Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
К ЧИТАТЕЛЮ
ОРОГИЕ РЕБЯТА! Книга, которую вы взяли в руки, является сборником традиционных, но непростых, можно сказать трудных, задач, причем некоторые из них иногда даже называют задачами-монстрами.
По-настоящему понять задачу и ее решение, на наш взгляд, можно только в общении с хорошим «решальщиком». В этом смысле книга и есть «решальщик», так как значительная часть задач приводится с решениями. Эти решения отличаются от привычных, школьных. Наши решения надо «смотреть», т. е. решение в основном «лежит в рисунке».
Постарайтесь понять идеи решений еще в 8 классе, и тогда, оканчивая школу и готовясь к итоговой аттестации в 11 классе по математике и вступительному экзамену в вуз, вы сможете многие задачи решать почти мгновенно.
В книге вы найдете для себя и задачи без решений. Выполнить их можно одним из многих приемов — образцов. Не огорчайтесь, если вы этот прием не сразу увидите. Однако, когда задача будет решена, вы получите истинное удовольствие от самостоятельно выполненной работы, так как размышление над условием задачи, поиск решения и его реализация обогатят ваш опыт.
Помните, что наш земляк, великий русский поэт Александр Сергеевич Пушкин (1799—1837), однажды, решив задачу, воскликнул: «В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии».
ВАЖАЕМЫЕ УЧИТЕЛЯ! Перед вами еще одно дидактическое средство, способное, на наш взгляд, оказать вам помощь в нелегком деле — обучении школьников искусству решать математические задачи.
Все мы, дорогие коллеги, в конечном счете стараемся научить своих учеников решать задачи, так как решение задач — это сердцевина, смысл и внутренняя пружина самой математики. Сначала появляется задача, и лишь затем мы ищем или строим теорию для ее решения. Поэтому изучать саму математику можно, на наш взгляд, только с помощью задач, приходя самостоятельно к необходимым теоретическим выводам и обобщениям или совершая поиск нужных сведений в различных публикациях. Такой путь изучения математики, как нам кажется, очень увлекателен.
Уникальность математической задачи заключается в том, что, во-первых, задачи являются для ученика своеобразной областью применения его формальных знаний (проявляется компетентность ученика). Во-вторых, задачи позволяют ученику проверить правильность приобретенных знаний (задачи как контрольно-измерительный материал). В-третьих, задачи формируют у ученика умение анализировать ситуацию, систематизировать и классифицировать условия, подчас самостоятельно получая открытия (задачи как средство познания). В-четвертых, задачи способствуют повышению уровня заинтересованности ученика к изучению математики (задачи как мотив познания). В-пятых, что тоже немаловажно, решение задач может доставить ученику эстетическое удовольствие (ощущение радости от решения задачи недоступно тем, кто ни разу не попробовал выполнить это самостоятельно и не добился успеха).
Наша книга состоит из пяти этюдов о решении задач (часто задачи объединены в серии). Эти решения, как правило, отличаются от тех, которые приводятся в учебниках. Наши решения почти не содержат
пояснительный текст. Символьный ряд решения в основном также невелик. Зато усилена визуальная составляющая решения (почти для каждой задачи приведен рисунок). Школьники «смотрят» решение на рисунке и получают ответ.
На наш взгляд, нетрадиционные приемы решения задач позволяют полнее раскрыть потенциал школьников, приобщить их к творчеству, к исследовательской деятельности и проиллюстрировать детям внут- риматематические связи. Иногда для сравнения к одной задаче предлагаются два-три способа решения.
В каждом этюде приведены геометрические приемы решения задач. Они, как правило, не обладают для учащихся признаком привычности, но, как показывает опыт, легко ими воспринимаются. Благодаря интеграции «негеометричности» условия задачи и ее геометрического решения математические знания предстают перед учащимися как живая, динамичная система, способная решать задачи из других наук и практики. По существу, действует двусторонний процесс: обучение математике и обучение математикой. В конце каждого этюда приводятся упражнения для самостоятельного решения. Предваряет упражнения небольшой информационный блок как основа приемов их выполнения.
Некоторые задачи, дорогие коллеги, могут показаться вам сложными для выбора их в качестве упражнений на уроке, тогда можно рассмотреть их на кружковых или факультативных занятиях как упражнения элективных курсов. А если переформулировать условие, то эти задачи вполне по силам учащимся и в основной школе (8—9 классы). Те задачи, решения которых требуют от учащихся формальных знаний из курса математики 10—11 классов, отмечены знаком *. "
В общем, как когда-то заметил Д. Пойа, «обучение — это ремесло, использующее бесчисленное количество маленьких трюков».
Любая книга является собеседником, спутником человека.
Надеюсь, что наша книга не покажется вам, уважаемые коллеги, пустой и скучной. Желаю вам успехов!
Автор
Арифметические знаки — это записанные геометрические фигуры, а геометрические фигуры — это нарисованные формулы.
Д. Гильберт
РЕШАЕМ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙРЕШАЕМ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
РЕШАЕМ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
РЕШАЕМ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
матике.матике.значение выражения ху + yz.Решение. Решить систему уравнений нетрудно.значение выражения ху + yz.Решение. Решить систему уравнений нетрудно.
матике.
матике.
значение выражения ху + yz.
Решение. Решить систему уравнений нетрудно.
значение выражения ху + yz.
Решение. Решить систему уравнений нетрудно.
редлагаем вам задачи, большинства которых нет в системах упражнений школьных учебников по мате
Разбирая наши решения, обращайтесь за сведениями в информационный блок № 1 или за советами к учителю. . Напоминаем, что решения задач с номерами, отмеченными *, требуют формальных знаний из курса математики 10—11 классов.
Итак, перед вами негеометрические задачи (системы уравнений) и их геометрические решения.
Из условий х2 + у2 = 9, у2 + z2 = 16 и у2 = xz для положительных х, у, г, не вычисляя их значений, укажите
х2 + у2 =9
у2 + z2 = 16
у2 = XZ
Можно, например, так:
х2 + ^у2 + z2 = 25 (сложили 1-е и 2-е уравнения), х2 + 2xz + z2 = 25 (заменили у2 из 3-го уравнения), (х + z)2 = 52, z = 5 - х (так как х > 0 и z > 0), х2 + х (5 - х) = 9 (подставили в 1-е уравнение).
Далее решаем уравнение, получаем х = 1,8 и затем подсчитываем: z = 3,2 и у = 2,4. Значение выражения ху + yz равно 1,8 • 2,4 + 2,4 • 3,2 = 12.
Но задача не требует решать систему и затем считать значение выражения ху + yz. Наоборот, подсчитать это значение надо, не решая систему уравнений.
Вот как мы будем это делать.
Так как х > 0, у > 0 и z > 0, то задачу можно интерпре
тировать геометрически.
По теореме, обратной теореме Пифагора, числа х, у и 3 являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника ABD (угол D прямой).
Тогда, рассмотрев второе уравнение системы, можно сделать вывод, что у, z и 4 являются соответственно
длинами катетов и гипотенузы треугольника BCD с прямым углом D (рис. 1.1).
Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z. Тогда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол АВС прямой (рис. 1.2).
Теперь, чтобы ответить на главный вопрос задачи, рассмотрим выражение ху + yz.
ху * yz = <х * z> - у = = 25ддзс = 3 • 4 = 12.
Ответ. 12.
Замечание. Для данной системы задания могут быть и другие. Например: в каком отношении находятся числа х и у, z и у? Постарайтесь найти значения этих дробей. Придумайте другие вопросы.
В дальнейшем мы очень редко будем предлагать разные
A Vx=I D^5C Рис. 1.3A Vx=I D^5C Рис. 1.3решения.
A Vx=I D^5C Рис. 1.3
A Vx=I D^5C Рис. 1.3
Вычислите значение
у • (Vx-1 + V2 - z\ если у > 0, х + у2 = 7,25, у2 - z = 2 и у2 = Vx-1 -V2-z.
Решение. Во-первых, х * 1 и z * 2. Действительно, если х = 1 или z = 2, то у = 0. Однако пара чисел 1 и 0 не удовлетворяет условию х + у2 = 7,25. Аналогично пара чисел 0 и 2 не удовлетворяет условию у2 — z = 2.
Во-вторых, для х > 1 и z < 2 условия х + у2 = 7,25 и у2-г = 2 можно трансформировать соответ-. ственно в уравнения ^х^ЛУ-Уу2 =6,25 и y2 + (j2=z)2 =4.
В-третьих, рассуждая так же, как и в задаче 1, получаем (см. рис. 1.3):
у • (Vx — 1 + V2 - z ) = 25ддвд == 2,5 • 2 = 5.
Ответ. 5.
Для положительных х, у и z из условий у2 + z2 = 50, -V2оZ2
х2 + ху + — = 169, х2 + xz + — = 144, не находя значений
х, у и г, вычислите значение выражения ху + yz + zx.
Решение. Запишем три условия задачи в виде системы уравнений п2 х2 + ху + ~- = 169
I/222
т+т = 25
X2 + Х2 + ^ = 144.
По теореме, обратной теореме Пифагора, числа -^, -^ и 5 являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника АОС с прямым углом АОС, а числа х, -^ и 13 есть длины сторон треугольника АОВ с углом АОВ, равным 135°. Этот вывод можно сделать, используя теорему, обратную теореме косинусов. Аналогично х, ^ и 12 есть длины сторон треугольника ВОС с углом ВОС, равным 135°. На рисунке 1.4 изображены эти треугольники.
Так как 52 + 122 = 132, то в треугольнике АВС ZACB = 90°.
°ДАОВ — 2°ДАОВ — 2^ДАОС° двое “ 2^ДАОС° двое “ 2•x-~sinl35° = ^ху, 1 у г 1
°ДАОВ — 2
°ДАОВ — 2
^ДАОС
° двое “ 2
^ДАОС
° двое “ 2
х-Д= • sinl35° = ^rxz; V24 ’
5длвс = |512 = 30.
Отвечая на главный вопрос задачи, заметим, что значение выражения ху + yz + гх равно учетверенной площади треугольника АВС. Итак, ху + yz + zx = 120.
Ответ. 120.
Для положительных х, у и z, не вычисляя их значений из си- у2 стемы уравнений х2 + ху + — = 25,
— + z2 = 9, г2 + хг + х2 = 16, опре
делите величину ху + 2уг + Зхг.
Решение. Рассуждая так же, как и в задаче 3, получаем (см. рис. 1.5):
8ААВС = тт* • -p= sinl50° +a + ^ xa sinl20° =
ЛАВС 2 V32 V3 2
= - • x • Д= • - + — •• z + — • x • z • — = -Д= (xy + 2ya + 3xa).
2 V3 2 2 V3 22 4V3k У
Так как площадь треугольника АВС равна 6, то ху + 2yz + 3xz = 24-УЗ.
Ответ. 24-УЗ.
Вешите систему урав- х + у + z = 60 нений - х + У ~ 2 — = 12. ■2
Решение.
Если х > 0, у > 0 и z > 0, то существует треугольник АВС с прямым углом С, у
которого х и у — катеты, а Рис. 1.6 z — гипотенуза (рис. 1.6).
Периметр этого треугольника равен 60, а длина его высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна 12. Из первого уравнения получаем, что (х + у^ = (60 - а)2, а из второго и третьего уравнений: (х + у)2 = а2 + 24а. Приравняв правые части последних уравнений, заметим, что 144а = 602, т. е. а = (5 • 12)2 : 122 = 25.
Далее наша система позволяет получить другую:
х + у = 35ху = 300.
В этой системе одно неизвестное 15, а второе 20. Значит, исходная система имеет решения: (15; 20; 25) и (20; 15; 25).
В условии системы не оговаривается, что х, у и z — положительные числа. Из третьего уравнения следует, что два из трех неизвестных могут быть отрицательны. Однако по ходу решения мы убеждаемся, что а > 0. Значит, могут быть только х < 0 и у < 0. Но это невозможно, так как х + у = 35.
Ответ. (15; 20; 25), (20; 15; 25).
х2 *ху + у2 = 4
6. Имеет ли система уравнений6. Имеет ли система уравненийх2 + ха+а2=9 реше-
6. Имеет ли система уравнений
6. Имеет ли система уравнений
у2 +yz+z2 = 36
ния для х > 0, у > 0 и а > 0?
Решение. Допустим, что есть такая тройка положительных чисел х, у, z, удовлетворяющая каждому уравнению
У 120У 12066данной системы. Тогда возможна ее геометрическая интерпретация на рисунке 1.7 (см. рассуждения в задаче 3). Но треугольник АВС не существует, так как не выполняет-
У 120
У 120
6
6
Рис .1.7Рис .1.7С ся неравенство треугольника. Значит, система не имеет решений.
Рис .1.7
Рис .1.7
Ответ. 0.
Замечание. Для положительных х, у и г данная система имеет решение, если в правой части третьего уравнения взято число из промежутка (1; 25).
ААРис. 1.8Рис. 1.8Решите систему уравнений у^х2-у2 = 48 х + у + ^х2 - у2 = 24.
А
А
Рис. 1.8
Рис. 1.8
Решение. Нетрудно убедиться, что х и у положительны.
Так как у2 + (Vx2-у2 )2 = х2, то числа у, ^х2 - у2 и х являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника АВС с прямым углом АСВ (рис. 1.8).
Площадь этого треугольника 24 кв. ед., а его периметр 24 лин. ед. Тогда радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен 2. Так как длина гипотенузы АВ равна сумме длин катетов АС и ВС без удвоенной длины радиуса вписанной в этот треугольник окружности, то х = у + у]х2 - у2 - 4.
Из второго уравнения системы получаем х = 10. Значит, у = 6 или у = 8.
х2 +у2 = 13Jx2 + 5 + Jy2 - 5 = 5.х2 +у2 = 13Jx2 + 5 + Jy2 - 5 = 5.Ответ. (10; 6), (10; 8).
х2 +у2 = 13
Jx2 + 5 + Jy2 - 5 = 5.
х2 +у2 = 13
Jx2 + 5 + Jy2 - 5 = 5.
Решите систему уравнений
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 1.9) и катетами ^х2 + 5 и y/у2 - 5. Сумма катетов треугольника равна 5, а гипотенуза V13.
Если обозначить катеты традиционно буквами а и Ь, то получим а + Ь = 5 и а2 + Ь2 = 13. Отсюда следует, что аЬ = 6. Значит, катеты треугольника АВС имеют длины 2 и 3. Но ^х2 + 5 # 2, так как у]х2 + 5 > V5. Итак, у/х2 + 5 = 3, Vy2 - 5 = 2. Тогда |х| = 2 и |у| = 3.
Ответ. (2; 3), (-2; 3), (-2; -3), (2; -3).
Решите систему уравнений \ „ у „„_
[х2 +у2 +Z2 = 1.
Решение. Очевидно, что О < х < 1, 0 < у < 1, 0 < 2 < 1. Допустим, существует треугольник, длины сторон которого удовлетворяют данной системе. Из первого уравнения имеем z = V3 - (х + у).
Тогда второе уравнение принимает вид:
х2 + у2 + 3 - 2>/3(х + у) + (х + у)2 = 1.(1)
Преобразовав это уравнение, получаем квадратное уравнение относительно х:
х2 + (у- V3)-x + (y2-yV3+l) = 0.
Дискриминант этого уравнения равен -(yV3-l)2. Так
как мы предположили, что треугольник существует, то -(у 45 -1)2 > О. Неравенство выполняется при у = -^.
Уравнение (1) можно было преобразовать в квадратное относительно у. Тогда х = -^. Значение 2 подсчитывается из первого уравнения: г = -i.
Л ( 1 1 1 V3
Замечание. Задачу можно переформулировать. Например, определить вид треугольника, периметр которого равен 4^, а сумма квадратов длин его сторон равна 1.
X+у+2 = 3 х2+у2+г2 = 3.X+у+2 = 3 х2+у2+г2 = 3.Ответ. Равносторонний треугольник.
X+у+2 = 3 х2+у2+г2 = 3.
X+у+2 = 3 х2+у2+г2 = 3.
10*. Решите систему уравнений Решение.
Первый способ. Уравнение х + у + 2 = 3 есть уравнение плоскости (рис. 1.10), пересекающей оси прямоугольной декартовой системы координат в точках А (3; 0; 0), В (0; 3; 0), С (0; 0; 3).
Уравнение х2 + у2 + г2 = 3 есть уравнение сферы с центром в точке О (0; 0; 0) и радиусом В, равным 43.
Вычислим расстояние от точки О до плоскости АВС. Для этого рассмотрим тетраэдр О АВС.
Объем V тетраэдра равен ^ 8ДАВС • Н, где Н = OD (D — центр треугольника АВС), т. е.
„ 1 (3V2)2V3 __ 3HV3
334422
3
3
4
4
2
2
Объем тетраэдра может быть подсчитан иначе: | S^qab ' СО, т. е. V = | • | • З2 • 3 = |. Приравняв ^^1 и |, получаем Н = V3. Это означает, что расстояние от точки О до плоскости АВС равно радиусу сферы, т. е. плоскость касается сферы. Следовательно, точка касания является центром треугольника АВС.
Так как D (х; у; z) — центр равностороннего треугольника АВС, где А (3; О; 0), В (0; 3; 0), С (0; 0; 3), то х = у = z.
Заменив у и г на х в уравнениях данной системы, получаем х = 1.
Второй способ. Рассмотрим а (х; у; г^ и Ь (1; 1; 1).
|а| = V^+y^+z2" = V3, |Ь| = VI2+ 12+ 12 =V3.
a«?=X‘l+yl + z- l = 3, |a| • |&| = V3 • V3 = 3,
a • b = |a| • |b|.
Значит, айбиу = у = у.
Х+у+Z=1X2 +у2 + Z2 = |.Х+у+Z=1X2 +у2 + Z2 = |.Ответ. (1; 1; 1).
Х+у+Z=1
X2 +у2 + Z2 = |.
Х+у+Z=1
X2 +у2 + Z2 = |.
11*. Решите систему уравнений •
Решение. Рассмотрим а (х; у; z) и b (1; 1; 1).
| а | = V^+^+z2" = ^, | Ь | = Vl2 + 12 + 12 = V3. ab = x- 1 + у 1 + z • 1 = 1, |а| • |6| = ^|-V3 = 1.
Значит, а • Ь = | а | • | b |, т. е.Значит, а • Ь = | а | • | b |, т. е.■*♦♦?■X У 2а ТТ Ь, а отсюда у = у = j■*♦♦?■X У 2а ТТ Ь, а отсюда у = у = jОтвет.Ответ.1 1)з; 3)*1 1)з; 3)*
Значит, а • Ь = | а | • | b |, т. е.
Значит, а • Ь = | а | • | b |, т. е.
■*♦♦?■X У 2
а ТТ Ь, а отсюда у = у = j
■*♦♦?■X У 2
а ТТ Ь, а отсюда у = у = j
Ответ.
Ответ.
1 1)
з; 3)*
1 1)
з; 3)*
12*. Решите систему уравнений12*. Решите систему уравненийх+у+ z = 1 X2 +у2 +Z2 = ^l°g2 У = 2.
12*. Решите систему уравнений
12*. Решите систему уравнений
Решение. Из предыдущей задачи имеем х = у = z = —. тт111
Проверим эти числа в третьем уравнении: — log i = 3 з 3 = |.1#2.
Ответ. 0.
3x + 3" + 3z = 9
13*, Решите систему уравнений • 9х+ 9^ + 9* = 27 Ху+уг + 2х = 3.Решение. Заменим 3х на m, Зу на п, 3х на к, тогда наша система примет вид13*, Решите систему уравнений • 9х+ 9^ + 9* = 27 Ху+уг + 2х = 3.Решение. Заменим 3х на m, Зу на п, 3х на к, тогда наша система примет видт*п+к=9• т + л2 + к2 = 27xH+yz+zx = 3.
13*, Решите систему уравнений • 9х+ 9^ + 9* = 27 Ху+уг + 2х = 3.
Решение. Заменим 3х на m, Зу на п, 3х на к, тогда наша система примет вид
13*, Решите систему уравнений • 9х+ 9^ + 9* = 27 Ху+уг + 2х = 3.
Решение. Заменим 3х на m, Зу на п, 3х на к, тогда наша система примет вид
Так же, как и в задачах 10 и 11, нетрудно убедиться, что т = п = к = 3. Сделав обратные замены, получим х = у = = z = 1. Эти числа удовлетворяют и третьему уравнению.
Ответ. (1; 1; 1).
14*. Решите систему уравнений
9y2z2 + 4x2z2 + 25х2у2 =16x2y2z2 - х2 + 4у2 + z2 = 9
x-pV3+zV15 = 7,5.
Решение. Нетрудно убедиться, что х * 0, у * 0, z * 0. Тогда первое уравнение системы равносильно уравнению 9.25-1«
—7 ^—5- Н—7 — 1О.
X2 у4 24
-► f 3 2 5-►
Рассмотрим векторы а —; -; — и & (х; 2и; г). Модуль V X у 2 )
первого вектора равен /-Я- + -^- + ^, т. е. |л| = 4. Модуль У X4 у4 24
второго вектора равен ^х2 +4у2 + z2 , т. е. |Ь| = 3.
Скалярное произведение рассматриваемых векторов рав
но — • х + - • 2у + - • 2, т. е. а • Ь = 12. Значит, а • 6 = | а | • | Ь |. ^ У з
Отсюда следует, что ненулевые векторы а и b сонаправлены. У коллийеарных векторов соответствующие координаты про- 315™2 х2 25х2
удовлетворяют только две: I -удовлетворяют только две: I -Ответ. —: —: —: viBtsi. । 2,2 ,2Ответ. —: —: —: viBtsi. । 2,2 ,22 ’3.2’2 ’3.2’15 ] ( 32 JИI 215 ] ( 32 JИI 22 ’ 22 ’ 2порциональны, т. е. —5- = —г = —г. Далее, у4 = -^-,z4 = ——, X4 у4 2433
удовлетворяют только две: I -
удовлетворяют только две: I -
Ответ. —: —: —: viBtsi. । 2,2 ,2
Ответ. —: —: —: viBtsi. । 2,2 ,2
2 ’
3.
2’
2 ’
3.
2’
15 ] ( 3
2 JИI 2
15 ] ( 3
2 JИI 2
2 ’ 2
2 ’ 2
15*. Решите систему уравнений <15*. Решите систему уравнений <х + у2 + z3 =2 x2+y3 + z4 = 4, если х3 + у4 + z5 =8
15*. Решите систему уравнений <
15*. Решите систему уравнений <
х > 0, у > О, z > О.
Решение. Рассмотрим векторы
a (Vx; у; z4z) и Ь (xVx; у2; z2Vz).
| а | = ^х + у2 + z3 = V2, 151 = ^х3 +у4 + z5 = 2 V2.
а • b = Vx • xVx + у • у3 + z • Vz • г24г = х2 + у3 + z4 = 4.
|а| • |&| = V2 • 2-V2 = 4. Значит, а • Ъ = |а| • |6|, т. е. a tt b, JxУz^Tz
а отсюда —7= = —5- = „ .— и х = у = г.
х^ху^z2 Vz
Перепишем уравнения данной системы, заменив у и z на х:
х + х2 + х3 = 2 (х + х2+х3 = 2
<х2 + х3 + х4=4 4 х(х + х2 + х3) = 4■
х3+х4+х5=8; [х2 (х + х2+х3) = 8.
Из первого и второго уравнений системы х = 2. Если х = 2 и х + х2 + х3 = 2, то удовлетворяется третье уравнение системы. Однако при х = 2 х + х2 + х3 * 2. Значит, данная система не имеет решений для положительных X, у И Z.
Ответ. 0.
(х8 + у8 +Z8 = 1
16*. Решите систему уравнений <,—
[х4 — 2z/ + За = V 42.
Решение. Рассмотрим а (х4; у4; z4) и b (1; -2; 3).
| а | = ^х8 +у8 + z8 = 1, 161 = VI +4 + 9 = V14.
а-д = л/42, |a|-|b| = V14. Так как |а • Ь| > |а| • |&|, то данная система не имеет решений.
Замечание. Вывод получается и при рассмотрении равенства V42 = V14 • cos ф, где ф — угол между а и 6.
Ответ. 0.
17*. Решите систему уравнений sx+y + z = 3
г + "+г = з.
Z X у
Решение. Рассмотрим ненулевые векторы а (х; у; z),
Ь|-; -; — I, с|—; —; - I, d (1; 1; 1). Тогда из первого \у z х) yz х у)
уравнения следует а • 6 = 3, из второго уравнения — а • d = 3, аиз третьего — а• с = 3.
Таккака • b = а • с,тоЪ = с, т.е.у= г = х;
а • Ь = а • d,то6 = d, т.е.у= г = х =1;
а • с = а • d,тос = d, т.е.z= х = у =V.
Ответ. (1; 1; 1).
18*. Решите систему уравнений
1
х2 + у 2 + ху + yz = О х2 + х + у + 2yz = О Зх2 + 8у 2 + 8ху + 8yz - 2х- 4z = 2.
Решение. Перепишем эту систему в виде х(х + у) + у(у +z) = О
- х(х + 1)+у (2z+1) = О(2)
4(х + у)2 + 4(у + z)2 =(х + 1)2 +(2z+l)2.
Рассмотрим векторы
а (х; у), b (х + у; у + z), с (х + 1; 2z + 1).
Из первого уравнения получаем а • Ь = 0, из второго уравнения: а • с = 0, а из третьего уравнения: 462 = с2.
Если а = 0, то х = у = 0 и из третьего уравнения z = - ^.
Если а * О, то b и с коллинеарны, т. е. с = 2Ь или с = —2Ь.
Если с = 26, т. е. х + 1 = 2 (х + у) и 2z + 1 = 2 (у + г).
Из этих уравнений следует: у = ^, х = 0, z — любое. Однако системе (2) удовлетворяют только х = 0, у = ±,z = -^.
Если с = —26, т. е. х + 1 = — 2 (х + у) и 2z + 1 = -2 (у + г). Из этих ’ уравнений следует: 313
у = - - х - —, z = -х, х — любое. Однако уже первое уравнение системы (2) не выполняется ни при каких значениях х.
Ответ, (о; О; -|^, (о; |; -|).
Решите систему уравнений
Зх + 4у = 26
^х2 +у2 - 4х + 2у + 5 + ^х2 + у2 - 20х - Юу +125 = 10.
Убедитесь самостоятельно, что векторы аиЬ-с, аиЬ-d, аис-d не перпендикулярны.
Решение. Решение этой системы будет использоваться как образец для решения системы задачи 20, на наш взгляд, более сложной.
Рассмотрим слагаемые левой части второго уравнения:
7^^V^4xT2pT5 = 7с^-2р+7р+Тр”.
Пусть это — расстояние между точками М (х; у) и А (2; -IX
Vx2 + у 2 - 20х - Юу +125 = ^(х -Ю)2 + (у - 5)2 .
Пусть это — расстояние между точками М (х; у) и В (10; 5).
Расстояние между точками А (2; -1) и В (10; 5) подсчитаем: АВ = 7(Ю-2)2+(5 + 1)2 = 10.
Итак, второе уравнение системы можно интерпретировать как АМ + ВМ = АВ, что дает нам право утверждать: М 6 АВ, причем точка М принадлежит отрезку АВ, т. е. 2 С х < 10 и -1 < у < 5.
Зх + 4у = 26Зх - 4у = 10Зх + 4у = 26Зх - 4у = 10Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А (2; -1) и В (10; 5): -1 = к • 2 + b и 5 = к ♦ 10 + Ь. Отсюда к = ^, Ь = -^, т. е. у = ^х - ^ или Зх - 4у = 10. Теперь 4242
Зх + 4у = 26
Зх - 4у = 10
Зх + 4у = 26
Зх - 4у = 10
Значит, х = 6 и у = 2.
Ответ. (6; 2).
Решите систему уравнений
х2 + у2 - 14х - Юу + 58 = 0
Vx2+y2-16x-12y+100 + V^2+y2+4x-20y+104 = 2 V29.
Решение.
Первый способ. Если в задаче 19 можно было выразить, например, у через х из первого уравнения и затем, подставив во второе уравнение это выражение, решить второе уравнение как иррациональное, то в данном случае такой прием трудоемок.
Геометрическая интерпретация второго уравнения (см. задачу 19) приведет нас к решению системы
[х2 + у2 - 14х-Юу +58 = 0
и далее к квадратному уравнению (закончите решение самостоятельно) .
Второй способ. Этот способ включает в себя ту часть первого способа, в которой иррациональное уравнение заменяется на линейное.
Первое уравнение х2 + у2 - 14х - Юу + 58 = 0 преобразуем в уравнение (х - 7)2 + (у - 5)2 = 16.
„[ (х - 7)2 + (у - 5)2 = 16
Получилась система s' ,;_
\2х + 5у = 46.
Первое уравнение — это уравнение окружности с центром в точке (7; 5) и радиусом 4. Второе уравнение — это уравнение прямой, проходящей через точки (23; 0) и (46
0; — . Взаимное расположение этих линий представлено у и у'
на рисунке 1.11.
Так как получились две точки пересечения, то исходная система имеет два решения: (хг; у^ и (х2; у2\ Следует, однако, заметить, что при таком способе решения числа хг и ух, х2 и у2 мы находим «на глаз», т. е. приближенно. Поэтому их необходимо проверить по условию.
Ответ. (хх; ухУ <х2; у2).
ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЛОК №1
В треугольнике ABC (ZC = 90°) сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, т. е. а2 + Ь2 = с2.
Обратно: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то этот треугольник прямоугольный, т. е. если а > 0, b > 0, с > 0 и а2 + Ь2 = с2, то в треугольнике ABC ZC = 90°.
В ДАБСа2 = Ь2 + с2 - 26с cos А,
Ь2 = а2 + с2 - 2ас cos В, с2 = b2 + а2 - 2ab cos С.
Обратно: если а2 = Ь2 + с2 - 2bc cos А,
Ь2 = а2 + с2 - 2ас cos В, с2 = Ь2 + а2 - 2ab cos С, то существует треугольник АВС с такими сторонами и такими углами.
8Д = | с • 6С; 5Д = | Ьс • sin А:
5д = -^, R — радиус описанной окружности;
_a + b + c„
5Д = pr, p =, r — радиус вписанной окружности;
8Д = ^pt.p-aHp-bHp-c'), р = о + ^ + с.
B$B«SbgsBR8®KlXISI!$81!!8!^^
1)2)1)2)3)4)5)6)3)4)5)6)1)1)2)2)3)3)а + р = 90°.
1)
2)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3)
4)
5)
6)
1)
1)
2)
2)
3)
3)
sin а = cos В = -, с
cos а = sin В = -, г с
tg а = ctg Р = £, ctg а = tg Р = -.
Синусы смежных углов
равны, т. е. sin (180° - а) = sin а.
Косинусы смежных углов имеют равные модули и разные знаки, т. е. cos (180° - а) = - cos а.
Если углы дополняют друг друга до 90°, то синус (тангенс) одного равен косинусу (котангенсу) другого, т. е.
sin (90° - а) = cos а, tg (90° - а) = ctg а,cos (90° - а) = sin а, ctg (90° - а) = tg а.
Тангенс угла — это отношение синуса угла к его косинусу, а котангенс наоборот, т. е.
sina .^^ cos atg a =, ctg a = —:—.
cos asina
a (*i> Уд — вектор а с координатами хг и yv b (#2? У г) — вектор b с координатами х2 и у2, |а| = V^i +У1 — модуль (длина) вектора.
а || Ъ — коллинеарные векторы (a tt b — соналравлен- ные, a tl Ь — противоположно направленные), хг = кх2.
У1 =^^2- a • b = ххх2 + угу2,a • b = |а| • |Ь| cos (а; Ь)У1 =^^2- a • b = ххх2 + угу2,a • b = |а| • |Ь| cos (а; Ь)скалярное произведение век' торов а и b (угол между а и b не больше 180°),
У1 =^^2- a • b = ххх2 + угу2,
a • b = |а| • |Ь| cos (а; Ь)
У1 =^^2- a • b = ххх2 + угу2,
a • b = |а| • |Ь| cos (а; Ь)
I "*1/^2"*2„*
| а | = у a , где a — скалярный квадрат а.
4) а-Ь^|а|-|Ь|; если а-6 = |а|-|Ь|, а^б и b б, то a tt b; если а • b = 0, a * 0 и b * 0, то а 1 6.
Верны и обратные утверждения для ненулевых векторов.
а
30°
45°
60°
sin а
1
2
V2 2
Уз 2
Шутка*.
Если
№
1
2
3
. У№
, то sin а = 2
а
30°
45°
60°
ах + by = с, у = kx + I — уравнение прямой;
(х - а)2 + (у - Ь)2 = Д2 — уравнение окружности с центром в точке (а; Ь) и радиусом R;
л[(х^х^У^ЙУ1~У2^ — расстояние между точками
(хг; У1) и (х2; у^.
Лишь то ошибка, что не исправляется. Конфуций
УПРАЖНЕНИЯУПРАЖНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ
Для положительных х, у и г, не вычисляя их значений из у 2 хи„ UZ
системы уравнений х2 + ^ + -^ = 625, ^ + z2 + -5= = 49, 3 V33 V3
х2 + у2 + xz = 576, определите величину выражения Зхг + у (х + г).
2. Решите систему уравнений2. Решите систему уравненийх + у + ^х2 - у2 = 12 y^x2-y2 = 12.
2. Решите систему уравнений
2. Решите систему уравнений
ХА-у -VZ = 30 х2 +у2 = г2 ху = 6г.ХА-у -VZ = 30 х2 +у2 = г2 ху = 6г.Докажите, что не существует таких чисел х и у, чтобы их сумма квадратов была равна 2, а сумма х и 4у равнялась 20.
ХА-у -VZ = 30 х2 +у2 = г2 ху = 6г.
ХА-у -VZ = 30 х2 +у2 = г2 ху = 6г.
Решите систему уравнений
5. Решите систему уравнений:
ч J Зх + 4у = 26
а) [ 4^ - 2)2 + (у +1)2 + ^х - 10)2 + (у - 5)2 = 10; j2x + 3y = 17
) \4(х-1>2 + (у-7У + V(x-7)2 + (y+l)2 = 10;
Зх + 3у = 14
У4(х-2У+(у+2У +4(х-5У + (у-2У =5;
х J2x + 2y = ll.
Г) \^х - З)2 + (у +1)2 + 4(х - 7)2 + (у - 2)2 = 5; $3х+у = 9
Д) [ V(^-4)2 + (y+ 7)2 + V(x-10)2 + (y-l)2 = 10;
х J 4х + Зу = 33
е) [ 7(^-5)2 + (У+4)2 + 4(х-7У+(у-1ОУ = 10V2;
ж) '
4х- бу = 7
4(х-7У+(у-вУ +4(х-1У + (у +2)2 =10;
х J Зх - бу = 2
{ V(x - 8)2 + (у + 2)2 + ^х + 4)2 + (у - З)2 = 13;
ч J 2х + 2у = 5
[Т(х + 2)2+(у+4)2’ + ^х-10У + (у-1У = 13;
ч J 2х + Зу = 7
К) [^х-5У+<у + ЗУ + -Дх-ПУ+(у-5У = 10;
х J 5х + Зу = 2
Л) \^х-4У + (у+2У + V(x-l)2 + (y-2)2 =5;
v ух + у = 1
2x3 + 2y3+z3 = 3 x6+y6+z6 = 1.2x3 + 2y3+z3 = 3 x6+y6+z6 = 1.MJ \^х-5У+(у-1У + V(x + l)2 + (y + 7)2 =10.
2x3 + 2y3+z3 = 3 x6+y6+z6 = 1.
2x3 + 2y3+z3 = 3 x6+y6+z6 = 1.
6*. Решите систему уравнений
7*. Докажите, что система уравнений не имеет решений: (x6+y6 + z6=lfx8 + у3 + z8 = 5
а) [х3 + Зу 3 - 4z3 = V30; Г) [5х4 - Зу4 + 7z4 = 200;
(„4 ._1[25х12+16у 8+ 9z4 = 1
(х2 + у2 - 2г2 = 2V2; Д х6 + у4 + z2 = ^; fx5+y5-3z5=8(36x2 + 9y4 + 4z6 =1
[x10+y10 + z10 = 4; е) [3x + 3y2 + 3z3= 2.
8*. Докажите, что х = у = z, и найдите это число из системы „ (х+у +z = 18
уравнении 1 а 22 2ЛО
,м[x2+y2 + z2 = 108.
9*. Докажите, что все системы уравнений равносильны: x2+y2 + z2 = 3
а) * х3 + у3 + z3 = 3
x4+y4+z4 = 3;
б)б)х2п + у2п +22п =3 х2п*1^.у2п*1^.22п+1= 3 jp 2 л + 2 । у 2 п + 2 _|_ 2> 2 R + 2 — ^«
б)
б)
2” + 2у + 2г =6 в) • xz + zy +у* = 3
4х + 4у + 42 =12.
10*. Решите систему уравнений x4yz + y4xz *z4xy = 3xyz
• x4y2z2 + y4x2z2 + z4x2y2 = 3x2y2z2 x6y2z2 + y6x2z2 + z6x2y2 = 3x2y2z2.
11*. Решите систему уравнений
х + у+ z = 6
. x2+y2 + z2 = 12
- = log, у. X
12*. Докажите, что sin х = sin у = sin z, но при этом х, у и z могут быть разными:
sin2 х + sin2 у + sin2 z = 3
sin3 x + sin3 у + sin3 z = 3
sin4 x + sin4 у + sin4 z = 3.
13*. Решите систему уравнений 4x2y2 + 4y2z2 +x2y2 = 9x2y2z2
x2 + 4y2 + z2 = 4
3x - бу + zV3 = 2.
14*. Решите систему уравнений
(x + 2)2+(y+3)2 + (x + z-2)(3 + y) = 0
* x2 + 3yz + 5z - 7у + 9z = 21
8x2 + 18y (x + y + z) + 84x + 72y +24z +185 = 0.
15*. Для кубического уравнения ax8 + bx2 + cx + d = 0, корни которого xv х2 и х3, справедливы формулы Виета: &сd
хг + х2 + х3 = - -, хг • х2 + х2 • х3 + Х3 • Хх = ~, Хх • х2 • х3 = —. CLCl
(Проверьте их самостоятельно.)
Сторонами треугольника являются корни заданного ниже уравнения. Не решая уравнение, вычислите площадь этого треугольника:
х3 - 24х2 + 183х - 440 = 0;
х3 - 42х2 + 587х - 2730 = 0;
х3 - 38х2 + 635х - 3416 = 0.
Учись мой сын, и яегче и яснее Державный труд ты будешь постигать.
А. Пушкин
ЗАЙМЕМСЯ ТРИГОНОМЕТРИЕЙЗАЙМЕМСЯ ТРИГОНОМЕТРИЕЙ
ЗАЙМЕМСЯ ТРИГОНОМЕТРИЕЙ
ЗАЙМЕМСЯ ТРИГОНОМЕТРИЕЙ
1^^ последние десятилетия тригонометрия как отдельная дисциплина в школьном курсе математики перестала
существовать и плавно «растеклась» не только в геометрию и алгебру основной школы, но и в алгебру и начала анализа старших классов всех типов общеобразовательных учреждений.
Однако многие упражнения могут быть выполнены школьниками еще в 8—9 классах. Для их решения требуются только те факты из учебников геометрии для основной школы, которые перечислены в информационном блоке № 2.
Приведем несколько примеров тригонометрических заданий. Читатель заметит, что часть заданий, взятых из сборника задач М. И. Сканави, довольно сложные, а вот
решения, на наш взгляд, довольно простые.
Для каждого задания будем указывать, в какой параллели классов и как его можно решить. Иногда к заданию
приведены для сравнения геометрическое и негеометриче
ское решения.
Вычислите tg 15°.
Решение. В 10 классе ученики, используя одну из теорем сложения, могут выполнить задание примерно так:
tg 15° = tg (60° - 45°) =tg60°-tg45° V3 -1
= (Vs -1)2""2= (Vs -1)2""21 + tg60° • tg 45° V3 + 1
= (Vs -1)2
""2
= (Vs -1)2
""2
Но и в 8 классе эта задача не потребует много времени на ее решение. Приведем его.
угольнике высоты АВ и BE.ZCAB = 15°. tg 15° = ^. Еслиугольнике высоты АВ и BE.ZCAB = 15°. tg 15° = ^. ЕслиРассмотрим равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) с углом АВС, равным 30°. Проведем в тре
угольнике высоты АВ и BE.ZCAB = 15°. tg 15° = ^. Если
угольнике высоты АВ и BE.ZCAB = 15°. tg 15° = ^. Если
АВ = 1, то АВ = 2 и ВВ = V3. Значит, СВ = 2 - V3 (рис. 2.1).
Ответ. 2 - V3.
Замечание. Фактически задача решена устно по рисунку 2.1. По этому же рисунку вычислите sin 15°, cos 15°, ctg 15° и более сложные задачи:
вычислите ctg 30° + ctg 75°;
проверьте равенство tg 75° - 4 sin 30° = ctg 30°.
Вычислите tg 22°30'.
практически не анализируя условие, сразу по формулепрактически не анализируя условие, сразу по формулеРешение. В 10 классе ученики это задание выполняют,
практически не анализируя условие, сразу по формуле
практически не анализируя условие, сразу по формуле
,■/1 - cos 2а
tg а =J-— и получают результат у 1 + cos 2а
tg 22°30' = V2 -1.
в выраже-в выраже-числового выражениячислового выраженияСледует заметить, что при этом потребуется выполнить преобразование
в выраже-
в выраже-
числового выражения
числового выражения
ние V2 -1. Конечно, можно воспользо- 1 - cos 2а ваться и формулой tg а =.
sin 2а
В 8 классе задача решается значительно легче и быстрее.
Рассмотрим, как и в задаче 1, равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) с углом АВС, равным 45° (рис. 2.2).
Так как ZBCA = 67°30', то ZCAD = 22°30'.
Теперь решение совсем простое, устное и по рисунку. CD
Так как tg 22°30' = -—-, то пусть AD = 1, a CD вычислим: AD
CD = ВС - BD = АВ - AD = 42AD* - AD = 42-1.
Ответ. 42 -1.
Замечание. Так же как и для первой задачи, и здесь вычислите sin 22°30', cos 22°30' и более сложное задание: проверьте равенство tg 45° + ctg 67°30' = 2 sin 45°.
Докажите тождество cos 36° - cos 72° = ^.
Доказательство, Эта задача гораздо сложнее. В 10 классе для ее решения потребуется применение нескольких формул, а именно:„ о
й п • а + Р • «~Р cos а - cos р = -2 sin —-— sin —-—, sin (-а) = -sin а, 22
sin а = cos (90° - а), sin 2а = 2 sin а cos а.
(Причем последние две формулы используются каждая дважды.)
В 8 классе эта задача решается, на наш взгляд, устно. Для этого достаточно использовать прием равнобедренного
треугольника. Отметим основные вехи первой модификации этого приема:
изображается равнобедренный (но не равносторонний) треугольник АВС с основанием АС (иногда этот треугольник имеет конкретную величину угла АВСу,
проводится отрезок AD (D е ВС). Точка D либо основание высоты AD, либо такая, что треугольники ADB и ADC оба равнобедренные. Причем если для треугольника ABD только AD = DB, то для треугольника ADC таких возможностей две: AD = АС или АС = CD;
вычисляются величины всех углов, получившихся на рисунке;
рассматривая равенство ВС = BD + DC, определяются длины этих трех отрезков, причем один из них можно принять за единичный.
Итак, приводим решение.
Рассмотрим треугольник АВС (АВ = ВС), точку D (D е ВС и AD = BD = АС) и определим величины углов с вершинами в точках А, В, С и D.
Если ZABC = х, то ZBAD = х, ZADC = 2х, ZACD = 2х, ZDAC = 2х, ZADB = Зх. Величины этих углов получены по свойству углов равнобедренного треугольника и по свойству внешнего угла треугольника.
Суммы внутренних углов треугольников ABD, ACD и АВС равны по 5х, т. е. х = 36°. Итак, ZABC = 36° и ZADC = 72°. Так как D € ВС, то ВС = BD + ВС. Если BD = 1, то АВ = 2 cos 36° и CD = 2 cos 72°. Так как АВ = ВС, то 2 cos 36° = 1 + 2 cos 72°. Значит, cos 36° — cos 72° = ^.
Рисунок 2.3 и письменное решение, на наш взгляд, достаточно утомительны. Поэтому считаем целесообразным использовать аналогичную форму записи решения только при итоговом контроле знаний (например, на экзамене).
Рис. 2.3Рис. 2.3' Рис. 2.4' Рис. 2.4
Рис. 2.3
Рис. 2.3
' Рис. 2.4
' Рис. 2.4
В текущей работе рисунок 2.4 (п. 1 устно) и краткая запись (п. 2) делают решение практически мгновенным:
ф Так как треугольники ABD, CAD и АВС равнобедренные, то 5х = 180°, т. е. х = 36°.
@ ВС = BD + DC, 2 cos 36° = 1 + 2 cos 72°, cos 36° - cos 72° = i. Тождество доказано.
4. Докажите тождество
1
sin ( 25у
51^ sin 77 i
7 / k 7
Доказательство. Если десятиклассники будут выполнять это задание «в лоб», т. е. преобразуя правую часть до левой части, то можно предположить, что значительное число учащихся с работой могут не справиться, так как здесь много вычислений.
( 1V
Если часть десятиклассников заметят, что I 77 — I =
(5 V(3 Г(5 А °
= 3- 25— и 51 — = 2- 25 — , но не обратят внимание к7 Jк7 7к7 7
( (б4°^
на равенство sin За = sin 4а I а = I 25 — I I, то они могут попасть в собственный капкан, так как
1
1
„ . 5а а
sin За + sin 2а _ $ sin 2 cos 2
sin 2а sin Заsin 2а sin Заsin 2а sin За
и конца работы по преобразованию этого выражения до выражения -Д— не видно (если вообще возможно преобразо-
( 5 V вание без обратной замены а на I 25 — I ).
Если часть десятиклассников, приученных решать любую математическую задачу в два этапа, установят на
логико-аналитическом этапе все связи между между величинами, то операциональный этап быстро выполним:
1
1
sin 4а+sin 2 а
sin 2a sin 3asin 2a sin 3a
_ 2sin3acosa _1
2 sin a cos a sin 3asin a*
В 8 классе эта трудная задача тоже выполнима.
ф Устно (см. рис. 2.5). Так как треугольники ABD, ADC и АВС равнобедрен
/ К \°
ные, то Чх = 180°, т. е. х = I 25 у I .
® BC = BD + DC.
объектами и
Если длина общей высоты, проведенной из вершины АЕсли длина общей высоты, проведенной из вершины Ав треугольниках ABD, ADC и АВС, равна 1 (Н е ВС,в треугольниках ABD, ADC и АВС, равна 1 (Н е ВС,1sin^25yV 1sin I 51^V 71sin ^77 учто и тре-1sin^25yV 1sin I 51^V 71sin ^77 учто и тре-
Если длина общей высоты, проведенной из вершины А
Если длина общей высоты, проведенной из вершины А
в треугольниках ABD, ADC и АВС, равна 1 (Н е ВС,
в треугольниках ABD, ADC и АВС, равна 1 (Н е ВС,
1
sin^25y
V 1
sin I 51^
V 7
1
sin ^77 учто и тре-
1
sin^25y
V 1
sin I 51^
V 7
1
sin ^77 учто и тре-
АН 1 ВС, АН = 1), то:
из ДАВЯ (АЯ 1 ВЯ) ВС = АВ = . ^„^ = '7sin ZABH
из ДАВЯ (АН 1ВЯ) BD = АВ = . ^^ = 'sin ZADH
из ДАСЯ (АН 1 СЩ DC = AC = .=
sin ZACH
Значит, 7-V-= 7—Т— +7
(Ч\°/11°/11°
sin 25^ sin 51^ sin 77 ±
V7;V7;V7)
бовалось доказать.
5. Вычислите sin 18°. Решение. В 10 классе это задание можно выполнить,
например, так: sin 36° = cos 54° или
sin 36° = cos (18° + 36°) или
2 sin 18° cos 18° = cos 18° cos 36° - sin 18° sin 36° или
2 sin 18° cos 18° = cos 18° (1-2 sin2 18°) - 2 sin2 18° cos 18°.
Так как 0 < cos 18° < 1, то 2 sin 18° = 1-4 sin2 18°.
Если sin 18° = x, to 4x2 + 2x - 1 = 0 при 0 < x < ^.
Vs — i
Отсюда sin 18° = —;—.
4
В 8 классе вычисление sin 18° тоже возможно.
В задаче 3 (см. рис. 2.3) были определены величины углов с вершинами в точках А, В, С и В.
Треугольники АВС и САВ подобны, так как оба они равнобедренные с общим углом при основаниях (ZACB = ZACB). Значит, ^ = ^, т. е. АС2 = АВ • CD.
Если АС = а и АВ = Ъ (а <Ъ, так как ZABC = 36° и ZACB = 72°), то CD = Ь- аиа2 = Ь2- аЬ. Отсюда £ = ^_ 1.
О 2
Это число называют золотым сечением или числом Фидия (Фидий — отец Архимеда).
Vs — 1
Золотое сечение —-— ~ 0,618 считается эталоном красоты в архитектуре древних строителей.
„»Я 2 3 5
Золотое сечение может быть выражено дробями —, —, „ ,
8 1313’21’8 1313’21’ООО
8 1313’21’
8 1313’21’
..., где числители — числа Фибоначчи. О золотом се
чении написано много книг. О его применении в геометрии указывал еще Евклид, об использовании в искусстве — Альбрехт Дюрер и Леонардо да Винчи, о влиянии на астрономические расчеты — Иоганн Кеплер. Закон золотого сечения обнаружен в формах живой природы как закон единообразного роста. Например, этот закон проявляется и в расположении семян подсолнуха или сосновой шишки, и в распре
делении листьев и хвои на деревьях, и в расположении стеблей, и в членениях тела человека. Исследователи поэзии А. С. Пушкина, Шота Руставели и М. Ю. Лермонтова обна
ружили, что золотое сечение указывает в их стихах на кульминацию и главную мысль художественной формы.
Подробнее о золотом сечении советуем прочитать в книге А. В. Волошинова «Математика и искусство», а теперь вернемся к вычислению sin 18°, имеющему пропорцио
нальную связь с золотым числом.нальную связь с золотым числом.Так как sin 18° = cos 72°, a cos 72° =Так как sin 18° = cos 72°, a cos 72° == 1.2, то sin 18" = -^.= 1.2, то sin 18" = -^.1CD = 1 AC.AC 2 AB1CD = 1 AC.AC 2 ABОтвет.Ответ.Уб - 14Уб - 14
нальную связь с золотым числом.
нальную связь с золотым числом.
Так как sin 18° = cos 72°, a cos 72° =
Так как sin 18° = cos 72°, a cos 72° =
= 1.2, то sin 18" = -^.
= 1.2, то sin 18" = -^.
1CD = 1 AC.
AC 2 AB
1CD = 1 AC.
AC 2 AB
Ответ.
Ответ.
Уб - 1
4
Уб - 1
4
Замечание. Одним из расширений задачи 5 может слуЗамечание. Одним из расширений задачи 5 может слуку 2.3:cos 36° =ку 2.3:cos 36° =
Замечание. Одним из расширений задачи 5 может слу
Замечание. Одним из расширений задачи 5 может слу
ку 2.3:
cos 36° =
ку 2.3:
cos 36° =
жить задание: вычислите cos 36°. Решение см. по рисун
2^ = 1 ,АВ = 1 b =1= Уб+ 1
AD 2 " АС 2 а Уб - 14
По формулам эта задача решается значительно дольше.
« Уб + 1
Ответ. —;—.
4
Задачей 5 мы завершаем иллюстрацию первой модификации приема равнобедренного треугольника.
/5 \°f3 V(1
Вычислите cos 25 — -cos 51 — +cos 77■= .
V7 7V7 7V7 7
Решение. Эта задача не является сходной с задачей 4, так как для ее решения потребуется новая идеология решения (у нас: вторая модификация приема равнобедренного треугольника'). Однако прямое описание действия менее полезно, на наш взгляд, чем исследовательская деятельность на логико-аналитическом этапе решения задачи.
Итак, требуется вычислить значение Ф, равное
cos|25^-| -cos|51^-| + cos|77^-| .
V 7 7 k 7 7 k 7 7
To есть Ф неизвестно, если
/к \°/1 \°
cos 25 77+ cos 77 ^•
k 7 7k7 7
( з V
= Ф + cos I 51 — I .
Значит, одной вспомогательной точки D (D g ВС) в треугольнике АВС мало, так как тогда имеем ВС = BD + CD. Поэтому должна быть еще одна вспомогательная точка (пусть точка Е), лежащем теперь на АВ. Тогда BD + CD = = АЕ + BE.
Теперь очевидно отличие второй модификации приема от первой.
Вернемся к решению задачи 6 (рис. 2.6).
Выберем D е ВС и Е е АВ так, чтобы AD = DE = BE в равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) с углом f 5 Vf 5
при вершине В, равным 125—1 . Тогда ZEDB = 125—1 ,
/q\°f 1 У
ZAED =ZEAD = 51 у I , ZBAC = ZBCA = 77 у I , ZD AC =
= 25| и ZADC= 77^-1
k 7 )V 7 J
Если BE = 1, to:
/ к \ °
из Z\BDE BD = 2 cos I 25 у I ;
из ZXADE AE = 2 cos I 51 у I ;
из ACAD CD = 2 cos (j7 у }°.
Значит, 2cosf25^1 + 2cosf77^ =2cosf51^) +1.
k 7 7 k 7) k 7 7
-1
Ответ.
При вычислении углов оказалось, что если ААВС равнобедренный с ZABC = I 25 I и AD = DE = BE (D g ВС, Е g АВ), то и ACAD тоже рав
нобедренный (АС = AD) и подобен ААВС.
( 5 V ( 3 V (1 А°
Вычислите cos 25 — -cos 51 — -cos 77— —к 7 1 I 7 J I 7 J
Решение. Задача 7 является расширением задачи 6. Здесь также по рисунку 2.6 определяем величины углов. Однако завершить решение без теоремы синусов в 8 классе сложно. Зато в 9 классе, на наш взгляд, задача 7 — обыч
ное, рядовое упражнение.
Итак,
в задаче 6 получили:
/К \°1
из Z\BDE cos 25 у = | BD;
из Z\ADE cos 51 у = | АЕ;
из ACAD cos [ 771Г = | CD.
Применяя теорему синусов, получим:
в ZXADC
( 5 V sin 25— ACCDV 7 7
?=?t. e. CD =7 sin 77^-sin 25^sin 77^-
k 7 7k 7 7k 7 7
в AAED
( 1Y sin 77^
= —Я—, T. e. АЕ = I 7t; sinf5l|y 8inf77|YsinfsilY
k 7 7k 7)k 7 7
в ДВОЕ
/ kA® sin 5 25^
DEBDDTXI 7 J
/ ,v =/v, T.e.BD=,
sin 25^sin 5 25^sin 25^
( 7 7k 7 7k 7 )
А теперь
coscos/ О \°/1 \°111
cos
cos
•cosl51|l • cos I 77 у I = ^BD^AE-^CD
(А °( 1 А °( s А °
1 8*1 8*sin5 25^ -sin 77 i -sin 25^
1 8*
1 8*
V 7 7k7)k7 7_1
Г 5 Y(sY(1Y~8’
sin 25^ -sin 2 25^ -sin 77 ±
V 7 7k7 7k7 7
так как синусы смежных углов BED и AED равны
(к25 у(к25 у= sin 2= sin 2
(к
25 у
(к
25 у
= sin 2
= sin 2
Ответ, i.
Г 11V (9(7
Вычислите cos 13 — - cos 27 ts + cos 41 — \)X)X)
-cos 55^ + cos 169-^1 -cos 83^ .
Решение. Эта задача — аналог задачи 6 — способствует обобщению модификаций приема равнобедренного треугольника.
Выполняя рисунок к задаче, приходим к выводу: количество вспомогательных точек на боковых сторонах равнобедренного треугольника АВС варьируется. В задаче 8 таких точек 5, так как в этой задаче явно указаны 6 объектов и еще один (значение выражения) косвенно. Читатель легко завершит решение и получит в ответе число ^.
Ответ. ^.
Однако не следует считать, что все тригонометрические задания легче решать приемом равнобедренного треугольника. Бывает, что формулы приводят к ответу быстрее. Например, в следующем задании 9.
Проверьте равенство cos 40° + cos 80° = cos 20°.
Решение. Для любого ученика 10 класса эта задача на прямое применение формулы. Действительно, cos 40° + cos 80° = 2 cos 60° • cos 20° = cos 20°.
Но в 8 классе задание совсем не рядовое, так как уже и вторая модификация приема не срабатывает.
Рассмотрим на рисунке 2.7 равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) с углом АВС, равным 20°.
Пусть D € ВС, Е е АВ, F е ВС и BF = FE = ED = DA.
цВеличины всех углов легко находятся
Д(см. предыдущие задачи). При этом окажет-
\ ся, что ZkCAD равнобедренный (AD = АС) и / V подобен ДАБС. Однако это не главное.
/ \Главное: BF + FD + DC = BE + АЕ и при
/ FBF = 1 (выбор единичного отрезка произво-
/\лен) BE = 2 cos 20°, АЕ = 1, FD = 2 cos 40°,
/ \ DC = 2 cos 80°. Отсюда
еИ \1 + 2 cos 40° + 2 cos 80° = 2 cos 20° + 1,
/S- \ т. e. равенство cos 40° + cos 80° = cos 20° / ^^Лв истинно.
^^\ Некоторые задания геометрически ре- j^—-^ шать выгоднее другими приемами. Напри
мер, задание 10.
Рис. 2.7
Вычислите ctg 10° - 4 cos 10°.
Решение. Так как в этой задаче градусная величина только одна, то совсем не очевидно применение приема
равнобедренного треугольника. Но у нас есть в запасе еще один вид треугольников, который также удобно использовать при выполнении тригонометрических заданий.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором ZABC = 10°, ZACB = 90°, De ВС, Ее АВ и AD = = DE = BE, АС — единичный отрезок (рис. 2.8).
Определив величины углов, замечаем: ВС = ctg 10°, BD = 4 cos 10°, CD = tg 60°.
Так как ВС = BD + DC, то ctg 10° = 4 cos 10° + tg 60°.
Ответ. V3.
Замечание. Попутно можно увидеть, что
. ^ о - 4 cos 20° = 2, так как . ^ о = АВ, 4 cos 20° = АЕ, sin 10°sin 10°
a BE — 2.
Как мы уже отмечали выше, многие тригонометрические задания целесообразно выполнять по формулам. Эти формулы как правила действий появляются только в 10 классе, и их слишком много. Но их можно получать для острых углов еще в 8—9 классах. См., например, задания 11—17.
Докажите, что sin2 а + cos2 а = 1 (основная тригонометрическая единица) .
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (ZC = 90°) с гипотенузой, равной 1 (рис. 2.9). Тогда ВС = sin а и АС = cos а. По теореме Пифагора sin2 а + cos2 а = 1.
Докажите, что 1 + tg2 а = —^—. cos2 а
Доказательство. Если на рисунке 2.9 А АВС имеет катет АС, равный 1, то ВС = tg а и АВ = ——. Значит, по тео- cos а реме Пифагора 1 + tg2 а = —^—. cos2 а
Докажите, что 1 + ctg2 а = —^— sin2 а
Доказательство. Если на рисунке 2.9 А АВС имеет катет ВС, равный 1, то АС = ctg а и АВ = * . И здесь помогает теорема Пифагора: 1 + ctg2 а = —^—.
sin2 а
Докажите, что sin 2а = 2 sin а cos а (.формула синуса двойного угла).
Доказательство, Рассмотрим равнобедренный ДАБС (АВ = ВС = 1) с углом АВС, равным 2а (рис. 2.10), и высо
тами AD и BE.
По рисунку AD = sin 2а, АЕ = ЕС = = sin а, BE = cos а.
Так как треугольники АВЕ и CAD , АВ BE подобны, ТО -777 = —77, т. е.
AC AD 1_ cos а
2 sin а sin 2а' Значит, sin 2а = 2 sin а cos а.
Докажите, что 1 - cos 2а = 2 sin2 а (одна из формул понижения степени).
Доказательство. По рисунку 2.10 АЕ = ЕС = sin a, BD = cos 2а, CD = 1 -
- cos 2а. Из подобия треугольников АВЕ и CAD имеем
АВ = АЕ т е 1= Sing 3
AC CD 92 sin а1 - cos 2а9
1-cos 2а, z,16. Докажите, что ——— = tg а (одна из формул sin z<a1-cos 2а, z,16. Докажите, что ——— = tg а (одна из формул sin z<a1 - cos 2а = 2 sin2 а.
1-cos 2а, z,
16. Докажите, что ——— = tg а (одна из формул sin z<a
1-cos 2а, z,
16. Докажите, что ——— = tg а (одна из формул sin z<a
тангенса половинного угла).
2.10 AD = sin 2a,. CDкак tg a = -^, to2.10 AD = sin 2a,. CDкак tg a = -^, toДоказательство, По рисунку
2.10 AD = sin 2a,. CDкак tg a = -^, to
2.10 AD = sin 2a,. CDкак tg a = -^, to
BD = cos 2a, CD = 1 - cos 2a. Так .1 - cos 2a
£ a — sin 2a '
Докажите, что sin (a + P) = sin a cos P + cos a sin P (одна из формул сложения).
Доказательство, Рассмотрим треугольник АВС, в котором BD ± AC, ZABD = а и ZCBD = р. Точка D — внутренняя точка отрезка АС, так как по условию а и Р — острые углы (рис. 2.11). Пусть ВС = а, АС = Ь, АВ = с и BD = h.
S^ABC = ^аС sin (a + Р)>
S&ABC = Здавв + S^CBD.
S^ABD = I ch sin a =
= i c sin a • a cos P =
AD cI
Рис. 2.11= £ ac sin a cos P-
SACBD = 5 ah sin P = ^ Д sin P * c cos a = | ac cos a sin 0.
Значит, sin (a + 0) = sin a cos 0 + cos a sin 0.
Заметьте, что если использовать эту формулу и основную тригонометрическую единицу sin2 (a + 0) + cos2 (a + 0) = 1, то, сделав ряд преобразований, можно получить cos (a + 0) = = cos a cos 0 - sin a sin 0.
Докажите: если sin a + sin 0 + sin у > 2, то cos a + cos 0 + cos у C V5.
Доказательство, Пусть cos a + cos 0 + cos у > V5.
Рассмотрим a (cos a; sin a), b (cos 0; sin 0), c (cos y; sin y). Эти векторы единичные, т. e. |a| = |b| = |c| = 1. Их сумма, т. е. вектор а + b + с, имеет координаты
(cos a + cos 0 + cos у; sin a + sin 0 + sin y).
| a + b + c |2 = (cos a + cos 0 + cos y)2 + (sin a + sin 0 + sin y)2.
По условию (sin a + sin 0 + sin y)2 > 22.
Мы допустили: (cos a + cos 0 + cos y)2 > (V5)2.
Значит, \a * b * c^ > 2й * (Vd)2 = 9.(1)
Так как |a + b + c|C|a| + |b| + |c|, то
|a + b + c|2 < (1 + 1 + I)2 = 9.(2)
Сравнивая два неравенства (1) и (2), получаем |a + b + с |2 = 9.
Тогда имеем:
(cos a + cos 0 + cos у)2 = 9 - (sin a + sin 0 + sin y)2 < 9 - 22 = 5.
Значит, cos a + cos 0 + cos у < V5.
19*. Вычислите cos ^Д + cos 4Д + cos ДД. 777 Решение. Решим эту задачу также без рисунка, но мысленно представив себе правильный семиугольник АгА2...А7. Центральный угол такого многоугольника 2л равен —.
Пусть радиус описанной окружности около нашего семиугольника равен 1 (R = 1), а ее центр обозначен буквой О. Тогда |OAJ = 1 (i = 1, 2, ..., 7). Из учебников геометрии известно: 2^OAt = 0 , значит, (ОАг + ОА2 + ... + ОА7) = 0.
1
2 — знак суммы п слагаемых. 1
Подсчитав скалярный квадрат, получим7 + 2 ( 6cos ^Д + 5 cos ^ + 4cos 4г + V 777+ 3cos 4г + 2 cos ^^ + cos ^|^1 = 0. 777 )Подсчитав скалярный квадрат, получим7 + 2 ( 6cos ^Д + 5 cos ^ + 4cos 4г + V 777+ 3cos 4г + 2 cos ^^ + cos ^|^1 = 0. 777 )Так8л = cos —Так8л = cos —а отсюдаа отсюда
Подсчитав скалярный квадрат, получим
7 + 2 ( 6cos ^Д + 5 cos ^ + 4cos 4г + V 777
+ 3cos 4г + 2 cos ^^ + cos ^|^1 = 0. 777 )
Подсчитав скалярный квадрат, получим
7 + 2 ( 6cos ^Д + 5 cos ^ + 4cos 4г + V 777
+ 3cos 4г + 2 cos ^^ + cos ^|^1 = 0. 777 )
Так
8л = cos —
Так
8л = cos —
а отсюда
а отсюда
2л 12л 4л Юл 6лкак cos — = cos -=—, cos — = cos -=—, cos — =7/ 777\ 7
то имеем 7 + 21 7 cos 4г + 7 cos ^ + 7 cos 4г I = 0, v 777 7
2л , 4л , 6л1
cos — + cos — + cos — = - —.
,7772
Ответ.
Замечание. Если заменить ^Д на | 514 | , -^ на 1102 ^ |
7 I 7}7 I 7)
6л (2 V
и — на 1154—1 , то тогда задача 19 будет похожей на
задачу 6, а именно: вычислите
cosf 51^-) +cos|102^-) +cosfl54^) .
к 7 J к 7) к 7)
Эта же сумма равна
cosfsi^-) -cosf?7^ -cosf25^1 .
к 7 7 к 7 7 к 7 7
Так как в задаче 6
cos | 25 | - cos | 51 | +cos | 77 4 I = 4 >
к 77 к 77 к 772
то для задачи 19 ответ почти очевиден.
20*. Каким должен быть острый угол х, если V15 -12cosх + V7 - 4V3 sinx = 4?
Решение. Рассмотрим рисунок 2.12. АС = 2V3, CD = УЗ, СВ = 2. Тогда AD = V15- 12cosx и BD = V7 - 4-УЗ sinx по теореме косинусов, а АВ = 4 по теореме Пифагора. Значит, D е АВ (рис. 2.13).
На рисунке 2.13 угол ADC указан как прямой. Убедимся, что это не случайность.
Так как ДАВС прямоугольный и синус угла А равен , то ZA = 30°.
По теореме косинусов из треугольника ACD следует, что CD2 = АС2 + AZ>2 - 2АС • AD cos 30°, т. е. 3 = = 12 + у2 - бу, где буквой у обозначена длина стороны AD. Имеем у2 - бу + 9 = 0, у = 3.
Итак, AD = 3. Так как З2 +(V3)2 = (2V3)2, то в треугольнике ACD ZADC = 90°. Тогда х = 60°.
Ответ. 60°.
Замечание. 1) После того как было доказано, что D е АВ, можно было составить уравнение
2ТЗ = 3 sin х + 73 cosx,так как 2-/3 = Зддвс, 3 sin х = S^ACD и V3 sin (90° - х) = S^bcd'Из этого уравнения получаем
cosx + V3 sinx = 2, -cosx + — sinx = 1,sin (30° + x) = 1, x = 60°.
Традиционное решение иррационального тригонометрического уравнения V15- 12cosx + V7 - 4V3 sinx = 4 для 0 < x < ^ окажется более длинным и займет больше времени.
Докажите, что сумма синусов внутренних углов выпуклого n-угольника меньше чем 6,29.
Доказательство, На рисунке 2.14 видно, что длина дуги АВ больше, чем ВС. Так как длина ВС равна sin а, а длина дуги АВ соответственно равна а, то остальные шаги решения очевидны:
sin ах + sin а2 + ... + sin а„ = sin (л - а!) + sin (л - а2) + ...
... + sin (л - а„) < л - аг + л - а2 + ... + л - а„ =
= лт1 - (cq + а2 + ... + а„) = лп - (п - 2) л = 2л ~ 6,28.
Итак, sin ах + sin а2 + ... + sin ал < 2л < 6,29, п е N и п > 3.
Рис. 2.14
3
22*. Вычислите arctg - + arccos — (для учащихся 8—9 4О
классов это задание выглядит так: вычислите сумму острых углов а и В, если tg а = ^ и cos В = ^).
о
Решение. См. рис. 2.15.
Ответ. 90°.
Замечание. В Древней Индии в математических трактатах, доказывая теорему или решая задачу, часто приводили только рисунок, сопровождая его одним словом Смотри.
Докажите, что
2 arcctg 5 - arctg ^ = 0 (для учащихся 8—9 классов это задание с таким условием: докажите, что для острых углов а и р верно 2а = р, если ctg а = 5 и tg Р = ^).
Доказательство. Смотри 2а = Р (рис. 2.16).
Следующий этюд мы полностью посвятим заданиям с обратными тригонометрическими функциями.
ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЛОК№2 i
а + Р + у = 180°.
3)4)5)3)4)5)Сумма смежных углов равна 180°.
3)
4)
5)
3)
4)
5)
Теорема синусов. В ДАБС а _ b _ с _ 2д sin a sin Р sin у ’
R — радиус описанной окружности.
Теорема косинусов. В ZXABC а2 = Ь2 + с2 - 2Ьс cos а;
Ь2 = а2 + с2 - 2ас cos Р; с2 = а2 + Ь2 - 2ab cos у.
Площадь треугольника.
$^aha=^bhb = ^chc;
о _ abcS^~ 4Rо _ abcS^~ 4RБд = iabsiny = ^ be sin а = ^ ас sin Р;
о _ abc
S^~ 4R
о _ abc
S^~ 4R
R — радиус описанной окружности;
оa + b + с„
5Д = рг, р = , г — радиус вписанной окружности;
8Д = VpCp^oR^bR^c), р = ±±А1£.
нн«*е6№ааяШ^Ш^1ЯЭЮЙШШЙ1ЙвДВМйЗОБШ1^^
1)2)3)4)5)6)1)2)3)4)5)6)а + р = 90°.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
sin а = cos Р = ^ > tg а = etg Р = ^ > cos а = sin Р = ^, etg а = tg Р = ^.
Если углы дополняют друг друга до 90°, то синус (тангенс) одного равен косинусу (котангенсу) другого, т. е.-
sin (90° - а) = cos а, tg (90° - а) = etg а, cos (90° - а) = sin а, etg (90° - а) = tg а.
Синусы смежных углов равны, т. е. sin (180° - а) = sin а.
Косинусы смежных углов имеют равные модули и разные знаки, т. е.
cos (180° - а) = - cos а.
Тангенс угла — это отношение синуса угла к его косинусу, а котангенс наоборот, т. е.
. ~ sin а „ cos а tg а =, etg а = ——.
cos аsma
Теорема Пифагора: а2 + Ь2 = с2.
AB = ВС, ZA = ZC.
Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению его боковой стороны и косинуса прилежащего к нему угла, т. е.
аг = ha, ZAi = ZA; b^kb, ZB1 = ZB; сг = he, ZCX = ZC.аг = ha, ZAi = ZA; b^kb, ZB1 = ZB; сг = he, ZCX = ZC.АС = 2АВ cos А = 2ВС cos С.
аг = ha, ZAi = ZA; b^kb, ZB1 = ZB; сг = he, ZCX = ZC.
аг = ha, ZAi = ZA; b^kb, ZB1 = ZB; сг = he, ZCX = ZC.
Шутка*.
Вот и Нина и Анюта прибежали, Пи число узнать они желали.
То есть число букв в слове соответствует цифре (л * 3,1415925636).
Стишок*.
Гордый Рим трубил победу над твердыней Сиракуз. Но трудами Архимеда много больше я горжусь.
Чтобы нам не ошибиться и окружность верно счесть... Три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть.
То есть л ~ 3,1415926, хотя сам Архимед считал, что л = у ~ 3,14.
2) л = 3,141592563589793238462643.... Сегодня известно сто тысяч десятичных знаков.
УПРАЖНЕНИЯУПРАЖНЕНИЯУчись, мой сын: наука сокращает Нам опыты быстротекущей жизни.А. ПушкинУчись, мой сын: наука сокращает Нам опыты быстротекущей жизни.А. Пушкин
УПРАЖНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ
Учись, мой сын: наука сокращает Нам опыты быстротекущей жизни.
А. Пушкин
Учись, мой сын: наука сокращает Нам опыты быстротекущей жизни.
А. Пушкин
Решите геометрически и по формулам.
г)д)e)г)д)e)Уз 1 .3cos20° sin 40° ’ yL. sin20° 3cos20°’ sin 36° sin 72°'Уз 1 .3cos20° sin 40° ’ yL. sin20° 3cos20°’ sin 36° sin 72°'Вычислите:
г)
д)
e)
г)
д)
e)
Уз 1 .
3cos20° sin 40° ’ yL. sin20° 3cos20°’ sin 36° sin 72°'
Уз 1 .
3cos20° sin 40° ’ yL. sin20° 3cos20°’ sin 36° sin 72°'
—- 4 sin 50°; cos 20°
-т~^ + 8 sin 10°; sin 50 °
i i . Уз .
В' cos50° 3cos40°’
Проверьте равенство:
.1Уз .
sin 10° cos 10°4’
ctg 70° + 4 cos 70° = УЗ;
УЗ ctg 20° - 4 cos 20° = 1;
r> ^-4cos40'=2:
д> ^-1=^100-^ 200;
ctg6e" + tg28" = ^;
2 ctg 72° + . 1= . 1:
® sin 72 ° sin 36°
cos54° _ У5-1
cos 18° ~2’
Известно, что синус острого угла а равен —. Вычислите cos a, tg а, ctg а.•13
Известно, что косинус острого угла Р равен ^. Вычислите sin Р, tg р, ctg р.41
Q
Известно, что тангенс острого угла у равен —. Вычислите sin у, tg у, ctg у.15
7
Известно, что котангенс острого угла ф равен —. Вычислите sin ф, tg ф, ctg ф.24
О
Известно, что для острых углов а и р tg а = - и tg р = 2,4.
Вычислите sin (а + Р).4
Докажите, что sin 36° + cos 18° = ctg 18°.
Докажите, что sin 54° - sin 18° = ^
Докажите, что sin 54° • sin 18° = 4.
4
Используя рисунок, придумайте условие:
трех-четырех упражнений на вычисление значений тригонометрических выражений;
трех-четырех упражнений на проверку равенства тригонометрических выражений. Например: а) Вычислите cos 72° cos 36°.
б) Проверьте равенство
1 + 2 cos 36° = 4 cos2 36°.
Докажите, что
arccos уу ~ 2 arcctg 4 = 0
(для учащихся 8—9 классов это задание с таким условием: докажите, что для острых углов аир верно а = 2р, если cos а = уу и ctg Р = 4).
Докажите, что
arcsin у=у + arctg 4 + arcsin ^ = 180°
(для учащихся 8—9 классов задание выглядит так: докажите, что существует треугольник с углами а, р и у, если sin а = ууу > tgp = 4, sin у = ^. Определите вид этого тре
угольника).
Если Вог есть и если он действительно создал Землю, то, как нам совершенно известно, создал он ее по Эвклидовой геометрии.
Ф. Достоевский
ОБ АРКУСАХ
Рис. 3.2Рис. 3.2
Рис. 3.2
Рис. 3.2
ак мы и обещали, дорогие читатели, здесь будем рассматривать задачи, в условия которых входят выражения, записанные в виде суммы (разности) обратных тригонометрических функций, или, как их еще называют, арку сов.
Решение таких задач по формулам требует значительных усилий при вычислениях. Этих неудобств можно избежать, если использовать геометрические приемы.
Для учащихся 8—9 классов приведенные ниже задачи потребуют переформулировки условий. Сделать это нетрудно .
Вычислите
arctg 1 + arctg 2 + arctg 3.
Решение. Используя клеточный фон (рис. 3.1), это задание выполним практически устно.
arctg 3 = ZB АМ,
arctg 2 = ZCAN,
arctg 1 = ZB AC (ZB AC — острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника АВС).
Итак, arctg 1 + arctg 2 + arctg 3 = л.
Ответ, л.'
2
Вычислите arctg - + arcctg 5.
Решение. Рисунок 3.2 дает ответ: эта тс2
сумма равна —, так как arctg - = ZCAD, arcctg 5 = ZB AD, ZB AC — острый * угол прямоугольного равнобедренного треугольника АВС. _ л Ответ. —.
4
Вычислите cos (arcctg 3 + arctg 0,5).
Решение. На рисунке 3.3 на клеточном фоне построен треугольник АВС. При этом ctg ZD АВ = 3 и tg ZDAC = 0,5.
Треугольник АВС — равнобедренный с прямым углом АСВ. Значит, arcctg 3 + arctg 0,5 = ^, cos (arcctg 3 + arctg 0,5) = —.
_ V2
Ответ. —.
4. Вычислите
Решение. Так
х I •21
tg I arcsin -т=- + arccos -т= v VoV10
как
то можно
считать,
что
.2
arcsin -7= — это угол прямоугольного треугольника, у кото- V5
рого отношение катетов равно 1:2. Тогда величину этого угла можно рассматривать как arctg 2. Аналогично рассуждая, получим arccos -4= = arctg 3. Далее, по рисунку 3.3
ZMAB = arctg 3 и ZNAC = arctg 2, а их сумма равна к - ~.
(211
arcsin -7= + arccos -т= I = tgV5V10 )
Ответ. -1.
Похожим приемом достаточно быстро находятся значения выражений:
О
Серия 1. a) arctg 5 + arctg -;
4
arctg 7 + arctg -;
arctg 9 + arctg -.
Серия 2. a) arctg 3 - arctg 1;
2
arctg 5 - arctg —;
arctg 11 - arctg -.
О
Серия 3. a) arctg 1 + arctg 2 + arctg 3;
Q
arctg — - arctg 7 + arctg 1;
arctg 0,9 + arctg 1 - arctg 19.
Однако если внимательно проанализировать задания всех трех серий, то можно сформулировать обобщенную задачу: определите область изменения функции f (х) = arctg 1 + arctg (1 + -^ } + arctg (1 + 2x).
Область определения этой функции — все действительные числа, кроме нуля, т. е. D (f) = (-со; 0) U (0; +оо).
Для нахождения области изменения Е (/) рассмотрим пять случаев.
+ 2х < 0.
В этом случае -1 < х < - ^ и А (х) < 0, где
А (х) = arctg (1 + ^ + arctg (1 + 2х).1 + - + 1 + 2х 2 + 2х + -tg А (х) =т—^-р-=р- = -1, так как
1 + - (1 + 2х)-2-2х--
< жГх
2 + 2х + — < 0 для всех значений х из промежутка
А (х) = -|, f (х) = arctg 1 + А (х) = | - ^ = 0.
2)2)1 + - <0 х
2)
2)
+ 2х > 0.
В этом случае -^<х<0 и В (х) > 0, где В (х) = = arctg 1 + arctg (1 + 2х). tg В (х) = -——-==
1 — 1 • (1 + 2 X )—2 X
= -| 1 + — I и В (х) = -arctg 11 + — L
х X )\ X )
Значит, f (х) = arctg ^1 + ^ + В (х) = arctg (1 + ^ ^ - - arctg 11 + — I = 0.
I х)
1 + 2х < 0.1 + 2х < 0.
1 + 2х < 0.
1 + 2х < 0.
В этом случае х= arctg 1 + arctg 11 + — |.В этом случае х= arctg 1 + arctg 11 + — |.и С (х) > 0, где С (х) =и С (х) > 0, где С (х) =
В этом случае х
= arctg 1 + arctg 11 + — |.
В этом случае х
= arctg 1 + arctg 11 + — |.
и С (х) > 0, где С (х) =
и С (х) > 0, где С (х) =
tg С (x) =tg С (x) =XX2 + -—p = - (1 + 2x),2 + -—p = - (1 + 2x),
tg С (x) =
tg С (x) =
X
X
2 + -
—p = - (1 + 2x),
2 + -
—p = - (1 + 2x),
\ X J х
С (х) = -arctg (1 + 2х).
Значит, f (х) = С (х) + arctg (1 + 2х) = -arctg (1 + 2х) + + arctg (1 + 2х) = О.
f (-1) = arctg 1 + arctg 11 + -^ j + arctg (1 + 2 • (-1)) = 0.
11Л “ | I = arctg 1 + arctg 1 + -y + arctg 11 + 2 •Л “ | I = arctg 1 + arctg 1 + -y + arctg 11 + 2 •11
1
1
Л “ | I = arctg 1 + arctg 1 + -y + arctg 11 + 2 •
Л “ | I = arctg 1 + arctg 1 + -y + arctg 11 + 2 •
1
1
2
Итак, при х < О f (х) = О.
5) i5) i+ ->О х
5) i
5) i
+ 2х > О.
В случае х>0 и D (х) > О, где D (х) =arctg [1 + — | +
l + - + l + 2x 2+2x + -
+ arctg (1 + 2x), tg D (x) =z x x=^ =
1 + - (l + 2x)-2-2x--
V x)X
= -l, так как 2 + 2x + — > О для всех значений х из проме
жутка (О; +оо).
D (х) = ^И W = arctg 1 + D (х) = ^ + ^ = л.
Итак, при х > О f (х) = л.
Теперь нетрудно записать область изменения заданной функции:
ЕЩ = {О; л}.
После этого все задания серий 1—3 выполняются мгновенно:
для задании серии 1 ответ —,
для заданий серии 2 ответ ^,
для задания «а» серии 3 ответ л,
для заданий «б» и «в» серии 3 ответ О.
Найдем значения / (5) и f (-5) тремя приемами. Каждый читатель сам расставит вкусовые акценты, знакомясь с ними.
Так как 5 > 0, то f (5) = = arctg 1 + arctg ^ + arctg 11 = л.
Б. Смотри рисунок 3.4.
arctg 1 = , arctg 11 > 0, arctg ^ > 0.
tg (arctg 1 + arctg 11) = -—7-77= - 7,
Рис. 3.4Рис. 3.4значит,
Рис. 3.4
Рис. 3.4
arctg 1 + arctg 11 = к - arctg 7
о
и / (5) = arctg 7 + л - arctg 7 = л. оо
Так как -5 < 0, то f (-5) = 4
= arctg 1 + arctg 7 - arctg 9 = 0. о
Б. Смотри рисунок 3.5. arctg 9 - arctg ^ = -^, /(-5) = ^-^ = °.
arctg 1 = ,
4 arctg 9 > arctg — > О.
О
tg I arctg 9 - arctg ^ I =^— = 1,
I5' l+9-|
5
значит,значит,7. Вычислите ctg7. Вычислите ctg152arccos13152arccos13arctg 9 - arctg 7 = 7 и f (-5) = 7 - [ arctg 9 - arctg 71=0. О 441О )
значит,
значит,
7. Вычислите ctg
7. Вычислите ctg
15
2arccos13
15
2arccos13
Решение. Если использовать понятия косинуса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника, теорему Пифагора и свойство биссектрисы угла треугольника, то задача решается мгновенно.
На рисунке 3.6 изображен треугольник АВС, в котором ZACB = 90°, ВС = 5, АВ = 13 и ВМ — биссектриса ZABC.
Тогда МС = 5х, АМ = 13х и АС = 12, т. е. х = ^.
. fl 5 А ВС 513
ctg -arccos — = -ттх = z— = — = о • ^213) МС 5х х 2
Ответ. 1,5.
от»•( о40|
Вычислите sin 2arccos— . k41/
Решение. Рассмотрим на рисунке 3.7 равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС = 41), ВМ X АС, CN X АВ.
9.9.АМ по теореме Пифагора имеет длину, равную
9.
9.
CNВС *CNВС *(40
CN
ВС *
CN
ВС *
2 arccos — 41
ВС = 41, a CN = ^—^ АВ» -Гл 40Значит, sin 2 arccos — k41 /ВС = 41, a CN = ^—^ АВ» -Гл 40Значит, sin 2 arccos — k41 /т. е. CN =т. е. CN == 720 1681'= 720 1681'2-9-40 _ 72041~41*2-9-40 _ 72041~41*
ВС = 41, a CN = ^—^ АВ
» -Гл 40
Значит, sin 2 arccos — k41 /
ВС = 41, a CN = ^—^ АВ
» -Гл 40
Значит, sin 2 arccos — k41 /
т. е. CN =
т. е. CN =
= 720 1681'
= 720 1681'
2-9-40 _ 720
41~41*
2-9-40 _ 720
41~41*
Ответ.Ответ.7201681*7201681*ВВСРис. 3.8СРис. 3.8
Ответ.
Ответ.
7201681*
7201681*
В
В
С
Рис. 3.8
С
Рис. 3.8
Вычислите cos (2 arctg 2).
В треугольнике ВАС ZBAC = 2 arctg 2 (рис. 3.8). Этот угол тупой, так как arctg 2 > arctg 1 = .
Значит, cos (2 arctg 2) = - cos ZB AM. cos ZB AM = ^.
AB
По теореме Пифагора из ДВАМ по
лучаем АМ = ^ АВ2 - ВМ2 , а из Z^ABD АВ = 7б.
ВМ можно найти как высоту треугольника АВС, т. е.
ВМ = ^^авс Знач вм = 4
ACV5
з Теперь, подсчитав АМ, получаем cos (2 arctg 2) = - —. я5
Ответ.
5( В
Вычислите cos I 2 arccos — I.
Решение. Если на рисунке 3.8 считать длину АВ равной 3, то ZBAD = arccos ^ и BD = 2V2.
Угол 2 arccos^ (это ZBAC) тупой, так как 1 _ 1л arccos - > arccos - = —.
числения, аналогичные вычислениям в предыдущемчисления, аналогичные вычислениям в предыдущемзада-зада-Рис. 3.9Рис. 3.9Значит, cos ^ 2 arccos ^j = -cos ZB AM. Закончив вы-
числения, аналогичные вычислениям в предыдущем
числения, аналогичные вычислениям в предыдущем
зада-
зада-
Рис. 3.9
Рис. 3.9
1|7
нии, получим cos I 2 arccos - I = - —.
7 VJ
Ответ. — —.
Решите уравнение arcsin lg x2 + arcsin 1g x = ^.
Здесь, как правило, учащиеся отмечают условие 11g х | < ^. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВМ и ABN с гипотенузой АВ, равной 1 (рис. 3.9).
Пусть МВ = 12 1g х | и NB = 11g х |. Тогда ZMAN, согласно условию, имеет величину ^. Так как точки А, М, В, N
лежат на окружности с диаметром АВ, то длина хорды MN тсV3
по теореме синусов равна АВ sin —, т. е. MN = —.
С другой стороны, в треугольнике MBN по теореме косинусов MN2 = МВ2 + BN2 - 2МВ • BN cos ZMBN. Так
как cos ZMBN = cos ^- = - -, то имеем I 2 I = (2 1g х)2 + /1 \О
+ (lg х)2 - 2*2 1gx*lgx*l--lH далее 7 1g2 х = -, а затем
/НТУйЛ!
11g х| = -^-, откуда хх = 0,1 14 , х2 = 10 14 .
Оба значения удовлетворяют условию 11g х | ^ ^, однако число Xj не является корнем заданного уравнения (проверьте это самостоятельно).
•/21
Ответ. 10 14 .
Замечание. Этот пример может еще раз проиллюстрировать тезис — «не все числа, входящие в ОДЗ, являются корнями уравнения».
12.12.n• 1 .2 л
12.
12.
Решите уравнение arcsin — + arccos — = — .
Очевидно, что |x| > 2.
Рассмотрим прямоугольные треугольники АВМ и ABN с гипотенузой АВ, равной 1 (рис. 3.10).
Пусть ВМ = р^т и AN = Дт. Тогда
ZMAN = ^.
О
Так как точки А, М, В, N лежат на окружности с диаметром АВ, то длина хорды MN по теореме синусов равна АВ sin , т. е. MN = . о2
Из треугольника AMN по теореме косинусов имеем MN2 = АМ2 + AN2 - 2АМ • AN cos ZMAN, т. e.
4 x2 x2 У x2 |x| 2 ’
A + 3 = 2V3 [TZT.
x2 4 V Vx2 x4
Если для удобства решения ^- заменить на t (заметим, что 0 < t ^ 4), то далее получим уравнение 112t2 - 40# + 3=0, 4
*3*1
корнями которого ЯВЛЯЮТСЯ числа #! = — и #2 = •
Сделав обратную замену, найдем четыре значения для х, удовлетворяющие неравенству |х| > 2.
Однако только х = 2 есть корень исходного уравнения (проверьте это самостоятельно).
Ответ. 2.
1
ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЛОК№3 ^
1)
2)
3)
Теорема синусов.
В ДАБС -Л- = -Лг- = -Л- sin a sin р sin у
= 2Б,
R — радиус описанной окружности.
Теорема косинусов. В ДАБС а2 = Ь2 + с2 - 2bc cos а, Ь2 = а2 + с2 - 2ас cos Р, с2 = а2 + Ъ2 - 2ab cos у.
Площадь треугольника:
S^ = laha=lbhb=lche,
5Д = ^absiny = ^bcsina = ^ac sinp,
$△ = *"■ = т£ = Vp(p-°)(p-6)(p-c)> p = ™+^+-
R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной окружности.
a + Р = 90°.
sin a = cos Р = ^, tg a = ctg P = ^, cos a = sin P = ~, ctg a = tg P = ^.
Теорема Пифагора: a2 + b2 = c2.
S^ab.
ax = ka, ZAX = ZA,
bi = kb, ZBi = ZB,
c, = kc, ZCX = ZC, St = k2S.
BM — биссектриса ZABC, 4^r = ^^ • MC BC
sin (90° - a) = cos a, cos (90° - a) = sin a, tg (90° - a) = ctg a, ctg (90° - a) = tg a;
sin (180° - a) = sin a, cos (180° - a) = -cos a, tg (180° - a) = -tg a, ctg (180° - a)= -ctg a.
- ^ < arcsin x < ^, sin (arcsin x) = x;
< arccos x С я, cos (arccos x) = x;
j < arctgx < p tg (arctg x) = x;
< arcctg x < я, ctg (atcctg x) = x.
arcsin (—x) = - arcsin x;
arctg (—x) = - arctg x;
arccos (—x) = я - arccos x;
arcctg (—x) = я - arcctg x.
arcsin x + arccos x = ;
arctg x + arcctg x = ^;
arctg x = arcctg ^.
Природа «scritta in lingua matematica»* Галилео Галилей
Дождь звезд и синие поля послушны, числам. Велимир Хлебников
УПРАЖНЕНИЯУПРАЖНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ
Решите геометрически и по формулам.
Вычислите:Г 21sin arctg — + arctg - \ оо,х Г х 35'cos I arctg у + arctg $Вычислите:Г 21sin arctg — + arctg - \ оо,х Г х 35'cos I arctg у + arctg $Г 3 1 в) tg I arcsin — + arctg ^ r) ctg I arctg | + arctg |Г 3 1 в) tg I arcsin — + arctg ^ r) ctg I arctg | + arctg |
Вычислите:
Г 21
sin arctg — + arctg - \ оо
,х Г х 35'
cos I arctg у + arctg $
Вычислите:
Г 21
sin arctg — + arctg - \ оо
,х Г х 35'
cos I arctg у + arctg $
Г 3 1 в) tg I arcsin — + arctg ^ r) ctg I arctg | + arctg |
Г 3 1 в) tg I arcsin — + arctg ^ r) ctg I arctg | + arctg |
2.а)б)2.а)б)Вычислите:41arctg - + arctg-;О(32arcsin —= - arccos -;=;V10V5Вычислите:41arctg - + arctg-;О(32arcsin —= - arccos -;=;V10V5в)r)в)r)552 arccos —p= - arcsin —; V26132 arcsin -Д= - arctg 2,4.V26552 arccos —p= - arcsin —; V26132 arcsin -Д= - arctg 2,4.V26
2.
а)
б)
2.
а)
б)
Вычислите:
41
arctg - + arctg-;
О(
32
arcsin —= - arccos -;=;
V10V5
Вычислите:
41
arctg - + arctg-;
О(
32
arcsin —= - arccos -;=;
V10V5
в)
r)
в)
r)
55
2 arccos —p= - arcsin —; V2613
2 arcsin -Д= - arctg 2,4.V26
55
2 arccos —p= - arcsin —; V2613
2 arcsin -Д= - arctg 2,4.V26
Вычислите:/115 Atgl-arcsin—I;(i24ctgl-arccos—I;Вычислите:ctg ^2 arctg |^;tg( 2 arcctg^;cos (2 arcctg (V2 -1));r) sin 2 arccos-=r ;vV5 )Вычислите:/115 Atgl-arcsin—I;(i24ctgl-arccos—I;Вычислите:ctg ^2 arctg |^;tg( 2 arcctg^;cos (2 arcctg (V2 -1));r) sin 2 arccos-=r ;vV5 )x . ( 1.9tgl-arcsin—x fl *8' r) cos I — arcctg —x . ( 1.9tgl-arcsin—x fl *8' r) cos I — arcctg —cos ^2arcsin -| J;sin (2arctg 2 V2 );tgcos ^2arcsin -| J;sin (2arctg 2 V2 );tg42 arcsin—t= 3V242 arcsin—t= 3V2ctg I 2 arccos pctg I 2 arccos p5.a)6)5.a)6)Проверьте равенство:Проверьте равенство:. 5 ,.12arcsin — + arcsin — = —. 5 ,.12arcsin — + arcsin — = —кк,8.8karctg—+arcctg— = —;,8.8karctg—+arcctg— = —;
Вычислите:
/115 A
tgl-arcsin—I;
(i24
ctgl-arccos—I;
Вычислите:
ctg ^2 arctg |^;
tg( 2 arcctg^;
cos (2 arcctg (V2 -1));
r) sin 2 arccos-=r ;
vV5 )
Вычислите:
/115 A
tgl-arcsin—I;
(i24
ctgl-arccos—I;
Вычислите:
ctg ^2 arctg |^;
tg( 2 arcctg^;
cos (2 arcctg (V2 -1));
r) sin 2 arccos-=r ;
vV5 )
x . ( 1.9
tgl-arcsin—
x fl *8' r) cos I — arcctg —
x . ( 1.9
tgl-arcsin—
x fl *8' r) cos I — arcctg —
cos ^2arcsin -| J;
sin (2arctg 2 V2 );
tg
cos ^2arcsin -| J;
sin (2arctg 2 V2 );
tg
4
2 arcsin—t= 3V2
4
2 arcsin—t= 3V2
ctg I 2 arccos p
ctg I 2 arccos p
5.
a)
6)
5.
a)
6)
Проверьте равенство:
Проверьте равенство:
. 5 ,.12
arcsin — + arcsin — = —
. 5 ,.12
arcsin — + arcsin — = —
к
к
,8.8k
arctg—+arcctg— = —;
,8.8k
arctg—+arcctg— = —;
в)г)в)г)6.a)6)6.a)6)
в)
г)
в)
г)
6.
a)
6)
6.
a)
6)
724
arccos — + arccos — + arctg 1 + arcctg 1 = 2525
(i\
sin (2arctg 0,5) + tg I -arcsin — I = 1,4.
Докажите, что:
arctg x = arccos ,—-—;
,1. X
arcctg — = arcsin ,
x,/1+ X2
Решите уравнение: a) arctg 3x + arctg x = ;
arccos x + arccos = 2»
arccos 4x + arccos 2x = j; .. _. 2л
arcsin 2x + arcsin x = —;
arccos log2 x + arcsin log2 Vx
Математику уж затем учить следует, что она ум в порядок приводит.
М. Ломоносов
ВЗАИМОСВЯЗАННЫЕ
ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ j^
vC этом этюде, дорогие читатели, мы приводим примеры взаимосвязанных задач, в условии которых записаны «квадратные иррациональности».
Начиная с 8 класса школьники привыкают к заданиям, в условии которых есть знаки квадратных корней. К сожалению, во всех учебниках алгебры для основной школы (7—9 классы) эти задания являются либо задачами первого предъявления (иллюстрации и образцы), либо простыми задачами-упражнениями.
На наш взгляд, систему задач целесообразно дополнить. Этим дополнением могут быть, например, задания, быстро решаемые геометрически.
Найдите наименьшее значение функции /(х) = V^2 + 4 + V^2 - ЗхТз + 9 .
Решение. Рассмотрим на рисунке 4.1 Z.ACD (АС = 2, AD
CD = х, ZACD = 90°) и ZxBCD \х~“х7
(ВС = 3, CD = х, ZBCD = 30°).\Х2^ /
Из Z.ACD по теореме Пифагора Л '^Х^' AD = ^х2 + 4, а из ZXBCD по тео- \х^1зо° ^^х/ реме косинусовС 3 В
DB = ^х2+ 9-3x73.Рис. 4.1
min / (х) = min (AD + DB) = АВ.
Из АаВС по теореме косинусов
АВ = 722 + 32-2-2 3 cosl20° = 719.
Ответ. 719.
Замечание. На рисунках 4.1 и 4.2 точка D может лежать и во внутренней области ДАБС. На результат это никак не влияет, так как наименьшее значение функции достигается, если D g АВ. При этом очевидным является появление новых заданий.
При каком значении х функция
/(х) = 71 + х2 - х + ^1+х2 - хТЗ
принимает свое наименьшее значение?
Решение.
По рисунку 4.2 находим площади треугольников АВС, ACD и BCD-.
8ддвс — 2 ’
SAACI) = 1.1.x. sin 60°=^,
S&BCD = 2 ’ 1 "х" ®in ^0° = "4 *
Значит, 1 = ^^ + 4, т. е. х = 73 -1. 244
Ответ. 73 -1.
Замечание. Естественным продолжением заданий 1 и 2 является задание 3.
Решите уравнение
7х2-5x72+25 + ^х2- 12x72 +144 = 13.
Замечание. Иррациональные уравнения, согласно государственной программе по математике для средних общеобразовательных учреждений, решают в 11 классе. Стандартным приемом (возводить в квадрат обе части уравнения, до тех пор пока «не пропадут корни») эти уравнения решаются утомительно. Геометрические решения таких уравнений значительно короче.
Решение. Геометрическая интерпретация уравнения представлена на рисунке 4.3.
Из ДАБС по теореме Пифагора АВ = 13.
С.
5/45^45°1^
/ \х
/\Р
А 7г2-5x72 + 25 7x2^12x^+144 В
Рис. 4.3
D e AB, так как min f (x) = min (AD + DB') = AB, где /(x) = ^x2-5x72+25 + V^2-12x72+144.
Чтобы найти значение x, поступим так же, как и в задании 2, заметив предварительно, что если уравнение имеет корни, то они должны быть положительными (при х < О значение левой части уравнения не меньше 17).
Saabc = | • 5 • 12 = 30,
8дасвЦ-5-х.sin 45° = ^^,
8двсп = ^ • 12 • х • sin 45° = 3x72.
Значит, 30 = ^^ + 3x72 и х = ^pL
-6072
Ответ. ТГ*
Для каждого значения параметра а укажите, сколько различных значений может принимать tg 2 в уравнении 7«2 - tg2Z = 1 — tg Z.
Решение. Это очень непростое уравнение. Решать его традиционным приемом нелегко, а геометрическое решение воспринимается сразу, если tg z заменить буквой х.
На рисунке 4.4 изображено взаимное расположение графиков функций у = ^а2 - х2 (полуокружность с центром в начале координат и радиусом |а|, принадлежащая верхней полуплоскости) и у = 1 - х при х < 1 (луч с началом в точке (1; 0), проходящий через точку (0; 1)).
Итак, уравнение 7»2 - я2 = 1 — х:
I I 72„
при | а | < — корней не имеет;
V2
при | а | = — и | а | > 1 имеет ровно один корень;
при -у < | а | < 1 имеет ровно два корня.
Значит, tg 2;
2222I i V2 при | a | = — принимает ровно одно значение, но для
2
2
2
2
—2~ это одно число, а для —другое;
при | а | > 1 принимает ровно одно значение;
' V2
при — < | а | < 1 принимает ровно два различных значения.
Очередным звеном в нашей последовательности взаимосвязанных задач является задание 5.
Найдите наибольшее значение функции /(х) = V*2 + 9 - V#2 - xV3 +1.
Решение. Рассмотрим ДАБС, в котором ZACB = 90°, ZACD = 30°, АС = х, ВС = 3, CD = 1 и точка D лежит во внутренней области ДАБС (рис. 4.5).
Из ДАБС по теореме Пифагора АВ = 7^2 + 9. Из ДАСО по теореме косинусов AD = V^2 - #V3 +1.
шах f (х) = шах (АБ - AD) = АгВ - AXD = DB, где Аг 6 АС (т. е. если D е АБ).
Из ZZBCD по теореме косинусов
DB = Vl2 + 32-21-3cos60° = V?.
Ответ. V7.
Задания 6—9 более сложные в нашей последовательности.
Найдите наименьшее значение функции: ф / (х) = ^V2 + 72х2 + 2х + 1 + V2x2 - 14х + 25 + + V2x2-26x4-89.
@ g (х) = V5x24-20 4- V5x2-32x-b64 4- V5x2-40x4-100 4- 4-VSx2-8x4-16.
Решение. Эти задачи стандартным приемом в 10 классе решаются сложно и долго. В основной школе решение
выполняется со значительно меньшими затратами сил и времени.
Рассмотрим векторы а (х; х), b (4 - х; 3 - х), с (х 4- 1; х), d (5 - х; 8 - х) и их модули:
|а| = xV2,
|6| = V2x2-14х + 25,
| с | = ^2x2 4-2x4-1,
|d| = V2x2-26x4-89.
f (x) = |a| + |5| + |c[+|d|^
Так как |a|4-|6|4-|c| + |d|>|a4-&4-c 4- d |, to min f (x) = |a 4- b 4- c 4- d|. a 4- b 4- c 4- d = (10; 11), |a4-&4-c4-d| = V221. Значит, min f (x) = V221 .
Ответ. V221.
@ Рассмотрим векторы a (5x; 10), b (16 - 5x; 8), c (20 - 5x; 10), d (5x - 4; 8) и их модули:
|aI = V25x24-100 = V5 • V5x24-20,
I b I = V25x2-160x4-320 = V5 • V5x2 - 32x4-64,
I с I = V25x2 - 200x 4- 500 = V5 • V5x2 - 40x 4-100,
I d I = V25x2 - 40x 4-80 = V5 • 75x2 - 8x 4-16.
|a| + |b| + |c|4-|^|
5 Vе) —r—•
Vo
Далее, как и для функции /(х):
a+b+c+d= (32; 36), |a4-b4-c4-d| = 4V145. Значит, min f (х) = 4V29.
Ответ. 4V29.
Найдите наименьшее значение функции f (х) = ^/2х2 - 4х 4- 2 + V2x2 4- V2x2 - 2х 4- 2.
Решение. Рассмотрим четыре точки О (0; 0), А (1; 1), 1 — Vs 1 + Vs А
—-—; —-— I, М (х; х) и расстояния ОМ, АМ и ВМ:
ОМ = V2X2", АМ = V2x2-4x-h2, ВМ = V2x2-2x4-2.
/ (х) = ОМ 4- АМ 4- ВМ.
В треугольнике ABO нетрудно подсчитать длины его сторон: АО = ВО = АВ = V2. Значит, ДАВО равносторонний и min ^АМ + ОМ + ВМ) = 32?, где R — радиус описанной окружности около равностороннего треугольника. Так как V2 = RV3, то min f (х) = Уб.
Ответ. Уб.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
ф У М = 4V1 - х+ 3-Ух.
ф* g(x) = V^ + 4^Tj.
Решение.
ф Рассмотрим векторы а (VI — х; 4х), Ь (4; 3) и их
модули |а| = 1, |6| = 5.
Скалярное произведение а • b = 4V1 - х + ЗУх. Так как
9 25*9 25*а • Ь < | а | • | b |, то f (х) < 5. Значит, max f (х) = 5. Очевидно,
9 25*
9 25*
что в этом случае a It b, т. е.
Функция / (х) непрерывна в своей области определения Р (Л = [О; 1], возрастает на [О; 0,36] и убывает на [0,36; 1], / (0) = 4, f (1) = 3. Значит, min f (х) = 3.
Ответ, min f (x) = f (1) = 3, max f (x) = f (0,36) = 5.
ф Выполнение задания для функции g (х) в основной школе потребует введения понятия вектора, его свойств и
операций над векторами в трехмерном пространстве.
Представим функцию g^x) в ее области определения D (g) = [0; 2] в виде g(x) = Ух + 2J1 - + 2J1 - £.
V 2 V 2
Рассмотрим векторы аРассмотрим векторы а1-f; ^-<pd? 2; 2>1-f; ^-<pd? 2; 2>
Рассмотрим векторы а
Рассмотрим векторы а
1-f; ^-<pd? 2; 2>
1-f; ^-<pd? 2; 2>
и их модули | а | = V2, | Ь | = 3.
Далее, как и для функции / (х).
Скалярное произведение
а-д = Ух-1 +^1-^-2 +^1-^-2,
т. е. а • Ь = лГх + 4^1 - ^.
Так как а • 6 ^ |а| • |6|, то ^(х)^ЗУ2. Значит, тах^(х) = ЗУ2. Очевидно, что в этом случае a tt 6, т. е.
Функция g (х) непрерывна в своей области определения
D (g) = [О; 2], возрастает на
0;Я
и убывает на
2. 9’
2
5(0) = 4, 5(2) = 72.
Значит, min g(x) = 72.
г-(2 А г-
Ответ, min 5(х) = 5(2) = 72, max g^x) = gI — 1= 372.
9. Найдите наименьшее значение функции f (х; у; z).
если
f (х; у; z) = ^х2 + 1 + ^y2 + 4 + ^z2 + 9 и х + у + z = 8*.
Решение. Решению задания способствует рисунок 4.6.
Так как длина ломаной ABCD не меньше 10, то min / (х; у, z) = 10, если х + у + z = 8.
Ответ. 10.
Замечание. Последовательность взаимосвязанных задач, конечно, не является конечной. Так, задания 6 и 7 могут быть основанием для создания новых, а задание 8 может быть и переформулировано, и послужить так же, как задания 6, 7.
ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЛОК№4 ^
ссАА1)2)1)2)b, b > О « Ь2 = а. = а, ^а2 = | а | = sb, b > О « Ь2 = а. = а, ^а2 = | а | = s
с
с
А
А
1)
2)
1)
2)
b, b > О « Ь2 = а. = а, ^а2 = | а | = s
b, b > О « Ь2 = а. = а, ^а2 = | а | = s
а = Ъ2 * с2 - 2bc cos А
Ъ2 = а2 + с2 - 2ас cos В, В с2 = Ь2 + а2 - 2ab cos С.
а при а > О,-а при а С О.
3) Для неотрицательных значений выражений а и 6 верны равенства (слева направо и наоборот):
-Ja-b = 4а • 4b,
хт, х2, х3, х4 — точки локальных экстремумов;
х2, 4 — точки минимумов;
хп хз — точки максимумов;
min f (х) = f (а) — наименьшее значение на [а; &]; max f (х) = f (b) — наибольшее значение на [а; Ь].
УиУи
Уи
Уи
5^ ^6 -1 ^6
= 2
длина ломаной,
X ^а -1 Ак ^ АгАп.
= 2
УПРАЖНЕНИЯУПРАЖНЕНИЯВсе в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано.Н. ЛобачевскийВсе в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано.Н. Лобачевский
УПРАЖНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ
Все в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано.
Н. Лобачевский
Все в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано.
Н. Лобачевский
Найдите наименьшее значение функции f (х), если:
= 71 + х2 - х + 71 + х2 - xVl;
/(х) = -Jx2 - 2х 4- 4 + ^х2 - 2x73 +4;
f^ = ^х2 - 5x72 + 25 + 7х2 - 12x72 +144.
При каком значении аргумента х функция f (х) принимает свое наименьшее значение, если:
/(х) = 7х2 + 4 + 7х2 - ЗхТЗ +9;
f(x) = 7х2 - 2х + 4 + 7х2 - 2x73 + 4;
f (х) = 7х2 - 5x72 + 25 + 7х2 - 12x72 +144 ?
Решите уравнение:
7^+4 + 7х2-3x73 +9 = 719;
7х2-х + 1 +7х2-х73+1 = 72;
7х2 - 2х + 4 + 7х2 - 2x73 + 4 = 272;
72х2 + 2х + 1 + 72х2-14х + 25 4- 72х2-26х + 89 4- х72 = = 7221;
75х2 4- 20 4- 75х2 - 32х 4- 64 4- 75х2 - 40х 4-100 4
75х2-8х-ь16 = 472;
^2х2 4- 2 - 4х 4- х72 4- 72х2 4- 2 - 2х = Тб.
Найдите наименьшее значение выражения:
^х2*9 4- 7у2 + 16 + 7г2+ 25, если х 4 у 4 z = 5;
7х2 4-1 4- 7у2 + 9 + 7z2 + 16, если х + у + z = 15;
^х2 +1 + ^у2 +4 4- у/г2+ 9 4- 7<2 + 16, если
x + y + z + t = 24.
И нет движенья — ни вперед, ни назад. Ни вверх и ни вниз.
Т. Элиот
ОБ ЭКСТРЕМУМАХОБ ЭКСТРЕМУМАХ
ОБ ЭКСТРЕМУМАХ
ОБ ЭКСТРЕМУМАХ
»&4 ахождение экстремумов некоторых рациональных ^ ^ функций доступно школьникам уже в 8 классе. К сожалению, в действующих учебниках математики 7—9 классов таких задач почти нет, и совсем нигде не рассматривается применимость неравенства о средних к их решению.
Здесь мы рассматриваем, дорогие читатели, 29 задач, объединенных в семь серий. К каждой серии дается подсказка. Для всех задач указаны ответы, но некоторые задачи серий приведены без решений (решите их самостоятельно).
Учащимся старших классов, на наш взгляд, целесообразно сравнить предлагаемые решения задач с решениями, основой которых служит использование производной заданной функции.
Рассмотрим отрезки, длины которых а и Ь, их среднее арифметическое ° * , среднее геометрическое -Jab и сред-
2 нее гармоническое -.
- + г а b Сравнение этих величин, проанализировав рисунки 5.1—5.3, нетрудно проследить на уроках геометрии.
т. е.т. е.СЕ _ СРСР СО’СЕ _ СРСР СО’А Р О В Рис. 5.3А Р О В Рис. 5.3Из подобия треугольников ADC и CDB (рис. 5.1) получаем -^^ = ^^, т. е. CD = -Jab. Рисунок 5.2 иллюстрирует неравенство Tab < а ^ (равенство средних арифметического и геометрического очевидно при а = 6). Из подобия треугольников CDE и COD (рис. 5.3) следует пропорциональ-
т. е.
т. е.
СЕ _ СР
СР СО’
СЕ _ СР
СР СО’
А Р О В Рис. 5.3
А Р О В Рис. 5.3
ность длин ихность длин ихА Р О В Рис. 5.2А Р О В Рис. 5.2сходственных сторон:
ность длин их
ность длин их
А Р О В Рис. 5.2
А Р О В Рис. 5.2
СЕ = °&, или СЕ = _ 2 Так как СЕ < CD, то _ 2 < -Tab. a + b1 + 11 + 1
2a ba b
Равенство всех трех средних величин достигается при а = Ь.
На уроках алгебры эти неравенства применимы к решению задач из серий 1—7.
Серия 1. При каком значении аргумента х функция / (х) принимает наибольшее значение? Вычислите max f (х).
фодсказка; ab < I —^— I .)
® f (*) = *(!-*)> О < х < 1.
@ f (х) = 2х (3 - х), О < х < 3.
@ f (х) = х (2 - Зх), О < х < |.
f(х)= -х2+ 4х, 0 < х < 4.
@f(х)= 1 -х2 + 6х,О <х < 6.
@f(х)= 5х - 4 - х2,О <х < 5.
®f(х)= 4 +Зх - х2,О <х < 3.
Решение.
1 м х 1= -,х(1-х) = -<=>х =1 м х 1= -,х(1-х) = -<=>х =1 2*1 2*Г х +1 — х А2 1) х(1-х)<(^-^1
1 м х 1
= -,х(1-х) = -<=>х =
1 м х 1
= -,х(1-х) = -<=>х =
1 2*
1 2*
Ответ, max f (х) = ^ ^ j = ^ •
ОХ О 70Х/оГЖ+3-31:У9 О 70 X 93
2х(3-х)<21I =-, 2х(3-х) = -«х = -.
2 = 11 3’2 = 11 3’Ответ, max f (х) = f 11 I = -.
2 = 1
1 3’
2 = 1
1 3’
22ОХ 70 OX 1 О 70 OX/l(3x + 2-3X 3) x (2 - Зх) = - • Зх (2 - Зх) < -1
2
2
х(2-3х) = |^х = |.
Ответ, max f (х) = f 111 = |. \ О уо
/,\2
-х2 + 4х = х (4 - х) < II = 4,
-х2 + 4х = 4 <^ х = 2.
Ответ, max f (х) = f (2) = 4.
1 - х2 + 6х = 1 + х (6 - х) С 1 + (^Ц—- j = Ю,
1 - х2 + 6х = 10 <=> х = 3.
Ответ, max f (х) = f (3) = 10.
( v 4- 5 — v ^2 Q
5х - 4 - х2 = х (5 - х) - 4 С II - 4 = -, 5х- 4-х2= ^ <=> х = |.
( к Л о
Ответ, max f (х) = ^ I ^ I ~ ^ •
Ответ, max / (х) = /Г|) = ^.
Серия 2. При каком значении аргумента х функция g (х) принимает наименьшее значение? Вычислите min g (х). (Подсказка: если c<d, то -o-d.)
(D g (х) = х (х - 1), 0 < х < 1.
(2) g (х) = 2х (х - 3), 0 < х < 3.
® g (х) = х (Зх - 2), 0 < х < |.
g (х) = х2 - 4х, 0 < х < 4.
@ g (х) = х2 - 6х - 1, 0 < х < 6.
@ g (х) = х2 - 5х + 4, О < х < 5.
Решение.
1) х(х-1)=-х(1-х)>-гт:1) х(х-1)=-х(1-х)>-гт:1 4’1 4’
1) х(х-1)=-х(1-х)>-гт:
1) х(х-1)=-х(1-х)>-гт:
1 4’
1 4’
х(х - 1) = --<=> х =-.
9 2'1 3'9 2'1 3'Ответ, min g (х) = g 11 j = - ^.
9 2'
1 3'
9 2'
1 3'
2)3)2)3)Ответ, min g (х) = g I -
2)
3)
2)
3)
Ответ, min g (x) = 51 ^
Ответ. min g (x) = g (2) = -4.2
x2 - 6x - 1 = -x (6 - x) - 1 > -[ ^f—^ ) "1 = -Ю»
x2 - 6x - 1 = -10 «► x = 3.
Ответ, min g (x) = g (3) = -10.
х2 - 5х + 4 = -х (5 - х) + 4 >-(*+2 *)* + 4 = -^, х - 5х + 4 = - - <=> х = -.
f 5 Л о
Ответ, min g (х) = g I - I = - -.
Серия 3. При каком значении аргумента х функция А(х) принимает наименьшее значение? Вычислите min Л (х). (Подсказка; a + b>2jab.)
h (х) = 4х + ^, х > 0.
@ Л м = —5-—’ ж>0-
оХ
^ . , х 5х2+4х + 20
h (х) =, х > 0.
2х
, х 4х2 -Зх + 9_
@ h (х) =-, х > 0.
® Л (X) = х + g , X > -3.
Решение.
4х+-> 2./4х - =12, 4х + - = 12«>х = §. х V хх2
/ о \
Ответ, min h (х) = h I - I = 12.
ox x2 + 4 if , 4k 2 /44 x2 + 44o
3x - 3 l^ + xj^ 31г’х “ 3’ 3x 3'
4
Ответ, min h (x) = h (2) = —.
^^^^ = |f5x + —^ + 2> |-2j5x^ + 2 = 12, 2x2 ^ x )2 V x
^±^^ = 12^x = 2. 2x
Ответ, min h (x) = h (2) = 12.
4x2 -3x + 9x4x2 -3x + 9x3 2'3 2'4x2 3x + 9 = 4x + - - 3 > 2J4x-- -3 = 9, xxV x
4x2 -3x + 9x
4x2 -3x + 9x
3 2'
3 2'
Ответ, min h (x) = h.
х2 + 7 _ х2 + 6х + 9 - 6х - 18 + 16 _
' х + 3 ~х + 3“
(х + З)2+16 - 6(х + 3)16 R>
> 2 /(х+ 3) • —- 6 = 2, ^^ = 2«>х = 1.
V 'х+3х+3
Ответ, min h (х) = h (1) = 2.
Серия 4. При каком значении аргумента х функция t (х) принимает наибольшее значение? Вычислите max t (х).
о
(.Подсказка: -—- < Vab.)
а + 6
Ф t (х) = —^-5-, х > 0.
4х + — X
@ Нх) = ^^^ Х>Е
Решение.
хх
/ О Л 1
Ответ, max t (х) = t — = „ • J 6
J х2 + 252 ’ х + 252 V х * 25 ~ 10 ’
Ответ, max t (ж) = t (5) = ^.
о. 3 х 32< 3 1^ х 33 х 3
’ х2+16 ~ 2*х+1621/х‘16 ~ 8’ х2 + 16 “8
х
<=> х = 2.
Ответ, max t (х) = t (2) = —.
х -2х + 101 ,9^ \х-193’
4х - 42.
хй -2х +10 3х *
Ответ, max t (х) = t (4) = —.
Серия 5. При каком значении аргумента х функция у (х) принимает наименьшее значение? Вычислите min у (х). ^. . х2 +4х + 53_
Ф у ^ = —ТТг—’ х > "2
® У = х - 3 ’ х> *
Решение.
рии 3.п х2+4х + 53Х' хТ2х2 + 4х + 53- ,рии 3.п х2+4х + 53Х' хТ2х2 + 4х + 53- ,49х + 249х + 2А. Воспользуемся подсказкой к решению задач се-
рии 3.
п х2+4х + 53
Х' хТ2х2 + 4х + 53- ,
рии 3.
п х2+4х + 53
Х' хТ2х2 + 4х + 53- ,
49х + 2
49х + 2
^=14, х + 2
n + 2= 12< 1 I 7^ + 2 _ 1
x2+4x + 532*ж + 2 + 49 " 2^ + 2’ 4914’
x + 2
max I I = T7 <=> min z/ (x) = 14 *.
(y(x)J 14
x~3 = 1.2< 1._2_=
x2-52 x_3 + _4,62 2 L 3)._£. e
x-3^v ’ x-3
= ^, min z/(x) = 10.
= I2<1.2_ -
x2-3x + 38 2 x-i + -^_l 2 2^Z^Z_!
= -p min у (x) = 11.
Для второй и третьей задач мы применили также неравенство а + 6 > 2jab, позволившее уменьшить знаменатель дроби.
Серия 6. Докажите теоремы:
(Т) Из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
@ Из всех прямоугольников с заданной площадью наименьший периметр имеет квадрат.
Решение.
Пусть одна из сторон прямоугольника имеет длину х, тогда при заданном периметре Р = 4а у другой его стороны длина 2а - х. Площадь этого прямоугольника S (х) = (2а - х)х.
т,/п \/ (2а - х + х V „
Известно: (2а - х) х < II = а2.
(2а - х) х - а2 <=> х2 - 2ха + а2 = 0 <=> х = а;
max S (х) = а2.
Так как 2а - х = а при х = а, то наибольшую площадь имеет прямоугольник с равными сторонами, т. е. квадрат.
Пусть одна из сторон прямоугольника имеет длину х, тогда при заданной площади S = а2(а > 0) у другой его а2
стороны длина —. Периметр этого прямоугольника X
Р(х) = 2 х + — .
Известно: 21 х + — I> 2 • 2Jx• — = 4а.
V х ) V х
( о2 \
2x4= 4а <=> х2 - 2ха + а2 = 0 <=> х = а;
V X )
min Р (х) = 4а. т а2„
Так как — = а при х = а, то наименьший периметр име
ет прямоугольник с равными сторонами, т. е. квадрат.
Серия 7. Проверьте истинность утверждения «Сумма взаимно обратных положительных чисел а и ^ не меньше
двух», ф А =
а затем докажите неравенство А > В. ж2 +3 , В = 2.
Vx2 + 2
Ф А = -2, В =
х - х2 -21
Vx2 -х + 20 ’
Решение.
^ * 3 = Т^ь2 +1> 2, т.
Vx^+2Jx2 + 2
х - х2 - 21 х2 - х + 21 , 7 х2 - х + 20- х + 20
X2 - X + 21[—5—1
-7====== = Jx2 - х + 20 + , „
Vx2 - х + 20V*2 -ж + 20
Значит, А > В *.
* Знак неравенства строгий, так как эти взаимно обратные числа отличны от 1.
ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЛОК №5 &
ах = ка, ZAX = ZA, bx = kb, ZBX = ZB, сх = кс, ZCX = ZC, Sx = к?8.
xt (i = 1; 2; 3; 4) — точки экстремумов;
х2, ^4 — точки локальных минимумов;
хх, ^з — точки локальных максимумов;
ух — локальный максимум функции;
у4 — локальный минимум функции;
min / (х) = / (а) — наименьшее значение на [а; &];
max / (х) = / (6) — наибольшее значение на [а; Ь].
Нп = —среднее гармоническое;
— + — + ...+—
Д1 °2
Gn = ц)а1-а2«... -ап — среднее геометрическое;
ах + о2 + ... + ап
А„ =среднее арифметическое;
п/а? + of + ... + а?
Qn = J—£среднее квадратичное.
V71
Hn^Gn^An^Qn.
Неравенство о средних для двух
2о о
-Jab ^
а + b
+ Ъ2
Терпенье и труд все перетрут. Поговорка
УПРАЖНЕНИЯУПРАЖНЕНИЯ1
УПРАЖНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ
При каком значении аргумента х функция / (х) принимает наибольшее значение? Вычислите max / (х).
/ (х) = х (3 - х), 0 < х < 3;
/ (х) = 5х (4 - х), 0 < х < 4;
/ (х) = Зх (1 - 2х), 0 < х < |;
/ (х) = 8х - х2, О < х < 8;
Д) / (х) = 3 - х2 + 5х, О < х < 5;
/ (х) = 4х - х2 - 5, О < х < 4;
f (х) = 7 - Зх2 + 4х, О < х < ^.
При каком значении аргумента х функция / (х) принимает наименьшее значение? Вычислите min / (х).
/ (х) = х (х - 3), О < х < 3;
f (х) = 5х (х - 4), О < х < 4;
/ (х) = Зх (2х - 1), О < х < ^;
/ (аг) = х2 - 8х, О < х < 8;
/ (х) = х2 - 5х - 3, О < х < 5;
f (х) = х2 - 4х + 5, О < х < 4;
/ (х) = Зх2 - 4х + 7, О < х < ^.
При каком значении аргумента х функция / (х) принимает наименьшее значение? Вычислите min / (х).
/ (х) = Зх + —, х > О;
/ (х) = —^-—, х > О;
f (х) = ^±|^, х>0;
/ (х) = ———, х > О;
fM = ^^.^>-2;
/ (х) = ^ _ 4 , х > 4;
Зх2-4х + 5_
/(х) =z—5, х>2.
X — 2
4. При каком значении аргумента х функция / (х) принимает наибольшее значение? Вычислите max / (х).
/ (х) = 2 , х > 0;
х + — X
/(*) =,х>0;
Зх + — х в) '’w=^6^>0;
/ (х), 7*-, X > 0;
4х2 + Зх + 9 Зх - 9 ж) / (х) =, х > 3.
хг -^х + 13
Учащимся 10—11 классов советуем выполнить задания всех серий стандартным приемом, который рекомендован в учебнике «Алгебра и начала анализа».
ри написании этой книги автор руководствовался несколькими соображениями.
Место математики в системе общечеловеческих ценностей, на овладение которыми нацелена система образования, определяется тем воздействием, какое она может оказать на развитие личности школьника. Поэтому из различных граней этого воздействия следует выбрать те, которые имеют наибольший кпд на развитие компетентности учащихся в математике.
Важной составной частью культуры человека является широкий спектр способов его деятельности. Поэтому очень важным является установление школьниками крепких внутрипредметных связей в школьном курсе математики. Существенному расширению способов их математической деятельности могут помочь наглядные решения задач, так как знать математику означает уметь решать задачи.
Сегодня в рамках действующего учебного плана по математике из-за нехватки времени учителю очень трудно проводить этапы заключительного повторения. Однако отбор задач на интегрированные уроки математики может отчасти ликвидировать эту трудность.
Замечания и предложения просим направлять в издательство «Просвещение» по адресу: 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
С уважением автор
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Архимед
(III в. до н. э.) — древнегреческий математик и механик
Галилей Галилео
(1564—1642) — итальянский философ и естествоиспытатель
Гильберт Давид
(1862—1943) — немецкий математик
Дюрер Альбрехт
(1471—1528) — немецкий художник, математик и теоретик искусства
Достоевский Федор Михайлович
(1821—1881) — русский писатель
Евклид
(III в. до н. э.) — древнегреческий математик
Кеплер Иоганн
(1571—1630) — немецкий астроном и математик
Конфуций
(IV в. до н. э.) — древнекитайский философ и просветитель
Леонардо да Винчи
(1452—1519) — итальянский художник, скульптор, архитектор, математик и инженер
Леонардо Фибоначчи
(1180—1240) — итальянский математик
Лермонтов Михаил Юрьевич
(1814—1841) — великий русский поэт
Лобачевский Николай Иванович
(1792—1856) — русский математик
Ломоносов Михаил Васильевич
(1711—1765) — первый русский естествоиспытатель, поэт, художник, историк и просветитель
Пифагор
(VI в. до н. э.) — древнегреческий философ и математик
Пушкин Александр Сергеевич
(1799—1837)
— великий русский поэт, родоначальник новой русской литературы
Руставели Шота
(XII в.)
— великий грузинский поэт
Пойа Дьёрдь
(1887—1985)
— швейцарский математик
Фидий
(III в. до н. э.)
— древнегреческий астроном и математик
Хлебников Виктор Владимирович
(1885—1922)
— русский поэт
Шарыгин Игорь Федорович
(1937—2004)
— русский математик
Элиот Томас Стернд
(1888—1965)
— английский поэт, лауреат Нобелевской премии
СОДЕРЖАНИЕ
К читателю 3
Этюд 1. Решаем системы уравнений 6
Этюд 2. Займемся тригонометрией24
Этюд 3. Об аркусах43
Этюд 4. Взаимосвязанные иррациональности55
Этюд 5. Об экстремумах65
Заключение76
Именной указатель77
Учебное издание
Серия «Библиотека учителя»
Генкин Григорий Зиновьевич
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Книга для учителя
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. В. Кузнецова Младший редактор Е. А. Андреенкова Художник А. Б. Юдкин Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика: Г. М. Дмитриев Технический редактор Н. В. Лукина Корректор А. К. Райхчин
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 00593—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с оригинал-макета 25.10.06. Формат 60x90V16. Бумага газетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 3,2. Тираж 3000 экз. Заказ № 18142.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, г. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, д. 41.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфический комбинат». 410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru.
телъствотелъство127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41 Тел.: (495) 789-3040 Факс: (495) 789-3041 E-mail: prosv@prosv.ru http://www.prosv.ru127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41 Тел.: (495) 789-3040 Факс: (495) 789-3041 E-mail: prosv@prosv.ru http://www.prosv.ru
телъство
телъство
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41 Тел.: (495) 789-3040 Факс: (495) 789-3041 E-mail: prosv@prosv.ru http://www.prosv.ru
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41 Тел.: (495) 789-3040 Факс: (495) 789-3041 E-mail: prosv@prosv.ru http://www.prosv.ru
ПРОСВЕЩЕНИЕ
АТЕЛЬСТВО
Вът^слсаем
Учебники
Методическую литературу
Научно-популярную литературу
Справочную литературу
Наглядные пособия и карты
Учебные мультимедийные курсы
Обукшм
Интернет-школа * Просвещение, ги»
www.internet-school.ru
Институт повышения квалификации работников образования
www.prosv-ipk.ru
Представляем
На сайте издательства для наших покупателей
Каталог выпускаемой продукции
Ежемесячные новинки издательства
Планы печати учебной литературы
Адреса магазинов «Просвещение» в регионах
Предлагаем
Оптовикам и книготорговым структурам
Гибкую систему скидок
Крупный и мелкий опт со склада издательства
Контейнерную отгрузку во все регионы России и страны СНГ
Внимательное отношение к каждому!
Служба « Книга™почтой»
Заказ и отправка книг по почте
102001, Москва, a/я «Почтовый Торговый Дом»
Тел.: (495) 540-6061
E-mail: prosv@post.ru, zakaz@ptdom.ru
http:// www.ptdom.ru
пшенные магазины « Просвещение»
119311, Москва, пр-т Вернадского, 11/19
Тел.: (495) 930-5050
Тел./факс: (495) 930-5040
E-mail: mag-info@prosv.ru
115304, Москва, ул. Луганская, 7
Тел.: (495) 322-2822
E-mail: mag-info@prosv.ru
БИБЛИОТЕКА УЧИТЕ
Геометрические
решения
негеометрических
задач
устанавливают внутрипредметные математические связи
расширяют кругозор
приобщают к творчеству
содержат простые решения сложных задач
полезны для самообразования
ISBN 978-5-09-015104-7
9—
ПРОСВЕЩЕНИЕ
3 V3 V15
1) a to; У1), |а| = ^х^+у^ ;
b to; у2), 161 = Jxf+yl .
3) а-Ь = |а|-|Ь| - cos ф, ф — угол между а и Ь;
а -Ь = хг - х2 + уг- у2;
а • b < |а| • |Ь|;
а • Ъ = \а \ • \ Ъ\<р = 0 а^ b <^ — = —.
х2 Уг
Ответ, min у (х) = у (5) = 14. х2 - 5 х2 - 9 + 4_4„4
БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ
Г. 3. Генкин
Геометрические решения негеометрических задач
Книга для учителя
Москва «Просвещение» 2007
УДК 372.8:514
ББК 74.262.21
Г34
Серия «Библиотека учителя* основана в 2000 г.
Рецензенты:доктор физико-математических наук,профессор, академик РАО РФ,директор Института продуктивного обучения М. И. Башмаков;кандидат педагогических наук,заслуженный работник культуры РФ,главный редактор журнала «Математика в школе»А. И. Верченко
Генкин Г. 3.
Г34 Геометрические решения негеометрических задач : кн. для учителя / Г. 3. Генкин. — М. : Просвещение, 2007. — 79 с. : ил. — (Библиотека учителя). — ISBN 978-5-09-015104-7.
Книга состоит из пяти этюдов, посвященных решению разных типов негеометрических задач геометрическими методами. Книга также поможет учащимся 8—11 классов на этапе итогового повторения и для подготовки к сдаче вступительного экзамена в вуз.
УДК 372.8:514 ББК 74.262.21
ISBN 978-5-09-015104-7©ISBN 978-5-09-015104-7©Издательство «Просвещение», 2007 Художественное оформление.Издательство «Просвещение», 2007 Все права защищеныИздательство «Просвещение», 2007 Художественное оформление.Издательство «Просвещение», 2007 Все права защищены
ISBN 978-5-09-015104-7©
ISBN 978-5-09-015104-7©
Издательство «Просвещение», 2007 Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2007 Все права защищены
Издательство «Просвещение», 2007 Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2007 Все права защищены
Посвящается памяти Игоря Федоровича Шарыгина