Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга предназначена для выпускников средних общеобразовательных учреждений. Ее цель - помочь учащимся старших классов подготовиться к выпускным экзаменам по алгебре и началам анализа, к особой форме итоговой аттестации по математике - единому государственному экзамену!
Недавно возникшая система государственного централизованного тестирования уже прочно вошла в российское образование как технология оценки качества учебных достижений. Подготовить абитуриента к вступительным испытаниям на основе централизованного тестирования - одна из задач этой книги.
О едином государственном экзаменепо математике
Основная цель введения единого экзамена по математике - независимая экспертиза качества знаний и совмещение выпускного (школьного) и вступительного (в высшее учебное заведение) экзаменов. Отсюда и название экзамена «по математике», ведь в 10—11-х классах изучаются курсы «Алгебра и начала анализа» и «Геометрия».
Материалы единого государственного экзамена (ЕГЭ) и выпускного существенно отличаются как по объему, так и по содержанию. В материалы ЕГЭ кроме заданий, соответствующих материалам 10-11 классов, входят вопросы из курсов математики 5-6-х классов, алгебры 7-9-х классов, геометрии 7-9-х классов. Контрольно-измерительные материалы (КИМ) ЕГЭ включают 25 заданий, которые разделены на 3 части. Каждая из частей отличается количеством вопросов, их уровнем сложности и типом представленных задач.
Часть 1-я соответствует обязательному уровню изучения курса «Алгебры и начал анализа» 10-11-х классов, состоит из 13 заданий, подобных тем, которые решались на уроках в школе. Тип заданий: с выбором
ответа, т. е. предлагаются варианты ответов, из которых нужно выбрать один верный.
Часть 2-я содержит 9 заданий, более сложных, чем задания части 1-й. Круг вопросов расширен и соответствует всему школьному курсу математики. Тип заданий: с кратким свободным ответом, т. е. при решении необходимо получить некоторое число и записать его в соответствующее место бланка ответов.
Часть 3-я содержит всего три задания самой большой сложности. Это задания с полным свободным ответом, которые необходимо записать на специальных отдельных листах, выдаваемых при сдаче экзамена.
Задания частей 1-й и 2-й оцениваются одним баллом, задания части 3-й - от нуля до четырех баллов.
Время на выполнение экзаменационной работы по математике — три часа (180 минут).
Задания во всех частях расположены по нарастающей степени сложности.
Оценка за ЕГЭ выставляется по стобалльной шкале, на основе полученных выпускником баллов. Именно эту оценку он увидит в свидетельстве о сдаче ЕГЭ. По специальной шкале эта оценка пересчитывается в привычную пятибалльную, которая будет выставлена как итог выпускного экзамена.
Дорогие выпускники!
Работа с книгой потребует от вас не только настойчивости, выдержки и упорства, но и подарит вам огромную радость самостоятельных открытий, поможет самоутвердиться, даст почувствовать, что вы многое можете! Дерзайте, все в ваших руках! У вас все получится! Надо только немножко потрудиться, успех обязательно придет, верьте в себя!
Советы опытного преподавателя
На вопрос как лучше использовать это пособие в работе, позвольте дать вам несколько советов.
Прежде чем приступить к изучению очередной главы, сделайте для себя листок-шпаргалку. Он не должен быть маленьким по размеру, на нем четко должны быть записаны основные формулы. Эта шпаргал-
ка поможет вам, находясь все время перед вашими глазами, во-первых, быстрее запомнить основные формулы, во-вторых, сэкономит ваше время, ведь для поиска нужного свойства не нужно будет листать страницы учебника, и, наконец, когда вы отправитесь на экзамен, многие из выписанных вами фактов накрепко «засядут» в вашей памяти, так что потребность в шпаргалке отпадет сама собой.
Постарайтесь осваивать материал не спеша. Лучше в том порядке, как предложено в книге. Если есть необходимость освежать свои знания в произвольном порядке, можно и так, но не забудьте вернуться к пропущенным параграфам.
Внимательно разобрав предложенные примеры, попытайтесь решить их еще раз, но теперь уже самостоятельно. Если в процессе решения у вас возникнут затруднения, незаметно подсмотрите решение. (Никто не заметил? Это важно!) Решайте дальше, у вас все получится! Вы молодец!
Освоив предложенную теоретическую часть и разобранныё примеры, обязательно закрепите свои знания упражнениями для самостоятельной работы. Они помогут вам не только лучше усвоить материал, но и почувствовать «сладкий вкус» математики.
4 Основной метод решения большинства неравенств - метод интервалов. Обратите особое внимание на изучение этого раздела. Совет: «Овладейте методом интервалов — это залог вашего успеха!»
Очень быстро пролетит время^ наступит черед экзамена, что же делать?
Вы можете все знать, и не выполнить правильно весь тест. Этому есть ряд простых объяснений. Любой экзамен заставляет вас пережить стрессовое состояние, и здесь многое зависит от вашей способности собраться и проявить себя. Если вы не сумеете вовремя успокоиться и сказать себе: «Все хорошо! Я все умею! Я смогу в полной мере реализовать свой знания!», будут появляться ошибки по невниманию. Например, дважды три станет равным пяти, а число минус один незаметно превратится в единицу. Примите совет: «Придя на экзамен, скажите себе: «Я много работал! Теперь я все знаю! Я смогу все сделать не спеша!»
Отвечайте на вопросы теста в порядке их предложения. Если некоторые заданйя вызовут у вас затруднения, оставьте их на потом. Сначала выполните все то, что не требует повышенных усилий. Помните, каждое правильно выполненное задание добавляет вам баллы. Не тратьте зря время. К сложным для вас задачам вернетесь позже. Весь тест уже просмотрен, все что смогли - сделали, осталось приложить немного усилий, и все задачи будут решены.
Если все же вам попадутся непосильные задачи, не отчаивайтесь. Когда уже все средства исчерпаны, и вы видите, что решить их не сможете, выберите ответ наугад, а вдруг повезет!
Очень важно при работе с тестом правильно и четко внести ответы в специальный бланк ответов. Перед экзаменом надо обязательно ознакомиться с этим бланком, попробовать его заполнить. Не ленитесь, посетите центр тестирования заранее, побывайте на репетиционном тестировании. Правильное оформление бланка ответов — самое важное при тестировании! Не спешите заполнять его сразу. Заведите отдельный черновик ответов. В конце работы (отведите для этого последние 15-20 минут) перенесите найденные вами ответы в бланк.
4 Не спешите с решениями, внимательно прочитайте условие задачи (двойное прочтение не помешает). При тестировании ваши записи никого не интересуют, тем не менее не экономьте на них время. Решение «в уме» часто приводит к ошибкам, которые при повторных проверках трудно найти.
4 При решении большого количества задач очень важно рационально использовать выделенный вам интервал времени. Решая уравнение, не пытайтесь найти его область определения (так называемое ОДЗ). Проще и быстрее найти корни и сделать проверку, что поможет избавиться от посторонних корней. Проверка - не только вайсная, но и нужная вещь! Ведь если вы случайно сделали ошибку (например, арифметическую), проверка подскажет, что надо вернуться к решению и найти ее. Запомните совет: «При решении уравнений ключевые слова: уравнение - проверкаРЛ»
4 Если требуется найти сумму или произведение корней, и вами при этом получено квадратное уравне-
ние, вспомните теорему Виета. Но при этом не забудьте проверить: «А есть ли корни?» (т. е. определите знак дискриминанта).
4- Наиболее частая ошибка при решении неравенств — умножение (или делении) его обеих частей на выражение, содержащее неизвестную переменную. Если вы не знаете, какой у этого выражения знак (ведь оно зависит от неизвестного), то делать этого нельзя. Вспомним, при умножении на положительное число знак неравенства сохраняется, если множитель отрицателен - знак меняется на противоположный. А каков знак у вашего выражения? Следующий совет: «Перенесите обе части неравенства в одну сторону, вынесите общий множитель за скобки».
4 Если при решении систем неравенств вы получили все неравенства с одинаковыми знаками, вспомните присказку: «Больше большего, меньше меньшего».
4 Коварство показательных и логарифмических неравенств заключается в величине основания степени или логарифма. Не забывайте об этом. Запомните словосочетание: «Коварное основание!!!»
4 Геометрическая интерпретация при решении задач - половина успеха всего мероприятия. Если есть возможность графически изобразить требуемую от вас ситуацию, сделайте это.
Желаем вам успехов!
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫАРИФМЕТИКИ
Признаки делимости чисел
Число делится на 2 (является четным) , если его последняя цифра делится на 2.
Число делится на 4, если две его последние цифры образуют число, делящееся на 4.
Число делится на 5, если оно оканчивается цифрами 5 или 0.
Число делится на 10, если его последняя цифра 0.
Число делится на 25, если две его последние цифры 00, 25, 50, 75.
Число делится на 100, если две его последние цифры 00.
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Число делится на 11, если сумма его цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах, или отличается от нее на число, делящееся на 11.
Пример 1. Найти сумму остатков от деления числа 126450747 на 2, 3, 4, 5, 9, 10 и 25.
Pei126450747 = 126450700 + 47, так как 126450700 де- лится без остатка на 2, 4, 5, 10, 25, то искомые остатки будут равны остаткам от деления 47 на эти числа.
Найдем их: остаток от деления 47 на 2 равен 1.
остаток от деления 47 на 4 равен 3.
остаток от деления 47 на 5 равен 2.
остаток от деления 47 на 10 равен 7.
остаток от деления 47 на 25 равен 22.
Проверим, делится ли число 126450747 на 3 и на 9. Найдем сумму цифр числа: 14-24-64-44-5 + 04-7-Ь + 4 + 7 = 36. Так как число 36 делится и на 3, и на 9,
то данное число также делится на 3 и на 9, поэтому ис • комые остатки равны О,
Итак, сумма остатков равна 1 + 3 + 2 + 7 + 22 = 35
Ответ: 35.
Наибольший общий делительи наименьшее общее кратное
Наибольшим общим делителем (НОД) нескольких чисел называется наибольшее число, на которое делятся все данные числа. Для нахождения НОД можно все числа разложить на простые множители, выбрать совпадающие и перемножить их.
Пример 2. Найти НОД чисел 180 и 168.
Решение.
Разложим числа 180 и 168 на простые множители:
180
2
168
2
90
2
84
2
45
3
42
2
15
3
21
3
5
5
7
7
Итак,
180 =
2 • 2 • 3 • 3 • 5; 168 = 2 • 2 • 2 • 3 • 7.
Общие множители: 2, 2, 3, поэтому наибольший общий делитель равен 2-2-3 = 12.
Ответ: 12.
Наименьшим общим кратным (НОК) нескольких чисел называется наименьшее число, которое делится на все данные числа. Для нахождения НОК можно все числа разложить на множители, затем одно из чисел умножить на те множители в разложении остальных чисел, которые не встречаются в разложении данного числа.
Пример 3. Найти НОК чисел 180 и 168.
Решение.
Воспользуемся разложениями предыдущего примера: 180 = 2 • 2 • 3 - 3 • 5; 168 = 2 • 2 * 2 • 3 - 7. В разложение числа 180 не вошли множители 2 и 7 из разложе-
ния второго числа, поэтому НОК будет равен 180 • 2 х 7 = 2520.
Ответ: 2520.
Проценты числа
Процент - это сотая часть.
Пример 4. Число 200 увеличили на 30%, полученное число увеличили еще на 20%. Какое число получится в итоге?
Решение.
30% числа 200 составляют 200 • 0,3 = 60. Новое число будет 200 + 60 = 260.
. 20% числа 260 составляют 260 • 0,2 = 52. После второго увеличения получим 260 + 52 = 312.
Ответ: 312.
Пример 5. Сколько процентов числа 7 составляет разность между ним и 4% числа 28?
Решение.
Найдем 4% от числа 28. Это будет: 28 • 0,04 = 1,12.
Определим разность 7-1,12 = 5,88. Найдем, сколько процентов числа 7 составляет 5,88, для этого соста
вим пропорцию: Число 7 - 100%, 5,88- х %.
~5,88-100%
Отсюда х == 84%.
Ответ: 84%.
Пример 6. Некоторое число уменьшили на 12% и получили 85. Чему равна величина этого числа (с округлением до 0,01) ?
Решение.
Пусть искомое число х; 12% от х равны х • 0,12.
После уменьшения получим х - х • 0,12 = 0,88х = 85
85
(по условию). Отсюда х = —— = 96,590(90). Округлим 0,88
найденное число до двух знаков после запятой. Так
как третья цифра после запятой 0 (меньше 5) , то значение второй цифры после запятой сохраняется (в противном случае, эту цифру увеличиваем на 1; х = 96,59.
Ответ: 96,59.
Числа и вычисления
Пример 7. Найти наименьшее целое число, которое при делении с остатком на 17 имеет частное 18.
Решение.
При делении некоторого числа на 17 в остатке будем иметь одно из чисел 1, 2, 3, ... , 16. По условию задачи искомое число равно 18-17 + й, где к — остаток. Наименьшим число будет, если к = 1. Получаем 18 • 17 + 1 = 307.
Ответ: 307.
Пример 8. Найти сумму всех целых чисел к, удовлетворяющих неравенству \к\ < 10, для которых число к + Зк - 10 делится нацело на 49.
Число к2 + Зк - 10 = (к - 2) (к + 5) делится на 49, если один из его множителей делится на 49 или каждый из множителей делится на 7.
То есть
к - 2 = 49н, п е Z, или
к + 549m, m е Z, или
3)3)к - 2 = Чп, ne Z, к + 5 = Чт, те Z.
3)
3)
Найдем к,
к = 49п + 2, п G Z,
к = 49m - 5, т е Z,
из второго уравнения системы вычтем первое, получим 7 = 7(т - пр или т - п = 1, т = п + 1, т, п е Z.
Осталось найти п, т, удовлетворяющие неравенству |й|<10.
12,8
"TZ-n- — ,n<Z=}Ti = O.
4949
Отсюда к = 2.
к = 49m - 5, m е Z и |49т -5| < 10
-10 < 49т- 5 < Ю
-5 < 49т < 15
554949Отсюда к = -5.Отсюда к = -5.15491549ш — целое => т = 0.ш — целое => т = 0.
5
5
49
49
Отсюда к = -5.
Отсюда к = -5.
15
49
15
49
ш — целое => т = 0.
ш — целое => т = 0.
к = 7л + 2, n е Z, к = 7т -5, т е Z, m = п + 1.
\к\ < 10.
Подставим во второе равенство значение m равное п + 1, получаем к = 7(п + 1) - 5, к = 7п + 2, т. е. получили первое равенство.
|й| < 10, т. е. \7п + 2| < 10, -10 < 7п + 2 < 10,
128
-12 < 7п < 8, п< - , ne Z.
Следовательно, п е {-1; 0; 1}. Отсюда к е {-5; 2; 9}.
Сумма всех к равна -5 + 2 + 9 = 6.
Ответ: 6.
Пример 9. Укажите наименьшее целое число К, при й 12^2 + 5АГ + 23
котором дробь -—-—-является целым чис-
ЛОТ/i»
Решение.
Выделим целую часть в данной дроби. Разделим числитель дроби на знаменатель.
12К2 + 5К + 23 |ЗК + 2
12К2 + 8К riK^l ЗК + 23
-ЗК- 2
25
ПолучилиПолучили127^2 +57^ + 2325
Получили
Получили
—= 4 К - 1 +.
ЗК + 2ЗК + 2
Дробь будет целым числом, если ЗК + 2 = ± 25; ± 5; ±1. Наименьшее значение К соответствует наименьшему значению выражения ЗК + 2. Найдем К.
27
ЗК + 2 = -25, К == -9.
3
Ответ: К = -9.
Упражнения для самостоятельной работы
Найти сумму остатков, получающихся при деле- нии числа а на 2, 4, 5, 9, 10, 25:
а = 2736455478346791;
а = 1933650632;
а = 92837461053;
а = 1029387456.
Найти частное от деления наименьшего общего кратного чисел а и Ъ на их наибольший общий делитель:
а) а = 6300, Ъ = 990; б) а = 2520, Ъ = 1188;
в) а = 2600, b = 2100; г) а = 270, b = 207.
Найти сумму наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел а и Ъ;
а) а = 600, Ъ = 1260; б) а = 250, b = 300;
в) а = 126, Ъ = 138;г) а = 400, b = 500.
Сколько процентов числа 3 составляет разность между ним и 3% числа 20?
18% числа 10 равны 15% числа с. Найти с.
После увеличения числа на 17% получили 108,81. Исходное число равно
93,05; 2) 93;3) 94;4) 92;
92,86.
Число увеличили на 15%, получив в результате 87. Исходное число с точностью до 0,01 равно 1) 75,66; 2) 74,92; 3) 76,55; 4) 75,65;
76,45.
Некоторое число уменьшили на 14%, получив в результате 95. Это число (с округлением до 0,01) равно
1)110,46; 2)110,44; 3) 109,59; 4)110,50;
110,47.
Найти наибольшее целое число, которое при делении с остатком на 21 имеет частное 16.
Укажите сумму всех целых чисел К, при которых
, 6К2 -13^-5
дробь является целым числом.
ЗК +4
Укажите наибольшее целое число К, при котором „ 12К2+11К-1
дробь ——- является целым числом.
Укажите количество целых чисел К, при которых №2+14К-1
дробьявляется целым числом.
5К — 2
Укажите наименьшее целое число К, при котором _ 42ЛГ2 +№ + 43
дробь -—— является целым числом.
7К — 2
Найти сумму наибольшего и наименьшего целых чисел К, удовлетворяющих неравенству |К| < 20, для которых число оК2 + К - 2 делится нацело на 7.
Ответы,:
1. а) 22;
б) 13;
в) 14;
г) 16;
2. а) 770;
б) 2310;
в) 364;
г) 870;
3. а) 12660; б) 1550;
в) 2904;
г) 2100
4. 80%;
5. 12;
6. 2);
7. 4);
8. 5);
9. 356;
10. -10;
11. 1;
12. 1;
13. -7;
14. 1.
2. ТОЖДЕСТВЕННЫЕПРЕОБРАЗОВАНИЯАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
2.1. Теоретические положения
Формулы сокращенного умножения
(а + Ь)2 = о2 + 2аЪ + Ь2 ;
(а - Ь)2 = а2 - 2аЬ + Ь2;
а2 - Ъ2 = (а + 6) ■ (а - 6);
(2.1)
(2.2)
(2.3)
а3 + Ь3 = (а + b) - (а2 - ab + Ь2); а3 -Ъ3 = (а - 6) • (а2 + ab + б2); (а + б)3 = а3 + 3a2b + ^ab2 + Ь3;
(а + б)3 = а3 + Ъ3 + ЗаЬ(а + Ь);
(а - Ь)3 = а3 - За2Ь + ЗаЬ2 - Ь3; (а - Ъ)3 =а3 -Ь3 - ЗаЬ(а - Ь).
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.6.1)
(2.7)'
(2.7.1)
Определения
Определение 1. Если п - натуральное число (и 6 N), то ап = ааа ■•..• а .(2.8)
п множителей
Определение 2. Если а * 0, (п е N),
ап = —. ап Определение 3. Если а * 0, а0 = 1.
(2.9)
(2.10)
Определение 4. Арифметическим корнем n-й степени (где п е N, п Ф 1) из числа а > О называется неотрицательное число д/а , n-я степень которого равна а:
(^)"=а.(2.11)
Замечания:
Если а < 0 и п - нечетное, п е N, п Ф1, то под корнем д/а будем понимать отрицательное число, такое, что (у[а)п = а.
Например, л/- 64 = -4, так как -4 < 0 и (-4)3 = -64.
Если п — четное, п е N, то при а < 0 лГа не существует.
>[а принято обозначать Va.
2^a^ = |a|, где п е N, а - любое число.
Определение 5. Степень с рациональным показателем определяется равенством:
ал =^,(2.12)
где а > 0, п е N (п Ф 1), т е Z ^2- множество целых чисел).
(2.13)(2.14)(2.15)(2.16)(2.13)(2.14)(2.15)(2.16)Свойства арифметического корня
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
mini nlml mnlл
Vva = yva = va, a > 0.
Свойства степенис действительным показателем
Если р, q - действительные числа (т. е. р е R, q е R) и а >0, Ъ > 0 , то
ap-aq=ap*q;-(2.17)
(2-18)
(apy = apq;(2.19)
(а • by = ар • №;(2.20)
= ^L(2.21)
W bp
а-р = —.(2.22)
ар
Замечание. Формулы (2.17) - (2.22) остаются справедливыми и при а < О, b < 0, если их левые и правые части имеют смысл.
Например, ар • aq = ар* q, если ре N,qe N, а-любое число.
Нахождение значенийчисловых выражений
„. „1,6 0,4-0,4
Пример 1. Вычислить: z.
1,42 - 2,62
Решение.
1-й способ:
1,60,4-0,4 = 0,64-0,4 _ 0,24 =
1,42 - 2,62 " 1,96 - 6,76 " - 4,8 ~ ’ ;
2-й способ: Знаменатель дроби преобразуем по формуле разности квадратов (2.3).
1,6 0,4-0,4 _0,4 (1,6-1)0,4-0,6 _
1,4 2 - 2,62(1,4 + 2,6) • (1,4 - 2,6) " 4 • (-1,2) "
Ответ: -0,05.
Пример 2. Вычислить:Пример 2. Вычислить:27-(1,73 -1,53)5,12 + 5,1 • 4,5 + 4,52'27-(1,73 -1,53)5,12 + 5,1 • 4,5 + 4,52'
Пример 2. Вычислить:
Пример 2. Вычислить:
27-(1,73 -1,53)
5,12 + 5,1 • 4,5 + 4,52'
27-(1,73 -1,53)
5,12 + 5,1 • 4,5 + 4,52'
Решение.
Числитель преобразуем по формуле (2.5), учитывая, что 27 = З3 и свойство (2.20).
27 (1,73-1,53)З3-(1,73 -1,53)
5,12 + 5,1 • 4,5 + 4,52"" 5,12 + 5,1 • 4,5 + 4,52
5,13-4,53
= 5,12 + 5,1-4,5 + 4,52“
(5,1-4,5) • (5,12 + 5,1-4,5+ 4,52)
= =5- =5,1 - 4,5 = 0,6.
5,12 + 5,1 • 4,5 + 4,52
Ответ: 0,6.
Пример 3. Вычислить: З2 : З"1 -1253/3 - 5 ■ 5-3 + (V7)° • Решение.
З2 : З1 - 1252/3 - 5 • 5*3 + (Vt)° = З2”™ - (53)2/3 -
-51 + (-з) + 1 = 27-25- ^+1 = 3-^ = 2^.
525225
Здесь мы воспользовались формулами (2.18), (2.17), (2.10), (2.19), (2.9).
24
^162:^162:Ответ: 2 — .
^162:
^162:
Пример 4. Упростить выражение:
Реньени-в»
Используя формулы (2.14), (2.16), (2.12), (2.13),
получим:
</162 : </0£ + Д^ = ^62</162 : </0£ + Д^ = ^62• 2 + 518/6 =• 2 + 518/6 =
</162 : </0£ + Д^ = ^62
</162 : </0£ + Д^ = ^62
• 2 + 518/6 =
• 2 + 518/6 =
= </81-4 + 53 = </81 ■ </4 +125 = </F ■ VF +125 =
= 3-22/4 +125 = 3-21/2+125 = 3V2+125.
Ответ: ^ +125 •
Пример 5. Вычислить:Пример 5. Вычислить:</791+з7з • <№1 - Зл/з.</791+з7з • <№1 - Зл/з.
Пример 5. Вычислить:
Пример 5. Вычислить:
</791+з7з • <№1 - Зл/з.
</791+з7з • <№1 - Зл/з.
Решение.
№1+зУз -^Уэ!-зУз =
= ^(Уэ! + зУз) • (УэТ - зУз) = ^(УэТТчзУ^ =
= ^91-9-3 = V91 - 27 = Уб4 = ^ = 4.
В преобразовании под знаком кубического корня использовали формулу (2.3).
Ответ: 4.
Пример 6. Освободиться от иррациональности в знаме- УК + Уз нателе: -5=
Уз - Уз
Решение.
Используя основное свойство дроби, умножим числитель и знаменатель дроби на J2 + УК :
УК + Уз (УК + УК) • (УК + УК) (УК + УЗ)2
УК - Уз ~ (УК - УК) • (УК + УК) = (УК^К^/К^ =
_ (УК)2 + 2УК • УК + (УК)2 З + зУб+З с о г-
— 5 - 2V6 .
Ответ: - 5 - 2 Уб .
Замечание: Решение примера показывает, что освобождение в дроби от иррациональности вида УК ± УК осуществляется путем умножения числителя и знаменателя этой дроби на так называемое сопряженное выражение УК + УК , так как (УК ± УК) • (УК + Jb) = = (УК)2 - (УК)2 = а - Ь.
Пример 7. Вычислить ^28 - 1оУК • (5 + УК).
Решение.
В подкоренном выражении выделим полный квадрат. Так как (а - b)2 = а2 - 2аЬ + Ь2, то слагаемое 1оУК может только соответствовать выражению 2а&. Разложим второе слагаемое подкоренного выражения на
множители, выделив в качестве первого множители число 2, в соответствии с указанной выше формулой. Получаем
28 - 10л/3 = 28 - 2 • 5 • Vs = 25 + 3- 2- 5- V3 = = 52 - 2 ■ 5 ■ V3 + (VS)2 = (5 - VS)2.
Отсюда
V28-10V3 • (5 + VS) = V(5-VS)2 - (5 + V3 ) =
= |5-Vs|-(5 + V3) = (5-V3).(5 + V3) = 52 - (V3)2 = = 25 - 3 = 22.
Ответ: 22.
Упражнения для самостоятельной работы
Вычислить:
3,52 - 2,52 .4-(0,82 -0,8.1,7 + 1,72) .
11 0,8 • 0,6 - 0,6 ’‘1,6 + З,43
25,33 -13,73 .
11,6
8.5j2V2 • (V7 - Л) -.
9.7б4 - 14V5 • (V5 + 7); 10. 2V3 - з/21-12д/3 ;
11. V3 + 2V2 - V2 ;12. V88 - 30V? - 3V7 .
Освободиться от иррациональности в знаменателе:
13.15.13.15.14.16.14.16.Уб-Ут",
13.
15.
13.
15.
14.
16.
14.
16.
Ответы:-50;1,44;6;3;3 + 2У2 ;5 + 2 Уб .Ответы:-50;1,44;6;3;3 + 2У2 ;5 + 2 Уб .2. 0,2;5. 289;8. 2;11. 1;14. У35- 6;2. 0,2;5. 289;8. 2;11. 1;14. У35- 6;1521;76.-33-;44;12. -5;15.У15-4;1521;76.-33-;44;12. -5;15.У15-4;Уб + У? ’ гУз + 3У2 зУ2 -2Уз
Ответы:
-50;
1,44;
6;
3;
3 + 2У2 ;
5 + 2 Уб .
Ответы:
-50;
1,44;
6;
3;
3 + 2У2 ;
5 + 2 Уб .
2. 0,2;
5. 289;
8. 2;
11. 1;
14. У35- 6;
2. 0,2;
5. 289;
8. 2;
11. 1;
14. У35- 6;
1521;
7
6.-33-;
44;
12. -5;
15.У15-4;
1521;
7
6.-33-;
44;
12. -5;
15.У15-4;
Преобразования рациональныхалгебраических выражений
Определение. Алгебраическое выражение называют рациональным, если оно содержит переменные, над которыми производятся только операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.
Основные методы упрощения таких выражений поясним на примерах.
„ ч5х2 - 7х - Ьху + Ту
х - ух - уПример 1. Упростить выражение:
х - у
х - у
Решение.
Сгруппируем слагаемые в числителе по парам так, чтобы, после вынесения за скобки общих множителей из каждой пары, можно было бы преобразовать числитель в произведение:
5х2 - 7х - 5ху + 7у (5х2 - 7х) - (5ху -7 у) х-уХ-у
х • (5х - 7) - у • (5х - 7)(5х - 7) • (х - у)
= = 5.
Х-уХ-у
Ответ: 5х - 7*
х4 - 43
Пример 2. Упростить выражение: + 2 • (х + —) .
х2 + 22
Решение.
х4 - 4х2 + 2х4 - 4х2 + 2(х2)2-22 х2 + 2(х2)2-22 х2 + 2+ 2х + 3+ 2х + 3
х4 - 4
х2 + 2
х4 - 4
х2 + 2
(х2)2-22 х2 + 2
(х2)2-22 х2 + 2
+ 2х + 3
+ 2х + 3
(х2 - 2) • (х2 +2)„
= Н- + 2х + 3 = х2 - 2 + 2х + 3 = х2 +2
= х2 + 2х + 1 =(х + I)2.
При решении использовали формулы (2.3) и (2.1).
Ответ: (х + I)2.
Замечание: Для упрощения выражения примера 2 нецелесообразно приведение слагаемых к общему знаменателю без предварительного сокращения дроби. Это следует иметь в виду и в дальнейшем: перед приведением дробей к общему знаменателю следует проанализировать, можно ли эти дроби предварительно сократить.
Пример 3. Упростить выражение
(
\/99\99
х-у х+ух2 + у2. х" +у2
1р 1 ее х + у х - у J 2ху J ху Решение.
х+у Х-ух2 - 2ху + у2 + х2 + 2ху + у2(х + уХх - у)х+у Х-ух2 - 2ху + у2 + х2 + 2ху + у2(х + уХх - у)х * £±^11 _ (~ ~ uf + (^ + у)2 . (х + у)(х - у)
х+у Х-ух2 - 2ху + у2 + х2 + 2ху + у2(х + уХх - у)
х+у Х-ух2 - 2ху + у2 + х2 + 2ху + у2(х + уХх - у)
= 2-(х2 +у2) .
(х + уХх-уУ
) ^±У^1 + 1\2^у = x^+y^+2xy = (x + y)2 . 2xy2xy2xy
(x + yXx-y} 2xy xy
_2(x2 +y2)(x + y)2 - xy _ x + y
(x + y)(x - y) • 2xy • (x2 + y2) X - у '
Ответ: 50—У-.
x-y
Пример 4. Упростить выражение
a2 9 - a2 27 + a3 („ , a2 + ; 3 4- .
+ a a - 3a 3 - a 3 - a
Решение.
з\з-« += 9 - 3a + a2.
a 3 - a
a2 9 - a2 _ a2 • (3 - a)(3 + a) _ _
3 + a a2 - 3a (3 + a)a(a - 3)
27 + a3 9 - 3a + a2 _ (33 + a3)(3 - a) _ 3-a3-a(3 -a)(9-3a + a2)
(3 + a)(9 — 3a + a2)
=—_= 3 + a;
(9 - 3a + a2)
-a + (3 + a) = 3.
Ответ: 3.
Пример 5. Доказать, что если а + b + с = 0, то
а3 + Ь3 + с3 = ЗаЬс.
Решение.
Так как a + & + с = 0, то с = -(а + 6). По формуле (2.6.1) получим: с3 = -(а3 + 63 + ЗаЫа + &)), или с3 = -а3 - Ь3 - ЗаЪ(а + 6).
Отсюда: а3 + 63 + с3 = -ЗаЪ^а + У) = ЗаЬс, что требовалось доказать.
1. 2;1. 2;2,— а2,— аS.q4q- рУS.q4q- рУ5. -—2-х5. -—2-х2(х + г/) х + ху + у2(х + г/) х + ху + у
1. 2;
1. 2;
2,— а
2,— а
S.q4q- рУ
S.q4q- рУ
5. -—2-х
5. -—2-х
2(х + г/) х + ху + у
2(х + г/) х + ху + у
Упражнения для самостоятельной работы
Упростить выражения:
6х2 - Зхг + Юх -52 z
Зх2 + 5х х ’
( 6а +1 6а -1 ) а2 - 36
4~ •
а2-6а а2 + 6а J а2+1
7.7.а3-15а2+75а-125
7.
7.
Упростить выражение -
а2 -10а+ 25
25„1
4- и наити его значение при а = —
а + 52
Ответы.:
21
а е 1
а + 5 ’ 22
.4. Преобразование иррациональныхалгебраических выражений
Определение. Алгебраическое выражение называется иррациональным, если оно содержит операции извлечения корня или возведения в степень с рациональным (не целым) показателем над переменными, от которых оно зависит.
Решение.Используя свойства корней и степеней, получим:Решение.Используя свойства корней и степеней, получим:Ответ: а.Ответ: а.Пример 1- Упростить выражение:
Решение.
Используя свойства корней и степеней, получим:
Решение.
Используя свойства корней и степеней, получим:
Ответ: а.
Ответ: а.
хи,° _ х 1-х Пример 2. Доказать тождество — +— =
1 X 1 ос
= 2х0,5 + 1.
Решение.
X0'5 -X 1-х _ х°’5(1 -X0’5) Г -(X0’5)2
- X0,5 + 1 - X0’5 “1 - X0'5+1 - X0’5
(1 X )
Пример 3. Упростить выражение
Решение.
Ax x-1 зг- (^)3-l2 ar-
з[~2 , з,з[~2 , з,з/"~Vxз/"~Vx1+^=~^t ; + ^ =[см- ф- <2-5>з =
з[~2 , з,
з[~2 , з,
з/"~
Vx
з/"~
Vx
зг~:т мх = -мх + -мх
Mx -1
^Ix +1 = ^jx +1^, [см. ф. (2.1)].
2)+ l)2 •12)+ l)2 •1№2-i2№2-i2
2)+ l)2 •1
2)+ l)2 •1
№2-i2
№2-i2
з,з,= [см. ф.(2.3)] =
з,
з,
-If £_1>
x 3 2x6 -3x 6
Пример 4. Упростить выражениеПример 4. Упростить выражениеРешение.-If &-1x 3 2x6 - 3x 6Решение.-If &-1x 3 2x6 - 3x 61_12х2 -Зх 21_12х2 -Зх 2-15+iX 6 2x6 6 - 3-15+iX 6 2x6 6 - 3331_12х2 -Зх 21_12х2 -Зх 2-if 1+1х 2 2х2 2-3-if 1+1х 2 2х2 2-3_1_1x 3 6(2x-3) _1x 2 (2x - 3)Ответ: 1._1_1x 3 6(2x-3) _1x 2 (2x - 3)Ответ: 1.ххXX_1. 2712_1. 2712= 1.= 1.
Пример 4. Упростить выражение
Пример 4. Упростить выражение
Решение.
-If &-1
x 3 2x6 - 3x 6
Решение.
-If &-1
x 3 2x6 - 3x 6
1_1
2х2 -Зх 2
1_1
2х2 -Зх 2
-15+i
X 6 2x6 6 - 3
-15+i
X 6 2x6 6 - 3
3
3
1_1
2х2 -Зх 2
1_1
2х2 -Зх 2
-if 1+1
х 2 2х2 2-3
-if 1+1
х 2 2х2 2-3
_1_1
x 3 6(2x-3) _1
x 2 (2x - 3)
Ответ: 1.
_1_1
x 3 6(2x-3) _1
x 2 (2x - 3)
Ответ: 1.
х
х
X
X
_1
. 2
71
2
_1
. 2
71
2
= 1.
= 1.
Пример 5. Упростить выражение
ah== а + Vat1ah== а + Vat1а-Ъа-Ъ
ah== а + Vat1
ah== а + Vat1
а-Ъ
а-Ъ
Решение.
Здесь мы воспользовались тем, что Jb = y[b2 = (Уб)2.
Ответ: а^Ъ(л[а + Mby
Пример 6. Упростить выражение
11 я2 +2)„
+7=- • (а2 + а + 1). ^(l + Vn) 2(1-Уя) 1 - а3 j
Решение.+ iV+v“ _ Уа+i+Уа? 2(1 + Уя) 2(1-Уя)2 (1 + Уя) (1 - Уа)
(1 - а) 1 - а ’
1 -=_ а2 + 2V
1-я 1 - а3 1-а(1 - а) (1 + а + а2)
l + a + a-g2-2 a -1i
(1 - a) (1 + a + a2)(1 - a) (1 + a + a2) l + a + a2 ’
1
Ответ: -1.
Пример 7. Упростите выражение
х - 9х + 9- 6-Ухх - 9х + 9- 6-Ух• (Ух + 3) 1 .• (Ух + 3) 1 .
х - 9
х + 9- 6-Ух
х - 9
х + 9- 6-Ух
• (Ух + 3) 1 .
• (Ух + 3) 1 .
Решение.
Числитель дроби разложим на множители как разность квадратов [ф. (2.3)], в знаменателе выделим полный квадрат [ф. (2.2)].
х - 9х + 9 - 6-Ухх - 9х + 9 - 6-Ух• (Ух + зг1• (Ух + зг1
х - 9
х + 9 - 6-Ух
х - 9
х + 9 - 6-Ух
• (Ух + зг1
• (Ух + зг1
= ^У^ 3) (Ух 4-3)1(УУ _ з) (^ + 3)
(Ух)2-2-з-УУ-ьз2'(УУ4-3) ~ сУУУзЛУГТз)
Ух - 3
Ответ: —=
Ух - 3
Пример 8. Упростите выражение
8 - х-Ух8 - х-УхРешение.Решение.хУх 4- 2х 4- 4-УххУх 4- 2х 4- 4-Ух4- 2х 4- 4-Ух4- 2х 4- 4-Ух2-Ух 4- хх 4- 4 4- 4-Ух2-Ух 4- хх 4- 4 4- 4-Ух
8 - х-Ух
8 - х-Ух
Решение.
Решение.
хУх 4- 2х 4- 4-Ух
хУх 4- 2х 4- 4-Ух
4- 2х 4- 4-Ух
4- 2х 4- 4-Ух
2-Ух 4- хх 4- 4 4- 4-Ух
2-Ух 4- хх 4- 4 4- 4-Ух
(2 - Vx)(4 + 2Vx + x) ( 4x 2 - Vx 2 + Vx
Vx(4 + 2Vx+x) ^(2 + Vx) J Vx Vx
22 - (Vx)2 = 4-x = A _ i ОС ОС
При решении использовали формулы (2.1), (2.5).
4 ,
Ответ:-- 1-
Пример 9. Найти значения выражения Vi -8 -7^-2 ,
если ylt - 8 + Vi - 2 =12.
Решение.
Перемножим искомое и заданное выражения. Получим (Vf - 8 - Vt-2) • (Vt-8 + Vt - 2) = [ф. (2.3)] = = (Vt-8)2 - (Vz-2)2 = ( - 8 - (t — 2) = < - 8 - t + 2 = -6. -6-6
Отсюда Vf — 8 — Vt — 2 = ;/~ = -— = -0,5.
Vt-8 + Vt-2 12
Ответ: —0,5.
Упражнения для самостоятельной работы
Упростить выражения:
У^5^_9х1'5- 2х1,5 -16
g ’' X0’5 - 2 + х - 4
3 х° -ь- +4х .) .4 Ух, - Ух , . (жу)Ч;
2х7 +8х 77х
1
и. Упростить выражение ^1 + £Ц_ ивычис 1 + а2 1 + а2
лить его значение при а = — .
Вычислить значение выражения
_а= + Ь2 , а~! . з^^Т^
(а2 - „О)} ИМ ++Г+^ ПРИ ° " 2’4; " " °’6'
Найти значение выражения Vt + 6 + Vf - 2 если Vf + 6 - ЦТ?/ = 2 .
Ответы:
l.3Jy ;2.x + 4; 3.0,5;4.-1;
1
5-3/77 ’ 6‘ 1;71 3?8.x -у;
„ 3V х,—1
101 10;11.27^-1,1;
12.324;13.4.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Квадратные уравнения
Уравнение вида ах2 + Ьх + с = 0, (3.1) где а, Ь, с - известные числа, а ^ О называется квадратным. Корни квадратного уравнения находятся по фор
муле:
(3.2)(3.2)-b + JD
(3.2)
(3.2)
Xi о = ~
1,2 2а
где D - дискриминант квадратного уравнения, D = Ь2 - 4ас.(3.3)
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два раз
личных действительных корня ^ ^ х2.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два равных корня
b
•^i — 4 — — 2а '(3-4)
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
В дальнейшем под корнями уравнения будем подразумевать действительные корни. Поэтому в случае D < О будем говорить: «Квадратное уравнение не имеет корней».
Если коэффициент b является четным числом, т. е. b = 2/?, то корни квадратного уравнения целесообразно находить по формуле:
(3.5)(3.6)(3.5)(3.6)-к±
(3.5)
(3.6)
(3.5)
(3.6)
где DT = к2 - ас.где DT = к2 - ас.42 = -—а
где DT = к2 - ас.
где DT = к2 - ас.
Замечания. Если коэффициенты квадратного уравнения таковы, что:
их сумма равна нулю а + Ъ + с = 0, то корнями такого уравнения будут числа
1с
•^i 1, х2 — ;
а
сумма крайних коэффициентов равна среднему а + с = Ъ, то корнями такого уравнения будут числа
с
хг = -1, Х2 = — .
а
Квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с может быть разложен на линейные множители по формуле:
ах2 -V Ьх + с = а (х - х^х - х2),(3.7)
где xv х2 - корни квадратного трехчлена, т. е. корни уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
Пример 1. Решить уравнение: х2 - Зх - 4 = 0.
Решение.
Уравнение имеет вид (3.1), где а = 1, Ь = -3, с = -4.
По формуле (3.3) находим:
D = b2- 4ас = (-3)2-4 • 1 • (-4) = 9 + 16 = 25 >0.
Уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (3.2):
3 ± 7253±53 + 5.
х, 9 == —-—; х1 = ——- = 4:
Ответ: хг = 4; х2 = —1.
Пример 2. Решить уравнение: 25х2 + 25х + 6 = 0. Pplil РРП1 р
а = 25, 6 = 25, с = 6; D = 252 - 4 • 25 • 6 = = 625 - 600 = 25 > 0;
-25 ±725 -25 ±5-25 + 5 . 2
1,22-25501505’
-25-53
505
Пример 3. Решить уравнение: х - х + 1 = 0.
Решение.
а = 1, Ъ = -1, с = 1 ; D = (-1)2 -4-1-1 = 1- 4 =-3<0, следовательно, данное квадратное уравнение не имеет корней.
Ответ: решений нет.
Пример 4. Решить уравнение: 9х2 - 12 + 4 = 0.
Рр1Ц PH1J р
а = 9,Ъ = -12, с = 4; D = (-12)2 - 4 - 9 • 4 = 144 -144 =
= 0 =+ уравнение имеет два равных корня, определяе-
- 12 _ 12 _ 2 2-9 ~ 18 ~ 3’- 12 _ 12 _ 2 2-9 ~ 18 ~ 3’b
- 12 _ 12 _ 2 2-9 ~ 18 ~ 3’
- 12 _ 12 _ 2 2-9 ~ 18 ~ 3’
мых по формуле (3.4): xi,2 - - 2а
Это уравнение можно решить по формуле (3.5), так как Ъ = -12 - четное число: b = 2(-6), к = -6. По формуле (3.6) Л1 = 36 - 4 • 9 = 0.
6 ± VoПоэтому, Х^з = 6 ± VoПоэтому, Х^з = 629 3629 3
6 ± Vo
Поэтому, Х^з =
6 ± Vo
Поэтому, Х^з =
62
9 3
62
9 3
Ответ: хх = х2 = —.
Пример 5. Решить уравнение: х2 + 32 х - 68 = 0. Решение.
Используем формулу (3.5), где к = 16. По формуле (3.6) Di = 162 - 1 • (-68) = 256 + 68 = 324.
Тогда х12 = —вД*8 = -16 ± 18; хг = - 16 + 18 = 2; х2 = -16 - 18 = -34.
Ответ: хг = 2; х2 = — 34.
Пример 6. Разложить на линейные множители квадратный трехчлен: 16х2 + 15х - 1.
Решение.
Находим корни этого трехчлена: 16х2 + 15х - 1 = 0; D = 152 - 4 • 16 • (-1) = 225 + 64 = 289;
-15±17-15 + 171
х. п —; х. —— —;
3333323216
33
33
-15-17 x„ == -1.
232
По формуле (3.7): 16x2 + 15 x - 1 =
( 1
= 16 • x• (x + 1) = (16x - l)(x + 1).
16 J
Ответ: 16x2 + 15x - 1 = (16x - l)(x + 1).
Пример 7. Разложить на линейные множители: х2 + 14х + 49.
Решение.
Находим корни данного квадратного трехчлена по формуле (3.5): х2 + 14х + 49 = 0;
Xl,2Xl,2-7 + 749-1-49-7 + 749-1-4911= -7 ± VO = -7; Xj = x2 = -7= -7 ± VO = -7; Xj = x2 = -7По формуле (3.7): x2 + 14x + 49 = 1 • (x + 7)(x + 7) = = (x + 7)2.Ответ: x2 + 14x + 49 = (x + 7)2.По формуле (3.7): x2 + 14x + 49 = 1 • (x + 7)(x + 7) = = (x + 7)2.Ответ: x2 + 14x + 49 = (x + 7)2.
Xl,2
Xl,2
-7 + 749-1-49
-7 + 749-1-49
1
1
= -7 ± VO = -7; Xj = x2 = -7
= -7 ± VO = -7; Xj = x2 = -7
По формуле (3.7): x2 + 14x + 49 = 1 • (x + 7)(x + 7) = = (x + 7)2.
Ответ: x2 + 14x + 49 = (x + 7)2.
По формуле (3.7): x2 + 14x + 49 = 1 • (x + 7)(x + 7) = = (x + 7)2.
Ответ: x2 + 14x + 49 = (x + 7)2.
Пример 8. Сократить дробь: —-.
х2 + 5х + 4
Решение.
Разложим числитель и знаменатель дроби на линейные множители по формуле (3.7):
xi,2 4; xi 2 ’ Хг2х2 + 7х - 4 = 2 • х--„V 9х2 + 5х + 4 =0: D = 25xi,2 4; xi 2 ’ Хг2х2 + 7х - 4 = 2 • х--„V 9х2 + 5х + 4 =0: D = 252х2 + 7х - 4 = 0; D = 49 - 4 • 2 • (-4) = 49 + 32 = 81;
xi,2 4; xi 2 ’ Хг
2х2 + 7х - 4 = 2 • х--
„V 9
х2 + 5х + 4 =0: D = 25
xi,2 4; xi 2 ’ Хг
2х2 + 7х - 4 = 2 • х--
„V 9
х2 + 5х + 4 =0: D = 25
(х + 4) = (2х - 1)(х + 4);
- 4 • 1 • 4 = 25 - 16 = 9;
Х12 =-; хг = —1; х2 = —4;
х2 + 5х + 4 = 1 • (х + 1)(х + 4).
m 2х2 + 7х - 4(2х - 1)(х +4) 2х -1
Тогда —:==.
х2 + 5х + 4 (х + 1)(х + 4) х + 1
Л 2х2 + 7х - 4 2х - 1
Ответ: —=.
х2 + 5х + 4 х + 1
х3 + 5х2 - 4х - 20
Пример 9. Сократить дробь: —
х + Зх - 10
Решение.
Числитель данной дроби разложим на множители, используя метод группировки:
х3 + 5х2 - 4х - 20 = (х3 + 5х2) - (4х + 20) =
= х2 (х + 5) - 4(х + 5) =(х + 5)(х2 - 4) = (х + 5)(х2 - 22) =
= (х + 5)(х + 2)(х - 2).
Квадратный трехчлен х2 + Зх — 10 разложим на множители по формуле (3.7):
х2 + Зх -10 = 0; D = 9 - 4 • 1 • (-10) = 49;
-3±7
4,2 ~£> 4 ~ 2; х2 — 5;
х2 + Зх -10 = (х - 2)(х + 5).
(х + 5)(х + 2)(х - 2)(х - 2)(х + 5)(х + 5)(х + 2)(х - 2)(х - 2)(х + 5)+ 2.+ 2.х3 + 5х2.- 4х - 20 Поэтому -—
(х + 5)(х + 2)(х - 2)(х - 2)(х + 5)
(х + 5)(х + 2)(х - 2)(х - 2)(х + 5)
+ 2.
+ 2.
х2 + Зх - 10
= X + 2.
х3 + 5х2 - 4х - 20
Ответ: —
х2 + Зх — 10
Пример 10. Упростить выражение:
За - 1 9а 15а2 -60
^а2-4 За2 + 5а-2)12а+ 1
Решение.
Квадратный трехчлен За2 + 5а - 2 разложим на линейные множители:
- 5 ± 7
За2 + 5а - 2 = 0; D = 25 + 24 = 49; а, 2 = —-—;
а^ —; а2 2,
За2 +5а -2 = 3ТогдаЗа2 +5а -2 = 3Тогда1313• (а + 2) = (За - 1)(а + 2).• (а + 2) = (За - 1)(а + 2).
За2 +5а -2 = 3
Тогда
За2 +5а -2 = 3
Тогда
1
3
1
3
• (а + 2) = (За - 1)(а + 2).
• (а + 2) = (За - 1)(а + 2).
За - 1 9а
1) а2 - 4 За2 + 5а - 2
_ За - Iх30"19av'2
” (а - 2)(а + 2) (За - 1)(а + 2) ~
_ (За -1)2 - 9а(а - 2) _ 9а2 - 6а + 1 - 9а2 + 18а _
~ (а - 2)(а + 2)(3а - 1) “ (а - 2)(а + 2)(3а -1)“
12а+ 1
~ (а - 2)(а + 2)(3а - 1) ’
12а+ 115а2 -60 =
(а - 2)(а + 2)(3а - 1) ’ 12а + 1
= (12а +1) • 15 • (а - 2)(а + 2) =15
(а - 2)(а + 2)(3а - 1)(12а +1) ~ За -1 ‘
Ответ:
За -1 ‘
Упражнения для самостоятельной работыРешить уравнения:Упражнения для самостоятельной работыРешить уравнения:х2 - х - 2 = 0;х2 - Зх + 13 = 0;5. 5х2 + 9х - 2 = 0.х2 - х - 2 = 0;х2 - Зх + 13 = 0;5. 5х2 + 9х - 2 = 0.х2 + 12х + 35 = 0;х2 + 4х + 1 = 0;х2 + 12х + 35 = 0;х2 + 4х + 1 = 0;
Упражнения для самостоятельной работы
Решить уравнения:
Упражнения для самостоятельной работы
Решить уравнения:
х2 - х - 2 = 0;
х2 - Зх + 13 = 0;
5. 5х2 + 9х - 2 = 0.
х2 - х - 2 = 0;
х2 - Зх + 13 = 0;
5. 5х2 + 9х - 2 = 0.
х2 + 12х + 35 = 0;
х2 + 4х + 1 = 0;
х2 + 12х + 35 = 0;
х2 + 4х + 1 = 0;
Разложить на линейные множители:
8. 64х2 + 48х + 9;8. 64х2 + 48х + 9;9. -х2 + 20х - 75.9. -х2 + 20х - 75.Сократить дроби:Сократить дроби:х2 - 5х + 6;7 Зх2 9
8. 64х2 + 48х + 9;
8. 64х2 + 48х + 9;
9. -х2 + 20х - 75.
9. -х2 + 20х - 75.
Сократить дроби:
Сократить дроби:
in ^2 -7х +122х2 -х-1.
х2 - 4х + 3х2 -1
х2-9х + 18х3 - 2х2 - 16х + 32
—;13. ■.
х2-12х + 36х2-6х + 8
Упростить выражение
х2 + х - 6 _х2-25 х + 2
х2-4 х2-Зх-ю] 2
Ответы.:
1. хх =2, х2 = -1;
2. хх -5, х2 = -7;
1
3. корней нет;
4. Ху — х2 — — ;
6. (х - 2)(х - 3);
7. (Зх + 2)(х - 1);
8. (8х + З)2;
х - 4
9. (5 - х)(х - 15);
Ю. . ;
х -1
2х + 1
11»ч 9
X + 1
х - 6
13. х + 4;
14.-1.
3.2. Теорема Виета
Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения ах2 + Ъх + с = 0 равна
'b
х^+х2=—,(3.8)
а
произведение корней равно
с
•^1*^2 =•(3.9)
а
. Сумма корней приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Произведение корней равно свободному члену, т. е.
хх + х2 = -р,(3.8.1)
xxx2 = q.(3.9.1)
Формулы Виета позволяют судить о знаках корней квадратного уравнения.
Пример 1. Составьте квадратное уравнение, если его корни xv = 2, х2 = -5.
Решение.
По теореме Виета хх + х2 = 2 + (-5) = -3 = -р, отсюда р =3.
xtx2 = 2 • (-5) = -10 = у. Находим g = -10. Искомое уравнение х2 + Зх - 10 = 0.
Ответ: х2 + Зх - 10 = 0.
Пример 2. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней кото
рого равенрого равен33
рого равен
рого равен
3
3
Решение.
V3 — 11 v 3
По условию хх = —=— = 1 —— = 1. Тогда,
V3V3 3
V3 исходя из формулы (3.2), х2 = 1 + — .
Используем теорему Виета хг + х2 = -р =
Vs Vs
= 1 —— + 1 + -^- = 2, отсюда р = -2.
= [ф. (2.3)] == [ф. (2.3)] =
= [ф. (2.3)] =
= [ф. (2.3)] =
—, отсюда g = —33—, отсюда g = —33
—, отсюда g = —
33
—, отсюда g = —
33
2
Получили уравнение х2 - 2х + — = 0 .
3
Умножим обе его части на 3, получаем Зх2 - 6х + 2 =0.
Ответ: Зх2 - 6х + 2 =0.
Пример 3. Дано квадратное уравнение х2 +7х + 2 = 0, его корни xv х2. Составьте квадратное уравнение с корнями xt - 2, х2 - 2.
Решение.
По теореме Виета х1 + х2 = -7, хгх2 = 2.
Для составления заданного в условии уравнения используем теорему Виета
(хх - 2) + (х2 - 2) = Xj + х2 - 4 = -7 - 4 = -11.
Отсюда р =11.
(хх - 2)(х2 - 2) = хгх2 - 2хх 2х2 + 4 ххх2 2(хг + , г _ о - 2 • (-7) + 4 =20.+ Х2) +4 р I ) о , 1 1 - 9Л —Л(хх - 2)(х2 - 2) = хгх2 - 2хх 2х2 + 4 ххх2 2(хг + , г _ о - 2 • (-7) + 4 =20.+ Х2) +4 р I ) о , 1 1 - 9Л —ЛОтсюда q = 20. Получили уравнение х2 + Их + 20 =0.
(хх - 2)(х2 - 2) = хгх2 - 2хх 2х2 + 4 ххх2 2(хг + , г _ о - 2 • (-7) + 4 =20.
+ Х2) +4 р I ) о , 1 1 - 9Л —Л
(хх - 2)(х2 - 2) = хгх2 - 2хх 2х2 + 4 ххх2 2(хг + , г _ о - 2 • (-7) + 4 =20.
+ Х2) +4 р I ) о , 1 1 - 9Л —Л
Ответ: х2 + 11х + 20 =0.
Пример 4. Найдите сумму квадратов корней квадратного уравнения Зх + х ~ 10.
Решение.
Разделим обе части уравнения на 3, т. е. получим приведенное уравнение.
1
у2 + _ х= 0. По теореме Виета хг + х2 = - —,
333
XiX2 = —. х2 + х2 = хх + 2xjX2 + х2 — 2xjX2 —
= [ф. (2.1)] = (хг + х2)2 - 2ххх2
7
9 '
Пример 5. Найдите сумму кубов корней квадратного уравнения 15х2 + Юх - 3 =0.
Решение.
Разделим обе части уравнения на 15.
21
Получим х2 4— х = 0.
35
х2 + х2 — [ф.(2.4)] — (х^ + х2)(Х| Х|Х2 + х2) —
= (хх + х2)(х2 + 2ххх2 + х2 - 3x^2) =
= (Х^ + Х2)((Х^ + Х2) ЗХ|Х2) —
2 47 _ 94
3 45 ~ 135"
94
Ответ:
135
Пример 6. При каком значении й уравнение 5х2 + 2йх + 5 = 0 имеет два равных отрицательных корня?
Решение.
- Уравнение имеет два равных корня, если его дискриминант равен нулю. Используем формулу (3.6) Dj = й2 - 25 = 0, находим й = ± 5.
Оба корня отрицательны, следовательно,
Ж1Х2 = — = 1 > 0 И ^1+^2 - а
Следовательно, й > 0.
ПолучилиПолучилий >0, отсюда й = 5.
Получили
Получили
й = ±5,
Ответ: й = 5.
Пример 7. При каком значении й уравнение йх2 - (й - 7)х + 9 = 0 имеет два равных положительных корня?
Решение.
Уравнение имеет два равных корня, если его дискриминант равен нулю.
Используем формулу (3.3) D = (й - 7)2 - 36й = й2 - - 14й + 49 - 36й = й2 - 50й + 49 = 0.
Находим й е {1, 49}.
Оба корня положительны, следовательно, 9й — 7
XjX2 = — > о и х, + х2 => 0 Так как най-
йй
денные значения й положительные, то первое неравенство верно для каждого из них, а второе неравенство выполнятся только для й = 1.
Получили й = 1.
Ответ: й = 1.
Пример 8. При каком значении а,-уравнение х2 + (2а - 1)х + а2 + 2 = О имеет один корень больше другого в два раза?
Решение.
Уравнение имеет два различных корня, если дискриминант больше нуля.
д = (2а. - I)2 - 4(а2 + 2) =4а2 - 4а + 1 - 4а2 - 8 = = -4а - 7 > 0, -4а > 7, а < -7/4.
По условию хг = 2х2, следовательно, хх + х2 = 2х2 + + х2 = Зх2 = -(2а - 1) и ххх2 = 2х| = а2 + 2 .
Зх2 = 1 - 2а,
Получили ■Получили ■2х22х2= а2 +2,= а2 +2,
Получили ■
Получили ■
2х2
2х2
= а2 +2,
= а2 +2,
а < -7/4.
Выразим из первого уравнения х2 и подставим его во второе уравнение, получим
/l-2af ,2(1 - 4a + 4a2)„ п
2 —— = a2 + 2; -1 = a2 + 2;
2 - 8a + 8a2 = 9a2 +18; a2 + 8a + 16 = 0.
Решаем уравнение, находим ax = аг = -4.
Найденное значение удовлетворяет неравенству а < -7/4.
Ответ: a = -4.
Упражнения для самостоятельной работы
Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен:Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен:
Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен:
Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен:
Дано квадратное уравнение х2-12х + 3 = 0, его корни хх, х2. Составьте квадратное уравнение с корнями хх + 1, х2 + 1.
Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения 16х2 - 5х - 10 = 0.
При каком значении к уравнение 7х2 + кх + 3 = 0 имеет два равных отрицательных корня?
При каком значении к уравнение (к + 1)х2 - (& + 9)х + 9 = 0 имеет два равных положительных корня?
При каком значении с корни уравнения 2х2 + 27х + с = 0 удовлетворяют условию 2хт - 7х2 = 0?
Ответы,:
х2 - 4х +1= 0;2.х2— Юх + 5 = 0;
х2 - 6х +2= 0;4.2х23 = 0;
х2 - 14х + 16 = 0;6. 10- 2 + х — 16 =0;
й = 2V2I;8.кЕ{3; 15};
с = 63.
График квадратного трехчлена
Графиком квадратного трехчлена у = ах2 + Ьх + с, а Ф 0 является парабола с вершиной в точке (х0, у0), где
b хо = ~ > Уо = У^оЬ(3.10)
2а
Если а > 0, ветви параболы направлены вверх, при а < 0 - вниз.
Рис. 3.3 ф < 0)
Если квадратный трехчлен записан в виде у = а(х - х0)2 + у0 ,(3.11)
то точка (х0, z/0) - вершина параболы.
Если D > 0, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках (рис. 3.1).
Если D = 0, парабола касается оси абсцисс (рис. 3.2).
При D < 0 парабола не имеет общих точек с осью абсцисс, т. е. лежит выше оси (при а > 0) или ниже (при а < 0) (рис. 3.3).
Пример 1. Найдите сумму координат вершины параболы у = 2х2 — 12х + 11.
Решение.
Используя формулы (3.10), найдем координаты вершины параболы (х0> z/0).
12
хо = 3 , Уо = У(3) = 2 • З2 - 12 • 3 + 11 - -7.
Отсюда, х0 + у0 = 3 + (-7) = -4.
. Ответ: —4.
Пример 2. Найдите'расстояние от вершины параболы у = 3(х + 2)2 - 5 до точки M(l; -1).
Решение.
Используя формулу (3.11), находим координаты вершины параболы А(х0, yQY х0 = -2; у0 = -5. Отметим на координатной плоскости найденную точку А и данную М. Расстояние АМ легко найти, если на координатной плос-k
кости построить прямоугольный треугольник с гипотенузой2
АМ и катетами, параллельны- —i—i—ii—i—i—>
ми координатным осям. Оче-~1 - Af^>-^ х
видно, что длины катетов рав-/\
ны 3 и 4. Тогда по теореме/ ;
Пифагора/ I
АМ = 7з2 + 42 = 725 = 5 . А—!
Ответ: 5.
Пример 3. При каких значениях а парабола у = ах2 - — 4х + 2 не имеет общих точек с осью абсцисс?
Решение.
Задано уравнение параболы, следовательно, а * 0. Парабола не имеет общих точек с осью абсцисс, если ее дискриминант отрицателен, D < 0.
D = (-4)2 - 4 - а • 2 = 16 - 8а < 0; -8а < -16; а > 2 (это неравенство удовлетворяет условию а ^ 0).
Ответ: a G (2; оо).
Пример 4. При каких значениях а парабола у = 9х2 — 12х + 20а касается оси абсцисс?
Решение.
Парабола касается оси абсцисс, если D = 0.
D - (-12)2 - 4 • 9 • 20а - 144 - 720а; а - 0,2.
Ответ: а = 0,2.
Пример 5. Укажите количество целых значений параметра а, при которых абсцисса и ордината вершины параболы у = (х — 2а)2 - а2 — 8а — 15 положительны.
Решение.
Уравнение параболы задано в виде (3.11), т. е. координаты вершины параболы х0 = 2а, у0 = -а2 - 8а - - 15. По условию х0 > 0, yQ > 0. Получаем
2а > 0,
-а2 - 8а - 15 > 0.
Найдем решение второго неравенства.
Уравнения -а2 - 8а - 15 = 0 имеет корни ах = -5, а2 = -3. Решая неравенство методом интервалов, получаем
следовательно, -5 < а < -3.
Система неравенствСистема неравенства > 0,
Система неравенств
Система неравенств
не имеет реше- - 5 < а < -3
ния. Следовательно, количество искомых целых значений параметра а равно нулю.
Ответ: Количество целых значений параметра а равно 0.
Упражнения для самостоятельной работы Найдите произведение координат вершины параболы= 1. у = Зх2 — 6х + 2;2. у = х2 + 5х + 0,25;
у -х2 - 6х + 12.
Найдите расстояние от вершины параболы до точки М:
и = (х — 2)2 + 4; М(—4; —4);
у - 7(х - 5)2 - 3; М(5; 8);
у - (х + 7)2 + 5; М(5; 0).
При каких значениях а парабола не имеет общих точек с осью абсцисс?
т/ = ах2 + 4х + 5;
у =(а + 1)х2 + (а + 1)х + 1;
у = х2 - 4ах + 1.
При каких значениях а квадратный трехчлен ах2 4- (2а - 1)х + а - 2 принимает только отрицательные значения?
Найдите наименьшее целое значение а, при котором квадратный трехчлен (а + 1)х2- (а - 2)х + + За — 4 принимает только положительные зна- - чения.
3;13;а G (-0,5; 0,5);11. а = 2.3;13;а G (-0,5; 0,5);11. а = 2.Ответы:
3;
13;
а G (-0,5; 0,5);
11. а = 2.
3;
13;
а G (-0,5; 0,5);
11. а = 2.
-1;2.15;
10;5. 11;
a G (0,8; -); 8. а G (-1; 3);
а G (-оо; -0,25);
Уравнения,приводящиеся к квадратным
К квадратным уравнениям приводятся уравнения, левая и правая части которых представляют алгебраическую сумму дробей; каждая из дробей является отношением двух многочленов относительно неизвестной х. Такие уравнения называются дробно-рациональными.
При решении дробно-рациональных уравнений следует учесть, что областью определения уравнения яв-
ляются те значения переменной х, при которых знаменатели дробей не обращаются в нуль.
К квадратному уравнению могут быть также сведены некоторые уравнения путем введения новой переменной. Например, уравнение ах4 + Ъх2 + с = 0, где а ^ 0, называемое биквадратным, с помощью замены переменной по формуле х2 = у сводится к квадратному уравнению ay2 + by + с = 0.
333 х — 4
Пример 1. Решить уравнение — 4=.
х х2 -Их х -11 Решение.
Перепишем уравнение в виде
333х-4
—- -|_ ,
х х(х -11) X -11
Отсюда видно, что область определения уравнения составляют те значения х, для которых х # 0, х - 11 ^ 0, т. е. х * 0, х * 11. Приведем дроби в левой и правой частях уравнения к общему знаменателю:
3v-n 33\i х - 4V Зх-ЗЗ + ЗЗ х2 - 4х
— -|_ _ , _ ,
х х(х -11)х -11х(х -11) х(х -11)
Получаем уравнение Зх = х2 - 4х. Решая его, найдем: х2 - 7х = 0; х(х - 7) = 0; Xj = 0; х2 = 7.
Так как число 0 не входит в область определения данного уравнения, то х = 0 не является его корнем. Поэтому единственным корнем уравнения является х = 7.
Ответ: х = 7.
Пример 2. Решить уравнение
х + 3 х - 3 1036
х - 3 х + 3 3х2 - 9
Решение.
Перепишем уравнение в виде:
х + 3 х-31036
1_1
х-3 х + 33 (х - 3)(х + 3)
Область определения уравнения составляют те х, для которых х - 3 * 0, х + 3 ^ 0, т. е. х * ±3. Дроби в левой и правой частях уравнения приведем к общему знаменателю:
x + g ,3(x+3) х _ З\3(х-3) _ 10\(х+3)(х-3)зб\3
х - 3+ х + 33 (х - 3)(х + 3) ’
3(х + З)2 + 3(х - З)2 = Ю(х + 3)(х -3) + 3 • 36
3(х - ЗХхТЗ)3(Х - 3)(х + 3)
При х * —3 получаем уравнение:
3(х + З)2 + 3(х - З)2 = Ю(х + 3)(х - 3) + 108;
3(х2 + 6х + 9) + 3(х2 - 6х + 9) = Ю(х2 - 9) +108;
Зх2 + 18х + 27 + Зх2 - 18х + 27 = Юх2 - 90 + 108;
6х2 + 54 = Юх2 + 18; 6х2 - Юх2 = 18 - 54; -4х2 = -36;
х2 = 9; Xj 2 = ±3.
Числа ±3 не входят в область определения исходного уравнения, поэтому не являются его корнями. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.
Пример 3. Решить уравнение 2101
х2+10х + 25 25-х2х-5'
Решение.
„Квадратный трехчлен х2 + Юх +25 разложим на множители, пользуясь формулой (3.7): х2 + Юх +25 = 0;
х1>2 = -5 ± V25 - 25 = -5 ± 0 = -5; х2 + Юх + 25 = = (х + 5)(х + 5) = (х + 5)2.
Заметим, что это же разложение можно было получить с помощью формулы (2.2) квадрата суммы: х2 + + Юх +25 = х2 + 2 • 5 • х + 52 = (х + 5)2.
2V~5Ю^х+5|\(х+5)2
Имеем уравнение - +=;
(х + 5)2 (х - 5)(х + 5)х-5
х # 5, х + —5.
2(х - 5) + 10 (х + 5) = (х + 5)2; 2х - 10 + Юх + 50 = — х2 + Юх+ 25;
12х + 40 = х2 + Юх + 25; х2 - 2х - 15 = 0;
^1>2 = 1 ± V1 + 15 = 1 + 4 ; Xj = 5, х2 = -3.
Так как хх = 5 не удовлетворяет условию х * 5, т. е. не входит в область определения уравнения, то корнем уравнения является только х = -3.
Ответ: х = -3.
Пример 4. Найти сумму корней уравнения
(2х + 1)(х2 - 7х + 6) =(х - 1)2(х + 0,5).
Решение.
Вынесем из первых скобок левой части уравнения множитель 2. Правую часть перенесем налево с противоположным знаком. Вынесем за скобки общий множитель (х + 0,5).
2(х + О,5)(х2 - 7х + 6) - (х —1)2(х + 0,5) = 0;
(х + О,5)(2(х2 -7х + 6) - (х - I)2) = 0;
(х + О,5)(2х2 - 14х + 12 - (х2 - 2х + 1)) = 0;
(х + О,5)(2х2 - 14х + 12 - х2 + 2х - 1) = 0;
(х + 0,5)(х2 - 12х + 11) = 0.
Произведение равно нулю, когда один из его множителей равен нулю. Заменим полученное уравнение совокупностью уравнений х + 0,5 = 0; х2 - 12х +11 = 0.
Решая эти уравнения, находим хг = -0,5, х2 = 1, х3 = 11.
Сумма корней уравнения равна -0,5 + 1 + 11=11,5.
Ответ: 11,5.
Пример 5. Решить уравнение Зх4 + 5х2 -8 = 0.
Решение.
Данное уравнение является биквадратным. Обозначим х2 = у, тогда х4 = у2 и для определения у получим квадратное уравнение Зу2 + 5у - 8 = 0.
_-5±11.8
Отсюда у112 =-; уг = 1; у2 = -- .
Так как х2 = у, то получим х2 = 1; xt 2 = ±1;
х2 = -8/3 . Это уравнение не имеет корней, так как х2 > 0, а дробь -8/3 < 0.
Ответ: хг = 1, х2 = -1.
Пример 6. Решить уравнение 4(2х +3)4 - 5(2х + З)2 +1 = 0. Решение.
Положим (2х + З)2 = у, тогда уравнение примет вид 4t/2 -5у +1= 0; ^ = 1; у2 = ^ .
Отсюда (2х + 3)2= 1 => 2х + 3 = ±1; 2х = -3 ± 1;
_"3±1.
Xi 2 —, xs 1, х2 2.
(2х + З) = — => 2х + 3 = ±- ; 2х = -3±-;
422 ’
у57
3,42444
,»57
Ответ: х< = —1; х9 = —2; хч =: х. -.
2344
Пример 7. Решить уравнение (х2 + 2х)2 - (х b I)2 = 55. Решение.
(х2 + 2х)2 — ( х2 + 2х + 1) = 55;
(х2 + 2х2) - (х2 + 2х) -56 = 0.
Обозначим у = х2 +2х,
у2 - у -56 = 0; D = 1+ 4 - 56 = 1 + 224 = 225;
± 15
У1,2 - —“; Уг = 8; у2 = -7.
Отсюда х2 + 2х = 8; х2 + 2х - 8 = 0; Bj = 1 + 8 = 9: х12 = -1 ± 3; Xj = 2 ; х2 = - 4;
’ х2 + 2х = -7; х2 + 2х + 7 = 0; Dt =1 - 7 = -6 < 0 =
*'последнее уравнение корней не имеет.
Ответ: хг = 2; х2 = -4.
Пример 8. Решить уравнение
7 + 1 = 0.
(х2 + X + I)2 х2 + X + 1
Решение.
Область определения уравнения составляют те х, для которых х2 + х + 1 Ф 0, но так как В = 1- 4-1-1 = = -3<0=>х2 + х + 1>0 для любого х.
Пусть = У , У > °- Получим квадратное у х + х + 1
_ 1 уравнение: 7у2 - 8у + 1 = 0. Отсюда ух = 1; У2 - ^
11И10Зх2-2 (Зх2 -2)2И10Зх2-2 (Зх2 -2)2
1
1
И10
Зх2-2 (Зх2 -2)2
И10
Зх2-2 (Зх2 -2)2
1
х2 + х + 1 7 • x2 + x + 1 = 7; x2 + x - 6 = 0; x3 = 2; x4 = -3.
Ответ: xt = 0; x2 = -1; x3 = 2; x4 = -3.
Упражнения для самостоятельной работы
Решить уравнения:
1 5 + 2х _ 3 • (х + 1)
' 4х - 3 ~ 7-х ’
Х + 6 + х "" 5 = 2x2 "" 25х + 61 х-5 х + 6 х2 +х-30
4 - х ~5 _ 112
х + 2 х - 2 ” 7 ~ 4 _ х2 ’
36 1318х + 7
~ 1X2+X + 1 X3 — 1
х4 - 9х2 + 20 = 0;
(7х - 5)4 - Ю • (7х - 5)2 + 9 = 0;
2(3х - 1)2-х
2-х + Зх - 1 " 3 ;
Ю. f^ + 4.^--5
2-5х4 - Зх *
Найдите сумму корней уравнения
= г2 -Зх-7.= г2 -Зх-7.
= г2 -Зх-7.
= г2 -Зх-7.
Ответы:
2466. ^ =-, х2 =-, х3 =-2466. ^ =-, х2 =-, х3 =-14223142237. xY = 3 , x2 = 5;7. xY = 3 , x2 = 5;11. 8.11. 8.
246
6. ^ =-, х2 =-, х3 =-
246
6. ^ =-, х2 =-, х3 =-
14223
14223
7. xY = 3 , x2 = 5;
7. xY = 3 , x2 = 5;
11. 8.
11. 8.
Иррациональные уравнения
Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня. При решении иррациональных уравнений применяют метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).
Следует учесть, что при возведении обеих частей уравнения в четную степень (в частности, в квадрат) возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение. Необходимо иметь в виду, что избавиться от иррациональности вида 'Vb можно возведением в степень п, так как (л/b) = b. Этим приемом нельзя избавиться от иррациональности в выражении + с.
Пример 1. Решить уравнение 4х2 + 5х + 1 = 2х - 1. Решение.
В левой части уравнения находится только квадратный корень. Возведем обе части уравнения в квадрат:
( IV
V? + 5х +1= (2х - I)2; х2 + 5х + 1 = 4х2 - 4х + 1;
Зх2 - 9х = 0; х2 - Зх = 0; х(х - 3) = 0; хх = 0; х2 = 3.
Проверка: xv = 0: 7о2 +5-0 + 1 = 1; 2 • 0 - 1 = -1; 1 ф -1 => хг = 0 не является корнем уравнения (посторонний корень).
х2 = 3: 7з2 + 5 - 3 + 1 = 725 = 5; 2 • 3 - 1 = 5; 5 = 5.
Ответ: х = 3.
Пример 2. Решить уравнение 72л: - 3 = 7х - 2 .
Решение.
2
X = 1.X = 1., 2х - 3 = х — 2; 2х — х = 3 — 2,
X = 1.
X = 1.
Проверка: х = 1: V2 • 1 - 3 = 7-1 не существует —■ х = 1 - посторонний корень. Поэтому данное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Пример 3. Решить уравнение /10 + х+^ _ х =- 4Решение.4 •Пример 3. Решить уравнение /10 + х+^ _ х =- 4Решение.4 •Оставим в левой части только ным корнем710 + х + х2 = х + Зх - 4 ; 710 +; f 710 + X + х2 = (4х - 4)2 ;Оставим в левой части только ным корнем710 + х + х2 = х + Зх - 4 ; 710 +; f 710 + X + х2 = (4х - 4)2 ;слагаемое с квадрат-слагаемое с квадрат-2 = 4х - 4;2 = 4х - 4;
Пример 3. Решить уравнение /10 + х+^ _ х =- 4
Решение.4 •
Пример 3. Решить уравнение /10 + х+^ _ х =- 4
Решение.4 •
Оставим в левой части только ным корнем
710 + х + х2 = х + Зх - 4 ; 710 +; f 710 + X + х2 = (4х - 4)2 ;
Оставим в левой части только ным корнем
710 + х + х2 = х + Зх - 4 ; 710 +; f 710 + X + х2 = (4х - 4)2 ;
слагаемое с квадрат-
слагаемое с квадрат-
2 = 4х - 4;
2 = 4х - 4;
^2 = | : J10X2S +5 V= /2561 _ 16 _V 255 " 5 ~^2 = | : J10X2S +5 V= /2561 _ 16 _V 255 " 5 ~Iх55 +Iх55 +1 _ 125 51 _ 125 5
^2 = | : J10X2S +5 V
= /2561 _ 16 _
V 255 " 5 ~
^2 = | : J10X2S +5 V
= /2561 _ 16 _
V 255 " 5 ~
Iх5
5 +
Iх5
5 +
1 _ 1
25 5
1 _ 1
25 5
10 + х + х2 = 16х2 -32х + 16; 15х2 - ЗЗх + 6 = 0. Получили квадратное уравнение, решим его. D = ЗЗ2 - 4 • 15 • 6 = 1089 - 360 = 729;
33 ±271
3025
Проверка: хг = 2: 710 + 2 + 22 - 2 =
=716 -2 = 4- 2 = 2;3-2-4 = 2;2 = 2.
3?t-3— =>х9= — - посторонний корень.
55
Ответ: х = 2.
Пример 4. Решить уравнение 7х + 6 • V13 - Зх = х + 3. Решение.
Возведем обе части уравнения в квадрат
^х + 6 • V13 - Зх) = (х + З)2;
(V(776j. (13 - Зх)/ = U + З)2;
(х + 6) • (13 - Зх) = (х + З)2;
13х - Зх2 + 78 — 18х = х2 + 6х + 9;
23
4х2 + Их - 69 = 0; Xj = 3; х2 = - —.
Проверка: хг = 3: л/з + 6 ■ V13 — 9 = 3-2=6; 3 + 3 = 6; 6 = 6.
И И23
х2 ~ —Т ~ посторонний корень.
Ответ: х = 3.
Пример 5. Решить уравнение V4x + 8 - 73х - 2 = 2 • Решение.
Здесь нельзя избавиться от иррациональности сразу. Возведение обеих частей равенства в квадрат приводит к новому иррациональному уравнению (вспомните формулу (2.2) квадрата разности). Однако в этом случае от двух корней в алгебраической сумме возможен переход к двум корням в произведении, и задача будет аналогична предыдущему примеру.
^4х + 8 - д/Зх-з/ = 22 ;
4х + 8 - 2 Tlx + 8 • 73х - 2 + Зх - 2 = 4;
7x + 2 = 274x + 8 • 73x - 2 .
Возводим еще раз в квадрат:
(7х + 2)2 = ^Дх + 8 ■ Дх-^У ?
49х2 + 28х + 4 - 4 • (4х + 8)(3х - 2);
49х2 + 28х + 4 = 4- (12х2 - 8х + 24х - 16);
х2 — 36х + 68 = 0.
Это квадратное уравнение можно получить и другим способом:
Дх + 8 = 2 + Дх-2 ; (з/4х + 8)2 = (2 + Дх - 2)2 ; 4х + 8 = 4 + 4Дх - 2 + Зх - 2 ;
4Дх - 2 = х + 6; (173х -2) = (х + 6)2;
48х — 32 = х2 + 12х + 36; х2 — Збх + 68 = 0.
Найдя корни последнего квадратного уравнения, получим: xY = 34; х2 = 2.
Проверка: хг = 34: Д 34 + 8 - 73•34 - 2 =
= 7144-7100 = 12-10 = 2; 2 = 2.
х2 = 2: 74 -2 + 8 - 73 • 2 - 2 = 716 -74=4-2 = 2; 2 = 2.
Ответ: хх = 34; х2 = 2.
Пример 6. Решить уравнение 72х + 7 = 3Д(х - 1) . Решение.
^12х + 7)3 = (73(х-1))3; 2х + 7 = Зх - 3;
2х - Зх = -3 - 7;-х = -10; х = 10.
Заметим, что в данном случае проверка необязательна, так как использовался метод возведения обеих частей в нечетную степень, при котором посторонние корни не появляются.
Ответ: х = 10.
Пример 7. Решить уравнение 725х2 - 144 = х Решение.
/ . ,\4
V25x2 -144= х4; 25х2 - 144 = х4;
х4 - 25х2 + 144 = 0 - биквадратное уравнение.
Пусть х2 = у, тогда у2 - 25у + 144 = 0.
Находим ух = 16; у2 = 9. Поэтому:
х2 = 16 => Xj 2 = ±4 и х2 = 9 => х3 4 = ±3.
Проверка: х4 = 4: t/25 • 16 - 144 = ^256 = 4 ; 4 = 4.
х2 = -4: V25 • 16 - 144 = ^256 = 4 ;
* -4 => х2 = -4 - посторонний корень.
х3 = 3: V25- 9-144 = VsT = 3 ; 3 = 3.
х4 = -3: t/25-9-144 = Vsi = 3 ;
* -3 => х4 = -3 - посторонний корень.
Ответ: х4 = 4; х2 = 3.
Пример 8. Решить уравнение 72х + 1 + V2x + 1 = 12.
Решение.
Пусть V2x+T = у , тогда V2x + 1 = (V2x + 1)2= у2 . Поэтому у2 + у - 12 = 0; у4 = 3; у2 = -4.
4V2x + 1 = 3;2х + 1 = 34;2х + 1 = 81;2х = 80;х = 40.
t/2x + 1 = -4 . Это уравнение не имеет корней, так как v2x + l > 0 , а число (-4) < 0.
Проверка: х = 40: V2 • 40 + 1 + ^2 40 + 1 =
= Vsi + Vsi == 9 + 3 = 12; 12 = 12.
Ответ: х = 40.
о ,х +13 о /х —13 10
Пример 9. Решить уравнение—— + ^ ■ ^ ^ ^ = —.
Решение.
Область определения уравнения: х * ±13.
„„ х + 13ч/х-13
Пусть " = у , тогда 3
- ; у * о. у- ; у * о. у110Поэтому у + — = — У 3110Поэтому у + — = — У 3Зу2 - Юу + 3 = 0;Зу2 - Юу + 3 = 0;Vx-13Vx + 13
- ; у * о. у
- ; у * о. у
110
Поэтому у + — = — У 3
110
Поэтому у + — = — У 3
Зу2 - Юу + 3 = 0;
Зу2 - Юу + 3 = 0;
_ 1
У1 = 3; у2 - —. Отсюда:
з Iх + ^-^ _ з ; х + 13 _ $3 _ х + 13 _ 2у.
Vx-13’ х-13’ х-13
х + 13 = 27 • (х - 13); х + 13 = 27х - 351; 26х = 364;
Xi = 14;
зА±А3 = 1 ; £±11 = А_ ; 27 • (х + 13) = х - 13;
Vx-13 3 х-13 27
27х + 351 = х - 13; 26х = -364; х2 = -14.
Ответ: хТ = 14; х2 = -14.
Упражнения для самостоятельной работы
Решить уравнения:
Vx2 - 11 = -х - 1;
V2 - х2 - Vx = 0 ;
V2x2 + 1 - х = 1;
Vx + 3 • V2x -1 = х + 1;
V6 - 5х - 2х2 - 4 = х ;
V3x + 1 + V2x-1 = 3 ;
Vx + 1 + V4x + 13 = V3x + 12 ;
x2 = V19x2 -34 ;
Vx + Vx = 20;
2V1-X + 5 ■ Vl-x - 18 = 0;
n. pZ + 2IHZT = 3;
v x + 1 v x
716 - Jx + 1 = 4 ;
7х -з - ТТЛ = 2 - Vw ;
7x + 13 = 12 - ТхПз ;
^2x + 7 — 2 = x .
Ответы:x = -6;Х1 = 2, x2 = 0;10 .хг 1» x2 ’x = -1;x = 256;Ответы:x = -6;Х1 = 2, x2 = 0;10 .хг 1» x2 ’x = -1;x = 256;13. x = 7;15. x =1.13. x = 7;15. x =1.x = 1;x =1;x = 1;x 1>2= ±717, x3>4 = ±72 ;x = -63;x = -1;x = 68;x = 1;x =1;x = 1;x 1>2= ±717, x3>4 = ±72 ;x = -63;x = -1;x = 68;
Ответы:
x = -6;
Х1 = 2, x2 = 0;
10 .
хг 1» x2 ’
x = -1;
x = 256;
Ответы:
x = -6;
Х1 = 2, x2 = 0;
10 .
хг 1» x2 ’
x = -1;
x = 256;
13. x = 7;
15. x =1.
13. x = 7;
15. x =1.
x = 1;
x =1;
x = 1;
x 1>2= ±717, x3>4 = ±72 ;
x = -63;
x = -1;
x = 68;
x = 1;
x =1;
x = 1;
x 1>2= ±717, x3>4 = ±72 ;
x = -63;
x = -1;
x = 68;
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕНЕРАВЕНСТВА
Линейные неравенства.
Системы линейных неравенств
Рассмотрим неравенства с одной переменной, которые имеют вид:
fW > g(x), f^ < ^(х), Дх) > g(x), Дх) > g^xY
Решением неравенства называют значение переменной, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — найти множество всех его решений (это множество может быть и пустым, т. е. данное неравенство может не иметь решений). Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. При решении неравенства его стараются заменить более простым, но равносильным данному.
При решении неравенств используются следующие правила преобразования неравенств в равносильные:
какой-либо член неравенства можно перенести из одной его части в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства;
обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства;
обе части неравенства можно умножить или раз-, делить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.
Пример 1. Решить неравенство 2х + 3 > -7.
Решение.
2х > -3 - 7; 2х > -10; х > -5 (обе части неравенства 2х > -10 разделили на положительное число 2).
Ответ: х > -5.
Пример 2. Решить неравенство 2 * 4 < 5
Решение.
--х <4 + 5; -ix<9.
22
Умножим обе части этого неравенства на отрицательное число (—2): х > -18.
Ответ: х > -18.
Пример 3. Решить неравенство 3(х - 2) + 4(3 - х) > > 5(2х - 6).
Решение.
Раскрыв скобки, получим: Зх - 6 + 12 - 4х > Юх - 30.
Отсюда: Зх - 4х - Юх > - 30 + 6 - 12;
„ 36
-Их >-36;
36
Ответ: х < —.
11
Если требуется найти множество общих решений двух или нескольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.
Пример 4. Решить систему неравенств:
х +132 - х2х +132 - х25х 4
х +1
3
2 - х
2
х +1
3
2 - х
2
1112 + 3
1
1
5х
Решение.Решим первое неравенство.Решение.Решим первое неравенство.2~ 14
Решение.
Решим первое неравенство.
Решение.
Решим первое неравенство.
эх1 4'4 > х + V4 5х + 16 > 4х + 4 + — - - , - 12 - 12 ,
5х +16 > 4х + 4; 5х - 4х > 4 - 16; х > -12.
Решим второе неравенство:
^\14 _ 5х^\14 _ 5х28 -5х < 142х < -14; х28 -5х < 142х < -14; х28 - 5х 14 - 7х14<1428 - 5х 14 - 7х14<14
^\14 _ 5х
^\14 _ 5х
28 -5х < 142х < -14; х
28 -5х < 142х < -14; х
28 - 5х 14 - 7х
14<14
28 - 5х 14 - 7х
14<14
Решение системы
Изобразим на числовой прямой множества решений каждого неравенства. При этом точку х = -12, принадлежащую множеству х > -12, изображают закрашенным кружком, а точку х = -7, не принадлежащую множеству х < -7, изображают пустым кружком.
-7-7-12
-7
-7
пол^и^аТ^^^общих точек -
-7.-7.Ответ:
-7.
-7.
Упражнения для самостоятельной работы Решить неравенства:
. 5 - Зх < 17 - 5х;2. 13х - 7 > 14х - 10;
. х + 2 > 3 • (х + 2) - 4; 4. 3 - - х > - -;
486
Зу + 1 у 5у - 2 Зу .
235
_ 2-3324 - 322-2
324
Решить системы неравенств:
J7(x + 1) - 2х > 9 - 4х,
' [3(5-2х)-1>4-5х.
4х — 5 Зх — 8
7<4’
6-х ^ < 14х - 2
~5<2
Зх < 5 — 6х,
1- Зх + 1 < 4х - 1,
7 - 2х > 2х + 9.
Ответви
3. х < 0;3. х < 0;9. решения нет.9. решения нет.х < 6;2. х<3;
3. х < 0;
3. х < 0;
9. решения нет.
9. решения нет.
5
х < 22,5;5. у > —;
— <х <10;8. х > 7,2;
9
.2. Целые рациональные неравенства
Рассмотрим неравенство одного из видов:
Рп(х) > 0, Рп^ < 0, Рп^ > 0, Рп^ < О, где Рп^х) - многочлен степени п: Рп(х) = аохп + + агхп-1 + а2хп"2 + ... + ап_гх + ап, aQ* 0 - старший коэффициент. Такие неравенства называют целыми рациональными.
При решении целых рациональных неравенств используется метод интервалов, который состоит в следующем.
Находят действительные корни многочлена Р^ху.х^, х2,... xk(k <п):
^1) = ^АХ^ ” ••* ” ^АХ^ " ^’
Корни х1? х2, ... хк отмечают на числовой оси точками. Точки изображают закрашенными кружками, если неравенство нестрогое (<, >), и соответствующий корень является решением неравенства, и пустым кружком, если неравенство строгое (< , >), и соответствующий корень не является решением неравенства. Указанные точки разбивают всю числовую ось на промежутки.
Определяют и отмечают на числовой оси знак многочлена Рп(х) внутри каждого из полученных промежутков. Для этого достаточно определить знак Рп(х) в какой-либо одной внутренней точке промежутка.
Замечания:
Если многочлен Рп(х) имеет ровно п различных действительных корней, то знаки многочлена на полученных промежутках будут чередоваться, начиная со знака «+», если старший коэффициент а0 > 0, или со знака «-», если а0 < 0, на крайнем правом промежутке.
Рассмотрим многочлен Рп(х) = а0(х - х1)т‘(х - - х2)т2... (х- хк)т*. где mzG N, i = 1, 2, ... , к. Если mi - четное число, то при переходе через точку xt многочлен сохраняет знак, т. е.
Если mz - нечетное число, то при переходе через точку xz многочлен меняет знак, т. е.
Поэтому для расстановки знаков достаточно определить знак на крайнем правом промежутке, а затем на остальных интервалах расставить знаки многочлена в зависимости от четности степени, соответствующей данной точке на прямой.
Если многочлен Рп(х) не имеет действительных корней, то он сохраняет постоянный знак на всей числовой оси: именно знак «+», если а0 > 0, и знак «-», если а0 < 0.
Пример 1. Решить неравенство х2 - 6х + 8 < 0.
Решение.
Находим корни квадратного трехчлена х2 - 6х + 8, решив уравнение х2 - 6х + 8 = 0: Xj = 4, х2 = 2 (Проверьте!). Отмечаем их на числовой оси пустыми круж-
ками, так как неравенство строгое. Эти точки разбивают числовую прямую на 3 промежутка, знаки х2 - 6х + 8 на которых будут чередоваться, начиная со знака «+» на промежутке х > 4 (так как многочлен Р2(х) = х2 - 6х + 8 имеет 2 действительных кг эня и старший коэффициент, равный 1, положите ен; см. замечание 1).
■ ■ -+-+
2 1 7 4X
Отсюда следует, что х2 - 6х + 8 < О, если 2 < х < 4.
Ответ: 2 < х < 4.
Пример 2. Решить неравенство Зх2 -Юх - 8 > 0.
Решение.
Применим метод интервалов.
Зх2 - Юх - 8 = 0; xt = 4; х2 = -2/3.
3
Зх2 - Юх - 8 > 0, если х > 4 или х < -2/3.
2
Ответ: х > 4, я < - —.
Пример 3. Найти наибольшее целое решение неравенства —Зх2 + 7х + 6 > 0.
Решение.
Применим метод интервалов.
-Зх2 + 7х + 6 = 0; xt = 3; х2 = -2/3. Учитывая, что старший коэффициент, равный (-3), отрицателен, расставим знаки:
Решением данного неравенства является интервал -2/3 < х < 3. Наибольшим целым числом этого интервала является х = 2.
Ответ: х = 2.
Пример 4. Решить неравенство х2 + 4х + 4 > 0. Решение.
х2 + 4х + 4 = 0; Xj = х2 = -2;
х2 + 4х + 4 = (х + 2)2; (х + 2)2 > 0
Здесь учтено, что (х + 2)2 > 0 и при х > -2, и при х < —2. Поэтому все точки числовой оси удовлетворяют данному неравенству.
Ответ: х е R.
Замечание. Легко убедиться, что решением неравенства х2 + 4х + 4 > 0 является множество действительных чисел х * -2, решением неравенства х2 + 4х + + 4 < 0 — число х = -2, неравенство х2 + 4х + 4 < 0 не имеет решений (Проверьте это самостоятельно!).
Пример 5. Решить неравенство х2 - 4х + 13 < 0. Решение.
D = 16 - 52 = -36 < 0, поэтому многочлен х2 - 4х + 13 не имеет действительных корней. Согласно замечанию 3 он сохраняет знак « + » на всей числовой оси, так как старший коэффициент положителен, т. е. х2 - 4х + 13 > 0 для любого х G R. Поэтому неравенство х2 - 4х + + 13 < 0 решений не имеет.*
Ответ: решений нет.
Пример 6. Решить неравенство х3 - Зх2 - х + 3 > 0. Решение.
х3 - Зх2 - х + 3 = х2 (х - 3) - (х - 3) = (х - 3)(х2 - 1) = = (х - 3)(х - 1)(х + 1).
(х - 3)(х - 1)(х + 1) = 0; хг = 3; х2 = 1; х3 = -1. В разложении многочлена на множители, степень каждого множителя равна 1 (т. е. нечетная), следовательно, знаки в выделенных интервалах на числовой прямой будут чередоваться.
У— +±
х3 - Зх2 - х + 3 > 0, если х > 3, -1 < х < 1.
Ответ: х > 3, -1 < х < 1.
Пример 7. Решить неравенство
(х + З)(х - 3)(х - 4)(х - 5)2 < 0.
Решение.
Отметим на числовой прямой точки xs = -3; хг = 3; х3 = 4; х4 = 5.
Используя замечание 2, отмечаем, что на числовой прямой вокруг точек х4 = -3; х2 = 3; х3 = 4; знаки многочлена будут меняться (так как степени, соответствующие им, нечетные), а около точки х4 = 5 многочлен сохранит знак (степень, с которой входит соответствующий этому корню множитель, равна 2 - четная).
Таким образом, решения данного неравенства имеют вид: х < -3, 3 < х < 4, х = 5.
Ответ: х < —3, 3 < х < 4, х = 5.
Упражнения для самостоятельной работы
Решить неравенства:
2х2 4- 5х - 3 > 0;
х2 + х - 6 < 0;
~8х2 4- 17х-2<0;
9х2 - 6х + 1 < 0;
-х2 + х - 1 < 0;
(х2 -5x4- 6)(х2 - 1) > 0;
(х 4-2)(х2 4-х - 12) < 0;
х3 - 16х > 0;
(х2 - 9)(х - 4)3(х + 3) < 0;
(х 4- 3)5(х 4- 1)4(х - 7) > 0;
(х 4- 8)7(х - 10)(х - 12)6 > 0.
Ответы:
х <-3,х > 0,5;2. -3< х < 2;
х <1/8, х > 2;4. х= 1/3;
х GR;6. х< —1, 1<х < 2, х > 3;
х <-4,-2 < х < 3;8. х> 4,-4<х <0;
3 < х < 4, х =-3;10. х > 7, х <-3, х =-1;
6565х < -8, 10 < х < 12, х > 12.
65
65
Дробно-рациональные неравенства
Рассмотрим неравенство одного из видов:
Рп(х)Рп (х)Рп (х)Рп (х)
—^—— > 0, —< о , -п_.- > о, - - < о,
QmtoQmtoQmWQm^
где Pn(x) и Qm(x) - многочлены степеней пит соответственно.
Такие неравенства, если m # О, называются дробнорациональными неравенствами. Дробно-рациональные неравенства решаются переходом к равносильным целым рациональным неравенствам (возможно, с дополнительными ограничениями) по следующим правилам:
р (х)
-^—>0 ^Pn(x)Qm(x)>0;
Qm^
Рп to
-Ц4<0 ^Pn(x)Qm(x)<0;
Qm to
Р„ (х) > ^ (Рл toQ„ to 0,
Qmto~^QJx^O;
Рл(х) < оK^Q^x^O,
Qm (х) “ Qm (х) * 0.
X 4* 2
Пример 1. Решить неравенство 5 — х
Решение.
> 0 <=> (х + 2)(5 - х) > О, х Ф 5. Последнее не- 5-х
равенство решим методом интервалов: (х + 2)(5 - х) = 0; хг = -2; х2 = 5. Учитывая, что старший коэффициент многочлена (х + 2)(5 - х) равен (-1) < 0, получим:
Ответ: —2 < х < 5.
2х + 1
Пример 2. Решить неравенство ^ + g
Решение.
2х + 1х + 82х + 1х + 8(2х + 1)(х + 8) — 0; хх(2х + 1)(х + 8) — 0; хх-0,5; хг = -8.-0,5; хг = -8.(2х + 1)(х + 8)>0, х * -8.
2х + 1
х + 8
2х + 1
х + 8
(2х + 1)(х + 8) — 0; хх
(2х + 1)(х + 8) — 0; хх
-0,5; хг = -8.
-0,5; хг = -8.
Ответ: х > -0,5, х < -8.
Пример 3. Найти наименьшее целое положительное решение неравенства: < 2 .
т + 3
Решение.
г . q х + 3 х 4 (-х - Ч^х + 3) < 0; (х + 7)(х + 3) > 0; (х + 7)(х + 3) = 0; хх = -7; х2 - -3.
х < -7, х > -3. Отсюда вытекает, что наименьшим целым положительным решением данного неравенства является х = 1.
Ответ: х = 1.
(^ —.5)2
Пример 4. Решить неравенство -— < 0 .
х - 7
Решение.
(х - 4)(х -5) < 0_ 4)(х _ 5^х_ 7) < о, х * 7.
х - 7
(х - 4)(х - 5)2(х- 7) = 0, хг = 4; х2 = 5; х3 = 7. Знаки вокруг точек хх = 4, х3 = 7 меняются, а около точки х2= 5 сохраняются (см. раздел 4.2, замечание 2).
Пример 5. Решить неравенство
Решение.
х - 3х2 - 8х + 12х - 3х2 - 8х + 12х - 3х2 -8x4-12х - 3х2 -8x4-12(х-3)(х2 -8х + 12)<0, х2 -8х + 12 ^0.
х - 3
х2 - 8х + 12
х - 3
х2 - 8х + 12
х - 3х2 -8x4-12
х - 3х2 -8x4-12
(х - 3)(х2 - 8х + 12) = 0; х - 3 = 0, = 3-
х 8х + 12 = 0, х2 = 2, х3 = 6.
х * 6.х * 6.(х-3)(х2 -8х + 12)<0, х Ф 2,
х * 6.
х * 6.
Пример 6. РешитьРешение.х2 - Зх - 4 = 0, х х4 = -3.Пример 6. РешитьРешение.х2 - Зх - 4 = 0, х х4 = -3.
Пример 6. Решить
Решение.
х2 - Зх - 4 = 0, х х4 = -3.
Пример 6. Решить
Решение.
х2 - Зх - 4 = 0, х х4 = -3.
Ответ: х < 2, 3 < х < 6.
неравенство > q
х2 4- х - 6
Ответ: х < -3, -1 < х < 2, х > 4.
Пример 7.Укажите число целых решений неравенства х2 - 20х 4-100
(х - 10)(х - 12) ~ -1 ’ ^надлежащих отрезку [9; 13].
Решение.
Преобразуем неравенство, перенесем его правую часть налево.
х2-20х + 100 ,_(х-10)2
+ 1 > 0 <=>+1 > 0 <=>
(х-10)(х-12)(х-10)(х-12)
(х-10)(х-10) + (х-12) _ 2х-22
(х-12)+ ~(х-12)х-12
2х - 22
— > 0, х * 10 <=> (2х - 22)(х - 12) > 0, х * 10.
(2х - 22)(х - 12) = 0, Xj = 11; х2 = 12.
Решение неравенства х < 10, 10 < х < 11, х >12. Выпишем все целые решения неравенства, принадлежащие отрезку [9; 13]. Это числа {9, 11, 13}. Всего 3 числа.
Ответ: 3.
Пример 8. Укажите наибольшее целое решение нера-
492
венства —;2 х
х2 - 5х
Решение.
Сделаем замену у = х2 - 5х. Неравенство примет вид
49 тт „4949-у2 п
— > у . Преобразуем его.у > 0 ; > 0 <=>
УУУ
(49 - у2)у > 0, у Ф 0. Для решения последнего неравенства применим метод интервалов (49 - у2^у = 0, yv = -7, Уг = 7- Уз = °-
Получили у < -7, 0 переменной х.
у <7. Вернемся к исходной
1) х2 - 5х < -7; х D = 25 - 4 • 7 = -3
х2 - 5х +- 7
2 - 5х + 7 < 0; х2 - 5х + 7 = 0; ; < 0 => решений нет, так как
Решение системы есть объединение интервалов
2) О
О для любого X.
„х2 - 5х > О,
5х < 7 <=>
х2 - 5х < 7.
Так как
3) Решим каждое из неравенств, входящих в систему.
х2 — 5х > 0; х(х — 5) = 0; х1 = 0; х2 = 5.
5 + 7 5 + 753 ^5 + 85 + 75 3„
< —< или 6 << 6,5 , то
2222
наибольшее целое решение неравенства х = 6.
Ответ: х = 6.
Нашли х < 0, х > 5. х2 - 5х < 7; х2 - 5х - 7 < 0;
D = 25 - 4 • (-7) = 53; х1-2 = Lr^
5-753
2
2
„5 - V53
Решение второго неравенства
5 +V53
2
Итак, имеем {
х > 5,
5-V53
2
5 + V53
2
"Упражнения для самостоятельной работы Решить неравенства:
Щ^<0; х - 7
^^^>0; х -1
„ х + 7 Зх + 1 х - 5- 2
14х 9х — 30 х + 1 х - 4 36 о с g > х2 - 5х.
х2 - 5х
10. Укажите наибольшее целое решение неравен- 16 2 о ства - < Зх - х.
Зх - х2
£±11 > о ;
Зх - 7
. х2 + Зх - 10 , „
< о ;
х2 + х - 2
я х2 - Зх - 10 . _
> о ;
х + 7
<2х - 9>(* * Ц3 ' (х + 4)5(2х - 6)10
Ответы:
.-2,5<х<7;2. х <-11, х > 7/3;
-3 < х < 1, х > 4;4. -5 < х < -2, 1 < х < 2;
1 < х 3, х > 5;6. х > 5, -7 < х < -2;
-1 <х<1, 4<х<6; 8.х<-4, 1<х<3, 3<х<4,5;
—1 < х < 0, 2 < х < 3, 5 < х < 6; 10. х = 4.
Неравенства с модулем
Модулем (абсолютной величиной) действительного числа называют неотрицательное действительное число, определяемое равенством
। ।| а, если а > О,
а = 4
а, если а < 0.
При решении неравенств, содержащих модуль, полезно использовать следующие соотношения:
Неравенство |а| < Р (или |а| < р), где Р > 0 равносильно двойному неравенству
-Р < а < Р (-Р < а < р).
Неравенство |а| > у (или |а| > у) равносильно совокупности двух неравенств
а > у,( Га > у,
или
а < -у.[а < -у J.
Замечание 1. Напоминаем, множество решений совокупности неравенств есть объединение множеств решений входящих в нее неравенств.
Замечание 2. Извлекая квадратный корень из квадрата выражения, помните, что
Ж^ = \М.
Пример 1. Решите неравенство |2х - 1| > 5.
Решение.
Решение неравенства равносильно решению сово
купностикупности2х - 1 > 5,2х -1 < -5.2х - 1 > 5,2х -1 < -5.
купности
купности
2х - 1 > 5,
2х -1 < -5.
2х - 1 > 5,
2х -1 < -5.
Найдем решения каждого неравенства 2х - 1 > 5, 2х > 6, х > 3.
2х - 1 < -5, 2х < -4, х < -2. Решение совокупности есть объединение двух найденных решений.
Ответ: х е (-°°; -2)и(3; °о).
Пример 2. Решите неравенство |5 - 7х| < 5.
Решение.
Перейдем от исходного неравенства к двойному -5 < 5 - 7х < 5.Из каждой части неравенства вычтем
получаем -10 < -Чх < 0. Разделим полученное неравенство на -7, учитывая при этом, что знаки неравенств изменятся на противоположные 10/7 > х >0.
Ответ: 0< х < 10/7.
Пример 3. Решите неравенство |х - 5| < 4.
jx2 - 5| < 4 => -4 < х2 - 5 < 4 => 1 < х2 < 9 ^ 1 < |х| < 3 (использовали замечание 2). Перейдем от двойного
неравенства к системе неравенств
решением которой будет пересечение множества х > 1,
-3 < х < 3 и совокупности г < _^
-3-11з X-3-11з X
-3-11з X
-3-11з X
И > 3, |х + 4| < 3.И > 3, |х + 4| < 3.ПолучимПолучим• [х < -3,-7 <х<-1.• [х < -3,-7 <х<-1.
И > 3, |х + 4| < 3.
И > 3, |х + 4| < 3.
Получим
Получим
• [х < -3,
-7 <х<-1.
• [х < -3,
-7 <х<-1.
Ответ: х & [-3; -1]и[1; 3].
Пример 4. Решите систему неравенств и найдите сумму его целых решений
Решение.
Найдем решения каждого из неравенств, входящих в заданную систему.
-7-3-13л
Решение данной системы есть пересечение интервала -7 < х < -1 и совокупности двух интервалов х < -3 и х > 3, т. е. х е (-7; -3].
Целые решения системы есть числа: -6, -5, -4, -3. Их сумма: -6 + (-5) + (-4) + (-3) = -18.
Ответ: х G (-7; -3]; сумма целых решений равна —18.
Пример 5. Решите неравенство |2х - 5| + j4 - х| < х + 1. Решение.
По определению модуля
._[ 2х - 5, если 2х - 5 > О,
[- (2х - 5), если 2х - 5 < 0.
Поэтому для каждого выражения, стоящего под знаком модуля, найдем те значения х, при которых выражение равно нулю. 2х - 5 = 0, х = 2,5, 4 - х = 0, х = 4. Эти точки делят числовую ось на три промежутка. Отметим точки на числовой прямой. И расставим знаки рассмотренных выражений на этих промежутках. Первая строчка будет соответствовать первому модулю, вторая - соответственно второму. Знак « + » означает, что на соответствующем промежутке /(х) > 0, т. е. \f (х)| = / (х), а знак «-», что Дх) < 0 или |Дх)| = -Дх). Итак, получили:
О-о>2,54
■ При х < 2,5 |2х - 5| + |4 - х| < х + 1 => -(2х -5) + (4- — х) < X + 1.
Раскрываем скобки, преобразуем неравенство к простому виду -2х + 5 + 4- х<х + 1, -Зх + 9 < х + 1, -Зх - х < 1 - 9, -4х < -8, х > 2. Так как точки х > 2 принадлежат промежутку х < 2,5, то в этой области решением являются х е [2; 2,5).
При 2,5 < х < 4 исходное неравенство равносильно (2х - 5) + (4 - х) < х + 1.
Или 2х-5 + 4- х<х + 1=>-1<1~ верное неравенство, следовательно, решением являются все точки данного промежутка х G [2,5; 4].
При х > 4 получаем 2х - 5 -(4 -х)<х + 1=>2х-5- - 4 + х<х + 1=>2х< 10 => х < 5. Множество этих точек принадлежит рассматриваемому интервалу, т. е. в этой области решением являются х е (4; 5].
Решением исходного неравенства является совокупность найденных решений (их объединение), т. е. хе [2; 5].
<■ Л A ^^.х.х.х,- х^х Л ><. А < А, < А. <^е>
22,545*
Ответ: х е [2; 5].
Пример 6. Решите неравенство Зх2 + Зл/х2" - 4 < 1 - 6х.
Решение.
Преобразуем неравенство Зх2 + 8|х| - 4 < 1 - 6х <=> Зх2 + 8х - 4 < 1 - 6х, при х > 0 или Зх2 - 8х - 4 < 1 - 6х, при х < 0.
При х > 0 имеем Зх2 + 8х - 4 < 1 - 6х, Зх2 + 14х - 5 < 0. Применим метод интервалов, Зх2 + 14х - 5 = 0, xt = 1/3, х2 = -5.
х > о => х € [0; 1/3].
При х < 0 получаем Зх2 - 2х - 5 < 0, Зх2 — 2х— 5 = 0, хг = 5/3, х2 = —1. Используем метод интервалов.
Учитывая рассматриваемую область, х < 0 получаем х G [-1; 0).
или хеХ-1, 1/3].
Ответ: хе [-1; 1/3].
Упражнения для самостоятельной работы
|5х + 4 > 6;2|х + 2 < х + 5;|х2 - 16] < 15;|5х + 4 > 6;2|х + 2 < х + 5;|х2 - 16] < 15;Решить неравенства:
|5х + 4 > 6;
2|х + 2 < х + 5;
|х2 - 16] < 15;
|5х + 4 > 6;
2|х + 2 < х + 5;
|х2 - 16] < 15;
1. |1 - 2х < 3;
3|х + 1 > х + 5;
|х2 - 4| < 3;
8. |х2-2,5|< 1,5;8. |х2-2,5|< 1,5;х2 + 4^ - 5 < 4 - 4х ;
8. |х2-2,5|< 1,5;
8. |х2-2,5|< 1,5;
4х2 + эТх2" - 8 > -5х .
Решите систему неравенств:
10.10.Пх( > 6,fix! < 8,fix + 3j < 11,
10.
10.
'11 <12 1
|х-5|<7.' у2х-7|>9.' у5-2х|>7.
Ответы: 1. х G (-1; 2); 2. х G (-2] и [ 0,4; °°);
х е ( -оо; -2] u [1; °о); 4. хе (-3; 1);
хе (-77;-1)0(1; 7?); 6. хе (-731;-1)и(1; 7з1);
х G [-3; 1]; 8. х е (-2; 1) о (1; 2);
хе ( -оо; -1] о [ 0,5; «); Ю. х е [6; 12);
х G [-8; -1); 12. х е [-14; -1) и ( 6; 8].
Иррациональные неравенства
Под иррациональным неравенством понимают неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня. Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень. При таких преобразованиях необходимо следить за тем, чтобы получаемое неравенство было равносильно исходному.
При решении иррациональных неравенств запомните правила:
При возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству.
Если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное
исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.
♦ Иррациональное неравенство jf(x) < g^x) (или
7(х) < g(x)) равносильно системе неравенств
fW > О, ■ g<x> > О, Дх) <g4x\fW > О, ■ g<x> > О, Дх) <g4x\илиилиVV/(X) > О, g(x) > О, Дх) < g2^)^/(X) > О, g(x) > О, Дх) < g2^)^4- Иррациональное неравенство ^(х) > g(x) (или4- Иррациональное неравенство ^(х) > g(x) (или
fW > О, ■ g<x> > О, Дх) <g4x\
fW > О, ■ g<x> > О, Дх) <g4x\
или
или
V
V
/(X) > О, g(x) > О, Дх) < g2^)^
/(X) > О, g(x) > О, Дх) < g2^)^
4- Иррациональное неравенство ^(х) > g(x) (или
4- Иррациональное неравенство ^(х) > g(x) (или
/(х) > о, g-(x) < 0./(х) > о, g-(x) < 0.илиилиRx) ^ О,Rx) ^ О,^(х) > О,^(х) > О,Ц/(х) > £2(х)Ц/(х) > £2(х)Rx) > 0,х(х)< 0.Rx) > 0,х(х)< 0.
/(х) > о, g-(x) < 0.
/(х) > о, g-(x) < 0.
или
или
Rx) ^ О,
Rx) ^ О,
^(х) > О,
^(х) > О,
Ц/(х) > £2(х)
Ц/(х) > £2(х)
Rx) > 0,х(х)< 0.
Rx) > 0,х(х)< 0.
7(х) > ^(х)) равносильно совокупности двух си
стем неравенств
/(х) > О, g(x) > О, Дх) > g"2(x).
Пример 1. Решите неравенство 4Ьх - 9 < 4 •
Решение.
Область определения данного неравенства 5х - 9 > 0,
9
х > —. Обе части неравенства неотрицательны, возве- 5
дем их в квадрат:5х - 9 < 16, 5х < 25, х < 5. Найдем пересечение полученного множества решений с областью определения неравенства.
9/59/5
9/5
9/5
Получим — < х < 5 .
Ответ: — < х < 5 .
Пример 2. Решить неравенство V3 - х > 7 .
Решение.
Область определения данного неравенства 3 - х > О, х < 3. Обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: 3 - х > 49, -х > 46, х < -46. Найдем пересечение полученного множества решений с областью определения неравенства, т. е. решение системы [х < 3, (Имеем два неравенства с одинаковыми зна-
[х < -46.
ками, вспомним: «меньше меньшего».
Итак, х < -46.
Ответ: х < -46.
Пример 3. Решить неравенство V6x + 3 < Зх. Решение.
Данное неравенство равносильно системе нера-
[бх + 3 > О,
венств
[6х + 3 < (Зх)2.
Найдем решения каждого из неравенств:
6х + 3 > 0; х >-0,5.
Зх > 0; х > 0.
6х + 3 < 9х2; -9х2 + 6х + 3 < 0; Зх2 - 2х - 1 > а.
Применим метод интервалов: Зх2 - 2х - 1 = 0; xt = 1; х2 = -1/3.
Нашли х < -1/3; х > 1.
Осталось записать решение системы
х>-0,5,
x > О,
x < -1/3 или х > 1.
-0,5-1/3 0-0,5-1/3 0
-0,5-1/3 0
-0,5-1/3 0
Получаем х > 1.
Ответ: х > 1.
^Пример 4. Решите неравенство ух +1 > х -1.
Решение.
Заданное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств
х + 1 > О, х — 1 < 0.х + 1 > О, х — 1 < 0.х + 1 — 0, х - 1 > 0,
х + 1 > О, х — 1 < 0.
х + 1 > О, х — 1 < 0.
[х +1 > (х - I)2.
Рассмотрим первую систему неравенств.
х > -1,
X > 1,
х + 1 > х2 - 2х +1.
Решим последнее неравенство системы. х2 — Зх < 0; х (х — 3) < 0;
Получим 0 < х < 3.
Осталось выписать решение системы
х > -1,
х > 1,
0 < х < 3.
Ему соответствует интервал: 1 < х < 3. Рассмотрим вторую систему.
i - Решение системы -1 < х < 1.
[х < 1.
Итак, решением исходного неравенства является объединение решений записанных выше двух систем неравенств: -1 < х < 3.
Ответ: -1 < х < 3.
ix2 — 4
Пример 5. Решите неравенство J< 1 .
V х
Решение.
Исходное неравенство равносильно системе неравенств
х2 — 4
- > О,
х
х2 - 4
х
Решим каждое из неравенств системы: х 2. — 4
> 0 <=> (х2 - 4) • х > 0, х Ф 0.
х
(х - 2)(х + 2)х = 0; хх = 2, х2 = -2, х3 = 0.
Используя метод интервалов, находим
х2 - х - 4 = 0; х12х2 - х - 4 = 0; х121±V17
х2 - х - 4 = 0; х12
х2 - х - 4 = 0; х12
~; х3 — 0. Методом интер-
К 1-V171 + 717
валов находим (Проверь!): х <; О < х <.
Итак, осталось найти пересечение полученных решений неравенств.
Ему соответствует интервал:Ему соответствует интервал:Ответ: - 2 < х <Ответ: - 2 < х <i-У1?2i-У1?22 < х <2 < х <1 + 71721 + 7172
Ему соответствует интервал:
Ему соответствует интервал:
Ответ: - 2 < х <
Ответ: - 2 < х <
i-У1?
2
i-У1?
2
2 < х <
2 < х <
1 + 717
2
1 + 717
2
Пример 6. Найдите число целых решений неравенства д/5х — 6 • ^- х2 + 2х + 8 > 0 .
Решение.
Так как значения арифметического корня 4-й (четной) степени неотрицательны, то заданное неравенство равносильно системе неравенств
>]5х - 6 > О,
— х2 + 2х + 8>0.
7бх - 6 > О <=> 5х - 6 > 0; х > 6/5.
-х2 + 2х + 8 > 0; -х2 + 2х + 8 = 0; xt = -2; х2 = 4. Используя метод интервалов, находим -2 < х < 4 (Про
верь!). Итак, получимверь!). Итак, получимх > 6/5, - 2 < х < 4.х > 6/5, - 2 < х < 4.
верь!). Итак, получим
верь!). Итак, получим
х > 6/5, - 2 < х < 4.
х > 6/5, - 2 < х < 4.
Решение системы 6/5 < х < 4 содержит три целых числа: 2, 3, 4.
Ответ: 3.
Пример 7. Решите неравенство 7х2 + 5х + 6 > 72 - х . Решение.
7х2 + 5х + 6 > 72 - х <=>7х2 + 5х + 6 > 72 - х <=>х2 + 5х + 6 > 0,
7х2 + 5х + 6 > 72 - х <=>
7х2 + 5х + 6 > 72 - х <=>
2 - х > О, х2 +5х + 6>2-х.
х2 + 5х + 6 > 0; х2 + 5х + 6 — 0; xt — —2; х2 — 3.
Методом интервалов находим (Проверь!) х < -3, х > -2.
2 - х > 0; х < 2.
х2 + 5х + 6 > 2 — х; х2 + 6х + 4 > 0; х2 + 6х + 4 = 0; х12 = -3 + Тб .
Методом интервалов находим
х < -3 - Тб , х > Тб - 3 . (Проверь!)
Найдем пересечение полученных решений:
-3-V5-3 -2Т5-32
Итак, х е (—>; - 3 - Тб) о (Тб - 3; 2].
Ответ: х е (-<»; - 3 - Тб) и (Тб - 3; 2].
Упражнения для самостоятельной работы
Решите неравенства:
Тт-бх > 3 ;2. Т4х + 7 < 5;
Т- Зх - 4 < 1;4. T9 + 2х < 4 ,
Тх2 + 4х - 5 > Тх2 - Зх - 4 ;
Т2х-7 • ^25 - х2 < 0 ;
,>0;8. ,ЕН>6;
ух2 + 2х - 8V х 2
Тз - х > х - 1 ?1®* Т2х + 3 < х;
Тх2 - 3 > х + 1;12. Т16-х2 <х 1,
Тх2 -8х + 7 > 3 - х ;
Т- 4х2 - 5х + 9 > 3 - 2х .
Ответы:
1. х < -0,4;
3. -5/3 < х < -4/3;
5. х > 4;
-7/4 < х < 23/4;
—4,5 < х < —3,5;
х > 5;
n 6
7. х < -4;
8. 2 < х < 2 — ;
35
9. х <2;
10. х > 3;
11. х < - Vs ;
12,ЦД«<4;
2
13. х<-1,х>7;
14. 0 < х < 7/8.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Показательные уравнения
Уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени, называется показательным. Рассмотрим некоторые способы решения показательных уравнений.
Приведение показательных уравнений к виду af(x) = ag(x).
Показательное уравнение вида а^х) = а8(х) (где а > О, а * 1) равносильно уравнению f(x) = g(x):
af(x) = а8(х)=> f(x) = g(x),(a> 0, а * 1).
К уравнениям рассматриваемого типа приводятся уравнения а^ = 1 (а > 0, а ^ 1), так как а0 = 1 и
af(x) = а0 => f(x) = 0.
Вынесение общего множителя за скобки. Этот способ применяют тогда, когда в результате вынесения за скобки степени с переменным показателем, в скобках получается алгебраическая сумма, которая является вполне определенным числом или выражением.
Приведение показательного уравнения к квадратному. К квадратному уравнению относительно новой переменной у сводятся уравнения:
А-а^+.В -ах + С = 0(5.1)
подстановкой ах = у, при этом а2х = у2;
А-ах А-В-ах А-С = Q(5.2)
подстановкой ах = у, при этом сГх = —;
У
А- а2х А-В • ах • bx А-С -Ь2х = 0(5.3)
предварительным делением обеих частей на Ь2х и пос
ледующей подстановкой —= у . В уравнениях
(5.2), (5.3) а > 0, а * 1, 6 > О, b * 1, а * Ь.
Уравнениями (5.1), (5.2), (5.3) не исчерпываются показательные уравнения, приводящиеся к квадратным.
Первый способ решения показательных уравнении проиллюстрируем на примерах 1 7.
Пример 1. Решить уравнение 53х 2 = 510 z.
Решение.
Данное уравнение равносильно уравнению Зх - 2 = = 10 - х, 4х = 12, х = 3.
Ответ: х = 3.
Пример 2. Решить уравнение 22х2-6х~2,э = 16V2 Решение.
22.Р-6л:-2,5 _ 24.2°>5 • 22х2-6х-2,5 _ 24.5 .
х2 — 6х — 2,5 = 4,5; х2 — 6х — 7 = 0;
Xj = 7; х2 = -1.
Ответ: хх = 7; х2 = -1.
Пример 3. Решить уравнениеПример 3. Решить уравнение21х2-2310 321х2-2310 311
Пример 3. Решить уравнение
Пример 3. Решить уравнение
21х2-23
10 3
21х2-23
10 3
1
1
Решение.
21Р-23121х^-23
Ю З = ю з =
1-
V10103Ю3
-221х2-232
10 3= 10 3^-= --;
21х2 - 23 = -2; 21х2 = 21;х2 = 1; х = ±1.
Ответ: х = ±1.
Пример 4. Решить уравнениеПример 4. Решить уравнение
Пример 4. Решить уравнение
Пример 4. Решить уравнение
Решение.
, хх2 z„\-(4-5x)
fl.); х2 =-4 + 5х; х2 - 5х + 4 = 0;
хг = 4; х2 = 1.
Ответ: хх = 4; х2 = !•
27642764Пример 5. Решить уравнение |— | J — (З) Решение.
27
64
27
64
^2 2 У _ 27 ( ЗУ
3 8j “ 64 ’ (IJ “[Ij ;х = 3 Ответ: x = 3.
Пример 6. Решить уравнение 2х2-3 • 5х2"3 = ^Э,01г-х Решение.
10х2-3 = (нт2*1-"))3; юх2'3 =ю-6(1-х);
х2 - 3 = -6 + 6х; х2 - 6х + 3 = О;
xt 2 = 3 ± V9 - 3 = 3 ± V6 .
Ответ: хг = 3 + 4б ; х2 = 3 - Тб •
Пример 7. Решить уравнение ухг-2х-з _ дх2-гх-з . Решение.
По свойству показательной функции ах > О, где а > 0, а * 1, для любого х е R. Поэтому 8х -2х~3 * 0, если х е Я, и обе части данного уравнения можно разделить
на §х2-2х-з. Тогда
х2 - 2х - 3 = 0; Xj =
Ответ: хх = 3; х2 = -1.
Следующие примеры 8-11 иллюстрируют способ вынесения общего множителя за скобки.
Пример 8. Решить уравнение 2х + 5 • 2х +1 + 7 • 2х + 2 =
Решение.
Вынося в левой части уравнения за скобки 2х, получим 2х ■ (1 + 5 • 21 + 7 • 22) = 312; 2х • (1 + 10 + 28) = = 312; 2х • 39 = 312; 2х = 8; 2х = 23; х = 3.
Ответ: х = 3.
Пример 9. Решить уравнение 3х - 2 ■ 3х 2 = 63.
Решение.
3^-2 . ( 32 _ 2 ) = 63; Зх~2 • 7 = 63; 3х"2 = 9; 3х”2 = З2;
х - 2 = 2; х = 4.
Ответ: х = 4.
Пример 10. Решить уравнение 52х "1 -52х + 22х + 22х+2 = 0. Решение.
22х + 22х + 2 = S^-S21"1; 22х • (1 + 22) = 52х (1 - 51);
2^.5 = 52" —; -5 52^.5 = 52" —; -5 52х2х2х2х25 ’ 5 .25 ’ 5 .55; 2х = 2; х =1.; 2х = 2; х =1.
2^.5 = 52" —; -
5 5
2^.5 = 52" —; -
5 5
2х
2х
2х
2х
25 ’ 5 .
25 ’ 5 .
5
5
; 2х = 2; х =1.
; 2х = 2; х =1.
Ответ: х =1.
Пример 11. Решить уравнение
23-Ух+223^+1 12 । gsVx—1
Решение.
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения х > 0.
2з7х+2 2sVx-i 2з^-12з7х+2 2sVx-i 2з^-1- 2зЛ+1 _ 23^-1 _ 12 ;
2з7х+2 2sVx-i 2з^-1
2з7х+2 2sVx-i 2з^-1
. (23 - 22 -1) = 12; 23^-1 • (8 - 4 - 1) = 12 ;
■ 3 = 12 ; 23^"'1 = 22; з77 - 1 = 2 ; 3^ = 2
Vx = 1; х = 1.
Ответ: х = 1.
Третий способ решения показательных уравнений иллюстрируется на примерах 12-15.
Пример 12. Решить уравнение 72х - 8 • 7х + 7 = 0.
Решение.
Данное уравнение имеет вид (5.1). Пусть 7х = у, тогда 72х = у2 и для определения у получим квадратное уравнение: у2 - Зу + 7 = 0 <=> уг = 7; yz = 1. Имеем:
7х = 7; 7х = 71 => х = 1; 2) 7х = 1; 7х = 7° => х = 0.
Ответ: xr = 1; х2 = 0.
Пример 13. Решить уравнение 22 + х - 22~ х = 15.
Рсшсние.
22 • 2х - 22 • 2"х — 15; 4 • 2х - 4 • 2ГХ = 15. Получили уравнение вида (5.2). Используя подстановку 2х = у и
= — = — , переходим к уравнению 4у= 15
или 4у2 - 15у -4 = 0. Находим корни yv = 4; у2 = - —.
4
) 2х = 4; 2х = 22 => х = 2; 2) 2х = - — - корней нет, так как 2х > 0, х е R.
Ответ: х = 2.
Пример 14. Решить уравнение 4х + 6х = 2 • 32х.
Решение.
22х + 2х • 3х - 2 • 32х = 0, т. е. получили уравнение вида (5.3). Разделим обе части последнего уравнения почленно на 32х.
22х 2х(9 Vх / 9>х
Тогда -£— + — -2 = 0; -+ ± -2 = 0
32х 3х
Пусть Г|] = У, тогда ff] =у2; у2 + у _ 2 = 0;
У1 = ^Уг = -2.
^х
+-= -2 - корней нет.
Л 7
Ответ: х = 0.
Пример 15. Решить уравнение 4х+£ 2 -б^^ 2 1 =6. Решение.
Уравнение не является непосредственно уравнением вида (5.1), но близко к нему, так как оно может быть преобразовано следующим образом:
22<x+V?^2) _ g . 2-1 . 2Х+’^-2 - 6 = 0 , т. е. фактически имеем уравнение вида (5.1), где х заменено на х + Vx2 - 2 . Пусть 2Х+^ = у , тогда З2^'^ = у2; у2 -|у-6 = 0:2у2-5у-12 = 0;у1 = 4; у2 =-|. Вернемся к исходной переменной х, имеем:
2х+^~^ = 4; х + 7х2 - 2=2; Vx2-2=2-x; х2 - 2 = 4 - 4х + х2; 4х = 6; х = 1,5.
Проверим, является ли х — 1,5 корнем иррационального уравнения: х + Vx2 - 2 = 2 . Подставим х = 1,5 в левую часть равенства: 1,5 + у2,25 - 2 = 1,5 + ^0,25 = = 1,5 + 0,5 = 2; 2 = 2.
2Z+^ "2 = - — - корней нет.
Ответ: х = 1,5.
Упражнения дня самостоятеяънои работы
Решить уравнения:
1. 21. 29__16’9__16’
1. 2
1. 2
9__
16’
9__
16’
3. (2,5б)^-13. (2,5б)^-14. 2х • 5х = 0,1 • (Ю-*4)5;4. 2х • 5х = 0,1 • (Ю-*4)5;
3. (2,5б)^-1
3. (2,5б)^-1
4. 2х • 5х = 0,1 • (Ю-*4)5;
4. 2х • 5х = 0,1 • (Ю-*4)5;
f25Y2"90,6^. -f25Y2"90,6^. -( 27125( 27125Jy^ = М^7 ;Jy^ = М^7 ;
f25Y2"9
0,6^. -
f25Y2"9
0,6^. -
( 27
125
( 27
125
Jy^ = М^7 ;
Jy^ = М^7 ;
х-4.х-4.2 • Зж+Хз -5 • 3х'2 = 14'43;
х-4.
х-4.
5х" 4 + 5х- 2 -2 • 5х’6 = 2 • 18
0 4^ _ дх - 0,5 -_ дх + 0,5 _ 2^3: - 1.
4х- 2х + 3 +16 = 0;
2- +2”- = —;
4х + 0’5 - 5 • 6х + 9х + 0,5 = 0;
13* 2 • 73х - 5 • 493х + 3 = 0;
21-
10х +25х =4,25-50х ;
9^ - 27 = 6-3^;
4х +1,5 — 2х + 2 = 4'
3 • б2^1- 2 • 5х-1’= 0,2.
Ответы:
, л „з±71з п 1
х = 2;2. х. 2 =; 3. х = — ;
236
,з„„о17
х = —;5. х,= 0;х9= 0,5; 6. х = — ;
21’213’
х = 3;8. х = 6;9.x =1,5;
х = 2; 11. х = ±2;12. хг = 0, х2 = -1;
х = 0; 14. х=2;15. х = ±-;
2
х = 9; 17. х = 0;18. х = 0.
Показательные неравенства
При решении показательных неравенств следует учитывать, что:
при а > 1 af(x) > a8W => f(x)> g(x),
т. е. при переходе к неравенству относительно показателей степени знак неравенства при а > 1 сохраняется;
при 0 < а < 1 af(x) > аг(х) => f(x) < g(x),
т. е. при переходе к неравенству относительно показателей степени знак неравенства при 0 < а < 1 меняется на противоположный.
При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при решении показательных уравнений.
Пример 1. Решить неравенство 16х > — .
Решение.
Преобразуем неравенство: 24х > 2~3. Так как 2 > 1, то
4х > -3; х >4х > -3; х >34 '34 'Ответ: хОтвет: х3434
4х > -3; х >
4х > -3; х >
3
4 '
3
4 '
Ответ: х
Ответ: х
3
4
3
4
Пример 2. Решить неравенство (0,3)2ж Зх+6 < 0,00243 .
Решение.
(^З)2^-3^* < (0,3)5 . Так как 0 < 0,3 < 1, то 2х2 - - Зх + 6 > 5; 2х2- Зх + 1 > 0. Последнее неравенство решаем методом интервалов: 2х2 - Зх + 1 = 0; хх = 1;
1
х9 = —
22
Ответ: х < —; х > 1.
(22-1)<3; 2х"2-3 < 3;(22-1)<3; 2х"2-3 < 3;Пример 3. Решить неравенство 2х - 2х 2 < 3 Решение.
(22-1)<3; 2х"2-3 < 3;
(22-1)<3; 2х"2-3 < 3;
2х - 2х'2 < 3; 2х’2 • 2х-2 < 1; 2х"2 < 2°.
Так как 2 > 1, то х - 2 < 0; х <2.
Ответ: х 5 2.
Пример 4. Решить неравенство 2х + 2 - 2х + 3 - 2х + 4 > 5х + 1 — 5х + 2
Решение.
2х + 42 - 22 - 23) > 5х +1 (1 - 5);
2X + 1 (-10) > 5х + 1 (-4).
Разделим обе части неравенства на (-10 • 5х + *) - отрицательное число, поэтому знак неравенства изменится на противоположный. Получим:
2Х+1 -(-10) < 5Х+1 • (-4) . 5Х+1 (-10) " 5Ж+1 (-Ю) ’
Так как 0 < | < 1. то х + 1 > 1; х > 0.
5
Ответ: х > 0.
Пример 5. Решить неравенство 52х + 1 > 5х + 4.
Решение.
Пусть 5х = у, тогда 52х +1 = 5 • 52х = 5у2 и данное неравенство примет вид: 5у2 > у + 4 или 5у2 - у - 4 > 0. Решим его методом интервалов: Ьу2 - у - 4 = 0; yv = 1;
Нашли менной х.Нашли менной х.> 1. Перейдем к исходной пере-> 1. Перейдем к исходной пере-
Нашли менной х.
Нашли менной х.
> 1. Перейдем к исходной пере-
> 1. Перейдем к исходной пере-
1) 5х < - — - решений нет, так как 5х > 0, х е R;
5х > 1; 5х > 5°, х > 0, так как 5 > 1.
Ответ: х > 0.
Пример 6. Решить неравенство 9х - 10 • 3х +1 + 81 < О. Решение.
Пусть 3х = у, тогда данное неравенство примет вид у2 - ЗОу + 81 < 0. Применим метод интервалов: у2 - ЗОу + 81 = 0; У1 = 27; у2 =3.
3 < у < 27; 3 < 3х < 27; З1 < 3х < З3. Так как 3 > 1, то 1 <х<3.
Ответ: 1 < х < 3.
Упражнения для самостоятельной работы
Решить неравенства:
1. 36"x< 1; /z „ ч 7х-9
1
1000 (ОД)х < 100х;
Найти целое положительное решение
27х -З1^ < -•
2х + 2 — 2х +1+2Х ~1 2Х"2>9-
46 • 2х + 2х + 1 + 2х + 2 + 2х + 3 < 96 • 3х + 3х + 1 + + Зх + 2 + Зх + 3;
Ч2:с -50 • 7х + 49 >0;
9х - 6 • 3х < 27;
3 • 16х + 2 • 81х > 5 • 36х;
Зх+1 — х2•3х > 0;
о,32 + 4+6 + -,+2х > 0,372, где х - натуральное число;
2 (х-2)
4х-22(х-1)+83>52;
—2
4х -2х -3 < 0;
3^ ьЗ^-1 -З^’2 <11;
х2 +2
0,2х2'1 > 25 .
Ответы:
х < 6;2. х > 1;3. 0 < х < —, х > 1;
2
х = 1;5. х > 2;6. х > -2;
х < 0, х > 2; 8. х < 2;9. х < 0, х > —;
2
->/з<х<^; 11. 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;
х > 3;13. х < 0, х > - ;
2
О < х < 4;15. -1 < х < 0; 0 < х < 1.
ЛОГАРИФМЫ.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯИ НЕРАВЕНСТВА
Вычисление логарифмическихвыражений
Определение. Логарифмом числа b по основанию а (где а > 0, а * 1) называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число Ь.
Логарифм числа b по основанию а обозначается loga b. Пусть loga b = х, тогда по определению логарифма
ах = Ь,(6.1)
или
aog“b=b.(6.2)
Это равенство справедливо при b > 0, a > 0, a ^ 1. Равенство (6.2) называют основным логарифмическим тождеством. Действие нахождения логарифма принято называть логарифмированием.
Приведем основные свойства логарифмов.
loga 1 = 0;(6.3)
loga a = 1(6.4)
Отрицательные числа и 0 логарифмов не имеют.
loga (b • с) = loga b + loga с (логарифм произведения), где b > 0, с > 0.(6.5)
loga — = loga b - loga с (логарифм частного), где с
Ъ>0, с > 0.(6.6)
loga № = р • loga b (логарифм степени), где b > 0, р G R.(6.7)
log а b = ^—с ^ (переход от одного основания ло- logc а
гарифма к другому).(6.8)
11(6.9)(6.9)XogaP b = ~log“ Ъ’Замечания:XogaP b = ~log“ Ъ’Замечания:p * 0 .p * 0 .(6.10)(6.10)При формулировке свойств логарифмов предполагается (исходя из определения логарифма), что основания участвующих в них логарифмов - положительные числа, отличные от 1.Логарифм числа b по основанию 10 принято называть десятичным логарифмом этого числа и обозначать: lg b (lg b = log10 6). В частности, раПри формулировке свойств логарифмов предполагается (исходя из определения логарифма), что основания участвующих в них логарифмов - положительные числа, отличные от 1.Логарифм числа b по основанию 10 принято называть десятичным логарифмом этого числа и обозначать: lg b (lg b = log10 6). В частности, равенство (6.2) примет вид: ЮХеЪ = Ь.венство (6.2) примет вид: ЮХеЪ = Ь.(6.11)(6.11)При вычислении десятичных логарифмов следуетПри вычислении десятичных логарифмов следуетиметь в виду равенства:1g 100 . . . 0 = к.иметь в виду равенства:1g 100 . . . 0 = к.(6.12)(6.12)к нулей1g 0,00 . . . 01 = -к.к нулей1g 0,00 . . . 01 = -к.(6.13)(6.13)
1
1
(6.9)
(6.9)
XogaP b = ~log“ Ъ’
Замечания:
XogaP b = ~log“ Ъ’
Замечания:
p * 0 .
p * 0 .
(6.10)
(6.10)
При формулировке свойств логарифмов предполагается (исходя из определения логарифма), что основания участвующих в них логарифмов - положительные числа, отличные от 1.
Логарифм числа b по основанию 10 принято называть десятичным логарифмом этого числа и обозначать: lg b (lg b = log10 6). В частности, ра
При формулировке свойств логарифмов предполагается (исходя из определения логарифма), что основания участвующих в них логарифмов - положительные числа, отличные от 1.
Логарифм числа b по основанию 10 принято называть десятичным логарифмом этого числа и обозначать: lg b (lg b = log10 6). В частности, ра
венство (6.2) примет вид: ЮХеЪ = Ь.
венство (6.2) примет вид: ЮХеЪ = Ь.
(6.11)
(6.11)
При вычислении десятичных логарифмов следует
При вычислении десятичных логарифмов следует
иметь в виду равенства:
1g 100 . . . 0 = к.
иметь в виду равенства:
1g 100 . . . 0 = к.
(6.12)
(6.12)
к нулей
1g 0,00 . . . 01 = -к.
к нулей
1g 0,00 . . . 01 = -к.
(6.13)
(6.13)
В частности, logo & -~
10g ь “
к нулей
Из определения логарифма следует, что решением уравнения ах = Ь, где а > 0, а * 1, Ь > 0, является х = loga Ъ. Например, 2х = 3 => х = log2 3.
Пример 1. Вычислить log г 49
Решение.
Пусть log ! 49 = х . По определению логарифма
(6.1):(6.1):= 49; 7^ =72; -| = 2;х = -4.
(6.1):
(6.1):
Ответ: -4.
Пример 2. Вычислить log к — -.
I №б
Решение.
Пусть log52Пусть log521164 „
Пусть log5
2
Пусть log5
2
о,-- х ; 0,16 = -—- = — . По форму-
ле (6.1) имеем:ле (6.1) имеем:11V0.16100 25У
ле (6.1) имеем:
ле (6.1) имеем:
1
1
Ответ: —. 3
Пример 3. Вычислить lg Vo.OOl + 2lg10000 - 100,5.
Решение.
По свойству 6 ( формула (6.7)), используя формулу (6.13), получим:
lg Vo,001 = lg (0,001Г = i ■ lg 0,001 = | ■ (-3) = -1,5.
В силу формулы (6.12) lg 10000 = 4.
Поэтому lg VO.001 + 2lg 10000 - 100,5 = - 1,5 + 24-
- 100,5 = -1,5 + 16 -100,5 = -86.
Ответ: —86.
Пример 4. Вычислить 26+log23 + 1031g3 .
Решение.
используя формулу (6.2), получаем
26+iog23 _ 26 . 2iog23 = б4 . з _ 192.
применяя формулу (6.11), находим 1031g3 = = (10lg3)3 = З3 = 27;
192 + 27 = 219.
Ответ: 219.
Пример 5. ВычислитьПример 5. Вычислить
Пример 5. Вычислить
Пример 5. Вычислить
Решение.
Ответ: 256.Ответ: 256.
Ответ: 256.
Ответ: 256.
Пример 6. Вычислить 81logs 5 + 27log9 36 + З4 log9 7 Решение.
/ 3 X logg 36 9^/ 3 X logg 36 9^81logs5 ^з»)10®35 ^(з'^у = 54 = 625;
/ 3 X logg 36 9^
/ 3 X logg 36 9^
27log936 = (9 • з)108э36 = (9 ■ ^°е'№
glog9 36 ^ = 362 = ^2)2 = 63 = 216 .
З410^ 7 = (э2 )10g9 7 = (9 log9 7 У = 72 = 49 ;
62 5 + 216 + 49 = 890.
Ответ: 890.
Пример 7. Вычислить log13 2 + log13 84,5.
Решение.
По формуле (6.5) log13 2 + log13 84,5 = log13(2 • 84,5) =
= log13 169 = 2.
Ответ: 2.
Пример 8. Вычислить log8 16 - log8 32.
Решение.
По формуле (6.6) log8 16 - log8 32 =
16,1 ,11 ',
= 1°S8= !°g8 - ; logg - = X ; 8 = - ; 23* = 2"1;
Зх — —1; х = — —
3
_1
Ответ:.
3
Пример 9. Вычислить ^ ^ 1g 27
Решение.
Используя формулу (6.7), получим: lg81 = lg34 _ 41g3 _ 4 lg27 iggs “ 3]g3 ~ з •
4 Ответ: — .
3
Пример 10. Дано: 1g 3 = m, 1g 5 = n. Найти log15 30. Решение.
По формуле (6.8) log, - 30 = J£?io_^2 _ Ig^O log1015 lgl5
По формуле (6.5) 1g 30 = lg(3 ■ 10) = lg 3 + 1g 10 = - m + 1; lg 15 = lg(3 • 5) = lg 3 + lg 5 = m + n. Получили log15 30 = —- + .
m + n
Ответ: m +
m + n
Пример 11. Решить уравнение 32x - 12 • 3х + 35 = 0 Решение.
приводприводДанное уравнение является показательным, дящимся к квадратному, если положить 3х = в (см. (5.1)). и
привод
привод
Тогда у2 - 12у + 35 = 0; у. = 5; у, = 7. 1) 3х = 5;= log3 5 ;2
) 3х = 7; х2 = log3 7 (см. замечание 3).
Ответ: хх = log3 5; хг = log3 7.
Упражнения для самостоятельной работы
Вычислить:
log 4 7169;2. 51о^4+21°^3.3. Ю3"1®5;
13
log9 15+ logg 18 - logg 10;
^1°£т 36 “ 1°£т 14 - 6log6 721;
logn8 .21og23
logn 15-logn30log4 9
Дано: log2 3 = a; log2 7 = b. Найти log7 12.
Показать, что
log3 2 • log4 3 • log5 4 • logg 5 • log7 6 • log8 7 = ~;
Вычислить 1g 275, если 1g 5 = m.
Решить уравнения:
4х - 5 • 2х + 6 == 0;
2х +1 - 2х - 3 • 2х-1 =-7.
Ответы:
2
2.144;3.200;4.1,5;
2 + a
-2;6. -3;7.2;8.;
о
75 • (1 - m); V.xx = l, х2 = log2 3;
х = 1 + log2 7.
Логарифмические уравнения
При решении логарифмических уравнений применяют, как правило, такие преобразования, которые не приводят к потере корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней путем подстановки их в исходное уравнение обязательна, если нет уверенности в равносильности уравнений. Проверку найденных
корней можно заменить нахождением области определения уравнения. Тогда корнями данного уравнения могут быть только те числа, которые принадлежат этой области.
Отметим некоторые способы решения логарифмических уравнений.
Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.
Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их. То есть, если loga f(x) = loga g(x) => f(x) = g(x) (где a > 0, а Ф 1, f(x) > 0, g(x) > 0). При потенцировании используются свойства 4, 5, 6 логарифмов, читаемые справа налево.
Метод приведения логарифмического уравнения к квадратному. В частности, к квадратному уравнению приводятся логарифмические уравнения вида:
А • log* х + В • loga х + С = 0(6.14)
подстановкой у = loga х (А Ф 0, а > 0, а Ф 1);
A-logi; 6 + B-logx b + C = O (6.15) подстановкой у = logx b (А Ф 0).
Метод приведения логарифмов к одному основанию. При этом используются формулы (6.8), (6.9), (6.10).
Метод логарифмирования обеих частей уравнения.
Замечания:
Используя формулу (6.7), помните, что loga (f(x)fn = 2п • loga \f(x)\,
где a > 0, а Ф 1, n e Z\(6.16)
Используя формулу (6.10), помните, что
^РМ)2" b = 2^logIM
где b > 0, f(x) Ф 0, f(x) Ф ±1, n G Z. (6.17)
Пример 1. Решить уравнение log3 (2х + 1) = 2.
Решение.
На основании определения логарифма (6.1) имеем: 2х + 1 = З2; 2х + 1 = 9; 2х = 8; х = 4.
Проверка: х = 4; log3 (2 • 4 + 1) = log3 9 = 2; 2 = 2.
Ответ: х = 4.
Пример 2. Решить уравнение log^ + х(2х2 + 1) = 2. Решение.
х + 1 > 0, х > -1,•х + 1^1, => ■ х * 0, =>2х2+1>0. [хеД.Итак, х е (-1, 0) U (0, + оо).х + 1 > 0, х > -1,•х + 1^1, => ■ х * 0, =>2х2+1>0. [хеД.Итак, х е (-1, 0) U (0, + оо).x > -1, x 0.x > -1, x 0.Найдем ОДЗ (область допустимых значений) уравнения:
х + 1 > 0, х > -1,
•х + 1^1, => ■ х * 0, =>
2х2+1>0. [хеД.
Итак, х е (-1, 0) U (0, + оо).
х + 1 > 0, х > -1,
•х + 1^1, => ■ х * 0, =>
2х2+1>0. [хеД.
Итак, х е (-1, 0) U (0, + оо).
x > -1, x 0.
x > -1, x 0.
По определению логарифма: (х + I)2 = 2х2 + 1; х2 + + 2х + 1 = 2х2 + 1; х2 - 2х = 0; хх = 0; х2 = 2. Из двух полученных корней только корень х2 = 2 принадлежит ОДЗ, a Xj = 0 не принадлежит ОДЗ и, следовательно, является посторонним корнем.
Ответ: х = 2.
Пример 3. Решить уравнение lognlog2 log3 Зх = 0.
Решение.
Применяя последовательно определение логарифма, получим: Iog2 Iog3 Зх = л°; log, log3 Зх = 1;
log3 Зх = 21; log3 Зх = 2; Зх = 3 ,
Зх = 9; х = 3.
Проверка: х = 3; logn log2 log3 9 = logn log2 2 = logn 1 = = 0; 0 = 0.
Ответ: x = 3.
Пример 4. Решить уравнение log5 x = Iog5 (6 - x2).
Решение.
Найдем ОДЗ:
x>0,[x>0,]x>0,
6-x2>0;[x2<6;(-7б<х<7б;
0 < x < Vg •
Применяя метод потенцирования, получим: х = 6 - х2; х2 + х - 6 = 0; Xj = 2; х2 = -3.
Учитывая ОДЗ, отметим, что х2 = -3 - посторонний! корень.
Ответ: х = 2.
Пример 5. Решить уравнение 1g (х + 3) = 21g 2 - 1g х. Решение.
Применяя формулы (6.7) и (6.6), получаем:
4л
1g (х + 3) = lg 22 - lg х; lg(x + 3) = 1g — => х + 3 = — ; хх
х2 + Зх - 4 =0; xt = 1; х2 = -4.
Проверку выполните самостоятельно и убедитесь, что х2 = -4 - посторонний корень.
Ответ: х = 1.
Пример 6. Решить уравнение log2 (х + 14) + log2 (х + 2) = 6.
Решение.
Применив формулу (6.5) и учитывая, что 6 = log2 2s, получим:
log2 ((х +14)(х + 2)) = log2 2s; (х +14)(х + 2) = 26;
(х +14)(х + 2) = 64; х2 + 16х - 36 = 0; хг = 2; х2 = -18. Проверка: Xj = 2; log2 16 + log2 4 = 4 + 2 = 6; 6 = 6. х2 = -18; log2 (-18 + 14) = log2 (-4) - не существует,
=> х2 = -18 - посторонний корень.
Ответ: х = 2.
Пример 7. Решить уравнение log, _ 6 (х2 - 5) = logx_ 6 (2х + 19).
Решение.
х2 - 5 = 2х + 19; х2 - 2х - 24 = 0; xt = 6; х2 = -4.
Проверка: Xj = 6; log0 31 не существует, => хг = 6 - посторонний корень;
х2 = -4; log_10 11 не существует, => х2 = -4 - посторонний корень.
Ответ: решений нет.
Пример 8. Решить уравнение log2 (9х " 1 + 7) = 2 + + log2(3x-1 + l).
Решение.
Так как 91" 1 + 7 > 0 и З1" 1 + 1 > 0 при х g R (по свойству показательной функции), областью определения данного уравнения является множество всех дей-
ствительных чисел: x e R. Поэтому любой корень уравнения, полученного при потенцировании данного уравнения, посторонним не является.
log2(9x"1+ 7) = 2 + log2(3x-1 + 1); logy^"1 + 7) = = ’>g24 + log2(3-1 + l);
log2 (9х -1 + 7) = log2 (4 • (3х ~ 1 + 1)); => 9х " 1 + 7 = = 4 • 3х ’1 + 4; 32(x ~ D - 4 • 3х "1 + 3 = 0.
Получили показательное уравнение, сводящееся к квадратному (см. (5.1)).
Положим 3х-1 = у, тогда у - 4у + 3 = 0; ух = 3; у2 = 1.
3х -1 = 3; 3х-1 = З1 х - 1 = 1; хх = 2;
3х"1 = 1; 3х-1 = 3° => х - 1 = 0; х2 = 1.
Ответ: хх = 2; х2 = 1.
тт q ulg(35-x3)
Пример 9. Решить уравнение = 3 .
lg(5 - х)
Решение.
1g (35 - х3) = 3 • 1g (5 - х); 1g (35 - х3) = 1g (5 - х)3;
35 — х3 = (5 — х)3;
35 - х3 = 125 - 75х + 15х2 - х3; 15х2 - 75х + 90 = 0; х2 - 5х + 6 = 0; Xj = 3; х2 = 2.
Проверка:
_Ji3 = 3.3 = 3;Ig21Щ = 3;3 = 3.Ig3_Ji3 = 3.3 = 3;Ig21Щ = 3;3 = 3.Ig3lg(35-27) = 1g 8 = lg 23
_Ji3 = 3.3 = 3;
Ig2
1Щ = 3;3 = 3.
Ig3
_Ji3 = 3.3 = 3;
Ig2
1Щ = 3;3 = 3.
Ig3
X1’ lg(5 - 3)lg2lg2
o lg(35-8) _ lg27 _ lgЗ3 2 lg(5 - 2)lg3lg3
Ответ,: ^ = 3; x2 = 2.
Пример 10. Решить уравнение log3 x - log3 x = 2 .
Решение.
Область определения данного уравнения - ОДЗ: х > 0. Рассматриваемое уравнение является уравнением вида (6.14). Пусть log3 х = у, тогда уравнение примет вид: у2 _ у _ 2 = 0. Отсюда ух = 2; у2 = -1.
ух = 2; Iog3 х = 2 => хх = З2; хх = 9;
Так как хг > О, х2 > О то они принадлежат ОДЗ уравнения и являются его корнями.
Пример 11. Решить уравнение 31g2 (х - 10) =
= 1g (х - 10) + 2.
Решение.
ОДЗ: х - 10 > 0 или х > 10.
Пусть 1g (х - 10) = у, тогда Зу2 = у + 2; Зу2 - у - 2 = 0;
2
У1 =.
1g (х - 10) = 1; х - 10 = 10; х, = 20 > 10 - принадлежит ОДЗ;
lg(x-10) = -|; х-10 = 10 3; х2 =10 + 10 3 ;
100100Ответ: хх = 20; х2 = 10 + —
100
100
Пример 12. Решить уравнение
lg (lg х) + lg (lg х3 - 2) = 0.
Решение.
lg (lg x • (lg x3 - 2)) = lg 1; lg x • (3 • lg x - 2) = 1; 3 -lg2 x-2'lgx-l = 0. Подстановка:^ x = y;
Зу2-2у-1 = 0; У1 = 1; Уг=~^-, 1) lg x = 1; x, = 10;
1-- 1
lgx = --; x2 = 10 3 = =.
3V10
Проверка: xt =10; lg (lg 10) + lg(lg 103 — 2) — lg 1 + + lg (3 - 2) = 21g 1 = 0; 0 = 0;
- посторонний корень,- посторонний корень,= lg(-|) + lg(-3) =^ ^ = E оAj Lv
- посторонний корень,
- посторонний корень,
так как lg(- ^) и 1g (-3) не существуют.
Ответ: хг = 10.
Пример 13. Решить уравнение
4!о85 х - 5.2log5 ж + 210ffs 25 = 0 •
Решение.
ОДЗ: х > 0. 4log5* - 5 ■ 2log5X +4 = 0. Пусть 2I°S5;c _ у , тогда 4log5X _ ^2 и уравнение имеет вид: у2-5у + 4 = 0; у! = 4; у2 = 1.
210g5X = 4; 210g5X = 22; log5 х = 2; xv = 25 > 0;
21о^ж = 1; 2Iog5X = 2° ; log5 х = 0; х2 = 1 > 0. Оба корня принадлежат ОДЗ.
Ответ: xt = 25; х2 = 1.
Пример 14. Решить уравнение
log2 V5 - log* 5V5 + 1,25 = 0 .
Решение.
Область определения данного уравнения: х > 0, х Ф 1.
1 з
log2 52 -logx52 +1,25 = 0;
135
-log2 5log 5 + - = 0 , т. е. получили уравне-
424
ние вида (6.15).
„.1 2 35 п
Пусть log* 5 = у, тогда - у --у + - = 0; у2 - бу + 5 = 0; уг = 5; у2 = 1.
log* 5 = 5; х5 = 5; Xj = V5 > 0, xv * 1;
log* 5 = 1; x2 = 5 > 0, x2 1.
Оба корня принадлежат ОДЗ.
Ответ: хг = V5 ; х2 — 5.
Пример 15. Решить уравнение log16 х + log4 х + log2 х = 7. Решение.
ода: х>0. Логарифмы в левой части уравнения приведем к основанию 2 по формуле (6.8) (можно это сделать и по формуле (6.10)).
!og2 х log„ х7
Тогда-— + —_— + iog2 х = 7; — log2 х = 7 .
log2 х = 4; х = 24; х = 16 > 0.
Ответ: х = 16.
Пример 16. Решить уравнение log7 х + log* 7 = 2,5. Решение.
ОДЗ: х > 0, х * 1. По формуле (6.9)
log т 7 = -—-— , поэтому log 7 х + -—-— = 2,5;
log7 хlog7 х
log7 х - 2,5 ■ log7 x + 1 = 0 .
Пусть log7 х = у, тогда у2 - 2,5у + 1 = 0;
2у2 - 5у + 2 = 0; ух = 2; У3 = |.
bg7 х = 2; хх = 72; хх = 49 > О; х4 + 1;
1-
log7 х = -; Х2 = 72 ; х2 = V7 > 0; х2 Ф 1.
От вет: хТ = 49; х2 = V7 .
Пример 17. Решить уравнение log3x 3 = log 2 3.
Решение.
ОДЗ: х > 0, х * 1, х + —. Используя формулы (6.8), (6.5), (6.7), получим:
1 IOga3 - 1
Зх log33x 1 + log3 х ’
102 2о = =
log3x2 21og3x
11
Уравнение примет вид: -— = — (при
1+-log3 х 21og3x
1
х Ф —, х ф 1 знаменатели дробей отличны от нуля:
+ log3 х Ф 0, 21og3 х Ф О); 2 log3 х = 1 + log3 х; log3 х = 1;х = 3. Этот корень принадлежит ОДЗ.
Ответ: х = 3.
Пример 18. Решить уравнение х1о8з:с 4 = — .
Решение.
ОДЗ: х > 0. Обе части этого уравнения прологарифмируем по основанию 3, используя формулу (6.7): (log3 х - 4) • log3 х = log3 З-3; (log3 х - 4) • log3 х = -3. Получили логарифмическое уравнение с той же областью определения, что исходное: х > 0. Пусть log3 х = у, тогда (у - 4)у = -3; у2 - 4у + 3 = 0 ; ух = 3; у2 = 1.
log3 х = 3; хх = З3; хх = 27 - принадлежит ОДЗ;
log3 х = 1; х2 = 3 - принадлежит ОДЗ.
Ответ: хх = 27; х2 = 3.
Упражнения для самостоятельной работы
Решить уравнения:
logo,2 (X - 4) = 4.
log4^(x2 - Зх + 4) = 4 .
log4 log2 X = ^.
log5 log3 log2 (x2 + 7x) = 0 .
log2 (9 - 2х) = 3 ~ x.
log0д (x2 + 1) = log0-1 (2x - 5).
log2 (x + 12) = 21og2 x.
log5 (x - 1) + log5 (x - 2) = log5 (x + 2) .
lg(x2 + 75) - lg(x - 4) = 2.
lg(x + 6)-|lg(2x-3)=2-lg25.
^logo.g X _ । log09(5x-4) ~
11
П* 1 = ч"71гх-
9log2 * -10 • 31+log2 x + 81 = 0.
logf x - log^ x - 3 = 0 .
log3 x - log9 x + log27 x = — .
logJSx - 4) + log3x_4(x) = 2.
logx2 16 + log2x 64 = 3.
x $ =±
9 ‘
x^x = lOOOx2.
log2 x + log4 x + log8 x = 11.
log4 log2 x + log2 log4 x = 2.
Ig-^^b-10000
2x - 3
31og5 2 + 2 - x -
71g x = lg л/x .
log x 2.log x 2.logx 2 • log x 2 =
log x 2.
log x 2.
16
Ответы:
x = 4,0016;
x = 4;
x. = 0, x9 = 3;
x = 4;
x, = 5, x? = 95;
x = 4;
хг = 8, x2 = 2;
625log5 (3Z- 52-^).625log5 (3Z- 52-^).x = 2;xT = -8, x2 = 1;решений нет;x = 4;хг = 6, x2 = 14;xT = 0,0001, x2 = 10;14. хг = 0,2, x2 = 125;16. x = 2;x = 2;xT = -8, x2 = 1;решений нет;x = 4;хг = 6, x2 = 14;xT = 0,0001, x2 = 10;14. хг = 0,2, x2 = 125;16. x = 2;x = VS ;
625
log5 (3Z- 52-^).
625
log5 (3Z- 52-^).
x = 2;
xT = -8, x2 = 1;
решений нет;
x = 4;
хг = 6, x2 = 14;
xT = 0,0001, x2 = 10;
14. хг = 0,2, x2 = 125;
16. x = 2;
x = 2;
xT = -8, x2 = 1;
решений нет;
x = 4;
хг = 6, x2 = 14;
xT = 0,0001, x2 = 10;
14. хг = 0,2, x2 = 125;
16. x = 2;
= 4;3V219. ^=1000, х2=0,1;х = 16;х — 2;хх = 4, х2 = 8.= 4;3V219. ^=1000, х2=0,1;х = 16;х — 2;хх = 4, х2 = 8.х - — ;9х = 64;хх = 14, х2 = 6;х1 = 1,х2 = 10000;х - — ;9х = 64;хх = 14, х2 = 6;х1 = 1,х2 = 10000;
= 4;
3V219. ^=1000, х2=0,1;
х = 16;
х — 2;
хх = 4, х2 = 8.
= 4;
3V219. ^=1000, х2=0,1;
х = 16;
х — 2;
хх = 4, х2 = 8.
х - — ;
9
х = 64;
хх = 14, х2 = 6;
х1 = 1,х2 = 10000;
х - — ;
9
х = 64;
хх = 14, х2 = 6;
х1 = 1,х2 = 10000;
Логарифмические неравенства
При решении логарифмических неравенств следует учесть, что логарифмическое неравенство loga f(x)> loga g(x) равносильно системе неравенств:
при а > 1: loga Дх) > logo g(x)^>при а > 1: loga Дх) > logo g(x)^>f(x)>0,■ £<Л) > О,f(x)>0,■ £<Л) > О,fW > о, S"(x) > О, f(x) > ^(х);
при а > 1: loga Дх) > logo g(x)^>
при а > 1: loga Дх) > logo g(x)^>
f(x)>0,
■ £<Л) > О,
f(x)>0,
■ £<Л) > О,
при 0 < a < 1: loga /(х) > loga g(x) <=>
/О) < g(x).
Методы решения логарифмических неравенств аналогичны методам решения логарифмических уравнений.
Пример 1. Решить неравенство log5(3x - 1) < 1.
Решение.
Так как 1 = log5 5 и основание 5 > 1, то
log5(3x-l) < logs5<^log5(3x-l) < logs5<^Зх - 1 > 0Зх -1 < 5Зх - 1 > 0Зх -1 < 5х < 2.х < 2.
log5(3x-l) < logs5<^
log5(3x-l) < logs5<^
Зх - 1 > 0
Зх -1 < 5
Зх - 1 > 0
Зх -1 < 5
х < 2.
х < 2.
Ответ: ^ < х < 2.
Пример 2. Решить неравенство log0 5(2х + 1) > -1.
Решение.
log0 5(2x + 1) > log0 5(0,б)log0 5(2x + 1) > log0 5(0,б)Так как основание ОТак как основание О-1; log05(2x + i)>iOg05 2 .-1; log05(2x + i)>iOg05 2 .0,5 < 1, то0,5 < 1, то
log0 5(2x + 1) > log0 5(0,б)
log0 5(2x + 1) > log0 5(0,б)
Так как основание О
Так как основание О
-1; log05(2x + i)>iOg05 2 .
-1; log05(2x + i)>iOg05 2 .
0,5 < 1, то
0,5 < 1, то
1
2
111
1
1
1 ИЛИ<
2
11
Ответ: - — < х < — 22
Пример 3. Решить неравенство log3 ———
Зх -1 Решение.
х - 4Зх -1х - 4Зх -1х - 4
х - 4
Зх -1
х - 4
Зх -1
о7 > ° ’
Зх -1
х -4 > 1
Зх-1
Так как первое из неравенств является следствием второго, то достаточно решить только второе неравенство.
х - 4Зх -1 - 2х - 3х - 4Зх -1 - 2х - 3Зх-10;^Зх-1Зх-10;^Зх-10 1 ^21£21^_±1Зх-10 1 ^21£21^_±1Зх-1О . Применим методом интерО . Применим методом интер
х - 4
Зх -1 - 2х - 3
х - 4
Зх -1 - 2х - 3
Зх-1
0;^
Зх-1
Зх-1
0;^
Зх-1
0 1 ^21£21^_±1
Зх-1
0 1 ^21£21^_±1
Зх-1
О . Применим методом интер
О . Применим методом интер
валов, получим:валов, получим:22х < — (Проверьте!).3х < — (Проверьте!).33Ответ: ~ ~ <3Ответ: ~ ~ <хх11
валов, получим:
валов, получим:
2
2
х < — (Проверьте!).
3
х < — (Проверьте!).
3
3
Ответ: ~ ~ <
3
Ответ: ~ ~ <
х
х
1
1
Пример 4. Найти наименьшее целое решение неравенства logt (Зх - 4) < log т (х - 2).
333
3
3
Решение.
Данное неравенство, с учетом основания логарифма
11
™ (0 < — < 1), равносильно системе неравенств: о3
4
х - 2 > 0,х - 2 > 0,т. е.т. е.
х - 2 > 0,
х - 2 > 0,
т. е.
т. е.
Наименьшим целым значением х, удовлетворяю щим неравенству х > 2, является х = 3»
Ответ: х = 3.
Пример 5. Решить неравенство
logo,2 (Зх + 4) > 10&0,2 (X2 + 6) .
Решение.
Данное неравенство равносильно системе
Зх + 4 > 0,
- х2 + 6 > О,
Так как неравенство х2 + 6 > О выполняется для
хх4
х
х
любого х е R, то имеем систему -
х2 - Зх + 2 > 0.
Неравенство х2 - Зх + 2 > 0 решим методом интервалов: х2 - Зх + 2 = 0; хг = 1; х2 = 2.
4
х < 1; х > 2. Так как х > - — , то окончательно полу
2.2.4
2.
2.
3
х2 — 2х — 3 < 0, х2 - х - 2 > О, 2х2 - Зх - 5 < О.х2 — 2х — 3 < 0, х2 - х - 2 > О, 2х2 - Зх - 5 < О.илиилиJx > 0, |-2<х<3.Jx > 0, |-2<х<3.х > 0,х > -1,х > -3, х2 - х - 6 < 0;х > 0,х > -1,х > -3, х2 - х - 6 < 0;
х2 — 2х — 3 < 0, х2 - х - 2 > О, 2х2 - Зх - 5 < О.
х2 — 2х — 3 < 0, х2 - х - 2 > О, 2х2 - Зх - 5 < О.
или
или
Jx > 0, |-2<х<3.
Jx > 0, |-2<х<3.
х > 0,
х > -1,
х > -3, х2 - х - 6 < 0;
х > 0,
х > -1,
х > -3, х2 - х - 6 < 0;
Ответ: - — <х<1;х>2.
3
Пример 6. Найти наибольшее решение неравенства log2(-x2 + 2х + 3) > log2(x2 - х - 2).
Решение.
- х” + 2х + 3 > 0,
х2 - х - 2 > 0,
- х2 + 2х + 3 > хг - х - 2;
Решая каждое неравенство методом интервалов, най- д;м (Проверьте!): для первого неравенства -1 < х < 3; для второго: х < -1, х > 2 и для третьего: -1 < х < 2,5.
-12 2,5 3
Таким образом, решая систему неравенств, получим: 2 < х < 2,5.
Ответ: наибольшее решение неравенства х = 2,5.
Пример 7. Решить неравенство:
log20 х + log20(x + !) 5 l°g2o(2x + 6) •
Решение.
Данное неравенство перепишем в виде
log20(x(x + 1)) < log20(2x + 6) . Однако это неравенство будет равносильно исходному, если логарифмы, входящие в исходное неравенство, существуют, т. е. х > 0, х + 1 > 0, 2х + 6 > 0. Поэтому имеем систему неравенств:
х > 0,
х + 1 > 0,
2х + 6>0, °ТСЮда: х(х + 1) < 2х + 6,
Ответ: 0 < х < 3.
Пример 8. Решить неравенство log\(3 - 2х) > 1.
Решение.
Перепишем неравенство в виде logr(3 - 2х) > logx х. Здесь нужно рассмотреть два случая: х>1и0<х<1.
В первом случае данное неравенство равносильно системе неравенств:
х > 1, х < 1,5 х < 1;х > 1, х < 1,5 х < 1;х > 1,
х > 1, х < 1,5 х < 1;
х > 1, х < 1,5 х < 1;
х < 1.х < 1.решений нет.решений нет.х > 0,
х < 1.
х < 1.
решений нет.
решений нет.
3 - 2х > 0,
[3 - 2х > х;1
Во втором — имеем систему:
0<х<1,[0<х<1,
■ 3 - 2х > 0, <=> х < 1’5,=> решений нет.
3 - 2х < х; х > 1;
Ответ: решений нет.
Пример 9. Решить неравенство log3 х + log3 х > 2 .
Решение.
Пусть log3 х = у (х > 0), тогда для нахождения у получим неравенство у2 + у - 2 > 0. Решим это неравенство методом интервалов: у2 + у - 2 = 0; ух = -2; у2 = 1.
х > 0,х > 0,у <-2; у> 1.
х > 0,
х > 0,
log3 х < -2, log3 X < log3 -
log3x > 1, log3 x>log3 3log3x > 1, log3 x>log3 3Jx > 0, [x > 3;Jx > 0, [x > 3;=> x > 3.=> x > 3.
log3x > 1, log3 x>log3 3
log3x > 1, log3 x>log3 3
Jx > 0, [x > 3;
Jx > 0, [x > 3;
=> x > 3.
=> x > 3.
Ответ: 0 < x < — ; x > 3. 9
ттDlg x-3lgx + 3
Пример 10. Решить неравенство < 1.
lgx-1
Решение.
Обозначим lg х = у. Для определения у получим у2 - Зу + 3.у2-3у + 3 1_
неравенство: -< 1 или -1 < 0 ;
у-1у-1
+-^ < 0 ; ——— < 0 . Так как (у - 2)2 > О для у-1У-1
любого у € R, то у - 1 < 0 и у * 2; отсюда у < 1. Имеем:
Ответ: 0 < х < 10.
Упражнения для самостоятельной работы
Решить неравенства:
log2 (5х - 2) > 1;
log0 з (х2 ~ 5х + 7) > 0;
log5'(x2- Их+ 43) >2;
log8 (5х - 8) < log8 (2х + 7);
log0 9 (х2 + 1) ~ l°g0;9 2х < 0;
41og4 х ~ 1°§4 х > з;
logx (2x - 1) < 1.
Ответы:
x > - ;2. 2 < x < 3;3. x < 2, x > 9;
5
1,6 < x < 5;5.0<x<l, x>l;
0 < x < x > 4;7. 0,1 < x < 10;
4
22
2 < x < 4;9. 3 < x < —;10. 1 < x < 2;
-4 < x < -3, x > 8;12. решений нет.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Решение систем уравнений
При решении систем уравнений можно использовать элементарные преобразования, сохраняющие равносильность систем:
перестановку местами уравнений;
умножение обеих частей уравнения на любое число, отличное от нуля;
прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на любое число (в частности, сложение и вычитание уравнений).
На применении указанных элементарных преобразований основан метод алгебраического сложения решения систем линейных алгебраических уравнений:
+ ^у = с1У
а2х + Ь2У = с2,(7Л)
где av bv cv а2, b2, с2 - заданные числа; х, у - неизвестные. Суть этого метода будет пояснена на примерах 1,2.
Наиболее распространенным методом решения систем уравнений с двумя неизвестными является метод подстановки, который можно применять при решении линейных (7.1) и нелинейных систем, т. е. таких систем, в которых хотя бы одно из уравнений не является линейным (пх + b = с - линейное уравнение). Этот метод состоит в следующем:
Из одного уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое.
Полученное выражение подставляем в другое уравнение системы. Получится одно уравнение с одним неизвестным.
Решаем это уравнение, находим значение неизвестного.
Подставив значение неизвестного, найденное в п. 3, в выражение п. 1, найдем значение оставшегося неизвестного.
Метод подстановки иллюстрируется примерами 3-6.
Зх + 2у = 5,5х-3у = 2.Зх + 2у = 5,5х-3у = 2.При решении систем нелинейных уравнений используют метод замены переменных, который путем введения новых переменных позволяет свести исходную систему к другой, способ решения которой известен (см. примеры 7-9).
Зх + 2у = 5,5х-3у = 2.
Зх + 2у = 5,5х-3у = 2.
Пример 1. Решить систему уравнений
Решение.
Первое из уравнений данной системы вида (7.1) умножим на 3, второе - на 2, полученные уравнения
сложим:сложим:Зх + 2у - 5, 5х - Зу = 2,Зх + 2у - 5, 5х - Зу = 2,х з 9х + бу = 15
сложим:
сложим:
Зх + 2у - 5, 5х - Зу = 2,
Зх + 2у - 5, 5х - Зу = 2,
х2^ + Юх - бу = 4
19х = 19; х = 1.
Найденное значение х подставим в одно из уравнений системы, например, первое: 3 4- 2у = 5; 2у = 2; у 1.
Значение у можно было бы найти так: первое уравнение данной системы умножить на 5, второе - на 3,
и из первого уравнения вычесть второе:
Зх + 2у = 5,
х 5
15х + Юу — 25
5х - Зу = 2,
хЗ
15х - 9у = 6
19у = 19; у = 1.
Ответ: (1; 1).
Пример 2. Решить систему уравнений
X-У у ]= 6
. 23
X + У * - У 6
43
Решение.
X + ух3 + х-у\2 = 6\6
23’ Зх + Зу + 2х - 2у = 36,
^jt_^l_. - х ~У^ = 6х12 Зх + Зу - 4х 4- 4у = 72,
43
5х + у = 36,
- х + Чу = 72 .
Таким образом, получили систему вида (7.1). Ре- шим ее методом алгебраического сложения:
5х + у = 36 X 1
- х + Чу = 72 х 5
36у = 396; у = 11; 36х = 180; х = 5.
Зх2 + у2 =19, у - 2х =6.Зх2 + у2 =19, у - 2х =6.Ответ: (5; 11).
Зх2 + у2 =19, у - 2х =6.
Зх2 + у2 =19, у - 2х =6.
Пример 3. Решить систему уравнений
Решение.
у - 2х = 6 => у = 2х + 6. Подставим найденное для у выражение в первое уравнение системы.
Зх2 + (2х + 6)2 = 19; Зх2 + 4х2 + 24х + 36-19 = 0;
7х2 + 24х + 17 = 0;
- 12± V144 - 7•17 -12 ±5
х^2~—;
ЧЧ
17
X! = -1; х2 = - —; У1 = 2х, + 6; У1 = -2 + 6; уг = 4;
у2 = 2х2 + 6; у2 = - — + 6 ; У2 = ~ .
17 8
Ответ: (-1; 4); (——; — ).
Пример 4. Решить систему уравнений [2х - у - ху = 14, [х + 2у + ху = -7.
Решение.
Сложив почленно уравнения данной системы, получим уравнение: Зх + у = 7. Присоединив к этому уравнению одно из уравнений данной системы, получим [2х - у - ху = 14, систему, равносильную данной: (
[Зх + у = 7.
Эту систему решим методом подстановки:
Зх + у = 7 => у = 7 - Зх; 2х - (7 - Зх) - х(7 - Зх) = 14; 2х - 7 + Зх - 7х + Зх - 14 = 0; Зх2 - 2х - 21 = 0;
1,21,21 ± 71 + 63 1 ± 81 ± 71 + 63 1 ± 833337» xi — 3; х2 - ~.7» xi — 3; х2 - ~.уг = 7 - Зх! = 7 - 9 = -2; у2 = 7 - Зх2 = 7 + 7 =уг = 7 - Зх! = 7 - 9 = -2; у2 = 7 - Зх2 = 7 + 7 =14.14.
1,2
1,2
1 ± 71 + 63 1 ± 8
1 ± 71 + 63 1 ± 8
3
3
3
3
7
» xi — 3; х2 - ~.
7
» xi — 3; х2 - ~.
уг = 7 - Зх! = 7 - 9 = -2; у2 = 7 - Зх2 = 7 + 7 =
уг = 7 - Зх! = 7 - 9 = -2; у2 = 7 - Зх2 = 7 + 7 =
14.
14.
7 Ответ: (3; -2); (~ — ; 14).
Пример 5. Решить систему уравнений 642ж + 642у = 12, 64ж+г/ = 4V2.
Решение.
Преобразуем системуПреобразуем систему212х + 212у _ 12> 5 26Р+у) _ 22 .
Преобразуем систему
Преобразуем систему
Из второго уравнения системы находим:
ч 555
6(х + у) = — ; X + у =; X =у .
v2 ’У 12 ’12
Подставив в первое уравнение найденное выражение для х, получим для определения у показательное 32
уравнение: 212у += 12. Пусть 212у = а, тогда
z + -— = 12 ; z2 - 12z + 32 = 0; zx = 8; z2 = 4; 2
Ответ:Ответ:U6’U6’1А4^1А4^Г1кГ1кп6п6
Ответ:
Ответ:
U
6’
U
6’
1А
4^
1А
4^
Г1
к
Г1
к
п
6
п
6
Пример 6. Решить систему уравнений log3 х + log3 у = log3 2 + 3, у - х = - 25.
Решение.
Так как в систему входит логарифмическое уравнение, то нужно учесть, что х > 0, у > 0 (область определения системы).
bg3 ху = log3 2 + log3 З3, flog3 ху = log3(2 • З3),
у - х- -25;[у - х = -25;
ху = 54,
у - х = -25.
у = х - 25; х(х - 25) = 54; х2 - 25х - 54 = 0; xt = 27;
х2 = -2 < 0 не удовлетворяет условию х > 0.
У! = 27- 25 = 2.
Ответ: (27; 2).
Пример 7. Решить систему уравнений
х + у-13х + у-1Решение.Положимх + у-13х + у-1Решение.ПоложимЗх + 2у — 34
х + у-13
х + у-1
Решение.
Положим
х + у-13
х + у-1
Решение.
Положим
4— 5.
Зх + 2у — 3
1 _1
:7 - и ’ 7оn ” и v ~ но-
х + у - 1 Зх + 2у - 3
вые переменные). Тогда данная система примет вид:
и + 2 о = 2,
Зи + 4о = 5.
Решая ее, получим
и + 2и = 2\ х- 2
+
Зи + 4и = 5
и = 1;
1 + 2и = 2; и = i .
2
Для определения х и у получаем:
х + у - 1х + у - 1 = 1,
1_ 1 [Зх + 2у - 3 = 2 ;
Зх + 2у - 3 ~ 2 ’
х + у = 2,
Зх + 2у = 5.
х = 2 - у; 3(2 - у) + 2у = 5; 6 - Зу + 2у = 5; у = 1;
х = 2 - 1 = 1.
Ответ: (1; 1).
Пример 8. Решить систему уравнений
Мх + у - 4^х - у = 2 ,
Jx + у - ^х-у = 8.
Решение.
Введем новые переменные: ^jx + у = и; \[х - у =и .
Данная система примет вид:
и-и = 2, (и-и = 2,(и-и = 2,
и2 - и2 = 8; [(и - и^и + и) = 8; [2(и + и) = 8;
и - и = 2,
и + и - 4.
и - v = 2
+
и + о = 4 \
2и = 6; и = 3;
3 + v = 4; и = 1.
Возвратимся теперь к исходным переменным:
Ух + у = 3,
^х-у = 1.
Обе части каждого уравнения возведем в четвертую степень. Это преобразование может привести к приоб-
ретению посторонних корней. Поэтому проверка обязательна.
х + у - 81, х + у = 81
х-у = 1; х-у = 1
2х = 82;
х = 41; у = 81 - х = 81 - 41; у = 40
Проверка:
1/41 + 40 - 1/41 - 40 = 1/81 -Ш = 3-1 = 2; 2 = 2;
741 + 40 - 741 - 40 = 781 - 71=9-1 = 8;8 = 8.
Ответ: (41; 40).
Пример 9. Решить систему уравнений
/TZ7 = 32 • x7s^, "Тз7 = 3 ■ "Тэ77.
Решение.
2х „ Зу— = 5 +Ухх 2 - 2у.УУ2х „ Зу— = 5 +Ухх 2 - 2у.УУДанную систему перепишем в виде:
2х „ Зу
— = 5 +
Ух
х 2 - 2у
.УУ
2х „ Зу
— = 5 +
Ух
х 2 - 2у
.УУ
^5 + ^
2 у - 2 х
Отсюда получим:
Зу =3 у .
Введем новую переменную t = —, тогда из первого У
уравнения будем иметь 2t - 5t - 3 = 0. Решив его,
1х
найдем t. = 3; t, = — (Проверьте!), т. е. — = 3 или
2у
— =. Подставив найденные значения для — во вто-
У 2у
рое уравнение преобразованной системы, получим:
* =-1;1 - 1 ! 2 ~ 2у 22 - 3 ; 2 =1;
У 2 ’2у ’ у 2 ’ у 2 ’
У2 = 4; х2 =--у2 =-2.
Ответ,: (1,5; 0,5); (—2; 4).
Упражнения для самостоятельной работы
Решить системы уравнений:
5х - 2у = 3 , х + 4у = -1.5х - 2у = 3 , х + 4у = -1.2.2.2х - 5у = -11, Зх + 4у = 18.2х - 5у = -11, Зх + 4у = 18.
5х - 2у = 3 , х + 4у = -1.
5х - 2у = 3 , х + 4у = -1.
2.
2.
2х - 5у = -11, Зх + 4у = 18.
2х - 5у = -11, Зх + 4у = 18.
ху = -6, х - 2у = -7.ху = -6, х - 2у = -7.- 22у = 77,- 22у = 77,3х32 - 2У = 73х32 - 2У = 79.9.У ~ bg3 х = 1 ху = З12 .У ~ bg3 х = 1 ху = З12 .82х+1 = 32.2^-1 f5 ■ 5Х"У = V252y+1 .82х+1 = 32.2^-1 f5 ■ 5Х"У = V252y+1 .logy X + logx у = 2, х + у = 10.logy X + logx у = 2, х + у = 10.13.13.101+1§(х+у) = 50,,lg(x - у) + IgU + У) = 2 - lg5.101+1§(х+у) = 50,,lg(x - у) + IgU + У) = 2 - lg5.
ху = -6, х - 2у = -7.
ху = -6, х - 2у = -7.
- 22у = 77,
- 22у = 77,
3х
32 - 2У = 7
3х
32 - 2У = 7
9.
9.
У ~ bg3 х = 1 ху = З12 .
У ~ bg3 х = 1 ху = З12 .
82х+1 = 32.2^-1 f
5 ■ 5Х"У = V252y+1 .
82х+1 = 32.2^-1 f
5 ■ 5Х"У = V252y+1 .
logy X + logx у = 2, х + у = 10.
logy X + logx у = 2, х + у = 10.
13.
13.
101+1§(х+у) = 50,
,lg(x - у) + IgU + У) = 2 - lg5.
101+1§(х+у) = 50,
,lg(x - у) + IgU + У) = 2 - lg5.
^+У_х-у=
93’|х2 + у2 = 41,
2х - у _ Зх + 2у = 20" [х + у = 9.
63
3х + 3У = 12, х _ 1 2у" 4 '
log2 X + log2 У = 1 + log2 5 , Х + у = 7.
14.14.xlgy = 100, logy X = 2.xlgy = 100, logy X = 2.15.15.1 -1 = A x у 36 ’xy2 - x2y = 324.1 -1 = A x у 36 ’xy2 - x2y = 324.16.16.3х•2У =576, log^(y-x) = 4.3х•2У =576, log^(y-x) = 4.17.17.x + у + xy = 9.x + у + xy = 9.
14.
14.
xlgy = 100, logy X = 2.
xlgy = 100, logy X = 2.
15.
15.
1 -1 = A x у 36 ’
xy2 - x2y = 324.
1 -1 = A x у 36 ’
xy2 - x2y = 324.
16.
16.
3х•2У =576, log^(y-x) = 4.
3х•2У =576, log^(y-x) = 4.
17.
17.
x + у + xy = 9.
x + у + xy = 9.
Ответы:
54
^(^ ~H);2. (2; 3);
(15; 12);4. (5; 4); (4; 5);
(-3; 2); (-4; 1,5);6. (1; 2);
C4; 4);8. (5; 2); (2; 5);
1
(27; 4); (—; -3);10. (2; 1); (-2; 1); (2; -1); (-2; -1);
31
■*"!"( 14* 14^’12. (5; 5);
(4,5; 0,5);14. (100; 10); (0,01; 0,1);
(9; 12); (-12; -9); 16. (2; 6);
(4; 1); (-9; -|).
Исследование системы линейныхалгебраических уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений
(7.1)(7.1)а хх + Ьху = q,а2х*Ь2у = с2 .
(7.1)
(7.1)
ах Ьг
Если — Ф —- , то система имеет единственное а2 Ь2
решение, которое легко найти рассмотренными ранее методами.
„ „ а, Ьл с.
Если —— = — ф —-, то в этом случае система не °2^2 С2
имеет решений.
Если ^L = ^L = ^-, т. е. коэффициенты двух й2 ^2 С2
уравнений системы будут пропорциональны:, и система равносильна одному уравнению с двумя неизвестными, а следовательно, иметь бесконечное множество решений.
Так как уравнения системы можно рассматривать как уравнения прямых на плоскости, то прямые пересекаются, если система имеет единственное решение, т. е. ^1- ф ^. Прямые параллельны, если система не
а2 ^2
а,с,
имеет решений, т. е. — = — Ф — . Прямые совпада-
°2^2 С2
ют, если система имеет бесчисленное множество реше-
Пример 1. При каких значениях а и b система уравне
нийний5х + 4у = 1, не имеет решений?
ний
ний
Зх + 2ау = b
Решение.
Система не будет иметь решений, если — = —■ Ф. — .
3 2а b
54
Из равенства — = — находим, решая пропорцию, 3 2а
10 а = 12; а = —. Из условия — Ф определяем Ь Ф — .
55 b5
-6,3
Ответ: а = —, о Ф — .
55
Пример 2. При каких значениях а прямые 2х + ау = -2 и 4х + Зу = 3 пересекаются?
Решение.
2 а
Прямые пересекаются, если — * — ; 6 * 4а или
3 а * —.
2
3 Ответ,: а * —.
Пример 3. При каких значениях а точка пересечения прямых Зх + Юг/ = 3 и Зх + bay = 5 имеет отрицательную ординату?
Решение.
Для того, чтобы найти точку пересечения прямых, нужно решить систему уравнений:
Зх + Юг/ = 3 исключим из системы х:
Зх + bay = 5
Зх + 10г/ = 3
Зх + bay = 5
10г/ - bay = -2, или у (10 - 5а) = -2.
2
У =
5 (а - 2) 1
2
Так как по условию у < 0, то < 0 : а < 2.
5 (а - 2)
Ответ: а < 2.
Пример 4. При каких значениях а и b система уравне
ниинииах - Зу = -1,
нии
нии
имеет бесконечное множество
Юх + 9 г/ = b + 3
решений?
Решение.
Система имеет бесчисленное множество решений, если коэффициенты уравнений пропорциональны:
а - 3-1а -1
— ==. Из первого равенства — = нахо-
109 Ъ + 3103
10
дим а =, из второго равенства
ем b + 3 = 3; b = 0.
-1 _ -1 3 " ь + з-1 _ -1 3 " ь + зполуча-получа-10Ответ: а =, b = 0.
-1 _ -1 3 " ь + з
-1 _ -1 3 " ь + з
получа-
получа-
3
Пример 5. При каких значениях а и Ъ прямые ах - у = -1 и 12х + Зу = & + 3 параллельны?
Решение.
Прямые параллельны, если соответствующая система не имеет решений, т. е. выполняется условие:
а12а12-1Т-1Т-1al
а
12
а
12
-1
Т
-1
Т
*. Из равенства — - - — определяем
а = -4, из неравенстваb + 3 3, b 0.Ответ: а = —4, b * 0.а = -4, из неравенстваb + 3 3, b 0.Ответ: а = —4, b * 0.-1 -1; находим, что3 о + 3-1 -1; находим, что3 о + 30 + 3123
а = -4, из неравенства
b + 3 3, b 0.
Ответ: а = —4, b * 0.
а = -4, из неравенства
b + 3 3, b 0.
Ответ: а = —4, b * 0.
-1 -1
; находим, что
3 о + 3
-1 -1
; находим, что
3 о + 3
Упражнения для самостоятельной работы
При каких значениях а и Ъ система уравнений 13х + ау - 2 имеет бесконечное множество реше- [бх + 5у = b
ний?
При каких значениях а и b система уравнений
2х + ау = 2
не имеет решений?
4х + Зу = b
При каких значениях а система уравнений
2х + ау = 2
имеет единственное решение?
4х + 5у = 3
При каких значениях а прямые ах - 2у = -1 и 6х + бу = 5 пересекаются?
При каких значениях а точка пересечения прямых 2х + 14у = 2 и Зх + 7ay = 5 имеет положительную ординату?
При каких значениях а точка пересечения прямых 2 ах + Зу = 3 и 4х + Зу = 7 имеет отрицательную абсциссу?
При каких значениях а и Ъ прямые ах + 2у = -1 и Юх - бу = Ь + 3 не имеют общих точек?
Ответы:
а = 2,5, & = 4;а * 2,5;5. а > 3;а = 2,5, & = 4;а * 2,5;5. а > 3;а = 1,5, b * 4;а* -2;6. а> 2;а = 1,5, b * 4;а* -2;6. а> 2;
а = 2,5, & = 4;
а * 2,5;
5. а > 3;
а = 2,5, & = 4;
а * 2,5;
5. а > 3;
а = 1,5, b * 4;
а* -2;
6. а> 2;
а = 1,5, b * 4;
а* -2;
6. а> 2;
а = -у, Ь*0.
ПРОГРЕССИИ
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом (разностью арифметической прогрессии).
Иначе говоря, числовая последовательность а^ а2, ... , а„, ... является арифметической прогрессией с разностью d, если
a-n*i = an + d;ne N.(8.1)
Например, последовательность
1,4, 7, 10, ... ,Зн-2, ... является арифметической прогрессией с разностью d = 3 и первым членом av = 1.
В дальнейшем арифметическую прогрессию ар а2,... , а„, ... будем коротко обозначать -^(ап).
Приведем формулы, необходимые для решения задач на арифметическую прогрессию.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: ап = а, + (п - 1) • d.(8-2)
Формула суммы п первых членов арифметической прогрессии:
„ си + ап _2а, + (п -1) • d
SnSn(8.3)
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, и каждый член, начиная со второго, равен преды- дущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число (знаменатель геометрической прогрессии). Иначе говоря, числовая последовательность бр Ь2, .„ , Ь„, ... является геометрической прогрессией, если bt * 0 и
Ьп+1 = Ьп • q; q Ф 0; п 6 N.(8.4)
Например, последовательность
9; 3;1;9; 3;1;1 13; 91 13; 9; З3 п; ... является геометрической; З3 п; ... является геометрическойпрогрессией со знаменателем 7 -прогрессией со знаменателем 7 -1313и первым членоми первым членом
9; 3;1;
9; 3;1;
1 1
3; 9
1 1
3; 9
; З3 п; ... является геометрической
; З3 п; ... является геометрической
прогрессией со знаменателем 7 -
прогрессией со знаменателем 7 -
1
3
1
3
и первым членом
и первым членом
Ъх = 9.
В дальнейшем геометрическую прогрессию
Ьр Ь2,..., Ъп, ... будем коротко обозначать ^(Ьп).
Приведем формулы, необходимые для решения за
дач на геометрическую прогрессию.
Формула п-го члена геометрической прогрессии:
Ь^Ь^"1.(8.5)
Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии:
(8.6)
Замечание. Если q = 1, то геометрическая прогрессия принимает вид: Ь1Г Ьр ... , Ьр ... . Поэтому Sn = Ъх + Ьх + . . . + Ъх , т. е. Sn = Ъ1 • п.
п "
Геометрическая прогрессия, у которой |g[ < 1, называется бесконечно убывающей, а ее сумма S определяется по формуле:
s = A_.(8.7)
Задачи на прогрессии, как правило, решают путем составления системы уравнений относительно а{ и d (bi И q).
Пример 1. Найти второй член арифметической прогрессии, если сумма четвертого и шестого членов прогрессии равна 10, а разность между пятым и вторым членами равна 3.
Дано: ЦаД; а4 + аб Ю; а5 “ а2 = 3.
Найти: а^.
Решение.
По условию имеем систему уравнений
а4 + а6 = 10,
^5 ” ^2 = 3 .
По формуле (8.2): а4 = ах + 3d; а^ = ахА- 5d;
а5 = ах 4- 4d; а2^ ax-V d.
Поэтому
(a^ + 3d) + (п* + 5d) — 10, 2d| + 8d = 10,
(at + 4d) - (^ 4- d) = 3; 3d = 3;
ax + 4d = 5,
d = 1;
ax 4- 4 = 5; ax = 1. По формуле (8.2) a2 = пх 4- d = = 14-1 = 2.
Ответ: a2 — 2.
Пример 2. В арифметической прогрессии сумма второго и третьего членов равна 8, а сумма четвертого и пятого членов равна 16. Найти сто первый член прогрессии.
Дано: До^ а2 4- а3 = 8; а4 4- а5 = 16.
Найти: uxov
Решение.
а2 4- я3 = 8, ff»! 4- d) 4- (ах 4- 2d) = 8,
а4 4- п5 =16; (^ 4- 3d) 4- (^ + 4d) = 16;
2ах 4- 3d = 8, 2ах 4- 7d = 16;
2ах 4- 7d = 16
2ах 4- 3d = 8
4d = 8? d = 2;
2av 4- 3 • 2 = 8; 2ах = 2; ах = 1; а101 = ах 4- 100 - d = = 1 4-100-2 = 201.
Ответ: а101 = 201.
Пример 3. Найти арифметическую прогрессию, если сумма первого и пятого членов равна 24, а произведение второго и третьего членов ее равно 60.
Дано: Дап); ах + а5 = 24; а2 • а3 = 60.
Найти: av а2, а2, а4, ... .
Решение.
at + а5 = 24, Гах + av + 4d = 24,
а2 • а3 =60;(^ + d)(a1 + 2d) = 60;
2(at + 2d) = 24,+ 2d = 12,
(ах + d)(a1 + 2d) = 60; (a^ + d) • 12 = 60;
ax + 2d = 12,
ax + d = 5 Отсюда находим d = 7; ax = -2. По
этому имеем прогрессию: -2; 5; 12; 19; 26; ... .
Ответ: -2; 5; 12; 19; 26; ... .
Пример 4. В арифметической прогрессии известно, что десятый член ее равен (-15), а двадцатый член - (-35). Найти сумму первых тридцати трех членов прогрессии.
Дано: Да^', а10 = —15; п20 = —35.
Найти: S33.
Решение.
аг + 9d = -15, ( _ ax+9d = -15
ах + 19d = -35; “i + 19d = -35
-10d = 20
d = -2; ax - 18 = -15; ax = 3. По формуле (8.3):
S33 = M±l^. зз = (O1 + I6d) • 33 = (3 - 32)- 33 =
= -29 • 33 = -957.
Ответ: S33 = - 957.
Пример 5. Число 125 является членом арифметической прогрессии 7, 9, 11,... Найти номер этого члена.
Дано: -=-7, 9, 11, ... ; ап = 125.
Найти: п.
Решение.
ах =- 7; а2 = 9; d = а2 - ах = 9 - 7 = 2;
ап = ах + (п - 1) • d; 125 = 7 + (п - 1)-2;
7 + 2п - 2 = 125; 2п = 120; п = 60.
Ответ: п = 60.
Пример 6. Числа ар а2, а3 образуют арифметическую прогрессию. Найти х, если ат = 1g 2; а2 = 1g (3х - 3); °з = 1g (3х + 9).
Решение.
Так как числа av а2, а3 образуют арифметическую прогрессию, то а2 — аг = d, а3 — а2 = d => а2 — ах = а3 — а2. Имеем:
1g (3х - 3) - 1g 2 = 1g (3х + 9) - 1g (3х - 3) или 21g (3x-3) = lg (3x + 9) + lg2.
Область определения этого уравнения х > 1 (Почему?). 1g (3х - З)2 = 1g (2-(Зх + 9));
(3х - З)2 = 2-(Зх + 9). Пусть 3х = у, тогда (у - З)2 = =2(у + 9) или у2 - 8у - 9 = 0; yv = 9; у2 = -1; 3х = 9; 3х = = 3 , х = 2>1;Зх = -1- корней нет, так как 3х > 0, X G R.
Ответ: х = 2.
Пример 7. Вычислить шестой член геометрической прогрессии, у которой разность между третьим и первым членами равна 9, а отношение пятого Члена ко второму равно 8.
Дано: ^(.Ь); Ь3-Ьг = 9;= 8.
Найти: Ь6.
Решение.
По условиюПо условию— = 8.^2— = 8.^2= Ьг • q2,= Ьг • q2,Ь3 -Ьг = 9,
По условию
По условию
— = 8.
^2
— = 8.
^2
= Ьг • q2,
= Ьг • q2,
По формуле (8.5): b3 = Ьг • q3 *■ b2=bx- q2'1 = b1- q, b5 = by - q^^b^ q4.
Поэтому
По формуле (8.5) находим: b6 = bxq^ = 3-25 = 96. Ответ: Ъ^ = 96.
Пример 8. Найти знаменатель и первый член геометрической прогрессии, если произведение первого и третьего ее членов равно 9, а произведение второго и четвёртого равно 81, причем Ьх > 0, q < 0. Дано: -ДЬД; b^b^ - 9; b2-b4 - 81; bx > 0, q < 0.
Найти: bx; q.
Решение.
По условию -По условию -^1 Л^2 " ^4^1 Л^2 " ^4= 9,= 81.= 9,= 81.
По условию -
По условию -
^1 Л
^2 " ^4
^1 Л
^2 " ^4
= 9,
= 81.
= 9,
= 81.
По формуле (8.5) получимПо формуле (8.5) получимbv • brq2 = 9, bxq -bvq3 = 81;
По формуле (8.5) получим
По формуле (8.5) получим
Так как по условию q < 0, то q = -3.
bx = - 1 => Ьх = ±1. Так как по условию Ьх > 0,
(-3)
то bx = 1.
Ответ: bx 1, q = -3.
Пример 9. Найти четыре числа, составляющие геомет- . рическую прогрессию, если первое число больше второго на 36, а третье больше четвертого на 4.
Дано: -^ЦЬ^; bx = b^-V 36; b3 = Ь4 + 4.
Найти: bv b2, Ь3, Ь4.
Решение.
Из условия имеем систему:
bi - bxq + 36, bt(l - q) - 36,
ь^2 ^<z3 + 4; [m2^-?)^4-
Разделим почленно первое уравнение на второе, тогда:
q= ’Ч 9q= ’Ч 9
q= ’Ч 9
q= ’Ч 9
1 ,36361
1) 9 - - ; bx = = - 54 ; d2 = 54 ■ - = 18 ;
o i g _ aо
3
Ответ: 54; 18; 6; 2 или 27; -9; 3; -1.
Пример 10. Сумма п первых членов геометрической прогрессии равна -341, ее первый член равен -1, а знаменатель равен 4. Найти п.
Дано: ^ЦЬД; Sn - -341; bY = -1; g = 4.
Найти: п.
Решение.
Используя формулу (8.6), получим:
^d-g")1-g^d-g")1-g-341 =-341 =-1-(1-4п)-1-(1-4п)
^d-g")1-g
^d-g")1-g
-341 =
-341 =
-1-(1-4п)
-1-(1-4п)
1-4"
- 341 =; 4Л = 1024; 4Л = 45; п = 5.
Ответ: п = 5.
Пример 11. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 15. Найти эти числа, если известно, что после прибавления к ним соответственно 1, 4 и 19 получатся три числа, составляющие геометрическую прогрессию.
Дано. —^2> аз> ^1 "^~ ^2 "^~ ^з 15;
^bp b2, b3; bx = avA- 1; b2 - а2 4- 4; Ь2 = а2 4- 19.
Найти: av a2f а3.
Решение.
Так как по условию av 4- а2 4- аг = 15, то
at + at 4- d 4- ax 4- 2d = 15, t. e. 3at 4- 3d = 15; at 4- d= — 5. Так как числа bv b^, b^ составляют геометричес-
^2^37 2
кую прогрессию, то — = — b2 = Ьх • Ь3 , т. е.
(а2 4- 4)2 = (at 4- l)(a3 4- 19), или
(at 4- d 4- 4)2 = (at 4- 1)^ 4- 2d 4-19). Следовательно, для определения ах и d имеем систему уравнений:
(ах 4- d = 5,
[(«! + d + 4)2 = (^ + l)(ax + 2d + 19) ИЛИ
ах 4- d = 5,
81 = (a1 +!)(«! 4-2d 4-19).
Из первого уравнения системы выразим ах = 5 - d и подставим во второе уравнение:
(6 - d)(24 4 d) = 81; -d2 - 24d 4- 6d 4- 1444 = 81;
d2 4- 18d - 63 = 0; dx = 3; d2 = -21.
Поэтому (a1)1 = 5-d1 = 5- 3 = 2; (a2)i = 24-3 = 5; (a3)i = 54-3 = 8; (at)2 = 5 - d2 = 5 4- 21 = 26; (a2)2 = 26 - -21 = 5; (a3)2 = 5 - 21 = - 16.
Ответ: 2; 5; 8 или 26; 5; -16.
Пример 12. Найти сумму геометрической прогрессии
2 2
2; 3; 9;--
Решение.
Так как
имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. По формуле (8.7) имеем
q=2
А 2' l3j 3
3 Ответ: S = — .
2
Пример 13. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 21, а ее первый член равен 7. Найти сумму первых трех членов этой прогрессии.
Дано: -ДЪД; |д| < 1; S = 21; Ъх = 7.
Найти: S3.
Решение.
b7
Из формулы (8.7) получим: —— = 21; = 21;
\-qX-q
2
1-7=—; q- —. По формуле (8.6) 33
31-g1- —99-
3
7 Ответ: S3 - 14 — .
Пример 14. Найти сумму всех четных чисел К, каждое из которых делится без остатка на 33 и удовлетворяет условию -396 < К < 265.
Решение.
396265< т <;6666396265< т <;6666Так как числа К являются четными и делятся на 33, то их можно представить в виде: К = 2 • 33 - т = 66тп, где т - целое число. Такие числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 66. Найдем число членов этой прогрессии. Для этого вначале определим, в каких пределах изменяется число т. Из условия име
396265
< т <;
6666
396265
< т <;
6666
ем -396 < 66тп < 265, отсюда:
- 6 < т < 4 —, т. е. -6 < т < 4. Таким образом, число 66
членов данной арифметической прогрессии равно п = 4 - (-6) + 1 = 11. Первый член aY = -6-66 = -396, последний член ап = 4*66 = 264, поэтому сумма всех членов прогрессии
SnSn-396+ 2642-396+ 264213211 = -66 11 = -72613211 = -66 11 = -726
Sn
Sn
-396+ 2642
-396+ 2642
132
11 = -66 11 = -726
132
11 = -66 11 = -726
Ответ: -726.
Пример 15. Найти сумму всех нечетных чисел К, каждое из которых делится без остатка на 11 и удовлетворяет условию -99 < К < 232.
Решение.
Числа К можно представить в виде: К = 11-(2тп + 1) (арифметическая прогрессия с разностью 22). Имеем
-99 < 11-(2тп + 1) < 232; -9 < 2т -V 1 < 21—;
10 < 2т < 20 — ; - 5 < т < 10 —; -5 < т < ю. Число 11LA&
членов прогрессии га = 10 - (-5) + 1 = 16, ах = 11-(2-(-5) + 1) = 11-(-9) = -99, а16 = 11-(2-10 + 1) = = 11-21 = 231,
_ -99 + 231132 _ __ _
16 =•16 = 66•16 = 1056.
22
Ответ: 1056.
Упражнения 9яя самостоятеяъной работы,
Найти пятнадцатый член и сумму пятнадцати членов прогрессии 2; 5; 8; 11; ... .
Найти первый член и разность арифметической прогрессии (ал), если а3 = 25; а10 = -3.
Числа -100 и —78 являются соответственно седьмым и девятым членами арифметической прогрессии. Найти тринадцатый член и сумму тринадцати членов этой прогрессии.
В арифметической прогрессии сумма третьего и четвертого членов равна 17, а разность между вторым и пятым членами равна -9 . Найти шестой член прогрессии.
В арифметической прогрессии (ал) известно, что ап + ач 56; а9 + а6 = 47. Найти сумму первых трех членов прогрессии.
Пятый член арифметической прогрессии равен 14, а восьмой ее член равен 23. Найти сумму первых пятнадцати членов прогрессии.
Дано: ДаД; аг + а3 = 26; ах + а4 = 30; ап = 57. Найти п.
Сумма первого и пятого членов возрастающей (d > 0) арифметической прогрессии равна 14, а
произведение второго и четвертого членов равно 45. Сколько членов прогрессии нужно взять, чтобы в сумме получить 24?
Определить, при каких значениях х числа log3 2, log3 (2х ~ 6) и log3 (2х 4- 34) образуют арифметическую прогрессию.
Найти сумму первых десяти членов прогрессии 10; 20; 40; ... .
Найти сумму членов прогрессии с пятого по де- 111
сятый: -1; 2 ’4 ’ 8 ;'
В геометрической прогрессии разность между первым и четвертым членами равна 14, а отношение второго члена к шестому равно 16. Найти восьмой член прогрессии, если ее знаменатель положителен.
Первый член геометрической прогрессии равен 1, сумма третьего и пятого членов равна 90. Найти знаменатель прогрессии.
Вазность между первым и вторым членами геометрической прогрессии равна 8, а сумма второго и третьего членов равна 12. Найти прогрессию, если она является убывающей.
В геометрической прогрессии 1; 3; 9; ... сумма первых п членов равна 364. Найти п.
Найти пятый член геометрической прогрессии, если известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма первых шести членов равна 1820.
Найти три числа, составляющие геометрическую прогрессию, которые дают в сумме 26. При этом, если к указанным числам прибавить соответственно 1; 6; 3, то получим три числа, образующих арифметическую прогрессию.
4 4
Найти сумму 12 - 4 4- ~ — 4- ... . о У
Найти третий член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен 2, а сумма равна 3.
В бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами сумма первых трех членов равна 10,5, а сумма прогрессии равна 12. Найти второй член прогрессии.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма первых пяти ее членов равна 31. Найти первый член прогрессии.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
В круг радиуса а вписан квадрат, в квадрат вписан круг, в этот круг - второй квадрат и т. д. Найти сумму площадей всех кругов и сумму площадей всех квадратов.
Найти сумму всех целых чисел К, каждое из которых делится без остатка на 17 и удовлетворяет условию -285 < К < 400.
Найти сумму всех четных чисел К, каждое из которых делится без остатка на 15 и удовлетворяет условию -300 < К < 430.
Ответы:
а15 = 44, S15 = 345;2. а^ = 33, d = -4;
а13 = -34, S13 = -1300; 4. 16;
21;6. 345;7. 13;8. 4;
211
x = 4; 10.10230;11.--—; 12.-;
5128
±3;14. 16, 8, 4, 2, ... ;
п = 6; 16.405;17. 2, 6, 18 или 18, 6, 2;
2
9;19. -;20. 3;21. 16;
bv = 6, q = -|;23. SKp = 2ка\ SKB = 4а2;
2380; 25. 1500.
ЭЛЕМЕНТЫТРИГОНОМЕТРИИ
Вычисление и упрощениетригонометрических выражений
Синусом (косинусом) угла а называется ордината у (абсцисса х) точки М (х, у) единичной окружности, полученной из точки Р (1, 0) поворотом на угол а вокруг начала координат.
sin а = у; cos а = х.
Так как координаты точек, лежащих на единичной окружности, изменяются от -1 до +1, то из определения sin a, cos а следует, что |sin aj < 1; [cos а| < 1, т. е. -1 < sin а < 1; -1 5 cos а < 1.
Тангенс и котангенс угла а определяют по формулам:
, sma у л
- tga = ”" (a * — + лп, п 6 Z);(9.1)
cosa х 2
COSOt X
ctga = —— = - (а ^ лп, ne Z).(9.2)
sina уv 7
(Здесь и в дальнейшем Z - множество целых чисел).
Поэтому
tg a • ctg a = 1 (a Ф —, n g Z).(9.3)
Формулы (9.1)-(9.6) определяют соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
sin2 a + cos2 a = 1 (основное тригонометрическое тождество);(9.4)
+ tg2a = —^-— (a * — + нп, п 6 Z);(9.5)
cos2 a 2
+ ctg2 a =—(a * un,n 6 Z).(9.6)
sin a
Функции sin a, tg a, ctg a - нечетные: sin (-a) = - sin a, tg (-a) = - tg a, ctg (-a) = - ctg a.
Функция cos a - четная: cos (-a) = cos a.
Функции sin a и cos a - периодические с основным периодом 2л. Это означает, что
sin (a + 2ля) = sin a, cos (a + 2лп) = cos a; n g Z.
Функции tg a и ctg a - периодические с основным периодом л. Это означает, что
tg (а + лп) = tg a, ctg (а + ля) = ctg а; п g Z.
Знаки тригонометрических функцийпо четвертям
I
II
III
IV
sin а
+
+
_
—
cos а
+
—
—
+
tg а
+
—•
+
—
ctg а
+
—
+
—
I четверть: 0 < а < — (0° < а < 90°);
II четверть: — < а < л (90° < а < 180°);
Ill четверть: л < a < у (180 < a < 270 );
IV четверть: у < a < 2л (270" < a < 360").
Значения тригонометрических функций при некоторых значениях аргумента
^Аргумент
Функция
0°
0
30° Л
6
45°
Л 4
60°
Л 3
90° Л
2
180° л
270° Зл т
360°
2л
sin a
0
1_
2
У2 2
Уз
2
1
0
-1
0
cos a
1
Уз
2
У2
2
1.
2
0
-1
0
1
tga
0
1
Уз
1
Уз
н.с.
0
н.с.
0
ctg a
Н.С.
Уз
1
1
1 Уз
0
н.с.
0
н.с.
(н.с. - не существует)
Формулы приведения
^Аргумент Р Функцм~-~-
л
— - a
2
л
— + a
2
л - a
л + a
3л
a
2
3л
— + a
2
sin р
cos a
cos a
sin a
- sin a
- cos a
- cos a
cos р
sin a
- sin a
- cos a
- cos a
- sin a
sin a
tgP
ctg a
- ctg a
-tga
tg a
ctg a
- ctg a
'ctg Р
tga
-tga
- ctg a
-
ctg a
tg a
-tga
Если в формулах приведения встречаются аргументы л ± а, то наименование функций не меняется; л , Зл ,
— ± а, ± а - меняется на родственное. Знак в фор
муле приведения определяют по знаку исходной функции (функция аргумента Р), если считать, что а находится в I четверти.
Формулы сложениядля тригонометрических функций
sin (а + Р) = sin а cos Р + cos а sin Р; (9.7) sin (а - Р) = sin а cos Р - cos а sin Р; (9.8) cos (а + Р) = cos а cos Р - sin а sin Р; (9.9) cos (а - Р) = cos а cos р + sin а sin Р; (9.10)
tg(a + Р) =+(а, р, а+Р + лп,пе 2); (9.11)
1 - tgatgP2
tg(a-P) = —(а р а-р^- + лп,пе 2). (9.12) 1 +tgatgP2
Тригонометрические функциидвойного аргумента
sin 2a = 2 sin a cos a;„(9.13)
cos 2a = cos a-sin2 a = 2cos2 a-1 = 1 - 2sin2 a; (9.14)
, _ 2tga л лга л_
tg2a =(a*- +—,a*- + !m,neZ). (g.i5)
1-tg^a 422
Тригонометрические функции половинногоаргумента (для функций синус и косинус —формулы понижения)
(9.16)(9.17)(9.16)(9.17). 9 «1
(9.16)
(9.17)
(9.16)
(9.17)
sin — = — (1 - cos a);
a _ since21 + cosaa _ since21 + cosa1 - cosasina1 - cosasina(a ^ л + 2лп, ne Z). (9.18)(a ^ л + 2лп, ne Z). (9.18)
a _ since
21 + cosa
a _ since
21 + cosa
1 - cosasina
1 - cosasina
(a ^ л + 2лп, ne Z). (9.18)
(a ^ л + 2лп, ne Z). (9.18)
Преобразование суммы тригонометрическихфункций в произведение
sin a + sin P = 2 sin2sin a + sin P = 2 sin2COS;2 ’COS;2 ’sin a - sin P = 2 sin cos22sin a - sin P = 2 sin cos22cos a + cos P = 2 cos cos 2cos a + cos P = 2 cos cos 222cos a - cos Р = -2 sincos a - cos Р = -2 sin—-sin2—-sin2tga + tgP =tga + tgP =tga - tgP =tga - tgP =sin(a + P) cosacosP sin(a - P) cosa cosPsin(a + P) cosacosP sin(a - P) cosa cosP(a, p(a, p(a, p(a, p****2 ’— + nn, n 6 Zy 22 ’— + nn, n 6 Zy 2Л— + лп, ne Z\. 2Л— + лп, ne Z\. 2(9.19)(9.20)(9.21)(9.22)(9.23)(9.24)(9.19)(9.20)(9.21)(9.22)(9.23)(9.24)
sin a + sin P = 2 sin
2
sin a + sin P = 2 sin
2
COS;
2 ’
COS;
2 ’
sin a - sin P = 2 sin cos
22
sin a - sin P = 2 sin cos
22
cos a + cos P = 2 cos cos 2
cos a + cos P = 2 cos cos 2
2
2
cos a - cos Р = -2 sin
cos a - cos Р = -2 sin
—-sin
2
—-sin
2
tga + tgP =
tga + tgP =
tga - tgP =
tga - tgP =
sin(a + P) cosacosP sin(a - P) cosa cosP
sin(a + P) cosacosP sin(a - P) cosa cosP
(a, p
(a, p
(a, p
(a, p
*
*
*
*
2 ’
— + nn, n 6 Zy 2
2 ’
— + nn, n 6 Zy 2
Л
— + лп, ne Z\. 2
Л
— + лп, ne Z\. 2
(9.19)
(9.20)
(9.21)
(9.22)
(9.23)
(9.24)
(9.19)
(9.20)
(9.21)
(9.22)
(9.23)
(9.24)
Преобразование произведениятригонометрических функций в сумму
sin a • sin P = ~ (cos(a - P) - cos(a + P));
(9.25)
cos a ■ cos P - “ (cos(a + P) + cos(a - P));
(9.26)
sin a • cos p = i (sin(a + P) + sin(a - P)).
(9.27)
Выражение тригонометрических функцийчерез тангенс половинного аргумента
sin a =-— (a * л + 2лп, ne Z\\(9.28)
1 + tg2
1 - tg2 — cos a =— (a * л + 2лп, пе Zy (9.29)
1 + tg2 ^
8 2
tga =tga =2tg|r^f2tg|r^f(a ^ л + 2лп, a ^ — + ли, n g(a ^ л + 2лп, a ^ — + ли, n gZ).(9.30)Z).(9.30)
tga =
tga =
2tg|r^f
2tg|r^f
(a ^ л + 2лп, a ^ — + ли, n g
(a ^ л + 2лп, a ^ — + ли, n g
Z).(9.30)
Z).(9.30)
Пример 1. Вычислить cod -11 —л
13
Решение.
Используем четность косинуса и его периодичность, тогда получим:
cos (-111 л) = cos (11 — л) = cos (^ л + 2л • 5) = cos л . По формуле приведения cos (л + a) = -cos а будем иметь cos л = cos (л + ^ л) = - cos = -1.
Ответ: - i.
2
Пример 2. Вычислить ctg 9° + tg 27° • tg 63° - tg 261°. Решение.
Используя формулы приведения, получим: ctg 9° + tg 27° • tg 63° - tg 261° = ctg 9° + tg 27° • tg (90°- - 27°) - tg (270° - 9°) = ctg 9° + tg 27° • ctg 27° - ctg 9°= = tg 27° • ctg 27° = 1 - по формуле (9.3).
Ответ: 1.
Пример 3. Вычислить значение выражения
sin2 a + 6 sin 2a + cos2 a
-2— , если tg a = 2.
sin a + sin a • cos a - 2 cos a
Решение.
Используем формулу (9.13), а затем числитель и знаменатель дроби разделим на cos2 а. Тогда
sin2 a + 6 sin 2a + cos2 a _ sin a + sina • cosa - 2cos a
3sin2 a + 12 sin a • cos a + cos2 a _ ' sin a + sina • cosa - 2cos a
tg2a +12 tga + 1 _ tg2a + tga - 2
= 3-22 +12-2 + 1 = 12 + 24 + 1 = 37 = 9 25
22 + 2 - 244 ” ’ *
Ответ: 9,25.
Пример 4. Вычислить 4 + 27cos 2a, если cos a = ^ . Решение.
Используя формулу (9.14), получим 4 + 27cos 2a = 4 + 27 • (2 cos2 a - 1) = = 4 + 27-(2-|-l) = 4 + 27.(-l) = 4-3 = l.
Ответ: 1.
Пример 5. Вычислить i + 9^/5 sin 2a , если cos a = ^ , 270°<a< 360°.
Решение.
По формуле (9.13)
1 + 9-У5 sin 2a = 1 + 18^5 sin a cos a. Так как угол a находится в IV четверти, то sin a < 0, и поэтому, применяя основное тригонометрическое тождество (9.4), будем иметь
sin a = -71 - cos2 a = -Jl - — = -•
V 93
Тогда 1 + 9Тб sin 2a = 1 + 18Тб(- ^-) ^ = 1 - 4-5 = -19.
Ответ: -19.
Пример 6. Вычислить tg a, если sin a = -0,6; Q л < a < — л
2
Решение.
cos а = -71 - sin2 а - -71 - 0,36 = ~7о,64 = -0,85
, sin а - 0,6 з
tga == -—— = ^.
cos а - 0,84
3
Ответ: ~.
4
Пример 7. Вычислить 14 + 16л/15 sin х, если sin ^ ~ ^»
0 < х < к.
Решение.
Так как 0 < х < л, то 0<^<^л и соз~ =
= Jl-sin2-^ =. Тогда 14 + 1бТ15 sin х =
V 2 V 164
= 14+ 32715 sin £ cos £ = 14 + 32715 —= 14 +
2244
+ 30 = 44.
Ответ: 44.
Пример 8. Вычислить tg 2a, если ctg a = -|-.
Решение.
Используя формулы (9.С) и (9.15), получим:
_2 tg a1
tg 2a =— . tg a =- = 2 .
1 - tg actg a
^2a=Д^2a=Д43 ‘43 ‘
^2a=Д
^2a=Д
4
3 ‘
4
3 ‘
Ответ: -
I—о
Пример 9. Найти sin а, если tga = У2,л<а<-|л. Решение.
111
ctg а == —j= . По формуле (9.6) 1 + ctg2а = —;
tga 72sin2 а
+ i = —— ; sin2 а = ^ . Так как а находится в sin2 a3
III четверти, то sin a < 0 и, следовательно, Зт«=7|=-^-
Ответ: -Ответ: -Убз ‘Убз ‘
Ответ: -
Ответ: -
Убз ‘
Убз ‘
Пример 10. Упростить выражение
(sin a + tg р • cos a)2 + (cos a - tg p • sin a)2.
Решение.
(sin a + tg p • cos a)2 + (cos a - tg p • sin a)2 =
. . sinP, sinP •
= (sin a +- • cos a) + (cos a • sin a) =
cosp,cosp
' sin a cos p + sin p cos a V cos p
' cos a cos p - sin a sin p f sjn2 (a + p) cos2(a + p) _
4 C0SP , cos2P cos2P
sin2 (a + P) + cos2 (a + p) _1
cos2pcos2p
Здесь мы использовали формулы (9.7), (9.9), (9.4).
Ответ:
cos2 Р
Пример 11. Доказать тождество:
sin х + 3 sin 2 х + sin Зх , „ = tg 2х. cosx + 3cos2x + cos3x
Решение.
Используя формулы (9.19), (9.21), получим:
sin х + 3 sin 2х + sin Зх (sin Зх + sin х) + 3 sin 2х cos х + 3 cos 2х + cos Зх (cos Зх + cos х) + 3 cos 2х
„ . Зх + х Зх - х
sincos+ 3 sin 2х
= 2 2 =
„ Зх + х Зх - х
coscos— + 3 cos 2х
22
sin 2х cos х + 3 sin 2xsin 2x(2 cos x + 3), ,
^ g 4
2cos2xcosx + 3cos2x cos2x(2cosx + 3)
Пример 12. Преобразовать в произведение Vs sin а - 3 cos а.
Решение.
Вынесем за скобки 2-Уз , тогда
1V3
i sin а ——- cos а
22
= 2V3 • sina-cos— -cos a-sin— =
I 3 3J
= 2V3-sin a - — - По формуле (9.8).
Ответ: 2-Уз • sin а - — •
Пример 13. Преобразовать в произведение 3-V3ctg2x-
Решение.
Используя последовательно формулы (9.3), (9.24)
(9.1), получим
3-V3ctg2x = 3-3-V3ctg2x = 3-3 3tg2x-3 3tg2x-tg 2хtg 2хtg 2хtg 2х
3-V3ctg2x = 3-
3-V3ctg2x = 3-
3 3tg2x-
3 3tg2x-
tg 2х
tg 2х
tg 2х
tg 2х
3(tg 2x —^)
Уз = 3 (tg 2x - tg 30°) =
tg 2xtg 2x
sin(2x - 30°)_ 3 sin(2x - 30°)
cos2x • cos 30° • tg2xУзsin2x
— cos 2x • —
2cos2x
2УЗ • sin(2x - 30°)
sin 2x
_2УЗ • sin(2x - 30°)
Ответ:.
sin 2x
Пример 14. Найти tgПример 14. Найти tg
Пример 14. Найти tg
Пример 14. Найти tg
Решение.
Обозначим a = arcsinl - — ], отсюда sina = -i I 4 J4
угол a находится в IVчетверти (синус отрицательный).
Г л АТребуется определить tg a + — . Используя формулы
приведения, получим
, Г, cosa
tg а + — = -ctga =
I 2sin а ‘
Так как cos аТак как cos аL 1V15
Так как cos а
Так как cos а
sin а = JI=, то
V 164
cosa sin acosa sin a154154— I = У15 4— I = У15 4
cosa sin a
cosa sin a
15
4
15
4
— I = У15 4
— I = У15 4
Ответ: V15 .
Пример 15. НайтиПример 15. Найтиcos arctgcos arctg
Пример 15. Найти
Пример 15. Найти
cos arctg
cos arctg
, 911 + T“ • 24 sin a, 911 + T“ • 24 sin aТаким образом,Таким образом,2ЛЗ - sin a =132ЛЗ - sin a =13
, 91
1 + T“ • 2
4 sin a
, 91
1 + T“ • 2
4 sin a
Таким образом,
Таким образом,
2ЛЗ - sin a =
13
2ЛЗ - sin a =
13
Решение.
Г 2^2
Пусть а = arctg — , тогда tga = —, угол а на- I 3 I3
I 3 I
ходится в IVчетверти. Находим cos a - — л = - sin a .
Для нахождения sin a воспользуемся формулой (9.6)
1. 2123
1 + ctg a = -—. Так как tg a = —, to ctg a= - — и sin a32
. 24.2 2Лз
sin a = —, sin a = —=.
13’ Лз 13
2^3
Ответ: ■.
13
Пример 16. Найти значение угла arccos (sin 675°). Решение.
Найдем сначала sin 675° = sin (675° - 720°) = sin (-45°) =
= - sin 45° = - — .
2
= 180° - arccos= 180° - arccos22V2
= 180° - arccos
= 180° - arccos
2
2
Теперь находим arccos ——
= 180°-45°= 135°.
Ответ: 135°.
Пример 17. Найти значение угла arcctg (-tg 150°).
Решение.
tg 150° = tg (180° - 30°) = -tg 30° = —т=^, следователь- V3
но, arcctg (-tg 150°) ~ arcctgно, arcctg (-tg 150°) ~ arcctg1/з1/з= 60°.= 60°.
но, arcctg (-tg 150°) ~ arcctg
но, arcctg (-tg 150°) ~ arcctg
1
/з
1
/з
= 60°.
= 60°.
Ответ: 60°.
тттт « х4sina-3cosa 23
Пример 18. Наити tg а, если ...
2cosa-5sina 27
Решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби в левой 4tga - 3 _ 23 части равенства на cos а, тогда ~—— — . Обо- 2 - 5tga 27
4х - 323
значив tg a = х, получим уравнение ~—— ~ ~"^"» 27 • (4х - 3) = -23 • (2 - 5х), 108х - 81 = -46 + 115х, 7х = -35, х =-5.
Ответ: -5.
Упражнения для самостоятельной работы.
Вычислить sin (-23,25л).
„ _2 sin2 а + 2 sin а • cos а + 4 cos2 а
Вычислить ,
5 sin2 а + 2 sin 2а - 3 cos2 а если ctg а = ^.
1
Доказать, что sin 18° • sin 54° = — .
V3
Вычислить 8 cos 2х - 13, если sin х =.
4
Вычислить 1 + 4л/3 sin 2а , если cos а = - ^ , 180° < а < 270°.
Вычислить 9 - 2V3 ctg х, если
sin х = ——, 2sin х = ——, 21212
sin х = ——, 2
sin х = ——, 2
1
2
1
2
Вычислить 14 + 2V2 ctg 2х , если ctg х =
V2
Вычислить 23 + 50 cos а, если sin а = - — .
5
180° < а < 270°.
Вычислить 2 + 5 tg х, если cos х = - -^-, 613
90° < х < 180°.
col Юcol ЮВычислить 19 + 100 sin2 а, если sin 2а =
col Ю
col Ю
0 < 2а < — л. 2
Вычислить cos х, если ctgx = — , 5 180° < х < 270°.
Вычислить sin 75° • sin 15°.
Упростить выражение
- cos(— - Зл) - cos2 — + sin2 — v244
Упростить выражение
sin(-a) + cos(a - f) + tg(a - л)cos(- 7 л + a) - sin(5n + a) + tg(2n - a) '
Доказать тождество
2 sin a • cos(360° - a) - cos a = ctg a. 1 - sin a + sin a - cos (180° + a)
Упростить выражение
cos 2x + 5 cos 3x + cos 4x
sin 2x + 5 sin 3x + sin 4x
Доказать тождество
sin 4a + cos 4a • ctg 2a = ctg 2a.
Упростить выражение
cos2 (x — a) — 2 cos2 x + cos2 (x + a).
Преобразовать в произведение
cos a + 2 cos2 a - 1.
Доказать тождество
2 cos(30° - a)
+ V3 ctg a =
sin a
Преобразовать в произведение
+ cos a + cos 2a + cos 3a.
Упростить выражение
-У1Д1..51п(а + й + 2ео5=^ i-trftg|
Доказать тождество
3 + 4 cos 2а + cos 4а = 8 cos4 а.
Доказать тождество cos2 2а - 4 cos2 а + 34
55= tg а . cos 2а + 4 cos а -1
Доказать тождество tg 2а + ctg 2а +
8 cos2 4а
Упростить выражение
sin 8а + sin 9а + sin 10а + sin 11а + sin 12а
cos 8а + cos 9а + cos 10а + cos 11а + cos 12а
1
вычислить его значение, если tg 5а = ~ .
О
Доказать тождество
•Л 4n sin а
sin 7- л - 2а - sin ^ л - 2а = —=- •
J <8 J V2
Упростить выражение
( cos аcos а А .
|+ • sin 2а.
^1 + sina 1-sina,
Упростить выражение
sin(80° + а)
4sin(20° + ^)sin(70°-^)
30. Доказать тождество30. Доказать тождество1 + cos ^ - sin ^221 + cos ^ - sin ^221 - cos - sin —1 - cos - sin —= ~ctg^.= ~ctg^.
30. Доказать тождество
30. Доказать тождество
1 + cos ^ - sin ^
22
1 + cos ^ - sin ^
22
1 - cos - sin —
1 - cos - sin —
= ~ctg^.
= ~ctg^.
Упростить выражение
tg (a + 45°) + tg (a - 45°) - 2 tg 2a.
Доказать тождество
33. Преобразовать в произведение33. Преобразовать в произведениеtg2a - tg2p = ^lE±₽k^^zJl cos2 a•cos2 P
33. Преобразовать в произведение
33. Преобразовать в произведение
cos^ — л + 4a j + sin(5n - 8a) - sin(4n - 12a).
Вычислить tg 255° - tg 195°.
Преобразовать в произведение
2cos2f ^ - -| л j +2cos2f ^ - -| л j +
2cos2f ^ - -| л j +
2cos2f ^ - -| л j +
Г / arccosГ / arccos40. Найти ctg а, если40. Найти ctg а, если1127 ’1127 ’42. Найти значение выражения42. Найти значение выражения3sina + 6 cos a3sina + 6 cos a3 sin a + cos a ’3 sin a + cos a ’
Г / arccos
Г / arccos
40. Найти ctg а, если
40. Найти ctg а, если
11
27 ’
11
27 ’
42. Найти значение выражения
42. Найти значение выражения
3sina + 6 cos a
3sina + 6 cos a
3 sin a + cos a ’
3 sin a + cos a ’
Найти значение выражения ctg
Найти значение выражения cos arctg — \
Найти значение угла arctg (ctg 660°).
Найти значение угла arcsin (cos 480°).
2 cos a - sin a
3 sin a + 4 cos a
,, „ „,7 sin a + 3 cos a11
Наити tg a, если = — .
sin a - 2 cos a 4
, a 1 если tg — = —
22
Ответы,:
V2 14
LT;2'2T4'"8;5'7;
6.7;7.13;8.-7;9.-10;
191
10.29;ll.-|j;12. ^;13.1;
14. -1;16. ctg 3x; 18. -2 cos 2x • sin2 a;
19. 2 cos ^ cos ^;21. 4 cos ^ • cos a • cos ^;
22. 3;26. Ц ;
28. 4 sin а;
29. cos(4O° + ^);
33. 4 sin 6а • cos 4а • cos 2а;
31. 0;
34. 2;
V2
35. 2 sin (а - 60°);
Зв.т;
37. 5>/3438 _3()О.
34
40. 6;41. -2;
39. -30°;
42. 2.
Тригонометрические уравнения
Уравнение sin х = а при |а| > 1 решений не имеет. Формула для решений уравнения sin х = а, если |а| < 1: х = (-1)" arcsin а + лп, п е Z.(9.31)
Здесь arcsin а есть угол а (arcsin а = а), удовлетворяющий условиям: sin а = а, - — < а < ^ • При этом arcsin (-а) = - arcsin а.(9.32)
В частных случаях а = 0, а = ± 1 решение уравнения Sin х = а можно найти по формулам:
sin х = 0: х = лп, пе Z;(9.33)
sin х = 1: х = ^ + 2лп , n е Z;(9.34)
sinx = -l: х = -^ + 2лп , п е Z.(9.35)
Формулы (9.33), (9.34), (9.35) можно получить из общей формулы (9.31). При решении конкретных уравнений удобно в частных случаях сразу пользоваться этими формулами.
Уравнение cos х = а, если |а| > 1 решений не имеет. Формула для решения уравнения cos х = а при |а| < 1: х = ±arccos а + 2лп, пе Z.(9.36)
Здесь arccos а есть угол а (arccos а = а), удовлетворяющий условиям: cos а = а, 0 < а < л. При этом arccos (-а) = л - arccos а.(9.37)
Частные случаи:
cos х = 0: х = ^ + лп, п е Z;(9.38)
cosx = l: х = 2лп, п g Z;(9.39)
cosx = -l: х = п + 2лп, п 6 Z.(9.40)
Формула для решения уравнения tg х = а при любом a G Я:
х = arctg а + лп, п g Z.(9.41)
Здесь arctg а есть угол а (arctg а = а), удовлетворя-
arctg (-а) = -arctg а.arctg (-а) = -arctg а.(9.42)(9.42)Л л ющий условиям: tg а = а, _ х < а < . При этом
arctg (-а) = -arctg а.
arctg (-а) = -arctg а.
(9.42)
(9.42)
Уравнение ctg х = а при а * 0 сводится к уравнению tgx = —. Уравнение ctg х = 0 имеет решение а
х = — -vun, п е Z.
2
Пример 1. Решить уравнение sin(2x - —) = 1.
6
Решение.
По формуле (9.34): 2х -+ 2лп , п е Z;
62
2х = — л + 2лп , п е Z; х = т-пакп,пе Z.
33
Ответ: х - ^к + т, ne Z.
Пример 2. Решить уравнение cos^ ~ 45° J = 0 .
Решение.
По формуле (9.38): -^-45° = 90° + 180°л, п е Z;
^ = 135° + 180°n , п g Z\ х = 270° + 360°n, п G Z.
Ответ: х = 270° + 360°n, и g Z.
Пример 3. Решить уравнение sin2 х = —
Решение.
sin х = ± — .
2
sin х = ^ ; по формуле (9.31)
х = (-1)" arcsin i + пп = (-1)" • — + лп , n g Z;
sin х = - ^; по формуле (9.31) с учетом формулы (9.32) получим x = (-1)" arcsin^- ~ j + лп = = (-1)" • (-1) • arcsin 1 + лп = (-l)rt+1 '| +лп, n g Z.
ответы x = (-1)" - + лп, ne Z и x = (-l)n+1 ■ ^ + лп, n e Z можно объединить и записать в виде
х = ± — + лп , n g
6
Ответ: х = + ^ + пп, п g Z. 6
Пример 4. Решить уравнение tg (7,25л + х) = -1. Решение.
= tg 7л + — + хV 4= tg 7л + — + хV 4Упростим левую часть уравнения tg (7,25л + х) =
= tg 7л + — + хV 4
= tg 7л + — + хV 4
— + х I, тогда уравнение примет 4)
вид: tg^ + xj = -l# По формулам (9.41) и (9.42):
х + ^ = -arctgl + пп , п G Z; х + ^ = -^ + лп, n G Z;
444
х = -^ + лп , п g Z.
Ответ: х = -— + лп , п G Z. 2
Пример 5. Решить уравнение 3 ctg — = - Vs • 4
Решение.
434 V3 4
4 = ~ arctg V3 + лп, л е Z; — = - — + т.п , п g Z;
4643
= ~ д' Л + ^ЛП 1 п G Z.
Ответ: х = - — л + 4лп , п G Z.
3
Рассмотрим примеры решения тригонометрических уравнений, приводящихся к квадратным.
Пример 6. Решить уравнение sin2 х + sin х - 2 = 0.
Решение.
Пусть sin х = у, тогда у2 + у - 2 = 0; ух = 1; у2 = -2;.
sin х = 1; х = ~ + 2лп ,пе Z;
sin х = -2 - решений нет, так как |—2| = 2 > 1.
Ответ: х = — + 2лп , п G Z.
2
Пример 7. Решить уравнение tg2 5х - 2 tg 5х + 1 = 0.
Решение.
Пусть tg 5х = у, тогда у2 - 2у + 1 = 0 => ух = у2 =1;
tg 5х = 1; 5х = arctg 1 + лп, п G Z; 5х = ^ + пп , п g Z\ 4
х =л + 1 лп , п е Z.
Ответ: х = -^ л + ^п, п g Z.
Пример 8. Решить уравнение 8 sin2 х + 6 cos х - 3 = 0.
Решение.
8(1- cos2 х) + 6 cos х - 3 = 0;
8-8 cos2 х + 6 cos х - 3 = 0;
8 cos2 х — 6 cos х — 5 = 0; cos х — у;
3 + V9 + 403 + 75.
У1.2884
8у2 - бу - 5 = О;1Уг ~ 2 •8у2 - бу - 5 = О;1Уг ~ 2 •5
8у2 - бу - 5 = О;
1
Уг ~ 2 •
8у2 - бу - 5 = О;
1
Уг ~ 2 •
l)cos х = — - решений нет, так как
545412тс
5
4
5
4
Cosx = - -; х = ±— + 2лп, пе Z (Проверьте!). 23
Ответ: х = ± -^ тс + 2кп, п е Z.
Пример 9. Решить уравнение 2 tg х - ctg х = 1.
Решение.
Левая часть исходного уравнения имеет смысл, если
х * 0, ctg х * 0. Так как ctg х =, то
tgx
2 tg х - —1 = 0. Пусть tg х = у, тогда
tgx
2у - 1 -1 = 0 ; 2у2 - у - 1 = 0; yt = 1; у2= -1.
tg х = 1; х = у + кп, п е Z;
tgx = -i; X = -arctgl + лт , т е Z.
Ответ: х = ^ + кп ; х = - arctg ^ + кт , п, т е Z.
Рассмотрим примеры решения однородных тригонометрических уравнений.
Уравнение вида
a sin kx + b cos kx = 0 (а Ф 0, b "* 0)(9.43)
называется однородным первой степени относительно sin kx и cos kx. Оно решается делением обеих частей на cos kx. При этом потери корней не происходит, так как если cos kx = 0, то a sin kx = 0 => sin kx = 0, ибо а Ф 0. Тогда sin2 kx + cos2 kx = 0, что невозможно (по основному тригонометрическому тождеству sin2 kx + cos2 kx =
= 1). Значит cos kx * 0. В результате получаем уравнение вида a tg х + Ь = 0.
Уравнение вида
a sin2 kx + b sin kx-cos kx + c cos2 kx = 0 (a •*■ 0) (9.44) называется однородным, второй степени относительно sin kx st cos kx. Разделив обе части уравнения (9.44) на cos2 kx, получим равносильное уравнение:
a tg2 kx + b tg kx + c = 0 (ибо cos kx * 0, что показывается аналогично тому, как это было сделано для уравнения (9.43)).
Уравнение
a sin2 kx + b sin kx-cos kx + c cos2 kx = d (9.45) при d * 0 не является однородным, но его можно привести к однородному уравнению вида (9.44), положив d = d • (sin2/?x + cos2 kx).
Пример 10. Решить уравнение 2 sin Зх - 5 cos Зх = 0. Решение.
Данное уравнение имеет вид (9.43), поэтому разделим обе его части на cos Зх. Получим: 2 tg Зх - 5 = 0; tg Зх = ^; Зх = arctg ^ + лп , п g Z;
х = i arctg + +-лп, п G Z. о 2d
Ответ: « = | arctg | + ^яп , п G Z.
Пример 11. Решить уравнение
2 sin2 х — 5 sin х cos х + 3 cos2 х = 0.
Решение.
Данное уравнение имеет вид (9.44). Разделим обе его части на cos2 х. Получим уравнение:
2 tg2 х - 5 tg х + 3 = 0. Пусть tg х = у, тогда 2 у2 - 5 у +
5+1 Q
+ 3 = 0; D = 25 - 24 = 1; у1>2 =;ух = |; у2 = 1:
tgx = ^ ; х = arctg^ + яп , п G Z",
tg х = 1; х = arctg 1 + ят, т g Z; х = ^ + ят, т g Z.
Ответ: х = arctg + лтг; х = - + пт , n, т е Z. 24
Пример 12. Решить уравнение
21 cos — + 4 sin х - sin2 — = 6 22
Решение.
cos2 ^ + 8 sin ^ cos ^ - sin2 ^ = 6 , т. е. получили уравнение вида (9.45). Решая его, будем иметь: 21cos2^ + 8sin^cos^ - sin2 = 6(sin2 + cos2 ^);
Z 22222
- 7 sin2 ^ + 8 sin ^ cos ^ + 15 cos2 ^ = 0 ;
7sin2 - 8sincos - 15cos2 ^ = 0| = cos2
2222
7tg2 ^ - 8tg^ - 15 = 0 ; tg^ = y; 7y2 - 8y -15 = 0 ;
У 1,2 =У 1,2 =4 ±716+ 105 4 ±114 ±716+ 105 4 ±117777; Уг =у ;y2 = -i;; Уг =у ;y2 = -i;
У 1,2 =
У 1,2 =
4 ±716+ 105 4 ±11
4 ±716+ 105 4 ±11
7
7
7
7
; Уг =у ;y2 = -i;
; Уг =у ;y2 = -i;
tgx = ^;x = arctg~ + nn, HG Z; tg x = -1;
x = -^ + nm,mG Z.
Ответ: x = arctg + nn ; x = -^- + nm ; n, m g Z. 74
При решении тригонометрических уравнений часто используется метод разложения на множители.
Пример 13. Решить уравнение 2 sin 2х + sin х = 0.
Решение.
4 sin х cos х + sin х = 0; sin х (4cos х + 1) = 0:
sin х = 0; х = пп, n g Z;
2л m_ ,7; n, m g Z.52л m_ ,7; n, m g Z.5
2л m_ ,7
; n, m g Z.
5
2л m_ ,7
; n, m g Z.
5
х = ± arccos f | + 2лтп , m G Z;
V M
x = ±1 л - arccos f — I I + 2лтп , m G Z.
I V^7y
Ответ: x = лп; x = ±| л - arccos | — 11 + 2лтп, n, m G Z.
Пример 14. Решить уравнение cos Зх = sin 5x. Решение.
cos 2x = 0; 2x = + кп, n G Z; x = 4 + ,neZ;
242
sin 5x - 1 = 0; sin 5x = 1; 5x = — + 2кт, me Z; ’2
л 2кт „
= — +, m G Z.
105
Л 7t 7Z-iw
Ответ: x = — + -r- ; x = — +
4210
2)2)
2)
2)
cos 3x - sin 5x = 0; sin(^ + 3x) - sin 5x = 0;
^ + 3x - 5x ^ + 3x + 5x
sin —cos —= 0; 22
2sin| v - x ]cos| + 4x ] = 0 ;
sinf x - — ]cos| 4x + i = 0:*
V 4 J
sin (x -= о; X - = лп, n g Z; +
444
n G Z;■
cos (4x + ^) = 0 ; 4x + — = — + кт, m e Z;
7 v 442
„ Л Л7П„
4x = - + кт , m G Z\ x = — + —- , m G Z.
4lb 4
_7tТЕ Л 771
Ответ: x = ^ + лп ; x = ~ + —— ; n, m G Z. 4164
Пример 15. Решить уравнение sin 7x + sin 3x = 2 cos 2x.'
Решение.
„ . 7x + 3x 7x - 3x
2 gmcos= 2 cos 2x ; 22
sin 5x cos 2x = cos 2x; sin 5x cos 2x - cos 2x = 0; cos 2x (sin 5x - 1) = 0:
Пример 16. Решить уравнение cos 5x cos 4x = cos x.
Решение.
cos x = cos (5x - 4x) = cos 5x cos 4x + sin 5x sin 4x, поэтому уравнение запишется в виде: cos 5х cos 4х = = cos 5х cos 4х + sin 5х sin 4х; sin 5х sin 4х = 0:
1) sin 5х = 0; 5х = лп, ne Z\ х = ^кп, п е Z;
5
sin 4х = 0; 4х = кт, т е Z: х = кт ,meZ.
4
Ответ: х = —— ; х = ——, п, т g Z. 54
Пример 17. Решить уравнение (1 - sin х) (tg2 х - 3) = 0.
Решение.
Так как в уравнение входит tg х, то х ^ — + кп, »е 2:2
1 - sin х = 0; sin х = 1; x = ^ + Kn,neZ - это
посторонние корни, так как х ^ ~ + кп , п G Z;
tg2 х - 3 = 0; tg х = ±7з ; х = ± + кп , п g Z.
Ответ: х = ± — + кп, п е Z. 3
Приведем еще некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Пример 18. Решить уравнение sin х + Vs cos х = 1.
Решение.
sin х + -^- cos х = 1; sin х cos ^ + cos х sin — = — ;
22233 2’
sin x +sin x +; x + ^ = (-1)" arcsini + лп , n g Z\ o) Д 62
sin x +
sin x +
x + ^ = (-1)" ^ + лп, n G Z; X = (-1)" "^ + кп,пе Z
Ответ: x = (-1)" — ’ 6Ответ: x = (-1)" — ’ 6- — + Tin , n3- — + Tin , n3GGz.z.
Ответ: x = (-1)" — ’ 6
Ответ: x = (-1)" — ’ 6
- — + Tin , n
3
- — + Tin , n
3
G
G
z.
z.
Пример 19. Решить уравнение 3 sin x - 2 cos x = 2. Решение.
Так как sin x = 2 sin — cos — ;
22 ’
cos x = cos2 J - sin2 ^ ; 1 = sin2 | + cos2 J , то урав нение можно записать в виде:
N>|HN>|H6 sin £ cos £-2 cos 2^ + 2 sin 2— = 2 sin2 — + 2 cos2
N>|H
N>|H
22222
6 sin — cos — - 4 cos2— = 0;
222
2 cos ^3 sin - 2cos^ = 0:
cos ^ = 0 ; ^ = | + лп; X = л + 2лп, n e Z;
3sin— - 2cos— = 0|: cos— => 3tg^-2 = 0- ’22'22
tg= |; ^ = arctg| + ли, m e Z;
x = 2 arctg ^ + 2лт , m g Z.
Ответ: x = л + 2лп;Ответ: x = л + 2лп;Z.Z.О
Ответ: x = л + 2лп;
Ответ: x = л + 2лп;
Z.
Z.
x = 2 arctg^ + 2лтп , n, m g
Пример 20. Решить уравнение:
sin 2х sin 6х = cos х cos Зх.
Решение.
Применив формулы (9.25), (9.26), получим:
(cos 4х - cos 8х) = -^ (cos 4х + cos 2х);
cos 4х - cos 8х = cos 4х + cos 2х;
cos 8х + cos 2х = 0; 2 cos 5х cos Зх = 0:
cos 5х = 0; 5х = — + лп , n g Z; х =+ 1 лп,
’210 5
71 G 2\
cos Зх = 0; Зх = ^ + кт , т е Z; х = ^ -v ^кт , т & Z.
Ответ: х = — + —лп; х = — + — кт , п, т& Z.
10 56 3
Пример 21. Найти число решений уравнения 2 cos2 х -
Г 5
- sin х - 2 = 0, принадлежащих отрезку 0; — л .
Решение.
2(1 - sin2 x^ - sin x - 2 = 0; 2 - 2sin2 x - sin x - 2 = 0; 2sin2 x + sin x = 0; sin x (2sin x + 1) = 0:
sin x = 0, x = лп, n g Z. Имеем при
5
n = 0, x = 0 g 0; — л ,
2
5
n = 1, x = л g 0; — л ,
L 2 J
5
n = 2, x = 2л g 0; — л . Для других значений n корни уравнения не попадут в заданный промежуток.
хх2siri х + 1 = 0; sin x = - —;
х
х
+ л n = (-l)n+1 ^ + л n , n = Z.
Имеем n = О, х = - — g ГО; — л];
62
х = — л £ [0; — л]62х = — л £ [0; — л]62n = 1, х = л е [0; | л]; п = 2, х = —г л G [0; - л]; п = 3, 6262
х = — л £ [0; — л]
62
х = — л £ [0; — л]
62
Таким образом, общее число кор
ней уравнения, принадлежащее указанному промежутку, равно 5.
Замечание. Определить число корней уравнения можно графически. Изобразим график функции у = sin х на
промежуткепромежуткеи найдем число точек пересече-и найдем число точек пересече-»Л„
промежутке
промежутке
и найдем число точек пересече-
и найдем число точек пересече-
2
Пример 25. Найти число решений уравнения sin2 х + + 2 cos х = 0, принадлежащих отрезку [0; Зл].
Решение.
1 — cos2 х + 2 cos х = 0; cos2 х — 2 cos х — 1 = 0. Обозначим cos х = а, тогда имеем уравнение а2 - 2а - 1 = = 0; а12 = 1 ± 7ГТТ = 1 ± 72 .
Получаем: 1) cos х - 1 + 77 - уравнение корней не имеет, так как 1 + 77 > 1; 2) cos х = 1 - 77 . Определим число решений этого уравнения, принадлежащих отрезку [0; Зл] графически:
Упражнения для самостоятельной работы
Решить уравнения:
2 cos (2х - ^) = V2 .
2 cos (х + 20°) + 1 = 0.
cos4 х - sin4 х =.
2
(2sin3x + l)(sin^x + 1) = 0 .
4 sin 4 cos — = Vs .
44
tg(3x + 60°) = Vs.
ctg2 3x = 3.
cos2 x - 2 cos x - 3 = 0.
3 cos2 x - sin x - 1 = 0.
tg2 x + 2tgx + l=0.
tg x + 5 ctg x = 6.
sin ^ + Vs cos — = 0.
55
2 sin2 x + 3 sin x cos x - 2 cos2 x = 0.
cos2 2x + 3 sin2 2x + 2л/з sin 2x cos 2x = 3.
S!15£ = o.
sinx
sin 3x - sin 9x = 0.
sin x - sin 2x + sin 3x - sin 4x = 0.
sinl2x + —-cosx = —sinx .
22
sin x - cos x = V2 •
4 sin x sin 5x = 2 cos 4x + 1.
(ctg^ - 1) ctgx (sin^-- 1) = 0 .
2 cos2 x + 3 sin2 x + 2 cos x = 0.
3 cos 2x = 7 sin x.
cos x + 4 cos — = 5
2
cos 2x + cos 8x - cos 6x = 1.
cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 2.
sin (x + 30°) + cos (x + 60°) = 1 + cos 2x.
tg (70° + x) + tg (20° - x) = 2.
sin4 x + cos4 x — —.
8
sin 3x ~ — + cos = cos'1 —.
222
cos 3x cos 6x = cos 4x cos 7x.
cos 9x - 2 cos 6x = 2.
cos(3x - 30°) - sin(3x - 30°) • tg 30° =—.
2 cos 210°
1 - sin 2x = cos x - sin x.
sin x + sin 3x = 4 cos2 x.
ctg (|^л - x) - ctg2 x + L±_£2^£ = о .
4sin x
Найти число корней уравнения
2 cos2 х - 3 sin x = 0, принадлежащих промежутку [-л; 2л].
Найти число корней уравнения
3 sin2 х - 10 cos х - 6 = 0, принадлежащих промежутку [-л; 4л].
Ответы:
х - — ± — + кп , п е Z;
12 8
х = -20° ± 120° + 360°n, ne Z;
3.3.х = ± — кп , п G Z",12х = ± — кп , п G Z",124.4.18 + Т18 + Т4л т„, п, т g Z;34л т„, п, т g Z;3
3.
3.
х = ± — кп , п G Z",12
х = ± — кп , п G Z",12
4.
4.
18 + Т
18 + Т
4л т„
, п, т g Z;
3
4л т„
, п, т g Z;
3
х = (-1)" ~л + 2пп, ne Z;
х = 60°n, п g Z;
х = ±— + — , n G Z;
Хо о
х = л + 2кп, п е Z;
х - (-1)” arcsin^ + лп, х = -^ + 21ип,тцте Z;
10.
11.
12.
13.
х = - — + лп, п е Z:
4
х = — + лп, х = arctg 5 + лпг, п, т g Z;
4
к
х = - — л + 5лп , п е Z;
3
х = arctg ^ + лп, х = -arctg 2+лпг, п, nt е Z;
14.
15.
x = JL-
12
х = ±^
3
л п тг л пг
Т’ x = 4*-^,n^eZ;
+ лп , п 6 Z;
16.
л
12
л п
лпг
х = ——, п, т G Z-,
17.
х = 5 + лп, х=2лш, х - — +
25
2-n.li ,„
n,m,kG Z;
5
18.
х = - — +
33
2л n
11
, х = ^ +39
2лпг
-у^- , п, т g Z',
19.
X = л + лп
4
П G Z\
20.
X = ± —
9
лп
IT
21.
х = ^ + лп, ne Z;
х = л + 2лп, п g Z;
х = (-1)" arcsini + лп, п g Z;
3
х = 4лп, п g Z;
25. х = — +
6
ипнт
» х =» п, те Z;
34
26. х = + лп , х =+ —
2105
л лА
4 2
п, т, к g Z;
х = 90° + 180°п, х = ±60° + 360°пг, п, т g Z;
х = -25° + 180°п, п G Z;
х = + -^ +, ne Z;
62
31» ЭС — ^q , 72 G Z;
х = | + —, х = ±^ + -$—, п, те Z;
х = ±40° + 120°п, п е Z;
х = - ^ + 2лп , х = 2л&, х = ^ + лтп, 24
п, к, те Z;
х = 5 + тт , п е Z;
2
о
х = — л + лп , n g Z; 4
2;
5.
ПРОИЗВОДНАЯИ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Область определения функции
Будем рассматривать функцию у = f (х), заданную аналитически, т. е. в виде формулы.
Область определения функции образуют те значения независимой переменной х, при которых правая часть формулы существует (имеет смысл).
При нахождении области определения функции следует учитывать следующее:
Дробь имеет смысл, если ее знаменатель отличен от нуля.
Корень четной степени существует, если подкоренное выражение неотрицательно; корень нечетной степени, существует при любом значении йодкоренного выражения.
Функция у = ах (а > 0, а * 1) определена на множестве всех действительных чисел х е R.
Логарифм по основанию а (а > 0, а ^ 1) существует, если выражение под знаком логарифма положительно.
Областью определения функций у = sinx, у = cos х, у = arctg х является множество всех действительных чисел х е R.
л
Функция у = tg х определена, если х * — +лп, пе Z. Функция у = ctg х определена, если х * лп, п е Z.
Функции у = arcsin х и у = arccos х определены, если |х| < 1, т. е. -1 < х < 1.
Пример 1. Найти область определения функции
у = t/б - х - х2 + t/14 - х2
Решение.
Учитывая и. 2, получаем, что область определения данной функции составляют те значения, для которых 6 - х - х2 > 0. Последнее неравенство решаем методом интервалов: 6 - х - х2 = 0; xt = 2; х2 = -3,
Ответ: -3 < х < 2.
Пример 2. Найти область определения функции
XГТ . X+ V3 sin —XГТ . X+ V3 sin —arcsin (х - 3)2arcsin (х - 3)2
XГТ . X
+ V3 sin —
XГТ . X
+ V3 sin —
arcsin (х - 3)2
arcsin (х - 3)2
х > 0,х * 3, 2<х<4.х > 0,х * 3, 2<х<4.Следовательно,Следовательно,2<х<4, х 3.2<х<4, х 3.
х > 0,
х * 3, 2<х<4.
х > 0,
х * 3, 2<х<4.
Следовательно,
Следовательно,
2<х<4, х 3.
2<х<4, х 3.
Решение.
С учетом п. 2, 4, 7 область определения данной функции найдем из системы:
х > 0, arcsin(x - 3) ^ 0, или - -1<х-3<1;
Ответ: 2 < х < 3, 3 < х < 4.
Пример 3. Найти область определения функции
у = 72х - 3х .
Решение.Учитывая п. 2, 3, получим: 2х - 3х > 0;Решение.Учитывая п. 2, 3, получим: 2х - 3х > 0;=> х < 0, так как=> х < 0, так как
Решение.
Учитывая п. 2, 3, получим: 2х - 3х > 0;
Решение.
Учитывая п. 2, 3, получим: 2х - 3х > 0;
=> х < 0, так как
=> х < 0, так как
0 < — < 1.
3
Ответ: х < 0.
Пример 4. Найти область определения функции
У =У =idу2ж+4 -32 .idу2ж+4 -32 .
У =
У =
id
у2ж+4 -32 .
id
у2ж+4 -32 .
Решение.
х-1
2х+4-32>0, ^^. v-l
2Ж+4 > 32; 2Ж+4 > 25; —1 > 5;
х*-4;х + 4
х-1 , . „ . х-1-5х-20^Л. - 4х - 21 „
о > и,> о,> о;
х + 4х + 4х + 4
4х + 21 < . f(4x + 21)(х + 4) < О,
х + 4 х * -4.
Решаем методом интервалов: (4х + 21)(х + 4) = 0;
^=-^ = -5,25;x2 = -4.
Ответ: -5,25 < х < -4.
Пример 5. Найти область определения функции
Решение.
Так как х2 + 7 > О для любого х е R, то по п. 4 область определения данной функции находим из неравенства х2 + 8х + 7 > 0. Решив его методом интервалов, получим х < -7, х > -1 (Проверьте!).
Ответ: х < -7, х > -1 .
Пример 6. Найти наименьшее целое х из области оп
ределения функции у = — .
V-3 + log5(x + 2)
Решение.
х + 2>0,|х + 2>0, х + 2>0,
-3 + log5(x + 2) > 0; [log5(x + 2) > 3; [х + 2>53;
Наименьшим целым числом, удовлетворяющим неравенству х > 123, является х = 124,
Ответ: х = 124.
у = tg 2х -у = tg 2х -х +1х +1Пример 7. Найти область определения функции
у = tg 2х -
у = tg 2х -
х +1
х +1
х > -1.х > -1.5л45л4
х > -1.
х > -1.
5л
4
5л
4
Решение.
2х * — + ип , n G Z;
х + 1 > 0;
5лЗя _ я
444
Ответ: - 1 < х < - —
4
п = 0, 1, 2, ..
Упражнения для самостоятельной работы
Найти области определения функций:
у = arccos 2х + 2^х2 + Зх
у = log3 log! X;
у = Мх-1 + 2Vx-l + зф- х2 .
Найти наименьшее целое положительное х из области определения функции
100
у =
log2(x2 - 2х - 8) - 4 '
2, х < 0;2, х < 0;3. - 3 < х < - |;3. - 3 < х < - |;1. х ±1;4. 0 < х < j;1. х ±1;4. 0 < х < j;Ответы:
2, х < 0;
2, х < 0;
3. - 3 < х < - |;
3. - 3 < х < - |;
1. х ±1;
4. 0 < х < j;
1. х ±1;
4. 0 < х < j;
0 < х < 1; 6. х = 1; 7. х = 5.
Правила нахождения производных
Производной функции у = / (х) по аргументу х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю:
т ftx + Ах) - ftx)
У - I W - lim-.
Дх—>0Ах
Таблица производныхТаблица производных
Таблица производных
Таблица производных
С'= 0; ' (ЮЛ) х' = 1; (10.2) (х“)' = а • х“ (10.3) (sin х)' = cos х; (10.4) (cos х)'=-sin х; (10.5)
(tgxY = —L-;(10.6)
COS X
(ctgx)'=L-;(10.7)
sin x
^Y = ^;(Ю.8)
(ax)' = ax In a {a > 0, a * 1);(10.9)
(inx)'= i;(10.10)
(logo xY = ——(a>0, a 1).(10.11)
xlna
Здесь e - иррациональное число, определяемое равенством: е = lim (1 + ~)п ; е ~ 2,718; In х = log€ х (натуральный логарифм).
Правила дифференцирования
Под дифференцированием функции понимается операция нахождения производной этой функции. При дифференцировании пользуются следующими
правилами:
Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций: (f (X) ± g (х)У = f (х) ± £ (х).(10.12)
Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (Cf (х))' = С * f (х).(10.13)
Производная произведения двух функций равна: (и (х) • и (х))' = и* (х) • v (х) + и (х) ■ и' (х). (10.14)
' и(х)' и(х)Производная отношения двух функций равна:
' и(х)
' и(х)
_ и(х) - У(х) - п(х) - У(Х)МА1КХ
2/ \, и(х)^0. (10.15)
Производная сложной функции у = f (ф (х)) нахо
дится по формуле: у^ = у'и • и'х, где и = ф(х), (10.16) т. е. производная сложной функции равна произ- ведению производной этой функции по промежуточно-
му аргументу на производную промежуточного аргумента и по основному аргументу х.
Заметим, что если у = f (и), а и = <р(х), то переменная у является функцией аргумента х и называется сложной функцией: у = f (<р(х)); и называется промежуточным аргументом, х - основным аргументом.
з 2
Пример 1. Найти у', если У = х - Зх + ~ - 5 ,
Решение.
з 2
у - х - Зх + — - 5 . Используя правила (10.12) и
(10.13), получим
у' = (х3)' - 3(х/ + 2(х“1)/ - 5'. Применив формулы (10.3) при а = 3, (10.2), (10.3) при а = -1, (10.1), полу-
2
чим: у' = Зх2 - 3 - 2х"2 - 0; у' - Зх2 - 3.
х2
2
Ответ: и' - Зх2 - 3.
х2
Пример 2. Найти /'(2), если f^ = 4^ - — + 2х2 • х2
Решение.
= 4 • (xV2)' - (X-2y + 2 . (Х2у = 4 • 1 • Х1/2 - 1 +
+ 2 • х-2 *1 + 2 - 2х = 2х"1/2 + 2х"3 + 4х =
Отв^п: f&) = V2 + 8у.
4
Пример 3. Найти у', если У - ^ sin х “ ^ cos х + ^ • Решение.
Используем правила (10.12), (10.13), формулы (10.4), (10.5), (10.8), тогда
у' = 2* (sin х^ “ 4(cos ХУ + 6(е*)' =
= 1 cos х + 4 sin х + 6ez.
Ответ: у' = ~ cos х + 4 sin х + 6ех. а 2
Пример 4. Решить уравнение fX^) = 1, если
/ (х) = х4 + 8х3 + х - 3.
Решение.
fX^ = 4х3 + 24х2 + 1; /'(х) = 1 => 4х3 + 24х2 +1 = 1;
4х3 + 24х2 = 0; 4х2 (х + 6) = 0; х12 = 0; х3 = -6.
Ответ: Xj 2 = 0; х3 = —6.
Пример 5. Решить неравенство /\х) > 0, если
.. . х3 + 16
7(Х) =.
X
Решение.
f (х) = х2 + 16х-1;
•' Ub - 8)•' Ub - 8)x2x2ОfXx) = 2x- 16x"2 = 2 . (x - —) =x2
•' Ub - 8)
•' Ub - 8)
x2
x2
— 8
Задача свелась к решению неравенства: —-
х2
х3 - 8
— > 0 <=> (х3 - 8) • х2 > 0 • В предположении х * 0 х2
сократим полученное неравенство на х2, тогда х3 - 8 > 0. При этом х = 0 не является решением неравенства (х3 - 8) • х2 > 0. х3 - 8 > 0; (х - 2)(х2 + 2х + 4) > 0. Квад-’ ратный трехчлен х2 + 2х + 4 не имеет действительных корней (почему?) и, следовательно, х2 + 2х + 4 > 0 для любого х е Я (почему?). Значит, х-2>0=>х>2.
Ответ: х > 2.
Пример 6. Найти у', если у = tg (Зх - 1).
Решение.
Данная функция является сложной у = tg и, и = Зх - 1. Используя правило (10.16) и формулу (10.6), получим
У =—^(Зх-1)' =(3-0) =
cos (Зх -1)cos (Зх -1)
3cos2(3x -1)
„'3
Ответ: у =.
cos2(3x -1)
Пример 7. Найти у', если у = (7х - I)101.
Решение.
y = utoX,u = lx-V,
у' = 101 • (7х - I)100 • (7х -1)' = 707 • (7х -1)100 .
Ответ: у' = 707 • (7х - I)100.
Пример 8. Найти у', если у = lg (sin х).
Решение.
у = 1g и, и = sin х, используем правило (10.16), формулу (1Q.11) при а = 10 и формулу (10.4):
, (sinx)' cosx 1
у ===ctg X •
sinx-In 10 sinx-In 10 In 10
~- 1
Ответ: и = ctg x •
InlO
,sin x 1
Пример 9. Найти у , если У =— + 1.
cos 2х
Решение.
Используем формулы (10.15), (10.16), (10.1), (10.4) и (10.5). Тогда
, _ (sinx)'cos 2х - sinx(cos2х)', _
cos22х
cos x cos 2x - sin x • (- sin 2x) • (2x)'cos22x
cos x cos 2x + 2 sin x sin 2x
cos2 2x
„, cos x cos 2x + 2 sin x sin 2x
Ответ: у =
cos2 2x
Пример 10. Найти y'(") > если у = cos2 x.
Решение.
у' = 2cos x • (cos x)' = -2cos x sin x = -sin 2x; z/'ф = -sin| = -!.
Ответ: y\^) = -1.
Пример 11. Найти у', если у = cig4 х3. Решение.
у' = 4ctg3 х3 • (ctgx3)' = 4ctg3x3- -у' = 4ctg3 х3 • (ctgx3)' = 4ctg3x3- -1sin2 x31sin2 x3.(х3)'.(х3)'
у' = 4ctg3 х3 • (ctgx3)' = 4ctg3x3- -
у' = 4ctg3 х3 • (ctgx3)' = 4ctg3x3- -
1
sin2 x3
1
sin2 x3
.(х3)'
.(х3)'
12x2 ctg3 x3 _ 12x2 cos3 x3sin2 x3sin5 x3
,12x2 cos3 x3
Ответ: У -г~т—;—
sin5 X3
Упражнения для самостоятельной работы
Найти у', если у = 8х4 - 4х3 + 12х2 - ^ + 10.
2
Найти у (-1), если у = Vx + —.
х4
Решить неравенство f (х) > 0, если
f (x) = x2(3x2 - 4x - 12) + 3.
Решить уравнение f (x) = О, если f (x) = 52x - 2x • In 5.
Найти у', если У = f cos(6x - 1) + 5 sin(l - 2x).
Найти у', если У = tg —.
х
Найти у', если у = In (е'2* + 1).
Найти у', если у = ^рх2 - 6х + 1 .
Найти у', если у = ectgx - 2 cos2 .
Найти у' ^"2^ , если у = х4 • In (2х) + Зх + 1.
. ч vsin х
Наити у (^), если у =+ х .
99 g2x
Ответы:
у' = З2х3 - 12х2 + 24х - — • а3 ’
у'(-1) = 81;3. -1 < х < 0; х > 2;
х = 0;5. у' = -3sin.(6x - 1) - lOcos (1 - 2х);
X
о ,3(х-1), ectgx .-
у = -у:...;.. =^.:/л'= ; 9. У =— + Sin X ;
д/Зх2 - 6х +1sin х
yW = 3 + Je3; 11. y'f^Ul-^e"*.
ДОI 4 уД
Геометрическийи физический смысл производной
Геометрический смысл производной
Производная функции у = f (х), вычисленная при значении аргумента х0, равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке Мо с абсциссой х0.
к = tg а = f (х0).(10.17)
Уравнение касательной имеет вид
У = 7 («о) + f (^0)1 (х - х0).(10.18)
Физический смысл производной
Если материальная точка движется прямолинейно по закону s = f (#), где s - пройденный путь, t - время, то производная пути по времени равна мгновенной скорости этого движения:
s' = f (f) = и (t).(10.19)
Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = х3 - Зх2 - 6х - 1 в точке с абсциссой х0 = -2.
Решение.
у' = Зх2 - 6х - 6 = 3(х2 - 2х - 2). По формуле (10.18) fe = 7'(*о)= 7'(~2) = 3(4 + 4 - 2) = 18.
Ответ: 18.
Пример 2. Найти угол наклона к оси абсцисс касательной к графику функции у = In (2х + 1) в точке с абсциссой х0 = 0,5.
Решение.
У' =7 '(2х + ^ =;
2х +12х +1
к = у'(0,5) =-= 1; tg а = 1; а = 45°.
2 • 0,5 + 1
Ответ: 45°.
Пример 3. Составить уравнение касательной к графи-
11
ку функции У - — в точке с абсциссой х0 -.
Решение.
\ 4)
f^ = [ "X'1) = | • (-1)х 2 =-4ч"’
V2 )22х
7 (х0) = f ^~ 4 J ~ -8 • Чтобы записать уравнение касательной, воспользуемся формулой (10.18):
у = -2 - 8(х + 1); у = -2 - 8х - 2; у = -8х - 4.
Ответ: у = -8х - 4.
Пример 4. Составить уравнения касательных к параболе у = 4х - х2 в точках ее пересечения с осью абсцисс.
Решение.
Для нахождения указанных точек пересечения решим уравнение: 4х - х2 = 0; х(4 - х) = 0; хг = 0; х2 = 4. Найдем производную заданной функции: у = 4х - х2; у' = 4 - 2х.
Рассмотрим первую точку (с абсциссой хг = 0). Имеем у(х^ = у(0) = 0; у' (xj = у' (0) = 4, поэтому у = 0 + 4(х - 0); у = 4х- уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой хг = 0.
Рассмотрим вторую точку (с абсциссой х2 = 4). Для нее: у(х2) = у(4) = 0; /(х2) = у'(4) = 4 - 2 • 4 = -4, следовательно, у = -4(х - 4); у = -4х + 16 - уравнение касательной в точке с абсциссой х2 = 4.
Ответ: у = 4х; у = -4х + 16.
Пример 5. На графике функции у = х2 + х - 5 взята точка А. Касательная к графику функции, проведенная через точку А, наклонена к оси Ох под углом, тангенс которого равен 5. Найти абсциссу точки А.
Решение.
Воспользуемся равенством (10.17). Имеем: у = х2 + + х - 5; у' = 2х + 1; 5 = tg а = у' (х0) = 2х0 + 1 . Итак, 2х0 +1 = 5 => х0 = 2.
Ответ: х0 = 2.
Пример 6. Найти точку пересечения касательной к графику функции Дх) = -12 log2 (х + 4) с осью абсцисс, если угловой коэффициент этой касательной
2 In 2'
Решение.
Прежде всего определим абсциссу точки касания из условия к = Г^х0У Находим производную /'(«) =-121=
(х + 4) • In 2 ’2 In 2(х0 + 4) In 2 ’
х0 + 4 = 8; х0 = 4. Теперь можем найти ординату точки касания у0 = Дх0) = -12 log2 (4 + 4) = -12 log2 8 = -36
3
и уравнение касательной у = - ——- (х - 4) - 36 . Находим точку пересечения касательной с осью абсцисс (у = 0): 0 =—(х-4)-36; х - 4 + 24 In 2 = 0;
2 In 2
х = 4 - 24 In 2. Итак, искомая точка А (4 - 24 In 2; 0).
Ответ: А (4 - 24 In 2; 0).
Пример 7. Через точку (-4; 1) проходят две касатель
ные к графику функции Дх) = -1 + —. Найти сум- х
му абсцисс точек касания.
Решение.
Пусть абсцисса точки касания х0, тогда ордината
у0 = -1 + — . Так как /Дх) = - —, то уравнение каса-
*ох2
тельной имеет вид у = - — (х - х0) - 1 + — . По усло- х„хо
вию касательная проходит через точку (-4; 1), поэто
му= —у(-4 - х0) -1 + — ; Xq = 4 + х0 - Xq + х0 ;
х0х0
2хд - 2х0 - 4 = 0 ; Хц - х0 - 2 = 0 . Отсюда сумма абсцисс точек касания равна х01 + х02 = 1.
Можно указать еще один способ решения данной задачи.
Запишем уравнение прямой, проходящей через заданную точку (-4; 1): у = й(х + 4)+ 1.
Ищем точки пересечения этой прямой и графи-
ка функции у = -1 + —, для этого решаем систему х
уравнений:
Гу = fe(x + 4) + 1,1
]1/?х + 4/? + 1 - -1 + —
|У = -1 + —;х’
I х
кх2 +2х(2А + 1) - 1 = 0 (*).
Так как прямая является касательной, то она имеет с графиком одну общую точку, но тогда последнее уравнение должно иметь единственный корень, а это выполняется, если дискриминант равен 0.
Имеем: (1 + 2к)2 + к = 0; 4fe2 + 5k + 1 = 0; kx = -1;
1
«2 ” ~ 4 • Эти значения подставим в уравнение (*). Получим:
kt = -1; -x2 - 2x - 1= 0; (x + l)2 = 0; x01 = -1;
4 = "t; - 7^2+^-1 = 0;x2-4x + 4 = 0; 44
(x — 2)0; Xq2 “ 2; Xqj 4- Xq2 ” 1*
Ответ: 1.
Пример 8. Закон прямолинейного движения материальной точки задан формулой s = 5sin (3t 4-1). Найти мгновенную скорость.
Решение.
По формуле (10.17) и(0 = s' = 5cos (3t 4-1) • (32 4-1)' = = 15cos (3^ 4- 1).
Ответ: v(t) 15cos (3^ 4- 1).
Пример 9. Материальная точка движется прямолинейно по закону s = Jt 4- 2t2 - 32 4- 2 . Найти мгновенную скорость в момент t — 25с (путь измеряется в метрах).
Решение.
v (#) = s' = (Vt + 2£2 - 3# + 2)' = ft"* + 4t - 3 =
U (25) = 2V2T + 4 • 25 ~ 3 = °-1 + 100 " 3 = 97Л (м/с)- Ответ: 97,1 м/с.
Упражнения для самостоятельной работы
Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = (х2 - х 4- I)2 в точке с абсциссой х0 = -1.
Найти угол наклона к оси абсцисс касательной к
,64V3
графику функции у = в точке с абсциссой
5х5
х0 — 2.
Составить уравнение касательной к графику функции у = 2х2 - 2х 4- 1 в точке с абсциссой х0 = 1.
Найти точку пересечения касательной к графику функции /(х) = -8д/х - 4 и оси абсцисс, если угловой коэффициент касательной h = -0,8.
К графику функции у = Vx в точке с абсциссой х0 = 1 проведена касательная. Найти ординату точки касательной, абсцисса которой х = 31.
К графику функции у = 9,б7х + 2 проведена касательная, угловой коэффициент которой равен 1,2. Найти абсциссу точки пересечения этой касательной с прямой у = 0.
Через точку (1; -1) проходят две касательные к графику функции Дх) = -2-Vx + 2 • Найти сумму абсцисс точек касания.
Через точку (2; -3) проходят две касательные к
0 5
графику функции Дх) = 9 + —— . Найти сумму х
абсцисс точек касания.
Материальная точка движется прямолинейно по закону s = 2г4 + 3t2 - t + ^. Найти мгновенную скорость.
Координата точки, движущейся вдоль оси Ох изменяется по закону х(0 = -4£2 + 2t + 2. Найти, в какой момент времени скорость равна 1.
Ответы:
.-6;2.120°;3.у = 2х-1;4.(-21;0);
. у -16; 6.-18;7.7;8. - ™;
v(t) = 8ts + 6t-l + l,5Vt;10. 7 .
Применение производнойк исследованию функции
Функция у = / (х) называется возрастающей на данном промежутке, если для любых двух значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция у = f (х) называется убывающей на данном промежутке, если для любых двух значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Если в данном промежутке функция либо только возрастает, либо только убывает, то она называется монотонной на этом промежутке.
При исследовании функции на монотонность руководствуются признаком монотонности. Если на некотором промежутке функция у = f (х) имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) на этом промежутке.
Исследование функции на экстремум
Точка х0 из области определения функции / (х) называется точкой максимума (минимума) этой функции, если существует такая окрестность этой точки, что для всех х * х0 из указанной окрестности выполняется неравенство f (х) < f (х0) (f (х) > / (х0)).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) этой функции: max f (х) = / (х0) (min f (х)= f (х0)). Точки максимума и минимума функции называются ее точками экс-
тремума, а максимум и минимум функции - экстремумом этой функции.
Для функции у = f (х), изображенной на рисунке: хг - точка максимума; max f (х) = f (х^;
х2 - точка минимума; тгп f (х) = f (х2).
При нахождении экстремума функции используется теорема Ферма (необходимый признак экстремума). Если х0 - точка экстремума функции y = f (х), то производная в этой точке равна 0, т. е. f(x0) = 0, или не существует.
Точки, в которых f(x) = 0 или f(x) не существует, называются критическими. Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Чтобы определить, является ли критическая точка точкой экстремума, используется достаточный признак экстремума. Если при переходе (слева направо) через критическую точку (в которой функция определена) производная меняет знак с «+ » на «-», то эта точка является точкой максимума, с «-» на « + », то точкой минимума данной функции. Если при переходе через критическую точку производная знака не меняет, то эта точка не является точкой экстремума рассматриваемой функции.
Учитывая сказанное выше, можно предложить схему исследования функции с помощью производной.
Найти область определения функции.
Найти производную этой функции.
Найти критические точки.
Исследовать знак производной на каждом из промежутков, на которые область определения функции разбита критическими точками.
Используя достаточные признаки монотонности и экстремума, сделать вывод о промежутках возрастания, убывания, точках максимума и минимума функции, найти максимумы и минимумы.
Результаты исследования пп. 4, 5 удобно записать в виде таблицы (см. пример 8).
В случае необходимости найти несколько дополнительных точек графика функции и построить этот график.
С помощью производной можно находить наибольшее и наименьшее значения функции f (х) на отрезке [а, 6] (предполагается, что функция непрерывна на этом отрезке) по следующему плану:
Найти критические точки, лежащие внутри отрезка, т. е. на интервале (а, Ь).
Вычислить значения функции в этих точках.
Вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. Да) и Д6).
Из значений функции, найденных в п.п. 2, 3, выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции у = 1X3 - X2 - Зх + 5 .
Решение.
Данная функция у = ^х3 - х2 - Зх + 5 определена и имеет производную на всей числовой оси: у' = х2 - - 2х - 3. Для нахождения промежутков монотонности следует решить неравенства: у' > 0, у' < 0. Найдем критические точки: у' = 0; х2 - 2х - 3 = 0; хг = 3; х2 = -1. Методом интервалов определяем знак производной на интервалах, на которые числовая прямая разбита точками хг = 3; х2 = -1. ,
Используя признак монотонности, получаем, что на промежутках х < -1, х > 3 функция возрастает, а на интервале -1 < х < 3 убывает.
Ответ: f (х) возрастает, если х < -1, X > 3; f (х) убывает, если -1 < х < 3.
Пример 2. Найти интервалы возрастания и убывания
функции f(x) =—
1-х2
Решение.
Область определения данной функции х = ±1, т. е. х < -1, -1 < х < 1, х > 1, f (х) = 2 • (1 - х2)"1;
f (х) = -2 • (1 - х2)"2 • (1 - х2)' =
4х
=-2 • (1 - х2)-2 • (-2х) = —.
(1-х2)2
При х * ±1 f (х) > 0, если х > 0; f (х) < 0, если х < 0.
Поэтому на промежутках х < -1, -1 < х < О / (х) убывает, а на промежутках 0<х<1,х>1- возрастает.
Ответ: f (х) возрастает, если 0 < х < 1, х > 1;
f (х) убывает, если х < -1, —1 < х < 0.
Пример 3. Найти длину промежутка возрастания функции у = -2х3 + Зх2 4- Збх + 1.
Решение.
Находим производную у' = -6х2 + бх + 36 = = -6(х2 - х - 6) = —6(х + 2)(х - 3). Определяем критические точки хг = -2; х2 = 3 и исследуем знак производной на полученных интервалах
Функция возрастает на интервале (-2; 3), длина которого равна 5.Ответ: 5.Функция возрастает на интервале (-2; 3), длина которого равна 5.Ответ: 5.
Функция возрастает на интервале (-2; 3), длина которого равна 5.
Ответ: 5.
Функция возрастает на интервале (-2; 3), длина которого равна 5.
Ответ: 5.
Пример 4. Исследовать на экстремум функцию
у = х3 - Зх.
Решение.
Функция определена на множестве всех действительных чисел: х е R. у' = Зх2 - 3 = 3(х2 - 1). Находим критические точки: у' = 0; х2 - 1 = 0; х12 = —1. Так как у' определена при х е R, то точек, в которых производная не существует, нет. Критические точки разбивают область определения функции на интервалы х < -1, -1 < х < 1, х > 1. Определяем на каждом из этих интервалов знак производной у':
При переходе через точку (-1) производная изменила знак с « + » на «-», поэтому точка (-1) является точкой максимума данной функции; max у = у(-1) = = -1 + 3 = 2; при переходе через точку 1 производная изменила знак с <->на<+>, поэтому эта точка является точкой минимума; min у = у(1) = 1 - 3 = -2.
Ответ: х = 1 - точка минимума; min у = -2; х = -1 - точка максимума; max у = 2.
Пример 5. Исследовать на экстремум функцию у = х3.
Решение.
Область определения рассматриваемой функции - множество всех действительных чисел, производная существует также для любого х е R: у' = Зх2. Критическая точка х = 0. Однако в этой точке экстремума нет, так как у' > 0 при х * 0, т. е. при переходе через 0 производная знака не меняет.
Ответ: экстремумов нет.
Пример 6. Исследовать на экстремум функцию
Решение.
Область определения функции: х Е R, у = х2^3 ;
'2 -1/3 __
У - зх ^7=. Критических точек, где у' = 0, нет.
3Vx
Единственной критической точкой является х = 0, в которой производной не существует. Так как у' < 0 при х < 0 и у' > 0 при х > 0, то х = 0 является точкой минимума функции у = 345; min у = у(0) = 0.
Ответ: х = 0 - точка минимума; min у = 0.
Пример 7. Найти точку минимума функции f (х), если на рисунке изображен график ее производной.
Решение.
Из рисунка видно, что производная обращается в нуль в точках х = 2 и х = 4. При переходе через точку х = 2 слева направо она меняет знак с «+» на «-», следовательно, эта точка является точкой максимума. При переходе через х = 4 производная меняет знак с «-» на «+». Точка х = 4 - точка минимума.
Ответ: 4.
Пример 8. Построить график функции у = х? - Зх2 + 1. Решение.
Область определения: х G Я.
у' = Зх2 - 6х = Зх(х - 2).
Найдем критические точки: у' = 0; Зх(х - 2) = 0; xt = 0; х2 = 2. Точек, в которых производная не существует, нет.
Исследуем знак производной на промежутках х < 0; 0 < х < 2; х > 2, на которые область определения функции разбита критическими точками.
5) Составим таблицу:
X
х <0
0
0<х <2
2
х >2
у'
+
0
—
0
+
У
1
-3
max
min
max у = y(0) = 1; min у = y(2) = 8 - 12 + 1 = -3.
Найдем дополнительные точки:
у(3) = 27 - 27 + 1 = 1 => А (3; 1); у(-1) = -1 - 3 + 1 = = -3 S (-1; -3);
у(1) = 1 - 3 + 1 =-1 => С (1;-1).
Строим график функции:
Пример 9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 6х3 - Зх2 - 12х + 7 на отрезке [-1; 2].
Решение.
Находим критические точки заданной функции: /'(х) = 18х2 - 6х - 12; f (х) = 0;
1 ± 5
Зх2 - х - 2 = 0; D = 1 + 24 = 25; ^ 2 = —— ; х, = 1; 61
2
х2 = - — . Обе критические точки принадлежат интервалу^!^).
Вычисляем значения функции в найденных точках: f(l) = 6 - 3 - 12 + 7 = -2;
f —) =-6 ■- 3 • — + 12 • + 7 = 11^ ( 3;27939 -
Вычисляем значения функции на концах отрезка [-1; 2]: /•(-!) = -6 - 3 + 12 + 7 = 10;
/(2) = 48- 12 - 24+ 7 = 19.
Сравним полученные значения и выберем из них наибольшее и наименьшее: /наиб = 19; 7наим. = -2.
Ответ: /наиб. = 19; /найм.
Пример 10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f^ = 2х3 - 6х + 1 на отрезке [0; 2].
Ро111/>Щ1)Р.
f (х) = 6х2 - 6 = 6(х2 - 1); f(x) = 0; X2 - 1 = 0;
xv = 1; х2 = -1; Xj G (0; 2); х2 £ (0; 2);
f(l) = 2 - 6 + 1 = -3;
/(0) = 1; Д2) = 16 - 12 + 1 = 5;
^) ^наиб. ^» fнайм.^'
Ответ: /наиб. = 5; /наим. = -3.
Пример 11. При каком наименьшем целом значении
а функция у = - — х - х - ах3 +109 убывает на 5
всей числовой прямой?
Решение.
Если функция убывает на всей числовой прямой, то ее производная
у' = -х4 - 4х3 - Зах2 = -х2(х2 + 4х +3а) < 0 для всех х G R, но тогда х2 + 4х + За > 0 для всех х g R, а. это условие выполняется, если дискриминант квадратно-
4
го трехчлена 16 - 4 • За < 0. Отсюда За > 4; а > — . Наи
меньшее целое число из этого промежутка 2.
Ответ: 2.
Упражнения для самостоятельной работы
Найти интервалы возрастания и убывания функции у = х3 - 5х2 - 32х + 9.
Найти длину промежутка убывания функции у = х3 - 9х2 - 21х + 5.
Найти интервалы возрастания и убывания функ-
3
ЦИИ у =- .
X
Найти значение функции у = х + — в точке ми- х
нимума.
Найти точку минимума функции f (х), если на рисунке изображен график ее производной.
Построить график функции у = Зх - х.
Построить график функции у = х - 2х2 + 2.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции Дх) = -2х3 - Зх2 + 4 на отрезке [-2; -0,5].
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х4 - 8х2 - 9 на отрезке [0; 3].
Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции у = х4 - 2х2 + 3 на отрезке [0; 2].
у = — х3а 3у = — х3а 3При каком наименьшем значении b функция
у = — х3
а 3
у = — х3
а 3
+ Ьх2 + 9х + 35 возрастает на всей чис
ловой прямой?
При каком наибольшем значении р функция
- 2х2 + рх + 4х - 7
убывает на всей
Ответы:
у возрастает, если х < -2,х >^; у убывает.
если - 2 < х < ^;
8;
у возрастает, если х >
экстремумов нет.
х = 0 - max-, у^ = 3, х =
0;7. 2;
0; у убывает, если х < 0;-2, х = 2 - min.-y^ = -13;8. -2 ;0; у убывает, если х < 0;-2, х = 2 - min.-y^ = -13;8. -2 ;9.
0; у убывает, если х < 0;
-2, х = 2 - min.-y^ = -13;
8. -2 ;
0; у убывает, если х < 0;
-2, х = 2 - min.-y^ = -13;
8. -2 ;
f™» - 8; f™- 8; 12- v™-. = Й v-r- - 25;
14. -3;1э. ».
Множество значений функции
Рассмотрим решение некоторых задач на нахожде ние множества значений функции.
Пример 1. Найти множество значений функции
у = sin х + cos х.
Решение.Запишем функцию в следующем виде:Решение.Запишем функцию в следующем виде:
Решение.
Запишем функцию в следующем виде:
Решение.
Запишем функцию в следующем виде:
Так как sin х + — принимает значения от -1 до 1
Пример 2.Найдите множество значений функции
4у = — arcsin л4у = — arcsin л— cos 2х + sin х • cos х— cos 2х + sin х • cos хРешение.Решение.4у = — arcsinл4у = — arcsinл22— cos 2х + sin х • cos х 2— cos 2х + sin х • cos х 24= —arcsinл4= —arcsinлV31cos 2х + — sin 2х 22V31cos 2х + — sin 2х 22= — arcsin —= cos — • cos 2х + sin — ■ sin 2xл <V2 (66= — arcsin —= cos — • cos 2х + sin — ■ sin 2xл <V2 (664= —arcsin л4= —arcsin л
4
у = — arcsin л
4
у = — arcsin л
— cos 2х + sin х • cos х
— cos 2х + sin х • cos х
Решение.
Решение.
4
у = — arcsinл
4
у = — arcsinл
2
2
— cos 2х + sin х • cos х 2
— cos 2х + sin х • cos х 2
4
= —arcsinл
4
= —arcsinл
V31
cos 2х + — sin 2х 22
V31
cos 2х + — sin 2х 22
= — arcsin —= cos — • cos 2х + sin — ■ sin 2x
л <V2 (66
= — arcsin —= cos — • cos 2х + sin — ■ sin 2x
л <V2 (66
4
= —arcsin л
4
= —arcsin л
< 1, то< 1, тоТак как -1 < cosТак как -1 < cos
< 1, то
< 1, то
Так как -1 < cos
Так как -1 < cos
Используем теперь, что arcsin z - монотонно возра
стающая функция, поэтому
arcsinarcsin< arcsin< arcsin< arcsin< arcsinлили< arcsin 4лили< arcsin 4и, умноживи, умножив
arcsin
arcsin
< arcsin
< arcsin
< arcsin
< arcsin
л
или< arcsin 4
л
или< arcsin 4
и, умножив
и, умножив
4
все части последнего неравенства на - , получим
-1<у<1.
Ответ: [-1; 1]-
Пример 3. Найти множество значений функции у = — arccos Qo,125 (cos х — sin х^.
л
Решение.
у = — arccos (jo,125 (cos х — sin х л
3= —arccos л3= —arccos л(cos х - sin х)V8(cos х - sin х)V83= —arccos л3= —arccos л—arccos л—arccos лИмеемИмеем-1 < cos-1 < cosлл11112 22 2< — cos X 3—24< — cos X 3—24Так как функция arccos 2 монотонноТак как функция arccos 2 монотоннототоarccosarccosflf л)< arccos —cos x + —24flf л)< arccos —cos x + —24убывает,убывает,т. ет. е
3
= —arccos л
3
= —arccos л
(cos х - sin х)
V8
(cos х - sin х)
V8
3
= —arccos л
3
= —arccos л
—arccos л
—arccos л
Имеем
Имеем
-1 < cos
-1 < cos
л
л
1
1
1
1
2 2
2 2
< — cos X 3—
24
< — cos X 3—
24
Так как функция arccos 2 монотонно
Так как функция arccos 2 монотонно
то
то
arccos
arccos
flf л)
< arccos —cos x + —
24
flf л)
< arccos —cos x + —
24
убывает,
убывает,
т. е
т. е
Зл. d _ < у < - л 3 лЗл. d _ < у < - л 3 л
Зл. d _ < у < - л 3 л
Зл. d _ < у < - л 3 л
— < arccos —cos 3(2
l<y<2.
Ответ: [1; 2].
Пример 4. Найти множество значений функции
I х I 4х-.
у = 3* 1 - р—г, если х < 1.
Решение.
Данная функция не определена при х = 0 и, следовательно, задана на множестве (-<»; 0)и(0; 1]. Рассмотрим х < О, тогда |х| = -х и функция принимает вид
3 х— = 3 х 4- 4. Так как 1 < 3-х < +»= для х < 0, то
5 < 3"ж 4- 4 < +оо. Таким образом, на промежутке (-°о; 0) функция принимает значения от 5 до 4- °°. Если х > О, то |х| = хи функция имеет вид 3х 3х - 4. Так как 1 < 3х < 3 для х е (0; 1], то -3 < 3х - 4 < -1. Окончательно, множество значений функции
3-х 4-4, х < О
’>-4, 0 < . £ 1 - <-3;
Ответ: (-3; -1] и (5; 4-°о).
Пример 5. Найти множество значений функции у = 41 ^ . Решение.
Отметим, что множество значений функции совпадает с областью определения обратной функции. Выразим х через у: ——— = log4z/; 1 - 2х = —-—;
1-2Xlog4 у
110g 4 У110g 4 У. Найдем область. Найдем областьУ > О, log4z/*0,log4 УРешим отдельноУ > О, log4z/*0,log4 УРешим отдельно2Х = 1 - ; X = 10g2f 1 - log4 у Д определения этой функции:
1
10g 4 У
1
10g 4 У
. Найдем область
. Найдем область
У > О, log4z/*0,
log4 УРешим отдельно
У > О, log4z/*0,
log4 УРешим отдельно
У > О,
У *1,
log 4 Упоследнее неравенство
12^^—1 > о . Обозначим log4 у = Ъ, неравенство запи-
log4 У
> 0 . Решаем его методом интерва
лов
Итак b < 0 или b > 1. Если b < 0, то log4 у < 0; у < 1. Если b > 1, то log4 у > 1; у > 4. Учитывая неравенство у > 0, окончательно получим множество значений функции у е (0; 1) и (4; +°°).
Ответ: (0; 1) и (4; +°°).
Пример 6. Найти множество значений функции
Решение.
Найдем обратную функцию у = 3
(log3 у(log3 у—-— = log3 у; 2х = —-— + 1; х = log2 2х -1log3 у
(log3 у
(log3 у
Для нахождения области определения этой обратной функции запишем систему неравенств:
У >0, log3 У * °’—+ 1 > 0;,log3 УУ >0, log3 У * °’—+ 1 > 0;,log3 УУ >0,У * 1,1 + logs У ^Q log3 УУ >0,У * 1,1 + logs У ^Q log3 У
У >0, log3 У * °’
—+ 1 > 0;
,log3 У
У >0, log3 У * °’
—+ 1 > 0;
,log3 У
У >0,
У * 1,
1 + logs У ^Q log3 У
У >0,
У * 1,
1 + logs У ^Q log3 У
1
Решая последнее неравенство, получим У < ~ иЛи у > 1.
Учтем первые два ограничения и окончательно получим у е (0; i)о(1; +-).
Ответ: (0; i) и (1; + °°).
Пример 7. Найти множество значений функции
2 - -г2 у = arcsin .
У1 + х2
Решение.
Найдем область определения этой функции (ООФ) из системы ограничений:
2-х21 + х22-х21 + х22 — х21 ।2 — х21 ।2-х2 <1 + х2,2-х2 <1 + х2,2-х2 < . V 1 + х2 2-х2 > 0;2-х2 < . V 1 + х2 2-х2 > 0;2х2 >1,2х2 >1,12’12’2-х271 ^22-х271 ^2/22 */22 *
2-х2
1 + х2
2-х2
1 + х2
2 — х2
1 ।
2 — х2
1 ।
2-х2 <1 + х2,
2-х2 <1 + х2,
2-х2 < . V 1 + х2 2-х2 > 0;
2-х2 < . V 1 + х2 2-х2 > 0;
2х2 >1,
2х2 >1,
1
2’
1
2’
2-х2
71 ^2
2-х2
71 ^2
/2
2 *
/2
2 *
Итак, областью определения функцииИтак, областью определения функцииявляется мноявляется мно
Итак, областью определения функции
Итак, областью определения функции
является мно
является мно
жествожество22'12.2 ’'12.2 ’
жество
жество
2
2
'12.
2 ’
'12.
2 ’
и наибольшее значения данной функции на этом множестве. Так как функция является четной, то доста-
точно рассмотреть промежутокточно рассмотреть промежуток12 .2 ’12 .2 ’2 . Функция2 . Функция
точно рассмотреть промежуток
точно рассмотреть промежуток
12 .
2 ’
12 .
2 ’
2 . Функция
2 . Функция
у = arcsin у/2 - монотонно возрастающая, поэтому вве-
2-х2
дем функцию 2 =— и будем искать ее наиболь-
1 + х2
шее и наименьшее значения нашее и наименьшее значения наV2 .2 ’V2 .2 ’2 . Находим2 . НаходимZZпринадлежит отрезкупринадлежит отрезку22Находим значенияНаходим значенияфункции z(x) на концах отрезка:функции z(x) на концах отрезка:2-1—- = 1;ч2-1—- = 1;чz(V2) =z(V2) =2-21 + 22-21 + 2= 0.= 0.Итак, 2наим 0, 2наидИтак, 2наим 0, 2наид= 1. Следовательно,= 1. Следовательно,
шее и наименьшее значения на
шее и наименьшее значения на
V2 .
2 ’
V2 .
2 ’
2 . Находим
2 . Находим
Z
Z
принадлежит отрезку
принадлежит отрезку
2
2
Находим значения
Находим значения
функции z(x) на концах отрезка:
функции z(x) на концах отрезка:
2-1
—- = 1;
ч
2-1
—- = 1;
ч
z(V2) =
z(V2) =
2-2
1 + 2
2-2
1 + 2
= 0.
= 0.
Итак, 2наим 0, 2наид
Итак, 2наим 0, 2наид
= 1. Следовательно,
= 1. Следовательно,
(1 + х2)2
- 2х - 2х3 - 4х + 2х_ _ —~ 6*Единственной
(1 + ^)2(1 + Х2)2
критической точкой является х = 0, но эта точка не
Унаим = arcsin Vo = 0 ; Унаиб = arcsin V1 = arcsin 1 = -
Множество значений функцииМножество значений функцииУУ= arcsin= arcsin2-х22-х2р + х2р + х2
Множество значений функции
Множество значений функции
У
У
= arcsin
= arcsin
2-х2
2-х2
р + х2
р + х2
промежуток
Ответ:
Пример 8. Найти множество значений функции
У = Ь^о-г
25-х2
1 + х2 '
205
Решение.
25 — х2
Находим ООФ: — > 0; 25 - х2 > 0; х2 < 25;
1 + х2
[х| < 5; х е (-5; 5). В области определения функцию можно записать в виде
у = ^log02(25-x2)-|log02(l + x2).
11 2х
Найдем ее производную у' = —-
2 25-х2 2 1 + х2
(11 ) =-^-26
Х (25-х2 + 1 + х2 )(25 - х2)(1 + х2) "
25-х21 + х225-х21 + х2Единственная критическая точка (в области определения функции) х = 0. Найдем значение функции в этой точке у(0) = log02 V25 = log02 5 = -1 и исследуем поведение функции при х —> ±5. Если х —> ±5, то
25-х2
1 + х2
25-х2
1 + х2
25-х2
=> log0>2 к—-*+= (0,2 < 1). у 1 + X
Множество значений функции
J
25 — х2
~— - [-1; +оо).
1 + х
Ответ: [-1; +°°).
Упражнения для самостоятельной работы
Найти множества значений функций:
18 х1. У = —arctg18 х1. У = —arctg1 + sinx - V3 cosx7з1 + sinx - V3 cosx7з
18 х
1. У = —arctg
18 х
1. У = —arctg
1 + sinx - V3 cosx
7з
1 + sinx - V3 cosx
7з
.12.3.X Л
у = — arcsin —= (sin х + cos х) - 0,25 ; л I 4V2
3X«I х 1х
у = ;—г + 2, если х > -2;
5х ОЫ
у = 1—г + 3*, если
2х2 -1у = arcsin —- х2 +22х2 -1у = arcsin —- х2 +2у = arccos —- .X + 4у = arccos —- .X + 4
2х2 -1
у = arcsin —- х2 +2
2х2 -1
у = arcsin —- х2 +2
у = arccos —- .
X + 4
у = arccos —- .
X + 4
Ответы:[-3; 6];(-2; 1] и (4; +°°);fo; ^ | и С1; +=);Ответы:[-3; 6];(-2; 1] и (4; +°°);fo; ^ | и С1; +=);[-6; 2];(-4; -2] kJ (6; +°°)6. (0; 1) kJ (8; +°°);[-6; 2];(-4; -2] kJ (6; +°°)6. (0; 1) kJ (8; +°°);
Ответы:
[-3; 6];
(-2; 1] и (4; +°°);
fo; ^ | и С1; +=);
Ответы:
[-3; 6];
(-2; 1] и (4; +°°);
fo; ^ | и С1; +=);
[-6; 2];
(-4; -2] kJ (6; +°°)
6. (0; 1) kJ (8; +°°);
[-6; 2];
(-4; -2] kJ (6; +°°)
6. (0; 1) kJ (8; +°°);
[-1; +~);
Г 2л
9 0; —
у* 3
ПЕРВООБРАЗНАЯИ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Правила нахождения первообразных
Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на заданном промежутке, если для всех значений х этого промежутка функция f(х) является производной функции Р(х),т. е.
F'(x) = f(x).
Основное свойство первообразных: если функция F( х) есть первообразная функции f(х), то любая первообразная функции f(x) может быть представлена в виде F(x) + С, где С е R - произвольная постоянная.
Таблица первообразных для простейших функции
Функция
Общий вид первообразной
0
С
1
х + С
Хп, П Е R, п * -1
хп+1 _
+ С п +1
1, X
In |х| + С
sin х
-cos х + С
COS X
sin х + С
1
cos2 X
tg х + С
1 sin2 x
-ctg х + С
ех
ех+С
ах , а'
> 0, а *1
— + С In а
Выражение F(x) + С называют неопределенным интегралом функции f(х) и обозначают
J f(x)dx = FW + С .
Простейшие правила интегрирования
Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла:
J с • f(x)dx = с • J f(x)dx .
Интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов слагаемых:
J [g(x) ± f(x)^ix = J g^dr, ± j" f(x)dx.
Если J f(x)dx = E(x) 4- С , то
f f (ax + b^dx = — F(ax + b) + C.
Ja
Пример 1. Найти общий вид первообразной для функции у = х2 + sin 2х.
Решение.
х3
Для функции х2 одна из первообразных есть —. Для функции sin х одной из первообразных является функция -cos х, по правилу 3 находим для функции sin 2х первообразную - i cos 2х . По правилу 2 первообразной для функции х2 + sin 2х будет функция
-^—— cos2x, а общий вид первообразной будет х3 1 о п
cos 2х + С.
32
х3 1
Ответ:cos 2х + С.
32
Пример 2. Найти общий вид первообразной для 4 унк- ции у = зТх + 1.
Решение.
Для функции зУх одна из первообразных есть 1+1 х2+д-3/2
3 • или 3= 2х3'. Для функции 1 одной из
- +13/2
2
первообразных является функция х. По правилу 2 первообразной для функции 3-Ух + 1 будет функция 2х3/2 + х, а общий вид первообразной будет 2х3/2 + х + С.
Ответ: 2х3/2 + х + С.
3
Пример 3. Для функции У = ——- - 2 cos (Зх - 5) найдите общий вид первообразной.
Решение.
Для функции — одна из первообразных есть In |х|. х
3 • In [х -1| - 2 • i sin (Зх - 5), а общий вид первообраз-
2
ной будет 31п|х -1| - —sin(3x - 5) + С •
Ответ: 31п хОтвет: 31п х9
Ответ: 31п х
Ответ: 31п х
- 1| - — sin (Зх - 5) + С •
Пример 4. Для функции у = 2х - Зх2 укажите первообразную, график которой проходит через точку А (-2; 0).
Решение.
Найдем общий вид первообразной
(х) = J (2х - 3x2)dx = 2j xdx - з| x2dx =
= 2 • — - 3 • — + С = х2 - х3 + С.
23
Точка А(-2; 0) лежит на графике функции y-F(x), следовательно, F(-2) = 0. Решив это уравнение, найдем С. (-2)2 - (-2)3 + С = 0; 12 + С = 0; С = -12.
Первообразная, график которой проходит через точку А(-2; 0), задается формулой F (х) = х2 - х3 - 12.
Ответ: F (х) = х2 - х3 - 12.
Упражнения для самостоятельной работы.
Найдите общий вид первообразной для функции: 1. у = х4 + 4х2 - 7;
у = х~3 + х - Vx ;
У = 7х2 Vx + cos(2 - х);
у = sin 4х - cos (х + 1);
г•111/5"
у = Sin X - - ; 6. у = 5V3 ;
XCOS X
7. у = ех + 2е2х + Зе3х;
у = 55х 1+ 7;
sin2 4х
1-
z/ = —— + 5 sin(3 - 5x) - e 2;
x In 3
1-
у = -_-2й + cos2x.
Для функции f (x) укажите первообразную, график которой проходит через точку М:Р
f (х) = sin 2х, -^(^ ; 3);
f (х) = 3 cos (х - л) + 1, М(2л; -1);
f(x) = Vx -е5 , М(0; 7);
14.14./к) = —L.COS X/к) = —L.COS X-2.М(-;1).-2.М(-;1).
14.
14.
/к) = —L.
COS X
/к) = —L.
COS X
-2.М(-;1).
-2.М(-;1).
Ответы:
3. 2х3 Vx - sin(2 - х) + С ;3. 2х3 Vx - sin(2 - х) + С ;
3. 2х3 Vx - sin(2 - х) + С ;
3. 2х3 Vx - sin(2 - х) + С ;
- ^ cos 4х - sin(x + 1) + С;
- cos х - In |х| + С ;
11 tg х - 73х + С ;
ех + е2ж + е3ж + С;
я 55х-1 1
—— + — ctg 4х + 7х + С;
In 54
X
log3 |х| + cos(3 - 5х) - 2е 2 + С;
3.231
— + - sin 2х + С;
F(x^ = - ^ cos 2x + 2,5 ;
F (x) = 3 sin (x - л) + x - 2л - 1;
F^ = — xVx - 5e 5 + 12 ;
3
F^ = tg x - 2x + ^ .
11.2 Площадь криволинейной трапециии интеграл
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной на отрезке [а; Ь] функции f(х) и прямыми х = а и х = Ь.
Теорема. Пусть f(x) - непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; Ь] функция, aS- площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F(x) есть первообразная для функции f(x) на отрезке [а; Ь], то
S = F(b)-F(a).(11.1)
Замечание. Одним из фундаментальных понятий математического анализа является понятие определен- ного интеграла, который обозначается J f(x)dx и вы- а
числяется по формуле Ньютона-Лейбница
ъ
J t№ = F(b) - Е(а).
а
Строгое определение определенного интеграла оставим для изучения в курсе высшей математики. Его геометрический смысл состоит в том, что он определяет число, равное площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = Дх) (Дх) > 0) и прямыми х — а, х = Ь.
Следствие. Пусть t(x), g(x) - непрерывные функции на отрезке [а; 6], причем f(x) > g(x) во всех точках отрезка. Тогда площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x), g(x) и прямыми х = а, х = Ь, находится как определенный интеграл
ь
S = J [/(х) - g(x)]dx . (11.2)S = J [/(х) - g(x)]dx . (11.2)
S = J [/(х) - g(x)]dx . (11.2)
S = J [/(х) - g(x)]dx . (11.2)
VfW - g(x)]dxVfW - g(x)]dxЗамечание. Если известно, что график одной из функций f(x),g(x) лежит выше другого, то можно не выяснять, какой именно, а воспользоваться формулой
VfW - g(x)]dx
VfW - g(x)]dx
(И.З)
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4х- х2 и у = 0.
Решение.Найдем точки пересечения параболы у = 4х - х2 с осью абсцисс. 4х - х2 = 0, х = 0, х = 4.
Значит, а = 0, b = 4.
Для функции у = 4х - х2 первообразная есть
Е(х) = 4™-^-,или Е(х) = 2х2- — .
Площадь найдем по формуле (11.1)
S = p(b) - Fla) = F14) - FIO) -
4»2.4г—4»2.4г—22Od0 TOd0 T64 32 z .= 32-— = — (кв.ед.)3464 32 z .= 32-— = — (кв.ед.)34
4»
2.4г—
4»
2.4г—
2
2
Od
0 T
Od
0 T
64 32 z .
= 32-— = — (кв.ед.)
34
64 32 z .
= 32-— = — (кв.ед.)
34
32
Ответ: ^ .
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, осиленнойграфиками функций у — 3 sin х и у>
л промежутке О; — .
Решение.
л
4 sin х > 3 sin х на 0; — .
2
ллS = J [4 sin хоS = J [4 sin хоПлощадь найдем по формуле (11.2):
л
л
S = J [4 sin хо
S = J [4 sin хо
”71
- (-3 sin х)] dx =j 7 sin х dx =- 7 cos x| ^о
= - 7(cos— - cosO) = 7(0 - 1) = 7 (кв. ед.)
2
Ответ: 7.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у ~ sin х, у = cos х, х = 0.
= sin х,= sin х,Решение.,„ „
= sin х,
= sin х,
Найдем точку пересечения графиков у
у = COS X.
sin х = cos х |: cos х; tg х = 1; х "" 7
Значит, а = 0 (по условию;), b = -. Площадь найдем
по формуле (11.2).
л/4
S = J (cos х - sin x^dx = (sin x + cos x) о
• 71 Л „
4444= Sin — + cossin 0 - cos 0 =
44
44
V2 V2r-
(кв. ед.)
Ответ: V2 -1.
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями у = V2x и У = — .
Решение.
Область определения функции у = V2x есть х Е [0; ао). Найдем точки пересечения графиков функции:
X4(
2х -= 0 ; 2х 1 - — = о ;
48
х = 0; х = 2. Для определения площади воспользуемся формулой (11.3).
1 (2х)3/22 3/21 (2х)3/22 3/22-32-3г— X2
1 (2х)3/2
2 3/2
1 (2х)3/2
2 3/2
2-3
2-3
2хdx
2
(2x)3/2 x3(2x)3/2 x3'4^_2^) z0_J = 8 8 = 4
(2x)3/2 x3
(2x)3/2 x3
36 J k ।3 63 *
Упражнения для самостоятельной работы
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: л
1. у = 3 cos х, у = -cos х, х = - — , х = 0;
ЛЛ
и = 4 COS X, у = sin X, х =, х = —
44
у = Зх2, у = 4х3, у = 0, х = 0, х = 2;
у = -Зх2 + 2х + 5, у = 0;
у = х + 5, у = 4х2;
у = | + 4 , у = Зл/х ;
у = х2 + 1, 2х + Зу = 3;
у = 2V8 - х , х + 2у = 11.
Ответы:
1.4;2. 4-V2;3.8;4.256/27;
729/96; 6. 4;7. 4/81;8. 8/3.
ЭЛЕМЕНТЫ ПЛАНИМЕТРИИ
Произвольный треугольник
а, Ь, с - стороны;
а, р, у - противолежащие им углы;
р - пол у периметр;
R - радиус описанной окружности;
г - радиус вписанной окружности;
8 — площадь;
ho - высота, проведенная к стороне а.
=(12.1)
8 = VpCp^aXp^Xp^c);(12.2)
8 = Resina;(12.3)
8 = р • г;(12.4)
„ abc
s=«;(12.5)
a2 = Ь2 + с2 - 2bc cos а (теорема косинусов); (12.6)
а _ Ь _ с _ оп
~:_ ~ q ~ .~ (теорема синусов). (12.7)
sina smp sin уjу
Следует иметь в виду, что:
центр Oj окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис треугольника;
центр О2 окружности, описанной около треугольника, находится в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника;
медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Прямоугольный треугольник
b — катеты;
с — гипотенуза;
ас, Ьс - проекции катетов на гипотенузу.
S = ^ab;(12.8)
S = ^c-he;(12.9)
2
r = ^(a + b-c);(12.10)
л = |е;(12-n)
(центр описанной окружности находится на середине гипотенузы);
с2 = а2 + Ь2 (теорема Пифагора);(12.12)
^=ас-Ьс;(12.13)
а2 = с • ас;(12.14)
Ь2 = с • Ьс;(12.15)
аb, аb
sma = —; cosa^-; tga = —; ctga = —; (12.16) сcbа
sinP = —; cosP = —; tgP = —; ctgP =. (12.17)
сcab
Отсюда следует, что:
В прямоугольном треугольнике катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего угла:
a = с • sin a = с • cos р .(12.18)
В прямоугольном треугольнике катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежаще-
го определяемому катету угла или на котангенс прилежащего угла:
a = b • tg а = b • ctg р .(12.19)
3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего угла:
sin a cosp
А
a
а^З
8 = ———;(12.21)
4
r= 6 i(12.22)
3 ;(12.23)
R = 2г;(12.24)
,, , аТз
ha-hb-hc- 2 • (12.25)
3. Равносторонний треугольник
ь /
а
S = а • ha;
S = ab sin а;
S = i сЦ • d2 • sin ф.
а и b — смежные стороны,
7 а - угол между ними;
dx и d2 - диагонали.
ф - угол между ними;
йо - высота, проведенная к стороне а;
S - площадь.
(12.26)
(12.27)
(12.28)
4. Параллелограмм
5. Ромб
(12.29)
12.30)
Прямоугольник
S = a • 6;<^1 ~ ^2'S = a • 6;<^1 ~ ^2'(12.31)(12-32)(12.31)(12-32)
S = a • 6;
<^1 ~ ^2'
S = a • 6;
<^1 ~ ^2'
(12.31)
(12-32)
(12.31)
(12-32)
Квадрат(d - диагональ)S = a2;s = -^2.Квадрат(d - диагональ)S = a2;s = -^2.(12.33)(12.34)(12.33)(12.34)ТрапецияТрапеция
Квадрат
(d - диагональ)
S = a2;
s = -^2.
Квадрат
(d - диагональ)
S = a2;
s = -^2.
(12.33)
(12.34)
(12.33)
(12.34)
Трапеция
Трапеция
(a и b - основания, h - высота, I — средняя линия, dx и d2 - диагонали, ф - угол между диагоналями).(a и b - основания, h - высота, I — средняя линия, dx и d2 - диагонали, ф - угол между диагоналями).(12.35)(12.36)(12.37)(12.35)(12.36)(12.37)9. Описанный многоугольник9. Описанный многоугольник
(a и b - основания, h - высота, I — средняя линия, dx и d2 - диагонали, ф - угол между диагоналями).
(a и b - основания, h - высота, I — средняя линия, dx и d2 - диагонали, ф - угол между диагоналями).
(12.35)
(12.36)
(12.37)
(12.35)
(12.36)
(12.37)
9. Описанный многоугольник
9. Описанный многоугольник
(р - полупериметр, г - радиус вписанной окружно-
(12.38)
Правильный многоугольник
(а„ - сторона правильного n-угольника, R - радиус
а3 = R^!а4 = r4^ ;а6 = R-, S = ^n-art-r.а3 = R^!а4 = r4^ ;а6 = R-, S = ^n-art-r.описанной окружности, г - радиус вписанной окружности).
а3 = R^!
а4 = r4^ ;
а6 = R-, S = ^n-art-r.
а3 = R^!
а4 = r4^ ;
а6 = R-, S = ^n-art-r.
(12.39)
(12.40)
(12.41)
(12.42)
11. Окружность, круг
(г - радиус, С - длина окружности, S - площадь
круга).
т/\
С = 2лг;
S = иг2.
(12.43)
(12.44)
12. Сектор
(/ - длина дуги, ограничивающей сектор; S - площадь сектора; п° - градусная мера центрального угла; а - радианная мера центрального угла).
- = га;(12.45)
П° 1 2
— = ^г2-а.(12.46)
Пример 1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 17 см, а высота, опущенная на основание, равна 15 см. Найдите площадь треугольника.
Решение.
из Д ABD по теореме Пифагора (12.12): АВ2 = = AD2 + ВВ2; АВ2 = АВ2 - ВВ2 = 289 - 225 = 64; АВ = 8 (см);
= 8 • 15 = 120 (см2).
Ответ: S^ =120 см2.
Пример 2. Даны стороны треугольника ВС = 13 см, АС = 14 см, АВ = 15 см. Определить площадь треугольника, радиусы вписанной и описанной окружностей, высоту, проведенную из вершины В
Решение.
По формуле Герона (12.2) имеем
8ЛВС = Vp-(P"SC)-(P-AB).(p-AC) ,
где р = |(ВС + АВ + АС) = |(13 + 15 + 14) = 21 (см);
8^ = V21-(21-13). (21-15). (21-14) =
= V21-8-6.7 = V3 • 7 • 2 • 4 • 2 • 3 • 7 =3-7.2-2 = 84 (см2);
по формуле (12.4)
Sabc = рт=^ г = ^^ = Ц = 4 (см);р 21
по формуле (12.5)
г, аЪсabc ВС • АВ • АС
^ARC — =^ R —* — "'"11■—
4В 4S^C 4S^C
- 13 15 14 13-3.5.2.7 65 о1/
=== — = »i (см);
4-844-4-3-788 V "
по формуле (12.1) 125дпГ 2-84 ч „
8две = 2 ^ ‘ ^в ^ ^в = ^ = 14 = 12 (см).
Ответ: S^c = 84 см2; г = 4 см; R = 81см;
О hB = 12 см.
Пример 3. Катеты прямоугольного треугольника относятся, как 3 : 4; высота, опущенная на гипотенузу, равна 12 см. Найти площадь треугольника, проекции катетов на гипотенузу, длину окружности, вписанной в треугольник, и площадь круга, описан-
Решение.
Пусть b = АС = Зх, тогда а = ВС = 4х;
из А АВС по теореме Пифагора
с - АВ = 4АС2 + ВС2 = д/Эх2 + 16х2 = 5х;
используя формулы (12.8) и (12.9), получим ab =
= с • hc, откуда hc= с • hc, откуда hc^; 12 =^; 12 =Зх • 4х
= с • hc, откуда hc
= с • hc, откуда hc
^; 12 =
^; 12 =
=> х = 5, поэтому
5х
а = 4х = 20 (см), Ъ = Зх = 15 (см), с = 5х = 25 (см);
а2 400 д _с 25а2 400 д _с 25Sabc =^a b = 1-2015 = 150 (см2);
а2 400 д _
с 25
а2 400 д _
с 25
из формул (12.14) и (12.15):
Ь2 225
= 16 (см); Ьс = — == 9 (см), или Ьс = с - ас = 25 -
с 25
- 16 = 9 (см), или по формуле (12.13): Ьс - — = ^г =
= 9 (см);
а + Ь-с 20 + 15-25
из формулы (12.10) г - —~~—
= 5 (см);
по формуле (12.43) С = 2лг = 2л-5 = Юл (см);
по формуле (12.11) R = ^с = — • 25 = 12,5 (см);
,6251
по формуле (12.44) SKp= nR=n —— = 156 л =
= 156,25-л (см2).
Ответ: S^c = 150 см2; ас = 16 см; Ъс — 9 см; С = Юл см; 8кр = 156,25-л см2.
Пример 4. Найти площадь треугольника, одна из сторон которого равна а, и углы, прилежащие к этой стороне равны аир.
Решение.
по теореме синусов (12.7):
АВ АС АВ _ АС sin(180° - (а + Р)) sinp’ sin(a + P) sinp AC = j^L^HlB _ a • sin P
sin(a + P) sin(a + P)' Используя формулу (12.3), получим
S^ = 2 ^ " ^ • sin a =
Ответ: S^bo -Ответ: S^bo -a2 sin a sin Р2 • sin(a + р)
Ответ: S^bo -
Ответ: S^bo -
Пример 5. В параллелограмме острый угол равен 60°. Найти площадь параллелограмма, если его периметр равен 22 см, а меньшая диагональ равна 7 см.
abj&abj&Решение.
abj&
abj&
1) По формуле (12.27) S^^ = а - b • sin 60° =
по условию 2(а 4-6) = 22 => а 4- Ъ ^ 11 (см);
пусть а = х, тогда b = 11 - х;
по теореме косинусов (12.6):
BD2 = а2 + b2 - 2ab cos 60°;
BD2 = а2 4- Ъ2 - аЪ; 49 = х2 4- (11 - х)2 - х * (11 - х);
х2 4- 121 - 22х 4- х2 - Их 4- х2 — 49; 3х2 - ЗЗх 4- 72 = 0; х2 - Их 4- 24 = 0; хг = 8; х2 = 3. Следовательно, ах = 8 см, а2 = 3 см, Ьх = 3 см, 62 = 8 см;
5) Здзсо5) Здзсосм2.см2.
5) Здзсо
5) Здзсо
см2.
см2.
Ответ: S^^ = 12-Уз см2.
Пример 6. В прямоугольном треугольнике катет равен Ь, прилежащий к нему угол равен а. Найти периметр треугольника и медиану, проведенную к гипотенузе.
Решение.
Из формул (12.19) и (12.20) имеем: ВС = b • tg а.
b
cos а
sincecos ос cos ссsincecos ос cos сспериметр А АВС: Р^с b и ч J
since
cos ос cos сс
since
cos ос cos сс
cos аb • (1 + cos а + sin а)cos аcos аb • (1 + cos а + sin а)cos а= + Ъ + b tg а = Ь —
cos а
b • (1 + cos а + sin а)cos а
cos а
b • (1 + cos а + sin а)cos а
так как Е - центр описанной около А АВС окружности, то (см. формулу (12.11))
EC = R = ^АВ = -- .
22 cos ос
Лb-(l + cosa + sina) b
Ответ.,•
cos a2 cos сс
Пример 7. Определить площадь ромба по его острому углу а и меньшей диагонали d.
Решение.
По формуле (12.29) S^^ = ^ BD - АС = BD • АО = = d • АО;
диагональ АС делит ABAD пополам, следователь
но, ZOAD = — ;
из треугольника AOD, в силу (12.19), АО = OD ctg^ = idctg^ .
sabcd= ld2ctg^.
вет: S^^ — ~d2 ctg ^ .
Пример 8. Определить угол при основании равнобедренного треугольника по его высоте h и радиусу вписанного круга г.
Решение.
Пусть ZA = ZC = а, тогда ZBOM = 90° - ZOBM =
1 ЯП0 _ 9а
= 90°- ——— =90°-90° 4- а = а;
2
2) из \В0М, где ZM = 90°, ZO = а,
Ответ: arccos.
Н-г
Пример 9. Найти площадь правильного шестиугольника, если длина описанной около него окружности
равна 18л см. Решение.
По формуле (12.43) 18л = 2лД => R = 9 (см).
AF = FB = ±AB = ±R в силу формулы (12.41), поэтому FB = 4,5 (см).
Из A OFB, где ZF = 90°, по теореме Пифагора
r=FO = JbO^FB* = ^81--^ = ^- (см).
По формуле (12.42) при п = 6 имеем
Sabcdek = 3 • АВ • г = 3 • 9 • — = 121,бТз.
Ответ: 121,5>/з см2.
Пример 10. Площадь сектора с центральным углом 72° равна 125л см2. Найти длину дуги сектора.
Решение.
лт*2 * 72°лг2
По формуле (12.46): S = —^^— ; 125л = —— ;
г2 = 625; г= 25 (см).
По формуле (12.45):
, лг-72° л-25-2 z .
I === Юл (см).
180°5
Ответ: Юл см.
Упражнения для самостоятельной работы
Найти радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 см и 12 см.
Найти площадь прямоугольного треугольника, вписанного в круг, площадь которого 100л см2, если высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 9,6 см.
В круг, радиус которого 5 см, вписан равнобедренный треугольник с основанием 6 см. Найти площадь треугольника.
Основания трапеции равны 35 и 24 см, боковые стороны - 30 и 25 см. Найти площадь трапеции.
Площадь параллелограмма равна 36 см2, а расстояния сторон до точки пересечения диагоналей равны 3 и 4 см. Найти стороны параллелограмма.
Около круга радиуса г описан ромб с углом в 150°. Определить площадь этого ромба.
Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 2 см и 8 см. Найти площадь треугольника.
Найти ZA в треугольнике АВС, если ВС = 7 см, АС = 8 см, АВ = 5 см.
Диагональ параллелограмма равна d и делит его угол на два угла, равные 45° и 60°. Определить стороны параллелограмма. Указание: учесть, что sin 75° = sin (30° + 45°).
Определить площадь параллелограмма, если известны его острый угол а и диагонали dT и d2, причем dt> d2.
В прямоугольной трапеции большее основание равно а, острый угол равен а, меньшая диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найти высоту и меньшее основание трапеции.
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 2В, а радиус вписанной окружности равен г. Найти радиус описанной окружности и площадь треугольника.
Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите площадь этого треугольника и площадь квадрата, вписанного в эту же окружность.
Площадь правильного треугольника равна 10 см2. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.
Найдите площадь правильного шестиугольника АДДзА^Д.^, если АД4 = 8 см.
В окружность радиуса R вписан правильный треугольник, в который вписан круг, а в этот круг вписан квадрат. Найти периметр'квадрата.
Из круга, радиус которого 12 см, вырезан сектор с дугой в 60°. Вычислить площадь оставшейся части круга.
По данной хорде b найти длину дуги, если цент-
2 ральный угол равен .
Диагональ ромба равна 45 • ^^см, косинус про-
тиволежащего ей угла равен ( - у).Найти сторону ромба.
Ответы:
2 см;2. 96 см2;3. 27 см2;
708 см2;5. 6 см, 4,5 см; 6. 8г3;
20 см2; 8. 60°;
с?(7з -1), d^^-1^;
^ (^i - ^a)• t^a; 11- ^Q -sin 2a, a • sin2 a; rctg(45°-f)n
Я =. oo 2 , S = r2 • ctgW - Й ■ ctgP;
sin2p2
эТз cm2, 24 cm2;
r = J^~- cm, R = 2 • cm;
24л/3см2;16. 2RV2 ;
120я см2;18. Ь л-^;
52,5 см.
Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.Р - периметр основания;S6oK - площадь боковой поверхности;h — апофема;Р - периметр основания;S6oK - площадь боковой поверхности;h — апофема;
Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.
Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.
Р - периметр основания;
S6oK - площадь боковой поверхности;
h — апофема;
Р - периметр основания;
S6oK - площадь боковой поверхности;
h — апофема;
13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Основные пространственные фигурыи соотношения
1. Пирамида
Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань - произвольный многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной.
- объем пирамиды;
S - площадь основания;
Н - высота;
= ^SH
3
Если все боковые ребра пирамиды равны, то:
боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;
вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности.
Если все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, то:
равны апофемы всех боковых граней;
вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание.
Если высота треугольной пирамиды проектируется в точку пересечения высот основания, то. противоположные ребра пирамиды взаимно перпендикулярны.
Тетраэдр - это пирамида, все грани которой равносторонние треугольники.
Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Правильная усеченная пирамидаПравильная усеченная пирамидаV - объем пирамиды;
Правильная усеченная пирамида
Правильная усеченная пирамида
8Х и 82 - площади оснований;
Н - высота;
r = -|H.(s1+s2+7^s^)
Рг и Р2 ~ периметры оснований;
8бок - площадь боковой поверхности;
h - апофема;
86ок=|МЛ+Р2).
Призма
Призмой называется многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях (оснований) и параллелограммов (боковых граней), число которых равно числу сторон основания.
V - объем призмы;
8 - площадь основания;
Н - высота;
V= 8- Н.
Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.
Прямая призма называется правильной, если в ее основа
ниях лежат правильные многоугольники.
Р - периметр основания;
8бок - площадь боковой поверхности;
8^ = Р-Н.
Если основания прямой призмы - прямоугольники, то она называется прямоугольным параллелепипедом.
а, Ъ, с, - длины ребер;
d - диагональ;
V = а • Ъ • с;с?2 = а2 + Ь2 + с2.
Куб - это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.
а = Ъ = с; V = a3; d = а V3 .
Цилиндр
Поверхность, образованная поступательным движением прямой (образующей) вдоль некоторой кривой, называется цилиндрической.
Фигура, ограниченная замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя пересекающими ее параллельными плоскостями, называется цилиндром. "
Если секущие плоскости перпендикулярны образующим, то цилиндр называется прямым.
У прямого кругового цилиндра основания — круги.
Н - высота цилиндра;R - радиус основания;^бок 2uRH;
V-uR^-H.
Конус
Поверхность, образованная движением луча, закрепленного в точке S, вдоль некоторой кривой, называется конической.
Если основание конуса - круг, а вершина его проектируется в центр этого круга, то конус называется круговым.Если основание конуса - круг, а вершина его проектируется в центр этого круга, то конус называется круговым.5. Сфера5. СфераФигура, ограниченная замкнутой конической поверхностью и секущей плоскостью, называется конусом.
Если основание конуса - круг, а вершина его проектируется в центр этого круга, то конус называется круговым.
Если основание конуса - круг, а вершина его проектируется в центр этого круга, то конус называется круговым.
5. Сфера
5. Сфера
Геометрическое место точек, равноудаленных от заданной, называется сферой.
Фигура, ограниченная сферой, называется шаром»
S - 4лД2;
У = —
3
Шаровой сегмент - это фигура, заключенная между сферической поверхностью и секущей плоскостью.
h - высота сегмента;
R - радиус шара;
Sc - площадь сферической поверхности сегмента;
V - объем;
Se = 2лД • h;
V = кП\К - ^ h).
Шаровой сектор - это часть шара, ограниченная .конической поверхностью с вершиной в центре шара
и поверхностью шара.
Пример 1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, высота пирамиды - Н. Найти объем пирамиды.
Решение.
Ответ: V =Ответ: V =
Ответ: V =
Ответ: V =
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле S0CH = |а27з . Поэтому
а2яУз
12
Пример 2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом а. Найти объем пирамиды и площадь полной поверхности.
Решение.
Для нахождения объема и полной поверхности пирамиды воспользуемся формулами:
^ = |SochH^1O2H;
О _ О I о = °полн °бок ~ ^осн = 4-^а • h + а2.
Так как основание пирамиды - квадрат, то SOCH = a2; h - апофема пирамиды.
Рассмотрим A SOC:
АС - aj2 ; ОС = — а^ ;
Н = SO = ОС • tg аН = SO = ОС • tg а• tg а. Таким образом, по• tg а. Таким образом, по2
Н = SO = ОС • tg а
Н = SO = ОС • tg а
• tg а. Таким образом, по
• tg а. Таким образом, по
лучим V = — а2 • ~ aV2 tg а = —tg а . Для нахож- 326
дения боковой поверхности необходимо найти апофе
му h. Рассмотрим A SOE: SO = Н, ОЕ = — а .
2
По теореме Пифагора h = SE = -^ОЕ2 + SO2 =
= J— а2 + — а2 • tg2 а = ^ а^1 + 2 tg 2 а ,
V 442
S = 4 • i a ™ aJl + 2tg2 а + a2 =
^полн 22 V
= a2 ^1 + д/1 + 2tg2 a .
Ответ:• tg а;
5Полн = а2 ^ + VlT^tg^a^.
Пример 3. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат с диагональю d. Боковые ребра пирамиды также равны d. Найти объем и боковую поверхность пирамиды.
55
5
5
Решение.
Из соотношения d = а^ най- d дем сторону основания а = —
V2 Высоту пирамиды найдем из A SOC по теореме Пифагора:
2 -Id2
4
dVs
2
К45-ЯЧ
d2 dVs
22
Для нахождения боковой поверхности сначала най
дем апофему из
A SOK: h = SK = Vh2 + OK2 = d^ 2^2 '
Теперь имеем S6oK =-. 4S&BSC =
1 d d^
2 V2 2V2
d2^
2
Ответ: V =
бок
d2V?
2
Пример 4. Каждое из боковых ребер пирамиды равно 12 см. Основание пирамиды - треугольник со сторонами 7 см, 8 см, 13 см. Найти объем пирамиды.
Решение.
Так как боковые ребра равны, вершина проектируется в центр описанной окружности.
1. Найдем площадь основания по формуле Герона
8 = ^р (р-аИр-ЬИр - с) , где р = I (а + b + с) .
5
Решение.Решение.ОЕ = г =ОЕ = г =^бок^бок= зАа.н =2= зАа.н =23/гг21 2— a^iti т ~“ CL2 V 123/гг21 2— a^iti т ~“ CL2 V 12— S . Но факти— S . Но факти
Решение.
Решение.
ОЕ = г =
ОЕ = г =
^бок
^бок
= зАа.н =
2
= зАа.н =
2
3/гг21 2
— a^iti т ~“ CL
2 V 12
3/гг21 2
— a^iti т ~“ CL
2 V 12
— S . Но факти
— S . Но факти
Имеем р = 1 (7 + 8 + 13) = 14 (см);
8 = V147-61 = 24,25 (см2).
Определим теперь радиус окружности, описан- а • b • с 7•8■13
нои около основания: R ==-<Ф (см).
4897
Высоту найдем по теореме Пифагора из A SOC: Н = VSC2 -R2 = 9,37 (см).
И = 1 8 • Я = 75,7 см3.
Ответ: 75,7 см3.
Пример 5. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, боковая поверхность - 8. Найти объем пирамиды.
Предположим, что известна высота пирамиды Я и вычислим 86ок. Так как пирамида правильная, то ОЕ - радиус вписанной окружности.
Из A DOE =>h = ^н2 + г2 =
чески, по условию, в последнем соотношении извест-ны 8 и а, а Я - неизвестна. Найдем Я из уравнения
,1_212,1_2122S я2+^ = ^-. я2-452
,1_2
12
,1_2
12
За ’129а2 ’9а212 ’
I4S2 а2
” V9^"" 12 '
Теперь можно вычислить объем пирамиды:
1Q „1 а27з 4S2
Q ^OCH *- *"* -J~
q осн * ^ — o~J —334V 9а2q осн * ^ — o~J —334V 9а21212^-•V16S2 -За4 .
q осн * ^ — o~J —
334V 9а2
q осн * ^ — o~J —
334V 9а2
12
12
Ответ: V = —— • V16S2 - За4 .
7272Пример 6. Найти отношение боковой поверхности треугольной пирамиды к площади основания, если ее боковые ребра взаимно перпендикулярны и равны. Решение.
72
72
По условию плоский угол£
при вершине боковой грани равен 90°. Пусть сторона ос-//ц 'Х.
нования равна а, тогдаX\ „
с _ a2V3./
_• Найдем апофе- А\ /
му h из A ASD. Так как ZASD
За2 S,
Ответ: ^/з .
Пример 7. Радиус окружности, вписанной в грань тетраэдра, равен г. Найти его объем.
Решение.
Пусть все ребра тетраэдра равны а. Площадь осно-
_ а2„ а^З
вания S0CH =. ОС = R = .
43
Из A DOC => Н = а2 -^а2 = аД ;
V 3 V3
3 S°CH 34 V3 12 '
Выразим теперь а через г. Имеем г = =>
6
а = 2rV3 • Подставляя найденное значение а в выраже-
Л8г3 • ЗТЗ • V2 _ з
ние для объема, получим V == 2г у о .
Ответ: V = 2г34б .
Пример 8. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно I и составляет угол 30° с высотой пирамиды. Определить объем пирамиды.
Решение.
Найдем прежде всего OD - радиус окружности, описанной около основания, и высоту пирамиды Н = OS.
Н = I • cos 30° =Н = I • cos 30° =Имеем OD = I • sin 30° = ^1;
Н = I • cos 30° =
Н = I • cos 30° =
За2Уз2За2Уз2
За2Уз
2
За2Уз
2
Заметим, что 8ОСН = 68д OCD. Треугольник OCD равносторонний, так как Z.DOC = 360°/6 = 60°;
ZOCD = ZODC = 60°; SOCH = 6 •
Так как а = OD = 1/, то 80СНТак как а = OD = 1/, то 80СН3/\/з83/\/з8и, следоваи, следовательно, V = |sCCH нтельно, V = |sCCH н1. з/^Уз /Уз з' 8 ' 21. з/^Уз /Уз з' 8 ' 2З/316 *З/316 *Ответ: V = — Z3 .16Ответ: V = — Z3 .16Пример 9. Многоугольник с суммой внутренних углов 720° и стороной а является основанием правильной пирамиды. Определить ее объем, если известно, что боковая поверхность пирамиды вдвое больше площади основания.Решение.Так как сумма внутренних углов равна 720°, то многоПример 9. Многоугольник с суммой внутренних углов 720° и стороной а является основанием правильной пирамиды. Определить ее объем, если известно, что боковая поверхность пирамиды вдвое больше площади основания.Решение.Так как сумма внутренних углов равна 720°, то многоугольник является правильным шестиугольником: ОС = CD = OD = а.Предположим, что высота пирамиды равна Н. Проведем OK ± CD, SK - апофема. Из равностороннего треугольника DOC:угольник является правильным шестиугольником: ОС = CD = OD = а.Предположим, что высота пирамиды равна Н. Проведем OK ± CD, SK - апофема. Из равностороннего треугольника DOC:ОК =; h = 4Ьк2 + Н22ОК =; h = 4Ьк2 + Н22J—a2 + И2 •V 4’J—a2 + И2 •V 4’«осн — ^«А OCD 6«осн — ^«А OCD 6За2 Уз2’За2 Уз2’
Так как а = OD = 1/, то 80СН
Так как а = OD = 1/, то 80СН
3/\/з8
3/\/з8
и, следова
и, следова
тельно, V = |sCCH н
тельно, V = |sCCH н
1. з/^Уз /Уз з' 8 ' 2
1. з/^Уз /Уз з' 8 ' 2
З/3
16 *
З/3
16 *
Ответ: V = — Z3 .
16
Ответ: V = — Z3 .
16
Пример 9. Многоугольник с суммой внутренних углов 720° и стороной а является основанием правильной пирамиды. Определить ее объем, если известно, что боковая поверхность пирамиды вдвое больше площади основания.
Решение.
Так как сумма внутренних углов равна 720°, то много
Пример 9. Многоугольник с суммой внутренних углов 720° и стороной а является основанием правильной пирамиды. Определить ее объем, если известно, что боковая поверхность пирамиды вдвое больше площади основания.
Решение.
Так как сумма внутренних углов равна 720°, то много
угольник является правильным шестиугольником: ОС = CD = OD = а.
Предположим, что высота пирамиды равна Н. Проведем OK ± CD, SK - апофема. Из равностороннего треугольника DOC:
угольник является правильным шестиугольником: ОС = CD = OD = а.
Предположим, что высота пирамиды равна Н. Проведем OK ± CD, SK - апофема. Из равностороннего треугольника DOC:
ОК =; h = 4Ьк2 + Н2
2
ОК =; h = 4Ьк2 + Н2
2
J—a2 + И2 •
V 4’
J—a2 + И2 •
V 4’
«осн — ^«А OCD 6
«осн — ^«А OCD 6
За2 Уз
2’
За2 Уз
2’
«бок =б | -a-h^Sa^TH2 .
По условию «бок = 28^, т. е.
За I— а2 + Н2 = За2Уз , отсюда += За2;
Н2 = ^а2 ; Н = ^а. 42
Определим объем пирамиды
У =18^-Я = 13зУ =18^-Я = 13зЗа2Уз За _ За3 Уз22 "4За2Уз За _ За3 Уз22 "4Ответ: V = ^-а?4з.4Ответ: V = ^-а?4з.4Пример 10. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, высота, опущенная из вершины основания на противоположную ей боковую грань, равна Ь. Най- д ти объем пирамиды.Решение.Пример 10. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, высота, опущенная из вершины основания на противоположную ей боковую грань, равна Ь. Най- д ти объем пирамиды.Решение.ssSD - апофема пирамиды; АК— высота A SAD; АК = Ъ; АК X SD.SD - апофема пирамиды; АК— высота A SAD; АК = Ъ; АК X SD.AD = Ja2 - v °2 = "ЧТ ° (из д ABD). V 42AD = Ja2 - v °2 = "ЧТ ° (из д ABD). V 42Рассмотрим A AKD: sin а =Рассмотрим A AKD: sin а =cos а = V1 — sin2 аcos а = V1 — sin2 аУза2 -46 2а УзУза2 -46 2а Уз
У =18^-Я = 1
3з
У =18^-Я = 1
3з
За2Уз За _ За3 Уз
22 "4
За2Уз За _ За3 Уз
22 "4
Ответ: V = ^-а?4з.
4
Ответ: V = ^-а?4з.
4
Пример 10. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, высота, опущенная из вершины основания на противоположную ей боковую грань, равна Ь. Най- д ти объем пирамиды.
Решение.
Пример 10. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, высота, опущенная из вершины основания на противоположную ей боковую грань, равна Ь. Най- д ти объем пирамиды.
Решение.
s
s
SD - апофема пирамиды; АК— высота A SAD; АК = Ъ; АК X SD.
SD - апофема пирамиды; АК— высота A SAD; АК = Ъ; АК X SD.
AD = Ja2 - v °2 = "ЧТ ° (из д ABD). V 42
AD = Ja2 - v °2 = "ЧТ ° (из д ABD). V 42
Рассмотрим A AKD: sin а =
Рассмотрим A AKD: sin а =
cos а = V1 — sin2 а
cos а = V1 — sin2 а
Уза2 -46 2а Уз
Уза2 -46 2а Уз
1
OD = -AD = —— . 36
Я = OD • tg а = OD •=
cos ааУз 26 аУзab-js
6 аУз Уза2 - 462 зУза2 - 46^
11 а2Уз абУз =
V= ^s0CH-H=3^3fl2 _4Ь?
_а36
12УЗа2 - 462
а36
Ответ: V = = •
12Уза2 - 462
Пример 11. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Боковые грани пирамиды, проходящие через катеты, составляют с плоскостью основания двугранные углы 60° и 30°. Боковые ребра пирамиды равны. Высота пирамиды равна Н. Вычислить ее объем.
Решение.
Так как боковые ребра пирамиды равны, ее вершина проектируется в центр описанной окружности, который, как известно, у прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы (точка О). Соединим точку О с вершиной В. Так как О - центр описанной окружности, ОА = ОВ = ОС и, значит, А АОВ и А ВОС - равнобедренные.
Проведем ОК 1 АВ и OLLBC-, KOLB - прямоугольник. По условию ZSKO = 60° = a, ASLO = 30° = 0.
Н
КО = Н • ctg а = Н • ctg 60° =;
V3
LO = Н • ctg p = Я • ctg 30° = Я 7з ;
ВС = 2 BL = 2 КО = ^L; АВ = 2 КВ = 2 LO = 2Я>/з ;
V3
S0CH = ^-АВВС = --2Н^-^ = 2Н2;
осн 2273
V = ^-S0CH • Н = ~ ■ 2Н2 • Н = оо
Ответ: V = Я3 .
3
Пример 12. Из основания высоты правильной треугольной пирамиды восстановлен на боковую грань перпендикуляр, равный Ь. Найти объем
пирамиды, если угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен а.
Решение.
Проведем апофему пирамиды SK = h, соединим точки О и К. Проведем OD J- SK; OD = b (по условию). Пусть сторона основания пирамиды равна а, тогда
АО = В = —— . Н = SO = R • tg а - высота пирамиды;
ОК — т =. Обозначим KDKO = ф;
6
т.QTT / 2 тт2 =ОС + 1 •
гт аУз , 2-Уз _
sin ф = — “ ~^ а /2 ~ ~ ”
h 3 ал]4 tg2 а +1
_2 tg а
^4 tg2 а + 1b
Из Д ODK: ~ = sin ф; b = г sin ф;
_ аУз 2tga _а Уз tg а
6 V4tg2а +13^4tg2а + 1
Найдем теперь сторону основания пирамиды
а = ьУз • ^4 tg2 а + 1 • ctg а .
И = - S0CH Н = 2У1-. У1 tg а -=
3 осн 34312
_ Ь3зУз (4 tg2 а + 1)5/2 • ctg3 а • tg а =
12
_ Ь3 Уз (4 tg2 а +1)3/2 • ctg2 а
4
_Ь3 Уз (4 tg2 а +1)3/2 • ctg2 а
Ответ: V ——.
Итак, V = - • Я3Итак, V = - • Я3&2Уз а^ГГ 4 + 47&2Уз а^ГГ 4 + 47
Итак, V = - • Я
3
Итак, V = - • Я
3
&2Уз а^ГГ 4 + 4
7
&2Уз а^ГГ 4 + 4
7
Пример 13. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны а и Ь, высота ее равна Н. Найти объем пирамиды.
Решение.
Воспользуемся формулой
+ S2 + Д -S2).
О
Так как в основаниях пирамиды лежат равносто
ронние треугольники, вычислим их площади:
_ 2 /о"т 2 /о"
U д/о ~ и д/о
4 ; 24 '
= ^^ (д2 + Ь2 + ^6) .
TZ Н^Ответ: V =TZ Н^Ответ: V =(а2 + b2 + ab).(а2 + b2 + ab).1212Пример 14. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы, равная Z, составляет угол Р с плоскостью другой боковой грани. Найти объем призмы.Решение.АгВ и АгС - диагонали боковых граней. Из А АгВС найдемПример 14. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы, равная Z, составляет угол Р с плоскостью другой боковой грани. Найти объем призмы.Решение.АгВ и АгС - диагонали боковых граней. Из А АгВС найдемсторону основания ВС (по теореме косинусов):сторону основания ВС (по теореме косинусов):
TZ Н^
Ответ: V =
TZ Н^
Ответ: V =
(а2 + b2 + ab).
(а2 + b2 + ab).
12
12
Пример 14. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы, равная Z, составляет угол Р с плоскостью другой боковой грани. Найти объем призмы.
Решение.
АгВ и АгС - диагонали боковых граней. Из А АгВС найдем
Пример 14. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы, равная Z, составляет угол Р с плоскостью другой боковой грани. Найти объем призмы.
Решение.
АгВ и АгС - диагонали боковых граней. Из А АгВС найдем
сторону основания ВС (по теореме косинусов):
сторону основания ВС (по теореме косинусов):
а = ВС = з]212 - 212 cosp = lj2^jl - cosp . Из А АХАВ найдем
Н - ^l^a2 = /д/2 со8р-1 .
2Z2(l-cosP)V32Z2(l-cosP)V344• Z^/2 cosP - 1 =• Z^/2 cosP - 1 =Z3/—= — (1 - cosP)V3(2cosP -1) .2Z3/—= — (1 - cosP)V3(2cosP -1) .2Z3iОтвет: V = — (1 — cos P) J3 (2 cos p - 1) .Z3iОтвет: V = — (1 — cos P) J3 (2 cos p - 1) .Пример 15. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость под углом а к основанию. Площадь сечения призмы этой плоскостью равна S. Найти объем отсеченной пирамиды.Пример 15. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость под углом а к основанию. Площадь сечения призмы этой плоскостью равна S. Найти объем отсеченной пирамиды.Решение.Так как А АВС является проекцией А АВС^ то SAnc = S * cos а- Найдем сторону основания; А АВС -2CL No правильный. Пусть АВ = а, тогда оАВС = —-— =Решение.Так как А АВС является проекцией А АВС^ то SAnc = S * cos а- Найдем сторону основания; А АВС -2CL No правильный. Пусть АВ = а, тогда оАВС = —-— == S • cos а. Отсюда а = 2= S • cos а. Отсюда а = 2S cos аS cos аНайдем DC =Найдем DC =
2Z2(l-cosP)V3
2Z2(l-cosP)V3
4
4
• Z^/2 cosP - 1 =
• Z^/2 cosP - 1 =
Z3/—
= — (1 - cosP)V3(2cosP -1) .
2
Z3/—
= — (1 - cosP)V3(2cosP -1) .
2
Z3i
Ответ: V = — (1 — cos P) J3 (2 cos p - 1) .
Z3i
Ответ: V = — (1 — cos P) J3 (2 cos p - 1) .
Пример 15. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость под углом а к основанию. Площадь сечения призмы этой плоскостью равна S. Найти объем отсеченной пирамиды.
Пример 15. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость под углом а к основанию. Площадь сечения призмы этой плоскостью равна S. Найти объем отсеченной пирамиды.
Решение.
Так как А АВС является проекцией А АВС^ то SAnc = S * cos а- Найдем сторону основания; А АВС -
2
CL No правильный. Пусть АВ = а, тогда оАВС = —-— =
Решение.
Так как А АВС является проекцией А АВС^ то SAnc = S * cos а- Найдем сторону основания; А АВС -
2
CL No правильный. Пусть АВ = а, тогда оАВС = —-— =
= S • cos а. Отсюда а = 2
= S • cos а. Отсюда а = 2
S cos а
S cos а
Найдем DC =
Найдем DC =
cos а •
Из A DCCX Н-ССУ = DC-tga =
= VVs-s= VVs-scos а • tg а .cos а • tg а .
= VVs-s
= VVs-s
cos а • tg а .
cos а • tg а .
Ответ: V =Ответ: V =7(S cos a)37(S cos a)3
Ответ: V =
Ответ: V =
7(S cos a)3
7(S cos a)3
vabcCi = ^8^ H = ~-(Scosa)3/2 • Vs -tga.
tga.
= (ab)= (ab)Ответ: V =Ответ: V =(ab)(ab)d2 = (2a)2 + a2 = 5a2, ad2 = (2a)2 + a2 = 5a2, aПример 17. Определить объем правильной шестиугольной призмы, у которой наибольшая диагональ равна d, а боковые грани - квадраты. Решение.Пусть сторона основания равна а, тогда AD = 2a, Н = а (по условию). Из\ADAX по теореме Пифагора:d-7= . Основание призмы - праПример 17. Определить объем правильной шестиугольной призмы, у которой наибольшая диагональ равна d, а боковые грани - квадраты. Решение.Пусть сторона основания равна а, тогда AD = 2a, Н = а (по условию). Из\ADAX по теореме Пифагора:d-7= . Основание призмы - правильный шестиугольник, состоит из шести правильных треугольников.248вильный шестиугольник, состоит из шести правильных треугольников.248
= (ab)
= (ab)
Ответ: V =
Ответ: V =
(ab)
(ab)
d2 = (2a)2 + a2 = 5a2, a
d2 = (2a)2 + a2 = 5a2, a
Пример 17. Определить объем правильной шестиугольной призмы, у которой наибольшая диагональ равна d, а боковые грани - квадраты. Решение.
Пусть сторона основания равна а, тогда AD = 2a, Н = а (по условию). Из\ADAX по теореме Пифагора:
d
-7= . Основание призмы - пра
Пример 17. Определить объем правильной шестиугольной призмы, у которой наибольшая диагональ равна d, а боковые грани - квадраты. Решение.
Пусть сторона основания равна а, тогда AD = 2a, Н = а (по условию). Из\ADAX по теореме Пифагора:
d
-7= . Основание призмы - пра
вильный шестиугольник, состоит из шести правильных треугольников.
248
вильный шестиугольник, состоит из шести правильных треугольников.
248
Пример 16. Основание прямой призмы - параллелограмм со сторонами а, b и острым углом 60° между ними. Меньшая диагональ призмы равна большей диагонали основания. Найти объем призмы.
Решение.
Найдем диагонали основания. Из A ABD по теореме косинусов:
BD2 = а2 + b2 - 2ab cos 60° = а2 + Ь2 - ab; из А АВС: АС2 = а2 + b2 — 2ab cos 120° = а2 + Ъ2 + ab. Рассмот
рим треугольник DBL\ - прямоугольный, BDX = АС.
Имеем Н = DDV = ^BD2 - BD2 = ^АС2 - BD2 =
= V(°2 -vb2 -V ab) - (a2 + b2 - ab) = ^2ab 5
/о
V = Sabcd 1 H = ab • sin 60° • H = ab ■• J2ab =
S0CH =6"S0CH =6"а2Уз =3V3410а2Уз =3V3410d2;d2;
S0CH =6"
S0CH =6"
а2Уз =3V3
410
а2Уз =3V3
410
d2;
d2;
зТз ,2 d3V15 ,3
7=S ■H=-T7rd-^-
10 Vs50
sVlli Ответ: V = ——-- d .
50
Пример 18. Боковые ребра треугольной призмы наклонены к плоскости основания под углом 60° и равны 12 см. Стороны основания равны соответственно б, 8 и 10 см. Найти объем призмы.
CiCi
Ci
Ci
Решение.
Vs г
Н = I sin 60° =12= 6V3 (см) (из прямоугольно
го A A/Mj). Площадь основания найдем по формуле Герона: р = ^(а + 5 + с) = 12 (см);
S = ^р (Р -аНР- &) (Р "" с) ~ V12 ■ 6 • 4 • 2 = 24 (см2);
7 = 24 • 6V3 = 144>/з (см3).
Ответ: 144л/з см3.
Пример 19. Основания и две боковые грани призмы — квадраты со стороной а. Две другие боковые грани - четырехугольники, у которых одна из диагоналей также равна а. Вычислить объем призмы.
Решение.
Боковые грани АВВХАХ и DCCXDX — квадраты, очевидно, AAXDXD и ВВуСхС - ромбы. ВХС = а А ВВХС - равносторонний,
ВХЕ - высота А ВВХС, а также высота ромба ВВХСХС и высота призмы.
h = a sin 60° =h = a sin 60° =2 ’2 ’
h = a sin 60° =
h = a sin 60° =
2 ’
2 ’
Ответ: V =Ответ: V =Решение.Решение.
Ответ: V =
Ответ: V =
Решение.
Решение.
Пример 20. Боковая поверхность цилиндра, высота которого равна диаметру основания, равна S. Найти объем этого цит линдра.
Пусть радиус основания цилиндра равен /?, тогда его высота - 2R.
Боковая поверхность S — 2nR • Н = 2лЛ • 2R — 41Ш2
отсюда R =
Вычислим теперь объем: V = лЯ2 • Н — 2лР3 = 2kSVs S3/2
S3/2 Ответ: у = —— .
Пример 21. В цилиндре площадь сечения, перпендикулярного образующей, равна Р. Площадь осевого сечения равна Q. Определить полную поверхность и объем цилиндра.
Решение.
Введем в рассмотрение неизвестные: радиус основания цилиндра R и высоту Н.
отсюда Н —отсюда Н —. Вычислим:. Вычислим:осносни 24р 'бок = 2Р + МИ =и 24р 'бок = 2Р + МИ =Площадь основания Р = нН2» отсюда R =Площадь основания Р = нН2» отсюда R =Площадь осевого сечения Q - ^R * Н -
отсюда Н —
отсюда Н —
. Вычислим:
. Вычислим:
осн
осн
и 24р 'бок = 2Р + МИ =
и 24р 'бок = 2Р + МИ =
Площадь основания Р = нН2» отсюда R =
Площадь основания Р = нН2» отсюда R =
= 24
= 2Р + 2л ■= 2Р + 2л ■= 2Р + uQ.= 2Р + uQ.ПОЛИ "*^осн
= 2Р + 2л ■
= 2Р + 2л ■
= 2Р + uQ.
= 2Р + uQ.
полн = 2Р + uQ.
Пример 22. Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой пРямоУгольник, в котором диагональ равна а и составляет угол а с основанием. Найти объем цилиндРа-
Решение.
Так как ЛА/А1/А1 - развертка боковой поверхности цилиндра, то ААг - высота цилиндра, АА'- длина окружности основания. АА/= a cos а = 2кН, отсюда
_ a cos ос
К = —; да = ДА/ = а sm а = Н.
2л
"Находим объем цилиндра
„CoS2 ОСО? 2
= лД2Н = лоa sin а = —cos а-sin а
цил4Е24л
Ответ: V = — cos2 сс * sin ос.
4л
Пример 23. Образующая конуса равна I и составляет с высотой угол а. Вычислить объем и полную поверхность конуса. решение.
Из ASOB - прямоугольного, OB = R= I sin а;
SO = Н = I cos а.
Вычислим объем конуса
V = i иН2Н = - л • Z2 sin2 а•Z cos а =
33
- i л • Z3 sin2 acosa .
о
Полная поверхность равна
5полн = uR2 ^иВ-1 = ^2 sin ос(1 + sin a).
Ответ: V = -^ л • Z3 sin2 a cos а;
О
5полн = "^ sin “С1 + sin “)•
Пример 24. Вычислить объем конуса, если известны его боковая поверхность S и "расстояние от центра основания до образующей d.
Решение.
щей и плоскостью основания а, тогда Soch = S6ok • COS а = S cos а;щей и плоскостью основания а, тогда Soch = S6ok • COS а = S cos а;Предположим, что известен угол между образую
щей и плоскостью основания а, тогда Soch = S6ok • COS а = S cos а;
щей и плоскостью основания а, тогда Soch = S6ok • COS а = S cos а;
„— 2 Seos а
uR2 = S cos oc; -R
Из M)OB R = ——. sin а
Из ASOB Н = SO = R • tga =.
cos a
Вычислим объем конуса
33 л cos a 3
Ответ: И = — dS .
3
Пример 25. Радиус основания конуса равен R, а угол при вершине в развертке его боковой поверхности равен 90°. Определить объем конуса.
Решение.
Пусть длина образующей конуса равна I. Его развер
тка - SAA' - круговой сектор.тка - SAA' - круговой сектор.u , 2nZ nl _
тка - SAA' - круговой сектор.
тка - SAA' - круговой сектор.
^ = V = Т • с дру"
гой стороны, АА - длина окружности, лежащей в ос
новании:новании:= 2kR ; I = 4R. SO - высота конуса, ОВ =
новании:
новании:
= R - радиус основания. Из ASOB (прямоугольного):
Я2 = I2 - R2 = 15Д2; н = дЛб.
оОNO
Ответ: V = kRОтвет: V = kR
Ответ: V = kR
Ответ: V = kR
Пример 26. Высота конуса равна диаметру его основания. Найти отношение площади его основания к боковой поверхности.Решение.Пусть радиус основания равен R, тогда, по условию, высота равна 2R.S0CH = kR2; S6ok = uR • LПример 26. Высота конуса равна диаметру его основания. Найти отношение площади его основания к боковой поверхности.Решение.Пусть радиус основания равен R, тогда, по условию, высота равна 2R.S0CH = kR2; S6ok = uR • L
Пример 26. Высота конуса равна диаметру его основания. Найти отношение площади его основания к боковой поверхности.
Решение.
Пусть радиус основания равен R, тогда, по условию, высота равна 2R.
S0CH = kR2; S6ok = uR • L
Пример 26. Высота конуса равна диаметру его основания. Найти отношение площади его основания к боковой поверхности.
Решение.
Пусть радиус основания равен R, тогда, по условию, высота равна 2R.
S0CH = kR2; S6ok = uR • L
Из прямоугольного ASOB:Из прямоугольного ASOB:l = ^4R2 * R2 = 7?Vs ;l = ^4R2 * R2 = 7?Vs ;
Из прямоугольного ASOB:
Из прямоугольного ASOB:
l = ^4R2 * R2 = 7?Vs ;
l = ^4R2 * R2 = 7?Vs ;
S6oK - nR ■ R^ = лД2 V5S6oK - nR ■ R^ = лД2 V5S^ = tlR2 = J_s60K лд275 Vs
S6oK - nR ■ R^ = лД2 V5
S6oK - nR ■ R^ = лД2 V5
Ответ:
Пример 27. В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью большего основания угол а и равна I. Определить объем этого усеченного конуса.
Решение.
Объем усеченного конуса
7 = 1н.(^ +s2 +Vs”sj. о
AXD - перпендикуляр к плоскости основания - высота; АДА^ - прямоугольный; AXD = I sin а = Н.
Zl = Z2 (вертикальные), Z2 = Z3 (в силу симметрии), cлeдoвaтeльнoZl = Z3. Так как, по условию, ZBYCB = 90°, то Zl = Z3 = 45°, и значит ZCBO = 45°. Рассмотрим kAxBD - прямоугольный, равнобедренный. AXD = DB = Н = I sin ol;AD = I cos а. Следовательно,
АВ = AD + DB = I (cos a + sin a) и
- ^ (cos a + sin °0 - радиус нижнего основания.
.АД = DE = DB - AD = I (sin a - cos a);
r - i J (sin a - cos a) - радиус верхнего основания.
У = ™ л/3 sina • (^(sina - cosa)2 + у (sina + cosa)2 + о44
+1 (sin a - cos a) (sin a + cos a)) =
= ul sin a • (2 - cos 2a),
Ответ: V = ™ти1й sin a • (2 - cos 2a) .
Пример 28. Шаровой сектор, вырезанный из шара радиуса В, имеет в осевом сечении угол а. Определить его объем и полную поверхность.
Решение.
Воспользуемся формулой
V = |пЯ2Тг.
О
ОС = 2? cos — •
h = OD - ОС = R - Bcos^ = Я 1 - cos^
2(2 J
33cos = 4 к^3 sin2234 1cos = 4 к^3 sin2234 1Таким образом, получим
3
3
cos = 4 к^3 sin2234 1
cos = 4 к^3 sin2234 1
^полн ^сегмента ^бок. конуса 2л2? Н ~Ь КГ R.
Из ДОАС: r = Rsin^_
ПОЛИПОЛИ1 - cos I + kR2 sin221 - cos I + kR2 sin22
ПОЛИ
ПОЛИ
1 - cos I + kR2 sin
22
1 - cos I + kR2 sin
22
Ответ: V = ^nR3 sin2 ;345„олн =7tl?2sin|^2tg^ + lОтвет: V = ^nR3 sin2 ;345„олн =7tl?2sin|^2tg^ + lПример 29. Шаровой сегмент шара радиуса R имеет полную поверхность S. Найти его высоту.Пример 29. Шаровой сегмент шара радиуса R имеет полную поверхность S. Найти его высоту.Решение.S - 2uR * h-V itr2; ОС = QD - - h = R - h. Из ДОСВ (по теореме Пифагора) г2 = В2 - (R - h)2 = -2R-H-H2.Таким образом, S = 2uRh + 4- 2uRh - uh2 = 4uRh - uh2.Получили квадратное уравнение для определения h. uh2 - 4uRh + S = 0.Решая его, получим:Решение.S - 2uR * h-V itr2; ОС = QD - - h = R - h. Из ДОСВ (по теореме Пифагора) г2 = В2 - (R - h)2 = -2R-H-H2.Таким образом, S = 2uRh + 4- 2uRh - uh2 = 4uRh - uh2.Получили квадратное уравнение для определения h. uh2 - 4uRh + S = 0.Решая его, получим:
Ответ: V = ^nR3 sin2 ;
34
5„олн =7tl?2sin|^2tg^ + l
Ответ: V = ^nR3 sin2 ;
34
5„олн =7tl?2sin|^2tg^ + l
Пример 29. Шаровой сегмент шара радиуса R имеет полную поверхность S. Найти его высоту.
Пример 29. Шаровой сегмент шара радиуса R имеет полную поверхность S. Найти его высоту.
Решение.
S - 2uR * h-V itr2; ОС = QD - - h = R - h. Из ДОСВ (по теореме Пифагора) г2 = В2 - (R - h)2 = -2R-H-H2.
Таким образом, S = 2uRh + 4- 2uRh - uh2 = 4uRh - uh2.
Получили квадратное уравнение для определения h. uh2 - 4uRh + S = 0.
Решая его, получим:
Решение.
S - 2uR * h-V itr2; ОС = QD - - h = R - h. Из ДОСВ (по теореме Пифагора) г2 = В2 - (R - h)2 = -2R-H-H2.
Таким образом, S = 2uRh + 4- 2uRh - uh2 = 4uRh - uh2.
Получили квадратное уравнение для определения h. uh2 - 4uRh + S = 0.
Решая его, получим:
J4it2R2 - teSh = 2R ± .7EЗнак «+» соответствует постороннему корню, так как h < R.J4it2R2 - teSh = 2R ± .7EЗнак «+» соответствует постороннему корню, так как h < R.Ответ: А — 21? — ^4R2Пример 30. Найти объем правильной треугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен г, а угол при вершине в осевом сечении равен а.Решение.Заметим, что основание конуса является кругом, вписанным в основание пирамиды. ИзОтвет: А — 21? — ^4R2Пример 30. Найти объем правильной треугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен г, а угол при вершине в осевом сечении равен а.Решение.Заметим, что основание конуса является кругом, вписанным в основание пирамиды. ИзSТЕSТЕkSEO имеем Н = r * ctg-^ . ДАВС - равносторонний.kSEO имеем Н = r * ctg-^ . ДАВС - равносторонний.Пусть его сторона равна а, тогда г =; отсюда оп-6Пусть его сторона равна а, тогда г =; отсюда оп-6ределим а = 2г 7з - Найдем площадь основания пира-ределим а = 2г 7з - Найдем площадь основания пира-_ a V3 /т 2МИДЫ Ьосн - —-— -• г .Теперь можно вычислить объем пирамиды: ^ = |sOCHH = V3.r3 ctg^._ a V3 /т 2МИДЫ Ьосн - —-— -• г .Теперь можно вычислить объем пирамиды: ^ = |sOCHH = V3.r3 ctg^.
J4it2R2 - teS
h = 2R ± .
7E
Знак «+» соответствует постороннему корню, так как h < R.
J4it2R2 - teS
h = 2R ± .
7E
Знак «+» соответствует постороннему корню, так как h < R.
Ответ: А — 21? — ^4R2
Пример 30. Найти объем правильной треугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен г, а угол при вершине в осевом сечении равен а.
Решение.
Заметим, что основание конуса является кругом, вписанным в основание пирамиды. Из
Ответ: А — 21? — ^4R2
Пример 30. Найти объем правильной треугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен г, а угол при вершине в осевом сечении равен а.
Решение.
Заметим, что основание конуса является кругом, вписанным в основание пирамиды. Из
S
ТЕ
S
ТЕ
kSEO имеем Н = r * ctg-^ . ДАВС - равносторонний.
kSEO имеем Н = r * ctg-^ . ДАВС - равносторонний.
Пусть его сторона равна а, тогда г =; отсюда оп-
6
Пусть его сторона равна а, тогда г =; отсюда оп-
6
ределим а = 2г 7з - Найдем площадь основания пира-
ределим а = 2г 7з - Найдем площадь основания пира-
_ a V3 /т 2
МИДЫ Ьосн - —-— -• г .
Теперь можно вычислить объем пирамиды: ^ = |sOCHH = V3.r3 ctg^.
_ a V3 /т 2
МИДЫ Ьосн - —-— -• г .
Теперь можно вычислить объем пирамиды: ^ = |sOCHH = V3.r3 ctg^.
Пример 31. В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая конуса равна I и составляет с высотой угол а.
2572579. Зак. 569
257
257
Решение.
Для определения радиуса вписанного шара рассмотрим осевое сечение фигуры. ASB - равнобедренный треугольник. Определим радиус вписан-
S ной окружности: г = — , Р
где 8 - площадь треугольника, р - полупериметр.
S = Z2 sin 2а. Из ASAO: АО = I sin а.
„,Z sin 2а
Итак, р = Z • (1 + sin а); г = —— . v2(1 +sina)
„4лг3 лZ3 sin3 2а
Объем вписанного шара V ==г .
36(1 +sin а)3
Ответ: V =
kZ3 sin3 2а
6(1 + sina)3
S* /аS* /аплоскость основания),плоскость основания),
S* /а
S* /а
плоскость основания),
плоскость основания),
Пример 32. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а, а высота пирамиды равна Н. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.
Решение.
Пусть сторона основания равна а, ОС - радиус д окружности, описанной около основания (О - проекция вершины пирамиды н
OG = г = — - радиус вписанной окружности. SO = Н (по условию), SG - апофема.
Из ASOG: SG2 = ^a2 + H2 . Из kSCG:
4
SC2 = SG2 + CG2 = ^a2 +H2 + ^a2 = |a2 + H2.
Из ^SBC: a2 = 2SC2 - 2SC2 cos a = 4SC2 sin2 ^ ;
4sin2 — •
2
Приравняем полученные выражения и найдем а:
2'24H2 sin2
а а9
= — + н2; а2 =^- 4 sin2— ^cos а
Боковое ребро пирамиды: SC2 = ^а2 + Н2 =;
2cos а
Vcos а "
Вычислим угол Р, который составляет боковое реб- ро пирамиды с высотой: cos Р == Vcos a . На высо
те SO найдем точку F, равноудаленную от всех вершин пирамиды. Это и есть центр описанной сферы. Соединим точки F и С. &SFC — равнобедренный:
SF = FC - R; SC = —Н .
Vcos a
SC2 = R2 + R2 + 2R2 cos 2p = 2R2 (1 + cos 2p) =
= 47?2 cos2 p = 4R2 cos a.,
sc2 h2
Отсюда найдем R ==;
4 cos a 4 cos3 a
R =R =H2 cos a Vcos aH2 cos a Vcos a
R =
R =
H
2 cos a Vcos a
H
2 cos a Vcos a
Ответ: R = .
2 cos aVcos a
Пример 33» В усеченный конус вписан шар радиуса г. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом а. Найти боковую поверхность усеченного конуса.
Решение.
Из чертежа видно, что вы
сота усеченного конуса Н = 2 г. Пусть точка Е - центр вписанного шара. Рассмотрим осевое сечение фигуры, EF - перпендикуляр в точку касания, соединим точки Е и В.
&ЕОВ = kEFB, так как ZEOB = ZEFB = 90°, ЕВ - общая гипотенуза, EF = ЕО = г. Следовательно,
ZEBO = ZEBF = - .
2
Из АЕОВ:q = OB = ЕО • ctg^ =
OB “
= т • c^g^ - радиус нижнего основания. Из точки D проведем перпендикуляр к плоскости основания (DG). .
GB = DG ■ ctg а = 2r * ctg а; r2 = OXD = OB - GB^
= г ■ (ctg ~ - 2 ctg а) - радиус верхнего основания. Об-
разующая конуса I = DB =.
sin а
86ок = ^+ г2) = л- • (rctg^ + rctg§ -2rctga) =
sma 22
4яг2 , 4. a4лг2
_ (ctg _ ctg = — # так как
sin a2sin a
a14-cos a cos a 1
ctg — - ctga =7;= — .
sin asin a sin a
Ответ: S6oKОтвет: S6oK4лг2sin3 a4лг2sin3 a
Ответ: S6oK
Ответ: S6oK
4лг2sin3 a
4лг2sin3 a
Пример 34. Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него шара равно q. Найти отношение объемов этих тел.
Решение.
Рассмотрим осевое сечение фигуры. Точка F на высоте конуса равноудалена от вершины S и точек окружности основания. Пусть Н - высота
конуса, тогда ~ - ради
ус описанной сферы (по условию). Можем вычислить 4кЛ3 4лЯ3
объем шара: Уш ==— , Радиус основания
3g 3
конуса найдем из ^FOB по теореме Пифагора:
FO = H-R-H- — = Н- ; q > 1; q q
fb-_r = !Fob2 = fb2_fo2__h^
qq q2
H2„ H2
7" (1 ~ (q ~ 1) )— (2q -q ); OB = r - радиус oc-
конкон<2q-q2yH =<2q-q2yH =Найдем отношение:Найдем отношение:лН3(2-д)39-лН3(2-д)39-нования конуса.
кон
кон
<2q-q2yH =
<2q-q2yH =
Найдем отношение:
Найдем отношение:
лН3(2-д)
39-
лН3(2-д)
39-
Z-n = лН3(2-д) Зд3 _g2(2-g)
Ku 3g 4лН3 4
Ответ:Ответ:укои = ?2(2 -9)^"ш4укои = ?2(2 -9)^"ш4
Ответ:
Ответ:
укои = ?2(2 -9)^"ш4
укои = ?2(2 -9)^"ш4
Упражнения для самостоятельной работы
Решить в общем виде, затем вычислить для конкретных значений:
Площадь поверхности куба S = 216 см2. Найти его объем.
Найти площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда, высота которого равна h = 12 дм, а стороны основания равны а = 8 дм, b = 6 дм.
В прямом параллелепипеде стороны основания равны а = 3 см, Ъ = 6 см и образуют угол а = 30°. Боковая поверхность равна 24 см2. Найти объем параллелепипеда.
Найти полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна d - V34 м, а диагональ боковой грани равна Z = 5 м.
Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды а = 90°. Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна 3 дм2. Найти радиус окружности, описанной около боковой грани пирамиды.
По данной стороне основания а = 8 см и боковому ребру I = 6 см найти высоту правильной четырехугольной пирамиды.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды а = ^48 см, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом а = 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
Во сколько раз увеличится объем четырехугольной пирамиды, если сторону основания увеличить в 3 раза, а высоту - в 2 раза.
Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды а = 30°. Боковое ребро Z = 2 м. Найти боковую поверхность пирамиды.
о _ 6
Площадь осевого сечения цилиндра о - — дм*5.
Найти площадь его боковой поверхности.
Угол при основании осевого сечения конуса а = 45°, радиус основания г = 3 м. Найти объем конуса, результат вычислить с точностью до ОД.
Объем конуса V = 1,5л см3. Высота его h = 2 см. Найти угол между высотой и образующей конуса.
Найти площадь диагонального сечения куба, объем которого V = 4^2 см3.
Объем прямоугольного параллелепипеда V = 16 дм3. Боковое ребро его d = 4 дм. Найти острый угол между диагоналями основания параллелепипеда, если его диагональное сечение имеет форму квадрата.
Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник со стороной а = 3 см, одно из боковых ребер I = 2 см и образует со смежными ему сторонами углы по а = 30°. Найти площадь боковой поверхности призмы.
Основаниями усеченной пирамиды служат прямоугольные треугольники с острым углом а = 30°. Гипотенузы треугольников соответственно равны: dx = 6 см и d2 = 4 см. Найти объем усеченной пирамиды, если ее высота Н = V3 см.
Площадь поверхности шара S = 20 см2. На рас-
3
стоянии 25"л см от центра шара проведена плоскость. Найти площадь полученного сечения.
Найти высоту цилиндра, если площадь его основания равна 1 дм2, а площадь боковой поверхности “ л/л дм2.
Ответы:
216 см3;
66м2;
9 см2;
6 дм2;
8 см2;
9,5см3;
2. 120 дм2;
1 дм;
18 раз;
11.28,3 м2;
14. 30°;
2,75 см2;
12 см3;
2 см;
6 м2;
arctg0,75;
14,4 см2;
0,5 дм.
|а| = ^ах + ау + а2|а| = ^ах + ау + а2(14.1)(14.1)
|а| = ^ах + ау + а2
|а| = ^ах + ау + а2
(14.1)
(14.1)
14. ЭЛЕМЕНТЫВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Вектором а называется направленный отрезок. Проекции вектора на координатные оси - координаты ректора: а(ах, ау, а2). Длина вектора находится по формуле
(14.3)(14.4)(14.3)(14.4)
(14.3)
(14.4)
(14.3)
(14.4)
Пусть а, Р, у - углы, образованные вектором 5 с осями координат (Ох, Оу, Оз соответственно), тогда ах = | 51 • cosa, ау = | 5| - cosp, a2 = | a|-cosy.(14.2)
Сумма и разность векторов вводится следующим образом:
Если векторы а (ах, ау, а2) и Ъ (Ьх, Ъу, б2 ) заданы своими координатами, то их сумма и разность определяются по формулам:
а + b = (a, + bx, аи +bu, а2 +Ь2);а-b =(ах -Ьх, ау-Ьу, а2-Ь2).
Произведение вектора а(ах, ау, а2) на число X определяется формулой
Ха = (Хах, Хау, Хаг).(14.5)
Напомним, что векторы 5 и Ха параллельны (коллинеарны) и направлены в одну и ту ?ке сторону, если X > 0, и в противоположные стороны, если X < 0.
Вектор АВ , имеющий начало в точке А(х1, у^ zj и конец в точке В(х2, у2, г2), определяется через координаты точек Аи В:
AB = <x2-xvy2-yv z2-z^.(14.6)
Скалярным произведением двух ректоров 5 и у называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла ф между нйми:
а • b = | а |•|b | • cosф.(14.7)
Скалярное произведение выражаемся через координаты векторов а и b ".
а -Ь = ах ■ Ьх + ау ■ by + аг "Ъг .(14.8)
Отметим условия коллинеарности и перпендикулярности двух ненулевых векторов:
а\\Ь==(14.9)
®х Ьу uz
aLb <=> a-b =0.(14.10)
Из геометрии известна теорема: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. В векторной форме эта теорема записывается в виде:
|а + &| +15 — Ь | =2|а|2 + 2|&| .(14.11)
Пример 1. При каких значениях тП длина вектора 5(715, - т, 2) равна 10?
Решение.
| 5 | = 715 + (-тп)2 + 4 = 719 + т2 . Так как, по усло
вию, | 51 = 10, то 719 + тп2 = 10; 19 + тп2 = 100; т2 = 81;
т = ±9.
Ответ: т = ±9.
Пример 2. Найти все значения Z, при которых длина вектора 5(Z, Vd, 4) больше 5.
Решение.
Выразим длину вектора через его координаты: а | = Vz2 +5 + 16 = V/2+ 21 . Так как, по условию.
аа2;2;> 5 , ТО 7г2 + 21 > 5; I2 + 21 > 25; Z2 2 или I < -2.
а
а
2;
2;
Ответ; (-©о; -2 ) и (2; +оо).
Пример 3. Найти длину вектора АВ по заданным координатам его концов А (4, 3, -1); В(1, 6, 2).
Решение.
Находим координаты вектора АВ :
АВ = (1 - 4, 6 - 3, 2 - (-1)) = (-3,3, 3), а теперь найдем модуль этого вектора: АВ = V9 + 9 + 9 = Зд/з .
Ответ: Зл/З .
Пример 4. Найти длину основания равнобедренного треугольника с вершинами в точках А (2; 3; 1), В(1;3; 3) и 0(2; 4; 3).
Решение.
Найдем длины сторон данного треугольника. Нахо-
АС(О; 1; 2),АС(О; 1; 2),дим АВ(-1; 0; 2) ,
АС(О; 1; 2),
АС(О; 1; 2),
Поскольку стороны АВ и. АС равны, то основанием является сторона ВС = V2 .
Пример 5. Даны векторы 5(3; 5; 1) , 6(1; 4; 2) и с = а - ЗЬ • Определить длину вектора с .
Решение.
Найдем координаты вектора с = а - ЗЬ = (3; 5; 1) - - 3(1; 4; 2) = (3 - 3; 5 - 12; 1-6). Итак, с (0; - 7; - 5);
I с | = V49 + 25 = V74 .
Ответ: V74 .
Пример 6. При каких значениях к, т векторы
а (-1, - 1, т) и Ъ (к, 4, 5) коллинеарны?
Решение.
Векторы коллинеарны, если их координаты пропор-
- 1-1 т
циональны, следовательно, ■— - ■— = —. Из равен- я 45
-1-11 _ т
ства ~^~ - находим к = 4, а из равенства " ~ - "
5 определяем т - - — .
Ответ: к = 4, т —.
4
Пример 7. Даны векторы АВ(-3; 5; 11) и
ВС (6; т; п) • Найти разность т - п, если точки А, В, С лежат на одной прямой.
Решение.
Так как точки А, В, С лежат на одной прямой, то векторы АВ (-3; 5; 11) и ВС (6; т; п) коллинеарны иу следовательно, их координаты пропорциональны:
6-36-3ттп11п11. Отсюда получаем т = -10; п = -22;. Отсюда получаем т = -10; п = -22;
6
-3
6
-3
т
т
п
11
п
11
. Отсюда получаем т = -10; п = -22;
. Отсюда получаем т = -10; п = -22;
т - п = -10 4- 22 = 12.
Ответ: 12.
Пример 8. Даны векторы 5(2; 4; -1), 6(3; 5; -3) и с = 25 - Ъ . Найти скалярное произведение векторов 5 и с.
Решение,
Определим координаты вектора с = 2d - b - Имеем с = 2а - b - 2(2; 4; -1) - (3; 5; -3)= = (4 - 3; 8 - 5; - 2 + 3) = (1; 3; 1);
йс=21 + 4- 3 + (-1) 1 = 2 + 12-1 = 13.
Ответ: 13,
Пример 9. При каких значениях Z векторы а (5, Z2, 14)
и b (2, 1, -1) перпендикулярны?
Решение.
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0. Имеем
а-b = 5 • 2 + Z2 -1 + 14 • (-1) - Z2 - 4 • Приравнивая скалярное произведение нулю, получим Z2 - 4 = 0; Z = ±2.
Ответ: +2.
Пример 10. Найти косинус угла между векторами а(-1, 1, 1) и 6(-1, 5, 3).
Решение.
Из определения скалярного произведения
. По. По- га- Ь
. По
. По
а-о - а ♦ b -созф следует, что созф =:
координатам векторов находим: й-Ь=1 + 5 + 3 = 9;
cos ф =cos ф =b = 71 + 25 + 9 = Т35 , поэтомуb = 71 + 25 + 9 = Т35 , поэтомуэУз • Уз5 _ зУ1053-35 " 35эУз • Уз5 _ зУ1053-35 " 35
cos ф =
cos ф =
b = 71 + 25 + 9 = Т35 , поэтому
b = 71 + 25 + 9 = Т35 , поэтому
эУз • Уз5 _ зУ105
3-35 " 35
эУз • Уз5 _ зУ105
3-35 " 35
Ответ:V105 .
35
Пример 11. Найти все значения т, при которых угол между векторами а (7; -1; 2т) и Ь (-2; 4т; 1) острый.
Решение.
Если угол между векторами острый, то cos ф > 0 ее
5 . ^ > 0 • Так как а * b = 7 • (-2) + (-1) • 4т + 2m • 1 =: = -14 - 4m + 2m = -14 - 2m, то -14 - 2m > 0, 2m < -14, m < -7.
Ответ: т < -7.
Пример 12. В параллелограмме ABCD заданы вершина
С(6; -8, 5) и векторы АС(-3; 1; 4) и BD (2; - 3; 5)-- его диагонали. Найти сумму координат точки В.
Решение.
. Нахо. НахоРассмотрим вектор ВС и выразим его через заданные векторы. ИмеемВС = ВО + ОС* Так как
. Нахо
. Нахо
ВО = -BD и ОС = - АС, то ВС =
22
но коно кодим координаты этого вектора:
но ко
но ко
ВС = -(2-3; - 3 + 1; 5 + 4) 22
ординаты вектора выражаются через координаты его конца и начала. Обозначим искомые координаты точ
ки В (х, у, 2), тогда ВС (6-х; - 8 - у; 5 - 2). Определим х, у, 2 из системы уравнений:
Ответ: 0.
Пример 13. Векторы а (5; 2; -1) и b (1; -5; -2) , проведенные из точки С (5; 4; -3), являются боковыми сторонами равнобедренного треугольника. Найти сумму координат основания высоты треугольника, проведенной из вершины С.
Решение.
Рассмотрим вектор СК . Так как треугольник - равнобедренный, то высота СК являет
ся также медианой и, следовательно, СК = - (а + t>).
Находим координаты этого вектора
—* 1(Ч
^^ = — (5 +1; 2 - 5; -1 - 2) = 3; - —; - — . Если обо-
2к2
значить координаты точки К (х; у; г), то
СК5; у-4; z + 3).
Для нахождения координат точки К имеем систему:
х-5 = 3,■ У - 4 = -1,5, 2 + 3 = —1,5;Ответ: 6.х-5 = 3,■ У - 4 = -1,5, 2 + 3 = —1,5;Ответ: 6.х = 8,
х-5 = 3,
■ У - 4 = -1,5, 2 + 3 = —1,5;
Ответ: 6.
х-5 = 3,
■ У - 4 = -1,5, 2 + 3 = —1,5;
Ответ: 6.
у = 2,5, х + у + z = 8 + 2,5 - 4,5 = 6.
2 = -4,5.
Пример 14. В треугольнике АВС заданы АВ (3; -5; 2), точки М, N - середины сторон АВ и ВС соответ
ственно, a MN (-4; 1; 7). Найти сумму координатственно, a MN (-4; 1; 7). Найти сумму координат
ственно, a MN (-4; 1; 7). Найти сумму координат
ственно, a MN (-4; 1; 7). Найти сумму координат
Решение.
Из определения суммы векторов имеем
АВ + ВС = АС , а учитывая, что MN является средней линией треугольника, получим АС = 2 • MN . Таким образом, ВС = 2 • MN - АВ. Найдем координаты вектора ВС* ВС (-8-3; 2 + 5; 14-2); ВС (-11; 7; 12); сумма координат этого вектора равна -11 + 7 + 12 = 8.
Ответ: 8
Пример 15. Вектор а направлен одинаково с вектором b (-8; 16; 4) и | 5| = 721. Найти произведение координат вектора а.
Решение.
Так как вектор а направлен одинаково с вектором b , то а = ХЬ , где X > 0, т. е. а (-8Х; 16Х; 4Х);
| а | = 7з2Х2 +162Х2 +42Х2 = 742Х2(22 + 42 + 1) -
= 4X74 + 16 + 1 = 4X721 . Итак, 4X721 = 721 ; X = -;
4
а (-2; 4; 1); -2 • 4 • 1 = -8.
Ответ: —8.
Пример 16. Вектор b направлен противоположно век тору q (3; -4; -1) и j b | = 3726 •
Найти сумму координат вектора b .
Решение.
Ъ =Xq = (ЗХ; -4Х; -X), здесь X < 0;
| b | = ^9Х2 +16Х2 +Х2 - | X |Т26 = -ХТ26 ;
- ХТ26 = 3726 ; ^ = -3; Ъ (-9; 12; 3);
-9 + 12 + 3 = 6.
Ответ: 6.
Пример 17. Точки А(4; -3; 7), В(5; 3; 8) и В>(10; -4; 6) являются вершинами ромба ABCD. Найти длину диагонали АС.
Решение.
Воспользуемся теоремой, выраженной формулой
(14.11). Так как ABCD - ромб, то
| .|2। ,2। ,2
АС + ВЛ = 4- АВ .
Находим указанные векторы, а затем квадраты их модулей:
АВ = (5 - 4; 3 + 3; 8 - 7) = (1; 6; 1);
। |2
АВ = 1 + 62 + 1 = 38;
BD = (10 - 5; -4-3; 6 - 8) = (5; - 7; - 2);
I * I2
ВЛ = 25 + 49 + 4 = 78 .
I —* I2
Поэтому АС =4-38-78 = 74. Длина диагонали
АС равна ТТ4 .
Замечание. Можно не использовать сформулированную теорему, а найти координаты точки С, затем вектора АС , а затем его модуль. Обозначим координаты точки С(х, у, г), тогда ВС (х - 5; у - 3; 2-8), но ВС = АО (6; -1; - 1). Итак, х- 5 = 6; х = 11; у - 3 = -1; у.= 2; z - 8 = -1; z = 7. Получаем С(11, 2, 7), АС (7; 5; 0) и I AC | = ^49 +25 = Vt4 .
Ответ: ^/74 .
Пример 18. Найти | а | + | Ъ |, если | а + b | = 19 , | а - &| = 17 и | 6 | = 10 .
Решение.
По формуле (14.11)
| а + Ъ | + I а — b I = 2 • I | а | 4-1 b | 1
Подставляя данные задачи, получим:
192 + 172 = 2 • ([ а |2 + 102);
361 + 289 = 2 • (| а |2 + Юб); 650 = 2 • (| а |2 + Юо);
j а |2 = 325-100 = 225; | 5 | = 15;
| 5 | + | & | = 15 + 10 = 25.
Ответ: 25.
Пример 19. Укажите градусную меру угла между вектором а\-4б; - 372; - 2ТЗ) и осью ординат.
Решение.
Воспользуемся формулами (14.2).
Имеем ау = -3V2 , найдем | а | = л/б + 18 + 12 =
_ О /о[д
= V36 =6; cosp = —у- = --у;Р = 135°.
Ответ: 135°.
Пример 20. Найти | а | - | Б |, если вектор а + Б делит угол между векторами 5(23; -17; 88) и Б пополам.
Решение.
Вектор а + Б совпадает с диагональю параллелограмма, а так как он делит угол между векторами а и b пополам, то диагональ параллелограмма является биссектрисой его внутреннего угла, следовательно, параллелограмм - ромб, т. е. | а | = | Б | и | 5 | - | 6 | = 0.
Ответ: 0.
Упражнения для самостоятельной работы,
Найти все значения т , при которых длина вектора 5(mj23, 5, 4) больше 8.
Найти длину вектора АВ по заданным координатам его концов А (2; 3; 1) и В (1; 1; 3).
В равнобедренном треугольнике с вершинами в точках А (4; 2; 1), В (6; 3; 2), С (3; 4; 0) найти длину боковой стороны.
При каких значениях к, т векторы 5(1, т, 2) и b (4, 1, к) коллинеарны?
Даны векторы АВ (2; -4; 6) и ВС^т; 2; п). Найти сумму т + п, если точки А, В и С лежат на одной прямой.
Известно, что вектор а направлен противоположно вектору Ь (-18; 9; - 6) и а | = 7 . Найти сумму координат вектора а .
При каких значениях т векторы а(т2э -5, 1) и b (1, 1, - 4) перпендикулярны?
Найти косинус угла между векторами 5(3, 2, 1)
и b (1, 1, 2).
Точки А (2; 3; -5), С (3; 6; 8) и D (5; 4; -1) являются вершинами параллелограмма ABCD. Найти длину диагонали BD.
А (1; 3; -1), В (2; 4; 5) и С (8; 5; 6) являются вершинами ромба ABCD . Найти длину диагонали BD.
Найти градусную меру угла между вектором a^-Jl; - V10; V11) и осью абсцисс.
Найти градусную меру угла между вектором 5(-1; V?; -2л/2) и осью Oz.
13. Найти Ь13. Найти Ьесли 5| = V137,если 5| = V137,5 + Ь5 + Ь= 20 и= 20 и
13. Найти Ь
13. Найти Ь
если 5| = V137,
если 5| = V137,
5 + Ь
5 + Ь
= 20 и
= 20 и
а-Ь =18.
14. Найти a - b14. Найти a - bесли | 5 | = 17,если | 5 | = 17,5 + 65 + 6= 28 и= 28 и
14. Найти a - b
14. Найти a - b
если | 5 | = 17,
если | 5 | = 17,
5 + 6
5 + 6
= 28 и
= 28 и
6 =21.
Найти градусную меру угла между векторами а и 6 , если.
bb16. Найти 5 • 616. Найти 5 • 6а
b
b
16. Найти 5 • 6
16. Найти 5 • 6
если вектор 5 + 6 делит угол
между векторами а (3; 5; -7) и 6 пополам.
Найти градусную меру угла между векторами а
и 6 , еслии 6 , если5 + 6 = 5 + 65 + 6 = 5 + 6
и 6 , если
и 6 , если
5 + 6 = 5 + 6
5 + 6 = 5 + 6
Даны векторы а (5; -2; 3), 6(2; -3; 1) и
с = 5 - 26 . Найти угол между векторами а и с .
Даны векторы 5(3; 2; - 1) и 6 (2; 4; 1). Найти угол между векторами 5 + 6 и 5 - 6 .
В параллелограмме ABCD известны векторы
АВ(-4; -4; 3) ,СВ(-2; -6; 1) и вершина
А (3; 7; -5). Найти сумму координат точки пересечения диагоналей параллелограмма.
Ответы,:
1. (-оо; -
1М1; +4;
2.3;
3. V6 ;
4. 6 = 8,
5. -4;
6. 5;
7. ±3;
6 ’
9. VM ;
10. 5V2 ;
11. 120°;
; 12. 135°;
13.15;
14. 26;
15. 0°;
16.83;
17. 0°;
18. 90°;
19. я - arccos —;
20.6.
15. КОМБИНИРОВАННЫЕУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
В этом разделе мы рассмотрим на примерах решение уравнений и неравенств смешанного типа, а также уравнений и неравенств с параметрами.
Пример 1. Найти сумму корней уравнения
V2x-3 • (3х + 27 • З'х - 12) - 0 .
Решение.
ОДЗ данного уравнения - х > 1,5. Приравняем нулю каждый из сомножителей, тогда
V2x-3 = 0; хг - 1,5;
3х + 27 • 3-х — 12 = 0; обозначим 3х = у (у > 0).
27
Уравнение примет вид: у +12 = 0; у2 - 12у + 27 = 0;
У
ух = 9; у2 = 3.
Находим х: а) 3х = 9; х2 = 2; б) 3х = 3; х3 = 1 - не принадлежит ОДЗ. Корни уравнения - хх = 1,5 и х2 = 2, их сумма равна 3,5.
Ответ: 3,5.
Пример 2. Найти разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения х2.4* + 1_х2 + 36 = 36 • 4ж + 1.
Решение.
Запишем уравнение в виде х2 (4х +1 - 1) - 36 (4х + 1- - 1) - 0; (4х +1 - 1)(х2 - 36) = 0. Находим корни уравнений: 1) 4х +1 = 1; х + 1 = 0; хх = — 1; 2) х2 = 36; х2 = 6; х3 = -6. Искомое значение хнаиб - хнаим = 6 - (-6) = 12.
Ответ: 12.
Пример 3. Найти сумму корней уравнения (х2 - 8х - - 20)(logM(x + 7) + log0i4(l - х)) = 0.
Решение.
Определяем ОДЗ из условий <’ 1
[1 - х > 0; [х < 1;
х е (—7; !)• Теперь приравниваем нулю сомножители:
х - 8х - 20 = 0; х4 2 = 4 ± 716 + 20 = 4 ± 6 ;
Ху = -2; х2 = 10 - не принадлежит ОДЗ;
log0>4(x + 7) + log0 V1 - х) = 0;
log0j4((x + 7)(1 - X)) = 0; (х + 7)(х - 1) = 1;
х2 + 6х - 6 = 0; х3 4 = -3 ± Тб + 6 = -3 ± V15 . Оба корня принадлежат ОДЗ и х3 + х4 = -6. Сумма корней Ху + х3 + х4 = — 2 — 6 = —8.
Ответ: -8 .
Пример 4. Найти число корней уравнения
- 2cos лх) • log0,2 (^ “ х2^ = 0.
Решение.
ОДЗ данного уравнения определяется условием х — х2 > 0. Решаем это неравенство методом интервалов.
Итак, х G (0; 1). Перейдем к нахождению корней уравнения.
1 - 2cos кх = 0; cos лх = -; лх = ± arccos^ + 2лй ,
22
ft g Z; лх = ± + 2к& , к g Z; х = ± - + 2k, к g Z.
О3
= -|е(0; 1);= -|е(0; 1);Если к = 0, то хх - ^ G (0; 1), х2
= -|е(0; 1);
= -|е(0; 1);
75
если к = 1, то х3 = - (0; 1), х4 = - ^ (0; 1);
57
если к = -1, то х5 = - - g (0; 1) , х6 = - - € (0; 1).
криминант jD = 1- 4 = -3<0. Таким образом, исход-
1
ное уравнение имеет единственный корень х4 = —.
Ответ: 1.
Пример 5. Найти число корней уравнения (sin кх - 1) • logls(2 - х2) = 0.
Решение.
ОДЗ: 2 - х2 > 0; х2 < 2; |х| < 72 ; - 72 < х < 72 .
Решаем уравнение (sin лх - 1) • log1 5(2 - х2) = 0;
sin лх - 1 = 0; sin лх = 1;
ТЕ1
лх = — + 2л/г, k G Z; х = — + 2k , к G Z;
22
k = 0, хх = ^ G (-72; 72);
k = 1, х2 = 2,5 £ (-72; 72);
k = -l, х3 =-1,5 £ (-72; 72).
logl 5(2 - х2) = 0;
х2= 1;
х2 = 1; х = ±1;
х4 = 1 G (-72; 72);
х5 = -1G (-72; 72).
1
Уравнение имеет три корня: ~ > 1»
Ответ: 3.
Пример 6. Найти все значения параметра а при которых уравнение (2а - х) arccos х = 0 имеет ровно один корень.
Решение.
ОДЗ данного уравнения - |х| < 1 или х g[-1; 1]. В левой части равенства стоит произведение двух сомножителей, поэтому (2а -х) arccos х = 0 <=> arccos х = 0, Xj = 1 или 2а - х = 0, х2 = 2а.
Корень уравнения будет единственным, если хх = х2 или х2 £ ОДЗ . Из первого условия получаем 2а = 1;
а = — . Из второго - |2а| > 1, т. е. а > —
илиили1212Таким образом, если a GТаким образом, если a G-1 и 1;22-1 и 1;2222, то урав-, то урав-22
или
или
1
2
1
2
Таким образом, если a G
Таким образом, если a G
-1 и 1;22
-1 и 1;22
2
2
, то урав-
, то урав-
нение имеет ровно один корень.
Ответ: a GОтвет: a G--Ы-2 2--Ы-2 21122
Ответ: a G
Ответ: a G
--Ы-
2 2
--Ы-
2 2
1
1
2
2
Пример 7. Найти все значения параметра а, при которых уравнение (а - Зх) • 1g х = 0 имеет ровно один корень.
Решение.ОДЗ: х : 1g х = 0Решение.ОДЗ: х : 1g х = 00. Если (а - Зх) • 1g х = 0, то0. Если (а - Зх) • 1g х = 0, тоилиилиХу = 1Ху = 1а - Зх = 0аХо — — •23а - Зх = 0аХо — — •23Корень будет единственным, если аа „х2 = Ху ( — = 1, а = 3) или х2 не входит в ОДЗ ( — < 0,Корень будет единственным, если аа „х2 = Ху ( — = 1, а = 3) или х2 не входит в ОДЗ ( — < 0,
Решение.
ОДЗ: х : 1g х = 0
Решение.
ОДЗ: х : 1g х = 0
0. Если (а - Зх) • 1g х = 0, то
0. Если (а - Зх) • 1g х = 0, то
или
или
Ху = 1
Ху = 1
а - Зх = 0
а
Хо — — •
23
а - Зх = 0
а
Хо — — •
23
Корень будет единственным, если аа „
х2 = Ху ( — = 1, а = 3) или х2 не входит в ОДЗ ( — < 0,
Корень будет единственным, если аа „
х2 = Ху ( — = 1, а = 3) или х2 не входит в ОДЗ ( — < 0,
Ответ: ( — <»; 0] и {3}.
Пример 8. Найти число целых решений неравенства
<
>0>0V4 - х log0 2(2x - 2) + --
>0
>0
!ogx+i 5
Решение.
Найдем ОДЗ неравенства из системы ограничений
4 - х > 0,
х < 4,
2х - 2 > 0,
х > 1,
х + 1 > 0,
х > -1
lx + 1 * 1;
х Ф 0;
Неравенство запишем
в виде:
V4-x log02(2x - 2) + l^E£^jJ2 l°So,2
V4 - x log02(2x - 2) +: > 0
VT^(log0 2(2x - 2) - logo 2(x + !)) ^ 0;
V4 - x logo 2г 0 •
X 4- 1
Так как первый сомножитель неотрицателен и равен нулю при х = 4, то одно из решений неравенства есть х = 4 и последнее неравенство можно преобразовать к 2х — 22х — 2
виду logo 2Г ^ 0 • Отсюда — < 1 (0,2 < 1);
’ X + 1X 4- 1
2х - 2 .2х-2-х-1 х - 3
1 < 0 ; < 0 ; S 0 . Решаем
X 4- 1X 4- 1X 4- 1
последнее неравенство
Множество решений неравенства с учетом ОДЗ - ((-1; 3] о {4}) n (1; 4] = (1; 3] о {4}. Целые числа, принадлежащие этому множеству 2, 3, 4.
Ответ: 3.
Пример 9. Найти число целых решений неравенства
> 0.> 0.40^х — 56х+7 • 8^х^
> 0.
> 0.
Vx 4- 5
Решение,
ОДЗ: х > -5. Так как знаменатель больше нуля, то 4q4x -1 - 56* + 7. g3x - 5 > Qe Разделим обе части последнего неравенства на
25Г+4825Г+484q4x -1 = ^4х -1. g4x -1, получим 1 - 52х + 8 • 8“х “ 4 > 0;
25Г+4
8
25Г+4
8
-1;х + 4<0;х< -4. Множество решений
неравенства - (-5; -4]. Этому множеству принадлежит одно целое решение.
Ответ: 1.
Пример 10. Найти число целых решений неравенства (|sin х| + 1) • (|5х — 2| — 3) < 0.
Решение.
Первый сомножитель принимает только положительные значения, следовательно данное неравенство равносильно неравенству |5х — 2[ — 3 < 0; |5х - 2] < 3; -3 < 5х - 2 < 3; - 1 < 5х < 5; -0,2 < х < 1 - это и есть множество решений неравенства, ему принадлежит одно целое решение (0).
Ответ: 1.
Пример 11. Найти число целых решений неравенства ^3 - ^(х 4- 4)2 • (sin х - 4) < 0.
Решение.
Так как второй сомножитель принимает только отрицательные значения, то 3 - ^(х + 4)2 > 0; 3 - |х + 4] > 0; |х + 4| < 3; -3 < х + 4 < 3; -7 < х < -1. В это множество входят пять целых значений (™6, -5, -4, -3, -2).
Ответ: 5.
Пример 12.Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором решение системы уравнений
2х - у = а - 6, удовлетворяет неравенству 2у - х > 0.
х 4- Зу = 3
Решение.
Выразим неизвестные
Имеем *
2х - у = а - 6, х 4- Зу = 3;
системы через :
2х - у - а - 6,
2 [2х 4- бу = 6.
параметр а.
Вычтем из
- о;_12-а- о;_12-а
- о;
_12-а
- о;
_12-а
второго уравнения первое, тогда 7у = 12 _ 12-а
У— . Теперь находим х = 3 - Зу =
21 -36 4-За За -15
За - 1512 - а
Решение системы х = ; у = подста-
77
„12-а За-15 п
вим в неравенство 3—-- > О . Умножим
обе части неравенства на 7, тогда 24 — 2а - За + 15 > 0; 39 - 5а > 0; 5а < 39; а < 7,8. Наибольшее целое значение параметра, удовлетворяющее условиям задачи, 7.
Ответ: 7.
Пример 13. Найдите наименьшее целое значение параметра с, при котором решение системы уравнений
2с + Зх = у, удовлетворяет неравенству х < Зу + 1.
х + 2у = 5
Решение.
Запишем систему в виде (Зх - у = -2с, 2 (бх - 2у = -4с, [x + 2z/ = 5; ]x + 2z/ = 5.
_ 5-4с
Сложив уравнения, получим 7х = 5 — 4с; х—
9 5 - 4с
Из исходной системы у = 2с + Зх = 2с + 3—-— =
_ 14с + 15 - 12с _ 2 с +15
_ 5 - 4с _ 2с + 15
Решение системы х - * ~, У~ подставляем в неравенств^ х < Зу +1, тогда
5-4с 2с+ 15 , „
——— < 3 —-— +1; 5 - 4с ^ 6с + 45 + 7; Юс > -47;
77
с > -4,7. Наименьшее целое значение, удовлетворяющее этому условию, -4.
Ответ: -4 .
Пример 14. При каком натуральном значении а уравнение х3 + Зх2 - Эх - а = 0 имеет ровно два корня?
Решение.
Запишем уравнение в виде х3 + Зх2 — 9х = а. Корни исходного уравнения - это абсциссы точек пересечения двух линий у = х3 + Зх2 - 9х и у = а. Построим эти линии.
1. у = х3 + Зх2 - 9х; у' = Зх2 + 6х - 9 = 3(х2 + 2х - 3)= = 3(х - 1)(х + 3). Критические точки х = 1; х = ^3.
Найдем утах = у(-3) = (-3)3 + 3 • (-3)2 - 9 • (-3) - = -27 + 27 + 27 = 27; ymln = 1 + 3 -9 = -5.
2. у = а- прямая, проходящая параллельно оси абсцисс.
Очевидно, что линии пересекаются в двух точках, если прямая у = а проходит через точку А (-3; 27) или через точку В (1; -5). В первом случае а = 27 - натуральное число, а во втором а = -5.
Ответ: 27.
Пример 15. При каком наименьшем значении а урав
нение — х4 - 2х3 - 2х2 + 24х - а = 0 имеет ровно 4
два корня?
Решение.
Уравнение перепишем в виде — -г4 -2х3 - 2х2 + 4
+ 24х = а и будем рассматривать корни этого уравнения как абсциссы точек пересечения линий, уравне
ния которых у = ан у = ~х4 - 2х3 - 2х2 + 24х. Ли-4
ния у = а прямая, параллельная оси абсцисс, для построения линии у = i х4 - 2х3 - 2х2 + 24х проведем исследование этой функции. Находим производную
у' =х3 - 6х2 - 4х + 24 = (х3 - 4х) - 6х2 + 24 = х (х2 - - 4) - 6(х2 - 4) = (х2 - 4)(х - 6) = (х - 2)(х + 2)(х - 6). Критические точки -2, 2, 6.
Вычислим значения функции в точках экстремума: z/(-2) = 4+16-8-48 = -36;
z/(2) = 4 - 16 - 8 + 48 = 28;
1/(6) = 4 • 64 -2 • 63 - 2 * 62 + 24 • 6 = 9 • 36 - 2 • 36 - 4
- 2 - 36 + 4 • 36 = 36 • (9 - 12 - 2 + 4) = -36.
Построим линии:
Линии пересекаются в двух точках (уравнение имеет два корня), если а > 28 или а — —36. Так как в задаче требовалось найти наименьшее значение параметра, то а — —36.
Ответ: —36.
Упражнения для самостоятельной работы
Найти произведение корней уравнения
V-1-х (э • Зж + З’ж - io) = 0 .
Найти произведение корней уравнения (х + I)2 • 2Ж + 1 - (х + I)2 + 4 - 4 • 2х + 1 = 0.
Найти разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения
Найти сумму корней уравнения
Vx + 1(8 • 2х + Г -9) = 0.
Найти сумму корней уравнения
(х2 - х - 156)(1п (х - 11) + In (15 - х)) = 0.
Найти сумму корней уравнения
(х2 - 4х - 5)(log3 (х - 3) + log3 (9 - х)) = 0.
Сколько корней имеет уравнение
(1 + sin лх) • log0 4 (0,25 - х2) = 0?
Сколько корней имеет уравнение (7з - 2 cos лх) • log0 2(2х - х2) = 0?
Найти все значения параметра а, при которых уравнение V2a - х • log3(x - 3) = 0 имеет ровно один корень.
Найти все значения параметра а, при которых уравнение (2х - а) • (2 - V2x - 6) = 0 имеет ровно один корень.
Найти число целых решений неравенства
1 Пу
(х2 + 25). log1/3 (х - 1) + - > 0.
log,-! 3
Тб^х^З2^4Тб^х^З2^4- 23*- 23*Найти число целых решений неравенства
Тб^х^З2^4
Тб^х^З2^4
- 23*
- 23*
Найти число целых решений неравенства (-5 + cos х) • (}3х - 2| - 1) > 0.
Найти число целых решений неравенства
(2 sin х + 8) • ^V(x + З)2 - 3^ < 0 .
Найти наименьшее целое значение параметра с, при котором решение системы уравнений Г5х - Зс + у = 0,
[2х + Зу ~ 1 удовлетворяет неравенству
у < 2х - 5.
Найти наименьшее целое значение параметра р, при котором решение системы уравнений
х + 2у = 5,
2х - у = р + 8 УД°влетв°Ряет неравенству х>3- у.
При каком наименьшем натуральном значении к
2 3 уравнение — ^ + 2х - 6х + к = 0 имеет ровно один корень?
'8. При каком целом значении к уравнение 45х - Зх2 -х3 + 3fe = 0 имеет ровно два корня?
Ответы:
2;2. 3;3. 6;4. -1;
39;6.17;7.0;8.3;
(1,5; 2];10. (--; 6) и {10};11.1;
2;13.1;14.7;15.4;
-7;17. 4;18. - 27.
ПРИМЕРЫ ВАРИАНТОВЦЕНТРАЛИЗОВАННОГОТЕСТИРОВАНИЯ С РЕШЕНИЯМИ2000, 2001, 2002 годов
2000
1А. Если 90% числа равны (9V32 - 2^500) : VI , то это число равно
В ар и ан ты ответов
1)8 — ; 2)8-; 3)8 — ; 4)8-; 5)9.
’ 9999
Решение.
Упростим данное выражение (9^32 - 2^500) : VI = = (93VF - 2^53^4): VI = (9 • 2 • VI - 2 ■ 5 ■ VI) : VI =
VI (18-10)
VI 90% - 8 100% - X
8-100 80 о8
X == — = о — .
9099
g Ответ: 8 — (4).
2А. Результат упрощения выражения
Ь-1b + Л +1Ь-1b + Л +1Atif + 2-йw&-iAtif + 2-йw&-iимеет видимеет вид
Ь-1b + Л +1
Ь-1b + Л +1
Atif + 2-й
w&-i
Atif + 2-й
w&-i
имеет вид
имеет вид
Варианты ответов
1) Ь; 2) b + 1; 3) Ь - 1; 4) VI + 1; 5) 1.
Решение.
b-1
b + 4b +1
+ 24b =+ 24b =b-i ь4ь -i ь + 4ь +i 4ь +i
+ 24b =
+ 24b =
ь + 4ь +1 4ь +1
= (V£-i)(Vb+i) (Vb-i)(b + Vb + i) + 2^ = ь + 4ь +1 4ь +1
= (4b - 1)/ + 24b = b -24b + l + 24b = b + 1.
Ответ: b + 1 (2).
ЗА. Количество целых значений параметра а, при которых абсцисса вершины параболы у = (х - 6а)2 + + а2 - 5а - 6 положительна, а ордината отрицательна, равно
Варианты ответов
1)5; 2)6; 3)7; 4)0; 5)1.
Решение.
Вершиной параболы у = (х - 6а)2 + а2 - 5а - 6 является точка С(6а; а2 - 5а - 6), поэтому имеем систему
6а > 0,а > 0,
неравенств:„,
[а2 - 5а - 6 < 0; [(а - 6)(а + 1) < 0.
Решим второе неравенство этой системы методом интервалов, а затем учтем первое неравенство:
^^бТ^ТТТТТТ/ТТТТ^
-106
Решение системы неравенств - множество (0; 6), содержащее 5 целых значений.
Ответ: 5 (1).
4А. Произведение корней уравнения (х - 0,3)(х2 - 4) = = (Зх - 0,9)(х + 2)2 равно
Варианты ответов
1)2,4; 2)4,8; 3)-2,4; 4)6,4; 5)-4,8.
Решение.
(х - 0,3)(х2 - 4) = (Зх - 0,9)(х + 2)2;
(х - 0,3)(х - 2)(х + 2) - 3(х - 0,3)(х 4- 2)2 = 0;
(х - 0,3)(х + 2)(х - 2 - 3(х + 2)) = 0;
(х - 0,3)(х + 2)(-2х - 8) = 0;
-2(х - 0,3)(х + 2)(х + 4) = 0.
Приравнивая нулю сомножители, получим корни уравнения xv = 0,3; х2 = -2; х3 = -4. Их произведение равно 0,3 • (-2) • (-4) = 2,4.
Ответ: 2,4 (1).
5А. Разность между наибольшим и наименьшим кор-о I ,1
нями уравнения х + | х | = 2 — равна Варианты ответов
1)711-1; 2)1; 3)|(711-1); 4)711; 5)|Т11.
Решение.
г»I |2 I I У
Запишем уравнение в виде: | х | + | х | = —.
Обозначим |х| = t (t > 0), тогда имеем f2 4- t= 0;
2£2 + 2t *”5 — 0; ty 22£2 + 2t *”5 — 0; ty 2- 1 ± 71 + 2 • 5 _ -1 ± 71122
2£2 + 2t *”5 — 0; ty 2
2£2 + 2t *”5 — 0; ty 2
^1^2^1^2-1-7Г1
^1
^2
^1
^2
не удовлетворяет условию t > 0;
-1 + 7п
2
Итак, | х | =Итак, | х | =22наибнаибTil-12Til-12хнаймхнайм7Й-12 ’7Й-12 ’*^наиб *^наим10. Зак 569*^наиб *^наим10. Зак 56922711-12711-12= 7ii-i.= 7ii-i.
Итак, | х | =
Итак, | х | =
2
2
наиб
наиб
Til-1
2
Til-1
2
х
найм
х
найм
7Й-1
2 ’
7Й-1
2 ’
*^наиб *^наим
10. Зак 569
*^наиб *^наим
10. Зак 569
2
2
711-1
2
711-1
2
= 7ii-i.
= 7ii-i.
Ответ: V1T -1 (1).
6А. Результат вычисления выражения
61og2 18 5 log2 9
log 32 2
Варианты ответов
1)30; 2)32; 3)64; 4)9; 5)18.
Решение.
Перейдем к основанию 2 во всех логарифмах 61og218 _ 51og29 _ 6 • (log2 9 + log2 2) _ 51og29 _ loSsn^ 1°ёб411
log2 32log2 64
6(log29 + l) 51og29
I ~
6
= 301og2 9 + 30 - 301og2 9 = 30 .
Ответ: 30 (1).
7 А. Разность между наибольшим и наименьшим кор-
нями уравнения 44 • 3= 27 равна
Варианты ответов 1)3; 2)2; 3)-1; 4)5; 5)4.
Решение.
Так как 41084 3 = 3 , то уравнение можно записать в
виде о • о — 27,0— о х Ах — о,
х2 - 2х - 3 = 0; хх 2 = 1 ± V1 + 3 = 1 + 2;х1 = 3- наибольший корень; х2 = -1- наименьший корень;
Xi - х2 = 3 - (-1) = 4.
Ответ: 4 (5).
71
8А. Сумма корней уравнения log35;>. — + -— = 1
’ 2х log2 3,5 равна
Варианты ответов
2>to": 3’ «' 4)3'6; 5)4-6-
Решение.
Найдем ОДЗ из системы неравенств:
3,5х>0,
3,5х*1,
- —>о,2х
х > О,
х + 1.
2
Решая эту систему, получим х > О, х * 1, х * —.
о13-5
Запишем исходное уравнение в виде log3 5ж+
’ х
ч= 1 и перейдем в логарифмах к новому осно-
log 3,5
ванию 3,5.
.3,5log3,5 —log3 5 3,5x.3,5log3,5 —log3 5 3,5x1111l-log35 х 2
.3,5
log3,5 —log3 5 3,5x
.3,5
log3,5 —log3 5 3,5x
1
1
1
1
= 1; -— + log3 5 х = 1.
1 + log 3,5 Х
log3-5 x ,
Введем обозначение log3 5 x= а, будем иметь
- a 2
+ a = 1; 1 - a + a2(l + a) = 1 + a;
+ a
x2 = (3,5)"2x2 = (3,5)"2449*449*a3 + a2 - 2a = 0; a (a2 + a - 2) = 0; a(a - l)(a + 2) = 0;
x2 = (3,5)"2
x2 = (3,5)"2
4
49*
4
49*
r , „ _ 747-49 + 4-2343 + 8351
2 49989898
351 Ответ: (1).
98
Зя ]—— — I равно 4Зя ]—— — I равно 49A. Если sin 2a = 0,6, то значение выражения
Зя ]
—— — I равно 4
Зя ]
—— — I равно 4
cos2
Bap
1)0,2 2)0,4 3) 0,6 4)0,7 5)0,8
Решение.
cos2cos2ЗяЗяcosVcosVЯ Л9 +7-a24Я Л9 +7-a24
cos2
cos2
Зя
Зя
cos
V
cos
V
Я Л
9 +7-a
24
Я Л
9 +7-a
24
sinsinЯ. Лcoscos a • sin — 44Я. Лcoscos a • sin — 44
sin
sin
Я. Л
coscos a • sin — 44
Я. Л
coscos a • sin — 44
rsinrsin1— • (sin a - cos a2 v1— • (sin a - cos a2 v
r
sin
r
sin
1
— • (sin a - cos a
2 v
1
— • (sin a - cos a
2 v
= — • (sin2 a - 2 sin a • cos a + cos2 a) = 1 • (1 - sin 2a)
= 1-(1-0,6) = 1-0,4 =0,2.
Ответ: 0,2 (1).
10A. Результат вычисления выражения
ctg arcsin+ л5ctg arcsin+ л5равенравен
ctg arcsin+ л5
ctg arcsin+ л5
равен
равен
Варианты ответов y^G у[бI—';—
2)12; 3)~2^6; 4) 2y6 ; 5)-4,90.
Решение.
11. (1
1
1
55Пусть arcsin - — = а, тогда sin а = — и а при- 55
5
5
надлежит IV четверти; требуется найти
ctg (a + л) = ctg a.
Используем соотношение 1 + ctg a =—;
sin2 a
1 + ctg2 a = 25; ctg2 a = 24; ctga = -V24 = -2-Уб .
Ответ: - 2-Уб (3).
НА. Касательная к графику функции fix') = 6Vx + 4 с угловым коэффициентом к = 0,6 пересекает ось абсцисс в точке х, равной
Варианты ответов
1)-28; 2)-29; 3)-30; 4)-31; 5)-32.
Решение.
Прежде всего найдем абсциссу точки касания из условия к = f\x0Y Находим производную
13
f\x) = 6(х + 4)"1/2 = ■, отсюда
Vx + 4
’ Jx + 4 ’ 7хо + 4 = 5 ; х0 = 21. Определим ординату точки касания yQ = Лх0) 6 • V21 + 4 = 30 . Уравнение касательной у = 0,6 • (х - 21) + 30. Находим точку пересечения этой касательной и оси абсцисс (у = 0): 0 = 0,6 • (х - 21) + 30; 0 = х - 21 + 50; х = -29.
Ответ: —29 (2).
12А. Если т и М - наименьшее и наибольшее значения функции /(х) = -2х3 - 6х2 - 6х + 7 на отрезке [-2; 1], то значение выражения М + т равно Варианты ответов 1)0; 2)1; 3)2; 4)3; 5)4.
Решение.
Найдем производную f(x) = -6х2 - 12х - 6 = = -6 • (х2 + 2х + 1) = -6 • (х + I)2. Единственной критической точкой данной функции является точка х = - 1 е [-2; 1]. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка:
/(-1) = -2 • (-1)3 - 6- (-1)2 - 6 • (-1) +7=2-6+6+ + 7 = 9,
Л-2) = -2 • (-2)3 - 6- (-2)2 - 6 • (-2) + 7 = 16 - 24 + + 12 + 7 = 11 - М,
f(l) =-2 - 6 - 6 + 7 =-7 - m, M+m = ll-7 = 4.
Ответ: 4 (5).
13A. Если в параллелограмме ABCD заданы
D(3; 1;-5), DC(-2; - 1; 2), DB<4; - 3; - 1), то сумма координат вершины А равна
Варианты ответов в^г-,е
1)1; 2)-1; 3)0; 4)2; 5) -2./
Решение.а
DA = СВ ; так как DC + СВ = DB , то
СВ = DB - ВС = (4; - 3; -1) - (-2; - 1; 2) = (6; -2;-3).
Итак, ИА(6; - 2; - 3). Если обозначим координаты
точки А(х; у; z), то DA(x - 3; у - 1; z + 5). Для определения х, у, z имеем систему:
х - 3 = 6, х = 9
- у - 1 = -2,у = -1; 4.(9; -1; -8); х + у + z = 0.
z + 5 = —3;г = -8
Ответ: 0 (3).
14А. Если в треугольнике АВС заданы ВС = 15,
cos А = —cos А = —5 sin В = —75 sin В = —7то длина стороны АС равнато длина стороны АС равна
cos А = —
cos А = —
5 sin В = —
7
5 sin В = —
7
то длина стороны АС равна
то длина стороны АС равна
Варианты ответовВарианты ответов
Варианты ответов
Варианты ответов
Решение.
. ВС АС
По теореме синусов имеем ^^- - ^^ ^ .
Найдем sin АНайдем sin А= Jl-cos2 Л = J1 - ^= Jl-cos2 Л = J1 - ^
Найдем sin А
Найдем sin А
= Jl-cos2 Л = J1 - ^
= Jl-cos2 Л = J1 - ^
Подставляя в пропорцию значения, получим
15-5V2115-5V21АС-75АС-75, отсюда, отсюда
15-5
V21
15-5
V21
АС-7
5
АС-7
5
, отсюда
, отсюда
15•5•5 3•125 - V21 _ 125V21
7-V21 ~7-21~ 49
„125^21
Ответ: (5).
49
15А. Если сфера радиуса 4 проходит через все вершины куба, то длина ребра куба равна
Варианты ответов
1)^; 2)^; 3)^; 4)1^; 5)1^. оииОо
Решение.
Так как сфера проходит через все вершины куба, то диагональ куба является диаметром сферы и равна 8. Если ребро куба равно а, то 8 = ^а2 + а2 + а2 = а4з ,
8 sVs отсюда а = —=.
^(3).^(3).Ответ:Ответ:Vs з
^(3).
^(3).
Ответ:
Ответ:
1Б. Найдите число целых решений неравенства
6х + 31
х2(х2+Зх-10) х2+5х
Решение.
6х + 31
—1< о ;
х2(х + 5)(х-2) х(х + 5)
6х + 3 + х(х - 2) < . X2 + 4х + 3< о .
х2(х + 5)(х-2)’ х2(х + 5)(х-2) ~
(х + 1)(х + 3)
—< U . Неравенство решим методом
х2(х + 5)(х-2)
интервалов:
Решением данного неравенства является множество (-5; -3] и [-1; 0) и (0; 2). Этому множеству принадлежат следующие целые числа: -4, -3, -1, 1. Число целых решений неравенства равно 4.
Ответ: 4.
2Б. Найдите наибольшее целое решение неравенства
^х2 - 8х +17 > V5 - х .
Решение.
Данное неравенство равносильно системе:
х2-8х + 17>0,, [х2-8х + 17>0,
5 - х > 0,=> • х < 5,
х2-8х + 17>5-х;х2-7х + 12>0;
(х - 3)(х - 4) > 0;(х - 3)(х - 4) > 0;X G (X G (
(х - 3)(х - 4) > 0;
(х - 3)(х - 4) > 0;
X G (
X G (
множества - 5.Ответ: 5.ЗБ. Найдите числомножества - 5.Ответ: 5.ЗБ. Найдите числоVx - 7 lg (х + 1)Vx - 7 lg (х + 1)
множества - 5.Ответ: 5.
ЗБ. Найдите число
множества - 5.Ответ: 5.
ЗБ. Найдите число
Vx - 7 lg (х + 1)
Vx - 7 lg (х + 1)
Итак, решение неравенства - множество (-оо; 3) и (4; 5]. Наибольшее целое значение из этого
целых решений неравенства
10gx + 210 .
Решение.
Найдем ОДЗ из системы ограничений
х - 7 > О, х + 1 > О, х + 2 > О, х + 2 ^ 1;х - 7 > О, х + 1 > О, х + 2 > О, х + 2 ^ 1;х > 7,
х - 7 > О, х + 1 > О, х + 2 > О, х + 2 ^ 1;
х - 7 > О, х + 1 > О, х + 2 > О, х + 2 ^ 1;
х > -1, => х > 7.
х > -2,
х Ф -1;
Перейдем к одному основанию (10) у логарифмов.
Получим Vx - 7(lg(x + 1) + lg(x + 2)) < 0 или
Vx - 7 lg((x + 1)(хф 2)) < 0. Учтем, что первый сомножитель неотрицателен и равен 0 только при х = 7, тогда решаем неравенство lg((x 4- 1)(х + 2)) < 0; (х + 1)(х + 2) < 1; х2 + Зх + 1 < 0.
-3± V9-4 -3±7б Найдем корни трехчлена х12 ==.
Неравенство х2 + Зх + 1 < 0 выполняется для
-3-V5 -з + Vs
< х <. Учтем, что х > 7.
22
Единственное решение неравенства х = 7- целое число.
Ответ: 1.
4Б. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна -16, сумма второго и третьего членов равна -48 , а n-й член равен -972 . Найдите 71.
Решение.
Дано -^-Ьп, Ьг + Ь2 = -16, Ь2 + Ь3 = -48, Ьп = -972. Для нахождения прогрессии используем систему:
^+^ = -16,1^(1 + 9) =-16,
bxq + bxq2 = -48; [^(1 + q) = -48.
Разделив второе уравнение на первое, получим q = 3, затем Ьх = -4.
Теперь найдем п из условия Ьп = -972. -972 = = -4 • З""1; З""1 = 243; З”’1 = З5; п - 1 = 5; п - 6.
Ответ: 6.
5Б. Укажите сумму корней (в градусах) уравнения cos х • cig х + cos х - ctg x = 1, принадлежащих отрезку [-90°; 360°].
Решение.
ОДЗ - х * 180° п, п е Z. Уравнение может быть записано в виде
cos х • (ctg х + 1) - (ctg х + 1) = 0;
(ctg x + l)(cos x - 1) = 0;
ctg x + 1 = 0; ctg x = -1; x = 135° + 180° к, к G Z.
k = 0,x= 135° e [-90°; 360°];
к = -1, x = -45° e [-90°; 360°];
к = -2, x = -225° g [-90°; 360°];
к = 1, x = 315° g [-90°; 360°];
к = 2, x = 495° g [-90°; 360°].
cos x - 1 = 0; cos x = 1; x = 360° к, к g Z - не принадлежат ОДЗ.
Сумма корней 135° - 45° + 315° = 405°.
Ответ: 405°.
2001
А1. Если V37-t - V15-t = 2 . то V37 - t + V15-t равно Варианты ответов
201328
) у; 2)11; 3)8; 4) у; 5) у.
Решение.
Обозначим искомое выражение V3 7 — t + V15 - t = х и найдем произведение заданного выражения и х.
Получим 2х = (V37 — t -415- t^- (V37 — t + V15 — t); 2x = 37 - t - (15 - 0; 2x = 22; x = 11.
Ответ: 11 (2).
. 2х + 5А2. Если f(x) = ,Зх -1. 2х + 5А2. Если f(x) = ,Зх -1то fI — +/у приводится кто fI — +/у приводится кxx
. 2х + 5
А2. Если f(x) = ,
Зх -1
. 2х + 5
А2. Если f(x) = ,
Зх -1
то fI — +/у приводится к
то fI — +/у приводится к
x
x
ВИДУ
Варианты ответов
Зх Зх 1333
1) — ; 2) - — ; 3); 4); 5) —.
7 13713’31313
Решение.Решение.
Решение.
Решение.
5х + 2 2х + 453-х Зх-95х + 2 2х + 453-х Зх-9• - + 5 2 • — + 5
5х + 2 2х + 45
3-х Зх-9
5х + 2 2х + 45
3-х Зх-9
х +9
г
313х
х9
_ 5х + 2 2х + 45
х - 33 • (х - 3)
- 3 • (5х + 2) + 2х + 45 = -15х-6 + 2х + 45
3 • (х - 3)”3 • (х - 3)
-13х + 39 _ -13 - (х-3) 1з
3 • (х - 3) = 3 • (х - 3) = - у'
Ответ:(3).
3
АЗ. Сумма координат вершины параболы
у = х2 - 2х + 3 равна
Варианты ответов
1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
Решение.
Запишем уравнение параболы в виде у = (х — I)2 + 2, вершина находится в точке (1; 2), сумма координат равна 1 + 2 = 3.
Ответ: 3 (3).
А4. Произведение корней уравнения (х2 — 2х + 1)(х2 — 2х — 1) = 3 равно Варианты ответов 1)-2; 2)-1; 3)1; 4)2; 5)3.
Решение.
(х2 - 2х + 1)(х2 - 2х - 1) = 3; пусть х2 - 2х = г, тогда (z - l)(z + 1) = 3; z2 - 1 = 3; z2 = 4; z = ±2. Если z = 2, то x2 - 2x = 2; x2 - 2x - 2 = 0; x12 = 1 ± V1 + 2 = 1 ± Vs ; xt = 1 + Vs ; x2 - 1 - Vs . Если z = -2, to x2 - 2x = -2; x2 - 2x + 2 = 0; x3 4 = 1 ± V1 - 2 - корней нет. Произведение корней уравнения хг • х2 = (i + Vs)(i- Vs) = = 1 - 3 =-2.
Ответ: -2 (1).
А5. Результат вычисления выражения
lo^i/7 7 ^ + logv? равен7 - 2vbvo - 1
Варианты ответов
1)-4; 2)-3; 3)-2; 4)2; 5)4.
Решение.
Ь S1/7Ь S1/7497-2-Уб497-2-Уб1V6 -11V6 -17 - 2Уб497 - 2Уб49+ log7+ log71(Vo -1)21(Vo -1)2
Ь S1/7
Ь S1/7
497-2-Уб
497-2-Уб
1
V6 -1
1
V6 -1
7 - 2Уб
49
7 - 2Уб
49
+ log7
+ log7
1
(Vo -1)2
1
(Vo -1)2
= log7 — = -2 .= log7 — = -2 .f 7 - 2 Тб 1)
= log7 — = -2 .
= log7 — = -2 .
[ 496-276+1,
Ответ,: —2 (3).
Аб. Сумма корней уравнения
И*2*2 -88-11х2 4 -13 И*' = 100 117х+2 равна
Варианты ответов
1)-7; 2)2; 3)7; 4)1; 5)-2.
Решение,
11х2*2 -88-11ж2-1 -13 И*2 = 100-117х+2;
11х2+2 „ 8 • 11х2 - 13 • 11х2 = 100 • 117ж+2;
113"2 (II2 - 8 -13) = 100 • 117х+2;
И^2 (121 - 8 - 13) -100 117х+2;
11х2 100 = 100 117х+2; 11х2 -117х+2;х2 = 7х + 2;
х2 - 7х - 2 = 0; х7 + х2 = 7.
Ответ: 7 (3).
А7- Произведение корней уравнения
*Ч 9*Ч 9- log 9 81х = 3 равно- log 9 81х = 3 равно
*Ч 9
*Ч 9
- log 9 81х = 3 равно
- log 9 81х = 3 равно
Варианты ответов
11
1} 729; 2)81’ 3)1; 4)8Г 5) 729°
— > О9— > О9Решение.
— > О
9
— > О
9
Найдем ОДЗ уравнения из условий
81х > 0;
х > 0. Уравнение запишем в виде (log9 х - log9 9)2 - - (log9 81 + logg х) = 3; (logg х - l)2 - (2 + logg x) = 3. Введем обозначение logg x = b, тогда (b - I)2 - 2 - b =
b2 = -1. Если by = 4, то logg x = 4; Xj = 94; если b2 = -1, to logg x = -1; x2 = 9'1- Произведение корней уравнения хг ■ х2 =94 • 91 = 93 = 729.
Ответ: 729 (5).
А8. Если в арифметической прогрессии первый и десятый члены соответственно равны 30 и 12, то сумма двенадцати первых членов равна Варианты ответов
226; 2) 210; 3) 180; 4) 228; 5) 186.
Решение.
Дано: * ап, аг = 30, а10 = 12, найти S12. Так как а10 = at + 9d, то 12 = 30 + 9d; 9d = -18; d = -2 .
_ 2 • аг + 1 Id Найдем теперь S1212;
S12 = 2 ‘ ^.tl1/ (~2) . 12 = (60 - 22) • 6 = 38 • 6 = 228 .
arctgarctgравноравноОтвет: 228 (4).
arctg
arctg
равно
равно
А9. Значение выражения sin
Варианты от ве то в
--5) -5) -3^2222зУ1з133^2222зУ1з13,,« 31/17ТГ- 3>"ЧГ,,« 31/17ТГ- 3>"ЧГ3V14; 4>-чг=3V14; 4>-чг=
-
-
5) -
5) -
3^2222зУ1з
13
3^2222зУ1з
13
,,« 31/17
ТГ- 3>"ЧГ
,,« 31/17
ТГ- 3>"ЧГ
3V14
; 4>-чг=
3V14
; 4>-чг=
Решение.
ОбозначимОбозначим3tg а = - — (а на-3tg а = - — (а на-(
Обозначим
Обозначим
3
tg а = - — (а на-
3
tg а = - — (а на-
arctg= а, тогда
1 2
ходится в IV четверто) и требуется найти sin а. Из со-
найдем cos2 а.найдем cos2 а.12; COS а = — ;cos2 а1312; COS а = — ;cos2 а1321
найдем cos2 а.
найдем cos2 а.
12
; COS а = — ;
cos2 а13
12
; COS а = — ;
cos2 а13
отношения 1 + tg а :; cos2 а
Имеем 1-1— =—-; —
4 cos2 (х 4
■ 2 _ 1 49 . НГ зЛз ,
”П « ===(учли, ЧТО
а находится в IV четверти). зГГз
Ответ:^~ (б).
АЮ. Результат вычисления выражения sin2 32° + sin 26° кТ^Го равен 5 cos 32
Варианты ответов 11
1)5; 2) -; 3) -; 4)2; 5)1.
Решение.
sin2 32° +sin 26°2 sin2 32° + 2 sin 26° _
5cos2 32°=5-2cos2 32°
_ 1 - cos64° + 2sin(9Q° - 64°) _ 1 - cos 64° + 2 cos 64° 5 • (1 + cos 64^5-(l + cos64°)
1 + cos 64°_ 1
5 • (1 + cos 64°)5 '
1 Ответ: ~ (3).
All. Если в окружности хорда длиной 30 см перпендикулярна диаметру и делит его в отношении 1: 9, то диаметр окружности равен Варианты ответов
30 см; 2) 35 см;
40 см; 4) 45 см;
5) 50 см.
Решение.
По условию АМ : МС = 1:9. Обозначим АМ = х, тоь. да МС = 9х. Треугольник АКС - прямоугольный, КМ- высота, опущенная на гипотенузу. Так как КМ2 = АМ • МС и КМ = 15, то 152 = х • 9х; 9х2 = 22§; х2 = 25; х= 5. Диаметр окружности
АС = АМ + МС = х + 9х =
Юх = 50.
Ответ: 50 (5).
А12. Если сфера радиуса 4,5 см проходит через все вершины прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат со стороной 4 см, то объем этого параллелепипеда (в куб. см) равен
Варианты ответов
1)108; 2)112; 3)116;
120; 5) 124.
Решение.
Рассмотрим диагональное сечение параллелепипеда. В прямоугольнике ААХСХС сторона АС - диагональ основания (так как основанием является квадрат со
стороной 4 см, то АС = 4V2 см), ACV — диаметр окружности, ACV = 9 см, СС^- высота параллелепипеда. По теореме Пифагора ССг == V81 - 32 = 7.
Объем параллелепипеда V = S0CH • Н = 16 • 7 = 112,
Ответ: 112 (2),
Б1, Найдите сумму корней уравнения |(х - 4)3 - Зб| = 28. Решение.
|(х - 4)3 - 36| = 28; (х - 4)3 - 36 = ±28;
(х - 4)3 - 36 - 28; (х - 4)3 - 64; х - 4 = 4; хх - 8;
(х - 4)3 - 36 = -28; (х - 4)3 = 8;~х - 4 = 2; х2 = 6. Сумма корней уравнения хх + х2 = 8 + 6 = 14.
Ответ: 14.
Б2а Укажите число целых решений неравенства х2 - х + 41
(х + 3)(х + 4) х + 4 ’
Решение.
х2-х + 41 х2 - х + 41
<< (
(х + 3)(х + 4) х + 4 (х + 3)(х + 4) х + 4
х2 - х + 4 - (х + 3) х2 - 2х + 1
< о. < 0 •
(х + 3)(х + 4)’ (х + 3)(х + 4)
(х-1)2
(х + 3)(х + 4)
Последнее неравенство решаем методом интервалов
Решением данного неравенства является множество (-4; -3) u {1}, содержащее одно целое число 1, поэтому число целых решений неравенства равно 1.
Ответ: 1.
БЗ, Найдите число целых решений неравенства
Решение.Решение.ОДЗ: х + 4>0=>х> -4, Введем обозначение Vx + 4 = t (t > 0), тогда неравенство примет вид ,+5S5; t + 5 — — < 0; —50; ^*±«<0.
Решение.
Решение.
f(t-l)(t + 6)<0, „
Так как t > 0, то ГРешая первое
[^>0.
неравенство, получим -6 < t < 1, учитывая второе ограничение, будем иметь 0 < t < 1 или 0 < Vx + 4 < 1; 0<х + 4<1;-4<х< —3- Полученный промежуток содержит одно целое число (—3 ), а потому число целых решений неравенства равно 1.
Ответ: 1.
Б4. Найдите сумму целых решений неравенства
/хХ2+х-6
I ТС cos—
I 3J
Решение.
2 , сXX +х-о лCOS —62 , сXX +х-о лCOS —6л 1 л Vb
2 , с
XX +х-о л
COS —
6
2 , с
XX +х-о л
COS —
6
можно записать в виде:можно записать в виде:. Разде. Разделим обе части последнего неравенства налим обе части последнего неравенства наполучимполучим. Так как. Так какcos — = —, cos — -. Следовательно, неравенство
можно записать в виде:
можно записать в виде:
. Разде
. Разде
лим обе части последнего неравенства на
лим обе части последнего неравенства на
получим
получим
. Так как
. Так как
—— <1, то х2 + х - 6 < 0; (х - 2)(х + 3) < 0, откуда V3
х G [-3; 2]- Полученному промежутку принадлежат
следующие целые решения неравенства: -3, -2, -1, О, 1,2. Их сумма равна -3.
Ответ: -3.
Б5. Найдите сумму целых решений неравенства
glogj Х + 2 _ 4xl<>g3 Ж бх10®13
Решение.
3'0®2Z + 2 _4xiog3* S5x‘°^3; ОДЗ: х > 0, х*1.
Неравенство запишем в виде:
3logfx + 2 - 4(3^ ^№' <5.3, или
32 . 3log^ _ 4 . glog^ < 15 . 3log2x . (9 _ 4) < 15 ;
glogi* ^ 3 . log2 x < 4 . |log3 x| < 1; -1 < 10g3 ж < 1;
— < x S 3 . Учитывая, что x * 1, получим
X G [1/3; 1) u (1; 3]. Полученному множеству принадлежат целые числа 2, 3, сумма которых равна 5.
Ответ: 5.
Б6. Найдите число решений уравнения 3cos2 х - 8 sin х= = 0, принадлежащих отрезку [~3л; тс].
Решение.
3cos2 х - 8 sin х = 0; 3(1 - sin2 х) - 8 sin х = О;
3sin2 х + 8 sin х - 3 = 0. Обозначим sin х = у, тогда
о л -4 ±716 + 3-3-4 ±5
Зу2 +8у - 3 = 0; у1-2 == —-— ;
о3
Ух = -3; sin х = -3 - корней нет;
~ 1 • -1
У2 ~ 3 ; smx - — . Число корней этого уравнения найдем графически.
Число решений уравнения на отрезке [-2к; л] равно 4.
Ответ: 4.
Б7. Найдите сумму координат точки с положительной абсциссой, касательная в которой к графику функции f(x) = х2 - Зх +16 проходит через начало координат
Решение.
Обозначим абсциссу точки касания х0, тогда ордината у0 = Хр - Зх0 + 16 . Находим угловой коэффициент касательной к = Л(^о) = 2х0 - 3. Уравнение касательной имеет вид
у = (2х0 - 3)(х - х0) + Хр - Зх0 + 16 .
Так как касательная проходит через начало коорди
нат, то 0 = (2х0 - 3)(-х0) + Хр - Зх0 + 16;
2хр + Зх0 + Хр - Зх0 +16 — 0; Хр '= 16 ; х0 = 4 (абсцисса точки касания положительна); у0 = 42 - 3 • 4 + + 16 — 20. Точка касания (4; 20), сумма ее координат равна 24.
Ответ: 24.
Б8. Сколько точек (х; у) с целыми координатами х, у лежат внутри прямоугольника с вершинами А (0,5; -1,5), В (0,5; 1,5), С (4,5; 1,5), D (4,5;.-1,5)?
Решение.
Построим прямоугольник ABCD и найдем точки с целыми координатами внутри этого прямоугольника. Такими точками являются (1; -1), (1; 0), (1; 1),
(2; -1), (2; О), (2; 1), (3; -1), (3; 0), (3; 1), (4; -1), (4; О), (4; 1). Число таких точек равно 12.
Ответ: 12
Б9= НайдитеБ9= Найдите, если а + Ь делит угол между, если а + Ь делит угол между
Б9= Найдите
Б9= Найдите
, если а + Ь делит угол между
, если а + Ь делит угол между
векторами 5(111; 222; 333) и b пополам.
Решение»
Вектор а + Ь направлен по диагонали параллелограмма. Если вектор а + b делит угол пополам, то диагональ является биссектрисой, параллелограмм явля-
ется ромбом иется ромбом иа = bа = bОтсюда а - b - 0 -Отсюда а - b - 0 -
ется ромбом и
ется ромбом и
а = b
а = b
Отсюда а - b - 0 -
Отсюда а - b - 0 -
Ответ: 0=
Б10. Найдите значение параметра а, при котором наибольшее отрицательное решение неравенства ах +16 > -7 равно -8.
х
Решение.
Так как х = -8 является решением неравенства, то ~ 8а + 16_
, отсюда -8а + 16 < 56; -8а < 40; а > -5. — о
Возьмем а = -5 и проверим выполнение условия задачи. При а = -5 имеем неравенство:
5х + 16- 5х + 16 _ . „- 5х + 16 + 7х . _
> -7; + 7 > 0 ; > 0;
XXX
2х + 16 л х + 8
> 0 ; > 0 о Решаем это неравенство мето- Xх
дом интервалов.
Действительно, наибольшее отрицательное решение неравенства - (-8).
Ответ: -5.
2002
Al- Укажите все номера рациональных чисел данного множества:
1) V6 + 2V5 -V5; 2) (Vt)"; 3)5М/2;
Решение.
1) V6 + 2V5 - 75 = 7s = J(T5)2 + 275 +1 - 75 = = 75+1 -75 = 7s+1- число;
/ог-\0
+1 + 275 -75 =
V(T5+iy -75 =
Vs — 1 - рациональное
Варианты ответов
1)1,2, 3; 2) 1,2, 4; 3) 1, 2, 5; 4) 2, 3, 4; 5) 2, 3, 5.
7з272 = ^25 • 72 = нальное число;
^-75 - г
: 2^72 = 210Т2 - иррацио-
72+75Г-
— —— -75 =
рациональное число
+
72 + 75 /г 72-75 =V5
2-5-3
иррациональное число;
5)- ^ = 5 -
Ответ: 1, 2, 5 (3).
А2. Упростите выражение:
а2-Ь2д-Ь
а^ ^abxl^ аХ1^ЬХ1
V
■75 = -^72--75 - 33
- рациональное число.
J а
2
7
Варианты ответов
1) а - Ь; 2) Va - 4b ; 3) а4а - a4b ; 4) 4а + 4b ; 5) а.
Решение.
а-Ь2a2'2 + ab1'2
( а2-b2
а^' + Ь1^
а2 - Ь2 - а (а - Ь) а a(4a + 4b) b
а2-Ъ2-a2 ^ab а _b(a-b} 1 а(4а + 4b) b 4а + 4b Ь
(4а - 4ь)(4а + 4b)
х = 1,(6) G (1,6; 1,7).
Ответ: x = 1,(6) g (1,6; 1,7) (3).
A4. Найдите скорость лодки в стоячей воде (в км/ч), если за 5 часов она прошла по реке 20 км и вернулась обратно, а скорость течения 3 км/ч, Варианты ответов 1)8; 2)9; 3)10; 4)11; 5)12.
Решение.
Пусть х - скорость лодки в стоячей воде, тогда х + 3 - скорость лодки вниз по течению;
20
ж + g ~ время (в часах), затраченное лодкой на путь вниз по течению;
х - 3 - скорость лодки вверх против течения; 20
ж _ g ~ время, затраченное на путь вверх против течения.
Так как всего было затрачено 5 часов, то имеем уравнение:
20 , 20 _ к 20 (х - 3) + 20 (х + 3) сх+3 + х-3" ;х2-9~ ;
40х = 5(х2 - 9); 8х = х2 - 9; х2 - 8х - 9 = 0;
х1,2 = 4 ± V16 + 9 = 4 ± 5; Xj = 9; х2 = -1 (скорость не может быть отрицательной).
Ответ: 9 (2).
/ 1х х-З
А5. Сумма корней уравнения I Js^-2 I = 27х равна
Варианты ответов
1)11; 2)-11; 3)6; 4)-6; 5)8.
Решение.
/ I\*-3(х-2)(х-3)
I V3X~2 I = 27х ; 32_ дЗх .
(х - 2) (х - 3) „
= Зх ; (х - 2)(х - 3) = 6х;
х2 - 5х + 6 = 6х; х2 - Их + 6 = 0. По теореме Виета xt + х2 = 11 (отметим что корни существуют, так как D = 121 - 4 • 6 > 0).
Ответ: 11 (1).
Аб. Среднее арифметическое всех корней уравнения cos2 х + sin х • cos х = 1, принадлежащих промежутку [-л; л], равно
Варианты ответов
лЗя л л
1)Ч; 2)0; 3)—; 4) - -. 5)g.
Решение.
cos2 х + sin х • cos х = 1;
cos2 x + sin x • cos x = cos2 x + sin2 x;
sin x • cos x - sin2 x = 0; sin x • (cos x - sin x) = 0;
sin x = 0; x = лп, n e Z;
n = 0; x = 0 6 [-л; л];
n = 1; x = л g [-л; л];
n = -1; x = -л g [-л; л].
cos x - sin x = 0 | : cos x; 1 - tg x = 0; tg x = 1;
= arctg 1 + лк, k G Z; x - - + лк; k g Z;
k = 0; x = — g [-л; л ];
4
к = 1; x = — g [-я; л ];
4
л
10 '
л
Ответ: - — (4).
А7. Сумма ординат точек пересечения прямой 3z/ - 2х = 4 и параболы Зу = х2 + 2х равна Варианты ответов
58714
1)5; 2)-; 3)2; 4) ^; 5) у.
Решение,
Для нахождения точек пересечения двух линий нужно совместно решить уравнения этих линий. Рассмотрим систему:
Зу - 2х = 4,
Зу = х2 + 2х.
Так как требуется найти ординаты точек пересечения, то исключим из системы х. Из первого уравнения
Зу -4
имеем 2х = Зу - 4; х = —-— .
Полученное выражение подставим во второе уравнение:
Зу^3^ + 2-^; 42’
Зу = ^L^^CL*^ + Зу - 4 ; 9у2 - 24у + 16 = 16;
9у2 - 24у = 0; Зу2 - 8у = 0; у • (Зу-8) = 0; У1 = О; У2 =|; 8
У1 + У 2 = з.
8 Ответ: — (2).
А8. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного прямыми 2у - Зх = 12, 2у - Зх = 18 и осями координат Варианты ответов 1)30; 2)15; 3)45; 4)42;
60.
Решение.
Для построения прямых найдем по две точки, лежащих на этих прямых.
2у - Зх = 12.
х = 0, у = 6;D
х = -4,у = 0; А (0; 6), В (-4; 0).
2у - Зх = 18;
х = 0, у = 9;
х = -6, у = 0; С (О; 9), D (-6; 0).
Площадь полученного четырехугольника ABDC можно найти как разность площадей двух прямоугольных треугольников OCD и ОАВ:
S = S1-S2= —-9-6- —-6-4 = 27-12 = 15.
222
Ответ: 15 (2).
А9. Даны векторы АВ (а; Р; - 6) и АС (4; 2; -ЗХ. Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то сумма а + Рравна Варианты ответов
14; 2) 16; 3) 10; 4) 18; 5) 12.
Решение.
Так как точки А, В и С лежат на одной прямой, то
векторы АВ и АС коллинеарны и, следовательно, их
а -6а -6венства — = —- = 2 находим а = 8, из равенства — = 2 4—32
а -6
а -6
определяем Р = 4;а+Р = 8 + 4 = 12.
Ответ: 12 (5).
АЮ. Если точка касания вписанной в прямоугольный В \ треугольник окружности \ делит катет на отрезки 5 см \ и 7 см, то периметр тре- х \ угольника (в см) равен\
Варианты ответов\
1)44; 2)64; 3)84; 4)94;
5) 104.
Решение.
Пусть CD = 5, DA = 7, тогда г _/\ д
МА = DA = 7, NC = CD = 5 (как 57
отрезки касательных, проведенных из одной точки к одной окружности). Обозначим
NB = х, тогда ВМ = х, АВ = 7 + х, СВ = 5 + х, АС = 5 +
+ 7 = 12. По теореме Пифагора АВ2 = АС2 + СВ2 или (7 + х)2 = 122 + (5 + х )2;
49 + 14х + х2 = 144 + 25 + Юх + х2;
49 + 14х = 169 + Юх; 4х = 169 - 49;4х = 120; х = 30. Находим стороны треугольника: АВ = 30 + 7 = = 37; СВ = 5 + х = 35; АС = 12. Периметр Р = 37 + 35 + + 12 = 84.
Ответ: 84 (3).
АН. Образующая конуса равна 6 см, а угол между нею и плоскостью основания равен 60°. Найдите объем конуса (в куб. см).
Варианты ответов
9л/3л; 2) 9л; 3) 18л;
18л/3л ; 5) 24л.
Решение.
Рассмотрим осевое сечение ко-О
нуса. В треугольнике SOB извест
ны гипотенуза SB = 6 и острый угол ZSBO = 60°, по
этомуэтомуOB = P = 6cos60°-6-i = 3;
этому
этому
2
SO = Н = 6 sin 60° = 6 • — = зТз .
2
Объем конуса У = ^ tiR2H = i л • З2 • 3V3 = 9л/3л.
Ответ: 9л/3л (1).
А12. Укажите все значения параметра а Ф 0, при которых графики функций у = |х2 - 2ах| и у = За имеют только две общие точки
Варианты ответов
1)(0;1); 2)(1;2); 3) (0; 3); 4) (3; оо); 5) (1; 3).
Решение.
Решим задачу графически. Рассмотрим график функции у = х2 - 2ах. Это парабола с вершиной в точке (а; -а2), следовательно, график функции у = |х2 - 2ах| имеет вид, изображенный на чертеже (при а > 0). Гра-
iфиком функции у = За яв-
I уIляется прямая, парал-
Д ЗаJлельная оси абсцисс. Из
/чертежа видно, что ли-
\/нии будут пересекаться в
2/двух точках при выпол-
/нении условия а2 < За;
I \/а(а-3)<0;ае(0;3).
д /.** Замечание: в случае
/а < 0 точек пересечения
нет, так как у = |х2 - 2ах\ принимает неотрицательные значения, а у = За < О .
Ответ: (0; 3) (3).
Б1. Укажите сумму целых чисел ^, при которых дробь 6g2 -13g + 1 является также целым числом 2К -5
Решение.
Разделим числитель на знаменатель
6g2 -13g + l| 2g -5
6g2 -15g 3g+ 1
2g+ 1
2g -5
6
Заданную дробь можно представить в виде 6g2-13g + l ог, 6
— = 3g +1 + -——-. Так как первое сла- 2g - 52g - 5
гаемое 3g + 1 является целым числом, то вся дробь 6
будет целым числом при условии, что 2^ _ 5 ” Целое» а это будет выполняться, если знаменатель дроби принимает одно из значений: ±1; ±2; ±3; ±6. Рассмотрим все 8 случаев:
2g - 5 = 1; 2g = 6; К = 3 (целое);
2g - 5 = -1; 2g = 4; g = 2 (целое);
2g - 5 = 2; 2g = 7; g = 3,5
2К - 5 = -2; 2К = 3; К = 1,5
2К - 5 = 3; 2К = 8; К = 4 (целое);
2К - 5 = -3; 2К = 2; К = 1 (целое);
2К - 5 = 6; 2К = 11; К = 5,5;
2К - 5 = -6; 2К = -1; К = -0,5,
Сумма всех целых К равна 3 + 2 4- 4 4- 1 = 10.
Ответ: 10.
Б2. Укажите наименьшее целое решение неравенства (х - 2)(х - 3) х + 4 (х + 2)(х + 3) ~ х - 4
Решение.
(х - 2)(х - 3) < х + 4 (х - 2)(х - 3) _ х + 4 <
(х + 2)(х + 3) ~ х - 4 ’ (х + 2)(х + 3) х - 4 ~ ’
(х - 2)(х - 3)(х - 4) - (х + 2)(х + 3)(х + 4) <
(х + 2)(х + 3)(х - 4)~ ’
(х2 -5х + 6)(х - 4) - (х2 + 5х + 6)(х 4- 4)
(х 4- 2)(х 4- 3)(х - 4)~ ^ ’
х3 - 4х2 -5х2 4- 20г 4- 6х-24-х3 -4х2 -5х2 -20г- 6х-24
<о;
(х 4- 2)(х 4- 3)(х - 4)
- 18х2 - 48Зх2 + 8
< 0 ;> о .
(х 4- 2)(х 4- 3)(х -4) (X 4- 2)(Х 4- 3)(х - 4)
Последнее неравенство решаем методом интервалов, учитывая при этом, что числитель Зх2 4- 8 > 0 для всех х е R.
Наименьшее целое решение неравенства х - 5.
Ответ: 5.
БЗ. Найдите сумму корней уравнения |х 4- 1| = 2 |х - 2|. Решение.
Равенство |а| = |Ь| возможно в двух случаях: 1) а = b и 2) а = -Ь. Используя этот факт, получим:
х + 1 = 2(х - 2); х 4- 1 = 2х - 4; -х = -5; х = 5;
х + 1 = -2(х - 2); х 4- 1 = -2х + 4; Зх = 3; х = 1.
Сумма корней -5 + 1 = 6.
Ответ: 6.
Б4. Найдите сумму корней (или корень, если он один)
/18х-10 _ / х „
уравнения .8J= Л .
V х И8х-10
Решение.
.'10 .
Обозначим t = J- (t > О), тогда уравнение
V х
я
запишется в виде: t - — = 2 ; t2 - 8 = 2t; t2 - 2t - 8 = 0;
t
tx 2 = 1 ± 71 + 8 = 1 ± 3; tv = 4; t2 = -2 (не удовлетворя
ет условию t > 0). Для определения х получим уравне-
/18х-10.18х-10
ние ,= 4 ;16 ; 18х - 10 = 16х;
V хх
2х = 10; х = 5.
Ответ: 5.
Б5. Найдите сумму целых решений неравенства
Решение.Решение.ИмеемИмеем
Решение.
Решение.
Имеем
Имеем
Умножим обе части неравенства наУмножим обе части неравенства на
Умножим обе части неравенства на
Умножим обе части неравенства на
тогдатогда> 1. Так как ~ > 1> 1. Так как ~ > 1тото4 - Vl-Зх > 04 - Vl-Зх > 01 -Зх > 0;1 -Зх > 0;V1 -Зх <4, Зх < 1;V1 -Зх <4, Зх < 1;1-Зх <16,1-Зх <16,
тогда
тогда
> 1. Так как ~ > 1
> 1. Так как ~ > 1
то
то
4 - Vl-Зх > 0
4 - Vl-Зх > 0
1 -Зх > 0;
1 -Зх > 0;
V1 -Зх <4, Зх < 1;
V1 -Зх <4, Зх < 1;
1-Зх <16,
1-Зх <16,
Зх > -15, х > -5,
1 х g - 5; —
33J
В полученный промежуток входят целые числа:
—5, —4, —3, —2, —1, 0. Их сумма равна —15.
Ответ: -15.
Б6. Найдите сумму целых решений неравенства Iog8 (х + 4) < Iog8 (х - х - 4), удовлетворяющих условию х < 6.
Решение.
х > -4,
х2 — 2х — 8 > 0.х2 — 2х — 8 > 0.2
х2 — 2х — 8 > 0.
х2 — 2х — 8 > 0.
- х - 4; так как 8 > 1;
Неравенства х2-х-4>0их2-2х-8>0 решим раздельно.
1) х2 - х - 4 > 0; хх 21) х2 - х - 4 > 0; хх 21 ± 71+16 1 ± ТТ?1 ± 71+16 1 ± ТТ?2222
1) х2 - х - 4 > 0; хх 2
1) х2 - х - 4 > 0; хх 2
1 ± 71+16 1 ± ТТ?
1 ± 71+16 1 ± ТТ?
2
2
2
2
; 2,5 < Xj < 3; х2; 2,5 < Xj < 3; х2221 + 717
; 2,5 < Xj < 3; х2
; 2,5 < Xj < 3; х2
2
2
Xi =
2
_ 3
2 < ~ . Решаем неравенство методом интер-
валов:
-2Хз 0
2Х14
Множество решений системы (-4; -2) и (4; +=). Целые числа, удовлетворяющие условию х < 6 и принадлежащие данному множеству: -3, 5, 6; их сумма -34-5 + 6 = 8.
Ответ: 8.
Б7. Найдите сумму всех целых чисел К, каждое из которых делится без остатка на 8 и удовлетворяет условию -121 < К < 289.
Решение.
Данные числа можно записать в виде К = Вт, где т е Z (арифметическая прогрессия с разностью 8). Находим, в каких пределах изменяется т;
-121 < Вт < 289; - 15^ < m < 36^ ; -15 < т < 36.
Число членов прогрессии п = 36 - (-15) + 1 = 52; а1 = -15 • 8; п52 = 36-8;
„ а. +-15-8 + 36-8
S52 -' 52 = з52 =
= 4 • 21 • 52 = 4368.
Ответ: 4368.
sin а - cos а _ 3 Б8. Найдите tg а, если —:у .
sin а + cos а 4 Решение.
4 sin а-cos а 3
-—; у . Разделим числитель и зйамена- 5 sin а + cos а 4
тель дроби -в левой части равенства на cos а, тогда
4tga - 13
5tga +1 ” 4 ; 4(4tg a ” 4) = 3(5tg a + 1);
16tg a - 4 = 15 tg a + 3; tg a = 7.
Ответ: 7.
Б9. Укажите в градусах значение угла arctg (sin (-540°))
Решение.
Вычислим sin (-540°) = - sin (540°) = = - sin (540° - 360°) = - sin 180° = 0; arctg (sin (-540°)) = arctg 0 = 0°.
Ответ: 0.
Б10. Найдите точку максимума функции у = (3 - х)е\ Решение.
Функция у = (3 - х)е* определена для всех х е R. Находим производную
/ = (3 - хУ еж + (3 - х) ^У = -ех + (3 - х) еж = = еж(2 - х). Так как еж > 0, х е R, то единственной критической точкой является х = 2.
Ответ: 2.
17. ПРИМЕРЫ ВАРИАНТОВЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГОЭКЗАМЕНА 2001, 2002 годовС РЕШЕНИЯМИ
Единый государственный экзаменпо математике (2001)
Часть 1
А1. Найдите значение выражения -\/3 • ^8 - 2 • З2.
Варианты ответов
1)2; 2)-32; 3)0; 4) л/з.
Решение.
V3 ■ V8 - 2 • З2 = V3-2-2V3=0.
Ответ: 0 (3).
2 +и5
А2. Упростите выражение г.
2 + п”
Варианты ответов
) 0; 2) 2; 3) - 2^ ;4) - 2^ + 2.
Решение.
/1 А2
+ п5
-2— Мп = 2 + п5 -п5 = 2 .
2 + п^
Ответ: 2 (2).
АЗ. Упростите выражение 2 log3 6 - log3 4 + 5log52
Варианты ответов
) О; 2) 13; 3) 7; 4) 4.
Решение.
log36 - log34 + 510gs2 = log362 - log34 + 2 =
36 „
= l°g3 "y + 2 = 1о£з9 + 2 = 2 + 2 = 4.
Ответ: 4 (4).
flY-3 1
A4. Решите неравенство —< — .
Варианты ответов
(™; 5); 2)(-оо;7); 3) (5; +-); 4) (7; +-), Решение.
/«у-з1 .
А < —; А < А ;х-3>2(-<1);х>5.
16 (4 JV4
Ответ: (5; +=о) (3).
А5. Укажите промежуток убывания функции у = f(x), заданной графикомА5. Укажите промежуток убывания функции у = f(x), заданной графиком
А5. Укажите промежуток убывания функции у = f(x), заданной графиком
А5. Укажите промежуток убывания функции у = f(x), заданной графиком
Варианты ответов
1)[2;3]; 2) [0; 3]; 3) [2; 4]; 4)(-1;2).
Решение.
Из графика видно, что функция на (-2; 0) возрастает, на (0; 3) убывает, на (3; 4) возрастает.
Ответ: [0; 3] (2).
Аб. Упростите выражениеАб. Упростите выражениеcos 2х + cos2cos 2х + cos2
Аб. Упростите выражение
Аб. Упростите выражение
cos 2х + cos2
cos 2х + cos2
2 sin2 х;2 sin2 х;4) cos2 х.4) cos2 х.Варианты ответов 1) 0; 2) 2 cos2 х; 3) cos2 х -
2 sin2 х;
2 sin2 х;
4) cos2 х.
4) cos2 х.
Решение.
cos 2х + cos2 — + х = cos2 х - sin2 x + (-sin x)2 = (2 J
= cos2 x - sin2 x + sin2 x = cos2 x.
Ответ: cos2 x (4).
A7, Найдите производную функции /(x) = ex - 3x! Варианты ответов
f(x) =€=- 15x4; 2) f(x) = ex - 5x4;
f(x) = 1 - 15x4; 4)f'(x) = ez - |xc .
Решение.
t^ = ^- Зх5; f (х) = (ех)' - 3(х5)' = ех - 3 • 5х4 =
= 6х - 15х4.
Ответ: f\x) = ех - 15х4 (1).
ответовответовВариантыВариантыА8о Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log8 (3 + х) = О.
ответов
ответов
Варианты
Варианты
1) (3; 5); 2) (-41) (3; 5); 2) (-4; -2); 3) (-3; -1); 4) (2; 4).
1) (3; 5); 2) (-4
1) (3; 5); 2) (-4
Решение.
Iog8 (3 + х) = 0; 3 + х = 1; х = -2 е (-3; -1).
Ответ: (—3; —1) (3).
А9= Найдите область определения функции
f (х) = ^/ Зх2 + 15х .
Варианты ответов
[-5; 0);2) (-=»; -5] и [0; +°о);
(-оо; 0] и [5; 4-оо);4) (-5; 0].
Решение.
Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно; Зх2 + 15х > 0; Зх (х + 5) > 0. Решим это неравенство методом интервалов:
-5О
Функция /(х) определена для х е (-«>; -5] и [0; +«>).
Ответ: (-°°; -5] и [0; +°°) (2).
АЮ. Найдите значение производной функции и fix') в точке х0.
Варианты ответов
Значение производной равно тангенсу угла наклона касательной, поэтому /'(^о) = *8 45° = 1.
Ответ: 1 (4).
АН. Найдите наибольшее значение функции g(x) = -х3 + Зх на отрезке [-1; 2].
Варианты ответов
1)-4; 2)4; 3)2; 4)-2.
Решение.
Находим производную данной функции g'(x) = = -Зх2 + 3; определяем точки, в которых производная равна О или не существует. Так как g'(x) существует для всех х е R, то критические точки находим из условия -Зх2 + 3 = 0; х2 = 1; Xj = -1; х2 = 1 е (-1; 2). Вычисляем значения функции в точке х2 = 1 и на концах отрезка: ^(1) = -I3 + 3-1 = 2; ^(-1) = -(-I)3 + 3 • (-1) = = 1 - 3 = -2 ; ^(2) = -23 + 3 • 2 = -8 + 6 = -2. Наибольшее значение функции равно 2.
Ответ: 2 (3).
А12. Найдите площадь фигуры, ограниченной линия-
Варианты ответов 1)21; 2)1|; 3)2|; 4)11.
ОО°
^Вычтоляем площадь криволинейной трапеции по
22формуле:
2
2
2
4«--
11,4-2 —,4-2 —Г41-тГ41-т18"з " 4~318"з " 4~3
1
1
,4-2 —
,4-2 —
Г
41-т
Г
41-т
1
8"з " 4~3
1
8"з " 4~3
о 175,2
-8-Г4Т4ТГ з •
2
Ответ: 1 — (2).
А13. Решите уравнение 2 cos2 х - 3 sin х - О.
Варианты ответов
, л п 7- + кк, keZ
х = + — + 2яТг, fe е Zv z 6
л „ , , г, V— + ик, ке Z
х = ± — + 2лй, к е Z ; 4) * i О
76
Р'S\ - 3sin х - 0; 2(1,-sinM -n3sin x - 0;2 - 2sin2 x - 3sin x - 0; 2sm2 X + Ззт X 2 _ 0.
Обозначим sin x = а, тогда 2n + 3a z u,
«1 = 2 ; a2 = -2-«1 = 2 ; a2 = -2-- 3 ± V9 + 4 • 2 • 2 _ ~ 3 ^ ^
«1 = 2 ; a2 = -2-
«1 = 2 ; a2 = -2-
°i,2 = —44
sinx = i; X = (-l)fe arcsini + nk, к e Z 2) sin x = -2 - корней нет (-2 < -1).
Ответ: x = (-l)fe + nk, к e Z (2). О
Часть 2
BL Решите уравнение V2x2 -4х-5 = х- 2. Решение.
л/2х2 - 4х - 5 = х - 2 ; возведем обе части равенства в квадрат:
2х2 - 4х - 5 = х2 - 4х + 4; х2 = 9; х = ±3.
Сделаем проверку: х = 3; уЗ-З2- 4- 3- 5 = 3- 2; V18 -12-5 = 1; VI = 1 - равенство верное, следовательно, х = 3 - корень уравнения;
х = -3; -^2 • (—З)2 - 4 • (-3) - 5 = -3 - 2 - равенство невозможно^ так как корень квадратный принимает неотрицательные значения, а справа стоит -5 - отрицательное число. Таким образом х = -3 - посторонний корень.
Ответ: 3.
Найдите значение выражения
cos 48° • cos 22° + sin48° • cos 68°
cos213°-sin213°
Решение.
cos 48° • cos 22° + sin 48° • cos 68° _ cos2 13°-sin2 13°
cos 48° • cos 22° + sin 48° • cos(90° - 22°) _
_cos (2-13°)~
_ cos 48° • cos 22° + sin48° • sin 22° _
cos 26°
cos(48°-22°) = cos 26° = f
cos 26° cos 26°
Ответ: 1.
Найдите точку максимума функции f^x) = ех + 3 • х4. Решение.
Функция f(x) = ех*3 • х4 определена на всей числовой прямой, найдем ее производную f(x) = 6х *3 • х4 + + ех + 3 • 4х3 = ех + 3 • х3(х + 4). Производная существует
для всех х & R, обращается в 0 в двух точках х = О и х = -4. Исследуем знак производной в полученных интервалах.
Так как производная в точке -4 меняет знак с «+» на «-», то -4 - точка максимума функции.
Ответ: -4 .
Найдите меньший корень уравнения 3 • 9Г - 5 • 6Z + + 2 • 4х = 0.
Решение.
Разделим обе части уравнения на 4 х, получим
3-3-+ 2 = 0; 3-+ 2 = 0; 3--5--5-+ 2 = 0.+ 2 = 0.
3-
3-
+ 2 = 0; 3-
+ 2 = 0; 3-
-5-
-5-
+ 2 = 0.
+ 2 = 0.
Обозначим —2Обозначим —2= t (t > 0), тогда уравнение примет= t (t > 0), тогда уравнение примет
Обозначим —
2
Обозначим —
2
= t (t > 0), тогда уравнение примет
= t (t > 0), тогда уравнение примет
вид:вид:St2 - 5£ + 2 = 0; t1>2St2 - 5£ + 2 = 0; t1>25 ± V25 - 245 + 15 ± V25 - 245 + 1; #i = 1;; #i = 1;1) #i = l1) #i = l'з\'з\2= 1 ; хг = 0; 2) t2 = -2= 1 ; хг = 0; 2) t2 = -f зУf зУ
вид:
вид:
St2 - 5£ + 2 = 0; t1>2
St2 - 5£ + 2 = 0; t1>2
5 ± V25 - 245 + 1
5 ± V25 - 245 + 1
; #i = 1;
; #i = 1;
1) #i = l
1) #i = l
'з\
'з\
2
= 1 ; хг = 0; 2) t2 = -
2
= 1 ; хг = 0; 2) t2 = -
f зУ
f зУ
х2 = -1. Наименьшим корнем является х2 = -1.
Ответ: -1 .
Катер прошел по течению реки расстояние от пункта А до пункта В за 3 ч, а от В до А - за 5 ч. За сколько часов проплывет от А до В плот?
Решение.
Пусть х — скорость течения реки, у - скорость катера в стоячей воде, S - расстояние от пункта А до пункта В, тогда у + х - скорость катера вниз по течению, у - х - скорость вверх против течения.
Для определения х и у имеем систему:
S у + х - — 3
S
У — X - — .
I 5
Если из первого уравнения этой системы вычесть вто-
О S S „ 2SS
рое, то получим 2х =; 2х = —; ” ~ • Плот
3 51515
пройдет расстояние от А до В за 15 часов.
Ответ: 15.
Найдите число целых решений неравенства
(sin х + 5) • [ ^(х- З)2 - 4^ < 0.
Решение.
Первый множитель sin х + 5 принимает только положительные значения, поэтому имеем
j(x - З)2 - 4 < 0 ; |х - 3| - 4 < 0; ^ - 3| < 4; -4 < х - 3 <4;
-1 < х < 7. В этом промежутке находятся следующие целые числа: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Всего целых решений неравенства 9.
Ответ: 9.
Найдите наименьшее целое значение параметра с, при котором решение системы уравнений
Зх - 2у = 1, удовлетворяет неравенству у > х + 1.
х + 5у = 2с
Решение.
Найдем решение системы линейных уравнений:
х = 2с - 5у,х = 2с - 5у,х = 2с - 5у,х = 2с - 5у,
х = 2с - 5у,
х = 2с - 5у,
х = 2с - 5у,
х = 2с - 5у,
3(2с-5у)-2у = 1; [бс - 15у - 2у = 1;
о _ 6с - 1х = 2с - 5176с — 1о _ 6с - 1х = 2с - 5176с — 1
о _ 6с - 1
х = 2с - 5
17
6с — 1
о _ 6с - 1
х = 2с - 5
17
6с — 1
х = 2с - 5г/, 6с -1
17 :
34с - 30с + 534с - 30с + 5
34с - 30с + 5
34с - 30с + 5
17
6с-1
У 17
4с+ 5 х =,
17
6с-1 У~ 17 '
Найденные значения переменных подставим в не-
., - 6с -1 4с + 5 , 1
равенство у > х + 1: ——— > ——— +1;
6с-1 4с+ 5 + 17
17 >17
6с -1 4с + 22
> 17
6с - 1 > 4с + 22;
2с > 23; с > 11,5. Наименьшее целое значение, удовлетворяющее этому неравенству 12.
Ответ: 12.
В8. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 60, апофема равна 5. Найдите объем пирамиды.
Решение.
Обозначим сторону основания через х, тогда
= 4 • — • х • 5 = Юх . По
ООК
условию 8бок = 60, значит Юх = 60; х = 6. Далее име
ем ОМ = ^ х = 3 . Из треугольника РОМ по теореме
Пифагора найдем Н = РО = VРМ2 - ОМ2 = ^25 - 9 — = 4. Объем пирамиды
V = - • soc ■ Н = - • 62 • 4 = 12 • 4 = 48.
33
Ответ: 48.
В9. В шар, объем которого
500л
3
, вписана правильная
четырехугольная пирамида. Найдите объем пира-
миды, если ее боковое ребро равно 3 Ло , а высота больше радиуса шара.
Решение.
Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через диагональ основания и перпендикулярной основанию пирами-
„ 500л ды. По условию Ушара = -у- ,
500л 4лЯ3 отсюда можем наити радиус шара: —-— =;
R3 = 125; R = 5.
В треугольнике АР С применим теорему синусов: sin а’
зЛо о е . зЛо з
= 2 ■ 5 ; sin а == —=.
sin а10710
Теперь можем найти высоту пирамиды
Н = РМ = РА • sin а = 3ЛО • -1= = 9Ло
Диагональ основания найдем, используя теорему Пифагора. АМ = -^АР2 - PM2 = Ло -81 = 3 . Поэтому АС = 6. Так как в основании лежит квадрат, то S0CH уб2 =18;18-9 = 54.
Zо
Ответ: 54.
Часть 3
С1. Для каждого допустимого значения параметра а
решите неравенство 21og^ tga(x - 4) < log^ (2х + 7) .
Решение.
Допустимые значения параметра а определяются условиями: 7з tgа > 0 и Jstga * 1 . Рассмотрим 1) 0 < J3tgn <1. Решим это неравенство, используя монотонность тангенса и его периодичность.' Имеем
О ctga < —==. ик < а < —h ик, he Z. для этих значе- V3 ’6
ний параметра исходное неравенство будет равносильно системе неравенств:
х - 4 > О■ 2х + 7 > Ох - 4 > О■ 2х + 7 > Оодзодз
х - 4 > О
■ 2х + 7 > О
х - 4 > О
■ 2х + 7 > О
одз
одз
(х - 4)2 > 2х + 7 из свойств логарифма;
х > 4
х>-3,5|х>4
х2 - 8х + 16 > 2х + 7 ; [х2 - Юх + 9 > 0 .
Решая неравенство х2 — Юх + 9 > О, получим х е (-«>; 1] и [9; +=), а с учетом неравенства х > 4 окончательно будем иметь х е [9; +°°).
Рассмотрим 2) 7з tg а > 1, отсюда tg а >;
_ -ь ик < а < — + кк. keZ.B этом случае исходное не- 62
равенство будет равносильно системе:
х - 4 > 0 .х > 4
■ 2х + 7 > О - х > -3,5
(х - 4)2 < 2х + 7; х2-10х + 9<0;
х > 4
х2 — Юх + 9 < 0 .
Решением неравенства х2 - Юх + 9 < 0 является отрезок [1; 9], а учитывая неравенство х > 4, получим х & (4; 9].
Ответ: при л/г < а < — + л/г, к е Z, х е [9; +=);
6
при ^ + лй<а<-^ + л/г, к е Z, х G (4; 9].
С2, Решите уравнение
д/1о§5 (х2 - Зх + 3) +1 = cos4 ((х - 2) • sin(2x + 1)).
Решение.
Уравнение можно записать в виде
|log5(x2 - Зх + 3)| + 1 = cos4((x - 2) • sin(2x + 1)). Так как левая часть равенства не меньше 1, а правая меньше или равна 1, то равенство возможно при условии
| log5(x2 - Зх + 3)| +1 = 1,
cos4 ((х - 2) • sin(2x + 1)) = 1;
log5(x2 - Зх + 3) = О,
cos ((х - 2) • sin(2x + 1)) = ±1;
х2 - Зх + 3 = 1,
(х - 2) • sin (2х + 1) = лй, к е Z.
Решим первое уравнение х2 - Зх + 2 = 0;
3 ± V9 - 83 + 1
^1,2 ==; ^ = 2; х2 = 1.
Полученные значения подставим во второе уравнение: 1) Xj = 2; (2 - 2) • sin 5 = 0- равенство выполняется при к = 0; 2) х2 = 1; (1 - 2) • sin 3 = -sin 3, равенство -sin 3 = л/г не выполняется ни при каком к е Z.
Ответ: 2.
СЗ. Найдите целые корни уравнения
(х - 4) • (х - 6) • (х2 + 5х + 6) = 40х2.
Решение.
(х - 4) • (х - 6) • (х2 + 5х + 6) = 40х2;
(х - 4) • (х - 6) • (х + 2) • (х + 3) = 40х2;
((х - 4) • (х + 3)) • ((х - 6) • (х + 2)) = 40х2;
(х2 - х - 12) • (х2 - 4х - 12) = 40х2 |: х2;
х2-х-12 х2-4х-12
= 40 ;
хх
12 Л (12 Л
х1 • х4 = 40
хх I
12
Обозначим х= у, тогда ^у - 1)(у - 4) = 40; у2 - оу + 4 - 40 = 0; у2 - 5у -36 = 0;
5 +V25 + 1445 + 13
1/1,21/1,22= —=1/1-9; «2--4.
1/1,2
1/1,2
Имеем 1) х9 ; х2 - Эх - 12 = 0; х
9 + Vsi + 48 9 ± V129 х12 =-=- - корни иррациональ
ные;
12
х= -4 ; х2 + 4х - 12 = 0; х
— 4 + V16 + 48 — 4 ± -\/б4— 4 + 8
хл 9 ===;
112222
хг = -6; х2 = 2 - целые числа.
Ответ: -6,2.
Единый государственный экзаменпо математике (2002)
Часть 1
А1. Укажите значение выражения ^/27 • 48 - ^108 • 12 + 2^6 . Варианты ответов * 1)1; 2)0; 3)3^6; 4)237б.
Решение.
^/27-48 - V108 • 12' + 2^6 =
= vs3 • 23.6 - V22 • З3 • • 6 + 2^6 =
= 6^6 - 6^6 + 2^6 = 2^6 •
Ответ: 2^6 (4).
A2. Найдите значение выражения —^—^—
X2 + у2 X2
если х = 9, у = 49.
Варианты ответов
1)-7; 2)-2; 3)-8; 4)-13.
Решение.
х - у X2 + X
Упростим данное выражение —,р7— =
X2 + у2 X2
= №1 - U^f
Vx + у/у 4х
4х + д/уVx
/—'/— //—/—'/—/—'I—
= Vx - ^у - \1 + Vx) = Vx--Jy-1-Vx= -l-^y.
Найдем значение полученного выражения -1 - V49 = -1 - 7 = -8.
Ответ: -8 (3).
log92+log5i
АЗ. Вычислите 920.
Варианты ответов 2 1)0,25; 2)—; 3)-4; 4)4. о!
Решение.
g10g9 2+log5i = giog3 2 glog5 А = 2 д_2 = 2.
81 ‘
2 Ответ: — (2). о1г>п^
A4. Упростите выражение
sin5a-cos4a + cos —a -cos5a-sin4a.
I2 J
Варианты ответов
sin 9a - sin a;3) 0;Решение.sin 9a - sin a;3) 0;Решение.2 sin a;cos 9a + sin a.2 sin a;cos 9a + sin a.
sin 9a - sin a;
3) 0;
Решение.
sin 9a - sin a;
3) 0;
Решение.
2 sin a;
cos 9a + sin a.
2 sin a;
cos 9a + sin a.
sin5a• cos4a + cos --a -cos5a• sin4a =
I2 J
— sin 5a • cos 4a - cos 5a • sin 4a + sin a =
= sin(5a - 4a) + sin a = sin a + sin a =
= 2sin a.
Ответ: 2 sin a (2).
A5. Укажите наименьший положительный корень уравнения tg (Зх + 45°) = -4.
V3
Варианты ответов
5°; 2) 55°; 3) 165°; 4) 45°.
Решение.
tg(3x + 45°) = 4= .
V3 ’
Зх + 45° = arctg-4 + 180°-п, п е Z;
V3
Зх + 45° = 30° + 180° п, п g Z;
Зх = -15° + 180° п, п е Z; х = -5° + 60° п, п е Z.
Наименьший положительный корень равен 55° при п = 1.
Ответ: 55° (2).
72724) Г^;4 .44) Г^;4 .4Аб. Решите неравенство log0 3 (4х - 15) > 0. Варианты ответов 1)[4;+о=); 2) (—о°; 4]; 3)
7
2
7
2
4) Г^;4 .
4
4) Г^;4 .
4
Решение.
log0 з ^х ~ I5) - 0; 1°8о.з ^х ~15) - 1°8о,з !* Так как 0< 0,3 < 1, то
4х-15>0, 4х-15<1;4х-15>0, 4х-15<1;4х > 154х < 164х > 154х < 1615 х>,—,4 хе х < 4;15 х>,—,4 хе х < 4;ОМ.4ОМ.4
4х-15>0, 4х-15<1;
4х-15>0, 4х-15<1;
4х > 15
4х < 16
4х > 15
4х < 16
15 х>,—,
4 хе х < 4;
15 х>,—,
4 хе х < 4;
ОМ.
4
ОМ.
4
f 15 1
Ответ: — ; 4 (4).
А7. Найдите область определения функции
У =У =335-4х1" 27 '5-4х1" 27 '
У =
У =
3
3
5-4х1
" 27 '
5-4х1
" 27 '
Варианты ответов
1)1)1212Решение./1 \5-4x3Решение./1 \5-4x3; 2) (—; 1/2];; 2) (—; 1/2];- — >0;27- — >0;27Zj\5-4x3Zj\5-4x33) I |’ 23) I |’ 2Г13Г13; 4) [2; +«>).; 4) [2; +«>).f1; так как 0 < — < 1f1; так как 0 < — < 1
1)
1)
1
2
1
2
Решение.
/1 \5-4x
3
Решение.
/1 \5-4x
3
; 2) (—; 1/2];
; 2) (—; 1/2];
- — >0;
27
- — >0;
27
Zj\5-4x
3
Zj\5-4x
3
3) I |
’ 2
3) I |
’ 2
Г1
3
Г1
3
; 4) [2; +«>).
; 4) [2; +«>).
f1
; так как 0 < — < 1
f1
; так как 0 < — < 1
1212д уд у
1
2
1
2
д у
д у
то 5 - 4х < 3; 4х > 2; х > —, т. е. х е
1 ) Ответ:(!)•
А8. Найдите область значений функции у = 4 cos 2х.
Варианты ответов
1)[-4;4]; 2) [-8; 8]; 3) [-5;-3]; 4) [3; 5].
Решение.
Так как -1 < cos 2х < 1, то -4 < 4 cos 2х < 4;
у = 4 cos 2х е [-4; 4].
Ответ: [-4; 4] (1).
А9. Какому промежутку принадлежит максимум функции, заданной на промежутке [а; 6]?
Варианты ответов
1) [2; 3]; 2)[1;3); 3) [-2; 1]; 4) [О; 2).
Решение.
Как видно из рисунка, максимум функции достигается при х = -1, а эта точка принадлежит промежутку [-2; 1].
Ответ: [-2; 1] (3).
А10. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у = 4 - х в его точке с абсциссой х0 = -3.
Варианты ответов
1)0; 2)-5; 3)-6; 4)6.
Решение.
Тангенс угла наклона касательной графика функции равен значению производной этой функции в данной точке. Находим у' = -2х; tg а = у'(х0) = “2 ' (~^) = ®*
Ответ: 6 (4).
АН. Вычислите значение производной функции
3-х„
у = в точке х = -3.
a 2 + х
Варианты ответов
1)-6; 2)-7; 3)-1; 4)-5.
Решение.
, = (3 - х)' • (2 + х) - (3 - х) ■ (2 + xY _(2 + х)2
_ - 1 • (2 + х) - (3 - х) • 1 = -2-х-З+х =5.
(2 + х)2(2 + х)2(2 + х)2 ’
Ответ: -5 (4).
А12. Укажите первообразную функции f(x) = ех - х* Варианты ответов
Решение.
Так как f(x) = ех - х3, то любую первообразную мож-
х4
но записать в виде F(x^ = ех+ С, где С - постоян- 4
ное число, таким образом, из приведенных функций первообразной данной функции является
х4F(x) = ех - —.
х4
Ответ: F(x) = ех(1).
4
А13, Укажите промежуток, на котором лежит корень уравнения 5х + 2+ 11 • 5х = 180.
Варианты ответов
1)(-1;0]; 2) (2; log- 36]; 3) (0; 2]; 4) (3; 5].
Ppi]! Р1471Р
5х + 2 + 11 • 5х= 180; 5х-52 + 11 • 5х = 180;
5х- (25 + 11) = 180; 5х = 5; х = 1 е (0; 2].
Ответ: (0; 2] (3).
Часть 2
Найдите длину промежутка возрастания функции f^ = -^ х3 + 4х2 - 15х.
Решение.
Данная функция определена на всей числовой прямой. Найдем производную
1
Г(х) = Зх2 + 4•2х - 15 = -х2 + 8х - 15 =
3
= —(х - 3)(х - 5); /'(х) = 0 при х = 3 и х = 5.
Полученные точки разбивают числовую ось на промежутки. Определим знак производной в этих промежутках
тервале (3; 5). Длина этого интервала I = 5 - 3 = 2. Ответ: 2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = Wx , у = 4х, х = 1, х = 4. (Ответ запишите с точностью до целых.)
Решение.
Изобразим все заданные линии на чертеже.
у = 4х
y = 4jx
Вычислим площадь заштрихованной фигуры:
S = J(4х - 4y[x)dx
_64 9 85690-56 341
333333
Округляя полученное число до целых, будем иметь 8 = 11-
Ответ: 11.
Найдите произведение корней уравнения
у2 (log3 х)2 _ g . у По^э х)2 + ^ _ Q
Решение.
Обозначим 7(Iog3 ж) = t, t > 0, тогда исходное уравнение запишется в виде t2 - 8t + 7 = 0, откуда tt = 1, t2 = 7. Возвращаясь к переменной х получим
7(Iog3 x) = 1; (log3 x)2 = 0; log3 x = 0; xv = 1;
7('°g:iX) = 7 ; (log3 x)2 = 1; log3 x = ±1;
a) log3 x = 1; x2 = 3; 6) 16g3 x = -1; x3 = ^ . Все корни принадлежат ОДЗ (x > 0). Произведение корней уравнения хг • х2 • х3 = 13^ = 1.
Ответ: 1.
Найдите минимум функции X59
/(х) =+ X3 + 4х.
55
Решение.
2
Функция /(х) = —— + х3 + 4х - — определена для 55
всех х е Д. Находим ее производную
Л(^) = -х4 +3х2 + 4 = -(х4 - Зх2 - 4) = = —(х2 - 4)(х2 + 1) = —(х + 2)(х - 2)(х2 + 1) и исследуем знак производной
Точкой минимума является х = —2. Находим значение функции в точке минимума
Un = f (-2) = -|(-2)5 + (-2)3 + 4 . (-2)- J =
55
32 Я я 230
=8_8__ 16 = 6 _ 1б = _10
Vx - 3 = у.Vx - 3 = у.у + |х - 21 = 1.у + |х - 21 = 1.Ответ; -10.
Vx - 3 = у.
Vx - 3 = у.
у + |х - 21 = 1.
у + |х - 21 = 1.
В5. Пусть (х0, у0.) - решение системы
Найдите разность х0 - у0.
Решение.
Первое уравнение системы определено при х > 3, но тогда jx - 2| = х - 2. Таким образом, систему можно записать в виде:
Vx - 3 = у, у = Vx - 3 , У - 3 - х,
у + х - 2 = 1; у = 3 — х; Vx — 3 = 3 — х.
Отсюда получаем х0 =3, у0 = 0. Разность х0 - у0 - = 3-0 = 3.
Ответ: 3.
Вб. Вычислите:
16"^ - (0,01)"= +12 • (7° >3 - 16 • 2~5 • 64 =.
Решение.
16~‘ - (0,01)"= + 12 • (7°)3 - 16 • 2'5 ■ 64"= =
= (24)* - (ОД2)" = + 12 ■ I3 - 24 • 2~5 • (26)"= =
= 2’5 - ОД’1 + 12 - 2^-2~4 = ^"10 + 12~^ = = -10 + 12 = 2.
Ответ: 2.
При каком значении b уравнение х4 - 8х3 - 8х2 + + 96х + Ъ = 0 имеет ровно три корня?
Решение.
Запишем уравнение в виде х4 - 8х3 - 8х2 + 96х = -Ъ. Тогда корни исходного уравнения можно рассматривать как абсциссы точек пересечения графиков функций у = х4 - 8х3 - 8х2 + 96х и у = -Ь. Построим график функции у — х4 - 8х3 - 8х2 + 96х, определенной на всей числовой прямой. Имеем у' = 4х3 - 24х2 - 16х + 96 = = 4(х3 - 6х2 - 4х + 24) = 4(х2(х - 6) - 4(х - 6)) = 4(х - - 6)(х2 - 4) = 4(х - 6)(х - 2)(х + 2). Исследуем знак производной:
Найдем значения функции в точках минимума и максимума:
Утш = У(-2) = (-2)4 - 8(-2)3 -(-2)2 + 96 • (-2) =16 + + 64-32 -192 = -144 ;
Утщ = У(6) = 64 - 8 • 63 - 8 • 62 + 96 • 6 = 62 • (36 - -48-8 +16) = 36 • (-4) = -144;
Утах = У(2) = 16 - 64 - 32 + 192 = 112.
Теперь изобразим схематично графики этой функции и функции у =-Ь (прямая, параллельная оси абсцисс):
Ясно, что прямая у = ~Ь пересечет график функции у = х4 - 8х3 - 8х2 + 96х ровно в трех точках, если она пройдет через точку максимума функции, т. е. если -Ь = 112. Таким образом, b = -112.
Ответ: -112.
Около равнобедренного треугольника с основанием АС и углом при основании 75° описана окружность с центром О. Найдите ее радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.
Решение.
Так как треугольник АВС - равнобедренный, то ZABC = 180° - 2 • 75° = 30°, ОВ является биссектрисой этого угла, поэтому ZOBC = 15°. Треугольник ВОС - равнобедренный (О В = ОС = В), ZBOC = 180° - - 2 • 15° = 150°.
1111
вдвое =16 =-ДД81п150о = Ад2.1 = Ад2.
222 4
Имеем ~ Д2 = 16; В2 = 64; В = 8.
4 Ответ: 8.
В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной, равной 2. Боковая грань — также равносторонний треугольник и перпендикулярна основанию. Найдите объем пирамиды.
Решение.
АС = АВ = 2, ZBAC = 60° (треугольник АВС - равносторонний). Следовательно,
Socn=-AB. AC-=.
ос" 222
Рассмотрим треугольник РСВ - равносторонний;
PC = СВ = 2, PQ - высота и медиана. Определим
PQ = h = JpC2 - CQ2 = V22 -1 = 7з . PQ является вы
сотой пирамиды, поэтому V = ^ • 7з • 7з = 1 •
Ответ: 1.
Часть 3
С1. Решите уравнение
+ 8.+ 8./1 5 А
+ 8.
+ 8.
= 21og4 2—
х + 2
Решение.
+ 8;+ 8;/15 А
+ 8;
+ 8;
= 21og4 2-
х + 2
(4х -22 + 30> 31Ч~ 2х-И~(4х -22 + 30> 31Ч~ 2х-И~Г2Х + 4-15)= 2М х + 2~Г2Х + 4-15)= 2М х + 2~+ 8;+ 8;
(4х -22 + 30> 31Ч~ 2х-И~
(4х -22 + 30> 31Ч~ 2х-И~
Г2Х + 4-15)
= 2М х + 2~
Г2Х + 4-15)
= 2М х + 2~
+ 8;
+ 8;
(4(х + 2ЙГгх-И^ о
+ 8.+ 8.31о4^тгг \^"Г
+ 8.
+ 8.
3iog44 + 3iog4 —_ = -2iog4^-н
X 2
Обозначим log4 — = t, тогда уравнение запи
шется в виде 3 + 3# = -2t + 8; 5t = 5; t = 1;
X 2X 2
^4 о77 = ^ 5 о= 4;х + 2 = 8х- 44; 7х = 46;
2х -112х - 11
46
46 Ответ: —.
С2. Найдите множество значений функции
у - — arctg (б,25 (Vs sin х - cos х + 2)) л ''
Решение.
3 sin х - cos х = 2 •3 sin х - cos х = 2 •Г Vs . i sinxcosx 22Г Vs . i sinxcosx 22
3 sin х - cos х = 2 •
3 sin х - cos х = 2 •
Г Vs . i sinxcosx 22
Г Vs . i sinxcosx 22
2 • (cos 30° • sin x - sin 30° • cos x) = 2 • sin(x - 30°). Так как -1 < sin (x - 30°) < 1, to
- 2 < V3 sin x - cos x < 2 ; 0 < V3 sin x - cos x + 2 < 4 .
Умножим все части этого двойного неравенства на 0,25: 0 < 0,25 (V3 sin х - cos х + 2) < 1. Учтем теперь, что arctg и является возрастающей функцией, и получим arctg 0 < arctg (о,2 5 (Vs sin х - cos х + 2)) < arctg 1,
т. е. 0 < arctg (о,25 (Vs sin х - cos х + 2)) < — ; ' 4
0 < — • arctg (о,25 (Vs sin х - cos х + 2)) < — • — или лл 4
О < у < 2. Множество значений данной функции - [0; 2].
Ответ: ГО: 2].
СЗ. При каких значениях а значение выражения (cosx)10^08^1 ° । больше значения выражения glog9(l-sm х)+а(а-2) ПрИ всех дОПуСтамых значениях z?
Решение.
Допустимые значения х определяются условием cos х > 0, а так как cos х < 1,то можно записать О < cos х < 1, следовательно, log3 cos х < 0. Для всех допустимых значений х должно выполняться неравенство (сО8х)^з(созх)-| ° ' > 3Iog9O-sin2 х)+а(а-2) .
(3log3(cosx)y°g3<coszHai > glog9(cos2x)+a(a-2) , (3log3(coSx)pog3<c^H«| > giog3|cosx|+a(a-2) , ^(созО^з^-Н > glog3(cosx)+a(a-2) Обозначим log3 (cos x) = t (t < 0), тогда неравенство примет вид 3<(t"H> > 31+0(0-2), Поскольку 3 > 1, то t2 - t ° |a| > t + a(a - 2) или t2 - |a| • t - t - a(a - 2) > 0. Напомним, что это неравенство должно выполняться для всех t < 0. Рассмотрим функцию 2(0 = t2 - t • |a| - t - - a(a - 2), определенную для t < 0, ее производная z'(0 = 2t - |a| - 1 < 0, следовательно, функция 2(0 монотонно убывает на заданном промежутке (-°°; 0], ее наименьшее значение 2наим = 2(0) = -a(a - 2). Если потребовать, чтобы 2ааим = 2(0) было положительным, то и для всех остальных t < 0 будет выполняться г(0 > 0 или t2 - |a| - t - t - a(a - 2) > 0. Решая неравенство 2(0) > 0; -a(a - 2) > 0; a(a - 2) < 0, получим a e (0; 2).
Ответ: (0; 2).
Литература
Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А. и др. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. — М.: Интеллект-Центр, 2002.
Климин С.В., Стрункина Т.В., Пантелеева Е.И. и др. Единый государственный экзамен 2001. Тестовые задания. Математика. — М.: Просвещение, 2001.
Казак В.В., Козак А.В. Тесты по математике. Ростов н/Д: МарТ, 2002.
Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. — М., 1998.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2001.
Мордкович А.Г., Деиищева Л.О., Корешкова Т.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: Задачник для общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2001.
Сборник задач по математике для поступающих в вузы/ Под ред. М.И. Сканави. — М.: Издательский дом ОНИКС, 2000.
Тесты. Математика 11 класс. Варианты и ответы государственного тестирования. — М.: Прометей,1997.
Тесты. Математика 11 класс. Варианты и ответы государственного тестирования. — М.: Прометей,1998.
Тесты. Математика. Варианты и ответы централизованного тестирования. — М.: Прометей, 1999.
Тесты. Математика. Варианты и ответы централизованного тестирования. — М.: Прометей, 2000.
Тесты. Математика. Варианты и ответы цёнтрали- зованного тестирования. — М.: Прометей, 2001.
Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. — М.: Наука, 1983.
ШарыгинИ.Ф. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие3
О едином государственном экзамене по математике . 3
Советы опытного преподавателя4
Некоторые вопросы арифметики8
Признаки делимости чисел8
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное9
Проценты числа10
Числа и вычисления11
Тождественные преобразования алгебраических выражений15
Теоретические положения 15
Нахождение значений числовых выражений 17
Преобразования рациональных алгебраических выражений 21
Преобразование иррациональных алгебраических выражений 25
Алгебраические уравнения 31
Квадратные уравнения 31
Теорема Виета37
График квадратного трехчлена42
Уравнения, приводящиеся к квадратным . 45
Иррациональные уравнения51
Алгебраические неравенства58
Линейные неравенства. Системы линейных неравенств58
Целые рациональные неравенства 61
Дробно-рациональные неравенства 66
Неравенства с модулем72
Иррациональные неравенства 76
Показательные уравнения и неравенства84
Показательные уравнения84
Показательные неравенства90
Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства94
Вычисление логарифмических выражений 94
Логарифмические уравнения 99
Логарифмические неравенства: 109
Системы уравнений116
Решение систем уравнений 116
Исследование системы линейных алгебраических уравнений 124
Прогрессии129
Арифметическая прогрессия 129
Геометрическая прогрессия 129
Элементы тригонометрии.141
Вычисление и упрощение тригонометрических выражений 141
Тригонометрические уравнения 157
Производная и ее приложения173
Область определения функции 173
Правила нахождения производных 177
Единый государственный экзамен по математике (2002)Часть 1 Часть 2Часть 3ЛитератураЕдиный государственный экзамен по математике (2002)Часть 1 Часть 2Часть 3Литература334334339344347334334339344347Геометрический и физический смысл производной 184
Единый государственный экзамен по математике (2002)
Часть 1
Часть 2
Часть 3
Литература
Единый государственный экзамен по математике (2002)
Часть 1
Часть 2
Часть 3
Литература
334
334
339
344
347
334
334
339
344
347
Применение производной
к исследованию функции 190
Множество значений функции...199
Первообразная и ее приложения..........208
Правила нахождения первообразных .... 208
Площадь криволинейной трапеции и интеграл 213
Элементы планиметрии 218
Стереометрия...............232
Основные пространственные фигуры и соотношения 232
Элементы векторной алгебры 264
Комбинированные уравнения и неравенства 276
Примеры вариантов централизованного тестирования с решениями
2000, 2001, 2002 годов ...287
2000..... 287
2001 298
2002 309
Примеры вариантов единого государственного экзамена
2001, 2002 годов с решениями.....322
Единый государственный экзамен по математике (2001) 322
Часть! ........322
Часть 2 326
Часть 3 331
1) к = 49п’+ 2, п е Z и |49п 4 2| < 10,
Ух(4 4-2-Ух 4-х) (2 4--Ух)2
1= 1 =Ь X2 + X + 1 = 1; X2 + X = 0;
1 + 1g X
8. lg (х - 1) + lg (х - 2) < lg (х + 2);
9. log2 (х - 2) - log2 (х - 3) > 3;
1) 212у = 8; 212у = 23; 12у = 3; yv - - ;
4
5511
1 121 12 4 6
6
5511
122 12 6 4
1) - = 3; 3 = 1 + ^^; --2 = 2; - = 4; ух =-;
УУ УУ2
6. Найти точку минимума функции у = х - In (х + 1).
1 з
1
3
ной для функции2cos(3x-5) есть функция х -1
1 a sin P . a2 sin a sin P
1) ax = 0; log3 5 x = 0; x = 1- не принадлежит ОДЗ;
4а + 4b
Ответ: 4а - 4b (2).
АЗ. Сумма корней или корень (если он единственный) 4х2 - 22х + 24
уравнения х - 1 принадлежит
х - 4
промежутку
Варианты ответов
1) (4,0; 4,1); 2) (0,2; 0,3); 3) (1,6; 1,7); 4) (5,6; 5,7);
5) (3,4; 3.5).
Решение.
ОДЗ: х * 4 . Разложим числитель дроби в правой части уравнения на множители: 4х2 - 22х + 24 = 0;
„,11± V121-4-2 12 11 + 5
2х2 - 11х + 12 = 0; х. 2 == —-— ;
3
^1 = 4; х2 = - ;
4 • (х - 4) • (х - |) = х-1^4х-6 = х-1 , Зх 5 ;
х - 4
1) F(x) = ех - —;2) F(x) = е* - Зх2 ;
ББК А5я 72-1 С54
Рецензент:
профессор, доктор физико-математических наук С.Б. Климентов
Соболь Б. В., Виноградова И. Юм Рашидова Е. В. С 54 Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике. Изд. 2-е. — Ростов н/Д: «Феникс», 2003. — 352 с.
В пособие вошли все разделы математики, соответствующие кодификатору элементов содержания по предмету, знание которых проверяется во время ЕГЭ. Каждая глава (соответствующий раздел курса) содержит справочный материал, необходимый для решения задач. Отличительной особенностью данного издания является большое количество задач с решениями, что позволяет использовать его при самостоятельной подготовке учащихся. Задачи представлены по разделам, систематизированы по методам решения и расположены по мере возрастания сложности. Завершают каждую главу примеры тестовых заданий с решениями и задачи с ответами для самостоятельной работы.
Пособие содержит решенные варианты контрольно-измерительных материалов ЕГЭ 2001 и 2002 гг., предлагаются тренировочные материалы по подготовке к ЕГЭ.
Наряду с традиционными материалами, в издание включены практические рекомендации по подготовке и участию школьников в испытаниях, проводимых в форме тестирования.
Сборник предназначен для подготовки выпускников общеобразовательных учебных заведений к единому государственному экзамену (ЕГЭ) и государственному тестированию по математике, а также для учащихся старших классов, желающих систематизировать свои знания по этому предмету, преподавателей школ и подготовительных отделений вузов.
ISBN 5-222-03091-1ББК А5я 72-1
© Б. В. Соболь, И. Ю. Виноградова, Е. В. Рашидова, 2003 © Оформление, изд-во «Феникс», 2003