быть сведена к задаче о движении одной частицы с приведенной кассой р = m1m3/(m1+m3) в поле неподвижного кулоновского центра. При этом

T,R

^ 12 (^1 • ^з)^ ®Фош(г); г=|г1-г2|,

где экспоненциальный множитель соответствует плоской волне, описывающей свободное движение центра инерции Р = рг+р3, R = (mtrt +m2r3)/(m1 +m3), а ФоиСг) описывает относительное движение. Проинтегрировав формулу (27.9) по суммарному импульсу Р = Pi + ра, получим

(27.10)(27.10)wi2W =—— I e-o^e^^pdp.

(27.10)

(27.10)

(2лц9)3/2 J

При этом мы определили постоянную нормировки таким образом, чтобы ф01Н(г) было решением уравнения Шредингера

А/^2®1®2 \

(27.11)(27.11)^ ^ОТН =△ + " i Фотн = 6 Фотн

(27.11)

(27.11)

в непрерывном спектре е = р2/2ц > 0, которое в пределе е1е3 •* 0, т. е. при отсутствии взаимодействия, переходило бы в плоскую волну

1

(27.12)(27.12)ф(0) L . * л = е " = еikt *отн|е1е2-»0

(27.12)

(27.12)

без каких-либо множителей. При этом, как нетрудно проверить, w13 обращалось бы в единицу, что и должно выполняться для идеального газа. Считая взаимодействие слабым, будем искать решение уравнения (27.11) в виде борновского приближения

(27.13)(27.13)ф = ф№> + фМ,

(27.13)

(27.13)

где фЮ с ф(0), т. е. в виде разложения по безразмерному параметру ealhN с 1. Линеаризуя уравнение (27.11), получаем (Н°-е)ф(1) = = - УвзФ^ или, иначе,

/ 2це,е- \ eikr

(△ + к3) ф™ = — ,(27.14)

\ Л3 / г

где к ■ р/Й. Для решения этого уравнения введем формально величину ф(г, 0 = ф(1)(г)ехр(-1|к|сО, зависящую от времени. Тогда для нее из соотношения (27.14) можно получить волновое уравнение

/1э3 \

ДФ - О Ф = - 4лр (г, о,(27.15)

\с3at3 /

где

р (г, 0 = -р (г, 0 = -це^е, 2 лЙ3це^е, 2 лЙ3ei(kr—kef)ei(kr—kef)

р (г, 0 = -

р (г, 0 = -

це^е, 2 лЙ3

це^е, 2 лЙ3

ei(kr—kef)

ei(kr—kef)

Записав решение уравнения (27.15) в виде запаздывающих потенциалов

Гdr/ lr-r1

Ф (г, t) = \ т- р г', t

J |г-*|\

и перейдя к новой переменной £ - г-г', окончательно найдем

Ф(1) (г) = - _L2L е ikr |е i(k£-k6).

2лй J t|r_i|

Тогда с точностью до членов первого порядка по ete3 получим

I Фо*н1а”1 Ф^ + Ф^!3-

= 1— -CO$(k^-k£).”* J б|г-б|= 1— -CO$(k^-k£).”* J б|г-б|(27.17)(27.17)Uexe3 Г dt

= 1— -CO$(k^-k£).

”* J б|г-б|

= 1— -CO$(k^-k£).

”* J б|г-б|

(27.17)

(27.17)

(27.18)(27.18)Подставив это выражение в интеграл (27.10), найдем

(27.18)

(27.18)

cos (к £ - к £), Ж-d

где для краткости мы ввели длину волны де Бройля для частицы с тепловой энергией Ху = Й2 2ц 9. Вычислив сначала интеграл по к, а потом по 6, окончательно можно получить w12 = 1 + vnl где

Функция Хкв(х) равнаФункция Хкв(х) равнаX (х) = 1 - е-*2 + 2х j e_f2 dt =X (х) = 1 - е-*2 + 2х j e_f2 dt == 1 - е-*2+х/7(1 - Ф (х)].= 1 - е-*2+х/7(1 - Ф (х)].(27.20)(27.20)где Ф(х) = -— J exp(-t2)dt - "интеграл ошибок”, и асимптотики ох(х) имеют видгде Ф(х) = -— J exp(-t2)dt - "интеграл ошибок”, и асимптотики ох(х) имеют видX(x)s <X(x)s <х/л1- X3 + ...х/л1- X3 + ...при х «: 1;при х «: 1;при X » 1.при X » 1.

Функция Хкв(х) равна

Функция Хкв(х) равна

X (х) = 1 - е-*2 + 2х j e_f2 dt =

X (х) = 1 - е-*2 + 2х j e_f2 dt =

= 1 - е-*2+х/7(1 - Ф (х)].

= 1 - е-*2+х/7(1 - Ф (х)].

(27.20)

(27.20)

где Ф(х) = -— J exp(-t2)dt - "интеграл ошибок”, и асимптотики о

х(х) имеют вид

где Ф(х) = -— J exp(-t2)dt - "интеграл ошибок”, и асимптотики о

х(х) имеют вид

X(x)s <

X(x)s <

х/л1- X3 + ...

х/л1- X3 + ...

при х «: 1;

при х «: 1;

при X » 1.

при X » 1.

Таким образом, x(r/^) "* 1 при г > X и формула (27.19) переходит в классическую, но без дебаевского экранирующего множителя. Иными словами, области применимости квантовой и классической формул при Л « г « d перекрываются, поэтому можно написать общую аппроксимационную формулу, применимую для всех г:

(27.22)(27.22)w = 1 + v (г), где v (г) —— х I -^— I e-r^d

(27.22)

(27.22)

9г у Ху I

В частности, при г ■* О имеем х(х) “ х/з?, и v(0) = -/лех е3/0Хт оказывается конечным, что и устраняет описанную ранее расходимость классической теории. При выводе, однако, всюду предполагалось, что v < 1. Чтобы снять и это ограничение, будем записывать (27.22) в виде экспоненты:

wi2 (г)" eVW = ехРwi2 (г)" eVW = ехРfl г \ ^*Т Ifl г \ ^*Т I(27.23)(27.23)

wi2 (г)" eVW = ехР

wi2 (г)" eVW = ехР

fl г \ ^*Т I

fl г \ ^*Т I

(27.23)

(27.23)

(27.24)(27.24)

(27.24)

(27.24)

График этой функции изображен на рис. 110 для двух случаев ехе3 > > 0 (одноименные, т. е. отталкивающиеся заряды) и е1е3 < 0 (разноименные, притягивающиеся).

Так как в рассматриваемом нами случае к « d, то с точностью до членов порядка (Х/d)2 формулу (27.22) можно представить также в виде

= 1 + v,„+v„„,12КЛ КВ ’

где мы отдельно выделили классическую v^ = -(e1e3/0r)e-r/d и квантовую [см. (27.20)]= - (е1е3/0г)^(г/Хг),

^(х) = -е"*2 + 2х 5 e-‘2dt = - 5 е~(х+У)2 2ydy(27.25)

80

Рис. 110. Вероятность взаимного расположения двух частиц в плазме. При г »d имеем w12 -1, что соответствует независимости положений частиц

корреляционные поправки. Вычисляя теперь с помгнцып вероятности (27.24) среднюю энергию взаимодействия, определяемую формулой (26.14)

<Увз> = 2л Уп=еа j (vee + vii-2ve,)rdr, о

мы получим наряду с обычной дебаевской поправкой <17м)д = = - F9/8nd3 также ряд дополнительных членов, учитывающих квантовые свойства системы [см. (27.25)]

<^вз>кв = 2лУпае= J (v“+v^-2v^)rdr = о

V

- 2л — пе е4 (Хее + 2Z, Xei +

ОО

(27.26)(27.26)+ ZaXlf) j j 2ye~^x*v^a dxdy. о

(27.26)

(27.26)

Последний интеграл, как нетрудно проверить, равен — ^л1. Учиты

вая также, что

^■«р ~ ^2^ар 6 »

где Мар - приведенная масса, отвечающая соответствующему взаимодействию (цее = т/2; це, * т; ц„ = М/2; Z, = |е,/ев| - заряд иона), окончательно получаем

Хее

(27.27)(27.27)-^— < UM >д .

(27.27)

(27.27)

Таким образом, квантовые члены меньше дебаевского числа примерно на множитель Хее/ d <К 1.

Следует, однако, отметить, что найденное выражение Ш ) не является единственным квантовым членом, который следовало бы

учесть в рассматриваемом приближении в термодинамической энергии Е = (Й). Помимо этого необходимо еще принять во внимание обменную поправку в электронном взаимодействии (ионы вследствие Xi/Xe~ ^m/Mk~ 1/40 можно вообще считать классическими), а также поправку, связанную со слабым вырождением идеального электронного газа.

Эти вопросы, однако, выходят за рамки нашего изложения.

Задача. Показать, что обменная корреляционная функция для идеального электронного газа имеет вид

ее 11

V ” * — е,

обм 2

где

Лев“Й VmB".

Решение. При отсутствии взаимодействия У-функция системы из двух электронов имеет вид

/ i )/ i \

’«“«Р (-yPi^/exp

Однако вследствие тождественности частиц она должна быть определенным образом систематизирована. С учетом спина электроны должны подчиняться статистике Ферми, т.е. быть антисимметричными.

Из индивидуальных спиновых функций Х,1/а (1) и X 1/а (2) для системы из двух электронов можно построить три симметричные и одну антисимметричную по спиновым переменным функции [х. (1) X. (2); X. (1) X. (2); X, (1) X. (2) + X. (2) X. (1) - триплет и X, О) X. (2) - X, (2) X. (1) - синглет], которым соответствуют антисимметричный по координатам триплет ф (1) ф (2) — ф (2) ф (1) и симметричный синглет ф_ (1)ф„ (2)* р1_ Р2 Pj Р2Рх Р2

♦Фр/ЭФ^!).

Поэтому, суммируя по спиновым переменным, получаем

£ |уГ-з|ф1(1)Ф,(2)-Ф1(2)Ф2(1) |а + | ф1(1)фа(2) + ф1(2)фа(1) |’ -

3 |ei(kiri+k2T2> - еi(kir2+k2ri> |» + l^iWa) + е iOW^i) |2

(1)

3 |l-eir<1C=-^)|= + |l + eir(k=-1C*)|3 .

Здесь

m22

(2)(2)г-г -г ; к -к — (у — т )■ — — ци-- — р,

(2)

(2)

1121й 1 2А*

где р — импульс частицы с приведенной массой ц ■ т/2. Введя обозначение к—р/Й, найдем

(3)(3)Е | Т1а|а-сопй(3зт2кг + соз2кг).

(3)

(3)

Постоянную здесь следует выбрать таким образом, чтобы при усреднении по пространству эта величина обращалась бы в единицу, откуда имеем const -1/2, и тогда

2 |viar-l"«B2kr.(4)

о1

Эту величину и следует подставить в формулу (27.10) для wia (г) вместо | Т^1:

W (г) - i——2(2лц6)2'3W (г) - i——2(2лц6)2'3-р/2ц8-р/2ц8z|vj8o- Оz|vj8o- О

W (г) - i——

2(2лц6)2'3

W (г) - i——

2(2лц6)2'3

-р/2ц8

-р/2ц8

z|vj8o- О

z|vj8o- О

• 1 —• 1 —1f -ра/2ц9 L »г \: Iе cos 12 —— I d р. 2(2лц9)э/а J\ К I1f -ра/2ц9 L »г \: Iе cos 12 —— I d р. 2(2лц9)э/а J\ К I(5)(5)Вычислив интеграл, окончательно получимВычислив интеграл, окончательно получим

• 1 —

• 1 —

1f -ра/2ц9 L »г \

: Iе cos 12 —— I d р. 2(2лц9)э/а J\ К I

1f -ра/2ц9 L »г \

: Iе cos 12 —— I d р. 2(2лц9)э/а J\ К I

(5)

(5)

Вычислив интеграл, окончательно получим

Вычислив интеграл, окончательно получим

**12**12ееее_ , где V • обмобмееее_ , где V • обмобм1 "УМ12 ®1 "УМ12 ®(6)(6)что и требовалось доказать. Поправка в энергии взаимодействия, обусловленная этой корреляцией [ср. (27.27)], составит (учитываем лишь взаимодействие электронов между собой)что и требовалось доказать. Поправка в энергии взаимодействия, обусловленная этой корреляцией [ср. (27.27)], составит (учитываем лишь взаимодействие электронов между собой)соX1<U >®е = 2л Ула е3 ] Vе® rdr--W 8 —■• обм е * обм в 8 d3соX1<U >®е = 2л Ула е3 ] Vе® rdr--W 8 —■• обм е * обм в 8 d31(1+2.) ’1(1+2.) ’(7)(7)т.е. примерно в (X/d)2 раз меньше кинетической энергии плазмы. Нетрудно также убет.е. примерно в (X/d)2 раз меньше кинетической энергии плазмы. Нетрудно также убедиться, чтодиться, что<^>обм 1 а «!,<^з>д4(1^,)2 dгде с = Й2/те2 —радиус Бора.<^>обм 1 а «!,<^з>д4(1^,)2 dгде с = Й2/те2 —радиус Бора.(8)(8)

**12

**12

ееее

_ , где V • обмобм

ееее

_ , где V • обмобм

1 "УМ1

2 ®

1 "УМ1

2 ®

(6)

(6)

что и требовалось доказать. Поправка в энергии взаимодействия, обусловленная этой корреляцией [ср. (27.27)], составит (учитываем лишь взаимодействие электронов между собой)

что и требовалось доказать. Поправка в энергии взаимодействия, обусловленная этой корреляцией [ср. (27.27)], составит (учитываем лишь взаимодействие электронов между собой)

соX1

<U >®е = 2л Ула е3 ] Vе® rdr--W 8 —

■• обм е * обм в 8 d3

соX1

<U >®е = 2л Ула е3 ] Vе® rdr--W 8 —

■• обм е * обм в 8 d3

1

(1+2.) ’

1

(1+2.) ’

(7)

(7)

т.е. примерно в (X/d)2 раз меньше кинетической энергии плазмы. Нетрудно также убе

т.е. примерно в (X/d)2 раз меньше кинетической энергии плазмы. Нетрудно также убе

диться, что

диться, что

<^>обм 1 а «!,

<^з>д4(1^,)2 d

где с = Й2/те2 —радиус Бора.

<^>обм 1 а «!,

<^з>д4(1^,)2 d

где с = Й2/те2 —радиус Бора.

(8)

(8)

§ 28. Степень ионизации плазмы

Если температура недостаточно высока, то электроны в плазме рекомбинируют с ионами и, таким образом, часть из них находится в связанных состояниях дискретного спектра с отрицательной энергией. На первый взгляд оценкой степени ионизации газа может служить формула

,(281)

где / - энергия ионизации (для водорода 1 = (1/2) т е4/Аа = 13,5 эВ). Отсюда следовало бы, что ионизация существенна при 0 ~ 1 (т.е. Т* 106 К). Однако в действительности заметная ионизация газа наступает уже при Т = 1000 К, и указанная оценка является сильно заниженной, что обусловлено отсутствием в формуле (28.1) большого пред- экспоненциального множителя у » 1.

Этот множитель связан с отношением числа эффективных возможных состояний ДГ свободного и связанного электрона, т.е. с отношением статистических весов. Если считать, что на один ион приходится одно возможное связанное состояние электройа, то ДГСВЯЗ = IV, , так что

АГсвоб / dpdV \^эф

у = L/N{-,(28.2)

ДГсвяэ \ (2Л*)3 /®*п,(2л*)э

где (dp)^ - эффективный объем импульсного пространства,

(dр)^ = ( е ~»1Пт% d р = (2 л m 0)3'а.(28.3)

Введя, как в предыдущем параграфе, обозначение Хе - й V2me0*, получим

(28.4)(28.4)(2л тв)3'111

(28.4)

(28.4)

У = ж > 1

л, (2 л*)38 л3'3 п,Х3

1 в

так как в типичных условиях [см. (27.1)] квантовая длина волны много меньше расстояния между частицами Хе « п[иа (т.е. п, ка «1).

Таким образом, в правильной записи формула (28.1) имеет вид

бл^п.Л3 1 вбл^п.Л3 1 в(28.5)(28.5)

бл^п.Л3 1 в

бл^п.Л3 1 в

(28.5)

(28.5)

Чтобы найти отсюда степень ионизации газаЧтобы найти отсюда степень ионизации газа

Чтобы найти отсюда степень ионизации газа

Чтобы найти отсюда степень ионизации газа

а =а =(28.6)(28.6)будем считать заданной не только температуру газа 8, но также и его полное давление р. Так как наша плазма состоит из электронов, ионов и нейтральных атомов с плотностями ne, n,-, пв, причем вследствие электронейтральностибудем считать заданной не только температуру газа 8, но также и его полное давление р. Так как наша плазма состоит из электронов, ионов и нейтральных атомов с плотностями ne, n,-, пв, причем вследствие электронейтральностиПе = П.; Л^^/У,Пе = П.; Л^^/У,(28.7)(28.7)то задание р и 6 означает, что фиксировано полное число частиц в единице объемато задание р и 6 означает, что фиксировано полное число частиц в единице объемап = пе + п{+пв = р/8,п = пе + п{+пв = р/8,(28.8)(28.8)через которое можно выразить остальные плотности:через которое можно выразить остальные плотности:[по условию (28.2) рассматриваем лишь однократно ионизированные ионы]. Тогда формулу (26.5) можно представить в виде[по условию (28.2) рассматриваем лишь однократно ионизированные ионы]. Тогда формулу (26.5) можно представить в виде„«об„«обпе впе в-//е 1 + « 7 е =-//е 1 + « 7 е =N™”N™”"а 1-«"а 1-«К(р. Т)К(р. Т)(28.10)(28.10)где мы обозначили11где мы обозначили11К(Р.Т) 8Я3'а„П0ЛНХЗК(Р.Т) 8Я3'а„П0ЛНХЗе^9е^9(28.11)(28.11)

а =

а =

(28.6)

(28.6)

будем считать заданной не только температуру газа 8, но также и его полное давление р. Так как наша плазма состоит из электронов, ионов и нейтральных атомов с плотностями ne, n,-, пв, причем вследствие электронейтральности

будем считать заданной не только температуру газа 8, но также и его полное давление р. Так как наша плазма состоит из электронов, ионов и нейтральных атомов с плотностями ne, n,-, пв, причем вследствие электронейтральности

Пе = П.; Л^^/У,

Пе = П.; Л^^/У,

(28.7)

(28.7)

то задание р и 6 означает, что фиксировано полное число частиц в единице объема

то задание р и 6 означает, что фиксировано полное число частиц в единице объема

п = пе + п{+пв = р/8,

п = пе + п{+пв = р/8,

(28.8)

(28.8)

через которое можно выразить остальные плотности:

через которое можно выразить остальные плотности:

[по условию (28.2) рассматриваем лишь однократно ионизированные ионы]. Тогда формулу (26.5) можно представить в виде

[по условию (28.2) рассматриваем лишь однократно ионизированные ионы]. Тогда формулу (26.5) можно представить в виде

„«об

„«об

пе в

пе в

-//е 1 + « 7 е =

-//е 1 + « 7 е =

N™”

N™”

"а 1-«

"а 1-«

К(р. Т)

К(р. Т)

(28.10)

(28.10)

где мы обозначили

11

где мы обозначили

11

К(Р.Т) 8Я3'а„П0ЛНХЗ

К(Р.Т) 8Я3'а„П0ЛНХЗ

е^9

е^9

(28.11)

(28.11)

Величина К (р, Т) называется константой ионизационного равновесия. Будучи выражена через л в см-3 и 8 в эВ, она имеет

К(р, Т)-2- L^"’ е"" -1,4.10-” 2^2. е««. (28.12)

Из соотношения (28.10) находим формулу Саха для степени ионизации:

1-а* к

ааоткуда

а

а

(28.13)

Если степень ионизации мала (К велико), то приближенно

1 а =* ——1 а =* ——11■/вл3'*1■/вл3'*1■—_ е< 1n X3■—_ е< 1n X3

1 а =* ——

1 а =* ——

1

1

■/вл3'*1

■/вл3'*1

■—_ е< 1

n X3

■—_ е< 1

n X3

В обратном случае (К мало, а близка к единице) имеем

а * 1—— или 1-а* —-4лэ/3пХ3е//в«1.

2е

Например, для п, равного плотности воздуха (n = 3-101’), при темпе

ратуре 1300 КI 9 « — эВ | водород (/ - 13,5 эВ) будет ионизирован на \ ю /

а * Ю"10 (К ~ 0,5-1033 » 1), а уже при Т * 11000 К (9 ~ 1 эВ) на а* * 1+Ю-30 (К ~ 1О~30 « 1), т.е. полностью.

В рассмотренном интервале температур (от 103 до 104 ’С) К изменяется на 50 порядков, что свидетельствует о необычайно резкой зависимости К от температуры. Как мы видели, в переходной области всегда можно считать 9 « 1.

Формула Саха предполагает, что вещество находится в условиях термодинамического равновесия с излучением Аш + а ^ е + i, т.е. процесс ионизации атома фотоном и обратный процесс рекомбинации идут с одинаковыми скоростями. В реальных условиях, однако, плазма всегда имеет конечные размеры и часть фотонов может уходить из системы.

Термодинамическая формула Саха будет при этом справедлива лишь в том случае, если длина пробега фотона I много меньше размеров системы L, т.е. если плазма оптически непрозрачна для квантов, обладающих характерной энергией порядка энергии ионизации tito~I. В обратном предельном слечае, когда I "» L, поглощением фотонов 274

можно пренебречь и излучение практически свободно выходит из плазмы. Такая ситуация осуществляется, например, в солнечной короне, где плотность плазмы достаточно мала, а также в термоядерных установках.

В этом случае процессом, обратным процессу рекомбинации, будет ионизация атомов быстрыми электронами, что схематически можно записать в виде е + i -* а + Йо, е + а-»е + е + 1. Изменение числа электронов будет описываться уравнением

(28.14)(28.14)dn /dt = - хжп п. + хи„-п п , 6ртК С 1 ИОН g д’

(28.14)

(28.14)

где х^ и хион - коэффициент рекомбинации и ионизации, которые зависят лишь от температуры плазмы. В стационарных условиях dfig/dt - 0, и тогда для степени ионизации [см. (28.9)] найдем

niа хион"е 1 ~01 Хрекniа хион"е 1 ~01 Хрек- к (Т) ;- к (Т) ;(28.15)(28.15)

niа хион

"е 1 ~01 Хрек

niа хион

"е 1 ~01 Хрек

- к (Т) ;

- к (Т) ;

(28.15)

(28.15)

1+К/7)

Эта формула была установлена Эльвертом и независимо от него Шкловским. Коэффициенты х^ и х^ связаны с сечениями соответствующих процессов Оре, и оион соотношениями

Ир» (0 - < 0, v > и *ион W ” < <>u v>» (28.16) где усреднение производится по максвелловскому распределению электронов.

Если температура плазмы 6 близка или больше энергии ионизации 1, то сечение ионизации по порядку величины близко к геометрическим размерам атома: оион ~ 10-16 см3, в то время как Ор^ ~ 10~33 см3. При этом К (Т) > 1 и степень ионизации близка к 100%:

«to *ион

Задача. Вывести формулу Саха из условия равенства химических потенциалов в реакции ионизации Й ы+а ^ е * i, учтя при этом дебаевские поправки.

Решение. Для равновесия в реакции Йы + с ^ е + i необходимо условие Цф+ ца - це + + ц#. Как известно, химический потенциал фотонов равен нулю Цф = 0. Химический потенциал для заряженных частиц ца - ц^ + А ц® был определен нами в задаче к § 26. Для атомов дебаевская поправка А ца - -е3 /2d отсутствует, однако учитывая их внутреннюю

энергию (равную энергии ионизации), следует положить

где

и^д-е1п[(2лт1е)1'»/п,(2лТ!Р].(2)

Считая ионы однозарядными и подставляя эти выражения в условие ц8 ■ це + |1р получаем

,1 / еа \

пе / 2лл2 \э,2 U — "Т )

е® >(3)

nenf \ т*0 /

где m * = me m{7та, что приводит к формуле Саха с несколько измененной постоянной

^иеид^ид®^ (“ "^ j ^„дW

и поэтому для степени ионизации > а„„, однако это увеличение незначительно, так неид ид

•^^/е-Рмин*11-

§29. Лагранжиан Дарвина

Рассмотрим теперь релятивистские поправки в плазме. Практически во всех случаях плазму можно считать нерелятивистской: v/c с 1. Даже для термоядерной температуры 9~ 100 кэВ имеем 9/тс2 = 1/5 и ₽ = = v/c~ 0,8, что можно назвать слабым релятивизмом. Таким образом, релятивистские поправки всегда малы, однако небезынтересно выяснить их принципиальную роль.

Для свободной энергии идеального газа с учетом релятивизма имеем

F™ =_ elnz™ • гид = — релреп’ рел ^,

[ f е-в/0,(29Л)

J(2лЙ)э

где Е = V т2 с4 + с2 р2 - кинетическая энергия частиц. Вычислив интеграл

е е^6 dp = 4 л т3 с3 — К- (v),

где v = тс2/9; К2 (v) - функция Макдональда [функция Бесселя от

мнимого аргумента, имеющая асимптотику

К2 (v) = / -2- ev 11 ++... I при v > 1 ], для плазмы получим

Р=Р{ + Ре--9Nt InР=Р{ + Ре--9Nt Inе(2лМ6)3,аN,(2п А)3е(2лМ6)3,аN,(2п А)3

Р=Р{ + Ре--9Nt In

Р=Р{ + Ре--9Nt In

е(2лМ6)3,а

N,(2п А)3

е(2лМ6)3,а

N,(2п А)3

- 0Neln- 0Nelnе 4лт3с3 V Ne(2 л А)3е 4лт3с3 V Ne(2 л А)3— Ка (V,)— Ка (V,)(29.2)(29.2)

- 0Neln

- 0Neln

е 4лт3с3

V

Ne(2 л А)3

е 4лт3с3

V

Ne(2 л А)3

— Ка (V,)

— Ка (V,)

(29.2)

(29.2)

(для ионов можно пренебречь релятивистскими поправками). Ис

пользовав асимптотику К2 (v), найдем

-ИД s рИД д рил рел нерел рел ’

где

откуда для давления и энергии получим

рВД=2£_=рвд -(rii+nje крел ду *нерел ’ •

E^-F-e—aE*» (1+-—

релэе нерел у g тс.

(для простоты ионы считаем одноразрядными и Nt - Ne).

Таким образом, в первом приближении давление не меняется, а энергия слегка увеличивается по сравнению с нерелятивистским значением.

Помимо частиц рассматриваемая система должна включать также поле излучения. Если бы это излучение находилось в равновесии с веществом, т.е. частицами, то его спектр описывался бы формулой Планка, а полная энергия была бы равна (здесь р = йк, к = ы/с)

—ехр(Аи/в)-1—ехр(Аи/в)-1dpdV V8 X —(2 л А)3(с А)3dpdV V8 X —(2 л А)3(с А)3(29.3)(29.3)

—ехр(Аи/в)-1

—ехр(Аи/в)-1

dpdV V8 X —(2 л А)3(с А)3

dpdV V8 X —(2 л А)3(с А)3

(29.3)

(29.3)

где х - числовой множитель;

ОО

Г х® d хл»2

в ■I —в —%—

л1J ех-1153

о

Сравнивая эту энергию с кинетической энергией частиц, получаем

1n X3 свохар1n X3 свохар(29.4)(29.4)Лол _ х ve4

1

n X3 свохар

1

n X3 свохар

(29.4)

(29.4)

Е(ch)3 3N9

част

где Хсв мр ~ ch/9 - характерная длина световой волны, отвечающей максимуму в распределении Планка. Например, при n * 1015 см*3 и 9 ~ 1 кэВ имеем X ~ 10*7 см (один нанометр), и тогда 1/пХ3 -* 106, т.е. энергия излучения в миллион раз больше, чем энергия частиц!

Эта оценка показывает, что при термоядерных температурах излучение практически никогда не может находиться в термодинамическом равновесии с веществом. В самом деле, при равновесии характерные энергии квантов света, отвечающие максимуму в формуле Планка, лежали бы в области рентгеновского излучения Йыхар ~ 9 ~ 10 кэВ. Проникающая способность таких квантов в полностью ионизованной плазме настолько высока, что они практически беспрепятственно выходили бы из плазмы с любыми конечными размерами вплоть до космических. Поэтому при рассмотрении релятивистских эффектов, играющих некоторую роль при не слишком малых у/с,т.е. не слишком малых температурах (9 ~ тс2), можно не принимать во внимание самостоятельное электромагнитное поле, т.е. поле излучения, и рассматривать лишь поле, жестко связанное с частицами. Таким полем является кулоновское поле зарядов, приводящее к их взаимодействию, и релятивистские поправки проявляются лишь как эффекты, связанные с некоторым запаздыванием этого взаимодействия. Кроме того, движущиеся частицы должны взаимодействовать посредством магнитного поля (квазистацио- нарного), возникающего при движении зарядов.

Указанные релятивистские поправки (магнитное взаимодействие и эффекты запаздывания) можно рассмотреть на основе так называемого лагранжиана Дарвина, который может быть получен следующим образом.

Лагранжиан одной i-й релятивистской частицы в поле /^с

L = -mtca / 11е,- ф + —— v, А(29.5)

Vс1с

содержит электромагнитные потенциалы Ф (r(, t) и А (г,, t), выбор которых, как известно, неоднозначен. Для нас удобно принять кулоновскую калибровку div А - 0, при которой уравнения Максвелла путем введения потенциалов

(В = rot А, Е = - V ф—— dA/dt]

\с /

сводятся к двум уравнениям:

Дф=-4лр;ОА =— j+lv—,(29.6)

с с 8t

Найдя из первого уравнения Пуассона скалярный потенциал

ф(г. О- I -^-p(r't;(29.7)

J R

(который, как видим, при калибровке div А - 0 совершенно не содержит запаздывания) и подставив его второе уравнение для А, можно получить

ОА = Д* ( —j(r,'t)6.(29.8)

J R

Здесь введен тензор б = 6 + пп, где п ■ R//?. При выводе соотношения (29.8) использовано уравнение непрерывности d^ldt— div/, а также формулы

ДГК~ —; Дг —4лб (г-гЗ; vTvrR--t-^-. (29.9) RRRR*

Волновое уравнение (29.8), где правую часть следует считать известной, является точным. Если в нем, однако, пренебречь запаздыванием,

приближенно заменив оператор д’Аламбера О = Д = -1— Э2 / d t2 прос- с3

то на лапласиан (□ ■* Д), то находим

А (г, t)* А° (г, t)= — I j (ri t) • б,(29.10)

2с J R

что соответствует приближению Дарвина. Поскольку наша система состоит из точечных частиц и в ней

р (г,' t) = Z ек б (г - rk), j (г,' О » Z ек vk 6 (г - rk),(29.11)

к*ik*i

то выражения (29.7) и (29.10) принимают вид

Подставляя их в формулу (29.5), получаем лагранжиан одной Ли частицы, а лагранжиан всей системы в приближении Дарвина будет равен

L = -2-1 2*-^- (1- 4 P^Pk^ik). (29.13)

i2 i,k г,к \2/

где Р = т/с, а штрих у второй суммы означает, что 1 * к. Две точки между тензорами означают свертку по обоим координатным индексам, так что

Pi Pk : ®ik = Pi Pk + (Pi ^fc ) (Pk °ik ) ’

где

°ik=rik/rik> a rik = ri~rk-

Из лагранжиана (29.13) следует, что обобщенный импульс i-й частицы равен

mi'i

- + e, 2

'к T

(29.14)

®1i

Vi-P?

k*i rik

2ca ‘k’

а энергия всей системы

£(г,т)= 2 y,P1-L = 2+

ii

+ 4- .<(1+r-₽.₽* = «<* •<29-15>

b* Tik \2I

Использование лагранжиана Дарвина, который описывает взаимодействие частиц с точностью до (у/с)2, позволяет не вводить электромагнитное поле как независимую переменную и описывать систему лишь с помощью переменных г, у, относящихся к частицам. Учет запаздывания с точностью до (у/с)2 приводит к тому, что теперь взаимодействие частиц не является просто кулоновским, а начинает зависеть от скоростей. Естественно, что при с-*00 мы приходим к рассмотренному ранее случаю с чисто кулоновским взаимодействием.

Если бы нам удалось выразить энергию (29.15) через обобщенные импульсы (29.14), то мы получили бы гамильтониан системы Н (г, Р) и тогда для свободной энергии нашли бы F - - 6 InZ, где

(29.16)(29.16)z- -L_ [ е-нк.т п

(29.16)

(29.16)

^!^> Ji.e (2л*)а

Однако для плазмы при Nt, Ne-* » в явном виде найти гамильтониан Я (г, Р) не представляется возможным.

Обычно для отыскания гамильтониана применяется следующая приближенная процедура. Так как взаимодействие учтено лишь с точностью до членов порядка 1/с2, то естественно разложить до 1/с2 и собственный лагранжиан частиц:

(29.17)(29.17)-тс1 V1 ~ Р2- - те2 +11 + ——

(29.17)

(29.17)

2\4с2

Тогда импульс (29.14) запишется в виде

(V®1 + т4~2 с2(V®1 + т4~2 с2+ е, Е 2_ А_ -8+ е, Е 2_ А_ -8(29.18)(29.18)

(V®

1 + т4~

2 с2

(V®

1 + т4~

2 с2

+ е, Е 2_ А_ -8

+ е, Е 2_ А_ -8

(29.18)

(29.18)

и считая члены, пропорциональные 1/с2, малыми, для обратной зависимости v = т(Р) находим

(р2 \1-— ) - е. Е —^ / к-М г,к(р2 \1-— ) - е. Е —^ / к-М г,к’к1тке8’к1тке8bikbik(29.19)(29.19)

(р2 \

1-— ) - е. Е —

^ / к-М г,к

(р2 \

1-— ) - е. Е —

^ / к-М г,к

’к

1тке8

’к

1тке8

bik

bik

(29.19)

(29.19)

В том же приближении для гамильтониана получим

1 + у W mt су - -1- (Р{/п^ с)* +1 + у W mt су - -1- (Р{/п^ с)* +Я (г, Р) = Е (г, т) * Е т{ с2

1 + у W mt су - -1- (Р{/п^ с)* +

1 + у W mt су - -1- (Р{/п^ с)* +

(29.20)(29.20)i eiek I PiPk

(29.20)

(29.20)

i.k rik \ 2m,mfcc2

Условимся называть это выражение упрощенным гамильтонианом Дарвина. Такой гамильтониан приводится, например, в книге Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица "Теория поля”. Нетрудно видеть, однако, что к плазме такой гамильтониан неприменим, так как он не учитывает экранировку релятивистских взаимодействий.

Чтобы пояснить это обстоятельство, рассмотрим наиболее простую модель. Именно примем для первого члена в лагранжиане Дарвина (29.13) нерелятивистское выражение, а релятивистские взаимодействия будем учитывать только для электронов. Тогда лагранжиан (29.13) принимает вид

L-X Z —+ Z 2211+ 2_ 5'^. А;6,(29.21)

i2 i + e г е 22 е,е' г 2г2

где i - ионы; е - электроны.

При этом обобщенные импульсы ионов равны просто Р, = М, Vp в то время как для электронов имеем [ср. (29.14)]

(29.22)(29.22)N.Ne

(29.22)

(29.22)

рк=-:mvk+ Е —^т'6кП = Рк+ 2 «кП-Рп-

n = 1 rkn2clп-1

Здесь р = тт- обычные кинетические импульсы электронов (необоб- щенные), а тензор акп равен (rg/2rkn) 6кп, где го=е3/тс2=2,8-1О~13 см- классический радиус электрона. Если наряду с индексами кип, нумерующими электроны от 1 до Ne, ввести индексы со штрихами к'и п', которые пробегали бы ряд из 3Ne значений (lx, ly, lz; 2х, 2у, ...; Nex, Ney, Nez) и нумеровали бы, таким образом, электроны вместе с тремя координатами х, у, z каждого электрона, то соотношение (29.22) удобно представить в матричной форме (п'- суммирование):

pk'=Pk'+ak'n'Pn-=Jk'n'Pn ил” P = JP’ (29-23)

где матрица J = I + а по существу соответствует якобиану перехода от обобщенных импульсов к простым. Энергию системы Е (г, т), соответствующую лагранжиану (29.21)

E(r,v) = Z — MV»* Z — + i 2i+e r

+ Z e+ Z e22 e,e‘22 e,e‘(29.24)(29.24)

+ Z e

+ Z e

22 e,e‘

22 e,e‘

(29.24)

(29.24)

также удобно выразить через матрицу J (29.15):

(29.25)(29.25)E(r,v) = Z ~ MV3 +UKV„(r)+4 7Tv.

(29.25)

(29.25)

(29.26)(29.26)Здесь последний член учитывает как кинетическую энергию электронов, так и их релятивистские взаимодействия, и для определения истинного гамильтониана системы необходимо выразить энергию (29.25) через обобщенные импульсы (29.23). Для этого в первую очередь необходимо обратить формулу (29.23), что можно сделать с помощью обратной матрицы J-1. Эта матрица обладает свойствами J-1 J = J J"1 = I, где I = 6^„'- единичная матрица, и с ее помощью из формулы (29.23) находим

(29.26)

(29.26)

р = Г1 Р или рк- Г^.Р^.

Тогда для последнего члена в энергии (29.25) получаем

V J v= p J P = P • J 1 • P = 22m2m

n-12m

и, следовательно, истинный гамильтониан можно записать в виде

Н-^+Н* кулН-^+Н* кул+ям , реп’+ям , реп’(29.28)(29.28)

Н-^+Н* кул

Н-^+Н* кул

+ям , реп’

+ям , реп’

(29.28)

(29.28)

(29.29)(29.29)где Я° = Е Ра/2М*1 Р2!2т - гамильтониан свободных частиц, а чле-

(29.29)

(29.29)

Ям = Е кул ...

описывают соответственно кулоновское и релятивистское взаимодействия.

Формально обратную матрицу J"1 можно найти из разложения j-i= * = _2_ = 7-а + а2+аэ+...,(29.30)

и, таким образом, Я” представляет собой бесконечный ряд из матриц

HPV ^Г(" “+ “2 " “3 + -V?* •У9-31)

Если бы мы ограниличись учетом лишь первого члена этого ряда, то получили бы упрощенный гамильтониан Дарвина типа (29.20). Однако для плазмы (где Ne ■* °°) такое ограничение недопустимо, ибо

отброшенные члены отнюдь не малы. В самом деле, рассмотрим общий s-й член из ряда (29.31)

(аЧ / <=... а,-=

Mt 4*3*з-1п

Ne

(29.32)(29.32)«АЛАА

(29.32)

(29.32)

В последней записи мы вернулись к тензорным обозначениям, и точка означает свертку по координатным индексам. Чтобы оценить этот член, усредним его по положению промежуточных электронов lu /2, ..., /,_], которые будем считать равномерно распределенными по пространству. Такая операция усреднения эквивалентна замене сумм в формуле (29.32) на интегралы:

Z ■* il I d ь,

V J '

где пе - средняя плотность электронов, так что

(29.33)

Далее нетрудно убедиться, что имеет место фурье-представление для тензоров а:

(29.34)

использовав которое, можно получитьиспользовав которое, можно получить(29.35)(29.35)

использовав которое, можно получить

использовав которое, можно получить

(29.35)

(29.35)

Таким образом, каждый последующий член ряда (29.31) содержит под интегралом дополнительный множитель l/k2d2 по сравнению с

С

(29.36)(29.36)предыдущим членом, и ряд можно было бы оборвать лишь при условии

(29.36)

(29.36)

\!k2d2«A или l/k«.dc-

Здесь величина

Цг=1//*л^^= У^^(29.37)

имеет размерность длины и характеризует экранировку релятивистских (поперечных) взаимодействий в плазме. Условие (29.36) можно рассматривать как ограничение на размер системы R или на полное число частиц в системе:

l/k~R«d, или N~neR3<^ned3~dc/r0.(29.38)

Только в этих условиях ряд (29.31) можно было бы оборвать на первом члене и использовать упрощенный гамильтониан Дарвина. Например, такой упрощенный гамильтониан пригоден для описания атома водорода или позитрония, если нас интересуют в них релятивистские поправки. Для плазмы же, рассматриваемой как безграничная среда (Ne •♦ ~,R-*00), условие (29.36) не выполняется и упрощенным гамильтонианом Дарвина пользоваться нельзя. В этом случае следует учитывать весь бесконечный ряд (29.31). Это, в частности, означает, что взаимодействие частиц в гамильтониане уже не носит парного характера, а является ’’коллективным”, хотя в исходном лагранжиане Дарвина (29.13) и в энергии (29.15) члены взаимодействия имеют парный вид.

Задача 1- Показать, что низкочастотные (а ■* 0) электромагнитные волны проникают из вакуума в плазму с плоской границей на глубину, равную d^ которую можно назвать толщиной вакуумного скин-слоя (рис. 111). Определить, как влияет на параметр dc учет движения ионов и релятивистских эффектов.

Решение. Предполагая, что в плазме отсутствует постоянное магнитное поле, и Считая ионы неподвижными, запишем уравнение движения электронов в виде .ед*

mi-eB-— ,(1)

с 8t

. д

где А — векторный электромагнитный потенциал. Поскольку т - -^— т, то отсюда следует т= - ^" А и для тока в плазме имеем j - епт— (he2/те) А Решая далее уравнение Пуассона для поперечных волн (ток смещения не учитываем)

У1

Рис. 111. Проникновение низкочастотных поперечных колебаний в плазму на глубину порядка dc • с/и0 с последующим отражением

(2)

находим Ау (х) - Ау (0) exp (-x/dc), «по является решением поставленной задачи.

Таким образом, можно сказать, что если продольные кулоновские взаимодействия экранируется в плазме на длине Дебая d, то поперечные — на длине dc.

При учете движения ионов мы получили бы тот же результат с несколько измененным значением длины:

(3)

Наконец, если учесть релятивистскую зависимость массы частицы от скорости, то уравнение движения следует записать в виде

~--еЕ~—— [жВ_],(4)

где р - m v/Vl - ₽’• Считая, что статическое поле отсутствует, полагаем

где А - потенциал волны. Далее учтем, что у - уд + Д т, где Дт — поправка, обусловленная волной. Тогда уравнение (4) принимает вид

ау, — Дуw э Дт1 at « 9А «

dt ^„^а at т1о „ау-рари с dt + с [тоВ~]

Умножив это уравнение скалярно на уд, найдем m д е 8А

Ai-^3"16 sT Дт"~ 7 т° at ’

после чего получим

9 е /ЭА / 9А \\

В последующем нам придется вычислять ток

(7)(7)]-еепе<Дув>+е,п/(Д vf>,

(7)

(7)

в которой входит величина Д у, усредненная по распределению частиц. В частности, при усреднении формулы (6) по направлениям vg последний член с магнитным полем выпадает, и тогда

<Дт> — ~ЕА,

так что для тока получим

Величины Е<, е = Е (у{>е), где

v^е-т1ес2/0 при этом равны^

// 1 + Т Ь/тс)\

₽аЬ- (

\'3 У \[l+fp/mcj2F'2/

(9)(Ю)(И)(12)(9)(Ю)(И)(12)V2 Г К, (х)■—Г~х \***Kah)J х1уV2 Г К, (х)■—Г~х \***Kah)J х1угде К3(у) - у $ exp (-v Vl + ж2) ха dx- функция Макдональда (функция Бесселя о* о

(9)

(Ю)

(И)

(12)

(9)

(Ю)

(И)

(12)

V2 Г К, (х)

■—Г~х \***

Kah)J х1у

V2 Г К, (х)

■—Г~х \***

Kah)J х1у

мнимого аргумента - модифицированная). При нерелятивистских температурах значения £ (у) близки к единице:

5 zтае*

Еа”Е(va)^ 1-——+... при va— >1.(И)

2Уав

Любопытно также отметить, что через функцию Е (*) может быть выражен усредняемый по релятивистскому максвелловскому распределению квадрат скорости частицы:

(р/тс)аЗЕ(»)

<т2 >»с2 < Р2 > = с2 < ■ — ■"> = с2 -,

\*(p/mcf*W

откуда, в частности, следует ультрарелятивистская асимптотика функции Е (у) при v < 1 (т.е. 0 > тс2):

VV

5 (v)- у < pa> у при v< 1,(15)

так как ясно, что Р = т/с ■* 1. Используя (14), нетрудно убедиться, что длина dc, определяемая формулой (11), может быть представлена также в виде

(

4лл е3\-1/з

Е ™” <р»>; dc-* V3d при р-► 1.(16)

a-i,e 40'

Задача X Пользуясь точным уравнением (29.8), определить характер поправок к приближению Дарвина (29.10).

Решение. Точное уравнение (29.8) можно представить в виде

rm Id3

ДА-ДА((°+ -^ — А,(1)

с и Г

где А^ - приближение Дарвина (29.10). Если искать решение этого уравнения в виде ряда

А-А^А^А^...,(2)

то из (1) получим

ДА(1). ± А(Ю; дА®= — — А^ ит.д.(3)

с» dta ’са dta

Между тем, используя формулу (здесь R = г — г)

б б (г-С^-гЭ

R |r-r'| +|r-r'|3

- (6 Дг- 7%) | R | - -^ Дг( б Д,- ДА> I R I3 >W

нетрудно заметить, что величина А (0) [см. (29.10)] сама может быть представлена в виде лапласиана:

Здесь R ” г — Гу ft) и Ту» Ту (t).

Аналогично можно было бы найти и следующие поправки, например:

1 94 * а Г к—^'1=,

A(9(i;t)-4- ЦД-77)i(t;t)dV'(7)

с5 d t4J 6!

(12.)

и так далее. Все эти поправки А 1 содержат ускорения и более высокие производные от скоростей частиц, что не позволяет включить эти поправки в лагранжиан, не вводя специальных обобщенных координат, описывающих электромагнитное поле.

Полезно, однако, отметить следующее обстоятельство. Из формулы (6) можно видеть, что по порядку величины А(0 ~ 1/с~3, а в лагранжиане такой член имел бы порядок

ei (1)1

— Т(А (грО—-(8)

сс*

Таким образом, можно сказать, что лагранжиан Дарвина описывает систему заряженных частиц с точностью до членов порядка не 1/са, а 1/с3, однако последние члены равны нулю. Это обстоятельство полезно иметь в виду, так как определяемые нами в следующем параграфе релятивистские поправки к термодинамическим функциям плазмы оказываются порядка 1/с3 и, следовательно, находятся в пределах применимости лагранжиана Дарвина.Л

Задача 3. Проделать вывод формулы (29.35) для а5..

§30, Релятивистские поправки в плазме

Рассмотрим взаимодействие двух выделенных в плазме частиц 1 и 2 (рис. 112). Лагранжиан этой системы запишем в виде

L12 (г, v, t)=-тхс® /1- 3= - m3 с2 V1 - Ра + L?2>(30.1)

где лагранжиан взаимодействия равен

Ь“ = -^ Ф2(г1,0+— V1 Аз^.г).(30.2)

С

Здесь ф2 М и Ад (гх) - потенциалы, создаваемые частицей 2 в точке гп где находится 1. Ограничиваясь во взаимодействии учетом членов

порядка v2/c2, мы должны были бы считать, что L^ имеет вид дарви

новского приближения

~ м,т~ м,т(30.3)(30.3)гВЗ_ 1 2 ь12- '12

~ м,т

~ м,т

(30.3)

(30.3)

Рис. 112. К релятивистскому взаимодействию двух выделенных частиц плазмы, зависящему от их скоростей

где первый член соответствует кулоновскому взаимодействию, а второй учитывает релятивистские эффекты запаздывания. Однако взаимодействие имело бы такой вид лишь при отсутствии остальных частиц, которые образуют как бы среду, в которую "погружены”

dV' ~VjS’dV' ~VjS’(30.4)(30.4)рассматриваемые нами частицы 1 и 2. Для определения взаимодействия, учитывающего наличие среды, воспользуемся тем, что в соответствии с формулами (29.12) в приближении Дарвина можно считать, что f dv' *1

dV' ~VjS’

dV' ~VjS’

(30.4)

(30.4)

Ф= р; А = J R2с

и, учитывая, что 6 /R = (2/R) 6 - Vr Vr Я, где R = г - г' находим, что интегральные выражения (30.4) эквивалентны дифференциальным уравнениям [заметим, что Дг R = 2/R, а Дг R-i - - 4 л 6 (Я»:

Дф = - 4лр; ДА = - -12_ j-^ 1 Г(зо,5)

сс о

В задаче 1 к предыдущему параграфу было показано, что

А,4 л п е2 ^ / тс2 )~1/3 ,А,4 л п е2 ^ / тс2 )~1/3 ,(30.6)(30.6)_ 4 л ._1_ с J d=

А,

4 л п е2 ^ / тс2 )~1/3 ,

А,

4 л п е2 ^ / тс2 )~1/3 ,

(30.6)

(30.6)

С где

d - ( I а -1, е

и тогда, учитывая, что потенциал А, определяемый формулой (30.4), удовлетворяет условию калибровки по Кулону div А = 0, из соотношений (30.5) получаем операторное уравнение

(30.7) г(30.7) гД (д- — А = 0

(30.7) г

(30.7) г

решением которого являются функции

-r/d,

А = const f(r), где f(r) = — или f(r)= —,(30.8)

гг

а также их производные типа V V /. Если для краткости ввести обозначение р • r/dc, то нетрудно убедиться, что решение уравнения (30.7), удовлетворяющее всем необходимым условиям, можно представить в виде

е^ л л л е"р А е~Р —1, х

А3S(p); S(p)-6V V ,(30.9)

edcР р р Р

и, следовательно, часть лагранжиана, обусловленная релятивистскими эффектами, имеет вид

L“ =—^ А3=-^-M2:S(p).(30.10)

сde

На малых расстояниях r13 с dc имеем р < 1, и тогда тензор S (р) равен S ~ (1/р) 6 - i- Vp Vp р, что соответствует виду (30.3), не учитывающему влияния среды. На больших расстояниях р >• 1, отбрасывая в S (р) экспоненциальные члены, имеем

st»WV» "7 ■ ^7*"’",(30.11)

и тогда (здесь г = г г — г2)

(30.12)(30.12)3(rd1)(rd2)-ra(dld2)

(30.12)

(30.12)

£вз «

где введены условные "дипольные моменты” d1>2 - е12 dc Р12. Как известно, в электростатике потенциальная энергия взаимодействия двух диполей равна

(30.13)

и выражение (30.12) вполне соответствует этой формуле. Рассмотрев ранее нерелятивистский случай с чисто кулоновским (продольным) взаимодействием, мы нашли, что произвольная частица 1, выделенная в плазме, окружена облаком пространственного заряда противо-

положного знака с плотностью

Р (г) =L д ф 1—4л д 4ndaР (г) =L д ф 1—4л д 4ndae^ e-R/d Re^ e-R/d R(30.14)(30.14)

Р (г) =L д ф 1—

4л д 4nda

Р (г) =L д ф 1—

4л д 4nda

e^ e-R/d R

e^ e-R/d R

(30.14)

(30.14)

где d - длина Дебая; R = г - гх (рис. 113, а). Теперь при учете релятивистских эффектов можно видеть, что эта картина должна быть дополнена, так как в соответствии с формулами (30.6) и (30.9) такая частица, если она обладает отличной от нуля скоростью tv должна быть окружена облаком с вихревыми (divj = 0) токами, экранирующими эту частицу и распределенными в пространстве с плотностью

j (г)5— А1 = - ^1- S (Р),(30.15)

4л<#=4nd3

Сс

где р = R/dc.

В предельных случаях соответственно имеем

/т R \

- — Iv. + R при R«d ;

(30.16)(30.16)8ndaR \R1

(30.16)

(30.16)

С

е. /\

+ V. - 3 R при R » d,.

4л№ \R» /

Эти токи изображены на рис. 113, б и, очевидно, представляют собой квазистационарные токи Фуко, возникающие в среде при движении самой частицы и экранирующие создаваемое ею магнитное поле,

Рис. 113. Эффекты экранировки в плазме:а - дебаевская экранировка заряда (продольные взаимодействия); б - экранировка тока, создаваемого движущимся зарядом, за счет токов Фуко (поперечные взаимодействия) 292Рис. 113. Эффекты экранировки в плазме:а - дебаевская экранировка заряда (продольные взаимодействия); б - экранировка тока, создаваемого движущимся зарядом, за счет токов Фуко (поперечные взаимодействия) 292

Рис. 113. Эффекты экранировки в плазме:

а - дебаевская экранировка заряда (продольные взаимодействия); б - экранировка тока, создаваемого движущимся зарядом, за счет токов Фуко (поперечные взаимодействия) 292

Рис. 113. Эффекты экранировки в плазме:

а - дебаевская экранировка заряда (продольные взаимодействия); б - экранировка тока, создаваемого движущимся зарядом, за счет токов Фуко (поперечные взаимодействия) 292

которое можно вычислить по формуле

B = rotrAx = rotr I—— 5(p)j=— Ti ^7 (!“e R/dc- \ cdc / = s J \ dc /

(30.17)

На малых расстояниях R c dc с/и0 это соответствует закону Био-Са- вара В = у j d V[ j'R ] / R3 для пустоты, а на больших расстояниях В экспоненциально мало ~ exp (- R/dc) вследствие экранировки токами Фуко. Считая заданным движение частицы, так что ^ = гх (t) и v = vt (t), можно найти и поперечное (div Е = 0) электрическое поле:

1, аа

В — “ —— [v. S + (vt Vr) (vt S) ].(30.18)

с 8t c2dc

Можно убедиться, что при R «. dc это выражение соответствует полю, получаемому из известных потенциалов Пиенара-Вихерта с учетом релятивистских эффектов запаздывания порядка v2/c2. На больших расстояниях в соответствии с асимптотикой (30.11) Е ~ 1/Д3, так что никакого самостоятельного излученного поля, для которого на больших расстояниях вектор Пойнтинга S = ~ [Е В] был бы про- порционален 1/Я2, наша система не создает. Для такого поля излуче- ния приближение Дарвина непригодно, так как оно оперирует лить с переменными г, т, относящимися к частицам, однако в первом приближении оно правильно учитывает релятивистские взаимодействия частиц.

Рассмотрим, наконец, в приближении Дарвина релятивистские поправки к термодинамическим функциям плазмы. "Истинный гамильтониан Дарвина”, фигурирующий в формуле (29.18) для свободной энергии F, символически можно представить в виде

и-н°*и";(золя

где Н° = L Ут2 с 4 + с2 р2' соответствует идеальному газу, а Я®3 учитывает взаимодействие. Выделяя в энергии идеальный член, запишем ее в виде F = F^ + Д F®3, и тогда поправку, обусловленную взаимодействием, следует считать равной

AFB3 = - 61n(Z/Z^),

гдеггдегS exp(-H/e)dr^I ехр(-я°/е^г(+еS exp(-H/e)dr^I ехр(-я°/е^г(+ея” + № " кул penя” + № " кул penee(30.20)(30.20)

где

г

где

г

S exp(-H/e)dr^

I ехр(-я°/е^г(+е

S exp(-H/e)dr^

I ехр(-я°/е^г(+е

я” + № " кул pen

я” + № " кул pen

e

e

(30.20)

(30.20)

Здесь dr^e = П dPdV- фазовый объем, а угловые скобки означают i+e

усреднение по невозмущенному (максвелловскому релятивистскому) распределению всех N{ + Ne -* 00 частиц. Так как Н*я описывает продольные (кулоновские), а Н^ поперечные (релятивистские) взаимодействия, то в первом приближении можно считать, что два множителя в формуле (30.20) являются статистически независимыми, и поэ-

(30.21)(30.21)

(30.21)

(30.21)

Соответственно AFM распадается на два слагаемых AFK”„ + AFp^, причем первое должно совпадать с найденной ранее [см. (26.27)] дебаевской поправкой:

// я” \\ уе

A F” - - 0 In (exp I^- I) ^,(30.22)

КУ” \\6//12nd3

где d - радиус Дебая.

Покажем теперь, что оставшуюся релятивистскую поправку приближенно можно считать равной

// я” \\

AF“ =- Oln/exp -—^— ,(30.23)

где dc - релятивистский радиус Дебая.

Такое значение получается путем следующих приближенных вычислений. Во-первых, будем учитывать релятивистские поправки лишь для электрон-электронных взаимодействий, пренебрегая ими в ион-ионных и ион-электронных членах. В таком случае усреднение следует проводить по одним лишь электронам, так как ионные множители сокращаются и, следовательно,

J ехрНя^я”-^/^^

2м * 2вз.рел= L-2.(30.24)

реп ее.

$«q>(—№/6)dTe

Во-вторых, поскольку величина /^-Р®” уже предполагается достаточно

малой, то для основного гамильтониана Я° здесь можно использовать нерелятивистское выражение [ср. (29.28)]

Ne«*е

I P=j2m=-^- Z Р= = -^—РР(30.25)

е п-1 п 2m п-1 ” 2т

(по п'суммирование от 1х до NeZ). Тогда для н“-рек можно принять найденное в предыдущем параграфе выражение (29.29), которое вместе с гамильтонианом (30.25) эквивалентно формуле (29.27), так что

3JVe

Я° + Я”-рел= — X рJ;} р = — PJip,(30.26)

е ее 2m „', fc'-l n nk k 2m'

и, следовательно, Z^ в приближении (30.24) принимает вид

7вз ^рел7вз ^релVV(30.27)(30.27)$ exp(-Pr*P/2m9)ndPfc.,к'

7вз ^рел

7вз ^рел

V

V

(30.27)

(30.27)

Sexp(-PP/2me)ndPk.

Подынтегральное выражение в квадратных скобках равно (см. задачу 1) квадратному корню из детерминанта прямой матрицы J [см. (29.23)] и, таким образом, находим

(30.28)(30.28)Z* = Vdet I J Г; А^ = - 6 In VdetljLрел * н рел ■ t i

(30.28)

(30.28)

Черта сверху здесь означает усреднение по положению в пространстве всех Ne ■* ” электронов. Воспользуемся далее известным в статистике положением о том, что истинные микроскопические значения термодинамических величин, наблюдаемые в большой совокупности частиц, с большой степенью точности совпадают со своими средними значениями, и поэтому операцию усреднения (...) можно считать коммутирующей с любым функциональным оператором [т.е. / (S) = = f(S)Y Учитывая это обстоятельство, величину Af^, определяемую формулой (30.28), можно считать равной

д ^ —Ь0 ln (det ^“ " Т" (ln det । ^ > * (30J9)

Так как здесь позразумевается переход к пределу Ne ■* ”, то матрица J = I + а [см. (29.23)] оказывается матрицей бесконечно высокого ранга, и для вычисления ее детерминанта можно воспользоваться формулой (см. задачу 2)

(30.30)(30.30)In det |l + a | = Spur In (1 + a), с помощью которой из выражения (30.29) находим

(30.30)

(30.30)

ДЕ” =—— Spurln(l + a) = — Spur [ a - — + — +... I. (30.31) рел 2 2 \ 2 3 /

Spur a = £ U)^v=Ne—1 — k'-iл» J k2Spur a = £ U)^v=Ne—1 — k'-iл» J k2i V-i k2d2 /i V-i k2d2 /Здесь Spur означает сумму диагональных элементов, а поскольку сама матрица а [см (29.22) и (29.23)] не имеет диагональных элементов, то Spur a = 0 и первый член в разложении (30.31) пропадает. Остальные члены можно подсчитать по формуле (29.35), которая в нашем случае для з > 2 дает

Spur a = £ U)^v=Ne—1 — k'-iл» J k2

Spur a = £ U)^v=Ne—1 — k'-iл» J k2

i V-i k2d2 /

i V-i k2d2 /

(30.33)(30.33)(30.32)

(30.33)

(30.33)

Др“1. др— Р®” 8V 12 л d®Др“1. др— Р®” 8V 12 л d®что совпадает с формулой (30.23). Отсюда можно найти релятивистские поправки к давлению и к энергии:

Др“1. др— Р®” 8V 12 л d®

Др“1. др— Р®” 8V 12 л d®

(30.34)

По сравнению с основным членом р° = 2п6 эта поправка имеет порядок малости

AP^„/P0 = l/24nnd3-r0/6dc~l/c3,

т.е. весьма мала, но все же лежит в пределах применимости лагранжиана Дарвина (см. задачу 2 к § 29).

Задача 1. Показать, что, подынтегральное выражение [...] в квадратных скобках в формуле (30.27) равно V^et

Решение. Поскольку обратная матрица J'1, как и матрица J, симметрична, то путем поворота базиса из единичных ортов в З^-мерном Р-проетранстве ее в принципе всегда можно привести к диагональному виду, после чего указанное выражение распадается на отдельные множители типа

$ехр(—Xx3)dxj

J exp (—x3) dxVx*

где X — одно из собственных значений матрицы J"1. Произведение всех собственных значений равно детерминанту det | J*11, который инвариантен относительно поворота базиса. Поскольку далее детерминанты прямой и обратной матриц J и J*1 также обратны друг другу, то получаем требуемый ответ.

Задача 2. Формулу (30.30), справедливую для бесконечных детерминантов, можно применять для вычисления детерминанта | ву | любого конечного ранга г. В этом случае, однако, ее следует записывать в виде

det|e|= lim Л exp { Spur In [1 + e (a— I) ]) . e*l er

Здесь оператор А (перевернутый знак корня) означает, что следующее за ним выраже- ег,

ние нужно разложить в ряд по е и оборвать этот ряд на членах порядка е , где г — ранг матрицы а.

Убедиться в справедливости этой формулы на примере какого-либо детерминанта второго ранга.

Глава 6

СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ

И ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

До сих пор мы рассматривали плазму как идеальный газ, пренебрегая такими диссипативными свойствами, как вязкость, теплопроводность или электропроводность. Для анализа этих явлений необходимо выяснить роль столкновений частиц, для чего следует обратиться к кинетическому описанию плазмы.

31. Кулоновские сечения и поведение пробной частицы в плазме

Если плазма не находится в состоянии термодинамического равновесия, то функция распределения частиц f (t, г, т) (одночастичная)

уже не имеет вида максвелловского распределения

/°=п| 1 ехр[1 , 1 fdv-n(31.1)

\ 2”8 /\ 28 / J

и должна в каждом конкретном случае определяться из решения соответствующего кинетического уравнения. Символически это уравнение можно записать в виде

— f-C(f),(31.2)

dt

где

d 8. 9. 8

= + Г + V

dt 8t Qt Эх

есть оператор полной производной по времени, а С (f) - так называемый член столкновений. Прежде чем приступить к выводу и решению уравнения (31.2), рассмотрим вспомогательную задачу о движении некоторой выделенной частицы а в среде других частиц ?. Предположим вначале, что движение нашей пробной частицы имеет заданный характер - она движется прямолинейно и равномерно со скоростью va. Вследствие столкновений с частицами среды она будет испытывать некую среднюю силу торможения Fa^, которая не должна зависеть от массы выделенной частицы. Эту силу принято называть динамической силой трения. Распределение частиц среды по скоростям описывается функцией распределения /р (▼), однако вначале для простоты мы предположим, что все частицы среды покоятся. Тогда силу F^8 нетрудно подсчитать, перейдя в систему координат, движущуюся вместе с пробной частицей а. В этой системе задача эквивалентна задаче о рассеянии плоского потока частиц с плотностью Пр, налетающих со скоростью и = -та на неподвижный рассеивающий центр - частицу а.

Вследствие аксиальной симметрии задачи искомая сила F будет направлена вдоль скорости налетающего потока и, и поскольку действие равно противодействию, то она равна (с обратным знаком) силе, действующей со стороны рассеивающего центра на частицы потока, т.е. изменению в единицу времени за 1 с суммарного импульса частиц потока:

(31.3)(31.3)F = - 5 т.₽ 1F = - 5 т.₽ 1dU°А \

(31.3)

(31.3)

F = - 5 т.

₽ 1

F = - 5 т.

₽ 1

mR (I А и.).Р dtu Pvp

За единицу времени через элементарную площадку do = р dp dip, перпендикулярную потоку, проходит число единиц, равное n^udo, поэтому, заменяя сумму в формуле (31.3) интегрированием по площадкам do и учитывая, что Д u, = -1 u| (1 - cos 9) (рис. 114), получаем

F®^ £- ту | пр и d О Д и, ■ и гор Пр и I (1 - cos 6) do .(31.4)

Вычислив траекторию рассеиваемой частицы р, можно связать прицельный р с углом рассеяния 9. Все частицы, прошедшие через элементарную площадку do = р dp dip, будут отклоняться в телесный угол dQ ■ sin9 d9 dtp• В этом случае отношение

(31.5)(31.5)do = pdpdy ж р(6) dp® dQsin 9 d9 dipsin 9 dO

(31.5)

(31.5)

выраженное в виде функции угла 9, принято называть дифференциальным сечением рассеяния, а интеграл о = $ d о = J (do/dQ) dQ - полным сечением рассеяния. В классической (не квантовой) теории полное сечение 0 обычно расходится, если только взаимодействие не обращается строго‘в нуль, начиная с некоторого расстояния. Последнее имеет место, например, для модели в виде твердых шариков, которые вообще не взаимодействуют, если только не соприкасаются. Вследствие указанной расходимости полное сечение о не может входить в какие-либо формулы, определяющие физические свойства газа. В кинетической теории газов встречаются лишь величины типа

(31.6)(31.6)(31.7)(31.7)ok= S(l-cosk9)do, k = l,2,3...

(31.6)

(31.6)

(31.7)

(31.7)

Первую из них

01 *S(1 - pos9)do

называют транспортным сечением (применяются также названия

Рис. 114. Схема рассеяния в системе центра инерции

диффузионное сечение и сечение замедления), поскольку множитель 1 - cos 6 определяет потерю направленной скорости частицы при упругом рассеянии [ср. (31.4)]. Вторую величину

о2 = J (1 - cos3 6) do = J sin2 8 do(31.8)

можно назвать сечением отклонения, так как множитель sin3 8 характеризует среднеквадратичное приращение поперечной скорости частиц при рассеянии (см. рис. 114). В дальнейшем мы увидим, что вязкость и теплопроводность газа определяются именно сечением оа, в то время как в коэффициент диффузии и электропроводности входит сечение ог Для заряженных частиц Р, взаимодействующих по закону Кулона с неподвижным зарядом еа, дифференциальное сечение рассеяния определяется известной формулой Резерфорда

da1eaeB

=±—^ ,где р. =— ,(31.9) df)4sin4(0/2)три3

а угол рассеяния связан с прицельным параметром р соотношением tg(8/2) ■ p^Jp. В этом случае можно видеть, что оба сечения ot и о2 логарифмически расходятся на малых углах рассеяния:

о, ■ I (1 - cos 6)d й *

J40

л р* г * — J! odod^ %4np, ^(пе^);

4 J 2(e/2)« -L

(31.16)(31.16)®мин

(31.16)

(31.16)

оа = I (1 - cos3 8) — d fi * 8 л p3 In (1 / вида) •

В предыдущей главе, однако, было показано, что взаимодействие двух выделенных частиц в плазме не является чисто кулоновским, так как присутствие остальных частиц (’’поляризуемой среды”) приводит к дебаевской экранировке кулоновского взаимодействия на расстоянии дебаевского радиуса d ■ V8/4л пс3. Так как логарифмическая расходимость в сечениях (31.10) является довольно ’’слабой”, то можно считать, что частицы с прицельными параметрами р > р„ю, = = d вообще не рассеиваются, и приближенно положить 81гая ~ р^ /Р„,к,.

ВеличинаВеличина(31.11)(31.11)

Величина

Величина

(31.11)

(31.11)

называется кулоновским логарифмом. Ввиду d >• р^ она будет сравнительно велика (~15), и поэтому в ней несущественны коэффициенты порядка единицы под знаком логарифма. Подставляя в сечение (31.10) значение р^, имеем, следовательно,

ох-— 03-4лХра-лХ— •(31.12)

2J- (mp I

Для количественных оценок энергию относительного движения т и2/2 можно заменить на температуру, так что приближенно

о *лХ | ~Х — (0-кТ°).(31.13)

хул у р / еа

Возвращаясь к "динамической силе трения” (31.4), которую испытывает частица а, равномерно и прямолинейно движущаяся через среду неподвижных 0-частиц, и подставляя в нее значение о, из формулы (31.12), находим

4 л X— I -—— пр,(31.14)

тР ' га г

так как в данном случае u=- va. Если частицы среды также двигались бы все с одинаковой скоростью vp (в лабораторной системе координат), то вместо та в формулу (31.14) входила бы относительная скорость va - vp. Наконец, если распределение частиц среды по скоростям описывается функцией /р (v), то, разбив их на отдельные элементарные потоки с плотностью dnp(v') - /pMdv'n просуммировав силы от этих потоков, окончательно получим

a/B If **~*Р

OvJ — 4л X -2-L X —L_/ (Т )dT (31.15)

Поскольку кулоновский логарифм X - In (d/p^), где p^ - e3/mua, является медленно меняющейся функцией |u|, то приближенно в нем можно положить р^ - еа/0 и рассматривать его вообще как постоян-

ную, не зависимую от |и|, и поэтому величина X в формуле (31.15) вынесена за знак интеграла. При этом нетрудно видеть, что интеграл по пространству скоростей (31.15) имеет в точности такой же вид, каким выражалось бы в электростатике электрическое поле системы зарядов, непрерывно распределенных в обычном координатном пространстве с плотностью р (г):

Г г — г'

Е (г) = I -.т- Р (Г) d г'= - gradr фэл (г).(31.16)

J |г —г |э

Здесь фэл (г) - электростатический потенциал системы, удовлетворяющий уравнению Пуассона Дф = -4л р и равный

ф -.(31.17)

J |г—г] Имея в виду эту полезную аналогию с электростатикой, введем формально соответствующий "аналог потенциала” и "аналог напряженности” поля в скоростном пространстве:

и Ер (т) =и Ер (т) =

и Ер (т) =

и Ер (т) =

(31.18)(31.18)- - V, фр (т) = I /р (▼') d т'.

(31.18)

(31.18)

J |т—т,|э

Тогда ’’динамическую силу трения” (31.15) можно записать в виде

(31.19)

и во многих случаях ее удобно вычислять непосредственно из наглядных соображений по аналогии с электростатическим полем.

Реальная сила трения, испытываемая пробной частицей, движущейся в среде заряженных частиц Р, несколько отличается от ’’динамической силы” (31.19), вычисленной в предположении равномерного и прямолинейного движения пробной частицы а. В самом деле, в единичном акте столкновения с одной частицей Р среды наша пробная частица а также испытывает отдачу и рассеивается, поэтому ее движение не будет прямолинейным. Если пренебречь влиянием остальных частиц, т.е. принять ’’картину парных столкновений”, то движение обеих частиц, взаимодействующих лишь друг с другом, описыва-

ется уравнениями

**••

(31.20)

гдег-га-гр.

Как известно, такую "задачу двух тел” удобно описывать, если ввести координаты центра инерции и относительное расстояние между частицами:

(31.21)(31.21)т« ге * тр гр

(31.21)

(31.21)

гйа*шр

Старые координаты будут выражаться через новые по формулам

г -R +Ctг -R +Ctтртрm+m. а рm+m. а рг; Tp-R-г; Tp-R-m +т- а рm +т- а р

г -R +Ct

г -R +Ct

тр

тр

m+m. а р

m+m. а р

г; Tp-R-

г; Tp-R-

m +т- а р

m +т- а р

и для скоростей получим

где и = та - Ур. Так как скорость центра инерции не меняется (V - 0), то уравнение относительного движения принимает вид

где цар ■ татр/(та + тр) - "приведенная масса”. Таким образом, сила, действующая на частицу а в единичном акте столкновения, равна силе, действующей на фиктивную частицу с приведенной массой. Поэтому истинная сила торможения будет отличаться от "динамической силы” (31.20) липп» заменой тр на приведенную массу, так что потеря импульса пробной частицы описывается уравнением

dt «г диж 1тр*цир

Если среда содержит частицы разных сортов, то полученное выражение нужно просуммировать по р.

Определим теперь потерю энергии пробной частицей а. Если скорость та - ее скорость до столкновения, a v^ - та + А та - после, то изменение энергии в единичном акте составит

mА еа " — Ura + △ тв Г - vj- таmА еа " — Ura + △ тв Г - vj- таW Т ^V • <3L24>W Т ^V • <3L24>

m

А еа " — Ura + △ тв Г - vj- та

m

А еа " — Ura + △ тв Г - vj- та

W Т ^V • <3L24>

W Т ^V • <3L24>

Между тем из формул (31.22) можно получить

тйВ

Ат-Ди; А тв А и,(31.25)

а рар

где Аи - изменение скорости фиктивной частицы с приведенной массой. Поскольку рассеяние носит упругий характер, то модуль |и| не меняется:

(u+ Ди)а = иа , откуда, (А и)а = - 2 и Ди.(31.26)

Используя соотношения (31.25) - (31.26), можно Asa представить в виде

^«■^аР1^ Ди+ — (△“)’“

Map I Ta“Map I Ta“u Au.u Au.(31.27)(31.27)

Map I Ta“

Map I Ta“

u Au.

u Au.

(31.27)

(31.27)

Суммируя это выражение по всем полевым частицам, сталкивающимся в единицу времени с частицей а, для чего величину (31.27) следует умножить на dn^ |u| do, где dn^ - /^ (т) dT* и затем проинтегрировать по do и по dT', получаем скорость изменения энергии пробной частицы:

- I dTp/p М I Aead0-- I dTp/p М I Aead0-^а dt^а dtМ maМ maA udo.A udo.(31.28)(31.28)

- I dTp/p М I Aead0-

- I dTp/p М I Aead0-

^а dt

^а dt

М ma

М ma

A udo.

A udo.

(31.28)

(31.28)

Учитывая аксиальную симметрию рассеяния в системе центра инерции, для последнего интеграла находим

I

Audo- — I kuxdo =-uflt,(31.29)

U J

так как A ux = - и (1 - cos 0). Тогда производную (31.28) можно представить в виде

tfeaГ . , •*aB f I ।

■" M^H^p/plul uoi + H^Alul’Oj. (31.30) Jma J

Это выражение применимо при любом законе взаимодействия. Для кулоновского взаимодействия

е1 е1

ot (и) - 4 л X -2-5— • —2— ,(31.3Д)

“ар |«|4

где цар - приведенная масса [ср. (31.12)], и в этом случае (31.30) принимает вид

М Г /р .

I _l_ jy ma J и

где и - та - Тр. Фигурирующие здесь интегралы как раз совпадают с введенными нами ранее в формулах (31.18) ’’напряженностью” и "потенциалом”, аналогичными электростатическим, так что производную (31.32) вместе с уравнениями (31.23) можно записать в виде

dPa Xap

Tt— ТТ^^' ^ap-4"*^;

deadeadtdtMap р ma рMap р ma р(3133)(3133)

dea

dea

dt

dt

Map р ma р

Map р ma р

(3133)

(3133)

Различные применения этих формул будут рассмотрены нами в следующем параграфе.

Задача 1. Показа», что для твердых упругих шаров в системе центра инерции дифференциальное сечение do/dtl не зависит от угла, т.е. расстояние носит сферически-сим- метричный характер. Вычисли» для этого случая сечения ополн> О,, Оа (рис. 115).

Рис. 115. Схема столкновения упругих шеров

Задача X Вывести формулу Резерфорда.

Задача X Пользуясь соображениями размерности, показать, что если пробная частица взаимодействует с частицами среды по закону И (г) - у/г*. то транспортное сечение обратно пропорционально относительной скорости о ~ 1/1 и |. Вычислить в этом случае потерю импульса и энергии, считая, что частицы среды распределены по Максвеллу.

Решение. При степенном законе взаимодействия U - у г“п зависимость 6f м -1 (| н |) может иметь вид 6 “((a), где / — безразмерная функция от безразмерного параметра а ■ - ^пот^^кии’18К хак помимо ° никакой другой безразмерной комбинации, содержащей прицельный параметр р, составить нельзя. При п - 4 из обратной зависимости в - а (9) можно получить

р-р(9)-рор(9),(1)

где /(9) вновь должна быть безразмерна, а длина р0 определяется комбинацией ре -

" О ^кин)1'4- Поэтому для транспортного сечения найдемЛ

ot-J (1-сое9)1лрДд-лр* J (1— сов9)<#[жа(8) - оя

VlyTp

-лр’х-хл ——,№

I«Ii

где х - коэффициент порядка единицы. Численные расчеты показывают, что он равен х " 1,2. Полученная зависимость 0, ■ 1/|н| примечательна тем, что позволяет весьма просто подсчитать интегралы, определяющие потерю импульса и энергии пробной частицей.

В самом деле, записав сечение (2) ввидео,-з/|н|,гдез-ях'/2у/ц постоянная, и пред- положив, что среда в целом покоится ((Тд) - 0), подставим найденное значение ot в формулу потери импульса [ер. (31.25) и (31.29)]:

^-^^ATa-MEAuVfildngluldoAu-

- pS dT^/y |u| $Audo--p$dVp/g |u| но,-'

■--p3$dTp/pU--p3Tenp,(3) ;

тек как и - те - Тр и $ d 1^ /^ - Пр. Соответственно из формулы (31.30) для потери энергии найдем

dea .I*’* Г

—-_ц,ТвПр+ —(4)

и так как иа-т”*Тр-2геТр,то для последнего интеграла получим

1«а/р<Ир-(*аа + <»р>а)пр.(5)

Для максвелловского распределения (1? > - 3 6-/т», где Ор - k Tg - температура среды, так что окончательно имеем

Отметим, что рассмотренный случай взаимодействия If ~ 1/г* принято называть случаем •максвелловских молекул». Как показано в § 32, при кулоновском взаимодействии 17 ~ 1/г выражения для Зр7?7и de/rft не имеют столычкхяого вида.

Задача 4. Определить торможение пробной частицы с зарядом еа в среде заряженных частиц р, распределение которых по скоростям сферически симметрично, а по абсолютному значению скорость всех частиц одинакова и равна т0 (рис. 116).

Решение. Воспользуемся уравнением (31.33)

dpa Хар

где

(1)(1)хар-*”х«£ «^

(1)

(1)

Рассматриваемое распределение полевых частиц Р эквивалентно как бы "реиеомерно эер®- женной" сферической поверхности радиуса т0 в пространстве скоростей с полным зарядом О ■ J /р d Тр - Пр, поэтому по аналогии с электростатикой заключаем, что снаружи сферы •поле” Е равно кулоновскому Пр / т а, а внутри равно нулю! Таким образом.

dPaх«р ( Опри|,а|<т0;

dtPep 1 ПрТа/та при|та|>те.

(2)

Рис. 116. Распределение "полевых” частиц по скоростям типа "полой сферы”

Иными словами, если пробный заряд движется медленнее частиц среды (положение 1 на рис. 116), то он в среднем вообще не тормозится!

Если же |та | > т0 (положение 2 на рис. 116), то сила торможения обратно пропорциональна энергии еа и падает по мере роста скорости пробной частицы, т.е. имеет место как бы "закон падающего трения". Этот пример иллюстрирует наиболее характерные особенности кулоновского взаимодействия.

Задача 5. Используя формулы квантовой механики, вычислить в борновском приближении сечение рассеяния doldQ для кулоновского взаимодействия с дебаевским экранированием:

е«ерU (г)ее«ерU (г)е-r/d-r/dи далее определить транспортное сечение о1.Решение. Как известно, в борновском приближении do/dQ *|/|а,гдеи далее определить транспортное сечение о1.Решение. Как известно, в борновском приближении do/dQ *|/|а,гдеЦ т- 2лпаЦ т- 2лпаU(.t)eivdV.U(.t)eivdV.(1)(1)Здесь q - k —k'—разность волновых векторов частицы с приведенной массой до и после рассеяния, причем |к|- |к'|- ц и /Й иЗдесь q - k —k'—разность волновых векторов частицы с приведенной массой до и после рассеяния, причем |к|- |к'|- ц и /Й и| q|“(p/^ | ДиI*(2ри/6)sin6/2.| q|“(p/^ | ДиI*(2ри/6)sin6/2.(2)(2)Интеграл (1) совпадает с фурье-компонентой экранированного кулоновского потенциала:Интеграл (1) совпадает с фурье-компонентой экранированного кулоновского потенциала:Uto” e~ U e^*r dq;Uto” e~ U e^*r dq;1 Г -ier ^U -\ U(r)e lv dr- ,Я 8 л J2 na(qa+ l/da)1 Г -ier ^U -\ U(r)e lv dr- ,Я 8 л J2 na(qa+ l/da)и поэтому имееми поэтому имеем33(3)(3)dodQdodQ4лац“v- ui4лац“v- ui(2sin,(9/2)*Xa/2da)a ’(2sin,(9/2)*Xa/2da)a ’(4)(4)

е«ер

U (г)е

е«ер

U (г)е

-r/d

-r/d

и далее определить транспортное сечение о1.

Решение. Как известно, в борновском приближении do/dQ *|/|а,где

и далее определить транспортное сечение о1.

Решение. Как известно, в борновском приближении do/dQ *|/|а,где

Ц т- 2лпа

Ц т- 2лпа

U(.t)eivdV.

U(.t)eivdV.

(1)

(1)

Здесь q - k —k'—разность волновых векторов частицы с приведенной массой до и после рассеяния, причем |к|- |к'|- ц и /Й и

Здесь q - k —k'—разность волновых векторов частицы с приведенной массой до и после рассеяния, причем |к|- |к'|- ц и /Й и

| q|“(p/^ | ДиI*(2ри/6)sin6/2.

| q|“(p/^ | ДиI*(2ри/6)sin6/2.

(2)

(2)

Интеграл (1) совпадает с фурье-компонентой экранированного кулоновского потенциала:

Интеграл (1) совпадает с фурье-компонентой экранированного кулоновского потенциала:

Uto” e~ U e^*r dq;

Uto” e~ U e^*r dq;

1 Г -ier ^U -\ U(r)e lv dr- ,

Я 8 л J2 na(qa+ l/da)

1 Г -ier ^U -\ U(r)e lv dr- ,

Я 8 л J2 na(qa+ l/da)

и поэтому имеем

и поэтому имеем

3

3

(3)

(3)

dodQ

dodQ

4лац

“v- ui

4лац

“v- ui

(2sin,(9/2)*Xa/2da)a ’

(2sin,(9/2)*Xa/2da)a ’

(4)

(4)

где р^ - еа ер/ ц u3, а X - ^/ц и - квантовая длина волны. Для транспортного сечения в этом случае найдем [ср. (32.12)]

л

Г4 gr(l-cos9)sin9d9

О, - \<1—cos 6)dfi - 2лра\.—;

1 J dQ J-J (l-cos9 + X3/2d3)3

2212X -ln(d/X)+T In (4 + X/da) -7-7ГТ7ГТ-. кв24+(X/d)a12X -ln(d/X)+T In (4 + X/da) -7-7ГТ7ГТ-. кв24+(X/d)a(5)(5)гдегде

2

2

12

X -ln(d/X)+T In (4 + X/da) -7-7ГТ7ГТ-. кв24+(X/d)a

12

X -ln(d/X)+T In (4 + X/da) -7-7ГТ7ГТ-. кв24+(X/d)a

(5)

(5)

где

где

Считая, что d > X, приближенно можно положить Хке * In (d/X\ так что при учете квантовых эффектов в "кулоновском логарифме* вместо рмин - р^ * еа/б фигурирует квантовая длина волны X = Й/ци * К/4^й.

§ 32. Простейшие кинетические эффекты в плазме

Воспользуемся аналогией с электростатикой для определения "напряженности” Е и "потенциала” ф, определяющих потерю импульса и энергии пробной частицей а. Если полевые частицы р обладают сфе- рически-симметричным распределением, то "напряженность” в соответствии с теоремой Гаусса равна

I Q(0\,_ Г

Ео(т)= =-— /Bdve.(32.1)

“\ г2 /ан т та та J Р Р

О

т

Здесь величина пр (▼) = j /р d тр аналогична "заряду”, сосредоточен- о

ному внутри сферы радиуса v. В частности, при максвелловском распределении

/ m 13,а/тта\ и -va.....

/ d т - п II exp I - I d т ed v,(32.2)

\2лв/\26 /Лэ,а

где v = v Vm/29j найдем HI n f v2 ' np(T)=^rje d№npp(xp), О где X

U(x)=^ I e-t/Tdf,(32.3)

J 0

причем Хр - Ир v3/2 8р. Таким образом, функция ц (х) представляет собой интеграл по сфере конечного радиуса от распределения Максвелла, нормированного на единицу. Поскольку далее Б - - д ф/d v, то для Фр (v) найдем

ООсо

Гf"в(т)

фр(у)= I Epdv- I ——dv =

Vт

(32.4)

где ^(х) ■ (2//л) е~х >[х - производная функции ц (х) по аргументу х.

Подставляя найденные значения Е и ф в формулу (31.33), получаем

4Ра^ирdt^«р4Ра^ирdt^«р

4Ра^ир

dt^«р

4Ра^ир

dt^«р

(32.5)

Эти выражения определяют потерю импульса и энергии пробной частицей а, движущейся в среде заряженных частиц 0, распределенных по Максвеллу.

Используя эти формулы, рассмотрим более детально процесс торможения электронов на ионах, предположив для простоты, что внутри электронов уже успело установиться максвелловское распределение со средней направленной скоростью т0:

/е-пе/е-пеехрехр(32.6)(32.6)

/е-пе

/е-пе

ехр

ехр

(32.6)

(32.6)

Считая ионы покоящимися и бесконечно тяжелыми, запишем уравнение движения единичного объема, выделенного в электронном газе, в виде

menemened1» dtd1» dt= n F(le)e эф.тр= n F(le)e эф.тр(32.7)(32.7)

mene

mene

d1» dt

d1» dt

= n F(le)e эф.тр

= n F(le)e эф.тр

(32.7)

(32.7)

Определенную таким образом величину F(*e) следует рассматривать как среднюю эффективную силу трения, приходящуюся на один электрон. Поскольку "действие равно противодействию”, то можно написать

„ Fde) =_ _ -ПО

Tig. э

с эф.тр 1 эфлр

„(10.„

где F - средняя сила трения одного иона об электроны. Послед- ЭфЛр

нюю силу удобно подсчитать в системе координат, движущейся вместе с электронами со скоростью т0. В этой системе ион движется со скоростью - т0 через неподвижный в целом электронный газ с максвелловским распределением, и поэтому можно воспользоваться формулой (32.5)

4лХеаеа4лХеаеа»ф.*Р це( е ®»ф.*Р це( е ®,3о,3от.т."е^▼о"е^▼о

4лХеаеа

4лХеаеа

»ф.*Р це( е ®

»ф.*Р це( е ®

,3о

,3о

т.

т.

"е^

▼о

"е^

▼о

Таким путем получим

Р<*«>1_ F(H)эфлр и эфлрР<*«>1_ F(H)эфлр и эфлрг. \ 4лХеае?о 1 е iг. \ 4лХеае?о 1 е iu(xju(xjООееП.П.еео X тоо X тоd?d?G(v).G(v).(32.8)(32.8)

Р<*«>1_ F(H)эфлр и эфлр

Р<*«>1_ F(H)эфлр и эфлр

г. \ 4лХеае?о 1 е i

г. \ 4лХеае?о 1 е i

u(xj

u(xj

О

О

е

е

П.

П.

е

е

о

X то

о

X то

d?

d?

G(v).

G(v).

(32.8)

(32.8)

Здесь de = V6/4nnee3 - радиус Дебая и введена так называемая функ-

ция Чандрасекара:

(32.9)(32.9)U (*)г-,/—;—>

(32.9)

(32.9)

G (v) =; v = ух=v0 уme/20 .

2хее

В предельных случаях эта функция имеет вид

г 2v)3/n" при v<l; V: V 13 Р

C(^=j 1/2№ при v»l, (32.10) и ее график приведен на рис. 117. Максимум этой функции соответствует v = 1 и равен 0,214. Таким образом, эффективная сила трения,

Рис. 117. Функция Чандрасекара G fv)Рис. 117. Функция Чандрасекара G fv)приходящаяся на один электрон, вообще не может превышать значенияприходящаяся на один электрон, вообще не может превышать значенияmax F(1^ = Xэф.трmax F(1^ = Xэф.трeeeiVeeeiV0,214.0,214.Если направленная скорость электронов много меньше их тепловой скорости (v0 « vIC ~ УО/m), то сила трения будет пропорциональна скорости v0, и ее можно представить в виде [ср. (32.8) - (32.10)]Если направленная скорость электронов много меньше их тепловой скорости (v0 « vIC ~ УО/m), то сила трения будет пропорциональна скорости v0, и ее можно представить в виде [ср. (32.8) - (32.10)]-de)’о.ее eiг . *X эф.трТбdiтоте’оX =-—,V2ee/me'Т«где3Те= — 4 у2 л е* е^кп/-de)’о.ее eiг . *X эф.трТбdiтоте’оX =-—,V2ee/me'Т«где3Те= — 4 у2 л е* е^кп/(32.11)(32.11)(32.12)(32.12)- "время замедления электронов на ионах”.Если в плазме имеется электрическое поле, то усредненное уравнение движения электронов имеет вид- "время замедления электронов на ионах”.Если в плазме имеется электрическое поле, то усредненное уравнение движения электронов имеет вид™е™еd’o~d7d’o~d7= eeE + F= eeE + Fde) эф.тр *de) эф.тр *(32.13)(32.13)

Рис. 117. Функция Чандрасекара G fv)

Рис. 117. Функция Чандрасекара G fv)

приходящаяся на один электрон, вообще не может превышать значения

приходящаяся на один электрон, вообще не может превышать значения

max F(1^ = Xэф.тр

max F(1^ = Xэф.тр

eeei

V

eeei

V

0,214.

0,214.

Если направленная скорость электронов много меньше их тепловой скорости (v0 « vIC ~ УО/m), то сила трения будет пропорциональна скорости v0, и ее можно представить в виде [ср. (32.8) - (32.10)]

Если направленная скорость электронов много меньше их тепловой скорости (v0 « vIC ~ УО/m), то сила трения будет пропорциональна скорости v0, и ее можно представить в виде [ср. (32.8) - (32.10)]

-de)’о.ее ei

г . *X

эф.трТбdi

тоте’о

X =-—,

V2ee/me'Т«

где

3

Те= —

4 у2 л е* е^кп/

-de)’о.ее ei

г . *X

эф.трТбdi

тоте’о

X =-—,

V2ee/me'Т«

где

3

Те= —

4 у2 л е* е^кп/

(32.11)

(32.11)

(32.12)

(32.12)

- "время замедления электронов на ионах”.

Если в плазме имеется электрическое поле, то усредненное уравнение движения электронов имеет вид

- "время замедления электронов на ионах”.

Если в плазме имеется электрическое поле, то усредненное уравнение движения электронов имеет вид

™е

™е

d’o~d7

d’o~d7

= eeE + F

= eeE + F

de) эф.тр *

de) эф.тр *

(32.13)

(32.13)

Если поле Е достаточно мало, то из условия еЕ = F , используя выражение (32.11), находим среднюю скорость направленного движения электронов, что соответствует току:

Т,пе®2 Те

то=——Е; j = eenev0=— Е = оЕ,(32.14)

и, следовательно, проводимость плазмы равна ое = п е3 т/т.

Если, однако, электрическая сила ее Е в уравнении (32.13) превышает максимально возможное значение силы трения, то электроны начинают неограниченно ускоряться, причем по мере увеличения их скорости сила трения все более падает. Такое "явление убегающих электронов” (runaway) в соответствии с выражением (32.8) должно наступать при

Е>Е= — (F? )мякг = X 0,214 * —- ,(32.15)

кр е эф.^'максd2

ее

что при 0е * 1 кэВ и л * 1015 см-3 (тогда X * 15, de ~ 10~3 см) соответствует полю Екр = 1 В/см. В действительности и при меньших полях некоторая экспоненциально малая часть электронов ~ехр (-Екр/Е) может "уходить в просвист”, достигая весьма значительных энергий. Например, на тороидальной установке токамак наблюдались электроны, ускоренные до энергий «200 кэВ, что, по-видимому, связано с указанным явлением.

Если направленная скорость мала (¥„„,« у^ц,), то формулу (32.11) нетрудно обобщить на тот случай, когда сталкиваются два газа со сдвинутыми максвелловскими распределениями. Для этого достаточно в формуле (32.19) скорость у0 заменить на относительную (т0 "* < “отн> = < va > - < тр>), а массу тв - на приведенную массу двух частиц те -*■ цар = та тр/(та + тр). Если при этом силу трения представить в виде F"^ = - та и^/тар, то для времени замедления тар найдем

3е3'2 та

тар= ——— •(32.16)

4т/2? вдврХпр ^

Если Z = | ej/ej = 1, то отсюда, например, для электрон-электронных и ион-ионных столкновений соответственно получается

(32.17)

где время те = тв|- определяется формулой (32.12). Поскольку масса иона много больше массы электрона (Шр/те=1835), то из формул (32.16) и (32.17) следует, что различные релаксационные процессы в плазме могут существенно различаться по времени протекания.

Рассмотрим, например, процесс установления термодинамического

равновесия в плазме, начальное состояние которой было неравновесным. Нетрудно видеть, что этот процесс будет протекать в три этапа.

На первом этапе (т ~ тм ~ те) электроны, сталкиваясь с ионами, потеряют направленную скорость и одновременно с этим электрон-элект- ронные столкновения установят максвелловское распределение в электронном газе.

На втором этапе (т ~ тя~ V nVme те~ 50 те) ион-ионные столкновения ’’максвеллизуют” ионный газ, так что в конце этого этапа, примерно в 50 раз более длительного, чем первый, и электроны и ионы будут обладать максвелловскими распределениями без сдвига средних относительных скоростей.

При этом, однако, температуры электронов и ионов могут различаться (9е * 9,), так как их максвеллизации протекали изолированно. При столкновении частиц относительная доля передаваемой энергии пропорциональна отношению масс этих частиц Дс/е ~ т/М (легкой к тяжелой). Поэтому обмен энергией электронов с ионами происходит в М/т раз медленнее, чем обмен импульсом.

Иными словами, по порядку величины [ср. (32.25)]

тобм.эн _ м тзамедл /м -/m ~ 2000 Т,,(32.18)

и в процессе установления полного термодинамического равновесия можно выделить еще один - третий этап, на котором происходит выравнивание электронной и ионной температур 9е •* 9,-.

Рассмотрим этот заключительный этап более подробно, для чего используем второе уравнение (32.5). Предположим, что пробной частицей а является ион, который движется в среде электронов, обладающих максвелловским распределением с температурой 9е. Тогда уравнение (32.5) имеет вид

где хе = meve2/26e. Считая, что скорость иона vf мала по сравнению с тепловой скоростью электронов ve г~ /29^/т^, рассмотрим случай малых хе = (v,/ve Т )2 « 1. При этом приближенно найдем

11'(х)*11'(х)*X

11'(х)*

11'(х)*

ц (х) =1 e~*-/tdt^ —х3/2

ул JЗул

о

так что

— nfcp-nfV*

(32.20)(32.20)

(32.20)

(32.20)

ei~ — 8е26ei~ — 8е26(32.21)(32.21)и уравнение (32.19) принимает вид

ei~ — 8е

26

ei~ — 8е

26

(32.21)

(32.21)

de,mene

= -2

dtmi те

где те — введенное нами ранее в формуле (32.12) "время замедления электронов на ионах”. Усредняя это уравнение по максвелловскому распределению ионов и учитывая, что <е,> = -у кТ?» в прлгтейтрм случае п, = пе получаем

^-=-2^-- Г'"Ге dtm,те

Ti~Te — ,(32.22)

где величину т®, = (пц#2те)хе можно назвать "временем обмена энергиями”.

Задача 1. Определить замедление пробной частицы а в среде распределенных по Максвеллу полевых частиц р, предположив, что они взаимодействуют как идеально упругие твердые шарики.

Решение. Для модели твердых шаров транспортное сечение не зависит от скорости ® ” та — тр и Рввно о1 - — (da + dp )а, где d^ у — диаметры частиц. Поэтому имеем

ТГ’^ --^/рЫио^тр — цо1ЛрТГ’^ --^/рЫио^тр — цо1Лр(1)(1)

ТГ’^ --^/рЫио^тр — цо1Лр

ТГ’^ --^/рЫио^тр — цо1Лр

(1)

(1)

где ц - приведенная масса.

Рассмотрим вначале предельные случаи тц < v^ ги та > тр> г, где vp г - V28p/mp тепловая скорость частиц р. Для больших скоростей, полагая в (1) а % va, находим

(2)(2)-I*0, v»1®'*2-

(2)

(2)

В случае же малых скоростей, использовав разложение

l“l“ ^F^? " "р-^а’е^р^

Fa/PтрFa/Pтрнетрудно получить

Fa/Pтр

Fa/Pтр

(3)(3)* —Ц ot Пд(| u| и>р = —ц ot пр -у <| vp| >та, T«vp

(3)

(3)

где<| тй| > = — \ I /в d т = V8 6а / л то - средняя (по модулю) скорость частиц р. " р " р

Формула (3) соответствует уравнению

dpa/dt = -pa /т0, где

оо11(4)(4)— 'время замедления”. Приняв и за новую независимую переменную, можно вычислить интеграл (1) и в общем случае. При этом получается результат, который удобно представить в виде— 'время замедления”. Приняв и за новую независимую переменную, можно вычислить интеграл (1) и в общем случае. При этом получается результат, который удобно представить в видеdPaPa— 6fxR), dtт„ PdPaPa— 6fxR), dtт„ P(5)(5)и тогда поправочный множитель £ (х), зависящий от аргумента Хр = шр v*12 0р, оказывается равным3,—,Г/11 \/3 \ , 16/У = — улх 1+—) Ц W+ 1 + — 1ц (х) =8 L \ х 4х2 /\ 2х / Jи тогда поправочный множитель £ (х), зависящий от аргумента Хр = шр v*12 0р, оказывается равным3,—,Г/11 \/3 \ , 16/У = — улх 1+—) Ц W+ 1 + — 1ц (х) =8 L \ х 4х2 /\ 2х / Jу V”x’ (х>1);1(х«1),у V”x’ (х>1);1(х«1),(6)(6)х2 С где ц (х) - -=г \ ул J ох2 С где ц (х) - -=г \ ул J ое * уТdt — "интегралМаксвелла".е * уТdt — "интегралМаксвелла".Задача X Определить проводимость слабоионизованной плазмы при следующих допущениях: электроны обладают максвелловским распределением, "сдвинутым" на среднюю скорость т0, и сталкиваются лишь с нейтральными атомами, которые можно считать неподвижными и бесконечно тяжелыми упругими шариками радиуса а.Решение. Запишем уравнение движения единичного объема электронов в видеЗадача X Определить проводимость слабоионизованной плазмы при следующих допущениях: электроны обладают максвелловским распределением, "сдвинутым" на среднюю скорость т0, и сталкиваются лишь с нейтральными атомами, которые можно считать неподвижными и бесконечно тяжелыми упругими шариками радиуса а.Решение. Запишем уравнение движения единичного объема электронов в видеdTo(ie)теп, — =.пеееЕ+ПсРф1рdTo(ie)теп, — =.пеееЕ+ПсРф1р

о

о

1

1

(4)

(4)

— 'время замедления”. Приняв и за новую независимую переменную, можно вычислить интеграл (1) и в общем случае. При этом получается результат, который удобно представить в виде

— 'время замедления”. Приняв и за новую независимую переменную, можно вычислить интеграл (1) и в общем случае. При этом получается результат, который удобно представить в виде

dPaPa

— 6fxR), dtт„ P

dPaPa

— 6fxR), dtт„ P

(5)

(5)

и тогда поправочный множитель £ (х), зависящий от аргумента Хр = шр v*12 0р, оказывается равным

3,—,Г/11 \/3 \ , 1

6/У = — улх 1+—) Ц W+ 1 + — 1ц (х) =

8 L \ х 4х2 /\ 2х / J

и тогда поправочный множитель £ (х), зависящий от аргумента Хр = шр v*12 0р, оказывается равным

3,—,Г/11 \/3 \ , 1

6/У = — улх 1+—) Ц W+ 1 + — 1ц (х) =

8 L \ х 4х2 /\ 2х / J

у V”x’ (х>1);1(х«1),

у V”x’ (х>1);1(х«1),

(6)

(6)

х

2 С где ц (х) - -=г \ ул J о

х

2 С где ц (х) - -=г \ ул J о

е * уТdt — "интегралМаксвелла".

е * уТdt — "интегралМаксвелла".

Задача X Определить проводимость слабоионизованной плазмы при следующих допущениях: электроны обладают максвелловским распределением, "сдвинутым" на среднюю скорость т0, и сталкиваются лишь с нейтральными атомами, которые можно считать неподвижными и бесконечно тяжелыми упругими шариками радиуса а.

Решение. Запишем уравнение движения единичного объема электронов в виде

Задача X Определить проводимость слабоионизованной плазмы при следующих допущениях: электроны обладают максвелловским распределением, "сдвинутым" на среднюю скорость т0, и сталкиваются лишь с нейтральными атомами, которые можно считать неподвижными и бесконечно тяжелыми упругими шариками радиуса а.

Решение. Запишем уравнение движения единичного объема электронов в виде

dTo(ie)

теп, — =.пеееЕ+ПсРф1р

dTo(ie)

теп, — =.пеееЕ+ПсРф1р

где F^^ - эффективная сила трения, приходящаяся на один электрон. Очевидно, можно написатьгде F^^ - эффективная сила трения, приходящаяся на один электрон. Очевидно, можно написать(2)(2)где F'Л — сила трения одного нейтрального атома об электроны. Так как сила инвариант- 8*ЛР(1е)на относительно преобразования Галилея, то F . удобно рассчитать в системе координат,Эф.Трдвижущейся вместе с электронами. В этой системе атом со скоростью тв«—тв налетает на электронный газ с максвелловским распределением (уже не ‘'сдвинутым"), и поэтому, использовав результат (4) из предыдущего упражнения в пределе me ■* ”, найдем (О, ■ - лаа):где F'Л — сила трения одного нейтрального атома об электроны. Так как сила инвариант- 8*ЛР(1е)на относительно преобразования Галилея, то F . удобно рассчитать в системе координат,Эф.Трдвижущейся вместе с электронами. В этой системе атом со скоростью тв«—тв налетает на электронный газ с максвелловским распределением (уже не ‘'сдвинутым"), и поэтому, использовав результат (4) из предыдущего упражнения в пределе me ■* ”, найдем (О, ■ - лаа):р0«) _ эф.тр"р0«) _ эф.тр"- Мт тв**- Мт тв**т* ’*4 IIM,<N>-l+fm^/mg) 3т* ’*4 IIM,<N>-l+fm^/mg) 3-’о J" "Wjl’eb--’о J" "Wjl’eb-Тогда из (2) имеем_(1е)”.(й). . т*’оF^- Т г*.тр—To"W1<l V— ;— • гдеТогда из (2) имеем_(1е)”.(й). . т*’оF^- Т г*.тр—To"W1<l V— ;— • где3/43/4Нетрудно проверить, что проводимость будет равнаНетрудно проверить, что проводимость будет равнаПри этом следует учитывать, чтоПри этом следует учитывать, что", " Г-а '", " Г-а '(3)(4)(5)(6)(3)(4)(5)(6)где о — степень ионизации плазмы, которая в простейшем случае определяется форму ™>е Саха (см. § 28)где о — степень ионизации плазмы, которая в простейшем случае определяется форму ™>е Саха (см. § 28)"еа- п« + ","еа- п« + ",1=;» где К1=;» где К(7)(7)

где F^^ - эффективная сила трения, приходящаяся на один электрон. Очевидно, можно написать

где F^^ - эффективная сила трения, приходящаяся на один электрон. Очевидно, можно написать

(2)

(2)

где F'Л — сила трения одного нейтрального атома об электроны. Так как сила инвариант- 8*ЛР(1е)

на относительно преобразования Галилея, то F . удобно рассчитать в системе координат,

Эф.Тр

движущейся вместе с электронами. В этой системе атом со скоростью тв«—тв налетает на электронный газ с максвелловским распределением (уже не ‘'сдвинутым"), и поэтому, использовав результат (4) из предыдущего упражнения в пределе me ■* ”, найдем (О, ■ - лаа):

где F'Л — сила трения одного нейтрального атома об электроны. Так как сила инвариант- 8*ЛР(1е)

на относительно преобразования Галилея, то F . удобно рассчитать в системе координат,

Эф.Тр

движущейся вместе с электронами. В этой системе атом со скоростью тв«—тв налетает на электронный газ с максвелловским распределением (уже не ‘'сдвинутым"), и поэтому, использовав результат (4) из предыдущего упражнения в пределе me ■* ”, найдем (О, ■ - лаа):

р0«) _ эф.тр"

р0«) _ эф.тр"

- Мт тв**

- Мт тв**

т* ’*4 II

M,<N>-

l+fm^/mg) 3

т* ’*4 II

M,<N>-

l+fm^/mg) 3

-’о J" "Wjl’eb-

-’о J" "Wjl’eb-

Тогда из (2) имеем

_(1е)”.(й). . т*’о

F^- Т г*.тр—To"W1<l V— ;— • где

Тогда из (2) имеем

_(1е)”.(й). . т*’о

F^- Т г*.тр—To"W1<l V— ;— • где

3/4

3/4

Нетрудно проверить, что проводимость будет равна

Нетрудно проверить, что проводимость будет равна

При этом следует учитывать, что

При этом следует учитывать, что

", " Г-а '

", " Г-а '

(3)

(4)

(5)

(6)

(3)

(4)

(5)

(6)

где о — степень ионизации плазмы, которая в простейшем случае определяется форму ™>е Саха (см. § 28)

где о — степень ионизации плазмы, которая в простейшем случае определяется форму ™>е Саха (см. § 28)

"еа- п« + ",

"еа- п« + ",

1

=;» где К

1

=;» где К

(7)

(7)

Здесь Р - (п, + ng + п,) 0 - полное давление плазмы.

При необходимости можно учесть также столкновения электронов с ионами. Тогда к силе трения электронов с нейтральными атомами (♦) следует прибавить силу трения с ионами. Нетрудно убедиться, что в этом случае проводимость будет определяться формулой

1/тео+1/те(

где те( — время замедления электронов на ионах.

§ 33. Кинетическое уравнение с учетом столкновений

Изменение функции распределения / (t, г, т) во времени описывается кинетическим уравнением

(33.1)

Здесь г = v - скорость; т = — Рвнш - ускорение частицы, вызванное m

внешней силой, а правая часть С (f) учитывает влияние столкновений и называется ’’столкновительным членом”. При этом подразумевается, что функция распределения нормирована на плотность ^fdi=n, так что величина

dN=fdQ®, где dQ® = didv, (33.2) есть число частиц в элементе объема dQ® шестимерного "фазового пространства”, по осям которого отложены три координаты и три компоненты скорости частицы (рис. 118). Из выражения (33.2) видно, что / можно рассматривать как плотность распределения частиц по фазовому пространству. Для получения уравнения (33.1) рассмотрим изменение числа частиц N = S f d Й ® в некотором малом элементе й ® этого

Рис. 118. Выделенный шестимерный объем в ко

ординатно-скоростном фазовом пространстве

пространства (см. рис. 118) и найдем производную dN/dt. Число частиц N изменяется по двум причинам: во-первых, за счет непрерывного изменения координат и скоростей частиц под действием внешних сил, что можно рассматривать как непрерывное течение частиц в фазовом пространстве, и, во-вторых, за счет столкновений. Поэтому можно написать

(Q^)

Здесь f6 - плотность потока частиц, вытекающих из объема П(6) через окружающую его пятимерную поверхность Z (9(см. рис. 118). В силу теоремы Гаусса первый поверхностный интеграл можно записать в виде интеграла по шестимерному объему

(33.4)(33.4)ф f6dZ(^=jdiv6 j6dQ(°,

(33.4)

(33.4)

где div6 j6 = divrjr + divvjv - шестимерная дивергенция потока j6. Так как выбранный нами объем Q ® произволен, то соотношение (33.3) эквивалентно дифференциальному уравнению

—- + divr jr+divyj®™11” -i-=—— .(33.5)

\ dt 1ечлпк rt(6) \ dt /плюс

Если бы столкновения отсутствовали ^f/dt)^^ - 0, то это уравнение было бы вполне аналогично обычному уравнению непрерывности:

(33.6)(33.6) + div j = 0; | = р v,

(33.6)

(33.6)

описывающему движение сплошной среды в обычном пространстве. По аналогии с выражением (33.6) можно заключить, что координатная составляющая шестимерного потока j6 в уравнении (33.5) равна jr = г/= у/, а скоростная

.внш .

где

Рвнш = е (е+— I тВ + mg

- внешняя сила, действующая на заряженную частицу.

Так как

divrv-(Vrv) = O и divTFBBn,-(VTFBmn) = O,

то уравнение (33.5) можно привести к виду (33.1).

Рассмотрим теперь столкновительный член, который можно представить в виде

/= —^[ (приход в dQ®) - (уход из dfi(t))].(33.7)

\9t /столк dg(9

Описание газа с помощью функции распределения / (t, г, у) позволяет следить за деталями с характерной длиной порядка длины свободного пробега дх~/~1/по и с характерными временами порядка времени между столкновениями д t ~ т ~ 1ЛТ- Микроскопические подробности с пространственно-временными масштабами Дхмнкр ~ а и д t ~ а/ут» где а - радиус действия межчастичных сил, в таком микр *

описании не учитываются (по ним производится усреднение). Поэтому сам ’’акт столкновения” можно рассматривать как ’’мгновенный” и считать, что координаты частиц (xyz) при этом не меняются. Тогда в выражении (33.7) можно произвести сокращение на элемент координатного пространства d г, после чего получим

/ Э/ \1

-—=[ (приход в dv) - (уход из dv).(33.8)

\ 91 /столк 9’

При столкновениях, однако, резко изменяются скорости частиц; например, при лобовом столкновении упругих шаров (часто используемая модель молекул) их скорости могут мгновенно измениться на обратные. При таком скачке частица как бы исчезает в одной исходной точке скоростного пространства и тотчас же появляется в другой, минуя при этом промежуточные положения. Нетрудно подсчитать приход и уход частиц сорта ос из объема dva за счет столкновений с частицами сорта Р. Если va и Ур - скорости этих частиц до столкновения, Чц и Ур' - после (’’прямое столкновение” va, Ур -* v„, Ур), то на одной Р-частице, которую можно рассматривать как рассеивающий центр, за единицу времени в телесный угол dQ рассеивается dna| u|do

частиц а, скорости которых до столкновения лежали в интервале dia. Так как в единице объема таких рассеивающих центров будет dnp-/pdTp, то второй член в выражении (33.8), соответствующий "уходу из d т”, будет равен

(yxoflH3dva) = ndna|u|do)dnp-(dva)j /a/pluld0 ^Тр, (33.9) do _

где и = т„ - Ту - относительная скорость, а do ■= -^- dQ - дифференциальное сечение рассеивания в системе центра инерции, причем интегрирование производится по do и по dTp. Чтобы определить число частиц, приходящих в рассматриваемый элемент скоростного объема dva, необходимо рассмотреть "обратные столкновения” типа ▼а Тр'-* та Vp, и тогда по аналогии с формулой (33.9) нетрудно установить, что

приход в dva = S d n'd пр | u| d 0^ = (d va) J fa /у | u| do dvp.(33.10)

При этом использовано соотношение

d^dVpdOnp-dTgdvp'da^p, где da^-da,(33.11)

которое нетрудно проверить (см. задачу). Подставляя выражения (33.9), (33.10) в формулу (33.8), окончательно находим

=n/„/p-/a/p)dvp|u|do.(33.12)

\ dt /столк р р

Это выражение принято называть больцмановским столкнови- тельным членом, и оно пригодно при произвольном законе взаимодействия частиц, т.е. можно описывать как столкновения заряженных частиц, взаимодействующих по Кулону, так и столкновения нейтральных атомов и молекул. Различие сводится лишь к выбору сечения рассеяния do, которое определяется соответствующим законом взаимодействия. Если и а- и р частицы обладают максвелловскими распределениями/£ ~ exp (- еа р / 9), то интеграл (33.12) обращается в нуль:

(

6* + 8о\

- ехр- ехред + eg,6ед + eg,6(33.13)(33.13)

- ехр

- ехр

ед + eg,6

ед + eg,6

(33.13)

(33.13)

так как сумма энергий двух частиц в результате упругого столкновения не меняется и е'а + е'р « еа + Ер.

Для кулоновского взаимодействия, однако, столкновительный член (33.12) можно существенно упростить. Такая возможность связана с тем, что при кулоновском рассеянии основной вклад в кинетических сечениях

0W... = ni-cosw""8)doK

^daR - сечение Резерфорда; о, - транспортное сечение; о2 - сечение отклонения и т.д.) возникает от частиц, рассеиваемых на малые углы. Например [см. (31.10)], л

(33.14)(33.14)= 4пр? in

(33.14)

(33.14)

61 вмии

®мин

Именно на малых углах возникает логарифмическая расходимость, которую мы устранили, обрезав кулоновское взаимодействие на дебаевском радиусе d и положив 9МИН~ Р^/Рмаке» где Рмакс~^’ и тогда кулоновский логарифм равен к = In (1/9мин) * In (d/p^) > 1. Можно сказать, что вклад от далеких столкновений Р~Рмаксв Х»1 раз больше вклада от близких, при которых 8 ~ 1. Поэтому с указанной логарифмической точностью (~ 1/Х) можно вообще пренебречь близкими столкновениями и формально считать, что в плазме имеют место лишь далекие столкновения с малыми углами рассеивания 8 « 1. При таких столкновениях, однако, скорости частиц изменяются лишь незначительно:

т«,р "* т«,р = Т«,Р + Д Vp* где ।Д*1* I *!• (ЗЗЛ5)

и движение частиц в скоростном пространстве, вновь, как и при отсутствии столкновений, приобретает непрерывный характер - ”от точки к точке”. Возвращаясь к рис. 118, можно сказать, что число частиц в выделенном объеме dQ^ = drdv увеличивается лишь за счет частиц, втекающих в этот объем через окружающую его поверхность 2®. В этих условиях последний член в уравнении (33.5) может быть записан в такой же форме, как и предыдущий, т.е.

divjf^dQe, (33.16)divjf^dQe, (33.16)9/ 1А .столк

divjf^dQe, (33.16)

divjf^dQe, (33.16)

— dQ -^<M(e dZ о t /аолкJ

и поэтому (d//ddwmr ■ ~ dive l?0”, где jf”” - поток частиц в шестимерном фазовом пространстве (г, т), возникающий вследствие столкновений. Указанное представление было бы невозможно, если бы мы учитывали близкие столкновения, при которых, как было описано выше, скорости частиц изменяются существенно и внутри объема Q® могут появляться частицы, не проходящие через окружающую этот объем поверхность 2(® (пятимерную), а возникающие в нем непосредственно путем "скачка”, соответствующего "мгновенному” акту столкновения.

Учитывая также то обстоятельство, что координата г частиц при столкновениях не меняется (т.е. "координатные” составляющие потока j”0™ отсутствуют), можно, следовательно, столкновительный член при кулоновском взаимодействии с логарифмической точностью (т.е. отбрасывая члены порядка ~1/Х, соответствующие близким столкновениям) представить в виде

w/Q / ^CL \

Са/р (f)- —— -- div^"0™, (33.17) \ dt /столк

где j^°”K - столкновительный поток в пространстве скоростей. Попытаемся теперь установить возможный вид выражения для этого потока. В уравнении (33.5) для сходной величины j^™ - потока, возникающего под действием внешней силы р”*”, было установлено выражение

по аналогии с которым можно было бы предположить, что

iT” - ^«олк/-4 г”0”/.

где р®1®”* - сила трения, возникающая при столкновениях пробной частицы а с полевыми частицами Р. Такое выражение, однако, не полностью учитывает особенности движения пробной частицы. В самом деле, использование функции распределения f (t, г, т) эквивалентно вероятностному описанию частиц. Например, если распределение Максвелла нормировать "на единицу” (а не на плотность), то величину

шт а

dwi"AdT» где Д* ^-^-j e 26 ири-^!,(33.18)

следует рассматривать как вероятность пребывания (или обнаружения) частицы в элементе dv скоростного пространства.

Рассмотрим с этой точки зрения поведение пробной частицы а, которая в некоторый начальный момент времени t = 0 обладала скоростью т0. Это начальное состояние эквивалентно 6-образному "облачку вероятности” dw0 = 6(v-v0) di, сосредоточенному вблизи точки т0 скоростного пространства (рис. 119). В последующие моменты времени tt, Д это облачко будет смещаться назад, так как вследствие торможения скорость нашей пробной частицы будет падать, и этот эффект - смещения "центра тяжести” облачка - может быть учтен в потоке членом вида j”0J1K ~ — F/, где в простейшем случае покоя- ’ m

щихся полевых частиц р"01* —у и, следовательно, ]волк ~ - т.

При столкновениях, однако, скорость пробной частицы может измениться не только по абсолютному значению, но и по направлению, а поскольку при кулоновских (далеких) столкновениях эти отклонения можно считать малыми, то такой эффект должен проявляться как расплывание облачка вероятности в поперечном направлении. Ясно также, что вследствие дисперсии продольных скоростей будут расти и продольные размеры облака. Такой процесс расплывания, изображенный на рис. 119, можно рассматривать как процесс диффузии в скоростном пространстве, и по аналогии с обычным выражением для диффузионного потока в координатном пространстве j^ = --Ddp/dx его можно учесть в столкновительном потоке с помощью члена вида ]”олк = _ Ddf/Э т, где D - "коэффициент диффузии” в скоростном пространстве. Так как образующие "среду” полевые частицы р распределены в скоростном пространстве неоднородно (например, по Максвеллу), то этот коэффициент D следует рассматривать как тензор.

Ряс. И9. Смещение и диффузионное расплывание "облачка вероятности” в скоростном пространстве

Таким образом, в общем случае мы приходим к заключению, что столкновительный поток пробных частиц а в скоростном пространстве может быть представлен в виде

(33.19)(33.19)jcrornc = j“/P = 1 р«/Р , _ А®^ _^®. 1 m '“” а.

(33.19)

(33.19)

Здесь значок а/p означает, что рассматриваемые (пробные) частицы а рассеиваются в среде полевых частиц р. Силу F“^ принято называть динамической силой трения, а коэффициент Da^ - тензором диффузии в скоростном пространстве. Эти величины (явный вид F и D найден ниже) уже не должны зависеть от функции распределения пробных частиц /а, но могут зависеть от вида распределения полевых частиц /р. Если среда содержит частицы нескольких сортов р, то полный столкновительный член будет равен сумме "частичных” членов: С (f) ж 2 Са^, поскольку в принятой нами "картине парных столкно- Р

вений” взаимодействие двух сталкивающихся частиц не зависят от наличия остальных частиц. Таким образом, можно заключить, что кинетическое уравнение для частиц сорта а должно иметь вид

— +т — + — F”™ — - C(/a) - Z Са№, (33.20) at dr me ® Эт “ pv

где, в частности, р - а соответствует "собственному столкновитель- ному члену” Се/®. При произвольном законе взаимодействия С8^ следует взять в "форме Больцмана” [см. (33.12)1

Ca/P - 5 (/«/;- /а/р )|u|do d тр,(33.21)

где и - та - Тр, а в случае кулоновского взаимодействия можно использовать несколько более простое выражение

^-«“М^.гдеГ^-

-L Fe/p / - Й8/р -^.(33.22)

Нам осталось получить лишь явные выражения для входящей сюда силы динамического трения Fa/^ и тензора диффузии Da^.

Рассмотрим с этой целью однородный плоский поток а-частиц, движущихся со скоростью т0 в среде р, причем внешние силы считаются отсутствующими. В начальный момент времени t - О распределение частиц потока имеет вид /J t-g- па 6 (т-тД а в последующем изменяется в соответствии с уравнениями (33.20) и (33.22):

— - - divT j, где j - — Ff-D VT /.(33.23)

atm

Применим это уравнение для определения в момент t * 0 производных

— < Д Tf> и —— < Д vf Д vt), где Д т-т-т» .(33.24)

dtdtк

Здесь фигурные скобки означают усреднение по распределению, т.е. операцию < (...)> - -^— I (...) /а d та, и поэтому указанные производные молено вычислять по схеме

((...)>- — I (...) — dv- dtп j at

—— [ (...)div_ jdr- ^— I (j V (...))dv.(33.25)

n Jn J

Используя далее выражение для потока j и начальное условие f(t-ti)- - п б (т - ^), нетрудно убедиться, что производные (33.24) выражаются через F и О, а именно:

dt ' аi

'Т^0^- "Г ’^Ч,*. U,-2O^.№-26)

С другой стороны, эти производные можно рассматривать как приращения соответствующих величин за единицу времени. Тогда, пользуясь картиной парных столкновений и суммируя эти величины по всем столкновениям за единицу времени 1 с, получаем

~ ( ^а I ,-п " ^ Д v<)- [(dnp|u|dо) Д Uj\ ;(33.27)

f-0 - (Z А т( A vk)f-0 - (Z А т( A vk)- |(dnp|u|do)- |(dnp|u|do)“ip A A — Au.AuJ. ma'“ip A A — Au.AuJ. ma'

f-0 - (Z А т( A vk)

f-0 - (Z А т( A vk)

- |(dnp|u|do)

- |(dnp|u|do)

“ip A A — Au.AuJ. ma'

“ip A A — Au.AuJ. ma'

(33.28)(33.28)При этом величина A va ■ (iiap/me) ^u рассматривается как приращение скорости частицы а при столкновении с частицей р. Более того, для первой производной можно написать

(33.28)

(33.28)

ma at < Av>«'t-0 ° ma at Te,"Fnc* ’

где F^ - истинная сила торможения пробной частицы а в среде Р частиц, и эту силу мы уже вычисляли ранее в § 31. Поэтому достаточно вычислить лишь вторую из величин (33.27). Для этого рассмотрим тензор

0-5 (AuAu)udo. (33.29)

Если направить ось z вдоль скорости и - та - Тр (до столкновения), то компоненты вектора Ди будут равны (см. рис. 114)

Аиж-и$1п6со$ф; Auy»usin6 sin ф; Au,--u(l - cos6) и тензор 0 будет диагоналей

Л w -Л w -wxx О Оwxx О О0Wyy 00Wyy 0° \0 1 , причем° \0 1 , причем

Л w -

Л w -

wxx О О

wxx О О

0

Wyy 0

0

Wyy 0

° \

0 1 , причем

° \

0 1 , причем

(33.30)

где о2 = 5 (1 - cos2 6) d о - кулоновское сечение отклонения.

Для wa найдем

wH - и3 5 0 ~ cos О)2 d о - и3 (2 Oj - о2),(33.31)

где ot - 5 (1 - cos 0) do - транспортное сечение. Оба сечения были найдены нами в § 31:

0.-4- о. - 4 л X12*0.-4- о. - 4 л X12*еаерUap и*еаерUap и*“ар“ар(33.32)(33.32)

0.-4- о. - 4 л X12*

0.-4- о. - 4 л X12*

еаер

Uap и*

еаер

Uap и*

“ар

“ар

(33.32)

(33.32)

Здесь X'eg - 4л Хе^ е|, цар - приведенная масса, а X - кулоновский логарифм. При этом w# - 0 и тензор w имеет вид

ЛW -ЛW -10 0,Ч, / 1 "10 0,Ч, / 1 "0 1 0 и3 0, - 0 10 1 0 и3 0, - 0 1(33.33)(33.33)' 0 0 0 ' ^ар ' 0 0 0 ' “Поскольку он зависит лишь от и и, следовательно, может содержать лишь слагаемые 6 и ии, то в произвольной системе координат его можно записать в виде' 0 0 0 ' ^ар ' 0 0 0 ' “Поскольку он зависит лишь от и и, следовательно, может содержать лишь слагаемые 6 и ии, то в произвольной системе координат его можно записать в видеа ЛаР / вw- — —I Uа ЛаР / вw- — —I UлUUлUUгдегде(33.34)(33.34)Подставляя это выражение [см. (33.29)1 во вторую производную (33.27) и вынося оператор Vv VT из-под знака интеграла по d^ окончательно для тензора диффузии получаемПодставляя это выражение [см. (33.29)1 во вторую производную (33.27) и вынося оператор Vv VT из-под знака интеграла по d^ окончательно для тензора диффузии получаемгдегдеФрМ-! |v-*1 I^WdVФрМ-! |v-*1 I^WdV(33.35)(33.35)С учетом формулы (33.28) уравнение (33.26), определяющее силу Г®' Р, можно представить в видеС учетом формулы (33.28) уравнение (33.26), определяющее силу Г®' Р, можно представить в видеF^P-f”^ -m„V_Da/^F^P-f”^ -m„V_Da/^ж* « тж* « т(33.36)(33.36)причем ввиду соотношения V3 | и | - 2 /1 и | из формулы (33.35) найдемпричем ввиду соотношения V3 | и | - 2 /1 и | из формулы (33.35) найдемf^Wtf^Wt(33.37)(33.37)заза

Л

W -

Л

W -

10 0,Ч, / 1 "

10 0,Ч, / 1 "

0 1 0 и3 0, - 0 1

0 1 0 и3 0, - 0 1

(33.33)

(33.33)

' 0 0 0 ' ^ар ' 0 0 0 ' “

Поскольку он зависит лишь от и и, следовательно, может содержать лишь слагаемые 6 и ии, то в произвольной системе координат его можно записать в виде

' 0 0 0 ' ^ар ' 0 0 0 ' “

Поскольку он зависит лишь от и и, следовательно, может содержать лишь слагаемые 6 и ии, то в произвольной системе координат его можно записать в виде

а ЛаР / вw- — —

I U

а ЛаР / вw- — —

I U

лUU

лUU

где

где

(33.34)

(33.34)

Подставляя это выражение [см. (33.29)1 во вторую производную (33.27) и вынося оператор Vv VT из-под знака интеграла по d^ окончательно для тензора диффузии получаем

Подставляя это выражение [см. (33.29)1 во вторую производную (33.27) и вынося оператор Vv VT из-под знака интеграла по d^ окончательно для тензора диффузии получаем

где

где

ФрМ-! |v-*1 I^WdV

ФрМ-! |v-*1 I^WdV

(33.35)

(33.35)

С учетом формулы (33.28) уравнение (33.26), определяющее силу Г®' Р, можно представить в виде

С учетом формулы (33.28) уравнение (33.26), определяющее силу Г®' Р, можно представить в виде

F^P-f”^ -m„V_Da/^

F^P-f”^ -m„V_Da/^

ж* « т

ж* « т

(33.36)

(33.36)

причем ввиду соотношения V3 | и | - 2 /1 и | из формулы (33.35) найдем

причем ввиду соотношения V3 | и | - 2 /1 и | из формулы (33.35) найдем

f^Wt

f^Wt

(33.37)

(33.37)

за

за

(фр - аналог электростатического потенциала). Подставив также значение Fa^ - (X _ / и .) V фо, найденное нами в § 31, окончатель- ИСТТ р9

но получим

(33.38)(33.38)Fa/p., _^L v ф„, Л“/р - -Зай- mP Т р2m*

(33.38)

(33.38)

Сравнение с формулой (31.19) показывает, что Fe^ действительно совпадает с "динамической силой трения”, введенной в § 31. С истинной силой торможения, действующей на частицу, она связана соотношением

(33.39)(33.39)1к-р“/₽ - /1- i уа^ dt\ me /

(33.39)

(33.39)

и лишь при та ■*и лишь при та ■*еоеоони совпадают, так что F^ -они совпадают, так что F^ -кст'тд-”кст'тд-”

и лишь при та ■*

и лишь при та ■*

ео

ео

они совпадают, так что F^ -

они совпадают, так что F^ -

кст'тд-”

кст'тд-”

Зига 1. Показать, что для прямых (та, ту - Тд, ту ) и обратных (Тд, ту * те, ту) столкновений выполняется соотношение (33.11)

dV1pd0nP-d1^d4d0o6p'W

где dо„р - do и dо^ - сечения этих процессов в системе центра инерции.

Решение. Если V— скорость центра инерции системы из двух частиц а и Р, а и-та— ту- относительная скорость, то

(2)(2)Ц|1

(2)

(2)

u; ’P“v"“•

mamy

(3)(3)и нетрудно путем прямого вычисления убедиться, что якобиан (шестого ранга) перехода от переменных та, ту к переменным Уин равен единице, так что diadi^ ■ d V <1 н. Поскольку при столкновении V не меняется (dN - dV'), то соотношение (1) сводится к утверждению

(3)

(3)

dudo -dudo.. пр обр

Здесь du-uad u'd D'— интервал скоростей рассеянных частиц (с приведенной массой ц - - цау). Сечение прямого перехода можно записать в виде

do - —т е ”» \dQ* Iа обратногоld0*» d о “ I ——— o«P \ dQdo - —т е ”» \dQ* Iа обратногоld0*» d о “ I ——— o«P \ dQО,О,da.da.(4)(4)

do - —т е ”» \dQ* I

а обратного

ld0*» d о “ I ——— o«P \ dQ

do - —т е ”» \dQ* I

а обратного

ld0*» d о “ I ——— o«P \ dQ

О,

О,

da.

da.

(4)

(4)

Рис. 120. Прямые и обратные столкновения в системе центра инерцииРис. 120. Прямые и обратные столкновения в системе центра инерцииИз рис. 120 видно, что О'- 6, и так как при упругом рассеянии | и |" | и'|, то (do/dO)^ - ■ (d o/dQ)^ и (3) сводится к очевидному тождествуИз рис. 120 видно, что О'- 6, и так как при упругом рассеянии | и |" | и'|, то (do/dO)^ - ■ (d o/dQ)^ и (3) сводится к очевидному тождеству^dudQdfi'-^du'dfi'dQ.^dudQdfi'-^du'dfi'dQ.(5)(5)Задача 1 Получить кулоновский столкновительный член в форме Са^ ■ —<Цтт j®^ непосредственно из больцмановского, считая, что при столкновениях частицы рассеиваются на малые углы.Решение. Этот вывод, впервые проделанный Л.Д. Ландау в 1936 г., удобно производить в символической операторной форме. В больцмановском столкновительном члене (33.21) величины/^ у означают функции распределения, в которых аргументами являются скорости частиц после столкновения:Задача 1 Получить кулоновский столкновительный член в форме Са^ ■ —<Цтт j®^ непосредственно из больцмановского, считая, что при столкновениях частицы рассеиваются на малые углы.Решение. Этот вывод, впервые проделанный Л.Д. Ландау в 1936 г., удобно производить в символической операторной форме. В больцмановском столкновительном члене (33.21) величины/^ у означают функции распределения, в которых аргументами являются скорости частиц после столкновения:^■Ч*Дта; ^-тр+Дтр.Считая приращения Д т малыми, разложим/'•/(г') в ряд:,э/ 1 а^аУ-/(т*Д т)-/*Дт —— + — ДтДт:-— Т~/*~ дт 2дт дт^■Ч*Дта; ^-тр+Дтр.Считая приращения Д т малыми, разложим/'•/(г') в ряд:,э/ 1 а^аУ-/(т*Д т)-/*Дт —— + — ДтДт:-— Т~/*~ дт 2дт дтО)(2)О)(2)Введя 'оператор сдвига* 8аВведя 'оператор сдвига* 8аааД та • —— I, можно представить это разложение I ата /Д та • —— I, можно представить это разложение I ата /в виде экспонентыв виде экспонентыаауп'ауп'а(3)(3)

Рис. 120. Прямые и обратные столкновения в системе центра инерции

Рис. 120. Прямые и обратные столкновения в системе центра инерции

Из рис. 120 видно, что О'- 6, и так как при упругом рассеянии | и |" | и'|, то (do/dO)^ - ■ (d o/dQ)^ и (3) сводится к очевидному тождеству

Из рис. 120 видно, что О'- 6, и так как при упругом рассеянии | и |" | и'|, то (do/dO)^ - ■ (d o/dQ)^ и (3) сводится к очевидному тождеству

^dudQdfi'-^du'dfi'dQ.

^dudQdfi'-^du'dfi'dQ.

(5)

(5)

Задача 1 Получить кулоновский столкновительный член в форме Са^ ■ —<Цтт j®^ непосредственно из больцмановского, считая, что при столкновениях частицы рассеиваются на малые углы.

Решение. Этот вывод, впервые проделанный Л.Д. Ландау в 1936 г., удобно производить в символической операторной форме. В больцмановском столкновительном члене (33.21) величины/^ у означают функции распределения, в которых аргументами являются скорости частиц после столкновения:

Задача 1 Получить кулоновский столкновительный член в форме Са^ ■ —<Цтт j®^ непосредственно из больцмановского, считая, что при столкновениях частицы рассеиваются на малые углы.

Решение. Этот вывод, впервые проделанный Л.Д. Ландау в 1936 г., удобно производить в символической операторной форме. В больцмановском столкновительном члене (33.21) величины/^ у означают функции распределения, в которых аргументами являются скорости частиц после столкновения:

^■Ч*Дта; ^-тр+Дтр.

Считая приращения Д т малыми, разложим/'•/(г') в ряд:

,э/ 1 а^а

У-/(т*Д т)-/*Дт —— + — ДтДт:-— Т~/*~ дт 2дт дт

^■Ч*Дта; ^-тр+Дтр.

Считая приращения Д т малыми, разложим/'•/(г') в ряд:

,э/ 1 а^а

У-/(т*Д т)-/*Дт —— + — ДтДт:-— Т~/*~ дт 2дт дт

О)

(2)

О)

(2)

Введя 'оператор сдвига* 8а

Введя 'оператор сдвига* 8а

а

а

Д та • —— I, можно представить это разложение I ата /

Д та • —— I, можно представить это разложение I ата /

в виде экспоненты

в виде экспоненты

а

а

уп'а

уп'а

(3)

(3)

причем символ [...]у„ означает операцию упорядочения, при которой градиенты по скоростям д/Эт должны быть расположены справа от величин Дт, например:

[ 6а] У”[ 6а] У”8 \ / 8 Н А л 8 8 л О 8 8 Л~1 1Д* TZ * ДЪД’/ -ДтДт : — — Эт/\ Эт/Jyn ‘ J 8у. а^8т 8т

[ 6а] У”

[ 6а] У”

(4)

(i, j жх, у, а—координатные индексы, точки: означают свертку по этим индексам). Тогда для комбинации функций, фигурирующей в больцмановском столкновительном члене, получим

r?₽-Vp-[e 'MynVp

(6 а действует лишь на /а и не действует на /р, а 6 р - наоборот). Изменения скоростей частиц при столкновении молено выразить через приращение относительной скорости и- -та-гр [см. (3145)]:

Д’„ ” ~ Ди; Дт„--Ди,(6)

® та₽ тр

где Ц - приведенная масса. Тогда для суммы операторов в (5) найдем

. ./ 99

6 *в_-цДи -ДиР.(7)

Здесь мы ввели новый векторный оператор

/ 99 \

*-и — - т—).

' «Рд dPp / где

Pe-mava; р^-шртр,(8)

который, очевидно, тоже должен подчиняться правилу "упорядочения* [...]уП. При этом из (5) получим

^"^"[^'"^yn/a^*

Г111

* (Дир)* —(Дир)1+ —(Дир)**.../_/Й-

[2!3!Jv” е Р

- Ди^* -~ДиДи:^*-— ДиДиДи : ^ *...до

Здесь мы ввели обозначения:

*Г*«а^) I «, -^<Vp)- А * *»(10)

Подставляя (9) в больцмаиовский столкновительный член, имеем

Г»Ф С С 1 Л А 1 * * \ .

СJ \*> *1* 7 *1:ва* 7)d^.(11)

где введены обозначения

м1-$Дии<о; *,-$ AuAuedo, w3-$ ДиДиДи udo.(12)

Для кулоновского взаимодействия (do - реэерфордмекое сечение) пч*вые две величины, уже встречавшиеся ранее в тексте [см. (33.29) - (3344)], логарифмически расхо-

дятся и равны соответственно

(13)(13)^ир в л ^аВ /8 uu \ w, —u по”; w I,

(13)

(13)

* ца из 1 ц* \ и и® J

t«e Хау "4nXe*e|,aX- кулоновский логарифм. Замечая, что

А ud 1 б

“3 »ч |и| * и

где в • га - »р, нетрудно убедиться, что между wt и wa существует соотношение

(15)

где Р-оператор (8). Тензор третьего ранга w3 в (12) и все более высокие тензоры не являются расходящимися величинами, и поэтому с логарифмической точностью (~1/Х) их

можно не учитывать.

Именно это обстоятельство и является специфической особенностью кулоновского взаимодействия. Эту особенность можно рассматривать как следствие преобладающей роли далеких столкновений, при которых частицы рассеиваются на малые углы. Поэтому, оставляя в (11) лишь первые два члена и учитывая, что с3 - Pat и w, - — Р • wa [см. (10) к (15)1, получаем

* А А 1_ А .

w-j«% :«з- у •,-»•**,)♦

А1 А(Wg-P)^-уP^-aJ-А1 А(Wg-P)^-уP^-aJ-(16)(16)

А1 А

(Wg-P)^-уP^-aJ-

А1 А

(Wg-P)^-уP^-aJ-

(16)

(16)

Здесь мы использовали выражение (8) для оператора Р. При интегрировании в (11) по dtp последний член выражения (16), содержащий дивергенцию по тр, пропадает, а в пер- веж члене дивергенцию по та можно вынести за знак интеграла, так что в результате получим

Ca/P-divT j“/₽ , куя 'а стояк •

где а/Р И f л

^столк " Т— V•VtH’p.(17)

или в развернутом виде (подставляя w3 и" F (/а/р)):

«^ . _^?. f I.L ) III. 9/р

№ " 2та J \ и у» ) Up Этр

/рд/а v

тадта / р

Такую запись принято называть членом столкновения в форме Ландау. Сравнив это выражение с принятым в тексте

у/ру/р(19)(19)7 а/Р *а/Р — Г P/a-D PVTafa,

у/р

у/р

(19)

(19)

можно найти силу динамического трения

a/р ^ар Г/ б* уу \ Э^Р

2mp J \ и у* ' Этр

(29)

и тензор диффузии в скоростном пространстве

Д а/РД а/Р^-ар 2т»а^-ар 2т»аэ а^Kw' тэ а^Kw' т

Д а/Р

Д а/Р

^-ар 2т»а

^-ар 2т»а

э а

^Kw' т

э а

^Kw' т

При этом использованы соотношения (14) и введены потенциальные функции:

г /p(v')dr'г

(22)(22)Фр(’)"\ -? Фр(г)-\|v-т’|/-(т,)dт,.

(22)

(22)

Выражения (20) и (21) для F и D совпадают с полученными ранее в тексте [ср. (33.38)].

Глава 7

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ

Существенное отличие плазмы от остальных сред - свободные заряды, которые приводят к возможности распространения своеобразных плазменных волн, связанных с колебаниями пространственного заряда. Кроме того, большие длины пробегов частиц, превышающие среднее расстояние между ними, приводят в плазме к нелокальному характеру связи между электрическим полем и вызываемым им индуцированным током, т.е. к сильной пространственной дисперсии, которая в других средах обычно мала.

Волны в изотропной плазме

Как известно, уравнения Максвелла

rotB=-lij+Jа_ Е; rotE = - -^5-;

с с atcat

divE = 4 л р ; divB = 0(34.1)

(из них следует уравнение сохранения заряда др/д t + div j = 0) позволяют при заданных р и j найти поля Е и В. Если среда однородна по пространству и ее свойства не меняются с течением времени, то это можно сделать, разложив все величины по плоским волнам, например:

EkO-jE^e^’*00 dkdu.

Так как при этом V-^ikHd/df-^-iu.TOHa уравнений (34.1) получим

Ъв (1 - №) + NN • EkU - -15- ^;(34.2)

io

^-[NE^Jip^- -А-^.(34.3)

Здесь N ■ kc/o — показатель преломления, который может принимать комплексные значения. Таким образом, система (34.1), применимая в любой среде, сводится к одному уравнению (34.2), где j - полный

ток. Чтобы учесть конкретные свойства данной среды, к уравнению (34.2) добавляем "материальные уравнения”, учитывающие эти свойства, и решаем их совместно.

Для этого j делим на индуцированный и сторонний:

j=j«« + j«(34.4)

и тогда свойства среды учитываем с помощью закона Ома:

^<V(34.5)

В линейной электродинамике предполагается, что тензор проводимости oku полностью определяется свойствами среды и не зависит от амплитуды самого поля Е.

С учетом (34.4) и (34.5) уравнение (34.2) можно записать в виде

(екы - б № + NN) Е^ = -^- £,(34.6)

где

°kM<34-7)

есть тензор диэлектрической проницаемости. Если сторонние токи отсутствуют 0я = 0), то уравнение

(е^-бЛР+МОЕ^-0(34.8)

описывает свободные колебания поля, т.е. распространение в среде волн, приходящих извне или возбужденных в предыдущие моменты времени. Очевидно, для решения однородного уравнения (34.8) необходимо условие

det|ekU)- 6№+AW| =0.(34.9)

Из него получаем законы дисперсии ы = ы (к) для различного вида волн, которые могут существовать в данной среде. Если же j” * 0, то уравнение (34.6) описывает вынужденные колебания и, пользуясь им, можно, например, рассчитать излучение волн.

Рассмотрим вначале изотропную среду, в которой отсутствуют какие-либо выделенные направления. В этом случае тензор е, очевидно, может содержать лишь единичный тензор 8 и диаду kakp, и поэтому его всегда можно представить в виде

kg kpic«p" —^7“ ei+r«₽“kg kpic«p" —^7“ ei+r«₽“ka ^₽k1ka ^₽k1(34.10)(34.10)

kg kpi

c«p" —^7“ ei+r«₽“

kg kpi

c«p" —^7“ ei+r«₽“

ka ^₽k1

ka ^₽k1

(34.10)

(34.10)

и о. На-и о. На-где Eg и e^ - скалярные величины, зависящие лишь от | к правив ось Z вдоль к, для детерминанта (34.9) имеем

и о. На-

и о. На-

det |е - 3 Na + NN | =

»(ех-№)а ег0.»(ех-№)а ег0.(34.11)(34.11)е± - № 0 0

»(ех-№)а ег0.

»(ех-№)а ег0.

(34.11)

(34.11)

0 е± - №0

00Ец

и, следовательно, в среде возможны волны, для которых

или £_£-№= 0, или Eg = 0.(34.12)

В первом случае из уравнения (34.8) для Е находим кЕкц = 0, что соответствует поперечным волнам с Е1 к. Если же Eg » 0, то из (34.8) получим [кЕ] = 0, и эти волны будут продольными с Е И к. Поэтому Eg и ех называются соответственно продольной и поперечной диэлектрическими проницаемостями.

Для определения Eg и е^ необходимо решить уравнения, описывающие движение частиц данной конкретной среды в поле плоской волны вида Е = Ek0) exp (ikr-iMt). и затем подсчитать суммарную плотность тока j^ = okEku. Строго говоря, для этого необходимо решить кинетическое уравнение, однако качественные результаты можно получить из уравнений гидродинамики, учитывающих тепловое движение, или даже из элементарного рассмотрения одной частицы, при котором тепловое движение не учитывается.

В случае плазмы, пренебрегая движением ионов, для электрона имеем

тт=е,Е, откуда ▼= —— Е.(34.13)

ты

Тогда для плотности тока находим

— Еm ы

и, значит,

л пе2 а

q = i 6 ты

а тензор диэлектрической проницаемости

(34.14)(34.14)(34.15)(34.15)4я 5 ■ м*лпеа

(34.14)

(34.14)

(34.15)

(34.15)

с = о — о = 11 — I б

1Ы Iты2 /

Приводя его к виду (34.10), очевидно, получаем

“еГ* , 1

eg = е± - 1-^- ; we = у 4 л п еа/т,

и из уравнений eg = 0 и е^ - № = 0 при этом следуют законы дисперсии соответственно для продольных и поперечных волн:

и?»а’и о2 “иа+сака.(34.16)

Для продольных волн при j ~ Е Н к из соотношения (34.3) следует Вкы - 0 и ркы * 0, так что эти волны представляют собой колебания объемного заряда с частотой о = ые и фазовой скоростью Уф ■ ие/к. В рассматриваемом приближении групповая скорость этих волн v^ ■ = д ы / d к = 0, и они должны оставаться в том месте, где были возбуждены. Однако при учете теплового движения их частота зависит от к и они будут перемещаться (см. ниже). Такие волны в плазме газового разряда впервые были исследованы Ленгмюром, и поэтому их называют плазменными ленгмюровскими колебаниями или просто плазмонами по аналогии с фотонами - квантами поперечного поля.

У поперечных волн рки - 0, Вкц # 0, и они представляют собой световые волны в среде.

Для них из уравнения (1.16) находим

(34.17)(34.17)ы = /ыа+саТ2’; Уф = сV1 + (ые/кс)а* >с;

(34.17)

(34.17)

у = —— —-

ГР Vi*(ue/kc)2'

Если же ы < ые, то волновой вектор становится мнимым. В частности, к = iG)e/c при ы-^0, что указывает на невозможность распространения в плазме таких низкочастотных колебаний. Если световая или ра-

диоволна с частотой ы < ые падает из вакуума на границу плазмы, то, как это видно из уравнения

Eu^o = £(O)eikx = E(O)expEu^o = £(O)eikx = E(O)exp(34.18)(34.18)

Eu^o = £(O)eikx = E(O)exp

Eu^o = £(O)eikx = E(O)exp

(34.18)

(34.18)

она проникает на глубину dc = c/ue = Vmc2/4лпе2. При этом волна не поглощается, а лишь отражается от плазмы. Такое явление имеет место для радиоволн в ионосфере, и на нем, по существу, основана дальняя радиосвязь на Земле.

Учтем теперь наличие теплового движения частиц, при котором, как уже отмечалось, групповая скорость плазменных волн отлична от нуля. Предполагая для общности, что в плазме имеются ионы нескольких сортов i = 1, 2, 3... (1 - самый тяжелый), опишем движение ионов и электронов уравнениями многожидкостной гидродинамики:

т„ п„ т„ = - V р„ + е„ n Е; я а а га а а ’

(34.19)(34.19)Эпа

(34.19)

(34.19)

+ div n v = 0, р„~ п„ , а.а а ’ а

где а = е, i - сорт частиц. Для общности предположим также, что температуры электронов Те и ионов Tt (одна для всех сортов ионов) различаются. Линеаризуя эти уравнения и переходя к представлению Фурье, получаем

кмкмсо2 -с* к2со2 -с* к2(34.20)(34.20)

км

км

со2 -с* к2

со2 -с* к2

(34.20)

(34.20)

где са = ^Т^тп^ - скорость звука для частиц сорта а. Далее находим полный ток

j = Z env= — а соj = Z env= — а со

j = Z env= — а со

j = Z env= — а со

и определяем тензор проводимости о и затем е :

kAkkAkсо2 - с2 к2 асо2 - с2 к2 аА а 4 Л А е = 6о icoА а 4 Л А е = 6о ico= 6= 62 са2 са(34.21)(34.21)

kAk

kAk

со2 - с2 к2 а

со2 - с2 к2 а

А а 4 Л А е = 6о ico

А а 4 Л А е = 6о ico

= 6

= 6

2 са

2 са

(34.21)

(34.21)

Записав его в виде (34.10) и считая все ионы с массами М, 23 однозарядными, найдем

е. =1- — Z-L ыа «е. =1- — Z-L ыа «(34.22)(34.22)

е. =1- — Z

-L ыа «

е. =1- — Z

-L ыа «

(34.22)

(34.22)

и, очевидно, закон дисперсии для поперечных волн приобретает вид

о3 = с3 k3 + X ы 2(34.23)

Следовательно, учет теплового движения не влияет на поперечные волны. Из-за большой их фазовой скорости это можно было бы ожидать заранее.

Для продольных же волн имеем уравнения:

е„ = 1 - F (о2) = 0; F (ы2) = X .(34.24)

« 6>a-ca ка

Здесь ыа = у 4л па е2/па - плазменная частота. Это уравнение проще всего проанализировать графически, построив качественный график функции F(o2). В точках ы3 = к2 с3 эта функция обращается в бесконечность (слева в - ” и справа в +00), поэтому качественный вид ее будет примерно такой, как на рис. 121, где считается, что в плазме есть ионы двух сортов: тяжелые 1 и более легкие 2. Пунктирные линии описывают значения и2 = к3 с3, расположенные в порядке убывания массы частиц. Из рисунка видно, что значение F= 1 при Сц = 0 эта функция достигает в трех точках кх 2 е, соответствующих корням дисперсионного уравнения (34.24), и в общем случае, очевидно, корней столько же, сколько различных сортов частиц в плазме.

Рис. 121. Функция F в уравнении (34.24)

Самый правый корень ке соответствует плазменным колебаниям, в которых участвуют в основном электроны. Поскольку Cg/c(~ ~ \1м^те > 1, то в районе этого корня в ионных членах функции F(oa) можно в знаменателях отбросить к2 с?, оставив ы3. Тогда уравнение F- 1 приобретает вид

<оа.

-— = 1 - — Ем3 и1 —к1 с1to1 j

е

откуда методом последовательных приближений найдем [ср. (1.23)]

ы3*Е ы3 + кас3.(34.25)

а

Таким образом, в плазме со многими сортами ионов роль плазменной частоты играет о0 = >/2ыа > которая только на поправку порядка т/М отличается от электронной ые. Из уравнения (34.25), казалось бы, можно сделать вывод, что в редкой плазме при па -* О получаем ы - ■ ксе, что соответствует электронному звуку. Однако такой вывод был бы неверным, и электронного звука не существует.

Иными словами, последний член в уравнении (34.25) всегда следует рассматривать как малую поправку, и поэтому более правильно записывать эту формулу в виде

u2 = u^(l + k2c2/to2)-u^U + 'f k2d^),

где d, - V ТеАлпев3' - электронный радиус Дебая. При условии kde ^ 1, т.е. к~ Цк-* de, найдем

° " “° ( 1 + Т" к2 d=); *Ф* Т~ ’V'dk'" ^“о^* (34‘26) так что теперь vrp * 0 и ленгмюровские колебания могут перемещаться по плазме, если Те * 0.

В отличие от электронного ионный звук при некоторых условиях может существовать, и ему соответствует корень (см. рис. 121) ка, для которого считаем ш2 «. к2 с2 и пренебрегаем ы2 в знаменателе электронного члена функции F(o3). Это эквивалентно пренебрежению инерцией электронов, и, предполагая, что в плазме имеются ионы лишь одного сорта, получаем приближенно

F - +

*з <йа-к*е» -к* с*

откуда найдем е?

ы3 * к3 с?+ к3 с?

’ в ыа+к» с»

Считая волны достаточно длинными (ыа> к3 с3, т.е. X ~ 1 /к > Се/ые ~ ~<4), окончательно получаем

Ут,мУт,м(34.27)(34.27)

Ут,м

Ут,м

(34.27)

(34.27)

Кинетическое рассмотрение, проведенное в следующем параграфе, показывает, что этот результат описывает слабозатухающие волны лишь при условии Те > Ть т.е. получается ионный звук с электронной температурой ы - k Vv Те/М<.

Наконец, в многосортной плазме возможен еще один тип колебаний, соответствующий корню kt на рис. 121. Этот рисунок, как уже отмечалось, относится к плазме с двумя сортами ионов G и /3, причем предполагается, что Мх > М2. Ограничиваясь этим случаем, нетрудно видеть, что для kt значение ы3 заключено между особыми точками к3 с? < и3 < к3 с2 и в функции F(u3) два ионных члена примерно компенсируют друг друга, так что

(34.28)(34.28)(34.29)(34.29)F-+» 0„

(34.28)

(34.28)

(34.29)

(34.29)

ыа-каса <а*-кес*

откуда найдем

(с./ы.)а + (с /ы,)а

(^■k3 -1-21—2_

a/^F + a/»,)1

или, если оба иона однозарядны и их плотности равны (пх = п2), то

(34.30)

Различные ионы при этом колеблются в противофазе, так что эти колебания подобны оптическим фононам в кристаллах.

В заключение можно сказать, что в плазме без магнитного поля возможны поперечные колебания с двумя поляризациями; ленгмюровские электронные колебания; ионный звук с электронной температурой, а при наличии ионов нескольких сортов - взаимные колебания разных ионов, сходные с оптическими фононами в кристаллах.

Задаче 1. Оценить плотность электронов в ионосфере Земли, зная из эксперимента, что для дальней радиосвязи вне прямой видимости пригодны длины волн больше 10 м.

(Ответ: л -10’см"3).

Задача 2. Показать, что ионы двух разных сортов в колебаниях типа (34.28) движутся

в противофазе.

— Are-io)Ata,— Are-io)Ata,Решение. Интегрируя по времени формулу (34.20) для скорости та - находим смешение ионов:

— Are-io)Ata,

— Are-io)Ata,

ea /л=a **1«а Екм

Ат -- ■16 + ———— )Вкм-— •

* таи* \а»-к»е^ / ы т„ ы3-к3с=

Здесь учтено, что рассматриваемые колебания продольные с ЕI к. Частота w определяется формулы! (34.30), котору» можно записать в виде (плотности л, 2 и заряды et 2 одинаковые)

иа-*а; ыа_к,са каа J?2L®1«

7^+ФS + C3

Знаменатели ыа - ка са (а • 1,2) имеют, таким образом, разные знаки, и поэтому ионы двух сортов отклоняются в противоположные стороны. Нельзя ли колебания этого типа использовать для осуществления термоядерных столкновений нож» дейтерия и трития в плазме соответствующего состава?

Оценим относительную скорость взаимного движения ионов двух сортов при е - е , "з^

ш-У1-эа--1ы(Дг1-Аг3)-

• ЦМХ ИМ, з 4е(

-ioe, I|B-iВ/ы .

Xw’-J^c* ы* — к*е*/М1-М1

Кинетическая энергия этого относительного колебательного движения в среднем

И „а г 8М, И, I еаЕа

К" 2 ' L^-M,)1 (Ml+M,) J ма •

где |i — приведенная масса. Вели Mt — тритий, еМ, — дейтерий, то множитель в квадратных скобках 48/5 тр ■ 9,6/тр, где тр — масса прогона. Згу энергию, очевидно, следует

сравнить с высотой кулоновского барьера ядра: ^ул-е’/го-ОЛМаВ, откуда получим минимальную амплитуду поля £nun~“Vmp/9,6r0', при которой столкновения приводят к ядерным реакциям. Задана X Рассмотреть затухание волн в электронном газе при Г - 0, считая, что электроны сталкиваются с ионами, причем для одного электрона эффективное число этих 1 столкновений в секунду у • — c-i.

Решение. Столкновения эквивалентны силе трения, и поэтому уравнение движения одного электрона следует записать в виде

mv-e^S-my / т (B~e~luf)»

откуда найдем ie» ’k“ " m(u + iv) ®ku‘

Ток nea A }-е,л,у,-1 —— B-oB,

* e e e m(o*iv) и, следовательно, A lne’ A A A ** A /“« \a

o ■, б; e - о - о • 11 — ———— I g ,

m(u + iv)iu \ы(ы+1ы)/

При этом ы» e e,■ e। -1 .,

x u (и ♦ i o)

где ма- 4лnea/m. Считая, что у мало (v < ы), для продольных волн из уравнения е( - О находим закон дисперсии:

“«/ у

Ua - л ыа 11 _ j

+ i V / О е \<0е

или

ы»б>е-1У/2.

Так как у > 0, то волна затухает по экспоненте

E(t)-Ektoe~itot-E(t)-Ektoe~itot-‘6>et \ -vt/2 к0/ ”‘6>et \ -vt/2 к0/ ”

E(t)-Ektoe~itot-

E(t)-Ektoe~itot-

‘6>et \ -vt/2 к0/ ”

‘6>et \ -vt/2 к0/ ”

Для поперечных волн из уравнения е^ - АР - 0 получим

ыа*ыаыа*ыа1-i1-i— + каса “е /— + каса “е /

ыа*ыа

ыа*ыа

1-i

1-i

— + каса “е /

— + каса “е /

ы еV и®+ к1 с1'ы еV и®+ к1 с1'или /1 V

ы е

V и®+ к1 с1'

ы е

V и®+ к1 с1'

и * уыа*сака — i —

§ 35. Кинетическое описание волн

Наиболее полно свойства среды учитываются кинетическим уравнением

(35.1)(35.1)-5Z-+V — + — 51— ”C(ff)*- vf. dt dr m dv

(35.1)

(35.1)

Здесь С(П) - член столкновений, по порядку равный -V/, где у - = п о vr - число столкновений за единицу времени. В полностью ионизованной плазме кулоновские сечения о = 4nXp® ~ X (е3/Г)2 при больших температурах малы, так что в высокотемпературной плазме часто пользуются бесстолкновительным кинетическим уравнением, полагая у -♦ +0 в уравнении (35.1).

(35.2)(35.2)Если в состоянии равновесия/-/° (т), то при распространении плоской волны вида Е ~ exp [i (к г - о 01 на электроны действует внешняя сила

(35.2)

(35.2)

F-e Е + — [vB] I с

и функция распределения искажается: / -► /° + /'. Поправку /' можно

получить из линеаризованного уравнения

— /'+vV/'+ — Е ——•-Nf'(35.3)

dtm dv

[при нерелятивистских скоростях v < с член с магнитным полем волны в уравнении (35.2) можно опустить]. Полагая /~ exp [1 (kr- «0L из уравнения (35.3) находим

е/т-iu*v*ikvе/т-iu*v*ikv(35.4)(35.4)

е/т

-iu*v*ikv

е/т

-iu*v*ikv

(35.4)

(35.4)

и тогда ток, индуцируемый волной,

1ЮД I ••• ku е lT/dv-1ЮД I ••• ku е lT/dv-dikT-(w + iv)dikT-(w + iv)(35.5)(35.5)

1ЮД I ••• ku е lT/dv-

1ЮД I ••• ku е lT/dv-

di

kT-(w + iv)

di

kT-(w + iv)

(35.5)

(35.5)

а Очевидно, выражение в скобках и является тензором проводимости °кы»так что тензор диэлектрической проницаемости

е-6 + i — о = б +и

*М2 Г di am I ы + iv-kv*М2 Г di am I ы + iv-kv(35.6)(35.6)

*М2 Г di am I ы + iv-kv

*М2 Г di am I ы + iv-kv

(35.6)

(35.6)

В рассматриваемом здесь случае изотропной среды этот тензор имеет вид

а кк 1а fck \

С” ~~ — )Ч-(35.7)

так что свертка выражения (35.6) с тензором А/ка должна дать продольную проницаемость

: е-1+-к1тык1: е-1+-к1тык1ар\к dr, (35.8)дт /ар\к dr, (35.8)дт /

: е-1+-

к1тык1

: е-1+-

к1тык1

ар\к dr, (35.8)дт /

ар\к dr, (35.8)дт /

- поперечную- поперечнуюа свертка с тензором -у (6 - кк/ка)

- поперечную

- поперечную

Зле1 I di тык1 J u + iv -ктЗле1 I di тык1 J u + iv -кт(35.9)(35.9)

Зле1 I di тык1 J u + iv -кт

Зле1 I di тык1 J u + iv -кт

(35.9)

(35.9)

Здесь равновесная функция/0 считается нормированной на плотность электронов п «J /° di.

Для вд удобно выделить продольную и поперечную относительно к компоненты скорости, записав элемент скоростного объема в виде

dt-v^ di^ dvg dV

и введя «(«значение

(35.10)(35.10)/; ^|)-S/0(v|,v1,<l>)v1dv1d» .

(35.10)

(35.10)

Тогда выражение (35.8) принимает вид

61614яеа тка4яеа ткаdV|Vg-(ti*iv)/kdV|Vg-(ti*iv)/k8т18т1(35.11)(35.11)Особенность этого интеграла - наличие полюса в точке Vj = (м + i v)/k. Тогда как у > 0, то этот полюс лежит сверху от действительней еси Vg,Особенность этого интеграла - наличие полюса в точке Vj = (м + i v)/k. Тогда как у > 0, то этот полюс лежит сверху от действительней еси Vg,и даже если пренебрежем столкновениями, полагая v -* +0, те интеграл (35.11) следует вычислить с учетом полуобхода полюса Vg ■ ы/k снизу. Указанное правило принято называть правилом Ландау, в соответствии с которым находими даже если пренебрежем столкновениями, полагая v -* +0, те интеграл (35.11) следует вычислить с учетом полуобхода полюса Vg ■ ы/k снизу. Указанное правило принято называть правилом Ландау, в соответствии с которым находимее♦ ОО 4яеа f d’i тк* J Tg-<»/k♦ ОО 4яеа f d’i тк* J Tg-<»/kd/«d/«4яеа I dA \ - i я :—mk1 \ 8vg /Vg-ы/к4яеа I dA \ - i я :—mk1 \ 8vg /Vg-ы/к(35.12)(35.12)Тот же результат получится, если знаменатель выражения (35.11)Тот же результат получится, если знаменатель выражения (35.11)записать в формезаписать в форме11к —ы/k + iv/k - Um к —ы/k + iv/k - Um (vg-u/k)-iv/k v-»0 (vg-u/k)a + (v/k)a(vg-u/k)-iv/k v-»0 (vg-u/k)a + (v/k)aI ы \■ Re +1 n 6 I ve1.(35.13)Vg-u/fc\ 1 k /Реальная часть и знак $ в выражении (35.12) указывают, что оставшийся интеграл следует понимать в смысле главного значения, и для длинных волн (малые к) его можно вычислить приближенно, даже не конкретизируя вида функции ^:Г d’i а4 к Г “V 8/iJ W Jr ■■■■■■■■■■•■•■■■■■■■■■■■■■■■■■• Ш ■■ •■■■■ Л* ■■•■■■■■^■■•■^^■■■e*^* •J Vg — u/k dvgW J 1 —kvg/u dTgI ы \■ Re +1 n 6 I ve1.(35.13)Vg-u/fc\ 1 k /Реальная часть и знак $ в выражении (35.12) указывают, что оставшийся интеграл следует понимать в смысле главного значения, и для длинных волн (малые к) его можно вычислить приближенно, даже не конкретизируя вида функции ^:Г d’i а4 к Г “V 8/iJ W Jr ■■■■■■■■■■•■•■■■■■■■■■■■■■■■■■• Ш ■■ •■■■■ Л* ■■•■■■■■^■■•■^^■■■e*^* •J Vg — u/k dvgW J 1 —kvg/u dTg

61