Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ИЗДАЕТСЯ ВПЕРВЫЕ!
А-2009
ЭКЗАМЕН В НОВОЙ ФОРМЕ
ГЕОМЕТРИЯ
Тренировочные варианты экзаменационных работ
4444для проведения государственной итоговой аттестации в новой форме
44
44
та ФЕДЕРАЛЬНЫЙ L ,_^1 ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ ОФИЦИАЛЬНЫЙ РАЗРАБОТЧИК КОНТРОЛЬНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ для ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ
X ФЕДЕРАЛЬНЫЙlx; ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
ГИА-2ОО9
ЭКЗАМЕН В НОВОЙ ФОРМЕ
ГЕОМЕТРИЯ
класс
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ВАРИАНТЫЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ В НОВОЙ ФОРМЕ
ACT • Астрель Москва
УДК 373:514 ББК 22.15я721
Г46
Авторы -составители:
Г.К. Безрукова, Н.Б. Мельникова, Н.В. Шевелева
ГИА — 2009: Экзамен в новой форме: Геометрия : 9-й кл.: Г46 Тренировочные варианты экзаменационных работ для проведения государственной итоговой аттестации в новой форме / авт.-сост. Г.К. Безрукова, Н.Б. Мельникова, Н.В. Шевелева. — М.: ACT: Астрель, 2009. — 55, [9] с. — (Федеральный институт педагогических измерений).-
ISBN 978-5-17-054446-2 (ООО «Издательство ACT»)
УДК 373:514ББК 22.15я721УДК 373:514ББК 22.15я721ISBN 978-5-271-21675-6 (ООО «Издательство Астрель»)
УДК 373:514
ББК 22.15я721
УДК 373:514
ББК 22.15я721
Подписано в печать 01.08.2008. Формат 84х108732.
Усл. печ. л. 3,36. Тираж 10 000 экз. Заказ № 8571.
ISBN 978-5-17-054446-2(000 «Издательство АСТ»)
ISBN 978-5-271-21675-6 (ООО «Издательство Астрель»)
© ФИЛИ, 2008
© ООО «Издательство Астрель», 2008
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие. А.Г. ЕРШОВ 4
Структура и содержание экзаменационной работы для итоговой аттестации по геометрии в IX классе5
Инструкция для участника экзамена по заполнению бланков ответов при выполнении экзаменационной работы государственной (итоговой) аттестации выпускников IX классов
общеобразовательных учреждений в новой форме11
Образцы экзаменационных бланков 16
ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
Инструкция по выполнению работы 18
Вариант! 19
Часть!•19
Часть 2 21
Часть 3 23
Бланки ответов 24
Вариант 2 26
Часть 1 26
Часть 2 28
Часть 3 29
Бланки ответов 30
Вариант 3 32
Часть 1' 32
Часть 2'.. .34
Часть 3 35
Бланки ответов 36
Вариант 4 38
Часть 1 38
Часть 2 39
Часть 3 41
Бланки ответов 42
Вариант 5 44
Часть 1 44
Часть 2 45
Часть 3 47
Бланки ответов 48
Ответы 50
Решения заданий с развернутым ответом 51
ПРЕДИСЛОВИЕ
С 2006 года в регионах Российской Федерации в рамках создания Общероссийской системы оценки качества образования проводится государственная (итоговая) аттестация выпускников 9-х классов в новой форме. Несмотря на то, что экзамен в новой форме пока проводится в режиме эксперимента, число регионов, реализующих эту форму итогового контроля, неуклонно растёт.
Введение в практику новой модели экзамена для выпускников основной школы продиктовано необходимостью совершенствования форм итогового контроля с учётом принципа вариативности. Увеличение числа таких форм — положительная тенденция современной системы общего образования, и экзамен в 9 классе в новой форме, безусловно, займёт достойное место наряду с традиционными письменными экзаменами по русскому языку и алгебре, устными экзаменами по билетам, защитой реферата или проектной работы и другими.
Задача создания новой модели экзамена особенно актуальна в связи с введением в средней школе профильного обучения, позволяющего более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся и требующего объективных оснований для зачисления учащихся в различные по профилю классы.
Задания для государственной (итоговой) аттестации выпускников 9-х классов в новой форме и варианты экзаменационных работ разрабатываются специалистами Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). При подготовке экзаменационных материалов для 9 класса используется и творчески перерабатывается огромный опыт федеральных предметных комиссий ФИПИ по разработке контрольных измерительных материалов ЕГЭ. Постоянному совершенствованию экзаменационных материалов способствуют и проводимые в ФИПИ научные исследования в области педагогических измерений*
Предлагаемый сборник включает тренировочные варианты контрольных измерительных материалов (КИМ), позволяющие подготовиться к государственной итоговой аттестации в новой форме. В сборник также включены ответы и решения к заданиям.
Пособие адресовано широкому кругу участников образовательного процесса: учащимся и их родителям, учителям школ, преподавателям учебных заведений начального и среднего профессионального образования, структур довузовской подготовки, специалистам региональных центров развития образования.
Желаем успеха!
Директор Федерального института педагогических измерений
А. Г. ЕРШОВ
Структураи содержание экзаменационной работыдля итоговой аттестации по геометрии в IX классе
В 2008 году в список предметов, по которым государственная итоговая аттестация по курсу основной школы проводится в новой форме, включена и геометрия. Это — первый опыт проведения итоговой аттестации в новой форме на уровне регионов, но не первый опыт разработки контрольно-измерительных материалов по геометрии, направленных на проверку предметной компетенции выпускников основной школы, призванных обеспечить высокую дифференцируемость оценивания. В 2006 году широко обсуждались и вызвали одобрение открытые материалы для проведения ГИД по геометрии. На основании имеющихся наработок, результатов их обсуждения в широкой печати, с учетом опыта составления контрольных измерительных материалов (КИМ) единого государственного экзамена по математике и была разработана новая структура и содержание экзаменационной работы по геометрии.
Особенности содержания и структуры экзаменационной работы определяются целью проведения экзамена — оценить образовательную подготовку выпускников 9-х классов общеобразовательных учреждений по курсу геометрии с целью их итоговой аттестации. При этом используется так называемый нормативный способ оценки итогов обучения, исходя из требований стандарта.
Проверка достижения стандарта осуществляется путем включения в содержание работы только тех вопросов, которые входят в обязательный минимум содержания основных образовательных программ. Это означает, что прописанные курсивом в стандарте вопросы предметных тем «Геометрические преобразования» и «Построения с помощью циркуля и линейки» на итоговую проверку не выносятся. В меньшей степени осуществляется прямая проверка овладения теоретической составляющей курса, что так свойственно традиционному экзамену по курсу геометрии с билетами. Основное внимание уделяется проверке овладения поактическими умениями.
Число заданий в экзаменационном варианте — вопрос для обсуждения. Как правило, для решения одной задачи (поиска способа решения, выполнения чертежа, записи решения) требуется достаточно много времени, а потому на традиционном
устном экзамене задач дается не более двух. Тем самым число элементов содержания, которые выносятся на проверку, реально ограничивается тремя, четырьмя. Возможно, что именно эти темы и не поняты учащимся. Конечно, увеличение числа контролируемых элементов содержания позволит каждому найти в работе задания по той теме, которую он освоил лучше.
Вариант контрольных измерительных материалов должен включать задания, доступные различным группам учащихся (освоившим предмет на базовом и повышенном уровнях; обладающим формально-логическим и наглядно-образным мышлением). Потому в работе должно быть достаточно много разнообразных заданий.
В экзаменационную работу по геометрии включено 15 заданий, на выполнение которых отведено 2,5 часа (150 минут). Работа состоит из трех частей, различающихся по назначению, сложности и формам включенных в них заданий.
Специфика предмета «Геометрия» такова, что возможно, проверить одно и то же предметное умение на материале разного содержания. Так, например, чтобы проверить умение «находить градусную меру углов, применяя определения, свойства и признаки фигур и их элементов» можно предложить учащимся следующие задачи.
Диагональ трапеции образует с меньшим основанием угол, равный 42°. Найдите величину угла, который эта диагональ образует с большим основанием.
Точки В, D и N лежат на окружности с центром О. Найдите ZBOD, если Z.BND = 68°.
В первой задаче для решения используется свойство внут- ' ренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей, а во второй — свойство угла, вписанного в окружность.
В геометрии даже для простой задачи не представляется возможным однозначно определить метод, её решения. Например, при решении задачи «В ромбе ABCD из вершины тупого угла проведена высота ВТ, которая пересекает диагональ АС в точке К. Найдите сторону ромба, если известно, что ВК = 5, а КТ = 3» для нахождения соотношения длин отрезков АВ и АТ возможно использовать свойство биссектрисы угла треугольника, а можно воспользоваться определением ромба и подобием треугольников АКТ и СКВ.
По этой причине распределение заданий в работе проводится не по их содержанию, а по уровню сложности и видам деятельности.
Первая часть работы содержит 8 заданий базового уровня. Предполагается, что каждое из них может выполнить около 80% учащихся. Назначение этой части — обеспечение проверки до-
стижения выпускником уровня обязательной подготовки, наличие которой принято оценивать положительной оценкой «3». Потому это простые задачи на распознавание знакомой ситуации и применение, как правило, одного элемента содержания (теоремы, формулы и др.) для их решения. В работу включены пять заданий с выбором ответа. Для выполнения такого задания его необходимо решить на черновике, а затем выбрать из 4-х предложенных вариантов ответа, тот, который получился в результате решения. Неверные ответы (дистракторы) составлены с учетом типичных ошибок, которые допускают учащиеся, решая задачи этого типа. Поэтому по итогам выполнения этих заданий, даже не рассматривая решений учащихся, можно сделать выводы о допущенных ошибках и неточностях. Задание считается выполненным верно, если выбран верный ответ. Последние три — задания с кратким ответом в виде некоторого числа или последовательности чисел. Выполнив задание, необходимо в экзаменационной работе записать лишь искомое число. Выполненное учащимся решение или обоснование не проверяется и, следовательно, не оценивается. Задание считается выполненным верно, если получен верный ответ. За верное выполнение каждого задания первой части дается по 1 баллу.
Вторая часть работы содержит 5 заданий повышенного уровня. Цель их включения в работу — более тонкая дифференциация учащихся по уровню подготовки, что позволяет выставить более высокие аттестационные отметки («4» и «5»). Все задания различаются по форме: по готовому чертежу; задание, в котором чертеж требуется выполнить самостоятельно; задача практического содержания; задача на множественный выбор; задача на доказательство. Первые четыре — задания с кратким ответом. Последнее — задание с развернутым ответом. Предполагаемый процент выполнения в зависимости от задания находится в диапазоне от 20% до 60%.
Специфика первых двух задач второй части такова, что предложенная в условии ситуация требует знаний о свойствах различных конфигураций. В их решении, как правило, не более 2—3 шагов, что позволяет подготовленным учащимся решать их очень быстро. Этими заданиями проверяется умение использовать в решении знания различных тем курса.
Для решения практической задачи учащимся необходимо сопоставить известную математическую модель с реальной ситуацией, описанной в условии, и сделать выводы на основании её использования.
За верное выполнение каждого из этих трех заданий дается по 1 баллу.
При решении задачи на множественный выбор необходимо установить, какими из перечисленных свойств обладает указанная геометрическая фигура. При этом некоторые из перечисленных утверждений дословно повторяют изученные свойства этой фигуры, а для определения истинности остальных необходимо дополнительно провести вычисления или доказательные рассуждения. Решение этой задачи оценивается 2 баллами, если указаны все 3 верных ответа и при этом не указаны неверные ответы; 1 баллом — если правильно указаны не менее 2 верных ответов и при этом указано не более одного неверного ответа; О баллов — во всех остальных случаях.
Назначение последнего задания второй части — проверка умения решать задачи на доказательство. В задании необходимо доказать два утверждения, доказательство каждого из которых сводится к обоснованному перечислению условий, позволяющих сделать требуемый вывод на основании использования определений, признаков, свойств фигур и их элементов. При этом требуется знание о свойствах различных геометрических конфигураций и применение в сочетании различных методов решения. Доказательство каждого из утверждений оценивается в 1 балл. Возможно в конкретном случае при решении выбранным способом доказанное первое утверждение облегчает доказательство второго. Но обязательной жесткой зависимости (кроме контекстной) между доказываемыми утверждениями нет.
Получение отметки «4» возможно в случае овладения знаниями и умениями по предмету, способами деятельности и демонстрации этого овладения в измененной учебной ситуации. Это означает, что учащемуся необходимо набрать баллы не только за задания первой части, но и за выполнение заданий второй.
Для получения отметки «5» необходимо продемонстрировать не только умение использовать имеющиеся знания и известные методы для решения различного рода задач, но и умение самостоятельно конструировать способ решения задачи, проводить доказательные рассуждения, обнаруживая возможности для использования известных теорем. То есть учащемуся необходимо набрать баллы и за выполнение заданий с развернутым ответом.
В третью часть работы включены две самые сложные задачи, при решении которых потребуется проанализировать условие, самостоятельно разработать способ решения, привести обоснования, доказательства выполненных действий и математически грамотно записать полученное решение. Анализ содержания подобных заданий показывает, что они, как правило, носят комплексный характер, допускают несколько способов реше-
ний, различающихся использованием различных методов, и, соответственно, различной системой ссылок (аргументацией).
Для каждого из заданий третьей части, включенных в вариант экзаменационной работы по геометрии, разработана своя шкала выставления баллов за его выполнение. Выполнение этих заданий оценивается экспертами на основе специально разработанной инструкции.
Первая задача по уровню примерно соответствует средним по сложности задачам в классах, где математика является профилирующим предметом. Хотя для решения подобных задач вполне достаточно одного-двух хорошо известных из школы методов, но применять их приходится уже в ситуации, которая дословно, может быть, и не встречалась в школьных учебниках. Уровень трудности этих задач соответствует тем требованиям, которые предъявляются к задачам по планиметрии в КИМах единого государственного экзамена по математике. Предположительно с ним должно справиться 15—20% учащихся.
При оценке выполнения задания учитывается только правильность хода решения и полученного ответа, и не предъявляется требование к его обоснованию.
Последнее в работе задание рассчитано на учеников, предполагающих в будущем для себя углубленное изучение математики, в частности, геометрии. С этим заданием, как правило, справляются 3-5% от числа участников экзамена. Эти задачи ориентированы на проверку творческих возможностей выпускников основной школы. Их можно сравнить с заданиями традиционных экзаменационных работ по курсу планиметрии для классов с углубленным изучением математики. Как правило, новая для учащегося ситуация разрешается с помощью самостоятельной разработки метода решения, требующего дополнительного построения, а также использования нескольких приемов решения из различных разделов курса геометрии.
К решению этого задания предъявляются достаточно строгие требования.
Самым высоким баллом («3» балла) оценивается полное и правильное решение, в котором есть ссылки на теоретические факты, необходимые для обоснования ключевых моментов решения. Обоснованию подлежат также способы нахождения элементов геометрических фигур, указанных в условии задачи. Решение ученика может содержать обоснования и других утверждений. При этом в нем не должно быть неверных утверждений.
Задание считается выполненным верно и в том случае, когда его решение оценено в «2» балла. Такая оценка выставляется, если при правильном ходе решения ученик явно описал (или обозначил на чертеже), но, возможно, не обосновал взаимное
расположение и свойства геометрических фигур, играющих важную роль в решении задачи. Допускается, что ученик не обосновал ни одного ключевого момента.
За выполнение задания начисляется 1 балл при частичном конструировании способа решения и демонстрации учащимся достаточно заметных продвижений по ходу решения, выполнив хотя бы половину его шагов.
Заметим, что в критериях оценки заданий с развернутым ответом не предъявляются требования к оформлению заданий. Действительно, не оговаривается порядок записи решения: возможно, в частности, отсутствие записи условия и заключения. Качество приводимых учащимися в решении чертежей не влияет на выставляемый балл: возможно выполнение чертежа ручкой и от руки (хотя карандашом, линейкой, угольником и транспортиром пользоваться на экзамене разрешается).
Структура экзаменационной работы по геометрии представлена в следующей таблице.
Часть 1
Часть 2
Часть 3
Общее число заданий — 15
8
5
2
Тип заданий и форма ответа
№1 - №5
с выбором ответа №6 - №8
с кратким ответом
№9 - №12
с кратким ответом № 13
с развернутым ответом
№14, №15 с развернутым ответом
Уровень сложности
Базовый
Повышенный
Высокий
Максимальный балл — 20
8
7
5
Федеральным институтом педагогических измерений разработана бланковая технология проведения государственной (итоговой) аттестации выпускников IX классов в новой форме. По выбору регионов Российской Федерации эта технология может быть использована для проведения и обработки результатов экзаменов в IX классах в новой форме. Ниже представлены макеты бланков ответов и инструкция по их заполнению.
Инструкция для участника экзаменапо заполнению бланков ответовпри выполнении экзаменационной работыгосударственной (итоговой) аттестациивыпускников IX классов общеобразовательныхучреждений в новой форме
Общие положения
Бланк заполняется чёрной гелевой или капиллярной ручкой
Бланки ответов (№ 1 и № 2) индивидуальные (именные). При получении бланка проверьте правильность написания шйени, фамилии и Отчества вверху бланка. Обмен бланками не допускается..
На бланке заполняются только следующие поля:
Подпись
Номер варианта
Ответы на задания (Бланк № 1)
Замена ошибочных ответов (Бланк № 1)
Поле для записи развёрнутых ответов (Бланк № 2) Подпись должна помещаться в отведённом для неё поле. Не разрешается делать любые пометки, исправления и записи вне указанных полей.
В поле «Номер варианта» перепишите номер варианта, указанный на листах с заданиями экзаменационной работы.
К бланку следует относиться бережно, не допускать его загрязнения, складывания, надрыва и другой порчи. Не допускается использование ластика и корректирующих паст, лент и т,д. Не допускаются записи и любые пометки на обратной стороне бланка.
Во всех разрешённых для заполнения областях, кроме поля для записи развёрнутых ответов, необходимо писать заглавными печатными буквами по следующему образцу:
■■■■Клтнаощзопппг^^
Запись ответов на задания
Нумерация заданий может быть сквозная (задания экзаменационной работы пронумерованы подряд, начиная с 1), или буквенно-цифровая, например, Al, А2..., Bl, В2,...
Во избежание ошибок ответы к заданиям с выбором одного ответа из четырёх предложенных вариантов и с кратким ответом рекомендуется сначала указать на листах с заданиями экзаменационной работы, а затем перенести их в бланк № 1.
При указании ответа на бланке № 1 в задании с выбором ответа надо выбрать правильный ответ из четырёх предложенных вариантов, поставив метку в одной из четырёх пронумерованных ячеек рядом с номером задания. Ячейки для меток могут располагаться в строчку справа от номера задания или в столбец под номером задания.
Примеры:
,1234
И □ □ I3 □
■ В задании 2 выбран 3-й вариант ответа
[аи| □
□ □
В задании Al 1 выбран 2-й вариант ответа
Если кратким ответом в задании является слово, сочетание слов или последовательность букв или цифр, то в бланке № 1 ответ записывается рядом с номером задания в поле, состоящем из ячеек для отдельных символов, каждый символ вносится в отдельную ячейку. Запись надо начинать с первой слева пустой ячейки. При записи словосочетания соблюдается интервал между словами, равный одной ячейке.
Примеры:
и гелий
0№llL_:
И i-И3:^i# ^'l' i
В экзаменационной работе по алгебре в некоторых заданиях краткий ответ может иметь вид математического выражения. В этом случае аккуратно впишите ответ на бланке № 1 в поле со скруглёнными углами рядом с номером задания.
Пример:
Задания, требующие развёрнутого ответа или записи хода решения, выполняются на бланке ответов № 2.
При выполнении заданий с развёрнутым ответом сначала укажите номер задания, а затем запишите ответ (или решение). Писать следует аккуратно и разборчиво, не выходя за границы поля, отведённого для записи ответов.
Если вам не хватило места для записи ответа (или решения), обратитесь к организатору в аудитории с просьбой выдать дополнительный бланк ответов № 2.
Если часть решения или ответа записана на одном бланке, а продолжение — на другом, то на каждом из бланков обязательно укажите номер выполняемого задания.
Замена ошибочных ответов
Для исправления ответов к заданиям с выбором ответа и кратким ответом используйте поля в области «Замена ошибочных ответов*.
Сначала укажите номер задания, в котором исправляется ответ. Для этого аккуратно впишите цифры номера задания в столбец «Номер задания* области замены. Если в экзаменационной работе используется буквенно-цифровая нумерация заданий, то в столбце «Номер задания* будет указана буква (А или В), а рядом с ней — пустые ячейки для указания номера. Если же задания в работе имеют порядковые номера, идущие подряд, то перед ячейками для указания номера задания в области замены буква отсутствует и надо только вписать цифры.
Если под номер задания отведены две ячейки, а надо исправить ответ в задании с номером от 1 до 9, то можно записать номер в любой из двух ячеек.
После записи номера задания дайте правильный ответ, используя ячейки справа от номера.
Поставьте метку в ячейке с номером выбранного вами варианта ответа (для заданий с выбором ответа).
Для исправления ответов к заданиям с кратким ответом даются такие же поля, состоящие из ячеек для отдельных символов, как и в области «Ответы на задания*. Каждый символ записывайте в отдельную ячейку.
При этом не нужно зачеркивать неправильный ответ в разделе «Ответы на задания*.
Примеры:
Ответы на задания
Замена ошибочных ответов
Комментарий
И □ □во
Номер
задания 1234
2□я□□
;□□□□
:□□□□
3-й вариант ответа в задании 2 исправлен на 2-й вариант ответа
| ан | □
□ □
а^вооо
2-й вариант ответа в задании Al 1 исправлен на 1-й
® гье л и с*'
в! ЛЗЛТ
В задании В2 исправлен краткий ответ
г"о 1315
В задании 20 исправлен краткий ответ
Если ответ на одно и же задание исправлялся несколько раз, то при проверке будет учтена только последняя замена ответа для этого задания.
Если из области замены ошибочных ответов для замены ответа на данное задание использовался один столбец, то последним считается тот ответ, который находится в столбце ниже. Если в области замены ошибочных ответов использовалось несколько столбцов для данного задания — последним считается ответ, указанный в самом правом из использованных для замены столбцов.
Пример:
Замена ошибочных ответов темп 1234аммм* 1234.
лПйааааaijJdbdd
А| ^BODDAiJSDBDD
aFSbodda ^:ddbd
aLSdddbaJJdddd
aL3dBDDaFjDDDD
Окончательно выбраны следующие варианты ответов:
для задания А5 выбран второй вариант ответа;
для задания Al выбран второй вариант ответа;
для задания А4 выбран третий вариант ответа.
Ответы на заданияОтветы на задания
Ответы на задания
Ответы на задания
Для замены неправильного ответа в форме математического выражения (на бланке № 1 по алгебре) следует аккуратно зачеркнуть тонкой линией неправильный ответ или его часть и вписать внутри того же поля правильный ответ.
Примере
В задании 4 исправлен ответ в форме математического выражения
На бланке ответов № 2 можно делать исправления в записи развёрнутого ответа. Для этого следует аккуратно зачеркнуть неверный фрагмент развёрнутого ответа и написать рядом верный.
Образцы экзаменационных бланков
БЛАНК ОТВЕТОВ №1 ГЕОМЕТРИЯ
>.И.О.: Иванов Иваи Иванович
z а uв а в о а z а п
Код участника
3204
ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
Инструкция по выполнению работы
На выполнение экзаменационной работы по геометрии дается 2,5 часа (150 мин). Работа состоит из трех частей и содержит 15 заданий.
Часть 1 содержит 8 заданий обязательного уровня. К первым пяти заданиям приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий обведите кружком номер выбранного ответа в экзаменационной работе. Если вы ошиблись при выборе ответа, то зачеркните отмеченную цифру и обведите нужную:
26 ^ 20 3) 15 © 10
К заданиям 6—8 дайте только ответ (решение записывать не нужно). Ответ записывается в экзаменационной работе в отведенном для этого месте. В случае записи неверного ответа зачеркните его и запишите рядом новый.
Часть 2 содержит 5 более сложных заданий. К заданиям 9—12 необходимо дать только ответ (целое число или десятичная дробь), к заданию 13 — записать решение.
Часть 3 содержит 2 самых сложных задания, при выполнении которых требуется записать обоснованное решение.
При выполнении работы разрешается использовать линейку, угольник, циркуль и транспортир. Использование калькулятора не допускается.
Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны в работе. С целью экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у вас останется время, то можно вернуться к пропущенным заданиям.
За каждый правильный ответ в зависимости от сложности задания дается один или более баллов. Баллы, полученные вами за все задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать как можно большее количество баллов.
Желаем успеха!
Вариант 1
ЧАСТЬ 1
К каждому из заданий 1—5 даны 4 варианта ответа, из которых только один правильный. Номер этого ответа обведите кружком.
В ромбе ABCD проведена диагональ ВВ. Найдите /ЛВС, если известно, что /АВВ = 20°.
1) 20°2) 70°3) 40°4) 140°
Используя данные, указанные на рисунке, найдите синус угла Р.
Найдите длину (модуль) вектора 2(2; 3).
1)12) 753) 54) 713
Четырехугольник АВСВ — трапеция. Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка АВ.
Найдите длину окружности, радиус которой равен 6.
6л
12л
24л
36л
При выполнении задании 6—11 запишите ответ (целое число или десятичную дробь) в отведенном для него месте. Единицы измерения (градусы, метры и др.) не указывайте.
Из точки В к окружности с центром О проведена касательная, А — точка касания. Найдите радиус окружности, если АВ — 6J3. ZABO — 30°.
Ответ:
На рисунке изображены прямые АС и BD, которые пересекаются в точке О. Отрезки ВС и AD лежат на параллельных прямых. Найдите АС, если известно, что АО = 9.
Ответ:
Найдите сторону ВС треугольника BCD, если известно, что CD = А ZB = 30°, oZD = 45°.
Ответ:.
ЧАСТЬ 2
Используя данные, указанные на рисунке, найдите градусную меру ZDAC, где ВС — диаметр окружности.
Ответ:
В прямоугольнике ABCD проведены биссектрисы углов А и Z), которые пересекаются в точке на стороне ВС. Найдите периметр прямоугольника ABCD. если АВ = 8.
Ответ:
Для измерения высоты дерева можно использовать способ, описанный в книге Я.И. Перельмана «Занимательная геометрия».
Для этого шест выше роста человека необходимо воткнуть в землю под прямым углом на некотором расстоянии от измеряемого дерева.
Следует отойти от шеста назад по продолжению DDX до того места, с которого, глядя на вершину дерева, можно увидеть на одной линии с ней верхнюю точку шеста.
Затем, не меняя положения головы, необходимо посмотреть по направлению горизонтальной прямой АС, замечая точки С, и С, в которых луч зрения встречает шест и ствол, и сделать в этих местах пометки.
Определите высоту дерева, изображенного на рисунке, если рост наблюдателя составляет 1,6 м, а в результате измерений получено: ВХСХ = 0,4 м, AXD = 12 м, АСХ = 0,5 м.
Ответ: .
При выполнении задания 12 выберите те ответы, которые считаете правильными, и обведите их номера. Обведенные цифры запишите в указанном месте.
Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
Каждый из углов правильного шестиугольника — тупой.
Каждый из углов правильного шестиугольника — острый.
Угол правильного шестиугольника в 2 раза больше его внешнего угла.
Все диагонали правильного шестиугольника равны.
Сторона-правил ьного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности.
Ответ:
Для записи решений к заданиям 13 — 15 используйте отдельный подписанный лист. Запишите сначала номер задания, а затем его полное решение.
В квадрате ABCD точка К — середина стороны ВС, точка М — середина стороны АВ. Докажите, что прямые АК и MD взаимно перпендикулярны, а треугольники АЕМ (Е — точка пересечения прямых АК и MD) и АВК подобны.
ЧАСТЬ 3
В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ = 12 и ВМ = 18.
Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Я, а медианы — в точке М. Точка К — середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ= Х^Д, СН= 12V2, Z.BAC — 45°.
■БЛАНК ОТВЕТОВ №1 ГЕОМЕТРИЯ
Код участнике
Ф.И.О.:
Л Змюммть галкой или аалилляриоА ручной ЧЕРНЫМИ чериилачи ЗАГЛАВНЫМИ ПЕЧАТНЫМИ БУКВАМИ ио образцам. Л
задании 12 3 4
□ □□□□ □□□□ □□□
11ШШ^
Вариант 2
ЧАСТЬ 1
К каждому из заданий 1—5 даны 4 варианта ответа, из которых только один правильный. Номер этого ответа обведите кружком.
Диагональ трапеции образует с меньшим основанием угол, равный 42°. Найдите величину угла, который эта диагональ образует с большим основанием.
1)21°3)42°
58°4) 138°
Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь параллелограмма..
21 м242 м221 м242 м2
21 м2
42 м2
21 м2
42 м2
Используя данные, указанные на рисунке, найдите периметр треугольника BMN.
1) 242) 421) 242) 42
1) 24
2) 42
1) 24
2) 42
Точки В, D и N лежат на окружности с центром О. Найдите Z.BOD, если Z.BND = 68°.
1) 112°2) 34°1) 112°2) 34°136°
1) 112°
2) 34°
1) 112°
2) 34°
68°
Используя данные, указанные на рисунке, найдите катет PN.
3) 12734) 24723) 12734) 24721) 12
3) 1273
4) 2472
3) 1273
4) 2472
2) 1272
При выполнении заданий 6—11 запишите ответ (целое число или десятичную дробь) в отведенном для него месте. Единицы измерения (градусы, метры и др.) не указывайте.
Из точки D к окружности с центром О проведена касательная, А — точка касания. Найдите радиус окружности, если DO = 7, AD = 276.
Ответ:.
Используя данные, указанные на рисунке, найдите периметр четырехугольника ABDC, если известно, что Z.ABC = Z.CBD.
Ответ:
Найдите сторону МР треугольника MNP. если известно, что MN = 9, NP = 8, cos N = g.
Ответ: .
ЧАСТЬ 2
Сторона ромба MNPK равна 472, Z.P = 60°. Найдите скалярное произведение векторов MN и МК .
Ответ:
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна 713, а высота равна 2.
Ответ: .
Для измерения высоты дерева можно использовать способ, описанный в книге Я.И. Перельмана «Занимательная геометрия».
Он основан на равенстве угла падения и угла отражения света. Для этого на некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева.
Определите высоту дерева, изображенного на рисунке, если рост человека составляет 1,8 м, а в результате измерений получено: ВС — 6 м, CD — 1,5 м.
Ответ: .
При выполнении задания 12 выберите те ответы, которые считаете правильными, и обведите их номера. Обведенные цифры запишите в указанном месте.
Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
Каждый из углов правильного пятиугольника — тупой.
Диагонали правильного пятиугольника равны.
Центр правильного пятиугольника лежит на его диагонали.
Радиус окружности, вписанной в правильный пятиугольник, в 2 раза меньше его стороны.
Радиус окружности, описанной около правильного пятиугольника, меньше его стороны.
Ответ:
Для записи решений к заданиям 13 — 15 используйте отдельный подписанный лист. Запишите сначала номер задания, а затем его полное решение.
В ромбе ABCD из вершины тупого угла В к стороне AD проведена высота ВК и к стороне CD — высота ВР. Докажите равенство треугольников АВК и СВР, и равенство углов КВР и BAD.
ЧАСТЬ 3
Из точки М к окружности, радиус которой равен 4 см, проведены касательная, касающаяся окружности в точке С, и секущая, проходящая через центр О окружности и пересекающая ее в точках А и В так, что МА = АО. Точка N — середина дуги АС окружности, заключенной между секущей и касательной. Найдите площадь треугольника MON.
В треугольнике АВС проведены высоты AN и ВМ и отмечена точка К — середина стороны АВ. Найдите АВ, если известно, что ZACB = 105°, а площадь треугольника MNK равна 4.
■БЛАНК ОТВЕТОВ №1 ГЕОМЕТРИЯ■1 Ф. И. OuКод участника■БЛАНК ОТВЕТОВ №1 ГЕОМЕТРИЯ■1 Ф. И. OuКод участника■ Заполнять гелевой или капиллярной ру*■ Заполнять гелевой или капиллярной ру*г мДата заполненияIIIMIIIIIIIflliei^^6553802257593204।Резерв 1Резерв 2Резерв 3Резерв 4г мДата заполненияIIIMIIIIIIIflliei^^6553802257593204।Резерв 1Резерв 2Резерв 3Резерв 4। ЗАГЛАВНЫМИ ПЕЧАТНЫМИ БУКВАМИ по образцам, Щ। ЗАГЛАВНЫМИ ПЕЧАТНЫМИ БУКВАМИ по образцам, Щ
■
БЛАНК ОТВЕТОВ №1 ГЕОМЕТРИЯ
■
1 Ф. И. Ou
Код участника
■
БЛАНК ОТВЕТОВ №1 ГЕОМЕТРИЯ
■
1 Ф. И. Ou
Код участника
■ Заполнять гелевой или капиллярной ру*
■ Заполнять гелевой или капиллярной ру*
г м
Дата заполнения
IIIMIIIIIIIflliei^^
6553802257593204
।Резерв 1Резерв 2
Резерв 3Резерв 4
г м
Дата заполнения
IIIMIIIIIIIflliei^^
6553802257593204
।Резерв 1Резерв 2
Резерв 3Резерв 4
। ЗАГЛАВНЫМИ ПЕЧАТНЫМИ БУКВАМИ по образцам, Щ
। ЗАГЛАВНЫМИ ПЕЧАТНЫМИ БУКВАМИ по образцам, Щ
Ответы на задания
Образец написания метки Я
ш □ □□□
и
и □ □□□
и
и □ □□□
и
и □ □□□
и
и □□□□
и
и
пи
|Замена ошибочных ответов
задания 1234
□ □□□□ □□□□ □□□
Вариант 3
ЧАСТЬ 1
К каждому из заданий 1—5 даны 4 варианта ответа, из которых только один правильный. Номер этого ответа обведите кружком.
Диагональ трапеции образует с меньшим основанием угол, равный 36°. Найдите величину угла, который эта диагональ образует с большим основанием.
18°54°18°54°1) 144°
18°
54°
18°
54°
2) 36°
Используя данные, указанные на рисунке* найдите площадь параллелограмма.
90 м245 м290 м245 м2
90 м2
45 м2
90 м2
45 м2
Используя данные, указанные на рисунке, найдите периметр треугольника АВС.
1)222) 481)222) 48
1)22
2) 48
1)22
2) 48
Точки В, С и К лежат на окружности с центром О. Найдите ZBOC, если ZBKC = 74°.
I) 106°2) 74°3) 32°4) 148°
В5. Используя данные, указанные на рисунке, найдите катет МК.
1) 36721) 36724) 184) 18
1) 3672
1) 3672
4) 18
4) 18
При выполнении заданий 6—11 запишите ответ (целое число или десятичную дробь) в отведенном для него месте. Единицы измерения (градусы, метры и др.) не указывайте.
Из точки К к окружности с центром О проведена касательная, М — точка касания. Найдите радиус окружности, если КО = 9, МК=АЛ.
Ответ:
Используя данные, указанные на рисунке, найдите периметр четырехугольника ABDC, если известно, что ZBAD = ZCAD.
D
А
Ответ:
Найдите сторону КР треугольника КМР, если известно, что КМ =9, МР = 6, cos М = -4.
4
Ответ: .
ЧАСТЬ 2
Сторона ромба ONMK равна 2, ZLM = 120". Найдите скалярное произведение векторов ON и ОК.
Ответ: .
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна ЛО, а высота равна 2 Л-
Ответ: .
Для измерения высоты дерева можно использовать способ. описанный в книге Я.И. Перельмана «Занимательная геометрия».
Он оснобан на равенстве угла падения и угла отражения света. Для этого на некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева.
Определите высоту дерева, изображенного на рисунке, если рост человека составляет 1,64 м, а в результате измерений получено: ВС= 6 м, CD = 1,2 м.
Ответ: .
При выполнении задания 12 выберите те ответы, которые считаете правильными, и обведите их номера. Обведенные цифры запишите в указанном месте.
Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
Каждый из углов правильного двенадцатиугольника — острый.
Каждый из углов правильного двенадцатиугольника — тупой.
Вершины правильного двенадцатиугольника, последовательно взятые через одну, являются вершинами правильного шестиугольника.
Все диагонали правильного двенадцатиугольника равны.
Радиус окружности, описанной около правильного двенадцатиугольника, больше его стороны.
Ответ: .
Для записи ответов на задания 13 — 15 используйте отдельный подписанный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем его решение.
ВК и DP — высоты ромба ABCD, проведенные из вершин тупых углов соответственно на стороны AD и АВ. Прямые ВК и DP пересекаются в точке О. Докажите равенство треугольников APD и АКВ, и равенство углов ВОР и BAD.
ЧАСТЬ 3
Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что ZBAC = 60°, АВ = 20, а медиана АМ = 14.
В треугольнике АВС проведены высоты AN и ВМ и отмечена точка К —- середйна стороны АВ. Найдите АВ, если известно, что ZACB = 120°, а площадь треугольника MNK равна 7з.
1НИ1Й1М1№1М11111
■БЛАНК ОТВЕТОВ №2
Ф.И.О.:
Код участника
***** Г М °****'*"*”"
1ИИМ111^^
655380225759320400000001
■01I__j»—
Попе для записи развернутых ответов. Не забудьте указать иомер задания, которое Вы выполняете Пишите аккуратно и разборчиво
Вариант 4
ЧАСТЬ 1
К каждому из заданий 1—5 даны 4 варианта ответа, из которых только один правильный. Номер этого ответа обведите кружком.
Диагональ параллелограмма образует с одной из его сторон угол, равный 34°. Найдите величину угла, который эта диагональ образует с противоположной стороной параллелограмма.
1) 34° 2) 17° 3) 56° 4) 146°
Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь трапеции.
1) 652) 453) 504) 100
В окружности с центром О проведена хорда МТ. Найдите ZMOTy если ZOMT = 48°.
1) 48°2) 84°3) 132°4) 42°
Используя данные, указанные на рисунке, найдите катет CD.
1) 181) 182) 12 733) 18 732) 12 733) 18 734) 18 Д4) 18 Д
1) 18
1) 18
2) 12 733) 18 73
2) 12 733) 18 73
4) 18 Д
4) 18 Д
Дан параллелограмм KMNP. Укажите вектор, равный сумме векторов MN и МК.
1) NK2) KN3) РМ 4) МР
При выполнении заданий 6—11 запишите ответ (целое число или десятичную дробь) в отведенном для него месте. Единицы измерения (градусы, мепц>ы и др.) не указывайте.
Длина окружности равна 15л. Найдите радиус этой окружности.
Ответ: .
Отрезки ВС и МК пересекаются в точке О, причем, ZBMO = = Z.KCO, а ОК =13. Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка ВС.
Ответ:
Найдите синус угла В треугольника BDE, если известно, что BE = 16, DE =12, синус угла D равен |.
Ответ:
ЧАСТЬ 2
ВС — диаметр окружности с центром О, К — точка этой окружности. Найдите периметр треугольника СОК, если известно, что ВС = 15, ВК= 12.
Ответ:
Вершина D параллелограмма ABCD соединена с точкой О на стороне ВС. Отрезок DO пересекает диагональ АС в точке К. Площадь треугольника КОС равна 8, а площадь треугольника CDK равна 20. Найдите площадь параллелограмма.
Ответ:
Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого соответственно равны 11 дм и 4 дм. Из него, как показано на рисунке, вырезаны две одинаковые части в форме равнобедренных треугольников. Сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если длина отрезка МР равна 5 дм, а на 1 дм2 поверхности расходуется 0,02 кг краски?
Ответ:
При выполнении задания 12 выберите те ответы, которые считаете правильными, и обведите их номера. Обведенные цифры запишите в указанном месте.
Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
Медиана всегда делит пополам один из углов треугольника.
Точка пересечения медиан не может лежать вне треугольника.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна её половине.
Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Ответ:
Для записи решений к заданиям 13 — 15 используйте отдельный подписанный лист» Запишите сначала номер задания, а затем его полное решение.
В правильном шестиугольнике ABCDEF из точки А проведены диагонали. Докажите, что треугольники ACD и AED равны, а прямые ВС и AD параллельны.
ЧАСТЬ 3
Около равнобедренного треугольника МРК с основанием МК, равным 48, описана окружность с центром О. Радиус окружности равен 25. Найдите расстояние от точки О до боковой стороны треугольника.
Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Я, а медианы — в точке М. Точка К — середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ = 672, СЯ=ЗЛ ZBAC= 45°.
Л Заполнять гелееой или капиллярной ручкой ЧЕРНЫМИ чернилами ЗАГЛАВНЫМИ ПЕЧАТНЫМИ БУКВАМИ по образцам: Щ ЯбЩгЩМ^^
■ 1111111Ш^
Вариант 5
часть 1
К каждому из заданий 1—5 даны 4 варианта ответа, из которых только один правильный. Номер этого ответа обведите кружком.
Диагональ параллелограмма образует с одной из его сторон угол, равный 76°. Найдите величину угла, который эта диагональ образует с противоположной стороной параллелограмма.
1)38° 2)76° 3)14° 4)104°
Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь трапеции.
342) 883) 564) 44
В окружности с центром О проведена хорда РК. Найдите ZPOK, если ZOPK = 72°.
1)36°2)118°3)18°4)72°
Используя данные, указанные на рисунке, найдите катет АЕ.
1) юТз2) 151) юТз2) 15
1) юТз
2) 15
1) юТз
2) 15
Дан параллелограмм PRST. Укажите вектор, равный сумме векторов SR и ЗТ.
D та3) ^
ЯГ4) SP
При выполнении заданий 6—11 запишите ответ (целое число или десятичную дробь) в отведенном для него месте. Единицы измерения (градусы, метры и др.) не указывайте.
Площадь круга равна 36я. Найдите радиус этой окружности.
Ответ:
Отрезки АВ и KN пересекаются в точке Р, причем, ZANP * ZKBP, а КР = 8. Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка ЛА
Ответ:
Найдите синус угла D треугольника CDE, если известно, что DE = 15, СЕ = 18, синус угла С равен g.
Ответ:
ЧАСТЬ 2
АВ — диаметр окружности с центром О; М — точка этой окружности. Найдите периметр треугольника МОВ, если известно, что АВ = \3, АМ = 12.
Ответ:
Вершина С параллелограмма ABCD соединена с точкой Н на стороне АВ, Отрезок СН пересекает диагональ BD в точке Р. Площадь треугольника ВНР равна 18, а площадь треугольника ВСР равна 24. Найдите площадь параллелограмма.
Ответ: .
Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого соответственно равны 12 дм и 6 дм. Из него, как показано на рисунке, вырезаны две одинаковые части в форме равнобедренных треугольников. Сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если длина отрезка A7V равна 8 дм, а на 1 дм поверхности расходуется 0,012 кг краски?
Ответ:
При выполнении задания 12 выберите те ответы, которые считаете правильными, и обведите их номера. Обведенные цифры запишите в указанном месте.
Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
Для записи ответов на задания 13 — 15 используйте отдельный подписанный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем его решение.
Дан правильный восьмиугольник ABCDEFGH. Докажите, что треугольники ADE и AFE равны, а прямые DF и АЕ перпендикулярны.
ЧАСТЬ 3
Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Отрезок MN с концами на боковых сторонах является средней линией треугольника и равен 715. Около треугольника описана окружность с центром О и радиусом, равным 8. Найдите длину отрезка ОМ.
Высоты треугольника пересекаются в точке Я, а медианы — в точке М. Точка К — середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ = 24, СН= 1273, ZBAC = 60°.
|АЩ11гш1йН№а^
■ 11ПИ1И11111ПП1И1111Н1111111П1111111П1Н»■
Ответы
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
№ 1
3
2
4
1
2
6
18
№ 2
3
4
1
3
2
5
32
№ 3
2
1
2
4
3
7
38
№ 4
1
3
2
3
4
7,5
18
№ 5
2
4
1
3
4
6
22
Вариант
8
9
10
11
12
14
15
№ 1
2
117
48
11,2
135
9
135
№ 2
11
16
6
7,2
125
8
8
№ 3
12
-2
4
8,2
235
60 V3
4
№ 4
0,25
24
140
0,64
234
15
11,25
№ 5
0,2
18
112
0,72
145
2
75 73
Решения заданий с развернутым ответом
Рассмотрим решения заданий с развернутым ответом варианта №1 и критерии их оценивания.
В квадрате ABCD точка К — середина стороны ВС, точка М — середина стороны АВ. Докажите, что прямые АК и MD взаимно перпендикулярны, а треугольники АЕМ (Е — точка пересечения прямых АК и MD) и АВК подобны.
Образец возможного доказательства:
Прямоугольные треугольники АВК и DAM равны по двум катетам, так как у них АВ = AD как стороны квадрата, ВК = АМ как половины сторон квадрата ABCD.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, то есть /.ВАК = /ADM.
Рассмотрим треугольник АЕМ.
У него /МАЕ + /АМЕ = /ADM + /AMD = 90°, тогда по теореме о сумме углов треугольника /АЕМ = 180° — 90° = 90°, и прямые АК и MD взаимно перпендикулярны.
У прямоугольных треугольников АЕМ и АВК угол А — общий, следовательно они подобны по острому углу. Что и требовалось доказать.
Балл
Содержание критерия
2
Доказаны оба из предложенных в задаче утверждений.
1
Доказано только одно из утверждений.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.
В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ = 12 и ВМ = 18.
Образец возможного решения:
Пусть АН — высота равнобедренного треугольника АВС. Из свойств равнобедренного треугольника с основанием ВС следует, что АН — биссектриса этого треугольника.
В
Поэтому центр О вписанной в треугольник окружности лежит на отрезке АН, и окружность касается основания ВС данного треугольника в точке И
Поскольку отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, получаем:
ВН= ВМ = 18.
В прямоугольном треугольнике АВН: АВ = АМ + МВ, АВ = 30 и АН = JaB^BH2, АН = 24.
Прямоугольный треугольник АВН подобен прямоугольно- АН ВН
му треугольнику АОМ (по двум углам). Откуда -™ = у™. По
лучаем ОМ = ^^, ОМ = 9.
Ответ: 9.
Балл
Содержание критерия
2
Ход решения правильный. Решение завершено. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
1
Ход решения правильный. Решение завершено.
Допустима описка или негрубая ошибка в вычислениях и преобразованиях, не влияющая на правильность хода решения. В результате этих недочетов возможен неверный ответ.
Баллы
Содержание критерия
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.
Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы — в точке М. Точка К — середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ = 18 V2, СН= \1Л, ZBAC=A5°*
Образец возможного решения:
По условию, высоты треугольника АВС пересекаются, следовательно, точка Н их пересечения расположена внутри этого треугольника.
Пусть СР — высота, a BL — медиана треугольника АВС. Обозначим Hv Ку Мх — основания перпендикуляров, проведенных соответственно из точек Н, К, М к прямой АС.
В прямоугольном треугольнике АРС ZPAC = 45°, следовательно, ZPCA = 45°.
В прямоугольном треугольнике ННХС ZHCHX = 45°, катеты равны: СНХ = HHV и ННХ = CH sin45°, ННХ = 12, СНХ = 12.
В прямоугольном равнобедренном треугольнике ВНХА катеты равны: АНХ = ВНХ и ВНХ = y45sin45°, ВНХ = 18, АНХ = 18.
Треугольник BHXL подобен треугольнику MMXL (по двум углам), ит (по свойству медиан треугольника).
М М ।М L 1
Отсюда ММХ = ^BHV ММХ = 6.
Из теоремы Фалеса следует, что отрезок ККХ является средней линией трапеции ННХМХМ, поэтому ККХ = ККХ = 9.
Поскольку АС = АНХ + НХС, АС = 30.
Отсюда SMKC = ^АСККХ, SMKC = 135.
Ответ: 135.
Баллы
Содержание критерия
3
Найден верный способ решения.
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
найдена величина угла РСА;
решены прямоугольные треугольники ННХС и ВНХА*,
установлено подобие треугольников BHXL и MMXL, и найдена сторона ММХ,
вычислена средняя линия ККХ трапеции ННХМХМ\
вычислена площадь треугольника АКС.
Верно обоснованы все ключевые моменты выбранного способа решения:
прямоугольные треугольники BHXL и MMXL подобны;
отрезок АХ, является средней линией трапеции ННХМХМ.
Верно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
2
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Явно описаны или могут быть отмечены на чертеже свойства представленных в условии фигур и их элементов, которые играют ключевую роль в решении задачи. Допустимо отсутствие обоснований или неточности в обоснованиях ключевых моментов. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок.
Допустима одна описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате ошибки или описки может быть получен неверный ответ.
Баллы
Содержание критерия
1
Ход решения правильный, но решение, возможно, не завершено: имеются шаги 1), 2).
Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок.
Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или в преобразованиях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла.
Центр образования «Уникум»
Центр образования «Уникум» — первая в Москвеорганизация, специализирующаяся на подготовкестаршеклассников и абитуриентов к сдаче ЕГЭ и другихформатах промежуточного и итогового контроляв тестовой форме.
Подготовка учащихся 9,10 и 11 классов по русскому языку,математике и другим общеобразовательным предметам.Обучение в вечернее время и в воскресные дни, занятияв группах и индивидуальные. Очная и заочная формыобучения. Репетиционные экзамены в форматеЕГЭ и ГИА по материалам, прошедшим экспертизуФедерального институтапедагогических измерений (ФИПИ).
Подробности на сайте
www.uni-test.ru
Справки по телефонам:
8 (499) 615-20-31, 735-51-77, 8 (985) 966-19-73 (моб.)
Справочное издание
ГИА-2009
ЭКЗАМЕН В НОВОЙ ФОРМЕ
ГЕОМЕТРИЯ
9 класс
Тренировочные варианты экзаменационных работдля проведения государственнойитоговой аттестации в новой форме
Авторы-составители
Галина Константиновна Безрукова,Наталия Борисовна Мельникова,Наталья Васильевна Шевелева
Редакция «Образовательные проекты»
Ответственный редактор А.А. Лаврентьев
Художественный редактор Т.Н. Войткевич
Технический редактор А.Л. Шелудченко
Корректор И.Н. Мокина
Обложка — дизайн-группа «Дикобраз»Оригинал-макет подготовлен ООО «БЕТА-Фрейм»
Общероссийский классификатор продукции
ОК-005-93, том 2; 953005 — литература учебная
Санитарно-эпидемиологическое заключение№ 77.99.60.953Д.009163.08.07 от 03.08.2007 г.
ООО «Издательство Астрель»
129085, г. Москва, пр-д Ольминского, д. За
ООО «Издательство АСТ»
141100, РФ, Московская обл., г. Шелково, ул. Заречная, д. 96
Наши электронные адреса: www.ast.ru
E-mail* ам pub^aha ru
ОАО «Владимирская книжная типография»600000. г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7.
Качество печати соответствует качеству предоставленных диапозитивов
По вопросам приобретения киш обратап»ся по адресу:
129085, Москва, Звездный бульвар, дом 21, 7 этаж
Отдел реализации учебной литературы«Издательство группы АСТ»
Справки по телефону: (495)615-53-10, факс 232-17-04
3) 48
4) 36
3) 26
4) 24
1) Высота может совпадать с одной из сторон треугольника.
3) Высота всегда проходит через середину стороны треугольника.
4) Высоты треугольника могут не пересекаться.
5) Высота всегда образует с прямой, содержащей одну из сторон треугольника, равные углы.
Ответ: .